/
Автор: Зенкевич О.
Теги: математика радиотехника инженерия переводная литература издательство мир метод конечных элементов
Год: 1975
Текст
THE FINITE о. зенкевич
ELEMENT METHOD МЕТОД
IN ENGINEERING ^uhuukty
SCIENCE КОНЕЧНЫХ
__ ЭЛЕМЕНТОВ
В
О. С. ZIENKIEWIC2
Перевод с английского
Под редакцией
Б. Е. Победой
MCGRAW-HILI-LONDON I9/1 ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1975
УДК 519.3
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
Монография посвящена изложению основ метода конечных
элементов — одного из наиболее эффективных современных ме-
методов численного решения инженерных, физических и математи-
математических задач с применением вычислительных машин.
В книге рассмотрены основные принципы метода конечных
элементов и их приложение к задачам теории упругости, теории
пластин и оболочек, теплопроводности, теории потенциала.
Значительное внимание уделено нзопараметрическим криво-
криволинейным элементам, динамическим задачам и нелинейным про-
проблемам, обусловленным пластичностью и большими перемеще-
перемещениями. Приведено много примеров решения задач строительной
механики, аэронавтики и электрических систем.
Книга представляет большой интерес для ннженеров-кон-
структоров, специалистов в области теории упругости, теплофи-
теплофизики, гидро- и аэродинамики, а также аспирантов и студентов
старших курсов технических вузов.
30106-156
041@1)-75
Редакция литературы по новой технике
© Перевод на русский язык, «Мнр», 1975
В связи с техническим прогрессом изменились многие инже-
инженерные задачи: они стали сложнее, и их решение требует вве-
введения новых понятий. Изменился и подход к практическим ин-
инженерным задачам. Если раньше инженер мог, исходя из
рассматриваемого физического явления или технической проб-
проблемы, «поставить» задачу и предоставить ее решение, матема-
математику-вычислителю, то сейчас дело обстоит иначе. Во многих
инженерных задачах построение расчетной модели настолько
тесно переплетается с процессом вычислений, что разделить эти
процессы порой не представляется возможным. В связи с этим
появились новые понятия и направления, такие, как диакоп-
тика (исследование сложных систем" по частям), теории гра-
графов и др.
В последнее время широкую известность приобрело одно из
направлений диакоптики — метод конечных элементов, кото-
которому и посвящена настоящая монография. Этот метод является
одним из вариационных методов и часто трактуется как метод
Ритца. Область, занимаемая телом, разбивается на конечные
элементы. Чаще всего это треугольники в плоском случае и
тетраэдры в пространственном. Внутри каждого элемента за-
задаются некоторые функции формы, позволяющие определить
перемещения внутри элемента по перемещениям в узлах, т. е.
в местах стыков конечных элементов. За координатные функ-
функции принимаются функции, тождественно равные нулю всюду,
кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпа-
совпадают с функциями формы. В качестве неизвестных коэффици-
коэффициентов метода Ритца берутся узловые перемещения. После мини-
минимизации функционала энергии~ получается алгебраическая
система уравнений (так называемая основная система). Таким
образом, ситуация здесь такая же, как и в вариационных раз-
разностных методах, в которых для получения разностной системы
уравнений применяется один из вариационных принципов.
В отличие от вариационно-разностного метода в методе ко-
конечных элементов существенную роль играют функции формы,
точнее их интерполяционные свойства. В этом смысле метод
Предисловие к русскому изданию
конечных элементов близок к теории сплайн-функций, интен-
интенсивно разрабатываемой в последнее время.
В настоящее время методом конечных элементов пользуются
при решении самых разнообразных задач математической фи-
физики, хотя первые работы по методу конечных элементов были
выполнены специалистами по строительной механике. Это об-
обстоятельство отразилось не только иа терминологии метода, но
и на его первичной интерпретации, которая, видимо, и объ-
объясняет огромную популярность метода конечных элементов
среди инженеров. Эта интерпретация состоит в следующем:
сплошная среда заменяется некоторой эквивалентной шарнир-
шарнирной системой, а техника расчета статически неопределимых
шарнирных систем хорошо известна каждому инженеру. Осо-
Особенно популярен метод перемещений, который аналогичен ме-
методу составления основной системы уравнений конечных элемен-
элементов, используемому в этой книге.
Как ни популярен метод конечных элементов в настоящее
время, оа, разумеется, не является единственным эффективным
численным методом. Главным недостатком этого метода\ как
и любого вариационного метода, является сложность получения
априорных оценок. Проверку надежности метода можно осу-
осуществлять пока лишь опробирование^ каждой программы на
точных решениях.
При чтении книги следует иметь в виду, что автор не яв-
является математиком и некоторые из его высказываний ма-
математиками могут быть приняты «в штыки». Интуитивные со-
соображения автора относительно сходимости метода и его
обоснования, разумеется, не заменяют строгих математических
исследований, хотя их нельзя оставить без внимания, учитывая
огромный опыт автора как вычислителя.
Читатель найдет в этой книге много интересных мыслей,
идей.. Наличие программ, составленных на алгоритмическом
языке ФОРТРАН, сильно облегчит ему практическое освоение
метода.
Перевод гл. 16 выполнен Г. Г. Шахверди, остальные главы
переведены А. М. Васильевым и В. М. Курочкиным.
В заключение мне хочется выразить благодарность автору
за любезно присланный список опечаток в английском издании.
Б. Победря
ПРЕДИСЛОВИЕ
АВТОРА
Значительную часть предисловия первого издания этой
книги, опубликованного в 1967 г.1), пришлось посвятить объяс-
объяснению того, что понимается под методом конечных элементов.
В настоящее время вследствие появления большого количества
работ, в которых рассматривается этот метод, в таком объяс-
объяснении почти нет необходимости. Возникнув как один из прие-
приемов исследования конструкций разнообразных форм, ои полу-
получил к настоящему времени всеобщее признание как общий
метод изучения широкого класса задач техники и физики. Су-
Существенное развитие метода как в прикладном, так и в теоре-.
тическом аспектах привело к необходимости пересмотра первого
издания книги. Однако при отборе нового материала и его-
представлении сразу же пришлось столкнуться с трудностями,
обусловленными противоречивостью требований простоты и
полноты изложения без значительного увеличения объема,
В результате большая часть книги была написана заново, од-
однако при этом основное содержание ее и направленность со-
сохранились.
Метод конечных элементов по существу сводится к аппрок-
аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней сво-
свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих
конечное число степеней свободы. Затем между этими элемен-
элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. По-
Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся
исследованием дискретных конструкций или электрических це-
цепей. Популярность метода, несомненно, объясняется простотой
его физической интерпретации и математической формы. Ис-
Использование ЭВМ позволяет получать решения многих слож-
сложных технических задач. Метод конечных элементов уже сейчас
используется во многих конструкторских организациях в каче-
качестве обычного инженерного метода.
') См. О. Зенкевич, И. Чанг «Метод конечных элементов в теории соору-
сооружений и в механике сплошных сред>, перевод с английского, изд-во сНедра»,
1974. — Прим. ред.
Предисловие автора
Первая глава книги почти не касается конечных элементов.
В ней кратко и в доступной форме излагаются основные прин-
принципы матричного метода расчета конструкций, чтобы избежать
необходимости обращения к другим источникам. Показано, что
принципы исследований различных задач строительной меха-
механики и, например, электротехники по существу одинаковы.
В гл. 2 описываются основы конечно-элементной формули-
формулировки задач теории упругости в перемещениях. Необходимость
внимательного изучения этой главы обусловлена тем, что ряд
последующих глав, в которых рассматриваются различные за-
задачи теории упругости, непосредственно основывается на раз-
разработанной здесь теории. В гл. 3 возможные другие подходы
на основе принципов виртуальной работы и минимума энергии
распространяются на вариационные задачи и показывается су-
существенное сходство методов конечных элементов и Релея —
Ритца. Наряду с этим в гл. 3 указывается иа возможность и
других, не вариационных формулировок.
В гл. 4—6 рассматриваются конечные элементы только про-
простейших форм, а в гл. 7 и 8 исследуются в общем виде функ-
функции формы элементов. В этих главах читатель познакомится
с общими идеями более подробных расчетов.
В гл. 16 и 17 метод конечных элементов используется при
исследовании динамических процессов, а в гл. 18 и 19 рассмат-
рассматриваются нелинейные задачи. В последние годы в этих обла-
областях метод получил широкое распространение. Хотя в процессе
изложения основное внимание уделяется лишь общим положе-
положениям, вопросы пластичности, больших деформаций и связанные
с ними задачи обсуждаются довольно подробно.
Для практического использования метода конечных элемен-
элементов требуется не только овладение теорией, но и преодоление
значительных трудностей программирования. К настоящему
времени уже разработано много эффективных быстродействую-
быстродействующих программ, однако их сложность может обескуражить на-
начинающего исследователя, который, пожалуй, предпочтет по-
получить простые решения частных задач. Ввиду этого в книгу
помещена гл. 20, написанная моими коллегами докторами Кин-
Кингом и Чеигом, в которой содержится ряд' стандартных подпро-
подпрограмм. Можно надеяться, что с их помощью читатель сумеет
без. особого труда составить собственную программу.
Книга предназначена для аспирантов, студентов старших
курсов и инженеров. Для изложения всего материала с единых
позиций иногда приходилось пренебрегать математической
стройностью (но не в ущерб строгости). Объем необходимых
для понимания книги знаний лишь немного выходит за рамки
обычных курсов математического анализа, хотя для удобства
используются матричные представления. Для тех. кто не зна-
Предисловие автора
9
ком с теорией матриц, необходимые сведения даются в прило-
приложении.
Использование матричных представлений в методе конеч-
конечных элементов не обязательно, как это иногда ошибочно пред-
предполагается. С таким же успехом, например, можно было бы
использовать и тензорные обозначения.
В первое издание была включена глава, посвященная неко-
некоторым перспективным направлениям развития метода. Боль-
Большинство этих направлений уже разработано и сейчас нет смы-
смысла делать какие-либо дальнейшие предсказания, хотя, несом-
несомненно, метод будет развиваться. Следует отметить, что в книге
не отражены хорошо разработанные вопросы непосредствен-
непосредственного применения вариационной теории Хелингера — Рейсснера
и смешанного метода. Это сделано не только из-за ограничен-
ограниченного объема книги, но и для сохранения единого подхода, даю-
дающего эффективные средства решения многих задач.
Практические примеры, " включенные в книгу, относятся
к различным областям техники, хотя читатель, вероятно, обна-
обнаружит, что их выбор в основном определяется личными интере-
интересами автора, занимающегося вопросами строительной ме-
механики. Распространение метода на другие отрасли техники не
потребует большого труда.
О. Зенкевич
ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ: "
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ РАСЧЕТА
КОНСТРУКЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТЕЙ
1.1. Введение
Инженерные конструкции можно рассматривать как некото-
некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в ко-
конечном числе узловых точек. Если известны соотношении между
силами и деремещениями для каждого отдельного элемента, то,
используя хорошо известные приемы строительной механики
[I—5], можно описать свойства и исследовать поведение кон-
конструкции в целом.
В сплошной среде число точек связк бесконечно, и именно
это составляет основную трудность получения численных ре-
решений в теории упругости. Понятие конечных элементов, вве-
введенное впервые Тернером и др. [6], представляет собой попытку
преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на
Отдельные элементы, взаимодействующие между собой только
в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквива-
эквивалентные поверхностным напряжениям, распределеннйм по гра-
границам элементов. Если такая идеализация допустима, то задача
сводится к обычной задаче строительной механики, которая мо-
может быть решена численно.
На первый взгляд, этот иитуитив-но понятный и доступный
инженерный метод выглядит не совсем убедительно — в част-
частности, остается открытым вопрос о соотношениях между си-
силами и перемещениями отдельных элементов. Способы получе-
получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл. 2 по-
после изложения основ метода. На данном же этапе целесооб-
целесообразно кратко описать общий метод расчета конструкций, кото-
который будет широко использоваться в книге после рассмотрения
свойств конечных элементов.
' В дальнейшем будет показано, что метод конечных элемен-
элементов применим и ко многим задачам иного типа, но и тогда
основные свойства элемента выражаются в форме, принятой
в строительной механике. Общие методы составления ансамбля
и решения задач аналогичны приемам строительной механики.
В действительности «структурная» форма уравнений при-
присуща не только строительной механике. Уравнения в такой
Глава 1
форме используются при расчетах электрических цепей или по-
потоков жидкости в трубопроводах. Подобные задачи часто на-
называются задачами исследования сетей1).
1.2. Элемент конструкции
На фиг. 1.1 изображена двумерная конструкция, состоящая
из отдельных частей, соединенных между собой в точках, про-
пронумерованных от 1 до п. Соединения в узлах предполагаются
шарнирными.
Сначала допустим, что в результате расчета или на основе
экспериментальных данных достоверно известны характери-
Типичный элемент
Фнг. 1.1. Типичная конструкция, составленная из отдельных элементов.
стики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1—3 эле-
элемента а, однозначно определяются перемещениями этих узлов,
действующей на элемент распределенной нагрузкой р и его
начальной деформацией. Начальная деформация может быть
обусловлена температурным воздействием, усадкой или несо-
¦вершенством сборки. Силы и соответствующие им перемеще-
перемещения определяются компонентами U, V и и, v в какой-либо си-
системе координат.
'). Вместо понятия сети в литературе все чаще используется более общее
понятие графа. — Прим. ред.
Метод жесткостей расчета конструкций
13
Записывая силы, действующие во всех (в трех для рас-
рассматриваемого случая) узлах элемента а, в виде матрицы1),
получим
и2
.A.1)
а для соответствующих перемещений узлов
A.2)
Если предположить, что элемент упругий, то основные соотно-
соотношения всегда могут быть записаны в виде
+ {F}1, A.3)
где {Р}пг>~ силы, уравновешивающие действующие на эле-
элемент распределенные нагрузки, {F}^ — силы в узлах, обус-
обусловленные начальными деформациями, которые м.огут возни-
возникать, например, при изменении температуры без перемещения
узлов. Первый член в этой формуле представляет собой силы,
вызванные перемещениями узлов.
Предварительный расчет или эксперимент позволяет одно-
однозначно определить напряжения в любой заданной точке через
узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матри-
матрицы {а}", получаем соотношение в форме
{аГ = Ио {6}°+ {< + «, A.4)
где последние два члена — напряжения, обусловленные распре-
распределенными нагрузками, и начальные напряжения при отсут-
отсутствии узловых перемещений.
') Для понимания материала, изложенного в книге, требуется знание ос-
основ матричной алгебры. Это необходимо для краткости и удобства изложе-
изложения. Для читателей, не знакомых с матричной алгеброй, необходимые сведения
приведены в небольшом по объему приложении 1,
14
Глава t
Матрица [k]* называется матрицей жесткости элемента, а
[S]a — матрицей напряжения элемента.
Соотношения A3) и A.4) проиллюстрированы на примере
элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только
две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и опреде-
определения справедливы и в более общем случае. Элемент b в рас-
рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках,
хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С дру-
другой стороны, - если соединения элементов считать жесткими, то
требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы
и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты сле-
следует принять соответственно момент вращения и угол поворота.
Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число
компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем
случае
Ft
и {6}" =
A.5)
где F{ и б,- имеют одинаковое число компонент или степеней
свободы.
Ясно, что матрицы жесткости элемента всегда будут квад-
квадратными вида
kit ki, ktm "I
: : : • о-6)
k , h , Ь I
xml Hmi Kmm -«
где ki{ и т. д. — также квадратные подматрицы размерности
IX I, a I— число компонент силы в рассматриваемых узлах.
В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шар-
нирно опертой балке постоянного сечения А с модулем упру-
упругости Е (фиг. 1.2). Балка нагружена равномерно распределен-
распределенной поперечной нагрузкой р н подвержена однородной темпе-
температурной деформации
Если концы балки имеют координаты х{,
может быть вычислена как
и хп, Уп, то ее длина
а ее угол наклона к горизонтальной оси
Метод жесткостей расчета конструкций
15
В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две
компоненты силы и перемещения.
Очевидно, что узловые силы, обусловленные поперечной на-
нагрузкой, записываются в виде матрицы
Vi\_\ Casals
t/J-i-sinaf 2"
Vn)p v cosaJ
Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам
реакций опор балки, т. е. рЦ2. Для компенсации температур-
Фиг. 1.2. Шарнирио опертая балка.
ного расширения в0 нужно приложить осевую силу ЕаТА, ком-
компоненты которой
i[/,4 /--cosa
v,\ =_\
Un( | cosa
KnJe, I Sin <X
Наконец, перемещения узловых точек элемента
Щ
Щ
"я
16
Глада t
вызовут его удлинение («„ — «j)cosa + (tin — a{)sina. Вели-
Величина удлинения, умноженная на EA/L, даст осевую силу, компо-
компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы
вместо — ЕаТА в предыдущее выражение. Стандартная форма
записи имеет вид
EA
sinacosa j —cos2a — sinacosa"
sin a cos a
I — sinacosa
— sin2
sin2 a
— cos2 a — sin a cos a j cos2 a
_—sinacosa —sin a
sin a cos a
sinacosa
sin2 a
X
x
¦ = [k]a {(,}".
Итак, для рассматриваемого простейшего случая определеиы
все слагаемые основного уравнения A.3). Нетрудно записать
в форме A.4) и напряжения в любом поперечном сечеиии эле-
элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего
сечеиия балки С, то напряжения, возникающие в результате
осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде
— cos a —sin a cos a sin a
— cos a — sin a cos a sin a
где d— половина высоты сечеиия, а / — момент инерции. Легко
заметить, что в это выражение входят все слагаемые фор-
формулы A.4).
Для более сложных элементов требуются более тонкие
приемы расчета, но все равно результаты имеют такую же
форму. Инженер легко заметит, что зависимость между накло-
наклоном и прогибом, используемая при расчетах жестких дам, яв-
является частным случаем рассмотренных общих соотношений.
Следует отметить, что полная матрица жесткости для дефор-
деформируемого элемента получилась симметричной (то же можно
Метод жесткосгей расчета конструкций
17
сказать и о подматрицах). Это никоим образом ие случайно,
а вытекает из закона сохранения энергии и его следствия — тео-
теоремы взаимности Максвелла — Бетти.
Во всех рассуждениях предполагалось, что свойства эле-
элемента описываются простыми линейными соотношениями.
В принципе можио было бы получить аиалогичные соотношеиия
и для нелинейных материалов, однако обсуждение задач такого
рода выходит за рамки этой монографии.
1.3. Составление ансамбля и расчет конструкции
Рассмотрим снова гипотетическую конструкцию, изображен-
изображенную на фиг. 1.1. Чтобы получить решение, нужно удовлетворить
а) условиям совместности и
б) уравнениям равновесия.
Любая система {6} узловых перемещений
V
A.7)
записанная для конструкции, в которую входят все элементы,
автоматически удовлетворяет первому условию.
Поскольку условия равновесия внутри каждого элемента
считаются выполненными, необходимо удовлетворить условиям
равновесия в узловых точках. Полученные уравнения будут со-
содержать в качестве неизвестных перемещения. Как только они
будут найдены, задачу расчета конструкции можно считать ре-
решенной. Внутренние усилия (напряжения) в элементе могут
быть легко определеиы с помощью зависимостей, априори уста-
установленных для каждого элемента в виде A.4).
Предположим, что, помимо распределенной нагрузки, прило-
приложенной к каждому отдельному элементу, конструкция нагру-
нагружена внешними силами
яг
{*}=«
A.8)
приложенными в узловых точках. Каждая из сил R{ должна
иметь столько же компонент, сколько и рассматриваемые реак-
реакции элемента. В обсуждаемом примере
A.9)
18
Глава t
так как соединения предполагались шарнирными. Однако в об-
общем случае будет рассматриваться произвольное число компо-
компонент.
Если теперь нужно удовлетворить условиям равновесия в
произвольной узловой точке i, то каждая из компонент R( долж-
должна быть приравнена сумме компонент сил от всех элементов,
соединяющихся в этом узле. Таким образом, рассматривая все
компоненты силы, получаем
{Ri} = T,{Fi}a = {Fi}l+{FtY+ .... A.10)
где F'i — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 1,
F] — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 2, и т. д.
Очевидно, что отличные от нуля силы будут давать только эле-
элементы, содержащие точку i, однако суммирование проводится
по всем элементам.
Подставляя A.3), получаем выражения для сил в узловой
точке i
Щ=(Е ift/i]') {в,} + (? \kn\a) {б2} + ...
••¦ +T,{Fi)ap + T,{Fdl- (Ml)
И здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся
в узле i. Объединяя все такие уравнения, имеем
[K]{6}=.{tf}__{F}p-{F}E, (U2)
где подматрицы
[*!»]= ?[*<»]".
A.13)
получены суммированием по всем элементам. Это простое пра-
правило составления ансамбля очень удобно, поскольку сразу после
определения коэффициента для отдельного элемента он может
быть немедленно заслан в соответствующую ячейку памяти вы-
вычислительной машины. Составление ансамбля является основ-
основной операцией метода конечных элементов, и поэтому она долж-
должна быть хорошо усвоена читателем.
Если используются разные типы элементов, то при состав-
составлении ансамбля следует помнить, что можно складывать матри-
матрицы только одинаковой размерности. Следовательно, отдельные
подматрицы, которые включаются в систему, должны содержать
одинаковое число компонент сил и перемещений. Так, например,
если к какому-либо элементу конструкции в узловой точке, пе-
передающей моменты, присоединен шарнирно другой элемент, то
Метод местностей расчета конструкций
19
матрицу жесткости последнего необходимо дополнить, вводя
соответствующие (нулевые) значения на места углов поворота
или моментов.
Систему уравнений A.12) можно решить, как только будут
подставлены перемещения опор. В примере (фиг. I.I), где обе
компоненты перемещений узлов I и 6 равны нулю, это будет
означать подстановку
что эквивалентно уменьшению числа уравнений равновесия
(в рассматриваемом случае их двенадцать) и вычеркиванию
первой и последней строки и столбца. Таким образом, общее
число неизвестных компонент перемещения уменьшается до
восьми. Тем не менее всегда удобно составлять уравнения в со-
соответствии с соотношением A.12), учитывая все узловые точки.
Очевидно, что эту систему невозможно решить без задания
некоторого числа перемещений, исключающих смещение конст-
конструкции как жесткого целого, так как по заданным силам нельзя
однозначно определить перемещения. Этот физически очевидный
факт математически выражается тем, что матрица [К] является
сингулярной, т. е. йе имеет обратной. Задание соответствующих
перемещений по окончании формирования ансамбля обеспечи-
обеспечивает возможность получения единственного решения путем вы-
вычеркивания соответствующих строк и столбцов различных ма-
матриц.
Несмотря на то что подстановка известных перемещений,
позволяющая уменьшить общее число решаемых уравнений,
является относительно простой операцией при ручных вычисле*
ниях и может быть запрограммирована для вычислительных
машин, часто оказывается удобным непосредственно решать
первоначальную систему уравнений с тем, чтобы избежать ре-
реорганизации машинной памяти. Это осуществляется очень про-
просто с помощью искусственного приема, предложенного Пейном
и Айронсом [7].
При использовании такого приема вместо исключения урав-
уравнения равновесия, в котором некоторое перемещение считается
заданным (а соответствующая компонента внешней силы остает-
остается неизвестной), и последующей подстановки этого перемещения
в остальные уравнения диагональный элемент матрицы [К\ в
рассматриваемой точке умножается на очень большое число.
Одновременно член, стоящий в правой части уравнения, заме-
заменяется тем же самым числом, умноженным на заданное значе-
значение перемещения. В результате уравнение заменяется другим,
но величина перемещения в рассматриваемом случае равна оп-
определенному значению. При этом общее число уравнений в
20
Глава 1
системе остается неизменным. Подробно этот вопрос обсуждает-
обсуждается в гл. 20.
После определения неизвестных перемещений легко вычис-
вычислить напряжения и внутренние силы, применяя соотношение
A.4) поочередно к каждому элементу.
1.4. Преобразование координат
Часто бывает удобно определять характеристики отдельного
элемента в системе координат, отличной от той, в которой за-
задаются внешние силы и перемещения конструкции в целом.
Чтобы облегчить вычисления, для каждого элемента можно ис-
использовать свою систему координат. Компоненты сил и пере-
перемещений, входящие в соотношение A.3), нетрудно записать в
любой системе координат. Очевидно, что это необходимо сде-
сделать до составления ансамбля.
Систему локальных координат, в которой определены харак-
характеристики элемента, будем помечать штрихом, чтобы отличить
ее от системы координат, принятой для описания конструкции
в целом. Компоненты перемещений преобразуются с помощью
матрицы направляющих косинусов [Ц:
1 {6У = Ш {б}°. A.14)
Так как в любой системе координат соответствующие ком-
компоненты сил должны совершать одинаковую работу1), то
и, используя формулу A.14), получаем
или
}a = [L}T{F')a.
A.15)
Преобразования, определяемые соотношениями A.14) и
A.15), называются контрградиентными.
Чтобы преобразовать жесткости, определенные в локальной
системе координат, к глобальным координатам, отметим, что
{F'}a = [k']a{b'}a A.16)
и в силу A.14) и A.15)
т. е.
A.17)
') ( )т означает транспонирование матрицы ( }.
Метод местностей расчета конструкций
21
Читатель может убедиться в полезности вышеуказанных
преобразований, применив их для рассмотренного шарнирно
опертого стержня. В более сложных задачах для некоторых ти-
типов внешних связей, описываемых соотношениями вида A.14),(
числа' степеней свободы {6} и {б'} могут быть различными. Од-
Однако и в этих случаях соотношения A.15) и A.16) остаются
справедливыми.
1.5. Электрические и гидравлические сети
Аналогичные принципы получения характеристик элемента и
ансамбля могут быть использованы во многих различных обла-
областях, не связанных с расчетом конструкций. Для примера рас-
Фиг. 1.3. Цепь электрических сопротивлений.
смотрим цепь электрических сопротивлений, изображенную иа
фиг. 1.3.
Если типичный элемент — сопротивление ij — рассмотреть
изолированно от системы, то с помощью закона Ома можно за-
записать соотношение между входящими токами и напряжениями
на его концах:
/ (VV)
Il=-j*{Vi-Vt),
или в матричном виде
22 .
Глава 1
что в принятой нами стандартной форме выглядит как
{/}' = [*№• A.18)
Ясно, что в такой форме это соотношение соответствует A.3).
Действительно, если бы к элементу извне подводился ток, то
можно было бы найти величины «усилий» в элементе.
Для составления ансамбля следует сделать предположение
о непрерывности потенциала в узловых точках и учесть баланс
токов. Если теперь Pt обозначает внешний входящий ток в точ-
точке i, то придем к уравнению, аналогичному A.11):
^="? EtfrnV». A.19)
Второе суммирование проводится здесь по всем элементам. Для
всей совокупности узлов имеем
{P} = [K]{V}, A.20)
где
Здесь скобки опущены, так как такие величины, как напряже-
напряжение и ток, а следовательно, и коэффициенты матрицы «жест-
«жесткости» являются скалярными величинами.
Если вместо сопротивлений рассмотреть ламинарное течение
жидкости в трубах, то опять можно получить то же уравнение,
но V будет представлять собой гидравлический напор, а /—
расход жидкости.
. Для встречающихся на практике систем трубопроводов лн-
нейные законы, вообще говоря, несправедливы. Как правило,
соотношение между напором и расходом имеет вид
h=c(Vi-V,)\ A.21)
где показатель v изменяется в пределах между- 0,5 и 0,7. Но и
в этом случае основные соотношения можно записать в форме
A.18) с той лишь разницей, что матрицы ke представляют собой
уже не массивы констант, а известные функции от {Щ. Этн
уравнения можно объединить для всего ансамбля, но они уже
будут нелинейными. В общем случае их можно решить одним
из итерационных методов.
Наконец, упомянем о более общей форме электрической цепн
переменного тока. Зависимости между током и напряжением
для таких цепей обычно записываются в комплексной форме,
причем сопротивление заменяется комплексным сопротивлением.
Таким образом, опять будут получены соотношения в стандарт-
стандартной форме A.18) — A-20), причем каждая величина будет иметь
прйствительную и мнимую части.
Метод жесткостей расчета конструкций
23
При решении такого рода задач можно использовать обыч-
обычные методы, рассматривая каждое соотношение отдельно для
действительных и мнимых частей. Кроме того, современные
цифровые вычислительные машины позволяют использовать
стандартные приемы программирования операций с комплекс-
комплексными числами. В одной из последующих глав, посвященной во-
вопросам колебаний, мы коснемся некоторых задач этого класса.
1.6. Общая схема исследования
Для того чтобы читатель мог лучше разобраться в изложен-
изложенном материале, рассмотргм следующий пример. На фиг. 1.4, а
'енюа
Фиг. 1.4. Пример.
изображено пять взаимосвязанных элементов. Это могут быть
элементы конструкции, электрической цепи или элементы любо-
любого другого линейного типа. Решение задачи состоит из несколь-
нескольких этапов.
24
Глава 1
Метод жесткостей расчета конструкций
25
Первый этап заключается в определении свойств элемента
на основании исходных данных о его геометрии, материале н
нагрузке. Для каждого элемента матрица жесткости и соответ-
соответствующие узловые силы находятся в виде A.3). Каждый эле-
элемент имеет свой собственный номер и узловые точки.
Например, элемент 1 связан с другими в узлах 1, 3, 4, эле-
элемент 2 —в узлах 1, 4, 2, элемент 3 — в узлах 2, 5, элемент 4—¦
в узлах 3, 4, б, 7, элемент 5 — в узлах 4, 7, 8, 5. Определяя ха-
характеристики элемента в глобальных координатах, мы можем
ввести каждую компоненту жесткости или силы на соответ-
соответствующее место в глобальной матрице, как это показано на
фнг. 1,4,6. Каждый зачерненный квадрат соответствует одному
коэффициенту или подматрице типа [ktj] (если рассматри-
рассматривается более одной компоненты силы). Здесь же показан вклад
каждого элемента, и читатель может проверить правильность
расположения коэффициентов. Заметим, что использование раз-
различных типов элементов не создает дополнительных трудностей.
(Для простоты все силы, включая узловые, отнесены к соответ-
соответствующим элементам.)
Второй этап — это составление полной системы уравнений
типа A.12). Она получается непосредственно путем использо-
использования соотношений A.13) н простого суммирования всех состав-
составляющих по элементам в глобальной матрице. Результат показан
на фиг. 1.4, в, где места расположения ненулевых коэффициен-
коэффициентов зачернены.
В силу симметрии матрицы достаточно определить только
элементы, расположенные на главной диагонали и над ней.
Все ненулевые коэффициенты расположены внутри ленты,
ширина которой может быть определена априори для каждого
вида*узловых соединений. Таким образом, в оперативной памя-
памяти требуется хранить только те элементы, которые находятся в
верхней части ленты. Они показаны на фиг. 1.4, в.
Третий этап состоит во включении в полную матрицу систе-
системы заданных граничных условий. Способ включения рассмотрен
в разд. 1.3.
Заключительный этап — решение полученной системы урав-
уравнений. Для решения могут быть использованы различные мето-
методы, некоторые из которых обсуждаются в гл. 20. Хотя вопрос
решения уравнений и является чрезвычайно важным, он выхо-
выходит, вообще говоря, за рамки этой книги.
Далее вычисляются напряжения, токн и другие выходные
величины.
Любой расчет сетей осуществляется по намеченным этапам,
которые должны быть хорошо поняты читателем. Хотя, безус-
безусловно, эти этапы важны для понимания метода конечных эле-
элементов, они, однако, н§ составляют его сути. Эти этапы хорошо.
известны н обычно используются в строительной механике.
Остальная часть книги посвящена методу приближенного пред-
представления сплошной среды эквивалентной системой конечных
элементов. Если такое представление возможно, то описанная
схема позволит осуществить расчет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Timoshenko S. P., Young D. H., Theory of Structures, 2nd ed., McGraw-Hill,
2. Livesley R. K.., Matrix Methods in Structural Analysis, Pergamon Press,
1964
3. Prze'mieniecki J. . S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill,
4. Martin H. C, Introduction to Matrix Methods pf Structural Analysis,
5 Jenkins^w! M., Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analy-
Analysis, McGraw-Hill, 1969.
6. Turner M. J, Clough R. W., Martin H. С Topp L. X, Stiffness and Deflec-
Deflection Analysis of Complex Structures, /. Aero. Scu, 23, 805—823 A956),
7. Payne N. A., Irons В., частное сообщение, 1963.
ГЛАВА 2
КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УПР-УГОЙ СРЕДЫ,
МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Конечные элементы упругой среды
27
2.1. Введение
Часто для различных инженерных целей требуется знание
распределения напряжений н деформаций в упругой сплошной
среде. Тогда предметом исследования являются двумерные за-
задачи о плоском напряженном н плоском деформированном со-
состояниях, задачи об осесимметричных телах, об изгибе пластин
и оболочек н наконец, исследование трехмерных твердых тел.
Во всех случаях число связей между любым конечным элемен-
элементом, ограниченным воображаемыми поверхностями, н соседними
элементами бесконечно. Поэтому с первого взгляда трудно по-
понять, каким образом такие задачи можно днскретизировать,
как это было сделано в предыдущей главе для простейших кон-
конструкций. Эта трудность преодолевается следующим образом.
1. Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или
поверхностями на некоторое количество конечных элементов.
2. Предполагается, что элементы связаны между собой в
узловых точках, расположенных на их границах. Так же, как
в обычных задачах строительной механики, основными неизвест-
неизвестными будут перемещения этих узловых точек.
3. Выбирается система функция, однозначно определяющая
перемещения внутри каждого конечного элемента через переме-
перемещения узловых точек.
4. Функции перемещений однозначно определяют деформа-
деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти дефор-
деформации прн известных начальных деформациях и упругих свой-
свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри
элемента, так н на его границах.
5. Определяется система сил, сосредоточенных в узлах и
уравновешивающих напряжения на границе и некоторые рас-
распределенные нагрузки, а затем записывается соотношение для
жесткостей в форме A.3).
Далее могут быть использованы обычные методы решения
задач строительной механики, описанные ранее. Очевидно, что
такой подход является приближенным. Во-первых, не всегда
легко добиться, чтобы выбранные функции перемещений удовле-
удовлетворяли требованиям непрерывности перемещений между смеж-
смежными элементами. В результате на границах элементов могут
нарушаться условия совместности (хотя в пределах каждого
элемента эти условия, очевидно, удовлетворяются при однознач-
однозначности функций перемещений). Во-вторых, сосредоточивая экви-
эквивалентные усилия в узлах, мы только в среднем удовлетворяем
уравнениям равновесия. Обычно возникает локальное наруше-
нарушение уравнений равновесия внутри элементов и на их границах.
Выбор формы элемента н функций перемещений для кон-
конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства ин-
инженера, н совершенно ясно, что именно этим определяется точ-
точность приближенного решения.
Изложенный здесь подход известен как метод перемещений
[1, 2]. До снх лор обоснование метода было нестрогим, хотя,
в сущности, этот метод эквивалентен мнннмизацни полной по-
потенциальной энергии системы, выраженной через поле переме-
перемещений. При подходящем выборе поля перемещений- решение
должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хорошо
известному методу Ритца, что будет показано в одном из после-
последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необ-
необходимые критерии сходимости.
Эквивалентность метода конечных элементов процессу ми-
минимизации была замечена недавно [2, 3]. Однако еще Курант
в 1943 г. [4] н Прагер н Синг в 1947 г. [5] предложили, по суще-
существу, идентичный метод. Более широкое обоснование метода
позволит распространить его почти на все задачи, для которых
возможна вариационная постановка. В этой книге будут рас-
рассмотрены некоторые такие задачи, не имеющие отношения к
строительной механике.
2.2. Описание свойств конечного элемента
Правила получения характеристик конечного элемента
сплошной среды, описанные ранее схематично, теперь будут
изложены в более подробной математической форме.
Желательно получить результаты в общем виде, справедли-
справедливом для любого случая. Однако чтобы облегчить понимание об-
общих соотношений, они будут проиллюстрированы на очень про-
простом примере плоского напряженного состояния тонкой пла-
пластины1). В этом примере использованы элементы треугольной
формы, показанные на фиг. 2.1. Соотношения общего характера
напечатаны полужирным шрифтом, а выражения, соответствую-
соответствующие частному примеру, — нормальным. Как и ранее, исполь-
используется матричная форма записи/
') В действительности будет рассмотрено обобщенное плоское напряжен-
напряженное состояние. — Прим. ред.
28
Глава 2
Конечные элементы упругой среды
29
2.2.1. Функция перемещений
Типичный конечный элемент е определяется узловыми точ-
точками i, j, m и т. д. и прямолинейными границами. Пусть пере-
Фиг. 2.1. Плоская область, разбитая на конечные элементы.
мещения любой точки внутри элемента задаются вектор-столб-
вектор-столбцом
B.1)
где компоненты [N] являются в общем случае функциями поло-
положения, а {б}е представляют собой перемещения узловых точек
рассматриваемого элемента.
В случае плоского напряженного состояния вектор-столбец
v(x,y)
содержит горизонтальное и вертикальное перемещения тицич-
Ной точки внутри элемента, а столбец
«={:;}
содержит соответствующие перемещения узла ?.
Функции Nt, Nj, Nm должны быть выбраны таким образом,
чтобы при подстановке в B.1) координат, узлов получались со-
соответствующие узловые перемещения. Очевидно, что в общем
случае
Ni(xt, уд=1 (единичная матрица),
тогда как
Nt(xh yi) = Nt(xm, ут) = 0 и т. д.,
что, в частности, достигается соответствующим выбором линей-
линейных относительно х и у функций. Более подробно вопрос о вы-
выборе функций [N] будет рассмотрен в одной из последующих
глав.
Функции [N] называются функциями формы. Онн, как будет
видно из дальнейшего, играют важную роль в методе конечных
элементов.
2.2.2. Деформации
Если известны перемещения во всех точках элемента, то в
них можно также определить и деформации1). Они находятся
с помощью соотношения, которое в матричной форме может
быть записано в виде
{е} = [В]{6}', B.2)
В случае плоского напряженного состояния представляют инте-
интерес деформации в плоскости, которые определяются через пере-
перемещения с помощью хорошо известных соотношений [б]2)
I ди_
дх
ди
ди
ду
Ё1
дх
') Здесь под деформациями понимаются любые внутренние дисторсии, та-
такие, например, как кривизна в плоской задаче.
2) Для того чтобы строки первого столбца образовывалн ортогональный
тензор, необходимо третью строку второго столбца умножить иа '/г- — Прим.
ред.
30
Глава 2
Конечные элементы упругой среды
31
Матрица [В] легко может быть получена нз соотношения B.1),
если известны функции формы Nt, Nj н Nm. В том случае, когда
эти функции линейные, деформации постоянны по всему эле-
элементу.
2.2.3. Напряжения
В общем, случае материал, находящийся внутри элемента,
может иметь начальные деформации, обусловленные темпера-
температурными воздействиями, усадкой, кристаллизацией и т. п. Если
обозначить эти деформации через {е<>}, то напряжения будут
определяться разностью между существующими и начальными
деформациями.
Кроме того, удобно предположить, что в рассматриваемый
момент времени в теле существуют некоторые остаточные на-
напряжения {ао}, которые, например, можно замерить, но нельзя
предсказать без знания полной истории нагружения материала.
Эти напряжения можно просто добавить к общему выражению.
Таким образом, в предположении упругого поведения'соотноше-
ния между напряжениями и деформациями будут линейными:
{о}-[D] ({е}-{«,}) +К}, B.3)
где [D] — матрица упругости, содержащая характеристики ма-
материала.
Для частного случая плоского напряженного состояния не-
необходимо рассмотреть три компоненты напряжений, соответ-
соответствующие введенным деформациям. В принятых обозначениях
они записываются в виде
Матрица [D] легко получается из обычных соотношений между
напряжениями и деформациями для изотропного материала [6]:
2A +v)
Отсюда
1 V
V 1
О О
2.2.4. Эквивалентные узловые силы
Пусть столбец
определяет узловые силы, которые статически эквивалентны
граничным напряжениям и действующим на элемент распреде-
распределенным нагрузкам. Каждая из сил {FJ должна иметь столько
же компонент, сколько и соответствующее узловое перемеще-
перемещение {6*}, и действовать в соответствующем направлении.
Распределенные нагрузки {р} определяются как нагрузки,
приходящиеся на единицу объема материала элемента и дей-
действующие в ваправлениях, соответствующих направлениям пе-
перемещений {f} в этой точке.
В частном случае плоского напряженного состояния узловые
силы записываются в виде
[Fib-
где U и V—компоненты, соответствующие перемещениям и
и v. Распределенная нагрузка имеет вид
где X и Y—компоненты «объемных сил».
Простейший способ сделать узловые силы статически экви-
эквивалентными действующим граничным напряжениям и распре-
распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (вирту-
(виртуального) узлового перемещения и приравнивании внешней и
внутренней работ, совершаемых различными силами и напря-
напряжениями на этом перемещении.
Пусть d {6}"—виртуальное перемещение в узле. С помощью
соотношений B.1) и B.2) получим соответственно перемещения
и деформации элемента в виде
}« и d{e}-[B]d{6>'.
B.4)
Работа, совершаемая узловыми силами, равна сумме произ-
произведений компонент каждой силы на соответствующие переме-
перемещения, т. е. в матричном виде
(d {Ь}У • {F}e. B.5)
32
Глава 2
Аналогично внутренняя работа напряжений и распределенных
сил, приходящаяся на единицу объема, равна
d {«}'{*}-d{f}r{p} B.6)
или')
(d{6}Y([Bf{cr}-[N]4p}). B.7)
Приравнивая работу внешних сил суммарной внутренней
работе, получаемой интегрированием по объему элемента,
имеем
(d {6}У {F}e = (d ЩГ (J [Bf{a}dV - J [Nf {p}dV). B.8)
Так как это соотношение справедливо для любого виртуаль-
виртуального перемещения, коэффициенты в правой и левой частях
• должны быть равны. После подстановки B.2) и B.3) полу-
получаем
Конечные элементы упругой среды
33
[k]e=J[BF[D][B]dV.
. B.9)
Эта зависимость является одной из основных характеристик
любого элемента. В гл. 1 она приводилась в форме соотноше-
соотношения A.3). Матрица жесткости принимает вид
B.Ю)
Узловые силы, обусловленные распределенными нагрузками,
имеют вид
{F}? = -$[N]4p}dV, B.11)
а силы, обусловленные начальной деформацией, выражаются
как
{F}:s = -$[BnD]{8o}dV. B.12)
Узловые силы, соответствующие начальным напряжениям, запи-
записываются в виде
{F};=$[BfMdV. B.13)
Если система начальных напряжений самоуравновешена, то
после составления ансамбля силы, определяемые соотношением
') Заметим, что в соответствии с правилами матричной алгебры транс-
транспонирование произведения матриц осуществляется по формуле (И][В])т=э
B.13), тождественно равны нулю. Поэтому обычно оценка ком-
компонент этих сил не проводится. Однако если, например, часть
изучаемой конструкции выполнена из .монолита, в котором су-
существуют остаточные напряжения, или если исследуются выра-
выработки горной породы, в которой заданы тектонические напря-
напряжения, то необходимо учитывать, что удаление материала мо-
может вызвать нарушение силового баланса.
При использовании треугольного элемента в задачах о пло-
плоском напряженном состоянии основные характеристики полу-
получаются после соответствующей подстановки. Как уже было от-
отмечено, в этом случае матрица [В] не зависит от координат и
интегрирование выполняется тривиально.
Составление ансамбля и дальнейшее решение производятся
с помощью простой процедуры, описанной в гл. 1. В общем слу-
случае в узлах могут быть приложены сосредоточенные внешние
силы. Тогда для сохранения равновесия в узлах следует допол-
дополнительно ввести матрицу сил
'"'I
B.14)
Сделаем еще замечание по поводу элементов, соприкасаю-
соприкасающихся с границей. Если на границе заданы перемещения, то
никаких затруднений не возникает. Рассмотрим, однако, случаи,
когда на границе задана распределенная внешняя нагрузка,
скажем, нагрузка {g} на единицу площади. Тогда в узлах гра-
граничного элемента следует приложить дополнительную нагрузку.
Это просто сделать, используя принцип виртуальной работы:
B.15)
где интегрирование проводится по границе элемента. Заметим,
что для того, чтобы записанное выше выражение было справед-
справедливо, {g} должно иметь такое же число компонент, как и {f}.
На фиг. 2.1 показан граничный элемент для случая плоского
напряженного состояния. Интегрирование в B.15) редко удает-
удается выполнить точно. Часто из физических соображений поверх-
поверхностная нагрузка просто заменяется приложенными в- гранич-
граничных узлах сосредоточенными силами, которые определяются из
условий статического равновесия. Для рассматриваемого част-
частного случая результаты будут эквивалентны.
После, того как из решения общей системы уравнений (типа
встречающихся в строительной механике) определены узловые
2 Зак. 613
34
Глава
Конечные элементы упругой среды
35
перемещения, из соотношений B.2) и B.3) могут быть найдены
напряжения в любой точке элемента
{0} = [D] [В] {Ь}е - [D] Ы + {0О}. B.16)
В этом выражении нетрудно узнать типичные члены соотноше-
соотношения A.4), причем матрица напряжений элемента имеет вид
[S]e=[D][B]. B.17)
К этой матрице должны быть добавлены напряжения
W = -[D]WM4 BЛ8)
Отсутствие составляющей напряжения, вызванного распре-
распределенной нагрузкой {0}р, объясняется тем, что рассматриваются
только условия общего равновесия, а не равновесия внутри ка-
каждого элемента.
2.2.5. Обобщенный характер перемещений, деформаций и напря-
напряжений
Физический смысл перемещений, деформаций и напряжений
в рассмотренном случае плоского напряженного состояния был
очевиден. Во многих других приложениях, приведенных ниже,
эта же терминология может быть применена к другим физи-
физически менее наглядным величинам. Например, в рассматривае-
рассматриваемом плоском элементе термин «перемещение» может обозначать
прогиб и наклон в данной точке. Тогда «деформациями» будут
кривизны срединной поверхности, а «напряжениями» — внутрен*
ние изгибающие моменты.
Все полученные здесь выражения справедливы и в общем
случае при условии, что сумма произведений перемещений на
соответствующие компоненты нагрузок определяет внешнюю ра-
работу, тогда как сумма произведений деформации на соответ-
' ствующие компоненты напряжений — внутреннюю работу.
2.3. Обобщение иа всю область.
Отказ от понятия внутренних узловых сил
В предыдущем разделе принцип виртуальной работы был
Применен к отдельному элементу и введено понятие эквивалент-
эквивалентной узловой силы. Для ансамбля в целом, очевидно, можно ис-
использовать подход, основанный непосредственно на представле-
представлении о равновесии.
Идею описания взаимодействия элементов с помощью узло-
узловых сил математически трудно обосновать, хотя она очень при-
привлекательна с точки зрения инженеров и допускает наглядную
интерпретацию. Тем не менее нет необходимости рассматривать
каждый элемент в отдельности; рассуждения предыдущего раз?
дела можно непосредственно применить ко всему сплошному
телу.
Можно считать, что соотношение B.1) относится ко всей кон-
конструкции, т. е. что _
{f} = [N]{6}, B.19)
где столбец {6} содержит все узловые точки, а
N,=N?> B.20)
если рассматриваемая точка принадлежит элементу е, т. е. точ-
точка i сопряжена с этим элементом. Если точка (' не принадлежит
рассматриваемому элементу, то
N, = 0. B.21)
Аналогично определяется матрица [В]. Затем принцип вир-
виртуальной работы может быть применен ко всей конструкции.
Теперь нет необходимости рассматривать силы взаимодей-
взаимодействия между элементами, и внешняя работа на виртуальных
перемещениях d {6} всех узлов становится равной
d {*}г W - J d {i}T {p} dV - J d {i}T {g) dS , B.22)
v s
а внутренняя виртуальная работа принимает вид
Jd{8}^{0}dV, B.23)
v
где интеграл берется по всей области. После учетаУ
} = [N]d{6}, d{e} = [B]d{6},
B.24)
а также выражения B.3) и приравнивания внутренней и внеш-
внешней работ, получаем
[К] {6} + (F}p + {F}, + {F}eo + {F}Od - {R} = 0. B.25)
Произвольный элемент матрицы жесткости имеет вид
[Ki,] — J [Bf] [D] [B,J dV, B.26)
B.27)
где интеграл берется по всей области.
Учитывая соотношение между [В]; и [В],-, имеем
86
Глава 2
где оценивается вклад каждого элемента, как это описано в
предыдущем разделе.
Легко показать справедливость аналогичных выражений для
различных компонент сил, входящих в уравнение B.25).
Таким образом, при составлении ансамбля, как и ранее, мы
не пользовались понятием межэлементных сил. В дальнейшем
в этой главе индекс элемента е будем опускать, за исключением
некоторых частных случаев. Кроме того, мы не будем делать
различия между функциями формы для элемента и всей си-
системы.
Необходимо обратить внимание на один важный момент.
Рассматривая виртуальную работу системы в целом [выраже-
[выражение B.23)] и приравнивая ее сумме работ каждого из элемен-
элементов, мы тем самым предполагаем, что между элементами нет
разрывов. Если такие разрывы возникают, то следует добавить
работу напряжений в местах разрывов.
Таким образом, поле перемещений, определяемое функ-
функциями формы, должно быть таким, чтобы иа поверхностях раз-
разрыва деформации были ограниченными. Следовательно, для
того чтобы общие уравнения были справедливы, перемещения
должны быть непрерывными функциями. Об этом необходимом
условии будет сказано ниже.
2.4. Метод перемещений как минимизация полной
потенциальной энергии
Принцип виртуальных перемещений, использованный в пре-
предыдущих разделах, обеспечивает выполнение условий равнове-
равновесия в определенных пределах, зависящих от выбранной формы
перемещений. Равновесие будет полным только тогда, когда
виртуальные работы равны при произвольных вариациях пере-
перемещений (удовлетворяющих только граничным условиям) ').
Если количество параметров {6}, описывающих перемеще-'
ние, неограниченно возрастает, то условия равновесия могут
быть удовлетворены.
Принцип виртуальной работы может быть сформулирован
в различной форме. Приравнивая выражения B.22) и B.23),
можно записать
\ й {е}т {a} dV - [d {t>yR + J d {f}T {p} dV +
O. B.28)
ред.
Такие перемещения называются кинематически допустимыми. — Прим.
Конечные элементы упругой среды
37
Первый член в-этом уравнении соответствует вариации энер-
энергии деформации U конструкции, а второй — вариации потен-
потенциальной энергии W внешней нагрузки1). Тогда вместо урав-
уравнения B.28) имеем
0, B.29)
где величина % называется полной потенциальной энергией. Это
означает, что для обеспечения равновесия полная потенциаль-
потенциальная энергия должна принимать стационарное значение. Систе-
Система уравнений метода конечных элементов B.25), полученная
выше, является, по существу, отражением того, что варьирова-
варьирование перемещений осуществляется по конечному числу парамет-
параметров {б}. Эта система может быть записана в виде
it
as,
B.30)
Можно показать, что для упругого материала полная потен-
потенциальная энергия ие только стационарна, но и минимальна [7].
Таким образом, при использовании метода конечных элементов
отыскивается минимум полной потенциальной энергии среди
возможных перемещений заданной формы.
Чем больше степеней свободы имеет система, тем точнее
будет приближенное решение, которое в пределе стремится к
точному, соответствующему истинному равновесию. Таким обра-
образом, теперь можно сформулировать необходимые условия схо-
сходимости метода конечных элементов. Обсуждение этих условий
перенесем, однако, в следующий раздел.
Интересно отметить, что если истинное равновесие требует
абсолютного минимума полной потенциальной энергии/,то при-
приближенное решение, полученное методом конечных элементов,
будет давать всегда завышенное значение %. Таким образом,
предельное значение полной потенциальной энергии всегда мо-
может быть оценено.
Если бы функция х была известна априори, то уравнения
метода конечных элементов можно было бы получить непосред-
непосредственным дифференцированием в соответствии с B.30).
Подставляя в B.28) определяющее уравнение теории упру-
упругости B.3) и полагая, что нагрузки не зависят от перемещений,
') Если внешняя нагрузка обладает потенциалом, эти выражения могут
рассматриваться как полные дифференциалы.
за
Глава 2
после интегрирований получаем
[D] {e0} dV
{cr0} dV] - [{6}т {R} + J
= x.
B.31)
В этом соотношении выражение в первых квадратных скобках
соответствует величине 0, а во вторых — W. На практике выра-
выражение для полной потенциальной энергии обычно записывается
сразу, что часто более удобно для метода конечных элементов.
Читатель может убедиться в этом, если в качестве упражнения
получит точные соотношения метода конечных элементов пре-
предыдущего раздела, исходя из уравнения B.31) и дифференци-
дифференцируя по перемещениям, определяемым в соответствии с B.19).
В хорошо известном приближенном методе Релея—Ритца
[8, 9], часто применяемом для решения задач теории упругости,
используется именно этот подход. Записывается выражение пол-
полной энергии и полагается, что форма перемещений зависит от
конечного числа неизвестных параметров. Далее выводится си-
система уравнений из условия минимума полной потенциальной
энергии по этим параметрам. Таким образом, метод конечных
элементов в изложенной постановке эквивалентен методу Ре-
Релея — Ритца. Разница состоит только в способе задания пере-
перемещений. В методе Ритца они обычно задаются функциями,
определенными на всей области и приводящими, следовательно,
к системе уравнений, которая имеет заполненную, а не ленточ-
ленточную матрицу коэффициентов. В методе конечных элементов
перемещения задаются поэлементно. Каждый узловой параметр
связан только с примыкающими к этому узлу элементами, и в
результате получается малозаполненная, обычно ленточная ма-
матрица коэффициентов.
Применения обычного метода Ритца ограничиваются относи-
относительно простыми геометрическими формами области, тогда как
в методе конечных элементов простую форму должны иметь
только элементы.
Еще одно различие состоит в том, что в методе конечных
элементов неизвестными обычно являются узловые перемеще-
перемещения. Это допускает простую физическую интерпретацию. Своей
популярностью метод конечных элементов в значительной сте-
степени, несомненно, обязан именно этому факту.
2.5. Критерии сходимости
Действительный минимум энергии никогда не может быть
достигнут ни при каком числе разбиений, так как задание
функций формы ограничивает число степеней свободы снстемы.
Конечные элементы упругой среды
39
Чтобы гарантировать сходимость процесса к точному решению,
необходимо удовлетворить некоторым простым требованиям.
Например, очевидно, что функция перемещений должна как
можно точнее описывать истинные перемещения. Нельзя выби-
выбирать функции, которые допускают деформацию элемента при
перемещении его только как жесткого тела. Таким образом,
первый критерий, которому должна удовлетворять функция пе-
перемещений, формулируется следующим образом:
Критерий 1. Функция перемещений должна быть выбрана
таким образом, чтобы не возникала деформация элемента при
узловых перемещениях, вызванных его смещением как жесткого
тела.
Это очевидное условие может быть легко нарушено при
использовании некоторых типов функций. Поэтому при выборе
функций перемещений следует соблюдать осторожность.
Второй критерий основывается на аналогичных требованиях.
Ясно, что при уменьшении размеров элементов деформация в
них будет стремиться к постоянной. Если в теле возникает од-
однородная деформация, то желательно, чтобы она была такой
и при достаточно больших размерах элементов. Можно подо-
подобрать функции, которые удовлетворяют первому критерию, но
дают переменные по элементу деформации при узловых пере-
перемещениях, соответствующих условию постоянной деформации.
Такие функции в общем случае не дадут хорошей сходимости
и не смогут даже в пределе описать истинное распределение
напряжений. Итак, второй критерий может быть сформулиро-
сформулирован следующим образом1.
Критерий 2. Функция перемещений должна быть такой, что-
чтобы в случае, когда узловые перемещения соответствуют усло-
условию постоянной деформации, это состояние действительно реа-
лизовывалось в элементе (здесь опять подразумевается обоб-
обобщенная деформация).
Следует отметить, что критерий 2 согласуется с требованием
критерия 1, так как перемещение элемента как жесткого тела
есть частный случай постоянной (нулевой) деформации. Этот
критерий впервые был предложен Базелем и др. [10] в 1965 г.
Наконец, как уже было упомянуто в разд. 2.3, неявно под-
подразумевается, что границы раздела между элементами не дают
никакого вклада в виртуальную работу. Как следствие появ-
появляется необходимость ввести следующий критерий:
Критерий 3. Функции перемещений должны быть выбраны
так, чтобы деформации на границах между элементами были
конечными (даже если они там не определены).
Этот критерий озиачает непрерывность перемещений на гра-
границе между элементами. В случае когда деформации опреде-
определяются через первые производные, как в приведенной здесь
. 40
Глава 2
в качестве примера плоской задаче, непрерывными должны
быть только перемещения. Если же, однако, деформации опре-
определяются вторыми производными, как в задачах о. пластинах и
оболочках, то должны быть непрерывными также и первые
производные от перемещений [2].
Последний критерий математически означает требование
«полноты функций», с которым читатель может более глубоко
познакомиться, например, по'работам [11—15]. Эвристическое
доказательство условий сходимости, данное здесь, вполне до-
достаточно для практических целей, за исключением самых не-
необычных случаев.
2.6. Функции перемещений с разрывами между элементами
В некоторых случаях возникают существенные трудности
при выборе функций перемещений элемента, которые были бы
непрерывными по всей его границе со смежными элементами.
Как уже указывалось, разрывность перемещений приведет
к бесконечным деформациям на границах между элементами.
Этот факт ие учитывался ранее, поскольку предполагалось, что
вклад в энергию вносят только сами элементы.
Однако если в пределе при уменьшении размеров элемен-
элементов непрерывность восстанавливается, то мы все же придем
к правильному результату. Это условие практически выпол-
выполняется, если:
а) условие постоянной деформации автоматически гаран-
гарантирует непрерывность перемещений;
б) выполняется критерий предыдущего раздела о постоян-
постоянной деформации.
В некоторых задачах, рассмотренных в этой книге, с успе-
успехом будут использоваться разрывные функции перемещений
такого типа. Однако при этом нельзя уже оценить значения
функционала энергии.
2.7. Предельное значение энергии деформации
при использовании метода перемещений
Хотя приближенное решение, полученное методом переме-
перемещений, всегда дает завышенное значение полной потенциальной
энергии х (абсолютный минимум которой соответствует точ-
точному решению), знания этого иногда бывает недостаточно для
практики. В некоторых случаях, однако, можно получить более
удобную оценку.
Рассмотрим, в частности, задачу, в которой отсутствуют на-
начальные деформации или начальные напряжения. В соответ-
Конечные элементы упругой среды
41
ствии с принципом сохранения энергии энергия деформации
должна быть равна работе внешних сил, равномерно возра-
возрастающих от нуля [16]. Эта работа равна — lkW, где W — потен-
потенциальная энергия нагрузок.
Таким образом,
?/-fi-№ = 0 B.32)
или
B.33)
на истинном или приближенном поле перемещений.
Следовательно, в данном случае приближенное решение
всегда занижает значение U и полученное перемещение часто
рассматривается как нижняя граница решения.
В случае когда задана только внешняя сосредоточенная на-
нагрузка R, можно сделать вывод, что величина смещения при
действии этой нагрузки будет занижена (так как U = —xlzW =
= lhRS)- При сложном нагружении эта оценка не всегда при-
применима, поскольку для величин, представляющих практический
интерес, т. е. смещений и напряжений, не удается установить
определенных пределов.
Важно помнить, что оценка энергии деформации справед-
справедлива только при условии отсутствия начальных напряжений
или деформаций.
Выражение для U в этом случае может быть получено из
соотношения B.31) в виде
а с помощью формулы B.2) оно преобразуется в
где квадратная матрица [К] — ранее рассматривавшаяся мат-
матрица жесткости.
Приведенное выражение для энергии всегда положительно,
что следует из физического смысла этой величины. Поэтому
матрица [К], вводимая при применении метода конечных эле-
элементов, является не только симметричной, но и положительно
определенной (т. е. квадратичная форма, связанная с этой ма-
матрицей, всегда больше нуля или равна нулю).
Это свойство особенно важно при использовании числен-
численных методов решения систем уравнений, так как при этом воз-
возможны некоторые упрощения.
42
Глава 2
Конечные элементы упругой среды
43
2.8. Прямая минимизация
Тот фадт, что метод конечных элементов сводится к мини-
минимизации полной потенциальной энергии х> выраженной через
конечное число узловых параметров, позволяет получить си-
систему уравнений, символически записанную в виде B.30). Это
наиболее часто применяемый подход, особенно в линейных за-
задачах. Однако для оценки нижней границы значения х могут
быть использованы и другие, хорошо разработанные к настоя-
настоящему времени методы исследования в области оптимизации
процессов. В этой книге мы будем придерживаться первого
способа минимизации, хотя можно использовать и другие ме-
методы [17, 18].
15. De Arrantes Oliveira E. R., Theoretical Foundations 6f the Finite Element
Method, Int. I Solids Struct., 4, 929—952 A968).
16. De Vejibeke B. F., Displacement and Equilibrium Models in the Finite Ele-
Element Method, Ch. 9 in: Stress Analysis, Zienkiewicz O. C, Holister G. S.,
eds., Wiley, 1965.
17. Fox R. L., Stanton E. L., Developments in Structural Analysis by Direct
Energy Minimization, IAIAA, 6, 1036—1044 A968); есть русский перевод:
Фокс, Стэнтон, Достижения в области расчетов на прочность прямыми ме-
методами минимизации энергии. Ракетная техника и космонавтика, 6, № 6.
стр. 55-63 A968).
18. Bogner F. К., Mallett R. H., Minich M. D., Schrait L. A., Development and
Evaluation of Energy Search Methods in Non-Linear Structural Analysis.
Proc. Conf. Matrix Methods in Struct Mech., Air Force Inst. Techn., Wright
Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
ЛИТЕРАТУРА
1. Clough R. W., The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd A. S.
C. Е. Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh Pa., Sept. 1960.
2. Clough R. W., The Finite Element Method in Structural Mechanics, Ch. 7
in: Stress Analysis, Zienkiewicz 0. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
3. Szmelter J., The Energy Method of Networks of Arbitrary Shape in Prob-
Problems of the Theory of Elasticity, Proc. IUTAM, Symposium on Non-Homo-
Non-Homogeneity in Elasticity and Plasticity, Olszak W., ed., Pergamon Press, 1959.
4. Courant R., Variational Methods for the Solution of Problems of Equilib-
Equilibrium and Vibration, Bull. Am. Math. Soc, 49, 1—23 A943).
5. Prager W., Synge J. L., Approximation in Elasticity Based on the Concept
of Function Space, Quart. Appl. Math., 5, 241—269 A947).
6. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
1951.
7. Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity Pergamon
Press, 1968.
8. Strutt J. W. (Lord Rayleigh), On the Theory of Resonance, Trans. Roy.
Soc. (London), A1B1, 77—118 A870).
9. Rltz W., Obe'r eine Methode zur Losung gewissen Variations —Probleme
der mathematischen Physik, /. Reine und Angew. Math. 135 1—61
A909).
10. Bazeley G. P., Cheung Y .K,, Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Triangular
Elements in Bending — Conforming and Non-Conforming Solutions, Proc.
Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Pat-
Patterson A. F. Base Ohio, 1965.
П. Михлин С. Г., Проблема минимума квадратного функционала, ГИТТЛ
М.-Л., 1952.
12. Johnson W. M., McLay R. W., Convergence of the Finite Element Method in
the Theory of Elasticity, /. Appl. Mech. Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 274—
278 A968); есть русский перевод: Джонсои, Маклей, Сходимость метода
конечных элементов в теории упругости, Труды Американского общества
инженеров-механиков, Прикладная механика, 35, сер. Е № 2, стр 68—72
A968).
13. Key S. W., A Convergence Investigation of the Direct Stiffness Method Ph.
D. Thesis, Univ. of Washington, 1966.
14. Pian Т. Н. H., Tong P., The Convergence of Finite Element Method in Sol-
Solving Linear Elastic Problems, Int. J. Solids Struct., 3, 865—880
A967).
ГЛАВА 3
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
3.1. Вариационные задачи
К решению встречающихся в технике задач прикладной ме-
механики существуют два подхода [1]. При одном из них исполь-
используются дифференциальные уравнения, описывающие поведение
некоторой произвольной бесконечно малой области. Другой
подход состоит в том, что постулируется вариационный экстре-
экстремальный .принцип, справедливый для всей области. При этом
решение минимизирует некоторую величину х> которая опре-
определяется как некоторый интеграл от неизвестных величин по
всей области. Интегральную величину х, представляющую собой
функцию от неизвестных функций, называют функционалом.
С математической точки зрения оба эти подхода эквива-
эквивалентны, и решение, полученное при одном подходе, является
решением при другом подходе. Каждый из этих подходов мо-
может быть принят в качестве основного, хотя чаще используется
первый. От одного подхода можно перейти к другому с по-
помощью математических преобразований, что является предме-
предметом многочисленяых книг по вариационным методам [2—4].
Различие между этими подходами состоит в способах по-
получения приближенного решения. Конечно-разностные [5, 6] ме-
методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разност-
разностными; метод Ритпа и его вариант — метод конечных элемен-
элементов— связаны с приближенной минимизацией функционала.
В предыдущей главе было показано, что задача определения
поля перемещений в конструкции сводится к задаче минимиза-
минимизации полной потенциальной энергии, определенной в виде функ-
функционала от перемещений. Была установлена эквивалентность
метода конечных элементов методу приближенной минимизации
функционала энергии по узловым перемещениям. В настоящем
разделе этот вопрос будет рассмотрен в общем виде.
Пусть физическая (или чисто математическая) постановка
задачи требует минимизации функционала х в некоторой об-
области. Величина х определяется в виде интеграла по области V
и части границы 5, на которой неизвестны функция {ф} или
ее производные, т. е. она имеет вид
W )м + ]({Ф) {*>)ds-
Обобщение понятия конечных элементов
45
Пусть рассматриваемая область разделена на более мелкие
части, подобласти, которые будем далее называть элементами,
и пусть функции, которые мы хотим определить, 'для каждого
элемента записываются в виде
C.2)
Здесь {Ф}е может содержать узловые значения функции, соот-
соответствующие такому элементу, или некоторые характеризую-
характеризующие его параметры. Неизвестная функция взята в фигурные
скобки, чтобы показать, что она может быть вектором, как в
примере гл. 2, а [Щ— матрица, определяющая зависимость
функции формы от координат.
Для минимизации функционала х п<> всем параметрам {Ф}
полной области следует записать систему уравнений
дЩ
ЗФ2
= 0.
Если справедливо утверждение, что функционал
сумме вкладов отдельных элементов, т. е. что
то символическое уравнение принимает вид
C.3)
равен
C-4).
C.5)
где суммирование производится по всем элементам. Таким об-
образом, получено правило составления системы уравнений, ми-
минимизирующих функционал, для всего ансамбля.
В частном случае, когда х является квадратичным функ-
функционалом от {ф} и ее производных, производную для элемен-
элемента е можно записать в виде
dxe = [ky {фу + {F}', C.6)
где [k]e и {F}e — постоянные матрицы. Теперь систему уравне-
уравнений C.3), минимизирующую функционал, можно записать сле-
следующим образом:
= 0, C.7)
где
48
Глава 3
Обобщение понятия конечных элементов
47
Суммирование производитси по всем элементам, как и в зада-
задачах строительной механики и расчета сетей, рассмотренных
в гл. 1 и 2.
3.2. Критерии сходимости
Для того чтобы уменьшение размеров элементов приводило
к сходимости, функции, входящие в выражение C.1), должны
удовлетворять определенным требованиям полноты.
Во-первых, при уменьшении размеров элемента функции /
и g в интеграле C.1) должны оставаться однозначными и хо-
хорошо отражать физическую сущность задачи. Таким образом,
необходимо удовлетворить следующему критерию:
Критерий 1. Функции формы элемента [N] должны быть та-
таковы, чтобы при соответствующем выборе {Ф}в и стремлении
размеров элемента к нулю можно было получить любые по-
постоянные значения {ф} или ее производных, входящих в функ-
функционал х-
Во-вторых, должно оставаться справедливым суммирование
C.4) и, если не добавлены поверхностные интегралы по гра-
границе между элементами [7], мы должны быть уверены, что ве-
величины, подобные / и g, остаются на них ограниченными. Это
возможно, если производные наивысшего порядка от ф, входя-
входящие в выражения для функций / и g, конечны. Таким образом,
можно сформулировать второй критерий.
Критерий 2. Функции формы элемента [N] должны быть вы-
выбраны так, чтобы {ф} и ее производные, на порядок более низ-
низкие, чем производные, входящие в выражения для fag, были
непрерывны на границе между элементами.
Этот критерий несложно объяснить, если представить себе
что элементы разделяются между собой очень тонким слоем,
который должен быть учтен в определяющих величину х интег-
интегралах и в котором происходит плавный переход между значе-
значениями неизвестных функций в смежных элементах. Если в пре-
пределе при стремлении толщины этого переходного слоя к нулю
его вклад в х исчезает, то равенство C.4) справедливо.
На фиг. 3.1 показана такая воображаемая переходная зона
между двумя элементами. Представим себе, что скалярная
функция ф определена так, что на границе раздела между эле-
элементами ее значения, полученные для каждого из элементов,
равны. На фиг. 3.1, а приведен график функции, угол наклона
которой принимает в переходной зоне конечное значение, хотя
и претерпевает разрыв (фиг. 3.1,6). Вторая производная в этой
зоне имеет очень большое значение (фиг. 3.1, в) и стремится
к бесконечности при уменьшении ширины зоны.
Следовательно, если в выражение для х входит только пер-
первая производная, то, для того чтобы гарантировать отсутствие
вклада в х от переходной зоны, достаточно обеспечить непре-
непрерывность только функции ф. Однако если в функционал входит
вторая производная, то справедливость равенства C.4) не мо-
может быть гарантирована, поскольку (из-за умножения бесконеч-
бесконечной величины на нулевую площадь) величина вклада в энергию
этой зоны становится неопределенной.
Стремится к-°°
Фиг 3 1 Межэлементная зона, в которой вторая производная непрерывной
фукции 0 при Дх-*0 становится неограниченной.
Эти два критерия являются обобщением более частных кри-
критериев разд. 2.5.
Здесь под сходимостью мы понимаем следующее: при бес-
бесконечном уменьшении размеров элементов ошибки в определе-
определении величины х стремятся к нулю. Это иногда позволяет ска-
сказать что решение, полученное при одном разбиении, заведомо
лучше решения, полученного при другом. Очевидно, что в смы-
смысле определения величины у, [формула C.2)] это утверждение
справедливо, если функция формы первого типа разбиения
включает все функции формы второго типа разбиения. Именно
такой случай возникает, когда новое разбиение получается по-
последующим делением более крупных элементов. Сходимость
по 1 при этом будет монотонной. Это обстоятельство впервые
было установлено Мелошем в 1963 г. [8].
48
Глава 3
3.3. Переменные, не связанные с узлами'
Важно напомнить читателю, что при определении функции
формы [равенство C.2)] указывалось, что {Ф}е содержит либо
узловые значения неизвестных функций, либо некоторые пара-
параметры, характеризующие этот элемент.
Для обеспечения непрерывности функции между элементами
в соответствии с требованием критерия 2 (разд. 3.2) и описа-
описания физической сущности задачи обычно рассматриваются
значения величин в узловых точках. Однако всегда можно вве-
ввести дополнительные функции, принимающие нулевые значения
на границах элемента и не вызывающие нарушения непрерыв-
непрерывности, и умножить их на некоторые параметры, по которым
будет минимизироваться функционал. Введение таких пере-
переменных, не связанных с узлами, может увеличить точность и
иногда оказывается полезным [9].
Поскольку в общем случае эти параметры связаны только
с одним элементом, минимизация по ним может быть выпол-
выполнена перед составлением ансамбля, а сами параметры исклю-
исключаются из матриц элемента.
Частным случаем неузловой переменной является хорошо
известный множитель Лагранжа [3].
Он вводится в том случае, когда на функцию ф наложено
дополнительное условие, не вытекающее ни из краевых усло-
условий, ни из ограничений на функции формы. Пусть дополнитель-
дополнительное условие имеет вид
о(Ш)=о. (зло)
В этом случае для решения задачи требуется минимизиро-
минимизировать1) величину
Х' = Х+ЯО, C.11)
где К — типичный дополнительный параметр. Если наложено
несколько таких условий, то минимизируется величина
C.12)
Теперь дополнительными параметрами задачи являются вели-
величины %i, которые опять можно связать с элементами или гра-
границами между элементами. Примеры использования таких мно-
множителей Лагранжа будут приведены" ниже.
1) С доказательством этого положения можно ознакомиться в книгах по
вариационному исчислению. Очевидно, что д%'/д}, = О, и, следовательно, огра-
ограничение является условием минимизации. В точке экстремума %' = %, так как
G = 0 (физический смысл X становится ясным из соотношения % = d%*/dG).
Обобщение понятия конечных, элементов
49
Интересно рассмотреть случай, когда функционал C.1)
представляет собой квадратичную форму и для ряда линейных
ограничений на функцию Ф используются множители Лаг-
Лагранжа.
В общем случае можно выразить х через величины узловых
параметров в виде
х=4-{Ф}г[^]{Ф} + {ПЧФ}, C.13)
где [К\ — симметричная матрица.
Вместо C.10) линейные ограничения можно записать в мат-
матричной форме:
[О]{Ф}=0, C.14)
где [G] — постоянная матрица. Записывая множители Лагран-
Лагранжа в виде вектора {%} размерности, равной числу столбцов мат-
матрицы [G] (т. е. числу ограничений), имеем
Х = |{ФП/С]{Ф} + {^}Г{Ф} + ([О]{Ф})Ч>.}. C.15)
Составляя систему уравнений, аналогичную C.6), но уже для
двух множеств неизвестных, получаем
д[Ф]
[G] 0
{%)
Здесь нужно отметить два обстоятельства. Во-первых, си-
система уравнений остается симметричной — факт, облегчающий
применение обычных методов решения систем линейных алгеб-
алгебраических уравнений (гл. 20).- Во-вторых, на диагонали мат-
матрицы появляются нули, что иногда затрудняет получение ре-
решения.
В настоящей книге множители Лагранжа используются
редко, исключение составляют случаи, когда приходится вво-
вводить некоторые ограничения. Типичным примером этого может
служить ситуация, когда прн применении метода конечных эле-
элементов нарушаются условия непрерывности. В результате вве-
введения дополнительных условий в виде ограничений на пара-
параметры получается корректное решение. Однако в связи с тем,
что такие ограничения приводят к увеличению общего числа
неизвестных, появляются дополнительные трудности.
3.4. Другие подходы к методу конечных элементов
Несмотря на то что приближенная минимизация функцио-
функционала — самый распространенный способ подхода к методу ко-
конечных элементов, это никоим образом не означает, что такой
50
Глава 3
подход является единственно возможным. Например, в первых
работах по строительной механике строились чисто физические
модели, и, хотя приходилось делать некоторые математические
оговорки, касающиеся обоснования и сходимости использован-
использованных методов, зачастую получались неплохие инженерные ре-
решении.
Существуют и другие возможности, позволяющие математи-
математически получить основные соотношении метода конечных эле-
элементов непосредственно из дифференциальных уравнений
задачи. Они будут здесь кратко описаны. Возможные преиму-
преимущества таких методов состоят в том, что:
а) исчезает необходимость искать функциональный экви-
эквивалент известным дифференциальным уравнениям;
б) эти методы могут быть распространены на задачи, для
которых функционал либо вообще не существует, либо прка
еще не получен [10].
Рассмотрим задачу приближенного решения системы диф-
дифференциальных уравнении, которым должна удовлетворять не-
неизвестная функция {ф} в области V. Запишем основное урав-
уравнение в виде
C.17)
= 0,
а граничное условие на границе 5 как
<). C.18)
Если пробная функция, удовлетворяющая граничным усло-
условиям, записана в общей форме
где, как и прежде, [N] является функцией координат, а {Ф} —
система п параметров, то в общем случае
A({f)a) = R?=0. C.20)
Наилучшим решением будет то, которое дает во всех точках
области V наименьшую невязку R [1].
Очевидно, это решение можно получить, использовав то об-
обстоятельство, что если невязка R тождественно равна нулю
всюду в области, то
\lWRdV=0, C.21)
v
где W — любая функция координат. Если число неизвестных
параметров {Ф} равно п, то, выбрав п линейно независимых
функций Wj, запишем соответствующую систему уравнений
^' Q, C.22)
Обобщение понятия конечных элементов
51
из которой может быть найдена функция {Ф}. Этот процесс
называется методом взвешенных невязок, а №< — весовой
функцией. Выбор различных весовых функций приводит к раз-
различным классическим методам.
Коллокация в точке. В этом случае полагается, что №,= 1
в некоторой точке i и равна нулю во всех остальных. При этом
фактически основное дифференциальное уравнение удовлетво-
удовлетворяется в п отдельных точках.
Коллокация в подобласти. В этом методе считается, что
Wi — 1 в некоторой подобласти и Wi = 0 в остальной части
области. Это эквивалентно тому, что интеграл обращается в
нуль в некоторых подобластих, число которых достаточно для
того, чтобы получить необходимое число уравнений.
Метод Галеркина. В этом случае Wt — Nu т. е. в качестве
весовой функции выбирается функция формы, с помощью ко-
которой аппроксимируется решение. Этот метод обычно приводит
к наилучшим результатам.
При использовании в любом из упомянутых методов соот-
соотношения C.19), определяющего принятую аппроксимацию,
можно выявить основные особенности метода конечных эле-
элементов.
Во-первых, результирующая система уравнений будет иметь
ленточный вид, так как влияние каждого параметра распро-
распространяется только на элементы, примыкающие к рассматри-
рассматриваемой узловой точке.
Во-вторых (в предположении, что, как и ранее, границы
между элементами не дают, никакого вклада), интегралы вы-
вычисляются для каждого элемента независимо, а затем получен-
полученные результаты суммируются.
Очевидно, что правила получения коэффициентов для ан-
ансамбли будут такими же, как и в задачах строительной меха-
механики, если оператор А линеен [см. уравнение A.13)].
Здесь следует отметить одии недостаток метода взвешенных
невязок. В этом методе дифференциальный оператор А содер-
содержит производные более высоких порядков, чем вариационный
функционал х- Таким образом, чтобы избежать вкладов от меж-
межэлементных зон (см. разд. 3.2), необходимо обеспечить выпол-
выполнение условий непрерывности функции формы более высокого
порядка. Это обстоятельство имеет важное значение, так как
оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым
может вызвать непреодолимые трудности1).
') Ниже будет показано, как сужается выбор функций, обеспечивающих
непрерывность переменных, если дополнительно задается условие непрерывно-
непрерывности угла наклона. В большинстве случаев можно подобрать функцию, обеспе-
обеспечивающую непрерывность только вторых производных.
52
Глава 3
Эту трудность иногда можно обойти, преобразовывая интег-
интегралы в выражении C.22) с помощью интегрирования по ча-
частям (или преобразования Грина — Стокса). Если это преоб-
преобразование удается выполнить в общем виде и если в результате
порядок производных, входящих в полученные интегралы, по-
понижается, то условиям непрерывности должны удовлетворять
только эти производные.
Ранее полагалось, что выбранная аппроксимация неизвест-
неизвестной функции [соотношение C.19)] автоматически удовлетво-
удовлетворяет краевым условиям. Однако удобнее записывать уравнения
в общей форме, требуя выполнения краевых условий на заклю-
заключительной стадии, подобно тому, как, например, в строительной
механике заданные перемещения и граничные нагрузки учиты-
учитываются после составления матрицы жесткости ансамбля.
3.5. Пример. Уравнение Пуассона
Для пояснения основных идей, изложенных в предыдущих
разделах, рассмотрим чисто математическую задачу решения
уравнения в частных производных
•?- + ?- + С = 0 C.23)
в некоторой области V при заданных значениях функции
ф = фь на границе (фиг. 3.2, а).
a S
Фиг. 3.2. Метод взвешенных невязок.
Можно показать, что решение этой задачи эквивалентно на-
нахождению функции ф, удовлетворяющей краевым условиям и
минимизирующей функционал
Обобщение понятия конечных злементов
53
Для приближенного решения этого уравнения разобьем об-
область на элементы (фиг. 3.2,6), для каждого из которых
C.25)
где {ф}е—набор параметров, представляющих собой в данном
случае значения функции ф в узловых точках элемента.
3.5.1. Минимизация функционала
Равенство C.4) выполняется, если матрицу [N] определить
так, что функция Ф непрерывна между элементами, и, таким
образом, мы можем ограничиться рассмотрением типичного
элемента.
Подставляя C.25) в C.24) и интегрируя по площади эле-
элемента, получаем
или
где
дх дх Т ду ду
Vе
C.26)
C.27)
C.28)
При заданных форме элемента и функциях формы все эти
величины могут быть вычислены и система уравнений для ан-
ансамбля будет определяться соотношениями C.7) —C.9).
Задача будет полностью сформулирована после учета гра-
граничных условий, а ее решение находится из решения системы
линейных уравнений.
54
Глава 3
3.5.2. Метод взвешенных невязок
С помощью уравнений C.22) и C.23) можно получить ти-
типичное уравнение:
= 0, C.29)
в котором функция ф определяется соотношением C.25). От
подынтегральной функции требуется непрерывный переход по
границам между элементами с тем, чтобы второй дифференциал
был ограниченным. Если мы хотим избежать этого ограничения,
можно использовать интегрирование по частям. Так, например,
где k---косинус угла между внешней нормалью к поверхности
(фиг. 3.2) и направлением х, а контурный интеграл по S бе-
берется по всей границе.
Проинтегрировав таким же образом и второй член уравне-
уравнения C.29), можно записать
ду
L
дх дх
Первый интеграл не содержит вкладов от границ между
элементами, если функция ф непрерывна. Теперь необходимо
наложить ограничение на весовую функцию №,-. Она должна
быть непрерывной, поэтому метод коллокаций в точке или под-
подобласти неприменим. Однако можно использовать метод Га-
леркина или любой другой метод, в котором функция Wt не-
непрерывна.
Для примера используем метод Галеркина, в котором функ-
функция веса
Wt = Nt. C.32)
Используя соотношение C.25), вклад каждого элемента в
интеграл C.31) можно записать в виде
?
/=-o
? /, + f I») dS = 0. C.33)
Обобщение понятия конечных элементов
В соотношении C.33) выражения для k\\ и Ft, по-видимому, не
случайно идентичны соответствующим выражениям C.27) и
C.28), полученным вариационным методом. После суммирова-
суммирования вкладов всех элементов получим систему уравнений, ана-
аналогичную прежней, за исключением того, что добавляется по-
поверхностный интеграл. Ясно, что этот интеграл не дает вклада
в уравнения для внутренних точек (т. е. когда точка i не ле-
лежит на границе). Если же точка i лежит на границе, где за-
заданы значения фь, то становится не ясно, как вычислять этот
интеграл; учет же краевых условий делает задачу разрешимой.
Для рассмотренного примера при использовании метода!
взвешенных иевязок и вариационного метода [11] получаются
одинаковые результаты. Однако eais бы использовались дру-
другие весовые функции, то совпадения можно было бы и не по-
получить. Тот факт, что прямой метод решения, не требующий
знания вариационного исчисления, приводит к тем же самым
окончательным результатам, может быть сам по себе интере-
интересен читателям и указывает на возможность выбора различных
методов решения.
Кроме того, интересно отметить, что поверхностный интег-
интеграл в C.31) имеет определенный физический смысл. Фактиче-
Фактически он представляет собой взвешенный интеграл от потока
дф/дп через границу, так как
•&<«• C-34)
Иногда на границе бывают известны не значения функции Фь,
а значения дф!дп. В таких случаях правильное решение мог бы
дать прямой метод Галеркина, но при этом функционал дол-
должен быть модифицирован введением некоторых граничных ве-
величин (как это будет сделано в гл. 15).
3.6. Следующий пример. Уравнения вязкого течения
Оператор основного дифференциального уравнения C.17)
может зависеть не только от одной переменной. Можно также
рассмотреть систему дифференциальных уравнений. Рассмот-
Рассмотрим, например, уравнения, описывающие плоское установив-
установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости без учета инер-
инерционных членов. Неизвестные — давление р и компоненты ско-
скорости и и и в направлениях х и (/ — связаны между собой
двумя уравнениями равновесия (уравнения Стокса, полученные
56
Глава 3
из более общего уравнения Навье — Стокса) [12]:
C.35)
где X и Y — объемные силы на единицу объема жидкости.
Уравнение неразрывности дает третье соотношение между
этими тремя величинами
4^ + ^ = 0. C.36)
дх ду к '
Запишем выражения для р, и, v через узловые значения:
C.37)
где [Щ— функции .формы, обеспечивающие только непрерыв-
непрерывность переменных. Используя метод Галеркина, можно запи-
записать для точки i систему трех уравнений. Первое нз них имеет
вид
C-38>
Интегрируя по частям два последних члена в соответствии с
соотношением C.30) и выполняя некоторые преобразования,
получаем
(v дР\ dN, ди dNt диЛ.Л,
f-!?dS = O. C.39)
После подстановки выражений C.37) в первое слагаемое имеем
(ЗАО)
Второе уравнение имеет аналогичный вид и получается из пре-
предыдущего путем замены х н и на у и v соответственно. Послед-
Последнее уравнение, получающееся нз уравнения неразрывности
Обобщение понятия конечных элементов
67
C.36), имеет внд
Группируя все переменные, относящиеся к рассматриваемой
точке, в виде
("'1
{e>a = W. C.42)
lp,J
получаем уравнение ансамбля в стандартной форме:
-Ш = 0. C.43)
где, опять выделяя вклады каждого элемента, имеем
dN, dN, ,^±Щ_
~ЫГ~дх"^ ду ду
о
1 ON,
dN,
'~~дГ
дх дх
1
[ i м L
ду ду (i ' ду
dV.
C.44)
Ппврпхностный интеграл в C.39) исчезает на той части гра-
ни«ыР где задано и, ибо в этом случае Nt = 0. Там, где задано
Тфя, он дает дополннтельный член в вектор {F} в уравнении
C.43)'. Таким образом,
{Р,у =
C.45)
В приведенных уравнениях поверхностный интеграл берется
только по внешним границам, на которых заданы duldn или
dvjdn. Если же на границе заданы величины и и и, то в гра-
инчных точках уравнения не составляются.
Задача о течении жидкости в более простой постановке
рассматривалась Докторсом [13].
При другом подходе к решению задачи вводится понятие
функции тока. Если положить, что
C.46)
дв
'ay
v —
дх
58
Глава 3
то уравнение неразрывности C.36) тождественно удовлетво- ¦
ряется и остаются два уравнения
C.47)
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по л; и вы-
вычитая одно из другого, исключаем р, в результате чего остается
только одно уравнение
Это уравнение можно решить описанным выше приближен-
приближенным методом. Читатель может проделать это в качестве упраж-
упражнения. При решении матрица жесткости получится симметрич-
симметричной и основные соотношения, по существу, будут идентичны
соотношениям, рассматриваемым в главе, посвященной изгибу
пластин. Однако в этом случае функция формы должна удов-
удовлетворять условию неразрывности первых производных между
элементами, так как в интегралы будут входить производные
второго порядка. Осесимметричные задачи такого рода рас-
рассматривались в работе [14].
Примеры были приведены для того, чтобы проиллюстриро-
проиллюстрировать общность метода. Однако рассмотренная здесь задача
представляет значительный практический интерес, так как в на-
настоящее время большое внимание уделяется разработке методов
решения уравнений Навье — Стокса. С целью линеаризации
уравнений C.35) были опущены динамические члены
ди , ди dv , dv
дх ' ду дх ' ду
Их можно было и оставить, ио тогда уравнение C.43) получи-
получилось бы нелинейным, причем матрица [К] зависела бы от ско-
скоростей. Решение таких уравнений слишком сложно, чтобы его
подробно рассматривать здесь, однако можно использовать об-
обобщения рассмотренных в гл. 18 методов решения нелинейных
задач.
3.7. Заключительные замечания
В этой главе понятие конечных элементов используется для
приближенного решения вариационных задач и рассматри-
рассматривается возможность непосредственного приближенного решения
дифференциальных уравнений. Области применения обоих под-
подходов еще недостаточно изучены. Некоторые общие идеи, из-
изложенные в этой главе, рассматривались Оденом [15].
Обобщение понятия конечных элементов
59
ЛИТЕРАТУРА
1. Crandall S. H., Engineering Analysis, McGraw-Hill, 1956.
2. Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon
Press, 1968.
3. Weinstock R., Calculus of Variations, McGraw-Hill, 1952.
4 Berg P. N, Calculus of Variations, Ch. 16 in: Handbook of Engineering
Mechanics, Flugge W., ed., McGraw-Hill, 1962.
5. Southwell R. V., Relaxation Methods in Theoretics Physics, Oxford Univ.
Press 1946
6. Forsy'the G. E., Wasow W. R., Finite Difference Methods for Partial Diffe-
Differential Equations, Wiley, 1960; есть русский перевод: Вазов В., Фор-
Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных, ИЛ, 1963.
7 Pian Т. Н. Н. and Tong P., Basis of Finite Element Methods for Solid Con-
' tinua, Int. J. Num. Meth. in Eng., 1, 3—28 A969).
8 Melosh R. J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Me-
Method, JAIAA, 1, 1631—1637 A963); русский перевод: Мелош, Основы полу-
получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и кос-
космонавтика, 1, № 7, стр. 169—176 A963).
9. Pian Т. Н. Н., Derivation of Element Stiffness Matrices, JAIAA, 2, 576—
577 A964); есть русский перевод: Пиан, Получение матриц жесткости эле-
элементов. Ракетная техника и космонавтика, 2, № 9, стр. 20 A964).
10 Stakgold I., Boundary Value Problems in Mathematics and Physics, Mac-
millan, N. Y., 1966.
11 Szabo В A, Lee G. C,"Derivation of Stiffness Matrices for Problems in
Plane Elasticity by Galerkin Method, Int. 1. Num. Meth. Eng., 1, 301—310
12 Lagerstrom P A., Chang I. D., Flow at Low Reynolds Numbers, .Ch. 81
' in: Handbook of Eng. Mech., Flugge W., ed., McGraw-Hill, 1962.
13 Doctors L. J., An Application of the Finite Element Technique for Boun-
dary Value Problems of Potential Flow, Int. I. Num. Meth. Eng., 2, 243—
252 A970).
14 Atkinson В Brocklebank M. P., Card С. С. M., Smith J. M., Low Reynolds
' Number Developing Flows, A. I. Ch. Eng. J., 15, 548—553 A969).
15 Oden J T A General Theory of Finite Elements: I, Topological Considera-
' tions pp. 205—221; 11, Applications, pp. 247—260; Int. I. Num. Meth. Eng*.
1 A969).
ГЛАВА 4
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ
И ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ
состояния
4.1. Введение
Решения двумерных задач теории упругости были пер-
первыми удачными примерами применения метода конечных
элементов [1, 2]. В гл. 2, где были получены основные соот-
соотношения метода, такие задачи уже рассматривались для
иллюстрации его основ. Эти основные соотношения [B.1) —
B.3), B.9), B.10) и B.16)] для удобства собраны в прило-
приложении П.
В настоящей главе будут более подробно рассмотрены и
проиллюстрированы на примерах, имеющих практическое зна-
значение, основные зависимости для указанных задач. В дальней-
дальнейшем мы будем придерживаться именно такого подхода к из-
изложению материала.
Подробно рассмотрен только простейший треугольный эле-
элемент, хотя аналогичным образом можно получить основные со-
соотношения и для более сложных элементов, которые описы-
описываются в последующих главах.
Читатель, мало знакомый с основными понятиями теории
упругости, может найти их в элементарных курсах по этому
предмету, в частности в книге Тимошенко и Гудьера [3], обо-
обозначения которой будут здесь широко использоваться.
В обеих задачах — о плоском напряженном и плоском де-
деформированном состояниях — поле перемещений однозначно
определяется перемещениями и и v в направлениях осей х и у
прямоугольной системы координат. В обоих случаях рассмат-
рассматриваются только по три компоненты напряжения и деформа-
деформации в плоскости х, у. В случае плоского напряженного состояния
все остальные компоненты напряжения равны нулю по опре-
определению и, следовательно, не совершают внутренней работы.
В случае плоской деформации напряжение в направлении, пер-
перпендикулярном плоскости х, у, не равно нулю. Но поскольку
в этом направлении деформация равна нулю по определению,
это напряжение также не дает вклада во внутреннюю работу.
При желании его можно определить через значения главных
компонент напряжения.
Плоская задача теории упругости
61
4.2. Характеристики элементов
4.2.1. Функции перемещений
На фиг. 4.1 показан типичный треугольный элемент с уз-
узлами i, j, m, пронумерованными против часовой стрелки. Пере-
Перемещения каждого узла имеют две компоненты
D.D
а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор ч
D.2)
Перемещения внутри элемента должны однозначно опреде-
определяться этими шестью величинами. Ясно, что простейшим пред-
Фиг. 4.1. Элемент сплошной среды для расчета плоского напряженного или
плоского деформированного состояния.
ставлением являются линейные полиномы
D.3)
Значения шести постоянных аг- легко найти из двух систем, со-
состоящих из трех уравнений, которые получаются в резуль-
результате подстановки в D.3) узловых координат и приравнивания
62
Глава 4
перемещений соответствующим перемещениям узловых точек.
Записав, например,
1Н = ах + a2xt + a3ylt
u, = al + a&, + (ВД/, D.4)
tin = a, + a2xm + azym,
выразим a,, a2, a3 через величины узловых перемещений щ, щ,
ит и окончательно получим
2Д
+ (at + bjX + c,y) щ
где
, D.5a)
D.56)
остальные коэффициенты получаются циклической перестанов-
перестановкой индексов i, }, т, а величина 2Д определяется соотношением
1
Xi У1
X/ У/
= 2 • (площадь треугольника ijtn). D.5в)
Аналогично можно представить перемещение о в вертикаль-
вертикальном направлении:
о = -Л- {(а, + btx + ay) vi + (а, + Ь,х.+ csy) v, +
y)vm). D.6)
Хотя на данном этапе в этом нет особой необходимости,
можно записать соотношения D.5а) и D.6) в стандартной
форме B.1):
{/}={"} = [Щ {ЗГ = UN',, IN'i, IN'm] {б}*, D.7)
где / — единичная матрица размерности 2X2, а
а, + Ь,х + с,у
2Д
И Т. Д.
D.8)
Примечание: если за начало координат принять центр тя-
тяжести элемента, то
t = O и а, = -д- = а/ = а„.
Плоская задача теории упругости
63
Выбранная функция перемещений автоматически гарантирует
непрерывность перемещений между смежными элементами, так
как вдоль любой стороны треугольника они изменяются линей-
линейно, и, следовательно, из равенства перемещений в узлах сле-
следует их равенство по всей границе.
4.2.2. Деформация (полная)
Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно
охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад
во внутреннюю работу:
D.9)
(
ди
1 ду
ди
дх
до
~ду
до
дх
Используя равенства D.7) или D.5а) и D.6), имеем
dN,
IT
0
<ЭЛГ;
~дТ
0
dN'i
~W
dN'i
~дГ
dN] dN',
ду дх
[b,
4
dNm
dx
0
SN'm
ду
0
Ci
bi
0
dN'm
ду
dN'm
dx _
bt 0
0 Cj
c, b,
"i
l>(
U,
°l
Urn
Om
bm 0
0 С
Cm Ь
{«}', D.10)
что явным образом определяет матрицу [В] из равенства B.2)'.
Следует заметить, что в этом случае матрица [В] не зави-
зависит от координат точки внутри элемента, и, следовательно, де-
деформации в нем постоянны. Очевидно, что эти функции формы
удовлетворяют критерию постоянства деформаций, приведен-
приведенному в гл, 2.
4.2.3. Начальная деформация (температурная деформация)
Начальные деформации, т. е. деформации, не зависящие от
напряжений, могут возникать по разным причинам. Усадка,
рост кристаллов или чаще всего колебания температуры будут
64
Глава 4
Плоская задача теории упругости
65
приводить в общем случае к начальным деформациям, харак-
характеризуемым вектором
D.11)
Хотя величина этой начальной деформации, вообще говоря,
может зависеть от координат точки внутри элемента, обычно
Фиг. 4.2. Элемент для расчета слоистого (трансверсально-изотропного) мате-
материала.
она считается постоянной и равной некоторому среднему по
элементу значению. Это согласуется с условием постоянства
деформаций, которому отвечает принятая функция перемеще-
перемещений.
Таким образом, в случае плоского напряженного состояния
изотропного материала для нагретого до температуры 8е эле-
элемента при коэффициенте линейного расширения а будем иметь
DЛ2)
поскольку при тепловом расширении деформаций сдвига отсут-
отсутствуют.
Сложнее случай плоской деформации. Предположение о пло-
плоской деформации означает, что при тепловом расширении воз-
возникают напряжения в плоскости, перпендикулярной к плоскости
х, у, даже если отсутствуют остальные компоненты напряжения,
Следовательно, величина начальной деформации будет зависеть
от упругих постоянных.
Можно показать, что в этом случае
D.13)
где v — коэффициент Пуассона.
Особого рассмотрения требуют анизотропные материалы, для
которых коэффициенты линейного расширения могут быть раз-
различными в разных направлениях. Пусть х' и у' на фиг. 4.2 соот-
соответствуют главным направлениям материала. Начальная тем-
температурная деформация для случая плоского напряженного со-
состояния в этих координатах будет
D.14)
yxY0
где cti и ct2 — коэффициенты линейного расширения в направ-
направлениях х' и у' соответственно.
Чтобы получить компоненты деформаций в координатах х и
у, необходимо использовать соответствующую матрицу [Т\ пре-
преобразования деформаций:
{ео}' = [Т]т{ео}- DЛ5)
Легко проверить, что
Г cos2p sin2p
[Г]= sin2p cos2p
Lsinpcosp —sin p со
— 2sinpcosp~|
2 sin p cos p ,
cos2p —sin2p-l
где p — угол, определенный на фиг. 4.2. Таким образом, {ео}
легко вычисляется. Следует заметить, что в координатах х, у
компоненты деформаций сдвига отличны от нуля.
4.2.4. Матрица упругости
Матрица [D], входящая в соотношение B.3), которое в рас-
рассматриваемом случае имеет вид
M =
-Ы .
D.16)
может быть записана в явном виде для любого материала (в это
соотношение не включен аддитивный член {со}).
3 Зак. 013
66
Глава 4
Плоское напряженное состояние в изотропном материале.
Для плоского напряженного состояния изотропного материала
имеем по определению
_ ох vay ,
ех — ~g g г 8*о>
_ va* ,Оу,
ВУ ? I ? t~ &tfiy
D.17)
2A+У)тзд
УхуО-
Разрешая эти соотношения относительно напряжений, получаем
матрицу[D] в виде
1 v О
v 1 О
о о 1=1
D.18)
где Е — модуль упругости, a v — коэффициент Пуассона.
Плоское деформированное состояние в изотропном мате-
материале. В этом случае, кроме трех компонент напряжения, суще-
существует нормальное напряжение аг. Для частного случая изотроп-
изотропного теплового расширения имеем
2A+v)tx(,
и, кроме того,
аг
D.19)
Исключая az, определим три остальные компоненты напряже-
напряжения. Полагая начальную деформацию в D.13) равной нулю и
сравнивая с соотношением D.16), получаем матрицу [D] в виде
+ v)(l-2v)
1-v
1
О
О
О
1 — 2v
2A — v) J
D.20)
Плоская задача теории упругости
67
Анизотропные материалы. Для описания зависимости между
напряжениями и деформациями в случае общей анизотропии в
трехмерном состоянии необходима 21 независимая'упругая по-
постоянная [4, 5].
Для двумерного состояния число независимых постоянных
в матрице [D] не превышает шести. Поэтому в самом общем
двумерном случае можно написать
[D] = \
du
l-Симметрично
D.21)
(Необходимость симметрии матрицы [D] следует из теоремы
взаимности Максвелла — Бетти и является следствием инва-
Фиг. 4.3. Слоистый (трансверсально-изотропиый) материал. Плоскость слоев
параллельна плоскости х, г.
риантности энергии относительно пути достижения заданного
деформированного состояния.)
Особый практический интерес представляет «слоистый» или
трансверсально-изотропный материал, в слоях которого суще-
существует круговая симметрия свойств. Свойства такого материала
характеризуются пятью независимыми упругими постоянными.
Общие соотношения между напряжениями и деформациями
в этом случае в обозначениях, введенных Лехницким [4], при
направлении оси у (фиг. 4.3), перпендикулярном плоскости
слоев, и отсутствии начальных деформаций имеют вид
ох У2ОИ V№
i== W. г 7
Глава 4
Y« =
2A+у.)
1
G2 Tx«'
D.22)
Уиг G2 T»z-
Здесь постоянные Eh vj (Gj—зависимая величина) характери-
характеризуют поведение материала в плоскости слоев, а ?2, G2, V2 —
в перпендикулярном к ним направлении.
В двумерном случае матрица [D] после введения обозначе-
обозначений
- = п
и
- — т
принимает для плоского напряженного состояния вид
Г п «v2
О 0 m(l-nvi)
° 1
D.23)
а для плоской деформации
[Р]= ,Л г-к-Х
X
— т>г) «v2(l+v,)
A+v,) (l-v?)
О О
. D.24)
Если же слои расположены под некоторым углом к оси х,
как показано на фиг. 4.2, то для получения матрицы [D] в про-
произвольной системе координат необходимо выполнить преобра-
преобразование. Обозначая через [D'] матрицу, связывающую напря-
напряжения и деформации в системе координат х', у', легко показать,
что
\D] = [T][D'][T]T, D.25)
где [Л—матрица, введенная в D.15).
Если напряжения {а') и {0} соответствуют деформациям
{е'} и {е}, то из условия равенства работ
Плоская задача теории упругости
69
ИЛИ ,
после
подстановки D.15) следует равенство D.25) (см. гл. 1),
4.2.5. Матрица жесткости
Матрица жесткости элемента ijtn определяется с помощью
общего соотношения B.10), в соответствии с которым
D.26)
[k]=\[B]T[D}[B}tdxdy,
где t — толщина элемента, а интегрирование производится по
площади треугольника. Если предположить, что толщина эле-
элемента постоянна, что тем ближе к истине, чем меньше размеры
элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит х или у,
имеем простое выражение
[*] = [ВПО][В](Д, D.27)
где Л — площадь треугольника [введенная соотношением C.5)].
Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощью
ЭВМ. Матрицу [В], определенную соотношением D.10), можно
записать в виде
[B] = [Bt, Bh Вт], где [Bf]—JO c,W2A и т. д. D.28)
U, Ь,)\
Матрица жесткости может быть записана в виде
Г kn ktl ktm
]= Ьц ku k,m ,
L kmi kml kmm -I
D.29)
где подматрицы размерности 2X2 строятся следующим обра-
образом:
lk][B]T[D][B]tH D.30)
Такая форма часто бывает удобной для вычислений.
4.2.6. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией
Эти силы определиются в явном виде выражением B.12),
которое после интегрирования принимает вид
{F)l=-[B\T\D\[<b\tb и т. д.
D.31)
70
Глава 4
Расчленяя это соотношение, можно записать
и т. д.
D.32)
Силы, обусловленные начальной деформацией, распреде-
распределяются по узлам элемента неравномерно и должны быть вычис-
вычислены точно. Аналогичные выражения получаются для сил, обус-
обусловленных начальными напряжениями.
4.2.7. Распределенные объемные силы
В общем случае плоского напряженного или деформирован-
деформированного состояния на каждый элемент единичной площади в пло-
плоскости х, у действуют силы
в направлениях соответствующих осей.
В соответствии с B.11) вклад этих сил в узловые силы опре-
определяется выражением
или, на основании D.7),
«т.д.,
D.33)
при условии, что объемные силы X и Y постоянны. Так как Nt
не является постоянной, должно быть выполнено интегрирова-
интегрирование. Некоторые общие формулы интегрирования для треуголь-
треугольника приведены в приложении III.
Если за начало координат выбран центр тяжести элемента,
вычисления упрощаются. В этом случае
\ х dx dy = \ у dx dy = 0,
и, используя D.8), получаем
у
или, учитывая примечание на стр. 62, имеем
{Fi)p = ~ { у } А/3 = {F,}p = {Fm}p. D.34)
Плоская задача теории упругости
71
Ясно, что для всякого элемента
Л/3.
D.35)
Это означает, что все объемные силы, действующие в направле-
направлениях х и у, распределены между тремя узлами поровну. Этот
факт не противоречит физическому смыслу и часто неявно ис-
использовался.
4.2.8. Потенциал объемных сил
Во многих случаях объемные силы определяются через по-
потенциал объемных сил ф в виде
дФ
дх
D.36)
и чаще не значения X и Y, а именно этот потенциал известен по-
повсюду в области и считается заданным в узловых точках. Если
(ФУ содержит три значения потенциала в узлах элемента, т. е.
имеет вид столбца
D.37)
то в случае постоянных X и У потенциал ф должен изменяться
внутри элемента по линейному закону. Функция формы для
него, очевидно, может быть построена, как и ранее [см. D.4) —
D.6)], в виде
ф [тЫ'Ы']{ф}е D.38)
D.39)
Следовательно,
и
Л =
\г
1 = —
дФ
1х='
дФ
' Ли ~
ft/. ът]
2Д
;> с/> ст
2Д
{ФУ
]W
72
Глава 4
Плоская задача теории упругости
73
Вектор узловых сил, обусловленных потенциалом объемных сил,
будет описываться соотношением
bt
Ci
bi
Ci
bi
Ci
bi
ci
bi
c/
bi
Ci
bm
Cm
bm
Cm
bm
Cm.
{ФУ,
D.40)
заменяющим D.35).
4.2.9. Вычисление напряжений
Полученные формулы дают возможность составить полную
матрицу жесткости конструкции и получить решение для пере-
перемещений.
Матрица напряжений, определяемая в общем виде равен-
равенством B.15), получается для каждого элемента после соответ-
соответствующих подстановок.
По предположению напряжения постоянны внутри элемента.
Обычно их приводят к центру тяжести; это будет сделано и в
большинстве примеров этой главы. Иногда значения напряже-
напряжений в узлах получают усреднением напряжений в смежных эле-
элементах. Кроме того, имея некоторый опыт, можно использовать
и метод усреднения «с весом», но он не намного лучше.
Обычно с помощью ЭВМ определяются главные напряжения
и их направления в каждом элементе.
4.3. Примеры. Оценка точности
Не вызывает сомнения, что решение плоских задач теории
упругости методом, изложенным в разд. 4.2, при неограничен-
неограниченном уменьшении размеров элементов стремится к точному. Од-
Однако при любом конечном числе разбиений это решение будет
приближенным, как, скажем, решение в виде ряда Фурье с
ограниченным числом членов.
Как уже объяснялось в гл. 2, приближенное значение пол-
полной энергии деформации всегда будет ниже истинного значения,
соответствующего точному решению. Практически это означает,
что полученные перемещения, а следовательно, и напряжения
будут в целом заниженными. Однако следует подчеркнуть, что
все это не всегда справедливо для каждой отдельной точки
сплошной среды. Поэтому практическое значение такой оценки
невелико.
Инженеру весьма важно знать, какая точность может быть
достигнута в рассматриваемых задачах при уменьшении разме-
размеров элементов. В каждом частном случае ошибку можно оцени-
оценивать путем сравнения решения с известным точным решением
или путем изучения сходимости по результатам, полученным
при разном числе разбиений.
Средние
значения
в узлах
Значения
О виентрая
тяжести
—г- треуголь-
¦ никое
'„=-1
Фиг. 4.4. Результаты решения задачи о чистом изгибе балки при достаточно
грубом разбиении на треугольные элементы. (Значения напряжений о„, а* и
т11( приведены в указанном порядке.)
74
Глава 4
При наличии опыта инженер может заранее оценить поря-
порядок точности результатов для данной конкретной задачи при
заданном числе разбиений. Некоторый такой опыт, вероятно,
можно приобрести, изучая примеры, приведенные в этой книге.
Сначала рассмотрим некоторые простые задачи, для которых
известны точные решения.
Однородное поле напряжений. В этом случае решение, полу-
полученное методом конечных элементов, будет полностью совпа-
совпадать с точным решением независимо от числа разбиений.
Фиг. 4.5. Круглое отверстие в области однородного напряженного состояния.
Очевидно, что этот результат следует из постановки задачи,
но тем не менее он полезен для первоначальной проверки вы-
вычислительных программ.
Лииейио изменяющееся поле напряжений. В этом случае
предположение о постоянстве напряжений внутри элементов
означает, что решение всегда будет приближенным. На фиг. 4.4
в качестве примера представлены результаты расчета при до-
довольно грубом разбиении балки, работающей в условиях чисто-
чистого изгиба. Видно, что осевые напряжения а„, полученные мето-
методом конечных элементов, берут в «вилку» точное решение. Если
постоянные по элементам значения напряжений отнести к цен-
центрам тяжести элементов и нанести их на график, то прямая,
наименее отклоняющаяся от этих точек, фактически является
точным решением.
Компонента напряжения в горизонтальном направлении и
напряжение сдвига отличаются от точных (нулевых) значе-
значений— они колеблются около них с небольшой амплитудой.
Плоская задача теории упругости
75
Можно убедиться, что если напряжения во внутренних узлах
вычисляются как средние по примыкающим к ним элементам, то
они очень мало отличаются от точных. Однако на внешних по-
поверхностях усреднение дает несколько худшие результаты.
Усреднение напряжений в узловых точках часто применяется
для уточнения приближенного решения (фиг. 4.4).
Для уточнения решения в узловых точках, расположенных
вблизи поверхности конструкции, можно использовать усредне-
усреднение с весом. Нам, однако, кажется, что для получения большей
Т
Фиг. 4.6. Сравнение теоретических результатов с результатами решения мето-
методом конечных элементов задачи, иллюстрированной на фиг. 4.5.
- точное решение для бесконечной пластины; О решение, получен-
полученное методом конечных элементов.
-изотропный материал; б — ортотропный материал. ЕЛ
точности целесообразнее производить разбиение на более мел-
мелкие элементы.
Концентрация напряжений. На фиг. 4.5. и 4.6. иллюстри-
иллюстрируется тестовая задача о концентрации напряжений. Исследует-
Исследуется распределение напряжений вокруг круглого отверстия в изо-
изотропном и слоисто-анизотропном материалах в условиях одно-
однородного напряженного состояния вдали от отверстия [6]. Чтобы
можно было лучше изучить область, в которой ожидаются боль-
большие градиенты напряжений, используется неравномерное раз-
разбиение. Сравнение некоторых результатов расчета с точными
решениями [3, 7] (фиг, 4.6) позволяет сделать вывод о высокой
точности метода.
76
Глава 4
4.4. Некоторые практические приложения
Очевидно, что возможности применения метода конечных
элементов практически безграничны. В настоящее время при
исследовании плоских задач этот метод благодаря своей высо-
высокой точности, низкой стоимости и универсальности часто заме-
заменяет эксперимент. Преимуществами метода являются простота
Фиг. 4.7. Подкрепленное отверстие в пластине.
Вдали от отверстия однородное напряженное состояние о «=100, ст «=53. Толщины обла-
л у
стей пластины Л, В и С относятся как 1 : 3: 23. (Перемещение в направлении у на осн х
равно нулю.)
учета анизотропии свойств материала, а также легкость реше-
решения задач о температурных напряжениях и задач о действии
объемных сил.
Ниже будет приведено несколько примеров применения ме-
метода к решению сложных инженерных задач.
Распределение напряжений около подкрепленного отверстия
(фиг. 4.7). В стальных сосудах высокого давления или на несу-
несущих поверхностях самолетных конструкций часто приходится
делать различные отверстия. Входящий трубопровод сам не-
несколько подкрепляет отверстие, и, кроме того, для уменьшения
напряжений, возникающих из-за эффектов концентрации, стен-
стенка вблизи отверстий обычно утолщается.
Плоская задача теории упругости
77
•Исследование таких задач в плоской постановке не вызы-
вызывает затруднений. Выбор размеров элементов и их расположе-
расположение определяются характером изменения толщины.
Узкий утолщенный слой материала вблизи края отверстия
можно аппроксимировать специальными элементами балочного
типа или просто обычными треугольными (сильно вытянутыми)
элементами. В задаче, иллюстрированной на фиг. 4.7, исполь-
использовался последний способ, позволивший изучить распределение
напряжений вблизи отверстия. Отметим, что исследовалась об-
область сравнительно больших размеров и при решении применя-
применялось неравномерное разбиение.
Тектонические напряжения в анизотропной долине [6]
(фиг. 4.8). Рассматривается симметричная долина, находящая-
находящаяся под действием однородных напряжений в горизонтальном на-
направлении. Порода состоит из различных слоев; следовательно,
материал трансверсально изотропен с изменяющимися от точки
к точке направлениями слоев.
Анализ полученных напряжений указывает на существование
области растяжения. Это явление представляет интерес для гео-
геологов и инженеров, занимающихся механикой горных пород.
Плотина под действием внешнего и внутреннего давлений
воды [8, 9] (фиг. 4.9). Исследуется опорная плотина на слож-
сложном скалистом основании. Неоднородное основание находится
в условиях плоской деформации, а сама плотина рассматри-
рассматривается как пластина переменной толщины (плоское напряжен-
напряженное состояние).
• Исследование нагружения внешними силами н собственным
весом не ставит новых проблем, хотя, возможно, следует отме-'
тить, что оказалась полезной автоматизация расчета узловых
нагрузок, вызванных силой тяжести.
Некоторого разъяснения требует случай действия внутрен-
внутреннего давления в порах.
Хорошо известно, что в пористом материале давление воды
действует на конструкцию в виде объемной силы величиной
др_
дх
V—
и что в этом случае нет необходимости рассматривать внешнее
давление.
Давление в порах р, как это следует из формулы D.36), яв-
является потенциалом объемных сил. Разбиение рассматриваемой
области и тела плотины на элементы показано на фиг. 4.9. На
фиг. 4.10, а и б приьедены значения напряжений, возникающих
под действием силы тяжести (учитывается только собственный
вес плотины) и давления воды, которое рассматривается либо
как внешняя нагрузка, либо как внутреннее давление в порах.
W5 -0,12 Ч/.-О.Ю'-УуГ- ^
0 12 3 4 5 6 7
--'/ / ' 'I' I I
" -' ' '/'It ' L I
—' ^-^ '' / / /?,=O58-IO4H^E
///////
// / /
рцм
область
Фиг. 4.8. Долина с искривленными слоями под действием тектонического на-
напряжения в горизонтальном направлении (плоская деформация, 170 узлов,
298 элементов).
Толшина стеит
контрсрорса 2,75м.
Постоянная
конусность
стенки 1м на82,5м.
Сечение А-А в плане
a
Предп
ся отсутствие переме
щении
. 'не накладывается
\ никаких, ограни-
ограничений)
Гравий Е= fa Ее
тный песок Е"в ~i;Ec
-Предполагается отсут-
отсутствие перемещении
Фиг. 4.9. Расчет напряжений в контрфорсной плотине. Предполагаются плоское
напряженное состояние плотины и плоская деформация основания,
а —сечение рассчитываемого контрфорса; б—рассчитываемый участок основания п ко-
конечные элементы.
Плоская задача теории упругости
81
Оба решения указывают на наличие больших областей растя-
растяжения, но очень важно отметить, что во втором случае уровень
напряженнй выше.
Растрескивание. В приведенном примере растягивающие
напряжения, без сомнения, вызовут образование трещин в по-
породе. Если процесс распространения трещины устойчив, то
можно считать, что плотина в безопасности. Наличие трещин
Сжа/nuei-)
Верхний Вьеу>
Зона растяжения
Зона
растрескивания,
Напряжения Зез yvema
' начальных напряже-
в основании
Зона растя-
жения, не превы-
ша/ошего ffeparn
нога начального
сжатия
Фиг. 4.11. Напряжения в контрфорсной плотине. Введение в расчет «трещины»
меняет распределение напряжений (нагружеиие такое же, как на фиг. 4.10,6).
легко учесть в расчете, если приравнять нулю упругие постоян-
постоянные соответствующих элементов. На фиг. 4.11 показана расчет-
расчетная схема и результаты расчета при наличии клинообразной
трещины у края плотины. Видно, что при таком размере трещи-
трещины в теле плотины не возникает никаких растягнвающих напря-
напряжений.
Более подробно исследование распространения трещин и
связанного с ним перераспределения напряжений будет описа-
описано ниже (см. гл. 18).
Температурные напряжения. В качестве примера расчета
температурных напряжений рассматривается та же плотина при
Температура в этой
•emu -9,4'"
Температура
изменяется
линейно
Стрелкой указано
растяжение
В основании температура не изменяется
Фиг. 4.12. Расчет напряжений в коитрфорсной плотине. Температурные
напряжения при охлаждении заштрихованной области до — 9,44 °С
(? = 2,02-Ю10 Н/м2, а = 1,08-10-» 1/°С).
Предварительно кап-
чэя зрма/П1/ра_.
ши ворот
Фиг. 4.13. Большая водоподъемная плотина с быками и предварительно на-
напряженной арматурой.
Плоская задача теории упругости
85
!
I
С
ю
э
о
довольно простом распределении температур. Результаты рас-
расчета приведены на фиг. 4.12.
Гравитационные плотины. Расчет опорной плотины является
характерным примером применения метода конечных элемен-
элементов. Несложно рассмотреть и другой тип плотины — гравита-
гравитационную плотину с быками или без них. На фиг. 4.13 приве-
приведены результаты расчета большой плотины с быками и подъем-
подъемными затворами.
Ясно, что в этом случае аппроксимация напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния в окрестности резкого изменения геомет-
геометрии сечения, т. е. в области, где быки соединяются с телом пло-
плотины, двумерным состоянием сомнительна. Однако она приводит
лишь к локальным ошибкам.
Здесь иажно отметить, что для одновременного изучения
концентрации напряжений в местах крепления тросов и распре-
распределения напряжений в плотине и в основании используются
элементы разных размеров. Линейные размеры элементов отно-
относятся как 30: 1 (самые большие элементы, использовавшиеся
для исследования основания, на рисунке не показаны).
Подземная электростанция. Этот пример, иллюстрирован-
иллюстрированный на фиг. 4.14 и 4.15, демонстрирует возможности метода.
Главные напряжения вычерчиваются ЭВМ автоматически. Рас-
Расчеты проводились при различных начальных напряжениях {оо},
что связано с неточностью знаний геологических условий. Воз-
Возможность быстрого решения задачи и представление результа-
результатов в виде графиков позволили оценить границы изменения на-
напряжений и принять техническое решение.
4.5. Особенности исследования плоского деформированного
состояния в несжимаемом материале
Следует отметить, что соотношение D.20), определяющее
матрицу упругости [D] для изотропного материала, теряет
смысл, если коэффициент Пуассона становится равным 0,5, так
как при этом знаменатель обращается в бесконечность. Эту
трудность можно просто обойти, если в расчете использовать
значения коэффициента Пуассона, близкие к 0,5, но не равные
этой величине. Однако опыт показывает, что такой прием ухуд-
ухудшает решение. Геррманн [10] предложил другой метод, связан-
связанный с использованием нового вариационного принципа. Подроб-
Подробно этот метод изложен в упомянутой работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Turner M. J., Clough R. W., Martin Н. С, Торр L. J., Stiffness and Deflec-
Deflection Analysis of Complex Structures, /. Aero. Sci., 23, 805—823 A956).
2. Clough R. W., The Finite Element in Plane Strese Analysis, Proc. 2nd
ASCE Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., Sept. 1960.
86
Глаза 4
3. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
1951.
4. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, ГИТТЛ, М.—Л.,
1950..
5. Hearmon R. F. S., An Introduclion to Applied Anisotropic Elasticity, Oxford
Univ. Press, 1961.
6. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K.. Slagg K. G., Stresses in Anisotropic Me-
Media with Particular Reference to Problems of Rock Mechanics, J. Strain
Analysis, I, 172—182 A966).
7. Савин Г. Н., Концентрация напряжений оксло отверстий, ГИТТЛ, М. — Л.,
1951.
8. Zienkiewicz О. С, Cheung Y. К., Bultress Dams on Complex Rock Foun-
Foundations, Water Power, 16, 193 A964).
9. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K., Stresses in Buttress Dams, Water Power,
17,69 A965).
10. Herrmann L. R., Elasticity Equations for Incompressible, or Nearly Incom-
Incompressible Materials by a Varialionat Theorem, JAIAA, 3, 1896 A965); есть
русский перевод: Геррманн, Вариационный принцип для уравнений упру-
упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов, Ракетная техника
и космонавтика, 3, № 10, стр. 139—144 A965).
ГЛАВА 5
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
5.1. Введение
Исследование распределения напряжений в телах вращения
(осесимметричных телах) при осесимметричном нагружении
представляет большой практический интерес. Поскольку эти
задачи тоже двумерные [1, 2], с математической точки зрения
они аналогичны задачам о плоском напряженном и плоском
деформированном состояниях. Вследствие симметрии дефор-
деформированное, а следовательно,
и напряженное состояния в
любом сеченни по оси симмет-
симметрии тела полностью опреде-
определяются ¦ двумя компонентами
перемещении. Такое сечение
показано на фиг. 5.1. Если г
и z — радиальная и осевая
координаты точки, а и и о —
соответствующие перемещения,
легко заметить, что перемеще-
перемещения внутри показанного на ри-
рисунке треугольного элемента
ijtn могут быть описаны с по-
помощью тех же самых функций
перемещения, которые исполь-
использовались в гл. 4.
Соответствующий рассмат-
рассматриваемому элементу объем, по
которому должны браться все
интегралы, представляет со-
показан-
Фиг. 5.1. Элемент осесимметричиого
тела.
бой тело вращения
ное на фиг. 5.1.
Как и прежде, треугольный элемент рассматривается глав-
главным образом с иллюстративной целью, хотя все основные вы-
выводы имеют общий характер.
Для плоской задачи было показано, что в выражение для
внутренней работы входят только три компоненты деформации в
координатной плоскости, а компоненты напряжения, нормальные
к координатной плоскости, не дают вклада в энергию, ибо равны
нулю либо напряжения, либо соответствующие деформации.
88
Глава 5
В осесимметричном случае любое радиальное перемещение
вызывает деформацию в окружном направлении, и, так как на-
напряжения в этом направлении не равны нулю, в рассмотрение
должны быть введены четвертая компонента деформации и со-
соответствующее напряжение. В этом состоит отличительная осо-
особенность осесимметричного случая.
Читателю может показаться, что математические выкладки
этой главы несколько сложнее использованных в предыдущей,
но, по существу, они тоже основываются на общих соображе-
соображениях, изложенных в гл. 2.
5.2. Характеристики элемента
5.2.1. Функция перемещений
Используя треугольный элемент (фиг. 5.1) с узлами ?, /, т,
пронумерованными против часовой стрелки, определим узловое
перемещение через две его компоненты
E.1)
а перемещения элемента — вектором
E.2)
Очевидно, что, как и в подразд. 4.2.1, для однозначного опре-
определения перемещений внутри элемента можно использовать ли-
линейный полином. Поскольку в этом случае алгебраические вы-
выкладки идентичны проделанным в гл. 4, мы не будем их повто-
повторять.
Поле перемещений снова определяется соотношением D.7)
где
,, а, + btr + с г
= - h ~
и т. д.,
E.3)
а / — единичная матрица размерности 2X2- В этих соотноше-
соотношениях
а1=г,гт — гтг,,
bl=z!-zm = zlm, E.4)
Осесимметричное напряженное состояние
89
остальные коэффициенты получаются циклической перестанов-
перестановкой индексов. Величина Д, как и раньше, представляет собой
площадь треугольника.
5.2.2. Деформация (полная)
Как уже упоминалось, в осесимметричном случае необхо-
необходимо рассматривать четыре компоненты деформации. Это фак-
фактически все компоненты, которые могут быть отличны от нуля
при осесимметричной деформации. Они и соответствующие им
напряжения схематически изображены на фиг. 5.2.
Фиг. 5.2. Деформации и напряжения, определяемые при расчете осесимметрич-
ных тел.
Все рассматриваемые компоненты вектора деформации мож-
можно выразить через перемещения с помощью приведенного ниже
соотношения. Использованные выражения очевидны, и они здесь
выводиться не будут. Читатель, интересующийся подробным вы-
выводом, может обратиться к любому учебнику по теории упру-
упругости [3]. Таким образом, имеем
dv
дг
ди
дг
ди
dz
до
E.5)
90
Глава 5
Используя функции перемещений, определенные соотношениями
E.3) и E.4), получаем
где
[В,
0
dN't
дг
г
_ ~~дГ
dN\
~ЬТ
0
0
1
2Д
О
ь,
Ci
Ci
О
и т. д. E.6)
Поскольку матрица В содержит теперь координаты гиг,
деформации в элементе не будут постоянными, как в случаях
плоского напряженного и плоского деформированного состоя-
состояний. Это различие обусловлено членом ее. Если заданные узло-
узловые перемещения таковы, что и пропорционально г, то все де-
деформации будут постоянны. Очевидно, что, поскольку только
такие перемещения соответствуют постоянным деформациям,
используемая функция перемещений удовлетворяет основному
критерию гл. 2.
5.2.3. Начальная деформация (температурная деформация)
В общем случае должны быть рассмотрены четыре незави-
независимые компоненты вектора начальной деформации
его
•\rzO-
E.7)
Хотя, вообще говоря, начальная деформация может изме-
изменяться внутри элемента, удобно считать ее постоянной.
Возникновение начальной деформации чаще всего обуслов-
обусловлено тепловым расширением. Для изотропного материала в этом
случае будем иметь
E.8)
Осесимметричное напряженное состояние
91
где 9е — средняя по элементу температура, а а, — коэффициент
линейного расширения.
Общий случай анизотропии материала нет необходимости
рассматривать, так как при этом осевая симметрия невозможна.
Некоторый практический интерес представляет «слоистый» ма-
материал, аналогичный рассмотренному в гл. 4, плоскость изотро-
изотропии которого перпендикулярна оси симметрии (фиг. 5.3). У та-
Фиг. 5.3. Слоистый материал в случае осевой симметрии.
ких материалов возможны два различных коэффициента ли-
линейного расширения: az в осевом направлении и аг в плоскости,
перпендикулярной этому направлению.
В этом случае начальная температурная деформация имеет
вид
E.9)
Такая анизотропия часто встречается при исследовании де-
деталей машин из слоистых или стекловолокнистых материалов.
92
Глава 5
5.2.4. Матрица упругости
Теперь надо получить матрицу упругости [D], связывающую
деформации {е} и напряжения {о} стандартным соотношением
м=
Рассмотрим сначала слоистый анизотропный материал, так
как матрица упругости для изотропного материала может быть
получена как частный случай.
Слоистый анизотропный материал (фиг. 5.3). Полагая, что
ось г направлена по нормали к плоскостям слоев, перепишем
соотношения D.22) (пренебрегая для удобства, как и ранее,
начальными деформациями) в виде
E2 E2 E2
Ei '
V2°z VlCTr , aB
E.10)
Вводя опять обозначения
Ei E2
и разрешая систему относительно напряжений, находим
D__ E2 w
X
1-vJ nv2(I+v,) nv2(l+v,)
— nv|) (v
О
0
0
Симметрично
m(l+v,)(l— v,—
E.П)
Изотропный материал. Для изотропного материала матрицу [D]
получаем, полагая
Я, = Е2=Е или я = 1
Осесимметричное напряженное состояние
93
а также используя известную зависимость между упругими
постоянными
G* G .- 1
?2 — ? 2A +VI
Подстановка приведенных выше выражений в E.11) дает
v v
1
1-v
1
Симметрично
0
0
0
1 — 2v
E.12)
5.2.5. Матрица жесткости
Матрицу жесткости элемента ijm можно составить, исполь-
используя соотношение B.10). Так как объемный интеграл берется по
всей кольцевой области, получим
E.13)
]e = 2n\j[B]T[D][B]rdrdz,
где матрица [В] определяется равенством E.6), а матрица [D] —
соотношениями E.11) или E.12) в зависимости от свойств ма-
материала.
Интегрирование теперь не удается выполнить так же просто,
как в случае плоского напряженного состояния, поскольку ма-
матрица [В] зависит от координат. Существуют две возможности:
первая — интегрировать численно и вторая — перемножить вхо-
входящие в интеграл матрицы и затем почленно проинтегрировать.
Простейший приближенный метод состоит в определении ма-
матрицы [Б] для центра тяжести сечения элемента с координатами
Z= ¦
В этом случае первое приближение имеет вид
[k] = 2n[B]T[D][B]rA,
где А — площадь треугольника.
E.14)
94
Глава 5
Можно было бы использовать более точные методы, требую-
требующие вычисления подынтегрального выражения в нескольких
точках треугольника. Такие методы будут подробно рассмот-
рассмотрены в гл. 8. Однако можно показать, что если используемый
метод численного интегрирования позволяет точно вычислить
объем элемента, то при неограниченном возрастании числа
разбиений решение будет сходиться к точному [4]. Предложен-
Предложенное здесь «одноточечное» интегрирование является методом
численного интегрирования именно такого типа, поскольку из-
известно, что объем тела вращения равен произведению площади
сечения на длину пути,, пройденного центром тяжести. Для по-
получения достаточной точности при использовании простых тре-
треугольных элементов обычно требуется довольно мелкое разбие-
разбиение, поэтому большинство созданных программ использует этот
простейший метод интегрирования, который, возможно несколь-
несколько неожиданно, иногда оказывается лучше точного. Причина
этого состоит в том, что при точном интегрировании появляются
члены, содержащие логарифмы. Под знак логарифма входят от-
отношения типа ri/rm. Когда элемент находится на большом рас-
расстоянии от оси, величина этого отношения близка к единице и
логарифм вычисляется неточно.
Если возникает необходимость в точном интегрировании, то
удобно поступить следующим образом.
Как и в предыдущей главе, разобьем матрицу жесткости на
отдельные подматрипы размерности 2X2 [см- соотношения
D.28) —D.30)] вида
[А„] = 2я \\[B,]T[D]lB.]rdrdz. E.15)
Целесообразно выделить в подматрицах [В] постоянную и
переменную части. Так, например, можно написать
[Bi] = [B,] + [B',\, E.16)
где [В{]— матрица [В,] для центра тяжести элемента [использо-
[использованная в E.14)], а второе слагаемое — отклонение от этой вели-
величины. Легко показать, что это слагаемое можно записать в виде
Подставляя эти выражения в E.15) и замечая, что
\[B'i\rdrdz = [0],
Осесимметричное напряженное состояние
95
получаем
E.18)
где первое слагаемое в точности совпадает с E.14), а второе-
поправочный член, определяемый выражением
¦0 O-i
X
X \ {(ar+crz)lr-(ar+crz)lr} {(a,+cJz)/r-(a1+cJ2)//!} rdr dz. E.19)
Если для интегралов использовать сокращенные обозначения
A-/2( E.20)
Sz2
— dr dz = A • /3,
то окончательно поправочный член можно записать в виде
L о oj
X {aras (/, - 1/г) + (arcs + ascr) (I, - z/r) + crcs (/, - z2/f)}. E.21)
Интегралы /, — /3 вычисляются в явном виде через узловые
координаты.
5,2.6. Внешние узловые силы
В двумерных задачах, рассмотренных в предыдущей главе,
вопрос определения узловых сил, обусловленных внешней на-
нагрузкой, был настолько ясен, что не нуждался в комментариях.
В рассматриваемом случае, однако, следует иметь в виду, что
узловые силы изображают совокупность сил, действующих по
всей длине окружности, образующей «узел» элемента. Это об-
обстоятельство уже учитывалось при составлении матрицы жест-
жесткости элемента, когда интегрирование проводилось по всей
кольцевой области элемента.
Следовательно, если R представляет собой радиальную со-
составляющую силы на единицу длины окружности узла радиус_а
г, то в расчетах должна использоваться внешняя «сила» 2nrR.
Аналогично сила в осевом направлении 2nrZ характеризует со-
совокупность осевых сил.
96
Глава 5
5.2.7. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией
Снова используя B.9), получаем
{F? = - 2л \ [В]т [D] {е0} г drdz. E.22)
Учитывая, что деформация {е0} постоянна, для каждого узла
можно записать
Интегрирование осуществляется тем же споеобом, что и при
определении жесткости. Ясно, что опять можно использовать
приближенное выражение
E.24)
E.25)
с поправочным членом. Таким образом, имеем
Однако можно показать, что в этом случае поправочный член
равен нулю, так как
{е„} = 0,
поэтому представление
E.26)
является точным. Силы, обусловленные начальными напряже-
напряжениями, определяются таким же образом.
5.2.8. Распределенные объемные силы
При решении осесимметричных задач часто возникает необ-
необходимость рассматривать распределенные объемные силы, та-
такие, как сила тяжести (если она действует вдоль оси 2), цен-
центробежная сила во вращающихся механизмах, внутреннее дав-
давление в пористом материале.
Запишем такие силы в виде вектора
Р =
E.27)
где R, Z — компоненты силы в направлениях гиг соответ-
соответственно на единицу объема материала. В соответствии с B.11)
имеем
Осесимметричное напряженное состояние
или для j-ro узла
E.28)
Если в первом приближении допустить, что объемные силы по-
постоянны, то с помощью переноса начала координат, так же как
в подразд. 4.2.7, легко получить
-^. E.29)
Хотя это выражение не совсем точно, можно показать, что ве-
величина поправочного члена уменьшается с уменьшением разме-
размеров элемента и вследствие самоуравновешенности он не приве-
приведет к заметной ошибке. Ясно, что в случае необходимости ин-
интегрирование в E.28) можно произвести точно.
Если объемные силы заданы потенциалом, аналогичным
введенному в подразд. 4.2.8, т. е.
дг
E.30)
и если этот потенциал линеен относительно своих узловых зна-
значений, то можно использовать выражение, эквивалентное D.40).
Во многих задачах объемные силы пропорциональны рас-
расстоянию г от оси симметрии. Например, во вращающемся теле
E.31)
= (В 2рГ,
где <в— угловая скорость, а р — плотность материала. Очевид-
Очевидно, что аппроксимация E.29) в этом случае будет очень грубой,
и для получения хорошего результата необходимо точное ин-
интегрирование.
5.2.9. Вычисление напряжений
Как следует из формул E.5) и E.6), напряжения не по-
постоянны внутри элемента. В этом случае удобно усреднять на-
напряжения и относить их к центру тяжести элемента. Матрица
напряжений, получающаяся из формул E.6) и B.3), имеет, как
обычно, вид _
Можно показать, что значения напряжений несколько колеб-
колеблются от элемента к элементу и усреднение узловых напряже»
ний позволяет улучшить результат,
4 Зек. 61?
Фиг. 5.4. Напряжения в сфере при действии внутреннего давления (коэффи-
(коэффициент Пуассона v = 0,3).
а — Треугольные элементы — значения в центрах тяжести; б — треугольные элементы-*•
усреднение по узлам; в — четырехугольные элементы—усреднение по смежным треуголь-
треугольникам.
Bfi/исленное значение5,17
Ь'Точное значение 5,13
Фиг. 5.5. Перемещения внутренней и внешней поверхностей сферы при показан-
показанном на фнг. 5,4 нагруженнн.
100"
400-
200-
t о"
о, 0
1
-200-
-400-
•600-
У \
V
X
У \
/
о
¦-50
•-100
340
-422
Фиг. 5.6. Сфера прн установившемся распределении температур A00 °С на
внутренней поверхности и 0° на внешней).
а — распределение температуры и напряжения по радиусу; б —усреднение по четырех-
четырехугольникам. > точнде решение; Д усреднение по треугольникам; О усреднение по
четырехугольникам.
100
Глава 5
5.3. Некоторые примеры
Решения тестовых задач, таких, например, как задачи о ци-
цилиндре с постоянными осевыми или радиальными напряжения-
напряжениями, как и следовало ожидать, совпадают с точными. Это оче-
очевидное следствие того, что функция перемещений может
описывать однородные деформации.
Задача о сфере под действием внутреннего давления, для
которой характерно почти линейное изменение напряжений,
имеет точное решение. На фиг. 5.4, а показаны отнесенные к
центрам тяжести элементов напряжения, полученные при ис-
использовании достаточно крупной сетки. Следует отметить, что
полученные напряжения несколько колеблются около точного
решения. (Эти колебания становятся еще более заметными при
больших значениях коэффициента Пуассона, хотя точное реше-
Фнг. 5.7. Сосуд реактора высокого давления.
а—использованные при расчете четырехугольные элементы, разбиение на элементы осу-
осуществлялось ЭВМ автоматически; б—напряжения при равномерно распределенной давле-
давлении р (чертеж, выполненный ЭВМ). При решении определялись средние по четырехуголь-
четырехугольникам значения. Коэффициент Пуассона v=0,I5.
ние не зависит от него.) На фиг. 5.4,6 приведено гораздо луч-
лучшее приближенное решение, полученное усреднением значений
напряжений в узловых точках; с помощью усреднения, резуль-
результаты которого приведены иа фиг. 5.4, в, решение можно еще
Осесимметричное напряженное состояние
101
улучшить. Хорошее совпадение с точным решением даже при
использовании весьма грубого разбиения свидетельствует о вы-
высокой точности метода. На фиг. 5.5 с точным решением сравни-
сравниваются перемещения узловых точек.
На фиг. 5.6 показаны температурные напряжения в той же
самой сфере, вычисленные для установившегося температурного
поля. Сравнение с точным решением снова показывает высокую
точность метода.
5.4. Практические приложения метода
В этом разделе приводятся два примера практического при-
применения метода к исследованию осесимметрического нагруже-
ния,
I Ось симметрии
Фиг. 5.8. .Сосуд реактора высокого давления. Температурные напряжения в
установившемся состоянии. Линии максимальных главных напряжений
(фунт/дюйм2). (Температура внутри 400°С, снаружи 0°С, а = 5-10-« 1/°С
? «¦ 2,58-108 фунт/дюйм», v = 0,15.)
Реактор из предварительно напряженного железобетона под
давлением. На фиг. 5.7 показано распределение напряжений
в упрощенном варианте такого реактора. Вследствие симмет-
симметрии рассматривается только одна его половина. Приведены
- 600
fceau =0,25
о
° Радиус сваи* 1,5'
Фиг. 5.9а. Свая в слоистом грунте. Нерегулярное разбиение и исходные данные.
Р
Фиг. 5.96. Свая в слоистом грунте График вертикальных напряжений в гори-
горизонтальных сечениях Показано также решение задачи Буссииеска при Ei =
= ?2 = ?сва« и проведено сравнение с точным решением.
точное решение задачи Буссинеска; А решение задачи Буссинеска методом конеч-
конечных элементов; ф решение эадачн о свае методом конечных элементов*
Осесимметричное напряженное состояние
103
напряжения, возникающие при действии внутреннего давления.
Аналогичные результаты легко получить для случая предвари-
предварительно напряженной арматуры, если в узловых силах учесть на-
нагрузку от арматуры.'
На фнг. 5.8 приведены линии равных максимальных главных
температурных напряжений. Температурные напряжения н само
температурное поле в установившихся условиях определены с
помощью метода конечных элементов, как описано в гл. 15.
Свая фундамента. На фиг. 5.9а и 5.96 показано распределе-
распределение напряжений вокруг сваи фундамента, проходящей через два
различных пласта грунта. Решение этой неоднородной задачи
не представляет трудностей и получается с помощью стандарт-
стандартной программы.
5.5. Несимметричное нагружение
Метод, изложенный в настоящей главе, может быть распро-
распространен на случай несимметричного нагружения. Если измене-
изменение нагрузки по окружности описывается с помощью круговых
гармоник, то можно рассматривать только одно осевое сечение,
хотя число степеней свободы при этом увеличивается до трех.
Некоторые детали метода описаны в гл. 13. В работе [5] мож-
можно найти полное его изложение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Clough R. W., Ch. 7 in: Stress Analysis, Zienkiewicz 0. C, Holister G. S.,
eds., Wiley, 1965.
2. Clough R. W., Rashid Y., Finite Element Analysis of Axi-Symmetric Solids,
Proc. ASCE, 91, EM.l, 71 A965).
3. Timoshenko S., Goodier J. N.. Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
1951.
4. Irons B. M., Comment on «Stiffness Matrices for Sector Element», Raju I. R.,
Rao A. K., JAIAA, 7, 156—157 A969); есть русский перевод: Айронс, Замеча-
Замечание к статье «Матрицы жесткости элементов в форме сектора», Ракетная
техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 271 A970).
6. Wilson E. L., Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids, JAIAA, 3, 2269—
2274 A965); есть русский перевод: Вильсон, Расчет на прочность осесим-
метричных тел, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 12, стр. 124—132
С1У65).
ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
6.1. Введение
Метод конечных элементов применяется и для решения трех-
трехмерных задач. Такие задачи охватывают почти все практиче-
практические случаи, хотя иногда предположение о том, что напряжен-
напряженное или деформированное состояние двумерно, дает вполне
приемлемую и более экономичную «модель».
Простейшим элементом для двумерных задач был треуголь-
треугольник. В трехмерном случае его аналогом является тетраэдр —
элемент с четырьмя узлами. В настоящей главе будут рассмот-
рассмотрены основные характеристики этого элемента. Трудность, не
встречавшаяся ранее, состоит в порядке индексации узлов, т. е.
в построении конечно-элементной модели тела.
Впервые тетраэдральный элемент предложили использовать
Галлагер и др. [1] и Мелош [2]. Позднее Аргирис [3, 4] подробно
разработал этот вопрос, а Рашид [5] показал, что с помощью
больших современных ЭВМ могут быть решены поставленные
таким образом практические задачи. Очевидно, однако, что для
получения заданной степени точности количество простых тетра-
тетраэдральных элементов должно быть очень большим. Это приво-
приводит к огромному числу уравнений, что несколько ограничивает
на практике применение метода. Кроме того, ширина ленты
матрицы основной системы уравнений становится большой и в
результате увеличивается необходимый объем памяти вычисли-
вычислительной машины.
'Чтобы представить себе степень сложности такого рода за-
задач, предположим, что точность аппроксимации двумерных за-
задач треугольными элементами сравнима с точностью аппрокси-
аппроксимации - трехмерных задач тетраэдрами. Если, например, для
достижения заданной точности при определении напряжений в
квадратной двумерной области требуется сетка размерности
20 X 20, т. е. надо рассмотреть 400 узловых точек, то число
уравнений для определения двух компонент перемещений ка-
каждого узла будет около 800. (Это вполне приемлемая цифра.)
Лента матрицы системы содержит 20 узлов (см. главу, посвя-
посвященную методам вычислений), т. е. около 40 переменных.
Эквивалентная трехмерная область представляет собой куб
с 20 X 20 X 20 = 8000 узловых точек. Так как теперь должны
Трехмерное напряженное состояние
105
быть определены три компоненты перемещений в каждой узло-
узловой точке, общее число уравнений достигает 24 000, а лента ма-
матрицы содержит 20 X 20 = 400 взаимосвязанных узлов, т. е.
1200 переменных.
Если учесть, что вычислительные трудности при использова-
использовании обычных методов решения, грубо говоря, пропорциональны
количеству уравнений и квадрату ширины ленты матрицы, то
нетрудно представить себе сложность решения таких задач. Не
удивительно поэтому, что попытки уточнить решение трехмер-
трехмерных задач связаны в основном с использованием сложных эле-
элементов, обладающих большим числом степеней свободы [6—10].
В последних главах будут приведены примеры практического
применения таких элементов. Эта глава содержит все необходи-
необходимые сведения для постановки трехмерных 'задач теории упру-
упругости. Обобщение на случай более сложных элементов не вызо-
вызовет затруднений.
6.2. Характеристики тетраэдрального элемента
6.2.1. Функции перемещений
На фиг. 6.1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в си-
системе координат х, у и г.
Перемещение любой точки определяется тремя компонента-
компонентами и, v и w в направлениях координат х, у и г. Таким образом,
вектор перемещений имеет вид
Ш=1Л. FЛ)
Если для задания линейного закона изменения какой-либо ве-
величины в плоском треугольном элементе требовались три узло-
узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать че-
четыре узловых значения. По аналогии с представлением D.3)
можно записать, например,
и = а, + а2х + «3(/ + aAz.
F.2)
Приравнивая эти выражения перемещениям узловых точек, по-
получаем четыре уравнения типа
F.3)
щ = at + a&i + a3yi + а4г( и т. д.,
из которых определяются коэффициенты ot| — оц-
106
Глава 6
•*¦/
Фиг. 6.1. Тетраэдральный элемент. (Прн нумерации узлов следует придержи-
придерживаться определенного порядка, начиная, например, с точки р, остальные узлы
нумеруются в направлении против часовой стрелки по отношению к ней —
ptjm или mipj в т. д.)
Запишем теперь соотношение F.2)' в форме, аналогичной
D.5), с использованием определителя
где
+ (а, + Ь,х + с,у + d,z) и, +
Ьтх -т- сту + dmz) ит
сру + dpz) up),
1 Xi yt Zi
1 x, у, z,
^ %m Ут Zm
1 Xp Ур Zp
6У = det
F.4)
F.5a)
Трехмерное напряженное состояние
107
Величина V в данном случае представляет собой объем тетраэдра.
Коэффициентами ait bi, Ci, dt обозначены определители
i = det
i = — det
х, у,
Хт Ут
Хр Ур
X, 1
Хт 1
Х„ 1
Ь, = — det
d, = — det
1 2//
1 Ут
1 »„
*/ У/
хр УР
F.56)
Остальные коэффициенты получаются циклической перестанов-
перестановкой индексов р, i, /, т.
Как видно из фиг. 6.1, узлы р, i, j, m пронумерованы в соот-
соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла про-
пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны
последнего узла.
Перемещение элемента определяется двенадцатью компонен-
компонентами перемещений его узлов:
F.6)
где
ит.д.
Перемещение произвольной точки можно записать в виде
{/} = [IN't. IN',, IN'm, IN'P] {аУ, F.7)
где скалярные величины определяются соотношениями
Щ=— '* 6у1" — и т. д., F.8)
а / — единичная матрица размерности 3X3.
Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять
требованиям непрерывности на границах между элементами.
Этот результат является прямым следствием линейного закона
изменения перемещений.
108
Глава 6
6.2.2. Матрица деформаций
В трехмерном случае учитываются все шесть компонент де-
деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запи-
запишем матрицу деформаций в виде
x
ey
8г
Уху
Vyz
Vzx
du
dx
dv
ду
dw
IT
du . dv
ду "г" дх
dv . dw
dz "г" ду
dw , du
dx "¦* <Эг
F.9).
С помощью соотношений F.4) —F.7) легко убедиться, что.
F.10)
где
dx
0
5»
0
dx
dz
0
0
0
f
ON:
~bT
0
~д~У
1
~ь,
0
0
Ci
0
0
Ci
Л
bi
d,
0
0"
0
dt
0
Ci
bi.
F.11)
Остальные подматрицы получаются простой перестановкой
индексов.
Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым
расширением, можно записать обычным образом в виде шести-
компонентного вектора, имеющего, например, для изотропного
Трехмерное напряженное состояние
109
теплового расширения прЬстой вид:
а98
F.12)
О
О
где а — коэффициент линейного расширения, а 8е—средняя по
элементу температура.
6.2.3. Матрица упругости
В случае материала с анизотропией свойств матрица [D],
связывающая шесть компонент напряжения с компонентами де-
деформации, может содержать не более чем 21 независимую по-
постоянную (см. подразд. 4.2.4).
В общем случае
F.13)
Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде,
запишем здесь матрицу [D] только для изотропного материала,
хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизо-
анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: мо-
модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v — матрица имеет
вид
rm_ ?(l-v) х
1
-v)A — 2v)
v v
1-v 1-v
1
Симметрично
О
О
о
1 — 2v
2A —v)
О
О
О
о
1 — 2у
2A -V)
о
о
о
о
о
1 - 2v
F.14)
110
Глава 6
6.2.4. Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок
Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем
случае соотношением B.10), можно проинтегрировать точно,
так как компоненты деформации и напряжения постоянны внут-
внутри элемента.
Подматрица с индексами rs матрицы жесткости имеет раз-
размерность 3 X 3 и определяется соотношением
[*«]=» [BJWBJV, FЛ5)
где V — объем тетраэдра.
Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, за-
записываются в виде, аналогичном D.31):
{/ч;=-[в]г[/)]{в„}У,
нли Для i-й компоненты
(еле)
Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных
начальными напряжениями.
Фиг. 6.2. Способ разбиения трехмерного тела иа элементы типа «кирпичиков:»,
Сходство с результатами гл. 4 очевидно, так что необходи-
необходимость в дальнейщих выводах отпадает. Читатель не встретит
никаких трудностей при составлении вычислительной про-
программы.
Распределенные объемные силы снова могут быть заданы их
составляющими X, Y, Z или потенциалом объемных сил. Как и
раньше, можно показать, что если объемные силы постоянны,
то компоненты их результирующей распределяются по узлам
элемента равномерно [см, D,34)].
Фиг. 6.3. Составной элемент с восемью узлами и два способа разбиения его
на пять тетраэдров (о и б).
112
Глава б
6.3. Составные элементы с восемью узлами
Иногда при аппроксимации объема отдельными тетраэдрами
теряется наглядность, что может легко привести к ошибкам в
нумерации узлов и т. д. Удобнее разбивать пространство на
восьмиугольные «кирпичики». Это осуществляется, как показа-
показано на фиг. 6.2, рассечением трехмерного тела параллельными
плоскостями и разбиением полученных сечений на четырех-
четырехугольники.
Элементы такого типа можно считать состоящими из не-
нескольких тетраэдров, построение которых осуществляется с по-
помощью простой логической программы. Например, как показа-
показано иа фиг. 6.3, любой кирпичик можно разделить на пять тетра-
тетраэдров двумя (и только двумя) различными способами. Усред-
Усреднение результатов этих двух типов разбиения приводит к не-
незначительному увеличению точности. Напряжения хорошо пред-
представлять усредненными по всему кирпичику.
| РазИценце на
I die vacifru
. Разбиение
а \ каждой
/j \ \кз частей
фиг. 6.4. Способ разбиения восьмиугольного «кнрпнчика» на шесть тетраэдров.
Трехмерное напряженное состояние
ИЗ
Разбиение кирпичика на шесть тетраэдров показано на
фиг. 6.4. Очевидно, что существует много других возможностей.
В последующих главах мы увидим, что такое разбиение мо-
может быть полезным для построения и более сложных типов
элементов.
6.4. Примеры и заключительные замечания
Простой пример применения тетраэдральных элементов по-
показан на фиг. 6.5 и 6.6. Приближенное решение хорошо извест-
Фиг. 6.5. Задача Буссннеска как пример исследования трехмерного напряжен-
напряженного состояния.
Граничные условия: м«
о=ш=0 на ABCD, „ AEFR I И3 УСЛОВИЯ симметРни'всеДРУ*
гне границы сзободные.
ной задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на
упругое полупространство получено в результате исследования
конечного объема кубической формы. Использование симметрии
позволяет сократить число неизвестных и записать краевые ус-
условия для перемещений в указанном на фиг. 6.5 виде [11]. Так
как нулевые перемещения заданы на конечном расстоянии от
места приложения нагрузки, перед построением представленных
на фиг. 6.6 графиков результаты корректировались по точному
решению. Значения полученных напряжений и перемещений
оказались довольно точными, хотя следует отметить, что раз-
разбиение было достаточно грубым. Однако даже для такой
Сечение ,
*= - 15см
\ S.3
-ю, в
39,2-10*Н
^Вычисленное значение
—^-Точное значение
a
z= -53,5см
г=-//4см
3,05
3,05-
i e./o-
9J5-
39,2-/04H
/
¦
• 3.05 X
Фиг. 6.6. Задача Буссннеска.
а— напряжения в вертикальной направлении о ; б—вертикальные перемещения
^¦¦" ^рматура~\
г =0,15
Ж
Фнг. 6.7. Расчет сосуда высокого давления реактора с использованием простых тетраэдральных элементов.
элементы и некоторые результаты расчета напряжений.
Геометрия,
m
Глава 6
простой задачи пришлось решать систему из 375 уравнений.
В работах [5—11] с помощью тетраэдральных элементов рассмо-
рассмотрены более сложные задачи. На фиг. 6.7, взятой из работы [5],
приведены результаты расчета сосуда высокого давления слож-
сложной формы. В этой задаче рассматривалось около 10 000 степе-
степеней свободы. В гл. 9 буде» показано, что использование более
сложных элементов позволяет провести достаточно точный рас-
расчет аналогичной задачи с гораздо меньшим общим числом сте-
степеней свободы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gallagher R. H., Padlog J., Bijlaard P. P., Stress Analysis of Heated Comp-
Complex Shapes, ARS J., 700—707 A962); есть русский перевод: Галлагер, Пад-
лог, Бейлард, Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, под-
подверженных нагреву, Ракетная техника и космонавтика, 32, № 5, стр. 52—
61 A962).
2. Melosh R. J., Structural Analysis of Solids, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.,
S. T. 4, 205—223 (Aug. 1963).
3. Argyris J. H., Matrix Analysis of Three-Dimensional Elastic Media —
Small and Large Displacements, JAIAA, 3, 45—51 (Jan. 1965); есть русский
перевод; Аргирис, Матричный анализ малых и больших перемещений в
трехмерных упругих средах, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 1,
стр. 177—186 A965).
4. Argyris J. H., Three-Dimensional Anisotropic and fnhomogeneous Media —
Matrix Analysis for Smail and Large Displacements, Ingeniour Archiv., 34,
¦ 33—55 A965).
5. Rashid Y. R., Rockenhauser W., Pressure Vessel Analysis by Finite Element
Techniques, Proc. Conf. on Prestressed Concrete Pressure Vessels, [nst. Civ.
Eng., 1968.
6. Argyris J. H., Continua and Discontinua, Proc. Conf. Matrix Methods in
Structural Mechanics, Wright Patterson Air Force Base, Ohio, Oct. 1965.
7. frons В. М., Engineering Applications of Numerical Integration in Stiff-
Stiffness Methods, JAIAA, 4, 2035—2037 A966); есть русский перевод: Айронс,
Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей,
Ракетная техника и космонавтика, 4, № 11, стр. 213—216 A966).
8. Ergatoudis J., frons В. М., Zienkiewicz О. С, Three Dimensional Analysis
of Arch Dams and Their Foundations, Proc. Symp. Arch Dams, Inst. Civ.
Eng., 1968.
9. Argyris J. H., Redshaw J. C, Three Dimensional Analysis of Two Arch
Dams by a Finite Element Method, Proc. Symp. Arch Dams, fnst. Civ. Eng.,
1968.
10. Fjeld S., «Three Dimensional Theory of Elastics», Finite Element Methods
in Stress Analysis, Holand I., Bel! K., eds., Tech. Univ. of Norway, Tapir
Press, Trondheim, 1969.
11. Pedro J. O., Thesis 1967, Laboaratorio Nacional de Engenharia Civil, Lis-
Lisbon.
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ ФОРМЫ ЭЛЕМЕНТА.
НЕКОТОРЫЕ СЕМЕЙСТВА ЭТИХ ФУНКЦИЙ
7.1. Введение
В предыдущих трех главах дано довольно подробное описа-
описание, как могут быть поставлены и решены задачи линейной тео=-
рии упругости с помощью конечных элементов простейших форм.
Хотя подробные выкладки проведены только для функций фор-
формы, относящихся к треугольным и тетраэдральным элементам,
очевидно, что точно так же можно было бы рассмотреть и
другие элементы. Фактически если выбран тип элемента и опре-
определены соответствующие функции формы, то все дальнейшие
действия просты, порядок их ясен и они могут быть выполнены
вычислителем, не знакомым с физическим содержанием задачи.
Из последующего станет ясно, что вполне возможно составить
программу, позволяющую решать на машине широкие классы
задач только при задании определенных функций формы. Од-
Однако выбор функций представляет собой вопрос, требующий
разумного решения, в принятии которого роль человека пока
является определяющей. В настоящей главе излагаются пра-
правила построения некоторых семейств одномерных, двумерных и
трехмерных элементов.
В задачах теории упругости, рассмотренных в гл. 4—6, пере-
перемещения представляли собой двух- или трехкомпоиентный век-
вектор, а функции формы записывались в матричном виде. Однако
функции формы строились для каждой компоненты в отдельно-
отдельности, и матричные выражения, по существу, получались путем
умножения некоторой скалярной функции на единичную м,а-
трицу [см., например, D.7), E.3) и F.7)]. Поэтому в этой главе
ограничимся рассмотрением только скалярных функций формы
Nt (штрихи в обозначениях опущены).
Функции формы, использованные при решении задач теории
упругости в перемещениях, удовлетворяли критериям сходимо-
сходимости глав 2 и 3:
а) непрерывность только неизвестных должна иметь место
между элементами (т. е. непрерывность угла наклона не тре-
требуется);
б) функция должна допускать выбор произвольной линей-
линейной формы, обеспечивающей постоянство деформаций (постоян-
(постоянство первой производной функции).
118
Глава 7
От функций формы, которые рассматриваются в этой главе,
требуется только, чтобы они удовлетворяли этим двум крите-
критериям. Поэтому их можно использовать во всех задачах преды-
предыдущих глав и .в других задачах, в которых требуется выполне-
выполнение только этих условий. Например, введенные здесь элементы
и функции можно использовать во всех задачах гл. 15. Факти-
Фактически они применимы всегда, когда в функционал % (см. гл. 3)'
входят производные только первого порядка.
Семейства элементов отличаются друг от друга числом сте-
степеней свободы. Возникает вопрос: можно ли получить преиму-
преимущества экономического или какого-либо другого характера,
усложняя элемент путем увеличения числа степеней свободы?
Ответить на него нелегко, хотя можно сказать, что, как пра-
правило, при заданной степени точности усложнение элемента при-
приводит к уменьшению общего числа неизвестных. Однако эконо-
экономичность алгоритма определяется как временем счета, так и
степенью сложности подготовки входных данных. При умень-
уменьшении числа переменных может заметно увеличиться время, не-
необходимое для получения.основных соотношений, хотя время
решения уравнений при этом уменьшается.
В предыдущей главе уже упоминалось, что повышение эф-
эффективности алгоритма особенно важно при решении трехмер-
трехмерных задач.
Это важно и при решении других задач, поэтому в каждом
конкретном случае должна быть найдена оптимальная форма
элемента.
ДВУМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.2. Прямоугольные элементы.
Некоторые предварительные соображения .
Очевидно, что (особенно, если читатель привык использо-
использовать декартову систему координат) простейшим плоским эле-
элементом является прямоугольник со сторонами, параллельными
осям х и у- Рассмотрим, например, прямоугольник, изображен-
изображенный на фиг. 7.1. Здесь узловые точки пронумерованы от 1 до 8.
Значения неизвестной функции ф в них представляют собой па-
параметры элемента. Как определить функции формы для эле-
элемента такого типа?
Предположим сначала, что они являются полиномами по х
и у. Для того чтобы функция ф была непрерывна между элемен-
элементами, она должна изменяться вдоль верхней и нижней границ
по линейному закону. Для каждого из элементов, расположен-
расположенных выше или ниже рассматриваемого прямоугольника, суще-
существуют две точки, в которых функции принимают заданные зна-
Функции формы элемента
119
чения, н, так как два значения единственным образом опреде-
определяют линейную функцию, условие непрерывности выполняется
во всех точках этих сторон. Это обстоятельство уже использо-
использовалось при выборе линейной функции формы для треугольника.
Аналогично если вдоль вертикальных сторон принят куби-
кубический закон изменения функции формы, то условия непрерыв-
непрерывности на них выполняются, так как четыре значения единствен-
единственным образом определяют кубическое разложение. Первый кри-
критерий при этом удовлетворяется.
Фиг. 7.1. Прямоугольный элемент.
Для того чтобы производная могла принимать любые на-
наперед заданные значения, в разложении необходимо учитывать
все линейные члены.
Так как для определения функции имеется восемь точек, в
разложении можно оставить только восемь членов, т. е. можно
положить
Ф = а, + eye + а3г/ + од + аьу2
+ а7
G.1)
Вопрос о том, какие именно члены следует сохранить в по-
полиноме, можно решить единственным образом, если оставить
члены возможно более низкого порядка, хотя мы поступили
по-другому1). Читатель может легко убедиться, что теперь вы-
выполнены все необходимые требования.
Подставляя координаты различных узловых точек, получим
систему уравнений для определения коэффициентов. Она запи-
') Сохранение в разложении члена высшего порядка, а не более низкого
приводит обычно к несколько худшей аппроксимации, хотя сходимость прн
-сохраняется [1].
120
Глава 7
сывается, как и D.4) для треугольника, в виде
+1
ИЛИ
Отсюда получаем
{ФУ=[С]{а}.
н формулу G.1) можно записать в виде
ф = [Р]{а} = [Р}[СГ1{ф}е,
где
[Р] = [1,х,у,ху,у\ху\у\ху%
G.2)
G.3)
G.4)
G.5)
G.6)
Таким образом, функция формы для этого элемента, опреде-
определяемая равенством
j> = [N\{j>Y=[№i, N%, ,.., N$]{<j>}e, G.7)
находится из соотношения
[N] = [P][C\~l. G.8)
Этот метод, не требующий большой изобретательности, часто
используется на практике, однако он имеет существенные-недо-
статки. Иногда матрица [С] может не иметь обратной [2], и,
кроме того, всегда нахождение обратной матрицы в общем
виде, пригодном для элементов всех конфигураций, сопряжено
с преодолением значительных алгебраических трудностей. По-
Поэтому целесообразно выяснить, нельзя ли прямо записать функ-
функции формы Ni(x,y). Прежде чем сделать это, рассмотрим не-
некоторые общие свойства этих функций.
Некоторые важные свойства можно выявить, анализируя
соотношение G.7). Во-первых, так как это равенство справед-
справедливо для всех {ф}е, то
в узле I н обращается в нуль во всех остальных узлах. Кроме
того, должны соблюдаться законы изменения функции вдоль
границ, обусловленные требованиями непрерывности (в приве-.
денном примере — линейный закон по х и кубический по у). На
фиг. 7.2 в изометрии изображены функции формы для рассмат-
рассматриваемых элементов, соответствующие двум типичным узлам.
Ясно, что их можно записать в виде произведений соответствую-
соответствующих функций, линейных по х и кубических-по у. Очевидно, что.
Функции формы элемента
121
такое простое решение, как в этом примере, возможно не все-
всегда, однако вообще рекомендуется записывать функции формы
в явном виде.
В дальнейшем удобно использовать нормализованные коорди-
координаты. Такие координаты показаны на фиг. 7.3; они выбираются
так, чтобы стороны прямоугольника совпадали с координатными
Фиг. 7.2. Функции формы для элемента, показанного иа фиг. 7.1.
У
(
?
-Г
7=-
С
\/
1
1
1 ж
>
t
.О
\
\
Фнг. 7.3. Нормализованные координаты для прямоугольника.
122
Глава 7
линиями ±1. Эти координаты связаны с координатами хну
соотношениями
х — х dx
G.9)
Если функции формы известны в нормализованных координа-
координатах, то переход к первоначальной системе координат и преобра-
преобразование различных выражений, встречающихся, например, при
определении жесткости, тривиальны и их можно осуществить
с помощью соотношений G.9).
7.3. Прямоугольные элементы. Снрендипово семейство [3, 4]
Удобнее всего выразить функции через координаты узлов
на границе элемента. Рассмотрим, например, первые три эле-
элемента, изображенные на фиг. 7.4. Количество узловых точек
в
Фиг. 7.4. Прямоугольники с узлами иа границе (сирендипово семейство).
а — элемент первого порядка; 6 — элемент второго порядка; е— элемент третьего порядка
г —элемент четвертого порядка.
на сторонах этих элементов увеличивается, причем их число на
каждой стороне одинаково. Для обеспечения непрерывности
функция формы должна изменяться вдоль границ элементов
а — в по линейному, параболическому и кубическому законам
соответственно.
Чтобы построить функцию формы для первого элемента, от-
отметим, что произведение
Функции формы элемента
123
равно единице в верхнем правом углу, где § = т) = 1, и нулю
в остальных углах. Эта функция изменяется вдоль всех сторон
линейно, и, следовательно, условие непрерывности выполняется.
Введение новых переменных
So = Si, Ло = ТО GЛ1)
позволяет записать все функции формы в виде одного выраже-
выражения
(l+y(l+Tio). G-12)
Так как линейная комбинация этих функций формы позво-
позволяет описать произвольный линейный закон изменений ф, вто-
второй критерий сходимости тоже удовлетворяется.
Читатель легко может убедиться, что приведенные ниже
функции для элементов второго и третьего порядков удовлетво-
удовлетворяют всем необходимым критериям.
Элемент второго порядка:
угловые узлы
4 A3)
узлы на сторонах
Элемент третьего порядка:
угловые узлы
N, = ± A + So) A + %) [- 10 + 9 (I2 + т,2)],
узлы на сторонах
|(=±1 и tii = ±-g,
G.14)
Выражения для узлов на других сторонах получаются заменой
переменных.
В следующем элементе этого семейства — элементе четвер-
четвертого порядка [5] — добавляется центральная узловая точка, так
что следует рассматривать все члены полного полинома четвер-
четвертого порядка. Благодаря наличию центрального узла добав-
добавляется функция формы A—12)A — f\2), которая обращается
в нуль на всех сторонах.
Приведенные функции были найдены путем подбора. Полу-
Получить функции формы для элементов этого семейства более
124
Глава 7
высокого порядка достаточно трудно, и требуется некоторая
изобретательность. Своим названием это семейство обязано
принцам Сирендипским, прославившимся своими неожидан-
неожиданными открытиями (Гораций Уолпол, 1754). -
Для многих практических целей могут потребоваться эле-
элементы с различным числом степеней свободы в направлениях 1
и ц. В частности, такие элементы могут использоваться, когда
в каком-то определенном направлении напряжения изменяются
по заданному закону, а в другом — произвольно (как, напри-
например, в балке). Некоторые функции формы таких элементов, а
также элементов с различным числом степеней свободы на про-
противоположных сторонах рассматрнваются в работе [2], но чита-
читатель может и сам испробовать свое мастерство для их построе-
построения.
7.4. Прямоугольные элементы. Лаграижево семейство [3, 6, 7]
Простой и универсальный способ получения функции формы
любого порядка состоит в перемножении соответствующих по-
полиномов по каждой из двух координат. Рассмотрим элемент,
показанный на фиг. 7.5, в котором внутренние и внешние узлы
располагаются на правильной сетке. Пусть требуется опреде-
определить функцию формы для точки, обведенной кружочком. Оче-
Очевидно, что произведение полинома пятой степени по |, равного
единице в точках второго столбца и нулю во всех остальных
узлах, на полином четвертой степени по ц, равный единице при
значениях координат, соответствующих верхней строке узлов, и
нулю в остальных узлах, удовлетворяет условиям непрерывно-
непрерывности между элементами.
Полиномы от одной переменной, обладающие таким свой-
свойством, называются полиномами Лагранжа. Они записываются
в виде
г п _ (E-Ei)(l- S2)...(S-l;-i)(l - Si+i)...(S -SrO ,, , кч
Таким образом, если пометить узел номером столбца и номером
строки, на пересечении которых он расположен, то получим
Ыц = Li (|) LT(n\), G.16)
где пит — количество разбиений в каждом направлении.
На фиг. 7.6 показано несколько элементов этого бесконеч-
бесконечного семейства. Несмотря на то что такие элементы просто по-
получить, применение их не всегда полезно не только вследствие
введения большого числа внутренних узлов, но и из-за плохой
аппроксимации кривых полиномами высоких порядков. Следует
—«
Фиг. 7.5. Типичная функция формы для элемента лагранжева семейства.
Фиг. 7.6. Три элемента лагранжева семейства,
элемент первого порядка; б —элемент второго порядка; в — элемент третьего порядка.
126
Глава 7
отметить, что выражения для функций, формы содержат члены
высоких порядков, тогда как некоторые члены более низкого
порядка в них отсутствуют.
7.5. Внутренние узловые точки и неузловые переменные
На фиг. 7.4 и 7.6 элементы первого порядка одинаковы,
а элементы второго порядка отличаются наличием центральной
точки. Функции формы для двух типов элементов второго по-
порядка приведены на фиг. 7.7.
г—f
LJ
Фнг. 7.7. Функции формы для элементов второго порядка снрендапова в
лагранжеьа семейств.
Функции формы элемента
127
На границах элементов эти функции однозначно опреде-
определяются значениями в граничных узлах, и, следовательно, на
границах они совпадают (хотя внутри элементов и существуют
различия). Дополнительная степень свободы элемента лагран-
жева семейства описывается дополнительной функцией, умно-"
женной на некоторый параметр и равной нулю на границах.
Этот параметр представляет собой значение функции ф в цен-
центральном узле.
Ясно, что можно построить элемент семейства Сирендипа с
таким же числом степеней свободы, вводя дополнительную
функцию формы, обращающуюся на границах в нуль, и умно-
умножая ее на некоторый параметр элемента ф*. Все функции формы
для элементов Лагранжа можно использовать и для элементов
Сирендипа, но при этом множители не соответствуют никаким
узловым значениям функции ф. Множитель ф* можно назвать
неузловым параметром элемента.
Минимизация функционала по такому параметру осущест-
осуществляется так же, как и для внутреннего узла, ио физический
смысл таких величин, как узловые силы и т. д., теперь уже не
ясен. При желании каждому элементу можно поставить в соот-
соответствие несколько неузловых параметров.
Этот прием обычно не имеет больших преимуществ, так как
введение неузловых параметров не изменяет функцию формы
на границах.
До сих пор фуикции формы строились только в виде полино-
полиномов. Это имеет много преимуществ. В частности, в полином вхо-
входят линейные члены, необходимые для выполнения требования
постоянства производной. Однако при наличии дополнительных
степеней свободы пет необходимости ограничиваться полинома-
полиномами. С таким же успехом в предыдущем примере можно было бы
использовать, например, функцию
cos-f-Ecos-jf-ч, G.17)
тождественно равную нулю на границах.
7.6. Исключение внутренних переменных при составлении
ансамбля. Подконструкции
При использовании внутренних узлов и неузловых парамет-
параметров обычным путем выводятся соотношения (см. гл. 2 и 3):
А-\к?{ФУ + {Р}е- G.18)
Поскольку каждую из функций {ф}е можно разделить на две
части, одна из которых {ф)е связана с соседними элементами,
128
Глава 7
а другая {<f}e характерна только для данного элемента, можно
записать
д1
= 0
1 = t,
д {ФУ д [Ф}е
и исключить {<j>Y нз дальнейшего рассмотрения. Запишем G.18)
в виде
Ж-
1 а [Ф\°
дхе
д ще
0
\kf [ft]'
Из второй строки G.19) находим
ffy = _ [If-1 ([k]eT {фу + {F}e) G.20)
и после подстановки этого выражения в первую строку G.19)
получаем
^gr-mfj'+w. G.2D
где _
гь*1« = r?ie _ r?ie rEV г^1еГ
G-22)
Далее составляется система уравнений, содержащая лишь
переменные, связанные с границами элементов, для всей обла-
области. Такой прием позволяет за счет некоторых преобразований
iZ_LZ_JZ_lZ_l/
—{5-—if——я—-я я]
Фнг. 7.8. Сложный элемент.
на начальной стадии рассмотрения отдельного элемента суще>
ственно упростить решение системы уравнений.
Уместно дать интерпретацию такому способу исключения
нсузловых переменных и провести аналогию со строительной
механикой. Описанный прием, по существу, сводится к выделе-
Функции формы элемента
129
нию части конструкции и нахождению решения для этой части
при заданных произвольных перемещениях на границах. Матри-
Матрица [k*]e представляет полную жесткость выделенной части, а
[F*}e — эквивалентную систему узловых сил.
Если разбиение на треугольные элементы, показанное на
фиг. 7.8, интерпретировать как совокупность шарнирно соеди-
соединенных стержней, читатель без труда узнает хорошо известный
прием выделения подконструкции, часто используемый в строи-
строительной механике.
Такая подконструкция, по существу, представляет собой
сложный элемент, внутренние степени свободы которого исклю-
исключены.
Описанный прием позволяет
строить сложные элементы, которые
обеспечивают получение более точного
решения.
На фиг. 7.8, а изображена разде-
разделенная на треугольные элементы
часть сплошной среды. Подконструк-
цией в этом случае является один
сложный элемент с несколькими гра-
граничными узлами (фиг. 7.8,6).
Единственное отличие таких элементов от элементов, по-
построенных в предыдущем разделе, состоит в том, что неизвест-
неизвестная функция ^'аппроксимируется не гладкими функциями фор-
формы, а набором кусочно-гладких функций. Это, по-видимому,
приводит к несколько худшей аппроксимации, но зато может
позволить сократить общее время расчета всей конструкции.
Выделение подконструкции удобно при решении сложных задач,
особенно если рассматриваемая область составлена из повто-
повторяющихся элементов.
Результаты решения простейших задач методом конечных
элементов показывают, что использование сложных элементов,
составленных из треугольников (или тетраэдров), приводит к
лучшим результатам, чем применение простых треугольных
элементов. Например, использование четырехугольника, состав-
составленного из четырех треугольников, с исключенной центральной
точкой (фиг. 7.9) выгоднее использования простых треугольни-
треугольников. Этот и другие виды составленных из треугольников эле-
элементов подробно рассмотрены Уилсоном [8].
Фиг. 7.9. Четырехугольник,
составленный из четырех
простых треугольников.
7.7. Семейство треугольных элементов
В предыдущих главах в достаточной мере продемонстриро-
продемонстрированы преимущества произвольного треугольника при аппрокси-
аппроксимации любой формы контура. Превосходство его перед
5 Зак. 613
130
Глава 7
прямоугольником очевидно и не нуждается в дальнейшем обсу-
обсуждении.
з
Фиг. 7.10. Семейство треугольных элементов,
а —элемзнт первого порядка; б —элемент второго порядка; в — элемент третьего порядка^
Рассмотрим ряд треугольников, изображенных на фиг. 7.10.
Число узлов в каждом.элементе этого семейства таково, что
позволяет построить полный по-
полином порядка, необходимого
для обеспечения совместности
между элементами. Это харак-
характерное свойство ставит семей-
семейство треугольников в привиле-
привилегированное положение, так как
обращение матрицы [С] всегда
будет существовать [2] (см.
k2 (-7.3)]. Однако, как и ранее, пред-
предки ) почтительнее прямой путь полу-
г"г чения функций формы, и, как
Фиг. 7.11. L-координаты. будет показано, он достаточно
¦прост.
Удобно ввести для треугольника специальную систему нор-
нормализованных координат.
Функции формы элемента
131
7.7.1. L-координаты')
При рассмотрении прямоугольных элементов выбор декар-
декартовой системы координат с осями, параллельными сторонам
прямоугольника, был естественным. Однако для треугольника
такая система неудобна.
Для треугольника с узлами 1, 2, 3 (фиг. 7.11) удобно ввести
систему координат Li, L\ и Ьз, связанную с декартовой следую-
следующими линейными соотношеииями:
G.23)
Каждой совокупности координат Lu 1л, L% (которые не яв-
являются независимыми и связаны между собой третьим соотно-
соотношением) соответствует единственная пара декартовых коорди-
координат. Узел 1 имеет координаты Ц = 1, L2 = L3 = 0 и т. д.
Линейная связь между новыми и декартовыми координатами
означает, что линии L\ = const представляют собой прямые, па-
параллельные стороне 2—3, на которой L\ = 0.
Легко видеть, что координату Lt точки Р можно определить
как отношение площади заштрихованного треугольника к пло-
площади всего треугольника:
г площадь Р23 п „ .,
Ь' ~~ площадь 123 ' К •**'
Разрешая соотношения G.23), получаем
L,
2Д
2х
2Д
2Д
где
A-idet
«2
«3
= площадь 123
G.25)
С7.26)
"Отметим, что эти выражения тождественны полученным в
гл. 4 [соотношения D.56), D.5в)].
') В оригинале Area coordinates, т. е. координаты, связанные с пло-
площадью. — Прим. ред.
132
Глава 7
7.7.2. Функции формы
Для первого элемента семейства, изображенного на
фиг. 7.10, а, функции формы — просто L-координаты. Таким об-
образом,
iV, = L,, N2 = L2, iV3 = L3. G.27)
поскольку каждая из этих координат равна единице в одном
узле н нулю — в остальных узлах и изменяется линейно.
Для построения функций формы остальных элементов мож-
можно получить простое рекуррентное соотношение [2]. Предполо-
1
f и порядок
\\—tn*tj-u порядок
Фиг. 7.12. Рекуррентное правило построения функций формы для треуголь-
треугольников.
жим, что функции формы для треугольника я-го порядка из-
известны. Построим функции формы для треугольника (я -(- 1)-го
порядка. На фиг. 7.12 показаны два таких треугольника с рав-
равноотстоящими друг от друга узлами. Для типичного узла i из-
известная функция формы я-го порядка
Nl{Li, Li, Lf)
G.28)
выражается через L-координаты треугольника 123. Эта функ-
функция формы может быть выражена через /.-координаты большего
треугольника 12*3* после установления связи между коорди-
координатами. Она будет принимать единичное значение в точке i и
нулевое во всех остальных узлах нового треугольника, кроме
узлов, расположенных на основании 2*3* треугольника.
Легко показать, что
JV?+1 = cL?+V? G.29)
будет искомой функцией формы, если с — масштабный множи-
множитель, обеспечивающий единичное значение в точке i при равен-
равенстве L"+ нулю на основании большего треугольника, Масштаб-
Функции формы элемента
133
ный множитель задается соотношением
Кг —- i у
G.30)
где / — число слоев, для которых номера узлов меньше i. Функ-
Функции формы для узлов, расположенных на основании треуголь-
треугольника, могут быть получены простой перестановкой индексов.
Связь между этими двумя координатами ясна из фиг. 7.12,
откуда видно, что
, ги-i площадь PI3*
площадь 123 ' площадь 12*3* '
.1 _ площадь Р13
2
Следовательно,
гп площадь Р\3 площадь 12*3* ггс+1
2 площадь Р\3" площадь 123
Аналогично
и, учитывая, что Lt-)- L2 + L3=l, получаем
г ГС Я+ I гП + 1
¦2 == —~— L2 , G.
G.316)
G.31в)
Читатель может легко проверить, что приведенные ниже
функции являются функциями формы для элементов второго
и третьего порядков, и получить аналогичные функции для эле-
элементов более высоких порядков,
Треугольник второго порядка (фиг. 7.10,6].
Для угловых узлов
N1 = BLl—l)Ll и т. д.,
для узлов на сторонах
jV4=4L,L2 и т. д.
G.32)
Треугольник третьего прядка (фиг. 7.10, а].
Для угловых узлов
N1=~(bLl~l)CL,-2)Ll и т. д.,
для узлов на сторонах
JV4 = |l,L2C3Z.,-1) и т. д.,
G.33)
134
Глава 7
и, наконец, для-внутреннего узла
Последняя функция обращается в нуль на границе. В гл. 10 она
используется в другом смысле.
Треугольник вто.рого порядка впервые был построен Вебеке
[9] и применен Аргирисом [10] для исследования плоского на-
напряженного состояния.
При получении матриц элемента возникает проблема инте-
интегрирования по площади треугольника величин, зависящих от
L-координат. Поэтому полезно иметь в виду следующее соотно-
соотношение:
ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.8. Линейные элементы
До сих пор рассматривались только двумерные и трехмерные
задачи. Для одномерных задач метод конечных элементов не-
применялся, поскольку для них, как правило, можно получить
точное решение. Однако во многих встре-
встречающихся на практике случаях могут по-'
требоваться и такие элементы, поэтому же-
желательно рассмотреть их с тех же позиций,
что и остальные. При решении задач упру-
упругости одномерными элементами можно
аппроксимировать армирующие волокна
(в двумерных и трехмерных задачах) или
тонкие листовые обшнвки в осесимметрич-
ных и трехмерных телах. При исследовании
задач теории поля, типа рассматриваемых
в гл. 15, они могут аппроксимировать
дренаж в пористой среде меньшей прово-
проводимости.
. Если для элемента такого типа выбрана
функция формы, то можно определить его
характеристики, причем такие величины,
как деформация и т. д., должны рассматриваться только в од-
одном направлении.
На фиг. 7.13 показан такой элемент, расположенный между
двумя соседними элементами третьего порядка. Ясно, что для
выполнения условий совместности необходимо, чтобы функция
формы была полиномом третьего порядка относительно един-
единственной переменной |. Такими функциями формы являются
полиномы Лагранжа, определяемые формулой G.15).
Фиг. 7.13. Линейный
элемент, расположен-
расположенный между двумя
двумерными элемен-
элементами.
Функции формы элемента
135
ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
7.9; Прямоугольные призмы. Сирендипово семейство [11, 12]
По аналогии с предыдущими разделами¦ можно построить
трехмерные, элементы с дополнительными узлами. Однако те-
теперь описанные ранее простые правила обеспечения непрерыв-
непрерывности между элементами нужно изменить. Необходимо, чтобы
изменение функции формы на грани элемента единственным
образом определялось узловыми значениями. Для некоторых
полиномов это можно обеспечить только подбором.
Семейство элементов, показанное на фиг. 7.14, эквивалентно
семейству, изображенному на фиг. 7.4. Используя трехмерные
& узлов
1= -1
20 узлов
32 узда
Фиг. 7.14. Правильные призмы с узлами на границе (сирендипово семейство)
и соответствующие плоские и линейные элементы.
136
Глава 7
нормализованные координаты и следуя терминологии разд. 7.3,
получим следующие функции формы:
Элемент первого порядка (8 узлов):
С+ЕH+%)(»+W G.36)
Элемент второго порядка B0 узлов): угловые узлы
N, = j A + ?о) A + %) A + ?о) (?о + % + So - 2); G.36)
типичный узел на ребре
Nt = | A-
Ь>).
Элемент третьего порядка C2 узла): угловой узел
^(l+l)(l+)(l+S)[9(?2 + 2 + S2)
-19]; G.37)
типичный узел на ребре
Ы, = -^ A - S2)(l + 9ЫA +тю}A +Б>).
При ? = 1 = ?о приведенные выражения сводятся к G.12) —
G.14). Такие трехмерные элементы могут соединяться с пло-
плоскими или одномерными элементами соответствующего типа,
как показано на фиг. 7.14.
7.10. Прямоугольные призмы. Лагранжево семейство
Функция формы для элементов показанного на фиг. 7.15
типа может быть построена в виде полинома Лагранжа. Обоб-
Обобщая обозначения, использованные в G.16), запишем
Ni/i = Ь? (с,) Lj (t\) Li (С,). (I .до)
Элемент такого типа предложен Эргатудисом [6] и подробно
изучен Аргирисом [7]. Все замечания относительно внутренних
узлов и пределов применимости, сделанные в разд. 7.4, спра-
справедливы и здесь.
7.11. Тетраэдральные элементы
Не удивительно, что семейство тетраэдров, показанное на
фиг. 7.16, обладает свойствами, сходными со свойствами семей-
семейства треугольников.
Во-первых, снова на каждом этапе используются полные
полиномы от трех координат. Во-вторых, поскольку грани раз-
Фиг. 7.15. Правильная призма из лагранжева семейства.
Фиг. 7.16. Семейство тетраэдров.
Я—элемент первого порядка; б —элемент второго порядка; в — элемент третьего порядка*
138
Глава 7
деляются, как и соответствующие треугольники, то в плоскости
грани получается полином одинакового порядка по двум коор-
координатам и, таким образом, совместность элементов обеспечи-
обеспечивается.
7.11.1. Пространственные L-координаты ')
Введем специальные координаты (фиг. 7.17) с помощью со-
соотношений
х = Lxx{ + L&2 + L3x3 + Цх4,
У =
z = L,z, + L2z2
Z,4z4,
Разрешая эти соотношения относительно Lit получаем выра^
жения типа G.25) и G.26), коэффициенты которых опреде-
определяются соотношениями, тождественными F.5). Координаты
4
Фнг. 7.17. Пространственные /.-координаты.
точки Р представляют собой отношения объемов тетраэдров с
вершиной в этой точке к объему всего тетраэдра (см., напри-
например, фиг. 7.17):
, объем Р234 ._ .
L' = объем 123Г И Т- Д- G-40>
') В оригинале Volume coordinates, т. е. координаты, связанные с объемов- —
Прим. ред.
Функции формы элемента
139
7.11.2. Функция формы
Поскольку пространственные L-координаты связаны с декар-
декартовыми линейно и принимают значения от единицы в какой-
либо вершине до нуля иа противоположной грани, то функции
формы элемента первого порядка (фиг. 7.16) имеют вид
Nl = Lu N2 = L2 и т. д. G.41)
Выражения для функций формы тетраэдров более высоких по-
порядков получаются, как и для треугольников, с помощью соот-
соответствующего рекуррентного соотношения. Оставляя его полу-
получение в качестве упражнения, приведем ряд примеров.
Тетраэдр второго порика (фиг. 7.16, б):
для угловых узлов
, = BLt— 1)Z., и т. д.,
для узлов на ребрах
и т. д.
Тетраэдр третьего порядка:
для угловых узлов
AT1==4-CZ.1-1)CL1-2)L1 и т. д.,
для узлов на ребрах
Afs = -|z,1Z.2CZ.1 —1) и т. д.,
для узлов на гранях
AfI8 = 27L,L2L3 и т. д.
Приведем формулу интегрирования
G.42)
G.43)
G-44)
7.12. Некоторые другие простые трехмерные элементы
Ясно, что возможности построения элементов простых форм
в трехмерном случае гораздо шире, чем в двумерном. Напри-
Например, ряд элементов можно построить, исходя из трехгранной
призмы (фиг. 7.18). При этом опять можно использовать ла-
гранжев и сиреидипов подходы. Первые элементы обоих се-
семейств одинаковы, и функции формы для них столь очевидны,
что приводить их здесь нет необходимости.
lIBi
—^s&s§^
j \ j
/ V
Щ
m
v
Щ
P
у
Щ
/
e I
Функции формы элемента
141
Для элемента второго порядка, изображенного на фиг. 7". 18, б,
функции формы имеют вид:
для угловых узлов (?.i=ti=l)
lyMl-a G.45)
для узлов на сторонах треугольников
iV10 = 2Z,,L2(l+O и т. д., G.46)
для узлов на сторонах прямоугольников
iV7 = Ml-?2) и т. д.
Сами такие элементы используются мало, но иногда находят
практическое применение как составляющие сложного элемента
в виде параллелепипеда с двадцатью узлами.
7.13. Заключительные замечания
В настоящей главе было описано множество различных ти-
типов элементов, причем возможности построения элементов этим
не исчерпываются [4, 12]. Что же можно сказать о применении
сложных элементов? За исключением треугольников и тетра-
тетраэдров, все остальные рассмотренные элементы применяются
только в тех случаях, когда исследуемая область может быть
представлена'в виде некоторой совокупности правильных призм.
Это очень сильное ограничение, и построение функций формы
для таких элементов было бы практически бесполезным, если
бы не существовало возможности деформирования элементов
в соответствии с границами области. Методы деформирования в
настоящее время существуют, и они будут описаны в следующей
главе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dunne P. С, Complete Polynomial Displacement Fields for Finite Element
Methods, Trans. Roy. Aero. Soc, 72, 245 A968).
2. Irons B. M., Ergatoudis J. G., Zienkiewicz O. C, Comment on ref. I, Trans.
Roy. Aero. Soc, 72, 709—711 A968).
3. Ergatoudis J. G., Irons В. M, Zienkiewicz О. С, Curved, Isoparametric,
Quadrilateral Elements for Finite Element Analysis, Int. J. Solids Struct.,
4, 31—42 A968).
4. Zienkiewicz О. С et al., Isoparametric and Associate Elements Families for
Two and Three Dimensional Analysis, Ch. 13, in: Finite Element Methods
in Stress Analysis, Holand I., Bell K. eds., Techn. Univ. of Norway, Tapir
Press, Norway, Trondtieim, 1969.
5. Scott F., A Quartic, Two Dimensional Isoparametric Element, Undegraduate
Project, Univ. of Wales, Swansea, 1968.
6. Ergatoudis J. G., Quadrilateral Elements in Plane Analysis: Introduction to
Solid Analysis, M. Sc. Thesis, Univ. ofW'ales, Swansea, 1966.
142
Глава 7
7. Argyris J. H., Buck К. E., Fried I.. Mareczek G., Scharpf D. W., Some New
Elements for Matrix Displacement Methods, 2nd Conf. on Matrix Methods
in Struct. Mech., Air Force Inst. of Techn., Wright Patterson Base Ohio,
Oct. 1968.
8. Doherty W. P., Wilson E., Taylor R. L, Stress Analysis o! Axisyrnmetric So-
Solids Utilizing Higher-Order Quadrilateral Finite Elements. Rept. 69—3,
Structural Engineering Laboratory, Univ. of California, Berkeley, Jan. 1969.
9. De Veubeke В F., Displacement and Equilibrium Models in the Finite Ele-
Element Method, Ch. 9 in: Stress Analysis, Zienktewicz 0. C, Holister G. S.,
eds., Wiley, 1965.
10. Argyris J. H., Triangular Elements with Linearly Varying Strain for the
Matrix Displacement Method, 1. Roy. Aero. Soc. Tech. Note, 69, 711—713
(Oct. 1965).
11. Ergatoudis J. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Three Dimensional Analy-
Analysis of Arch Dams and Their Foundations, Symposium on Arch Dams, Inst.
Civ. Eng., London, 1968.
12. Zienkiewicz 0. C, Irons В. М., Campbell J., Scott F., Three Dimensional
Stress Analysis, Int. Un. Th. Appl. Mech. Symp. en High Speed Compu-
Computing in Elasticity, Liege, 1970.
ГЛАВА 8
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.1. Введение
В предыдущей главе было,показано, как можно построить
некоторые семейства элементов. Каждый новый элемент этого
семейства характеризуется увеличением числа узлов и повыше-
повышением точности; число таких элементов, необходимых для полу-
получения достаточно точного решения, по-видимому, будет быстро
уменьшаться. На практике часто приходится рассматривать тела
гораздо более сложной формы, чем в академических задачах,
поэтому для аппроксимации тела относительно сложной формы
небольшим числом элементов нельзя довольствоваться только
простыми прямоугольниками и треугольниками. В этой главе
рассматривается вопрос преобразования этих простых элемен-
элементов в элементы произвольной формы.
На фиг. 8.1 и 8.2 изображены одномерные, двумерные и трех-
трехмерные элементы и соответствующие криволинейные элементы.
Здесь показано, что координаты ?, ц, Е; или Li, Lj, L3, Li мо-
могут быть преобразованы в новые криволинейные координаты.
Двумерные элементы можно деформировать не только в дву-
двумерные, но и в трехмерные элементы, как показано на фиг. 8.2.
При деформировании должно иметь место взаимно однозначное
соответствие между декартовыми и криволинейными координа-
координатами, т. е. должны существовать соотношения типа
или f
(8.1)
Если связь между координатами известна, то, построив функ-
функции формы в локальной системе координат, после соответствую-
соответствующих преобразований можно определись характеристики элемен-
элементов. Однако необходимо исследовать, удовлетворяют ли функ-
функции формы критериям сходимости. Можно показать, что при
определенном виде преобразований координат эти критерии вы-
выполняются.
(-1.
L, -О
-L, =0
Локальные
координаты
Пекартовы координаты
Фиг. 8.1. Преобразованне некоторых элементов в двумерном пространстве.
Локальные
координаты
Некартовы координаты
Фиг. 8.2. Преобразование некоторых элементов в трехмерном пространстве.
146
Глава 8
8.2. Использование функций формы для установления связи
между координатами
Наиболее удобно для установления связи между координа-
координатами использовать функции формы, введенные ранее для аппро-
аппроксимации неизвестной функции.
Если записать, например,
г =
+ N'2zi + ... = IN'.
(8.2)
где [W] — функции формы в локальных координатах, то сразу
же получим искомое соотношение. Точки с координатами *i,z/i, z4
и т. д. совпадают с соответствующими точками границы эле-
элемента (так как по определению функции формы равны единице
в рассматриваемой точке и нулю в остальных).
Каждой, совокупности локальных координат будет соответ-
соответствовать одна и, как правило, только одна совокупность гло-
глобальных декартовых координат. Однако далее мы увидим, что
иногда при значительном деформировании взаимно однозначное
соответствие может нарушиться.
Идея использования функций формы для введения криволи-
криволинейных координат впервые упоминается Тайгом [1]. Он приме-
применил ее при деформировании прямоугольника в произвольный
четырехугольник. Айронс [2, 3] обобщил эту идею на другие
элементы.
Разрабатывая методы получения кривых поверхностей для
иужд техники, к аналогичным соотношениям совершенно неза-
независимо пришел Кун [4, 5]. В настоящее время вопросы теории
метода конечных элементов и исследования поверхностей стано-
становятся взаимосвязанными.
На фиг. 8.3 изображены деформированные элементы, полу-
полуденные из элементов второго и третьего порядков сирендипова
Криволинейные изопараметрические ЗАеменШ
147
Фиг. 8.3. Построенные ЭВМ криволинейные координатные линии для элементов
второго и третьего порядков (небольшое нскривлеине).
семейства. Очевидно, что между локальными (|, т)) и глобаль-
глобальными (х, у) координатами существует взаимно однозначное
соответствие. Если искривление элемента в некоторых точках
велико, то может появиться неоднозначность, как, например,
в двух случаях, показанных на фиг. 8.4. Здесь некоторые вну-
внутренние точки отображаются за пределы криволинейного эле-
элемента. Кроме того, существуют внутренние точки, которым
148
Глава
Фиг. 8.4. Чрезмерное искривление элемента, приводящее к неоднозначности
преобразования н «перегибу». Даны элементы второго и третьего порядков.
соответствуют разные локальные координаты. На практике сле-
следует избегать такого сильного'искривления.
На фиг. 8.5 приведены два примера искривления двумерного
(б, ц) элемента в трехмерном пространстве (х, у, г).
Далее в этой главе часто будем называть основной элемент
в недефорйированных локальных координатах первичным эле-
элементом.
8.3. Геометрическое соответствие элементов
Хотя было показано, что при использовании функции формы
для преобразования координат каждый первичный элемент
единственным образом отображает некоторую часть реального
объекта, важно, чтобы разбиение на новые криволинейные эле-
Криволинейные изопараметрические элементы
149
менты не оставляло щелей между ними. Возможность возникно-
возникновения таких щелей показана на фиг. 8.6.
Теорема 1. Если два смежных криволинейных элемента обра-
образуются из первичных, функции формы которых удовлетворяют
условиям непрерывности, то они будут соприкасаться по всей
границе.
Эта теорема очевидна, ибо однозначность любой функции ф,
вытекающая из условия непрерывности, означает однозначность
преобразования координат х, у, г. Так как координаты узлов
одни и те же, непрерывность имеет место. Узлы новых искрив-
искривленных элементов не обязательно располагать только в точках,
для которых определены функции формы. Внутри элемента или
на его границах можно ввести дополнительные узлы.
8.4. Изменение неизвестной функции в криволинейных элементах.
Условия непрерывности
После построения элемента с помощью функций формы [N1]
для исследования его характеристик необходимо задать вид не-
неизвестной функции-0. Удобнее всего использовать в криволиней-
криволинейных координатах обычное представление
ф = [Ы]{ФУ, (8.3)
где {ф}е—набор узловых значений.
Теорема 2. Если функции формы [N], входящие в (8.3), в пер-
первичных координатах удовлетворяют условиям непрерывности ф,
то и в криволинейных элементах условия непрерывности будут
выполняться.
Эта теорема доказывается так же," как н теорема предыду-
предыдущего раздела.
Узловые значения могут соответствовать узлам, используе-
используемым для задания геометрии элемента. Например, обозначенные
кружочками на фиг. 8.7 точки используются для определения
геометрии элемента. Для установления характера изменения
неизвестной функции можно было использовать ее значение в
точках, обозначенных квадратиками.
На фиг. 8.7, а для задания геометрии и конечно-элементной
аппроксимации используются одни и те же точки. Итак, если
[N] = [N'], (8.4)
т. е. функции формы, определяющие геометрию элемента и не-
неизвестную функцию, одинаковы, то элемент называется изопа-
раметрическим.
*< '-
^*' "xx ^xx "
^4-' "x^ ^x"
^ ^x" ^
^ ^x^
>4
"x" X>^
v "x- V
^xx ^x" xx
^ \ / \ / >.
X X X ж
X X X X >^
xxx >-^
X X X >¦
s \ У V ^ ^ ^
^ч. X >>
Фиг. 8.5. Преобразование плоских (или параболических) элементов в трехмер-
трехмерном пространстве.
Фиг. 8.5. (продолжение).
152
Глава 8
Фиг. 8.6. Требование совместности при разбиении области.
8.7. Различные типы элементов.
О точка, в которой заданы координаты; G точки, в которых заданы параметры функции,
а —изопараметрический элемент; 6—суперпараметрический элемент; S — субпараметриче-
ский элемент.
Однако для определения ф можно было бы использовать
только четыре угловые точки (фиг. 8.7,6). Такие элементы на-
называются суперпараметрическими, так как для них изменение
геометрии описывается более полно, чем изменение неизвестных.
Аналогично если для определения ф вводится больше узлов,
чем для задания геометрии, то элементы называются субпара-
субпараметрическими (фиг. 8.7, в). Такие элементы на практике исполь-
используются чаще, чем суперпараметрические. <
Криволинейные изопараметрические элементы
153
8.5. Удовлетворение критерию постоянства производной
Выбор удовлетворяющих условию непрерывности функций,
которые определяют геометрию элемента и закон изменения ф,
достаточно широк, причем эти функции не обязательно должны
быть одинаковыми. Однако критерий постоянства деформаций
(гл. 2), или критерий постоянства производной (гл. 3), накла-
накладывает некоторое ограничение.
Напомним, что для сходимости необходимо, чтобы в каждой
точке элемента путем подбора соответствующих узловых значе-
значений ф можно было получить любое произвольное постоянное
значение первых производных (это справедливо для функцио-
функционалов, содержащих только производные первого порядка). При
этом соотношение
Е где (8.5)
должно быть справедливо для любых постоянных ai_4 и соот-
соответствующих значений {ф}е. В самом деле, в узловых точках
должно выполняться равенство
ф1 — а, + a&t + ЩУ1 + а42г, (8.6)
так что первое соотношение можно переписать в виде
IN] {ФУ = о, ? N, + а2 ? N,x{ + а, ? N,y, + а4 ? N,z, =
= а! + с^х + щу + atz. (8.7)
Оно всегда будет удовлетворяться, если
?#,-=!,
? NtXi = х,
v » (8-8)
Из формул преобразования координат [соотношение (8.2)] сле-
следует, что
? NUi = х,
(8.9)
и, следовательно, справедлива следующая теорема:
154
Глава 6
Теорема 3. Все изопараметрические элементы^ для которых
?Л^!=г1'), удовлетворяют условию постоянства производной.
Можно показать, что это условие является необходимым и
что теорема справедлива для субпараметрического преобразо-
преобразования в случае, если [N'] можно представить в виде линейной
комбинации [N], т. е. если
JVi = Е С(/ЛГ,. . (8.10)
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.6. Вычисление матриц элемента (преобразование координат
1. Л- С)
Для применения метода конечных элементов должны быть
найдены матрицы, определяющие свойства элемента, такие, как
жесткость н др. Эти матрицы будут иметь внд
\[Q]dV, (8.11)
v
где [G] зависит от функций N или их производных по глобаль-
глобальным координатам. В качестве примера рассмотрим матрицу
жесткости
\[BY[D][B]dV (8.12)
v
и соответствующие векторы нагрузки
\[NYiP}dV.
(8.13)
Для некоторого класса задач теории упругости матрицы [В]
были выписаны в явном виде [см. равенства D.10), E.6) и
F.11)]. Первое из них, равенство D.10), относящееся к плоским
задачам, дает
~ dNt
dx
о
о
dNj_
дх
(8.14)
') Прн определенен напряжений это условие .просто означает, что пере-
перемещение тела как жесткого целого не должно вызывать никаких деформа-
деформаций— требование менее ограничительное, чем условие постоянства производ-
производных.
Криволинейные изопараметрические элементы
155
Здесь штрих, использованный в гл. 4 для обозначения функций
формы, опущен, ибо теперь эти функции являются скалярными
и относятся ко всем компонентам перемещения. Заметим, что
такая форма записи носит достаточно общий характер и спра-
справедлива для всех двумерных элементов, используемых при ре-
решении плоских задач теории упругости, независимо от числа
узлов (или неузловых параметров) в элементе. Это замечание
относится ко всем рассматриваемым в книге задачам.
Для вычисления матриц необходимо сделать два преобразо-
преобразования. Во-первых, поскольку Ni заданы в локальных (криволи-
(криволинейных) координатах, необходимо каким-либо образом выра-
выразить глобальные производные, входящие в (8.14), через локаль-
локальные производные.
Во-вторых, элементарный объем (или поверхность), по кото-
которому должно проводиться интегрирование, нужно представить
в локальных координатах и соответствующнм образом изменить
пределы интегрирования.
Рассмотрим, например, систему локальных координат I, ц, ?
и соответствующую систему глобальных координат х, у, г. Ис-
Используя правило частного дифференцирования, можно записать,
например, производную по Ъ, в виде
dl дх dl "•" ду dl "*" дг dl ' ^-10>
Дифференцируя аналогично по остальным двум координа-
координатам и используя матричную форму записи, получаем
dNt
dr\
дх
дх
dl
dy
дх
dl
дг -
dl
dz
дт\
dz
dl .
dNt
~dx~
dNt
dy
dNi
~dT
— m
L J
dNi
~~dx~
dNi
~~d~i
dNt
dz
и* "У JM_ »"t rri g"i ta \p\
я-п а* Лп я„ 1JJ я„ ' ^o.io;
Левая часть этого выражения легко вычисляется, так как
функции N( заданы в локальных координатах. Кроме того, по-
поскольку координаты х, у, г связаны с криволинейными коорди-
координатами [соотношение (8.2)], матрица [У] выражается через ло-
локальные координаты. Эта матрица называется матрицей Якоби.
Чтобы найти глобальные производные, обратим матрицу [/]
и запишем
(
dx
dy
dz
= [/]¦
-l
dl
(8.17)
156
Глава S
Выражая [/] через функции формы [N1], определяющие пре-
преобразование координат (которые, как мы видели, только для
изопараметрических элементов совпадают с функциями формы
ГЛ/]), получаем
i dAf, у1 dNt yi ^
i as x* Zj di y' Zj~
an У' Zj
Zj ari
.Zj dE
"aT
х
dl,
ajv.
"alf
i/2
(8.18)
Для преобразования переменных и области интегрирования
применим стандартный прием, использующий определитель мат-
матрицы [/]. Так,' например, элементарный объем преобразуется
следующим образом:
dxdy dz =
(8.19)
Преобразование такого типа справедливо при любом числе
координат. Доказательство читатель может найти в обычных
учебниках по математике. Особенно хорошо изложен этот во-
вопрос в книге Муриагана [6]') (см. также приложение 5).
Если предположить, что матрица [/] имеет обратную, то
определение характеристик элемента сводится к вычислению
интегралов типа (8.11).
Если криволинейные координаты являются нормализован-
нормализованными координатами, соответствующими прямой правильной
призме, то интеграл (8.11) можно записать в виде
1 i i
\ \ \ [0(
(8.20)
—I -1 —I
') Определитель матрицы Якоби в литературе называется «якобианом» в
часто записывается в виде
д(х,у,г)
Криволинейные изопараметрические элементы
157
Интегрирование производится по объему именно такой, а не
искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования запи-
записываются просто. Для одномерных и двумерных задач полу-
получаются интегралы соответственно по одной и двум переменным
с простыми пределами интегрирования.
Хотя пределы интегрирования простые, выражение для [G] в
явном виде, к сожалению, очень сложное. Поэтому, за исключе-
исключением некоторых простейших элементов, точно интегрирование
провести не удается и приходится прибегать К численному ин-
интегрированию. Впрочем, это, как мы увидим далее, не так уж
плохо и имеет то преимущество, что позволяет избежать алгеб-
алгебраических ошибок и составить типовые программы для различ-
различных» классов задач независимо от вида элемента. При использо-
использовании численных методов обращение матрицы [/] никогда не
производится явно.
8.7. Матрицы элемента. L-координаты
Соотношения (8.2) преобразования координат и зсе после-
последующие теоремы в равной степени справедливы для любой
системы локальных координат. В частности, с их помощью коор-
координаты Lu L2, ..., введенные в предыдущей главе для тре-
треугольников и тетраэдров, можно связать с глобальными декар-
декартовыми координатами.
Большая часть рассуждений предыдущей главы остается в
силе, если соответствующим образом переименовать локальные
координаты. Однако появляются два существенных отличия.
Во-первых, локальные координаты не являются независимы-
независимыми и число их на единицу больше, чем декартовых. Матрица [1\,
следовательно, становится прямоугольной и не допускает обра-
обращения. Во-вторых, меняются пределы интегрирования, которые
теперь должны соответствовать треугольным или тетраэдраль-
тетраэдральным первичным элементам.
Простейший, хотя, возможно, и ие самый изящный, способ
избавиться 'от первого затруднения — это считать последнюю
переменную зависимой. Так, например, для тетраэдра (исполь-
(используя обозначения предыдущей главы) введем формально
(8.21)
Таким образом, равенство (8.16) и все соотношения вплоть до
(8.19) сохраняются без изменений.
158
Глава 8
Поскольку функции Ni выражаются через координаты Lit L2
и т. д., то
д\ ~ dL, dl + дЦ 01 + дЦ дЬ + dU 9% ' К >
Учитывая (8.21), приходим к равенству
dNj_ _ dN± _ dNj_
dl ~~ dL, dLt '
Остальные производные получаются аналогично.
Пределы интегрирования в (8.20) заменяются на пределы,
соответствующие тетраэдру, т. е.
|_п 1-я—
\ J
о
(8.23)
Аналогичная процедура справедлива и для треугольника.
Заметим, что сложность вы-
выражения для [G] опять вызывает
необходимость численного инте-
интегрирования, которое должно про-
производиться по простой, неискрив-
ленной, первичной области, т. е.
по треугольнику Или тетраэдру.
Отметим, наконец, что каж-
каждый из элементов, рассмотренных
в предыдущей главе, может быть
деформирован в криволинейный.
Иногда, как, например, для тре-
треугольной призмы, одновременно
используются и прямоугольные и
L-координаты (фиг. 8.8). Сделанные ранее замечания относи-
относительно зависимости координат остаются в силе. ¦
Фиг. 8.8. Криволинейная трехгран-
трехгранная призма.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.S. Одна переменная
Еще в гл. 5, где рассматривалась относительно простая за-
задача об осесимметричном напряженном состоянии и использо-
использовались простые треугольные элементы, отмечалось, что точное
интегрирование выражений, входящих в матрицы элемента, свя-
связано с большими трудностями. В таких задачах, как и при
использовании сложных криволинейных элементов, возникает не-
необходимость численного интегрирования.
Криволинейные изопараметрические элементы
159
Здесь мы изложим основные принципы численного интегри-
интегрирования и приведем таблицы квадратурных коэффициентов.
Интеграл от функции одной переменной можно вычислить
двумя основными методами [7, 8].
Квадратура Ньютона—Котеса'). Сначала априори выби-
выбираются точки, обычно равноотстоящие друг от друга, в кото-
которых вычисляются значения функций. Затем строится полином,
if
Hi,)
0,8 6113
Фиг. 8.9. Интегрирование методами Ньютона — К<?теса (а) и Гаусса (б). Оба
метода позволяют точно проинтегрировать полином седьмой степени (т. е. по-
погрешность имеет порядок О(Д8)).
') Термин «квадратура» используется вместо термина «численное интегри-
интегрирование».
160
Глава 8
значения которого совпадают со значениями функции в этих
точках, и точно интегрируется (фиг. 8.9).
Так как п значений функции определяют полином степени
п— 1, ошибка имеет порядок О(Д)", где Д — расстояние между
точками. В результате получаем известные квадратурные фор-
формулы Ньютона — Котеса, в соответствии с которыми интеграл
можно записать в виде
I п
~ 'it Hi) (8.24)
при интегрировании в пределах от —1 до +1 (фиг. 8.9, а). На-
Например, если п = 2, то • •
(8.25)
При п = 3 получается известная формула трапеций
при п = 4 — формула одной трети Симпсона
И (D + 3/(-4)+ 3f(l
f A)].
(8-26)
(8.27)
Формулы интегрирования для различных п (до п = 20 вклю-
включительно) приведены у Копаля [8].
Квадратура Гаусса. Если значения функции вычисляются
не в априорно заданных точках, а так, чтобы достигалась наи-
наилучшая возможная для данного количества точек точность, ин-
интегрирование выполняется точнее. Если положить, что
1
1=\
(8.28)
и снова представить подынтегральную функцию в виде поли-
полинома, то нетрудно увидеть, что для п точек интегрирования по-
получим 2и неизвестных (f{- и |<), и, следовательно, можно по-
построить и точно проинтегрировать полином степени 2/г — 1
(фиг. 8.9,6). В результате ошибка будет иметь порядок О(ДJп.
Решить полученную систему уравнений трудно, но с помощью
некоторых математических приемов [7] решение можно получить
в полиномах Лежандра. Поэтому этот метод часто называется
квадратурой Гаусса — Лежандра.
В табл. 8.1 приведены координаты точек и весовые коэффи-
коэффициенты для интегрирования по Гауссу.
Таблица 8.1
Абсциссы и весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса
f<*)*»
±а
Я
0,57735
02 691
89 626
0,77459
0,00000
0,86113
0,33998
0,90617
0,53846
0,00000
0,93246
0,66120
0,23861
0,94910
0,74153
0,40584
0,00000
0,96028
0,79666
0,52553
0,18343
0,96816
0,83603
0,61337
0,32425
0,00000
0,97390
0,86506
0,67940
0,43339
0,14887
В Зак. 613
66692
00 000
63115
10 435
98 459
93101
00 000
95 142
93 864
91 860
79123
11 855
51513
00 000
98 564
64 774
24 099
46 424
02 395
11073
14 327
34234
00 000
65 285
33 666
95 682
53 941
43 389
41 483
00 000
94 053
84 856
38 664
05 683
00 000
03152
66265
83197
42 759
99 394
77 397
00 000
97 536
13 627
16329
95 650
07 626
26 636
00 590
03 809
00 000
17 172
88 985
99 024
29247
81 631
ге = 6
п= 10
1,00000
00 000
00 000
0,55555
0,88888
0,34785
0,65214
0,23692
0,47862
0,56888
0,17132
0,36076
0,4679!
0,12948
0,27970
0,38183
0,41795
0,10122
0,22238
0,31370
0,36268
0,08127
0,18064
0,26061
0,31234
0,33023
0,06667
0,14945
0,21908
0,26926
0,29552
55 555
88 888
48 45!
51 548
68 850
86 704
88 888
44 923
15 730
39 345
49 661
53914
00 505
91 836
85 362
10 344
66 458
37 833
43 883
81 606
06 964
70 770
93 550
13 443
13 491
«3 625
67 193
42 247
55 556
88 889
37 454
62 546
56 189
99 366
88 889
79 170
48 139
72 691
68870
89 277
05 119
73 469
90 376
53 374
77 887
78 362
61 574
94 857
02 935
40 003
01 260
08 688
50 581
15 982
09 996
14753
162
Глава S
В методе конечных элементов сложность вычислений заклю-
заключается в определении значений интегрируемой функции f, по-
поэтому в дальнейшем будет применяться только формула Гаус-
Гаусса, использующая минимальное число значений функции.
Можно получить формулы для интегрирования с заданной
степенью точности выражений вида
(8.29)
при известной функции а>(|), если опять заменить f(|) полино-
полиномом [7].
8.9. Прямоугольник или прямая призма
Проще всего взять интеграл
(8.30)
вычисляя сначала значение внутреннего интеграла в предполо-
предположении, что г\ — постоянная, т. е. используя формулу
(8.31)
f (I, 4)^ = 2,^F/, Л) =*(Ч)-
Вычисляя затем внешний интеграл, получаем
I га
7= J 4>(toai=?.
1 ГС
1=1 1=\
(8.32)
Аналогично для прямой призмы имеем
i 1 1
= S S $f(|> 4i
-i —I —I
ч га ч
(8.33)
Кривол инейные изопараметрические элементы
163
Здесь предполагалось, что число точек интегрирования в каж-
каждом направлении одинаково.
Интересно отметить, что двойное суммирование легко заме-
заменить простым по (п X я) точкам для прямоугольника (или по
п3 точкам для куба). На фиг. 8.10 показано девять точек, необ-
необходимых для точного интегрирования полинома пятого порядка
по каждой из переменных.
Однако к решению этой задачи мож-
можно было бы подойти с другой стороны и
интегрировать точно полином пятого по-
порядка по двум переменным. В этом слу-
случае в каждой точке пришлось бы опреде-
определить две координаты и значение подын-
подынтегральной функции f, входящей в весо-
весовую формулу типа
1 1
dt di\ = У Off (|
[
= [ [ f (|
J J
Фиг. 8.10. Точки иитегри-
роваиия для п-= 3 в
квадратной области.
(Хочио интегрируется по-
полином пятой степени по
каждой переменной.)
Оказывается, что при этом для дости-
жения той же точности достаточно было
бы использовать только семь точек. Формула такого типа для
трехмерного «кирпичика» получена и с успехом использована
Айронсом [9].
8.10. Треугольник или тетраэдр
Для треугольника интегралы по L-координатам имеют вид
i I— bi
= $ $ f(Llt L%,
(8.35)
Оиять можно было бы использовать п гауссовых точек и по-
получить сумму типа, рассмотренного в предыдущем разделе.
Однако теперь пределы интегрирования сами содержат пере-
переменные, поэтому для второго интегрирования удобно использо-
использовать выражения вида (8.29) квадратуры Гаусса, где w — лнией-
ная функция. Это было сделано Радо [10, 11]. В табл. 8.2 при-
приведены весовые коэффициенты, входящие в выражение
«=.1
164
Глава 8
Таблица 8.2
Коэффициенты для интегрирования по формулам Гаусса и Радо
Количество
точек
интегриро-
интегрирования
в каждом
направлении
Л=1
и = 2
и = 3
л = 4
и = 5
А1М\
/—I. га
0,5
0,2113248654
,7886751346
0,1127016654
0,5
0,8872983346
0,0694318442
0,3300094782
0,6699905218
0,9305681558
0,0469100770
0,2307653449
0,5
0,7692346551
0,9530899230
ит
1,0
0,5
0,5
0,2777777778
0,4444444444
0,2777777778
0,1739274226
0,3260725774
0,3260725774
0,1739274226
0,1184634425
0,2393143353
0,2844444444
0,2393143353
0,1184634425
А1\1]
/—I, п
0,3333333333
A.0)
0,1550510257
0,6449489743
A.0)
0,0885879595
0,4094668644
0,7876594618
A,0)
0,0571041961
0,2768430136
0,5835904324
0,8602401357
A,0)
0,0398098571
0,1980134179
0,4379748102
0,6954642734
0,9014649142
A,0)
AS Щ
/=1, га
0,75
@,25)
0,3764030627
0,5124858262
(,0,11 НИИ 11)
0,2204622112
0,3881934688
0,3288443200
@,0.625)
0,1437135608
0,2813560151
0,3118265230
0,2231039011
@,04)
0,1007941926
0,2084506672
0,2604633916
0,2426935942
0,1598203766
@,277777778)
где
(8,36)
Аналогичные соотношения можно получить и для тетраэдра.
На фиг. 8.11 показано расположение точек интегрирования
в треугольниках при п = 1, 2, 3. Видно, что они расположены
неравномерно и несимметрично. Кроме того, в направлениях
L), L2. L3 точность интегрирования различна. Другое (более
изящное) расположение точек, предложенное Хаммером и др.
[12], позволяет существенно упростить расчет; весовые коэффи-
Криволинейные изопараметрические элементы
165
п= I
Фиг. 8.11. Точки интегрирования для треугольника при использовании ме-
метода Гаусса — Радо.
циенты для выражений, аналогичных (8.34), приведены в
табл. 8.3 [13].
Можно убедиться, что точек всегда столько или немного
больше, чем требуется для получения полных полиномов задан-
заданного порядка.
Очевидно, что эти результаты можно обобщить и на тетра-
тетраэдры. В табл. 8.4 представлены некоторые формулы из рабо-
работы [12].
8.11. Заключительные замечания
В этой главе показано, каким образом можно построить
большое количество криволинейных элементов. Необходимость
использования методов численного интегрирования потребовала
описания некоторых из них. Дальнейшие подробности можно
найти в различных учебниках по численному анализу.
Очевидно, что численное интегрирование является прибли-
приближенным. Вопрос о том, какая степень точности необходима в
практических задачах, будет рассмотрен в следующей главе.
Там же будут приведены основные принципы организации про-
программ при использовании численного интегрирования.
Таблица 8.3
Формулы численного интегрирования для треугольников
Порядок
элемента
Первый
Второй.
Третий
Третий
Рисунок
4
/а \
/ *\
У\ 1 \
Ошибка
R = О (Л3)
Точ-
Точки
а
а
Ь
с
0.
с
d
L -координаты
III
3' 3' 3
У'Т'О
I i
' У' У
1 1
У °' У
1 1 1
3 ' 3 ' 3
II 2 2
15 ' 15 " Т5"
2 11 2
15' 15' 15
2 2 11
15 ' 15 ' IE
Весовые
коэффи-
коэффициенты
1
1
3
1
3
1
Т
27
48
25
48
Эта формула не рекомендуется из-за отрицательного весового
коэффициента и ошибок округления
R = О (А*)
п
Ь
с
d
е
f
g
1 1 1
3 ' 3 ' 3
У.у.о
1о,1
1, 0, 0 )
0, 1, 0 j
0, 0, \ ]
27
60
8
60
3
"ёо"
Продолжение табл. 8Л
Порядок
элемента
Пятый
Рисунок
А
/ь Т\
/*\\ <^
Ошибка
R = О (А6)
Точ-
Точки
а
Ь
с
й
е
!
g
L-координаты
1 1 1
3' 3' 3
Ol. Pi. Pi
Pi, «i. Pi
Pi. Pi. «l
&2, Рг. Р2
P2. a2> P2
P2. Рг. Ог
I, = 0,05971587
3, = 0,47014206
l2 = 0,79742699
32 = 0,10128651
Весовые
коэффи-
коэффициенты
™k
0,225
0,13239415
0,12593918
Таблица 8.4
Формулы численного интегрирования для тетраэдра
Порядок
элемента
Первый
Второй
Рисунок
А
—х
У
Ошибка
R = О (А3)
Точ-
Точки
а
а
Ь
с
d
Пространственные
L-координаты
1111
4' 4' 4' 4
а, Р, Р. Р
Р, а, р, Р
Р, Р. а, р
Р. Р, Р, а
а = 0,58541020
Р = 0,13819660
Весовые
коэффи-
коэффициенты
1
1
4
1
4
1
4
1
4
168
Глава 8
Порядок
элемента
Третий
Рисунок
/
/е*
/а
/•--
ч.
\
Ошибка
R = О (Л«)
Точ-
Точки
а
Ь
с
л
О.
е
Продолжение
Пространственные
L-коордннаты
1
4 '
1
3'
1
6 '
1
6'
1
6 '
1
4 '
1
6'
1
3 '
1
6'
1
6'
1
4'
1
6'
1
6'
1
Т'
1
6'
1
4
1
6
1
"б"
1
6
1
3
табл. 8.4
Весовые
коэффи-
коэффициенты
4
5
9
20
9
1о
9
ч ЛО
9
20
ЛИТЕРАТУРА
1. Taig I. С, Structural Analysis by the Matrix Displacement Method, Engl.
Electric Aviation Rept. № SO 17, 1961.
2. Irons В. М., Numerical Integration Applied to Finite Element Methods,
Conf. Use of Digital Computers in Struct. Eng., Univ. of Newcastle,- 1966.
3. Irons В. М., Engineering Application ol Numerical Integration in Stiffness
Method, JAIAA, 14, 2035—2037 A966); есть русский перевод: Айронс, Ин-
жеиериые приложения численного интегрирования в методе жесткостей,
Ракетная техника и космонавтика, 4, № II, стр. 213—216 A966).
'4. Coons S. A., Surfaces for Computer Aided Design of Space Form, MIT Pro-
Project MAC, MAC-TR-41, 1967.
5. Forrest A. R., Curves and Surfaces for Computer Aided Design, Сотр. Aided
Design Group, Cambridge, England, 1968.
6. Murnaghan F. D., Finite Deformation of an Elastic Solid, Wiley, 1951.
7. Schied F., Numerical Analysis, Schaum Series, McGraw-Hill, 1968.
8. Kopal Z., Numerical Analysis, 2nd ed., Chapman and Hall, 1961.
9. Irons B. M., Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements, Int. 1. Num.
Meth. Eng., 3 A971).
10. Radau, Journ. de. Meth., 3, 283 A880).
11. Anderson R. G., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Vibration and Stability of
Plates Using Finite Elements, Int. 1. Solids Struct., 4, 1031—1055 A968).
12. Hammer P. C, Marlowe O. P., Stroud A. H., Numerical Integration Over Sim-
plexes and Cones, Math. Tables Aids Сотр., 10, 130—137 A956).
13. Felippa С A., Refined Finite Element Analysis of Linear and Non-Linear
Two Dimensional Structures, Structures Materials Research Rept. № 66-22,
Univ. of California, Berkeley, Oct. 1966.
ГЛАВА 9
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВУМЕРНОГО
И ТРЕХМЕРНОГО
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИИ
9.1. Введение
Применение элементов высоких порядков, рассмотренных в
двух предыдущих главах, требует некоторого обоснования.
Усложнение элементов приводит к дополнительным затратам
машинного времени. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос
экономичности их использования.
На фиг. 9.1 представлены результаты расчета консольной
балки с помощьюхразличных элементов. Сравнение результатов,
показывает, что при одном и том же числе степеней свободы
использование сложных элементов значительно повышает точ-
точность. Однако их применение не обязательно сопровождается
пропорциональным уменьшением времени решения, так как
ширина ленты матрицы для сложных элементов увеличи-
увеличивается, тем не менее, вообще говоря, оно существенно сокра-
сокращается.
При использовании сложных элементов значительно сокра-
сокращается время подготовки исходных данных. В приведенном
примере три сложных элемента заменяют соответственно
шесть и восемнадцать простых треугольников, поэтому в итоге
приходится иметь дело с меньшим количеством элементов.
Кроме того, если стороны элементов представляют собой
прямые линии, координаты дополнительных узлов легко оп-
определить путем введения подпрограммы интерполирования.
В результате значительно сокращается число задаваемых коор-
координат.
Использование сложных элементов не будет иметь ука-
указанных преимуществ, если процесс разбиения области на эле-
элементы автоматизирован, однако программно осуществить это
трудно.
С другой стороны,, значительное сокращение количества
элементов может привести к ухудшению аппроксимации реаль-
реальной геометрии. В таких случаях бывает лучше использовать
простые элементы.
По-видимому, самой серьезной проблемой при использовании
сложных криволинейных элементов являются затраты машинного
170
Глава 9
времени на численное интегрирование. Поэтому точность ин-
интегрирования следует ограничивать, руководствуясь соображе-
соображениями экономии времени.
Тип элемента
Точное решение
Вертикальная нагрузка
в точке А
максималь-
максимальный
прогиб н АА'
0,26
0,65
0,53
0,99
1,00
1,00
максималь-
максимальное
напряжение в ВВ
0,19
0,53
0,51
0,99
1,00
1,00
Момент в А А'
максималь-
максимальный
прогиб в АА'
0,22
0,67
0,52
1,00
1,00
1,00
максималь-
максимальное
напряжение в ВВ'
0,22
0,67
0,55
1,00
1,00
1,00
Фнг. 9.1. Расчет плоского напряженного состояния консоли с помощью различ-
различных элементов. Прн увеличении порядка элементов точность возрастает.
9.2. Требуемая точность численного интегрирования
В предыдущей главе указывалось, что матрицы элемента
могут быть составлены с использованием численного интегриро-
интегрирования методом Гаусса по я точкам. Объем вычислений при та-
Иекоторые применения изопараметрических элементов
171
ком интегрировании по плоским областям пропорционален я2—
числу точек, в которых должна быть определена подынтеграль-
подынтегральная функция, а в трехмерных задачах он пропорционален я3.
Поэтому весьма важно установить минимальное достаточное
число гауссовых точек.
В настоящей главе рассматриваются задачи теории упруго-
упругости, требующие вычисления матрицы жесткости элемента. Сфор-
Сформулируем следующее утверждение:
Если при решении задач теории упругости в перемещениях
методом конечных элементов точность численного интегриро-
интегрирования достаточна для того, чтобы точно вычислить объем эле-
элемента, то процесс сходится [1, 2].
Это утверждение легко доказывается. В пределе при умень-
уменьшении размеров элемента функции формы дают постоянные
значения деформаций и напряжений. Тогда выражения для
«узловых сил» принимают вид
{^}еГ= ^ {<j}T[B]dV = {c}T J [B]dV. (9.1)
Vе Vе
Так как
dK = det [J]d%di\dt, (9.2)
и матрица [В] получена умножением первых производных от Ni
иа матрицу [/]~4, приходим к выводу, что точное интегрирование
соотношения (9.2) обеспечивает точное вычисление интеграла
(9.1). Якобиан выражается через первые производные функции
формы [см. выражение (8.18)], поэтому всегда можно опреде-
определить его порядок, а следовательно, и число гауссовых точек, не-
необходимое для точного интегрирования [3].
Например, для случая двумерного четырехугольного элемен-
элемента второго порядка детерминант представляет собой квадратич-
квадратичное выражение, для интегрирования которого требуются как
минимум две точки. Случаю трехмерной призмы второго поряд-
порядка соответствует кубичное выражение, для точного интегриро-
интегрирования которого тоже требуется по две точки в каждом напра-
направлении.
Этот минимум точек, необходимых для сходимости, не всегда
является оптимальным с точки зрения затрат машинного вре-
времени. Если для представления области используется небольшое
число элементов, интегрирование можно производить с большей
точностью, и, наоборот, при использовании большого количе-
количества элементов более экономичным может оказаться интегриро-
интегрирование с меньшей точностью.
Ясно, что вычислительные программы должны составляться
так, чтобы можно было производить интегрирование с любым
количеством точек. Этих точек должно быть не меньше*, чем это
Злемент третьем
порядна
Злемеит четвертого
порядно
При использовании ВВих
гауссовых точен
сходимости нет
При использовании
трех гауссовых точен
сходимости нет
О 3 гауссовы точки
х 4 гауссовы точки
Л 5 гауссовых точен
Фиг. 9.2. Влияние порядка численного интегрирования на результаты оасчета
сферы, нагруженной внутренним давлением (элементы третьего и четвертого
• порядков). Сплошной линией показаны точные результаты.
Некоторые применения изопараметрических элементов
173
необходимо для сходимости, но и не больше, чем требуется для
численного интегрирования.
На фиг. 9.2 в качестве примера иллюстрируется осесиммет-
ричная задача о сфере, нагруженной внутренним давлением.
При ее решении использовались элементы двух порядков и раз-
различное число точек интегрирования. Результаты не требуют
комментариев.
Последние работы показывают, что, применяя минимальное
число точек интегрирования, в некоторых случаях можно су-
существенно улучшить характеристики элемента. Это объясняется
двумя обстоятельствами.
Во-первых, задание формы перемещений всегда увеличи-
увеличивает жесткость (как показано в гл. 2), а снижение точности
интегрирования уменьшает ее.
Во-вторых, при малом числе точек интегрирования из рас-
рассмотрения исключаются области, в которых для обеспечения
непрерывности между элементами на перемещения наклады-
накладываются чрезмерные ограничения. К этому вопросу мы еще вер-
вернемся в гл. 14.
9.3. Преимущество применения численного интегрирования
в методе конечных элементов [3]
Существенным преимуществом применения в методе конеч-
конечных элементов численного интегрирования является возмож-
возможность составления универсальной вычислительной программы.
Можно заметить, что для
заданного класса задач
матрицы всегда одинако-
выражаются через
Построение
функции
Формы
во
функцию формы и ее про-
производные [см., например,
(8.14)].
Для вычисления ха-
характеристик элемента не-
необходимо, во-первых, за-
задать функцию формы и
ее производные, а во-вто-
во-вторых, установить порядок
интегрирования.
Порядок
интегрирования
Общее соот-
соотношение для
рассматрива-
рассматриваемой матри-
матрицы олемента
. Фиг. 9.3. Схема расчета при численном ин-
интегрировании по элементам.
Таким образом, вычисление характеристик элемента состоит
из трех различных частей, схематически показанных на фиг. 9.3.
Чтобы использовать для заданного класса задач различные эле-
элементы, необходимо только изменить функции формы, и, наобо-
наоборот, подпрограммы задания одной функции формы могут при-
применяться в различных классах задач.
174
Глава 9
Такая схема вычислений позволяет без труда использовать
различные элементы для проверки эффективности новых эле-
элементов в исследуемой задаче или же применить программу для
расчета новых задач без громоздких преобразований (с неиз-
неизбежными ошибками).
Вычислительная машина при этом используется по назначе-
назначению, т. е. для проведения расчетов по экономно составленной
программе.
Самым большим практическим преимуществом универсаль-
универсальных подпрограмм вычисления функции формы является возмож-
возможность их проверки с помощью простой программы. Обычно
достаточно проверить, правильно ли вычисляются узловые зна-
значения и производные. Проверка осуществляется по простым ко-
нечно-разностиым формулам после вычисления по подпрограмме
значений функций в двух близлежащих точках. Иногда исполь-
используются и другие тесты. Самый интересный из них связан с вы-
вычислением собственных значений, но использование его неэко-
неэкономично [4].
Включение в систему простых точно интегрируемых элемен-
элементов не должно вызывать опасения, так как время точного и
время численного интегрирования при этом почти одинаковы.
9.4. Некоторые практические примеры решения
задач [5—10]
двумерных
Возможности использования криволинейных элементов для
исследования двумерного напряженного состояния иллюстри-
иллюстрируются примерами решения осесимметричных задач.
Вращающийся диск (фиг. 9.4). В этом случае для получения
решения с достаточной степенью точности необходимо всего
восемнадцать элементов. Интересно заметить, что координаты
узлов на сторонах элементов третьего порядка задавать не тре-
требуется, так как их вычисление предусмотрено программой.
Конический резервуар (фиг. 9.5). Для решения этой задачи
используются элементы третьего порядка. Следует отметить, что
для описания влияния изгиба как в тонкой, так и в толстой ча-
частях резервуара достаточно только одного элемента по толщине
стенки. Для получения приемлемого решения при использова-
использовании простых треугольных элементов, как мы видели, требова-
требовалось несколько слоев элементов.
Полусферический купол (фиг. 9.6). Это еще один пример
исследования оболочек, который показывает, как с помощью
программы расчета конического резервуара при малом числе
элементов можно получить решение задачи для тонкой оболоч-
оболочки. Применяя хорошо известную в теории оболочек гипотезу
6,90 (,30 3,93 3,32 3,1'
7,А см
Плотность 7.85 т/см'; ?=1.57 • IV ВДЛ v=0,3; 22500 об/ми„.
Фиг. 9.5. Конический резервуар,.
176
Глава 9
М„,Н/м-/О
Е =в,74-Ю">Н/мИ
'=0,2
1 = 1,27см
_L
-3,4
15 • 20
в, град
L/t изменяется от %, до20
Типичный элемент
Фиг. 9.6. Тонкая полусферическая оболочка, Решение с использованием 15 и
24 элементов третьего порядка.
о линейности перемещений по толщине, можно уменьшить чис-
число степеней свободы и сделать программу более экономичной
Методы такого рода подробно рассматриваются в гл. 14.
9.5. Исследование трехмерного напряженного состояния
При решении трехмерных задач, как указывалось в гл. 6,
использование сложных элементов позволяет значительно сэко-
сэкономить время. В этом разделе приведены типичные примеры,
в которых используются элементы второго порядка сирендипова
типа. Во всех задачах численное интегрирование в каждом на-
направлении производится по трем гауссовым точкам.
Вращающаяся сфера (фиг. 9.7) [6]. Этот пример, в котором
сравниваются рассчитанные и точные значения напряжений,
вызванных центробежной силой, позволяет оценить эффектив-
эффективность сильно искривленных элементов. Полученные при исполь-
Фиг. 9.8. Арочиая плотина на жестком грунте. Различные разбиения на
элементы.
120
too
ВО
60
АО
го
п
А
/
/
7°
^L
0 z
уровень 6
у
У
у
' <?
'0
уу"
0 А
у
у
7
Уровень 2
0 5
т ¦
J
¦> б
/
/7
вровень 4
С мм
Фиг. 9.9, Арочиая плотина иа жестком грунте. Перемещения центральной
линии.
О 32 элемеита; д 9 элемевтоэ [А); • 9 элемептоэ (В); О 1 элемент (96 степеней свободы).
Некоторые применения изопараметрических злементов
179
зовании семи элементов результаты хорошо совпадают с точным
решением.
Арочная плотина на жестком грунте. Эта задача, возможно,
несколько нереальная с инженерной точки зрения, исследова-
исследовалась комитетом института гражданского строительства н яви-
явилась хорошей проверкой сходимости решения трехмерных за-
задач. На фиг. 9.8 показаны два варианта разбиения плотины на
элементы второго порядка и два — на элементы третьего по-
порядка. Фиг. 9.9 иллюстрирует сходимость перемещений в сред-
среднем сечении. Видно, что даже в случае одного элемента дости-
достигается вполне приемлемая точность.
Поверхность -
контакта с водой
-IBfi -58,6 -ОВЛ -Ш,в 0 Г3.в 39,2 58,в 73fi 3SJ И/м'-Ю
Сжатие Растяжение
Фиг. 9.10. Арочиая плотина иа жестком грунте Напряжения в вертикальном
направлении иа центральной лииин.
О 32 элемента; А 9 элементов (А); X 9 элементов (В); О I элемент (96 степеней свободы).
Сравнение напряжений (фиг. 9.10) также дает удовлетвори-
удовлетворительные результаты, хотя при разбиении на крупные элементы
заметна значительная «осцилляция» результатов. Решение, по-
полученное при самом мелком разбиении, можно считать «точ-
«точным», так как оно совпадает с результатами модельного экспе-
эксперимента и с результатами, полученными другими методами [9].
Приведенные тестовые задачи иллюстрируют универсаль-
универсальность и точность метода. Двахледующих примера типичны для
практических приложений.
Сосуд высокого давления (фиг. 9.11). Арочиая плотина и ее
основание (фиг. 9.12а). Оба показанных разбиения дают доста-
достаточную для практики точность. Первый из этих примеров, в
некоторой степени подобный рассмотренному в гл. 6 (фиг. 6.7),
демонстрирует возможность значительного уменьшения степе-
степеней свободы при использовании сложных элементов.
На фиг. 9.126 изображена в изометрии арочная плотина, раз-
разбитая на конечные элементы. Чертеж сделан непосредственно
180
Глава 9
Фиг 9.11. Трехмерная задача о сосуде высокого давления (96 элементов,
707 узлов, 2121 степень свободы).
по данным координатного самописца. Такие схемы полезны не
только с точки зрения наглядности изображения. Они помо-
помогают проверить правильность исходных данных, так как позво-
позволяют без труда обнаружить любую грубую ошибку в геометрии.
Проверка «связанности» всех заданных точек также осущест-
осуществляется автоматически.
Некоторые применения изопараметрических элементов
181
Вследствие больших затрат машинного времени при решении
сложных трехмерных задач очень важно своевременно исклю-
исключить ошибки в исходных данных. Поэтому этот н некоторые
другие методы проверки [10] должны составлять неотъемлемую
часть любой программы.
-Нулевые пере- ¦
мещения
Фиг. 9.12а. Расчет арочной плотины с основанием.
9.6. Некоторые общие замечания об элементах высокого порядка
Чем выше порядок элемента, тем труднее становится физи-
физическая интерпретация. Это не столь уж существенно, если в
результате, получается лучшая аппроксимация, однако в прак-
практических приложениях могут возникать дополнительные труд-
трудности. Например, при использовании элементов высокого по-
порядка было бы неправильно локализовать распределенные на-
нагрузки, основываясь на интуиции.
В гл. 4 было показано, что в треугольном элементе нагрузка,
вызванная силой тяжести, локализуется в виде трех равных
узловых усилий (подразд. 4.2.7). Этот результат совпадает с
тем, что мы называем очевидным. Соответствующая локализа-
локализация для двумерных элементов сирендипова типа (фиг. 7.4, гл.7)
приводит к распределению нагрузки по узлам, показанному иа
фиг, 9,13. Только для первого, простейшего из этого семейства
Некоторые применения изопараметрических элементов
183
m
CD
S
л
a
элемента результат соответствует здравому смыслу. Во всех
остальных случаях в угловых точках получается отрицательная
нагрузка — факт совсем не очевидный.
-A -i
¦ft
ft'
Фиг. 9.13. Распределение равномерной массовой силы
по узлам. Семейство прямоугольных элементов. Пока-
Показаны доли общего веса.
Фиг. 9.14. Распределение
по узлам равномерной по-
поверхностной нагрузки,
действующей на границе
двумерных и трехмерных
элементов.
Если элементы к тому же искривлены, то нагрузка распреде-
распределяется еще более сложным образом н в этом случае нужна
особая осторожность.
Здесь инженер может сказать, что с физической точки зре-
зрения в пределе результат должен быть таким же, как н при
распределении нагрузки по узлам поровну. Конечно, это долж-
должно быть именно так, но при разбиении на конечные элементы
такое противоестественное, но согласующееся с теорией распре-
распределение нагрузки гарантирует большую точность.
184
Глава 9
Как следует из фиг. 9.14, распределение поверхностной на-
нагрузки также нельзя предсказать.
Следует иметь в виду, что все эти рассуждения относятся и
к представлениям сил между элементами обычными инженер-
инженерными способами.
И наоборот, в областях, близких к месту приложения сосре-
сосредоточенных нагрузок, распределение напряжений описывается
неверно, и в окрестности таких нагрузок иногда можно получить
несколько неожиданные значения напряжений. Это вовсе не
Фиг. 9.15. Аномалии, которые могут появляться в окрестности точки прило-
приложения сосредоточенной нагрузки при использовании сложных элементов.
элемент с постоянной деформацией; элемент с линейно изменяющейся
деформацией.
говорит об уменьшении точности, а указывает на то, что усред-
усреднение по элементу позволяет лучше представить действительную
картину напряжений.
На фиг. 9.15 проводится качественное сравнение напряже-
напряжений вблизи такой особой точки, определенных при постоянных
деформациях и линейном законе изменения деформаций в эле-
элементах. Попытка улучшить аппроксимацию напряжений с по-
помощью использования более сложных элементов иногда дает
возможность получить более точное значение напряжения в
особой точке. Однако при этом вблизи такой точки может про-
произойти противоестественная смена знака напряжения, чего не
бывает при использовании простых элементов. Ясно, что в таких
случаях следует применить сглаживание и внимательно подойти
к оценке результатов
Некоторые применения изопараметринеских элементов
185
ЛИТЕРАТУРА
1. Irons В. М., Engineering Application of Numerical integration in Stiffness
Method, JA1AA, 4, 2035—2037 A966); есть русский перевод: Айронс, Инже-
Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей, Ра-
Ракетная техника и космонавтика, 4, № 11, стр. 213—216 A966).
2. irons В. М., Comment on «Stiffness Matrices for Sector Element» by Ra-
ju I. R., Rao A. K., JA1AA, 7, 156—157 A969); есть русский перевод: Ай-
Айронс, Замечание к статье «Матрицы жесткости элементов в форме сек-
сектора», Ракетная техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 271 A970).
3. Irons В. М., Discussion, p. 328—331, of Finite Element Techniques in Struc-
Structural Mechanics, Tottenham H., Brebbia C, eds., Southampton Univ Press,
1970.
4. irons В. М., Testing and Assessing Finite Elements by an Eigenvalue Tech-
Technique, Proc. Conf. on Recent Developments in Stress Analysis, / Br. Soc.
St. An., Royal Aero Soc. A968).
5. Zienkiewicz O. C, Irons B. M., Ergatoudis J., Ahmad S., Scott F. C, Iso-
Isoparametric and Associated Element Families for Two and Three Dimensio-
Dimensional Analysis, Proc. Course on Finite Element Methods in Stress Analysis
Holand i., Bell K., eds., Trondheim Tech. Univ., 1969.
6. Irons В. М., Zienkiewicz О. С, The Isoparametric Finite Element System —
a New Concept in Finite Element Analysis, Proc. Conf. Recent Advances in
Stress Analysis, Royal Aero Soc, 1968.
7. Ergatoudis J. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Curved, Isoparametric,
«Quadrilateral» Elements for Finite Element Analysis, Int. J. Solids and
Struct., 4,31—42, A968).
8. Ergatoudis J. G., Isoparametric Elements in Two and Three Dimensional
Analysis, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1968.
9. Ergatoudis J. G., irons В. М, Ztenkiewicz О. С, Three Dimensional Ana-
Analysis of Arch Dams and Their Foundations, Symp. on Arch Dams, Inst Civ
Eng., London, 1968.
10. Zienkiewicz O. C, Irons В. М., Campbell J., Scott F., Three Dimensional
Stress Analysis, Int. Un. Th. Appl. Mech. Symp. on High Speed Computing
in Elasticity, Liege, 1970.
ГЛАВА 10
ИЗГИБ ПЛАСТИН
10.1. Введение
Во всех задачах предыдущих глав основные зависимости
между напряжениями и деформациями приведены в точной
форме, хотя окончательное решение находилось приближенно.
В классической теории пластин [1], чтобы упростить задачу и
свести ее к двумерной, с самого начала вводятся некоторые
гипотезы, а именно делаются предположения о линейном изме-
изменении деформаций и напряжений по нормали к плоскости пла-
пластины. Так называемые точные решения теории пластин спра-
справедливы только тогда, когда справедливы эти допущения, т. е.
если пластины тонкие и прогибы малы.
При решении представленных здесь задач использовались
допущения классической теории пластин, и, следовательно, точ-
точность приближенных решений должна проверяться на извест-
известных задачах теории пластин. Пределы их применимости будут
такими же, как и теории пластин.
Деформированное состояние пластины полностью описывает-
описывается одной величиной — прогибом w срединной поверхности пла-
пластины. Однако теперь условие непрерывности между элементами
должно быть наложено не только на эту величину, но и на ее
производные. Это необходимо для того, чтобы пластина остава-
оставалась сплошной и не появлялись изломы1). Поэтому в каждой
узловой точке обычно приходится удовлетворять условиям рав-
равновесия и непрерывности.
Выбрать подходящую функцию формы теперь гораздо слож-
сложнее. В самом деле, если на границе между элементами тре-
требуется выполнение условия непрерывности" угла наклона, то
непропорционально возрастают математические и вычислитель-
вычислительные трудности. Однако относительно просто получить функции
формы, которые, сохраняя непрерывность w между элементами,
допускают нарушение непрерывности угла наклона, хотя, ко-
конечно, не в узловых точках, где условия непрерывности заданы.
Если такие функции удовлетворяют критерию «постоянства де-
деформаций», то решение может сходиться (см. гл. 2). В первой
части этой главы рассматриваются именно такие несогласован-
') Если появляется излом, то вторая производная (кривизна) становится
бесконечной и в выражении для энергии появляются бесконечные члены.
Изгиб пластин
187
ные функции формы. Во второй части вводятся новые функции,
которые позволяют удовлетворить условиям непрерывности.
С помощью этих согласованных функций можно получить более
корректное, но, как правило, менее точное решение. Для прак-
практического применения рекомендуются функции, описанные в
первой части этой главы.
Элементом простейшей формы является прямоугольник. Ис-
Использование треугольных и четырехугольных элементов связано
с некоторыми трудностями, и они будут рассмотрены позднее;
для расчета пластин произвольной формы и оболочек именно
такие элементы являются основными.
10.2. Формулировка задачи об изгибе пластин
в перемещениях
В соответствии с обычной теорией тонких пластин переме-
перемещение пластины однозначно определяется известным во всех
точках прогибом w.
Запишем его в общем виде:
w = [N]{6}e, A0.1)
где функции формы зависят от декартовых координат х, у, а
столбец {6}е содержит все (узловые) параметры элемента.
Обобщенные деформации и напряжения должны быть теперь
определены так, чтобы их скалярное произведение, как и в гл. 2,
давало внутреннюю работу. Таким образом, определим дефор-
деформации (фиг. 10.1) как
2
d2w
дх2
d2w
дхду
A0.2)
Соответствующими напряжениями являются обычные изги-
изгибающие и крутящие моменты на единицу длины в направлениях
х к у:
Мх )
>. A0.3)
Так как истинные деформации и напряжения изменяются
линейно по толщине пластины [1], то их можно найти из соот-
соотношений
188
Глава 10
Плоскость
х-у
Фиг. 10.1. Результирующие напряжений или просто напряжения при изгибе
пластин.
где г отсчитывается от срединной плоскости пластины, at —
толщина пластины.
Можно показать, что произведение выражений A0.2) и A0.3)
соответствует внутренней работе.
Так как теперь в выражение для деформаций входят вторые
производные, то, согласно критерию непрерывности, функции
формы должны обеспечивать непрерывность как w, так и угла-
наклона нормали к границе между элементами.
Критерий постоянства деформации требует, чтобы внутри
элемента можно было воспроизвести любое постоянное значе-
значение второй производной.
Чтобы по крайней мере приближенно удовлетворить условию
непрерывности угла наклона, в качестве узловых параметров
рассматриваются три компоненты перемещений: во-первых, пе-
Силы и соответствую-
соответствующие перемещения
Фиг. 10.2. Прямоугольный элемент пластины.
Изгиб пластин
189
ремещение wn в направлении г, во-вторых, угол поворота (е^)„
вокруг оси у и, в-третьих, угол поворота FХ)„ вокруг оси х. На
фиг. 10.2 показаны положительные направления поворотов, оп-
определяемые по правилу правой руки. Их величины задаются
векторами, направленными по соответствующим осям.
Ясно, что углы наклона w и углы поворота совпадают с точ-
точностью до знака, поэтому можно записать
I
ду
дх),
A0.4)
Как показано на фиг. 10.2, узловыми силами, соответствую-
соответствующими этим перемещениям, являются сила и два момента:
(Ю.5)
Если известна матрица [В], то -матрица жесткости и все
остальные матрицы строятся обычным образом с помощью со-
соотношений гл. 2.
Из определений A0.1) и A0.2) следует, что
A0.6)
Запись функций формы в квадратных скобках подчеркивает,
что они являются матричными величинами, состоящими из трех
элементов.
Матрица упругости [D] входит в обычное соотношение:
{<х} = {Af} = [D]({e} — {во}) + {оь}. (Ю 7)
Для изотропной пластины имеем (см. [1])
1 v 0
Et3 I v 1 0
12A -V2)
A0.8)
0 0
Чтобы описать поведение ортотропной плиты, главные
направления упругости которой совпадают с осями хну.
190
Глава 10
необходимо использовать четыре постоянные, т. е. матрица [D]
в этом случае имеет вид
\DX D, 0
[D] = \Dl
Lo
A0.9)
Как показали Тимошенко и Войновский-Кригер [1], эти вели-
величины можно связать с соответствующими упругими постоянны-
постоянными материала, но удобнее оставить их именно в такой форме,
так как теория пластин часто используется для расчета рост-
ростверков1). В таких случаях эти постоянные должны отражать
свойства ростверков. Ясно, что если материал обладает анизо-
анизотропией общего вида, то в матрицу входит самое большее шесть
постоянных, так как она всегда симметрична.
10.3. Условие непрерывности функции формы
Для обеспечения непрерывности функции w и угла наклона
нормали на границе между элементами необходимо, чтобы w и
dw/dn едийственным образом определялись через заданные зна-
значения на этой границе.
Рассмотрим фиг. 10.3, где изо-
изображена сторона 1—2 прямо-
прямоугольного элемента. Направление
нормали п фактически совпадает
с направлением у, и, следова-
следовательно, необходимо, чтобы w и
dw/dy единственным образом оп-
определялись значениями w, dw/dx,
dwjdy в узлах, лежащих на этой
стороне.
Фиг. 10.3. Требование непрерывно-
непрерывности углов наклона.
Следуя принципам гл. 7, можно записать, что вдоль стороны
1—2 прямоугольного элемента
¦ w = А + А2х + А3х2 + ... A0.10)
ду
- В, + В2х + Въх2
A0.11)
Число констант в каждом выражении должно быть достаточным
для того, чтобы выразить эти величины через параметры узлов
на линии 1—2.
Так, например, если иа стороне имеются только два узла,
можно допустить кубичный закон изменения w, так как в ка-
') Ростверком называется система балок, оси которых расположены в
одной плоскости и пересекаются под прямыми углами. — Прим. ред.
Изгиб
191
ждом из узлов заданы значения dw/dx и w. Для величины
dw/dy можно принять лишь линейный, т. е. двучленный, закон
изменения.
Для того чтобы гарантировать непрерывность производной
dw/dx в направлении у, нужно поступить аналогично.
Таким образом, вдоль стороны 1—2 dw/dy зависит только
от параметров узлов линии 1—2, а вдоль стороны 1—-3 dwjdx
зависит только от параметров узлов 1—3.
Дифференцируя первую из этих величин по х, получаем, что
на линии 1—2 d2w/dxdy зависит только от параметров узлов
линии 1—2. Аналогично находим, что иа линии 1—3 d2w/dydx
зависит только от параметров узлов линии 1—3.
В общей точке 1 возникает противоречие, так как в ней
нельзя обеспечить выполнение равенства
d2w d2w
дхду дудх
при произвольных значениях параметров в узлах 2 и 3.
Таким образом, если в узловых точках 3adanbi только зна-
значения функции w и ее npoueeodHbi х, то функции формы, ydoeAe-
творяющие всем условиям согласованности, нельзя npedcraeuTb
в eude полиномов [2].
Произвольные функции, удовлетворяющие всем условиям.со-
условиям.согласованности, которые построены по трем узловым параметрам,
в угловых точках не будут непрерывно дифференцируемы, а их
смешанные производные не будут совпадать. Некоторые випы
таких функций рассматриваются во второй части этой гла-
главы [3—7].
Приведенные рассуждения относятся только к прямоуголь-
прямоугольному элементу. Ясно, что их можно распространить на случай,
когда в точке 1 стороны смежных элементов пересекаются под
произвольными углами.
Путь преодоления этого затруднения очевиден. Можно счи-
считать смешанную производную одним из узловых параметров.
Для ансамбля прямоугольных элементов это удобно и вполне
допустимо. Богнером и др. [8] были предложены и с успехом
использованы простые функции такого типа.
К сожалению, не всегда возможно использовать их для
узловых точек, в которых пересекаются под разными углами
границы нескольких элементов (фиг. 10.4). Здесь условие не-
непрерывности смешанной производной в нескольких ортогональ-
ортогональных направлениях фактически требует задания всех вторых
npomeodHbix в такой узловой точке.
Это, однако, приводит к нарушению физических требований
при скачкообразном изменении жесткости пластины от элемен-
элемента к элементу, так как невозможно удовлетворить условию
192
Глава 10
равенства моментов, нормальных к границам между элемента-
элементами. Тем не менее при расчете однородных пластин такой метод
довольно успешно использовался [9—11].
Смит [9] исследовал эффект наложения таких условий сверх-
сверхнепрерывности на несколько производных высших порядков.
Трудности отыскания функций перемещений, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям согласованности, привели к попыткам игнориро-
игнорировать условие полной непрерывности угла наклона при выполне-
выполнении других необходимых критериев. Исходя из несколько наив-
наивного интуитивного представления, что выполнение условия не-
непрерывности угла наклона в узло-
узловых точках в пределе приводит к
полной непрерывности, было по-
построено несколько очень удачных
элементов [12—15]. Отличными от
использованных в гл. 2 и 3 сред-
средствами можно показать и дока-
доказать сходимость методов, осно-
основанных на применении некото-
некоторых таких элементов [4, 16].
Более того, можно показать, что
при определенных условиях ре-
решение будет мало отличаться от
точного [4].
Простота и широкое использование таких элементов объяс-
объясняют, почему они ниже рассматриваются так подробно.
НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ
10.4. Прямоугольный элемент с узлами в угловых точках [12,
17, 18]
10.4.1. Функции формы
Рассмотрим прямоугольный элемент ijkl пластины, лежащей
в плоскости х, у (фиг. 10.2). В каждой узловой точке вводятся
перемещения {би}, которые имеют по три компоненты: переме-
перемещение и>„ в направлении z, угол поворота (9Х)И вокруг оси х и
угол поворота (9„)п вокруг оси у.
Перемещения узловой точки определяются соотношением
A0.4), а перемещение элемента записывается, как обычно, в
виде вектора, содержащего все (в нашем случае четыре) узло-
узловые перемещения:
6,-
Фиг. 10.4. Узлы, в которых сторо-
стороны смежных элементов имеют про-
произвольные направления.
A0.12)
Изгиб пластин
193
Для определения функций формы по двенадцати параметрам
удобно использовать полиномы. При этом в полном полиноме
четвертой степени необходимо опустить часть членов. Выра-
Выражение
A0.13)
имеет определенные преимущества. В частности, вдоль любой
линии х = const или у = const перемещение w будет изменять-
изменяться по кубическому закону. Все внешние границы и границы ме-
между элементами состоят именно из таких линий. Поскольку по-
полином третьей степени единственным образом определяется
четырьмя постоянными, перемещения вдоль границы однознач-
однозначно определяются значениями перемещений и углов наклона в
узловых точках на концах этой границы. А так как для смеж-
смежных элементов значения на концах границы одинаковы, вдоль
любой границы между элементами функция w будет непрерыв-
непрерывной.
Можно заметить, что градиент w по нормали к любой гра-
границе изменяется вдоль нее по кубическому закону (например,
dw/dx вдоль линии х = const). Так как на таких линиях за-
заданы только два значения угла наклона, то полином третьей
степени определяется неоднозначно и в общем случае угол на-
наклона может оказаться разрывным. Таким образом, эта функция
является несогласованной.
Постоянные ai — «12 определяются из системы двенадцати
уравнений, связывающих значения w и углов наклона в узло-
узловых точках, которые получаются в результате подстановки коор-
координат этих точек. Например,
wl = al+a2xi+a3yi+ И т. Д.,
-arj, = ey'^ «2 + и т. д.,
Эти Двенадцать уравнений можно записать в матричной форме:
, A0.14)
где [С] — матрица размерности 12X12, зависящая от узловых
координат, а {а} — вектор, содержащий 12 неизвестных постоян-
постоянных. Обращая систему A0.14), получаем
{а} = [СГ'{6}в. (Ю.15)
7 Зак. 613
194
Глава 10
Это обращение можно выполнить с помощью ЭВМ или ал-
алгебраически, если желательно получить матрицу жесткости или
другие матрицы в явном виде. Так было сделано Зенкевичем и
Ченгом [12].
Выражение для перемещений внутри элемента теперь можно
записать в стандартной форме:
где
A0.16)
] = A, х, у, х2, ху, уг, к?, х2у, ху2, у3, х*у, ху3).
В явном виде это выражение получено Мелошем [17]. Приведен-
Приведенные выше соотношения просто записать в нормализованных
координатах, введенных в гл. 7. В результате для любой узло-
узловой точки имеем
= ^ [Aо
1) B + 1
-I2
где
Выражение для матрицы [В] получается непосредственно из
соотношения A0.13) или A0.17) с использованием A0.6). По-
Поскольку
! — 2а4 — 6<z7* — 2а8г/ — 6аиху "
-2а6 -2<Zj* -6al0y -&а12ху
2а5 + 4as* + 4а9у + &апх2+6а12у2
A0.18)
можно записать {е} = [Q]{a}=[Q] [С] (б}г и, следовательно,
[В] [<?1[СГ\ где
[Q]
10 0
00
00
000—2 0 0 — &х —2у 0 0
0 0 —,2 0 0 — 2х — 6у
000020 0 4х 4у 0
— бху
0
б*2
0 1
-бху .
6у2 J
A0.19)
Изгиб пластин
195
Интересно отметить, что выбранная функция перемещений до-
пуска-ет существование состояния постоянной деформации (кри-
(кривизны) ') и тем самым удовлетворяет критерию сходимости,
сформулированному в гл. 2.
10.4.2. Матрицы жесткости и нагрузок
Процесс построения этих матриц стандартен,4 поэтому из-
излишне излагать его подробно.
Из соотношения B.10) можно получить матрицу жесткости,
связывающую узловые силы (поперечная сила и два момента
в каждом узле) с соответствующими узловыми перемещениями:
A0.20)
[k)=\\[B)T[D][B]dxdy.
Подставляя сюда A0.18) и считая толщину t постоянной
внутри элемента, получаем
\T))-\ A0.21)
Члены, не содержащие хну, вынесены из-под интеграла.
Если толщина t постоянна, то интеграл легко вычисляется точ-
точно после выполнения умножения под знаком интеграла.
Для ортотропного материала явное выражение для матрицы
жесткости [k] приведено в табл. 10.1.
Соответствующая матрица напряжений для внутренних мо-
моментов приведена в табл. 10.2.
Внешние силы, обусловленные распределенной нагрузкой,
можно распределить по узлам в зависимости от расположения
участков приложения нагрузки. Однако более логично и точно
для распределения по узлам внешних сил использовать снова
соотношение B.9).
Если в направлении w действует распределенная нагрузка q
на единицу площади элемента, то из соотношения B.11) сле-
следует, что вклад этих сил в каждый из узлов выражается в виде
{FYp—\\[N\Tqdxdy, ' A0.22)
илн вследствие A0.15)
{'}г \\ f A0.23)
\\
') Если постоянные Й7 — &\г равны нулю, то деформации постоянны. С по-
помощью формулы A0.13) можно найти соответствующие {&}'. Так как между
{6}* и {а} существует однозначное соответствие, то такое состояние является
единственно возможным. При этом предполагается, что матрица [С] суще-
существует. Обращение алгебраическим путем доказывает, что матрица [С] ни-
никогда не бывает сингулярной.
Таблица 10.1
Матрица жесткости для прямоугольного элемента (фиг. 10.2,
материал ортотропный)
Матрица жесткости
[k]-
где
1
[L] {Dx [Kt] + Dy [K2] + Dt [K3] + Dxy [К,]} [Ц,
[6,
60
0
30
30
0
15
60
0
30
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
15
0
10
-30
0
10
—15
0
60
0
30
—30
0
15
—60
0
0
0
0
0
0
0
0
20
—15
0
5
—30
0
60
0
—30
30
0
0
0
0
0
p-1'
Ь*
—7^~
a
Симметрично
20
—15
0
60
0 0
15 0
80 0 ' 10 —15 0 10 -30. 0 20.
Кг-
60
30
0
60
30
0
30
15
0
30
15
0
20
0
30
10
0
—15
10
0
15
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
60
30
0
—30
15
0
30
15
0
20
0
.—15
5
0
15
10
0
0
0
0
0
0
0
0
60
—30
0
—60
—30
0
P2-
a2
= ~W
Симметрично
20
0
30
10
0
0
0 60
0 30 20
0 0 0
пластин
197
" 30
Kz =
—15
15
—30
0
—15
—30
15
0
30
0
0
- 84
K*===
L =
—6
6
-84
—6
—6
—84
6
6
84
6
-6
-« о
0 I
0 0
_0 0
0
-15
0
0
0
15
0
0
0
0
0
8
0
6
—2
0
6
—8
0
—6
2
0
0 0
0 0
I 0
0 t
0
—15
8
—6
0
—8
—6
0
—2
6
0
2
-
0
0
0
0
0
0
0
0
30
15
15
30
0
0
-30
—15
0
84
6'
6
84
—6
—6
0
15
0
0
0
—15
8
0
6
2
0
—84 —6
—6 —8
6
где l-=
0
0
0
a
0
0
0
0
0
0
8
6
0
2
—6
0
—2
1
0
_0
0
2*
0
Продолжение табл. 10.1
Симметрично
30
—15
—15
—30
0
15
0
15
0
0
0
0
15
0
0 -
-
30
15 0
-15 -15 0_
-
Симметрично
84
—6
—6
—84
—6
6
°1
0
2я_
8
0
6
—2
0
8
6
0
-8
84
6 8
-6 0 8_
Интеграл A0.23) тоже легко вычисляется. Заметим, что в
общем случае все три компоненты внешней силы в каждом узле
отличны от нуля. При простом распределении внешней нагрузки
между узлами этого бы не было. Вектор узловых сил при дей-
действии равномерно распределенной нагрузки приведен в
табл. 10.3.
Если в пластине существуют начальные деформации, то век-
вектор узловых сил, обусловленных начальными деформациями
и начальными напряжениями, находится аналогично. В этой
связи необходимо заметить, что начальные деформации, напри-
например вызванные нагревом, редко влияют на кривизну. Обычно
Изгиб пластин
199
ев.
о *
И
II
•х
к
X
I
s
a.
If
x
q
о
X
Э
X
q
<§•!
T
3
q
8
s
q _ л
T q q
«a4
Ш Ш
I
i
I I
1
'cl '
q
а
Таблица Ю.З
Матрица сил для прямоугольного элемента, изображенного
на фиг. 10.2, при действии равномерно распределенной нагрузки q
12
a
12"
J_
4
b_
12
a
12"
'Aqab
J
I
12
a
2"
в пластине дополнительно возникают деформации в ее плоско-
плоскости, и в целом поведение пластины можно изучить, решая на-
наряду с задач;еи изгиба задачу о плоском напряженном состоянии.
10.5. Четырехугольные и параллелограммные элементы
Четырехугольный элемент нельзя просто получить из прямо-
прямоугольника. Можно было бы использовать преобразование коор-
координат описанного в гл. 8 типа, ио, к сожалению, в этом случае
нарушается критерий постоянства кривизны. По-видимому, та-
такие элементы обладают плохими свойствами. Используя только
функции от | и ц, лишь для параллелограмма можно удовле-
удовлетворить критерий постоянства кривизны.
Такой элемент предложен в работе [12], а матрицы жестко-
жесткости построены Дэйвом [14].
Несколько другая система функций формы предложена Аргн-
рисом [15].
200
Глава 10
*¦ *,
Фиг. 10.5. Элемент в форме параллелограмма и косоугольные координаты.
Для параллелограмма (фиг. 10.5) локальные координаты
можно в явной форме связать с глобальными:
g,- *-yctga
t _ у col a ' A0'24>
C b "
что позволяет получить все характеристики элемента.
10.6. Треугольный элемент с узлами в углах
10.6.1. Функции формы
На первый взгляд может показаться, что совершенно так же,
как и в предыдущем разделе, в качестве функции формы мож-
можно использовать полином. Поскольку в этом случае задается
только девять независимых перемещений, в полиномиальном
разложении необходимо оставить девять членов. Однако пол-
полный полином третьей степени содержит десять членов [выраже-
[выражение A0.13)], и вопрос о том, какой именно член следует опу-
опустить, приходится решать произвольно. Для сохранения некото-
некоторой симметрии полинома можно, например, оставить все десять
членов, а чтобы свести количество неизвестных к девяти, при-
приравнять два коэффициента (например, положить <x.s = as). Было
рассмотрено несколько различных вариантов. Однако при этом
появляется другая, более серьезная проблема. При определен-
определенной ориентации сторон треугольника матрица, соответствующая
матрице [С] системы уравнений A0.14), становится сингулярной.
Это, например, происходит, когда две стороны треугольника па-
параллельны осям х и у.
Изгиб пластин
201
Указанные трудности можно обойти, если воспользоваться
описанными в гл. 8 ^.-координатами. Для треугольников это
вполне естественно.
Как и раньше, будем использовать члены полиномиального
представления. Отметим, что в L-координатах они имеют не-
несколько необычный вид. Например, выражение
представляет собой полный линейный полином, а выражение
содержит все шесть членов полного квадратичного полинома
(включая линейные члены).
Кубичный полином содержит десять членов, представляю-
представляющих собой различные произведения третьей степени по коорди-
координатам
L\, Li, Li, Ь\Ьг, L2L3, L3L1, L\Li, L2L3, L3L1, L\LiLi.
Для элемента с девятью степенями свободы можно использо-
использовать любую комбинацию из перечисленных членов, содержа-
содержащую только девять независимых функций и удовлетворяющую
критерию постоянства кривизны. На фиг. 10.6 показаны неко-
некоторые важные функции этого класса. Первая из них
(фиг. 10.6, а) является одной из трех функций, описывающих
перемещение пластины как жесткого тела.
Функции типа LaLi (в кубичном разложении их шесть)
сходны (но не совпадают) с функцией, изображенной на
фиг. 10.6,6.
Наконец, показанная иа фиг. 10.6, е функция LiL2L3 является
чисто внутренней формой: во всех трех узлах значения функции
и углов наклона равняются нулю. Такая функция оказывается
полезной для «неузловых» параметров, но не может использо-
использоваться самостоятельно, так как она не выражается через зна-
значения переменных в узлах. Ее можно с любым множителем до-
добавить к другой основной функции формы.
Таким образом, особый интерес представляют функции вто-
второго рода. Они соответствуют нулевым значениям w во всех
угловых точках и, кроме того, нулевому значению угла наклона
вдоль одной из сторон. С помощью линейной комбинации двух
из них (например, L2L3 и LILi) можно приписать любые зна-
значения углам наклона в направлениях х и у в одной узловой
точке при нулевых значениях остальных углов наклона.
Однако для большей общности будем рассматривать формы
типа
l
202
Глава 10
Фиг. 10.6. Некоторые основные полиномиальные относительно /.-координат
функции.
(так как последнее слагаемое не изменяет углов наклона в уз-
узлах).
Поскольку кривизна описывается только этими формами, не-
необходимо, чтобы с помощью линейной комбинации шести таких
функций можно было получить любые произвольные значения
кривизны во всех точках элемента при нулевых значениях w
в узлах. Алгебраически это означает, что выражение
при любых значениях коэффициентов А должно иметь вид
Si {l\U + eZ,iZ,2L3) + Bi {L\U + cLiL2L3) + ...
при соответствующих значениях шести постоянных В. С по-
помощью некоторых алгебраических преобразований можно пока-
показать, что это возможно только при с = '/г- Следовательно, при
Изгиб пластин
203
построении функций формы функция, изображенная на
фиг. 10.6,6, является одной из основных.
Таким образом, перемещения пластины можно представить
в виде
, ъ + р4 {L\L{ + i L,L2L^ +
) (Ю.25)
w =
и после подстановки узловых значений
h [L\Lt + j
c3
- bi (Lsli + у
определить постоянные, а следовательно, и функции формы.
Окончательно функцию формы для первого узла с помощью
определений, введенных в гл. 7, можно записать в виде
A0.26)
где
0\ === J/o "~~ V3» ^1 == "^3 "~~ ^2 ^ '^1* Д*
Остальные две функции для узлов 2 и 3 получаются цикличе-
циклической перестановкой индексов I—2—3. Элемент, характеризуе-
характеризуемый такими функциями, впервые был рассмотрен в работе [4].
10.6.2. Матрицы жесткости и нагрузки
Для определения деформаций [равенство A0.2)] и матрицы
[Bt] из A0.6) необходимо определить вторую производную
от [N].
При этом появляется необходимость дифференцирования по
декартовым координатам. Это нетрудно осуществить, имея в
виду, что
д
дх
dLj. д
дх dL,
дх дЦ
1
2Д
+
дЦ
дх
A0-27)
В /--координатах все выражения остаются полиномами, и по-
поэтому их легко проинтегрировать с помощью общей формулы
G.34) гл. 7. Окончательные выражения для матриц жесткости
и нагрузки довольно громоздкие; они приведены в работе [19].
204
Глава 10
Однако, как подчеркивалось в гл. 8, проще предусмотреть
в программе численное интегрирование. Так как в матрицу
жесткости входят только квадратичные члены, интегрирование
по треугольнику будет точным при использовании всего лишь
трех точек (см. табл. 8.3, гл. 8) и время численного интегриро-
интегрирования почти не отличается от времени расчета выражений при
точном интегрировании.
В матрицу напряжений входят моменты, которые изменяют-
изменяются линейно. Однако, так как не все кубичные члены входят в
функцию формы, они аппроксимируются плохо. Обычно момен-
моменты вычисляются только в центрах тяжести и результаты сгла-
сглаживаются усреднением узловых значений.
10.7. Сходимость при использовании несогласованных элементов
При использовании двух типов элементов, описанных в пре-
предыдущем разделе, нарушаются условия непрерывности угла на-
наклона н, следовательно, удовлетворяется только приближенно
принцип минимума полной потенциальной энергии. Однако в
следующем разделе будут приведены некоторые результаты, де-
демонстрирующие практическую точность результатов, получен-
полученных при использовании этих элементов. Может возникнуть во-
вопрос, всегда ли при уменьшении размеров элемента решение
будет сходиться к точному? Хотя этот вопрос чисто теоретиче-
теоретический, он нуждается в ответе.
Для прямоугольных элементов Вальц и др. [16], рассчитывая
методом конечных элементов однородную пластину и сравни-
сравнивая алгоритм с приближенным решением дифференциальных
уравнений, установили, что сходимость гарантирована всегда.
Однако распространять эти выводы на другие случаи нет ника-
никаких оснований.
Айронс [4] также показал, что использование простого тре-
треугольного элемента позволяет получить решение, сходящееся к
точному, если сетка элементов образована тремя системами
эквидистантных параллельных линий.
Использованный критерий проверки весьма прост. Если при
помощи большого числа элементов можно точно воспроизвести
любые состояния постоянной кривизны, то при предельном раз-
разбиении пластина ведет себя в соответствии с физическими зако-
законами для бесконечно малого элемента. В противном случае схо-
сходимости не будет.
Применение этого критерия показало, что если для получе-
получения треугольников используются две диагонали параллелограм-
параллелограмма [фиг. 10.7 DХ4В)], то ошибка в перемещениях составляет
около 1,5%. Таким образом, несогласованный треугольник по-
позволяет получить решение, сходящееся не к точному, а к неко-
Изгиб пластин
203
торому другому, отличающемуся от него в пределах указанной
ошибки.
Аналогичный критерий был применен к несогласованному
прямоугольному элементу, что позволило впервые доказать схо-
сходимость для такого элемента [4].
В большинстве практических инженерных расчетов точность,
достигаемая при использовании несогласованного треугольного
элемента, оказывается вполне приемлемой. Чаще всего такие
Нерегулярна
Фиг. 10.7. Квадратная пластина. Разбиение иа треугольные элементы.
треугольники дают лучшие результаты, чем эквивалентные со-
согласованные элементы [4]. Это объясняется, по-видимому, тем,
что решение в этом случае не обязательно удовлетворяет полу-
полученным в гл. 2 энергетическим ограничениям и большее число
степеней свободы позволяет найти наилучшую форму.
При построении несогласованных элементов требовались не-
непрерывность прогиба w во всех точках на границе между эле-
элементами и совпадение углов наклона в общих узлах. Это всегда
приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ш.
Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то
появляются интересные возможности. Например, можно пока-
показать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести
степеней свободы которого приняты значения w в угловых
узлах и значения нормальной производной dwjdn в дополни-
дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полином.
В результате получается простейший возможный элемент для
206
Глава 10
задач об изгибе с постоянными моментами и кривизной, экви-
эквивалентный треугольнику с постоянной деформацией.
Такой элемент недавно был построен Морли [29]. Он пока-
показал, что, несмотря на достаточно очевидное нарушение непре-
непрерывности, полученное при использовании этого элемента, реше-
решение сходится и сопоставимо по точности с решением, получен-
полученным при использовании рассмотренных здесь более сложных
треугольников.
В качестве упражнения читатель может получить матрицу
жесткости для этого элемента.
10.8. Примеры
10.8.1. Прямоугольные элементы
Для иллюстрации точности и ожидаемой скорости сходимо-
сходимости была составлена программа расчета с использованием функ-
функций перемещений, определяемых выражением A0.13), и по ней
просчитано несколько простых тестовых задач.
Квадратная изотропная пластина. На фиг. 10.8 в виде гра-
графиков представлены результаты расчета квадратной пластины
(wD/qL*)- 10э
Проги§ы w
Изгибающие моменты
Фиг. 10.8. Квадратная пластина с защемленными краями. Равномерно распре-
распределенная нагрузка д. Квадратные элементы.
решение методом конечных разностей при сетке 15 X 15 (Саувелл, 1958); о метод
конечных элементов» сетка 6X6; Д метод конечных элементов, сетка 4x4; О метод конеч-
конечных элементов, сетка 2X2,
Изгиб пластин
207
с защемленными краями, находящейся под действием равномер-
равномерно распределенной нагрузки.
Результаты соответствуют разбиениям всего лишь на 2X2,
4X4 и 6Х 6 элементов, но точность и сходимость убедительны.
При любом количестве элементов линейное распределение
моментов, как и ранее, близко к точному.
Еще более удивительные сходимость и точность демонстри-
демонстрируются в табл. 10.4. В этой таблице сравниваются перемещения
центра пластины прн действии сосредоточенной и распределен-
распределенной нагрузок для различных условий закреплений сторон. При
разбиении 8X8 элементов максимальная ошибка составляет
~3%. Для-всех случаев разбиения решение сходится.
Таблица 10.4
Перемещения центра квадратной пластины, подсчитанные
при различном числе разбиений (прямоугольные элементы)
Разбиение
2X2
4X4
8X8
12X12
16X16
Точное реше-
решение (Тимо-
(Тимошенко)
Общее
количе-
количество
узлов
9
25
81
169
289
Свободно опертая пластина
равномерно
распреде-
распределенная
нагрузка
а
0,003446
0,003939
0,004033
0,004050
0,004056
0,004062
сосредото-
сосредоточенная
нагрузка
Р
0,013784
0,012327
0,011829
0,011715
0,011671
0,01160
Защемленная пластина
равномерно
распреде-
распределенная
нагрузка
а
0,001480
0,001403
0,001304
0,001283
0,001275
0,00126
сосредото-
сосредоточенная
нагрузка
Р
0,005919
0,006134
0,005803
0,005710
0,005572
0,00560
а'макс=="~7)— для равномерно распределенной нагрузки q;
wu я=——— для сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в центре пластины [20].
Консольная пластина. На фиг. 10.9 показаны перемещения
в такой же пластине, но закрепленной консольно. Сравнение с
другими численными решениями и экспериментальными данны-
данными снова демонстрирует высокую точность метода.
Опертая по углам пластина [12]. Квадратная пластина, опер-
опертая по углам, исследовалась различными экспериментальными
и приближенными аналитическими методами. В табл. 10.5 ре-
результаты решения методом конечных элементов сравниваются
с некоторыми другими приближенными решениями. Даже в том
208
Глава 10
А-—<Г--4
I
-ГО
- 0,125
ПрогиНы вдоль линии А-А
0,130
0,135
Прогибы на свободном краю В~В
Фиг. 10.9. Нагружение равномерно распределенной нагрузкой q квадратной
консольной пластины.
Д метод конечных элементов, сетка 3X3; D метод конечных разностей, сетка 5X5
(Ливси и Бирчелл, 1956); О экспериментальные результаты (Дэлли, 1948).
случае, когда наличие концентрации напряжений в узлах со-
создает определенные трудности, ясно видно достаточно хорошее
совпадение результатов как по перемещениям, так и по напря-
напряжениям.
10.8.2. Треугольные элементы. Квадратная изотропная пластина
Для иллюстрации сходимости снова рассмотрена квадратная
пластина. Теперь она различным образом аппроксимируется
треугольными элементами. В одних случаях они получены на
Изгиб пластин
209
Таблица 10.5
Опертая по углам квадратная пластина (точка 1 — середина
стороны пластины; точка 2 — центр пластины)
Метод конечных эле-
элементов
2X2
4X4
6X6
Маркус
Ли и Баллестероз
Множитель
Точка 1
W
0,0126
0,0165
0,0173
0,0180
0,0170
qL4D
0,139
0,149
0,150
0,154
0,140
qL*
Точка 2
w
0,0176
0,0232
0,0244
0,0281
0,0265
qL</D
0,095
0,108
0,109
0,110
0,109
¦ qL»
основе прямоугольной сетки, в других — совершенно нерегуляр-
нерегулярно. На фиг. 10.7 показано несколько способов разбиения, а на
фнг. 10.10 представлены перемещения, определенные при раз-
различных краевых условиях и нагрузках. Как и ранее, точность и
сходимость по перемещениям оказываются хорошими (хотя, воз-
возможно, и несколько хуже, чем при использовании прямоуголь-
прямоугольных элементов).
На фиг. 10.11 показано изменение изгибающих моментов
вдоль оси симметрии пластины. Средние величины моментов
хорошо согласуются с точными. Однако в этом случае уже
нельзя сказать, что линейный закон распределения напряжения
наилучшим образом согласуется с реальным. Поэтому в прак-
практических целях рекомендуется вычислять напряжения (момен-
(моменты) в центре тяжести элементов.
Пластина с центральным круглым отверстием. Хотя эта за-
задача и не имеет точного решения, она приведена для того, что-
чтобы продемонстрировать, как с помощью треугольных элементов
легко рассчитывать пластины произвольной формы с любыми
отверстиями.
На фиг. 10.12 показана использованная сетка и нанесены
линии равных прогибов ш. На фиг. 10.13 линии равных углов
наклона сравниваются с экспериментальными результатами, по-
полученными методом Муара. Расхождение не превышает ошибки
эксперимента.
Свободное опирание
пластины
Сосредоточенная
нагруока
Точное
значение
1160-Ю
Сосредоточенная значение
нагрцона "х
3ai
D Сетка 2*2
Д Сетка 4* А (В)
Ч Сетка 4 *4
• Сетка 6 (В)
о сетка, в "8
ф Нерегулярная сетка
F0 элементов)
Фиг. 10.10. Прогибы вдоль центральной линии квадратной пластины (треуголь-
(треугольные элементы).
Распределенная
нагрузка
Фиг. 10.11. Квадратная пластина. Распределение Мх вдоль центральной лннин
(треугольные элементы).
О средние значения (прн линейном законе изменения); действительное распре.
деление в элементах.
Изгиб пластин
211
г Защемление
0,1875?
Место приложения
стреаотаченнаи
нагрузки р
о.юзм
Радиус
8
= 0,1766L
Фиг. 10.12. Квадратная пластина с отверстием Линии равных безразмерных
прогибов wD/pL2. Треугольные элементы
10.8.3. Некоторые практические приложения
Вычислительная программа расчета, особенно основанная
на использовании треугольных элементов, широко применяется
на практике. С ее помощью легко можно рассчитывать плиты
фундамента, настилы мостов или обшивки кораблей.
Одной из широко распространенных на практике задач яв-
является задача расчета мостовых конструкций, для решения ко-
которой очень часто применяется метод конечных элементов. На
фиг. 10.14 приведена автоматически вычерченная схема распре-
распределений напряжений многопролетного моста.
Мост более сложной формы показан на фиг. 10.15 и 10.16.
Результаты расчета представлены в виде автоматически вычер-
вычерченных изостат. При расчете предполагалось, что нейтральные
оси парапета совпадают с нейтральной осью настила. Балочные
элементы для расчета парапета без труда соединяются с пло-
плоскими, и результирующая система уравнений для всего ансамб-
ансамбля получается обычным путем, описанным в гл. 1,
го-*
« |*_*
Фиг. 10.13. Квадратная пластина. Линии равных углов наклона 0„ = dw/дх- -D/PL.
а—вычисленные значения 0 ¦ 102; 6—результаты исследования методом муаровых полос (l полоса—0,213 • 10~*)<
Мтречме eemmte
91,5 см
-\ ^—x—-X ^v
х л, * ^^- а /- + \ X X X .->< "
Фнг. 10.14. Двухпролетный косой мост переменной толщины. Построенная ЭВМ картина распределения главных моментов
под действием собственного веса.
214
Глава 10
W.9/M
Фиг. 10.15. Кастлтонский мост. Общая геометрия и схема разбиения на конеч-
конечные элементы. Края моста свободно оперты без стеснения поворотов. Опоры
учитываются как искусственные утолщения затемненных участков, прогиб
которых ограничен величиной v = 0,17,
а—типичное реальное сеченне; б — использования идеализация.
«СОГЛАСОВАННЫЕ» ФУНКЦИИ ФОРМЫ
С ОСОБЕННОСТЯМИ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ
10.9. Общие замечания
В разд. 10.5 было показано, что для элемента с тремя сте-
степенями свободы в узлах невозможно построить функцию формы
в виде простого полинома, которая удовлетворяла бы требова-
требованиям непрерывности угла наклона. Введение в узлах парамет-
параметров кривизны имеет, однако, тот недостаток, что накладывает
на функции чрезмерные требования непрерывности. Более того,
по многим причинам желательно, чтобы общее число узловых
переменных не превышало трех. В этом случае, основываясь на
простой физической интерпретации, от плоских элементов для
расчета пластин легко перейти к элементам для расчета оболо-
оболочек. Кроме того, при трех узловых переменных упрощаются
вычисления.
Изгиб пластин
215
Фиг. 10.16. Компоненты моментов (т-м/м) для изображенного на фиг. 10.15
моста при действии равномерно распределенной нагрузки 7,16-103 Н/м2. Вы-
Вычерченные ЭВМ лннин равных моментов. Видно, что в рассмотренном примере
мост в основном работает на изгиб.
Еще один простой способ состоит во введении дополнитель-
дополнительных функций формы, производные второго порядка которых в
узлах неоднозначны. При условии, что они не обращаются в
бесконечность, сходимость гарантируется.
216
Глава 10
Рассмотрим функции формы для треугольных и четырех-
четырехугольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследо-
исследоваться не будет.
10.10. Сингулярные функции формы для простого треугольного
элемента
Рассмотрим, например, любую из двух систем функций
г ^2^2
' ° ' и т. д., A0.28)
ИЛИ
и т. д.
A0.29)
Эти функции и их производные по нормали вдоль двух сторон
треугольника 1—2 и 1—3 (фиг. 10.17) обращаются в нуль. На
третьей стороне 2—3 эти функции также принимают нулевые
Фиг. 10.17. Некоторые особые функции /.-координат.
значения, но нормальные производные отличны от нуля н изме-
изменяются по параболическому закону. Вторая из этих функций
показана на фиг. 10.17, а.
Все функции, использованные для задания несогласованного
треугольника [см. выражение A0.25)], имеют третий порядок и,
следовательно, допускают параболический закон изменения
нормальной производной, который неоднозначно определяется
,двумя краевыми узловыми значениями (результатом чего и яв-
является несогласованность). Однако если в качестве еще одной
переменной задать значение нормальной производной w в сере-
середине каждой из сторон, то, комбинируя новую функцию е с вве-
введенными ранее функциями, можно получить однозначный пара-
параболический закон изменения нормальной производной на гра-
Изгиб пластин
217
иицах между элементами, т. е. построить согласованный эле-
элемент.
Очевидно, что для достижения согласованности нужно доба-
добавить трн такие дополнительные степени свободы в выражение
Фиг. 10.18. Различные согласованные треугольные элементы.
„ , „/• dm dm\ . /вш\ / dw dbs \ - / dm
Степеии свободы О[в, - — , —](; Д ^J^; ? (ш, -^ , -g^);, • [т, —
dw
д'т
218
Глава 10
A0.25) и выполнить все описанные ранее операции. В резуль-
результате получается показанный на фиг. 10.18, а элемент с шестью
узлами, три из которых — обычные угловые узлы, а три —допол-
—дополнительные узлы,'в которых заданы только значения нормальных
производных.
Такие элементы несколько затрудняют составление ансамбля,
так как число степеней свободы в каждом узле различно.
Чтобы избежать этого затруднения, можно устранить сте-
степень свободы дополнительных узлов. Например, можно поло-
положить, что величина нормальной производной в середине сто-
стороны равна среднему арифметическому значений этой производ-
производной на концах стороны. В результате получим согласованный
элемент с таким же числом степеней свободы, как и у описан-
описанного в предыдущих.разделах элемента (фиг. 10.18,6).
Построение соответствующей функции формы довольно гро-
громоздко, поэтому оно здесь не приводится. Проще поступить
следующим образом.
Во-первых, нормальные производные в середине сторон оп-
определяются из основных функций формы элемента [соотношение
A0.26)] в виде
I
еа =
dw
~дп
dw '
дп .
A0.30)
1 V о« .
\{дп
Средние арифметические значения нормальных производных в
углах тоже вычисляются по этим функциям и записываются как
A0.31)
Вклад функций е в значения этих производных пропорцио-
пропорционален величине е23у\ и т. д., т. е. (так как сами они имеют еди-
единичную нормальную производную) просто равен
Определяя из соотношения
(Ю.32)
Изгиб пластин
219
величину у и учитывая A0.26), получаем
0 = [№\ {Ь}° + [ва, ез„ .в13] ([Y] - [Z]) {б}«. A0.34)
Здесь [№]—определенные ранее несогласованные функции
формы.
Таким образом, соотношение A0.34) определяет искомые
функции формы.
Другой способ получения согласованных треугольников был
разработан Клухом и Точером [3]. Как показано на фиг. 10.18, о,
сначала каждый треугольник разделяется на три треугольника
с общей вершиной во внутренней точке Р. Для каждого из но-
новых треугольников записывается полный полином третьей сте-
степени, содержащий десять членов. Окончательное представление
должно быть выражено через девять обычных степеней свободы
в точках 1, 2, 3 и три нормальные производные в точках 4, 5, 6.
Так как в каждой угловой точке исходного треугольника функ-
функции формы смежных треугольников должны принимать одина-
одинаковые значения, получаются две системы уравнений а в итоге
9X2 + 3 = 21 уравнение. Кроме того, условия непрерывности
перемещений и производных в центральной точке Р дают еще
шесть дополнительных уравнений, а условия непрерывности
производных в середине внутренних сторон — еще три урав-
уравнения.
В результате получаем тридцать уравнений для определения
тридцати неизвестных, что достаточно для определения функ-
функции формы и, следовательно, построения элемента с двена-
двенадцатью степенями свободы, аналогичного описанному ранее.
Наложение ограничений на нормальные производные в се-
середине внешних сторон позволит сократить число степеней сво-
свободы до девяти.
Эти же элементы можно получить, если задать в углах два
значения вторых производных. Введенные ранее функции формы
семейства е фактически имеют различные производные в углах
по разным направлениям.
В работе [4] треугольники Клуха и Точера построены с по-
помощью другой системы функций 8.
Оба рассмотренных типа треугольников дают почти одина-
одинаковые числовые результаты, поэтому предпочтение нужно отда-
отдавать элементам, приводящим к более простым вычислениям.
При использовании численного интегрирования (что настоятель-
настоятельно рекомендуется для таких элементов) выгоднее применять
непрерывные по всему треугольнику функции формы, опреде-
определяемые соотношениями A0.28) и A0.29),
220
Глава 10
10.11. Треугольный элемент с восемнадцатью степенями
свободы и согласованными функциями формы
На фиг. 10.18,6 изображен элемент, представляющий собой
несколько усовершенствованный вариант элемента, показанного
на фиг. 10.18, о. За счет того, что, кроме нормальной производ-
производной dw/dn, в середине сторон элемента рассматриваются еще
значения ш и смешанной производной d^w/dsdn, число степеней
свободы увеличивается с двенадцати до восемнадцати.
С точки зрения вычислений этот элемент более выгоден, так
как теперь число степеней свободы в каждом узле одинаково.
Требование непрерывности смешанных производных в середине
сторон не является дополнительным ограничением, так как оно
с физической точки зрения вполне естественно.
Способ построения этого элемента описан Айронсом [7].
Здесь достаточно сказать, что, кроме рассмотренных видов
функций, используются еще члены четвертого порядка показан-
показанного на фиг. 10.6, г типа и функции, характеризующие скручи-
скручивание (фиг. 10.17,6). Легко убедиться, что функция формы для
такого элемента, кроме сингулярной функции, содержит все
пятнадцать членов полинома четвертой степени.
10.12. Согласованные четырехугольные элементы
Любой из рассмотренных треугольников можно использо-
использовать для построения согласованных четырехугольных элементов
с внутренними степенями свободы или без ннх. Три таких четы-
четырехугольника показаны иа фиг. 10.19, причем ни в одном из них
Фиг. 10.19. Некоторые составные четырехугольные элементы.
а—внутренних степеней свободы нет; б — 3 внутренние степени свободы; в—7 внутрен-
внутренних степеней свободы.
на внешних сторонах нет дополнительных узлов. Таким путем
удается избежать уже упоминавшихся трудностей, которые воз-
возникают прн составлении ансамбля.
Первый из элементов не имеет внутренних степеней свободы,
н поэтому он, по-видимому, не обладает никакими преимуще-
преимуществами по сравнению с треугольниками с таким же числом сте-
Изгив пластин
221
пеней свободы. Два следующих элемента имеют соответственно
3 и 7 внутренних степеней свободы. Условия непрерывности
нормальной производной в последнем нз этих элементов не за-
затрудняют составления ансамбля, так как внутренние степени
свободы всегда исключаются. В работе Клуха н Фелиппы [21]
показано, что при использовании таких элементов точность зна-
значительно увеличивается'.
Возможный прямой способ построения четырехугольного
влемента предложен Сандером [5] и Вёбеке [6, 22]. Он состоит
Фиг. 10.20. Согласованные функции, предложенные Вёбеке.
в следующем. В четырехугольном элементе (фиг. 10.20) пере-
перемещение представляется в виде суммы трех функций
где первое слагаемое W представляет собой полный полином
третьего порядка с десятью постоянными:
ш)а = ах + а2Х+ ... +alQy3. A0.35)
Вторая функция шь задается кусочно. В нижнем треуголь-
треугольнике (фиг. 10.20,6) она считается равной нулю, а в верхнем
имеет вид кубичного выражения с тремя постоянными, что по-
позволяет без нарушения непрерывности угла наклона осуще-
осуществить переход к нижнему треугольнику. Следовательно, в
локальных координатах х', у' для треугольника jkm имеем
n. A0.36)
Аналогично и третья функция (фиг. 10.20, в) шс = 0 в нижнем
треугольнике, а в треугольнике imj
<"\ A0.37)
222
Глава 10
Таким образом, три обычные узловые переменные в углах
четырехугольника и нормальные производные в узлах в середи-
середине сторон представляют собой шестнадцать внешних степеней
свободы, задание которых позволяет определить шестнадцать
постоянных ai-16. В результате обеспечивается согласованность,
но в углах вновь возтшкяет неоднозначность втопых про-цзвочных.
При желании' можно наложить связи на значения перемен-
переменных в узлах в середине сторон и получить элемент с двена-
двенадцатью степенями свободы.
Как показал Вёбеке [22], функцию можно представить в яв-
явном виде и, таким образом, построить элемент.
Если один из углов четырехугольника входящий, то элемен-
элементы такого типа построить нельзя. Это не очень серьезное огра-
ограничение, но его прлходится учитывать, когда элементы выро-
вырождаются в близкую к треугольнику форму.
10.13. Несколько примеров решений с согласованными
элементами
Сходимость и точность различных элементов, описанных
здесь, многократно обсуждались в литературе. В этом плане
особенно полезны работы [3, 4, 21].
На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании
двух простых, но несогласованных элементов, рассмотренных в
/4,0
13,0
12,0
11,0
10,0
8,0
8,0
вначемцв
ч
III
<^
6
>
-.—u;
^- +
—_
++*
(
' с
Точное
«I T?
5,4
3,0
3.8
5.6 s^
/ —
^^
¦
*
4
-
-
Свободное опирание
Защемление
Фиг. 10.21. Сравнение различных решений методом конечных элементов задачи
о квадратной пластине, в центре которой приложена нагрузка Р (и — число
элементов на половину стороны а и р = wD/Pa2).
несогласованный прямоугольник, 12 степеней свободы; несогласованный треуголь-
треугольник, 9 степеней свободы; согласованный четырехугольник, 16 степеней свободы
(Вёбеке)} + + +согласованный треугольник, 9 степеней свободы; • • .согласованный четы-
четырехугольник (Клух), 12 степеней свободы (л 7 внутренних^
Изгиб пластин
223
этой главе, сравнивается со сходимостью при использовании
трех различных согласованных элементов.
Здесь следует сделать несколько замечаний. Во-первых, про-
простейший согласованный треугольник при грубом разбиении при-
приводит к довольно плохой аппроксимации и всегда худшей, чем
эквивалентный несогласованный.
Во-вторых, тогда как решения, полученные при использо-
использовании согласованных элементов, всегда сходятся к точному снизу,
так как в соответствии с теоремами гл. 2 они позволяют оце-
оценить нижнюю границу, решения, полученные при использова-
использовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящи-
сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака.
Наконец, следует отметить, что к наилучшим результатам
приводят четырехугольник Вёбеке (фиг. 10.20) и четырехуголь-
четырехугольник Клуха (фиг. 10.19, s).
СОГЛАСОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ФОРМЫ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
10.14. Функция формы Эрмита для прямоугольника
Для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10.2,
в качестве узлового параметра всегда можно ввести производ-
производную d2w/dxdy, так как это не приводит к чрезмерным требова-
требованиям непрерывности. Легко показать, что для таких элементов
нетрудно построить полиномиальные функции формы, обеспе-
обеспечивающие согласованность.
Степенное представление для и, содержащее шестнадцать
постоянных (в соответствии с количеством узловых парамет-
параметров), можно, например, записать, сохраняя члены не выше
третьего порядка по каждой координате. Естественно, что су-
существует много способов записи таких выражений, но некото-
некоторые из них могут приводить к необратимым матрицам [С].
Один из таких способов состоит в использовании полиномов
Эрмита, позволяющих непосредственно записать соответствую-
соответствующую функцию. Полином Эрмита
Hnml(x) A0.38)
есть полином порядка 2«+1, удовлетворяющий условиям
—?-=1, k — m для от = 0, 1, ,.., п, при
xt
dx*
= 0,
прн x =
224
Глава 10
Множество полиномов Эрмита первого порядка, таким образом,
представляет собой множество полиномов третьего порядка. Их
обычно используют в качестве функций формы для линейного
элемента ij, узловыми переменными на концах которого являют-
являются значения функции и углы наклона.
На фиг. 10.22 показано такое множество полиномов третьего
порядка.
Тангенс игла
наклона =1
Фиг. 10.22. Функции Эрмита первого порядка.
Легко проверить, что' функции формы
INt]=[я^ (х) яй> (у), я',1,1 (*) MV (»),
Я$ (х) ЯЙ (?), MV (*) Я1,1,» (у)] A0.39)
соответствуют функциям
Зг» За» дгш
1 dy ' дх ' dx ду
и принимают единичные значения в узловой точке i и нуле-
нулевые ¦— в остальных точках.
Элемент, основанный на этих функциях, построен Богнером
и Шмитом [8] и довольно успешно использовался ими.
Дальнейшее усовершенствование этого элемента, состоящее
во включении условий непрерывности производных высоких по-
порядков, осуществляется весьма просто и описано в работе [9].
В ненскривленной форме такие элементы, как и все прямо-
прямоугольные, применяются крайне редко.
Изгиб пластин
225
10.15. Треугольники с двадцатью одной
и восемнадцатью степенями свободы
Если потребовать выполнения в узлах условий непрерывно-
непрерывности производных выше первого порядка (при этом, как поясня-
пояснялось в разд. 10.3, накладываются определенные ограничения на
неоднородность свойств), то нетрудно'построить элементы, со-
согласованные относительно прогиба и производной от него.
Если в качестве узловых степеней свободы принять величины
W,
dw dw d2w d2w
~~дх~
ду ' dx2 ' ду2 ' дхду
то треугольный элемент будет иметь по крайней мере восемна-
восемнадцать степеней свободы. Полный полином пятого порядка со-
содержит двадцать один член. Следовательно, если добавить еще
три степени свободы (нормальные производные) в середине сто-
сторон, то можно получить достаточное количество уравнений для
нахождения функции формы.
На любой границе имеем шесть величин, определяющих за-
закон изменения w (перемещение, производные и кривизну в уг-
угловых точках), т. е. полином пятой степени. Таким образом,
закон изменения w определяется единственным образом и, сле-
следовательно, функция w непрерывна между элементами.
Аналогично производная dw/dn задается пятью величинами
и ведет себя, как полином четвертого порядка. Именно это и
требуется для выполнения условий непрерывности деформаций
и углов наклона между элементами.
Если записать полный полином пятой степени1)
w = ai + a2x+ ... +1ВД5, A0.40)
то, следуя тем же рассуждениям, что и при построении прямо-
прямоугольного элемента в разд. 10.4, можно записать
dw
Ы
+ «j
+
I diw
\ дх2
+ 2а4 + ••• +
и т. д.
') Рекомендуется записывать полином в обычных декартовых координа-
тах, а не в i-координатах. Поскольку полином полный, симметрия сохра-
сохраняется.
8 Зак. 613
226
Глава 10
и получить окончательное выражение
{ЬГ=[С]{а},
A0.41)
где [С] — матрица размерности 21 Х21.
Единственная трудность, которая может в дальнейшем встре-
встретиться, состоит в определении нормальных производных в узлах
посередине сторон. Однако если заметить, что (фиг. 10.18)
dw
dw
A0.42)
где ф — угол между рассматриваемой стороной и осью х, то
процедура упрощается.
Обратить явно матрицу [С] нелегко, поэтому такие величи-
величины, как жесткость и др., вычисляются с помощью численного
обращения.
Наличие на сторонах дополнительных узлов с одной сте-
степенью свободы все же вносит некоторые трудности. Однако до-
дополнительные степени свободы можно устранить, если вдоль
каждой стороны треугольника допустить только кубический за-
закон изменения нормальной производной. Ясно, что при этом ко-
количество степеней свободы и порядок матрицы [С] уменьшаются
до восемнадцати и получается элемент (фиг. 10.18,(9) с тремя
угловыми точками и восемнадцатью степенями свободы. Такой
элемент используется чаще.
Рассмотренные элементы были совершенно независимо по-
построены и описаны в нескольких статьях, опубликованных в
1968 г. Такой любопытный факт одновременного открытия на-
наблюдается во многих областях науки на определенной стадии
развития знаний.
Так, элемент с двадцатью одной степенью свободы описан
Айронсом [27], Аргирисом [23], Беллом [10], Боссардом [24], Вис-
сером [25] (авторы перечислены в алфавитном порядке).
Вариант этого элемента, но с восемнадцатью степенями сво-
свободы построен Аргирисом [23], Беллом [10], Купером и др. [26].
Очень похожее, но более сложное построение осуществлено Бат-
лином и Фордом [11].
Очевидно, что можно построить еще много элементов такого
типа, а некоторые из них уже были предложены в указанных
работах. Однако всегда следует помнить, что они могут ока-
оказаться непригодными, если материал неоднороден и свойства
его изменяются скачкообразно. Кроме того, наличие производ-
производных высоких порядков затрудняет формулировку граничных ус-
условий для них и производные от энергии уже нельзя интерпре-
интерпретировать как «узловые силы». Поэтому инженер все же может
Изгиб пластин
227
скорее отдать предпочтение физически более наглядной форму-
формулировке, несмотря на то что во многих работах продемонстри-
продемонстрирована очень хорошая точность таких элементов.
10.16. Заключительные замечания
В настоящей главе содержится подробный обзор функций
формы и методов их построения. Включение его в книгу объяс-
объясняется не только тем, что задача об изгибе пластин имеет важ-
важные инженерные приложения, но и тем, что представленные
здесь функции формы применимы ко всем задачам, функционал
которых -содержит вторые производные. Например, их можно
использовать в задачах о вязком течении и других задачах та-
такого типа.
В самом деле, даже задача о двумерном напряженном со-
состоянии, как хорошо известно, может быть сформулирована с
помощью функций напряжений, а при этом получаются именно
такие функционалы. При таком подходе уравнения равновесия
выполняются автоматически, и путем минимизации «дополни-
«дополнительной работы» можно получить верхнюю границу решения.
Такая формулировка впервые была предложена Вёбеке и Зен-
Зенкевичем [28].
Другие подходы к решению задачи об изгибе пластины здесь
не приведены. Некоторые из них хорошо обоснованы [30—36],
но имеют более ограниченную область применения.
Основные соотношения этой главы основаны на классиче-
классической теории тонких пластин. Поэтому деформации сдвига не
рассматриваются. Тем не менее бесспорно, что в случае тол-
толстых пластин их необходимо принимать во внимание. В работах
[21, 30, 31] предприняты попытки приближенно учесть деформа-
деформации сдвига. В гл. 14 данной книги это будет сделано другим
способом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2nd
ed., McGraw-Hill, 1959; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Войнов-
ский-Кригер С, Пластинки и оболочки, Физматгиз, 1963.
2. Irons В. М., Draper К. J-, Inadequacy of Nodal Connections in a Stiffness
Solution (or Plate Bending, JA1AA, 3, 5 A965); есть русский перевод: Ай-
ронс, Дрейпер, Несойтветствие узловых связей при расчете изгиба пла-
пластин методом жёсткостей, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 5,
стр. 206—207 A965).
3 Clough R. W., Tocher J. L., Finite Element Stiffness Matrices for Analy-
Analysis of Plates in Bending, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air
Force Inst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
4. Bazeley G. P., Cheung" Y. K-, Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Triangular
Elements in Bending— Conforming and Nonconforming Solutions, Proc.
228
Глава 10
Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. of Tech., Wright
Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
5. Sander G., Bornes superieures et inferieures dans l'analyse matricielle des
plaques en flexion —torsion, Bull. Soc. Royale des Sc. de Liege, 33, 456—
494 A964).
6. De Veubeke B. F., Bending and Stretching of Plates, Proc. Conf. Matrix
Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. of Tech., Wright Patterson A. F.
Base, Ohio, Oct. 1965.
7. Irons В. М., A Conforming Quartic Triangular Element for Plate Bending,
Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 29—46 A969).
8. Bogner F. K., Fox R. L., Schmit L. A., The Generation of Interelement —
Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formu-
Formulae, Proc. Ccmf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. of Techn.,
Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
9. Smith I. M., Duncan W., The Effectiveness of Nodal Continuities in Finite
Element Analysis of Thin Rectangular and Skew Plates in Bending, Int. I.
Num. Meth. Eng., 2, 253—258 A970).
10. Bell K-, A Refined Triangular Plate Bending Element, Int. J. Num. Meth.
Eng., 1, 101-122 A969).
11. Butlin G A., Ford R, A Compatible Plate Bending Element, Univ. of Leices-
Leicester Eng. Dept. Rept, 68-15, 1968.
12. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K-, The Finite Element Method for Analy-
Analysis of Elastic Isotropic and Orthotropic Slabs, Proc. Inst. Civ. Eng., 28,
471—488 A964).
13. Clough R. W., The Finite Element Method in Structural Mechanics,
Ch. 7 in: Stress Analysis, Zienkiewicz 0. C, Holister G S., eds., Wiley,
1965.
14. Dawe D. J., Parallelogram Element in the Solution of Rhombic Cantilever
Plate Problems, I. of Strain Analysis, 3 A966).
15. Argyris J. H., Continua and Discontinue, Proc. Conf. Matrix Methods in
Struct. Mech., Air Force Irfet, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio,
Oct. 1965.
16. Walz J. E., Fulton R. E., Cyrus N. J., Accuracy and Convergence of Finite
Element Approximation, Proc. 2nd Conf. Matrix Methods in Struct. Mech.,
Air Force fnst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
17. Melosh R. J., Basis of Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Met-
Methods, IAIAA, 1, 1631—1637 A963); есть русский перевод: Мелош, Основы
получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и
космонавтика, 1, № 7, стр. 169—176 A963).
18. Adini A., Clough R. W., Analysis of Plate Bending by the Finite Element
Method and Report to Nat. Sci. Found/USA, G. 7337, 1961.
19. Cheung Y. K-, King I. P., Zienkiewicz О. С, Slab Bridges with Arbitrary
Shape and Support Conditions — a General Method of Analysis Based on
Finite Elements, Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 9—36 A968).
20. Tocher J. L., Kapur К. K-, Comment on Basis of Derivation of Matrices for
Direct Stiffness Method, IAIAA, 3, 1215—1216 A965); есть русский пере-
перевод: Точер, Капур, Замечания к статье «Основы получения матриц для
прямого метода жесткостей», Ракетная техника и космонавтика, 3, № 6,
стр. 285 A965).
21. Clough R. W., Felippa С. А„ A Refined Quadrilateral Element for Analysis
of Plate Bending, Proc. 2nd Con[. Matrix Methods in Struct. Mech., Air
Force Inst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
22. De Veubeke B. F., A Conforming Finite Element for Plate Bending, Int J
Solids Struct., 4, 95—108 A968).
23. Argyris J. H., Fried I., Scharpf D. W., The TUBA Family of Plate Elements
for the Matrix Displacement Method, The Aeronautical J. R. Ae S, 72, 701—
709 A968).
Изгиб пластин
229
24. Bosshard W., Ein neues vollvertragliches endliches Element.fur Platten-
biegung, Mt. Assoc. Bridge Struct. Eng. Bulletin, 28, 27—40 A968).
25. Visser W., The Finite Element Method in Deformation and Heat Conduction
Problems, Dr. W. Dissertation, Т. Н., Delft, 1968.
26. Cowper G. R., Kosko E., Lindberg G. M., Olson M. D., Formulation of a
New Triangular Plate Bending Element, Trans. Canad. Aero-Spase Inst.,
1, 86—90 A968); см. также N. R. С. Aero Rept. LR514, 1968.
27. Irons В. M., Comments on Complete Polynomial Displacement Fields for Fi-
Finite Element Method by Dunne P. C, The Aeronautical J., R. Ae. S., 72,
709 A968).
28. De Veubeke B. F., Zienkiewicz О. С, Strain Energy Bounds in Finite Ele-
Element Analysis by Slab Analogy, /. Strain Analysts, 2, 265—271 A967).
29. Morley L. S. D., The Triangular Equilibrium Element in the Solution of
Plate Bending Problems, Aero Quart., 19, 149—169 A968).
30. Pian Т. Н. R, Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress
Distributions, JAIAA, 2, 1332—1336 A964); есть русский перевод: Пиан,
Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный, на вы-
выборе закона распределения напряжений, Ракетная техника и космонав-
космонавтика, 2, № 7, стр. 219—222 A964).
31 Pian Т. Н. Н., Tong P., Basis of Finite Element Methods for Solid Conti-
Continua, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 3—28 A969).
32. Alwood R. J., Cornes G. M. M., A Polygonal Finite Element for Plate Ben-
Bending Problems Using the Assumed Stress Approach, Int. I. Num. Meth. Eng.,
1, 135—150 A969).
33. Severn R. Т., Taylor P. R., The Finite Element Method for Flexure of Slabs
where Stress Distributions are Assumed, Proc. Inst. Civ. Eng., 34, 153—170
A966).
34. Herrmann L. R., Finite Element Bending Analysis of Plates, Proc. Am. Soc.
Eng., 93, EM 5 A967).
35. De Veubeke B. F., An Equilibrium Model for Plate Bending, Int J. Solid
Struct, 4, 447—468 A968).
36. Morley L. S. D., On the Constant Moment Plate Bending Element, Journal
Strain Analysis (будет опубликовано).
. ГЛАВА И
ОБОЛОЧКИ КАК СОВОКУПНОСТЬ
ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
11.1. Введение
Оболочка, по существу, представляет собой конструкцию,
которая может быть получена нз тонкой пластины путем пред-
предварительного деформирования срединной плоскости в поверх-
поверхность одинарной илн двойной кривизны. Хотя предположения
о распределении деформаций н напряжений в поперечном на-
направлении остаются в силе, оболочка совсем по-другому, неже-
нежели пластина, воспринимает внешние нагрузки. Результирующие
напряжений на площадках, параллельных срединной поверхно-
поверхности оболочки, теперь имеют компоненты, нормальные к этой
поверхности, и уравновешивают основную часть нагрузки. Это
обстоятельство объясняет экономичность оболочек как несущих
конструкций и их популярность.
Вывод основных уравнений, описывающих поведение обо-
оболочки, связан с большими трудностями и в зависимости от вве-
введенных допущений приводит к различным формулировкам.
Классическая теория оболочек подробно изложена во многих
учебниках по этому предмету, например в хорошо известной
книге Флюгге [1].
Применение метода конечных элементов к решению задач
теории оболочек, рассматриваемое в этой главе, устраняет упо-
упомянутые выше трудности за счет введения дополнительного до-
допущения. Оно носит скорее физический, чем математический
характер. Предполагается, что поведение непрерывной криво-
криволинейной поверхности достаточно точно характеризуется пове-
поведением поверхности, составленной из малых плоских элементов.
Из физических соображений следует, что с уменьшением раз-
размеров элементов решение должно сходиться и, как показывает
опыт, такая сходимость действительно наблюдается. Особого
внимания требует способ задания узловых нагрузок (нлн мас-
массовых сил). В приведенных примерах нагрузка и массы в узлах
распределялись так, чтобы наилучшим образом воспроизвести
локальные эффекты. Теперь в связи с заменой криволинейной
поверхности набором пластин более правильно представлять
распределенную нагрузку в виде статически эквивалентных со-
сосредоточенных узловых сил. Это, возможно, лучше всего иллю-
иллюстрируется простой задачей о круглой арке (фиг. 11.1). Круг-
Оболонки как совокупность плоских элементов
231
лая арка под действием равномерно распределенной нагрузки
гораздо лучше аппроксимируется многоугольной аркой, нагру-
нагруженной статически эквивалентными сосредоточенными силами,
как показано на фиг. 11.1,6, чем такой же аркой под действием
равномерно распределенной нагрузки (фиг. 11.1, в). Это можно
проверить, построив соответствующие многоугольники сил.
а
Фиг. 11.1. Представление криволинейной арки набором прямых.
Элементы оболочки находятся в общем случае под дей-
действием изгибающих и мембранных сил, действующих в плоско-
плоскости. В плоских элементах эти силы вызывают независимые де-
деформации при условии, если они малы; поэтому, чтобы соста-
составить матрицы жесткости, можно воспользоваться уже изложен-
изложенным материалом.
Для представления произвольной оболочки в виде набора
плоских элементов можно использовать только треугольные
элементы. Несмотря на то что эта идея была предложена Гри-
Грином и др. [2} еще в 1961 г., успеху мешало отсутствие хорошей
матрицы жесткости для плоского треугольного элемента при
изгибе [3—6]. Улучшение элементов, получаемое изложенными
п гл. 10 способами, позволяет хорошо описывать поведение обо-
оболочек, разбитых на плоские элементы.
232
Глава II
Некоторые оболочки, например цилиндрические, можно
представить в виде набора плоских элементов прямоугольной
или четырехугольной формы. Наличие хороших матриц жестко-
жесткости для этих элементов позволило получить удовлетворитель-
удовлетворительные результаты. С помощью элементов именно такого типа
были решены практически важные задачи проектирования ароч-
арочных плотин и другие задачи для перекрытий цилиндрической
формы [7—8].
Очевидно, что возможности исследования оболочечных кон-
конструкций методом конечных элементов неисчерпаемы. При на-
наличии общей вычислительной программы проблемы, связанные
с наличием отверстий, переменной толщины и анизотропными
свойствами, становятся несущественными.
Особый случай представляют осеснмметричные оболочки.
Хотя, очевидно, их можно рассматривать с помощью метода, из-
изложенного в настоящей главе, к ним применим и более простой
подход. Ему будет посвящена гл. 12.
К решению рассматриваемых здесь задач можно подойти
и по-другому, а именно используя криволинейные оболочечные
элементы. При этом необходимо применять криволинейные
координаты, методы введения которых описаны в гл. 8. Допу-
Допущение о представлении оболочки набором плоских элементов
теперь исключается за счет использования той или иной теории
оболочек. Несколько вариантов применения метода перемеще-
перемещений описано в работах [9—18].
Один из самых простых и эффективных способов построения
криволинейных оболочечных элементов состоит в использова-
использовании теории так называемых пологих оболочек [14, 16].
Здесь w, и, v являются нормальной и тангенциальными ком-
компонентами перемещений криволинейной поверхности, и если
считается, что все элементы касаются друг друга, то нет необхо-
необходимости переходить от локальных к глобальным значениям.
Предполагается, что элемент является «пологим» относи-
относительно локальной системы координат в плоскости, проходящей
через его узловые точки, а энергия деформации элемента опре-
определяется соответствующими выражениями, содержащими произ-
производные по координатам в плоскости проекции. В результате
можно использовать такие же функции формы, как и для рас-
рассматриваемых в этой главе плоских элементов, причем здесь
интегрирование, как и ранее, проводится в плоскости.
Пологие оболочечные элементы, в выражении для энергии
Которых содержатся члены, характеризующие взаимное влия-
влияние друг на друга мембранных и изгибных деформаций, не-
несколько более эффективны, чем плоские элементы, для которых
взаимное влияние учитывается только на границе. Максималь-
Максимальную эффективность имеют простые элементы небольших разме-
Оболочки как совокупность плоских элементов
233
ров, но для более сложных крупных элементов все преимуще*
ства пропадают. Очень хорошо использование пологих элемент
тов описано в работе [16].
Однако во многих практических случаях плоские элементы
дают хорошую аппроксимацию, и, кроме того, они позволяют
производить простое соединение с подкрепляющими элементами
и шпангоутами, что не всегда удается при использовании кри-
криволинейных элементов. В самом деле, во многих практических
задачах вся конструкция или по крайней мере часть ее, по су-
существу, составлена нз плоских Поверхностей, а такие поверхно-
поверхности легко аппроксимируются. По этим причинам криволинейные
тонкие оболочечные элементы рассматриваться здесь не будут,
а вместо этого в гл. 13 будет изложен общий подход к решению
задач о толстых криволинейных оболочках (на основе трехмер-
трехмерного анализа, что дает возможность избежать неточностей урав-
уравнений теории оболочек). <
В следующей главе, посвященной осесимметричным оболоч-
оболочкам, будут применяться как плоские, так и криволинейные эле-
элементы.
11.2. Жесткость плоского элемента в локальных координатах
Рассмотрим типичный плоский элемент, находящийся одно-
одновременно под действием мембранных и изгибающих сил
(фиг. 11.2).
Остановимся сначала на действии мембранных сил (плоское
напряженное состояние). Из гл. 4 известно, что деформирован-
деформированное состояние однозначно описывается величинами перемеще-
перемещений вил каждой узловой точки i. Минимизация общей потен-
потенциальной энергии приводит к матрицам жесткости
A1.1)
где
Аналогично деформированное состояние, вызванное изгибом,
однозначно определяется узловым смещением w в направлении
оси z и двумя углами поворота 8* и 8„. Это позволяет предста-
представить матрицы жесткости в виде
\, A1.2)
234
Глава It
где
Прежде чем объединить эти матрицы, важно отметить два
обстоятельства. Во-первых, перемещения, вызванные мембран-
мембранными силами, не влияют на изгибные деформации н наоборот.
Во-вторых, угол поворота 9Z не входит в число узловых пара-
параметров, определяющих деформации. Хотя на этой стадии пово-
6^-
Изгибающие силы и изеидные деформации
Фиг. 11.2. Плоский элемент под действием мембранных н изгибающих сил.
ротом вокруг оси z можно пренебречь по причинам, которые
станут ясными позднее, уже сейчас прн составлении ансамбля
элементов целесообразно учесть этот поворот н связать его с
фиктивным моментом Mz. Тот факт, что 9г не участвует в про-
процессе минимизации, просто учитывается включением соответ-
соответствующего количества нулей в матрицу жесткости.
Записывая теперь узловые перемещения в виде
Щ
A1.3)
пг( J
Оболочки как совокупность плоских элементов
235
и соответствующие силы как
получаем
или
' = [*]
(П.4)
A1.5)
Нетрудно видеть, что матрица жесткости состоит из сле-
следующих подматриц:
,10 0 010
Jjo о о!о
[*«] =
0
0
0
о;
61
oi
!о
|0
;0
если учесть, что
»fo_
A1.6)
(П.7)
Этн соотношения справедливы для любого многоугольного эле-
элемента, и в частности для двух важных случаев, иллюстрирован-
иллюстрированных на фиг. 11.2.
11.3. Переход к глобальиым координатам
и составление ансамбля элементов
Полученная в предыдущем разделе матрица жесткости за-
записана в локальной системе координат, так как компоненты
изгибающих и мембранных сил выражены в локальных коорди-
координатах.
Преобразование к глобальным координатам (которые будем
обозначать через х, у, г в отличие от локальных координат х',
236
Глава 11
у', г') необходимо для составления ансамбля элементов и за-
записи соответствующих уравнений равновесия.
Кроме того, координаты узлов удобнее задавать в глобаль-
глобальной системе, а затем переходить к локальным координатам, т. е.
осуществлять обратное преобразование. К счастью, все преоб-
преобразования достаточно просты.
На фиг. 11.3 показаны две системы координат. Узловые силы
и перемещения преобразуются из глобальной в локальную си-
Фиг. 11.3. Локальные и глобальные координаты,
стему координат с помощью матрицы [Ц:
где
ГА 01
A1.8)
A1.9)
а [Я,] представляет собой матрицу размерности 3X3 косинусов
углов между осями этих систем, т. е.
Ay'X Ъу'у 1>.у'г I ,
A1.10)
где h-x— косинус угла между осями х' и х и т. д.
Оболочки как совокупность плоских элементов
237
Следовательно, для полной системы узловых сил элемента
можно записать
По правилам ортогональных преобразований (см. разд. 1.4) ма-
матрица жесткости элемента в глобальных координатах прини-
принимает вид
[k] = [T]T[k'][T]. A1.12)
В обоих последних соотношениях
L 0 0 ...
О L О
О О L (П.13)
и является диагональной матрицей, составленной из нескольких
матриц [L], количество которых равно числу узлов элемента.
Неслож.ю показать, что типичная подматрица жесткости за-
записывается как
где подматрица [k'rs] в локальных координатах определяется со-
соотношением A1.6).
Определение локальных координат осуществляется анало-
аналогичным образом. Если начала локальной и глобальной систем
координат совпадают, то
A1.15)
Так как при получении матрицы жесткости положение начала
координат несущественно, то такого преобразования всегда до-
достаточно для определения локальных координат в плоскости
элемента (или в плоскости, параллельной ему).
После получения матриц жесткости всех элементов в общей
глобальной системе координат составление ансамбля элементов
и окончательное решение производятся обычным образом. В ре-
результате искомые перемещения определяются в глобальной си-
системе координат, и для определения напряжений необходимо в
каждом элементе перейти к локальным координатам. После
этого можно использовать обычные матрицы мембранных и из-
изгибающих напряжений.
238
Глава 11
11.4. Жесткость фиктивного поворота
Если все элементы, пересекающиеся в узле, компланарны,
то при использовании описанного подхода встречаются некото-
некоторые трудности, связанные с тем, что жесткость в направлении
B2i (фиг. 11.2) равна нулю.
В такой точке последнее из шести уравнений равновесия (со--
ответствующее направлению 6г) в локальных координатах обра-
обращается в равенство
0 = 0. (Ц.16)
Само по себе уравнение такого типа не вносит особых трудно-
трудностей (хотя в вычислительной программе может привести к оши-
ошибочным результатам). Однако если направления глобальных и
локальных осей координат отличаются, то после соответствую-
соответствующего преобразования получаются шесть на первый взгляд кор-
корректных уравнений. Эта система будет особенной, ибо она со-
содержит равенство A1.16), умноженное на действительные
числа1).
Существуют две возможности обойти эту трудность:
а) составить систему уравнений для ансамбля в точке, где
элементы компланарны, в локальной системе координат (и
исключить уравнение 0 = 0);
б) ввести в этой точке некоторый произвольный коэффи-
коэффициент жесткости k'ez- Это приведет в. локальных координатах
к замене уравнения A1.16) уравнением
t = 0.
A1.17)
Последнее после преобразований позволяет получить хорошо
обусловленную систему уравнений2), из которой обычным спо-
способом находятся все перемещения, включая би- Так как 6г,- не
входит в уравнения равновесия и напряжения от него не зави-
зависят, величине жесткости kez можно придать произвольное зна-
значение. Результат при этом не изменится.
Оба предложенных способа связаны с определенными труд-
трудностями программирования (хотя второй несколько проще).
В работе [15] приведены результаты определения реального ко-
коэффициента жесткости для дополнительных степеней свободы
типа описанных поворотов.
>) Читатель может вспомнить логическую ошибку в доказательстве равен-
равенства 2 = 4 и другие, основанные на умножении обеих частей равенства A1.16),
2) По-вндимому, автор имеет в виду разрешимость приведенной системы
уравнений A1.5) Для хорошей обусловленности, кроме однозначной разреши-
разрешимости, требуется еще малость изменения решения "этой системы при малом из-
изменении правых частей (см. С. Н. Годунов, В. С. Рябенький, Разностные
схемы, изд-во «Наука», гл, 2, § 4, 1973 г.). —Прим. ред.
Оболочки как совокупность плоских элементов
239
В программе, неоднократно применявшейся автором [6], ис-
использовалась система фиктивных коэффициентов жесткости по-
поворотов для всех элементов, как компланарных, так и неком-
некомпланарных. Для треугольных элементов онн вводились в виде
такой матрицы, что равновесие в локальных координатах не на-
нарушалось, т. е.
Г1 -0,5 -0,5
1-0,5
Симметрично 1
A1.18)
где а — некоторый коэффициент, который следует еще задать.
Из-за того что дополнительные жесткости вводятся в неком-
некомпланарных узлах, их величины влияют на результат, так что
этот прием является приближенным. Однако изменение в до-
довольно широких пределах величины коэффициента а мало ска-
сказывается на конечном результате. Например, в приведенной
ниже табл. 11.1 содержатся величины перемещений арочной
плотины для различных значений а, взятые из работы [2].
Таблица 11.1
Узловые коэффициенты жесткости попорота в арочной плотине [2]
а
Радиальные перемещения,
мм
1,00
61,13
0,50
63,35
0,10
64,52
0,03
64,78 .
0,00
65,28
Из таблицы видно, что прн а = 0 перемещения близки к
точным. На практике рекомендуется использовать значение
а = 0,03 илн ниже.
Некоторые авторы [5] пытаются избежать этой трудности за
счет уменьшения числа степеней свободы, пренебрегая одной нз
ннх и объединяя все уравнения по нормали к оболочке. Этот
метод используется в гл. 14. Однако он в свою очередь вносит
новую трудность, так как если учесть действительное измене-
изменение направлений в оболочке, то не так просто задать «нормаль».
11.5. Локальные направляющие косинусы
После определения матрицы направляющих косинусов
каждого элемента решение задачи не представляет никаких
трудностей и производится обычным образом. Однако caMQ
240
Глава !!
определение матрицы направляющих косинусов приводит к не-
некоторым алгебраическим трудностям; это определение не един-
единственно, так как направление одной из осей, лежащей в плоско-
плоскости элемента, произвольно.
Рассмотрим сначала совокупность прямоугольных элемен-
элементов, для которой матрица направляющих косинусов находится
особенно просто.
11.5.1. Прямоугольные элементы
Такие элементы применяются только для аппроксимации
цилиндрических и коробчатых поверхностей. При этом удобно
Фиг. 11.4. Цилиндрическая оболочка как совокупность прямоугольных эле-
элементов. Локальные и глобальные координаты.
направить одну из сторон элемента и соответствующую ось
локальных координат х' параллельно глобальной оси х. Для
типичного элемента ijkm (фиг. 11.4) легко определить все соот-
соответствующие направляющие косинусы.
Оболочки как совокупность плоских элементов
241
Очевидно, что для оси х' направляющие косинусы имеют вид
A1.19)
Направляющие косинусы оси у' выражаются через коорди-
координаты различных узловых точек. Выражения
V* = о.
Xy'y = -\- ¦
У/ -
zi~zi
A1.10)
представляют собой простые геометрические соотношения-, ко-
которые получаются из рассмотрения вертикальной секущей пло-
плоскости, проходящей через точки //.
Рассматривая то же сечение, для оси г' получаем
Хг'Х = 0,
г/ - zif + (У, - У if)
У, - Hi
A1.21)
Ясно, что для сохранения правильных знаков выражений важен
порядок нумсфации узловых точек.
11.5.2. Произвольно ориентированные в пространстве
треугольные элементы
На фиг. 11.5, а показана произвольная оболочка, разбитая
на треугольные элементы. Все элементы ориентированы по от-
отношению к координатным плоскостям совершенно произвольно.
Определить локальные оси и их направляющие косинусы в этом
случае значительно сложнее, чем в предыдущем более простом
примере. Проще всего эта задача решается с использованием
векторной алгебры; читателям, которые успели забыть ее осно-
основы, полезно обратиться к приложению 5.
Направление одной из локальных осей произвольно, и ее
выбор должен быть сделан заранее. Будем считать, что ось х'
направлена вдоль стороны lj треугольника, как показано на
фиг. 11.5,6.
242
Глава II
Фиг. 11.5.
а — ансамбль треугольных элементов, аппроксимирующий произвольную оболочку; б —ло-
—локальные и глобальные координаты для треугольного элемента.
Эта сторона определяется вектором Vj3 с глобальными коор-
координатами:
(П.22)
г,-г,
Оболочки как совокупность плоских элементов
243
Направляющие косинусы получаются делением компонент
этого вектора на его длину, т. е. в виде компонент вектора еди-
единичной длины:
A1.23)
где
Здесь для краткости положено хц — х, — xi и т. д.
Направим ось г' перпендикулярно плоскости треугольника.
Это направление в соответствии со свойствами векторного про-
произведения можно определить как векторное произведение двух
сторон треугольника
— ztiymi
} (Н.24)
т. е. нормальным к плоскости треугольника вектором, длина ко-
которого по определению (см. приложение) равна удвоенной пло-
площади треугольника. Таким образом,
¦ZjiymiY+ (¦••?+(•¦¦? =2Д.
Направляющие косинусы оси г' получаются просто как на-
направляющие косинусы вектора \г'\ их можно представить в виде
единичного вектора
AL25)
Наконец, направляющие косинусы оси t/ получаются как
направляющие косинусы вектора, нормального одновременно к
осям х' и г'. Так как векторы единичной длины в каждом из
этих направлений фактически определены соотношениями
A1.23) и A1.25), имеем
!Х"'Х) {Ьг'уХх'г — у]
V»J = <vXo*' = l 1 (П.26)
без деления на длину, которая в данном случае равна единице.
Все векторные операции можно записать в виде специаль-
специальной подпрограммы, автоматически осуществляющей векторное
умножение, нормировку (т, е. деление на длину) и т. д. [19], но-
244
Глава 11
этому нет необходимости подробно останавливаться на выпол-
выполнении описанных выше операций.
Ранее предполагалось, что ось х' направлена вдоль одной
из сторон элемента. Иногда бывает полезно направить ее по
линии пересечения плоскости треугольника с плоскостью, па-
параллельной одной из координатных плоскостей. Так, например,
если желательно направить ось х' вдоль горизонтальной сто-
стороны треугольника (т. е. параллельно плоскости ху), можно по-
поступить следующим образом.
Во-первых, направляющие косинусы vz> определяются по со-
соотношению A1.25).
Матрица направляющих косинусов оси х1 должна теперь
иметь нулевую компоненту в направлении г, Таким образом,
имеем
<П.27)
A1.28)
Поскольку длина вектора равна единице:
а скалярное произведение векторов vx- и vz> должно быть рав-
равно нулю, можно записать
г*'х-г,г<х + г,*'„-г,г'„ = о. (И.29)
Эти два уравнения позволяют единственным образом определить
вектор Vy'. Наконец, как и раньше,
V=-»x'Xv (П-30)
Еще один способ однозначного определения оси х' описан
в гл. 14.
11.6. Некоторые практические примеры
Первый пример посвящен расчету оболочки арочной плоти-
плотины. Для расчета взята простая геометрическая конфигурация,
показанная на фиг. 11,6, что позволило применить различные
численные методы и провести сравнение с результатами экспе-
экспериментов на моделях. Благодаря цилиндрической форме обо-
оболочки использовались прямоугольные элементы, хотя линия
жесткого основания аппроксимировалась при этом довольно
грубо.
Расчеты проводились для двух размеров элементов. Резуль-
Результаты расчета прогиба и напряжений на оси симметрии, приве-
приведенные на фиг. 11.7—11.9, показывают, что использование более
Действие давления воды в виде
дискретных сил
\ Линия заделки
основания
Линия ааЗелки
основания
Половые силы ¦
Грубое разбиение Более мелкое разбиение
Фиг. 11.6. Арочная плотина как совокупность прямоугольных элементов.
30
25
20
10
2 4 в в
перемещений, мм
Фиг. 11.7. Арочная плотина. Горизонатальные перемещения центральной линии.
? решение методом конечных элементов (крупная сетка); V решение методом конечных
влементов (мелкая сетка); решение методом пробных нагрузок (USBR). (Коэффи-
(Коэффициент Пуассона v=CU5.)
Вершина
плотины
4,30 -3.82 -2,34 4.36 0,38 0 0,38 I.SB 2,34 3,32 4.30 5,88
Напряжения 6 вертикальном направлении в сечении, 6
проходящем через вершину арни ft растяжение), Н/мг-10~
Фиг. 11.8. Арочная плотина. Напряжения в вертикальном направлении на
центральной линии.
? решение методом конечных элементов (крупная сетка); Д решение методом конеч-
конечных элементов (мелкая сгтка); решение методом пробных нагрузок (USBR), (Коэф-
(Коэффициент Пуассона у*=0,15.)
Сторона
верхнего бьесра
Сторона
нижнего бьесра
0,38 1.3в
2,34
Напряжения в горизонтальном направлении в сечении, .
проходящем черев вершим/ арни (*растяжение), Н/»'-10
Фиг. 11.9, Арочная клотниа. Напряжения в горизонтальном направлении
(вдоль дуги арки) на центральной линии.
Оболочки как совокупность плоских элементов
247
мелкого разбиения дает незначительное уточнение. Это свиде-
свидетельствует о том, что физическая аппроксимация реальной фор-
формы плоскими элементами и математическая аппроксимация при
использовании метода конечных элементов дают хорошие ре-
результаты. Для сравнения на рисунках показаны напряжения и
прогибы, полученные другим приближенным численным мето-
методом.
<L
К—26,6м -
\~-25,6м-
-39,8м-
30
120
150
60 90
в, град
к
фиг. 11.10. Градирня [21]. Закон изменения давления по окружности.
действительные значения; предполагаемые значения,
248
Глава 11
С помощью плоских треугольных элементов аналогично была
рассчитана арочная плотина двойной кривизны. Результаты по-
показали даже несколько лучшую аппроксимацию [6].
Решение большого числа задач с треугольными несогласо-
несогласованными элементами Парехом [20] показало, что при одинако-
одинаковом числе разбиений такие элементы приводят к лучшим ре-
результатам, чем согласованные треугольные элементы, исполь-
использованные Клухом и Джонсоном [5]. Ниже приведены некоторые
примеры расчета.
Градирня. Эта задача относится к классу осесимметричных.
Очевидно, что более эффективно ее рассчитывать методами, из-
изложенными в гл. 12 и 13. Однако здесь этот пример использует-
Фиг. 11.11. Градирня. Конечные элементы.
Метод конечных элементов; решение Длбазнни и Мартнна,
n
-305
9/,5
\
\\
\\
\\
\\
l\
l\
H
ll..._
1
;/
tl
и
С
\
4
Толщина
4
оЗЪлочки /2.7см
\\
V
-3,56
30,5
3,56
7,13
>О,7
t7,a н/мю~3
\-30fi
-61
-91,5
Толщина
о5олочки ~
17,8 еж .
~-Толщина
о&олоцки
1г,7сл1
\
f
0,03
0,0В
0,09
0,12
0,15
0,18
0,21см
Фиг. 11.12. Градирня, изображенная на фиг. 11.11.
а —мембранные силы прн 6=0°, /Vl—тангенциальные силы, Ыг — меридиональные силы;
б — радиальные перемещения при 9=0°; в, г — изгибающие моменты при Q=Q0, Mi — тан-
тангенциальный момент, Ма — меридиональный момент. метод конечных" элементов;
¦ решение Албазини и Мартина.^
250
Глава И
it
к
Толщина
оболочки
1г,7см
f
\
\
\\
\\ \
\\
\l
1
г
87,0
О
43,5
43,5
Н-м/м
е
Фиг. 11.12. Продолжение.
ся как хорошая иллюстрация достижимой точности. Результаты
численного решения сравниваются с данными Албазини и Мар-
Мартина [21]. На фиг. 11.10—11.12 показаны использованное раз-
разбиение и некоторые результаты. Рассматривалась несимметрич-
несимметричная ветровая нагрузка.
Цилиндрический свод. Оболочка такого типа, часто исполь-
используемая в гражданском строительстве, обычно рассчитывается
методом Скордели и Ло [22]. Оболочка опирается на жесткие
диафрагмы и нагружена собственным весом. На фиг. 11.13 и
11.14 сравниваются некоторые результаты.
Складчатая конструкция из пластин. Так как точное реше-
решение этой задачи неизвестно, сравнение проводилось с экспери-
экспериментальными данными Марка и Риза [23].
Это пример задачи, для которой конечно-элемеитное пред-
представление физически точно. Жесткость каркаса при расчете учи-
учитывалась введением элементов балочного типа. На фиг. 11.15 и
11.16 приведены результаты решения.'
Оболочка произвольной формы. На фиг. 11.17 и 11.18 пред-
представлен пример расчета оболочки довольно общей формы, опер-
опертой по центру. Чтобы показать влияние кривизны, проведено
сравнение данных для тарельчатой оболочки и пластины.
Ииэ/ррэгма
R = 7,65
-0,45
Фиг. 11.13.
а —цилиндрический свод под действием собственного веса
-, .wr.^.du i.dua ui№ дсичвисм иииниенНОГО веса.
Результаты расчета методом конечных элементов и точное решение [221- в—веоти-
|льное перемещение центрального сечення; а—продольное перемещение опопы
=2,02 • 10« Н/м>, v=0, погонный вес оболочки 4,27 . 10= Н/и>. аналитическое реше-
нне;Д сетка 8 X 12; О 12 X 18.. '
13,05
8,70
_? о
-o_o_n_
о
- -70-
\
N
0 J*
0 tO 20 30
8,70
I
10
го
за
Фиг. 11.14. Свод, изображенный на фиг. 11.13.
Mj~момент и поперечном направлении; Л1г — момент в продольном направлении в цен
тральном сечении; Mls — крутящий момент на опоре.
Ре5ро жесткости
1 шириной 2,54 с/и
5,18см
балка (peSpo мсестквст,
Жесткая
диафрагма
Фиг. 11.15. Складчатая конструкция из пластин [23]. Расчетная схема, нагру-
жение и сетка элементов.
' 107 Шм5. v=0,43. экспериментальные результаты;
конечных элементов.
решение методом
Пластика
1
2
3
Вертикальная нагрузка,
Н/м1
60,6
60,6
86,8
MacuimaS, H
О 0,435 0,870
Масштаб, см
О 2JS4 5.08
Моменты в попе- ' Перемещения
речном направлении
y = L/A = 3,7см
W.4
0,г5см
0,435 Н §;
0,25см,
Фиг. 11.16. Складчатая конструкция из пластин [23]. Моменты и перемещения
в центральном сеченин.
а—вертикальные перемещения верхней части; б —моменты в продольном направлении
В верхней части; в —горизонтальные перемещения края.
Радиус 32,5см
Фиг. 11.17. Квадратная тарельчатая оболочка (модель).
?=6,74 • 10' Н/м1, v=0,5, равномерно распределенная нагрузка 6,74 • 10' Н/м'.
о <
Оболочки как совокупность плоских элементов
257
11. 7. Сходимость
Матрицы для мембранных напряжений (гл. 4) определялись
в предположении непрерывности перемещений между соседними
элементами. В элементах, работающих на изгиб (гл. 10), усло-
условие непрерывности также выполнялось, хотя было показано, что
даже при нарушении условий непрерывности производной ре-
результаты получаются достаточно хорошими.
Функции перемещений, удовлетворяющие условиям непре-
непрерывности между элементами, лежащими в одной плоскости, в
общем случае будут давать разрывные перемещения, если про-
происходит сдвиг плоскостей элементов. Таким образом, конечно-
элементная аппроксимация, использованная в настоящей главе,
всегда основана на несогласованных функциях перемещений и
ее сходимость можно подтвердить только экспериментально.
Если в реальной оболочке разрывов не возникает, то при
уменьшении размеров элементов несогласованность становится
меньше и ошибки аппроксимации реальной формы плоскими
элементами и использования несогласованных функций исче-
исчезают.
Размеры разбиения, необходимого для получения приемле-
приемлемой точности в. задачах теории оболочек, зависят от многих
причин. Часто оказывается, что при малой толщине оболочки
область действия изгибающих моментов ограничена краевой зо-
зоной, где происходит значительное изменение этих моментов. При
этом мембранные силы вычисляются точно даже при очень гру-
грубом разбиении, но, чтобы уловить изменение моментов вблизи
границ, требуется крайне мелкое разбиение. Однако для иссле-
исследования краевого эффекта разработаны относительно простые
приближенные аналитические методы, поэтому метод конечных
элементов применяется главным образом для решения задач об
оболочках средней толщины с различного рода неправильностя-
неправильностями, вырезами и т. д., в которых учет изгиба так же важен, как
и учет мембранных сил.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fliigge W., Stresses in Shells, Springer-Verlag, Berlin, 1960.
2. Greene B. E., Strome D. R., Weikel R. C, Application of the Stiffness Met-
Method to the Analysis of Shell Structures, Proc. Aviation Conf., Amer. Soc.
Mech. Eng., Los Angeles, March 1961.
3. Clough R. W., Tocher J. L, Analysis of Thin Arch Dams by the Finite Ele-
Element Method, in: Proc. of Symp. on Theory of Arch Dams, Southampton
Univ., 1964 (Pergamon Press, 1965).
4. Argyris J H, Matrix Displacement Analysis of Anisotropic Shells by Trian-
Triangular Elements, J. Roy. Aer. Soc, 69, 801—805 (Nov. 1965).
5. Clough R. W., Johnson С. Р., A Finite Element Approximation for the Ana-
Analysis of Thin Shells, J. Solids and Struct., 4, 43—60 A968).
9 Зак. 613
258
Глава И
6. Zienkiewicz О. С, Parekh С. J., King I. P., Arch Dams Analysed by a Li-
Linear Finite Element Shell Solution Program, Proc. Symp. Arch Dams., Inst.
Civ. Eng., London, 1968.
7. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., Finite Element Procedures in the Solu-
Solution of Plate and Shell Problems, Ch. '8 in: Stress Analysis, Zienkie-
Zienkiewicz O. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
8. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., Finite Element Method of Analysis for"
Arch Dam Shells and Comparison with Finite Difference Procedures, Proc.
of Symp. on Theory of Arch Dams, Southampton Univ. 1964 (Pergamon
Press, 1965).
9. Bogner F. K., Fox R. L., Schmidt L. A., A Cylindrical Shell Element, JAIAA,
5, 745—750 A967); есть русский перевод: Богнер, Фокс, Шыит, Расчет ци-
цилиндрической оболочки методом дискретных элементов, Ракетная техника
и космонавтика, 5, № 4, стр. 170—175 A967).
10. Contin G., Clough R. W., A Refined, Curved, Cylindrical Shell Element,
AIAA Conf., Paper 68-176, N. Y., 1968.
11. Bonnes G,, Dhatt G., Giroux Y. M., Robichaud L. P. A., Curved Triangular
Elements for Analysis of Shells, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct.
Mech,, Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
12. Strickland G, E., Loden W. A., A Doubly Curved Triangular Shell Element,
Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright
Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
13. Greene B. E., Jones R. E., Strome D. R., Dynamic Analysis of Shells
Using Doubly Curved Finite Elements, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in
Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio,
1968.
14. Connor J., Brebbia C, Stiffness Matrix for Shallow Rectangular Shell Ele-
Element, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM 43—65 A967).
15. Carr A. J., A Refined Finite Element Analysis of Thin Shell Structures In-
Including Dynamic Loading, SEL Rept. № 67—9, Univ. of California, Ber-
Berkeley, 1967.
16. Cowper G. R., Lindberg G. M., Olson M. D., A Shallow Shell Finite Ele-
Element of Triangular Shape, /. Solids and Structs., 6, 1133—1156 A970).
17. Utku S., Stiffness Matrices for Thin Triangular Elements of Non Zero Gaus-
Gaussian Curvature, JAIAA, 5, 1659—1667 (ИЙ7); есть русский перевод: Утку,
Матрица жесткостей для тонких треугольных элементов ненулевой гаус-
гауссовой кривизны, Ракетная техника и космонавтика, 5, № 9, стр. 150—159
A967).
18. Ahmad S., Curved Finite Elements in the Analysis of Solid Shell and Pla-
Plate Structures, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.
19. Ahmad S., Irons В, М., Zienkiewicz О. С, A Simple Matrix-Vector Hand-
Handling Scheme for Three Dimensional and Shell Analysis, In. J Num. Meth.
Eng., 2, 509—522 A970).
20. Parekh С J., Finite Element Solution System, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales,
Swansea, 1969.
21. Albasiny E. L., Martin D. W., Bending and Membrane Equilibrium in Coo-
Cooling Towers, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM3, 1—17, A967).
22. Scordelis A. C, Lo K, S., Computer Analysis of Cylindrical Shells, /. Am.
Concr. Inst, 61 (May 1964).
23. Mark R., Riesa J. D, Photoelastic Analysis of Folded Plate Structures Proc.
Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM4, 79—83 A967).
ГЛАВА 12
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ
ОБОЛОЧКИ
12.1. Введение
Проблема расчета осесимметричных оболочек имеет боль-
большое практическое значение, поэтому в этой главе описаны спе-
специальные методы ее исследования.
Хотя для расчета таких оболочек применим и общий метод,
изложенный в предыдущей главе, за счет учета осевой симмет-
симметрии конструкции можно достигнуть существенных упрощений.
В частности, если и оболочка и нагрузка симметричны, элемент
становится одномерным. Этому простейшему типу элемента в
предыдущих главах уделялось мало внимания.
Впервые к решению осесимметричных задач метод конечных
элементов был применен Графтоном и Строумом [1]. В качестве
элементов они рассматривали простые усеченные конусы и ис-
использовали метод перемещений. Более строгий вывод матриц
жесткости проведен в работах [1—3], а предложенное Графто-
Графтоном и Строумом [1] обобщение метода на случай несимметрич-
несимметричной нагрузки подробно описано в работах [4—6].
Позднее появилось много работ, посвященных применению
криволинейных элементов и улучшению с их помощью исполь-
используемых аппроксимаций. Привести здесь полный список литера-
литературы практически невозможно. В работах [7—10] показываются
возможности применения различных криволинейных координат,
а в статьях [9, 11J обсуждается использование для повышения
точности дополнительных неузловых степеней свободы.
В осесимметричных оболочках, как и в любых других, суще-
существуют и изгибные и мембранные усилия. Они однозначно опре-
определяются величинами обобщенных деформаций, под которыми
в данном случае понимаются растяжения и искривления сре-
срединной поверхности: Если перемещения каждой точки средин-
срединной поверхности известны, то такие деформации и результирую-
результирующие внутренних напряжений, или просто напряжения, опреде-
определяются по формулам, которые можно найти в обычных курсах
теории оболочек.
Например, перемещение точки срединной поверхности осе-
симметричной оболочки (фиг. 12.1), находящейся под действием
осесимметричной нагрузки, однозначно определяется двумя ком-
компонентами и и да по касательной и нормали к поверхности,
9'
260
Глава 12
Фиг. 12.1. Осесимметричная оболочка, перемещения и результирующие на-
напряжений. Оболочка представлена в виде набора конических оболочек.
При условии, что угол ф не меняется, четыре компоненты
деформации определяются следующими выражения [12]:
A2.1)
Им соответствуют четыре результирующих напряжения, по-
показанные на фиг. 12.1, которые связаны с деформациями матри-
матрицей упругости [D]:
в/
Xs
Хв.
ds
Ш COS ф + И
г
d2a
ds2
Sln0
г
sin 0
i
м,
Me
Для изотропной оболочки матрица [D] имеет вид
v О О
v 1 О О
0 ° 72 -
у<2
12
A2.2)
12
о о -^ -S-
1TJ
A2.3)
Осесимметричные оболочки
261
где верхняя часть ее характеризует действие мембранных уси-
усилий, а нижняя представляет собой матрицу изгибных жестко-
стей, причем сдвиговые члены в обеих частях опущены.
12.2. Характеристики элемента. Осесимметричные нагрузки.
Прямолинейные элементы
Пусть узловыми поверхностями оболочка разбита на ряд
усеченных конусов (фиг. 12.2). Перемещения узловых точек i и
Фиг. 12.2. Элемент осесимметричной оболочки.
/ однозначно определяют деформации элемента через заданную
функцию перемещений.
В каждой узловой точке задаются осевое и радиальное сме-
смещение и поворот. Поскольку оболочка работает на изгиб, необ-
необходимы все эти три компоненты. Таким образом, перемещение
точки I определяется тремя компонентами, причем первые две
соответствуют глобальным координатам
{6*} = '
A2.4)
Следовательно, элемент с двумя узлами i, j имеет шесть
степеней свободы, которыми являются перемещения элемента
"»•={:;}•
A2.5)
Перемещения внутри элемента должны единственным обра-
образом определяться перемещениями узловых точек {8}е и коорди-
координатой s и удовлетворять условиям непрерывности углов накло-
262
Глава 12
на и перемещений
A2.6)
Если положить, что и зависит от s линейно, а до является поли-
полиномом третьей степени от s, то получим шесть неизвестных по-
постоянных, которые можно определить по узловым значениям
и, w и р.
В
В узле i
f cosf sin Ф 0
L
Записывая
и = a, + a2s,
w = a, + a4s + a5s2
легко составить шесть уравнений и найти')
. A2-7)
A2.8)
L (s'-2s'2
0
3s'2 - 2s'3
-s'2+s'3)L
x
X
(SOL)
A2.9)
где
Обозначая через [Л^'] матрицу размерности 2X6, можно за-
записать
,,fW о
о
« A2.10)
') Функции, которые при этом появляются, представляют собой полиномы
Эрмита нулевого и первого порядков (см. разд. 10.14),
Осесимметричные оболочки
263
Используя определение A2.1), нетрудно по A2.10) получить
матрицу деформаций [В]:
]1 [В,]
A2.11)
где
о
Z.(s'- 2s'2 + s'3) cos ф
(-1 + 4s' - 3s/g) sin ф
r
0
0
(-6+ 12s') ! B - 6s')
U j ?
(-fo' + 6s'2)sin0 j Bs' - 3s'2) sin Ф
rL I r
A2.12)
Теперь известны все составляющие, необходимые для состав-
составления матрицы жесткости (или матрицы нагрузки, перемеще-
перемещений, напряжений и начальных напряжений) по стандартным
формулам гл. 2. Интегрировать надо по площади А элемента,
т. е.
dA = 2яг ds = 2nrL ds', A2.13)
где s' изменяется от 0 до 1.
Следовательно, в соответствии с B.10) имеем
1
A2.14)
Типичная подматрица [krs] этой матрицы имеет вид
[Br]T[D][Bs]rds'j[l]27iL.
A2.15)
Перед интегрированием необходимо выразить радиус г че-
через s.
Как н раньше, удобно использовать численное интегрирова-
интегрирование. В работе Графтрна и Строума [1] приведены явные выраже-
выражения для матрицы жесткости, полученные на основе вычисления
264
Тлава li
лишь одного среднего значения подынтегральной функции и
при использовании матрицы [D] ортотропного материала. Даже
такая грубая аппроксимация позволяет получить очень хорошие
результаты при условии, что размеры элементов малы.
Перси и др. [4] и Клейн [5] провели численное интегрирова-
интегрирование по семи точкам и получили несколько улучшенную матрицу,
хотя она и не приведена в явном виде.
Следует помнить, что если заданы действующие по окруж-
окружности нагрузки или моменты, то в расчеты должно закладывать-
закладываться их полное окружное значение, так же как это делалось в
случае осесимметричных тел, рассмотренных в гл. 5.
12.3. Примеры и точность
Для рассматриваемых здесь осесимметричных оболочек усло-
условия непрерывности выполняются. Поэтому для полигональных
оболочек всегда будет наблюдаться сходимость.
Проблема аппроксимации криволинейной оболочки полиго-
полигональной аналогична проблеме, рассмотренной в гл. 11. Число-
Числовые расчеты подтверждают ожидаемую сходимость.
Когда нагрузка вызывает в основном мембранные напряже-
напряжения, даже при достаточно мелком разбиении наблюдается неко-
некоторое расхождение в значениях изгибающих моментов. Однако
с дальнейшим уменьшением размеров разбиения оно исчезает,
особенно если при расчете значения моментов усредняются. Это
необходимо делать для исключения влияния замены оболочки
набором усеченных конусов. На фиг. 12.3 н 12.4 показано не-
несколько типичных примеров, взятых из работы Графтона и
Строума [1].
12.4. Криволинейные элементы и их функции формы
В гл. 8 уже рассматривались искривленные (криволинейные)
Элементы, причем в выражение для деформации входили только
первые производные. В данном случае это выражение содержит
Вторые производные [см. A2.1)], и поэтому некоторые теоремы
гл. 8 здесь неприменимы.
Ранее упоминалось, что для исследования осесимметричных
оболочек предложено множество криволинейных элементов
[7—10]. Элемент, описанный здесь, получен Айронсом и Делпа-
Ком [9]; в соответствии с терминологией гл. 8 он относится к
элементам субпараметрического типа.
Основой для определения криволинейного элемента служит
общая касательная между смежными элементами (или задан-
заданное направление касательной). Это необходимо, чтобы избежать
«изломов» прн описании практически гладкой оболочки.
.7,62
"¦> '217,5 -
0.25 0,5 0,75 1.00 № 1.5 2.0
Х.см
v = 0,30
2,54см_
^Случай 3 20 по 0.13ом
Число элементов
Фиг. 12.3. Расчет цилиндрической оболочки методом конечных элементов
(Графтои и Строум, JAlAA, 1963).
а: теоретическое решение; Д случай 1, ошибка определения максимального пере-
перемещения 31,7%; ? случай 2, ошибка определеняя максимального перемещения Ut\%-
О случай 3, ошибка определения максимального перемещения 3,1%.
б: теоретическое решение; Д случай 1, ошибка определения максимального м<ь
мента 28,8%; ? случай 2. ошибка определения максимального момента 11,0%; О случай 3,
ошибка определения максимального момента 2,5%,
266
Глава 12
77777
Расположение узлов
К с интервалом 0,5°
7 с интервалом 1,0
,3с интервалом 2,0°
Ас интервалом
10° И
v = 0,33
5.08 *¦
теоретическое решение
о расчетные значения
2.17 k
1 Угол меокЗу нормалью к поверхности и
осью вращений f, spaff
Фиг 12 4 Расчет полусферической оболочки методом конечных элементов
(Графтон и Строум, JAIAA, 1963).
Сначала рассмотрим прямолинейный исходный элемент, для
которого неизвестная функция ф выражается через свои узло-
узловые значения и значения углов наклона в точках 1, 2 (фнг. 12.5).
Координата | изменяется от —1 до +1 (как в примере гл. 8).
Осесимметричные оболочки
267
Используя принятые обозначения, можно записать
2
A2.16)
Здесь N' и N" — скалярные функции формы, которые при зада-
задании в виде полинома имеют третий порядок Гкак в соотношении
A2.9) для w].
4/
Гг-г,
Фиг. 12.5. Криволинейный изопараметрнческий элемент оболочки для осесим-
метричных задач.
а — исходный элемент; б —криволинейные координаты.
Эти функции записываются в виде
1 Г 9 1-
A2.17)
где |о = Ы-
Их можно одновременно использовать и для описания зако-
закона изменения глобальных перемещений й и ш1) и для задания
координат г и 2 оболочки (срединной поверхности).
') Отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь обе ком-,
поненты перемещений в элементе изменяются по крайней мере по кубиче-
кубическому закону, тогда как ранее допускался линейный закон изменения тан-
тангенциального перемещения. Однако при условии, что толщниа оболочки изме-
изменяется непрерывно, эта дополнительная степень свободы не приводит к чрез-
чрезмерным требованиям непрерывности.
268
Глава 12
Если толщина элемента переменная, то и ее закон измене-
изменения можно аппроксимировать этими же функциями.
Элемент такого типа будет изопараметрнческим (см. гл. 8).
Таким образом, геометрию оболочки можно характеризовать
координатами
A2.18)
+<?),)•
При заданных узловых значениях эти соотношения устанавли-
устанавливают взаимно однозначное соответствие между I и положением
точки на поверхности криволинейного элемента (фиг. 12.5,6).
Координаты ri и г,- известны, кроме них, на концах известны
только углы наклона
(|) A2.19)
(tg г|>), = (|-)г.
Значения производных, входящих в A2.18), зависят от масшта-
масштаба ? вдоль касательной s.
Задано только соотношение
Kdz)i~\d%)J\dl)i'
A2.20)
Производные (rfr/rf^)i или (dz/d?,) могут в принципе иметь про-
произвольную величину. Здесь, однако, необходимо учитывать прак-
практические соображения, так как при некоторых значениях произ-
производных можно получить негладкую зависимость между s и ?.
При неудачном выборе кривая может быть негладкой и образо-
образовывать петлю между узлами.
Для того чтобы получить достаточно гладкие поверхности,
можно положить
dr Ы гг~ г, ,, ..
замечая, что длина всего интервала ? между узлами равна 2.
12.5. Выражения для деформаций и свойства криволинейных
элементов
До сих пор речь шла о представлении глобальных переме-
перемещений, хотя деформации в соответствии с A2.1) определяются
через производные от локальных перемещений по касательной s.
Осесимметричные оболочки
2?9
Поэтому, для того чтобы получить выражения для деформации,
требуется произвести некоторые преобразования.
Если принять, что изменение глобальных перемещений опи-
описывается функцией формы A2.16)
A2.22)
то с помощью преобразования A2.7) легко найти локальные пе-
перемещения и, w в виде
(«О Г cos* sin*-j («)(«)
(. wJ L —sin* cos*J(.a)J (w)' v
.23)
где * — угол между касательной к кривой и осью г (фиг. 12.5).
Этот угол надо выразить через координату |. Очевидно, что
A2.24)
и, следовательно, использование формул A2.18) позволит сде-
сделать это.
Посмотрим далее, можно ли наложить условия непрерывно-
непрерывности в узлах на параметры, входящие в A2.22). Ясно, что гло-
глобальные перемещения должны быть непрерывны. Однако в пре-
предыдущих случаях требовалась непрерывность только угла по-
поворота касательной. Здесь же требуется непрерывность произ-
производных от перемещении по s. Следовательно, величины
du dw
~dT и ~dT
в узлах смежных элементов должны иметь одинаковые значе-
значения.
Поскольку
du
ds
ds
du
d\l
ds
d\
dw
~ds~
dw I ds
l( dr V , ( dz \2
=Vhr) +hr) •
A2.25)
при подстановке этих новых переменных в выражения A2.22) и
A2.23) не возникает никаких трудностей. В результате они прн-
270
.Глава 12
нимают вид
где {«,} =
щ
N
)t
A2.26)
Функция формы состоит из подматриц размерности 2X4 и
ее можно получить в явном, хотя и довольно сложном виде.
Если рассматриваются оболочки с патрубками или оболоч-
оболочки с резко' меняющейся толщиной, то узловые параметры в
A2.26) использовать не следует. В этом случае их лучше пред-
представить в виде
щ
{ад =
где р,- = dwjds — угол поворота в узле, и связать между собой
только три первых параметра. Четвертая величина будет сво-
свободным параметром, минимизация по которому производится в
обычном порядке. Необходимые преобразования осуществляют-
осуществляются с помощью соотношения A2.23).
В выражение для матрицы деформаций [В], как видно из
определения A2.1), входят и первая и вторая производные по
s1). Если вспомнить, что производные легко вычислить по пра-
правилам, уже использованным при получении A2.25), то для про-
произвольной функции F можно записать
dP_ _ dP Г ds
ds d\ I dt '
н получить все элементы матрицы [В].
Наконец, матрица жесткости получается после замены пере-
переменных в соотношении A2.14)
ds = -~dc, A2.28)
и интегрирования в пределах от —1 до +1.
') Заметим, что здесь s рассматривается как направление касательной,
поэтому dty/ds = 0.
Осесимметричные оболочки
271
Как и ранее, функции, входящие в интегралы, не позволяют
выполнить интегрирование точно, поэтому обычно используется
численное интегрирование. Интегрирование производится толь-
только по одной координате, так что оно не требует больших затрат
времени, и для достаточно точного вычисления жесткости мож-
можно использовать необходимое количество гауссовых точек интег-
интегрирования.
Матрицы напряжений и другие матрицы вычисляются ана-
аналогично.
Приведенная здесь в общих чертах изопараметрическая фор-
формулировка несколько отличается от других [1, 7, 8, 10]. Она об-
обладает тем преимуществом, что позволяет учитывать перемеще-
перемещения элемента как твердого целого и удовлетворяет критерию
постоянства первой производной. Доказательство этого прово-
проводится так же, как и в разд. 8.5 гл. 8. Другие формулировки до-
допускают деформации при перемещениях элемента как жесткого
целого, что, как показано в работе [13], в некоторых случаях не
очень опасно. Однако при некоторых видах несимметричных
нагрузок (см. гл. 13) этот недостаток может оказаться серьез-
серьезным препятствием и привести к совершенно неверным резуль-
результатам, i
При применении любых из рассмотренных здесь конечных
элементов состояние постоянного искривления не только не мо-
может быть достигнуто, но и физически невозможно. Однако мож-
можно убедиться, что такое состояние достижимо в пределе прн
уменьшении размеров элемента.
12.6. Дополнительные неузловые переменные
Введение дополнительных неузловых переменных при рас-
расчете осесимметричных оболочек особенно важно, так как оио
позволяет достаточно точно аппроксимировать реальную форму
при использовании элементов больших размеров.
Добавление выражения
I N'/'a,,
A2.29)
где а, — множество внутренних параметров элемента, a N't" —
множество функций, имеющих в узловых точках нулевые зна-
значения и нулевые первые производные, к выражениям для нор-
нормальных перемещений в A2.26) позволяет значительно улуч-
улучшить аппроксимацию перемещений без нарушения сходимости
(см. гл. 2).
Для тангенциальных перемещений можно не требовать об-
обращения в нуль первых производных в узлах.
272
Глава 12
N
N
Вебстер [11] использовал такие дополнительные функции для
прямолинейных элементов.
Независимо от того, прямолинеен нлн криволинеен элемент,
к компонентам перемещений, определяемым соотношением
A2.22), можно добавить вы-
выражение A2.29). Если это
сделано только для переме-
перемещений, а выражения для
координат не изменяются
[формула A2.18)], то эле-
элемент становится элементом
субпараметрического типа ').
Как показано в гл. 8, он об-
обладает теми же преимуще-
преимуществами, что и изопараметри-
ческий элемент.
Особую важность имеет
вопрос о том, какие именно
выражения должны исполь-
использоваться для дополнитель-
дополнительных функций формы, хотя
выбор их достаточно широк.
Так как при этом не обя-
обязательно использовать по-
полиномы, Делпак [9] приме-
Фн
12.6. Внутренние функции
для линейного элемента.
ннл специальную форму по
лнномов Лежандра, предложенную Айронсом. Дополнительные
функции формы общего вида показаны на фиг. 12.6.
ЛИТЕРАТУРА
1. Grafton Р. Е„ Strome D. R., Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Di-
Direct Stiffness Method, JAIAA, I, 2342—2347 A963); есть русский перевод:
Графтон, Строум, Расчет осесимметричных оболочек методом прямого оп-
определения жесткости, Ракетная техника и космонавтика, I, № 10, стр 129—
136 A963).
2 Popov E. P., Penzien J., Lu Z. A., Finite Element Solution for Axi-Symmet-
Axi-Symmetric Shells, Proc. ASCE, EM, 119-145 A964).
3. Jones R. E., Strome D. R., Direct Stiffness Method of Analysis of Shells of
Revolution Utilising Curved Elements, JAIAA, 4, 1519—1525 A966); есть
русский перевод: Джонс, Строум, Расчет оболочек вращения прямым ме-
методом жесткостей с помощью криволинейных элементов, Ракетная тех-
техника и космонавтика, 4, № 9, стр. 20 A966).
4. Percy J. H., Pian Т. Н. Н., Klein S., Navaratna D. R., Application of Mat-
Matrix Displacement Method to Linear Elastic Analysis of Shells of Revolution,
>) Очевидно, что можно было бы включить эту новую функцию формы в
общее выражение, характеризующее форму элемента, но практически это не
дало бы больших преимуществ, так как кубичный закон позволяет достаточно
точно воспроизвести любую реальную форму.
Осесимметричные оболочки
273
JAIAA, 3, 2138—2145 A965); есть русский перевод: Перси, Пиаи,
Клейн, Наваратна, Приложение матричного метода к линейному упру-
упругому анализу оболочек вращения, Ракетная техника и космонавтика, Ъ,
№ И, стр. 199—208 A965).
5. Klein S., A Study of the Matrix Displacement Methods as Applied to Shells
of Revolution, Proc. Conf. on Matrix Method in Structural Mech., Air For-
Force Inst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
6. Jones R. E., Strome D. R., A Survey of Analysis of Shells by the Displacement
Method, Proc. Conf. on Matrix Methods in Structural Mech., Air Force Inst.
of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
7. Stricklin J., Navaratna D. R., Pian Т. Н. Н., Improvements in the Analysis
of Shells of Revolution by Matrix Displacemenl Method (Curved Elements),
AIAA Int., 4, 2069—2072 A966); есть русский перевод: Стриклин, Нава-
Наваратна, Пиан, Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным
методом перемещений, Ракетная техника и космонавтика, 4, № 11, стр. 252—
254 A966).
8. Khojasteh-Bakht M., Analysis of Elastic-Plastic Shells of Revolution Un-
Under Axi-Symmetric Loading by the Finite Element Method, Dept. Civ. Eng.
Univ. of California, SE SA 67—68, 1967. •
9. Delpak R., Axi-Symmetric Vibration of Shells of Revolution by the Finite
Element Method, M. Sc. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1967.
10 Giannini M, Miles G. A., A Curved Element Approximation in the Analysis
of Axi-Symmetric Thin Shells, Int. J. Num. Meth. in Eng., 2, 459—476
A970).
11 Webster J J Free Vibration of Shells of Revolution Using Ring Elements,
Int. J. Mech. Sci., 9, 559 A967).
12 Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1951.
13. Haisler W. Е„ Stricklin J. A., Rigid Body Displacements of Curved Ele-
Elements in the Analysis of Shells by the Matrix Displacement Method, JAIAA,
5, 1525—1527 A967); есть русский перевод' Хейслер, Стриклин, Переме-
Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчете оболочек
матричным методом перемещений, Ракетная техника и космонавтика, 5,
¦ № 8, стр. 207—209 A967).
ГЛАВА 13
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИИ МЕТОД
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИИ
13.1. Введение
•С помощью обычного метода конечных элементов можно ре-
решать любые двумерные н трехмерные (или даже четырехмер-
четырехмерные) задачи1). Однако добавление каждого нового измерения
увеличивает необходимое для расчета время, и иногда решение
задачи выходит за рамки возможностей машины. Поэтому же-
желательно искать пути сокращения объема вычислений. Ниже бу-
будет рассмотрен один класс таких методов, имеющих широкое
применение.
Во многих физических задачах геометрия и свойства мате-
материала не зависят от одной из координат. Однако нагрузка в
этом направлении может быть переменной, что мешает непо-
непосредственному переходу от трехмерной задачи к двумерной за-
задаче о плоском деформированном состоянии. В таких случаях
все же можно рассматривать упрощенную задачу меньшей раз-
размерности (без координаты, вдоль которой свойства не изме-
изменяются) и полное решение составить из набора упрощенных
решений.
Излагаемый здесь метод носит достаточно общий характер,
и, разумеется, его применение не ограничивается только зада-
задачами строительной механики. Однако удобно использовать тер-
терминологию строительной механики и применить теорему о ми-
минимуме потенциальной энергии.
Итак, рассмотрим задачу минимизации квадратичного функ-
функционала, описанного в гл. 2 и 3.
Пусть х, у, г — координаты в некоторой области (не обяза-
обязательно декартовы). Вдоль координаты z геометрия и свойства
материала не изменяются, а значения этой координаты заклю-
заключены в интервале
0<г<а.
Предположим, что функции формы {/}, определяющие закон
изменения перемещений [равенство B.1)], можно записать в
') См. гл. 16, посвященную применению конечных элементов в нестацио-
нестационарных задачах.
Полуаналитический метод конечных элементов
275
виде произведения
{f} = W(x, у,
^ + [N(x, у)] sin -^ } {6}е. A3.1)
При этом мы не ограничиваем общности, ибо с помощью рядов
Фурье можно представить любую непрерывную функцию внутри
заданной области (прн условии', естественно, что функции фор-
формы F и JV~ в области определения х, у удовлетворяют тем же
самым требованиям). Аналогично и для нагрузки получаем
причем "это выражение справедливо как для массовых так и для
поверхностных нагрузок (см. гл. 2).
Начальные деформации или напряжения, если оии суще-
существуют, можно представить в таком же виде.
Применяя стандартные приемы гл. 2 для определения вкла-
вклада элемента в уравнение, минимизирующее потенциальную
энергию, и рассматривая только вклад {р}, можно записать
A3.3)
а {б}*
В этом выражении, чтобы избавиться от знака суммы, в векто-
векторы [6}е включены компоненты для каждого значения /. Теперь
типичная подматрица [kf будет иметь вид
A3.4)
а типичная компонента вектора силы
{FtY = \\\[N1]T{p}dxdydz.
A3.5)
Ясно, что матрица, определяемая соотношением A3.4), со-
содержит в качестве множителей при различных подматрицах еле-
276
Глава 13
дующие интегралы:
mm
—
, = $ sin-
о
а
cos
sin
ta muz .
cos dz.
a a
A3.6)
Эти интегралы появляются при перемножении производных, вхо-
входящих в выражение для [В], и благодаря известному свойству
ортогональности
/2 = /3 = 0 для 1фт A3.7)
при /= 1, 2, ... и т = 1, 2
Интеграл 7, равен нулю, только когда / и от одновременно
четные или нечетные. Однако в большинстве практических слу-
случаев член, содержащий /ь пропадает. Это означает, что матри-
матрица [ky становится диагональной, уравнения для ансамбля имеют
вид
[К*] { &} ] [ W
: 1 + J • v. = o A3.8)
и полная система уравнений разбивается на L отдельных под-
подсистем
1К"]&) + {Р'} = 0, A3.9)
где
[*"] = J S S [B'i] ID] [В1,] dx dy dz. A3.10)
v
Из соотношений A3.5) и A3.2) следует, что вследствие свой-
свойства ортогональности A3.6) типичное выражение для компо-
компоненты нагрузки принимает вид
'№ A3.11)
Отсюда видно, что 1-я гармоника нагрузки входит только в 1-ю
подсистему A3.9) и не влияет на остальные уравнения. Это
крайне важное свойство имеет большое практическое значение,
Полуаналитический метод конечных элементов
277
поскольку оно означает, что если разложение нагрузки в ряд
содержит только один член, то необходимо решать лишь одну
подсистему уравнений. С уменьшением размеров разбиения
лишь в области х, у решение будет стремиться к точному.
В итоге трехмерная задача сводится к двумерной, что приводит
к сокращению затрат машинного времени.
Очевидно, что аналогичным образом можно свести двумер-
двумерные задачи к одномерным и т. д., причем это относится не толь-
только к задачам теории упругости. К любой физической задаче,
сводящейся к минимизации квадратичного функционала (гл. 3),
можно применить этот подход, который в том или ином виде нс-
пользовался в строительной механике с незапамятных времен.
Следует обращать особое внимание на граничные условия,
накладываемые на {f}. Для полного разделения задачи гранич-
граничным условиям должен удовлетворять каждый член ряда A3.1).
Задание нулевых перемещений в упрощенной задаче фактически
означает задание нулевых перемещений вдоль оси г. Поэтому
составление окончательной матрицы довольно затруднительно.
Это несколько ограничивает возможности применения описан-
описанного метода.
Когда нагружение таково, что требуется учитывать большое
число фурье-компонент, преимущества изложенного метода
уменьшаются и иногда бывает экономичнее решать исходную
задачу.
Очевидно, что возможны видоизменения основного соотноше-
соотношения A3.1). Так, например, с каждым из тригонометрических
членов можно связывать свою независимую систему парамет-
параметров {8}в. Кроме того, можно использовать другие ортогональные
функции. Так как особенно часто применяются тригонометри-
тригонометрические функции, напомним читателю следующие соотношения:
sin-^р cos-^-dz = 0,'когда / = 0, 1, ....
-^dz=(cos^dz = |, когда / = 1, 2
A3.12)
13.2. Призматический брус
Рассмотрим призматический брус, показанный на фиг. 13.1,
который при г = 0 и г = а закреплен так, что исключаются
какие-либо перемещения в плоскости х, у, а в направлении z
брус перемещается свободно. Задача существенно трехмерная,
поэтому должны быть рассмотрены три компоненты перемеще-
перемещений и, v и w.
278
Глава 13
Разбивая область в плоскости х, у на конечное число эле-
элементов, можно задать 1-ю компоненту перемещения в направле-
направлении I в виде ¦ .
* ul = [N[, N1, ...] sin -^-{и'}. С313)
Для vl и да' можно записать аналогичные выражения, но в по-
последнее будут входить косинусы. В этих выражениях М и т. д.—
Фиг. 13.1. Сведение задачи о призматическом брусе к набору двумерных
конечно-элементных задач.
(скалярные) функции формы, соответствующие используемому
элементу. Если, как показано на фиг. 13.1, применяются тре-
треугольники, то функции формы задаются соотношением D.8) гл. 4.
Однако могут использоваться также более точные элементы,
описанные в гл. 1 (с использованием преобразований гл. 8 или
без них). Разложение A3.13) обеспечивает равенство нулю пере-
перемещений и и v и осевых напряжений на концах бруса.
Нагрузку тоже можно представить в внде рядов Фурье, то-
тогда для компонент в плоскости х, у имеем
{pY = {p}sin^. A3.14)
Если задача существенно трехмерная, то выражение для дефор-
деформации должно содержать все шесть компонент. Такое выраже-
Полуаналитический метод конечных элементов
279
ние приведено в гл. 6 [см. соотношения F.9) — F.11)]. После
подстановки функции формы A3.13) для: типичного члена ма-
матрицы [В] получим
ЗЛГ,
1Г
дЫ
-sin Y
О
О
- sin Y
О
О
г
- sin ¦
О
О
О
ды[
N'i— cosy
ay
cosy
A3.15)
где y = fatz/a. Удобно представить это' выражение -в виде суммы
[Bi] = [ВЯ sin j?L
cos-
nlz
A3.16)
Во всех приведенных соотношениях полагалось, что пара-
параметры,располагаются в обычном порядке:
W
A3.17)
а оси координат направлены, как показано на фиг. 13.1.
Матрица жесткости вычисляется обычным образом, если
принять во внимание, что
[*{/Т= S S \[BfflD][Bl{]dxdydz. A3.18)
Vе
Это соотношение после подстановки в него выражения A3.16),
перемножения и использования A3.12) принимает вид
где/= 1,2
Интегрирование теперь производится по площади эле-
элемента '). Члены, обусловленные распределенной нагрузкой, на-
') Следует отметить, что теперь даже в случае простого треугольника
интегрирование нетривиально, так как в [В] входят некоторые линейные члены-
280
Глава 13
чальными напряжениями и т. д., имеют вид A3.14). Сосредото-
Сосредоточенные вдоль линий нагрузки представляются непосредственно
в виде узловых сил
sin-
stlz
r zt
A3.20)
где [F) — интенсивности на единицу длины..
Граничные условия, которым удовлетворяют использованные
выражения, соответствуют условиям свободного опирания бру-
Фиг. 13.2. Сведение расчета коробчатого моста к двумерной задаче с исполь-
зованнем изопараметрнческих элементов второго порядка.
са. С помощью аналогичных разложений можно удовлетворять
другим граничным условиям.
Рассмотренный метод может быть прнменен ко многим прак-
практическим задачам, в частности к расчету бетонного моста, по-
показанного на фиг. 13.2. Здесь особенно удобны криволинейные
элементы сирендипова семейства второго или третьего порядка,
описанные в гл. 7 и 8.
Отметим, что удвоение числа параметров и запись рядов
в виде двух сумм
i=\
*in^{6Bt} A3.21)
Полуаналитический метод конечных элементов
281
позволяют устранить некоторые ограничения на функции фор-
формы, определенные выражениями A3.1) или A3.13). Параметры
{8Ai} н {Ьв1} являются независимыми, и для каждой компоненты
перемещений необходимо определять два значения и составлять
два уравнения.
Другой вариант описанного выше приема состоит в пред-
представлении функции в виде
где [N] н {6} являются комплексными величинами. Тождествен-
Тождественность этого выражения выражению A3.21) легко устанавли-
устанавливается, если учесть, что
Для оперирования с комплексными величинами имеются стан-
стандартные программы.
13.3. Коробчатая конструкция
В предыдущем разделе трехмерная задача сводилась к дву-
двумерной. Здесь же показано, что аналогичная задача может быть
решена с использованием одномерных элементов (фнг. 13.3).
Фиг. 13.3. Расчет «мембранной» коробчатой конструкции с помощью одно-
одномерных элементов.
Коробчатая конструкция выполнена из тонких листов, спо-
способных воспринимать нагрузку только в своей плоскости. Как
и в предыдущем случае, в каждой точке необходимо рассматри-
рассматривать три перемещения, для каждого из которых можно задать
одинаковый закон изменения. Однако типичный элемент // яв-
является одномерным в том смысле, что интегрирование надо про-
производить только вдоль линии ij и напряжения учитываются
282
Глава 1Н
только в этом направлении. Легко показать, что решение этой,
задачи аналогично решению задачи о шарнирио-стержневой си-
системе.
13.4. Чистый изгиб пластин и коробчатых конструкций
Рассмотрим прямоугольную свободно опертую по краям пла-
пластину, вся энергия деформации которой уходит на изгиб. В этом
случае деформированное состояние полностью определяется
только одним перемещением w (см. гл. 10).
Фиг. 13.4. Метод «полос» для плит.
Обозначим через у направление, в котором геометрия и свой-
свойства материала не изменяются (фиг. 13.4). Чтобы обеспечить
непрерывность угла наклона, функции формы должны содер-
содержать параметр 9,, характеризующий угол поворота.
Воспользуемся балочными функциями и для типичного эле-
элемента ij запишем
W — [IV \л)\ ЬШ — [О j , \lo.ZZ)
что обеспечивает выполнение условий свободного
краев. Типичными узловыми параметрами являются
«={:;}•
опирания
A3.23)
Необходимым требованиям удовлетворяют функции формы
третьего порядка, которые, по существу, идентичны функциям,
использованным для расчета осесимметричных оболочек (гл. 12).
Следуя определениям гл. 10, находим деформации (искривле-
Полуаналитический метод конечных элементов
283
ния) и составляем матрицу [В]. Таким образом, двумерная 'за-
'задача сведена к одномерной.
Этот метод разработай Ченгом [1—3] и назван им методом
«конечных полос». Он использовался для решения ряда задач
о прямоугольных пластинах, коробчатых балках, оболочках и
различных складчатых конструкциях из пластин.
Для разъяснения уместно привести один пример из указан-
указанных работ. Это задача о квадратной равномерно нагруженной
пластине с тремя свободно опертыми сторонами и одной защем-
защемленной. При решении использовались десять элементов-полос
по оси х. В табл. 13.1 приведены результаты, соответствующие
первым трем гармоникам.
Таблица 13.1
Квадратная пластина с тремя свободно опертыми и одной защемленной
сторонами под действием равномерно распределенной нагрузки q
v=0,S
1=1
1 = 1
1 = 3
2
Точное решение
Прогиб в цейтре
пластины
0,002832
-0,000050
0,000004
0,002786
0,0028
Момент в центре
пластины М
0,0409
-0,0016
0,0003
0,0396
0,039
Максимальный
отрицательный
момент М
—0,0858
0,0041
—0,0007
—0,0824
-0,084
Множитель
qtf/D
qd>
Важно не только то, что точное решение для каждой гармо-
гармоники / получить довольно просто, поскольку приходится опре-
определять лишь девять неизвестных, но и то, что члены высших
порядков быстро уменьшаются.
Обобщение э,того метода на случай коробчатой конструкции,
для которой существенны и мембранные и изгибные эффекты,
представляется почти очевидным, если этот пример рассмотреть
вместе с примером предыдущего раздела.
В другой статье Ченга [4] показано, что можно использовать
и отличные от тригонометрических функции, хотя при этом воз-
возможно лишь частичное разделение задачи.
13.5. Осесимметричиые тела при несимметричном нагружении
Наиболее характерным и, по всей видимости, самым ранним
практическим применением разложения Фурье явилось иссле-
исследование осесимметричных тел под действием несимметричной
нагрузки.
284
Глава 13
В этом случае, кроме радиального (и) и осевого (у) пере-
перемещений (как в гл. 5), следует рассматривать и тангенциаль-
тангенциальную компоненту w, соответствующую направлению угла 9
(фиг. 13.5). Именно в этом направлении геометрия и свойства
материала постоянны, поэтому его следует исключить.
В целях упрощения рассмотрим отдельно симметричные и
антисимметричные относительно оси 9 = 0 компоненты нагруз-
нагрузки. Используя только выражения для узловых сил (выражения
Фиг. 13.5. Осесимметричное тело. Координаты и перемещения.
для объемных сил, краевых условий, начальных деформаций
и т. д. аналогичны), запишем силы на единицу длины по окруж-
окружности (фиг. 13.6, а) в виде .
L _
=? Z'cos/9,
A3.24)
Т=
Г'sin/9
по осям координат для симметричной нагрузки. Для Т исполь-
используется несимметричное разложение по синусам, чтобы сохранить
в направлении Т симметрию при 9 > я.
Компоненты перемещений снова описываются двумерными
(т,г) .функциями формы, соответствующими используемому
типу элемента; вследствие симметрии они имеют аналогичный
Полуаналитический метод конечных элементов
285
Фиг. 13.6. Симметричные (а) и антисимметричные (б) компоненты перемеще-
перемещений и нагрузок в осеснмыетричном теле.
выражению A3.13) вид
u' = [N'u №, ...] cos lQ{ulY,
v' = [N'u Ni, ...] cos/9 {»'}". A3.25)
wl = [N[, m, ...]sintQ{wl}e.
В дальнейшем необходимо использовать общее выражение де-
деформации в цилиндрических координатах для трехмерного слу-
случая (см. [5])
{8} =
1
г
и
г
d,
d
du
"Ж'
du
дг
dv
<Jz
I
' Т"
п
, dm
dw
о-е
dv
dr
dv
dw
A3.26)
286
Глава 13
Как и прежде, матрицу жесткости и другие величины можно
вычислить для каждой гармоники в отдельности. Подставляя
формулы A3.25) в A3.26) и группируя переменные, как это
сделано в A3.17), получаем
dNr,
дг
¦ cos Ш
О
^cos/8
dz
¦ cos /8
дГ
I
cos /8
•cos/8
О
— cos/8
-^ sin/8
О
sitl/9
Lsin/G
dz
sin /8
A3.27)
Остальные соотношения выводятся обычным путем, и читатель
может получить их в качестве упражнения.
Для антисимметричного нагружения, показанного на
фиг. 13.6,6, в соотношениях A3.24) и A3.25) просто заменим
синус на косинус и наоборот.
Величины усилий для каждой гармоники получим из выра-
выражения для виртуальной работы. Для симметричного случая
>
R'cosHB
Z'cosHQ
f'sitflQ
d% = я
Rl
Z1
fl
при f= 1, 2,
при /=0.
A3.28)
Аналогично для антисимметричного случая
R' f 0
1.2 = 0
ПРИ
при / = 0.
A3.29)
Отсюда и из выражения для [k]e видно, что при / = 0, как и
ожидалось, задача сводится к двумерной, а при симметричном
нагружении становится, кроме того, и осесимметричной.
При антисимметричной нагрузке, когда 1=0, остается толь-
только одна система уравнений относительно переменной да. Это
Полуаналитический метод конечных элементов
28?
соответствует действию постоянных тангенциальных усилий и
эквивалентно задаче о кручении валов (фиг. 13.7). Последняя
решается классическими методами с использованием функции
напряжений [6] и для сравнения была исследована методом ко-
конечных элементов [7]. Рассмотренный здесь подход более есте-
естествен.
К расчету осесимметричных тел изложенный подход впервые
был применен Вильсоном [8].
Фиг. 13.7. Крученне стержня переменного сечення.
На фиг. 13.8а и 13.86 приведен простой пример, иллюстри-
иллюстрирующий влияние различных гармоник.
13.6. Осесимметричиые оболочки при несимметричном
иагружеиии
С помощью описанного подхода изложенный в гл. 12 метод
расчета осесимметричных оболочек легко распространить на
случай несимметричного нагружения. Однако теперь следует
учесть три компоненты перемещений и усилий (фиг. 13.9).
Будем рассматривать три мембранные и три изгибные компо-
компоненты и, обобщая формулу A2.1), определим деформацию
как [9]')
ди
ИГ
у -^ + (ю cos ф -+•
1 ди , до
" sin ф) —
1 а2г»
d*w
ds2
dv cos Ф
'~Ш г2
dw
sin» dw
~~r d~T
sin Ф cos Ф
A3.30)
') По причине существования множества теорий оболочек можно исполь-
использовать и другие соотношения. Приведенные здесь соотношения являются до-
достаточно общепринятыми.
Аппроксимация
пятью
гармониками
Фиг. 13.8а. Осеснмметричная башня ПОД действием несимметричной нагрузки.
При решении используются четыре элемента третьего порядка. Показаны
гармоники, по которым раскладывается нагрузка.
t «t
(при в> я/2 знак
меняется)
Суммарное напряжение
Фиг. 13.86. Распределение вертикальных напряжений о, в основании, соот-
соответствующих отдельным гармоникам, и суммарных напряжений. (Напряжение
Для третьей гармоники тождественно равно нулю.) Первые две гармоники
позволяют получить практически точный результат.
Ю
61;
290
Глава 13
I
Фнг. 13.9. Осеснмметричная оболочка при несимметричном нагружении. Пере-
Перемещения и результирующие напряжений.
Матрица напряжений, соответствующая этим деформациям,
имеет вид
{о}
A3.31)
В нее входят три мембранных и три изгибающих напряжения,
показанные на фиг. 13.9.
Как и в предыдущем разделе, нагрузки и перемещения раз-
разделяются на симметричную и антисимметричную части. После
этого применение метода не требует дополнительных пояснений.
Подробности читатель может найти в статье Графтона и
Строума [10], в которой впервые была рассмотрена эта задача,
и во многих других более поздних работах, перечисленных в
гл. 12.
Некоторые примеры, иллюстрирующие применение полуана-
полуаналитического метода к расчету толстых оболочек, даны в гл. 14.
13.7. Заключительные замечания
На нескольких примерах был проиллюстрирован достаточно
общий полуаналитический метод, сочетающий в себе лреимуще-
Полуаналитический метод конечных элементов
291
ства метода конечных элементов ^экономичностью, обусловлен-
обусловленной разложением по системе ортогональных функций. Конечно,
в этих примерах лишь в небольшой степени используются от-
открывающиеся возможности, однако следует иметь в виду, -что
метод действительно экономичен только для" некоторых форм
рассматриваемых тел и только в тех случаях, когда требуемое
число членов разложения ограничено.
Аналогично могут быть решены задачи о призмах, если рас-
рассматривать только сегмент тела вращения (фиг. 13.10). Ясно,
Фиг. 13.10. Примеры призматических сегментных тел.
что теперь следует проводить разложение по углу /я9/а, а в
остальном метод совпадает с описанным ранее.
Существуют и другие возможности скомбинировать преиму-
чества аналитических методов с общностью численных методов.
Например, если решение имеет особенности, связанные, скажем,
с наличием сосредоточенных нагрузок, то их можно исключить
с помощью точного решения и решить численно вспомогатель-
вспомогательную задачу, в которой устранены нарушения гладкости распре-
распределенных поверхностных сил. От численного решения при этом
не требуется большой точности, и поэтому оно может быть по-
получено более экономичным путем. Описание такого метода дано
Зенкевичем и др. [11, 12].
В работе [13] в общих чертах описан несколько нной комби-
комбинированный метод, позволяющий исключить особенности, воз-
возникающие во входящих углах. Ограниченный объем книги не
дает возможности продолжить обсуждение этого вопроса, одна-
292
Глава 13
ко следует отметить, что за экономичность приходится распла-
расплачиваться меньшей общностью.
В этой главе предполагалось, что свойства материала не
зависят от одной из координат. В случае необходимости это
ограничение с помощью дальнейших обобщений можно снять.
Интересный пример такого типа приведен в работе [14].
Размерность задачи можно уменьшить с помощью другого
класса методов, основанного на использовании точных сингу-
сингулярных решений и сведении, скажем, трехмерной задачи к ин-
интегральному уравнению на поверхности. Это приводит к необ-
необходимости решения уравнения типа
A3.32)
где р и q — координаты точек на поверхности S, f (p) — искомая
неизвестная функция, К и F — известные функции координат.
Такое интегральное уравнение естественно решать методом ко-
конечных элементов, разбивая интеграл на отдельные части и ис-
используя приближенное представление функции f.
Для решения задач упругости такой подход предложен Мас-
соне [15]; Фрид [16] показал, что таким же образом задача об
обтеканий тела неограниченным потоком сводится к задаче, ре-
решаемой с помощью разбиения на конечные элементы лишь од-
одной поверхности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cheung Y. К., The Finite Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with
Two Opposite Simply Supported Ends, Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 1—7
A968).
2. Cheung Y. K., Finite Strip Method of Analysis of Elastic Slabs, Proc. Am.
Soc. Civ. Eng., 94, EM6, 1365—1378 A968).
3. Cheung Y. K., Folded Plate Structures by the Finite Strip Method, Proc.
Am. Soc. Civ. Eng., 95, ST, 2963—2979 A969).
4. Cheung Y. K., The Analysis of Cylindrical Orthotropic Curved Bridge Decks,
Publ. Int. Ass. Struct. Eng., 29-11, 41—52 A969).
5. Love A. E. H., The Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Cambridge
Univ. Press, 1927, p. 56; есть русский перевод: Ляв А., Математическая
теория упругости, ОНТИ, М., 1936.
6. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
1951.
7. Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K., Stresses in Shafts, The Engineer, 24 Nov.,
1967.
8. Wilson E. L., Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids, JAlAA, 3, 2269—
2274 A965); есть русский перевод: Вильсон, Расчет на прочность осесим-
метричных тел, Ракетная техника и космонавтика 3, № 12, стр. 124—131
A965).
9. Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, Л., 1951.
10. Grafton P. E., Strome D. R., Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Direct
Stiffness Method, 1AIAA, 1, 2342—2347 A963); есть русский первод: Граф-
Полуаналитический метод конечных элементов
293
тон Строум Расчет осесимметричных оболочек методом прямого опреде-
определения жесткости, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 10, стр. 129—
П. Zienkiewicz О. С, Gerstner R. W., The Method of Interface Stress Adjust-
Adjustment and Its Uses in Some Plane Elasticity Problems, Int. J. Mech. Sci., 2,
12. Zienkiewicz 0. C., Gerstner R. W., Stress Analysis and Special Problems of
Prestressed Dams, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 87, POI, 7-43 A961)
13 Morley L S D., A Finite Element Application of Modified Rayleigh — Ritz
Method, Int. 1. Num. Meth. in Eng., 2, 85-98 A970).
14 Stricklin J A, De Andrade J. C, Linear and Non Linear Analysis of Shells
of Revolution with Asymmetrical Stiffness Properties, Proc. 2nd Conf. Mat-
Matrix Methods Struct Mech., Air Force Inst. of Techa, Wright Patterson
15 Massonnet' С. е], Numerical Use of Integral Procedures, Ch. 10 in: Stress
Analysis, Zienkiewicz 0. G, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
16 Fried I Finite Element Analysis of Problems Formulated by an integral
Equation; Application to Potential Flow, Inst. fur Statik und Dynamik. Luf-
tund Raumfahrtsanstalt, Stuttgart, 1968.
ГЛАВА 14
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ИССЛЕДОВАНИЯ
ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА
14. 1. Введение
В гл. 8 и 9 были рассмотрены вопросы построения и исполь-
использования сложных криволинейных двумерных и трехмерных эле-
элементов. Казалось бы очевидным, что эти элементы можно непо-
непосредственно применять при расчете криволинейных оболочек,
уменьшая их размер в направлении толщины оболочки, как по-
показано на фиг. 14.1. Такие элементы использовались в примере,
иллюстрированном на фиг. 9.6 для осесимметричного тела. Од-
Однако в общем трехмерном случае при применении таких эле-
элементов возникают определенные трудности.
Во-первых, наличие трех степеней свободы в каждом узле
приводит к большим коэффициентам жесткости для перемеще-
перемещений по толщине оболочки. Это затрудняет проведение числовых
расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности
системы уравнений, если толщина оболочки мала по сравнению
с остальными размерами элемента.
Во-вторых, следует учитывать и фактор экономичности. При
использовании нескольких дополнительных узлов по толщине
оболочки игнорируется хорошо известный факт, что практически
даже в случае толстых оболочек нормали к срединной поверх-
поверхности после деформации остаются прямыми. Тем самым вводит-
вводится большое число степеней свободы, что влечет за собой не-
неоправданно большие затраты машинного времени.
В настоящей главе описан подход, позволяющий обойти обе
эти трудности [1—3]. Для того чтобы повысить экономичность
расчета, вводится гипотеза прямых нормалей, а чтобы улучшить
обусловленность задачи, не учитывается вклад в энергию де-
деформации напряжений, перпендикулярных к срединной поверх-
поверхности. Это позволяет получить эффективный инструмент для
анализа толстых оболочек. Точность его и широта применения
демонстрируются на нескольких примерах.
Ясно, что оба эти допущения являются только частью обыч-
обычных допущений теории оболочек. Так, умышленно опущено
утверждение, что после деформации нормали остаются норма-
нормалями к срединной поверхности. Это позволяет учесть деформа-
деформации сдвига — важную характеристику толстой оболочки.
Расчет толстостенных оболочек
295
Фнг. 14.1. Криволинейные изопараметрические шестигранники для аппроксима-
аппроксимации оболочки. '
14.2, Геометрические характеристики элемента
Рассмотрим типичный элемент толстой оболочки (фиг. 14.2).
Поверхности элемента криволинейны, тогда как поперечные се-
сечения по толщине образованы прямыми линиями. Форма такого
элемента описывается парами точек гверх и 1ШЖн, заданными их
декартовыми координатами.
Пусть I и г\ — криволинейные координаты в срединной пло-
плоскости оболочки, а ? — линейная координата по толщине. Если
положить, что %, ц, ? изменяются в пределах от —1 до +1 на
соответствующих поверхностях элемента, то зависимость между
декартовыми и криволинейными координатами для любой точки
296
Глава 14
0 1
Фиг. 14.2. Различные типы криволинейных элементов для толстых оболочек.
может быть представлена в виде
^1 нижи
A4.1)
Здесь N'i(t, t]) — функция формы, равная единице в i-м узле и
нулю в остальных узлах (гл. 8). Если базисные функции N(
получены из функций формы двумерных первичных элементов,
квадратных или треугольных1), и составлены так, что на гра-
границах между элементами выполняются условия совместности,
то пространственные криволинейные элементы будут примыкать
друг к другу по всей границе. Используя функции формы раз-
') Как и в гл. 7, в этом случае вместо координат % и ц следует исполь-
использовать L-коордннаты.
Расчет толстостенных оболочек
297
личных порядков, можно получить разнообразные криволиней-
криволинейные элементы. На фиг. 14.2 показаны только элементы второго
и третьего порядков. При желании их можно усовершенство-
усовершенствовать, если ввести на сторонах большее число дополнительных
узлов. Можно использовать любую из двумерных функций фор-
формы гл. 7.
Хотя связь между декартовыми и криволинейными коорди-
координатами установлена, все же в качестве основных желательно
использовать криволинейные координаты.
Фиг. 14.3. Локальные и глобальные координаты.
Следует отметить, что направление координаты ? только
приблизительно совпадает с направлением нормали к срединной
поверхности.
Удобно записать зависимость A4.1) с помощью вектора
(длины, равной толщине оболочки /), связывающего верхнюю
и нижнюю точки и координаты срединной поверхности. При
этом1) соотношение A4.1) принимает вид (фиг. 14.3)
где
') Необходимые сведения из векторной алгебры можно найти в прило-
приложении 5.
298
Глава 14
14.3. Поле перемещений
Определим теперь поле перемещений элемента. Предполо-
Предположим, что деформации в направлении нормали к срединной по-
поверхности пренебрежимо малы. Тогда перемещения внутри эле-
элемента будут однозначно определяться тремя декартовыми ком-
компонентами узлового перемещения срединной поверхности и
двумя углами повората узлового вектора \ц относительно двух
взаимно ортогональных перпендикулярных к нему направлений.
Если два таких ортогональных направления заданы векторами
единичной длины о24 и ои с соответствующими углами поворота
(скалярами) а,- и E<, то по аналогии с A4.2), опуская для про-
простоты индекс «сред», можно записать
"Л
откуда легко получить обычную форму
го (*>'
М = [Ж ; Ь где {6t}.
щ 1
Wi
щ
Здесь и, v и w — перемещения в направлениях осей х, у и г
глобальных координат.
Так как векторов, нормальных к заданному, бесчисленное
множество, то для обеспечения однозначности используются
специальные приемы. Некоторые такие приемы рассматривались
в гл. 11. Здесь будет описан более простой способ обеспечения
однозначности.
Так, если V3,- — вектор, к которому надо построть нормаль,
то направим первую ось по нормали к плоскости, проходящей
через этот вектор и ось х1). Построенный таким образом век-
вектор Уц определяется как векторное произведение
A4.4)
где
1
') Алгоритм неверен, если направление вектора V3< совпадает с направле-
направлением оси х. Для проверки этого условия легко составить программу, и если
действительно это имеет место, то для определения локальных направлений
используется ось ^.
Расчет толстостенных оболочек
299
— единичный вектор по оси х. Разделив A4.4) на длину векто-
вектора, получим единичный вектор Vu-
Третий вектор, нормальный к первым двум, определяется как
векторное произведение
V2i = V1(XV3(. A4.5)
Направляющие косинусы локальных осей получаются путем
нормирования Уц к Чц. Таким образом, имеем три оси орто-
ортогональных локальных координат с единичными векторами
V2( И
A4.6)
Как и выше, если N't — функция формы, удовлетворяющая ус-
условиям совместности, то перемещения между смежными эле-
элементами непрерывны.
Координаты элемента определяются теперь соотношением
A4.1), имеющим больше степеней свободы, чем соотношение
для перемещений. Следовательно, этот элемент будет элемен-
элементом суперпараметрического типа (см. гл. 8, разд. 8.3), для ко-
которого неочевидно, что критерий постоянства деформаций вы-
выполняется. Тем не менее из выражений для компонент дефор-
деформации следует, что условия допустимости перемещения элемента
как жесткого целого и постоянства деформаций выполняются.
При использовании соотношения A4.3) предполагается, что
по толщине ? не возникает никаких деформаций. Хотя это на-
направление не совсем точно совпадает с нормалью к срединной
поверхности, упомянутое предположение достаточно хорошо
аппроксимирует одно из обычных допущений теории оболочек.
В каждой узловой точке i срединной поверхности (фиг. 14.3)
имеется пять основных степеней свободы (см. гл. 11, посвящен-
посвященную оболочкам).
14.4. Деформации и напряжения
Для получения характеристик конечных элементов следует
определить деформации и напряжения. Если используются ос-
основные гипотезы теории оболочек, то существенными являются
компоненты в направлениях взаимно ортогональных осей, свя-
связанных с поверхностью ? = const. Таким образом, если в любой
точке на этой поверхности построить нормаль г' и две другие
ортогональные оси х' и у', касательные к поверхности
(фиг. 14.3), то выражения для представляющих интерес компо-
компонент деформации будут совпадать с соотношениями гл. 6 для
трехмерного случая, в которых, согласно обычной теории оболо-
300
чек,
Глаза
деформации в направлении г
{е'} =
Ъу'
Ч*'У
Vx'z'
= •
1 У'г'
14
' не
ди'
ду'
dw'
IZ
dw'
~w
учитываются:
ди'
Эх'
dv'
ду'
+ ~aF
. да'
"*" dz'
. до'
•
A4.7
Следует заметить, что в общем случае ни одно из этих направ-
направлений не совпадает с направлениями криволинейных координат
I, г|, ?, хотя х', у' лежат в плоскости I, ц (? = const) ').
Напряжения, соответствующие этим деформациям, опреде-
определяются матрицей {а'}, которая связана с матрицей деформаций
матрицей упругости [D]. Таким образом,
(V
Тх'г'
A4.8)
где {е'} и {аз} — произвольные начальные деформации и напря-
напряжения.
Матрица [D'} размерности 5X5 может описывать любые
анизотропные свойства, а для слоистой конструкции (типа санд-
сандвича) она будет функцией от Е. Мы выпишем матрицу [?>'] толь-
только для изотропного материала. Она имеет вид
Е
1 -V2
1 v 0
1 0
1 - V
2
Симметрично
0
0
0
1 -V
•ik
0
0
0
0
1-v
A4.9)
') В самом деле, эти направления только приближенно соответствуют
направлениям узловых векторов Vi, и т. д., так как в общем случае вектор
vSl только приближенно перпендикулярен к срединной поверхности.
Расчет толстостенных оболочек
301
где Е — модуль Юнга, a v — коэффициент Пуассона. Коэффи-
Коэффициент k, входящий в два последних сдвиговых члена, имеет ве-
величину 1,2. Его назначение состоит в том, чтобы улучшить
аппроксимацию сдвиговых перемещений. Из определения пере-
перемещений видно, что сдвиги почти постоянны по толщине, хотя
реальный закон их изменения параболический. Величина k = 1,2
представляет собой отношение соответствующих значений энер-
энергии деформации.
Важно обратить внимание на то, что эту матрицу нельзя
получить путем исключения соответствующих членов из эквива-
эквивалентной матрицы напряжений для трехмерного случая гл. 6
[выражение F.14)]. Чтобы ее получить, надо подставить а* = 0
в F.13) и сделать соответствующие упрощения, так чтобы это
важное допущение теории оболочек выполнялось.
14.5. Характеристики элемента и некоторые необходимые
преобразования
Матрица жесткости н матрицы других характеристик эле-
элемента содержат интегралы по его объему, которые в самой об-
общей форме имеют вид
^ ¦ A4.10)
где матрица [S] — функция координат. Например, для матрицы
жесткости имеем соотношение
[BT][D][B],
A4.11)
где в соответствии с определением гл. 2
A4.12)
Матрица [В], как видно из соотношения A4.7), содержит произ-
производные от перемещений по локальным декартовым координа-
координатам х', у', г'. Поэтому, для того чтобы вычислить соответствую-
соответствующие интегралы по криволинейным координатам g, r\, Z,, необхо-
необходимо осуществить два преобразования.
Прежде всего, точно так же, как это делалось в гл. 8, полу-
получим производные по х, у, г. Так как глобальные перемещения
и, v, w с криволинейными координатами связаны соотноше-
соотношениями A4.3), производные от этих перемещений по глобальным
302
Глава 14
координатам х, у, г определяются матричным соотношением
ди
дх
ди
ду
ди
дг
d-j
дх
dv
ди
до
dz
дш
Их
dw
Ту
dw
~dz
ди
ди
ди
Здесь, как и раньше, матрица Якоби
dv dw
W Ж
dv drs
дц дц
dv dw
Hi Ж
dx dy dz
Ж Г Ж
dx ду dz
¦ дг\ дг\ дц
дх ду/ dz
A4.13)
A4.14)
вычисляется с помощью соотношений A4.2), определяющих ко-
координаты.
Для любой системы криволинейных координат производные
от глобальных перемещений можно получить численно. После-
Последующий переход к направлениям локальных перемещений х\ у',
г' позволит вычислить деформации, а следовательно, и ма-
матрицу [В].
Сначала нужно установить направление локальных осей.
Вектор, нормальный к поверхности ? — const, находится как
векторное произведение любых двух векторов, касательных к
этой поверхности. Таким образом,
V,=
дх
dl
ay
ai
dz
X
dx
dц
dy
an
dz
1ц~
ду
dl
dx
dr)
dx
dz
~дц~
dz
ai
дц
dn
-.liL
dx
dl
dx
dц
dz
dl
dz
dn
dy
A4.15)
Следуя описанному выше методу, позволяющему однозначно
определить два перпендикулярных вектора, и нормируя их, со-
составим матрицу ортов по осям х', у', г' (которая, по существу,
является матрицей направляющих косинусов)
[6] = [у„
A4.16)
Расчет толстостенных оболочек
303
С помощью обычной операции глобальные производные от
перемещений и, v и ш преобразуются в локальные производные
от локальных ортогональных перемещений:
[в]. A4.17)
С помощью этого соотношения компоненты матрицы [В'] можно
определить в явном виде, причем следует иметь в виду, что для
каждого узла существует пять степеней свободы:
du'
dx'
du'
dy'
du'
dz'
dv'
dx'
dv'
dy'
dv'
dz'
dw' '
17
dw'
dy'
flta'
~d~7~
1 1
~ du
dx
du
dy
du
. dz
dv
dx
dv
dy
dv
dz
' dw
~dx
dw
~dy-
dw
~ЪТ _
[щ
A4.18)
Величина элементарного объема в криволинейных координа-
координатах определяется по формуле
A4.19)
Этим стандартным выражением завершается вывод основных
соотношений.
Численное интегрирование в пределах от —1 до +1 произ-
производится точно так же, как и для трехмерных элементов, рас-
рассмотренных в гл. 8.
Аналогично вычисляются и все остальные матрицы эле-
элемента.
Так как деформации изменяются линейно по толщине (в на-
направлении ?), для интегрирования в этом направлении требуют-
требуются только две гауссовы точки, тогда как в направлениях |, ц
для параболической и кубической функций формы используются
соответственно три и четыре точки.
Здесь следует заметить, что интегрирование по Z, при жела-
желании можно выполнить точно, экономя тем самым время вычис-
вычисления. Понижение порядка интегрирования по | и г\ не только
позволяет сократить время счета, ио и приводит к заметному
SOI
Глава 14
улучшению характеристик элемента. Этот вопрос будет рас-
рассматриваться в разд. 14.9 и 14.10.
14.6. Некоторые замечания относительно аппроксимации
напряжений
После получения характеристик элемента процесс составле-
составления ансамбля и дальнейшее решение стандартны.
Остается обсудить вопрос об аппроксимации напряжений.
Так как деформации определены в локальных координатах, то
легко получить матрицу {а'}. Непосредственный интерес пред-
представляют именно эти компоненты, но, поскольку направление
локальных осей не всегда можно легко себе представить, иногда
удобно преобразовать компоненты к глобальной системе, исполь-
используя соотношение
1<Ух
г*у
txz
x'z'l
V*'
0 -I
A4.20)
Если напряжения вычисляются в узле, в котором соприкасают-
соприкасаются несколько элементов, они усредняются.
Напряжения в глобальных координатах, однако, не дают до-
достаточно наглядной картины распределения напряжений на по-
поверхности оболочки произвольной формы. Поэтому удобнее с
помощью соответствующего преобразования вычислять главные
напряжения.
При более тщательном исследовании напряжений на поверх-
поверхности оболочки целесообразно, заметив, что касательные напря-
напряжения tjt'z' и Гу'г' на ней отсутствуют, положить их равными
нулю перед переходом к глобальным напряжениям. Значения,
полученные для касательных напряжений, являются средними
по сечению. Касательные напряж'ения максимальны на ней-
нейтральной оси, и их значения превышают средние в 1,5 раза.
14.7. Частный случай осесимметричных толстых оболочек
Очевидно, что для осесимметричных оболочек все соотноше-
соотношения упрощаются [1]. Теперь срединная поверхность элемента
определяется только двумя координатами \, ц, в результате
чего значительно экономится машинное время. Элемент строит-
строится точно так же, но за основу берется двумерный элемент, изо-
изображенный на фиг. 14.4. Соотношения A4.1) и A4.2) заменяют-
заменяются их двумерными аналогами, определяющими зависимость
Расчет толстостенных оболочек
303
между координатами в виде
сред
где
tl, A4.21)
¦верх
Фиг. 14.4, Координаты для расчета осеснмметричной оболочки^
306
Глава 14
<f>t — угол, показанный на фиг. 14.4, б, и U — толщина оболочки.
Выражение для перемещений определяется в соответствии с
формулой A4.3).
Для общности рассмотрим случай несимметричного нагруже-
ния, указывая лишь члены, которые можно заранее исключить
в симметричном случае. Следуя изложенному в гл. 13, предпо-
предположим, что выполнено разложение по тригонометрическим функ-
функциям. Определим три компоненты перемещения n-й гармоники
в виде
cos ив О О
О ¦ cosnB О
О 0 cos и8
— sin fi О
cos*, О
О- 1
. A4.22)
Здесь а* —угол поворота, показанный на фиг. 14.5; щ и др.—
перемещения узла срединной поверхности и р4 — угол поворота
Ли")
Фиг. 14.5. Глобальные перемещения осесимметричной оболочки.
относительно вектора, касательного (приблизительно) к средин-
срединной поверхности.
Для осесимметричного случая дальнейшее упрощение осу-
осуществляется путем исключения членов, содержащих w, первой
матрицы тригонометрических постоянных и угла поворота р<.
Расчет толстостенных оболочек
$07
Локальные деформации удобнее определить соотношением
A4.7), записанным в глобальных цилиндрических координатах:
8г
Угг
Yre
1
г
Т +
дл
dz
ii +
дв ^
1 dv
г ае
dr
dv
dz
1 dw
г "ае
, до
dw w
~Tr Г
. dw
{e}=r =
A4.23)
Эти деформации преобразуются к локальным координатам, при-
причем компонента, нормальная к поверхности ri = const, исклю-
исключается.
Матрица [D'] принимает вид A4.9). Для осесимметричного
случая соответствующие члены просто опускаются.
Все преобразования осуществляются так же, как и в преды-
предыдущих разделах, поэтому дополнительных пояснений не тре-
требуется, за исключением, возможно, замечания, что теперь они
производятся только относительно пар переменных ?, ц; г, z и
/¦', г'. Аналогично интегралы, входящие в характеристики эле-
элемента, вычисляются численно только по координатам \ и х\. За-
Заметим, однако, что элемент объема определяется выражением
A4.24)
Элементы переменной толщины второго н третьего порядка
(фиг. 14.6) получаются при соответствующем подборе функций
формы #,¦(!).
14.8. Частный случай толстых пластин
Описанные в этой главе преобразования довольно сложны и
запрограммировать их непросто. Основные идеи метода можно
применить при расчете толстых пластин.^
Упрощения достигаются за счет того, что:
1) 5 = г и направления единичных векторов vH, v2j, v3i мож-
можно взять совпадающими с направлениями осей х, у и г;
2) cci и рг- в этом случае являются просто углами поворота
% и В* (см. гл. 10);
3) нет необходимости преобразовывать компоненты напря-
напряжений и деформаций к локальной системе х', у', г' и всюду
308
Тлава 14
1 =-|
Фиг. 14.6. Элементы осесимметричной оболочки: а — первого порядка, б —
второго порядка ив — третьего порядка.
можно использовать соотношения в глобальных координатах.
Для элементов простой формы можно обойтись без численного
интегрирования, и в качестве упражнения читателю рекомен-
рекомендуется получить все необходимые выражения (матрицы, жест-
жесткости и др.), скажем, для прямоугольных элементов первого
порядка.
14.9. Сходимость
Если при расчете трехмерных задач можно говорить об аб-
абсолютной сходимости к точному решению упругой задачи, то в
аналогичных задачах для пластин или оболочек такой сходимо-
сходимости быть не может. Так называемое сходящееся решение задачи
об изгибе пластин при уменьшении размеров элемента сходится
к точному решению для некоторой приближенной модели, ис-
используемой в расчете. Следовательно, будет наблюдаться схо-
Расчет толстостенных оболочек
309
димость к решению, удовлетворяющему гипотезе плоских се-
сечений.
В элементах конечных размеров деформации чистого изгиба
всегда сопровождаются некоторыми сдвиговыми напряжениями,
которые фактически не учитываются в теории изгиба пластин
или оболочек. Большие элементы, деформирующиеся главным
^Ьчное решение по
veopuu тонких
пластин
f
t
/Р ^0,005
а
из^.
0,5
t
С
*
« 0,1
005
0,005 ^^\
\
10
Фнг. 14.7. Свободно опертая квадратная пластина под действием равномерно
распределенной нагрузки (?о.
а —прогибы на центральной линии, полученные при использовании элементов, построенных
в работе Щ; б—прогибы, полученные при использовании численного интегрировании без
учета сдвигов, ^=0,004062 ?оа*/с (результат расчета по теории тонких пластин), t—тол-
t—толщина пластины, О—жесткость пластины.
образом под действием изгибающих моментов (например, когда
элемент оболочки вырождается в пластину), становятся замет-
заметно более жесткими. Чтобы избежать этого, вводятся некоторые
ограничения на отношение длины стороны элемента к его тол-
толщине.
Однако можно показать, что эти ограничения могут быть
ослаблены за счет понижения порядка интегрирования.
Например, на фиг. 14.7 показано применение элемента вто-
второго порядка при расчете квадратной пластины. Приведены
результаты, соответствующие интегрированию с девятью CX3),
310
Глава 14
и. четырьмя BX2) гауссовыми точками, в виде графиков для
различных отношений толщины к длине стороиы пластины. Для
оболочек средней толщины результаты близки между собой, и
в обоих случаях получаются сдвиговые деформации, которые
вообще не рассматриваются в теории тонких пластин. Для тон-
тонких пластин результаты при более точном интегрировании зна-
значительно отличаются от точного решения, полученного с исполь-
использованием теории тонких пластин, тогда как более грубое интег-
интегрирование (при исключении влияния сдвигов) по-прежнему дает
хорошие результаты.
Ограничения на применение рассматриваемых в этой главе
элементов хорошо известны, и неоднократно предпринимались
попытки исключить их [5—7]. Как видно, весьма эффективным
и достаточно общим средством является такой простейший *
прием, как понижение порядка интегрирования.
14.10. Некоторые примеры
Ниже приведено несколько примеров, иллюстрирующих об-
область применения и точность описанного метода расчета тол-
толстых, оболочек. Другие примеры можно найти в работах [1—3].
Сферический купол под действием равномерно распределен-
распределенного давления. На фиг. 14.8 показано известное точное решение
этой осесимметричной задачи, полученное с использованием
теории оболочек. Для решения применялись 24 элемента тре-
третьего порядка. Размеры элементов по мере приближения к
краям уменьшались.
Полученное решение, по-видимому, даже более точное, чем
аналитическое, поскольку оно позволяет учесть, приложено дав-
давление на внутренней или на наружной поверхности.
Цилиндр, нагруженный по торцам. Следующий пример осе-
осесимметричной задачи, показанный на фиг. 14.9, приведен для
того, чтобы исследовать влияние числа разбиений. Использо-
Использовалось 2, 6 и 14 элементов различной длины. Результаты для
двух последних разбиений почти совпадают с точным решением.
Даже при использовании лишь двух элементов получаются удо-
удовлетворительные результаты, которые отличаются от точного
решения только в окрестности нагруженного края.
Цилиндрический свод. Это пример применения метода
к расчету оболочки, для которой существенны изгибные эффек-
эффекты, так как опоры препятствуют перемещению двух краев
(фиг. 14.10).
На фиг. 14.11 приводится сравнение результатов численного
интегрирования с использованием девяти и четырех точек для
элементов второго порядка. В обоих случаях, как и следовало
ожидать, решение сходится. При более точном интегрировании
/74, о
35 30 25 20 15 я Ю - 5 О
43,5
87,0
130,5
w.o -.
2175
к
к
д
\
д
\
ч
Д
0
о
35
30
25
20
10
Фиг. 14.8, Расчет сферического купола под действием равномерно распреде-
распределенного давления при использовании 24 элементов третьего порядка. (Первый
элемент у закрепленного края стягивает дугу в 0,1°, размеры остальных эле-
элементов увеличиваются по арифметической прогрессии.)
Мф — меридиональный изгибающий момент, Г —окружное усилие, v=Ve- аналитиче-
аналитическое решение; О случай I; Д случай И.
7,62 г
0,5. 1,0 1,5 2,0' 2,5 3,0"
< Юэле-
¦Ъентоб
Фиг. 14.9. Тонкий цилиндр, нагруженный по краю единичной нагрузкой
в радиальном направлении.
и—радиальное перемещение, Л^ —меридиональный момент, Яг=6,74 • Ю10 Н/м2, v=«0,3-
теоретическое решение.
Опирэние на жест-
жесткую диафрагму
и = 0
w — О
Свободный край
Фиг. 14.10. Цилиндрическая оболочка под действием собственного веса,
Е=4,55 • 10' Н/м2, v=0, 17=9,5 Н/м!.
-Число степеней свободы
Сетка
а
б
в
г
Элементы
второго
порядка
23
76
159
272
314
Глава 14
сходимость довольно медленная, в то время как при более низ-
низком порядке интегрирования очень точные результаты получают-
получаются даже при использовании одного элемента. Приведенный при-
пример иллюстрирует преимущества такого простого приема, как
Горизонтальное перемещение
на опоре
Si-
Фиг. 14.11. Перемещение цилиндрического перекрытия (элементы второго
порядка).
Элементы,
построенные
в работе [3]
D
Д
V
О
Интегрирование
без учета
сдвига
Л
X
+
¦ о
Сетка
а
о
в
г
Интегриро-
Интегрирование
по 2x2 точкам
а
Л
V
О
понижение порядка интегрирования. Более подробно этот при-
пример описан в работах [4, 8]. Обычным способом точное решение
этой задачи получено в работе [9].
Улучшенная сходимость по перемещениям в этом случае со-
соответствует сходимости по напряжениям,
Расчет толстостенных оболочек
315
Градирия. Опять рассмотрим градирню, о которой уже шла
речь в гл. 11 (разд. 11.6, фиг. 11.10). При расчете осесиммет-
ричная оболочка разбивалась на 15 элементов третьего порядка.
Несимметричная (ветровая) нагрузка достаточно точно пред-
представлялась десятью гармониками. Результаты совпали с экспе-
экспериментальными данными, с которыми сравнивались результаты,
полученные в гл. 11, так что в дополнительных графиках нет
необходимости.
Решение изложенным в этой главе методом значительно эко-
экономичнее решения методом, изложенным в гл. 11.
Криволинейная плотина. Все предыдущие примеры относи-
относились к тонким оболочкам и демонстрировали применимость ме-
метода к решению именно таких задач. В качестве примера дру-
другого типа этим методом была рассчитана плотина двойной кри-
кривизны, рассмотренная в гл. 9 (фиг. 9.8). Использовалось точно
такое же разбиение, и результаты почти в точности совпали с
результатами решения трехмерной задачи [3]. Такое хорошее
совпадение получено при значительном сокращении числа сте-
степеней свободы и затрат машинного времени.
Очевидно, что область применения элементов такого типа
очень широка.
ЛИТЕРАТУРА
1 Ahmad S., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Curved Thick Shell and Membrane
Elements with Particular Reference to Axi-Symmetric Problems, Proc. 2nd
Conf. Matrix Meth. Struct. Mech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
2 Ahmad S., Curved Finite Elements in the Analysis of Solid, Shell and Plate
" Structures', Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.
3 Ahmad S Irons В М., Zienkiewicz О. С, Analysis of Thick and Thin Shell
Structures by Curved Elements, Int. I. Num. Meth. Eng., 2, 419—451 A970).
4 Zienkiewicz О С, Too J., Taylor R. L., Reduced Intergation Technique in Ge-
General Analysis of Plates and Shells, Int. J. Num. Meth. Eng., 3, 275—290
5 Key S W. Beisinger Z. E.. The Analysis of Thin Shells with Transverse
Shear Strain by the Finite Element Method, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth.
Struct Mech, Air Force Insf. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
6 Wempner G. A Oden J. Т., Kross D. A.. Finite Element Analysis of Thin
Shells, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6. 1273—1294 A968).
7 Sfricklin J A., Haisler W. E., Tisdale P. R., Ganderston R., A Rapidly Con-
Converging Triangular Plate Element, 1AIAA, 7, 180—181 A969); есть русский
перевод: Стриклии, Хайслер, Тисдейл, Гундерсон, Элемент в форме резко
сужающейся треугольной пластины; Ракетная техника и космонавтика, № 1,
стр. 219 A969).
8. Pawsley, Dept. of Structural Mechanics, Ph. D. Thesis, Univ. of California,
Berkeley, 1970.
9 Scordelis A C, Lo K. S., Computer Analysis of Cylindrical Shells, /. Am.
Concr. Inst., 61, 539—561 A969),
ГЛАВА 15
ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ
(ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ,
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ,
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ДР.).
15.1. Введение
Хотя в предыдущих главах подробно рассматривались в ос-
основном задачи для упругой сплошной среды, описанный общий
метод можно применить к решению самых разнообразных физи-
физических задач. В гл. 3 уже упоминалось о некоторых таких за-
задачах, здесь же будет подробно рассмотрен один из широких
классов подобных задач.
Остановимся сначала на задачах, описываемых квазигармо-
квазигармоническим уравнением общего вида, частными случаями которого
являются известные уравнения Лапласа и Пуассона [1—6]. Круг
физических задач, описываемых этими уравнениями, весьма ши-
широк. В инженерной практике чаще всего встречаются задачи,
в которых рассматриваются:
теплопроводность;
фильтрация сквозь пористую среду;
безвихревое течение идеальной жидкости;
распределение электрического (или магнитного)" потенциала;
кручение призматических стержней;
изгиб призматических балок и др.;
смазка опорных поверхностей.
Соотношения, приведенные в этой главе, в равной степени
применимы ко всем указанным задачам, поэтому реальные фи-
физические величины будут использоваться редко. Рассматривают-
Рассматриваются как изотропные, так и анизотропные тела.
В первой части главы обсуждаются двумерные задачи. Да-
Далее они обобщаются на трехмерные. При решении используются
те же функции формы, что и для двумерных и трехмерных задач
теории упругости. Основное отличие состоит в том, что теперь
с каждой точкой пространства связана только одна неизвестная
скалярная величина (неизвестная функция), тогда как раньше
находили несколько неизвестных, составляющих вектор переме-
перемещения.
Дискретизация на конечные элементы достигается с по-
помощью вариационного метода (см. гл. 3) с использованием
функционала, математически эквивалентного дифференциаль-
дифференциальному уравнению. Этот функционал в приложениях можно физи-
физически интерпретировать, связывая его, как правило, с понятием
Задачи о стационарных полях
317
диссипации энергии. Те же самые соотношения можно получить
с помощью метода взвешенных невязок или метода Галеркина,
и читателю рекомендуется сделать это в соответствии с указа-
указаниями гл. 3.
Помимо нескольких простых задач, описываемых квазигар-
квазигармоническим уравнением, будут рассмотрены некоторые задачи
о вязком течении, описываемые уравнениями более высоких по-
порядков [7]. При этом будет упомянута другая постановка неко-
некоторых задач теории упругости [8].
15.2. Экстремальная проблема
Квазигармоническое уравнение, описывающее поведение не-
некоторой неизвестной физической величины ф, в общем виде
можно записать следующим образом:
где ф — неизвестная однозначная в рассматриваемой области
функция, a kx, ky, kz и Q — известные функции координат
X, у И 2. .
Читатель, знакомый, например, с задачами теории теплопро-
теплопроводности, отождествит функции kx, ky и kz с коэффициентами
теплопроводности анизотропного материала, функцию Q — со
скоростью теплообразования, а неизвестную функцию ф — с тем-
температурой (при условии, что главные направления анизотропии
материала совпадают с осями координат). В задачах электро-
электротехники эти величины можно связать соответственно с коэффи-
коэффициентами проводимости, плотностью тока и потенциалом. Неза-
Независимо от того, какие физические величины рассматриваются,
математически задача остается одной и той же.
Физические особенности частных -задач накладывают опреде-
определенные граничные условия. Чаще всего встречаются случаи,
когда:
а) на границе заданы значения неизвестной функции ф:
A5.2)
б) на границе выполняется условие
где lx, lv и 1г — направляющие косинусы внешней нормали к
граничной поверхности.
Если kx, ky и kz равны, между собой, a q и а равны нулю, то
последнее условие сводится к известному условию непроницае-
318
Глава 15
мости границы
дп
= 0.
A5.4)
В задачах теплопроводности q представляет собой поток (теп-
(тепла) через поверхность единичной площади, а аф— потери тепла
путем конвекции.
Уравнение A5.1) вместе с граничными условиями однознач-
однозначно определяет задачу.'Однако возможна и вариационная фор-
формулировка задачи. Согласно известной теореме Эйлера, для
того чтобы в некоторой области V интеграл
принимал минимальное значение, необходимо и достаточно,
чтобы неизвестная функция <j>(x,y,z) удовлетворяла дифферен-
дифференциальному уравнению
дх
ду \д{дФ!ду)
д ( df
"дг\д (дФ!дг)
в той же области при условии, что ф в обоих случаях удовле-
удовлетворяет одинаковым граничным условиям. Можно убедиться,
что уравнение A5.1) эквивалентно требованию минимизации
интеграла')
A5.7)
по всей области при тех же граничных условиях для ф.
Однако при подборе функций формы нецелесообразно тре-
требовать удовлетворения обоим граничным условиям «а» и «б».
Хотя условию «а» удовлетворить легко, выполнение условия «б»
привело бы к значительным трудностям. Поэтому лучше не на-
накладывать никаких ограничений на значения функций на тех
частях границы, где должно быть удовлетворено условие «б»,
а добавить к функционалу A5.5) поверхностный интеграл по
границе, который после минимизации обеспечивает выполнение
этого граничного условия. В общем случае указанный интеграл
в уравнении Эйлера имеет вид .
A5.8)
') На самом деле A5.6) является необходимым условием существования
экстремали функционала A5.5).— Прим. ред..
Задачи о стационарных полЯх
319
где S — поверхность, на которой задано условие «б». Если ин-
интеграл A5.8) добавить к выражению A5.5) или A5.7) для
функционала х. то после минимизации граничное условие A5.3)
будет выполняться автоматически. Читатель, интересующийся
подробностями вывода уравнения Эйлера в этой довольно об-
общей форме, найдет все необходимые сведения в приложении 6.
15.3. Конечно-элементная дискретизация
15.3.1. Общий трехмерный случай
Если неизвестная функция ф определена для каждого эле-
элемента в обычной форме:
,,ы„...]\ V \=1Щ{ФУ,
A5.9)
где ф1 и т. д. — узловые параметры, то функционал можно ми-
минимизировать приближенно.
Следуя обычному порядку, вычислим вклад каждого элемен-
элемента, используя соотношения A5.7) — A5.9). Дифференцируй
A5.7) н A5.8), для произвольйого узла запишем
дх
Л± д
ду дф1
A5.10)
Второй интеграл появляется только для элементов у внешней
границы, на которой заданы условия типа «б».
Замечая, что
и
д ( дф \ dNi
дф[ \ дх ) дх *
дф .г
~ТГ~ == Ni И т. Д.,
Для всего элемента (см. гл. 3) получаем
A5.11)
320
Глава IB
где матрица жесткости [h]e
dN, dN, dNt dN, ¦
строится с помощью соотношений A5.9) и A5.10) и
F', = -\ QNidV + \ qNidS+(\ [N]aN,dS] {ф)е A5.13)
с учетом того, что dV = dx dy dz. Минимизирующая система
уравнений для всей области составляется по общим правилам.
В результате получаем
ТЩ = 0*=ШФ) + {П. A5.14)
где
и суммирование, как обычно, производится по всем элементам.
Поскольку не известна лишь одна функция, в приведенных со-
соотношениях фигурируют только скалярные величины.
Если интерпретировать соответствующие величины как жест-
жесткости и силы, то можно провести аналогию с расчетом кон-
конструкций. Анализируя структуру соотношения A5.13) для сил,
легко заметить, что первый член соответствует объемным силам
в задачах теории упругости.
Второй член представляет собой вклад только от границ, на
которых задан поток q. В теории упругости ему соответствует
поверхностная нагрузка. Если границы непроницаемые [т. е.
граничное условие имеет вид A5.4)), то имеет место точное соот-
соответствие со случаем свободной границы.
Последний член соотношения A5.13) отражает новое каче-
качество. Соответствующая ему «граничная» сила пропорциональна
перемещениям на границе и, следовательно, {ф}е. Поэтому этот
член эквивалентен некоторой присоединенной внешней жестко-
жесткости элемента
[h]e=
A5.15)
представляемой в виде интеграла по границе. К дополнитель-
дополнительной жесткости приводят, в частности, граничные условия для
потерь тепла излучением или конвекцией (в задачах теплопро-
теплопроводности) .
Так как получена полная аналогия с задачами расчета кон-
конструкций, далее могут быть проведены стандартные операции.
Задачи о стационарных полях
321
На заключительной стадии расчетов можно вычислить не толь-
только значения функции ф (соответствующие перемещениям), но и
ее производных (соответствующие напряжениям). Так, если
записать
A5.16)
то получим матрицу производных, аналогичную матрице напря-
напряжений B.17) гл. 2.
Ясно, что
дх
дг
A5.17)
Вычисление этих градиентов часто имеет определенный физи-
физический смысл, так как в некоторых задачах они характеризуют
скорости потока.
15.3.2. Условия сходимости
Поскольку в функционал входят лишь первые производные
от ф, то при выборе функций формы требуется удовлетворить
только условиям непрерывности функции ф. Кроме того, функ-
функции формы должны быть такими, чтобы любые первые произ-
производные принимали внутри элемента постоянные значения при
соответствующем задании узловых величин {ф}е. Поэтому при
решении практических задач можно использовать функции фор-
формы, рассмотренные в гл. 7, и соответствующие элементы. Кроме
того, можно применять все криволинейные элементы, рассмот-
рассмотренные в гл. 8.
15.3.3. Неоднородность и анизотропия
Интересно отметить, что в минимизируемый функционал не
входят производные от коэффициентов теплопроводности
(kx, ky, kz). Поэтому приведенные выше соотношения в равной
степени справедливы и для постоянных и для переменных коэф*
11 Зака 613
322
Глава IS
фициентов. Они могут скачкообразно изменяться от элемента к
элементу илн даже принимать различные значения внутри эле-
элемента, причем это изменение должно учитываться в процессе
интегрирования при вычислении матриц элемента.
Однако для анизотропного материала дифференциальное
уравнение A5.1) справедливо только в том случае, если оси
х, у и г совпадают с главными направлениями анизотропии.
Фиг. 15.1. Анизотропный материал. Локальные координаты совпадают с глав-
главными направлениями слоев.
При решении задачи для слоистого материала может возник-
возникнуть ситуация, когда это условие не будет выполняться
(фиг. 15.1). В таких случаях характеристики элемента следует
записывать в локальных координатах д/, у' и г', а вычислитель-
вычислительная программа должна давать возможность осуществлять не-
необходимые преобразования.
При этом возникает одно важное отлнчие от расчета кон-
конструкций. Поскольку такие матрицы элемента, как, например,
[h]> в A5.12), связывают скалярные величины, они не зависят
от ориентации локальных осей. Поэтому для каждого элемента
при желании можно использовать свою локальную систему, при-
причем это не потребует матричных преобразований и не повлияет
на стандартную процедуру составления ансамбля.
Задали о стационарных полях
323
15.3.4. Двумерная задача
Нетрудно записать частный вид общего уравнения A5.8)
для двумерных задач, если предположить, что <j> не зависит от г.
В этом случае уравнение принимает вид
а минимизируемый функционал
A5.19)
Получить все матрицы элемента довольно легко. Например,
из A5.12) находятся элементы матрицы [hf: ¦
Обсуждать этот вопрос дальше, очевидно, нет необходимости.
Однако, по-внднмому, имеет смысл рассмотреть подробнее са-
самый простой, но тем не менее очень полезный треугольный эле-
элемент (фиг. 15.2). Если принять
N' 2Д '
как в соотношении D.8) гл. 4, то получим матрицу жесткости
в виде
[*]'=-?¦
Г btb, bfi, btbm k Г c,c, ас, ctcm
и
4Д
L Симметрично ЬтЬ„
¦ Симметрично cmcm
A5.21)
Также просто строятся н матрицы нагрузки; например, для Q
читатель может получить очень простой (почти очевидный), ре-
результат
\- A5.22)
И*
324
Глава 15
Фиг. 15.2. Разбиение двумерной области на треугольные элементы.
Уравнение A5.8) можно записать в цилиндрических коорди-
, натах и использовать для решения осесимметричных задач.
В этом случае дифференциальное уравнение приннмает внд
A) 0. A5.23)
Соответствующим образом должен быть преобразован и
функционал, но проще считать величины krr и kzr модифициро-
модифицированными значениями коэффициентов теплопроводности и непо-
непосредственно использовать приведенные выше выражения. При
этом интегрирование лучше всего производить численно, как в
аналогичных задачах гл. 5.
15.4. Примеры. Оценка точности
Легко показать, что уравнения, полученные в результате
объединения выраженных в явном виде жесткостей треуголь-
треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,о), совпадают
с уравнениями, полученными известными конечно-разностными
методами [10].* Очевидно, что и решения, полученные этими ме-
\\\\\\\\
\\\\\\\\
Фиг. 15.3. Образцы регулярного и нерегулярного разбиений.
_эт
\
Фнг. 15.4. Кручение вала прямоугольного сечеиня.
Числа в скобках —более точное решение Саусвелла при использовании сетки 12X16 (зна-
(значения величины ф/С6?').
326
Глава 15
годами, будут одинаковыми и иметь одинаковую степень точ-
точности1).
Если используется нерегулярная сетка, изображенная на
фиг. 15.3,6, то различие между двумя подходами очевидно. Оно
касается в основном вектора нагрузки {F}e. При конечио-элб-
ментнбй аппроксимации значения узловых нагрузок несколько
отличаются от нагрузок при конечно-разностной аппроксимации,
но суммарные значения их одинаковы. Поэтому решения, полу-
полученные этими двумя методами, будут иметь только локальные
отличия, а в среднем они будут одинаковы.
На фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных эле-
элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением ко-
конечно-разностных уравнений наименьшего порядка аппроксима-
аппроксимации методом релаксации. Как и следовало ожидать, оба реше-
решения дают результаты одного порядка точности.
У читателя, вероятно, может возникнуть вопрос: зачем
нужно было вводить другой метод, который, казалось бы, по-
повторяет результаты известного и хорошо зарекомендовавшего
себя метода? Причина кроется в том, что новый метод обладает
рядом несомненных преимуществ. К ним относятся:
а) простота исследования неоднородных и анизотропных тел
(в частности, когда направление анизотропии переменное);
б) возможность использования элементов различной формы
и размеров для аппроксимации произвольных границ и для ис-
исследования областей сильного изменения неизвестных функций;
в) граничные условия для градиента (условия излучения)
вводятся естественным образом и с большей точностью, чем в
обычных конечно-разностных методах;
г) точность решения можно увеличивать за счет использо-
использования элементов более высоких порядков без усложнения гра-
граничных условий, чего нельзя добиться при использовании конеч-
конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка;
д) последнее, но очень важное при широком распростране-
распространении ЭВМ преимущество состоит в том, что для составления
ансамбля и решения систем уравнений можно использовать
стандартные (предназначенные для расчета конструкций) про-
программы.
Для демонстрации достижимой на практике точности приво-
приводятся два более сложных примера. Первый из них — это задача
о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. 15.5). Основ-
Основное дифференциальное уравнение имеет вид
tH
I
ё
В случае, когда на границе заданы значения неизвестной функции.
Задачи о стационарных полях
329
L
? В
си
•Я о
о с
Ьй О
S3 S3
1} Э"
«ж »я
Is
« о
и е-
из
«с
где ф — функция напряжений, G — модуль сдвига и 6 — угол
закручивания на единицу длины стержня.
При решении методом конечных элементов внутренняя по-
полость заменялась материалом с модулем G, на трн порядка
меньшим модулей материалов стержня1). Эти результаты хо-
хорошо согласуются с точным решением методом конечных раз-
разностей [11].
На фиг. 15.6 приведен пример расчета задачи о фильтрации
жидкости через анизотропное пористое основание. Уравнение,
описывающее эту задачу, имеет вид
Л
Эх
дх
ду
A5.25)
где kx и ky — коэффициенты проницаемости в направлении
главных (наклонных к границе основания) осей. Результаты
сравниваются с результатами точного решения, показанными
пунктирными линиями. На этом примере особенно наглядно
видна возможность использования элементов разных размеров.
ч
15.5.' Некоторые практические задачи
Анизотропная фильтрация. Первая задача связана с иссле-
исследованием течения жидкости через сильно неоднородные анизо-
анизотропные искривленные слои грунта. Основное уравнение опять
имеет вид A5.25). Однако программу следует модифицировать
с тем, чтобы получить возможность изменять направление глав-
главных осей х' и у' при переходе от элемента к элементу. Никаких
трудностей при решения не встречается. Расчетная схема и не-
некоторые результаты приведены на'фиг. 15.7.
ОсесимметричнЫй тепловой поток. Уравнение для осесим-
метричного теплового потока можно записать в стандартной
форме
если отсутствует теплообразование. Здесь Т — температура, а
k—коэффициент теплопроводности. Координаты х ну заме-
заменены на координаты в радиальном и осевом направлениях лиг.
На фиг. 15.8 показано установившееся распределение темпе-
температуры в сосуде высокого давления ядерного реактора [1] при
равномерном нагреве изнутри.
Гидродинамическое давление иа движущейся поверхности.
Если погруженная в жидкость поверхность движется с задан-
') Это было сделано, чтобы избежать трудностей, возникающих из-за
многосвязности области, н тем самым получить возможность использовать
стандартную программу.
330
Глава 15
Водонепроницаемая
почва
Фиг. 15.7. Фильтрация под плотиной в сильно неоднородном н искривленном
основании.
ным ускорением н с малой амплитудой перемещения, то можно
показать [12], что избыточное давление удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа
V2p = 0.
На движущихся (или неподвижных) границах граничное усло-
условие типа «б» [ей. A5.3)] принимает вид
до
" _— ___ Л/Ч
A5.27)
где р — плотность жидкости и ап — нормальная компонента
ускорения границы. На свободных поверхностях краевое усло-
условие записывается как
р = 0. A5.28)
Таким образом, совершенно ясно, что задача принадлежит к ка-
категории задач, уже рассмотренных в этой главе.
В качестве примера рассмотрим движение вертикальной
стенки резервуара (фиг. 15.9) и найдем распределение давления
на стенке н дне резервуара прн произвольном законе движения
граничных точек 1—7. Область была разбита на 42 четырех-
| ;
Фнг. 15.8. Установившееся распределение температур в осесимметрнчном со-
сосуде высокого давления.
^XXXXXXJvwwXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXY
1-
3
4
I — 5
I— 6
i—7
/ьь
54
49 56
/50
• 14 21 28 35 42
Разбиение на элементы
Фнг. 15,9, Задачат) горизонтальном движении стеикн в резервуаре.
332
Глава 15
угольных элемента. Для того чтобы результаты можно было
применить для любых ускорений, решены семь задач. В каждой
из иих на части границы, примыкающей к рассматриваемой
точке, задано единичное ускорение, что дает в точках 1—7 иа-
грузки р'/г/., pL, ..., pL, р'/гЬ. Давления в точках 1—56 при
произвольном профиле ускорений можно представить в виде
матрицы, зависящей от ускорений точек 1—7. Таким образом,
Pi
Pi
Рн
Ри
Р28
/>35
Pi2
Р49
A5.29)
Матрица М имеет вид, показанный в табл. 15.1.
Таблица 15.1
[М].
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0,7249
0,3685
0,2466
0,1963
0,1744
0,1680
0
0,3685
0,9715
0,5648
0,4210
0,3644
0,3488
0
0,2466
0,5648
1,1459
0,7329
0,5954
0,5607
0
0,1963
0,4210
0,7329
1,3203
0,9292
0,8420
0
0,1743
0,3644
0,5954
0,9292
1,5669
1,2977
0
0,0840
0,1744
0,2804
0,4210
0,6489
1,1459
14
21
28
35
42
49
56
0
0
0
0
0
0
0
0,1617
0,1365
0,0879
0,0431
0,0186
0,0078
0,0069
0,3332
0,2754
0,1731
0,0838
0,0359
0,0150
0,0134
0,5260
0,4171
0,2519
0,1195
0,0150
0,0213
0,0190
0,7548
0,5573
0,3187
0,1478
0,0626
0,0261
0,0232
1,0285
0,6793
0,3657
0,1661
0,0699
0,0291
0,0259
0,6429
0,3710.
0,1918
0,0863
0,0362
0,0151
0,0134
Следовательно, можно найти давление при любом распреде-
распределении ускорений. Например, если ускорение а постоянно, то
Задачи о стационарных полях
333
давление можно вычислить, принимая
1
A5.30)
Распределение давления на стенке и дне резервуара пока-
показано на фиг. 15.10. Значения полученных давлений на стенке
Фиг. 15.10. Распределение давления на движущейся стенке и дне резервуара.
отличаются от хорошо известного точного решения Вестергаар-
да не более чем на 1%.
Аналогично можно получить распределение давления при
любом другом законе движения стенки. Например, если стенка
шарнирно соединена с основанием и совершает колебания во-
вокруг точки закрепления так, что ускорение верхней точки (точ-
(точка 1) равно а, то
1
0
A5.31)
Распределение давления, полученное с помощью выражения
A5.29), показано на фиг, 15.10,
334
Глава 15
При решении задачи о колебаниях очень важно иметь такую
матрицу влияния. Если стенка колеблется, то в общем случае
ее ускорения неизвестны. Используя верхнюю часть матрицы
[М] в соотношении A5.29), которую обозначим через [Мо], дав-
давления в точках 1—7 можно записать в виде
Pi
= [Щ
= [Мо]{б}.
A5.32)
Этим давлениям соответствуют следующие узловые силы:
а.
= [А] [Мо]
A5.33)
где [А]—матрица, характеризующая нагрузки, а {6} —матрица,
определяющая ускорения узловых точек стенки. Это уравнение
может быть добавлено к динамическим уравнениям движения
стенки. Эта и родственные ей задачи будут подробно рассмот-
рассмотрены в гл. 16.
На фиг. 15.11 показаны результаты расчета аналогичной
трехмерной задачи [4]. Использовались простые тетраэдральные
элементы. Точность полученных результатов достаточно высока.
Задачи электростатики. На фиг. 15.12 приведено решение
трехмерного уравнения Лапласа [4]. В данном случае оно моде-
моделирует электростатическое поле около изолятора. На фиг. 15.13
представлены результаты решения более сложной двумерной
задачи о распределении магнитного поля [6].
Безвихревое течение жидкости со свободной поверхность^
[13—19]. Уравнение Лапласа, описывающее течение вязкой жид-
жидкости в задачах фильтрации, справедливо также для безвихре-
безвихревого течения жидкости за пределами пограничного слоя, обус-
обусловленного вязкостью. Приведенные ранее примеры применения
метода можно использовать и для иллюстрации таких задач.
Другие примеры рассмотрены в работе Мартина [14]. Заслужи-
Заслуживают внимания задачи о течении жидкости с априори неизвест-
неизвестной свободной поверхностью.
Для этого класса задач типичны два примера — задача о
струйном водосливе (фиг. 15.14, а) и задача о фильтрации через
земляную плотину (фиг. 15.14,6). В обоих случаях свободная
граница представляет собой линию тока; она априори неизвест-
неизвестна и должна быть определена таким образом, чтобы на ней
удовлетворялось некоторое дополнительное условие. Если, на-
Непроницаемая
поверхность
Непроницаемая
поверхность
Типичный элемент
объема
Фиг. 15.11. Давление на ускоряющейся поверхности перемычки в несжимаемом
потоке.
решение, полученное методом конечных элементов; решение, найденное
с использованием электролитической ванны,
Р| —избыточное давление; в1— относительное ускорение; р — плотность..
336
Глава 15
Фиг. 15.12. Трехмерное распределение электростатического потенциала около
фарфорового изолятора.
пример, вторая задача сформулирована через потенциал Н, то
определяющим является уравнение A5.25).
Так как свободная граница представляет собой линию тока,
то на ней должно выполняться условие
ОН
дп
= 0.
A5.34)
Кроме того, поскольку эта граница связана с атмосферой, дав-
давление на ней должно быть равно нулю. Так как
Н =
¦+У.
A5.35)
где у — удельный вес жидкости, р — давление и у—расстояние
от некоторого горизонтального уровня, на свободной поверхно-
поверхности должно выполняться условие
Н = у. A5.36)
.-¦У
Фиг. 15.13. Поле магнита (по Вннслоу [6])
-р = 0
Фнг. 15.14. Типичные задачи со свободной границей (линией тока, на которой
давление равно нулю).
q—струйный водослив; б —фильтрация через земляную плотину.
338
Глава 15
Решение задачи можно получить итерационным методом. По-
Полагая свободную поверхность известной, решаем стационарную
задачу. Далее производим проверку, удовлетворяется ли усло-
условие A5.36), н если нет, то из условия равенства Н только что
найденному значению у находим новую поверхность. Несколько
таких итераций показывают, что сходимость достаточно быст-
быстрая. Этот метод использовался Тэйлором н Брауном [19]. Дру-
Другой возможный метод решения описан в гл-. 16.
Задачи теории смазки. Расчет вкладыша подшипника сво-
сводится к решению двумерной задачи, которая описывается
уравнением Пуассона. В случае, когда плотность н вязкость
смазочного вещества постоянны, должно быть решено уравне-
уравнение Рейнольдса [20]
где h — толщина пленки, р — возникающее давление, ц — вяз-
вязкость и V — скорость движения вкладыша в направлении х.
На фнг. 15.15 показано распределение давления во вклады-
L
h = 16мм 16 мм
Фнг. 15.15. Вкладыш с уступом. Распределение давления. Лнннн уровней
ше ступенчатого подшипника [21]. В качестве краевого условия
используется условие равенства давления нулю. Интересно за-
заметить, что благодаря наличию уступа вкладыша при интегри-
интегрировании правой части уравнения A5.37) появляется условно
эквивалентная нагрузка, распределенная по линии,
Задачи о стационарных полях
339
Ясно, что можно рассмотреть и более общие случаи задач
о смазке с учетом вертикального движения вкладыша (уплот-
(уплотнение пленки) и сжимаемости. Этому вопросу посвящено много
недавно опубликованных работ [22—24].
Число различных задач, относящихся к рассмотренному
классу, настолько велико, что рассмотреть нх все практически
невозможно.
15.6. Задачи, описываемые бигармоиическим уравнением.
Вязкое течение
До сих пор прн решении квазнгармоннческих задач миними-
минимизируемый функционал рассматривался как формальное матема-
математическое выражение, и не делалось никаких попыток определить
его физический смысл. В частном случае вязкого течения жид-
жидкости в пористой среде нетрудно установить, что он представ-
представляет собой скорость диссипации энергии. Распределение скоро-
скоростей, получаемое в результате решения, минимизирует эту дис-
диссипацию, как н следует ожидать из универсального принципа
минимума действия. Для задач о фильтрации эта интерпрета-
интерпретация была установлена Зенкевичем н др. [3]. Принцип минимума
энергии диссипации известен в механике жидкости с конца
прошлого века, и поэтому интересно рассмотреть его примене-
применение к решению задач о вязком течении.
В гл. 3 в качестве примера применения метода взвешенных
невязок рассматривалось уравнение Навье — Стокса без инер-
инерционных членов. Это уравнение справедливо для медленного
течения жидкости. Дифференциальное уравнение C.48) было по-
получено для двумерного течения. Это дифференциальное уравне-
уравнение можно было бы получить непосредственно путем миними-
минимизации методом Эйлера функционала, представляющего собой
скорость диссипации энергии.
Если компоненты скорости в направлениях хну обозначить
через и и v и выразить нх через функцию тока ф как
О —
дФ
~дх~'
A5.38)
то легко показать, что при постоянном значении вязкости
функционал будет иметь вид [7]
Его можно мнннмнзнровать точно так же, как это делалось
ранее в этой н предыдущей главах, после представления функ-
функции ф через узловые параметры элементов. Поскольку функцно-
340
Глава 15
нал квадратичный, в результате минимизации получаются стан-
стандартные жесткостные соотношения.
Так как в него входят вторые производные, на границах ме-
между элементами требуется обеспечить непрерывность функции <j>
и ее нормальных пронзводных. Узловые параметры удобно пред-
представить в виде
A5.40)
m,
а в качестве функций формы использовать те же самые функ-
функции, которые применялись в задачах гл. 10 об изгибе пластин.
Такой подход Аткннсон и др. [7] применили для исследова-
исследования распределения скоростей в начальной области потока ме-
между параллельными плоскостями. Граничные условия н форма
исследованной области показаны на фнг. 15.16, а, а на
фиг. 15.16,6 представлены полученные профили скоростей, кото-
которые хорошо согласуются с результатами эксперимента. Ясно,
что эта же программа пригодна н для исследования областей
с границами любой другой формы.
Интересно отметить, что при решении использовался опи-
описанный в гл. 10 простой несогласованный треугольный элемент,
который не удовлетворяет полному критерию непрерывности
производной.
Этнмн же авторамн получен функцнонал для осесимметрнч-
ных задач н рассмотрены аналогичные задачи о течении жид-
жидкости в цилиндрических трубопроводах. Более подробно этот
метод описан в работе [25].
15.7. Аналогии
Интересно отметить, что, поскольку уравнение, которому удо-
удовлетворяет функция тока [гл. 3, уравнение C.4)], совпадает
с уравнением изгиба пластин (работа [1] из списка литературы
к гл. 10), для решения задач о вязком течении можно было бы
непосредственно использовать любую программу расчета изгиба
пластин. Такие аналогии в технике имеют большое значение,
так как они часто дают возможность сделать полезные обобще-
обобщения с минимальными затратами сил.
Другим примером подобной аналогии может служить пло-
плоская задача теории упругости. Если выразить напряжения через
известную функцию напряжений Эрн [26]:
ду*
О и =¦
дхду •
A5.41)
Задачи о стационарных полях
341
0 2 0,4 0,6 0,8 1,0
Фиг. 15.16. Скорость вязкого ламинарного течения между параллельными пло-
плоскостями; Решение методом конечных элементов [7].
а — геометрия; б — профили скоростей в различвых сечениях.
то можно показать, что эта функция будет удовлетворять бн-
гармоннческому уравнению, описывающему вязкое течение жид-
жидкости и нзгнб пластин. Поэтому с помощью программы расчета
пластин можно решать плоские задачи теории упругости.
Если используется вариационный подход, то полученное ре-
решение, автоматически удовлетворяющее уравнениям равновесия,
дает верхнюю границу энергии деформации, тогда как решение
в перемещениях дает нижнюю границу.
342-
Глава 15
С другой стороны, решение плоской задачи теории упругости
в перемещениях можно использовать для получения верхних
границ решений задач теории изгиба пластин. Эта возможность
обнаружена и подробно олисана Вёбеке и Зенкевичем [8].
15.8. Заключительные замечания
В этой главе показаны лишь некоторые возможности исполь-
использования метода конечных элементов в ряде задач физики и тех-
техники. Не вызывает сомнения, что в ближайшее время этот ме-
метод будет применен к решению и других задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zienkiewicz О. С, Cheung Y. K-, Finite Elements in the Solution of Field
Problems, The Engineer, 507—510 (Sept. 1965).
2. Visser W., A Finile Element Method for Ihe Determinalioa of Non-Statio-
Non-Stationary Temperature Dislribution and Thermal Deformations, Proc. Conf. on
Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. of Techn., Wright Patter-
Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
3. Zienkiewicz O. C, Mayer P., Cheung Y.. K., Solution of Anisotropic Seepage
Problems by Finite Elements, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 92, EMI 111—
120 A966).
4. Zienkiewicz O. C, Arlett P. 1., Bahrani A. K., Solution of Three Dimensio-
Dimensional Field Problems by the Finile Element Method, The Engineer, 27 (Oct
1967).
5. Herrmann L., Elastic Torsion Analysis of Irregular Shapes, Proc. Am. Soc.
Civ. Eng., 91, EM 6, 11—19 A965).
6. Winslow A. M., Numerical Solution of the Quasi-Linear Poisson Equation
in a Non-Uniform Triangle Mesh. /. Computational Physics, I, 149—172
A966).
7. Alkinson В., Brocklebank M. P., Card С. С. M., Smith J. M., Low Reynolds
Number Developing Flows, AIChEJ, 15, 548—553 A969).
8. De Veubeke B. F., Zienkiewicz О. С, Strain Energy Bounds in Finite Ele-
Element Analysis by Slab Analogy, /. Strain An., 2, 267—271 A967).
9. Berg P. N., .Calculus of Variations, Ch. 16, in: Handbook of Eng. Mecha-
Mechanics, Fliigge N.. ed., McGraw-Hill, 1962.
10. De G. Allen D. N.. Relaxation Methods, McGraw-Hill, 1955, p. 199.
11. Ely J. F., Zienkiewicz О. С, Torsion of Compound Bars —a Relaxation So-
Solution, Int. I. Mech. Sri., 1, 356—365 A960).
12. Zienkiewicz О. С, Nath В., Earthquake Hydrodynamic Pressures on Arch
Dams—an Electric Analogue Solution, Proc. Inst. Civ. Eng., 25, 165—176
A963).
13 Westergaard H. M., Waler Pressure on Dams During Earthquakes, Trans.
Am. Soc. Civ. Eng., 98, 418—433 A933).
14. Martin H. C, Finite Element Analysis of Fluid Flows, Proc. 2nd Conf. on
Matrix Methods in Slruct. Mech., Air Force Inst. of Techn., Wright Patter-
Patterson A. F. Base, Ohio, 1958.
15. Oden J. Т., Samogyi D., Finite Element Applications in Fluid Dynamics,
Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM3 A969).
16. Argyris J. H., Mareczek C, Scharpf D. W., Two and Three Dimensional
Flow Using Finite Elements, /. Roy. Aero Soc, 73, 961—984 A969).
17. Doctors L. J., An Application of Finite Element Technique to Boundary Va-
Value Problems of Potential Flow, Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 243—252 A970),
Задачи о стационарных полях
343
18. De Vries G., Norrie D. H., Application of the Finite Element Technique to
Potential Flow Problems, Rept. land 8., Dept. Mech. Eng. Univ. of Caagary,
Alberta, Canada, 1969.
19. Taylor R. L., Brown С. В., Darcy Flow Solutions with a Free Surface, Proc.
Am. Soc. Civ. Eng., 93, HY2, 25—33 A967).
20. Gross W. A., Gas Film Lubrication, Wiley, 1962.
21. Tanesa D. V., Rao I. C, Student Project Report on Lubrication, Royal Na-
Naval College, Dartmouth, 1966. '
22. Reddi M. M., Finite Element Solution of the Incompressible Lubrication
Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 91, Series F, 524 A969); есть русский
перевод: Редди. Решение задачи о несжимаемой смазке методом конеч-
конечных элементов Труды Американского общества инженеров-механиков, се-
серия F, Проблемы трения и смазки № 3, стр. 169 A969).
23 Reddi M. M., Chu T. Y., Finile Element Solulion of the Steady State Com-
Compressible Lubrication Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 92, Series F, 495
A970); есть русский перевод: Редди, Чу, О решении стационарных задач
теории сжимаемой смазки методом конечных элементов. Труды Американ-
Американского общества инженеров-механиков, серия F, Проблемы трения и смазки,
№3, стр. 124—132 A970).
24. Argyris J. Н., Scharpf D. W., The Incompressible Lubricalion Problem, Л
Roy. Aero Soc, 73, 1044—1046 A969).
25 Atkinson В., Card С. С. М., Irons В. М., Application of the Finite Element
Method to Creeping Flow Problems, Trans. Inst. Chem. Engrs, 48, T276—
T284 A970).
26. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill,
1951,
ГЛАВА 16
ПОСТАНОВКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
16.1. Введение
Во всех задачах, рассмотренных до сих пор в этой книге,
предполагалось, что параметры не изменяются во времени. Рас-
Распространение конечно-элементной концепции на задачи, пара-
параметры которых зависят от времени, не, представляет особых
трудностей.
Область практических задач, в которых должна быть учтена
зависимость от времени, достаточно обширна. Типичными при-
примерами являются задачи нестационарной теплопроводности,
распространения волн в жидкостях или газах и задачи динами-
динамического поведения конструкций. Несмотря на то что эти различ-
различные по характеру задачи обычно принято рассматривать раз-
раздельно, классифицируя их иногда по математической структуре
как параболические или гиперболические [1], мы объединим их
в один класс, чтобы показать тождественность постановки за-
задач.
В первой части этой главы на основе простого обобщения
методов, использованных ранее, мы запишем матричные диффе-
дифференциальные уравнения, характеризующие указанные задачи,
для различных физических ситуаций. При этом конечно-элемент-
конечно-элементная дискретизация будет использована лишь для пространствен-
пространственных переменных. Далее будут рассмотрены различные методы
решения, показывающие возможность непосредственного вклю-
включения временного измерения в конечно-элементную дискрети-
дискретизацию.
16.2. Непосредственная дискретизация нестационарных задач
16.2.1. Квазигармоническое уравнение для нестационарных
задач
Во многих физических задачах квазигармоническое уравне-
уравнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, содержит
производные от неизвестной функции ф по времени. Для трех-
Нестационарные и динамические задачи
345
мерного случая мы имеем
д (ъ *>\j д
<16Л)
Все коэффициенты этого уравнения, вообще говоря, являются
заданными функциями времени:
kx = kx(t), Q = Q(t) и т. д.
В некоторый фиксированный момент времени производные
от ф по времени и все коэффициенты могут рассматриваться
как заданные функции координат. Для этого момента задача
совершенно аналогична рассмотренной в предыдущей главе
(разд. 15.2) при условии, что выражение в последней скобке
уравнения A6.1) трактуется как величина Q уравнения A5.1).
Конечно-элементная дискретизация этого уравнения для про-
пространственных переменных уже подробно обсуждалась, и при
заданной для каждого элемента величине
ф = [М(х, у, г)]{ф}е A6.2)
была получена обычная форма определяющего уравнения:
Вклад каждого элемента в приведенные выше матрицы оп-
определяется соотношениями A5.12) и A5.13), которые здесь не
приводятся, за исключением слагаемого «нагрузки», обуслов-
обусловленного величиной Q. Уравнение A5.13) дает
или
Заменяя теперь Q последним слагаемым в уравнении A6.1),
получаем
{^-.^(Q-^-p-H-)^. A6.4)
Vе
Однако из уравнения A6.2) видно, что ф аппроксимируется с
помощью узловых параметров {ф}е. Подстановка этой аппрокси-
346
Глава 16
мацин дает
{FY = - j [N]T Q dV + ( \ [NY ix [N] dV\ -J- {фу +
A6.5)
Записывая A6.3) в окончательной форме определяющих урав-
уравнений, получаем следующее матричное дифференциальное урав-
уравнение:
4 ^-Ш + {П = 0, A6.6)
в котором все матрицы составляются по стандартному правилу
из подматриц [hf и {F}e для каждого элемента, заданных соот-
соотношениями A5.12) н A5.13), и
A6.7)
A6.8)
Vе
Как видно нз приведенных выше соотношений, этн матрицы
симметричны.
Граничные условия задаются в каждый момент времени,
так же как в предыдущей главе.
Физических задач, описываемых уравнением A6.1), настоль-
настолько много, что подробное их обсуждение невозможно в рамках
этой книги. Здесь будет приведено только несколько типичных
примеров.
При р = 0 уравнение A6.1) является обычным уравнением
нестационарной теплопроводности [1, 2], которое было рассмот-
рассмотрено некоторыми авторами с позиций конечных элементов [3—6].
Это же уравнение описывает и другие физические явления, на-
например консолидацию грунта, связанную с разновидностями не-
нестационарной фильтрации [8].
При ц = 0 уравнение A6.1) превращается в известное вол-
волновое уравнение, описывающее обширную область физических
явлений. Электромагнитные волны [9], поверхностные волны в
жидкости [10] н волны расширения — сжатия [И] представляют
собой лишь несколько явлений, к которым был применен метод
конечных элементов.
При р ф 0 и ц Ф 0 уравнение A6.1), будучи волновым урав-
уравнением с демпфированием, обладает широкой областью приме-
Нестационарные и динамические задача
347
нимостн и имеет важное значение для некоторых волновых яв-
явлений в механике жидкости и газа.
16.2.2. Динамическое поведение упругих конструкций с линей-
линейным демпфированием')
В предыдущем разделе была рассмотрена чнсто математиче-
математическая задача; рассуждение подобного рода может быть непосред-
непосредственно применено к широкому классу задач о динамическом
поведении упругих конструкций в точном соответствии с общи-
общими положениями гл. 2.
¦Перемещения упругого тела во времени обусловлены нали-
наличием двух систем дополнительных сил. Первую нз ннх состав-
составляют силы ннерцин, которые характеризуют ускорение
d2/dt2{f] и, согласно хорошо известному принципу Даламбера,
могут быть заменены нх статическим эквивалентом
-Р-^гШ- A6.9)
(Здесь {/} является обобщенным перемещением, определенным
в гл. 2.)
Эти силы совпадают по направлению с перемещениями \f]
н обычно отнесены к единице объема, ар — масса единицы
объема.
Вторая система сил обусловлена сопротивлением движению
(силы трення). Этн силы могут быть вызваны перемещением
микроструктуры, сопротивлением воздуха и т. д.; в общем слу-
случае они связаны нелинейной зависимостью со скоростью пере-
перемещения d/dt{f].
Однако для простоты изложения будет учтено только линей-
линейное сопротивление вязкого типа, которое статически эквива-
эквивалентно силе, отнесенной к единице объема
-ц-щ-tf}. A6.10)
Здесь ц — некоторый коэффициент.
Эквивалентная статическая задача в. каждый момент вре-
времени дискретизнруется теперь в соответствии с изложенным в
гл. 2, причем распределенная сила [р\ заменяется эквивален-
эквивалентом
д' "- д "}. A6.11)
') Для простоты мы рассмотрим только эффекты распределенных сил
инерции и демпфирования; сосредоточенные массовые и демпфирующие силы
получаются предельным переходом.
348
Глава 16
. Узловые силы элемента, заданные уравнением B.11), при-
принимают теперь вид
р -щг ш dv +
+
A6.12)
Здесь первый член совпадает с силой, обусловленной внешней
распределенной нагрузкой (см. гл. 2), и поэтому не будет далее
рассматриваться.
Аппроксимация перемещений дается соотношением B.1):
Подставив выражение A6.12) в общее уравнение равновесия,
окончательно получим следующее матричное дифференциаль-
дифференциальное уравнение:
где [К] и {F} — матрицы жесткости и сил ансамбля, полученные
обычным суммированием коэффициентов жесткости и сил эле-
элементов, вызванных заданными внешними нагрузками, началь-
начальными напряжениями и т. д. Новые матрицы [С] и [М] состав-
составляются по обычному правилу из подматриц элементов, задавае-
задаваемых в виде
A6.14)
A6.15)
Матрица [т.ц] известна как матрица масс элемента, а матрица
ансамбля [М]—как матрица масс системы.
Интересно заметить, что в ранних попытках исследования ди-
динамических задач такого типа масса элементов обычно пред-
предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что при-
приводило всегда к диагональной матрице, даже если не существо-
существовало сосредоточенных масс. Тот факт, что подобная процедура
в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксима-
аппроксимации, был установлен в 1963 г. Арчером [12] и независимо от него
Лекки и Линдбергом [13]. Общее выражение A6.15) получено
Зенкевичем и Ченгом [14]. Для матрицы распределенных масс
элемента был введен термин «согласованная матрица масс»; эта
матрица является единственно допустимой матрицей, используе-
используемой при расчете.
Нестационарные и динамические задачи
349
Матрицы [Cij] и [С] по аналогии могут быть названы согла-
согласованными матрицами демпфирования.
Следует отметить, что иногда для описания сил инерции
нужно использовать функции формы, отличные от функций, за-
задающих перемещения {f}. Например, в задачах о пластинах и
балках (гл. 10) полное деформированное состояние было задано
с помощью только поперечного перемещения w, так как были
введены дополнительные гипотезы об изгибе пластины. Однако
при учете сил инерции следует рассматривать не только силу
инерции поперечного перемещения
(где р представляет собой массу, отнесенную к единице площади
пластины), но и моменты сил инерции типа
pt2 a2 (~dw\
12 df> \ дх )
И Т. Д.
Теперь перемещение {f} необходимо записать в более общем
виде:
w
дх } =
dw
ю =
где [N] непосредственно следует из определения матрицы [N],
которая задается только компонентой w. Соотношения, подоб-
подобные уравнению A6.14), по-прежнему справедливы, если только
заменить [N] на [Щ и подставить вместо р матрицу
О О
0 Ж
О О
0
^1
12 _
Однако подобный подход применяется редко.
16.2.3. Матрицы масс и демпфирования некоторых типичных
элементов
Представить в явном виде все матрицы масс различных эле-
элементов, исследованных в предыдущих гла'вах, практически не-
невозможно, и здесь будут рассмотрены лишь некоторые частные
примеры. .
350
Глава 16
Плоское напряженное состояние и плоская деформация.
При использовании треугольных элементов, описанных в гл. 4,
матрица [N] определяется выражением
где
\ = [IN'h IN',,
0
r'_ al + biX +
н т. д.,
где Д—площадь треугольника, N't задаются соотношением D.8).
Если толщина элемента t предполагается постоянной в пре-
пределах элемента, то из уравнения A6.15) для матрицы масс имеем
или
С помощью соотношения D.8) можно показать, что
A6.16)
A6.17)
A6.18)
Таким образом, при
получаем матрицу масс
w
I
2
0
I
4
0
I
4
0
0
1
т
0
1
т
0
I
4
I
4
0
1
2
0
~\
0
0
1
4
0
1
2
0
I
4
I
4
0
1
i
0
1 I
i 2
0
0
I
4
0
I
4
0
I
2
A6.19)
Нестационарные и динамические задачи
351
Если бы масса элемента была равномерно-" распределена по трем
его узлам, то матрица масс имела бы вид
A6.20)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Очевидно, что эти результаты значительно отличаются друг от
друга.
Изгиб пластины. Колебания пластин представляют собой
весьма важную инженерную проблему. Такие важные явления,
как колебания мостового настила, колебания лопаток турбин
и др., приводят к задачам, трудно поддающимся аналитическому
решению.
Важность использования согласованной матрицы масс вме-
вместо матрицы сосредоточенных масс подчеркивается в несколь-
нескольких работах [15—19].
Если рассматривается, например, прямоугольный плоский
элемент из разд. 10.4, то функции перемещений определяются
соотношением A0.16)
[N] = [P][Cfl A6.21)
в соответствии с обозначениями гл. 10.
Заметим, что [С] не зависит от координат, а [Р] определяется
выражением
[Р] = [1, х, у, х\ ху, у\ х3, х2у, ху\ у3, я?у, ху3].
Таким образом, для плоского элемента постоянной толщины t
матрица масс A6.15) принимает вид
Jr1. A6.22)
Как и ранее, без особых затруднений вычисляется интеграл
в круглых скобках, а полная матрица масс может быть получена
матричным умножением. В табл. 16.1 приводится ее явное вы-
выражение, данное Дейвом [16].
Подобные матрицы масс могут быть получены и для тре-
треугольных элементов, рассмотренных в разд. 10.6 н далее. Явные
352
Глава 16
Таблица 16.1
Матрица масс прямоугольного элемента
3454
—461
—461
1226
274
199
1226
—199
-274
80
-63
—274
—60-
-42
— 199
40
42
80
199
42
40
274
—42
—60
3454
461
461
394
— 116
— 116
80
63
116
—30
—28
80
116
—28
-30
3454'
—461
—461
80
63
[М]=к
80
394 —116 116 1226 199 274 1226—274—199 3454
'16 —30 28 199 40 42 274 —60 —42 461 80
_—116 28 -30 —274 -42 —60 —199 42 40 -461 -63 80_
Здесь L,определяется по табл. 10.1 и к — pfad/6300.
Выражения для этих матриц здесь не приводятся; выполнение
алгебраических преобразований предоставляются читателю1).
При использовании таких элементов рекомендуются методы
численного интегрирования.
Оболочки. Если определены матрицы масс для плоских и
изгибных движений некоторого элемента, то может быть най-
найдена матрица масс, отнесенная к общей координатной системе.
Правила преобразований в этом случае, очевидно, точно такие
же, как для сил. Основные этапы получения матрицы масс для
каждого элемента в общих координатах и составление матрицы
масс для-ансамбля аналогичны подобным операциям для матриц
жесткости (см. гл. 11). Поэтому в принципе решение задач о ко-
колебаниях оболочек не представляет особых трудностей.
Матрицы демпфирования и другие. Приведенные выше при-
примеры, возможно, помогли читателю закрепить некоторые общие
идеи. Он легко заметит, что матрицы демпфирования, заданные
уравнением A6.14), имеют точно такую же структуру, что и
матрицы масс. Различные матрицы, введенные в подразд. 16.2.1
и определяемые равенствами A6.7) и A6.8), также имеют ана-
аналогичную форму. Таким образом, после незначительного видоиз-
видоизменения ко всем этим задачам в равной мере применимы резуль-
результаты, относящиеся к. плоскому треугольному элементу, и отпа-
отпадает необходимость в повторном вычислении.
16.3. Связанные задачи
Для задач обоих типов, рассмотренных в предыдущем раз*
деле, получены матричные дифференциальные уравнения одина-
' . '
') Интегралы в явном виде приведены в работе [20].
Нестационарные и динамические задачи
353
ковой формы [формулы A6.6) и A6.13)]. Аналогично могут быть
получены уравнения для более сложных задач. Иногда в задачах
связанного типа появляются две самостоятельные системы урав-
уравнений. Мы обсудим два таких примера, представляющих значи^
тельный практический интерес,
16.3.1. Связанное движение упругой конструкции в жидкой среде
[21, 22]
Дифференциальное уравнение, описывающее распределение
давления р при малых колебаниях сжимаемой жидкости, имеет
вид
. |* + «!?. + .?? _4-4?- = 0, A6.23)
дх2 У ду2 ' дг2 с2 dt2 ' v '
где с—скорость звука, а демпфирующие члены (вязкости) опу-
опущены.
На границе задается или р или величина
дп
A6.24)
если граница непроницаема и движется. Здесь ?/„ есть нормаль-
нормальная составляющая перемещения. После разбиения жидкой об'
ласти на конечные элементы получается уравнение, аналогичное
уравнению A6.6):
A6.25)
в котором матрицы [Я] и [G] находятся обычным способом. Ма-
Матрица {FI не содержит вкладов интегрирования по объему, а об-
обусловлена поверхностными интегралами, соответствующими опи-
описанным выше движениям [см. уравнение A5.27)]').
Движение границы (поверхности раздела) обусловлено пере-
мещением конструкции. Если дискретизируется сама конструк-
конструкция, то можно записать '
U.n*=[N]{6}, A6.26)
где [Щ определяется соответствующими функциями формы, а {6}
является вектором узловых перемещений. Согласно формуле
A5.13), имеем
{F}f = [S]-jpr{6}, A6.27)
') В более общем случае в уравнение A6.25) Может входить член, со-
содержащий первую производную от р по времени. Например, если в уравнение
движения жидкости входят члены, обусловленные вязким трением, или гра-
граница ие отражает падающие волны давления. Такая граница имеет важное
значение, если область жидкости бесконечна, а при расчете ее нужно огра-
ограничить [22].
12 Зак. 613
354
Глава 16
где
A6.28)
Здесь [N]— функции формы, определяющие распределение дав-
давления, a S — поверхность раздела жидкости и конструкции
(фиг. 16.1).
После дискретизации задачи строительной механики имеем
№{b} + lC)-HF{b} + [M]^{b} + {F}s+{R} = 0, A6.29)
где содержатся обычные члены уравнения A6.13), но воздей-
воздействия разделены на заданные
внешние силы {R} и силы {F}s,
обусловленные, давлением жидко-
сти на поверхности раздела. На
основании принципа виртуаль-
ных работ можно найти, что силы
{F}s должны быт* заданы в
виде
A6.30)
так как
Фиг. 16.1. Поверхность раздела
твердого тела и жидкости.
Объединяя уравнения A6.25),
A6.27), A6.29) и A6.30), окон-
окончательно получаем связанную систему матричных дифферен-
дифференциальных уравнений
[Я]{р} + [0]^И/>} + [5]
[*]{»} +[С]-I
{6} = 0,
+ W — {6} + i [s]»1 {p} + № = о,
A6.31)
Которая описывает эту задачу.
Некоторые аспекты этой задачи обсуждаются в работах [21]
и [22]. В частном случае для несжимаемой жидкости (с= оо)
второй член первого уравнения становится равным нулю и это
уравнение может быть решено непосредственно, что дает
-[Я
-Ir
A6.32).
- Подставив это выражение во второе уравнение, получим
обычное динамическое уравнение, в котором к матрице масс
Нестационарные и динамические задачи
355
добавлена матрица присоединенных масс
-j\SflH]~l IS].
A6.33)
Такая матрица присоединенных масс, впервые предложенная
Зенкевичем с сотр. [4, 15], была введена в разд. 15.5. Сравни-
Сравнительно недавно подобная методика была использована при
определении собственных частот арочных плотин [23].
16.3 2 Упругое поведение пористого насыщенного материала [24]
Эта задача встречается в механике грунтов и во многих гео-
геотехнических проблемах.
В пористой упругой среде давление жидкости в порах вызы-
вызывает объемные силы, определяемые матрицей
A6.34)
Они уже рассматривались в гл. 4. Подробнее эти вопросы изло-
изложены в работе [25].
Если упругая конструкция дискретизируется конечными эле-
элементами, то объемные силы вызовут узловые силы
{F}p = \[N]T\ dtdy\[N]dV
V Id/dz)
¦¦1Ц{р), A6.35)
где [N] — функции формы, определяющие перемещения упругого
тела, а [./V] — функции формы, характеризующие распределение
давления ').
В результате для упругой среды мы имеем обычное уравне-
уравнение дискретизированной задачи
) + {R} = 0, A6.36)
где [К] —матрица жесткости, a {R} включает все, заданные силы,
кроме сил, обусловленных давлением в порах.
Переходя к рассмотрению жидкости, содержащейся в порах,
следует записать соответствующее дифференциальное уравнение
неразрывности. Оно уже встречалось в гл. 15 как типичное урав-
уравнение A5.1), но kx, ky, kz являются теперь коэффициентами про-
>) Для простоты интегралы записываются по всей области, как ¦ гл. &
IS1»
356
Глава 16
ницаемости и Q представляет собой скорость, с которой проис-
происходит наполнение жидкости в единице объема. Для матрицы
третьего порядка, связанной с компонентами перемещений,
имеем
(d/dxf
[dfdzj
Из уравнения A5.1) с учетом A6.37) получаем
и так как сила Q определяется уравнением A5.13), то
1Щт\д!ду \[N]dV Ц-
id/dz)
A6.38)
A6.39)
Уравнения A6.36) и A6.38) образуют связанную систему
совместных матричных дифференциальных уравнений. Эти урав-
уравнения аналогичны системе A6.31), полученной для связанного
динамического взаимодействия жидкости и конструкции. Если
пренебречь сжимаемостью жидкости, то эти системы будут иметь
одинаковую форму.
Следует заметить, что из формул A6.35) и A6.39) фор-
формально следует, что
[S] = [Zf. A6.40)
Использовав несколько иной подход, Санду и Уилсон [24]
впервые днскретизировали эту задачу с помощью конечных эле-
элементов. Физические аспекты этой задачи обсуждаются в ра-
работах [26, 27].
Обычное уравнение консолидации, которое имеет форму
A6.1) (без вторых производных по времени), является частным
случаем более общей формулировки.
Выше предполагалось, что жидкость несжимаема. Если же
в задаче учитывается и сжимаемость жидкости, то в уравнении
A6.38) появляется дополнительный член вида
Щ-ltip). A6.41)
Такое обобщение позволяет рассмотреть нестационарные за-
задачи частично насыщенных грунтов.
Нестационарные и динамические задачи
357
16.4. Другой способ учета временного эффекта
В предыдущем разделе различные задачи были сведены к ма-
матричным дифференциальным уравнениям относительно времени.
Это осуществляется достаточно просто и не требует новых прин-
принципов. Однако возможны и другие подходы.
Во-первых, к дифференциальным уравнениям, описывающим
задачу, может быть непосредственно применена процедура Га-
леркина (или другой весовой метод минимизации невязки), об-
обсуждавшаяся в разд. 3.4. При описании неизвестной величины
функциями формы, зависящими не только от пространственных
координат, но н от времени, т. е.
дискретизация задачи может быть произведена пространствен-
пространственными и временными конечными элементами [6, 28]. При этом
задача становится четырехмерной, но в принципе численное ре-
решение может быть получено обычным методом после непосред-
непосредственной дискретизации на произвольном интервале времени
U<t< t2.
Во втором подходе применяется вариационный принцип по
пространственным переменным и времени. Вариационные ме-
методы, использующие свертку интегралов, описаны Гэртином [29]
и успешно применены в работах [5, 24]. На основе этих методов
могут быть также построены пространственные и временные ко-
конечные элементы.
В простых динамических задачах вариационный принцип не-
непосредственно следует из принципа Лагранжа. Ищется стацио-
стационарное значение интеграла
Х= \ Lett,
A6.42)
в котором
L = U+W + T, A6.43)
где U + №— сумма энергии деформации и потенциальной энер-
энергии, которая была уже введена в гл. 2, и Г — кинетическая энер-
энергия системы. Величина L называется функцией Лагранжа [30].
Несмотря на то что такие подходы обладают достаточной
общностью, они не будут подробно рассматриваться.
Упрощенный вариант процедуры Галеркина в следующем
разделе будет непосредственно использован для уравнений ди-
скретизированной задачи.
16.5. Рекуррентные соотношения для решения задач Коши
В матричных дифференциальных уравнениях, полученных
в предыдущих разделах, значения функций и, если необходимо,
358
Глава IS
их первых производных по времени, заданные в начальный мо-
момент времени, однозначно определяют эти функции на опреде-
определенном интервале времени.
Задачи такого класса, известные как «начальные» или «ша-
«шаговые», могут быть решены с помощью подходящих рекуррент-
рекуррентных соотношений [1]. В некоторых простых случаях такие рекур-
рекуррентные соотношения приводят к точным решениям [3]. Эти слу-
случаи не будут рассматриваться в дальнейшем.
Рекуррентное соотношение может быть установлено различ-
различными способами. Например, может быть непосредственно ис-
использована разностная схема или применен метод Галеркина
для минимизации невязки в пределах каждого интервала. Дру-*
гой метод, который применяется чаще, обладает всеми достоин-
достоинствами вариационных методов, предложенных Уилсоном и др.
[5, 24].
Рекуррентное соотношение может быть записано для несколь-
нескольких интервалов одновременно, что требует решения большего
числа совместных уравнений, но приводит к повышенной точно-
точности и устойчивости.
Здесь удобно отдельно рассмотреть матричные уравнения,
содержащие лишь первые производные по времени, и уравнения,
имеющие производные второго порядка по времени.
16.5.1. Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями
первого порядка по времени
Типичной для этого класса является задача, определяемая
уравнением A6.6) при [G] = 0:
[tf]W + [C]J-№ + {F}=0. • A6.44)
Мы рассмотрим интервал 0 =g: t ^ tn, обозначая через Що на-
начальные значения при t = 0.
В общем случае предположим, что в пределах этого интер-
интервала вектор {<j>} интерполирован по его некоторым значениям:
A6.45)
где Ni(t)—соответствующие функции формы, непрерывные
в пределах рассматриваемого интервала.
Например, если интерполяция линейная, то следует рассмо-
рассмотреть лишь начальное значение ф при t = 0 и значение при
tn = At (n = 1), т. е. в матричной форме
A6.46)
Нестационарные и динамические задачи
3S9
при Ma — (At — t)!At, Ni=t!M. Производная по времени
Так как начальное значение Що известно, то используется только
одна весовая невязка. Интегрируя уравнение A6.44), умножен-
умноженное на Ni, имеем
после подстановки A6.46) и A6.47) и последующего интегриро-
интегрирования получаем
[Я] (-[ {ф)о + J
^ [С] (- {ф)о
= 0. A6.49)
№. = - (т W + [сум)'1 [(^ [Я] - [сум)
Этот результат подобен тому, который был бы получен на
основе обычной центральной конечной разности [1, 4, 8]. Однако
вывод уравнения A6.49) является иным, и при этом возникают
интересные возможности использования других интерполяцион-
интерполяционных функций.
Из уравнения A6.49) величина {</>}| может быть найдена фор>
мально:"
A6.50)
Это рекуррентное соотношение может быть использовано Для
всех последующих интервалов времени (выбор в качестве на-
начального значения ф величины {^}о при t = 0 является в данном
случае чисто условным). ¦
Для другой рекуррентной схемы можно рассмотреть некото-
некоторый интервал времени, содержащий три точки @, At, 2M), как
зео
Глаза 16
Л1
1
N\
X
показано на фиг. 16.2. Поступая аналогично, мы вместо уравне-
уравнения A6.46) получим
A6.51)
с параболическими интерполяционными полиномами Лагранжа.
Продолжение этого при-
М | мера приводит к двум весо-
весовым уравнениям минимиза-
минимизации невязки, подобным урав-
уравнению A6.48), причем {$i и
{ф}2 определяются по задан-
заданным начальным значениям
{ф}0. Эта процедура может
продолжаться до бесконеч-
бесконечности, причем с увеличением
числа совместных уравнений
точность решения повышает-
повышается. Ясно, что более сложные
временные элементы обеспе-
обеспечивают большую устойчи-
устойчивость решения и при этом
могут быть использованы большие временные интервалы.
16.5.2. Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями
второго порядка по времени
Динамические задачи строительной механики и подобные за-
задачи описываются уравнениями вида
lK]{b) + [C]^T{b} + [M]-^r{6} + {F} = 0. A6.13)
Для решения этого уравнения, очевидно, необходимы два на-
начальных условия. Обычно задаются значения {б}о и d/dt {8}0 в на-
начальный момент времени. В соответствии с, вышеизложенным
функции формы, описывающие изменение конструкции во вре-
времени, выбираются по значениям {6} и d/dt {6} в различные мо-
моменты времени. В случае простейшей интерполяции учитываются
лишь значения времени t = Ont = &tn внутри интервала ис-
используются кубические полиномы Эрмита. Таким образом, имеем
Фиг. 16.2. Временные функции формы с
разрывной первой производной.
{6} —
'I > #ll]
d/dt {б}0
A6.52)
.д/Я{б},
Нестационарные и динамические задачи
361
и в = -
Эти полиномы Эрмита аналогичны приведенным в гл. 10 и 12;
их графики представлены на фиг. 16.3.
Фиг. 16.3. Временные функции формы с разрывной второй производной.
Необходимое рекуррентное соотношение можно получить,
если записать весовое уравнение минимизации невязки для
t = At:
-^г)[Нт, #,„, Я01,
Wo
dldt {б}„
djdt {6},
{/?}] Л = 0. A6.53)
362
Глава 16
После подстановки функций формы и интегрирования из ра-
равенства A6.53) будут получены уравнения для определения ве-
величин {6}i и d/dt{6}\, выраженных через начальные значения.
Окончательный вид рекуррентного соотношения:
ГЛ„ Л12-|Г{6}, ) = _Г5» 1
вывод этих выражений предоставляется читателю в качестве
несложного упражнения.
Полученное рекуррентное соотношение не совпадает с конеч-
конечно-разностным уравнением Уилсона и Клуха [31] или с его раз-
разновидностями, использованными Чэном и др. [32]. Оно было
с успехом применено Фридом [28], хотя и выведено им другим
способом.
Очевидно, что можно применить и более сложные конечные
временные элементы с дополнительными степенями свободы.
16.5.3. Связанные задачи
Эти задачи могут быть исследованы изложенным выше спо-
способом с использованием различных аппроксимирующих функций
по времени в соответствующей форме. Подробно этот вопрос мы
рассматривать не будем.
16.5.4. Некоторые примеры
Несколько простых примеров использования рекуррентных
соотношений, рассмотренных в подразд. 16.5.1, взято из работы
[6] для иллюстрации применения метода и подтверждения его
устойчивости.
Нестационарное распределение температуры в лопасти
ротора. Пример, приведенный на фиг. 16.4, иллюстрирует дву-
двумерную задачу, описываемую уравнением теплопроводности
V2T -4- -Hi. — —
v 1 ^ k at ~
A6.55)
Граничное условие') излучения тепла на поверхности ло-
лопасти [уравнение A5.3)] записывается в виде
дГ _ -а(Г -Та)
дп k
A6.56)
') Обычно принято граничное условие A6 56) называть условием тепло-
теплообмена, а условием излучения оно называется, если в правой части A6.56) вме-
вместо разности температур берется разность их четвертых степеней. — Прим. реО).
Нестационарные и динамические задачи
ЗбЗ
а) I = 0,5 с
Фиг. 16.4. Распределение температур в охлаждаемой лопасти ротора, имеющей
нулевую начальную температуру {М = 0,01 с).
Удельная теплоемкость с-»Ш кал/г . °С. Плотность р=7,99 г/см'. Коэффициент тепло,
псоводности t-0,05 кал/см, с-«С. Температура газа около лопасти П45ЯС. Коэф-
Коэффициент теплоотдачи а на наружной поверхности лопасти (А-В) изменяется от 0,390 До
(Тверстия
1
2
Температура
в отверстии, °С
545
587
а
0,0980
0,0871
где f _ температура окружающего газа, р — плотность, с —
удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности и
а _ коэффициент теплоотдачи.
Для конечно-элементного представления лопасти были при-
применены изопараметрические элементы третьего порядка. Рас-
Распределения температур в различные моменты времени пока-
показаны пунктирными линиями.
364
Глава IS
Трехмерная задача теплопроводности. Одна восьмая часть
эллнпсоида вращения грубо аппроксимируется тремя квадратич-
квадратичными изопараметрическимн элементами. На фиг. 16.5 показаны
этн элементы и изменение температуры в центре эллнпсоида,
1,0
(«И
ом
0,2
0,4
0,6
0,8 1,0
Dt/L\
Фиг. 16.5. Изменение температуры во времени в вытянутом эллипсоиде враще-
вращения при х = у = г = 0 (Д/ = 0,025 с).
— аналитическое решение; Д решение методом конечных элементов. ?.j/?.i=2, aLt/A=oo.
полученное аналитически и методом конечных элементов. На-
Наблюдается хорошее совпадение результатов.
16.6. Различные нестационарные задачи.
Фильтрация со свободной поверхностью
Специальный класс нестационарных задач образуют задачи
о течении грунтовых вод, в которых не учитывается сжимаемость
жидкости, но происходит непрерывное изменение ее свободной
поверхности. Определяющее уравнение таких задач является
стационарным [уравнение A5.26)].
Свободная поверхность фильтрующейся жидкости есть по-
поверхность нулевого давления (см. гл. 15), но она не составлена
из линий тока в неустановившемся течении. Если решение за-
задано в любой момент времени прн известном положении свобод-
Нестационарные и динамические задачи
ЗбЗ
ной поверхности, то может быть найдена нормальная составляю-
составляющая vn скорости фильтрации для этой свободной поверхности.
Когда жидкость покидает поры, нормальная составляющая vn
скорости движения свободной поверхности может быть опреде-
определена как
б„ =¦?¦*„. A6.57)
Для следующего интервала времени At может быть установлено
новое положение свободной поверхности и произведено повтор-
повторное вычисление на основе шаговой схемы решения.
Очевидно, что сетка конечных элементов должна выбираться
так, чтобы она соответствовала новому положению свободной
поверхности на каждом шаге вычислений. Здесь особенно по-
полезны нзоп'араметрические криволинейные конечные элементы,
МШМЖЖЖЖ,
1 = 0
Фиг 166 Фильтрационный поток прн наличии свободной поверхности. Для
каждого момента времени автоматически устанавливается сетка элементов и
находится скорость свободной поверхности.
366
t/utea 16
Нестационарные и динамические задачи
367
50,8
45,72 -
38,1
25,4
12,7
10
t-c
S
100
1000
Фиг. 16.7 (продолжение).
б—изменение во в-ремени свободной поверхности в продольной плоскости симметрии
при быстром спуске жидкости. аналоговое решение; Q решение методом конеч-
конечных элементов.
которые были использованы для решения двумерных и трехмер-
трехмерных задач [34, 35].
На фиг. 16.6 и 16.7 иллюстрируется применение изложенного
метода к простому примеру дренажа через две симметрично вы-
выполненные траншеи и проводится сравнение с аналоговым ре-
решением этой задачи [36]. Подобное решение широко применяется
на практике и позволяет получить количественные оценки в та-
таких задачах, как быстрый спуск жидкости и т. д. Другие по-
попытки рассмотрения нестационарной задачи этого тнпа перечис-
перечисляются в работах [37—39].
16.7. Заключительные замечания
В настоящей главе были кратко рассмотрены некоторые типы
нестационарных задач и дано изложение основных методов их
решения. Подобным образом могут быть поставлены и решены
многочисленные задачи, имеющие важное' практическое значе-
значение.
Решбния, полученные методом конечных элементов, обладают
некоторыми преимуществами по сравнению с соответствующими
решениями, полученными конечно-разностными методами. Од-
Однако остаются трудности, связанные с устойчивостью таких ре-
решений, хотя неявная схема рекуррентных зависимостей, полу-
полученных в разд. 16.3, обычно является достаточно надежной.
При решении задач с помощью рекуррентного соотношения,
типичная форма которого задана уравнением A6.50), появляется
3E8
Глава 16
необходимость вычисления матриц большого порядка на каждом
шаге по времени. Если шаги по времени одинаковые и матрицы
не зависят от времени, то на каждом шаге вычисления приме-
применяются одни и те же матрицы. В результате использования ча-
частичного обращения время, необходимое для вычисления на по-
последующих шагах, может быть значительно уменьшено по срав-
сравнению с временем, затраченным на первом шаге [6].
Дальнейшую экономию времени решения можно получить,
уменьшая число пространственных переменных, используя эф-
эффективный метод, подобный описанному в гл. 17 (подразд.
17.4.3), или применяя анализ Хэрти [40, 41].
К сожалению, это не относится к случаю существенно нели-
нелинейных задач, таких,-как задача о свободной поверхности
(разд. 16.6) и другие задачи подобного характера. В гл. 18 бу-
будет рассмотрено несколько таких нелинейных задач. Специаль-
Специальная задача, относящаяся к этой группе задач, решена недавно
в работе [42], где рассматривается уравнение нестационарной
теплопроводности с учетом фазового превращения (затвердева-
(затвердевания). Подробное обсуждение этой задачи и других задач подоб-
подобного рода выходит за рамки этой книги.
ЛИТЕРАТУРА
1. Crandall S., Engineering Analysis, McCraw-Hill, 1956.
2. Carslow H. S., Jaeger J. C, Conduction of Heat in Solids, 2nd ей., Claren-
Clarendon Press, 1959; есть русский перевод: Кэрслоу Г., Егер Д., Теплопровод-
Теплопроводность твердых тел, изд-во «Наука», 1964.
3. Visser W., A Finite r Element Method for the Determination of Non Statio-
Stationary Temperature Distribution and Thermal Deformation, Proc. Conf. on
Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. of Technology, Wright Pat-
Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
4. Zienkiewicz O. G, Cheung Y. K., The Finite Element Method in Structural
and Continuum Mechanics, 1st ed., McGraw-Hill, 1967.
¦5. Wilson E. L, Nickell R. E., Application of Finite Element Method to Heat
Conduction Analysis, Nuclear Eng. and Design., 4, 1—11 A966).
6. Zienkiewicz O. C, Parekh С J., Transient Field Problems —Two and Three
Dimensional Analysis by Isoparametric Finite Elements Int. J. Num. Meth.
in Eng., 2, 61—71 A970).
7. Terzhagi K., Peck R. В., Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley,
1948.
8. Todd D. K., Ground Water Hydrology, Wiley, 1959.
9. Arlett P. L, Bahrani A. K., Zienkiewicz О. С, Application of Finite Ele-
Elements to the Solution of Helmholz's Equation, Proc. IEE, 115, 1762—1766
A968).
10. Taylor C, Patil B. S., Zienkiewicz О. С, Harbour Oscillation: a Numerical
Treatment for Undamped Natural Modes, Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 141—
156 A969).
11. Zienkiewicz 0. C, Newton R. E., Coupled Vibrations in a Structure Submer-
Submerged in a Compressible Fluid, Int. Symp. on Finite Element Techniques, Stutt-
Stuttgart, 1969.
Нестационарные и динамические задачи
369
12 Archer J. S., Consistent Mass Matrix for Distributed Systems, Proc. Amer.
Soc. Civ. Eng., 89, ST4, 161 A963).
13- Leckie F. A., Lindberg G. M., The Effect of Lumped Parameters on Beam
Frequencies, The Aero. Quarterly, 14, 234 A963).
14. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., The Finite Element Method for Analysis
of Elastic Isotropic and Orthotropic Slabs, Proc. Inst. Civ. Eng., 28, 471
A964).
15. Zienkiewicz O. C, Irons В., Nath В., Natural Frequencies of Complex, Free
or Submerged Structures by the Finite Element Method, in Symposium on
Vibration in Civil Engineering, London, April 1965 (Butterworth, 1966).
16. Dawe D. J., A Finite Element Approach to Plate Vibration Problems, /.
Mech. Eng. Sci., 7, 28 A965).
17. Guyan R. J., Distributed Mass Matrix for Plate Elements in Bending, JAIAA,
3, 567 A965); есть русский перевод: Гайан, Матрица распределенной мае
сы элемента пластины при изгибе, Ракетная техника и космонавтика, 3.
№ 3 A965).
18. Bazeley G. P., Cheung Y. К., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Traingular Ele-
Elements in Plate Bending — Conforming and Non-Conforming Solution, Proe,
Conf. on Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. o! Technology,
Wright Patterson A. F. Bsse, Ohio, 1965.
19. Anderson R. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Vibration and Stability of
Plates'Using Finite Elements, Int. J. Solids Struct., 4, 1031—1055, 1968.
20. Anderson R. G., The Application of the Non-Conforming Triangular Plate
Bending Element to Plate Vibration Problems, M. Sc. Thesis, Univ. of Wa-
Wales, Swansea, 1966.
21. Zienkiewicz О. С, Discussion of «Earthquake Behaviour of Reservoir-Dam
Systems» by Chopra A K-, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 95, EM3 801—803
A969).
22. Zienkiewicz O. C, Newton R. E., Coupled Vibrations of a Structure Submer-
Submerged in a Compressible Fluid, Proc. Int. Symp. on Finite Element Techniques,
Stuttgart, 1969.
23. Back P. A. A., Cassell A. C, Dungar R., Severn R. Т., The Seismic Study
of a Double Curvature Dam., Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 217—248 A969).
24. Sandhu R. S., Wilson E. L., Finite Element Analysis of Seepage in Elas-
Elastic Media, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM3, 641—651 A969).
25. Serafim J. L., Ch. 3 in: Rock Mechanics and Eng. Practice, Stagg K. G.,
Zienkiewicz О. С, eds., Wiley, 1968.
26 Crochet J Naghdi P. M., On Constitutive Equations for Flow of Fluid
' Through an Elastic Solid, Int. I. Eng. Sci., 4, 383—401 A966).
27 Biot M A General Theory of Three Dimensional Consolidation, /. Appl.
Phys., 12, 155—164 A941).
28. Fried I., Finite Element Analysis of Time Dependent Phenomena, Int. Re-
Report. Stuttgart Univ., 1969.
29 Gurtin M., Variational Principles for Linear Elastodynamics, Arch, for Ra-
tional Mech. and Analysis, 16, 34—50 A969).
30 Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon
Press, 1968.
31. Wilson E. L., Clough R. W., Dynamic Response by Step by Step Matrix
Analysis, Symp. on Use of Computers in Civil Eng., Lisbon, Oct. 1962.
32. Chan S. P., Cox H. L., Benfield W. A., Transient Analysis of Forced Vibra-
Vibrations of Complex Structural-Mechanical Systems, /. Roy. Aero. Soc, 66, 457—
460 A962).
33 Haji-Sheikh A., Sparrow E. M., Transient Heat Conduction in a Prolate
Spheroidal Solid, Trans. ASME HT, 88, 331—333 A966); есть русский пе-
перевод- Хаджи-Шейх, Спэрроу, Нестационарная теплопроводность в удли-
удлиненном сфероидальном теле. Труды Американского общества инженеров
механиков, Серия С, Теплопередача, 88, № 3, 1966.
370
Глава 16
34. Parekh С. J., Finite Element Solution System, Ph. D. Thesis. Univ. of Wa.
les, Swansea. 1969 , ..
35. Taylor С, Parekh С J., Peters J. С France P., Numerical Analysis of Li-
Linear Free Surface Seepage Problems, Proc Am. Soc. Civ. Eng. (будет опуб-
ликоваио)
36. Herbert R., Rushton K. R., Groundwater Flow Studies by Resistance Net-
Networks, Geotechnique 16, 53—75 A966). .
37 Neuman S P., Wilherspoon P A., Finite Element Method of Analyzing
Steady Seepage with a Free Surface, Water Resources Res., 6, №. 3, 889
38 Neuman S. P., Witherspoon P. A., Variational Principles for Confined and
Unconfined Flow of Groundwater, Water Resources Res., 6, №. 5 A970b).
39 Javandel 1., Witherspoon P. A., Application of lhe Finite Element Method
' to Transient Flow in Porous Media, Soc Pet. Eng. J., 241—252 (Sept. 1968).
40 Hurty W Dynamic Analysis of Structural Systems Using Component Mo-
' des, 1AIAA 6 (Julji.1968).
41 Gallagher R H., Mallett R. H., Efficient Solution Processes for Finite t e-
ment Analysis of Transient Heat Conduction, Bell Aerosystems, Buffalo,
1969
42 Zienkiewicz О. С Parekh С J., Wills H J., The Application of Finite Ele-
' ments to Heat Conduction Problems Involving Latent Heat (будет опубли-
опубликовано).
ГЛАЁА 17
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ.
КОЛЕБАНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
17.1. Введение
В гл. 13 было показано, как задачи, в которых в направле-
направлении одной из координат свойства не изменяются, можно упро-
упростить н что, используя ортогональные функции, можно исклю-
исключить эту координату. Такой подход давно применяется при ре-
решении задач, содержащих в качестве одной из координат время,
и фактически лежит в основе линейной теории колебаний. В этой
главе мы будем рассматривать уравнение типа A6.13), получен-
полученное в результате дискретизации в предыдущей главе:
[К] {6} + [С]-^ {6} + [М]-?г{Ъ) + {РЩ = 0. A7.1)
Это уравнение применимо ко всем упоминавшимся классам
задач, для чего достаточно одну или несколько матриц прирав-
приравнять нулю. Уравнение связанной задачи тоже может быть при-
приведено к такому виду.
17.2. Динамическое уравнение при периодическом входном
сигнале
Пусть член {/•}, представляющий собой возмущающую силу,
имеет вид
{F@} = {F0}ea', A7.2)
где {/-"о} не зависит от времени. Далее Предположим, что реше-
решение {6} существует и имеет такую же форму:
{б (t)} = {6j} ea(. A7.3)
После подстановки этих выражений в A7.1) получим
([К] + а [С] + а2 [М]) {б,} + {Fo) = 0. A7.4)
Решение уравнения A7.4) относительно {б0} дает возможную
форму реакции, если для {6} удовлетворяются начальные усло-
условия.
Если а = мнимая величина, т. е. имеет вид
a = to, A7.5)
372
Глава 17
ТО
eat _ eiat — cos
(- sjn ш^
и вещественная часть выражения A7.2) соответствует периоди-
периодическому сигналу.
В общем случае {FQ} и {So} будем считать комплексными,
тогда уравнение A7.4) можно рассматривать как совокупность
двух уравнений, получающихся в результате приравнивания ве-
вещественных и мнимых частей.
Таким образом, если
где все величины с одной и двумя черточками сверху веществен-
вещественные, то, приравнивая вещественную и мнимую части A7.4), по-
получаем систему двух уравнений, которую можно записать в ма-
матричном виде:
Г[/С] - тЦ
I -ш[С]
-ш[С]
A7.7а)
A7.76)
Уравнения A7.7) образуют систему, в которую входят только
вещественные величины. В результате решения этой системы
можно определить реакцию на любой периодический сигнал. Эта
система уже не является полсЗжительно определенной, хотя она
по-прежнему симметрична.
При периодическом сигнале решение после начального пере-
переходного периода не чувствительно к начальным условиям и по-
поэтому найденное приближенное решение будет характеризовать
установившееся поведение. Это справедливо как для задач о ди-
динамическом поведении конструкций, так и для задач теплопро-
теплопроводности, при решении которых надо принять
[М] = 0.
17.3. Собственные частоты
Если матрица [С] равна нулю, т. е. рассматривается динами-
динамическая задача без демпфирования, и если внешних возмущений
{F} нет, то уравнение A7.1) принимает вид
]-g-{5}=0. A7.8)
Это уравнение имеет вещественное периодическое решение
{6} = {б0} cos tat,
Динамические задачи. ПолуаналитиЧёское исследование
если выполняется условие
([К] — со2 [М\) {Ьо\ = 0. A7.9)
Последнее равенство возможно только при некоторых значе-
значениях ш, при которых определитель заключенной в скобки ма-
матрицы обращается в нуль. Поскольку этот определитель имеет
порядок Л (при размерности матрицы «Х"). в общем случае
существует п вещественных корней ш2. Они определяют соб-
собственные угловые частоты системы, а задача их нахождения
представляет собой типичную задачу о собственных значениях
[1]
det|[/C]-G>2[M]| = 0. A7.10)
В динамических задачах о колебаниях п корней этого урав-
уравнения вещественные.
Каждая частота, при которой выполняется условие A7.9),
определяет вектор {6о}п, величина компонент которого произ-
произвольна, а их отношения принимают заданные значения. Такие
векторы называются модами системы.
На практике удобно вводить масштаб для этих векторов так,
чтобы
{6j}[ [М\ {бо}; = / (единичная матрица). A?.П)
Масштабированные таким образом векторы называются норми-
нормированными модами (собственными функциями) системы.
Еще одно важное свойство мод состоит в том, что для лю-
любых двух различных частот ( ф /
{бэ}[ [М] {бо}; = 0. A7.12)
Это свойство называется свойством ортогональности мод [1]. Ин-
Интересно отметить, что матрица ([/<] — ш2[М]) появляется и при
решении задач о поведении систем при вынужденных колеба-
колебаниях [уравнения A7.7)]. Как известно, при приближении вели-
величины ш к собственной частоте реакция увеличивается и возни-
возникает явление резонанса.
17.4. Решение задачи о собственных значениях
17.4.1. Общие замечания
При нахождении собственных значений редко прибегают
к записи определителя A7.10) в виде полинома а, как праиило,
используют другие методы. Такие методы описаны в специаль-
специальных учебниках [1, 2], и сейчас многие библиотеки стандартных
программ содержат соответствующие программы.
374
Глава 17
В большинстве случаев рассматривается частная задача
о собственных значениях
ГА/1 I Y\ 1 I Y\ M 7 Wi
где [Я] — симметричная положительно определенная матрица.
Уравнение A7.9) после обращения матрицы [К] и введения обо-
обозначения X = 1/ш2 можно записать в виде
[ЛГ] [М] {бо}=Я{бо}, A7.14)
однако симметрии в общем г,туияр нет
1 Если записать матрицу [К\ в виде
[K] = [L][L]T и [/СГ1 = [Lf-Ur1,
где [L] — матрица с нулевыми коэффициентами над главной диа-
диагональю, то после умножения A7.14) на [L]T будем иметь
Г/.] [Af] {во} = X [?,Г {во}.
Полагая
A7.15)
окончательно получим уравнение
A7.16)
которое совпадает с A7.13), так как матрица [Я] теперь сим-
симметрична и имеет вид
A7.17)
После определения Л (всех или только нескольких наиболь-
наибольших значений, которые соответствуют основным тонам) нахо-
находятся моды {X}, а затем с помощью A7.15) и моды {Sol-
17.4.2. Свободные колебания
В статических задачах всегда вводится необходимое число
условий закрепления для обеспечения возможности получения
обращения [К\~\ или, что то же самое, единственности решения
уравнений статики (см. гл. 1). Когда такие условия отсутствуют,
как, например, при полете ракеты, произвольное задание мини-
минимального необходимого числа условий закрепления позволяет
получить решение статической задачи, причем эти условия не
влияют на величины напряжений. В динамических задачах за-
задание таких условий недопустимо и часто приходится сталки-
сталкиваться с задачей о свободных колебаниях, в которой матрица
[К\ сингулярна и поэтому не имеет обратной.
Использование простого искусственного приема позволяет
сделать возможным применение к такой задаче общих методов,
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
375
описанных в предыдущем разделе. Уравнение A7.9) записы*
вается в виде
= 0) A7.18)
где а — произвольная постоянная того же порядка, что и иско-
искомая величина и2. Новая матрица ([/<] -f- a [M]) может быть об-
обращена, и, следовательно, обычным способом можно найти
(ш2 + а). Этот простой, но эффективный путь преодоления су-
существенных трудностей предложен вперв.ые Коксом [За].
17.4.3. Экономичные методы определения собственных значений
Какой бы метод ни использовался для определения собствен-
собственных значений и собственных функций системы, необходимо про-
проделать на порядок больше вычислений, чем при решении соот-
соответствующей статической задачи. К счастью, собственные значе-
значения можно достаточно точно определить при меньшем, чем
в случае статической задачи, числе степеней свободы.
Если при решении статической задачи используется доста-
достаточно мелкое разбиение, то можно сократить число степенен
свободы и сосредоточить коэффициенты, учитывающие влияние
массы н демпфирования, в меньшем числе узловых параметров.
Этот способ предложен Айронсом [4, 5] и несколько позднее
Гайяном [6]. От читателя, по-видимому, не ускользнет его сход-
сходство с описанным в гл. 7 способом прстроения сложных эле-
элементов.
Пусть все степени свободы {5} разделены на две части-
{«}¦
A7.19)
Предположим, что перемещения S однозначно выражаются через
перемещения б. В соответствии с этим последние будем назы-
называть главными, а первые — вспомогательными переменными. Та-
Таким образом, _
A7.20)
A7.21)
где [L] — матрица, характеризующая связь между этими пере-
перемещениями.
Динамическое уравнение всей системы
га-{в}=0 A7.22)
376
Глава 17
должно быть записано с учетом ограничения на деформации, на-
налагаемого соотношением A7.21). Новое уравнение лучше всего
получить, минимизируя полную потенциальную энергию системы
по уменьшенному числу параметров.
В гл. 2 показано, что, используя принцип Даламбера для ди-
динамических сил, потенциальную энергию можно записать в виде
A7.23)
A7.24)
После некоторых преобразований получаем
а {6}
где матрицы
A7.25)
соответствуют меньшему числу степеней свободы, связанных
с {&,}.
Выражения A7.25) можно получить непосредственно, исполь-
используя правила рассмотренного в гл. 1 контрградиентного преобра-
преобразования, если выражение A7.21) принять за определение ма-
матрицы этого преобразования.
Важно установить связь между вспомогательными и глав-
главными перемещениями. При этом уместно сделать приемлемое
с инженерной точки зрения предположение, что картина дефор-
деформации не изменится, если вместо нагрузок задать перемещения
{б}. В соответствии с этим, записывая по аналогии с A7.19) со-
соотношение
A7.26)
получаем
поскольку вспомогательные узлы не нагружены, и
или
A7.27)
Приложения этого метода хорошо описаны в литературе
[7, 8] и будут рассмотрены на приведенных ниже примерах,
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
377
17.5. Некоторые примеры определения собственных значений
Приведем лишь несколько примеров из множества решенных
практических задач.
17.5.1. Колебания пластин ¦
На фиг. 17.1 представлены результаты расчета колебаний
прямоугольной консольной пластины, полученные при использо-
Фиг. 17.1: Моды консольной пластины.
Исходые данные для расчета при разбиении на 4 треугольных элемента: Е=2,02«107 Н/м1,
1=^,25 см, L=5,08 см, 6=2,54 см, v=0,3, p^.^-IO4 Н/м3. Числа обозначают частоты
в герцах, полученные при использовании: 1) точного решения [9]; 2)«несогласованного» тре-
треугольника; 3) согласованного треугольника с поправочной функцией A0.28) и 4) согласован-
согласованного треугольника с поправочной функцией 110.29).
378
Глава 17
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
379
вании всего лишь четырех треугольных элементов. Результаты
сравниваются с результатами сложных расчетов Бартона [9].
Видно, что использование несогласованного треугольника приво-
приводит к лучшим результатам, чем использование уточненных со-
соотношений. Точность определения и частот и собственных функ-
функций вполне удовлетворительна.
Более полно результаты, полученные при использовании не-
несогласованных треугольников, для различных разбиений приве-
приведены в табл. 17.1 [7].
Таблица 17.1
Сравнение теоретических и экспериментальных результатов
определения частот прямоугольной консольной пластнны постоянной
толщнны (длина а, ширина а/2) [7]
§222
vio-
Да
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
alVDIpha*
Результаты Бартона
Метод
Ритиа
3,47
14,93
21,26
48,71
94,49
Экспери-
Эксперимент
3,42')
14,52')
20,86
46,90
93,99
Эксперимен-
Экспериментальные
результаты
Плаикетта
3,5Э
14,50
21,70
48,10
60,50
92,30
92,80
Н8,70
125,10
154,00
176,00
196,00
Расчет методом конечных элементов
(несогласованный треугольник)
Сетка
2X1,
4 эле-
элемента
3,39
15,30
21,16
49,47
67,46
Сетка
4X2,
16 эле-
элементов
3,44
14,76
21,60
48,28
60,56
88,84
92,24
117,72
118,96
Сетка 2X8 для половины
пластины с учетом
симметрии, что
эквивалентно
использованию
64 элементов
3,44(с)
14,77 (а)
21,50 (с)
48,19 (а)
60,54 (с)
91,79 (с)
92,78 (а)
119,34 (с)
124,23 (с)
153,15 (а)
174,46 (с)
199,61 (с)
') Результаты, скорректированные Вартоном в соответствии с проведенными им испы-
испытаниями. Буквами (с) и (а) обозначены симметричные и антисимметричные моды,
Решение подобной задачи иллюстрируется на фиг. 17.2. При
решении проверялась эффективность экономичного метода оп-
определения собственных значений. Видно, что при сокращении
числа степеней свободы с 90 до 6 первые четыре частоты изме-
изменяются очень мало.
! ~~~ В литературе так много примеров расчета колебаний пла-
/стин, что их невозможно перечислить.
7/
7 /
7\7\ Расчет с учетом
бсезс степеней сво
боды (SO)
Исключены степени
свободы узлов, не
отмеченных круж-
кружками.
ЧисЛ9-щновных пере-
перемещении cvon) -54
Исключены все сте-
степени свободы кроме по-
^ перечных перемещений
обведенных круж-
кружками узлов.
чоп =18
/7
Исключены все сте-
степени свободы кроме
поперечных переме-
перемещений обведенных
кружками узлов
чоп - в
Мода
1
2
3
4
w^/D/рш*
3,469
8,535
21,450
27,059
Мода
1
2
3
4
3,470
8,540
21,559
27,215
Мода
1
2
3
4
wjD/pta*
3,470
8,543
21.645
27,296
Мода
1
2
3
4
wjD/pta'
3.473
8,604
22,690
29,490
Фиг. 17.2. Исключение степеней свободы при определении собственных частот
квадратной консольной пластины.
17.5.2. Плоская задача о колебаниях
На фиг. 17.3а и 17.36 приведены результаты расчета Клуха
и Чопры [10] колебаний сечения земляной дамбы. При расчете
использовались простые треугольные элементы.
17.5.3. Колебания оболочек
Очевидно, что изложенный метод можно применить при ре-
решении любых двумерных или трехмерных задач для упругой
сплошной среды. В частности, большой интерес представляют
задачи о колебаниях оболочек. В противоположность предыду-
предыдущему простому примеру на фиг. 17.4 приведены результаты ис-
использования сложных элементов толстых оболочек, описанных
в гл. 14, при решении задачи о колебаниях турбинной лопатки
[11, 12]. Показанные на фиг. 17 5а и 17.56 элементы такого же
типа используются для динамического расчета арочной плотины.
-135 м
Фнг. 17.3а. Конечно-элементная идеализация земляной дамбы.
Мода / ш = 7,71 рад/с
Мода 5 <i> = 20,12 рад/с
Мода4и>=\Ч,Ъ\рад/с Мода8 ш = 25,95рад/с
Фнг. 17.36. Моды н частоты собственных колебаний земляной дамбы [10].
Вид спереди
Вид с5оку
Фнг. 17.4. Колебания турбинной лопаткн, рассчитываемой как толстая
оболочка.
а —элементы параболического типа; б —моды и частоты. Сравнение с экспериментом.
Мода I—1-я- форма поперечных колебаний. Измеренная- частота 517 Гц. Вычисленное зна-
значение 518 Гц. Мода 2—1-я форма поперечных колебаний вдоль кромки* Измеренная ча-
частота 1326 Гц. Вычисленное значение 1692 Гц. Мода 3—1-я форма крутильных колебаияй.
Измеренная частота 2885 Гц. Вычисленное значение 2686 Гц. Мода 4 —2-я форма попереч-
поперечных колебаний. Измеренная частота 2510 Гц. Вычисленное значение 2794 Гц.
5
Фиг. 17.4. (продолжение,).
Фиг. 17.4. (продолжение).
1
1
1 ,'
1 «*<
^"
" 7
""""^ /
//
' -^
/
/
/
Фиг. 17.5а. Сетка 3X3 параболических толстых оболочечных элементов, ис-
использованная для расчета колебания арочиой плотины.
Фиг. 17.56. Первая мода; частота 2,20 Гц.
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
385
Некоторые другие примеры динамического расчета оболочек
содержатся в работах [13—16]. В работе [7] используются трех-
трехмерные изопараметрические элементы.
17.5.4. Волновое уравнение: Задачи электромагнетизма и
гидродинамики
Как было показано в предыдущей главе, основное уравнение
динамики A7.1) может описывать разнообразные задачи, не
связанные с расчетом конструкций. В задаче о собственных зна-
значениях матрицы массы и жесткости могут иметь другой физиче-
физический смысл.
Частным случаем рассмотренных ранее общих уравнений яв-
является известное волновое уравнение, которое для двумерных
задач имеет вид
Если граничные условия не оказывают возмущающего действия,
получаем задачу о собственных значениях, встречающуюся
в различных областях физи-
физики.
Сначала рассмотрим ее
применительно к теорви
электромагнитных полей [17].
На фиг. 17.6 показаны моды
поля в задаче о волноводе.
При расчете использовались
простые треугольные эле-
элементы. Более сложная зада-
задача о трехмерных колебаниях
рассмотрена в работе [17].
Аналогичное уравнение
довольно хорошо описывает
поверхностные волны в неко-
некотором объеме жидкости:
Фнг. 17.6. Серповидный волновод; моды
электромагнитного поля.
d — иаружный диаметр; C0'=l,3d; r=0,29d;
S=O,055d; 6=22°.
.l±t = 0. A7.29)
0 дР к '
Здесь h — средняя глубина,
ф — превышение уровня во-
воды над средним и g — ускорение силы тяжести. С помощью этого
уравнения нетрудно подсчитать собственные частоты воды в га-
гавани [18]. На фиг. 17.7 показана форма колебаний воды в одной
из гаваней.
13 Зак. 613
Средняя полная
вода в сизигии
Средняя полная
*а в сизигии
Колебания Вассейна
Линия равных
горизонтальных
движений"
Предельная
поверхность воды
Фиг. 17.7. Колебания воды в естественной гавани.
а —план; 6 —линия уровней амплитуд..
Частота 55 Га
Фиг. 17.8. Колебания объема жидкости при наличии свободной поверхности.
Расчет трехмерной задачи с использованием параболических элементов.
О аиплиту/а давления; Q смена знака»
13*
388
Глава 17
17.5.5. Связанные задачи гидродинамики
Эта задача была сформулирована в предыдущей главе.
В случае отсутствия возмущающей силы и демпфирования
опять возникает задача о собственных значениях.
Если жидкость несжимаема, то следует просто ввести ма-
матрицу присоединенных масс. В гл. 15 довольно подробно рас-
рассматривался вопрос построения такой матрицы, так что добав-
добавление ее не представляет особых затруднений. Этот подход к ре-
решению задачи впервые описан Зенкевичем и др. [19] и впослед-
впоследствии был использован Баком и др. [20].
При учете сжимаемости жидкости задача несколько услож-
усложняется, поскольку колебания жидкости и конструкции взаимо-
взаимосвязаны.
Простой пример двумерной задачи, иллюстрирующий взаимо-
взаимодействие идеализированной плотины и жидкости, представлен
на фиг. 17.8. Этот пример показывает эффективность использо-
использования различных разбиений на элементы [22].
При сведении связанной задачи к обычной задаче о соб-
собственных значениях целесообразно использовать специальные
преобразования. Некоторые такие преобразования описаны в
работе [21]. Другой метод вычислений изложен Айронсом [23].
17.6. Решения нестационарных задач. Метод нормированных
собственных функций
В предыдущей главе обсуждалось решение нестационарных
задач с помощью различных рекуррентных соотношений. Од-
Однако если известны собственные частоты и собственные функ-
функции системы без демпфирования, то сравнительно нетрудно оп-
определить реакцию на неустановившиеся воздействия системы
с демпфированием, которая описывается уравнением A7.1).
Этот метод изложен во многих учебниках. Хотя и прибли-
приближенно, он позволяет вычислить реакции на такие сложные воз-
воздействия, как толчки при землетрясениях и др. [20, 24, 25].
Рассматривая опять основное уравнение A7.1)
[К] {6} + [С] ±- Щ + [М] J {6} + {F (t)} = 0,
отметим, что любое движение можно представить в виде линей-
линейной комбинации собственных функций {ба}ь полученных в ре-
результате решения задачи о собственных значениях
([/С]-(о2[М]){60} = 0. A7.9)
Таким образом, можно записать
(Ш И = [До] [г], A7.30)
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
3S9
где матрица [До] содержит все собственные функции (нормиро-
(нормированные), a {z(t)} — коэффициенты пропорциональности при соб-
собственных функциях.
Если теперь подставить A7.30) в A7.1) и результат умно-
умножить на [АоГ, то получим
[A0F [К] [Л„] {г} + [Л0]г [С] [Ао] -^ {г) +
+ [ЛоГ [М] [Ad -g- {г} + [ДоГ {F) = 0. A7.31)
В соответствии со свойством ортогональности [см. 17.12)]
0 при i ф и
, при ,4
Кроме того, по определению
Следовательно,
О при I ф},
Если также предположить'), что выполняются соотношения
О при 1Ф\,
!ю,сг при i = j,
то система A7.31) будет содержать только диагональные члены.
Следовательно, при нормированных собственных функциях по-
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений-
A7.32)
Каждое из этих уравнений решается элементарно, а затем с по-
помощью соотношения A7.30) строится полное решение.
Этот метод особенно удобен, если все силы {F(t)} одинаково"
меняются со временем. Если, например, основание конструкции
движется с ускорением V(t), то можно считать, что это осно-
основание неподвижно, а к самой конструкции в узлах (фиг. 17.9)
приложены силы
A7.33)
1) Это предположение является обоснованным, так как в предыдущей
главе было показано, что матрица [С] по форме аналогична матрице [М].
390
Глава 17
Матрица {А} характеризует геометрические соотношения между
ускорениями узлов и величиной 0 (если направление U совпа-
совпадает с направлением одной из координат, то она состоит из еди-
единиц и нулей).
-и
Неподвижное основание
Фиг. 17.9. Эквивалентность движения основания действию силы.
Типичное дифференциальное уравнение можно записать
в виде
•где
Решение уравнения A7.34) имеет простой вид
-x) sin со, (t - х)йх
A7.35)
A7.36)
и его можно вычислить для любых типов движения.
При расчете конкретных конструкций необходимо знать ве-
весовые множители Ri, вычисление которых можно предусмотреть
в программе решения задачи о собственных значениях.
С помощью уравнения A7.34) рассчитывались реакции си-
системы с одной степенью свободы на воздействия сейсмического
характера. Часто можно видеть, что поведение системы опреде-
определяется небольшим числом собственных функций и что для опре-
определения максимальной реакции достаточно сложить максималь-
максимальные реакции, соответствующие этим собственным функциям,
Динамические задачи. Полуаналитическое исследование
391
ЛИТЕРАТУРА
1, Crandall S. H., Engineering Analysis, McGraw-Hill, 1956.
2. Wilkinson J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
За. Сох Н. L., Vibration of Missiles, Aircraft Eng., 33, 2—7, 48—55 A961).
3b. Jenning A., Natural Vibration of a Free Structure, Aircraft Eng., 34, 81—83
A962).
4. Irons В., Eigenvalue Econoraisers in Vibration Problems, /. Roy. Aero. Soc,
67, 526 A963).
5. Irons В., Structural Eignevalue Problems: Elimination of Unwanted Variab-
Variables, JAIAA, 3, 961 A965); есть русский перевод: Айронс, Задачи о Собст-
Собственных значениях матриц конструкции: исключение лишних переменных,
Ракетная техника и космонавтика, 3, № 5, стр. 207 A965).
6. Guyan R. J., Reduction of Stiffness and Mass Matrices, JAIAA, 3, 380
A965); есть русский перевод: Гайан, Приведение матриц жесткости и
массы, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 2, стр. 287 A965).
7. Anderson R. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Vibration and Stability of
Plates Using Finite Elements, Int. J. Solids and Struct., 4, 1031—1055 A968).
8. Ramsden J. N., Stoker J. R., Mass Condensation; a Semi Automatic Method
for Reducing the Size of Vibration Problems, Int. J. Num Meth Eng I,
333—349 A969).
9. Barton M. V., Vibration of Rectangular and Skew Cantilever Plates, /. Appl.
Mech., 18, 129—134 A951).
10. Clough R. W., Chopra A. K., Earthquake Stress Analysis in Earth Dams,
Structures and Materials Research Rept. № 65—8, Univ. of California, Ber-
Berkeley, California, 1965.
11. Ahmad S., Anderson R. G., Zienkiewicz О. С, Vibration of Thick, Curved,
Shells with Particular Reference to Turbine Blades, /. Strain Analysis, 5,
200—206 A970).
12. Anderson R. G., A Finite Element Eigenvalue System, Ph. D. Thesis, Univ.
of Wales, Swansea, 1968.
13. Archer J. S., Rubin С P., Improved Linear Axi-Symmetric Shell-Fluid Model
for Launch Vehicle Longitudinal Response Analysis, Proc. Conf. on Matrix
Methods in Struct. Mech., Air Force lnst. of Techn., Wright Patterson
A. F. Base, Ohio, 1965.
14. Argyris J H., Continua and Discontinue, Proc. Conf. on Matrix Methods in
Struct. Mech., Air Force lnst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio,
Oct. 1965
15. Klein S., Sylvester R. J., The Linear Elastic Dynamic Analysis of Shells of
Revolution by the Matrix Displacement Method, Proc. Conf. on Matrix Met-
Methods in Struct. Mech., Air Force lnst. of Techn., Wright Patterson A F. Ba-
Base, Ohio, Oct. 1965.
16. Dungar R., Severn R. Т., Taylor P. R., Vibration of Plate and Shell Struc-
Structures Using Triangular Finite Elements, /. of Strain Analysis, 2, 73—83
A967).
17. Arlett P. L., Bahrani A. K., Zienkiewicz О. С, Application of Finite Ele-
Elements to the Solution of Helmholtz's Equation, Proc. IEE, 115, 1762—1964
A968).
18. Taylor C, Patil B. S, Zienkiewicz О. С, Harbour Oscillation: a Numerical
Treatment for Undamped Natural Modes, Proc. lnst. Civ Eng. 43, 141—
155 A969).
19. Zienkiewicz O. C, Irons В., Nath В., Natural Frequencies of Complex, Free
or Submerged Structures, by the Finite Element Method, Symp. on Vibra-
Vibrations in Civil Eng., lnst. Civ. Eng., London (Butterworth), 1965.
20. Back P. A. A., Gassell A. C, Dungar R, Gaukroger D. R., Severn R. Т.,
The Seismic Design Study of a Double Curvature Arch Dam Proc. lnst.
Civ. Eng., 43, 217—248 A969).
392
Глава 17
21. Zienkiewicz О. С, Newton R. E., Coupled Vibrations of a Structure Sub-
Submerged in a Compressible Fluid, Int. Symp. on Finite Element Techniques,
Stuttgart, 1969.
22. Holbeche J., Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, I971t
23. Irons В. М., Role of Part-Inversion in Fluid Structure Problems with Mixed
Variables, JA1AA, 7, 568 A970); есть русский перевод: Айронс, Роль ча-
• стичиого обращения в задачах со смешанными переменными о поведе-
поведении системы жидкость — конструкция, Ракетная техника и космонавтика,
8, М> 3, стр. 239 A970).
24 Housner G. W., Behaviour of Structures During Earthquakes, Proc. Am. Soc.
Civ. Eng., 85, EM4, 110—129 A959).
25 Zienkiewicz O. C, Anderson R. O., Irons В., Buttress Dam Analysis for
Earthquake Loads, Water Power, 19, 359—363 A967),
ГЛАВА 18
ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ.
ПЛАСТИЧНОСТЬ, ПОЛЗУЧЕСТЬ
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ И Т. Д.
18.1. Введение
Все рассмотренные до сих пор задачи описывались линей-
линейными дифференциальными уравнениями, приводящими к стан-
стандартной квадратичной форме функционала. В задачах механики
упругого тела линейность являлась следствием:
а) линейной связи между деформациями и перемещениями
[см. соотношение B.2)];
б) линейной связи между напряжениями и деформациями
[см. соотношение B.3)].
В задачах теории поля такая линейность была следствием
предположения о независимости постоянных, например прони-
проницаемости k, от искомого потенциала ф [см. соотношение A5.1)].
Однако многие практически важные задачи не являются ли-
линейными, поэтому обобщение изложенных численных методов,
которое позволило бы исследовать такие задачи, представляет
большой интерес. В механике твердого тела такие явления, как
пластичность, ползучесть и другие сложные реологические явле-
явления, заставляют отказаться от предположений линейной упру-
упругости. Аналогично ситуации, когда вязкость зависит от скорости
потока или когда в пористых средах неприменимы законы филь-
фильтрации Дарси из-за наличия турбулентности или магнитная про-
проницаемость зависит от плотности тока, приводят к физической
нелинейности".
Эти задачи можно исследовать, не меняя их постановки, т. е.
на основе тех же основных вариационных принципов. Если най-
найдено решение линейной задачи, то можно получить решение не-
нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса,
на каждом шаге которого материальные константы выбираются
так, чтобы удовлетворялись определяющие уравнения.
Однако если нелинейна связь между деформациями и пере-
перемещениями, то необходимы более существенные изменения в по-
постановке задачи. Такие задачи в настоящей главе не рассматри-
рассматриваются (они изложены в гл. 19). Тем не менее будет установ-
установлено, что итерационные методы применимы и для этого случая,
поэтому с их помощью можно решать задачи, в которых имеют
место нелинейности обоих типов ').
') То есть физическая и геометрическая. — Прим. ред.
394
Глава 18
Следует сделать одно существенное замечание. В нелиней-
нелинейных задачах в отличие от линейных часто нет единственности
решения. Таким образом, найденное решение не обязательно бу-
будет искомым. Для получения правильного ответа необходимо
применять метод малых приращений и четко представлять фи-
физическую сущность задачи.
Здесь могут быть использованы формальные численные ите-
итерационные методы, такие, например, как методы Ньютона —
Рафсона и т. д. Однако их применение требует понимания физи-
физической природы задачи, и поэтому на практике численные ме-
методы более успешно разрабатываются инженером (или физиком),
нежели математиком.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
18.2. Подход с общих позиций
18.2.1. Основные положения
Задача линейной теории упругости в перемещениях всегда
сводится к решению уравнений для1 ансамбля (см. гл. 1 и 2)
-№ = о,
A8,1)
где вектор {R} содержит все силы, обусловленные внешними на-
нагрузками, начальными напряжениями и деформациями и т. д.
При выводе этого соотношения использовался закон линей-
линейной упругости в виде
{a} = [D]({e}-{eo}) + {ao}. A8.2)
Кроме того, предполагалось существование линейной связи ме-
между деформациями и перемещениями [соотношение B.2) гл. 2],
перемещения считались непрерывными и уравнения равновесия
удовлетворялись приближенно.
При решении задач о малых деформациях, в которых исполь-
используются другие, возможно и нелинейные, определяющие уравне-
уравнения, следует изменить только соотношение A8.2). Новое соот-
соотношение можно записать в виде
F ({о}, {е}) = 0.
A8.3)
Если удастся найти такое решение уравнения A8:1), что при
соответствующем подборе одного или нескольких входящих в
A8.2) параметров [D], {во} или {go} это уравнение и соотноше-
соотношение A8.3) удовлетворяются при одинаковых значениях напряг
жений и деформаций, то полученное решение будет искомым.
Физически нелинейные задачи
395
Очевидно, что при решении целесообразно использовать ите-
итерационный метод. Какая из трех вышеупомянутых величин бу
дет подбираться в процессе итераций, зависит от:
а) метода решения линейной задачи;
б) физического закона связи между напряжениями и дефор-
деформациями.
Если при итерациях подбирается матрица [D], то приходим
к известному методу переменной жесткости1). Если же подби-
подбираются {во} или {ао}, то имеем так называемые методы началь-
начальных деформаций или начальных напряжений.
Во многих случаях не удается установить соотношения типа
A8.3) для полных деформаций и напряжений, ио можно вы-
вывести их для приращений этих величин А {а} и А {е}. В этих слу-
случаях итерационные методы применяются для каждого прираще-
приращения нагрузки (или времени при ползучести). Методы прираще-
приращений можно использовать в сочетании с любым из ранее рассмо-
рассмотренных методов.
Из изложенного ранее видно, что параметры [D], {ео}, {<Jo}
•являются весьма важной частью исходных данных для про-
программы решения задачи линейной теории упрутости. Поэтому
такие программы представляют собой основу решения любой
«елинейной задачи. На дайной стадии несущественно, состав-
составлены ли эти программы на основе конечно-элементной дискрети-
дискретизации или нет. Изложенные ниже методы можно использовать
в сочетании с любым другим способом дискретизации (например,
конечно-разностным) при условии, что берутся'одинаковые ис-
исходные данные.
¦18.2.2. Методы переменной жесткости
Метод переменной жесткости можно использовать в случае,
'когда связь между напряжениями и деформациями A8.3), ха-
характеризующую поведение материала, можно представить
в форме A8.2), где матрица упругости зависит от достигнутого
уровня деформации, т. е. имеет вид
[D]=lD({e})]=[D({b})l A8.4)
Так как матрица упругости влияет на окончательный вид ма-
матрицы жесткости ансамбля, приходим к уравнению
{*} = [* ({б})] {6} -{*} = 0, A8.5)
'которое можно решить различными итерационными методами.
') В советской литературе этот метод носнт название метода переменных
'параметров. О других методах см. сб. «Упругость н неупругость», вып. 3,
-стр. 120, Изд-во МГУ, 1973, — Прим. ред.
396
Глава /8
Очевиден следующий простой итерационный процесс. Сна-
Сначала предполагается {8}о = 0, вычисляется [X({8}o)] = [Ко] и оп-
определяется {6}i = [/Со]—'{/?}. Процесс повторяется в соответствии
с формулой
{а}. = [*?,{*} ¦ ('8-е)
До тех пор, пока перемещения перестанут изменяться.
Если определяющие уравнения таковы, что соотношение типа
A8.4) может быть записано только для приращений напряже-
напряжений и деформаций, то описанный процесс следует применить
Для приращений нагрузки, отсчитываемых от ранее достигнутого
значения.
В любом случае можно пользоваться стандартной програм-
программой решения задач линейной теории упругости при условии,-что
матрица [D] симметрична. Это требование весьма существенно,
так как в программе обычно используется свойство симметрии.
Одним из существенных недостатков методов переменных па-
параметров является то, что на каждом шаге приходится заново
строить матрицы жесткости и решать полученные уравнения.
Если программа использует прямые методы решения, то такой
подход становится очень неэкономичным и более приемлемыми
оказываются другие методы, которые описаны в следующем раз-
разделе.
18.2.3. Методы начальных напряжений
Если определяющие уравнения разрешимы относительно на-
напряжений, т.е. A8.3) имеет вид
{o} = f({e}), A8.7)
то соотношение A8.2) для упругого материала можно привести
к форме A8.7), задавая соответствующим образом {сто}- Так как
¦ {сто} влияет на силы {R}, приходим к решению уравнения
Ш = [Ко] W - R №}) = 0. A8.8)
Итерационный процесс проводится следующим образом. Сна-
Сначала находится
где {R(,} соответствует приложенным нагрузкам. Определяются
напряжения {<то}ь необходимые для приведения упругого реше-
решения в соответствие с реальными напряжениями при достигнутых
деформациях. Далее с учетом начального напряжения с по-
помощью соотношения B.13) находится {R}i и определяется
{«Л = [Ко]'1 Ш и т. д.
Физически нелинейные задачи
397
до
{й,Л = [*оГ'№Л- A8.9)
Процесс продолжается до тех пор, пока решение не перестанет
изменяться ').
Другой удобный метод состоит в определении только изме-
изменений {R}, обусловленных изменениями требуемого начального
напряжения. В этом случае {бо} находится, как и ранее, но
A{6,} = [Xo]"'AW} и т. д.
и итерации продолжаются до тех пор, пока величина А {б}„ не
станет достаточно близкой к нулю.
При вычислениях более удобен последний подход, который,
кроме того, имеет ясный физический смысл. На каждом этапе
во всех точках конструкций определяется разность между истин-
истинными напряжениями при соответствующих деформациях и на-
напряжениями, найденными из упругого решения. Эта разность на-
напряжений затем перераспределяется в соответствии с упругим
законом, чтобы восстановить равновесие, и поэтому метод пер-
первоначально получил название метода перераспределения напря-
напряжений [1].
Величину силы A {R}n, вычисленную на и-м шаге итерации,
можно физически интерпретировать как неуравновешенную не-
невязку силы в конструкции, и, следовательно, она является удоб-
удобной мерой ошибки.
В этом методе на каждом шаге итерационного процесса ис-
используется одна и та же матрица жесткости, и если она поблочно
обратима, то время, необходимое для каждой итерации, состав-
составляет лишь небольшую часть времени, затрачиваемого на полу-
получение первого приближения.
Теперь возникает вопрос, какие упругие постоянные следует
использовать для определения матрицы [Ко]. Если поведение
материала в основном описывается соотношениями линейной
теории упругости и отклонения от линейно-упругого поведения
локализованы, то естественно использовать начальные значения
упругих постоянных. Однако если нелинейность проявляется
для всех напряжений, то для ускорения сходимости можно ре-
рекомендовать скорректировать упругие постоянные после первой
итерации.
18.2.4. Методы начальных деформаций
В некоторых задачах, особенно в задачах ползучести, дей-
действующие напряжения нельзя выразить в явном виде через де-
') Описанный метод носит название метода упругих решений. См.
А. А. Ильюшин, Пластичность, ГИТТЛ, 1948. — Прим. ред.
398
Глава IS
формации. С другой стороны, в этих случаях можно определить
деформации (или приращения деформаций) через напряжения,
т. е. установить соотношение типа
{e} = f({a}). A8.10)
Совпадение соотношений A8.10) и A8.2) может быть достиг-
достигнуто при соответствующем выборе {ео}. Уравнение A8.8) опять
решается итерационным методом, но теперь упругие деформа-
деформации, получаемые на каждом шаге, сравниваются с деформа-
деформациями, соответствующими определяющему соотношению A8.10),
Фиг. 18.1. Методы начальных деформаций и начальных напряжений. Размяг-
Размягчающийся (а) и затвердевающий (б) материалы.
и нх разность используется для оценки невязки силы &{R}n.
В остальном процесс идентичен описанному выше, и, в част-
частности, матрица жесткости остается постоянной на любом шаге.
В некоторых законах ползучести (см. разд. 18.7) дополни-
дополнительные деформации (деформации ползучести) явно отделены
от упругих деформаций и, следовательно, при каждой итерации
определяются непосредственно дополнительные начальные де-
деформации. Различие между методами начальных напряжений и
начальных деформаций лучше всего, вероятно, проиллюстриро-
проиллюстрировать графически. На фиг. 18.1 уровню напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния, полученному в первом приближении, соот-
соответствует точка 1. В методе начальных напряжений полученные
напряжения уменьшаются до правильного значения введением
некоторого начального напряжения Д{оо}ь тогда как в методе
Физически нелинейные задачи
399
начальных деформаций значения деформаций корректируются
поправочным членом Д{ео}ь Ясно, что когда с ростом напряже-
напряжений деформации быстро увеличиваются, предпочтительнее ис-
использовать первый метод, а когда справедливо обратное утвер-
утверждение (затвердевающие материалы)—второй.
18.2.5. Ускорение сходимости
Методами начальных напряжений и начальных деформаций
можно получить окончательное решение, если правильно подо-
подобрать значения {ао} или {во}. Однако описанные процессы под-
подбора не всегда обладают быстрой сходимостью. Исследуя схо-
сходимость в процессе вычислений и вводя на каждом этапе допол-
дополнительные поправки, ее можно ускорить. Одна из таких про-
процедур в общих чертах описана в работах [2а] и [26]. Однако
инженер, составляющий программу, может проявить здесь свою
изобретательность. Любой метод является вполне законным,
если окончательное решение удовлетворяет всем требованиям.
18.3. Математический подход
На этой стадии важно пересмотреть всю проблему в целом
с математических позиций [3]. Читатель, несомненно, знаком с
методом Ньютона решения нелинейных уравнений с одной пере-
переменной к вида
Если приближенное решение хп достаточно близко к точному, но
в то же время \|>(хп) ф 0, то его можно уточнить, полагая
где
Сходимость метода Ньютона графически показана на
фиг. 18.2, а. Можно поступить по-другому и на каждом шаге
использовать некоторое постоянное значение величины
тогда поправка принимает вид
400
Глава 18
Такой процесс, изображенный на фиг. 18.2, б, обычно схо-
сходится медленнее. Ясно, что эти же идеи легко обобщить на не-
нелинейные уравнения со многими переменными. В этом случае
процесс известен как метод Ньютона-Рафсона, который в свою
очередь может быть модифицирован аналогично тому, как это
сделано выше. Очевидно, что методы переменной и постоянной
жесткости, рассмотренные с общих позиций в разд. 18.2, отно-
относятся к этим двум категориям.
Фиг. 18.2. Итерационный метод Ньютона (а) н метод с использованием
постоянного наклона (б).
Для проведения дальнейших выкладок удобно вернуться
к основным уравнениям метода конечных элементов, получен-
полученным из принципа виртуальной работы в гл. 2. Уравнения B.28)
представляют собой уравнения равновесия, полученные из усло-
условия равенства изменений внутренней и внешней работ. Если {t|>}
представляет собой вектор суммы внутренних и внешних сил, то
можно записать
]R}=*0, A8.11)
где вектор {R} содержит все внешние силы, обусловленные при-
приложенными нагрузками. Если для вариации деформаций спра-
справедливо соотношение
d{e} = [B]d{6}, A8.12)
то, исключая d{b}T, получаем справедливое в общем случае соот-
соотношение
~-\[B]T{oldV ~{R} = 0, A8.13)
v
Физически нелинейные задачи
401
в котором {а} — истинные напряжения, зависящие от достигну-
достигнутого уровня деформаций.
Если деформации малы, то [В] — зависящая от координат
матрица деформаций, которая уже была определена ранее в
гл. 2. Если можно установите зависимость {о) от деформаций и,
следовательно, от перемещений, то задача сводится к решению
нелинейного уравнения
?({«}) = <>.
На этом заканчивается постановка задачи.
Рассмотрим теперь вариацию {г|)} по d{8}, которая имеет вид
A8.14)
так как {R} не зависит от {6} н rf{/?} = 0. Если записать
d{o} = [DT({e})]d{e}, A8.15)
где [DT\—матрица упругих постоянных для приращений (или
касательных модулей), то, используя соотношение A8.15) вме-
вместе с A8.12), можно переписать A8.14) в виде
A8.16)
Если теперь применить метод Ньютона—Рафсона, начиная
с некоторого приближенного решения {8}ге, которое не обращает
в нуль значения {г|)}„, то можно получить соотношение для по-
поправки к этому решению
' A8Л7)
где [Кт]п — матрица касательных упругих постоянных, опреде-
определенная для перемещений и деформаций, соответствующих при-
приближенному решению {6}п-
Таким образом, основываясь на методе Ньютона — Рафсона,
получаем' еще один метод решения нелинейных задач с исполь-
использованием переменной жесткости. Он отличается от описанного
в подразд. 18.2.2 тем, что здесь применяется не секущая, а каса-
касательная жесткость. Этот метод гораздо удобнее на практике,
так как физические законы обычно формулируются с использо-
использованием касательной жесткости.
Однако если вместо касательной матрицы использовать по-
постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жест-
жесткости, то метод Ньютона — Рафсопа') (фиг. 18.2,6) становится
') Этот метод называется модифицированным методом Ньютона — Кан-
Канторовича. — Прим. ред.
402
Глава 18
тождественным ранее описанным методам начальных напряже-
напряжений и начальных деформаций.
Итак, для методов, основанных на простых физических со-
соображениях, имеется математическое обоснование1). Ясно, что
при использовании модифицированного метода Ньютона — Кан-
Канторовича потребуется большее число итераций, хотя в целом,
как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку не-
необходимо обращение только одной матрицы жесткости. Может
оказаться, что оптимальный в экономическом отношении ва-
вариант получится при удачном сочетании обоих методов — по-
постоянной и переменной жесткости.
Таким образом, существенным в каждом нелинейном методе
является способ непосредственного вычисления вектора {г|>}, ха-
характеризующего неуравновешенность сил.
Вектор (г))},, можно рассматривать как неуравновешенную
невязку сил. Таким образом, он играет важную роль в вычисли-
вычислительном процессе.
К описанным методам решения могут применяться любые
процедуры ускорения сходимости.
18.4. Пластичность
18.4.1. Общая теория
Этот частный вид отклонения от линейно-упругого поведения
хорошо известен для металлов и подробно изучен с теоретиче-
теоретических позиций [4—7]. По существу, пластичность характеризуется
не зависящим от времени необратимым деформированием, на-
начинающимся лишь по достижении некоторого напряжения, из-
известного как предел текучести.
Поверхность текучести. Обычно постулируется и подтверж-
подтверждается экспериментально, что текучесть начинается только тогда,
когда напряжения {а} удовлетворяют критерию текучести
F({a}, x) = 0, A8.18)
где и—параметр упрочнения. Условие текучести можно на-
наглядно представить в виде поверхности в я-мерпом пространстве
напряжений, положение которой зависит от мгновенного значе-
значения параметра и (фиг. 18.3).
Закон пластического течения (ассоциированный закон).
Мизес [4] первый предложил соотношение, связывающее прира-
приращения пластических деформаций с поверхностью текучести. Раз-
Различными авторами [4, 5] были высказаны эвристические сообра-
1) Метод начальных напряжений фактически совпадает с описанным здесь,
если аппроксимировать [Кт] матрицей [Ко].
Физически нелинейные задачи
403
жения в пользу предложенного соотношения; в настоящее время
общепринятой, no-виднмому, является следующая гипотеза: если
d{e,}p — приращение пластической деформации, то
d(B)p = X-^ A8.19)
или для любой компоненты п
FF,,e2x)
Здесь 7, — неопределенный коэффициент пропорциональности.
Это соотношение известно как ассоциированный закон и его
можно трактовать как тре-
требование ортогональности 0г(?г'
вектора приращений пла-
пластических деформаций по-
поверхности текучести в
л-мериом пространстве на-
напряжений.
Соотношения между пол-
полными напряжениями и де-
деформациями. Предположим,
что -изменение деформации
при бесконечно малом при-
ращеиии напряжения может
быть представлено в виде
суммы упругой и пластиче-
пластической частей, т. е. фиг. 18.3. Поверхность текучести и ассо-
, t 1 , < 1 _|_ j f > циироваииый закон в двумерном про-
l ' ~~~ t '« ~г а Wp- страистве напряжений.
A8.20)
Упругие приращения деформации связаны с приращениями на-
напряжения, как обычно, симметричной матрицей [?>]. Таким обра-
образом, соотношение A8.20) можно записать в виде
d{e} = [?>]"' d {а} +-Ц^т-X. A8.21)
При пластическом течении напряжения находятся на поверх-
поверхности текучести, определяемой равенством A8.18). Дифферен-
Дифференцируя его, получаем
5F
dF
A8.22)
где введено обозначение
l
дх
A8.23)
404
Глава 18
Соотношения A8.21) и A8.22) можно записать в симметричной
матричной форме
da,
de,
de2
0
[D] '
dF dF
do, do2
иг
da,
dF
<3a2
— A
da*
A8.24)
Неопределенную постоянную Х можно исключить (избегая при
этом умножения или деления на величину А, которая в общем
случае может равняться нулю). В результате получаем выраже-
выражение, в явном виде определяющее изменения напряжений через
изменения деформаций:
d {с} = [/>?„<* {в}. A8.25)
Здесь
A8.26)
Место матрицы упругости [D], используемой в методе прираще-
приращений, занимает упруго-пластическая матрица [D]*ep. Она симмет-
симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю вели-
величина А. Подробное описание теории пластичности в такой форме
впервые дано в работах [8, 9].
Значение параметра А. Ясно, что в случае идеальной пла-
пластичности без упрочнения величина А равна нулю. При учете
упрочнения необходимо рассмотреть сущность параметра (илн
параметров) и, определяющего смещение поверхности текучести.
В упрочняющемся материале и определяется как пластиче-
пластическая часть работы при пластическом деформировании, т. е.
rfef+ ... ={a)Td{e}p. A8.27)
Используя закон течения A8.19), получаем
Очевидно, что % можно исключить из A8.23) и записать
dF , хт dF
л~ — дх {а> d{a\ ¦
A8.28)
A8.29)
Это выражение позволяет определить А при известной зависи-
зависимости F от к.
Физически нелинейные задачи
405
Соотношения Праидтля — Рейсса. Для иллюстрации некото-
некоторых понятий рассмотрим частный случай поверхности текучести
Мизеса. Она определяется соотношением
F = [| (О! - ЪJ +1 (<% - <т3J + у (»з - CTiJ +
+ 3aJ + Зс^ + 3a|]Vl - a = 0, A8.30)
где в общем случае трехмерного напряженного состояния индек-
индексы 1, 2, 3 относятся к нормальным компонентам напряжений,
а 4, 5, 6 — к сдвиговым.
Из A8.30) находим
За' dF 3oj
dF
AL
dF
dF
<3j3 2a
dF 3a6
Штрихами обозначены компоненты девнатора тензора напряже-
напряжений, т. е.
( )
и т. д.
Величина а=ст(и)—одноосное напряжение при1 течении. Если
известны результаты опыта для одноосного растяжения в виде
зависимости а от пластической деформации гир, то можно за-
записать
dF _ da
dx dx
da 1
dsup a
H'
a
где #' — тангенс угла наклона кривой в точке, соответствую-
соответствующей а.
Подставляя это выражение в A8.29), после некоторых пре-
преобразований получаем
А = Н', A8.31)
что приводит к хорошо известным соотношениям Прандтля —
Рейсса между напряжениями и деформациями.
С обобщением на случай поверхности текучести с угловыми
точками можно познакомиться в работе [6].
18.4.2. Исторические замечания
Поскольку в изложенной теории пластичности законы сфор-
сформулированы в виде соотношений A8.25) и A8.26) для прира-
приращений, ясно, что итерационный процесс необходимо применять
406
Глава 18
для малых приращений нагрузок. При этом можно использовать
Любой из процессов, описанных в разд. 18.2.
В самых первых приложениях метода конечных элементов к
задачам теории пластичности предпочтение отдавалось методам
начальных деформаций (см., например, работы [10] и [11]). Од-
Однако эти методы совершенно неприменимы при рассмотрении
идеальной пластичности (без упрочнения), поскольку в этом
случае деформации при заданных напряжениях нельзя опреде-
определить однозначно. По этой причине в последующих работах по-
повысился интерес к методу переменной жесткости [12—16]. Неко-
Некоторая экономия достигалась за счет того, что для решения си-
систем уравнений использовался метод итераций и жесткость ме-
менялась в общем итерационном процессе.
Метод начальных напряжений, впервые примененный для-за-
для-задач теории пластичности Зенкевичем и др. [9], по-видимому,
наиболее удобен, так как любая разгрузка автоматически про-
происходит по законам теории упругости, что позволяет исследо-
исследовать циклическое нагружение. В настоящее время этот метод
используется довольно широко [17].
18.4,3. Приложения метода начальных напряжений к некоторым
задачам пластичности
Приспособить метод начальных напряжений к решению за-
задач пластичности довольно просто. Трудности, возникающие при
этом, связаны со следующими двумя обстоятельствами:
а) Соотношение между приращениями напряжений и дефор-
деформаций A8.25) справедливо лишь с момента достижения напря-
напряжениями поверхности текучести, т. е. при /7(ст)=0. Если
F(a)<iO, то материал продолжает вести себя упруго.
б) Соотношение для приращений A8.25) справедливо лишь
при бесконечно малом увеличении деформации. При увеличении
на конечную величину напряжения могут выйти за пределы по-
поверхности текучести.. Для предотвращения этого после каждой
итерации надо изменять напряжения так, чтобы выполнялось
условие текучести.
Метод, с помощью которого решены приведенные ниже при-
примеры, состоит в следующем:
а) Для приращения нагрузки вычисляются приращения
упругих напряжений и деформаций.
б) Для полученных полных напряжений вычисляется вели-
величина ^({сг}). Если F < 0, то поведение материала упруго и до-
дополнительных итераций не требуется. Если F > 0, то вычис-
вычисляется значение F в начале интервала и путем интерполяции
Физически нелинейные задачи
407
определяются приращения упругих деформаций и напряжений
в окрестности точки на поверхности текучести.
С помощью соотношения A8.25) находится приращение
упруго-пластического напряжения, соответствующее определен-
определенному таким образом упругому напряжению1). Напряжение в
момент начала текучести после добавления упомянутого выше
приращения сравнивается с определенными ранее полными на-
напряжениями, а разность используется в качестве начального
(поправочного) напряжения.
в) Далее вычисляют невязки сил и получают упругое реше-
решение, дающее новую величину полного напряжения. Если невязки
сил меньше некоторого значения, то процесс заканчивается.
В противном случае: г) повторяются этапы «б» и «в» и т. д.
На каждом этапе полные напряжения должны соответство-
соответствовать поверхности текучести. Упруго-пластнческая матрица опре-
определяется по значениям напряжений, при которых F = 0, или из-
изменяется в процессе итераций.
Во всех приведенных примерах описанный итерационный
процесс использовался без ускорения сходимости. При этом на-
наблюдалась довольно быстрая сходимость E—15 циклов). Мед-
Медленная или плохая сходимость является обычно признаком кри-
критического состояния конструкции.
Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к
общему случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных
состояний необходимо привести ее к специальному виду. Напри-
Например, для плоского напряженного состояния это достигается про-
простым вычеркиванием в A8.24) столбцов, соответствующих нуле-
нулевым компонентам напряжений. В случае плоской деформации
должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль
соответствующие компоненты деформаций. В работе [9] выпол-
выполнены соответствующие преобразования и приведены явные вы-
выражения для матриц. Интересно отметить, что в этих случаях
даже при идеальной пластичности диагональный член, соответ-
соответствующий А, отличен от нуля.
Пластина с отверстием из упрочняющегося и неупрочняю-
щегося материала. На фиг 18.4 показаны форма пластины и
простые треугольные элементы. Получено решение задачи в
предположении плоского напряженного состояния как для иде-
идеально пластического, так и для упрочняющегося материалов.
Использовался критерий Мизеса с линейным упрочнением [по-
'¦) Поскольку приращение нагрузки конечно, возможно, что определенные
с помощью формулы A8.25) упругие напряжения будут несколько превышать
предел текучести. Это проверяется, и в случае превышения предела текучести
напряжения уменьшаются так, чтобы они находились иа поверхности текуче?
сти.
Юлии
Фиг. 18.4. Растяжение полосы с отверстием (плоское напряженное состояние).
б
а —разбиение на конечные элементы A49 элементов, 94 узла); б —пластические зоны для
различных отношений ocfe'a/ay. идеальная пластичность, В=6,85 • 10'° Н/м1, v=0,2,
0^=2,38-108 Н/м1; в — то же, что и на б, но для упрочняющегося материала. Постоянный
Ваклон Я'/В=0,032; г —нагрузка 0,98 приложена за одии этап. Упрочняющийся материал.
Физически нелинейные задачи
409
стоянное Н' в A8.31)]. Зоны пластичности при различных на-
нагрузках показаны на фиг. 18.4, бив.
Хотя соотношение пластичности справедливо только для при-
приращений, метод начальных напряжений при приложении всех
нагрузок за один этап Приводит к решению, удовлетворяющему
условиям равновесия и не превышающему напряжений текуче-
текучести. Такое решение для очень большого приращения нагрузки
показано на фиг. 18.4, г. Интересно отметить, что, несмотря на
нарушение законов для приращений деформаций, пластические
зоны практически не изменились.
1.25
1.00
0,75
0,50
0,25
Фиг. 18.5. Пластина с отверстием; упрочняющийся материал, Н'/Е = 0,032.
Максимальная деформация в точке начала текучести. Приращение нагрузки —
— 0,2 X ийгрузка, соответствующая-началу текучести.
экспериментальные результаты Теокариса и Маркетоса [18]; О метод начальных
напряжений; X метод переменной жесткости [14]; Д решение для одного этапа нагруже-
ния в пластической области.
/
/
А
9
—
-
——
0,5 10 15 2,0 2.5 3,0 3,5 4,0 4,5
/
Важно также отметить, что, как видно из фиг: 18.5, макси-
максимальные деформации в точке начала текучести почти совпадают
с определенным методом приращений. Там же проведено срав-
сравнение с экспериментальными результатами и с результатами,
полученными методом переменной жесткости [14].
Консольная балка — циклическое нагружение. На фиг. 18.6
показана находящаяся в условиях плоского напряженного со-
состояния консольная балка, для материала которой справедливы
законы идеальной пластичности Мизеса. Нагрузки отнесены
к критической нагрузке, определенной по элементарной теории
пластического шарнира. На фиг. 18.7 показан первый цикл на-
гружения для иллюстрации способности метода правильно опи-
описывать упругое поведение при разгрузке. Заслуживают внима-
Ц6302451.0
Фиг. 18.6. Консольная балка. Плоское напряженное состояние, идеальная пла-
пластичность. Пластические зоны для различных отношений Р/Рс (Ре — крити-
критическая нагрузка, вычисленная по балочной теории пластичности).
1,2
0.8
0
-0.8
1.2
¦y
-0,8 -0.6 -0,4 -0.2 0 0,2 OA 0.6 0,8
Перемещение в С
a
¦i о t
Сечение AA
\ N
\
\
X 0 0
X d с
v
\
\
\
\
ij
4
к
и
1
f
\
-I 0,1
/ Сечение вв
Фиг. 18.7. Консольная балка, показанная на фиг. 18.6.
а—перемещения при изменении знака нагрузки; б —распределение напряжений ох[Оу на
различных этапах разгрузки. О при начале текучести; X при максимальной нагрузке;
Д при максимальной нагрузке с обратным знаком; ? остаточные напряжения.
Физически нелинейные задачи
411
ния показанный на фиг. 18.7, а «гистерезис» перемещения и оста-
остаточные напряжения после снятия нагрузки, обусловленные пла-
пластическим деформированием.
На фиг. 18.8 представлено графически изменение перемеще-
перемещений при возрастании нагрузки. По мере приближения к крити-
критической нагрузке требуется все большее число итераций, и при
Р1РС = 1 процесс не сходится. Таким образом, хотя нелинейное
решение дает возможность найти нижнюю границу критической
нагрузки (путем удовлетворения условиям равновесия и текуче-
текучести), метод приращений нагрузок не позволяет установить ее
истинную величину. Для лучшего описания критического пове-
поведения балки проще задать некоторые перемещения в точке при-
приложения нагрузки и затем
Сходимости нет
1,0
увеличивать их, пока реак-
реакция в этой точке не пере-
перестанет возрастать. Этот
прием рассмотрен в следую-
следующем примере.
Пластическое течение
при резаиии металла. На
фиг. 18.9а показана идеали- о
зированиая схема обработ- ^
ки металлической заготов-
заготовки резцом, снимающим с
нее стружку. Хотя в дей-
действительности эта задача
^0,6
щ
0,2
Нижняя'
граница
/
/
/
/
/
0,2 ОА 0,6 0.8
Перемещение в С
1,0
связана с большими- пере- фиг- 18-8- Консольная балка. Завнои-
мещениями, решалась упро- мость перемещения от Р/Р,
щенная упруго-пластическая
задача о поведении тела определенной формы при заданных
постоянных перемещениях вертикальной поверхности. На
фиг. 18.96 показаны пластические зоны, распределение нагрузки
и полная нагрузка на резец. Видно, что вследствие идеальной
пластичности материала при определенных перемещениях на-
нагрузки увеличиваются до некоторых постоянных значений. При
этом возникает критическое состояние, соответствующее отде-
отделению стружки. В рассмотренном примере только этот заклю-
заключительный этап имеет практическое значение.
Материал Мора — Кулоиа. Туннель. Сходные с пластично-
пластичностью явления наблюдаются во многих материалах, таких, как
почва, скальные породы, керамические материалы и бетон. В них
также может происходить необратимое деформирование при
почти постоянных напряжениях. Однако поверхность текучести
для этих материалов зависит не только от девиаторных (сдви-
(сдвиговых) напряжений, как в законе Мизеса, но и от величины
среднего напряжения.
412
Глава 18
ТЪение отсутствует-
Жес*
Рез
/оризонт
мое переме-
перемещение=О
Вертикальное
перемещение =0
Фиг. 18.9а. Приближенное описание процесса обработки металла путем зада-
задания эквивалентных перемещений в месте среза, о — одноосное напряжение те-
текучести. Форма детали и пластические зоны.
Известный критерий Мора — Кулона, определяющий макси-
максимальное сдвиговое напряжение на произвольной площадке в
виде
* A8.32)
где С —сила сцепления, ап — нормальное напряжение и ф—
угол внутреннего трения, можно приближенно'записать в более
удобной форме, предложенной Друкером [19]:
F = a/, + ЛДГ-Л'=??0, A8.33)
где Г\ — первый инвариант тензора напряжений Jl = ax-\-av-\-az.,
J2 — второй инвариант
h=T[{о* — °уJ •+ (°у — Ozf + (oz — ахJ] + %\у + xvz ¦+ т|х,
а и К — постоянные, зависящие от сцепления и внутреннего
трения материала. Постоянные, входящие в A8.33), связаны с
Физически нелинейные задачи
413
Установившееся
воотсяние
\
Перемещение
- Нагрузка/ tB'2.37
-2,03
Распределение давления вдоль АВ
Фиг. 18.96. Приближенное описание процесса обработки металла. Зависимость
полной нагрузки от перемещения и распределение давления на резец.
6С cos Ф
величинами в A8.32) соотношениями
2 sin ф „_
ct = —р= » А ~
V3 C — sin ф)
Другие возможные формы критериев подробно обсуждены в ра-
работе [20], однако для иллюстрации метода вполне достаточно
рассмотреть форму, предложенную Друкером.
Если в дополнение к предположению о существовании такой
поверхности текучести использовать ассоциированный закон, то
414
Глава IS
задачи расчета конструкций из подобных материалов можно
решать с помощью описанных ранее методов. На фиг. 18.10 по-
показано решение задачи о пластических зонах около туннеля,
возникающих за счет перераспределения напряжений в резуль-
v^ Поверхность земли
Вертикальное перемещение =0
/дризттальное леремещение=О
Вертикальное перемещение =0
a
Фиг. 18 10. Подкрепленный туииель.
a — разбиеаие на 15.; элемента с 94 узлами. Подкрепление: ?=2,02 • Ши Н/м2, v= ,15.
Грунт: S=3,4 • 10» Н.м1, v=i.2O, C=S,5 • № Н;М!. ф=30°. Начальное напряжение с„0=У'>
с началом при ft=I24 м. а =0,2уЛ, Y=6,9 • Ю" И'м>. б —пластические зоны.
тате выемки грунта. Аналогичные задачи рассмотрены в рабо-
работах [9, 15,21 и 22].
Основная трудность решения таких задач связана не с вы-
вычислениями, а с формулировкой соответствующих определяю-
определяющих уравнений. В частности, для материалов Мора — Кулона
ассоциированный закон, как правило, не выполняется [23]. Их
Физически нелинейные задачи
416
поведение описывается так называемыми неассоциированными
законами. В соответствии с простым предположением, сделан-
сделанным Девисом [24], пластические деформации удовлетворяют со-
соотношению
d{E}p = l[DA{o})\'\ A8.34)
где [Da] — матрица, зависящая от уровня напряжений, сходная
по структуре с матрицей упругости. Повторив описанные соот-
соотношениями A8.20) — A8.26) действия, получим новую упруго-
пластическую матрицу, которая уже не будет симметричной [25].
Однако метод начальных напряжений применим и в этом случае.
1S.5. Материал, работающий только иа сжатие
Гипотетический материал, способный выдерживать только
сжимающие напряжения и не сопротивляющийся растяжению
при деформировании, во многих отношениях аналогичен идеаль-
идеально пластичному материалу. Хотя в действительности такой иде-
идеальный материал, вероятно, не существует, он хорошо аппрокси-
аппроксимирует поведение насыпей из горных пород и других сыпучих
материалов.
В явном виде соотношение между напряжениями и деформа-
деформациями, как правило, записать не удается, однако достаточно
воспользоваться соотношениями теории упругости, а при появ-
появлении растягивающих напряжений приравнять их нулю. При
этом уместно использовать метод начальных напряжений, кото-
который фактически и был разработан для решения таких задач [1].
Схема вычислительного процесса очевидна, но важно по-
помнить, что главные растягивающие напряжения должны исклю-
исключаться.
Приведенные выше определяющие соотношения могут лишь
приблизительно описывать реальное поведение материала, по-
поскольку при этом не учитывается влияние нераскрытых трещин
на перераспределение сжимающих напряжений. Однако ясно,
что полученные результаты помогут все же изучить поведение
реальных конструкций из сыпучих пород.
Подземная электростанция. На фиг. 18.11, а и б показан
пример применения описанной модели в практической задаче.
На фиг. 18.11, а изображено распределение напряжений в рай-
районе подземной электростанции с учетом предварительно напря-
напряженной арматуры вблизи выработки, полученное в результате
упругого решения. Там же указаны зоны растягивающих напря-
напряжений. Результаты решения этой же задачи (фиг. 18.11,6) при
использовании модели материала, работающего только на сжа-
сжатие, свидетельствуют о незначительном перераспределении на-
напряжений и опасных зон.
Физически нелинейные задачи
417
Фиг. 18.11. Напряжения вблизи подземной электростанции при действии сил
тяжести с учетом предварительных напряжений.
а—упругие напряжения; 0 — напряжения, определенные для материала, ра©отаким,его
только на сжатие^
Разновидностью такого материала может служить материал
с конечным пределом прочности на растяжение, не обращаю-
обращающимся в нуль в момент появления трещин. Такой подход ис-
использовался в работе [26] при исследовании поведения балок из
армированного бетона. Для предварительно напряженных балок
Я
173 см-
СП
"ПС
Львова
сетка
*™=
"-^^
>^
/->
/
нндя
Г
^^
~>^
:
¦^.
-^-.
А
"-^
¦^^
¦*^
-^,
\
рматира
ением 6,45см
Г]
г
г
тт
1
L
в
"П
в
Рас
при \ма)
\ ГА
г— 7 1-Г1 1 1 Г"
пттт г
ч
ц
треспивание
кимвльнои нагрузке
Сжатие Растяжение
А-А
В-В
Сечение,
нет трещин
с-о
Фиг. 18.12. Образование трещин в балке Из предварительно напряженного
бетона. Максимальное растягивающее напряжение 1,55-106 Н/м2. Распределе-
Распределение напряжений в различных сечениях.
(без учета текучести при сжатии) получено очень хорошее сов-
совпадение с.экспериментальными результатами. На фиг. 18.12 по-
показаны некоторые результаты для балки, испытанной в рабо-
работе [27].
18.6. Слоистый материал и стыковочные элементы
В другой модели идеализированного материала предпола-
предполагается, что материал состоит из большого числа изотропных
упругих слоев. При сжатии слои передают сдвиговые напряже-
14 Зак. 613
418
Глава IS
ния, не превышающие сопротивления трения. Растягивающие
напряжения по нормали к слоям не передаются.
Ясно, что такую идеализацию можно использовать при ис-
исследовании слоистых горных пород. Как будет показано ниже,
она имеет гораздо более широкое применение.
На фиг. 18.13 показан такой материал в двумерном случае.
Если ось локальных координат х' направлена вдоль слоев, то
для напряжений, возникающих при упругом поведении, можно
Фиг. 18.13. Слоистый материал (а) и узкое слоистое соединение (б);
Физически нелинейные задача
419
записать
н
' | < \1Оу
A8.35а)
A8.356)
Здесь ц — коэффициент трения между слоями.
Если упругие напряжения превышают предельные значения,
определяемые соотношениями A8.35), то они должны быть
уменьшены до этих значений.
Применение метода начальных напряжений для таких мате-
материалов опять не представляет затруднений. Задача аналогична
рассмотренной в предыдущем разделе задаче о расчете мате-
материала, работающего только на сжатие. На каждом этапе упру-
упругого расчета проверяется наличие растягивающих напряжений
оу'. Если такие напряжения возникают, то вводится поправоч-
поправочное начальное напряжение, сводящее их и касательные напря-
напряжения к нулю. Если же ау- — сжимающее напряжение, то про-
производится проверка абсолютной величины касательных напря-
напряжений Гх'у'. В случае превышения значения, определяемого со-
соотношением A8.35а), их уменьшают до предельно возможной
величины.
Описанная математическая модель не всегда будет правиль-
правильно отражать истинное поведение материала при разгрузке, по-
поскольку сжимающие напряжения могут возникнуть лишь после
исчезновения зазоров между слоями. Это затруднение (при ну-
нулевом коэффициенте Пуассона) можно устранить, контролируя
появление растягивающих деформаций и используя вместо
A8.356) соотношение
а„- = 0 при вв'>0. A8.36)
В противном случае материал будет упругим. Это фактически
один из вариантов деформационной теории пластичности.
Излишне говорить о том, что направления слоев могут ме-
меняться от элемента к элементу и таким методом можно иссле-
исследовать сложное поведение горных пород со случайным распо-
расположением трещин.-
Введение прочности сцепления и коэффициента трения, за-
зависящего от величины сдвиговой деформации (обычно коэффи-
коэффициент трения уменьшается с увеличением сдвиговой деформа-
деформации), требует незначительных изменений программы. Таким же
образом можно исследовать размягчающиеся материалы [25].
В некоторых случаях описанный тип поведения наблюдается
лишь в узкой области между однородными массивными упру-
упругими телами. Это, в частности, имеет место при геологических
сдвигах или при наличии больших трещин в горной породе.
В таких случаях удобно использовать узкие, как правило, пря-
420
Глава 18
моугольные элементы," геометрическими характеристиками кото-
которых являются средние координаты концов А и В (фиг. 18.13,6)
и толщина. Однако элемент соединяется с примыкающими те-
• лами в четырех отдельных точках A—4). Эти переходные эле-
элементы могут быть, как показано на фиг. 18.13, простыми пря-
прямоугольниками. Можно также использовать и изопараметриче-
ские элементы более сложной формы (см. гл. 8).
В работе [28] рассмотрены в некоторой степени похожие пе-
переходные элементы, использованные для исследования устойчи-
устойчивости насыпей из горных пород. Однако описанные здесь пере-
переходные элементы имеют более широкое применение. С помощью
тонких переходных элементов можно, например, решать задачи
о посадках деталей машин и зазорах между ними. При исполь-
использовании очень узкого переходного элемента между двумя ча-
частями конструкции или деталями машины зазоры учитываются
введением такой начальной деформации еУ'о, что величина teu'o
равняется величине зазора. Поскольку описанный переходный
элемент не передает растяжения, быстро получаем ответ на во-
вопрос, закрывается ли зазор. И наоборот, посадка эквивалентна
отрицательной начальной деформации по нормали к переход-
переходному элементу.
Недостатком такой аппроксимации является необходимость
использования переходных элементов конечной толщины, чтобы
избежать появления очень больших коэффициентов жесткости в
направлении нормали и, следовательно, плохо обусловленных
уравнений. Для того чтобы обойти упомянутые затруднения,
можно использовать другие методы, имеющие более специаль-
специальное назначение [29].
18.7. Ползучесть: деформации, зависящие от времени
18.7.1. Общие положения
Явления ползучести характеризуются зависимостью дефор-
деформации не только от напряжения, но и от времени. Деформации
в данный момент времени определяются всей предысторией на-
напряженного состояния. Таким образом, любой вычислительный
процесс должен сводиться к расчету приращений для достаточно
малых отрезков времени. Для каждого такого отрезка времени,
используя заданный закон ползучести, средние для этого отрез-
отрезка напряжения и при необходимости их предыдущие значения,
можно определить приращения деформаций. Таким образом, в
рассматриваемом случае естественно использовать описанный в
подразд. 18.2.4 метод начальных деформаций.
Однако иногда можно обратить закон ползучести и получить
закон, по которому напряжения в любой момент времени опре-
Физически нелинейные задачи
421
деляются предысторией деформирования. В тех случаях, когда
удобно использовать функцию релаксации, можно применять
описанный в подразд. 18.2.3 метод начальных напряжений.
Поскольку при ползучести удобнее измерять деформации,
обычно рекомендуется применять метод начальных деформаций,
который и будет использован в дальнейшем.
При применении метода начальных деформаций к задачам
теории ползучести обычно [30—34]:
а) рассматриваются все изменения нагрузки (температуры
и т. д.) в начальный момент t некоторого отрезка времени и
определяется напряженно-деформированное состояние из ре-
решения задачи теории упругости;
б) определяется изменение деформации ползучести {Дес}( за
рассматриваемый отрезок времени в предположении, что при
этом полученное -на этапе «а» напряженное состояние не ме-
меняется;
в) величина {Аес}( используется как начальная деформация
и в результате решения задачи теории упругости определяется
новое напряженно-деформированное состояние в конце рассма-
рассматриваемого отрезка времени.
Если отрезок времени /S.t достаточно мал, то описанный про-
процесс отражает истинное поведение материала и можно перейти
к расчетам для следующего отрезка времени. .Если изменения
деформаций относительно велики, то можно повторить этапы
«б» и «в», используя для определения {Asc}t уточненные средние
значения напряжений. Осуществление таких итераций иногда
желательно, но редко требуется более двух циклов.
Ясно, что устойчивость описанного процесса зависит от вы-
выбранной величины отрезков времени и для каждой задачи не-
необходимо ее проверять.
Здесь уместно сделать одно замечание относительно эффек-
эффективности вычислений. Если упругие мгновенные свойства мате-
материала не изменяются во времени (и на них ие влияет изменение
во времени температуры), то очевидно, что многократно будет
применяться один и тот же метод нахождения упругого реше-
решения. В таких случаях удобнее хотя бы частично обращать
матрицы, встречающиеся при решении, чем использовать итера-
итерационные методы решения. И наоборот, если упругие свойства
меняются во времени и на каждом отрезке времени приходится
решать существенно различные задачи теории упругости, то це-
целесообразнее использовать итерационные методы решения, при-
принимая за начальное приближение полученные ранее значения
перемещений.
Основной проблемой, возникающей при использовании опи-
описанного метода, является построение алгоритма определения
422
Глава 18
приращения деформации {Дес}. Она рассматривается в после-
последующих разделах,
18.7.2. Ползучесть, зависящая от предыстории деформирования
(вязкоупругость)
Явления вязкоупругости характеризуются тем, что скорость
деформации ползучести зависит не только от мгновенного на-
напряженно-деформированного состояния, но и от всей его преды-
предыстории. Таким образом, для определения приращения деформа-
деформации [&e,c}t на каком-либо отрезке времени надо знать напряже-
напряжения и деформации во все предыдущие моменты времени. По-
Поскольку в процессе решения задачи они вычисляются, в прин-
принципе затруднений не возникает. Однако даже самые большие
ЭВМ не в состоянии хранить всю историю в оперативной па-
памяти, а многократное использование дополнительных запоми-
запоминающих устройств требует много времени. Поэтому использова-
использование этого метода экономически невыгодно.
Метод, описанный Зенкевичем и др. [31] для задач линейной
вязкоупругостн, позволяет обойти эту трудность. Его можно об-
обобщить и на случай решения задач нелинейной вязкоупругостн.
В линейной теории вязкоупругости соотношение между на-
напряжениями и деформациями всегда можно записать в форме,
сходной с используемой в теории упругости, например в виде
A8.2), заменяя упругие постоянные в матрице [D] соответствую-
соответствующими дифференциальными или интегральными операторами [35].
Для изотропного материала вместо двух упругих постоянных
можно использовать два оператора, а для анизотропных-мате-.
риалов может потребоваться 21 оператор.
Таким образом, деформация ползучести может быть описана
соотношением вида
где каждый элемент матрицы вязкоупругости [Щ~' при исполь-
использовании дифференциальных операторов имеет вид
Если эти разложения конечны, то, выделяя мгновенные упругие
эффекты, соотношение A8.37) можно представить в виде суммы
элементарных дробей
а _ л' i А* I.
d/dt + Bt ^ d/dt + В2
A8.38)
Как известно, эта сумма характеризует поведение показан-
показанного на фиг. 18.14 набора элементов Кельвина (хотя физически
Физически нелинейные задачи
443
использование таких моделей может и не иметь смысла). Каж-
Каждый член суммы характеризует один элемент Кельвина. Типич-
Типичный вклад в компоненту деформации представляет собой, таким
образом,слагаемое вида
^ A8.39)
Вп
или
A8.40)
Записанное выше соотношение позволяет определить прираще-
приращение каждого такого слагаемого за какой-либо отрезок времени,
Фиг. 18.14. Набор элементов Кельвина.
если известны текущее значение компоненты напряжения о, и
текущее значение е„. Таким образом, для описания процесса не-
необходимо хранить только конечное число текущих значений е„ ').
На практике для описания поведения материала исполь-
используется ограниченное число элементов Кельвина н небольшое
число вязкоупругих операторов. Например, для изотропного не-
несжимаемого материала матрица [D] определяется только од-
одним оператором. Если этот оператор представляется двумя сла-
слагаемыми суммы A8.38), то в процессе вычислений требуется
хранить лишь две величины [31]2).
Вычислительный процесс не усложняется,, если величины Ап
и В„ для каждого элемента Кельвина зависят от времени и тем-
температуры, что характерно для задач термовязкоупругости (на-
(например, задач о ползучести бетона или пластмасс).
Задавая зависимость постоянных пружины н поршня Л и В
от текущих напряжений, можно обобщить метод на нелинейные
') В более поздних работах они получили название переменных состоя-
состояния.
2) Для произвольного линейного вязкоупругого оператора метод эконо-
экономии оперативной памяти при численном счете указан в работе Б. Е. По-
бедри «Численные методы в теории вязкоупругости», Механика полимеров,
№ 6, 1973. — Прим. ред.
424
Глава IS
вязкоупругие явления. Вопрос о формулировке таких законов,
согласующихся с экспериментальными результатами, еще не ре-
решен окончательно.
Для иллюстрации применения описанного метода возьмем
пример из работы [31]. Это задача о расчете скрепленного с ме-
металлической оболочкой цилиндра из вязкоупругого материала.
Так как задача, по существу, одномерная, имеется точное реше-
решение [36]. Использовалась программа расчета двумерного состоя-
состояния. Для получения решения, соответствующего t = 10, понадо-
понадобилось 100 шагов при шаге по времени, равном 0,1 (фнг. 18.15
и 18.16). В работе [31] приведены н другие более сложные при-
примеры.
18.7.3. Законы теории ползучести, учитывающие зависимость от
напряженно-деформ ированного состоян ия
Хотя, несомненно, вся предыстория напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния влияет на ползучесть большинства материа-
, Стэлъ
Ввзкоупругии
материал
0.31см
Фиг. 18 15. Решение задачи о нагруженном внутренним давлением подкреп-
подкрепленном вязкоупругом цилиндре как двумерной задачи.
Физически нелинейные задачи
425
I
I = 10,0
1 =5,0
(=3,0
1 = 0,5
I =0
1,0
0,9
0,8
0,7
05
0,4
0,3
0,2
0,1
О
-0,1
-0,2
-0,3
-ОД
Фиг. 18.16. Изменение во времени тангенциального напряжения в цилиндре,
показанном на фнг. 18.15.
Материал подкрепления упругяй. Сдвиговые свойства внутреннего цилиндра вязкоуп-
ругяе, а объемные — упругяе [31,36]., Результаты совпадают с точными [36[,
7 0,6 Jr OP 0,8 0,9 1,0
лов, сильно нелинейная зависимость от напряжений, характер-
характерная почти для всех металлов, позволяет записать законы в упро-
упрощенной форме, которая дает возможность оценить скорость де-
деформации по текущим значениям переменных состояния (в част-
частности, напряжения, деформации, времени н температуры).
Обзор такнх законов сделан в работе [37]. Деформацию пол-
ползучести изотропного несжимаемого материала можно, например,
426
Глава 18
Физически нелинейные задачи
427
определить выражением
й
__
A8.41)
где матрица [Do]-1 эквивалентна соответствующей матрице упру-
упругости с коэффициентом Пуассона, равным 0,5; вс, а—вторые
инварианты деформации
ползУчести и напряжения и
6 — температура.
При вторичной ползуче-
ползучести зависимость от времени
накопленной деформации
слабая и часто использует-
используется степенной закон [38, 39]
\ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ
ДЛЛЛЛлЛД7У
0,i59
0,25
Фиг. 18.17. Расчетная схема сосуда высо-
высокого давления с плоским днищем [33].
Внутреннее давление 3 • 10е Н м3; модуль Юнга
1,35 • 10" Н,м>, коэффициент Пуассона 0,3,
iel61IA6
.A8.42)
Хотя физические аргу-
аргументы в пользу таких тео-
теорий спорны, особенно отно-
относительно явной зависимости
от времени, описывающей
так называемое старение, их
очень просто использовать в
практических приложениях.
Определение скорости де-
деформации ползучести
d . .
в любой момент времени не
представляет труда, и, сле-
следовательно, приращение де-
деформации ползучести мо-
может быть найдено просто
как
А{8}С = |-{8}СД/. A8.43)
Это выражение непосредственно используется в процессе вычис-
вычислений.
С приложениями метода можно познакомиться по работам
[33, 34 и 40]. На фиг. 18.17 и 18.18 показаны некоторые примеры
из работы [33].
В подобных и других задачах ползучести важно достичь наи-
наилучшего компромисса между требованиями экономичности И
Фиг. 18.18. Изменение во времени эффективного (октаэдрического) напряжения
после приложения внутреннего давления [33].
устойчивости решения. Так, интервалы времени следует, как
правило, выбирать в процессе вычислений. Они могут значи-
значительно увеличиваться, если, как это часто бывает, распределе-
распределение напряжений приближается к установившемуся. Подходя-
Подходящим критерием выбора может служить требование, чтобы отно-
относительные приращения напряжений за рассматриваемын отрезок
времени не превышали заданной величины [34].
18.8. Некоторые специальные приемы решения задач
ползучести
Довольно часто с помощью некоторых обобщений или упро-
упрощающих предположений удается получить достаточно точные
решения, учитывающие эффект ползучести, не прибегая к трудо-
трудоемким и дорогостоящим методам приращений. .
•428
Глава 18
s a
Линейная вязкоупругость. Для однородных изотропных вяз-
коупругнх материалов с постоянным оператором коэффициента
Пуассона, используя аналогии Алфрея — Мак-Генри и решая
задачу теории упругости при соответствующих эквивалентных
нагрузках, перемещениях и температурах, можно определить на-
напряжения и перемещения в любой заданный момент време-
времени [41]".
Некоторые обобщения этих аналогий предложены Хилтоном
[42].
Кроме того, если деформация ползучести стремится к неко-
некоторой постоянной величине при t—*oo, то окончательное рас-
распределение напряжении можно найти и тогда, когда упомянутые
аналогии нельзя применить. Например, если на конструкцию из
вязкоупругого материала, свойства которого зависят от темпе-
температуры, действуют не изменяющиеся во времени нагрузки и тем-
температура, то можно определить предельные упругие постоянные
и свести задачу к линейной задаче теории упругости для неодно-
неоднородного материала [43]. Влияние такого изменения упругих
свойств на распределение температурных напряжений в реак-
реакторе высокого давления показано на фиг. 18.19.
Установившаяся ползучесть. Если при ползучести, описывае-
описываемой соотношением A8.42), полные деформации ползучести на-
настолько велики, что упругими деформациями можно пренебречь,
то удается получить существенные упрощения. В этом случае
скорости полной деформации и деформации ползучести одина-
одинаковы и определяющие уравнения можно записать в виде
4{в} = 4{8Ь = -^И%!1>1, A8.44)
ОХ ОХ &
как для изотропного несжимаемого материала.
Если соотношения между перемещениями и деформациями
(или уравнения совместности деформаций) продифференциро-
продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача представляет собой
задачу нелинейной теории упругости, в которой обычные дефор-
деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и
скорости. Решение для этих величин не зависит от времени и
его можно получить любым из описанных ранее методов, не
прибегая к методам приращений. При этом напряженное со-
состояние конструкции постоянно, а деформации возрастают про-
пропорционально времени.
18.9. Заключительные замечания
В предыдущих разделах рассмотрены общие методы решения
задач при использовании сложных нелинейных определяющих
уравнений и некоторые частные приложения. Ясно, что этот
Физически нелинейные задачи
431
Фиг. 18.20. Характеристика различных элементов при упругопластическом рас-
расчете плоского напряженного состояния образца с выточками.
Пластическая зона: а —треугольный элемент, <тш/<т=1,186 и 1,226; 0—линейный четырех-
четырехугольник, <Jm/S=I,186 и 1,226; в—квадратичный четырехугольник, <Jm/8=l,186; e —кубич-
—кубичный четырехугольник, am/a=»I,186 (a^ — среднее напряжение в выточке, й— одноосное
напряженке текучести, идеальная пластичность).
Распределение напряжений в ослабленном сечении: 3 — упругое решение; е~упругопла-
стическое решение, ашув«1,186. Число степеней свободы во всех четырех случаях
Примерно одинаково A72—178).
вопрос настолько обширен и практическое значение его так ве-
велико, что осветить его в одной главе невозможно. Для различ-
различных материалов можно предложить и экспериментально под-
подтвердить различные формы определяющих уравнений. К,ак
только установлены определяющие уравнения, к ним можно при-
приспособить описанные в этой главе стандартные методы. Дей-
Действительно, можно создать стандартные программы решения за-
задач для материалов с различными свойствами, в которые ха-
характеристики, определяющие особенности поведения материала,
входят в виде «черного ящика»,
432
Глава 18
Таким образом можно рассматривать такие явления, как
вязкопластичность (пластические деформации зависят от вре-
времени) или различные задачи механики грунтов и горных по-
пород [44].
Необходимо еще раз напомнить, что при решении нелиней-
нелинейных задач а) возможна неединственность решения; б) априори
никогда нельзя гарантировать сходимость; в) стоимость реше-
решения значительно выше стоимости решения линейных задач.
Для преодоления первых двух трудностей необходимо пони-
понимание физической сущности задачи, а стоимость может быть
снижена в результате дальнейших усовершенствований методов.
В приведенных примерах применялись лишь простейшие конеч-
конечные элементы. Очевидно, что при использовании этих методов
можно применять любые функции формы элементов. Послед-
Последние работы показывают, что использование рассмотренных в
гл. 7 и 8 сложных элементов даже в двумерных задачах может
дать значительную экономию [45].
На фиг. 18.20 сравниваются результаты расчета пластиче-
пластических зон при использовании элементов с постоянным распреде-
распределением напряжений и изопараметрнческих элементов. Гладкость
границ пластических зон (определенных по точкам Гаусса) в
последнем случае приводит к значительному ускорению сходи-
сходимости и повышению точности.
Наконец, следует отметить, что описанные методы удобно
использовать и для решения линейных задач, сформулирован-
сформулированных первоначально с использованием других значений постоян-
постоянных. Привлекательность такого подхода не очевидна до тех пор,
пока мы не рассмотрим, например, решение задачи теории упру-
упругости для материала с коэффициентом Пуассона, равным 0,5.
Ранее отмечалось, что в этом случае матрица [D] становится не-
неопределенной и необходимо использовать специальные приемы
(см., например, гл. 4, разд. 4.5). Можно, однако, решать задачу
теории упругости с допустимым значением коэффициента Пуас-
Пуассона методом начальных деформаций, изменяя в процессе ре-
решения деформации так, чтобы удовлетворить условию несжи-
несжимаемости [34, 36].
ДРУГИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
18.10. Нелинейные квазигармоннческие задачи теории поля
Нелинейности возникают в различных задачах теории поля
рассмотренного в гл. 15 типа. Например, в задачах, описывае-
описываемых уравнением [см. A5.1)]
&)+<*=°- <18-45>
Физически нелинейные задачи
433
проводимость k может зависеть от функции ф или ее градиен-
градиентов. В качестве иллюстрации можно привести два типичных
примера. Во-первых, при фильтрации жидкости скорость может
не удовлетворять условию ламинарности (Дарси), в соответ-
соответствии с которым она определяется выражениями
v, = k? и т. д. A8.46)
В случае турбулентности требуется учитывать зависимость по-
потери напора (grad^) от более высокой степени скоростей. Такие
законы получены, например, в работах [47] и [48]. Их можно
также записать в виде A8.46), полагая [49—51]
k = kF),
Аналогичная ситуация возникает в задачах магнитостатики,
где ф — магнитный потенциал, a k — величина, обратная маг-
магнитной проницаемости, которая существенно зависит от гра-
градиентов магнитного поля [52].
Таким образом, в обеих задачах уравнения, по существу,
одинаковы.
Хотя очевидно, что термины «переменные параметры упру-
упругости», «начальные напряжения н деформации» в этих случаях
не подходят, для решения можно использовать аналогичные ите-
итерационные методы (см. разд. 18.3). В гл. 15 [уравнение A5.14I
показано, что после дискретизации уравнения принимают такой
же вид, как и в задачах теории упругости:
Ы>} = [ВД} + {/Ч=0. A8.47)
Поскольку k используется при вычислении матрицы [Я], полу-
получаем
и задача, таким образом, относится к рассмотренному в
разд. 18.3 классу. . •
Для решения можно использовать итерационный метод
Ньютона, вычисляя на каждом шаге
А {Ф}п+1 = - 1Н„Г1 {* ({«„)}. A8.48)
В этом случае, как было показано ранее, при каждой итерации
приходится обращать различные матрицы. Можно также при-
применять модифицированный метод Ньютона — Канторовича, вы-
вычисляя
. A8.49)
где [Но] — матрица, полученная на первом шаге. Опять можно
использовать различные способы ускорения сходимости [2]. А
434 -
Глава 18
логия с методами постоянной и переменной жесткости решения
задач теории упругости очевидна.
¦ До сих пор методы конечных элементов для подобных задач
применялись сравнительно мало. Волкер [49] получил решение
задачи, о неламинарном течении жидкости в пористой среде с
помощью первого из описанных методов (с переменной матри-
фиг. 18.21. Магнитное поле в шестиполюйиом магните с нелинейностью, об-
обусловленной насыщением [52].
Физически нелинейные задачи
435
цей [Н]). Удовлетворительные результаты получены после не-
небольшого числа итераций. Винслоу [52] использовал аналогич-
аналогичный метод для решения различных задач магнитостатики. На
фиг. 18.21 показаны некоторые полученные им довольно инте-
интересные поля в нелинейном материале ').
18.11. Некоторые другие возможиые применеиия
Ясно, что описанные в предыдущем разделе методы решения
нелинейных уравнений могут непосредственно применяться и
для других задач, например для задач теплопроводности с ярко
выраженной зависимостью коэффициентов теплопроводности от
температуры при повышенных температурах.
Однако очевидно, что эти методы имеют более широкие воз-
возможности в других физических задачах. Примером такой задачи
является задача о ламинарном течении неньютоновских жидко-
жидкостей, уравнения которой, по существу, совпадают с уравнениями
вязкого ламинарного течения, рассмотренными в разд. 15.6
гл. 15, но вязкость в этом случае зависит от градиентов ско-
скорости.
Читатель может проявить свою изобретательность, применяя
изложенные методы к подобным и многим другим задачам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zienkiewicz О. С, Valliappan S., King I. P., Stress Analysis of Rock as
a No-Tension Material, Geotechnique, 18, 56—66 A968).
2a. Irons B. M., Tuck R. C, A Version of the Aitken Accelerator for Computer
Iteration, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 275—278 A969).
2b, Zienkiewicz O. C, Irons В. М., Matrix Iteration and Acceleration Processes
in Finite Element Problems of Structural Mechanics, Ch. 9 in: Numerical
Methods for Non-Linear Algebraic Equations, Rabinowitz P., ed Gordon and
Breach, 1970.
3. Oden J. Т., Numerical Formulation of Non Linear Elasticity Problems Proc.
Am. Soc. Civ. Eng., 93, ST3, 235—255 A967).
4. Von Mi3es R., Mechanik der Pla3tischen Formanderung der Kristallen, Z.
angew. Math. Meek, 8, 161—185 A928).
5. Drucker D. C, A More Fundamental Approach to Р1азНс Stres3-Strain Solu-
Solutions, Proc. 1st. U. S. Natn. Cong. Appl. Mech., 487—491 A951).
6. Koiter W. Т., Stress-Strain Relations, Uniqueness and Variational Theorems
for Elastic Plastic Materials with a Singular Yield Surface. Q. Appl. Math.,
11, 350—354 A953); есть русский перевод: Койтер, Соотношения между
напряжениями и деформациями, вариационные теоремы и теорема един-
единственности для упруго-пластических материалов с сингулярной поверх-
поверхностью текучести, Механика, 2, № 60, стр. 117—121 A960).
7. Johnson W., Mellor P. W., Plasticity for Mechanical Engineers, Van Nost-
rand, Princeton, 1962.
8. Yamada Y., Yoshimura N., Sakurai Т., Plastic Stress-Strain Matrix and Its
Application for the Solution of Elastic-Plastic Problems by the Finite Ele-
Element Method, Int. 1. Mech. ScL, 10, 343—354 A968).
') В обеих работах уравнения решались итерационным методом, что пред-
предопределило выбор метода, в котором используется переменная матрица [//].
436
Глава 18
9. Zienkiewicz О. С, Valliappan S., King I. P., Elasto-Plastic Solutions of
Engineering РгоЫетз. Initial-Stress, Finite Element Approach, Int. J. Num.
Meth. in Eng., 1, 75—100 A969).
10. Gallagher R. H., Padlog J., Bijlaard P. P., Stress Analysis of Heated Comp-
Complex Shapes, /. Am. Rocket Soc, 32, 700—707 A962); есть русский перевод:
Галлагер, Падлог, Бейлард, Анализ напряжений в конструкциях сложной
формы, подверженных нагреву, Ракетная техника, 32, № 5, стр. 52—61
A962).
11 Argyris J H Elasto-Plastic Matrix Displacement Analysi3 of Three-Dimen-
Three-Dimensional Continua, /. Roy. Aero. Soc, 69, 633—635 A965).
12 Pope G G A Discrete Element Method for Analysis of Plane Elasto-Plastic
Strain Problems, R. A. E. Farnborough, T. R. 65028, 1965.
13a.Swedlow J. L. Williams M. L., Yang W. M., Elasto-Plastic Stresses in
Cracked Plates, Calcit, Rept. SM. 65—19. California Inst. of Technology,
1965.
136. Swedlow J L. Elastic Plastic Cracked Plates in Plane Strain, Int. I. Frac-
Fracture Mech., 5, 33—44 A969).
14. Marcal P. V., King I. P., Elastic-Plastic Analysis of Two Dimensional Stress
Systems by the Finite Element Method, Int. J. Mech. Set., 9, 143—155
A967).
15. Reyes S. F., Deere D. U, Elasto-Plastic Analysis of Underground Openings
by the Finite Element Method, Proc. 1st Int. Congr. Rock Mechanics, II,
477—486, Lisbon A966).
16 Popov E. P., Khojasteh-Bakht M., Yaghmai S., Bending of Circular РШез
of Hardening Material, Intern. J. Sol. Struct., 3, 975—988 A967).
17. Argyris J. H., Scharpf D. W., Methods of Elasto-Plastic Analysis, Symp. on
Finite Element Techniques, Stuttgart, June 1969.
18 Theokaris P S Marketos E., Elastic-Plastic Analysis of Perforated Thin
Strips of Strain-Hardening Material, /. Mech. Phys. Sol., 12, 377—390
A964).
19 Drucker D C, Prager W., Soil Mechanics and Plastic Analysis or Limit
Design, Q. Appl. Math., 10, 157—165 A952).
20 Bishop A W, The Strength of Soils as Engineering Materials, Geotechni-
que, 16, 91—128 A966).
21. Zienkiewicz О. С, Continuum Mechanics as an Approach to Rock Mas3
РгоЫетз Ch. 8 in: Rock Mechanics in Engineering Practice, Stagg K. G.,
Zienkiewicz О. С. eds., Wiley, 1969.
22. Valliappan S., Non-Linear Stress Analy3i3 of Two-Dimensional РгоЫетз
with Special Reference to Rock and Soil Mechanics, Ph. D. Thesis, Univ.
of Wales, 1968.
23 Mroz Z., Non Associated Laws in Plasticity, /. Mec. and Phys. Appl, 2,
21—41 A963).
24. Davis E. M., Theorie3 of Plasticity and the Failure of Soil Masse3, Ch. 6
in: Soil Mechanics, Lee I. K., ed., Butterworth, 1969.
25a. Zienkiewicz О. С, Best В., Some Non-Linear Problem3inSoil and Rock
Mechanics —Finite Element Solution, Conf. on Rock Mechanics, Univ. of
Queensland, Townsville, June 1969.
25b. Zienkiewicz O. C, Best В., Dullage C, Stagg K. G., Analysis of Non-
Linear Problems in Rock Mechanics with Particular Reference to Jointed
Rock Systems P.roc. 2nd Int. Congress on Rock МесЬашсз, Belgrade, 1970.
26. Valliappan S., Nath P., Tensile Crack Piopagation in Reinforced Concrete
Beams by Finite Element Techniques, Int. Conf. on Shear Torsion and Bond
in Reinforced Concrete, Coimbatore, India, Jan. 1969.
27 Krahl N W Khachaturian W., Seiss С. Р., Stability of Tensile Сгаскз in
Concrete Beams. Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, ST1, 235—254 A967).
28 Goodman R. E., Taylor R. L.. Brekke T,, A Model for the Mechanics of
Jointed Rock, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, SM3, 637—659 A968).
Физически нелинейные задачи
437
29. Scholes A., Strover E. M., The Piecewise Linear Analysis of Two Connected
Structures Including the Effect of Clearance at the Connections, Int. J Num.
Meth. in Eng., 3, 45—52 A971).
30. Mendelson A., Hischberg M. H., Manson S. S., A General Approach to the
Practical Solution of Creep Problems, J. of Basic Engineering, Trans ASME,
Series D, 81, 585—598 A959).
31. Zienkiewicz O. C, Watson M., King I. P., A Numerical Method of Visco-
Elastic Stress Analysis, Int. J. of Mech. Sci., Ю, 807—827 A968).
32. Zienkiewicz О. С, The Finite Element Method in Structural and Continuum
МесЬашсз, l3t ed., McGraw-Hill, 1967.
33. Greenbaum G. A., Rubinstein M. F., Creep Analysis of Axi-Symmetric Bodie3
Using Finite Elements, Nucl. Eng. and Design, 7, 379—397 A968).
34. Treharne G.,, Applications of the Finite Element Method to the Stre33 Ana-
Analysis of Materials Subject t.o Creep, Ph. D. Thesis, Univ. of Wale3 Swan-
зеа, 1971.
35. Lee E. H., Vi3co-Elasticity in: Handbook of Engineering Mechanics Flug-
ge W., ed., McGraw-Hill, 1962.
36. Lee E. H., Radok T. R. M., Woodward W. В., Stres3 Analysis for Linear
Visco-Elastic Materials, Trans, of the Soc. of Rheology, 3, 41—59 A959).
37. Leckie F. A., Martin J. В., Deformation Bounds for Bodies in a State of
Greep, /. Appl. Mech., ASME, 411—417 (June 1967); есть русский перевод:
Леккн, Мартнн, Оценки для поля деформаций прн ползучести. Труды Амерн-
каиского'общества ннженеров-мехаииков, Прикладная механика, №2 A967).
38. Finnie I., Heller W. R., Creep of Engineering Materials, McGraw-Hill, 1959
39. Johnson A. E., Complex Stress Creep, Met. Rev., 5, 447 (I960).
40. Frederick С. О., Chubb E. J., Bromley W. P., Cyclic Loading of a Tube
with Creep, Plasticity and Thermal Effects, Applied Mechanics Convention,
Proc. Inst. Mech. Eng., 180, 31 A965).
41. Zienkiewicz О. С, Analysis of Visco-Elastic Behaviour of Concrete Struc-
Structures with Particular Reference to Thermal Stresses, Proc. Am Concr Inst
58, 383—394 A961).
42. Hilton H. H., Ru3sell H. G., An Extension of Alfrey's Analogy to Thermal
Stress Problems in Temperature Dependent Linear Vi3co-elastic Media /.
Mech. Phys. Solids, 9, 152—164 A961).
43. Zienkiewicz O. C, Watson M., Cheung Y. K-. Stress Analysis by the Finite
Element Method — Thermal Effects, Proc. Conf. on Prestressed Concrete
Pressure Vessels, Inst. Civ. Eng., London, 1967.
44. Malina H.i Berechnung von Spannungsumlagerungen in Fels und Boden
mit Hilfe der Elementenmethode, Veroffentlichungen Univ Karlsruhe 40
1—90 A969).
45. Nayak G. C., Plasticity and Large Deformation Problems by Finite Ele-
Element Method, Ph. D. Thesi3, Univ. of Wale3, Swansea, 1971.
46. Zienkiewicz О. С, Valliappan S., Analysis of Real Structures for Creep,
Plasticity and Other Complex Constitutive Law3, Conf. on Material in Civ.
Eng., Univ. of Southampton, 1969.
47. Forchheimer P. H., Wasserbewegung durch Boden Zeit Ver Dt Ing 1782
A901).
48. Muskat M,, The Flow of Homogeneous Fluids Through Рогоиз Media
J. W. Edwards Inc., 1946.
49. Volker R. W., Numerical Solutions to Problems of Nonlinear Flow Through
Porous Media, Ph. D. Thesis, Univ. of Queensland, Town3ville, 1969.
50. Volker R. W., Non-Linear Flow in Рогоиз Media by Finite Elements, Proc.
Am. Soc. Civ. Eng., 95, HY, 2093—2114 A969).
51. Ahmed N., Suneda D. K., Non-Linear Flow in Рогоиз Media Proc Am Soc.
Civ. Eng., 95, HY6, 1847—1859 A969).
52. Winslow A. M., Numerical Solution of the Quasi-Linear Poisson's Equation
in a Non-Uniform Triangle Mesh, /. Сотр. Physics, I, 149—172 A967).
ГЛАВА 19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЗАДАЧИ; БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
и неустойчивость Конструкций
19.1. Введение
В предыдущей главе рассматривались нелинейности, обус-
обусловленные свойствами материала, и были описаны итерацион-
итерационные методы решения нелинейных задач, в которых используются
обычные линейные соотношения. В этой главе такой же подход
будет применен к исследованию геометрической нелинейности.
Во всех рассмотренных ранее задачах предполагалось, что и
перемещения и деформации конструкций малы. Практически это
означает, что форма элементов в процессе нагружения не изме-
изменяется н что для деформаций можно использовать приближен-
приближенные линейные соотношения.
На практике эти предположения часто приводят к непра-
неправильным результатам даже при малых деформациях, не превы-
превышающих предел упругости материала конструкции. При точном
¦ определении перемещений ряда конструкций может оказаться
необходимым учет геометрической нелинейности. Например,
мембранные напряжения, которыми обычно пренебрегают при
изгибе пластин, могут явиться причиной значительного умень-
уменьшения перемещений даже ири малых деформациях: С другой
стороны, может оказаться, что нагрузка, при которой прогиб
увеличивается, достигается быстрее, чем это предсказывается
линейной теорией, и может возникнуть ситуация, в которой при
продолжающемся деформировг ;ии несущая способность будет
падать. Это не что иное, как к. ассическая задача устойчивости
конструкций. Такие задачи встречаются довольно часто. Значе-
Значение их особенно велико в авиационной и космической технике,
при конструировании радиотелескопов, градирен и других тонко-
тонкостенных конструкций.
Кроме того, во многих случаях могут иметь место большие
перемещения при малых деформациях. Типичным примером
такого типа является классическая задача о гибких телах, как,
например, о часовой пружине.
В этой главе предпринята попытка подойти ко всем этим за-
задачам с единых позиций и указать общие методы исследований.
Однако ни один из вопросов, связанных с геометрической не-
нелинейностью, подробно в этой главе не рассматривается. Это
вопрос о больших, хотя и упругих деформациях таких материа-
Геометрически нелинейные задачи
439
лов, как резина и т. п. В этом случае необходимо использовать
специальные соотношения между напряжениями и деформация-
деформациями. Ограниченный объем книги не позволяет, подробно остано-
остановиться на этом вопросе. Тем не менее общий подход, описанный
в следующем разделе, можно применить и к таким задачам,
если использовать соответствующие законы связи напряжений
с деформациями.
Геометрическая нелинейность часто может сочетаться с не-
нелинейностью физического типа, рассмотренной в предыдущей
главе, такой, как пластичность при малых деформациях н др.
В принципе это не приводит к дополнительным трудностям, и
методы, изложенные в этой главе, легко могут быть применены
и к таким задачам.
19.2. Общие положения
19.2.1. Основная задача
Независимо от того, велики или малы перемещения (нлн де-
деформации), внутренние и внешние силы должны удовлетворять
условиям равновесия. Если в соответствии с изложенным в гл. 2
перемещения определяются конечным чнсл:ом (узловых) пара-
параметров {6}, то, как показано там и повторено в предыдущей
главе [см. соотношение A8.13)], должно выполняться равенство
A9.1)
где {ф} — сумма внешних и внутренних обобщенных снл, а мат-
матрица [В] определяется из соотношения
A9.2)
Черта означает, что прн больших перемещениях деформа-
деформации нелинейно зависят от перемещений и матрица [В] зависит
от {б}. В дальнейшем будет видно, что ее удобно представить
в виде _
[В] - [Sol + Wl ({б})}, A9.3)
где [Во] — матрица, определяющая бесконечно малые деформа-
деформации, а матрица [BL] зависит от перемещений. Будет показано,
что в общем случае [BL] является линейной функцией переме-
перемещений, • '
440
Глава 19
Если деформации не очень велики, то можно использовать
обычное соотношение теории упругости
{а} = [О]({е} — {е3}) + {ао}> A9.4)
где [D] — обычная матрица упругих постоянных1).
Однако в равной степени можно было бы использовать и лю-
любое нелинейное соотношение между напряжениями и деформа-
деформациями, поскольку задача сводится к решению нелинейной си-
системы уравнений A9.1).
Вероятно, нет необходимости повторять, что интегрирование
в A9.1) фактически производится по отдельным элементам, а их
вклады в уравнения равновесия в узлах суммируются обычным
образом.
19.2.2. Итерационные методы
Ясно, что уравнение A9.1) следует решать методом итера-
итераций, и возможность применения описанных в предыдущей главе
(разд. 18.3) общих методов очевидна.
При использовании метода Ньютона необходимо, как уже ука-
указывалось, найти зависимость между d {6} и d {ф}. Варьируя
A9.1) по d{§), получаем
A9.5)
d{ф} = ^d[В]т{a) dV + \ [В]тd{a}dV.
v v
Используя формулы A9.4) и A9.2), находим 2)
а на основании A9.3) имеем
Поэтому
где
d[B]=d[BL].
[K]=\[B]TW}[B]dV = [
A9.6)
A9.7)
') Необходимо иметь в виду, что компоненты напряжения, определяемые
соотношением A9.4), соответствую? используемым компонентам деформации.
В некоторых задачах о больших перемещениях эти компоненты деформации
отнесены к направлениям, значительно отличающимся от направлений перво-
первоначальных фиксированных координат.
2) Если используется нелинейное соотношение между напряжениями и де-
деформациями, то [О] = [0({а})]— матрица упругих постоянных для прираще-
приращений, определяемая равенством A8.15).
Геометрически нелинейные задачи
441
а [Ко] является обычной матрицей жесткости при малых дефор-
деформациях, т. е. [Ко] имеет гад
[K0]=\[B0Y[D][B0}dV.
A9.7а)
Матрица [Кь] появляется благодаря тому, что перемещения
велики. Она определяется выражением
\KL] = \ ([Bof [D] [BL] + [BL]T[D][BL] +
v
+ [BL]T[D][B0])dV. A9.76)
Матрица [Я] известна как матрица начальных перемещений
[2], матрица больших перемещений и т. п. Нетрудно показать,
что эту матрицу можно построить, считая деформации малыми,
но учитывая изменения координат элемента при вычислении
жесткостей.
Первый член выражения A9.6) может быть записан в виде
A9.8)
где [Ка] — симметричная матрица, зависящая от величины нап-
напряжения (в справедливости этого утверждения, вероятно, луч-
лучше всего убедиться на конкретных примерах). Эта матрица из-
известна как матрица начальных напряжений [2] или геометриче-
геометрическая матрица [3, 4]. Таким образом,
d № = ([/Со] + [К,] + Ш) d {6} = [КА d {б}, A9.9)
где [Кт]—полная матрица тангенциальных жесткостей. Итера-
Итерации метода Ньютона строятся, как описано в разд. 18.3:
а) в качестве первого приближения {6} строится решение по
линейной теорнн упругости;
б) с помощью соотношения A9.1) определяется {i|;}i для за-
заданной матрицы [В] и напряжений, определяемых равенством
A9.4) (или любым другим линейным или нелинейным законом);
в) строится матрица [Кт];
г) определяется поправка
Л {«}. = -[КгГ1 fob-
Процесс повторяется до тех пор, пока величина [тр}п не ста-
станет достаточно малой.
И здесь возможно использование постоянной матрицы, если
на каждом шаге правильно вычислять {\f}r, [5]. Хотя примене-
применение этого метода решения сокращает затраты машинного вре-
442
Глава 1У
менн, число итераций увеличивается и метод сходится во мно-
многих случаях медленно.
Все решения можно находить за один шаг для полной дей-
действующей нагрузки. Однако, как и во всех нелинейных задачах,
возникает возможность неединственности решения и при этом
может быть найдено решение, не имеющее физического смысла.
В таких случаях целесообразно задавать нагрузку отдельными
приращениями и получать нелинейное решение для каждого
приращения. С вычислительной точки зрения это часто эконо-
экономичнее, поскольку эффекты нелинейности на каждом шаге ста-
становятся меньше. Если приращения нагрузки достаточно малы
по величине, то каждое решение в приращениях с достаточной
степенью точности может быть найдено за один шаг [3, 4, б]1).
Однако необходимо периодически проверять выполнение усло-
условия равновесия с помощью нелинейного соотношения A9.1).
19.2.3. Задача начальной устойчивости
Интересно отметить, что матрица [Ка] не содержит переме-
перемещений в явном виде и пропорциональна величине напряжения
{а}. Если на первом шаге вычислений {о} определяется из ли-
линейного решения, то в соответствии с A9.6)
поскольку при этом [/Сх.]==О.
Если нагрузки увеличить в Я раз, то можно найти, что суще-
существует нейтральное состояние равновесия, т. е. такое, при ко-
котором
d{H ([/(l + A[/a)d{6} O. A9.11)
Решая описанную выше (см. гл. 17) типичную задачу о соб-
собственных значениях, можно найти К.
Это не что иное, как классическая задача начальной устой-
устойчивости (выпучивание стоек, пластин, оболочек и т. д.).
В литературе довольно часто этот метод используется там,
где он неприменим. Описанная задача начальной устойчивости
может дать физически правильное решение только в том случае,
если деформации, определенные из упругого ([Ко]) решения, та-
таковы, что матрица больших деформаций [Кь\ тождественно
равна нулю. Это может быть только в очень ограниченном числе
представляющих практический интерес случаев (например,
идеально прямая стойка под действием осевой силы; замкнутая
') Это обстоятельство фактически указывает на то, что описанный метод
эквивалентен методу Эйлера. Ясно, что его можно уточнить, применяя методы
Рунге — Кутта или методы проб и ошибок [28].
Геометрически нелинейные задачи
443
сфера, нагруженная равномерно распределенным давлением,
и т. д.). Полученные с помощью этого метода выводы о началь-
начальных «несовершенствах» применимы только в тех случаях, когда
возможна бифуркация равновесия. Для технических приложе-
приложений такие задачи необходимо исследовать, используя полную
матрицу тангенциальных жесткостей [6]. Состояние нейтраль-
нейтрального равновесия достигается тогда, когда величина [Кт}A{6}
тождественно равна нулю. Ясно, что в этом случае следует
использовать метод приращений.
19.2.4. Энергетическая интерпретация критериев
устойчивости
Как было показано в гл. 2, виртуальная работа при измене-
изменении перемещения на величину d{6} фактически равна вариации
полной потенциальной энергии х- Таким образом, в состоянии
равновесия
«*Х = <*№{*}= 0, A9.12)
т. е. полная потенциальная энергия стационарна [что эквива-
эквивалентно уравнению A9.1)].
Вторая вариация % в соответствии с A9.9) имеет вид
fhL = d(di) = d{bYdto)=*d{bY[KT\d{8\. A9.13)
Критерием устойчивости является положительность вели-
величины этой второй вариации, и, наоборот, ее отрицательность
является критерием неустойчивости (поскольку в первом случае
конструкции должна быть сообщена энергия, а во втором —
у конструкции избыток энергии). Другими словами, если матри-
матрица [Кт] положительно определенная, то состояние равновесия
устойчиво. Этот- критерий хорошо известен и широко исполь-
используется при исследовании устойчивости в случае больших де-
деформаций ') [7—9].
19.2.5. Силы, зависящие от деформации
• При выводе формулы A9.5) предполагалось, что силы [R]
не зависят от деформации. В некоторых случаях это не так.
Например, к категории зависящих от деформаций нагрузок от-
относятся давление, действующее на сильно деформируемую кон-
конструкцию, и некоторые аэродинамические'силы (при флаттере).
') Другой, хотя и реже используемой проверкой является исследование
знака определителя матрицы [Кт\.
444
Глава 19
Если силы зависят от перемещения, то в A9.5) необходимо
добавить вариацию d{R) no rf{6}. Учет этого члена позволит ис-
исследовать задачи об устойчивости и о больших деформациях
под действием таких (неконсервативных) нагрузок.
19.3. Большие прогибы и начальная устойчивость пластин
19.3.1. Определения
В качестве первого примера рассмотрим задачи, связанные
С деформацией пластин, нагруженных поперечными силами и
м
Фиг. 19.1.
а—результирующие мембранных и изгибных напряжений плоской пластины; б—удлинение
срединной поверхности при поперечном перемещении.
силами в плоскости пластины, когда перемещения конечны, но
не велики. Известно, что в таких случаях перемещения в попе-
поперечном направлении вызывают деформации мембранного типа,
и задачи о деформации в плоскости и в поперечном направле-
направлении уже нельзя рассматривать отдельно, поскольку оии яв-
являются связанными.
Как и ранее, деформаций пластины будем характеризовать
перемещениями срединной поверхности; если, как показано на
Геометрически нелинейные задача
445
фиг. 19.1, а, плоскость х, у совпадает со срединной поверхно-
поверхностью, то (см. гл. 10 и ИI)
Уху
d2w
d2w
дх ду
-{?}¦«-
мх
My
=i
»
A9.14)
В частности, Тх = <jj, где ах — среднее мембранное напря-
напряжение. Если рассмотреть деформированную пластину
(фиг. 19.1,6), то можно увидеть, что перемещение w приводит
к дополнительному растяжению срединной поверхности в на-
направлениях х и у и элемент длины dx растягивается до вели-
величины
т. е. удлинение в направлении х можно записать (с точностью
до членов второго порядка) в виде
_ дп л_ 1 ( dw V
8* ~ дх + 2 I, дх ) ¦
Рассматривая таким же образом и другие компоненты [10],
деформацию можно представить в виде
ди
дх
dv
ду
да . до
дх1
дхду
+ {
1
2 \дх
\Г dm
{
¦ dw
¦)(?)
0
о
о
') Мембранные и изгибающие компоненты помечены индексами р! и Ь.
446
Глава 19
Здесь первый член представляет собой уже неоднократно рас-
рассмотренное линейное выражение, а второй содержит нелиней-
нелинейные члены. В этом выражении и, и, w — перемещения средин-
срединной поверхности.
Если рассматривается линейно-упругое поведение, то матри-
матрица [D] состоит из мембранных н изгибающих компонент (см.
гл. 4 и 10):
[Dpl] 0 1
[ A9.16)
Перемещения с помощью соответствующих функций формы вы-
выражаются через узловые параметры. Например,
v }=[Щ{ЬУ
A9.17)
w .
Множество узловых параметров удобно разделить на части,
определяющие мембранные и изгибные деформации:
где
[У
dw
ду
(как в гл. 10).
Функцию формы также удобно представить в виде
V,] О
О IN,\
ГАМ
¦]¦•
A9.18)
A9.19)
мы будем считать, что и вектор перемещений тоже имеет вид,
соответствующий A9.18).
Такие представления удобны, поскольку все характеристики,
за исключением нелинейной деформации {ер;}, совпадают с обыч-
обычными линейными.
Геометрически нелинейные задачи
447
19.3.2. Вычисление матрицы{Б\
Для дальнейшего необходимо получить выражения для мат-
матриц [Щ и [Кт]- Сначала отметим, что
где
A9.20)
причем [Во']> [Во] — обычные известные матрицы, соответ-
соответствующие линейным элементам при плоском напряженном со-
состоянии и изгибе, а [В?] на ходится варьированием {е?,} по па-
параметрам {б6}.
Эту нелинейную компоненту деформации из выражения
A9.15) удобно записать в виде
О
1
дх
О
dw
dw
dw
~~bTJ
=4 И] {9}. A9.21)
Производные (углы наклона) w можно связать с узловыми пара-
параметрами {б6}:
{6} =
где
Матрица [G] зависит только от координат.
Варьируя A9.21), получаем1)
A9.22)
A9.23)
d Hi} "=
[A] d {6} = [A] d {9} =
.A9.24)
') При получении A9.24) использовано интересное свойство матриц [А]
и {в}. Легко проверить, что если
448
Глава 19
и, следовательно, по определению
A9.25)
19.3.3. Вычисление матрицы [Кт]
Матрицы, связанные с линейной (малой) деформацией, записы-
записываются в виде
[*о] = [К°Р °ь] A9.26)
L 0 Ко J
в соответствии с определениями, приведенными в гл. 4 и 10.
Матрицы связанные с большими перемещениями, можно по-
получить, подставляя A9.20) в A9.76). После некоторых преоб-
преобразований имеем
Lb\\dV. A9.27)
г Г о [я?Т [?>"]
v [.Симметрично [fi?]r [?)'']
Матрица [Ка] находится в соответствии с определением A9.8).
Варьируя A9.20), получаем
=[,И7 о!'
есть произвольный вектор, то
d [А] Ы =
Таким образом,
Аналогично если
[x,
0
й[Щ.
Uf\ d {9);
это второе свойство будет использовано позднее.
Геометрически нелинейные задачи
449
а после подстановки в A9.8) и A9.25) находим
Г,
т
1
^
у
т
1 ху
A9.29)
В соответствии со свойством, изложенным в примечании иа
стр. 447, можно записать
r ;
l xyJ
Таким образом, окончательно получаем
где
ху
A9.30)
A9.31)
известная симметричная матрица для начальных напряжений
пластин.
19.3.4. Задача о больших прогибах
Все необходимые соотношения для решения задачи о боль-
больших прогибах пластины уже получены.
На первом-этапе находятся перемещения {6} из решения не-
несвязанной задачи о малых перемещениях. С их помощью опре-
определяются линейная и нелинейная [по соотношению A9.21)] ча-
части действительных деформаций. Соответствующие этим дефор-
деформациям напряжения находятся из обычных соотношений теории
упругости, а затем из уравнения A9.21) определяется {ty0}. Для
последующих приближений [Кт] строится по формулам A9.26),
A9.27) и A9.30).
Полученное таким образом решение типичной задачи [9]
(фиг. 19.2) показывает, что с увеличением деформации благо-
благодаря появлению мембранных напряжений пластина становится
жестче. Перемещения краев пластины как в ее плоскости, так
и в поперечном направлении отсутствуют. Результаты расчета
хорошо согласуются с аналитическим решением.
15 Зак. 613
450
Глава 19
Для описания мембранной деформации элемента использо-
использовалась приведенная в гл. 7 простейшая функция для прямо-
прямоугольника, а для описания иэгибной деформации — несогласо-
несогласованная функция формы для прямоугольника (разд. 10.4 гл. 10).
В работах [11—15] приведены другие примеры использования
метода конечных элементов для расчета больших деформаций
пластин.
/
/
/,
/
/
/
/
(¦+++
1
г- 2а—|
/
/
/
/
t
lot
3001
200
100
I 2
vjt
Фиг. 19.2. Прогиб t»c в центре защемленной квадратной пластины при равно-
равномерно распределенной нагрузке р [9].
А — расчет больших прогибов; Б—теория малых прогибов.
19.3.5. Бифуркация
В ряде случаев, таких, например, как классическая задача
Эйлера, возможна бифуркация равновесия. Рассмотрим пла-
пластину, нагруженную лишь в своей плоскости. Поскольку попе-
поперечных перемещений w не возникает, теория малых прогибов
дает точное решение. Однако даже при нулевых поперечных пе-
перемещениях можно определить матрицу начальных напряже-
напряжений [/Со], хотя [Kl] = 0. Если мембранные напряжения сжи-
сжимающие, то эта матрица, как правило, будет такой, что из урав-
уравнения изгибной деформации
МЯ-о~ A9.32)
можно найти действительные собственные значения. Здесь А,—
множитель при мембранных напряжениях, указывающий, при
Геометрически нелинейные задачи
451
каком их значении достигается состояние нейтрального равно-
равновесия (неустойчивость). При соответствующей этим мембран-
мембранным напряжениям нагрузке начинается выпучивание и могут
появляться поперечные перемещения в отсутствие поперечной
нагрузки.
Для постановки этой задачи достаточно записать уравнение
изгиба, в которое входят введенная в гл. 10 матрица [/Со] и
определенная соотношением A9.31) матрица [/Со]-
С помощью различных конечных элементов определены точ-
точки начала выпучивания для различных задач расчета пластин
[16—21]. Некоторые сравнительные результаты для простой за-
задачи расчета квадратной свободно опертой пластины в усло-
условиях равномерного сжатия в одном направлении приведены
в табл. 19.1. Параметром выпучивания в этом случае является
величина
с Тха'
где а — сторона пластины и D — изгибная жесткость.
Значения С для квадратной свободно опертой пластины
при одноосном сжатии (точное значение С = 4,00 [10])
Таблица 19,1
2X2
4Х4
8X8
Несогласованные элементы
п рямоугол ьник
[17]. 12 степеней
свободы
3,77
3,93
треугольник [19],
9 степеней
свободы
3,22
3,72
3,90
Согласованные элементы
прямоугольник
[20J, 18 степеней
свободы
4,015
4,001
четырехугольник
[21], 18 степеней
свободы
4,029
4,002
Все элементы относятся к описанному в гл. 10 типу. Инте-
Интересно отметить, что при выполнении требования непрерывности
углов наклона для параметра выпучивания всегда получаются
оценки сверху. При использовании несогласованных элементов
в этом случае получаются оценки снизу, хотя в общем случае
справедливость этой оценки пока не установлена.
На фиг. 19.3 показана форма выпучивания для пластины бо-
более сложной формы [19]. При расчете использовались несогла-
несогласованные треугольные элементы.
Практическое значение таких задач об устойчивости пластин
невелико. Поскольку при наличии поперечных перемещений пла-
пластина становится жестче, она может выдерживать дополнитель-
дополнительные нагрузки. Такое увеличение жесткости отмечалось в при-
452
Глава 19
Фиг. 19.3. Форма выпучивания квадратной пластины с защемленными краями
и .подкрепленным фланцем центральным отверстием при сдвиге.
Размеры фланца:
мере, иллюстрированном на фиг. 19.2. Таким образом, поведение
пластины после выпучивания необходимо исследовать, применяя
описанный в предыдущих разделах общий метод изучения боль-
больших деформаций [22—24]. Для того чтобы избежать связанных
с бифуркацией трудностей, следует задать небольшое возмуще-
возмущение (или поперечную нагрузку).
19.4. Оболочки
Задачи устойчивости для оболочек имеют большее значение,
чем для пластин. При исследовании оболочек матрицу танген-
тангенциальной жесткости [Кт], как правило, всегда следует опреде-
определять с учетом действительных перемещений, поскольку, за иск-
исключением самых тривиальных случаев, при заданной нагрузке
мембранные и изгибные эффекты всегда взаимосвязаны. Одна-
Геометрически нелинейные задачи
453
ко, вычисляя матрицу начальной устойчивости [Ка] для упругих
напряжений, иногда можно получить полезные результаты от-
относительно коэффициента устойчивости Я. В классических рабо-
работах по выпучиванию оболочек почти исключительно рассматри-
рассматривается именно такая начальная устойчивость. Однако истинная
критическая нагрузка может быть значительно ниже нагрузки,
соответствующей начальной устойчивости. Поэтому важно вы-
выявить, хотя бы приближенно, влияние деформаций.
Если предполагается, что оболочки состоят из плоских эле-
элементов пластин, то к матрице тангенциальной жесткости пла-
пластины можно применить описанные в гл. 11 преобразования [25,
26]. При использовании криволинейных элементов оболочек сле-
следует вернуться к уравнениям теории оболочек и включить в них
нелинейные члены [9, 27]. Необходимые подробности читатель
может найти в упомянутых работах.
Важно опять подчеркнуть, что расчеты начальной неустой-
неустойчивости имеют смысл только в частных случаях и что они часто
дают сильно завышенные значения критических нагрузок. Для
1080
540
/
Лин
реш
у
ейное /
ение /
/ У
\--50,ecJ~
254см
У9'
У
0,51
2,03
1,02 1,12
10 wc, см
Фиг. 19.4. Прогибы в центре цилиндрической оболочки. Все края защем-
защемлены.
«=0,32 см. v=0,3, ?=3 • 10» Н/м1,
454
Глава 19
получения правильных результатов необходимо решать нелиней-
нелинейные задачи. Существенное размягчение оболочки под нагрузкой
видно иа примере, взятом из работы [9] и иллюстрированном на
фиг. 19.4. На фиг. 19.5 показано, что перемещения нагруженной
т г
2.77 с*
404.5
261,0
217,5
87,0
43.5
1
7
Г
/
I/-
1—
f
—»¦
0.25 051 0.76 1.02
Прогиб в центре, см
1,27
Фиг. 19.5. Расчет больших деформаций арки методом начальной устойчивости
н приращений.
I — решение методом начальной устойчивости; Л—решение методом конечных элемен-
элементов [71. Л—1,21 см'. /=0,00329 см", ?=6,74 • 10" Шм>.
арки неограниченно возрастают при величине нагрузки, гораздо
меньшей определенной по линейной теории устойчивости [6].
Определение истинной критической нагрузки оболочки или
другой тонкой конструкции связано с определенными трудно-
трудностями (уже рассмотренного в гл. 18 вида), поскольку не может
быть сходимости перемещений при увеличении нагрузки вблизи
предела несущей способности.
Геометрически нелинейные задачи
455
Если рассматривается только сосредоточенная нагрузка, то
удобно задавать приращения перемещений и вычислять соответ-
соответствующие реакции. Аргирис [4] с помощью этого метода изучил
поведение арки при прощелкивании.
Пиан и Тонг [28] показали, каким образом этот прием можно
просто обобщить на случай системы пропорционально изменяю-
изменяющихся нагрузок.
В работах [29—33] описаны другие методы исследования по-
потери устойчивости.
19.5. Общий случай больших деформаций и перемещений
Использованные в разд. 19.3 нелинейные соотношения A9.5)
между деформациями и перемещениями были выведены специ*
ально для этого случая. Аналогично можно вывести соотноше-
соотношения и для оболочек, кроме того, всегда существует возможность
получения и других приближенных выражений. Однако можно
использовать общее определение деформаций, справедливое как
для больших, так и для малых перемещений и деформаций.
Такое определение введено Грииом и Сеи-Венаном. Оно из-
известно как тензор деформации Грина. В фиксироваииой декар-
декартовой системе координат х, у, г деформации определяются через
перемещения и, и, w выражениями [34]
Чх« ~ ду + дх "*" L дх ду "*" дх ду "^ дх ду У
Остальные компоненты получаются в результате соответствую-
соответствующих перестановок.
Если градиенты перемещения малы, то после пренебрежения
квадратичными членами получаем обычные линейные выраже-
выражения для деформации.
Геометрическая интерпретация вышеприведенных определе-
определений деформаций в общем случае не очевидна, но следует отме-
отметить, что они являются мерами удлинения и искажения углов
первоначально ортогонального элемента.
Если деформации по величине малы, то нетрудно показать,
что ех определяет изменение длины единичного отрезка, перво-
первоначально параллельного оси х, а уху характеризует изменение
угла между двумя линейными элементами, первоначально па-
параллельными осям хну. Это справедливо даже при движе-
движениях, связанных с большими переносом и поворотом первона-
первоначальных осей координат.
Далее выводятся нелинейные выражения для матриц [В] и
[Кг] в общем случае трехмерного напряженного состояния. Из
456
Глава 19
этих выражений просто получить одномерные и двумерные фор-
формы. Это предоставляется проделать читателю в качестве упраж-
упражнения. Общие соотношения удобно использовать для задач рас-
расчета пластин и оболочек. При этом можно учесть некоторые
члены, которыми мы пренебрегали в записанных в предыдущем
разделе выражениях для пластин.
19.5.1. Построение матрицы [В J
Вектор полной трехмерной деформации можно представить
через компоненты бесконечно малой и большой деформаций
где
A9.34)
Vyz
Угх
Ухц
ди
дх
да
ду
dw
~dz
ди
dw
ди
dw
w
ди
dz
dv
A9.35)
столбец, рассмотренный в гл. 6. Нелинейные члены в соотно-
соотношении (Ш.ЗЗ) удобно переписать в виде
0
0
0
0
о
0Л:
0
где
0
0
0
do
i%) [ = т И] {9}, A9.36)
,{<«J
ит-
а [А]— матрица размерности 6x9.
Читатель легко может убедиться в справедливости записан-
записанного выше соотношения и проверить выполнение свойств матриц
Геометрически нелинейные задачи
457
[А] и {0}, описанных в подразд. 19.3.2 (примечание иа стр. 447).
В этом случае
i| A9.37)
и так как {9} можно выразить через функцию формы [N] и узло-
узловые параметры {6}, то
{9} = [G]{6} A9.38)
или
A9.39)
19.5.2. Построение матрицы [Кт\
Замечая, что _
легко построить матрицу, определенную соотношением A9.7):
A9.40)
Для получения полной матрицы тангенциальных жесткостей не-
необходимо построить матрицу начальных напряжений [Кв]- В со-
соответствии с A9.8) имеем '
{<j} dV = \[GY d[A]T {a}dV. A9.41)
v
Можно записать
d[A\
W =
Симметрично
где I3 — единичная матрица размерности 3X3.
Подставляя A9.42) в A9.41), получаем
r/3|d{9} = [Af][G]d{6},
A9.42)
] = \[G]T[M][G]dV,
A9.43)
где [М] — матрица размерности 9X9 из шести компонент на-
напряжения, расставленных, как показано в A9.42). Очевидно,
что матрица [К„] симметрична.
В предыдущих выражениях индекс элемента опущен, хотя
все матрицы должны строиться для каждого элемента, а затем
суммироваться обычным образом-.
458
Глава 19
В случае необходимости введения непротиворечивых упро-
упрощений при исследовании пластин и оболочек полезно начинать
с общих выражений. Эти выражения необходимо использовать
и при исследовании рассмотренных в гл. 14 толстых обо-
оболочек.
Если известна связь между напряжениями и деформациями,
то ее можно использовать для исследования больших деформа-
деформаций. Однако чаще определяют непосредственно энергию дефор-
деформаций через компоненты деформации и, минимизируя ее, на-
находят обобщенные силы. Некоторые примеры такого подхода
к исследованию больших деформаций даны Оденом [35—38],
который рассмотрел большие деформации резиновых мембран
и сплошных сред.
19.6. Заключительные замечания
В этой главе сделана попытка подойти ко всем задачам
о больших деформациях с одних и тех же позиций. Указаны
различные методы решения основной системы нелинейных урав-
уравнений, и вполне естественно, что перед читателем может встать
вопрос, какой из этих методов предпочтительнее. Если требуется
найти лишь одно решение нелинейной задачи о больших дефор-
деформациях, то в большинстве случаев оказывается, что метод Нью-
Ньютона сходится довольно быстро. Однако в некоторых случаях
экономически выгоднее применять методы, использующие по-
постоянную матрицу.
Если требуется исследовать весь процесс деформирования
при нагружении, то, как правило, рассматриваются малые при-
приращения нагрузки и для каждого такого приращения решается
задача линейной теории упругости, причем матрица тангенциаль-
тангенциальных жесткостей вычисляется для начала приращения нагрузки
[2, 3]. При использовании этих методов может накапливаться
ошибка, и поэтому Бреббиа и Коннор [9] рекомендуют после не-
нескольких приращений уточнять решение методом Ньютона.
Рассмотренные методы можно использовать для решения
геометрически нелинейных задач динамики, особенно когда су-
существуют матрипы жесткости, соответствующие начальным на-
напряжениям, и рассматриваемая задача квазилинейна. Андер-
Андерсеном и др. [19], например, решено много задач о колебаниях
предварительно сжатых пластин1).
Если можно построить матрицу упругих постоянных для при-
приращений, то совместное рассмотрение физической и геометриче-
геометрической нелинейностей становится особенно простым. Марсал [2]
') В работе C9] исследовались переходные процессы в таких задачах.
Геометрически нелинейные задачи'
459
решил ряд таких задач о больших пластических деформациях.
Интересно отметить, что приемы решения нелинейных задач при
физической и геометрической нелинейностях сходны. Это позво-
позволяет разработать вычислительные программы решения задач
с учетом обоих типов нелинейности.
В заключение следует отметить два обстоятельства. Во-пер-
Во-первых, это сравнительно громоздкое построение матрицы началь-
начальных напряжений для пластин, хотя в ряде ранее опубликован-
опубликованных работ изложен более простой способ построения. Однако
при этом, как нам кажется, удалось достичь общности изложе-
изложения. Во-вторых, применение используемых в книге матричных
обозначений в разделе о больших деформациях потребовало
осуществления достаточно сложных преобразований. Некото-
Некоторых упрощений можно было бы достичь при использовании тен-
тензорных обозначений. Кстати, их можно было бы применить по
всей книге. Однако избранный нами путь более доступен и по-
понятен.
ЛИТЕРАТУРА
1. Truesdell С. (ed.), Continuum Mechanics IV, Problems of Non-Linear Elas-
Elasticity, Vol. 8, p. 4, Gordon and Beach, 1965.
2. Marcal P. V., Finite Element Analysis of Combined Problems of Material
and Geometric Behaviour, Techn. Rept. 1, ONR, Brown Univ., 1969; Proc.
Am Soc. Mech. Eng. Conf. on Computational Approaches in Applied Mecha-
Mechanics, 133, June 1969.
3. Argyris J. H., Kelsey S., Kamel H., Matrix Methods of Structural Analysis,
AGARD-ograph 72, Pergamon Press, 1963.
4. Argyris J. H., Continua and Discontinua, Proc. Conf. Matrix Methods in
Structural Mechanics, Air Force Inst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base,
Ohio, Oct. 1965.
5. Nayak G. C, Plasticity and Large Deformation Problems by Finite Element
Method, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1971.
6. Marcal P. V., Effect of Initial Displacement on Problem of Large Deflec-
Deflection and Stability, Techn. Rept, ARPA E54, Brown Univ., 1967.
7 Marguerre K-, Ober die Anwendung der Energetischen Methode auf Stabi-
litatsprobleme, Hohrb., D. V. L., 252—262, 1938.
8. de Veubeke B. F., The Second Variation test with Algebraic and Differen-
Differential Contrasts, Advanced Problems and Methods for Space Flight Optimisa-
Optimisation, Pergamon Press, 1969.
9. Brebbia C, Connor J., Geometrically Non-Linear Finite Element Analysis,
Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM2, 463—483 A969).
10. Timoshenko S. P., Gere J. M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 2nd
ed., 1961.
11. Schmit L. A., Bogner F. K., Fox R. L., Finite Deflection Structural Analysis
Using Plate and Cylindrical Shell Discrete Elements, Proc. AIAA/ASME
8th Struct, and Stress Dynamic Conference, Palm Springs, California, 197—
211, March 1967; JAIAA, 5, 1525—1527 A968); есть русский перевод: Шмит,
Богнер, Фокс, Расчет конструкций прн конечных прогибах с использова-
использованием дискретных элементов пластин н оболочек, Ракетная техника и кос-
космонавтика, W» 5, стр. 17 A968).
460
Глава 19
12. Turner M. J., Dill E. H., Martin H. C, Melosh R. J., Large Deflection of
Structures Subjected ot Heating and External Loads, J. of Aero. Sciences,
27, 97—106 A960).
13. Kawai Т., Yoshimura N., Analysis of Large Deflection of Plates by Finite
Element Method, Int J. Num. Meth. Eng., 1, 123—133 A969).
14. Mallett R. H., Marcal P. V,, Finite Element Analysis of Non-Linear Structu-
Structures, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, S. T. 9, 2081—2105 A968).
15. Murray D. W-, Wilson E. L., Finite Element Large Deflection Analysis of
Plates, Proc. Am. Soc. Civ.-Eng., 94, EM I, 143—165 A968).
16. Martin H. C, On the Derivation of Stiffness Matrices for the Analysis of
Large Deflection and Stability Problems, Proc. Conf. Matrix Methods in
Struct. Mech., Air Force Inst. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio,
Oct. 1965.
17. Kapur K. K., Hartz B. J., Stability of Thin Plates Using the Finite Element
Method, Proc. Am. .Soc. Civ. Eng., EM2, 177—195 A966).
18. Gallagher R. H., Padlog J., Discrete Element Approach to Structural Instabi-
Instability Analysis. JAIAA, 1, 1537—1539 A963); есть русский перевод: Галлагер,
Падлог, Исследование устойчивости конструкций на осноне анализа дис-
дискретных элементов, Ракетная техника и космонавтика, № 6, стр. 194
A963).
19. Anderson R. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Vibration and Stability of
Plates Using Finite Elements, Int. J. Solids Struct., 4, 1031—1055 A968).
20. Carson W. G., Newton R. E., Plate Buckling Analysis Using a Fully Com-
Compatible Finite Element, JAIAA, 8, 527—529 A969); есть русский перевод:
Карсон, Ньютон, Анализ выпучинания пластинки с использованием пол-
полиостью совместного конечного элемента, Ракетная техника и космонавтика,
№ 3, стр. 174 A969). :
21. Kabaila A. P., de Veubeke В. F., A Quadrilateral Element for'Plate Buck-
Buckling Analysis, Int. J. Num. Meth. in Eng. (в печати).
22. Murray D. W., Wilson E. L., Finite Element Post Buckling Analysis of
Thin Elastic Plates, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech., Wright
Patterson Air Force Base, Ohio, 1968.
23. Rockey K. C, Bagchi D. K., Buckling of Plate Girder Webs Under Partial
Edge Loadings, Int. J. Mech. Set., 12, 61—76, "A970).
24. Roberts Т. М., Ashwell D. G., Rost-buckling Analysis of Slightly Curved
Plates by the Finite Flement Method, Rept. 2, Dept. of Civil and Struct. En-
Engineering, Univ. of Wales, Cardiff, 1969.
25. Anderson R. G., A Finite Element Eigenvalue Solution System, Ph. D. The-
Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1968.
26. Gallagher R., Gellatly R., Mallett R., Padlog J., A Discrete Element Proce-
Procedure for Thin Shell Instability Analysis, JAIAA, 5, 138—145 A967); есть
русский перевод: Галлагер, Джеллатли, Падлог, Моллети, Расчет неустой-
неустойчивости тонких оболочек методом дискретных элементов, Ракетная тех-
техника и.космонавтика, № 1, стр. 161 A967).
27. Gallagher R. H., Yang H. Т. Y., Elastic Instability Predictions for Doubly
Curved Shells, Proc. 2nd Conf. Matrix Methods, Air Force Inst. of Techn.,
Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
.28. Pian T. H. H., Tong P., Variational Formulation of Finite Displacement Ana-
Analysis, Symp. Int. Un. Th. Appl. Mech. on High Speed Computing of Elastic
Structures, Liege, 1970.
29. Martin H. C., Finite Elements and the Analysis of Geometrically Non-Li-
Non-Linear Problems, U. S. — Japan Seminar on Matrix Methods in Structural
Analysis and Design, Tokyo, 1970.
30. Walker A. C, A Non-Linear Finite Element Analysis of Shallow Circular
Arches, Int. J. Solids Struct., 5, 97—107 A969).
31. Thompson J. M. Т., Walker A. C, A Non-Linear Perturbation Analysis of
Discrete Structural Systems, Int. J. Solids Struct., 4, 757—767 A968).
Геометрически нелинейные задачи
461
32. Przemieniecki J. S., Stability-Analysis of Complex Structures Using Dis-
Discrete Element Techniques, Symp. on Struct. Stability and Optimisation,
Loughborqugh Univ., March 1967.
33. Connor J., Morin N., Perturbation Techniques in the Analysis of Geomet-
Geometrically Non-Linear Shells, Symp. Int. Un. Th. Appl. Mech, on High Speed
Computing of Elastic Structures, Liege 1970.
34. Fung Y. C, Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall Int., 1965.
35. Oden J. Т., Finite Plane Strain of Incompressible Elastic Solids by the Fi-
Finite Element Method, The Aeronautical Quarterly, 19, 254—264 A967).
36. Oden J. Т., Sato Т., Finite Deformation of Elastic Membranes by the Fi-
Finite Element Method, Int. J. Solids and Struct. 3, 471—488 A967).
37. Oden J Т., Numerical Formulation of Non-Linear Elasticity Problems,
Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, ST3, 235—255 A967).
38. Oden J. Т., Finite Element Applications in Non-Linear Structural Analysis,
Proc. Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Engineering,
Am. Soc. Civ. Eng., Vanderbilt Univ., 1969.
39. Stricklin J. A., Non-Linear Dynamic Analysis of Shells of Revolution, Symp.
Int Un. Th. .Appl. Mech. on High Speed Computing of Elastic Structures,
Liege, 1970.
ГЛАВА 20
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
И ПРОГРАММЫ (ЧЕНГ И КИНГ)
20.1. Введение
Метод конечных элементов легко программируется для быст-
быстродействующих вычислительных машин и достаточно эффекти-
эффективен, поскольку с помощью ЭВМ можно решать большие системы
линейных алгебраических уравнений, которые получаются после
дискретизации задачи [1].
Для расчета методом конечных элементов разработано боль-
большое количество программ. Первоначально они имели узко спе-
специальное назначение и часто составлялись на машинном языке.
Подмеченное в процессе различных приложений сходство
в структуре программ привело к созданию более совершенных
и универсальных программ. Одним из первых примеров является
программа ASKA1), ориентированная на определенный тнп ма-
машины. Например, в области исследования аэрокосмических
проблем особое значение имеет возможность решения множе-
множества различных задач; составление универсальной программы
для расчета небольшого числа задач малоэффективно.
. Быстрые темпы развития вычислительной техники привели
к необходимости создания программы на языке, понятном лю-
любой машине. Возможности алгоритмического языка ФОРТРАН
обусловили его широкое использование для программирования
при решении задач методом конечных элементов.
Программа NASA2) представляет собой попытку создания
гибкой программы для широких исследований и решения задач
Американской аэрокосмической промышленности.
Созданные в Суонси программы FESS (Finite Element Solu-
Solution Swansea) и FINESSE были больше ориентированы на эф-
эффективное решение инженерных задач строительной механики
малых и средних размеров, таких, например, как расчет мо,-
стов, плотин, ядерных реакторов. При их разработке основное
внимание уделено созданию простой системы, которую легко
приспособить к любым конкретным задачам.
Важно иметь в виду, что затраченные усилия при програм-
программировании должны окупаться эффективностью программы. Чем
') Составлена под руководством проф. Аргириса (Штутгарт).
2) Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического
пространства,
Вычислительные методы а программы
463
меньшую по размеру предстоит создать программу, тем больше
внимания следует уделить ее эффективности. При составлении
программы решения задач методом конечных элементов важно
знать пределы возможностей машины и при необходимости ис-
использования специальных приемов переходить к ЭВМ с боль-
большим объемом памяти и большим быстродействием. Программи-
Программирование в машинных кодах, как правило, происходит более
медленно, и разработка такой программы обходится дороже.
Программа и приемы программирования, описанные в этой
главе, имеют ряд особенностей, присущих программе FESS. Од-
Однако многие приемы и тонкости рационального использования
памяти, характерные для программы FESS, здесь опущены ради
простоты. Тем не менее приведенная программа без каких-либо
существенных изменений использовалась для расчета сложных
упругопластических задач. И хотя здесь приведен всего лишь
простейший вариант программы, с ее помощью успешно иссле-
исследовались методом собственных функций также задачи устойчи-
устойчивости и теории колебаний.
20.2. Программы, реализирующие метод конечных элементов
Программы, реализующие метод конечных элементов, могут
иметь различное назначение. Чаще всего требуется только ре-
решение линейных задач в упругой постановке, однако число
степеней свободы может быть различным, от нескольких десят-
десятков до нескольких- тысяч. В задачах динамики и устойчивости
может потребоваться отыскание собственных значений, а для
решения нелинейных задач может оказаться необходимым при-
применение различных итерационных методов.
При решении конкретных задач методом конечных элементов
встретятся непреодолимые трудности, если составлять програм-
программу для каждого нового класса задач. Поэтому очень важно
использовать созданные ранее программы.
Типичная программа, реализующая метод конечных элемен-
элементов, состоит из ряда общих блоков, которые в различных кон-
контекстах могут использоваться по-разному. Такими блоками яв-
являются ввод исходных данных, вычисление жесткости элементов,
решение уравнений, построение матрицы масс, нахождение соб-
собственных значений, вычисление напряжений и вывод на дисплей.
При программировании такие блоки используются как под-
подпрограммы. Для обеспечения взаимозаменяемости входные
параметры этих подпрограмм должны быть стандартизированы.
Тогда при составлении новой программы в каждом конкретном
случае можно просто комбинировать соответствующие подпро-
подпрограммы, и вся дополнительная работа программиста сведется
464
Глава 20
лишь к введению каких-либо новшеств или дополнений, связан-
связанных со спецификой задачи.
В таких системах управляющая программа обычжхпредстав-
ляет собой очень простую программу, которая обращается
в соответствующем порядке к различным подпрограммам. Для
некоторых классов задач можно создать стандартные управляю-
управляющие программы и автоматизировать выбор нужных подпро-
подпрограмм. В больших организациях, имеющих дело с некоторыми
определенными типами задач, создание таких стандартных про-
программ может оказаться чрезвычайно полезным. Однако в иссле-
исследовательских целях, видимо, предпочтительнее более гибкое
ручное программирование.
Важно, чтобы сформированные блоки имели достаточное ко-
количество документации, позволяющей легко использовать их не
только непосредственному составителю, но и другим лицам.
Крайне полезным может оказаться включение в соответствую-
соответствующие места комментариев.
Пример управляющей программы. В этой главе приведен
пример программы расчета линейной задачи о плоской дефор-
деформации, ие требующей большого объема памяти машины, что
позволяет применять ее в малых ЭВМ. Программа написана на
языке ФОРТРАН IV и представляет собой очень простой прн-
, мер использования отдельных подпрограмм. Однако она вполне
пригодна для решения практических задач и легко, может
быть использована читателями, знакомыми с ФОРТРАНОМ.
В разд. 20.7 описан пример решения с помощью этой программы
задачи о плоском напряженном состоянии (с измененными ма-
материальными константами). При использовании подпрограмм
в других целях нлн при применении элементов других типов не-
необходимо составить соответствующие управляющие программы.
Типичная блок-схема управляющей программы приведена на
стр. 467.
Заметим, что в этой программе цикл по нагрузкам вводится
в целях экономии памяти вычислительной машины, что, однако,
приводит к увеличению затрат машинного времени. Тем не ме-
менее, когда есть необходимость отдельно исследовать влияние
большого числа различных видов нагрузок, как, например, при
расчете мостов, его введение обязательно. Для задач с неболь-
небольшим разнообразием нагрузок часто бывает предпочтительнее
рассматривать их одновременно.
Обозначения переменных общего блока (CONTR)
TITLE A2) Массив для заголовка из 12 символов
NP Число узловых точек
NE Число элементов
Вычислительные методы и программы
465
NB Число узлов, в которых заданы граничные
условия
NDF Число степеней свободы узла
NCN Максимальное число узлов в элементе
NLD Количество случаев нагруження
NMAT Количество типов материала
NSZF Число уравнений в системе
LI Счетчнк цикла по нагрузкам
NT4 Порядковый номер запоминающего устрой-
устройства
Основные переменные, помещаемые в область COMMON
CORD A00,2) Массив координат узловых точек
NOP B00,4) Массив, содержащий информацию о связи
элементов
IMAT B00) ' Массив, содержащий информацию О типе
материала элемента
ORT B5,2) Массив, содержащий характеристики ма-
материала элемента
NBC B5) Номера узлов, в которых заданы гранич-
граничные условия
NFIX B5) Тип граничного условия
RI B00) Вектор нагрузки
SK B00,40) Прямоугольная матрица для уравнений
Обозначения переменных в программе MAIN
NPROB Количество задач
NPR Счетчнк числа задач
С
С
С
с
с
с
с
Программа 20-1
COMMON 'CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1B00),SKB00,40)
Номер исходной ленты и максимальное число узловых точек
NT4 = 11
NCN = 3
READE,1) NPROB
Начало цикла по задачам
10
466
Глава 20
С
С
С
DO 400 NPR = 1.NPROB
REWIND NT4
Считывание исходных данных по геометрии и свойствам материалов
CALL GDATA
NSZF=NP«NDF
DO 20QL1 = l.NLD
Считывание нагрузка
CALL LOAD 23
Формирование и решение системы алгебраических уравнений
13
16
14
19
21
22
Блок-схема программы МАШ
С
С
С
CALL FORMK
CALL SOLVE
Вычисление Напряжений
CALL STRESS
200 CONTINUE
400 CONTINUE
1 FORMAT(915)
STOP
END
28
32
33
35
36
37
20.3. Ввод исходных данных
Для работы программы, реализующей метод конечных эле-
элементов, дополнительно требуются четыре основные системы
исходных данных:
а) координаты и характеристики элементов;
б) свойства материала каждого элемента;
в) граничные условия;
г) нагрузки.
Подпрограммы ввода исходных данных могут иметь различ-
различную структуру, но в любом случае их основное назначение со-
состоит в формировании массива исходных данных указанных
четырех систем, характеризующих задачу. Для работы управ-
управляющей программы необходим полный набор исходных данных.
20.3.1. Координаты и характеристики элементов
Используемые координаты — это координаты всех узловых
точек (например, координаты х( и г/{ узла i в задаче о пло-
плоском напряженном состоянии), расположенные в определенном
порядке. В большинстве случаев матрицы жесткости ие зави-
зависят' от положения начала координат, которое обычно выби-
выбирается произвольно.
Начало
ичшпыошше информации'
о количестве решаемых
зада'/
Начало цикла
по задачам
Вызов подпрограммы ввода
исходных данных
Начало цикла
по нагрузкам
Вызов подпрограммы ввода
нагрузки
1
вызов подпрограммы форми-
формирования матрицы жесткости
Вызов подпрограммы решения
сиотемы уравнений
Вызов подпрограммы вывода
напряжений
Конец цикла по нагрузкам
Конец цикла по задачам
Останов
468
Глава 20
К характеристикам элементов относятся информация о связи
между элементами, содержащая номера всех узлов элемента,
а также число, характеризующее свойства материала элемента.
Эти характеристики также перечислены последовательно.
20.3.2. Свойства материала
В большинстве приложений свойства материала одинаковы
для больших групп элементов. Поэтому удобно присвоить каж-
каждому элементу номер, определяющий материал элемента, и ин-
информацию о свойствах материала считывать отдельно.
20.3.3. Нагрузки
Для обеспечения максимальной простоты и гибкости про-
программы нагрузки можно задавать в виде одного вектора, кото-
который затем непосредственно используется в программе. Во мно-
многих случаях, когда число точек, в которых задана нагрузка, со-
составляет лишь небольшой процент от общего числа узлов си-
системы, бывает предпочтительнее считывать только ненулевые
значения нагрузки и номера соответствующих узлов. Вектор на-
нагрузки должен быть, конечно, задан нулевым, чтобы его компо-
компоненты, соответствующие ненагруженным узлам, были нулевыми.
Однако в тех случаях, когда рассматриваются объемные
силы, для формирования вектора нагрузки в зависимости от
геометрии системы и свойств материала необходимо иметь
специальную подпрограмму. Подпрограммы формирования век-
вектора нагрузки можно также использовать для вычисления зна-
значений узловых сил при действии распределенной нагрузки.
В результате работы таких подпрограмм получаются векторы
нагрузки, идентичные по форме обычным векторам, считывае-
считываемым с перфокарт.
20.3.4. Граничные условия
Граничные условия могут быть учтены либо при построении
элементов, либо путем соответствующего изменения системы ал-
алгебраических уравнений непосредственно перед ее решением.
Последний подход удобен для элементов простой формы, но ста-
становится сложным при использовании элементов высоких поряд-
порядков или при необычных граничных условиях, как, например, при
ограничениях, накладываемых в некотором произвольном на-
направлении. В приведенной в этом разделе подпрограмме гранич-
граничное условие для узла считывается в виде комбинации цифр О
и 1, причем 0 означает отсутствие ограничений на данную сте-
степень свободы, а 1 — наличие ограничений.
Таким образом,
Вычислительные методы и программы
469
01 означает свободу в направлении X и отсутствие переме-
перемещений в направлении Y;
10 означает отсутствие перемещения в направлении X и сво-
свободу в направлении Y;
11 означает отсутствие перемещений в обоих направлениях.
Примеры подпрограмм. Ниже помещены тексты двух подпро-
подпрограмм. Подпрограмма GDATA считывает основные исходные
данные о геометрии, а подпрограмма LOAD считывает векторы
нагрузки. Ни одна из них не может самостоятельно вырабаты-
вырабатывать исходные данные. Блок-схемы этих подпрограмм приве-
приведены на стр. 470 и 471.
Обозначения переменных в подпрограмме GDATA
II Вывод на печать введенных исходных данных
Обозначения переменных в подпрограмме LOAD
RC) * Массив для временного хранения значений на-
нагрузки в узле NQ
Программа 20-2
SUBROUTINE GDATA . ]
COMMON/CONTR/TITLEUaj.NP.NE.NB.NDF.NCN.NLD.NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1B00),SKB00,40)
2RC)
С Считывание н печать заголовка и контрольных данных
С
READE,7)TITLE
WRITEF,1OO)TITLE
READE,l)NP,NE,NB,NLD,NDF,NMAT,n
WRrTEF,l)NP,NE,NB,NLD,NDF,NMAT,n
С
С Считывание и печать характеристик материала
С
READE,8) (N,(ORT(N,I),I =* 1,2),N = l.NMAT) ¦
WRITEF,108)
,WRITEF,8) (N,(ORt(N,r),r= 1,2),N=» l.NMAT)
С
С Считывание информации об узлах
С
READE,2) (N,(CORD(N,M),M= 1,2),N= 1,NP)
11
15
17
35
37
Массив, расположенный в области COMMON.
Вычислительные методы и программы
471
Блок-схема программы GDATA
Нет
Начало
1
Считывание а печать
контрольных данных
1
Считывание и печать
харантеристик материала
Считывание ноординат узлов
Считывание информации о свяои
между элементами и типе элемента
Считывание граничных условий
Нужно ли печатать исходные данные ?
Да
Печать ноординат узлов
Печать информации о свяои
между элементами
Печать граничных условий
Возврат в основную программу
С
с
с
с
с
с
с
с
с
Блок-схема подпрограммы LOAD
Да
Начало
Задание нулевого вектора нагрузки
Печать заголовна
Считывание информации о нагрузне
. с перфонарты и печать
васылна значений
в,вектор нагрузни
Меньше ли номер узла
максимально возможного ?
I
Нет
Возврат в основную программу
Считывание информации об элементе
READE,3) (N,(NOP(N,M),M=. 1,3),IMAT(N),N=. 1,NE)
Считывание граничных условий
READE,4) (NBC(I),NFIX(I),I=. 1,NB)
480 IF(Il.NE.O) GO TO 500
Печать введенных данных
WRITEF,102)
WRITEF,2) (N,(CORD(N,M),M=. 1,2),N= 1,NP)
WRITEF,103)
WRITEF,3) (N,(NOP(N,M),M=- 1,3),IMAT(N),N=. l.NE)
WRITEF,104) " '
WRITEF,4) (NBC(I),NFIX(I),I — 1.NB)
40
42
44
46
50
51
52
53
55
472
Глава 20
Вычислительные методы и программы
473
500 CONTINUE
1 FORMAT(915)
' 2 FORMAT(I10,2F10.3)
3 FORMATF15)
4 FORMATB15)
7 FORMATA2A6)
8 FORMAT(I10,2F10.2)
100 FORMAT Щ1.12А6)
102 FORMATB0H0 NODAL POINTS)
103 FORMATB0H0 ELEMENTS)
104 FORMATB1H0 BOUNDARY CONDITIONS)
108 FORMATAHO,20H MATERIAL PROPERTIES)
RETURN
END
Программа 20-3
SUBROUTINE LOAD
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1B00),SKB00,40)
2,RC)
Задание нулевого массива нагрузки
DO 160 J= l.NSZF
160 R1(J) = O.
WRITEF,100) TITLE.LI
WRITEF,109)
Считывание с перфокарты, печать и засылка в память
информации о нагрузке
165 CONTINUE
READE,9)
1 NQ,(R(K),K=1,NDF)
WRITEF,9)
1 NQ,(R(K),K = I,NDF)
DO 170 K= l.NDF
IC = (NQ — 1).NDF + K
170 R1(IC R(K) + R1(IC)
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
Если номер узла не равен максимальному NP, то возврат и про-
продолжение считывания
IF(NQ.LT.NP) GO TO 165
9 FORMAT(I10,3F10.2)
20 FORMATA0X,4I5)
100 FORMAT(IH1,12A6,5X, 10HLOAD CASE, 15)
@9 FORMATAHO,6H LOADS)
RETURN
END
58
71
72
75
77
80
81
82
83
10
11
12
13
20
21
22
23
24
25
26
27
9
28
39
40
41
42
43
44
20.4. Формирование матрицы жесткости
Основная задача подпрограммы формирования матрицы
жесткости — составление матрицы жесткости элемента для ис-
исследуемой задачи. Такая подпрограмма обычно использует всю
необходимую информацию из общих массивов памяти и в конце
работы либо возвращает матрицу жесткости элемента в вызы-
вызывающую программу, либо отсылает ее в периферийную память.
Структура подпрограммы в большой степени зависит от матема-
математического описания жесткости элемента и, в частности, от того,
необходимо ли для элемента численное интегрирование или воз-
возможно точное интегрирование.
Для простых элементов основными операциями являются:
а) описание элемента в локальных координатах;
. б) составление матрицы В, связывающей деформации с пе-
перемещениями (или ее эквивалента);
в) составление матрицы D, связывающей напряжения и де*
формации;
г) получение матричного произведения BTDB;
д) интегрирование по площади элемента произведения ма-
матриц (в случае плоского напряженного состояния эта операция
сводится к простому умножению на площадь треугольника);
е) выполнение при необходимости обратного преобразования
полученной матрицы к глобальным координатам.
Выбор системы локальных координат обычно зависит от иС'
пользуемого способа получения матрицы жесткости. В Простей-
Простейших случаях (например, треугольный элемент при плоской де-
деформации) система локальных координат может либо просто
совпадать с глобальной, либо может быть получена путем пере-
переноса начала координат в один из узлов или в центр тяжести
элемента. На этой стадии, если необходимо, могут применять-
применяться L-координаты или криволинейные координаты, описанные
в гл. 7 н 8.
Подпрограмма формирования матрицы жесткости может ис
пользоваться для построения матрицы напряжений, после умно-
умножения которой на соответствующие узловые перемещения полу-
получаются напряжения элемента. Эта матрица обычно строится
попутно при формировании матрицы жесткости, и получение ее
не требует большого машинного времени. При этом возможны
два варианта. Первый — составлять матрицу напряжений одно-
одновременно с матрицей жесткости и хранить ее до дальнейшего
использования в накопителе (т. е. сначала вычислять произве-
произведение DB, а затем BTDB), а второй — отдельно вычислять ма-
матрицу DB непосредственно перед использованием. Выбор того
или другого способа зависит от скорости выборки данных из
4?4
Глава 20
накопителя и от времени, необходимого для повторного прове-
проведения некоторых вычислений.
Для сложных элементов, например изопараметрического
типа, указанный порядок вычислений, как правило, неэкономи-
неэкономичен. В этом случае можно использовать специальные приемы,
описанные, в частности, Айронсом [2].
В зависимости от характера задачи основная программа
может изменяться. Некоторые возможности описаны ниже.
а) При использовании элементов высоких порядков с до-
дополнительными узлами на сторонах или групп малых элементов
одной и той же конфигурации исходные данные могут зада-
задаваться только в некоторых определенных узлах, а для полного
описания геометрии элемента могут использоваться специальные
подпрограммы. Иногда элемент может содержать узел, не свя-
связанный с другими элементами (например, внутреннюю степень
свободы). В таких случаях соответствующую степень свободы
можно исключить, а в ансамбле использовать сокращенную
матрицу жесткости.
б) Координатные оси можно выбирать по направлению пе-
перемещений (например, координаты, связанные с узлом, которые
описаны в работе [3]), что влечет за собой необходимость пре-
преобразования матриц от узла к узлу. Применение таких коорди-
координат приводит к тому, что матрицы жесткости элементов записы-
записываются в разных системах координат. Указанный подход удобен
в следующих случаях:
1) при наличии узлов, в которых под некоторым углом к гло-
глобальным осям направлена одна (или несколько) удерживающая
связь, что сильно затрудняет непосредственный учет граничных
условий;
2) при учете симметрии или антисимметрии с целью умень-
уменьшения общего числа уравнений; например, при исследовании '/в
вместо lU пластины в случае двойной симметрии или при ис-
использовании неосесимметричных элементов в осесимметричных
задачах [3].
3) при исследовании оболочек двойной кривизны, когда ось z
в каждом узле направляется по внешней нормали к поверхности
оболочки, так что для каждого узла требуется всего лишь пять
степеней свободы [4].
Пример программы. Приведенная программа строит мат-
матрицу жесткости размерностью 6X6 для элемента, используе-
используемого при расчете плоской деформации, и записывает матрицу
напряжений на магнитную леиту для дальнейшего использова-
использования при вычислении напряжений элемента. Блок-схема про-
программы приведена на стр. 477.
Вычислительные методы и программы
475
Обозначения переменных в подпрограмме STIFT2 (N)
N
I, J, К '
AJ, BJ, АК, ВК
АC,6) *
ESTIFM A2,12)*
В C,9) *
¦ Программа 20-4
Всюду обозначает номер элемента
Параметры, определяющие связи эле-
элемента; позже используются как счет-
счетчики цикла
Локальные координаты треугольника
Матрица, связывающая деформации
с перемещениями
Матрица, связывающая 'напряжения с
деформациями; в дальнейшем исполь-
используется при построении матрицы жест-
жесткости элемента;
Матрица напряжений для обратного
хода
С
С
С
С
С
С
SUBROUTINE STIFT2(N) 1
COMMON/CONTR/TITLE(I2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1B00),SKB00,40)
2, ESTIFMA2,12),AC,6),BC,9)
10
Определение связей элемента
I = NOP(N,1) 11
J = NOP(N,2) 12
K = NOP(N,3) 13
L = IMAT(N) 14
Образование системы локальных координат
AJ = CORD(J,1) — CORD(I,1) 15
AK = CORD(K,1) — CORD{1,1) 16
BJ = CORD(J,2) — CORD(I,2) 17
BK = CORD(K,2) — CORD(I,2) 18
AREA = (AJ.BK —AK>BJ)/2 19
IF(AREAXE.O.) GO TO 220 20
Формирование матрицы связи деформаций с перемещениями
f =s DJ — Dl\ 4O
:) = 0. 24
I) = BK 25
= 0. 26
i - - BJ - 27
i =0. 28
Массивы, расположенные в области COMMON.
476
Глава 20
Вычислительные методы и программы
477
С
С
С
AB,l) = 0.
AB,2) = АК - AJ
AB,3 =0.
AB,4) = - AK
AB,5) = O.
AB,6) = AJ
AC,1) = AK-AJ
AC,2) = BJ - BK
АC;3) = -АК
3,4) = BK
3,5 = AJ
AC,6) = -BJ
Формирование матрицы связи напряжений с деформациями
COMM = ORT(L,1)/(A. + ORT(L,2)).A.-ORT(L,2).2).AREA)
ESTIFMA,1) = СОММ.A. - ORT(L,2))
ESTIFMA,2)=COMM.ORT(L,2)
ESTIFM(l,3) = 0.
ESTIFMB,1) = ESTIFMA,2)
ESTIFMB,2) = ESTIFMA,1)
ESTIFMB,3) = O.
ESTIFMC,l) = 0.
ESTIFMC,2) = 0.
ESTIFMC,3) = ORT(L,1)/B«A.+ORT(L,2)«AREA)
с
с
с
с
В — матрица напряжений для обратного хода; хранится иа ма-
магнитной ленте
DO 205 I = 1,3
DO 205 J—1,6
B(I,J) = 0.
DO 205K=l,3
205 B(I,J) = B(I,J) + ESTIFM(I,K)/2..A(K,J)
WRITE(NT4)N,((B(I,J),J = 1,6),I = 1,3)
ESTIFM — матрица жесткости
DO 210 1 = 1,6
DO 210 J =. 1,6
• ESTIFM(I,J) = 0.
DO 210 К =1,3
210 ESTIFM(I.J) = EST1FM(I,J) + B(K,I)/2.»A(K,J)
RETURN
Выход из программы при ошибке в задании связей"
220 WRITEF,100)N
100 FORMATC3H1ZERO OR NEGATIVE AREA ELEMENT N014/21
HOEXECUTION 1TERM1NATED)
STOP
END
с
с
с
с
с
с
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
42
43
44
46
47
48
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
63
64
66
67
68
Блок-схема подпрограммы STIFT2
Начало
Размещение связей уолов
Вычисление размеров
влементов
Проверка правильности нумерации
Неправильно
Правильно
Составление матрицы связи
напряжений с деформациями
Выдача
сигнала
ошибни
Вычисление матрицы напряжений
Останов
Запись матрицы напряжений
на маенитную ленту NT4
вычисление матрицы
жесткости элемента
возврат в основную проврамму
20.5. Составление ансамбля и решение уравнений
В любой программе, реализующей метод конечных элемен-
элементов, ключевой является подпрограмма решения систем уравне-
уравнений. Выбор метода решения зависит от числа уравнений задачи
и от типа используемой вычислительной машины.
478
Глава 20
В простейшем случае уравнения формируются полностью.
При таком подходе требуется N2 ячеек памяти, где N— количе-
количество уравнений, и его можно использовать только для небольших
задач и при применении больших ЭВМ. При 100 уравнениях, на-
например, требуется 10 000 ячеек памяти.
Для решения систем линейных уравнений хорошо разрабо-
разработаны два метода: а) прямой метод, позволяющий получить точ-
точное (в пределах ошибки округления) решение; б) итерационный
метод, использующий сходящийся к точному решению процесс
последовательных приближений.
В качестве прямого метода часто используется метод исклю-
исключения Гаусса, а в качестве итерационного — метод Гаусса — Зей-
деля.
20.5.1. Метод исключения Гаусса
Пусть система N уравнений представлена в блочном виде
B0.1)
где К и — матрица размерности 1 X U
K"i2 — матрица размерности 1 X (Л^ — 1),
К21 — матрица размерности (N — 1) X 1.
iC22 — матрица размерности (N — 1) X (N — 1),
6 —вектор неизвестных величин,
F — вектор известных величин.
Метод исключения Гаусса позволяет уменьшить размерность
матрицы К и получить матричное уравнение размерности iV— 1
в виде
К*Ь = Г, B0.2)
где
B0.3)
К* — Кп — Къ\Ки К\г,
F* =
B0.4)
Разбивая точно так же на блоки матрицу К*, этот прием
можно повторить. Основной операцией при этом будет вычисле-
вычисление тройного произведения KnKTiKn. Так как матрица Км
имеет размерность 1 X 1. количество операций пропорционально
(N— IJ. Когда размерность матрицы К будет сведена к I X 1.
последнюю неизвестную 6П можно будет найти непосредственно.
Используя обратный ход1), остальные неизвестные можно
') Процесс исключения Гаусса обычно называют прямым ходом, а реше-
решение системы с треугольной матрицей — обратным ходом. — Прим. ред.
Вычислительные методы и программы
479
определить из уравнения типа
6i = KTi1Fl - .КГ1Ч1262. B0.5)
Описанная процедура представляет собой простейший пря-
прямой метод, при использовании которого все элементы матрицы
хранятся в оперативной памяти и участвуют в вычислениях. Ис-
Используя свойство симметрии матриц жесткости, можно сокра-
сократить число операций почти вдвое, производя все действия только
с частью матрицы, расположенной выше диагонали. При этом
для решения необходимо выполнить около :I&N3 операций.
Типичная матрица жесткости ансамбля элементов содержит
много нулей, в частности, на некотором расстоянии от диаго-
диагонали находятся только нулевые члены. Такая матрица назы-
называется ленточной, а расстояние от диагонального члена эле-
элемента до последнего ненулевого элемента этой же строки на-
называется половиной ширины ленты. Ленточный характер этой
матрицы можно продемонстрировать, записывая ее в блочном
виде, как показано ниже, где нулевая подматрица заменяет
часть подматрицы К\2, содержащую нули:
п ^12 0
0
K22
B0.6)
В силу симметрии матрицы будут иметь размерности
-l - m)),
-l- m)).
При исключении подматрицы .ifи изменяется только К22, так
как нулевая подматрица не изменяет Кп и Км- Количество опе-
операций исключения пропорционально /и2, а общее количество
операций — величине
N
где /nma-t — максимальная ве-
веили приблизительно '/г^/и;
личина половины ширины ленты.
На практике половина ширины ленты обычно меньше '/ю раз-
размерности матрицы, и описанный способ использования свойства
ленточности матрицы позволяет уменьшить число арифметиче-
арифметических операций почти до 3% от числа выполняемых операций при
использовании метода, не учитывающего ленточного характера
матрицы.
480
Глава 20
Другим преимуществом является экономное использование
памяти машины, так как матрица может быть помещена в пря-
прямоугольный массив размерности N X тта-а, как показано иа
фиг. 20.1. Однако при этом общее число уравнений, которое мо-
может быть решено, ограничивается размерами прямоугольного
массива.
Кп
Al2
Л*22
Л*23
Л*24
Л*23
Л"зз
Л*34
а
Л*24
Л*34
Л*44 Л*54
„Т „
А54 A5S_
Ки
Л*22
А"зз
Д-44
-A'ss
Л*12
Л*23
К34
А-«
0
б
0
Кч
0
0
0
Фиг. 20.1. Хранение матрицы при решении уравнений методом ленточных
матриц.
Ленточная Матрица, задаваемая формулой' B0.6), особенно
удобна при решении больших систем уравнений, так как в про-
процессе исключения операции производятся только иад К22 и по-
поэтому только эта матрица нужна в оперативной памяти. Однако
истинная эффективность достигается, если составление уравне-
уравнений для ансамбля и исключение производятся параллельно, т. е.
если уравнение исключается сразу после его составления. Это
легко осуществить, если в качестве первого узла каждого эле-
элемента всегда использовать узел с наименьшим номером, а эле-
элементы располагать так, чтобы номера их первых узлов распо-
располагались последовательно. При таком способе процесс состав-
составления уравнений ансамбля будет автоматически прекращаться,
как только номер первого узла станет больше номера рассма-
рассматриваемого узла. После исключения Кц оставшаяся матрица
сдвигается так, что первый элемент измененной матрицы ЛГ22 за-
занимает позицию A,1), а остальные — соответствующие им ме-
места. Исключенные уравнения могут временно пересылаться
в промежуточное запоминающее устройство, а затем переписы-
переписываться в виде блока в накопитель до следующего вызова. Для
небольших задач объем промежуточной памяти может оказаться
достаточным для того, чтобы вместить в себя все исключенные
уравнения, при этом делать пересылку нет никакой необходи-
необходимости.
Новая матрица может быть вновь выражена через подматри-
подматрицы #ц, Ki2 и /B2, после чего процесс исключения повторяется.
На каждом этапе исключения требуется (m+l)X('« + 2)
.ячеек памяти или при наличии симметрии -=- половина этого
Вычислительные методы и программы
481
числа. С помощью этого метода можно решить практически не-
неограниченное число уравнений при условии конечности макси-
максимальной ширины леиты. В большинстве случаев при решении за-
дачиЧтетодом конечных элементов точность не является пробле-
проблемой. При необходимости можно решать уравнения с двойной
точностью, однако при этом увеличиваются используемый объем
памяти и время решения. В некоторых случаях точность можно
повысить, если подставить полученные значения в первоначаль-
первоначальную систему уравнений и вычислить невязки, а затем, используя
эти невязки в качестве новых правых частей, снова решить си-
систему. Сумма этих двух решений даст уточненное решение. Од-
Однако чаще эти невязки используются для оценки ошибок округ-
округления.
20.5.2. Экономное распределение памяти для решения ленточных
систем
Чтобы уменьшить используемый объем памяти вычислитель-
вычислительной машины, в программе решения больших систем FESS (в на-
настоящей главе не приводится) для хранения в памяти верхней
{1/2/4/7/
ХЗ/5/в/
ХМ/3/
хм<
\
'"/
-та
/
X X
X
XX
XX
X
XX
х-элементы, не
хранящиеся в памяти
' Фнг. 20.2. Порядок размещения в памяти уравнений в программе FESS.
треугольной части матрицы жесткости, необходимой при исклю-
исключении самого верхнего уравнения, используется одномерный мас-
массив. Пример расположения в памяти элементов матрицы пока-
показан иа фиг. 20.2. В этом примере элементы матрицы распола-
располагаются по столбцам, так как это удобнее, чем построчное
расположение. В программе FESS матрицы, необходимые для
обратного хода [уравнение B0.5)], хранятся в верхней части од-
одномерного массива. Если матрица жесткости и эти матрицы пе-
перекрывают друг друга, содержимое остатка переписывается на
леиту и процесс повторяется. Такой способ достаточно эффекти-
эффективен, так как позволяет использовать длинные записи на ленту.
В некоторых случаях удается решить уравнения без использо-
использования внешней памяти.
16 Зак. 613
482
Глава 20
20.5.3. Итерационный метод Гаусса — Зейделя
В общем случае п-е уравнение системы N уравнений может
быть записано в виде
IW( + U+ E knfit = Fa. B0.7)
1=1 i=n+l
Из этого уравнения можно найти
{n-i n ч
Fn— Е knfii— E Kfii }•
1 = 1 !=n + l J
B0.8)
Если процесс итераций таков, что в правой части используются
последние приближения б,-, то для от-й' итерации имеем
'n-E1A«te?1- Е кп1ь?
B0.9)
В этом заключается итерационный процесс Гаусса — Зейделя.
Часто для уточнения решения используется прием, состоя-
состоящий в умножении разности между двумя итерациями для б на
некоторый коэффициент и представлении уточненной величины
¦ б в виде
бГ = бГ' + р(бГ - 6Г')> B0.10)
где б™* —величина, вычисленная в соответствии с B0.9), а р-
коэффициент верхней релаксации, значение которого обычно
лежит между 1 и 2. Установлено, что во многих практиче-
практических случаях самым подходящим является значение, близкое
к 1,8.
Итерационный метод Гаусса—Зейделя легко программи-
программируется. Матрица жесткости хранится в компактной форме без
нулевых членов вместе с матрицей-указателем номеров столб-
столбцов, в которых находятся ее элементы. Каждое уравнение ите-
итерируется в соответствии с B0.9), и найденное значение уточ-
уточняется в соответствии с B0.10). Процесс повторяется столько
раз, сколько необходимо для получения приемлемого решения,
причем сходимость обычно оценивается путем вычисления раз-
разности между двумя последовательными приближениями.
Итерационные методы удобны для решения нелинейных за-
задач, так как при их использовании обычно требуется решение
ряда сходных задач, поэтому для вектора решения всегда есть
удачное начальное приближение. Кроме того, если на промежу-
промежуточных этапах ограничиться невысокой точностью решения, то
число арифметических операций уменьшается.
Недостатком использования итерационных методов является
необходимость повторения основного цикла для всех уравнений.
Вычислительные методы и программы
483
Поэтому при использовании для хранения уравнений внешней
памяти процесс решения занимает много времени. Однако ком-
компактное расположение матрицы жесткости дает возможность
решать большое число уравнений с использованием только опе-
оперативной памяти, например 1000 дополнительных уравнений на
32К слов памяти. Главный же недостаток итерационных мето-
методов состоит в том, что при решении, как правило, может быть
рассмотрен только один вектор нагрузки, так как перемещения
занимают почти всю память.
В приложении 20А приведены две подпрограммы: FORMK
(формирование матрицы жесткости и соответствующей матрицы-
указателя) и SOLVE (решение системы уравнений итерацион-
итерационным методом Гаусса — Зейделя). Это упрощенные подпрограм-
подпрограммы, в которых заданы число циклов и пределы сходимости.
Кроме того, в них используется взаимно однозначное соответ-
соответствие между матрицей жесткости и матрицей-указателем. Эти
подпрограммы совместимы с остальными подпрограммами, при-
приведенными в этой главе. Заметим, что подпрограмма FORMK
вычисляет члены, лежащие как выше, так и ниже диагонали
компактной матрицы жесткости, и этим она отличается от дру-
другой подпрограммы FORMK (программа 20-5), которая исполь-
используется при применении прямого метода решения.
20.5.4. Некоторые другие прямые методы
Видоизменением метода исключения, используемого в случае
ленточных матриц, является так называемый метод редкозапол-
ненных матриц, часто применяемый в экономических расчетах.
В соответствии с этим методом подматрица записывается в ком-
компактной форме вместе с матрицей-указателем, назначение кото-
которой состоит в указании номера строки и столбца полной ма-
матрицы. При решении задач методом конечных элементов с оди-
одинаковым числом степеней свободы в каждом узле матрица-ука-
матрица-указатель может быть записана в компактной форме для того,
чтобы соответствовать узловым подматрицам.
В методе редкозаполненных матриц исключение произво-
производится точно так же,-как описано выше, но при этом в качестве
индекса используется матрица-указатель. Преимущество, полу-
получаемое за счет избавления от некоторых операций, необходимо'
сравнить с дополнительными затратами времени на отыскание
элемента в полной матрице с помощью матрицы-указателя. Тре-
Требуемый объем памяти зависит от числа ненулевых подматриц на
каждом шаге процесса исключения и не зависит от ширины
ленты. Следует отметить, что при исключении на местах, где
раньше стояли нули, появляются ненулевые подматрицы. Для
максимально эффективного использования памяти и времени
16»
484
Глава 20
уравнения следует упорядочить так, чтобы в матрице в каждый
момент содержалось минимальное число элементов. Определе-
Определение оптимального порядка является сложной задачей динами-
динамического программирования, и для ее решения могут использо-
использоваться другие приближенные методы [5]. С помощью аналогич-
аналогичного упорядочения уравнений можно минимизировать число
операций в ленточных методах. Однако при этом ширина ленты
может сильно увеличиться, что сведет на нет все преимущества
метода.
В приложении 20Б приведены подпрограмма FORMK состав-
составления матрицы жесткости (верхней треугольной части в форме
прямоугольника) вместе с соответствующей матрицей-указате-
матрицей-указателем и подпрограмма SOLVE решения систем уравнений мето-
методом редкозаполненных матриц.
Более существенными отличиями обладает фронтальный ме-
метод решения. Как и в методе редкозаполненных матриц, ма-
матрица жесткости записывается в компактной форме вместе
с матрицей-указателем. Однако здесь исключение производится
по элементам независимо от нумерации узлов. Своим названием
метод обязан тому, что в процессе решения создается некоторый
фронт, проходящий через систему узлов. Метод применяется
главным образом при наличии дополнительных узлов на сторо-
сторонах элементов, так как он может привести к значительной эко-
экономии памяти по сравнению с ленточным методом:
Преимущество использующей метод фронтального исключе-
исключения системы FINESSE особенно заметно при использовании
элементов высоких порядков и в том случае, когда основное вни-
внимание уделяется характеристикам элементов. .Поскольку, напри-
например, предпочтительна поэлементная выдача, число расчетных
параметров нагружения, которое может быть помещено в опе-
оперативной памяти вычислительной машины, значительно увели-
увеличивается. В каждый момент времени в процессе исключения
в оперативной памяти машины находятся только сведения о век-
векторе нагрузки.
Фронтальный метод решения наиболее эффективен при ре-
решении больших задач с применением трехмерных элементов.
20.5.5. Некоторые специальные приемы
Для улучшения более крупных программ могут использо-
использоваться некоторые специальные приемы:
а) Выделение подконструкций. Вместо того чтобы решать
полную систему уравнений, иногда бывает удобно строить -но-
-новую матрицу меньшей размерности. Этот прием позволяет по-
построить матрицу жесткости для совокупности элементов, в ко-
которой все точки, кроме внешних, исключены.
Вычислительные методы и программы
485
б) Включение дополнительной жесткости. В дополнение
к выделению подконструкций используется введение в полную
матрицу жесткости специальных дополнительных жесткостей.
Это позволяет непосредственно учитывать, например, граничные
условия, описывающие упругое опирание.
Эти два приема особенно полезны при решении нелинейных
задач, в которых большая часть конструкции остается линейно-
упругой. В таких случаях линейно-упругая часть конструкции
заменяется некоторой подконструкцией в виде линии или по-
поверхности, примыкающей к исследуемой области нелинейности,
а затем решается нелинейная задача при упругом, граничном
условии. Получающаяся нелинейная задача значительно меньше
по объему.
20.5.6. Учет граничных условий
При применении метода конечных элементов граничные усло-
условия в напряжениях автоматически учитываются вектором на-
нагрузки; если граница свободная, элементы вектора нагрузки,
соответствующие расположенным на границе узлам, равны
нулю.
При заданных перемещениях (например, осадка фундамента
и др.) матрица жесткости и вектор нагрузки должны быть мо-
модифицированы. В общем случае для упрощения- индексации раз-
размерность матрицы не должна изменяться, т. е. никакие строки
или столбцы не должны исключаться. Существуют два способа,
с помощью которых, не нарушая указанных требований, можно
удовлетворить граничным условиям, не учтенным при формиро-
формировании элемента. Положим, что имеется некоторая система N
уравнений _
К
B0.11)
\FN\
и, скажем, щ = к.
В соответствии с первым способом столбец ^агрузки видоиз-
видоизменяется так, что F{ = Fi — &на (i = 2, N) hF| = а. Тогда со-
соответствующая строка и столбец становятся нулевыми, а диаго-
нал.ьнын член — единичным. В частном, но часто встречающемся
случае, когда a =» 0 (т.е. опора неподвижна), необходимо изме-
486
Глава 20
нить матрицу описанным выше способом, оставляя матрицу на-
нагрузки неизменной, кроме члена Fi= 0.
Второй способ состоит в умножении соответствующего диа-
диагонального элемента матрицы на некоторое большое число, ска-
скажем 108, перед модификацией соответствующего коэффициента
нагрузки. В рассматриваемом случае мы бы получили
?„ = *,,-10»,
, = *„• 10". а,
ktj — kij (за исключением случая, когда г = 1, / = 1),
Ft=Ft Цф\).
В полученном решении ut будет почти равно а. Этот способ
пригоден для любых методов решения.
Во многих случаях возникает необходимость определять
силы реакции в граничных точках, например реакции мостовых
опор или контрфорсов плотин.
Если требуется определить реакции, то при обратном ходе
необходимо преобразовать соответствующие уравнения так,
чтобы вместо определения в точке опоры неизвестного переме-
перемещения по известной нагрузке отыскивалась неизвестная на-
нагрузка по известному перемещению. В соответствии с первым
из уравнений B0.11) получаем следующее выражение для силы
реакции:
N
20.5.7. Пример подпрограммы
Ниже приведены блок-схемы и тексты двух подпрограмм.
Подпрограмма FORMK используется для построения ленточной
прямоугольной матрицы жесткости и учета граничных условий
первым способом, описанным в предыдущем разделе (при
а=0). Подпрограмма SOLVE применяется для решения си-
систем алгебраических уравнений методом ленточных матриц ')•
Блок-схемы приведены на стр. 488 и 489.
Обозначения переменных в подпрограмме FORMK
NBAND - Максимально возможная в про-
программе ширина ленты
NROWB, NCOLB, NCOL Переменные, определяющие поло-
положение элемента матрицы же-
жесткости
') В приложении 20В приведены другие подпрограммы, несовместные с си-.
стемой FFSS.
Вычислительные методы и программы
487
NR, NX
ESTIFM* A2,12)
Переменные, используемые для
записи граничного условия
Матрица жесткости элемента
Обозначения переменных в подпрограмме SOLVE
NBAND Максимально возможная в про-
программе ширина ленты
N Счетчик числа уравнений для
исключения и обратного хода
С Рабочая переменная для процесса
исключения
R1 * B00) Вектор правых частей; в конце
работы программы на его место
помещается решение
Программа 20-5
SUBROUTINE FORMK
С
С Формирование верхнего треугольника матрицы жесткости
С
С
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5) '
l,RlB00),SKB00,40)
2,ESTIFMA2,12)
С
С Ввод максимальной ширины ленты и информации о количестве
С решаемых уравнений
С
NBAND = 40
С
С Задание нулевой матрицы жесткости
С
DO 300 N = 1.NSZF
DO 300 M = l,NBAND
300 SK(N,M) = 0.
С
С Цикл по элементам
С
DO 400 N = 1.NE
CALL STIFT2(N)
С
С Возврат к ESTIFM, как к матрице жесткости
С
* Массив, расположенный в области COMMON .
488
Глава 20
Вычислительные методы и программы
489
С
С
С
Блок-схема подпрограммы FORMK
1
С Засылка ESTIFM в
С
С Обход по строкам
С
Начало
Задание нулевой
матрицы жесткости
Начоло цикла по элементам
Составление матрицы
жесткости элемента
Запоминание матрицы
жесткости элемента
б прямоугольной матрице
¦
Конец цикла по элементам
Учет граничных условий
Возврат в основную программу
массив SK
DO 350 JJ=1,NCN
NROWB = (NOP(N,JJ) - 1 ).NDF
DO 350 J= l.NDF
NROWB = NROWB + 1
I = (JJ — |).NDF +J
Затем по столбцам
DO 330 KK =- I.NCN
NCOLB = (NOP(N,KK)- 1)«NDF
DO 320 К = l.NDF
L = (KK- I).NDF+K ¦
NCOL = NCOLB + К + 1 - NROWB
Блок-схема подпрограммы SOLVE
Начало
шчало цикла по уравнениям (н)
модификация членов, 1шах>дтццх\
р? внутри ленты уравнения Bosf\
Модификация вектора навруэки'
Конец цикла ло уравнениям
Начало цикла обратного хода
по уравнениям
Решение уравнения B0.2)
при обратном ходе
Конец цикла по уравнениям
Возврат в основную программу
С Если элемент ниже ленты, то пропуск засылки
С
IF(NCOL) 320,320,310
310 SK(NROWB,NCOL) = SK(NROWB,NCOL) + ESTIFM(I,L)
320 CONTINUE
330 CONTINUE
350 CONTINUE
400 CONTINUE
490
Глава 20
2 Учет граничных условий
DO 500 N = 1,NB
NX= 1O..(NDF- 1)
I = NBC(N)
NROWB = (I- 1).NDF
Z Проверка каждой степени свободы
DO 490 М= l.NDF
NROWB=NROWB+ 1
ICON = NFIX(N)/NX
1F(ICONL50,450,420
420 SK(NROWB,1)=1.
DO 430 J = 2.NBAND
SK(NROWB,J) = 0.
NR = NROWB+1 -J
IF(NRL30,430,425
425 SK(NR,J) = O.
430 CONTINUE
NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON
450 NX = NX/10
490 CONTINUE
500 CONTINUE
RETURN
END
с
с
с
Программа 20-6
SUBROUTINE SOLVE
Спецификация
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORD( 100,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
l,RlB00),SKB00,4O)
IBAND = 40
Сокращение матрицы
DO 300 N = l'.NSZF
I = N
DO 290 L = 2.NBAND
1 = 1 + 1
IF(SK(N,L)) 240,290,240
240 C = SK(N,L)/SK(N,I)
J = 0
DO 270 K = L,NBAND
J = J+ 1
IF(SR(N,K)) 260,270,260
260 SK(I,J) = SK(I,J)-CSK(N,K)
27Q CONTINUE
Вычислительные методы и программы
491
С
С
с
с
280 SK(N,L)=C
Сокращение вектора нагрузки для каждого уравнения
С
С
С
290 CONTINUE'
300 R1(N) = RHN)/SK(N,1)
Обратный ход
N = NSZF
350 N = N - I
1F(N) 500,500,360
360 L = N
DO 400 K = 2,NBAND
L = L+ I
IF(SK(N,K)) 370,400,370
370 R1(N) = R1(N)-SK(N,K).R1(L)
400 CONTINUE
GO TO 350
Б00 RETURN
END
20.6. Вычисление внутренних усилий и вывод результатов
Последним этапом решения обычных линейных задач мето-
методом конечных элементов является вычисление внутренних уси-
усилий для элемента.
Для каждого элемента необходимо выполнить следующие
две операции:
а) сформировать вектор решения в координатах, связанных
с рассматриваемым элементом;
б) построить матрицу напряжений для перехода от вектора
решения к внутренним усилиям. Эта матрица уже упоминалась
в разд. 20.4, где рассматривалась подпрограмма вычисления
матрицы жесткости. Она формируется либо путем считывания
с внешней памяти, либо путем дополнительного вызова подпро-
подпрограммы вычисления матрицы жесткости.
Кроме внутренних усилий, часто бывает удобно вычислить
некоторые другие силы. Например, в плоских задачах вычис-
вычисляются значения максимального и минимального напряжений и
их направления. В конце работы программы иа печать выво-
выводятся необходимые сведения о напряжениях.
При решении более сложных нелинейных задач подпро-
подпрограмма вычисления напряжений обычно становится отправной
492
Глава 20
точкой для циклического процесса вычисления уточненной ма-
матрицы жесткости (зависящей от уровня напряжений) или уточ-
уточненного вектора нагрузки. Вектор нагрузки обычно строится
с-помощью метода начальных напряжений или деформаций (см.
гл. 18).
Блок-схема и пример подпрограммы. Подпрограмма STRESS
выводит на печать перемещения, считает и печатает напряжения
в элементах в задачах о плоской деформации.
Обозначения переменных в подпрограмме STRESS
DIS B, 100)* (см. примечание)
FORCE B00, 3)* (см. примечание
В C,6)*
R (8)*
SMAX
SMIN
ANQ
Вектор перемещений
Вектор сил элемента
Матрица обратного хода
Вектор перемещений эле-
элемента
Максимальное напряжение
в N-u элементе
Минимальное напряжение
в N-u элементе
Отклонение от вертикали
в направлении часовой
стрелки линии действия
максимального напряже-
напряжения /V-ro элемента
Примечание. Предложение EQUIVALENCE позволяет ис-
использовать массив DIS B, 100) для вектора решения R1 B00),
а массир внутренних сил FORCE B00, 3) — для хранения мас-
массива SK.
Программа 20-7
SUBROUTINE STRESS I
DIMENSION DISB,100),FORCEB00,3)
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF.UNT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2)NBCB5),
NFIXB5)
l,RlB00),SKB00,40)
2,BC,6), R(8)
EQUIVALENCE (DISA),R1A))>(SKA),FORCEA))
REWIND NT4 °
Блок-схема подпрограммы STRESS
Начало
Вывод перемещений
Начало цикла по элементам
Считывание матрицы напряжений, полу-
полученной в результате обратном хода
вычисление вектора перемещений элемент^
Вычисление напряжений элемента
Конец иикпа по элементом
1
н
Начало цинла по
элементам
Вычисление векторов главных напряжений
Печать напряжений
Конец цикла по элементам
Г
Возврат в основную программу
* Массив, расположенный в области COMMON.
494
Глава 20
Вычислительные методы и программы
495
: Печать перемещений
WRITEF,100)
WRITE(B.llO) (M,(DIS(J,M),J = I,NDF),M= 1,NP)
100 FORMAK / / /, 15X.13HDISPLACEMENTS)
110 FORMAT(I10,2F15.4)
С
С
с
с
" Вычисление усилий в элементе
DO 200 NC = 1,NE
READ(NT4) N,((B(I,J),J= 1,6),I= 1,3)
DO 260 1 = l.NCN
M = NOP(N,I)
1F(M.EQ.O) GO TO 260
K = (I- 1).NDF
DO 240 J= l.NDF
IJ = J + К
240 R(U) = D1S(J,M)
260 CONTINUE
IA = K + NDF
DO 300 1= 1,3
FORCE(N,1) = 0.
DOO 300 J=1,IA
300 FORCE(N.I) = FORCE(N.I) + B(I,J)«R(J)
200 CONTINUE
WRITEC6.101)
Вычисление главных напряжений и их направлений
DOO 600 N = 1,NE
250 C = (FORCE(N,l) + FORCE(N,2))/2.
А = SQRT(((FORCE(N,2) - FORCE(N,l))/2) + FORCE(N,3)«.2)
SMAX = С + А
SMIN=C —A
IF(FORCE(N,2).EQ.SMIN)GO TO 700
ANQ = 57.29578.ATAN(FORCE(N,3)/FORCE(N,2) - SM1N))
GO TO 210
700 ANG = 90.
210 CONTINUE
Z Печать всех компонент напряжений
400 WRITEF,111)
1N,(FORCE(N,I),I = I,3),SMAX,SMIN,ANG
600 CONTINUE
101 TORMATA07H0 ELEMENT X-STRESS
1Y-STRESS MAX-STRESS MIN-STRESS
111 FORMAT(I10,5F17.4,F12.3)
RETURN
END
Y-STRESS
ANGLE)
10
12
16
16
17
,18
19
20
21
22
23
24
26
28
29
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
51
54
65
20.7. Пример задачи
На фиг. 20.3 показана простая задача о плоской деформации
треугольной области при нагружении вертикальной силой. Для
расчета область разбита на 9 элементов с 10 узлами. Треуголь-
Треугольник закреплен в точках 1 и 4.
В этой задаче используются следующие подпрограммы:
-ч ЛДЛ1М ^пп 9П-П
а) программа МАШ
б) подпрограмма GDATA
в) подпрограмма LOAD
г) подпрограмма STIFT2
д) подпрограмма FORMK
е) подпрограмма SOLVE
ж) подпрограмма STRESS
(пр. 20-1),
(пр. -20-2),
(пр. 20 3),
(пр. 20-4),
(пр. 20-5),
(пр. 20-6),
(пр. 29-7).
ж) подпрограмма о i i\uoo \ну. ^ •,.
Ниже приведены инструкции для ввода исходных данных,
а также образец данных и печати результатов для показанной
на фиг. 20.3 задачи.
Фнг. 20.3. Плоская деформация треугольной области.
?=0,96jV=0,2. Эквивалент для плоского напряженного состояния: Я=1,0, 4^=0,25.
Инструкции для ввода исходных данных
1. Перфокарта, содержащая информацию о задаче A5)
Кол. 1—5* Номер задачи
2. Перфокарта, содержащая заголивэк A2А6)
г^ол. 1—72 Зеголовок, печатаемый при выводе
(NPROB) ¦
(TITLE)
496
Глава 20
3. Перфскбрта настройки на задачу G15)
Кол. 1—5* Числ) узловых точек
6—10* Количество элементов
11 — 15* Количество граничных точек
16—?0* Количество случаев иагружепия
21—25* К"личество степеней свободы =2
26—30 * Количество различных материалов
{0 печать исходных данных
1 пропуск печати исходных данных
(NP)
(NE)
(NB)
(NLD)
(NDF)
(NMAT)
(И)
4. Перфокарты, содержащие информацию о свойствах мате-
материалов (II0,2F10.2) (по одной на каждый материал)
Кол. 1 — 10* Номер материала (N)
II-20 Модуль Юнга (ORT(N,I))
21—30 Коэффициент Пуассона (ORT(N,2))
5. Перфокарты, содержащие информацию о координатах (по
одной на каждую узловую точку) (I10,2FI0.0)
Кол. 1 — 10* Номер узла
11—20 Координата X
21—30 Координата Y
(N).
(CORD(N,I))
(CORD(N,2))
6. Перфокарты, содержащие информацию об элементах F15)
(па одной на каждый элемент)
Кол. 1—5 * Номер элемента (N)
6-10* I ) (NOP(N.I))
11 — 15* j > связи между элементами (NOP(N,2))
16-20 * т ) (NOP(N,3))
21—25 Не используются (NOP(N,4)j
26-30* Номер материала (IMAT(N))
7. Перфокарты, содержащие информацию о граничных усло-
условиях B15) (по одной на каждое граиичяое условие)
Кол. 1—5* Номер граничного узла (NBC(I))
6—10* 01 —закрепление в направлении Y
10 — закрепление в направлении X
11 — закрепление в обеих направлениях (NFIX(I))
8. Перфокарты, содержащие информацию
(IIO.2F1O.2) (по одной на каждую точку)
Кол. 1 — 10* Номер узла
11—20 Нагрузка по оси X
21—30 Нагрузка по оси Y
нагрузке
N0
R(l)
RB)
Примечание. Перфокарты, содержащие информацию о нагрузке, закан-
заканчиваются информацией о нагрузке а последнем узле независимо от того,
задана в нем нагрузка или иет.
* Означает, что десятичная точка в числе не набивается, остальные
числа обязательно должны содержать десятичные точки.
Вычислительные методы и программы
497
Образец печати исходных данных и результатов
Колонки
12 3 4 5 6 7 8
12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
Расчет треугольника
ю
9
1
1
2 2.
3 4.
4 6.
5 1.
6 3.
7 6.
8 2,
9 4.
10 3.
1
2
3
3
2
6
б
6-
8
1 11
4 11
10
2
0.96
2
0.2
5
6
7
6
Б
8
9
8
10
10
Расчет треузолькша
ю 9 2 1 2
Свойства материала
1 96
Узловые' тощи
.000
2.000
4.000
6.000
1
2
3
4
S
6
7
8
9
10
1.000
з.ооо
5.000
2.000
4.000
з.ооо
20
.000
.000
.000
.000
2.000
2.000
2.000
4.000
4.000
6.000
498
Глава 20
1
2
3
4
S
6
7
8
9
Элементы
1
2
3
3
2
В
6
б
8
2
3
4
7
6
6
7
9
9
Граничные
1
4
11
11
S
6
7
6
5
8
9
8
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
условия .
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Расчет треугольника
Случай нагружения 1
Нагрузки
10
.00
Перемещения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Эле-
мен-
менты
2
з
4
5
g
7
8
Q
.0000
1.0941
—1.0941
.0000
—1.6412
.0000
1.6412
.8206
-.8206
.0000
Напряже-
Напряжение в на-
правле-
правлении X
1.4902
—.7399
1.4902
.9503
.9503
1.8077
1.8077
— .2949
1.6794
10.00
.0000
17.7565
17.7565
.0000
15.6785
20.9599
15.6785
25.3126
25.3126
44.4729
Напряже-
Напряжение в па-
правле-
правлении Y
3.7727
1.4167
3.7727
.5189
.5189
3.9487
3.9487
2.1027
10.0000
Касатель-
Касательное на-
напряжение
3.1136
-.оооо
—3.1136
- .6733
.6733
1.3845
-1.3845
.0000
.0000
Макси-
Максимальное
напряже-
напряжение
5.9477
1.4167
5.9477
1.4417
1.4417
4.6283
4.6283
2.1027
10.0000
Мини-
Минимальное
напряже-
напряжение
-.6847
-.7399
-.6847
0276
.0277
1.1282
1.1281
-.294"9
1.6794
Угол
34.935
—.000
—34.935
—53.881
53.881
26.145
—26.145
.000
.000
Вычислительные методы и программы
499
20.8. Графический вывод результатов
Одна из основных проблем, возникающих при практическом
использовании метода конечных элементов, связана с огромной
информацией, получаемой в результате счета, и с большими
затратами времени на обработку выводимых на печать резуль-
результатов. В значительной степени эту задачу облегчает использова-
использование при воспроизведении результатов автоматического само-
самописца.
Одним из самых удобных способов представления результа-
результатов является построение изостат. Они могут быть построены
либо во всей области, либо только в некоторой ее части, пред-
представляющей особый интерес. В простейшем случае напряжения
в элементе усредняются по узловым значениям. При этом изо-
статы вычерчиваются в виде набора прямолинейных в каждом
элементе отрезков, согласующихся с этими узловыми значе-
значениями. На фиг. 20.4 приведен пример [7]. Недостаточная глад-
гладкость кривых вызывает сомнение в правильности решения. Про-
Программы, позволяющие вычерчивать гладкие кривые иа основе,
данных, полученных в отдельных точках, можно приобрести
у предприятий, производящих эти самописцы.
Второй способ использования самописца состоит в вычерчи-
вычерчивании для каждого элемента в заданном масштабе векторов
главных напряжений в соответствующих направлениях. Такой
способ представления напряжений показан на фиг. 20.5.
Большинство применяемых в настоящее время элементов
дают скачкообразно меняющиеся от элемента к элементу напря-
напряжения, хотя напряжения в двух соседних элементах колеблются
относительно истинного. Для сглаживания разрывов напряже-
напряжений при их описании (и в некоторых случаях для улучшения
точности) обычно используются два способа усреднения. Первый
заключается в усреднении напряжений по двум смежным эле-
элементам. Например, из двух треугольников составляется четырех-
четырехугольник и в качестве напряжения в некоторой точке четырех-
четырехугольника принимается среднее по этим двум треугольникам
значение. При втором способе усреднения суммируются напря-
напряжения всех элементов, соединяющихся в рассматриваемом узле,
и сумма делится на число этих элементов. Этот способ обычно
дает совершенно гладкую кривую напряжений, достаточно точно
описывающую их распределение во всей области, за исключе-
исключением граничных точек или областей с высоким градиентом на-
напряжений.
Блок-схема. Пример программы. Приведенная ниже програм-
программа определения вектора напряжений представляет собой неза-
Вычислительные методы и программы
501
Сетка С
Сетка А
Фиг 204 Линии уровней моментов косого моста (из Proc. Inst. Civ. Eng., 821,
Aug. 1967).
Фиг. 20.5. Автоматическое вычерчивание главных напряжений подпрограммой
вычерчивания векторов.
висимую подпрограмму считывания с перфокарт, содержащих
напряжения, и вывода на печать в соответствующем масштабе
векторов для каждого элемента.
Все такие подпрограммы являются частью набора Calcomp
Fortran." Типичная блок-схема приведеиа на стр. 502.
Программа 20-8
С Подпрограмма вычерчивания вектора для Calcomp
DIMENSION IBUF(IOOO)
С Вывод номера барабана и определение места во внешней
С памяти
С
LDEV = 1
CALL PLOTS (IBUF,1000,LDEV)
С Считывание масштаба
С
READE,10) XSHIFT,XSCALE,YSHIFT,YSCALE
10 FORMATDF10.2)
WRITEF,11) XSHIFT,XSCALE,YSHIFT,YSCALE
502
Глава 20
Вычислительные методы и программы
503
Блок-схема программы PROGRAM STVECT
Начало
Считывание заданного
масштаба
.
Начало цикла по
элементам
Считывание
напряокений олемента
и координат
Вычерчивание вектора
Обозначение вектора
Конец цикла
по элементам
Останов
С
с
с
С
с
с
с
11 FORMATA3H1 X SHIFT = .F10.2/
1 13Н X SCALE = ,F10.2/
2 13Н Y SHIFT = ,F10.2/
3 13H Y SCALE = ,F10.2)
READE,15) PSCALE
15 FORMATiFl0.2)
WRITEF,16) PSCALE
16 FORMATA3H0PLOT SCALE = ,F1O.2,9H UNITS/IN)
Считывание с перфокарт координат и напряжений
с
с
ПО
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Если перфокарта пустая, закончить чертеж
IF(NJ1O,210,HO
Изменение масштаба
X = (X-XSHIFT).XSCALE
Y = (Y - YSHIFTJ.YSCALE
SMAX = SMAX/PSCALE
SMIN = SMIN/PSCALE
ANG= ANG/57.3
Вычисление координат концов векторов
R = X + SMAX/2..SIN(ANG)
S = Y + SMAX/2..COS(ANG)
Р = 2..Х — R
Q = 2.«Y-S
Вычерчивание отрезков
CALL PLOT(R,S,3)
CALL PLOT(P,Q,2)
R = X-SMIN.COS(ANG)
S = Y + SMIN.SIN(ANG)
P = 2..X-R
Q = 2,«Y—S
CALL PLOT(R,S,3)
CALL PLOT(P,Q,2)
Печать номера элемента
A = X + 0.2
B Y + 01
FPN = N
CALL NUMBER (A,B,.14,FPN,0.,0)
Переход к следующему элементу
GO TO 100
Конец чертежа
100 READE,20) N,X,Y,SMAX,SMIN,ANG
WRITEF,20) N,X,Y,SMAX,SMIN,ANG
20 FORMAT(I10,2F10.2,3F10.3)
210 CONTINUE
CALL PLOT (O.,O 999)
STOP
END
504
Глава 20
20.9. Решение задачи о собственных значениях итерационным
методом
При исследовании колебаний и устойчивости, а также при
расчете методом конечных элементов волноводов и т. Д. можно
получить систему матричных уравнений вида НХ = XX, где
Н — квадратная матрица известных коэффициентов, X — век-
вектор [Х[, х2, ..., хп]т, а А, — скалярная величина, соответствующая
собственным частотам, критической нагрузке, частотам среза
и т. п. Уравнения вида НХ = XX называются уравнениями соб-
собственных значений, и в общем случае они имеют столько реше-
решений, т. е. собственных значений и соответствующих собственных
векторов, сколько степеней свободы xt. Примером могут служить
задачи о свободных колебаниях, в которых
Я = /С"'М. B0.12)
Наибольшее собственное значение можно определить про-
простым итерационным методом:
а) Задать некоторое значение вектора X, которое в даль-
дальнейшем называется Xgl. Поскольку собственный вектор харак-
характеризует некоторую собственную функцию системы, нам нужны
только относительные значения компонент вектора X. Поэтому
можно считать, что одна из неизвестных (скажем, Xi) всегда
равна единице.
б) Вычислить АХе1. .
в) Произведение AXgl представляет собой вектор, который
можно записать в виде Xg2Xg2, где Xg2 — множитель, такой, что
компонента Х\ вектора Xg2 опять равна единице, а остальные пе-
переменные х2, х3, .. ., хп принимают соответствующие значения.
г) Сравнить Хй2 с Xgi нли в общем случае Xgr с X№+i>. Если
они не отличаются (в пределах заданной точности) друг от
друга, то полученное множество значений образует собственный
вектор, а множитель представляет собой наибольшее собствен-
собственное значение. В противном случае снова вернуться к пункту «а».
Другие собственные значения и соответствующие им соб-
собственные векторы определяются методом «ловли льва в пу-
пустыне» в сочетании с итерационным методом. При использова-
использовании этого метода матрица Н видоизменяется таким образом,
чтобы свести максимальное собственное значение системы
к нулю. В результате наибольшим собственным значением ста-
становится последующее значение X. После этого процесс итераций
повторяется.
Предположим, что на некотором этапе получены собственное
значение Хт и собственный вектор Хт.
Используемую для нахождения h и Хг матрицу можно
с помощью метода «ловли льва» видоизменить так, чтобы
Вычислительные методы и программы
505
избавиться от г-го корня, т. е. сделать Хт равным нулю, не из-
изменяя других собственных значений и собственных векторов.
Очевидно, что после этого у видоизмененной матрицы наиболь-
наибольшим собственным значением будет ?.r+i. Пусть
ХГХтгм
Z B0.13)
Можно записать
[Н — AjZ!
Zt .
хтгмхг
XrZT\ Xr =
Г — . . . — XrZГЛг =
Я/, (xJmx,)
XTiMXl
х7мх2
%гхг {хтгмхг)
'" хтгмхг *
B0.14)
Используя свойство ортогональности собственных функций,"
можно показать, что при г ф s справедливо равенство
XjMXs = 0. ' B0.15)
Равенство B0.14) можно переписать в виде
[//-X,Z,-X2Z2- ... - XrZr] Xr = XrXr - XrXr = OXr, B0.16)
так как XlMXr — скалярная величина и на нее можно сократить.
Из соотношения B0.16) следует, что Хг все еще остается
собственным вектором видоизмененной матрицы, но соответ-
соответствующее собственное значение Хт равно нулю.
Теперь остается доказать, что другие корни системы не из-
изменяются в процессе «ловли льва». Полагая, что Xs и Xs — соб-
собственное значение и собственный вектор (s > г)', можно запи-
записать
[Н — ^[2[ — X2Z2 — ... — XrZr] Xs =
—— 1~1 л § —~ /u^Z. |Л^ "™ Ai2^2*^s ... — ™г т S "~~~
¦¦xsxs--
х\мх1
XjMXr
B0.17)
Следовательно, Xs остается корнем видоизменной матрицы.
Свойство ортогональности, использованное в B0.14) и
B0.17), доказывается следующим образом. Записываем равен-
равенства
К~*МХ, = ХеХ3, B0.18)
K~'MXr = XrXr. B0.19)
506
Глава 20
Умножая B0.18) на ХТГМТ, а B0.19) на XTSMT и выполняя
затем операцию транспонирования в последнем уравнении (помня
при этом, что матрицы К~1 и Ж-Снмметричш). получаем
' XTrMTK~lMXs = XsXjMXs, B0.20)
XtfMtK~'MXs = xXmXs. B0.21)
Если теперь вычесть B0.21) из B0.20), то в результате получим
(Xs — Xr) xjMXs = 0. B0.22)
Так как в общем случае Xs ф Хг, то должно выполняться ра-
равенство
XTrMXs = 0. B0.23)
Пример программы
Обозначения переменных в подпрограмме EIGEN
EGG Характеристическая'матрица (K~l M или АН К)
W Матрица масс (или жесткости)
TEST Требуемая точность определения собственного век-
вектора
NIT Максимально допустимое число итераций
NEIG Количество определяемых собственных чисел
ОМ Квадратный корень из обратной величины собствен-
собственного значения, используемый вместе с матрицей
К~* М для определения низших собственных частот
Программа 20-9
SUBROUTINE EIGEN (EGG,W;NV)
DIMENSION EGGD,4),XD),XAUXD),XUXD),EAUXD,4),WD,4)
EGG — характеристическая матрица
W — матрица масс
READ E,10) TEST.NIT.NEIG
10 FORMAT(F10.5,2I10)
TEST — требуемая Точность
NIT — максимальное число нтерацнй
NEIG —количество определяемых собственных чисел
DO I II = 1,NEIG
DO 66 I = I,NV
XUX(I) = 1.
66 X(I)=1.
14 CALL MPRD(EGG,X,XAUX,NV,NV,1)
EIG = XAUX(lj
DO 571 — 1,N V
Блок-схема программы EIGEN
С
С
с
с
с
с
с
нет
Начало
\
Считывание основных данных
Начало цикла Ло определяемым
собственным оначениям
Выполнение итераций
Проверка уоловия достижения
заданной точности
^—
Да
Нет
Проверка превышения
заданного числа итераций
Да
Запись собственного значения
и собственною вентора
Формирование видоизмененной мотрицы
Конец цикла
по собственный значениям
возврат в осноднцш провраммц
Б08
Глава 20
Вычислительные методы и программы
509
С
С
67 X(I) = XAUXA)/EIG
DO 67 I = 1,NV
IF(ABS((X(I) - XUX(I)/X(I)) - TESTN7,67,82
67 CONTINUE
Достаточно
GO TO 50
Повторение
С
С
82 ITS = ITS- 1
IF(ITSJ1,21.25
21 WRITEE,22)
22 FORMATB6H ITERATION COUNT EXCEEDED)
GO TO 50
25 DO 26 I = 1,NV
26 XUX(I) = X(I)
42 FORMAT DE16.8)
GO TO 14
50 OM = SQRTA./EIG)
WRITEE,13) II.OM
WRITEE,42) (X(I),I = 1,4)
13 FORMAT A5.E16.8)
Формирование вадонзмененнй матрацы
CALL TPRD(X,W,XUX,NV,1,NVJ
CALL MPRD(XUX,X,XAUX,1,NV,1)
AA = EIG/XAUXA)
DO 68 I = 1,NV
68 XAUX(I) = X(I).AA
CALL MPRD (XAUX,XUX,EAUX,NV,1,NV)
DO 110 1 = l.NV
DO 110 J=1,NV
110 EGG(I,J) = EGG(I.J) - EAUX(I.J)
1 CONTINUE
RETURN
END
Программа 20-10
SUBROUTINE MPRD(D,B,DB,L,M,N)
DIMENSION DD,4),BD,4),DBD,4)
DB(LN) D(LM)BMN)
no
JJO 110 J=1,N
DO 110 1= 1,L
DB(I,J) = 0
DO ПО К = 1,M
db;ij dbJ
;,)
RETURN
END
Программа 20-11
SUBROUTINE TPRD (D,B,DB,M,L,N)
DIMENSION DD,4),BD,4),DBD,4)
DB(L,N) = (транспонированная D(M,L))«B(M,N)
DO 110 J = 1,N
DO 110 I=-1,L
DB(I,J)=0
DO 110 K = 1,M
110
RETURN
END
D(K,I)'B(K,J)
20.10. Заключительные замечания
В этой главе рассмотрен весь процесс реализации метода
конечных элементов и приведены образцы программ. Изложен-
Изложенный материал не содержит каких-либо утонченных приемов, ко-
которые могли бы оказаться непонятными для начинающих. На-
Напротив, авторы привели достаточно простые, но весьма эффек-
эффективные рабочие программы, отметив в то же время~возможности
использования других методов и учета особенностей исследуе-
исследуемой системы'.
Программа решения задач о собственных значениях, приве-
приведенная в этой главе, очень проста и не использует свойство сим-
симметрии матриц жесткости и масс (или геометрической жестко-
жесткости). Читателям, интересующимся применением более совер-
совершенных методов и возможностями экономии памяти машины,
следует обратиться к работе Андерсона [8], посвященной зада-
задачам о колебаниях и устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Clough R. W., The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE
Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., Sept. 1960.
2. Irons В М., Economical Computer Techniques for Numerically Integrated
Finite Elements, Int. S. Num. Meth. Eng., 1, 201—203 A969).
3. Martin H. C, Introduction to Matrix Methods of Structural Analysis,
McGraw-Hill, 1966.
4. Clough R. W., Johnson C. P., A Finite Element Approximation for the Ana-
Analysis of Thin Shells, Int. J. Solids Struct. 4, 43—60 A968).
5. King I. P., An Automatic Recording Scheme for Simultaneous Equations De-
Derived from Network Sy_stems (будет опубликовано).
6. Irons В. М., A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis, Int.
J. Num. Meth. Eng., 2, 5—32 A970).
7. Zienkiewicz О. С, King I. P., Discussion on «The Analysis of a Four-Span
Bridge Using an Electrical Analogue Computer», Proc. Inst. Civ. Eng., 37,
819—820 A967).
8. Anderson R. G, A Finite Element Eigenvalue Solution System, Ph. D. Thesis,
Univ. of Wales, Swansea, 1968. „ .—
510
Глава 20
ПРИЛОЖЕНИЕ 20А
Приведенные программы являются подпрограммами форми-
формирования и решения уравнений итерационным методом Гаусса —
Зейделя.
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Программа 20-12
SUBROUTINE FORMK
Подпрограмма предназначена для формирования компактной
матрицы К и соответствующей матрицы-указателя
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF,LI,NT4
COMMON CORD( 100,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1BOO),S1BOO,2O),ISPBOO,2O)
2,ESTIFMA2,12)
Задание максимального числа членов
NMAX = 20
NOFF = 20
Задание нулевых массивов
DO 300 N = l.NSZF
DO 280 M = l.NMAX
280 SI(N,M) = 0
DO 290 M = 2.NOFF
290 ISP(N,M) = 0
300 ISP(N,1) = N
1
l Обход по всем элементам
i
DO 400 N = l.NB
CALL STIFT2(N)
Возврат к ESTIFM, как к матрице жесткости
Засылка ESTIFM в массив SI н члена-указателя в ISP
С
С
С
с
с
с
с
Обход сначала по строкам
1 = 0
DO 350 JJ= l.NCN
NROWB = (NOP(N,JJ) - 1)«NDF
DO350J=l,NDF
Вычислительные методы и программы
511
С
С
С
с
с
305
310
С
С
С
315
С
с
с
с
с
320
330
350
400
С
с
с
с
с
NROWB = NROWB + 1
I = 1+1
Затем обход по столбцам
11=0
DO 330 KK = 1,NCN
NCOLB = (NOP(N.KK) — 1)»NDF
DO 330 К = l.NDF
NCOLB = NCOLB + 1
II = 11+1
Поиск в ISP номера столбца
DO 310 M = 1,NOFF
IF(ISP(NROWB,M) - NCOLB) 305,320,305
IF(ISP(NROWB,M)) 315,315,310
CONTINUE
Поиск свободного места для хранения NCOLB
ISP(NROWB.M) = NCOLB
Запись ESTIFM
SI(NROWB,M) = ESTIFM\I,H) + SI(NROWB.M)
Конец цикла по столбцам
CONTINUE
Конец цикла по строкам
CONTINUE
Конец цикла по элементам
CONTINUE
Учет граничных условий
DO 500N= 1,NB
NX= 10..(NDF — 1)
I = NBC(N)
NROWB = (I — 1J.NDF
Проверка каждой степени свободы
DO490 M = I,NDF
NROWB = NROWB + 1
ICON = NFIX(N)/NX
IF(ICON) 460,450,420
512
Глава 20
Вычислительные методы и программы
513
С
С
С
Запоминание большого номера на диагонали
420
.20
(R,) = SI(NROWB,1)*10
NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON
450 NX = NX/10
490 CONTINUE
500 CONTINUE
RETURN
END
Программа 20-13
SUBROUTINE SOLVE
Подпрограмма предназначена для решения уравнений итерацнон-
иым методом
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NEQ,LI,NT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,RB00),AB00,20),ITEMB00,20),DISB00)
NT = 20
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
с
Задание коэффициента релаксации и точности
TOLER==.lE-3
RELAX =1.8
Прн отрицательном числе уравнений пропуск задания начальных
данных
IF(NEQ.LT.O)GO TO 310
DO 300 N = 1,NEQ
DO 250 М= 1,NT
IF(ITEM(N,M).NE.O) GO TO 260
Массив 1TEM(N,1) содержит Счетчик расстояния от диагонали
ITEM(N,1) = M—1
GO TO 260
250 CONTINUE
260 CONTINUE
300 CONTINUE
310 NEQ=*IABS(NEQ)
Задание максимального количества циклов
NCYC = NEQ/2
IF(NCYC.LT.25)NCYC = 25
С
С
с
с
с
с
Задание нулевого массива неизвестных
DO 320 N = 1,NEQ
IF(A(N,l).NE.0.)A(N,l)=l./A(N,l)
320 DIS(N) = 0.
; Начало цикла по циклам
DO 500 NC = l.NCYC
SUM = 0.
SUMD = 0.
: Начало цикла по уравнениям
DO450N=l,NEQ
FX = R(N)
NUM = ITEM(N,1)
DO 330 M = 2.NUM
L = ITEM(N,M)
330 FX = FX-A(N,M).DIS(L)
FX — общее отклонение от RHS
DX — измененное значение
DX = A(N,1).FX-D1S(N)
DIS(N) = DIS(N) + RLAX.DX
SUM и SUMD — параметры, характеризующие сходимость
С
С
С
с
с
с
с
с
SUM = SUM + ABS(DX)
SUMD = SUMD + ABS(DIS(N))
450 CONTINUE
С
С
с
Выход из цикла прн достижении сходимости
ND N
IF(SUM.LT.SUMD.TOLER) GO TO 550
600 CONTINUB
e
с
с
с
с
с
Пересылка окончательных результатов в массив
550 DO 600 N = 1,NEQ
600 R(N) = DIS(N)
Печать последнего значения суммы и т. д.
WRITEF,10),ND,SUM,SU.MD
10 FORMATB0H0 LAST CYCLE NO. = ,110
1, / 20H (SN-SN-1)/SN =,E10.3
17 Зак. 613
514
Глава 20
2, / 20Н
RETURN
END
SN =,E10.3)
ПРИЛОЖЕНИЕ 20Б
Приведенные программы являются подпрограммами составле-
составления и решения уравнений методом редкозаполненных матриц
(фронтальным методом).
С
с
с
с
с
с
с
с
Программа 20-14
SUBROUTINE FORMK
Программа предназначена для формирования верхнего треуголь-
треугольника компактной матрицы и матрицы-указателя
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NSZF.LI.NT4
COMMON CORD( 100,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,R1BOO),SIBOO,2O),ISPBOO,2O)
2,ESTIFMA2,12)
Задание максимального числа членов
N MAX
NOFF =
20
20
С
С
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
Задание нулевых массивов
DO 300 N — 1.NSZF
DO 280 М = 1.NMAX
280 SI(N,M) = 0.
DO 290 М = 2.NOFF
290 ISP(N,M) = 0
300 ISP(N,I) = N
Обход по элемевтам
DO 400 N = 1,NE
CALL STIFT2(N).
Возврат к ESTIFM как к матрице жесткости
Засылка ESTIFM в SI и члена указателя в ISP
Обход сначала по строкам
Вычислительные методы и программы
515
С
С
С
1—0
DO 350JJ= l.NCN
NROWB = (NOP(N.JJ) - 1).NDF
DO 350 J=1,NDF
NROWB = NROWB + 1
I = 1 + 1
Затем обход по столбцам ESTIFM
II = 0
DO 330 KK — l.NCN
NCOLB = (NOP(N.KK) — 1)«NDF
DO 330 K = 1,NDF
NCOLB = NCOLB + 1
II = 11 + 1
С
с
с
¦Пропуск, если член лежит ниже диагонали
IF(NCOLB — NROWB) 330,302,302
302 CONTINUE
Поиск в ISP номера столбца
DO 310 М= 1.NOFF
IF(ISP(NROWB,M) — NCLOB) 305,320,305
305 IF(ISP(NROWB,M 315,315,310
310 CONTINUE .
1 Поиск свободного места для хранения NCOLB
315 ISP(NROWB,M) = NCOLB
: Запись ESTIFM
320 SI(NROWB.M) = ESTIFM(I,II) + SI(NROWB.M)
с
с
с
С
с
Конец цикла по столбцам
330 CONTINUE
С Конец цикла по строкам
350 CONTINUE
С Конец цикла по элементам
400 CONTINUE
С
С Учет граинчиых условий
С
DO 500 N — 1,NB
(
I = NBC(N)
NROWB = (I- 1)«NDF
17*
516
Глава 20
С
С
С
с
с
Проверка каждой степени свободы
DO 490 М= 1.NDF
NROWB = NROWB+ 1
ICON = NFIX(N)/NX
IF(ICON) 450,450,420
Запоминание большого номера иа диагонали
420 SI(NROWB,1) = SI(NROWB,1)»10..20
NFIX(N) = NFIX(N) - NX.ICON
450 NX = NX/10
490 CONTINUE
500 CONTINUE
RETURN
END
Программа 20-15
SUBROUTINE SOLVE
Решает методом редкозаполненных матриц
COMMON/CONTR/TITLEA2),NP,NE,NB,NDF,NCN,NLD,NMAT,
NEQ,L'l,KT4
COMMON CORDA00,2),NOPB00,4),IMATB00),ORTB5,2),NBCB5),
NFIXB5)
1,RB00),AB00,20),ITEMB00,20),IMETB00)
NT = 20
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
Пропуск, если число уравнений отрицательно
Составление полной матрицы ITEM
IF(NEQ.LT.0) GO TO 360
В противном случае заполнение ITEM по мере необходи-
необходимости
DO 220 М= 1.NT
220 1МЕТ(М) = 1ТЕМA,М)
DO 340 N = 2,NEQ
DO 280 М = I,NT
IF(IMET(M) — N + 1) 225,280,225
225 DO 240 L = l.NT
IF(ITEM(N,L)) 230,260,230
230 IF(ITEM(N,L) —IMET(M)) 240,280,240
240 CONTINUE
WRITEF,I00)N
100 FORMATD3H ALLOWABLE SPACE EXCEEDED IN
EQUATION TABLE, 14)
STOP
260 ITEM(N,L) = IMET(M)
280 CONTINUE
300 DO 320 M=1,NT
320 IMET(M) = ITEM(N,M)
SYM 5
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
SYM
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Вычислительные методы и программы
517
340
360
С
с
с
с
с
с
с
с
с
CONTINUE
NEQ = IABS(NEQ)
NEQM = NEQ- 1
Начало цикла по уравнениям
DO 520 I = 1.NEQM
Модификация вектора RHS
с
с
с
Цикл по строкам необходимо исключить
DO 460 M = 2,NT
IN = ITEM(I,M)
IF(IN) 365,480,365
Найти соответствующие строки
365 DO 380 N = 1,NT
IA = ITEM(IN,N)
IF(IA) 370,400,370
370 IMET(IA) = N
380 CONTINUE
400 CONTINUE
TEMP A(I
С
С
С
Цикл по столбцам необходимо исключить
DO 420 N = 1,NT
IA = ITEM(I,N)
IF(IA) 405,440,405
405 IF(IA^IN) 420,410,410
410 IM = IMET(IA)
Модификация элемента матрицы
A(IN,IM) = A(IN.IM) - TEMP.A(LN)
420 CONTINUE
Модификация вектора нагрузки
С
С
С
С
С
С
440
460
480
С
С
С
R() (
CONTINUE
CONTINUE
Пересылка строки для обратного хода
DO 500 M = 2,NT
A(IM/A(
5Q0
Б20
()
CONTINUE
CONTINUE
R(NEQ)/A(NEQ,l)
SYM 22
SYM 23
SYM 24
SYM 25
SYM 26
SYM 27
SYM 28
SYM 29
SYM 30
SYM 31
SYM 32
SYM 33
SYM 34
SYM 35
SYM 36
SYM 37
SYM 38
SYM 39
SYM 40
SYM 41
SYM 42
SYM 43
SYM 44
SYM 45
SYM 46
SYM 47
SYM 48
SYM 49
SYM 50
SYM 51
518
Глава 20
С
С
С
Обратный ход
DO 560 IB= I.NEQM
INEQIB
Q
DO 540 M = 2,NT
J = ITEM(I,M)
IF(J) 540,560,540
540 R(I) = R(I)-A(I,M
560 CONTINUE
RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 20В
SYM 52
SYM 53
SYM 54
SYM 55
SYM 56
SYM 57
SYM 58
SYM 59
SYM 60
В этом приложении приведен ряд подпрограмм, которые
можно использовать для решения очень большого числа урав-
уравнений при ограниченной максимальной половине ширины лен-
ленты. Эти подпрограммы несовместимы с описанными ранее.
Как уже отмечалось в последней части подразд. 20.5.1, со-
составление ансамбля и исключение выполняются параллельно и
исключение жесткостных уравнений узла осуществляется сразу
же после их составления. Подпрограмма SOLV используется
для построчного исключения (число строк равно числу степеней
свободы узла), а подпрограмма BSUB — для осуществления об-
обратного хода, при котором вычисляются и реакции в граничных
точках. Подпрограммы STORE и RDBK — две небольшие под-
подпрограммы для запоминания и считывания модифицированных
уравнений. Эти модифицированные уравнения не записываются
по мере их составления на ленту, а временно хранятся во внеш-
внешней памяти и записываются в виде блока при заполнении па-
памяти. Подпрограмма INIT образует индексы, необходимые в вы-
вышеупомянутых подпрограммах. Она вызывается перед началом
решения задачи.
а) Блок-схема подпрограммы INIT
Начало
Образование контрольных переменных
Вычисление длины /записи
[ Возврат в основную программу
Вычислительные методы и программы
519
б) Блок-схема подпрограммы STORE
Да
¦Начало
1
Проверка места во внешней памяти
нет
Переписка данных из памяти на ленту
\
Возврат в исходное положение
счетчика индексов
Последовательная запись уравнений
и граничных переменных оовнешнюю
память с соответствующими индексами
\
Возврат в основную программу
в) Блок-схема подпрограммы RDBK
Да
Начала
Проверка, находится ли есцв\ завись
во внешней памяти
Нет
Прокручивание ленты в обратном направле-
направлении и считывание в новый блок
1
Возврат в исходное положение
счетчика индексов
\
Считывание уравнения,
граничных переменных
и соответствующий! индексов
\
Возврат в основную программу
520
Глава 20
т) Блок-схема подпрограммы SOLV
Начало
Нет
Начало цикла по степеням свободы
1
Заданы ли перемещения ?
—Ч
Да
Включение заданных значений
в вектор нагрузки
1
Модификация рассматриваемого уравнения
Запоминание уравнения
\
Исключение уравнений
в соответствии с B0.3) и B0. Ь)
Пересыпна полученных матриц назад
в исходное положение
Конец цинпа по отеленям свободы
Возврат в основную программу
Вычислительные методы и программы
5Й1
д) Блок-схема подпрограммы BSUB
Начало
нет
1
Начало цикла по всем уравнениям
\
Введение уравнения и граничных переменных
\
Осуществление обратного хода
Есть ли в уравнении заданные перемещений ?
Да
Завись номера yam и компоненты реакции
Подстановка вычисленных или
заданных значений 4 матрицу перемещений
1
Смещение известной матрицы перемещений
на одну пооицию вниз
Конец цикла по уравнениям
Запись матрицы перемещений
Вооврат в основную программу
522
Глава 20
Вычислительные методы и программы
523
Обозначения переменных в подпрограммах 20-16 -ь 20-20
величина половины ширины
NBAND Максимальная
ленты
NDF Число степеней свободы узла
NR Переменная для проверки граничных точек
BN Переменная для проверки заданных компонент
перемещений
BV ' Заданное значение
NCOLN Количество столбцов нагрузки (векторов)
ST Массив жесткости
Р Массив нагрузок (перемещений)
X Объем внешней памяти
Программа 20-16
SUBROUTINE INIT (NBAND.NCOLN)
Контрольное счетчики
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000)
Размеры X можио изменять
NA имеет тот же размер, что и X
NA = 8000
IS=1
NBD = NBAND
NCOL = NCOLN
LRECL = NBD + NCOL + 3
NREC = 0
IF (LRECL-NA) 1,1,2
RETURN
WRITEF,4) LRECL.NA
0 FORMAT ('OLOGICAL RECORD LENGTH OF',16,'EXCEEDS
BUFFER SET AT', 1 16)
STOP
END"
С
С
с
с
с
с
с
б
10
Программа 20-17
SUBROUTINE STORE (ST,P,NR,BN,BV)
DIMENSION STF0,60),PF0,2)
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000)
Проверка возможности размещения во внешней памяти
программы автоматического разбиения на элементы
1F(IS + LRECL -NA) 5,5,50
Место во внешней памяти
DO 10 I
X(IS) =
DO 15 I
X (IS) =
1.NBD
l.NCOL
15
С
С
50
IS
X(IS) = NR
X(IS + 1) = BN
X(IS + 2) = BV
IS = IS + 3
RETURN
Нет места во внешней памяти
L = IS — 1
WRITEB) (X(J),J = 1,L)
С Канал 2 внешней памяти
С
IS=1
NREC = NREC + 1
GO TO 5
END
Программа 20-18
SUBROUTINE RDBK (ST,P,NR;BN,BV)
DIMENSION STF0,60),PF0,2)
COMMON/BUFDA/NBD,NCOL,IS,NA,LRECL,NREC,L,X(8000)
с
с
10
с
с
Проверка нахождения следующей записи во внешней памяти
IS= IS — LRECL
IF(IS - 1) 40,12,12
Запись находится во внешней памяти
12 DO 11 1 = 1, NBD
ST A,1) — XAS)
11 IS = IS + 1
DO 15 1 = 1, NCOL
P A,I) = X(IS)
15 IS = IS + 1
NR = X(IS)
BN = X(IS + 1)
BV = X(IS + 2J
IS = IS+ 3 —LRECL
RETURN
С
С
40
41
Необходимо считывать последний записанный блок
IF (NREC) 100,100,41
NREC = NREC-1
BACKSPACE 2
READ B) (X(J),J=1,L)
BACKSPACE 2
IS = L + 1
GO TO 10
524
Глава
С Нелогичная ошибка
С
100 WRITE F,101)
101 FORMAT('O ATTEMPT TO READ BACK TOO MANY RECORDS.')
STOP
END
С
С
С
с
с
с
с
с
Программа 20-19
SUBROUTINE SOLV
COMMON DISG20,2),STF0>60),QF0,2),PF0,2),PSTB),BNB),BVB)
COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDF!,NP,NELEM,NCOLN,NDATA
NCOLN — число столбцов нагрузки
NR = I — узлы с граничными условиями
BN — 1 — закреплено, 0 — свободно
BV — заданные перемещения
NBAND — половина ширины ленты
NDF — число степеней свободы
NDF1 = NDF + 1.NSIZ = NBAND — NDF
DO 111 JJ=1,NDF
Проверка граничных условий
С
С
IF(NR.NE'.l) GO TO 58
IF (ABS(BN(J
ST(JJ)).LT..OOOO1) GO TO 58
ST11=O
DO 5 J= l.NCOLN
5 PST(J) = BV(JJ)
DO 8 J= l.NCOLN
8 P(I,J) = -BV(JJ) + PA,J)/STA,1)
DO 4 I = 2.NBAND:
4 ST(l,I) = ST(l,I)/ST(l,t)
GO TO 60
Уравнение без граничных условий
58 STll = t,/ST(l,l) '
DO 6 J= l.NCOLN
6 PST(J) = PA,J).ST1I
ST(l,l) = STlt
60 CALL STORE (ST,P,NR,BN(JJ),BV(JJ))
DO 11 I=2,NBAND
DO 16 J= l.NCOLN
16 P(I,J) = P(I,J) —STA.I)«PST(J)
с
с
С
С
Составление модифицированной матрицы нагрузкн
DO 11 J = 2,NBAND
ST(I,J) = ST(I,J) — ST(l,I)»ST(l,J)«STlt
Составление модифицированной матрицы жесткости
DO 14 I = 2,NBAND
DO 15 J = 1,NCOLN
P(I _ l J) = p(l,J)
Вычислительные методы и программы
525
15 P<I,J) = О
DO 14 J = 2,NBAND
ST(I- 1, J- !) = ST(I,J)
STA- l,J) = 0
ST(IJ1) O
14 ST(J,J) = 0
С Смещение в исходное положение
С
111 CONTINUE
RETURN
END
Программа 20-20
SUBROUTINE BSUB
COMMON DISG20,2),STF0,60),QF0,2),PF0,2),PSTB),BNB),BVB)
COMMON NDF,NBAND,NSIZ,NDF1,NP,NELEM,NCOLN,NDATA
С NP — число узлов
С
С
NP2 = NDF«NP
DO 30 II = 1.NP2
M = NP2-II
CALL RDBK(ST,P,NR,BNJJ,BVJJ)
Выполнение обратного хода
DO 11 J= l.NCOLN
DO П I = 2,NBAND
11 PA,) (,)(,
DO 2 J= l.NCOLN
PA,J) = P(!,J).STA,1)
IF (NR.NE.l) GO TO 88
IF (BNJJ) 90,88,90
90 LK = M/NDF + 1
Запись номера узла и вычисленной реакции
WRITEF,!0) LK,P(U)
10 FORMAT) 14.E16.8)
DIS(M + 1,J) = BVJJ
PA,J) = BVJJ
GO TO 2
2 CONTINUE
С Смещение известной матрицы перемещений
С
DO 4 I = 2.NBAND
L = NBAND - I + 1
DO 4 J = l.NCOLN
4 P(L+-I,J) = P(L,J)
30 CONTINUE
WRITEF,15)
15 FORMAT) 16H X-QISPLACEMENT, 16H Y-DISPLACEMENT)
34 WRITEF,7) ((DIS(I,J),I = 1,NP2),J= l.NCOLN)
7 FORMATBE16 8)
RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Для понимания содержания этой книги и проведения необхо-
необходимых вычислений требуется знание лишь некоторых основных
определений матричной алгебры.
Определение матрицы
Линейное соотношение между совокупностью переменных х
и Ь
ЙЦ*! + «12*2 + «J3*3 + «14*4 = Ьи
«21*1 + «22*2 + «23*3 + «24*4 = &2,
«31*1 + «32*2 + «33*3 + «34*4 = h
можно записать более кратко:
(А1.1)
где
гап al2 an a,4-i
[А] = а21 а22 aa а24 ,
L«31 «32 «33 «34 J *
(Al.la)
(А1.2)
' Эти выражения поясняют понятия матрицы и матричного
умножения. Матрицы определяются как массивы чисел указан-
указанного в (А 1.2) типа. Массив в виде одного столбца чисел часто
называется вектором или матрицей-столбцом. Умножение ма-
матрицы на матрицу-столбец записывается в виде (А1.1) или
(Al.la).
Матричная алгебра
527
Если для тех же самых постоянных, но других векторов х
и 6 справедливо другое соотношение:
апх\ + ai2x'2 + а13*з + «14*4 = К -
«21*1 + п22Х2 + «23*3 + «24*4 = Ь2' (А1-3)
то формулой
где
аих\ + а32х'2
[А\\Х] =
х\
аих\ = Ь'3,
'&, bi
ь2 ь'2
¦ft, К
(А1.4)
(А1.5)
(А 1.4а)
объединяются соотношения (А1.1) и (А1.3):
«n*i+---. «„<+¦••
«2i*i+•••¦ ailx'1+...
_«3i*i+---> a3ixi +•••_! !_"з J
Отсюда видно, что матрицы равны только тогда, когда равны
между собой все их элементы.
Записанные соотношения справедливы и для умножения
полных матриц. Очевидно, это умножение имеет смысл, если
число столбцов матрицы [А] равно числу строк матрицы [X].
Одним из характерных свойств матричного умножения является
его некоммутативность:
[АПХ]Ф[Х}1А].
Матричное сложение и вычитание
Складывая соотношения (А1.1) и (А1.3), получаем
«11 (*, + А) + «12 (Х2 + Хд + «13 (*3 + *0 + «!4 (Х4 + Хд =
= й. + Ьь
«2. (*1 + О + «22 (Х2 + Хд + «23 {Ч + О + «24 (*4 + О =
, , ,/ (А1.6)
«31 (*1 + *0 + 2 (Х2 + Хд + аЗЗ (Х3 + *з) + «34 (Х4 + Хд =
= &3 + Ь'ъ
что также следует из
[А] {х} + [А] {*'} = [А] {х + х'} = Щ + {Ь'} = {Ь + Ь'},
528
Приложение I
если определить сложение матриц как сложение их элементов.
Ясно, что складывать можно лишь матрицы одинаковой размер-
размерности, например
[«П «12 «13 I .
«21 «22 «23 -I L &2I ^22 ^23 J L«21 "Г" ^21 «22 4" 2 «23 4" ^:
ИЛИ
Г&11 &12 &1з"]_Г«11
L &2I &22 &23 J ~ L^l
--[С]. (А 1.7)
Каждый элемент матрицы {С] равен сумме соответствующих эле-
элементов [А] и \В].
Вычитание производится по таким же правилам.
Транспонирование матрицы
Эта операция представляет собой
массивав соответствии с соотношением
переупорядочение чисел
(А 1.8)
и обозначается символом Т.
Примеры использования этой операции будут указаны позд-
позднее. Пока же можно ограничиться только определением.
Обращение матрицы
Если матрица [А] в соотношении (А 1.1 а) квадратная, т. е.
состоит из коэффициентов системы уравнений типа (А1.1), в ко-
которой число уравнений равно числу неизвестных, то неизвестные
{х} можно выразить через известные коэффициенты {&}'). Реше-
Решение можно записать в виде
{x} = [A]~l{b}, (A1.9)
тде матрица [Л]~* называется обращением квадратной матрицы
[А]. Ясно, что матрица [Л] тоже квадратная и ее порядок ра-
равен порядку матрицы [А].
Соотношение (А 1.9) можно было бы получить, умножая обе
стороны (А 1.1а) на [А]-1. Следовательно,
(А 1.10)
') Это можно сделать только в том случае, если определитель матрицы [А]
отличен от нуля. — Прим. ред.
Матричная алгебра
529
где [/] — единичная матрица, все элементы которой, не стоящие
на диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны
единице.
Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной
матрицы не существует.
Сумма произведений
В задачах механики часто приходится иметь дело с такими
величинами, как, например, силы, которые можно представить
в виде матрицы-вектора
(Al.ll)
Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными
другим вектором, скажем
(А1.12)
Известно, что работа равна сумме произведений сил на переме-
перемещения:
Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию
транспонирования и в соответствии с первым правилом умно-
умножения матриц записать
Такая запись часто используется в книге.
Транспонирование произведения
Иногда приходится транспонировать произведение матриц.
Читателю предоставляется возможность, основываясь на приве-
приведенных определениях, доказать, что
ЩТЩТ. (А1Л4)
530
Приложение I ¦
Симметричные матрицы
В задачах расчета конструкций часто встречаются симмет-
симметричные матрицы. Если элементы матрицы [Л] обозначить через
а1;-, то для симметричной матрицы
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ГЛАВЫ 2
Можно показать, что матрица, обратная симметричной, всегда
симметрична.
Разбиение матриц на клетки
Легко убедиться, что матричное произведение
в котором матрицы имеют, например, вид
«12 «
13
«22 «23
- «31 «32 «33
«14
«24
«34
[В]-
&22
*32
можно получить, разбивая матрицы, как указано пунктиром, на
подматрицы, применяя сначала правила умножения матриц так,
как будто каждая подматрица является скаляром, и производя
дальнейшее умножение обычным образом. Если записать
то можно показать, что
При разбиении матриц на клетки существенно, чтобы строе-
строение подматриц обеспечивало существование произведений вида
ЛцВ1, т.е. число столбцов матрицы Лц должно быть равно
числу строк матрицы Bi и т. д. В этом случае любые действия
над матрицами можно производить так, как будто каждая
клетка является скаляром. Отметим, что любую матрицу мож-
можно умножить на скаляр (число).
B.1)
B.2)
B.3)
B.9) {FГ = < Fl \ =
+ {FYp.
= -\[N)T{p}dV,
B.10)+
+ B.13)
B.16) -{a} = [D] [B] {6}e - [D] Ы + aa.
B.17) [S]e
Приложение з
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ¦
ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ФИГ. 4.1)
Пусть треугольник в плоскости х — у определен тремя точками
(х^ ус), (Xj, у/) и (хт, ут), а начало координат находится в центре
тяжести, т. е.
xl+xI + *m .„yj+Uj + ym n
3 ~~ 3 ~и-
Интегрируя по площади треугольника, получаем
\ х dx dy = \ у dxdy = О,
1 Ц yt
1 хт Ут
[х] + х2! +
= Д = площадь треугольника,
=-^ (х,у( + х/у,- + хтут).
Приложение 4
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ТЕТРАЭДРА
(ФИГ. 6.1)
Пусть тетраэдр определен в системе координат х, у, г, на-
начало которой расположено в центре тяжести, четырьмя точками
(Х{, УU Zi), (Xj, УU Zl)< (*m. Ут, 2m), (Xp, Ур, Zp), ПрИЧеМ
4"
Интегрируя по объему тетраэдра, получаем
xi Ус Zc
= 0.
1 х, у, г,
1 хт
1 х„
Ут г„
Ур Zp
= V = объем тетраэдра.
При указанной иа фиг. 6.1 нумерации вершин тетраэдра спра-
справедливы следующие формулы:
\ х dxdy dz=\ у dxdy dz=\z dxdy dz = 0,
xy dx dydz = -^
x,y, + xmym + xpyp),
xz
^ (xfii + XjZ, + xnz
yz dx dydz = ^ (y,z, + yizj + ymzm
Приложение s
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
При использовании элементов, произвольно ориентированных
в пространстве, например при расчете оболочек и т. п., требуется
знание и понимание основ векторной алг.ебры. Кратко изложим
некоторые основные понятия.
Векторы (с геометрической точки зрения) можно определить
их компонентами по направлениям осей х, у, г1). Таким обра-
образом, вектор .Voi, показанный на фиг. А5.1, можно представить
в виде
V01 = Ix, + jy, + kz,, (A5.1)
где i, j, k — единичные векторы в направлениях осей х, у, г.
С другой стороны, этот же вектор можно записать как
(А5.2)
(как вектор-матрицу), располагая его компоненты в виде
столбца.
Сложение и вычитание. При сложении и вычитании векторов
производится сложение и вычитание их компонент:
Voa - V01 = V21 => I (x2 - x,) + j (й -(/,) + k (z, - z,). (A5.3)
Этот же результат можно получить, используя правила матрич-
матричной алгебры, т. е.
{Voa} — {Vo,} — {V,,} = -[ й — !f, [• • (А5.4)
U2 —z,J
Длина вектора. Из геометрических соображений длина век-
вектора V2i определяется выражением
I» = V(** ~ *iJ + (У2 ~ Ух? + (*2 - z,J (А5.5)
или в обозначениях матричной алгебры
'12 = VU^Fra. (A 5.6)
') Здесь и дзлее предполагается прямоугольизя декзртова система коор-
дннзт. — Прим. ред.
Некоторые сведения из векторной алгебры
535
Направляющие косинусы. -Направляющие косинусы вектора
определяются через длины его проекций:
и т. д.,
(А5.7)
где ах — угол между вектором и осью х.
Скалярные произведения. Скалярное произведение двух век-
векторов определяется как произведение длины одного из векторов
на длину проекции на линию его действия другого вектора. Та-
Фиг. А5.1. Векторное сложение.
ким образом, если у — угол между двумя векторами Л и В,
длина которых /„ и h, то
Если
= 'B- A.
А = \ах + \аи + kaz
(А5.8)
(А5.9)
то, учитывая, что в соответствии е приведенным определением
ролучаем
I.I = j.j=k-k=l,
i - j = j - fc = fc - i = 0 и т.д.,
A ¦ В = axbx + dyby + афг.
(A5.10)
536
Приложение 5
В матричных обозначениях
(A5.ll)
(A5.12)
Векторное произведение. Векторное произведение опреде-
определяется как вектор, направленный по нормали к плоскости, за-
задаваемой двумя векторами, и равный по величине произведению
Фиг. А5.2. Умножение векторов (векторное произведение).
длин этих векторов на синус угла между ними. Его направление
определяется по правилу правой руки. Так, на фиг. А5.2 пока-
показан вектор
АХВ = С. (А5.13)
Ясно, что
АХВ = -ВХА\ (А5.14)
Отметим, что величина (или длина) вектора С равна площади
показанного на фнг. А5.2 параллелограмма.
Используя представления (А5.Э) и замечая, что
1 * ! ^ [Х '.Т,^1^^ х , . (А5.15)
получаем
1 J k
AXB = det ax ау аг
bx by Ьг
= (аА - azby) 1 + (аА - axbz) j + (axby - aybx) к. (А5.16)
Некоторые сведения из векторной алгебры
537
В матричной алгебре нет простого аналога векторному про-
произведению, однако можно использовать для вектора С следую-
следующее определение1):
!а А — аА I
агЬх-ахЬЛ. ' (А5.17)
axby — avbx )
Векторное произведение особенно полезно при построении
нормали к поверхности (см. гл. 11).
Элементарные площадь и объем. Если 1 и ц — некоторые
криволинейные координаты, то векторы
( дх Л ( — Л
\Ж\ дц
^ — ) Ut dri = < ду \dr\ (A5.18)
определяемые соотношениями между декартовыми и криволи-
криволинейными координатами, направлены по касательным к линиям
| = const и т) =. const. Поскольку длина вектррного произведе-
произведения d% X dr\ равна площади элементарного параллелограмма,
используя (А5.17), можно записать
дх д.
EL
d S = det
ду ду
dldi\.
(А5.1Э)
. (A5.20)
Аналогично в криволинейных координатах |, tj, ? трехмерного
пространства элементарный объем определяется смешанным
произведением
дх дх дх
d| dr\ dt,
ду ду ду
Ж дг) д\
дг дг дг
д\ дх\ dt,
Это соотношение следует из геометрических соображений. Про-
Произведение, стоящее в скобках, по определению представляет
собой вектор, длина которого равна площади параллелограмма,
построенного на векторах dx\ и dt,. Скалярное умножение этого
вектора на вектор d% дает элементарный объем.
') Подробнее см. в книге: Б. Е. Победря, Лекции по тензорному анализу,
Изд-во МГУ, 1974.— 'Прим. ред.
ПРИЛОЖЕНИЕ б
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Продемонстрируем здесь относительно простой переход от
вариационного соотношения к эквивалентному дифференциаль-
дифференциальному уравнению. Однако обратный процесс гораздо сложнее и
его не всегда удается осуществить, поскольку зачастую не
удается установить вариационный принцип.
Рассмотрим задачу минимизации функционала
Здесь / — произвольная функция, фх = дф/дх и т. д., С — часть
границы, на которой не заданы значения функции ф. На осталь-
остальной части границы ф = фр.
Рассматривая произвольную вариацию неизвестной функции
ф и ее производных, получаем
(А6.2)
Поскольку
ТЕ" <в»
т.д.,
соотношение (А6.2) можно переписать в виде
б*= \ A#в*+1Йг^(ад + • • -)dv + \
v с
(A6.3)
Величина &% приравнена нулю, так как в точке минимума (ста-
(стационарной точке) вариация обращается в нуль.
Подставляя dV = dxdydz и интегрируя второе слагаемое
в первом интеграле по частям [см. формулу C.25)], получаем
Теория Эйлера вариационного исчисления
539
где 1Х—косинус угла между внешней нормалью к поверхности
и осью х. Интегрируя таким же образом остальные слагаемые
в (А6.3), окончательно получаем
дФ дх\дФх) дуУдФу)
+ ixJL
с
Второй интеграл берется только по части границы С, поскольку
на остальной части поверхности S значения ф заданы и поэтому
6ф = 0.
Поскольку равенство (А6.4) должно выполняться при произ-
произвольной вариации б^, повсюду в области V должно выполняться
условие
дф дх { дФх
а на части границы С
ду{ дФу
= 0.
(А6.56)
Если функция ф удовлетворяет этим двум уравнениям, то она
минимизирует функционал %'). В случае единственности реше-
решения постановки задач с использованием соотношений (А6.1) и
(А6.5) эквивалентны. Приведенные дифференциальные уравне-
уравнения известны как уравнения Эйлера.
Если функционал зависит и от производных функции ф бо-
более высокого порядка, то соответствующие этому случаю урав-
уравнения Эйлера получаются аналогично. Точно так же можно
найти систему дифференциальных уравнений Эйлера для функ-
функционала от нескольких независимых функций ф, г|) и т. д. и их
производных.
х) При указанных условиях функпионал имеет экстремальное значение.
Для того чтобы это экстремальное значение соответствовало минимуму, тре-
требуется дополнительное условие. Подробнее см.: Г. Е. Шилов, Математический
анализ. — Прим. реф.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Предварительные сведения: метод жесткостей расчета кон-
конструкций и исследование сетей .11
Глава 2. Конечные элементы упругой среды. Метод перемещений ... 26
Глава 3. Обобщение понятия конечных элементов 44
Глава 4. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния . 60
Глава 5. Осеснмметричное напряженное состояние 87
Глава 6. Исследование трехмерного напряженного состояния 104
Глава 7. Функции формы элемента. Некоторые семейства этих функций 117
Глава 8. Криволинейные изопараметрические элементы н численное инте-
интегрирование 143
Глава 9. Некоторые примеры применения изопараметрических элементов
при исследовании двумерного и трехмерного напряженных со-
состояний 169
Глава 10. Изгнб пластин 186
Глава II. Оболочки как совокупность плоских элементов 230
Глава 12. Осесимметрнчные оболочки 259
Глава 13. Полуаналитнческий метод конечных элементов. Применение
ортогональных функций 274
Глава 14. Расчет толстостенных оболочек как частный случай исследова-
исследования трехмерного тела 294
Главз 15. Задачи о стационарных полях (теплопроводность, электриче-
электрический потенциал, течение жидкости и др.) 316
Глава 16. Постановка нестационарных и динамических задач 344
Глава 17. Динамические задачи. Полуаналитическое исследование. Коле-
Колебания и собственные значения 371
Главз 18. Физически нелинейные задачи. Пластичность, ползучесть, задачи
нелинейной теории поля и т. д 393
Глава 19. Геометрически нелинейные задачи; большие перемещения и не-
неустойчивость конструкций 438
Содержание 541
Глава 20. Вычислительные методы и программы (Ченг и Кинг) .... 462
Приложение 1. Матричная алгебра 526
Приложение 2. Основные соотношения главы 2 531
Приложение 3. Некоторые формулы интегрирования для треугольника
(фиг. 4.1) 532
Приложение 4. Некоторые формулы интегрирования для тетраэдра
(фиг. 6.1) 533
Приложение 5. Некоторые сведения из векторной алгебры 534
Приложение 6. Теорема Эйлера вариационного исчисления , 538
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кинги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП,
1-й Рижский пер., 2,
Издательство «Мир».
О. ЗЕНКЕВИЧ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ТЕХНИКЕ '
Редактор Л. Якименко
Художник А. Смелякоа
Художественный редактор В. Бйсенгалиев
Технический редактор 3. Резннк
Сдано в набор 6ЛП 1975 г. Подписано к пе-
печати 8/IX 1975 г. Бумага № 2 60X90/,,=17 бум. л.
84 печ. л. Уч.-изд. л. 31,76. Изд. № 20/7928.
Цена 2 р. 70 к. Зак. 613
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер-., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография- № 2
ииени Евгении Соколовой Союзполнграфпрома
ори Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект* 29