Author: Звавич Л.И. Галицкий М.Л. Гольдман А.М.
Tags: математика задачи по математике учебник
Year: 2001
Text
М.Л.Галицкий, АМ.Голъдман, Л.И.Звавич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ:
УЧЕБ. ПОСОБИЕ ДЛЯ 8—9 КЛ. С УГЛУБЛ. ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
7-е изд.— М.: Просвещение, 2001.—271 с.
В данном пособии содержатся задачи, способствующие систематическому
углублению изучаемого материала и развитию навыков решения сложных задач,
а также подготовке к вступительным экзаменам в X класс школ, гимназий и
лицеев с углубленным изучением математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
§ 1. Повторение и углубление курса алгебры 7 класса 4
§ 2. Рациональные дроби 11
Целые выражения 13
Дробные выражения 15
§ 3. Делимость целых чисел 20
Делимость чисел. Делимость суммы и произведения 22
Теорема о делении с остатком 23
Взаимно простые числа 25
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Простые числа —
Признаки делимости 27
Использование разложения на множители выражений вида хп-ап и
x2k I а2к 1 в задачах на делимость
Уравнение в целых числах 28
Разные задачи 29
§ 4. Квадратные корни 30
Арифметический квадратный корень 32
Иррациональные числа 34
Функция у = -Jx и ее график 36
Квадратный корень из произведения и дроби 37
Сложение и вычитание корней 3 8
Умножение и деление корней —
Упражнения на все действия с корнями 42
§ 5. Квадратные уравнения 44
Неполные квадратные уравнения 46
Полные квадратные уравнения 47
Дробные рациональные уравнения 51
Уравнения, сводящиеся к квадратным 52
Теорема Виета 53
Исследование квадратного уравнения 55
Задачи на составление квадратных уравнений 56
§ 6. Неравенства 59
Числовые неравенства и их свойства 60
Неравенства с одной переменной и их системы 70
§ 7. Степень с целым показателем 82
§ 8. Функция 87
Квадратичная функция 90
Неравенства второй степени. Рациональные неравенства 94
Элементарное исследование функции 101
§ 9. Уравнения и системы уравнений 107
Уравнения высших степеней 111
Уравнения с двумя переменными. Задание фигур на координатной 114
плоскости уравнениями и неравенствами
Графическое решение системы уравнений 116
Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним 117
Нелинейные системы уравнений 119
§10. Текстовые задачи 129
§11. Степень с рациональным показателем 143
Корень п-й степени 146
Свойства арифметического корня /7-й степени 147
Степень с рациональным показателем 151
Свойства степени с рациональным показателем 152
Иррациональные уравнения 156
Иррациональные неравенства 159
§12. Последовательности и прогрессии 160
Последовательности 163
Метод математической индукции 167
Арифметическая прогрессия 169
Геометрическая прогрессия 173
Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую 175
прогрессии
Суммирование 177
Предел последовательности. Бесконечная геометрическая прогрессия 179
§13. Тригонометрические выражения и их преобразования 183
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Радианная мера угла 187
Зависимость между функциями одного аргумента. Формулы приведения 189
Теоремы сложения 192
Формулы двойного и половинного аргумента 195
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и 199
обратно
Тематические серии для организации заключительного повторения 202
Приложение. Обобщающие проверочные работы 213
Тексты экзаменационных работ по алгебре для IX классов с углубленным 222
изучением математики
Ответы. Указания. Решения 226
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга представляет собой сборник задач по курсу ал¬
гебры, предназначенный для учащихся 8—9 классов с углублен¬
ным изучением математики.
В пособии содержится тринадцать параграфов, охватываю¬
щих все основные темы курса алгебры восьмого и девятого
общеобразовательных классов и ряд дополнительных вопросов,
соответствующих программе математических классов. В начале
каждого параграфа помещены справочный материал теорети¬
ческого характера и решения нескольких типовых примеров.
Имеется приложение, в котором для самоконтроля учащихся
предлагается двадцать проверочных работ, состоящих из пяти
заданий каждая и охватывающих различные темы по всему
курсу. Следует иметь в виду, что уровень сложности этих работ
намеренно задан выше, чем предполагаемый уровень сложности
письменного экзамена по алгебре за курс девятилетней школы
в классах с углубленным изучением математики.
Несмотря на то что данный задачник адресован учащимся
специализированных классов, думается, что его успешно можно
использовать и в общеобразовательных школах и классах, в
первую очередь для организации дифференцированной работы
на уроках, занятий кружков и факультативов.
Часть материалов, составляющих содержание данного за¬
дачника, использовалась авторами для проведения семинаров
в Московском городском институте усовершенствования учителей
с учителями школ и классов с углубленным изучением мате¬
матики.
В предлагаемой книге параграфы 4, 6, 7, 9 написаны М. Л. Га¬
лицким, параграфы 5, 8, 11 —13 — А. М. Гольдманом, параграфы
1, 14 и приложение — Л. И. Звавичем, параграфы 2, 3, 10 —
совместно М. Л. Галицким и А. М. Гольдманом; справочный
материал к параграфам 4, 13 написан Л. И. Звавичем, к осталь¬
ным параграфам — А. М. Гольдманом.
Авторы благодарят Ю. П. Дудницына и А. А. Фомина, чьи
замечания способствовали улучшению содержания книги, и выра¬
жают глубокую признательность М. О. Гольдман, оказавшей
большую помощь при подготовке рукописи.
Все замечания по данной книге просим присылать в изда¬
тельство «Просвещение».
3
§ 1. ПОВТОРЕНИЕ И УГЛУБЛЕНИЕ
КУРСА АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА
1. Степень с натуральным показателем.
Степенью числа а с натуральным показателем п(п> 1) на¬
зывается произведение п множителей, каждый из которых равен
а, т. е.
ап = а-а•... -а,,
п множителей
а1=а
2. Свойства степеней с натуральным показателем.
ат-ап = ат+п;
ат:ап = ат~п, где аф0 и т>п\
{атТ = атп-
(.аЬ)п = апЬп;
(jlY=2L.
\ ь / ьа
3. Одночлены и многочлены.
Одночленами называются произведения чисел, переменных
и их натуральных степеней (число, переменная и ее натуральная
степень также являются одночленами).
• Многочленами называются суммы одночленов. Например:
— 4а2Ь3, 7, с, d4 — одночлены;
2а5— 1, 3ab2 — 4аЬс — многочлены.
4. Действия над многочленами.
При сложении и вычитании многочленов используются пра¬
вила раскрытия скобок. Например:
(2ab — 5с) -f- (3a2b -f Зс) = 2ab — Ъс -f 3a2b -f Зс — 3a2b -f 2аЬ — 2с;
(2 ab — 5с) — (3 а2Ь + Зс) = 2 ab — 5с — 3 а2Ь — Зс = — 3 а2Ь + 2 ab — 8с.
При умножении одночлена на многочлен каждый член мно¬
гочлена умножается на этот одночлен и произведения склады¬
ваются.
При умножении двух многочленов каждый член первого из
них умножается на каждый член второго и произведения скла¬
дываются. Например:
2а (3a — 4b) = 6a2 — 8ab;
(2а —Ь) (За—4b)—6a2 — 8аЬ — ЗаЬф4Ь2 = 6а2— 1 \аЬф4Ь2.
4
5. Формулы сокращенного умножения.
(а— Ь) (а + Ь) = а2 — Ь2;
('а -f bf — a2 -f 2ab -f Ь2\
(а — Ь)2 = а2 — 2 ab + Ь2\
(.a-\-b) (а2 — аЪ -\-Ь2) = а3 -\-Ь3\
(a — b) {а2 фаЬ-\-Ь2) — а3 — Ь3\
(,а + Ь)3 = а3 + 3 а2Ь + 3 ab2 + Ь3\
(,a-bf = a3 - 3 а2Ь + 3 аЬ2 - Ь3.
6. Уравнения с одной переменной.
Уравнением с одной переменной называют равенство, содер¬
жащее переменную.
Корнем уравнения называется значение переменной, при ко¬
тором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или дока¬
зать, что их нет.
Например, число 2 является корнем уравнения х3 —2 —Зх;
уравнение (х— 1) (x-f 2) = 0 имеет корни 1 и —2, причем других
корней нет; уравнение х2 +5 = 0 не имеет корней.
Уравнения, имеющие одни и те же корни (либо не имеющие
корней),, называются равносильными.
Например, уравнения (х — 4)(x-f 4) = 0 и |х|=4 равносильны;
уравнения х8 + 8 = 0 и равносильны.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в дру¬
гую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное
исходному.
Если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное
от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному.
Например, уравнения 3x2 = 2x2-f 1 иЗх2 —2х2=1 равносильны;
уравнения Зх4 = 48 и х4 = 16 равносильны.
7. Линейные уравнения.
Уравнение вида ах = Ь, где а и b — числа, х — переменная,
называется линейным уравнением с одной переменной. Если аф 0,
то уравнение имеет один корень х=~-
Если а = 0, то в случае, когда Ъф 0, уравнение не имеет кор¬
ней; в случае, когда Ь = 0, корнем уравнения является любое
число.
8. Уравнение с двумя переменными и его график.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающих это уравнение в верное ра¬
венство.
Например, пара чисел х = 1, у= — 1 является решением урав¬
нения 5х —Зу=8.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же ре¬
шения, называются равносильными.
5
Свойства, связанные с равносильностью, для уравнений с
двумя переменными аналогичны соответствующим свойствам для
уравнений с одной переменной.
Любое решение (х; у) уравнения с двумя переменными изобра¬
жается на координатной плоскости точкой с абсциссой х и орди¬
натой у. Графиком уравнения с двумя переменными называется
множество всех таких точек.
Например, график уравнения 2х — 5у=\—прямая, прохо¬
дящая через точки (0; —0,2) и (0,5; 0); график уравнения
х2фу — 0— квадратичная парабола с вершиной в точке (0; 0),
ветви которой направлены вниз.
9. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.
Уравнение вида ах-\-Ьу = с, где а, b и с — числа, хну —
переменные, называется линейным уравнением с двумя пере¬
менными.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в ко¬
тором афО или ЬФ0, является прямая. Если а = 0 и Ь = 0, то
в случае с = 0 графиком является вся координатная плоскость,
в случае сф 0 уравнение не имеет решений.
Решением системы уравнений с двумя переменными назы¬
вается пара значений переменных, обращающая в верное ра¬
венство каждое из уравнений системы.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными может
иметь единственное решение, бесконечно много решений и не иметь
решений, что геометрически интерпретируется соответственно как
пересечение, совпадение и параллельность прямых, являющихся
графиками уравнений системы.
10. Функция и ее график. Линейная функция.
Функцией называют зависимость переменной у от перемен¬
ной х, если каждому значению переменной х соответствует един¬
ственное значение у.
Множество значений переменной х называют областью опре¬
деления функции.
Множество значений переменной у называют множеством
значений функции.
Графиком функции называется множество всех таких точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям
аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Функция вида y = kx-\-b, где k и Ь — числа, х — переменная,
называется линейной, ее график — прямая линия.
Упражнения
Вычислите (1-7):
1.1. (6,8547:2,19 +0,6039:5,49): 1,62.
1.2. (0,9893:0,13 - 6,4) • 62,9 - 7,109.
1.3. (l-L-14,05):0,04+13,8:-^.
6
1.4. (l A; 1,125-1,75:-!"). 1 — • 15-
\ 4 3/7
(.4+43.75)4 (26,8-23 +
l2T'3T-4TT"1,125
+1 '
1.6.
_6_
■35
(13,3-11,5):! -i 0,5
20 tf‘7,5 — 54,6:-^-
1.7. —15 ^+43,75:11 (-24,6:1 -f.
3if8,4-34,4:14±
Найдите x из пропорции (8—9):
15,2-0,25-48:51:14,7_\44 11 66 2 ) 5
* 3,2 + 0,8^5,5-3-^-)
+ 11-0.945:0,9)
1.8.
1.9.
10,5-0,24 — 15,15:7,5 ,3 3 _
l40-4T:7
14 17 ’ ' 2-5 1 5-8 8-11 1 11-14 1 14-17’
——|—!—|- — 1 ! 1 !—;
1-44-7 T 7-10 1 10-13 1 13-16’
1 i 1 i 1 i 1,1.
1.10. Вычислите:
т-Ь 6) b~b т-b r> b-b
Д) tt-tV; e) 1 ' 1 ■ 1 ■ 1 ■ 1 •
Ж)
3-7 1 7-11 1 11-15 ' 15-19 ' 19-23'
1.11. Вычислите:
a) 999... 9 + 22; 6) .999 ... 9+22 ... 2; в) .999 ..9.:99;
100 раз 100 девяток 100 двоек 100 девяток
г) .999 ... 9:999 ... 9; д) ,333 ... 3,-4; е) 333 ... 3,-11.
100 девяток 50 девяток 100 троек 100 троек
1.12. Выполните действия:
а) ((637637:7): 11): 13; б) ((538538:13): 11):7;
в) ((753753:11): 13):7; г) 11-13-7.
Найдите общую закономерность.
1.13. Докажите, что (10п + 5)2 = п-(n +1)-100 + 25.
Используя данный результат, объясните, почему
352 = 3-4-100 + 25== 1225.
Вычислите устно: а) 852; б) 9952; в) 99952.
1.14. Докажите, что (10а + Ь)-11 = 100а +10 (a-\-b)-\-b. Используя
данный результат, объясните, почему 35-11 =385 (8 = 3 + 5),
75-11=825(12 = 7 + 5).
Вычислите устно: а) 81-11; б) 72-11; в) 87-11; г) 93-11.
1.15. Докажите, что а-5=^р- Используя данный результат,
объясните, почему 82-5=^=410, 153 -5 = ^р-=765.
Вычислите устно:
а) 94-5; б) 846-5; в) 4846-5; г) 397-5.
1.16. Докажите, что а • 25 = -■ . Используя данный результат,
объясните, почему 484-25=^22=12100, 683-25 =
^ 68300 = 170 75
4
Вычислите устно: а) 48-25; б) 64-25; в) 6416-25; г) 347-25.
1.17. Вычислите: II2; 1012; 10012; (10я + 1)2.
Попробуйте угадать закономерность .100 ... 012 = . Исполь-
п цифр
зуя ее, вычислите 100012; 10000012.
1.18. Вычислите: 92; 992; 9992; (10я-I)2.
Попробуйте угадать закономерность .9 ... 92 =.
п девяток
Используя ее, вычислите 9Э9992 ; 999999Э2.
1.19. Какие два наименьших стоящих подряд натуральных числа
надо перемножить, чтобы получить в конце:
а) один нуль; б) два нуля; в) три нуля; г) три единицы.
1.20. Найдите все такие двузначные натуральные числа, при
перестановке цифр в которых это число:
а) увеличивается на 9;
б) уменьшается на 63;
в) увеличивается на 75%.
1.21. Выписали все числа от 1 до 10000.
а) Сколько раз написали цифру 0?
б) Сколько раз написали цифр^ 3?
в) Сколько раз написали цифру 1?
1.22. Напишите самое большое и самое маленькое шестизначное
число, используя три цифры 5 и три цифры 0.
1.23. а) Пусть а + 6 + с = 2р. Докажите, что
4Ь2с2 — (Ь2 + с2 — а)2 =16 р(р — а)(р — Ь)(р — с).
б) Пусть a + b + c + d = 2p. Докажите, что
4 (cd-\-abf — (а2 + Ь2 — с2 — d2f= \ Q(p — a)(p — b) (р — с) (p — d).
1.24. Пусть xi+x2 = 7, х\-х2 = 2. Найдите:
а) *ix!+4x2; б) х2 + х2; в) х2-х2 + х,-х1;
с) Х\~\~х2, д) х?х2 + х?х2; е) х{ + х2.
1.25. Пусть а+—=3. Найдите:
1 9
1.26. Пусть а =—. Найдите:
а 3
1.27. Пусть
x + y + z = 7,
. x + y + v = 11,
x + z-fy = 15,
y-j-z-j-y = 3.
Найдите: a) x+y + z + y; 6) x; y\ z; y.
1.28. Автомобиль проехал расстояние от А до Б со скоростью
V\ километров в час за t\ часов, а обратный путь от В до А
за /2 часов. Запишите алгебраическим выражением:
а) расстояние от А до В;
б) скорость у2 движения автомобиля от В до А;
в) общее время движения туда и обратно;
г) среднюю скорость движения за все время пути.
Вычислите числовые значения этих выражений при
у 1 = 60 км/ч, /|=4 ч, t2 = 6 ч.
1.29. Два пешехода отправились навстречу друг другу — один
из пункта А в пункт В, другой из пункта В в пункт А. Через
2 ч они встретились на расстоянии 8 км от А и 6 км от В.
Достигнув пункта назначения, они, не задерживаясь, пошли
обратно. В каком месте пути они опять встретятся?
1.30. Напишите все трехзначные числа, записанные цифрами
а) Сколько таких чисел?
б) Сколько из них делится на 2?
в) Сколько из них делится на 5?
г) Найдите сумму всех этих чисел.
д) Делится ли эта сумма на 111?
1.31. Найдите значение выражения |х — 3| + |х-|-4[ при х=—5,
х =—3, х — — 1, х = 0, х = 3, х = 5.
1.32. На координатной плоскости найдите точки А (3; —5); В (3; 3);
С (8; 3); D (8; —5) и соедините их отрезками АВ, ВС, CD, DA.
а) Определите вид и периметр четырехугольника ABCD.
б) Найдите координаты какой-либо точки внутри этой фи¬
гуры.
в) На какие фигуры делит данную фигуру ось абсцисс?
Постройте график функции (33—41):
1.33. у = 3.
1.35. у = 5 —2х.
1.34. у — 3 —х.
1.36. у — 2х — 3.
9
1 <17 „ — ( х при -«<0. , <,й 1 — х при х<2.
У (2л: при х>0. У (2л — 5 при х >2.
1.39. у=Л ,.40. |х2прих<0.
у \ хл при х^О.
1.41. у=х\х\.
1.42. Рассматривается линейная функция у = ах-\-Ь.
При каких значениях а и b ее график:
а) проходит через начало координат;
б) проходит через начало координат и точку М(— 1; 3);
в) параллелен графику функции у = 3x-f5;
г) отсекает на осях координат равные отрезки;
д) является биссектрисой координатного угла третьей чет¬
верти;
е) проходит через точки М(3; 8) и N (4; 8);
ж) проходит через точки /((3; 5) и N ( — 3; 7);
з) проходит только через те точки, координаты которых
имеют один знак;
и) не проходит через точки, обе координаты которых поло¬
жительны?
1.43. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г ее 10%-ного
раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
1.44. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной
уксусной эссенции, чтобы получить 5%-ный раствор уксуса?
1.45. Цену на товар сначала повысили на 20%, а затем понизили
на 20%. На сколько процентов изменилась первоначаль¬
ная цена?
1.46. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось
на 20%, а затем повысилось на 20%. На сколько процентов
изменилось первоначальное содержание соли?
1.47. Что больше: 20% от 10% данного числа или 10% от его 20%?
1.48. Какие из чисел —2; —1; 0; 1; 2; 3 являются корнями
УПЗПИПШЛ *5 + Зх4 + 2х3-х2-Зл:-2_П:>
уравнения ^+х_1
Решите уравнение (49—60):
1.49. Зх = —7. 1.50. Зх— 8 = 5 —7х.
I Г, 8х +1 5х — 1 , 52 Зх+ 115х— 7
' ' 3 _ 7 5 15 '
I 53 ^ 8х + 5 , д4 8х — 3 5х + 2 ,
'111 37 ''11 2
, 25 3-|-7х 8 + 8х , 20 Зх-|-1 2х 1 7х-f-3
78 5315
1.57. 1.58.(Зх-1)2 + (4х + 5)2 = (5х-7)2.
О О Z
1.59. (2x + 7)(3x-l)-(5x-l)(x + 3) = (x-f I)2.
1.60. (дс - 2f+(дс -f 2)3 = 2 (дс - 3) (х2 + Зх + 9).
10
1.61. Петя выполняет некоторую работу за два дня. Коля вы¬
полняет эту работу за 3 дня, а Вася — за 6 дней.
а) За какое время они выполнят эту работу вместе?
б) За какое время они выполнят всю работу, если сначала
третью часть ее выполнит один Петя, затем половину ос¬
тавшегося — Коля, а уже остальное — Вася?
в) Кто выполнит работу быстрее: Петя один или Коля и
Вася вместе?
г) Ребята выполнили эту работу вместе и получили 45 р.
Сколько денег причитается каждому?
д) Первый день работал один Петя, а с начала второго
дня к нему присоединились Коля и Вася. Когда работа была
закончена, им заплатили 45 р. Как распределить получен¬
ные деньги?
е) То же, что и в пункте д), но в первый день работал
один Коля.
ж) То же, что и в пункте д), но в первый день работал
один Вася.
з) То же, что и в пункте д), но в первый день работали
Коля и Вася вместе, затем Вася ушел, а Коля с Петей
закончили работу.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
1. Рациональные выражения.
Алгебраические выражения, составленные с помощью дей¬
ствий сложения, вычитания, умножения и деления на число,
отличное от нуля, называют целыми выражениями.
Отношение двух целых выражений называют дробным выра¬
жением.
Областью определения выражения (областью допустимых зна¬
чений переменных) называют множество значений переменных,
при которых выражение имеет смысл.
2. Основное свойство дроби.
При любых значениях а, b и с, где ЬФ 0, сФ0, имеет место
равенство -7-=—.
ь Ьс
3. Действия с дробями.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
_а , _Ь_ а + Ь .
с с с
_а Ь_ а — Ь
с с с
Для выполнения сложения (вычитания) дробей с разными
знаменателями необходимо привести эти дроби к общему зна¬
менателю и использовать предыдущее правило.
11
Умножение и деление дробей, возведение дроби в степень:
_а_ _с_ ас_ .
Ь ' d~ bd’
JL. .
b ' d. Ь с Ьс ’
4. Разложение на множители выражений вида хп—1 и
х2—'-(-I (л^2, n£N).
Хп— \=(х— 1)(хп-1+хг,“2 + ... + х+1);
х2п~' + 1 = (х + 1) (х2"-2 —х2"-3 + ...—х + 1).
Пример 1. Разложите на множители многочлен
ab (Ь-а)-\-Ьс (Ь-\-с) — ас (а + с).
Решение. Разложить многочлен на множители означает
представить его в виде произведения многочленов; обычно для
этого используют группировку слагаемых, формулы сокращен¬
ного умножения, вынесение за скобку общего множителя.
ab (b — а) + Ьс (Ь-\-с) — ас (а-\-с) =
— ab2-a2b-\-b2c-\-bc2 — а2 с — ас2 =
= (ab2 — ас2) — (а2Ь + а2 с) + (Ьс2 + Ь2с)=
= а {Ь — с) (Ь + с) — a2 [b-\-c)-\-bc (b + c) =
= (b-\-c)(a(b — с) — а2 + Ьс) — (Ь + с) (ab — ас — а2 Ьс) =
— (Ь + с) ({ab — a2)-\-(bc — ac)) = (b-\-c) (a(b — a)-\-c (Ь — а)) =
= (Ь-\-с)(Ь — а) (а + с).
Возможен и другой способ решения:
ab (b — a) + bc (Ь + с) — ас (а + с) —
= ab ((Ь-f с) — (c-f a))-\-bc (Ь + с)—ас (а + с) =
= (b + c) (ab + bc) — (a + c) (ab + ac) —
= b (Ь -р с) (а с) — а (а с) (Ь с) = (Ь с) (а с) (Ь а).
Пример 2. Найдите частное и остаток от деления мно¬
гочлена х4 — 6х3-f 5х2 — 1 на многочлен х2 + 2х — 1.
Решение. Деление многочлена на многочлен удобно вы¬
полнять «уголком» по аналогии с делением натуральных чисел.
х4 —6x3-f 5х2—1
х2 + 2х— 1
х4 + 2х3 —х2
х2-8х + 22
-8х3 + 6х2-1
— 8х3—16х2 +8
X
22х2 — 8х — 1
22х2 +44х —22
— 52х + 21
12
Итак, частное равно х2 — 8л:-(-22, остаток равен — 52х + 21.
Результат деления может быть записан в таком виде:
х* — 6jc3 + 5х2 — 1 =(х2 + 2х- 1) (х2 — 8л: + 22) — 52л: + 21
или
х4 — 6х3 + 5х2—1 2 о.. I оо I — 52* + 21
*2 + 2*-1 ~Х дс2 + 2л—1
Пример 3. Найдите числа а и 6 из тождества
5х+ 1
г+Зл—10 * + 5 х — 2
Решение. Сложив две дроби в правой части тождества,
перепишем его в виде
5х+ 11 (а + Ь) х + (5Ь — 2а)
х2-{-Зх— 10 х2-{-Зх—10
Поскольку дроби в левой и правой части равенства тождест¬
венно равны, то они принимают равные значения при всех зна¬
чениях х, отличных от 2 и —5. Отсюда
(я + 6 = 5
\ 56 — 2а = 11.
Решив полученную систему, находим: а = 2, 6 = 3.
Упражнения
ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2.1. Представьте в виде многочлена:
а) (я + 6)(я — 6 + 1) — (а — 6)(я + 6 — 1);
б) (п “Н 36) (я6-(-2) — (я -f- 6) (я 36 2);
в) (я2-Зя+1)(2я+1)2;
г) (26 + 3) (6 — 2)3;
д) (я—1)3 + З(я—1)2 + 3(я—1)+1;
е) (я + 1)4 + (я— I)4;
ж) (6 —2) (64 + 26 +46 +86 + 16);
з) (я2 + я6 + 62) (я2 —яб + 62) (я4 — я262 + 64).
2.2. Докажите, что при всех значениях переменных значение
выражения:
а) (jc + 2)2 — 2 (х+2)+ 1 неотрицательно;
б) (х — у) (х — у — 6)+9 неотрицательно.
2.3. Упростите выражение и найдите его числовое значение:
а) 8я3 + 12я26 +6я62 + 63 при я = 2,5, 6 = — 3;
б) 64х3 — 144х2г/+ 108ху2 — 27у3 при л: = 0,75, у= 1 —.
я
13
Разложите на множители (4-10):
2.4. а) а4 — 2а3 + а2 — 1;
б) 64— 62— 26 — 1;
d\ 1
2.5. а) а(а + 2)-(6 + 1)(6-1);
б) (а + 6 —2) (а + 6)—(а —6)2 +1.
2.6. а) х3 — у3 + Зг/2 — Зг/ + 1;
б) 8*3 + г/3 + 6г/2 + 12г/ + 8.
2.7. а) (а + 6) (а — 6)3 — (а — 6) (а + 6)3;
б) (а — 6)2 (а + 6)5 + (а + 6) (а — 6)5.
2.8. а) л4 — 12гг2 +16; б) m4 + 2m2 + 9; в) р4 + 324.
2.9. а) л4 — х3 — х — 1; б) г/8 — у6 — 4г/2 — 16.
2.10. а) 62 + а6 — 2а2 — 6+а;
б) (а + 6)(а + 6+2)—(а — 6)(а — 6 — 2);
в) а (а+ 2)+ 6 (6+ 2) — 2 (а+1)(6 + 1)+1;
Г) (а + 6) (а + ^ + 2) + (а — 6) (а — 6 +2)+ 2 (а+ 6+ 1)Х
Х(а —6 +1) —2.
2.11. Упростите выражение:
(а + 6 + с)2 + (а + 6 — с)2 + (а — 6 + с)2 + (6 + с — а)2.
2.12. Известно, что а + 6 + с=12 и а6 + 6с + са =—15. Найдите
а2 + 62 + с2.
2.13. Известно, что а—6+с=8 и а2 + 62 + с2= 110. Найдите
ac — ab — bc.
Разложите на множители (14—18):
2.14. а) а (а + 6 + с) + 6 (а + 6 + с) + с(а + 6 + с) — 4с2;
б) 1 — а (а — 6 +с)+ 6 (а — 6 + с) + с(6— а — с).
2.15. a) xy(x+y)+yz (y — z) — xz(x + z);
б) а (62 — с2)+ 6 (с2 — а2) + с (а2 — 62).
2.16. л (у + zf+у (х + zf +2 (л + г/)2 — 4xyz.
2.17. (аб + ас+бс)(а + 6 + с) — abc.
2.18. л3 + г/3 + 23 —(л + г/ + г)3.
2.19. Докажите, что а3 + 63 + с3 = За6с, если а + 6 + с = 0.
2.20. Упростите выражение
(а + 6) (а2 + 62) (а4 + 64) (а8 + 68) (а16 + 616) (а32 + 632)
при условии, что а = 6 + 1.
2.21. Найдите наименьшее значение выражения
(2а — 1)(2а +1) + 36 (36-4а).
2.22. Найдите наибольшее значение выражения
46 (5а - 6) - (5а - 2) (5а + 2).
2.23. Найдите наименьшее значение выражения 2а2 — 2а6 + 62 —
— 2а+ 2. При каких значениях а и 6 оно достигается?
2.24. Найдите наибольшее значение выражения 2а6 — а2 — 262 + 46.
При каких значениях а и 6 оно достигается?
2.25. Докажите, что из равенства х2 + у2 -\-z2 =xy-\-yz-\-zx сле¬
дует равенство x=y = z.
14
2.26. Докажите, что из равенства (а — 6)2+(6 — с)2 + (с — а)2 =
= (а + Ь — 2с)2+ (6 +с — 2а)2 + (с + а — 26)2 следует, что
а = Ь = с.
ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Укажите допустимые значения переменных в выражении (27—31):
2-27-а> ^ 6>fcr; b)-V
X
*
2'28‘ ^ |а| —5 ’ ^ 2—126 — 31 ’ ^ jЗа — 11 — |а + 2| ’ 62 — 3|6| '
2 2Q я! — ' 61 %У~\~ 1
(2.x-\- I)4 — (х— I)4 ’ (5у — 2)5 — (1 —2yf '
2-30-a) тз—гЬ: б)
а—ба + 8 ’ 2ft2 + 5ft— 3
e)?rb:
Сократите дробь (32—38):
2 32 я) (5a — 4)2 + 2 (5a — 4)(4 —3a) + (3a — 4)2 .
(2a + 5)2 — 2 (2a + 5) (5 — 3a) + (3a — 5)2 ’
(4ft + 5)2 + 32ft2 -50 + (4ft-5)2
> (4ft-5)2+(4ft +5)2 + 50-32ft2 '
ООО 64x3 — 27у6 . a33+l
2-33, 3) V-16,2 * б) a*--a*+a33 '
2 34 я! a2 —a+1 • 6) ft4+4
> a4 + a2+l ’ ’ ft2 — 2ft + 2
о ос a2 —ft2 —c2 + 2ftc . x'l+2— 4x"+> + 4x"
г.ль. a) b2_c2_a2_2ac’ °) хз — qx^-|— 12x—8
2 36 a) c4r~3c~ + 2 ■ 6) J:<7+-i;464:..::-±f±?
z.oo. a; c5 + ) , 0^^+x-4 + ...+^+r
2.37. a) “4 2a3-9a2-18a
, вычислите значение дроби, если оно су-
a —a — 6
ществует, при а= — 1,3; а——2; а = 3;
б) (Ь4+Ь2+щЬ71Ь2+ь_ху вычислите значение дроби, если
оно существует, при 6 =—2; 6 = 1.
о on а3Ь3с3 — ЗаЬс
(а— bf -\-(b — cf -\-(с — а)2 ’
2.39. Упростите выражение и найдите его числовое значение:
V 9а —/4ао-|- 1 ос ^£0 а=_С> 6 = 2-4
' За —4ft-5 к 9 ’ 3
б) , 4 . 4w .* ~г ."2 . 3n при х= 17,0625, г/=-^-.
(*4+^ )(j4* г/+г/*+гг) v * 16
15
2.40. Выполните сложение или вычитание:
4а2Ь 96
(2а-З)2 (3 — 2а)2 ’
б)
^ I 9 ц2 .
(х — Зу)3'(Зу — х)3 ’
\ УХ2 + 16 16 у+х2
(У— 1)0* —4) ху — х — 4i/ + 4 ‘
2.41. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения
За+ 2 18а 1_
9а2 — 6а + 4 27а3 + 8 За+2
равно нулю.
2.42. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения
(х_2ц)2 — 8У2
^ 1У) (2 y+xf
неотрицательно.
Преобразуйте в дробь выражение (43—46):
т2 — тп 2 т2
2.43.
т2п-\-п3 п3— тп2-\-т2п — т3 '
2.44. 4г2 —8*3+27^3 —9г/2.
2х — 3у
2.45. 1
ar — ac — ab-\-bc b —ab — bc + ac с —ас — Ьс-\-аЬ
2 46 а + 26 I 3с —а а2 — Ьс
За — 36 2с — 2а аб + ас— 6с — а2'
Упростите выражение (47—49):
2 47 З?3 — 81р3 81 д2р — 54др2-\- 9р3
18 p2q + 6 q2p + 2 q3 2qp2 — 12pq2 + 18 q3
2.48.
X
- 4x 1 6л: — 16 x2 — 4
2.49. -r * + 2
-3x — 4Л+12 x —5л+6
2.50. Выполните умножение:
а) 4х2-6ху-\-9у2 9у2 — 4Х2
’ 2х—3у *8х3-)-27у3 ’
б) 3 —бдг 2х+1 8 — х3 .
' 2л2+4л+8*л2 + 4 —4л*4л:2—1 ’
в! а2 + а6 а2 — 62 + 25 — 10а .
5а — а2 + 62 — 56 а2 — 62 1
•. а + 6 16 — 62 —а2 —2а6
а2 —46+4а —62 а2 + а6
16
2.51. Выполните действия:
а)(^)-(0,25a3-2n62n+l)3;
,a2n-l.ft3»+2. 4 / а'-’Ч,2~2П\ 3 / 1 \3 /Сл + 3\5
' V ^ ) \ с3^1 ) 'Va^J '
2.52. Выполните деление:
ч 27а3 - 64ft3. 9a2 + 12aft + 16ft2 ,
ft2 —4 ' ft2+4ft + 4,
б) J^^:(c3(2a + 262)(3a2-3a62 + 364));
в\ 2а2 бас — aft — 3ftc. 2ас-)-aft + 3ftc + 6с2 .
2aft— 4a2 + ftc— 2ac"2aft+ftc— 4ac— 2c2’
x4-3x2+l.x2+*-l
x3 — 27 'x2 + 3x + 9'
г)
Упростите выражение (53—56):
2 53 * +(a+ft)*+flft х
х2 — (а —с) х — ас х2 —а?’
„ 2х2 + ху~ 6у2. 2х2 — 7ху + 6j/2
6х2 — 5ху + у2 ‘ Зх2 — 7ху + 2у2 '
п сс х2~ХУ +4х — 5у — 5 х3 — 2х2р — 5х2 +1 Оху + 25х — 50у
х2 — 4i/2 ' х3 + 125
_16 х4 + 2х2 + 4
2,56 :
х2 + 2х+2 х4 —2х3+4х2 —4х + 4’
2.57. Определите х из пропорции:
а)
9 — 4a2 — 4aft — ft2 3 + 2а + ft .
4а +2aft+3ft—9 х
а — ft — 5 а2— 10а —ft2+ 25 .
х a2 + 2aft —5а —5ft+.ft2 ’
В)
a —ft + c х
a2 —ft2 + c2 + 2ac a2+aft — ftc-
2.58. Докажите, что если то:
а) £±i>=£±<*; б) _JL_
ft d ’ a + ft c+d ’
ч _a_ _c_ a + c . ч _a_ _c_ na + mc .
ft d b-\-d' ft d nb-\-md’
_ч a + ft_ c+ri . ч na + mb nc+md
a — ft с — d’ pa + rft pc-\-rd
2.59. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной
значение выражения
4 /2а+2\2 / а + 9
1 —а V 3-
а+2\2 / а + 9 . 2а \
5 —а/ \а2 + 2а+1 1 —а2/
не зависит от значения переменной.
17
2.60. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения
/2.6п 4 \ 1 I 4m2 + n2\
\2т — п я2 — 4т2 2т + я/‘\ 4т2 — л2/
не зависит от значения переменной п.
Упростите выражение (61—64):
2 61 ( * —)
\x2-j-2x-\-4 х3 — 8 х — 2/ V*2— 4 2-хУ
2 62 ( * I 6а —4 —а2 2 —а \ а3+4аг+8а + 8
\2 — а а3 — 8 а2 + 2а + 4/ 4 — 4а + а2 — а3
2 64 Л —2.V | У \.*г+.У2 I 2j/2
\л:3 + 1/3 х3 — х2у-\-ху2) 'х3 — ху2 х3 -\-х2у-\-ху2 -\-у3 '
J 1_
2.64. ——1 — Ь ~а \ -,ь~^~с и вычислите его значение при
_1_ 1_ \ 2Ьс ) аЬс к
а Ь—с
а= 1,2, 6 = 0,5, с— 1,3.
2.65. Докажите, что значение выражения положительно при всех
допустимых значениях переменных:
(a + bf'( а b ) + a2 + b2 + 2ab'(a2 + Ь2 )’
*гч / а2 I 2_\ ./_а 1 . 2 \ .(a — 2b)2 + 8ab
’ \4й3 a)'\2b2 b'1' а )' , . 2а ‘
4+'б
2.66. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения
(64 Ь + аЬ +а) (2а - 6 - 6* + 2аЬ) (|++ * t+1+5):
:(262 + а + 5).
неположительно и не зависит от значения переменной а.
2.67. Докажите, что при любом значении а>1 значение выражения
1,1,2 ,4 , 8,16 .32
32
1 -а 1 1+а 1 1+а2 1 1+а4 1 1+а8 1 1+а16 1 1+а:
отрицательно.
2.68. Известно, что =2. Найдите:
Ъа — ТЬ
ч 4о — 5b . g. За2 — 2ab+b2. ч а3 — 3аЬ2
' 3а + Ь ’ ’ 5а2 +2й2 ’ ’ 4а2й + Зй3‘
Постройте график функции (69—70):
2.69. а) »=+ б) !/=-+ в) У=^г2 ■ г) </=5^,;
Д) У=~— 1; е) i/ = 2-i; ж) 9-^-3; з)
18
' * 2-х’ -'^-4-х2’
ж) и— х*~4 ■ з! и — *2+4*+3
Ж> У х2 — Зх + 2 ’ 3) У~ 9-х2 •
2.71. Найдите частное и остаток от деления многочленов:
а) х3 — Зх2 + 7х — 8 на х— 1;
б) х4 + 5х3 — 6x4-1 на х2 — Зх+1;
в) 2х5 — 6х4 + Зх3 — 2 на х2 — х — 2.
2.72. а) Представьте выражение 3-^~6|х~^7 в виде ах + 6 .
где а, b и с — целые числа.
б) Представьте выражение х 72*4~^2~^5 в виде ajc + ^ +
+ 2 ’ где а' Ь’ с> d — целые числа.
о„ о
2.73. При каких натуральных значениях п выражение ; яв¬
ляется целым числом?
2.74. При каких целых значениях п выражение 1 является
натуральным числом?
2.75. При каких натуральных значениях п выражение
Зл — 1бп-|-21 является натуральным числом?
2.76. При каких натуральных значениях п выражение
Зл2 — 26 л -4-35 -ч
— —— является целым числом?
4л —28
2.77. Найдите а и 6 из тождества:
1 а | Ь
а)
б)
(х — 6) (х —|— 1) X —6 х+1’
2 а , Ь
х +x — 6 х — 2 х+З
2.78. Упростите выражение:
1 , 1 , 1 , 1 , 1
а)
б)
+
х(х+1) 1 (х+1)(х + 2) 1 (х + 2)(х + 3) ' (х + 3)(х + 4) ' (х + 4)(х + 5)’
—! 1 ! 1 ! 1 !
х(х+3) (х+З) (х+6) (х+6)(х-|-9) (х+9) (х+12)
1
(х+12)(х+15)'
19
§ 3. ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
1. Определение и свойства делимости.
Целое число а делится на целое число 6+= О, если существует
такое целое число с, что а = Ьс.
Если а делится на 6, то ка делится на 6 (здесь и далее все
числа целые, если это специально не оговаривается).
Если а и 6 делятся на с, то сумма а+6 и разность а —6 делят¬
ся на с.
Если а делится на к, 6 делится на п, то произведение ab де¬
лится на произведение кп.
Если а делится на 6 и 6 делится на с, то а делится на с.
2. Теорема о делении с остатком.
Для любого целого числа а и натурального числа 6 существу¬
ет единственная пара чисел q и г таких, что a = 6<7 + г, где q —
целое, г — натуральное или нуль, причем г может принимать лишь
6 различных значений 0; 1; 2; 6 — 1.
Заметим, что если остаток г равен нулю, то число а делит¬
ся на 6.
3. Взаимно простые числа.
Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют
общих натуральных делителей, кроме единицы.
Если число а делится на каждое из двух взаимно простых
чисел 6 и с, то оно делится и на их произведение 6с.
Если произведение ab делится на число с, причем числа а и с
взаимно простые, то 6 делится на с.
4. Основная теорема арифметики.
Каждое натуральное число п> 1 имеет единственное (с точ¬
ностью до порядка множителей) разложение на простые мно¬
жители п=р\'р§‘-...-рЪк, где р 1, р2, ..., рк — попарно различные
простые числа, аь а2, ..., а к — натуральные числа.
Указанное в теореме представление называется каноническим
разложением числа п.
5. Наибольший общий делитель.
Общим делителем чисел а и 6 называется число, на которое
делятся оба числа а и 6. Наибольший общий делитель чисел а и 6
обозначается НОД (а; 6).
Для нахождения НОД (а; 6) можно использовать алгоритм
Евклида, выполняя последовательно деление с остатком:
a = 6<7o + ri, 0<г,<6,
6 = гк71+г2, 0<г2<Г],
ri = r2^2 + r3, 0<г3<г2,
гп — 2 = Гп— 1<7л— 1 +ГП, 0<СГп<Гп—1,
Г п— 1 == Г nQn•
(Процесс заканчивается после того, как первый раз получен ну¬
левой остаток.) Тогда НОД (а; 6)=г„.
20
Другой способ нахождения НОД (я; 6) состоит в разложении
чисел а и 6 на простые множители, отыскании общих множите¬
лей, входящих в оба разложения, и вычислении произведения
общих простых множителей в наименьших степенях, с которыми
эти множители входят в разложение а и 6.
6. Наименьшее общее кратное.
Общим кратным чисел а и 6 называется число, которое делит¬
ся на а и на 6. Наименьшее общее кратное обозначается НОК. (я; 6).
Для нахождения НОК (я; 6) можно разложить на простые мно¬
жители я и 6 и вычислить произведение всех простых множите¬
лей, входящих хотя бы в одно из разложений, причем простые
множители, входящие в оба разложения, надо брать в наиболь¬
шей из степеней, с которыми этот множитель входит в разложе¬
ние я и 6.
Заметим, что НОД (я; 6)-НОК (я; 6) = а6.
7. Разложение на множители выражений вида х"—ап и
х^п Q^n *
Имеют место формулы:
хп — ап = (х — а) (хп~х + х"_2я + ... + хал_2 + ял~'),
х2п+1 + а2л+1 = (х + я) (х2п — х2п~' я +... — ха2п~1 + я2л),
где n£N.
8. Принцип Дирихле.
Если т>п, то при отнесении каждого из т предметов к од¬
ному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух
предметов.
Пример 1. Докажите, что если я и 6 — целые числа, то
яб (а2 —62) делится на 6.
Доказательство. Поскольку 6=2-3 и числа 2 и 3 —
взаимно простые, то для решения задачи достаточно показать
делимость числа яб (я2 —6 ) на 2 и на 3.
Если хотя бы одно из чисел я или 6 четно, то ab (я2 — 62) крат¬
но 2. Если же оба числа я и 6 нечетны, то число я + 6 четно и,
значит, ab (я2 — b2) = ab (я + 6) (я —6) кратно 2.
Если хотя бы одно из чисел я или 6 кратно 3, то произведение
я6(я2 —62) также кратно 3. Осталось рассмотреть случай, когда
оба числа я и 6 не делятся на 3. По теореме о делении с остатком
каждое из чисел при делении на 3 может давать остатки 1 или 2.
Если остатки от деления чисел а и 6 на 3 одинаковые, то тогда
разность я — 6 делится на 3, если же остатки разные, то сумма
я + 6 делится на 3, так как сумма остатков равна 3. Во всех случа¬
ях число яб (я2 —62) кратно 3.
Пример 2. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность
их квадратов — простое число. Найдите эти числа.
Решение. Обозначим искомые числа через я и 6. Тогда
а2 — Ь2 = р, где р — простое, т. е. (я —6) (а + 6) = р, поскольку
а+6 = 101, то 101 (я —6)=р. Отсюда следует, что р делится на
21
101, но р — простое, значит, р=101. Имеем: а — 6 = 1. Так как
а + 6 = 101, находим а = 51, 6 = 50.
Пример 3. Найдите все простые числа р, для которых
число р2-\- 2 также простое.
Решение. Очевидно, что рф 2, так как р2 + 2 = 6 не явля¬
ется простым, а р — Ъ удовлетворяет условию, так как р2 + 2 =
= 11 — простое число. Покажем теперь, что не существует прос¬
тых чисел р>3, для которых р2 + 2 — простое число. Пусть р>
>3 — простое число, тогда р не делится на 3, значит, по тео¬
реме о делении с остатком р = Зга + 1 или р = Зга + 2, где n£N.
Если р = Зга+1, то р2 + 2 = 3 (3n2 + 2n +1) делится на 3, т. е. не
является простым. Если же р = Зп + 2, то р2 + 2 = 3 (Зп2 + 4га + 2)
также делится на 3, т. е. не является простым.
Пример 4. Можно ли разменять 100 р., имея рублевые,
трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего в раз¬
мене участвовало 29 купюр?
Решение. Пусть в размене участвуют х рублевых, у трех¬
рублевых и z пятирублевых купюр, тогда л: + 3г/ + 5.г= 100. За¬
писав это равенство в виде (x-\-y-\-z)+(2y-\-4z) = 100, заклю¬
чаем, что х + у z = 29 — четное число, так как числа 100 и
2y-\-4z— четные. Следовательно, нельзя разменять 100 р. с по¬
мощью 29 купюр достоинством в 1 р., 3 р. и 5 р.
Пример 5. Сколько раз входит число 2 в разложение на
простые множители числа а = (п-\-1) (п + 2)... (2га — 1)2п, где
п£Ю
Решение. Поскольку
а=^2)1— 1.3.5.... .(2га — I).2—'6'-—n = 1-3-5 -... - (2/г — 1)-2",
fll 1 • Z ' и*... */1
то число 2 входит п раз в разложение числа а.
Упражнения
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
3.1. Докажите, что если а, 6 и с делятся на т, то а + 6 — с делит¬
ся на т.
3.2. Число а кратно 3. Докажите, что число 4а кратно 12.
3.3. Число а кратно 6. Докажите, что а2 —12а кратно 36.
3.4. Известно, что а кратно 3, 6 кратно 8. Докажите, что ab
кратно 24.
3.5. Известно, что а кратно 3, 6 кратно 2. Докажите, что
2а+ 36 кратно 6.
3.6. Докажите, что сумма квадрата целого числа и самого
числа есть число четное.
3.7. Докажите, что 13 + 23 + ... +993 делится на 100.
3.8. Докажите, что 13 + 23 + ... +93 не делится на 10.
22
3.9. Докажите, что число тп (т-\-п), где тип — целые числа,
четное.
3.10. Докажите, что любое натуральное число, десятичная за¬
пись которого состоит из 3n(n£N) одинаковых цифр, делит¬
ся на 37.
3.11. Докажите, что число:
а) аВ — Ъа кратно 9; б) abc—cba кратно 99;
в) ab + ba делится на 11; г) abcd + dcba делится на 11.
3.12. Число а-\— целое. Докажите, что числа а2+-^-,
О 1
а +-^т также являются целыми.
3.13. Известно, что ab-\-cd делится на а + с. Докажите, что
ad-\-bc делится на а-\-с.
3.14. В классе 27 учащихся. Может ли каждый из них дружить
ровно с девятью одноклассниками?
3.15. Каких чисел больше среди первых 1000 натуральных чисел:
тех, которые делятся на 3 или на 5, или тех, которые не де¬
лятся ни на 3, ни на 5?
ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ
3.16. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных це¬
лых чисел при делении на 4 дает остаток 1.
3.17. Число а четное, число b нечетное. Каким может быть число:
а) а + 6; б) а — Ь; в) ab\ г) За + 6; д) а2 + 6;
е) а + 62; ж) а + 2Ь?
3.18. Число а делится на 3, число Ь не делится на 3. Делится ли
на 3 число:
а) а + 6; б) а — Ь; в) ab.
3.19. Число а — четное. Может ли остаток от деления числа а на
6 быть равным 1? 3?
3.20. Число а кратно 3. Может ли остаток от деления числа а на
12 быть равным 2?
3.21. Число а при делении на 12 дает остаток 7. Чему равен оста¬
ток от деления числа а на 2; 3; 4; 6?
3.22. Числа а и b дают одинаковый остаток при делении на т.
Докажите, что разность а — b делится на т. Сформулируйте
и докажите обратное утверждение.
3.23. Нечетное число а кратно 3. Чему равен остаток от деления
числа а на 6?
3.24. Четное число а при делении на 3 дает остаток 1. Чему равен
остаток от деления числа а на 6?
3.25. Напишите общий вид чисел, кратных 3 и дающих при деле¬
нии на 4 остаток 1.
3.26. Четные числа а и Ь, не кратные 6, при делении на 6 дают
разные остатки. Докажите, что сумма а-\-Ь делится на 6.
23
3.27. Число а — четное, не кратное 4. Докажите, что число а2
при делении на 32 дает остаток 4.
3.28. Число а не делится ни на 2, ни на 3. Найдите остаток от деле¬
ния числа а2 на 6.
3.29. Докажите, что если га не кратно ни 3, ни 2 и га>3, то га2 при
делении на 24 дает остаток, равный 1.
3.30. Нечетные числа а и b дают разные остатки при делении на 4.
Докажите, что а2 — Ь2 кратно 8.
3.31. Число а — четное, не кратное 6. Чему равен остаток от де¬
ления числа а2 на 12?
3.32. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают оста¬
ток 1, а при делении на 5 дают остаток 3.
3.33. Найдите остаток от деления числа 10!+ 49 на 42.
3.34. Известно, что число а при делении на 5 дает остаток 2, а
при делении на 3 — остаток 1. Найдите остаток от деления
числа а на 15.
3.35. Известно, что число а при делении на 5 дает остаток 1, а при
делении на 3 дает в остатке 2. Найдите остаток от деления
числа а на 15.
3.36. Известно, что число а при делении на 3 дает остаток 1, а при
делении на 4 — остаток 3. Найдите остаток от деления чис¬
ла а на: а) 12; б) 6.
3.37. Существует ли такое цёлое число, которое при делении на 12
дает остаток 11, а при делении на 18 — остаток 1?
3.38. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8
дает в остатке 1.
3.39. Докажите, что если т и га— нечетные числа, то т2 — п2
кратно 8.
Докажите, что при любом натуральном га (40—42):
3.40. а) га(га + 1) кратно 2; б) га2 + 3га кратно 2;
в) га(Зга+1) кратно 2; г) га(га+1) (Зга + 2) кратно 4.
3.41. а) га (2га — 1) (2га + 1) кратно 3; б) га(2га2+1) кратно 3;
в) га3 + 5га кратно 3; г) га (га + 1) (2га + 1) кратно 6.
3.42. а) га3 —га кратно 6; б) га3+11га кратно 6;
в) га3 + Зга2 + 2га кратно 6; г) га(га +6га + 5) кратно 6.
3.43. Докажите, что если число а не кратно 5, то или а2+1 де¬
лится на 5, или а2—1 делится на 5.
3.44. Известно, что а2 + 62 делится на 3. Докажите, что а кратно
3 и Ь кратно 3.
3.45. Известно, что а2-\-Ь2 делится на 7. Докажите, что а2-\-Ь2
делится на 49.
3.46. Докажите, что при любом натуральном га число вида:
а) Зга—1; б) 4га—1 не является квадратом целого числа.
3.47. Числа 2146, 1991 и 1805 дают равные остатки при делении
на натуральное число га>1. Найдите га.
3.48. Докажите, что сумма кубов трех последовательных нату¬
ральных чисел кратна 9.
3.49. Докажите, что число я2 + я + 9:
а) не кратно 25 ни при каких натуральных п\
б) не кратно 49 ни при каких натуральных п.
3.50. Докажите, что «2 + 5«+16 не кратно 169 ни при каких
натуральных п.
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
3.51. Верно ли, что числа п и « +1 взаимно просты?
3.52. Докажите, что при любом целом п число п(«+1)2(«+2)
делится на 12.
3.53. Докажите, что при любом целом п число (п3 + 3«2 + 2п) X
Х(я + 7) делится на 24.
3.54. Докажите, что:
а) «3 + 20п делится на 48, если п — четное число;
б) п3 + 3«2-«-3 делится на 48, если п — нечетное число.
3.55. При каких натуральных значениях п выражение «(З«3 +
+ 4«2—1) кратно 6?
3.56. Докажите, что при любом целом п число пь — 5«3 + 4«
кратно 120.
3.57. При каких натуральных значениях п число «6 + 2«5 — п2— 2п
делится на 120?
мЬ М 4 *7и 3 См 2 М
3.58. Докажите, что 755+77Н—g" ПРИ Л1°бом целом п
есть число целое.
3.59. Докажите, что если натуральное число п не кратно 5, то
«8 + 3«4 —4 делится на 100.
3.60. Докажите, что:
а) п2—1 делится на 8, если п2—1 делится на 2;
б) «3 — 4п делится на 48, если п3 — Ап делится на 2;
в) п3 — 9п делится на 162, если п3 — 9п делится на 3;
г) п3—16п делится на 384, если п3—16« делится на 16.
3.61. Известно, что числа п и 6 взаимно просты. Докажите, что
число п2 при делении на 24 дает в остатке 1.
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ.
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
3.62. Докажите, что НОД двух (или нескольких) чисел кратен
любому их общему делителю.
3.63. Найдите НОД чисел:
а) 2п и 2«-|-2; б) 3п и 6« + 3;
в) 2п и 4« + 2; г) 30« + 25 и 20« + 15.
3.64. Докажите, что НОД («; « + /г) = НОД («; k).
3.65. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 35, а
наименьшее общее кратное равно 42.
3.66. Найдите два натуральных числа, разность которых равна
66, а НОК равно 360.
25
3.67. Найдите НОД всех шестизначных чисел, состоящих из цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).
3.68. Приведите пример четырехзначного числа, имеющего ров¬
но три делителя.
3.69. Докажите, что только одно число, состоящее из четного
числа одинаковых цифр, простое. Найдите это число.
3.70. Сумма двух чисел равна 463, а разность их квадратов —
простое число. Найдите эти числа.
3.71. Докажите, что в натуральном ряду после простого числа,
большего трех, не может стоять квадрат целого числа.
3.72. Отцу 50 лет, а произведение возрастов трех его сыновей
4199. Сколько лет каждому сыну?
3.73. Пусть р — простое число, р> 3. Докажите:
а) р = 6&± 1, k£N',
б) р2 — 1 делится на 12;
в) р2— 1 делится на 24.
Докажите или опровергните утверждение (74—78):
3.74. Для того чтобы сумма двух неравных натуральных чисел
была простым числом, необходимо, чтобы они были разной
четности. Является ли это утверждение достаточным?
3.75. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была прос¬
тым числом, необходимо, чтобы одно из них было простым.
Является ли это утверждение достаточным?
3.76. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была прос¬
тым числом, необходимо, чтобы они были взаимно просты.
Является ли это утверждение достаточным?
3.77. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была сос¬
тавным числом, достаточно, чтобы они оба были простыми.
Является ли это утверждение необходимым?
3.78. Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была сос¬
тавным числом, достаточно, чтобы они были простыми вось¬
мизначными числами. Является ли это утверждение необ¬
ходимым?
3.79. Найдите два трехзначных числа таких, что:
а) они взаимно просты;
б) каждое из них — простое число;
в) их сумма и их разность — простые числа;
г) каждое из них имеет ровно три делителя;
д) их произведение имеет ровно шесть делителей;
е) каждое из них имеет ровно четыре делителя;
ж) разность их квадратов — простое число.
3.80. Докажите, что четырехзначное число, не имеющее делите¬
лей, меньших 100,— простое.
3.81. Найдите все простые числа, являющиеся одновременно сум¬
мами и разностями двух простых чисел.
3.82. Докажите, что 2ю+ 5 — составное число.
26
3.83. Числа р и 2/7+1 — простые (/7>3). Докажите, что число
4/7+1 — составное.
3.84. Укажите все простые числа р, для которых число 8/72+1 —
простое.
3.85. Среди натуральных чисел и, для которых 0,2(и3—1) —
целое, укажите такие «, что число 0,2 (я3—1) — простое.
3.86. Докажите, что не существует наибольшего простого числа.
3.87. Докажите, что в натуральном ряду существуют 1992 иду¬
щих подряд составных числа.
3.88. Найдите все такие натуральные числа «, что числа
п — 2, « + 24, « + 26 — простые.
3.89. Укажите число делителей числа:
а) 225; б) 23-34; в) 2700; г)9!.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
3.90. Докажите, что:
а) число 555 ... 53 — является составным;
1992 цифры
б) число 1 ООО1000 — 1 является составным.
3.91. В числе 4758967 ЕИ напишите последнюю цифру такую,
чтобы число делилось на 2; 5; 3; 9; 4; 25; 11.
3.92. Докажите, что число 49100 — 1450 кратно 5.
3.93. Докажите, что разность двух десятизначных чисел, запись
каждого из которых содержит все десять цифр, делится на 9.
3.94. Выписаны подряд 300 натуральных чисел, начиная с 1.
Докажите, что полученное число делится на 3. Верно ли,
что оно делится на 9?
3.95. Существует ли число, десятичная запись которого содержит
шесть единиц и семь нулей, являющееся квадратом целого
числа?
3.96. Может ли число вида 5" +1 делиться на число вида 5*—1,
где « и k — натуральные числа?
3.97. Может ли сумма цифр квадрата целого числа равняться
1991?
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ ВЫРАЖЕНИЙ
ВИДА Хп — ап И л:2*+1 + а2*+| В ЗАДАЧАХ НА ДЕЛИМОСТЬ
Докажите, что при любом натуральном значении « (98—99):
3.98. а) 7Л—1 кратно 6; б) 15" — 1 кратно 7;
в) З3л—1 кратно 13; г) 24л—1 кратно 15.
3.99. а) 5Л + 3 делится на 4; б) 7л + 5 делится на 6;
в) 13" + 5 делится на 6; г) 15" + 6 делится на 7.
3.100. Докажите, что:
а) нечетная натуральная степень числа 16, увеличенная
на 1, кратна 17;
27
б) нечетная натуральная степень числа 23, увеличенная
на 1, кратна 12;
в) нечетная натуральная степень числа 11, увеличенная
на 13, кратна 12;
г) нечетная натуральная степень числа 6, увеличенная
на 8, кратна 7.
3.101. Докажите, что:
а) четная натуральная степень числа 7, уменьшенная на 1,
кратна 48;
б) четная натуральная степень числа 9, уменьшенная на
1, кратна 40;
в) четная натуральная степень числа 4, увеличенная на
14, кратна 15;
г) четная натуральная степень числа 5, увеличенная на 23,
кратна 24.
3.102. Докажите, что при четном натуральном п:
а) 7я —5я делится на 24; б) 5я—3я делится на 16.
3.103. Докажите, что при любом натуральном п:
а) 7я —6-2я кратно 5; б) 7Я + 3Я+1 кратно 4;
в) 5Я + 2Я+1 кратно 3; г) 9я-(-4я+1 кратно 5.
3.104. Докажите, что при любом натуральном п:
а) 21Я + 4Я+2 кратно 17; б) 15Я + 7Я+1 кратно 8;
в) 13Я + 3Я+2 кратно 10; г) 5я + 7-9я кратно 4.
3.105. Докажите, что при любом нечетном натуральном п:
а) 5Я + 2Я кратно 7; б) 5"11" + 2 кратно 6;
в) 5Я+13-11Я —4 кратно 6; г) Г+3Я + 5Я + 7Я кратно 8.
3.106. Докажите, что при любом натуральном п:
а) 7■ 52" +12-6" делится на 19;
б) 7я+2 + 82я+1 делится на 57;
в) 33я+2 + 5-23я+1 делится на 19;
г) 62я + Зя+2 + Зя делится на 11.
3.107. Докажите, что:
а) 5Я + 8Я — 2n+1 кратно 3 при любом натуральном п\
б) 5Я + 7Я — 2n+l кратно 3 при четном натуральном п.
3.108. Докажите, что при любом натуральном п:
а) 1Я + 3Я + 5Я + 7Я кратно 4;
б) Зя + 5я-|-7я-|-9я кратно 4;
в) 5Я + 7Я + 9Я+11я кратно 4;
г) 1Я + 3Я + 5Я + 7Я + 9Я + 11Я+13Я+15Я кратно 8.
3.109. Докажите, что при любом натуральном п число 5я —Зя + 2п
делится на 4.
УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
3.110. а) Если двузначное число разделить на сумму его цифр,
то в частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число,
б) Если двузначное число разделить на сумму его цифр,
то в частном получится 6, а в остатке 4. Найдите это число.
28
3.111. Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр.
Найдите это число.
3.112. Докажите, что не существует двузначного числа, равного
произведению цифр, входящих в его десятичную запись.
3.113. Можно ли из двадцати монет достоинством 5, 20 и 50 к.
составить сумму в 5 р.?
3.114. На мебельном комбинате изготовляют табуретки с четырь¬
мя и с тремя ножками. На складе имеется 786 484 ножки.
При изготовлении продукции должны быть использованы
все ножки.
а) Можно ли изготовить одинаковое количество тех и
других табуреток?
б) На какое минимальное число можно изготовить табу¬
реток с четырьмя ножками больше, чем с тремя?
в) На какое минимальное число можно изготовить табу¬
реток с четырьмя ножками меньше, чем с тремя?
г) Какое максимальное число табуреток можно изготовить?
д) Какое минимальное число табуреток можно изготовить?
е) Известно, что цена одной ножки выражается числом
копеек, большим 50, но меньшим 80, а цена всех ножек —
целым числом рублей. Сколько стоят все 786 484 ножки?
Решите в целых числах уравнение (115—119):
3.115. a) (* — 2)(xy+4)=U б) 2х2+ху = х + 7\
в) х2 — ху — х+у= 1; г) х2 — Ъху = х—Зу + 2.
3.116.- а) у-{-х = ху\ б) у — х — ху = 2;
в) 3ху + 2х + 3« = 0; г) у-\-Ах-\-2ху = 0.
3.117. а) х2 — ху — 2у — 1; б) х2— 3ху + 2у2 = 3.
3.118. а) х2-\-ху — 2у2—х + у = 3\ б) 2у2 — 2х2 + 3ху — 2у-\-х = 2.
3.119. а) у2 — 2ху — 2х = 6; б) х2 + ху-у = 2.
3.120. Докажите, что уравнение:
а) х2 — Зу = 17; б) 3х2-4у2 = \3
не имеет решений в целых числах.
3.121. Решите в целых числах уравнение:
а) Зх-\-2у = 7\ б) Зу = 2х + 8.
3.122. Решите в натуральных числах уравнение: x-\-y-\-z = xyz.
3.123. Решите в натуральных числах уравнение:
a) 1! + 2!+3! + ... + x! = £/2; б) х!+у! =4г +3.
3.124. Решите в целых числах уравнение 19х2+91ц2= 1991.
3.125. Решите в простых числах уравнение х2 —4у =9.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
3.126. При каких целых значениях п дробь есть натураль¬
ное число?
3.127. При каких целых значениях п дробь -—есть целое
п+ 1
число?
29
3.128. При каких натуральных значениях п дробь 2n^ Зп2 есть
целое число?
3.129. Докажите, что сумма четырех различных двузначных чисел,
записанных с помощью двух заданных Цифр, не может
быть квадратом целого числа.
3.130. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных
целых чисел не является квадратом целого числа.
3.131. Найдите 1000 последовательных натуральных чисел, среди
которых нет ни одного точного квадрата.
3.132. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения
100!
6'00 '
9119
3.133. Какой цифрой оканчивается число 91191"1 ?
3.134. Сколькими нулями оканчивается число 51! ?
3.135. а) Сколькими нулями оканчивается число 400! ?
б) Четной или нечетной является последняя ненулевая
цифра числа 400! ?
3.136. Докажите, что если целое число а кратно 2, но не кратно 4,
то у него четных делителей столько же, сколько и нечетных.
3.137. Докажите, что из любых ста целых чисел всегда можно
выбрать:
а) два таких, что их разность делится на 99;
б) несколько таких чисел (или, быть может, одно), что их
сумма делится на 99.
3.138. Докажите, что из п целых чисел всегда можно выбрать
несколько таких чисел, что, поставив между ними знаки
« + » и «—», получим число, делящееся на п.
3.139. Имеется п целых чисел. Докажите, что среди них найдут¬
ся несколько (или, быть может, одно) таких чисел, что
сумма их делится на п.
3.140. Докажите, что существует число вида 19911991 ... 199100 ... 0,
которое делится на 1992.
§ 4. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
1. Арифметический квадратный корень и его свойства.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется
такое неотрицательное число, квадрат которого равен а, т. е.
равенство л[а=Ь означает, что Ь2 = а и Ь^0.
Если а^0 и Ь^0, то л!аЬ = л[а-^Ь.
Если а>0 и Ь>0, то
V Ь ^
Если а^0, то (Уа)2 = а.
-\/а?=\а\ при любом значении а.
30
2. Функция у—л[х.
Функция у=л[х определена на множестве неотрицательных
чисел и принимает неотрицательные значения.
Графиком функции у = л[х является полупарабола, симметрич¬
ная графику функции у = х2, где х^О, относительно прямой у=х.
Большему значению аргумента х из области определения
соответствует большее значение функции.
Пример 1. Докажите, что если a£N, то л[а либо натураль¬
ное число, либо иррациональное.
Доказательство. Пусть Уа=—, где m£N, n£N, пф1,
2 2
причем т и п — взаимно простые. Тогда а = -Щ , т. е. £N.
Но т2 и п2 — взаимно простые, поскольку числа m и п не имеют
2
общих делителей и п2ф 1, значит, не является натуральным
числом. Пришли к противоречию.
Пример 2. Докажите, что УЗ+У5+У7 — иррациональное
число.
Доказательство. Пусть У3 + У5+У7 = г, где г — ра¬
циональное. Тогда
УЗ+л/5 = г-л/7, 8 + 2 УТб = г2 + 7 — 2г д/7,
2Vl5 + 2rV7 = r2-l, УТ5 + г ~\J7 = r\,
где г 1 — рациональное. Отсюда 15 + 7г2 + 2г д/105 = г2, т. е.
д/Ю5 = г'~125~7г рациональное число. Но УТ05 не натуральное,
а значит, иррациональное (см. пример 1). Получили противоречие.
Пример 3. Вычислите У5 — 2 -\/б —д/5 + 2 Уб .
Решение. 1-й способ. Пусть х=У5 —2 Уб —Уб + 2 д/б ,
тогда х2 = 5 —2-\/б + 5 + 2Уб —2 -у/25 — 24 , х2 = 8. Так как х<0,
то х = — 2 -\/2.
2-й способ.
Уб —2Уб—У5 + 2 V6 =
=У(л/3—л/2)2 —У(л/3 Н-л/2)2—
= 1УЗ-л/2| — |УЗ+У2| =УЗ —У2—УЗ—л/2=—2 У2.
Пример 4. Вычислите (2—-у/5) У9 +4 д/5 .
Решение. 1-й способ. Используем внесение множителя
под знак корня:
(2—УБ) Уэ + 4 -\/5= —У(2—\/5)2 (9 + 4 -\0) =
= —У(9 —4 УБ) (9 + 4 У5)= -л/81 -80= - 1.
31
2-й способ. Используем метод вынесения множителя из-
под знака корня:
(2_V5)V9+4V5 = (2-V5)V(2+V5)2 = (2-V5)(2 + V5) =
=4 —5= —1.
Пример 5. Какое из чисел больше: -/ГоТ+УТОЗ или
У99 + УТ05?
Решение. Рассмотрим разность этих чисел:
УЖ+УМ - У99 - УШ=УТШ" - У99 - (УТ05 - УТОЗ) =
в 2 2 >0,
уТ(Н+л/§9 yT05 + VT03
так как знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй.
Значит, УЖ+УГ03>^+УТ05.
Упражнения
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
4.1. Проверьте равенство:
а) У8Т=9, УТ2Т=11, У44Т = 21, л/676 = 26;
б) Vf=1,5’ Л/ЧНЬ VM4-1.2, УД09 = 0,3;
в) -\Ж—а(а^0), Уа®=а3(а^0), Уа4 = а2, Уаг=а4;
г) V25F=-5a(a«0),y]jL-f(a<0), У±§’=2+.
4.2. Объясните, почему неверно равенство:
а) л/25= —5; б) У2Д5= —1,5;
в) У4-2УЗ=1-УЗ; г) y^37=-3.
4.3. Пользуясь определением квадратного корня, найдите:
а) (л/7)2, (Vi)2’ (VVi)4;
б) (-УП)2, — (л/ТЗ)2, -(-л/2)2, —(—V2—уз )2;
В) (л/(—л/5)2 )2, (-УГТ)4, (л/2)18, (У(л/2)6)4;
г) (2 д/3)4, (3 Vl)2> (V(2 л/3)4)2, (л/(л/(У2)4)2 )6-
4.4. Найдите:
а) У(2 — л/3)2 , У(2-л/5)2, УУб25 , У^Щ,
У2 У2 л/1024 , л/а Уа УМ ;
б) лА^2 . Уа4^8 , У9а264 , yeiaW .
32
4.5. Вычислите:
a) V3+V36; б) УЙ-л/25 ; в) УТ+У? ; г) д/7-д/9 .
4.6. Найдите значение выражения:
a) 2,1+VM4; б) 3,2-V5J6;
в) V256 + V144; г) дДШ+д/7^-д/484 ;
д) 2 д/О^+3 ; е) -1_убдГ-0,5 д/064 .
4.7. Имеет ли смысл выражение:
а) -УТ5; б) д/^289; в) УЗ-д/ГТ ;
г) лЛД23— 11 ; Д) V2-V3 ?
4.8. При каких значениях а имеет смысл выражение:
a) д/а; б) д/—а; в) л/^3”; г) Vo3”; д) л/—°2;
е) д/2а —а2 —1 ; ж) у—-|-+2а — 5 ; з) д/ — а5;
и) У^а5?
4.9. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:
а) 49 см2; б) 100 дм2; в) 2,25 м2; г) 5 м2; д) 17 м2; е) 30 дм2.
4.10. Вычислите диаметр круга, если его площадь равна:
а) 25л см2; б) 49л см2; в) 7л дм2; г) 11л дм2;
д) 4ла2 дм2 (а>0); е) 9л-с6 м2 (с>0).
Решите уравнение (11 — 13):
4.11. а) л:2 = 25; б) 4f/2 = 81; в) z2 = 3; г) х2 = 7.
4.12. а) (х — 2)2 == 9; б) 9 + З)2 = 1; в) (2z-l)2 = 7.
4.13. а) л:2 —Юл:+ 25 = а2; б) 2х2 —16х + 32 = 6.
4.14. Одна из сторон прямоугольного участка составляет 25%
другой его стороны. Найдите периметр участка, если его
площадь равна 16 м2.
4.15. Одна из сторон прямоугольного участка в 2 раза больше
другой. Найдите периметр участка, если его площадь рав¬
на 8 м2.
Решите уравнение, используя определение арифметического
квадратного корня (16-19):
4.16. а) д/jc = 3; б) л/^="|_; в) л1х~ 1 = д/3; г) д/4л:+1=7.
4.17. а) д/7х^Т=1; б) д/Зх^Т=0; в) д/3-5л:=1; г) У7-2х = 3.
4.18. а) д/jc = — 2; б) д/х=1 — д/2;
в) д/лГ^З = д/2 —V5; г) д/5 х=4 д/3 — 7.
4.19. а) д/х=х; б) д/х=—х; в) д/х — 2 = 2 — х; г) д/х — 3 = 2 — х.
2 М. Л. Галицкий 33
Упростите выражение (20—23):
4.20. a) У(а — 3)2 при а> 3;
б) У(6 —4)2 при Ь< 4;
в) У(а — 2)2 -f- У(а — 4)2 при 2<а<4;
г,) У(а — З)2 + У(а—5)2 при а<3.
4.21. а) Ут2 —2m-f-1 при m^l;
б) У9т2 — 6т + 1 при т<-~;
в) Уf/2 — 1Ч-25-j-Уf/2 — 14J/ + 49 при 7;
г) Уг2 —4z + 4+yz2 + 8z+ 16 при —4<z<2.
4.22. а) У(а+1)2-4а ; б) У(а-3)2 +12а ;
в) У(а2 — 4)2+ 16а2 ; г) У(а4 + 2)2 — 8а4 .
4.23. а) Уа^ + а-М + д/а5 —6а + 9 при а^З;
б) УЮа + 23 + Уа4 + 4а2+4 ;
в) д/а2 — 1 За 45 У а2 — 8а+Тб при а<4;
г) У20а + 92 + Уа4 +16а2 + 64 .
4.24. Какое из чисел больше:
а) 2 или д/5; б) У5 или д/3; в) 3 У2 или УГ9;
г) 3 д/5 или 5 д/3; д) 4 д/3 или 3 д/5; е) д/5 д/3 или д/б д/2 ;
ж) 2 УЗ или д/б д/2 ?
4.25. Найдите наибольшее целое число, меньшее числа:
а) У5; б) УГГ; в) д/67; г) д/95; д) д/Щ е) д/274; ж) д/ПКЮ .
4.26. Найдите наименьшее целое число, большее числа:
а) д/7; б) д/ТО; в) Уб2; г) д/ШЗ; д) д/245; е) д/893.
4.27. Найдите два последовательных натуральных числа, между
которыми заключено число:
а) д/3; б) д/б; в) УГЗ; г) д/32; д) д/Т05; е) д/238; ж) д/632 .
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4.28. Докажите, что сумма, разность и произведение рациональ¬
ных чисел есть число рациональное.
4.29. Докажите, что если г, и гч — рациональные числа (гчфО),
то у рациональное число.
4.30. Известно, что сумма и разность двух чисел а и b есть ра¬
циональные числа. Докажите, что числа а и b также явля¬
ются рациональными.
34
4.31. Известно, что числа гь г2 и г3Ф0 — рациональные. Объяс¬
ните, почему рациональны числа:
а) 2гб) в) г? + 4,1; г) 2г? + Зг2 + -|-;
ч 3г| — 5г| . ч ri+2r| — г! . v ^ ^ 7
д) г3 • е) 2d ’ Ж) 5гз
4.32. Докажите, что следующие числа иррациональны:
a) д/5; б) дДЗ; в) i/7; г) д/Т5.
4.33. Какие из следующих чисел являются рациональными, ка¬
кие — иррациональными:
а) У9; б) УТ2; в) д/!б; г) д/Г8; д) 0; е) -д/5; ж) 0,666...;
з) 0,(31); и) 0,010010001...?
4.34. Проверьте справедливость неравенств:
а) 6,1<У38<6,2; б) 4,4 <У20<4,5;
в) 10,5<УПТ< 10,6; г) 21,5<д/463<21,6.
4.35. Найдите два первых десятичных знака после запятой числа:
а) д/2; б) д/3; в) д/5; г) д/7; д) д/Гб; е) д/Т9Д; ж) д/25Л ;
з) д/25,35; и) д/Т72; к) У 173,46; л) У2543,105; м) д/Тб837,24.
4.36. Сравните числа:
а) 1,(34) и 1,34; б) У7 и 3; в) д/5 и 2; г) д/17Д и 4;
д) -54,72 и -54,679; е) 3,1415 и Ц--, ж) —УГО и -3,16;
з) 3 и д/123; и) -д^9 и -5 5
13
4.37. Найдите два первых десятичных знака после запятой числа:
а) 1+У2; б) УЗ+У2; в) 2#, г) f; д) д/7 + У5-д/2;
е) 2 д/3 — 3 д/2; ж)(УЗ+1)2; з) ^ . и) ^ .
к) д/з+д/2+У7.
4.38. Число г — рациональное, а и Р — иррациональные числа.
Рациональным или иррациональным является число:
a) r-f-a; б) а —г;.в) 2а; г) д) а2; е) а + Р; ж) а-Р;
з) и) Уа; к) д/г + сс ; л) а + 2г; м) За-f-r?
р
4.39. Докажите иррациональность числа:
а) 1+д/2; б) д/З+д/2; в) 2 д/3; г)
д) е) д/2+д/2 ; ж) д/5 + У2-1; з) д/7 + д/2 + д/3.
4.40. Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма кото¬
рых есть число рациональное.
4.41. Приведите пример двух иррациональных чисел, произведе¬
ние которых есть число рациональное.
35
4.42. Докажите, что сумма рационального и иррационального
чисел есть число иррациональное.
4.43. Докажите, что произведение рационального (отличного от
нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное.
4.44. Числа а, Ь и л[а-\-л[Ь— рациональные. Докажите, что л/а
и — рациональные числа.
4.45. Докажите, что число -<j3n + 2 при любом натуральном п
есть число иррациональное.
4.46. Докажите, что -фтт — иррациональное число, если
иррациональное число (т, n£N). Верно ли обратное утверж¬
дение?
ФУНКЦИЯ У = л[х И ЕЕ ГРАФИК
4.47. Площадь квадрата может быть вычислена по формуле S — а2,
где а — сторона квадрата. Задайте формулой зависимость
а от S.
4.48. Путь тела, падающего в безвоздушном пространстве, может
быть вычислен по формуле s=^-, где t — время падения,
g — ускорение силы тяжести (g« 10 м/с2). Задайте форму¬
лой зависимость t от s. Найдите t, если s = 4500 м.
4.49. Площадь круга вычисляется по формуле S — nR2, где R —
радиус круга. Найдите зависимость R от S. Вычислите R,
если S = 1256 дм2, считая л «3,14.
4.50. Постройте график функции:
а) у=л/х; б) у=л[^х; в) у=л[\х\; г) у=—л/х;
д) у = 2 л/х; е) у=л/2х; ж) у=л/х^2;
з) у=л/4—х; и) у=л/2х—1; к) у = \+л/х.
4.51. При каком значении а точка М (2; 3) принадлежит графику
функции:
а) у = ал[х; б) у = л/ах; в) у=л/х — а; г) у = ал/ — х;
д) у = л[а\х\ ?
4.52. Используя свойства функции у=л/х, найдите значения пе¬
ременной х, при которых:
а) л/х<2; б) V*>3; в) У*<5; г) л/х>7;
д) ^<1; е) л/х — 2<0; ж) -фс> — 1;
з) л/х^ — 3; и) л/х<.—2; к) л/2х— 1<— 1;
л) Л/з^-гТ<з-лДо.
4.53. Решите графически уравнение:
а) л/х=3; б) л/х —2 = 2; в) -фс=^—х; г) л/х— 1 =3— х;
д) л/-х=х-\-2; е) л[\х\=3; ж) л/х — 2=х — 4.
36
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ
Найдите значение выражения (54—56):
4.54. а) VI21-64 ; б) У:169-0,36 ;
в) "у16--~0,25 ; г) VI,44-0,04-0,6001.
4.55. а) У27Л2; б) д/32Л8 ; в) д/45-10-18 ; г) д/21-6-7-8 .
4.56. а) У77-24-33-14 ; б) д/ЁГ-6-8-20-27 ;
в) V21-65-39-35 ; г) УЮ-20-48-36-75-98 .
4.57. Упростите выражение (а^О, Ь^О):
а) ~\j2b-3a-8a-12Ь ; б) yi2a-15ft-35a-28ft ;
в) У30а7• 4563• 756i> • 98а3 ; г) yi2ai7-21&3-2465-42a3 .
Вынесите множитель из-под знака корня (58—61):
4.58. а) УТ2; б) д/8; в) У48; г) УГ75.
4.59. а) У45; б) д/72; в) д/20; г) УШ.
4.60. а) -л/ЗбЗ; б) д/Пй; в) У1152; г) д/432.
4.61. а) УТ2Л5; б) УГ8-10 ; в) У20-35-14 ; г) У28-56-10-35 .
4.62. Найдите значение выражения:
г) /121^256
’ V 25-100
г)
’ V 225ft26 •
г) Л1Щ.
' V юо
Вынесите множитель из-под знака корня (а^0, Ь>0, с>0)
(65—67):
4.65. а) Уа3; б) д/аР ; в) л]а7Ь ; г) У8а2Ь7с9.
«-м.» Vf; »)-#; .)V^: г)У1Г
4.67. а) д/о57^; б) Уа*л+| ; в) Уа4л+3&2ш+3 ; г)
4.68. Внесите множитель под знак корня:
а) 2 д/2, 4 д/5, 3 д/3, 2 д/7;
б) а д/2, Ьл[а, Ь д/-^-+-у (а>0, 6>0);
37
■>V*^ б) УгЙУ °>УЙ1д
4.63. Выполните действия (а>0, Ь>0):
a\^/i£.2. . пч __ /49^».
a) у &б . б) -у 25ft20, в) -у gift6,
4.64. Вынесите множитель из-под знака корня:
в) (т~з)л/5’ ("~2)л/й+ (n~4)V
1
2л —8 ’
<5-'i)V5;
г) (х—у)д/а, если х^у, (а — Ь)л[т, если а<+, a-\jb, Ьл[а.
4.69. Упростите выражение:
а) д/а3-b3-\-a2b — ab2, если а>У>0;
б) д/а3 + а2 — а — 1 , если а>1;
в) а3-д/-L—, если а<1, а+=0;
V а а
г) еСЛИ а>2’
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ КОРНЕЙ
Упростите выражение (70—72):
4.70. а) д/28-3 д/63; б) УЭД+У98-д/200;
в) д/27 + д/12 + д/75; г) д/20 + 2 д^5-3 д/500.
4-71. а) д/б+Д/Y-V^; б)
в) V^+Vt-Vi; г) УбТ+УШбо+УГо.
4-72- а> 8Vi|-3Vf;
б) (УГбоЬ—уШоЬ) —(5 У§оЬ —Зд/ЗбоЬ);
в) (д/а^У +2 д/а^й) —(2 д/а%—Уа5/?), где а>0, 6>0;
г) (Уа5&2 — 3 Уа7&4) —5 Уаа&6 —2 Уа3У8, где а>0, 6>0.
4.73. Решите уравнение:
а) 3 У&х -f- У2х = 1; б) -уУ4х--5- V9x+-g- д/25х = 2;
»ут-2У?=1: г» 3Vf+Vf-4Vi“i-
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
Выполните умножение (74—76):
4.74. а) (3 д/Г2 —д/75)*д/3; б) (4-Д02 +д/5) д/2;
=> (2Vi-5Vi+4Vf;
о (2V?-^+V¥):Vi-
38
4.75.a) (2 + д/б)(3 д/2-2 д/3); б) (3 + д/2Г) (д/З-д/7);
в) (1+VT5)(V3-V5); г) (2д/5-д/3)(д/3 + Зд/5).
4.76. а) (д/7+д/3)(д/7-д5); б) (д/5 + д/5+)(д/5-д/а- 1);
в) д/з + д/2-д/з^у1; г) д/5 + 2 д/б-д/5-2дД
4.77. Докажите, что следующие числа являются взаимно обрат¬
ными:
a) V2 + V3 и д/2—д/3; б) 7 + 4 V3 и 7 — 4 V3;
в) д/з + 2д/2 и д/з-2д/2; г) (д/9 + 4 д/5)5 и (д/9-4 д/5)5-
4.78. Решите уравнение:
а) (2+Vx) (3—>/*)= 1 —Jt; б) (7 —2 V*)0+V*)=3 —2*;
в) У*-И — Ух —2 ■ р) Ух —3_^Ух + 2
д/х —2 Ух+1 л/х+1 Ух—1
Выполните действия (79—81):
4.79. а) (1 + д/2)2, (2-д/З)2, (д/2 + д/б)2, (д/П5-д/З)2;
б) (3 д/5-2 д/5)2, (2д/55 + д/5)2, (д/5*Ь + 2 д/555)2,
(2 У5*-д/55)2;
в) (^+д/2+1)2, (д/5—д/2— I)2, (V6 + V2-1)2,
(д/3— д/2+д/б)2;
г) (д/2+1)3, (д/3 —2)3, (д/5+1)3, (д/5—З)3.
4.80.а) (д/3+д/2)2 + (д/3—д/2)2; б) (д/3+ 1)3 + (д/3-I)3;
в) (д/5 + д/5 —д/с)2 + (д/5 —д/5 + д/с)2;
г) (д/3 + д/2)4-(д/3-У2)4.
4.81. а) (х+1+д/3)(л:+1-^); б) (а-2 + д/5)(а +2-д/5);
в) (д/7 + д/2— 1) (д/7 —д/2 + 1); г) (д/б —д/2— 1)(д/б+д/2+ 1);
/У3+У2+1 УЗ+У2-1 УЗ-У2+1 1+У2-УЗ
V 2 2 2 2
Упростите выражение, представив подкоренное выражение
в виде полного квадрата (82—83):
4.82. а) д/4 + 2д/3; б) д/9-4д/5; в) Vl0 + 2yff; г) д/12 + бТЗ.
4.83. а) д/а+ 2 д/a—Т; б) д/а + 1 —4 д/а —3;
в) д/2 + 2 д/1 —а2; г) д/За —1+2 д/2а2 — а.
Вычислите (84—85):
4.84. а) д/7 + 4 д/З + д/7-4 д/3; б) д/14 + 6 д/5+д/14 — 6 д/5;
в) д/8 + 2 д/7—д/8 — 2 д/7; г) д/28 —10 д/3+д/28 +10 -Д;
39
д) Vi i2 Vs—211 —л/21 -ь-12 V3;
е) V!8 + 8V2-V|8V2-18[-0,5V32.
4.85. a) (V3 + 2V2-V3-2 V2f; 6) (V3 + V5 + V3-V5)4;
в) (V2 + V3+V2-V3)6; r) (V4 + Vl5-V4- Vi5)8-
4.86. Вычислите значение выражения:
а) x2 — 2x — 1 при х=1+д/3; б) х2 —Зх —2 при х = :}"^17 ;
в) х2 —4х —6 при х = 2 —д/ТТ; г) х2 —5х + 3 при х = 5~^~^ ■
Выполните деление (87—88):
4.87.3) (12 д/45-6 V20):3 д/5; б) (15 Д44-24 ^99):3 д/П;
в) (4 -у^5 + 2 VT2): 2 д/3; г) (V28-V2M + 2V63):V7.
4.88. a) (a — ft):(т/а — д/й); б) (а — Ь):(т/а + V^);
в) (а д/а + 6 д/б):(д/а+д/б); г) (а д/8а —6 д/276) :(д/^ — д/36).
Разложите на множители (89—92):
4.89. a) V2T-V7; б) д/б-ДЗ; в) 2 + д/б;
г) 7 + VT4-V7; Д) V6+V3+VT8; е) д/5 + 5-дДо.
4.90. а) а + 2 Да;
б) а+д/а£>, где а>0, Ь>0;
в) л/а2 — Ь2 — л/а-\-Ь, где а>Ь>0;
г) л/аЬ-\-ас — х/Ь2-\-Ьс, где а>0, Ь> 0, с>0.
4.91. a) a^Ja-\-b л[Ь-\-ал[Ь+ Ь л[а\ б) а д/б — д/а + д/а£> — 1;
в) 2 + 6 д/а — 2 л[аЬ — л[Ь\ г) аб + аДа + б д/б + д/аб.
4.92. а) х — 6 д/х + 5; б) а — 5 д/а+ 6; в) а — 3 д(а— 4; г) b -\-xjb — 2.
Сократите дробь (93—94):
4 93 а) °+2У°+1 • 61 . в\ Уа+Уб . г\ а—6л/о+9
° ! ' > а-Ь ' a-fi + Ьф’ ’ а-9
494 а) У?+‘ ■ б) ^+1)2 . в) ,11 ~У?)2 , v V6+V3-V2-1
' л/2 + 2 ’ ’ 2 + V3 ’ V7-4 ’ V6 + 2V3-V2-2 '
4.95. Решите уравнение:
а) (х+1).д/3 = х + 3; б) (х-1)-д/2 = 2х-1;
в) (2—х д/б) * д/2=2 (х —д/б); г) (х д/5-2). ДТ0 = 5х-2 д/5.
4.96. Упростите выражение:
а) б) где а<0, Ь<0;
V77*
40
B) ~^-b где a<0> fe<0;
p) • д\ а + 6 + 2 Даб . . a —6
Д —a V — a —V —6 Д—a—Д—6
4.97. Вычислите значение функции:
а) f (jc) = (x-l)(x-2)(2*+jj при
б) /(*) = ^+2)(^(4*+‘j при х = УЗ —2.
4.98. Докажите «формулы сложного радикала»:
Упростите сложные радикалы (99—100):
4.99. а) д/7 + д/24; б) У7-д/24; в) г) V7 + л/48-
4.100. а) д/17-4 д/9 + 4 д/5; б) 2 д/з + д/l3+д/48;
в) "д/д/28— 16 д/3; г) д/д/17+У28§.
4.101. а)
Приведите к рациональному виду знаменатель дроби (101 —
104):
3 —8 8 6 а об .
2 Дб ’ УТ2 ’ Д32 УТ8 ’ Д?6 ’ Д??5
Q) о + З т -\Гп а — 2 а — 6
Да2 — 9 л Дт Д4 —а2 Да2 —62
0
в) ‘ 14 1 V2-I .
Д2-1 ’ З+Дг’ 3 — 2 Д2 ’ Д2+1 ’
m—1 х—4 1 2
/т+1 Дх-2 Да + З —2 3 — Д2х — 1
4.102. а) —; б)
Дх + 3 —2 Дх + 2 —2
в) ; г) *-
2-Дх+Т ’ Д1-Х—Д1-2Х
4.103. а) 6 ; б) ^-2 + ^ ;
Уа + Да2 — 62 У2—\Д
В) УЗУ2-2УЗ . г) УДТ5+Дб
*д/^ & д/-уТ5—д/6
41
4.104.
4.105.
4.106.
4.107.
4.108.
4.109.
t
4.110.
42
a) . i=; б) —M ;
л/2+Уб + 4д/2 V 3 + V2-V2
В) Щ. ■ r) 50
V5-V7-V2 3 + V2-Vl+V2
Приведите к рациональному виду числитель дроби
(105—107):
а)^; б)^; В) f; г) М..
а) б) в) г) £±&.
\ 2 — л/а + 3 . 2 —УЗа — 2 .
3) а-1 ’ 0) 2 —а ’
Ч У2Х+Г-У13-Х . V л£ + 2-У&+4
7 5х — 20 ’ ; Зх + З
а)
УПРАЖНЕНИЯ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С КОРНЯМИ
2 I 2
5 + 2 У§ 5 — 2 У§
бх -л/Зл/2 + 2л/3 -,/Зл/2-2лД.
V 3V2-2V3 V 3V2 + 2V3 ’
в”)' 1 | 4 ЗУ2Д+УЁ5 .
V7+V5 л/5 + 2 V2
Г) -1_ + _з__Ж+л/5.
а)
2+V5 л/7 + 3 1-V7 л/5
1 1
у/7-л/24 + 1 л/7+л^4-1
61 (Л 1 W2-V2 2+л/2\.
Ч 2 2V2 /М+л/5 л/2—1 ' ’
B/(Vf+Vi)^6^+(Vi-yi)^+;^
-7: +л/2—У+л/З
гч л/2 л/3 15 + Зл/б
л/ТД+1 19 л/3
Выполните действия (ПО—112):
а) г
V л/2 V3 ' З+ал/2
б) -q_—з/1£_у
’ а—-\/2о л/^-V* V *V2+V4
4.111. а) хг+т^"(—
*2 + 2 \Л_Т2 * + -у/2 '
б> (f-^+O^+O-vri+T-
4 112 а) о + 2 л/3 Зс а I а2 — с л/3 .
За—ЗУЗ 2а—2с а2—ас+с УЗ—а Уз
б) 4да/((*+У2)2-у2) /L 2х \
> 2 —jc2 у2-\-2ху \ х + у +ф)'
Упростите выражение (113—118):
4.113. (—£ )._“=*
'Vа—л[Ь У^+Уй' а
4., 14. (i±i_^a+4v5)(V4-^=) ■
'Уа— 1 V^+l / V V 4 yia/
4.115. .
VV^ + Тй i/a—У* а — Ь /\ л[а-\-л[Ь'
2а , г
-—=+уа — Ь
4U0 Уа + 6 26
/а — Ь (а + Ь)л!а-\-Ь—(а—Ь)л1а — Ь
|+Умт
а^/а + Ь л[Ь
4Ц7 л/а+л/6 I 2 V& Уаб
а~Ъ Va+Vb а“6 ’
4.Ц8. а — b | 2 (а л/а —6 л/б)
а + 6+У(а + 6)2—(а — 6)2 (Уа + л[Ь)(а-\-Ь—У(а+6)2 —(а — 6)2)
Сравните числа (119—124):
4.119. а) д/19 и дД+ДЗ; б) ДзУ-д/М и 6—^15.
4.120. а) и —2—; б) д/ГГ-д/Щ и д/б-д/5.
1 —-уЗ 1 —У2
4.121. а) дДУ — д/15 и дД—д/5; б) д/7 + дДО и д/З + д/ТЭ.
4.122. а) Уз + У5+Д1 и 1+д/2; б) 1±з|+|=з| и д/Ш.
4.123. а) 1+Уд/17+12д/2 и д/2+ДЗ;б) УУб+д/20 и д/l + д/£.
4.124. а) -^jL. и д/11+6д/2+д/П-6д/2;
б) д/1990 + дД992 и 2д/ТЖ.
43
Упростите выражение (125—127):
4.125. при а>()> b>Q
4.126. -Va<- fol+9^+У4а4-4a:i +£L при 0,5<а<3.
-\/а2 + 4а + 4
4 127 л/аг —За+л/а2 —4а+3
Уб-2а
§ 5. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Формула корней квадратного уравнения.
Корни квадратного уравнения ахг-\-Ьх-\-с = 0 (аф 0) находят
по формуле
У — 6±л/А2 — 4ас
2а
Выражение 62— 4ас называют дискриминантом квадратного
уравнения и обозначают буквой D.
Если D>0, то уравнение имеет два корня; если Z) = 0,
то уравнение имеет один корень; если D< 0, то уравнение не
имеет корней.
В случае когда второй коэффициент квадратного уравнения
четен, т. е. b = 2k, то корни удобнее находить по формуле
х__ —/г±У/г2 —ас
а
Неполные квадратные уравнения, т. е. такие, в которых
6 = 0 или с = 0, удобнее решать методом разложения на множители
левой части уравнения.
2. Теорема Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна вто¬
рому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, 'а про¬
изведение корней равно свободному члену, т. е. если х\ и х2 —
корни уравнения x2-\-px + q = 0, то
*i+*2=— Р и Xi-X2 = q.
Верно и обратное утверждение: если числа Х\ и х2 таковы,
что x\ -j-x2= — р и x\-x2 = q, то эти числа являются корнями урав¬
нения x2-\-px-\-q = 0.
Пример 1. Решите уравнение
(Ах2 + 12х + 9)2 + 20л;2 + 60* + 39 = 0.
Решение. Данное уравнение сводится к квадратному путем
замены переменной. Запишем данное уравнение в виде (2х + З)4-)-
44
+ 5 (2х + 3)2 — 6 = 0. Пусть у — (2х + 3)2. Решая уравнение у2 +
+ 5у — 6 = 0, находим у, = 1, у2= —6 (не подходит, так как у^О).
Из уравнения (2х + 3)=1 получаем 2*+ 3=1 или 2х + 3= —1,
откуда Х\ = — 1; х2= — 2.
Пример 2. Пусть х, и х2— корни уравнения 2х2 —7х +
+ 1= 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого явля¬
ются числа и Щ-.
*2 X)
Решение. По теореме Виета имеем х, +*2 = 3,5, х, •х2 = 0,5.
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями
и -^§- можно воспользоваться теоремой, обратной теореме
Виета, для чего необходимо найти их сумму и произведение:
*1 I *2 _ *1+4 __ (Xl+X2)(X2!~ Х]*2+4) _
х\ х\ (*,Дс2)2 (*| x2f
(*| +*г) (+ +хг)2 — 3*1*2) 3,5-(3,52 —3-0,5) t С.
(xixtf (0,5)2 ’ ’
X, Х2 _ 1 _ 1 _ о
х\ X? Х1Х2 0,5
Искомое уравнение имеет вид:
х2—150,5х + 2 = 0, или 2х2 — 301х + 4 = 0.
Пример 3. При каких значениях b уравнения
*2 + (62 + 36 + 2)*=0 и х2 — 2 (6 + 2)х + 62 + 56+6 = 0
равносильны?
Решение. Уравнения называются равносильными, если
множества их решений совпадают. Заметим, что * = 0 является
корнем первого уравнения при любом значении параметра Ь, зна¬
чит, необходимым условием равносильности уравнений является
наличие корня х = 0 у второго уравнения. Найдем все значе¬
ния параметра Ь, при которых * = 0: 62 + 56+6 = 0, Ь = — 2
или Ь= —3. Таким образом, если и существуют значения пара¬
метра Ь, при которых уравнения равносильны, то это могут быть
лишь Ь= —2 или Ь= —3 (во всех других случаях * = 0 является
корнем первого уравнения, но не является корнем второго,
что противоречит определению равносильности). Проверим теперь
каждое из возможных значений параметра: при Ь——2 оба
уравнения принимают вид х2 = 0, т. е. являются равносиль¬
ными; при Ь= —3 оба уравнения принимают вид *2 + 2*=0, т. е.
также являются равносильными.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение
х+в имеет °ДН0 решение?
Решение. Областью определения уравнения является мно¬
жество действительных чисел, кроме чисел 3 и —1. На указан¬
45
ном множестве данное уравнение равносильно уравнению, полу¬
ченному умножением обеих частей на (х— 3)(х+1): (х+а)Х
Х(х — 3)+(а — Злг) (х +1) = 2 (х +1) (х—3). После раскрытия ско¬
бок, приведения подобных слагаемых и сокращения на 2 полу¬
чим уравнение 2х2 + х (1 — а) + а — 3 = 0. Замечая, что сумма ко¬
эффициентов в уравнении равна 0, находим х\ = \. По теореме
Виета хг = 0,5 (а — 3). Таким образом, при любом значении пара¬
метра а исходное уравнение имеет решение х= 1. Для того чтобы
уравнение имело одно решение, необходимо и достаточно, чтобы
второй полученный корень х2 не добавлял бы новых решений. Это
возможно в двух случаях: либо х2 не входит в область определе¬
ния, т. е. х2 = 3 или х2= — 1, либо х2 совпадает с Х\, т. е. х2=1.
Отсюда находим соответствующие значения параметра а: *2 = 3
при а = 9, х2=^1 при а= 1, х2=1 при а = 5. Итак, искомые
значения параметра равны 1; 5; 9.
Упражнения
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение (1—8):
5.1. а) ±х2-9 = 0;
б) 4х2= 12,25;
в) ±х2-3,5 = 0;
Д-*2_з)5 = 0. г) 12,25-Зх2 = 6х2;
4-9(2-5х)2 = 0; е) 5 (х2-2)2-9,2 = 0.
Зх2 — 8л: = 0; б) 15х+11х2 = 0; в) 12х = 7х2;
0 z . . 5)2 = 9(Зх —5); е) (2х—1)2 = 2 —4х.
д) 4 — 9 (2 — 5х)2 = 0;
5.2. а) Зх2 — 8х = 0; б) 15х +
5.3. а) х2 + а = 0;
в) а2х2 — 4 = 0;
б) х2 — 2х+ 1 =а;
в) 12xn3jl = lzzi£
' О К
2 5
7 3 2
б) 3* 2 x-j-2 .
г) а (х2 —6х +9)+4 = 0.
61 5х—х2 __ х2 + 3х .
’ 2 5
г) 5х—2 __ (4-1 Ох)2
' Q о
х—3 х+З’
2х + 5 _ 9х— 18
' v О Q v I ОЛ
х — 2 8х + 20 '
5.7. а) х2 — 51х| =0;
в) 2х2+|х| —3х = 0;
46
б) Зх2 + 4|х| =0;
г) 4х2 — 31х| +х = 0.
1*1 ~~ 1 2|*|
5.9. Напишите общий вид квадратного уравнения, в котором:
а) один из корней равен нулю;
б) оба корня равны нулю;
в) корни равны по модулю, но противоположны по знаку.
5.10. При каких значениях m ровно один из корней уравнения
равен нулю:
а) Зх2-|-х + 2т — 3 — 0; б) х2 — 2х + т2 — 1 =0;
в) 2х2 — тх + 2т2 — 3т = 0; г) х2+(т + 3)х +\т\ — 3 = 0?
5.11. При каких значениях т корни уравнения равны по модулю,
но противоположны по знаку:
а) х2 + (3т —5) х —2 = 0;
б) 2х2 —(5т —3) x-f 1 =0;
в) Зх2 + (т2 — 4т) х + т—1=0;
г) 4х2 + (5|т| — 1) х + 3т2 + т = 0?
5.12.)При каких значениях т оба корня уравнения равны нулю:
' а) Зх2 + (т —1) х+1 —т2 = 0;
б) х2 — (Зт2-)-4т) х + 9т2—16 = 0;
в) 2х2-)-(3т2 — |т|)х — т3 — 3т = 0;
г) х2 + (16-т4)х + т3 + 8 = 0?
5.13. Найдите число, удвоенный квадрат которого равен этому
числу, уменьшенному в 3 раза.
5.14. Произведение двух последовательных натуральных чисел в
два раза больше меньшего из них. Найдите эти числа.
5.15. Произведение трех последовательных натуральных чисел в
три раза больше среднего из них. Найдите эти числа.
5.16. От вершины прямого угла по его сторонам одновременно на¬
чинают двигаться две материальные точки, скорости которых
равны 5 см/с и 12 см/с. Через какое время расстояние между
ними будет равно 52 см?
ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение методом выделения квадрата двучлена
(17—19):
б) х2+10х + 9=0;
5.17. а) х2 —6х +8=0;
в) х2 — х — 2 = 0;
5.18. а) 5х2 +Зх —2 = 0;
в) 5х2 — 4х — 12 = 0;
5.19. а) х2 + рх + <? = 0;
г) х2 + 3х — 40 = 0;
б) 4х2 —Зх—22=0;
Зх2 + 5х —2=0.
)ах2 + Ьх + с = 0.
47
Решите уравнение (20—22):
5.20./а)) х2 — х — 90 = 0; (^0 х2 + Ъх — 6 = 0;
4х2 — х—3 = 0; 2л:2 —7л: + 6 = 0.
5.21.jfft 25*2 + 90* + 81=0; 0) 36*2 — 84л: + 49 = 0;
^вп0,25л:2 — х+ 1 =0; г) л:2-f 1л: + 9 = 0.
5.22. а) л:2 + 5л:—8 = 0; б) *2-13* + 4 = 0;
в) 9л:2 — 4х — 2 = 0; г) 7л:2 + 18л:+ 5 = 0.
5.23. Вычислите с точностью до 0,01 приближенные значения
корней уравнения:
а) х2 — х — 7 = 0; б) л:2 + 7л: + 3 = 0;
в) Зл:2 + л: — 5 = 0; г) 2л:2 —Зл:— 3 = 0.
Решите уравнение (24—29):
5.24.а) *2-Зл/2* + 4 = 0; б) *2 + 2 (1 +у/8) * + 8 У2 = 0;
в) л:2 — Зл: — 5 —1/7 = 0; г) *2 + 4*-Уз +1 =0.
5.25. а) (3*-2)(* — 3)=20;
б) (* + 2)(4*-5)=-3;
в) (8л: — 9) (3* + 2)-(2*-3) (8ж —2) = 33* + 20;
г) (4х - 5) (3* + 7) — {х — 2) (4х + 2) = 33* + 73./
5.26. а) (3*-8)(7* + 5) = (3*-8)2;
б) 3(5* + 3)(4*2-1) = 8(4*2-1)2;
в) 3*-*2 = 1*^М1;
г) 9 ((3* - 4)2 - (2* - 10)2)=(х + 6)2 (5* - 14)2.
к 27 я1 О2 * + 4 2х — 2 .
' ' 5 6 3 ’
(*+2)(*—5) llx+12 _g X —2 .
' 3 10 3 ’
. 1 х2 Зх 10 — х Зх2 -f- 8* .
' 5 ~ 2 14 ’
г)
Зх2—14х+11 _ * + 9 *+*+1
14 2 5
5 28 а) ^х—| —В | | (*4-2)2
(х+7)2 *2 + 5х_д . (5*+И)2
2 3 ^ 4
б)
в) (*-3)(*-7) 6х_2* + 8 (5* — З)2 .
г\ -у2—1 (х — З)2 __ (х+3)2 о
' 3 8 4
48
5.29. а) (2*-1)2(* + 5)=(*+1)2(4;с + 5);
б) (х+ 1) (х—2)3 — (х2 — 4х — 4) (х2 — х) = 16;
в) (*-5)3(*-1)-(*-8)2(*2-2) = 49;
г) (х2 + 2х— 1) (л:2 — л: — 3) — (л:2 + 1СЬс+ 1) (х2 — 9х — 2) = 66.
5.30. Существует ли на окружности, заданной уравнением
(х — 3)2 + (у+ I)2 = 7, точка:
а) с абсциссой, равной 1,5;
б) с ординатой, равной —3?
5.31. Существует ли на эллипсе, заданном уравнением (х— 2)2 +
+-^-(У + 2)2=1, точка:
а) с абсциссой, равной 4,1;
б) с ординатой, равной —4,9?
Решите уравнение (32—34):
5.32. а) А:2 + 5ал: + 4а2 = 0; б) х2 — Ьх — 262 = 0;
в) х2 — Зах + 2а2 = 0; г) х2-\-ЪЬх — 662 = 0.
5.33. а) х2 — (2а — 4) х — 8а = 0;
б) х2+(36 — 2)х — 66=0;
в) х2 — (За — 2) л: + 2а2 — а — 3 = 0;
г) х2 — 4bx + 3b2 — 46 — 4 = 0.
5.34. a) ах2 — (а+ 1) jt-f1 =0;
б) (а+ 1)х2 — 2х+1 — а = 0;
в) abx2-\-{a2 -\-b2)x-\-ab = 0;
г) abx2-\-(a2— Ь2) х-\-(а — Ь)2 = 0.
5.35. Дано соотношение:
а) а2 —Заб —462=0; б) 21а2 — 4а6 — 62 = 0;
Выразите а через 6.
5.36. Дано соотношение:
а) 2а2 + 4а-|-262 —46 —5 (а+ 1) (6 —1) + 4 = 0;
б) а2 + 262 —Заб — 7а + 106+ 12 = 0.
Выразите 6 через а.
5.37. Найдите отношение двух чисел, если отношение произведе¬
ния этих чисел к сумме их квадратов равно 0,3.
5.38. Найдите отношение двух чисел, если квадрат суммы этих
чисел в 3 раза больше неполного квадрата разности этих
чисел.
5.39. Найдите отношение двух положительных чисел, если отноше¬
ние их среднего геометрического к среднему арифмети¬
ческому равно 0,6.
49
Решите графически уравнение (40—41):
5.40. а) *2-7*-8 = 0; б) *2 +12 = 0;
в) 2л:2 —5л:+ 2 = 0; г) 0,5л:2 + 3,5л: — 4 = 0.
5.41. а) *2+|*|-6=0; б) л:2 — 2|лс| — 15 = 0.
в) 2л:2 + |х | — 1=0; г) 2л:2 — 31 л: | — 2 = 0.
Решите уравнение (42—47):
5.42. а) х2-\-(л[х)2— 2 = 0; б) х2+У?-2 = 0;
в) л:2 —3 (у/х)2 —4 = 0; г) л:2 — 3 у/х2— 4 — 0.
5.43. а) х2-5х-^-=0] б) ++-^1-6 = 0;
X \х\
в) —7лсН- 12 = 0; г) х\х\ + 7л: + 12 = 0.
1 X |
5.44. a) x2-\-(-\Jx — 2)2 — 5 = 0; б) х2-(-^х + З)2-8 = 0;
в) л:2-3л: + ,3,5~|i =0; г) л:2 — 4л:• -1——bL + 2 = 0
\х — 3,5|
х — л
5.45. а) |х2 + 5|=6л:; б) |л:2 + х — 3| =х;
в) 1х2 — х — 81 — —х; г) |л:2+2л: + 3| = Зл: + 45.
5.46. а) |л:-h31 = 12л:2 + л: — 5|;
б) | Зл:2 — Зл: + 51 = |2л:2 блс — 31;
в) |Зл:2 — 6л: — 11 = 213 — х\\
г) 3|2jc2 + 4*+1| = U2 + 5;c+1|.
5.47. а) |л: — 2|л:2= 10 — 5л:;
б) (*2 —5* + 6)2 +3U —3|=0;
в) (7*2-3*-4)2+|7;с + 4|(;с2-1)2 = 0;
г) 6х — 9=х2 {\х — 3| + 1).
5.48. Найдите все корни уравнения л:2 л:-)-д/б — 6 = 0, удовлет¬
воряющие условию л: С-д/2.
5.49. Сравните меньший корень уравнения л:2— 14л:-)-28 = 0 с боль¬
шим корнем уравнения х2 — 2л:— 1=0.
5.50. Сравните больший корень уравнения л:2 — (6—\j2)x-\-8 —
— 2 -v/2 = 0 с числом ——(9—л/21).
л/^—л/3 2 —
5.51. Сравните меньший корень уравнения л;2 — 3 (л/14 -\-\5) х +
+ 2 (л/\4+х/Ь)2 = 0 с числом
л/3 Vl5 — 6 л/6
у/5+2 V6 2 V6 —5
5.52. Найдите все корни уравнения 21 л:2 2л: — 51 = л: — 1, удовлет¬
воряющие условию x<c.xj2.
5.53. Найдите все корни уравнения |л:2 — х — 3| -\-x-\-1 =0, удов¬
летворяющие условию х>—.
О
50
ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение (54 —60):
5.54. а) -^=2
X — 1
2
— 2х 2х— 1
1 — х
= 3:
в)
i-=0,625;
х2 — 4х
х — 4
5.55. a) 2^+J£±±=i;
’ х+5 х + 2
g ^ 4 — Зх t х +1 50
* + 1
5.56. а) —7——-i
’ х+1 2
4-Зх 7 ’
х + 4 Зх2 —38
б)
г)
б)
г)
х2 —2х+1
1 I х+1
— 4-
х —3
1 3-х
36
3
— Q
х2— 12х
х—12
Зх+ 1
2х—3
7 1
х —3
4х+3
11
2х — 5 |
21х+7
я
Зх+1 1
2х-5
б)
-у+ 0.5
9х+3
х+3
-2х х2 — 1
8х2 + 3 _ _ х,+ 2
9х2 — 1 Зх-1
3 — х
Г)
5.57. а)
в)
ц\ ■
’ 4х2— 9 4х2 + 12х+9 2х — 3
1—2л: | 2х+1 _ 8
6х2 + Зх 14л:2 — 7л:
30 | 7—18л:
12л:2 — 3
13
х2-1
65
Xs + 1 л:2—л
17л:— 10 _ 25
1-х3 1 X2 +Х+ 1 X— 1
2х — 7 1
б)
г)
1
_ 2х+ 1 .
1—X Х2+Х+1 1—X3
х2 + х+16 36 —х х — 6
X2—х+1 х3 + 1 х+1
5.58. а) —5
’ х —9х+14
2х + 7
1
б)
В)
г)
5.59. а)
б)
в)
г)
5.60. а)
х2 — Зх + 2 х — 1 ’
-s--i 1—-—5 =—!— •
х“ + 5х — 6 х2 + 9х+18 х + 3 ’
25 8х+ 29 18х+5
4х2+1 16х4 —1
X-1 .
8х3 + 4х2 + 2х + 1 ’
1 х + 2
х3+3х2 + х + 3 1 х4
6
-1 х3 + Зх2 — х — 3 '
8 1 .
х3 —7х2 —7х+1
х2 — 2х + 4 |
х3—8х2 + х х2 + х ’
х2+2х + 4 2х + 2 .
х3 —2х2 + 4х—8
х3 + 2х2 + 4х+8 х2 —4 ’
38
1 х+10 х+10
х4 —х2 + 20х—100
4х I 1
х2 — х +10 х2 + х—10
2
^2 + (3-
= 0;
б)
-(g+ 1) х+2а —2
0;
х2 — х— 12 ’ ’ Зх2 — 7х+2
x2_(3b_1)x + 262-26_n. . х2 + (1-46)х + 362-6 п
В) х2 — 7х+6 Г) 2х2 + 3х —5 U-
51
УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ
Решите уравнение (61—69):
5.61. а
в
5.62. а
в
5.63. а
в
5.64. а
в
5.65. а
в
5.66. а
в
5.67. а
б
в
г
5.68. а
в
5.69. а
х2 — 7\х\ +6 = 0; б) х2 — 4|л:| — 21 =0;
(х — 2)2 — 81л: — 21 + 15=0; г) (х+3)2-|* + 3|-30 = 0.
x2 + 2x + 2U+1|=7; б) х2 — 2х — Ъ\х— 11 +5 = 0;
4л:2— 12л: — Ъ\2х — 3| + 15=0; г) 9л:2 — 24л:— |Зл: — 4| =4,
х2— \х — 5| =5; б) л:2+ jjc-j-41 =4;
л:2 + 4л:-)-|л: + 3|+3 = 0; г) л:2-(- 17 = 9л: + 41л: — 3|.
х = Ь-\-Ьл[х\ б) х— 12 д/* + 35 = 0;
2л: — 1 = 3 -\j2x— 1; г) Зл:—5 —2 -\/3* —5 = 0.
х — 3 + 4д/*~ 3 = 12; б) х + 2—\3^х + 2=—А2;
л:Н- 17 = 10 л/^-4; г) * = 32 + 2 У*+ 3.
*4-5*2 + 4 = 0; б) *4-8*2-9 = 0;
9х4 + 23*2 -12 = 0; г) 16л:4 - 409*2 + 225 = 0.
(* + 3)4-13(* + 3)2 + 36 = 0;
(2л: — 1 )4 — (2л: — 1 )2 — 12 = 0;
(*-1)4-*2 + 2*-73 = 0;
(*+2)4 + 2*2 + 8*-16 = 0.
*4-(а2 + 9)*2 + 9а2 = 0; б) *4-(9а2 + 4) *2 + 36а2 = 0;
4*4-(6 + 36)*2 + 96 = 0; г) 9*4-{Ь - 18) х2 — 2Ь = 0.
2х-х*. 6) ^-~У-3 = 2*-6;
8л:—4л:2 л:3 —4л: . л:2 —л:—2 2л: —4
1-л:2 х+1 ’ ’ л:—3 л:2 —Зл: '
5.70. Решите уравнение f (x) = f (-^-) . где f (х)= -
5.71. Решите уравнение / (*) = — f (— |*|), где:
a) f(x)=*±L-, 6) /W=7ZT-
5.72. Найдите сумму квадратов корней уравнения:
а) х2-\-2\х\ — 1=0; б) *2-4|*| + 1=0.
Решите уравнение (73—74): .
5.73. а) (лг+1)2 (лг2Н-2л:)= 12;
б) (х — 2)2 (л:2 — 4л:) + 3 = 0;
в) (+ + 3*+1)(*2 + 3* + 3)+ 1=0;
г) (л:2 — 5л:+2) (х2 — 5х— 1) = 28.
>5 74 я! х2~2х I 5- 16*~12 • 61 *2+4* 12 —42дс
5.74. 4j(_3+5_ 2х_^ , О) 7х_2 ^ + 4х /,
в) (ёг|)!+(гй)!=4’25; г> (&5)!+(Ш)-Т
52
ТЕОРЕМА ВИЕТА
Решите устно уравнение (75—79):
5.75. а) х2 — 6* +8 = 0; б) л:2 — 5л: — 6 = 0;
в) х2-\-2х — 24 = 0; г) х2 + 9л: + 14 = 0.
5.76. а) Зл:2— 8л:+ 5 = 0; б) 2л:2 + 7л:+ 5 = 0;
в) 463л:2— 102л: — 361=0; г) 67л:2—105л:—172 = 0.
5.77. а) л:2 — 7ах+ 12а2 = 0; б) л:2 + 56л: + 662 = 0;
в) 7л:2 —4ал: —3а2 = 0; г) 7л:2+136л: + 662 = 0.
5.78.а) л:2-(у/2+1)л:+у/2 = 0; б) л:2 + (УЗ-2) х — 2 у/3 = 0;
в) jc2 + (V2+V^) JC+2 V3=0; г) л:2-(у/5-уТ5)л:-5УЗ = 0.
5.79. а) 2л:2-5л:-7 = 2-(-|-)2-5-(^-)-7;
б) Зл:2 + 7л:-2 = 3.(—^-)2 + 7-(—^)-2;
в) 4л:2 — Зл: + 9 = 4 • (3,7)2 — 3 • (3,7 — 3);
г) 5л:2 + 1 Ох + 3 = 5 • 4,2 • (4,2 — 2) + 3.
Составьте квадратное уравнение с заданными корнями
(80—82):
5.80. а) —7 и —2; б) 8 и —3; в) 1-4 и 2; г) —3,4 и 6.
5.81. а) -i-и -i-; б) -2-|-и -2-|-; в) Уз и У+ г) -у/5 и — V&-
5.82. а) УЗ и у/5; б) 3— у/5 и З + у/5; в) — у/7 и у/5; г) 2 —у/7 и у/7.
5.83. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффи¬
циентами, если известно, что один из корней уравнения
равен:
а) -у/6; б) у/7; в) 2—у/5; г) З + УЗ.
5.84. Найдите пары чисел {т\ п), удовлетворяющие условиям:
a) m + /г = 4 и тп = 4; б) m + /г = — 5 и тп = 6;
в) т-\~п = 2 и m/г = —48; г) т + /г = — 3 и т/г = — 18.
V 5.85. Не вычисляя корней уравнения Зл:2 + 8л: — 1 = 0, найдите:
а) 4 + 4; б) *1*1+*2*ь в) -^т+^т; г) 4+4.
х2 Х\
V 5.86. Не вычисляя корней уравнения 2л:2 — 5л: — 4 = 0, найдите:
а) -Т+-Т '» б) х\Х2 + х2х\\ в) ■Ц + -Ч', г) 4 + 4-
Х\ Хч Хч Х\
V 5.87. Не вычисляя корней уравнения 2л:2 — 5л: + 1 =0, найдите раз¬
ность квадратов его корней.
53
5.88. Пусть xi и Х2 — корни уравнения 2л:2 — 7х — 3 = 0. Составьте
квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
J 5.89. Пусть Xi и Х2 — корни уравнения 4л:2 — 6л:— 1 =0. Составь¬
те квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
5.90. При каких значениях k произведение корней квадратного
уравнения л:2 + Зх + (fe2 — 7fe+ 12) = 0 равно нулю?
5.91. При каких значениях k сумма корней квадратного уравне¬
ния х2 + (k2 + 4k — 5) х — k — 0 равна нулю?
^5.92. В уравнении л:2 — 4л: + а = 0 сумма квадратов корней равна
16. Найдите а.
5.93. В уравнении л:2 — 2л: + а = 0 квадрат разности корней ра¬
вен 16. Найдите а.
5.94. При каких значениях а сумма корней уравнения л:2 —
— 2а (jc— 1)— 1 =0 равна сумме квадратов его корней?
5.95. При каком значении параметра т сумма квадратов корней
уравнения л:2 + (2 — т) х — т — 3 = 0 наименьшая?
5.96. При каком значении параметра т сумма квадратов кор¬
ней уравнения х2-\-(т—1)х + т2—1,5 = 0 наибольшая?
5.97. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
5.98. При каких значениях р и q корни уравнения х2 рх-\- q = 0
равны 2р и -|-?
5.99. При каких значениях параметра а один из корней квад¬
ратного уравнения (а2 — 5а+ 3) л:2 + (3а— 1) л: + 2 = 0 в два
раза больше другого?
5.100. Известно, что корни уравнения л:2 — 5л: + а = 0 на 1 меньше
корней уравнения л:2 —7л: + За —6 = 0. Найдите а и корни
каждого из уравнений.
5.101. Известно, что корни уравнения л:2—13х + 6 = 0 равны
соответственно квадратам корней уравнения л:2 + ах + 6 = 0.
Найдите а и b и корни каждого из уравнений.
а) х\ — 2 и Х2 — 2;
б) 2лг 1 —|— 3 и 2л^2 —|— 3*
,1
г) Х\ -\ и •
' XS 1 Xi
а) Х\Х2 и л:2л:2;
в) ^-+1 и —+1;
*2 Л,
л:2-3|л:| + 1=0.
54
ИССЛЕДОВАНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
5.102. При каких значениях параметра с уравнение 5л:2 — 4х+с=0:
а) имеет действительные различные корни;
б) имеет один корень;
в) не имеет действительных корней;
г) имеет хотя бы один общий корень с уравнением
х2 + 13л: — 30 = 0?
Здесь и далее фраза «квадратное уравнение имеет один
корень» означает наличие у уравнения корня двойной крат¬
ности.
5.103. При каких значениях параметра 6 уравнение x2 + 6x-t-4 = 0:
а) имеет один из корней, равный 3;
б) имеет действительные различные корни;
в) имеет один корень;
г) не имеет действительных корней?
^ 5.104. При каких значениях параметра 6 корни уравнения
4х2 + (362 — 5161 +2) х — 3 = 0 равны по модулю?
5.105. Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравне¬
ние х2 + х — £ = 0 не имеет действительных корней.
5.106. Найдите наименьшее целое значение а, при котором
уравнение х2 —2 (а + 2) х+ 12 + а2 = 0 имеет два различных
действительных корня.
V/ 5.107. При каком значении а уравнение
ах2 — (а + 1) х + 2а — 1=0
имеет один корень?
5.108. При каком значении а уравнение
(а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0
имеет один корень?
г 5.109. При каких значениях а уравнение
(а2 — 6а -+- 8) х2 + (а2 — 4) х + (10 — За — а2) = 0
имеет более двух корней?
5.110. При каких значениях а уравнение 2х2+х —а = 0 имеет
хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 — 7х + 6 = 0?
5.111. При каких значениях а уравнения х2 + ах +1 = 0 и
х2 + х + а=0 имеют хотя бы один общий корень?
5.112. При каких значениях а уравнения
х2 + 2 (а — 3) х + (а2 — 7а +12) = 0 и х2 + (а2 — 5а+ 6 )х = 0
равносильны?
5.113. Докажите, что корни уравнения x2jrpx-\-q = 0, где р и q —
нечетные числа, иррациональны.
5.114. При каком соотношении между а, b и с уравнение
55
0,75л:2 + (а + Ь +с) л: + а2 + 62 + с2=0 имеет один корень?
Может ли данное уравнение иметь два действительных раз¬
личных корня?
J 5.115. При каком значении ц^раметра а уравнение
(а + 4л: — л:2— 1) (а+ 1 — \ х—21) = 0
имеет три корня?
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
5.116. Найдите двузначное число, если цифра его десятков на 2
больше цифры единиц, а произведение числа и суммы его
цифр равно 900.
5.117. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а
сумма квадратов этого числа и числа, полученного переста¬
новкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.
5.118. В однокруговом шахматном турнире было сыграно 78 пар¬
тий. Сколько человек участвовало в соревновании?
5.119. В период военных учений в системе обороны дивизии было
создано несколько командных пунктов, причем каждый из
них имел линию связи с любым другим из числа остав¬
шихся. Сколько командных пунктов организовано, если ко¬
личество линий связи равно 45?
5.120. Население города за 2 года увеличилось с 20 000 до 22 050
человек. Найдите средний ежегодный процент роста населе¬
ния этого города.
5.121. Производственное объединение получило задание увели¬
чить вдвое объем выпускаемой продукции в течение двух
лет. Каким должен быть ежегодный прирост продукции
(в процентах), если он планируется одинаковым для каж¬
дого года?
5.122. С аэродрома вылетели одновременно два самолета: один —
на запад, другой — на юг. Через два часа расстояние меж¬
ду ними было 2000 км. Найдите скорости самолетов, если
скорость одного составляла 75% скорости другого.
5.123. Катер прошел 18 км по течению реки, а затем 20 км против
течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость те¬
чения реки, если собственная скорость катера 20 км/ч.
5.124. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. В пол¬
ночь из А в В отправляется поезд. В 3 ч той же ночью
из А в В отправляется другой поезд, проходящий в час на
10 км больше первого. Второй поезд прибывает в В на 2 ч
позже первого. В котором часу второй поезд прибыл в В?
5.125. Из двух пунктов, расстояние между которыми 28 км, выхо¬
дят одновременно навстречу друг другу два пешехода. Ес¬
ли бы первый пешеход не задержался на 1 ч на расстоя¬
нии 9 км от места своего отправления, то встреча пеше¬
ходов произошла бы на середине пути. После остановки
56
первый пешеход увеличил свою скорость на 1 км/ч, и они
встретились на расстоянии 4 км от места его остановки. Най¬
дите скорость второго пешехода.
5.126. Экскаватор роет котлованы емкостью по 20 м3. После того
как был вырыт первый котлован, производительность экска¬
ватора уменьшилась на 1 м3/ч. Известно, что через 6,5 ч
после начала работы было вырыто полтора котлована.
Найдите первоначальную производительность экскаватора.
5.127. Два двигателя начали работу одновременно. Первый из них,
прекратив работу на 2 ч позже второго, израсходовал 300 г
топлива. Второй двигатель израсходовал 192 г топлива.
Сколько топлива в течение одного часа расходует первый
двигатель, если известно, что эта его характеристика на
6 г превышает соответствующую характеристику второго
двигателя?
5.128. Бак емкостью 2400 м3 наполняется топливом. При опорож¬
нении этого бака производительность насоса на 10 м3/мин
выше, чем производительность насоса при заполнении.
В результате время опорожнения бака на 8 мин меньше
времени заполнения. Определите производительность насо¬
са при заполнении бака.
5.129. В колхозе два поля засеяли пшеницей: с первого поля
собрали 1080 ц зерна, а со второго поля — 750 ц. Пло¬
щадь первого поля на 10 га больше площади второго.
Если бы с 1 га первого поля собрали столько же пшеницы,
сколько собрали с 1 га второго поля, а с 1 га второго
поля собрали бы столько же, сколько собрали с 1 га перво¬
го поля, то с обоих полей собрали бы одинаковое коли¬
чество зерна. Сколько центнеров зерна собрали с 1 га каж¬
дого поля?
5.130. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 ч быстрее
второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90
деталей, если, работая вместе, они изготовят за 1 ч
30 деталей?
5.131. Баржа была разгружена с помощью двух подъемных кранов
в течение 15 ч, причем первый кран приступил к работе
на 7 ч позже второго. Известно, что первый кран, рабо¬
тая один, может разгрузить баржу на 5 ч быстрее, чем вто¬
рой кран, работающий отдельно. За сколько времени мо¬
жет разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно?
5.132. Имеется два одинаковых бака. При совместной работе двух
насосов один бак наполняется водой за 3 ч 36 мин. За
сколько времени наполнится каждый бак, если к нему под¬
веден только один насос и с помощью второго насоса бак
наполняется на 3 ч быстрее, чем с помощью первого?
5.133. Два тракториста могут вспахать зябь на 18 ч быстрее,
чем один первый тракторист, и на 32 ч быстрее, чем один
57
второй. За сколько часов може!т вспахать зябь каждый трак¬
торист, работая один?
5.134. В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия,
добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в
сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первона¬
чально?
5.135. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в пер¬
вом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания
меди во втором слитке. После того как оба слитка спла¬
вили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите
процентное содержание меди в первом и во втором слит¬
ках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором —
12 кг.
5.136. После смешения двух растворов, один из которых содержал
48 г, а другой 20 г безводного йодистого калия, получи¬
ли 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого
из первоначальных растворов, если концентрация перво¬
го раствора была на 15% больше концентрации вто¬
рого.
5.137. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта
отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же
литров смеси и сосуд опять долили водой. После этого в
сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды.
Сколько спирта отлили в первый раз?
5.138. Два пешехода одновременно выходят навстречу друг другу
из пунктов А и В и встречаются через полчаса. Про¬
должая движение, первый прибывает в В на 11 мин рань¬
ше, чем второй в Л. За какое время преодолел расстояние
АВ каждый пешеход?
5.139. Две точки движутся по двум окружностям, радиусы кото¬
рых относятся как 1:6. Найдите скорость движения каж¬
дой точки, если за 10 с точка, движущаяся по большей
окружности, прошла на 2 м больше и совершила при этом
в 5 раз меньше оборотов.
5.140. По окружности движутся два тела: первое тело проходит
круг на 2 с быстрее второго. Если тела движутся в од¬
ном направлении, то они встречаются через каждые
60 с. Какую часть окружности проходит каждое тело
за 1 с?
5.141. Придумайте задачу, решение которой приводит к урав¬
нению:
а) *(*-3)«180; ' б)
в\ 10 I 20 __t. „ч 12 , 5 __ 30 ,
10 —х ' х + 50 ’ ’ х ' х+1 х + 2
Решите эту задачу.
58
§ 6. НЕРАВЕНСТВА
1. Числовые неравенства и их свойства.
Число а больше числа 6, если разность а — Ь — положитель¬
ное число. Число а меньше числа 6, если разность а — Ь— от¬
рицательное число.
Если а >6 и 6>с, то а>с (свойство транзитивности от¬
ношения неравенства).
Если а>Ь и c£R, то а + с>6 + с.
Если а >6 и с>0, то ас>Ьс.
Если а >6 и с<0, то ас<6с.
Если а >6 и Od, то a-\-c>b-\-d.
Если а>Ь>0 и c>d>0, то ac>bd.
Если а>6>0 и n£N, то ап>Ьп (в случае нечетного п усло¬
вие 6>0 избыточно).
Если а">6", а>0, 6>0 и n£N, то а >6 (в случае нечет¬
ного п условия а>0, 6>0 избыточны).
2. Неравенства с одной переменной, их системы и совокуп¬
ности.
Решением неравенства с одной переменной называют значе¬
ние переменной, которое обращает его в верное числовое нера¬
венство. Термин «решить неравенство» означает найти все его
решения (или доказать, что их нет).
Неравенства называются равносильными, если множества их
решений совпадают (неравенства, не имеющие решений, также
равносильны).
Несколько неравенств с одной переменной образуют систему,
если ставится задача найти все числа, каждое из которых
является решением каждого из указанных неравенств.
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокуп¬
ность, если ставится задача найти все числа, каждое из кото¬
рых является решением хотя бы одного из заданных нера¬
венств.
Пример 1; Известно, что 2а + 36 = 5 и |6|<9. Оцените
значение а.
Решение. Из условия имеем а = 0,5(5 — 36). Неравенство
|6|<9 равносильно двойному неравенству —9<6<9. Умно¬
жая все части двойного неравенства на —3, получаем — 27 <
<—36<27. Прибавляя ко всем частям полученного нера¬
венства 5, имеем — 22<5 — 36<32. Наконец, умножая на 0,5
асе части последнего неравенства, получаем оценку значения
а: — 11 <а< 16.
Пример 2. Докажите, что (а +1) (а +2) (а + 3) (а+6) > 96а2,
где а>0.
Доказательство. Рассмотрение разности обеих частей
неравенства и сравнение ее с нулем, т. е. попытка доказательства
неравенства по определению, в данном случае затруднительна.
59
Воспользуемся неравенством Коши между средним геометри¬
ческим и средним арифметическим двух положительных чисел:
а +1 ^2 л/а, а+2^2 -^2а, а + 3^2 л/За, а-|-6^2-\/ба. Почленно
перемножим полученные неравенства (это возможно, так как обе
части каждого из них положительны): (а+1)(а + 2)(а + 3)Х
Х(а + 6)^96а2. Заметим, что равенство здесь возможно лишь
в случае, когда каждое из четырех перемножаемых неравенств
обращается в равенство, но это означает, что а=1, а = 2, а = 3
иа = 6 одновременно, чего быть не может. Значит, (а + 1) (а + 2)X
X (а + 3) (а + 6) > 96а2.
Пример 3. Для каждого значения параметра а решите
систему неравенств:
Решение. Умножая обе части первого неравенства на 4,
раскрывая скобки и перенося все слагаемые, содержащие пере¬
менную, в левую часть, а все константы — в правую часть нера¬
венства, получим 5jc< —56, откуда х< —11,2.
Решая второе неравенство, рассмотрим три случая. Если
а<0, то любое действительное число х является решением не¬
равенства, а значит, решение системы совпадает с решением пер¬
вого неравенства. Если а = 0, то решением неравенства |лг|>0
является любое действительное число, отличное от нуля, а зна¬
чит, и в этом случае решение системы совпадает с решением пер¬
вого неравенства, так как 0£(—оо; —11,2). Если же а>0,
то решением неравенства |*| >а является совокупность -а,
и для отыскания решений системы необходимо сравнивать а с
числом —11,2. Пересечением множеств (— оо; —11,2) и
(—оо; —a)(J(а; +оо) является интервал (— оо; —11,2), если
0<а^11,2, и интервал (—оо; —а), если а>11,2.
Ответ: (—оо; —11,2) при а^11,2; (—оо; —а) при
а> 11,2.
3 (jc + 1) + 3,5 (jc + 3) < 5jc — 0,25 (2 — х),
х
\х\ >а.
Упражнения
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
6.1. Сравните числа а и 6, если известно, что:
а) а = Ь — 0,2;
в) a —3 = fc — с, где с<3;
д) а+1 =26, где 6> 1;
б) 6 + 3 = а + 2У2;
г) а + 2 = 6 + с, где с>2;
е) 6+а = 1+62.
6.2. Сравните числа:
60
в) 323-325 и 3242; г) 742-272 и 732-262;
д) V23-VH" и -д/^2—УТб; е) V38+V20 и У37 + У1П.
6.3. Сравните выражения:
а) (а— 1)(а + 2) и (а + 4)(а —3); б) (а — 2)2 и 4(1—а);
в) а2 + 25 и 10а; г) (6 + 3)2 и (6 + 2) (6 + 4);
д) 62 + 5 и 26 + 3; е) 1—а и -—1 (а>0);
ж) с4+ 1 и 2с|с|. а
Докажите неравенство (4—9):
6.4. а) а2+962>6а6; б) -^±б!<а2 + 62;
в) 2а2 + 62 + с2>2а(6 + с); г) а2 + 62>2 (а + 6 —1).
6.5. а) (а2 — 62)2>4а6 (а — 6)2;
б) (а3 — 63) (a — b)^2>ab (а — 6)2;
в) (а2-62)(а4-64К(а3-63)2;
г) (а62 + а3) (а —6))^(а26 +63) (а —6).
6.6. а) а2-а6 + 62>0; б) а2 + 6а6+ 1062>0;
в) а2 + 3>2а; г) (6+1) (3-6)<5.
6-7- а» ++«+ «>
.) a’ + ±»a + -L; г, ^+»2а.
6.8. а) 9а2 —30|а| + 25>0; б) 62 + 25>10|6|;
в) а2 — 4а + 5>2|а —2|; г) 62 —26 + 10>6| 6 — 11.
6.9. а) а4 + 64>а36 + а63; б) а4 + 64 + а6 (а2 + 62)>0;
в) a6 + 66>aV + crV; г) а6 + 66>а56 + а65.
6.1Q. Докажите, что если а^О и 6^0, то:
а) a3 + 63>a26 + a62; б) (а+6)3<4 (а3 + 63);
в) а5 + 65>а46+а64; г) а5 + 65>а362 + а263.
6.11. Докажите, что если а^б, то:
а) а3 — 63^а26 — аб2; б) а3 —63^За6 (а —6);
в) а3 —63>а62 —а26; г) а5 —65>а46 —аб4.
6.12. Докажите, что при любых а и 6 имеет место неравенство:
а) a4-2a36 + 2a262-2a63 + 64>0;
б) a4-4a36 + 8a262- 16a63+ 1664>0.
6.13. Докажите, что для любых а, Ь, с и d имеют место нера¬
венства:
а) (a2 — b2)(c2 — d2)^.(ac — bd)2
б) (а2 + 6 ) (с2 + d2) > (ас + 6d)2,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
ad = bc.
61
6.14. Докажите, что для любых а и Ь таких, что ab^O, имеет
место неравенство (а2 — 62)2^(а — 6)4.
6.15. Докажите, что если асЬ, то ac“^--cb.
6.16. Докажите, что если а<6<с, то ac-^j^-Cc.
6.17. Известно, что а>0, 6>0, с<0, dc 0.
Какой знак имеют выражения: ab, ас. cd, —, —, —,
Ь d с
abc% bcd, <*, « JL A, а6о/, ^ ?
с d ad cd bd с
6.18. Какой знак имеет произведение аб, частное если извест-
ь
но, что:
а) а и b — числа одного знака;
б) а и 6 — числа разных знаков?
6.19. Положительными или отрицательными являются числа а и Ь,
если известно, что:
а) а6>0; б) -^>0; в) ab < 0; г)
ь ь
у
д) а26>0; е) а2Ьс0; ж) р-<0?
6.20. Известно, что а>2. Какой знак имеет выражение:
а) За —6; б) 10 — 5а; в) 2а —2; г) (а — 2)(1 — а);
6.21. Известно, что ас3. Какой знак имеет выражение:
а) 2а —6; б) 12 —4а; в) 2а —8; г) (а —5)(а —3);
д)|=±; е) (а—1)2(а —2);ж)^; з)
6.22. Какой знак имеет выражение (а— 1)(а — 4), если известно,
что:
а) а<1; б) а>4; в) 1<а<4; г) а>5?
6.23. Докажите, что если а>1 и 6>1, то а6+1>а + 6.
6.24. Докажите, что если а>6 и 6<2, то 6 (a + 2)<62 + 2a.
6.25. Докажите, что если а>6>1, то
а2Ь-\- 62 + а>а62 + а2 + 6.
6.26. Докажите, что если aebe2, то
a2b 2b2 + 4a < ab2 + 2а2 АЬ.
6.27. Докажите, что если 1<а<£><2, то
a2b — ab2 — a2 — ab-\-2b2 + 2а — 26 >0.
6.28. Докажите, что если а'^Ь'^с, то
а2 (b — c)+b2 (с —а)+с2 (а —6)>0.
6.29. Докажите, что:
а) если а>2, Ь>3, то За + 5й>21;
б) если а>5, й<2, то 2а —Зй>4;
в) если а>5Ь, Ь>2с, то а>10с;
г) если а<2й + 3с, ft<5m + l, с<4т —2, то а<22т — 4.
6.30. Верно ли, что:
а) если а>3, Ь>5, то ай>15;
б) если а<2, Ь<3, то ай<6;
в) если а>3, то а2 >9;
г) если а <2, то а2 <4?
6.31. Верно ли, что: •
а) если а>3, то |а|>3?
б) если а<4, то |а|<4;
в) если а< — 2, то |а| >2;
г) если —5<а<5, то |а|<5?
6.32. Докажите, что если |а|<е(е>0), то — е<а<е.
6.33. Докажите, что если |а| >М {М>0), то а< —М или а>М.
6.34. Верно лн, что:
а) если а> Ь, то -^> 1;
О
б) если ~, то ad>bc\
о а
в) если 1 и а>0, то а>Ь\
О
г) если а>Ь>0 и cz>d>0, то —?
d с
6.35. Верно ли, что:
с
а) если а>2, то — <3;
а
б) если а<2, то —>3;
' а
в) если ——>1, то 3<а<5;
а —3
г) если 2<а<3, то —Ц->1?
' а —2
6.36. Верно ли, что:
а) если а2Ь^ 0, то 0;
б) если -7-^0, то Ь<0;
О
в) если а2Ь СО, то Ь<0;
г) если -~->0, то а>0?
О
6.37. Сравните а и Ь, если известно, что:
а) асе, с<Ь\ б) а>с, с^Ь\
в) а<с, с<й; г) а>с,
д) а> т = п^о Ь\ е) а^.т^.п=р^Ь.
63
6.38. Сравните а и й, если известно, что:
а) а> т, т>Ь-\-2; б) а^т, т>Ь + 1;
в) а^т, т>Ь-\-сг\ г) а^т, т^Ь +|с|.
6.39. Известно, что а>й +3, й + 1>7. Докажите, что а>9.
6.40. Сравните а и й, если известно, что:
а) а — 2<с<й— 3; б) 2а + 5<с + 2 и с — 3<2(й — 1);
в) а>1+ш2, Ь<2т\ г) а^бя, й^я2 + 9.
6.41. Докажите, что если а + с>й и а —с<й, то с>0.
6.42. Сравните а и й, если известно, что:
а) й —а<с, а — Ь>с\ б) а + с>й + 1, с<1.
6.43. Известно, что 2<а<3. Оцените значение выражения:
а) За; б) —а; в) 2а—1; г) 3 —4а.
6.44. Известно, что 1<а<2. Оцените значение выражения:
а) а2+1; б) а2 — 6а + 10; в) ; г) 18
За+ 4 ’ '' 2а2 +1 '
6.45. Известно, что с — 1 < а < й + 2, 2b— 1 <5, Зс + 2>• 11. Оце¬
ните значение выражения:
а) За; б) в) 2а + 3; г) 1—2а.
6.46. Оцените значение а, если известно, что:
а) а — й2 = 1; б)а+|й|<3; в)а+|й1=2; г) а — й2>5.
6.47. Оцените значение а, если известно, что:
а) а-\-Ь = 3 и й< 7; б) а + й> 3 и й< 2;
в) а + й<5 и й> 1; г) а + й = 7 и 2 й < 3.
6.48. Оцените значение а, если известно, что:
а) а + й = 3 и |й[<7; б) й —а = 2 и |й|^3.
6.49. Сравните а и й, если известно, что:
а) а — ЪЬ и й> 0; б) 5 а = 7й и а>0;
в) -^>3 и й>0; г) — <3 и а<0;
' Ь а
д) —>-г И й>0; е) —и а>0.
a b а Ь
6.50. Сравните а и й, если известно, что:
^ JL-2L+I ь> 0, л>1;
Ь 2 п
б) ь>0, л>1.
Ь 7п
6.51. Докажите, что среднее арифметическое двух неотрицатель¬
ных чисел не меньше, чем их среднее геометрическое,
т. е. ■^‘■-^д/ай (а^0; й^0). Покажите, что равенство
возможно лишь при а = й.
6.52. Докажите, что сумма двух взаимно обратных положитель¬
ных чисел не меньше, чем 2.
64
6.53. Докажите неравенство:
а) a2+ b2^2\ab\\ б) -^-+—^2 (а и Ь — числа одного
' Ь а
t— Onh „2 I д знака);
в) г) а +4 >2.
' v я+6 ’ У?+3
6.54. Докажите, что если а>0, то а^~4 + а'|~9>5д/д-
6.55. Докажите, что если а, Ь, с, d — положительные числа, то
^+^>^(a + b)(c + d).
6.56. Докажите, что если а^О, 0, с> 0, то ас Jrb ^2 -Jab.
С
6.57. Докажите, что если тп = 1, т> 0, то a2m-\-b2n^2ab.
6.58. Докажите, что если а^О, Ь^ 0, то (а3 + й) (а + й3)^4а2й2.
При каких а и b имеет место равенство?
6.59. Докажите, что при а>О, Ь>0 имеет место неравенство
^+bKi+i)>4-
6.60. Докажите неравенство (а-\-Ь) (аЬ + 9)^ \2аЬ (а>0, Ь>0).
При каких а и b имеет место равенство?
6.61. Докажите неравенство b (а2+ 1) + а (Ь2 + 1)^4ай (а^О,
й>0).
6.62. Докажите, что при а^О, имеет место неравенство
(а+ 1) (й + 1) (ай + 1)^8ай. При каких а и Ь имеет место
равенство?
6.63. Докажите неравенство ^4 (а и Ь — одного знака).
6.64. Докажите неравенство (а2й2 +36)(-£-+ — )^36ай (а>0,
\ 4 о а /
Ь>0). При каких значениях а и b имеет место равенство?
6.65. Докажите, что (1 +а)(1 +6)(1 +с)>24, если ^=— и
о с
а>0, Ь>0. 2 2 2 Ч
6.66. Докажите неравенство ( 1 + J ( 1 + ‘^т) (
(а>0, й>0, с>0).
6.67. Докажите неравенство (ай + 6) (2а + ЗЬ)(-^-+-р-)^288
(а>0, 0). При каких значениях а и b имеет место ра¬
венство?
6.68. Докажите, что если а>0, то имеет место неравенство:
а) ~|_(а+-~) +а2^2а; б) а4+~r+~s^4;
в) а.о+^+Д.>8; г) а4»+^+А+А+А>16.
При каком значении а в каждом из неравенств имеет место
равенство?
3 М. Л. Галицкий 65
6.69. Докажите неравенство а4 + b4-\-2с2^4аЬс.
6.70. Докажите, что если а< 0, то а-\——^ — 2.
а
6.71. Докажите, что если а>0, Ь>0, с>0, то £i£_|_£±£_|-
с а
а+с^б.
ь
6.72. Докажите, что если а> 0, то •—^+'^И'+~>6,5.
2 4 а
6.73. Докажите, что если а>0, fr>0, с>0, d>0, то
b с d | а-\-с~\~d 1 a-^-b-^-d i а-}- b с . п
а Ь с d ■
Докажите неравенство (74—86):
6.74. (а + й + с) Н—^- + -^^9(а>0, 0, с>0).
6.75. 4-+-^+4- + -^->4(а>0, b>0, с>0, d>0).
о с а а
e-76- (1+lf)(1+if )(|+т!)(1+тг)>1в- (“>°. *>о. оо,
d>0).
6.77. “4±*£_|_i£±£4 (а>0, Ь>0, с>0, d>0).
bd ас '
6.78. e. + ft.+_Lr+_lT>2.
6-79- ьТ7+^+^Ть>3- (а>0’ й>0’ с>°)'
бт (а>0’ *>0’
с> 0, rf>0).
6.81. (а-f-ft)2^ (1 —f— с) £г2 —f—^ 1 -|—— ^ ft2, (с>0).
6.82. aft+V(l-a2)(l-&J)<l, (|а|<1; |ft|<l).
6.83. V(a + c)(ft + d) ^Vaft + s[cd, (а>0, ft>0, с>0, d>0).
6.84. (а>0, ft >0).
а 6
6.85. -д/а2 + с2 + д/ft2 + d2 > д/(а + *)2 + (с + df.
6.86. д/(а2 -f- с2) (ft2 + с2) + У(62 + с2) (ft2 + d2)+л/(^2 + d2) (fl2 4* d2) +
+д/(а2 + d2) (а2 + с2) > 2 (а + ft) (с + d), (а>0, ft>0, с>0,
d>0).
66
6.87. Докажите, что если произведение двух положительных
чисел есть число постоянное, то их сумма будет наимень- •
шей, если эти числа равны.
6.88. Найдите наименьшее значение выражения х-\-у, если из¬
вестно, что ху — 9, х>0.
6.89. Найдите наименьшее значение выражения 2а-\-Ь, если из¬
вестно, что ab = 8, Ь> 0.
6.90. Найдите наименьшее значение выражения 32 + 2/, если из¬
вестно, что zt = 6, 2>0.
6.91. Найдите наименьшее значение выражения:
6.93. Докажите, что если сумма двух положительных чисел есть
числр постоянное, то их произведение будет наибольшим,
если эти числа равны.
6.94. Найдите наибольшее значение ху, если известно, что
* + y= 10, *>0, у>0.
6.95. Найдите наибольшее значение ху, если известно, что
2* + </ = 6 и *>0, у>0.
6.96. Найдите наибольшее значение ху, если известно, что
Зх + 4</=12 и х>0, у>0.
6.97. Найдите наибольшее значение выражения х (4 — х), если
известно, что 0<х<4.
Докажите неравенство (98—103):
6.98. а) а2 + й2 + с2^ай + ас + йс;
6.92. Найдите наибольшее значение выражения:
б) (а + й + с)2<3 (а2 + /?2 + с2);
/ а+б + с ab+ac + bc
\ 3 / 3
6.99. a) ^+i^+-£l+^>4 (а>0, Ь>0, с>0, d>0);
cd da ab be
б) а4 + й4 + c4 + d4 ^ Aabcd.
67
6.100. а) a4-\-b4+ c4^a-\-b-\-с, если abc— 1, а> 0, Ь>0;
б) y—I—~—h~^т S5 а “Ь b “Ь с (а>0, й>0, с > 0);
Ьс ас ab
(^f) ><*‘Ьс + Ь2ОС + С2аЬ\
г> (т)‘+(тУ+(тУ>т+т+Т’
6.101. а) а3-\-Ь3 -\-c3^3abc (а>0, й>0, с>0);
б) (f )3+(t)3+(v)3^3 (а>0’ й>0’ с>0)-
6.102. a) 3(a2-\-b2-\-c2-\-d2)^2(ab-\-ac-\-ad-\-bc-\-bd-\-cd)-,
б) (а + ft + с + cf)2 sg: 4 (a2 + ft2-|-c2-|-fif2).
6.103. (а + ft — с)2 + (ft + с — а)2 + (а -f- с — ft)2 ^ ab + Ьс + ас.
6.104. Докажите, что если а>0, то а4-)—т^аП~'Н—-Ц.
а" а
6.105. Докажите, что если a2 + ft2=l, то \а-\-Ь\^^/2.
6.106. Докажите, что если а + /7 = 1, то a2 + fr2^-|-.
6.107. Докажите, что если a2 + ft2 + с2 = 1, то la + ft + cl
6.108. Докажите, что если 1<а<2, то 2<а4—— <3.
а
6.109. Докажите, что 4 3 (-^■+~) +5>0 при лю¬
бых а ф 0, ft^=0.
6.110. Докажите, что a (a+ 1) (а+ 2) (а + 3)+ 1 ^0.
При каких а имеет место равенство?
6.111. Докажите, что —j-Н 777++Т->_Г ’ n£N, 2.
71 -(- 1 71 -{- 2 2 71 2
6.112. Докажите, что Н—5—|-——>л/п, n^N, п^2.
л/2 л/3 л[п
6.113. Докажите, что -Л-+^Г7+-~1 Г^ГТГ<1’ n^N-
1*2 2-3 п (тг+1)
6.114. Докажите, что Д-+4-+--Н—n£N, 2.
Z о 71
6.115. Докажите неравенство 1 -3-5 ... (2л — 1)<яп.
6.116. Докажите, что дробь ai+a2+...-\-an не меньше наимень-
bi+b2 + ... + bn
шей и не больше наибольшей из дробей —, —, ..., —,
Ь\ &2 Ьп
(bi>0, 1=1, 2, ..., п).
6.117. Докажите неравенство:
а) — |а|; б) а< |а|;
в) |а + Ь|< 1 а| + |ft|; r) \a — b\'^t\\a\ — \b\\.
68
6.118. Докажите неравенство:
а) |а— 11 + \а — 2\ ^ 1;
б) |а —2| + |а —5|>3;
в) |а-1| + |а-2| + |а-3|>2;
г) |а—11 + |а —2| + |а —3| + |а—4| >4.
6.119. Докажите неравенство:
а) х2 + у2-2х + 4у + 6>0\
б) 2х2 -)- 2у2 — 2ху + 4х — 2у + 5 > 0.
6.120. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В
до А против ветра, причем скорость ветра не менялась.
В другой раз самолет совершил рейс по тому же маршруту в
безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета
развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь
полет ушло меньше времени?
6.121. Два тракториста могут вспахать поле за t\ дней. Если
бы первый тракторист вспахал половину поля, а затем вто¬
рой остальную часть, то потребовалось бы t2 дней.
Докажите, что t2^2t\.
6.122. Докажите, что правильная дробь с положительными чле¬
нами увеличивается с увеличением числителя и знаменателя
на одно и то же положительное число, а неправильная
дробь уменьшается.
6.123. Какая из двух дробей ближе к единице: правильная
О
или неправильная (а>0, Ь> 0)?
6.124. Два катера, имеющие одинаковую скорость в стоячей воде,
проходят по двум рекам одинаковые расстояния по тече¬
нию и возвращаются обратно в пункты, откуда они начали
движение. В какой реке на это передвижение потребует¬
ся больше времени: в реке с быстрым течением или в
реке с медленным течением?
6.125. Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый
турист половину затраченного времени от начала движения
шел со скоростью v\ км/ч, затем — со скоростью v2 км/ч.
Второй же турист первую половину пути шел со скоростью
yi км/ч, а вторую половину — со скоростью v2 км/ч. Кто
из них затратил меньше времени на прохождение пути
от А до В?
6.126. Теплоход прошел путь АВ по течению реки и обратно.
Докажите, что средняя скорость теплохода в этом движении
меньше его собственной скорости (собственную скорость
теплохода и скорость течения реки считать постоянными).
69
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ
6.127. Является ли решением неравенства 2х + 3>7х—17 зна¬
чение х, равное:
а) 2; б) 6,5; в) —д/3; г) л/20?
6.128. Какие из чисел —3; —2; 0; 1; 2; 2 д/3; д/ТО являются реше¬
ниями неравенства х2<Зх+1?
6.129. Укажите какие-либо два решения неравенства:
a) Зх>7; б) 4х<х + 2; в) х2<2; г) х2>3х.
6.130. Укажите какие-либо два целых решения неравенства:
а) -j-<2; б) в) (jc-3) (8-jc)<0; г) х2>1.
Равносильны ли следующие неравенства (131 —133)?
6.131. а) 2х — 3>2 и 2х — 4> 1; б) 2*>6 и Зх>12;
в) 3 — 5х<х и 3<6х; г) ЗлН—— >6Н—— иЗх>6.
х—3 х — 3
6.132. a) 2x2<z8x и х<4;
б) (х — 2) (*2 + 1)<3 (*2 + 1) и х — 2<3;
в) (х — 2) (х2 — 9) > 5 (х2—9) и х — 2 >5;
г) —Цг>2 и 1 >2 (ле —3).
X — о
6.133. а) Ц=±-<2 и 2х— 1 <2 (х2 + 3);
X о
б) -^=i-<2 и Зх— 1 <2х — 6;
х — 3
в) -у<2 и 2х2> 1;
XI
г) -i->3 и Зх2< 1.
X
Решите неравенства (134—136):
6.134. а) — 3* + 21>0; б) 18 —6х<0;
в) х — (5 — 2х)^ 3; г) 2 (х — 2) — 5 (1 — Зх)<2.
6.135. a)
б) ^--^<2;
О О
В) 7(*-3) +5(6_2л:)+14;
г) 5(х —2) —3< 9(jc2-2^—3 (2х—4).
70
6.136. a) i=J~3(2x—+
2 3 (2 — x) I 7x+l^x+ll ■ 13+16* .
’ 2 10 ' 4 3 20
в) 2(3* —5) (*-l)-3(l—(2*+1)(3—*)+■*=*.)< 13;
r) 3(*-l+^=^-(l-2(*-l-^-)))>5*-7.
Решите неравенства (137—138):
6.137. a) (3 — д/Тб) (2* —7)<0; 6) 3 л/П (5 —2*)> 10 (5-2*);
6.138. а) 3 V2-3>2*(l-V2);
б) (3 лДО —6 л/3)*<5(2 л/з—лДо);
в) (1 -(- * л/З) л/2 * -|- 2 л/3;
г) д/б (2—*)>5 — 2*.
Найдите область определения функции (139—140):
6.139. а) у = л/3 — 5*; б) у=—— '■+* ;
V3-2(7-5x)
6.140. а) у—л/—л/2 (2 — 3*);
в) у = л/2 (3*— 1) — 7*+ 2;
о; У =
V(3jc— 1) V2 — 3jc + 2 ’
В) y==V2-л/3(*+л/3)-2*;
Решите неравенства (141 — 142):
е14'- а>
В)
6.142. a) i£±i<2;
jc —2
в)
6.143. Решите неравенство (а — параметр):
а) 5* — а>ах — 3; б) а (2*— 1)<а* + 5;
в) а (3—*)^3* + а; г) 3(2а + *)<1—ах.
71
6.144. Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее нера¬
венству:
„ ч 2х — 1 2х — 2 о.
з) — ~>2>
f?\ Зх — 2 5х— 1 ^ | .
4 3 ’
v 2х2 — 5х + 3 4 — 15+ х2 1-2х .
’ 6 12 — 3 9 ’
г) (х + 4)2 — (х — 10)2 ^ 140.
6.145. Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее нера¬
венству:
а) -Ь^+З<3х—
б) 1>-^£—х\
О О
в) (Зх— 5) (2х — 5) — (2х— 3) (х— 3) + 6х;>(2х— 5)2-f-6;
ч {Зх — 7) (Зх — 2) (8х— 19) (х+ 1) г (6х-7)(2х-5)
’ 3 4 12
6.146. Найдите все значения а, при которых квадратное урав¬
нение: ^
а) Зх2 —2х + а = 0; б) ах2 —Зх—1=0;
в) (2а—1)х2 + 2х—1 =0; г) ах2 —(2а—1) х + а + 2 = 0
имеет два действительных и различных корня.
6.147. Найдите все значения а, при которых квадратное урав¬
нение:
а) х2 — 4х + а = 0;
б) 5х2 —бах —1=0;
в) (1 — а) х2 + 4х —3 = 0;
г) (За — 5) х2 — (6а — 2) х + За — 2 = 0
не имеет действительных корней.
6.148. Найдите все значения а, при которых квадратное урав¬
нение:
а) х2 — 4х-|-а = 0;
б) ах2 —9х — 2 = 0;
в) (1 — За) х2 —4х —3 = 0;
г) (а— 1) х2 — (2а+ 3) х + а + 5=0
имеет действительные корни.
6.149. Решите уравнение:
а) |х —2|=х —2; б) |2х-3|=3-2х;
в) |2х—4| = 10 — 5х; г) | —х—3| =—+2.
3
6.150. При каких значениях а уравнение 2х + 3 = 2а + 3х имеет
положительное решение?
72
6.151. При каких значениях а уравнение 1+3* — а* = 2+* име¬
ет отрицательное решение?
6.152. При каких значениях а уравнение а(3х — а) = 6* — 4
имеет одно положительное решение?
6.153. При каких значениях а уравнение а(х— 1)=х — 2 имеет
решение, удовлетворяющее условию *>1?
Решите систему неравенств (154—157):
6.154. а) ( 2х — 6>0, б) (5* + 7>0,
| 4х — 20 <0; | 2х — 3>0;
в) ( Зх — 5<0, г) г 18лс—6<0,
| 7* + 28<;0; | 15 —3х<0.
6.155. а) ( 3(х— 1) — 2(2 — 3*)>5* — 3,
(8* — 3 (2х + 5) <; 2 (* — 7);
б) г 5 (* + 2) — 9 (* + 1) — 3 < 1 — 4 (* + 3),
\ 7(3 + 5*)<3*-5(*-2);
7
в)
{
_х 7 5л:
2 4 2 '
2х+1
"Г- г)
<5-
1 —2х
4 3
6.156. а) (Зх — 5>*— 3,
{
2*+1
3
_х
3
3<*-
5х
"• 3
3 — 2л:
П_
6
в)
{ 2* + 4<3* + 5,
|^7 — 2*>*— 2;
2х — 3 > 3 (* — 2) — 1, г)
2 —3(2 —*)<5(2*—1),
13—1->3 (jc+2)— 1;
б) Г2*—1>3 —5*,
с 3* + 2 > 3 — 4х,
— 3 + 5*<2;е + 5;
-у-КЗ-2 (1-2*),
3*-5> 1-2(1-*),
1 —2*< 3 (2* — 1).
6.157. а) ((*—0,2)2 — (* + 0,2) (* — 0,2)>0,04,
( (* + 0,4) (* + 0,04) - (* - 0,4) (* - 0,04) > 0,044;
б)
в)
г)
-*+1<
х—2 х — 3
4 " 1 ‘ ' 2 3 ’
3 —*>2*— 10;
-!-<*—n+i-K—K-
2х—3
(*~02-1
<2;
X < 2(Х
-|)2+з
10
2 (х —
-з,
73
6.158. При каких значениях а система неравенств имеет хотя бы
одно решение:
а) гх<3, б) гх<15, в) (х^.7, г) гх<1а,
|х>а; [х>а; [х^а; [х^2?
6.159. При каких значениях а система неравенств не имеет ре¬
шений:
а) ( хс4, б) с х^.2, в) ( х<5, г) г х^а,
( х>а\ [х>а; { х>а; [х>2?
6.160. Существуют ли такие значения а, при которых решением
системы неравенств гх>3, является промежуток:
а) (5; +оо); б) (3; + °°); в) [3; +оо); г) (2; +оо)?
6.161. Существуют ли такие значения а, при которых решением
системы неравенств fx^C5, является промежуток:
| хса
а) (—оо; 7); б) (— оо; 5); в) (— оо; 5]; г) (— оо; 2)?
6.162. При каких значениях а система неравенств г 3 — 7х<3х —7,
( 1 + 2х<а + х
не имеет решений?
6.163. При каких значениях а система неравенств
3 (а — 5х)< 1 +х,
{
2—|->3 + 5(х-а)
имеет хотя бы одно решение?
6.164. Решите двойное неравенство:
а) —3<3 —2х<1; б) — 2<3х— 1 < — 1;
в) 0<4 — Зх<2; г) 0<1— 2х<1.
Решите систему неравенств (165—166):
6.165. а) ( —1<1—2х<2, б) г0<1-3х<1,
| 3 — 5х> 0; | 3 — 4х<2;
в) г — 3<2х — 3<—1, г) ( — 1 <3 —5х<0,
\1-4х<0; ( 4-2х< —3.
6.166. а) Г 2х —3<0, б) Г Зх —2<5х —8,
2*_5->4; I ^L<4;
в)
х-2
7<2х + 1 < 11, '' I —2<2 —х< 1,
6.
X
V х—5 х — 3 * ^ 1—х х — 4
6.167. Найдите середину промежутка, являющегося множеством
решений системы неравенств:
а) Г б) (±+*=±>*=*-0,3,
_ I ^ х 1 7_ б) (
4 ' 4 ^ 4 8 ’ J
2>-f+^£; I
5 1 10 ^ 5
1 > *^1+0,5 (х + 3).
74
6.168. Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее системе
неравенств:
6.169. Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее системе
неравенств:
6.170. При каких значениях а уравнение х2 — (2а— 1)х +1 —а = 0
имеет два различных действительных положительных
корня?
6.171. При каких значениях а уравнение х2 — (2а + 4) х — 5 — 2а = 0
имеет два различных действительных отрицательных корня?
6.172. При каких значениях а уравнение х2—(2а — 6) х + За + 9 = 0
имеет корни разных знаков?
6.173. При каких значениях а уравнение х2 — (а — 2) х — 2 — 3а = 0
имеет корни Х\ и х2 такие, что Xi<c0, х2>0, |xil>x2?
6.174. Найдите все значения а, при которых корни уравнения
х2 + (а + 1) х — 2а (а—1) = 0 меньше, чем 1.
6.175. Найдите все значения а, при которых один из корней
уравнения х2 — 2ах + а2— 1 =0 меньше 1, а другой — боль¬
ше 1.
6.176. Найдите все значения а, при которых корни уравнения
х2 — 4х — (а— 1) (а — 5) = 0 больше, чем 1.
6.177. Найдите все значения а, при которых корни уравнения
х2 — 2 (а — 1)х + а+1=0 больше, чем 1.
6.178. При каких значениях а один из корней уравнения
х2 — 2 (а+ 1) х + 4а+1 =0 меньше 1, а другой больше 1?
6.179. При каких значениях а система уравнений
имеет решение х<0, у> 0?
6.180. При каких значениях а система уравнений ( х + Зу — 2а— 1,
имеет решение х>0, ус0?
6.181. При каких значениях а система уравнений ( 3х—у= 1 —а,
{
13_3^2£ + £±1<14_7^8£i
х—у = а
имеет решение х>1, уС.4?
75
6.182.
6.183.
6.184.
6.185.
6.186.
6.187.
6.188.
Решите совокупность неравенств (182—186):
а) Г*<3, б) Г*<5, в) Г*<7, г) Г*>9,
[х>2; [х<;3; [х>8; [х>3.
а) гл:> 3,
[5 — 2*<2 (1 —х);
в) г2х — 3> 1,
| 3 — 2* >2 (1 —х);
'2<х<5,
х<2;
— 1 <*<0,
0<*<2,
2<1х<5;
а)
в)
б) Гх<2,
[3* + 5>3(х+1);
г) гх<2,
[Зх + 5>3(х+1).
б) гЗ<х<5,
[х>5;
г) Г — 1 <х<2,
2<х<5,
[х>5.
. Г*<3, б) Гх<5, в) Гх>7, г) |'х<2,
а' [х>3; [х<!5; [х>7; [х>2.
а)
в)
1
3 — х ^ 2х— 1
3 ^ 5
— 1 >4* —4;
3 — 2х ^ 1 —х
5 '2
2 — Зх>х;
б)
г)
>1,
2х+\ 2 — х
2 7
— 4х— 1 <0;
Зх — 2 ^ 1 — 5х
——-
Зх— 1 <3 — 2*.
Найдите все значения х, удовлетворяющие условию
(187—188):
а) (0<*^3,
Цх>2;
в)
а)
в)
— Зх> — 12 + х, г)
(х< —2,
1*>1
2х+ 1 > —х— 10;
!*>1, б)
2х — 3<5,
0<*< 1,
Зх< 1;
Г 1 <2*— 1 <5, г)
\2<3х—1 <11,
/ 10<4х —2<26,
\ 3 < 2* — 1 <11;
— 2<3х —5< 19,
"Зх— 1 <5,
[2х — 5> 7.
Гх< 15,
\3-6х<15,
/х>5,
\3<х— 1 <5;
0<*<3,
1[ х<1>
76
6.189. Докажите, что при а<Ь каждое из неравенств
(х — а)(х — Ь)<0, <0. ~—- <О
v ' х — Ь х — а
равносильно двойному неравенству а<.х<Ь.
6.190. Пользуясь результатом упражнения 189, решите нера¬
венство:
а) (х — 2)(х — 5)<0; б) (х — 4)(* + 3)<0;
В> Й<°= Н<°-
Решите неравенства (191 —192):
6.191. а) (3 — х) (2х — 5)>0; б) (5 — Злг) (2* + 1)>0;
в) -^<0; г) -£±р->0.
’ 1 —х ^ ’ 5 — 2*"^
6.192. а) х2 — 5х<с0; б) 7х — х2>0;
в) *2-3* + 2<0; г) 4х + 5-*2>0.
6.193. Докажите, что при а<Ь каждое из неравенств
(х-а)(х-Ь)>0, ^>0, ^>0
v ' х — о х — а
равносильно совокупности неравенств г*<а,
[х>Ь.
6.194. Пользуясь результатом упражнения 193, решите нера¬
венство:
а) (х— 1) (х— 3)>0; б) (х — 2) (* + 5)>0;
в) ^>0; г) ^>0.
Решите неравенство (195—198):
6.195. а) (2—*)(* —8)<0; б) (1 —х) (7 —х)>0;
в) г) 20L <0.
6.196. a) jc2 — 5л:>0; б) 4лс — Зл:2^0;
в) х2 — 8х + 7>0; г) 3 + 2* — х2<0.
6-197- а) 7Гз<0: б) тЙ-<0;
в) (х2 + 5)(2х — 17)<0; г) (-*2-3) (3* + 7)>0.
6.198. а) (х— 3) (х— 7)<0; б) (*- 2) (2*-9)2> 0;
в) (х2—10х + 25)(2х —4)^0; г) (9х —6*+1)(* —2)
2'^и,
>0.
Для каждого значения а решите неравенство (199—200):
6.199. а) х2 —ах<0; б) (х —3)(х —а)^0;
в) ах — 3*2<0; г) х2 — (а+ 1)х + а>0.
77
6.200. а) — <3jc — 1; б)
а а—2
д\ * —3 - * — 2 . ч *-2-^ I—2х
В> а+1 <а_3 > Г> а_3> а ■
6.201. Докажите, что неравенство |ле| Са (а>0) равносильно
двойному неравенству —а<х<а.
6.202. Пользуясь результатом упражнения 201, решите нера¬
венство:
а) |*| <3; б) |*| <2; в) |2*-1|<3; г) |3-2*|<7.
6.203. Решите неравенство:
а) |* — 3| < —2; б) |*-4|<0;
в) |* — 5| <0; г) |2*+1|<—3.
6.204. Докажите, что неравенство |*| >а (а>0) равносильно со¬
вокупности неравенств Г*< —а,
[*>а.
6.205. Пользуясь результатом упражнения 204, решите нера¬
венство:
а) |*| >3; б) |*| >7,3; в)|2*-4|>6; г) (3 — 2*1 > 1.
Решите неравенство (206—208):
6.206. а) |* — 31 > — 1; б) |*-5|>0;
в) |2*-10| >0; г) |3* —51 >-2.
6.207. а) 1 <|*1 <2; б) 2<|*-3|<5;
в) — 1 < 12* — 31 <7; г) 0 < 12 — 3*| < 1.
6.208. а) И* —3|—2|<1; б) ||*-4|-2|<3;
в) 112* — 11 —21 >3; г) || 3* — 41 — 5|>1.
6.209. Для каждого значения а решите неравенство:
а) I* —3|<а; б) |*—2|^а;
в) |* + 5|>а; г) |3 —2*|>а.
6.210. При каких значениях а неравенство справедливо при лю¬
бом значении *:
а) |*| >а; б) |*|+2а—1>0;
в) а|*| — 1 <0; г) 213 — 5*1 +2 — 3а>0?
Решите неравенство (211—212):
6.211. а) I*— 11 <2* — 4; б) |*—3| <6 — 3*;
в) | *—41 > 2* — 1; г) |2х + 5|<* + 4.
6.212. а) |*-1| + |*-3|<*+1;
б) |* + 21 — I* — 31 > 2* — 1;
в) |*—11 + |* —21 <3* —9;
г) |* —2| + |* —3| <6 —3*.
78
Решите систему неравенств (213—216):
U-5K3,
6.213. а)
|*-1|<2,
б)
'
|* —4| >5;
в){
|2* — 5| <3,
13*—1|<4;
г)
6.214. а)
3 — 2* <2—*,
б)
— 6> — Зх,
<
Зх — 2^5* — 9,
\х — 41 < 1;
{ |*-4|>2;
[\х-
3| <5,
2|>1.
2лс < 5,
*-3<1—
U-3K2;
)<3,
в)
(30
I \х-
f)>2*-l,
— 11 —(— |х — 2| <3 — х;
6.215. а) (3* —2<* + 6, б)
3 —2*>-|—4,
U —7| + |лг —9| < 15;
в) ( \х — 11 <9 — 2х,
6I + U-
г)
(2(1
2х-
91 + 1*-
1>* + 2,
10| >лг —2.
f-3<-
\х — 3| + |*— 16|<15;
{ |де — 5| + |*
г) ( | х 41 < х 3,
I \х-1\ + \х-2\ + \х
6.216. а) ( |*-5| <1,
} (х-3)(х —
{
7| > 15;
- 5) > 0;
-3| <6.
б) { |2*-II <5,
в) [ I* —21 <5-
г)
х-\-3
<0;
х — 2
I* —3| <2* —3,
Зх — 5
х— 1
-<2.
6.217. Докажите, что неравенство х2са2 равносильно неравенст¬
ву |*| <а (а>0), а неравенство х2>а2 равносильно не¬
равенству |*| >а (а>0).
Решите неравенство (218—223):
а) *2<4; б) 4*2<9; в) (2*-5)2< 1; г) 16 — (2лг — З)2>0.
а) *2> 1; б) 9*2>16; в) (3-5*)2>49; г) 81-(3+2*)2<0.
6.218.
6.219.
6.220.
6.221.
6.222.
а) (3* — 2)2>0;
в) х2 — 6*+ 9^0;
а) (2* — 1 )2> — 1;
в) *2-8*+17<0;
а) (х2 — 9) (2х — 3)<0;
4
в)
Зл: — 5
<0;
б) (1 —2*)2<0;
г) 4*2 — 4*+1^0.
б) (3—*)2 + 4 <0;
г) *2 + 4* + 7>0.
б) (1-*2)(3-5*)>0;
' 9 — л:2
79
6.223. а) б) -^гСО;
в) (х2 —4) [Ах2— 1)>0; г) (л:2 — 1) (16 — 9л:2)^0.
6.224. При каких значениях а неравенство удовлетворяется
при любых значениях х:
а) (х—2)2>а; б) (х — 3)2>2а — 7;
в) х2 — 2х+1+а>0; г) г2 + 6х + а>0?
6.225. При каких значениях а уравнение не имеет корней:
а) хг — ах + 9 = 0; б) х2—(2а— 1)х + 1 =0?
6.226. При каких значениях а уравнение имеет два различных
корня:
а) Зх2 — 2ах + 12 = 0; б) х2 + (1 — а) х + 1 =0?
Решите неравенство (227—229):
6.227. а) (*—1)2(х —3)<0; б) |jc — 5| (де — 7)<0;
в) (х-2)2(л:-1Х0; г) |х —5| (3* —7)<0.
6.228.а) |х—1| (х—1)>0; б) |*-2| (*-2)>0;
в) |х2— 161 (3-*)>0; г) -!g=r|L>0.
6.229. а) (х — 3)Л/^115>0; б) (х — 5)Ух — 2>0;
в) (l-x)V2x-3>0; г) — <0.
VI —X
Для каждого а решите неравенство (230—231):
6.230. а) (х — 3)2<а; б) (5х + 3)2>а;
в) (3-4*)2<а-1; г) (2-*)2>3-а.
6.231. а) \х — а| (х — 3)<0; б) (* —а)|дс — 5| <10;
в) (х — а)2(х — 7)>0; г) (х — а)(2х + З)2>0.
Найдите область определения функции (232—235):
6.232. а) и=уы —з + У*г + 9 + ~10-- '•
б) «/=л/7—:U —21 +V^+2+^=^;
в) у=л1х2 — 9+-^6 — 2х-\-л]5+ 12—Зле|;
г) t/=Vl6 —х2+д/—2х —8+Vx2 —6х + 9.
6.233. a) y=-fE^\ б) у=д/(Здс—2)(jc —5);
V7x—14
В) У=^1~7х~\ч; Г) У — — 2 -фГ—5.
80
6.234. a) y=-yf^-; б) у=л/\х\ (**-16);
в) г) У=л1\х-5\ (4—|*|).
6.235. а) у=~\jx — 2 ~^х — 3— х —х\
б) у=^(х-2) (* - 3) +V(5-х) (6- *);
В) y=M + jE;
+5 —х ^7 —2х
7 —2л;
6.236. Найдите промежутки знакопостоянства функции:
а) у — (х 1) (2х 5); б) y=-£=2jL;
в) у = х2 — 4; г) t/=16 —25*2.
6.237. Решите неравенство:
а) л/2х— 1 <3; б) л12х — 3^4;
в) У9-л:2> 1; г) -у/|*| -2<3.
Постройте график функции (238—239):
6.238. а) у= \2х — 5| +3*— 1;
б) у= |дс —5| + I* —2|;
в) y=^jx2 + 6х + 9 — л/х2 — 2*+ 1;
г) у=л1х2-4х-\-4-\--^х2 — 8х-\- 16+V*2 — 12л: + 36.
6.239. a) y=Jj~L i б) ^=^z|i-+-7r|L;
в) t/= l*+2J_ (3 — х)\ г) */=_Le±1Ljc4—L=£~
’ у х + 2 v у х+1 ~ |х— 11
6.240. Решите уравнение:
\ |х|—4 1. |х + 2| — 3 о.
| х — 31 — 1 _1’ |х|-1 ~А'
в) дс2 + 21л: — 11 — 2 = 0; г) г2 + 4|* +11 — 8 = 0;
д) —-—= — 1; е) .x-l*L-zL= -±
Д' х|х — 11 ’ ' |х — 2| 3 '
81
§ 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
1. Определение степени с целым показателем.
а_п==4г. гДе а+=0 и n£N\ а° = 1, где аф0.
а
Таким образом, с учетом известного определения степени с
натуральным показателем (см. § 1), определена степень с произ¬
вольным целым показателем.
2. Свойства степени с целым показателем.
Для любых целых т, п и произвольного аФ0 имеют место
равенства:
ат-ап = ат+п, ат:ап = ат-\ (ат)п = атп.
Для любого целого п и произвольных аф0, Ьф0 имеют
место равенства:
(ab)n = an-bn;
Пример 1. Упростите выражение
((а-3 — а~1Ь~2 — Ь~3) (Ь3 — а2Ь — а3)”1)-1.
Решение. Преобразовывая выражения, содержащие сте¬
пени с целым показателем, полезно помнить, что замена всех сте¬
пеней с целым отрицательным показателем на степени с на¬
туральным показателем не всегда приводит к наиболее рацио¬
нальному решению. Часто бывает целесообразнее использовать
свойства степеней, как, например, в данном случае:
((a-3 — a~'b~2 — b~3) (Ь3 — а2Ь — а3)~{)~[ =
= {(а~3 — а~1Ь~2 — Ь~3) (а3Ь3 {a-3-a'lb~2-b-3))-[)~l =
((а-3 — а~~'Ь~2 — Ь~3) (а3Ь3)~1{а~3 — а~1Ь~2 — Ь~3)~')~[ =
= ((а363)"1)-1 = а363.
Пример 2. Решите уравнение + (0,5 —*)_2 = 4,25.
Решение. Используя определение степени с целым отрица¬
тельным показателем и свойство квадратов действительных чисел,
запишем: (0,5 —x)~2 = ^0 = 2. Введем новую перемен¬
ную у=(х— 0,5)2. Уравнение примет вид: у-\—Очевидно,
У *
что числа 4 и у являются корнями данного уравнения, а других
корней быть не может, поскольку уравнение это сводится к квад¬
ратному, т. е. имеет не более двух корней.
Итак, (х — 0,5)2 = 4 или (х— 0,5)2 = 0,25. В первом случае
*-0,5= ±2, откуда *1=2,5, х2= —1,5. Во втором случае
* — 0,5= ±0,5, откуда *з=1, *4 = 0.
82
Упражнения
Вычислите (1-4):
7.1. а) 2-4; б) (-1,7)°; в) (0,2)-2; г) (-1^-)~2.
7.2. а) (—1)~3; б) —Б-2; в) 16-2~3; г) 18-3-1.
7.3. а) ( — ОД)-3; б) (£)~2; в) ^2; г) Г*.
7.4. a) bfl; б) 9.(АД; в) МД; г) ^ '^) .
7.5. Представьте числа:
а) 64, 16, 4, 1, -i-, -i-, в виде степени с основанием 2;
2 о «32
б) 81, 27, 9, 3, 1, Y' ^7 в виДе степени с основа¬
нием —.
3
7.6. Представьте числа
а) 1000; 10; 1; 0,01; 0,0001 в виде степени числа 10;
б) 125, 5, 1, J-в виде степени числа 4-.
25 Ь25 5
Вычислите (7-8):
7.7. a) (-L)"2; б) (л/5)-; в) (f)"2; г) (А)"‘.
7.8. а) ЫЫП. б) -5±Ь/1_; в) 1±Чз ■ г) (Э+У2)-2
1+V2 (5-2т/б)“‘ (л/3-2)-2 11 —6 V2
7.9. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало
нулевых и отрицательных показателей:
а) m3n-2, а°6_3, 7*-|«/°, 7~'а_263с_|;
б) (а — Ь) (а + 2)-2, (х + у)(х —у)-1, (т + л)° (т — д)~3;
■» ((т)"'+(т)"')"'
г) (ДДГ' (о-,+»-')(о + »Г'.
Найдите значение выражения (10—12):
7.10. а) 2—5*24; б) 53-5-7-52; в) (у)~4-( 1,5)3; г) (У2)-3.(У2)-‘.
7.11. а) 3~14:3-16; б) 7-5:7~3;
в) г) (УЗ)-7:(у/3)-3.
83
7.12. а) (З-1)"2; б) (2-3)-2-2~3-28; В) 5~7-(5-2r3; г) ((У2)~3)-2.
7.13. Вычислите: а) 16—2-83; б) 7°*7—2; в) 2gJ24 ;
3~|2-95
Г)
4.012 о-2 '
27-3-9
Упростите выражение (14—15):
7.14. а) а‘°а 2а 3; б) а|0:а 3; в) b 2:Ь5; г) -——.
7.15. a) (24-2-V):(2-3a-5*-4); б) :(!а~ПГ+'сЙ) ;
=) (f дг-V-V):^^; г) (х-Л-^)-(^)-.
Вычислите (16—17):
7.16. а) ((-2-)3)2-(-2Г7 • б)
^ (— 2)3• (— 2)5 ’ U; ^'.(-ЗГЧ-З)-2)-' ’
(4 )--(wr'; г) |0,4Г,12,5Г. -
Чт)" ’
(0,16) -((6,25) )
(2,25)"
7.17. а) (б-3.(А)°)-2; б) ((Х)--±)~\
2-Ч3-(4Г
в) —
2+Ы
г) (1_(1-2-|)-|Г'+(1+(1+2-|Г1Г1-
7.18. Упростите выражение:
\ (ab~5 —a~5b)~l(a~3 + &~3). (ab~7 — а~7Ь)~'(а~3Ь + аЬ~3)
(a-'б-4 —Ь-'а-4)-1 ’ ’ (Ь-4 —а-4)-1
7.19. Упростите выражение и вычислите его значение при указан¬
ных значениях переменной:
а) (36-*-2a-')(f4++) (*.-’+£) при а--2,
6=v3;
б) (6_2+рт)(2^-6_2)(&_4+^-) ПРИ а = Ь=^2;
*> ((+-ff):++9i.-)):(^"1-4-)np„n-V2,<.-6;
г> ((+"^>):(ж+4-’))■'(+-+-’) "Р" °=V3,
Ь=л[2.
84
Упростите выражение (20—26):
топ .9~'УУА~..п... •( L 1 ^а\ а~2п — Ь~2п ( 1,1
7-20- а) -а-2^Ъ-2Л~-~") ' б) Л^+F
721 а) (9а~2-16Ь-гГ- бч (2а-3 + Э6-гГ
’ (За-1 —4b-1)'1 ’ ' (4а~6—9ft"4)" ’
7-22- “> 6)
7 по Л 13 8l —ю 4а8 \ . 0,2a“7ft“'
7 I1 25 _5ft^J“
-v
, -2
724 ( (p-g>3 Vf р-? Г27тГ4
’ • \(2m)"2(p + ?)2/ \4"'-(P + <7)3/ \ 2 /
a-\-b)
—1\
7-26- (p^£) "' <(£Г' +ШT'
Решите уравнение (27—31):
7.27. а) ( —*)-i=y; 6> (2^+ir'=-f;
в) (3jc-‘ +2)-'=-|-; г) (5-(2^)-|)-'=(y)'
7.28. а) *-2=-f; б) (3*-l)-2=(f)“‘;
в) (2—jc-')-2 = 4; г) (17 —(5jc)-2)-1 = 1.
7-29- ‘УтУУ'УУ^У1- «> (££?Г1=(*?)'
в> )1й|&=<з*)-[+5лг-'; г> %уу='-(°м
7.30. а) х-\-х~' =2; б) л: — 3( — jc)-'=4;
в) л:-(-(—л:)-1 = 1,5; г) =6.
7.31. а) х~2 — 3*-1+2=0;
б) лг-4-5^-2+4 = 0;
в) (2jc+ I)-2 — 3 (2jc+ I)-1 — 4 = 0;
г) (i±i)‘' + (2 + f )^-2=0.
Решите неравенство (32—33):
7.32. а) л:"1 >0; б) (лг+1)-'<0;
в) (3 —2л:)-1 <0; г) (4лг-2)-1>0.
7-33-а) (Йг) '<1; 6> (тйГ«з/ЗГг;
в> й^<0; г>
7.34. Найдите все целые значения п, удовлетворяющие системе
неравенств:
/ 9 \л
I1 <(т) <3’
{
а) < Т<2"<3’ б)
Зл>2;
, -i-< Зл<4, ( 2лс—
В) { 2<(-j")"< Ю; Г) { 3->0,Г.
7.35. Докажите тождество
(р<г' + \? P3g-3-1 . pV3-H 1.
pq-'—p-'q p2q~2 + pq-l + l’ pq-'+p-lq— 1
7.36. Докажите тождество
Q-—>f?-- + a3 (a2-2afr + fr2)~2 = ^-.3ab2 + fe3
a~ —b~2 v 1 ' (a — b)4
7.37. Докажите тождество
q-+(ft+c)- /ao
a (b + c) 1 \ 1 Vft2 + r
a '+(ft + c) 1 /до | / 2fee \ *\ (a+fc + c)2
\ +U2 + C2-a2J 2 be '
Упростите выражение (38—39):
7.38. a) ^+^:(Vft-Vo)~';
-ya —yb
6) Vo377—i+(л/д^гт +ЧД.
(a+Va)"'
»> гг'
r) f ^^ r -I-1+(Vq)~|N\ /q~' + i ^ 1
4+(Va)_l 1—V^7/ Va-'-l/ '
7.39. ((fe — Va)~1 + (fe + Va)"') ■(-|-V,-2) ~';
(^p+^)<t£^)_'
7.40. Вычислите:
86
б)щг^м1
(б-1+(л/б)-1)-1+(1+(л/бГГ'
7.41. Упростите выражение (a+(l+(|^) ) ) и найдите
его значение при а——
7.42. Упростите выражение ——^__.((2-|-х) 2х~' — П и най-
4~Ш
дите его значение при х=
7.43. Упростите выражение
1 2 :(1 —( —_Л 1ч\ если х——Ц-.
(1 — (a + x)~‘)2 \ V1 — (а ~Ьх )/ ) а—1
§ 8. ФУНКЦИЯ
1. Квадратичная функция*.
Функция вида у = ах2 + Ьх + с, где а, Ь и с — числа, причем
аф0, называется квадратичной.
График квадратичной функции — парабола. Ветви параболы
направлены вверх при а>0 и вниз при а<с0. Абсцисса вершины
h h
параболы равна ——. Прямая х= ——является осью симметрии
параболы.
2. Метод интервалов для решения неравенств.
Пусть требуется решить неравенство /(*)>0. Это можно
сделать по следующей схеме.
1) Найти область определения функции f (х).
2) Найти нули функции, т. е. корни уравнения f (х) = 0.
3) На координатной прямой указать область определения
функции и отметить в ней нули функции. Таким образом, область
определения будет разбита на интервалы, в каждом из которых
функция сохраняет знак. Для определения знаков значений функ¬
ции в полученных интервалах достаточно найти знак значения
функции в любой точке соответствующего интервала.
Замечание. Рассмотренный метод применим не только
для рациональных функций, т. е. функций вида где Р (х)
и Q (х) многочлены, но и для любых функций, непрерывных
на каждом из промежутков, входящих в область определения.
* О понятии функции, области ее определения, множестве значений н графике
функции см. справочный материал к § 1.
87
3. Общие свойства функций.
Функция f называется четной, если:
1) область определения функции симметрична относительно
нуля, т. е. для любого х, принадлежащего области определения,
— х также принадлежит области определения;
2) f (~x)=f (х) для любого х из области определения функции.
Функция f называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно
нуля;
2) f ( — х)= — f (х) для любого х из области определения
функции.
График четной функции симметричен относительно оси Оу,
график нечетной функции симметричен относительно начала ко¬
ординат.
Функция f называется возрастающей на промежутке X, если
для любых X) и х2 из этого промежутка таких, что Х\ <х2, выпол¬
няется неравенство f(xi)<f(x2).
Функция f называется убывающей на промежутке X, если
для любых Х\ и х2 из этого промежутка таких, что Xi<x2, вы¬
полняется неравенство f (xi)~> f (х2).
Точка Хо из области определения функции f называется точкой
максимума этой функции, если существует такая окрестность
точки х0, что для всех хфх0 из этой окрестности f (x)<Cf (х0).
Точка хо из области определения функции f называется точкой
минимума этой функции, если существует такая окрестность
точки х0, что для всех хфх0 из этой окрестности /(х)>/(х0).
Точки максимума н минимума называются точками экстре¬
мума, а значения функции в этих точках — экстремумами функ¬
ции.
Функции fug называют взаимно обратными, если:
1) область определения функции f совпадает с множеством
значений функции g;
2) множество значений функции f совпадает с областью опре¬
деления функции g\
3) yo = f (х0) тогда и только тогда, когда x0 = g (у0) (для любо¬
го х0 из области определения функции f и любого у0 из области
определения функции g).
Графики взаимно обратных функций симметричны относи¬
тельно прямой у=х.
Пример. 1. Известно, что квадратное уравнение ах2 + 6х +
+ с = 0 не имеет корней и a-\-c<Cb. Определите знак с.
Решение. Рассмотрим функцию f (х) = ах2 + Ьх + с. По¬
скольку уравнение ахг -\-bx-\-c~0 не имеет корней, то график
функции f (х) не пересекает ось Ох, следовательно, соответствую¬
щая парабола целиком лежит либо в верхней, либо в нижней
полуплоскости. Заметим, что данное в условии неравенство а — Ь +
+ с<0 можно записать в виде f( — 1) с 0, т. е. существует зна¬
чение аргумента х= — 1 такое, что значение функции в этой
88
точке отрицательно. Отсюда следует, что график функции f (х)
лежит в нижней полуплоскости, значит, f (х)<сО для всех дей¬
ствительных х. Но c=f(0), поэтому с<0.
7 9
Пример 2. Решите неравенство - +1 .
Решение. Разложив знаменатель первой дроби на множи¬
тели, перенеся все слагаемые в левую часть и приведя их к общему
знаменателю, получим * +4*—5 q Положим f(x)=,x +4*~5
} {х—3)(х — 2)^ ’ (х—3)(х — 2)
и решим неравенство f (х)^0 методом интервалов.
1) Область определения функции — множество действитель¬
ных чисел, кроме 2 и 3.
2) f (х) = 0, если х=1 или х——5.
3) Так как областью определения функции является мно¬
жество действительных чисел, кроме чисел 2 и 3, то на коорди¬
натной прямой выколем точки 2 и 3. Отметим нули функции —
точки 1 и —5 (рис. 1). Поскольку решается нестрогое неравен¬
ство, то нули функции входят в множество решений (это принято
изображать «жирными» точками на координатной прямой). Рас¬
ставляя знаки значений функции в полученных интервалах, полу¬
чаем, что f (х)^0, если х^ —5, 1 ^х<2, х>3.
+ - + - +
Рис. 1
Пример 3. Исследуйте на четность — нечетность функцию
f /.л |х-5|(х + 6) U + 5KX-6)
' ^ ' 2х-1 2х+1
Решение. Область определения функции — множество дей¬
ствительных чисел, кроме ±0,5, значит, область определения
симметрична относительно нуля. Рассмотрим выражение /(— х)
и попытаемся выразить его через f (х):
f ( у\_ I —X—5| ( —х + 6) 1 — X+5I ( — х — 6)_
1{ ’ 2{-х)-\ 2(-х)+1
_ — |лс + 5| (х — 6) — \х — 5| (х+6) _
— (2х+1) — (2х— 1)
|х+5| (х-G) Ijc—51 (х+6) _ f м
2х+1 2х-1 1 { ’’
Значит, функция f (х) по определению является нечетной.
Пример 4. Найдите функцию, обратную функции у=х2 —
— 4х + 7, где х6(—оо; 2].
Решение. На промежутке (—оо; 2] данная функция убы¬
вает, а значит, обратима. Для получения формулы, задающей
обратную функцию, заменим переменную х на у, у на х в аналити¬
ческом задании данной функции и из полученной формулы выра¬
зим переменную у. х = 1/ —4у + 7, у2 — 4у + (7 — х) = 0, рассматри¬
89
вая последнее уравнение как квадратное относительно у, имеем
у = 2±У* —3. Поскольку область значений обратной функции —
промежуток (—оо; 2] (совпадает с областью определения исход¬
ной функции), то перед корнем берем знак «минус», имеем:
у = 2—д/х —3.
Упражнения
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Разложите на множители (1-5):
а) х2 — х — 72\
в) За2 + 8а + 5;
а) 15u2 + u —2;
в) 20^ + 31^+12;
а) 49с2 — 42с + 9;
в) _16+ + 6^п--|;
а) х4— 13++ 36;
в) -36с4 + 25с2-4;
а) а2 + 10а6+962;
в) —8х2—\0ху — 3у2',
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
а2 — 6а + 8 .
8-0,5а2 ’
8с2+Юс-3
а)
В )
’ 8с3 + 36с2 + 54с + 27 ’
а) *2 + (2—у/З) х — 2 +3 .
*2-(Уз+1)*+Уз
й2-(У2-УЗ)й-Уб
а)
в)
а)
в)
-Ь2 + (У5-УЗ)Ь+лД5’
а4 —а2— 12 .
а4+8а2+ 15 ’
Зс6 — 2с3 — 5 ,
-6с6+13с3-5 ’
6a2 + ab — 2b2 .
4Ь2— 11а6 + 6а2 ’
6ti2— 13uti — 5и2 .
3u2 + 5uti— 12ti2 ’
.2
б) _^_4у + 21;
г) -АЬ2 + 7Ь— 3.
б) -21 + + 8и + 4;
г) — 42^2 + 59^ —20.
б) —25—80d — 64d2;
г) 1 l,25m2+12m+ 3,2.
б) —t/4 + 26t/2— 25;
г) 100d4 — 226d2 + 2,25.
б) — 15«2 + 2«u + +;
г) 7n2 —22mn + 3m2.
Сократите дробь (6—10):
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
Г)
27Ь3 + )
ЗЬ2 + 106 + 3 ’
8cf3 — 12cf2 + — 1
-14d2 + 3d + 2 '
а2+(л/2-1)а—V2 .
V2+(l-3 +2)а — За2 ’
3iy2 + (3 Уб — л/2) и — 2 УЗ
2(у2 —(+3 —2+6) г/ —3+2
2Ь4 + 7Ь2 + 6 .
3b4 + 3b2-6’
30<i6 — 2d3 — 4
6d6 — 19d3 — 7 "
Ы2-\-п1п — Ат2 .
8m2+ 18та-|-9а2 ’
\0c2 + cd — 2d2
15c2—31cd+ 10d2 ’
o ia n\ x-\-q H-3flfr-b26
8Л0- 3) x2 + ia + b-2)x-2a-2b
бч 2*2-H4a —66 — 1) JC—2а -H 3f>
x2 + (3a — 4b) x+2a2 — 5afc + 362'
90
Упростите выражение (II —14):
х2 + х — 20 2х2 — 5л + 3 4 — 8л — 5х2.
8.11. а) х — 4 2х—3 х + 2
61 х2 + х — 56 Зх2 —х—14 6 + 7х —5х2
’ 0,5х+4 х+2 5х + 3
Q4 ( — х2 — Зх— 2)2 2х2 —х— 1
х2 + 4х+4 х—1
о |о \ (2 — х)(2х2 — 5х— 3) I Зх2 + 4х —7 .
0.10. а) + — Зх2 — 4х + ,2 ~^ Зх2 + 1Зх + 14*
бч 6х2+ 17х— 10 , х3-2х2-9х+18
’ 4х2+12х — 7 (3 — х)(2х2 + 3х—14)’
8.15. а) Найдите р и q, если точка А (1; —2) является вершиной
параболы у = х2-\-рх + Р-
б) Найдите кит, если точка А (— 2; —7) является верши¬
ной параболы у = кх2-\-8х-\-т.
8.16. а) Найдите a, b и с, если точка М(—1; —7) является
вершиной параболы у = ах2 -\-bx-\-c, пересекающей ось ор¬
динат в точке N (0; —4).
б) Найдите а, Ь и с, если точка М (1; 5) является вершиной
параболы у = ах2 -\-bx-\-c, пересекающей ось ординат в точ-
8.17. а) Найдите функцию у = ах2-\-Ьх-\~с, если известно, что
график ее проходит через точки Л (1; 4),В ( — 1; 10), С (2; 7).
б) Парабола у = ах2 -\-bx-\- с проходит через точку В (— 1; 5)
и имеет вершину Л(1; 1). Найдите ординату такой точки
данной параболы, абсцисса которой равна 5.
Постройте график функции (18—24):
8.19. а) у = (х + 2)2-4(* + 2) + 3; б) у = -(х-I)2 + 5 (*- 1)-4;
в) у= —(х+ 1)2 + 6(х+1) — 8; г) у = (х — 2)2 — 2 (х—2) — 3.
8.20.а) у = (х2 — 2)2 — (х2 — 1 )2;
б) y = (x + 2f-(x+l)3;
в) у=(х— 1):(х — 2)—(jc — 2) (х— 1);
г) у=(х— 1)х(х+\)—х (х+1) (х + 2).
л* ч ОЛ -|- оил -|- I О Л ШЛ -|- У
' х3 + 5х2 —25х—125 (х2 — 4х)2 — 2х2 + 8х —15 '
Зх2 + ЗОх + 75 х4— 10х2 + 9
ке N (0; 1).
8.18. а) у=~0,2х2 + 2;
в) у=—х(Зх + 2);
б) у=-з(*+1)2+2;
г) у = (2 — х)(х — 6).
91
8.21. a) у=Ух4 + 8х2 + 16; б) y=-yjxA — 6х2 + 9;
в) у = 1 -Ух4 + 2х2+1; г) I/ = 1 —v'jc4 — 4^ + 4.
8.22. а) у = х2-^-- б) У = х2-^,
в) у=1—х|х|; г) у = 2х + х у/х^.
8,23> а) «/=77^-1; б) у=-£-1;
(д/х)2
в) у — 4х —; г) у = 4х——.
ш ^
8.24. а) у = х2 — Зх— (л/Зх— 9)2; б) у = х2 — Зх —д/(3х — 9)2;
в) у=х (Vx — З)2 — Зх + 8; г) у = х-\/(х — З)2 — Зх + 8.
8.25. При каком значении 6 корнем квадратного трехчлена
/ (х)= — Зх2 + 6х —26 — 12 является число 6? При найденном
значении 6 определите второй корень трехчлена, постройте
график функции y = f (х), укажите промежутки возрастания
и убывания функции, значения х, при которых /(х)< О,
/(х)> 0, — 9<f (х)<3.
8.26. При каком значении с корнем квадратного трехчлена f (х) =
=х2—12х + с является число 9? При найденном значении с
определите второй корень трехчлена, постройте график функ¬
ции у = /(х), укажите промежутки возрастания и убывания
функции y = f (х), значения х, при которых f (х)<С 0, /(х)> О,
-5</(х-1)<7.
8.27. Постройте график квадратного трехчлена у —ах2—(а + 6)х +
+ 9, если известно, что прямая х = 2 является его осью
симметрии.
8.28. Постройте график функции:
а) у = х2 — 6х + а, если известно, что ее наименьшее зна¬
чение равно 1;
б) у=—х2 + 4х + а, если известно, что ее наибольшее зна¬
чение равно 2.
8.29. Постройте график квадратного трехчлена:
а) у = 2х2 — (а + 2) х + а, если известно, что корни Х) и х2
связаны соотношением — А—— = 3;
X, х2
б) у = х2 + 3х + а, если известно, что его корни связаны со¬
отношением x?X2+xixi = 12.
8.30. При каких значениях а множество значений функции у = х2 —
— 2х + а совпадает с областью определения функции
у=д/2х —а?
8.31. При каких значениях а множество значений функции у =
= —х2 + 4х + а не пересекается с областью определения
функции у=д/3х + а?
92
8.32. При каких значениях Ь графики функций у = 2bx2 + 2х +1
и у = 5х2 + 2Ьх — 2 пересекаются в одной точке?
8.33. Даны функции f (х) = 2х2 и g (х) = 5х—с.
а) Не выполняя построения, определите, пересекаются ли
графики функций при с = 2.
б) Исследуйте взаимное расположение графиков функций
fugs зависимости от параметра с.
8.34. Даны функции f(x) = mx2 — 3 и g(x) = 4x-|-l.
а) Не выполняя построения, определите, пересекаются ли
графики функций при т=—2.
б) Исследуйте взаимное расположение графиков функций
fugs зависимости от параметра т.
8.35. Графики функций g=x2 + 6x — 3 и i/ = (x + 3)2 —25 пересе¬
чены прямой х = а. Найдите расстояние между точками
пересечения.
8.36. Графики функций у = 2х — х2 и у = 2х2 — 20х + 48 пересечены
прямой у = а. Найдите число точек пересечения в зависи¬
мости от а.
8.37. Графики функций i/=x2 + 2x + 4 и у— —Зх2— 18х —25 пере¬
сечены прямой у = Ь2. Найдите число точек пересечения в
зависимости от Ь.
8.38. При каких значениях параметра k вершина параболы у —
= kx2 — 7х + 4& лежит во второй четверти?
8.39. При каких значениях с вершина параболы g = x2 + 6x-|-c
находится на расстоянии, равном 5, от начала координат?
8.40. При каких значениях Ь вершина параболы g = x2 + 26x+13
находится на расстоянии, равном 5, от начала координат?
8.41. При каких значениях а вершина параболы у = ах2 -f- 2х 1
находится на расстоянии 2-^2 от точки А (1; 2)?
8.42. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение
х2 — 2 (а — 1) х + 2а + 1 = 0 имеет два различных положитель¬
ных корня.
8.43. Найдите все значения параметра k, при каждом из которых
ровно один корень уравнения х2 + 2 (k — 1) х + 3&+ 1 =0
удовлетворяет неравенству х< — 1.
8.44. При каких значениях параметра а число 3 заключено между
корнями уравнения х2—(2а+ 1) х + 4 — а — 0?
8.45. При каких значениях параметра k число —2 заключено
между корнями уравнения — х2 + (3й— 1)х + &— 1 =0?
8.46. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение
Зх2 — 4 (За — 2) х+а2 + 2а = 0 имеет корни Х\ и х2, удовлетво¬
ряющие условию Xi<a<x2.
8.47. Изобразите на координатной плоскости множество точек,
каждая из которых равноудалена от данной точки F и данной
прямой, если:
а) F (— 4; 1), у= — 1; б) F (4; — 1); у=1;
в) F(l\ 4), у = 3; г) F (—1; —4), —3.
93
8.48. На прямой 2х—у — 5 = 0 найдите такую точку М, сумма
расстояний от которой до точек А (—7; 1) и В ( — 5; 0) была
бы наименьшей.
8.49. а) Какую линию описывают вершины парабол i/=x2 + 2px +
+р2 + р, где р£/??
б) Какую линию описывают вершины парабол у=х2 — 2ах+
+ 2а2, где а£Л?
8.50. Парабола у = х2рхq пересекает прямую у — 2х —3 в
точке с абсциссой jco = 1 - При каких значениях р и q расстоя¬
ние от вершины параболы до оси Ох минимально? Найдите
это расстояние.
НЕРАВЕНСТВА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
б) (6х — 5) (8х + 1) > 0;
г) Зх2+5х —8<0.
б) Зх2-4х + 2>0;
г) 5х2 — 12х+8<0.
б) 49х2 — 70х + 25 > 0;
г) 25х2 — 40* + 16 < 0.
Решите неравенство (51—54):
8.51. а) (5х-2)(4х + 3)<0;
в) 8х2 + 3х —5Г^0;
8.52. а) 2х2 — Зх + 5>0;
в) х2— 10х + 27<0;
8.53. a) 9х2+12х + 4<0;
в) 64x2-f-112x + 49>0;
8.54. а) (х2 + 1)3<(3—х)3;
б) 8 (х— 2)3>(х2— З)3;
в) (х2-1)(х2 + 4)<(2х2-5)(х2 + 4);
г) (Зх2 + 4) (2х2 +1) >(2х2 +1) (2 + 5х2).
8.55. Равносильны ли неравенства:
а) 5х2>2х и 5х>2; б) Зх3<7х2 и Зх<7;
в) 4х5^5х4 и 4x^5; г) 2х3^Зх2 и 2x^3?
8.56. При каком значении а неравенства равносильны:
а) |х—2|<3их2 — (а—1)х — ас0;
б) |х— 1|^2 их2 — ах — а^1?
б) (7 + 6х—х2) (Зх — 5) < 0;
г) (х4 — 27х) (х — 4х — 5) > 0.
Решите неравенство (57—60):
8.57. а) (2х2 + 3х + 4)(х + 3)>0;
в) (25х—х3) (4 — х2)^0;
8.58.а) х4-13х2 + 36<0; б) х4-2х2-15>0;
в) х4 — 12х2 + 36>0; г) 16х4-24х2 + 9<0.
8.59. а) (х— I)2 (х2 — 2)<(х— I)2 (6—2х);
б) (х — 1 )3 (х — 2) (2х — 3) <(х — 1 )3 (х — 2)2;
в) (х-4)3 (х2 — 10х + 25)>(х — 4)3 (5-х);
г) (х - 1) (2х - 4) (х — Sf < (х2 - Зх + 2) (х - З)2.
94
8.60. а) (х2 — 4х+4)(3х2 — 2x— 1)<0;
б) (9jc2 — 6jc+ 1) (x2 — 6л:-f-8)> 0;
в) (x2-\-xf (7x2 — 5x — 2)^0;
r) (5jc2 + 6jc+1)(jc4-4jc3 + 4jc2)<0.
8.61. Дана функция f (x) = (x — З)4 (л:-j- l)3 x2. Укажите все значения
x, при которых:
a) f(x)<0; б) f(x)<0; в) f(x)>0; г) /(*)>0.
8.62. Дана функция f (х) = (х3) (х — 2)2 (х-|- I)3 (х — 4)4. Укажите
все значения х, при которых график функции расположен:
а) в верхней полуплоскости; б) в нижней полуплоскости.
8.63. Дана функция g(x) = 3— х — х2.
1) При каких значениях х имеет место неравенство g (х) 1 ?
2) Найдите наибольшее значение функции g (х).
3) Решите неравенство g (х)> g (х ).
4) При каких значениях а неравенство g(x)<a выпол¬
няется при всех значениях х?
8.64. Решите неравенство:
а) х2 — 2 (Ь — с) х + а2>0;
б) х2-\-(а2-\-Ь2 — с2) х-\-а2Ь2>0, если а, b и с — длины сто¬
рон треугольника.
8.65. При каких значениях а решением неравенства х2 —
— (а2 — 2а — 3)х-|-а2 + 2^0 является отрезок [2; 3]?
8.66. При каких значениях а решением неравенства
х2 (а2 — 7) х + а2 + 2а + 6 > 0
является объединение промежутков (—оо; 1) и (5; оо)?
Решите неравенство (67—71):
8.67. 3х2 — Ь^ах, если известно, что а2+126<0.
8.68. 5х2 — ах + b > 0, если известно, что Ь> 0,05а2.
8.69. ах2 + 6х + с^0, если известно, что Ь2<4ас и a + Ob.
8.70. ах2-{-х — Ь>0, если известно, что а6<—0,25 и 6<9а + 3.
8.71. ах2 + Ьх + с^0, если известно, что Ь2 — 4ас^0 и а + 6 +
+ с<0.
Равносильны ли неравенства (72—74):
8.72. а) (2х + 5) (3 — 2х)<0 и
б) (Зх-5)(5 + 2х)>0 и
о Л.Х
8.73. а) 2х+2^>Ми1_4 и х> _2;
х+1 х+1
б) 5х-^±^<10-^±Й и х<2?
х — 4 х—4
95
8.74. а) —< 1 и х> 1;
X
в) и UI >2;
б) —> 1 и JC2<2;
хг
г) 77> 1 и |*| <3?
|х|
Решите неравенство (75—82):
8-75-а> Sts>3;
^Ь2:
в)
3-2*'
,2
8.76. а) (* —9) (' — ^)^0;
' х2 + 2х+1
в) ^-Ьбх+Э^о
’ 5 + 4х-х2^
о 77 я\ 3х2+10х + 3 о.
’ (3 — х)2 (4 — л2)
В) (6-x)3(x + 4)>Q.
> {х + 7 )5 ’
8.78. а) 3 —х>
б> Sr^-2;
г> fcS<1-
б) ^<0;
г) :l+fa+7< о-
б)
4х2+4х + 1
(х-1)3
(5х+10)2 (— 1 —Зх)
<0;
2-х’
d\ гх-З^х —2 .
* 4х-1^х + 2’
8.79. а) >~5 с<0,5;
V (1 — 2х)3 (3-2х)4^п
; (2х — 5)5
’ х —10 2 — х
£±1+£_1<2
1 —X X
В)
х +4х— 5
5 — 2х
Зх2 —2х—16
<1;
8.80. а)
1
в) 3
х + 1 ’ х + 2 ’
7
б)
Г)
б)
2*±3_+0,5>0;
12 —х — х2
5 —4х
Зх2 —х —4
1 I 2
<4.
х — 2
>
х—1 х+1 х + 2
8.81. а) 14*(2х + 3) <(9х-30)(2х + 3).
Г) г¥т<
х х— 1 ’
16 6
х+1 х—2
х + 1
х —4
б) (5* + 4) (Зх-2)< (Зх -2) (х + 2).
х + 3 1 —х ’
В)
(х + 5) (Зх2 — Зх+ 1).^, (х + 5) (х2 + 2х— 1)
-6х + 9
-6х + 9
г\ (х2 —6х + 9) (Зх2 —2х— 1) ^ (х2 —6х + 9) (2 + 2х —4х:
5 — х с
8.82..) (£=2) >0;
+ 1
в) (х-3)2-
б)
5—х
1
-9 > 0;
-6х + 9
(х-2)2 х—2
>2; Г)
х2 — 2х+ 1
х— 1
96
8.83. Укажите все целые значения х, для которых не выполня¬
ется неравенство
2х+1
8.84. Найдите множество значений х, при которых график функции
У-
х—13
не выходит за пределы полосы
х2 + х — 6
8.85. Укажите все целочисленные решения неравенства
0< | х2 — 2х | <3.
Решите систему неравенств (86—89):
8.86. а) [ 2(х— 1) — 3 (х—4)>х + 5,
:^0;
Зх —4
б)
в)
8.87. а)
х2 + 4х + 4 *
х2 -f- Зх -f- 2 > 0,
х+1
| 4х2>1,
2х2 + 5х-3>0;
х2 — 2х — 3 > 0,
х2— 11х + 28>0;
2 — х.
в) ТТ7>1
х+1
2 —х
х+1
<2;
г) ( х2—х — 6^0,
\ х2 — 4х < 0.
1,2 — 4х + 1 > 0,
-5х + 2<0;
Зх2 — 7х + 8-
х2+1
Зх2 — 7х+8.
х2 + 1
б) Г Зх2 —;
I Зх2 —J
г)
->1,
-<2.
8.88. а)
в)
8.89. а)
в)
[ х2<4,
1 х2 — х—6^0;
{ х2 + 2х — 3^0,
I х2+х — 6^0;
х2 — 14х + 45<0,
х2—Их+ЗОХ),
б) [ |2х —3|<1,
j 12х —
I х2 —
4х + 3>0;
-4 (х — 3)>0,
г) ( V** .
I |х + 2| (х —5х + 6)
2х — 3
х2 —х + 2
>0;
х2 — х — 20 < О,
х2 — 2х — 8 > О,
2х2 + * — 45<0;
б)
г)
{
i
Зх2 — 5х — 2 > О,
Зх2 —7х —6<0,
6х2-11х-10<0;
4х2 — 4х — 3<0,
-т>1.
X£
Зх2
20х — 7 < 0.
Решите совокупность неравенств (90—91):
8.90. а) Гх2 — Зх + 2>0,
L |2х —31 <1;
в) Г4х2 + 7х— 15<0,
|_20х2— 23х—21 <0;
б)
г)
Зх2 — 7х + 4<0,
х2 —4<0;
х2 —6х—27>0,
L4x2 + 31x + 60<0.
4 М. Л. Галицкий
97
8.91. а)
в)
х2+16х+15>0,
2х— 1 ■
х+1
X— 1
^3;
<0,
г<0;
б)
г)
9х2 —4х—5<0,
5х-2.
<1;
3 — 2х
- < 1
3-2х-х25г: ’
Их—х2>28.
L х~\-1
8.92. Найдите все значения х, при которых меньшее из двух
выражений 1—х2 и не меньше, чем 0,5.
8.93. Найдите все значения х, при которых большее из двух вы¬
ражений х2 + 2х и —y не больше, чем 0,5.
8.94. Найдите все значения х, при которых большее из двух вы¬
ражений 2х — х2 и х — 2 не меньше, чем 1.
8.95. Найдите все значения х, при которых меньшее из двух вы¬
ражений х2 — 2х — 3 и х — 3 не больше, чем —4.
Найдите область определения функции (96—99):
8.96. а) у = д/60х — 25х — 36; б) у--
1
УП2Х + 64 + 49Х2
в) у=-\/5х2 + 6х-|- 1
1
Зх + 5
8.97. а) у=д/4—х |х|;
; г) у=УЗх + 4———====•
л] — 2х—Ъх — 2
б) у=л1 |х| (х— 1);
в) у=У(х —2)д/х;
8'98' а>
г) y=V(l —*) 2-
в) »=Л/У
—х2-|-6х —8 .
+ 5х + 6
в) 1/ =
У? + х-20
г) у=д/20 —х —х2
-д/х2 + 5х— 14;
8.99. а) „=д/ЖЗ
в*
-\5x-2x
+ 3
-\/14 —5х —х2
б)
V -л/4* —
— 4лг +4.У + 3 .
V2i2 —7л + 3
г) </=у
У4х^Г9х + Т2
д/б + 7х — Зх2
— Зх2 + 2х + 8 ’
Решите неравенство (100—102):
8.100.3) |х2 + 2х|>3; б) |х2 + 3х|<4;
в) |2х2 + 5х — 4| <3; г) |Зх2 — 4х — 21 >2.
8.101. а) х2 — 5 |х| +6<0;
в) х2— |х| — 12^0;
б) 7 |х|-х2-12<0;
г) 11 |х! +20-Зх2>0.
98
8.102.а) |jc2 — 4| (jc2-1)<0; 6) |jc2-4|(jc2-4jc + 3)<0;
в) Iл:2 — 6л:91 <2jc — 6; г) jc2 — 2х + 1 <2 \х— 11.
8.103. Найдите целочисленные решения неравенства:
а) |jc2-(-2jc| <!jc;
б) \х2 + 2х — 31 < 16л: — 6|;
в) \х2 — 9| (х2 — 7 |х| + 10)<0;
г) |jc2-4jc + 3|+2<2 |jc-1| + |jc-3|.
Решите неравенство (104—106):
8.Ю4.3) ||=1|>1; б) 1 —<);
’ 2— х ^ ’ х + 4
8.Ю5. а) *277'*'+10 <0; б) 21х^--19>2;
7 х —бд;+ 9 х 2
в) x2 -\xL-:J2<2 г)
' х — 3 ’ х2 — х+1
8.106. a) jc2 + 6jc — |jc+3|+7<0;
б) jc2 + 0,5л: - 4 | jc + 0,251 + 3,0625 > 0;
ч Ъх2-Ьх-7\х-2\+\Ь<{.
’ 2х2-х+\ ’
ч 2л2Ч- 15jc— 10 |2* + 3| +32^ i
’ 2х2+Зх + 2 '
8.107. При каких значениях с графики функций у=сх2 — х-\-с
и у — сх-\-1 —с не имеют общих точек?
8.108. При каких значениях р графики функций у=рх2 — 24jc+1
и y=12jc2 — 2рх—1 не пересекаются?
8.109. При каких значениях параметра а корни уравнения
jc2 + 3jc + а = 0 удовлетворяют условию —+—+ 1>0?
*2 Х\
8.110. Найдите все значения параметра b, для которых уравне¬
ние х2 — 2bx-\-b-\-§ = 0> имеет: а) отрицательные корни;
б) положительные корни; в) корни разных знаков.
8.111. При каких значениях а неравенство:
а) х2 — (а+ 2)х-(-8а+1 >0; б) -~^х2-\-ах — а-\-1>0;
в) ajc2 + 4x-(-a + 3<0; г) ах2 — 4ах — 3^0
выполняется для всех действительных значений jc?"
8.112. При каких значениях Ь неравенство:
а) jc2 + 26jc+1 <0;
б) 6jc2 + 46jc + 5<0;
в) 6jc2 + (26 + 3)jc+6-1>0;
г) (4 — b2)x2-\-2 (b + 2)x— 1 >0
не имеет решений?
99
Для каждого значения а решите неравенство (113—115):
8.113. а) х2—ajc + З^О; б) х2-\-2х — а>0;
в) ах2-\-Зх — 4^0; г) ах2 — х + 2<0.
8.114. а) х2 — 2ах-\-2а2 — 2a+ 1 >0;
б) х2 — 2ах + 2а2 4а -|-4 ^ 0;
в) 9л:2+12ал:-|-5а2^4а —4;
г) 1 6л:2 1 За2 + 4а > 24ах — 1.
8.115. а) б)
' х+3 ’ х—а
ч s2-(a — 3)х — За-^Г). ч 24-5х — х2 ^»
' х1 — 4 ^ ' *2 + (2а-5)*-10а
8.116. При каких значениях а не существует ни одного значе¬
ния х, одновременно удовлетворяющего неравенствам
х2 — ах<с.0 и ах> 1?
8.117. При каких значениях а нули функции f(x) — x2-\-
-\-2 (а — 2) х-\-2а — 5 расположены между числами —2 и 4?
8.118. При каких значениях а нули функции g(x) = x2 —
— 4 (a — 3) х — 20a+ 35 расположены между числами —4
и 3?
8.119. При каком значении параметра а оба корня уравнения
я2 — (2а + 1) х + 4— а = 0 заключены между числами 1 и 3?
8.120. Найдите все значения параметра а, при которых все ре¬
шения неравенства х2 — 2 (а+ 4) х + 4а-|- 13^0 являются
решениями неравенства х2 + 4 \х\— 5^0.
8.121. При каких значениях параметра а любое решение нера¬
венства х2 — Зл:-Н 2 С 0 является одновременно решением
неравенства ах2 — (3a+ 1) х + 3>0?
8.122. При каких значениях параметра р неравенство рх2 — 4х +
+ Зр-(-1>0 справедливо при всех положительных х?
8.123. Укажите все значения параметра k, при которых квадрат¬
ный трехчлен х2 -\-kx-\-k2 -\-6k отрицателен при всех зна¬
чениях х, удовлетворяющих неравенству
8х2 + 17<24х + 2 |х — 1,5|.
8.124. Найдите все значения а, при которых любое значение х,
удовлетворяющее неравенству ах2-\-(1—а2) х — а>0, по
модулю не превосходит 2.
8.125. Найдите все значения параметра Ь, при которых из нера¬
венства Ьх2 — х+1—Ь<.0 следует неравенство
х (х-\- 1 )2 (х — 1 )3 (х + 2)4 < 0.
8.126. Даны два утверждения:
1) уравнение х -\-(k + 2) Х + 1 =0 имеет два различных от¬
рицательных корня;
2) уравнение х2+(1—k) л:-J-4 = 0 имеет два различных по¬
ложительных корня.
При каких значениях параметра k оба утверждения ис¬
тинны; оба утверждения ложны; одно из утверждений
истинно, а другое ложно?
100
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Найдите область определения функции (127—129):
8.127. а) у=-2—\ б) уг-х~1 ■
ф— 3 ф—1
В) у = ——г) у =
х — 2ф V*2 — 6*+8-2
Ъх
8.128. а) у= . При каком значении аргумента значе-
£ IX -р 1 | — и
ние функции равно 2?
б) у = 7». 57- При каком значении аргумента
I % I ^ I \Х ^ I
значение функции равно 1?
в) у = -. 5 ——. При каком значении аргумента зна-
I X ~~ £, I ~“ | £,Х “р «J |
чение функции равно —1?
А у
г) у=- —■ При каком значении аргумента зна-
t | X — о I — о | X -р 1 I
чение функции равно 4?
8.129. а) у=ф12х2 — 4х3 — 9х—л/2—\х\;
б) 1/=уи-1| (Здс-6) ' 3
в) у
х2+4х — 21 ’
Фх
х -\-х — 72
г) 1/=л/5 — л1^х2 — 20jc + 25—VUI (2л:— 10).
Найдите область значений функции (130—136):
8.130. а)
У = х2 + 2;
б) у = 3 — 4+;
в)
у = 3х—х?\
г) у = 3х2 — 6jc+ 1.
8.131. а)
у=-^- б) у =
=,+г в)« Д2; г)
8.132. а)
у=л/х — 2 + 3;
б) у=\х — 4|—2;
в)
У = Ь —\j2x + 1;
г) у = 3—|2jc + 3|.
8.133. а)
1/ = У++4;
б) у=4 — 2 У+ + 9;
в)
y — ^J Зх2 — 6jc+4;
1 г) У—л18х — 2Ф—7.
8.134. а)
У = 1—;—~—;
ф—1 + 1
б)
о 3
У~ 2х2 — 8* + 9 1
►
в)
1/=1-У9-У2+
-f~ 6 л!^х -|- 9 ;
г)
у = 3 —У16—-\/4r
2_4л/зЛг + з.
_хг+1
X
101
8.135.
8.136.
8.137.
8.138.
8.139.
8.140.
а) у= I (х — 1)'> если х^О,
| —Ц-, если х<0;
I
б) Г — х2 — 2х, если х< 1,
1 Ч
I ——, если 1;
в) 2х2 + 8х + 6, если х< — 1,
3 Ух+1, если — 1;
г)
X
х3 + 4, если — 2<х^0,
У =
4 , если х>0.
х2 + \
* + 2 ’
т.\ ц — х3 27 . . ц-Х4 + 6х3-27^-162
Bj д: — 3 ’ Г) ^2-ЬЗл:—18 ’
Найдите наибольшее значение функции и значение аргу¬
мента, при котором достигается это наибольшее значение
(137-138):
а) у = 5— |х + 8|;
б) у = 2 —д/х: —2;
в) у = х2 — 2х-(-3, если х£[1; 5];
г) у= — х2 — 4х + 1, если х£[—3; 0].
2 2
5 + 1 3jc — 21 ’ х2 — 2* + 2 ’
в) У=Т-ГГ; У=Ь?+9'
Найдите наименьшее значение функции и значение аргу¬
мента, при котором достигается это наименьшее значение
(139—140):
а) у=л]4х2 — 12х + 9 — 2;
б) t/ = 3+Vx2 — Зх + 2;
в) 1/=х2 + 6х+Н, если х£[—4; 2];
г) у=— х2 + 2х + 2, если х£[—1; 2].
а) У U+?| + i'; б)
\ х х2 + 4хА-4
В) У~ 12JC2-ь3 ’ ) У~х2 + 4х + 5'
102
8.141.
8.142.
8.143.
8.144.
8.145.
8.146.
8.147.
8.148.
Функции fug возрастают на промежутке X. Верно ли, что
функции:
а) f + g, f и fg возрастают на промежутке Х\
б) —f, у-убывают на промежутке X?
Используя определение возрастания и убывания функции
на промежутке, докажите, что функция (142—144):
а) У= убывает на (—сю; —0,5);
б) у= возрастает на (2; оо);
21х — я ( 1 \
в) у = ^ р возрастает на — оо; —J ;
г) у = - убывает на (— 7; оо).
х -|- 7
а) у = Зх2 —4х + 7 убывает на ^ —оо; -|-J.
б) у=—5х2 + 6х+19 возрастает на (—оо; 0,6].
в) у = Зд/4х+1 —1 возрастает на [ — 0,25; схз);
г) г/ = 2+-\/3 — Ъх убывает на (—схз; 0,6].
а) у=хг — Зх возрастает на [1; оо);
б) у— 12х—х3 убывает на [2; оо);
в) г/ = 0,5х2 — 2 -фс возрастает на [1; оо) и убывает на [0; 1];
г) у—л[х — 2х2 возрастает на [0; 0,25] и убывает на
[0,25; оо).
Дана функция f (х) = х2. Докажите, что для любых значений
аргумента х\ и х2 имеет место неравенство
j +*2 ^ ^! (Х\) + / (х2)
Дана функция f (х)=х[х. Докажите, что для любых значе¬
ний аргумента х,>0 и х2>0 имеет место неравенство
'(^)
Исследуйте функцию на четность (147—150):
a) f(x) = 9; б) ф(х) = 0;
в) g(x)=(2-3xf+{2 + 3xf-
г) ft(x) = (5x —2)4 + (5* + 2)4.
а) f(x) = (x + 3) U-l|+(x-3) U+l|;
б) ф (х) = (х + 5) \х — 3| — (х — 5) |х + 3|;
в) =
г) AW=J£=1I_J£±|L.
103
8.149. a) f(x) = (x-\-2) (х + З) (х + 4) —(х—2) (х —3) (х— 4);
б) ф (.x)=(x-5)8 (x + 7)u +(x + 5)8 (x— 7)";
в) g (x)=(x — 6)9 (x + 3)5 + (x + 6)9 (x — 3)5;
r) h (x)=(x2 — 3x -+- 5) (x3 — 8x2 + 2x — 1) — (x2 + 3x + 5) X
X {x3 + 8x + 2x + 1).
8.151. Функция у = f (x) является четной; известно, что;
а) /(х)=Ух при х^О;
б) /(х)=х2 —Зх при х^О;
в) / (х) = х2 + 4х + 3 при х<0;
г) / W=7^7f ПРИ
Постройте график функции y=f (х). Задайте данную функ¬
цию одной формулой.
8.152. Функция y = g(x) является нечетной; известно, что:
а) g (х)~х2 при х^О;
б) g(x) — x2 при хг^О;
в) g (x)—x2 — 2х при х^О;
г) = ПРИ *>0.
Постройте график функции y = g (х). Задайте данную функ¬
цию одной формулой.
Найдите функцию, обратную данной. Укажите область опре¬
деления и область значений обратной функции. Постройте
графики данной функции и обратной в одной системе коор¬
динат (153—156):
8.153. а) у = 2х; б) г/=—Зх; в) у = 5х—1; г) у = 3 —4х.
8.155. а) г/ = (х + 3)2, х< —3; б) г/ = (х —4)2, х^4;
в) у=х2-|-8х —4, х> —4; г) г/=х2 — 2х +5, х< 1.
8.150.
(х_2)3(л:+1)5(*-5)7 , (х + 2)3 (х— I)5 (х + 5)7
О,, I 1 I 1
2х+1 1 2х-\
8.156. а) г/=-\/х —2;
в) у = 4—Vx— 1;
б) t/=V3—х;
г) г/ = 5+у/4 —
104
8.157.
8.158.
8.159.
8.160.
8.161.
8.162.
8.163.
8.164.
8.165.
8.166.
8.167.
8.168.
8.169.
8.170.
8.171.
8.172.
8.173.
8.174.
Постройте график функции (157—161):
а\ и — *2—4х+3 . g. *2+5х+6
а) У- 9_з* ’ У- 9Z.J ■
а) у=х2— \х\ — 6; б) у= \х2 — х — 6|.
а) у=\— х2 + 6х — 81; б) у=-х2-\-6|х| — 8.
а) у = х (|*| — 4); б) у=х\х — 4\.
а) 0 = (х-3) (|х| + 1); б) у=\х-3\(х+\).
Постройте график функции у — |х2 + 4х + 3| и найдите коор¬
динаты точек пересечения этого графика с прямой у —
= — 2х — 5.
Постройте график функции у = (2х— 1) |4 — х\ и найдите ко¬
ординаты точек пересечения этого графика с прямой у =
= 4х — 2.
Постройте график функции (164—176):
a) y=lj-(x2 + 6x); б) у=-^(4х — х2 — 3).
а) y=Jj^-(x2-2x)-, б) у= ^ (х2 + 4х + 3).
а) у—\\\х\ —2| — 11; б) у= |2-|1-|*|||.
а) у= \х2 — 51jc| +6|; б) у = -\[4х^ — 4х2\х| +х4.
а) у= 111 — х2\ — 3|; б) у= \\х2 — 2х\ — 3|.
а) у = 2-У[х=ЗГ; б) г/ = 2-УЗ^Н;
в) г/= |2 — д/U — 3||; г) г/= |2 —-у/З — 1*11.
a) , = б)
X
в) у= -гг ; Г> у-
х —
Ijc— 11
.. х2 — Ъх — 6 . ,, 2х—17х + 21
а) У=%х-*-п > б) У=— 6W ;
^ + 4х2-5 . v 13х2-^-36
У” 4 — 4*2 ’ Г) У~ J-x-6
1 1_ х-2 х-2
а) б) y=^Jtl
X X-j-l X х-\-1
а) у = х (|лг + 21 + \х — 4\);
б) t/ — 1*4-21 +U — 4|
а) у = (х— 1) \х+ 11 + |х— 11 (*+ 1);
б) ц= *2~3*+2 L -С+Зл+г
; У Ijc—II т |*+1| '
105
8.175. а) у--
2х
л/ДЩУ
У¥^+л/^
б) у-
-2
8.176. a) y = bLrJ*±2L ; б) у = Щ=*^=21'
’ v х— 1 ’ v х2 + х — 2
Постройте график функции и с его помощью укажите нули
функции, интервалы знакопостоянства, промежутки моно¬
тонности, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее
значения функции, область значений функции (177—178):
8.177. а) (3, если х^ —4,
у=\ |х2 — 4|х|+3|, если — 4<х<4,
( 3 — (х — 4)2, если х>4;
б) Г8 —(х + 6)2, если х< —6,
У=\ \х2 — 6|х|+8|, если —6^х<5,
^3, если х>5.
8.178. a) f 111jc( — 11 — 1 (, если \x\<2,
I VUI—2, если Ixl >2;
6) ( 2 — л/4 — |x|, если |x| <4,
1 7~r , если |x| >4.
1, Ul
8.179. Дана функция f(x) = x2— 6x. Постройте графики функций:
a) y = f(x) — 2; 6) y = f{x — 2); в) y = 2/(x);
r) y = f (2x); д) г/=— / (x); e) y = f( — x);
ж) y = f (I x |); 3) г/= I/ (x)|; и) y=|/(|x|)|.
8.180. Даны функции /(x) = x2 — 4x + 4 и g (x) = •
а) Докажите, что f (x) возрастает на промежутке [2; oo).
б) Докажите, что g (х) убывает на промежутке [2; оо).
в) Найдите все такие значения а, что / (3) = g (3).
г) Решите уравнение {х — 2)2=~-^ на промежутке [2; оо).
8.181. Даны функции /(х) = (х — З)2 и g (х) = ^ +1 .
а) Докажите, что f(x) убывает на промежутке (—оо; 3
б) Докажите, что g (х) возрастает на промежутке (— оо; 3
в) Найдите все такие значения а, что f (2) — g (2).
9 2
г) Решите уравнение х — 6х+9=-—- на промежутке
•; 3].
106
8.182. Докажите, что если функция f (х) возрастает (убывает) на
промежутке X, а функция g (х) убывает (возрастает) на этом
промежутке, то уравнение f (x) = g (х) имеет не более одного
корня на промежутке X.
Решите уравнение (183—187):
8.183.
а)
(х+ 1)3 = 41 -Зх-х3; б) Зх3 + 2х = 4 + (2-х)3.
8.184.
а)
(х—1)5 + х5 = 4Б-х3 —2х;
б)
4х5 + 2х3 + 71=(3 — х)3 + 1.
8.185.
а)
*199|+1=У5-х; б)'УЮ + х + 5 = —2х13 — 6х,
8.186.
а)
2 л1х 2=-^ 1; б) УЗ х = 1 ■
8.187.
а)
~\jx* -f - Зх -(- 6 -f - ~^jx -|- 1 = 2!
б)
■у/Зх^ — х -{- 2 -\-~\Jx — 1 = 3 — х.
§
9.
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1. Уравнения высших степеней.
Основные методы решения уравнений высших степеней — за¬
мена переменной и разложение на множители. В отдельных случа¬
ях при решении уравнений целесообразно использовать свойства
монотонности и ограниченности функций.
Используя метод разложения на множители, полезно помнить,
что если число а является корнем многочлена Р (х), то Р (х) делит¬
ся на х — а, т. е. представим в виде Р (х) = (х — a) Q (х). Таким
образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множи¬
тели (например, разделить Р (х) на х — а «уголком», получив в
частном Q (х). Заметим, что «угадать» корень часто удается,
основываясь на следующем факте: любой целый корень многочле¬
на с целыми коэффициентами является делителем его свободного
члена.
2. Системы уравнений.
Если ставится задача отыскания всех общих решений двух
уравнений с двумя переменными1 (вообще говоря, п уравнений с
k переменными), то говорят, что задана система уравнений.
Каждая пара значений переменных (вообще говоря, упорядо¬
ченный набор k чисел), обращающая в верное равенство каждое
уравнение системы, называется решением системы уравнений. Ре¬
шить систему — значит найти все ее решения или доказать, что
таковых нет.
Две системы называются равносильными, если множества их
решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они
также считаются равносильными.
1 Подробнее об уравнении с двумя переменными и его графике см. спра¬
вочный материал к § 1.
107
Решая системы уравнений, обычно заменяют данную систему
другой, равносильной исходной, которую решать проще. При этом
можно использовать следующие утверждения о равносильности
систем уравнений:
1) если одно из уравнений системы заменить на равносильное
уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
2) если одно из уравнений системы заменить суммой каких-ли¬
бо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносиль¬
ную исходной;
3) если одно из уравнений системы выражает зависимость
какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то,
заменив в каждом уравнении системы переменную х на ее выраже¬
ние через другие переменные, получим систему, равносильную ис¬
ходной; например, системы уравнений
гх = у2 — 1 <х = у2— 1
| х2 4* у2 = 4 и { (у2— 1)2 + у2 = 4 равносильны.
Основными средствами аналитического решения системы явля¬
ются метод подстановки и метод введения новых переменных.
Для графического решения системы двух уравнений с двумя пе¬
ременными надо построить в одной системе координат графики
обоих уравнений и найти координаты точек пересечения этих гра¬
фиков.
Пример 1. Решите уравнение:
а) х3 — 5х— 12 = 0; б) 4 (х + 5) (х + 6) (х+ Ю) (х+ 12) = 3х2.
Решение, а) Разложим на множители левую часть урав¬
нения (это легко сделать, заметив предварительно, что число 3
является корнем уравнения), имеем:
(х3 — 27) — (5х — 15) = 0,
(х — 3) (х2 + Зх + 9 — 5) = 0, откуда х = 3.
б) Записав уравнение в виде
4 (х2 + 17х + 60) (Xs •+-16х + 60) = Зх2,
разделим обе его части на х2 (очевидно, что х = 0 не является кор¬
нем уравнения). Имеем:
4^х+ 17 + ~~) (*+16 + -у-)=3.
Положим у — х 4- 164—. Получим квадратное уравнение
4 (у4* 1)-«/ = 3, т. е. 4у24-4у — 3 = 0,
откуда у 1 = 0,5, у2== — 1,5. Далее найдем х: из уравнения х4- 164*
4-^-= 0,5 получаем Х\ — —8, хг= —7,5; уравнение х-+- 164*~ =
= — 1,5 не имеет действительных корней.
108
{
{
Пример 2. Решите систему уравнений
/ х3 + х3у3 + у3= 17,
{ х+ху + у = 5.
Решение. Данная система является симметрической. Как и
всякую симметрическую систему (т. е. такую, которая не меняется
при замене в каждом уравнении х на у и у на х), ее целесообразно
решать с помощью введения новых переменных и = х-\-у и v=xy.
Так как
х3 + у3 = {х + у)(х2 — ху + у2) = (х + у)((х + у)2 — Зху) = и(и2 — Зи),
то данную систему можно записать в виде
( и3 — 3uv + v3=\7,
| и-\- v = 5.
Применяя формулу суммы кубов и осуществляя подстановку
u-\-v = 5 в первое уравнение, получим:
5 (и2 — uv + v2)— 3uv = 17,
м + v = 5.
Далее, осуществляя равносильные переходы, имеем:
5 (ц2 + и2) — 8но = 17,
м + v = 5,
( 5((ы + и)2 — 2uv) — 8uv = \7, ( 5 (25 — 2uv) — 8wu=17,
|ы-)-и = 5, |м + и = 5,
t uv = 6, г ц = 2 г ц = 3
| м-р и = 5, откуда | v — З или | и =2.
Таким образом, исходная система равносильна совокупности
двух систем
(х + у = 2 (* + у = 3
|ху=3 H|Xi/ = 2,
первая из которых решений не имеет, а решением второй системы
являются пары чисел (1; 2) и (2; 1).
Пример 3. Решите систему уравнений
( х2 + 3ху + 2у2 = 3,
{ Ъх2 — 2ху — у2 — Ъ.
Решение. Умножим первое уравнение системы на —5, вто¬
рое — на 3 и сложим почленно полученные уравнения. Имеем одно¬
родное относительно х и у уравнение второй степени 1 Оле2 — 21 ху —
— 13у2 = 0, которое равносильно совокупности двух уравнений
х= 7ГУ,
I ч
х=^-у (это легко показать, найдя корни трехчлена
5
10/2 —2Н-13).
[
109
Итак, исходная система уравнений равносильна совокупности
двух систем
г х2 + 3ху + 2г/2 = 3, ( х2-\-Зху-\-2у2 = 3,
\ у =—2х „ < 5
1 и\у=йх'
решая которые находим ответ: (1; — 2), (—1;2), (—;—-—),
' у 13 8 -\j 138 '
( • I-)
V VT38 ’ у/Т38 '
Замечание. Аналогичным образом к однородному уравне¬
нию второй степени относительно х и у сводится любая система
уравнений вида
/ aix2 + bixy + ciy2 = du
\ а2х2 + b2xy + C2y2 = d2.
Пример 4. Решите систему уравнений
(x(y + z) = 20,
)y(x + z)= 18,
[zlx+y)=\4.
Решение. Сложив почленно все три уравнения системы,
имеем:
2 (xy-\-xz-{-yz) = 52, т. е. xy-\-xz-\-yz = 26.
Подставляя в последнее равенство значения xy-\-xz, yx-\-yz,
zx-\-zy из первого, второго и третьего уравнений системы соответ¬
ственно, получим систему, равносильную исходной:
yz = 6,
xz = 8, (1)
хг/= 12.
!
Почленно перемножив все три уравнения системы (1), получим
(xyzf = 242, откуда xyz = 24 или xyz= —24. Подставляя в каждое
из полученных равенств значения г/г, хг и ху из первого, второго и
третьего уравнений системы (1), находим две тройки решений:
(4; 3; 2), (-4; -3; -2).
Пример 5. Решите систему уравнений
| х2 = 6х— \у — 3|,
\ у2 = ху — 9.
Решение. Пусть (хо, уо) — решение системы. Тогда
бхо—хо= |г/о —3|, откуда (ввиду неотрицательности модуля)
бхо — хо^О, т. е. О^хо^б (1). Из второго уравнения системы
110
имеем х0 = Уо~^9 (очевидно, что и0Ф0). Если «о>0, то ^°+9^6,
{/о Уо
т. е. х0^6 и, учитывая условие (1), хо = 6. В этом случае
Уо = 3 (например, из первого уравнения системы). Подставляя
пару (3; 6) во второе уравнение системы, убеждаемся, что она
является решением. Если же г/о<0, то х0 ——6, что
Уо
противоречит условию (1).
Упражнения
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решите уравнение (способом разложения левой части на
б) Зх3-|-5х2-|-5х-|-3 = 0;
г) х3 + Зх2 — 16х — 48 = 0;
б) х4-Зх3 + х —3 = 0;
г) 24х4 + 16х3 — Зх — 2 = 0.
б) х3 H-5jc2 Н- 15jc + 27 = 0;
г) 27х3 — 15х2 Н-5х — 1 =0.
множители) (1—8):
9.1.
а)
х3 + х:— 4х — 4 = 0;
в)
х3 — х2 — 81х + 81 =0;
9.2.
а)
х4 + 2х3 —х —2 = 0;
в)
2х4 + Зх3+16х + 24 = 0;
9.3.
а)
х3 + Зх2 — 6х — 8 = 0;
в)
8х3 — 6х2 + Зх — 1 = 0;
9.4.
а)
х3+1991х+1992 = 0;
б)
(*+ I)2 (* + 2) + (х— I)2 (х-
в)
х3-(-4х2 —5 = 0;
г)
х3 — Зх2-|-2 = 0.
9.5.
а)
х3 — Зх2-6х + 8 = 0;
в)
х3 + 8 = Зх | х + 21;
9.6.
а)
28х3 + Зх2 + Зх+1=0;
9.7.
а)
(х2 + 4х) (х2 + х —6)=(х3-
б)
(х2 + 5х) (х2 — Зх — 28) = (х:
9.8.
а)
х4 — х3 — 1 Зх2 х + 12 = 0:
б) х21х -— 31 = 6х — 8;
г) х | х2 — 61 = 3х2 —8.
б) 126х3 — Зх2 Зх — 1 = 0.
) (х2 + 2х —8);
16*) (х2 — 2х — 35).
б) х4 — х3 — 7х2 + х + 6 = 0.
Решите уравнение (9—II):
9.9. а) ах3 — 2х2 — 5х + 6=0, если известно, что один из его кор¬
ней равен —2;
б) х +ш:2 —5х + 6 = 0, если известно, что один из его кор¬
ней равен 3.
9.10. а) х —х2-ра*+12 = 0, если известно, что один из его кор¬
ней равен —3;
б) 2х3 + 11х2+ 17*+ Q = 0, если известно, что один из его
корней равен —0,5.
9.11. а) х4 + 4х— 1 =0; б) х4-4х3-1=0.
111
Решите уравнение, выполнив подходящую замену перемен¬
ной (12—17):
9.12. а) 9х4— 37х +4 = 0; б) 25х4 + 66х2-27 = 0;
в) х6 + 9х3 + 8 = 0; г) 27х6 —215х3 —8 = 0.
9.13. а) х4 — (а2 + 3)х2 + 3а2 = 0; б) х4 — (а3 + 2)х2 + 2а3 = 0;
в) х6 + (а3 — 8)х3 — 8а3 = 0; г) х6+(8а3 + 27)х3 + 216а3 = 0.
9.14. а) (х2 — 2х)2 — Зх2 + 6х — 4 = 0;
б) (х2 —Зх)2—14х2 + 42х + 40 = 0;
в) (2х2 + Зх-1)2 —10х2— 15х + 9 = 0;
г) (х2 — 5х 4- 7)2 — (х — 3) (х — 2) — 1 = 0.
9.15. а) (х — 2) (х — З)2(х — 4) = 20;
б) (х2 —Зх) (х—1) (х —2) = 24;
в) (х2 —5х) (х + 3) (х —8)+ 108=0;
г) (х + 4)2(х+ 10) (х — 2)+ 243 = 0.
9.16. а) х(х + 4)(х + 5)(х + 9) + 96 = 0;
б) х (х-j- 3) (х 5) (х -f- 8) -\- 56 = 0;
в) (х — 4) (х — 3) (х — 2) (х— 1)=24;
г) (х —3) (х —4) (х —5) (х —6)= 1680.
9.17. а) 4х2 —2|2х—1|=34 + 4х;
б) 9х2 + 21 Зх + 21 = 20 — 12х;
в) х4 + х2 + 4|х2 —х| =2х3+12;
г) х4 + 4х3 = 30 — 7|х2 + 2х|— 4х2.
9.18. При каких значениях параметра а уравнение х2 — (а+1)Х
X \х\ + а = 0 имеет три решения?
9.19. При каких значениях параметра а уравнение х4 — (За — 1 )х2 +
+ 2а2 — а = 0 имеет два решения?
9.20. При каких значениях параметра а уравнение (х2 —2х)2 —
— (а + 2)(х2 — 2х) + 3а— 3 = 0 имеет четыре решения?
9.21. Сколько решений имеет уравнение (х + 2)2(х2 + 4х + 5) =
= а(а—1) в зависимости от а?
Решите уравнение методом замены переменной (22—32):
9.22. а) , I —х2 = 3 — 4х; б) = х2-4 |х|;
х—4х+1 х — 4 |х| -f-1
В) ^ Ш =1;
> (х + 6) (х— 1) (х + 2) (х + 3)
г) й 1 § =i
> (je+i)(x + 2) ^ (х— 1 )(х + 4)
9.23.а) 6(x2+4r) + 5(x+_L)-38 = 0;
б) (*2+4r) + 7(x-_L) + 10=0;
в) (х2+?')_(Х+7')_8 = 0;
г) (*ч£И*+-))-12=0-
112
9.24.a) jc4-7jc3+14jc2-7jc+1=0;
б) 2jc4 + jc3-11jc2+jc + 2 = 0;
в) 6jc4 + 7jc3-36jc2-7jc+6=0;
г) 78jc4-133jc3 + 78jc2- 133jc + 78 = 0.
9.25. а) jc4 —5х3-[- IOjc2— 10jc-[-4 = 0; б) jc4 —л:3 — 10x2-f-2jc + 4=0.
9.26. a) (jc + 5)4-13jc2(jc+5)2 + 36jc4 = 0;
6) 2(jc-1)4-5(jc2-3jc + 2)2 + 2(jc-2)4 = 0.
9.27. a) 2 (jc2 + jc-h l)2 —7 (jc— 1)2= 13 (jc3— 1);
6) 3 (jc + 2)2 + 2 (jc2 — 2jc + 4)2 = 5 (jc3 -f- 8).
9.28. а) ,-4т = 12jc2 + 7x— 6;
' 1 — 2x2
6> 2x+l+^T=5x2-
9.29. a) (2x2 — 3jc-[- 1) (2jc2 + 5jc + 1)=9jc2;
6) (jc + 2)(jc + 3)(jc + 8)(jc+12) = 4jc2.
9-30-a> 2?=fe4=7fff2+5:
6) x2 -j-x 3 + V-5x'+3 = ~ 1’5‘
9.31. a) x 2~ =
3x
бх+15 x2 — 8x +15 ’
x2-\-5x-\-4 I x2 — jc+4 i 13 n
б) ^17Д4 +-^TГ + T=0•
9.32.a) *2+^=3; 6),2+1^=7.
Решите графически уравнение (33—38):
9.33. a) 3 — jc2=—^— ; 6) 2 —2jc-jc2=—.
’ 2—x ' x + 3
9.34.a) V^ + +1; 6) 1+V2^jc=-|-.
9.35. a) 1 —x3=-\/3 —jc; 6) -^2x + 4-l={x+lf.
9.36. a) (2 —jc)3 = 2jc —jc2; б) (jc + 2)3+-^-+2 = 0.
9.37. a) -|“-j-p=l* — 2,51 — 1,5; 6) |3-jc|-3 = 2 |jc|-jc2.
9.38.a) (jc — 1 )3 = |jc2 — 4*-f-31; б) 1+2jc —jc2=V|jc—1|.
9.39. При каких значениях параметра а уравнение |;с-[-3| =
= а \х — 2| имеет единственное решение? Найдите это ре¬
шение.
9.40. Сколько решений имеет уравнение -\/4 — х2 = |х| -\-а в зави¬
симости от а?
9.41. Сколько решений имеет уравнение У1 — jc2 = \х—а\ в зависи¬
мости от а? Найдите решение уравнения в том случае, когда
оно единственное.
113
9.42. Найдите все значения параметра Ь, при которых уравнение
х +(3ft — 1) —2 _q имеет одно решение.
х — Зх — 4
9.43. Найдите значения параметра k, при которых уравнение
*2+(3——[0. =о имеет одно решение.
-\/2х2 — 2х— 1
9.44. При каком значении а уравнение х10 — а |х| + а2 — а = 0
имеет единственное решение?
990 х2>_а _
9.45. При каком значении а уравнение — +<г = 0
2 х -j-1
имеет единственное решение?
УРАВНЕНИЯ с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
ЗАДАНИЕ ФИГУР НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
УРАВНЕНИЯМИ И НЕРАВЕНСТВАМИ
Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие соотноше¬
нию (46—51):
9.46. а) ху — 2 = 2х — у; б) у -\fx— 1 = у — л/х.
9.47. а) 9х2+4у2 + 13= 12 (х-\-у);
б) 20х2 + у2 —4ху-[-24х-[-9 = 0.
9.48. а) х2 + 2,5у2-[-Зху — у +1 =0;
б) х2+У2+х+У =2л/ху.
Ф+ЧУ
9.49.а) (х2 + 4) (у2 + 1) = 8ху;
б) х2у2+*2 + у2 — 14ху + 2х — 2у + 37 = 0.
9.50. а) (х2 + 2х + 2) (у2 — 4у + 6) = 2;
б) (х2 — 4 |х| +5) (у2 + 6у-[- 12)=3.
9.51. а) ^±1 = У4-|у|;
б) У4х2 — 20х + 25+1 д/у — х| = 6 -
9
|5 — 2х|
Изобразите на координатной плоскости множество точек, ко¬
ординаты которых (х; у) удовлетворяют уравнению (52—65):
9.52. а) |у|=2 — х; б) |у|=3х — 4;
в) |у + 11 =2— х; г) \у — 2|=3х — 4.
9.53. а) \у — х| = 1; б) |у + х|=3;
в) \у — х|=х; г) \y-\-x\ =у.
9.54. а) х2 — 9у2 = 0; б) 4х2 — 25у2 = 0;
в) х2 — Зхг/-f-2г/2 — 0; г) Зх2+10ху-[-Зу2 = 0.
9.55.а) (у-2)2 = (х+1)2; б) (2у + х- 1)2=(3х-у + I)2;
в) |3у+2х — 2| = |х — у + 3|; г) у2 + 4у=х2 —4х.
114
9.56. а)
в)
9.57. а)
в)
9.58. а)
в)
9.59. а)
в)
9.60. а)
в)
9.61. а)
в)
9.62. а)
в)
9.63. а)
в)
9.64. а)
в)
9.65. а)
в)
ly 1 = 9— х2;
б)
1У1 =х2 — 4х;
\у\ =х2 — 6х-[-8;
г)
|у|=8 + 2х-х2.
х |у| = —2;
б)
1у1 (х+1)=1;
|y|=V* + 2—1;
г)
1у1 = 1 —Vl — *•
у2 = 0,5х;
б)
У2=-2х;
у2 — 4у — х+5 = 0;
Г)
У +У + *— 0,75 = 0.
\у\ =2 1х| - х2;
б)
1У1 = х2 — 4 |х|+3;
1У1 = 12х — х21;
г)
lyl = 1 х2 — 4х 4- 31.
х2=у4-,
б)
х2 —6х + 9 = у4;
1 х | =у2 — 2у;
г)
1 х I =у2 — Зу + 2.
|х| + |у|=2;
б)
|х-3| + |у|=1;
\у\ — |х| =3;
Г)
11х| — |у11 =2.
(х— 1 )(у — Г+З) _п.
б)
(х + 2 )(у2-х) _0.
у—1
у2— 1
+ -+) + 4+-4) ,
); г)
(х-у)(ху + 2) Q
х2 + У2
Х + 1/
х—-=у—
X у
б)
"+Т=!'+Т
|jc|+^ = lyl+^T:
г)
1*+т1 = li'+fl '
х2 + у2 = 2х;
б)
х2+у2 —4х + 6у=12;
х2 + у2 = 2 \у\;
Г)
х2 + у2 — 2 |х|+4у+1=0.
х4 — 2х2 = у2 + 2у;
б)
х2-2х = у4 + 2у2;
х4-2х2=у2 + 2 |у|;
Г)
х2 — 2 |х|=у4 + 2у2.
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых
ву (66—72):
(х; у) удовлетворяют неравенст-
9.66. а)
У>3 |х| —2;
б) y<|3x-2|;
в)
1у| ^Зх — 2;
г)
1У1 <3 )х| —2.
9.67. а)
(х-1)(у + 2)>0;
б) (1 х| — 1)(у + 2)<0;
в)
(х-1)(|у|+2)<0;
г)
|х—1| (у + 2)>0.
9.68. а)
ху< 2;
б)
|х| у>2;
в)
* lyl >2;
Г)
Uy| <2.
9.69. а)
У>х2 — 4 |х|+3;
б)
У< 1 х2 4х + 31;
в)
1У1 >х2 —4х + 3;
Г)
lyl < 1 х2 4х + 31.
9.70. а)
Х]>У2\
б)
х4<у4;
в)
х >у ;
г)
У <х2.
9.71. а)
y>Vlx| +1 —2;
б) y+2<VU+11;
в)
у< |2—Ух+1|;
г)
1У1 + 2>Ух+1.
9.72. а)
l*l + lyl<3;
б)
|х-2| + |у-3|<0;
в)
lyl-|x|>2;
г) л^ + У2 — 2|х| + 4у+1<0.
115
9.73.
9.74.
9.75.
9.76.
9.77.
9.78.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную
неравенством, и вычислите ее площадь (73—76):
а) х2+у2<4х; б) х2+у2<4 |у|.
а) х2+у2 + 3<4 |х|; б) х2+у2 +1 <2 (|х| + \у\).
а) (2 л/у)2<4(1—
б) Зху+(х — л/ху — у){х-\-л/ху—у)<4.
а) |х| + |у| + |х —у|<2; б) |х — 11 + \у+ 11 + |х + у|<2.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную
системой неравенств, и вычислите ее площадь (77—78):
а) ( х2+у2<4(х+у — 1), б) ( |х— 1| + |у— \\>\,
\у>|х —2|; ( |х — 2| + |у — 2|<2.
а) Пх —у|<1, б) |— *2.
((^+!/)(^+^)<0; Ь<уг
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
9.79.
9.80.
Решите графически систему
а) Г х+у = 5,
\ху = 4;
в) гх — у=\,
I У = х2 + 2х — 3;
а) г (х — З)2 + (у — 2)2 = 1,
f (х —3) +(
\ х —у = 4;
9.81.
в) г х2 —2х = 4у — у2— 1,
( 4у+1=х2;
а) [ У~{х 1 )2,
х2 + 6х + 5 .
уравнений (79—86):
б) /х+у = 4,
I х2-\-у2 — 8\
г) /ху = 2,
\х2 + г/2 = 5.
б) г(х-1)2 + (у + 2)2 = 4,
I 2х—у = 2;
г) (х2+у2=13,
I У—х2 — 7.
б) 1 У
У =
х+ 1
в) f х = у + 6,
4х2 —х4
(
4х— 12
х + 2
У =
У-
{
х+1
Г) J =5,
9.82.
9.83.
116
х2-4
,,2
у — 2х = 3.
a) j У = Iх + 6х + 51,
1 у —х=5;
в) ( ху = 3,
I У2=х — 2;
а) (-у+|х2 + 6х + 8| =0,
\(у+1)2 = (х + 3)2;
б) г \у\ =х —3,
(у = х2 —8х+ 15;
г) j у=х2 —4х + 7,
1 у |х —2| =4.
б) Гу+|х2 + 6х + 5|=0,
( х2 + 6х+9у + 45 = 0.
9.84. а) ( х + 5у = 4, б) jy-f-5x=12,
ly=Vu+2T; I iy-ц =(x-i)2.
9.85. a) j x2 —| t/2 —| 12 = 4x -f-6y, 6) r x2+y2 + 7 = 4y —4x,
\y+|*-2|=4; { \y — 2| = x-f-3.
9.86. a) ry = x2 + 4x + 3, 6) j |y|=(x — 2)3,
(x = y2 + 2y—1; \x2 + y2 = 6x —8.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
И СИСТЕМЫ, СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Решите систему уравнений (87—99):
9.87. а) (х + у = 3, б) г2х + 3у = 3,
1* — У=1; 1 2х — Зу = 9;
в) (х + 2у = 5, г) (Зх + 5у = 8,
\-х + 7у=13; i —3x + y= —2.
9.88. a) (1^!L = ,
= 1±1.
5 3 ’
б) г 0,5 (у + 0,5х) —0,2 (х + 2)= 1,1,
I х + 4 = 0,25 (2х -|- 3 (у — 0,5)) + 2у.
9.89. а) ( *-= 1, б) (+ Jtti =0,25,
• х у
1.88. а) (
I х-1
V я
2.5 .г
=4,5;
X ' у \ х у
( х~1 4- У±)
I 2х Зу
U-i-=3,5.
V X и
9.90. а) (-j- + -3- =7, б) (—V +—=5,
I х + у х-у ’ I х + 2у у
1-3 — = — 1; 1—10 2—1.
v х + у х — у кх + 2у у
9-91а> + + ^ =
1 27
V Зх — 2и
Х—у
= 1; \-А_--1_=1,15.
V л: — и 2x4- и
Зх — 2у 2х — 3у ' 4 х — у 2х+у
9.92. а) ( 4х + 5у= 12-[-5 д/7, б) ( 2х — Зу = 6 — 2 д/5,
г4х + 5у= 12 + 5 д/7, б) Г
12х-д/7у=-1; |
2у-%=2.
V5
9.93. а) г у — х= 1, б) гх+у = 3,
\ х+ |у| = 1; 1 3 |у| —х= 1;
в)/х+|у|=2, г) г 3 |х|+2у= 1,
\ Зх+ |у| =4; [ 2 1 х| у = 3.
9.94. а)
( \х\ +у=5,
б)
(* + 3 \у\ =2,
\ х+4у = 5;
1 Зх —у = 1;
в)
( \х\ +у = 2,
г)
( х + 2 \у\ =3,
{ Зх+у = 4;
<
[ х — 3у = 5.
9.95. а)
(х+ \у\ =3,
б)
( 2 |х| +3у = 8,
{ |*| — у= — 1;
1 2х— \у\ = —4;
в)
( 1*1 +у = з,
Г)
\ 2 |х| +у = 4,
( х + 2 \у\ =4;
[4х + 3 |у| = 12.
9.96. а)
Г х+у = 2,
б)
| * + 2у=2;
1 \3х — у\ = 1;
1 12х — Зу | = 1.
9.97. а)
( 1* — 2\ + \у — 5| = 1,
б) 1
[ 1* — 2| +2 1 у 1
[ у— I* — 2| =5;
1
1 *+ 1У— 11 =3,5.
9.98. а)
( 1*— 11 +У = 4,
б)
Г *+ \У~\~ 11 =7,
СО
II
см
1
1
ч
1 1 * 11 +у = 5.
9.99. а)
( |* + 2| + \у| —2,
б)
( \х — 31 + |у — 2| :
1 У + 2= |* + 2|;
1 У+ 1 * — 31 =5.
9.100. Числа х, у и z связаны соотношениями
—- - - 1 и —— = 1. Найдите -+
у
Z
9.101. Найдите все значения параметра а, при которых система:
а)гЗх + 7у = 20, б) г (а+1)х—у = а,
\ах+14у=15; \ (а—3) д: + схг/ = — 9
имеет единственное решение.
9.102. Найдите все значения параметра Ь, при которых система:
а) г Ьх — 8у=12, б) г (6 + 1)х+у = 3,
\ 2х —6у= 15; \2х —(ft —2)у = 6
не имеет решений.
9.103. Найдите все значения параметра с, при которых система:
а) г 15х + су = 3, б) (х (с 1)у = 2,
[ 5х+10у — 1; { (с + 2)х + 2у = 4 — с2
имеет бесконечно много решений.
9.104. Найдите все значения параметра k, при которых прямые
Зх + 2Лу=1 и 3 (k—l) x — ky = l:
а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют
общих точек.
9.105. Найдите все значения параметра а, при которых выражение
*о + </о принимает наименьшее значение, где (х0; уо) — реше-
( Зх—у = 2 — а,
ние системы уравнений | х-\-2у = а-\-1
118
9.106.
9.107.
9.108.
9.109.
9.110.
9.111.
9.112.
9.113.
При каких значениях а и b система уравнений
г а2х — ау = 1 — а,
( Ьх-\-{3 — 26)у = а-\-3
имеет единственное решение (1; 1)?
Найдите все значения а, при которых система уравнений
имеет единственное решение, укажите это решение:
а) ( 3 |х| + у = 2, б) ( х-\- \у\ —3,
{ 2х— IуI =а;
\ |х| + 2у = а;
в) < х + у = а,
I У— 1*1 =2;
Решите систему уравнений
а) (x-\-z — 4,
< у + 2 = 5,
( х + 2у + 4z = 17;
в) ( х + 2у = 5,
I У+ 2z= 12,
U + 2x = 7;
г) | ах — у = За,
[у— |х| = 1.
(108—110):
б) Г*+У = —2,
< y + z= —1,
U + z = 3;
г) (х-у= 1,
< y + z = 7,
V 2 — х = — 2.
а)
в)
а)
= и~2 = z~i
1 -1
2y + z — 3 = 0;
х+у + 2 = 6,
y + z + t= 9,
2 + / + х = 8,
*+* + У = 7;
2х+у —2 + и = 5,
2х “(“ у — 2 -р t = 1 1,
2х — z-\-v-\-t= 17,
2х + У + р-М= — 1,
у — 2 + и + / = 0;
б)
(
х —6 у + 4 z-f 2
3 -2 -2 ’
2х —Зу —2+ 16 = 0;
Г) (х + 2у + 2=4,
{ у + 22 + / = 4,
I 2 2t -рх = 4,
У / + 2х+у=4.
б)
х+у + 22 —и = 11,
x-f-y + 22 + / = 13,
х + у — v-\-t = 15,
х -f- 2z — v +1 = 1,
y + 2z — и-И=0.
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Метод подстановки и алгебраического сложения
Являются ли равносильными системы уравнений (111—115):
( 2х — 3у = 0,
( 5х2 + 2у = 3
г Зх — Ъху-\- 1 =0,
\ 4х—у = 2
х2+у
ху = 2
{
,2 I
/ 2ху = 3у2,
\ 5х2 + 2у = 3?
г Зх —5ху+ 1 =0,
\ (у — 4х)2 = 4?
[ (х + у)2=9,
\ху = 2?
119
to
о
5°
сл
с£>
н
н н
1
+
+ 1
СО 1C
Ч: Ч:
ч:
II
II II
II
со
ьо •—
4».
S
S
X X X "С4
Ю | . *
I ++ I
* Чт If i
«= II II X
+ 00 to СлЭ
' - -и Н
^ ю
||“ +
4^
с<-
СО
По
+
9.124. а)
< х2 —у2 —2х + 2у=0,
б>
г х2=ху,
\х2 + у2= 10;
[х2у = 4у\
в)
( х2 + ху — 6х,
Г)
Г х2у = 3х,
( х2 + у2 = 3(х + у);
[ х4 + У4 = 6л:у.
9.125. а)
< у^ — х2 = 4 — 4х,
б>
( у2 — 1 =4х2 + 4х,
{ х2+у2 —Зху = 4;
( 4л:2 + у2 + Зху = 1
9.126. а)
( \х\ +у= 1,
6)
( \х\ + |у| =2,
\х2+у2 = 5;
1 лгу = 1.
9.127. а)
( \* \ + У2 — 13,
6)
г |х|+у2 = 5,
( х+ 1у| = — 1;
i Iх| + Iу 1 =3.
9.128. а)
( |х|+у2 = 5,
6) _
( X \у\ = — 1,
1
II
см
н
[х2 + у2 = 2.
9.129. Числа х, у и z связаны соотношениями
Найдите отношение —, если 0<x<z.
г
Решите систему уравнений (130—138):
9.130. а)
( х3 + у3 = 7,
б)
( х3—у3 = 65,
1 х2у-\-ху2 = —2;
\ х2у — ху2 = — 20.
9.131. а)
( х2 — ху = 2,
б)
г х2— |ху| =2,
ю
1
ч:
II
1
1
II
1
;
в) 1
f х4 + *У = 20,
г) ,
II
см
см
3
1
4
1
(у4 + х2у2 = 5;
(у4 + х2у2 = 5.
9.132. а)
( х + у = 5ху,
б)
г 7 —х + у—ху =
=0,
н
1
II
«с
\ 5 — у + х — ху =
= 0;
в)
< X2— Х+1=у,
Г) 1
1" 2х2 — 5ху + Зл: -
-2 у
\У2 — У+ 1 = л:;
( 5ху —2х2 + 7х-
-8 у
9.133. а)
г 12х2 + 2у2 —6х + 5у =
3,
\ 18х2 + 3у2-6х + 8у =
7;
б)
1 х2 + 2у2 — Зх — 5у= —
4,
1 -2х2-6у2 + 2л:+15у
= 6;
в) ( 9у2 + 6л:у — 4х —9у + 2 = 0,
\ 27у2 + 3л:у —2х—42у +16 = 0;
г) Г Зх2 + ху-\8х-4у + 24 = 0,
{ 5х2 + *У — 24х —4у+16 = 0.
9.134.
9.135.
9.136.
9.137.
9.138.
9.139.
9.140.
9.141.
9.142.
9.143.
9.144.
9.145.
122
а) (х2+у = 2, б) гх2+2у = 6,
[у2+х = 2; \у*+4х = 9.
а) г х2 + 2у + 1=0, б) ( х2+у2 — 2х = 0,
\ у2 + 2х + 1 =0; [ х2 — 2ху +1 =0.
а) г х2 —6у = — 14, б) г9х2+12у= — 5,
[ у2 — 4х = 1; [ 4у2 — 6х= — 5.
а) ((х-+ху2 + у2)(х + у2)2 = 225,
[(х-ху2 + у2)(х+у2)2 = 25;
б) г (1 Зх4у8 — 6х2 — 6у4) ху2 = 356,
( (5х4у8 - 6л:2 - 6у4) ху2 = 100;
в) г (х + 2у)2 + (х + 2у)(х + у) = 28,
\ (x + yf + (x + 2y) (х + у) = 21;
г) г х3-|-2х2у + ху2 —х —У = 2,
{
у3 + 2ху2 + х2у+х + у = 6.
а) г х2+у2 + 2ху —у + х = 0,
{
х2+у2 + ху+у + 2х = 2;
б) Г л^+г^+гху—л:—у=2,
{ л^+у3—ху+2х+2у=5.
Метод почленного умножения
и деления уравнений системы
Решите систему уравнений (139—147):
а) /х5у7 = 32, б) fx8y6 = 64,
{ х7у5 = 128; \ х6у8 = 256.
а) г (х + 2у) (л: — у) = 4, б) г (х+у)3(х —у)2 = 27,
{ (х + 2у) (х + у)= 12; 1 (х —у)3(х + у)2 = 9.
а) г (х + у) ху = 6, б) (ху2 — х = 9
( ху — л = У,
1 (л: — у) лгу = 2; [ху —ху3= —18;
в) гх+ху3 = 9, г) j х-[-ху-[-ху2 = 6,
[ху+ху2 = 6; [ х2-|-х2у2 + х2у4 = 12.
a) J ху3 + х3у= —10, б) г х2у3-|-х3у2 = 12,
[ х2у4 + х4у2 — 20; [ х3у4 + х4у3 = 24.
a) j ху — х = 2, б) j х — ху = 0,
[ху3—ху2 = 8; [ху—ху2 = 0.
а) ( 2х4=Зх2у + 20, б) г2х8 = х4у4 + 1,
| Зу2 = 2х2у — 5; [зу8 = х4у4 + 2.
а) г х2 + 3ху + х + 3у = 8,
{ Зу2 + ху —2х —6у = —4;
б) ( 2х2 — ху — Зу2+х + у = 6,
г 2х —
( 2х2 —
5ху + 3у2 + х —у = 2.
9.146.
9.147.
9.148.
9.149.
9.150.
9.151.
9.152.
9.153.
9.154.
9.155.
9.156.
а) ( х —ху + у =7, б) г хг+ху + у2 = 3,
1 *4+x2y2+y4 = 91; \х 4 + *У4-1/4 = 21.
а) / г5—*2у+*у2—у3 = 5, б) г *4 + 4у4-5*2у2 = 45,
1 *3+*2у+*у2+у3=15; U2+2y2 + 3*y=15.
Замена переменной. Симметрические системы
Решите систему уравнений (148—164):
а) / {х+у)2 — 5(*+у) + 4 = 0,
( (* — У) — (х — У) — 2 = 0;
б) / (* + У)2-4(* + у) = 45,
1 (х — у) — 2 (* — у) = 3.
а) г * + *у + у = 5,
\ *2+*(/+1/2 = 7;
б) г *у — 29 = *4-у,
{ х у2 = х-\-у-\-72;
в) ( х — ху + у=\,
{ *2 + у2 + 2* + 2у = 11;
г) / *2 + у2 + 3*у = 4 (х+у) — 3,
| 2* + 2у = 5 —ху.
а) (*у + 2* + 2у = 5,
\ * + у2 + 3* + 3у=8;
б) Г Jf2 + y2 — 3*у + 4* + 4у = — 9,
| ху — Ъх — Ъу = 7\
в) г *2 + у2 + 5* + 5у + 3*у = 15,
| *2+у2 — х — у-\-ху= 1;
г) г 2*2 + 2y2-3* — Зу + *у= — 1,
{ *2 + у2 — 2х — 2у + Зху = 1.
а) р4 + у4+*2 + у2 = 92,
I ху — Ъ\
б) г *8+у8+*4 + у4 = 274,
[ху = 2.
а) Г UI + \у\ = 1, б) г UI + |у| =3,
+ { -К2+У =5.
а) г *3 —уъ = 7{х — у), б) tx + xy + y = 7,
[ (* + 1) (У + 1) = 6; ( х -\-xy-\-y = 13.
а) /(*-1)0/-1)=1, б) I (* —2) (у —2) = 4,
{ х2у+ху2=16; \х2+у2 + ху = 3.
а) / {х2 х) (у2 у) —72, б) ((х + y+lf — х — (/ = 31,
( (* + 1)(у + 1) = 20; \ху=6.
а) г ху + х — у = 7, б) / *2у — ху2=6,
{ л у ху2 = 6;
\ *У+* — «/=— 5.
123
ci
-|<N
II
II
*1 &>
1
H*
1
1
1
H
H
^
О
r^-
1C
00
ю
Cft
Ю
о
CO
Ob
4—-—'
4—-—'
'—.—' •—
^ - s
, s
CO
CO
со vO
CO
w
СЧ
CO
<1*
CO
CO
CO
CO
im
im
05
05
05
05
VO
О*
Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
Решите систему уравнений (165—176):
л2-3лу + 2у2=0,
9.165. а
9.166. а
9.167. а
9.168. а
9.169. а
9.170. а
9.171. а
9.172. а
9.173. а
9.174. а
9.175. а
9.176. а
{л2 + у2 = 20;
г 2л2-3лу+у2 = 0,
\ у2 — х2= 12;
г х2 — 5у2 = — 1,
i Злу + 7у2 = 1;
г х2 — ху +- у2 = 3,
( 2л2— ху — у2 = 5;
( л2 + 3лу = 4,
1 4у2 + лу = 5;
i х2 —у2 = 3,
\ 2л:2 — Злсу -|- 2t/2 = 4;
г х2 — 2ху — by2 = — 2,
{ Зл2 + 2лу + у2 = 2;
< 2л2 — 2лу + Зу2 = 3,
( л2 —лу + 2у2 = 2;
IX2 — 3 ху + 2у2 = 0,
I X \у\ + у |л| =2;
л2 —Злу — 4у2 = 0,
х \у\ —у |х| =2;
х2 2 | х | у+у2 = 4,
-у2 = 3;
{
{
{ л3 —у3 = 7 (х — у);
г х2 — 2ху = 2х — 3у,
{ у2 —Злу = 4л —6у;
х 3 | х | у
2 — у2 = 3,
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
б)
f л -f- ху — by = 0,
{ х2 —5лу+ 2у2 = —4;
г у2 — 2ху — Зл2 == О,
{ у2 — ху — 2л2 = 4.
( 2л2 — Зху + Зу2 = 80,
1 л:2 -f- лгу — 2г/2 = — 56;
( л2 —2лу — у2 = 2,
{ ху + у2 = 4.
j л2 4лу у2 — Q,
{ у2 Зху = 4;
г л2 —2у2 = —2,
{ лгу Ч- у2 = 1.
*У + Г
j 5л:2 — 2лгу -(- у2 = 4,
( Зл2 —Злу + 2у2 = 2;
( х2 + Злу — Зу2 = 1,
\ 2л2 — лу + у2 = 2.
г л2 —5лу-Ну2 = 0,
1 у |у! —л |л| = 15;
( л2 —2лу —3у2 = 0,
\ л |л| —у |уI =2.
t;
{
л2 —2л |у| =3,
2 + Зл |у I = — 2.
3 „ ,,3
х — х = у — г/,
2л2 + Зу2 = 5лу
б) с 2л —у = 3л2у,
!
(;
(
x2+xi/
8
+
13
!Г + ху
1
i/2+xi/
= 1;
1 2х у =
(У — л = 2лу2.
{'
I
(
Г_1_ + ^_=А, б)/
{ 2х-1/ ^ *+г/ х ' \
1л2 + 2у2 = 72; I
£±2^ + 1z^=4) б)
Х — у Х+1/
2 + лу + у2 = 21;
+ б)
+ — XI/ *Г — ху
1,3 — У3 = 2;
а:2+ 3x1/
3
х2 + Зху
Зх —9.1/
-XI/
25
14
х+1/
+
У —ху
2 х + у _
х — У
4,
л2 —у2 = 48.
2л2 + 4x1/
Зху —у2
Х2 + У2 = 2.
9ху—3i/2 _г
x2 + 2xi/ ’
10
X 1/ Х+1/
л2-)-у2—2лу+2л-
-Зу=1.
125
9.177.
9.178.
9.179.
9.180.
9.181.
9.182.
9.183.
9.184.
126
Системы уравнений с тремя переменными
Решите систему уравнений (177—182):
а) (х + у = 3,
\ y+z= — 1,
I XZ= —3;
в) { у — х = 2,
2// —z = 3,
22 + //2—х2— 1;
а) (x + y + 2z = 6,
x+2y + z = 5,
x2+y2 + z2 = 6;
а) ( z — y = 3,
z — x = 4,
x2 + y2 + z2 = 30;
a) f xy = 2,
xz — — 3,
Kyz=— 6;
a) ( xy+yz = 9,
J i/z + *2 = 8,
|^jc{/+jcz = 5;
a)
6) f у — 2z = 3,
JC + Z= 1,
x2+y2 = 5;
О Гдс-Ь*/=3,
< * + 2 = 0,
t*i/+*z + «/z =
б) (xy — 6,
yz=2,
+ + z2 = 10.
1.
6)
6)
6)
x— 1 _ i/+ 1 _ г —2
3 2 — 1
+ + i/2 + z2 = 26.
' xy2z3= 108,
*Vz = 24,
^x3yz2 = 18.
{
1
+
1
_ 7
х + У
X + Z
12
1
+
1
8
х + У
У + х
15
1
+
1
9
У + 2
х + г
20
x+y = 2,
jc//-|-xz + //z = 5,
*2+y2 + z2=6;
б) Г * + i/ + z = 0,
< jc// + //z= — 1,
U2+y2 + z2 = 6.
Разные системы
Найдите все пары чисел (х; у), каждая из которых удовлет¬
воряет системе:
а) \ У— \х — 2у+1| =3,
X \y\-\-\y — 2| +(// — 4)2^5;
б) г х+(3у — х— 1)2 = 2,
t U — 3| + \4 — х\ 4-(х— 1)2<4.
Найдите все решения системы уравнений
/ (х — 2)2+(у2—1 )2 = 4,
\х2 + у2=х-у,
удовлетворяющие условию
Решите систему уравнений (185—189):
9.185. ( х2 + 5у2— 4ху + 2х—6у+2 = 0,
\ Зх2 —2у2 + ху —Зх + 2у— 1 =0.
9.186. г х2 — 2у2 — ху-\-2х — у-\-1 =0,
{ 2х2 — у2 + ху + Зх — 5 = 0.
9.187. ( х2у2-4х+4у2 = 0,
( х У
{х2-
{
4х + 6 — 2уь = 0.
9.188. ( х2 — у2 + 2у— 2 — 0,
2х2 + у2 + 2ху х = 0.
9.189. г х — ху -(-4 = 0,
{ \х — 2\ + у2 —4у = 0.
9.190. Решите в положительных числах систему уравнений:
а) Г х + 2у + 3г = 6, б) ( х + 2у + 3г + 4и = 10,
Г х + 2у + 3г = 6, б) Г
1 -—I——Н——=6; 1 ■
V х У г {
=ю.
х у г и
Решите систему (191 — 194):
б) { Х4 + 1/4 + 24 = 3,
9.191. а)
( х2 + у2 + г2 = 12,
[ ху + xz + yz = 12;
9.192. а)
г х + у + 2 = 3,
б)
\х2 + у2 + 22 = 3;
9.193. а)
( х + у = 2,
б)
[ ху —22=1;
9.194. а)
ГХ2 + у2+ 8 = 2,
б)
( 6х + 2у —2^2;
г*
2y2 + yV + 22x2 = 3.
Х + у + 2= 18,
2 + у2 + г2= 108.
х-\-у = 8,
С
г х + у = 8,
I *у—16 =
б) гху=1,
22.
\х + у+У1 — 4г2 = 2.
Системы уравнений с параметрами
9.195. При каком значении параметра а система уравнений:
гх + у = а, < х+у = а,
a)U = 9; б) (д,2_|_^2 = 2;
(2 х + у = а, (х + у = а,
в) I у — х2=1; гМу2 + 2х=1
имеет единственное решение? Найдите это решение.
9.196. При каких значениях параметра m система уравнений
имеет единственное решение?
х2 + у2 = пг,
| х — у = пг
9.197. При каких значениях параметра а система уравнений имеет
два решения:
а) / х2 + у2 = 2(1+а), б) гх2 + у2 = а,
\ (х + у)2 =14; \ (х + у)2 = 36;
127
В) rx2 + y2 = 1, г) I х2+у2 = 2а — 1,
\ху = а\ \ху = а — 1 ?
9.198. Найдите число решений системы уравнений ( |х| + |у| = 1,
{ х2 + у2=а
в зависимости от параметра а.
9.199. Сколько решений в зависимости от а имеет система урав¬
нений:
а) |х2 + у2 = 9, б) г х2 + //2+10х = 0,
{ |х| =у — а\ \у=\х — а\?
9.200. При каких значениях параметра а система уравнений
г у — х2 = а,
\х2 + у2 = 4
имеет три решения? Найдите эти решения.
9.201. При каких значениях параметра р система уравнений
г х2 + у2 =9,
I (РУ + х) (x — pxj3) = 0
имеет три решения?
9.202. При каких значениях параметра Ь система уравнений
а) I |*]+4 \у\=Ь, б) г |х|+2\у\ = 1, в) 1 \у\+х2 = А,
\|//|+х2=1; {\у\+х2 = ь-, \х2+у2 = Ь
имеет четыре различных решения?
9.203. При каких значениях параметра с система уравнений
/ 3 |*| + \у\=с,
\х2 + у2= 1
имеет восемь различных решений?
9.204. Решите систему уравнений
{
^г+1=0-
<2+3 <2 + 2
1 2_ = j
х у — 2
где а>0, и докажите, что если а — целое число, то для
каждого решения (х; у) данной системы число 1 -\-ху являет¬
ся квадратом целого числа.
9.205. При каких значениях параметра а система уравнений
f х2-\-у2-\-2ху — 6х—6у+ 10 — а = 0,
{ х2 + у2 — 2ху — 2х + 2у + а = 0
имеет хотя бы одно решение?
Решите систему при найденных значениях а.
9.206. Найдите все значения параметра а, при которых система
уравнений ( х2 + (у — 2)2 = 1, имеет хотя бы одно решение.
\у = ах2
128
9.207. Найдите все значения параметра а, при которых окружнос¬
ти х2-\-у2 = 1 и (х — а)2 у2 = 4 касаются.
9.208. Найдите все значения параметра а(а> 0), при которых ок¬
ружности х2-\-у2= 1 и (х — З)2 + (у — 4)2 = а2 касаются.
Найдите координаты точки касания.
9.209. Найдите все значения а (а> 0), при которых окружность
х2-\-у2 — а2 касается прямой Зх + 4г/=12. Найдите коорди¬
наты точки касания.
9.210. Прямая у — Ъх-\-а проходит через центр окружности х2-\-
-\-у2 — 2*+ 4//= 21. Найдите координаты точек пересечения
прямой и окружности.
9.211. При каком значении параметра а прямая и = х-\-1 будет
проходить через центр окружности (х—1) +(// —а)2 = 8?
Найдите координаты точек пересечения прямой и окруж¬
ности.
9.212. Известно, что прямая у=\2х — 9 и парабола у = ах2 имеют
только одну общую точку. Найдите координаты этой точки.
9.213. При каких значениях Ь и г (Ь> 0, г>0) окружность
(х— \ )2 -\-(у — bf = г2 будет касаться прямых у = 0 и у=-^- х?
и
Найдите координаты точек касания.
9.214. Изобразите на координатной плоскости множество точек с
координатами (а; Ь) таких, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
9.215. При каких значениях параметра а система уравнений
Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме:
выбирают неизвестные; составляют уравнение или систему урав¬
нений, а в некоторых задачах — неравенство или систему нера¬
венств; решают полученную систему (иногда достаточно найти из
системы какую-то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обыч¬
ном смысле).
Условно содержание текстовых задач можно классифицировать
по следующим типам: задачи, связанные с понятиями «процентное
содержание», «концентрация»; задачи на «движение»; задачи на
«работу». Приведем примеры решения задач каждого типа.
5 М. Л. Галицкий 129
г а (х4+ 1) = // — |*| + 1,
I *2 + (/2= 1
имеет единственное решение?
§ 10. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Пример 1 (3)*.
Решение. Пусть в 40 т руды содержится х т железа. Тогда
(40 — х) т составляют примеси. При выплавке стали количество
железа не меняется, а количество примесей уменьшается. Посколь¬
ку из условия задачи следует, что в 20 т выплавленной стали со¬
держится 94% железа, то х — 0,94 -20. Теперь вычислим процент
примесей в руде:
40-х . 100== 40 - 0,94-20 . 100 = 53
40 40
Ответ: 53%.
Пример 2 (39).
Решение. Пусть расстояние между городами Л и В равно
s км, скорость поезда, отправляющегося из города Л, равна х км/ч,
скорость поезда, отправляющегося из города В, равна у км/ч.
Тогда ч — время, за которое преодолевает половину пути пер¬
вый поезд (отправляющийся из города Л), -|-ч — время, за кото-
рое проходит половину пути второй поезд. Из условия задачи заклю¬
чаем, что^"—-^~= 1.5. Кроме того, (6х + 6//) км — расстояние, ко¬
торое преодолели бы оба поезда за 6 ч, если бы выехали одновре¬
менно, — равно 0,9s км. Таким образом, получаем систему урав¬
нений
{_s s_ _3_
2х 2у ~ 2 ’
6x + 6// = 0,9s.
Количество уравнений в системе меньше количества неизвестных,
но в задаче требуется найти время, за которое каждый из поездов
преодолевает расстояние s км, т. е. фактически требуется найти
ti=— и <2=—■ Тогда первое уравнение системы примет вид
/i — <2 = 3, а второе уравнение системы после деления обеих частей
на 3s преобразуется к виду —+—Решая систему уравнений
^1 12 Ш
относительно t\ и <2, находим <1 = 12, <2 = 15.
Ответ: 12 ч, 15 ч.
Пример 3 (80).
Решение. Пусть первая бригада изготовляла х деталей в
час, а вторая бригада — у деталей в час. Тогда 72 детали бригады
72
изготовили вместе за —;— часа, значит, в первый день они
х+у
* Здесь и далее в скобках указан номер задачи из данного параграфа.
130
работали раздельно ^7—~j“) ч- За время раздельной работы
первая бригада изготовила (7 т-) * деталей, а вторая —
\ X “р у /
^7 — ^ у деталей. Из условия задачи заключаем:
(7-т?+-(7-тт+=8- <»
Во второй день первая бригада изготовляла (х+1) деталей в
час, а вторая — {у— 1) деталей в час. Значит, 72 детали бригады
72 „
изготовили вместе за часа, таким образом, во второй день
х + У
бригады работали раздельно ^5— ^ часов и изготовили за
это время ^5 ^(дс+1) деталей— первая бригада и
^5 1) деталей — вторая. Из условия задачи заклю¬
чаем, что
х+у) \ х+у.
Итак, условия (1) и (2) дают систему уравнений
,(8-+)<*-!'+2>=8-
I!
79
Положим х — у —и, =v, тогда
Х + у
I (7 — v)u = 8,
I (5 — v) (и+ 2) = 8.
Выразим из первого уравнения переменную и и подставим во вто¬
рое уравнение системы: ( и = -- ,
1<5-")(тЬ+1)”4'
Второе уравнение последней системы приводится к виду v2— I2v +
+ 27 = 0, откуда щ=3, Уг = 9. Теперь находим соответствующие
значения и: U\=2, u<i= — 4 (не удовлетворяет условию задачи
х>у). Следовательно, для определения хну имеем систему урав¬
нений ( х — у = 2, откуда х— 13, у— 11.
72
= 3
х + у
Ответ: 13 деталей в час изготовляла первая бригада, 11 де¬
талей в час изготовляла вторая бригада.
131
Задачи
10.1. Найдите отношение двух чисел, если известно, что разность
первого числа и 10% второго числа составляет 50% суммы
второго числа и 50% первого.
10.2. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные — 12%. Сколь¬
ко сушеных грибов получится из 10 кг свежих?
10.3. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей
6% примесей. Каков процент примесей в руде?
10.4. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 р., продал
их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен мага¬
зином каждый предмет, если при продаже первого предмета
было получено 25% прибыли, а второго — 50%?
10.5. Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60 экземпля¬
ров второго тома составляла 230 р. В действительности за
все эти книги уплатили 191 р., так как была произведена скид¬
ка: на первый том — 15%, а на второй том — 20%. Найдите
первоначальную цену каждого из томов.
10.6. Третий и четвертый кварталы года предприятие работало по
новой технологии, что позволило повысить производитель¬
ность труда на 50%. На сколько процентов предприятие
выпустило больше продукции за год, если бы новая техноло¬
гия использовалась уже со второго квартала?
10.7. Заведующий лабораторией получил премию, равную 40%
своего оклада, а его заместитель — 30% своего оклада. Пре¬
мия начальника оказалась на 45 р. больше премии замести¬
теля. Каков оклад заведующего лабораторией, если он на
50 р. больше оклада заместителя?
10.8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 3 Уб м.
Найдите катеты, если известно, что после того, как один из
них увеличить на 133-^-%, а другой — на 16-|-%, сумма их
О О
длин станет равной 14 м.
10.9. Каково минимально возможное число учеников в выпускном
классе средней школы, если известно, что процент неуспева¬
ющих учеников в классе заключен в пределах от 2,5% до
2,9%?
10.10. Из ста учеников девятых классов на первом экзамене полу¬
чили отличные и хорошие оценки 80%, на втором экзаме¬
не — 72%, на третьем — 60%. Какое может быть наимень¬
шее число учащихся, получивших отличные и хорошие оцен¬
ки на всех трех первых экзаменах?
10.11. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2
больше числа десятков, а произведение искомого числа
на сумму его цифр равно 280.
10.12. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а
квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Най¬
дите это число.
132
10.13. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в
частном получится 3 и в остатке 3. Найдите это число, если
разность квадратов его цифр по модулю в 2 раза больше
квадрата разности его цифр.
10.14. Если двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату
разности цифр этого числа прибавить произведение его
цифр, то получится данное число. Найдите это число.
10.15. Сумма кубов цифр двузначного числа равна 243, а произве¬
дение суммы его цифр на произведение цифр этого числа
равно 162. Найдите это двузначное число.
10.16. Если двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата
суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то
получится данное число. Найдите это число.
10.17. Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его
цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Если
из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное
теми же цифрами, но в обратном порядке.
10.18. Принятых в институт первокурсников первоначально рас¬
пределили поровну по учебным группам. В связи с сокра¬
щением числа специальностей количество групп уменьши¬
лось на 9, всех первокурсников перераспределили по новым
группам, причем так, что группы снова получились равные
по численности. Известно, что всего 1512 первокурсников и
число студентов в группе стало меньше 28. Сколько стало
групп?
10.19. Четыре школьника сделали в магазине канцелярских това¬
ров следующие покупки: первый купил пенал и ластик, за¬
платив 40 к.; второй купил ластик и карандаш, заплатив
12 к.; третий купил пенал, карандаш и две тетради, запла¬
тив 50 к; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько запла¬
тил четвертый школьник?
10.20. Четверо рабочих обрабатывают детали с постоянной произ¬
водительностью. Если первый будет работать 2 ч, второй —
4 ч и четвертый — 6 ч, то вместе они обработают 260 дета¬
лей. Если второй и четвертый будут работать по 6, а тре¬
тий — 2 ч, то будет обработано 270 деталей. Если второй и
четвертый будут работать по 1 ч, то они успеют обработать
40 деталей. Сколько деталей будет обработано, если первый,
третий и четвертый рабочий будут работать по 1 ч?
10.21. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на
экзамене оценки «2», «3», «4» и «5». Сумма полученных оце¬
нок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и
меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось
на 10, а число пятерок было четным. Сколько каких оценок
получили студенты группы?
133
10.22. Около дома посажены липы и березы, причем их общее ко¬
личество больше 14. Если увеличить вдвое количество лип, а
количество берез увеличить на 18, то берез станет больше,
чем лип. Если же увеличить вдвое количество берез, не из¬
меняя количества лип, то лип все равно будет больше,
чем берез. Сколько лип и сколько берез было посажено?
10.23. Квартал застроен девятиэтажными и шестнадцатиэтажны¬
ми домами, причем шестнадцатиэтажных домов меньше,
чем девятиэтажных. Если число шестнадцатиэтажных до¬
мов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24,
а если увеличить вдвое число девятиэтажных домов, то об¬
щее число домов станет менее 27. Сколько построено девяти¬
этажных и сколько шестнадцатиэтажных домов?
10.24. Сумма, равная 53 к., составлена из трехкопеечных и пяти¬
копеечных монет, общее число которых меньше 15. Если
в этом наборе монет трехкопеечные монеты заменить пяти¬
копеечными, а пятикопеечные — трехкопеечными, то полу¬
ченная в результате сумма уменьшится по сравнению с пер¬
воначальной, но не более чем в 1,5 раза. Сколько трехко¬
пеечных монет было в наборе?
10.25. За самостоятельную работу ученикам были выставлены
оценки «2», «3», «4» и «5». Оценки «2», «3», «5» получило
одинаковое число учеников, а оценок «4» поставлено боль¬
ше, чем всех остальных, вместе взятых. Оценки выше «3»
получили менее 10 учеников. Сколько троек и сколько чет¬
верок было поставлено, если писали работу не менее 12 уче¬
ников и каждый писавший получил оценку?
10.26. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили
3 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раство¬
ра в килограммах было использовано?
10.27. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве ко¬
личество этих металлов находится в отношении 2:3, а в дру¬
гом— в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото
и серебро были бы в отношении 5:11?
10.28. В двух сосудах имеется вода разной температуры. Из
этой воды составляют смеси. Если отношение объемов воды,
взятой из первого и второго сосудов, равно 1:2, то темпера¬
тура смеси будет 35 °С, а если 3:4, то температура смеси
будет 33 °С. Найдите температуру воды в каждом сосуде
(считая, что плотность и удельная теплоемкость воды не
зависят от температуры).
10.29. Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора
кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то по¬
лучится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить
равные массы этих растворов, то получится раствор, содер¬
жащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содер¬
жится в каждом сосуде?
134
о 10.30. Плотность первого металла на 4 г/см3 больше плотности
второго металла. Из 6 кг первого металла и 4 кг второго
изготовили сплав, деталь из которого имеет массу 0,5 кг.
Если бы такая же по объему деталь была изготовлена
только из второго металла, то ее масса была бы на 20%
меньше. Найдите плотность первого металла.
с 10.31. Из двух растворов с различным процентным содержанием
спирта и массой т г и п г отлили по одинаковому количеству
раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток
от другого раствора, после чего процентное содержание
спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым.
Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?
10.32. Имеются три смеси, составленные из трех элементов Л, В и
С. В первую смесь входят только элементы Л и В в весовом
отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и
С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только
элементы Л и С в весовом отношении 2:1. В каком отноше¬
нии нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной
смеси элементы Л, В и С содержались в весовом отноше¬
нии 11:3:8?
10.33. Допуская, что стрелки часов движутся без скачков, опре¬
делите, через какое время после того, как часы показывали
4 ч, минутная стрелка догонит часовую.
10.34. Длина обода переднего колеса экипажа на а м меньше дли¬
ны обода заднего колеса. Переднее колесо на расстоянии b м
сделало столько же оборотов, сколько заднее на расстоянии
с м (с>Ь). Найдите длину обода каждого колеса.
10.35. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчи¬
тал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эс¬
калатору с той же скоростью относительно эскалатора и
насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы,
спустившись по неподвижному эскалатору?
10.36. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одно¬
временно отправились велосипедист и пешеход. Велосипе¬
дист прибыл в пункт В на 4 ч раньше пешехода. Известно,
что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч ско¬
ростью, то иа путь из Л в В он затратил бы вдвое меньше
времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.
10.37. От пристани А отправились одновременно вниз по течению
реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению иа 96 км,
затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найдите
скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки,
если известно, что катер встретил плот на обратном пути на
расстоянии 24 км от Л.
10.38. Из пунктов Л и В навстречу друг другу одновременно
выезжают велосипедист и автобус. Время, затрачиваемое
велосипедистом на проезд из Л в В, на 2 ч 40 мин больше
времени, которое тратит автобус на проезд из В в Л, а сумма
135
этих времен в 5-^- раза больше времени, прошедшего от
«5
начала движения велосипедиста и автобуса до момента их
встречи. Какое время велосипедист затрачивает на проезд
из А в В, а автобус — на проезд из В в Л?
10.39. Два поезда отправляются навстречу друг другу из городов
Л и В. Если поезд из города Л отправится на 1,5 ч раньше,
чем поезд из города В, то они встретятся на середине пути.
Если оба поезда выйдут одновременно, то через 6 ч они еще
не встретятся, а расстояние между ними составит десятую
часть первоначального. За сколько часов может проехать
каждый поезд расстояние между Л и В?
10.40. Из городов Л и В навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда. Двигаясь без остановок с постоянной
скоростью, они встретились через 30 ч после выхода. Сколь¬
ко времени затратил на прохождение пути ЛВ каждый по¬
езд, если известно, что первый прибыл в В на 25 ч позже,
чем второй прибыл в Л?
10.41. Два пешехода выходят одновременно навстречу друг другу
из пунктов Л и В и встречаются через 3 ч. Если бы они оба
вышли из пункта Л и пошли в пункт В, причем второй вышел
бы на 3 ч позднее первого, то второй пешеход догнал бы
первого, пройдя две трети расстояния от Л до В. Сколько
времени потребуется первому пешеходу на путь из пункта Л
в пункт В?
10.42. Из двух пунктов, расстояние между которыми 2400 км,
выезжают одновременно навстречу друг другу пасса¬
жирский и скорый поезда, Каждый из них идет с постоянной
скоростью, и в некоторый момент времени они встречаются.
Если бы оба поезда шли со скоростью скорого поезда, то их
встреча произошла бы на 3 ч раньше фактического момента
встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирско¬
го поезда, то их встреча произошла бы на 5 ч позже факти¬
ческого момента встречи. Найдите скорости поездов.
10.43. Велосипедист отправляется с некоторой скоростью из
пункта Л в пункт В, отстоящий от Л на расстоянии 60 км.
Прибыв в В, он сразу же выезжает обратно с той же ско¬
ростью, но через 1 ч после выезда из В делает остановку на
20 мин, после чего продолжает путь, увеличив скорость на
4 км/ч. В каких пределах заключена скорость велосипе¬
диста, если известно, что на обратный путь от В до Л он за¬
тратил времени не более, чем на путь от Л до В.
10.44. Два туриста вышли из пункта Л в пункт В одновременно.
Первый турист каждый километр проходит на 5 мин быстрее
второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в Л и,
пробыв там 10 мин, снова пошел в В. Каково расстояние
между Л и В, если известно, что второй турист прошел его
за 2,5 ч и оба туриста пришли в В одновременно?
136
10.45. Турист отправляется в поход из Л в Б и обратно и проходит
весь путь за 3 ч 41 мин. Дорога из Л в Б идет сначала в гору,
потом по ровному месту, а потом под гору. На каком протя¬
жении дорога тянется по ровному месту, если скорость ходь¬
бы туриста составляет: в гору — 4 км/ч, по ровному
месту — 5 км/ч, под гору — б км/ч, а расстояние между Л и
В (по дороге) равно 9 км?
10.46. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу,
один из Л в В, другой из В в Л. Каждый шел с постоянной
скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачи¬
вал обратно. Первый раз они встретились в 12 км от В, вто¬
рой раз — в 6 км от Л через 6 ч после первой встречи.
Найдите расстояние между Л и В и скорости обоих туристов.
10.47. Из городов Л и В, расстояние между которыми 70 км, одно¬
временно выехали навстречу друг другу автобус и велоси¬
педист и встретились через 1 ч 24 мин. Продолжая движе¬
ние с той же скоростью, автобус прибыл в В и после 20-ми-
нутной стоянки отправился в обратный рейс. Найдите ско¬
рости автобуса и велосипедиста, зная, что автобус догнал
велосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи.
10.48. На расстояние 100 км грузовой автомобиль расходует не
менее, чем на 10 л бензина больше, чем легковой. Расходуя
1 л бензина, грузовой автомобиль проходит на 5 км меньше,
чем легковой. Какое расстояние может преодолеть легковой
автомобиль, расходуя 1 л бензина?
10.49. Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки
кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоцик¬
лист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта,
а за 0,5 ч до этого он впервые догнал третьего мотоциклиста.
Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 ч после
старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?
10.50. По шоссе навстречу пешеходу движутся велосипедист и
мотоциклист. В момент, когда велосипедист и мотоциклист
находились в одной точке, пешеход был от них в 8 км, а
когда мотоциклист встретил пешехода, велосипедист отста¬
вал от мотоциклиста на 4 км. Какое расстояние будет меж¬
ду мотоциклистом и велосипедистом, когда пешеход встре¬
тит велосипедиста?
10.51. Из пункта А по шоссе в одном направлении выезжают од¬
новременно два автомобиля, через час вслед за ними выез¬
жает третий автомобиль. Еще через час расстояние между
третьим и первым автомобилями уменьшилось в полтора ра¬
за, а между третьим и вторым — в два раза. Во сколько
раз скорость первого автомобиля больше скорости второго,
если известно, что третий автомобиль не обгонял первых
двух?
137
10.52. Два приятеля собрались на охоту. Один из них живет в
46 км от охотничьей базы, другой, имеющий машину,— в
30 км от базы (между базой и домом первого приятеля). Они
двинулись в путь одновременно, причем владелец машины
поехал навстречу своему приятелю, идущему пешком.
Встретившись, они вместе поехали на базу и прибыли туда
через час после выхода из дома. Если бы пешеход вышел из
дома на 2 ч 40 мин раньше владельца машины, то приятели
встретились бы в 11 км от дома пешехода. Какова скорость
машины? (Все скорости считаются постоянными.)
10.53. Три пловца должны проплыть из А в В и обратно. Сначала
стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — тре¬
тий. На пути от А до В все пловцы прошли некоторую точ¬
ку С одновременно. Третий пловец, доплыв до В и сразу по¬
вернув назад, встречает второго в 9 м от В, а первого в 15 м
от В. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние
между А и В равно 55 м.
10.54. От пристани А вниз по реке, скорость течения которой
равна v км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выхо¬
дит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч.
Догнав плот, катер возвращается обратно. Определите все
те значения v, при которых к моменту возвращения ка¬
тера в А плот проходит более 15 км.
10.55. Два судна двигаются прямолинейно и равномерно в один
и тот же порт. В начальный момент времени положения
судов и порта образуют равносторонний треугольник. После
того как второе судно прошло 80 км, указанный треуголь¬
ник становится прямоугольным. В момент прибытия пер¬
вого судна в порт второму остается пройти 120 км. Най¬
дите расстояние между судами в начальный момент
времени.
10.56. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на
притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по
реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 ч на
весь путь от А до В. Затем катер возвращается обратно.
Время обратного движения от В до Л по тому же пути рав¬
но 15 ч. Собственная скорость катера, т. е. скорость ка¬
тера в стоячей воде, равна 18 км/ч. Скорость течения
реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до при¬
стани В и какова скорость течения притока?
10.57. В озеро впадают две реки. Лодка отплывает от пристани
А на первой реке, плывет 36 км вниз по течению до озера,
далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй
реке вверх против течения до пристани В. На весь путь от
Л до В лодка затрачивает 8 ч. Из них 2 ч она плывет по
озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем
скорость течения второй реки. Найдите скорость течения
каждой реки. (Собственная скорость лодки постоянна.)
138
10.58. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли
теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани В, распо¬
ложенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 ч и от¬
правился обратно в Л. В тот момент, когда он находился в
180 км от Л, второй теплоход, отплывший из Л на 40 ч позд¬
нее первого, нагнал плот, успевший к этому времени проп¬
лыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянна,
скорость плота равна скорости течения реки, а скорости
теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой,
определите скорости теплоходов и скорость течения реки.
10.59. Две точки Л и В начинают одновременно сближаться по
меньшей дуге окружности, равной 150 м, и встречаются че¬
рез 10 с. Если же точки начнут двигаться по большей дуге,
то они встретятся через 14 с. Найдите длину окружности
и скорости движения точек, если точка Л может пройти всю
окружность за время, за которое точка В пройдет 90 м.
10.60. Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторо¬
ну. Первое тело проходит окружность на 3 с быстрее второ¬
го и догоняет второе тело каждые полторы минуты. За
какое время каждое тело проходит окружность?
10.61. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоян¬
ными скоростями в одном направлении, оказываются рядом
через каждые 3 ч. При движении с теми же скоростями в
противоположных направлениях автомобили встречаются
через каждые 20 мин. За какое время проедет всю коль¬
цевую трассу каждый автомобиль?
10.62. Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами, по 60
ящиков в каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в ос¬
тальных — яблоки. Сколько ящиков с грушами было в каж¬
дой машине, если известно, что в первой машине на один
ящик с грушами приходилось в 3 раза больше ящиков с яб¬
локами, чем во второй?
10.63. На прокладке двух параллельных трубопроводов работали
два экскаватора. Первый из них начал работать на 30 мин
раньше второго. Когда второй экскаватор прокопал 27 м,
оказалось, что он отстает от первого на 1 м. С какой ско¬
ростью копали экскаваторы, если известно, что второй вы¬
капывает в час на 4 м больше, чем первый?
10.64. Двум землекопам было поручено вырыть канаву за 3 ч
36 мин. Однако первый приступил к работе тогда, когда
второй уже вырыл треть канавы и перестал копать. В ре¬
зультате канава была вырыта за 8 ч. За сколько часов
каждый землекоп может вырыть канаву?
10.65. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 ч.
За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдель¬
ности, если известно, что в течение 1 ч из первой трубы
вытекает на 50% больше воды, чем из второй?
139
10.66. 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч быстрее,
чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит
90 деталей, если, работая вместе, они изготавливают за
1 ч 30 деталей?
10.67. Две машинистки должны перепечатать рукопись, состоя¬
щую из трех глав, из которых первая вдвое короче вто¬
рой и втрое длиннее третьей. Работая вместе, машинистки
перепечатали первую главу за 3 ч 36 мин. Вторая глава
была перепечатана за 8 ч, из которых 2 ч работала только
первая машинистка, а остальное время они работали вместе.
Какое время потребуется второй машинистке, чтобы одной
перепечатать третью главу?
10.68. Резервуар объемом 18 м3 можно наполнить по двум тру¬
бам. Обе трубы, работая одновременно, заполняют резерву¬
ар за 3 ч. Если сначала вода поступает только через боль¬
шую трубу, а после того как резервуар заполнится на 3/4
объема, труба будет перекрыта и одновременно будет от¬
крыта меньшая труба, то для заполнения всего объема по¬
надобится 6 ч. Сколько воды поступает за 1 ч через каждую
из труб?
10.69. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насо¬
сов разной производительности. Если половину бассейна на¬
полнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив
его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то
весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновре¬
менной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1 ч
12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы
насос меньшей производительности?
10.70. В бассейн проведены две трубы — подающая и отводящая,
причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше,
чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3
бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пус¬
тым через 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно,
первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
10.71. В цехе проходит соревнование между тремя токарями. За
определенный период времени первый и второй токари обра¬
ботали в 3 раза больше деталей, чем третий токарь, а пер¬
вый и третий токари — в 2 раза больше, чем второй. Какой
из токарей победил в соревновании?
10.72. На угольной шахте сначала работали два участка, а
через некоторое время вступил в строй третий участок, в ре¬
зультате чего производительность шахты увеличилась
в полтора раза. Сколько процентов составляет производи¬
тельность второго участка от производительности первого,
если известно, что за четыре месяца первый и третий участ¬
ки выдают угля столько же, сколько второй за весь год?
140
10.73. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по
изготовлению деталей за некоторое число часов. Если бы
первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья
бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы
выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая
бригады при совместной работе выполняют эту же норму в
2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей.
Во сколько раз первая бригада делает деталей за 1 ч боль¬
ше, чем третья?
10.74. Совхоз располагает тракторами четырех марок — А, Б, В
и Г. Бригада из одного трактора марки А, двух тракторов
марки Б и одного трактора марки В производит вспашку по¬
ля за 2 дня. Бригада из одного трактора марки В и
двух тракторов марки Г тратит на эту работу 3 дня, а брига¬
да из трех тракторов марок Б, В и Г — шесть дней.
За сколько времени выполнит эту работу бригада, состав¬
ленная из четырех тракторов различных марок?
10.75. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, вто¬
рой и третий, работая вместе, выполняют всю работу
за 7,5 ч, первый, третий и пятый — за 5 ч, первый, третий
и четвертый — за 6 ч, четвертый, второй и пятый — за 4 ч.
За какой промежуток времени выполняют эту работу все
пять человек вместе?
10.76. В бак может поступать вода через одну из двух труб.
Через первую трубу бак может быть наполнен на 1 ч быст¬
рее, чем через вторую трубу. Если бы емкость бака была
больше на 2 м3, а пропускная способность второй трубы
4
была бы больше на — , то для наполнения бака через
з ч
вторую трубу понадобилось бы столько же времени, сколь¬
ко требуется для прохождения 2 м3 воды через первую тру¬
бу. Какова емкость бака, если известно, что за время его на¬
полнения через вторую трубу через первую трубу могло бы
поступить 3 м3 воды?
10.77. Через 2 ч после того как первый трактор начал пахать по¬
ле, к нему присоединился второй, и они вместе закон¬
чили вспашку. Если бы тракторы поменялись ролями, то
они закончили бы вспашку на 24 мин позднее. Сколько
времени тракторы работали вместе, если известно, что пер¬
вый может вспахать четверть поля на 3 ч быстрее, чем
второй — треть поля?
10.78. Токарь и его ученик получили наряд на изготовление де¬
талей. По нему ученик должен был изготовить 35 деталей, а
токарь — 90 деталей. Токарь и ученик начали работу одно¬
временно. Сначала токарь сделал 30 деталей, обрабатывая
в час вдвое больше деталей, чем ученик. Затем он стал
обрабатывать в час на 2 детали больше и закончил работу
на 1 ч позже ученика. Если бы токарь все детали обрабаты¬
141
вал с той же производительностью, что и при работе над
60 деталями в первом случае, то он закончил бы работу на
30 мин позже ученика. Сколько деталей в час обрабаты¬
вал ученик?
10.79. Двое рабочих работали одно и то же время и изготовили
вместе (работая с постоянной производительностью труда и
независимо один от другого) 150 деталей. Если бы оба ра¬
бочих работали с производительностью первого рабочего,
то для изготовления 150 деталей им потребовалось бы вре¬
мени на 1/2 ч меньше. Если бы оба рабочих работали с
производительностью второго рабочего, то для изготовле¬
ния 150 деталей им потребовалось бы времени на 3/4 ч боль¬
ше. Сколько деталей изготовит второй рабочий за восьми¬
часовой рабочий день?
10.80. Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав вместе
72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выясни¬
лось, что за время раздельной работы первая бригада сде¬
лала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день
первая бригада делала за 1 ч на одну деталь больше, а вто¬
рая бригада за 1 ч на одну деталь меньше. Работу брига¬
ды начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова
стали работать раздельно. Теперь за время раздельной ра¬
боты первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем
вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая
бригада?
10.81. Объем грунта, который вынимает за 1 ч первый экскава¬
тор, меньше, чем объем грунта, который вынимает за 1 ч
второй экскаватор. Оба экскаватора начали работать вмес¬
те и вырыли котлован объемом 240 м3. Потом первый эк¬
скаватор начал рыть второй котлован, а второй экскаватор
продолжал рыть первый котлован. Через 7 ч после начала
их работы объем первого котлована оказался на 480 м3
больше объема второго котлована. На другой день второй
экскаватор вынимал за 1 ч на 10 м3 больше, а первый за
1 ч вынимал на 10 м3 меньше. Вырыв вместе котлован
объемом 240 м3, первый экскаватор стал рыть другой кот¬
лован, а второй экскаватор продолжал рыть первый. Теперь
объем первого котлована стал на 480 м3 больше объема
второго котлована уже через 5 ч после начала работы
экскаваторов. Сколько м3 грунта в 1 час вынимает каж¬
дый экскаватор?
10.82. К двум бассейнам подведены две трубы разного диаметра
(к каждому бассейну своя труба). Через первую трубу на¬
лили в первый бассейн определенный объем воды и сразу
после этого во второй бассейн через вторую трубу налили
такой же объем воды, причем на все это вместе ушло 16 ч.
Если бы через первую трубу вода текла столько времени,
сколько через вторую, а через вторую — столько времени,
142
сколько через первую, то через первую трубу налилось бы
воды на 320 м3 меньше, чем через вторую. Если бы через
первую трубу проходило воды на 10 м /ч меньше, а через
вторую — на 10 м3/ч больше, то чтобы налить в бассейны
(сначала в первый, а потом во второй) первоначальные
объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода
через каждую из труб?
10.83. Имеются три не сообщающихся между собой резервуара,
причем объем третьего не меньше объема второго. Первый
резервуар имеет объем V и может быть заполнен первым
шлангом за 3 ч, вторым шлангом — за 4 ч, третьим шлан¬
гом — за 5 ч. К каждому из резервуаров может быть
подключен любой из этих трех шлангов. После того как к
каждому из резервуаров подключают по одному шлангу ка¬
ким-либо способом, все шланги одновременно включаются.
Как только какой-нибудь резервуар наполнится, соответ¬
ствующий шланг отключается и не может быть под¬
ключен в дальнейшем к другому резервуару. Заполнение
считается оконченным, если наполнены все три резервуара.
При самом быстром способе подключения заполнение окон¬
чится через 6 ч. Если бы все резервуары сообщались,
то заполнение окончилось бы через 4 ч. Найдите объемы вто¬
рого и третьего резервуаров.
§ И. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
1. Арифметический корень п-й степени и его свойства.
Арифметическим корнем п-й степени (n£N, 2) из неотри¬
цательного числа а называется такое неотрицательное число,
п-я степень которого равна а.
Если а ^ 0 и 0, то a^ab = t\[a-a^b.
Если а ^ 0 и 6>0, то .
v ь у*
Если а^0, то Sfi\Ja = kt\fa.
Если а> 0, то "V(4SF==V^'-
Последнее свойство называется основным свойством корня.
2. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
т
Если а>0, то а"=г\/а™, где m£Z, n^N, 2.
ГГ,
Если — >0, m£N, n£N, то 0" =0.
П
143
Для любых а>0, 6>0 и любых рациональных чисел р и q
выполняются следующие свойства:
ар • ая = ар+я,
ар:ая — ар я,
(ар)я = аря,
(ab)p = apbp,
\ Ь ) Ь» '
3. Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений, как правило, при¬
меняют преобразование, связанное с возведением обеих частей
уравнения в натуральную степень. Следует помнить, что при воз¬
ведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается
уравнение, равносильное исходному. Если же возводить обе части
уравнения в четную степень, то, вообще говоря, получается
уравнение, являющееся следствием исходного, т. е. такое, которое,
кроме корней исходного уравнения, может содержать и другие
корни (их называют посторонними). Значит, в этом случае необ¬
ходимо проверить все найденные корни непосредственной подста¬
новкой в исходное уравнение.
Возможен и другой путь решения иррациональных уравне¬
ний — переход к равносильным системам, в которых учитывается
область определения уравнения и требование неотрицательности
обеих частей уравнения, возводимых в четную степень.
При решении иррациональных неравенств либо используют ме¬
тод интервалов, либо с помощью некоторых равносильных пре¬
образований заменяют данное иррациональное неравенство си¬
стемой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.
Пример 1. Внесите множитель под знак корня: xy\j—x.
Решение. У — х определен при Значит, знак множи¬
теля перед корнем определяется знаком переменной у. Если у^О,
то ху^.0, —ху^О, следовательно,
ху\[^с=-(-ху)\[^=-У(-ху)*(-х)=-\(^с^.
Если </<0, то ху^О, следовательно,
ху \[^с=У-х*у4.
Ответ: У~хьу4 при у<С0, — V — х5у4 при у^О.
Пример 2. Найдите область определения выражения
(3-|5а + 2|)-3’4.
Решение. Поскольку степень с отрицательным рациональ¬
ным показателем определена только при положительном основа¬
нии, область определения данного выражения составляют те и
только те значения а, которые удовлетворяют неравенству
3— |5а + 2|>0, т. е. |5а + 2|<3, откуда — 3<5а + 2<3,
— 5<5а<1; таким образом, — 1<а<0,2.
144
Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение
_5
х (2а — 3) х6 — 6а = 0 имеет два решения?
Решение. Область определения уравнения — промежуток
[0; оо). На этом множестве имеет место тождественное равенство
_5
х^[х? = хъ, значит, данное уравнение — квадратное относительно
_5_
х6. Корни этого уравнения (по теореме Виета) 3 и — 2а, сле¬
довательно, данное уравнение равносильно совокупности
[
хб = 3,
= — 2а.
Первое уравнение совокупности имеет одно решение при любом
значении параметра а, а потому совокупность имеет два ре¬
шения тогда и только тогда, когда второе ее уравнение име¬
ет одно решение, не совпадающее с решением первого урав¬
нения совокупности, т. е. при / Таким образом, получаем
I ZCL о.
ответ: а<[0, аФ — 1,5.
Пример 4. Решите уравнение д/ТО-Тз* = х + 6.
Решение. I способ. На основании определения ариф¬
метического квадратного корня можно утверждать, что исход¬
ное уравнение равносильно системе
( 10-Зх = (х + 6)2,
|х + 6>0.
Заметим, что условие 10 — 3x^0 является в данном случае из¬
быточным, так как оно следует из первого уравнения получен¬
ной системы.
Решая уравнение системы, находим два корня: —2 и —13,
второй корень не удовлетворяет неравенству системы, т. е. не
является корнем исходного уравнения.
Замечание. Аналогичным образом можно показать, что
любое уравнение вида дIf (х) = g (х) равносильно смешанной си-
стеме ... ч.2
ff(x) = (g (*)) .
\g(x)> 0.
II с п о с о б. Умножим обе части уравнения на 3 и введем но¬
вую переменную </=д/10— Зх. Тогда уравнение примет вид:
Зу — 28 — у2, откуда у\ =4, у2— — 7 (не удовлетворяет условию
у^0). Таким образом, д/10 —Зх = 4. Обе части последнего урав¬
нения неотрицательны, значит, возводя их в квадрат, приходим
к равносильному уравнению 10 —Зх=16, откуда х=—2.
145
III способ. Заметим, что х— —2 является корнем данного
уравнения. Левая часть уравнения — функция убывающая на сво¬
ей области определения, как композиция убывающей линейной
функции и возрастающей функции y = xft. Правая часть уравне¬
ния — возрастающая линейная функция. Значит, данное уравне¬
ние имеет не более одного корня (см. § 8, № 182), который уже
определен.
Упражнения
КОРЕНЬ tl-й СТЕПЕНИ
Вычислите значение числового выражения (1—4):
11.1. а) М^¥-У(-2)3\ б)
11.2. a) Vl25-8-0,5-'Vl024; б) l,5-ytf2-V216- 1000.
11.3. а) ^ б)
11.4. a) V54-32-V8-162+^42-g-;
б) V648• 1250- V256• 54 •
При каких значениях переменной определено выраже¬
ние (5—6):
11.5. a) V9=7; б) a) 1 О >
11.6. а) V-5а2-)-7а — 2; б) \1 --- - ■ ;
' Уа— 1
.) 'Vlal-la+2,; г)
Решите уравнение (7—9):
11.7. а) х5 = 25; б) х6=10; в) 2л:4 —15 = 0; г) Зл:3 + 13 = 0.
11.8. а) V2JC — 3 = 2; б) У3х + 5 = 3\
в) 3 УЗл:— 1+2 = 0; г) 2\Jbx + 2— 1=0.
11.9. а) хг — 9х4 + 18 = 0; б) л6-Зл3-10 = 0;
в) л12 = 21+4л6; г) 2х5= 15 — л10.
11.10. Укажите два последовательных целых числа, между кото¬
рыми заключено число:
а) У35; б) V67; в) V—463; г) УШ2.
11.11. Оцените значение выражения \Ja, если известно, что:
а) 16<а<39,0625; б) 10~8<а<0,1296.
146
11.12. Оцените значение выражения Уа, если известно, что:
а) -27<а<42,875; б) —0,512<а<-0,085184.
11.13. Определите знак числа:
а) б) (V^5-VS)(V0i999-l);
в) (V=^5-V:::^6)(Vo^-Vo^); г) j^pb^EpL
Vo.51—VoX
Решите неравенство (14—16):
11.14. а) Ух— 1 <2; б) У*+Т>2;
в) V* — 2>3; г) V* + 2<3.
11.15. а) Зл:5— 10>0; б) 4л:5 + 5<0;
в) 5л:6 —30^0; г) 8л:6-7<0.
11.16. а) л:8-5л:4 + 6>0; б) л:6 + л:3-42<0;
в) х12 — х6 — 20<0; г) л:,4 + 7л:7 + 12>0.
Постройте график функции (17—18):
11.17. а) у= \—\[х; б) y=*f^x; в) tJ=\[\x\\
г) y=\Jx-\-1 — 1; д) y=\j\x— 11; е) у=У\х\ — 1.
11.18. а) у = 2—Ух; б) у = У^х; в) у=У\х\;
г) у=Ух—1 + 1; д) у=У\х+\\; е) i/=Vl^l + 1-
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ П-й СТЕПЕНИ
Вычислите значение выражения (19—22):
б) 2 уТоб-Уб2^-\£[—ЩЩ-У2
V2
11.20. а) У3-У^3-У27-У9—:
б) У^Ъ.У8-У25.У32+^Ь^~.
уз
11.21. а) Уб + 2У5-7б-2д/5;
б) Уб-2ТГ7-Уб+2 УГ7.
11.22. a) VV5+V52-V5 + 2 V13-VV52—V5;
б) УУ2-УТ2-У2+2УЗ-УУТ2+У2.
147
Вынесите множитель за знак корня (23—27):
11.23. а) V — 3000; б) Д/48; в) У^486; г) — 1,5Д/— 160.
11.24. a) V2405; б) У-546й; в) УШД г) УШГ.
11.25. а) У 162а®, где а>0; б) УЗ^У где Ь<0;
в) У а6£>7, где а<!0; г) У а1'б6, где 6^0.
11.26. а) У243а4612с8, где а<0;
б) У128а|266с18, где 6 >0;
в) Уа764с8; г) VSre*.
11.27. а) У-а5Ь*; б) У-аУ7;
в) V-aW; г) У-aVc1*.
Внесите множитель под знак корня (28—32):
11.28. а) 3 УЗ; б) —5 Д/5; в) 2 ДЗ; г) -2^25.
11.29. а) а Д/5; б) -&УЗ;
в) а УЗ, где а^О; г) b У2, где 6<0.
11.30. a) ab М2, где а<:0, 6^0;
б) а£> Уз, где аО, Ь^.0;
в) —abM%, где а^О, 6^0;
г) —ab\Jb, где а^О, 6^0.
11.31. a) aVa; б) £> У^&; в) -а М2; г) £> Уз.
11.32. а) ab Ма; б) — аб У?5; в) ab У—а; г) —ab ‘У—6.
Сравните числа (33—34):
11.33. а) V26 и У5; б) У7 и Д/47;
Расположите числа в порядке возрастания (35—36):
11.36. а) Д/4, Уз УЗ, ’Д/25; б) 'Д/64, 'У^У/, Л^УШ-
в) Уб и УЗ; г) — У4 и -УЗ.
11.34. а) -'УТО и -ДД/99; б) УЗ и Д/бУД;
в) У2 УЗ и Уб; г) —У2 Уб и —Д/б -у/2.
11.35. а) л/3, Д/4, УГ8;
б) УЗ, У2, 'Д/30.
Вычислите значение выражения (37—39):
б) (У24+Уб)г .
4 УЗ + З -\/б ’
в) (V9+V3)2 .
V3+2V3+1
148
г) 1-2У5+У5
(л/З-УЙ)2
11.38. a) V3-2V2-V17 + 12V2; б) УУЗ-2-У26 +15 д/3;
в) V2+V5-V17 л/5 —38; г) У2 д/б-5 ^49+ 20 -у/5.
11.39. а) Ую + бУ^+Ую-б-у/З; б) У5У2 + 7-У5У2-7;
в) д^0+14У2+^0-14У2; г) У26+15д/3-У4-2УЗ.
Сократите дробь (40—43):
11.40. a) ; б) ?/ь-а3
Ч^-ЧЬ а л[а-\-\[Ь '
11.41. a) ; б) У5-* У»
VS+V* V^-V*
11.42. a) -a--b— ; б) AiLtd/Z.
\[b — \[a a2-\-b*4b
11.43. a) ; 6) '• .
V+a+l) —2У? т/б — b
Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби (44—48):
11.44. а) — ; б) ; в) ; г) —^—
V4 V27 V8 У^+9
11.45. а) - 1 -• ; б) -I— ; в) —5—; г) 29
V3-V2 V5 + V2 2-V3 ’ 3 + V2
11.46. а) —!—; б) ! .
3 + V2 V3-V2
11.47. а) —2—; б) 3
V3-V3 V2 + V2
11.48. а) —£—; б) : .
V5+V3 V2 + V4+V8 + 2
Решите уравнение (49—51):
11.49. а) V* —3V*-4 = 0; б) 3yt = 7-42V^.
11.50. а) 4УР-Л:У* = 3; б) 5У* + 1 =6- 15\/л:3 + Зл:2 + Зл: + 1.
ц.51. a) -*-V«-J..._jgziL=4;
V?—1 V^+1
б)
V*+2 V^-2V^ V^-4V^
11.52. Найдите значение выражения:
а) (1+Уа)(1+Уа)(1+Уа)(1 + 'Уа)(1+зУа)(1—3Va) при
а = 1991;
б) (а —Уа+1)(т/а+Уа +1)(Уа—Vn+1) при а = 5.
149
Постройте график функции (53—56):
11.53. а) y=\jx2-6*+9; б) «/ = 1 ~У9 + Ьх+х2.
11.54. а) у=Ух2+4х+4\ б) у = 2~Мх2~-4х + 4.
11.55. а) у=\j{x2 + 2jc+1)2+V(^-2x+1)2;
б) у = У(х3 — Зх2 + Зх—\У-У(х2 + 6* + 9)3.
11.56. а) у=Ух2-2|ж| + 1; б) у = 1 -Цх2-4\х\+4.
11.57. Докажите, что среднее арифметическое а) четырех;
б) трех положительных чисел не меньше их среднего гео¬
метрического.
Упростите выражение (58—64):
11.58. — 1 ! 1 5
\[а—\ Ma+l 1 —Уа 1+V“
Ц.59. ( (a + Wjfe):(fe+Va^)—I LV
' Уа —У& \fb '
11.60. (№+W) ) :£±L
y yS-V* ' 2 •
"•O'- (i^zfS+^)"!-Vi+fWf •
11.62. ((Va-Vb)^1 +(Va + Vb)~')~2- a~b-
4 (л/а+V*)
-3
11.63.
f +V“)
4vs+^+0(v5+yi -,) /
11.64. (Va2-2a+H —
' Vl —a' 'Уа +1 a —1 /
11.65. Решите уравнение
/ -\fx-Mx \[ic— 1 \ 1 +VP g лД+V* — 1
' V*— i V* V* V*
11.66. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен¬
ных значение выражения
лД~УУ ( x+tfaf 4/^у^-ЬШ
V*-V</ ' V*+V*s/ ' л[х-^1у
неотрицательно и не зависит от х.
150
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вычислите значение числового выражения (67—68):
11.67. а) 810,75*32“0,4 — 8 3-273 +2560'5;
б) 16_0’75-25~°'5 +64 3-91-5— 100“°-5.
11.68. а) (0,5)-4+1605-(0,0625)-°'75-(-^)_0'5;
1_ _2_ _2_
б) (0,008) 3.1253-(2^)'Т:(2,5Г2.(0,75)
11.69. Докажите, что число a=(('^j') • 10~3-t-ЮООО-0,75)
является корнем уравнения 110л:2 — 21л:+ 1=0.
11.70. Составьте квадратное уравнение, корнями которого яв¬
ляются числа
2_ _3_ 1_
а = 643.16~Т(0,5)“2 + (-3,375) 3
и
Ь = (0,25)-1 '5 + (81 )-°’25 - (0,125) 3.
11.71. Докажите, что число а— 19891"1 — 463462 делится на число
А_1=ЗГ
(19)-
- (0,5)-4 - 6250,25 - (2,25)-1 *.
При каких значениях переменной определено выражение
(72—73):
2 Т_
11.72. а) (2 — Зл:)0,4; б) (5л:+2) 3; в) (л:2-3)-0'91; г) (5-л:2)9?
11.73. а) °’2; б) (Зл:2 — 23jc +14)7;
»>Ъ+ЫУ г) (5-12.-51)-+
Решите уравнение (74—75):
.Li. А 4
11.74. а) jc3 =2; б) л:5 =2; в) (2л:-1)3=3; г) (2-Зл:)у=-1.
11.75. а) (х2 — 1)3 = 2; б) (1 — |jc|)°-8 = 2;
_2_
в) (3 — 2х3)3 =9; г) (Зх2 + 13|х|)0,75=8.
151
11.76.
11.77.
11.78.
11.79.
11.80.
11.81.
11.82.
11.83.
11.84.
152
В каких пределах изменяется значение выражения (76—
78):
а) х0’5; б) х0,75; в) 4х0,5 + Зх0,75, если известно, что
16<х<81?
а) х0'4; б) 2 —5х0,4, если известно, что 243-1 <!х<32-1?
-L _L
а) х0,5; б) х3; в) х6; г) 2х2 — Зх3 + 6х6, если известно,
что 10~6<х<0,015625?
Определите знак числа:
1 1
5 3 -6 3
__2_
7
а) (53 —63 ) (0,77 — 1 ) ; б)
1—0,7
в) ,..,11?1991)°-2— 1 ) 2 — 0,1991— 0,7— 1,991 °-8.
' 1 —(1,1991) ■ '
Постройте график функции (80—81):
.L -L -L
а) у = х2\ б) у=1—х2; в) у = (1— х)2;
г) У= Iх| 2; д) у=\\— х| 2; е) у = (\ — |х|)2.
j_ _i_ j_
а) 1/=х3; б) у=— х3 — 1; в) у=\— (х+1)3;
_i_ j_ j_
г) У— |х|3; д) у= — \х — 8|3; е) у = (\х\ — 2)3.
Решите графически уравнение:
а) х2+(-х)т-2 = 0; б) (х + 2)''5+х= 10;
_1_
в) |х-1|°’2-|-2х = х2+1; г) х2 + 4х + (х + 2)3+2 = 0.
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вычислите значение числового выражения (83—85):
а) ((2 + 150,25) (2- 150'25))-1 • (50,5 -З0-5);
б) ((3V3)_T-i6-025)(i6“T+3-°'5).
а) 10“т/7(2т + 5у)_‘н—р-Л ;
V 2 3 —5 3 '
б) (9_| +2-2 — 0,5’9-0,5) (2_1 +81-0,25).
11.85.
11.86.
11.87.
11.88.
11.89.
11.90.
11.91.
11.92.
11.93.
l l
а) 9((2V54)3-(3V0^375)3)-4;
б) (l+4T+16T)(l-2 V4+V16)0'5-
Выполните действия (86—89):
2 ■ з
а) (а-°'5 + 0,5а°'75)2; б) (ь3—Ь 3 )3.
а) (а-^-а^Г'Да + а-'-г);
2 4
б) (гГт-г+8)(ь'*+ь~0*)(у +ь-°А}
— —
а) (а!’8 + 1)(а5+а5 + 1 )(а°'6-1);
_7_
б) (ь* — 2) (635+26''75 + 4)(8 + 65'25).
_А А _А А
а) ^а 3+а4^а 3— al2 + aI,5j;
_8_ 1_ _4_ 7_
б) (&3+Ь“15+Ь-2'8)(&3-& 5).
Сократите дробь (90—92):
°6 +5 . х°
б) 3_х0,5 .
25 —а3
а) 9?-ь>* ; б) ^
6—а А А А А
3 t 3 I 3 t 3
a —a b + a b
_1_ J_ _6 12
„ 8 , . 12 „ 5 . . 7
a +o a +o
Представьте выражение в виде степени с основанием jc:
а) х -\Jx \jx\ б) x2\Jx\[x=^x-,
. x2V^W . ч x\lx\[x*
] ‘V? * г) х\[7Щ '
153
Упростите выражение (94—95):
11.94. {ab~3 + a-3b)-1 (а~*+ b~*)(^J{0,5) 3 )
/11 11ч
Ц 95 8Ь-а( а3Ь3 , а3-263 \
6 1 1_ 1_ _2_ 1_ 1_ __2 ]
'2 а 3—Ь 3 4 а 3+2 а 3Ь 3+Ь 3'
11.96. Упростите выражение
(_i_ j JK
Q&l + &~а)*а 'Л :(2а-а2)1
(2—а)4 /
Может ли значение данного выражения быть равным:
а) 1; б) —1-?
11.97. Существует ли такое значение переменной т, при котором
значение выражения
I
( ^^ (\-\-m 3 ) — 3
I Vm5—Vm+1 w+l Ут5—1 J \ '
отрицательно?
Упростите выражение (98—100):
П.98. /‘Т(**—*Т \{а-Ь}.
I i_ 1 1 j L 1 I
\ а 4Ь4+1 ^а4+Ь4 ^а4Ь 4+1^—2а4/
(j + b^ ) (Л'^ + сГ'М' Y 11
11.99. - j——j 2a2b2.
а-Чь-._(а~_ГТ )(в“-ГТ )
1_ 1_ 1_
((а+Ь) 2 +(а —6) 2 )~'+((а + Ь) 2 -(а-ft) 2
11.100. j j-^ ^ j j-^ .
((а+Ь)~+(*-Ь)~Т У'-((* + Ь)~Т-(а-Ь) 2 )_‘
154
11.101.
11.102.
11.103.
11.104.
11.105.
11.106.
11.107.
Докажите, что при всех допустимых значениях перемен¬
ных, при которых выражение имеет смысл, его значение
не зависит от значений переменных (101 —103):
10~0,5 (а + Ь)~1
V2J
/(а4-Ур)(^+Ь°'75) .—\
у а0,5—ft0,5
5/ ! 1 ! 2<?-~2 W+tt' + O-
I V^+V^+1 li 11/''
' а4 —а8 + 1 а 2 + а 4 + 1
(°3+fc3) , (V^-Vfc)3
a + b+Va^+Vab5" 11 11
, 3,3. 3.3
a—b — a b +a £
Упростите выражение (104—107):
_5_ 1_ _1_ J_ _5_ 1_ J_ _1_
(b6a 6+Ь3аТу+(ь*а~Т-Ь3аТу
•2a-' 4fl2
(a 3-b 3 )(a3+*3+a363 )
1 2 2
(.■."■-.vy+iff-w ,a-№,a+t
_2 j_ 2 (a + fc) ' 2
(V^+V^)(a3-aV+b3 )
_ 2
-1
4*'T(>+№))
jc 3+2x 3^l+x3+*^
6(\5-i)(Vr4V^+i)2
(1 — 2jy[x h/x±rJy+~&)-1) (4jxy)2 (Z-X-I/+2 V^)-1 -1)
(Ш4+(тГЧт)4)"
и вычислите его значение при х = 126025, у = 18225,
z = 729.
155
Докажите, что для всех положительных значений пере¬
менной имеет место неравенство (108—110):
^-2 _ _ x-0fi_x-l,6
у— 1.25 I 2
11.108. , +* <2 ,
X г+х~1-76 х +х
11.109. (х2 + 6х + 9)°-5> *2 V9+9V* .
xV9 + 3 -фс
N110 ( l+8(fc-4)~' / 1 \~U-5V Ь-\-\Ь-™ |-
\ (b + m-'-S)-1 \22Ъ) )' Ь-'+4Ь-''5 ’
если ЬФ4, 6^16.
11.111. При каких значениях х имеет место неравенство
(и4-+^):(тG*Y'<'#
11.112. Решите уравнение:
/А /А
а) (х3 —2х2 j3 —2 (х3 —2 j3 =УвТ;
б) (х2’4 + Зх2)0’2 + 3 (х0'4 + З)0'2=V4096.
_4_
11.113. При каком значении а уравнение х2 У?—(а+ 2) х3
+ 2а=0 имеет единственное решение?
11.114. Сколько решений в зависимости от а имеет уравнение
х3 2 + (2а — 3) х У?—6а=0? Найдите эти решения.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Докажите, что уравнение не имеет решения (115—117):
11.115. а) У5-х + 2=0; б) УЗх-1+У5х + 8+1 =0;
в) Ух — 4+Ух2 — 3 = 0; г) =°-
11.116. а) Ух-8 + 3 =У7А^; б) У8-х2-2УхА^= 1;
в) 5 Ух —2 —У4—x2=-^-L-; г) yi — х2+У5х —5 = 2.
11.117. а) Ую+УхА1^=3; б) Ух+17+Ух = 4;
в) Ух —7—Ух —6=х2; г) У1 —х=Ух —2.
Равносильны ли уравнения (118—119):
11.118. а) Ух —5 = 9 и х —5 = 81;
б) V2—х=— 3 и 2 —х= —27;
в) V2— х= —3 и 2—х=81;
г) V—ха — 1 = — 1 и х3+1 = 1?
11.119. а) Ух —5=х и х2=х—5; б) У2х+1 =х и 2х+1=х3;
в) Ух—2= |х| их — 2=х4; г) Ух — 1 = — хих — 1 = — х5?
156
Решите уравнение, используя определение арифмети¬
ческого квадратного корня (120—122):
11.120. а) у/*2— 1 =2; б) УЗ — 2х2 = 1;
в) уи —3|+2 = 3; г) У5— |1— х2|=2.
11.121. а) У7 —Зх = х + 7; б) У15 + Зх=1-х;
в) Зх + 5=УЗ —х; г) 2х + У34—5х = 7.
11.122. a) х = Ух + 1; б) -уУ+Т=—х;
в) У5+|х — 2| = 1 — х; г) УЗ— |х + 31 =х+2.
Решите уравнение, используя введение новой переменной
(123-126):
11.123. а) х — д/х = 30; б) д/х—§-=1;
У* ^
в) Ух+д/х = 2; г) Ух + 2Ух = 3.
11.124. a) -yj8 — x = 2—x; б) Ух —3 = * —5;
в) Зх = 10 Ух —2; г) 3 Ух + 2 = 2х —5.
11.125. а) У2 —х —20=У2 —х;
б) У5 + 2х=10-3 У5 + 2х;
в) Ухг — 2х— 1 =—- 14 —5;
Ух5—2х — 1
г) 10 Ух2 —х— 1 = 13-
V+-X-I
11.126. а) х2+4 = 5 У*2— 2;
б) х2 + 3 У*2 —3х = 3х + 10;
в) х2 + 2 Ух2 —Зх+ 11 = Зх + 4;
г) х2+Ух2—х + 9=х + 3.
Решите уравнение, используя свойство монотонности
функций (127—129):
11.127. а) Ух-1+Ух + 3 = 2; б) 2д/х+Ух-3 = 5;
в) У2х + 3—\/4 —х = 2; г) У7 + Зх — У5 — 4х+ 1 =0.
11.128. а) Ух— 1+д/х + 3 = 3 — х;
б) 2 д/х+Ух —3 = 9 —х;
в) У2х + 3—У4 —х=У7 —х;
г) У7 + Зх—У5—4х = 1 — 2 У*+2. 4
11.129. а) У2х-1+Ух + 7 = 3; б) Щ^5х-Ух+Т=2;
в
) Ух 1 +х=—; г) 1 +д/2—У=х3
х—1 ’ х—2
157
11.130.
11.131.
11.132.
Решите уравнение (130—144):
а) У4х2 + 5х —2 = 2; _)_4Х — 50 = 3;
в) У23 + 3дс-5лс2 = 3; г) Ух2 + 14х-16=-4.
б) У —2х— 1 = д/х2 —36;
а) Ух2— 16=У5х + 8;
в) У14 -j- |х | =Ух2 —16;
а) (Зх + 5) У5х2 + 22х -15 = 0;
б) (2х + 3)У23х-14-Зх2 = 0;
в) (2 — х) Ух2 — х — 20 = 12 — 6х;
г) (х + 1)Ух2—х —6 = 6х + 6.
г) уз|х| +3=Ух2-25.
11.133. а) Ух —5 = а+1;
11.134.
б) У4 — х = а — 2;
г) УЗ + 2х=Уа—х.
в) У2х —а=Ух;
а) УЗх2 — 6х + 16 = 2х — 1; б) 1+2 У5х2-5х+1 =6х;
в) |х —7| =2 У2х —8 —3; г) У4 —х = 3— |х — 11.
11.135. а) Ух+1=2+Ух-7; б) Ух- 13=У*Г+8 —3;
в) У4х + 8—УЗх —2 = 2; г) Ух + 8—У5х + 20 + 2 = 0.
11.136. а) Ух-3+Уб-х=УЗ; б) Ух + 5 = 2+У5х + 5;
в) Ух+ 4 — 3=У7 —0,5х; г) Ух + 8 + 1 =У7х + 9.
11.137. а) Ух + 7=УЗх+19—Ух + 2;
б) У5х + 4 +У2х — 1 =УЗх + 1;
в) Ух —2 + Ух + 3=Убх—11;
г) У7х+ 1 —У2х + 7=УЗх- 18.
11.138. а) У4х —3
в)
_ Зх-1
У3х^5
л/* + 6 .
б)
7х — 2
л/3х^8
= ЗУ2х + 3;
* + 4
11.139. а) У5х —5
Г) -^У=г=У2У+Т.
Уз+И
-4=г+У3^2;
УзУ+2
б) 0,3 У2х+13+0,1 Ух + 3=
V 2х+13
вч л/1 Злг — 20 _ 2 | 3 .
— 5лг + 6 -yjx — 2 У* — 3
У2У+7 1 1
У21ха—123х-18 УЗх-18 л/7х+Т '
158
"•,4°- а> ^1ш+^1ы=2^
б> зл/^Г-^-злА^Т'
■> V^V+T&f:
г» ^V^-VSr»3-
11.141. а) д/3* - 15 — 2х = 3 -д/5 — х;
б) д/х — 4 + 4=х-|-У8 — 2х;
в) д/х2 — 2х+д/х—х2=д/х;
г) д/х2 — 2х — 3—-\j3x — х2=д/х — 3.
11.142. а) д/х+д/х —3+х = 2;
б) д/13 —5х + 2=х—\j5-3x.
11.143. а) д/5-(-4х —х2=х2 — 2л:+ 4;
б) У2х2-4х+3+д/Зх2-6х + 7 = 2 + 2х-х2.
11.144. а) х2 + 2 + x2_42x+2 = 2x+-j\2-x2 + 4x;
б) -д/4л: — л:2 = JC3 — 12л: -j- 18.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенства (145—153):
11.145. а) д/Зх + 2>1; б) л/3х-2<3;
в) 2 д/5х — 3^3; г) 5 — 2 д/4х-|- 1 >0.
11.146. а) д/4х2-12х+9>2; б) д/25х2- 10* + 1 < 1;
в) д/5-\2х- 1| >2; г) д/5— \2х- 11 <2.
11.147. а) д/х —2>а; б) д/х +1 <а;
в) д/|х| —2>а; г) д/|х| + 1 <а.
11.148. а) 2д/12+х—х2+1>0; б) д/х26х8 ^ — 1
в) д/4х2 — 5х — 6^0; г) д/Зх2 — 7х—6^0.
11.149. а) д/5х + 7<д/2 —Зх; б) д/3 — 7х>д/6х—8;
в) д/х2—3>д/4х —6; г) д/4х + 7<д/х2 —2х.
11.150. а) д/Зх2-10х + 7>2; б) д/2? + 5х+11 ^3;
в) д/х2+ 17х<4; г) д/х2 —24х^С5.
159
11.151. а) (* —2)У*^П>0; б) (* + 3)V2-*<0;
в) (2х — 9)л/3^-4>0; г) (4* + 7)УЗ-5*<0.
11.152. а) (З*2 — 16* + 21) У2* + 5<0;
б) (5х2 17х + 14) л[^-—3х^ 0;
в) (2х + 3)V6 + *-*2>0;
г) (Ъх — 7) т/х2 — 9х+ 14^0.
11.153. а) 6~2* -СО: б) 3*+15 ~^>0:
V*2 + 7jc+12 У*2 —5*— 24
в) х2^8л[х-, г) 27л] — х — х2<0.
Решите неравенство, используя введение новой перемен¬
ной (154—155):
11.154. а) ^+3-1..^0; б) У^+Т-З ^0-
5—л/х+З 2 Vx+T—5
в) — <1+ г) —=J= <1 -=^.
Ух^Т+5 5—фс^Т -фс + 2 + 4 -фс + 2-4
11.155. а) У15-*<л: + 5; б) лс —9<зу*+1;
в) ii±L-2y^l>3;
д) x2 + 5x-VF+5x + 4 + 2<0.
§ 12. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ПРОГРЕССИИ
1. Способы задания последовательностей.
Числовая последовательность задана, если всякому натураль¬
ному числу п поставлено в соответствие некоторое число ап.
Обозначение: (а„).
Последовательность чаще всего задают с помощью формулы
«-го члена или рекуррентно.
Если задана формула ап = /(«), где n^N, f — некоторая
функция, то последовательность задана формулой «-го члена.
Например, последовательность (ап), заданная формулой ал = «2,
n£N, имеет вид: 1; 4; 9; 16; 25; ... .
Последовательность задана рекуррентно, если определены один
или несколько первых ее членов и дана формула, выражающая
«-й член последовательности через предыдущие. Например,
(an)'ai=a2=l,an+2 = ctn+i-\-an, n£N (даннаяпоследовательность
называется последовательностью Фибоначчи), т. е. (an): 1; 1; 2;
3; 5; 8; ... .
160
2. Монотонность и ограниченность последовательности.
Последовательность (ап) называется возрастающей (убываю¬
щей), если для любого номера п имеет место неравенство
(On+I^On)-
Последовательность (а„) называется ограниченной сверху
(снизу), если существует такое число М (т), что для любого
номера п имеет место неравенство ап^М (ап^т).
Последовательность называется ограниченной, если она огра¬
ничена и сверху, и снизу.
3. Метод математической индукции.
Метод математической индукции используется для доказа¬
тельства утверждений, зависящих от натурального аргумента.
Для доказательства утверждения методом математической индук¬
ции необходимо:
1) проверить справедливость утверждения для п = 1 (либо для
первого натурального числа, для которого доказывается утвержде¬
ние);
2) в предположении, что утверждение верно для натураль¬
ного числа n = k, доказать справедливость утверждения для
следующего натурального числа n = k-\-1.
Первый шаг называется базисом индукции, второй — индук¬
ционным шагом.
4. Арифметическая прогрессия.
Числовая последовательность называется арифметической про¬
грессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен пре¬
дыдущему, сложенному с одним и тем же числом, т. е. ариф¬
метической прогрессией называется последовательность, заданная
рекуррентно следующим образом: а\=а, an + i—an-\-d, где n£N
(число d называют разностью прогрессии).
Формула п-го члена: ап = а\ -\-d (п — 1), n£N. Характеристи¬
ческое свойство: последовательность (ап) является арифмети¬
ческой прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее
член, начиная со второго, равен среднему арифметическому
соседних с ним членов, т. е. ап = ап+[^а"~', где 2, n£N.
Формула суммы первых п членов: Sn = a'^a,l-n или
Sn = -g'+y-1) .д, n£N.
5. Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность называется геометрической про¬
грессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен пре¬
дыдущему, умноженному на одно и то же число, отличное
от нуля, т. е. геометрической прогрессией называется последова¬
тельность, заданная рекуррентно следующим образом: b\=b,
bn+\=bnq, где n£N (q называют знаменателем прогрессии).
Формула «-го члена: bn = b\qn~\ n£N.
6 М. Л. Галицкий
161
Характеристическое свойство: последовательность (Ьп) явля¬
ется геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда
каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геомет¬
рическому соседних с ним членов, т. е. b2n — bn-\ -bn+i, «^2,
n£N.
Формула суммы первых п членов: Sn ~ или Sn = b' ^ ^,
n£N, q¥=l (в случае <7 = 1 очевидно, что Sn = nb,).
6. Предел последовательности.
Число а называется пределом последовательности (ап), если
для любого положительного числа е можно указать такой но¬
мер N, что для всякого натурального числа n^N выполня¬
ется неравенство \ап — а|<е.
Последовательность называется сходящейся, если она имеет
предел. Обозначение: а= lim ап.
П -+■ оо
Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Если последовательности (ап) и (Ьп) имеют пределы, то су¬
ществуют пределы последовательностей (ап-\-Ь„), (ап-Ьп) и ,
\ Un /
причем
lim (an + bn)= lim а„+ lim Ьп,
И —► ОО п -*■ оо П ОО
lim (an-bn)= lim ап• lim bn,
л —► оо п оо п ОО
lim а„
lim
ап
bn lim Ьп
(утверждение для частного верно в случае, если ЬпфО при любом
n£N и lim Ьпф0).
П -*■ оо
Теорема о сходимости монотонной и ограниченной последо¬
вательности: всякая возрастающая и ограниченная сверху после¬
довательность имеет предел; всякая убывающая и ограниченная
снизу последовательность имеет предел.
7. Бесконечная геометрическая прогрессия.
Если (Ьп) — бесконечная убывающая геометрическая про¬
грессия (1^1 < 1), то сумма ее вычисляется по формуле
Q Ь1 ,
1 — q '
Пример 1. Найдите наибольший член последовательности
ап = 119« —3«2.
Решение. Функция f (х)= 119х —Зх2 достигает наибольшего
значения в точке хо=-Ц^-=19-§-. Ближайшее целое значение
6 6
« = 20, значит, «2о — наибольший член последовательности,
«го= 1180.
162
Пример 2. Последовательность (ап) задана формулой «-го
члена: ап=-^-Щ- , «6ЛГ. Найдите все такие «, что \ап — 0,51 <0,1.
Юл — 9
Решение. I-г^-Цг—;г1 <0,1; так как 10« — 9>0 для
1 Юл—9 2 •
любого n£N, то 2(10'|^9) . 10"~9 >5, «>8,4. Таким обра¬
зом, условию удовлетворяют все натуральные числа nZ^9.
Пример 3. Докажите, что 3" — 2п^«, п£N.
Доказательство. При п — 1 утверждение верно. Пусть
при n = k утверждение справедливо, т. е. Зк — 2к ZSik. Докажем его
справедливость для n = k-\-1. Имеем:
3*+! _ 2*-и = з (з*) _ 2*+1 з (2* _2*+1 =
= 3-2k + 3k-2-2k = 3k + 2k>k+l.
Таким образом, на основании принципа математической индук¬
ции утверждение доказано для любого натурального «.
Пример 4. Могут ли числа д/2, д/3, д/5 быть членами одной
арифметической прогрессии?
Решение. Если д/2, л/З, д/5 являются членами арифмети¬
ческой прогрессии, то д/5—д/2 = ^« и ^b — -^3 = dm, где m£N,
n£N. Тогда , д/5 (т — «) = т д/2 — п -J3, b(m — nf =
V5 —л/З т
= 2т2-(-3«2— 2т« л/Е, откуда следует, что -\/б — рациональное
число. Получим противоречие. Следовательно, числа д/2; д/3; д/5 не
могут быть членами одной арифметической прогрессии.
Упражнения
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
12.1. Напишите первые шесть членов последовательности (а„),
заданной формулой «-го члена:
а) а„ = 5; б) ап=^-^-\ в) ап = ;
г) a»=£r&; д) а„=Ь1ад±1); е). ап = 2п+(-2)п-,
ж) а„ = ( — !)" + ( — l)n+1; з) ап = 2п*; и) ап=^\
к) ап=~\ л) ап = п{ 1Г; м) ап=-——2 + '' I (— 1)"п3|.
22
163
12.2. Напишите первые шесть членов последовательности (6„),
заданной рекуррентно:
а) &1 =9, 6„ + i =0,16„ + 10;
б) 6, = -3, Ьп+1 =9 — 2Ьп\
в) 6, =5, Ьп+\=(— l)nbn — 8;
г) £>1 = 1, bn+i = bn\\
д) 61 = 62 = 1. 6ге+2 = 6ге+1 + 6ге;
е) 61= 1, б2==1, 6П_|_2== 36п-|_ 1 26п;
ж) 6| = — 10, 62 = 2, 6п + 2= |6П| —66п+1.
12.3. Напишите первые шесть членов последовательности:
а) четных натуральных чисел, не делящихся на 4;
б) нечетных натуральных чисел, делящихся на 3;
в) натуральных чисел, которые при делении на 10 дают
остаток 9;
г) натуральных чисел, кратных 3 и 4;
д) квадратов простых чисел;
е) приближенных значений числа -л/5 с точностью до (по
недостатку).
Составьте, если это возможно, формулу «-го члена для
каждой из последовательностей.
12.4. Подберите одну из возможных формул «-го члена последо¬
вательности:
Д) 2;
ж) —
16; 36; 64; 100; ...;
б) l;f
.3.4.5.
’ 5 ’ 7 ’ 9 ’
3.4.
4 ’ 6 ’
-2; 2;
5.6.
8 ’ 10 ’ ■"
-2; 2; ...;
г) -1; 1; -1; 1; -1; -
е) 3; 1; 3; 1; 3; ...;
1 2
3 4
5
2 ’ 3 ’
4 ’ 5 ’
6 ’
2-8 .
3-9 . 4-10
5-11
' ’ 4-6 ’
5-7 ’ 6-8
7-9 ’ ■“ ’
32; 45
58; 71; ...;
к) 99; 74; 49;
24; -1; ...;
4.9.
3 ’ 5 ’
16 . 25 .
7 ’ 9 ’
; м) 1-2; 3-4;
5-8; 7-16; 9-32;
1-7
3-5
н) 1; 2; 6; 24; 120; ...; о) 6; 12; 24; 48; 96; ...;
п) 0; 5; 8; 17; 24; ...; р) 1; 5; 19; 65; 211; ... .
12.5. Докажите, что последовательности, заданные следующими
формулами, являются убывающими:
а) а„=910 —25«; б) Ьп= — 9«2+ 10« + 25;
с -2п+9- г1 d -£±Ь
в) сп— п+з , г) йп— з2„ ,
Д) Ыл=^+Т; е) Хп = пг+2п+5 '
164
12.6. Докажите, что последовательности, заданные следующими
формулами, являются возрастающими:
а) ап = 9п — 10; б) Ьп = п2 + 2п — 3; в) сп—;
г) d„ = 3.2“-l; д) u„ = 3“-2“.
12.7. Докажите, что последовательности, заданные следующими
формулами, не являются возрастающими и не являются
убывающими:
„ч (—1)" *ч 2п — 7
а) a»eJrrГ* б) Ьп=Ъ^9’-
в) сп — 3п2 — 17п + 1; г) d„ = 3 + 12«—^-я3.
12.8. Найдите наибольший член последовательности, заданной
формулой п-го члена:
а) ап= 10 + 9« — 2я2; б) а„ = 18« —«3;
в) ап= — я3 + 25я — 1; г) а„=-
п2 + 4 '
12.9. Найдите наименьший член последовательности, заданной
формулой п-го члена:
а) ап = п2 — 17/1 + 21;
б) ап = (п— 1) (л — 3) (л — 5);
в) ап — п2-\-—.
П
12.10. Докажите, что у последовательности (а„), заданной фор¬
мулой ап=-2^~, не существует наименьшего члена.
12.11. Докажите, что у последовательности (Ь„), заданной фор-
9 п
мулой не существует наибольшего члена.
12.12. Является ли ограниченной последовательность, заданная
формулой я-го члена:
а) 17 —5я; б) 17л — 5; в) —;
г) Д) йу: е) (—1)»я2;
ж) йШ^>’ 3> И54л-л»|;н) (-1)"-.^^?
12.13. Докажите, что последовательность (ап), заданная форму¬
лой ап — . ограничена снизу.
Проверьте, является ли число 1 верхней границей для
данной последовательности. Если является, то можно ли
найти меньшую верхнюю границу?
12.14. Последовательность (с„) задана формулой сп — 2". Проверь¬
те справедливость равенства сп+\ +с„+2 = 6с„.
165
12.15. Последовательность (ы„) задана формулой ы„ = 2" + 3".
Верно ли равенство “2±шЬ“г±-2 _ Un — 3"?
12.16. Последовательность (а„) задана рекуррентно:
ai=0, a2„ = a2n-i + А>; a2n+i=ka2n, где k — действитель¬
ное число (ft=+0; А>=+ 1). Найдите: а) а6; б) а9. Докажите,
12.17. Последовательность (а„) задана формулой а„ = (—1)п+|.
Последовательность (Ьп) задана формулой &n = ai + «2 +
Выразите «-й член последовательности Ьп через п.
12.18. Последовательности (а„) и (&„) заданы формулами
ап= г, 6*=—. Докажите, что для любого n£N
п + Ап + 5 п
имеет место неравенство ап^Ьп.
12.19. Последовательности (а„) и (Ьп) заданы формулами
ап=. , Ьп = 2п. Докажите, что любой член последо-
Ьп -(-2
вательности (ап) не превосходит члена последовательности
(Ьп) с соответствующим номером.
12.20. Последовательности (ап) и (Ь„) заданы формулами ап =
_5п+_4 и Докажите, что:
я + 1 я + 2
а) последовательность (an) — возрастающая;
б) последовательность (6„) — убывающая;
в) для любого n£N an<ibn. Существует ли такое число с,
что для любого n£N an<Zc<lbn? Если существует, то
докажите, что это число единственное.
12.21. Последовательность (ы„) задана формулой ип = 2п2— 11« +
+442. Является ли членом этой последовательности число:
а) 463; б) 876? Если является, то укажите номер этого
члена.
12.22. Последовательность (уп) задана формулой уп = п3 + п2 —
—9« + 383. Является ли членом этой последовательности
число 1112? Если является, то укажите номер этого члена.
12.23. Найдите все члены последовательности (ап), заданной фор¬
мулой ап = п2 — Зп, для которых выполняется неравенство
ап< 3.
12.24. Укажите номера тех членов последовательности (хп), за¬
данной формулой хп = — ^ г, которые не превосхо¬
дят — 0,5.
12.25.. Для каких членов последовательности (уп), заданной фор¬
мулой уп— \п2 — 2п — 3|, не выполняется условие уп>2?
12.26. Сколько членов последовательности (ы„), заданной фор¬
мулой ы„ = 116 — 3«1, принадлежит множеству значений
функции у=— 2х2 + Зх + 7?
166
12.27. Существуют ли члены последовательности (*„), заданной
формулой хп = 78— 15я, принадлежащие области опреде¬
ления функции у=У 144—** Если существуют, то
укажите их.
12.28. Последовательность (хп) задана формулой
Юл— 9
Сколько членов последовательности принадлежит проме¬
жутку (0,02; 0,22)?
12.29. Докажите, что ни один из членов последовательности (ап),
заданной формулой а„ = 6«-(-5, при делении на 18 не может
дать в остатке 10.
12.30. Существуют ли члены последовательности (Ь„), заданной
формулой Ьп = Ьп — 6, которые при делении на 12 дают в
остатке 3?
12.31. Существуют ли члены последовательности (сп), заданной
формулой сп = п3-п-\-2, которые при делении на 6 дают
в остатке 4?
12.32. Последовательность (хп) задана формулой хп - ~ . Ука-
Зл+2
жите наименьший из номеров членов последовательности,
для которых выполняется неравенство:
а) \хп—^- | <0,1; б) U,,—|- | <0,01.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
12.33. Докажите, что сумма первых п чисел натурального ряда
равна "frH-1).
12.34. Докажите, что сумма первых п чисел вида ап = 3п — 2
равна ИЁДи!)
12.35. Докажите, что сумма квадратов п первых натуральных
чисел равна п ^ ^ ^ .
12.36. Докажите, что сумма кубов п первых натуральных чисел
равна п (п.
Докажите, что при любом n£N выполняется равенство
(37—51):
12.37. (fli -f-а.2 -\-Q-n)2 = ... -\-Qn~\-2а\аг -(-Дашз —|— — —|-
-}- 2ап-\ап.
12.38. 1-3 + 2-5 + ... + «(2«+1)=п(п + 1^(4п+5).
167
12.39. 2-2 + 3-5 + ... + («+l)(3«-l)=n-g"+5n + 1).
12.40. 5+9-5+13-52 + ...+(4n + l)5n_1 = n5".
12.41. 4-2 + 7-23+10-25 + -+(Зп + 1)-22,г“1=я22п+1.
12.42. 1+6 + 20 + ... + (2п-1)2'г-‘=3 + 2'г(2п-3).
,2-43-(1-t)(|-t)-(1-7)-i+i
2 n
1+2 n
12.45.
• 12 12-19 1 "’ (7n — 2) (7/i + 5) 5(7/i + 5)‘
12 46 — I ^ \- 4 ^ = n (4n+5)
‘ ‘ 1-5 3-7 (2n — 1) (2/1 + 3) 3 (2/1 + 1) (2/i + 3) '
12-47. 77+‘TT + - ' 2"2_1
3 3-5 1 ' (2/i — 1) (2/1 + 1) (2/1 + 1)'
12 48 H+lii-f H nLn±3J_.="^±i]
' ' 2-3 3-4 ^' '(/[ + ])(/[+ 2) n + 2 '
12.49. 14 - -4-...-4-6n~5 = 2'3"'~^n~— .
3 9 3n—I 3n_I
12 50 — I -—1- 4 - =JLll±lL
* ■ l2-32 32-52 "' (2/i — l)2 (2/i +1)2 2 (2/i +1 )2 ’
12 51 ±^+2^1 + 3J1, I /12" 2"+'
3! 4! 5! ’ (n + 2)! (n+2)!'
Методом математической индукции докажите, что при «6N:
12.52. п3-\-5п кратно 6.
12.53. «3+9«2Н-26« + 24 кратно 6.
12.54. 72"—1 кратно 24.
12.55. 13"+5 кратно 6.
12.56. ^"-{-б кратно 7.
12.57. 9"-f-З кратно 4.
12.58. 7"9 кратно 8, если п — нечетное.
12.59. 3" -j- 7 кратно 8, если п — четное.
12.60. 7п-\-Зп — 1 кратно 9.
12.61. 7"12« + 17 кратно 18.
12.62. 6п + 20п + 24 кратно 25.
12.63. 5" -(- 2 • Зп + 5 кратно 8.
12.64. 5п — Зп + 2п кратно 4.
12.65. 5-23'г-2 + 33"-1 кратно 19.
12.66. V — Зп — 1 кратно 84, если п — четное.
12.67. Докажите, что если 0<а<&, то ап<Ьп (n£N).
Докажите неравенство (68—72):
12.68. 4">7п —5, если n£N.
12.69. 2">5п-|-1, если n£N, п^Ъ.
12.70. 3"-|>2п2 — п, если n£N, п^Ъ.
12.71. 3"—2П^п, если n£N.
168
12.72. 4">я2 + 3\ если n£N.
12.73. Последовательность (ап) задана рекуррентно: сн =3, an+i =
= 7ап + 3. Докажите, что а* = 0,5 (7n— 1).
12.74. Последовательность (Ьп) задана рекуррентно: 6, =4, Ьп + \ =
— ЗЬп— 2. Выразите Ьп через п.
12.75. Последовательность (сп) задана рекуррентно: Ci=6,
сп+1=2сп — Зп + 2. Докажите, что = 2" + Зп-{-1.
12.76. Последовательность (dn) задана рекуррентно: d\=7,
d2 = 27, dn+2 = bdn+i—5dn. Найдите dn.
12.77. Последовательность («„) задана рекуррентно: «1=4,
un+i=3un — 2. Докажите, что все члены последовательнос¬
ти с нечетными номерами делятся на 4.
12.78. Последовательность («„) задана рекуррентно: «1=3,
«2 = 15, ип+2 = 5ип+1—4ип. Докажите, что:
а) все члены последовательности кратны 3;
б) все члены последовательности с четными номерами
кратны 15.
12.79. Последовательность (ы„) задана рекуррентно: «1 = 1,
ыге+1 = ыге + 8«. Докажите, что любой член последователь¬
ности является квадратом целого числа.
12.80. Докажите, что п различных прямых, лежащих в одной
плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на
2п частей.
12.81. В плоскости проведено п различных прямых, из которых
никакие две не параллельны и никакие три не проходят
через одну точку. Докажите, что эти прямые разбивают
плоскость на п-^~ + 1 частей.
12.82. В плоскости проведено п различных окружностей так,
что каждые две из них пересекаются в двух точках и ни¬
какие три из них не имеют общей точки. Докажите, что
окружности разбивают плоскость на п2 — п + 2 частей.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.83. Сумма второго, четвертого и шестого членов арифмети¬
ческой прогрессии равна 18, а их произведение равно —168.
Найдите первый член и разность прогрессии.
12.84. В арифметической прогрессии 10 членов. Сумма членов с
четными номерами равна 25, а сумма членов с нечетными
номерами равна 10. Найдите седьмой член прогрессии.
12.85. При каком значении разности арифметической прогрессии,
седьмой член которой равен 3, произведение четвертого
и девятого членов будет наибольшим?
12.86. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При
каком значении разности прогрессии сумма всевозможных
попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого
членов прогрессии будет наименьшей?
169
12.87. Сумма первых п членов некоторой последовательности
определяется по формуле: a) Sn — 3n2 — n; б) Sn=-^j-
Является ли эта последовательность арифметической прог¬
рессией?
12.88. Числа ак, щ, ат являются членами арифметической прог¬
рессии. Докажите, что 3 (а* + а2+ а2т) = (ак + щ + ат)2 +
+ 6 (йк — щ)2, если l = k^m .
12.89. Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5.
Найдите сумму первых 25 ее членов.
12.90. В арифметической прогрессии сумма четвертого, восьмого,
девятнадцатого и двадцать третьего членов равна 30.
Найдите сумму 26 первых членов прогрессии.
12.91. Между числами —13,5 и —3,7 вставлено семь чисел так,
что они вместе с данными составляют арифметическую
прогрессию. Принадлежит ли разность этой прогрессии
множеству значений функции у= \-\-x — х2?
12.92. Между числами —19,88 и 19,91 вставлено п чисел так,
что они вместе с данными составляют арифметическую
прогрессию. При каком значении п разность этой прог¬
рессии принадлежит области определения функции
у=л17\х\ —х2— 12?
12.93. Найдите арифметическую прогрессию, в которой среднее
арифметическое п первых ее членов равно 2п.
12.94. В арифметической прогрессии сумма восьми первых членов
равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200.
Найдите сумму первых 28 членов прогрессии.
12.95. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прог¬
рессии равна 20, а сумма первых ее двадцати членов рав¬
на 15. Найдите сумму первых 35 членов прогрессии.
12.96. Сумма первых семнадцати членов арифметической прог¬
рессии равна 85, а сумма первых ее двадцати одного члена
равна 189. Сколько положительных трехзначных чисел со¬
держится в этой прогрессии?
12.97. Даны две арифметические прогрессии. В первой из них
сумма второго и пятого членов на 15 меньше суммы третье¬
го и седьмого членов, а сумма первых тридцати членов
равна 2385. Во второй прогрессии первый член равен 2, а
разность равна 3. Найдите сумму первых сорока чисел,
встречающихся в обеих прогрессиях.
12.98. В арифметической прогрессии 3; 6; 9; ... содержится 463
члена, в арифметической прогрессии 2; 6; 10; ... содержит¬
ся 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в
этих прогрессиях?
12.99. Сколько членов арифметической прогрессии нужно взять,
чтобы их сумма равнялась —122,5, если первый член
170
прогрессии — наименьшее целое число, удовлетворяющее
неравенству 2х2-\-21х — 50<0, а разность прогрессии —
большее из чисел 0,5 и л ?
V2+V102 — 20 л/2
12.100. Известно, что х\ и дгг — корни уравнения х2 — 7х + а = 0,
х3 и х4 — корни уравнения х2 — 19х-(-&=0, причем числа
*\, Х2, х3, х4 составляют в указанном порядке арифмети¬
ческую прогрессию. Найдите а и Ь.
12.101. В арифметической прогрессии S„ = Sm (пфт). Докажите,
что 5л+т = 0.
12.102. Могут ли числа: а) 3; -д/7; 9; б) д/2; д/З; д/5 быть членами
одной арифметической прогрессии?
12.103. Может ли в арифметической прогрессии, все члены ко¬
торой являются натуральными числами, содержаться ров¬
но 1992 члена, являющихся квадратами целых чисел?
12.104. Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее рож¬
дения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери
лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую
прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было
каждой дочери, когда у них составилась библиотека общей
численностью в 495 книг?
12.105. Шары одинакового радиуса расположили один раз в
форме правильного треугольника, а другой — в форме
прямоугольника. Найдите количество шаров, если извест¬
но, что и на стороне треугольника, и на большей стороне
прямоугольника располагается на два шара больше, чем
на меньшей стороне прямоугольника.
12.106. Для асфальтирования участка длиной 99 м используют¬
ся два катка. Первый каток был установлен в одном конце
участка, второй — в противоположном. Работать они
начали одновременно. За первую минуту второй каток
прошел 1,5 м, а за каждую последующую — на 0,5 м боль¬
ше, чем за предшествующую. Первый каток в каждую
минуту проходил 5 м. Через сколько минут оба катка
встретились?
12.107. Сумма членов арифметической прогрессии и ее первый
член положительны. Если увеличить разность этой
прогрессии на 4, не меняя первого члена, то сумма ее
членов увеличится в 3 раза. Если же первый член ис¬
ходной прогрессии увеличить в 5 раз, не меняя ее раз¬
ности, то сумма членов увеличится также в 3 раза. Най¬
дите разность исходной прогрессии.
12.108. Найдите четыре целых числа, составляющих возрастаю¬
щую арифметическую прогрессию, в которой наиболь¬
ший член равен сумме квадратов остальных членов.
12.109. Сумма первых четырех членов арифметической прогрес¬
сии в 5 раз меньше суммы следующих восьми членов.
171
Найдите отношение суммы первых восьми членов прогрес¬
сии к сумме ее первых четырех членов.
12.110. В арифметической прогрессии, разность которой отлична
от нуля, сумма первых 3п членов равна сумме следующих
п членов. Найдите отношение суммы первых 2п членов к
сумме следующих 2п членов.
12.111. В арифметической прогрессии отношение суммы первых
семи членов к сумме последних семи членов равно
— 0,2, а отношение суммы всех членов без первых двух
к сумме всех членов без последних двух равно 3. Найдите
число членов арифметической прогрессии.
12.112. В треугольнике ABC из вершины В проведены высота
BD и биссектриса BE. Величины углов ВЕС, ABD, АВЕ
и САВ в указанном порядке образуют арифметическую
прогрессию. Найдите длину высоты треугольника, прове¬
денной из вершины А, если известно, что АС= 1 см.
12.113. В трапеции ABCD (AD — основание) проведены диаго¬
нали АС и BD, которые пересекаются в точке О. Вели¬
чины углов АОВ, АСВ, ACD, BDC и ADB в указанном
порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите
длину основания AD трапеции, если АС= 1 см.
12.114. Докажите, что если стороны прямоугольного треугольни¬
ка составляют арифметическую прогрессию, то ее раз¬
ность равна радиусу вписанного круга.
12.115. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые
открывают один за другим через равные промежутки
времени. Через 8 ч после того, как был включен последний
кран, сосуд был заполнен. Время, в течение которого
были открыты первый и последний краны, относится как
5:1. Через сколько времени заполнится сосуд, если
открыть все краны одновременно?
12.116. Докажите, что если корни уравнения х4 + рх2 + q — 0 об¬
разуют арифметическую прогрессию, то 9p2=l00q.
12.117. Найдите все значения параметра а, при которых урав¬
нение х8ах4-{-1 =0 имеет ровно четыре действительных
корня, образующих арифметическую прогрессию.
12.118. Докажите, что если (ап)— арифметическая прогрессия,
все члены которой положительны, а разность отлична от
нуля, то имеют место неравенства:
—1 ... .
12.119. В однокруговом баскетбольном турнире участвовало п ко¬
манд. После окончания турнира оказалось, что очки,
набранные командами, образуют арифметическую прог¬
рессию. Сколько очков набрала команда, занявшая
последнее место, если за победу в каждой встрече ко¬
манда получала 2 очка, за поражение очки не начисля¬
лись, а ничьих в баскетболе нет?
172
12.120. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч,
если бы работали одновременно все рабочие. Однако
по плану в первый час работал один рабочий, во второй
час — два рабочих, в третий — три и т. д. до тех пор,
пока в работу не включились все рабочие. И только нес¬
колько часов перед завершением работы работала вся
бригада. Время работы, предусмотренное планом, было
бы сокращено на 6 47 если бы с самого начала работы
работала вся бригада, за исключением пяти рабочих.
Найдите количество рабочих.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.121. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 357, а третий член прогрессии на 255 больше пер¬
вого. Найдите разность между первым и вторым члена¬
ми прогрессии.
12.122. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прог¬
рессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. Найди¬
те эти числа.
2 | » 2 «2 I 2
12.123. Верно ли, что 2-±_=_±£_ если известно, что а, b и
ас
с — три последовательных члена геометрической прог¬
рессии?
12.124. В геометрической прогрессии первый член положителен.
При каком значении знаменателя прогрессии сумма пер¬
вых трех ее членов принимает наименьшее значение?
12.125. Седьмой член геометрической прогрессии равен 2. Най¬
дите произведение первых тринадцати ее членов.
12.126. В последовательности с четным числом членов сумма
членов, стоящих на четных местах, в 3 раза больше
суммы членов, стоящих на нечетных местах. Верно ли,
что данная последовательность является геометрической
прогрессией?
12.127. Сумма первых п членов некоторой последовательности оп-
5”
ределяется по формуле: a) Sn = 2„+3,,; б) S„=2-5n —3.
Является ли эта последовательность геометрической
прогрессией?
12.128. Найдите сумму членов геометрической прогрессии с пят¬
надцатого по двадцать первый включительно, если сум¬
ма первых семи членов прогрессии равна 14, а сумма
первых четырнадцати ее членов равна 18.
12.129. В геометрической прогрессии с четным числом членов
сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов,
стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель
прогрессии.
173
12.130. Числа ai, а2, аз, а4 составляют геометрическую про¬
грессию. Найдите произведение at-а2-03-04, если извест¬
но, что -(-02 + 03-1-04= 15 и —-|—--|—--|—— = 1,875.
а1 <*2 а3 а4
12.131. Известно, что х\ и х2— корни уравнения х2-Зх-\-а=0,
Хз и — корни уравнения х2— \2х-\-Ь=§, причем числа
х\, *2, хз, *4 составляют в указанном порядке геометри¬
ческую прогрессию. Найдите а и Ь.
12.132. Известно, что Х\ и х2— корни уравнения л:2 -|- ол: -|- 4=О,
Хз и *4 — корни уравнения х2-\-Ьх-\- 16 = 0, причем числа
х\, *2, Хз, *4 составляют в указанном порядке геометри¬
ческую прогрессию. Найдите а и Ь.
12.133. Найдите число членов геометрической прогрессии, у ко¬
торой отношение суммы первых 11 членов к сумме послед¬
них 11 членов равно 0,125, а отношение суммы всех чле¬
нов без первых девяти к сумме всех членов без последних
девяти равно 2.
12.134. Докажите, что сумма первого, четвертого и седьмого
членов геометрической прогрессии не больше, чем — 1,5,
если первый член прогрессии — меньший корень уравне¬
ния х4 + 16 = 8х2 + 3 -\/4 —х2.
12.135. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
образовывать геометрическую прогрессию?
12.136. Длины трех отрезков составляют геометрическую прогрес¬
сию. При каких значениях знаменателя прогрессии из
этих отрезков можно составить треугольник?
12.137. В острый угол вписаны п кругов, касающихся один друго¬
го. Докажите, что радиусы этих кругов образуют гео¬
метрическую прогрессию. Укажите зависимость между
знаменателем прогрессии и величиной острого угла.
12.138. В квадрат со стороной 1 вписан квадрат наименьшей
площади. В полученный квадрат вписан квадрат наимень¬
шей площади и т. д. Всего построено таким образом п
квадратов. Найдите сумму площадей всех построенных
квадратов.
12.139. Трое рабочих обрабатывали одинаковые детали. К концу
месяца оказалось, что количество деталей, обработанных
первым, вторым и третьим рабочими, образуют геометри¬
ческую прогрессию. Месячный заработок каждого рабо¬
чего складывался из части, пропорциональной коли¬
честву обработанных деталей, и премии. У первого рабо¬
чего он составил 150 р., у второго — 180 р., у третьего —
250 р. Определите размеры премий, если известно, что у
первого и второго рабочих они одинаковы, а у третьего —
в полтора раза больше.
12.140. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные
карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Ми¬
174
ша — блокнот и 6 карандашей, ^ася — блокнот и 3 ка¬
рандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик,
Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию.
Сколько стоит блокнот?
12.141. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую
прогрессию, делят между собой некоторую сумму денег
пропорционально своему возрасту. Если бы они это проде¬
лали через три года, когда самый младший окажется
вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы
на 105 р., а средний — на 15 р. больше, чем сейчас.
Сколько лет каждому из братьев?
12.142. В трех растворах проценты содержания (по массе) спир¬
та образуют геометрическую прогрессию. Если смешать
первый, второй и третий растворы в весовом отношении
2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта.
Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то полу¬
чится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процен¬
тов спирта содержит каждый раствор?
12.143. Три конькобежца, скорости которых в некотором поряд¬
ке образуют геометрическую прогрессию, одновременно
стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое
время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на
400 м больше его. Третий конькобежец пробегает то
расстояние, которое пробежал первый к моменту обгона
его вторым, за время на -|- мин больше, чем первый. Най¬
дите скорость первого конькобежца.
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ НА АРИФМЕТИЧЕСКУЮ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИИ
12.144. Верно ли, что три числа, взятые в одном и том же по¬
рядке и составляющие арифметическую и геометрическую
прогрессии одновременно, равны между собой?
12.145. Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой
разностью равен 60. Известно, что первый, седьмой и
двадцать пятый члены составляют геометрическую про¬
грессию. Найдите знаменатель геометрической прогрес¬
сии.
12.146. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. В
арифметической прогрессии первый член равен 3, раз¬
ность равна 3. В геометрической прогрессии первый член
равен 5, знаменатель равен д/2. Выясните, что больше:
сумма первых семи членов арифметической прогрессии
или сумма первых шести членов геометрической прогрес¬
сии.
12.147. Три различных числа а, b и с образуют в указанном
порядке геометрическую прогрессию. Числа а-\-Ь, Ь-\-с и
175
с-\-а образуют в указанном порядке арифметическую
прогрессию. Найдите знаменатель геометрической про¬
грессии.
12.148. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще
одио число так, что все три числа образуют возрастаю¬
щую арифметическую прогрессию. Если средний член этой
прогрессии уменьшить на 6, то получится геометричес¬
кая прогрессия. Найдите неизвестное число.
12.149. Сумма первых тринадцати членов арифметической про¬
грессии равна 130. Известно, что четвертый, десятый и
седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном по¬
рядке, представляют собой три последовательных члена
геометрической прогрессии. Найдите первый член арифме¬
тической прогрессии.
12.150. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии
равна 62. Известно, что пятый, восьмой, одиннадцатый
члены этой прогрессии являются соответственно первым,
вторым и десятым членами арифметической прогрессии.
Найдите первый член геометрической прогрессии.
12.151. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прог¬
рессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соот¬
ветственно 1, 1 и 9, то получатся три числа, составляющих
геометрическую прогрессию. Найдите исходные три числа.
12.152. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую про¬
грессию, равна 14. Если от первого числа отнять 15, а
второе и третье увеличить соответственно на 11 и 5, то
полученные три числа составят арифметическую прогрес¬
сию. Найдите исходные три числа.
12.153. В арифметической прогрессии, содержащей девять чле¬
нов, первый член равен 1, а сумма всех членов равна
369. Геометрическая прогрессия также имеет девять чле¬
нов, причем первый и последний ее члены совпадают с
соответствующими членами данной арифметической
прогрессии. Найдите пятый член геометрической прогрес¬
сии.
12.154. Найдите четыре числа, из которых первые трн составля¬
ют геометрическую прогрессию, а последние три состав¬
ляют арифметическую прогрессию, причем сумма край¬
них чисел равна 32, а сумма средних чисел равна 24.
12.155. Цифры трехзначного числа составляют геометрическую
прогрессию. Если из данного числа вычесть 297, то по¬
лучится число, написанное теми же цифрами, но в обрат¬
ном порядке. Если же к цифрам данного числа, начиная
с разряда сотен, прибавлять соответственно 8, 5 и 1, то
полученные суммы составят арифметическую прогрес¬
сию. Найдите исходное число.
176
12.156. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии
равна 155, а сумма первых двух членов геометрической
прогрессии равна 9. Найдите эти прогрессии, если первый
член арифметической прогрессии равен знаменателю гео¬
метрической прогрессии, а первый член геометрической
прогрессии равен разности арифметической прогрессии.
12.157. Три отличных от нуля числа образуют арифметическую
прогрессию, а квадраты этих чисел образуют геометри¬
ческую прогрессию. Найдите все возможные знаменатели
последней прогрессии.
12.158. Даны две геометрические прогрессии с положительными
членами ai, аг, аз и Ь\, Ь%, Ьз■ Известно, что числа
а\Ь\, а2&2, азЬз образуют арифметическую прогрессию и
а\ -\-a2 + a3 = bi -\-Ь2 + Ь3. Докажите, что ai + bi=a3 + b3.
12.159. Даны две арифметические прогрессии аи а2, аз и Ь\, Ь2, Ьз-
Известно, что ai-\-а2-\-аз = Ь\ + 62 + 63, а числа ai+fti,
a2-\-b2, аз + Ьз образуют геометрическую прогрессию. До¬
кажите, что а\ = Ьз, а2 = Ь2, аз = Ь\.
12.160. Первый член возрастающей арифметической прогрессии
равен 0,2. Найдите разность прогрессии, если известно,
что при делении каждого ее члена на номер этого члена
получается геометрическая прогрессия и число членов
прогрессии больше трех.
12.161. Найдите трехзначное положительное число, если его циф¬
ры образуют геометрическую прогрессию со знаменате¬
лем, отличным от единицы, а цифры числа, меньшего на
200, образуют арифметическую прогрессию.
12.162. Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось,
что количества рыб, пойманных каждым из них, образу¬
ют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим,
а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества
рыб, пойманных юношами, образовывали бы в том же по¬
рядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал
Миша?
СУММИРОВАНИЕ
12.163. Вычислите: 1-2 + 3 —4 + 5 —6 + ... 999999 —1000000.
12.164. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходя¬
щих 165, которые при делении на 7 дают в остатке 5.
12.165. Найдите сумму всех четных трехзначных натуральных
чисел, делящихся на 7.
12.166. Вычислите сумму всех натуральных чисел, не превосхо¬
дящих 1112 и не делящихся на 15.
12.167. Среди чисел вида 3«+ 1, где n£N, найдите сумму первых
тридцати, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
177
12.168. Среди чисел вида 5/1 2 , где n£N, найдите сумму первых
семидесяти целых чисел.
12.169. Найдите сумму: 22 — 42 + 62 — 82 + ... +(4& — 2)2 — (4&)2.
12.170. Найдите сумму S = a2 — al + a2 — a4 + —+ a|*_i — al*, где
последовательность (а*) — арифметическая прогрессия.
12.171. Докажите, что для арифметической прогрессии (ап) имеет
место равенство:
! 1 ! ! = "-1.
л[а\\!а„-1 -\-л[а„ л[а\-\-л[лп
Найдите сумму (172—175):
12.172. 12 + 22 + 32 + ... + /г2.
12.173. 12 + 32 + 52 + ...+(2я-1)2.
12.174. 1-2 + 2-3 + 3-4 + ...+я(я + 1).
12.175. 1-2 + 2-5 + 3-8 + ... + я(Зя-1).
12.176. Найдите сумму первых п членов последовательности,
заданной формулой k-го члена a* = 3&2 + 3& +1.
12.177. Найдите сумму всех попарных произведений чисел
1, 2, 3 ..., к.
12.178. Найдите сумму 13 + 23 + 33 + ... + я3.
12.179. Найдите сумму первых п членов последовательности,
заданной формулой к-го члена ан — к (k-\- I)2.
Найдите сумму (180—184):
12.180. 1 + 18 + 75 + .. . + п(2п-1)2.
12.181. 1 + 12+45 +... + п2 (2п— 1).
12.182. -i-H—-+..+—И—-.
1-2 2-3 1 т п(п + 1)
12 183 ' I ' I -I -
‘ 2-7 7 -12 (5т — 3) (5т + 2) ’
12 184 —- I 1 I -| !
‘ 5 -11 11 • 17 (6ft — 1) (6ft+ 5)
12.185. Докажите, что если аи 42, ап образуют арифмети¬
ческую прогрессию, причем a, + 0 (t = l, ..., п), то
а\в2 Я2Д3 ап-\а„ а\ап
Найдите сумму (186—187):
,2л86- ьЬ+5Т4+---+^Т1У(7^-
12.187. ——I ! I-...H .
2-5-8 5-8-11 1 1 (3ft — 1) (3ft +2) (3ft+ 5)
178
12.188. Докажите, что если отличные от нуля числа а\, а2 а„+2
составляют арифметическую прогрессию с ненулевой
разностью d, то справедливо равенство
_L_+_L_+...+ 1 =-Lp L_
aia2a3 a„a„+ ia„+2 2d\aiCi2 on+ian+2
12.189. Найдите сумму 1 • 1! -)-2-2! +3-3! + ... + £• £!•
12.190. Найдите сумму -§r+-fr+-fr+- + pTpTji •
12.191. Найдите сумму первых п членов последовательности, за¬
данной формулой k-ro члена ак = ~Лтгг|-- •
k {k 4“ 1)
12.192. Найдите сумму первых k членов последовательности, за¬
данной формулой я-го члена ап= ?п •
П (п + 1)
12.193. Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменате¬
лем 5, заключенных между натуральными числами k и я,
если &<я.
12.194. Найдите сумму первых т членов последовательности,
заданной формулой «-го члена а„ = 2 (я+З"-1) —3.
12.195. Найдите сумму первых k членов последовательности, за¬
данной формулой я-го члена ап—15 — 4я—
12.196. Найдите сумму 1+2-2 + 3-22 + 4>23 + ... + 50-249.
12.197. Найдите сумму 5 + 55-1-555-1-...+ 55 ... 5 .
п пятерок
12.198. Найдите сумму S=(a+-^-) '
12.199. Найдите сумму S = a + 2a2 + 3a3 + ... + «are.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.200. Известно, что последовательность (ап) сходится.
а) Найдите lim (an+i — ап);
п—► оо
б) Верно ли, что lim 2s±i = l?
«—►сю 0,п
12.201. Известно, что lim (an — bn) = 0. Верно ли, что lim ап =
«—► оо «—»- оо
= lim й„?
«-►оо
12.202. Известно, что lim -2s-= 1. Верно ли, что lim ап= Пт Ьп?
«-►оо On «-►оо «—►оо
12.203. Известно, что каждый член сходящейся последователь¬
ности (а„) положителен. Может ли быть отрицателен пре¬
дел последовательности?
179
12.204. Приведите пример последовательности (ап), сходящейся
к нулю, все члены которой положительны.
12.205. Объясните, почему последовательность с общим членом
ап — (— 1)" не имеет предела.
12.206. Последовательность (ап) сходится, последовательность
(Ьп) расходится. Что можно утверждать о сходимости
последовательности (ап + й„)?
12.207. Может ли последовательность (ап-\-Ьп) иметь предел, ес¬
ли каждая из последовательностей (ап) и (Ьп) расходится?
12.208. Имеет ли предел последовательность:
а) 1; 2; 3; ...; я; ...; б) I2; 22; З2; ...; я2; ...?
12.209. Чему равен предел последовательности:
а) 1; 2; 3; 4; 4; 4; ...; б) 1; 2; 3; 5; 5; 5; ...?
12.210. Известно, что последовательность (ап) имеет предел, рав¬
ный а. Чему равны пределы последовательностей, по¬
лучающихся из данной путем отбрасывания: а) одного,
б) шестидесяти семи, в) тысячи первых ее членов?
12.211. а) Чему равны пределы последовательностей
(-тИ'т1)’
б) Объясните, почему если lim а„ = 0, то и
lim ( — ап)= lim ( —1)геа„ = 0.
п —► 00 П ОС
12.212. Докажите, что если lim ап = 0, то и lim |а„|=0.
п —► 00 п —► оо
12.213. Известно, что lim |а„|=0. Верно ли, что lim а„ = 0?
п-*- оо п-+оо
12.214. Известно, что lim ап = а. Верно ли, что lim |а„| = |а|?
п —► оо п-*- оо
12.215. Известно, что lim \a„\=b. Можно ли сделать какой-
П-*- оо
либо вывод о пределе последовательности (а„)?
12.216. Могут ли какие-нибудь члены сходящейся последователь¬
ности быть равными пределу этой последовательности?
12.217. Может ли последовательность (ап) быть расходящейся,
если известно, что последовательность (а2) сходится?
Вычислите предел (218—222):
12.218.3) lim б) lim (4-(-f-)" — 63 ) ;
n—*~00 otl Z tl—ь- оо \ \ / / /
в) lim -А— ; г) lim 22п j"3 ■ .
л—оо я -{-1 п—► оо я +5я +2
lim 5п!±3п±± ■ б) lim (2я+.')(3я~.1) •
12.219. а) 2я2— 1 ’ (я+2)(4я-1) ’
12.220. a) lim (^-±1 б) lim (^Ы «!_V
п-»оо\2л + 1 4л—1/ n-»oo V 2 2л + 1/
в) нт г) Hm
Л-»-оо (2л -{- 1) (л -{- 1) л —► оо Л -{-1
12.221. a) lim Н~‘ ; б) lim .
л/4па + Г -у^ + Зл + Ю +з„
в) lim (V4n2 + п -\-1 — 2я); г) lim (-^(п -f-1) (« + 3) — «).
л—*-00
12.222.а) lim б) lim ;
7 n^ool+3-“’ 7 я^-оо 7 + 3 +7
в) lim^±f; г) lim^.
' •J'l+I ’ ' ДП+1 _1_ о
л—► оо л—► оо *
12.223. Найдите предел последовательности (а„), если:
^ а,!—Тз_*_3^5_*_'"_*_(2п-1)(2п + 1) ’
б) ав=1±1±2±^±12Я^;
п
42 + 22 + -+Л2 Л .
ап' (л + 1)(л+2) 3
г) ап--
.1+2 + 4 + . .. + 2"-1
2"+[ ’
«) -.=‘-3+2-3+.-;+"(-+');
е) a.= l+-L+-L+...+i+.
12.224. Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(4); б) 11,(12); в) 0,4(63); г) 1,99(2).
12.225. Найдите сумму:
а) ^+£т3+^+-''
л-j-yO Z-j- уО
1 1 _i_ 1 1 _i_ 1 1 -1_
2 3 + 4 9 8 27 ‘
12.226. Первый член бесконечной геометрической прогрессии (ап)
равен а, ее знаменатель равен q. Найдите сумму:
я) d\-\-a2-\-a,3-\-... \
б) a?+ + ;
в) (ai -)-П2)2 + (аз + Я4)2 + (й5 + аб)2Ч-... ;
г) (ах — а2)2 + (а3—а4)2 + (а5 — а6)2 + ... ;
д) ан—^~а2Н—J-азН—^-^4 + ... ;
е) (а,+1")+(а2_т)+(а3+'8")+(а4-1б) + - ;
^2 I О* I Об I Я 8
Ж) + ;
а 1 а2 а3 а4
3) (а1 _Ьа2-Ь^з)2 + (а4+05 + аб)2+(Я7 + а8+Я9)2 + -" •
181
12.227. Первый член бесконечной геометрической прогрессии от¬
носится к сумме второго и третьего членов как 9:10. Най¬
дите первый член прогрессии, если ее сумма равна 12,
12.228. Первый член бесконечной геометрической прогрессии на
8 больше второго, а сумма ее членов равна 18. Найдите
третий член прогрессии.
12.229. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее членов равна
1,125. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
12.230. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 9,
а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найдите сумму
кубов членов этой прогрессии.
12.231. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4,
а сумма кубов ее членов равна 9-i-. Найдите сумму
квадратов членов этой прогрессии.
12.232. Решите неравенство \х-\-х2-\-...-\-хп-\-...\ < 1, где |х|<1.
12.233. Решите уравнение х~~2-\-х~4-\-...-\-х2 (1_г1) + ... = 0,125,
если известно, что переменная х не принадлежит мно¬
жеству решений неравенства х6-\-2хА—х2<12.
12.234. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, второй член которой, удвоенное произведе¬
ние первого члена на четвертый и третий член образуют
в указанном порядке арифметическую прогрессию с раз-
» 1
ностью, равной —.
12.235. Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии
таковы, что первый член первой прогрессии является
знаменателем второй, а знаменатель первой прогрессии
является первым членом второй прогрессии. Отношение
суммы первой прогрессии к сумме квадратов всех ее чле-
О
нов равно —, а такое же отношение для второй про¬
грессии равно 4,5. Найдите сумму каждой из этих про¬
грессий.
12.236. Второй член бесконечно убывающей геометрической про¬
грессии равен —2, а отношение суммы членов этой про¬
грессии к сумме квадратов ее членов равно -Jp Составьте
квадратное уравнение, корнями которого являются пер¬
вый и четвертый члены исходной прогрессии.
12.237. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии с
отрицательным знаменателем сумма первого и шестого
членов равна 62, а произведение четвертого и восьмого
членов равно 4. Найдите сумму этой прогрессии.
12.238. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если известно, что сумма квадратов первых
182
пятнадцати ее членов равна сумме первых тридцати ее
членов, а сумма кубов первых пятнадцати ее членов в три
раза меньше суммы первых сорока пяти членов данной
прогрессии.
12.239. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сум¬
ма которой равна 13,5, содержит член, равный От¬
ношение суммы всех членов прогрессии, стоящих до него,
к сумме всех членов прогрессии, стоящих после него, рав¬
но 78. Найдите порядковый номер этого члена прогрессии.
12.240. Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квад¬
рата соединили отрезками. Получили новый квадрат. С
этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д.
Найдите предел суммы периметров и предел суммы пло¬
щадей этих квадратов.
12.241. Сторона равностороннего треугольника равна а. На вы¬
соте его построен новый равносторонний треугольник.
На высоте нового треугольника построен еще равносто¬
ронний треугольник и т. д. Найдите сумму периметров
и сумму площадей всех этих треугольников.
12.242. В равносторонний треугольник со стороной а вписан круг.
В этот круг вписан новый равносторонний треугольник.
В этот треугольник опять вписан круг и т. д. Найдите
сумму длин окружностей и сумму площадей всех этих
кругов.
12.243. Найдите сумму ряда:
а) Т^+Тз+Т^+-; б) rn+TTLl8+]?ii5+- ;
. _1 I 1 I 1 I , _1 .1.1.
3-7 7-11 11-15 ’ 2-9 “Г 9-16 “t” 16-23”1”''' '
§ 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1. Соотношения между тригонометрическими функциями од¬
ного аргумента.
cos2 a + sin2 ot = 1;
tga = sina, афЛ.+ ЛП! „eZ;
cos a 2
ctga=^-^, афлk, k£Z;
sin a
^2“+1=^к’ kы
ctg2 a +1 =-тЛ—, афлп, n£Z.
sin a
183
2. Теоремы сложения.
cos (a —P) = cos а cos P + sin а sin Р;
cos (a + P) = cos a cos P — sin a sin P;
sin (a — P)=sin a cos p —cos a sin P;
sin (a + P)=sin a cos P + cos a sin P;
18(“ + P)-|-"e+.‘?eV
Pa + p^=-j-+nm; n, k, m£Z\
tg (a — p)=. а~*8 P аф--+лп, P=?^—-\-nk,
1+tgatgP ^2~ 2
a — p=^-2-+jtm; n, k, tn^Z.
3. Формулы двойного аргумента.
cos 2a = cos2 a— sin2 a = 2 cos2 a— 1 = 1 —2 sin2 a;
sin 2a = 2 sin a cos a;
tg2a=T3^> «=/=7-+™; *.
4. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного
аргумента.
1 . 2 «
1_tg 2
cos a= , a=^jt + 2jtfe,
l+tg^
sin a= , афл-\-2л1г, fe£Z.
i+tg’-J
5. Формулы понижения степени.
sin2a=i^cos2a COS2a = 1+COS 2a.
2 ’ 2
6. Формулы половинного аргумента.
I апf I lcosi I =V
1 + cos a .
2
I , O I -\ /1 — COS О , - , _
tg-T = \/— , афл + 2лп, n£Z-,
I -s I V 1 +cos °
tg ~2~= 1 +COS a ’ а=^л + 2лл- n£Z-
184
7. Преобразование суммы (разности) тригонометрических
функций в произведение.
cos а + cos Р = 2 cos cos ;
cos а — cos р = — 2 sin sin ;
sin а + sin р = 2 sin cos -5—i- ;
sin а — sin p = 2 sin cos ;
tg а-Mg P= S‘n — , a^l + iw, Pn, k£Z\
cos a COS f) * *
tg a-tg p=sin аф^+лп, pф^+nk-, n, kez.
cos a cos f) 2 2
8. Преобразование произведения тригонометрических функ¬
ций в сумму.
cos a cos p=-^-(cos (a —P) + cos (a + P));
sin a sin p=-^-(cos (a —P) —cos (a + P));
sin a cos p=-i-(sin (a + p) + sin (a — p)).
9. Преобразование выражения acosa + bsina путем введе¬
ния вспомогательного аргумента.
a cos a + 6 sin a=^ja2-\-b2 cos (a —ф), a2 + 62+= 0,
где вспомогательный аргумент cp определяется из условий
cos ср=—-— и sin сс=—-—.
^+¥ Y * V?+F
Пр и м е р 1. Сколько целых значений может принимать вы¬
ражение 3 sin2 х + 5 sin 2х?
Решение.
3 sin2 х + 5 sin 2x = 3~3 e°s 2*+5 sin 2х =
= 1,5 —(”§-cos 2х — 5 sin 2х^ = 1,5—^25 + 2,25 -cos (2х + ср),
5 я
где sin ср= = и cos ср
727^25 2 +27,25
Таким образом, учитывая ограниченность косинуса, имеем:
1,5—у/27,25 + 3 sin2 х + 5 sin 2х<! 1,5+-\/27,25 .
Поскольку 5<-\/27,25 <5,4 то 3 sin2 х + 5 sin 2х может при¬
нимать десять целых значений (от —3 до 6).
185
Пр и м е р 2. Вычислите без таблиц значение выражения
sin 18° cos 36°.
Решение.
sin 18° COS 36° 4 s‘n cos 18° cos 36° 2 sin 36° cos 36°
4 cos 18° 4 cos 18°
sin 72° cos 18° 1
4 cos 18° 4 cos 18°
О
Пример 3. Известно, что cos (а — 60°)=—. Найдите sin а.
О
Решение. Из основного тригонометрического тождества
получаем, что sin (а —60°)= ±-^-. Далее имеем: sina =
О
= sin ((а—60°)+ 60°) = sin (а —60°) cos 60° +cos (а —60°) sin 60°=
4 1,3 Уз 3 л/3+4
± 5 2 1 5 2 10
Пример 4. Пусть (а„) — арифметическая прогрессия с раз¬
ностью d. Найдите сумму 5„ = sin ai -(-sin a2 + sin аз + --- +sin а„.
Решение. 1) Если d = 2nk, k£Z, то S„ = rtsinai. 2) Если
d=£2nk, k£Z, то домножим и разделим Sn на 2 sin — и, поскольку
ak + -Y=ak+1—Y’ получим:
Sn = ~l-d (cos (ai —— cos(ai +4~) + cos(a2 —y)~
- cos (a2+-|-) +... + cos (a„ —- cos (a„+-f-)) =
(C0S(a'Hr)-C0S(a"+ir)) =
2 sin.2
. u . u , u. , ~ ■ dn d (n— 1)
, °n+"9—°iH—5- —o-+°i—5- Sin-5- sin a,+ 9
1 -2 sin £- —-sin £ - = £ * —
J z z . d
2 sin 4 sinT
Пример 5. Найдите наибольшее значение выражения
cos13 x + sin х.
Решение. Поскольку для всех действительных значений х
выполняются неравенства cos13x^cos2x и sin14 x^sin2 х, то
cos13 x + sin14 x<!cos2 x + sin2 x= 1. Кроме того, cos13 0 + sin14 0=
= 1, т. e. существует такое значение x, при котором значение вы¬
ражения равно 1. Значит, наибольшее значение выражения рав¬
но 1.
186
Упражнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА.
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Найдите значение выражения (1—4):
13.1. а) 2 sin 30°—УЗ sin 60° ctg 45° tg 30°;
б) 4 cos 45° ctg 60° tg 60° — 3 sin 45°.
149 я\ 6 sin 30° cos 30° . 1 —2 sin2 60°
* ' cos2 30° - sin2 30° ’ * 2 cos2 60° — 1
13.3. a) (0,75 tg2 30° — sin2 60° + tg2 45° + cos 60°)“1;
6) (2 cos 30° — ctg 45° + sin2 60° + ctg2 60°)_ 1.
13.4. a) V(1 —2 sin 45°)2-У(1 -2 cos 450)2;
6) V(tg 60° —2)2 —V(ctg 30°-2)2.
13.5. Верно ли утверждение:
а) если 0о<а<С90о, то а — угол I четверти;
б) если а — угол I четверти, то 0°<а<90°?
13.6. Какой знак имеет сумма sin a + sin (З + siny, если а, (3 и у —
углы треугольника?
Углом какой четверти является угол а, если известно, что
(7-8):
13.7. a) sin аСО и cos а>0; б) sin а>0 и tg а<;0;
в) cos а<0 и ctg а>0; г) cos а>0 и tg аСО?
13.8. a) |cos а| =cos а; б) )sin а| = — sin а;
в) |tg а| +tg а=0; г) ctg а— I ctg а| =0?
13.9. а) Укажите несколько значений а, при которых: sin а = — 1;
cosa=l; tg а = 0; ctg а = 0.
б) Укажите все значения а, при которых: sin а— — 1,
cos а = 1, tg а = 0, ctg а = 0.
13.10. Известно, что sin (3=0,5.
а) Верно ли, что (3 = 30°?
б) Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5.
в) Укажите все углы, синус которых равен 0,5.
13.11. Известно, что cos (3=0,5.
а) Верно ли, что (3 = 300°?
б) Укажите несколько углов, косинус которых ра¬
вен 0,5.
в) Укажите все углы, косинус которых равен 0,5.
13.12. Возможно ли равенство:
a) sina=y3 — 2; б) cos (3=—У§; в) sin а=-^-;
г) cos (3=-£-; д) sin а = т-\—— , где тф0;
о т
е) cos р = 2а — а2 — 2?
187
Укажите наибольшее и наименьшее значения выраже¬
ния (13—14):
13.13. a) 1+sina; б) 1— cos а; в) 2 — 3 sin а;
г) 3 + 2 cos а; д) 1 cos ос|; е) —|sina|.
13.14. a) 2cos2a —1; б) 1— 2 sin2 а; в) 2 — 5 1 cos ос |;
г) 12 —5соза|;д) 4 — 3 I sin ос |; е) 13 + 4 sin ос |.
13.15. Возможно ли равенство:
а) sin a + 2 cos a = 3; б) 3 sin a — 2cosa = 5;
в) 5 cos a —3 sin a = 8; r) 2 sin a + 5 cos a— — 7?
Найдите значение выражения (16—18):
13.16. a) sin-^cos-J-tg-j*-; б) ctg -2-cos -^sin -J-.
13.17. a) (smfcos(-f)tg(-f))";
б) (ctg f cos f sin (-f)) \
(cos(—4 tg 0 2 sin ( у ^ ctg -y
13.18. а) 2 b 11 11 ; 6) v 2/ 3_
„ . 71 . n . , , . я ’ ' / . ( Зя\ ( Jt\V
sin ir +^~C0S ( я) sm + \sin\ T/~cos\ T//
Определите знак выражения (19—20):
13.19. a) sin^cos^tg^ctg^;
б) si„ilcos(-f )tgfctg(-il).
13.20. а) sin^icos^ptg(-^) ctg^;
б) sin(_|)cos^lgifctg(_Ji2).
Сравните два числа (21—23):
13.21. а) cos-jy и cos2-2-; б) sin ~ и sin2-у-.
13.22. а) sin-2- и sin -2- cos -2-; 6) cos и cos-^sin-2-.
1U 1U У о Ou
13.23. a) cos-у-и cos-y-sin-2-; б) sin-у^и sin -^2 cos -2-.
13.24. Известно, что 0<a<;-2-. Докажите неравенство:
а) sin а > sin2 а; б) cos a > cos2 a;
в) sin a>sin a cos a; r) sinaCtga.
13.25. Докажите, что sin a + cos a>l, если 0<а<-2-.
188
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА.
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
7 о —
13.26. Найдите sin а и ctg а, если cosa= — и аС—.
ZO Z
г О
13.27. Найдите cos а и tg а, если sina=—— и —<.а<.2л.
О
13.28. Известно, что ctga=—3— и лСа.<2л. Найдите cos а
и tg а.
13.29. Известно, что tga = 2,4 и Найдите sin а и
ctg а.
13.30. Известно, что cos а=—- - где а>0. Найдите sin а
V^+F
и tg а.
Вычислите (31—36):
13.31. a) sin 225° cos 120° tg 330° ctg 240°;
6) sin cos ^3 tg JEL ctg 4r •
’ 4 6 6 3 s 3
13.32. a) sin (-300°) cos (-135°) tg (-210°) ctg (-120°);
13.33. a) l+sin-2-+sin2^-+sin3^-+... ;
boo
6) 1 — COS -7-+ COS2 -7—COS3 -7-+....
4 4 4
13.34. a) l-tg-2-+tg2-=—tg3-2-+... ;
6) 1 + cos-^+cos2-£-+cos3.
b b o
13.35. a) cos (— 7,9л) tg (— 1,1 л) — sin 5,6л ctg 4,4л;
6) sin 5,9л tg (— 0,6л) + cos 3,6л ctg (— 4,9л).
13.36. a) sin (—1,3л) cos (—1,7л) tg(—0,7л)+sin 0,8л cos 1,8л tg 1,2л;
6) ctg 2,2л sin 2,7л sin ( — 3,2л) + ctg ( — 2,3л) cos( — 3,7л) X
Xcos 1,2л.
Упростите выражение (37—42):
13.37. a) tg(-y— “) tg(n + a) — cos(-j-+a) sin (л-fa);
6) ctg (-у + P ) ctg (л — P) — ctg (-y + P ) tg (2л + p).
13.38. a) cos^^ + a^ sin a + sin2 (3n + a)+tg (5л + а) ctg a;
6) cos (Зл —P)+ctg (3,5л — P) + cos(-y+P) ctg(n + p).
189
13.39.
13.40.
13.41.
13.42.
13.43.
13.44.
13.45.
13.46.
13.47.
13.48.
13.49.
13.50.
13.51.
13.52.
190
■> «xfci'+TfSb-
a) f^Sf+tgactgcc; 6) (1-cos2 P) tg2p+l-tg2 p.
а) (ctg cc + tg cc)2-(ctg cc—tg cc)2; 6) ctg6
sin p—tg p
sin 150° —cos 240°
a’ ctg 730° ctg 800°+ tg 730° tg 800° ’
б) sin 750° sin 150° + cos 930° cos (— 870°) +tg 600°.
Вычислите:
а) ctg l°-ctg 3°-ctg 5°-...-ctg 89°;
б) tg 88°.tg 86°-tg 84°-...-tg 2°.
Исключите параметр t из системы:
a) jx = 5cost, 6) rx = 3cost, в) r x = sin t + cos t,
\i/ = 5sint; \t/ = 5sint; [y = smicost
Докажите тождество (45—48):
а) (—cos a + ctg a)( sin a + tg a) = (l 4-cos a) (1 —sin a);
б) 1 4-cos p —sin P —ctg P=(l —ctg p) (1 —sin p).
а) sin6 a +cos6 a4-3 sin2 a cos2 a= 1;
б) 1~c°st4gP~sin4p=2eos4 p.
ч sin a —cos P sing —cos a . g\ УЗ —2 sin a 1 + 2 cos a
sin p + cos a sina + cosg’ 2 cos a—I 2sina4V3
a* cos a ctg a — sin a tg a _l 1
(sin a + cos a)2 — sin a cos a sin a cos a ’
fit COS ft 4 sin P-COS2 P sin P-Sin2 g COS p=„in о а
’ sin ptgp + cos Pctg P H
Известно, что tg a = 2. Найдите:
4 3 sin a —5 cos a . g4 2 sin2 a —sin a cos a . , sin a —2 cos a
' 4 sin n. -4-phq n. 7 Я sin2 n . * '
4sina + cosa 3 sin a+ 2 cos2 a ' 2 sin3 a + cos3 a *
Известно, что ctg a = — 2. Найдите:
а\ 2 sin a + 3 cos a . g, 2 cos2 a —7 sin2 a .
5 sin a — cos a ’ 3 cos2 a44 sin a cos a ’
ч sin3 a —2 cos3 a
cos a+ 2 sin a
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения и
значения переменной, при которых они достигаются
(51-52):
а) sin2 «4-2 cos2 a; б) 3 cos2 a —4 sin2 a.
a) 3 cos2 a —tg a ctg a; 6) 2 sin2 a-|-3 tg a ctg a.
Упростите выражение (53—54):
13.53. a) (ctg (6,5л — a) cos (— а) + cos (я — а))2 + 2 >
6> <—> •* (¥+“))’+Т7^ГТ'
Чт+а)
sin Га—
) —-rjj -Ctg(а--— cos(-^+a) sin (а — л);
Sin^_+aj
tg —а ) — cos (п ~ а^ s'n
13.54. а
б)
(cos (3,5л — a) + sin (1,5л + а))2 —1
Докажите, что при всех допустимых значениях перемен¬
ных выражение принимает одно и то же значение (55—56):
13 55 cos4 Р — sin2 a-sin2 P + sin2 g-cos2 ft — sin2 a-cos2 ft
sin2 a-sin2 0 — sin2 a-cos2 a — cos4 a-f-cos2 a-sin2 g
13.56, (tga + ctg a)2 (tg a — ctg a)2 _
-n 5 tg2 a —ctg2 a
sin a cos a
Упростите выражение (57—59):
13.57. а) y/sin2 a (1 —ctg a) + cos2 a (1 —tg a), если -у-<а<;2л;
Зл
б) У cos2 p (1 + tg P) + sin2 p (1 + ctg P), если л<р<-^
13.58. a) ctg a —~\/? , cos ? , если л<а<2л;
V 1 +cos a
б) VI-sin2 a-cos2 aWl если -£-<р<л.
tg g ctg a 2 2
13.59. а) y/4 cos2 a + 4 cos a +1 —y/4 —4 sin2 a , если -у<!а<;л;
6) y/2 —2 cos2 P+"\/2 sin2 p —2 y/2 sin p + 1 , если-у<;р<;л.
Докажите неравенство (60—64):
13.60. a) sin2 a cos2 a 0,25; 6) sin4 a + cos4 a^0,5.
13.61. a) sin6 a + cos6 a^0,25; 6) sin8 a + cos8 a ^0,125.
13.62. a) !tg a + ctg a| ^2; 6) 9 cos2 a —ctg2 a<4.
13.63. a) sin a + cos a + tga + ctga + ^|y + ^4y^6, если
°<a<T: б) 1е2а+с^2а+^т+^:^6-
191
13.64.
13.65.
13.66.
13.67.
13.68.
13.69.
13.70.
13.71.
13.72.
13.73.
13.74.
13.75.
13.76.
13.77.
192
а) |sin (sin а)| <0,5-\/3; 6) 0,5<cos (sin а)^ 1.
Найдите sin4 a + cos4 а, если sin a-f-cos a = a.
Найдите cos a + sin a, если tg a + ctg a = a.
---to -
Известно, что sin a cos a = a. Найдите
1 — tg a 1 — ctg a
Вычислите sin2 a — sin4 a, если tg2a + ctg2a-
sin a
= 7.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(69—70):
а) 2 cos2 a —3 sin a; б) 3 sin2 p + 2 cos p.
а) 1 —-\/cos2 a —2 sin2 a; б) 1 +ysin2 p + 2 cos2 p.
Найдите наибольшее значение выражения
sin2 х cos4 x(2 — sin2 х).
Найдите наименьшее значение выражения:
а) tg2aH——; б) —тг—tg2 р.
cos a cos p s
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
Вычислите (73—77):
а) —a)> если cos a = — 0,5 и -2-<a<xi;
б) cos^-^-+p^, если sin Р=:у и -|-<р<л.
а) tg(ip+a)> если cos a = 0,6 и -у<а<2л;
б) ctg(-^—р), если sin р= —0,8 и л<р<-у-.
а) cos (a — Р), если cos а — ~, sin р=—-^<а <2л,
О О Z
^Ь<р<2л;
б) sin(a + p), если sin а=~-, cos р=—-^-<а<л,
л<Р<-у.
21я . Зя , Зя . я . 15я . 4я 4я 6я
cos~Jq~sm 2q + cos go sin ^ s,n—5Ш2Г + С05 2ГС05Т
3 . 7я . 7я 7я я ’ . 7я я 7я . 23я
S1„ _ s,n - + cos - cos т sm ^ cos ^ -cos ^ sm —
tg2 —tg2 — tg2 —-tg2 —— 1
«,24 , g, ,24 . g 2 24 __2_4 1
l_tg2—-tg2— tg2 — — tg2 —
g 24 g 24 lg 24 g 24
13.78. Найдите cos р, если cos а = 0,6, cos (а + Р)=0, 0<а<-2-;
л<Р<-у-
13.79. Найдите а + р, если tga = 0,5, tgP=4-, 0<а<-^-,
О 2
0<p<f.
13.80. Найдите a —р, если sina=—, sin р= ——, 0<а<-|-,
—|-<Р<°-
13.81. Найдите a + P, если tga = 3, tg р = — 0,5, 0<а<-^-,
-f<P<0.
13.82. Докажите, что а — р = 30°, если tga=j-^, tg р = -Д,
’ а л/З
0<a<f, 0<p<f.
13.83. Докажите, что а + р+у=-^-, если sin a=-^-, sin Р — —,
* d з yi 1
sin y=—2= , 0<a<-£-, 0<Р<-2-, 0<v<-f-.
vnr 2 2 1
13.84. Пусть tg a=(V2 + l)tg x, tg р=(У2 —1) tg дс, tgy =
= 2 sin дс cos дс. Докажите, что a = p + y, если 0<a<-^-,
0<P<f, 0<y<f.
Докажите тождество (85—88):
13.85. a) sin(*~&l=Costtcosp; 6) ctR ”+ct& ! .
tga —tgP sin (a + P) sin a sin p
13 86 at tg°e + tKP_sin (a + P) . sin («^ = .ctgJL-ctg.a
tg a — tg p sin (a — p) ’ sin (a + P) ctgP + ctga
l3-87- *> т^=‘г(“+т); 6> •
13.88. a) sin 2a + cos 2a ctg a = ctg a; 6) ctg P sin 2p —cos 2p = 1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(89—91):
13.89. а) sina + cosa; б) -\/3 cos р — sin р.
13.90. а) sin a—\j3cosa-, б) -\J2 sin Р+-\/б cos p.
13.91. а) 3sina + 4cosa; б) 2 sin р — 5 cos p.
7 М. Л. Галицкий
Упростите выражение (92—94):
13.92. a) sin2(-2-+a) + sin2(-^—a) + sin2a;
6) cosJp+cos!(f-p) + cosJ(f+p).
13.93. а) cos (a—P)(tg a tg р—1)+(1+tg a tg p)cos (a + P);
6) (ctg a ctg p + l)cos(a + p) + (l— ctg a ctg p) cos (a — p).
13.94. 3) sin2(a-p) + sin22(a + p)_t 2(x;
2 cos a cos p &
6) Ctg2 a Ctg2 p_c°s2(a-p) + cos2(a + p)
’ s s ^ 2 sin2 a sin2 p
Докажите неравенство (95—96):
13.95. a) sin (a + p)<cos a + cos p, если 0<a<-2-, 0<p<-^-;
6) cos (a —p)<cos a + sin p, если 0<a<-^-, 0<p<-|-.
13.96. a) sin (a + p)<sin a + sin p, если 0<a<-^-, 0<p<-|-;
6) tg (a + p)>tg a + tg p, если 0<a<-2-, 0<p<-2-.
13.97. Докажите, что tg a tg P + tg p tg y + tg у tg a= 1, если
a + P + V=^"-
13.98. Докажите, что tg a + tg P + tg y = tg a tg p tg у, если
а + р + у = л.
13.99. Вычислите если известно, что
2 cos2 a + (6 —\J2) cos a — 3 -^2 = 0.
13.100. Найдите: a) cos a, если cos (a+"|-) =0,6 и -^<a<;-y-;
6) sin а, если sin (a—4") =l|'и •
13.101. Найдите величины аир углов ромба, если
sin (a—f-) + sin(-f— р) = 1.
13.102. Углы треугольника связаны соотношением cos -j-=
=2 sin cos Докажите, что треугольник равнобед¬
ренный.
13.103. В каких пределах находится отношение суммы катетов к
гипотенузе в прямоугольном треугольнике?
194
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО И ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Вычислите (104—107):
13.104. a) sin 2а и cos 2а, если cos а=-^> -у<а<2л;
б) sin 20 и cos 2р, если sin р — —Ц- , л < р с-^ •
1 о 2,
13.105. a) sin и ctg -р если sin а= — р<а<2л;
б) cos-|-h tg-jp если tga=V3, л<а<р
13.106. a) tg а, если ctg2a = 3;
б) ctg р, если tg 2р == — 5.
13.107. sin4^-p—2a^, если cos (л — 4a) =—р
Докажите справедливость формулы (108—109):
2tgy l-tg'y
13.108. а) sin а= ; б) cos a= — .
i+tg2y
13.109. а) sin 3a=3 sin a—4 sin3 a; 6) cos 3a=4 cos3 a—3 cos a.
Вычислите (110—113):
13.110. a) sin 2a, cos 2a и tg 2a, если tga=-p
6) sin 2p, cos 2p и ctg 2P, если ctg p = —p
13.111. a) —^a- - , если tg-^-=3;
' 2 — 3 sin a s 2
6) ; 2f a~' если ctg ~~= —2.
4 + 5 cos a 2
13.112. a) sin 4a, если ctga=—3; 6) cos 4p, если tg p = 2.
13.113. a) sin За, если tgp=—2; 6) cos 3a, если ctg-p=0,5.
13.114. Найдите величину угла А треугольника ABC, если:
а) sin4 А = cos4 А+0,5;
б) sin3 Л cos Л =0,25—cos3 Л sin Л.
13.115. Докажите неравенство:
а) sin 2а <2 cos а, если —^-<а<;-р
б) sin 2а<2 sin а, если 0<а<л.
195
13.116.
13.117.
13.118.
13.119.
13.120.
13.121.
13.122.
13.123.
13.124.
13.125.
13.126.
13.127.
13.128.
13.129.
13.130.
13.131.
196
Вычислите (116—118):
а) 8 sin2 cos2 ^— 1; б) sin4 cos4 ^.
a) tg-^+ctg^ ; б) ctg -“-f-ctg ■
a) sin2 -j| + sin2 6) cos2J^ + cos2^
Что больше: tg 2a или 2 tg а, если 0<a<-2-?
Найдите значение выражения s—4“ , если известно, что
sin a
4 sin2 a— 9 cos a— 6 = 0.
Докажите тождество (121 — 124):
1 + cos (Зя+3a) cos 2a — cos (1,5я—3a) sin2a = 2sin2 2,5a.
tg4 a (8 cos2 (я — a) — cos (я + 4a) — 1) = 8 sin4 a.
1 — 2 sin2 a
-=1.
2ctg (t—“) cos2(t+“)
2 tg ^-(tg a + ctg a)(l-tg2-|-):
C°s —
Сократите Дробь ^ cos2 2a—4cos2 a + 3sin a
4 cos2 —a) — sin2 2 (a —л)
Вычислите tg(a-|——) , если cos 2a=4- и яСаС-^.
\ 4 / 3 4
Вычислите tg p + ctg p, если cos2p = 0,8 и -2-<р<я.
Вычислите:
_i_.
’ 3 ’
а) tg2(-^—а), если sin2a =
б) ctg2^-2-+P^, если sin 2p = 0,25.
Найдите:
a) cos 2a, если cosa 2sin a = —0,5;
sin a —2 cos a
6) sin 2a, если cos <* + 2 sin ?- =-2.
2 sin a —3 cos a
Упростите выражение (130—133):
а) 0,125 cos 4a + sin2 a cos2 a;
б) sin2 p tg p —cos2 p ctg P + 2 ctg 2p.
1 2 cos 2a
3)
tg2 a 1 + sin (2a + 1,5л)
13.132.
13.133.
13.134.
13.135.
13.136.
13.137.
13.138.
13.139.
13.140.
13.141.
13.142.
13.143.
13.144.
13.145.
л/2 sin (-7- + Р) sin Р
б) — .
’ 1 —tg Э cos 2р
a) cos2 — а ) + 0,5 sin 2а; б) 2 sin2^Э — + sin 2р.
а) д/2+д/2 + 2 cos 4а, если
б) l2~~\j~T~>rirc0S Р’ если 2л ^Р<4д-
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(134—137):
а) 3 sin2 a + cos 2a; б) cos2 р —2 cos 2р.
а) sin4 a+cos4 а; б) sin6 p + cos6 p.
д\ 1 + cos a + cos 2a . sin (2.5л + 23)
sin (0,5л + a) ’ V2cos(l,5n + P)—l
a) cos 2a — |cos a|; 6) cos 2a + I sin a|.
Найдите cos (-2—a ) sin (_^'+a ) , если cos a + sin a = m.
При каких значениях m условие задачи имеет смысл?
Найдите cos ^—p^cos^-^+p^ , если
cos р sin (3,5я + Р) = т.
При каких значениях т условие задачи имеет смысл?
Известно, что sin х — cos x = t, где UI^V2 и t=+l.
Найдите tg -у-.
Найдите ctg (a + P), если известно, что tga = 6 и
tga-tgp о
tg(a-p)
Найдите sin а, если известно, что cos 2a =—cos а и
a ^ л.
2
Найдите tg a + ctg a, если известно, что
Зл
4
sin ^-2-+2a ^ =a и -^<a<n.
Вычислите (144—145):
a) sin i sin
6) cos 20° cos 40° cos 80°.
5л . л
l8SmT8;
2л Зл 4л _ 5л
, 7л . 5л . л
a) sin — sm Tg sm — ;
6) cos yy COS yy COS yy COS yy COS yy .
197
13.146. Проверьте справедливость равенства:
а) 8 cos 20° cos 40° cos 80° —sin 10° = 2 sin2 40°;
б) sin 50°+ 8 sin 10° sin 50° sin 70° = 2 cos2 20°.
13.147. Известно, что а и p— величины смежных углов парал¬
лелограмма. Докажите, что
1 —sin 2а 1 +cos 2ft
(cosP + sina)2 / I \ ■ (331 I \
2 cos (л + a) sin (-g- + а I
13.148. Докажите, что если аир — острые углы прямоуголь¬
ного треугольника, то:
si"2 (if+0 — 4 cos2 (т — У ) / в л\
3) .. 4 + 4 2f"+aN>
cos2 p — 4 + 4 c°s ^Y+Y )
c°s(^-p) tg-|—cos (я + Р)
6) "• (* V■ < J* M +tg^=Q-
sm \У _a/+sm (® —"Нв \Т_У/
13.149. Найдите величины аир смежных углов параллело¬
грамма, если известно, что sin a + sin Р=-\/2 sin (a — р).
13.150. В равнобедренном треугольнике a — величина угла при
основании, р — величина угла при вершине, причем
cos a+-\/3cos р = 0. Найдите аир.
13.151. Найдите величины острых углов аир прямоуголь¬
ного треугольника, если sin 2a = 1 +sin (3a —р).
13.152. Найдите величины аир острых углов прямоугольного
треугольника, если cos a + sin (a — р)= 1.
13.153. В равнобедренном треугольнике аир — величины
углов при основании и вершине соответственно. Найдите
аир, если известно, что -^2 cos a + cos P = l.
13.154. Найдите cos-j-, если известно, что 6 sin2 a^4 + cos a
и cos 2a ^
13.155. Найдите tg 2a, если известно, что 9 cos2 a<!5 + 9 sin a
и cos 2a
13.156. Вычислите: a) sin 36°; 6) sin 18°.
13.157. Рациональным или иррациональным числом является
tg2 За, если известно, что cos 2а =—0,1?
13.158. Рациональным или иррациональным числом является
ctg2 4,5а, если известно, что
cos За = 0,25 {л]2\ — \2ф—2 УЗ)?
198
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ОБРАТНО
Проверьте справедливость равенства (159—161):
13.159. a) cos 47° + cos 73° = cos 13°; б) sin 87° — sin 27° = cos57°.
13.160. a) cos 29° —cos 31° = sin 1°; 6) sin 18° +sin 42° = cos 12°.
13.161. a) sin 93° — cos 63° = sin 33°; 6) cosl4° — sinl6° = cos46°.
13.162. Вычислите:
„ч 2sin2 49° —1 . sin 11° —sin 49°
a> со о „„„ o,o >
cos 53° —cos 37° ' 1— 2cos2 54°30' '
Упростите выражение (163—164):
13.163. a) cosot-cosP ; 6) cosoe+cosP
sina + sing ’ sin p —sin a
13 164 al sin 4a —sin 6a . g\ sin 7g + sin 1 lg
cos3a + cos7a ’ cos 10g— cos 8g
Докажите справедливость формулы (165—167):
13.165. sin a cos p=-^-(sin (a + P) + sin (a — P)).
13.166. sin a sin p—-^-(cos (a —P) —cos (a + P))-
13.167. cos a cos p=-|-(cos (a —P) + cos (a + p)).
13.168. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) sin (a+f) cos («—£■) ; б) sin (p-f) sin (p+^) -
13.169. Вычислите:
а) sin 15° cos 7° —cos 11° cos 79° — sin 4° sin 86°;
б) cos 17° cos 73° —sin 13° cos 21° —cos 4° cos 86°.
13.170. Докажите тождество:
а) 1 +2 cos 2a = 4 cos (^r+a ) cos ^;
б) y/3 — 2 sin 2P = 4 sin (-2— p ) cos (-jr+P ) •
13.171. Преобразуйте в произведение:
а) л/2 — 2 cos a; б) 0,5 +sin p.
13.172. Докажите тождество:
а) 1 —4 sin2 a = 4 sin ^-2—a ) sin (-jr+ a ) ;
б) 3 — 4 cos2 P = 4 sin (-2-+ p) sin (p—5-).
13.173. Упростите выражение:
а\ sin 3a —sin a cos 2a cos 2a —cos 4a
' cin Q <■* I с in « * '
sin 3a + sin a 7 cos 2a — cos a cos 3a
199
Докажите тождество (174—175):
13.174. a) sin 5а-2 sin 3a-cos 3a;=ct g g
1—cos 5а —2 sin2 За &
6) 2£°s22P + cos5p-l_ = ct 45p
sin 5p + 2 cos 2g sin 2g
13.175. a) _S!"i«+g »»" =cos a tg 2a;
2 (cos a + cos 3a)
6) 2 cos P + cos Зр + cos 5g ^ CQ= qq
cos Зр + sin p sin 2g
13.176. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
2 cos2 a + cos 4a— 1
4 a . 4 a
cos __s,n -
Упростите выражение (177—178):
13.177. a) cos2 a + cos2 p —cos (a+ p) cos (a —P);
6) sin2 a + sin2 p + cos (a + p) cos (a —P).
13.178. a) cos2 (a—sin2 (a—;
6) sin!(p+§)-cos!(p+.Z§).
13.179. Докажите, что tg 30° + tg 40° + tg 50° + tg 60° = 8cos.20° .
л/З
13.180. Верно ли равенство
0,5 sin 40° —cos 30° + cos 20° cos 10° = 2 y/3 sin2 20° cos 20°?
13.181. Докажите, что
sin2 (y-+a ^ — sin2 —a ) — sin ■fjcos('j|'+2a ) = s>n 2a.
13.182. Верно ли равенство
cos2 73° +cos 47° cos 73° +cos2 47° = 0,75?
sin Г2a—?-) — втГга+Д-)
13.183. Найдите у , если sin a — cos a = t.
«.(+«)
При каких значениях t условие задачи не имеет смысла?
13.184. Известно, что 2 sin2 a + 3 cos2 а = Ь. Укажите допусти¬
мые значения параметра Ь и найдите произведение
C0S ("з~а ) cos (^+а ) '
13.185. Известно, что cos2 2р+(2а — 5) sin 2р+ 10а—1=0.
Укажите допустимые значения параметра а и найдите
произведение sin (-у+Р ) sin (“f ~Р ) •
200
13.186.
13.187.
13.188.
13.189.
13.190.
13.191.
13.192.
13.193.
13.194.
13.195.
13.196.
13.197.
13.198.
13.199.
13.200.
13.201.
Вычислите значение выражения (186—191):
co»,lla±3co5_9q + 3co»7q + co85q если c0Sa = _L.
cos 8a 3
cos 2a —cos 6a, если cos a=4r.
л/З
n
sin 5a —sin 3a, если sin a=—.
cos 3a — cos 5a, если cos a= 1
V5
л/3
cos 8a + cos 6a+ 2 sin 5a sin 3a, если sin a= —— .
л/З
cos 12a —cos 6a —2 cos 7a cos 5a, если cos a= ——.
Vs
Найдите sin 2a cos 5a — sin a cos 6a, если sin a=a.
Найдите cos 7a cos 4a —cos 8a cos 3a, если cos a = a.
Вычислите (194-197):
a)
cos
л
24
COS
л
16
cosf
6)
sin
7it
16
sin
Зл
8
5|л^:
7л •„ 5л
16 24
16 24
a) cos 10° cos 50° cos 70°; 6) sin 20° sin 40° sin 80°.
а) cos 24° —cos 84° —cos 12° + sin 42°;
б) tg 9° —tg 63°+tg 81° —tg 27°.
а) cos-y+cos-y + cos-y;
б) cos — cos — + cos — cos — + cos — COS — .
/ 7 7 I 7 7 1 7 7
Докажите тождество (198—199):
. па . (n-\-\)a
sm -гг sin —
О о
sin a + sin 2a + sin 3a+.., + sin na=
a
Slly
. na (n+l)a
sm-j cos^ ^—
cos a + cos 2a+cos 3a + ... + cos na=
a
smy
Найдите сумму (200—201):
cos a + cos (a + (p)+cos (a + 2<jp) + ... + cos (а + лф).
sin a + sin (a + 9)+sin (a + 29) + ... + sin (а + лф).
201
ТЕМАТИЧЕСКИЕ СЕРИИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПОВТОРЕНИЯ
Серия 1. Делимость целых чисел
1. Числа а и Ь таковы, что 0<а<+. Может ли b делиться
на а? Может ли Ь делиться на а1991? Может ли а делиться на 6?
2. Число 1989 выписано подряд 1991 раз. Можно ли между
выписанными числами расставить знаки « + » и «—» таким
образом, чтобы результат был равен 10000?
3. При каких натуральных значениях п число —^ целое?
4. Может ли число 6л+ 5, где л — натуральное, при делении на
9 давать остаток 1?
5. Докажите, что ни при каком натуральном л число:
а) Зл + 2; б) 5л + 3; в) 7л + 5 не является точным квадратом.
6. Докажите, что сумма двух последовательных четных чисел не
может быть квадратом целого числа.
7. При каких натуральных значениях л число 700 ... 07 делится
, ,п нулей
на 11? 1
8. Докажите, что числа:
а) 2л —1 и 2я+1; б) 2я+1 и Зя + 2 взаимно просты.
9. Докажите, что при любом я число:
а) я4 —я2 кратно 12; б) я9 —я3 кратно 504.
10. Докажите, что при любом нечетном я число:
а) я4 + 14я2 + 49 делится на 64; б) 5" —5 делится на 24.
11. Докажите, что при любом четном я число:
а) я2 (я2 —4) делится на 64; б) 7п — 1 делится на 8.
12. Докажите, что все простые числа, большие 2, имеют вид 4k-\-1
или 4k — 1, где k — натуральное число.
13. Известно, что числа р и 4р + 1 — простые (р> 3). Докажите,
что при делении на 6 число р дает остаток 1.
14. Существуют ли в натуральном ряду четыре последователь¬
ных нечетных числа, каждое из которых — простое?
15. Три простых числа, большие 3, образуют арифметическую
прогрессию. Докажите, что ее разность делится на 6.
16. Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми ко¬
эффициентами равняться 1991?
202
Серия 2. Квадратные корни
1. Докажите, используя определение квадратного корня, что:
a) V25 = 5; б) -у/49Ф-7; в) УбЗ=И=8.
2. Вычислите:
а) У(У5-1)2+1;
б) У(У5-3)2-3;
в) У(У5-1)2+У(У5-3)2;
г) (У5-2)У9+4У5;
д) (У5-3)У14+6У5.
3. Сравните два числа:
а) УД63 и УРЗ; б) УД63 и Уо^З; в) УПбЗ и УПбЗ;
г) У2 и УЗ; д) -\/б—УЗ и 1.
4, Вычислите:
1 +-7-L^+^Lt:+-+ 1
V2+1 V3+V2 л/4+л/З лДОО+л/99
5. Постройте график функции:
а) у=л[х\ б) г/=У+; в) у=(л/х)2; г) «/=^/++7+ —2л+1;
д) у=л]х-\-2 xjx — 1 — У* — 1; е) у=л[х—2 -\jx-l —Уде — 1.
Серия 3. Квадратные уравнения
1. Докажите, что
■((*+±)’-i:=rL)-“,+‘*+‘-
2. Решите уравнение:
а) я2 = 9; е) 2л2 + Зл+5 = 0;
б) (л: — 3)2 = 7; ж) 16^ + 88*+121 =0;
в) (5л: + 7)2 = 11; з) 16л:2 — 88л:+ 121 =0;
г) 25+ +70л+ 38 = 0; и) 121+-88л+16 = 0.
д) -у*2—х~3 = 0;
3. Докажите, что если в квадратном уравнении ал2 + йл+с=0
а+й+с= 0, то jci = 1, х2=— ■
а
4. Докажите, что если в квадратном уравнении ах2 + Ьх+с = 0
а — Ь + с = 0, то xi = — 1, л2= ——.
а
203
5. Докажите, что если в квадратном уравнении ах2 + Ьх + с = О
Ь = 2т и т2^ас, то корни можно вычислить по формуле
х,18=а Где т2-ас=-5-.
а 4
6. Решите уравнение х2 —4ах —5а2 = 0:
а) относительно х; б) относительно а.
7. Решите квадратное уравнение a2 — ab — 2ас + 136с— 15с2 —
— 2Ь2 = 0:
а) относительно а; б) относительно Ь\ в) относительно с.
8. Покажите, что уравнение 2х2 —2х(1+2t/) + 4i/2 +1 =0 имеет
действительное решение только при у—-^-, и найдите это ре¬
шение.
9. Найдите все такие значения х и у, при которых выполня¬
ется равенство х2 + 4ху + 13i/2 — 61/+1 =0.
10. Докажите, что при всех натуральных значениях п уравнение
х2 — 2х— Ап— 1=0 не имеет целых корней.
11. Докажите, что при всех значениях а уравнение
х2 — (2 cos а — 3) х -+- cos2 а — 4 cos а -+- 7 = 0
не имеет действительных корней.
12. Докажите, что ни при каких значениях а уравнение
cos2x+cos х — а4 — 5а2 — 6 = 0 не имеет решений.
13. При каких значениях а уравнение (х — Зх — 4) (х2 — а) = 0
имеет ровно три корня?
14. При каких значениях а уравнение (х2 — а) (х2 + 3ах + а) = 0
имеет ровно два корня?
Серия 4. Дробно-рациональные уравнения
Решите уравнение (1 —10):
1 3*+-L = q 2 9*2~1 =0
5*-6 Зх+1
о 5х + 7 _п ,, 2 I Зх— 1 1—Зх
49 — 25х2 *-Х + х + 4~1Ь х + 4 ‘
g х2 — Зх 5х2— х — 42 g 1 | 3 2
х2 + 7х-30 х2 + 7х — 30 Зх + 2 ' 5х + 6 7х+8
7 _J^_j х _2_ о х — о г
‘ х2-9* х-1 ~~ х-3 ' ' х — 3 '
9. £!d§£±i=o 10 —(4а) х4а _ а
х — а • *_]
Серия 5. Теорема Виета
1. Не решая уравнения Зх2 — х— 1=0, найдите:
a) xi+x2; б) х,-х2; в) x2+2xix2+xl;
г) xf+xl; д) xf + 3xfx2 + 3xixl + xl; е) —;
Х\ Х2
ж) JT+JT’3) Xid+X\xr, И) -V+-V.
Х2 Х\ Х\ Х2
204
2. Составьте квадратное уравнение с корнями:
a) *i = — 3, *2 = 5; б) *i=*2=— 7;
в) xi = 3a+l, *2 = 5а — 2; г) JCj=6—-\/5» -*Сг = 6+^/5;
Д) *i =л{7—л1&, х2= —\/^+-\/б; е) у/б, *2=^7+"Д
3. Не решая квадратного уравнения Зх2 — х — 1 =0, составьте но¬
вое уравнение, корни которого:
а) противоположны корням данного;
б) обратны корням данного;
в) в 5 раз больше корней данного.
4. При каких значениях а разность корней уравнения Зх2 — х +
+ а = 0 равна 7-|-?
5. При каких значениях а частное корней уравнения Зх2 + ах +
+ 1= 0 равно 27?
6. Найдите корни уравнения, применив теорему, обратную теоре¬
ме Виета:
а) х2 — (37+а) х+37а = 0;
б) х2 —(5—л/3)х—5 л/3 = 0;
в) x2-(8-V5)x + 5(3-V5)=0;
г) х2 — (За + 5) х + (2а + 1) (а + 4)=0.
7. Решите систему уравнений, применив теорему Виета:
а) (х+у = 7, б) (х+2у = 7,
\ху = 6; \ху = 3;
в) ( х — Зу = 7, г) (х+у+ху= 11,
\ху=— 2; \ху(х+у) = 30.
Серия 6. Уравнения с параметрами.
Для каждого значения параметра а решите уравнение
(1-10):
1. |х|=а. 2. ах=3. 3. а(а—1)х=а.
4. =0. 5. х2 + ах+36 = 0.
6. ^=|1=0. 7. х2-(2а+1)х + а2 + а = 0.
8. *2-(2fl+l)* + fl2 + fl
X
0 *2— (2а Ч~ 1) х + а2 4- a q
х—3
10. *2 —(2fl+l)*+fl2 + a_Q
2 х—а
205
1.
3.
5.
7.
9.
1.
Серия 7. Неравенства с параметрами.
Для каждого значения параметра а решите неравенство
(1-9):
|* — 31 <а. 2. U —4|>а.
ах<3. 4. (а2 — 1)х>а — 1.
6‘ х + 3 '
8. *2 + а;с+9<0.
(х — 3) (х — а)<0.
*2-|-а;с+9>0.
а;с2+6;с —4<0.
Серия 8. Квадратичная функция.
Постройте график функции:
а) у=х2 — 4х — 3; б) у=х2-\-4*+11; в) у=—х2 + 3;
г) y=-jx2 — x\ д) у= — Зх2+6х— 1; е) у=х\х—2|;
ж) у— \х\ (х — 2); з) у—х2— |2я — 11; и) у= \х2—2х\+1;
к) i/= \х2 — \\ — 2х.
Найдите квадратичную функцию у = ах2-\-bx-\-c, если:
а) вершина параболы М ( —2; 3) и график проходит через
точку N(3; —2);
б) график пересекает ось Ох в точках М (3; 0) и N (7; 0) и про¬
ходит через точку К (8; 20);
в) график проходит через точки N(0; —1), /С(1; 1) и
F(-1; -5);
г) график проходит через точки М (1; 1), К (2; 13) и F (— 1; 7).
Пусть у = ах2 + Ьх + с {аф0), г/ (0)<t/ (3) и у (3)>у (5).
а) Сравните а с нулем.
б) Сравните b с нулем.
в) В каких пределах может изменяться отношение
Серия 9. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной
функции.
Найдите наименьшее значение функции:
а) у = х2 — 7; б) у = 2 (х — 5)2— 1;
в) у — х2— 4х— 1; г) у = 2х -x-j-3.
Найдите наибольшее значение функции:
3.
4.
5.
6.
206
а) у=—х2 +1;
в) у=—х2 — 8*+11;
При каком значении
у = х2 — 2х+а равно 6?
При каком
у=х2-ах-\-7 равно 6?
б) У=-(х-7)2 —3;
г) у——4х2—х — 3.
наименьшее значение
значении а наименьшее значение
При каком значении а наименьшее значение
у = ах2—2*+ 7 равно 6?
При каком значении а наибольшее значение
у — ах2-\-(а — 3) *+ 1 равно 4?
функции
функции
функции
функции
7. В фигуру, ограниченную параболой у = 4—х2 и осью Ох,
поместили прямоугольник, две вершины которого лежат на па¬
раболе, а две — на оси Ох. Найдите наибольший из пери¬
метров этих прямоугольников.
8. Фигура ограничена параболами у—х2 — 4х — 7 и у=— х2 + 9.
Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси Оу и
лежащего внутри данной фигуры.
9. Фигура ограничена параболой у=х2 и прямой у = 2х + 3.
Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси Ох
и лежащего внутри фигуры.
Серия 10. Решение квадратных неравенств.
1. Решите неравенство:
а) х2 — Зх — 4>0; б) х2 — 5х—6^0; в) х2^16;
г) х2 — 7х+ 143>0; д) х2-17х-143<0; е) х2-18х+81 >0;
ж) х2—18х + 81 ^С0; з) (3 — 5х) (х +11)<0.
2. Решите неравенство:
а) |х2— 7х+5|^С5; б) |х2— Зх| ^х;
в) |х2 —Зх|>х; г) |х2 —4х +11 < |х2 —11.
3. При каких значениях параметра а неравенство х2—-Зах +
+ 1>0 выполняется для всех действительных х?
4. При каких значениях параметра а неравенство ах2 + 5х +
+ 3>0 выполняется при всех положительных х?
5. При каких значениях параметра а неравенство ах2 +
+ (3а2—1)х—3>0 выполняется при х=1?
6. При каких значениях параметра а все решения неравенства
х2 — Зх — 4<0 являются решениями неравенства х2 — а<0?
7. При каких значениях параметра b все решения неравенства
х2 — 5х + 4^0 являются решениями неравенства х —Ь2>0?
Серия 11. Графики функций.
1. Постройте график функции:
а) у—х2\ б) в) у= |х|; г) у=хъ- д) у=л[х\
е) У=Чх\ ж) г/=4г; з) г/ = Л/1 — *2-
2. Постройте график функции:
г) t/=Vx2 + 4x + 4 — 2; д) г/=д/4х2 + 4х+ 1 +21х|.
3. Постройте график функции:
д) у= |х2 — 6х+3| — 3;
а) у = х2 — бх + 3;
в) у = х2 — 6|х| +3;
б) у= |х2 — 6х+3|;
г) у= |х2 — 6|х| +3|;
е) у= |х| (х —6)+3;
и) у= \х2 — 5х| +х— 3;
ж) у = х\х—6|+3;
з) у=х2 — 5х+ |х — 31;
к) у= | х — 21 (| х | —3)—3.
207
4. Постройте график функции:
з) !/“7+2; б> У=~* 3’ В) !'=1Ь-+1; Г) «НЙ1
Д) у-If5fb е> ; ж> »“lTTi^ll;3> у-'-^г-
и)*/=ЙЙ1; К> У=\Х--^\+^±-
5. Постройте график функции:
а) у=д/х—2; б) t/=i/UI — 3;
в) 1/ = д/5-—х; г) 1/=д/х+2 д/х— 1;
Д) у=л[х—2л^с—Т; е) 1/=-\/х + 2 д/х—1 + д/х —2 д/х — 1.
Серия 12. Замена переменной при решении уравнений.
1. Решите уравнение:
а) х4 —5х2-|-4 = 0; б) 7х4 —х2 —6 = 0; в) Зх4 —5х2 + 2 = 0.
2. Решите уравнение:
а) (5х2+х—I)2 —(5х2+х—1) —2 = 0;
б) (Зх2—х—I)2—18х2 + 6х—1 =0.
3. Решите уравнение:
а> (*+т)!-5(*+т)+6=0;
б) *! + 5*+8 + -5-+-?=0;
в) х4—5х3+8х2 — 5х+ 1 =0;
г) 10х4-29х3 + 30х2-29х+10 = 0.
4. Решите уравнение:
а) (х—1)(х+1)(х —3)(х + 3)= 105;
б) х(х+1)(х+2)(х + 3) = 3.
5. Решите уравнение:
а) х2 +1 + ^2™-=5,2;
Зх + 7 . 5х — 1 __ г р.
' 5x-l'3x + 7 ’ ’
, х2 + 5х-\ | 2х 1 —со-
В) 2х— 1 + *2+5*-1
. 2х2-5х + 4 . 15л:—10 с
Г> — + 2/-5, + 4=6;
Д> (2-тйтг)+(2+^тёт)г=8-
6. Решите уравнение:
а) х2—х (2а2 — а+2)+а4 — а3 — 4а2 — 11а —3 = 0;
б) х4—х3 —2х2 (2 + а)—х (11 — а) + а2 — 2а — 3 = 0.
208
1.
2.
3.
4.
5.
9
Серия 13. Системы уравнений.
Решите систему уравнений:
а) гЗх + 5«/=11, б) г Зх + = 20,
j 2х— Зг/ = 17; |бх+10г/ = 7;
в) f 20х — 15г/ = 51,
При каких значениях а система уравнений (ах — Ъу — а
( zvx —
| 4х — Зу = 10,2.
г ах — Ъу — а
{ 2х-\0у = 2
Ъх— 12г/ = 60,
4.
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений;
в) имеет бесконечное множество решений?
Решите систему уравнений:
а) (х-\-2у = 3, б) (Зх+4у=12, в) (Ъх— \2у-
\ х2 — 3хг/ + 5г/2 = 3; ( х2 + У =5,76; | х2+у2 =
При каких значениях а система уравнений (7х — 24i/=168
х -(- у а
а) имеет два решения;
б) имеет одно решение;
в) не имеет решений?
Решите систему уравнений:
6.
а) гх=3у,
\ х2 -)- Ъху + 7у2 = 31;
в) г х2 — 5хи + 4ы2 = 0;
| х2 + Зху + г/ == 5;
Решите систему уравнений:
а) ( x + y + z + u = 7,
х-\-у -\-z-\-t= 11,
J хуи-\-1 = 5,
х -j- z -j- и -f-1 = — 13,
t/ + z-j-u-j-f = 4;
в)
б)
б) ( 2х — 3у = 0,
| х2 + Зху + Ъу2 = 47;
г) г х2 — Зх«+ и2 = 5,
{ 2х2 -\-ху — 2у2 = — 1.
-1+1/-1+2-1 + «“1 = 7,
+у-'+г~!+Г = 11
-1.
-5,
+2-'+м-1+Г1 = -13,
+ z-'+«-1+r1=4;
7.
xt/z = 1,
xyt = 2,
xtz = i,
у zt = 27.
При каких значениях а, 6, с график функции I/= ах2 + йх + с
проходит через точки М(1; —3) и N (6; —48) и имеет с
осью абсцисс одну общую точку?
При каких значениях а и b выражения -х*5х~J и 3-
xi — 4х — 5
*+1
+
равны при всех допустимых значениях х?
При каких значениях а система уравнений
( у2+2у (2+х)+(х2 + 2х) (4—х2)=0;
[ у — ах—3а = 0
имеет не менее трех различных решений?
8 М. Л. Галицкий
209
Серия 14. Арифметическая прогрессия.
1. Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрес¬
сии, если а2 — 7, а4 = 11-
2. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прог¬
рессии, если а5 + а6=Ц.
3. Найдите наибольшую из возможных сумм п первых членов
арифметической прогрессии, если ai = 137, аг = 121.
4. Найдите последовательность общих членов двух арифмети¬
ческих прогрессий —7, 11, 29, ... и —3, 11, 25, ... .
5. Докажите, что если сумма первых п членов последователь¬
ности задается формулой S„ = 3n2 + 5n, n£N, то эта после¬
довательность является арифметической прогрессией.
6. Докажите, что если сумма первых п членов последователь¬
ности задается формулой Sn = 2n2 + 7n + l, n£N, то, начиная
со второго члена, эта последовательность является арифмети¬
ческой прогрессией.
7. Пусть а\, а2, ..., а„ — арифметическая прогрессия, ai=a,
an = b [а> 0; 6> 0). Выразите через а, 6 и п сумму
Vo7 + V“2 л/а~,+л[а„
8. Может ли среди членов бесконечной арифметической прогрес¬
сии быть:
а) ровно одно целое число;
б) ровно два целых числа;
в) ровно одно иррациональное число?
Серия 15. Геометрическая прогрессия.
1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прог¬
рессии, если:
а) Ь2 — 7, Ьъ= — 1; б) 63 = 2; 65 = 8;
в) Ь17= — 131, Ь 185 = 243; г) ( 62 + 63 = 7,
| 63 + 64 = 49.
2. Между числами 5 и 25 вставьте еще семь членов геометри¬
ческой прогрессии.
3. При каких значениях а корни уравнений х2 — 5х + 4 = 0
и 2х—а = 0 различны и составляют геометрическую прогрес¬
сию?
4. При каких значениях а корни уравнений х2 — 5х + а = 0
и 4х—1=0 различны и составляют геометрическую прогрес¬
сию?
5. Пусть числа а,, а2, ... составляют бесконечно убывающую гео¬
метрическую прогрессию со знаменателем q. Выразите через
а\ и q:
а) а\ + аг + Дз + ...; б) а2 + а1 + а| + ...; в) а? + аг + Яз + ... •
210
6. Пусть числа а\, а2, ап составляют геометрическую прогрес¬
сию. Выразите через а\, п и q сумму:
а) а? + Ч-...
б)
а 1 ач ап
в) (°i + 1)2_Ь(а2_1_ 1)2 + ---+(ал+1)2;
г) (ai+i:) +(fl2+i) +-+(an+i:)2-
7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если одно
из них удвоить, то эти числа, взятые в том же порядке, об¬
разуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если
первое из них равно 1.
8. Три числа составляют арифметическую прогрессию, сумма ко¬
торой равна 12. Если одно из них удвоить, то эти числа,
взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрес¬
сию. Найдите эти числа.
9. Два положительных неравных числа являются первым и треть¬
им членами арифметической и третьим и первым членами гео¬
метрической прогрессии. У какой из этих прогрессий сумма
трех первых членов больше?
10. На графике функции у=х2 взяты три точки, абсциссы ко¬
торых составляют геометрическую прогрессию. Составят ли
геометрическую прогрессию их ординаты?
11. На графике функции у = х2 взяли три точки, абсциссы
которых составили арифметическую, а ординаты — геометри¬
ческую прогрессию. Докажите, что по крайней мере одна из
этих точек не имеет рациональной абсциссы.
Серия 16. Тригонометрические выражения.
1. Найдите тригонометрические функции угла а, если:
a) sina=—|-, л<а<-у; б) cos а= —-Ц-, -2-<а<л;
в) tg а = 2 д/2, 0<а<-|-; г) ctg а= —2 д/б,-у<а<2л.
2. Постройте на единичной окружности точки, указав их коор¬
динаты:
а) Я^, Я,,,;
6 “в 6 1Г
б) я». Я^,, Р^, Р
3 “з 3 3
В) Я,, Рзп> Ры’ ■
4 4 4 4
211
3. Пусть а — угол I четверти. Постройте на единичной окруж¬
ности точки, соответствующие углам:
а) а, л —а, л + а, у—а, -у —а.
б) а+2л6, k£Z;
в) ±а+2лп, n<£.Z\
г) а+лт, m^Z;
д) (—1)ла + лп, n£Z;
е) , n6Z.
4. При каких значениях а число у является корнем уравнения
3 cos 6х + 2 sin 5х + 5 cos 4х —3 sin Зх + 2 cos 2х —sin2 х = а>
5. При каких значениях а и b числа -у и -у являются корня¬
ми уравнения a cos2 3x-\-b cos 4x = sin2 х?
6. Решите неравенство:
а) xcos8>cos8;
б) х2 — х (cos 4 + cos 3) + cos 4 cos 3 С0.
7. Постройте график функции:
а) y = sin2 x+cos2 х;
б) y = sin2 (ctg x) + cos2 (ctg x);
n\ ,,— siiлх_.
B) У- |sin x\ '
r) y = tgxctgx.
8. Вычислите:
a) sin -£■ sin — sin ^ ... sin ~~ ,
’ 36 36 36 36
6> cost+cosf+cosS+-+cosfL=
B)
D ctgf+ctgf+... + ctg^.
а) Задайте на микрокалькуляторе любое число. Найдите его
синус, найдите синус того, что получится, и т. д. На каком
шаге и на каком значении перестали меняться показания?
Почему?
б) То же с косинусом.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБОБЩАЮЩИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Работа 1
1. Упростите выражение
У2 (х — а)
2х—а
JL
-У
fa ' ' 2 л/а ' -I
/2х + -\/а ' '2 -/а
2. Автомобиль, идущий со скоростью 100 км/ч, выехал из пункта
А в пункт Вив пункте С встретился с велосипедистом,
выехавшим на полтора часа раньше из пункта В в пункт А со
скоростью 10 км/ч. Если бы скорость автомобиля была на
20 км/ч больше, а скорость велосипедиста на 5 км/ч больше,
то встреча произошла бы на 10 км ближе к пункту А. Найдите
расстояние от В до С.
3. Найдите cos а, если cos(60° + a) =—|-, 120°<а<210°.
4. Докажите, что при всех натуральных п, начиная с 5, 2П>п2.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскос¬
ти соотношением 2 (3 — 2х)~^ \у — х2\ + \у-\~х2\.
Работа 2
1. Упростите выражение
1
1-2 ,
1
*2 \[х(1
1+(V*+1)2(1-V*)“2 *2 V* (1 —V*) 2V*(1+V*)J 2 л/х — 2х л]х
2. Если велосипедист и мотоциклист выедут одновременно из
двух пунктов навстречу друг другу, то они встретятся через
1 ч 20 мин. Если они выедут одновременно в одном направле¬
нии, то мотоциклист догонит велосипедиста через 4 ч. Найди¬
те отношение скорости мотоциклиста к скорости велосипе¬
диста.
3. sin , -2-<а<я. Найдите л/З sin 2a + sin
4. Докажите, что ^Ч-.+ (2._,f№,+ „ -
5. Решите уравнение
(w+2+^-^)(w+2+^-vr)-0'
213
Работа 3
1. Вычислите .2°У1 i~*2 при *=_!_/-»а>0, Ь>0.
x+VTT? к 2 V V ь V а /
2. Если второй каменщик начнет работу на 4,5 дня позже пер¬
вого, то на всю работу уйдет 21 день. За сколько дней
каждый из них может выполнить эту работу один, если у пер¬
вого на это уйдет на 9 дней больше, чем у второго?
3. Упростите выражение
I tg (а + л) I sin4 (-f-+« ) — ctg (л — а) sin3 а л]\ — cos2 (я + а).
Найдите его значение для каждого натурального п, если
а=тИ-тя-
4. Докажите, что 1Г+2 + 122"+| делится на 133, где n£N.
5. Решите уравнение l-f-3a~3 = 5(2a-f-i)(i—а) ^
д: —а (х—а) (х—За-f 1)
Работа 4
1. Упростите выражение 1)-otj(x+1)-o.5 ПРИ ЛГ=£^1-гДе
0<a< 1.
2. Три бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую ра¬
боту за а дней. Если сначала будет работать в течение двух
дней одна первая бригада, а затем в течение одного дня вторая
и третья, то выполненной окажется -i- работы. За какое время
О
может выполнить всю работу одна первая бригада? При
каких значениях а задача имеет решения?
3. Упростите выражение
2 cos2 2a—-/3 sin — 1 s'n (4(а~^“‘Д ))
2 cos2 ^2a-)—^ sin 4a — 1 5'П(4(й_“))
и вычислите его значение, если это возможно, при a=-j-\
4. Пусть члены последовательности вычисляются по формуле
а„ = (2я-1-1)'3\ Докажите, что сумма первых п членов после¬
довательности вычисляется по формуле S„ = n*3"+I.
5. По двум взаимно перпендикулярным шоссе начинают двигать¬
ся по направлению к их пересечению две машины. Первая
машина находится от места пересечения на расстоянии 60 км
и движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — на расстоя-
214
нии 40 км и движется со скоростью 30 км/ч. Через какое
время расстояние между машинами станет минимальным?
(Проехав место пересечения шоссе, каждая машина движется
дальше.)
Работа 5
1. Упростите выражение
[(1-х2)“т + 1 + Ц J 2;(2—х2 — 2 л/Т-^х2).
2. В двух сосудах по 5 л каждый содержится раствор соли.
Первый сосуд содержит 3 л р%-ного раствора, а второй —
4 л 2р%-ного раствора одной и той же соли. Сколько литров
надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы получить в
нем 10%-ный раствор соли? При каких значениях р задача
имеет решение?
3. Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
sin2 ll° + sin2 131°-(-sin2 109°.
4. Докажите, что произведение любых четырех натуральных чи¬
сел, являющихся последовательными членами арифметической
прогрессии, сложенное с четвертой степенью разности этой
прогрессии, есть полный квадрат.
5. Решите неравенство 11д;~9 ~^х.
* + 5
Работа 6
1. Упростите выражение
/ 1 у V 2mx / m— 1
\ т + х/
2. Двое рабочих, работая одновременно, выполняют некоторую
работу за 15 мин. Сколько времени потребуется второму рабо¬
чему, чтобы одному выполнить эту работу, если известно, что
один первый рабочий выполнил бы эту работу на т часов
быстрее, чем второй?
3. tga=—5-, -2-<а<я. Найдите: 1) sin-^-; 2) sin 2a;
о z 2.
о \ sin a + 3 cos a
5 sin a+ 3 cos a
4. Найдите такие целые числа пит, чтобы 7« + 3m = 87,
а их сумма была наименьшей и положительной.
5. При каких значениях а корни уравнения х2 — 5х — 6 = 0
перемежаются с корнями уравнения х2 — (8 — 5а) х — а—9 = 0?
215
Работа 7
1. Упростите выражение
4 ' х -^x—^ja'
2. Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и 60 км по
течению реки, затратив на путь против течения на 50 мин
больше, чем на путь по течению. Найдите скорость течения
реки, если скорость лодки в стоячей воде 21 км/ч.
3. Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
л 2л 4л
COS — COS — COS — .
4. Если к четырем последовательным членам арифметической
прогрессии прибавить соответственно 7; 1; —3; —6, то полу¬
чим четыре первых члена бесконечной геометрической прогрес¬
сии. Найдите ее сумму.
5. При каких значениях а множества значений функций у = ах2 —
— 4х — 3 и у = х2-\-2ax—6 совпадают?
Работа 8
1. Упростите выражение +Уа,т~*_ при х= , а>0,
-yja-\-x—-yja—х b ~М
0<6<1.
2. Если двузначное число разделить на некоторое целое число,
то в частном получится 4, а в остатке 6. Если же в делимом по¬
менять местами цифры, а делитель оставить прежним, то в
частном получится 3, а в остатке 9. Найдите первоначаль¬
ное двузначное число.
3. Докажите, что выражение smbx — не Принимает
1 —2 sin —
значения ни при каких значениях х.
4. Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрес¬
сии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше
суммы четвертых степеней ее членов. Найдите второй член
прогрессии.
5. Решите систему уравнений г 7х2-\-Зху-\-8у2 = 6,
\х2+ху+у2 = 1.
216
Работа 9
1. Упростите выражение
2. Двое рабочих, работая последовательно один за другим, вы¬
полнили некоторую работу. Первый работал того времени,
которое необходимо второму для выполнения одному всей ра¬
боты. Если бы они работали вдвоем одновременно, то окончи¬
ли бы работу на 6 ч 40 мин раньше, причем первый выполнил
бы -g- той работы, которую на самом деле сделал второй. За
сколько времени каждый из них в отдельности мог бы выпол¬
нить всю эту работу?
3. Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
8 cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°.
4. Сумма первых п членов некоторой последовательности выра¬
жается формулой Sn = 5n2 — 7п-\-3. Докажите, что члены этой
последовательности, начиная со второго, образуют арифмети¬
ческую прогрессию.
5. Найдите площадь фигуры, заданной соотношением
|3x-5| + |2t/ + 7|<6.
Работа 10
1. Упростите выражение
(т/а+У<>)2 — 46 . а + 96 + 6 Vafe
(а—Ь) (й~°'5 +За-0'5)^1 ' й-0,5 + а~0'5 '
2. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 ч. Определите,
за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдель¬
ности, если известно, что из первой трубы в час вытекает
на 50% больше воды, чем из второй.
3. Найдите множество значений выражения
tg a cos a + ctg a sin a.
4. Найдите наименьший и наименьший по модулю члены после¬
довательности a„ = 3«2—118«+115.
5. Для каждого значения а решите неравенство > 1.
217
Работа 11
1. Решите уравнение
(х — 1) l/x2 — X — 6 = 6х — 6.
2. Решите неравенство
V8 — 2х—x'J ^ -/8 — 2Х—Х1
х+10 2х + 9
3. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг
другу из пунктов А и В соответственно, расстояние между
которыми 56 км. Через 2 ч они встречаются и без останов¬
ки продолжают двигаться в прежних направлениях с прежней
скоростью. Определите скорость каждого велосипедиста, если
первый прибыл в В на 1 ч 10 мин раньше, чем второй при¬
был в А.
4. Найдите sin а и sin р, если sin (а-|-р)=-|-, sin (а — Р)=-^-
Э 10
и 0<|3<а<-^-.
5. Упростив выражение для f (х), постройте график этой
функции:
f(х)=(( I in2 "ГУ Х~1 I Л
\\ л]х-\-2-\-^х — 2 -*Jx'2 — 4 — x-\-2 ) \2(-i/J-)-l) / -/х-fl/
Работа 12
1. Докажите методом математической индукции равенство
1 -2 + 2-5 + . ..+п(Зп-1) = п2(п+1).
2. Решите неравенство
Iх—101 |х—101
х2 — Зх — 2 ^ х2 — 4х — 5
3. Найдите a + р, если tg а =-^-, tg р=-^- и 180°<а -+- Р<360°.
4. Дорога из села в город сначала идет в гору, а затем под
уклон. Велосипедист проехал этот путь за 5 ч, а обратно
за 5 ч 30 мин. Определите расстояние от города до села, ес¬
ли путь в гору (от села) на 30 км меньше спуска, а скорость
на спуске на 5 км/ч больше, чем на подъеме.
5. Упростите выражение
л/б —2л/6(5 + 2л/6)(49 - 20л/6)
-/27-3 VI8 + 3 УТ2-У8
218
Работа 13
Найдите площадь фигуры, заданной неравенством
U-3|+2M<6.
Три первых члена геометрической прогрессии являются пер¬
вым, четвертым и двадцать пятым членами возрастающей
арифметической прогрессии. Найдите эти числа, если их сумма
равна 114.
Найдите cos-^cos%, если sina=— , и-^<а<2я.
4 4 7 2
Упростите выражение
(-J=-V2a+ 1 ) F==)X
\^2а^Т J \л/2а+1 У2а-1 /
/ У2а + 1 -л/4111— 1 1
\ (2а —1)У2а+1 —(2a+l)V2a-l /
Смешали 30%-ный и 10%-ный раствор соляной кислоты и
получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взято?
Работа 14
От пункта А до пункта В по реке 24 км. С какой скоростью
должна идти лодка, чтобы на путь туда и обратно затратить
не менее 7 и не более 10 ч, если скорость течения 1 км/ч?
(В ответе укажите скорость лодки в стоячей воде.)
Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
sin 20° cos 10° cos 60° + cos 160° cos 100° sin 150°
sin 21 ° cos 9° + cos 159° cos 99°
В сберегательный банк поместили некоторую сумму, и че¬
рез 2 года она возросла на 512 р. 50 к. Сколько денег
было положено в банк, если вкладчикам выплачивается 5% го¬
довых?
у2 I о „ о
Докажите, что все решения неравенства х2 2х—явля¬
ются решениями неравенства 12~}’о'+25
Девятый и девяносто второй члены некоторой арифмети¬
ческой прогрессии являются соответственно семьдесят третьим
и пятым членами другрй арифметической прогрессий. Найди¬
те отношение разности первой прогрессии к разности второй
прогрессии.
219
Работа 15
1. При каких значениях а все решения неравенства х2|— 1^0
являются решениями неравенства д:2 -(- алг — 11 ^ 0?
2. Сложили три различных четырехзначных числа, записанных
одними и теми же цифрами. Докажите, что данная сумма
всегда делится на 3.
3. Двое рабочих изготовляют вместе за 8 ч 136 деталей.
Если бы первый рабочий делал на 2 детали в час меньше, а вто¬
рой на одну деталь больше, то на изготовление одной детали
второй рабочий тратил бы на 4 мин меньше, чем первый.
Сколько деталей в час изготовляет первый рабочий?
4. Найдите cos 2а, если 2 ctg2 а + 7 ctg а + 3 = 0 и -^<а<2л.
5. Решите уравнение
1 Зх — Зх2 - ^-+\4-х\=Зх\4-х\ * Ь4.
\jx —1 л/х — 1 л/х— 1
Работа 16
1. Решите неравенство —•
За а _ . а г=
cos-2 +c()Sir + Zsin-g-VS лг
2. Найдите , если sina=—^ и
2cos|
n<a<f.
3. На заводе рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько
процентов нужно повысить производительность труда, чтобы
количество продукции за день работы увеличилось более чем
на 5%?
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 64, а
сумма ее первых трех членов равна 65. Найдите третий
член прогрессии.
5. При каких значениях а система уравнений г Зх —2у=а, име-
{*2 + /= 9
ет единственное решение?
Работа 17
1. Решите неравенство ——I—— ^2.
г х+1 х + 2
2. Из точек А и В, расстояние между которыми по прямой рав¬
но 1 м, начинают одновременно двигаться в одном направле¬
нии два тела. Первое тело движется с постоянной скоростью
220
из точки А, а второе — с начальной скоростью 16 м/с и с
некоторым постоянным ускорением. Известно, что через 1 с
после начала движения второе тело находилось от точки А на
расстоянии не большем, чем 15 м, а еще через 1с — не мень¬
шем, чем 25 м. Определите скорость первого тела, если через
3 с после начала движения расстояние между телами соста¬
вило 2 м.
3. Докажите, что для углов любого треугольника ABC справед¬
ливо равенство sin A + sin B + sin С = 4 cos -y-cos -f-cos —.
4. Докажите, что
5. Найдите tg а, если 6 cos2 а + sin а — 5 — 0 и —|~<а<0.
Работа 18
1. Упростите выражение
2. Перемножили все двузначные числа. На какую наибольшую
степень числа 3 делится это произведение?
3. Пусть sin ex=-i-, sinp=-^r, siny =—et<я,
3 r ViT 3-/П 2
-y< р<л, -~-< у < л. Найдите:
a) sin (a + P+v); 6) a + P + V-
4. Двум бригадам общей численностью 18 человек было поручено
организовать в течение трех суток непрерывное круглосуточное
дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежурили
члены первой бригады, распределив это время между собой по¬
ровну. Известно, что во второй бригаде 3 девушки, а осталь¬
ные юноши, причем девушки дежурили по 1 ч, а остальное
время юноши распределили между собой поровну. При подсче¬
те оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каж¬
дого юноши второй бригады и любого члена первой бригады
меньше девяти часов. Сколько человек в каждой бригаде?
5. Вершины М и F прямоугольника KNFM лежат на оси
Ох, а К и N — на параболе у = 1 — 0,25а:2. Длина диагонали
Найдите площадь прямоугольника.
221
Работа 19
1. Пусть а——=JLs/L. Найдите а4-|—^
а 7 а
2. Найдите два натуральных числа, разность кубов которых
равна 127.
3. Величины углов образуют арифметическую прогрессию 5°; 10°;
15°; ... . Какое наименьшее число членов этой последователь¬
ности, начиная с первого, надо взять, чтобы сумма их коси¬
нусов была равна нулю?
4. Постройте график функции у=- 2х ■ .
I х 11 I % “i 11
5. Решите неравенство х2 — (У5+у/2) x + 'V800<0.
Работа 20
1. Докажите, что sin-||2-+cos-||^-<-\/2.
2. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить
не более 1 р. 40 к. Тетрадь в клетку стоит 3 к., в линейку —
2 к. Число купленных тетрадей в клетку не должно отличаться
от числа тетрадей в линейку более чем на 9. Необходимо ку¬
пить максимально возможное суммарное количество тетрадей,
при этом тетрадей в линейку нужно купить как можно меньше.
Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку можно купить
при указанных условиях?
3. При каких целых значениях а неравенство 4х ~~х№~9№— >0
х+Зх+7
выполняется при всех х?
4. Даны прогрессии 0; 5; 10; 15; ... и —2; 5; 12; 19; ... . Найдите
сумму десяти первых чисел, являющихся их общими членами.
5. Постройте график функции у = \х2 — х\—3х.
ТЕКСТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ ДЛЯ IX КЛАССОВ
С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
1991 год
Вариант 1
1 и ” 25,33— 13,73 . ,от 0г о
1. Наидите значение выражения —--у— :—(- 13,7• 25,3.
2. Решите уравнение 11 _4 = 1 •
3. Решите неравенство (*—2)+3^0.
4. Докажите утверждение cos (17° +g)—sin(ioo —,а)_2
J r sin (280 — а)
5. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч быстрее
другого. Найдите скорость каждого поезда, если известно,
что первый проходит 240 км за то же время, что второй
проходит 200 км.
Вариант 2
1. Выполните действия 82,611^у——82,6-31,6.
7 I х
2. Решите уравнение i~_|/j[_6= ~ 1-
3. Решите неравенство . , *
г (х + 3) (х — Ъх + 10)
4. Докажите утверждение -1П (29° + F°s.,.(?40 _2.
sin (110 +а)
5. Расстояние, равное 840 км, один из поездов проходит на 2 ч
быстрее другого. В то время как первый поезд проходит
63 км, второй проходит 54 км. Сколько времени тратит каждый
поезд на прохождение этого расстояния?
1993 год
Работа 1
3 , 2
Вариант 1
1. Решите уравнение — - + - т=——.
х2—2х+1 1 — х2 х+1
2. Докажите утверждение sin 10° cos 20° cos 40° = 1.
3. Упростив выражение, сравните полученное число с нулем:
(2 Д/б-5)2-10Д/49-20д/б +1.
х2-\-2х—1 при х<1,
4. Постройте график функции у = > 4 , и, ис-
——г при 1
Х+ 1 г —
223
пользуя его, определите область значений функции и все це¬
лые значения, принимаемые функцией ровно в двух различ¬
ных точках.
5. Два пешехода идут с постоянными скоростями навстречу
друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми
15 км. Второй вышел из В на 1 ч 15 мин позже, чем первый из
А, и до встречи находился в пути 45 мин. Прибыв в В, первый
пешеход сразу повернул обратно. Какова скорость первого пе¬
шехода, если в Л он пришел одновременно со вторым пеше¬
ходом?
6. Найдите наибольшее с, при котором система
2. Докажите утверждение 4 cos 36° cos 72° = 1.
3. Упростив выражение, сравните полученное число с нулем:
используя его, определите область значений функции и все це¬
лые значения, принимаемые функцией ровно в трех различ¬
ных точках.
5. Из пункта М в пункт К, расстояние между которыми 260 км,
одновременно выехали автомобиль и автобус. Доехав до К,
автомобиль сразу повернул обратно и встретил автобус через
4 ч после своего выезда из М. Найдите скорость автобуса,
если он прибыл в К на 1 ч 18 мин раньше, чем автомобиль
в М. (Скорость автомобиля и автобуса считать постоянными.)
6. Найдите наименьшее а, при котором система уравнений
х2 — 2 ху + 3 у2 = 6.
х — 2 у = с
имеет хотя бы одно решение.
В а р и а нт 2
1. Решите уравнение
4
6
л^ + бх + Э 9 — х2 х—3 ‘
(4-ЗД/2)2 + 8 Д/34-24 д/2 -2.
4. Постройте график функции
и,
хотя бы одно решение.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
В а р и а нт 1
Работа 2
1. Упростите выражение
224
х — 3 -|— х-\-2-\—
X X
4. При каких значениях п сумма первых п членов арифметиче-
ской прогрессии 7; 11; ... не превосходит 375?
5. При изготовлении первой партии деталей мастер в течение
1 ч работал один, после чего к нему присоединился ученик,
и через 4,5 ч после начала работы мастера работа была вы¬
полнена.
При изготовлении второй партии деталей, в 1,5 раза боль¬
шей, чем первая, ученик начал помогать мастеру через 40 мин
после начала работы последнего. По окончании работы выяс¬
нилось, что мастер изготовил в 2,6 раза больше деталей, чем
ученик. Считая производительности мастера и ученика посто¬
янными, определите, за сколько часов мастер, работая один,
изготовит первую партию деталей.
6. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую
неравенствами 2х2-|-4х—1 и х + у^2, и аналитически
найдите такое р, при котором отрезок прямой х — р, лежащей
внутри области, имеет наибольшую длину.
3. Решите уравнение + х — 2)(х2-|-х—12)= 144.
4. При каких значениях п сумма первых п членов арифметиче¬
ской прогрессии 19; 13; ... не меньше —240?
5. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, а в тот момент време-
Встреча между ними произошла через 1 ч 30 мин после выез¬
да велосипедиста. Если бы велосипедист выехал из В спустя
2 ч после выхода пешехода из А, то к моменту встречи он про¬
делал бы расстояние в 1,4 раза большее, чем пешеход. Считая
скорости пешехода и велосипедиста постоянными, найдите
время, за которое пешеход пройдет расстояние от А до В.
6. Изобразите на координатной плоскости область, занимаемую
неравенствами у — 2x^5 и у + х2-)-4х0, и аналитически
найдите такое а, при котором отрезок прямой х=а, лежащей
внутри области, имеет наибольшую длину.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
В а р и а нт 2
ни, когда он прошел — пути, из В в Л выехал велосипедист.
О
225
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
S 1
1.1. 2. 1.2. 69. 1.3. —140,6. 1.4. — 1 -I-. 1.5. 1. 1.6. 36 4-• 1.7. 24,875. 1.8. 25.
1.9. 5. 1.10. е) — ; ж) jg ; з) А. 1.17. 100 ... 0200 ... 01. 1.18. 99_.J1800_._01.
п раз п раз п~ 1 раз п — 1 раз
1.19. а) 4 и 5; б) 24 и 25; в) 375 и 376; г) таких нет. 1.20. а) 12, 23, 34, 45, 56, 67,
78, 89; б) 81, 92; в) 12, 24, 36, 48. 1.21. а) 2893; б) 4000; в) 4001. 1.22. 555000;
500055. 1.24. г) 301; д) 2408; е) 2017. 1.25. а) 7; б) 3,5; в) 47; г) 18. 1.26. а) 2 — ;
8 199
б) 2^; в) 7^. 1.27. а) 12; б) 9, 3, 1, 5. 1.28. а) 240 км; б) 40 км/ч; в) 10 ч;
г) 48 км/ч. 1.29. На расстоянии 4 км от А. 1.30. а) 6; б) 2; в) 2; г) 1776; д) да.
1.42. г) |а| = 1, ЬфО; з) а>0, 6 = 0; и) а<0, 6<0. 1.43. 12,5%. 1.44. 1300 г.
1.45. Снизилась на 4%. 1.46. Снизилось на 4%. 1.47. Они равны. 1.48. —2, 1.
10 2
1.51. —уу. 1.56. 0,625. 1.57. Нет решений. 1.59. 1 у. 1.60. —2,25. 1.61. а) За
2
1 день; б) за 3 у дня; в) одинаково; г) 22 р. 50 к.— Пете, 15 р.— Коле, 7 р. 50 к.—
Васе; д) 33 р. 75 к.— Пете, 7 р. 50 к.— Коле, 3 р. 75 к.— Васе; е) 15 р.— Пете,
25 р.— Коле, 5 р.— Васе; ж) 18 р. 75 к.— Пете, 12 р. 50 к.— Коле, 13 р. 75 к.—
Васе; з) 13 р. 50 к.— Пете, 24 р.— Коле, 7 р. 50 к.— Васе.
S 2
2.1. а) 2а; б) 46; д) а3; ж) 65 — 32. 2.3. а) 8; б) - 1. 2.4. а) {а2-а— 1) (а2-а + 1).
Указание, а4—2а3 + а2— 1 =(а2 — а)2—1; б) (62 — 6— 1)(62 + 6+1). Ука¬
зание. 64 —62—26 — 1 =(62)2—(6+I)2; в) (с4 —с2—1)-(с2 + с+1)(с2 —с+1).
2.5. а) (а + 6 +1) (а - 6 + 1); б) (2а - 1) (26 - 1). 2.8. а) (/г!-2/г-4)(я2 + 2/!-4) Ука¬
зание. п4 —12п2+16 = п4 — 8п2+16 — 4п2=(п2-4)2 — (2п)2; б) (m2 + 2m + 3)X
Х(т2 — 2т+ 3); в) (р2 + 6р +18) (р2 —6р + 18). Указание, р4 + 324 = р4 + 36р2 +
+ 324 — 36р2 = (р2-)-18)2 — (6р)2 2.9. а) {х2+\)-{х2-х-\)- б) (у2 + 2у + 2)Х
Х(у2 — 2р + 2) (у4 — у2 — 4). 2.10. а) (6 — а) (6 +2а — 1); б) 4а (6 + 1); в) (а —6 + 1)Х
Х(а —6—1); г) 4а (а + 2). 2.12. 174. Р е ш е н н е. 122 = (а + 6 + с)2 = а2 + 62 + с2 +
+ 2 (а6+6с + са) = а2 + 62 + с2 + 2(—15), откуда а2 + 62 + с2= 174. 2.13. —23.
2.14. а) (а + 6 + Зс)• (а + 6 — с); б) (1 +а — 6 + с) (1 — а + 6 — с). 2.15. a) (х+z)
X(x+y)(y — z)\ б) (а—6) (с —а) (6 —с). 2.16. {х + у) {y + z) (z + x). 2.17. (а + 6)Х
Х(6 + с)(с + а). 2.18. — 3 (х + у)(у +z) (z + x). 2.20. а64 —664. Указание. Ум¬
ножьте данное выражение на а — 6 и 6 раз последовательно примените формулу раз¬
ности квадратов. 2.21. —1.Указание. Исходное выражение тождественно равно
(2а —Щ2 — 1. 2.22. 4. 2.23. 1; а = 6= 1. 2.24. 4; а=6 = 2. 2.25. Решение. Умно¬
жим обе части данного равенства на 2, перенесем все слагаемые в левую
часть и после группировки получим (х—yf+(y — z)2+(z — х)2 = 0. Поскольку каж¬
дое слагаемое неотрицательно, то сумма их равна 0 тогда и только тогда,
226
когда x — y=y — z = z — x=0, т. е. x=y = z. 2.27. в) хф ± 1; хф0. 2.28. в) аф 1,5,
аф— 0,25; г) ЬфО, Ьф±3. 2.29. а) хф—2, хфО; б) уф^-. 2.30. а) аф2,
аФ4. Указание, а2—6а+8=а2—2а—(4а—8)=(а—2)(а—4); б) Ьф— 3,
ЬфО,5. 2.31. a) х# ±0,75i/2; б) x=+i/, х^= — 6у; в) а-\-Ь ФЪ, а — ЬфЪ. 2.32. а) 0,16;
б) 0,64 ft2 2.33. а) - i ; б) 2.34. а) , . У к а-
4л;+3i/ а" а2 + а+1
з а н и е. а4 + а2 +1 =а4+2а2+ 1 — а2=(а2+ I)2 — а2 —(а2 — а+ 1) (а2 + а+ 1);
б) ft2 + 2ft + 2. Указание. ft4 + 4=(ft2 + 2f-(2ft)2 = (ft2 + 2ft+2)(ft2-2ft + 2).
2.35. а) ; б) . 2.36. а) '> ; б) х32 + х16 + 1. Р е ш е-
' a + ft + c ’ х — 2 ' с4 — с3 + с2 — с+1
, - л х47 + л;46 + ... + х + 1
н и е. 1 -И способ. —77 Т-. 1 =
х+х+... + х+1
(х47 + ... х32) + (х31 + ... + х,8) + (х,5 + ... + Х+1)
~~ х15 + х,4 + ... + х+1
л;32 (х15 + ... +л:+1) + л:|6(л:,5+ ... +х+ 1) + (х|5 + ... + х+1)
х|ь + х14 + ... +х+ 1 —
(*>« + ... -+л;+1)(л:32 + л;|е + 1) ..32 , , ,
= НЙП ~ + +
2-й способ. Умножая числитель и знаменатель исходной дроби на х—1 и
используя формулу разложения на множители выражения xn—1, получим
х48-1 (х16)3-!
-=х +х +1. 2.37. а) a +3а; —2,21 при а = — 1,3; значение
дроби не существует при а——2 н при а = 3; б) (ft+l)(ft4 — ft +1); —13 при
ft =—2, значение дроби не существует при 6=1. 2.38. a —-ft—-. 2.39. а) —4;
б) 17. 2.40. в) х+4. 2.42. Указание. Выражение тождественно равно
_*4 . 2.43. т . 2.44. 6xyJ2x±M . 2.45. ■ 2.46.
(2 у + х)2' ' ‘ п(т — п)' ' ' Ъу — 2х ' ‘ (ft— a)(b — с)' ' ' 6(a —ft)
,.5. 2.48. -jlj. 2.49. . 2.59. ,) -I; 6, iljL++5> ,
г) 1^+ 2.5,. ,) Л”; б) «'б". 2.52. .) + б) 0^1,
a —ab Ъ — 2 с
в)|^; 2.53. £+*>£=£>. 2.54. i±^. 2.55. Указа-
ft + 2c х — 3 (х — ау 2х — у х + 2у
ние. х2 — ху-\-4х— 5у — 5 = х2— ху — х + 5х— Ъу — 5 = х (х— у— 1) + 5 (х—у — 1) =
= (х —у — 1) (х + 5). 2.56. хб —8. Указание, х8 — 16 = (х4 —4) (х4 + 4) = (х2 —2)Х
X (х2 + 2) ((х2 + 2)2 — (2х)2)=(х2 — 2) (х2 + 2) (х2 — 2х + 2) (х2 + 2х + 2), х4 — 2х3 + 4х2 —
— 4х + 4 = (х2 + 2)2-2х(х + 2)=(х2 + 2)(х2 —2х + 2). 2.57. а) -2а-3; б) a + ft;
в) а —с. 2.59. —4. 2.60. . 2.61. —2.62. ° + 2 . 2.63. 1
’ ‘)*и v 1 Ч (п *J\ I л 1\
2т ' х + 2‘ " ' (а — 2) (а— 1)' х-\-у
2.64. 0,5а (а + с —ft); 1,2. 2.66. Указание. На множестве допустимых значений
переменных исходное выражение тождественно равно — (ft+1)2. 2.67. Указа-
64 3 9 2
ние. Данное выражение тождественно равно - щ. 2.68. а) — ; б) —; в) -гг-.
1 а ( I у
2.73. 4. 2.74. —9, —3, 5. 2.75. п^4. 2.76. n = 4k — 1, где k — натуральное, пф7.
2.77. ,) „_+ i.; б, 2.78. .) б,
227
S 3
3.6. Решение. n2 + /i = /i (n +1) — произведение двух последовательных целых
чисел, значит, одно из них четное, т. е. делится на 2. 3.7. Указание. Сгруп¬
пировав первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и т. д., восполь¬
зуйтесь формулой суммы кубов. 3.8. Решение. 13 + 23+ ... + 93 = (13 + 93) +
+ (23 + 83) + (33 + 73) + (43 + 63) + 53 = 10п+ 125 не делится на 10. 3.9. Решение.
Если одно из чисел т или п четное, то тп, значит, и тп(т + п)— четное.
Если же оба числа нечетные, то т + п, значит, и тп (т + п) — четное. 3.10. Ука¬
зание. Число делится на 111, значит, и на 37. 3.12. Указание. Если
а-1—— = к, то а2Н—V=fe2 — 2, а3Н—\=k3 — 3k. 3.13. Решение. ad + bc =
а а2 а3
=(a + c)(b + d)—(ab + cd), поскольку уменьшаемое делится на а + с, вычитаемое
делится иа а + с по условию, то разность, т. е. ad + bc, делится иа а + с. 3.14. Нет.
Решение. Пусть каждый из 27 учеников дружит ровно с девятью одиоклас-
27-9
сниками, тогда количество дружащих пар равно — не целое число. 3.19. Нет.
3.20. Нет. Указание. Если предположить, что 3fe = 12q + 2, где к и q — целые,
то отсюда следует, что 2 делится на 3. 3.23. 3. 3.24. 4. 3.25. 12п — 3, n£N. 3.28. 1.
3.29. Решение. Так как п не кратно 2, то n=2k +1 и n2 — 1 ={п + 1) (п — 1) =
=4fe(fc+l). Поскольку k(k + l) делится на 2, то n2—1 делится иа 8. Так как п
не кратно 3, то либо п +1, либо п — 1 кратно 3, т. е. п2 — 1 кратно 3. Следовательно,
п2— 1 кратно 24, т. е. п2 = 24/п + 1. 3.31. 4. 3.32. 15/1+13. 3.33. 7. Указание.
10! делится на 42. 3.34. 7. 3.35. 11. 3.36. а) 7; б) 1. 3.37. Нет. 3.39. Указание.
m2 —n2 = (m2—1) —(n2 —1). Далее воспользуйтесь №38 . 3.40. б) Указание.
п2 + 3п = /г (п +1) + 2я. Далее используйте № 40, а. 3.42. б) Указание.
n3 +1 In =(п3 — п)+ 12п. Далее используйте № 42, а. 3.46. а) Решение. Пусть
существует a£Z такое, что a2 = 3/t— 1. Ясно, что а не кратно 3 (в противном
случае левая часть равенства кратна 3, а правая нет). Тогда а = 3£±1, где
k£Z. Имеем (3fe±l)2 = 3n— 1, откуда 3(3fe2±2fe — п)=—2. Пришли к противо¬
речию, так как левая часть равенства — целое число, кратное 3, а правая иет.
3.47. 31. Решение. Поскольку три данных числа дают равные остатки при
делении на п, то 2146—1991 = 155 делится на п, 1991 —1805=186 делится на п.
Значит, 186—155 = 31 кратно п, но я>1, а 31 — простое число, значит п = 31.
3.49. а) Решение. п2 + п + 9 = (п + 3) (п—2) + 15. Если п + З кратно 5, то и п — 2
кратно 5, отсюда (п + 3)(п— 2) кратно 25 и (/i + 3)(n— 2)+15 не кратно 25. Если
же /t + З не кратно 5, то и п—2 не кратно 5, тогда (п + З) (п — 2) не кратно 5
и (п + З)(п—2) +15 не делится на 5, значит, и иа 25; б) Указание. лг + /1+9 =
=(/1 + 4) (п — 3) + 21. 3.50. Указание. п2 + 5п + 16 = (/г — 4)2+ 13/г. 3.51. Да.
3.55. nglV. 3.57. nglV. Решение. n6 + 2n5 —n2 —2n = n5 (п + 2) — п (п + 2) = (п + 2)
Х(п5 — n) = (/t— 1) п (п +1) (п + 2) (n2 +1). Заметим, что п — 1, п, п + 1 и п+2 —
четыре последовательных натуральных числа при п> 1 (если n = 1, то данное число
делится на 120, поскольку в этом случае оно равно 0). Значит, по крайней мере
одно из них кратно 3 и два из них — последовательные четные числа, одно
из которых делится иа 2, другое — на 4. Итак, (п — I) п (п+1) (я+2) делится
на 3 и иа 8. Если при делении п на 5 остаток равен 0, 1, 3 или 4, то число п, п— 1,
п+2 и п+ 1 соответственно делится иа 5. Если же /г =5<? + 2, где q^0 — целое,
то п2+1=25<72+ 20/7 + 5 кратно 5. Таким образом, (п— 1) п (п +1) (п + 2) (п2+ 1)
228
делится иа 5. Поскольку числа 3, 5 и 8 взаимно простые, то данное число делится
и на их произведение, т. е. иа 120. 3.61. Решение. Число л не является четным
числом, так как л и 6 взаимно просты, л2—1=(я— 1)(л+1)— произведение двух
последовательных четных чисел, поэтому п2 — 1 кратно 8. Число л не кратно 3,
так как л и 6 взаимно просты, значит, л —1 или л+1 кратно 3. Итак, л2 —1
делится иа 3. Числа 3 и 8 взаимно просты, поэтому л2—1 делится на 24 (их
произведение), т. е. л2 = 24т+1. 3.63. а) 2; б) 3; в) 2; г) 5. 3.65. 14 и 21. 3.67. 3.
Решение. Поскольку сумма цифр каждого рассматриваемого шестизначного
числа равна 21, то каждое из чисел кратно 3, но не кратно 9. Заметим, что
123465—123456 = 9, значит, НОД является делителем числа 9. Таким образом,
НОД равен 3. 3.69. 11. 3.70. 232 и 231. 3.71. Указание. Предположив про¬
тивное, имеем л2—1—простое число. 3.72. 13, 17 и 19. 3.73. в) Решение.
Поскольку р > 3 — простое.тор — нечетное; р2 — 1 =(р — 1)(р +1) — произведение
двух последовательных четных чисел, поэтому делится на 8. Рассмотрим числа
р — 1, р, р + 1. Это три последовательных целых числа, значит, одно нз них кратно 3,
этим числом не может быть число р, так как оно простое и больше 3. Значит,
р2 —1 кратно 3. Следовательно, р2— 1 кратно 24, так как 3 н 8 взаимно просты.
3.81. 5. Указание. Используйте то, что единственным четным простым числом
является число 2. 3.82. Решение. 210 + 5|2 = (25 + 56)2 —2-25-56=(25 + 56)2-
— 106 = (25 + 56 — 103) (25 + 56 + 103). Итак, данное число разложено на два множи¬
теля, каждый из которых больше 1. 3.83. Решение. Число р>3—простое,
значит, р = 6fe± 1, *6N (см. № 73, а). Тогда 2р+ 1 = 12fe±2 +1, но по условию
2р + 1—простое, следовательно, 2p+l = l2k — 1 и р = 6k—1. тогда 4р+1 =
= 3 (8k— 1) — составное. 3.84. 3. Указание. Проверьте р = 2 и р = 3. Исполь¬
зуя утверждение № 73, покажите, что 8р2+1 делится на 3 при р> 3. 3.85. 6.
Решение. Число оканчивается цифрой 1 или 6, поскольку л3—1 кратно 5.
Значит, л=5£+1, k£N\ тогда 0,2 (л3—1) = 0,2 (125fe3 + 75fe2 + \bk) = k (25fe2 +
-Т15fe + 3) — простое число лишь при k=l. 3.86. Решение. Пусть р — наиболь¬
шее простое число. Выпишем все простые числа 2, 3, 5, ..., р и рассмотрим число
л=2-3-5- ... -р + 1 (произведение всех простых чисел, увеличенное на 1); число л
не является простым (оно больше наибольшего из простых), значит, имеет не¬
который простой делитель р,. Число 2-3-5- ... -р также делится на р,-, так как
р, — одни из множителей. Отсюда заключаем, что р,-— делитель 1. Пришли к
противоречию. 3.87. Указание. Рассмотрите 1992 числа 1993!+2, 19931 + 3,
..., 1993! + 1993, каждое из которых, очевидно, составное. 3.88. 5. Решение.
— 2 = 3-( —1)+1, 24 = 3-8 + 0, 26 = 3-8 + 2. Видим, что числа —2, 24 и 26 при де¬
лении на 3 дают разные остатки, значит, и числа л — 2, л+ 24 и л+ 26 при
делении на 3 дают разные остатки. Возможных остатков лишь три: 0, 1, 2. Сле¬
довательно, одно из чисел л —2, л+ 24, л+ 26 делится на 3. Так как эти числа
простые, то одно из них равно 3. Ясно, что этим числом может быть лишь
число л —2, откуда л = 5. Проверкой убеждаемся, что при л = 5 все три числа —
простые. 3.89. а) 26; б) 20; в) 36; г) 160. 3.90. Указание, а), б) Число
делится иа 3. 3.92. Указание. 49100 оканчивается цифрой 1, а число 1450 —
цифрой 6. 3.95. Нет. Решение. Пусть существует целое число а такое, что
десятичная запись числа а2 содержит шесть единиц и семь нулей. Тогда по
признаку делимости а2 кратно 3, значит, а кратно 3 (так как 3 — простое
число), отсюда а2 кратно 9. Получили противоречие с признаком делимости
на 9. 3.96. Нет. Решение. Число 5" +1 оканчивается 26 при п> 1 или равно 6
229
при п=1, значит, не кратио 4. Число 5* — 1 оканчивается 24 при 6>1 или равно
4 при 6 = 1, значит, кратно 4. 3.97. Нет. Решение. Пусть существует целое
число а такое, что сумма цифр числа а2 равна 1991. Тогда а2 не кратно 3,
значит, и а не кратио 3, т. е. а=3ft ± 1. Итак, а2=962±66+1 = 36 + 1, т. е. число
а2, следовательно, и сумма цифр числа а2 при делении на 3 дает в остатке 1.
Пришли к противоречию, так как 1991 при делении на 3 дает в остатке 2.
3.99. а) Указание. 5" + 3=(5"—1)+4. 3.103. Указание, а) 7“—6-2" =
=(7" — 2") — 5-2"; б) 7" + 3" + | = (7'1 — 3") + 4-3"; в) 5“ + 2" + 1 =(5'’-2',) + 3-2'‘;
г) 9л + 4"+1=(9'! — 4л) + 5-4л. 3.104. Указание, а) 21л + 4я+2 = (21я — 4Л) +
+ 17-4"; б) 15+7л+| =(15'1 —7п) + 8.7'1; в) 13" + 3"+2 = (13“ — Зл) + 10-Зл;
г) 5л + 7-9л=8-9''— (9" — 5"). 3.105. У к а з а и и е. б) 5" +11" + 2 = (5" + 1) + (11" + 1);
в) 5" + 13 -11" — 4=(5" + 1) + (11" + 1) + 12-11" — 6; г) 1л + Зл + 5" + 7л = (Г + 7л) +
+ (3" + 5"). 3.106. Указание, а) 7-52л+12.6Л=7 (25Л-6Л)+19-6"; б) 7л+2 +
+ 82п+1 = 57 • 7" + 8 (64” — 7"); в) 33л+2 + 5.23л-н =9 (27л — 8") +19-8"; г) 62л +
+ 3"+2 + 3" = 3" ((12"— 1)+ 11). 3.107. Указание, а) 5Л + 8Л — 2п+1 =2 (5Л-2Л) +
+ (8" — 5"); б) 5л + 7л-2л+,=2(5л-2л) + (7л-5л) = 2(52‘-22*) + (49*-25*), где
п = 26. 3.108. Указание, а) Если п нечетное, то 1Л + 3Л+5Л + 7Л делится
на 8; если п четное, то л = 26 и 1" + 3" + 5" + 7"= 1* + 9* + 25* + 49* = (49* — 1) +
+ (25*—1) + (9* — 1) + 4 делится на 4; г) если п нечетное, то условие, очевидно,
выполняется; если п четное, то п = 26 и 1 * + 9* + 25* + 49* + 81*+ 121* +
+169*+ 225* = (225*- 1) + (169* — 1) + (121 * — 1)+(81*— 1) + (49* — 1) + (25* — 1) +
+(9*— 1)+8 кратно 8. 3.109. Указание. Если п четное, то п — 26, 25* —9*+46
делится на 4. Если п нечетное, то 52*+| — 32*+| +46 + 2 = (52*+| — 1) —(32* + | + 1) +
+ 46 + 4 делится на 4. 3.110. а) 37; б) 64. 3.111. 54. 3.112. Указание. Пред¬
положив противное, получим равенство 10х = у(х—1) и, используя то, что х и
х — 1 взаимно простые, покажите, что х = 1. 3.113. Нет. Решение. Пусть х, у, z —
количество 5-, 20- и 50-копеечных монет соответственно. Тогда
{5x + 20i/ + 50z = 500, Вычитая из первого уравнения системы второе, имеем:
x+y + z = 20.
3i/+9z = 80. Получили противоречие, так как левая часть равенства — целое
число, делящееся на 3, а правая нет. 3.114. а) Нет; б) на 5; в) на 2; г) 262161;
д) 196621; е) 589863 р. 3.115. а) (3; —1), (1; —5); б) (1; 6), (7; —12), (—1; —4),
(— 7; 14). У к а з а и и е. Представьте уравнение в виде х (2х-\-у—1) = 7; в) (2; 1),
(0; 1). Указание. Представьте уравнение в виде (х—у) (х— 1)= 1; г) (2; 0),
( —1; 0). Указание. Представьте уравнение в виде (х — Зу)(х—1) = 2.
3.116. а) (0; 0), (2; 2); б) (4; —2), ( — 2; 0), (2; —4), (0; 2). У к а з а н и е. Представьте
уравнение в виде (у+ 1)(х— 1)= — 3; в) (0; 0), ( — 3; —1). Указание. Пред¬
ставьте уравнение в виде (д+ 1)(3// + 2) = 2; г) (0; 0), (—1; —4). Указание.
Представьте уравнение в виде (у+2) (2х+1)=2. 3.117. а) (±1; 0). Указание.
х2-ху-2у2={х-2у){х + у)\ б) (1; 2), (-1; -2), (5; 2), (-5; -2). 3.118. а)
(±2; 1). Указание. х2+ху—2у2—х+у—(х—у){х+2у—\)-, б) (1; 1). Ука¬
зание. 2у2 — 2х2 + 3ху — 2у + х = (2х + у— 1)(2у — х). 3.119. а) ( — 3; 0), (1; —2),
(1; 4), ( — 3; —6). Указание. Записав уравнение в виде (у2 — 1) — 2х (// +1) = 5,
разложите на множители левую часть; б) (0; —2), (2; —2). Указание.
Записав уравнение в виде (х2 —1) + //(х—1)= 1, разложите на множители левую
часть. 3.120. а) Решение. Из уравнения следует, что х не кратио 3, т. е.
х=36±1, 6£Z; подставив х=36±1 в уравнение, получим 3 (362 ±26 — у)=16.
Пришли к противоречию, так как левая часть — целое число, делящееся на 3;
230
б) У к а з а н и е. Из уравнения следует, что х — нечетное число. 3.121. а) (7 — 2п;
Зп —7), где n£Z. Решение. Записав уравнение в виде 2(х-\-у) — 7 — х, заклю¬
чаем, что 7 — х кратно 2, т. е. 7 — х = 2п, где n£Z и х = 7 — 2п. Далее из уравне¬
ния находим i/ = 3n —7; б) (Зп —4; 2п), где n£Z. 3.122. (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),
(2; 3; 1), (3; 1 2), (3; 2; 1). Указание. Пусть для определенности x^i/^z,
тогда x + i/ + z^3z, откуда хуг^Зг, т. е. ху^.3. Но поскольку х2^ху, то
х2<3, т. е. х=1. 3.123. а) (1; 1), (3; 3). Решение. При х=1 имеем у2=1,
откуда y=l (y£N)', при х = 2 решений нет, при х = 3 получаем у — 3. Пусть х^4,
тогда левая часть уравнения имеет вид ЗЗ + fe, где k оканчивается нулем, так
как 5!, 6!, ... оканчиваются нулем. Итак, при х^4 левая часть уравнения —
число, оканчивающееся на 3. Но квадраты целых чисел не могут оканчиваться
на 3, поэтому уравнение решений не имеет; б) (1; 3; 1), (3; 1; 1). Р е ш е н и е.
Поскольку 4z + 3 — нечетно, то левая часть уравнения — нечетное число. Значит,
или х, или у меньше 2. Пусть для определенности х=1, тогда y\=4z-\-2.
Правая часть последнего равенства не кратна 4, значит, у <4. Проверкой убеж¬
даемся, что решение (1; 3; 1). Второе решение получается перестановкой х и у.
3.124. (10; 1), (10; —1), (—10; 1), (—10; —1). Решение. Запишем уравнение
в виде 19 (х2— 100) = 91 (1 — у2) (1). Поскольку числа 19 и 91 взаимно просты,
получаем х2—100 кратно 91, 1 —у2 кратно 19, т. е. х2 — 100 = 91 n, 1— y2=l9k,
где n, k£Z. Подстановкой в равенство (1) убеждаемся, что k = n. Имеем
|x2-100 = 9U,
(1— y2=l9k, где k£Z. х2 = 91Л-f-100^0, откуда k^——; у2= 1 —19А^0,
откуда Таким образом, k = 0 или k= — \. При k = 0 получим х2 = 100,
у2 = 1, т. е. четыре ответа; прн k = — 1 решений в Z нет. 3.125. (5; 2). Р е ш е н и е.
(х —3)(х + 3) = 4у2; х — простое, и очевидно, что хф2, значит, х — нечетное.
Итак, х — 3 и х + 3 — четные числа, причем одно из них кратно 2, а другое кратно
4, следовательно, 4у2 делится на 8, т. е. у2 делится на 2, значит, у кратно 2,
причем у — простое, значит, у = 2, откуда х = 5. 3.126. —1; 0; 2. 3.127. —6; —2;
0; 4. Указание. ^-^ЦЬ1 = п-2-\ ^—.3.128. 1. 3.131. 5002+1, 5002 + 2
п —(— 1 п + 1
5002+1000. 3.132. 23-352 . 3.133. 9. 3.134. 12. 3.135. а) 99; б) четная. 3.137.
Решение, а) При делении на 99 целое число может давать любой из 99 раз¬
личных остатков (0; 1; ...; 98). Поскольку имеем 100 целых чисел, то найдутся
по крайней мере два из них, которые дают одинаковые остатки при делении
на 99 (принцип Дирихле). Разность этих двух чисел делится на 99. б) Пусть
щ, а2, ..., аюо — произвольные целые числа. Рассмотрим 100 других целых
чисел: а\, ai+a2, щ+аг + аз, ..., ai +a2 + ... + amo- Применив к ним результат
пункта а, получим утверждение задачи. 3.139. Решение. Пусть даны п целых
чисел at, a2 ап. Рассмотрим п других целых чисел at, at +a2, ..., at +a2 + ... + a„.
Возможны два случая: 1) хотя бы одно из них делится на п; 2) ни одно из
них не делится на п. В первом случае утверждение доказано. Рассмотрим
второй случай. Всего чисел п, при делении на п ненулевых остатков п — 1.
Отсюда по принципу Дирихле существует по крайней мере два числа с оди¬
наковыми остатками при делении на п. Разность этих двух чисел
делится на п и является требуемой в условии суммой нескольких исходных
чисел. 3.140. Решение. Рассмотрим 1992 числа: 1991, 19911991, 199119911991,
231
19911991 ... 1991. Ни одно из этих чисел ие делится иа 1992 (все оии нечетные),
1991 повторено 1992 раза
т. е. все они при делении на 1992 имеют ненулевой остаток. Но при делении на
1992 существует 1991 различных ненулевых остатков, а рассматриваемых чи¬
сел 1992. Следовательно, среди этих чисел есть по крайней мере два числа с
одинаковыми остатками (принцип Дирихле). Значит, разность этих двух чисел
делится на 1992, причем имеет требуемый в условии задачи вид.
S 4.
4.4. a) 2-д/З; д/5 — 2; 5; 4; 4; а3; б) 2 |а|, а2й4, 3 |а| й2, 9 |ай3| с2. 4.8. б) а<0;
г) а^О; д) а — 0; е) а=1; ж) а — 5; з) а^О; и) а = 0. 4.13. а) 5±а;
б) 44.19. а) 0; 1; б) 0; в) 2; г) нет решений. 4.20. а) а —3; б) 4 —й;
в) 2; г) 8 —2а. 4.21. в) 2у—\2\ г) 6. 4.22. а) |а—1|; в) а2 + 4. 4.23. а) а+1;
б) |а + 5|; в) 7 — а; г) |а-)-10|. 4.24. е) -д/5т/3>д/2; ж) 2 д/3>-\/бу/2.
4.32. а) Решение. Пусть д/5=-^ , где mglV, n£AF, а дробь несократима.
Тогда т2 = 5л2, т. е. т2 делится на 5, значит, т делится на 5. Итак, m = 5k,
откуда (5й)2 = 5л2 нли n2 — bk2. Следовательно, л2 кратно 5, значит, и п кратно 5.
Получили противоречие с несократимостью дроби . 4.33. г) Иррациональное;
д) рациональное. 4.38. а) — г) Иррациональное; д) — з) может быть как рацио¬
нальным, так и иррациональным; и) — м) иррациональное. 4.39. ж) Указа¬
ние. Достаточно доказать иррациональность числа -\/2; з) Решение.
Пусть д/7 + д/2 + д/3 = г, где г — рациональное, тогда д/7 + д/2 = г — д/3, 9 + 2 -/14 =
= г2 — 2гд/3 + 3, откуда -/14 + г д/3 = 0,5г2— 3. После возведения обеих частей ра¬
венства в квадрат и уединения квадратного корня имеем: -/42=^((0,5r2 —З)2 —
— Зг2—14), т. е. д/42— рационально, поскольку г — рационально. С другой сто¬
роны, легко показать, что д/42 — иррационально. 4.44. Решение. Поскольку
д/а—-/й=——и а, 6, д/а + -/й— рациональные, то число д/а — -/й— рацио-
д/5 + д/й
.. г Va + д/й Vo — д/й /г д/а + д/й -/а—/й
нальное. Из равенств д1а = -——р-—— и д/й=J^ !^— следует
рациональность чисел -/а и д/й. 4.46. Ук а з а н и е. Предположив противное,
т
воспользуйтесь равенством т=д/тя-_у —, правая часть которого — иррацио-
[2s
иальна (см. № 43). 4.48. с' е) х = 2; з) х^0.
4.68. в) д/m — 3, —д/2 — л, д/0,5я— 2, —д/л — 5; г) д/а (х — i/)2, —/т (а — й)2,
д/а2й при а^0 и — д/а2й при а<0, д/й5а при й^0 и —д/й2а при й<0.
4.69. а) (а + й)-д/а — й; г) —/а. 4.73. г) 0,32. 4.78. б) Нет решений; г)
4.80. г) 40д/б. 4.81. в) 4 + 2 д/2. Указание. Используйте формулу разности
квадратов.4.82.а) д/3+ 1; г) З+д/З. 4.83. а) д/а— 1 + 1; б) |д/а — 3 — 2|; в) д/1 —а +
232
+д/Г+а; г) д/2а — 1 +л/в- 4-84- а) 4; б) 6; в) 2; г) Ю; д) —6; е) 0. 4.86. а) 1. Р е-
ш е н и е. х2 — 2х— 1 = х(х — 2)— 1 = (д/3 + 1)(д/3 — 1)— 1 = 1. 4.94. г) . 4.95. а) 3;
б) —-у; в) д/2; г) —j=^- 4-96. в) 1; г) V — а+д/ — 6. Указание. Из услдвия
следует, что а<0, значит, д/aft =д/ —ад/ —6 и — а = (д/^а)2; д) д/ —6—У —а;
е) —д/^а —д/^6. 4.97. а) 1; б) —1. 4.100. а) д/5 —2; б)д/б+л/2; в) д/3 — 1;
г) 1+д/2. 4.103. а) ^Va-Va^F; б) 2 + д/З. 4.104. а) 2 д/2-2. Указание.
Используйте тот факт, что -/б + 4 У2=2 + д/2; в) — (Уб+д/7 —д/£) (д/2+1).
4.109. а) 0; в) 1; г) 1. 4.113. 4.114. 2а. 4.115. д^+д/б. 4.116. 1. 4.117. 1.
4.118. ^ (а~Ь-1. 4.119. а) УнГ<л/Т + Уз". 4.122. б) Первое меньше. 4.123. а) Пер-
а — Ь
вое больше. 4.124. б) Первое меньше. Указание. Достаточно сравнить числа
V1992 — V1991 и -т/1991 — УТ990, которые соответственно равны числам
. 1 , И -—=4— . 4.125. -V/— при а3>36, ад/2 при а3<36.
УГ992 + У1991 У1991. + УТ990 V а
а . Указание. Из условия следует, что a < 0.
§ 5
5.8. а) —0,5; б) 2; в) +3; г) нет решений. 5.10. в) т=1,5; г) т = 3.
2
5.11. а) т= 1 —; б) таких т. нет; в) tn = 0; г) tn=—0,2. 5.12. а) от=1; б) т =
= — 1 4- ; в) т = 0; г) т = — 2. 5.13.0 или 4- . 5.14. 1 и 2. 5.15. 1; 2; 3. 5.16. Через 4 с.
о о
5.27. б) —2,7; 8; в) —6^; 2. 5.29. б) ±2; г) — 1; 5.32. а) -4а; —а; г) —6ft;
ft. 5.33. б) —3ft; 2; в) 2а —3; а+1. 5.35. а) а=—6 или а = 46; б) а=—j- или
а = 4~. 5.36. a) 6=0,5(а + 3) или 6 = 2а + 3; б) 6 = 0,5а — 2 или 6 = а — 3.
О
5.37. 3 или 4- • 5.38. 2 или . 5.39. 9 или 4~ • 5.42. а) 1; б) ±1. 5.43. а) 6; б) ±1;
о 2 У
, О „ —7—/97 , 7—/97 , д/29— 1 „ 1 ±У45 , 3±д/5
в) 3; 4; Y*—' г) ■ 5-44' а) 2 ’ ( 2 ’ * "~2 ’
г) 2 + д/2; —2±д/2. 5.45. а) 1; 5; б) 1; д/3; в) -2; —2 д/2; г) —6; 7. 5.46. а) ±2;
— 1 ±д/5 , , 2 1 _ —17±д/177 v
2~’ ^ ТГ’ ~3~’ г ’ ~~ —' Указа'
и и е. Уравнение вида |/(х)| = |g (х)| равносильно совокупности двух уравнений
f (х)— ±g (х). 5.47. а) 2; ,—д/5. Указание. Поскольку левая часть неотри¬
цательна, то 10 —5x^0, т. е. х<2 и |х — 21=2 — х; б) 3. У к а з а и и е. Левая
233
часть уравнения — сумма двух неотрицательных величин, значит, равенство нулю
возможно тогда и только тогда, когда одновременно оба слагаемых обращаются
в нуль; в) —y ; 1; г) 3. Указание. Запишите уравнение в виде х2 \х — 3| +
+(х—3)2=0. 5.48. —\/б. Указание. —\J6 и -\/б— 1 — корни данного уравне¬
ния. 5.49. Меньший корень первого уравнения больше, чем больший корень
второго. 5.50. Больший корень уравнения больше данного числа. Указание.
2 и 4 — ^2 — корни уравнения, данное в условии число равно -\/21—2. 5.51. Мень¬
ший корень уравнения меньше данного числа. Указание. т/Т4+-\/5 и
2 (т/Т4+-\/5) — корни уравнения, данное в условии число равно 6. 5.52. ^
Указание. Уравнение If (х)| =g (х) равносильно совокупности двух уравнений
f (х)= ±g (х) при условии, что g(x)^0. 5.53. 1— л/5. 5.55. в) —0,3; 1 ^ > г) ~~ 6;
—. 5.57. в) —4; —2,5; г) —2; . 5.58. а) 0; б) —8. 5.59. б) Нет решений;
2 1
г) —0,25; 0,5. 5.60. а) а при аф — 3, аф4; г) при Ь—— и 6 =—= —один
О 2
корень x = ft; при ft = 1, 6 = — 2,5 и ft = 0,5 — один корень x = 3ft — 1; при других
6 — два корня x = b, х = 3ft—1. 5.61. а) ±6; ±1. Указание. Уравнение
является квадратным относительно |х|; г) —9; 3. 5.62. б) —3; 0; 2; 5. У к а з а и и е.
Записав уравнение в виде (х — I)2 — 5 \х— 11 +4 = 0, введите переменную
у=\х—\\; г) —i- ;3. Указание. Пусть у= |3х — 4|, тогда уравнение имеет
О
вид у2-у-20 = 0. 5.63. в) -3; —2; г) 5~^; H+V53 5 64 а) 25 у к а.
3 а и и е. Уравнение является квадратным относительно -фс\ б) 25; 49. 5.65. в) 13;
53. Указание. Записав уравнение в виде х — 4—10д/х — 4 + 21=0, введите
2
переменную y=^jx — 4; г) 46. 5.66. в) ±-д-; г) ±0,75; ±5. 5.67. в) 4; —2.
Указание. Записав уравнение в виде (х—I)4 — (х—I)2 — 72 = 0, введите пе¬
ременную у = (х— I)2; г) 0; —4. Указание. Пусть y=(x-\-2f, тогда уравнение
имеет вид у2-\-2у — 24 = 0. 5.68. а) ±3; ±а; б) ±2; ±3а; в) ±3; при
Ь>0; г) ±^при 6>0. 5.69. а) 2; б) -0,5; 1; 3; в) -3; 0; 2; г) —2; 1; 2.
5.70. ±1. 5.71. а) —1; б) 0. 5.72. а) 2(3 — 2^2). Указание. Рассматривая
уравнение как квадратное относительно |х|, получим |х| = У2 — 1. Тогда х? + х! =
= 2 jх|2 = 2 (3 — 2 V2). 5.73. а) —3; 1. Указание. Введите переменную
р = (х+1)2; б) 2 =Ьл/3; 1; 3; в) —2; —1. Указание. Введите переменную
р = х2 + Зх + 2; г) 2; 3; 5у4_ aj _g. j. _j gy Указание. Вве-
x^ — 2x 4
дите переменную y=~: г-, тогда уравнение примет вид у-\-Ъ= ; б) 1; 2;
4Х «3 у
19±У349. 5.79. г) —4,2; 2,2. Указание. Представив правую часть уравнения
как 5-4,22+10-(—4,2)+3, легко видеть, что xi=—4,2; кроме того, по теореме
234
7
Виета Х\ -J-лгг = —2. 5.83. а) х2 — 6 = 0; в) х2— Ах— 1 =0. 5.85. а) 7 у. Указа-
8 1
н и е. По теореме Виета х,+х2 =—, х,Х2 = —. Воспользуйтесь равенством
х?+x2=(xi + х2)2 — 2х\Хг. 5.86. г) Указание, х? -)- л:|=(jci +*2) (х}—X|X2 + XlxI —
— xixl-\-xt)=(xi + х2) ((jc?+x2)2 —AT?Jci — X1X2 (x? + xl)). 5.87. ±—. Решение.
По теореме Виета х,+х2 = у, х,х2 = у. |х? — x$l =i/(xl — X2)2 —
= У(Х|+х£)2—4x?xl=V((Xl + Х2)2 —2х,Х2)2 —4xfxl =
_. //25 . 1 \2 ~Т 5 у/Т? 2 2 5 -Л7 > 2 , „
= \\~4—2- — ^—-4-^-=—-—, откуда х,— х!=±—^—. 5.89. в) х +9х —
— 9 = 0. 5.90. 3; 4. 5.91. 1. 5.95. >Г5Г96. —1. 5.97. 14. Решение. Пусть |x|=f;
li+l2>0 и М2>0 (по теореме Виета), D>0, значит, уравнение t2 — 31+1=0
имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет четыре
корня. Тогда х2 + х2+х2 + Х4 = 2 (tf + t2) = 2 ((t\+U)2— 2t\h) = 2(9 — 2) = 14.
2
5.98. p = q = 0 или р= 1, q= —6. 5.99. а = —. 5.100. а = 6; 2 и 3 — корни первого
уравнения, 3 и 4 — корни второго уравнения. 5.101. а= —5, 6 = 36, корни первого
уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9 или а = 5, 6=36,
корни первого уравнения равны —2; —3, корни второго уравнения равны 4; 9.
5.104. ±у; ±1. 5.107. —у; 0; 1. 5.108. 0. 5.109. 2. 5.111. —2. 5.112. 3;
4. 5.114. а = 6=с; нет. Указание. D= — 2 (а2 + 62+с2 — аб — ас — Ьс) =
= — (а — 6)2 — (а — с)2— (6 — cfsS^O, причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда а = Ь = с. 5.115. —1. 5.116. 75. 5.117. 14 или 41. 5.118. 13 человек.
5.119. 10. 5.120. 5%. Указание. Пусть х — средний ежегодный процент роста,
тогда 20000 + 200х + 0,01х(20000+ 200х) = 22050, откуда х = 5. 5.121. «42%.
5.122. 800 км/ч, 600 км/ч. 5.123. 4 км/ч. 5.124. В 6 ч. Указание. Пусть
х км/ч — скорость первого поезда, тогда (х+10) км/ч — скорость второго. Имеем
120 120
х х +10
= 1, откуда х=30. 5.125. 3 км/ч. Указание. Пусть х км/ч — ско-
9 4 15
рость второго пешехода, тогда 1 х_|_ \ =~ • *>.126. 5 м3/ч. Указание.
гг з, с г 20 10
Пусть х м /ч — начальная производительность экскаватора, тогда 6,5 =-
х х— 1
300 192
5.127. 30 г. Указание. Пусть х г—искомая величина, тогда ^ = 2.
J х х—6
5.128.50 м3/мин. 5.129.18 ц, 15 ц. У к а з а н и е. Пусть х га — площадь второго поля,
тогда ——— • (х + 10)= 108?U 5.130. 9 ч. Указание. Пусть х деталей в час —
х х+10 1
60 60
производительность второго рабочего, тогда ——^—-=3. 5.131. 20 ч, 25 ч.
5.132. 9 ч, 6 ч. 5.133. 42 ч, 56 ч. 5.134. 25 кг. 5.135. 20%, 60%. 5.136. 40%, 25%.
5.137. 10 л. 5.138. 55 мин, 66 мин. 5.139. 1 м/с, 1,2 м/с. 5.140. ^ .
235
§ 6
6.1. a) а <6; б) a>ft; в) a>ft; г) а О ft; д) a>ft; е) a^b. 6.6. а) Указание.
a2 — ab + ft2 =-^-((a — ft)2 + a2-)-ft2)^0. 6.8. в) Указание. a2—4a + 5 —
— 2 |a —21 =(fa —21 — l)2O0. 6.30. а) Верно; б) неверно. 6.31. а) Верно; б) не¬
верно. 6.34. в) Верно; г) верно. 6.35. а) Верно; б) неверно; в) верно. 6.36. а) Не¬
верно; б) неверно; в) верно; г) верно. 6.37. б) a>ft; д) а>Ь. 6.38. а) а>6;
б) a>ft; в) а>Ь; г) а^Ь. 6.40. а) а<6; г) а<6. 6.42. а) а>Ь; б) а>Ь.
6.46. а) 1; б) а<3; в) а<2; г) a>5. 6.47. а) a>—4; б) а>1; в) а<4;
г) 4<а^5. 6.48. а) —4<а<10; б) а<—5 или а^1. 6.49. а) а>6; б) a>ft;
в) а>6; г) а<Ь; д) a<ft; е) а>Ь. 6.50. а) а<Ь. У к а з а н и е. Так как л > 1,
то л+1<2л; б) а<Ь. 6.68. в) Решение. al0+-4+—— =fa'°-|—т)-|—4 +
CL ^ \ & / &
+— ^ 2а4 + Д- -j-— = 2^ а4 + -4Л +— ;>4а + — = 4^а-)——^ ^8. Равенство имеет
а а2 а \ ar J а а \ а)
место только при а=1. 6.86. Указание. Воспользуйтесь неравенством из уп¬
ражнения 6.83. 6.88. 6. 6.89. 8. 6.90. 12. 6.91. а) 18; б) 27; в) 13; г) 1. 6.92. а) 4-;
8
б) -j^; в) 1; г) 2. 6.94. 25. 6.95. 4,5. 6.96. 3. 6.97. 4. 6.100. Указание.
Воспользуйтесь последовательно несколько раз неравенством из упражнения
6.98, а. 6.115. Решение. Воспользуемся неравенством о среднем геометри¬
ческом и среднем арифметическом положительных неравных чисел: 1-3-5-...Х
X(2л — 1) = УI2- З2• 5г •... • (2л — I)2 = VI • (2п — 1)-л/З (2л-3)-У5-(2л-5)-...Х
XУ(2л^Тн <~.3-Л2? ~5).^+ 1 ^/wwr-^л = л"
п множителей
0,\ (12 0,п
6.U6. р е ш е н и е. Обозначим наименьшую из дробей —, —, ..., — через т. и
О \ О 2 Оп
Q\ flj
наибольшую — через М. Тогда можно записать: лг<— <М, лг< — ...,
а
лг<-<М. Так как fti>0, ft2>0, ..., Ь„>0, то, освобождаясь от знаменателей,
О П
получим mbi^.ai^.Mbi, лгй2^а2^А4й2, ..., тЬ„^.а„^.МЬп. Суммируя неравен¬
ства и вынося множители т и М за скобки, получим: лг(й| + 62 + ... + ft„)^
<a!+a2+ ... + a„<M (61+ft2 + ... +ftn). Разделив почленно на fti+ft2 + ... +
+ ft„>0, получим лг<а'~^,а°^~ ~^~а" ^ М. 6.118. a) |a—1| + |а —2| =
Oi +62+ ••• + On
= |а—1| + |2 —а|^|а — 1+2 — а| = 1. Равенство наступает при а=1.
6.119. б) Указание. Представьте левую часть неравенства в виде (х — yf-\-
+(х + 2)2+(у— I)2 6.120. В безветренную погоду. 6.124. Время движения по реке с
13
быстрым течением больше. 6.125. Первый турист. 6.136. а) 1 б) х<4; в) х<6;
г) д:>8. 6.137. в) г) х<1. 6.138. а) х> —1,5; б) х>—; в) х<^/2;
г) 6.140. б) (-^; +оо); в) (-оо; УЗ-2]; г) (-оо; -2(т/3 + 2)).
6.143. а) х<-—если а>5; х>-—если а<5; нет решений, если а = 5.
а —5 а—5
236
6.144. а) —6; б) -2; в) —5; г) 8. 6.145. а) 2; б) 1; в) 2; г) 3. 6.146. а) а<-^-.
7 29
6.147. а) а>4. 6.148. в) г) а<—. 6.149. а) х^2; б) х<1,5; в) 2; г) —3.
6.150. а< 1,5. 6.151. а>2. 6.152. а> — 2, аф2. 6.153. а<1. 6.156. а) 1<х<3;
4 8 1 16
б) -у<х<— ; в) — <х<—; г) х>4. 6.157. а) 0,05<х<0,1. 6.158. а) а<3;
б) а<5; в) а<7; г)а>2. 6.159. а) а>4; б) а>2; в) а>5; г) а<2.
6.160. а) а = 5; б) а<3; в), г) не существует. 6.161. а) Не существует; б) а = 5;
21 1
в) а>5; г) а = 2. 6.162. а<2. 6.163. а>—г=. 6.164. а) 1<х<3; б) —— <х<0.
12.1 о
6.165. а) —б) -!<*<’ 6.166. а) х=1,5; в) 3,6<х<5;
2 5 4 3
г) 1<х<2,5. 6.167. а) 0,925; б) —0,5. 6.168. 1. 6.169. 5. 6.170. у<а< 1.
6.171. а< —2,5, аф—3. 6.172. а< —3. 6.173. —у<а<2. 6.174. —0,5<а<2.
6.175. 0<а<2. 6.176. 2<а<4. 6.177. 3<а<4. 6.178. а<0. 6.179. а>3.
6.180. -^-<а<1. 6.181. а = 2. 6.182. a) R; б) х<5; в) (— оо; 7)U(8; + оо).
6.183. а) х>3; б) /J; в) R\ г) х> 1. 6.184. а) х<5; б) х>3; в) — 1<х<5;
г) х> —1.6.185. a) R, б) х<5; в) х>7; г) R \ {2}. 6.186. а) ^ - оо; у[3; + оо);
б) х> —в) *<у; г) R. 6.187. б) 3<х<4, х= — 1; г) 1<х<2, 6<х<8.
6.188. а) 1<х<4, 0<х<-^-; б) — 2<х<15; в) 1<х<6; г) — 2<х^5.
О
6.199. а) 0<х<а, если а>0; а<х<0, если а<0; нет решений, если а = 0;
б) 3<х<а, если а>3; а^х^З, если а<3; х = 3, если а = 3. 6.200. а) х>^д^ ^ ,
если а<0 или а>-^-; х< а если 0<а<-^-; нет решений при а = 0,
О 0(1 — 1 о
а=-^-; б) х<—-!—, если а<_2 или а>5; х> . , если 2<а<5; нет решений
3 5 —а 5 —а
- , Ч —а , „11 —а
при а = 2, а = 5; в) х>—-— , если а< — 1 или а>3; х<—— , если — 1 <а<3;
нет решений, если а= — 1, а = 3; г) х>-—? , если 0<а<2 или а>3; х<-—! ,
а—2 а—2
если а<0 или 2<а<3; х — любое действительное число, если а = 2; нет решений
при а = 0, а = 3. 6.207. a) — 2<х< — 1, 1<х<2; б) —2<х<1, 5<х<8;
в) —2<х<5; г) 4-<х< 1, хф\. 6.208. а) 0<х<2, 4<х<6; б) —1<х<9;
о <3
2 8 10
в) х<—2 или х>3; г) х< — — ; 0<х<— ; х> —. 6.209. а) 3 —а<х<3 + а,
если а>0; нет решений, если 0; б) 2 —а<х<2+а, если а>0; х=2, если
а=0; нет решений, если а<0; в) х<—а —5 или х>а—5, если а>0; хФ— 5,
если а = 0; х — любое действительное число, если а<0; г) х< ^ ~ или ,
237
еслиа>0;х— любое действительное число, еслиа^О. 6.210. а) а<0; б)
2 5
в) а<0; г) а<—. 6.211. а) х>3; б) х<1,5; в) х<—; г) — 3<х< —1.
о «5
6.212. а) 1 <х<5; б) х<3; в) х>6; г) х<1. 6.213. а) х= — 1; б) 6<х<8,
1 8
х = 2. 6.214. а) 3<х<3,5; б) 1 ^х<2 —; в) 0<х<—; г) х>17.
О I
6.215. а) 0,5<х<2,8; б) 3<х<16; в) х<1; г) 3,5<х<4. 6.216. а) 5<х^6;
б) — 2<х<2; в) 3<х<3,5; г) 2<х<3. 6.222. а) х<—3, 1,5<х<3; б) — 1 <
<х<4-; х>\- 6.223. а) — 3<х< —1, 1 <х<3; б) х< — 5; — 2<х<2,
5
х>5. 6.224. а) а<0; б) а<(3,5; в) а>0; г) а^=9. 6.225. а) —6<а<6
б) —0,5<а<1,5. 6.226. а) ас — 6; а>6; б) ас — 1, а>3. 6.227. а) х<3
7
хф1; б) х<7, х=^5; в) х<1, х=2; г) х<—, х=5. 6.228. а) х>1; б) х 02
О
в) х<3, х = 4; г) х>2,5, х= — 3. 6.229. а) х^=5; б) х!>5, х = 2; в) х=1,5
г) х<-^-. 6.230. а) 3—\[аСхСЗ-\-л[а, если а>0; нет решений, если 0
О
— 3—л[а- —3 -\-~Jci 3
б) х<С г——, д:> г—-—, если а>0; хФ ——, если а = 0; х — любое деи-
0 0 о
- , 3 — Va — 1 ^,3 + Уа^П , з
ствительное число, если а<0; в) ^ - , если а> 1; х=-г ,
4 4 4
если а=1; нет решений, если а<1; г) х<2—-\/3 — а, х>2+^3 — а, если
ас3; х — любое действительное число, если а^иЗ: 6.231. а) х<3, если
а^З; хСЗ, хфа, если а<3; б) х<а, х = 5, если а<5; х<а, если а^5;
3 3
в) х(5?7, х=а, если а< 7; х^=7, если а ^=7; г) х>а, если ; х>а, хф —^,
если а<-у. 6.232. a) (—оо; 3]U[3; 10); б) [-2; 1,5); в) (—оо, — 3]U{3}:
г) (—4). 6.233. а) (2; + оо); б) ^ — оо; -y]lJ[5; + °°); в) (— оо; 1,2](J (2; + оо)
г) [5; + оо). 6.234. а) (-оо; -3)U{0)U(3; +оо); б) (-оо; -4]U{0)U[4; +оо)
в) (-1; 1)U(2); г) [-4; 4]U{5). 6.235. а) [3; 5]; б) (-оо; 2](J[3; 5]U[6; +оо):
в) £—3,5^; г) £—; 3,5^ (J[4; 5). 6.236. а) у>0 при х<1, х>2; р<0 прн
1 <х<2,5; в) у>0 при х< —2, х> 2; усб при —2<х<2. 6.237. а) <х<5;
О I Q
б) у<х<у; в) —2V2<x<2V2; г) -11<х<-2; 2<х< 11.
6.240. а) 3<х<4, х>4; б) —0,5; в) — 1+У5; 0; г) — 2 + У8, —2.
г) -i-. 7.12. а) 9; б) 2048; в) ; г) 8. 7.13. а) 2; б) 49; в) 512; г) 9.
У О
7'|5г> -1ST*-7лв-*» ЛП7; б» 44 ■> 4- г> '■ 7'17' г» -ол
7.18. a) -^j-; б) 1. 7.19. а) 0; б) ; в) 1; г) 13. 7.20. а) а"6";
б) 7.21. а) (За-1 + 4ft-1)". 7.22. a) ; б) . 7.23. .
7.24. 16 (p — q)4p + qf. 7.25.0,25. 7.26. 1. 7.27. a) -1,5; б) 4-; г) . 7.28. а) ±1,5;
О OZ
б>}’ -1; в> 4; 4; г> ±4- 7-м- а>1; -,2; б>1; -з; в>2; -т:
г) нет решений. 7.30. а) 1; б) 1; 3; в) 2; —; г) 3. 7.31. а) 1; б) ±1;
1 3
±-д-; в) —1; ——; г) —2; —6. 7.32. a) х>0; б) х< — 1; в) х>1,5;
Л О
г) х>0,5. 7.33. а) х> — 1, хф2\ б) х<—хф—2; в) х>0, х=^=2,5:
О
г) х>0, хфЗ. 7.34. а) 1; б) -1; в) —1; г) —2. 7.38. а) Уаб; б) 1; в) 8; г) —2.
2 ~3
7.39. а) 2; б) У2; в) 1; г) 0. 7.41. 2. 7.42. — . 7.43.
17 ' ' ‘ 2 (а— 1)'
§ 8
«я в1 4с~' ■ rl (2rf— I)2 £+2. У2-Й. Зу-У2
“ } (2с+ 3)* ’ ] 7d + 2 ■ •' ] х-Г ] *_V5 ’ 2f/—л/З
■» -йу •* ■> •> sst *> ££=
71 ёи- 8-'°- •> j£SrL; 51 ёУ ■8-"- °> -9-8Л2- *»
б) х2. 8.13. a) -1; б) 1. 8.14. a) ^L_; б) . 8.15. а) р=-2, ?=- 1.
8.16. а) а = 3, 6=6, с=—4. 8.17. а) у = 2х2 — Зх + 5; б) 17. 8.21. г) Ука¬
зание. i/= 1 — |х2 — 2|. 8.24. а) Указание. у = (х—3)2, х^З; б) Указа¬
ние. i/ = (x —З)2 при х> 3, у = х2 — 9 при х<3; в) Указание. у = х2 — 6х + 8,
х^=3. 8.25. 6 = 30; х = 4; возрастает на (—с»; 5], убывает на [5; оо); f(x)<0
при х<4, х>6; / (х) > 0 при 4<х<6; —9<f(x)<8 при 3<х<7, хф 5.
8.27. Указание. а = 2. 8.28. Указание, а) а= 10; б) а= —2. 8.29. Ука¬
зание. а) а= 1; б) а= — 4. 8.30. а = 2. Решение. yt=x2 — 2х+а =
=[т; 00 )•
= (х— 1)2 + а— 1, значит, £ (i/i) = [а— 1; оо); у2=^2х — а, значит, D (у2) =
Итак, Е (y,) = D (у2) при а—1 =-^-, т. е. при а = 2. 8.31. а<—3.
8.32. 6=4, 6 = 2,5 8.34. б) Графики не пересекаются при m< —1, одна точка
пересечения при m= —1, т=0, две точки пересечения при т> — 1, тф0.
8.35. 13. 8.36. Две точки пересечения при а>1, а<—2, три точки пересече¬
ния при а=1, а=—2; четыре точки пересечения при —2<а<1. 8.37. При
—д/3<6<—У2, У2<6<д/3 точек пересечения нет; при 6=±У2, 6 = ±д/3 од-
239
на точка пересечения; при 6<—У3, —У2<6<У2, й>У3 две точки пересе¬
чения. 8.38. — 1,75<*<0. 8.39. с = 5, с = 13. 8.40. 6= ±3, 6= ±4. 8.41. а = —,
О
а=1. 8.42. а>4. 8.43. k<— 4, £ = 5. Решение. Если 0=0, то fe = 0 или
fe = 5. В случае fe=0 уравнение имеет вид х2 —2х+1 =0, его корень х = 1 не
удовлетворяет неравенству х<— 1. В случае k=5 уравнение имеет вид
х2+8х+ 16=0, его корень х=—4< — 1. Если же £>>0, то для того, чтобы
ровно один корень уравнения удовлетворял условию х< — 1, необходимо и доста¬
точно, чтобы значение квадратного трехчлена в точке х= — 1 было отрица¬
тельно или х= — 1 являлся бы большим корнем трехчлена. В первом случае
имеем систему неравенств (к2 — 5Л>0, откуда к<_—4. Если же
ll— 2*+2 + 3*+1<0,
X] = — 1, то к = —4; тогда х2=11 и x2>xi и, значит, полученное значение пара-
3
метра условию задачи не удовлетворяет. 8.44. а> 1— . 8.45. —0,6. 8.46. а<0,
а>1,25. 8.47. б) у=—^-(х —4)2; в) i/ = 0,5x2 —х+4. 8.48. М( 1; —3). Ука¬
зание. Пусть М (х; 2х— 5), тогда f (х)=У(х + 7)2 + (2х — 6)2+ У(х + 5)2+(2х — 5)2 =
=У5 (х—1)2 + 80+-\/5 (х— 1)2 + 45. Наименьшее значение f (х) достигается при
х=1. 8.49. а) Прямую у=—х. Указание. Покажите, что х0=—р, уо = р
{p£R), где (х0; i/o)— координаты вершины параболы; б) Параболу у=х2.
8.50. р=— 2, q = 0; 1. Решение. По условию х0=1—решение уравнения
х2 -\-px-\-q = 2х —3, откуда q= —р—2. Итак, у = х2-\-рх—р — 2 — заданная функ-
2
ция, Xi = —| абсцисса вершины параболы, тогда у=—^—р — 2. Пусть
d — расстояние от вершины параболы до оси Ох, тогда cf = | i/i | = | —|-р -(-21 =
=т+р+2=(т+1)2 + 1. Наименьшее значение d равно 1 и достигается
при р= —2, в этом случае q = 0. 8.54. а) —2<х< 1; б) х = 1; в) х^ — 2;х^2.
8.55. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 8.56. а) а = 5; б) а = 2. 8.59. а) —4<х<1,
1<х<2; б) х<2; хф\\ в) х = 4; х^=5; г) 1^х^2, х = 3. 8.60. а) —^-^х^ 1,
1 2
х = 2; б) х<2, хф—, х>4; в) х<——, х=0, х^1; г) —1<х^—0,2;
О I
х=0; х=2. 8.63. а) х< —2, х1; б) 3,25; в) х<0, х>1; г) а>3,25.
8.64. б) x£R. Указание. D — (a — Ь — с) (a — ft + c) (a-f-6 — с) (a + 6 + с)<0.
8.65. a=—2. Указание. х = 2 и х = 3 — корни данного квадратного трех¬
члена. 8.66. а= — 1. 8.67. Нет решений. 8.68. x£R. 8.69. Нет решений. 8.70. x£R.
Указание. D<0 и /(3)>0, где f(x) = ax2 + x — b. 8.71. Нет решений при
Ь2 — 4ас<0, х—~^ ПРИ ft2 —4ас = 0. 8.72. а) Да; б) нет. 8.73. а) Нет; б) да.
8.74. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 8.78. а) х<— ^, 2<х<;^~^^; б) х<2,
1 3
х=6, х>10. 8.81. в) —5<х<—, х>2, хф3; г) —— s^x;gC 1, х = 3, х>5.
8.82. а) х#±У2, хф — 1; б) хф2, хф2-^-; в) хф2, хфЗ, хф4\ г) хф±2,
240
хф1. 8.83. —3; — 2; —1; 0; 1; 2. 8.84. дг>13. 8.85. 1. Указание. Ре¬
шение неравенства: — 1 <x<3, хфО, хф2. 8.88. а) х= —2; б) х = 1; в) х— —3,
1<1<2; г) х=±2, х=3. 8.89. г) —^-<*<1, хфО. 8.90. a) x£R-,
б) — 2^х^2; в) — 3<х<1,75; г) х<— 3, х>9. 8.91. а) х^ —15, —4;
б) *<1, х>1,5; в) х<1; г) х<— 3; — 2<х^0, х>\. 8.92. —
г , 2 1~Х 2^-*—Х
Указание. Сравнив выражения 1 — х и —^—, получим: 1—дг<——
1 1 х 1
при -—2” или х1 ■ 1— *2>—2— ПРИ —2"<*<'• Таким образом, ис¬
комые значения х определяются совокупностью двух систем неравенств
( -у<х<1, 8.93. 8.94. х=1, х>3.
х>1, и | 1 — * 1
, 2 1 ' 2 2’
Х~*>_2
8.95.х< —1,х = 1.8.96. а) (1,2}; б)( —°о; —А)у(—®_; ^ ^ . 8.97. а) (— оо; 2];
б) (0}и[1; ОО); в) (0)(_|[2; оо); г) {2}. 8.99. в) [-0,5; 0,5); г) [--1; 2) U{3}.
8.102. а) — 1 1, х= ±2; б) х— — 2, 1<х<3; в) 3<х<5; г) —1<х<3,
хф 1. Указание. Пусть у= \х— 11, тогда неравенство имеет вид у2 — 2у<0.
8.103. а) 0. Указание. Поскольку при любом x£R |х2+2х|^0, то из
условия, учитывая свойство транзитивности неравенств, заключаем, что х^0.
Значит, х2ф2х^0 и \х2ф2х\ =х2+ 2х; б) —8; —7; —6; ...; —1; 0; 2. Ука¬
зание. Приведите неравенство к виду \х— 1 |(|х + 3| —6)<0, откуда — 9<х<3,
хф1’, в) ±4. Указание. Неравенство равносильно системе неравенств
( 2< |х| < 5, г) 3; 4. Указание. Учитывая, что х2 — 4х + 3=|х—1I-U+3I,
\ 1*1 фЗ\
приведите неравенство к виду (|х — 11 — 1) (|х — 31 — 2)<0, откуда 0<х<1,
2<х<5. 8.106. б) 3,25, — 1,25 <*<0,75, х>2,75; в) — 3<х<0,
4^i<7. Указание. Умножение обеих частей неравенства на 2х2 —хф 1 при¬
водит к неравенству, равносильному данному. 8.107. с<—, с>1.
8.108. 12<р<14. 8.109. 0<а<2,25. 8.110. а) —6<ft< —2; б) 3; в) Ь< —6.
1 1 3
8.111. а) 0<а<28; б) —в) а< — 4; г) —— <а<0.
8.112. а) —б) 0 в) Ь< —^ ; г) 2. 8.114. a) x£R при
аф 1, хф 1 при а = 1; б) х= — 2, при а= — 2, нет решений при аф— 2; в) х= — 1А
О
при а = 2, нет решений при аф2; г) x£R при аф — 0,5, хф— 0,375 при
а=—0,5. 8.116. —1<а<1. Решение. При а> 0 система неравенств
которая не имеет решений тогда
{х2 — ахсО, равносильна системе | 0<х<а,
\х>±
I а
и только тогда, когда — , откуда (с учетом условия а>0) получаем 0<о< 1.
а
9 М. Л. Галицкий 241
При а—0 условие задачи, очевидно, выполняется. При а<0 система неравенств
{х2 — алг<0, равносильна системе | а<х<0, которая не имеет решений тогда
<И>1 г<1
и только тогда, когда — ^а, откуда (с учетом условия а<0) полу-
VT9 — 2 4
чаем — 1 ^а<0. 8.117. 0,5<а<3,5. 8.118. Таких а нет. 8.119. -— ^.а<— .
£* О
8.120. — 3<а< - 1. 8.121. а<у . 8.122. р> 1. 8.123. — 4 + 2 д/3.
Указание. Приведите неравенство к виду у2—у—^-<0, где у=\х — 1,5|,
4 8
откуда 1 <х<2. 8.124. — 2<а<—0,5. 8.125. 8.126. При *>5 оба
утверждения истинны, при fe^O оба утверждения ложны, при 0<fe^5 пер¬
вое утверждение истинно, второе ложно. Указание. Уравнение x2+(fe + 2) х +
+ 1=0 имеет два различных отрицательных корня тогда и только тогда, когда
(П>0,
fe + 2 откуда fe>0. Уравнение х2+(1 — к) х + 4 = 0 имеет два различных
2 <
( D>0,
положительных корня тогда и только тогда, когда J > и откуда fe>5.
I —>°'
8.127. в) (0; 4)U(4; оо). 8.129. а) [-2; 0]U{1,5); б) (1}U[2; 3)U(3; оо); в) (-оо; -9)(J
U(-9, — 3]U{—2)U[7; 8)U(8; оо); г) {0,5}. 8.130. б) (-оо; 3]; в) (-оо; 2,25].
8.131. а) ( —оо; 0)U(0; оо); б) (— оо; l)[j(l; оо); в) (0; 1]; г) (— оо; — 2](J
(J[2; оо). 8.132. б) [—2; оо); в) (— оо; 5]. 8.133. а) [2; оо); б) (—оо; —2];
в) [1; оо). Указание. у=-\/Зх2 — 6х+~4=УЗ (х—1)2 +1 + 1 для всех x£R\
г) [0; 1]. Указание. У = л1\ —2 (х — 2)2. 8.134. а) [ — 4; 1); б) [—1; 2);
в) [—2; 1]; г) [-1; 3]. 8.135. а) [-1; оо); б) (-оо; 1]; в) [-2; оо); г) [-4; 4].
8.136. а) [3; оо); б) [3; 12)U(12; оо); в) [6,75; оо); г) [6,75; 27)U(27; оо).
8.138. в) i/(l)= 1; г) у(l,5)=-jTj. 8.140. г) у ( — 2) = 0. 8.148. в) Нечетная;
г) четная. 8.149. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) четная. 8.150. а) Нечет¬
ная; б) четная; в) четная; г) четная. 8.151. а) у = ^]\х\; б) у = х2 — 3|х|;
в) у2=х2 — 4|х| +3; г) y — 8.152. а) у=х\х\\ б) у—— х|х|;
в) у=х(\х\ — 2); г) у= У17Г- 8.160. а) Рис. 2; б) рис. 3. 8.161. а) Рис. 4;
б) рис. 5. 8.162. ( — 4; 3), (-1-д/З; 2УЗ-3). 8.163. (0,5; 0), (2; 6), (6; 22).
8.165. а) Рис. 6. 8.166. а) Рис. 7. 8.167. б) Рис. 8. Указание. i/= |х2 —2|х||.
8.169. в) Рис. 9; г) рис. 10. 8.173. а) Рис. 11. 8.174. б) Рис. 12. 8.175. а) Ука¬
зание. у=х2+1 при х>0, у=—{х?-\-1) при х<0; б) Рис. 13. Указа-
3 х
н и е. у=— при 0<х<3, J/ = -q- при х:>3. 8.176. а) Рис. 14. Указание.
X «5
(/= |х2+х —2| при х>1, у= — |х2+х—2| при х< 1; б) Указание.
у= \х— 11 при х< —2, х>1, у= — \х— 1| при — 2<х-<1. 8.180. г) 3.
242
y=V4x2- 4-x2|x|+x*
Рис. 8
У, I
y-|2-/Fpfl|
8.186. а) 3; б) —1. 8.187. а) —1. Решение. Область определения уравне¬
ния— [— 1; оо), на данном промежутке функция r* + 3x-f-6 возрастает, зна¬
чит, возрастает функция л!хг-\-Зх + 6, откуда следует, что левая часть уравне¬
ния— возрастающая на [—1; оо) функция (как сумма двух возрастающих
функций). Правая часть уравнения — постоянная, уравнение, следовательно,
имеет не более одного решения. Корень х= — 1 легко угадать; б) 1. У к а з а н и е.
Левая часть уравнения — возрастающая на [1; оо) функция, а правая часть —
убывающая.
S9
9.1. в) —9; 1; 9; г) —4; —3; 4. 9.2. а) —2; 1; б) —1; 3; в) —2; —1,5;
г) —|-; 0,5. 9.3. а) —4; — 1; 2; б) —3; в) 0,5; г) . 9.4. а) —1. Указание.
О о
Леваи часть уравнения — возрастающая на R функция, значит, уравнение имеет
единственное решение; б) 1. Указание. Приведите уравнение ж виду
дс3+5х—6=0, далее рассуждения аналогичны рассуждениям в 4, а; в) 1;
244
г) 1; 1±л/3. 9.5. а) -2; 1; 4; б) 2; 4; в) -2; -1; 4; г) -1;
2; 4. 9.6. а) —0,25. Указание. Запишите уравнение в виде (Здс)3+(х+ 1)3=0,
далее разложите левую часть уравнении, используя формулу суммы кубов;
б) 9.9. а) -2; 1; 3, а= 1; б) —2; 1; 3, а= — 2. 9.10. а) -3; 2; а=-8.
Указание. Подставляя значение г=-3в уравнение, покажите, что а= — 8.
Левую часть уравнения разложите на множители: х3 — х2 — 8х+ 12=х3 — 2х2-\-
+ х2 — 8х+ 12== х2 (х — 2)-\-(х — 2) (х—6) = (х—2) (х2 -\-х— 6); б) -3; -2; -0,5,
-д/2±У4 у/2-2
а = 6. 9.11. а) - ^— .Указание. Разложите на множители левую
часть уравнения: х4 -\-\х— 1 =x4 + 2x2+ 1 — 2х2 + 4х — 2 = (х2 +1)2 — (-ф.х—\J2)2 =
=(х2—\j2x-\-1 +л/2) (х2+^2-х-\-1—\]2)\ б) Указание. Заменой переменной
У=~ уравнение сводится к уравнению из 4, а. 9.12. а) ±2, ±-^-; б) ±0,6;
в) —2; —1; г) —; 2. 9.13. а) ±а; ±-\/3; б) ±-\/2; при а^О; в) —а;
2; г) -2а; -3. 9.15. в) —1; 6; Ъ±^ ; г) _7; -4±V3. 9.17. а) —3;
2
4; б) —2; -д-; в) —1; 2. Указание. Введите переменную г/ = |х2 — х\\
г) —3; 1.Указание. Введите переменную у= \х2 -{-2х\. 9.21. Нет решений при
0<а< 1; одно решение при а = 0, а= 1; два решения при а<0, а> 1. Указа¬
ние. Записав уравнение в виде (х+2)4 +(х+2)2 — а2 + а = 0, покажите, что оно
2 3
равносильно совокупности уравненийГ(х + 2)2 = а — 1, 9.24. г) . 9.25. a) 1; 2;
L(jc + 2)2= —а.
б) — 1 ±-\/3; ^' Указание- Разделив обе части уравнения на х2, вве-
2
дите переменную у=х , после чего уравнение примет вид у2—у—6=0.
7 -t- -ч/ЗЗ
9.27. б) 1; 2; ^—. Указание. Разделив обе части уравнения на (х + 2)2,
х2 — 2х+4 , 3±+7 2 ±д/2
введите переменную у————. 9.29. а) ^^ . Указание.
Разделите обе части уравнения на х2, введите переменную y=2x-j-—-, тогда
(у —3) ((/ + 5) = 9, откуда {/= — 6 или (/ = 4; б) —6; —4;—• 9.30. а) 1; 2.
Указание. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х, положите
,2 24 12 R л -5±Vl3
у=х-\-—, тогда уравнение примет вид —3~~'y+~i—|-о; б) 2 •
9.31. а) 7±У34; б) 1; 4. У к а з а н и е. Разделите на х числитель и знаменатель
4 1 ±л/5
каждой дроби и положите у=х+—. 9.32. а) —. Указание. Выделяя
квадрат разности в левой части уравнения, получите (■*— f j) + ^, = 3,
2х2
+ 1/ '*+1
245
(х2 \2 2х2 х2 1+Vl3
J д—3=0, далее введите переменную У=х ; б) ^—.
9.33. а) -1; 0; 3; б) — 4; —1; 0. 9.34. а) —2; 1; б) 1; 2. 9.35. а) —1; б) —2; 0.
9.36. а) 1; 2; 4; б) —3; —1. 9.37. а) —1; 5; б) —1; 0; 3. 9.38. а) 1; 2; б) 0; 2.
9.39. х= —3 при а = 0, х=— 0,5 при а=1. 9.40. При |а|>2 иет решений, при
а=2 одно решение, при — 2<|а<2 два решения. 9.41. При |а| >-\/2 нет решений,
при |а|=-\/2 одно решение, при |а|<-\/2 два решения; х=^ ПРИ а—л/2,
х= —при а=—л/2. 9.44. а=0. Решение. Если х0— корень уравнения,
то — хо также является корнем уравнения, значит, для единственности решения
необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из уравнения получим а2 —а=0, т. е.
а=0 или а=1. Проверим достаточность каждого из полученных значений пара¬
метра: при а=0 уравнение имеет вид х‘°=0, т. е. решение единственно; при
а = 1 уравнение имеет вид х10 — \х\ =0, корнями которого являются числа ± 1 и 0.
9.45. а=1. 9.46. а) (—1; у), ydR; (х; 2), х£Л; б) (1, у), y£R-, (х; —1), х^0.
9.47. a) ("I";-!"); б) ^^ . 9.48. а) ( — 3; 2). Указание. Рас-'
сматривая уравнение как квадратное относительно х, получите £)= —(у — 2)2, от¬
куда у—2. Другой способ: умножая на 4 обе части уравнения, представьте уравне¬
ние в виде (2x-\-‘iyf -\-(у — 2)2=0; б) (1; 1). 9.49. а) (2; 1), (—2; —1). Ука¬
зание. Приведите уравнение к виду (х — 2у)2-\-(ху — 2)2 = 0; б) (2; 3), ( — 3; —2).
Указание. Приведите уравнение к виду (ху — 6)2 + (х—j/+l)2=0.
9.50. а) (— 1; 2). Р е ш е н и е. (х2 + 2х+2) (у2 — 4i/ + 6) = ((x+ 1)2+ 1) ((</—-2)2 + 2)>
1-2=2, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х= — 1 и
у = 2; б) (2; -3), (-2; -3). 9.51. а) (1; 0), (—1; 0). Указание. г*+Д.>2
для всех хфО, у/4— 1г/1<!2 для всех (/£#; б) (1; 1), (4; 16). Решение.
Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним гео¬
метрическим и неотрицательность модуля действительного числа, имеем: |2х — 5| +
9 / g
+ |5_2у|—\-4y-x\>2~\j |2х-5|^-+0=6, причем равенство досги-
9
гается только тогда, когда |2х—5| =-гг гг и уу=х, откуда находим реше-
12х—о |
иия (4; 16), (1; 1). 9.53. в) Объединение двух лучей с общим началом в точ¬
ке (0; 0): у—0 при х^0, у = 2х при х^0. 9.54. в) Объединение двух пря¬
мых у=х и у=0,5х. 9.55. г) Объединение двух прямых у= —х и у=х—4. Ука¬
зание. Записав уравнение в виде (/2+4(/+4 = х2 —4х+4, получим ((/ + 2)2 =
=(х—2)2, откуда \у+2\ = |х—21, т. е. у+2=х—2 или у+2 = 2—х.
9.56. в) Рис. 15. 9.58. б) Рис. 16; в) рис. 17. 9.59. б) Рис. 18; в) объединение
двух симметричных относительно оси Ох парабол у=х2 — 2х и у=2х—х2.
9.60. г) Рис. 19. 9.61. б) Квадрат с вершинами в точках (2; 0), (3; 1), (4; 0), (3; — 1);
г) рис. 20. 9.62. в) Объединение окружности с центром (0; 0) радиуса 2 и двух
прямых у—±х, исключая точку (0; 0). 9.63. а) Объединение ветвей гиперболы
ху= 1 и прямой у=х, исключая точку (0; 0); в) объединение ветвей гипербол
ху= ± 1 и прямых (/= ±х, исключая точку (0; 0). 9.64. а) Окружность с центром
(1; 0) радиуса 1; в) объединение двух окружностей с центрами (0; 1) ir(0; —1)
и радиусов 1; г) Указание. Запишите уравнение в виде (|х| — I)2-)-
246
Рис. 28
248
Рис. 29
Рис. 30
+(i/+2)2=4. 9.65. а) Объединение двух парабол у—х2 —2 и у= —х2. Указа¬
ние. Запишите уравнение в виде (х2 —1)2 = (</+1)2; в) рис. 21; г) рис. 22.
9.66. г) Рис. 23. 9.67. г) Рис. 24. 9.68. в) Рис. 25. 9.70. г) Рис. 26. 9.71. в) Рис. 27.
9.72. б) Точка (2; 3); г) рис. 28.9.73. а) 4л; б) 8л. 9.74. а) 2л. У к а з а и и е. Искомая
фигура — объединение двух кругов с центрами (2; 0) и (—2; 0) радиусов 1;
б) 4л. Указание. Искомая фигура — объединение четырех кругов с центрами
(1; 1), (—1; 1), (—1; — 1) и (1; —1) радиусов 1. 9.75. а) 2. Указание.
Искомая фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0; 4),
(1; 0) и (0; 0); б) 2л. Указание. Искомая фигура — часть круга с центром
(0; 0) радиуса 2, лежащая в I и III координатных углах. 9.76. а) 3. Указа¬
ние. Искомая фигура изображена на рисунке 29. 9.77. а) 4 + 2л; б) 7.
Указание. Искомая фигура — часть квадрата с вершинами (2; 0), (4; 2),
(2; 4), (0; 2), не лежащая внутри другого квадрата с вершинами (1; 0),
(2; 1), (1; 2), (0; 1). 9.78. а) 1; б) 1+0,75л. Искомая фигура изображена
на рисунке 30. 9.81. а) (4; 9); б) (7; 1); в) ( — 3; —9); г) ( — 2; —1). 9.82. а) ( — 5; 0),
(-2; 3), (0; 5); б) (3; 0), (4; -1), (6; 3); в) (3; 1); г) (1; 4), (3; 4). 9.83. а) (-5; -3),
(-4; 0), (-3; -1), (-2; 0), (-1; -3); б) (0; -5), (-6; -5), (-3; -4).
9.84. а) (-6; 2), (-1; 1), (-11; 3); б) (3; -3), (2; 2), (4; -8), (-5; 37).
9.85. а) (1; 3), (2; 4), (3; 3); б) (-3; 2), (-2; 1), (-2; 3). 9.86. а) (-2; - 1),
(—1; 0); б) (2; 0), (3; 1), (3; -1). 9.90. а) (2; 1); б) (1; 2). 9.92. а)' (3; х/7);
б) (-д/5; -2). 9.93. в) (1; 1), (1; -1); г) (1; -1), (-1; -1). 9.94. а) (5; 0),
(-3; 2); б) (1; 2), (-1; 4); в) (1; 1); г) (-1; -2). 9.95. а) (1; 2); б) (-1; 2);
в) (-10; -7), (Зу; -у), (2; 1), (—|; 2у) ; г) (0; 4), (2,4; -0,8),
(—12; -20). 9.97. а) (1,5; 5,5), (2,5; 5,5); б) (3; 0,5), (3; 1,5). 9.98. а) (х; 5 —х),
где х^З; б) (х; 6 —х), где 1<х<7. 9.99. а) (t; t), где —2<<<0; (t; — t — 4),
где —4<<<—2; б) (t; t + 2), где 0<<<3; (t; 8 —f), где 3<(<6. 9.100. у.
9.105. o =у. 9.106. a=l, Ь= — \. 9.107. a) o=4, (0; 2); 6) o = 6, (3; 0); в) o>2,
(•^p-; ; г) e<-l, °=-y . a> 1. 9.108. a) (1; 2; 3); 6) (1; -3; 2);
в) (1; 2; 5); r) (5; 4; 3). 9.109. a) (5; 5; -2); 6) (-3; 2; 4); в) (1; 2; 3; 4);
г) (1; 1; 1; 1). 9.110. a) (4; -9; —9; -3; 3); 6) (10; 9; -2,5; 3; -1).
9.116. г) (3; —1), (-3; 1). 9.117. б) (2; 0), (-1; -1). 9.120. б) (о; —о).
9.121. а) (1; 1), (1; -1); б) (1; 1), (2; 0); в) (2; 1), (2; -1), (-2; л/5), (-2; —у/5);
г) (1; 0), (0; 1), (-1; 2). 9.122. б) (3; 2), (2; 3); в) (2; 1). 9.123. а) (3; 1), (1; 3);
б) (5; 1), (-1; -5); в) (1; 1), (1; -1), (-1; ^ , (у; —f) ; г) (2; - 1),
(-2; -1). 9.124. а) (л/5; У5), (~х/б; -д/5), (3; -1), (-1; 3); б) (0; 0), (2; 2),
(-2; -2); в) (0; 0), (0; 3), (3; 3). 9.125. а) (0; 2), (2; 0), (0; -2); б) (0; 1),
(0; — 1), (— 0,5; 0). 9.126. а) (2; -1),( — 2; - 1); б) (1; 1), (— 1; -1). 9.127. а) (-4; 3),
(-4; -3); б) (1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2). 9.128. а) (-1; 2), (-1; -2),
(-4; 1), ( — 4; —1); б) (-1; 1), (—1; —1). 9.129. 0,25. 9.131. б), в), г) (2; 1),
(2; — 1), ( — 2; — 1), ( — 2; 1). 9.132. а) (0; 0),(у ;у) ; б) (3; 2), (-2; -3); в) (1; 1).
9.133. а) (1; -1), (|-; --1) ; б) (1; 2), (1; 0,5); в) (-1; 1), (х; -|) ,
249
\
где jegfl; г) (—1; 9), (4; у), где y£R. 9.134. а) (1; 1). ( — 2; —2),
/ 1+V5 1—л/5 \ / 1—л/5 1 +л/5 \ „
^—у—; — J , ^ у— ; —у— J . Указание. Вычтите из одного
уравнении системы другое; б) (2; 1), (—4; —5), (0; 3). Указание. Рас¬
смотрите разность уравнений системы и, записав полученное уравнение в виде
(х — 2)2 — (у— 1)2=0, получите у—х— 1 или у= 3 —х. 9.135. а) (—1; —1). Ука¬
зание. Сложите уравнения системы; б) (1; 1). 9.136. а) (2; 3). Указа¬
ние. Сложите уравнения системы и запишите полученное уравнение в виде
(х — 2)2+(i/ — З)2 = 0; б) нет решений. 9.137. а) (4; 1), (4; —1), (1; 2), (1; —2).
Указание. Сложите уравнения системы; б) (2; 1), (2; — 1), (1; -\/2), (1; — ~\/2)-
Указание. Рассмотрите разность уравнений системы; в) (2; 1), (—2; —1).
Указание. Сложите уравнения системы и преобразуйте полученное уравнение
к виду (2x + 3i/)2 = 49; г) (1; 1). Указание. Сложите уравнения системы и по¬
лучите х-\-у = 2. 9.138. а) (0; 1), ( — 3; 1). Указание. Рассмотрите разность
уравнений системы; б) (1; 1). Указание. Рассмотрите разность уравнений
системы. 9.139. а) (2; 1), (-2; -1); б) (1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2).
9.140. а) (2; 1), (-2; —1); б) (2; 1). 9.141. б) (3; 2); в) (1; 2), (8; 0,5); г) (2; 1).
9.142. а) (2; -1), (-2; 1), (1; -2), (-1; 2); б) (2; 1), (1; 2). 9.143. а) (2; 2),
(-у ; -г) ; б) (0; а), а€Я, (6; 1), &€#. 9.144. а) (2; 1), (-2; 1). Указа¬
ние. Перемножьте уравнения системы; б) (1; 1), (—1; —1), (1; —1), (—1; 1).
9.145. а) (1; 1), (7; —2). Указание. Почленно разделите одно уравнение
системы иа другое, предварительно преобразовав первое уравнение к виду
(x-f-Зт/) (х +1) — 8, а второе — к виду (х+Зу) (у — 2)= — 4; б) (2; 1), ( — 4; —2).
Указание. Записав систему в виде ( (х-\-у) (2х—Зу-\- 1)=6, разделите по-
( (х у) (2х 3(/+1)=2,
членно одно уравнение иа другое. 9.146. а) (3; 1), (1; 3), ( — 3; —1), (—1; —3).
Указание. Используйте равенство x4+x2i/2 + y4 = (x2 —х</ + 1/2)(х2+ху+у2);
б) ( — 2; 1), (1; —2), (2; —1), (—1; 2). 9.147. а) (2; 1). Указание. Преоб¬
разуйте систему к виду Г (x2 + i/2)(x—</) = 5, и почленно разделите одно уравнение
((х^2) (*+</)= 15
иа другое; б) (1; 2), ( — 1; —2), ^2-^2; ^ —2-\/2; —• Указаиие.
Используйте равенство х4 + 4уА — 5х2(/2=(х2+2у2+3ху) (х2 + 2у2 — 3ху).
9.149. б) (6; 7), (7; 6), (-5 +л/б; -5-л/б), (-5-л/б; -5+л/б). 9.150. а) (1; 1);
б) (-1; —1); в) (1; 1); г) (1; 1). 9.152. а) (0,5; 0,5), (0,5; —0,5), (—0,5; 0,5),
(—0,5; —0,5). Указание. Введите переменные «=|х|, v=\y\\ б) (1; 2),
(1; —2), (—1; 2), (— 1; -2), (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1). 9.153. а) (-1+л/б;
-1+л/б), (—1-т/б; -1—л/6), (2; 1), (1; 2); б) (3; 1), (1; 3). 9.154. а) (2; 2),
(— 2 + 2 л/2; -2-2 V2),( —2-2 V2; -2 + 2 л/2); б) (1; —2), (-2; 1). 9.155. а) (3; 4),
(4; 3), (11+2УЗТ; 11-2-^Г), (11-2V3T; 11+2-^Г); б) (2; 3), (3; 2),
(— З+л/З; — 3—л/3), (-З-л/З; -3+-y/3). 9.157. в) (2; 1), (-2; -1);
(-д/^;л/2Т).(-V5:“^r); Г) (_1; _1)’ (2; _1)' (-1: 2)'
9.158. б) (1; 1), (1 —л/2; 1—\/2). 9.159. а) (2; 1), (-2; —1), (1; 2), (-1; —2),
250
-VI);
6) (1; 1), (-1; -1). 9.160. a) (2; 1),
(0; 3), (— 3; 0). У к а з а н и е. Умножьте второе уравнение на 2 и сложите с первым,
полученное таким образом уравнение ивляется квадратным относительно х—у,
б) (1; 1), (-1; -1), (2VI3; , (-2лДЗ; —. 9.161. а) (0; 0). (2; 1),
( — 2; — 1), ( Указание. В случае уф0
\V*3 лДз/ V Vis Vis/
разделите обе части каждого уравнения на у и введите переменные и=х2-\-у2,
у=—; б) (1; 1). 9.162. а) (1; 2), (-2,6; —3,4); б) (1; -2). 9.163. а) (-4; 4,8),
У
(3; 0,6). Указание. Введите переменные и=х2фх, v = 3x+5у; б) нет реше¬
ний. 9.164. а) (2; 1), (1; 2); б) (4; -1); в) (2; 1), (1; 2); г) (-1; —1),
(-2+V2; -2-V2), (--2-V2; -2 + ^2). 9.165. a) (Vl0; ^ДО). (—лДО; -лДО),
(4; 2), (-4; -2); б) (2; 1), (-2; -1); в) (2; 4), (-2; -4); г) (1; 3), (-1; -3).
Г,».) ft --L). (_1; ±у ,.,67. 6,
«• « * '>• <"* ($■•$)■(-$' ~ф) ' Г> <0; <*
,Лб8- *> (ф‘ 1>: б' <1: '>• -'>•
(фрщН-фг-щ)' ” (0: "■ №
г) (1; 0), (-1; 0), (1; 1), (-1; -1). 9.169. а) (1; 1), ; б) (-4; -1);
в) (1; -1); г) (1; -1), (1,5; 0,5). 9.170. а) (1; -1), (-1; -1), (г^-; у),
(-44)= ■><-■=■к-.,-*(-£=£). (-i=-i).
,.,7,. .) ft ,). (-2, ±) . (±; -±) ; 6) (,; г«
(^Г;1 if) ■ ('Ж • ,лп"(0; 0)-(№ -зд б) (0; 0)'
(т; т)’(_т; _т)- 9173‘ а) (2; 1}’ (_2; _1)- 9174‘ а) (2л/3; ^
(-2 V3; -V3), (-2 V7; л/7), (2 л/7; —т/7); б) (8; 4), (-8; -4), (7; 1), (-7; -1).
9.175. а) (1; —1). 9.176. а) (2л/б; 2 л/б), (—2л/б; —2л/б), (8; -2), (-8; 2);
б) (—1; -1), (3; 2), (-3; -2). 9.177. а) (1; 2; —3), (3; 0; -1); б) (2; 1; -1);
в) (— 1 • 1; -1); г) (1; 2; -1), (-1; 4; 1). 9.178. а) (1; 1; 2); б) (3; 2; 1),
(-3; -2; -1). 9.179. б) (4; 1; 3), (-у; -у! у) • 9.180. а) (1; 2; -3),
(—1; —2; 3). Указание. Перемножив почленно все уравнения системы,
получите хуг= ±6; б) (1; 2; 3), (—1; —2; —3). 9.181. а) (1; 3; 2), (— 1; —3; —2);
б) (1; 2; 3). 9.182. а) (1; 1; 2); б) (-2; 1; 1), (1; 1; -2), (-1; -1; 2),
(2; —1; —1). 9.183. а) (5; 3). Указание. .Из первого уравнения следует, что
251
у^З, значит, \у\=у и \у—21— у — 2. Неравенство системы преобразуйте к виду
(у—3)2<0, откуда у=3; б) (2; 1). 9.184. (0; —1). Решение. При х=0 имеем
у= — 1. Если *<0, то (х — 2)2>4, и, учитывая, что для всех yg# (у2—1)2^0,
получаем (х—2)2 + (</2—1)2>4, т. е. первое уравнение системы решений не имеет.
9.185. (1; 1). Указание. Первое уравнение системы перепишите в виде
(х — 2у+ 1)2+(у— 1)2=0. Другой способ: первое уравнение системы рассмотрите
как квадратное относительно х, тогда £>= —(у — I)2. 9.186. (1; 1), ^ — 2-^- ; —.
Указание. Преобразуйте систему к виду f (*+у+1) (х—2у +1)=0.
1 (*+У+ 1) (2х—У + 1) = 6
9.187. (2; 1), (2; —1). Решение. Записав второе уравнение системы в виде
(х — 2)2 = 2 (у6 — 1), получим у6)5* 1, т. е. у2^ 1. С другой стороны, из второго
уравнения у2 = ^, для всех хбЛ ^ значит’ УТаким образом,
у2=1 и х=2. 9.188. (—1; 1). Решение. Записав первое уравнение систе¬
мы в виде (у— 1 )2=х2— 1, имеем х2^г 1, т. е. х^ — 1 или хО 1. Второе уравнение
системы перепишем в виде (х+у)2 =—х2—х, откуда х2+х^0, т. е. —l^x^O.
Таким образом, х= — 1, далее получаем у=1. 9.189. (2; 4). 9.190. а) (1; 1; 1);
б) (1; 1; 1; 1). Указание. Сложите уравнения системы и воспользуйтесь
тем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.
9.191. а) (2; 2; 2), (— 2; —2; —2). Указание. Условие х2 + у2 + 22 = ху + хг+уг
равносильно условию х=у = г; б) (1; 1; 1), (1; 1; —1), (1; —1; 1), (1; —1; —1),
(—1; 1; 1), (—1; 1; —1), (—1; —1; 1), (—1; —1; —1). 9.192. а) (1; 1; 1);
б) (6; 6; 6). 9.193. б) (4; 4; 0). Р е ш е и и е. Из второго уравнения системы
следует, что ху^ 16, т. е. х и у — одного знака, ио их сумма равна 8, значит,
х>0 и у>0. Используя неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим, имеем: 8=х+у2г2 -фсу 02 -\/Тб = 8, причем равенство возможно
тогда и только тогда, когда х—у = 4. Из второго уравнения находим 2 = 0.
9.194. а) (3; 1; 18); б) (1; 1; 0,5), (1; 1; —0,5). Указание. Если х>0 и у> О,
то 2=х+у+-\/1 — 4г202 Уху+-\/1 — 4г202. Равенство возможно тогда и толь¬
ко тогда, когда х=у=1 и 1—4г2 = 0. Если х<0 и у<0, то у=А
х+А< —2, и, учитывая, что У1 —4г2< 1, заключаем, что 2 = x+A_)_yi _4г*^;
^ —2+1 = — 1, получили противоречие. 9.195. а) а = 6, (3; 3); а= —6, (— 3; —3);
б) а = 2, (1; 1); а=-2, (-1; -1); в) а = 0, (-1; 2); г) а=1, (0; 1). 9.196. т= 0,
т — 2. 9.197. а) а = 2,5; б) а = 18; в) а=±0,5; г) а = 0,75. 9.198. Нет решений
при а<0,5, а>1; четыре решения при а=0,5, а = 1; восемь решений при
0,5<а<1. 9.199. а) Нет решений при а<— 3-\/2, а>3; одно решение при
а=3; два решения при —3<а<3, а=—3 -\/2; три решения при а=—3;
четыре решения при — 3-\/2<а<; — 3; б) иет решений при ас— 5 —5 л/2,
а> — 5+5 У2; одно решение при а=— 5±5-\/2; два решения при — 5 — 5-\/2<
<а<— 5 + 5V2. 9.200. а=— 2, (0; —2), (УЗ; 1), (--Д 1). 9.201. р= ±У2,
Р=±У3. 9.204. ( —а —3; 0), (а2 + 3а; а2 + За + 2). 9.205. а=1, (2; J). Указа-
п , ( (х+у—3)2=а—1 2+-\/3
ние. Преобразуйте систему к виду J ) (2 9.206. а О—■
[ (х У 1) =1 О- 2
252
г
i4
\
\
9.207. а = ± 1, а— ±3. 9.208. а = 4, (0,6; 0,8); а = 6,
(-0,6; -0,8). 9.209. а=2,4, (1,44; 1,92). 9.210. (2; 3),
(0; -7). 9.211. а = 2, (3; 4), (-1; 0). 9.212. (1,5; 9).
9.213. b — r = 0,5; (1; 0), (0,6; 0,8). 9.214. Рис. 31.
Указание. Первое уравнение системы является
уравнением окружности с центром (0; 0) радиусом |а|,
второе — уравнением прямой у = Ь — х. Если |Ь| =
=д/2|а|, то прямая касается окружности, т. е. систе¬
ма имеет единственное решение. Если 161 <-\/2|а|, то
прямая пересекает окружность, т. е. система имеет
два решения. Если |Ь| >-\/2|а|, то прямая и окруж¬
ность не пересекаются и система решений не имеет. Итак,
|b|<V2|e|. 9.215.а = 2. Решение. Если (*0; Уо) — решение системы, то ( — х0\ у0)
также является ее решением. Значит, для единственности решения необходимо,
чтобы ха = —Ха, т. е. решение имело вид (0; у а)- Подставляя пару чисел (0; уо) во
второе уравнение системы, получим i/o=±l; из первого уравнения соответствен¬
но получим а = 2, а = 0. Проверим достаточность полученных условий. При
о = 0 система принимает вид (У=^х 1 — '> оиа имеет три решения (0; — 1),
1*2+г/2=1,
(1; 0), (—1; 0). При а = 2 система принимает вид ( у = 2х*-\-\х\ +1,
Рис. 31
{ i
{x2+y2=i,
она имеет
единственное решение (0; 1), так как для всех x£R у = 2х4 + 1*1 +1 > 1 (равенство
при х = 0), с другой стороны (из второго уравнения) у2 = 1 — х2<: 1, т. е.
— 1 sSTpsg; 1, значит, у=1.
§ Ю
з
10.2. 1— кг. 10.3. 53%. 10.4. 90 р., 135 р. 10.5. Цена первого тома 2 р., второго
«А
тома 1,5 р. 10.8. 3 м, 6 м. 10.9. 35. Решение. Пусть л— количество уча¬
щихся, k — количество неуспевающих. Тогда 2,5<!-~ 100<!2,9, откуда
14
40А (1). При А=1 имеем 34—<!л<:40, т. е. минимально возможное
число учащихся равно 35. При А^2 все значения л, удовлетворяющие нера¬
венству (1), не соответствуют смыслу задачи (л — количество учащихся в клас¬
се). 10.12. 36. 10.16. 63. 10.19. 39 к. Решение. Пусть х к. стоит пенал,
{x + i/ = 40,
i/ + z= 12, Из даи-
x + z + 2< = 50.
ной системы уравнений необходимо определить x-\-t. Для этого, сложив почлен¬
но все уравнения системы, получим x+y-\-z + t = b\, и поскольку у-\-г—12, то
x+t=39. 10.20. 65. 10.21. 11 человек получили оценку 2, 7 человек — оценку 3,
10 человек — оценку 4, 2 человека — оценку 5. 10.22. 11 лип, 5 берез. 10.23. 9 де-
вятиэтажиых, 8 шестиадцатиэтажных. 10.24. 6. Решение. Пусть х — коли¬
чество трехкопеечных, у — количество пятикопеечных монет. Тогда
253
3jc + 5i/ = 53, (1)
jc+{/<15, (2) Сложив почленно уравнение (1) и неравенство (3), полу-
CQ
3» + 5*>у|. (3).
( 2 \ 1
чим 8 (x + i/)>53^ 1 +-g-} • т-е. jc + i/>11 —. Учитывая условие (2) и то, что
x + y£Z, имеем три возможности: ( х-\-у=\2, (данная система не имеет целых ре-
\3x + 5i/ = 53
шеиий), ( х-\-у=\3, откуда х=6, ( х-\-у=\4 (данная система ие имеет це-
| 3х + 5у = 53, | 3x + 5i/ = 53
лых решений). 10.25. 2 тройки, 7 четверок. 10.27. 1 кг, 7 кг. 10.28. 21°, 42°.
Указание. Если температура воды в первом сосуде х°, а во втором у°, то
= 35 и =33. 10.29. 1,64 кг, 1,86 кг. Указание. Пусть в пер-
хА-у
вом сосуде содержится х кг кислоты, а во втором — у кг. Тогда —^ =0,35.
ах ау
4 6 х у
Если взять по а кг каждого раствора, то =0,36, т. е. — —§- = 0,72.
2а 4 6
10.31. тП— г. 10.32. 3; 4; 15. Указание. Пусть х — количество первой
т + л 1
12 2 1
смеси, у — второй и г — третьей. Тогда Л=—х+—z, В=-т-х-\—-г-у,
«э о о 4
з 1 I (т*+Тг):(тдс+Ту) = П:3,
C=-^-i/+yZ. Имеем систему а / \ л ч/
{
(тх+тг)(ту+тг)=П:8'
откуда х:г=1:5 и i/:z = 4:15. 10.33. 21уу мии. 10.34. м — длина обода
ас
переднего колеса, —— м — длина обода заднего колеса. 10.35. 50 ступеиек.
10.36. 4 км/ч. 10.37. 14 км/ч, 2 км/ч, 10.38. 4 ч, 1-^- ч. 10.39. 12 ч, 15 ч.
10.40. 75 ч, 50 ч. 10.41. 9 ч. 10.42. 60 км/ч, 100 км/ч. 10.43. Не более 20 км/ч.
Решение. Пусть и км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, тогда
60 . _ / 4 , 60 — v \
— ч — время, затраченное на путь от А до В, —р_|_4 ) 4 — время, за-
„ . 4 60 — о 60
траченное на путь от В до А. Имеем неравенство —-| —— gC— , откуда с
учетом, что и>0, получаем о2+16о—720^0, т. е. 0<о<:20. 10.44. 10 км.
Указание. Пусть v\ км/ч, аг км/ч — скорости первого и второго туристов
ЛОТ ' ' ' п с 2s ,
соответственно, s км — расстояние АВ. Тогда =-—, s = 2,5j>2 и -— 4-
«г vi 12 5oi
+4н——=—. 10.45.4 км. 10.46. 30 км, 6 км/ч, 4 км/ч. 10.47.^35 км/ч,
Ь Vi V2 ш
15 км/ч. 10.48. 5 km<s<10 км. 10.49. 3. 10.50. 8 км. 10.51. 1,125. Указание.
Пусть v\, V2, V3 — скорости первого, второго и третьего автомобилей соответ-
254
У1 3 Уо Г7-1 4 fJ-a 3
ствеиио, тогда — —=— и —-2 =2, откуда ^=-1 и ^-=4 . Таким об-
*У1—Уз 2 2Уг—Уз У1 3 У2 2
V\ 3 4 9
разом, . Ю.52. 60 км/ч. Указание. Скорость машины х км/ч
2 46 до зо
и скорость пешехода у км/ч удовлетворяют системе уравнений 2—р-—(-—=1
11 46 - 30—11 2
и— =2-^-. 10.53. 1 м/с. Указание. Пусть х м/с, I/ м/с
уХ о
и г м/с — скорости первого, второго и третьего пловцов соответственно, s м —
эасстояиие AC. Toi
55—15 55+15
аг> т s s _ s , 55 — 9 55 + 9 , г
расстояние ЛС. Тогда имеем систему —=—+ 5=—+10, —-—=—j 1-5,
-+10. 10.54. 5 км/ч<о<10 км/ч. Решение. Пусть че¬
рез 1 ч плот окажется в точке В, а встреча произошла в точке С. Требуется опреде-
(АС АС \
10 + и ' 10 — * / > ^
ВС
Выразим АС через у: —ч — время, за которое плот проплыл расстояние ВС,
ВС ~\~v аг>
-ч — время, за которое катер проплыл расстояние Л С, тогда
10+у
ВС BC + v откуда вс=\- и ЛС = о+^г=10^-—. Подставляя иайдеи-
v ~ Ю + ц ’ Ю МО 10
ное значение АС в неравенство (*), после преобразований получим о2+25о—
— 150>0, откуда о>5. Кроме того, из условия очевидно, что и< 10. 10.55. 240 км.
10.56. 290 км, 2 км/ч. 10.57. 2,5 км/ч, 1,5 км/ч. 10.58. 15 км/ч, 3 км/ч.
10.59. 360 м, 12 м/с, 3 м/с. Указание. Пусть х м/с и у м/с — скорости
точек, s м — длина большей дуги окружности, тогда имеет место система
уравнений m*+10*/= 150,
14х + 14i/=s,
s+150 90
х ~ У '
10.60. 15 с, 18 с. Указание. Пусть х и у — скорости точек, с — длина окруж¬
ности (расстояние измеряется в единицах длины, время — в секундах). Тогда
--— = 3,
их с с
" решая систему относительно <i =— и <2=—, находим <1 =
90* — 90f/ — с\ х у
= 15 с, <2=18 с. 10.61. 36 мин, 45 мни. Указание. Пусть s — длина коль¬
цевой дороги, <1 ч и <2 ч — время прохождения дороги каждым из автомобилей
r3.f-3.f = s,
(для определенности считаем ti<t2). Тогда < , 1 . 2 откуда <|=0,6 и
Цг+ТГ/'Т”®*
<2 = 0,75. 10.62. 6 ящиков, 15 ящиков. 10.63. 14 м/ч, 18 м/ч. 10.64. 9 ч, 6 ч или
4 ч 48 мии, 14 ч 24 мин. 10.65. 10 ч, 15 ч. 10.66. 9 ч. Указание. Пусть
производительность первого и второго рабочего х дет/ч и у дет/ч соответствеи-
60 60
но, тогда х+У=30 и =3, откуда у= 10. 10.67. Зч. Указание. Пусть
У х
255
I
первая машинистка может напечатать главу за х ч, а вторая — за у ч, тогда
1 1 5 8 6 1
1 =— и 1 =2. Искомое число часов равно — о. 10.68. 4,5 м3, 1,5 м3.
х у 18 х у 3
Указание. Если за 1 ч из большей трубы поступает х м3 воды, а из меиьшей —
у м3 воды, то Зх + Зо=18 и -^-=6. 10.69. -J-. 10.70. 8 ч, 6 ч. 10.71. Пер-
х у 9
вый токарь. 10.72. 60%. Решение. Пусть х, у и г — производительности пер¬
вого, второго н третьего участников соответственно, тогда ( x-\-y-\-z = \,b (х-\-у),
\4(х+г)=12у.
Разделив иа х каждое уравнение системы, получим систему двух линейных
уравнений относительно и , из которой ~="|" - т- е. у составляет 60% от х.
10.73. В 4 раза. Указание. Пусть х, у и z — количества деталей, которые
изготовляют в час соответственно первая, вторая и третья бригады. Тогда
x + {/ + z = 0,5x-)-0,5i/-b4z и х+у=2(у + г), откуда х:г = 4. 10.74. 1,5 дия.
Указание. Из условия следует, что А+2Б+В=-^-, В + 2Г =-^- и Б+В-)-Г =
2 О
=-^-. Складывая почленно первое и второе равенства и вычитая третье,
2
получаем А+Б + В = -д-. 10.75. 3 ч. 10.76. 2 м3. Указание. Если емкость
бака V м3, пропускные способности первой и второй труб х м3/ч и у м3/ч coot¬
ie V V Л-2 2 V
ветствеино, то = 1, ;— = — и х — = 3. 10.77. 6 ч. Указание.
У * V-L— Х У
3
Пусть первый трактор может вспахать все поле за х ч, второй — за у ч, тогда
их 2 /1 1 \
4' = ^' Если тракторы работали вместе t ч, то + =
-^-+(1 + 0,4)^ — —-) = !■ Исключив t из двух последних уравнений, получим
и х
Ъх = 2у. Решив систему уравнений 8х—2у и —=3, получим х=12, I/ = 18.
После чего находим 1=6. 10.78. 5 деталей в час. Указание. Если производи-
30 , 60 35 , 90 35 _ г
тельность ученика х деталей в час, то -—p.- - v~k= 1- 1 и -—— =0,5.
2Х 2Х “р 2 X 2.Х 2 X
Решая полученную систему двух уравнений с одной переменной, получим х=5.
10.79. 160 деталей. 10.80. 13 деталей, 11 деталей. 10.81. 100 м3, 140 м3.
10.82. 10 ч, 6 ч. 10.83. £ V, 2V.
ID
§ п
11.5. в) -3<х<2; г) хф ±2. 11.6. б) а>0, аф 1; в) а< —1. 11.9. а)
±V6; б) V5; — V2; в) ±S/7; г) — V5; V3- н.11. а) 2< V“<2,5; б) 0,01 <$<0,6.
11.12. a) -3<V“<3,5; б) —0,8 <Vas£-0,44. 11.13. б) минус; г) минус.
11.14. г) -2<х<79. 11.16. а) x<-V3, — V2<x<V2,x>V3; б) —V7<x<V§;
256
У;
I
X
II
>>
0
1
X
Рис. 32
в) —V5<x<V5; г) х<—У4; х>—Щ. П.17. е) Рис. 32. П.18. д) Рис. 33.
11.21. а) 2; б) —2. 11.25. в) —аЬ%[Ь\ г) аЬ\[а>. 11.26. а) — 3a|63|c2V3;
б) 2a26|c3lV2; в) a\b\c2\fas; г) |ab|c2V*C- 11.27. а) —а |Ь| У—а;
б) — |a|ft V—в) —а 1*1 с2 V—as; г) \ab\ c2,\j — bc. 11.31. а) б) —V —*5;
в) — V2а* при a^O, У 2а4 при а<0, г) УЗЬ6 при О, —УЗЬ6 при Ь<О.
11.32. а) \[аьЬ4 при 6^0, —\jabbA при Ь<0;
_1_
3 '
1+V*
V* ’
— 1У — а'°Ь" при а<0. 11.37. в) 3; г)
11.39. а) 2; б) 2; в) 4; г) 3. 11.43. б)
г) 'V-a'V1 при а>О,
11.38. а) 1; б) —1; в) 1; г) -1.
где Ьф\. 11.45. г) 9 —ЗУ2 +
+ У4. 11.48.6) 0,5(2—V8). 11.49.3) 4е; б) 1. 11.50. а) 1;3\^;б) 0. 11.51. а) 8; б) 81.
11.52. а) — 1990; б) 31. 11.56. б) Рис. 34. 11.57. Решение, а) Дважды применяя
соответствующее неравенство для двух положительных чисел, имеем:
a+b-\-c+d
б) I способ. Для доказательства неравенства -^yabc
6--3
дЗ „3
положим
а = дс .
(х У zf = х3 у3 г3 -\-3xy (x + i/ + z) + 3xz (x + i/ + z) + 3i/z (x+y + z)— 3xyz, то
имеем x3 + i/3 + z3 — 3xi/z=(x + i/ + z)3 — 3 (x+i/ + z) (xi/ + xz + i/z) = (x + i/+z)X
X((x + i/ + z)2 — 3jci/ — 3xz — 3{/z) = (x + i/ + z) (x2 + p2 + z2 — xp — xz — yz)>0, так как
x>0, y>0 и z>0 (по условию числа a, b и с — положительные) и очевидное
у=/-^)Г2-4|х|+4
Рис. 34
\ 257
неравенство (х—yf+(jy—z)2 + (z —xf^O равносильно неравенству x2+i/2+z2 —
— xy — xz — yz^O. Заметим, что неравенство вырождается в равенство тогда и
только тогда, когда x=i/ = z, т. е. при а = 6 = с. II с п о с о б. В неравенстве
^ 4~2^УхУг*' которое доказано в пункте а, положим а=х, b=y, c=z и
л л д * % У t й-\-Ь-\-с
будем подбирать число t так, чтобы —L-2-^ = ——, откуда t =
a + b+c+a+.b±c
=а+ь+£. имеем a + b + c=x+y+z±l= -
>
г^аЬсЩИ. Тогда (^±|±£)4>а6с^±£±-С, т. е. (-£±±±С)Ь>аЬс
или а~Ь^+с ^УаЬс. 11.58. 2+Уа£, где а+=±1. 11.60. 2 при а^О, fc^O, а+=6.
11.65. х>0, хф 1. 11.66. Указание. Исходное выражение тождественно равно
2\[у. 11.70. 9х2 + 66х — 23 = 0. Указание. а=у. 6 = — 7-|-. 11.71. Указа¬
ние. Число 19891"1 оканчивается на 9, число 463462 оканчивается на 9, значит, а
делится на 6 = 10. 11.72. в) х<—у/З, х>д/3; г) —У5<+<!-\/5. 11.73. в) х =
= 0, 2<*<3; г) 0<*<5. 11.74. а) 8; б) 4^/2; в) 0,5(Зд/3+1); г) нет решений.
11.75. а) ±3; б) нет решений; в) — УГ2; г) ±1. 11.76. в) (40, 117}
11.77. б) (у, *yj- 4.78. г) ( — 0,148, 3,22). 11.79. в) Плюс; г) минус. 11.82. а) —1;
б) 2; в) 0; 2; 1; г) -1. 11.85. а) 4; б) 3. 11.89. а) a“2 + a2-25; б) 64-6~42.
J-T-. 11.96. -г—!- 2
8а6 2 а—а2
11.94. • 11.96. J— , 0<а < 2. а) Да, при а — 1. б) нет. 11.97. Нет. Ука¬
зание. Данное выражение тождественно равно т3 . 11.98. а + 6, где а>0, 6>0.
11.99. а+6, где а>0, 6>0. 11.100. —~\/——гт- где а+6>0, а—6>0, ЬфО.
V а+ь
10.101. Указание. Данное выражение тождественно равно 0,2. 11.102. Ука¬
зание. Данное выражение тождественно равно 1. 11.103. Указание. Данное
выражение тождественно равно 2. 11.104. 2 (6 + а), где а>0, 6>0, афЬ. 11.105. а,
где а>0; 6>0. 11.106. —2—! , где х>0. 11.107. л[х-\-л[у—л[г\ 463.
х1 (1 —х)
11.108. Указание. Разность дробей левой и правой частей неравенства равна
2. 11
2—х4. Поскольку для всех х>0 имеет место х4 >0, то 2—х4 <2. 11.109. Ука¬
зание. Разность левой и правой частей неравенства равна ^/Зх. 11.110. Указа¬
ние. Левая часть неравенства тождественно равна (6 +1) (б 2 + 4)2. Для всех 6 > 0
(область определения) имеем6 + 1>1 и (б 2 +4)2>42, откуда (6 + 1)(б *+4)2>
> 16. 11.111. x£R, хф 0, хф ±1. Указание. Левая часть неравенства тождест¬
венно равна -\/2.11.112. а) 5 л[Ъ\ б) 1. 11.113. а<0, а=2. 11.114. Приа= — 1,5, а>0
одно решение; x=Sj243; при а<10, аФ — 1,5 два решения; x=Sj243, x=V— 32а6.
258
И. 119. в) Равносильны. П.121. в) — 1; г) 0,75. 11.122. а) 0,5(1+У5);б) 0,5(1—-у/5);
в) —2. Указание. Поскольку х<!1, то |х— 21 = 2 — х. 11.125. в) 1±-\/б;
г) -1, 2; 0,1(5±УШ). 11.127. в) 3; г) —1. 11.128. а) 1; б) 4; в) 3; г) — 1.
11.129. а) 1; б) —1; в) 2; г) 1. 11.133. в) х=а при а^О, нет решений при а<0.
11.134. а) 3; б) 0,25; в) 6; 12; г) 0; 3; 4. 11.136. а) 3; 6; б) —1; в) 12; г) 1.
11.137. а) 2. 11.139. а) 6; б) —2; в) 15 + ^ . г) 9 ,, ,*0 в) _1£. ,.3_.
г) 0,5. 11.141. в) 0. Указание. Область определения уравнения состоит из од¬
ной точки 0; г) 3. 11.142. а) Нет решений. Решение. Область определения
уравнения; х;>3. Переписав уравнение в виде -\/х+-\/х —3 =2 — лг, заметим, что
2 —х;>0, т. е. х<!2. 11.143. а) Нет решений. Указание. У5 + 4х — х2 =
=У9 — (х — 2)s<:3, равенство достигается при х = 2, х2 — 2х + 4 = (х —1)2 + 3^3,
равенство достигается при х= 1; б) 1. 11.144. а) 2. Решение. Для всех х6R
имеем -\/12 — х2 + 4х=-\/16 — (х — 2)2<!4, причем равенство достигается при лг = 2.
Заметим, что х2 — 2х+2 = (х — 1)2 +1 > 0 для всех х£R, тогда, используя неравенст-
4 I I 4
во Коши, имеем х2 — 2х-\-2-\--г—-——;>2-v /(х —2x + 2)--j—о Т'4 = ^’ ПРИ'
X — сХ “1“ л V X ~~~ &Х —р X
чем равенство достигается при х = 0 и х = 2. Таким образом, х = 2 — корень исход¬
ного уравнения; б) 2. Решение. Область определения уравнения задается
неравенством 4х — х2^0, т. е. 0О<!4. Заметим, что У4х—х5 = У4— (х — 2)2 <|2,
равенство достигается при х = 2. Таким образом, получаем, что х3 —12х+18<i2,
т. е. х3 —12х+16<0, откуда (х —2)2 (х + 4)<!0 и х<!— 4 или х=2. Учитывая об¬
ласть определения уравнения, заключаем, что х = 2 — корень исходного уравнения.
11.146. в) 0<х< 1; г) — 2<х<0, 1<х<3. 11.149. в) х>3; г) -1,75<х< — 1,
х>7. 11.151. а) х= 1, х>2; б) х< — 3, х = 2; в) *>4,5; г) х< —1,75,
х = 0,6. 11.153. г) х<: —9, х = 0. 11.155. б) — 1 0<24. Указание. Положив
V*+i=y, запишите данное неравенство в виде у2 — 3у —10С0.
§ 12
12.4. д) (— 1Г+1 -2; е) (-1)л+1+2; з) и) 13л+6; к) 124-25л;
л2
л) 2п_у м) (2л —1)-2л; н) л!; о) 3-2л; п) п2 + (-1)л; р) 3"-2л. 12.8. а) а2 = 20;
б) а2 = 28. У к а з а н и е. а„<0 при л ^5; в) а3 = 47; г) а2 = 0,25. Указание.
=~i~’ пРичем Равенстводостигается прил = 2. 12.9. а) ав = а9=—51;
б) а4= — 3. У к а з а н и е. ai = a3 = a5 = 0, а„>0 при л >5; в) а2= 12. 12.10. Ука¬
зание. Последовательность убывает, причем a„> 1 для любого n£N. 12.11. Ука¬
зание. Последовательность возрастает, причем Ьп<2 для любого л6N.
12.12. а) Ограничена сверху; б) ограничена снизу; в), г), д) ограничена; е) не огра¬
ничена; ж), з) ограничена снизу; и) не ограничена. 12.13. Число 1— наименьшая
верхняя граница. Указание. a2= 1. 12.15. Да. 12.16. а) k3 + k2-\-k; б) ft5 + A4-(-
+ k3 + k2. 12.17. 0,5(1 +(— 1)л+|). 12.21. а) Да, л = 7; б) нет. 12.22. Да, л = 9.
12.23. а\, а-2, аз. 12.24. 4; 5; 6. 12.25. ^.Указание. Покажите, что неравенство
у„>2 выполняется при л<1— У§, л:>1-|-Уб, 1 — У2<п< 1 +У2, и учтите, что
259
n£N. 12.26. 6. Указание. £ (i/)=( ~ 00 i Из условия |3л — 161 =SS8-|p с уче¬
том того, что п — натуральное, получите возможные значения п: 3, 4, 5, 6, 7, 8.
12.27. Да, а6. 12.28. 41. Решение. Если п — четное, то х„ = .■ ^ , решая
10л —9
относительно л неравенство 0,02 <х„<: 0,22, находим л = 6, 8,..., 50 (всего 23 значе¬
ния). Если л — нечетное, то Xn=~iQ^—в этом случае из соответствующего
неравенства получаем л = 5, 7 39 (всего 18 значений). 12.30. Нет. 12.31. Нет
Указание. Используйте то, что л3 —л кратно 6. 12.32. а) 12; б) 122. 12.77. У к а
з а н и е. Докажите, что ип = 3"+1. 12.78. Указание. Докажите, что и„ = 4а— 1
12.79. Указание. Докажите, что ип = (2п — I)2. 12.83. а\ = —6; d — 4 или at = 18
d = -4. 12.84. 8. 12.85. —0,25. 12.86. —8. 12.87. а) Да; б) нет. 12.89. 125. 12.90. 195.
49 ( 51
12.91. Принадлежит. У к а з а н и е. , £s=^ — оо; —J . 12.92.9, 10, 11, 12.
12.93. а = 2, d = 4. Указание. В равенство ■■■■ ~^~а" =2л, справедли¬
вое для любого натурального л, подставьте л = 1 и л =2 и найдите а, и d. Проверкой
убедитесь, что в прогрессии с найденным первым членом 2 и разностью 4 выполня¬
ется требуемое условие. 12.94. 392.12.95. — 35. 12.96.450. 12.97. 12380. Указание.
Числа, встречающиеся в обеих прогрессиях, образуют арифметическую прогрес¬
сию с первым членом 17 н разностью 15. 12.98. 116. 12.99. 14 или 35. У к а з а н и е.
а= — 12, d=0,5. 12.100. а=10, 5 = 88. 12.102. а), б) Нет. 12.103. Нет. Указа¬
ние. Если в прогрессии есть одни квадрат целого числа, то их (квадратов) — бес¬
конечно много. 12.104. 10; 12; 14; 16; 18. 12.105. 15. У к а з а и и е. Если на стороне
треугольника расположено х шаров, то 0,5* (х + 1) = х (х — 2). 12.106. 11 мин.
Указание. Пусть встреча состоится через х мни, тогда 0,5 (2-1,5 + 0,5 (х— 1)) +
+ 5х = 99. 12.107. 1. 12.108. —1, 0, 1, 2. Решение. Из условия имеем:
a-\-3d = а2 -\-(a-\-d)2-\-(a-\-2d)2, откуда 3a2+a(6d —1)+5d2 — 3d = 0. Требование
неотрицательности дискриминанта квадратного относительно а уравнения приводит
12 1 -J | Qft
к неравенству 24d2— 24d—1<!0. Так как rf>0, то получаем 0<d<— .
«4
12 1 ~J 168
Поскольку d — целое и 1< ^ <2, то d— 1. Тогда 3a2 + 5a + 2 = 0, и
ввиду того, что а—целое, находим а= — 1. 12.109. 3. 12.110. 0,2. Указа¬
ние. Из условия S3n = S4„ — S3n получите 2a = d(\—n). В этом случае
S2n 2a+d(2n— 1) dn v
тг—п——пт: rr=p-r-=0,2. 12.111. 13. Указание. Из условии
St„ — S2n 2a-\-d(6n— 1) Ып
Д = —0,5 и —5 =3 получите равенства 6a+1 ld-\-nd=0 и 2a — 5d +
S„ — Sn—7 £n-
-\-nd — 0. Исключив из полученных соотношений а, покажите, что 2nd = 26+ откуда
(с учетом rf+=0) п = 13. 12.112. 0,5 д/З см. 12.113. 1 см. 12.115. 24 ч. 12.116^ еше-
н и е. Биквадратное уравнение имеет две пары корней, попарно равных по модулю
и противоположных по знаку —Xi, —Хг, хг, Х\. Поскольку корни образуют арифме¬
тическую профессию, то 2х2 = Х\—Хг, т. е. Ъхг=Х\. Кроме того, х2 + х2 =—р и
260
x\-X2 = q. Имеем — p= 10x1, q = 9x\. Значит, 9p2 —100</. 12.117. — 9-^-. 12.119. 0 оч¬
ков. Решение. Общее количество игр равно 0,5л (л — 1), значит количество
очков, набранных всеми командами, равно л (л— 1). Пусть последняя команда на¬
брала х очков, d — разность прогрессии, тогда 0,5(2х + ^(л—1))л — количество
очков, набранных всеми командами. Из уравнения л (л — 1) = 0,5(2x + d)-(n — 1)
находим 2х = (л —1)(2 — d), поскольку d~^2 и л^1, то х<!0, значит, х = 0.
12.120. 25. 12.121. —51 или 510. 12.122. 1; —2; 4 или 4; —2; 1. 12.123. Да.
12.124. —0,5. 12.125. 8192. 12.126. Нет, например последовательность 1; 3; 1; 3; ... .
12.127. а) Нет; б) нет. 12.128. 1у. 12.129. 2. 12.130. 64. 12.131. а = 2, 6 = 32 или
а = — 18, 6= —288. 12.132. а= —5, 6 = — 10, или а = 5, 6 = 10, нли а= — 5, 6 = 10,
или а = 5, Ь= — 10. 12.133. 38. Указание. Из условий S,, =0,125 (S„ — S„-n)
и S„ — Se = 2Sn — 9 получите равенства qn~11 =8 и <?9=2. Таким образом, qn~11 =q21,
т. е. л = 38. 12.134. Решение. Заметим, что х= —2 — корень уравнения, причем
областью определения уравнения является отрезок [ — 2, 2\ значит, х= — 2 —
меньший корень. Итак, Ь\= — 2, 6, -\-b>qi-\-biq6= — 2 (1 + q3 + <f) =
.yi+у?
= -2((<73 + 0,5)2 + 0,75)<-2-0,75= —1,5. 12.135. Могут, у*
12.136. ~^2~ - <q< ■ 12.137. <? = ctg2 (45°-^) . 12.138. 1-^.
12.139. 60 р.; 90 р. 12.140. 18 к. 12.142. 12%, 24%, 48%. 12.143. 600 м/мин. 12.144. Да.
12.145. 3. 12.146. Больше сумма геометрической прогрессии. 12.147. —2. 12.148. 27.
12.149. 10 или 70. 12.150. 12,4 нли 2. 12.151. 1; 5; 9 или 17; 5; —7. 12.152. 18; —6; 2
или 2; —6; 18. 12.153. 9. 12.154. 2; 6; 18; 30 или 32; 16; 8; 0. 12.155. 421. 12.156. 2; 5;
8; ... и 3; 6; 12; ... или Щ; ^... н А; ... . 12.157. 3-2у/2;
1; 3 + 2д/2. 12.160. 0,2. 12.161. 842 или 248. 12.162. 6 рыб. 12.163. —500 000.
12.164. 1886. 12.165. 35 392. 12.166. 577 203. Указание. Искомая сумма есть
разность суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 1112, и суммы всех
натуральных чисел до 1112, делящихся на 15. 12.167. 6735. Указание. Рас¬
смотрите случаи я = 56, л = 56 + 1, л = 56 + 2, л = 5А+3 и л = 56 + 4, покажи¬
те, что лишь в случае л = 5А + 2, где k — целое неотрицательное число, числа
вида Зл4-1 дают прн делении на 5 остаток 2. Далее найдите сумму тридцати
первых членов арифметической прогрессии с первым членом 7 и разностью 15.
12.168. 12 145. 12.169. —8k2 —4k. 12.170. ■ 12.172. " +12.
Ik— 1 о
12.173. П(2п-‘3)(2п + 1) . 12.174. П("+1Н"+2) . 12.175. л2(л + 1). 12.176. л3 +
+ 3л2 + 3л. 12.177. <!1<!+1)(^2-^-2) ,2Л78_ о,25л2 (л +1)2. 12.179. i лХ
Х(л+ 1) (я + 2) (Зл + 5). Решение. Поскольку а, = 1 -22=(2— 1)-22 = 23 —22,
а2 = 2-32 = (3- 1).32 = 33-32, ..., а„ = л(л + 1)2=((л + 1)-1)(л+1)2 = (л + 1)3-
— (л + 1)2, то а,+а2 + аз + ... + а„ = (23 + 33 + ...-)-(п + 1)3) —(22 + 32 + ... + (п+1)2)=
=(13 + 23 + 33 + ... + (л + 1)3)-(12 + 22 + 32 + ... + (л + 1)2) = 1П + 1^п + 2)2
261
_(л + 1) (л +2) (2л +3) = 1 Д 12_180_ л (п + 1)(6^2 2п— 1)
о 12 о
12.181. п ~1~——!1. 12.182. —т-т-. Указание. Используйте ра-
6 л + 1
веиство , =4 r-U-. 12.184. —-L-— . 12.186. "2 + 3п
A(A + l) A А+1 ' ' 5 (6ft+ 5) ' 4 (л + 1) (л +2) '
Указание. Используйте равенство Г(—Цк+i) ~
Указание. Используйте ра-
1 \ ,2I87 ЗА2 + 7А
(A +1) (А+ 2) / ’ ‘ ' 20 (ЗА+ 2) (ЗА+ 5) ’
1 _L( ! ! )
6 \ (Зл —1)(Зя+2) (Зп +2)(Зп + 5) /
веиство
(Зл-1)(Зл+2)(Зл + 5) — 6 \ (Зл — 1)(Зл+2) (Зл+2)(Зл + 5)
12.189. (А +1)! — 1. Решение. Ы!+2-2!+3.3!+...+А-А!=(2-1)-1! +
+ (3—1)-2!+(4—1)-3! + ...+((А + 1) — 1)-А!=2!-1! + 3!-2! + 4!-3! + ...+
+ (А + 1)! — А!=(А + 1)! — 1. 12.190. 1 (гГ^-1)! ' Указание. Используйте
равенство ,, ^ ... = 4 } ... . 12.191. 4—г-• Решение. Поскольку
(* + 1)1 А! (А +1)! п + 1
а‘=-1+ а(А'+1) =Т-тЬ"-1, Т° а-+^ + “з + ... + а„=(у—j-l) +
+(т_т_0 +(у~Т~ 0 +•••+(4_1ТГ_ 1) = 1 ~п =
tl‘* 1
= —р. 12.192. 1 , . 12.193. 2(л2 — А2). Решение. Пусть Si —
п + 1 (А +1 у
сумма всех дробей (в том числе и сократимых), заключенных между числами
5А + 1 5А + 2 , , _ 1
"5~ + _5 ~5
+ 5л) = 0,5 (А+п) (5п — 5А + 1). Поскольку число 5 простое, то дробь со знаменате¬
лем 5 сократима тогда и только тогда, когда данная дробь — целое число. Найдем
сумму S2 всех целых чисел, заключенных между Аил: S2 = A + A + 1 +А + 2+...+
+ л = 0,5 (А +п) (п — А+ 1). Искомая сумма равна Si — S2 = 2 (л2 — А2). 12.194. Зга +
+ т2 — 2т— 1. 12.195. — 2А2+ 13А+0.25-5-* — 0,25. 12.196. 49-250+1.
5 (10n+1 —9л — 10) (а2"— 1) (а2л+2 + 1)
12.197. — ^ -. 12.198. — ’ +2п, если а+=±1, 4п,
81 а2“(а — 1)
если а=±1. 12.199. 0,5п(п + 1) при а=1; ——jy-(na“+l — а"(л + 1)+ 1) при
а+= 1. 12.220. а) —0,75. 12.221. а) 0,5; в) 0,25. 12.222. г) 0,25. 12.223. а) 0,5; б) 1,5;
в) —0,5; д) 4-. Указание. Покажите, что а„= П • 12.227. 4.
6 3(2я*+1)
12.228. l^-. 12.229. 6 = 1, <7=4-- 12.232. -1<х<0,5. 12.233. —3, 3. 12.234. 1,125.
J О
12.235. 4-; 4-. 12.236. 8х2 —63х —8 = 0 или 24х2 — 37х — 72=0. 12.237.* 42~.
4 о о
12.238. ‘ 12.239.4. 12.240. (8 + 4 д/2)а, 2а2.12.241.6а (2+л/З), а2 -у/3. 12.242. -^-лауЗ,
■J О
§ 13
13.13. г) 5; 1; е) 0; —1. 13.14. в) 2; —3; г) 7; 0. 13.15. а), б), в), г) нет.
13.21. a) cos yj- >cos2yj-. 13.22. а) Первое больше. 13.23. а), б) Первое меньше.
13.25. Указание. Используйте неравенство треугольника, определение синуса
и косинуса. 13.34. а) 0,5-(3-д/3). 13.35. а) 0. 13.36. а) 1; б) 1. 13.43. а) 1; б) 1.
X1
13.44. б) — + -^r- = 1; в) х2 — 2у = 1. 13.50. б) 0,25; в) не существует. Указа¬
ние. Умножьте знаменатель дроби на cos2 a + sin2 а, после чего разделите числи¬
тель и знаменатель на sin3 а. 13.52. а), б) Наибольшего и наименьшего значений не
существует. 13.53. а) 1; б) 1. 13.54. a) cos2 а; б) 0,5 ctg2 а. 13.55. Указание.
Значение выражения равно —1. 13.56. Указание. Значение выражения рав¬
но 2. 13.59. а) — 1; б) 1. 13.62. б) Указание. Покажите, что разность левой и
— (3cos2a — 2)2
правой части доказываемого неравенства равна —-—j — . 13.64. а) Ука¬
за н н е. Используйте неравенство —— 1 ^sin 1 13.67. а3 —а2.
о 3
2
13.68. -д-. 13.69. а) 3,125; —3. Решение. 2 cos2 а —3 sin а = 2— 2 sin2 а —
— 3 sin а~ — 2/2 — 3t + 2, где t = sin а, т. е. — 1 sgT/ =sC ]. Функция y(i)=—2t2 —
— 3t + 2 возрастает на [—1, —0,75] и убывает на [—0,25, 1]. Значит, наибольшее
значение функции у (t) равно у (— 0,75) = 3,125. Кроме того, у (— 1) = 3, у (1)= —3,
следовательно, наименьшее значение функции у (t) равно у( 1)=—3; б) 3-^-; —2.
13.70. а) 0; —1,125. Указание. Приведите выражение к виду 212 — t— 1, где t =
= Icos о|, 16[0; 1]; б) 3,125; 2. 13.71. 0,25. Решение, sin2 х cos4 х (2 —sin2 х) =
= (1 — cos2 х) cos4 х (1 +cos2 jc)=(1 — cos4 х) cos4 x = t — t2, где t = cos4x, т. e.
0<t< 1. Функция y(t) = t — t2 достигает наибольшего значения при t = 0,5,
у(0,5) = 0,25. 13.72. а) —1. Решение, tg2 а-{——!— = L 1 -
^ cos a cos a cos а
— 1 = t2-\-t—1, где t = —д ■ т. е. Ul> 1. Функция y(t) = t2-\-t—1 убывает на
(оо, — 1] н возрастает на [1, оо). Поскольку у (— 1)= — 1 и у (1)= 1, то наименьшее
значение функции у (t) при \t 1^1 достигается при t = — 1 и равно — 1; б) [.Ука¬
зание. Рассмотрите функцию t2-t-\-1, где t= L-т-, т. е.1. 13.77. а) л/3.
cos р
13.81.-j. 13.89. a) V2; —v/2; б) 2; -2. 13.91. а) 5; —5; б) У29, — V». 13.92. а) 1,5;
б) 1,5. 13.93. а) 0; б) 0. 13.94. a) tg2 Р; б) — 1. 13.99. -2+Уз или 2+УЗ. Указа-
л/2 7 /2
н и е. Покажите, что cosa=-^-,T. е. tga=±l. 13.100. б) ^—. Указа-
* /О
■ (( 1 ^ л/2 х/2 ( п\
ние. sma=sm^a—4/ Т/ Тз 2 2C0S\—4/’ далее П0кажите'
что cos^a—= —Р = Решение. Поскольку а +
+ Р = я, то, используя формулы приведения, перепишем условие в виде
263
. зр , зр . . /зр , я\ д/2 зр , я Зл
Sln 2 + C0S'2_ = ’ °ТКуДа Sm\~ + Т/= 2 “ “2“+Т=~’ ТЗК КЗК
я Зр , я 11я _ „ „л 2я ,, г-.
— +~j~< q • Таким образом, Р=-д-> тогда а——. 13.103. (1, д/2].
Указание. Искомое отношение равно д/2 sin (а + 45°), где а — острый угол
4
прямоугольного треугольника. 13.107. —. 13.114. а) 60°; б) 15° или 75°.
13.116. а) —б) —13.117. а) — 2д/2; б) 2. 13.118. а) 1; б) 1.
13.119.tg 2а >2tg а. 13.120. 0,875. 13.125. —13.126. 3 + 2д/2.
2 (cos 2а—1)
Указание. Записав выражение cos 2а через tg а (см. JMs 108 (б)), найдите tg а.
13.127. -3-i. 13.130. a) 0,125; б) 0. 13.131. a) 1; б) 1. 13.132. a) 0,5; б) 1.
О
л л л к
13.133. а) 2 cos а при 0^а^—, 2 sin а при — <а<:—; б) — cos-j- при
2л<р<3л, sin -j- при Зл<р<4л. 13.134. а) 2; 1; б) 2; —1, 13.135 а) 1; 0,5; б) 1;
0,25. 13.136. а) 3; -1; б) д/2-1; —д/2—1. 13.137. а) 0; —1,125; б) 1,125; 0.
1±д/2 — t'2
t— 1
13.138. 0,5 т2; |m| <д/2. 13.139. т + 0,5; — 1</я<0. 13.140.
13.144. а) 0,25; б) 0,125. 13.145. а) 0,125; б) ^. 13.149. а=135°, р = 45°.
oz
13.150. а = 30°, р= 120°. 13.151. а= 15°, р = 75° или а = 75°, р= 15°. 13.152. а = 60°,
(3 = 30°. 13.153. а = 45°, (3 = 90°. 13.154. Решение. Записав первое нера-
о
2 1
венство в виде 6 cos2 a-j-cos a —2^0, находим, что —^-^cos a^-jr-. Из второго
о Z
2 2
неравенства получаем, что cosa<|—— или cosa^—. Таким образом,
3 3
2 a / 1 + cos а Уб 4 д/2
cosa=—— и cos — = ±-у д = ±-|-. 13.155. ±—-
3 2 V 2 6' 7
V5 +5
5-^—; б) ———— . 13.157. Рациональным. 13.158. Рациональным.
8 4
13.169. а) 0; б) 0. 13.173. а) 0,5; б) 2. 13.176. 2; —2. 13.177. а) 1; б) 1.
13.178. а) —cos 2a; б) ^ cos 2р. 13.180. Да. 13.183. *д/2; |.1|>д/2.
13.184. 2<6<3; 2,75 —Ь. 13.185. — 0,5<а<0,5; а —0,5. 13.186.
13.192. а (2(1-2а2)2-1). 13.193. 4а (1-а2) (2а2-1). 13.195. а) б? ^.
О О
sin 11—+-^-cos(a+^^
(я + 1)Ф
2 .
13.197. а) —0,5; б) —0,5. 13.200. , если ф=+2яй,
Ф
s,n-2
264
.m !!+!>£ >й,(„+!9\
k£Z; (n-j-1)cos а, если ф = 2л£, k£Z. 13.201. ^ 1— , если
Ф
sinT
4>=£2nk, k£Z\ (n+l)sina, если ф = 2я£, k£Z.
Серия 1.
2. Нет. 3. л = 3k—I, k£N. 4. Нет. 7. n — четное. 16. Нет. Решение. Пусть
существуют целые числа а, b и с такие, что b2 — 4ас = 1991. Перепишем данное ра¬
венство в виде (b — 1) (6 + 1) = 4ас+1990. Числа Ь — 1 и b -\-1 одинаковой четности,
если оба эти числа нечетные, то левая часть — нечетное число, а правая — четное,
получаем противоречие. Если же оба числа Ь — 1 и 6 + 1 четные, то левая часть —
число, делящееся на 4, а правая — нет. Получили противоречие.
Серия 3.
7. а) at~2b— Зс, а2 = 5с— 6; б) bi =0,5 (a + 3c), b2 = 5c— а; в) c\= — а .
О
2 1
с2 = 0,2 (a + 6). 8. х= 1. 9. х=——, у . 13. a = 0, а= 1, а=16. 14. а<0;
0<а<±
Серия 4.
18
4. 4. 5. —3,5. 6. — — ; —1.7. Нет решения. 8. х=0,25 (15 —а) при аф3, нет решений
при а = 3. 9. х— 1 при й — 4; х = 4 при а = 1; х=\, х = 4 при аф\ и аф4. 10. х = 4
при а=1 или а = 4; х = а, х = 4 при аф1 и аф4.
Серия 5.
4. а=-40,25. 5. а=±9у. 7. а) (1; 6), (6; 1); б) (1; 3), (6; 0,5); в) (1, -2),
(б, —I) ; г) (2; 3), (3; 2), (5; 1), (1; 5).
Серия 6.
1. Нет решений при а<0, х=0 при а —0, х= ±а при а>0. 2. Нет решений при
3 1
а = 0, х = — при аф0. 3. Нет решений при а= 1; x£R при а = 0; х = -—р при афО
и аф 1. 4. Нет решений при а = 3, х = а при аф3. 5. Нет решений при |а| < 12; х =
_—a±-\ja2 144^ ^ ^ ^ *= _з ПрН |а| =3, х= ±а при |а| =3. 7. х=а,
дс = а + 1. 8. дс= 1 при а=0; х= — 1 при а= — 1; х=а, дс=а+ 1 при аф — 1 и а^=0.
9. х=2 при а = 2, х=4 при а = 3, х=а, дс=а+ 1 при а=2 и аф3. 10. х= 1 при
а=0; х = —2 при а=—2; х = а, д: = а+1 при аф—2 и аф0.
265
Серия 7.
1. Нет решений при а^О, 3 — а<дс<3+а при а>0. 2. x£R при а<О, хФ4 при
3 3
а = 0; х<4 —а, дс>4 + а при а>0. 3. х>~ ПРИ Ж О, *€Л при а — О, J£<— при
а>0. 4. дсбЛ при а= — 1, нет решений при а= 1, при |а| > 1, х<.^
при |а|<1. 5. а<х<3, нет решений при а = 3, 3<х<а при а>3, при а<3.
6. дс< —3 при а<0; х< — 3, х = 0 при а = 0; х<; — 3, —Уа^дс^д/а при О С а С 9;
х< — 3, —3<х^3 при а = 9; — 3<х<;Уа при а>9. 7.дс£Лпри |а|<6,
— а—^а2 — 36 — а-\-л/а2 — 36 . . . „ .
х< 1 , х> L-1 при |а| >6; х=^3 при а= — 6; хф — 3 при
сои ■ I I ^-с — а—\А<2 —36 —а+д/а7—36
а = 6. 8. Нет решении при |а|<6, 1 --SCх1 при
4
|а|>6, х=3 при а= — 6, х=—3 при а=6. 9. x£R при а<—2,25; хф— при
О
-3+V9 + 4a -3-V9 + 4сГ оос . 2
а= —2,25; х< - , х> - при — 2,25<а<0; х<— при
а а 3
n -3-V9 + 4a —3+V9 + 4a
а=0; ^—1 <х< !—i—i при а>0.
а а
Серия 8.
2. а) р=-0,2х2 —0,8х + 2,2; б) у = 4х2 — 40х + 84; в) р= — х2 + 3х — 1;
г) у = 5х2 — Зх— 1. 3. а) а<0; б) 6>0; в) — 8<-^-< —3.
Серия 9.
1. а) —7; б) -1; в) —5; г) 2,875. 2. а) 1; б) —3; в) 27; г) —2,9375. 3. а = 7.
4. а= ±2. 5. а= 1. 6. а=—3. 7. 10. 8. 18. 9. 2.
Серия 10.
2. а) 0^х^2, 5^х^7; б) х = 0, 2^х^4; в) х<0, 0<х<2, х>4;
г) 0<х<0,5, х>2. 3. —|-<а<-|-. 4. а^О. 5. а<—а>1. 6. а^16.
7. -1<6<1.
Серия 12.
2. a) -0,2;0;0,1(-1±V6T); б) 0; у; ‘ . 3. а) 1; 0,5(3±л/5); б) - 1,
0
0,5(-3±V5); г) 0,5, 2. 4. а) -4,4; б) 0,5( — 3±УТЗ). 5. а) —2; 2; б) —3,6;
уу; в) 1;4;0,1 (-23±V609); г) 1; 3; 5±3 л/2; Д) ~15-^^П . 6. а) * =
=а2+2а + 3, х=а2 — За— 1; б) нет решений при а< —3,25; x = 0,5 (3±-\/13 —4а)
при —3,25^а<2; х = 0,5(3±-\/13 —4а), х= — 1 ±л/а~2 при а>2.
266
Серия 13.
2. а) аф± 1; б) а= —1; в) а=1. 4. а) |а|>6,72; б) \а\ =6,72; в) |а|<6,72.
6. а) (-3; 14; 6; -10; -6); б) “Ш ; ~т) ’ В) (4: 1А 3; 6) '
7. а=—3, 6 = 12, с =— 12 или а =— 1,08, 6= —1,44, с =—0,48. 8. а = 0,5,
6 = 16,5. 9. а< — 6—2V5, — 6 + 2д/5<а<4 —2д/3, а>4 +2'т/З.
Серия 14.
1.77. 2. 55. 3.657. 4. Арифметическая прогрессия с первым членом 11 и разностью 126.
7. —■=—. 8. а) Да; б) нет; в) нет.
л/6+Va
Серия 15.
3. а— —4, а = 0,5, а=4, а = 32. 4. а= —7,8125, а=0,0625, а =4. 6. б) —
axq"-'{q-\)'
а? (1 Ч2п) , 2а, (1-0 a2 (1 —q2") q2"-1
1-? + + "■ г> 1-V + aVV-l) +
7. 1.2 + V3, 7 + 4 ^3 или 1,2 —т/З, 7-4 Уз. 8. 4~2л/2, 4, 4+2 У2 или 4 + 2 У2,
4, 4 — 2 -\[2. 9. У арифметической профессии. 10. Да.
Серия 16.
2 1
4. а= —6,75. 5. а=—, 6= —5-. 6. а) х< 1; б) cos 3<x<cos 4. 8. а) 0; б) 0; в) 1;
3 Ь
г) 0.
Обобщающие и проверочные работы
Работа 1.
1- - ■ 2. 30 км. 3. —0,1 (4 V3 + 3). 5. 40.
а — 2х
Работа 2.
1- 2- 2. 3. 5. V6-2 L=; 2+^--V6.
49 2V3 2V3
Работа 3.
1. а+6. 2. 42 дня и 33 дия. 3. 0,25 при n = 4k, k£N; — 0,125 -\/3 при п— 46+1, 662,
65*0; 0,125-\/3 при п=46 + 2, 662, 65*0; 0,25 при п=46 + 3, 662, 65*0. 5- х = 5
2 4
при а= —0,5; дс= —— при а=—\ х= — 1 при а= 1; х = а — 2, х = 4 — 2а при аф
О О
4
Ф —0,5, аФ—, аф 1.
267
Работа 4.
1. а .2. —^~г дней, 3<а<6. 3. 0; при а=-?- значение выражения равно 0;
2а а — 3 7
при а= выражение ие определено. 5. Через 1,44 ч.
Работа 5.
1. 1-х2. 2. 3-7°~Ра) ; ^-<р<10. 3. 1,5. 5. х<-5, jc = 3.
2 (р —5) 7
Работа 6.
*• 2(Г-1) -2' 0.25(2m + l+V4^+T). 3. ^; -А. 4. „ = 21. « =
= -20. 5. а<0, а>А
Работа 7.
1. \jx-a . 2. 3 км/ч. 3. —0,125. 4. 16. 5. а=1.
Работа 8.
, , и.,. -4, (4; 4). (.-4: -4), (^l ,4),
Работа 9.
1. 1. 2. 12 ч и 15 ч. 3. 1,5. 5. 12.
Работа 10.
1. Л - 2. 10 ч и 15 ч. 3. [—V2; — 1)U(—1, 1)U(1; х/2]. 4. а20= — 1045, а,=0.
ab
5. -■ <*< 1 при а<0; нет решений при а=0; 1<дс< j 'при 0<а< 1;
_1
1 — а
Работа 11.
х> 1 при а = 1; х<—т—-— , х> 1 при а> 1.
1. —6, 7. 2. —4^дс^1, дс = 2. 3. 16 км/ч, 12 км/ч. 4. sin a = — , sin р =
V130
VIM
268
3 . У к а з а и и е. / (дс) = 0,25 (дс2 —4), дс>2.
Работа 12.
2. х< —3, — 1 <х<0,5 (3—лДт). °-5 (3 + УТ7)<х<5, х= 10. 3. 225°. 4. 90 км. 5. 1.
Работа 13.
1. 36. 2. 2; 14; 98. 3. -1 ~q8^ ■ 4. 1 —^4а2 — 1.
6. 150 г, 450 г.
Работа 14.
1. 5 км/ч<у<7 км/ч. 2. 0,5. 3. 5000 р. 5. ——.
83
Работа 15.
1. — 10^а<10. 3. 8 деталей. 4. 0,8. 5. 1 <х^Г4.
Работа 16.
1 2
1. 0 <*<;—, х>1. 2. —5—. 3. Более чем на 20%. 4. 5. 5. |а|=зУТЗ.
3 3
Работа 17.
о
1. —2<х<; —1,5, —1<х<1. 2. 11 м/с или 9— м/с. 5. — 0,25^2-
О
Работа 18.
32
2. Ha З44. 3. а) 1; б) 2,5л. 4. 9 человек. 5. .
Работа 19.
39
1. 8— 2. 6, 7. 3. 35.
49
Работа 20.
1. 26 тетрадей в клетку и 31 тетрадь в линейку. 3. а= — 6, —5, —4 14, 15.
4. 1625.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
§ 1. Повторение и углубление курса алгебры 7 класса
§ 2. Рациональные дроби
Целые выражения
Дробные выражения
§ 3. Делимость целых чисел
Делимость чисел. Делимость суммы и произведения
Теорема о делении с остатком
Взаимно простые числа
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Простые
числа
Признаки делимости
Использование разложения на множители выражений вида х" — а" и
x2i+[+a2k+> в задачах на делимость
Уравнение в целых числах
Разные задачи
§ 4. Квадратные корни
Арифметический квадратный корень
Иррациональные числа
Функция у = л[х и ее график
Квадратный корень из произведения и дроби
Сложение и вычитание корней
Умножение и деление корней
Упражнения на все действия с корнями
§ 5. Квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Полные квадратные уравнения
Дробные рациональные уравнения
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Теорема Виета
Исследование квадратного уравнения
Задачи на составление квадратных уравнений
§ 6. Неравенства
Числовые неравенства и их свойства
Неравенства с одной переменной и их системы
«
§ 7. Степень с целым показателем
§ 8. Функция
Квадратичная функция
Неравенства второй степени. Рациональные неравенства ....
Элементарное исследование функции
270
3
4
11
13
15
20
22
23
25
27
28
29
30
32
34
36
37
38
42
44
46
47
51
52
53
55
56
59
60
70
82
87
90
94
101
§ 9. Уравнения и системы уравнений Ю7
Уравнения высших степеней
Уравнения с двумя переменными. Задание фигур на координатной
плоскости уравнениями и неравенствами 114
Графическое решение системы уравнений 116
Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним . . . . 117
Нелинейные системы уравнений 119
§ 10. Текстовые задачи 129
§ 11. Степень с рациональным показателем 143
Корень п-й степени 146
Свойства арифметического корня п-й степени 147
Степень с рациональным показателем 151
Свойства степени с рациональным показателем 152
Иррациональные уравнения 156
Иррациональные неравенства 159
§ 12. Последовательности и прогрессии 160
Последовательности 163
Метод математической индукции 167
Арифметическая прогрессия 169
Геометрическая прогрессия 173
Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую про¬
грессии 175
Суммирование 177
Предел последовательности. Бесконечная геометрическая прогрессия 179
§ 13. Тригонометрические выражения и их преобразования 183
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Радианная
мера угла 187
Зависимость между функциями одного аргумента. Формулы при¬
ведения 189
Теоремы сложения 192
Формулы двойного и половинного аргумента , .195
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
и обратно 199
Тематические серии для организации заключительного повторения . 202
Приложение. Обобщающие проверочные работы 213
Тексты экзаменационных работ по алгебре для IX классов с углубленным
изучением математики 222
Ответы. Указания. Решения 226
Учебное издание
Галицкий Михаил Львович
Гольдмаи Александр Михайлович
Звавич Леонид Исаакович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
Учебное пособие для 8—9 классов
с углубленным изучением математики
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Л. М. Котова, Л. Н. Белоновская
Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. В. Сидельковская
Художники Ю. В. Пахомов, Е. П. Титков, Л. М. Чернышов
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технические редакторы Л. М. Абрамова, М. М. Широкова, Н. А. Киселева
Корректор Н. С. Соболева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Подписано к печати с диапозитивов
26.09.2000. Формат бОХЭО'/ы- Бумага офсетная № 1. Гарнитура Литератур¬
ная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 17 + 0,31 форзац. Уел. кр.-отт. 17,81.
Уч.-изд. л. 14,88 + 0,37 форзац. Тираж 30 000 экз. Заказ № 2957.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по де./Ам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.