... ДЕКЛУ МЕТОД
КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ

ECOLE POLYTECHNKJUE FEDERALE DE LAUSANNE
METHODE DES ELEMENTS FINIS
J. DESCLOUX
Fevrier 1973
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Lausanne, Suisse

Ж..ДЕКДО-
МЕТОД КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Перевод с французского
Б. И. КВАСОВА
Под редакцией
Н, Н. ЯНЕНКО
Издательство «Мир»
Москва 1976

*. 12
В книге дается математическое обоснование метода
конечных элементов, получившего в последние годы ши-
рокое распространение. Основное внимание уделяется
строгой математической формулировке вопросов. Дается
вариационная формулировка задач с краевыми усло-
условиями, рассматривается применение метода к числен-
численному решению уравнений в частных производных; изло-
изложенный материал иллюстрируется примерами.
Книга представляет большой интерес для всех, кто
желает изучить математические основы метода конеч-
конечных элементов, — математиков-вычислителей, механиков,
физиков, а также для аспирантов н студентов соответ-
соответствующих специальностей,
Редакция литературы по математическим наукам
20203-016
Д Q4i/Qi).76 166 © Перевод на русский язык, «Мир», 1976

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В последнее десятилетие получило широкое развитие
и применение новое направление в вычислительной мате-
математике — метод конечных элементов. Отметим сразу, что,
хотя на эту тему уже опубликовано большое число ста-
статей, общая математическая теория метода конечных
элементов развита в основном в последние годы. Успех
в обосновании этой методики был обеспечен прежде всего
достижениями в области теории сплайнов. Существует
глубокая взаимосвязь между теорией обобщенных функ-
функций, теорией сплайнов и методом конечных элементов.
Как известно, обобщенные функции могут быть получены
как предельные элементы последовательностей традици-
традиционных элементарных функций (полиномы, тригонометри-
тригонометрические полиномы, собственные функции краевых задач
математической физики). В современном численном ана-
анализе в систему, элементарных функций были включены
сплайны, которые кратко можно определить как «кусочные
полиномы». Систематическое изучение свойств последних
породило теорию сплайн-функций. Отметим, что диффе-
дифференцируя сплайн-функции необходимое число раз, мы по-
получим обобщенные функции, т. е. сплайн-функции являются
интегралами от распределений.
Метод конечных элементов можно рассматривать как
специальный случай метода Ритца — Галеркина. Этот
классический подход имеет два существенных недостатка.
Во-первых, на практике построение базисных функций
возможно только для некоторых специальных областей
и, во-вторых, соответствующие матрицы Ритца — Галер-
Галеркина являются полными матрицами и очень часто даже
для простых задач плохо обусловлены. Принципиальное
различие между методом конечных элементов и класси-
классической техникой Ритца — Галеркина лежит в построении
базисных функций. В методе конечных элементов базис-
базисные функции выбираются в виде сплайнов и для обла-

6 Предисловие редактора перевода
стей общего вида могут быть вычислены весьма просто.
Главная особенность этих базисных функций состоит
в их финитностн, т. е. в том, что они обращаются в нуль
всюду, кроме фиксированного числа элементарных под-
подобластей, на которые делится данная область. Это свой-
свойство влечет за собой разреженность и ленточную струк-
структуру матрицы Ритца — Галеркина (или матрицы жесткости
системы, пользуясь термином, принятым в теории упру-
упругости) и устойчивость численного процесса решения
системы.
В небольшом по объему курсе лекций профессора
Деклу излагаются математические основы метода конеч-
конечных элементов. При этом основное внимание уделяется
строгой математической формулировке рассматриваемых
вопросов и обоснованию определенной техники аппрок-
аппроксимации, применяемой инженерами, изложение которой
можно найти, например, в известной работе Зенкевича
и Чанга «Метод конечных элементов в теории соору-
сооружений и в механике сплошных сред», изд-во «Недра»,
1974.
Книга состоит из четырех глав.
В главе I даются различные вариационные формули-
формулировки краевых задач для линейных дифференциальных
уравнений. Это связано прежде всего с вариационной
основой метода конечных элементов. Далее автор проводит
дискретизацию вариационных задач и излагает схему
метода конечных элементов.
В главе II излагается метод построения пространства
конечных элементов, который широко используется сей-
сейчас в инженерной практике. При этом вначале рассмот-
рассмотрены одномерные и прямоугольные элементы двух типов,
а затем треугольные элементы и элементы с криволиней-
криволинейными сторонами. Глава заканчивается вычислением мат-
матрицы жесткости.
В главе III даются краткие сведения из теории про-
пространств Соболева и коэрцитивных форм, необходимые
для применения развиваемой теории метода конечных
элементов к численному решению уравнений в частных
производных. Здесь же на двух примерах рассмотрены
вопросы существования и единственности обобщенных
решений уравнений в частных производных.

Предисловие редактора, перевода 7
В главе IV получены оценки уклонения точного реше-
решения ¦ задачи обобщенной интерполяции от дискретного
решения в векторном пространстве конечных элементов.
Отличительной особенностью книги является прос-
простота и ясность изложения в сочетании с математической
строгостью и высоким научным уровнем. Весь материал
иллюстрируется на большом числе примеров. Книга
профессора Деклу представляет собой хорошее введение
в теорию и приложения метода конечных элементов и
несомненно представит интерес для широкого круга
читателей: математиков-вычислителей, механиков, физи-
физиков, как исследователей, так и студентов старших курсов.
Н. Н Дненко

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Эта монография содержит материал специального кур-
курса, который читался в 1973 г. в Лувенском университете
для специалистов по прикладной математике и инженеров.
Для чтения книги достаточно минимальной математи-
математической подготовки. Глава III содержит краткое введение
в теорию эллиптических уравнений и пространств
С. Л. Соболева. Основной упор сделан на полные дока-
доказательства сходимости для уравнений этого типа с неод-
неоднородными краевыми условиями, которые основаны на
предположениях, имеющих место в инженерной практике.
В свою очередь вопрос о порядке сходимости, который
играет первостепенную роль в теоретических исследова-
исследованиях, но представляет весьма скромный интерес для
приложений, затронут только весьма кратко.
Я хочу искренне поблагодарить переводчика Б. И. Ква-
Квасова, который исправил большое число ошибок, содер-
содержавшихся во французском варианте книги, и, кроме того,
способствовал существенному ее улучшению. Пользуюсь
также возможностью, чтобы выразить мою признательность
профессору Менге из Лувенского университета, без кото*
рого этот труд не увидел бы света.
Жан Деклу
Лозанна, 6 мая 1975 г.

L ВВЕДЕНИЕ
1. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ '
Обозначения. Пусть Q — открытое связное ограниченное
множество в Rn, Q — его замыкание. Для s = (sit s2,... ,sn),
где s{ — неотрицательные целые числа, положим |s| —
— si + S2 + • ¦ • + sn и Для /еСя (Q) введем обозначение
при
Через Ст (Q) обозначим множество вещественных функций,
представляющих собой сужения на Q функций класса Ст,
определенных на всем R". Будем говорить, что U — регу-
регулярная область, если для нее справедлива теорема о дивер-
дивергенции [теорема Гаусса—Остроградского — перев.], т.е.если
для всякой /еС1 (Q) имеем
оа
где dQ — граница Q, щ есть г-я компонента единичной
внешней нормали к 3Q, a dx и da соответственно — элементы
объема и поверхности. Для регулярной области Q будем
говорить, что / принадлежит классу Cf(Q) при m^i
if €= СТШ если
2) существуют открытые непересекающиеся регулярные
области Qt Qp, такие, что
а) Q= U Й„
б) сужение / на Qt принадлежит классу Cm(Qi),
i = 1, ..., p.

10 /. Введение
Замечание 1. Для /еС}(й) имеет место соотно-
соотношение A).
Замечание 2. Класс С)(п) нуждается в специальном
определении. Для регулярной Q будем говорить, что f
принадлежит классу Q (Q), если существуют открытые
непересекающиеся регулярные области Qit ..., Qp, такие,
что
а) Q= (J Q,,
б) сужение / на Qt допускает непрерывное продолжение
на R", *=1, 2, ..., р.
Пример 1. Пусть й = [0, 1]. Заданной функции /е
е С? ([0, 1]) сопоставим линейную форму <р: С? ->R, опре-
определенную равенством ф (v) = J /у <?к. Через L обозначим
о
множество функций на [0, 1], обращающихся в нуль
в точках 0 и 1. Рассмотрим следующие четыре задачи.
- 1. Найти такую и <= С/ ([0, 1]) f( L, что
-u"(x)=f(x). B)
2. Пусть t/ = 9([0, 1]) П L, У = СЦ[0, 1]) и а:{/х
X К -> R — билинейная форма, определенная равенством
i
а (и, v) = — \u"(x)v{x)dx.
о
Найти такую u^U, что
а (и, v) = ф (и) Vu e V. C)
3. Пусть и=*СЩ0, I]) f] Lua: U X f/-> R - билиней-
билинейная форма, определенная равенством
1
а (и, v) = \ и' (х) v' {x) dx.
о
Найти такую и^.11, что
а {и, v) = q>(v) Voe/7. D)

/. Вариационная формулировка краевых задач 11
4.. Пусть U = Cj([O, 1]), V=.Cj([O, 1]) П L и a: U x
X У—И?—билинейная форма, определенная равенством
i
а (и, v)=—\)u(x) v" (x) dx.
о
Найти такую и е U, что
а (и, а) = ф(и) Vti e К, E)
Покажем, что каждая из этих задач имеет единственное
решение и что эти четыре решения тождественны. Интег-
Интегрируя B) два раза, получаем
Условия «@) = «A) = 0 однозначно определяют а и Ь.
Обозначим через а решение задачи 1. Тогда достаточно
показать, что а является также решением задач 2, 3 и 4
и что каждая из этих трех задач имеет не более одного
решения. Умножая B), где и — п, на yeCJ([0, 1]) и
интегрируя, получаем C). Умножая B), где « = #, на
С} ([0, 1]) П L и интегрируя по частям, получаем D):
- а' (х) v (х) \Ъ + \п' (х) v'- (х) dx= {f(x)v (x) dx. F)
о о
Умножая B), где и = п, на ое С) ([0, 1]) f| L и интегрируя
два раза по частям с учетом F) итого факта, что й@) =
s=mA) = 0, получаем E):
1 1
а (х) v' (x) IJ - $ а (х) v" (x) dx=\f{x)v {x) dx.
о о
Для доказательства единственности решения задач 2, 3 и 4
предположим, что имеются два решения н4 и «2 (принад-
(принадлежащие для каждой задачи соответствующим множе-
"ствам U). Пусть ш = и1 — и2. Для задачи 2, полагая v — w",
получаем
1
- $ (w" (x)Jdx = 0=> w" (x) = 0 => w (x) = О,

12 /. Введение
так как w (О) = оу A) = 0. Для задачи 3, выбирая v = w,
получаем
1
\ (w' (х)J dx = 0 => в»' (л:) = 0 => w (x) = О,
о
так как оу @) = 0. Для задачи 4 выберем такое v, что
v" (х) = ш (*), у@) = сA)=0 (задача 1); получим
Будем говорить, что задачи 2, 3 и 4 являются соот-
соответственно сильной, полуслабой и слабой вариационными
формулировками краевой задачи 1.
Пример 2. Пусть G = [0, 1]. Заданной функции /^
е С? ([О, 1]) сопоставим линейную форму q>:C/->-R,
определенную равенством ф (v) = \f (x) v (x) dx. Пусть L—•
множество функций v класса С1 ([0, 1]), таких, что v @)=0,
v' (l) + au(l) = 0, где а —неотрицательная постоянная,
и пусть Li~множество функций, обращающихся в нуль
в точке 0. Рассмотрим следующие четыре задачи.
1. Найти такую н е Су ([0, 1]) fl L, что
-«'(*)=/(*).
2. Пусть f/ = C?([O, 1]) fl L, У = СЦ[0, 1]) и a: U X
X V-»¦ R — билинейная форма, определенная равенством
1
а (и, v) = — \u"{x)v{x)dx.
о
Найти такую u^U, что
а (и, v) — (p(v) Vi/gF,
3. Пусть U = C}[0, 1] П L и a: U x U -> R - билиней-
билинейная форма, определенная равенством
1
а (и, v) = \ju'(x)v'(x)dx+au(l)v(l).

1. Вариационная формулировка краевых задач 13-
Найти такую и ^U, что
а (и, v) = ф (v) Vt» e U.
4. Пусть t/ = CJ[O, 1], V = C?([0, 1]) П L и a:?/xF->
->R — билинейная форма, определенная равенством
а {и, v) = — $« (х) v" (х) их.
, о
Найти такую ы е ?/, что
а(и, f) = f(f) Vde F,
Тем же способом, что и в примере 1, можно показать,
что сформулированные четыре задачи имеют одно и то же
единственное решение.
Замечание. В задаче 3 из примера 2 (полуслабая
формулировка) краевое условие и' A) + аы A) = 0 не уча-
участвует в определении U, но используется в билинейной
форме а. В таком случае говорят, что это краевое условие
является естественным. Наоборот, краевое условие и @) = 0
участвует в определении U. Это главное краевое условие.
В полуслабьгх формулировках из примеров 1 и 2 (зада-
(задачи 3) билинейная форма является, с одной стороны,
симметричной, а с другой стороны — положительно опре-
определенной, т. е. а (и, v) = a (v, и) и а (и, и) > 0 при ифО.
Таким образом, эти задачи эквивалентны задачам на мини-
минимум. Действительно, имеет место следующая
Теорема 1.1.1. Пусть U — вещественное векторное
пространство ц a: U x ?/->R — симметричная положительно
определенная билинейная форма, т. е. а (и, v) = a (v, и)
и а (и, «)>0 при ифО. Пусть ц>: U ->R — некоторая
линейная форма и F: U ->R — квадратичная форма, опре*
деленная равенством F (и) = -^а(и, и) — ф (и). Рассмотрим
следующие две задачи:
1) найти такое u^.U, что а (и, v) = (f(v) Vc e U;
2) найти такое и^О, что F(u)^F(v) Vyei/.
Тогда
а) каждая из этих задач имеет не более одного решения^
б) если одна из задач допускает некоторое решение, то
и другая допускает то же самое решение;

14 /. Введение
в) если и —решение, то
F (v)-F(a) =ja(p-fl, v — a) Vw е= ?/. G)
Доказательство. 1. Покажем, что задача 1 имеет-
не более одного решения. Пусть и{ ииг — два решения,
w = ul — и2. Полагая v = w, получаем а (а/, до) = 0 и
ш = 0.
2. Предположим, что и — решение задачи 2, и покажем,
что и также является решением задачи 1. Пусть v^U.
Для всякого Я е R имеем
(M)=yfl(a, и)-ф(и);
Из последнего неравенства, которое должно выполняться
для всякого Я, вытекаех, что а (и, v) = y(v).
3. Предположим, что н —решение задачи 1, и докажем
формулу G). Имеем
= -2а{п, u) + -2-a(v-a, v - и) - ц> (а
-Ь(а(й, v — a) — (p(v — a))
= -^-a(v — u, v — п).
Это соотношение показывает, что и является в то же время
решением задачи 2, и доказательство завершено.
По соображениям, которые выяснятся в следующем
параграфе, наиболее интересными для численного анализа
являются полуслабые вариационные формулировки.
Пример 3. Пусть Q —регулярная область в R2, дп-~
ее граница, состоящая из двух непустых непересекающихся
частей dQj.n dQz. Пусть /еС/(й),а: 5Q2->-R, а непре-
непрерывно н а>0. Рассмотрим следующие две задачи.

1. Вариационная формулировка краевых задач 15
1. Пусть U = {и «= Q (й): и = 0 на дпи ^ и + аи = О
на дО2}> где п—внешняя нормаль. Найтн такую функцию
и g[/, что
— Аи = / в Q.
2. Пусть и = {меС}@): и = 0 на dQj}, н пусть форма
a: U х U-+R определена равенством
а (и, v) = W (дхи ¦ dxv + дуи ¦ dyv) dxdy-\- \ auv ds (дх = д/дх),
а отображение ф: t/->R определено равенством ф(н) =
= f ^ /ы dxdy. Требуется найти такую функцию и Gt/, что
-Q
а (и, с) = ф (с) Vc e= U.
Эти две задачи не вполне эквивалентны. Покажем, что
а) задача 1 имеет не более одного решения; б) задача 2
имеет не более одного решения; в) решение задачи 1
является также решением задачи 2. Ясно, что достаточно
доказать пункты б) ив).
По теореме 1.1.1, чтобы установить б), достаточно про-
проверить, что а —симметричная положительно определенная
билинейная форма. Это нетрудно. Чтобы доказать в),
рассмотрим решение и задачи 1, некоторое v е= С} (Q), v = О
на dQit и используем формулу Грина
5J fv dx dy=JJ — Аис dx dy = \\ grad и ¦ grad vdxdy —
а а я
— \ с^ ds= \ \ gradw •gradfdArdy+ \ auvds = a{u, v).
за а за
за а за*
Заметим, что краевое условие, относящееся к dQ2> явля-
является естественным.
Замечание. Решение задачи 2 в примере 3, которое
не является решением задачи 1, называется обобщенным
решением.

16 /. Введение
2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ
Предположим, что задачу, поставленную в примере 1
предыдущего параграфа, требуется решить численны^
методом, ориентированным на вычислительную машину.
Рассматривая решение и как множество пар чисел
{(х, и (х)): х е [0, 1]}, мы видим, что вычислительная ма-
машина, которая может оперировать только с конечным мно-
множеством чисел, не в состоянии обработать всю информацию,
относящуюся к «.Следовательно, данную задачу необходимо
свести к другой задаче, которая содержит в качестве не-
неизвестных только конечное множество чисел. Эта новая за-
задача, решение которой, вообще говоря, будет только прибли-
приближением (причем требуется уточнить, в каком смысле) реше-
решения исходной задачи, называется «дискретной задачей».
В рамках примера 1 из § 1 ограничимся рассмотрением
двух общих методов дискретизации.
Метод А. Пусть Q* = {хи х2,.. uxn] [j {О, 1} —дискрет-
—дискретное (т. е. конечное) множество из й = [0, 1}. Дискретная
задача будет состоять в отыскании функции и*: &*->R,
такой, что и* (xt) является приближением для и (xi). Мы
ограничимся случаем равномерной «сетки» xt — ih, h —
l/(tfl
Задача А1 (конечные разности). Исходя из соотно-
соотношения и" (х) = \\т(и (х-\-х) — 2и (х) -\-и (х — т))/та и форму-
лировки 1 примера 1 положим
u*(xi+1)-2u*(x
г
(при /=1 полагаем и*(хо) = О, а при i = N полагаем
и* (Xff+i) =0). Тем самым получается система N линейных
уравнений с N неизвестными.
Задача А2 (конечные разности; вариационная форму-
формулировка). Согласно полуслабой формулировке из примера 1
и теореме 1.1.1, искомое решение и минимизирует функци-
функционал
1 1

2. Дискретизация, 17
на множестве функций класса С} ([О, 1]), обращающихся
в нуль в точках 0 и 1. На отрезке [х/_1( xt] имеем1)
\ v'i(x)dx=^(v(xi)-v(xi-l))Vh,
4-Х
ч
\ f(x)v (х) dx==h(f (*,_,) v (*м) + / (х,) v
4-Х
Выполнив суммирование, перейдем к задаче минимизации
функционала F*, определенного на множестве функций и*;
Q * ->¦ R выражением
N+1
F* (v*) =
где мы положили с* (дг0) = v* (xN+1) =0. Тогда функция и*,
минимизирующая Т7*, удовлетворяет системе уравнений
2и* fe) —о* (xUl) — u* (xi+1) _Af, , n ,-_i о лУ
где мы положили и* (х0) = «* (atjv+i) = 0-
Метод Б. Пусть U* — линейное пространство функций,
определенных на Q = [0, 1], размерности N с базисом slt
s2,..., Sjy. Требуется найти вещественные числа ait..., aN,
такие, что a^i +... + aNsN является приближением реше-
решения и исходной задачи. Положим si" (х) = A — х) х\ г = 1,
2,...,N. Пусть sl-2) е С} [0, 1] такова, что si1' (j/(N + 1)) =
= бу (г, /= 1, 2,..., N), и линейна на каждом отрезке
[(i-l)/(N+l), i/(N+l)], i=l,2 Л^+1, и пусть s'?' —
характеристическая функция отрезка [(г —1)/^, i/N], i =>¦
— 1,2,..., N. Черезt/A), [/B>, (/C) обозначим пространства
размерности N, порожденные соответственно функциями sj",
sr,sf (рис. 1,2,3).
х) Здесь == — символ аппроксимации,—Прим. перед.
2 Ж. Деклу

,.@
,B)
0 JzL _L itL 1
N+l N+l N+l
о я j i
N N.
X
x
x
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. З.

2. Дискретизация 19
Задача Б1 (коллокация). Исходим из дифференциаль-
дифференциальной формулировки примера 1. Пусть X{ = i/(N-{-1), г = 1,
2, ..., N. Требуется найти такие аи ..., aN, чтобы
- 2 а>в/" (*<)=/(*<), «' = 1. 2,..., N.
Задача Б2. Исходим из сильной вариационной форму-
формулировки задачи 1. Требуется найти такую иеУA), чтобы
- \ и" (х) v{x)dx = \f (x) v (х) dx Vu e 1Д3\
о о
Полагая u = ^laJs'fv и записывая уравнение последова-
последовательно для v = s'i',..., v = s'n, получим для коэффициен-
коэффициентов ах, ..., йлг систему уравнений
it \ It
^ вГ(*)^ «/ = - S
где lt = i/N, т. e.
w I;
E W" (Id - *Г &-i)) «y = - J / W dx, « = 1,2 JV.
>' = ! 6/-1
Задача БЗ. Исходим из полуслабой вариационной фор-
формулировки задачи 1. Требуется найти такую и е U(i\ чтобы
1 1
\ и' (х) v' (x) dx = lf(x)v (x) dx Vu e ?/(a>.
о о
Полагая H = 2]a/s/2) и записывая уравнение последова-
последовательно для v = s'i\ ..., v = s'n, получаем для вектора а
с компонентами а4, ...,а^ систему линейных уравнений
Аа^=Ь. Элементы ац матрицы А и компоненты bt вектора Ъ
задаются соотношениями
2(ЛГ+1), если / = /,
0 [ 0, если |г —
о
2*

20 /. Введение
Задача Б4. Исходим из слабой вариационной форму-
формулировки задачи 1. Требуется найти такую и е(/C), чтобы
1 1
-\и(х) v"(х) dx = \f(x)v (x) dx V» e?/<х).
о о
Полагая w = 2]a/-s/) и записывая уравнение последова-
последовательно для y = sii;,..., v — s'n, получаем для коэффициен-
коэффициентов а/ систему линейных уравнений
N I 6/ \ 1
т. е.
- Ц («I-11' (?/) - si-1" &-,)) fl/ = ( / W si» (дг) djf, / = 1, ..., N.
/=i о
Задачи Б2, БЗ и Б4 являются примерами задач, диск-
ретизованных методом Ритца — Галеркина.
Метод Галеркина. Пусть U и V — два линейных про-
пространства, a: UxV->R — билинейная форма, ф: V->R —
линейная форма. Пусть U*aU и V*cV — два подпро-
подпространства одной и той же размерности N. Точной задаче,
состоящей в нахождении такого и е ?/, что
а (и, v) = ф (у) Vy e У,
сопоставим задачу, называемую приближением по Галер-
кину и состоящую в нахождении такого a*et/*, что
а (и*, 0*) = ф(о*> Vw*e=l/*. A)
Пусть «lt «2. •••. «jv — некоторый базис U*, a w^ v2,...
..., vN — базис F*. Положим и* = 2]а/и/' Тогда A) экви-
эквивалентно соотношениям
\
aiuh vi =
или
« = 1. 2

2. Дискретизация 21
Следовательно, приближенная задача имеет одно и только
одно решение, если матрица коэффициентов a (uj, и,)
невырожденна. Эта матрица называется «матрицей жест-
жесткости».
Метод Ритца. Метод Ритца является частным случаем
метода Галеркнна. Пусть U — линейное пространство,
a: UxU -»-R — симметричная положительно определенная
билинейная форма, q>: ?/-»-R — линейная форма nt/*czU—
подпространство размерности N с базисом щ, и2, ..., uN.
Точной задаче, состоящей в нахождении такого и Gt/,
что
а (и, v) = (p(v) Vy<=?/, B)
сопоставим задачу, называемую приближением по Ритцу
и состоящую в нахождении такого и* е=?/*, что
а (и*, к*) = ф(о*) Vv*<==U*. C)
N
Положим и* = 2 aiuj- Тогда C) эквивалентно системе
линейных уравнений
№
X а (и„ щ) а, = ф (и,), / = 1,2,...,^. D)
/=i
Теорема 1.2.1. Допустим, что рассматривается ситуа-
ситуация метода Ритца. Пусть форма F: ?/->R определена
соотношением F (и)=-ка(и, и) — ф (и). Тогда
а) матрица системы D) симметрична и положительно
определена;
б) задача C) имеет одно и только одно решение;
в) задача C) эквивалентна задаче нахождения такого
и* g[/*, что
F(u*)^F(v*) \/v*e=U*;
г) если задача B) имеет решение п, то решение п*
задачи C) удовлетворяет соотношениям
а(п — и*, п — v*) Vc*G=f/*, E)
а(п*, й*)<а(й, S). F)

22 7. Введение
Доказательство, а) Рассмотрим некоторое хеR",
О
2 с(«/, и,) дг,дгу = а I 2 од, 2 *,•«,¦> 0.
*, /=1 \у=1 /=1 /
б) и в) следуют из теоремы 1.1.1, примененной к U*.
Для получения соотношения E) пункт в) теоремы 1.1.1
применяется последовательно к точной и приближенной
задачам. Для всякого »*еУ* имеем
= F (v*) -F (й*) + F (Я*)-F (й) =
= уа(у*-й*, о*-й*)+уа(в*-в, й*-5). G)
Отсюда следует F), если положить v* = 0.
Замечание 1. Пусть выполнены условия тео-
теоремы 1.2.1. Тогда U можно рассматривать как предгиль-
предгильбертово пространство со скалярным произведением а(и, v).
Неравенство E) выражает тот факт, что п* — ортогональ-
ортогональная проекция п на U*, a G) есть не что иное как «тео-
«теорема Пифагора».
Замечание 2. Если в задаче БЗ мы заменим Ь{
на / (i/(N-{- l))/(iV+ 1). то увидим, что задачи Al, A2 и
БЗ, модифицированные таким образом, сводятся к реше-
решению одной и той же системы линейных уравнений. В этом
нет ничего удивительного: это просто весьма частный
случай.
Замечание 3. Задачи Б2, БЗ и Б4 соответствуют
задачам -2, 3 и 4 примера 1, дискретизованным по
Ритцу —Галеркину. Если бы можно было использовать
только (/A), т. е. заменить ?УB> и ?/C) на ?УA), то мы
получили бы три тождественные задачи.
Замечание 4. Для задачи, допускающей полусла-
полуслабую формулировку с положительно определенной сим-
симметричной билинейной формой, метод дискретизации по
Ритцу дает следующие существенные преимущества.

3. Метод конечных элементов 23
а) В случае краевой задачи для дифференциального
уравнения порядка 2т имеем U* c^Cf(Q), тогда как
Для сильной вариационной формулировки U* с C)m(U),
а для слабой вариационной формулировки F*cC;m(Q).
Как мы увидим далее, трудность построения методом
конечных элементов базиса пространства, соответствую-
соответствующего методу Б, возрастает с порядком m класса С7(&),
которому должны принадлежать функции этого базиса.
б) Элементы U* не обязательно удовлетворяют есте-
естественным краевым условиям.
в) Сформулированные в теореме 1.2.1 свойства позво-
позволяют сравнительно легко получать оценки для ошибки
аппроксимации или доказывать теоремы сходимости.
3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В дальнейшем будет рассматриваться только метод
дискретизации Б. Рассмотрим для простоты билинейную
форму вида a: UxU-*~R, где U — линейное пространство
функций, определенных на замыкании Q регулярной
области Q с R". Предположим, как и в случае примеров,
рассмотренных в § 1, что а (и, у) = 0, если носители и и
v имеют пересечение меры нуль. Пусть U* с U— под-
подпространство размерности N с базисом иг, ..., uN. Обо-
Обозначим через С/ носитель щ, а через Gt — множество
{/: mes (СгПСуL^0}. Тогда a (uj, ы*)=0, если j ф Gt.
Если число элементов G/ «мало», то матрица жесткости
(a(uj, ut)) будет «малозаполненной», т. е. содержащей
много нулей. Это весьма желательное свойство, так как
решение системы линейных алгебраических уравнений
с малозаполненной матрицей осуществляется гораздо
быстрее, нежели с «полной матрицей».
Будем говорить, что базис и1( ..., uN подпростран-
подпространства U* является базисом типа конечных элементов, если
«мало» число элементов множества Gt. Точнее, мы будем
рассматривать далее множество Г подпространств U* и
будем говорить о конечном элементе, если существует
целое М, такое, что все множества GL всех U* с Г содер-
содержат не более М элементов.

24 /. Введение
По существу неявно предполагается, что элементы
базиса типа конечных элементов имеют «малые» носители.
Легко понять, что это свойство облегчает выбор функций,
удовлетворяющих заданным краевым условиям.
Единственные функции, которые достаточно просто
вычислить, суть аналитические'функции. В основном это
полиномы и рациональные функции. Однако эти.функ-
эти.функции имеют некомпактные носители. Следовательно, един-
единственная возможность состоит, по-видимому, в рассмотре-
рассмотрении кусочно-аналитических функций. Как уже упомина-
упоминалось в замечании 4 в конце § 2, основная трудность
заключается тогда в «сопряжении» кусков таким образом,
чтобы функция в целом была бы достаточно высокого
класса гладкости.
Инженерный метод построения, а) Разобьем Q на
подмножества еъ е2, ..., еЕ, называемые элементами,
такие, что
1). е,- является замыканием некоторой регулярной
области, i—\, 2, ..., Е;
. ( = 0, если i Ф \,
2) mes (et Л е,) {
" \ фО, если i = /;
Е
3) Q== U et.
б) Выберем не обязательно различные точки Рг, ...
..., Ры е Q, называемые узлами. Узлу Pt сопоставим диф-
дифференциальный линейный функционал Ft: f-*-^ aisDsf(Pt),
s
где ais — постоянные коэффициенты, s = (su ..., sn).
в) Пусть Qk = {i: Pt^ek}. Для k=\, 2, ..., E выбе-
выберем пространство Vft определенных на е*. функций, таких,
что задача интерполяции: для произвольных заданных
коэффициентов ct, i^.Qk, найти такую cgFj, что
Fi(v)=ci, ieQft, —имеет одно и только одно решение.
г) Элемент и е U* получается следующим образом.
Задаются произвольные числа сг, с2, ..., cN. На каждом
ek строится функция о^е^, такая, что Fi(vk) = clt,
i e Qk. Далее, полагаем, что сужение и на ek совпадает
с vk, a Ft определяется как функционал, действующий
из 0* в R по правилу Fi{u) — Ci.

3. Метод конечных элементов 25
д) В качестве базиса U* выбираем базис Лагранжа
«х uN, ассоциированный с функционалами Fu ...
..., Fn (щ определяется соотношениями «(е(/*, F,- (ui) =
Замечание 1. Для того чтобы в) имело смысл,
необходимо, чтобы функционал Fh формально определен-
определенный в б), был корректно определен на Vk для i^Qk.
Фактически это означает, что если В есть максимальный
порядок производных, участвующих в определении Ft
для / е Qk, то необходимо, чтобы Vk cz CB (ek).
Замечание 2. Для того чтобы г) имело смысл,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки Р,
принадлежащей пересечению двух элементов et и е,-,
выполнялось равенство vi (Р) = V/ (Р). Тогда можно про-
проверить, что
а) если Vk<=C°{ek), k=l, .... Е, то U*<=C°(Q);
б) если VkczC1(ek), k=l, ..., Е, то */• с C}(Q).
Замечание 3. Размерность U* равна N. Для про-
проверки достаточно заметить, что функции %, й2, ..., uN
эффективно независимы и образуют базис U*.
Замечание 4. Пусть и е(У* и F,-(«) = 0 для ieQft.
По самому построению и сужение и на ^ будет нулем.
Замечание 5. Пусть R( — {k: Pieek}. По преды-
предыдущему замечанию носитель щ является подмножеством
в U «..
R
Пример. Пусть Q = [0, 1]. Пусть 0 = дг0 <С -*n <С • •.
...<х?=1, е* = [дгй_1, дгй], А==1, 2, ..., ?, Pt = Xi, i—\,
2, .... ?, Fi(f) = f(xt). Имеем Qt = {l}, (?* = {*-1, *},
k = 2, ..,, E. Предположим, кроме того, что Vi — мно-
множество функций вида ах, a Vk, & = 2, ..., ?,—множество
функций вида ах+ 6. Непосредственно проверяем, что
U* — множество непрерывных функций, линейных на
каждом элементе ek и обращающихся в нуль в точке
х = 0. Функции «1, щ B<i<?-l) и иЕ изображены
на рис. 4, 5 и 6. Наконец (замечание 5), /? { '+l}
г;=1, 2, .... ?•-!, и #?{?}

X
Рис. i.
1
i-l xi
X
Рис. 5.
Рис. 6.
X

II. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ТИПА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ 1) ИНЖЕНЕРНЫМ МЕТОДОМ
1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Пусть U — линейное пространство размерности N,
и пусть Flt ..., Fn суть N линейных функционалов на
U. Рассмотрим следующую задачу «интерполяции»: по
заданным сг, с2, ••-, CjjgR найти такое u^U, что
Ft(u)^c, i=l, 2, ..., N.
Теорема II.I.I. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Для любых с1у ..., cN задача имеет по крайней
мере одно решение.
2) Для любых си ..., См задача имеет не более одного
решения.
3) Для любых си ..., cN задача имеет единственное
решение.
4) Для c1 — ci = ... = cN = 0 решением задачи будет
лишь и = 0.
Это элементарная теорема линейной алгебры, и поэтому
мы ее доказывать не будем.
Предположим, что одно из этих свойств и, следова-
следовательно, все остальные выполняются. Тогда существует
единственный элемент щ е U, удовлетворяющий условиям
Fj («,) = бу, /=1, ..., N. Элементы «ь ..., uN линейно
независимы и, следовательно, образуют базис V, назы-
называемый «базисом Лагранжа» относительно функционалов
Flt ..., FN. Следовательно, данная задача допускает
решение
U = 2 CjUj.
2) Под пространством типа конечных элементов здесь и далее
понимается конечномерное линейное пространство с базисом из функ-
функций с конечными носителями. — Прим, перге.

28 //. Построение пространства типа конечных элементоз
Обратно, предположим, что существует базис Лагранжа,
т. е. элементы и*е(/, такие, что F,-{щ} = 8у, i, /=1, ...
..., N. Тогда вновь проверяем, что и — ^ CjUj является
решением задачи. Это означает, что выполнено утвержде-
утверждение 1 теоремы II. 1.1, а, следовательно, также и утверж-
утверждения 2, 3 и 4.
Теорема И. 1.2. Пусть U — множество полиномов сте-
степени N—1 от одной переменной, хъ ..., xk — различные
точки в R, а «1, ла, ,.., щ — положительные целые числа,
такие, что nx-\-n^-\-...-\-nk = N. Задача интерполяции:
найти такое u^.U, что
«(/) (*,•) = Сф / = 0, 1, ..., щ — 1, г=1, 2, ..., k, A)
для произвольных заданных коэффициентов Су, — имеет
одно и только одно решение.
Доказательство. Рассмотрим N функционалов
Ftj (v) = v{/"> (xi). По теореме II. 1.1 достаточно показать,
что если Су —0, то и — О. Однако для фиксированного i
условия сш —... = сс, n.-i = 0 означают, что xt есть нуль
порядка nt полинома и. Стало быть, и имеет вид
й Yl (x — Xi)"', т. е. является полиномом степени N и,
следовательно, d«=*0.
2. ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Пусть Q = [a, Ь]. Разобьем U т отрезки [x^lt xt]t
i—\, 2, ..., Е, хо = а, хЕ — Ь; [х^г, х{\ есть элемент е{;
дг0, xlt ..., хЕ— узлы. Для целого положительного т
рассмотрим m(E+l) = N функционалов Fu (/) =/0-D (Xi),
i = 0, 1, ..., Е, /=1, 2, ..., т, а через Vt обозначим
множество сужений на et полиномоз степени 2/п — 1. По
теореме И.1.2 задача интерполяции: найти такое »е Vt,
¦ что iA» (*,_!> и vW(Xi), } = 0, 1 от —1, принимают
произвольные заданные значения, —чшеет одно и только
решение.

2. Одномерные элементы 29
Пространство U типа конечных элементов есть множе-
множество функций и, которые строятся следующим образом.
Зададим в х0, ..., хЕ произвольные значения функции и
еем(т— 1) первых производных. Сужение и на et есть
полином степени 2/п — 1, удовлетворяющий заданным
условиям на концах отрезка [х^1} х{]. Тогда Uc=C?[a, b].
Пусть «у —базис Лагранжа, ассоциированный с функ-
функционалами Fij, т. е. Uij^U, ufj~x) (xk) = 8ik8ji, i, k = 0,
1, ..., E, /, 1=1, 2, ..., m. Аля i=#=0, E элемент и,у
имеет носитель ег \] ei+1, а элементы и0]- и uEj имеют соот-
соответственно носители ех и еЕ-
Замечание. Нетрудно ввести краевые условия.
Предположим, что требуется построить пространство
U* с С}(й) функций и, удовлетворяющих краевым усло-
условиям и @) = и' @) = 0. Поступаем, как описано выше
в случае т = 2, с той разницей, что
а) функционалы FtJ рассматриваются только для i = 1,...
..., Е, /=1, 2;
б) Vi есть множество сужений на ei полиномов сте-
степени 3, обращающихся в нуль вместе со своей первой
производной в точке * = 0. Базис Лагранжа образуют
функции Ujj, определенные выше для /=1, 2, ..., Е,
/=1, 2.
Пример. Выразим в явном виде сужения на et функ-
функций «г_1д, Ыг-1,2. tin и щг для случая т = 2. Для этого
удобно перейти к отрезку [0, 1]. Пусть ср— аффинное
отображение, переводящее [х^и х{] в [0, 1]. Через Л1(
Л2, Л3, Л4 обозначим полиномы степени 3, определенные
условиями (теорема II. 1.2)
Л1(о) = 1, л;(О) = о, л^ц^о, л1'A) = о,
л2(о) = о, лио) = 1, л2A) = о, лп1) = о,
Л3@) = 0, ЛИ0)=0, Л8A)=1, Ai(l) = 0,
Л4@) = 0, ЛИ0) = 0, Л4A) = 0, Л^A) = 1.
Полагая hi — Xi — x^u непосредственно проверяем, что
(см. рис. 7— 10)

Vj
X,
Рис. 7.
Рис. 8.
Ям
xt x
Рис. 9.

3. Прямоугольные элементы типа I 31 -
Что касается функций ср и Лг, то они задаются следую-
следующим образом:
Л4 (g) = |3 — |2.
= 2|з — 3|2 + 1,
X
Рис. 10.
3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТИПА I
Пусть (теорема II.1.2) осг и. р^ —полиномы степени
2т— 1, определенные соотношениями а\'~'> @) = 6у,
«('-') A) = 0, Р{/-')@) = 0, Р^-')A) = 6У, г, /-1, 2, ...
..., т. Обозначим через С квадрат 0^|, г\^\ с вер-
вершинами ^@, 0), Q2(l, 0), Q3(l, 1), <?4@, 1) и определим
функционалы G*.,;,/ формулой
Лемма Н.3.1. Задача интерполяции: найти полином
р(g, ti) степени 2т—I по I и степени 2т— 1 /го т],
принимающий произвольные заданные значения для функ-
функционалов Gk, г, j, i, j—lj 2,..., т, k—\,..., 4, — имеет
одно и только одно решение. Базис Лагранжа из элемен-

32 //. Построение пространства типа конечных элементоз
moe Aft)/iy, ассоциированный с функционалами Gh<iij,
задается соотношениями
Ai, ij(l, T]) = a,(|)ay(r]), Л2, ,-,/(§, tj) = 0, (D «/Oi).
Л3, г,/ (?, Л) = Pi (Ю P/ (Л). Л4.,., (g, rj) = a,- (?) P,- (Ф
Доказательство. Как число функционалов, так
и размерность пространства полиномов степени 2т — 1
отдельно по каждой из переменных ? и т] равны 4/яа.
В силу результатов § 1 достаточно проверить (это делается
непосредственно), что функции Akiitf действительно обра-
образуют базис Лагранжа, т. е.
@е, т, п {A-k, I, /) — &ek&mi&nj-
Пусть /?], R2,..., RE — замкнутые прямоугольники, сто-
стороны которых параллельны осям координат хну, причем
любые два прямоугольника либо не пересекаются, либо
имеют общую сторону или общую вершину. Положим
&
&— U Rt- Пусть Pi, Р2,..., Рм. — множество вершин
этих прямоугольников. Узлу Pk сопоставим /и2 функцио-
функционалов
Пусть Vi — множество сужений на Rt полиномов сте-
степени 2т — 1 отдельно по х и у.
Пространство U состоит из функций и, определенных
на U и строящихся следующим образом. Произвольно
задаются значения ck,i,/. Пусть vn <= Vn таково, что
Fk,ij(Vn)=ck,i,; для i, }—l, 2,..., т и для четырех
значений индекса k, таких, что Pk^Rn, п=\ Е.
Тогда vn есть сужение и на Rn.
Теорема П.3.1. Имеем
UczC?(Q).
Доказательство. Рассуждения, проведенные при
доказательстве леммы П.3.1, переносятся на случай про-
произвольного прямоугольника Rn и гарантируют существо-
существование и единственность vn e Vn. Рассмотрим два прямо-
прямоугольника Rx и R2 (рис. 11), имеющих общую сторону,

3. Прямоугольные элементы типа 1 33
задаваемую условиями у —с,
. Пусть vt и v2 —
сужения на Rx и R2 элемента ие U, qk i{x) = — vh (x, с), ¦
ду1
i = 0, 1, ... , т— 1, k — 1, 2. Покажем, что qx,t(x) = q2li (x),
У*
а
Рис. 11.
1 = 0, 1,..., m—l. Функции qui и q%i суть полиномы
степени 2т — 1, удовлетворяющие по построению соотно-
соотношениям
qf, i {а) = <7г°? i (а), <//? t Ф) =qint(b), }=> 0, 1,..., т- 1.
Следовательно, остается сослаться на теорему II. 1.2.
Замечание. Пусть uk<(iJ — базис Лагранжа для U
относительно функционалов Fki<J. Предположим, что
прямоугольник 7?! имеет вершины в точках Рх{хх, ух),
Рг(*2, yi)> Рз(хг, у2), P*(xlt y2), где х2>хи уг>У\-
Пусть <р — аффинное отображение плоскости ху в плоскость
?т], такое, что Qk = 4>(Pk)> k=l, 2, 3, 4. Легко прове-
проверить, что сужения Lkjj элементов «*,,-,/ на Rt задаются
формулами
Lk,t,f = dt-lei-1kbti<ry, i, /=1, 2,..., т;
где d — х2 — хх, е = у2 — ух и Akt it;- определены в лемме 11.3.1.
3 Ж. Деклу

34 //. Построение пространства типа конечных элементов
4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТИПА II
Пусть ah i = 0, 1, ..., пг, — базис Лагранжа, ассоцииро-
ассоциированный с интерполяционной задачей: найти полином сте-
степени пг, принимающий заданные значения в точках tt =*
= i/m, i = 0, 1 тп. Непосредственно проверяем, что
П «-Q
Лемма II.4.1. Пусть & = f/m, т);- = y'/m, i, у = 0, 1, ..., т.
Задача интерполяции: найти полином степени т отдельно
по каждой из переменных | и г\, принимающий заданные
значения в (т-\-1J точках (^, Ц/), — имеет одно и только
одно решение. Базис Лагранжа, ассоциированный с этой
задачей, т. е. с функционалами Fy, такими, что Fa (/) =
— /(&> т1/)> задается соотношениями
A~if(l, ri) = ai(g)a/(Ti), i, / = 0, 1, ..., т.
Доказательство. Число функционалов и размер-
размерность пространства полиномов степени т отдельно по ? и т]
равны (т+1J. В силу результатов § 1 достаточно прове-
проверить (это делается непосредственно), что функции, указан-
указанные в лемме, действительно образуют базис Лагранжа.
Пусть /?ь R2, ..., RE — замкнутые прямоугольники,
стороны которых параллельны осям координат х и у,
причем любые два прямоугольника либо не пересекаются,
либо имеют общую сторону или общую вершину. Положим
Е
Q = (J Rt. Каждый прямоугольник разобьем на тг рав-
ных прямоугольников. Пусть Ръ Р2, ..., Рту —вершины
всех полученных таким образом прямоугольников. Каж-
Каждому узлу Pi сопоставим функционал Fi, такой, что
Fi(f) =/(Р^, а каждому элементу Rk — пространство Vk,
образованное сужениями на Rk полиномов степени т
отдельно по х и у. Пространство U является множеством
функций и, определенных на п и строящихся следующим
образом. Задаются произвольные значения с{. Пусть vh e
е Vh таково, что Fi{vk)—Ci для всех значений индекса (,
таких, что Pi e Rk. Тогда vk есть сужение и на Rk.

4. Прямоугольные элементы типа II 35
Теорема II.4.1. Имеем
U с С) (Q).
Доказательство. Как и в лемме П.4.1, непосред-
непосредственно доказывается, что vk полностью определены. Тогда
достаточно показать, что если Rt и R2 имеют общую сто-
сторону, то вдоль этой стороны v-i = v2 (рис. 11). Пусть a=sc
k?;xs?:6, у = с — уравнение этой стороны. Функции vi(x, с)
и v2 (х, с) являются полиномами степени т, совпадающими
по построению для x = a-\-i (b — a)/m, i — 0, 1, ..., т;
следовательно, они равны всюду (теорема II.1.2).
Замечание 1. Как и в предыдущем параграфе,
сужения на прямоугольник функций базиса Лагранжа
легко выразить в явном виде с помощью функций Ди-
Дилеммы П.4.1.
Замечание 2. Пусть ut^.U и F,-(и,-) = б,у. Если
Pi — внутренняя точка Rk, то Rh является носителем ut.
Если Pi — внутренняя точка какой-нибудь стороны /, то
носитель Ui состоит из двух прямоугольников, имеющих /
общей стороной. Наконец, если Pi — вершина прямоуголь-
прямоугольника, то носитель ut образован четырьмя прямоугольни-
прямоугольниками, для которых Pi — общая вершина.
Частный случай т = 2. Рассмотрим прямоугольник
типа R и узлы Рг, Р2, ..., Р9 (рис. 12). Пусть ^ — суже-
сужение на R функции щ из базиса Лагранжа, относящейся
к Fi(f)=f(Pi), » = 1, .... 9, и пусть ue=?/, ci = u(Pl).
Функция v, являющаяся сужением и на R, задается
равенством v= ^ cLLi. Изменение коэффициента cs влечет
за собой изменение и только внутри R. Функционал, отно-
относящийся к Р9, можно «исключить», считая ся зависящим
от параметров съ с2, ..., с8. Наиболее разумный способ
определения с9 состоит в том, что коэффициент при х2у2
в выражении для v приравнивается нулю. Тогда v =
8
= У] c{Li. Найдем Lt для частного случая квадрата 0=^
«/sg;l (общий случай получается отсюда аффинным
преобразованием). Имеем Ъ( = Ц—щЬ9, где коэффициент
3*

36 //. Построение пространства типа конечных элементов
wt выбирается таким образом, чтобы Ьг не содержало
слагаемого х2у2. Полагая
«о (х) = 2 (х- 0,5) (*- 1), «1 (х) = — 4х (х-1),
а2(х)=2х(х — 0,5),
. X
Рис. 12.
получаем следующую таблицу:
Pi @, 0)
Р2 @,5, 0)
Ря A, 0)
Р4A, 0,5)
PUh 1)
Р6@,5, 1)
Р7 @, 1)
Р8 @, 0,5)
Р6 @,5, 0,5)
Lt (X, у)
а0 (х) а0 (у)
ai (*) ос,, (у)
«2 (*) «1 ((/)
«2 (*) «2 (У)
ах (ж) а2 (у)
Оо (X) «2 (У)
а0 (л:) ai (у)
«1
0,25
-0,5
0,25
—0,5
0,25
—0,5
0,25
-0,5
Таблица
h
а0 (х) а0 (у) — 0,25а! (л:) ах
ах (л:) (а0 ((/) + 0,5ctj (у)
v-г (х) а0 (у) — О,25ах (х> aj
(а2 (х) -j- 0,5а! (л:)) aj (г/)
а2 (л:) а2 (у) — O,25aj (л:) ах
ах (.v) (а2 ((/) + 0,5aj (у))
«о D а2(г/) — 0,25а! (х) ах
(ао{х) + О,Ъа1(х)) аг{у)
11.1
(V)
(и)
(У)
(У)
Частный случай т=1. Множество f/ характеризуется
следующими свойствами:
1) значения функции не f/ заданы в вершинах пря-
прямоугольников;

5. Треугольные элементы 37
2) сужение и на каждый из прямоугольников имеет
вид ах-\-агх-\-а^у-\-а^ху.
Б. ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Лемма Н.5.1. Пусть / — прямая на плоскости ху, опи-
описываемая уравнением ax-\-by-\-c = 0, az-\-b2=l. Если
некоторый полином р обладает тем свойством, что
^4 = 0 (где п — нормаль к I) вдоль V при Os^is^k, то р
делится на (ах-\-by-\-с)ш, т. е. существует такой поли-
полином q, что р(х, y) = (ax + by + c)k+1q(x, у).
Доказательство. Рассмотрим замену переменных
g = ax + fo/ + ?> т) = — bx + ау, которая определяет биек-
биективное соответствие между плоскостями ху и |т) (вращение
и сдвиг). Пусть р(?, у]) = р(х, у). Тогда р —полином,
который можно записать в виде ^ ?' 2 fl^Vi причем
{=0 /=о
gp-p(O, т]) = 0, ? = 0, 1, ..., k. Отсюда заключаем, что
ау = 0 для г' = 0, 1, ..., k и, следовательно, р имеет вид
р(g, у]) =lk+1w(l, т]). Выражая это соотношение через
переменные хну, получаем требуемый результат.
В этом параграфе будут использованы следующие
обозначения. Через 7\, Т2, •-., ТЕ обозначаются замк-
замкнутые треугольники на плоскости ху. Два треугольника
либо не пересекаются, либо имеют общую сторону или
общую вершину. Полагаем Q = [J Т{. Пусть, кроме того,
Д — замкнутый треугольник в плоскости ?г] с верши-
вершинами @, 0), A, 0), @, 1).
Полиномы степени 1. Пусть Plt Р2, ... — множеств'о
вершин всех треугольников Ти ..., ТЕ. Пространство U
определяется следующим образом:
1) задаются значения i/et/ в точках Я1; Р2, ...;
2) сужение и на каждый треугольник является функ-
функцией вида ах-\-Ьу-\-с.
Очевидна следующая теорема.

38 //. Построение пространства типа конечных элементов
Теорема Н.5.1, Для полиномов степени 1 имеем
UczCY(Q).
Полиномы степени 2. Пусть Pt, Рг, ... — множество
вершин и точек, являющихся серединами сторон, всех
треугольников 7\, Т2, ..., ТЕ. Пространство U строится
следующим образом:
1) задаются значения ае{/в узлах Plt Р2, ¦¦¦',
2) сужение и на каждый треугольник является поли-
полиномом степени 2.
Теорема II.5.2. Для полиномов степени 2 имеем
Доказательство, а) Пусть 7\ — треугольник
с узлами Ръ Р2, ..., Рв и сторонами U, описываемыми
У
X
Рис. 13.
уравнениями alx-\-biy-\-ci = 0, a}-\-b\ = \, i=l, 2, 3
(рис. 13). Проверим, что задача интерполяции: найти
полином р степени 2, принимающий заданные значения
в точках Ръ ..., Рв, — имеет одно и только одно реше-
решение. Заметим, что как число функционалов Fi(f) —f (Р{),
так и размерность пространства полиномов степени 2 от
двух переменных равны шести. Тогда достаточно (тео-
(теорема II. 1.1) показать, что единственным полиномом сте-

5. Треугольные элементы 39
пени 2, обращающимся в нуль в Ръ Р2, ..., Р6, явля-
является тождественный нуль. Вдоль dt полином р является
полиномом степени 2 по отношению к координате на liy
на которой он обращается в нуль в трех точках. Следо-
Следовательно (теорема II. 1.2), р есть тождественный нуль вдоль
/,-. Лемма II.5.1 позволяет записать р(х, y) = (a1xJrb1y-\-
¦+Ci) pi (х, у), где /^ — полином, обращающийся в нуль
вдоль /2 и ls. Применяя еще два раза лемму II.5.1, полу-
з
чаем в результате, что р(х, у) = р3(х, у) J
-\-biy-\-ci). Так как р степени 2, то это возможно только
в случае, когда р3 — тождественный нуль.
б) Пусть Ti и Т2 имеют общую сторону 1г (рис. 13),
и пусть &!, о2~сУжения u^.U соответственно на 7\ и
Тг. Покажем, что иг = v2 вдоль 1г. По отношению к коор-
координате на /х функции Их и v2 являются полиномами сте-
степени 2, принимающими равные значения в трех точках
Ръ Pz> Рз- Остается сослаться на теорему IJ.1.2.
Полиномы степени 3 типа I. Пусть множество Ръ
Р2, ... образовано вершинами и центрами тяжести всех
треугольников и точками разбиения, полученными деле-
делением всех сторон всех треугольников на 3 равные части.
Следовательно, каждый треугольник 7\, ..., ТЕ содержит
10 точек этого множества. Пространство U строится сле-
следующим образом:
1) задаются значения ае{/в узлах Рь Р2, ...;
2) сужение меС на каждый из треугольников Т\,...
..., Тв является полиномом степени 3.
Теорема П.5.3. Для полиномов степени 3 типа I имеем
UczC}(Q).
Доказательство, а) Рассмотрим треугольник 7\
с узлами Рь Р2, ..., Яю (рис. 14). Пусть его стороны lt
задаются уравнениями а,-л: + ^'?'+сг = 6\ а}-\-Ь} = 1, i=\,
2, 3. Покажем, что задача: найти полином степени 3,
принимающий произвольные заданные значения в точках
Ръ ..., Ры, —имеет одно и только одно решение. Заме-
Заметим, что как число функционалов Ft (J) = f (Pi), так и
размерность пространства полиномов степени 3 от двух

5. Треугольные элементы 41
переменных равны 10. Следовательно (теорема II.Г. 1),
достаточно показать, что единственным полиномом р сте-
степени 3, обращающимся в нуль в Ри ..., Р10, является
тождественный нуль. Как и в теореме II.5.2, воспользу-
з
емся леммой II.5.1 и покажем, что р (х, у) = с\\ (а,х +
t=\
¦\Jii\l-\-Ci). Выбирая в качестве х и у координаты центра
тяжести Р1й рассматриваемого треугольника, убеждаемся,
что постоянная с равна нулю.
б) Поступаем так же, как в пункте б) доказательства
теоремы П.5.2.
Замечание (по поводу полиномов степени 3 типа I).
Пусть ф —аффинное отображение плоскости ху в пло-
плоскость 1ц, переводящее треугольник 7\ в Д и такое, что
<2, = Ф (Л), * = 1, 2, ..., 10 (рис. 14). Через Л1(Л2,...,Л10
обозначим полиномы степени 3, определенные на Д и такие,
что Aj(Qi) = 8ij, i, /=1, 2, ..., 10. Пусть, с другой сто-
стороны, «!, и2, ... — базис Лагранжа для U, отвечающий
функционалам Fi (/) = /(Р,-), a L1( L^, ..., Llo — сужения
Mi. •••. Мю на Т\. Непосредственно проверяется, что
?; = ЛГф, »=1, 2, .... 10.
Подобное замечание можно было бы сформулировать и по
поводу пространств U полиномов степени 1 и полиномов
степени 2, описанных выше.
Полиномы степени 3 типа II. Пусть Ри Р2, ... — мно-
множество вершин, a Si, S2, ..., SE — множество центров
тяжести всех треугольников 7\, Тг, ..., ТЕ. Сопоставим
точкам Pt три функционала F{1 (f)=f(Pt), Fi2(f) = dxf (Pt),
Fi3(f)=dyf(Pi), а точкам S(-— функционал Fi(f)=f(Si).
Пространство U определяется следующим образом:
1) для и е[/ задаются значения Fik(u), k=\, 2, 3, и
Ft (и), i=\, 2, 3, ...;
2) сужение и на каждый треугольник является поли-
полиномом степени 3.
Теорема II.5.4. Для полиномов степени 3 типа II имеем
U аС\ (О).

42 //. Построение пространства типа конечных элементов
Доказательство этой теоремы проводится по той же
схеме, что и доказательство теоремы П.5.3.
Замечание (по поводу полиномов степени 3 ти-
типа II). Пусть 7\ — треугольник с вершинами Ръ Р2, Р3
и центром тяжести Si, а ф — аффинное отображение,
преобразующее Тг в Д (рис. 15) и такое, что Q,- = <p(P;),
/=1, 2, 3, R = <f(St). Положим для функционалов
Ga(g) = g(Ql),Ga(g)=dlg(Q,),G№(g)=dvg(Ql), » = 1,2, 3,
и G(g)=g(R), а через Aik и Л обозначим базис Лагранжа
пространства полиномов степени 3, ассоциированный с
функционалами Gik и G, i, k=\, 2, 3. Пусть, нако-
наконец, Lik и L — сужения на Т\ функций базиса Лагранжа
из U, ассоциированного с функционалами Fik и Flt i,
k=\, 2, 3. Обозначая через atj элементы матрицы Якоби
преобразования qr1, обратного к ф, легко проверить
следующие соотношения:
L =Л°ф,
^;3 — #12^,1 ° ф 4" а22^Ч2 ° ф>
Полиномы степени 5 типа I. Пусть Pi, P2, ... — вер-
вершины треугольников 7\, T2, ..., TE, а 1Ъ 12, ... — их сто-
стороны, и пусть Sk — середина стороны lk. Через nk обозна-
обозначим единичную нормаль к lk, направленную так, что если
4 имеет концы Pt и Р;- (I </), то вектор РгР;- и нормаль
пи образуют положительно ориентированную пару? Кяж-
дой точке Pi сопоставим шесть функционалов Fa (f) —
= F (Pi), Fi2 (f) = dxf (Pi), Fi3 (!) = dyf (Pi), Fu (!) = dxxf (Pt),
Fib(f)=dxyf(P;), Fie(f)=dyyf{P[), а каждой точке Sk —
функционал Fk (f) = -,— / (Sk). Пространство U определяется
следующим образом:
1) для u^U задаются значения Fij(u), /=1, 2, ...
..., 6; г = 1, 2, ..., и Fk(u), k=l, 2, ...;
2) сужение и на всякий треугольник Tt является поли-
полиномом степени 5.
Теорема П.5,5. Для полиномов степени 5 типа I имеем
U а С] (Q).

04
Р* •*

44 11. Построение пространства типа конечных алементов
Доказательство, а) Рассмотрим треугольник Т%
о вершинами Plt Ра, Ра, сторонами 1и /а, /3 и точкам^
Si, S2, Ss — серединами этих сторон (рис. 16). Пусть Ц
описывается уравнением а/ДГ+Ь,-^+С/ = О, а| + о?-«1. По*
кажем, что задача: найти полином степени б, такой, что
функционалы Fik (р) и Ft{p), i=l, 2, 3, k**l, 2, ..., 6,
принимают произвольные заданные значения, — имеет одно
х
Рис. 16.
и только одно решение. Заметим, что число функциона-
функционалов и размерность пространства полиномов степени 5
равны 21. Следовательно (теорема П.2.1), достаточно пока-
показать, что единственным полиномом р степени 5, на кото-
котором все эти функционалы принимают нулевые значения,
является тождественный нуль. Вдоль lt полином р является
полиномом степени 5 по отношению к координате на lt,
причем он обращается в нуль вместе со своими первыми
двумя производными в концах /*. Следовательно (теорема
П. 1.2), р является тождественным нулем вдоль lt. С дру-
другой стороны, ¦—¦ является полиномом степени 4 вдоль lt
по отношению к координате на /,-, причем этот полином
обращается в нуль вместе со своей первой производной
в концах li и обращается в нуль в точке 5г. Следова-
Следовательно (теорема II.1.2), он обращается в нуль вдоль lf.

5. Треугольные элементы 45
3
По лемме II.5.1 полином р делится на JJ(a,x + b,-y + с,J,
что возможно только в том случае, когда он является
тождественным нулем.
б) Пусть 7\ и Т2 имеют общую сторону 1Х (рис. 16).
Нужно показать, что сужения иг и и2 элемента net/ и
их нормальные производные совпадают вдоль 1Х. Приме-
Применяем теорему II. 1.2. Вдоль lt элементы их и -р- являются
полиномами степени соответственно 5 и 4, которые пол-
полностью определяются значениями функционалов, относя-
относящихся к концам /i и к Si.
Полиномы степени 5 типа II. Пространство U*, кото-
которое мы собираемся определить, является подпространством
описанного выше пространства полиномов степени 5 типа I
и получается «устранением» функционалов, относящихся
к Si. Будем использовать те же обозначения и тот же
рис. 16. Элемент u*^U* строится следующим образом.
Задаются значения cik для Fik(u*), k = \, 2, ..., 6, i =
= 1, 2, .... Тогда и* определяется как элемент из про-
пространства U (полиномов степени 5 типа I), удовлетворяю-
удовлетворяющий заданным условиям и такой, что производная по
нормали вдоль каждой стороны каждого из треугольников
является полиномом степени 3 по отношению к коорди-
координате на соответствующей стороне. Проверим согласован-
согласованность этого определения. Пусть u^U таков, что Fik {и) =
= cik, k=l, 2, ..., 6, t = l, 2, 3, .... Сторону lj тре-
треугольника Тп параметризуем с помощью координаты s
(естественная параметризация). Через s0 и sx обозначим
значения s, соответствующие концам lj. Пусть р (s) — нор-
нормальная производная от и вдоль /,-. Тогда p(s0), p' (s0),
p(Si), p' (sx) — величины, зависящие только от значений
cik- Если q (s) — полином степени 3, такой, что q (s0) =p (s0),
q' (s0) = p' (s0), q (si) = p (si), q' (sx) = p' (s^, то положим
Cj=-q((so-\-Si)/2), Тогда и* — элемент из U, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям Fik(u*) = Ciin k = \, 2, ..., 6, t=l, 2, ...
.... Fj(u*)=cj, /=1, 2
,, Замечание (по поводу полиномов степени 5 ти-
типов I и II). а) Если ими* являются сужениями на О, соот-
соответственно полиномов степени 5 и 4, то «et/, м*е?У*.

46 //. Построение пространства типа конечных элементов
б) Для других пространств типа конечных элементов,
описанных в этой главе, сужения функций из базиса для
U или U* на отдельный треугольник могут быть получены
исходя из функций, определенных на Д раз и навсегда
(см. [1, 2]).
6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Пусть {/ — одно из пространств типа конечных эле-
элементов, описанных в § 2, 3, 4 или 5, и — функция из
базиса Лагранжа, е — какой-то элемент. Заметим, что е,
как и сужение L функции и на е, могут быть получены
с помощью следующего построения. В плоскости |т] рас-
рассмотрим «основное» множество Д, которое является либо
квадратом 0s^|, rjs^l, либо треугольником с вершинами
@-, 0), A, 0), @, 1). На Д раз и навсегда определим
функции Аъ Л2, ..., Лт. Элемент е является образом Д
при аффинном отображении ij) плоскости Ъ] в плоскость
ху, обратном к ф. Сужение L есть линейная комбина-
комбинация функций Лх ° ф, Л2 ° ф, ..., Am ° ф, коэффициенты кото-
которой зависят от ij).
Эту идею можно обобщить, если отказаться от требо-
требования, чтобы отображение г|э было аффинным, что позволяет
получать так называемые криволинейные элементы, гра-
граница которых состоит из непрямолинейных дуг.
Простую и эффективную реализацию криволинейных
элементов составляют «изопараметрические» элементы.
Поясним эту идею на двух примерах.
Пример 1. Рассмотрим рис. 17. Пусть (см. § 4) Ль Л2,...
..., Л8 — функции вида ах + a2l + а3ц + а?г\ + а?2 + авг\2 +
+ ail24 + я^'П2 и A/(Qy)==6v. Через (xit г/,) обозначим
координаты точек Pt, г = 1, 2 8. Отображение ij)
определим соотношениями
У= 2 г/Л (I, Ч),

О
я
О,

48 //. Построение пространства типа конечных элементов
Очевидно, что Pi = ty(Qi), t = l, 2, ..., 8. Необходимо
предполагать, что г|з: Д-*-е является биективным отобра-"
жением, имеющим обратное отображение <р: е->Д. Рас-
Рассмотрим, кроме того, точки Pf(xf, у*), причем P^ = Pi,
Pf = p2, Pl = pa, и элемент е*, получаемый как образ Д.:
при отображении $*, определенном соотношениями
С помощью других биективных отображений того же
типа можно определить и другие элементы, объединение
которых составляет Q. Пространство U определяется сле-
следующим образом:
1) произвольно фиксируются значения ие{/ в узлах
Ръ '2' • • • у Р 8> * 1 • • • • '
2) сужение у функции и на элемент типа е задается
соотношением
8
v(x, y)=%u(Pi)(Ai.<p)(xt у). A)
Теор««а Н.б.Ь В примере 1 имеем
UczC) (Q).
Доказательство. Требуется показать, что:
1) образ Г отрезка QtQs при отображении \]з совпадает
с образом Г* отрезка Q7Q5 при отображении г|)*;
2) сужения v я и* функции и на е и е* совпадают
вдоль Г.
Докажем 1). Пусть т^ и т^* —аффинные отображения,
преобразующие отрезок [0, 1] соответственно в отрезки
Q1Q3 и QtQs. и пусть Г и Г* суть образы [0, 1], получен-
полученные с помощью у = фот] и у* = ф*от]* при Pi = y@) =*
-=Y*@). Р2 = У@,5) = у*@,5), Ps = yA)=t*A)- Отме-
Отметим, что у и у* являются отображениями отрезка [0, 1]
в R2, компоненты которых — полиномы степени 2. Остается
сослаться на теорему II. 1.2.
Докажем 2). Элементы у°у и и*»у* являются полино-
полиномами -степени 2, принимающими соответственно при / = 0,
i = 0,5 и t=\ одни и те же значения и(Рг), и(Р2) и
и(Ра). Остается еще раз сослаться на теорему II. 1.2.

€. Криволинейные элементы 49
Частный случай. Пусть Р1( Р3, Р5, Р, —вершины
некоторого четырехугольника, а Р2) Р4, Р6, Р8 —середины
его сторон (рис. 18). Предположим, что ориентация, опре-
определенная с помощью Pi, Ра, ..., Р8, положительна. Тогда
можно проверитьг что
У
Рис. 18.
а) ф является инъективным отображением и задается
соотношением
б) min 7
0<| <1
= min {площади параллелограм-
| ) t = l, 3, 5.7
мов, построенных на сторонах, имеющих общую вер-
вершину Pi}. !
Замечание (по поводу примера 1). а) Возьмем в A)
значение и (Р() = 1; тогда
(x,y)=U
так как
v (х, у) =

50 //. Построение пространства типа конечных элементов
б) Возьмем в A) значение ы(Р/)=хг. Пусть (|, г\)
= ф(х, у). Тогда
Аналогично показывается, что, полагая u(P;)=yh мы
получим и (х, г/) = г/.
Пример 2. Рассмотрим рис. 19. Функции Ль Л2, ...
..., Л6 являются полиномами степени 2 (см. § 5), причем
Ai(PJ)=8ij. Пусть (xt, yi) — координаты Ph a ty опреде-
определяется так:
Предполагаем, что i}j: Д ->• е — биективное отображение,
обратное к ф. Аналогично определим е* как образ Д при
отображении i|)*, задаваемом в виде
где P?(jcf, г/Г) таковы, что Я? = РЬ Л* = Л. -Р| = ^
Строятся еще и другие элементы, объединение которых
составляет Q. Пространство U определяется следующим
образом:
1) произвольно фиксируются значения ме(/ в узлах
"ii Рг» • ¦ ¦ > Ре» Pi» ¦ ¦ •»
2) сужение v функции и на элемент типа е задается
соотношением
v(x, 0)=2>(Л)(ЛгФ)(*. У)- B)
Теорема П.6.2. В примере 2
J/cCl(Q).
Доказательство аналогично доказательству теоремы
II.6.1.
Замечание (по поводу примера 2). а) Подставляя
в B) значения м(Р,¦)=!, м(Р,) = хь ы(Р,) = г/ь t = l, ...

52 7/. Построение пространства типа конечных элементов
..., 6, получаем соответственно v(x, y) = l, v(x, у)=Х,
v(x, у)—у (см. замечание к примеру 1).
б) Если Plt Р3, Д —вершины некоторого треуголь-
треугольника, а Р%, Pt, Рв — соответственно середины сторон PiP3,
Р3Р5 и РъРъ то oj) — аффинное преобразование.
7. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
Пусть U — пространство типа конечных элементов с ба-
знсом «!, ..., tijf. Матрицей жесткости, относящейся
к билинейной форме a: UxU-*-R, является матрица
с элементами а^ — а{щ, uj), i, /=1, 2, ...,N (см. § 1.2),
Предположим для определенности, что Q cz R2 и что
а (и, v) = H(c(x, у)дхи{х, y)dxv{x, y) +
?2
+ d (x, у) дуи (х, у) dyv (x, у)) dx dy.
Через G обозначим множество элементов е, таких, что
mes (е П Сг П С2) Ф 0, где Ci и С2 — носители ых и и2.
Получим
ai2 = 2j И (cdxUidxiiz + ddyUidytiz) dx dy. A)
Пусть e s G определяется как образ при отображении Щ
«основного» множества Д из плоскости grj, тогда как
сужения ых и и2 на е являются линейными комбинациями
функций Ai-ф, ..., Лш»ф, где Ль ..., Лт —«раз и на-
навсегда» определенные на Д функции, а ф —обратное ото-
отображение для отображения ijj, предполагаемого биектив-
биективным (см. § 6). Предполагается также, что функции Ль ...
..., Лт, как и компоненты ijj, являются полиномами от
переменных | и т].
Обозначим через ,gy элементы матрицы Якоби отобра-
отображения ф, а через / — якобиан отображения ijj. Якобиан /
является полиномом от %, г\, тогда как gyty будут рацио-
рациональными функциями от ?, т].
Для вычисления A) рассмотрим выражение
J ^ {с (х, у) дх (А,' ф) дх (А, ° ф)} dx dy =
- И (с * *) К«5|Л0 fen • Ф) + (^л<) fei2 • *)} {(^Л,) feu • \р) +

7. Вычислительные матрицы жесткости 53
Окончательно приходим к вычислению интегралов вида
\\ (с-ф) (<Э6Л<)'(dnA,)(gil.ty (gn°WJdtd% B)
л
Для вычисления B) укажем два метода. Применимость
Первого из них ограничивается случаем аффинного пре-
преобразования ij>. Второй метод более общий, хотя его
обоснование в случае неаффинного преобразования явля-
является весьма тонким делом (см. [3]).
Метод 1. Предположим, - что ^ — аффинное преобразо-
преобразование; тогда gij и / постоянны. Аппроксимируя c°ty
с помощью линейной комбинации функций Alt Л2, ...,Ат,
приходим к нахождению интегралов вида
$$ Л^ЛДЛ, dl йц,
д
которые можно вычислить явно «раз и навсегда».
Метод 2. Рассмотрим на Д какую-нибудь формулу
численного интегрирования типа
$$/^GfTl = 2>ft/(^,TU), C)
Л k
где Bj>0 и (|а, r)ft) e Д. Тогда B) приближается с по-
помощью C). Заметим, что элементы матрицы (gij°ty) мы
получаем, обращая матрицу Якоби преобразования ij),
элементы которой являются полиномами от | и ц. Реко-
Рекомендуется выбирать такую формулу C), которая является
точной для интегралов вида

III. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА. ОБОБЩЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Определения, Пусть
¦C={i = (?lt ..., S»)eR»: -1<Ь<1},
& = {%<= С: 1п^0},
О={^С: 1„ = 0}.
Множество Q cz R* называется вполне регулярным, если
а) оно регулярно;
б) существуют отображения <pb ф2, ..., ф^: С -> R™,
такие, что
1) ф/— инъективное отображение класса С) (С) (т. е.
все компоненты фг принадлежат классу Cj(C)),
2) <р, (С+) = Фг (С) П Q, ф^ Р) = Фг (С) П dQ,
3) dcicz у ф,(С);
в) существуют' 0<а^я/2 и />0, не зависящие
п
от ;.eQ, n (х) = (nx (лг) пп(х)), ^ пЦх) = 1, jtefi,
»¦= i _
такие, что для всякого х=(х1, ..., 4)sQ имеем
е R": 2 ^ - *') «^ W S& cos a ( J] (г/,- - хг-J| ',
Пусть Q — ограниченное открытое множество из R78.
Через L2 (Q) обозначим множество функций /, определен-
определенных на Q и таких, что /2 интегрируема' по Лебегу. Если
/eL2(Q) и f = g почти всюду (п. в.), TO^eL2(Q) и
$(/-^J^ = 0. Обратно, если /e=L2(Q) и J (f-gJdx =
?2 ?2
= 0, ТО / = g П. В.

1. Пространства Соболева 55
Отношение «= п. в.» является отношением эквива-
эквивалентности на множестве функций L2(Q). Обозначим через
[/] класс эквивалентности, содержащий /; g^[f] озна-
означает, что f = g п. в.
Через H°(Q) обозначим множество классов эквива-
эквивалентности [/], где /eL2(Q). Введем в Н° (Q) скалярное
произведение и соответствующую норму
\а
Пусть Sm (Q) (m^z 1) —множество классов эквивалент-
эквивалентности, содержащих функции класса C?(Q). Через & (Q)
обозначим множество классов эквивалентности, содержа-
содержащих функции из С°°(й), носители которых являются под-
подмножествами в Q. Имеет место следующая
Теорема II 1.1.1. а) Н° — гильбертово пространство;
б) & плотно в Н° по отношению к норме || ||0.
Введем в Sm (Q) следующую норму:
\\U]\\m =
и рассмотрим последовательность {[fi^fL^ cz Sm (Q), /,• e
e C? (Q), являющуюся последовательностью Коши . по
норме | ||m, т. е. такую, что для всякого е>0 найдется
такое N, что ||[Д] — \[}]\\т<е, если i, j>N. Тогда при
\а\^т имеем || [Dafi] - [Dafj] ||0 < е, если i, j>N. Так
как Н° — полное пространство, то существует такой класс
[фа]<=#°, что lim [?>а/У] = [фа] по норме || ||0, |а|^т.
(->СО
В частности, lim [/;] = [ф0] по норме | |0.
t'
Определение. Через Нт (Q) обозначим подпрострэнство
из #°(Q), образованное элементами [ф], ограниченными
по норме I] ||о последовательностью элементов из Sm(Q),
являющейся последовательностью Коши по норме | \\т.
Пусть [ф]еЯя(Я), Рассмотрим две последовательно-
последовательности {[/,-]}Г=1 и {[/;]}r=ic=Sm(Q), U и /;eC7(Q); они
являются последовательностями Коши по норме || ||т и
сходятся к ф по норме || ||0. Пусть [фа] = lim [Daf{\ и

56 III. Пространства Соболева. Обобщенные решения
[ф*]= Hm [Daff] по норме | |[0, ja|«sm. Имеем [<р] =
i-*ca
= [фо] = [ф1]- Покажем, что, кроме того, [фа] = [ср?];
последнее означает, что <ра зависит только от ф. Пусть
[g] e J? (Q), §еСю(О), Интегрируя |а| раз по частям,
получаем
ifiDvgdx^i-iy^^gDvftdx,
?2 ?2
(И. [оа?]H = (-1)>аЧИ, [Dafi]H.
Полагая /-4-от, получаем
([ф], [Dag])^(-\)'a'([g], [ф„])в. A)
Точно так же имеем
([ф]. [Dag])o-(~iyal([gl [ф5])о. B)
Вычитая B) из A), получаем
(И- ы-[ч>г])в=о.
Это соотношение справедливо для всякого [g] e Ш,
По теореме III.1.1, б) заключаем, что [фа] = [ф|].
Определение. Пусть [<р] е Hm (Q). Определенный выше
для |a|s^m элемент [фа]еЯ°(Ц называется a-й слабой
производной от ф и записывается в виде
Введем в Нт (п) скалярное произведение ( , )т и норму
| In, определенные равенствами
([ф], W)m= S (D»lq>), Z
|a| sgm
Отметим, что Нт (Q) получается пополнением Sm (Q)
по норме || |„. Это гильбертово пространство со скаляр-
скалярным произведением ( , )т.
Замечание 1. Непосредственно из определений
следует, что если [/)е//га(й), то Da[f] <= Hm-lai'(Q),
il

1. Пространства Соболева 57
Замечание 2. Обычно пишут /e#m(Q) вместо
[f]<=Hm(Q), {f, g)m вместо ([/], [g])m, \\f\\m вместо ||[/]|Ц,
Daf вместо Da [f] и т. д. В том же духе можно писать
C?(Q)c:Hm(U).-
Теорема III. 1.2. Пусть Q вполне регулярно и тг
Каноническое вложение Нт* (Q) в Нт* (Q) является ком-
компактным, т. е. если {fi}f=lczHm^ (Q), ||/,-||m s?c, где с
не зависит от i, то существует подпоследовательность
{fi\fLv сходящаяся к /еЯт'(й) по норме || ||m2.
Рассмотрим линейный функционал F: C7(&)-*-R.
Предположим, что этот функционал непрерывен по отно-
отношению к норме | \\т. Тогда существует такое с, что
F (/) | s^c|j/||OT, / e Cf(Q); при этом F можно продолжить
на Нт (О) по непрерывности, т. е. следующим образом.
Пусть /еЯт(О), и пусть {/,}?, i <= С? (п) сходится к /
по норме || ||т. Положим F(f)= Нт F (/,). Легко прове-
i —>оо
рить, что F линеен, непрерывен и \F(f) | ^c|/|m для вся-
всякой /e#m(Q). Точно так же пусть a (f,g) — билинейная
симметричная непрерывная форма на С? (Q) х С? (п).
Непрерывность эквивалентна существованию такой посто-
постоянной с, что | а (/, /) | sg с | / \fn для всякой / е С"г (Ц).
Продолжим а на Нт(ЩхНт(п) следующим образом.
Пусть /, ge=Hm(Q), и пусть {Д}Г=1 и {&}?, i <= С? (Q)
сходятся соответственно к / и g по норме | ||т. Положим
а(/, §¦)= Нт а (/ь ^г). Тогда форма а симметрична, непре-
i —*¦ оо
рывна и удовлетворяет неравенству \a(f, f){^c\\ffm для
всякой /<= Я"' (Q).
Теорема 111.1.3. Пусть ficR"- вполне регулярное
множество. Билинейная симметричная положительно опре-
определенная форма а: С/О^хС/Сй)-*!?, задаваемая равен-
равенством а (/, g) ~ \ fg da, непрерывна по норме || |ь
да
Доказательство. Для упрощения обозначений
ограничимся двумерными областями. Обобщение на обла-
области больших размерностей делается тогда непосредственио.
Используем обозначения, введенные в начале параграфа

58 ///. Пространства Соболева. Обобщенные решения
для определения вполне регулярного множества. Пусть
Г( = (р1(С)[]дп. Имеем
м
dQ I = 1 Г.
Ясно, что для завершения доказательства снова доста-
достаточно убедиться в существовании таких постоянных ch что
$ f ds ==gCi||/||i для всякой /еС;(Q).
В дальнейшем через с будем обозначать произвольную
постоянную, не зависящую от / е С\ (Ц). Пусть g: C+-> R,
g — f°4>i> гДе фг —сужение фг на С+. Имеем
-1 db -1
Положим р (t) = t — 1. Тогда'
1
о
1
о
1
g2{lu 0)<2'
о
+1
\ g2 (gi. 0) dgi ^ 2 Jf ((д^ (gi, ЫJ+Я2 (Si, Ы) 4i dga,
j {xlt
Теорема III. 1.4. Пусть п cz Rn — вполне регулярное
множество, a q —некоторая кусочно-непрерывная на dQ
функция (т. е. границу дп можно разбить на части дп1г

1. Пространства Соболева 59
()il2, ..., такие, что сужение q .на dut допускает непре-
непрерывное продолжение на dQi). Тогда билинейная форма
" (f>§)— I qfgdo, определенная на C}(q)xC}(Q), непре-
непрерывна по норме || ||i.
Доказательство. Пусть функция q ограничена
константой М. Тогда a(f, /)==?: УМ J pda, и,мы возвра-
09.
щаемся к теореме III. 1.3.
Теорема III. 1.5. Пусть Q a R" — вполне регулярное
множество, asfi, m —наименьшее целое, большее п/2,
и s — iSi, s2, ..., sn). Тогда функционал F: C?+lsl (п)-+
—>-R, F (j)=Dsf (а) непрерывен по отношению к норме
|| |m + |S|, т.е. существует такая постоянная с, что
\Dsf (а) | s==c|l/||m+|S| V/ <= C?+[s[ (Q). Более того, с может
быть выбрана не зависящей от aeQ,
Доказательство. Не уменьшая общности, можно
положить s = 0. Тогда, ограничиваясь случаем п — 2,
будем иметь т = 2. То же самое доказательство проходит
и в случае произвольного п. Используем обозначения,
введенные в начале параграфа, и рассмотрим систему
полярных координат (р, ф) с центром в а. Тогда сущест-
существуют R>0 и а!<а2, такие, что сектор G=jJteR!:
ps^R, cxiг^фsg:a2} cz Q. Кроме того, R и а = а2 —ах
могут быть выбраны не зависящими от aeQ. Пусть
функция peCco(R) такова, что р@) = —1, р(р) = О при
p^sR. Букву с используем для обозначения произволь-
произвольной постоянной, не зависящей от /eCf(Q) и йёЙ,
Интегрируя по частям, имеем
R
/И = $<ЭР(р(р)/(р, <p))dp =
о
R
= — ] <Э2Р (р (р) / (р, ф)) pdp («i =sc ф =sc a2).
о

60 III. Пространства Соболева. Обобщенные решения
Применяя неравенство Шварца, получаем
R R
о о
Интегрирование этого соотношения по <р дает
/2 (а) <с °f d<p $ pdp (<ЭР (р (р) / (р, ф))J =
а± 0
Расписывая выражение dp ( ), замечаем, что на G произ-
производные от р ограничены постоянными, не зависящими от
aeQ. С другой стороны, легко выразить производные
по направлению р с помощью производных по х и у.
Тогда получаем
Теорема III. 1.6. Пусть Q cr R" — вполне регулярное
множество, т —наименьшее целое, большее и/2. Тогда при
р^т имеем Нр (Q) czCp~m(U) (т. е. всякий класс экви-
эквивалентности из Нр (Q) содержит элемент из Ср~т(Щ).
Доказательство. Не имея возможности доказать
эту теорему целиком, ограничимся доказательством того,
что каждый класс эквивалентности из Нр (Q) содержит
элемент ge Cp~m (Q), все производные которого порядка
г^/> — т допускают непрерывные продолжения на й.
Пусть [/]еЯр(й), и пусть последовательность {gt}fLicz
cz С/(й) такова, что {^]= lim [g{] но норме | ||р. Тогда для
t-*co
всякого е>0 существует такое Л^, что || [g{] — [gj] \\p<s
при i, j>N. По предыдущей теореме существует такое с,
не зависящее от е, что для ней и такого s, что | s \ ^
s^p — m, имеем [ Dsgt (a) — Dsgj (a) \ < се. Это означает,
что последовательность элементов gt и всех их частных
производных порядка ^р — т сходится равномерно. По
известной теореме gi сходятся равномерно, а следова-
следовательно, и в среднем квадратичном, к функции g класса

2. Билинейные коэрцитивные формы 61
Cp~m(Q), все производные которой порядка sgp — m
допускают непрерывные продолжения на п.
Теорема III. 1.7. Пусть /e#m(Q), и пусть Z>*/ = 0
для всякого \&\ = т. Тогда f является полиномом степени
scfTn— 1.
2. БИЛИНЕЙНЫЕ КОЭРЦИТИВНЫЕ ФОРМЫ
Пусть Q cz R" — вполне регулярное множество. Рас-
Рассмотрим подпространство WczCm(ii). Процесс пополне-
пополнения, использованный нами для определения Hm(Q),
исходя из С?(й), можно применить к W. Таким образом,
получится подпространство Vcz#m(Q), которое замкнуто
в Нт (й) по норме || \т и, следовательно, является гиль-
гильбертовым пространством со скалярным произведением
( , )т. Как и в предыдущем параграфе, симметричная
непрерывная билинейная форма на W может быть про-
продолжена по непрерывности на V.
Определение. Непрерывная симметричная билинейная
форма, определенная на VxV, является коэрцитивной,
если существует такое с > 0, что
а (и, u)^c\ufm V«eF.
Лемма Ш.2.1. Пусть a: VxV-уЦ. —непрерывная сим-
симметричная билинейная форма. Следующие условия эквива-
эквивалентны.
1) а коэрцитивна;
2) для всякой ограниченной последовательности {ui}f=u
такой, что lim а (щ, ы,-) = 0, имеем lim ||ыг||т = 0.
Доказательство. Импликация 1) => 2) очевидна.
Чтобы доказать обратную импликацию, покажем, что
если форма а некоэрцитивна, то существует ограниченная
последовательность, такая, что \\т а(щ, uv) = Q, и при
*со
этом lim \щ\тфЬ. В самом д«ле, в этом случае суще-
-с?вует такое г>,-е V, что a(vh vt) < || vt \mfi. Полагая щ =з
= vfl\vt|jm, имеем ||^||от=1 и а {щ, щ)<\1и

62 ///. Пространства Соболева. Обобщенные решения
Пример 1. Пусть
Q с R" — вполне регулярное множество;
,n2
q: dQ2 -»- R — кусочно-непрерывная функция,
№ = {«<= С} (Q): « = 0 на <9QX};
F —замыкание И? в #X(Q) по норме
К)
/(), atJ = ajh i, /=1, 2, ..., я;
а (и, о) = $ ^ aijdiudjV d%-\- \ruvdx-\- \ quvda,
q q aa2
a, v e W, di = dx..
Теорема II 1.2.1. Предположим, что
1) существует такое fx>0, «е зависящее от х ей
п п
а | <= R", что 2 %i'^ ^ М- 2] if!
2)
1) форма а из примера 1 непрерывна и, следовательно,
может быть продолжена на V XV;
2) а: V X-V ->- R коэрцитивна.
Доказательство. Непрерывность непосредственно
следует, с одной стороны, из ограниченности коэффици-
коэффициентов uij и г, а с другой —из теоремы III. 1.3. Следова-
Следовательно, а можно рассматривать как определенную на
V х V. Для и е W имеем
п
а {и, и) ^ fx 2] [I Uu По + J ru8 rfr + ^ ^«2 rf«r. A)
i=i q еа2
Рассматривая последовательность функций из W, сходя-
сходящуюся по норме || |х к некоторому элементу из V, видим,
что неравенство A) справедливо и для всех «еУ, Пусть
{uj}%=\c— ^ — ограниченная последовательность, такая,
что lim a(u.j, uJ) = O. По теореме III. 1.2 существует,
/-00
подпоследовательность, которую мы также обозначим через

2. Билинейные коэрцитивные формы 63
{«;}, являющаяся последовательностью Коши по норме
|| ||0. Из неравенства A) следует, что lim ||^||0
/=1, 2, ..., п, т. е. что на самом деле {«^ — последо-
последовательность Коши по норме || ||х. Пусть и = lim щ по
/-»оо
норме || ||х. Тогда «el/cff(Q) и||д,м||о = О, i =1,2,..., п.
По теореме III.1.7 и есть некоторая постоянная с.
Используя теорему III. 1.3, получаем
5Q, 5Q2
I J J ' J f
WQ, dQi Я J
Так как меУ, то \ u2da = 0. Из а (и, и) = 0 и A) сле-
следует, что §r«2dr+ § qu2da = 0. Тогда левая часть
равенства B) равна нулю. Из предложения 2) теоремы
видно, что с = 0 и, следовательно, 0 = ||«||1 = lim ||ыу-||х = 0.
Таким образом, условие 2 леммы III.2.1 выполнено
и форма а коэрцитивна.
Пример 2. Пусть '
QcR2-вполне регулярное множество;
(¦**> г/г) — три точки из Q, не лежащие на одной
прямой;
W = {и €= С} (Q): u (хг, г/г) = 0, г = 1, 2, 3};
F — замыкание W в Я2 (Q) по норме | ||2;
Д (Ы, V) = ^ {«*Лл: + "t/i/^t/ + fA ("дтд:^ + UyyVxx) +
Q
+ 2 A — fx) uxyvxy} dxdy, u, ye W, где fx = const,
Теорема III.2.2. 1) Форма a: fxW->R «з примера 2
непрерывна и, следовательно, может быть продолжена по
непрерывности на V х V;
2) а: У X F -> R коэрцитивна.
Доказательство. Непрерывность a: Wx W-vR
очевидна. Следовательно, область определения а можно
расширить до VxV. Для и е W и, по непрерывности,

64 ///. Пространства Соболева. Обобщённые решения
для и <= V имеем
а (и, «) = ^{(l-ii)(UxX + uly)
Для доказательства коэрцитивное™ воспользуемся леммой.
Пусть {«i}?L j cz 1Л—ограниченная последовательность,
такая, что lim а(щ, щ)=0. Тогда существует (теорема
(-«•СО
III. 1.2) подпоследовательность, которую мы снова обо-
обозначим через {щ}, являющаяся последовательностью Коши
по норме || ||i. С другой стороны, из неравенства C) выте-
вытекает, что lim ||DsWf||o = 0, |s| = 2. Следовательно, на самом
(—СО
деле {«,-} является последовательностью Коши по норме
|| ||2, которая сходится kueF, причем \\Dsu||в = 0, |s| = 2.
Из теоремы III. 1.6 следует, что и имеет вид ах-\-Ъу-\-с =
= р(х, у). В силу определения V- и теоремы ШЛА имеем
Р(*»> г//) = 0, i = l, 2, 3, и, такям образом, р(х, y) = Q
и Jim ||«/I!2 = O.~
f->-co
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ 8 ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Теорема II 1.3.1. Пусть В —банахово пространство
с нормой || |, а: В ХВ -v R — непрерывная симметричная
коэрцитивная билинейная форма, ср: В -+R — непрерывная
линейная форма. Следовательно, существуют положитель-
положительные постоянные с, d, e, такие, что с || и f «s; а {и, и) sg d\\ и f,
\(p(u)\s^e\\u\\, u^B. Тогда задача: ншти такое и^В%
что а (и, v) = <p(v) Vce В, — имеет одно и только одно
решение и
Доказательство. Форма а(ы, о) является скаляр-
скалярным произведением в В. Соответствующая ему норма
эквивалентна норме || | в В. Следовательно, В — гиль-
гильбертово пространство с этим скалярным произведением.
Тогда теорема III.3.1 есть не что иное, как одна из фор-

3. Существование и единственность обобщенных решений 65
мулировок теоремы Рисса. Кроме того,
с\и f =s? с (а, а) = <р (и) < е] и ||.
Пример 1. В предположениях теоремы III.2.1 рас-
рассмотрим пример 1 из § 2. Пусть /e#°(Q). Линейный
функционал ср: V -*¦ R, определенный соотношением ср (и) =
= (/, vH, непрерывен-и |ф (v) ^ШоНо^ШИИх» Сле-
Следовательно, по теореме III.3.1 задача нахождения такого
кеУ, что
а {и, v) = (f, vH VseF, A)
имеет одно и только одно решение. Введем дополнитель-
дополнительные предположения, что al} <= С} (Q) и / е С/ (О), и пока-
покажем, что задача A) является полуслабой формулировкой
следующей краевой задачи для уравнения в частных про-
производных. Требуется найти такое и е С) (Q), что
- 2] dt(a^fu) + ru = f в Q, B)
ы = 0 на ^Ql C)
п
2] я,удгы • tij -f- ^w = 0 на dQ2> D)
г. /= 1
где tij есть /-я компонента единичной внешней нормали.
Умножим B) на v е В7 и проинтегрируем по Q, исполь-
используя теорему о дивергенции (§ 1.1, A)):
Q dQ
+ ^ гыи ^т = \f° dr. E)
О Й
Принимая во внимание соотношения a/y = ay,-, условие D)
и тот факт, что w = 0 на dQt, получаем, что E) эквива-
эквивалентно соотношению
а (и, v) = (f, vH, vc=W.
Так как V является пополнением W по норме | |х и
форма а непрерывна по отношению к этой норме, то это
последнее соотношение справедливо для всякого tieF.

66 ///. Пространства Соболева. Обобщенные решения
Итак, всякое решение (называемое сильным) задачи B),
C), D) является также решением задачи A). Более точно:
класс эквивалентности, содержащий решение задачи B),
C), D), является решением задачи A). Когда решение
задачи A) не являeтqя решением B), C), D), оно назы-
называется обобщенным решением.
Пример 2. Рассмотрим пример 2 из § 2. Пусть / е
е Н° (Q) определяет непрерывный линейный функционал
ср: F->R, <p(v) = (f, vH. В силу теорем III.2.2 и III.3.1
задача нахождения такого «еУ, что
а (и, у) = (/, vH V^eF, F)
имеет одно и только одно решение. Заметим, что и е
е Н2 (Q) и в силу теоремы III. 1.5 класс эквивалентно-
эквивалентности и содержит непрерывную функцию. Предположим,
что, кроме того, / <= C?(Q), и покажем, что F) является
полуслабой формулировкой следующей задачи для урав-
уравнения в частных производных, состоящей в нахождении
такого иеС} (Q), что
ДДы = / в Q, G)
'H(xh г/г)=0, /=1,2,3, (8)
=° на
= 0 на
Для фиксированной точки на дп направления tun обра-
образуют декартову систему координат, состоящую из каса-
касательной и внешней нормали к dQ, s — естественный пара-
параметр, т. е. абсцисса в криволинейной системе координат
вдоль dQ. Формула Грина позволяет записать для v e Wi
\\v- AAu dx dy — § J Аи • Av dx dy =
~nAuds. A1)

3. Существование и единственность обобщенных решений 67
С другой стороны, используя формулу Грина, имеем
$ \ {2uxyvxy — uxxvyy — uyyvxx) dx dy +
где tx и ^ — компоненты единичного касательного век-
вектора. Заметим, что ^rv = ^v вдоль дп. С помощью инте-
интегрирования по частям по s убеждаемся, что криволиней-
криволинейный интеграл в A2) равен
Проинтегрируем G), умноженное на sef, и сложим
полученное равенство с соотношением A2), умноженным
на A — fx). Тогда, принимая во внимание A1) и A3),
найдем, что
\ ] {Аи А у + A — Н-) BuXyVxy — uxxvyy — uyyvxx)} dx dy +
Q
(fd Д« , ,, , d
Учитывая (9) и A0), окончательно имеем
а(и, v) = (f, vH, v(=W.
Так как V -^ пополнение W по норме | Цг и форма а
непрерывна по отношению к этой норме, то это последнее
соотношение справедливо для всякого pgF. Следова-
Следовательно, всякое решение (называемое сильным) задачи G),
(8), (9), A0) является также решением задачи F). Когда
решение задачи F) не является решением G), (8), (9),
A0), оно называется обобщенным решением.

IV.. СВОЙСТВА СХОДИМОСТИ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Для х, у е R" через | х — у ] обозначается евклидово
расстояние между х и г/. Для ограниченного множества
D с: R" его диаметром называется величина sup \х — у\\
mes (D) обозначает меру Лебега множества D.
Пусть Q с R" — регулярная область (см. § 1.1) и /s
е С/* (Q). Напомним, что с / связаны открытые непере-
непересекающиеся регулярные множества Qlt Q2, ..., Qp,
_ р _
такие, что Q = (J Q( и сужение / на Q; является функ-
i=J_
цией класса Cm(Q/). Для х, принадлежащего границе
двух' различных Q;, и \s\-m положим по определению
Dsf(x) = 0. Заметим, что тогда оператор DS определен при
jsj^/n, но линеен только при |s|<m.
Для / е Cf (Ц) была уже определена норма
Введем еще следующие полунормы и. норму:
//// = max sup | Dsf (x)\f 0 < / < m,
/////„= max sup|Z)s/(x)|.
Для / e Cm (О) положим
со (A 8)= sup
/, 8)=*rmfx a>(D*f, 6).

2. Лемма Брамбла 69
Величина со (/, 6) является модулем непрерывности функ-
функции /. Так как по классической теореме анализа функ-
функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна,
m limco(/, 8)— Urn (nm(f, 8)=0.
6-*0 в—О _
Наконец, через ^(Q) обозначим множество сужений
па U полиномов степени не более чем k.
2. ЛЕММА БРАМБЛА
Лемма IV.2.1. Пусть Е и F — два векторных простран-
пространства и F нормировано с нормой \\ ||. Пусть L: E-+F
— линейный оператор с ядром N. Тогда для х е ? и я<= N
имеем
\\Lx\\^\\L(x-n)\\.-
Эта лемма, сама по себе тривиальная, лежит в основе
различных предложений, известных под названием «леммы
Брамбла».
Лемма IV.2.2. Пусть Q с: R" — выпуклое регулярное
множество, h — его диаметр, йёй, feC/"+1
2>/(а) = 0 при |s|=s?/rz. Тогда
Доказательство. Для/ = т +1 доказывать нечего.
Предположим, что лемма верна для j^M-\-l, M^m,
и докажем ее для \ — М. Пусть |s|=Af, *(=fi, g(t) ¦=
*>*Dsf(a + t{x — a)), CX*=s? 1. Имеем g@)=0 и
о
= $ 2 diDsf (а+*(х—°)) (х>—а№<
О ?=•!
Лемма IV.2.3. Пусть Q c= R" — выпуклое множество,
h — диаметрп, '"ae Q, /(=O(Q) и Ds[(a) = 0 при \s\^
^. Тогда
If It ^ (nh)>»-J(i>m (f, h), 0 < / ^ tn.

70 IV. Свойства сходимости
Доказательство. Для j = m утверждение леммы
следует из определения сот. Предположим, что лемма верна
для \^М-\-\, M<im, и докажем ее для j — M. Пола-
Полагаем \s\-M, хеО и g(t)=Dsf(a + t(x-a)), Os
Далее поступаем, как при доказательстве леммы 1\
Лемма IV.2.4. Пусть Q c=R" — открытое множество,
/eCm(Q), a^Q. Существует один и только один поли-
полином р степени т, такой, что Dsp (a) = Dsf (а) при \s\^m.
Доказательство. Проверяем, что
Р(*)=
В качестве приложения рассмотрим регулярную область
QcR" диаметром h, точки Ри ..., Рм (= Q, коэффициенты
clt сг, ..., см и формулу приближенного интегрирования
lfdT=2,c,f(P,). A)
Теорема IV.2.1. Предположим, что
а) формула A) точна для полиномов степени /n(mSsO),
б) коэффициенты ct положительны,
в) Q — выпуклое множество.
Тогда
\fdx-
Я i
м
2mes(Q)
если
м
2 mes (Q) {nh)mu>m if, h),
если
Доказательство. Докажем первое из двух соотт
ношений. Второе может быть получено аналогичным обра*
- зом исходя из леммы IV.2.3. Воспользуемся леммой IV.2.JJ,
полагая
м
: = C?+i(Q), F = R, Z/=J/dT-2
a »;=i
Так

3. Аппроксимация при помощи интерполянтов 71
м
как формула A) точна для /=1, то получаем У] ct —
i=l
= rnes(Q). Пусть /eC/I+1(Q), яёО, р —полином сте-
степени; m (лемма IV.2.4), такой, что Dsp (a) =Dsf (а) при
|s|sem, -g = f — р. Отметим, что р принадлежит ядру
Lug удовлетворяет соотношению Dsg(a) = 0, \s\s^m. С
помощью леммы IV.2.2, принимая во внимание тот факт,
что С(>0, получаем
м
Q
; mes (Q) + Л cA/g/0 < 2 mes (Q)
М
3. АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРПОЛЯНТОВ
. Пусть OcR2- область с полигональной границей.
В этом и последующих параграфах будут рассмотрены
пространства функций типа конечных элементов, опреде-
определенных на Q, прямоугольных и треугольных, которые
были описаны в § II.3, П.4 и II.5. В случае прямо-
прямоугольных элементов необходимо предполагать, что гра-
граница Q составлена из отрезков прямых, параллельных
осям координат.
Пусть II — некоторое такое пространство, Ft, F2, ...—
функционалы, служащие для его определения. Будем
говорить, что U — пространство класса СТ(Щ, если U с
cCf(Q); что U имеет порядок k, если §ik(Q)czU, но
<3sft+1(Q) фи; что U имеет кратность г, если число функ-
функционалов, отвечающих каждому элементу, равно г. Индек-
Индексом функционала Ft называется число /, такое, что F (/)
имеет вид ^ asDsf (Р). Индексом U называется макси-
|s|=*
мальный из индексов этих функционалов. Например, для
треугольных элементов «полиномы степени 5 типа II» U
будет класса Q (Q), порядка 4, кратности 18 и индекса 2.

72 IV. Свойства сходимости
Простая проверка показывает, что для всех пространств U,
описанных в § II.3, II.4 и II.5, имеем
1) индекс U меньше порядка U, A)
2) для функционала индекса /, относящегося к точке
\F (f) \^V2 max \D4(P)\. B)
Множитель У2 отвечает функционалу «нормальная
производная» от элементов «полиномы степени 5 типа I».
Определение. Пусть U — пространство типа конечных
элементов на Q, elt e2, ... — элементы соответствующего
разбиения Q, щ, и2, ... — базис Лагранжа для V относи-
относительно функционалов Flt F2, Пространство V назы-
называется равномерным, с постоянной q, если для всякого
сужения ие некоторой базисной функции Ы/ на элемент е
диаметра h имеем
/ue/f^ghl-f, -/ = 0, 1, 2
где / обозначает индекс функционала F}, относящегося к щ.
Далее мы будем рассматривать, семейства {Ua} про-
пространств типа конечных элементов на одном и том же Q,
каждое из которых состоит из членов одного и того же
типа, например «треугольные элементы, полиномы сте-
степени 3 типа I».
Определение. Семейство {?/„} является равномерным,
если существует такое q, что все Ua равномерны с по-
постоянной q. Такое семействе называется равномерным
с постоянной q.
Теорема IV.3.1. Семейство пространств типа треуголь-
треугольных конечных элементов является равномерным, если суще-
существует такое число а>0, что все углы всех треугольни-
треугольников всевозможных разбиений Q не меньше а. Семейство
пространств типа прямоугольных конечных элементов
является равномерным, если существует такое число а>
> 0, что отношение длин сторон каждого прямоугольника
для всевозможных разбиений п не меньше а.

3. Аппроксимация при помощи интерполянтов 73
В качестве примера проверим эту теорему для семей-
семейства «треугольные элементы, полиномы степени 3 типа II».
Используя обозначения § II.5, положим е = 7У Так как
уг-да е больше или равны а, то существует такая постоян-
постоянная Ь, что элементы матрицы Якоби преобразования ф
ограничены величиной bhr1, а элементы а^ матрицы Якоби
обратного преобразования —величиной bh. Тогда требуе-
требуемый результат является непосредственным следствием соот-
соотношений между L, Liit Li2, Li3 и Л, Ан, Ai2, Л,3.
Определение. Пусть U — подпространство типа конеч-
конечных элементов на ?2, и пусть Fu F2, ... — соответствующие
ему функционалы. Иншерполянш и порядка m функции
f ^Cf (Q) относительно U определяется соотношениями
u^U, Fi(u) = Fi(f) для Fi индекса ^т,
Ft (и) = 0 для F{ индекса > т.
Обозначая через щ, и2, ... базис Лагранжа для U отно-
относительно Fu F2, ..., непосредственной проверкой убеж-
убеждаемся, что интерполянт порядка т задается выражением
«=2'л (/)«/, ' C)
i
где 2' обозначает сумму по тем i, для которых индекс Ft
не превосходит т.
Замечание. Предположим, что Uпорядка k индекса /.
Если т^1, то интерполянты / порядка т и / относи-
относительно U совпадают и равны u = ^Fi(f)ui. Функцию и
i
будем называть интерполянтом f относительно U.
Теорема IV.3.2. Пусть U — пространство порядка 5зт,
кратности г, равномерное с постоянной q. Если /е
е С?+1 (О), и — интерполянт f порядка т относительно U,
ие —сужение и на элемент е диаметра h, fe —сужение f
на е, то
Теорема IV.3.3. Пусть U — пространство порядка Э=т,
кратности г, равномерное с постоянной q. Если / е Ст (Q),

74 IV. Свойства сходимости
и — интерполянт f порядка т относительно U, ие — суже-
сужение и на элемент е диаметра h, fe —сужение f на е, то
Iue - fe/j < 2«+J (rq + 1) hm~Jwm (fe, h), 0 =<S / < m.
Теорема IV. 3.4. Пусть U — пространство порядка
5=m—1, кратности г, равномерное с постоянной q. Если
f е СТ(й), и — интерполянт f порядка т относительно U,
ие —сужение и на элемент е диаметра h, fe —сужение f
на е, то
Доказательство теоремы IV.3.2. Применим
лемму IV.2.1, полагая ? = СГ+1(е), F = C°(e), |||| = ////<>,
Ц = D%-D°ue,-где |а| = /ssm. Пусть Flt Fz, ..., Fr-
функционалы для U относительно е; ии и2, ..., иг — суже-
сужения на е базисных функций, относящихся к Flt ..., F/,
1ъ •••! //• — индексы Ft, F2, ..., Fr. Имеем
i
где 2]' обозначает сумму по тем /, для которых lt ^ т.
Это соотношение показывает, что L является линейным
оператором. Если р — полином степени «gm, то на е имеем
А> = 2 Z7! (Р) «* = .2'^ (?)"'•
t=l i
откуда видно, что р принадлежит ядру L. Пусть аее.
Сопоставим / такой полином р степени т, что Dsp (a) =*
= Dsf(a), |s|sg:m, и положим v = fe — p. Принимая во
внимание лемму IV.2.2, соотношение B) и равномерность U
с постоянной q, получим
| Ft (v) | //?>"«,//o
+ V2 2' BA)m+
= 2m^ (rq+ 1) /f/

3. Аппроксимация при помощи интерполянтов 75
Доказательство теоремы IV.3.3. Начало дока-
доказательства совпадает с предыдущим, если не считать того,
что Е — Ст(е). Принимая во внимание лемму IV.2.3,
получим
¦-,f •„•¦¦•¦¦
= IlLolU < //D°v/U + 2' 1 Pi (v) I IID'ui //„ <
i
BA)"->com (o, A) + V2 2' /v/,tqh't-1 ^
Л) + V2 2' BA)"-l'(Dm(o, /г)
i
(on(v, h)hm-? =
Доказательство теоремы IV.3.4. Напомним, что
оператор Ds для \s\ = m, применяемый к СТ(&), не
является линейным (§ 1). Отсюда следует, что ие не ли-
линейно зависит от / и что некоторые из производных
Ds(ue — fe) не являются линейными при |s|«^m и даже
при \s\ = m. Поэтому мы воспользуемся формулировкой
«леммы Брамбла», слегка отличной от леммы IV.2.1. Пусть
Fit F2, ..., Fr — функционалы на V, относящиеся к е;
щ, и2, ...» иг — сужения на е функций базиса, связанного
с Fit F2, ..., Fr, и /j, /2, ..., lr — индексы Flt F2, ..., Fr.
Обозначим через _?]' сумму по тем i, для которых ti<im,
i
а через ^]" —сумму по тем i, для которых Ц—m. Пусть
йее, р — такой полином степени т — 1, что Dsp(a) =*
= Ds/(a), |sj^m-l. Тогда
««= 2'F' (/) «' + И"^ (/)"'• ^ = 2' ^ (Р) "'•
Полагая v = fe — p и замечая, что /v/m = /fejm> получим,

76 IV. Свойства сходимости
принимая во внимание лемму IV.2.2,
К — fell <7Н* - Plj + Ife ~ plj <
===: / 2'' Ft (v) щ1, + /?"Ft if) и,/, + /v/j <
i ' i
' » 2" /«/// + lvIi
m-f /fe/m <
Теорема IV.3.5. Пусть {Ua} — семейство пространств
muni конечных элементов класса С/(Й), порядка Ssm,
кратности г, равномерное с постоянной q. Пусть па —
максимальный диаметр элементов разбиения 12, относя-
относящихся к Uа; /еС7+1@); иа —интерполянт f порядка т
относительно Ua. Тогда при На ^ 1 имеем
(m, f).
Теорема IV.3.6. Пусть {Uа]—семейство пространств
типа конечных элементов класса С/ (Q), порядка k, крат-
кратности г, равномерное с постоянной q. Пусть ha — макси-
максимальный диаметр элементов разбиения Q, относящихся
к Uа; f еСТ (Щ, m^k; ua — интерполянт f относи-
относительно Ua. Тогда при ha «s; 1 имеем
Теорема IV.3.7. Пусть {Uа}а=,\—равномерная последо-
вательноапь^подпространств типа конечных элементов на Ti
класса C?(Q), порядка Ssm, кратности г. Пусть па —
максимальный диаметр элементов разбиения Q, относя-
относящихся к Ua; limha = 0; feCf(Q); ua —интерполянт /
а-*оо
порядка т относительно Ua. Тогда
Нт[|ыа-/||т = 0.
а-* с»

3. Аппроксимация при помощи иятерполянтов- 77
Доказательство теоремы 'IV.3-.5-. Пусть для
некоторого конкретного Ua элементами разбиения Q
являются eit е2,..., ем. Так как _?] 1 — (/ -f 1) (у +-2)/2«S
^ (/¦+ IJ, то достаточно показать, что при 1 s | sg /, ha
имеем
\\DS (ua-f) ||0 < (mes
Но, используя теорему IV.3.2, непосредственно получаем
\\DS (и„ - f) g; = ^ (Я* ("« - f)J dx < mes (Q) /нв - //fs/ <
^ mes (Q) {2™+2 (rq+ 1) A»+i-/ /f /я+1}«
Доказательство теоремы IV.3.6. Заметим, что
1) / е С* (и)-, 2) «' является интерполянтом порядка k.'
Тогда теорема IV.3.6 есть не что иное, как теорема IV.3.5
при m — k.
Доказательство теоремы IV.3.7. Пусть Qlt
Q2> •••. ^ — ассоциированные с / открытые непересекаю-
м
щиеся множества, такие, что I) Q= \J Qk, 2) Д —суже-
fc=i _
ние / на Q,-— принадлежит классу Ст(О;). Обозначим
через Do множество точек, принадлежащих одновременно
двум различным Qt, Dk = uh — Д>, G(t) = {лге Q: расстоя-
расстояние от х до Do не превосходит t}. Имеем lim mes (G (/)) = 0.
Для заданного а, такого, что ha =s; ly пусть е±, е2, ..., ем—
элементы, относящиеся к Ua\ положим
Ео = {йг-йг. П ?>оФ 0}, Ek = {et:-etczlik\, h= 1, 2>.:м Af;
Если е-некоторый элемент, a fe и ые — сужения / и ыо
на г, то в силу теорем IV.3.3 и IV.3.4 получаем
/и*-/«//^ 2т+х (г^ + 1>(вт (/fe, Aa), /<m,
при ге ?"fe, &S= I,
j^m, при ее=?0.

78 IV. Свойства сходимости
Для | s | «g m имеем
ft e
^ B*-1 (r? + I)J {mes (G (Л„
M
+ 2 mes (Qk) a& (fk, ha)}.
4 = 1
Принимая во внимание тот факт, что lim«Bm (fk, Л)=0,
Л-.0
получаем
lim ||?>* («„-/)[[„ = 0, |s|</n.
4. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ИНТЕРПОЛЯНТА
Теорема VI.3.6 показывает, что для равномерного^
семейства {Ua} класса C/(Q) порядка k интерполянт иа
достаточно регулярной функции / удовлетворяет соотно-
соотношению
где ha обозначает максимальный диаметр элементов раз-
разбиения Q, относящихся к Ua. Пусть па е Ца таково, что
при / «^ t имеем
¦ \\ua-fb^\\v-fb V0ei/e.
Тогда очевидно, что
Проверим, что показатель k-\-1 — / является оптимальным.
Более точно, имеет место следующая
Теорема IV.4.1. Пусть Q czR2 — область с полигональ-
полигональной границей (если речь идет об элементах прямоуголь-
прямоугольного типа, то граница Q предполагается состоящей из
отрезков прямых, параллельных осям координат). Для
каждого типа конечных элементов, введенных в § П.З,
II.4 и 11.5, существуют функция f e С°°(й) и равномерная
последовательность пространств {?/<*}"= ь такие, что
(I)

4. Оптимальность интерполянта 79
Здесь с — положительная постоянная; Ua —пространства
класса Cf(Q) порядка k; ha —максимальный диаметр эле-
элементов разбиения Q, относящихся к Ua; lim ha = 0.
Доказательство. Рассмотрим случай треугольных
элементов, так как случай прямоугольных элементов изу-
изучается аналогично и является даже несколько более про-
простым. В Q всегда можно расположить квадрат С со сто-
сторонами, параллельными осям координат, и тогда A)
достаточно доказать в случае, когда полунорма | \j рас-
рассматривается только на С, а не на всем Q. Далее мы
ограничимся рассмотрением квадрата Q = {0=^x, #=^l}.
Разобьем Ц, на а2 равных квадратов, а каждый квадрат —
на два треугольника по диагонали, которая проводится
из левого верхнего угла в нижний правый. Пусть U1 —
пространство, соответствующее этому разбиению Q на
2а2 элементов. Пусть Д —основной треугольник с верши-
вершинами @, 0), @, 1), A, 0). Обозначим через U множество
сужений на Д функций из Ut. Существует полином р
степени k +1, сужение которого рА на Д не принадлежит U.
Пусть
«/= Inf [#>д-»17= inf $ 2 (D*(p-v))*dtdn.
Покажем, что а1ф0 для / = 0, 1, ..., ^+1. В самом
деле, если а, = 0, 0sg/sg& + l, то рА — и есть полином q
степени *S&. По предположению, q^.11 и тогда Рд = ^ +
+»еУ, что противоречит предположению. Выберем в A)
f — p. Рассмотрим теперь некоторое фиксированное а и
положим б=1/а, ua^Ua. Пусть (X, у) —узел (t'6, тб),
O^i, m <а, и отображение ф: R2->-R2 определяется
так: (g, т))-^-(х, #) = (х + б?, у + бт)). Образом Д является
некоторый элемент ei>m. Простые вычисления показывают,
что (р • ф) (I, т)) = 8ыр (I, д]) +q(&, ii). где q — полином сте-
степени k. Для | s 1 = / sg t последовательно получаем
«я - р)? \
Л
D° {(иа - р) - Ф} = б/ (D* (иа - р)) • ф,
^s {("а ~Р) • Ф} = D>{ (иа• Ф) - <7} -

80 FV. Свойства сходимости .
Ноыаире?Л, q^U и, следовательно, v = б"*-1 (иа°ц> — q)
&U. Тогда
$ •« - ZJ>spJ dg &*.
А
Суммируя по |'s| = / и по всем элементам ег,т, т. е. по
половине элементов из ?2, получаем
5 2 (Dsiua-p)fdxdy^
Q |s|=/
:а-1
Следовательно, | иа — р |у- 5s ay6ft+1-/ = ay (/ia/K2)fe+1~/. Таким
образом, для получения A) достаточно положить с =
5. схедимвсть метода ритца
Теорема IV.5.1. Пусть В —банахово пространство с нор-
нормой || ;§, а: ВхВ-^-Щ — непрерывная симметричная коэрци-
коэрцитивная билинейная форма, <р: В ->R — непрерывное линей-
линейное отображение. Следовательно, существуют положитель-
положительные постоянные с, d, e, такие, что c\\vf^a(v, v)^
eg; d J v f, | <p (?) | =s?e I .u f Vt/eB. ?a7U G — замкнутое под-
подпространство в В., и i= В и й е G определены условиями
а (и, v)=q>(v) Mv^B, a (H, v) = ц> (a) VyeG, mo 5
всякого tieC
|и — u||
Доказательство. Существование и единственность
ы и й гарантируются теоремой 111.3.1. Элемент й является
приближением по Ритцу для и (§1.2.). Используя после-
последовательно коэрцитивность формы а, соотношение E)
теоремы 1.2.1 и непрерывность формы -а, получаем
с||и —й||2^а(и —й, и — й)^а(и — и, и — v)^d\\u — и||2.
Пример 1. Рассмотрим опять пример 1, описанный
в § II 1.2 и II 1.3. Предположим, что выполняются уело-

5. Сходимость метода Ритца 81
вия теоремы III.2.1. Тогда существуют О 0 и d, такие,
что c\\vfi^a(v, v)^d\\vfi для всякого »еК. Пусть
задана f^H°(u) и для «eF имеем а (и, v) = (f, vH
tyv e V. Предположим, что граница Q с: R2 полигональна.
В .случае прямоугольных элементов будем предполагать,
что граница Q составлена из отрезков прямых, парал-
параллельных осям координат. Предположим также, что dQ,
либо пусто, либо образовано конечным числом замкнутых
отрезков. Пусть {Ua} — семейство пространств типа конеч-
конечных элементов на Q класса С](Q), порядка k^\,
кратности г, равномерное с постоянной q. Будем считать,
что для каждого Ua пересечение какого-либо элемента
С д®{ либо пусто, либо представляет собой вершину эле-
элемента или целиком его сторону. Через ha обозначим мак-
максимальный диаметр элементов разбиения Q, относящихся
к Ua. Пусть Ga = Uaf]W и й„ —приближение по Ритцу
для и, относящееся к Ga, т. е. йа определяется соотно-
соотношениями ua^Ga, а(йа, vj — Q, v)Q для всякого bgGj.
При выполнении всех этих предположений имеют место
следующие теоремы IV.5.2 и IV.5.3.
Теорема IV.S.2. Если семейство {Uа\ — последователь-
последовательность, причем Hm/ia = O, то Нт ||«—йа||1=0.
а-юо
Теорема 1?,5.3, Если u^Cf+l(u), ш>1, то при
ha ^ 1 имеем
В« - So li < (d mes (Щ/с)^2^9 (rq+t) h^Hlm ,p = mm(m,k).
Доказательство теоремы IV.5.2. Зададим &>0.
По*определению V существует такоеgef, что || и — g\t<s.
Пусть иа — интерполянт g порядка 1 относительно Ua.
По теореме IV.3.7 существует такое целое N, что (|ua—g|i<s.
ееяи a>Af. Следовательно, \\и — Ma||i<|]« — вЬ + \\и« — gli<
<; 2«, если а > N. С другой стороны, заметим, что иа
удовлетворяет краевым условиям, т. е. иа е W, и, следо-
следовательно, иа^6а. По теореме IV.5.1,
1 и - 2„ Hi < (d/c) '/• 1 и - иа ||, < 2е (d/c)Vi для a > N.
Доказательство теоремы IV.5.3. Заметим, что
если эе?, то \ uadcr=G. В силу непрерывности били-
а а,

32 IV. Свойства сходимости
нейной формы b.(s, t)= \ stda (теорема III. 1.3) имеем,
кроме того, J v2da — О для всякого neF, Отсюда сле-с
дует, что «еУ, Пусть иа — интерполянт порядка р для
и относительно Ua. Заметим, что иа е= W и, следовательно,
ua^Ga. Используя теоремы IV.3.5 и IV.5.1, при /tasg;l
получаем
|| и-йД^/сI/. || «-«„[,<
< (d mes (Q)/c)V,2p+3 (л? + 1) hPa /ы/р+1.
Пример 2. Рассмотрим опять пример 2, описанный
в §111.2 и IП.3. Существуют такие с, d>0, что с||у|[|=^
sga(y, y)sSd||f||l Vye V. Пусть задано /еЯ°(Й) и для
beF имеем й(й, у) = (/, у^УуегУ. Существует также
(теорема II 1.1.4) такое у, что // v Цо =^ у IIv Иг УсеЯ2(Й).
Предположим, что граница Q полигональна и что в слу-
случае прямоугольных элементов она состоит из отрезков
прямых, параллельных осям координат. Через {?/„}
обозначим семейство подпространств типа конечных эле-
элементов на Q класса Cf(Q), порядка k^2, кратности г,
равномерное с постоянной q. Предположим, что для каж-
каждого а функционалы «значение в точке (xi, y{)v>, 1 = 1, 2, 3,
принадлежат множеству функционалов, относящихся к Ua.
Пусть ha — максимальный диаметр элементов из Ua, Ga=^
= Ua(]W и й„ — приближение по Ритцу для и относи-
относительно Ga. Следовательно, йа определяется соотношениями
й„ е Ga, a (aa, v) = (f, vH Vy ее Ga. Тогда при этих пред-
предположениях имеют место следующие теоремы IV.5.4
и IV.5.5.
Теорема IV.5.4. Если семейство {Ua} — посмдователь-
ностьи lim/ia = 0, то Нт||и — йа|| = 0 и Пт //и — йа//0—0,
а-»оо а->со а->со
Теорема IV.5.5. Если ыеС7+1(й), т^2, то при
ha ^ 1 имеем
(Q)/cI/22p+4 (rg+l)hpa-1/u/p+i,p=mm (m, k),
//и-йа//0^у\\и-йа\\2.

6. Неоднородные краевые условия 83
Доказательство теоремы IV.5.4. По опреде-
определению V существует такая функция^ е W, что ||и — g|2"<e.
Пусть ца — интерполянт g относительно Ua. По теореме
IV.3.7 существует такое N, что ||«а — g|^<e, если a>N.
Следовательно, ||и —иа||й?||и —g||2-f||«a —?||2<2е для
а>АЛ С другой стороны, заметим, что ы„ удовлетворяет
краевым условиям, т. е. иа е W и, следовательно, ыа е Ga.
По теореме IV.5.1 получаем
1 и — "a Ik ^ (d/cYh ||« - «а ||2 < 2е (d/сI/* для
Окончательно имеем
//M-Wa//o^Vl« —«alb-
Доказательство теоремы IV.5.5. Заметим, что
если v e №, то с (xt, yt) = 0, ?=1,2,3. В силу непрерыв-
непрерывности функционалов «значения v в точках (xh y{)», i =
= 1, 2, 3, на Нг(п) (теорема II 1.1.4) имеем v{xt, г/;) = 0,
? = 1, 2, 3, для всякого »eF и, в частности, для и.
Пусть иа — интерполянт порядка р для и относительно Ua.
Заметим, что иа е W и, следовательно, ы„ е Ga. Используя
теоремы IV.3.5 и IV.5.1, при ha^\ получаем
\\a\\2(/y\\a\\2
^ (d mes (Q)/c)V. 3 • 2"+2 И + 1) Aj- V«/P+i.
6. НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Вначале рассмотрим обобщения теорем III.3.1 и III.5.1.
Теорема IV.6.1. Пусть С—банахово пространство с нор-
нормой 1 |, а: С х С ->R — непрерывная симметричная положи-
положительно определенная билинейная форма, (р: С ->R — непре-
непрерывное линейное отображение и иеС. Через В обозначим
замкнутое подпространство из С. Предположим, что суже-
сужение формы а на В х В коэрцитивно. Следовательно, суще-
существуют положительные постоянные с, d, e, такие, что
а (о, o)<d||of VceC, c\vf^a{v, v) VugB, |q>(a)|<
<e|yj VheC, Пусть В(й = а> + В = {х-\-и>: xt=B}. Тогда
задача, состоящая в нахождении такого иа s Ba, что
а (иа, v) = ф (у) Vc e В, имеет одно и только одно решение,

84 IV. Свойства сходимости
причем
Доказательство. Положим «« = « + ©. Тогда и
удовлетворяет соотношениям
aefl; а (и, у) = <р(с) — а(ю, v) Voe5.
Однако i|x Я-vR, определенное равенством if(i>) =<p (v) —
— а (со, v), линейно и непрерывно и |ф (у) | =^е|о||4-
-f d|ffl!-||i>[|. Следовательно, можно применить теорему
II 1.3.1. Элемент и существует и определяется однозначно.
Аналогично обстоит дело и с иа. Кроме того,
Теорема IV.6.2. Предположим, что выполнены условия
теоремы IV.6.1. Пусть G—замкнутое подпространство изВл
у е С Gy = f + G, йт определяется соотношениями йу е Gv,
a(«v, г») =<р{») Vye<3.' Гог5й: 5ля всякого »eG имеем
/c) I to - vl.
Доказательство. Пусть йш е Ga i=s со -}- G <= Ва та»
ково, что а(й(о, у) = ф(у) VyeG. Имеем
йш —соеВ; а(иф — со, у) = ср(у) — а(со, у) VdsB;
йш — со е G; а(«ш — со, v) = q>(v)— а((а, v) Vv^G. A)
Элемент йш — со является приближением поРитцу для иа—со.
По теореме IV.5.1 для всякого tieF имеем
|«ш-йш1 = 1(йш-?о)-(йш-со)|^(^I/2|йи-(о_у|. B)-
Вычитая из (I) соотношение
<г(йу — у, v) = y(v)-a(y, v) VyeG,
получаем
а(йт — пу — (а — у), v) = — а{(й — у, v) Vo^G.
Так как ««, — й? — (со — у) е G, то по теореме III.3.1 имеем
Окончательно из B) и C) следует, что
|| ы« — uY |] < || иа — щ, | +1 йга — hy — (со —

6. Неоднородные краевые условия 85
Применим эти результаты к обобщению примера 1, опи-
описанного в § III.2, III.3 и IV.5, для случая неоднородных
краевых условий. Подобное обобщение в случае примера 2
рассматривается аналогично и к тому же является более
простым.
Используем обозначения примера 1 из § III.2 и пред-
предположим, что выполнены условия теоремы Ш.2.1. Ясно,
что билинейную форму а (и, v) можно рассматривать как
определенную для и, уеС;(й), а не только на W. Тогда
она положительно определена и непрерывна на С/ (Q) х
хС]{п) относительно нормы || \\i и может быть продол-
продолжена на Я1(О).
Таким образом мы получим продолжение формы на V х V,
описанное в § II 1.2. Далее а будет рассматриваться как
определенная на Н1 (Q) x#x(Q). Отметим, что лишь ее
сужение на V х V коэрцитивно. Следовательно, сущест-
существуют положительные постоянные end, такие, что a (v, v) sg
sS d 1 v If Vc ее H1 (Q), a (v, v) =s с \\ v Ц Vy e= V. Зададим
feE#°(Q), непрерывное со: dQt->R и кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывное Ъ: dQz-*-R. Предположим, что существует продолже-
продолжение о» на Q класса C}(fi), которое мы обозначим также
через со. Пусть №ш = со4- W и Va — замыкание Wa в Я1 (Q).
На самом деле Уш = со+К.
Теорема ГУ.6^3, При сформулированных выше условиях
и предположениях задача, состоящая в нахождении такого
«и, что
«aeFco, а («а, с) = (/:, v)Q+ \ bvda Vy e= V, D)
имеет одно и только одно решение.
Доказательство. Применяем теорему IV.6.1, пола-
полагая С^НЦЩ, B~V, cp(i>) = (f, vH+ \ bvda, Ba=Va
и используя тот факт, что § bvda — непрерывный линей-
ный функционал (теорема III. 1.3),

IV. Свойства сходимости
Теорема IV.6.4. Пусть /еС?(&). Если
удовлетворяет условиям
- J] d,(atJdJu) + ru=f в Q, E)
t.
ы = а) на dQit
п
2] йуд^ы -nj-\-qu = b на дп2,
с /= 1
то й является решением задачи D) (л,- есть /-я компо-
компонента единичной внешней нормали).
Доказательство. Умножая E) на v e W и интег-
интегрируя по частям, получаем
$ f.S aiAvd/U -f /"«у1) йт + J (^ы — b)vdo=\)fv dr.
a V, i I дЬг а
По непрерывности это соотношение справедливо для всех
neF. Используем теперь обозначения и предположения
из § III.2, описанные в примере 1 §5. Предположим, что
последовательность {?/„} удовлетворяет условию lim ha=0.
а-» со
Пусть для заданного а отвечающие Ua функционалы Fu
F2, ... соответствуют узлам Ри Р2 ... и пусть ijet/,,
определено соотношениями Ft (tj) = со (Pt), если Pt e dQt
и Ft порядка 0, /^(т]) = 0 для всех других функционалов.
Положим Gya = ц-\-Са и определим уа еUa соотношениями
Ft {Va) = Ft (со), если Ft порядка < 1 иР^ дпг; Ft (ya) =*
= /г;(со), если Fi порядка 0 и Pi edQj; Fi(ya) = O для-всех
других функционалов. Непосредственно проверяем, что
у„ е GYa. С другой стороны, используя доказательства
теорем IV.3.5, IV.3.6 и IV.3.7, пблучаем, что lim flco—Yalk^
= 0. Пусть MYaeGa таково, что а(йУа, f) = (/, vH +
+ \ bvda VyeGa.
Теорема IV.6.5. Яры сформулированных выше условиях
и предположениях

6. Неоднородные краевые условия 87
Доказательство. Применим теорему IV.6.2, пола-
полагая С = Я1 (О), B = V, Y = Ya, GY = G?e, ф(о) = (/, vH +
+ § bvds. Зададим е>0. Так как иа — сое V, то суще-
ствует такое g^W, что |wQ —ю —g[|1<e. Пусть у„ —
интерполянт^ порядка 1 относительно Ua. По теореме IV.3.7
существует такое N, что Ji»0 — ^li<e для a^>N. Поэтому
если a> N, то||иш — со — уа^ <|wQ—<°— ^l|i +1^—falli<2e.
С другой стороны, заметим, что ya e W и, следовательно,
oneGj. Если а>М, существует такое M^N, что
||со — Yalk<e- Полагая v = va в теореме IV.6.2, получаем
I иш - йУа | < е B (d/cyi* + A + d/c)), если a> M,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kolar V., Kratochvil J., Zlamal M., Zenisek A., Technical, physN
cal and mathematical principles of the finite element1 method,
Academia, Publishing House of the Czechoslovak Academy of
Sciences, Prague, 1971.
2. Goel J. J., List of basic functions for numerical utilisation of Ritz's
method. Application to the problem of the plate, Ecole Polytech-
nique Federale, Institut de Mathematiques appliques, Editions
SPES, Lausanne, 1969.
3. Ciarlet P. J., Raviart P. A., The combined effect of curved boun-
boundaries and numerical integration in isoparametric finite element
methods, Paper presented at the ONR regional symposium 1972,
Mathematical foundations of the finite element method with appli-
applications to partial differential equations, University of Maryland
Baltimore Country.
4 Dupuis C, Goel J. J., Elements finis raffines en elasticite bidn
mensionnelle, ZAMP, 20A969), 858—881.
5. Fichera G., Linear elliptic differential systems and eigenvalue pro^
blems, Lecture Notes in Mathematics 8, Springer-Verlag, Berlin,
1965.
6. Oupuis G., Goel J. J., Calcul numerique de plaques flechies, Bul<
letin technique de la Suisse Romande, № 4 et 5, 1966.
7. Bramble J. H., Hilbert S. R., Estimation of linear functional
on Sobolev spaces, SI AM Num. Anal., 7 A970), 112—124.
8. Zlamal M., On the finite element method, Num..Math., 12 A968),
394—409..
9. Strang G., Approximation in the finite element method, Num. Math.,
19 A972), 81—98.
10. Зенкевич О., Чанг И., Метод конечных элементов в теории со.
оружений и в механике сплошных сред, «Недра», М., 1974.
Дополнительная литература 1)
1. Ержанов Ж- С., Каримбаев Т. Д., Метод конечных элементов
в задачах механики горных пород, «Наука», Алма-Ата, 1975.
2, Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, «Мир», М.,
1975.
1) Добавлено при переводе. Содержит ссылки только на моногра-
монографии по методу конечных элементов. — Прим. перев.

Список литературы 89
3. Мижшн С Г., Вариационно-ееточная аппроксимация, Сб. «Чис-
«Численные методы и автоматическое программирование», «Наука»,
Л., 1974.
4. Оганесян Л. А., Ривкинд Л. А., Руховец Л. А., Вариационно-
разностные методы решения эллиптических уравнений, Труды
сеякнара, вып. 5, 8, Институт фиавки и математики АН ЛитССР,
Вильнюс, 1973.
5. Постиов В. А., Хархурнм И. Я., Метод конечных элементов в рас-
расчетах судовых конструкций, «Судостроение», Л., 1974.
6. Розин Л. А., Расчет гидротехнических сооружений. Метод конеч-
конечных элементов,. «Энергия», Л., 1971.
7. Aubin J. P., Approximation of elliptic boundary-value problems,
Wiley, N. Y., 1972. [Готовится русский перевод.}
8. Aziz А. К. ed., The mathematical foundations of the finite element
method, University of Maryland at Baltimore, Ac. Press, N. Y., 1973.
9. BarBhtM R. E., Riesenfeld R. F., eds., Computer aided geometric
design, Ac. Press, N. Y., 1974.
10. Bathe K. J., Wilson E. L.,- Numerical methods in finite element
analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, L., 1976.
11. Boor C. de, ed.. Mathematical aspects of finite elements in partial
differential equations, University of Wisconsin, Ac. Press, N. Y.,
1974.
12. Brebbia C, A., Connor J. J., Fundamentals of finite elements
techniques, Butterworths, L., 1973.
13. Ciarlet P. C, Numerical analysis oi the finite element method,-
Seminaire de Mathematique Superieures, Universite de Montreal,
. Canada, 1975.
14. Cook R. D., Concepts and applications of finite element analysis.
A treatment of the finite element method as used for the analysis
of displacement, strain and stress, Wiley, N. Y., 1974.
15. Desai C. S., Abe! J. E., Introduction to the finite element method
(a numerical method for the engineering analysis), Van Nostrand
Reinhold company, N. Y., 1972.
16. Gallagher R. H., Finite element analysis fundamentals, Engle-
Englewood Cliffs, Prentice-Hall, N. Y., 1975.
17. Gallagher R. H., Oden J. Т., eds., Finite elements in fluids, v. I,
Viscous flow and hydrodynamics, Wiley, L., 1975.
18. Gallagher R. H., Oden J. Т., eds., Finite elements in fluids,
v. II, Mathematical foundations. Aerodynamics and lubracation,
Wiley, L., 1975.
19. Geradin M., Analyse dynamique duale des structures par la methode
des elements finis, Universite de Liege, Liege, Belgique, 1973.
20. Hojand I., Kolbein В., eds., Finite element methods in stress ana-
analysis, Tapir, Tronheim, Norway, 1969.
21. Hubbard В., ed., Numerical solution of partial differential equations,
SYNSPADE, University of Maryland, Ac. Press, N. Y., 1971.
22. Huebner K., The finite element method for engineerings, Wiley,-
¦ N. Y., 1975.
23. KolaF V., Kratochvil J., Leitner F., Zenisek A., Berechnung
von Flachen und Raumtragwerken nach der Methode der finiten
Elementen, Springer Verlag,~Wienj 1975.

90 Список литературы
24. Methode der finiten Elements in der Festigkeitslehre, Akademie
Verlagsgesellschaft, Frankfurt,/M., 1975.
25. Numerische Etehandlung von differential finite element Methods,
Wiley, L., 1973.
26. Norrie D. H., de Vries C, The finite element method, Funda-
Fundamentals and application», University of Calgary, Canada, 1973.
27. Oden.J. Т., Finite elements of nonlinear continua, McGrawHill,
N. Y., 1972. [Готовится русский перевод.]
28. Raviart P. A., Methode des elements finis, Cours 1971—72 a l'Uni-
versite de Paris VI, 1972.
29. Reefman R. J. В., Spreeuw E., Principles of the finite element
method, Holectechnick, 1975.
30. Schultz M. H., Spline analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. Y., 1973.
31. Strang C, Ffx G. J., An analysis of the finite element method,
Englewood Cliffs, Prentice-Hall, N. Y., 1973. [Готовится русский
перевод.]
32. Visser M., The finite element method in deformation and heat con-
conduction problems, Delft, Holland, 1968.
33. Wachspress E. L., A rational finite element basis, Ac. Press, N. Y.,
1975.
34. Whiteman J. R.f ed., The mathematics of finite elements and appli-
applications, Brunei University, England, Ac. Press, N. Y., 1973.
35. Whiteman J. R., A bibliography for finite elements, Ac. Press,-
N. Y., 1975.
36. Zienkiewicz О. С, Introduction lectures on the finite element
method, University of Wales, Swansea, Springer Verlag, Vienna,
N. Y.« 1972.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Q—ограниченное связное множество в R™, 9
Q —замыкание Q, 9
дп — граница Q, 9
rii — i-я . компонента единичной внешней нормали
к дп, 9
dx — элемент объема, 9
da —элемент площади, 9
. + S/t, 9
Cm(Q) — множество сужений на и вещественных функций
класса Ст, определенных на всем R", 9
Cf (О) («!Э= 1) —множество вещественных функций /(х)е С'1 (Q)t
таких, что / (х) <= Ст (Qi) для открытых непере-i
секающихся множеств й,-( i = 1, ..., р, удовлет*
р — —
воряющих условию U Qt = Q, 9
{= 1
а (и, v) — билинейная форма от и и V, 10
дх=д/дх, di=dXi—15, 62
=—символ аппроксимации, 17
mes(fl)—мера Лебега множества Q, 23
Д—«основное» множество, т. е. квадрат 0^;?, т)^1,
или треугольник с вершинами @, 0), @, 1),
A, 0) в плоскости (g, т)), 46
С—координатный гиперкуб в Rn: {l = (lu ..., \т) е
eR», -lssbssl}, 54
С*={1^С: Ъп^О}, 54
D = {?eC: %n = Q}, 54
I? (Q) — множество определенных на Q функций, интег-
интегрируемых с квадратом по Лебегу, 54
п. в.—почти всюду, 54
If]— класс эквивалентности функций из L2(Q) с пред-
представителем / е L2 (Q), 55
Н° (Q)—множество классов эквивалентности [Л, где
/ е L2 (Q), 55
Sw (Q) (/и Э= 1) — множество классов эквивалентности [/], где
feCfffi), 55

92 Указатель обозначений
D (Й) — множество классов эквивалентности [/], где/э
= С00 (Й) и носитель / принадлежит Й, 55
2 $I'2, feCf(a), 55
^ /
Hm(Q) («IS 1) — пополнение Sm (Й) по норме || ||т, 55, 57
ll/llm> (A g) —норма и скалярное произведение элементов / и g
в Нт (О), 56
\х—у\—евклидово расстояние между х и у, 68
1Л/=( S ^(D7J^V/2, 0^/^m, 68
^///= max sup \Dsf{x)\, O^j^m, 68
| s I = / x e Q
/////»= max sup IDs/(*)[, 68
ffl(/, S)= sup
|x —i(|<6
ют(Л 6)= max 6)<Dsjf, 6), 68
_ [s| = m _
^(й)-мвожеиво сужений на Q полиномов степени не
более чем k, 69

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
аффинное отображение 29
базис Лагранжа 25
— типа конечных элементов 23
билинейная форма 10
симметричная 13
непрерывная 57
коэрцитивная 61
Брамбла лемма 69
вариационная формулировка 10
полуслабая 12
сильная 12
слабая 12
вложение каноническое компакт-
компактное 57
вполне регулярное множество 54
Галеркина метод 20
Гаусса—Остроградского теорема 9
главное краевое условие 13
Грина формула 15
диаметр ограниченного мно-
множества 68
дивергенции теорема 9
дискретизации метод А 16
Б 17
дискретизация 16
дискретная задача 16
•дискретное множество 16
естественное краевое условие 13
жесткости матрица 21
задача дискретная 16
— интерполяции 24
изопараметрический элемент 46
индекс функционала 71
— пространства типа конечных
элементов 71 i
инженерный метод построения 24
интерполянт 71
— порядка т 73
— относительно U 73
интерполяции задача 24
класс эквивалентности 55
коллокация 19
конечный элемент 23
конечных элементов метод 23
базис типа 23 ^
коэрцитивная билинейная фор»'
ма 61
краевые условия главные 13
естественные 13
неоднородные 83
криволинейный элемент 46
Лагранжа базис 25
линейная форма 10
матрица жесткости 21
— Якоби 52
метод Галеркина 20
— дискретизации А 16
Б 17
— конечных элементов 23
— построения инженерный 24
— Ритца
множество вполне регулярное 54

94 Предметный указатель
— дискретное 16
— классов эквивалентности 55
— основное 46
модуль непрерывности 69
неоднородные краевые условия 83
неравенство Шварца 60
область регулярная- 9
обобщенное решение 15
основное множество 46
отображение аффинное 29
Пифагора теорема 22
приближение по Галеркину 20
Ритцу 21
производная слабая 56
пространство Соболева 54
— типа конечных элементов 29
класса Cf (й) 71
¦ кратности г 71
— порядка k 71
— — — — равномерное с посто-
постоянной q 72
регулярная область 9
решение обобщенное 15
— сильное 66
Ритца метод 21
сильное решение 66
слабая производная 56
Соболева пространство 54
теорема Гаусса—Остроградского 9
— дивергенции 9
— Пифагора 22
форма билинейная 10
• симметричная 13
непрерывная 57
— — — — коэрцитивная 61
положительно определен*
ная 13
— линейная 9
формула Грина 15
функционала индекс 71
Шварца неравенство 60
элемент 24
-г- изопараметрический 46
— криволинейный 46
— одномерный 28
— прямоугольный типа I, 31
IT 44
— треугольный 37
семейство равномерное с постоян-
постоянной q 72
Якоби матрица 52
якобиан 52

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора к русскому изданию Н
I. Введение О
1. Вариационная формулировка краевых задач для ли-
линейных дифференциальных уравнений 9
2. Дискретизация 16
3. Метод конечных элементов 23
II. Построение пространства типа конечных элемевтов иижевер-
ным методом 27
1. Интерполяция 27
2. Одномерные элементы 28
3. Прямоугольные элементы типа I '. . 31
4. Прямоугольные элементы типа II 34
5. Треугольные элементы 37
6. Криволинейные элементы 46
7. Вычисление матрицы жесткости . . 52
III. Пространства Соболева. Обобщенные решения уравнений
в частных производных 54
1. Пространства Соболева 54
2. Билинейные коэрцитивные формы 61
3. Существование и единственность обобщенных решений
уравнений в частных производных 64
IV. Свойства сходимости ' 68
1. Определения и обозначения 68
2. Лемма Брамбла 69
3. Аппроксимация при помощи интерполянтов 71
4. Оптимальность интерполянта 78
• 5. Сходимость метода Ритца 80
6. Неоднородные краевые условия . 83
Список литературы 88
Указатель обозначений 91
Предметный указатель 93

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие про-
просим присылать по адресу: 129820, Моск&а,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издатель-
издательство «Мир»,
Ж. Деклу
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Редактор Н. Плужиикоаа
Художник Н. Вовк
Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор Н. Борисова
Корректор В. Киселева
Сдано в набор 27/VIII 1975 г. Подписано к печати 2/VI 1K6 г.
Бум. тип. № 2. 84Xl08Va2=l,50 бум. л. 5,04 усл. печ. л. Уч.-нзд. л.
4,09. Изд. № 1/8336. Цена 28 коп. Зак. № 942 '
Издательство «Мир»
Москва, 1-й Рижский пер., 2,
Набрано и сматрицнровано в ордена Трудового Красного Знаме-
Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении
. «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по де-
делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 197136, Ленин-
Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29