Индексы: Математика.

Текст
                    ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГЕБРА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ*
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 9 8 7'
ББК22.1
3-15
УДК 51(083)
Коллектив авторов
ВАВИЛОВ В. В., МЕЛЬНИКОВ И. И., ОЛЕХНИК С. Н„ ПАСИЧЕНКО П. И.
Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасичен-ко П. И.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 432 с.
Кинга является справочным пособием и содержит основные методы решения задач по алгебре. Изложение методов сопровож-ДйСП'Н необходимыми теоретическими сведениями и разбором примеров. Но каждой теме приводятся задания и упражнения для •О реплеи и я и более глубокого ее усвоения.
Справочник создан на основе курса математики подготовительного отделении МГУ.
Для школьников старших классов и слушателей подготовительных отделений. Может быть использован для самостоятельной подготовки в вуз.
Ил. 29. Табл. И.
Рецензент
доктор физико-математических наук М. К. Потапов
Q 1702000000-185 й7
3	053(02)-87	49'87
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...........................,............... 4
Список некоторых обозначений и сокращений ............. 5
Глава	1. Действительные числа................«...	7
§ 1.	Натуральные и целые числа ...................  7
-§ 2.	Рациональные и иррациональные числа . .	. .	♦	20
§ 3.	Степень числа . . . .....................  .	49
§ 4.	Логарифм числа .............................. 79
§ 5.	Абсолютная величина числа...................	91
Глава 2. Алгебраические выражения.................... 100
§ 1.	Общие замечания.......................... .	100
§ 2.	Многочлены ...................*............  106
§ 3.	Многочлены от одной переменной...........  <	122
§ 4.	Алгебраические дроби.......................,	153
§ 5.	Выражения, содержащие радикалы	.......	165
§ 6.	Сравнение алгебраических выражений *........ 178
Глава 3. Элементы комбинаторики и метод математической индукции..................................... .	201
§ 1.	Метод математической индукции' . ;........♦	201
§ 2.	Элементы комбинаторики. Бином Ньютона ....	209
Глава 4. Рациональные уравнения, неравенства и системы 245
§ 1.	Линейные и квадратные уравнения	246
§ 2.	Отыскание корней многочленов	«	259
§ 3.	Рациональные уравнения.......................27!
§ 4.	Рациональные неравенства и системы неравенств 279
Глава 5. Системы уравнений . . , , , . , , ♦ . .♦ . . . 300
§ 1.	Линейные системы с двумя неизвестными , ♦ . .	300
§ 2.	Равносильные системы .......................  ЗЮ
§ 3.	Системы алгебраических уравнений	325
Глава 6. Комплексные числа . 4 «...	,	341
Ответы и указания . . « <»••.*««.... ♦ 373
Дополнение к главе 5.' Некоторые текстовые задачи, предлагавшиеся на письменных вступительных экзаменах по математике- в МГУ им. М. В. Ломоносова 426
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является справочным пособием по методам решения алгебраических задач. Опа создана на основе опыта преподавания математики на подготовительном отделении Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Книга содержит материал по четырем темам: «Действительные числа и алгебраические выражения», «Уравнения, неравенства и системы», «Элементы комбинаторики», «Комплексные числа».
В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретические сведения, затем на примерах, в процессе решения типовых задач, иллюстрируются различные методы их решения. В целях типизации методов не всегда даны самые короткие решения; иногда излагаются несколько различных способов решения одной и той же задачи, для сравнения эффективности методов. В конце каждого Параграфа имеются задания на отработку понятий и методов решения задач.
Как количество задач в задании, так и число самих заданий значитеЛьйо превышает необходимый минимум для усвоения материала и аВторк не предполагают, что все задачи из заданий и все методы решений будут изучаться с равной степенью подробности и тщательностью. Следует иметь в виду, что справочное пособие не является безусловной рекомендацией. Главная цель пособия — дать возможную схему изучения той или иной темы и подкрепить ее специально подобранным материалом и соответствующими методическими указаниями, обеспечив достаточно богатый выбор задач для усвоения понятий и методов.
Книга в целом или отдельные ее главы может быть полезна для организации учебного процесса на подготовительных отделениях вузов и Для проведения факультативных занятий в средней школе, производственно-технических училищах и техникумах, при самостоятельной подготовке к поступлению в высшие учебные заведения. Справочник поможет без активных консультаций с преподавателем организовать планомерное повторение нужного материала—не только основных положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.
Авторы глубоко признательны рецензенту профессору М. К. Потапову за полезные замечания.
Отзывы, критические замечания и пожелания просим направлять по'адресу: 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»»
СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
N —множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел
R — множество действительных чисел
0 —пустое множество
а^М — элемент а принадлежит множеству М
{п; b\ с\ d} — множество, состоящее из элементов a, b, с, d
U —знак объединения
[a; 6J — замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b (а; Ь) — открытый промежуток с началом а и концом b
Л —> В — из А следует В
А^В — из А следует В и обратно—из В следует А а = Ь — знак равенства: а равно b
ч а>Ь— знак неравенства: а больше b а<Ь — знак неравенства: а меньше b
знак нестрогого неравенства: а не меньше (не больше) b
а Ф b — знак сравнения: а не равно b
А^В — знак сравнения: А тождественно равно В
О ДЗ —область допустимых значений
НОД (а, 6) —наибольший общий делитель чисел а и b
НОК (а, Ь) — наименьшее общее кратное чисел а и b | а | — абсолютная величина числа а [а] — целая часть числа а min «/ — наименьшее из всех чисел щ i max а/ —наибольшее из всех чисел и/ t___________
. .a^Q — позиционная запись натурального числа
—корень n-й степени из числа а
loga b — логарифм числа b по основанию а
lg b — логарифм числа b по основанию 10
In b — логарифм числа b по основанию е
л = 3,1415.. . — отношение длины окружности к ее радиусу
е = 2,87. . . — основание натурального логарифма
i —мнимая единица (i2= —1)
Re z—действительная часть комплексного числа г
Im г—мнимая часть комплексного числа z
z — число, сопряженное числу z
Arg г—аргумент комплексного числа z
argz—главное значение аргумента комплексного числа z п\ = 1 -2«3* • -л
(2/1)1! = 2.4...(2/г)
(2п— 1)1! = 1 -3-5. • -(2n— 1)
Ап—число размещений из п элементов по т
С™—число'сочетаний из п элементов по т
6 СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
Р^—число перестановок из т элементов |—знак системы
—знак совокупности п
2 ai + ^2 + • • • + ап
i = 1 п
JJ й/ ~ 01 • ^2 ‘ • CZ/j
Л= 1	*
ГЛАВА 1
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1.	Натуральные и целые числа
Числа 1, 2, 3, употребляемые для счета, называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначается символом N.
Если число п представимо в виде произведения двух натуральных чисел т и k, т. е. n = m-k, то говорят, что числом делится (нацело) на т и на k, а каждое из* чисел и т и k называется делителем числа п.
Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17—? простые.
Натуральное число называется составным, если оно имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, числа 6, 20, 21—составные.
Натуральное число называется четным, если оно делится (нацело) на число 2, и нечетным, если оно не делится на 2.
Каждое составное число п можно разложить на простые множители, т. е. представить его в виде
п =	. .p™k,	(1)
где pi, р$, ..., простые числа, a k, mi, т2, ...» т^ —натуральные числа. Указанное представление часто называют также каноническим разложением числа', такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей в правой части равенства (1). Например,
8 = 2*2*2 = 23, 258 = 2-3*43, 180 = 2?-ЗМ.
Любое число п представимо в десятичной системе счисления в виде
п~ а^* 10^-j- a^^i* 10^ *”^4“ • • • ~Ь ’10-J- а$,	(2)
где aQ, ai, ... a^-i могут принимать значения 0, 1, 2, ,9, а число а% — значения 1,2, ..., 9; позиционная запись числа вида (2) следующая
п = «^-1^-2. * .а2«1^о*
Числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 называются цифрами.
Некоторые признаки делимости натуральных чисел. Пусть
П =	. -Wo»
тогда
8	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.	Число п делится на 2 только в том случае, когда aQ деди тся на 2.
Например, число 123547894 делится на 2, так как 4 делится на 2; число 123547899 не делится на 2, так как 9 не делится на 2.
2.	Число п делится па 4 только в том случае, когда число аха0 делится на 4.
Например, число 83745656 делится на 4, так как 56 делится на 4; число 5349741414 не делится на 4, так как 14 не делится на 4.
3.	Число п делится на 8 только в том случае, когда число делится на 8.
•Например, число 437258112 делится на 8, так как 112 делится на 8; число 256124 не делится на 8, так как 124 не делится на 8.
4.	Число п делится на 3, только в том случае, когда сумма всех его цифр делится на 3.
Например, число 123547812 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + + 5 + 4 + 7 + 8+1-1-2 = 33 делится на 3; число 57312427 не делится на 3, так как 5 + 7 + 3 + 1+2 + 4 + 2 + 7 = 31 не делится на 3.
5.	Число п делится на 9 только в том случае, когда сумма всех его цифр делится на 9.
Например, число 23752827 делится на 9, так как 2 + 3 + 7 + + 5 + 2+8+2 + 7 = 36 делится на 9; число 1541547179 не делится на 9, так как 1+5 + 4+1+5 + 4+7 + 1+7 + 9 = 44 не делится на 9.
6.	Число п делится на 5 только в том случае, когда а0 делится на 5.
Например, число 278324170 делится на 5, так как 0 делится на 5; число 12937234 не делится на 5, так как 4 не делится на 5. ____7. Число п делится на 25 только в том случае, когда число аха0 делится на 25.
Например, число 4381997550 делится на 25, так как 50 делится на 25; число 1112221740 не делится на 25, так как 40 не делится на 25.
Пример 1. Найти наименьшее натуральное число вида 123Х43У, которое делится нацело на 3.
Решение. Сумма цифр числа данного вида равна 1+2+3+ + 4 + 3 + X + F= 13+Х + У. Наименьшее значение этой суммы, при которой заданное число делится на 3, равно 15, т. е. когда Х+К=2. Среди всех чиеел данного вида при условии, что Х+Г=2, имеется три числа 1230432, 1232430, 1231431, из которых наименьшим является число а~ 1230432.
Кроме значения 2, сумма % + Г для чисел указанного вида и делящихся на 3, может принимать только значения 5, 8, 11, 14, 17. Ясно, что если % + F = 5, то наименьшим является число 1230435, а если Х+К = 8, то наименьшим будет число 1230438; оба найденных числа больше числа а. Во всех оставшихся трех случаях (Х + У= 11, Х + К=14, Х + У=17) в качестве наименьшего (в каждом из них) будет также получаться число, большее, чем число а.
Таким образом, искомым числом является число 1230432.
Если числа п± и л2 делятся нацело на одно и то же число т, то т называется их общим делителем.
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА	9 •
Наибольшее число, на которое нацело делятся числа и /г2, называется их наибольшим общим делителем и обозначается НОД (nx, п2). Например,
НОД (18, 15) = 3; НОД (32, 40) = 8; НОД (72, 128) = 8.
Если НОД («!, п2) = 1, то числа tii и /г2 называются взаимно простыми.
Например, числа 33 и 35 взаимно простые, а числа 21 и 14 не являются взаимно простыми, так как НОД (21, 14) — 7.
Если натуральные числа /21 и л2 взаимно просты и натуралы ное число п делится на /ц и п2, то п делится на произведение П1’П2- Например, 24 делится на число 6, равное произведению двух взаимно простых делителей 2 и 3, но не делится на число 32, равное произведению делителей 4 и 8, которые не являются взаимно простыми.
Пример 2. Найти все пятизначные числа вида 34X5/, каждое из которых делится на 36.
Решение. Число 36 можно представить в виде произведения взаимно простых чисел 4 и 9; следовательно, искомые числа делятся на 4 и на 9. Применим признаки делимости на 4 и на 9. Число 5/ должно делиться на 4, значит, Y равно либо 2, либо 6. Число 3 + 4+А"-f-5-|-К — 12 + X-I-F должно делиться на 9. При Y = 2 находим такую цифру X, чтобы число 14-f-X делилось на 9. Отсюда получаем Х = 4.Д1ри Y = 6 находим такую цифру X, чтобы число 18+ Х делилось на 9. Отсюда получаем X равным либо О, либо 9. Следовательно, условию задачи удовлетворяют только три числа, а именно 34 452, 34 056, 34 956.
Правило нахождения НОД («х, /г2):
а)	найти каноническое разложение чисел и п2;
б)	выписать все общие простые множители, входящие в канонические разложения каждого из чисел щ и /г2;
в)	возвести каждый из выписанных в п. б) простых множителей в наименьшую степень, с которой этот множитель входит в канонические разложения чисел nt и и2;
г)	произведение полученных степеней простых множителей дает НОД (/гх, л2).
ПримерЗ. Найти НОД (360, 8400).
Решение, а) Находим каноническое разложение чисел 360 и 8400: 360 = 23.32.5, 8400 = 52.24.7*3;
б)	выписываем общие простые множители, входящие в канонические разложения чисел 360 и 8400: 2, 3, 5;
в)	наименьшая степень числа 2, входящего множителем в каждое из разложений данных чисел, равна 3; наименьшая степень числа 3 равна 1; наименьшая степень числа 5 равна 1;
г)	находим НОД (360, 8400) = 23.31-51 = 120.
Наименьшее натуральное число и, которое делится нацело на pi и р2> называется их наименьшим общим кратным и обозначается НОК(П1, п2). Например, НОК чисел 24 и 50 —число 600; НОК (12, 48) = 48; НОК (72, 40) = 360.
10
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Правило н а хо ж дек и-я НОК (п£, п2):
а)	найти каноническое разложение чисел nt и п2;
б)	выписать все простые множители, входящие в каноническое разложение хотя бы одного из чисел nt и п2;
в)	возвести каждый из выписанных в п. б) простых множителей в наибольшую степень, с которой этот множитель входит в канонические разложения чисел nt и /г2;
г)	произведение полученных степеней простых множителей дает НОК(п£, п2)«
Отметим, что НОД и НОК чисел nt и п2 связаны соотношением
НОД (/if, л2)-НОК («£, /г2) ==П1-п2.
Пример 4. Найти НОК (360, 8400).
Решение, а) Находим канонические разложения чисел 360 и 8400: 360 —23-32*5, 8400 - 52-24.7.3;
б)	выписываем простые множители, входящие в канонические разложения хотя бы одного из данных чисел: 2, 3, 5, 7;
в)	наибольшая степень числа 2, входящего множителем в каждое из данных чисел, равна 4; наибольшая степень числа 3 равна 2; наибольшая степень числа 5 равна 2; наибольшая степень числа 7 равна 1;
г)	находим НОК (360, 8400)-2*.З2-52-7-25 200.
Свойства основных арифметических действий:
Д) m-j-ft ———коммутативность] ""Ьжм	— ассоциативность]
т (nk) = (тп) k	*
3) т (п + &) = игп + mk — дистрибутивность.
Множество, состоящее из натуральных чисел, целых отрицательных чисел (т. е. чисел —1, —2, —3,	— п, ...) и нуля
(с арифметическими операциями), называется множеством целых чисел, а сами эти числа называются целыми числами. Множество целых чисел обозначается символом Z.
Если в числовом выражении, не содержащем скобок, надо произвести арифметические действия, то сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Если в числовом выражении содержатся скобки, то сначала проводятся действия в скобках (по указанному выше правилу).
Напомним правила сложения, вычитания и умножения целых чисел.
Пусть т и и —натуральные числа. Тогда
(—от) + (—n) = —(m+n);
(— m)+0 — — m;
(— tri) + п —
"— (т—ri), п — т, 0,
т > т < и, п~т\
(— т)<п- — тп;
(— т) (— /г) — тп;
(—т)«0 —0;
— (—п) = п;
п-—т^п~\-(— т)»
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА	И
Например,
(-2) + (-3) = - (2+3) = -5;	(-2) (-3) = 6;
(—7) + 3 = — (7- 3) = —4;	(—3) -4 = —12;
(—5) + 8 = 8-5 = 3;	— (—3) = 3;
(—2) + 2 = 0;	5 — (+2) = 5 + (—2) = 3.
Пример 5. Вычислить 2*(—3) + (—2)—(—3) (—4) (—2).
Решение.	2 -(—3) + (—2) — (—3) (—4) (—2) = —6 + (—2) —
— (—24) = —6 + (—2) + 24 = — (6 + 2) + 24 = —8+24 = 24 — 8 = 16.
Если целое число k ф 0 представимо в виде произведения двух целых чисел d и q, то говорят, что число k делится нацело на число d и делится нацело на число q, и каждое из чисел d и q является делителем числа k. Например, для числа —10 его делителями будут числа ±1, ±2, £5, ±10.
Целое число называется четным, если число 2 является его делителем, и нечетным — в противном случае. Например, числа —8, —6, —4, —2, 0, 2, 4, 6, 8, четные, а числа
..., —7, —5, —3, —1, 1,-3, 5, 7, нечетные.
Основные свойства делимости нацело. Пусть п, d, т, р, q£Z-
1.	Если п делится на d, то произведение пт также делится на d.
2.	Если пит делятся на d, то сумма т-\-п и разность т — п также делятся на d.
3.	Если т делится на р, а п делится на q, то произведение тп делится на произведение pq.
4.	Если т делится на п, а п делится на р, то т делится на ря
Пример 6. Найти наибольшую цифру X, при которой сумма 12 + 2X3 делится на 3.
Решение. Так как число 12 делится на 3 и данная сумма делится на'З, то число 2X3, равное их разности, так же должно-делиться на 3. Наибольшая цифра, при которой 5 + Х делится на 3, равна 7, т. е. Х = 7.
Для любого целого числа k и натурального числа п существует единственная пара чисел р и q таких, что k~np-\-q,
где р—целое число, q—натуральное число или нуль, причем < п.
При <7 = 0 число k делится ца п нацело.
При q 0 говорят, что число k делится на п с остатком. Число р называется частным, а число q—остатком. Например, при делении числа 25 на число 7 получаем 25 = 3*7 + 4, где 3 — частное, а 4—остаток. При делении числа (—25) на число 7 получаем —25 =(—4)*7 + 3, где (—4) — частное, а 3 — остаток.
]2	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
При делении целого числа k на натуральное число п имеем: а) либо число k делится на число п нацело;
б) либо при делении числа k на число п получаем в остатке одно из чисел 1, 2,	/г—1.
Например, при делении числа 6 на 3 имеем либо k — Зт, либо 6 = 3r4~l> либо & = 3/-|-2.
Пример 7. Доказать, что число /г6 при любом натуральном п оканчивается на ту же цифру, что и число п.
Решение. Любое натуральное число п можно представить в виде /z=106 + Z, где k — натуральное число либо 0,, а /—целое число, такое, что 0«с Z9.
Тогда ггб = (106+Z)5 = 10г + Z6, где г—натуральное число либо 0. Отсюда следует, что число п5 оканчивается на ту же цифру, что и число /5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число /б оканчивается на ту же цифру, что и число Z.
Пример 8. Доказать, что для любого натурального числа п число /г3 — п делится на 6.
Решение. Представим п3.—п в виде ' '	/г3—n = (п—-1) п (гг + 1).
Число п можно представить в виде n==3k-\rlt где б—натуральное число либо 0, а I принимает одно из следующих значений: / —0, /=1, Z = 2, Z = 3, Z = 4, Z = 5.
Если Z = 0, то n = 6k, поэтому число п делится на 6, и.-, следовательно, число п («+ 1) (n+ 1) также делится на 6.
Если I— 1, то n = 6&-J-1, поэтому число п—1=66 делится на 6, и, следовательно, число п(п —1)(« + 1) также делится наб.
Если 1~ 2, то п = 66 + 2, поэтому число п(п— 1) (n+ 1) = (664-2) (6&+ 1) (664-3) = = 2 (3*4-1) (6й+1).3-(2*+1) = 6 (3*+1) (6fe+ 1) (2^+1) делится на 6, и, следовательно, число /г (п —— 1) (n + 1) также делится на 6.
Если Z = 3, то /г = 66 + 3, поэтому число п (п— 1) (п 4- 1) = (664-3) (664- 2) (66+ 4) = = 3(264-1)°2 (364-1) (66 + 4) =6 (264-1) (36+1) (66 + 4) делится на 6, и, следовательно, число п (п—1)(« + 1) также делится на 6.
Если / = 4, то п = 66 + 4; поэтому число /г (п — 1) (n + 1) = (66+4) (66+3) (66 + 5) = = 2 (36 + 2). 3 (26 +1) (66 + 5) = 6 (36 + 2) (26 + 1) (66 + 5) делится на 6, и, следовательно, число п(п — 1) (n+ 1) также делится на 6.
Если Z = 5, то п = 66 + 5; поэтому число п (п — 1)	1) = (66+ 5) (66 + 4) (66 + 6) = 6 (66 + 5) (66+4) (6+ 1)
делится на 6, и, следовательно, число п(п-— 1) (n+ 1) также делится на 6.
Итак, при любом натуральном числе п, число п* — п делится на 6.
§ I. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА	13
Пример 9, Найти все числа, которые при делении на 17 дают остаток 2, а при делении на 5 дают остаток 3.
Решение. Числа, делящиеся на 17 с остатком 2, можно записать в виде
пк= 17^ + 2,	££Z,
а все целые числа, делящиеся на 5 с остатком 3, можно записать в виде
nz = 5/ + 3,
Пусть = т. е. 176+2 = 5/+ 3, тогда
Ы = 176 — 1 = 157г + (2k— 1), следовательно, число 2k— 1 делится наб. Поскольку 2k— 1 == = 5m (гдет£7) и 26 =4m + m + l, то число т-{-1 делится на 2, т. е.
т-\- 1 — 2d,
Таким образом, m —2d —1 и, следовательно, k — 2m+ d (где dgZ). Выразим k и I через d; имеем k = 5d — 2, / —3 (5d —2)4-2d—1 — 17d—7.
Поэтому
nk = 17 k+2 = 17 (5d - 2) 4- 2 = 85d—32, «z = 5/ + 3 = 5(17d —7) + 3 = 85d — 32.
Таким образом, все числа вида
85d —32 = 85 (d—1) + 85 —32 = 85 (d — l) + 53,	dgZ,
являются искомыми.
Итак, условию задачи удовлетворяют все числа, которые при делении на 85 дают остаток 53, т. е. числа вида 85^ + 53 (где tf£Z).
ЗАДАНИЕ 1
v Какие из первых 15 натуральных чисел являются простыми, а какие составными?
2.	Представить числа 1375 и 9009 в виде произведения простых множителей.
3.	Найти НОД (a, 6):
1)0=120, 7?= 144;
2)	0 = 275, 6=180;
3)	0 = 372, 6=156.
4.	Найти НОК (а, Ь):
1)0 = 70,	6=112;
2W = 75,	6=114;
3)	а = 544, 6 = 720.
J 5. Какие из следующих чисел делятся на 2, 3, 4, 5? 6, 8, 9, 15| 1) 2 025;	5) 37 342 488;
2)2 160;	6) 9 714 832;
3)5 184; . 7) 8 756 442;
4)	91 215;	8) 48 478 300?
14
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
6. Найти наименьшее трехзначное число, которое делится на 2, но не делится нацело на 4.	________
Ч 7. Найти цифру Хг при которой число 5X793X4 делится на 3,
ЗАДАНИЕ 2
1.	Представить числа 1124 и 24 180 в виде произведения простых множителей.
2.	Найти НОД (а, 6):
1)	а =108, Z? =105;
2)	а =144, 6=174;
3)а=192, 6=102.
3.	Найти НОК (а, 6):
1)	а = 36, 6 = 54;
2)	а=111, 6 = 30;
3)	а = 216, 6 = 270.
4.	Какие из следующих чисел делятся на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 15, 25:
1)	1 080;	5) 73 885 635;
2)	1 296;	6) 547 711 300;
3)	10 800;	7) 46 787 641200;
4)	11223 344;	8) 3 893 435 594?
• 5. Доказать, что если натуральное число т больше натурального числа п и каждое из этих чисел делится нацело на число р, то разность т—п также делится нацело на числр р.
6.	Привести пример пятизначного числа, Которое делится на 8 и 9.	_______
7.	Найти цифру X, при которой число 12Х347Х делится нацело на 8.
ЗАДАНИЕ 3
1.	Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2._ ____
2.	Доказать, что число об—6а делится на 9.
3.	Доказать, что число abed тогда и только тогда делится на 101, когда ab—cd = 0.
4,	Являются ли следующие числа взаимно простыми:
1)	51 и 76;
2)	1081 и 2 924;
3)	80 600 и 5 187?
5. Найти все пятизначные числа вида 64X5F, делящиеся на 36<
6. Доказать,	что следующие числа	являются составными:
1) 22.4.23	7)	100X0®—1;
’—8) Ю«—57:
1986 цифр	1013 7<
2) ip‘+2H’|	’
$) 2*5 б-|-424;	«Л	5537_7117.
5) lUllTllf 16“*	1261986-511986>
6) 4**^1;
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
15
на
ЗАДАНИЕ 4
1.	Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.
2.	Доказать, что число ab-\-ba делится на 11.
3.	Доказать, что число abed тогда и только тогда делится 99, когда число ab+cd делится на 99.
Являются ли взаимно простыми следующие числа:
27 и 88;
1155 и 338;
1 224 и 2 487 651?	______
Найти все пятизначные числа вида 71Х1У, делящиеся на 45/
Доказать, что следующие числа являются составными: 123 123 123 123;
65—92; * * *
4.
I)
2)
3)
5.
6.
1)
2)
3)	280— 1;
4)	131бН-178;
5)	444...41;
1^5^фр
6)	41’—284;
7)	8Б+221;
8)	17 8675—15 944?.
ЗАДАНИЕ 5
1. Найти остатки от деления числа:
1) 78 346 791;	2) 1 231234 155
5, 8, 9, 10, 25.
2. Привести пример четырехзначного числа, которое делится
9, а при делении на 4 дает в остатке 3.
Вычислить:
(—2) + (—3):(—1) —(—7);
[3-(—2) — (—8)] •(—7)—(—2) (-5) +3:(-1);
(1).(2) +(-3).(-4)-(-2).(-3)
на
на
3.
3)
4.
(_2).(—3);(—1)-(-3).(-2):(-6) + (-2) '
Найти целые числа,х и у такие, что:
(х+2) (//-—1) = 4;	2) (х-3) (^+5)= 1.
Доказать, что сумма квадратов двух последовательных целых чидеЙГ при делении на 4 дает в остатке 1.
6. Доказать, что при любом целом т число tn (/п? + 5) делится нацело на 6.
7. Произведение четырех целых положительных чисел меньше, чем их сумма, а сумма трех из этих чисел равна 28. Найти все такие чи^ла.
ЗАДАНИЕ 6
1. Найти остатки от деления числа:
1) 278 456 789; х2) 321 792 413 на 3, 4, 5, 8, 9, 125.
2. Привести пример шестизначного числа, которое делится на 3„ а при делении на 5 дает в остатке 2.
Вычислить:
(-2).3 + (- 4)-7-0 + 1;
(_6):(-2) + (-8):4-(-2);
(5-3)(4-((-3)-7));
(_1).(_2).(-3).(-4).(-5) .
(—3) —(—5)
(-2) + (-3).(-1)-0 + (-4)
3.
1)
2)
3)
4)
5)
(—!)•(—1)+3
16	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4.	Найти целые числа х и у такие, что: .	1) (х+1)0/-2) = 2; 2) (р+1) (хр—1) = 3.
б. Доказать, что квадрат нечетного целого числа, отличного от нуля, При делении на 8 дает остаток 1.
6. Доказать, что при любом целом т число т (m+1) (2т +1) делится нацело на 6.
7. Произведение четырех целых положительных чисел меньше, чем квадратный корень из суммы их квадратов, а сумма этих чисел равна 45. Найти все такие числа.
числа тип делятся на натуральное число р.
число т делится на натуральное число р,
Упражнения yV/Натуральные ’ Доказать, что сумма т-\-п делится на р.
^^Натуральное
а табло п делится на натуральное число q" Доказать, что тп делится на число pq.
^ЗрНатуральное число т делится на натуральное число р. Доказать, что число т& делится на pft (&gN).
^З^Последняя цифра числа равна 5. Доказать, что квадрат этого числа делится на 25.
5. Привести пример шестизначного числа, делящегося йа 121; найти наименьшее такое число.
6. Доказать, что число делится на И тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.
(г^Г^умма двух трехзначных чисел abc и efg делится на 37.
Доказать, что число abcefg делится на 37.
^80 Найти все числа вида 56ХЗУ, делящиеся на 36.
Найти все числа вида 71Х1У, делящиеся на 45.
V10. Найти все числа вида 135ХУ, делящиеся на 45.
Найти все числа вида 517ХК, делящиеся на 6 и 9. шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая — с пятой, третья — с шестой. Доказать, что число делится:
1) на 7; 2) на 11; 3) на 13.
13.	Делится ли число 123.. .9899 100 (выписаны подряд все числа от 1 до 100):
1) на 4; 2) на 8; 3) на 3; 4) на 9?
14.	Делится ли число 1...1 на 81?
81 цифра
15.	Делится ли число 7...7 27
27 цифр	«
11 на 189; 2) на 333; 3) на 777;. 4) на 567?
/ТблДоказать, что следующие числа являются составными:
ГГГ2»»+1;	7)	4-(10 000)«+1;
2) 25»—1;	8)	4343—1717;
3) 1326-|-1789 + 271;	9)	10333Ч~8;
4)23‘”’ + 1;	10)	(32996 + 6)18—1;
•5) 2s1*” — 1;	11)	3106 + 4136;
6) 4-10400 + 1;	12)	5.2293+323в;
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
17
13)	5501Ч-4б02_|_3500;
14)	11.21.31.41-.. ..91 —111;
101б8+2 . 10297+8 .
16)	(2 • 57 — 5 • 27)83 - ((2.57)83 — (5.27)83);
17)	2222бб5бН-55552223;	18) 222338 + 333222.
17.	Сумма трех натуральных чисел больше, чем их произведение, а сумма двух из них равна 33. Найти эти числа.
\Л8. Доказать, что для любого натурального числа п число п/3 + п2/2п3/6 натуральное.
^19. Доказать, что для любого нечетного натурального «число п12 — «8— «4+1 делится на 512.
v/20. Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не является квадратом целого числа.
21.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике, длины сторон которого выражаются натуральными числами, по крайней мере одно из чисел, выражающее длину катета, делится на 3.
22.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике, длины сторон которого выражаются натуральными числами, хотя бы одно из этих чисел делится на 5.
23.	Найти все натуральные п, для которых сумма 1-|-2 + + 3 + ... + « при делении на 5 дает остаток 1.
к! 24. Доказать, что при любом натуральном п число:
1)	10п4"13«—1 делится на 27;
2)	32/г + 3-|-40« — 27 делится на 64;
3)	50л — 5п (2п 4-1) +1 делится на 36;
4)	424п — 214« + 8 («+ И) + 37«+2 делится на 45.
25.	Верно ли, что каждое натуральное нечетное число может быть представлено в виде:
1)	2n—1, ngN;
2)	2« + 7, ngN;
3)	4n-f-l или 4n—1, ngN;
4)	2n2 + 3, n£N?
26.	Верно ли, что каждое четное натуральное число может ' быть представлено в виде:
1)	2« —2, ngN;
2)	4« + 2, «gN;
.	3bi24-2,
C27J Найти наибольшее целое числа, которое при делении с остатком на 15 дает частное, равное 19.
28.	Какой цифрой оканчивается сумма всех двузначных чисел?
29.	Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел? J 30. Найти все числа 6, для которых число 62-|~36+ 5 делится на 121.
31.	Доказать, что если каждое из двух натуральных чисел при делении на натуральное число т кает остаток 1, то их произведение при делении на т также дает остаток 1.
32.	Доказать, что числа вида 3m+ 2 (m^N) не являются квадратами целых чисел.
33.	Доказать, что любая натуральная степень числа 15 при делении на 7 дает остаток 1.
34.	Доказать, что все числа вида 22П + 1 (n^2, ngN).оканчиваются цифрой 7.
18	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ .ЧИСЛА
35.	Доказать, что все числа вида 24”—5 (n g N) оканчиваются цифрой 1.
36.	Доказать, что простое число р, р^5, при делении на 6 дает остаток 1 или 5.
37.	Доказать, что квадрат простого числа р, р^ 5, при делении на 24 дает остаток 1.
38.	Натуральное число п > 1 не делится нацело на 2 и на 3< Доказать, что число п2.— 1 делится на 24.
39.	Пусть р > 3—простое число. Доказать, что число р2—1 делится на 24.
40.	Найти все натуральные р, для которых числа р+1, р+2 и р + 4 простые.
41.	Найти все пары простых чисел р и q, удовлетворяющие условию р2 — 2^2 = 1.
42.	Найти все простые р, для которых число 2р2 + 1 также простое.
43.	Найти все простые р, для которых числа 4р2+1 ибр^ + 1 также простые.
44.	Найти все простые р, для которых числа р + 10 и р+14 также простые.
45.	Доказать, что не существует простого числа р, для которого числа р + 5 и р+10 простые.
46.	Доказать, что не существует простого числа р, для которого числа р + 2 и р + 5 простые.
47.	Числа р и 8р2 +1 простые. Доказать, что число 8р? + + 2р +1 простое.
48.	Доказать, что для любого п > 3 хотя бы одно из чисел п, п + 2 или п + 4 не будет простым.
49.	Сколько существует вариантов составления суммы 4 руб. 96 коп. из монет достоинством по 2 и 15 коп.?
50.	Сколько существует вариантов составления суммы 2 руб. 31 коп. из монет достоинством по 3 и 20 коп.?
51.	Доказать равенство У1...1— 2...2 — 3...3.
2п цифр п цифр п цифр
52.	Доказать, что для любого натурального числа п число 4.. .4 8... 89 является полным квадратом.
п цифр п^Тцифр
53.	Найти все натуральные числа х и у, удовлетворяющие условию:
1)	2*2.Зу = 12*;	3) 18^=2*2-3‘<
2)	2*2.Зу2 = 6Аг+г/;	4) 5~*. 10^ = 20*2.
54.	Существуют ли натуральные числа п и т такие, что п2 — т2=101 010?
55.	Доказать, что целое число п делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда разность между числом его тысяч и остатком от деления его на 1000 делится соответственно на 7, 11 или 13 (например, число 452 312 делится на 7, так как число 452— 312=140 делится на 7).
56.	Доказать, что если в числе произвольно переставить цифры, то разность между заданным числом и полученным делится на 9.
57.	Доказать, что разность двух чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9.
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
19
58.	Доказать, что сумма 2n+1 последовательных чисел делится на число 2п + 1.
59.	Доказать, что для двух натуральных чисел, одно из которых есть разность квадратов нечетных чисел, а другое—сумма квадратов этих чисел, число 4 не является общим делителем*
60.	Найти НОД и НОК чисел:
1)	308 и 264;	3) 144, 420 и 252;
2)	112 и 490;	4) 1 512, 1 188 и 1 260.
61.	Доказать, что общее кратное двух чисел делится на их наименьшее общее кратное.
62.	Доказать, что
1)	НОД (а, Ь, с) = НОД (НОД (а, Ь), с);
2)	НОК (а, Ь, с) = НОК (НОК (а, Ь), с)-,
3)	НОД (а, &)*НОК(а, Ь) = а-Ь;
4)	НОД (ас, Ьс) = с НОД (а, Ь);
5)	НОК (ас, Ьс) = с НОК (а, Ь);
6)	НОД (п, п +1, п+2) = 1;
7)НОК(п, п+1, п + 2) равен либо nfn+l)(n + 2), либо я (я 4-1) (Я4-2).
2
8) НОД(2я, 2я4-2)=2.
63.	Доказать, что числа
а	b
гг /.’7л*	И ’т’т'ТГгт’ / " г \ ВЗЯИМНО
НОД(а, Ь) НОД (а, Ь)
простые.
64.	Доказать, что НОД(а&, Ьс, са) делится на НОД (а, Ь, с).
65.	Пусть а и Ь—взаимно простые натуральные числа. Доказать, что числа а и а+& также взаимно простые.
66.	Доказать, что если НОД (а, &)—1, то НОД (ас, Ь) =» «= НОД (с, Ь).
67.	Доказать, что НОД(/п, п), т> п, меньше числа т—п или равно ему.
68.	Найти все пары натуральных чисел п и т, удовлетворяющие системе:
1) J пг+п=20,	3) ( тп — 420,
( НОД (nt, п) = 5,	\ НОД(т, п) = 20;
2) j тп —6,	4) ( тп — 20,
1 НОД (т, п) = 1;	( НОК (т, п)=10.
69.	Если НОД (п, т, k) = 1, то НОД (pn, Im, k) = НОД (р, I, k), Доказать.
70.	Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющие условию:
1)	х+р = хр;	6) х (z/2+1) = 48;
2)	х2 — 3ху + 2р2 = 3;	7) г/2 — 5х2 = 6;
3)	х2 + 23 = р2;	8) х2 = 4р2;
4)	х2—47=у2;	, 9)
5)	\1х+1[у+Цху=\\	10) 3*—г/3=1.
71.	Найти все тройки целых чисел х, у и г, удовлетворяющие системе:
1)	j x+2p + 5z=l,	2) ( х-—p-3z=l,
\ Зх+ p+5z = 3;	\ х+у—2z=L
20	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
!
72.	Найти все целые числа г, удовлетворяющие условию:
1)	КТ+2 <	3) Кг+2>
2)	j/z + 1 < /б-z; _ 4) j/z+1 > j/6—z.
73.	Число х+1/х целое. Доказать, что целым будет и число х8+ 1/х8.
74.	Пусть х и г/—целые числа, удовлетворяющие условию х? — 4у2. — 4ху. Доказать, что х—у — Ь.
75.	Сколько целых чисел п удовлетворяют условию:
1)	(п2—2)(п2 — 20) < 0;
2)	(п2 — 1) (п2— 11) (п2—101) (п2 —1001) < 0;
3)	(п2 —3) (/г2 -33) (я2 —103) (п2 —203) < 0?
76.	Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющие системе:
1) г х > у,	2) | 20% < у,
< 2х+ (/<32,	< 23 (%—1)^(/,
I % + 2(/>28; I 21я+# — 500.
§ 2. Рациональные и иррациональные числа
Обыкновенная дробь (дробь) —число, представляемое в виде p/q, где q—знаменатель дроби (натуральное число), р—числитель дроби (целое число). .
Если р—натуральное число, то число p/q называется положительной дробью; если р—целое отрицательное число, то число p/q называется отрицательной дробью. Отметим, что число — можно
^р 	— р	р	р
записать в виде—~ , или---- , или---~ , а число——можно
—q q	— q	q
~ —p p записать в виде —- или .
q	—q
. . .Любое целое число k. представимо в виде дроби k/1.
Две дроби p/q, и т/п равны, если справедливо равенство pn — qm. Например, дроби 4/7 и 8/14 равны, так как 4» 14 = 7*8.
Основное свойство дробей. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же целое, отличное от нуля число, или разделить на их общий множитель, то получится дробь, равная данной, т. е.
 ‘	£=£J.> fegz, k^O.
q q-k 41 ’	.
tt	3	6	—9
Например, дроби у, и —у равны.
Деление числителя и знаменателя положительной дроби на их общий делитель называется сокращением дроби.
Положительная дробь p/q называется несократимой, если числа р и q взаимно простые. Например, дробь 13/7 несократимая, так как НОД (13, 7)=1.
Отрицательная дробь p/q называется несократимой, если поло* жительная дробь -у несократимая.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 21
Всякою дробь можно записать в виде несократимой дроби.
Для того чтобы положительную дробь p/q записать в виде несократимой дроби, надо сократить на НОД(р, q) числитель и знаменатель дроби.
Пример 1. Записать дроби 105/147 и —18/42 в виде несократимых дробей.
Решение. Поскольку 105 = 3*35 = 3*5*7, а 147 = 3*49 = = 3*72, то, сокращая числитель и знаменатель дроби 105/147 на , общие множители 3 и 7/ получим
105__3>5*7_ 5
147""3*7*7”'7 4
Поскольку = — и 18 = 3*3*2, 42 = 3*2*7, то 18/42=3/7,
18	3
и поэтому= —у.
Арифметические действия над дробями:
х Pl I Р2 P1Q2+Р2Я1 /
3)	(CyWa ДР°бей);
б)	(разность дробей);	ffr-
в)	(произведение дробей);
г)	I	(частное дробей).
Я2 Я1 I Я2 Я1Р2	
В некоторых случаях правило нахождения суммы (разности) дробей допускает упрощение.
1.	Для того чтобы сложить (вычесть) две дроби p/q и r/q с одинаковыми знаменателями, надо написать дробь, у которой знаменатель равен знаменателю данных дробей, а числитель — сумме (разности) числителей этих дробей.
Например,
2	8 __ 10 . 3	2	5 _3 + 2 + 5_ 10
3 “Г* 3	3’ 7^~	7~~	7	“ 7 ‘
2.	Для того чтобы сложить (вычесть) две дроби p/q и r/s с разными знаменателями, надо найти наименьшее общее кратное А знаменателей этих дробей и привести данные дроби к этому общему знаменателю А, а затем производить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример 2. Сложить дроби:
а)	5/21 и 4/9;
б)	7/90 и 11/105;
в)	1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и 5/6.
Реше н,и е. а) Наименьшее общее кратное чисел 2Ь и 9 есть 63. Приводя дроби к этому общему знаменателю, получим
5/21 = 15/63, 4/9 = 28/63;
22	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
поэтому
5	4 _15 28_15-|-28_43>
21+ 9 — 63+ 63	63 6§;
б) так как 90 = 2.5.3а, и 105 = 3-5.7, то НОК(95, 105) = = 2»5*3«3«7 —630; поэтому
7	1.1__7.7 + 6И1 49 + 66 ,H5__J3
90 '105	630	~ 630
. 1 , 2 . 3 , 4 . 5 в) т+т+т+т+б“=
_30 + 2.20 + 3-15 + 4.12 + 5-10 — 213 71
“60	~ W 2б ’
Пример 3. Вычислить разность:
а)	23/36—1/24; б) 2/15 — 7/27.
Решение, а) Так как 36 = 22-32 и24=28»3, тоНОК (36,24)= = 23‘32 = 72; поэтому
23	1 —2.23 —3.1__46-3—43
36 24”	72 .	72 ”72*
б)	Так как 15 = 3-5 и	27 = 38, то	НОК (15, 27) = 135, поэтому
2	7—9.2 —5.7_ 18 —35_—17	17
15	27” 135	” 135	” 135 ”	135*
Говорят, что дробь р/<7 больше (меньше) дроби т/п и пишут p/q > mln (p/q < т/п), если дробь p/q—-т/п положительная (отрицательная). ’
Из двух положительных дробей p/q и rjq с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше.
Из двух положительных дробей p/q и р/г с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше*
Пример 4. Сравнить дроби:
, а) 11/12 и 12/13; б) 11/18 и 17/21.
Решение, а) Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 13, а второй на 12; тогда
11^11-13—143	12—12-12—144
12—12-13—156 И 13~ 13-12~ 156'
Поскольку у этих дробей знаменатели одинаковые, то первая дробь меньше, чем вторая; следовательно, 11/12 < 12/13.
б)	Так как
11 17—7- 11—6-17 — 77—102—	25
18 21”	126	”	126 ”	126’
то 11/18 < 17/21.
Положительная дробь p/q называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя; в противном случае (т. е. если числитель равен знаменателю или больше его) — неправильной. Например, дроби 3/7, 5/8, 11/123 правильные, а дроби 5/5, 8/3, 17/11 неправильные.
§2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 23
Если положительная дробь p/q неправильная, то ее числитель можно единственным образом представить в виде p = nq-\-r, где п—натуральное число, а г—целое число, удовлетворяющее условию 0 г < q.
При г # О неправильная дробь — записывается в виде п-\—^
Я	Я
г	г
или п — , Число л — называется сметанной дробью, где п- целая f
часть, а — — дробная часть. Например, неправильные дроби 31/3, 8/7, 15/4 записываются в виде смешанных дробей соответственно 11	3
следующим образом: Ю-g-» 1-у и 3^~
Любую смешанную дробь можно обратить в. неправильную дробь; например,
"	о2 —о 2 _ 2 . 2 __2>5 + 2_ Ц
2 5	5 “ 1 + 5 Г 5 ’
Отрицательная дробь p/q называется правильной (неправильной), если положительная дробь	правильная (неправиль-
ная). Если отрицательная дробь p/q неправильная, то ее можно записать следующим образом: представить в виде смешанной дроби положительную дробь и перед этой смешанной дробью поставить знак минус.
Пример 5. ’ Представить в виде смешанной дроби дробь —17/3.
гч	т 17-2	17	-2
Решение. Так как у=5-^-, то — у== — 5~
Пример 6, Выполнить действия:^
ч 1 .	1	\	4 t- 1 , Г. '
а)	т+т’ У-5?”’
б» 4 • Ф	г) 44-
Решение.
, 1  1	2 . t_--2+L_.3.
' -g-d- 4 — 4 "Г 4	4	4 »
б)	зД. 2±-12. -8= 1^=152=102.
°' 5	3~ 5	3	3-5	15	15’
4	1__4 36_4-7—36-5_28-180_—152_	12
в' 5 57 ~5	7“	5-7	35 — 35 ~ 435’
. „1 5_5 5_5.6_.
г) 22 ’ 6 — 2'6 —2-5~3'
П р и м е р 7. Вычислить:
к 7	11
а)	2у+3-: в) 3^-5^;
’ об ч Л1 Я2
б)	524 - 318*	Г) 45 63’*
24
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Решение.
4+з^м+(4+1>6+-+-=
-5+Й“5+'+п=6+и=еЙ;'
л «Л- Ч£-Г,_оч , /Н_£\_94 И-3-5<_
б) °24 “318—<	3 ' \24 187 ’2+	72
33-20	13	13.
~	72	-Г"72	72’
•) 4-Ц-(3-Б)+(|-±)=_2+1т1=-2+4=
 -^2 1 1--~2| 1 _-(-2)’3+1--5- 12
=_2+-г2==_2-1^ - (2+т§) =с~213-
Свойства арифметических действий над дробям и. Пусть п, г2 и (в—положительные дроби; тогда
(Г1+Га)+Гз —н + (гг + гз) — *"1 + гз + гз> Г1Т2 = г2-п;
Г1 (г в-г в) = (Г1 • Г2) Г в = rt • Г в • Гв, Г1— ГВ— —(г2~~г1) = ''1~|~(— гв)‘> — Г!— г2=— (/1 + г2);
— (— Г1) — ГГ,
Г1 (— Г в) = — (Г1Г2) = (—Г1) • г в',
(— о)(— Гв)=-Г1Гв', Г1(Гв — Гз) = Г1Г2 — Г1Гв; Г1 (— г в — Гз) = — V2 — гхгв = — (Г1Г2 + Г1Гз);
(— г1) (г2 + гз) = —f^B —	— —('1''2 + ''1гз);
(— Гх) (—Га—'•з) = Г1(г2+г») = г1г2-|-г1г8; (— Г1) (гв — Гз) = — Г1Г2 + Г1Гз = — (Г1Г2 — Г1Г3);
Г11Г2 = Г1------;
Гв Гв
Г1: (— Га) = (— Г1): Г2 = — (Г1: Г2) = —;
^2
(— Г1): (— Г в) = Г1: г2=-! Г2
('1 + ^2)*^з==“+7^;
Гз ^3
(Гх—Гз):/а=у-—^-5
Гз Гз
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 25
/ r- rVr_________Г2_ Г1д_Г*
(_Г1_Г2).Г3 - ----- (-+-(п+^:(-г*)=	(.2.+11
^3	^8	\ Г3	Гз
Г2__г/Г1 Г2 ГЗ	\ Г3	Г3
(— Г1 — Г2): (— Г8) =	т14 т1.
^8	Г3
(Г1 —г2):(—г3)= —-гз
Пример 8. Вычислить:
> (4-4)"4;
—23 ~§8*
(131-2^-14). 23^+44
В) /,3 . 10\ /’,„1	,.2\
Решение, а) Так как 1у — 2-|-=у—-|-=4<1~^6 7^=а
/— 23 \	10____/23 10\	'_П5’
\ 28 ) ' d3 “ \ 28 ) ' 3 “ \28 ’ 3 ) ~~	42 ’
3-2-4 зЛ_____Ц5 231
7	4/	42—	42’
и
ТО
б) Пусть Л = ^2у4-3у j , В— Л_2 + 3+1+4_5+1±г, В=-4 + 3-1+1=-. + =^
. R-C* * * 5 ( 1 1 \_35 (—43 \	35-42
Л:й~°бД 42/ 6/42	6-43 ~
Л,В + 4_-5 + 7^|?+4=2+=«У^:
-4
- । _5__
— 1—1=iJL—_____,
42	42	42
_245__ -30
43 ~	43’
-2-^-1^
86	86’
тогда
43
в) Пусть
л-14-4-'14’
А_|_12 с— 12— —14— ?
7*3’ с“12з н7 >
тогда
а = 13—2—104—i—А__ А == 1 _l ^Lzj.9 ~~90 = 1 __AL-_AL ‘ 4 27 6	1	108	1 108”” 108
1 _ 25	1 ___ 25 5751 5751 639 213
2 25~” 108 ’	25" 108 * 25	Т08“Т2
• Л.2301+4б|=2^+1|1= 100; ’
4 *
26
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В = 1 +|+3+l==4+|+4-=4+^=f;
С = 12-|-14|=12-14+~4=-2+^=-^
R,r-100/	41\	100
Ь:С ~ 21 :\ 21/	' 41*’
-^гг+Ч wo ---------—-----——41.
В:С —100/41
Дробь p/q, знаменатель которой равен 10й, где k—натуральное число, можно записать специальным образом.
Если р > 0, то пишут числитель этой дроби —число р —и, -отсчитав с правой стороны k цифр, отделяют их запятой. При этом, если в числителе меньше цифр, чем k, например п (п < k), то пишут числитель и перед его первой цифрой вписывают k—п нулей, затем ставят запятую и перед ней пишут еще один нуль. Если в числителе k цифр, то пишут числитель, перед его первой цифрой ставят запятую и перед ней ставят нуль. Такое представление числа называется положительной конечной десятичной дробью.
Если р < 0, то дробь ~ записывают в виде	затем
положительную дробь —записывают в виде конечной десятичной дроби и перед ней .ставят знак минус. Такое представление называется отрицательной конечной десятичной дробью.
Например,
17	17	17
—= 1 7-	—==0 17’ —- — О 017-
10 М’ 100	’ ’ 1000	’	*
Q	1
“Тоо=-°-ОЗ: -1боб=-°’001-
Любая конечная десятичная дробь легко переводится в обыкновенную дробь. Для этого надо записать в числитель целое число, которое получается, если отбросить запятую у десятичной дроби и нули, стоящие слева,’ а в знаменатель написать единицу и после нее столько нулей, сколько цифр стоит у десятичной дроби после запятой, после чего дробь можно сократить на общий множитель, если он есть; например,
1 {к 1 15  2 755 5 “100—20 ’	2,755
5 °’05=100= 20-	
Для того чтобы несократимую дробь p/q можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы ее знаменатель не содержал других простых множителей, кроме 2 и 5. Например, дробь 17/20 в виде конечной десятичной дроби записывается следующим образом:
17	17	17-5 _85
20~4.5~2-5.2-5-100	’
2755 — 551 '
1000 ~ 200 ’
1
4-5 2’5-2*5
§ 2, РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 27
В то же время дробь 5/21 нельзя записать -в виде конечной десятичной дроби, так как знаменатель этой дроби содержит простые множители, отличные от 2 и 5.
Бесконечной периодической десятичной дробью называется десятичная дробь, у которой после запятой стоит бесконечно много цифр, причем одна цифра или упорядоченная группа цифр, начиная с некоторого разряда после запятой, повторяется. Эта повторяющаяся цифра или упорядоченная группа цифр называется периодом.
Например, десятичная дробь 13,74331331331... является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 331.
Период принято писать один раз, заключая его в круглые скобки:
13,74331331... == 13,74(331); —0,888... -—0,(8).
Каждая несократимая дробь p/q, знаменатель которой содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, может быть представлена в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть единственным образом представлена в виде дроби p/q.
Для того чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например,
9	,117-11 -106.. 63 •	-37- 0--37-
°’ (7) —	900	—900—450- 0,(37)— д9 — 9д,
____21516—215 _ 21301.
2,15(1 Ь)-	9900	—	9900 .
0	130—-18 162	18-9	9
’ ' }	900	900 9-100 50’
Пользуясь правилом обращения бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную, можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, причем двумя способами; например,
о .Е/лх 150—15	135	15
0,15(0) — 900 — 900—190—0,15,
149-И 135 ...
°’14 (9) = -Эбб—=900=0’15-
Чтобы не было двух разных представлений одной и той же конечной десятичной дроби в виде бесконечной периодической,десятичной дроби, принято не иметь цифру 9 периодом. Тогда каждая конечная десятичная дробь может быть единственным образом записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби с периодом 0 и, наоборот, каждая такая дробь есть конечная десятичная дробь.
28	гл. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Итак, каждая обыкновенная дробь p/q может быть единственным образом представлена в виде бесконечной периодической деся-‘ тичной дроби и, наоборот, каждая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть единственным образом представлена в виде обыкновенной дроби p/q. Следовательно, можно сказать, что каждая бесконечная периодическая десятичная дробь есть другая форма записи некоторой обыкновенной дроби.
Например,
1/3 = 0,(3); 0 = 0,(0); 2 = 2,(0);
.		—17 =—17,(0); 17/7 = 2,(428 571); 1/5 = 0,2(0).
Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь (обыкновенная дробь) называется рациональным числом.
Периодическими бесконечными десятичными дробями не исчерпывается множество всех бесконечных десятичных дробей.
Например, Покажем, что дробь 0,12345..., где после запятой выписаны подряд все натуральные числа, не является бесконечной периодической десятичной дробью, т. е. не является рациональным числом.
Предположим, что данная дробь является периодической. Пусть период ее состоит из п цифр, среди которых хоть бы одна отлична от нуля, и период начинается с &-го места после запятой (число 0 не является периодом дроби). В записи данной дроби с некоторого места /(/>£) стоят цифры, натурального числа 102и + ^, т. е. стоит 1, а за ней 2n + k нулей. Ввиду того что длина периода равна п, то период данной дроби целиком попадет в отрезок из 2n-\-k нулей, т. е. состоит из одних нулей, что противоречит предположению.
Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. -
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби p/q и обратно, каждое число не представимое в , виде p/q является иррациональным.
Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом Q; множество всех рациональных и иррациональных чисел обозначается символом R и называется множеством действительных чисел.
Два действительных числа а и b равны (а = Ь), если одинаковы их представления в виде бесконечных десятичных дробей. В противном случае числа а и & не равны (а Ф Ь).
Пример 9. Доказать иррациональность каждого из следующих положительных чисел:
. а) /Г-
б) У 3/т, где /п—натуральное число;
в) log76; г) tg5°.	~
Решение, а) Предположим, что число К3 является рациональным, т. е. V 3 = piq, где p/q—несократимая дробь. Тогда р2 = 3g2. Поскольку правая часть этого равенства делится на 3, то и левая его часть должна делиться на 3. Следовательно, число р2 делится на 3. Докажем, что тогда, и число р делится на 3. В самом деле, если р не делится на 3, то либо р = 3&+Ь либо р = 3^ + 2 (fcgZ).
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 29
Пусть р — 3k +1, тогда р2 = (3k + 1)? — 9k2 + 6k + 1, и так как р2 делятся на 3, то и разность р2 — (9 k26k) должна делиться на 3; в то же время эта разность равна 1. Получили противоречие.
Аналогичными рассуждениями получим противоречие при p~3k-]-2.
Поскольку р делится на 3, то существует целое число т такое, что // — 3m. Подставляя это значение в равенство р2 — 3q2, получаем q2 — 3m2. Поскольку правая часть этого равенства делится на 3, то аналогично предыдущему рассуждению получаем q — 3l.
Итак, числа р и q имеют общий множитель —число 3, однако по предположению числар и q взаимно простые. Это противоречие означает, что сделанное предположение неверно. Следовательно, число /3 не является рациональным.
б)	Предположим, что данное число является рациональным, т. е. V^3lm = p/q\ тогда ^З — ptnlq также является рациональным, что противоречит доказанному в п. а). Следовательно, число Р^З/т является иррациональным.
в)	Предположим, что число log7 6 является рациональным, т. е. log76==p/</, где р и ^ — натуральные числа. По определению логарифма
7₽^ = 6, или 7^=69.
Равенство 7^ = 6# невозможно, так как 6^ — натуральное четное число, а 7? — натуральное нечетное число. Следовательно, число log7 6 иррациональное.
г)	Предположим, что число tg 5° является рациональным, т. е. tg5° — p/q. Тогда рациональными будут, числа tg 10°, tg 20°,. tg 30°, поскольку
.tg 1Q°= 1	=l/m’ l£z’ mgN;
^20°=14^=Т^=^
. dgZ,
Однако tg 30° = 1/]Аз, а число 1/1^3— иррациональное. Полученное противоречие означает, что число tg 5° иррациональное*
Прямая, на которой выбрано начало отсчета (точка 0), положительное направление и введен масштаб, называется числовой прямой (числовой осью),
......S-------Ч----1	ч-------->* р О 1--------------------------------L а?
Рис. 1.1
Точка О разбивает прямую на два луча (рис. 1.1): луч OL, направленный вправо, называется положительной полуосью', луч ОР, направленный влево, называется отрицательной полуосью.
30
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Каждой точке числовой прямой ставится в соответствие единственное действительное число по следующему правилу:
1)	точке О ставится в соответствие число 0;
2)	каждой точке А на положительной полуоси ставится в соответствие положительное число а, где а—длина отрезка ОА;
3)	каждой точке В на отрицательной полуоси ставится в соответствие число — | Ь [, где | Ь | — длина отрезка ОВ.
При этом разным точкам числовой прямой соответствуют разные действительные числа, и нет ни одного действительного числа, которое не соответствовало бы какой-либо точке числовой прямой. Таким образом, между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.
Сравнение действительных чисел:
1.	Два действительных числа а и Ь равны, если их разность а—b равна нулю.
2.	Число а больше числа Ь, если разность а—b положительная.
3.	Число а меньше числа Ь, если разность а—b отрицательная.
Свойства равенств:
1.	Если а=Ь и Ь — с, то а==с.
2.	Если а—Ь и c — d, то аА-с= b-(-d и а—с—Ь—d.
3.	Если а — Ь и с=d (с 0), то ac—bd и afc—bld. В частности, если а—Ь, то an — bn	и, обратно, если ап—Ьп
(ngN) и ab > 0, то а — Ь.
4.	Если а—Ь, то а-[-с—Ь-\-с и а—с—Ь— с.
5.	Если а— Ь и с & 0, то ас— Ьс и а/с-Ь/с.
Свойства неравенств:
1.	Если а > Ь	и Ь >	с,	то а > с.
2.	Если а > Ь	и с >	d,	то а-\-с >	b-]~d.
3.	Если а > Ь	и с <	d,	то а—с >	Ь—d.
4.	Если а>	Ь > 0	и	с > d > 0,	то ас >	bd	п	а/d	>	b/c.
В частности, если	а > b	> 0, то ап >	bn (n£N);	и, обратно, если
а > 0, b > 0 и ап > bn (ngN), то а > Ь.
5.	Если а > Ь, то а-\-с > Ь-±-с и а—с > Ь—с.
6.	Если а > Ь и с > 0, то ас > Ьс и а/с > Ь/с.
7.	Если а > Ь и с < 0, то ас < Ьс и а/с < Ь/с.
Кроме неравенств а > Ь и а < Ь рассматриваются нестрогие неравенства а^ Ь и а<Ь.
Числовое неравенство а^Ь считается верным и при а>Д и при а—Ь и неверным в случае а < Ь. Например, неравенство 2^2 верно, так как 2 = 2; неравенство 3^2 верно, так как 3 > 2. Перечисленные выше свойства неравенств справедливы и для нестрогих неравенств а^Ь и а^Ь.
Говорят, что справедливо двойное неравенство а < b < с, если одновременно справедливы неравенства а < Ь и Ь < с.
Пример 10. Доказать равенства;
а)	1/2+1/6 + 1/12+ 1/20 = 0,8; б) 2200 = 4100;
в) j/i+КГ+з—2К2"=1;
г)	д)0,(3)+з|+0>4(2) = 4^
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 31
Решение, а) Приводя дроби ~ 9	~ к общему зна-
менателю, получим
1	1	1	1	30+10+5+3 48 8
2 ' 6 ‘12‘20~~	60	~~60”10	’
б)	4100 = (22)100 = 22’100 = 2200*
в)	Поскольку
1 + /2 = V(1 + /2")2 =	1 + 2 /2+2 =	3+2/2?
ТО
1/1 + V2 • у/3—2/2'=р/3+2/2’. |/3—2/2* =
= У (3+2/2) (3—2/2) = у/ З2—(2/2)? = f/s+?8 = 1.
г)	Умножая числитель и знаменатель на /3+/2, получим
1	/3~+/2~_______/§+/2_
/3-/2 (/3-/2)(/3+/2)	1
\ гт	А ,,ч з—о 3	1	. . ,оч 42—4 38
д) Поскольку 0,(3) = —^-=—=— и 0,4(2)==-^-=^=
19
“45 ’ Т°
0!(3) + з|+0,4(2) =± + ^+g=H+l|=
165+19 184 „4
45	~ 45 — 45'
Пример 11. Выяснить, какое из двух чисел больше:
а) 1//6—1 или —4/5;
б) 131/273 или 179/235;
в) 2 или 3/3 — 2/2;
г) З21..или 281;	_
Д) (3—/123)/4 или (2-/37)/3;
е) (3/7+5/2 )//5 или 6,9;
ж)21о§1а 145 или /15;
з) /12—/П или /ТГ—/Тб.
Решение, а) Найдем разность (1//6— 1) — (—4/5).
Так как 1//б— 1 +4/5= 1//б —1/5 = (5— /б)/5 /б > 0, то число 1//б—1 больше числа (—4/5).
б) Рассмотрим частное данных чисел:
131.179_ 131 235
273:235 ~ 179 * 273*
32	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Так как каждая из дробей произведения меньше 1, то число 179/235 больше числа 131/273.
в)^ Так как (3 КЗ)? = 27 > 25=5?, то 3/3 > 5. Так как (2 К2)- = 8 < 9 = 3?, то 2 1^2 < 3. Вычитая из неравенства 3 КЗ > 5 неравенство 2	< 3, получаем 3 ]/"3—2 У 2 > 5—3=2.
Следовательно, число 3 У 3—2 У 2 больше числа 2<
г)	Представим исходные числа в виде
З?1 = З20 • 3 = (З2)10.3 = 910 • 3, 231 = 230.2 = (23)10.2 = 810 • 2.
Поскольку 910 > 810, то 3«910 > 3*810 > 2*810.
Следовательно, 321 = 3*910 > 2*810 = 231, т. е. число 321 больше числа 231.
д)	Так как 11 < /"123 < 12и6</37 < 7, то—12 <—/123 < < —11 и —7 < —V37 < —6; поэтому < 3—-у-^3 < —2 и —5	2 —/37	4 „	„	2-/37
_ <--------< —- . Так как —2 < —5/3, то число --—
ООО	о
,	3-/123
больше числа---=----
4
е)	Так как 3	/35+ /То и /35 < 6,
/ТО < 3,2, то 4- /35+ /10 < ^+3,2 = 6,8 < 6,9. о	о
ж) Так как log12 145 > logi2 144 = 2, то 2 logi2 145 > 4.
Следовательно, 2 logi2 145 > 4 > У15, т. е. число 2 logi2 145 больше числа У15.
> з) Так как /12- /П=и /П-/Т0 = 1 1 1
= —-----7= И ПОСКОЛЬКУ —г=.----7= < —7=----7= > ТО
/11 + /10	/12-Ь/П	/11 + /10
/12- /ТТ < /ТТ— /То.
Целой частью числа а называется наибольшее целое число, не превосходящее числа а. Например, целая, часть числа 2,5 равна 2; целая часть числа 3 равна 3, целая часть числа (—3, 7) равна (—4); целая часть числа (—2) есть число (—2).
Целая часть числа а обозначается символом [а]; например, [5,7] = 5; [—5,1]=—6; [-/2] = -2.
Дробной частью числа а называется число, равное числу ' а—[а]. Например, дробная часть числа 2,1 равна 2,1— 2 = 0,1; дробная часть числа (—3,7) равна (—3,7) — (—4) = 0,3; дробная часть числа (— У2) равна (— У2) — (—2) = 2 — У2.
Дробная часть числа а обозначается символом {а}, т. е. {а} = а—[а]. Например, {1,1} = 0,1, {—2,3} = 0,7,
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 33
Пример 12. Найти целую часть числа 1/8, где 8 > 1/2.
Решение. Если 8 > 1, то 0 < 1/8 < 1, и, следовательно, [1/в] = 0. Если 8=1, то 1/8=1, и, следовательно, [l/s] = 1. Если 1/2 < 8 < 1, то 1 < 1/8 < 2, и, следовательно, [1/8] = 1.
Равенство двух отношений a/b = c/d (bd 0) называется пропорцией, а числа a, b, ct d — членами пропорции, при этом числа а и d называются крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции a/b — c/d, bd ф 0 состоит в том, что произведение ее крайних членов равно произведению ее средних членов, т. е,. ай — Ьс.
Из основного свойства пропорции вытекает, что если abcd^b, то равенство ad = be можно записать в виде одной из следующих пропорций:
а ___	с а	__ b d_-—c	&	__b
b	d	1 с d	* b а	* с а	'
Если дана пропорция a/b — cjd, bd 0, то при любых /пив и любых а и Р таких, что nb-[-ma 0 и nd -$-тс & 0, справедливо равенство
аа-ЬР^__
та+nb ""'mc^nd 1
называемое производной пропорцией.
В частности, из пропорции a/b — c/d получаем следующие производные пропорции:
a4-b c+d /	1 о 1 л
—	=—-— (а=1, р=1, т = 0, п = 1);
а-b c—d /	1 о 1	л	1\
—	——	(а=1, р = —1, m = 0, n=l)j
—	2—.=—(а=1, р = 0, т=1, п=1);
a-\-b c+d '	7
—i_-==—- (а=1, Р = 0, т=1, п ——1);
а— b c—d 4	7
a-\~b c4-d / i о ?	1	«4
—!—=—l—	(а=1, в = Г, m = l, /г=—1).
а—c—d 4 г	ч 7
Отношения величин и пропорции широко используются при решении многих задач.
Пример 13. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько надо взять частей каждого из сплавов, чтобы получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27.
Решение. Обозначим через х количество первого сплава, а через у количество второго сплава, содержащихся в новом сплаве, гг	х , 2у
Тогда в новом сплаве содержится -у-первого металла и о о
2 Задачи по математике. Алгебра
34
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2х . Зу
—-второго металла; поэтому
х/3+2^/5	17
2л:/3+3^/5 — 27*
Откуда получаем 5х+6у __17	х___9
10х+ 9у~27 ’ ИЛИ у~~35'
Итак, в новом сплаве содержится 9 частей первого и 35 частей второго металла.
Пример 14. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 10, а противолежащий ей угол равен л/6. Найти радиус описанной- окружности.
Решение. Обозначим радиус окружности через R. Согласно теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около данного треугольника окружности. Поэтому имеем
2R = . 1-Уг--- = 20, откуда R = 10.
Sin(jt/6)	J
Итак, радиус описанной окружности равен 10.
Пример 15. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность радиуса 4, если величины углов треугольника относятся как 5:4:3.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна л и сумма частей всех углов равна 12, то на одну часть приходится л/12 радиан, и, следовательно, углы .треугольника .равны соответственно 5л/12, л/3 и л/4.
Если длины сторон, противолежащих углам л/3 и л/4, обозначить соответственно через а и с, то, согласно теореме синусов,
« о Ь sin (л/3) ' ’ sin (л/4)
Отсюда получаем а = 4]/" 3 и Ь — 4 ^*2.
Так как площадь треугольника равна пол у произведению длин двух его сторон на синус угла между ними, то получаем
с 1 и •
S=-^ab sin-у.
Так как 0 <	< у, то sin -j^=	(1 —cos-y-)^2, т. e.
. 5я Кг+К'з sm_----------
Следовательно,
3 = 4у2+VI = 4 К12+6 K'S = 4Кэ+г.зКз-^-з = =4(34-Кз).
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 35
Пример 16. Решить уравнение х2—2х+4 __ 5-]-х2-|-5х х—2	х+5 а
Решение. Проверкой убеждаемся, что х=0 не является решением данного уравнения. Пусть х = х0 — некоторое решение данного уравнения, тогда равенство
Хо—2х0 4~ 4  5 -j— Хо 4~ 5х0 х0—2	X# 4~ 5
является пропорцией, и при х0-# 0 напишем производную пропорцию:
Хр — 2хр —|—4 ’—(Хр — 2) х0   5 —хо —5хр — (х0 -|- 5) х0 ’	х0—2	Хр4~5	*
или
4 __ 5	,
Хр—2 Хр + 5 ’ отсюда хо = ЗО.
Таким образом, решением данного уравнения может быть только число х = 30. Проверкой убеждаемся, что х = 30 действительно является решением данного уравнения.
Пример 17. Найти длину дуги АВ и площадь сектора ОАВ, если в окружности радиуса R с центром в точке О вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, равен л/6 (рис. 1.2).
Решение. Центральный угол АОВ в два раза больше -вписанного угла, опирающегося на дугу АВ,' и поэтому ОАВ == л/3. Так как длине окружности соответствует угол
А
в
Рис. 1.2	Рис. 1.3
2л, а длине дуги Л 3 —угол л/3, то имеем пропорцию 2л/? 2л
_	АВ ~ ”/3'
откуда AB — nR/3,
Так как площади круга л/?? соответствует угол 2л, а площади сектора -угол л/3, то имеем пропорцию л/?2 __________________________2л
- 9 п $оав я/3 1
2*
36
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Итак, искомая длина дуги равна л/?/3, а искомая площадь сектора равна л/?2/6.
Пример 18. Дана треугольная пирамида SABC. Точки /(, М и N делят ребра АВ, АС и SA соответственно на отрезки так, что
\АК\ __ 3 I ЛЖ | _ 5 \AN\ _ 5
| КВ |	4 ’	| А4С |	6 ’	| MS | ~~ 9 4
Найти отношение объемов тел, на которые плоскость KMN (рис. 1.3) рассекает пирамиду.
Решение. Проведем из точки S и точки ДО к плоскости АВС перпендикуляры и обозначим через Oi и О2 соответственно точки их пересечения с плоскостью АВС.
Треугольники АМО% и А50г прямоугольные, и угол SAO^ у них общий; поэтому эти треугольники подобны (по признаку подобия треугольников, имеющих два равных угла). Следовательно, их сходственные стороны пропорциональны; в частности,
\AN\__\NO.\	5__J ЖI
| AS | “ISO! | ’	14	| SOx | 4
Так как объемы пирамид SABC и NAKM равны соответственно
vSABC = у I	I • SABC> VnAKM = у l	I * SAKM>
а площади их оснований равны
Sabc = -^ I AB 11 AC | sin ВАС, SAKM =-L | AK11 AM | sin ВЛС,
то получаем
11 SOi| ’|ЛВI|ЛС| sin ВАС
VSABC __ 6____±_________=
Vnakm I	| AK11 AM isinBAC
_ | SOi 11 AB 11 AC I __/14 I AB I I AC I
— | NO2 11 AK11 AM I 5 I AK11 AM | 4
Тяк кяк --	— —	3	1 AK |	|M|	3 —3
\кв I “ | АВ| 7 или | ЛК 1	3 •	4’	|AB|	1AKI + IO1	4 + 3	7 ’
Так как '	T0	|ЛМ|			5
|МС| |ЛС |	11 или .Н--.—	« AM 5	6 ’	1 AC|	1МС| + |ЛМ| 6 + 5’	
Итак, имеем
Vsabc 14 x 7 11	1q78 Vsbcmkn^ 1003
Vnakm 5	3	5	75 Vnakm. 75
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 37
Процентом данного числа а называется его сотая часть,. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Один процент обозначается символом 1%.
Например, 45% от числа 100 есть 45; 30% от числа' 120 есть 120 число	30 = 36.
При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть — величина а—принимается за а % и составляется пропорция
6^100 а а
Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством пропорции: 6а = 100а.
Пример 19. Завод выпускает 300 изделий в год. На сколько изделий в год увеличится выпуск продукции, если производительность труда увеличится на 20%.
Решение. Обозначим через х число изделий, на которое увеличится выпуск продукции в год; тогда
300 изделиям соответствуют 100%, х изделиям соответствуют 20%.
Составим пропорцию:
300 __ 100 . х 20 ; •
300.20	„
отсюда х=—jog— = 60,
Итак, выпуск продукции увеличится на 60 изделий в год.
Пример 20. В результате увеличения производительности труда на 15% завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько изделий в месяц выпускал завод ранее?
Решение. Обозначим через х количество изделий, выпускав- ; мых заводом в месяц ранее; тогда
х изделиям соответствуют 100%, 920 изделиям соответствуют 115%.
Составим пропорцию:
х __ 100 .
920	115 ;
920-100 отсюда х — ——=800.
По
Итак, ранее завод выпускал в месяц 800 изделий.
Пример 21. Завод выпускал 852 изделия в месяц. В результате технического перевооружения он стал выпускать 1136 изделий в месяц. На сколько процентов увеличилась производительность труда?
Решение/ Выпуск продукции увеличился на 1136—852= =284 изделий. Обозначим через х число процентов, на которое увеличилась производительность труда; тогда
852 изделиям соответствуют 100%,
284 изделиям соответствуют х %*
38
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Составим пропорцию:
852 _ 100
284 ~ х 1
284-100	100	1
отсюда х = —85Г“=—=33-3 •
Итак, производительность труда увеличилась на 33-~-%»
ЗАДАНИЕ 1
1. Какая из следующих дробей правильная, а какая неправильная? Записать неправильную дробь в виде смешанной дроби:
0 4: 2) -у;	31 ~119- 3)	23 ’ 4) '	271
2. Обратить смешанную дробь в неправильную:
1)	4 з	;	3)	111- 12’ л 3
2)	-4 8	;	4) -	2 35*
3.	Сравнить дроби:		
	3	4	^2	4
1)	7	И	7 ;	б)	-з и
	5	6	8	24
2)	11	И 11;	6)	7 И 28 ’
	8	7	_ч 13	14
3)	9	и 9 ;	7) — — и —т^; '	14	15
	13	13	ох 124	137
4)		и —— •	
	123	’ 129’	7	119	129’
4.	Записать дробь		в виде несократимой дроби:
	81	.. Ill 111	
1)	504 ’	3) -	1001 ’
	1075	10 101010	
О	600		1010	’
5. Записать дробь в виде конечной десятичной дроби:
1)	15/100;	3) 112/1000;	5) 693/616; -
2)	—37/10;	4) —3728/200;	6) —42/1344.
6. Записать десятинную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 1,75;	— 3) 0,174;
2) —23,04;	4) —1,1525.
7. Вычислить:.	, ,
П 1 4-3- 2 1Д-3- 1 5.ЬЧ3- Ч3_Е43, 1} -б+т- 2т+Т‘ 1’8+3-8; 3 Т+4Т3
2)
Z_£- 2-Ь 4-2-3 1 - 5? З-3, 13 13’	7’ 3 33’,&П~36‘
S 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 39
3)	44..А.Ц; 4-
4)	i-h;44. Ц-4);
5)	0,23+1,64; 2,73 +4,69; 4,72—2,34; 5,21—3,89;
6)	0,37-3,2; (-2,1)-1,1; (—0,19).(2,4); 2-|"0,33;
О
7)	1,125:2,5; (—2,35).0,5; (—5,2):((—1,3).0,1);
/1	1/4+1/9Х /2	7/15 \
°'\4	1/9 /Д 3'2/5—1/6
9) (0,8.7+0,64).^1,25-7—у-1,25^+31,64;
10) (9.0,08+0,7.0,08).^9.12,5—0,7.12-1)+9,49;
(1,09— 0,29). 1-|.
I
(11,81 + 8,19).0,02 .	1(л
П)	’	12) (18;9„1613\8/9
13)	53.39 + 47-39 — 53.21 — 47.21;
14)	19,9.18-19,9-16 + 30,1.18— 30,1.16;
15)	15,5.20,8 —3,5.9,2 + 15,5.9,2 —3,5.20,8;
( 810	675 \	(	810	675 \ 1,11+0,19-14*3
' \ 162	225,	)	\	162	225 ) "* ”2,06+0,34	1
Г/ 2 З Л 193 331 Г/ 7	11 \ 1931	9 1
11 193	386/	17	‘ 34J	‘ 1931-*-3862/ "25-’’”П’| *
ЗАДАНИЕ 2
L Сравнить дроби:
1)	9/41 и 9/40;	5)	1,32	и Ц;
2)	—7/9	и —11/13;	6) —117/156 и —113/157;
4	Я
3)	21/32 и 24/35;	7) —3 у	и —3^-;<
6	'23
4)	—25/28 и —26/29;	8) —2 — и —2	1 ’
2.	Записать дробь- в виде конечной десятичной дроби:
1)	23/115;	3) 5/16;	5)	1173/1955;
2)	—21/120;	4)13/125;	6) —273/728.
3.	Записать дробь в виде несократимой дроби:
1)	110/242;	3) 1 183/1820;	5)10 101/101010;
2)	—4205/9805;	4)—594/2310;	6) НИ 10/233331.
4.	Записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1)	2,15;	3) 0,1212;
2)	-17,12;	4)—3,082.
40
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1
5.	Вычислить:
п 3 4- 4 • 3 * 1 24-1 • 21-4-1- 2—-1-31-
° т+Т’ 33’+‘5 ’ 2Т+Т’ 2т+3Т’
9А 1-1. 5-1. 51-41- 3——2 —•
2)	10 10’ 5	11 ’ 5 7	4 7 ’ 3 17 2 7 ’
*> 4^44;44^(-4Н-4У(-4)>
/	3 \
5)	0,37+1,73; 3,54 + 7,421; 4,12 — 3,659; ( —2-g-j —3,56;
6)	1,2-3,52; (—7,12).3,11; (—0,123).(—5,41);
7)	2,55:0,5; (—1,12):0,4; (—2,5).(4,4:0,1);
8)	+* 1Т+3П:211т;
9>(4+2тН'4ЧИ'1+4+1);
im 1,11+0,19-1,3.2 /1,1 У,.
2,06 + 0,54	\2"r3+ ’
11)	50,9.49,1—50,8.49,2;
12)	78-31 +78-24 + 78-17 + 22-72;
13)	7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15-2,7;
3,052—2,552
14)	0,35-388 —28,8(20,56 —14,501/0,85) ’
(9,126/0,65+0,46) -7,18 + 1,45-28,2
3,452 — 0,552
ЗАДАНИЕ 3
1. Привести примеры бесконечной периодической дроби и бесконечной непериодической дроби.
2. Записать рациональное число в виде периодической дроби:
24
1)-1/3;	3)	2^;	>
2)	4/7;	4)-1^.		V
* 3. Сравнить числа:
1)	0,(3) и 1/3;	3)	0,(26) и 0,261;
2) -0,3333 и —1/3;	4) —3,776 и —3,(776).
4. Каково наибольшее действительное число, меньшее числа 2,8, в запись которого в виде бесконечной десятичной дроби не входит цифра 9?	1 -
Обратить периодическую дробь в обыкновенную:
1). 0,2(3);	3) —2,37(1);	5) 0,413(1561);
2) 1,4(51);	4) —3,24(41);	6) —0,41(356).
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, 41
6, Вычислить:
1)4-зл12)~4+|(1+о.5-4),

ЗАДАНИЕ 4
1.	Записать рациональное число в виде периодической дроби:
1)|;	3)Д;
Я	1
2)_1_; 4)_2_
2.	Сравнить числа:
1)	0,22(23) и 0,2223;	3) —2-|- и —2,67;
1	7
2)	у и 0,1428(57);	4) — у и —1,16667.
3.	Каково наименьшее действительное число, большее числа 5,7, в бесконечную десятичную запись которого не входят цифры 0, 1, 2, 3?
Обратить периодическую дробь в обыкновенную:
1) 0,(31):	3) 0,412(5);	5) —3,2(345)
2) —2,(412);	4) 3,1(45);	6) 0,5(342).
5. Вычислить:
1	9 Я *50
2>44-И4М-т)-
ЗАДАНИЕ 5
1.	Доказать, что сумма и произведение двух рациональных чисел есть число рациональное.
2.	Привести пример двух иррациональных чисел таких, что
а)	их сумма —иррациональное число;
б)	их сумма — рациональное число;
в)	их произведение —иррациональное число;
г)	их произведение—рациональное число.
3.	Привести пример рационального числа, стоящего между числами К2 и ]/" з: '
4.	Привести пример двух иррациональных чисе<р, стоящих между числами 1/2 и 3/5.
5.	Доказать иррациональность числа;
1) /2 + 1; _	3) loga3;
2) /2 + /3;	4) ctg 10°<
42
гл; 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ЗАДАНИЕ 6
1.	Доказать, что разность и частное двух рациональных чи-«ел, отличных от нуля, есть рациональное чисЛо,
2.	Привести пример двух иррациональных чисел таких, что
а)	их разность—рациональное число;
б)	их разность—иррациональное число;
в)	их частное—рациональное число;
г)	их частное—иррациональное число.
3.	Привести_пример трех рациональных чисел, стоящих между числами 1 и
4.	Привести пример двух иррациональных чисел, стоящих между числами:
1) V 2 и V 3;	2) 1 и 1,1.
5. Доказать иррациональность числам
' ° _	3) logl5;
2) К 7+/5;	4) ctg20oa
ЗАДАНИЕ 7
1.	Проверить равенство:
1)	33 + 43 + 53 = 63;	2) 128-9х? = 18*в;
3)	14,2-11+ 14,2-41 4-5,8.11+5,8-41 = 1040;
=~/2;
1-2 ' 2-3-'_‘“_'_99.100—100’
7)	------1—1 _. +..	1 7==9|
/2+1^)<3+/2	1К1ОО+К53
8)	7778?—2223? = 55 555 555.
2.	Проверить неравенство:
1)	2-5» > 5-23;	4) (1,2+ V 5)1»» > З1®3.
2)	К 7+ /’Тб < 7;	5) К2+КП < У"Ъ+3;
3.	Расположить числа в порядке возрастаниям 28 41 4
23’ 52’ 5 ;
’ V 4 J • 2 ’V 2 ) ’ V з У ’
7 4\~a/s /49\*/s /16Х-1/4
3) \ 7)	• VTeJ • VSsJ ’
4) 8, Кзб, (3 у 7+5 /2): f в.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ. И. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 48
4.	В каких пределах заключены сумма, разность, произведение и частное чисел а и Ь, если:
1)	1 < а < 2, 2 < b < 3;
2)	—2 < а < —1, —3 < b <—2,6;
3)	0< а< 1, — 2<b< —1?
5.	Найти целую и дробную части числа:
1)	—5,1;	3) 7/3+0,(21);	5) Зя/2;
2)	/"2 4-/3;	4) -21/64-4,(2);	6) /л4-0,(4),
ЗАДАНИЕ 8
1.	Проверить равенство:
1)	(1 + 2+3 + 4)2= 13 + 23 + 33 + 48;
2)	7520 = 4510*530;
3)	j/2? /"5:	2» j/"2=l;
- 4) 31 -824-125-484-31 -43—125-67= 1500;
5) (^-4-^4-|/K)(j/-2+|/5)=7;
~ 1,1,	.___1__6
j 5.7~’~7.9-’_‘””Г'б3.65’—65*
2.	Проверить неравенство:
1)	8у:4-|--50 <—47;	4) /37-/14 > 6-/К;
2)	2.5» > 5-2»;	5) (/ 74- /2)" > 4е;
3)	/"54- /10 > 5,3;	6) 1 +4+4*+ ‘	> 4‘
3.	Расположить числа в порядке возрастания:
/_3_\1/6 /125\-1/1в /_9_\-4 _5_
5 } ’ V 27 J ’ \25j ’ 3 !
2)	Ш8 .1 (-1V А-
Ц 3 ) ’ 3 ’ V 3 ) ’ 9 ’	_
3)	-2,(2); -2±, -1-/2,—.
4.	В каких пределах заключены сумма, разность, произведение и частное чисел а и Ь\ если:
1)	2 < а < 3, 4 < b < 5;
2)	1,1 < а < 2,1, — 3 < b <—2,5;
3)	1 < а < 2, — 5 < 6—4?
5.	Найти целую и дробную части числа:
1)	(5/4)5;	з) 5л/з;	,.	.
2)	Зу:0,2;	4) 7/2/4,
ЗАДАНИЕ 9
1.	Число а больше числа b на 50% * На сколько процентов число b меньше числа а?
2.	Объем промышленной продукции увеличился в 10 раз. На сколько процентов произошло увеличение? г ‘
44	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3.	Цех выпускает 200 изделий в год. На сколько изделий увеличится выпуск продукции в год, если производительность труда повысится на 45%?
4.	В результате увеличения производительности труда на 35% цех стал выпускать в день 405 изделий. Сколько изделий в день цех выпускал ранее?
5.	Цех выпускал в день 126 изделий. В результате технического усовершенствования выпуск продукции в день поднялся до 189 изделий. На сколько процентов поднялась производительность труда?
6.	Сплав состоит из серебра и меди, причем масса серебра 2
составляет 14-~- % массы меди. Каково процентное содержание меди в сплаве?
7.	Завод выполнил за первую неделю 25% месячного выпуска машин, за вторую 110% выпуска машин первой недели, за третью 60% выпуска машин двух первых недель, а за четвертую остальные 320 машин. Сколько машин изготовил завод за месяц?
ЗАДАНИЕ 10
1.	Найти 12% от числа ЮОа/53+^/3, если
2.	Радиус окружности увеличен на 25%. На сколько процентов увеличится площадь круга?
3.	На сколько процентов надо уменьшить число А, чтобы получить число 4Х/5?
4Г Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 1 кг сушеных?
5. Объем строительных работ увеличен на 60%, при этом производительность труда повысилась на 25%. На сколько процентов надо увеличить число работающих?
У пражнения
1. Можно ли записать дробь в виде конечной десятичной дроби:
1) 1/40;	3) 8/2050;	5) 3/256;
2) 1/625;	4) 1/340;	6) 117/256?
2.	Записав дробь в виде десятичной дроби:
1)	3/7;	3) .252/180;	5) —198/242;
2)	—15/11;	4^1125/2525;	6) 860/441.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3.	Записать число в виде обыкновенной дроби:
1)	0,15;	5)	—1,(25)—2,1;
2)	—1,282;	6)	10,(3)4-0, (4) —8,(6);
3)	2,(2519);	7)	1,(3)-2,(5);
4)	0,1(2)-|-0,11;	8)	3,(7):2,14.
4.	Сравнить числа:
1)	4/5 и 7/8;	2) 1,32 и 32/25;
3)	0,510 и 0,520;	4) 452 _ зр и 442—302;
5)	262 — 242 и 27? —25а;	6) 3452 и 342.348;
7)	. 874? и 870-878;	8) 19* и 16-18-20-22; .
9)	9920 и 9999W;	10) 920 и 271»;
11)	2300 и 3200;	12) 420 и 240;
13)	1020 и 9010;	14) 1 /40 и 1 /99;
Л	о
. 15) и-------------4=г ; 16) 4 34-K34-/3 и 3;
1 —Кз 1-/2
17)	20У2 и 1,01; 18) / 74-КТО и К34-К19;
19)	КП—К10 и Кб—К"5; 20) 2*84-3?9 и 61°;
2204-1	2254-1	131»4-1	1зю+/
' 2204-1	2?’4-Г	' 131*4-1	131’4-1’
23)	^38+17КТ и /94-^54-^;
24)	23°4-3зо4-430 и 3-241°.
5.	Вычислить:
.	(81,624:4,8—4,505)?+125-0,75
° ((0,44?: о,88 + 3,53)?—2,75?): 0,52;
((5,2?: 2,6+8,1)? — 6,5?) ;0,025t (60,192:2,4—1,08)?—0,24.1400;
3)	4:((4+2,5).3,2)4-(4,25:(4,(5,25-14))) '/4)(2,8:(24(8!75-4))).7!25-
’	'	'	~3|:((1,24-51)13,75
(1	К \	1 я
14-4-10т}23025+ 44
5
6) (________________Ж?_____________+4,+-5
' \ 20—(28,2/(13,333-0,34-0,0001))-2,004	32’
4,5:^47,375— (26у—18.0,7б).2,4:0,88 )
7)	-...— .	д -	,
17,81:1,37-234:14-О о
46
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
'4-I-+5,44-0,2(6) о
3,25.3,125 X 0,3411 7	1/2	8 Д ,
5,5-341	6,875 ]: <3/4-1-0,125*13// +
' 1 ’
I ’'Я~Т д-°».
+4- «.в
П)'	12: [2,28: (28,57—5,01)] ^~4'2 I [3 : \°’2—13/J!
;[4(«4)Jb
](J.	[(4,64-5:6,25). 14 _71 27>&Т ./^5 13 2 \
[ 4-0,1254-2,3 •б]:12 4+4|+к48-
43.28-24);
^-(4-4)4 ' , [l,9-0,2144.2-4)]41,3:.g)
. •	.Ogw2M“’1+i)
4 ,,4<2^2>[44'4к^)Н-4 [(1,03-^):0,(ИН28)];[(б.(8)-з4).4]
§ г РАЦИОНАЛЬНЫЕ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 47
(9,126:0,65 + 0,46).7,18+1,45-28,2
1 '	3,452 — 0,552	Х
<(16,8:0,35) . I—25,6-1,29 j
Х V 92,04—14,496:0,16	Р>6:,-з
6.	Найти 150 % от числа
6,622 + 5,4-3,38+ 1,22-3,38 20,12 —132 + 33,1 -12,9 ‘
7.	Найти число, если 40 % его равны 0,5362 — 0,4642 3,62 — 7,2.2,4 + 2,42‘
8.	Найти число, если 2,5 % его равны (О	7 X Q
9тА2+3-4-2я):'й
9	1	•
0,31.8+—5,61:27~ о	2
9.	Найти число, если 5 % его равны
2— — 0 84. ( 6— ’2—_—
z5 U?MV9,12 12 435J
7,605:7-1-4-3,086
10.	Что меньше: А или В— и во сколько раз, если
Д = (0,8 - 7 4-0,8а) • 1,25 • 7 --g-1,25 ) 4-31,64,
_ (11,814-8,19)-0,02, £>  -----гГТЧ—nt?----
11.	Что больше: Л или В —и во сколько раз, если
Д = (9-0,084-0,7-0,08):f9-12,5—0,7.12у)4-9,49,
(1,09— 0,29)-1-1
12.	Доказать равенства:
1)	273 = 9.3?«3?; 8?.43=2Ч; (2a)*° = 21^4j о -(5*—53)3	64.	93	1.
125? ~ 25«’ (З4—З3)?- 4’ ...
_	_  г_________	_	V* 27?/^’
3)	*/324+ 273 = 5; /^/64=«/;64; -^—™-=lL
48
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4)	(^Z9+/6+|/4)(»/3-/2)=l; _
5)	(12 ’/2+^/Тб-2	2) ^5 |/4-3 |/у)=84;
6) 1 + 24-34-... + 100 = 500500;
7)	]/8-У 15=4 (V30- У 2);
8)	У 2+У 1 у 3+/”2”^'	/100+/99  9’
9)	1а + 22+Зг + ... + 1002 = 10?J2.1--201;
10)	18 + 23 + 33+ ... 4- 1008 = (100^101 у;
in J-__L_lJ______L_]_J_______L_
’ 10! 9!1И 8!2! 7!ЗР 6!4!~ 2-515Г
13.	Доказать неравенство:
1)	297-299 < 2982;	3) 263 —243 < (26-24)3;
2)	452 — 312 > 44а — 30а;	4) (17+13)3 > 133+ 173;
6«-23 —4е 5*+5-3«,
66 + 68-38 + 3в < 58+ 52-32’
6)	31“ < 171*;
7)	11-22-33.. ,1010 < 10’5;
8)	300! > 100200; ’ 101974+1	101926 +1.
у-> 101676+ 1 < 10192«+1:
'»> 1+4+t+--+w> 10;
m 9® >14-1-1-1-! 4-1-
’ 99	22“г3a'r4а '	99а	100’
1211111	99	1.
> 2 ’ 4 ‘ 6'8 '••’100	10’
Д 7 11	119	1
’ 5*9’13	121 < /51 :
14)	-lx-+ -1=г+...+-!== > 10.
У 1 У 2 У юо
14.	Известно, что 1<а<2и2<&<3. Оценить значение выражения:
1) а+&;	5)	л/3;	9)	Ь—2а;
!2) ab;	6)—ЗЬ;	10)	Зл+& —2.
13)	а—Ъ;	7)	а—3;
4) а/Ь;	8)	2а—Ь;
' 15. Известно, что —3 < а < —2 и 5<&<6, Оценить значение выражения:
Н) а+6;	4)	а/Ь; 7) 2а—3;
(2) ab; 5) 2а/3;	8)	За—2Ь.
13) а—Ь\ 6) —26/5;
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
49
16. Известно, что — 1 < а < — 1/2 и —3 < b < 2,5. Оценить
значение выражения:
1)	а-\-Ь\	4) а/(5+6);	7) 2а-]-
2)	а— Ь\	5) — 2Ь\	8) а/2 — Ь.
3)	ab\ 6) а—36;
17.	Известно, что сумма и разность двух действительных чисел а и b есть рациональные числа. Доказать, что числа а и Ъ также являются рациональными.
18.	Известно, что числа х, у и У х-рК у являются рациональными. Доказать, что числа У ~х и у также являются ра-
циональными.	_________
19. Найти целые числа х, при которых число К**+*+1 является рациональным.
20. Доказать иррациональность числа:
1)	К 5; 2)	р/ 2; 3)	К'2+К'з; 4)	К 2+ */2; 5)	К 2+ З/'З;	6)	log, 12;	11) cos 10°; 7)	log3 8;	12) К 2+К 3+Кб;- 8)	tg 5°;	13)]/'1 + К’2-; 9)	ctg40°;	14) cos (л/2я), п > 1, ngN. 10)	sin 20°;
21. Доказать рациональность числа:
1)  4+2	3;	4) 1/20 +142+1/20—14}<2;
К 10+6/' 3
2)	- 2 К 6;	5) Кз+2 К“2 + |/б-4/"2;
у 3—/ 2
3) У2+Уб+^2—Кб; 6) j/5K2 + 7—|/бК2 —7*
22. Привести пример рационального и иррационального чисел, заключенных между числами:
1) 1,4_и К 2L 3) 3 и_3,01;
2) К 2 и V 3;	4) У 5 и log2 7.
23. Можно ли в узлах клетчатой бумаги (все клетки одинаковые) поместить вершины равностороннего треугольника?
§ 3. Степень числа
Степенью ап числа a n^N) с натуральным показателем п называется произведение п множителей, каждый из которых равен а, т. е.
п сомножителей
Из этого определения следует важное свойство степени: ап-ат = ап+т.
Пример 1. 25 = 2‘2‘2«2‘2 —32; 03 = 0*0.0 = 0; (— I)4 ==
= (-!)(-!)	= (-5)1=^5.
50
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.	Степень с целым показателем
Пусть agR и agZ. Степенью аа числа а с целым показателем а называется число, определяемое следующим образом:
1)	а° = 1, если а 0;
2)	ат— а-...'а , если cc=m, mgN;
__________.— > т сомножителей
3)	а~п — если а 0 и сс = — n, n g N.
При этом число а называется основанием степени аа, число а — показателем степени.
Отметим, что степень аа с целым показателем не определяется при а = 0 для а = 0 и а < 0.
Пример 2. 21 = 2; (4,73)°= 1; ( — 2)2 = (—2) (— 2) = 4; (3)&=:
_ 3.3.3.3.3-243; <-<)--д-
Пример 3. Вычислить
Решение.
z025)~1-J______L-122
(°’25)	~~0,25~~ 25 — 25
100
I 1 V_/5\2_5 5 __25ф
\Т/ Д'!/ ~Т"4 “~1б;
“~/4\2~~4 4’“16~'16;
\ 3 J 3*3	9
(LY—(JL} f HL125 \4/	\4/U Д 4 / 64 ;
7 2У8_ 1 _	1	_ 1
V з"; ~7 no_2A7«IL — Am
ГЗД V зД ЗД з) 27
-“s’
Таким образом,
4-_4^25.[bWf-^V
[16* 64 Д , 8 Д
_25	9 64 8 _25 32_375-128_247	7
“~4	16’ 125*27 4	15"~	60	60	60*
Основные свойства степени с целым показателем. Пусть а и Z> — действительные числа, отличные от нуля, ngZ, m^Z. Тогда
1. ап*ап = ап+т> 2. (a-b)n = an'bn.
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
51
з, (±У=^..	4. 21=а«-»».	5. (ап)*=ая т.
\ b ) bn ат	v
6.	Если а > 0, то ап > 0.
7.	Пусть а > 1; тогда, если п >т, то ап > ат (п> т=$> ап > > ат), и, обратно, если ап > ат, то п > т (ап > ат=$> п> т).
Кратко это свойство записывается в виде:
7'. Если а > 1, то n > zn ФФ > ат.
8.	Пусть 0 < а< 1; тогда, если п > т, то ап < ат (n > m zz> ап < ат), и, обратно, если ап < ат, то п > tn (ап < ат п > т).
Кратко это свойство записывается в виде:
8'. Если 0 < а < 1, то п > т ап < ат.
Из свойств 7 и 8 следует еще одно свойство.
9.	Если а > 0 и а Ф 1, то равенство (Я1 ~ ат имеет место тогда и только тогда, когда п = т (т. е. если а > 0 и а & 1, то ап = ат ФФ п — т).
В частности, если а > 0 и а 1, то ап—1&п — 0.
Пример 4. Доказать свойство 5.
Решение. Рассмотрим три случая:
а)	т = 0, тогда (an)m = (an)Q — \ = a^ — an^ — an'm\
б)	m > 0, тогда
(ап)т = апап...ап = а»+»+• • •+« = апт;
в)	т < 0, тогда — т > 0; поэтому
(ап\т ~	= —------=---------=------------==й
v '	’ (ап)~т апап..,ап дп+п+... +п
Раз
1 I	1
— .	--------—— пП М
а{~т}п а~тп	1
Пример 5. Найти все целые числа п, для которых справедливо равенство
-|-27'1 = 3'г.
Решение. Используя свойства степени с целым показателем, получаем 1	1	33п
поэтому данное в условий равенство можно переписать в виде 33»~2==3«.
Отсюда по ' свойству 9 заключаем, что предыдущее равенство возможно тогда и только тогда, когда
Зп—-2 = п;
откуда rt=L
52
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пример 6. Доказать, что 230 > 414.
Решение. Так как 414 == (22)14 — 228 и 30 > 28, то по свойству 7 имеем 280 > 228, что и требовалось доказать.
ЗАДАНИЕ 1
1. Записать в виде степени с целым показателем й основанием 4 числа:
1) 1, 4, 16, 64, 256;
2) 1/4, 1/64, 1/256, 1/16, 1/1024.	'	:
2. Вычислить:
33 57	144	23 + 2“3 (34+33)2.
!) зв> 5ь>	43_|_1 >	§5	5
Г! 1 \-112 1
4) [(0,1)2]° + Цу) ] -49-1(22)3:25Ь
3. Записать числовое
1) 2.4.16-(1/2)-2-23;
2)	9.3’.1.(1/3)-2;
О1
3)	22-23-(2/3)~2;
4)	2.9.~(4/9)2;
5)	23-(15)2;
ЗАДАНИЕ 2
выражение в виде а", где
6) ^.±g.
7) (4-26) :^23
2М.(22)\
22.25	’
(1/2)з.2-2.8
’ (__23)М6 1
10) 4 -6.44.(23.2 ~4)~1.
1. Записать в виде степени с целым показателем и основанием 3 числа:
1, 9, 1/81, 243, 27, 1/3, 81, 3, 1/729, 1/9, 729, 1/27. Вычислить:
(_3)2+зз_(__з)о.
32«9-1;
2-4t(2~2)~3;
2.
а 7--54-
’ 5М93’
6) 25-(5/2)-?.(—2-3)-!;
((—2)2)3-(—4)~2_ >	(_2)3(~2)2 ’
8) ((5)“?)-1.(1/2)-М0-»;
1)
2)
3)
4)	(3-»/34)/3-2;
9) [(4/3)-2'(3/4)8]/(—-2/3)-3;
10) (2-1+3-^(2-^—3-1) + (2-1.2в)-«/23;
4в^+6М20.	1
1 ' 84-39 10 * 12—6Ч ’	1	1
1 . 1
1 + 2-1
1 — 2-4
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
53
3.	Записать числовое выражение в виде ат> где'agR/mgZ:
1)	25-5-1.53;	5) З2(81)2-З-3;
2)	(— 16) - (1:25) • 23;	6) (3~2)-2-3~6-27;
3)	25:(24:23); .	7) 4 - 6-2562-24;
4)	3-.2MW)-!;	8) [(44)<]w	'
ЗАДАНИЕ 3
1. Представить в виде степени числа а выражение;					
				/ 1 \з	
1)	а2-а4;	5)	а6: а2;	9)	\ a J 1
2)	а4;	6)	JL.-L. а2 ’ а3 ’’	Ю)	(я3)-2;
3)	а6.а3*а;	7)	1 -а-—х-а5; а2	И)	(а“1.а“2)~3;
4)	а3: а2;	8)	а3: а5;	12)	а2»а~2 а10	4
2.	Записать:				
1)	а6 в виде степени с основанием а2;
2)	d12 в виде степени с основанием d4;
3)	а6*а5:а2 в виде степени с основанием а3;
4)	(а2)3*(а3)2 в виде степени с основанием а2.
3.	Записать выражение в виде Ахтуп, где А — действительное число, т и п — целые числа;	j
1)	2x2z/-3z/x2;	5)	1(х2)^Л(_ху);	/
2)	ху-ху-ху-ху,	6)	3(х:у)2-(#:х)3;
3)	(x2«/):(2t/x-2);	7)	(;
\ х У ) \ У ху )
4)	(2ху2• Зх2#2): (—х3#3);	8)	IGx2#-4^-4#-1#4.
4.	Найти все целые числа п, удовлетворяющие условию:
1)	32.3« = 3б;	2) (22:4).2» = 4.
5.	Найти все натуральные числа п, удовлетворяющие условию:
1)	32 < 2« < 128; 2) 2-16^2« > 4; 3) 9-27<3« <243.
ЗАДАНИЕ 4
1.	Представить в виде степени числа b выражение:
1)	fr2-fr3;	7)	(fr2.fr4.fr6)(fr--3:fr);
2)	(fr.fr2)3;	8)	(fr-l-fr-3)-!;
3)	fr4:fr3;	9)	[(fr2)-1]2;
4)	fr5:(fr2:fr);	10)	fr6-fr6;
5)	l:fr5;	11)	(fr3: fr)2:(fr2: fr3)3;
6)	fr~2fr3:fr4; 12) [(fr~2)~2]-2:[fr:fr~1]2.
2» Записать выражение в виде Ахтуп,'гд& А —действительное число, т и /г—целые числа:
1) (2У2)-2-^ .
3) (8x4^-J):[(2x3i/2).x«]; '
' \У XJ х3у3
ГЛ. h ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
5)	7)	,
6) (x:f/)-?.[(yz/):x]8; 8) (х-у)-*.
3.	Найти все целые числа п, удовлетворяющие равенству:
1)	3“2-34-3" = 37;	2) 2~^2« + 4*2« = 9.2б.
4.	Найти все натуральные числа п, удовлетворяющие условию:
1)	9<3«<81;	2)3<3«<243;	3)125^5”^25.
2.	Степень с рациональным показателем
Прежде чем перейти к понятию степени с рациональным показателем, остановимся на понятии арифметического корня n-й степени (nj^2, ngN) из произвольного неотрицательного числа а.
Для любого неотрицательного числа а и данного натурального числа п (п 2) существует единственное неотрицательное число b такое, что Ьп = а. Это число Ъ и называется арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а и обознача-п/~ ется у а.
Отсюда следует, что
у^ а = 0 только при а = 0;
у а=1 только при a=L
Пример 7.
а)	'К25 == 5, так как 5 > 0 и 52 = 25;
-./25 5 4	5 л ’ / 5 \? 25
б)	/зб^Т’так как ё > 0 й W =зб;
в)	У27 — 3, так как 3>0 и 33 = 27;
г)	/9^—3, так как (—3) < 0, что противоречит определению арифметического корня;
д)	]/" 2 ф 1,41, так как (1,41)? = 1,9881	2.
Для любого действительного числа а справедливо равенство
/а?=|а|. х
Пример 8. Упростить выражение /(с— 1)?—/(1 + с)? при —
Решение. Так как	1)? ===| g—11 и /(1 + с)? = 11+4
то /(с—-I)?—• /(1 + с)?=| с— 1 | —| 1 + г|. Из условия — 1=С «СсйЛ следует, что с—1=^0 и 1 + с^0; поэтому |с—1| = =— —1) = 1—с, а | 1 + г| = 1 + г. Таким образом, /1)2_
— У(1+с)? = (1 —с) — (1 + с) = — 2с при
Свойства арифметических корней. Пусть а > 0, d>0, n^2, т^2, k^2 (п, mf &gN). Тогда:
!♦ у а*у а— уам.	5. у а- у а=^ у
2.	ал = у/ а.	6. ( a)k ==	а*.
3.	ab= а*у^ Ь, 7, у	а = п|/ав
4.	у^ а/Ь =	а: у^ Ь9	’
. § 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА	55 '
Доказательство свойств 1—7 основано на определении арифметического корня и свойств степени с целым показателем.
Пример 9. Доказать свойство 2.
Решение. Пусть b — |/ а, тогда по определению арифметического корня Ьп — а. Отсюда и из свойства 5 степени с целым показателем следует ак = (Ьп)к==Ьпк. По определению корня П^-й степени из числа ак получаем Ь = п^ак. Таким образом, nfcz-’T п/— у а^=]/ а.
Пример 10.
а)	/2s- г/2?=/^25->/2«= v/21»;
б)	V25/8: УН = У25-/"8:2 = У2«/8 = УУ 2^2*= -у&.
Пример 11. Упростить выражение
_ А = (2 /1- У 5+3 У~2) (/18-1<20+2 /1).
Решение. Поскольку У18= У 2-9= У 2 • У 3? =3 У~2 и /20=/4^5 = 2 У~5, то
А = (2 У 2— У 54-3 У1) (3 У 2 —2 /"5+2 У~2) =
= (5 У~2—/5) (5/1 — 2 /5) =
= 25 УТ— 10 /ТО—5 /Т0+2 /25 =
= 50—15 /10+10 = 60—15 /То.
Пример 12. Освободиться от иррациональности (от знаков корня) в знаменателе дроби -=-==.
F	1+/2+/5
Решение.’ Умножим числитель и знаменатель данной \дроби на число 1 + / 2-/5?s 0; тогда
. 1	______1 + /1-/5	
1+/1+./5	(1 + /1-/-5)(н-/2+/'5)
1 + /2—/5	1 + /1-/5
’	"	(1 + /1)2—5	2<(/1—1)
Числитель и знаменатель полученной дроби умножим на ]/r’2+ 1 # 0; получим
___ J _	(1 + /~2-/^)(/2+1)
1 + /2+/5	2(/2-1) (/2+1)
_/1+1+2+/2-У10-/5 _ §+2/2-/10-/3
2 (2 — 1)	2	*
Пример 13. Доказать, что 1^2 +/^=/"6/2+/1/2.
56	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Решение. Имеем (К2+/ з)*=2+/ 3 и (К 6/2+/2/2)ад =3/2 + 2/12/4+1 /2=2+ К 3. Так как /2+/3 > О и /б/2+ + /2/2 > О, то числа /2 + / 3 и_/ 6/2+/ 2/2 являются корнями квадратными из числа 2-j-]/r 3. Так как корень квадратный из числа определяется единственным образом, то нужное равенство доказано.
Пусть а—положительное число и ее — рациональное число. Степенью аа числа а с рациональным показателем а называется число, определяемое следующим образом:
1. Если ocgZ, то определяется указанным выше способом (см. с. 50).
2. Если а—рациональное число и a—p/q, где р —целое число, а 72 —натуральное число, то
аа — ap^q = (р/ а)Р.
Если а — 0 и а>0—рациональное число, то аа ~ 0.
Если а— 1/п (п^2, ngN), то из приведенного определения следует, что-а1/'1— у/ а.
Определение степени с рациональным показателем нуждается в дополнительном обосновании его корректности, т. е. надо доказать, что результат вычисления степени не зависит от способа представления числа а. Другими словами, нужно доказать, что если а — р!q = kp/kq (&gN), то
(У~р₽ = (/-)₽.
(При этом можно пользоваться уже установленными свойствами степеней с целыми показателями и свойствами корней.) В силу этих свойств	____
Уа=К/^> Я=(у-)^=[(у-р/=[(У'^)А]р=(^-)р=ат.
Требуемое равенство доказано, а значит, и обоснованна корректность определения.
Пример 14.
22/з = ^2? = У~4- 3“1/7 =	[/1/3 = {/729/3;
(5,1)°= 1;
Степень аа с рациональным показателем обладает всеми свойствами 1—9 (см. с. 50—51) степени с целым показателем. Докажем, например, свойство степени (при а > 0)
аа* • а^2 = аа*+
Для этого представим рациональные числа <xi и сс2 в виде дробей с общим знаменателем; например, ai~Pijq и а2 = p^q
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
57
(^2). Тогда =	«)”*•( Га)₽’ = (Г^)Л + ₽! =
Р1 + Р1	Р1 ,Р2
------————	——- + —— = a q =aq q =aai +a2, что и требовалось доказать.
Пример 15. Доказать, что свойство 7 степени с целыми показателями остается верным и для степеней с рациональными показателями, т. е. если o&i < a2 и а > 1, то из неравенства cq < <х2 следует неравенство aai < аа*.
Решение. Представим числа ах и а2 в виде дробей с общим знаменателем: ai = pilq, a2r= (<7^2). Так как 7 —натуральное число, то из неравенства < <х2 вытекает рг < р2. Но тогда по свойству 6 монотонности степени с целым показателем имеем aai a)Pi < (у/ а)Рг ~ аа*, что и требовалось доказать.
Пример 16. Вычислить
А = {[(33/2‘55/3):2'“7/4]:[16:(51/3«21/4*31/2)]}1/2.
Решение.
Д-— {[33/2.55/3.27/4]: [24- 5-V3.2-1/4. з-1/2]}1/2 = {З3/2.53/3 • 27 /4 • 2 - 4 • 5V3 • 21/4 • 31 /2)1/2 = — £33/24-1/2.55/3+1/3.27./4-16/4+1/4J1/2 — = {32‘52«2~2}1/2 = 3«5*2~х— 15/2.
\ Пример 17. Преобразовать выражение (х, у, z, t > 0) Г 24х2#2 ['х2у1 \1/б1 Г 4х2 / х2у\ \ 1/з 1
Л [ г2 Д /2 ] J:L У J р
Решение. 24х2#2г~2’Х2/5’#7/М“2/6 ______
А ” 4х2г/~1 • х2/3 •//7/3 • /-V3 • г-2'3 «(24x2+2/5z/2+7 /5г~?/-?/б):(4х2+2/у-1+7 /з/-1/з2-2/з) 94
-sZZ ^2+2/5-2-2/3^‘2+7/5+l~7/32-2+2/3/-2/5+1/Э
Пример 18. Доказать, что
2/1+з/з>:2..
Решение. Так как ^>0 и > 0, то из свойств моно-t 1	_	1
тонкости степени получаем	2 = 220 >2°==1 и Зр/ 3 = 330 >
>3° —1. Таким образом, 2-|-3£/ 3> 1 + 1—2.
Пример 1D. Найти все рациональные числа а, для которых (4Г‘ =4'6“-
58
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Решение. . Используя свойства степени с рациональным показателем, получаем (1/2)2а~3 = (2-J)2a~3 = 23“2a и 4*16а== =22 (24)а = 22*24а =22 + 4а. Поэтому данное в условии равенство можно переписать в виде
23-2а_22 + 4а4
Следовательно, 3 —2а = 2 + 4а, т. е. а=1/6 (свойство 7).
Итак, 1/6 —единственное число, удовлетворяющее условию^ задачи.
Отметим, что если а> 0 и n£N, то по определению полагаем
2П+ 1
2П+У а——а*п+1г
— а =—
з z---	б Z----
Например, у —8 = —2, у —243 = —3.
ЗАДАНИЕ 5
1.	Записать в виде степени с основанием 4 числа
2, 8, 1/128, 32, 1/8, 128, 1/2, 64, 1/32, 1/256.
2.	Вычислить:
1)	/4, р/о7125, рЛб,	(^2/2)aj
2)	j/jT27 , У 2 • У 4, j/бМ3, V20 - V5, У 72.18, У 27 . К12 ;__ ____________ , _____
3)	У72-22 -fZ72-23 , У7+ V22 • У7— У 22 ; |/j_K4j/Z64;	_	_
4)	j/54 : У 2 , ^32:^8 , У 3 : У 48, КбМ» ;
V42-Зв;7« , У64 У8-,
5)	, У /64Д2 У2)*.(Уз)в, (2 Уз )*,
V 3* : V 5« , У625 : У 4 }<256.
3.	Внести числовой положительный множитель под знак корня:
1)3^;	4)2|/1;
2) 2 У 4-,	5)-11^2.
4. Упростить:	__________
1) УТбО;	4)^10^;	7) Уб\У2—1)\
2)	;	5) У800;
3) ^24;	6)ИЗ(1 —К2)4;
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
59
, п
5. Представить число в виде b у а , где п и я-натураль- ' ные числа	___
1)	(Гб)3;
2)	6) |/"з 1 •
3)	/2/3;	7) 32 У11;
4)	/ 1/2)	8)2у у 2^..
6.	Записать числа в виде корня одной и той же степени!
1)УЪ, ^2, ^2;
2)Уз, УУ Уь^_
3)	/Т/2, Уз , У1/3.
7.	Упростить:
1)	(у/Г)4; У25.625; (^/г)"; У&З -У 54-,
У125 /625.
2)	; У&. УзУ"3 ; р/{Ь27 ; УТ* • /2§ ;
Уз /324;
3)	; iy&i, у&. у&. ’2/7e. 2у&. уй.
У128
ЗАДАНИЕ 6
1.	Записать число в виде степени с основанием 9:
1/3, 27, 3, 1/243, 1, 1/27, 243, 1/81, 1/729, 2187.
2.	Вычислить:
1)	>/э /81;	. 7) >/7^3» ://625;
2)	У0,027;	, 8) У (/2"— 1)’;
3)	]/'з-|;	9) ^/8-/37.У8+/37;.
4)^; .
6>/т-/п:	Уп;
6)	'/^—2а 12) Уо.ооог.УУгб .^^4.
/ 81 • j/64	• '
60	гл. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3.	Внести числовой положительный множитель под знак корня:	____________________
1)	2^3;	3)51/А;	5) (1-/7)/7;
У О<ьи
2)	— 3 ]/' 1 у;	4) (2— /3 ) V 3 ;	6) 2 У0,125,
4.	Упростить:
1)	V98-,	4) >/243;	7) У3(/2 —1)\
2)	/280;	5)	8) / (з_^.
3)	J/250;	6) У2(1 —/З)4:
-	’	г. « /“
5.	Представить число в виде Ъ у а , где п и а—натуральные числа:
1)	/Т/5 ;	3) У 4/4; ' 5) 4 )/з/8;
2)	- 4) >/279;	6) ]/3~
6.	Упростить:
1)	(/F)2, 1/27^8, КГ/Т, /96;
2)	У 2 /У?, /1452, УТ3, УУ
3)	*>/28-2«, У27-729, У8», У128.3м;
4)	^125.625-3125, /243-81?.9‘,	.
7.	Записать числа в виде одной и той же степени корня:
1)	/3, Уз, Уз;
2)	/2, У~2, У2;
з)	УУ2, УТГз, yi.
t
ЗАДАНИЕ 7
1.	Упростить:
1)	/12 + /45+ /18;
2)	5 |/’1+^-/2б-|/25;
3)	(3/5—2) (3/5—1);
4)	(2/6-4/3+5/2-1/8^-З/б;
5)	(2 /б-3/5’+1):3-(/б+2/5— 3):5—
-(3 /б+4/5—1):15;
6)	(4/8-3/2-+/Г0)(/2+3/-6 + 5/М);
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
61
7)	(12К50—8 К200+7^450) :/Ч0;
»> (4/^-4 /К4 /1)<т
9)	(J/4+2 /3—К4-2 /3) (К4-2 КЗ -hK4+2 Кз);
10)	(Кз-2 Кб —Кз)(Кз-2 Кб-Кз).'
2.	Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1)	1/К 2;	4) —;
’	. ЗК2 +1
2)	К2/УЗ;	5)—---тг=.
’ v 2К2-ЗКЗ’
3)	г_ ’ -г= ;	6) -
К2+КЗ	1 + К 5 —К ю
ЗАДАНИЕ 8
1.	Упростить:
1)	)/48+ уК135— j/384—j/40;
2)	2К18 + ЗКК+3К32-К5б;
3)	(гКб+ЗКб —7К2)(К72+К2б—4К2);
4)	(4+Кб)(зК2— бКз); 2К2Ч-ЗКЗ—2Кб Кб—2КЗ-4-К2
5)		 з.........~...-...........
_ЗК2 — 2 КЗ Н-4 Кб
6)	(7 К48+ЗК27—2К12) :КЗ;
7)	(]/9 /5—3 3/3+4 1/Т/з) : (2 j/T/3);
8)	(У’л+УТ-У 4-V7) (К4+К7-К4-К7);
9)	(К2 + КЗ + Кб ) (К2+КЗ + Кб );
10)	p/KiS—К7 -•>/К23+К7+К9+К17-К9-К'17; КТ80+К245/14—КТ725—К320/2
У/5К2+7-• V5 /2—7
2.	Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
Ч 1/ГЗ;	6)	1
2) Гз/‘/Г;	2/2+Зр
'3) 2,К9;	4 K2 + K+/S :
4)75WT	8)_±^»	,
5	2	.	|Г5-Кб + К7
2К2-—1 ’
62
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ЗАДАНИЕ 9
1.	Записать число в виде степени с рациональным показателем:
1)	}<2 ;	5)	/F®;	8)	3
2)	/б2;	6)	2 /в;	9)	9 /з23;
3)	/F;	7)	3 /27;	10)	-/FT.
4)	/"iF3;
2» Записать числа с помощью знака корня;
1)	21/3, 41/б, 52/3, 73/7;
2 ~
2)	ЗМ, 2М5, (1/2)°,7б, 5 3 ;
-2 Д
3)	3~1/3, 2-А5, 2	2 , 5~°А
3.	Вычислить:
1)	251/2, 271/3, 84/3, 02/3, 64~1/3, (0,25)“3/2, (1/4)“1/2 ’
2)	21/2«21/3«21/6, 31/3‘3“1/2‘37/6, (82/3.322/5)1/4-
4)	(/8'.21/4)4. 3K2/3 /А -l/'al'), \ Z г о /
(251/3:51/3)3-(з2/3 : /з~3).
4.	Записать числа в виде степени числа 2:
1) /2/4, /2/в, 1б//8;
3) (J/4)",
4) /FT Vyt. ’/7г.	|
]/ 2у/'2у"2.
телем:
ЗАДАНИЕ 10
1. Записать числе в виде степени с рациональным показа-
1)	3/2?1
2)	V3;
з)
4)	У 2=*}
5)	У3-»;
6) 7)7/7;
' 8) 2 /16;
9) /27®;
Ю) i-’/4.
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
63
2. Записать числа с помощью знака корня:
1)
2)
3) 3.
1)
2)
3I/2 Q2/3	01/4.
1 J-2°,Б, 2°э76, (1/2)0»25, 5 '3; 3“ 1/4	5-0,4	7“ 2/3 '
Вычислить:
161/2, 641/3, 641/6, 02/б, 27~1/3,
31/2.9.3~ь/2 217/1а»21/8*21/4
(0,16)-3'2, (з-|)"2/3}
2
. (2-1/12)-24.
3) 36М.21/6«31/В, (125-5-?)-3,	|/"2-|;
4) (з • -iy, (9-31/s)3/7, (/3 • |/3)в,
4. Записать числа в виде степени числа 3:
1) V 3/3, у 9/27, З/р/81;
2)(j/9)2, (^з)-/з, ^1.К27)‘;
ЗАДАНИЕ 11
1.	Упростить:
1)
2)	j/aW/d?, р/х1» d5Jy3, |/64a12/(729&«);
3)	У~8> (Уг^)2. f/d3xs/(x"V) •
2.	Представить в виде произведения степеней с рациональными показателями (х > 0, у > 0, а > О, b > 0, с > 0, d > 0):
1)	Т И- Г»-* VWI. $ • /I;
2)	<^У2Ъс, Хр/х~?у^,	aVЬУ"х , V^^x:x}
3)	.
/ ЗаЬ V (ас~*\~? [л~‘Ку
} \ 5cd~i) ' \ bsd3 )	’ \аР3') :
5^ — l/^Г 2ab
' 2с ’ V 9аЧ> * Зху ' К а# 5
64
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
6)	al/2 . ^1/3 ,aV4} (a2/3):(fcl/2 : а1/8 )} ((al/2)l/3)3/2 .(^l/2)l/3 j
7)	(l!~ W’3 -r/1/4 .((£2/3)1,5 :(C-l/3)-2/3).
8)	(c№-b-1/6)*(a- v3:&-i/y.
ЗАДАНИЕ 12
1.	Упростить:
1)	У&Р,	j/'^a2^,
2)	KaW5- W*1?;
3)	/m \ Va \у —ъ, У
2.	Представить в виде произведения степеней с рациональными показателями (а > О, b > 0, с > 0, d > 0, х > 0, у > 0):
1)	2У~а, сУ~с, (4йУЗ),	3^уУ"у>
у2 V у ’
2)	аЬУab, с2У5bc, х2р/2аху, УxVуУ~а ,
(У~х-У"у) V хУ"у ;
3)	у у
(а2 1/~ а7 l/' al°
4)	\ b V ~а? ) ' \~ V ~Ь* * V )'
6)	(aV2.a~l/3.al/4).^l/3)2:^2/3.^-l)~2j.
7)	(£6/7)0,7 :(d-V8)~8/2;
8)	(aV^-2/3)6/5.a10/3.^4/5#
ЗАДАНИЕ 13
1.	Доказать неравенство:
1)	УГД+ f/172 >2;	4) |ЛУКЗ> У
2)	У У1>> Ч/~5	5) 3£/Т+ У~2 > 2;
3)	(У 2+ / з)/л >1;	6) (2 /I)100 > 8«;
7)	у> У у^у^ ;

§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
65
2.	Найти все рациональные числа а, при которых:-
1)	4« = 2;
/ 1 \2а+Х
2)	(т/	= 2й;
3)	(/"2)1-8а = 2;
4)	27 (Кз)й+- = За;
5) (V 3)5а = 243;
6) 31~4®=1;
(1 \а	——
у) .4«.(К2’)а = 4.
3.	Общее понятие степени
Выше было определено понятие степени числа с целым и рациональным показателями. Теперь определим степень числа с иррациональным показателем, и тогда степень числа будет определена для произвольного' показателя. Это определение требует принципиально новой конструкции.
Рассмотрим, например, что, понимается под числом 3^ 2, Число Y 2 является иррациональным числом, и его можно представить в виде бесконечной десятичной дроби:
К"2 = 1,414213... = а0,	. .ап,..
Запишем рациональные приближения числа Y 2 с недостатком (гп) и с избытком (4):
ГП~ 0,$,0,1(1% ...	—
' . 1
Г/г — До^!^ •••
Выпишем несколько первых членов этих последовательностей: г„:1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ..., 4:2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ..й
Образуем две новые последовательности чисел: З1; З^4; З1»41; М4; Зг«; ...
и
З2; З1’5; З1»42; З1»415; ...;3Г/г;...
Из свойств монотонности степени с рациональным показателем следует, что
а)	последовательность 3Гп неубывающая, т. е* 3r«<3r« + 1,	n = 0, 1, 2, *Si.;
/	f
б)	последовательность 3 п невозрастающая, т. е«
3r'ISs3r,,+1, п = 0, 1,2,
3 Задачи по математике. Алгебра
66
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
в)	для соответствующих членов этих последовательностей имеет место неравенство
3Гп<3Гп, n = 0, 1, 2, ...
Можно доказать, что существует единственное число, которое при любом п = 0, 1,2, s.. больше числа 3Гп и меньше числа 3Г/г; это число и принимают за число 3^ 2.
Существование такого числа можно «увидеть» из следующих геометрических соображений. Рассмотрим на числовой прямой (рис. 1.4) отрезки.Ап = £зГп, 3Гп] (я —О, 1, 2, ...). Из свойств а) и б) следует, что эти отрезки вложены друг в друга, т, е.
Sn	32
J	V ** О </ J
Рис. 1.4
отрезок An+j содержится в отрезке А„ для всех п —0, 1, 2, ... Из определения чисел гп и г'п получаем, что длина отрезка Ап равна 1/10", т. е. | An | — 1/10" (n = 0, 1, 2, ...), и, следовательно, стремится к нулю' при увеличении п. Понятно, что множество таких вложенных отрезков, во-первых, должно иметь по крайней' мере одну общую точку, а, во-вторых, так как длины их уменьшаются и стремятся к нулю с увеличением я, такая точка может быть только одна. ,
Аналогично поступают и для определения числа (l/3)v 2. В этом случае (в виду свойств степени аа с рациональным показателем для 0 < а < 1) нужно считать,, что число (1/3)^ 2 определяется из условия, что оно при любом п —0, 1, 2, ... больше / 1 \rn	fl \гп	/ 1 \гп / 1 \ гп
-5- и меньше	, так как	.Ив этом
\ и /	\	\ О /	\ о /
случае можно доказать, что такое число существует и оно единст-
/ 1 \ V~2
венное. По определению оно принимается за число
Пусть даны положительное число? а и действительное число а. Под степенью понимают положительное число, определяемое следующим образом:
1)	если а—-целое число, то число аа определяется, как указано в разд. 1 (степень с целым показателем);
2)	если а—рациональное число, то число аа определяется, как указано в разд. 2 (степень с рациональным показателем);
3)	если а—положительное иррациональное число, т. е. а = “«6,^2’ • и ai а2-•	г'п~гп-\-\1\Зп (n=0, 1, 2,...),
то
а) при а > 1 число аа обозначает число, большее, чем оР*, и меньшее, чем цГ/г(п^=0? 1,2.,.);
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
67
б) при 0 < а < 1 число аа обозначает число, большее, чем ап , и меньшее, чем аГп (n = 0, 1, 2 ...);
в) если а=1, то считается, что аа = 1;
4) если а — отрицательное число, то аа обозначает число, равное т. е. aa = l/a'aL
Существование и единственность числа доказываются в курсе математического анализа.
Свойства степени положительного числа. Пусть а и Ь—положительные числа, а а и Р—-действительные числа. Тогда
1. a“.af! = a“+0.	4. ^ = аа~».
cP .
2. (о6)“ =	5. (a“)g=a“₽.
Q f a aa
\ b ) ~~ &a ‘'
Важно иметь в виду, что свойства 2—5 являются следствиями свойства 1 и данного выше определения; поэтому свойство 1 иногда называют основным свойством степени.
Свойства монотонности степени с произвольным показателем:
6.	Если а > 0, то aa > 0 для всех действительных чисел а.
7.	Пусть а > 1; тогда
а)	из неравенства a > Р следует неравенство aa > а15, т. е. a > р => а05 >
б)	из неравенства aa > $ следует неравенство a > Р, т. е. а05 > а? => а > р.
Таким образом, если а > 1, то а>р®а“>Л
8.	Пусть 0 < а < 1; тогда
а)	из неравенства a > Р следует неравенство aa < т. е. a > р => а05 < а13;
б)	из неравенства аа < следует неравенство a > р, т. е. aa < а® => a > р.
Таким образом, если 0 < а < 1, то aa < cP & a > р.
Из свойств 7 и 8 получаем еще одно свойство степени:
9.	Если а > 0 и а 1, то равенство аа = а® возможно только при a = Р, т. е. а05 — а? а = р. В частности, если а > 0 и а 1, то а05 = 1 ФФ а = 0.
Пример 20. Пусть число а такое, что 206 ~ 2а. Доказать, что число р = — а удовлетворяет равенствам
(1/2)₽ = — 2р, 2₽=—1/(2р).
Решение. Из свойств степени получаем:
(1 /2)3 = (2 ~ 1)₽ = 2~13 =2а = 2а = —2р;
2Р = 2“а = (2а)“х = (2al-i= 1/(2а) = -~1/(2Р),,
3*
68
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пример 21. Найти все а, при которых
5УГ~“*>0.
Решение. Выражение V1—а2 существует при—
По свойству 4 степени при всех таких а неравенство верно; поэтому условию задачи удовлетворяют все числа а из отрезка [—1; 1]* Пример 22. Пусть а > 0. Найти все а, для которых
±(а“+а-“) = 1.
Решение. Так как аа положительно при любом а, то, умножив данное равенство на аа, получим равносильное числовое равенство
а206 —2аа+1=0,
или (аа —1)2 = 0.
Таким образом, а удовлетворяет равенству аа = 1, т. е. а = 0*
Пример 23. Найти все а, для которых
31 а 1 < 27f
Решение. Поскольку 27 = З3, то данное неравенство можно записать следующим образом: -
3* * । < З3.
Согласно свойству 8, полученное неравенство имеет место только прй | а | < 3.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют все числа а из интервала (—3, 3).
У пражнения
1.	Вычислить:
1)	22«23, 33:36, 8-2-4, (—4)-2:4~4;
?) (22)2*4, (—4)*24, (8.2-*)-1;
3)	(5~4).(5-4)-2, (—1)4.(—3)-М2, 16<(4/7)-?;
4)	(—16)3:(4“2)“3, 2~б:(23:26), (2“4:24):2“3; (-32)3«9	(—2)8-53	(—5)2«253
}	32-33 ’	54*21(М0’	б10	*
6 23 + 2~3	(— 1)б*(34+32)2 ,
)	4з+1 »	(_9)з	»
:2-320—5-313	31б+31А (—2)\
° •	(—9)9	’ 314 + 312 * 1024 5
(3«220+ 7.219)«52
(—1)7‘(13«84)2 ;
9)	(20-2<-12-23— 48<22)?:(—8)3;
10)	(75 • б2+35. б3): (20.25.125—625.75) ₽
32.	512-128:(1024.32) .
16.	64.82:(43*25.16) ’
2181.729+243.81-27 '
З2• 92«243+ 18.54.162*9 ’
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
69
2.	Вычислить:
I)	(—2)3.+ 22+(—I)1’;
2)	(З2)2 — ((—2)3)2—(—52)2;
3)	4~2—2~3 + ((—2)3)~х;
4)	(4 ~х)4  2» • (1 /16)3. (8 - ?)6 • (642)3;
б) (—2Д] • (0,25)2 ((—5)-3)?»((0,1)?)~?;
6)	12-^3~4:^24:32—2?:1	+	• (—0,371)°; '
7)	((10-с)~2+5.254.23-(23)2 — 512-(42)2):((5-®)-1.(1/2)-М06);
8)	/7 2 ,о-з 8-Л~8-ЗМ8Ч I -.........<1006)8-54
’ \\3	)	’ (25)4 J r(6252-125f-322 22° ’
/ 1 \-б
9)	(^2-7293)2:21877+(256~2)3-20484 • f Д J ;
10)	(512-2-1283-31254-625-»):(256-‘3-64хх);
11)	((33/729)3-2187»-243-х»)2:6561-°—814-9~7;
12)	(3125’ • 1254) -1 • 15625® + (64е • 327) ~ 3 • 1648;
13)	2ХЗ-(362-162»-484)»-(108-72)-28—	1
14)	20483 • 10242 • 16» • 256~ ° + 6561 ~3 • 2187 ~2 • 243 8.
3. Записать выражение в виде а", где а—действительное ; число, п — целое число:
Г	1	/ / 2 \ 2	4	\
1) 22 • Д - (1/2)-3-4:^-;	3) Цу)' • Д . 9:1б) 6~3j
4)41Z 5± 949. ’ *27’ 9’ 64’
2) 9.(27)-1-(32)3:(з41:^);
5)	32/243, 729/15 625, 6561/256;
6)	108-72, 128-2187, 512-625-3125;
7)	27/1000, 256:(625-81), 125:(64-27);
8)	1 :(1024-243), 1:(512-15 625), 6561/625;
9)	16-3-81-6:729-?, 322/3125, 243/1024;
10)	—3125/32, 2-:(16-125), 128/2187;-
11)	.32-243-3125, (125-27):8.
4. Доказать делимость числа:
1) 810 — 89 — 8® на 55;
3) 10’+ 108+ 107 на 555;
5) 24и-5424-210 на 7263;
7) 12®-912 на б”;
9) 764-75—74 на 11;
11) 517—51° на 25;
2) 817—27°—913 на 45;
4) 45«-15х» на 7530;
6) 4510-54° на 252°;
8) 523—521 на 24;
10) 56—54+53 на 7;
12) 25’ 4- 5ХЗ на 30;
13) 16»+2х» на 33.
5. Доказать, что при любом натуральном п:
1) число Зп+? — 2"+? + Зге—2й делится на 10;
2) число Зл+3 + 2Л+3+3“+Х+2В+2 делится на 6;
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3)	число 7w+4—7" делится на 30;
4)	число б?" 4“3П+3 + 3" делится на 11;
5)	число 7п+? + 8?/2+х делится на 57. ’
6.	Представить в виде степени числа а (а 0):
1)	(а3)“2,	((а2)~2)2;
2)	(а «а)2, (а/а2)~?> (а2 «а2* а2)8 9, (а2*а3‘(а“^)2;
3)	(а2-а)3: а2, (а3«а:а2)“х, (а&:а)3:(а3:а2)4;
4)	(а~1*а~2)“1, ((а2)-*)“2,	(ага-1)2;
5)	(а «а2 «а3)-.(aza2)""1, а2-(а4)3:а1-3;‘
6)	(а2.а~5)~3.(а.а3)4, ((а2)~2)5:(а4а)3;
7)	(а^.а<:((а-1)-?)з,	;
8)	(а-(а3а~2)°*а"4)2, (а2:а3)2*(а3-а4)“2;
9)	((а2«а3)3-я):(а12 *-а4), (аб*а2):а7, (а4*а6):а9;
10)	(1:(а2-а4-а8))2, ((а2-а):(а4-а5))3, ((а8а4):(а8*а10 *))“3, (а2:а2)100.
7.	Представить выражение в виде Ахтуп, где А — действительное число, т и п—целые числа (ху Ф 0):
1Ч /х3*х2\2 х8:х2	( 8х2у ху \ 15x2z/~2
im (хУ)~8	(хУ)8	/ (х2//)-<:(хУ)2 W IV1.
’ (xW ‘ (x-у?)8 Л (х3)-У )'\у) ’
11)	(хУ)-5.(х1(У)0-(х2у)*• (х3)2-(у2)«. (х-3)2-(у-?)-1;
12)	((^)~5-(^~3)^Ш6)3 - У2 
’ ((//—2)8 (х~4)2 (У/х)8)2 ' (хУ°)6 ’
8. Найти все целые числа р, при которых выполнено условие:
1) 4-2 (1/16).26-2/’= 1;	6) 1 < 3/> < 25;
2) 3-1-3/’+5-3P-1=2-34;	7) 0,011 < (1/3)/» < 0,11;
3)512.87’=!;	8) 125 <(1/5)/’<3125;
4) 729/’ = 1;	9) 16 < (1/2)Р < 32;
5) 32-Р. 16/’ = 2048;	10) 63 < 2/’< 1-28.
9. Сравнить числа:
1)	912 и 913;	7) 65618 и	3м;
2)	1020 и 201°;	8) 20243 и	238;
3)	3s1 и 231;	9) —278 и	3е;
4)	202808 и 303202;	10) 15 625*	и б88:
5)	(6181)8 и (63)101;	11) (22)3 и	2<2’>;
12) 232 и 2?’.
6) (3-?)-3 и (З3)?;
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
71
10. Вычислить:	___
1)	/100, £/64, £/1024, ]/"у, /6Ж /.(ЦЮ;
2)	У 2-У 2, /2-/18, /2/3-/3/8, /1«-/49/64 -/ОД)Г;
а, Ку-»а. у з, а. /0,2-/0,4-/2;
£/16-81 Уз
У180:/ 5 . /200: У~3 *'
4) У 2*-У5*,
- У12
5)	/49-36-100, £/32-243, £/64-27-125;
6)	(/I)2, (/9/П)2, /ЗМй, /ПГ2*;
7)	£/2-£/2-«/I, (£/3-£<2):(£/'б)2}
8)	1^4 1 У'2! ’ п —	/	3 /	9~~\
(0,75®/9):( 0,25 1/ 2-=- );
9)	(|/7)10-(£/3)’-|/27, ((/2)*:/'2)-(£/б)8>
ю) (/8-|/зУ2):(/Г/Т-У£/io§):
11) ( У £/512-/729^2• ( У/1024-£/81-6561-27')
12) У256/256 ”У729/729 • У15 625 £/15W;
/ 81-£/512-£/32-/162 £/6561 • £/729 • /зТ25б"
£/54-500|Л 2-/5/2’,
14) £/243/1024 • У256/6561 • £/27/512- / 4/729;
15)
£/3125-£/б56Г-/729 з/ПЙЮ. £/125/15625-/324 ’ У 729 '
/48-243-
11. Упростить:	ч___	___
1) Гз-Гз/з, Уз-L-, 11-. У?±,
2)£/80:/"5, (7+/7):(/7+1)>
(/12+/75-Ь /27)//151
3) (/12—2/75)/3,
2 (/252 -/175) — (/Н2—/63 —/28)1
72	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4) ^/Т2-2/3+б/3—1-/8) • 2/6, /252 — /700 + /1008 — /448;
5>
6)	И/5• ( у//"5;	У 5 у, /(я2- 10)*;
7)	4 Кб /48 + 3 К40/12 — 2 /15/27 ;
8)	/176—2/275+ /Т584—/ЮТ;
9)	5/L28 —|- ]/б-|- +6|/1 -(5 /632-/збО)5
10)	К(2+/3)2, /(2-/3)4,	(/3-2)в;
П) /(1-/3)2, К(/2-1)а, >/(1-/3)2;
12)	(1 /З-з у з+з /1/3): (4 УЩ\
13)	(—3/2+3/'б-/33)-(2 /22-/б—4) —
—16/33 +34/15+12;
и) ^ /в-з/'г—/То^ • (/3+2/0—з/м);
15)	(3/1/94-4 3/1/72-у 4) • (:j/72+tK55+ У®)'1
16)	(2 / 6-/5+ 4/ 2)-(3 /20+ /24 — 2/3);
17)	У(1 + /2)• У3-2/2 , /4-2/3  У6+4/31
18)	/7-4/3 •/2 + /3, У17+12/3 ;
19)	У/23-/7 •]//23+/7+>/^ У1+7Х Х^б/З-Л
20)	V З-К29-6/26 }
21)	2 V3 + ]/5-КТЗ + /43 ;
22)	(У7 + /48— >^28-16/3) • ^+/48.
12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
!) -U,	• _L,
2/5 /3 К5 2/3-/3 Vi-yi
Оч .1	2	4	1	§
’ ^27’ 2 + /3 ’ 3-/3 ’ /3-/3’ 3/З4.Г
1
3/3-1 :
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА	73
3) / 15-У 6	11	у 3-2V 2
/35—/П’ З/б—2/7 ’ 3/3—4/1 ’
1
VJ-+VJ 1
/10 + /15 _1_____ 2________1
'О+/12 ’ Q+O+/5 ’ /2_/з ’ /2-1 ’
5.	4	/2 Q+/1 '_____1
2-3/1' О 0-0 ’ /9-/6+/1 ’
6) /2+/з’ О—1/3 ’ О+О + О+2 *
7)	3 _____ 1	 J
' 2 —0 + 0—О /2—1 /з— О '
1
3/1— 0+1
' 2/3 /1-0+0’ 12
2/ 20
0+0-0 ’
_____________2	_
3_-j/2+O’ /3+/9- /27-1
П) /10—/20 + /40— О + /80 ‘
12) /9-3/3+ /24- /243 + |/375 ’
13. Сравнить числа: _	_
1)	2 О и /ТЭ, 3 f/з и V81;
2)	f/10 и у^З , 1/24 и >^5 ;
3)	1^623 И f/з, (гу/г)"’ И 2-11; _	__	__
2 /30	(30 - 2 КЗО) (О+0-01 .
' О+Кб' + V7 и	20^
5)	^6+/20 И /1 + 0;
6)	2I/2 и 1/4/2 О—2/6/2 +1//2}
7)	/17+12 О и /1+1;
8)	/28-16 О и /3—1;.
74
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
9)	(4+2 V 3) : У10 + 6 К 3 и К 3+1;
10)	У Кб +V"2 : Кз	и Уб + /Т>;
11)	и (1 + ^5 )/2;
12)	У Г Н-3 и — У 3;
13)	/"37+2—2 >/бЗ и 0;
14)  ,	!	- и 3/20;
2/2+3/3
15) К2 Уз + У 2 : |/"2 /З —/У и Уб (/"б’+1)/5;
16)	30 У1/12—— У18+5 ^144 и —з! У 2/3. О
14.	Представить числа в виде степени с рациональным показателем:
1)	У 3, ^Э2, У 73, У194;
2)	уз=*- ю У^, У^, (Уг/УТ)-1;
3)	2/"15, У 2 У 2 /4, (УЗ: УзУ, Кз2/""3;
4)	]Лз|/з. Уз, У3^//§;(	5УбУ^ У;
5) 1^5 У5-. У 25 ; ]/"2 У2 У2 : У2 У2 ;
У125 р/б25 Уб :У У 5 .
15г Выполнить указанные действия, перейдя к степени с рациональным показателем:
1.5)	3 Уд У27 Уз : СУ3й. Уз Уз )1/2;
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
76
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4)	V 6+2	— К13 + К« =КЗ + 1.
/ |'+-Г3-123-12 /Т =1;
5)((^ + 3^-2).'Р;
)/у(19+б/10). /з/2-2/5= —1;
7)	а + /2+/5-/(9-4/5)£	_ з/~ .J;
/2 — /ЁГ- /э+4/3— УсР + Уа
8)	/3_-	-о. '
//з’+1~+1	//3+1 + 1
9)	(1-(K 3-0:2) ((K‘3-0:2+2) = 3/22
10)	((/ 2 + /3) : / 5-/5 :(/ 2 + / 3)/2-_
_	— 5/(2 V 9) = 25/24;
11)	--3 _ :(1—2// 3/2)—22/3=0,
22/8 + 2/ 2/ 3 +4(/ 3)2/3
12)	^£+2/1/3 +/£-2/1/3 Т<т. -
/1+2/2/3 — /1—2/2/3
13)	У 5/1+7—/5 /1—7 = 2;
14)	/20+14/1 +/20-14/1=4;
15)	(28/2+38/2:(— 1) — 2:(/ 2+/ 3)-
1 -3/(/ 2 — / 3)):(/ б(/ 2+/3/0=1;
16)	1/3+2/10+2/5+]/s—2/10+2/3=	_
_	_ _	=/2+/,oi
g//2 + / 3/ 3//2 + / ЗУ
17)	А. 6^2_ J___Lj./3 L....^/6-
(2+/б/12)-1 + (3 + / 6/12/1
18)	2	3 + ]/5—/13 + /48 =/б + /1;
19)	/в+ /3 + /20 + /40 = 1 + /1+ / 5;
20)	2//7- /7	7	-+
/ 7—/ 1// 7
+_______J___=_Т-^р.
/ 7(/7+/1/7)	/343
§ 3. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
77
21)	(	2 + ^3	I 2~^3	V26-
\ кз+Кг+кз + кз—1/2—кз) 15’
22)	/2 + КЗ/2__________	. К 3 .
К2 + /з/2-2/Кб+/2 + К'з/(КЗ-2)	2
23)	У26+15 /3(2—1<3) + |/9+К80+р/9-К80 = 4.
18.	Разность К| 40 КЗ-57] —^40^3+57 является це-
лым числом. Найти это число.
19. Разность Z| 12 К 5—29| — К 12 К 5+29 является целым числом. Найти это число.
20.	Сумма двух чисел равна 1^18, а их разность равна У 14. Доказать, что произведение этих чисел равно 1.
21.	Доказать неравенство:
1) К27+К 6 + 1 > К48;
^+1 + 1=^_Кй><0; 5—К 5 5 + К 5 .
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1	(	, -КбГТ \
2	\ 1 + К 5+К з2 1 + КЗ— Кб /	___
X (К 3—4 К 1/3+2) • К0,2—К 1,01 < 0}
К 2+К з—1 , К 2—К з / К з , К з \ -2+К'б'*,' + 2 К"б \ 2— К'б + 2 + К’б /
J	--^=-+/з-К2 >01
Кз+КЗо+Кго+К'ё - КЗ- К 2 —^ < о;
I/Kl-I • у^з+гК!+^-14^+20	9
(2— К"2)/(К"2— 1) —КК2+1 • У3—2 К"2 10 (У9+4 КЗ + V2+КЗ ) • VКЗ—2-2,1 < 0;
10)	^17+12 К2—К2> КЗ—1;
11)	2 (^+ ^5+ ^/7)-(|/‘з+К5 + |/‘7) < 3;
12)	ЗК2 + КЗ(1 + К2 + КЗ) > 2 р/б (1 + У2 + р/з)$ л 13) бК2+8КЗ+бКб> 5 ]/б+7 /Ю+3 >/15;
14)	(/2+ К2 + К3 V2-К2)/4 <0,8.
78
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
22.	Упростить:	_ _______ ______
1) У	у/а3, \/х3у3, р/*х6;
2) V а?/2, V(ху)2/3, /~4(х--1)2, V"9(2-y)^
3) Уа*/Ь?, V Ух?:х, Ух*: У у*; V х*Ух, У у*-
4) ЬУ а:У ab*. Ы У Ь:У Ь>, сУа*:У с*а*,
У а У Ь:У а*Ь*,
У Ь/а-,
5) х У 2/х*, V (х-3)4, У (х—у)*, У (а— Ь)*: (а— &);
3) хУ—х/Ух*, Ух*, ]/а®, УЛ/®, Уа464;
7)	УаУ.УаЬ, Ух*У:(Уху.У^)> Уа*-Уа/Ь-Ь/а}
8)	У х*1Ух/у, УаЬ- уУа*/Ь*,	. Ух/у}
9)	2 Ух+5 У25х—3 УЖх—4 У§х:
10)	/’Тбх+У8а-(2 У27а—j/'S);
11) 8b Уа2/й+у УаЧ—7а VЬ/а—2 Уа*Ь^,
12)	Ух/у —— Уху+-^ Уу/х^ ' а*Ы • Ух/у\
13) y&.ytiy -~^=-х*	. У1ЙХ.
V ху	у
23. Перейти к степени с рациональным показателем и выпол нцть указанные действия:
1) у ySXi У'хх, V"x2x2yf V у У'у ;
2) Xs У4ху, хуУх*у*,	Ух*уУ',
8) (ху)1/*Узё, (хЧ^-Иху, (xVZ)V2x-lyl(tfxyt
4) (-4’/?) 
Ь}{{У7)*У({ху)^УТу)\/'/|| у Л	LvHu г Л •
6)
("х	х*у*у-. (-- f/у/х^3;
§ 4. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА
79
10)	j/^- / а2 / 64 ,
/W7Fi/WWT 
(a3/ib3/3cl>3)3/3	/ а-5/861.^ \-в/5ф
>	(8b)1!3 с а-?/в&1/в )	’
12) (а1/2 + Ь1/3 — а1/2)• (2 V"b + 3&2/3 —261/2);
/aW—4ab /а2*	/З2
}	а2£>2	'	2	* а ;
14)	' YA;
15) ( уaV}W2 ./S&./а2: /У2 W-| /	;
16)	ГГ?):(/^ГЗ.^з);
/ / Л	О уя-.-™—. Ч /"	Ч
24. Найти все рациональные числа р, при которых справед-
ливо равенство:
1)	2-2р = 8р/2;
2)	Зр/2-1 —9 = 0;
3)	4Р+2=128;
4)	24/’-» = (1/2)Р-*;
5) (yZ2)P+l3= 1/32;
25. Найти все целые числа
6) (1/642)_л = / 1/8;
7) (2/3)Р•(9/8)/’ = 81/256;
8) 3/’-(1/3)А-8=(1/9)7’;
9) 2р.Зр = 6}^36)/"5;
10) 63-/’.64+P=yZ216P.
равенство:
1)	6Р > У36;
2)	у/Ю24<4Р;
3)	7Р+3 /"49^343;
4)	28р/512 < /’2/2’;
рь при которых справедливо не-
5)	25.52P<yZ75-yZ5/3j
6)	/2/5 (5/2)3P+i > 125/8;
7)	(1/2)8Р~1 <4/1/32}
8)	(1/3)Р+2/1727^9.
§ 4. Логарифм числа
Пусть а> 0,	1 и b > 0. Логарифмом числа Ъ по основа-
нию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а} чтобы получить число Ь. Это число обозначается
SO	ГЛ. I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Если а =10, то вместо logf0 b пишут 1g
Если а = е, то вместо loge b пишут In b.
Существование и единственность числа loga b следуют из свойств показательной функции.
Пример I. а) Так как 32 = 9, то log39 = 2;
б)	так как (1/2)~2 = 4, Tologi/24 =—2;
в)	так как я° = 1, то loga 1=0 (а > 0, а/1);
г)	так как а1 = <2,' то log6Z<i=l (а > 0, а^1).
По определению выражения log2 (—5) и logi7 лишены смысла.
Из определения логарифма числа b по основанию а имеем тождество
aloga6=&, а>0,	&>0,	(1)
которое называется основным логарифмическим тождеством,
,Из свойств степени и- тождества (1) следует:
а)	21о^23 = 3; 41о8а 3 = 22 1о^2 3 == (21о£г 3)2 = З2 = 9;
б)	(l/VD10*» 5 = (3-1/2)1°8з » = 3~10gs 5 =
= (3'°Ss 6)-i/s = 5-i/2= 1/У5;
log — b	2 log f_b
в)	a Va = (/a) Va =b\ a>0, a & 1, b>. 0. '
Основные свойства логарифмов. Пусть М и N — произвольные положительные числа; а > 0, а # 1, b > 0, b 1 и а-—любое действительное число. Тогда:
1.	log# (MN) = log# М + log# N.
2.	loga (M/A/) = loga/И — logeN.
3.	loge 44“ =a loga/И.
Л 1 U fog# M
4.	10gfc M	,
loge b
Пример 2.
a)	loga 14 = loga (2'7) = loga 2+ log2 7=1+ logs 7, log# 2+logs 3 = loge (2.3) = log8 6=1;
6)	logs (9/8) = logs 9 logs 8 = 2—3 logs 2, logs 16—log82 = log8(16/2) = log88=l;
в)	logi/a 16 = logi/2 (l/2)~4=— 4;
r) logie 32= (loga 32)/loga 16=5/4,
Д) a4 = (loga a4)/loge Va =4/(l/2) = 8, a > 0, a 1.
Отметим, что свойства 1—4 являются следствиями основного логарифмического тождества и свойств степени.
Пример 3. Доказать свойство 4.
Решение.
М лл 1о£л ь 1. b ° ~Mt а а = bi
Таким образом,
Д1= 6log6M==(£zlogeb)l0g6M==a(1°ga6).(logl,M)>
т. е.
• .	41 = fl(10gab)*(10er&‘M>.
§ 4. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА
81
Отсюда и из определения логарифма числа М по основанию а получим
loga M = loga &-!og(, М, или, logf, М==-~°^-~ ,
что и требовалось доказать.
Свойства монотонности логарифмов. Пусть М > > О, N > 0, тогда: •
5.	Если а > 1, то
а)	из неравенства М > N следует неравенство loga М > > loga А/, т. е. М > N —> loga М > loga АА;
б)	из нераванства loga М > loga N следует неравенство М > N, т. е. loge М > loga N М > N.
Таким образом, если а > 1, то М > N 4=> loga М > loga N<
6.	Если 0 < а < 1, то
а)	из неравенства М > N следует неравенство loga М <
< loga т. е. М > N => Iqga < loga
б)	из неравенства loga М < l°ga N следуетнеравенство М > N, т. е. loga М < l°ga Af => М > N-i
Таким образом, если 0 < а < 1, то М > N & loga М < loga N.
Из свойств 5 и 6 следует
а)	если	а	>	1	и	М > 1, то loga 7И > 0;
б)	если	а	>	1	и	0	<	М < 1, то loga А4 < 0;
в)	если	0	<	а	<	1	и	М > 1, то loga М < 0;
г)	если	0	<	а	<	1	и	0 < А4 < 1, то loga М > 0.
Из свойств 5 и 6 получаем еще одно свойство логарифмов:
7.	Равенство loga М = loga N возможно только при А4 = АГ, т. е. loga М — l°ga А/ <=> М = N.
Пример 4. а) Так как 5 > л, то log25 > log2я; если log2 7 > log2 х, то 7 > х > 0;
б) так как 23 > 11, logi/2 23 < logi/211; если logt/4 х< logi/48, то х > 8;
в) так как 1/2 = 2~1, то loga (1/2) = loga 2~х; если log28 = = log2 х, то 8^= х.
Пример 5. Вычислить:
a)	loga781;
б)	logia 2-|- logis 6;
в)- logs (2/3) +log, (9/4).
Решение, a) log27 81 = logs 81/log3 27 = 4/3;
б) logia 2Н-log12 6= logia (2-6) = logia 12= 1;
в)	log2 (2/3) + log4 (9/4) = log2 (2/3) + (log2 (9/4))/log2 4 =
= logs (2/3) +-1 log2 (9/4) = log2 (2/3) +y logs (3/2)2t=
. = logs4i(2/3) + logs (3/2) = logs [(2/3) • (3/2)]=0.
Примерб. Известно, что log23 = a, log35 = &, log72==c. Выразить через a, b и с логарифм по основанию 140 числа 63.
Решение/ По свойству 4
Ina ЙЧ — 1Qgg 63 — log2<7-32) _ logs 7+2 logs 3 gH0 JogsUQ logs(22-5-7) 2-Hog25+logs7'
82	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Заметим, что log2 7= l/log7 2= 1/я и
log2 5 = (logs 5)/logs 2 = logs 5’ log2 3 = ab.
Таким образом, i «о l/c+2a l+2ac Iogno63“2+T7F+^	s
Пример 7. Сравнить числа logi3 150 и log17 290.
Решение. Так как logi3 150 < logis 169 = logis 132 = 2, logi7 290 > logi7 289 = logi7 172 = 2, to' logi3 150 < logX7 290.
Пр и м e p 8. Сравнить числа logi/3(l/80) и logi/2 (1/(15 + + Г2)).
Решение. Так’ как logi/3 (1/80) < Iogi/3 (1/81) =4 и 15+K2 > 16, -a logi/a (1/(15-|-F 2")) > logi/2 (1/16) = 4, to logi/з (1/80) < logi/2 (1/(15 + K2)).
Пример 9. Сравнить числа log3 4 и log5 6.
Решение. Рассмотрим числа 5 log3 4 и 5 log5 6. Так как
5 log3 4 = log3 45 = log3 1024 > log3 729 = logs З8 = 6 и
5 log5 6 = log5 О5 = log5 7776 < log5 15 625 = log5 58 = 6, to 5 log3 4 < 5 log5 6 и, следовательно, log3 4 > log5 6.
Пример 10. Доказать, что log9 10 > 1g 11.
Решение. Рассмотрим дробь А = (lg 1 l)/log9 10. Ясно, что А > 0. Нужно доказать, что А < 1. Для этого достаточно доказать, что У А <1.
Используя свойство 4 и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел lg 11 и 1g 9, получаем
Ул = У(lg H)/log910/4g 1 Mg 9< < (lg 11 + lg 9)/2 = (lg 99)/2 < 41g 100)/2 = 1.
Таким образом, У A < l, и, следовательно, log910 > lg 11.
Аналогично можно доказать, что если а > 1, то log« (а-ь 1) > loga+1 (а+2).	(2)
Используя неравенство (2), можно доказать справедливость неравенства logX7 19 > logX920, которое следует из цепочки неравенств
logi, 19 > logi, 18 > logis 19 > logis 20.
Пример 11. Сравнить числа log, 10 и logit 13.
Решение. Рассмотрим’ разность этих чисел:
А = log7 10 — logu 13 = log7 10— log7 13/log7 11 =
= (log7 10*log711 — log7 13)/log7 IL
§ 4. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА
83
Так как
log? 10 = log, (7 • y) = l+log?y,
log? 11 =log? (7 • у ) = 1+log?у,
log? 13 = log? ( 7 . у ) = 1 + log? у,
TO
A = i^Ti ((1 +10& 7) (1 + log, у)-(i + log, у)) =
1	(,	10.11-7 , ,	10 , in
~iogTTT Vog’ 7.7.13 + og’ 7 *log’ 7 J-
1 (1 no, , 10 , in
= tog7H VOg’ 9T+10g’ 7--'Og7 7 )‘
Все логарифмы в последнем выражении положительны (свойство 6); поэтому 4 > 0/
Следовательно, log7 10 > logu 13.
Пример 12. Найти все числа а, для которых:
а) 2 1g (a-f-3) = 1; б) 1g(а+3) < 1g2.
Решение, а) Данное соотношение можно записать в виде
1g (а+3) =1/2,
откуда по определению логарифма получаем а+3 = /Т0,
т. е. а=У 10—3.
б) Все возможные значения а, удовлетворяющие данному условию, должны удовлетворять, с одной стороны (по определению логарифма), условию а+3 > 0, а с другой стороны (по свойству монотонности), условию а+3 < 2.
Таким образом, для- определения числа а получаем систему ( а+3 > 0, ( а+ 3 < 2,
откуда —3 < а < —1.
Пример 13. Найти число разрядов числа 2100.
Решение. По математическим таблицам логарифмов находим: 0,3 < 1g 2 < 0,302. Из свойств монотонности степени вытекает
ЮО,3 < l()Ig 2 < |00,302,
или
(Ю0»3)100 < 2 Юо < (Юо^оз^юо, Ю3° < 21Qo < Ю3о. 100,2.	(3)
Так как 103° ймеет 31 разряд й целая часть числа у/" 10-103° также имеет 31 разряд, то из последнего неравенства (3) заключаем, что число 2хоо имеет 31 разряд.
84
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ЗАДАНИЕ 1
1.	Найти логарифмы чисел по основанию .2:
1, 2, 4, 8, 1/2, 1/32, 1/16, V2, j/в, 2 /2, 1/|/г, l/y/8,
2.	Найти логарифмы чисел по основанию 1/3:
1, 1/3, 1/9, 3, 9, 81, Уз, 1/[/з, 9]/Т, 1/(Эт/з).
3.	Найти все числа а, при которых справедливо равенство: 1) log2a = 2;	4) lga(a+3) = 1;
2)	loga 2=1, Б) log1/8(a?-l)=-l;
3)	loga 1 = 0;	6) log2(a*-5) = 2.
4.	Установить, является ли положительным число:
1)	log23;	7)	log1/3 (1/3);_,
2)	log8 (1/2);	8)	logF_ КТ7Г;
3)	logj.iw;	9)	lg(l,03)3—1;
4)lgli;	10)	log9 (2,7)-M;
5) lg0,7;	11) logj/_(/45+l)°;
6)log1/76;	12) log1/2(l//5)-2.
ЗАДАНИЕ 2
L Найти логарифмы чисел по основанию 3:
1,	3, 9, 81, 1/3, Уз, 1/(3/3), 27 Уз, У,
2. Найти логарифмы чисел по основанию 1/2:
1, 1/2, 1/8, 16, У2, 1/У2, 2/2, 1/(4 У),
3. Найти все числа а, при которых справедливо равенство:
1) log3a = 2;	2) log1/sa = 4;
3) log1/sa = 0;	4) loga 1 = 0;
5) loga (a+2) = 2;	6) Iog3 (a3 4-1) =-l.
4. Установить, является ли отрицательным число: l)logv,_K3;	7)	log„(/49-6);
2)log1/7p^;	8)	In (3-1/2);
3) logs 1,2;	9)	npU;
4)1°^-4;	10)	log1/47;
5) 4+vr^S“: ' H)	logo,!tg^;
Wioo/~ 25;	12)	logfg^g^.
§ 4» ЛОГАРИФМ ЧИСЛА
85
ЗАДАНИЕ 3
1.	Упростить:
1)	2log23;	6)	(I/2)’0®2°!
2)	51og8(i/io).	7)	(i/9)iog8’;
3)	231og2'3;	8)	(1/4)“6 loga3;
4)3^1Og35;	9)2-iogl/<
5) 2“10g2 3;
2.	Выразить lg А через логарифмы простых чисел:
)	4) 'У 5 . {/24 '
3, 3. Вычислить: 1) Iog13 3+logi2 4, 2 2) log2 3-f-log2-gj-,	5) .4-	(5-21/8)"	• 2l/2,3i/3 ,7-2/5 ’ ; C1 К12 log3 15— log35, lg 15 — lg 1,5; 2 log72 —Iog7y,
log1/2 (1/8), log, (Г2/4), log, (1/3);
Igl6-lg4 Ig2-j-lg3 lg9 log4 27	л.
lg64	’ lg3,6+1 ’ lg3’ log43 ’ g2 4 ’
4)	(1/2)1 + 2 log2 3, 810g*3-10g<6, 32 Iog’ 2 + Iogs 5, log2log24. '
4.	Перейти к основанию 3 и упростить полученное выражение:
1)	bg3 v?27;	4) l/log23 + l/log49-l/log83;
3/з
2)	’>	5) 1о8з 2 • log2 3-logs 3;
3)	logl/8 (27 КЗ);	6) log27 8/log, 2.
- ЗАДАНИЕ 4
1. Упростить:
1) 3Iog’2;
2) 4log‘
3) (l/2)'Ogl/25;
32 log,4.
5) 3-log, 2.
6)	(l/3)IogsB;
7)	(l/4)10g« 6;
8)	(l/9)-210gs 7;
9j 8i/(-i°g,2)t
86	гл. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2.	Выразить 1g А через логарифмы простых чисел:
1)	A=33-Vr4/(i/5>7);	4) А = 3?• ^/з1/4.5^8;
2)	Л =/7/2/(3/5);	5) Л«=]//2.1/Гз1уГ4;
3)	А = 7?. f/128/р/2178;	6) Л=]/ КУЗ/УТТ3,
3.	Вычислить:
1)	log62+log,3, logs 2 + logs (3/2), logs 18—log3 2, iog4 (1/8);
2)	loga 5+log2 (2/5), log69-|-log6 (1/9), logj/_tg(rt/6), log3(/3/9);
3\ lg4 21g 6 log6 16-log5 4 Ioo
' lg32’ Igl24-lg3’ logs 128	’	\ 16 J ’
4)	(K3")”log82, 101+lg2, 6loge3 + Ioge4, 41о^23~1о&46;
2 log2 6 + ~- log4 6	Q /---
5)	2	, log3log3 у 27, log4 log2 log3 8L
4.	Перейти к основанию 2 и упростить полученное выражение:
1)	logs 2/2;	4) Iog[Z—8;
2)log4V^4;	4 5)logi/2^2;
3) !о§1/4 (1/32);	6) l/logs 2+2/logj 4—3/logaj 8-
ЗАДАНИЕ 5
1.	Известно, что lg2 = a, lg3= b, 1g 5 = с. Выразить через a, b и с логарифмы по основанию 10 следующих чисел:
- 1)	12;	4) 36/25;	7)	•	/15.
2)	30;	5) 250;
3)	6/5;	6) 20;
2.	Сравнить числа:
1)	log2 3	и	loga 5;	5)	logs 5 и	log4	У 65;
2)	loga 3	и	logs 2;	6)	1g	(9/13)	и 1g	(11/15);
3)	log1/25 и log1/2 6;	7) lg42— 1g 3,5 и 31g 2;
4) loga 5 и logs 7;	8) lg )/120 и lg5.
3. Доказать неравенство:
1) loga3 + logs2 > 2; (
2) logs 19-log1/73-log4 (1/7) > 2.
4. Найти все значения x, при которых справедливо равенство:
1) logax?=l;
2) logs х= logs (2—х);
3) log4 = log4 х;
4) logi/a (2х-|-1) =log1/2 (x+1);/
5) log4x-J-logaX=2;
§ 4. ЛОГАРИФМ. ЧИСЛА
87
6)	lgx = 2 lg2—-1 lg 4-f-1g КЗ ;	-
7)	log1/3(x?+8) = -2;
8)	log2 *=-г l°ga 48—2+	loga 3.
5. Найти все значения x, при которых справедливо неравен-
1) logaX > 1;	6) log1/3 (х—1) > 1;
2)log8x<0;	7) log1/4 х® > 1;
3)	log1/2 (x+1) > 1;	8) 1g (7+2x) > 1g 2;
4)	log1/2(/7-l)>0;	9) log1/2(x?+l)<4,
5)	log2 < 1;
ЗАДАНИЕ 6
1. Известно, что lg2 = a, 1g 3 = &, lg5 = e. Выразить через a, b и с логарифмы по основанию 10 следующих чисел:,
1) 1/30;	4) 25/216;	7) Уб ;
2) 24;	5) 720;	8) 1/300.
3) 5/6;	6) 40; 2. Сравнить числа: 1) log27 и log28;		5) logs4 и loga 5;
2) l°gi/3	4 и log1/3 5;	6) log23 и log6 8;
3) log1/7	(4/5) и log1/7	(5/6);	7) Ig^io и lgj<5;
4) log45	и loge 5;	8) lgyi50 и 1g К12.
3. Доказать неравенство:
0 logs 3 4~ logs 5 > 2;
2) logs 15‘log1/e 2»log3 (1/6) > 2.
4. Найти все значения х, при которых справедливо равенство:
1) logax2 = 2;	3) lo^1/2 х= log1/2 (3—х);
2) log1/4x?=l;	4) loga (х+1) = loga (2х—3);
5) log1/33x+log1/2x=3; •	.
6) log4x + log4(x+2) = log43x;
7) Igx=31g2+ylg4-lg8;
8) log, (x+1)5 = 1-log, 3.
5. Найти все значения x, при которых справедливо неравенство:
1) log6 х < 1;	5) log2 х? < 2;
2) iogi/ьх > и 3 4 5 6) i°gi/3х* > °;
3)log3x>l; 7) 1 < log3 х? < 2, . 4)log1/3x<l;
88	гл. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Упражнения
1. Найти логарифмы чисел по основанию 5:
1, 5, 25, 625, 1/5, 1/25, 1//5, У/Т, 51/2, 51/3, V 5 Уб.
2. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число:
1)	log23;	6)	log3 K2l;
2)	log3 5;	7)	lg 0,003;
3)	logs 11;	8)	In 6;
4)	logs (I/Ю);	9)	log6(l/23).
5)	lg 248;
3.	Установить, является ли положительным число:
1)	logr-K2, log1/72, log1/3 (1/5), logs 4, log72,ll;
2)	lg(0,02)2, lg У ЬООЗ, lg (2 /675), log, (2/3)-2/3;
3)	logs «7'--2), log4(K2+l//’2-l), logs (2 ^з/з), lglg9;	_
4)	log1/3 (/73-8), Igjgll, logs (з/Ую), log, (1/2)“1/2;
 5) lg (1/7OOO—2 j/io), lg(3-2 Уз), lgsihl60°,
4.	Упростить:
I)_,10-O.6 1g2,25, 102-lg2,8( (Уй))1827, 21о823°-1;
2)	5i0g„ 2+ log, 8> (j/jo/io)^9-2, (0,01)Ig °’2-1/2;
3)	24log23-1, (l/3/og82-s, (l/5)Iog2s4 + 2+3;
4)	У(1/243)3-1°8413/(3 Iog*27>;
5)	1 ........................ >/—	31Ogl/271? + 21/10g’4;
К (l/125)2~Iog317/(2log3l/25)
6)	(yT/8T)1/<6l°g’ 3) + 1°g8	28e;
7)	(]61/2-<1/4> 10g< »_|-25,og‘2»e). 1610gt2;
8)	log.,_/2 (64/27), log0,e'(/T5/5), 1оез(У81.Уз/У27)!
9)	log?/- (1/4), 1о8з1/£-8’ —Jog6 logs j/" Уэ;
- lg64 31g2 + lg3 lg!2-lg3.
'Ig48-lg3’	lg576 ’ lg8
21g2+.lg3 21g6-lg3 Ig2+lg3.
. Ig48—lg4’ lg 144	’ lg3,6+l ’
12)	log _3 • logs36, log,,-8-log481;
13)	logs/175.logss У2, (1/2) log1/-sin(n/5)-logi/g—— 5.
7) lg(7/5)+y lg(2/25)-lj 8) 31g6-2-llg5,
logs 24 log2192.
’ lojss 2 logis 2 ’ g. 14-2 l<^s 2 |j. 2 2
5} 71 +logs2)5 + 10ge2i
' § 4. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА	89
5.	Установить, является ли положительным число:
1)	lg2 + lg3 + lg0,16;
2)	ylogn 5+-i-logn-3—logu4,5;
3)	log3 3 + logs 1,4—2" logs 16;
4)	IoSi/6 log1/6 1,2 —3 log1/6 2;
5)	lg4 + lg 12-2 lg 7;
6)	1 +2 lg2 —3Ig5 + lg3;
6.	Вычислить:
n logs12	logs 4 t
logss 3	logios 3 ’
2	) lg 5-lg20+(lg2)2;
3	logs 250 logs 1° .
’ logso 5 logisso 5 ’
7.	Сравнить числа:
1)	lg j/10 и lg 2; 2) lg (4/19) и lg (13/21);
3) lg 1,05 и_ lg (1,05)-?;	4) 1-2 Ig2-f-lg3 и 2 lg llj
5) lg(2 /”5) и lg4,5;	6) lg (31/53) и lg0,6;
7) lg(]/ 3/2) и lg(l<3/2)3;	8) 5 lg,5 и 7 lg 2;
9)	l/2 + lg3 и lgl9—lg2;
10)	log1/2 (1/3) и log1/8 (1/2);
11)	log1/B (1/7) и log1/7 (1/5);
12)	(1/5) logs (1/7) и (1/7) log, (1/5);
13)	lg5)<2 и lg7; 14) Ig0,7 H.log0,3;
15)	log1/71 (2/43) и log1/71 (3/44);
16)	log426 и log6 17;	17) log2 5 и log3 16;
18)	(log25)2 и log2 20;	19) log2 3 и log37;
20) log3 7 и log7 27;	21) log2 5 и log516;
22) logi836 и log2472;	23) logjt2 + log2 я и 2;
24) logs10 + 41g3 и 4;	25) 3log‘.2 и 2Iog2’3;
26) 10log»3 и 7log‘2;	27) 2V,og23 и 3Vlog»2;
28) 4/lg(l/2) и 7/lg(l/2).
8.	Найти все x, для которых справедливо равенство;
1)	3 = 2*;	5) 2*+М0* = 7;
2)	2*-3~* = 4;	6) 7*-5*+2 = 32*~1;
3)	2*+2 = 5;	7) Кз*.]/'5*= 15;
4)	3-101-* = 2; 8) 5,g*—3lg*-1 =3lg*+1—б’8*"1.1
90	ГЛ. 1- ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
9.
1)
2)
3)
4)
5)
Вычислить:
Igtg l°-lg tg 2°.. . -1g tg 89°;
1g sin 1°. 1g sin 2°-.,. • 1g sin90°;
Igtel°+lgtg2°+.i.+lgtg890;
7log8 S _|_31og« 7 _ 51og, 7 _ 7log5 8.
6l0gl/^ ®+logl/_ (9/K 5+У 2) + log1/s (1/7 +2 /Тб);
5log1/6 (1/2)+ 1Qg^_ (4/|/-7 + y 3) + iogi/2 (1/10+ 2 /21);
4б 1о&4	(3-lZ7)-6 logs (Vs-lG)
21Og2	1оё1/4
6)
7)
log4 20, log4s 32, log35 28, logics 56, log36 28, logB1 168,
если lg2 = a;
если log214 = a;
если logt4 7 = a, если logj4 7 = o, если ,log147 = a, если log712 = a, 16g1224=&; если log6 30 = a, log16 24 = b.
logi4 5= b; log6 14 = &;
logu 140= b
8)
10.	Сравнить числа:
0 7 l°gi978 1970 +1 и 8 log1978 1971;
2)	3 logi759 1751 + 1 и 4 log1759 1753;
3)	3 log16 1862 + logi6 1865 и log2 1863;
4)	10gu47l 154+7 log1M7lft6 и 8.
11.	Найти:
1)	[lg26J;	2) [1g 0,047],
12.	Найти все значения x, для которых справедливо равенство:
1)	[lgx] = l; 2) [lgx]=—2.
13.	Доказать неравенство:
1)	logiss 1323 > loge3 147;	2) logi3B675 < log4575;
3)	logiss 675 > log1660 > Iog60 4 80;
4)	logao 80 > log8o 640. -
14.	Выразить чефез а и bt
1)	' "
2)
3)
4)
5)
6)
7)	log1260,
15.	Решить уравнение:
1)	log2|x+l| = -l;
2)	log2x=log2(6—x2);
3)	logx2 = 3;
16.	Решить неравенство:
1)	log2(x+3) < 2;
2)	log2 (x2—ox-j-5) > 0;
3)	logx3 >5;
17.	Решить систему уравнений:
f log2xy=3,	( x2—5x+6 = 0;
’ 1 l°gi/a (x/$ = 11	' 1 loga (*+«/)=.loga 5;
f xz/ = 40,
3)	<
I IgX’lgz/ —lg4.
18.	Найти число разрядов числа:
1)	387j	2) 6^5;	3) 5?00.
4)	log2x=—log4x;
5)	log8 x4-logx 3 = 2;
6)	loga log4 logs x = 0.
4)	log4x+log8x < 0;
5)	log2 *+ log4 x + log8 x < 2f
6)	1/log2 x + 1/log2 x2 > 1.
§ б. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
91
§ 5. Абсолютная величина числа
Абсолютной величиной, или модулем, числа а (обозначается |а|) называется само число а, если а > 0, число (-—а), если а<0, и нуль, если а = 0. Другими словами,
| а | = а, если а 0;
| а | = — а, если а 0.
Из определения следует, что | а |	0 и | а | а для всех
agR.
Пример 1.
|-2| = 2, 15,11=5,1, |0| = 0, | log1/3t2|=-log1/3t2,
| cos 21 = — cos 2, | tg 1,011 = tg 1,01,
| V"2— К 31 =— (VI.— KI) = V 3-
Свойства абсолютной величины числа:
1. ab I = | а |
2. 4l = |-r
, если b # 0.
П р и м е р 2.
|—а 1 = | —1-а | = | —11• | а | = | а |;
| а—-Ь | = | — (Ь—-а) | = | Ь — а |;
\a^-b\ = \a + ^b)\^\a\ + \^b\ = \a\ + \b\.
Пример 3. Доказать, что при [а|<1, | Ь—1 | < 10, |а—с| < 10 справедливо неравенство ]ab—с| < 20.
Решение. Имеем
jab—cl = lab — а А-а — с[ = | (ab —а) + (а—с)
<|а&—а | + | а — с | = | а |-| fr—1|+| а — с | < 1-10 + 10 = 20.
Пример 4. Доказать, что для любого числа а (а # 2т, ngZ) справедливо неравенство
I sin а + sin 2а + sin За + ... +sin па |	1/| sin (а/2) |.
Решение. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком модуля в левой части данного неравенства, на 2 sin (а/2) и воспользуемся формулами
2 sin ka> sin (а/2) = (cos (ka — а/2) — cos (ka'-\-u/2)), k=\, 2, 3, n\
тогда получим
sina + sin 2a+ ... +sinna =
= 2 (sin a + sin 2a + ... + sin na) sin (a/2)/(2 sin (a/2)) =
= 2 (sin a - sin (a/2)) + 2 (sin 2a- sin (a/2)) + ...
... + 2 (sin na-sin (a/2))/(2 sin (a/2)) =
= 2sin7a72)(COS (-a~a/Z)~C0S (a + a/2) + cos (2a—a/2) —
— cos (2a 4- a/2) +... + cos (na—a/2) — cos (na+a/2)) =
= 2itoW(COS (a/2)“ cos ((2n+1) a/2))-
92	гл. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Следовательно,
1 sin a-J-sin 2а +. *. +sin па [ =
“ | 2sin(a/2) (cos (а/2) “ COS ((2n + ° “/2)) | *=
1	11	° I । I ( 2«-H	\l\_~
2|sin(a/2)| \ I008 2 I 4C0S\ 2 ’“Лр
2 1 .
2 | sin (a/2) |	| sin (a/2) |
Из определения арифметического корня из неотрицательного числа имеем:
6. К^--=| А I,
Примерб. _	___
V 9= у32 = 13 I = 3, к 9=<(=3)Т= I -31=-(-3) = 3 ' Кз-гК'г =К(1-/”2)2=11—/”2|=—(1 —/”2) = /”2-1.
Пример 6. Доказать, что для любого действительного числа а справедливо неравенство
> 0.
Решение. Поскольку а2 + 1 > а2, то К а2 +1 > У а2 — |а|. Следовательно,	—а > У а2— а=|а|— а^О, так как
| а | а для любого а R.
Пример 7. Вычислить
А= 2ь	При х=у(]/'а/& +KW»
X—V X2 — 1	z
где а > 0 и b > 0.
Решение. Имеем
Таким образом, '
л =____________261 а— &|/(2 1<а&)____
1 (KS/& + К^)-| a-b |/(2 /56))
___________2Z? |	61___________ 2Ь |	|
~ Yab{V"aib + Vbia) — \a—b\ ——|а—N '
Если	то |а—Ь\ — а—Ь\ поэтому
2b(a^-b)	__2Ь(а-Ь)
+	2Ь
§ 5. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
93
Если а — то |а —6|==—(а — Ь)} поэтрму
—2Ь(а—Ь)	. b(b—a)
~ (а + Ь) + (а —- Ь)	а
Итак,
~а—Ь	при а^Ь,
— (Ь — а) при а < Ь.
Расстояние между точкой A (хг) с координатой х± и точкой В (х2) с координатой х2 на числовой оси (при любом их расположении) обозначается | АВ | (рис. 1.5) и вычисляется по формуле
|ЛВ|==|Х1—х2|.
Множество точек М (х) числовой прямой, для которых | х |== = d (d > 0), состоит из двух точек: x± — d и х2 =—d. В самом
I* И	|<—- »|< d >|
-4^)	Sfcp х	3 sc^d
Рис. 1.5	Рис. 1.6
деле, | х | = | х—-0| является расстоянием между точкой М (х) и началом координат—точкой О (рис. 1.6). Таких точек на числовой прямой только две: x± — d и х2 = —d.
Отсюда, в частности, следует, что "уравнение |х|— d (d > 0) имеет два решения: xt = d и х2 = —d.
При d = 0 уравнение |x| = d имеет единственное решение х = 0, а при d < 0 не имеет рёшений (это следует из определения абсолютной величины числа).
Множество решений неравенства | х| < d (d > 0) можно интерпретировать как множество точек М (х) числовой прямой, отстоя-. щих от начала координат меньше, чем на d, т. е. лежащих между точкой М (— d) и точкой М (d). Итак, множество решений нера--венства |х| < d (d > 0) есть промежуток — d < х < dt а множество решений неравенства | х ] > d (d > 0) является объединением двух промежутков — оо < х < — d и d < х < + оо.
При решении уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины, в простейших случаях можно пользоваться геометрической интерпретацией абсолютной величины числа, а в более сложных — определением абсолютной величины. При этом числовую ось удобно разбивать на некоторое число промежутков, на которых известен знак выражения, стоящего под знаком абсолютной величины.
Пример 8. Решить уравнение | х—4 [ = 3.
Решение. Поскольку | х—4 | является расстоянием между неизвестной точкой М (х) и точкой М (4), то для решения данного уравнения нужно найти все точки М (х), которые удалены на расстояние\ равное 3 от точки М (4). Таких .точек две: М (7) и М (1), т. е. решением уравнения являются хг —7 и х2=1.
Пример 9. Решить уравнение | х—2 | = Ь.
Решение. Поскольку |х—2 |	0, то при tb < 0 данное
уравнение решений не имеет. Если 6 = 0, то данное уравнение
94	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
имеет решение х==2, так как |Л| —0, тогда и только, тогда, когда А = 0. Если b > 0, то решениями данного уравнения являются числа х = 2-\-Ь и х = 2— b (см. пример 8).
Итак, если Ь = 0, то х = 2; если b > 0, тох = 24-^их = 2— Ь; если b < 0, то данное уравнение решений не имеет.
Пример 10. Решить неравенство |х+2| < 3.
Решение. Поскольку ] х 4- 2 | — расстояние между точками М (х) и М (—2) на числовой прямой, то нужно найти все такие точки М (х), которые удалены от точки М (—2) на расстояние, меньшее чем 3. Очевидно, что такими точками будут те и только те точки М (х), .координата х которых удовлетворяет неравенству —5 < х < 1.
Пример 11. Решить неравенство |х—31 > а.
Решение. При а < 0 исходное неравенство ' верно для любого действительного х, так как |х—3|^0.
При а —0 исходное неравенство верно для всех х ф 3, что следует из определения абсолютной величины числа.
При а > 0 решением исходного неравенства будут все точки М (х) числовой прямой, которые удалены от точки М (3) на расстояние, большее а, т. е. х < 3—а и х > 34~а.
Пример 12. Решить неравенство | —2x4-3 [ < 5.
Решение. Поскольку | —2x4-31 = | —2 (х—3/2) | = | —2 |х Х| 3/2 | = 2 [ х —3/2 |, то данное неравенство можно переписать в виде |х—-3/2 | < 5/2, откуда /	д	аналогично решению примера
—10 находим —1 < х < 4.
Я Пример 13. Решить уравнение 2 | х—2|—3|х4-,4| = 1. Решение. Для освобождения от знаков абсолютной вели
чины разобьем числовую ось на три области: первую, в которой — оо < х < —4; вторую, в которой —4<;х<;2; третью, в которой 2<х <4-00 (рис. 1.7).
В первой области [х—2|=—(х—2), 4*4-4 | =—(х4-4), и поэтому данное уравнение принимает вид —2 (х—2) 4-3 (х 4-4) — 1, т. е. х 4-16=1. Решением этого уравнения, а значит, и исходного на множестве (— оо, —4) будет число х =—15.
Во второй области |х—-2|=^—(х—2), |х4-4| = х4-4, и поэтому данное уравнение принимает вид —2 (х—-2) —3 (х4-4) = 1, т. е. —5х—8= 1. Решением этого уравнения будет число х — —9/5. Поскольку это число принадлежит рассматриваемой области, то оно является решением и исходного уравнения.
В третьей области | х—2 | = х—2, |х4-4|=х4-4, и поэтому данное уравнение принимает вид
2 (х—2) — 3(х4-4) = 1.
Решение этого уравнения есть число х ——17. Это число не попадает в рассматриваемую область и, следовательно, не является решением исходного уравнения.
Итак, решением данного уравнения являются х — —15 и х =—9/5.
Для любых двух чисел а и b по свойству 3 имеем
2
Рис. 1.7 4
§ 5. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА	95
Другими словами, для любых двух чисел а и b расстояние от точки М («+/>) до начала координат—точки О—не превосходит суммы двух расстояний: от точки А\(«) до точки О и от точки W2(b) Д° точки О. Ясно, что эта сумма (т. е. | ONf | +1 ON2 |) равна расстоянию | ОМ | тогда и только тогда, когда точки Ni и N2 лежат по одну сторону от начала координат. Таким образом, получаем еще одно свойство абсолютной величины:
7. а) Равенство
|a+^l = |a| + R|
имеет место тогда и только тогда, когда ab^O;
б) неравенство
]a+b\<\a\ + \b\
справедливо тогда и только тогда, когда ab < 0.
Пример 14. Решить уравнение
| х3—1 |-Ь| 2—х3 [ == 1*
Решение. Поскольку 1 =2 — х3+х3-- 1, то исходное уравнение можно переписать в виде
| х3 — 1 | +1 2 — х31 = | (х3 — 1) + (2—х3) |.
Все числа х, являющиеся его решениями (и только они) по свойству 7а), удовлетворяют неравенству
(х3—1) (2 — х3+0.
После решения этого неравенства, считая неизвестным х3, полу-з z—
чаем: 1 sCx3«c2. Отсюда следует, что 1 ^х^ у 2.
Отметим, что одновременно с-решением уравнения примера 14 получено решение неравенства
|х3-1 | + |2-х3| > L .
Действительно, по свойству 76) множество^ решений этого неравенства совпадает с множеством решений неравенства
(х3—1) (2 —х3) < 0.
з z—
Следовательно, х < 1 и х > у 2 является решением исходного неравенства,
Заменив в неравенстве
1«|-1Ч<1« + &1
число b на — получим
|а-6|2а|а|-|Н или
|а—6| + |/>|^|а|.
Поскольку (а—Ь)-\-Ь = а> то из предыдущего неравенства и свойства 7 следует еще одно свойство абсолютной величины:
8. а) Равенство
| a—Z?| = | а | — |
имеет место тогда и только тогда, когда (a—b)b^$i
96
ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
б) неравенство
\а—Ь\>\a\-\b\
имеет место тогда и только тогда, когда (а— b) b < 0.
Пример 15. Решить неравенство
|х3 — х| < | 2—-х | ~Ы х2 —2 |.
Решение. Поскольку (х2—х)— (2—х)—х2— 2, то данное неравенство можно записать в виде | х2—2] > | х2—х)—12—х|. На основании свойства 86) заключаем, что множество решений исходного неравенства совпадает с множеством решений неравенства
(2 — х) (х2 — 2) < 0,
(х—2) (х—2)(хН-/ 2)>0.
Решением последнего неравенства будут все х такие, что — У 2 <
<х<У2их>2.	_	__
Итак, решением исходного неравенства будет — У 2 < х <У 2 и х > 2.
ЗАДАНИЕ f
1.	Найти абсолютную величину числа:
1)	4;	5)	cos4;
2)	—5;	ф	sin 102°;
3)	log2 3;	7)	arctg logi/2 5;
4)	j/”7-3;	8}	У1+У1--Л.
2,	Найти все а, для которых справедливо равенство:
1)	| a| = 2;	5) а— | — а| = 0;
2)	| а| = —3;	6) |a|a =—1;
3)	|a| = a; 7>|a'|/a=l,
4)	| a|—— a;
3.	Найти все a, для которых справедливо неравенство:
1)	|a|^l;	4) |a|<0;
2)	| а | <2;	5) | a—21 > 1;
3)	| a | ^3;	6) 1 < | a| < 2.
4.	Упростить выражение:
1)	Ко5; .	5) VTfl/a-,
2)	Ко1;	6) v(a—1)2 —Ко2;
3)	V(2 —a)2;	7) Va24-6a+9 + /a2 —6a4-9.	>
4)	Va4’(l —«)2;
5.	Решить уравнение:
1)	|x+2 | = 3;.	4) 11 x|+2|=2;
2)	|x|—x = 2;	5) ||x|+2| = l.
3)	[|x|—2|=2.
§ 5. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
ЗАДАНИЕ 2
1.	Найти абсолютную величину числа:
1)	—3;	5)	cos 400°;
2)	log2 5—3;	6)	1—2Mf
3)	/+6-3;	7)	у 2—1,41;
4)	sin 7;	8)	л—3,15.
2.	Найти все Ь, для которых справедливо равенство:
1)|&| = л; _	4) |6| + р-1| = &;
2)|6| = — К 2;	5) | & (Z>—1) | = &.	/
3)	|*| + |6-1|=0;
3.	Найти все Ь, для которых справедливо неравенство: 1)|&-1|<3;	3)| 6?-1|<1;
2)	| &|Ss — 2;	4) 2 < |
4.	Упростить выражение:
1)	У~~Чс — /"?-] с |;	К^+2с+1
2)	Vс?+2с+1-Кй—2с+1;	' И~ 1	*
5.	Решить уравнение:
1)|х—1|=2;	4)||х|—х| = 1?
2)|х|+х = 2;	5) ||х| + 1| = 1;.
3)	||х|-3| = 3;	6) | |х|+х| = 1.
ЗАДАНИЕ 3
1.	Отметить на числовой прямой точки А(—1), В (У~2), С (2/3), D (К 2— 1) и найти | АВ |, | ВС |, | AD |, | BD |.
2.	На числовой прямой отметить множество точек, расстояние
ч от которых до точки М (1) числовой прямой:
1)	равно 2;	4) не больше 3;
2)	меньше 2;	5) не меньше L
3)	больше 2;
3.	Упростить выражение:
1)	К(a —ij2—^(а + 1)?;
л а—2
2)	г
К а2—4а +4
3)	&/R( + l.,
4.	Найти все значения х, удовлетворяющие условию:
.	1) |	| = | х—2 |;	3) ] х| —| х+11== 1;
2) |х| > х + 2;	4) [ х—11 + | х + 11 = 29
ЗАДАНИЕ 4
1.	Отметить на числовой прямой точки А (—3), В (3/2), С (У 3)> D(l—КЗ) и найти \АВ\, | ВС |, | AD |, \DC\.
2.	На числовой прямой отметить множество точек, расстояние от которых до точки. М (2) числовой прямой:
4 Задачи по математике. Алгебра
98	ГЛ. 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1)	равно 1;	4) не меньше 2;
2)	меньше 1/2;	5) не больше 2.
3)	больше 5;
3.	Упростить выражение:
1)	з) *=*+!+*.
9ч I а I + « . 
1«|-а ’
4.	Найти все значения х, удовлетворяющие условию:
1)	4) |х| + |х+2| = 3;
2)	/1?<4;	5) |х-1 Н-|х+3| > 2.
3)	K(TW<3;
У пражнения
1.
1)
2)
3)
Найти абсолютную
V 49—logs 16; . Зл л п sin-j^-—0,9; 40/”2—57;
величину числа:
6)
7)
8)
V 27+ /6-/48+1;
231 _ 321;
4)		
5)	’/'3—2-/+ Упростить: f/o®, j/* а{
9)
Ю)
In 5—5/е;
(1 + 1/10)1®—в.
2.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Vsin? а—sin а;
8)
9)
(а+рг“х)1/2 + (а—при х=4 (а—1), а > 2;
(а-|~р<’х)“1/2 — (а—	при х=4(а—1), а > 2;
2&КТ + Х2
—7==------ При X —
1 — ах ч/~Т
1 4-ах
Ю)
при X
----; ) При X
т Ф п,
тп > 0;
... 26/хГПГ
11) --у..... при х =
§ 5. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
99
12)
У* а 4-х— У а—х	2а
Уа-^х+Уа— х	&4-1/&
а > О,
b > 01
//1 _ %2 \ 2
1—	( Г+^.J при х==а+1/а*
3.	Сократить дробь:	___
1Ч а\а—3| .	оч Ух—4.'Кх—4
' а?—5а+6 ’	>	х?—16	*
2)	а 	а~1 •
’ у& 1«-1| ’
4.	Найти1 все а,, удовлетворяющие условию:
1)	|а*| = |а |?-,	5)[а—1|>2;
2)	|а[=Г/й;	6)11 — 2а[<3;
3)	|a+2| = |a-lh 7) | а—1/а| = | а—11;
4)	айг|а|;	8)|а?—а|<а.
5.	Доказать, что-равенство
| ai4La!ij4- ... + en I = | ai I“Н a21+ • •  “Н en I
И^еет место’ тогда и только тогда* когда среди; чисел а& а<, »чап №* чисел разных- знаков.
6.	Решить уравнение:
1)	|х+2|.= 1; |х—3|=—1; |х+4.|=2:
2)	|Зх-5| = |х+2|; 3) |х—а| = |х-4|{
4М*8—1|=(*-!)(*+!).
ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Общие замечания
Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения арифметического корня.
. Примеры алгебраических выражений:
а , , ad + be . .	jAа2р — с2 + abc
777 + cd;  ' t  + lm\	---------«
2^	& + !• a ь у mn
Буквенным набором алгебраического выражения называется множество всех различных букв, входящих в это выражение, взятых в определенном порядке. „	'	Vab—c Л	*
‘ Для алгебраического выражения	буквенным набором
является, например, набор (a, b, с, d, k) или набор (d, k, b, с, a).
Если в зафиксированном буквенном наборе вместо букв взять числа, то получится числовой набор, соответствующий буквенному набору.
Например, то, что числовой набор (0, 1, 3, 5) соответствует буквенному набору (a, b, с, d^, означает, что а = 0, Ь—\, с = 3, d = 5.
Числовой набор называется допустимым, если при замене букв в алгебраическом выражении числовыми значениями из этого числового набора полученное выражение имеет смысл, тт	к	а2 + К bc—d
Например, для алгебраического выражения —-----------и его
буквенного набора (я, b, с, d) числовой набор ^(1, 1, 1,2) является 1Ч/П-2 допустимым, так как числовое выражение ------ ।--------- имеет
смысл; числовой набор (1, —1, 1, 2) не является допустимым, так 1?+К1-(—1)—2	- ,
как числовое выражение-----—------------ не имеет смысла (на
нуль делить нельзя).
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называется множество всех допустимых числовых наборов, соответствующйх буквенному набору этого выражения, и	z?	а-\-Ь-\—.с
Например, для алгебраического выражения —......область
допустимых значений состоит из.всех числовых наборов, соответствующих его буквенному набору (a, b, с), для которых а Ф Ь.
1 — 1
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ	1(Ц
Буквенным набором алгебраических выражений Af, Л2, •«;, Ап называется фиксированный набор всех различных букв, каждая из которых содержится хотя бы в одном из этих выражений.
Например, набор (af b} с, d) является буквенным набором для алгебраических выражений
а* + 2*а+Я а+с, 3bdJ' /1 + 4.
Числовой набор называется допустимым для алгебраических выражений Af, А2, ...» Ап, если при замене букв в каждом из них соответствующими значениями из этого числового набора каж- * дое из полученных числовых выражений имеет смысл.
Например, для буквенного набора (a, b, с, d) алгебраических выражений
ab-f-d	/а—2*6	1
c—d а+1	Ь
числовой набор (3, 2, 1, 4) является допустимым, так как каждое из числовых выражений
3-2-J-4	К 3^2-2	1
1—5 ’	3+1	’	2
имеет смысл; а числовой набор (3, 0, 1, 4) не является допусти-1 мым, так как выражение при Ь — 0 не имеет смысла.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраических выражений А1} А2, ...» Ап называется множество всех допустимых Числовых наборов, соответствующих буквенному набору этих выражений.
Например, ОДЗ для алгебраических выражений —!— и а х у состоит из всех числовых наборов, соответствующих их буквенному набору (а, Ь,' х), для которых а х и ab > 0.
Два алгебраических выражения называются тождественно рае*, ными на множестве М из ОДЗ этих выражений,, если для каждого числового набора из М соответствующие числовые .значения этих выражений равны.
Например, алгебраические выражения а и — тождественно равны на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля, иди на любой части этого множества. Алгебраические выражения *	1	—2х	лл ’
——----------и —----- тождественно равны на множестве Л1 =
а+х а—х а^—хЪ	г
= {(#; х): а £ х,
задание 1	>	,
'	1. Какие из числовых наборов, соответствующих буквенному
набору (a,, b, d) алгебраического выражения (a — b)/(b+d), являются допустимыми:
1)	(1, 1,	0);	4)	(1,	0, 0);
2)	(2, 0,	3);	5)	(0,	or, j—3,14); '
.	3)	(1,2,	-2);	6)	(2,	у 2f 1,41)?	...
1'02
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2. Найти область допустимых значений алгебраического выражения:
2) УаЬ-{- bc + Vcd} 4) (а1 2—-х2) (а2 + %2);
' 5) 1 +1/(14-х2) (1	+ 7»" ’
6) 77^9-|-.|/'.9^724-.1/(х4-3).
3. Найти область допустимых значений алгебраических выражений:
1)	-4- и a— b-\-c-]-d;
2)	-^4—z+ay и	ay—
7 //3 + a3 1 *	* ay
o. a—1 .	1	1
3)	—5—r-f-x и ——----;
7 a2 — 1	a~\~ lx
4)	K*2(x—1), —. и x"1 —4т ;
7 v 7	x2 + x+l	x+1
1 X .	. 1	1
5)	ет/7’ *+H-T—и да
6)	a2 + a-2’ ^—4а+3+^ху и	Х'У~У‘
4. Являются ли тождественно равными на множестве М алгебраические выражения:
»т+т*^’ *-**•»*•»
2) ° ~24 * * и д—2, М--{и: а > 0);
3	.) У~.а2 и —М ~{а: а < 0};
4	) .^о2 и —а,	А4~{а: а — —4, —3, 0, 2}.
5	. Найти множество М, на котором тождественно равны два алгебраических выражения:
1) а3+^3.и (а + b) (а2. — аЬ~\~Ь^);
а2 Ь2	~
2) а_ь и а+Ь; 5) Г а? и а;
3) а4 и а? А- ;	6) 7х/у и Г"V х2 : Г" К71
4) (аН-1)2 и а(а-Н);	7) а?+ 1+ Vh— /~а и а2 + ,1.
ЗАДАНИЕ 2
1. Какие из наборов, соответствующих буквенному набору (а, Ь, с, d) алгебраического выражения	С, являются
допустимыми;
S 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
10%
1)	(1,	1, 1. 0);	4)	(1,	-1„ —2-, th
2)	(2,	—1, —2, 1);	5)	(0,	л, л2, —9,8596);,
3)	(0,	—5, 2, —2);	6)	(1,	1> 2. — КЗ)-
2. Найти область допустимых значений алгебраического выражения:
1) ab~\-cd\	4) —-|-у
m ( У \ х\ ХУ 	«а г‘
’ \х^ y)y-.+xV	’ 1+!/(«+%) 
3)	6) («2+1>)?£*-
3.	Найти область допустимых значений алгебраических вы-. ражений:
> Г д 1? \ и -+^-(1-?;
2)	и- _2_+(х-2)»;
3)	.	/ xVx+l и -Ь(*+1)27^-~тЬ
Л "Г* 1	V Л Л у
л. \ a	З'х уга—кУ'~х
4)---------- - И  7^--',-;—;
7	За—6 х2—4	]<5—х
а К1— х*
4.	Являются ли тождественно равными на множестве Ж алгебраические выражения:
г3 г 1
1)	и ^-x+L	М = {х:. х^2>
2)	и За—2,	М. = {а: а > 0};
3)	и 4-2»,	М = {»: х < 0};
4)	и	M=f»:
е- -b2i?+1	и с~.!	A4={is:	с>0};
с2 —1
7>	"-<«	--51'
5.	Найти множество* на* котором тождественно равны два алгебраических выражения:
1)	(а2 —9)х и (а — 3) (а-|-3) х;
х2— 1 %2	,
2)	—гч------и х—1;
7 хЧ-1 х
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
3)	хУ х—2 и У х2 (х—2);
4)	х3—х2—-—|—~ и х3—х2;
'	X ' X
1	,	1 2а
а—х ‘ д+х И я2—х2 *
6) (К^)2 + 3 и х#4-3;
7) У~х* + У(х+1)2 и — 2х—lj
3)	И |
Г 2х2—265	2/х?—6?
Упражнения
1.	Найти область допустимых значений алгебраического вы*'
©ажения:
1)	_? , + ^_2; . ' 2х2+ 2х^х2— 1 х
2)		1-----;
b/aj+a/Z? + 2
3)	—5-7 7-1-— УаЬс;
а—b b—с с — а
4)	—-I—L_|--L ;
} ab'b2' а~х ’
я\ а3~	а2—4
} За+З За?+6<Г+3 ’
9) ____*__________1____।
а—/а2—4 а + У^Д
10) Ух2. + х-\-х У1 — х2}
т—-4~2; 4—х '
1 У2---- 1 1/—
) х2 + 1 у-\-1
6)________________________5
f а2 + 4а] + 4 а4 — 4а2 + 4 ’
7) -------1--------—5----- ;
1 + 1/(1 + 1/х)/ х+1
х— У 2х —• 1 —х?
1 _Lv
У а^2Ь^У2Ь^& 2аЬ
т/ х2+^ г/~ у2-~х2
У 4Ь2	’ с?х
2. Найти область допустимых значений алгебраических выражений:^
Ц. Ух —У У~Х п х2— хух2у +ху2 .
У16—X2 Х2Н-Х1/ ху
2)	Ух2- 1 и pL- ‘ ; 4)	и ГП=4^;
1 —~ Л 1 -у- X	л О
Д'— 1 ‘ S+T
3)	у У'-j; Ч
Ч	<° + ^25-°! . ГП;
(а— У а) (а—5)
У~а— У~Ь+ УаЬ Уа — b У ь —а в }	_ ab И (л—1)(£>—2) ;
л р/ ab— У~Ь 1/-гт=
8)	—Т7=- и V а— у abt .
У а— у ab
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
10&
3. Являются ли тождественно равными на множестве М алгебраические выражения:
1)	16а4 —4а4~£ и с9 Л4 = {(а, я): а^О, я£Я};
2)	у/ 16а4 —4а4-я и я—8а, Л4 = {(а, я): а«с0, я^Я};
г2__А
3)	У^Г4ИХ+2’М^1Х:Х>2У’
4)	K^+j^+&2(a_6)2 и _а+ь> Л1={(а> Ь}. а<_Ь}.
5)	}С4а2£24~2а&—а2, и — а2, /14 = {(а, b): ab^O};
6)	а y/b^+b у/~а2 и — У"^Ъ—
М={(а, Ь): а2s О, 5<0};
7)	— b уУа2—а у/Ь2 и V — а52 + У — а2Ь,
Л4 = {(а, by. а<0, &<0}?
4.	Найти множество /14, на котором тождественно равны два алгебраических выражения:
1) V а2 (3— а)' и ар^З —а; 2) У а2 (3— а) и — а}Л3—а; ,
и а2
<> Д
5) у/(#—у)2 и У х—у сч я4 —1 '	2
6) и а ’ _ а—.1	1 , 2
' а2+ 1 а "*“2а.и а2+ 1 ’ : 10) 2а + V~(a—3)? и За—3;
11) K(l-l-«)2— V~^- и 1+2х;
l/" х2//2
13)	ху^-'-- ^'~ и ху— 1; Л'У
14)	2аЬ--7^=- —1 и 2аЬ\
: ,	Ка2Ь2 '
15)	К (а+2)2—К а2—2а+1 i 16). У (а + 2)2 +V а2—2а + 1 1 17) У(а+2)2—Уа2—2а+1 i 18) а~Ь
о\ х „ х (х 2) и
о\ 1	аЬ .
) 1 /а— 1/Ь и /? — а *
а— 1
и 1;
и 2а +1;
и 3;
	(*2—1) и х2—1;
К a2 — 2ab + b2
19) г .а-Ь. и 1-х2.
106
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ'
§ 2; Многочлены
Напомним, что для любых натуральных чисел т и п справедливы свойства степени:
атап — а^+п,
(ат)п = атп, (atym = ambm.
Пример 1.
а)	4х3-х-х4 = 4х3+1+4 —4х8;
б)	23-х4-охаб = 8а1 + б-х4+1 = 8а6хб;
в)	32ab3cbca2 = 9а1+?- Z>3+1-a1+1 = §а3Ь*с2*,
г)	4 (а2)3 = 4ав; 5 (b*)3 = 5Z>12;
д)	42 (а2)4- (&3)4- Ьа2 = 13а3-Ь12-Ьа*= 16а10- Ь13;
е)	22 (a3b3)2-(ab)? — 4a№-a3b3==4a3b9\
ж) (32ab)3- ab- (а26)4 = 33a3b3- ab-а3Ь* = 729а12^
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень*
Например, каждое из алгебраических выражений
1 5	13
8; а;—10; Ьс\ 4а; —а; —-=-ab2c2\ -=~тпр*№
7	о
является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить, в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.
Например, стандартным видом для одночленов — a*b-2a-ba о
2
и 3ab-abc-d-3c будут соответственно одночлены-у.а462 и \3a?b2c2d, О'
2
а числа -хг и 15 —их коэффициентами, о	
• Если одночлен содержит одну букву, то показатель степени этой буквы является степенью одночлена. Например., 27х10 —одночлен десятой степени, а -g~a2— одночлен второй степени.
Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.	;
Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.
Пример 2.
а)	(Зху)• (— 2х2уЬ) = 5-(—2) • х1+2ух+1-Ь~ — 10х3#2£;
б)	(—g-ab2c) (—20а4Ьх) == ( —*(—20) а1+4^2+1-с-х =
= 13аъЬ3сх;
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ
107
/ 4	\	4
в) (2аЬ) ( у a2b*\ (7abc)^2-y~
7аг + 2 + Х^+*+1.с ='^04^; О
г) 2х • (— 4ху) • (8х2у3) = 2 • (—4) 8л1 +1+2 • у1+8 = — 64лЛ/4.
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его ко- ; эффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой ' буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.
Примерз.
а)	(5а263)4 = 54.а2'4 -Ь3'* = 625<№;
/1	\ 3	/ 1 \ 3	1
б)	(~-с62аИ =(у) +-^M’3=lcW6;
в| 3(a62)2(pV)4=--3.ai‘2^2’2.p3-4^2-4 =3а2^4р12^8,
г) (2а2 63с4)# = 2Аа2Л • b3Ji • с4*.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают, или различаются только коэффициентами.
Например, одночлены 2а3*а; а4;.7а2«а2; —5а4 подобны.
Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется приведением подобных членов.
П р и м е р 4.
а)	4х — 5а+5х—-8а—Зс = (4 + 5) х + (—5 — 8). а—Зс =
=9х— 13а—Зс;
б)	х+3х + 4а—х + 8а = (1+3— 1)*+(4+8) а==3х+12а;
 в) Зах—Зах2— 4ах+7 ах2 = (5—4) ах + (—3+7) ах2^ ах+4ах2.
'Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами.
Например,
1 +3а + (8Ь—4kc—5ife + x) = 1 -^-3a-\-8b — 4kc—5&+х^
Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный. Например,
4х—(4а—3 bx + 4аЬ—х2) = 4х—4а -4- 3 bx—4аЬ+х2.
Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен; коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5% +7x^—3 и многочлена 4х—2у-\-Ъху есть многочлен х+2ху + 2у—3.
Часто на практике для нахождения суммы и разности многочленов используют указанное выше правило раскрытия скобок/
108	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
П р им е р 5,
а)	(2х4-3#)4-(—5x4-3^—-4) —2x4-3^—5x4-3^—4 —
= —Зх-|-6#—4;
б)	(9а) — (—8Ь) — (За4-66) — 9а4- 36—За—8Ь = 6а4-2Ь\
в)	(4х—5z/) — (—х—4#)4~я = 4х—5y-j-x-f-4y-j-x — 6x—у.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на одночлен и сложить полученные одночлены.
П р и м е р 6.
а)	4 (а—2Ь) = 4а— 8Ь\
б)	(—5а) (4 — b—а2) = —20а 4-ЗаЬ + 5а3;
в)	За (а2-—6-—2а2) —3а3—3а6—6а3==—Заб —За3.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные одночлены сложить.
Пример 7.
а) (х4-#) (х—а—6) = х*х4-х- (—а)4-х-(-—6)4-#.х4-
4-#.(— а)4-#.(-~ 6)=х2 —-ах—xb + yx~ ya—yb\ ‘ б) (2-\-b)(b2—4) = 2-624~2.(—4)4- £.624-£.(—4) =
= 262 — 8-|-63—46.
Свойства степеней для многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.	-
„Примерб.,
а)	(а24-1)° = 1;
б)	(а2 4- а)° = 1, если а 0, а —-1;
„ в) (ac4~d)^ = (ac+d) (ac+d) =
=^ac*ac+ac*d+d*ac-}-d*d — a2ci + 2acd + d2.
Основные формулы сокращенного умножения: (а4-6)2 = а24-2аб4~62;
(а—6)2 = а2’—2а6-|-62;
(а 4- Ь)3 = а3 4- За3Ь 4- Заб2 4- 63;
(а—6)3 = а3—-3а264~3а62—63;
(я—6) (а4-6) = а2-б2;	,	•
(а—6) (а24~аб4-62) ~а3—б3;
!	(а4-д) (а? —ад-|-д2) = а34-д3;
(а—6) (а34-а2б4-аб24"63) = а4—б4;	: , ;
(а—Ь) (ai + а3Ь 4- а2б2 4- ад34- б4) = а6—б5;
(а 4- Ь) (а*—а3б 4- а2б2 — ад3 4- б4) = а5 4- бб;
(а—6) (а64-4-а3д24-а2д34-ab*+а6) = а6—д6;
(а—Ь) (а64-абд4-а4624-а3д34-а2д44-ад54~дв) = а7 — д7; '
(а4-д) (а6—абд4-а4д2—а3д34-а2д4—ад&4-д6) = а74-д7;
(а 4“ д 4-1:)2 ==‘а2 4-62 4-с2 4-2ад 4-2ас 4-26с;
(а4-6—с)3 = а24-624-с2+2ад—2ас—2Ьс\ ' ’ г (а+6 4- с 4- d)2 = а2 4- д2 4- с2 4- d2 4- 2ад 4- 2ас 4- 2а4 4- 2bc+2bd+2cd; (а 4- 6 с- d)2 = а2 4- 62 4- 2ад - 2ас- 2ad ^2bc~2bd+2cd.
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ	109
Пример 9, Найти произведение!
a)	(a—&)(a?+*a)(a+Z>);
б)	(2х-у) (4х*+2ху+у*) (вхР+у6).
Решение.
а)	(а—Ь) (а2+&2) (a-\-b) = (a—b) (а+0 (а2+62) =
= (а2—&2) (а2.+62) = а4—М;
б)	(2х—у) (4x?+2xj/+j!?)(8x?+^s) =
= (8х3—у*) (8л3+у3) = 64х«—ув,
Пример	10. Вычислить:
.	л	43?—II2	.	978+§33	й_
а) 41-39;	б) (3б 5)2_ (27 5)2	!	в)	—97.83,
Решение.
а) 41-39 = (40+1) (40— 1) = 402— 1 = 1 600— 1 = 1 599;.
’	432— II2 _	(43—11) (43+11)	32.54
' (36,б)2— (27,5)2~ (36,5 — 27,5) (36,5+27,5)“ 9-64 "-d!
„) gZ!±^97.83=<97+83)(9r.-97.83+83,!|7-8fa
= IffH972 — 97.83 + 832) _ 97,83=972 _ 97.83+832—97 < 83 =
= 972 — 2.97.83 + 832 = (97 — 83)? = 142 = 196.
Пример 11 н Доказать, что
а)	2е — 1 делится на, 73;
б)	5е—104 делится -на 9.
Решение.
а)	2®—1 =(23)3—1 =83—1 =(8—1).(82 + 8+1)=7*734 Следовательно, число 29—1 делится на число 73.
б)	56 —104 = (53)2—(102)2 = (53 —102) (53 +102) =
= (125—100) (125 + 100) =25*225 = 9«252.
Следовательно, число 56—104 делится на число 9.
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения многочлена на мнджители применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.
При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения) с помощью формулы
(	P.?±2PQ + Q2 = (P± Q)2,
Например,
а)	^ + 4х+8 = х2 + 2.2.х+22+4 = '(х+2)2 + 4;
б)	fl2i>2-ab+l = (a6)2-2.1.«&+-l.+|=(a&_iy+l;.
в)	.с2 — 4ас+4«2 + 4а—2с+7 =
= (2а- с)2 + 2. (2а— с) +1 + 6 = (2а—с+ ф+6.
ГЛ. 2. АЛГВВРЖЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 12. Разложить многочлен на множители* а) 2х (х+у)-\-ах-\-ау\ г) л?+2га— б) 4t/2— 2m?;	д) х4 + 1.
в) а2 + а—ab—Ь\ Решение.
а)	2х(х+$+ах+а^==2х(х+^+а(х^	(2х+а);
б)	4z/2—- 2m* = 2 (2#*	=	_
= 2*(уг2 ^2 —(т)?= 2(^2 y^-m)(]f2 у+т);
в)	a2 + a—ab—Ь — а(а~\г 1) — b («+1) = (а +1) (a— Ь);
г)	n? + 2n — 8 = n2+2* !•«+1 — 9 = («+1)2—32 =
= (« +1 — 3) (л +1 + 3): = (л— 2) (п + 4);
д)	х4+1 = х4'+2х*+ 1_— 2х2 =	_
= (х2+1)й-(У'2х)8 = (х8+/2 х-Н) (х2-У2 х+1).
Пример 13. Доказать, что многочлен принимает неотрица-; тельные значения при любых численных значениях его букв х, f У и z:
а»> х2—2х+2#2+8#+9;
б) (х?—ху+у*)* + (х2 + ху + #*)8 ;
в! х2 +19#*+ б?2—8ху— 4>х%+ 12#z;
Решение.
а)	х* — 2х+2#2 + 8# + 9 = х2 — 2х + 1 + 2; (#.2+ 4#+ 4) =
= (х-Г)* + 2(#+2)2>0 (равенство нулю достигается только для пары чисел х=1,# =—2);
б)	(х2—xi/+#2)8+(x2+xy+#2)s = ((*2—X{/+f/2) + -
+ (х2 + ху + у2)) ((х2— ху-\-у3)3— (х2 — ху-\-у3) (х2Н-х^+^2) + +(x2+xj/+i/2)2) = 2 (х2 + «/2) ((х2+^-2^(х2+^) +
+х V—((X2+У4)’—xV) + (х2 4- Jf2)2 4- 2xi/ (х2+Л + -X2?/2) =
= 2 (х2+у2) ((х2 +«2)2+Зх2у?) > О (равенство нулю достигается только для пары чисел х = 0,^ = 0); в) х? +19#? + 6г2—8xy—4xz + 12#z =
= х?—2 (4у+2z) х + (4у+2z)2 + З#2 — 4^+ 2z* = - == (х —- 4у—2z)*+2	—2yz+z2) +^2 =
2z)2 + 2 (у—z)2+у2 О (равенство нулю достигается только для трайки чисел х~0,. у = 0, г^=0).
ЗАДАНИЕ 1
1.	Какое из выражений является одночленом:
1)	Ь;	4)	ab^	7)	4а—За^+с?
2)	—4;	5)	За*с£
3)	2+с;	6)	Vn2*2ab\.
2.	Записать одночлен в стандартном виде:
1)	2aba\	6) 2а3Ъ^—-^ab^ а2Ь;
2)	4- ab3ab^t	7) —2	а3&^ 4“ ac23abc\
3)	р®х? + у xp3q} ;	8)' Зой? (—2fex3) fe3;
4)	2х2^ (-3xV) х; 9) (2</) (Зг/2) (dy3) d*y*.
б)	—2р?^х8Х72р;
§2, МНОГОЧЛЕНЫ	Щ
3.	Перемножить два одночлена:
1)	2**abc	и	-—о2’/#3;
2)	а&3-а2-	и	a2b*cb\
3)	c*2cd*c2d2	и	с2.* ~d2'Cd;
4)	aboabc2*bc	и	a2boab2c-c*b*a\
4.	Возвести одночлен в степень т:
1)	№nbzp,	т = 3;	3) ;pq2'(qqp)2,	т — 3;
2)	ab2>c2a, т — 2;	4) (ca*a3)?abc, т — 2<
5.	Привести подобные члены:
1)	2a2b—3a2b-\-4a2b-,
2)	0,lx3z/2 — 0,2x2r/2 + 0,3x2f/2;
3)	2,\xab -\-2x-\-4xab—х-^Зх-{-ЗхаЬ\
4)	3kl* + 3,1 kl2—0,1 kl2 + xy — 2xy—2xy ^4kl2 — 2ад
5)	12- ab2c3 — 6,25ab2c* +~ aZ>2c3+ 8ab2c\
6.	Раскрыть скобки и привести подобные члены:
1)4+3 + (((х +1) — 2х) + Зх) — (2х—(х—‘4)) + Зх—7+х;
2)	а + (2/> — с(—2 + 3))-—(a—(a—2Z?)—Зс) + 2 (а + с— Ь)\
3)	^((2х-^у)~Зу^\) + ((\-{2х^у) +
+ (х+у)-2)-х + (у--Зх))}
4)	а + (Ь — (с—d)) — (а—(b—(с—d$)) + (а + 2Ъ — (а— &));
5)	(т — (тп — 2т)) — Зтп + 2т—((1 — (2— (3—тп—т))) — 2)*
7.	Найти сумму и разность многочленов Р и Q:
1)	р — —2х3 + ху2+Зх, Q — Зх3—ху2 + 4х;
2)	P = 2a2 — 3ab—b2 + (—3a2 + 2ab— b2)t Q=a2 — 2ab+3b2\
3)	p = ^la—(a+2fe),
4)	P = 2a2 + afr— й—(— а2+^2—ab), Q=3a2+W—(а&_а2);
5)	Р = (х + (у—г)—2х)+д+г—.(г—х—.у), Q=x—(x—(y—z)—x)).
8.	Перемножить многочлены:
1)	—2 и —(2а-\-Ь)^-с\
2)	За и a+2Z?—(е+а);
3)	2х + у и ~-х— у\
4)	ab—х2г/+х и -~а^+х;
5)	(а—2а2 + а3) —а3 и а2—2а+Е
ЗАДАНИЕ 2
1. Какое из выражений является одночленом
1)	1 + &;	4) а— К2 Ь\ 6)
2)	—5а;	5) cd^dk; 7) а2 + 2д + ^
3)	abc;
1J2	гл. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2. Записать одночлен в стандартном виде:
1) х2у*(—-%ху)\	2) ab»ab*ab*2x2*3x3;
3)	pV?3/-^(W)44P2‘7)2!.
(	9	\ Q
— ~a2b\ b2a~(a2b2)3\
5)	(_2lCd) .
6)	Г4-а.4-а2.1а’У-(2&-462863). \ z 4 о J
3.	Перемножить два одночлена:
1)	и cPbx2-t
2)	(—4a2c) (3&2c) и (—2ac2) (3m5 * * 8);
3)	(—l,5a&2) bc'j (a2b) и (—2ac) (2ab) (— a);
4)	5ac2 (—2a3 fa) и abc^ (4ab3c) (ab2c) (be2).
4.	Возвести одночлен в степень т:
1)	~cbx2f т==2;
2)	—2cp2q2l\ т — З;
3)	(tn2n2)2 (mn)t т — 2\
4)	(0,1 ab2c)2 а3, т — 3.
5.	Привести подобные члены:
1)	4a6~ etc—2аса—9a2~ b-\- 10a2*4-c+#26— a2bc\ о	Z	о -
2)	2аЬ — 2bC'C^ab-[~ с2Ь—4cb2-^2cb*b\
3)	у™2;	’
2	1	. ,
4)	3ab^ac—2a»abc—х-а2Ьс-\-а—5 — 2a+7-|-a + 2; о	о
5) f-|- acV* с2 —4 а (с-с)2 + 4- асР'С—Зт- ас*. \ о J	и	о	4
6. Раскрыть скобки и привести подобные члены:
1) #-]-(2й—рс) — За2 — 2а2,-j- ((й-|- За—7&)-}"£);
2) a—(2^+(c—(d~a)))H-d — ((а— &) — с);
3) 2а— ((2Ь—Зс) — d) +	(2b — (с—d)) + а+ (2b—(с+ 2d))
4) 1 —((m—1) —(m + 2)) —3/n+(5m —(2m —(3m —4))).
7. Найти сумму и разность многочленов Р и Q:
1) p = ab — a+1, Q ~2ab—(ab — а.+’2);
2) Р — a2b-{-2a*ab — Зас, Q = a2b — 2аЬ-\-Зас;	•
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ
113
Р== ах—2(ах+3)^ — (ха+ 1), = ((ах—2) - (3—(ах — 1))) — 4
Р = у—(у—(у— (Q/+2x) —х))),	Q=^—(^—х+2(х—у));
р = а—(&—(с—a—b)), Q = &+(а—(с—а))
8. Перемножить многочлены:
1)	2x4-3 — (4+х—5х) и 1 —2х+х4-4—Зх+1;
2)	а (а-|-6-{-с) и Ь(а— Ь~— с);
3)	-~ab и (а—(а—(а—(&—а))));
4)	a—((b-\-p) — d) и а— ((Ь — а)-\-р) — 2а;
5)	(х2—х+ 1) (х+1) и (х2Ч-х+1) (х-г-1).
ЗАДАНИЕ 3
1.	Упростить:
1)	ЗуЦ(2у~1)+у+1)~у(1-у+у*)~у*+у;
2)	2х3*а—^а (1 -f-2x2) — (а—х(х+а));
3)	(2р.р2-(р3-1) + (р + 3) 2р2-2рр.р) (3р)2-3рб;
4)	(х+1)(Ц-х—х2+х3 — х4) — (х— 1)(1+х+х2 + х3+х4);-
5)	(х—у — z) (х—#) + (#—x—z) (z—x) + (z—х—у) (у—г);
6)	(х+1) (х+2) (х+3) (x+4)-(x-f2) (х + 3) (х + 4) (х+5).
2.	Используя формулы сокращенного умножения, выполнить указанные действия:
1)	(^—3) (^/ + 3);	6) (2-а) (4+ 2а + а2);
2)	(т—п) (т-\-п);	7) (х—2г/)2—(х-\-2у)3;
3)	(3ab +1) (ЗаЬ — 1);	8) (а2 + 62)2 + (а2 — &2)2;
4)	(а—х)(а + х)(а2 + х2);	9) (а—З)3— (а+3)3;
5)	(т-\-п) (т2—/пп+п2);	10) (а—&—с)2—(а—^+с)2;
11) (а—х—у)3—(а+х—у)3;
12) (1+х+х2)(1—х)(1 + х)(1—х+х2).
3.	Используя формулы сокращенного умножения, представить многочлен в виде квадрата или куба некоторого двучлена:
1)	p* + 2pq+q2;	6)	а3—3а2+3а—1;
2)	4m2 — 4тп+п2.;	7)	8—12m + 6m2—т3;
3)	р4_бр2^+9(72;	8)	1+6а+12а2+8а3;
4)	ав+2а363 + &3;	9)	8р3—27^3—33p3q^Mpq^
5)	а^+За2+За+1;	10)	x3r/3+6x2z/2+ 12х#+8.
4.	Вычислить:
1)	41?; 2) 39?; 3) 313; 4) 293; 5) 352—252;
яд 52__5Q 52
6)	42-58; 7)	; 8) 1002.998-1003*997;
7	'	61?—Пэ
9)	V65?—63?; 10) /313?—312?;
П) «7?-15?________.	713+498-	71;1Э
И) 97?—562+153-31 ’	’	120	11
5.	Доказать, что
1)	8^+2п делится на 17;
2)	69^ — 69*5 делится на 32;
3)	3283+ 1723 делится на 2000;
4)	1919 + 6919 делится на 44<
114
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 4
1.	Упростить:
1)	(у-2)(у+2) + (у-3)(у+3)-у(2у+1)-4;
2)	(5а—&+’!) (Ьа-\-Ь— 1) — 2Л fa+ I)2-|-da— 1;
3)	a (b-[-c—be) —b (с+а— ае)4-г’(&— а);
4)	(а + &4-с) (а+-Ь—г) + (а+с+&) (а^с—&) +
+ (а+& + г) (а+с—Ь);
5)	(2х—4 (5х— (11#—Зх)) — 3 (Ьу—2 (Зх—6#)))-(2х—#+ 1);
6)	(а2 + 2а-|-1) (а4—2а3 + За2 + 2а+1) —а6 + 2а3;
(3	\
Зх27®""1—у- у3п~^ -|-х27Иг/3га— Зу2 \ • 8х3~2п • у®~3п.
2.	Используя формулы сокращенного умножения, выполнить указанные действия:
1) (х—2у2)2—(х—f-2r/2)2;	2) (1,5хг/—0,5#)2;
3)	(2х+1)(2х—1) (4х2 +1);
4)	(а-\~Ь—с)2 + (а—Ь-\-с)2;
5)	(2т—ri) (4m2+*2mn + n2);
7)	(х + 2у)(х2-2ху + 4у2);
8)	(2 + х) .(4 — 2х + х2) (8 — х3),;
9)	(а+2Ь—с)2 — (а—2Ь+с)2;
П) +	Ь~у)9'
13)	(2х—«/)(4х2+у2)(2х+#)+//4;
14)	(4х-1+у)4-(4х+1-{/)4;
15)	(2-|-х)в—(2—х)6;	16) (а+1— &)4.
3.	Используя формулы сокращенного умножения, представить многочлен в виде квадрата или куба некоторого двучлена:
1)	х2-\-2ху+у2\	4) х2у2—4xycd-{-4c2d2\
2)	z2 — 2zm-}-m2\	5) х3+-3х2 + 3х4-1; __
'3) 4х2—4х+1;	6) 2 J<2+18t/+27]<2 г^+27{/3;
7)	1 —12y+6{/2—8{/3; 8) 3 КЗ—9{/4-ЗКз {/2-Л
9)	(x+y)2+2(x+f/) + l;
10)	х2—2ху-\-у2—2их-\-2иу-^и2\
11)	. (a—b)2 + 2ac+2.(a—b) — 2bc+(c+ V}2\
12)	a2+b2+d2+f2 + 2(ab+ad+af) + 2bd^2bf^2df. t
4.	Вычислить:
6) (а+^Ч~^) (а—Ь— с);
10) (х-#)3-(х+#;
12) (а—6 + с)3—(a+b+c)3\
1)	322;
2)	382;
3)	413;
4)	213;
5)	193;
6)	25б2—442;
7)	43-57;
1812—61* е 3192—2092 **
5.	Доказать, что
1)	87 —218 делится на 14;
2)	792 + 79»11 делится на 30;
3)	4134-193 делится на 20;
4)	36814>10*38i делится на 11»
9) 203-197—201-199;
^3+523 Д7 10) —J|9---- 67-52;
592 — 382 н' 832—172 + 3100 ’ 12) V2752 — 502;
13) Кб142—61Т2.
МНОГОЧЛЕНЫ
D15
ЗАДАНЖ 5?
1. Выделив полный квадрат.,, доказать, что многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только неотрицательные1 значения:
1)	^a+6g+10;	3) 2х2-]-2хуу2-\-2х-{-1 ;
2)	х2#2—5x^+7;	4) 3x2y2z2-±-2xyz + 5;
5)	Зх2 + Зу2 + 6ху + 2х + 2у+1;
6)	2х2 + Зу2 + 4г2— 2ху + 4^ + 3.
2.	Разложить многочлен на множители:
1)	2а + 66;	7) х2у2 + х2у — 2х2у2ху—2х;
2)	ab—a2b2\	8) х3 —2х2 —5х+6;
3)	а+ь+а2—9) а4—62(2а—
4)	а2—62 + а3—-63;	10) х6—(#z)6;
5)	х2+х2 +/Х +1;	В) и*+ и2+« + L;
6)	у2 — 5у + 6;	12) х4 + 3.
3.	Доказать, что многочлен принимает неотрицательные значения при люб^х численнвих значениях входящих в него букв:
1)	х* + 2х3+#4—-4#3 + х2 + 4#2;
2)	х2у2-\-х2у4‘+х^у2+2х^у2 + 2ху—
- 21(х+у) (1 + х2у2) +1 + х2 + у2-,
3)	а4 + 2а2Ь + а2Ь2 — 2а2 с—4а2Ьс—2acb2+а2с2 -j- 2abc2+Ь2с2;
4)	1 + а2 + Ь2 + с2 + а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2+а2Ь2с\
4.	Два натуральных числа при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3. Доказать, что сумма кубов этих чисел делится на 4.
5.	Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
6.	Записать в виде многочлена:
1)	mn+2/n — Зп;	2) abc—aba*,. 3) (аб)2—
7.	Доказать, что ab+6а< делится на 11.
ЗАДАНИЕ 6
1.	Выделив полный квадрат, доказать, что многочлен при любом значении входящих в него букв принимает только неотрицательные значения:
1)	4у2 — 4^+1,1; л 4) х4 + 2х3+2^ + Зх2 + 3;
2)	2х2+^—2х—4^+5;	*5)/ х (х+1) (х+2) (х+3) + 1;
3)	а264—4а62+4*,	6), а4?+^+2й2+-а+1;
2.	Разложить многочлен на множители:
1)	ах2'— 6х2+6х — ах+а—&;
2)	х2 —7х+12;4 3) Xs—Зх2+4х—2*
4)	(ау+бх)2 + (я*—М2—с2 (х2+у2);
5)	36а46—1665;	6) а4—и2—и + 1;
7) (х—а)4—(х + а)4;	8) a2c2+'b2d2— Ъ2с2'—aW—4abcd>
3.	Доказать, что многочлен принимает неотрицательные, значения при любых численных значениях входящих в него букв: .1) 2х2у2 — 2ху(х+у)+х2+у2\
2)	—а4+а6 + а5—a2—2h3+l+^;
3)	x2i/2 + xV+x2r/4+x2+^2 — 2x2y2-Jr2(x—y) (х2^+1>+1— 2ху\
4)	(1—а+а2) (х10 —X?—х^ + 1).
4.	Два натуральных числа при делении на 13 дают в остатке соответственно 1 и 3. Доказать, что разность кубов этих чис^ делится на 13.
116	гл. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
б. Доказать, что сумма единицы с квадратами трех последовательных чисел делится на 3.
6. Записать.в виде многочлена:
1) abed-?abc; 2) (тп)3 — (тп)2; 3) аЬс-\-Ьса--\-са&*
7. Доказать, что
1) ab — ba делится на 9;
2) abc — cba делится на 99«
Упражнения
1. Записать одночлен в стандартном виде:
1) *2У (—%ху)\ 2) ab ab Зх2аЬ2х2; о
3) pWp^^WtfM) (-^а3ь)ь?а^(а№)31
6 cd} (~2зс
1	а3\
a-i-a 8 ) (2&4fc?8fe8);
п \ 8	7 1 X
тг ) Зтп4а2т3 ( 4~ п2а );
9)	4а623а«х*12а6х4р ( — ^^^ I
10)	(Q,2Xy3) (2± уах*)
(1 X	• / 4nhX
—З^-аЧ ) (—0,25о62) 4 __±±) 5 Оу	у О у
12) (2,5«РМ2 (ТГ ) ('-	) (~°’4а);
2. Перемножить многочлены и привести подобные члены:
1) (За^-2Ь) (а+Ь)-, 2) (4а2—56«) (5а?—4W);
3)	(За8—2а?6+а6?) (2а2—ab—5Ы);
4)	(2а8-й8+1)(а8-~±);
5)	(х2—х+1) (х2+2x4-3);
7>(1+t+j+? ('-т+т-?>
8)	(24-х— Зх?4-*3) (2—х4-3х?4-х®);
9)	(а24-6?4-с2) (а2—6?—с2);
10)	(х24-2ху—у?)(2х2—2xy+3yi),
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ
117
3. Упростить:
1)	—(х—^)2; 2) (а-2&)3-(а+2&)3;
3)	— (2а—х)2 — 8 (а-х)2 + 5 (1 +а) (1 — а)-5х2;
4)	(т — п) (/n2 + /nn + n2) —(/п-|-п) (т2 — /пм4-п2){
5)	(а—Ь) (а + Ь) — 2а(а—Ь) — (а—Ь)2;
6)	х2 (a — b)-{-b (1 — х) + х (Ьх-{-Ь) — ах (x-j-1);
7)	(4x4-2) (3 — х) + (4 — х) (х+1)-(х-4) (х+4);
8)	(5х2 — а (х+а)) - (3 (a2 х2) + 2ах) + (2ах—4 (а + 2ах2));
о / —5х2 , . 2	.7 2 \ . о / 5х2 4ху . 4у2. \
9)	2 4—+l1-x//+Tz/4+3.^—/+-%-) + -|-1(х2-3//2);
10)	б-tf%-а—|а+4-а\о,37а&2-О,53а&2)+46^
4 у о о о у	\ о о у
11Ч/4	3 \	.	{Зу 4х\
И) х—-j-y) (x+2t/)~ (х—2у)
12)	Зх2 + 4</2+2х (х+у)-у (Зу-4х)4-(х-//)2;
13)	(а—2&)(2&+3«) + (а4-41>) (&—2а)4-2(а—6)2;'
14)	2 (х+у) (3x4-2//)—4 (х—у) (х+у) — 2х (х—у);
15)	4аЬ (с—а) — Зс(а2—/>)4-4а(62—ас) — (Ь—а) (4Ьа—с);
16)	(а24-&2—а*)(а2 + а&4-62) —(а24-62)2;
17)	(х4~2а)(х2—ха-]-2а2)— (х—а)3;
18)	4х(а—х)—2(а-\-х)2— (Зх4~а) (а—2х);
19)	х2 (11х—2)4-х2(х— 1) — Зх(4х2 — 2—х);
20)	(2x4-3^) (4у—Зх)—2 (х4~//) (4х—х2—у);
21)	(а—Ь) (а24-&2)4-2(а—b) (a2 + ab+b2) — За (а2—/>2);
7 1	Ч \
22)	(1,4х2-\-2,24ху—1,5у2) (х-(-у) — (2х—у) ( l-g-y?—Ю-^-х? );
23)	Ъ (За2 — 1ЗЪ) 4- (а—Ь) (За2 — 6Ь2) 4- 2 (а 4- b) (ab—а2).
4. Используя формулы сокращенного умножения, записать
многочлен в виде суммы его одночленов:
1) (14-3/п) (1 — 3m);	2) (2х4-1) (2х—1);
3) (2х—Зу) (3//4-2х);	4) (3—4ab) (4аЬ+3);.
5) (24-6х2) (Ьх2—2);	6) (2с4- бх1) (&Х4—2с)},
7) (2у2—5х?) (2р34-5х2);
9) (а3х—ах3) (ах34-а8х);
8) (бах3--у) (±4-5ах3) ;
11)	(аР-ЬК)(аР+Ь*у, 12)	—3//« j ^4-3«//J ;'
13)	(х-\-у) (х?—ху)-,	14) (х—у) (х-\-у) (х2-+у$);
15)	(a+2b)(a—2b)(a2+4b2);
16)	(24-х) (2—х) (44-х2);	17) (аф-с—6) (а-|-с4-6);
18)	(ху+х2-+у2) (ху—х2—//?);
19)	(а—Ь-\-с) (а—Ь^с),
118
ГЛ. 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
20)	(x-|-3z— у) (х — y—3z)\
21)	(1+а)(1 — а) (1+а1 2) (1-1-а4);
22)	(а+1) (а+2) (а2 4-4) (а—1) (а2 4-1) (а—2);
23)	(и—[-2d—— Зс—— d) (й-|—2Z? —|—б/**-{—Зс)j
24)	(24-a24-3a84-rf)<(2 —а24-3а8 —d2);
25)	(1—х—2х3-4-Зх2)Д1 — х4-2х8 — Зх2);
26)	(d-5) (d2H-5^+25);
27)	(т-\-2а) (т2 — 2шп-|-4а2);
28)	(9/п2 + Зшп + а2) (3m —а);
29)	(16m?+4m2#2+yb) (4m—у2);
30)	(а6—За3+ 9) (а8+ 3);
31)	(а2— 1) (а2 — а+1)(а2 + а+1);
32)	(х3у3 + хб + у*) (х3у3 — х6—#6);
33)	(х2—ху) (х2 + ху+у2) (х2 — ху-\-у2) (х+у)->
34)	(4+2а-Н2) (4 —а2) (4-~2а-|-а2);
35)	(x+y+z) (x+y—z) (x + z—y)(x—y—zy
36)	(х—а)2 (х+а)2;	37) (а + b)2 (a— d)3;
38)	(т2 -\-mn-\- п2) (tn2. — тп^~ п2) (т44- Зпг2п2.-)~п4);
39)	(d2 — d + 1) (d2 + d -I-1) (d4 + d2 4-4);
40)	(m2-|-2m+ 1) (tn2— 2m +1) (m4—2m2 +1);
41)	(y—5k) (y2.±5ky+25k2) (125&34-^3);
42)	(х2^+хпуп+у21г) (x« — yn.)(y3n+x3n).
5.	Используя формулы сокращенного умножения, цредставить многочлен в виде квадрата или куба некоторого другого многочлена:
1) а2+2ах2+х^
2) а^—2а2х+х2.; -
3) х2 — 8ху^16у2;
4) 25m?+30mn+9n2;
9)	4x^ + 9z/?-|-25z?+12x^—30yz — 20zx;
10)	9m? + 4n?+P- —12mn-|-6mp—4np;
11)	J+16^^-^.y
5)	k^— 10W+25Z16;'
6)	me4“^3d4+^8;
7)	81m6—90m8p?/i+25p4/i2;
8)	16a2+24a3 + 9a4;
12)	u2+y2 + w2+p2. + 2uv + 2uw+2up+2ш>-f- 2pv+2pw; 13) u2 + x2 +y2 -4-?p2 — 2ux+2uy —2up—2xy+2xp—2py\ 14) x3-]-6x2i/+ 12x^+8^3;	15) 125-H75a-f-15a24-a3;
16)' x12— 3x8^2+3xV-i/6;
17)	27р8-27р2г/+9р//2-^;
18)	8x8-+60x22+‘15Dxz24-125^3;
19)	64х15—144х10//3+108^6х5—27z/9;
20)	x3+y3 4- 3x2^+3xy2 4- 3x2 4- 6xy 4- 3y2 4- 3x 4- 3y 4-1;
21)	x3—y3 — 3x2#4-3x^+ \2xy—6x2 —6i/24- 12x— l2y—8.
6.	Доказать тождество:
1)	(т-У'п)2 — (m—ri)2 = 4mn’t
2)	(b — a)2 — (b — a) (a4- d) — 2a(a— d);
§• 2. МНОГОЧЛЕНЫ
119
3)	(ab -1)2 + (а +• 6)2 = (а2+1) (62 4- Г);
4)	(1 — т) (1— т2) + т(т+1) = т2 + 1;
5)	а(а— 6) (а+ Ь) — (а+ Ь) (a2—ab+ 62) = — 6* (а+ 6);
6)	(а? + 62) (с2 + rf2) = (ас — bd)2 + (be+ad)2;
7)	(6 — lj (6 — 2) (1 + 6 + 62) (4 + 26H-62) = 6е—96^+8;
8)	(x3+y3)2-(x2 + y2)3+3x2y2 (x+y)2 = (2xyf;
9)	(а—36)3 —(2а—36) (За6+(а—36)2) ==—а*;
1 о) (а + 6 + ab + 2)2 + (а + 2 — ab — 6)2 = 2(а+2)2+262 (а+I)2;
11)	х (у+z)2+у (х + г)2 + г (х+у)2 — bxyz = (х.4- z)(x+y)(y+z); 12) а3+ 63 — с3+3а6с= (а+ 6.— с) (а^ + 62 + с2 —а6+ Ьс-{-ас); 13) а2 (6 —с) + с2 (а—6)-|-62 (с—а) = (а—с) (Ь — а) (а—6);
14)	а3 (с—6) + 63 (а—с) + с3 (Ь—а) — (а—с) (а—Ь) (с—Ь)'(а-]-64~г);
15)	(abасbe) (а-4-6 + с)>—abc = (a-\-b) (а+с) (6-[-с);
16)	(x+y + z)3 — х3—у3 — z3 = 3(x+y) (x + z) (y+z);
17)	у3 (а—х) — х3(а—у)~\-а3 (х—у) =
= (х—у) (х—а) (у—а) (х+у+а);
18)	х54-х44-х34-х24-х4-1 = (%+1) (х24-х4~ 1) (х2—х+1);
# 19) (хб + х4+х3+х2Н-х+1)1—х^==
= (1 + х+х24-х3+х4) (1 +х-+х2-]-хР-\-х1+х3+хв);
20)	х3—(а4- 6 4~с) х2 4" (^64- аг4" Щ х— abc —
= (х—а) (х—6) (х—с);
21)	х4—(а4-р4-74-р)х34-(ар + а?4-ар4-Рт+Рр+тр) х2 — — (ару 4-арр4-аур4-рур) х4-арур=(х—а) (х— р) (х—у) (х—р).
7.	Вычислить:
1)	47-33; 2) 62*58; 3) 10,22 — 9,82; 4)9812—192;
5) 472 + 2,47.134-132; 6) 3232 — 772 ; 7) 208-192;
1242— 144,	1062— 121 ,	382-172
2392 — 1 ;	' 1222—64 ; 1U' 472—192’
532 —272. .	773-693	7734-4l3	1,
11} 792 — 512’	' 702 — 622	1252 — 49	2;
593_413
13)	_1!..4-59.41; V14)- 2022-54^256.352;
15)> 507U93— 505-495^ 10) 872:— 2-87.67 +672.
8.	Доказать^, что .
1)	10^7—1 делится' на- 3;
2)	313*299 — 3132 делится на 7;
3)	2554~ I делится на 33;
4)	11100—1 делится на 100;
5)	106 —57 делится на 59;
6)	793 — 293 делится на 50;
7)	543 — 243 делится на 1080;
8)	32834-1723 делится на 2000;
9)	7313 — 6II3 делится на 120;
10)	47193 — 27343 делится на 1985.
9.,	Доказать, что при любом натуральном п;
1)	(Зп— 1)4-(2я+ И) делится на 5;
2)	п5—п делится на 10;
3)	2п34-3п24-7п делится на 6;
120	4 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
4)	п4 + 3п3— п2 —Зп делится на 6;
5)	n4-|-2n3 + 3n2+2n делится на 8;
6)	п (п+5) — (п—3) (п-|-2) делится на 6;
7)	(2п—I)3 — (2п—1) делится на 24;
8)	3« + 2 —2/2 + 2 + 3/2 —2й делится на 10;
9)	25п4 — 2п3 — п2+2п делится на 24;
10)	(7п + 3)2 — (3 —п)2 делится на 96;
11)	Зп + 3 + 5'г + 3 + Зл+1 + 5/2 !'2 делится на 60.
10. Выделив полный квадрат, доказать, что многочлен при любом значении входящих в него букв принимает только неотрицательные значения:
1) а2 + 2а + 3;	3) 16а2£>4 — 8а^2 + 2;
2) х2т2 — бтх2+9х2;	4) 9х2 — 12хр4 + 12у3;
5)	4х2 + 9р2 + 4х+6р + 2;
6)	а264 + 2а£2 + х2 + 2хр + р2 + 5;
7)	m4—4m2n2 + 4n4+2m2 —4n2 + l;
8)	(a + 6)2 + 6a+6Z>+10.
11.	Разложить многочлен на множители:
1)	2а—2b;	2) ab-\-bc; 3) 12х—8ху;
. 4) а262 + &4;	5) р3— р2;	6) 4a8Z?—"2 а4 fr2;	%
7)	Юах—25frx—20х2;	8) 8а2Ь2х2— 4а3Ь3х3— 2a*b*xt;
9)	а2 + а3— 2а2с;	10) 12а2а—8сРс2 — 4а*с;
11)	ах+Ьх—сх; 12) х (у + z) + « (z±y);
13)	a[b+4)-b(4 + b);	14) р (а-1) - (а-1);
15)	а(х—у) — Ь(у — х);	16) 2 + а2+За;
17)	а(х + р) + (х2—р2);	18) х2 (z — 5)+ 5 —z;
19)	х2 —р4;	20) 9р2 — 25m2;	21) ах—ау-\-Ъх—5р;
22)	х2р —z2x + p2x— pz2;	23) fr4 + 4 — fr — 4Ь3;
24)	b3-\-b2c— b2d —bed; 25) 8х3 — р3’,
26)	гМ3*- F; 27) г6 + р6;	28) х3 + 64т\
12.	Разложить многочлен на множители:
1)	2а2 + 4а + 2;	2) (а + Ь)2— (т—-п)2;
3)	р2—10р + 25 —4m2;	4) m2 + n2 + 2mp + 2m + 2n+1|
5)	ах2*- Ьх2 — Ьх-\-ах-\-а— Ь; 6) d3 — р3+(р2—d)d2;
7)	8х4—8p3z2 —x2+p3z;	8) 81а8—16с12+За2+2^;
9)	(&+ Ь)2 —•с2 + а + & + с; '
10)	(а— Ь)2 — (с + б/)2—а+ b—с—d;	;
11)	(m — п)4—р4 — т-\-п—р;
12)	(х+р)4—z4 —х—p + z; 	-	' ' *
13)	(а+/>)3 — (а— Z?)3 — 2Ь\	-•
14)	(а + Ь)3 + (а—^)3 —За;
15)	(/?2— by)*— (62 + г»р)4—2Ь\
16)	(х2-\-Ьс)3—863с3—х2+Ьс;	17) 2—Ь3у3 — by;
18)	(a— b)3—(c+d)3—a + b+c+'d;	- 1
19)	9а—Зах+'ах2—27х3;	20) a3-]-b3+a2-^b2;
21)	а3—х3+2х—2а;( 22) х3 — 8 + (х + 2)2 — 2х;
23)	Зх3—Зр3 + 5х2 — 5р2*	' . " ‘
§ 2. МНОГОЧЛЕНЫ
121
13. Доказать, что многочлен принимает неотрицательные значения при любых численных значениях входящих в него букв:
1)	х24-г/2 —2хг/ + х— г/Н-1 ;
2)	2х2 + 5(/2 + 3z2 — вху—2xz + Ьуг;
3)	8х2 + у2 + 11 z2 + 4ху — 12xz — 5//z;
4)	5х2 + %2 + 5z2 + вху—8x2 — 8уг;
5)	3а2 + 3&2 + 3с2 — 2ab — 2ас—2Ьс\ 
6)	x4+x3 + ^2 + x24^ + x + 2;
7)	a4 + ^ + «262+x2~xr/4-r/2+l;
8)	х4 + 2х2а + «2 + 2х2 + 2а+1;	4
9)	(х + а) (х + 2d) (х4~За) (х+4а) + а4;
10)	(х2—ху + у2)3 + (х2 + ху+у2)3\
11)	а6+2а5х+9х4х2 4-16а3х3 + 24а2х4 4- 32ахб +16х6;
12)	а6М4-4а3/?2с + 4с2 + х2 + х+2;
13)	4х2 + 4x# + 4#2 — 6z/-]-4;
14)	2х2 + 4ха + 8хс + 12а2 J- 16с2 +1;
15)	2х2 — 2ху — 4ха + у2 4- 2а2 + 2.
14.	Натуральное число при делении на 8 дает в остатке 7. Доказать, что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7, 15." Натуральное число при делении на 5. дает в остатке 4. Доказать, .что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5.
16.	Некоторое натуральное число при делении на 7 дает в остатке 2, а другое число при делении на 7 дает в остатке 3. Доказать, что сумма кубов этих чисел делится на 7.
17.	Некоторое натуральное число при делении на 5 дает в остатке 1, а другое число при делении на *5 дает в остатке 2. Доказать, что сумма квадратов этих чисел делится на 5.
18.	Число п при делении на 12 дает в остатке 5, число т при делении на 12 дает в остатке 7. Доказать, что произведение чисел т и п при делении на 12 дает в остатке 11.
19.	Натуральное число при делении на 11 дает в остатке 4. Доказать, что его квадрат при делении на 11 дает в остатке 5.
20.	Натуральное число при делении на 9 дает в остатке 3. Доказать, что его квадрат делится на 9.
21.	Натуральное число при делении на 5 дает в остатке 2. Доказать, что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3.
22.	Натуральное число при делении на 4 дает в остатке 3. Доказать, что сумма куба и квадрата этого числа делится на 4.
23.	Доказать, что aabb делится на 11.
24.	Доказать, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
25.	Записать в виде многочлена:
1)	abc—Ьс + а;	5) 4 (ab)2 + 4ab +1;
2) (ab)2—2аЬ4-1;	6) Ьа-{-8а-^-4Ь — 6аЬ;
3) (ab)3 — (ab)2 — db\
7) (а&)2—(Ьа)2;
4) 2ab—3ba-\-3(qb)2\
26. Доказать, что:
8) 2ab — (ba)2+4(ba).	'
1) abcbcacab делится на 3 и 37;
2) ааа делится на 37;
122	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ: ВЫРАЖЕНИЯ
3> ~аЬс— cba- делится на 9;
4)- 196ft,+ 69e9 делится на1 44;
5)	31054-4105 делится на 181 и на 49;
6)	200 + 730 делится на 13;
7)	(329954-6)18—1 делится на 112;
8)	2016 — 1 делится на 11*31*61.
§ 3. Многочлены от одной переменной
Многочлен Рп (х) относительно, переменной х вида
Р„ (x) = aox" + aix'!-1+aaxn’_2+ ... > + ап_1х+ап, (1) где Oq, ai, ап — действительные числа и aQ # 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0,	ап называются его коэффициентами, одно-
член а^хп — его старшим членом, а число п — степенью многочлена.
Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень х, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю. Например, многочлен 2х34-3х—5 есть многочлен третьей, степени, записанный в каноническом виде, у которого коэффициент при х2 равен нулю.
Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны,, если равны их стелени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Например, многочлен х3-|~ 2x^+1 тождественно равен многочлену ох*+6х2+1, если а=,1, 6 = 2.
Пример 1. Найти числа а„ (Г и у,' если многочлен х34-6х2Н-ах+Р является кубом двучлена х-р-у.
Решение. Разложим куб суммы (х-Ь у)3 = х3-{тЗх2у+ "Н-Зху2 + ?3- Используя определение тождественного равенства двух многочленов, получаем систему
( Зу = 6, J а = Зу2, 1 £=TS.
откуда у = 2; а =12, [3 = 8.
Если- многочлены Рп (х), Qm (х) и Ki(x) таковы,, что справедливо тождественное равенство
Рд (х) =	(х)«^ (х),
то говорят, что каждый из многочленов Qm (х) и Kt (х) является делителем многочлена Рп (х). При этом говорят, что многочлен Рп (х) делится (нацело) на многочлен Qm (х) (или Ki (х)), и тогда многочлен Ki (х) (соответственно (х)) называют частным от деления многочлена Рп (х) на многчлен Qm (х) (соответственно
Доказывается, что если многочлен степени п делится на многочлен степени т, то частным от деления будет многочлен степени п-^-т и этот многочлен единственный^
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ одаюй ПЕРЕМЕННОЙ $23
Отсюда следует, что если многочлен Рп (х) степени п делится на многочлен Qn (х) степени п, то Рп (х) = C-Q.n>(x)t где С О, т. е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны. Например, если известно, что многочлен 2х2-\-Ьх-\-с делится на многочлен х*— х+1, то Ь — —-2 и с = 2.
Пример 2. Известно, что многочлен 2х4—х8 + 2х2 +1 делится на многочлен х2 —х+1. Найти частное отделения.
Решение. Частным от деления многочлена четвертой степени на многочлен второй степени будет многочлен второй степени. Пусть искомый многочлен есть ах2+&х+с. Тогда справедливо тождественное равенство
2х4 — х3 + 2х2 + 1 = (х2 —• х+1) (ах2 + дх+с) =
= ах4+(6 —а) х3+(а+с—6),х2+(6—с) х+с.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
( а = 2,
। Ь — а — — 1,
< a~[-c—b = 2f
Ь-с = О, ( с=1, откуда а — 2,Ъ — 1,с=1.
Итак, частное от деления многочлена 2х4—х3 + 2х? + 1 на многочлен х2 — х+1 есть многочлен 2х?+х+'1.
Свойства делимости многочленов:
1.	Если многочлен Рп (х) делится на многочлен Qm (х), а многочлен Qm (х) делится на многочлен Ft (х), то многочлен Рп (х) делится на многочлен Ft (х).
.. Например, многочлен х4—1 делится на многочлен х2—-1, а многочлен х2—1 .делится на многочлен х+1., поэтому многочлен х4—-1 также делится на многочлен х+1.
2i Если многочлены Рп (х) и Qm (х) делятся на многочлен /<z(x), то многочлены Pn(x) + Qj»(*) и — Делятся на многочлен /Q (х), а многочлен Рп (x)sQm (х) делится на многочлен Л2 (х).
Например, каждый из многочленов х3—1 и 5х2— х—4 делится на многочлен х— 1; поэтому многочлен х3+5х2—-х—5, равный их сумме, и многочлен х3—5х?+х+3, равный их. разности, делится на х—1, я -многочлен ~5х5—х4—4Х3—5х2+х+4, равный их произведению, делится на многочлен (х—Ж)2= = х2—2х+ L
( 3.. Если многочлен . Рп ;(х) делится на многочлен (х), то произведение многочлена Рп (х) на любой многочлен Ki (х) также делится на многочлен Qm (х).
Например, многочлен х2—х+1 делится на многочлен х2 г— — х+1; поэтому многочлен х4+х2+1, равный произведению многочленов х2 — х+1 и х2+х + 1, делится на многочлен х2—х+1.
4. Многочлены Рп (х) и (х) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда PwJ(x)=CQ/» (*), где С #0..
124	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 3. Известно, что многочлен х34-х4-1 и много- -член Рп (х) делятся друг на друга и Р„(0) = 3. Найти многочлен Рп(х).
Решение. Из свойства 4 следует Рп (х) = c«(x?4-^ +1). Так как Рп(0) = 3, то с = 3. Итак, Рп (х) = 3х34~3х+3.
5. Если многочлен Рп (х) = Qm (х) Ki (х) делится на двучлен х—а, то хотя бы один из многочленов — Qm (х) или Кг(х) —делится на х— а.
Например, так как многочлен х4— 1 делится на двучлен х— 1 и х4— 1 =(х+1) (х3 — х2-|-х— 1), то многочлен х3—х2+х— 1 делится на двучлен х—1.
Разделить с остатком многочлен Рп (х) на многочлен Тт (х) (/п^п) это значит найти многочлены qt (х) и (х) такие, что справедливо тождественное равенство
Рп (х) = Тт (х) • qt (х) + гк (х),
При этом многочлен qt (х) называется частным, а многочлен Гд. (х) — остатком.
Заметим, что если многочлен Рп (х) делится с остатком на многочлен Тт (х), то существует единственная пара многочленов qt (х) и г {г (х) таких, что Рп (х) = Тт (х) qt (х) + rk (х), причем 1 — п—
Пример 4. Известно, что многочлен х3 — x-f-2 делится на многочлен х24~ 1 с остатком. Найти частное и остаток.
Решение. Пусть многочлен первой степени ах-j-b есть частное, а многочлен ex-j-d— остаток; тогда справедливо тождественное равенство
х3—х-|-2 = (ах+ Ь) (х2+ 1)+сх+^4 Так как
(ах + Ь) (х2 +1) + сх-\- d — ах3 + Ьх2 4- (а + с) х + (b + d), то, используя определение тождественного равенства двух многочленов, получим систему
/ а= 1,
6 = 0,
* а+с^=.-т-1,
b-^-d — 2,
откуда а=\, b — 0, с=~2, d — 2.
Итак, х3—х+2 = (х2+1)*я4-(—2x4-2),	где х—искомое
частное, а —2x4-2 есть остатрк.
Любой многочлен Рп (х) делится на многочлен Тт (х) (т п) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при. делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов. Даны многочлены: Рп (х) =aoxn+aix""“x+ . s. -\-an~ix-\-an степени п и Тт (*) = Ь^хт 4*. biхт “1 + s s + bm ~ ix 4- bm степенит, (in n) s
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 125
Положим частное
Чп-т W = -T хП~т +С1Х"-'»-1+ ,. +с„-т	(1)
И)
и остаток
' г/+	•_	(2)
где	1, числа а, с2) .а., сп_т и d0, d±, iiit dm~t не
определены.
Напишем тождественное равенство
Pn(x) = Tm(x)qn^m (x) + rz(x).	(3)
Перемножая многочлены Тт (х) и qn-m (х) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-й степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях' х этого многочлена и многочлена Рп (х), получим систему п уравнений, решая которую находим числа а, с2, ..., сп~т> dQ) dlf ..., dOT_i.
Если окажется, что все числа d0, d^ ..., равны нулю, то .это означает, что многочлен Рп (х) делится нацело на многочлен Тт (х). Если хотя бы один из коэффициентов d0, d^, ... ..., dm-i отличен от нуля, то многочлен Рп (х) делится на многочлен Тт (х) с остатком, при этом степень остатка I равна максимальной степени одночлена от х правой.части (2), при котором коэффициент не равен нулю.
.Пример 5. Разделить многочлен 2х4 + х3—-5х2—х+1 на многочлен х2 —х.
Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q2 (х) — 2х2 + с^х + с2, а остаток в виде многочлена^ гг (х) — dox+dt. Имеем тождественное равенство
2х4 + х8 —5х2—x-j-1 = (2x2 + cix+ с2) (х2— x) + d0^ + ^f<
Раскрывая скобки й приводя подобные члены, получаем
2х4 + х3 — 5х2 — х + 1 = 2х4 + (С! - 2) х3 + (—а + с2) х2 +
Ч~(^о — ^2) x-f-dfi
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем систему
х — 2=1,
— Ci -р с2 — —5, d$ — с2 ——1, *1 = 1,
откуда = 3, с2 = —2, d0 —3, df — 1.
Следовательно, q2 (х) = 2x2H-3x—2, a rt (х) = — Зх+1, т. е.
2х4+х3—-5х2—х+1 =(2х2Н-Зх—2) (х2—х)—Зх-|- L
Пример 6. Разделить многочлен — 12xe 4х5 Зх4 + 4х3+ + 8х2— 1 на многочлен х2 +1.
Решение. Ищем частное от деления многочленов' в виде много члена	(х) = — 12х4 CjX3 + с2х2 -f- с3х+^4, а остаток в виде
126	ГЛ’. 2‘. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
многочлена r{ (х) = dox+dp Имеем тождественное равенства
—12х6 + 4хб—Зх4 + 4х3 + 8х2 — 1 =-
= (— 12х4 + С1Х3 + с2х2+с3х+с4) (х2’+ 1) + dQx+di, или
—12хв + 4х5 — Зх4 + 4х3 + 8х2— 1 =
== — 12xQ + qx5 + (с2 — 12) х4 + (с3 + ср) х3 + (с4+с2) х2 +
+ (сз + <*о) х+с4 + di •
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-лучаем систему
<?1 = 4,
с2—12 ——3,
Cs+^i = 4,
. '	—8,
z	£зЧ~ dQ = 0,
c^-^-dt——
откуда Ci^4, c2 = 9j Сз = 0, с^—— 1, d$ — Q, di — $.
Следовательно, ^4(х)= — 12х4+4х3-(-9х2— 1 и Г1(х) = О, т. е. многочлен — 12х6 + 4х5 —Зх\4 + 4х34-8х2—1 нацело делится на многочлен х2 -р 1 и
— 12х6 + 4х5 —Зх44-4х3 + 8х2—1 =(— 12х4+4х3 + 9х2—1) (х2 + 1).
Деление многочлена на многочлен «столбиком» (или «углом»). Проиллюстрируем этот метод на примере деления многочлена 2Х4—Зх3 + 4х2"+1 на многочлен ха—-1:
2х4—Зх3 4х2 +1	|х2— 1____
2**—___________ [ 2х?—Зх + 6
— Зх» + 6х2 + 1
—3х3+3х
бх2—Зх+1
6х2 —6
-Зх+7
В общем случае при делении многочлена Рп (х) на многочлен Тт W (т п) «столбиком» многочлены Рп (х) и Тт (х) располагают по убывающим степеням х. Затем старший член многочлена Рп (х) делят на старший член многочлена Тт (х) и получают старший член частного — многочлена </(х). Найденный старший член многочлена q(x) умножают затем на делитель —многочлен Тт (х) и полученный многочлен вычитают из многочлена Рп (х). В результате вычитания получается некоторый многочлен Di (х), степень которого меньше п.
Если степень, многочлена Di (х) меньше mt то процесс деления окончен, при этом многочлен Di(x)—остаток. Если степень многочлена Dp (х) больше или равна т, то описанная процедура деления повторяется для многочлена Di (х), т; е. старший член многочлена Dp (х) делят на старший член многочлена Тт (х) и полученный многочлен вычитают из многочлена Di{x)> В резуль
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ J27
тате вычитания получается многочлен Д)2 (*), степень .которого меньше п — 1. 'Если степень многочлена D2 (х) меньше т, то процесс деления окончен, при этом многочлен D2(x)—остаток. Если же степень многочлена П2 (х) больше или равна т, то описанная процедура деления повторяется для многочлена П2 (х).
Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-м шаге многочлена (х) станет меньше степени многочлена Тт (х), т. е. меньше т. При этом многочлен Dk (х)—остаток.
Пример 7. Разделить многочлен 5х4—3х5 + 3х—1 на многочлен х-|-1— х2.
Решение. Представив делимое и делитель в каноническом виде, выполним деление «столбиком»:
__—3х5 + 5х4+3х— 1	|—х2+х+1
—Зх^Н-З^+Зх3	Зх3—2х?4-х—1
2х4—3х3+3х—1 '“2х4-2х3—2х3 -х3+2х2+3х— 1 — Х3+ Х2 + X х2 + 2х—1 ~х2+ х—-1 '	Зх
Итак,
5х4 —3х5 + 3х —1 = (3х3—2х2+х— 1) (—х?+х+ 1) + Зя$
или
—Зх6 5х4 Зх — 1 л о а г II Зх
•  ---------------=3x3r—2x2 + x— Н----гтп---ГТ* '
— х2 + х+1	1 — х2+х+1
Пример 8. Разделить многочлен 12х4+4х?+9х+3 на многочлен Зх—2.
Решение. Найдем частное и остаток, выполнив деление «столбиком»:
12х4+4х3 + 9х+3 - Зх—-2
12х4— '8Х3	§	43
12х3Н-9х+3 4x34-4x24--g-x+-;y ~~12х3—8х2________
8х2 9х -{- 3
43	86
3 Х 9
113
9
Итак,
12х4 + 4х3 +9x4-3= (.4х34-4х2+фх+^') (Зх-.2)4~Ж '
к	О V J
128	ГЛ. 2. АЛГЕБРАЙЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ИЛИ -
12х<+4хЗ+9х+3_	8	43	113/9
Зх—2	~4х •	+ 3 *+¥+з7=Т '
В некоторых задачах, когда надо найти только остаток от деления многочлена на многочлен, можно применить метод, который проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 9. Найти остаток от деления многочлена х4 — — 2х3 + Зх2 + 4х +1 на многочлен х2+х—2.
Решение. Так как делитель есть многочлен второй степени, то частное будет многочленом второй степени, а остаток — многочленом первой степени либо константой; поэтому справедливо тождественное равенство
х4—2x3-f-3x24-4x+ 1 = (ах2+ бх-f-c) (х2т|-х—>2) + (dx+r), или
х4—2х3+Зх24-4х+1 = (ах2-|- Ьх-±-с) (х+2) (х— 1) + (dx+'zj.
Полагая в этом равенстве х =—2 и затем х—1, для нахождения d и г получаем систему
( 37 = -— id+rf
| 7==d + r, откуда d~—10, г =17.
Итак, остаток от деления многочленов будет многочлен —Юх+17.
При делении многочлена Рп (х) = aQxn + atxn, . s . + art-ix-hart, расположенного по убывающим степеням х, на двучлей *) х—а применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов. Заметим, что при • делении многочлена Рп,(х) степени п на двучлен х—а в частном получается многочлен (х) = aoxn~1+ bixn~% + ... + степени n—1, а в остатке—число (в частности, нуль). По методу неопределенных коэффициентов имеем
аихи + агхп -1 + а2х” ~а+ ... + а„_2х8 + а„ _,х+=
= (аохя"’'+ btxn-i+ 62х«-8+ ... + &„_2х+ 6„_i) (х—а)+г, т. е.
аох” + агхп -1 + а2хп. 4~ ап^х2+ап^х+ап =
= аохп + Ь±хп -1 + Ь2хп “3+.». + 6п-.2*2+£п-1*“-
— a^ax"-1 — biaxn~%— г.. — Ьп~2ах—	г. (4)
Приравнивая коэффициенты при4 одинаковых степенях в левой и правой части равенства (4), находим
{ai — bi-aa^ а2 = b2—(x>bft
Яп*-! — bn-"!'— ап =r—abn~i,
*) Выражение ах -j- Ь, где а # 0, называется линейным.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 129
откуда получаем рекуррентные формулы для нахождения коэф-, фициентов частного bi, b2t Ьп-$ и остатка г:
bi =zai+ad(jt
Ь% — б?2 “Ь uh ,
r = a„ + aZ>„»x.
Практически вычисление коэффициентов частного Q«—s(x) и остатка г проводится йо следующей схеме (схема Горнера):
В этой схеме, начиная с коэффициента Ь±, каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число а и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом*
Пример 10. Используя схему Горнера, разделить многочлен
4х3—-X&-F32—-8х2 на
Решение. Напишем делимое в каноническом виде, т* е«. в виде
— х5+0.х4+4х3—8х2Ч-0.х + 32.
Применяя схему Горнера,		имеем			
	—Г 0	4	-	-8.	0	32
	+ +	+		+	+
	2	-4	0	16	—32
—2	—1	2	0	-8	16	0
Итак, частное Q 4 (х) = — х4+2х3—8х +16 и остаток г ==Р< Следовательно,
4х3 —х&-Ь32—8х2=(х+2) (—х4+2х3—8х+16).
Пример 11. Используя схему Горнера, разделить многочлен 2х2 — Зх3—х+**-+1 на *+!•
Решение. Запишем делимое в каноническом виде* т._ е*. в виде .
*5+0.x4—Зх3+2х2 — х+ L
5 Задачи по математике. Алгебра
130
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Применяя схему Горвера, имеем
	1	0	—3	2	-1	I
	+ +	+	+	+
	—1	1	2	—4	5
—1	1 —1	—2	4	—5	6
Итак, частное Q 4 (х) = х4—х3—2х2 + 4х—5 и остаток г = 6, т. е.
2x3—Зх8—х+х5 +1 = (х+ 1) (х4—х3 — 2х*+4х—5) +6. ’
. При делении многочлена Рп (х) на х—а имеем тождественное равенство
Р„(х) = (х—a) Qn_f(x) + r.
Ohq справедливо, в частности, при х = а, т. е. Р„(а) = л
Следующая теорема позволяет найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного.
Тео р ем а Безу. Остаток от деления многочлена Рп (х) на двучлен х—а равен значению многочлена Рп(х) пРи х — а, т.е. г = Рп (а).
Пример 12. Найти остаток от деления многочлена Р4 (х) = = х4+ х3+Зх2+2х+2 на х—1.
Решение. Согласно теореме Безу, имеем
г = Р4 (1) = 1 +1 +3+2+2 = 9.
Пример 13. Найти значение многочлена Р5 (х) = 2хб — 4х4 — — х2 + 1 прих = 7.
Решение. Согласно теореме Безу Рб (7) равен остатку от деления многочлена Рб (х) на (х—7). Вместо непосредственного подсчета найдем это значение по схеме Горнера. Имеем:
	2	—4	0	—1	0	1
	+		+ ^+		+	+
		14	70	490	3423	23 961
7	2	10	70	489	3423	23 962
Итак, Рб (7) = 23 962.
При делении многочлена Рп (х) на двучлен вида ах+& полу-b чается остаток, равный значению этого многочлена при х=------,
Пример 14. Найти остаток от деления многочлена Р8 (х)= = х3—Зх2+5х + 7 на 2х+1.
Решение. Согласно сделанному замечанию,
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |3|
П р им ер 15. Выяснить, делится ли многочлен Р4 (х) ,== х4 + + 4х?4-5%+8 на а) х+2; б) х+1.
Решение, а) Так как Р4 (—2) ф. О, то данный многочлен на х+2 нацело не делится;
б)	так как Р4(—1) = 0, то данный многочлен делится на х+1.
Пример 16. Найти все значения а и bt при которых многочлен Р3 (х) = х2+ах2—х+& делится на х2—1.
Решение. Если многочлен Р3(х) делится на х2—1, то многочлен Р3(х) должен делиться на х—1 и на х+1. Поэтому Р3(1) = 0 и Р3(—1) = 0, откуда для нахождения а и b получим систему
( 0= 1 4-а—1 + &,
0 = —1 + a +1 -[7 b • Отсюда
а =—Ь.
Следовательно, многочлен Р3 (х) = х3+ах2 — х—а делится на х2— 1 при всех а.
Число а называется корнем многочлена Рп(х), если при.х.==а числовое значение многочлена равно нулю, т. е. Р„(а) = 0.:
Следствия теоремы Безу:	.... ...
1.	Многочлен Рп (х) делится на х—а тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена Рп (х).
2.	Многочлен хп—ап делится на х—а при .любом натуральном п, причем
уП__лП
—-——- = x'2‘~x + x"-2«a + xn~?«a2 +... + x2an“3 + xan-2 + aw~1.
3.	Многочлен х2" —-а2п делится на х+а при любом натуральном п, причем
х2«—а2«_ х+а “
= х^п -1 — х2« - 2а _|_’х2и - за2 _|_ t — х2а2п ~3 + %а2п ~ 2 — а2п ~х.
4.	Многочлен x2n+i + a2"+a= делится на х-\-а при любом натуральном п, причем
х2п + 1_|_а2п+1_
х + а
— х3« — х2п-га+х2" ~2а2— ... +х2а2/1~2 — ха2л~:|, + а2яв
Пример 17. Доказать, что многочлен
Pi7 (х) = х17—15х14 + 37х10 —16х8—7 делится на х—1.
Решение. Так как Р (1) = 1 —15+37—16—7 = 0, то по следствию 1 многочлен Р (х) делится на х—1.
Пример 18. Разделить многочлен Р5(х) = х5—32 на х—2.
Решение. Так как Рб(х) =х5—25, то по следствию 2 многочлен Р (х) делится на х—2, причем
=X*+х® • 21+х2 • 22+X • 23 + 24 = х1+2х3+4х2 + 8х +16. х—2
Пример 19. Разделить многочлен Pi0 (х) =ххо +1 на х2 + L 5*
132	' ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Рёшение. Положим х2 = щ тогда многочлен P'(«) = «R4-L По следствию 4 этот многочлен делится на «4-1, причем
«б +-1	’ 4 Ч ,	2	11
«4-1
Отсюда’ следует, что	'	*
Э/=^гу=(^)4-(^)3 + (х2)2-х2+1 =
= х8—х* +х4—я* 4-Д >
Пример 20. Доказать, что при любом натуральном п число 42"—З2«_|_23« —1 делится на 7.
Решение. Так как 42" = 16", 32" = 9" и 23" = 8", то ’ ' 42w —32w4-23rt—1 = 16" —9"4-8«—1.
' Согласно следствию 2, при любом натуральном п число 46"— —9" делится на число 16—9 = 7 и число 8"—1 делится на число 8—1=7. Следовательно, число 16"—9«-|-8"—1 делится на 7 как'сумма’ чисел-16" —9" и 8" — 1, каждое из которые делится на 7.	•	' •
. . Не для всякого многочлена Рп (х) (п^2) существует двучлен х—а такой, что-многочлен Рп (х) делится нацело на этот двучлен х—ос. Примером этого может служить многочлен второй степени вида ax2-[-bx-\-cf а Ф 0, в случае, когда Ь2—4ас < 0.
Многочлен ах24"Ьх-\-с, гДе а 0, называется квадратным трехчленом.
Проведем преобразование квадратного трехчлена, которое называется выделением полного квадрата:
(Ь с \ х2'^~~аХ~^~а /^
( 9 I	П » ( Ь \2 I С	( Ь \ 2\
— а ( X2 4~	2Х 77- 4- I 77“ ) -|——	( 77“ ) ) —	’
- -	\	2а.. \2а/. а.	\2а J )
«. b	.	с	Ь2 \	[	. Ь\2	£2-^4ас
* +	Н--------— =а х4-тг-)---------а—” •
1 2а}	{	а	4а2 /	\	’ 2а J 4а
Выражение Ь2~~4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена и обозначается D, т. е. по определению £> = Ь2 — 4ас. Если D > 0, то квадратный трехчлен представим в виде
„ , , .• .Г/	. 6\2	D 1	г/	. ьу
ax2 + fcx+c=« x-f-з- —» —а (яЧ-к-	— ( ’Чг— / •=
L \	2а/	14а2 J	[ \	1 2а/	\ 2а /
т.^е. в этом случае ^квадратный трехчлен разлагается вч1роизведе-ние двух линейных множителей, а каждое из чисел
 • •— byV D Х1=--25- и Х2
К D
2а
является корнем квадратного трехчлена.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ 0Т ОДНОЙ .ПЕРЕМЕННОЙ 133
Если £> = 0, ,то .квадратней /трехчлен, представим в.виде> ‘	’’	/	$ \ 2	•: н. • >
ах^4-6х+с=а ( *+55 ) »
т. е. разлагается в произведение двух совпадающих линейных мно-; жителей и обращается в нуль при х==-^-(корень кратности два), . При D < 0 квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается и не имеет действительных корней.
‘МЧ		.	:	-	. ,	. ,	.	,	.	. 	;
Пример 21. Разложить на множители квадратный:трехчлен:
а)	2х2—12x4-18; ’б) Зх2 —Зх—6; в).-х2—х4-1-
Решение, а) Так как D = 122 — 8* 18 = 0,. то xi = x2 = 3; следовательно, 2х2 — 12x4-18 = 2 (х —З)2;
б)	так как D = 32 + 4-3«6 >0, то Xi = 2 и х2 =—1; следова-тельно, Зх2 —Зх—6 = 3{х—2) (х4-1);
в)	так как £>=1—4 < 0, то квадратный трехчлен х2 —х+1 не -имеет действительных корней и на 1 линейные множители, не разлагается.
Заметим, что если D^sO, то для корней Xf и х2 квадратного трехчлена ах2 + &х + с справедливы равенства (теорема Виета):
С	"	Ь	....
Х1Х2 = у и Xi + x2 = — —.
>
Справедливо и обратное утверждение: если числа а и (3 таковы, что оф=-^- иа + Р = — — , то они являются корнями квадратного трехчлена ах2-[-Ьх-\-с,
В случае приведенного квадратного трехчлена х2+рх+q иногда легко найти два таких числа, произведение которых равно свободному члену q, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с-противоположным знаком, т. е. — р. Согласно теореме Виста, эти найденные числа и являются корнями приведенного квадратного трехчлена х^ + рх+</.
> Пример 22. Разложить на множители Многочлен:
а)	х2 —5x4-8; б) —12—7х—х2.
Решение, а) Так как числа 2 и 3 таковы, что их произведение равно б, а их сумма равна —(—5), то они являются корнями многочлена х2—5x4-6, и, следовательно, х2 — 5х-Нб = = (х—2) (х—3);,	__jg
б)	так как числа —3 и —4 таковы, что (—3) • (—4) = —-р —7
и (—3) -Р (—4) =----j-, то они являются корнями квадратного
трехчлена —х2 — 7х—12, и, следовательно, —12 — 7х—х2 = = -(х + 3)(х + 4).	•	•
Пример 23. Привести пример квадратного трехчлена, корнями которого являются числа 2 и -у.
134	ГЛ. 2, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Данные числа являются, например, корнями приведенного квадратного трехчлена х2+рх+</ при р=— ^2-|- у и q=2 •	> т. е. квадратного трехчлена х2 —Ь
(3	\
х2-ух~1 \
также имеет своими корнями заданные числа. .
Для любого многочлена степени больше 2 доказывается, что существует квадратный трехчлен, на который данный многочлен делится нацело.
Для многочлена третьей степени Р3 (х) = ах3 + bx* + сх+d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов, т. е.
Рз (х) = а(х—-а) (х—р) (х—у), где числа а, В, у не обязательно различные, либо он разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена, т. е.
Рз (х) = а (х—a) (x^ + fx+y).
Пример 24. Разложить многочлен на множители:
а) х3 + х—2; б) х3 — 3x-f-2.
Решение.	*	*
а)	х3-]-х—2 = (х8— 1) + (х—1) =
= (х~1)(х2 + х+1) + (х-1) = (х-1)(х2 + х+2). Дискриминант квадратного трехчлена х^+х+2 меньше нуля; поэтому на множители он не разлагается.
б)	х*—Зх + 2 —х8—х—2x4*2 =
==х (х2— 1) — 2 (х—1) = (х— 1) (х+1) х—2 (X—1) = = (х— 1) (х2+х—2) = (х— 1) (х2 — 1 +х— 1) =
= (х—*1) (х—1) (х+2) = (х-1)2(л?+2)4
Многочлен четвертой степени
Р4 (х) =ax4 + 6x8+cx^+dx+f разлагается:
а)	либо в произведение четырех двучленов: Р4 (х) = я (х—а) (х—р) (х—у) (х—б), где числа а, р, у и б не обязательно различные;
б)	либо в произведение двух двучленов и квадратного трехчлена:
Р4 (х) = а (х — <х)/(х—Р) (х?+ух+б), где числа а и Р не обязательно различные;
в)	либо в произведение двух квадратных трехчленов:
Р4 (х) — а (х2 + <хх+р) (х2-f-ухб), где одновременно возможны равенства а = у и р = б,
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
135
Пример 25. Разложить на множители:
а)	х4 5 —5x^ + 6; , в) х4 + х3—-х—1;	,	. ,
б)	х* + 5х? + 6;	г) х^+4.
Решение.
к 94	94
а)	ж4-5х2+6=х4-2 • ±^+^-^+6=
=(х?-4)2_(т)г=(х2”3)(х2-2)=
=(х-Кз) (х+Кз) (х-О (х+ У1);
б)	х4+5хЗ + 6 = (ха+|у-(1у = (*2+3)(х24-2);
в)	х*+х*-х— 1=х3(х+1)-(х+1)= .
= (х+1)(х3-1) = (х+1)(х-1)(х? + х+1);
г)	х4 + 4 = х4 + 4х2+4—4х2 = (х2 + 2)2—(2х)2 =
= (х2 -^2 х+2) (х2 + f^2 х+2).
В общем случае многочлен n-й степени Рп (х) представим единственным образом в виде произведения многочленов, степень каждого из которых не больше 2, т. е., каждый из которых либо двучлен, либо квадратный трехчлен, не имеющйй корней.
Возможность выделения у многочлена линейных множителей связана с наличием у этого многочлена корней.
Утверждения о корнях многочлена:
1.	Многочлен n-й степени имеет не более п действительных корней (с учетом их кратностей).
2.	Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3	(Теорема Виета). Если xi, х2, ...» хп— действительные корни многочлена
Рп (*) = aaxn + aixn-1+ ... +а„, то имеют место следующие равенства:
Xi + х2 + ... + хп = —	,
«о
Х1Х2Н-Х1Хз+. . .+хп»1Х^=—4 -г-.
40
Х1Х2Х3 +•...+ Xn _ 2Xn _ iXn-— ,
«0
*1Х2 ... Х„ = (—1)я^2- .
«о
4. Если Рп (x) — Qm (х) Ki (х), то каждый корень многочлена Рп (х) есть корень хотя бы одного из многочленов Qm (х) и Ki (х), а каждый корень многочлена Qm (х) и каждый корень многочлена Ki (х) являются корнями многочлена Рп (х).
5. Если а — корень многочлена Рп (х), то Рп (х) = (х—а)х XQn-i(*)> где QrZ-i(x) — некоторый многочлен степени п— 1.
136	fa. 2. АЛГЁБРАЙЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Нахождений корней мйогочлейа представляет собой в общем случае не простую задачу, однако -в тех случаях, когда -многочлен Рй (х) разложен в произведение многочленов, степень каждого из которых не больше 2, эту задачу удается решить полностью, так как по свойству 4 множество корней многочлена Рп (х) совпадает1 с множеством корней'его-делителей. '
Пример 26. Найти корни многочлена?	' -
а)	х4 —2х8-|-х2;	б) х3—8.
Решение, а) Поскольку '
> .	х4—2х3-|-х2=^ х2 (х2—2х-}-1) ~ х2 (х—I)2,
то корни данного многочлена есть Xi — х2 — 0, х8 = х4=1;
6)	поскольку'
х»-8^(х— 2) (х24-2х+4)
и дискриминант квадратного трехчлена х24~2x^-4 отрицательный, то данный многочлен имеет единственный корень, х — 2. • •*
Для того чтобы несократимая дробь p/q (р—целое, q— натуральнее) была корнем многочлена ,
Рп (x) = fl0xn + aix«-14-...+an_Ix+an	.......
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число р было делителем свободного члена ап, а число q—делителем старшего коэффициента а9.
В частности, если многочлен Рп (х) имеет целые коэффициенты и «0=1, то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена ап.
Пример 27. Найти корни многочлена
Р (х) = 2х3+х2—4х—2.
Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведенному выше утверждению, число р может принимать значения: —1, 1, —2, 2, а число q—может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:
—2, —1, — 1/2, 1/2, 1, 2.
Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем
Р(—2)0 0, Р (—1)	0, Р(—1/2) = 0, Р (1/2) 0 0,
Р (1) 0 0, Р (2) 0 0.
Следовательно, х— —1/2 является корнем данного многочлена Р(х) и Р (х) — (х+1/2) Q (х). Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x) = 2x2—4, корнями которого являются числа
2 и —2. Поэтому данный многочлен имеет корни >
Х1=.—1/2, х2— К 2 и х3- —У 2.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ, ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 	137
Пример 28. Разлржить на множители многочлер, Р(х) = 2х4—х34-2х?+3х—2. • -
Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем, рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число.р может принимать,значения. —1, 1, —2, 2, а число <7 —значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:
—2, -М, —1/2, 1/2, 1, 2,	.
Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем
Р(-2)#0, Р (—]) = 0, Р(-1/2) $£0, Р(1/2).= 0, \ Р(2)^0. .
Так как Р (— 1) = Р (1/2) = 0, то числа — 1 и 1/2 являются корнями да иного многочлена; следовательно,
Р (х) = (х-Н1) (х-1/2) Q (х).
Многочлен Q (х) можно найти, например, делением «стблбй-ком» многочлена Р (х) на многочлен (х+ 1) (х— 1/2).=х? +х/2 — — 1/2 или делением по схеме Горнера многочлена Р (х) на х+'1, а затем делением полученного частного на х—1/2 или методом неопределенных коэффициентов.
Найдем многочлен Q (х) = 2х?-|-6х+с методом неопределенных коэффициентов.
Поскольку справедливо тождественное равенство
‘ 2х4—х3+2х2 + Зх—2 = (х2+х/2 — 1 /2) (2х2 + Ьх+с)
и свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен —2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен
—то с — 4. Подставляя в тождество вместо с значение 4, а вместо х число 1, находим Ь:
2.1 —14-2-14-3-1—2 = (14-1/2—1/2) (2-1 4-д-1-|-4), - . откуда b = —- 2.
Итак, Q (х) = 2х2 —2х + 4.
Многочлен 2х2 —2x4-4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом:
2х4—х3 4- 2х2 4- Зх—2 = 2 (х 4-1) (х ~ 1 /2) (х2—х 4- 2).
Приемы разложения многочлена на множа* те л и
1. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример 29. Разложить на множители:
а) .р2 (х)=,^х2 — 60x4-10; б) Р2(х) — 8—2х,— х2;	i
В) Р«(х)=((х+2)(х+4))2-5(х+2)(х+4) + 6; 	• : •
г)	(х) = (х2+3х+1) (х?+Зх4-2) — 6;
д)	Р4 (х) = (х+1) (х + 3) (х+5) (х+7)+ 15;
138	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ "
е)	Р4 (X) = (4х+1) (12Х-1) (Зх+2) (х+1) -4;
ж)	Р4 (х) — 4 (х+5) (х + 6) (х+10). (х+12) —Зх2;
з)	Рв (х) = Зх6 — 4х5 4- 2х4 — 8х3 + 2х2 — 4х+3.
Решение, а) Находим дискриминант данного квадратного трехчлена
£> = 60? —4-9.10 = 36-9.10,
Так как D > 0, находим У D = 18 /10 и хх = ——
10 + 3/ТО	п п
ха =------------корни Р2 (х). Следовательно,
о
оз «А , ю а( IO-з КТО V 10 + 3 КТб\ Ра (х) = 9х2 — 60х+10-=9( х----з---- Их--------------}.
б)	Ра(х) = 8—2х—х2 = — (х2 + 2х—8).
Так как произведение чисел -4 и 2 равно —8 (свободному члену приведенного квадратного трехчлена), а их сумма равна —2 (второму его коэффициенту, взятому с обратным знаком), то, согласно теореме Виета, эти числа являются корнями данного квадратного трехчлена.
Следовательно,
Ра(х)=-(х+4)(х-2).'
в)	Полагая (х+2) (х+4)=/, многочлен Р4 (х)=((х+2) (х+4))2— — 5(х+2) (х+4)+ 6 можно записать в виде Р4 (У) =	5^+6.
Числа 2 и 3 являются корнями многочлена —5^ + 6; поэтому /2_5^_|_б==(/__2)(/ —3).
Переходя от t к х, получаем
Р4(х) = ((х + 2) (х+4)-2) ((х+2) (х+4)~3).
Запишем (х + 2) (х+4) в виде (х+2) (х + 4) = х2 + 6х+8 =» == (х+З)2 — 1; тогда
Р4 (х) = ((х+3)2-3) ((х + 3)2-4), откуда
Р4(х) = (х+3-Кз) (х+З+Кз) (х+1)(х+5).
г)	. Р4(х) = (х2+Зх+1)(х2 + Зх+2) — 6 =
= (х2+Зх+1)2 + (ха+Зх+1)-в.
Полагая х2+Зх+1 = /, многочлен Р4 (х) представим в виде /2+/ —6. Корнями этого многочлена являются числа 2 и — 3. Поэтому ^2 + ^—6= (/ + 3) (t — 2).
Переходя от t к х, получаем
Р4 (х) = (х2 + Зх + 4) (х2 + 3х— 1).
Находим дискриминант квадратного трехчлена ха+Зх+4. Так как D — — 1 < 0, то этот квадратный трехчлен на множители не разлагается.
Находим дискриминант квадратного трехчлена х2+3х—L - Так как D^13>0, то xi = —и xa = ^^jOI--------------------
£• £>
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 139
корни этого трехчлена. Поэтому х2-\-Зх—1=[ х--)х
7	—3-/13 \
4х------Г— )‘
Следовательно,
p.w. (^^±£г)(^=311Пз)(1.+3х+4).
д)	Так как
(* + 1) (х+3) (х+5) (х+7) = ((х+1) (х+7)) ((х+3) (х+5)) = = (х2+8х+7) (х2 + 8х +15),
то, полагая х2 + 8х+7 = /, многочлен Р±(х) можно записать в виде t(t +'8)4-15 или /2 + 8/ + 15. Корни квадратного трехчлена /2+ + 8/+15 есть —5 и —3. Поэтому /2+8/ + 15 = (/ + 3) (/+5).
Переходя от t к х, получаем
Р4 (х) = (х2+8х +10) (х2 + 8х +12).
Находим дискриминант квадратного трехчлена х2 + 8х+10. Так как 72 = 24 > О, то Xi = — 4+:J/r 6 и х2 = — 4—Т7" 6—корни этого трехчлена. Поэтому х2 + 8х + Ю = (х—(— 4 + V б)) (х — -(-4-/ 6)).
Числа —6 и —2 суть корни квадратного трехчлена х2 + 8х+ + 12; поэтому х2 + 8х+ 12 = (х + 6) (х+2).
Итак,
Р4 (х) = (х+2) (х+6) (х4-4-/1) (х+4 + /6).
е)	(4x4-1) (12х—1) (3x4-2) (х-{-1) = ((4x4-1) (Зх4-2))Х Х((12х— 1) (х4-1)) = (12х24-11x4-2) (12х2 + 1 lx-1).
Полагая 12х2 +11х + 2 = /, многочлен Р4(/) можно записать в виде t(t— 3)—4 или /2—37—4. Его корнями являются’числа 4 и — 1; поэтому /2 — 3/ — 4 = (/— 4) (/ +1).
Переходя от t к х, получаем
р4 (х) = (12х2+ 11х—2) (12х2+11х+3).
Так как корни квадратного трехчлена 12х2+11х—2 есть Xi = — 114-У217	—11 —/217
=--------------- и х2 —-----24-----» а квадратный трехчлен
12х2+11х+3 действительных корней не имеет, то
_/ч /	—114- /217 V —11-/217	, ,, .
Р4(х) = ^х-------------Дх------------------Д2х24- 11x4-3).
ж)• (Х4-5) (х-|-6) (х4- Ю) (х4-12) =
=((х4-б) (х4-12)) ((х4- 6) (х4-10)) = (ха4- 17x4-60) (ха-)- 16x4-60).
Полагая х2 4- 16x 4-60 = t, многочлен
Р4 (х) = 4 (х 4- 5) (х 4- 6) (х 4-10) (х +12)
140
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
можно записать в виде 4 (/4~х)/ —Зх2. Заметим, что
4 4. х) /—Зх* = 4/? + 4х/—Зх* = 4/2 + 4/х+х2 — 4х2 = •
==(2/4-х)2 —(2х)2 = (2/ — х) (2/4-Зх).
Переходя от / к х, получаем
Р4 (х) = (2 (х2 + 16x4- 60) - х) (2 (х2 + 16х+60) + Зх), или
Р4 (х) = (2х2+31х+120) (2х2 + 35х+120).
Находим дискриминант квадратного трехчлена 2х24~31х4~ 1.2р? Тай как D = 961—960 = 1 > 0, то xi = -=^ и х2 = —8—корни этого трехчлена. Поэтому 2х2+3 lx 4-120 = (х 4~15/2) (х+8}.
Находим дискриминант квадратного трехчлена 2х2+35х +120.
Так как D = 1225—960 = 265 > 0, то х3 =	И Х4 =
— 35 —1^265	9 , а- ।
=----------------корни этого трехчлена. Поэтому 2х24-35х +
+ 120 = (х—х3) (х—х4).
Итак,
-U 115\/	-354-/265V	-35-/265\
P^x)^(x+8)^x+-jj^x-------------------Дх---------------р
з) Так как х = 0 не является корнем данного многочлена, то преобразуем многочлен следующим образом:
р6 (х) = Зх6 — 4хб + 2х4 — 8х3 4-2х2 — 4х+3 =
= х3 (Зх3—4х2 + 2х—84- 2/х—4/х2 4- 3/х3) =
= х3 (3 (х34- 1/х*)-4 (х2+ 1/х2)4~2 (х4- 1/х) — 8). Заметим, что
х34- 1/х3 = (х+ 1/х)3—3 (х+ 1/х), х2+1/х2 = (х4-1/х)2—2.
Полагая х4-1/х = /, многочлен Рв (х) можно представить в виде Ре (х) = х3 (3 (/3 — 3/) - 4 (/2—2) 4- 2/ — 8). Тогда
Рб (х) = х3 (З/3 — 9/ — 4/24-84-2/—8) = хМ (З/2 — 4/ — 7).
Находим дискриминант .квадратного трехчлена З/2 — 4/—7. Так как D= 100 > 0, то'/1 = 7/3 и /2 =— 1—корни этого трехчлена. Поэтому 3/2—4/ — 7 = 3 (/— 7/3) (/4-1). Следовательно,
Р6 (х) = х3/ (3/2 — 4/—7) = 3/х3 (/ 4-1) (/ — 7/3). •
Переходя от / к х, получаем '
р6 (х) =3х3 (х4- 1/х) (х4- 1/Х4-1) (х+ 1/х—7/3) =
= (х24-1) (х24-х4-1) (Зх2-7x4- О-
Находим дискриминант квадратного трехчлена- х24~х4-1« Так -кцк D== — 3 < 0, то квадратный трехчлен х24-х4-1 на линейные множители не разлагается. Находим дискриминант квадрат-
ного трехчлена Зх2 — 7x4- 1- Так как D = 37 > 0, то xj = — >	о
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7 —	37
и х2 =--------корни этого трехчлена. Поэтому Зх3-—7x4-1 —
Итак,
Pe(х) = 3(л®+1)(%*+*+ 1)(х-1+р7.^х-7-^37 ).
А 2. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. В ряде случаев целесообразно заменить некоторые члены на сумму (разность) подобных слагаемых или. ввести взаимно уничтожающиеся члены.
' Пример 30. Разложит)? на множители:
а)	Р3 (х) = 5х3 - 5х;	б) Р2 (х) = 2х2 + Зх +1;
в) Р8 (х) = х2—х34-4—4х; < г) Pg (х) ^:х3 + 4х2 — 5х;
д) Рб(х) = хб4-5х3—6х2;	е) Р6 (х) = 3х6+ 12х4—96х2<
Решение.
а) Р3 (х) = 5х3—5х = 5х (х2'— 1) = 5х (х!~ 1) (х + 1);
б)	Р2(х) = 2х2Ч-Зх+1=2х24-2хЧ-х+1=	.	,
= 2х (х+1) + (х4-1) = (х+1) (2х+1);
в)	Р8 (х) = х2—х3+4—4х = х2 (1 — х)4-4 (1 — х) =
‘	'	= (1—х)(х2 4-4);
4 г) Р8 (х) — х3-|-4х2—5х = х (х24*4х—5) =
= х(х2—х4~5х—5) ~ х (х (х—1)4-5 (х— 1)) = х (х— 1) (х4-6)?
д)" Р5 (х) = х3 4- 5х3—6*2 = х2 (Л3 4~‘ 5х— 6) =
= х2 (х3—-х24-х2—х'4-бх—6) ==х2 (х2 (х—‘1)4_х (х— 1)-р
. 4-6 (х>-1)) = х2 (х-1) (х24-*4-6)$
е) рв (х) = Зх6 4-12х4—96х2 = Зх2 .(х4 4- 4х2—32) =
= Зх2 (х4—4х2 4- Зх2—32) = Зх2 (х2 (х2— 4) 4- 8 (х2—4)) = = 3х2 (х2 —4) (х24-8) = 3х2 (х—2) (х4-2) (х24-8)
3. Использование формул сокращенного умножения. Иногда приходится выносить множители за скобки, группировать члены$ выделять полный квадрат и только затем сумму кубов, разность квадратов или разность кубов представлять в виде произведенная
Пример. 31. Разложить на множители:
a)* Pg (х) == х3—Зх2—Зх 4*1;
6) Р4 >(х) == х4—2х3 4- 2х2—2х 4-1;
в). P^W^f*4—2х34-2х—I;	• .
- г) Р4(х)==х44- 15х24-2х34- 14x4-24;	.
д) Р6(х) = х64-27;
е) Р6 (х) = х64-2х&4"9х44- 16х34-24х24-32x4- 16;
ж) р7 (х) = х74-х64“*54-х4+*8Н"^2+х4-15
§) Pi2(x) = l-x4 Решение.
а)	Рд(х) = х3—Зх2—Зх4-1 = (х34-1)—Зх(х4-1) =
= (х4-1) (х2—х4-1)—Зх (х4-1) = (х4-1) (х2—4x4-1) =
= (ж+1)(^-4х+4-3) = (х+1) ((х-^_(/ 3)2)^= =(х+1)^-2-ГЗ)(х-2+КзЬ
б)	Р4(х) = х4—2xs4-2x2—2x+l=x4H-2x24-l —2x(x2+n^= = (л2+1)2-2х(л2+1) = (х2-|-1)(х?—2x4-1) =
= (х24-1)(х—l)*f
142	' ГЖ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИ^ ВЫРАЖЕНИЯ
в)	Pi (х) = х4=2х34-2х— I = х*—2х2-х4*3—х24
4-2*— Г = (Xs— х)2—(х2—2*4-1) = х2 (х— I)2- (х—1)2 = = (х-1)2(х2- 1) = (х-1)3(х41);
г) Pt (х)=х*4 1.5*2H-.2*3-|-14*4-24 = *44-2x2-*4-x24-
+14х2 +14х 4- 24 = (х24 х)2 +14 (х2 4- *) 4 24 =
= (х2х)24 2, (х2+х) • 7 4-49 — 49 4-24 =
= (х2 4 х 47)2—52 = (х2 4 х 412} (х2 4 х 4 2).
Так как дискриминант каждого из квадратных трехчленов х24 4*412 и х24*42 меньше нулят то они на линейные множители не разлагаются.
д) Рв (х) = х« 4 27 = (х2)3 4 З3 = (х24 3) (х4 - Зх2 49) =
= (х2 4 3) (х4 4 6х2 4 9—9х2) = (х2 4 3) ((х2 4 З)2 — (Зх)2) =
= (х243) (х2—3*43) (х243х43).
Так как дискриминанты квадратных трехчленов х243, х2—3x43 и х2 4 3x43 меньше нуля, то эти трехчлены на линейные множители не разлагаются.
е)	(х) = х« 4 2х5 4 Эх4 41 бх3 4 24х2 432х 416 =
= (х3)24 2Х31- X2 4 х4 48х4 416х3 4 24х2 4 32х 4 16 =
= (х3 4 х2)2 4 8х4 41 бх3 48х2 416х2 432х 416 = =х4 (х41)248х2 (х41)»416 (*41)2 =
= (х41)2 (х*48х2416) •= (х41)2 (х?44)2.
ж) Р7 (х)=х74*64*54**4*34*34*41 =
= х® (*41) 4Х4 (х41)4х2 (х-f-1) 4 (*-4 Г) =
= (*-|_ 1) (*.+д4+хх+1.) = (х41)(х240 У 41)= 
. = (х41) (х241) (х442х241 —2х2).=
= (х41) (х341) ((*341)?-(К2х)2) =
= (х41)(х244)(х2—К2х41)(х24У 2x41).
Так как_ дискриминанты квадратных трехчленов х2—Г"2х41 и 2x41 меньше нуля, то эти трехчлены на линейные мно-ЙЕители не разлагаются.
Заметим, что Рт (х> можно разложить на множители’ и другим способом. Так как Р? (Т) #0, то данный многочлен можно- разделить и умножить на х—1; тогда
Р7 (х) = х7 + *8 + *5 + х4+х34-я2+х+1 —
__(х7 + х6 + х5 + х4 + х3Ч-*2+*+ Н" —1) _ х—1
^х8—1 _(х*—1) (х*-Н) _(х2—1)(х2+1)(х4+1),_ X—1	. X—1	X—1
==(^)у.+^+1)^+1)=(х+1ж+1) W)=
=(х41) (х241) (х2- К"2*4 О (х24 К 2x41).
3) Рп (х) = 1 —X12 = (1 —х«) (14Х3) =
= (1 - х3) (14 X3) (14 X2) (1—Х2’4 X*) =
= (1-х) (14х-4х2) (.14х) (1-х4*3) (14*2)Х
Х(х«42х24 1 —Зх2) = (1 -х) (14х) (14*4х3) 0 —*4х2)х
X (х2 — /"Зх 41) (х2 4 У Зх’4
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 143
Так как дискриминант каждого из квадратных трехчленов 1+х+х?,	1— х+х2, х2 — У" Зх+1 и х2 + )/"Зх+1
меньше нуля, то эти трехчлены на линейные множители не разлагаются.
4.	Использование теоремы Безу и метода неопределенных коэффициентов.
Пример 32. Разложить на множители:
а)	Р9(х)==х3+4х2 + 5х+2; б) Р4(х) = 2х4-Зх3-7х2 + 6х+8.
Решение, а) Так как Р3 (—1) = 0., то' многочлен Р9 (х) делится на х+1. Методом неопределенных коэффициентов найдем частное от деления многочлена Р9{х) = х3+4х2 + 5х+2 на двучлен х+ 1.
Пусть частное есть многочлен Х2 + ах+р. Так как
х3 + 4х2+бх+2=.(х+ 1) (х2+ах+₽) =
= хз+(а+1)х2+(а+р)х + р> получим систему
г а +1=4, f ] а + р=5,
I	Р = 2,
откуда а = 3, Р = 2. Следовательно, Р3 (х) = (х+1) (х2 + Зх + 2). Поскольку
х2+Зх+2 = х2+х+2х+2 = х(х+Т)+2(х+1) = (х+1)(х+2), то Р3 (х) = (х+1)2 (х+ 2).
б)	Поскольку Р,4 (2) = 32—24—28+12+$ = О, то многочлен Р4(х) делится на х—2. Методом неопределенных коэффициентов найдем частное 2х3+ах2+;Рх+у.
Так как
2х4 - Зх3 - 7х2 + 6х + 8 = (х - 2) (2х3 + ах2 + Р х + у) = = 2х4+’(а— 4) X3 + (Р—2а) х2 + (у - 2Р) х - 2у, получим систему
/ а—4 =—3, р —2а = —7, ' у—20 = 6, -—2у = 8,
откуда а=1, Р = —5, у =—4. Следовательно, , р4(х)=<х— 2) (2х3 + х3 —5х—4).
Разложим на множители многочлен правой части:
2х3 + х2—5х—4 = 2х3 + 2х2 —х2 —х—4х—4=
= 2х2(х+1) — х(х+>1) — 4 (х+1) = (х+1) (2х2 — х—4).
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2—х—4/Гак как © = 1+4-4.2 = 33 > 0, то хг= 	33 и х2= 1~~^'?3—
144
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
корни этого трехчлена^ Поэтому 2л?— х—4 — 2 ^х—--ух
х(«=р).	:	
Итак,	_ ___________
?.ы=2(.+п (,_2)(Xu_pi)
5.	Использование теоремы Безу и деления «столбиком»* л
Пример 33. Разложить на множители . <	Р4 (х) = 5х4+9х3—2х2 —4х—8.
Решение. Поскольку Р4 (1) = 5+9—2—4 — 8 = 0, тоР4(х| делится на (х— 1). Делением «столбиком» найдем частное
5х4 + 9х3^2х2 — 4х—8 I	х—1
~~5х4 —5х3 I 5х3+ 14х?+ 12х+8
14х3—2х2 —4х—8
"14х3—14х2______
12х2 — 4х—8 12х?— 12х
_J.8x—8 8х—8
г: ' ‘	0 Л ’
Следовательно,
Р4(х) = (X-1) (5х3+ 14х2 + 12х+8)(х-1)Р3(х).
Так как . Р3(—2)=?—40+56—24+8 = 0, то многочлен р3(х) = 5х3+14х2 + 12х + 8 делится на- х+2-. Найдем частное делением, «столбиком»:	,,
5х3 + 14х2 + 12х+8 I х +2
~~ 5х3 + 10х2	I 5х2 + 4х+4
___4х2+12х+8 4х2+ 8х
__4х + 8
4Х + 8
0
Следовательно, Р3 (х) = (х + 2) (5х2 + 4х+4).
Так как дискриминант квадратного трехчлена 5х2 + 4х+4 равен D-г-24 < 0, то эртт квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.	~
Итак,	, (
Р4(х) = (х— 1)(х+2)(5х2 + 4х+4). f
6.	Использование теоремы Безу'и схемы Горнера. Полученное этими способами частное можно разлагать на множители любым другим или этим же способом.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ; ПЕРЕМЕННОЙ 145
Пример 34. Разложить на множители:
а) Р3 (х) = х8—х?—8х+12; б) Р3 (х)=2х3— -х— 5x2 + lj
в)	Рз (х) = 2х3—5х2— 196х+99;
г)	Р4 (х) = х4 + 4х3—2х2 —4х+1;
д)	р6(х)=х«+3хб+7х*+9х8+х2— Зх—18.
Решение, а) Коэффициент при старшей степени равен 1; поэтому целые числа, которые могут быть корнями многочлена Р3 (х), являются делителями свободного члена —числа 12. Выпишем эти числа: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Непосредственной подстановкой находим Р3 (1) “4, Р3 (— 1) == 18, Р3 (2) = 0.
Так как Р3 (2) = 0, то х= 2 является корнем многочлена Р3 (х); поэтому многочлен Р3(х) делится на х—2. Найдем по схеме Горнера коэффициенты частного от деления Р3(х) на х — 2. (Здесь и далее таблица из схемы Горнера приводится с сокращениями):
	1 -	—1	—8	12
2	1	1	—6	0
Таким образом, х3—х2—8х±-12 = (х—2) (х24-х—6)4
Так как
х2+х—6 = х2—44-х—2 = (х— 2) (х4-2)4-(х— 2) = (х—2) (х+3), то	: z ;
Р3 (х) = х3—х2—8^+ 12 = (х—2)2 (х—3).
б)	Если многочлен Р3 (х) имеет рациональный корень p/q, то р является делителем свободного члена (+1), a q является делителем коэффициента 2, поэтому среди всех рациональных чисел корнями могут быть только числа ± 1,; ± 1/2; Непосредственной подстановкой находим ••
Р8(1)=—3, Р8(—1)=—5, Р8(1/2>=-1/2,' Р8(-1/2) = 6?
Так как Р3(—1/2) = 0, то х = —1/2 является корнем-многочлена Р3 (х) и многочлен Р3 (х) делится на х+1/2. По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена Р3 (х)- на х+ 1/2:
	2 : —5	—1	1
—1/2	2 —6	2 0
Таким образом,	•
2хз__5^__= (х+1/2) (2х2 —6х+2) = 2 (х+1/2) (х2—Зх+1).
Найдем дискриминант квадратного трехчлена х2—’Зх+1.
т пса	34-/’6	3-К5
Так как D =5 > 0,	то xi =-g-и х2 =---g-----корни этого
трехчлена; поэтому х2—Зх +1 = f х—С*——
146
ЕЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Итак,
Р8 (х)=2ж«—5х2—х+1=2	) (х~ ~5	5) ‘
в)	Если данный многочлен имеет рациональные корни, то они могут быть только среди чисел ±1/2, ±1, ±3/2, ±3, ±9/2, ±11/2, ±9, ±33/2, ±33, ±99/2, ±99, ±11.
Для нахождения корня данного многочлена воспользуемся следующим утвержденим:
Если на концах некоторого отрезка [а; Ь] значения многочлена имеют разные знаки, то на интервале (а; Ь) существует хотя бы один корень этого многочлена.
Для данного многочлена р3(0)=99, Р3(1) =—100. Следовательно, на интервале (0; 1) имеется по крайней мере один корень данного многочлена. Поэтому среди выписанных выше 24 чисел целесообразно вначале проверить те числа, которые принадлежат интервалу (0; 1). Из этих чисел только число 1/2 принадлежит этому интервалу.
Значение Р$(х) при х~ 1/2 можно находить не только непосредственной подстановкой, но и другими способами, например по схеме Горнера, так как Р (а) равно остатку от деления многочлена Р (х) на х—а. Более того, во многих примерах этот способ предпочтительнее, так как одновременно находятся и коэффициенты частного.
По схеме Горнера для данного примера получим
	2	—5	—196	99
1/2	2	—4	—198	0
Так как Р3 (1/2) = 0, то х— 1/2 является корнем многочлена Р$ (х), и многочлен Рз(х) делится на х—1/2, т. е. 2х3—5х2—196x4-99= = (х—1/2) (2х2—4х—198).
Поскольку
2_ 4х _ 193 = 2 (х2—-Ь1 — 100) = 2 ((х — 1)2 — 102) =
— 2 (х±-9) (х—11), то
Р3 (х) = 2х3—5л2— 196x4-99 = 2 (х—1/2) (x-|-9) (х— И).
г)	Если среди корней данного многочлена есть целые числа, то это числа 1 или—1. Найдем Р4 (1): Р4 (1) = 1 4~4—2 —44-1=0. Так как Р4(1) = 0, то х= 1 есть корень многочлена Р4 (х), и многочлен Р4 (х) делится на х— L По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от Деления многочлена Р4(х) на х—1:
	1	4	—2	—4	I
1	1	5	3	—1	0
Таким образом,
х4— 4дз _ 2х2—4х 4-1 = (х — 1) (х3 4- 5х2+Зх— 1) f
Многочлен Р8(х)=х34-5х24~Зх— 1 при х =—1 обращается в нуль; поэтому он делится на х4-1*
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ : ПЕРЕМЕННОЙ 147
Па схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена Р3 (х) на х 4-1:
15	3—1
—114—10
Отсюда получаем
Р3 (Х) :=х34-5х24-Зх- 1 = (Х_|_ 1) (х24-4х— 1).
‘ Поскольку
х2+4х— I = х24-4х4~4—5 = (х4-2)2 — 5=	_
= (х+2-/5)(х+2+К 5), то
Р4(х)=х4 — 4х3—2х—4x4-1 =	_
= (х-1) (Х+1) (х + 2- к 5)(л+2+Кб).
д) Так как Рб(1)=0, то, согласно схеме Горнера, получаем
	1	3	7	9	1	—3	—18
1	1	4	11	20	21	18	0
Отсюда
Рб (х) = (х — 1) (хб 4- 4х4 4- 11 х3 4- 20х2 4- 21X 4- 18).
Применяя схему Горнера, убеждаемся, что многочлен
Р5 (х) = хб 4- 4х* 4-11 х3 4- 20х2 4- 2.1х 4-18
делится на х-|-2:
	1	4	11	20	21	18
—2	1	2	7	6	9	0
Отсюда
Р5 (х) = (х4-2) (х44-2х34-7х24-6х-|-9).
Группируя и выделяя полный квадрат, имеем .
x^-^2x34-7x24r6x4-^ = ^4”2x2*x4-A:24-*
4- 6х2 + 6х 4- 9 = (х2 4- х)2 4- 6 (х2+х) 4-9=(х2 4- х -j- З)2.
Так как дискриминант квадратного трехчлена х24~х4-3 меньше нуля, то этот трехчлен на линейные множители не разлагается.
Итак,
Рб (х) = (х-1) (х4-2) (х34-х-[- З)2.
ЗАДАНИЕ 1	?
1.	Найти числа а и b из тождественного равенства:
1)	х4'—3x4-2 = (х— 1) (х34-6х24~ах— 2);
2)	Зх5 — х> 4- 9х3 — 12х2 — 27 = (х2 4-3) (Зх3 — х2 4- ах 4- Ь);
3)	х^—^4-Зх2 — 60=Чх—2) (х54-2х44-Ьх34-6х24-ах4-30);
4)	(хж—1) (х24-^4’^)==х44-х3'“л;~“1‘
148	ГЛ. 2; АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2.	Многочлен Р (х) делится нацело на многочлен Q (х). Методом неопределенных коэффициентов найти частное от деления Р (х) на Q (х):
1)	Р4 (х) == х4+Зх3—6х2—8х, Q 2 (х) = 2х2—4х;
2)	Р4(х) = х44~6х34-Зх2—26х—24, Q2 (х) = х24-4х-ЬЗ.
3.	Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р3 (х) = х34-2х2 + 3х+ 1, Qj(x) = x—1;
2)	Р4 (х) = 2х4—4х3—х+ 1, Q:i(x)=x+2.
4.	Разделить «уголком» многочлен Р(х) на многочлен Q (х):
1)	Р8 (х) — 2х3—х2—5x4-4,	Qi (х) = (х—-3);
2)	Р4 (х) = 4х4 —2х3—16х2-|-5х4-9, Q2 (х) = х2—2х— 1;
3)	Рб (х)=хБ4-5х3-|~6,	Q2 (х) = х24-2х4-3;
4)	Рв (х) = х3 + х4 + х3 + х2+1,	Q2 (х)=х2+ 1.
Б. Применяя схему Горнера, найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р4 (х) =2х4—х3 — 9х2+13х—5, Qi(x) = (x—2);
2)	Рб (х) = 2х5—6х4—Зх2 + 4х,	Q3 (х) = (х—3).
6. Разложить многочлен на множители:
1)	Р3 (х) = х3+9х^+23х+15;
2)	Рз (х) = 2х3 — х2-— 5х--2;
3)	Р4 (х) = 3х44-5х3*-х2 —5х—2;
4)	Р4(х) = х4—9х34-30х2—44x4-24;
5)	Р6 (х) =х5 + 5х44-3х2— 13х2 — 8х+ 12;
6)	Рв (х) = х6—2хб — 28х4 + 54х34-79х2— ЮОх—100.
ЗАДАНИЕ 2	;
1.	Найти числа а и b из тождественного равенства:
1)	х4 + 2х3—16х2—2x4-15 =(х4-1) (х3+«х2—17х-Н);
2)	2x5—4x24-5x—3 = (x—l) (2x44-ax34-Z>x2—2x4-3);
3)	х54-2х4—Зх34- 14х2—22x4-8 =
= (х-|-4) (х4 —-2х3-[-5х24-^х4- Ь)\
4)	х54-х3—2 = (х—1) (х4 —ах3 4-2х24-2x4-^)-
2.	Многочлен Р (х) делится нацело на многочлен Q (х). Методом неопределенных коэффициентов найти частное от деления Р (х) на Q (х):
1) Р3(х) = 2х3-~27х24-115х—150, Q=1(x) = x—5;
2) Р6(х) = х5—9х44-26х3—18х2-27х4-27, Q2(x) = х2—4x4-3.	;
’ 3. Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р4 (х) = 2х4 — Зх3 — х24-5х—4, Qi (х) = х—3;
2)	Р5 (х) = 3хб—х4 — 2х34-^4-4х4-5, Q2 (х) =х2—2x4-2;
4.	Разделить «уголком» многочлен Р (х) на многочлен Q (x)i
1)	Р3 (х) = 2х3—7х24-х4“3,	QiW — х—4;
2)	*Р4 (х) = 3х4—х3+4х2—5х—5, Q2 (х) = х2—-2x4-2;
3)	Р4(х) = х44-х3 + х24-х4-1,	<2aW = ^2+l;
4)	Р& (х) = х5—Зх34-х24-2х—-1, Q2 (x) =х24-х—1.
б.	Применяя схему Горнера, найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р3(х) = х34-Зх2— 18х—40,	' Qi (х) = (х4-2);
2)	Р3(х)=х3 — 5х2—26x4-120,	Qi (х) = (х4~2);
3)	Р4 (х) = 6х4—5х3 — 53х2 45х—9,	Q1 (х) = (х—2);
4)	P4(v)=30x4—31х3—180х24-7х4-6, Qi (х) = (х4-1);
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
14$
6.	Разложить многочлен Р (к) на множители:
1)	Р3(х)-х3 4-х2—4x4-2;	. »	.
2)	р3(Х)=х3-х2—х4-1;
3)	р4(х)=х4—2х34~2х—1;
4)	р4(х)=х44-2х3—х24-2x4-1;
5) Р5 (х) = х5—2х4—8х3 4~ 16х2 +16х—32;
6) Рб (х) = х8 4~ 27.
ЗАДАНИЕ 3	’
1.	Расположить многочлен Р (х) по степеням х—2:
1)	Р3(х) = х3 —8х2-|-23х—24;
2)	Р4 (х) = х4—7х34-3х24~63х—108;	•• •.
3)	Р5 (х) = хб—11х44-49х3—111х24-129х—63;
. 4) Рб(х),= х8—12х54-60х4—161х3+246х2—204x4-72.:. *
2.	Найти все а и 6, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q (х):
1)	Р8 (х) =2х3—-х24~я*4-А	QaW—-^2’—1;
2)	Р4 (х) = 6х4 — х34-ах24- 6x4-4, Q2(x) = x2—4.	i :
3.	Доказать, что при любом натуральном п
1)	n84-4rt74-0n84-4n&4-^4 делится на 16;	. 4
2)	п4—2/г3+11п24-62п делится на 24.	• -
4.	Найти корни многочлена: '	'
' 1) Р4(х) = 6х4—х3— 124х2 — 101х—20;	’ •
2)	Р6 (х) = 12х64-25х4— 107х3 — 227х2—9x4- 18.	• ' •
5.	Разложить многочлен на множители:
1)	р3 (х) = 8х3 —5х2 4-5x4-3;
2)	Р3 (х) = 4х3—12х2 —25х-|-75;
3)	Р3 (х) — 8х34-42х24-37х-т-12;
4)	Р4(х) = 12х4—5х3—51х24-20х4-12;
5)	Р4 (х) = 6х44- 5х3 — 12х2 — 5х4- 6;
6)	Р4 (х) — 14х4—37х3—72х2—17x4-4.
. ЗАДАНИЕ 4
1.	Расположить многочлен по степеням х4~2:
1)	Р3 (х) = 2х34“ 13х24-25х4~ 14;
2)	Р4(х)=Зх44-24х34-70х24-87х4-38;
3)	Рб (х) = хб4-9х4 + 32х34-57х24-51х4-18;
4)	Рв (х) = х8 4- 12х5 4- 59х4 4- 152х3 4- 215х2 4~ 156х 4- 45..
2.	Найти все числа а и 6, при которых многочлен Р (х) делится нацело на многочлен х2—9:
1)	Рз (х) — Зх3 + 4х2 4- ах 4- Ь\
2)	Р4 (х) =20х4—Зх34-ах2+ Ьх+18.
3.	Доказать, что при любом натуральном п
1)	п44"3п3—п2 — Зп делится на 6;
2)	п5—п делится на 10.
4.	Найти корни многочлена:
1)	Р3(х) = 8х34-42х24-37х—12;
• 2) Р4 (х) = 6х4 4- 7х3—22х2 — 28х—8.
5.	Разложить многочлен на множители:
1)	Р» W =2х3 + 5х24- 10x4-4;
2)	Pg’(х) = 2х3-J—19х2 4“ 56x4“ 48;
3)	Р3(х)=8х3 —86х24-’54х--27; <
4)	Р4 (x) = 3i4 — x34-*24-x~-4;	-
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
160
5)	Р4(х)=х4—2ха— 24х24-50я-25;
6)	Р4(х) = 4х4—24х3-|-29х2+42х—63;
7)	Pt (х) = 6х*+5х3—95х?—80х—16.
Упражнения
1. Найти а и b из тождественного равенства!
4)/ 2x3 — 8x2-|-9x—9 = (x—3) (2x24-ax-|-#);
2) 3x4—7x34-4x2 — 7x+6 = (x—2) (3x3—x24-ax4~ b)i
4) 2X4 + 5x3 + 3x2 — 2x—8 == (x2 + x—2) (2x2 + ax + b);
4)	x4—4x3—13x24-64x—48 = (x2—7x4-12) (x24-ax4-Z>);
5)	jf5—5x3+4x?—3x—2 = (x—-2) (x4 + «x3 + ^2 + 2x+1);
6)	x6+2X4—x3 4- 2x2+4x—8 = (x+2)2 (x3 4- ax2 4- 3x 4- b);
7v X6„x5—2x4—4x24-4x4-8 =(x2—x—2) (x^ + ax^ + bx—A);
8) xe —3x54-2x4—16x34-48x2—32x = (x? —3x4-2) (x^ax-H)-
2.	Многочлен P (x) делится нацело на многочлен Q (х). Методом неопределенных коэффициентов найти частное от деления Р (х) на Q (х):
1)	Р3(х) = 2х34-7х24-7х4-2,	Qi (х) = х4-2;
2)	Р4 (х) = 3х4 —8х34-2х?4“Ьх—2,	Qi ’(x) = x—-2;
3)	Ръ (х) = 5х5 —6х4—х?4~*+1>	Qi(x)==x—1;
4)	Р6 (х) = х6—Зх5—х44-2х34-Зх^4~а:~3, Q!(x)=x—3;
у 5) Р7 (х) = 2х74-3х6 — Зх—2,	Qi(x) = x—L
3.	Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р8(х) = х3—19х—30,	Q2(x) = x3
2)	Р3(х) = х34-6х24-11x4-6, QaW==^
3)	Р4 (х) = 5х4—х3—х—4,	Qz(x)^=x2
, 4) Рб (х) = х5—4х4 —2х2—X-J-5, Q2(x)=x3
4.	Разделить «уголком» многочлен Р (х)
1)	Р3 (х) — 5х3—2х2 —2х—1,
2)	Р3 (х) =х3—9х24-27х—27,
3)	Р4(х)=—12х44-4х34-9х2— 1,
4)	Р4 (х) = — 20х4 — 1 Зх3 4- 20х2 4- 7х 4- 6,
5)	Р4 (х) = х4—х2 4- 3,
6)	Р4(х) = х44-7х34-18х24-20х4-8,
7)	Р5 (х) = х54-х44~х34-*24- 1,
8)	Р5 (х) = х5—х34-2х24-х+1,
9)	рб (х) — х6—Зх5—4х34-х—1,
10)	Р7(х) = х7 — х6-Зх34-х'4-1,
5.	Применяя схему Горнера, найти частное и остаток от деления многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р3 (х) =х34-Зх24-Зх +1,
2)	Р3 (х) = 2х3 4-Зх2 — 2х—3,
3)	Р3 (х) = 6х3 4-х2 — 20х—12,	J
4)	Р3 (х) = 5х3—26х2 + 25х—4,
5)	Р4(х) = х4— 10х24~9,
6)	Р4(х) = х4-х3-10х24-4x4-24,
7)	Р4(х) = х4—15х24- 10x4-24,
8)	р4(х) = 6х44-7х3—9х2 —7x4-3,
9)	Р5 (х) = х54-3х4 — 20х3 — 48х24-64х,
1;
4;
9.
на многочлен Q (х): Q2(x) = x24-4x-|-3; Qa (х) = х2—2x4-4; Q2(x) = x2+7;
Q2 (х) = х24-х;
Q2(x) = x2—3;
Q2 (x) = x24-2x-|-l;
Qa (х) = х2—х—2;
Q^(x) = x2+2x+3;
Q2 (x)=x2+x+1;
Q2 (x) = x2—x4~ 1.
Qi(x)=x+1;
Qi (х)=х+2;
Qi (х) = х—3;
Qi(x) = x—5;
Qi (х) = х+2;
Qi (х)=х— 1;
Qi(x)=x + 3; .
Qi(x)=x—2; Qi (х)=х + 5.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 151
6.	Расположить по степеням х—3 многочлен:
1)	Р3(х)=х3-9х24-27х—27;
2)	Р3(х) = х3-5х2 + Зх + 9;
3)	Р3 (х) = 2х3 — 18х2+108; 4) Р3 (х) = 3х3—81х-}-162;
5) Р4 (х) =х4—12х3-|-54х2— 108x4-81;
6) Р4 (х) = х4 —6х34-18х2 — 54x4-81.
х/ 7. Найти все числа а и Ь, при которых лится нацело на многочлен Q (х):
1)	Р3 (х) = 2х3—5х2 + ^х4-Р3 (%) — Зх3 4- ях2 4- Ьх 9, Р4 (х) = 2х44-ах3 — х24- bx— 1, Р4 (х) = Зх4 4~ Зх3 4~ ах2 4- Ьх-\-10, q2(x) = (x„1)(x + 2);
р5 (х) = 4хв ах4 — 11х3 4- 23х2 4- Ьх 4- 2, Q3(x) = (x—1)(х-(-2);
Р5 (х) = 2х5—9х4+8х3 4~ а*2 4~	4~ 12;
Qa(x) = (x+2)(x-3).
Доказать, что при любом натуральном 2п3—Зп2-|-п 9пв—5п3 —4п
2)
3)
4)
5)
6)
многочлен Р (х) де-
Q2(x)=x2—4;
Qa(x) = x2-9;
Q2(x) = x2-1j
делится делится делится делится делится делится делится делится
на на на на на на на на 8.
п
6;
120;
6;
24;
120';
60;
120;
1)
2)
3)	n34-lln
4)	n4 4~ 6n3 4г 1 In2 4~ On
5)	nB—5n3 + 4n
6)	n6 —n2
7)	nB—125n3-H4n i 8) n44-2n34-3na4-2n
9.	Найти корни многочлена:
1,) P3(x) = 5x34-18x2 — '10x- 8;
2)	P3(x) = 2x3 — 5x2—8x4-20;
3)	Р3(х) = Зх3 —х2—27x4-9;
4)	P4(x) = 3x44-5x3—9x2—9x4-10;
5)	Р4 (х) = 2х4—Зх3—х2 4- Зх — 1;
6)	Р4(х)=х44-14х34-71х24-154х+120;
7)	Р4(х) = 3х4—4х3 — 49х24-64х-|-16;
8)	Р5 (х) == 2х5 — 9х44-8х3 4“ 15х2—28x4- 12;
9)	р5 (х) — 4х5—5х4— Нх34-23х2—- 13x4-2;
10)	Р5 (х) — Зхв—19х44“9х34"71х2—84х-|-20.
10.	Разложить многочлен на множители:
1)	Р2 (х) =3х2 — 2х — 7; 2) Р2 (х) = —4х24-5х’—1;
3)	Р2 (х) =—-^-х2 + 4х—2; 4) Р2(х) = 2х24-6х+1;
5)	Р2(х) = 3х2—х+2; 6) Р2 (х) = 4х2—4х+1;
7)	Р3(х) = х3—х2—8х+ 12; 8) Р3(х) = х3+х2+х+1;
9)	Р3 (х) = 8х3 — 12х2+6х — 1 ;
Ю) Р3 (х)=х8—19х—30; 11) Р3(х) = х8+2х2—3;
12)	Р3(х) = 2х8—Зх2—200х—99;
13)	Р3(х) = 8х8—70х2 + 101х—21;
14)	Р3(х) = 6х8—35х2—8х+ 12;
15)	Р4(х) = х4—Зх2 + 2; 16) Р4(х) = х4—х8—х+1;
17)	Р4 (х) = х4—2х3+2х2 — 2х + 1;
18)	Р4(х) = х4+Зх2 + 2;
19)	Р4(х) = х4 — 4х8+8х2 — 16х+16;
20)	Р4(х) = 6х4 + 5х8-74х2 + 11х+12;
21)	Р4 (х)= 10х4Ч-21х8-55х2 —72х + 36;
152-	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
22)	Рб(х) = 6х5—17х4 + 5х3+15х2~11х + 2;
23)	Рб (х) = х6—	-|-6х3+х2 — 5х + 6;
24)	Ре (х) = х6 —х4--х2+1.
11.	Разделить многочлен Р,(х) на многочлен Q (х):
1)	Р8(х) = 4х3 — 24х2 + 21х—5,	Q1(x) = 2x— 1;
2)	Р3 (х) = 3хй+19х2+22х—24, Qi(x) = x + 3;
3)	Р3(х) = 5х3—44х2-|-81х+18, Qi (х) — х—3;
4)	Р3 (х) = 2х3— 19х2Ч-32х-Ь21, Qi(x) = x—7;
5)	Pg (х) = Зх3 + 31X2 -И82х+24, •. Qi (х) х+4;
6)	Рз (х) — 2х3 —21х2 + 67х—60, Q1(x) = x-~5;
7)	Р4 (х) = х4—11х3 + 33х2—37х-|-14, .
Q2(x) = x2-2x+l;
' ’8) Р4 (х) = х4 —Зх3-~ 14х2+12х + 40,
Q2(x) = x2 —4;
9) Р4 (х) = х4—х3-49х2^-71х+120;
Qi(x) = 2x+5;
Qi(x) = x+2;
Qi W “ x-j~ 3;
Qi (х) = 3х—2;
Q2(x) = (x —2) (х+1);
Q2 (х) = (х— 1) (x + 2).
Q2(x) = x2 + 8x4-15;
10)	PB(x)-3x5—28x44-65x34-16x2—80x, .	'
Qi (x)=~3x2-~x—4.
12.	Применяя схему Горнера, убедиться, что многочлен Р (х) делится на многочлен Q (х):
1)	Р8(х) = 6х3—41х2—76x4-160/
2)	Р3(х) = 4х3—х2—27х—18,
3)	Р8 (х) = 21х34-80х24-53х4-6,
4)	Р3 (х) = 12х34- 49х2 — 53x4- Ю,
5)	Р4(х) = х4—8х34-15х2-|-4х—20,
6)	Р4 (х) = х4 — 9х34-9х24-41х—42,	v. _z v. ,
хУ 13с Проверить делимость нацело многочлена Р (х) на многочлен Q (х):
1)	Р3(х) = 35х3—124х2—67x4-12,
2)	Р8 (х) = 18х3— 105х24-77х- 10,
3)	Р8(х) = 63х3—149х24-48х—4,
4)	Р3 (х) = 6х34- 17х2 — 23х—70,
5)	Р4 (х) = 2х4 — хй — 29х2 4- 26х -|- 48,
6)	Р4(х) = 2х44-5х3—60х24-25х4-28,
Q1 (я) — 5х 4~ 3;
Qi (х) = х—5;
(х)==х—2;
Q1(x) = 2x4-5;
Qi (х) = х—3;
Q2(x) = (x-4) (х + 7).
14. Сократить дробь:
п 6х2 + 7х — 3
2х2-х-6~;
2 4х3 — 8х2 4- Зх—6
} "12х24:^4 9x 4 '3 ’
ЗЪ х3“1	•
7 х4+х2+1 ’
4)____________________•
’ xJ-4x3 + 8x2— 16x4-16
Зх2+12х+9.
Ь) х5 + 5х3 + 6 ;
х6 + х4+х2+1 ,
Х3+х2 + л:+1	’
X2—1Ех + 36
' х3-3х2-2х4-6 ;
m (х + 2Г-х7~128 .
(аЧ_2)^-х5 —32 ’ х4 —2х34-2х—1
х4 2х3 + 2х2 2х + 1 *
X8 + X4 + 1 х2 4 х -J- 1 *
§ 4. Алгебраические дроби	153
§ 4. Алгебраические дроби
Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами,	называется алгебраической	дробью.
Например,	,
2	%ах	*+*/	Зх2—#+х
а 9	ЗЬсу	9	х-\-у	9	2х—у 9	(а—Ь)2
являются алгебраическими дробями.
Область допустимых значений (ОДЗ) алгебраической дроби есть множество всех числовых наборов, соответствующих буквенному набору многочленов А и В, для каждого из которых числовое значение многочлена В не равно нулю.
тт	гагто *	v *	a(c2-\-d2)	!
Например, ОДэ алгебраической дроби -.с_^ ' eCTbi.множе-
ство всех числовых наборов, соответствующих ее буквенному набору (а, г, d), таких, что с &—d, .
тт	а.	а	а
Две алгебраические дроби и тождественно равны на множестве М, если на множестве М справедливо равенство ЛР= =ВС, при условии, что многочлены В и D не равны нулю.
Например, справедливы тождественные равенства X2 X — — на множестве Л1 = {(а, х): ах Ф 0}, ах а	1	.
так как на нем х2-а = ях-х;	> .
j^2._ J %___1
____ = —„— на множестве М = {х: х # — 1} Z —|— 1 j	Z
так как на нем 2 (х2-—1) = 2 (х+1) (х-—1);
у^1л=='Т на множестве м={(х, у)- *-#о; у^-1}-л у -у" л	л
так как на нем (ху-\-х) х — х2у~}-х2.
Для любого многочлена Р, не обращающегося в нуль на ОДЗ алгебраической дроби , справедливы равенства:
£5 л__р.л л __ Л/Р В Р-В 9 В ~ В/Р' т. е. дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить (разделить) на один и тот же многочлен Р (х), не обращающийся в нуль на ОДЗ этой дроби.	. -
Например, х4-1 х2 +1	.	, , 1 о
__—_—- пби X# ±1, Ху£—2. (х2— 1) (х + 2) х + 2 г
Л На ОДЗ алгебраической дроби -g- справедливы равенства
Л __ -Л . Л _ —Л В “ — В —В~~ В ’
154
’ ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Например, х2 —4х—х3  —(х2— 4х—х3)  х34-4х—х2
2—Зх	—(2—Зх)	Зх—2
при Зх—2 #0;
а.3—х—у 	— (3 — х—у)  а , х+у—3
b	а—b	b а—b b	а—b
т ~Р
а2 + Ь
— 4 + 5х—у
при b (а — Ь) £ 0;
_ /п .____а24-£
р + —(—44-5х—#) при р(у—5x4-4) £ 0.
т . a24~fr
5x4-4-
Общим знаменателем нескольких алгебраических дробей называется многочлен, который делится на знаменатель каждой из этих дробей.
Например, для дробей
х Зх—1 х4-2 И х—2
общими знаменателями будут многочлены
' (х4~2) (х—2) = х2 —4; 2(х2 —4); х(х2—4).
Общий знаменатель,, на который делится любой другой общий знаменатель без остатка, называется наименьшим общим знаменателем. В приведенном примере наименьшим общим знаменателем будет многочлен х2 —4.
Для того чтобы привести несколько алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю на ОДЗ этих дробей, надо знаменатель каждой дроби разложить на множители, а затем числитель и знаменатель каждой дроби умножить на произведение тех множителей знаменателей остальных дробей, которые не содержатся в знаменателе этой дроби.
Пример 1. Привести к наименьшему общему знаменателю следующие дроби:
b ex 7с t
Зх2 ’ 4а2х. ’ бах3 ’
5х	13	.ах '
4 —а2 ’	64-За ’	10—5х
1	1	1
х—у 9	х2—у2	’ X3 — у3
Зс4-	2	а 4-1
' 2а4х 9 ах3Ь ’ 2а2—4а4-2 ’ — a2b-4-ab
Решение, а) Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 4а2х, второй дроби — на Зх2 и третьей дроби —на 2а. Получим следующие дроби:
4а2Ьх Зсх3 14ас
12а2 х3 ’	12а2х3 9	12а2х3 ’
б)	Разложим знаменатели исходных дробей на множители: 4—а2 — (2 — а) (2 4- а); 6 4~ За = 3 (2 4~ а),
10 — 5а = 5 (2 — а).
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ	155
Числитель и знаменатель первой дроби умножим на 15, второй дроби—на 5(2—а) и третьей дроби—на 3(2+а). Получим следующие дроби:
75л	65 (2—а)	Зах (2 + а)
15 (4—а2) ’ 15 (4— а3) ’ 15 (4—а2) ’
в)	Разложим знаменатели исходных дробей на множители: xa—ya = (x—y)(x+y), x3—ys=(x—y) (x^ + xy+y*).
Числитель и знаменатель первой дроби умножим на (x2+x#+z/2)X X (* + #), второй—на х2+х#+#2, третьей —на х-\-у. Получим следующие дроби:
(х-\-у) (xa-\-xy+ya)	 х2+ху+у2_____
(,x—y)(x+y)(xa+xy+ys) ’	(х—у) (х+у) (xa + xy+y2) ’
_________х-Уу__________
(х—у)(х+у)(х2+ху+у3) 
г)	Разложим знаменатели двух последних исходных дробей на множители:
2а2—4« + 2 = 2 (а2—2а+ 1) =2 (а— I)2; — a2b+ab = ab (1 — a) — — ab (а— 1).
Числитель и знаменатель первой дроби умножим на — х2Ь (а— I)2, второй—на — 2а3 (а — 1 )2, третьей—на — а4х3Ь, четвертой—на 2а3х3 (а— 1)* Получим следующие дроби:
— (3c+d)x2/? (а—I)2	— 4а3 (а—I)2
>—2а4хдЬ (а— I)2	’ — 2а4х3Ь (а — I)2 ’
— а4х3Ь (а+1)	6а3х3 (а— 1)
—2аЧ3Ь (а — I)2 ’ — 2а4х3Ь (а— I)2 *
Сумма (разность) двух алгебраических дробей с одинаковым знаменателем равна дроби, знаменатель которой равен знаменателю этих дробей, а числитель—сумме (разности) их числителей, т. е.
А В_А + В А В ___ А —В с+ с с и с с с ‘
Например, х—у х+у . х_ (х—у) — (х^-у) + х 2а 2а ~'2а	2а
х-у—х—у-}~х х—2у	, л
—----25—=——— при а Ф 0;
2а	2а г г г- >
2у . х—у	2х—у_2у + (х—у) — (2х—у)^
а—Ь "* а—Ь	а—Ь	а — Ь
2у-\-х—у — 2х + у	2у—х	t , л
'	— ——-----Ц-----— При а—Ьу^О,
а—Ь	а—Ь F
156
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Чтобы сложить (вычесть) две дроби о разными знаменателями, нужно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем .полученные дроби сложить (вычесть) по правилу сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример 2. Выполнить действия:
. За । 56 i3 2х	t
а)	Ту* ’ 0)	2х—6	“	х2-9 1
5 — х	, 6 — х	4—х
В	X — у	' х2 — у2	х-\-у	’
Решение.
\ I 56 __ За»4у 56»5х ___________ 12ау
а ' №у 4ху2 "7” 5х2у •4у ' 4ху2 • 5х	20х2у2
12ау-р256х‘ '	, л
==---НА 9 9-- ПРИ ХУ &
20х2у2 к
13 2х __	13	2х
} 2х—6	х2-9”*2(х—3)	(х—3)(х+3)
 13(х4-3) —2х»2  13х + 39 — 4х 
%5Ьх __ 2(№y% ~~
' 2 (х—3) (х-(-3)
2(х2—9)
9Х “j- 39	а п Л
= 2(^7 при *‘-9^0;
в)
5 —х . 6 —х 4—х х—у'х2~~у2	х-\~у
 (5 —х) (х+0 + (6 —х) —(4 —х) (х—у)
(х—у)(х+у)
 3x-\-5y-—x2 — xy~\-S — x—4x-\-4y-]-x2—xy,
х2—у2
9у—2ху4-6	9 о . л
= ' -2..ту-- при х2-у2/0.
л у
Произведение двух дробей^равно дроби, знаменатель которой равен произведению знаменателей этих дробей, а числителе равен произведению их числителей, т. е. — • -уг-—
£> и О» U
Пример 3. Выполнить действия: ч 4ab 5ху 2by t f n а • о“Т9 • 7гт ПРИ abcay Ф 0;
15^ 8а62 Заб г у
у2__ /<2 Ь О	'
б) —-------— . -т- при а&(х2—у2) ф 0;
' ab х—у х+у , х2-|-(/х Зх8—З//8	. 2	». , п
^5F^‘TTtnpilx{x У)^°-Решение.
4ab 5ху 2by _ 4аЬ5ху2Ьу __ ху f 15dcy * Sab2 * Заб~" \bdcySab23ab Sabcd' б) %2~~^2 b	_ (x2—у2)
' ab ’ x—y’ x-\-y~~ab (x—y) (x + y)“~
^(x—у) (х+.у)аб ab(x—y)(x+y)
§'4.- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
157
, х2+ух Зх®—3ya_Lxix+y)3,(xs—уа)__ ,,	. ,
Г5х2 — бу2’ х2—ху 5(х2—г/2)(х2—хр)— 
_>(х-|-у) 3(х—у) (х24-ху4-у2) 3 (х2+хуЯ- у2) 5(ж—у)(х^-у)х(х—у)	5(х—</)
Частное от деления двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель—произведению знаменателя* первой дроби на числитель второй .дроби, т. е.
A t С А/В А'Р В* D~~QP~~ В>С‘
Отметим, что деление дробей возможно лишь на таком множестве, на котором не обращается в нуль ни один из многочленов В, С, Р.
Пример 4. Выполнить действия:
а-\-Ь 2{а — Ь)	. Л '	,
.при abc а Ь}
а2ос abc г	,
^^:(х+у) при х+у * 0;
т3 — п3 тп+т2	, ~ t \
-------•---!--- ПрИ тп 0; т ,± п.
а)
б)
В (тп—п2)2’ т2—п2 Решение.
а-}-Ь 2 (а—Ь)__ (а-^Ь)аЬс __ а-\-Ъ . a2bc ’ abc a2bc2(a—Ь) 2а(а—Ь)' х2—У2.(ул_1л-х2-'У2.х+У^ х2+у2,[Х'ГУ}^х2 + у2' 1 ~ .	(х2-у2)
а)
б)
в)
____________________ ,(*~У)(*+у) х—У ,
(х2 + */2) (*+«/) (x2-j-y2)(x + y) х2 + у2’ т3—п3 тп-\-т2 (т3 — п3) (т2—п2)	,
(тп-— п2)2' т2—h2	(тп—п2)2 (mn-)-m2)	* - '
__(т —п) (т2~\-тп-{-п2) (т—п) (т4-п)______т2^урпт\-п2 п* (т—п)2 т (п + т)_______________________п2т
Для алгебраической дроби -g- и натурального числа п
I А \” А”
справедливо равенство -д-	=
\ D J Du<
На множестве исловых наборов, для которых А 0 и В 0, справедливы равенства:
V-B ] -"(А/Ву^А!1 ; “L
Свойства степеней с целым ' показателем для алгебраических дробей аналогичны соответствующим свойствам для чисел.
Например,
/ а,2	а^
а) (с+й) =^+ЗГ2’ если c+d #0;
158
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
У ( ^\2_______(mn)5 (frfe2)2
' V k J \m* J — №
k$-mQ ~~ km ’
если
ktn 0;
bI [ ab V3 1	_:(a+^
}\(a+b)^j ~"(ab/(a + b)*)9~~ a№
. fa2+l\o c+d k
r)  !—	если c^O,
\ c J k c+d
, если ab 0,
#+ b 4 0;
k Ф 0, c+d Ф 0.
П p и м e p 5. На области допустимых значений алгебраического выражения выполнить действия:
. а— 1 a3-f-За (а—I) — Г —4а	4а2
: 2	. 2а*+2а	а2+1—2а^а?—Г
Решение. ОДЗ данного выражения состоит из всех чисел а таких, что а—1	0, а2 + а^0, а2—1 ^0, а3+1 —2а 96 0, т. е.
а 56 ± 1, а # 0. На ОДЗ этого выражения имеем
а—1	г2а
а34-3а(а—1)—1	—4а	_Д(а3 — 1)4-За (а—1)] (—4а) .
2а2+2а	' а? + 1—2а~	2а(а + 1) (а— 1)?
__(а—1)(а34-а4-1+За) (—4а)__— 2 (а2 + 4а +.1) 2а(а+1)(а—I)2	а2 —1	’ ‘
2а	—2 (а2 4-4а 4-1)	4а2
Следовательно, Л =-г—-----v.х— .  —.
а—1	а2—1	а2—1
2а (а +1)4-2 (а24-4а+1)—4а2__ 10а 4-2
₽	а2—1	а2—1 4
Пример 6. Найти числа а, b и с, при’ которых справедливо равенство
1	__ах-\-Ь । с
(л24-1) (х+1) ~
Решение. Сложив дроби, стоящие в правой части данного равенства, получим
ах+b . с ___(а%4-6) (х4-1)4-^(^а + 1)
х24-1+х+'1““	(jc24-1)(*+1) в
т. е,
1	_(лх4-*)(*+1)4-£(*2 + 1)_
(Х2+ 1)(х+1)	(Х2+1)(х+1)
__(л4~с)*2+(а+^)*-Ь(^4~с) (*2+1)(x+l)
Это равенство справедливо при любых х —1. В частности, оно справедливо при л:==0, х=1 и х=2. Подставляя эти значе-
.§,4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
.159
ния в равенство- (I), получаем систему уравнений ( 6+с=1,
I 2а + 26 + 2с=1#
( 6a+3Z> + 5c=l,
откуда а = —1/2, 6 = 1/2, с— 1/2*	”
Итак, условию задачи может удовлетворять только полученная тройка чисел а =—1/2, 6=1/2, с=1/2.
Непосредственной' проверкой убеждаемся/ что эта тройка, чисел удовлетворяет условию задачи*
ЗАДАНИЕ 1
L
1)
4)
Найти ОДЗ выражения:
_1____1 .	~ а3—1 Ь .	' a d ,
be а—1’	' а3—1 а ’	Ь-\-с Ь2с + с2& ’
(& + с)(д+с)	, - ab . c-\-d	1 а2—а ,
ab + cd + cb + ad *	> c—d ‘ а {	h
2. Привести алгебраические дроби к общему знаменателю:
П 21 Гс  _!________________!___
7 cd2 ’ ас ’ 3ab2d3 ’ 7 а—6* аб + 62 ’ а3—631
3)_£L_	1 . ь 
’ b(a — 1)’ 2а2—6а+4’ (а—2)2’
4) _!_	_!________!________1_.
a2 + ab* 62 + «6\ а3Ь—Ь3а	а*—64
3. Выполнить действия:
п ^р + З । 2—р t
° р+1 + р+1 i
2 —3k l+2k #
2а+1 2а+1:
3>т+тЬ:
4) -----2- ;
p—q p+q
, а2—1 а8___Г
а а— Га4-1*
Ь2а—а3 Ь2а ~ta2	b^—ab J
' 7\ х^+ху [x2—xy\-i
’ х*—у2 УзР+у3 ] 5
g. т3—п3 I (т-гп)2 X -1 т2—тп+п2. т3 + п3 \ т2.—п2 ) 1т2+тп+п2’ f х2	\ [ , у2 \-1
9)-------у	;
\х—У	J \ гх+у)
10)
\p+q p-qj\ q rp]
п . т \( т+п X /т— т—п ‘ т+п ] \т2+п2 ]\т+п)'
4. Найти числа а, 6 и с, при которых справедливо равенство:
1)-----!------=£. j—£ ।—£_ ♦
7 х(х+1)(х+2)	я^х+1^л:+2’
1	__ а । Ь	। с
(х+1)2 (х+^х+1 "Г" (Х+-1)2 ' х+2
1	__ax+b j с
(х2+1) (я- ij-^+r^rn •
160
гл. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти ОДЗ выражения:
b2+l'ab;
2)	;
а ' с а+с
(c+d) (a + b)
' ас— bd + ad—be
4. а26—а& [ a+1 \ -i’a
a , 1______1	,	a—2	.
’ 2a+3	2a—3 ‘r2a2— a — 3 ’
6) ___*+2_______L_ .
' X3+%2 + x+l X — t
2. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:
1+d b	1
а2—4 ’ а2+За+2’ а2+2а !
2)_J________L_ 1	.
' а3 — b3* а2—b2' a2+ab + b2'
31 1 ‘ » - » - 1 .
о>	a2—b2’ a2—ab+b2’ 2а4-2Ь ’
_Ь_ d + 1 I m
х-\’ х2- 1’ х8— 1’ '**—1 ’
К\ а ____________J_____ _______I
' а2Ь— Ьс2'ас-]-а—с2—с' а2-]-2а-\-ас-{-2с ’
6ч_______1______	1 —х+у
’ x2—y2—z2—2yz ’ x-\-y+z’ x—y—z‘
3.’ Выполнить действия: a . b e a—b'a+b* tn .. n t m+n'm—nf
1____1 2x	,
x—y y—x x2—y2* *+y ф a:2—xy ... x—у • 2x2—2y2 ' p2 — 4^2 r	p3 — %g3	\
(p+2q)2 \ p2+2pq + 4q2 J ith f2~P2 far+ap\-i ' rq r2p2 \ rq J a(r—p)* (a + x- x—y\	a* .
\ a x ) x2+ ay'	-
1 + &	a + a2 \ ^1— a]9
_____1—a2	x-[-x2 t (14-ax)2—(a+х)? * 1—x ’ f I X2	x2 — xy—y2
\\x—y y){ x—y) ) x3+ys a2 — b2 a2-~x2 / ax \ a2—ax’ a—b \	a+x/’-
1)
2)
3)
4)
9)
13)
14)
16)
to P2~ <72 P7+?2 ’ 2p2 m3+n3
(P+ <7)2 *'
Л. Ht, n,	tnn '
' /n ’ m2—mn+n2 ’ 7\ ( 2g 1	1 \ X2 —fl2 '
) \x2—a2, a — x) a+x ’ to a ! ab2 \-i.
1 a3— b3\a?— b2 J *
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
16)
4. Найти числа a, b и с, при которых справедливо равенство:
х(х—1) (х-]-2)	х~^~х— 1”^х+2’
1	_ а . Ь . с
(х—1)2 (х—2)~“х— 1 + (х— 1)2 ’х—2 ;
1 _ах+Ь . с ..	1	__ ax-\-b t с
(х2+ 1)х"“х2+ 1~*~ х ’ '	1 '“х2—Х-+* 1 ‘ х+1 ’
~ЗАДАНИЕ 3
. Упростить: nx2+W X__________у\
7 х2+у2 \х—у х+у) *
2) (5-J+1) (5+I+1)
ЗЪ a+2*	3g—а . а2—сх а
За—Зх-'2а^-2с' а2—-ас-{-сх—ах'
4)	*	|_________|___!___.
7 а2+за+2^а2+4а+з^а2+5а+б ’
( т~~п т3—п3\ /т—п . т2-\-п2 \ л
' \т + п m3+t^) \m-|-n ' /п2—п2 } »
б х+1/у____________Ь .
7 x+z/(yz+ 1.) y(xyz+x+z) ’
7\ abc (а~ 0/а+(^~ !)/&—(<?— 1)/с
7 bc-\-ac—ab	1/а~}-1/Ь—1/с	*
ЗАДАНИЕ 4
Упростить: .
ГМ2-Н2 \/1	IX-1! а2—Ь3
- Ц t> /Х а) ]а8+&»5
у /х+у 2х X у—х .
7 \ X Х—у) Х2 + ^2 »
„ 4ху((х+г)2—у^_ Л 2х X
' z2—х2—уа+2ху\	x+y+z)1
^(х+У х—У\(х+у,х—у\-1^
’ \х—у х+у)\х—у^х+у) ’
5)	(т+т) [(*-'*')’+•’»]+(4— т') [<ж+^)а—хУк
\ X у /	\ <* у /
6)	jfzrV2___________!----•
y^-x/(xz— 1) z(xyz—у—х)
71	I (!—х)/х+(1^-у)/у+(1 —г)/га
7	ху+^+гх"1"	1/х+1/г/+1/2
81	*	1	*	1	+	.
7 (х—у) (х—z)^(у—z)(y~ху (z—х)(г—у)
о\ а^с . а?—Ь3 . f . с _ 1	.с(1 +g)—fl-,
a2-\-ab-}-b2*а3Ь—be2 \ -* а— с j Ьс.
Задачи по математике. Алгебра
162
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Упражнения
1.	Привести алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю:
п_!______!_________!_______;
' х + у’ Х3+/’ х(х2—ху-'гу2)
2)	*	1	_1__•
’ а2—4’ «3—8’ «+2 ’
3)	1	1	_______1_.
’ Х2-|_ х_|_ 1’ х2—х-|-Г х8+ Г х3—1’
4)_1_____1________
> 2х—3 3+2х’ 9— 4х2
5Х г 1	1
'х242х4-4’ х3—8’ х2-4х-Н’
1_________!___________1 t
; 5х2—-5’ Зх2 — 6x4-3’ 24-4х+2х2’
7 1 —Зх’ 9х2—Г 1—6х4-9х2’
ох 1______________!________1
;х24-Зх4-2’ х2-|-5хх4-6’ х2+7х4-Ю’
9)	£	*	________!______•
7 2х—Г 4х —4х2—Г 8х3—12х2 + 6х—1
ю) *	______!___ _______5______ ___—
' х2—Г х3—х24х—Г х34-*24-*4-1’ х4—1
П)_______!—:— -----!----- ------!_____.
' 1_4х43х2’ х2 —5х34-4х4’ 12х2—7x4-1
2.	Найти числа а, b и с, при которых справедливо равенство:
1)	х4—2х34-2х2—2х4-я = (я2—Зх-}-1) (х24-£х4-б);
2)	х34~Зх2—х—3 = (х—2) (х24~+ с) 4~0;
3)	4х3 + 7х2 4- 7х—6 = (ах 4- Z?) (х2 4- х 4-1) + z?;
4)	4х44-21х2 + 5х—9 = (х2—х4-0) (4х2 4-^4-17)4-14x4-^}
1 а______।____ь .
} х2— 4 х— 2‘х4-2 ’
6	х4-5	__ а \	\ с
} (х— 1)(х4-2}(х4-3)~х— lH~x+2“t~x4-3 ;
7\	1 —• а I	Ьх+с .
' х3+1	х4-а х2л— х4-1 ’
«ч х24-}1т_ 0 | bx+c .
.' х3— 1 х—1 ‘ х24-х4-1 *
9ч 2x4-1	__ а . Ьх-±сл
J (х24-1)(х4-2) х4-2 ' х24- 1 ’
0	2х2—х4-1 _ а . b . с	'
} (х4-1)(х—2)2“x4-l‘f’x —2-Ь(х — 2)2;
...	3x4-х2	__ а . Ьх-\-с
} (х-1) (4х24- 8x4- 1) “х=Л+4х24- 8x4-1 ‘
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
163
3.
Упростить:
14а4&2 1бх2#3'	. 9г?х3 2ab2 АЬу2
"бхГ’Ш2^ 2) ТбаЬ
х2у2—4у2 х2у	#
4ху *2ху—х2у'	'
a^—b2	a*—b*	t
} a2 + b2'a2—2ab+b2'	}
a2 + ab a3—b3 ,_____________________________
' я2 —b2 *ab (а -]~Ь) ’	' (х3-\-Зху (х4-#)4~#3) (х3 — у3) *
9) а2"~2^4~^2 а3 + Ь3. 1лч m3 + m(a+b)-{-ab т2— с2 а2—ab-}~b2 а—b ’ т2— (а — с) т — ас т2—а2'
in	m (a+g) 62—	. 194 ab—ad ba-\-ad ,
&c+m2+|w (/>+c) a2 — m2 *	' be-}-cd ’ be—cd ’
a2 + 2ab + b2 a3 — b3 .	x4—#4 x—y
' a?— b2 a2 + /?24-aZ?’	’ x2-\-y2—2xy хг/4-х2
a2-\-b2— ab х2 + г/2—2xy
' “x2—//2 at+b3 ;
1)
3)
сху Зах2 *
2х3 — 2г/3 15х2— 15г/а_ 3x4-3# ‘х24-х#4-#2’ х3 + у3 / *+у
х—у \х3—#3/	’
(х* + у (х + у)) (х2—у2) 
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
( 2x I 2x \ / 4x2+14x \—I U-з/^зЯн/ W+i-eJ ;
з#2 . у_______________i .
x4—xy3 ' x3 + x2y + г/2х x2— xy ’
x3 — y3 f___2y_______ %xy+4y \ t
2y \4-г-2г/ — 2x4-xt/~t"(x—y) (x2—4) J
il(a-4-b)’—\l(a—b) a
1 /(a + b) + 1 !(a — b)b'
1/а-Н/(&-|-е) f i , b2 + c2 — a2\ t
\/a— l/(7>-H) \ 2bc / ’
\/(x—y)+\la } _х2+г/2—
l/(x—y) — lla \	2xy J ’
2	, / 1	2	1 \ fi+fV
4x—x2'r\x2—4x^~16—x2 ‘ 16 + 4xJ \x—4/ 5
23)
24)
25)
26)
27)
{{а + Ь)214аЬ-Л) ((а~М2/4а&+1) (a + b)3 3ab (a 4- b)
(ab+(a^b)2) ((aArb^a^
(a—b)3 4- 3ab (a-^ b)	*
(1 4- {a-h)2/ab) ((a + b)2/ab-1)
a4—a3Z?4-^3—^4
/	a44-a3&—- ab3—b^	\— i1
((a4-^)3 —a3—b3) (a3—b3—.(a^b)3) J 1
/1,1 । 2 / 1 । 1 \\
\ a2 -* b2 ’a4~&\ a~^~ b ) ) \ ab ) ’
( 1	_ l—m \ / m+n \ —1''
\n2 — mn m2—nm) \m2n—n2m) ’
/ уЪ—х* т-]-п x \ m—n #
fn2—n2- x-—y	n-^-m J 2y *
164	гл“ 2- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Ix + У х~у\( ху V1.
Дх—у х+у)\х2 — У2)	1
х3— 9#2х 7 х + Зг/ . х—Зу \ #
9#2 + х2 \ х2 — Зх# ' Зху - I- х2 у ’
7 а . а24-£>2 . а \а2 — Ь2 /а-j- /Л—i 1.
—b ‘ Ь2— а2 ' а-\-Ь]	5	\ 15 / а-^Ъ ’
72 — п n + 2\ 72 + п^п —2\-\ ЦпН-2 п — 2 / \2 — п ! п + 2 J ’
32) ( -Л______х— к	, _у_,
(х—г/)2/ 2х r%+f/’
ТЪ —	[ а , а \ За-j-b .
а	\(а — Ь)2^ Ь2— а2)'а~\-Ь’
34)
35)
36)
37)
38)
39)
2х । 7 2у 2у - \ 7 у ' \~-i.
д+х‘ \(х—Ь)2 х2—b2)\(x—b)2j *
(£±ф-----^pWi+-JL_\;
\Х~-У\ x-+yj 'x—yj
7 b b—a \ I a2 .	1 i.
\a2-]-ab b2+ab)\b2 — ba2'a-\-b)	’
\a + & ' a-— b'b2— a2 ) a — b' \b — a' a2 — b2 ) ’
7 //+1	. i \ V__________2
Vi/2+ 1 — 2y~ty— 1 у \y— iy . y— 1 ’
7 n . m \ 7 m2 . n2 7 m4—n4^--!^ \ m—n ‘ m + n J \ n2 ”* m2  ) \ m2n2 / 1 ’
40) (	++-£.-2)+ ( ( 1++ -+"X
\\ У X )\y X } JW.Xjl x—yj
41) \a~b 1 a + b)	
! x-У 4x-\ f i/+l , _y_\ /x2+t/2\-i. к У x-\-y/\ x 'r’k2 )\ 2x2y ) ’
42)
43)
44)
/ a2—-ba a2—2ab-]-b2\ 7 b2 . 1 '\~1. \b2-[-ab	a2-}~ab J \ + — ab2^ a-fit j ’
7 2	,2 4a2&— 4nZ>2\ 7 cl b 2ab \—ie
X	a-{-b j \n + & ' (Ь — a) - n2 —+2 J 4
1 fy2—xy\^ l Х-+-У | X-\-y \ } X t Д x + yJ \(x — уУ^ху— y2j^l^y t
x —2 7___1 \ 2 / 2—X l+4x2+2x	2+ x
5 ’ \2x— 1/ \1 — 8x3	2x2 + x x+4x3—4x2
x + 7 । 7 x + 7	. x+5 \ 7 x+3 \ 2
x + 9 \ x2 + 81 — 18x+x2^“81 J \ xZ+ J 9
§ 5. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ
165
§ 5. Выражения, содержащие радикалы
Преобразования алгебраических выражений, содержащих радикалы, выполняются согласно общим законам действий с алгебраическими выражениями и правилам действий с радикалами.
Напомним, что для любых натуральных чисел т^2 и п^2 и положительных чисел а и b справедливы следующие свойства:
Например, если а > 0 и b > 0, то
а)	у/а+ьУа+Ь=]/
б)	(2а 4-&)8 = ^2а+&;
в)	Уа(а-[-Ь)=У а Уа-\-Ь;
i/ fe4«2 _	_bV~a
Г) V (а+2Ь)*-
v Va+b+l в/ , , , .
д)	’ у.3=^.-..=; / а+&+ 1;
у a-\-b-y1
е)	+	= У
ж)	У2й -I- b 4~ 5 = 'У2а 4~ 4~ ® •
Заметим, что при а < 0 и b < 0 справедливы формулы:
a) V"ab= К(- а) (— 6) =	У~~Ь;
-
ч 2nw/“T~*	2пт/~	77Т	п/’	-_т	_ л
в) у а2т — у (—а)2т — у —a, mgN, ngN, n^2.
Некоторые формулы сокращенного умножения можно записать для радикалов:
а-Ь = (У~а-У1)(^~а+Уг'Ь), a^Q, Z>>Oj
а—& = (/т^_/'=^)()/'ГГ34-]<ГГ5), а<0, &<0;
У~а— У~Ь= {У а—У b) (У а+У b), а^О, 6^0; y'a-yi^yi-VDCyiyyi), а^О, &>0;
а—Ь=(У а— У b) (У а24- У ab-j-У &2);
а4-Ь = (У а-]-У b) (У а*—Уab+У &2);
166	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
а^О, Ь^О; п/~а+ /7 = (3/~а+31/1) (8/^-3/^+8^),
а 0, Ь^О.
Для числовых наборов, соответствующих буквенному набору выражения 4, для каждого из которых числовое значение выражения А неотрицательно, иногда пишут вместо выражения т/А выражение А1/п, вместо выражения 2П+р/ —Л— выражение _ Д 1/(204-1),
Отметим, что все формулы и свойства корней и степеней с рациональным показателем для чисел соответствующим образом переносятся на алгебраические выражения. Например, если алгебраические выражения А и В положительны на множестве их буквенных наборов, то
1/^^=-^-; У~АВ = уг'АугВ; У А2 = и т. д.
Г D . у В
Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе х	1 — а2
дроби -——
1— у а
Решение.
Первый способ. ОДЗ данного выражения состоит из действительных чисел а 0 и а 1. Поскольку на ОДЗ 1 + V а Ф 0, то умножив числитель и знаменатель данной дроби на ! + / а, получим
1 —а2 , l+Ka_(l-ai)(l + f а)_(1-а)(14-а)(1 + /а)
1 — У~ а 1+]/" а 1—а	1—а
Так как на ОДЗ 1—0, то
-h^=(l+a)(l + fa).
1— у а
Второй способ. ОДЗ данного выражения состоит из действительных чисел и 1. Поскольку на ОДЗ выражение а2—1 равно (а~1) («+=	1)	1) (а+1), то
+	(1+ К «).
1-— у а	1 —У а
Итак,
-Ц^г=(1 + а)(1 + Г’5).
1— у а
Пример 2; Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
1
1	+ ’
§ 5. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ
167
Решение. ОДЗ данного (выражения состоит из наборов (у, и) таких, что r/^0, и 1 + К#—	0. Умножая
числитель и знаменатель данной дроби на выражение 1 + ]^!/ + +V* ~й 0, получим
2	_1 + /у+/й_________=
1+K у-У и (1+Ку-Г«)(1+Ку+Г^
, l+У у+У и_ .
1+j/—и-4-2 У у *
Если 14-у—и = 2 У у, то полученное, а следовательно, и 1 + У у+У и данное выражение равно —— •
Если 1+*/—«/ 2 то, умножая числитель и знаменатель 1 -{” у 4“ Р^ w	1/’*“
выражени я --1--—!----на вы раже н ие 1 + у—и—2 у у f
1+^—u+2V у
получим
\ + У~у+У~и_ (1 + Уу+Уи)(1+у-и-2Уд
Х^у—и^У у ~	(1+у—и)2—4у
Итак, данное выражение на его ОДЗ равно
_ l2V+^“' ““
Пример 3. Упростить выражение
Л=КЗ^£2._-j/J.
Решение. ОДЗ данного выражения состоит из наборов (а, Ь), где ab 0, 6^0, т. е. из всех наборов, для которых либо а 0, b > 0, либо а < 0, b < 0.
Если набор (а, Ь) такой, что а 0, b > 0, то
У~аУ~Ь—У~ьУТ>	у "а—	_
" утут; У ь ут>
Если набор (а, Ь) такой, что а^0, b < 0, то
У~аУ^Ь-У^ьУ^Ь
-----_y—byzrb V ь _______	_
-У-ь У—ь У—ь г ь
168'	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ , ВЫРАЖЕНИЯ
Этот результат можно получить и следующим образом:
= 1-2/57“I-2yEf-'-2 /7 '
Итак, если а^О, b > 0, то А =—1; если а=сО, b < 0, то л-1-2/1-
Пример 4. Упростить выражение
К(х + 2)2-8х /'7—2/К х Решение.' Найдем ОДЗ данного выражения из условий (х+2)2—8x^0,- х > 0, У"х------Д=-#0.
V X
Отсюда получаем х > 0 и х Ф 2. На ОДЗ выражения А имеем __ к(х + 2)2—8х	К(х—2)2-Кх^_ |х-2|-/х
— f x-2/fx ~	х—2	~	х—2
Таким образом, если 0 < х < 2, то |х—2| =—(х — 2), и
А— — У х\ если х > 2, то |х — 2| — х — 2, и А = У х.
Пример 5. Упростить выражение
А = Кх- /~4(^ЙТ + Кх+ K4fr=T) / J__1_\
Vx2—4(х— 1)	\ х— I)'
Решение. Область допустимых значений данного выражения определяется из системы
_	’ х— К4 (х— i) 0,
Ч х+К4 (х-1)^=0, х2— 4 (х— 1) > 0, v х— 1 Ф 0.
Отсюда ОДЗ есть {х: 1 < х < 2, х > 2}.
На промежутке 1 < х < 2 имеем
Кх—КНх^й) =Кх— 1— 2КГ^1+1 =____________
=К(КГ=й)2—2 Кх=1+ 12'=К(Кх^Л—1)2= ___________ ___________1 | = 1 - ;
Кх+У 4(х—1) =Кх—1+2	+ l =
_________	_______ = 11±£х=11 = 1 +	;
Ух2 — 4 (х—1) = ]/*х2 — 4x4-4=]/ (х — 2)2 = Iх — 2 [ = 2 — х;
1	1  х—2__2—х '
X — 1 X — 1	1 — X ’
1 — Кх^ПГ4-1 + / х77! 2 — х __ 2
2 —х	1—х~~1 —х’
§ б. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ

На промежутке х > 2 имеем'
Кх—1/^4 (х— 1) =| ]/'х — 1 — 1 | =	1 —1;
ИТ+TW^TJ = I /‘х=Т+11 = Vx~i + 1;
1	V 9	г- —___________
1-----7=2—?; /х2-4(х— 1) = |х—2| = х—2;
х—1 х—1	7	1	1	*
Аl + Kr^T+l х-2_	2
х—2	х—1	х—1	| *
2	2
Итак, А=--- на множестве {х: 1 < х < 2} и Л ==• ;А-—т
1/х—1 на множестве {х: х > 2}.
В процессе преобразования выражений с радикалами в ряде случаев целесообразно обозначить радикалы (или некоторые вира-жения, содержащие их) новыми буквами и свести задачу к преобразованию рационального выражения.
Пример 6. Упростить выражение:
а)
А~~
С =
а к а*_+1 (а1/« + /7) +
К а+2а°.«К ъ + ь
3fr°'8(/"a—0
j/'а-®’8	а—У b)

в)
Д(х+2)-1/2 + (х-2)-«-8)-1+0/'(* + 2)~1-^-2)~1/2)~1 . ((х + гг^-Нх-2)-м)~1_ (/(л+^-г-Сх-г)-1/2)’1 * г) D=( _221+х ^=г............--------А X
\К1+х—J/1—х К1—х2—14-х/
/ -| Г 1	1	1—Х^\_______X______
х \ V	~/ 1—хЧ-Кь^
Решение, а) Областью допустимых значений данного выражения являются все числовые, значения а и Ь> удовлетворяющие условию а2+&- Ф 0. 8/- з/т
Обозначив у а = х, у Ь = у, получим
__ х*+х2у2-[-у*_х^ + %х2У2+у^—х2у2_
~' х^+ху+у2 ~~ х2+ху+у2 (x24-i/2)2—(ху)2 _ (x24-y24-xj/)(x^4-i/a—xi/)_v2 , „2
-	к^+ху + у2 -	х2+ху + у2	Т!'
3 z~“	3 Z“~	3
Итак, Л=]/ a2+j/ Ь2^ у ab на множестве {(а, Ь): а2+^^0}.
170
ГЛ, 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
б)	Область допустимых значений данного выражения определяется из условий
а > 0,
. 6^0,
д/ а— У b ^0.
У Ь = у, получим 3#(х2-#2)
Отсюда ОДЗ есть {(а, Ь): 4 Z— Обозначив у а — х, / Х4 + Х3# + х#3 + #4 /|Ч|
J5 = ( ---—।——---у..- (X + у) -I-т—;---— I	I ул, -у у)	~
\	х2 + 2х# + #2	-	1	х“х (х—у) /	/ v
-	+ »)+» <»+й (, + й + 3«» С«±й fcj. У‘ (х+л .
— (х3+У + ^У + Зх#2) ~1-/3 (х+У) ~
=((х+у)8)~1/3 (х+у)=^+=1 х~гУ
Итак, 5 = 1 на множестве {(а; Ь): а > 0, 6^0, а &}.
в)	Область допустимых значений данного выражения определяется из условий
' х—2 > 0,
х+2 > 0,
К^+2)-1 — {х—2)-1/а ф 0,
I ((x+2)"1/a + (x-2)-».5)_:l—(/(х+2)-1—(jc-2)-1/2)-I5£ 0.
Отсюда ОДЗ есть {х: х > 2}.
Обозначив (х + 2)~1/2 + (х — 2)“°»5 = а, У (х + 2)~** — — (х—2)“1//2 — bt получим
с____________ab (а~1 + /?~1)_Ь-\-а
а~1—Ь~ь ab (ап1 — b^1) b—а*
Поскольку
а+6=(х+2)-1/2 + (х—2)-1/2 + (х+2)~1/2 — (х—2)-1/2 =
=.2 (х+2)'1/2
а—6=(х+2)-1/2 + (х—2)-1/2 — (x+2)~1/2+(x—2)~1/2 =
= 2(х—2)"1/2,
то
_2(х+2)~1/2 Zx+2\-i/2 /х-2у/г._ у/Г?
2(х—2)~1/2 \х—2/	\х+2у	" Г x+2i

Итак,
на множестве {х: х > 2}s
§ 5. ВЫРАЖЕНИЯ» СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ Щ
г)	Область допустимых значений данного выражения определяется из условий
14-х^О,
1—х^О,
уТ+х— УГ^х * О,
j/T^x2— 14-х ф О,
У1—х2—х +1 0,	,
ч х Ф 0. '
Отсюда ОДЗ есть {х: —1 ^х < 0 и 0 < х < 1}. На промежутке —1 х < 0 имеем
УТ^х2 = уг^х УТ+х;
i/_L_ 1 - 1/ * 1~*2 У1-Х-У1+Х -У1-хУТ+х ж
V X2 V х2	|х|	х *
1—х = (У 1-х)2.
Обозначив У1 +х = а, У1—х = Ь, получим
D==f_«_____U
—b ba—b2 J \ x x J \ b2 + ab ) ______fa b \ —ab—b2	x ____ \a—b a—b J x b(a-[-b)
_a—b (—b)(a-\-b) x ______ t ~~a—b x * b(a+b)~~~ *
На интервале 0 < x < 1 имеем
УT^72 = ут^х УТТх-, , /' 1	X2 __yi— хУ1+х_У1— х-УТ+х
Ух2 Г X2	| X |	х 5
1-х=(УТ^хУ
Обозначив V 1+х = а и Y 1—х = Ь, запишем ____________
\a~b Ьа—Ъ2 ]\х х J \b2 + ab) __________fa b \ ab—b2 х \а—Ь^а-—Ь/ х ' b(а-{-Ь)~~ a—b b(a—b) х ________________(а—Ь)2___a2-\-b2^2ab
а2—&	а2—Ь2	’
Так как а2+b2—2ab= 1+х+1 — х—2	—2 У1—х2,
,	ч о п 2-2)<Т=^ 2(1-У1-х2)
а2—Ь2==1+х—(1—х)=2х,тоР—------ш=
X	_____
1 — 1/“ 1—X2
Итак, D=—1 на множестве {%: — 1 ^х < 0} и -------------
на множестве {х: 0 < х < 1}.
|72
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 1
1.	Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: -
п ^Х	1
1)	—>	4) —-------/—;~ >
У у	Ух + Уу
2)	—-L—;	5) v_ У--=--------;
Ух yy	j/ x2 — x +1
j/'x — 2 *	а1/2 +j1/4a1/4+^1/2
2.	Упростить:
1)	(х- KF) (х+ Г7);	2) (Ка + 2b) (a-2b У а + 4*2)
3)	(р1/а+<71/а)г—(16р<7)1/а;
4)	-4^______J—+_±- ;
' Ух — 6	Ух+6^36 — х
Ь—1	/	\-1	2	,
6)	г  	।	• )	"4е *,	\ «Гт *	>
&+/> + 1\ К&3 — 1/	(О) 1
7> (Ут+Ут+у)х
3)	*3/а •	ха1/2 I 2%2--4xa ,
9)	а~~а1^ [	а)5 ,
а1/3— д4 а2/3 — (^а)”1
10^ (^2/3 а —я1/2 ab)2 \ f Va?b +& j/’aA
\	Т Д Уа-Уь )
ln	((х У ху^гУ (у У^уг)в)2 ( .,г~ Уг Кх А
' XV У~я& \ v У7=г J *
ЗАДАНИЕ 2
1. Избавиться от
иррациональности в знаменателе дроби;
1)
2)
3)
§ 5. ВЫРАЖЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ
2. Упростить:
О (К?+Гу)(ГГ- V"ff)(x+v);
fi) (У7-УуЦ(УхУ+У7у+У^-,
S) (х1/2у2’5)2+(у/x •у1/*)*-]-(Ух-Уу)2;
4) У	хУ~х—уз/2 .
’ Kx—Уу	х~и
К а+(а&)1/2 /\а-Ь /
7)	2 f _________х—у_________
S уУх—бу/у \у/х2—х1^8^1/8-(-(^/у)2 __________________х—у______ х2/3 — у/у* х2/3_|_|/^_|_р/ у2 у^Х —jZу .
jl а 2 —ft1'8 Уа~УУ~^
ЗАДАНИЕ 3
У простить:
( /“+т^г + /"-ТТУ+«-!>*'Ч о\ (аУ a ~2ab1/s +а2/а (У b)2 У а2&~ W1/S \ у^-а1/3^	/
31 ( ^Х+х I 1	' V
 х(/(x2)-i-l+ уГ’^у1}
, ( b 4b V 1+2у6-1 Y 24	.
’ V+8 (|/Г+2)8Л l-2fe-1/8 J ~b+8l
. / |/7-£Л*2У>	,	а1/8	\ /(a-fe)-A-1
’	Уа + Уь + Уа—Уь )\l/a-S J
|Г4
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
7) y((KKa6+a) 1/(&+/’аб)~1 + (а-Ка&)_1/2Х
/ УТь-ь
(а— ]/ab)~1J J
ЗАДАНИЕ 4 Упростить:
1)
1
2)
3)
а 4~-У2 х а — х
‘г	X
*.+ “	\2а~1/« З/Т^;
— ух
4)
5)
Ка_+1	«-£ 7	а1/2
У х8—хг,*(У a)3 Удх-;-1^
У а —Ух + KFox 7
-2
1/2
7)
6)
За+ К 9ах
У Vx+х^Уу+у^3
( Х^(у-^3
\ х^-Уу	_____
х1/г + У у __ (х+у)1/2 \ 2  х+у  У (х+'у)4 У х+у	У х+уг^ )	2хг^2 У у	^ХУ
-1
У у* У у
. 6
Упражнения
1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1}	2	'	6)
У а . Ух+2	Уа-Ух
у	,	а-1	ъ	3(а+Ь/2) .
}	У^+-У^+~2А	°	У2а+УУ
3a(b+U2) . t	4(а-6)у.
/64-2+У1-А’	?	а + Ь—2УаЬ’-
4) __ /«+К»	у (а-Ь)с
Ус (Уа +Уb — Уab)	Уab+Уа2~г(Уb)3
У2х-Ух+1-У1-х ’	’ (уау+уЬ2_уаЬ-
§ 5. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ
175
2. Упростить:
а2 4-4
п -т
2)
т-п
па----3- I I т-I
\ т2 ) \ nJ
3) (р(р2_4)-1 + 2(2-р)-з+(р+2)-1)Х
, а й , а 2 ,	4	X(p-2+(10-p2)(p+2)-i)-ij
.. a-j-b , а~2-|-fr~2 / д~4—Z>~4 \ -i_	ч
' 4ab '	\ а-2—Ь~2 )	’
a~n + b~n /1	1 \-i
й-2и_£-2»	1,-п а-п
‘ (Vа +1)2
Иа+1) /а-Гх
б)
-3
6)
7)
8)
9)
(Ка+1)8-аКа+2 а-2«/,-2Л /1.1	\-1
а-2.у^-2 I
/ 1
1 . V К1/9 а-2*-» V1 Ь + ^а А а-2-а->Ь-2 J
ab~^b
15)
16)
17)
3 /,7-^—^- хКх2 + а2\ /х2-«2 .
7а2 V К1—«2х~2 / Кх2 + «2 ’
а—5 . 4(а-Н) /	a-j-4 \-it
6—За' а2 + 4а \ а2—16	а2 —4а J *
т аЬ \[ аб—^/а+^/ьУ1
176
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
191 ( а 1 А ( а—У a	.
'\ 2	2У'а/\У"а+1 Уа — 1/
/	а—4Ь	а — 9b	\ b 1^2 (а—9Ь).
\ аnb —66 a-f-6.y.at>-l-9i>/ У а—ЗЬ1^3 /а1/2+1	а1'2-!______4_\~8.
\ а1/2 —1 +	+1	а—1/ ’
22)	(Г 1+;)- -° К-1—’:	а
26)
оо\ (У Q2-4 а— У а2 —-4\ /а У а— 2 У а+2' \а—У а2 —4 а-\~Уа2— 4/ \	4	/
/ У-- с— У ас V а . с а-^с
\	а~\ У а+У с Ау ас~1~ с У ас—а У ас
/ ^±£^4 + 2 2-К^4 + х\
ух2— 4 + 2^2+ уX2— 4 + х)Х
1 / а-|-х\-3/4 2а  \ л—х) (а — х)2	1	1
(а + х)1/4 (а—х)-1/4	2а’1+х2а~2
27) ( (Ус*+а1)1/2 •(Кё2-с</)-1/2-|-'1/ 1
а^—х4. ах2
X
(У ct-d2)1^
1
30)
281 ( 2а ।_______!_______(х I 6\\«+2ж.
' \а2 —4х2"’"2х2+6х—ах—За \ х—2 J J 4 ’
/ х1^—у1/2 . Ух+Уу\хУху1/2 2у
\хУу+уУ1 ху1/2—ух1/2/	х-\-у х—у
Г Г 4/Т7з.г. 4/а72Г\2	\	_	_
-\-bx-2 Ц/Ы-2)-1—2 — УЬх-,
(а— 31)—г
1 -1
(т1//2 — п
) К/п1/2—п1/2_ Ут-\- Уп ) k(j//п)~:1-|-(Кя)-1/ 33) ( У а-У b  Ко + К&\ . «3/2 &1/2	2»
УаУъ+ьУааУЬ-Ь УЪ/' -а+Ь а-Ь: а—х	( а+ $/ах3	t/—\
34) —------I	г т ):
§ б. ВЫРАЖЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ	177
35)
а4/3_8а1/3&	/	«/TV1
а2/з + 2^/а&+462/3 \	У а ) 5
ад,/(Я-¥ Ь)3 + 2а3/2+&К 6,3 К а&-36\-а
3®Ч	«/«+»«	+ а~Ь ) ;
37) к»—~/LL,-И ' +-^-)-%=,
У а—(К а)-1 К а+ К а-1 а К а
38) (°_^=+—	--А т/ (1А
\ + Ух —а К*2—а2—х+а/ ' \ а2' /
х—а
39) ( 1 _ д2+2_А~7а______L 1 ! А-1	2
. \а+К 2 а3+2 К 2/ \2 К 2 а / а-|-/2\
10) Ь3!2, — <У2 У be	b — с	/ Ь^+У с	4 \-1
У b—У с	Ь1^ сх/2+ с \6<+2—сУ b b—с)
an /(а3/4-63/4)(а3/4 + 63/4)
4*7	V )	10-
42> T7==f (у^х) ^1/3~*1/3) у ^у\	V у+ у
43)
2х-1/3	1/х* х+1
44)	х2/3—Зх-1/3- х8/3 —х2/3~~*2—4* + 3’
45)	(_2И^—	—1-.
\т1/3 — n1^3	(wrt)1/3>
TTFa.
46)
5а
4?)- --
Ь—а
х—9
48) 7+3 У х+9 ' V х1,5 —27
49)/^Ь+Г.2 Ц ! „-о,6
(.-ьт-’+ЯЯ);
2"+зу‘У'‘_„....	
______x°'6i/”0’8
х<М+г/-о,б
6'+4+й
 х°'6+)/7 (4х2— 62) -|- 1 62х— 26х2
2у-° V1 ,-o.s )
2Z?+ (b2 — 4) x— 2Ьх2^(b + 2x)2‘—8bxj 4x2—4 fi — з	. -	'
2а~2-]_—-	{Ад-1 —a~2
-------_2_+---------------------- я-2,5 ______ а-з a-i-j-a-M-]-
51)Ц^+-3
178
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
52) Z . II2 * 2 + 27а ? а2 ’ \Д V 2+3 У
/	2	2а0’6
(во.б_&о,5	ai,6_|_5i,6 •
^За1/в—261/в	3
\У~а-У~Ь~ а1/6 + Ь1/в J 65/в (а— Ь)
5 ((а—b)2-]-ab)	/	аъ-\-Ь^-[-а2Ь3-\-а3Ь2	\~i.
(b—а) ((а+Ь)2—ab) \ (а3+b3 -j- a2b-|- ab2) (а3—Ь3) )	*
3-|-2а]/г а~\-ЬУ b Уab-\~a-]-b
4-3^
а-а1/2/b~{-b
-1
'3b (a^ + y ab+b^y1
55)
а—b
' 56)

57)
58) 2(«/)1/2(х+У)-
b 2аЬ \
а + b Ь2 — а? ]
3а2 + 3&	ab
а2+Ь2 . 2Ь
а3 — ab2* а2—Ь2
а У а—ЬУ b;
3 УаЬ \-i /?3/2 — а У~ь)
§ 6. Сравнение алгебраических выражений
Два алгебраических выражения А и В называются тождественно равными на множестве М, если для любого числового набора из множества М соответствующие ему числовые значения этих выражений равны. В этом случае говорят, что на множестве М м имеет место тождественное равенство А — В, и пишут А — В.
В тех случаях, когда множество М не указано, предполагается, что тождественное равенство рассматривается на ОДЗ выражений, входящих в это равенство.
Например, выражения a2~\-2ab-\-b2 и (аД-Ь)2 тождественно равны на ОДЗ этих выражений, т. е. для любых а и Ь\ выражения т—•” :—-- и тождественно равны при а 0 и а # — 2. \а-j- z) а а z а
Замена алгебраического выражения А алгебраическим выражением В, тождественно равным ему на множестве Mt называется тождественным преобразованием на множестве М алгебраического выражения А.
Если не указано множество А4, на котором происходит тождественное преобразование выражения А, то это преобразование проводится на ОДЗ этого выражения.
Свойства тождественных равенств. Пусть даны алгебраические выражения А, В, С и D и дано множество М, принадлежащее ОДЗ этих выражений*
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
179
м м
1.	Если Л = В, то В—А. м	м
2.	Если Л = В, то А—В = 0. мм м
3.	Если А~В, В —С, то А = С. МММ
4.	Если А~В, то АА~С = В-}-С, А — С = В—С. м
5.	Если А = В и С не обращается в нуль на множестве М, то М .А м в
АС —ВС, м м
6.	Если А —В и С = £>, то м	м
A+c^B + D, А — С = В—й» м м
7.	Если А — В и C — D, то м  AC = BD.
м м
8.	Если Л = В, C — D и CD не обращается в нуль на множестве М, то
Л
С “ D *
м	1
9.	Если Л = В, то м
Ап — Вп, ngN.-
10.	Если XW = BW, причем каждое из выражений А и В принимает только неотрицательное значение на множестве М, то
м
А = В, ngfcL м
11.	Если Д2«+1 = В2«+1
(ngN), то
м А = В.
м 12. Если А —В, то
2"V^=2nVs, «ем.
м
13. Если А —В и каждое из выражений Л и В принимает только неотрицательные значения на множестве М, то
Пусть известно, что на множестве М, принадлежащем ОДЗ алгебраических выражений Л и В, для любого числового набора из М соответствующее числовое значение выражения А больше (меньше) соответствующего числовою значения выражения В,
180	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
тогда говорят, что на множестве М справедливо тоо!сдественн6в м м
неравенство А > В (А < В), и пишут А > В \А < В).
Например, на множестве действительных чисел справедливы тождественные неравенства
а24~1 > а2; а < а2-|-1.
В тех случаях, когда множество М. не указано, предполагается, что тождественное неравенство рассматривается на ОДЗ всех выражений, входящих в это неравенство.
м м
Кроме неравенств А > В и А < В рассматриваются также не-м м
строгие неравенства А В и А «С В. м м
Под неравенством А В (А^В) понимается, что для каждого числового набора из множества М соответствующие значения выражений Л и В либо'равны, либо значение выражения А больше (меньше) значения выражения В.
Свойства тождественных неравенств. Пусть даны алгебраические выражения Л, В, С и D и дано множество М, принадлежащее ОДЗ этих выражений.
м м
1.	Если Л > В, то В < Л. м	м
2.	Если Л > В, то Л — В > 0.
Al	М	М
3.	Если Л > В и В > С, то Л > С;
м	м	м
4.	Если Л > В, то А-\~С > В + С и Л — С > В — С« мм	м
5.	Если Л > В и С > £>, то Л-|-С > B-|-D.
-мм	м
6.	Если Л > В и С < D, то Л — С > В — D. > м м	м
7.	Если А > В и С > 0, то АС > ВС, МММ
8.	Если Л > В и С < 0, то АС < ВС.
м м м	м
9.	Если Л > В, С > D и D > 0, то АС > BD. м
10.	Если Л > В, то
м
Л2«+х > B2«+i, п&Я.
м м
11.	Если Л >В и В>0' то
Ап > В«, ng.N.
м
12.	Если Л2/г+х > B.2w+1, то
м А>В, ngfcL
м мм'
13.	Если Ап > Вп и Л > 0, В > 0, то
м
л> вг п е N.
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
181
м
'14. Если А > В, то

М М
15. Если А > В, В > 0, то п/~~ м п/~~ V А > V В, n£N.
16. Аналогичные свойства справедливы и для тождественных МММ
неравенств А < В, А^В, А^В.
Для доказательства справедливости равенств и неравенств алгебраических выражений используют различные методы: а) перебор всех возможных случаев; б) применение законов действий над. алгебраическими выражениями и использование свойств равенств и неравенств; в) применение уже известных неравенств; г) доказательство методом математической индукции; д) переход от верного равенства или неравенства путем преобразований, не нарушающих его справедливости, к доказываемому неравенству; ё) использование метода от противного и др.
Пример 1. Доказать тождественное равенство z (1+^+а + &)2 — (1—^4-а—6)2 = 4Z>(14-a)2.
Решение. Применяя тождество Л2 —В% = (Л4-#) (Л — В), имеем
(1+ab + a + b)* — (l—ab + а—/>)2 = = [(1	+	(1 — ab-\-a-—b)]x
X [(1 ~{“ ab —j- ci 4~ b) — (1 — ab -j- ct—~ 6)] = = (2~|-2a) (2ab+2b) = 2 (1 + a)-2b (a 4- 1) = 4b (a 4-1)2.
Пример 2. Доказать, что для каждого натурального числа п справедливо тождественное равенство
I » 1 , 1 »	,	1	__ п
3-5^5‘7"^7.9^‘’‘~|’(2/г+1) (2/г + 3)”3 (2п-|-3)‘
Решение. Так как juj__________f\ j____,	1
3.5"" 2 { 3	5 J J 5-7"“ 2 \ 5	7 } 1	(2n+l) (2n4-3)““
_(2n-p3) —(2n-H О .1/1	1 \
2 (2n+1) (2п 4-3)	2 \2n-[-l 2п + 3]’
то
.Li 1 I I 1	-4 1 И| Ч 1 .И,
3-5^5-7	' (2«4-1) (2п + 3)—2 \ 3	5/^2\5	7 Г"‘
I / 1	’ 1 \ , 1 (	1	1 \
‘"+2^л-1 2п+1/'|_ 2 \2n-f-l	2« + з) —
_ 1 М J_ , 1	1 ,	, 1	1	1	1 \
2\3 'б-1 5 '7 ^•••+2п —1 2п+1 2« + 1-2п4-ЗЛ —271	1 п
^2\3	2п-\-3)~ 3(2п+3)'
182
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 3. Доказать тождество
(х* + х|) (а| 4- а|) — (x^i+х2а2)? = (х!^ — адОа<
Решение. Имеем
(х|+х2) (а2 + а2) — (ад+ад)2 =	+х2а2 4. Х2аа+Х2а2 _ xzaz —
— 2xia1x2a2 — х2а2 = х^а* — 2х±а2 • x2ai + х\а3 = (хха2—х2ах)2^
Отметим, что тождественное равенство' примера 3 является частным случаем следующего тождественного равенства, называемого тождеством Лагранжа:
(х| 4- х2 + ... + х2) (а| + а2 + ... +^2) — (#iXi+fl2x2+ i s .+^zA)2 = = (ад—ад)2+ (хха3 — ад)2+ ... + (xn~ian —xnan^t
где ах, а2, ..., ап и хх, х2, хп — произвольные действительные числа.
Из тождества Лагранжа следует, что равенство
(4 + х2+ ... х2) (а{ +	. 4~а2) = (ххах+.. > +ад)2
возможно лишь в случае, когда
хх_х2__х3_ _хп п at а2 as ап
г Пример 4. Доказать, что для любых положительных чисел а и b справедливо неравенство
4(а3 + б3)>(а+б)3.
' Решение. Рассмотрим выражение 4(а3~]-Ь3)— (а+б)3. Преобразуем его следующим образом:
4 (а3 + Ь3) — (а+б)3 — 4а3 + 4 Ь3 — а3—За?Ь—Заб2—Ь3 =
= За3 + ЗЬ3 — За2б—Заб2 == 3 ((а3—а2б) + (б3 — б2а)) =
= 3 [а2 (а—б) + б2- (б—а)] == 3 [а2 (а — б) — б2 (а—б)j =
= 3(а—б) (а2-.б2)=3(а—б)2 (а+б)<
.Так как (а—б)2^0 и а+б >0, то 4(а34~б3) — (а+'б)§^0. Следовательно,
4(а3 + б3)>(а+б)3.
Пример 5. Доказать, что для любого натурального числа п справедливо неравенство
Решение; Для любого натурального числа 2 k п имеем поэтому
• • • +^< 1 +гз+2?з+ • • •
==1 + (1 —)+(4~т) + • • • + (-4 ) -2< 2‘
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 183
Пример 6. Доказать, что для любого действительного числа х справедливо неравенство
х8 —х7 + %6—х3 + 1 >0.
Решение. Разобьем числовую ось на промежутки х^ О, 0<х<1 и х^1 и докажем справедливость данного неравенства на каждом из этих промежутков.
Если х^О, то —х3^0 и (х4—х2+1)>0; поэтому —х3 (х4—х2+1) 0. Следовательно, х8—x7-j-x5—х3+1=х8—-х3 (х4— —х2+1)+1^ 1 > 0.
Если 0 < х < 1, то по свойству степени имеем хб > х7 их3< 1; поэтому хб — х7 > 0 и 1 —х3 > 0. Следовательно, х8—х7+хб—х3+1 = =х8 + (хб — х7) + (1— х3) > 0.
Если х^ 1, то по свойству степени х8^х7 и хб^х3; поэтому (х8—х7) > 0 и (х5—х3) 0. Следовательно, х8—х7 + хб—х34-1 = = (х8—х7) + (хб —х3) +1 1 >0.
Пример 7. Доказать, что для любых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо неравенство (неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а =
Решение. Для любых а 0, b 0 выполняется неравенство	поэтому справедливо и неравенство а —
— 2 Уab-\-b 0, из которого простыми преобразованиями получаем
Теперь докажем, что
К ab =	<=> а — £>.
Действительно, с одной стороны
У ab~У ab~ а-\~Ь=Ф (j^ а —У b)2 = 0=^а = Ь;
с другой стороны
а = Z?—>/* = а и
£	Z
3	3
Например, для чисел log2y и log3/22 имеем log2y +
+ log8/2 2 Ss 2 у loga у 1о8з/з 2 = 2, и так как log2 у ф log3/a2, з
то 10g2 -g- + log3/2 2 > 2.
Иногда неравенство У ab^~~- доказывается следующим образом. Если УаЬ^—-^> то а-\-Ь— 2УаЬ^0. Последнее
184	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
неравенство справедливо, так как а-\-Ь—2]/~— а— следовательно, верно и исходное неравенство.
В этом доказательстве содержится логическая ошибка, состоящая в следующем: из того, что в результате преобразований из некоторого неравенства получено верное неравенство, не следует, что исходное неравенство было верно.
В то же время преобразования исходного неравенства помогают иногда найти то верное неравенство, с которого надо начинать доказательство, и правильный путь доказательства заключается в следующем: из верного неравенства в результате преобразований, не нарушающих его справедливости, нужно получить требуемое неравенство.
Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, можно доказать много других полезных неравенств.
Пример 8. Доказать, что для любого а > 0 справедливо неравенство
«+ 1/а^ 2.
Решение. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим получаем
а + 1 /а -» f 1 t
т. е.	причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда а=\.
Заметим, что в случае а < 0 справедливо неравенство а + 1 /а —2,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а=—1.
Пример 9. Доказать, что для неотрицательных чисел а, Ь, end справедливо неравенство
a -J- b -ф- с -f- d	ь/
—!—-—!—	V abed.
4	г
Решение. Поскольку
—К ab и К cd, то
a-[-b c-{-d
2 + 2

а
Отметим, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда a = b-=c~d.
ПримерЮ. Доказать, что для неотрицательных чисел а, b и с справедливо неравенство
О
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 185 г»	г»	к	,
Решение. Рассмотрим числа а, Ь, с и ——— = d; тогда
из предыдущего примера имеем . , . .	Ь-}-с
или abed, откуда d^^abed.
Если d = 0, то a = b = c — 0 (поскольку они неотрицательны), и доказываемое неравенство справедливо.
Если d 0, то. из неравенства d^^abed получаем неравенство d3^abc, или j/ abc, т. е. .
a+b-^c Ь/~ —...о""V abc,
О
Пример 11. Доказать, что если а^О, 0, с 0, то справедливо неравенство
a-}-b-}-c^ У аЬ-}- У Ьс-}- У ас.
Решение. Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел а и b, b и с, а и с, имеем
а-}-Ь^2У ab', Ь-^с^яУЬс; а-}-с^2Уас.
Следовательно,
(а+&) + (6+с)+(а+с) ^2 К^4-2КЬс+2 foe, откуда
2 (а-}-Ь-}-с)^2 (У аЬ-}~УЬс-\~У ас), иДи	’	__
а-}-Ь-}-с^ У аЬ-Д- У Ьс-}- У ас.
Пример 12. Доказать, что при b 0 справедливо неравенство а<>~Ь69^ЗаЧ3—16.
4
Решение. Перепишем доказываемое неравенство в виде у aQ-}-b» + 64^12aW.
Для доказательства этого неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к числам (б?2)3, (63)3 и 43. Тогда
<а2)3 +	|/(а2)3-(й3)М3 = 4а21>3.
Следовательно, а6 + Z?9 + 64	12а2/?3, откуда
аб_|_^о^ [2aV — 64, или
Яв_|_£9
—i—	За2/?3*—16.
4-
186
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 13. Доказать неравенство <
/** КТ
у п\ < —, ttgN;
Решение. Применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим к числам 1, 2, 3, имеем
и	п	2п “ 2
Неравенство строгое, так как числа 1, 2, 3, п различные.
Пример 14. Доказать, что если знаменатели дробей
рр г^положительные числа» то справедливо неравенство
ПИП Т“	г—7“г—i-----ПГ «С
1 < i < п fy	+ ^2 + • • • + Ьп
at max 7“. Kj <nbi
Решение, В самом деле, если обозначить ai лд	а1
т = mm — , Al — max ~, 1 < i < п	1 < i < гг
то
mbiMbi,
mb2 < a2 A1Z>2,
тЬп^ап<МЬп.
Отсюда следует
m (61 + ^2+ »«•	#14-^2+..»+#n	Af (pi + &2+ • ♦ • +^n)>
t. e.
m	+ #2 + * ♦» +
^1 + ^2+
<AL
В частности, для любых положительных чисел ki, k2f

справедливо неравенство
min	< max
1<г</2	«1 “Г «2 "Г • • • “Г */г
а - при ki = k2 == . i. = kn — 1 — неравенство
Д!1 -J- 0,2 -j- . . . -)-mm a; ---------------------!—-
1 < i < n	, n
max az*.
<t<n
(1)
Это означает, что среднее арифметическое п чисел	ап
заключено между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Равенство в (1) имеет место, когда а± = а2 — ..
Из неравенства (1) следует, что среднее гармоническое положительных чисел «1, а2, ..., ап заключено между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 187
В самом деле, из неравенства (1) имеем
1 ilr «1
1 1 min —	------------max —.
п	1<£л^па1
Так как
11 11 пип —=-------- и max ——--------.--,
max ai ^i^ndi mm at
1<	l<i<n
TO
I
1	< ai ' a2	1
max ai	n	min a; ’
1 < t < n	1 < i < n
откуда max	~min
J___। J_। . j1 l<i<n
«1	’ an
Следовательно,
min a^-------:--------г< у ai-a2-a3. ..an<
\<i<n	1 I ± ।	. i 1_
«2~“’~an
«i+... + an 1	max clk
n	KKn
т. e. среднее геометрическое n положительных чисел заключено между их средним гармоническим и средним арифметическим.
Из неравенства
п	+ а2 + • • • + ап
_L+_L_|_ +1	«
ai+aa + *”+«n
следует, что (ai + aa +»., 4-ап) ности, при п = 2 и и = 3 имеем
(тг+т’+^+тгЪ3”2’В част-
(ai+oa) \«i	«2 /
(at + az + аз) (
\ ui a2 u3 /
Пример 15. Доказать, что для натурального числа п справедливо неравенство
1+т+Гз+ь27з+ ‘ ‘ ‘ + 1-2-3...п < 3’
188
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решение. Так к$к -----г < 9 Агу при k^s3, то при
п^З имеем
1+т+ь2+ь2Гз+‘,, + 1.2.3...А< 1+1+'2+22+'"+2^=
= 1+—Г = 3-2^1<3-
1	2
При п=1 и п — 2 в справедливости доказываемого неравенства убеждаемся непосредственной подстановкой.
Как следствие этого неравенства при произвольном натуральном п имеем неравенство
0+1)<з-
В самом деле, по формуле бинома Ньютона получаем /IV ( = \ п ]
1 > t f П(п—1)	1 ,	, n(ti —l)...(n—H~l) Г ,
<.	Ь2 ‘п2~Н,,,'Ь	1-2.
. n(n-l)...2.1 J____1) r
1-2...n	*л«	Ч.2\	п!Г"'
...Ч-Т-4----(1—. (1-—Y... .(1 ——4 <2+
‘ 1.2.. ,n \ n j \ n j \ n ) 4
i _J_I 0	।	1	1	> Q
1-2 ’ 1.2.3-t"4',"r 1-2...n
Пример 16i Доказать, что при a > 0 и при любом рациональном г > 1 имеет место неравенство Бернулли
(1 + a)r > 1 + ra.
Решение, Пусть /•“—> 1 — несократимая дробь. Применяя неравенствд между средним геометрическим и средним арифметическим ,для чи сел
(1 + ra), (1 + ra), ...» (1+ra),
имеем
q чисел
1, 1, v., 1
4-----v----1
(p~q) чисел
У(1 4-ra)tf < 1 +<7ra/p= 1 +a.
Отсюда следует (I4~ra) < (l-J-a)^, t. e.
(l+a)r>14-ra.
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 189
Пример 17. Доказать, что для любых действительных чисел «х, а2, ...,ап и b±, Ь2, bn выполняется неравенство Коши — Буняковского
+ ^2^2 + .». + #?гМ2
«С (^i 4"	. 4- an) (&i++ • • • + bn) •	(2)
Решение. При = a2 = ... = an — 0 в (2) имеет место равенство. В случае, когда хотя бы одно из чисел а±, а2, ...» ап отлично от нуля, имеем
01 + #2 + • • • 4- On > 0.
Рассмотрим квадратный трехчлен относительно х: • ax2-j-2bx^c,
где а = al -|-а2 4~ ... 4* а?г; b — ^i^i4~• • • ~\~onbn; с~ #14-^24“ * • • 4_^/г Заметим, что
ах2 + 2Ьх+с = (atx 4~ ^i)2 4~ (а2х 4- Ы2 4- • • • 4- (опх 4- Ьп)2.
Поскольку (az-x4~fy)2^ О, то ^х2 + 2/?х 4-,0 для любого действительного числа х, поэтому дискриминант этого квадратного трехчлена неположительный. Следовательно, Ь2 «С ас, т. е.
(«1^14-о2Ь24~... 4*опЬп)2 (^i 4"^4“ • • • 4“	(^i4"^2 + • • • -4Ь2).
В (2) равенство имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие числа а и Р, что а24~Р2 7= 0 и для всех k — 1, 2, ... .п выполняется равенство а^ + Р^ —
Неравенство (2) кратко можно записать в виде
/ П \2 П П
( 2 а‘ь‘) < 2 °' 2
М = 1 J' i=i i = i
Часто употребляемые неравенства:
1.	Для любых действительных чисел ах, а2, ап
У' а± 4- ol + .., 4" ап I ai 14“ I а214- • • • 4-1 ап 1-
При п = 2 это неравенство имеет вид К +	| |44 о2|,
и ему можно дать следующую геометрическую интерпретацию: если | «11,' |tz2|—~длины катетов прямоугольного треугольника, то
—длина гипотенузы, т. е. длина гипотенузы меньше суммы длин катетов.
2.	Для любых действительных чисел а±, а2, ап и blt b^i • • •» bn
al 4" of 4~ • • • 4- ап—bl 4~ b% 4~«.. 4" bn
гС | ai — bi 14-1 o2 — b214~ • • * 4~l on—b}l |,
3.	. Для любых действительных чисел at, а2, ,.., ап и
..., Ьп
К(^^ + ^2-^)2+ ♦ » > +(^-^)2^	‘
У oil ai 4~... 4~ ап 4* bl 4- bi 4* •. • 4- bn*
190 ГЛ. * 1 2 * *- алгебраические выражения
При п — 2 это неравенство имеет вид 1^(01 —Z>i)2 +(о2—b2)2^
Oi-j-O2 4~	^1 + ^2, и ему можно дать следующую геометри-
ческую интерпретацию: если A (оь а2) и В (Ь±, Ь2)— две точки плоскости, то последнее неравенство означает, что длина отрезка АВ не больше суммы длин отрезков О А и ОВ.
4.	Для любых неотрицательных чисел ai, а2, ..., ап
п/~——7Г	+ ^2 + •.. +
у а±*а2... ап^.	~-------
(неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим п чисел).
5.	Пусть ох, а2,	ап — положительные числа и
и ох Ч- ^2 Ч~ • • • Ч~	л
Ап — =—~1—- — среднее арифметическое,
п/----------
Gn — у ауа2.. .ап — среднее геометрическое, тт	п	•
Нп — —:---:--------i----среднее гармоническое,
ох 1 а2 '	1 о„
о , ч 1/44^+^’.+^ ’ Sn(m)~ у -------5--------------среднее степенное этих чисел.
Тогда для чисел Ап, Gn, Нп и Sn (2) справедливы следующие соотношения:
т. е.
$п (2) Ап Gn Нп.
6.	Если ох, о2, ..., ап и bf, b2, ..., Ьп—две неубывающие (невозрастающие) последовательности чисел, то справедливо неравенство Чебышева
Qi Н~ Д2Ч~«• ♦ Ч~Дп bjA'b2Ar ,,. A^bn a^bj Ч- a2b2 -f-. ^. 4~ апЬп
п	п	п
, 7. Пусть Ох *4“ а2 + •.. Ч~ ац = 1, b{ -{- ^2~Ь • * • Ч- Ьп == 1} тогда
I #1^1 Ч" а2^2 4“ • • • Ч*яЛг I Ь
Применение неравенств для ‘ нахождения наибольших и наименьших значений. Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следует:
1. Если сумма положительных чисел а^ а2, ап равна о, то произведение этих чисел принимает наибольшее значение при ai = 02— < i i =an=^ и это наибольшее значение равно
2. Если произведение положительных чисел ах, о2, ...» ап
равно Ь> то их сумма принимает наименьшее значение при Oi = = о2= —Он= у Ь и это наименьшее значение равно о/ д.
Пример 18. Найти наименьшее значение функции
f (х) ~х-{-а/х9	х£-(0; Ч~°°)> а > 0.
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 191
Решение. Произведение положительных слагаемых х и а/х равно постоянной величине а; следовательно, их сумма по свой-ству 2 принимает наименьшее значение при , т. е- прих=У а-Это наименьшее значение равно 2]/^ а-
Пример 19. Найти наименьшее значение функции - , .	Х84-х + 2 х-/л > ч
/(*) =---------> *ё(°> +«>)•
Решение. Поскольку
х* 4~ х 4- 2	911 । 1 । 1
---'--:—=х2 + 1 4-------
X	X 1 X
и произведение положительных слагаемых х2, 1, 1/х и 1/х равно 1, то наименьшее значение сумма этих слагаемых принимает при х2=1 = 1/х, т. е. при х—1. Это наименьшее значение равно 4.
Пример 20. Найти наибольшее значение функции
f (х) = (1 — х)8 (14~3х) при —1/3 < х < 1.
Решение. Преобразуем функцию f (х):
(1 —х)3 (14- Зх) = (1 -г-х) (1 - х) (1-х) (14- Зх).
Поскольку 1—х >0, 14-Зх > 0 при 1/3 < х < 1 и
(l_x) + (l_x) + (1— х)4-(14-Зх) = 4, то наибольшее значение произведение
(1 —х)(1 —х)(1 —х) (14-Зх) = (1—х)3 (14-Зх)
принимает при 1—х=14~3х, т. е. при х—0. Это наибольшее значение равно 1.
Пример 21. Найти наибольшее значение функции у (х) = = х?/4—х2, —2<х<2.
Решение. Функции у (х) и -у у2 (х) достигают наибольших значений при одном и том же значении аргумента х (так как
1 х^
Представим выражение (x)=-j- (4 — х2) в виде
*(4-^ ==1^.1^. (4-А
Сумма -i я24~4"л:24-4—х2 равна 4, т. е. принимает постоян-Л л
ное. значение; поэтому функция -^-z/2 (х), а значит, и функция у{х) достигают наибольшего значения при -~-х2 = 4—х2, т. е. при х— ±2~У 6/3. Следовательно, у (2 У' 6/3)=16]/' 3/9набольшее значение функции.
192	ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения А —	если известно, что xi + xf «С 2, #14~#2«С4.
Решение. Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
== (х±у± + х2у2)2	(xl+*а) (у!+yl) >
откуда, используя условия задачи, находим
А2<8, т.е. | А К/*8 = 2/”2.
Заметим, что при xi — x2 = l и ^ = #2=]/”2 выражение ^1 + ^2 принимает наибольшее значение, равное а, при х1 — х2 ——1 и у1 = у2=]/^2 принимает» наименьшее значение, равное ,—У' 8.
Пример 23. Известно, что уравнение
х4—4х3 + ах2 + Ьх + 1 — О
имеет четыре положительных корня. Найти коэффициенты а и Ь.
Решение. Согласно теореме Виета, если Xi, ха, х8, х4 — корни (с учетом кратности) данного уравнения, то
X} 4“ х2 4^ х8 - j- Х4 = 4 и x^XqX^x^. = 1.
Из неравенства о среднем геометрическом и среднем арифметическом следует, что
1 = 1;
поэтому
+Х2 + Л'3 +-ХК-. 1.
Поскольку равенство между средним арифметическим и средним геометрическим достигается тогда и только тогда, когда числа равны между собой, то Х1 = х2 = хз = х4 — 1- Следовательно,
х4 —4х8 + ах2 + &х+ 1 = (х— I)4,
откуда а = 6, Ь =—4.
Пример 24. Известно, что уравнение
х6 — 6х5 + 15х4 + ах3 + Ьх3 + с* + ^==0
имеет шесть действительных корней. Найти числа а, Ь, с и d.
Решение. Согласно теореме Виета, если хь х2, х3, х4, х5, хб — корни (с учетом кратностей), данного уравнения, то сумма этих чисел равна 6, т. е.
Xi 4" х2 4* х3 -f- х4 + Х5 -4“ х$ = 6,
и сумма всевозможных попарных различных произведений равна 15, т. е.
Х1Х2 + XfXg -р i». 4" #1*6 + #2Хз + ... + х2хв 4“ • • ♦ 4“ *5X3 = 15.
Докажем, что если числа blt /;2, ..., Ьп таковы, что их сумма равна п, то сумма их всевозможных попарных различных произ*
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 193
„ „	П(«—1)
ведении не превосходит —, причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда Ь± — =..,=&„= 1,
В самом деле, имеем
2 (^2 4"	+ •»»+ А) =,
= (Z?i+ i ь. +&п)2—(^1+^2+ • • • + &a) = n2—(&1+&2 + • • • + bn)'
По неравенству Коши — Буняковского для чисел bi, b2, tiif bn и ai — a2 = ... = an = 1 имеем
(&1 + &2+ t -• •	(^i+^2“h • • • +^«)2»	"(3)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда bi = == ^2~ • • • = bn.
Из (3) имеем	V
(bl+bl + ... + bn)	(bi4-b2 +•. ♦ * +M2>'
следовательно,
д?—(&1+&2+ • • •	~ (^1+^2+•»»+Ма==?;
=>П*~-П^П (п~* 1); и
A+bibs + . + bibn + Ь2Ь3 +*_..+ bn _ fbn) ..—- •
Таким образом, нужное утверждение [доказано.
Так как при п = 6 имеем ^1^-12=15, то, применяя докаг данное выше утверждение, имеем
Xi = х2 = . а .= Хъ == L
Следовательно,
6х5+	@ (х— 1)®,
откуда находим	,	,	“
а=—20, &=15,	/ V
ЗАДАНИЕ I .	-	”	\	.'’г .'L-jH.u. •
1.	Являются ли выражения А и В тождественно	‘	‘
множестве Mt если	1	'	”	. 1 '	,	’
1)	д=_*	'	8=------!— , М = {х:х>0};
/	х2—1 1 х-4-Г	1	1 J
‘	х------
. •	X
2)	Л = х]<хЧЛ, В =—У1^+х\ А4=={х: х<0};
3)	4==хУ'х2“1, В =	М = {х: х^О}.
2.	Найти множество-всех таких действительных чисел, на ко-тором тождественно равны алгебраические выражения А и В, если
7 Задачи по математике. Алгебра
194
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Л== (а+1)2’
2)	А = ]/'х2^П>
3)	А=У"^~1,
B=Vx— 1 у/'х+К в = у/Т^ У—1—х;
4) А = 1 — 2х2, В = (У 1 — х*—x)(V 1— х*+х);
5) А = 1 — 2х2, В=—(/х2^!)2—х2.
3. Найти ОДЗ двух алгебраических выражений Л и В и доказать, что на этой области справедливо тождественное равенство Л = В, если
1)
2)
3) 4.
1)
2)
а2—16 72а+ЗУх о„3 а—3.
а2—8а+16 \3а—9/ ’ * 2 а~4’
А__j_ 2 .
х2-Г х-1^х+Г
\m4-l 1 5m—1 J \ 1 —5m J	m-j-i
Доказать равенство: / a—3 a—3\ 7a—4 __ 14-a2	.
\7a—4 a—4 J 9a—3a2“" 4—a a ’
(—J_______I - 1 I yx
Vx2 + 5x-t-6~x2 + 3x-|-2~x2 + 4x+3 ) л
(x-3)4-12x.
X	_	1,
„ (x—у)г-\-ху f	+	\-1
(x+#)2—xy\(x3~у3) (^+у9+х2уА-ху^)) ~Х~~У>
4)	(.fe’-yP.-HxS-x+gY2x+3+-^rY"1=2x-l;
5)	f 3+*___6	। s~x V 24x2	\-i .
Ц(3—9—я2^(*+3)2 A(—81+%V /
—2x2
9-x2*
ЗАДАНИЕ 2
1. Являются ли выражения Л и В тождественно равными на множестве М, если
1)	A=(]/T=^+i)f  ‘ - - 4-/тлД _________	• \ V1+*	/
В=У1+х, М=={х: — 1 ;< х<1};
2)
\ К a+K b	) аЬ(а—Ь)-
В=--—, M={(a, by. а > О, b > 0};
ab^a+'fb) v	>	/>
3)	А=—-А~Х4 =, В=—??-—,М = {а:а> j/Л}?
‘^3
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ]95
2. Найти множество всех таких действительных чисел, на котором тождественно равны алгебраические выражения А и В, если
1) л

2) А
..В = -1;
К X—1 —1
3) А = У(1 —2а + аа) (a?— i) (а— I)( а^.2а 3.\ ”,
а + 3
3. Найти ОДЗ двух алгебраических выражений А и В и доказать, что на этой области справедливо тождественное равенство А = В, если
1) Л=У2а+2/'аа-1Г1/Г ^=1Ц-Х.^±1+2^ >, К«+1 Ка-1 J
\ 2	2Кв/\Уа+1 V а-1 ) уГ а
3) Л = ^+2^-4 в 1
Vx2-4+x-j-2 ’	Ух+2‘
4. Доказать равенство:
1 + 6ас 8с3—а3
1
2с—а
1 а3—8с3
1 \-1
а2 + 2ас+4с2 }
= 2г—а— 1;
/ х2-2х + 4 2х8+х	г+2 \ /4(х+1)\-1
\,	4х?— 1	а^+8 -х J \ х2+2лг /
6-6х
3—6х
Г 1	,	2	1	\ / а—,4 \-2 , 16+4а _
^а2__4аН- 16_аа "Г4а+шу \2a+8 j Ч" 4а2—а3
__а+4. ~~ а2 ’
2х
х—4 / 80х . 2х х—16Х-1	4	__ х
jJ—2 \ х8—S * х^ + 2х+4	2—х/	(4—4*
196	ГЛ. 2’ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 3
1. Справедливо ли на множестве М тождественное неравенство Л' > В, если
1	3
О л= зх_2—’ В= 7х—4—Зха ’ М==(х'-
-• 25х-2у	-	.
2)	А == —тт;-г=-и—г-:, В = --------, М = {х: х > 2};
7	10х—15 3x4-4	6х2 —х-12	1	"
3)	Л = %2 — 4%, В = х—3; А4 = {х: х«^0};
4)Л=Т~Т*	Л1 = {х:
2. Доказать неравенство:
1) x24-2xz/4~4z/20; 2) 4а4 * * *— 4а3+ба2—2а+ 1	0;
3)Тф^<4: 4) ‘t+b^M+ab*;
5)	я8 *—х8+ха—х+1>0;
6)	(x+£+z)?<3(xl+{/?+z4)‘r	__
7)	(У х+У у+У г)(х+у+г)^9Ухуг.
ЗАДАНИЕ 4
1. Справедливо ли на множестве М тождественное неравен* ство А < В, если
1)Л=^( .В=^-Д-, '	2	2 х+а
(	2	}
М = < (а, х): а < 0, ——а < х < — а и
m л 2х— 3 D 2х—1	х+1	.
А~ т+1 ’	т+\
М — <(т, х): т < 1, х > ох л ;	1	. „	,	1
2(m—1)’ 3m— Д m+1 Р
3) А ==а4--^, : В = х+~, Л4 = {(а, х): 0 < х < а < 1}j
4) л=тЕт’~пЬ’ в = 1-ж- М = {(«> *): 0< а<1, х > 0)?
Д2; Доказать неравенство:
1)х10—х'+х*—Х? + 1>О; 2) аУа—а+ЗУа+5> 0}
<к ( *+5 ,	х+7 , \ М+3\-2 |_7-|-х .
JA«a—8b*1" X?-I8x+81 }\x-9J Ч)+х ' * '18-3x4-2x2 ( х 12ха-9х_.	9	V1-»!
}	(3—х)2	\х—З"1" 27—х« х?+3х+9 ) Ц
‘5) хУ х+Зх—13У х+15 > 0;	_
*6) х»+х® К х+х^вхУх+х+У х+1^0;
n "±и>1, /4х?4-1	. _
8) a+b+2a2.+2b*-2z2ab+2b У&+2а У Ь.
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 19^
У пражнения
1. Найти ОДЗ двух алгебраических выражений Л и В и доказать, что на этой области справедливо тождественное равенства А = В, если
1) А = (х—у): (х3—у3), в=^;
2) А — (х3+у3): (х-)-у), В=х3—ху+у3\
' ' 3) А =4~4’ S = x« + j/2;
'	X2— у2	г * ’
Л...«2 + &2_______1—.
.	’	а*-Ь^	D~a3—b3’
5) .4 _ (m2 + 4ffw+4«2) <w2 ~ 4ffw+4ft2)	B = m3-Wt
6) A = ((a+b)3-ab) ((a—b)3+ab) ’ в==а*~1А{
7 A_ (as-j-8a3b-f-3b3a-l-b3) (a3—2ab-l~ b3)	a-\-b
’ Л (a3—3a3b+3b3a—b3) (a3+2ab+b3) ’ Н-а— b1,
A= (х3+у3)3—2х*у3—2х3у* ’ в = (х—У)(х+№
оч л _ Xs — (а-|-6+с) хг + (а& + ас+ be) x—abc
У) Л~	(X2 —Я2)(Ха—62)
p . x-c
(x+a)(x+&) ’
(х2-—(а-\-Ь)х-]~аЬ)(х2 — с2) (x2~d2)
'	x4—ax3+£x2 —yx+abed	9
B = x2 + (^+d) x,+ ^»
ex = a-j~ b~j~e-j-df
fi = ab + ac-t-ad-j-bc-}- bd-j-cd, y = abc-J-abd~l~acd-[-bcd.
2. Доказать тождество:
1) x*+x2y2+y*^Xx*+!ft+xy) (x2—x^/+^a);
2)^+^+x4+^-2(x2+x//+^)2; '
3)	(x+l)(x-L2)(x+3)(x+4)+L=(xI>+5x4-5)8;	,
4)	[«(*+£) + *(x—I/)]2—4^‘-
5)	(ax+by+cz-{-df)3-)-.(bx—ay-)-dz—cf)3.-{-
+ (ex—dy—az 4- bi)3. + (dx+cy — bz—at)3 = =(а2+г>Я-с2+^)
6)	(a3+ab+b3){a3—ab + b3)(a3-b3+\) =
\	-	=a3 — b3 + al+a3b3 + bi;
7)	(c4~a— b) (c—a+b) (a + &4-c) («+&—c) =
= 2 (a3b3 4- a3ci 4- b3c3)—(a4 + 64+c4);
8)	(x+y)6—xi—y3 = 5xy(x+y)(x3+xy+y3);
9)	(x4-£—i)(x?—xf/4-#2.4-*4-04-1)=*8+3A#+J'8-'1:
198	ГЛ- 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
, 10) (а—&)3+(&—с)3 + (с-а)3 = 3(а—/>)(&—с)(с—а);
11)	^+&+с)3 + (а—^—с)2+(2с—Z>)? = 2^ + 3^2 + 6c2;
12)	(a+b+c+d)2 + (a—b—e+d)2 + (a—b + c—d)2 + ^.^a^.b—C—d)2 = 4(a2-yb2 + c2 + d2);
13)	(x-^-y+z) (х2 + «/2 + г2—xy—xz—yz) = x3+y3-\-z3 — 3xyz-, > 14) (а+Ь+с)3-(а3+Ь3 + с3)^=3(а+Ь)(Ь+с)(с+ау,
15)	(a-[-Z> + c) (bc-]-oa+ab) — abc=(a+b) (& + <?) (<?+«); .
'	16) a(b-c)3 + b(c—a)3 + c(a—b)3 =
— (a—b) (b—c) (c—a) (a+^+c)*,
17)	(be+ca+ab)2 + (a2— bc)2-y (b2 — ca)2+(c2—ab)2 — ^{a2-\-b2 + c2)2\
18)	(l-\-ab + a+b)2 — (1 — ab + a—h)3 = 46 (14-a)2;
19)	(2a2 + 3a^—i>2)2 — 4 (a + b)2 (a2 + ab—2b2) = b2(a+3b)2;
20)	(a—b + c+d)2 + (a + b—c+d)2==2[(a+d)2-\-(b—c)2J;
21)	(a2+b2-yc3-]-bc-[-ca-\-ab)2-~(a-j-^+c)2 (a2 + &2+c2) = — (bc+ca^ab)2;
22)	a(b + c—a)2~yb (c-ya—b)2-]-c(a-yb—c)2+
4-(b + c—a) (c~|-0—b) (a-\-b—c) = 4abc',
23)	(x—y) (y—z) (x—z) (xy+yz + zx) = — x3y2+y3z2+г3х2—x*y3—y2z3 — z2x3;
24)	(a+^ + c)3-— (b-\-c—a)3—(с+я—b)3 — (a-\-b— c)3 = 24abc\
25)	(«+&-[-c)4— (a-\-b)*—(& + c)4 — (с+а)4+а* + ^4 + с4 = = 12abc (a4-Z>+c);
26)	(b—c) (b+cy+tc—a) (c+a)4+(a-.^ (a+^)4 = = — (a—b) (b—c) {c—a) [3 (a2-yb2-yc2)+5 (aZ>+to+ca)];
27)	x3+ys+za-3xyZ=^~(x+y+z) [(x-«/)2+(x-z)2+(j/-z)2l.
3.	Доказать равенство при заданном условии:
1)	х3-]-у3=1—Зху, если х-]-у=Г,
2)	x3J-y3 = l+3xy, если х—у=>1\
о\ / 2 I ( 1 । 1 \	6a2 —5а-[-1
3)	(х +У У\^-+у)=------------------ если *+»=!> ху = а-,
4)	V 2> если х > у > 0 и х2-}-у2 = 6ху;
5)	(х-\-у+z)2 — х2-]-у2-Уг2, если xy^]-yz+zx=^0;
6)	(х2-Уу2~Уг2)2 — 2(х4+у4+г4), если x-\-y-yz — Q\ .
х У	^(У—х)
ys—1~~ Xs—1'“}с2^2-|-3 ’ если х~гУ~1 их 5^1, {/5^1;
8)	х+у-}-2—4-+4-+-L если у(х2—уг)(1—хг) = z у X
— x(y2—xz)(l—yz) и xyz^O;
(*2+УЧ-г*) (а2+Ь2+с2) =
— (ах-j-by-l-cz)2, если
§ 6. СРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
199
10)	x3-[-#3 + z3 = 3a$z, если x+#+z = 0;
nV x5-j-#54-z5	x2+#2-|-z2	.	, л
11)—==----------LX_J---если x+^+z-0,
4.	Доказать, что для любого натурального числа я справед* ливо неравенство:
1	< "n+T^- n+2"^'n+3	' “^Sn+l < 18 * 20 21
2)	-р + 22 +	< 2;
1 , 1 .	. 1 1
3)	9 '25‘	‘ (2n-|-l)a < 41
4)	1+—l=r+—U+...4—Х> /5ц П О Г «
- _i_ . _з . 2п~1 .<	1	,
° 2 ' 4 * •  • * 2п j/'2n+T 5
6> 1+т12+г4з+--Ъг<2'
3)
5. Доказать неравенство:
1)	(х+у)2 Ss= ixy, 2) а*+	И
Х<1; 4)Х±3_>2{
5)	2а2+62 + с3 й= 2а (Ь-|- с);
6)	a24-62 + c2^a&+frc+ac;
7)	о24-62Н-1 ^ab+b+a;
а?4-&24-с2^2(а+&+с)—3;
£t). a44-a86-f-a&34-b4^0j
10)	о4—2а86+2а2&2—2ab3 + 4>4 За 0j
11)	(a+*4-c)2<3(a2+63 + c2);
12)	а4+^*+с4>а®с(«+^+<!)!
13)	8(а4+&4)Э=(а+6)4;
14)	(a2+e2J(o4+»4)^(a8+63)2;
15)	(а+&+с+й}2<4(а2+&2+£?Ч-<^М
16)	а2 (1+&4) + &2(1 + а4) < (1 + а4) (I+Ь*н
18) a|’+pi8+|cF^3|a&c|;
h) (I«Г+Р I) (Р1 +1 с I) (I a I +1 «|) ;S 8 f abe |{
20) a^+^+l^Sa2^; 21) 2-±5-^3a2&«—4.
6. Доказать, что для положительных чисел а, Ь и с справед«< ливо неравенство:
1) са -f > 2 VgS; 2)	К
3)> 2сР•+ 2а24~1 > а; 4} а3 4- 2 а2+2 Y"aj
200
ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
5)	ab (а4b) 4 Ьс (Ь4с) 4 ас (а 4 с)	Gabc;
6)	(а+Z>4 с)3- (^4	^2Ja^b) (b+c) (с4 а);
7)	а+b+ с^ У ab+ У be 4 У ас;
8)	ab (a 4 b—2с) 4 be (b 4 с— 2ц) 4 ас (a4 с—2Ь)	0j
• q\ a3 + fr8^ ( a+b\\
.?)	2 ^2 ) ’ _	__
10) ^(а-Ь c) (b+d)	У ab + У cd;
11)а»+Ь”<(а+Ь)», »€N;	12) A_]_±.|-S^3;
13)	(a+Z> + c)3<9(a8+6»+cs);
...	2 _____2 ______2	9 > .
' b + c' c+a ~^a+b a4 b+c 9 a±b b+c a±c
’ c 1 a 1 b 	•
16) (V"a+ V"b)s 2s= 64ab (a+ b)2;
1 1 1 1
17) —4“’уН"у^ уy^^y ab ’
7. Доказать, что
1) если |a| < 1, |6| < 1, то |a+&| <| 14^11
2) если а+64-с = 0, то ab+bc+cat^Q;
: 3) если а2 + 62=1, то ja+bf^y 2;
; 4) если a^b^c^d и b+c — a+df то bc^ad;
_-Ч	/ч	О I Ь _.
б)	если ab > 0, то -=--4—^2; b а	\
ci b
6)	если ab < 0, то -т~Ч—^-—2;
'	b а
7)	если а > О, b > 0, afc=l, то (1+a) (14-6)^4j
8)	если	то
х 9) если а+&^с>.0, то а2-|-^2^с2/2‘,
10)	если a -j- b с 0, то а4+Ь* с4/8;
11)	если а-\-Ь^т с^О, то а8+^8^ с8/128;
12Ъ ёс/ш а+^аМ, а> О, b > 0, то У4а+ 1 + У4^1^ 51
•131 есЛи положительные числа а±, а2, ап образуют ариф-/ метическую прогрессию, то
V	< У at • «2... а„ < j
14)	если а, b и с—длины сторон треугольника, то (07kь+с), (u—b4-(?) (/?тЬ4	1.
. 15)	2>
16)	если ^Ч-лга+...+хй=V»!
• * 17) если di+аа +,; . 4- й/i =й« г '
01^4^1^84"• ♦ • 4-*-4i = 1 > 2, м। n— 11
r 18) если a-kb — c, a > 0, то а2/84^2/3 > c2/8j
19) если каждое из чиселan положйтеЛйо, то
4 У а1аз4 • •	• • ‘ 4 Уоп^±ап^ л г.1
’^'^7’^1:4^»+ • • ‘+an)> / (==h	я«-1<
ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИЙ
/
§ 1. Метод математической индукций
Для доказательства некоторого утверждения* $ависяш$го от натурального числа п, часто применяется метод математической индукции.
Для доказательства утверждения методом полной математической индукции делается следующее:
1. Проверяется справедливость этого утверждения для п=1.
2. Предполагается справедливость этого утверждения для n — k, где 6—произвольное натуральное число, и ё учетом этого предположения устанавливается справедливость его для
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном Ji число а„ = я34-3/г24-5п делится на 3. -
Решение. Воспользуемся принципом полной математической индукции.
1. Если а«=1, то «1= 13+3« 12+5« 1 =9, и потому а± делится на 3, т. ^е. утверждение справедливо при n=^L
2. Предположим, что утверждение справедливо при n — k, 6^1, т. е. что число ak — 634-3624-56 делится на 3, и установим, что при n — число т, е. число (6+1)34~3 (64-1)24“* +5 (64-1), делится на 3.	'
В самом деле,
«МТ = (*+1)3 + 3 (k+ 1)2+5 (*+1) =
= 634-З62 + З64-14“3624-6б4-34-5б4-5== •
= (63+362+56) 4- 3 (62+36+3) *= ak+3 (62 4-36 4- 3).
Так как каждое слагаемое (число а^ согласно предположению, а число 3 (62+36+3) как , натуральное число* содержащее множитель 3) делятся на 3, то их сумма также делится на о, что и требовалось доказать в этом пункте,
Итак, на основании пп. 1 и 2 и принЦийа йолной математической индукции делаем вывод, что. при любом натуральном п число ап делится на 3.	'
Пример 2. Доказать, что сумма первых п (/igN) нечетных чисел равна квадрату их числа, т. е.
14_3+5+...4_(2n~i)==n2>	(1)
Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции. .	" .
. 1. Цроверим справедливость данного утверждения при п — 1. Есличп==1, то 1 = 12, т. е. равенство (1) при верно.
2. Предположим, что сумма первых 6 (6^1) нечетных чисел равна квадрату числа этих чисел, т. е. предположим, что
<	1	14-34-54-..< + (26-1) = 62<	(2)
202	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Установим, исходят из равенства (2)*, что сумма первых fc-f-1 нечетных чисел равна (&+	т»-
fc+34r&+ -..+
Воспользовавшись формулой (2), получим
1+3+5_|-5..4_(2А?~1) + (2А?+1) = ^+(2Л+1) = (А?+1)2, что и требовалось доказать в этом пункте.
На основании пп. 1 и 2 и принципа полной математической индукции делаем вывод, что. сумма первых п нечетных чисел равна /г* 2.
Пример 3. Доказать, что если sin а0, то при любом натуральном: я справедливо тождество
sin 2W ^а
cos ex* cos 2а* cos 4а ... cos 2”а =	4	(3)
2"+1 sin а	к
Р ею е н и е. Применим метод полной математической индукции. 1, При тождество- (3) справедливо. Имеем
п sin 4а cos a*cos;2а — -г—:-,
4 sin а
так как
sin 4а
4s-m а'
2 sin 2 а* cos 2а
4 Sina
4 sin a cos a cos 2а	n
---------г—.----------— cos a* cos 2a.
4 sin a
2. Предположим,, что тождество (3) верно при п = т. е.
п	пь sin 2*+1 а	...
cos:a*cos 2а ... cos.2«a = яктт—:—>	(4)
2*+1sina	х '
и, используя (4), покажем, что
sin 2А+2а
cos a* cos 2а ,. >. cos 2 й a* cos 2A+1 а=	.-*	(5)
_ 2«+2sina v '
Так как sin 2х=2 sin х cos х при любом х,. то п	я» 0*4.1	8Ш2*+1а*с08 2й+1а
cos а • cos- 2а ... cos 2* a cos 2*+Ja  -----------=
2fe+2sma
—	2*+1а» cos 2й+*а__sin(2*2fr+1a}__sin 2#+2 a
2*+2'sina	2й+281яа ~~2A+2sina’
Таким образом, формула (5) доказана.
Из пп. 1 и 2 и принципа полной математической индукции заключаем, что тождество (3) справедливо для любого натурального п.
Метод полной математической индукции применяется и для доказательства некоторых неравенств.
Пример 4. Доказать, что при а — 1 и при любом натуральном п справедливо неравенство
+	+	(6)
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 203
получившее название неравенство Бернулли (см. также § :2, пример 33).
Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции. ч	'
1. При п~\ неравенство (6) принимает вид что верно,;
2. Предположим теперь, что при п = k, имеет место неравенство (1+а)«^ 1 + k-a.	(7)
Используя неравенство (7), докажем, что
+	+	'	(В)
Для этого заметим сначала, что лри-а== —1 неравенство (6) выполняется, и поэтому достаточно рассмотреть случай а> — 1, т. е. а +1 > 0. В этом случае, умножив обе части неравенства (7) па число 1-|-а, получим
(1 +	(1 + ka) (1 + а) = 1 + (k +1) а-р ka?1 +,(£ +1) а,
т. е.
что и требовалось доказать в этом пункте.
Из пп. 1 и 2 и принципа полной математической индукции следует, что неравенство (6) доказано..
Доказательство методом неполной математической индукции некоторого утверждения, зависящего от п при любом натуральном п, начиная с некоторого натурального р^2, проводится следующим образом:
1. Устанавливается справедливость этого утверждения для п~р.
2. Предйолагается справедливость этого утверждения для n~k, где k— любое натуральное число, не меньшее р, и, исходя из этого предположения, устанавливается его справедливость для п=^+1.
На основании пп. 1 и 2 и принципа неполной математической индукции делается вывод, что это утверждение справедливо для любого натурального п (п^р).
Пример 5. Доказать, что для любого натурального 2 имеет место неравенство
4”	(2п)\
п+1< (л!)2’
(9)
где п\ = 1«2«3«..-. •п.
Решение. Воспользуемся методом неполной математической индукции.
1. ,Проверим неравенство (9) для п = 2. Имеем
42 _/16 18	..б*4—41 -42-2)!
2-|-1~ 3 < 3 —	4	22	(2!)2 ’
т. е. неравенство (9) выполнено при п = 2.
2. Предположим, что при n=£, k 2неравенство (9) верно,, т. е,
,	(io,
(И)«*	А ’
204	ГЛ. 8. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 4
Используя теперь неравенство (10), докажем, что
4**1 [2(6+1)]!
k+2< [(£Ч-1)!]а ‘
(И)
ч 4/г+1
Рассмотрим выражение »
Перепишем его в виде
4*+1__ 4»	4(6+1)
k^2^k+l* 6+2 *
откуда, используя неравенство (10), имеем
4*+1_ 4*	4(6+1)	(26)! 4(6+1)__
*4-2—fe-f-l’ *4-2 < (*!)« *4-2
(2*)! (2*4-1) (2*-|-2) 4 (fe+1) (fe+1)«_
~ (2*4-1) (2*4-2) (*!)«(*-|-1)2(*4-2)
_[2(*4-1)]Г	2(*4~1)2
-((*4-1)!]2 ‘(2*4-1) (*4-2) -
Поскольку
2(6+1)2 __262 + 46 + 2 _ 262 + 46+2 (26+1)(6+2)”"262 + 56+2 262+46+2 + 6 < Ь
то из неравенства (12) получаем
4**1	[2(6+1)]!
6+2^ [(6+1)!]2 ‘
Таким образом, на основании пп. 1 и 2 и принципа неполной математической индукции делаем вывод, что неравенство (9) верно для любого натурального числа п 2.
В некоторых задачах явно не сформулировано утверждение, которое можно доказать методом математической индукции. В таких случаях надо самим установить закономерность и высказать гипотезу о справедливости этой закономерности, а затем методом математической индукции проверить предполагаемую гипотезу. Покажем это на примере.
Пример 6. Найти сумму
5 — 1	। ± .	1	1
~ 1 «2 ‘ 2«3 ‘	' n («+1) ‘
Решение. Нацдем суммы S±, S2i SSt Имеем
1~l-2~~ 2 ’	2~1^2±2.3~~ 3’
5—1____।_!_I_L—JL s______!_I__!_1_Lj__L-__A
s“b2^2.3Ф3-4	4’, 4-b2^2.3^3.4^4.5“5 \
Каждая из рассмотренных сумм равна дроби, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе— число, на единицу' большее, чем число слагаемых. Это позволяет высказать гипотезу,
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ	205
что при любом натуральном п справедлива формула
Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом полной математической индукции.
1. При п — \ гипотеза верна, так как Si==—L==A.,
2. Предположим, что гипотеза верна при n^k, k^l, т. е< — предположим, что
s.-slr- '	<1<)
Используя формулу (14), установим, что гипотеза верна и при п = А-|- 1, т. е.
о	.	1
°4+1-1.2т’2.3'1' ••’’г £(Л+1)
В самом деле,
О_____О I	I	1	_
j)	/г+ М (*+1) (й-Н2)“
йа4-2*+1 _ (й+1)а	_Л4-1
= (й-|-1)(й+2) — (*+1) (k-f-2)~~k-{-2'
Итак, исходя из предположения, что гипотеза верна при n = k, Л^1, доказано, что она верна и при л = &+1«
На основании пп. 1 и 2 и принципа полной математической индукции делаем вывод, что формула (13) справедлива при любом натуральном числе п.
< Пример 7. Найти все натуральные п, для которых справедливо неравенство
, 2« > п2.	(15)
Решение* Рассмотрим /г—1, 2, 3, 4, 5, 6; имеем:
21 > I2, 22==22, 23 < За, 24 = 42, 2® > 52, 26 > 62.
Таким образом, можно высказать гипотезу: неравенство (15) имеет место для каждого п 5. Для установления истинности этой гипотезы воспользуемся принципом неполной математической индукции*
1. Как было установлено выше, данная гипотеза истинна при и = 5.
2. Предположим, что она истинна для n = kt &^5, t. е* справедливо неравенство
2й > &.	(16)
Используя неравенство (16), докажем, что справедливо также неравенство
2Л+х > (А+1)2,
Из (16) следует, что	, /	. J :
2Л+1 = 2«2Л > 2*AV	(17)
206
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Но при имеет место неравенство
2k* > (k+1)2,
так как оно равносильно неравенству
&2_2&— 1 > 0, или (k— 1)2—2 > 0,	(18)
которое выполняется при любом k^5.
Таким образом, из (17) и (18) следует, что
2*+l>(fc+l)2.
Итак, истинность гипотезы при n~k-\A следует из предположения, что она верна при п = А,
Из пп. 1 и 2 и на основании принципа неполной математической индукции следует, что неравенство (16) верно для п = 2 и при каждом натуральном п ^5.
> Отметим, что гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежащий Эйлеру.
Будем вычислять значение трехчлена п2 + п-}-41 при некоторых первых значениях п; получим
п	12345678
n2 + n + 4i 43 47 бз 61 71 8з 97 ц3
и заметим, что получаемые в результате вычислений числа являются простыми. Более того, непосредственно можно убедиться, что для каждого п от 1 до 39 значение многочлена м2+п+41 является простым числом. Однако при п — 40 получаем число 1681 =412, которое не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла бы возникнуть, т. е. гипотеза о том, что при каждом п число п2+/г+41 является простым, оказываются неверной.
ЗАДАНИЕ 1
1.	Доказать, что для n-го члена геометрической прогрессии {&„} со знаменателем q справедлива формула	(ngN).
2.	Доказать, что при каждом натуральном п число п3+Пп делится на 6.
3.	Доказать, что при каждом натуральном п справедлива формула
1+2+3+ +	=
4.	Последовательность {art} задана рекуррентным соотношением «1 = 2, «2 = 3, «д+1 = 3«„-—п^2. Доказать, что
«П«»2П’"14-1,
ЗАДАНИЕ 2
1.	Доказать, что для n-го члена арифметической прогрессии {ал} с разностью d справедлива формула a„ = «i+d (п—1).
2.	Доказать, что при каждом натуральном п справедлива формула
ап = (Ь—а) (д«-*+6«-2а+&«-За2+... +Ьап-*+ап-*)9
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ	207
3.	Доказать, что при каждом натуральном п число 7п — 1 делится на 6.
fl п?
4.	Доказать, что при каждом натуральном я число-^—1-—-4— о 2 и будет целым.
5.	Последовательность {а„} задана рекуррентным соотношением ап+1 = 3ап — 2an-lt «1 = 0, а2—1. Доказать, что ап~2п~*— 1 (п€Ю.
6.	Доказать, что при каждом натуральном п справедлива формула
12_|_22+,з2+ , t *+п*	9,
ЗАДАНИЕ 3 ,
1.	Доказать, что для любых п чисел а{, а2, .ап справедливо равенство
(«1 + ^2+ • • • +лп)2— ^1+^1+ • • • + «« + 2^ (а2+ .. * +«») +
+ 2а2 (аз+#4 + • • •	• • • +2яя_2 (а»-1 + ап) + 2^2-1^
2.	Доказать, что при каждом натуральном пчисло 4n + 15я—1 делится на 9.
3.	Найти все такие натуральные я, для которых справедливо неравенство 3й 2 (я+1)2.
4.	Доказать, что при каждом натуральном я справедливо неравенство 2п я+1.
5.	Доказать, что при каждом натуральном я 2 справедливо равенство
1.24-2-3++n(n+l)=ra'ra~l~1V”~l~2) • О
6.	Найти сумму 1+J 1±	)	1
1.3^3-5^5-7' • * ’ "г(2я-1) (2я+1) 8
ЗАДАНИЕ 4
1.	Доказать, что для любых чисел а±, а2, iis, ап справедливо неравенство
I + а2 + • •«+ ап I	I 1 +1 а21 + «•• +1 ап |*
2.	Доказать, что при каждом натуральном я число 10й — 4"+Зя делится на 9.
3.	Найти все такие натуральные я, для которых справедливо неравенство 5"^5я3 + 2.
4.	Доказать, что при каждом натуральном я справедливо неравенство
У <
5.	При каждом натуральном я найти сумму ' S„=l-l! + 2.2! + 3.3l+,..+«•«!
208
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
У пражнения
1. Доказать, что при каждом натуральном п число ап делится на 6, если
1) a„ = n8 + 5n,	b — 6;	2)	ап = 2п3 + 3п2 + 7п, 6 = 6;
3) ап = пь—п,	6 = 30;	4)	ап~п? (п*—1), 6 = 60;
5) а„ = 22"—1,	6 = 3;	6)	ап = 116"+3+1, 6=148;
7)	an = 22n + 1+lr 6 = 3;	8) ап = 10« + 18п — 28, 6 = 27;
9)	а„ = 5"+3+113"+1, 6=17;
10)	ап = 11"+2+122"+\ 6=133;
11)	ап^72*~-№, 6 = 33;	12) art = 72"—1, 6 = 48;
13)	а„ = 62" + 19" — 2«+\ 6=17;
14)	а„ = 62" + 3"+2 + 3", 6=11;
15)	= 7*52" +12«6", 6=19;
16)	^ = 52"+1 + 3"+22"~1, 6=19;
17)	art = 9"+1—18п—9, 6=18;
18)	= 52+" + 26*5" + 82"+х, 6 = 59;
19)	я„ = 5" + 32" —125, 6 = 45.
2.	Доказать, что сумма кубов любых трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
/I3
3.	Доказать, что при каждом натуральном/г число——+ ' , 11/г2 . п
+ ——|—j- является натуральным.
4.	Доказать, что при любом натуральном п> 1 число 22” + 1 оканчивается цифрой 7.
5.	Доказать, что если р— простое число, то при каждом натуральном п число пР^—п делится на р.
6.	Доказать, что
-10«+1__Эя__ю
3 + 33 + 333+„. + 3...3=------~.
п раз
7.	Доказать, что любое натуральное число т, большее 8, можно представить в виде т = 3&+5Z, где k и I—некоторые натуральные числа.
8.	Доказать, что при каждом натуральном п справедливо равенство:
1)	1 + 2+3+... + п=ге+Н);
2)	1а+22+32+... + п2==”(”+1+п+^ }
О
3)	1»+23+33+ ,,.+«8—21^+11! .
4)	1« _|_ 24 -|- З4 + ;. 4- п4 = п (”+ О (2”+-Р. (3д8+.3?~ О 5
0V
5)	(«4-1) (n4-2).t.(n4-n) = 2«.l«3-5...(2n—1);
6)	1-44-2-74-3.104- • •. 4-п (Зя 4- 1) = я («4-1)2;
7)	1-2+2-3+	+	;
8)	1.2-34-2-3.4+.. .4-я («4- 1) (я-Н2) = га (”+2Хп+3) }
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 209
9)	Ь5-*’5.9+,,,+(4п—3) (4п-|-1). 4«+1 5
10)	1  22 ч- 2.32+, 8.+(п — 1) «2=п ~	+
11)	I2—22+32—42+...-Н— 1)«-1п2 = (— 1)П-1П-1^Е1) ;
19' ДДр I ”2	-»(»+!)
2 ьЗ"гЗ-5~г"‘~г(2п— 1) (2п+1) 2(2«+'1)’
13)	1+3+6+Ю+.. .+^-4^ 1)=П	:
14)	2+7+ 14+ .. . + (п2+2п— 1) = га.(2га2+9п+ ;
15)	_!_।_!—I_!—1_ ч____!----~ п______
' 4-5^5-6 ' 6-7^ ’ М«Ч-3)++4)	4(п + 4) ’
7	7	7	7	1
16)	Ьз+зЛб+Тб^г"*'"’*’' (7п —6) (7п+1)+7п+Т=1:
17)	(1_1W1_JA ..fl_____L_Vjl±2 •
’ V 4 Д* эДА (п+1)2/ 2п+2’
18)	1-"2’+з’~'4'+'“+2п=1“2п=
=—!---1---*-l.+J_ ;
п+1 ~п + 2 ~	~2п ’
Q 7 1К	On_1
19)	1+т+т+т+-*‘+^г==2^ + 2(п“1)?
олх 1 1 2 I 3 ,	. п о п + 2
2^) 2 22 + 23 4 * ‘ 2Л 2 2п $
21) Т2Л’+2?ЗЛ+'•••*«(«+!) (п + 2)
=lfl________!______V
2\2	(п+ 1) (п+2) ) ’
’ 1.3-5^3-5-7^5.7.9т	r(2n—1) (2п+1) (2п+3)
п(п+1)
2(2п+1) (2п+3) ’
§ 2. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Распространенными задачами комбинаторики являются задачи о числе размещений, о числе перестановок, о числе сочетаний и задачи, связанные с биномиальной формулой Ньютона.
Одно из важных правил комбинаторики—правило умножения.
Если объект может быть выбран k± способами, затем для каждого из таких выборов объекта А± другой объект Аа может быть выбран k2 способами, затем для каждого из таких выборов и объекта Af, и объекта А2 третий объект А3 может быть выбран k3 способами и т. д., включая m-й объект Ат, который может быть выбран km способами, то объект, состоящий в выборе
210	ГЛ. З. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ,
всех т объектов вместе, т* е. объект «А& и Л2,. и Л$, и\.мй Л/л» может быть выбран i.km способами*
Пример 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение. При составлении трехзначного четного числа Л1'Л2Лз из данных цифр вместо Af можно взять любую цифру, кроме 0 (6 возможностей), вместо Л2 можно взять любую из них (7 возможностей), вместо Л3 можно взять любую из цифр 0, 2, 4, 6 (4 возможности).
Таким образом, согласно правилу умножения, имеется 6*7*4 = = 168 способов составить число, удовлетворяющее условиям задачи*
Итак, из данных цифр можно составить 168 четных трехзначных чисел.
Пример 2. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7?
Решение. Цифрой разряда тысяч, сотен, десятков и единиц может быть любая из данных, т. е. для каждого разряда четырехзначного числа имеется четыре возможности. Следовательно, число четырехзначных чисел равно 4*4*4*4 = 256.
Пример 3. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры?
Решение. Цифрой разряда десятков искомых чисел может быть одна из цифр 2, 4, 6, 8 (4 возможности), а цифрой разряда единиц-—-одна из цифр 0, 2, 4, 6, 8(5 возможностей). Итак, всего искомых чисел 4*5 = 20.
Пример 4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Решение. Цифра разряда десятков тысяч и цифра разряда единиц должны быть одинаковыми, не равными 0 (9 возможностей); цифра разряда тысяч и разряда десятков может быть любой (10 возможностей); цифра разряда сотен может быть любой (10 возможностей). Итак, всего искомых чисел 9*10*10 = 900.
Пример 5. Сколько существует шестизначных чисел, которые делятся на 5?
Решение. Поскольку число делится на 5, то его цифра разряда единиц равна 0 или 5 (2 возможности), Цифры разряда десятков, сотен, тысяч и десятков тысяч могут быть любыми (т. е. в каждом из этих случаев имеется 10 возможностей). Цифра разряда сотен тысяч шестизначного числа может быть любой, кроме 0 (9 возможностей). Следовательно, всего искомых чисел 9* 10* 10* 10* 10*2= 180 000.
Пример 6. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?
Решение. Одну из медалей, например бронзовую, может получить одна из 18 команд (18 возможностей). После того как определился бронзовый призер, обладателем Другой медали, например золотой, может стать одна из оставшихся 17 команд (17 возможностей), После того как определились бронзовый и золотой призеры, обладателем серебряной медали может быть одна из оставшихся 16 команд (16 возможностей). Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая# серебряная и бронзовая медали, равно 18* 17* 16=4896.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 211
Для любого натурального числа п произведение 1«2*.* обозначается п! (читается «эн факториал»), т* е* Г»2« *. .«п = п! Считается, что 0! = 1*
Например:
1!==1;
2! = 1«2 = 2;
3! = 1 «2.3 = 6;
4! *=* 1'2.3.4 = 24;
Б!6! = (1.2*3.4.5) (1.2.3.4«5.6) = 120*720 = 86 400*
Пример 7. Упростить выражение 7141/8!	9! X
10! \3!5! 2171J 9
Решение. Так как 10! =7!.8.9.10 и 41 = 1.2.3*4, то 714! 7!.1.2*3*4	1
10!	7!«8«9.10 “30 *
8!	5!-6-7'8	9!	71-8-9	8!
Так как	3!5[ — j.2-3-5f~56	И	217!	1-2-7!	-~36,	Т°	3!5!
— —т=56—36 = 20. Поэтому S^1.20=4.
£ I 11	ои	о
Пример 8. Упростить выражение
п 5!	(т+1)!	.
£>===,_—__ ♦ .2—' /n^sl, mgN* /П(/п+1) (m—1)! 3!
Решение. Так как 5! = 31.4*5 и (m+l)!=(m—-1)! т (т+1), то
3!.4*5 (m^l)!/n(m+l) 20 т(т+1)	(/п—1)13!
Пример 9. Упростить выражение *	6! Г I (т+1)!	'm(m-l)! 1
(m—2)(т—3) [(m+1) (т—4) (т—5)! 5!	12 (т—4)1 3! J '
Решение*. Так как (т+ 1)! — ml (т+1) и (т—-5)! (т—4)= »=» (т—4)1, то
1	(ffl+1)!|	m!(m+l)	ml
(tn +1) (т—4) (т—5)! 5!^ (/п+1) (яг—4)!*Й! ™(/п—4)! 41*6 *
Так как т (т—-1)! = /п! и 12*3! = 31.4.3 = 3-4!, то
гп(т— 1)! ml
12(m—4)!4!-3‘
Поэтому
„________6!_____Г 1 ml _________1_ 4 ml 1
(т — 2)(т—3) [ 5 4! (т — 4)!	3 4! (т — 4)! J
6!	ml	/—2\ 4!*5.6(т—2)1 (т—1) т(—2)
^(т—2) (т—3) 41 (m-4)l V 15 )	4!-(т—2)!-5-3
/	= —4(т—\)т.
212	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Пример 10. Решить уравнение ml — (ттг—1)!	1	___
" (т+1)1	^-6 ’ гдеяг5й1’ т^‘
Решение. Так как т\ = (т—1)! т, то
т\ — (т— 1)! = (/72—1)! т — (т— 1)! = (т — 1)! (т — 1)^
Кроме этого, (mH- 1)! = (т— 1)! т (т +1).
Итак, исходное уравнение равносильно уравнению (772-1)! (/72-1)	1
(/72— 1)! /72 (/72 + 1)	6
Если /п=1, то уравнение примет вид
ОЬО __ 1 01-1-2 “ 6
или 0=1/6, т. е. т— 1 не является Чтением уравнения.
Если	/72^2,	то	уравнение примет	вид
т— 1 ____ 1
т (/72+ 1)	6	’
т. е. (т — 2)	(//г — 3) —	0. Отсюда имеем	/721 — 2, т2 = 3.
Итак, данное уравнение имеет два решения: mi = 2 и т2 = 3.
Пример 11. Решить неравенство 1	/ 5	(п+1)!	/г (п-1)!	\
/г — 2* \л+1 * (п — 3)! 4!	12 (тг — 3) (/2 — 4)! 2! /	*
Решение. Из условия задачи следует, что /2^4 и ngN.
Так как («+ 1)! — (/г — 3)1 (п — 2) (п— 1) п (тг + 1), то
5	(П+1)! _ 5 (/2 — 3)! (/2 — 2) (72 — 1) 72 (72 + 1)
тг+Г (п — 3)!4!(/2 —3)! 4! (/г+1)
_5(/г-2) (/2-1) 72 4!
Так как ti (п— 1) ! — (/г — 3)! (/г — 2) (п—1) п и 12 (/г— 3) (/г—4)!21= — 2! 3-4 (/2 — 4)! (п — 3) = 4! (тг — 3)!, то
п (п— 1)!	(тг — 3)! (/1 — 2) (п— 1) п (п — 2) (п— 1) п
12 (тг — 3) (/г —4)! 2!(тг — 3)! 4!	“	4!
Поэтому
1	/5 (72-2) (72— 1) 72	(п-2) (Л—1)/г\	4 (72- 2) (72- 1) П_
4!	41 J (тг-2)-1.2.3-4
л*	(/2— 1)п
6
Итак, при условии что /2^4, данное неравенство равносильно неравенству
(п— 1) тг/6^5,
т. е. неравенству (тг—6) (тг + 5)	0.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 213
Отсюда следует, что исходное неравенство имеет три решения: пГ=4, па = 5, п3 = 6.
При выборе т элементов из п различных элементов принято говорить, что они образуют соединение из п элементов по т.
В зависимости от того, имеет ли значение порядок элементов в соединении или нет, а также от того, входят в соединение все п элементов или только часть их, различают три вида соединений.
Виды соединений:
1.	Соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит т (т^п) элементов, взятых из п различных элементов, называются размещениями из п элементов по т.
Например, выпишем все размещения из элементов a, b, с, d по два:
ab, Ьа, ас, са, ad, da, be, cb, bd, db, cd, de.
2.	Соединения, каждое из которых содержит п различных элементов, взятых в определенном порядке, называются перестановками из п элементов.
Например, выпишем все перестановки из элементов а, Ь, с\ abc, acb, bac, bca, cab, cba.
3.	Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит т элементов, взятых из п различных элементов, называются сочетаниями (комбинациями или выборками) из п элементов по т. Порядок следования элементов не учитывается.
Например, выпишем все сочетания из элементов a, b, с, d, е по три:
abc, abd, abe, acd, асе, ade, bed, bee, bde, cde.
Задача о числе размещений. Сколькими способами можно выбрать и разместить по т различным местам т из п разных предметов? Количество всех таких способов принято обозначать Ап (читается «число размещений из эн по эм»).
Ясно, что на одно место можно поместить любой из п предметов; таким образом,
Ап = п.
Если одно место занято некоторым предметом, то на другое место можно поместить любой предмет из п—1 оставшихся. Поскольку поместить на одно место из п разных предметов имеется п возможностей и для каждой из них поместить другой предмет на другое место имеется п—1 возможностей, то разместить по двум разным местам два из п разных предметов можно п (п—1) способами, т. е.
Ап~п(п—1).	*
Если два места заняты некоторыми двумя разными предметами, следовательно, на третье место можно поместить любой предмет из п — 2 оставшихся. Так как разместить на два места из п разных предметов имеется п (п—1) возможностей и для каждой из них поместить предмет на третье место имеется п—2 возможностей,
2Н
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
то разместить на три разных места три из п разных предметов можно 11 (п—1) (п—2) способами, т. е.
Ап = п(п— 1) (/г— 2).
Рассуждая аналогично, получим
А п = п(п — 1) (п — 2) (/г — 3),
An = n(n— 1) (п — 2) (п — 3) (п—4),
An — п (п — 1) (п — 2) ... (/г — (т—2)) (/г —(m— 1)).
Пример 12. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?
Решение. Это задача о выборе и размещении по семи различным местам семи из десяти различных цифр; поэтому число \ казанных телефонных номеров равно
4о= 10-9.8-7-6-5-4^= 604 800.
Пример 13. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению па две разные позиции двух из пяти различных цифр.
Следовательно, указанных чисел имеется Л| = 5«4~-20.
Пример 14. Упростить выражение
м = А"±Л- , П^б, ngN.
Решение. Имеем
Ап — п (п— 1) (п — 2) (/г —3) (п — 4) (п — 5),
Ап = п(п—\) (п — 2) (/г-3) (/г —4),
Л,5г = /г (п-1) (п-2) (п-3) (п-4)2,
Л„ = п(п—1) (п —2) (п—3),
Итак, М~(п — 4)2.
Пример 15. Решить неравенство
А п+4 .	15
(/г+ 2) i (/г—1)! *
Решение. Из условия задачи следует, что /гI и zigN. 11оскольку
Ап+4~ (п + 4) (п + 3) (п + 2) (/г+1)
и
(,г-|-2) ! =</г— 1) 1 п (л+ 1) (п + 2),
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ БИНОМ НЬЮТОНА 215
Л^+4 _(«4-4) (п+3) (п+2) (п+1) _ (п + 4) (п + 3) (п+2)!	(п—1) !п(п+1) (п + 2)	(п—1)!п	’
и данное в условии неравенство равносильно неравенству (п+4) (п + 3)	15
(п*-1) I п < (и —-1) ! *
ГТ	<	5-4	15	ЛЛ 1С	Л
Пусть п = I;	тогда д-рр <	-др ,	т. е. 20	< 15.	Следовательно,
п—I пе является решением данного неравенства.
Пусть п^2{ тогда исходное неравенство равносильно следующему:
<z+ Г4> (”±,3) < 15	п2 + 7п+12 < 15п «Ф
п
^п2 —8/1+12 < 0<=> (п — 2) (п-6) < 0.
Отсюда следует, что первоначальное неравенство имеет три решения: П1 = 3, п2 —4, п3 — 5.
Пример 16. Доказать, что
An+k + ^n+k — &Ап+k*
Решение. Имеем
An+k == (/1 + ^) (/1 + ^—• 1) • • • (/1+ k— ft) (fl-[-k — (ft + 1)) — = (ft-]-k) (n-\-k— 1) ... k (k — 1),
Ahtk = {n + k) (n + fc—1) ... (n + fe—(n—1)) (n + fe—n) =
= (n + ^)(n+fe—1) ... (A+l)fe,
Л^Й + ЛЙЙ = (п+й)(п + й-1) ... (fe+l)£((fe-l)+l) =
= (n+fe)(n+fc—1) ... (fe+l)fe2 =
= (n + &) (n-\-k— 1) ... (/г+ 2) (/г+ 1 +« —n) A2 =
= fc2(n+£) (n+fc-1) ... ((n+ft)-(n-2)) ((«+*)—(n-l)) =
Поскольку
Ап =п,(п— 1).. .(/г — (т — 1)) —
n (п—-1) ... (и —(m—1)) (/z — m) (n —m—1) ... 2.1 п|
”	(п—т) (п — т — 1) ... 2* 1	“(п—т)\ ’
ТО
дт-~, n]'
Лп ^(ft — m)\ ’
В частности, при /п = /г
ЛЙ = п-(п— 1)-... • (n —(п—2)).(n —(n— 1)) =
—/г-(/г— !)•... »2.1 — п\
Учитывая, что по определению 0! — 1, так же имеем лп nl
Ап~(п-п) I оГ~И ‘
216
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Если считать, что по определению ЛЯ= 1, то и в этом случае
.-лО- п1 - п>-1 ‘-^-(„-0)1 ~ nl '
Итак, для /п = 0, 1, 2, ..., п—1, п справедлива формула лот_; гь\ п	(п — т) 1
Пример 17. Доказать, что
Лл = Ап~ i + kAn-i>
Решение. Так как
ь (л-1)!	(п—1)1	_	(л-1)!(л-А)	__
(я—1-А)! —(„_(*+!))!	(л-(й+1))! (л-k)
_(n-k) (n—1)! “	(л-ft)!
, то
лл J-ЬЛ*"1 («—*)(n—О’
k(n — 1)! (n — k)\
&(п—-1)!
(п — &)!	(п — k)\
(п— 1)! У к м (/г—1)! п пЛ
= (п—й)!	k+k)~ (n—k)\ ~~ (n-k)\ ‘
If лЬ
И ГПК, Лй==7----гп
(п — k)!
Пример 18. Упростить
П  Л49~|~ ^49 Л17-|- Л17
Л Ю	Л8
/149	/117
==Л^_1 + Ып-1, что и требовалось доказать.
Решение. Поскольку
А!» + Л”/л12 , .in 1	/49!	49! \ 39! _ 39! 39!
~ И1°+ 49'л$ к371 + 381 / 491 37!' Зб!^
= 39.384-39 = 39 (38+1) = 39^
И
Л1? + Л?, _/.10 , .»ч 1	/17!	17! \ 9! _ 9!	91
Л«,	И1’+ 1,7 Л?,- \ 7! + 8! J 17! ~ 7! + 8!
= 9-8+9 = 9 (8+1) = 9«,
ТО
F = 392 - 92 = (39 - 9) (39 + 9) = 30 • 48 - 1440.
Задача о числе перестановок. Сколькими способами можно переставить k различных предметов, расположенных на k разных местах? Количество всех таких способов принято обозначать (читается «число перестановок из Ь>).
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 217
Эта задача сводится к задаче о числе размещений по k различным местам k из k разных предметов, что можно сделать k! способами. Поэтому формула числа размещений имеет вид
Pk-k\.
Пример 19. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется.
Решение. Необходимым и достаточным условием делимости натурального числа на 2 является делимость на 2 цифры разряда единиц этого числа. Поэтому из всех указанных цифр цифрой единиц искомого числа может быть только цифра 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, поставленная задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов. Поскольку Рб = 5! — 1-2/ ХЗ-4’5— 120, то всего можно составить 120 указанных чисел.
Пример 20. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг Р7~7! — 1 •2«3-4-5-6-7==5040. Следовательно, имеется 5040 способов осуществить расстановку книг.
Пример 21. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
Решение. Число всевозможных распределений восьми различных писем по восьми различным конвертам равно числу всех перестановок из восьми. Поскольку Р8 = 8! = Ь2-3-4*5-6-7’8 = = 40 320, то выполнить условия задачи можно 40 320 способами.
Задача о числе сочетаний. Сколькими способами можно выбрать т из п различных предметов? Количество всех таких способов принято обозначать С™ (читается «число сочетаний из эн по эм»).
Выбрать tn из п разных предметов можно способами, и в каждом из выбранных сочетаний имеется т! возможностей упорядочить т предметов этого сочетания. Поэтому, согласно правилу умножения, имеется т\ С™ возможностей выбрать и разместить по т разным местам т из п разных предметов, т. е.
Л^ = т!С^.
Откуда следует, что число сочетаний из п разных предметов по tn в т\ раз меньше числа размещений из п по т, т. е.
_ п (п — 1) •... • (п — (т — 1))
С/2	------------Г~---------• •
ш!
Пр и м е р 22. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?
Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти книжек по две. Поскольку Сб = --^р=10, то указанную выборку читатель может осуществить десятью, способами.
218
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
П р и м е р 23. 12 человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать команду из четырех человек на соревнование?
Решение. Число способов выбрать четыре человека из 12 равно числу сочетаний из 12 по четыре, т. е.
Итак, 12 игроков могут набрать команду из четырех человек на соревнование 495 способами.
Пример 24. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?
Решение. Каждой точке пересечения диагоналей соответствуют четыре вершины семиугольника, а каждой четверке вершин семиугольника соответствует одна точка пересечения. Поэтому число всех точек пересечения диагоналей равно число способов, которыми среди семи вершин можно выбрать четыре вершины. Поскольку
4_7-6.5.4_
С7-Тет4“°5’
то число точек пересечения диагоналей равно 35.
Пример 25. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?
Решение. Поставленная задача—задача о числе выборок из 16 по два. Поскольку
С1% = 4^=120,
то всего календарных игр 120.
Пример 26. Дано пять различных чисел: а, р, у, Л, р. Сколько можно составить всевозможных произведений из этих чисел, состоящих из:
а)	двух различных множителей;
б)	трех различных множителей;
в)	четырех различных множителей;
г)	пяти различных множителей?
В каждом случае выписать произведения.
Решение. Поставленная задача —задача о числе сочетаний из 5 по 2, по 3, по 4 и по 5.
5*4
а)	Сб —	Таким образом, из пяти разных чисел можно
составить десять произведений из двух различных множителей* Выпишем их: а|3, ay, аА, ар, Ру, рА, Рр, уА, ур, Ар.
б)	Сб— j 2"з" Таким образом, из пяти разных чисел можно составить десять произведений из трех различных множителей. Выпишем их: ару, арА, арр, ауА, аур, аАр, руА, рур, РАр, уАр.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 219
\	5 • 4 • 3 • 2 р т
в)	Сб~1	Таким образом, из пяти разных чисел
можно составить пять произведений по четыре различных множи-теля. Выпишем их: аруХ, офуц, офХ|л, осуХц, руАц.
. _б 5-4-3-2-1	,	.
г)	Сб" ! 2уу5=1. Таким образом, из пяти разных чисел можно составить только одно произведение из пяти различных множителей, а именно
Заметим, что
1)-.. .-(/г —(m—1))
Сп	т\
/г-(/? — 1)»... -(/г —(т — 1))-(п — m)-(n — m—1)-... -2-1_
ml	(п— т)-(п — т—I)-...-2-1
___ п\
' ml (n — m) 1 ’
Итак, формула для числа сочетаний из п по т может быть представлена следующим образом:
рт_________ftl____
n~ml-(n— т) 1
В частности, если т — п, то
С/2 —
__ п (п— 1).. .(п —(п--2)) (п — (п — 1))_п (п— 1).. .2-1_п\ __ *
~	п\	п\	п\
Учитывая, что по определению 0! = 1, также имеем сп _ п\ __ п\ __ п\ п “п!-(п—/г)1	n!-0! nil
По определению Сп = 1. Имеем
< __	_ п\ __ п\ __ ft! <
"“О! (/z —0) ? i-Z2! ~~ п\
Итак, для m = 0, 1, 2, ..., (я—1), п справедлива формула
ptn________
п ~т\ (п — т)\
Пользуясь этой формулой числа сочетаний из п по т, докажем справедливость равенства гп - /д b/i — Ьп i
которое принято называть правилом симметрии.
Действительно,
Qin =_______________________п!__________
п т\ (п — т)\	(т-}-п~п) I (п — т) 1
___________Д!___________ f-n-m.
220
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Правило симметрии означает, что задача о числе выборок по т из п разных предметов и задача о числе возможностей оставить сочетания по п — т из п разных предметов есть одна и та же задача.
Пример 27. Вычислить	Ci&~~ ЗС^о-
Решение. Так как
С|1=С15=^^=300,
с}|= cf6 = !L14= 105
И
оГ7 о гз 3.10.9*8
ЗСю = оСю = t .2»3 ““’
то £ = 300 — 105 — 360 = 300 — 465 = —165.
Пример 28. У Нины есть семь разных книг по математике, а у Славы —девять разных книг по философии. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по пять книг?
Решение. Так как составить пять разных книг имеется возможностей:
C?=C2==G| = 21 (у Нины).
<4 =	= 126 (у Славы),
то число всевозможных указанных обменов книгами (согласно правилу умножения) равно
<4<4 = 2Ы26 = 2646.
Теперь сформулируем другое важное правило комбинаторики— правило сложения.
Пусть даны т действий Af, А2, ..., Ат таких, что выполнение любого из них не зависит от выполнения остальных действий. Если
действие Af можно выполнить Ki способами, действие Д2 можно выполнить К2 способами, действие Ат можно выполнить Кт способами,
тогда действие, состоящее в том, что выполняется одно любое из действий, можно выполнить /Ci-т-£з + * • • способами.
Пример 29. Доказать, что
/nfe X'lk— 1 I f^k—1 I /->'2— 1 I	I 1 ] S>k~ 1
Решение. Пусть даны n элементов at, a2, a3, .art. Будем различать эти элементы по их индексам.
Число всех сочетаний по k элементов, содержащих элемент и не содержащих элементов с большим индексом, можно образовать Ck-i способами.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 221
Число всех сочетаний по k элементов, содержащих элемент сц+1 и не содержащих элементов с большим индексом, можно образовать С/?-1 способами.
Число всех сочетаний по k элементов, содержащих элементы а/?+2 и не содержащих элементов с большим индексом, можно образовать способами. И так далее. Наконец, число всех сочетаний по k элементов, содержащих элемент ал, можно образовать CnZi способами. Согласно правилу сложения, число сочетаний из элементов а2, .ап по & элементов равно
В то же время число сочетаний из п элементов по k равно Сп» Таким образом, имеем
c*z;+c*-*+c*;;+...+c*zj=c*.
Пример 30. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?
Решение. В указанной комиссии может быть либо один математик и семь экономистов, либо два математика и шесть экономистов.
Выбор одного математика из двух возможен С^ = 2/1=2 спо-к	z-,7	z->3	10*9.8
собами, а семи экономистов из десяти —Сю = Сю— 2 У" способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов равно С|Сю = 2-120 = 240.
Выбор двух математиков из двух возможен С2= 1-2/1 -2=1 способом, а выбор шести экономистов из десяти возможен Сю=Сю= = 210 способами. По правилу произведения число способов выбрать комиссию из двух математиков и шести экономистов ровно С2Сю= = 1-210=210.
Общее число способов выбора комиссии с одним математиком или комиссии с двумя математиками по правилу суммы равно
ClCw + ClCw = 240 4- 210 = 450.
Указанная комиссия может быть выбрана 450 способами.
Приведем другой способ решения этой задачи. х
Всего комиссии по восемь человек из 12 человек можно составить
С?2 = С|2^-Ц^^=11-5.9 = 45.11 = 495
способами. Эти комиссии можно разбить на два типа:
а)	к одному типу относится комиссия, состоящая только из экономистов;
б)	к другому типу относится комиссия, в которую входит хотя бы один математик.
222	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Так как число способов выбрать комиссию в составе восьми человек из десяти экономистов равно
С1о = С?о=^=5.9 = 45,
то число способов составить комиссию в составе восьми человек, в которую входит хотя бы один математик, равно 495 — 45 ~ 450.
Пр' им ер 31. Сколько существует делителей числа 210?
Решение. Разложим данное число на простые множители: 210 = 2*3*5*7. Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно C4 = -j—^=2*3 = 6 (а именно числа 6, 10, 14, 15, 21, 35); число делителей, составленных из произведения трех простых множителей, равно	= 4 (а именно
числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырем (а именно числа 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210.
Итак, согласно правилу сложения, число всех делителей равно 64-4 + 4 +1 +1 = 16.
Пример 32. В купе железнодорожного вагона один против другого стоят два дивана, на каждом из которых по четыре места. Из восьми пассажиров трое желают сидеть лицом в направлении движения поезда, а два —спиной. Сколькими способами могут разместиться пассажиры, с учетом их пожелания?
Решение. Пусть М, N и Р —пассажиры, которым безразлично, где сидеть. Если М сядет лицом в направлении движения поезда, то на диване вместе с ним еще три указанных пассажира могут сесть 4! способами (число перестановок из 4). Остальные пассажиры на противоположном диване также могут разместиться 4! способами. Таким образом, если М выбрал место лицом в направлении движения поезда, то для каждой из 4! возможностей разместиться на одном диване имеется 4! возможности разместиться на другом диване; поэтому, согласно правилу умножения, в этом случае все пассажиры могут разместиться 4!4! =--24*24 —576 способами .
Такое же число способов получится, если лицом в направлении движения поезда сядет пассажир N или пассажир Р.
Поэтому, согласно правилу сложения, число всевозможных способов разместиться пассажирам в купе с учетом их пожеланий и порядка размещения на каждом диване равно (4!)2+(4!)2-|-(4!)2== = 3*576= 1728.
Докажем одно из важных правил для числа сочетаний — правило Паскаля*.
Приведем доказательство правила Паскаля, использующее
формулу Сп=—Г7~—тт-:
г	т\ (п—т)\
pm-i . рт______п!____________i______________
п	п	(т— 1)! (п+1— т)\ * т\ (п — т)\
п\ / t t	(п+1)!
— —r-z—;—!---тт- (/П + П — /П + 1) = —тт—.1   г?
m!(n+l— m)l 4 ‘	7 ml ((п+1) — т)\
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 223
Приведем другое доказательство правила Паскаля, использующее правило суммы.
Разобьем число всех сочетаний из п элементов по т на два класса: к одному отнесем все сочетания из п по т, не содержащие некоторого элемента (обозначим его /), а ко второму—все сочетания, содержащие f. Число сочетаний в первом классе равно С/7-i (так как из п элементов f исключен). Если взять число сочетаний из п—1 элементов (без f) по т—1 в каждом, а затем к каждому такому сочетанию добавить элемент то получи??
—количество всех сочетаний второго класса, т. е. содержащих элемент f. Тогда, согласно правилу сложения, имеем
гт-1 ।
--Сп-1 ТЧ-1, что и требовалось доказать.
Правило Паскаля позволяет найти число всевозможных сочетаний из п -|- 1, зная число всевозможных сочетаний из п.
Значения Сп могут быть последовательно записаны в так называемый треугольник Паскаля'.
О ] 2 3 4 5 6 7
1
1	1
1	2 I
13	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
В n-й строке слева направо стоят значения С«, Сп, Сп, . s., С”. Поскольку Сп~Сп=1, то крайние значения известны. Каждый элемент таблицы С™ образуется сложением двух элементов, стоящих над ним справа и слева.
Для любых чисел х и а справедливы формулы
(х + а)1 — х-^-а,
(х + а)2 х2 -|- 2ха+х2,
(х 4- а}3 = х3 + ЗА -j- Зхя2 4- х3.
Запишем предыдущие формулы следующим образом: (х+а)1 = CjxW + clx’a1, (х+а)2 = С°2х3а3+С&а1 + Clxflaz, (х+а)3 = С®х3а» + С&а1+С&а?+Сз%°а3.
Замечаем, что
С’х является	коэффициентом	при	х1~тат,	где	m = 0,	1;
Cf является	коэффициентом	при	х2~™а™,	где	m = 0,	1,	2;
С? является	коэффициентом	при	х3~тат,	где	т —0,	1,	2, 3.
.Рассмотрим еще пример*
224
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Пусть дано произведение пяти двухчленов следующего вида:
(*+«) (х+Р) (х+у) (x+Z,) (х+ц).
Раскрыв скобки, получим 2б слагаемых (при раскрытии каждой скобки количество слагаемых удваивается).
Сгруппировав эти слагаемые относительно х5, %4, х3, х2 х1 и вынося их за скобки, получим, что данное выражение равно
хб-[-*4 (а+р + у + Х+ р,) +
4-х3 (ар4"а?+ al + ag4-₽?+Ч-уХ+?н+^И) +
4- х2 (ару 4- арХ 4- офр, 4~ ауХ+аур +
4- аХц 4- руХ 4- рур, 4- рХц 4-уХр) 4-
4-	-х (аруХ4- арур 4~ арХр 4” ауХр 4~ Р?Хр) + аруХр.
В полученной сумме:
сомножитель х4— скобка, в которой сумма состоит из С 5 слагаемых;
сомножитель х3— скобка, в которой сумма состоит из Cl слагаемых;
сомножитель х2 — скобка, в которой сумма состоит из Cl слагаемых;
сомножитель х1 — скобка, в которой сумма состоит из слагаемых.
Если положить а = р —у —Х = р = а, тогда первоначальное произведение пяти множителей примет вид (х4-#)5* Слагаемое х5 можно записать в виде с£х5а°; слагаемое х4 (а4~Р4~у+^+р) — в виде ClxV; слагаемое х3 (ap 4~ ayаХар + Ру+Р^+Рр •+ 4» уХ-}~ур4-Хр) — в виде С|х3а2; слагаемое x2(apy-|-apX-4aPp4-4-ayX+ayp + aXp + PyX + pyp-!-pXp-]-yXp) —в виде С|х2а3; слагаемое х1 (apyX4-apyp + apXp + a?Xp4-РуХр) — в виде СбхМ4; слагаемое аРуХр— в виде Cfx°a5,
Получим равенство
(х4- а)5 = СбХ5а° + ClxW4- С1х3я2 + СбХ2а3 4- С&а4 4- С|х°аб.
В этом равенстве число СТ, где т —О, I, 2, 3, 4, 5, является коэффициентом при хъ~тат.
Закономерность,' заключающаяся в том, что число С™ является коэффициентом при хп~тат, где m = 0, 1, 2, п, наблюдается и при возведении двухчлена х4~я в любую натуральную степень п.
Приведем доказательство того, что найденная закономерность имеет общий характер.
Для каждого натурального п и любых чисел х и а, если дано (х-\-а)п, то, перемножив последовательно x~j~a п раз, получим сумму 2п слагаемых	где каждый из множителей
/1, Z2,	tn либо х, либо а. Среди всех этих слагаемых
число слагаемых, в каждом из которых а встречается т раз, а х встречается п — т раз, равно числу способов выбора т множителей, каждый из которых равен а, из п множителей /2, ...
tnt т. е. равно числу Сп - Таким образом, получим, что
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 225
среди 2п слагаемых:
число слагаемых х"а° равно
число слагаемых равно С^;
число слагаемых хп~2а2 равно число слагаемых xQan равно
Приведя подобные члены, получим формулу
(*4-а)« = Cnxna°+C1nxt‘-ia1+ .,,	+, + С^х°ап.
Это равенство принято называть биномом Ньютона или формулой Ньютона, w правую часть—биномиальным разложением (в сумму) или разложением бинома, а коэффициенты СЦ, Сп, Сд, Сп — биномиальными коэффициентами.
Итак, для каждого натурального п и любых х и а справедливо равенство —бином Ньютона
(%+«)« = СпХ«~оа° + СпХ"-~1а1+.. .+С«хп~тат-\~... + СпХп~пап.
Свойства разложения бинома:
1.	Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, т. е. равно п+1.
2.	Сумма показателей степеней х и а каждого члена разложения равна показателю степени бинома, т. е. (п — т)-\-т~п.
3.	Общий член разложения (обозначим его Т/л + 1) имеет вид
TmJri = CnXn-mam,	1, п.
Т обозначает член разложения, а индекс т+1—его порядковый номер в разложении бинома, считая слева направо.
Целесообразность представления порядкового номера члена разложения в виде /п + 1 вытекает из того, что при изменении т от 0 до п получаются все члены разложения, при этом в (/п+1)-м члене разложения число т — степень второго слагаемого (числа а), и, согласно свойству 2 разложения, число п—т—степень первого слагаемого х. Так,
1-й член (7\) получим, если /п = 0: Tf = To+i=±CnXn'’oao;
2-й член (Т2) получим, если т=^1: Т2 = Тх+х = СпХ/г~;1а1 и т. д.;
k-й	член (Tk)	получим,	если	m—1:	Т’^==Г(й_1)+1 =
— Сп“1хп“"(Л"‘1)аА“-3’ и т. д.;
n-й	член (Тп)	получим,	если	/п = п—-1:	7’n==7t(n~i)+i =
(п + 1)-й член (T„+i) получим, если т — п: Тп+1 — СпХп~пап*
4.	Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой. Это следует из правила симметрии
/п —0, 1, s. i} п.
Поскольку
/•>0_z>/2_ 1	2_y-i2_П (n r 1)
Сп — Сп—1, Сп —Сп — п, Сп —Сц—------------— и т. д.,
8 Задачи по математике. Алгебра
226	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
то бином Ньютона может быть записан следующим образом: (х -J- а)п = хп + пхп “	хп ~	+ ...
, п (п—— (m— 1)) „ т	„
*.. Н—\	---—-—г-—~ хп ~ тат + . , * 4- пхгап ~х + ап.
1	1 -2-3’...	1) т
5.	Каждый биномиальный коэффициент С™ разложения, начиная со второго, равен предшествующему биномиальному коэф-^т—1	П'— (/И—1)
фициенту Сп , умноженному на дробь --------~ , т. е. Сп =
— Сп ------------- , где т— 1, 2, 3,	/г.
т
Действительно,
r_ Hl ___________________п\ — 1))______________
п т\ (п — т)1 ~~ (т—1)! т (п— т)\ (п — (т—1))
____________________.	1)	* и —(т—1) (т—1)! (п— (m—1))! * т	п * т
6.	а) Если показатель степени бинома —четное число (т. е. П---21), то число членов разложения равно 21 + 1, при этом биномиальные коэффициенты первых Z+1 членов разложения возрастают:
/~>0	/~»1	/-12
^21 < ^2/ < Ь2/ < . . . < С 2/	<
и, согласно правилу симметрии, биномиальные коэффициенты последних /-|-1 членов разложения убывают:
pl ч. р/ + 1	\	1 . р2/
М/ > С2/ > С2/ >...>С2/	> С2/*
Следовательно, если п = 2/, то разложение имеет один наибольший биномиальный коэффициент C2z-
б)	Если показатель степени бинома—нечетное число (т. е. п = 2р-\-]), то число членов разложения равно 2р-]-2, при этом биномиальные коэффициенты первых р+1 членов разложения возрастают:
C*2p+i < Сйр-м < Сгр+i < ... < C2p.Ji < C2p4-i, и, согласно правилу симметрии, биномиальные коэффициенты последних р+1 членов разложения убывают:
rp + l ГР+2	гр + 3	Г2р . ^2р^1
Ь2р+1 > <->2р + 1 > Ь2р+1 > . . . > С2р + 1 > С2р4-1«
Следовательно, если п = 2р+1, то наибольшее значение принимают два биномиальных коэффициента: Cfp+1 и С£рД, которые равны между собой:
Используя равенство С™ =	С"'-1, читателю пред-
лагается проверить справедливость утверждений:
1)	для любого целого k, удовлетворяющего условию ri 4-1	ъ ______1
<	, справедливо неравенство Сп > СJ
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 227
L.	П "4“ 1
2)	для любого целого k, удовлетворяющего условию <
< k «с п, справедливо неравенство < С^"1.
7* Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2п.
Действительно, полагая в формуле бинома Ньютона х=1 и а = 1, имеем
2й = (1 + 1)и = Сп-|-Сп+ ... + Cj^+»». + С^.
8. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2п“1, т. е.
Crt4“Cn-|-C/z+ • • i = Сп + С/г + Сп + • • i — 2п""$'
Действительно, записывая разность (%—а) в виде %+(—а), имеем
(х—а)п = CQnxn — СпХп^аУ + ... + (— 1)'л х« ~тат +.,.
,.. + (—1)«
Если в этой формуле положить я—1 и а—1, то получим равенство
О = (С/г + С^ + Сп + ...) — (Си 4“ С'п + Сп + . ..), откуда, учитывая свойство 7, следует свойство 8.
Пример 33. Доказать, что для каждого b > 1 и каждого натурального числа п > 1 верно неравенство Бернулли
Ьп > 14-и (6— 1).
Доказательство. Если положить t~b — 1, тогда t > О, £ =14--Л и доказываемое утверждение можно сформулировать следующим образом: для каждого положительного t и каждого натурального п > 1 справедливо неравенство
(14-0й > 1+nt.
Действительно, по формуле бинома Ньютона верно равенство (1 + ()п = l + nt+^~}- /2+ - -+Cntm -Ь • • + C"tn.
Так как по условию t > 0, то в написанном разложении все члены строго положительны. Поскольку п ^2, то в разложении имеется по меньшей мере три члена; значит,
(1 + 1)п S3 1	/2 > 14-я/,
т. е. (14~	> 14~ПЛ или в первоначальном обозначении bn > I 4"
-\-п(Ь—1). Тем самым неравенство Бернулли доказано.
Используя неравенство Бернулли, например, имеем
(14-3/100)1-000 > 1 + 1000-3/100 > 30.
8*
228	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Пример 34. Доказать, что для каждого положительного числа b < 1 и каждого натурального числа п > 1 Берно неравенство
hn <•--!---е
Доказательство. По условию 0 < b < 1; поэтому 1/6 > 1. Согласно неравенству Бернулли, имеем
или
В неравенстве	6) обе части положительны; поэтому
оно равносильно доказываемому неравенству
Ьп <-----!----
я(1-6) *
Например, используя неравенство из примера 34, имеем
(1 — 1/100)1000 < --------= —
'	1 >	1000.1/too 10
Пример 35. Вычислить сумму
С? + 2Cl + 2*Cl + 2sC35 + 24Cf +
Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом х имеем равенство
(х+2)6 = С5Х5 + Clx*2*+С|х322 + С|х223 + сЬг24 + Ф6,
Полагая в нем х—1, получим
(1 + 2)5 == С5 + Cl2i 4- Of22 + С123 + Cl2* + Cfe
Итак, искомая сумма равна З5, т. е. 243.
Пример 36. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена Относительно хг получаемого в разложении бинома
(Зх —4)17.
Решение. В разложении бинома получим многочлен 17-й степени, расположенный по убывающим степеням х. На нечетных местах его члены имеют положительные коэффициенты, а на четных — отрицательные:
(Зх- 4)17 = С?7317х1’—С1,310х1641 + С1%31Ч2х15—
—Ci?31443x14+... - С1?417.
Поскольку это равенство верно при любом х, то оно верно и при х—1. При х—1 левая часть равна (3 — 4)17 —(—1)17^—1, а в правой части получаем алгебраическую сумму коэффициентов.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 229
Итак, алгебраическая сумма коэффициентов данного многочлена равна — 1.
Формула Тт+1 — Сп хп~тат общего члена разложения бинома (х-\-а)п позволяет, не производя всего разложения, выписать любой его член или несколько его членов.
Пример 37. Найти 13-й член разложения бинома
(/3+К2)18.
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,
Тц = Т12+1 = С,! (3)3 (К^)12 = С15 • 3 • 2« =
15-14-13 „ „„ „„____
Итак, Т = 87 360.
Пример 38. Найти номер члена разложения бинома Х-Н/х)" 1, не содержащего х.
Решение. Для общего члена разложения имеем
16-т	1в~4т
^+1 = а(/х)16”“(1/х)«=СЙх 3 х-» = СЙх 8	.
Член разложения не зависит от х; это значит, что показатель _	16—4m л	.
степени х равен 0, т. е. —-=0; отсюда находим т = 4.
Итак, пятый член данного разложения не зависит от х. Пример 39. Найти пятый член разложения бинома
(^а+I/J/'ЗП)", если отношение биномиального коэффициента четвертого члена к биномиальному коэффициенту третьего члена равно 10/3.
Решение. Согласно формуле общего члена разложения . бинома,
Т’4 = т3+1 = сИКа)""3(1/Кз^)3;	:
Г8 = Т2+1 = СЦКа)"_2(1/1<За)г.
гт	сп <л,о „п(п— 1) (п — 2) 1Лп(п—1) •
По условию задачи — — 10/3, т. е. 3 —-—---— Ю*	—*
откуда п=12. Таким образом, показатель степени бинома п=12, Следовательно,
mm	1 М 12.1Ы0.9 .	1	-- 9
Т*~ T^i-С12(К«) у— J — 1.2.3.4 fl,9aa~55“ ’
Пример 40. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома
(х+у}п, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
230
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,
Т’з = 7'2+1 = С„2х«~ V, Т2 = T1+i =
По условию задачи
С2-^=9, т, е. ??±^z0_i = 9;
отсюда получаем п~6. Согласно свойству 8 разложения бинома, имеем
сГ|-С?+С«+Св = 26-1.
Итак, сумма указанных биномиальных коэффициентов равна 32. Пример 41. Найти седьмой член разложения бинома
(a2 р/ ala)n,
если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,
Т’з = 7*2+1 = Сгп (а2 V~а)п~ 2 ( /~ala) \
По условию задачи
= 36, т. е. п(п—1)/2 = 36.
Следовательно, показатель степени бинома п равен 9. Поэтому т, = 7с+1 = С„° (а6/2)3 (а- 2/8)e=^j а“/2 -‘=84^ у-.
I Итак,
Т7 = 84а3 ]/"а.
Пример 42. Сколько членов разложения бинома
, являются целыми числами?
Решение. Для общего члена разложения имеем
7w+i = CgS.(31/5)8»““.(71/3)”=C?|.3(3e-m)/6.7'n/3i
Биномиальные коэффициенты любого разложения являются целыми числами, в том числе и Сзв —целое число (0^т=<36). Для того чтобы члены данного разложения были целыми числами, необходимо и достаточно, чтобы показатели степени (36—т)/5 и m/З были целыми неотрицательными числами.
Если m/З — р, где p^N, 0^р^12, то т — Зр. Подставив Зр вместо m в (36 — т)/5, имеем (36 —Зр)/5. Так как 3(12 —р)/5 — натуральное число или нуль, то возможные значения для выражения 12 — р есть 0, 5, 10; следовательно, р принимает значения: р- 12, р=7, р = 2. Тогда соответственно т-~ 36, т = 21, т -- 6
Итак, три члена данного разложения Т7, Т22 и Т37, и толе ко они, являются целыми числами.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 231
Пример 43. В разложении бинома (^+•/(2^))’ ®вые три коэффициента образуют арифметическую прогрессию, йпги все его члены, в каждом из которых показатель степени дейования у есть некоторое натуральное число..
Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,
т\ = г0+1 =- с,°,	(4 у-1/4)°=I >^/а;
\ 2	]	о
По условию задачи коэффициенты 1, п/2, п(п—1)/8 образуют арифметическую прогрессию.
Возможны три случая в зависимости от того, какой из '-г. их трех коэффициентов является вторым членом арифметической прогрессии.
а)	Пусть число 1 — второй член арифметической прогрей1 яи. В силу того что каждый член арифметической прогрессии явлж тся средним арифметическим его соседних членов, имеем
2-1 = п/2-]-п (п—1)/8, т. е. я2 + 3/г—16 = 0.
Так как в разложении бинома не менее трех членов, то п ^2 и ngN. Ни одно из таких п не является решением уравнения п2 + 3п—-16 = 0; поэтому в случае а) поставленная задача реше-< ний не имеет.
б)	Пусть п(п—1)/8 — второй член арифметической прогрессии. Тогда 2>П	==1 + ~, т- е- («—4) («+1) = 0. Отсюда полу-
о	4	1
чаем п = 4.
В этом случае общий член разложения бинома равен / .,-1/4
= ~у^~зт}^
По условию задачи (8-—3m)/4 > 0, т. е. m < 8/3. Отсюда, учитывая условие 0^т^4, получаем т = 0, т=1, т = 2.
При т=1 и т = 2 показатель степени основания у не является натуральным числом.
При т = 0 показатель степени основания у равен 2.
Итак, в случае б) показатель степени бинома п равен 4 и имеется один член разложения бинома, а именно Tf~y2t удовлетворяющий условиям задачи.
в)	Пусть п/2 — второй член арифметической прогрессии. Тогда 2n/2 = n (n—1)/84-1, т. е. (n—8) (n—1) = 0.
Отсюда, учитывая условия п^2 и n^N, получим показатель степени бинома n = 8.	j
В этом случае общий член разложения бинома равен
/ ..-1/4 \/п pm t
Тт+1 = СТ {у^У	= 4s-^ie'm)/a *
232
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
По условию задачи —— > 0, т. е. т <16/3.
Отсюда, учитывая условия	получаем /п = 0,/и=1|
т = 2, т~3, т — 4, т = 5.
При т=1, /72 = 3, т — Ъ показатель степени основания у не является натуральным числом.
При т~0 имеем Ti — y*.
При т = 4 имеем Тъ — ~у. о
Итак, в случае в) показатель степени бинома п равен 8 и имеется два члена разложения бинома, а именно 7\ = #4и удовлетворяющие условиям задачи.
Следовательно, задача имеет два решения, так как возможны два разных показателя степени бинома:
1) если п — 4, то 7\ = #2—-одно решение;
35
?) если п = 8, то 7\ — у* или =	*/—другое решение,
о
До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из п различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с повторениями, т. е. соединения, в каждом из которых любой из п различных элементов может входить более одного раза.
Размещения из п элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом размещении любое число раз, но не более т, называются размещениями из п элементов по т с повторениями.
Например, числа 444, 544, 454, 445, 554, 545, 455, 555 являются размещениями по три из двух элементов с повторениями.
Задача о числе размещений с повторениями. Сколькими способами можно разместить по т различным местам любые т предметов, выбранных из'п различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более т? Количество всех таких способов обозначим А™ (п) (читается «число размещений из «эн» по «эм» с повторениями»).
Для каждого фиксированного натурального числа п и любого натурального числа т справедливо равенство
<(п)=п«%
т. е. число всевозможных размещений из п по т с повторениями равно пт.
Доказательство утверждения проведем методом математической индукции по т.
Пусть т—1. На одно место можно поместить любой из п различных предметов, каждый из которых в этом случае может повторяться не более одного раза; поэтому имеется п возможностей, т. е. Лп(л)=п = п1.
Для т — 1 утверждение верно.
Предположим, что для m — k справедливо равенство
4(п) = п*.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 233
Пусть т — & + 1. По предположению имеется возможностей разместить по k различным местам любые k предметов, выбранных из п различных предметов с повторением каждого из них любое число раз, но не более k. Для- каждой такой возможности па (/? + 1)-е оставшееся место можно, учитывая, что каждый из п предметов повторяется любое число раз, но не более k 4-1 раз, поместить любой из предметов, т. е. имеется и возможностей. Согласно правилу умножения, разместить по &ф-1 различным местам предметов, выбранных из и различных предметов с повторением каждого из них любое число раз, но не более &+1 раз, можно пкп способами, т. е. и для tn = k-\-\ справедливо равенство
ЛЙ+1 (П)=ПЙ + !.
Итак, для т=1 утверждение верно, а из предположения о справедливости его для m = k следует, что оно верно и для = Тем самым доказано, что равенство
Л™(п) = и«
верно для любого натурального т при каждом фиксированном и.
По определению положим Л«(п) = 1.
Пример 44. Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько всего телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?
Решение. Это задача о числе размещений в семи разных местах семи цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более семи. Так как
Al (п) = 4’= 16-16-16-4 = 256.64= 16384,
то число всех указанных телефонных номеров равно 16 384.
Пример 45. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?
Решение. Эту задачу можно рассматривать как задачу о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми выбранных из трех вагонов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более восьми. Поскольку
Аз (п) = 38 = 9.9-9.9 = 81.81=6561,
то 8 пассажиров можно разместить в 3 вагона 6561 различным способом.
Пример 46. Буквы азбуки Морзе состоят из символов — точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?
Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно Л|(п) = 21 = 2.
Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно Л|(п) = 22 = 4.
Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно Л1(п) —23 —8.
Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно Л|(п) = 24=16.
234
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно Л.2(п) — 25 = 32.
Число всех указанных букв равно 62.
Пример 47. Известно, что множество Х=={хх, х2, ..., хт}, состоящее из т различных элементов, является областью определения некоторой однозначной функции, а областью ее значений является подмножество множества Y ~{yi, у%, ..уи}> состоящего из п различных элементов. Сколько существует различных функций с областью определения X и областью значений, содержащейся в У?
Решение. По определению однозначной функции каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y, но при этом может оказаться, что некоторым различным элементам множества X соответствует один и тот же элемент множества Y. Следовательно, поставленная задача — за-дачй о числе возможностей распределения среди tn элементов множества X выбранных любых т элементов из п различных элементов множества Y с повторением каждого из них любое число раз, но не более т. Поскольку
А% (п) = п^,
то число всех функций с областью определения X и множеством значений Y равно пт.
Пр и м е р 48. Если под ^-буквенным словом понимать слово, состоящее из k букв, то сколько Ю-букиенпых различных слов можно написать, используя только две буквы а и Ь.
Решение. Это задача о числе возможностей разместить на 10 различных местах любые 10 букв, выбранных из двух букв а и с повторением каждой из них любое число раз, но не более 10 Так как Л20 (п) — 210 — 1024, то число указанных в задаче слов равно 1024.
Перестановки из п предметов, в каждую из которых входят ni одинаковых предметов одного типа, п2 одинаковых предметов другого типа и т. д. до одинаковых предметов k-ro типа, где П1 + я2+• • •= называются перестановками из п элементов с повторениями.
Например, числа 4455, 5544, 5454, 4545, 4554, 5445 являются перестановками с повторениями цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза.
Задача о числе перестановок с повторениями. Сколькими способами можно переставить п предметов k различных типов каждого типа соответственно по п1у я2> одинаковых предметов, расположенных на п различных местах?
Число всех таких перестановок с повторениями принято обозначать Сп (nlt п2, .a, Uk), и оно может быть найдено по формуле
С„(пх. «8, .... nfe) = ni,wj\:--feI.
Возьмем некоторую перестановку из числа Cn(nt, п2, т,п^) всех перестановок с повторениями. В ней все возможные перестановки предметов первого типа, считая их разными, можно осуществить способами, затем все возможные перестановки пред-
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 235 мртов второго типа, считая их разными, можно осуществить п2\ способами и т. д., а затем все возможные перестановки предметов #-го типа, считая их разными, можно осуществить п^\ способами. Осуществляя все возможные перестановки только предметов каждого типа, получим п±\ п2\.. .n^l перестановок, которые бы возникли из взятой перестановки с повторениями, если бы имелась возможность как-то различать входящие в каждый тип одинаковые предметы. Проделав это для каждой перестановки с повторениями, получим я! —число всевозможных перестановок из п различных предметов.
Таким образом,
гах! па! ... nAl-Cn(«i, п2.nft) = n!,
откуда следует формула для числа перестановок с повторениями.
Пример 49. Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки?
.	„	..	6!	4!»5»6 1Г .
Решение. Сб (2, 4) =	способами.
Пример 50. Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5— четыре раза?
г»	л\ 7! 	4С5-6-7
Решение. С7 (3, 4) =	] 2 3~"^ чисел.
Пример 51. Сколькими способами можно переставить буквы в слове:
а) математика, б) абракадабра, в) какао, чтобы получались всевозможные различные наборы букв?
Решение.
а)	С10(2, 3, 2, 1, 1, 1) = п7~о. O|1QL и .. — 151 200 способами, z!! • о! • Z! • IJ • 11» 1]
б)	СП (5, 2, 2, 1, 1)=—r^L.;.fj.=83 160 способами.
51
в)	С5 (2, 2, 1)=	1у==30 способами.
Пример 52. Сколькими способами можно разбить п различных предметов на k групп так, чтобы в первую группу входило различных предметов, во вторую—п2 различных предметов и т. д., а в k-ю группу — nk различных предметов и при этом любые две группы не содержали одинаковых предметов, т. е.
+/г2Ч~ • • • +	~ я?
Решение. Разбиение п различных предметов на k указанных групп можно осуществить следующим образом: из п различных предметов берем любые различных предметов, образуя первую группу (это можно сделать способами); затем из п — rii оставшихся различных предметов берем любые п% различных предметов, образуя вторую группу (это можно сделать способами); затем из п — щ—	оставшихся различных предметов
берем любые различных предметов, образуя третью группу (это можно сделать	способами), и т. д.; наконец, из п —
— rtf — п2—•••—оставшихся различных предметов берем различных предметов, образуя &-ю группу (это можно сделать
236
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Cn-nt-na- ..-п	’ способами). Тогда по правилу умножения чис-
ло всех способов образования различных указанных k групп равно
^п3	гп1г~1	pnfi	„
П ^П-П1П-П1-П2 ,‘	П-П1-П2-..,"П^_2 П-П1-П2-...~П^_1
__ п\___________(я —Ях)!_______(я-—Ях — я2)!
(п—ЯХ)! П21 (п —	—	(я —ЯХ —Я2—-Я3)!
— — - ____________________________________
* * ’ п^\ (п-—П1 — п2 — ... —Я/j)! ях! я2! я3! ... nk[
= Сп(пъ п2, я3, ..., nk).
Таким образом, число всех способов разбить я различных предметов на k групп по п±, п2, п3, ..., Яд. различных предметов в каждой равно числу всех способов, которыми можно представить я предметов k различных типов каждого типа соответственно по Ях, я2, я3, я# предметов, расположенных на я разных местах.
Пример 53. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?
n	г	<□ Ю! 51-6.7.8-9.10 пгпл
Решение.	Сы (2,	3,	5)- 2!3|5!	— 5!,j.2t3.i,2 — 2о20	спо-
собов.
Пример 54. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех бандеролях соответственно по два, три, четыре книги в каждой бандероле?
d	/о о лх 9!	4!-5.6-7*8-9
Решение. Со (2, 3. 4) -	f.2. t .2.3= 1260 спосо-
ба ми.
Пример 55. Сколькими способами можно распределить семь молодых специалистов по трем цехам, которым соответственно нужны один, два, четыре специалиста?
n	Z. /1 о лх 7!	41.5.6.7 |ЛС
Решение. С7 (1, 2, 4) = £——=.....* ^^=105 способами.
Пример 56. Лифт, в котором находится восемь пассажиров, останавливается на шести этажах. Пассажиры выходят группами по одному, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти, если на каждом этаже может выйти только одна группа пассажиров, при этом порядок выхода пассажиров одной группы не имеет значения?
Решение. Восемь пассажиров разбить на три группы соответственно по одному, три и четыре человека можно
Г Л О лх	8!	41.5.6.7.8	.
св (1, 3, 4) =	—41; 1.2.3; 1 = 280 способами.
Выбрать три этажа из шести и распределить их среди трех разных групп можно гз_ 6! С’ “ 313!
31-4.5.6 „„
1 о о способами, о! • 1 • & • о
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 237
Следовательно, согласно правилу умножения, число всех способов выполнить условия задачи равно
С8 (1, 3, 4) С| = 280-20 = 5600.
Сочетаниями их п предметов по т с повторениями называются соединения, содержащие т предметов (без учета порядка следования), причем любой предмет может входить в соединение некоторое число раз, не больше т.
Например, все сочетания из трех цифр 3, 4, 5 по два с повторениями записываются в виде 33, 34, 35, 44, 45, 55 или в виде 33, 43, 53, 44, 54, 55, т. е. число 43 и число 34 есть одно и то же сочетание.
Задача о числе сочетаний с повторениями. Если имеется по т одинаковых предметов каждого из п различных типов, то сколькими способами можно выбрать т из этих т-п предметов?
Число всех таких сочетаний с повторениями принято обозначать Сп (п), и оно может быть найдено по формуле
г>т/„х	(m+n—-1)!___
Сп
Это вытекает из следующих рассуждений. Обозначим предметы через af, a2, .an; тогда число всех сочетаний из этих п предметов по т с повторениями равно (п). Каждое такое сочетание либо содержит, либо не содержит предмет aj. Число сочетаний, которые не содержат af, равно C^n-iy (п) (это—-число сочетаний с повторениями, из предметов а2, а3, ..., аи).
Каждое сочетание, содержащее af, может быть получено присоединением af к некоторому сочетанию из п предметов по /и—«1 с повторениями, число которых равно Сп~1 (п).
Следовательно, справедливо следующее рекуррентное соотношение:
С?(п) = СГ1(п) + ^-1(п).
Отсюда имеем
Си (п) = С™ 1 (п) + (Cn-i (п) + Сд-2 (п)) =
= Сд 1 (п) + С1п-\ (п) + С^-2 (п) =
= С™ (п) + CjJL-i1 (п) + (Си-21 + Сп-з (п)) —
= сг1 (П) +С^7 (п) +С^ (п) +С^ (п) = в.
... = СЙ1-1 (п)	(п) + л. +СГ1 (п) + СГ (п)*
Поскольку Сп (п) = п и С? (п)= 1, то при т — 2 имеем
С« (п) = Сп (п) 4- Сп-1 (п) + Си-2 (п) + .». 4- С2 (п) Ч-Ci (п) =з
= п+(п- 1) + (п^2)+... +2 + 1 =
__n(n+l)____^2	(п+1)! ___^2
—	2	—с«+1““2Цп—l)l^Ca+n”v
При т = 3 имеем
Сп (п) = Си (п) -j-Cn-i (п) + Сп-2 (п) + i.»+ С2 (п)+Ci (п) =
= Сд-н+ Си+Си-1+ * .» +Cj + С2*
238	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Поскольку (см. пример 29)
Z>2 I /->2 I ^2	, I л>2 J ^2	^3 _г (п+2)!
Оп+1 т^лт Ort-1 + .. .	С3-{- С2 — brt+2 — 21	_1)|»
то Сп (п) =	—7^==ct+rt-i- Рассуждая аналогично, на (т— 1)-м
о! (fl— 1)I
шаге получим
/„х	—1)!_
Сп (П)“'тГ(л“Г)Т
Таким образом, если имеется по т одинаковых предметов каждого из п различных типов, то число всех способов выбрать т из этих тп предметов равно
(т-\-п—1)!___ппг /-.п-i
,_._.=1„г_С/п+п--1 - Crti+rt-i*
Пример 57. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?
Решение- Это задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторениями.
Поскольку
С2 (п) — cf-f 2—1 = '4777" “ 5,
то выбрать монеты указанным в условии задачи образом можно пятью способами.
Пример 58. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти по четыре с повторениями.
Поскольку
ct(n)=ci+5_1=lj^=70,
то выбрать указанным образом пирожные можно 70 способами.
П р и м е р 59. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.
Поскольку С5 (п) — С54-1—1 = С5 = 5; С5 (п) —С54-2—i — Св— 15; Ct(n)=Cl+3_1 = C?=35; Ci(n)=Cj+4_i=Cj=70; С| (п) =С55+5-1= — С|=126, то существует 5+15 -[-35 + 70+126 = 251 чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Пример 60. Сколько будет костей домино, если использовать в их образовании все цифры?
Решение. Число костей домино можно рассматривать как число сочетаний с повторениями по два из десяти. Число таких сочетаний равно
С10 (п) = С10 + 2-1 ~ Сп =	= 55.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 239
ЗАДАНИЕ I
1.	Вычислить:
1) 31, 51, 11=^1
'	41
(п —2)! Г 1
10!+ 8! .	100!	99! .
8!	1	99!	98! ’
л! * [ п\ (я + 1)!]^’
4)	Pit Al Al/P2 + Alo/(7P6)-,
5)	PiAl+P^Al + PsAl+PiAl-PiP^Pi,
2.	Найти все натуральные п, удовлетворяющие условию:
1)	^ = 6;	3) Р„+8=720Л^„_в;
2)	П'^?П11)1=4:	4) ^+ь/(Л^33Ри-6) = 240.
(Д 1) I о
3.	Сколькими способами можно расставить на полке шесть книг разных авторов?
4.	Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения цифр в каждом из них? Сколько среди них таких, которые не кратны пяти?
5.	Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту, комсорга и профорга?
6.	10 книг—7 книг различных авторов и трехтомник одного автора—помещены на книжной полке. Сколькими способами их можно расставить на полке так, чтобы книги автора трехтомника стояли рядом?
7.	Сколько всего четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?
ЗАДАНИЕ 2
991—98!
97!
1
о. 50!	30!
’ 2) 48!""28Г;
](«+!)!;
1. Вычислить:
1) 41, 71, ^±11
(m+2)l Г_1_ ________
' т\ ’ [m!~r(m+l)!
4) р3р2, а23+а1 (а1-а1)/р2+р6/р2;
I I ^*8 I А Лк-
6 \ At + Al + Al + Al)
2. Найти все натуральные п, удовлетворяющие условию: 1) ЛЛ=12;
3) Л^ + ЗЛп — ^2 »+i»
2) fern!=72; 4) pn+M^Pn+i-k)=is.
\п 1)1
3. Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?
4. Сколькими способами можно составить список из семи учеников?
5. В шахматном турнире участвуют пять студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места,
240	ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
занятые в турнире школьниками, если никакие два участника не набрали одинакового числа очков?
6. Сколько всего четырехзначных чисел, делящихся на 2?
ЗАДАНИЕ 3
1.	Вычислить:
1) O5, C4, U25, <->100,	£) СбС4-|“О4Сз4"ЬзСз>
3)	(^cl-± cl+±ctAKp3Al).
\ О	ZO	Ou J I
2.	Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:
1)	С^+2п = 9, ЗС7!+1 —2А„ = п;
2)	C^VC^j ; 3) СА < Сп',
4)Л*+2/Рп+2-143/(4Р„_1)<0.
3.	Доказать справедливость равенства:
1)	c?+cl+ci=ci+ci+clh
2)	kCkn= nCknl\, nC?„ = (»+l)C?„+1;
О\ г>Л+1	I +
3)	bn+1 — ^>n~r^n >
4)	CH 2C^+ ... + (n- 1) C^ = (n-2) 2«~i+ 1.
4.	Сколькими способами можно из 20 человек назначить
а)	двух дежурных с одинаковыми обязанностями;
б)	двух дежурных, из которых один старший?
5.	В подразделении 30 солдат и три офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера?
6.	Сколько всего делителей у числа 105?
ЗАДАНИЕ 4
1.	Вычислить:
1)	Ст, Gio, СУ, CioooJ 2) С21/(С19 + С19 4- Сэд);
3)	Ри+2/(^Р„_а) + (С185+2С1% + С116°)/С1?.
2.	Доказать справедливость равенства:
1)	Се4~Се — Св“ЬСб + С|;
k, Q\ fyk + 1 r>k 1
Z) — Gn , o) Grt+1 —
4)	Cn 4- Cn+i4-Crt+2 4~~ • • • ~F Cn+k = Сп +fe+i*
3.	Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:
1)	С2п > Ctn, Ci3 < Схз^2; 2) С?г+1 = 6, Cjj-i —м2—13;
3)	A2n-i —Сп = 79, С,2!+1/С?г = 4/5; 4) СЙ+5 -	< 0.
4.	Сколькими способами можно выбрать четыре делегата на профсоюзную конференцию, если в группе 20 человек?
5.	Из семи бегунов и трех прыгунов нужно составить команду из 5 человек, в которую должен входить хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 241
6.	Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?
ЗАДАНИЕ 5
1.	Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:
1) (а—6)4; 2) (а + 2&)б; 3) (а— У2)в; 4) (а—2/6)».
2.	Найти шестой член разложения:
1)	(Ух +1 /х)16; 2) (1 —2г)21.
3.	Найти два средних члена разложения (а3 + о6)21.
4.	Найти в биномиальном разложении (х3 + 1/х3)3’8 член, не содержащий х.
5.	Найти сумму:
1)	С°п + ЗУп + 32С^ + ... + 3ПС”;
2)	Cfn+Сап	. + Сгп-
6.	Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?
ЗАДАНИЕ 6
1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:
1)	(а+*)4;	3) (6+ У2)в;
2)	(а—26)»;	4) (а—1/а)».
2.	Найти пятый член разложения:
1)	(Кг+г)10; 2) (х-1/х)13.
3.	Найти два средних члена разложения (я3 —я&)23.
4.	Найти в биномиальном разложении (z-|-l/z3)le член, не содержащий z.
5.	Найти сумму:
1)	Уп + 2Сп + 22Сп + . • • + 2"СЙ;
2)	1-С\+С^-С3п+ .. . + (—1)" Ck
3)	cln+С2/1+ •••+Csn
6.	Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятерки?
Упражнения
1.	Вычислить:
1)	(^12—Лп)/Л10, Л12б!/Лп;
/>98 । /->998	* < /->4 • /->3	/->4 х 2
С1000 + С100	1 + С10 4~ С10 — Сц
П1 _ Р"+1	 pnPn+i(^-n)\
} (п-3)\А3п (П+2)Г(С^	'
242	гл. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
4)
’п '^2 (Сп+з —2Сл+2-|-Сп+2) “1“—g—
2.	Найти все натуральные ft, удовлетворяющие условию:
1)	Cn+i/Gj—'g", С2^1/С'2п+1 = 2/3;
2)	Сп+1Мл+1 = 7/15, 12С^+з — 55Лл+1;
3)	4п4~Сп 2 = 14ft,	-j-Cn+i — 14 (п+1);
4)	<21, 5С* < Сд+з, С?г-1/А*п+1 < 1/(14Р3);
5)	сп_1—Сп-i—Ап-2<0;
6)	100, ^+5-^ . 5^1 < 0;
1 и + 3
Лп • Р
7)	.Л£+С£ = 256, С£^/С?„+1=13/7, <^...^-1^15.
П-1
3.	Сколькими способами можно составить список из десяти человек по десять человек?
4.	В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
5.	Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых изображается тремя различными цифрами?
6.	Сколькими способами можно расставить семь различных книг на полке?
7.	Сколько различных шестизначных чисел можно написать, пользуясь только по одному разу цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так, чтобы в каждом из них была цифра 5?
8> Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех книг разных авторов?
9.	Сколько различных восьмизначных чисел можно написать, пользуясь только тремя цифрами 3, 5, 7 при условии, что цифра 5 в каждом числе встречается два раза?
10.	Сколько девятизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если ни одна цифра не повторяется? Сколько среди них чисел, в которых цифры 2 и 5:
1) стоят рядом; 2) не стоят рядом?
11.	Имеется собрание сочинений й'з четырех книг одного автора и собрание сочинений из шести книг другого автора. Сколько наборов из четырех книг можно сделать, чтобы в наборе было две книги одного автора и две книги другого автора?
12.	Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа abcde без повторения цифр. Сколько среди них чисел, у которых
1) а=1; 2) а ^2; 3) а = 3, Ь = 2; 4) а = 3, Ь = 4, с = 5?
13.	Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа abcde (повторение цифр разрешается). Сколько среди них чисел, у которых
1) а -1; 2) а ф 2; 3) а = 3, Ь — 2\ 4) я = 3, Ь = 4, с = 5?
14.	Сколькими способами из группы в 30 человек можно выбрать комсорга, старосту и профорга?
15.	Из 20 человек надо выбрать семь. Сколькими способами ото можно сделать?
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА 243
16.	Сколько диагоналей имеет
1)	выпуклый пятиугольник;
2)	выпуклый двенадцатиугольник;
3)	выпуклый п-угольник?
17.	Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на две группы так, чтобы в одной было четыре человека, а в другой 11?
18.	Из восьми цветков (роза, астра, тюльпан, гвоздика, гладиолус, фиалка, ромашка, лилия) надо составить букет так, чтобы в него входило не менее двух цветков. Сколько способов существует для этого?
19.	Из пяти офицеров и десяти солдат надо составить наряд так, чтобы в него входили два офицера и три солдата. Сколькими способами можно это сделать?
20.	На книжной полке помещается 30-томное собрание сочинений. Сколькими способами можно расставить тома так, чтобы при этом первый и второй тома:
1) стояли рядом;
2) не стояли рядом?
21.	Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 8 мужчин и 8 женщин, чтобы никаких двое мужчин и никакие две женщины не сидели рядом?
22.	Из семи мужчин и четырех женщин надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами можно это сделать?
23.	Доказать, что для любых натуральных чисел п и k таких, что	справедливо равенство:
2) Cn-i + ^n + Cn+i+ ... +Cn+/?-i = Cn+k>
О/ е;гф/еп -тЬ/2	—
4)	С,НзС^+,+ ЗСп+?4-С^+8 = СЙ1;
MH’+’C1-!-	4- 1 Сп~2П + 1~{-
5)	C„+-2C„+...+n+1C„ -
6)	С,1г-2Й+...Ч-(-1)'г-1пСЙ = 0;
7)	СА + 2С^+...+«СЙ = п2«-1;
8)	(c“)2 + (^)2-|-... + (Cg)2=C^;
9)	С«-|-Сп+1-Ь С«+2 + • • • +Сп+.'г =Cn+l+li
10)	С’ + 2СА+ЗС^+ ... + (»+ 1)	= (п+2) 2«-1;
1П 1 Ci 1 с24- I	.
11)	yU-y С„+..И------—TXT ’
23
3 п 92 ,	23	+ ДЯ + 1____1
12) 2С°+| Cn + y СА+ •  	--г 
24. Разложить по / 1 V 1) ;
2) (а—26)6 7 8;
3) (1+2х)’;
I 1 \8
3 формуле бинома Ньютона и упростить:
6) (l-j/’2)
7) (К 6+К12)1;
8) * (К"3—КТ5)в. £1
244
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
25.	Найти два средних члена разложения:
1)	(а3-|-аб)31;	2) (а3-]-6а)30.
26.	Найти номер наибольшего члена разложения (1 +0,001)1000<
27.	Известно, что Cn-=C%. Верно ли, что это возможно только при х--~#?
28.	Сколько рациональных членов содержит разложение:
.) (КЭ+^)>“	2) (^+{/з)“г
29.	Найти все натуральные числа пит, удовлетворяющие условию:
п р/п+1.рт .s>m-l__
V Ьп+l ‘bn+i.C/i+i —О.О.О,
2)	=	3) (сГг’/О1)^-=1-
Пп+1
30.	Доказать, что число К10 [(1 + К10)100 — (1 — jAT6)100] целое.
31.	Доказать, что число II10— 1 делится на 100.
32.	Доказать, что число 101100— 1 делится на 10 000.
33.	Доказать, что число II100— 1 делится на 1000.
34.	В разложении (а-l-1/а)1? по формуле бинома Ньютона найти коэффициент при а8.
35.	В разложении	* по формуле бинома Ньютона
найти коэффициент при х4.
36.	Найти число х, если известно, что третий член разложения (x4-xlgx)5 по формуле бинома Ньютона равен 10е.
37.	Пусть (х— 2)100 = a0+flix+ ... + а100х100. Найти:
1)	#97*, 2) «о + й1+ • » • + ^юо> 3) fli4-2a2+ ... + ЮОа1оо.
38.	Пусть (1 +2х-|-Зх2)10 = а0-|- агх+ ... 4- a2Qx2Q. Найти а4.
39.	Пусть (1+х + х24-х3)б = а0 + ^+...Н-а15х15. Найти а10.
40.	Для любого натурального п вычислить сумму:
1)	С0п + С^+С4п+ .. .Н-С^я/2’;
2)	с^+^+с^+^+с^21"1;
3)	(с')2-(с’)2 + (^)2- ... +(-1)” (с£)2.
41.	Доказать неравенство:
1)	2 < (14-1/п)” < 3, n>2, ngN;
2)	п«+1 > (п+1)п, п^З, ngN.
ГЛАВA 4
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
И СИСТЕМЫ
Решить уравнение f(x) =-g (х)	(1)
означает найти все такие числа а, для которых справедливо числовое равенство
(2)
или доказать, что таких чисел не существует.
Число а называется корнем, или решением, уравнения (1). Таким образом, решить уравнение (1)—значит найти множество всех его решений (корней).
Множество всех решений уравнения (1) принадлежит области допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения, т. е. пересечению области существования функции f (%) и области существования функции g (х).
Два уравнения
fi(x) = gi(x) и f2(x)=g2(x) называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества их решений. При этом пишут
fl (х) = gi (х)	/2 (х) = g2 (х).	.
Если оба уравнения не имеют решений, то они считаются равносильными.
Решить неравенство
f(x)>g(x),	(3)
означает найти все такие числа а, для которых справедливо числовое неравенство	т
f (а) > g (а), или доказать, что таких чисел не существует.
Число а называется решением неравенства (3). Следовательно, решить неравенство (3) —значит найти множество всех его решений.
Множество всех решений неравенства (3) принадлежит ОДЗ неизвестного этого неравенства, т. е. пересечению области существования функции f (х) и области существования функции g(x).
Два неравенства
fi (х) > gi (х) и f2 (х) > g2 (х) называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества их решений. При этом пишут
ft (х) > gi (х) о ft (х) > gi (X).
248	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить систему уравнений (неравенств) с одним неизвестным — значит найти все числа, являющиеся решением каждого из уравнений (неравенств), входящих в систему, или доказать, что таких чисел не существует.
Система двух уравнений записывается следующим образом:
( fiW=giW>
I f2(x)=gs(x).
Аналогично обозначаются системы неравенств и смешанные системы (системы, в которые входят и уравнения, и неравенства).
Говорят, что уравнение (неравенство, система) равносильно некоторой системе, если множество решений уравнения (неравенства, системы) и системы совпадают.
Например, запись
-----г п ,	( х— 1 = (3 — 2х)2, /х—1=3—„ w | 3 —2x^0
означает, что уравнение равносильно системе.
Решить совокупность уравнений (неравенств, систем) с одним неизвестным — значит найти все числа, являющиеся решением хотя бы одного уравнения (неравенства, системы), входящего в данную совокупность, или доказать, что таких чисел не существует.
Совокупность уравнений (х) = gx (х) и f2 (х) = gz (х) записывается следующим образом:
Г fi (x)—gi(x)>
Аналогично обозначается совокупность, в которую входят уравнения, неравенства и системы.
Говорят, что уравнение (неравенство, система) равносильно совокупности уравнений (неравенств, систем), если множество решений этого уравнения (неравенства, системы) совпадает с множеством решений этой совокупности.
Например, уравнение
]/”х2— 1 log2 №—2х+ 1) =0 равносильно совокупности систем
j х2— 1 =0, Г х2 —2х+1 = 1,
) X2—2x4-1 >0, 1 х2 — 1^0.
§ 1.	Линейные и квадратные уравнения
1.1.	Линейные уравнения. Уравнение вида
ax-|-Zj = O,	(1)
где а и b числа, причем а $£ 0, называется линейным уравнением.
Уравнение (1) имеет единственный корень, равный
Пример 1. Решить уравнение
х/3 + (2х— 1)/6 = 1 — х/3,
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
247
Решение. Имеем х/3-|-(2х—1)/6 = 1 — х/3 фф х/34-х/З 4-4- х/3 = 1 +1/6 х = 7/6.
Пример 2. Решить уравнение (а— 1) х+2 — а+ 1.
Решение. При а Ф 1 данное уравнение является линейным а— 1	.
и поэтому имеет единственное решение х—~—| = 1.
При а=1 уравнение принимает вид 0«х-|-2 = 2; поэтому любое действительное число будет его решением.
1.2.	Квадратные уравнения. Уравнение вида ах2-]- Ьх-]- с — 0,	(2)
где а, Ь, с — числа, причем а 0, называется квадратным уравнением.
Напомним, что D — b2— 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D < 0, то уравнение (2) не имеет корней.
Если D > 0, то уравнение (2) имеет два различных корня:
и тогда
ах2-\-Ьх-\-с = а(х—х^ (х—х2).	(3)
Если D = 0, то уравнение (2) имеет два совпадающих корня: b
Х!-Х2- —,
и тогда
ах2-^Ьх-\~с^= а (х—х^2.	(4)
Представление квадратного трехчлена ах2-]-Ьх-]-с в виде (3) или (4) называется разложением его на линейные множители.
Пример 3. Решить уравнение х2 —5x4-6 = 0.
Решение. Поскольку Е> = 25—24=1 >0, то квадратное уравнение имеет два корня: хх = (5-|-1)/2 = 3, х2 = (5 — 1)/2 = 2.
Пример 4. Решить уравнение
— х24-14х-49 = 0.
Решены е. Поскольку D== 196— 196 = 0, то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня: xi = x2 =—14/(—2) = 7.
Пример 5. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение
(«4-1) х24-2(^-Ь1)х4-«~2 = 0
а)	имеет два различных корня;
б)	не имеет корней;
в)	имеет два равных корня*
248	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Р е ш е п и е. Данное уравнение по условию является квадратным; поэтому а —1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения
D = 4 (а +1)2—4 (а+ 1) (а—2)=4 (а+1) (а-\- 1 — а4~2)=12 («+1).
При а >—1 данное уравнение имеет два различных корня, так как D > 0. При а <—1 уравнение корней не имеет, так как£)<0. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D = 0 только при а~—1, а это противоречит условию задачи.
Пример 6. Решить уравнение
1	ах2 + 2х -L- 1=0.
Решение. При а — 0 получаем линейное уравнение 2x4-1 =0, которое имеет единственное решение х =—1/2.
При а 0 уравнение является квадратным и его дискриминант D равен 4 — 4а. При а > 1 дискриминант D меньше 0; поэтому данное уравнение корней не имеет. При а=1 дикриминант D равен 0; поэтому данное уравнение имеет два совпадающих —2 корня: х1 = х2= -2“=—-1.
При а < 1, а & 0 дискриминант D > 0, и, следовательно, дан-
—2 + 2
ное уравнение имеет два различных корня: xi =-----------=
_ —1 + УГ^а _ -2-2 УТ^а _ — 1— У'Т^а
а ’ Хг~ 2а	а '
Таким образом
—i + y'Trs
хх =-------------, х2 =-------------- при а < I, а £ 0;
х =—1/2 при а = 0;
х1 = х2 = —1 при а=1;
уравнение не имеет решений при а > 1.
Пример 7. Найти сумму квадратов и сумму кубов корней уравнения
2х2— 5%4-1—0-
Решение. Дискриминант данного уравнения D равен 25—2*4=17 и поэтому уравнение имеет два различных корня.
По теореме Виета имеем Xi4-x2 = 5/2 и ххх2 = 1/2. Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде
Xi 4~ х2 = (xj 4“ х2)2 — 2xiX2,
Xi 4“ Х2 = (Х14~ Х2) (xi — XjX2 4“ *2) •
Отсюда находим xi4-x2 = (5/2)2 — 2~ =21/4; Xi4~х2 = (5/2)X
7
Х(21/4^ 1/2) = 95/8= 11
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 249
Пусть хх, х2 — корни уравнения х24-px~\~q= 9 и Зп — х^х^ (л ^2, n^N). Тогда справедлива рекуррентная формула
Sn+i = — pSn — 75n-i, $i = — р, S2 = p2 —27, Действительно, так как х± и х2-~ корни уравнения, то
Xi + Pxi ~1“ 7 ~
Х2 + рх2 + q = 0.
Умножая первое равенство на х?”1, а второе на x2~x и склады* вая затем полученные равенства, получаем рекуррентную формулу*
Пример 8. Составить квадратное уравнение с рациональ-..	*	/Т-уТ
ными коэффициентами, один из корней которого равен
Решение. Пусть x2 + px+q = 0 (где р и 7—рациональные числа) — искомое уравнение. _
гт	КЗ-/5	(/з'-/5)2	. , 1Л-,
Поскольку число ——----=-===7—=——../.•=—44-у 5
Кз + Г5_ (Гз)2-(К5Г является его корнем, то (—4-J-/ 15)2-]-р(—4-|- V 15)-(-<? = 0, т. е. (31_4р_|_^) + (р_8) /"15 = 0.
По условию числа р и q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства
31—4р + ^ = 0 и р — 8 = 0.
Отсюда получаем р — 8, q = 1.
Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение х2 -|- 8х + 1 = 0.
Пример 9. Доказать, что два квадратных уравнения x2-f-pxx+7i = 9 и х2 + р2х+72 = 0, дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда
(?2 —?1)2 = (Р2 —Р1)(Р1?2-?1Р2)-	(5)
Решение. Пусть ft(x)=x2-srp1x-\-q1, f2 (х) = х2Ц-р2х+?2 и числа хх, х2 являются корнями уравнения f1(x) = O. Для того чтобы уравнения /х (х) = 0 и /2 (*) — 9 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f2(xi)/гМ = 0, т. е. чтобы
(xj р2хх + <72) (х! + Р2Х2 + q2) = 9.
Представим последнее равенство в виде
(х2 + р1Х1+ft + (р2 - Pi) Xi + q2 — <?1) (х2 + рхх2 + <71 +
4~(Р2—pi) х2+^2—qi) -9.
Поскольку x24-p1Xi + pi = 0 и х2 piX2 + qi ~ 9, отсюда получаем «Ра—Pi) *1 + (<7а “ qi)) ((Р2—Pi) х2 + —71)) =
250
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
т, е.
(Ра — Pi)2 ЗД + (7г ” 71) (Рг — Pi) (*i+х2) + (q2 — ^i)2 = 0.
По теореме Виета xi + *2 =— Pi и	следовательно*
(р2 — Р1)2 <71 — (?2 — 91) (?2 — Р1) Р1 + (<72—91)2 = О, или
(92—<71)2 = (Р2—Pi) ((92 — <?1) Pi — (Рп—Pi) 91) =
= (Рг—Р1) (9гР1—91Р1—Р291+Р191) = (Р2 — Pi) (9гР1—Рг91)« что и требовалось доказать.
Пример 10. Найти все значения параметра а, для которых квадратные уравнения
(1—2а) х2—бах—1=0 и ах2— х4~1=0 имеют по крайней мере один общий корень.
Решение. Воспользуемся результатом предыдущего при* мера, в котором получено необходимое и достаточное условие существования по крайней мере одного общего корня двух уравнений. При а 0 и 1 — 2а ?= 0 должно быть выполнено соотношение
( 1_____!Л2—	(	1 I 6а W ба 1	1	И
а	‘ 1 — 2а)	\	а ' 1 — 2ау \	1 — 2а а	1 — 2а	а )’
которое после преобразования принимает вид (1—а)3 =—(6а2 + 4-2а—1) (ба+1). Следовательно, а должно являться решением уравнения
а (36а2 + 19а—6) = 0.
По условию а 0. Поэтому из равенства 36а2 + 19а—6 = 0 находим а: ai = 2/9 и а2 = 3/4. Поскольку при а = 3/4 дискриминант уравнения 3/4х2 — х-[~1— 0 отрицательный, а при а = 2/9 дискриминанты исходных уравнений положительные, то ответом является только а = 2/9.
1.3.	Трехчленные у р а в н е н и я. Уравнение вида ах2п-\~Ьхп-\-с — б, афб, n^2, n£N,	(6)
называется трехчленным уравнением; при п — 2 трехчленное уравнение (6) называется биквадратным.
Полагая у = хп, уравнение (6) можно записать в виде ar/2 -р + Ъу-\-с~б. Если yt и у2 —два различных действительных корня последнего уравнения, то уравнение (6) эквивалентно совокупности уравнений
xn = yi, хп = у%.
Если У1 — У^ то уравнение (6) эквивалентно уравнению xn~yi. Если уравнение ау2-\-Ъу-\-с = б решений не имеет, то уравнение (6) также решений не имеет.
. П р и м е р 11. Решить уравнение
4-16 = 0.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251
Решение. Обозначив х*~у, получим уравнение у2—17# + 4- 16 = 0, откуда найдем #1 = 1 и #2 = ”16. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Г х4=1, [ х4=16,
решая которую находим Х] = 1, х2 =—1, х3 = 2, х4 =—2»
Уравнения более общего вида a[f(x)\2+b\f(x)] + c^0,
где / (х) —заданная функция от неизвестного х, решаются заменой f (*) = </•
Пример 12. Решить уравнение
|х|8/6—26|х|4/6—27 = 0.
Решение. Обозначив | х |4,/6 = У, получим уравнение у2 — — 26#—27-- 0, откуда yL — —1 и #2—-27. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
" [ х p/ь =„1} . |х|4/6=27.
Первое уравнение этой совокупности корней не имеет, так как । х |4/5 о при любом х.
Из второго уравнения получаем |х|4 = 275 или |х|4 = 315. Следовательно, корнями данного уравнения являются числа хх == = 27 У 27 и х2 = —27 У 27.
1.4.	Уравнения, сводящиеся к линейным, квадратным и биквадратным (трехчленным) уравнениям. Уравнение вида
ах3 + £х2 + 6х+а = 0, а 0,	(7)
называется симметрическим уравнением третьей степени» Поскольку
ах3+#х2+ #х+а = (х+ 1) (ах2-\~(Ь— а) х+п), то уравнение (7) равносильно совокупности
Гх+1=0,
[ ях2 + (& — а) х+а = 0<
Уравнения вида
ях4 + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0,’	(8)
ях4 + Ьх3 + сх2 — Ьх+а = 0,	(9)
где а 0, называются симметрическими уравнениями четвертой степени.
252	ГЛ. 4- РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разделив обе части уравнения (8) на %2 (х — 0 не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение
а(х2+4')+6(х+7)+<’=0-	(8а)
Аналогично для уравнения (9) получаем эквивалентное ему уравнение
а(*2+^)+г’(А:_'т)+С:=0'	(9а)
Для решения уравнений (8а) и (9а) положим соответственно у-^х-\-1/х и z — x—1/x, Поскольку
-У=х2 + -Дг~г2 и (х —~ V=x2 + ~ — 2,
\ X ]	1 X2 ’	\ X j 1 X2
то получаем а(у2-2) + &у+с = 0,	(86)
a(z2 + 2) + ^ + f = 0.	(96)
Таким образом, если yi, у2 — корни уравнения (86), а 2f, £2—-корни уравнения (96), то исходные уравнения (8) и (9) эквивалентны соответственно совокупностям уравнений =	Гх—-1/х —гь
х+1/х = ^2>	[х-1/х = г2.
Если уравнение (86) или (96) решений не имеет, то соответствующее исходное уравнение также решений не имеет.
Пример 13. Решить уравнение
X4—- 2х3 —х2—-2х+ I =0.
Решение. Поскольку х = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на х2, получим х2 — 2х— — *— Ц+4=°’ 0ТКУда
(х3+4-)-2(х+7)~1==0<
Положив x-j-1/x — y, получим уравнение у2—2у— 3 — 0.
Отсюда находим yi~ 3 и у2~—1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Г х+1/х = 3, [ х+ 1/х — — 1.
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит, и исходного являются числа
Х1-3+К5 з-ГТ
Пример 14. Решить уравнение
(хг+х—2) (х*+х—3)= 12.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
Решение. Положив х24-х — у, получим (у—2) (у — 3) = 12, или
у2 — 5у — 6 = 0;
отсюда #i = 6 и у2 ——1. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Г х24-х = 6, [ х24~х = —L
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит, и исходного являются числа Xi = 2, х2 = —3.
Пример 15. Решить уравнение
(2х2 — 3x4- О (2х24-5х4- 1) = 9х2.
Решение. Поскольку х = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе части его на х2, получим уравнение .	,	(2^-3+4)(2х+5+1)=9.
' Положив 2х4-1/х = #> получим (у—3) (# + 5) = 9. Решением этого уравнения являются числа у± — —6 и у2 = 4.
Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Г 2х4~ 1/х = —6, [ 2х4~ 1/х = 4.
П	-3-К7
Решив эту совокупность, получим корни Xi—--, х2 =
—34 /7	2-/2	2 + /У
= ----L-I-- , х3 —------- , х4 —----- t которые являются
решением исходного уравнения.
Уравнения вида
(х — а) (х—Ь) (х—г) (х—d)~Ai
где а < b < с < d, b-a — dr-c, можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)
_ (х—а)4-(х—Ь)4-(х—с)4-(х—d)	a + b + c + d
У~~	-	х -г ♦
Пример 16. Решить уравнение
(12х— 1) (6х— 1) (4х— 1) (Зх— 1) = 5.
Р е ш е н и е» Перепишем данное уравнение в виде
(Ж—Ei) (*“б )	т) (*“ з")” 3-4-6-12 '
1111	1111
1ак как ^2 < "g" < "4* < "3 и "б’"~Т2==="3~'4 ’ Т° введем НОВУЮ переменную
12) + (Х~"6 ) + (Х~т) + (*—у)] =x~24'
254	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставляя х~у-\-^ в исходное уравнение, получим
[ , 3 \ / , 1 \(	1 \ / ЗА 5
V+24jV ' 24/V 24 Jv §4 J “ 3-4.6.12’
ИЛИ
I/ ^24/ J \24j j 3.4.6.12
Отсюда находим
7
2— 49 у ~ 242 ’
7 „
t. e. r/i = 24 и t/2 — — 24 ’ Соответствующие корни исходного урав-
1 1
нения равны —yg и
Уравнение вида
(х—а) (х—Ь) (х—с) (х—с/) = Лх2, где ab^cd, сводится к решению совокупности двух квадратных „	, ab
уравнении при помощи замены // = х + —^-.
Пример 17. Решить уравнение
(х+2) (х + 3) (х + 8) (х+12) = 4х2.
Решение. Заметим, что (—2) (—12) = (—3) (—8). Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвертую скобки, а также вторую и третью, получим
(х2+14х + 24) (х2+ 11х + 24) = 4х2.
Поскольку х = 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на х2. Получим уравнение
( I 14 1 24\ [	1 11 1 24 \	.
^+14 + у 1 ( х+П+— 1=4,
24 равносильное исходному. Сделаем замену переменной х+~=//. Тогда (£/+14)(у+11) = 4, или i/2 + 25//+ 150 — 0, откуда у/~—15, У 2	’
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
г 24 "	Г
х+^^^.15,	х2+15х + 24 = 0,
о4	т. е.
х+^=—10,	[ х-+ *0х + 24 = 0.
Решая эту совокупность, получаем ответ:
—15—К129	—15+К129
Xj: = ——g-----, х2 =-----. х3 = — 6, Xi = — 4.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 255
Уравнение вида
(х—п)4 + (х— &)4 — А
можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая а-\-Ь
замену у — х---.
Пример 18. Решить уравнение
(6 —х)4 + (8—х)4=16.
Р е in е н и е. Данное уравнение после замены переменной у = G___г Ц- 8_y
=-----~-----=7—х приводится к виду (r/+ l)4+Q/~-1)4= 16
или
^+6^-7 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получим его корпи: де=1, у2 ——Таким образом, корнями данного уравнения являются числа хх = 8, х2 = 6.
ЗАДАНИЕ 1
1. Расположить в порядке возрастания корпи уравнений!
х—1=0, х 4-1 = 0, У2х—3 = 0, —13х-|-)<2' = 0;
О	1	П 7	О 1—Зх	2х—-1
2х—1=0, 7 — 2%-------—--2'------—.
/	о
2.	Является	ли	корнем	уравнения: __
1)	х2 — 20х + 80 = 0 число 10 — 2 V5 ;
2)	х2 — 4х—21 = 0 число V3 ?
3.	Составить квадратное ^равнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются числа 5/2 и 7.
4.	Найти число b и второй корень уравнения:
1)	х2 — 5х+& = 0, если Xi = 5;
2)	х2-|-Ьх—15 = 0, если х1 = 3.
5.	Решить квадратное уравнение:
1)	х2—8x4-15 = 0;
2)	х2 — 3-1 x-j-0,75 = 0;
3)	2х2 —(а—1) x + a-f-1 =0;
4)	ах2 — (а-|-1) х + а2 + а = 0.
6.	Известно, что квадратное уравнение имеет корни. Не решая уравнения, определить знаки его корней:
1)	X2—х4-А = 0;	4) 10х = х2+25;
2)	2х24~9х = 5;	5) х2+(3 — 2а) х— За+2 = 0,
3)	х2+44-5х = 0;
ЗАДАНИЕ 2
4 1. Найти все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень:
1) х2 —2 (а—1) x-J-2a-|-1 = 0; 2) (а—2)х2-2ах+2а-^3«=0,
256	' гл. 4- РАЦИОНАЛЬНЫЕ уравнения
^2. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если_ один из его корней равен:
1) 2-/5 ;	2) КЗ.
3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются числа 1/3 и 4/5.
У4. Решить квадратное уравнение:
1) Зх2 —4х=1,5;	2) х2—(2+2 К2)х4-2 К2' = 0;
3) х2 — ах4-2а-|-4 = 0;	4) (а -|- I) х2 — х+ (1 — а) — 0.
V 5. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет два неравных корня:
1) ах24-2(а4-1)х4-а4-3 = 0;
2) (а—2) х2 4-ах4-1=0.
6.	Известно, что квадратное уравнение имеет корни. Не решая уравнения, определить знаки его корней:
1)	Зх24-12х — 4 = 0;	4) 4х2 — х — 3 = 0;
2)	9х24-1 = 16х;	5) ах24-2(а4-1)х4-2а = 0.
3)	Зх24- 8x4- 4 = 0;
ЗАДАНИЕ 3
1.	Доказать, что если корни уравнения х24~рх4-<7 = 0—рациональные числа, а р и q —-целые числа, то каждый корень этого уравнения является целым числом.
2.	Найти все значения а, при которых:
1)	корни уравнения х2—-2х4-а = 0 удовлетворяют условию 7х2 —4хх = 47;
2)	отношение корней уравнения х24-«х—16 = 0 равно (—4).
3.	Пусть xi и х2 —корни квадратного уравнения ах2+^х4~а=0, где с т= 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого
1 1
являются числа — и —.
Xi х2
4.	Найти все значения а, при которых уравнения х24“^4~8 = 0 и х24-*4-а = 0
имеют хотя бы один общий корень.
V 5. Найти все значения а, для которых один корень квадратного уравнения
(а2—5а 4-3) х2 4-(За — 1) х 4-2 = 0 в два раза больше другого.
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти все значения а, при которых уравнение х2—Зах4~ 4~а2 = 0 имеет два корня Xi и х2, удовлетворяющие условию Х14- х2 == 1,75.
х/ 2. Пусть Xi и х2— корни квадратного уравнения ах24~£* + 4-а = 0, где с Ф 0. Выразить через коэффициенты а, b и с выражения:
1)	Xi4-x2;	5)	x2xi4~ xjX2;
2)	Xi4~xl;	6)	xi— х2;
3)	^+-4	7)
л-1 л2
4)	Xi—х2;	8)	xi—4ххх2+х^
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 257
3. Найти все значения у, при которых квадратное уравнение (у+ty х2 — 2ух — у — 0
имеет два корня, расположенные на числовой прямой симметрично относительно точки х— 1.
4. Пусть а и некоторые числа, удовлетворяющие условию а > b > 0. Не решая квадратного уравнения
abx2— (а+&) х+ 1 —0,
найти отношение суммы его корней к их разности.
х/ 5. Найти все значения а, при которых один из корней уравнения
4х2— 15х+4а2 —0
равен квадрату другого корня.
ЗАДАНИЕ 5
Решить уравнение:
1) х8—- 17х4+16 —0;	2) х4 —4х2—1-0;
3)	(х2 + 5х)2 — 2 (х2 +5х) — 24 — 0;
4)	2х* + х3 — 11х2 + х + 2-0;
5)	х4 — 2х3 — 13х2+14х+24 —0;
6)	(х2— 6х—9)2 — х3— 4х2— 9х;
7)	х2 (х—1)2 + х(х2—1) —2(х+1)2;
8)	2х3 — 6х+5 =:0;	9) (х+3)4 + (х+5)4—16;
10)	(х— 4) (х—5) (х—6) (х—7) — 1680.
ЗАДАНИЕ б
Решить уравнение:
1)	(х2^—5х)2 + 10 (х2 — 5х) + 24 — 0;
2)	х4 + х2+6х —8-0;
3)	(х2 + х+1) (х2+х+2)== 12;
4)	х4 — 7х3+14х2 — 7х+1-0;
5)	4х4 + 20х3+15х2—45х—54 = 0;
6)	х1 — х3— 10х2 + 2х4-4 = 0;
7)	2 (х2 + х +1 )2 — 7 (х — 1 )2 - 13 (х3 — 1);
8)	2х8 — 9х? + 20х'3 — ЗЗх5 + 46х4 — 66х3+80х2 — 72х+32-0;
9)	(х-2)8 + (х-4)6-64;	10) х (х+1) (х—1) (х+2) = 24.
Упражнения
L Решить уравнение:
1)	о,2 (х— 1) + 0,5 (Зх—9) —х/3 — 2;
2)	2х+(2х+3)-4х—1+2х—3+(7 —2х);
3)	(Зх+4) (5 — 8х) = 0;	5) 9х2 + 6х+1=0;
4)	х4 + 2х2—8 — 0;	6) Xs — Зх3 + 2== 0,
ч/2. Решить уравнение при всех допустимых значениях параметра:
9 Задачи по математике. Алгебра
258
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1) ах+2х+3=1—х;	2) 40х+13а=]/" я+15х;
3) 40х+12а=Уа^2+У"а+36х;	4) Зх+9 = а(а—х);
5)	ах2=1;	6) (а— 1) х2-|-2 («+1) х + а—2 = 0;
7) х2—2(а—1)х+2а+1=0;	8) х2+2х— 8—а (х—4) = 0;
9)	(а+1) х2—(а— 1) х— 2а —0.
3.	Вычислить:
1)	4) xi+x*;
Л2 Xj
2)х1+х22;	5) ^(i_xD + ^(l-x?);
Х2	Xj
3) Х1~|~Х25	6) X}—Х2,
если Xi и х2— корни уравнения 2х2—11х~}~ 13 = 0.
4.	Сумма двух чисел равна 20, их произведение равно 96. Найти эти числа.
5.	Периметр прямоугольного треугольника равен 84, длина его гипотенузы равна 37. Найти площадь этого треугольника.
6.	Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа равна 65. Если к этому числу прибавить 27, то получится число, которое записывается теми же цифрами, что и первоначальное, но в обратном порядке. Найти это число.
7.	Два поезда выходят одновременно из пунктов Л и В, расстояние между которыми равно 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд, вышедший из Л, прибывает в В на 9 мин. раньше, чем другой поезд в А. Найти скорости поездов.
8.	Две трубы наполняют бак за 12 мин. Если сначала полбака наполнить через одну трубу, а затем полбака — через другую, то бак наполнится за 25 мин. За сколько минут наполняется бак каждой трубой в отдельности?
9.	Доказать, что уравнение имеет два различных корня, и определить знаки этих корней:
1) х2 — 100x4-6 = 0;	2) 2х2 —Зх+1=0;
3)	(х—-1) (х—3) + (х+1)(х+2) = 6.
10.	Найти все значения параметра у, при которых уравнение х2 — Зху+у2 -|- 2х — 2у +1 = 0
имеет два различных корня. Найти знаки этих корней в зависимости от значений параметра у.
11.	Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения
х2 — (а—2) х—(а + 3) = 0
равна:
1)	9;	2) k*.
12.	Пусть Xi и х2—корни квадратного уравнения х2+/7х+7—0. Вычислить:
1)	(^i + ЛХ1 + В) (x?i+ Лх2 + В);
2)	(xi + Лхх + В)+ (хг + Лх2 + $).
13.	Составить квадратное уравнение, корни которого Xi и х2 удовлетворяют каждому из условий
Xj + X2 = 5, 3 (Xi + x0 — 11 (Х1 + Хз).
§ 2. ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ
259
84. Решить уравнение:
1) х3 —4х2-х-}-4 = 0;	2) х4 + х3—12х2 = 0;
3) х' —Зх3-|-Зх2—х = 0;	4) 6х'Ч~5х3 — 38х2+5х+6 = 0;
5) 6х44-7х3—36х2—7х-|-6 = 0;	6) (ха — 6х)2—2 (х—3)2’=81;
7)	(лг-h I)2 (хН-2)4-(х— 1)2(х— 2)=12;
8)	2 (х—I)2 —5 (х—1) (х—2) + 2(х— 2)2 = 0;
9)	(х-|-1)3+(х- 1)5 = 32х;	10) (х-1)5+(х+3)3 = 242 (x-f-1);
11)	(х2+1)2 = 4(2х—1);	12) (х2 —16) (х-3)2 = 9х2;
13)	(6х+5)2 (3x4-2) (х+ 1) = 35;	14) х4+х3-|-х-|-1 =4х2;
15)	(8х-|-7)2 (4x4-3) (х-|-1) = 9/2;
16)	9 (х+4/3) (х+2/3) (х—1/3) (1-х) = 4х(х+1/3);
17)	8х4+8х3—х— 190 = 0; _18) 15х4 —4Х3—6х2—4х—1 =0; 19) х-1 — 2 К2х2-|-х+2— V 2 = 0;	20) х1—х2+2х-1 =0;
21)	(х—4)3(х—5)3-|-2(х— 5)3 + (х—4)3 = 0;
22)	ах1 — х34-а2х—а = 0;	23) х4 + 4а3х = а4;
24)	(ах— l)3+(tz+ О3 =	25) (2х-£ а)5 —(2а: —а)?=242л5.
§, 2. Отыскание корней многочленов
1.	При решении алгебраических уравнений с целыми коэффициентами используется
Теорема 1, Для того чтобы несократимая дробь p/q (q 0) была корнем уравнения
+	< . + а0 = 0, ап # 0	(1)
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число р было делителем свободного члена aQ, а число q — делителем старшего коэффициента ап.
Следствие. Если уравнение (1) имеет целые коэффициенты, а старший коэффициент равен единице (т. е. ап~\), то рациональными корнями этого уравнения могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена а0. Рассмотрим уравнение
2х4 + 7х3 — 12х2 — 38л:+21 = 0.
Свободный член этого уравнения имеет делители £ 1, ±3, ±7, £ 21. Старший коэффициент уравнения имеет делители £ 1, ±2. Составим все возможные дроби p/q’, получим следующие числа 1, 3, 7, 21, — 1, —3, — 7, —21, 1/2, 3/2, 7/2, 21/2, —1/2, — 3/2, —7/2, —21/2.
Все рациональные корни исходного уравнения принадлежат этому множеству чисел.
Для нахождения рациональных корней алгебраического уравнения (точнее, для организации более экономного перебора) с целыми коэффициентами используется
Теорема 2. Если несократимая дробь p/q (р 0) является корнем уравнения
Р (х) - апхп + ап _ гх« -2 + ... -И а0 = 0
9»
260	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
с целыми коэффициентами, то для любого целого числа т число Р (т) делится на число р—mq.
Пример 1. Найти все рациональные корни уравнения
Р (х) = 2х4+7х3— 12х2—38х+21 =0.
Решение. Как показано выше, рациональными корнями данного уравнения могут быть только числа
± 1, ± 3, ± 7, ± 21, ± 1/2, ± 3/2, ± 7/2, ± 21/2.
Подставив в левую часть уравнения х=1, получим Р(1) = =— 20. Значит, х—1 не является корнем уравнения. По теореме 2, если p/q— корень уравнения Р(х) = 0, то число Р (1) делится на p—q. Число (—20) делится на 3—1—2, и поэтому число 3 остается для дальнейшей проверки, но число (—20) не Делится на 7—1 = 6, поэтому число 7 не может быть корнем уравнения. Аналогично получаем, что числа —21, — 21/2, —7, — 7/2, —1/2, 21/2 не являются корнями уравнения.
Для проверки остаются только числа
3, 21, — 1, —3, 1/2, 3/2, 7/2, —3/2.
Число х — 3 не является корнем уравнения, так как Р (3) = 150.
Воспользуемся снова теоремой 2. Если p/q—корень уравнения, то Р (3) должно делиться на р—3q. Число 150 не делится на 21—3=18; поэтому х=21 не является корнем. Поскольку число 150 не делится на 4 и на 9, то числа — 1, — 3/2 также не могут быть корнями.
Таким образом, для проверки остались числа
— 3, 1/2, 3/2, 7/2.
Находим
Р(—3) = 0, Р(1/2) = 0, Р (3/2) /0, Р(7/2)^0,
Итак, рациональными корнями исходного уравнения являются числа (—3) и 1/2.
2.	При решении алгебраических уравнений
Р (х)^апхп + ап~1хп~1 + .а.4-ао = О,	0,
можно использовать метод понижения степени уравнения, основанный на теореме Безу и делении многочлена Р (х) на одночлен где а — корень уравнения Р(х) = 0.
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 2. Решить уравнение
Р4(х) = х4+2х3—2х2 — 6х+5 = 0<
Решение. Поскольку коэффициенты данного уравнения — целые числа, то попробуем найти хотя бы один целый корень.
Используем следствие, из теоремы 1. Делителями свободного члена являются числа 1, —1, 5, —5. Найдем значения много
§ 2. ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ
261
члена Р4 (х) в этих точках:
Р4 (1) = 1+2—2 —6+5 = 0;
Р4 (—1) = 1—2—2 + 6+5 = 8 0;
Р4 (5) = 625 + 250 — 50 — 30 + 5 = 800 / 0;
Р4(—5) = 625—250—50 + 30+5 = 360	0.
Многочлен Р4 (х) имеет целый корень Xj = 1, а числа 5, —5, — 1 не являются его корнями.
Согласно теореме Безу, молно утверждать, что найдется многочлен Р3 (х) такой, что
Р4(х) = (х-1)Р3(х),
где Р3 (х) = я3х3 + а2х2+ахх + а0 — некоторый многочлен третьей степени. Коэффициенты а3, а%, aQ этого многочлена можно найти, используя, например, схему Горнера. Получим
х4 + 2х3 — 2х2 — 6х + 5 = (х— 1) (х3 + Зх2 + х— 5).
Найдем корни уравнения
Р,3 (х) = х3 + Зх2+х - 5 = 0.
Делители его свободного члена есть числа 1, —1, 5, —5. Нет необходимости искать значения многочлена в точках —1, 5, —5, так как эти числа не являются корнями уравнения Р4(х) = 0/а значит, и уравнения Р3(х) = 0. Поэтому проверим только число 1. Имеем Р3 (1) = 1 +3+1—5 = 0; применяя схему Горнера, получим
Р3 (х) = (х— 1) (х2 + 4х+5).
Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде (х— I)2 (х2 + 4х+5) = 0.
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена х2+4х+5 равен —4, то квадратное уравнение х2 + 4х+5 = 0 корней не имеет.
Итак, исходное уравнение имеет два совпадающих корня Xi = х2 = 1, или, другими словами, корень х=1 кратности два.
3.	Метод понижения степени алгебраического уравнения применяется для решения симметрических уравнений третьей и пятой степеней, т. е. уравнений соответственно вида
ях3+&х2 + &х + а = 0, а # 0,	(2)
и
ях5+&х4 + сх3+сх2 + Ьх+а = 0, а # 0.	(3)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что х= —1 явля- ( ется корнем каждого из этих уравнений. Таким образом, уравнения (2) и (3) эквивалентны соответственно уравнениям
(х+1) (ах2+ (£>—а) х+а) = 0,	(4)
(х+1) (ах4 + (6—а) х3 + (а-Ь+с) х2 + (6—а) х+а) = 0.	(5)
Уравнение (4) равносильно совокупности х= — 1, ах2 + (Ь—а) х+а = 0,
( 262	гл. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
а уравнение (5) —совокупности
[ ах4 +(Ь—а) х3 + (я—& + <?) х2 + (6—я) x+a = (L
В совокупности (6) второе уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени, решение которого сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение
2х5 + Зх4 - 5х3—5х2 + Зх+ 2 = 0.
Решение. Данное уравнение имеет корень Х£=«—1, так как это—симметрическое уравнение нечетной степени. Разложив левую часть на множители, получим
(х+1) (2х4+х3—6х2+х + 2) = 0<
Решим уравнение
2х4+х8—-6х2 + х + 2 = 0.
Разделив обе части этого уравнения на х2 (так как х = 0 не является корнем) и сделав замену у==х+1/х, найдем корни: х2 = = х3=1, х4=—2, хб= — 0,5.
4.	Уравнения вида
аох,2/г+1 + Я1Х2/г + .., + апхп+х+Хапх" +
+ 13а„_1х«-1+...+а0%2«+1 = 0, ао#О, (7)
а0х2п + aix2n ~1 + . ё. + ап _ гхп+1 + апхп +	_ jx*~1 +
+ №ап _	-2 + ... + Х”а0 = 0, (8)
где X-^некоторое число, отличное от нуля, называются возвратными алгебраическими уравнениями. При Х=1 уравнения (7) и (8) являются симметрическими уравнениями. Например, уравнение
2х5 + 6х4 — 2х3 + 4х2—48х—64 = 0
является возвратным (%=—2), + уравнение
4х6 + бх5 — Зх4 + 1 охз _ 9x2 ф 45х _]_ J 08=0 является возвратным (% = 3).
Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень — X; так как уравнение можно переписать в виде
«о (x2«+1 + X2«+1) + aix (x2«~x + V«-1) + ... + artx" (x + X) = 0
и при х=—X каждое выражение в скобках левой части этого уравнения обращается в нуль.
Выделив в левой части уравнения (7) множитель х+Х, получаем, что уравнение (7) эквивалентно совокупности, состоящей из уравнения х=—X и возвратного уравнения четной степени.
Решение возвратного уравнения четной степени проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 4. Решить уравнение
2х8 — 9х7 + 20х6 — ЗЗх5+46Х4—66х3+80х2—72х+32 = 0.
§ 2. отыскание корней МНОГОЧЛЕНОВ 263
Решение. Это — возвратное уравнение восьмой степени, у которого % = 2, так как его можно переписать в виде
2x8—9х’:+20х6 — 33х54~ 46х4 — 33.2х3 + 20.22х2—9.23х+2.24 = 0.
Разделив обе части уравнения на х4 (х = 0 не является его корнем) и сгруппировав члены, получим уравнение, эквивалентное данному:
2 (х4 — 16/х4) —9 (х3 + 8/х3) + 20 (х2 + 4/х2)—33 (х+2/х) + 46 = 0-
Положим у=х-\-К/х = х + 2/х. Тогда
х24-4/х2 = #2 —4; х3 + 8/х3—у3 — бу; х4 + 16/х4 = #4—8#? + 8, и последнее уравнение примет вид
2#4—9#3 + 4#2 + 21#—18 = 0.
Используя метод отыскания рационального корня, получим корни этого уравнения: #х = 1, #2 = 2, #з = 3, #4=—3/2.
Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности, состоящей из четырех уравнений:
х+2/х=1, х-|-2/х = 2, х+2/х = 3, х4-2/х= —3/2,
Решая эту совокупность, найдем корни исходного уравнения — числа 1 и 2.
5.	Если левую часть алгебраического уравнения удается разложить на множители, то решение уравнения сводится к решению совокупности алгебраических уравнений меньших степеней.' Для разложения левой части уравнения на множители иногда используется метод неопределенных коэффициентов (см. § 3 гл. 2).
Пример 5. Решить уравнение
х4 — 4х3 — 10х2 + 37х—14 = 0,
Решение. Левая часть уравнения является многочленом четвертой степени. Этот многочлен раскладывается в произведение двух квадратных членов: х24-рх+# и x2+&x-f-c. Задача состоит в отыскании коэффициентов р, #, Ь, с.
Имеем
х4 — 4х3— 10х2 + 37х— 14 = (х^+рх+#) (х^ + ^х+с)4
Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны. Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений
(р+*=-4,
] с+<7+р&=—10,
1 pc+qb = 37, qc= —14.
Попробуем найти некоторое целочисленное решение этой системы. Из последнего уравнения системы следует, что для q (как и для с) возможны следующие целые значения: ±1, ±2, +7, ±14.
264
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть </=1; тогда с— —14. В этом случае второе и третье уравнения в (9) дают систему
J pb~3, j — 14/94-6 = 37, откуда для b получаем уравнение 62—376—42 = 0, не имеющее целых корней. Поэтому целочисленных решений при 7= 1 система (9) не имеет.
Пусть <7 = 2; тогда с= — 7. В этом случае второе и третье уравнения в (9) дают систему
( pb=—5,
I — 7р4-26 = 37,
Исключая р, получим для b уравнение
262—376 4-35 = 0, которое имеет корень 6=1; тогда р = —5. Первое уравнение системы (9) также удовлетворяется при 6 = 1 и р — —5.
Итак, имеем
х4 _ 4д з _ 1 о*2 4- 37х _ 14 = (х2-- 5х 4- 2) (х2 4- х—7).
Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений
г х2-5x4-2 = 0,
L х24~х—7 = 0,
5 + /Т?	6-КТ7 —1+/29
решая которую находим числа —............,--,
—1 —К29
---~, которые являются корнями данного уравнения.
Рассмотрим на примерах другие методы разложения на множители многочлена, стоящего в левой части алгебраического уравнения.
Пример 6. Решить уравнение
(х24-х4- 4)24- Зх (х2 4- х4- 4) 4- 2х2 = 0.	(10)
Решение. Левая часть данного уравнения представляет собой квадратный трехчлен относительно выражения x24-*4-4, Обозначим его через у и рассмотрим выражение у24-3х#4~2х2. Поскольку у24-3х^4“2х2 = (^4-х)(^4-2х), то уравнение (10) равносильно совокупности уравнений
Г х24-2х4~4 = 0,
L х2 4-3x4-4 = 0.
Дискриминант каждого квадратного уравнения совокупности отри-; цателен, поэтому совокупность, а следовательно и равносильное ей уравнение (10), не имеет решений.
i Пример 7. При каждом значении параметра а решить уравнение
1	(14-а2)х24-2(х— а)(14-ха)4-1=0.	(11)
§ £ ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ
265
Реше н и е. Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим ее в виде квадратного трехчлена относительно выражения 1+ха. Имеем
(1 4 а2) х242 (х—а) (14^) +1 =	4
— а2х24-^ + 1 + 2 (х — а) (1 +ха)= *
= (а2х2 + 2ах+ 1)42 (х—а) (1 4ха)4х2 —2ях =
= (ах 4 1)2 + 2 (х—а) (14*ш) + *2—2ах —
~(ах-\-1)2 + 2 (ах 4 1) (х—-а) 4 (х—а)2—а2 —
= (ах+1 4х—а)2—а2 — (ах+х—2а+1) (ах4^+1)*
Следовательно, уравнение (J1) равносильно совокупности двух уравнений
Г х (а+1) —2а-|-1 =0, [ х(а+1)+1=0.
Решая эту совокупность, находим:
при а — — 1 уравнение (И) не имеет корней; , t	2а—1	—1
при а — 1 числа —— и являются корнями уравнения (11).
Уравнение (10) из примера 6 относится к классу однородных уравнений, т. е. уравнений вида
аарп (x) + aiPn~1 (*) ? (х) +•••+«»-IP W ?д“х (*) +«п<7“ (*) =0,
где п > 1, aQ Ф 0, ап Ф 0, р (х) и q (х) —некоторые функции.
Решение такого уравнения сводится к решению совокупности, состоящей из системы
q (х)=о,
Р (х) = 0 и уравнений
Р (х) = yiq (х), Р (х) -yrf (х),	(х) = yk q(x),
где yi, уг, . у— все корни уравнения
&оУп +	*•• + ^n-i£/+^n==0-
Пример 8. Решить уравнение
(х2—х+I)4 —6х2 (х2 —х+ 1)2+5х4 = 0.	(12)
Решение. Данное уравнение является однородным урав* нением относительно двух многочленов: p (х) = х2—х+ 1 и q (х) =х. Разделив обе части уравнения на х4(х = 0 не является корнем)| йблучаем равносильное уравнение
/ т I ..	| \ 2
Положив у= (-----------\ и решив уравнение у2 — бу45=0,
найдем: yi = 5 и У2=Ь.
266	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, уравнение (12) равносильно совокупности
( х* I 2 * * — х+ 1 \2 -	( х2—х+1 \2 1
\ х	) “ '	\ 7с	) ~~ ’
Ъ совокупности
х2- х+1 = У"5х, х2—х+1=—У"5х, X2 — X~f-l=X, x2-x-f-l~—X.
Решив ее, получим корни уравнения (12): 1,
~------j причем корень х=1 является корнем
кратности два.
6. При решении алгебраических уравнений высших степеней применяется также метод замены переменных, который уже использовался при решении уравнений (10) и (11),
Пример 9. Решить уравнение (х2 —3x4-1) (ха + Зх+2) (х2—9x4-20) =^ — 30,	(13)
Решение. Поскольку
(х24-Зх4-2) (х2—9х4~20) = (х4~ 1) (х4-2) (х—-4) (х—5) = = [(х4-1) (х-4)].[(х4-2) (х—5)] = (х2—Зх-4) (х2-3х—10),
I то уравнение (13) можно переписать в виде (X2__3x+1) (Х2_3Х_4) (Х2-Зх-1О)=—30.	(14)
Для решения уравнения (14) сделаем замену переменных । 0=х2—Зх. Тогда относительно у получим уравнение
fc,4-l) 0/—4) 0,—10) = — 30.	(16)
' Непосредственной проверкой убеждаемся, что yt = 5 является кар-! нем уравнения (15). Затем находим еще два корня уравнения (1о): ! уа=44-/30, у»=4-/30.
Таким образом, уравнение (14), а значит, и уравнение (13) I равносильно совокупности трех квадратных уравнений:
ха-3х = 5, х2-Зх = 4-|-/ЗО, х2 — Зх = 4-/30.
Решив эту совокупность, находим все корни уравнения (13): / 84-/29	3—/29	34-/254-4/30	3—/254-4/36
'	2	2	2	’	2	*
34-/25 — 4 /30	3—/25 - 4 /30
2	2
Пример 10. Решить уравнение
(а — х)б4-(х— Ь)Ъ = (а— Ь)5, а £ Ь.	(16)
§ 2. ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ	267
Решение. Положим и — а—х и у — х—Ь. Тогда и и v удовлетворяют системе
( u+v = a—b,
| u^ + v^ = (a-b)^	v '
Поскольку -
u6-f-иб= (« + 0 (a4 —w3v4-«2v2—-+	=
== (и + V) ((«4 + У4) — UV (и2 — UV + V2)) — = (и + v) ((«4 + 2u2v2+1/4) — 2u2v2 — uv (и2+2uv + v2) + 4- 3«2у2) = (и + у) ((«2 + v2)2+и2^2—uv (и+у)2) =
= (и + у) (((и + v)2—2uv)2 — uv (W + V)2 + u2v2)
и u-}-v~а—Ь, то
и*+и5 = (а — b) (((a— b)2—2uv)2—uv (а — b)2+u2v2)*
Подставляя полученное выражение для «5-f-u6 во второе уравнение системы (17), имеем
[(а— 6)4 = (а— Ь)* - 4 (а~ b)2 (uv) + 4 (uv)2—(a— b)2 (uv) + (uv)2, откуда
6 (uv)2—5 (a— b)2 uv = 0.
Таким'образом, система (17) равносильна совокупности систем j u-j-v = a—b, j u-j-v = a— b, ( uv — 0;	( uv = (a—b)2.
Вторая система решений не имеет. Первая система имеет два решения: ^ = 0, vi = a— b и и%~а — Ь, у2 = 0« Следовательно, уравнение (16) имеет два корня: Xi = a, х2= b.
Пример 11. Решить уравнение
х1—2К2ха—х+2—К"2 = 0.	(18)
Решение. Положим V 2 = а и рассмотрим уравнение с параметром
х4 — 2ах2 — x-|-az — a = Q.	(19)
Решая его как квадратное уравнение относительно а, имеем а = х2 — х, a = x2--f-*+l*
Уравнение (18) равносильно совокупности двух уравнений! х2 — x — V 2 и х2-\-х+1 = У 2,
множество всех решений которых, а следовательно и исходного уравнения, состоит из чисел
1 + К1+4О 1 — К1+4/3 — 1 + У4:У~2—3 2’2’	2	'
—1 — К4 /3—3
9.	г
268	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 1
1.	Найти рациональные корни уравнения:
1)	х34-2х2 —х—2 = 0; 2) х3~6х2Н-15х—14 = 0;
3)	6х4— х3—7х34-^+1=0.
2.	Могут ли числа 1/2, 2, 3, 5 быть корнями симметрического уравнения четвертой степени?
3.	Решить уравнение:
1)	2х3+ 12ха+ 13x4- 15 = 0;
2)	х4 — 4х34-7х2— 16x4-12 = 0;
3)	2х4 — 9х34-4х24-21х—18 = 0;
4)	х4 — 4х3 — 13х24-28x4-12 = 0;
5)	6x64-i3x54-3x4-j-x3—7х2—12х—4 = 0;
6)	х4—8x4-63 = 0.
ЗАДАНИЕ 2
1.	Найти рациональные корни уравнения:
1)	х34-2х24-х4-2 = 0; 2) х44-4х3 —2х2—12х-|-9 = 0;
3)	24х54-10х4 — х3—19х2 — 5х4-6 = 0.
2.	Решить уравнение:
1)	х3—4х2 — 4х—5 = 0; 2) 2х3—Зх24-4х4~9 = 0;
3)	2х4 —Зх34-2х2—15x4-14 = 0;
4)	(х—3)44-(х—2)4 — (2х —5)4 = 0;
5)	4х« 4~ 5х5—Зх4 4-11 х3 4- 6х2 4~ 20х—32 = 0;
6)	2х44-Зх34-8х24-6х4-5 = 0.
ЗАДАНИЕ 3
1.	Решить уравнение:
1)	2х34~Зх24-Зх4“2 = 0; 2) х3 — 5х2 — 5х-|- 1 =0;
3)	х54-2х44-3х34-3х24-2х+ 1 =0;
4)	х54-3х4 — х34-2х2—24х—32 = 0;
5)	х4 —2х34-4х2—Зх4-2 = 0; 6) (х4-3)44-(х4-I)4 = 20.
2.	Уравнение
алхп4~• • • + Ло == Ь ап 0, п^4
имеет по крайней мере четыре попарно различных целых корня. Доказать, что уравнение
апхп 4- ап ~ !Хп ~14- ... 4- а0 = — 1
не имеет целых корней.
3.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение
Зх44-4х3 —6х2—12х-|-а = 0
имеет кратный корень. Найти этот корень и его кратность.
ЗАДАНИЕ 4
1.	Решить уравнение:
1)	Зх34-2х24-2х4-3 = 0;
2)	х54-2х4 — Зх3 — Зх24-2x4-1=0;
3)	4х64-5х5—Зх44-50х3—9х2-|-45х4- 108 = 0;
4)	х44-3х3 —44х24- 15x4-25 = 0;
5)	2х4 — х34-3х2—х4-1=0; 6) (х-2)44-(х-3)4= 1.
§ 2. ОТЫСКАНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ	269
2.	Доказать, что уравнение х2+рх+^ = 0 не может иметь рациональных корней, .если р и 7—целые нечетные числа,
3.	При каком соотношении между р и q уравнение
х5+рх4 + ? = 0
имеет корень кратности два?
ЗАДАНИЕ 5
1.	Решить уравнение:
1)	(х + 1) (д+2) (х+3) (х+4) = 1:
2)	х4 + х3 — 10х2 + х+1=0;
3)	15х4 — 4х3 — 6х2—4х— 1 =0;	4) х3 + 2х—
5)	х4 —22х2 —5х+2 = 0;	6) х4 — 5х2 —4х+13 = 0,
2.	Найти все значения а, при которых уравнений
х2 — х+а = 0 и х2 — лх+1=0
имеют общий корень.
3.	Решить уравнение:
1)	(а+ & + х)3—4 (а^+ 63 + х3) — 12aZ>x==0;
2)	х4 — 6ах2 + 8а]/Г ах—За2 = 0;
3)	(а —3) х4 —2 (За—4) х2 + 7а—6 = 0.
ЗАДАНИЕ 6
1.	Решить уравнение:
1) х5+1=0;	2) (х—1)х(х+2)(х+1) = 3:
3)	х4—х3—10х2 + 2х+4 = 0;
4)	(8х + 7)2 (4xJ-3) (х+1) = 9/2;
5)	х^х^у~ 2 = 0;	6) х4 —Зх2 + 6х+13 = 0,
2.	Найти все значения а, при которых уравнения
х3 + ох+1= 0 и х4 + ох2 + 1=0
имеют общий корень.
3.	Решить уравнение:
1)	х4—х2 + а = 0;
2)	(х+а) (х + 2а) (х+За) (x+4a) = Z?4;
3)	а3х4 + 6а2х2—х+9а+3 = 0, а^О,
Упражнения
1.	Найти рациональные корни уравнения:
1)	2х3 —4х2-х=15; 2) х2 (1+ х)2+х2 = 8 (1+х)2|
3)	6х4 +19х3—7х2—26х+12 = 0;
4)	х4 + 4х3 —2х2—12х+9 = 0;
5)	24хб+10х4—х3—19х2 —5х + 6 = 0,
2.	Решить уравнение:
1)	(х+1) (х+3) (х+5) (х+7)+ 15 = 05
2)	4(х+5) (х+6) (х+10) (х+12)—Зх2 = 01
3)	х3 —|-9№ + Их—21=0; 4) х4+2х3—16х2—2x+15>a*0|
5)	х4 — 2х3— Их2+12х+36 = 0;
6)	(х- 1)3+(2х+3)3 = 27х3 + 8;
7)	(6х+5)2 (Зх+ 2) (х +1) = 35;
8)	12х5+18х4—45х3—45х2+18х+12 = 0j
' 270	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9)	2х5 + 5х4+ 11х3 + 14х2 + 11x4-5 = 0;
10)	6х4+25х3+ 12х2 — 25х+6 = 0;
11)	х5—Зх4 — 2х3 — 4х2 — 24х+32~0;
12)	2 (х2+6х+1)2 + 5 (х2+6х+ 1) (х2 + 1) + 2 (х2+ I)2 = 0;
13)	х4 + х3—10х2+х+1=0;	14) (х+1)4 = 2 (1+х4);
15)	(3 — х)4+(2 —х)4 = (5 — 2х)4;	16) х4 — 2х3+х—132 = 0;
17)	х5+(6-х)5 =1056;	18) х3-3х = 27+1/27;
19)	х8+х4/2+1/16 = 2х2 (х4—1/4);
20)	х3+(1— а2) х+а = 0;	21) х3 — Зх = а3+ 1/а3;
22)	х4 + 4а3х = а4; 23) х4+х3—За2х2 — 2а2х+2а4 = 0;
24)	4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а+8 = 0, а^О.
3.	Для того чтобы уравнение ах2+&х+<?=0 имело действительные корни, достаточно выполнения неравенства с («+ /> + с) <0. Доказать.
4.	Доказать, что при p>2(pgN) уравнение х3*—рх+1 = 0 не имеет рациональных корней.
5.	Число 1 + V 2 является корнем уравнения
х5+ах3+ 6х2 + 5х+2 = 0.
Найти остальные корни, если а и Ь—рациональные числа.
6.	Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с целыми^ коэффициентами, если один из его корней равен V 2+К 3.
7.	Доказать, что при выполнении неравенств а+ b > с и | а—&| > с (а 0) уравнение а2х2+(&2 + а2 — с?) х + 62 = 0 не имеет действительных корней.
8.	Доказать, что все корни уравнения
х—а*х—b ’ х—с ‘ х— b— c-f-a являются действительными числами.
9.	Доказать, что при любых р, q и а ф 0 уравнение
1______
,	x—p'x—q а*
имеет действительные и различные корни.
10.	Найти все значения а, при которых корни уравнения ж»+х+а=0 действительные и оба больше а.
11.	Найти все значения а, при которых уравнения
2х? — (За+2)х+12 = 0 и 4х2 —(9а—2) х+36 = 0
имеют общий корень,
12.	Если р nq— нечетные числа, то уравнение х1»0+рх9+^=0 не имеет целых решений. Доказать.
13.	Для того чтобы уравнение
(1 — а2) х2 + 2ах—-1 = 0
имело корни, принадлежащие промежутку (0, 1), необходимо и достаточно, чтобы а > 2. Доказать.
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
271
(1)
(2)
§ 3. Рациональные уравнения
Рациональным называется уравнение вида
^=0> Q (*) ’
где Р (х) и Q (х) — многочлены (Q (х)^0)<
Решение уравнения (1) сводится к решению уравнения Р (х) = О и проверке того, что его корни удовлетворяют условию Q (х)	0,
т. е. уравнение (1) равносильно системе (Р(х)==0, \Q(x)&0.
Пример 1. Решить уравнение	'	• -
х+Пх—2
Решение. Имеем
1	2
-Г-Н----
х+1 1 х—2 (х—2)+ 2 (х+ !)-(*+1) (х-2) (х+1) (х—2) х2—4х—2	а аа f х2“~4х—2==0,
(х+ 1) (х—2)~	\ (х+ 1) (х—2)	0.
Корнями уравнения х2 —4х—2 — 0 являются числа 2+К 6i и 2—К 6, которые не являются корнями уравнения (х+1) (х—2)=0. Таким образом, уравнение (2) имеет два корня: Х1 = 2+У* 6 и, х2==2-К 6.
Уравнение вида
Ах । Вх ax2+&ix+c 1 ах2+62х+с	’
где АВС 0, ас 0, заменой переменной у — ах-^-с/х сводитсяя А . В „ к решению уравнения ~г—С.
Пример 2. Решить уравнение 4х , 5х _______________________	3
"хН^+З ~^х2—5х+3~“Т{
Решение. Поскольку число х = 0 не является корнем дан-{. ного уравнения, то, разделив на х числитель и знаменатель каждой^ дроби в левой части уравнения, получим уравнение, равносильное^ данному:	$	i
х+3/jcH-I + >:+3/х—5 = ~~~2‘
Положив ^ = х+3/х, получим уравнение 4_________________________
y+i ""у—5	2 ’
(3)
272	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
которое равносильно уравнению	(
//24-2у-15 (у4-1)(у~5)
Это уравнение имеет два корня: yt = ~биу2 = 3. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений Г х4-3/х = ~5, L х—[-3/х = 3.
Второе уравнение этой совокупности корней не имеет, а первое —5-I--KT3	-5-/13
уравнение имеет два корня: Xi=-------- и х2=------g-----»
которые и являются решениями исходного уравнения*
Уравнения вида ах^+Ь^х^-с ах2+&3х+с__________________ -
ах24-М+с ах2+М4-с~~ ’
а также уравнения вида ах2+М+^_ Ах А 0 ax^-+b2x+c^ax2+b3x+c1	’
где ас & 0, решаются аналогично уравнению вида (3)*
Пример 3. Решить уравнение _х2—13x4-15	х2—15х+15 __ £
х2— 14x-j-15	х2—16х+15	12 s
Решение. Поскольку х = 0 не является корнем данного уравнения, то оно равносильно уравнению х—13+15/х	х—15+15/х __	1
х—144- 15/х ~ х— 164-15/х	12 ’
Положив х4-15/х = у, получим уравнение у—13 у—15^	1
у—14 у— 16“	12’
решая которое находим yi = 20, у2= 10.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Г х+15/х = 20,
|_ х4-15/х=10,
решая которую находим х4= 10 + К§5, х2=10—)/"85, х3=54-К10, х4 = 5 —К10.
Для упрощения вычислений при решении рациональных уравнений иногда применяется метод разложения на простейшие дроби.
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ’	273
Пример 4. Решить уравнение х~]~ 1 . х—2 . х—3 .х+4 . х— 1 *х+ 2 ‘ х+3‘ х—4— Решение. Поскольку
Ж	.. 2	х—2_______
х—1	+х-Г х+2	х+2’
х—3 .	6	х+4 _. . 8
х+3~ ~~х+3’ х—4~~ ' х—4’ то данное уравнение принимает вид
_!______2___1_+_£.=0.
х—1 х+2 х+3 ' х—4
После проведения тождественных преобразований получаем уравнение 5х—8	5х+ 12
(х -1)(х -4) - (х+2) (х + 3) *
Таким образом, данное уравнение равносильно системе ( (5х—8) (х+2) (х+3) = (5х+ 12) (х— 1) (х-4), I (х—1) (х—4) (х+2) (х+3) 5* О,	U
Первое уравнение системы приводится к виду х2+х—16/5 = 0. о	1 /	1 , т/69\
Решения этого уравнения есть Xi=-^-(—1+ у -g-l и х2 = 1 (	1	1/б9\ m
— у I у -g'J- Так как эти числа удовлетворяют второму условию системы (4), то они являются и корнями исходного уравнения.
При решении рациональных уравнений иногда применяются: метод выделения полного квадрата; метод, использующий однородность уравнения относительно некоторых функций; метод сведения к решению систем уравнений, а также метод сведения к некоторым специальным уравнениям (например, квадратным, биквадратным, симметрическим, возвратным и т. п.)
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Имеем
*’+2"^т+(^т)‘-~2'ет“8«
X2
Полагая — получаем уравнение	2у = 8, корнями кото-
рого являются числа 4 и (—2).
274
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2,
5
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Г х2 -^-7 = 4, х— 1
X2
- X—1
решениями которой, а следовательно, и исходного уравнения являются
хх = 2, х2 =—14-У 3, х8 =—1 — V 3.
Пример 6. Решить уравнение
L2V + 12^-O
-1J + * X2-!	’
п	о	х2—4 х—-2х+2
Решение. Заметим, что г s== —г-г —+• s	Обозначим
х2 —1	х+1х—1
х—2	х+2
и —__. и v = —L—г, тогда данное уравнение запишется в виде
Х“т“ 1	X — 1
5u2—44v2+12wv = 0.	(5)
В левой части (5) стоит однородная функция второй степени относительно и и V.
Если v — 0, то из (5) следует и — 0.
Если и & 0, то, разделив обе части (5) на v2, имеем уравнение (относительно u/v)
5 +У4-12——44 = 0, \ V J 1 V
решением которого являются числа 2 и (—22/5).
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности п+м. х+1
1^=0.
X—1
(6)
л — * г \	_ п
х+1 \х—1)	’
x—2/x+2W_= 22
L х+1 \х—1)	5 ‘
Поскольку система (6) решений не имеет, то исходное уравнение равносильно совокупности
*—* (	\	— 2
х + 1 \Х — 1 J	’
л—2/х+2\~*^	22
- х+ 1 \х— 1)	5 ’
которая в свою очередь равносильна системе г Г (х—2) (х—1) —2 (х+1) (х+2) —О, / L 5 (х—2)(х— 1) + 22(х+1)(х + 2) = 0, I (х+2) (х—1) (х+1) 5*0,
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	, 275
Решением этой системы, а следовательно, и исходного урав-—9+><73	—9—><73,
нения являются числа ----—----- и ------------
Пример 7. Решить уравнение
г-г	5 — х	, 5 — х ~
Решение. Положим и — х ——г и v = x-\---—? . Тогда
с ,	5 —X .	. 5-—Х	,	, 1Ч 5 — X	,	-
UV = 6 И U4-V—X—гт + *Н--Г-Т=(^+1)—г—г+х —о.
1	х+1 1	1 х+1	v	1 7 х+ 1
Таким образом, и и v удовлетворяют системе уравнений uv — 6, u-\-v — 5,
откуда «1~3, ^ = 2 или m2 = 2, v2 — 3. Следовательно, уравнение (7) равносильно совокупности уравнений
5 —х	о
х—г-т = 2, х+ 1
5 —х	о
х—пт^З, х+1	*
которая равносильна системе
г Г 5х—х2 = 2х+2, < L 5х—х2==3х+3, I х+1 5* 0.
Решением этой системы, а следовательно, и исходного уравнения являются числа 2 и 1.
Пример 8. Решить уравнение
л Их—6
Решение. Данное уравнение равносильно системе
J 6хб—Их4—Их + 6 = 0, \ 6х—11 #0.
Так как первое уравнение этой системы является симметрическим уравнением пятой степени, то число х =—1 является его корнем; поэтому
6х5 — Их4— 11х+6 = (х+1) (6х4— 17х3+ 17х2— 17х+6).
Решим уравнение
бх4— 17х3+ 17х2— 17х+6 = 0.	(9)
Так как х = 0 не является корнем уравнения (9), то оно равносильно уравнению
6 (х2+1/х2) —17 (х+1/х) +17 = 0,
276
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИЛИ
6 [ (х +1 /х)2 - 2] -17 (х +1 /х) + 17 - 0.	(10)
Уравнение (10) равносильно совокупности уравнений
Г х+ 1/х= 1/3,
[ х+1/х=5/2.
Первое уравнение этой совокупности решений не имеет, а второе уравнение имеет корни 2 и 1/2.
Следовательно, решения исходного уравнения есть Xf = 2, х2 — 1/2 и х3 =—1.
Используя знаки равносильности, решение данного примера запишем в виде
__Нх—6	( 6х5 — Их4— 11x4-6 = 0,
“6х—11	| 6х— Н ^0
( (х+1) (6х4—17х3+17х2—17х+ 6),
^)бх— 11 7*0

Г X— 1,
L 6 (х24- 1/х2) —17 (Л7-Ь 1/х) +17 = 0,
6х— И 0
' х=—1, х+1/х=1/3
_ х+1/х = 5/2, 6х—11	0
" х ——1, х = 2,
_ х = 1/2, 6х— И 5^0
х=2,
х= 1/2<
х =—1,
ЗАДАНИЕ 1
Решить уравнение:
1)
3)
х24-3x4-2 п.
х24~ 4х+3	’	’
х . х+1 . х+2_ х+1’х+2‘ х
J_____2_ = 1;
х—1 х+2
Л - 4)-1+—!—
6 ’ ’ х2^(х 4-2)2
Ю;
4х2— 8x4-7"*" 4х2— 10x4-7 1;
1	1	9/2
х2—2х+2 '~х2—2х+3 х2— 2х+4’
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнение: х* 4-5x4-6	_х_ _4______
> х34-Зх24-2х“" ’ ’ х-)-3 ' х4-1	’
2х—3 , 1 6х—х2—6	2х—1 । Зх—1 х—7 f
Т=Т+1“ х-1	; 7+ТФ х+2"^Л"+'
5)	13	1	1 -	6	•
' 2х24-х—21^2x4-7	х2—9 ’
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
277
х2 4-2x4-1 , х2+2х+2 __ 7 .
> х24-2х4-2 + х24-2х-|-3	6;
4 х2—3x4-3	х2—3x4-4	х2—3x4-5 *
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнение:
I\ х2 — х _х2— х4~2_ .
' X2 —Х4-1 х2—х—2~ *
х4-4 . х—4 х+8 . х—8	8
х2-10х4-15_ 4х	25х2	__74.
} х2_6x4-15 ” х2— 12x4-15 ; )Х + (5-4-2Х)2 ~"49 5	;
J,____1 ,___1___. I = ________. 1___.__1.____1_.
7 х ' х~р2 '~х-|-5 ' х -|- 7 х-р 1 ' х-|-3~’”х4-4‘ х-|-6 ’
6) (х2 — 6х— 9)2 = х(х2 — 4х—9).
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнение:
1) 7 (х4- 1 /х) — 2 (х2 +1 /х2) 9;
/2ч	24	15	— 2-ЗЧ	I 4x2 -5-
V ’ х*+2х-8 х2 + 2х — 3	’)	+(х+2)*	’
7 х ’ x-р 1 ‘ х4~2^ х4-3 ' х4“4	’
5^ ____________________5_______=1-
7 х34-3х2—х4-5 х34-3х2 — х4-2	’
,5_133Х“78 х “ 133 —78х‘
6)
Упражнения
1. Решить уравнение: хз_|_2л.2_х_2_	г_ 32х»-1	.
1> хз+д.2_4х_4-и>	°х~ 2х* + Зх-1 '
3\ *2+1	9х-	4^ 9х2 + х + 1-7*+1 •
3)	-2х-	4)	>
- х—1 Зх _	5	х24-1 । х __	5
' ~х 2x^2“““ 2 ;	' х '1"х24-1“”Т;
{) (х+1)(х+2)^(х-1)(х-Н4)	’
ох 2х___________7х_____.
Зх2 —х4-2 Зх24-5х4-2	’
о х24-4х4-4 2x4-6_х24-х4-1 2x4-9 .
х+4	х 4~ 2 х —1	х 4" 3 ’ ’
278
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3	х+1
2*+1 х+4
________2XzJ___I__3____0.
2х—2 х2+х + 1 г 2х + 2	*
12х2 + 30х—21 __3х—7 . 6х + 5 t
16х2 —9	""^Г^~*"4х+3 ;
х + 2 х(х—4)__х—2 4(1+х)в
'х^‘2~~ х2 —4 ""х + 2	’
х + 9	х+15__ 1 .
; х*—Зх'--10 х2—25~~х + 2’
х—1 х—2 х—4 х—5
Ю)
Н)
12)
1
3	2х+2	\
2(х+1/2)	2х+1	+
1°) х + 2 х+3 х+5 х + 6 *
/ г \2	/ г \2
16) -+-Т	+( ~~) =90;
7 \х+1 J 1 \х— 1 J
25х2	81х2
'^+ж,1:	18^2+Т9+^=40;
19) 20 ('±44-6f+4+48nr~t=0;
7	\х+1 J	\Х — 1 J 1 X2— 1
/х+6\ /х + 4\2 , /х-6\ /X + 9V __9 хЧ-36 .
7 \х—6/ \х—4J ' кх + 6/ \х—9/	х2—36 *
= 0;	22) 343 (х24-3) = 26 (х+3)3;
257а-2 — 68
23)	24) *3-|-1Д3- 6(х+1/х);
25) х2/3 + 48/х2= 10 (х/3-4/х);	26) -7т 4" = 0’088:
(1 +х)
271	*2 + 5 - 1	2
1 х3—Зх— 2 х—2 (* + !)?*
2. Решить уравнение:
1) _! 1 1_—_L_I_ Д.;	2)	?+±г^
х—а 1 х—b а b	х—Ъ х—а
3)
5)
7)
8)
9)
х + а ab-\-1
а—х	ab — 1 ’
а2+ 2х__х—а ,
х—а х+а ’
2а2 + х2	2х
. (х—а)2 + х (х—а) + х2 ___ 19 4
( v_а\ 2 — v ( г — лА +2	7 *
(х—а)2 — х (х—а) + х2 /7+2
б) _±^„2а = а2+1;
7 х— 1
—_____________— j_=о*
а3 — х3	ах + а2 + х2 1 х—а ’
х—а,х+а х— 1“гх+-1 х2 + ах -| - а2 __ х2 — ах+а2
х —2а ( х + 2а х—2 ‘х + 2
6 (а— 1) .
5	;
11) (.1+х + х2)2 = ^±|(1+х2 + х«).
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	279
§ 4.	Рациональные неравенства и системы неравенств
Неравенства вида
аох +«1' > 0,	<0, я0 £ 0,	(1)
называются линейными неравенствами.
Множество решений неравенства aox-|-ai > 0 определяется знаком числа ц0:
а)	если > 0, то решениями являются все числа промежутка (—~h°°);
б)	если п0 < 0, то решениями являются все числа промежутка (—оо; —^iM)-
Аналогично для неравенства а^х-\-ах < 0 имеем:
а)	если aQ > 0, то решениями являются все числа промежутка (—«>; —«1/«о);
б)	если «о < 0, то решениями являются все числа промежутка (~^хМ; + <*)•
Пример 1. Решить неравенство — 8х-|-3 (%—2) >—х+2.
Р еше ни е. После преобразований получаем неравенство х-|-2 < О, равносильное исходному. Таким образом, решениями данного неравенства являются все числа из промежутка (— оо, —2) (рис. 4.1).
Приведенные выше свойства линейных неравенств можно сформулировать следующим образом: многочлен первой степени
-2

Рис. 4.1
aQx-\-ai при а0 > 0 принимает положительные значения для любого — аг/а0, Н-оо) и отрицательные для любого х£ £(—°о, —«iM); ПРИ ао < 0 он принимает положительные значения для любого %£(—оо, —ai/aQ) и отрицательные для любого *€( —ai/a0, + <*>).
О
Рис. 4.2
В частности, двучлен х — а положителен для всех х, нахо-/I ппнхся на числовой прямой справа от точка а, и отрицателен и 'in ш-ex х, находящихся слева от этой точки (рис. 4.2).
)го свойство двучлена х—а лежит в основе метода интер-и »и часто используется при решении неравенств.
280	ГЛ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть требуется решить неравенство (x — ai) (х—а2)...
»..(х—ап) > 0. Рассмотрим многочлен
Р(х) = (х —(х — а2)...(х—а„),
где аъ а2, ...» ап— фиксированные числа, удовлетворяющие условию at < а2 < ... < ап. На основании сделанного выше замечания заключаем, что для любого числа х0 > ап значение каж-дого сомножителя в (2) положительно; поэтому соответствующее значение Р (х0) многочлена Р (х) также положительно. Для любого числа Xi из промежутка	ап) соответствующее чис-
ловое значение последнего сомножителя отрицательно, а числовые значения всех остальных сомножителей положительны; поэтому число Р (xt) отрицательно. Аналогично для любого числа х2 из промежутка (а.,_2, ап-1) число Р (х2) положительно и т. д.
Решение неравенств Р (х) > 0 и Р (х) < 0 состоит в следующем. На числовую ось наносят числа alt а2, ап. В промежутке справа от наибольшего из них ставят знак плюс, в следующем за ним (считая справа налево) промежутке ставят знак минус, затем знак плюс, затем знак минус и т. д. Тогда множество всех решений неравенства Р (х) > 0 будет объединением всех промежутков, в которых поставлен знак плюс, а решением неравенства Р (х) < 0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус.
Пример 2. Решить неравенство
(х—2) (3 + х) (1-х) > 0.
Решение. Умножая неравенство на —1, получим равносильное ему неравенство
(х—(—3)) (х—1) (х —2) <0.	(3)
Для решения неравенства (3) применим метод интервалов. На числовую ось наносим числа —3, 1, 2. В промежутках справа налево расставим знак плюс и минус (рис. 4.3). Множество всех
О	0	0
4-	. ..Д... >.
Рис. 4.3
х из промежутков (—оо; —3) и (1; 2) есть множество всех решений неравенства (3). Поскольку неравенство (3) равносильно исходному неравенству, то множество решений исходного неравенства есть множество (—оо ; —3)J(1; 2).
Пример 3. Решить неравенство
х2 — х—6 < 0.
Решение. Поскольку квадратный трехчлен Р (х) = х2 —х—6 имеет корни хх = 3 и х2 — —2, то Р (х) = (х—3) (х—(—2)). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
(х—3)(х—(-—2)) < 0.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
281
Применяя метод интервалов к последнему неравенству (рис. 4.4), получим множество всех решений данного неравенства —интервал
Рис. 4.4
Пусть квадратный трехчлен в неравенстве ах2 -|- Ьх с > 0, а Ф 0	(4)
не имеет корней, т. е.
где D = Z?2— 4ас < 0. Тогда
а)	если а > 0, то при любом значении неизвестного х в вы-/ Ь \2 ражении (5) стоит сумма неотрицательного числа ( хД-^ ) и
/ D \ положительного числа I —1 , умноженная на положительное число а. Следовательно, неравенство (4) справедливо при любом х, а неравенство ах2Ьхс < 0 не имеет решений;
б)	если а < 0, то аналогично предыдущему получаем, что неравенство (4) не имеет решений, а неравенство ах2 Ьх с < 0 справедливо при любом значении х.
Пример 4. Решить неравенство х2+\ < Зх—х2 —3.
Решение. После преобразований получаем неравенство 2х2 — Зх -1-4 < 0, равносильное исходному. Так как дискриминант квадратного трехчлена 2х2 —Зх | 4 отрицательный и коэффициент при х2 положительный, то данное неравенство решений нс имеет.
П р и м е р 5. Найти все значения а, при которых уравнение (а — 2) х2 — 2ах + 2а — 3 = 0
имеет два различных корня.
Решение. Данное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда а 2 и дискриминант квадратного трехлена, стоящего в левой части уравнения, положителен, т. е. а # 2, и
4а2 —4 (а — 2) (2а —3) > 0.
(6)
Так как
4а2—4 (а—2) (2а-3) = —4 (а2—7а + С) =—4 (а—1) (а-6),
282	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то множество решений неравенства (6) есть объединение двух промежутков: (1; 2) и (2; 6). Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число а из множества (1; 2) (J(2; 6) (рис. 4.5).
О О
-........—
Рис. 4.5
Некоторые алгебраические неравенства степеней более высоких, чем 2, при помощи равносильных преобразований приводятся к виду
(х—at)kl (х— а2)кг.. .(х—а„-.1)кп-‘ (х—ап)ка > 0,	(7)
где kt, k2, .ti, ^ — фиксированные натуральные числа, а±, a2i... ..., ап — фиксированные действительные числа, удовлетворяющие условию at < а2 < а3 < ... < an~i < ап. '
Неравенства вида (7) решаются при помощи обобщенного метода интервалов.
Рассмотрим многочлен
Р (х) = (х— а^1 (х—а2)кг,. .(х—an_i)fen-‘ (х—ап)кп. (8)
Для любого числа х0 > ап соответствующее значение любого сомножителя в произведении (8) положительно, и поэтому значение Р (х0) многочлена Р (х) также положительно.
Для любого числа хь взятого из промежутка (ап-1, ап)> со-ответствующее значение любого сомножителя, кроме последнего сомножителя, положительно; соответствующее значение последнего сомножителя положительно, если —четное число, и отрицательно, если kn — нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен Р (х) при переходе через точку ап меняет знак, если kn — нечетное число, и не меняет знака (сохраняет знак), если ^„ — четное число.
Аналогично, если известен знак многочлена Р (х) на промежутке (а/; я/+1), то на промежутке (а/_х; а}) знак многочлена определяется по следующему правилу; многочлен Р (х) при переходе через точку а/ меняет знак, если —нечетное число, и не меняет знака, если fy— четное число.
Обобщенный метод интервалов. Пусть многочлен Р (х) задан формулой (8). На числовую ось наносятся числа аъ
..., an-i, ап. В промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от ап, ставят знак плюс. В следующем за ним промежутке (считая справо налево) ставят знак плюс, если kn— четное число, и знак минус, если ^„ — нечетное число. В следующем за ним промежутке ставят знак согласно правилу: многочлен Р (х) при переходе через точку меняет знак, если kn~i—нечетное число. Затем рассматривается следующий промежуток, и в нем ставят знак, пользуясь тем же привилом. Таким образом, рассматриваются все промежутки. Решением неравенства Р (х) > 0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс, а объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус, будет решением неравенства Р (х) < 0.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	283
Пример 6. Решить неравенство (х+3) (Зх—2)§ (7—х)3 (5х+8)2 < 0.
Решение. Умножая данное неравенство на тгг • о? о*
получим равносильное ему неравенство (х- (-3)) (х- (—8/5))2 (х-2/3)5 (х-7)3 > 0.	(9)
Для решения 'неравенства (9) применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим числа —3, —8/5, 2/3 и 7
0	о о
Рис. 4.6
(рис. 4.6). Справа от наибольшего из этих чисел (числа 7) ставим знак плюс. При переходе через точку х—7 многочлен
Р (х) — (х—(—3)) (х-(-8/5))2 (х-2/3)5 (х-7)3	от-
меняет знак, так как двучлен х—7 имеет нечетную степень; поэтому в промежутке (2/3; 7) ставим знак минус. При переходе через точку х = 2/3 многочлен Р (х) меняет знак, так как двучлен х—2/3 имеет нечетную степень; поэтому в промежутке (—8/5; 2/3) ставим знак плюс. При переходе через точку —8/5 многочлен Р (х) не меняет знака, так как двучлен х—(—8/5) имеет четную степень; поэтому в промежутке (—3; —8/5) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку —3 многочлен Р (х) меняет знак, так как двучлен х—(—3) имеет нечетную степень; поэтому в промежутке (—оо; —3) ставим знак минус. Итак, решение неравенства (9), а значит, и исходного неравенства есть объединение всех промежутков, где поставлен знак плюс, т. е. объединение множеств (—3; —8/5), (—8/5; 2/3), (7; + оо).
Обобщенный метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида
(к— at)kl (х— а^2. ..(х—an)kn
• • .(W+v+W1” > °>
где дискриминант каждого из квадратных трехчленов
(M2 + Cix+di), .... (bmx* + cmx+dm)
отрицателен. В этом случае исходное неравенство равносильно неравенству
b% (х— a.i)kl.,. (X- an)kn > 0.
Решение неравенства вида
может быть проведено по следующей схеме: сначала находят корни многочлена Р (х) == а$хп + а±хп “1	. + ап_ix+ап, рас
284	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
кладывают его на множители и затем применяют обобщенный метод интервалов.
Пример 7. Решить неравенство
х4— Юх3 4-35х2—50x4-24 > 0.
Решение. Уравнение
х4 — 1 Ох3 4- 35х2 —50x4-24 = 0
имеет корни xi=l, х2 = 2, х3 = 3, х< = 4; следовательно, исходное неравенство равносильнр неравенству
(х— 1) (х—2) (х—3) (х—4) > 0.
Решая это неравенство методом интервалов (рис. 4.7), получаем решение исходного неравенства — множество (—оо; 1)(J(2; 3)J U(4; -j—оо).
Рис. 4.7
Пример 8. Решить неравенство
Зх2 (х —4)2 < 32 —5 (х—2)2.	(10)
Решение. После преобразования получаем неравенство
Зх4 —24х34-53х2 —20х—12 < 0, -	(11)
равносильное данному. Числа 1, 3, 24-4 ^З/З и 2 — 4 |^3/3 являются корнями уравнения Зх4 —24х34-53х—20х—12 = 0; поэтому неравенство (И) равносильно неравенству
(х—1) (х—3) (х—2 —4 Уз /3) (х—2+4 Уз /3) < 0, ,
или, поскольку 2—4 УЗ /3 < 1 < 3 < 2-j-4 У3 /3, неравенству (х—2+4 УЗ /3) (х- 1) (х—3) (х-2—4 Уз /3) < 0.	(12)
Применяя метод интервалов, получаем решение неравенства (12), а значит, и неравенства (10) — множество (2 —4 j/ 3/3; 1)(J U(3; 2 + 4 УЗ/З).
Множеством решений нестрогого неравенства Р (х)	0,
где Р (x) — aQxn-]-a1xn'-'1+ ... 4-^n-i^ + ^n («о # 0), является объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства Р (х) > 0 и множества решений уравнения Р(х) = 0.
Аналогично множеством решений нестрогого неравенства Р (х)	0 является объединение двух множеств: множества реше-
ний строгого неравенства Р (х) < 0 и множества решений уравнения Р (х) — 0.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	285
Пример 9. Решить неравенство
(х2 _ Зх 2) (х3 — Зх2) (4—х2) < (L
Решение. Поскольку
х2—Зх+2 = (х—2) (х— 1), х3 —Зх2 = х2 (х—3), 4—-х2 — — (х—2) (х+2),
то данное неравенство равносильно неравенству
(х + 2) х2 (х— 1) (х—2)2 (х—3)	0.
Используя обобщенный метод интервалов (рис. 4.8), получаем решение неравенства: [—2; 1]U{2}U[3; +оо).
Рис. 4.8
Пример 10. Для всех 0 решить неравенство а8х4 + ба2х2 — х + 9а + 3 0.
Решение. При а = 0 данное неравенство принимает вид — х+3^0, откуда следует, что множество его решений есть промежуток —оо < х<:3.
Пусть а—фиксированное положительное число. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
а3х4+ба2х2—х + 9а + 3 = а (а2х4 + бах2+9) — х+3 =
= а (ах2+3)2 — х+3 — а ((ах2 + 3)2—х2) + ах2 — х + 3 —
= а (ах2+3 —х) (ах2 + 3 J-x) + ах2—х + 3 =
— (ах2 — х + 3) (а2х2 + ах+За +1).
Дискриминант квадратного трехчлена а2х2 + ах + За+1 равен — а2(12а + 3), т. е. является отрицательным числом. Следовательно, квадратный трехчлен а2х2 + ах+За + 1 положителен для любого значения х; поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
ах2 —х + 3 5*0.	(13)
Дискриминант квадратного трехчлена ах2 —х + 3 равен 1 — 12а; следовательно, при а 1/12 он не положителен. Поэтому при а^ 1/2 множество решений неравенства (13), а значит, и исходного неравенства есть вся числовая прямая. При 0 < а < 1/12 множество решений неравенства (13) состоит из двух промежут-
1 — К1-12а 1 + У 1 — 12а
КОВ — ОО < X ---л—--- и  1< X < + 00.
2а	2а	1
Итак, получаем ответ: —оо < х<3 при а —0; —оо < х«С
1 ——12а	1 + У1 —12а	..	.
<----------- и —!—------<х<+оо при 0 < а < 1/12;
286
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 11. Решить неравенство (х + 3)*+(х+5)^4,	(14)
Решение, Решим уравнение (х + 3)< + (х+5)^ = 4,
используя метод симметризации (см. § 1 гл. 4), Введем новую переменную:
уд(« + 3> + (»+5)„+4.
Тогда уравнение (15) относительно у принимает вид (у—1)4+&+1)4 = 4.
После возведения в четвертую степень одночленов получим S/4- 4/+бу2- 4^+1+И+V + бу* + 4у+1 = 4, т. е.
^ + 6у2-1=0.	(16)
Поскольку квадратное уравнение г2+6г—1=0 имеет корни У10 — 3 и — у 10—3, то уравнение (16) можно переписать в виде	* •
G2+3 - КТо) (г/г+з-ь Kio)=o.
Так как у*+3 + КТО > 0 при любом у, то неравенство G2+3 - KIW+3 + КТО) Ss 0
равносильно неравенству
г/24-3—КТОЭгО.
Переходя к переменной х, получаем неравенство
(x+4)2SsKiO—3,
равносильное неравенству (14). Решением последнего неравенства, а значит, и исходного является множество
(—со;	з]и[—4+ККТб-3 ; +оо).
Неравенства вида
где Р(х) и Q (х) — некоторые многочлены, Q(x)^0, называются рациональными неравенствами.
При решении таких неравенств пользуются следующими утверждениями:
l.^>0»PWQW>0.
2. ^2<оеРи«и<о.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
287
Ч	P(x)Q(x)>0,
3‘	QW^O.
4	₽(*)<?(*)< О,
4'ОЙ<о^Ь(^о.
Таким образом, решение рациональных неравенств сводится ' к решению неравенств, рассмотренных выше.
К простейшим рациональным неравенствам относятся дробнолинейные неравенства, т. е. неравенства вида ах+Ь 0 ах+b ах-\-Ь сх-\-а 9 cx-^-d^ 9 cx~^d Пример 12. Решить неравенство
ах-\- b cx-^d
Решение. Перенесем единицу в левую данное неравенство в виде
х
Это неравенство равносильно системе
часть и перепишем
1 х ^0.
Решением первого неравенства системы является множество (—оо; 0](J[l; +оо). С учетом условия х Ф 0 эта система, а значит, и исходное неравенство имеют решение (—-оо;	+оо)4
Пример 13. Решить неравенство х 1 х—5 > “2*
Решение. Поскольку х 1________________________ х+5
х—-5 “2 ”2(х— 5)*
то данное неравенство равносильно неравенству
Х-±|>0, х—5 которое равносильно неравенству (х+5) (х—5) > 0.
Решением этого неравенства, а следовательно, и исходного являются все числа множества (— оо; —5)(J(5; +со)«
Пример 14. Решить неравенство
Х2|-4Х 4
2х2— х— 1
Решение. Неравенство равносильно неравенству
(х2+4х—4) (2х2 —х— 1) > 0.
288 -
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Раскладывая каждый из квадратных трехчленов х24-4х— 4 и 2х2—х— 1 на множители, получаем равносильное ему неравенство
(х+2-2 К 2) (х+2+2 У"2)	(17)
Поскольку	_
—2—2 V 2 < —1/2 < —2+2 V 2 < 1,
то, используя метод интервалов, найдем решения неравенства (17), а значит, и исходного —все числа множества^— оо; —2 — 2 K"2)U U(-l/2; -2 + 2 V 2)U(1; +«).
Пример 15. Решить неравенство
1 .___1	1
х—2 ‘ х— 1	х 4
Решение. Проведя тождественные преобразования, получим. неравенство, равносильное исходному:
х (х— 1)4~х(х——2) — (х — 1) (х—2) х(х— 1) (х—2)	1
или
...^0.
х (х— 1) (х—2)
Неравенство (18) равносильно системе
( (х—2)х(х— 1)(х — К^)(х+/"2)^0.
1 х (х— 1) (х—2) Ф 0.
(18)
(19)
Используя метод интервалов, получим решение неравенства (х—2) х (х— 1) (х— fl) (х+ У"2)	0 — все числа множества
[—	О] U [1; У~2] U[2; +<ю). Из второго неравенства системы
(19) следует, что х#0, х#1,х#2; поэтому решением исходного неравенства являются все числа множества [— У~ 2; 0) (J (1; У 2] (J U (2; +оо) (рис. 4.9).
‘0	ОО ОО 0	оо
Рис. 4.9
Пример 16. Решить неравенство
1_____L_+_i_______!_____—+—__________1-+_1_>о.
х 14~х ’ 2 + х 3 + х 44-х ‘54-х 64~х”74~х
Решение. Представим левую часть исходного неравенства в виде суммы 1-го и 8-го, 2-го и 7-го, 3-го и 6-го, 4-го и 5-го членов. Получим равносильное неравенство 2x4-7	2x4-7	2x4-7	2x4-7	0
х(х4-7) (х4-1)(х4-б)±(х4-2)(х4-5) (х4-3)(х4-4) Ф»(2х+ 7) (Х2_|_7х—х2+7х + б'^ха+7х + 10’~ха + 7х+12) >
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	289
Складывая попарно дроби в скобках, получим
(3	1	\
(х2+7х) (х2+7х+6)^-(х2+7х+10) (х2+7х+ 12)) > 0°
/2x4- 71	4 (х2+7х)2+72 (х2+7х) + 360
w (	' (х2+7х) (х2Н-7х+6) (х2+7х+10) (х?+7х+12)
(20)
Поскольку неравенство
4 (х2 + 7х)2+72 (х2 + 7х)+360 > 0
справедливо при любом х, то (20) равносильно неравенству
_________________2*+7_________________.
(х2+7х) (х2+7х+6) (х2 + 7х+10) (х24-7х+ 12)
____________________2x-j-7________________ w х (х+7) (х+1) (х+6) (х+5) (х+2) (х+3) (х+4)
4» х (х+1) (х+2) (х+3) (х+у ) (х+4) (х+5) (х+6) (х+7) > 0,
Решением последнего, а следовательно, и исходного неравенства в силу равносильности проведенных преобразований является множество (—7; —6)U(—5; —4) U(—7/2; —3)U(—2; — l)U(0; + <») (рис. 4.10).
-Рис. 4.10
При решении системы неравенств с одним неизвестным обычно решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересече* ние множеств полученных решений.
Пример 17* Решить систему
( 8х—2 < х— 1,
[ 2х2—х—1<0*
Решение* Данная система равносильна системе
Г7х < 1, (х+1)(х-1)<0.
Решением первого неравенства этой системы являются все числа множества (— оо; 1/7), а второго — все числа множества [—1/2; 1]. Пересечением этих множеств (рис. 4.11) является множество [——1/2; 1/7). Следовательно, решёние исходной системы есть все числа из промежутка [—1/2; 1/7)*
10 Задачи по математике. Алгебра
290.
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 18, Решить систему
J 4х2 —4х —3«с0, \ 1/х3^ 1.
Решение. Данная система равносильна системе
(*+1/2) (х—3/2X0,
Решением первого неравенства этой системы являются все числа множества [—1/2; 3/2].
1___х2 -
Неравенство —0 равносильно неравенству
(1-х) (1+х)
X2	’
решением которого является множество [—1; 0)U(0; 11-
Таким образом:, решением исходной; системы неравенств яв-, ляется пересечение найденных множеств (рис. 4.12), т. е. множество [—1/2; 0) U (0; 1].
Рис. 4.12
Пример 19. Найти все значения а, при которых множеством всех решений системы
Z х^±_ах—2 х2—х+1 < ’ ' х2+ ах—2
, X2 — х+1
является вся числовая прямая.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
291
Решение. Данная_ система равносильна системе / х2 —(а+2)х+4 х2—х+1	’
' 4х2 + (а-3)х+1	А
X2 —Х+1
Поскольку х2—х+1 > 0 при любом х, то эта система равносильна системе
х2—(«+2)х+4 > О, 4х2 + (а—-3)х+1 > 0.
(21)
Таким образом, в задаче требуется найти все такие значения а, при которых множество всех действительных чисел является решением системы (21), а значит, и решением каждого из неравенств этой системы. Поскольку коэффициенты при старших членах в каждом из неравенств системы (35) положительны, то это возможно тогда и только тогда, когда дискриминанты соответствующих квадратных трехчленов отрицательны, т. е. когда а удовлет-
воряет системе
(а+2)2-16 < 0, (а—3)2_ 16 < 0.
(22)
Решением первого неравенства системы (22) является множество (—6; 2), а решением второго—множество (—1; 7). Таким образом, решением системы (22) является множество (—1; 2) (рис. 4.13). Итак, при любом а из интервала (—1; 2) множество всех действительных чисел является решением исходной системы.
К решению систем рациональных неравенств сводятся задачи о расположении корней уравнений.
Утверждения относительно расположения корней приведенного квадратного уравнения
1. Уравнение х2 + рх+? = 0 имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда
f р2 — 4^	0,
-I р < 0, I 7 > 0.
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы данная парабола (рис. 4.14) — график функции у = х2+рх+<? — пересекала положительную полуось ОХ в двух точках (xi, 0) и (х2, 0) (где Х£ > 0 и х2 > 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий
10*
292
гл. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(р р2 3 — 4а \
—	- } — лежит либо
в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2—4q^ 0)| 2) ось симметрии параболы—прямая х —— р/2— лежит правее оси OY (условие р < 0);
3) парабола пересекает ось OY в точке (0, q), лежащей в верхней полуплоскости (условие q > 0).
2. Уравнение х2 + рх+^ = 0 имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа с, тогда и только тогда, когда
/ р2_4^^о, ] — р/2 > с, I са+рс~Н > 0.
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы парабола (Р \ 2 п2 — 4<7 х+\	— пересекала
Рис. 4.14	Рис. 4.15
ось ОХ в точках (Xf, 0) и (х2, 0), лежащих правее точки необходимо и достаточно выполнения трех условий: 'is	-	{ — Р Р2— 4р\
1) вершина параболы—точка I	—М —либо
в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2 — 4<?;>0);
2) ось симметрии параболы—прямая х = —р/2—лежит пра-
вее прямой х — с (условие —р/2 > г); *
3) парабола пересекается с прямой х~с в точке (с, с2+рсН-0, лежащей в верхней полуплоскости (условие c^^pc^q > 0).
3. Уравнение х2+рх+^==0 имеет два корня,, каждый из которых меньше некоторого числа с, тогда и
(*, 0),
лежит
только тогда, когда
р2 —4<?^> 0, — Р/2 < с, с2 + рс+? > 0.
Геометрическая интерпретация.  Для того чтобы парабола (рис. 4.16) —график функции х+пересекала
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	293
ось ОХ в точках (хь 0) и (х2, 0), лежащих левее точки (с, 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
[ — Р р2 — 4а \
1) вершина параболы—точка I	—X - лежит либо
в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2 —4^^0); , 2) ось симметрии параболы —прямая х = — р/2 —лежит левее прямой х — с (условие —р/2 < с);
3)	парабола пересекается с прямой х = с в точке (с, c2+pc-j-q)9 : лежащей в верхней полуплоскости (условие с2-|-рс+<7 > 0).
4. Уравнение x2 + px-j-q = 0 имеет два корня, один из которых i и только тогда, когда
больше числа с, а другой меньше с, тогда c2 + pc+q < 0.
Геометрическая интерпретация. Для .,	7 р \ 2
(рис. 4.17)—график функции р—I	-----4
ось ОХ в точках (xf, 0) и (х2, 0), между которыми лежит точка (с, 0), необходимо и достаточно, чтобы парабола пересекалась с прямой х = с в точке (с, с2 + рс+</), которая лежит в нижней полуплоскости (условие c2 + pc4-</ < 0).
того чтобы парабола1 р2— 4а
—-------1 — пересекала
Пример 20. Найти все значения а, для которых уравнение х2—2 (а— 1) х+ (2а+ 1) = 0	(23)
имеет два положительных корня.
Решение. Для того чтобы оба корня Xf и х2 уравнения (23) были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 — 2 (а— 1) х+(2а+1) был неотрицательным, а произведение xi*x2 и сумма xi + x2 были положительными. Из теоремы Виета получаем, что все а, удовлетворяющие системе
' (—2 (а— I))2 — 4 (2а +1)^0, ’ 2 (а— 1) > 0,
. 2а+1 > 0,
294	ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и только они, являются решениями поставленной задачи. Эта система равносильна системе
( а (а—4)^0,
1 а— 1 > 0,	(24)
V 2а 4-1 > 0, решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа а из промежутка [4; +оо).
Система (24) может быть получена из геометрических соображений. Заметим, чтох2— 2 (а—1) х4-2а4-1 = (х—(а—I))2—а (а—4). При каждом а функции у — (х—(а— I))2 — а (а—4) на плоскости X0Y соответствует парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось OY в точке (0; 2а 4-1), имеющая ось симметрии х = а—1 и вершину в точке (а—1; —а (а—4)). Для того чтобы парабола пересекала положительную полуось ОХ в двух точках (xi; 0) и (х2; 0) или касалась ее, необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1)	вершина параболы — точка (а—Г, —а(а — 4))—либо лежит в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие а (а—4)^0);
2)	ось симметрии параболы—прямая х = а— 1 — лежит правее оси OY (условие (а— 1) > 0);
3)	парабола пересекает ось OY в точке (0; 2а-|-1), которая лежит в верхней полуплоскости (условие 2а-|-1 > 0).
Пример 21. Найти все значения а, при которых уравнение 2х2—2 (2а + 1) x-f-a (а—1) = 0
имеет корни xt и х2, удовлетворяющие условию х± < а < х2.
Решение. В задаче требуется выяснить, при каких а данное уравнение имеет два корня, а само число а лежит между этими корнями. Из утверждения 4 получаем решение этой задачи: все числа а, удовлетворяющие неравенству
2а2 — 2(2а+1)а+а(а— 1) < 0, т. е. неравенству
— а2 —За < 0.
Таким образом, искомыми значениями а являются все числа из интервалов а < — 3 и а> 0. ’
. ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенство:
1) Зх+З <5 х4-1) —2;	2) (х—8) ^2 (х 4-1/2) 4-7;
3)	— х2—6x4-7 > 0;	4) х4—2х2+3/4<0;
5} 2х2—3x4-1 > 0;	6) х4—12х24-36<0;
7)	,(2х24-11*4-6) (2х24-11x4-13) > 8;
8)	(х—2) (х—3) (х—12) > .0;
9)	(х4-14) (8-х) (54-х) > 0;
10)	(8—х) (1-Ьх)2 (10—х)3>0;
11)	(х4-3)2 (х-2) (х4-5)3 < 0;	12) х3-25x^0;
13)	(х2-16)(х2-4) > 0;	14) (27-х3)(х2-9)<0;
15)	(х2-6х + 8)(х2-4)(44-х2-4х)^0;
16)	(34-х) (х2 —х)2 (х — 2) ^>0;
17)	(х-3) (х34-3) (х2 — 6х4-9)<0;
18)	(х2-5) (10х—х2—25) (10хн-х24-25) > 0;
19)	(7-х2) (х- 1)? (х2-8х+ 16)^0.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
295
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенство:
1)	7х—1 > 16(х—1)—2;	2) (8-х)<-7(х+1/7)-2х;
3) х2-6х—7 < 0;	4) х*—4х24-3>0;
5) (х24- х—2) (х2—2х —3) < 0;	6) (х24-5х4-4) (х—3) < 0}
7) (10—х)(х24-14x4-33) < 0;	8) 64х3—x2s0;
9) (х2—10х) (х2—49) < 0;	10) (7—х) (2—х)2 (х-|-1)>0;
11)	(х—5)2 (х—8) (х—4)3 < 0;
12)	(х-Н 1/2) (х2—1/4)2 (4х24-4x4-1) < 0;
13)	(х2—9)2 (х4-1) (х2—2х—3) (х— 1) < 0;
14)	(х3—4х) (х24-2х— 8) (х24-7х4-10)<0;
15)	(Xs—27) (х3 4-1) (2x4-3—х2) 5s 0;
16)	(4х2—4x4-1) (4х4-х24-5)<0;
17)	(х2 —4х—5) (x24-l)5s0;
18)	(х2—х—2)(2х4-34-4х2)<0;
19)	(х—5) (Зх2—х4-2) (х2—25) <0.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенство:
21 *+4>.О-	31 («+3)(*-2)
2)	(х4-1)2
0-	51  (х+1)!!	-0!
°’	5) (х—3)(х—5)^ °5
а. (x-f-W-*)’ °’	(x-f-5)(x-2)2^01
1)
4)
6)
(х4-3)2 " и’ (х 4-2) (3-х).
(х4-9)	°
(х+6)3(х-4) (7-х)’
(х-Н) (х-5)3
8)
9)
Ю)
И)
13)
(х4-П)(х4-4)(3-х)(х-6)- ’
х2 (х4-2)* (х4-1)6
(х+6)(х-4)(х4-3)(2-х)- *
(х4-12) (х 4-1)4*4-4)3^ с.
(х4-3)4*4-2)2^_П(
(х—5)2	"* 1
141 (*4-8)Ч*+4) (8-Х)’
14)---(х-4)’(х W....
(х— 1)2(х— 5)®(х—З)4
(*4~4)‘>	0,	J2) '
х2(х-4)«^ ’	>
х2(х-Р*
(х4-7)«(10-х)’^,и’
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенство!
1)
4(2х+3)2
3)
.5)
7)
(-2Х.-5)2 5х2(3—х)	’
13 (5х — 4)(2х-7)’
(3x4-9)?
—14 К 5(20—5х)2
2) 7 <3-*А > 0;
12 (х—5)2
4) 3(-7-х)3(х4-5)
4 (2х—4)’
17 (10—5х)^
; (— 1—Зх)4(2х—12)2
(—8—2х)4 (Зх +2)? (2x4-3)’
.296
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
-7х2(-3-2х)3,(Х-2) (2х+14)3(— 10-|-2х)2(х—Г)6" ’ (_Х_1)2(х_1)3(2х_8)5 (_х_8) (2х-|-6)3(4—2х)2=3: ’
х2 (2x4-4) (9—Зх) _
(—5 —2х)3	’
(х-1)(Зх+24)2(4-х)< х2 (—12—х) (х—5)3 (х—6)" ’ (4 + Х)3 (х+3) (х-1)3(х-2)2
_3.(_5 —х)4 (16_4х)«
— ]/~~2 (х-|-2)4 (—3 —х)2 .л.
(14-х)3 (4— 2х) (х-3)2	’
ЗАДАНИЕ 5
1.
О
4)
6)
Решить неравенство:
х—5 х + 9
0;- 2)
1 t
х— 1 ’ 1—2х—Зх2 х Зх—х2 — 5
5х—1,5	_ о. 5х
T=4t^0; 3)зГЛ 5) ^±^<2;
о;
0;
в)
14х 9х —30 х+1 х—4 < ’
5х+4 2 + х 3 + х 1 — х
2. Решить систему неравенств:
1) ( 2х—1>3,	2) J (х2 —4х)(х—1)<0,
1 Зх — 2 >5,	( (X2_j) (3 —х).^0;
5х — 4 < 10;
3) ( , х2 + Зх+2 >’ 0,	4) ( (х2 — 4) (х2 — 2х+1)^0,
1 х	I (х—14) (7 — х2)<0.
3. Для каждого значения а решить систему неравенств
а (х—2) х—3, 8 («+1) х > 8ах+9.
ЗАДАНИЕ 6
1. Решить неравенство:
1)ir4>0; 2)?т<0;
84 *+17
3) 8х
4)
6)
х4 4-х2 4-1	'х2—5x4-7
х2 — 4х—5	' —2х24-Зх4-2
Х~х *+! г о
х + 2	х—3’	) х х—1
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
2, Решить систему неравенств:
1) 7 Зх— 2Эг5х—16,
1 Зх—7 < 18 —2х, ( х—2/3 > 11/5—2х/5;
2) ( 2 (х— 1)—3(х—4) > х+б,
{	Зх—4
( х2-|-4х+4=Э!
8) ( ^+Юх+2б 4	4х—5	’
1 (х— 2) (х2 — 6х+9) < Oj
4)
(х+1)(х-2)
х—6
(*+б)
(4-х) (х—3)
3. Для каждого значения а решить систему неравенств
{ах	х— 1	2х-|~3
а—2	3	4 ’
х(а— 10)/2-[- а > а(х-}-2)/2—5х—6,
У пражн е н ия
1. Решить неравенство:
!х2 + 3х+1) (х2+3х—3)^5j х2 —х—1)(х2-х—7) <—5; -----Z  —I—?—L. 1 < 0; (х-2) (х-3)тх-3т
20	। Ю , ,
8)
4)
5)
6)
7)
8)
(х—3) (х—4)^х—4Т	’
(х2 —2х) (2х-2)-У~2)<0;
(х?+3х) (2x4-3) —16	05
х + 6 /х—4V х—6 ?х+9\2 . п ^ + 36
х-бДх+4/	9J >	х2-36 5
х2 + 2х + 2 х2 + 8х + 20 ' х2 + 4х+6 х+1	х + 4	, >	х+2
9) #2	— < 5*
х~г (х+2)2 < °’ 4х— 17 10х— 13	8х—30 ,5*—4
х—4	2х—3 > 2х—7^ х— 1 5
1_____2	3	4
1 + 2х 2 + Зх 3+4х 5х + 4 * тЖ<Т?! 13>2*w
2. Решить систему'неравенств:
1)
Ю)
Н)
12)
15
<0.
X? —X—6^s 0, х? —4х < 0:
_1_
, 2
;В98
ГЛ. 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3)
5)
7)
9)
Ю)
1/(Зх) < 1,	4) / х/3 —4/3<4/х,
х+4/х^ (4/3) х,	-I 1/х > —1,
9х2—9x4-1 < 0;	V х2 + Зх+1>О;
Зх-1 . п 6)	/ 2—х^1
2x4-5 > °’	х+1^ ’
Зх-1	2 — х п
2x4-5 < *’	—гт <2; х +1
Зх-U <	8)	/ Зх2-7х + 8
2x4-1=^’	х2-|-1	> *’
1	п.	Зх2 —7x4-8
2х+ 1	х24-1	’
х4 — Зх3 — х2 — х—	2<0,
х4—2х34-х2 —8х—12^=0;
Xs—5х24-10х—12 < 0,
х2—4x^-3	О,
х2—6x4-8 < 0.
3. Для каждого значения а решить неравенство: ,	ох ох—(1 —а) а . „
1) ах > 1/х;	2) —?—*------4- > 0;
'	' а2 — ах—1
З)^^;	4) —--Ц>1;
7 ах— 1	а— 1	' х х— 1
5) х4-ах24-1 < 0;	6) ±д|4-х <+~ ;
7	7 а—1 1	1 — а
—ч а । I < л Оч (а— 1) х-]— л-4-1 л 7) х2+ах+1 > 0; 8)   ~—— > 0;
9) ах2— 2ах— 1 < 0.
4. Для каждого а решить систему неравенств:
1)
3)
I
х24-4х4-34-а<0, 2x4-я 4-6 > 0;
(1— д)х—а
х—2(1 — а)"" 1
2) j х2+2х + а^0, .
I х2—4х—ба^сО;
9 ( 7_('1^_30^х> 10, \ 4 J
х—8^ ах;
5) (
2x2-j-ax-l-4	.
х2-х4-1 <4'
2х2 + ах—6 х2—х +1
5. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет корни, и определить знаки этих корней:
1) х?—2(^—1)х+2а+1=0;
2)	Зах2+(4—6а) х+3 (а—1) = 0;
3)	(а—3) х2 —2 (За—-4) x+7zz—6 = 0;
4)	(а—2) х2 — 2ах + 2а-г~3 = 0.
6. Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен
(а2—1)х^+2(а-1)х+2 ’ положителен для любого х.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
299
7.	Найти все значения а, при которых корни уравнения х2— 2ах-\-а2— 1 =0
заключены между числами 2 и 4.
8.	Найти все значения а, при которых корни уравнения (1 + а) х2 — Зах + 4а = 0
больше единицы.
9.	Найти все значения а, при которых уравнение 2х2 — 2 (2а + 1) х+а (а +1) = 0
имеет два корня, причем один из них больше а, а другой меньше а* 10. Найти все значения а, при которых уравнение
(а—2)х2—2(а + 3)х + 4а + 0
имеет два корня, причем один из них больше числа 3, а другой меньше числа 2.
11.	Найти все значения а, при которых уравнение 4х2 — 2х + а = 0
имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1; 1). '
12.	Найти все значения а, при которых все решения неравенства
х2 — а (1 + а2) х+а4 < 0
являются решениями неравенства
х2_|_4х_|_.з < о.
13.	Найти все значения а, при которых все решения неравенства
ах2 —2 (а2—3)х— 12а ^s0
являются решениями неравенства
X2—49^0.
ГЛАВА 5
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные системы с двумя неизвестными
Система вида
( «1X4-^# = ^,	t
J a2x-\-b2y = c2,	. * '
где Я1 + &1 О и al+^2 ?= О, называется линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными.
Основные методы решения системы (1) — метод подстановки, метод исключения неизвестного и метод определителей.
Метод подстановки. Разберем этот метод на следующих примерах.
Пример 1. Решить систему
( (2.х-\-Зу~3, | 7x4-5# = 16.
Решение. Выразим из первого уравнения данной системы неизвестное х через #; имеем х = —3#/2-j-3/2. Подставим это выражение во второе уравнение системы. Получим равносильную систему
(	3,3
k 7+%=1б, или^
(	3,3
J
I у=—1.
Решение этой системы, а следовательно, и исходной есть пара чисел х = 3, #=—1.
Пример 2. Решить систему
( 4x4-2# —3, \ 2x4- 0 = 4.
Решение. Выражая из второго уравнения данной системы у через х, получаем # = 4 —2х. Подставляя 4 —2х вместо у в первое уравнение, имеем систему, равносильную данной:
i 4х 4- 2 (4 — 2х) = 3,
( # —4 —2х,
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 30|
ИЛИ
J 8==3>
( у^4 — 2х.
Так как 8 0 3, то последняя система, а следовательно, и исход# ная рулений не имеет.
Пример 3. Решить систему
I 2х~7у=\,	i
| 21//— 6х =—3.
Решение. Выражая х через у, из первого уравнения си* \-\-7y т-»	1 ~\~^У
стемы получаем х= —~. Подставляя —2 вместо х во второе уравнение, имеем систему, равносильную данной!
/ 2х—7у=1,
{ 21^-6
ИЛИ
J 2Х—7//==lj | —3-—3.
Эта система равносильна одному уравнению	Решением
этого уравнения, а следовательно, и исходной системы является любая пара чисел (х, у), удовлетворяющих условию x==-Li2^f yCR,
Пример 4. Для всех значений параметра а решить систему ( ах+(а—1) У3=2 1 , ( (а+1) я—(5—За)р=а.
Решение. Применяя метод подстановки для нахождения решения данной системы, надо учитывать, что каждый из коэффициентов при неизвестных может обращаться в нуль. Поэтому, если из какого-нибудь уравнения данной системы будем находить выражение одного из неизвестных (например, х) через другое, то надо отдельно рассмотреть случай обращения в нуль коэффициента при этом неизвестном.
Пусть а = 0. Тогда данная система имеет вид
J 0«х—//=1, ( х —5// = 0. решение этой системы: х — —-5, у =—\.
Пусть а 0 0; тогда из первого уравнения данной системы 1 —(я—1)//	1 —(а—1)у
имеем х —--------— . Подставляя ---*---вместо х во вто-
а	а
рое уравнение, получаем систему, равносильную данной:
f х _»-(«-Пу
а ’
302
ГЛ. 5, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ИЛИ
( х J-(«-ОУ
а ’
I (2a2-~5a-f-1) у = а2—а—L
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2а2—5а+1 5—1/'17	54-К17
равен 25 — 8= 17 > 0, то числа ---- и —------являются его
о	о
корнями.
При а = уравнению
(2)
-—второе уравнение системы (2) равносильно
2
о-у =
8
1, которое решений не имеет. Следовательно, при а — -—исход-ная система также не имеет решений.
_	5 + j/"T7	л л
При а ——-------- аналогичным образом убеждаемся, что ис-
о
ходная система не имеет решений. _
Г-,	_z. 5—/ТУ , 5+ К17	, л
При а Ф-----g---, а #= —------ и а # О имеем
о	о
__ а2 —а—1 у~ 2а2—5а+Г’
— а3 + 4а2—5а
а следовательно, х — (2а2—5а + 0’ ’ Т* е’ В ЭТ0М сл^чае Решев — а34-4а2— 5а	а2 — а^-1
ние исходной системы .есть х= (2д2_5д+1)2 . У = 2а2-5а+1‘ Итак, при zz=O решением будет х— —.5, у ——1; при а —
5_i<i7	5+К17	, л _Г5-РГ17
=----£---- и а= —-------решении нет; при а $= 0, а Ф------>
, 5+у/'17	—а3+4а2—5а	а2—а—1
§ имеем х- (2д2_5а_р1)2 . У“2а2—5а+Г Метод исключения неизвестного (метод Г aye-' с а). Пусть коэффициенты аь а2, bi, b2 системы (1)
( aix + b^y^ci,
( a2x+&2t/=c2 отличны от нуля.
Умножаем первое уравнение системы на а2, а второе—на — а$. Получаем равносильную систему
j	at а2х+a2biy — a2Ci,
4 — ata2x— aib2y = — aic2 • Заменяя второе уравнение полученной системы суммой первого и второго ее уравнений, получаем равносильную систему
J а%а2х-\-а2Ь±у==аъС1,	(3)
\ (a2&i—а^2) r/ = a2Ci—а^	(4)
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ" НЕИЗВЕСТНЫМИ ЗД}
Если a2bi—a-jfiz Ф 0, то из уравнения (4) находим
а2Сд ^1^2 .
^“«2^1 — Я1&2 ’
подставляя это значение у в уравнение (3), находим
Y^2gi — ^lg2
Если azbf — а^Ьъ — 0, a а2сх —«ад # 0, то уравнение (4), а следовательно, и система (1) не имеют решений.
Если a26i—ai&2 = 0 и a2^i — — 0, то уравнение (4) сира?. ведливо при любом значении у, следовательно, система (1) имеет бесконечное множество решений, например вида
K=Cl~nblt, y=t, где ZgR.
Пример 5. Решить систему (	2х—30 = 2,
—5х “р- 20=3.
Решение. Уравняем коэффициенты, например, при х. Для этого умножим первое уравнение данной системы на 5, а второе на 2; получим систему, равносильную данной:
(	10х—150=10,
( —10л?+ 40 = 6.
Заменив второе уравнение полученной системы суммой первого и второго ее уравнений, получим систему, равносильную исходной:
( JOx—15^=10,
\ —110=16, или
( 2х~Зу — 2, Д 110 = -16.
Решение этой системы, а следовательно, и исходной есть х =—13/11, 0=-16/11.
Пример 6. Для каждого значения а решить систему / ах + а2у=1, I х+(а— \)у = а.
Решение. Пусть а = 0. Тогда данная система имеет вид
/ О-х + О*0=1, | х—0 = 0.
Эта система решений не имеет.
Пусть а Ф 0, тогда, умножая второе уравнение данной системы на — а, имеем систему
(	ах-ра20=1,
[ — ах—а(а—1)0=—
3Q4,	ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Заменяя второе уравнение полученной системы суммой ее первого и второго уравнений, получим систему, равносильную исходной:
( ax+aai/=l,
| <5).
1__
Из второго уравнения находим у ———- и, подставляя это зна-
чение в первое уравнение системы (5), получим
1 —	__ 1 — л + а3'
“ а	~	•
Итак, при а = 0 исходная система решений не имеет; при а # б система имеет решение
1 — а + а3	1 — а2
X =------!--, у --------.
а	а
Линейная система двух уравнений с двумя неизвестными может либо иметь единственное решение, либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений. Проиллюстрируем это геометрически.
Каждому уравнению системы (1) соответствует некоторая прямая на плоскости XOY, а системе (1) на плоскости соответствует
пара прямых. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо не иметь общих точек, либо совпадать.
Пересечение прямых (рис. 6.1а)) соответствует тому, что система (1) имеет единственное решение; совпадение прямых соответствует тому, что система (1) имеет бесконечно много решений (рис. 6.16)); если прямые не имеют ни одной общей точки, то это соответствует тому, что система (1) решений,не имеет (рис. 6.1в)).
Метод определителей. По коэффициентам системы
«2-»+4у=с2,
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 305
где	а2+^15^ 0, составляем три определителя — Д,
ДХ,	1 А I
А=И1 ? =аЛ—aj>i\ I «2 ”2 I
Д^==|г1 fe1 | = С1&2 —С26<1 | С2 ^2 1	.
а I I
Ак = Ь г 1 = ^2—
I (J>C\ f/Л 1
Для того чтобы система (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы Д был отличен от нуля. В этом случае решение находится по формулам
Д х x=-f> »=т-
Эти формулы называются формулами Крамера.
Если коэффициенты аъ Ьъ а2, Ь2 отличны от нуля, то условие Д Ф 0 эквивалентно условию
<^2	&2
Для того чтобы система (1) не имела решений, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель Д равнялся нулю и хотя бы один из определителей Дх или был отличен от нуля.
Если коэффициенты аъ bt, а2, Ь2 отличны от нуля, то условие Д = 0, Дх Ф 0 (Д = 0, Д^ 0) эквивалентно условию
А—Л- , Ci а2 Ь2 с2 ’
Для того чтобы система (1) имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы Д = Дх = Д^ = 0. Если коэффициенты alf Ь^ а2, b2 отличны от нуля, то условие Д=^ДЛ? = Д^=О эквивалентно условию
_ frf ___ ci $2	^2	^2
Если на систему (1) не наложить условий # 0, «2+^2	0,
то из Д —Ax = Ay = 0 может и не следовать, что система (1) имеет бесконечно много решений. Например, для системы
( 0«x+0«z/ = 4,
( О-х-4-0*f/== 7
все три определителя равны нулю, но система решений не имеет.
Пример 7, Найти все значения параметра а, при которых система
( 3x4- 7^=20,
} 0*4-14^—15 имеет единственное решение,
306
ГЛ. & СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решение. Данная система имеет единственное решение при условии А ф 0. Так как
[q 71 ' =42-7а, а 141	’
то система имеет единственное решение при а 6.
Пример 8. Найти все значения параметра а, для которых система
{ах—8# = 12,
2х—6z/ = 15 не имеет решений.
112 __g I
15 —6 56 то Данна я система не имеет решений только в случае
д=|г 2бН-^шб=0>
т. е. при а — 8/3.
Пример 9. Найти все значения параметра а, для которых система
( 15х-]-ау = 3,
\ 5х+10^=1 имеет бесконечно 'много решений.
Решение. Поскольку 152.-]-а2^0, 5?-f~ 10?	0 и
Л -I15 3 I _ А
Д»“| 5 11-0’
то данная система имеет бесконечно много решений при "условии
Azzxl1® “1=150—5а = 0, Дх = |3 “| = 30-а=0,
I 5 10 (	[ 1 101
т. е. при а = 30.
Пример 10. Для каждого значения решить систему
( ах+ г/=а?,.
( х+а^=1.
Решение. Находим
. I л 11 а 1	* I а2 11 ч 1 * I а а21	«
А==	1 = а*—-1, Ах = .	= а3—1, Ау= . . = а—а2,
11 а |	х 11 а\	? | 1 1 |
При а =£ 1, а 7^ — 1 имеем А $£ 0, в этом случае данная система имеет единственное решение
Ах а3—1 а2 + а + 1	А« а —а2 а
а+1	’ у~~~ в?.—1 _—а+Г
При а=1 имеем Д = ДЛ = Д& = 0. В этом случае она принимает вид
( х+у=1,
I х+У=1,
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 307
и ее решения можно записать в виде x — ft у = 1 —/, где / — любое действительное число.
При а = — 1 имеем А —0,	0, и, следовательно, данная
система решений не имеет.
Итак, при всех а из множества (—оо;—1)U(—Ъ 0U(l;+°°) а2 + «+1	а
система имеет единственное решение х =----, у=------------—-- ;
a-j-1	а 4-1
при <2=1 система имеет бесконечно много решений х = /, у— 1 — /, где / — любое действительное число; при а ——1 система решений не имеет.
ЗАДАНИЕ 1
1.	Доказать, что системы
J 95#—49 = 23х,	j 14х4~9# = 9,
\ 76г/= 102—13х И \ 9х+4у=4
не являются равносильными.
2.	Решить систему J 9%-[-3#—2=0, I 10x4-6#—4=0.
3.	При всех значениях параметра а решить систему J ах+ у = а3, | х4-а#=1.
4.	Найти числа а, Ь, с, если система ( 5х-|-7#= 15, ( ах + Ьу — с решений . не имеет, а уравнение ах-\-by-с имеет решение х = 4, #= 1.
5.	Найти все значения .а, при которых решения системы f Зх—6#=1, ( 5х—а# = 2
удовлетворяют условию х < 0 и # < 0.
6.	Найти все значения а, при которых система ( 2х4-(9а2 — 2)#= 3at 1 х+у = 1 
не имеет решений*
7.	Система
{ах— by—2а—Ь, (с4-1) х4~Ф= 10 — а^ЗЬ
имеет бесконечно много решений; х— 1, #=3 — одно из них* Найти числа a, b, ct
308
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАНИЕ 2
1.	Равносильны ли системы ( 5x-|-3f/=15,	(	Зх—2# = 2,
| 10х—6# = 0 И ( —6x-|-4z/ =—4.
2.	Система
Г 5х+7у=Г5, ( ах-\-Ьу=^с
имеет единственное решение, а уравнение ах-f-by — с имеет решение х = 2, г/ = 3. Найти а, Ь, с.
3.	Найти все значения а, при которых система ( Зх-|-(а—3) у — 4, 6х (а — 1) у = а 3
имеет бесконечно много решений.
4.	Найти все значения а, при которых система ( 7х—2ау =5, ( (4 — 5а) х—4ау — 7
не имеет решений.
5.	Решить систему
( (2а-|-4) х—(5а+3) у — 2а—4, ( (« + 2)х—Зау	= а—2.
6.	Найти все значения а, при которых прямые Зх+2а#=1 и 3 (а— 1) х— ay — 1:
а)	пересекаются в одной’точке;
б)	совпадают;
в)	не имеют общих точек.
7.	Найти все а и Ь, при которых система ( ах—by — a2—b, ( Ьх—Ь2у = 2-]-4Ь
имеет бесконечно много решений.
Упражнения
1. Решить систему уравнений:
1) ( 2x+3z/==l,	3) ( х+ у = 3,
\ Зх—% —9;	( 2х + 2# = 8;
, 2) ( х+2г/ = 4,	4) ( Зх— #=1,
( у—Зх = 7;	У 12х—4у = 4.
2. Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение:
1)	Г Зх—2# = 6,	3) ( х— («+1) у = а-[-2,
( ах+ ^==—3; I ах+у —а—3\
2)	I ах+ау = а2,	4) !' 2х—3 = 0,
\ х-[-ау — 2\	ах-}-у(а— 1) = 3/2*
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 3Q9
3. Найти все значения а, при которых система имеет бесконечно много решений:
1)	J Зх-\-ау — 3,	3) f (a-f-1) х-\-8у — 4а;
( ах 4~ Зу = 3 ;	ах 4~ (а —|- 3) у = За — 1 ;
2)	J 2x4- ау — а-}-2,	4) J х-\-2ау	=1,
I (а4-1) х + 2ау — 2а 4-4;	\ (а— 1) х4-4г/ = 2а—3.
4.	Найти все значения а, при которых система не имеет решений:
1) ( —4х-\-ау=\~\-а,	3) ( х4~ ау—\,
| (6 + а) х-|-2г/ — 3-|-а;	( ах— Зш/ = 2а-|-3;
2) f а2х + (2—а) у = 4^~ а2-,	4) J 2х-\-а2у — а2 + а — 2,
( ах+(2а— 1)# = а5 — 2;	| х-\-2у^ = 2.
~~	параметра а решить систему:
6)	I 2х—ау — 5,
( Зу—8х ——15;
7)	Г х-\-ау—1,
| ах-\- у — 2а\
8)	( ах4- у=\а\, \ х + ау = а2\
9)	( | а| х^а2у = а, \ ах — а2у=а2;
10)	( (sin 2а) х+(1 + cos 2а) y~sln 2а, ( (14-cos2a)x—(sin2a)y = 0.
о. при всех значениях
1)	( ах-\- у —а, Д х-\-ау=1;'
2)	( а2х4~ У = а2,
(	х-\-ау—1;
3)	J ах 4- у —2,
( х-\-ау—1',
4)	J ах 4- у—а,
( ах~\-ау = 1;
5)	i | а| х— у=1,
| х44 я IУ ~ а\
6. Найти все значения параметра а такие, что для любого значения Ъ найдется хотя бы одно значение с, при котором система уравнений имеет хотя бы одно решение:
О
2)
7.
1)
2)
3)
4)
8.
системы
I 2х-\~Ьу — ас2-\-с,	3) J 2х-\-Ьу = с2,
| bx-]-2y — c— 1;	( Ьх-}-2у~ ас— 1;
J x-j-by==ac2 + c) 4) J &х4- у —ас2, | bx-j-2y = c— 1;	( x^-by — ас~\- 1.
При всех значениях параметров а и b решить систему: j ax-\-y--b,	5) ( ax—ay — ab,
j х—у — 2;	( 2ах— у —а;
( x—yb = a;	6) J ax — ab,
( ах-^у =1;	\ yb = b2\
( х-±-у = Ь,	7) f a2x = ab,
\ ах—у = а,	( аЬх = Ь2\
[ ах + Ьу — а,	8) J ах + ау — Ь,
| ах-]-by = b;	\ bx+by—a.
Найти все значения параметра а, для которых решения
х-\-ау = 3, ах 4- 4у = 8
удовлетворяют условию х > 1, у > 0.
310
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
9.	При всех значениях параметра а решить систему:
1)	। 2х+Зг/ = 5,^	2) / х-|-2# = 3,
< х— у = 2, "	г ах—4// =—6,
I х + 4г/ = а; V %+ у~\>
10.	При всех значениях параметров а и b решить систему:
1)	г x-j-a^=l,	2) г ах-]гЬу = а,
I 2х + 4^-2,	/ (а-2)х + у = 3,
I bx-}-4y~2; I	х-\-у — 1.
11.	Найти все значения а, при которых любая пара чисел х и у, являющаяся решением системы
(sin 2а) х+ (1 + cos 2а) # = sin 2а, (1 + cos 2а) х— (sin 2а) у~0,
является одновременно решением системы
(sin а) х-|- (cos а) у — sin а, (cos а) %+ (sin а) у = 0.
12.	Найти все значения а, при которых сумма ai-J-at, где х = ai и у ~ а2 — решение системы
J Зх— у = 2 —а,
| х -J- 2 у — a -}“ 1 ,	7
будет наименьшей.
13.	Решить систему:
1)	I |х| + 2|^| = 3, | 5г/4-7х	=2;
2)	( « + и	—2,
\ 13«—=1;
3)	1 |х—11+^=0, | 2х—у =1;
14.	При всех значениях
4)	( у+х—1=0,
•j i«/|-x-l=0;
5)	j I*+Z/I =1, I kl+|y|=l;
6)	I |x-1	2| = 1.
I y=3—|x—1|.
О I х+у =1, \ a| х| —х/= 1;
2)	J afx+yl =1, I 1*1+11/1 = 1;
3)	J а \ х\—у = а, I 1х1 + ау =1;
параметра решить систему}
4)	j ах— |x|4-t/=l, ( х+ау = 1;
5)	I a[x^-y| = a, I х+у =а;
6)	j fax—у 1=1,
I х+у = 2,
§ 2. Равносильные системы
Пусть ft (х, у, z, и, v), f2 (х, у, г, и, v), . ,, .(х7 у, z, и.......V)—функции от переменных х, у, ~z, и..v.
Если требуется найти все такие упорядоченные наборы чисел (<Хо, Уо, z0, иа, vQ), при каждом из которых выполнены равенства fi(x0, у0, г0, и0>	t>0) = 0, /2(х0> Уа> г0, иа, .... г>0) = 0,
fn(xo> У», г0, «о> •••> Ц>)=0» то говорят, что задана система
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
311
уравнений^ и пишут
' fi (х> У, z, и, ..., v) ~ О, ' f 2 (*> У> Z, U, ,,.t V) = О,
(1)
к fn (*, У> «,..., v) = О.
При этом упорядоченный набор значений переменных (х0, yQ, z0, £/0, ..., v0) называется решением системы (1).
Решить систему — значит найти все ее решения.
Система
gi (я, У> z, и, ..0 = 0,
§2 (*, У, Z, U,	0 = 0,	у)
gp(x> у, z, и,	0 = 0
равносильна (эквивалентна) системе (1), если множества всех решений системы (2) и системы (1) совпадают, т. е. системы (1) и (2) равносильны, если любое решение системы (2) является решением системы (1), а любое решение системы (1) является решением системы (2). Если системы (1) и (2) решений не имеют, то они также считаются равносильными.
-Говорят, что нужно решить совокупность систем.
( fi (<У......0	= 0, ( gi(x, у, t>)=0,
...,о)=0, ignAx>y........0=0,
ф1(х, у.....0 = 0,
.................... (3)
<pnft (X, у.V) =0,
если требуется найти всё упорядоченные наборы чисел (х0, у0,., и0), каждый из которых является решением хотя бы одной из систем совокупности (3). Каждый такой набор называется решением совокупности систем (3).
Система уравнений (I) равносильна совокупности систем (3), если любое решение системы (1) является решением совокупности (3), а любое решение совокупности (3) является решением системы уравнений (1),, или если и система (1), и совокупность (3) не имеют решений.
Утверждения о равносильности систем уравнений:
1.	Если в системе уравнений (1) переставить местами любые два уравнения, то получится система, равносильная системе (1).
2.	Если одно из уравнений системы (1) заменить на равносильное уравнение, то получится система, равносильная системе (1).
3.	Если уравнение ft (х, у? z, и, 0 = 0 равносильно уравнению х=ф(у, z, .«*, 0, то система уравнений (1) равносильна системе
f fi (<f(y> г, 0, у, г, и, 0=0,
fn (ф (У> г.....0, У> г> и, ‘>ч 0 =0,
х = ф(*Л г, .., и).
312
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
4.	Пусть ai, a2, ..., an — некоторые действительные числа и at Ф 0; тогда система (1) равносильна системе
а1/1 + ^2/2 + . » . + &nfn =
/2 = 0,
fn = 0-
В частности, системы уравнений
J /1 = 0,	(
I /2=0,	1 /2	-0,
( /1	=0,	( /1~./2 = 0,
I Л+/2=о,	(/2	=0,
f /1 = 0, j fi + f2 = 0,
I /2-/1=о,	/1-/2=0
равносильны.
5.	Если уравнение (х, у, z> и, 0 = 0 системы (1) равносильно совокупности k уравнений
Фх (х, у, z, и, ..., 0=0, ф2 (х, У у	0=0, ♦
ф*(х, у, г, и, 0 = 0,
то система (1) равносильна совокупности систем
f	ф1 (ху	у,	z,	и,	. . .,	0 = 0,
/2 (X,	у,	Z,	U,	. . .,	0=0,
t	/«(х,	у,	Z,	U,	. ..,	0 = 0,
Ф2 (х, у> %, и, ..«, 0 = 0, /2 (х, yt z, и, ..0 = 0,
fn (х, у, г, и, ..., 0 = 0,
(ф/г (х, у> z, и, г0 = 0, /2(х, у, z, и,	0 = 0,
fn (х, у, Z, иу	0=0.
В частности, если /1 = Ф1ф2 и области определения функций /, ф$ и ф2 совпадают, то система (1) равносильна совокупности двух систем:
( Ф1 = О, /2 = 0,
. /п=0,
( <Р2 = 0, /2=0,
< /п = 0.
Система (2) называется следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является и решением системы (2); в этом случае множество всех решений системы (2) может быть шире Множества всех решений системы (1). Как правило, при решении систем переход от данной системы к ее следствию происходит за счёт того, что одно из уравнений исходной системы заменяют его следствием.
Так, например, системы
J 2x + 3z/ = 3,	J (2х + Зг/)2 = 9,
\ 5х + 7#= 16	( (5х+70? = 256ч
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	313
не являются равносильными, так как при возведении уравнений в квадрат получаем уравнения, являющиеся следствиями исходных уравнений, однако системы
J |2х + 3#| = 3,	J (2х + 3#)2 = 9,
I |5х+7#|=16	\ (5% + 7#)2 = 256
являются равносильными.
Уравнение р (х, у, г, и, ..., 0 = 0 называется следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением уравнения р (х, у, г, и, ..., 0 = 0. Например, следствием системы уравнений
J х=1,
I У=1
является уравнение х — у, которое имеет бесконечно много решений, не являющихся решениями исходной системы.
6.	Если система (2) является следствием системы (1), то система (1) равносильна системе
( fi(x, у, г, и, ..., 0 = 0,
] fn (*,	2, и, ..0 = 0,
gi(x, у, г, и, ..., 0 = 0,
ч У, Z, и, • ••> 0 = 0.
При решении систем уравнений возможны два пути:
а)	совершать равносильные переходы; тогда при каждом переходе множество решений сохраняется и в конечном итоге получаются все решения исходной системы;
б)	совершать переходы к следствиям исходной системы; тогда множество решений может расшириться за счет появления посторонних решений, избавиться от которых можно путем проверки.
Пример 1. Решить систему
J «/==х4-1,
( 2х2 —ху-^-Зу2 — 7х—12#+1=0.
Решение. Данная система равносильна системе
( у=х+1,
( 2х2—X (х+ 1) + 3 (х+ I)2 —7х~ 12 (х+1)+1 =0,
из которой после преобразования второго уравнения получаем систему
f # = x+l,
( 2х2 —7х—4 = 0,
равносильную исходной.
Второе уравнение последней системы имеет корни Xf =—1/2 и х2 = 4; следовательно, исходная система имеет два решения (—1/2; 1/2), (4; 5).
314
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Пример 2. Система уравнений
(	6х2 + ^ — у2—3х—4у—15 = 0,
( — Зх2 + 4ху—^2+15х—7у—18 = 0	(4)
равносильна как системе
( 6х2 + х//—у2 — Зх — 4у— 15 = 0,
( 9ху—3у2 + 27х— 18#—51=0, так и системе
J 6х2+хг/—у2 —Зх—4//—15 = 0, \	9х2 —Зху—18х + Зг/+3 = 0.
Система (5) получена из системы (4) следующим образом: умножили второе уравнение системы (4) на число 2, а затем к полученному уравнению прибавили первое уравнение системы (4).
Система (6) получена - аналогично: умножили второе уравнение системы (4) на —1 и полученное уравнение сложили с первым уравнением системы (4).
Системы (4) — (6) по свойству 4 равносильны между собой.
Преимущество системы (5) перед системой (4) состоит в том, что второе уравнение системы (5) содержит х только в первой степени (аналогично второе уравнение системы (6) содержит у только в первой степени), что позволяет при решении систем (5) и (6) применить метод подстановки.
Из системы (6) получим равносильную ей систему, но более простую, исключив члены, содержащие ху. Для этого разделим второе уравнение системы (6) на 3 и полученное уравнение сложим с первым ее уравнением. Тогда получим равносильную систему
( Зх2—ху—6х+//+1 =0,
| 9х2—г/2—9х—Зу—14 = 0, которую можно решить, используя метод подстановки: выражая у через х из первого уравнения и подставив найденное значение во второе уравнение.
Пример 3S Система уравнений
J х2—х#+^2=19, \ х4+х2у2+^ = 931 после разложения на множители левой части второго уравнения >шеет вид
( х2—х#+#2= 19,
( (х2—ху+у2) (х2 + х^+^/2)=931.
Эта система равносильна системе
( х2—ху-\-у2— 19,
( x2+xy+y2==4Qi
Складывая и вычитая уравнения этой системы, получим систему, равносильную исходной:,
I х2+г/2=34,
( xy=15s роторая легко решается.
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	315
Пр и м е р 4. Являются ли равносильными системы уравнений ( x+y = Ot и fsin(x+#) = O, \ х2-^-у2 = b (	х2~\-у2 — Ь
при а) & = 2 и б) 6 = 5?
Решение. Ясно, что при 6 = 2 и при 6 = 5 .вторая система является следствием первой системы, так как уравнение sin (х+у) — =0 является следствием уравнения х+у=Ь.
Первая система имеет решения (1; —1), (—1; 1) в случае 6 = 2 и (У 5/2; -УГ/2), (-Уб/2; У5?2) в случае 6 = 5.
Найдем множество решений второй системы. Из ее первого уравнения имеем х+у — пп	и, следовательно, она равно-
сильна совокупности систем
J х-]-^ = лп,
} Х^у^Ь, ngZ. .
Выделяя полный квадрат во втором уравнении, имеем (х-}-у)2— — 2ху ~ Ь.
Следовательно, совокупность систем (7) равносильна совокупности систем
( х-\-у=лп, ill	(°'
I	ху=-^ л2п2—g- b,	n g Z.
Для нахождения множества решений (8) воспользуемся теоремой Виета, по которой х и у являются корнями квадратного уравнения
z2 — лпг-|-~ (л2п2 —6) = 0,	ngZ.
Это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда дискриминант D = л2п2 — 2 (п2п2 — 6)^0, т. е. когда п2^26/л2.
Отсюда следует, что совокупность систем (8) при 6 = 2 имеет решение только для п = 0, а при 6 = 5 имеет решение для n =—1, п = 0, п=1. Таким образом, при Ь~2 данные системы являются равносильными.
Сравнивая множества решений при 6 = 5, получаем, что исходные системы не являются равносильными.
Пример 5. Доказать, что системы
!^4-zx=16, zx 4- ух = 25, xy-\-zy = —38 *
и
!x2 + *Z/ + xz = 48,
^+^2+^=12,	(10)
xz-|-z/z + г2 = 84
не являются равносильными,
316
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ 'УРАВНЕНИЙ
Решение. Выясним, какие тройки чисел (х0, yQ, z0) могут быть решениями обеих систем. Предположим, что (х0, Уь, г0) —решение каждой из данных систем; тогда из второй системы, учитывая уравнения первой системы, имеем
Хо+25 = 48,
уо —39=12,	ОО
zo+16 = 84.
Отсюда получаем восемь упорядоченных троек чисел, являющихся решением системы (11):
(/23; /57; 2/77), (/23; — /57; 2 /77), (/23; /57; —2 /77),' ( — /23; /57; —2z/77),
(-/23; /57; 2/77), (/23; — /57; —2/77), (—/23; — /57; 2/77), (—/23; —/И; —2/77).
Однако легко убедиться, что никакая из этих троек не удовлетворяет уравнению yz-\-xz— 16' системы (9), так как после подстановки в него любой такой тройки не получается верного равенства (в правой части — рациональное число, а в левой — иррациональное).
Таким образом, данные системы не имеют общих решений. Значит, эти системы могут быть равносильными только тогда, когда каждая из этих систем не имеет решения.
Решим систему (10). Складывая все три уравнения 'системы, получим ее следствие—уравнение
(х + г/+г)2=144.
Следовательно, система (10) равносильна системе х(х+у+г) = 48, У(х+у+г) = \2, г (x+#+z) = 84, (x+{/+z)a=144,
которая равносильна совокупности двух систем
х (*+l/+z) = 48, У (•*+</+*) = 12, z (х4-г/ + г) = 84, х+у+г= 12,.
' х (*+</+г) = 48,
У(х+у+г) = 12,
г (х+у+?) = 84, х+у+г =—12.
Отсюда найдем два решения системы (10): (4; 1; 7) и (—4; —1; -7).
Таким образом, данные в условии задачи системы не являются экви валентными.
Замечание. Неравносильность систем (9) и (10) можно доказать и по-другому: решить одну из систем и проверить, что ее решения не являются решением другой системы,
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
317
ЗАДАНИЕ 1
1.	Какой из числовых наборов (2, 3) или (3, 2) является решением системы
( 3х+2г/=13,
| Зх—2z/ = 5?
2.	Являются ли равносильными системы
г Зх+1 2х—у 2у—х
J 3х+2г/=13,	7
( Зх—2у—-5	4х—2 4у — 5х х+у
3	2	?
3.	Доказать, что системы
J 2х+5^ = 20,	( 2x-20—5yf
\ 2х2+ 10х^+ 17t/2 = 21 и ) ^2—4 = 0
равносильны.
4’. Доказать, что система'
j х2 —-у2 — ах+ау=0,
I ху —а2
равносильна совокупности систем х—у=0,	( х+у —а,
ху — а2,	( ху — а2,
5. Если уравнения
ax2+bxy+cy2 + d — Q и х2 + #2—-1=0
равносильны, то Ь — 0 и а = с——d Ф 0. Доказать.
6. Если «1^2 — adH # 0, то система уравнений
р(х, у)=0> q(x, j/)=0 .
равносильна системе
<hp(x, y)+bi-q(x, j/) = 0, а^р{х, y)+brq(x, t/)=0.
Доказать,
ЗАДА.НИЕ 2
1.	Является ли набор (2, 1) решением системы J 14х+9у = 9, ( 9х+4у = 4?
2.	Доказать, что система уравнений
J x+y = 6t
I (х?+Л(х3+#3)==1440
318
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
равносильна совокупности систем
( x-J-y—6,	( х+г/ = 6,
( л/= 22,	| ху = 8.
3.	Являются ли равносильными системы уравнений
{х-\-у — 7ху,	( 2х—5у,
х—у = 3ху	| х-\~у=7ху?
4.	Если уравнение x2 + t/2= 1 равносильно уравнению ах2 + vxy + су2 + dx + еу -\-f = О,
то b = d=;e~0, а — с = — f ?= 0. Доказать.
5.	Являются ли равносильными система ( х4-г/ = 0, ( х2-]-у2 = а
и совокупность &+1 (k^l) систем
J	х-ру = О,	( х-\-у—3, j	x~j-y = 6f	[ x-j-y=3k,
| x2-j-y2 = a, | х2-[-у2 = а, | x2-}-y2 = a, ’*’*	x2+#2 = a
при 1) a = 2; 2) a = 5?
6.	Доказать, что уравнение
5л?+ 12#2— 19x^ = 0
является следствием системы
( х2 — ху+у2 = 21, ( у2—2ху-{-15 = 0*
ЗАДАНИЕ а
Являются ли равносильными системы:
1)	J Зх—6^=10,	J 10х = 80,
\ 5х + 6у=70	И | 12у=60;
2)	( 4x4-3#= 10,	( 4x4-3//= 10,
2х—Зу — —4 И | 6х —6;
3)	( 2у—х = 3,	( х — 2у—3,
I X2—f/4-z/2= 10 и } (2j/-3)?-jH-f/»=10;
4)	J(x+2//)2-(//—2х)2=168, I 2(х+2у)2=180, |(х+2г/)24-0/—2х)2=12	и | 2 (у—2х)2 =—156;
5)-Г х*у+у*х=20,	( (х+г/)2 = 25,
1 J-4-—==-	' to)2 =16;
1 У 4
6)	( У+У । Х~У__ Ю f х2—y2~3t
I ' x-\-y 3 ’ и ( x2-\-y2~3\
7)	I x2(x+^) = 80, J x2(x+y) = 80, ( x2(2x—3r/) = 80 и \ x=4f/;
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
819
8)	J х-|-# = 5,	( х+у=5,
| х®-|-#8=35	( 125—15х# = 35;
9)	j х—у —2, J х—// = 2, | х3—#3 = 8 и I 2 (44-Зхг/) = 8;
10)	J ху=6,	j ху=6,
\ х*+у* = 82 и	((х+{/)2_ 12)3-72 = 82.
ЗАДАНИЕ 4
Являются ли равносильными системы:
1) ( 3x4-4# —20, \ Зх—4у — 4
6х = 24, 8у= 16;
и
2) 1 5х-4-14^=19,	( — 35х—98#= —133,
) 7x4-10#= 17 “ (	35х-|-50# = 85;
3) ( Зх-\-у — 7,	J у = 7— Зх,
) х4-#4-х# = -7 и ) х4-(14-х)(7-Зх)=-7;
\ л У	\	\ * У /
5)	J х—2у = 2, j х = 24-2#, 1 х#=12	“ | #2-)-#—6 = 0;
6)	1 х2-|-#2 = 5,	f (х4-#)2 = 9,
\ ху = 2	\ ху = 2;
7)	( х+у . х—у__ 5	(	40 _ 5
•{ х—#_’”х4"У	2 ’	1 х2—У2 2 ’
х24-#2 = 20	И t х24-#2 = 20;
8)	f х4-х#-|-#=11, и ( 2(x-f-#) = 22,
I х—ху-[-у=1	| 2ху—10;
9)	J х-|-#=5, .	( х4-#=5,
\ х2-х#4-02 = 7	} 25—Зх#=7;
10)	1 х24-3х# = 54, j (х4-2#)2= 169, \ х#4-4#2=115 и \ х#4-4#2 = 115?
Упражнения
Убедиться, что верна следующая цепочка равносильных пере-
>в, а затем решить систему:
1) J х#=12,	1 х=2#4-2,
\ х-2#-2 = 0^\ у (2#4-2)= 12
J х=2#4-2, \ 2#24-2#—12 = 0
( х=2#4-2,
I
320
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

I) J х2+4у2—Зх—2 = 0,	1 2х = 5—Зу,
\ 2х4-Зг/=5	| (2х)а4-16^2—6(2х) — 8 = 0^
2х=5 — Зу,	( 25у2 — 12г/—13=0,
(5 — Зу)2+16у2—6(5 — Зу) — 8 = 0*" | 2х = 5—Зу
( Г^1’
<=> { Ь=-13/25, ( 2х=5—Зу;
ху4-х—у=3,	( х—у=3—ху,
х2у—ху2 = 2	| ху(х—у) = 2
( х—и=3—хи	( х-у=3-ху,
ф {(ху)2—3(ху)4-2 = 0& { [^=2’ \ I. —1 ’( ху=2, \ х-у=1, ( ху=1, х—у = 2 Х^+У3 ху V fc-|~#=2	х-|-у = 2
Г (х4-у)(х2—ху4-у2) _3	Л 2 ((х4-у)2—Зху) =3
{	ху	’ & 1 ху	’ 4Ф
V x4-J/ = 2	( х4~у=2
( 8-6ху„	f ху#0,	, „„_я/о
ФФ ху . -3’ Эху = 8, «U 8Д 1 х4-у=2	( х4-у = 2	I х-™~^
(х— у) (х2 4- ху 4- у2) = 26, (х+у) ((х-у) (х2+у2)-20)=0^ '( х+у=0,
, I (х—у)(— ху)=26, ( (х—у) (х2+ху+у2)=26, -I (х—у)(х2+у2) = 20
4) ( ^4-^=3 < у X
5) ( х8—у®=26, ( х4—у4 = 20 (х+у)
(х—у) ((х+у)2—ху) = 26, х+у=0, (х-у)(х2+у2)-20 = 0
х-=—у,
— 2у»=26,
(х-у) (х2+у2) = 20,
10х2+10ху+10^2 = 13х2+ 13у2
(*—у)2—(х — у)==Ъ, 2(х2+у2)^5ху
х—у=3, х—у=—2,
х=1+у> у2+у—2 = 0, х=2’4-у, у24-2у-1 = 0;
j х=—у, I у»=- 13, ( (х-у) (х2+у2) = 20, < Гх=3у, I 1.1/=Зх;
(х—у)2— (х—у)—6=0, 2((х-у)2+2ху) = 5ху'
*=34-у, у®4-3у—18=0,
х=у—2, у2-2у-=8 = 0}
х—у=3, ху=18, х—у= —2, ху = 8
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
321
8) ( я (х+1) (Зх+5у)=144,
| х2 + 4х-|-5# = 24
f (х2-}-х)2—24 (х2 + х) +144 = 0, Зх-|-5£ = 24 — (х-|-х2)
И х4+х2у2+у4 = 931,	( (•*2+/)а—(ху)2 = 931,
(	х2—х#+#2= 19	( х2—х#+#2=19
(х2+у2+ху) (х2+у2—ху) = 931,	/ х2+ху+у2 = 49,
х2—ху+у2=10	( х2—ху+у2 = 19
( х2+у2 = 34,	/ (х+?/)2 = 64.	( Гх+И = 8>
^1rU-l5	хи—15	[х+у=-8,
1x1/-15	1^-15	( ^=15;
Зх+5у=24 — (х+х2), (х2+х) (24—(х+х2))=144** j х2+х=12, Ч Зх+5у=12^
( Гх = —4, | х = 3,
\ 3x—f-5#=12j
I 21 -	12	— 5
I /х—7 /Нб' ’ 20	12	26^
/Г=7+//И~3
9)	7	4	_5
Vx^7' /^+6	3 ’
' L_ I - 1_-2 1
„ /х-7	/у+6	6
(	41	41

V
Ю)
7	3 ’
5г...
:-7^/у+6	6
I /х-7 =3, 3	1 I /у+6=6;
/у+6	£
34 х+у 15’Ф^
13
5х=34
12~15’Ф>
f	| 5(/15х)2-68 (/151)+180=0,
/15х	6	15 & 1
[х+у=12	( х+у=12	__
Г у 15х=10, ФФ 1/Т5х=18/5,
_	_ ( х+у=12;
п) £ x+#+/xj/ = 14, „ f х-}-у+Уху = 14, „
I х2 + (+4-ху = 84	( (х+у)2—ху = 84	_
1 х+у+Угху=14,	£ х+у+Уху=14,^
t (х-+-у—У'ху)(х+у+Угху) = 84	I х+у— /хг/ = 6
1 2 (х+у) = 20,	( х+у=10,	( х+у=10,
(2/х# = 8	|/xz/ = 4	£ ху = 16;
12) ( ж/х+у/7 = 341,	( (/х)’+(/у)?=_341,
I х/ у+у/ х=330 I /х/у(/ х+/ у)=330
I (/ х+/у)3-3/ х/ у(/х+/у) = 34'1
I 3/x/y(/j+/y) = 990
? (/x+/y)’=133L
I /х/у(/х+/у) = 330
= 11,
11 Задачи по математике. Алгебра
< 322
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
(64*+64/)2—8 У 2 = 12, 64*. 64/= 4 У"2
• 642*+642/= 12, f (64*)2+(64/)2=12, . 64*+/ = 4 У1	2-64*64/= 8/1
64*+64/ = К 12 + 8/1, _64*+64/ = —/12+8/ 2,^ -64*64/= 4/1
64*+64/ = 2/ 2+2, 64*64/= 4 У 2
64/= 2, 64* = 2,
_1 64/= 2/1;
14)	( 9.5*+7-2*+/ = 457, J18-5*+14-2*+/= 914, \ 6.5*— 14-2*+/ = — 890|6-5*— 14-2*+/= — 890^
J 24-5* = 24,	,	( 5*=1,	1 х=0,
6-5*—14-'2*+/=—890^\ 6— 14-2*2У=— 890^ \ 2/ = 64;
15)	( 82*+ч = 32-24/-:1,	( 2в*+3=24/+4,
| 5.5*-/=/252/+1Ф^ 1 5*-У+1=52/+1
( 6х+3 = 4</+4,	( 6х—4^=1,	( 18у—4у=1,
\ х—у+1~=2у+1^ | х = 3у ^{х = 3у;
16)	J lg2x-+lgaZ/=7,	( (lgх— lg#+2 lgxlgz/=7,
1 Igx—lgj/ = 2	\ Igx— lg{/ = 2
j 21gxlg(/=3, i 21g2y+41gy—3 = 0, lgx=2+lgi/^\ lgx = 2+lgy

r,	—2 + /10
lg^=---Y—
-2— /10
l'O=----2----
lgx=2+lgi/;
17)	| 31og3*„ 2’0^9 = 77, 1 glog, У х__21о£«У=7
glog, X _ (2,08г V) 1/2 — 77>
(31oga ж) 1/2 _ (21оЙ2 у) 1/1 — 7
у> о,
4/~ п
V У=7
х > О, у > о, х—У~у — 77, У~х-У у=1 ( х>0, У > о,
IG-T.
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	323
(1-х > О, 1-4Г>0, (1—х)(1—£<) = 6, ху = 2
' X < 1,	С X < 1,
у< ’>	У<х’
1—(х+г/)+х£/=б,	х+г/==—з,
» ху — 2	\ ху = 2<
Г ( {/H-lSsO, I X — у—1 = 1,
19) J X—1^4-11=«1, _ V х2—z/=10,
\ х2-^=10	г»+1<о,
I x + f/+l=l, _ \ х2—у= 10
r/Ss— 1» у=х—2, х2—х—8 = 0, {/<—1, У = — х, х2*|“	10 = О
( COS COS-g- 2
( x-j-^ = n/3
у=х—2, x^s 1, X==(l + V 33)^2, х=(1-КЗЗ)/2,
У~ —-X, х^ 1, х = (— l-/4l)/2, х=(- 1 + /4Т)/2
ГУ х=(1 + )<33)/2, „ I г/=х—2,
У х=(/4Т-1)/3, Ll У=—Х\
{п х+у х—у	3
COS 2 COS 2
2 "6
Х — У П 1 п -У=-б+2л«,
X—У —л , о _^=_^-+2ЯЯ, х у 5= л/3
т Z,
J х*—г/ = л/3+4л/п# /ngZf [х+^ет^А
J	.Л/34-4лпг ngZj
\ Х-|“^яа= Л/3)
11*
< 924 ,
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
cos (х—у) = 1/2. sin (х-|-г/) = 1/2
sin 2х + sin 2у = 1 /2>^ J 2 sin (х у) cos (х—у) = 1 /2, sin(x + #) = l/2	\ sin (х+р)= 1/2
(	—г/ = л/3 + 2л/, ZgZ,
[ х—у — — л/3 + 2лт, m^Z, х+^=л/6 + 2лр, p^Z, х+^ = 5л/6 + 2лп, ngZ,J
х—p = л/3-|-2лZ, | х-\-у — л/6 + 2лр, *•	( х—^ = л/3 + 2л/,
I х+# = 5л/6-[-2лп, j х—у — — л/3 + 2л/п, I х+р = л/6 + 2лр, {х—y=z — n!3r\-2nmf х+Р — 5л/64-2ли 22) 7 x-\-2y-{-3z~ —!
j х—р + 3г = 2, к х24-р2 + ^2= 14 / Зх = Ф^ 1 Зр = t (Зх)2 + (3#)2+9г2=14.9 / Зх = —11г —5, .
ФН Зр = —2г—11,	Ф^
( (— Пг—5)2+(— 2г— 11)24-9г2=126
/ Зх = -з^=-Гг —
v I г —
Г 2х = — л/3 + 2л ч ( 2у = л/2-}-2л (р
"Ч 2х = 2л (Z-(-p),
( 2у = — л/6-{-2л(р— Z),
/ 2х — 7л/6+2л (I+n)i ( 2р==л/2 + 2л(п— Z), л/6 + 2л (/п+р)?-
. -
( 2х — л/24-2л (m + n), 1_д 2у — 7л/6 + 2л (и—т)\
9,	Г3х+11г = —5,
Зр+2г = — 11, Ф> к x2+p2+z2=14 112-5,-
2г-11,
11^—5, 22-11, -1,  10/67)
( Зх = —11г-5, 3$/=—2г—11,	Ф><
к 6722+772+10 = 0
23)	( х+р —5г,	( х+у = 5г
4 х2+у2==13г,	25г2—2хр= 13г,
к х3+у* = 35г к 5г (252?—Зху) = 352 (х+р = 32,	( x+y — 5z,
Зху = 75г2—392, j 2ху = 25г2 — 13г, Ф£
z (50г2—Зху) = 14г	( г (— 25г2 + 39г—14) — 0
х+р = 5г,
2хр = 25г?—13г,
ФН ‘2 = 0, z == 1, ч 1г= 14/25}
24)	f х^+рг+гх== 11,	/ хр+хг + ^г== 11,
J +	(х+{/ + 2)2=::14 + 2.11,ф^
( х^г.= 6	( xyz = 3
f хр+хг+рг=11, Гх+р+г = 6,
I 1^+р+г--6, хуг = 6
х-Н+? = 6^ хуxzyz — 11, хуг = 6;
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3£5 ’
25)	( 2(х+у) + ху, - f 2(х+у) = ху, j xy+yz+xz=108, -I 2 ху + 2 (х-}-у) z = 216,	-
( xyz= 180	V xyz—180
( 2(х+у} = ху, ( 2(х+у)=ху,	( х+у = 9,
1 2 xy+xyz = 216,	4 2ху = 36,	ху=18,
V xyz—180	V xyz=180	z=10;
26)	[ (х+у) (х+у+г) =72,	( (х+у) (х+у+г) =72,
{ (х+г) (х+у+г) =96,	(х+г) (х+у+г) =96,
I (у+г) (х+у+г) = 120	(2 (х+у+?)?=72+96+120
(х+у) (х+у+г)=72,
„ । (х+г) (х+у+г) =96,
Гх+у+г=12,
к 1х+у+г =—12;
27)	( x+y+z= 13,	( x+z — 13—у,
4 x^+y? + z? = 91,	1 (x+z)?—2xz+y? = 91, фф-
y^ — xz	V 2y* = 2xz
( x+z—13 —y,	( x-|-z=10,
(13—y)?—2y?+y? = 91,	y = 3,
\ y* = xz	V xz = 9*
§ 3. Системы алгебраических уравнений
В этом параграфе рассматриваются системы уравнений вида
( Pi (^Ь х2, 4i., xn) = 0, < .................... (1)
I Pn(xi, x2t iiO xn)=0,
где ptf p2t .!S, рт — многочлены относительно переменных xf, Хг, ...» xn.
Одним из основных методов решения алгебраических систем является метод подстановки.
Пример 1. Решить систему
( 2x^ — xt/+3^-— 7х—12^4-1=0*
I х—у	1.
Решение. Из второго уравнения, выразив х через у, получим х=у—1; подставим это значение в первое уравнение, Тогда данная система равносильна системе
J х=у—1,
т. е,
I х=у—1?
( 2у^—11у+5=0<
Решая второе уравнение этой системы, найдем ух = 5, у2 == 1/2^ Подставляя найденные значения у в первое уравнение^ найдем
326	ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
V
Xi — 4, х2 =—1/2. Следовательно, решения данной системы есть (4; 5); (—1/2; 1/2).
Пример 2. Решить систему f ху—х+у=7, \ ху+х—г/=13.
Решение. Вычитая из второго уравнения первое, получаем систему, равносильную данной:
( ху—х+у = 7, "	( х—у = 3.
Решая эту систему методом подстановки, получаем ответ: (5; 2); (—2; —5).
Система уравнений вида
J ^ix24-^ixy+ciy2-|-^i^4~^iy4“fi ==9, I Я2Х2&2^# 4~ ^2*/2 ~Ь ^2-^ 4“ ^2# 4“ ^2 =0
называется алгебраической системой уравнений второго порядка от двух переменных.
Метод решения таких систем состоит в замене данной системы системой, ей равносильной, в одно из уравнений которой переменные х или у входят в первой степени, и применении метода подстановки для решения полученной системы. Если а^ Ф 0, то такое уравнение можно4 получить, умножив первое уравнение на а2> второе на и вычитая из одного полученного уравнения другое.
Пример 3. Решить систему
Г х2—4#2—ху4-%== 1, ( х24-3у2 — ху——h
Решений Умножим первое уравнение системы на —1 и сложим со вторым уравнением. Тогда получим систему
( х2—4у2 — x^4-5t/=l, j 7г/2-9г/ = —2,
равносильную исходной. -
Из второго уравнения этой системы находим yi = 2/7 и у2 = 1. Подставляя эти значения вместо неизвестной у в первое уравнение, получим уравнение 49х2— 14x4-5 = 0, которое не имеет решений, и уравнение х2—х = 0, имеющее корни х=0 и х=1.
Таким образом, данная система имеет два решения (0, 1); (1, О-
Пример 4. Решить систему
J х2+2х£/-8(/2-6х+18^-7 = 0,
I 2х2—5х#—10#2—Зх4-9г/4“7 = 04	w
Решение. Умножив первое уравнение данной системы на 2 и вычтя из полученного' результата второе уравнение, получим
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 327
равносильную систему
J	Зху—2у2—Зх+9г/—7=0,
| х2 + 2х#—-8z/2 —6х+18^—»7=0,
Первое уравнение полученной системы содержит х только в первой степени; из него находим, что при у 1
2^9у+7
3(у-1) ‘
Подставляя найденное значение х во второе уравнение системы (3), получим уравнение
^~-Зу3 + ^ + Зу~2^0
У—1	' 9
решениями которого являются числа r/f = —I, у2 = 2.
При г/1=~Ги у2 = 2 находим соответствующие решения системы (—3; — 1), (—1; 2).
При г/=1 оба уравнения системы (2) имеют вид х2—4x-J-3—0 и, следовательно, имеется еще два решения системы (3; 1), (1; 1)»
Пример 5. Решить систему х3 + 4«/ = ^+16а>, 1+у8 = 5(14-х*)<	W
Решение. Перепишем данную систему в виде х3— 16я = у3— 4у, 5х2 — у2 — 4,
Если х =£ 0, то, поделив первое уравнение системы на второе, х3—16х у3— 4у получим уравнение —> являющееся следствием V	х2—16
(при х & 0) сйстемы (4), Из этого уравнения находим г/=—,
Подставляя значение у во второе уравнение системы (4), получим
25№>
т. е. 124х4 +132х2 — 256 = 0; отсюда х2 = 1, и, следовательно, xt = 1, х2 =—1. 'Находя соответствующие им значения у, получим, два числовых набора: (1; —3), (—1; 3),
Если х = 0, то из второго уравнения системы получим у2- — 4, откуда у1 =2 и #2 =—2. Поскольку в процессе решения от системы переходим к следствию, то необходимо сделать проверку,
Проверкой убеждаемся, что все найденные пары (1; — 3), (— 1; 3), (0; 2), (0; —2) являются решениями системы (4),
Пример 6. Решить систему
y^J^z3= 7х39
y~-z — 3x, %—х=ьу^2>
328	гл. Б. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решение. Сложив второе и третье уравнения системы, найдем —4х ——2,-откуда х=1/2. Подставляя х — 1/2 в первое и второе уравнения системы, получим систему, равносильную данной:
( y^zs = 7/8t
! z = 3/2,
V х = 1/2.
Из второго уравнения этой системы находим ? = #-—3/2. Подставляя найденное значение для г в первое уравнение системы, получим уравнение (д—1) (8у2—10#+ 17) = 0, имеющее единственное решение #=1. -Подставляя х — 1/2 и #=1 в любое из уравнений системы, находим г =—1/2.
Итак, решением данной системы является набор (1/2; 1; —1/2).
При решении систем с двумя неизвестными иногда применяется замена переменных
x=rcoscp, #=rsinq), где 0 г < + со и 0 ср < 2л.
Отметим, что данная замена переменных имеет следующий геометрический смысл: если х и у являются декартовыми координатами некоторой точки на плоскости, то числа г и ф — ее полярные координаты.
Пример 7. Решить систему
J xa + xy2 = 40t/, | #3 + %2#=10x.
Решение. Пара (0; 0) является решением данной системы, а пары (0; у) и (х; 0) не являются ее решениями при х Ф 0, У / 0.
Пусть х^0 и у Ф 0. Тогда данная система равносильна системе
( х3/УЧ~ху — 40, \//х+ху=10.	(6)
Положив х~ г cos ф, у — г Sin ф, перепишем систему (6) в виде
Г Г* COS? Ф . о	.
----:-— + Г* COS ф sin ф = 40, г sin ф 1	т
1 ~ г8 sin8 ф . 2	- in
------— + г2 cos ф sin ф = 10* г cos ф ’ т т
После преобразований получаем систему
( г* ctg ф = 40,
| rMg<p=10.
Поскольку г 0, ф Ф 0 и ф Ф л, то, разделив первое уравнение на второе, получим с!§2ф = 4. Отсюда с!§ф = 2 или ctg(p = —2. Второе значение котангенса отбрасываем^ так как из
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ $2$
2 видно, что ctg ф и г2 имеют одинаковые знаки, а г2 не может ть отрицательным. Для нахождения х и у по известному ctg ф нужно найти sin ф и cos ф. Для этого используем формулу
'	1/sin2 ф= 14~ctg2 ф.
Поскольку ^ф = 2, то
Г Sin ф—1/1^5, 4	[ 8Шф = —1
| cos ф = 2/у 5, j совф — —2/]Л>.
Далее из первого уравнения (7) находим г2 = 20, т. е. г = 2 у 5, Тогда для х и у получим Х£ = 4, yi = 2, х2 =—4, у2 =—2. Пары (0; 0), (4; 2), (—4; —2) являются решением исходной системы уравнений.
Пример 8. Решить систему / х2 = (у—г)2 + а, J y2 = (z—х)^+&,	л
V г2= (х—y)2+e, abc 0.
Решение. Применяя формулы сокращенного умножения, перепишем систему в виде
((х—у+г) (х+у*-е) =а, (у—г+х) (у+г—х) (г—х+у) (z+x—y)
Полагая
х+у—г=«, х—y + z = t>, —-x+y+z=^,-получим для щ vt w систему уравнений
«I =
V UW"Cj
откуда находим (abc 0 =ф uvw Ф 0)
	г (иш))2=аЬо^	
	UVW ut=z	t VW	
-	!|8 !|8 ! i	(8)
Таким образом, если abc > 0, то Uj~ abc/с,	—У”аЬс1сг
Vi = j/” abc/ b, t/g;=—Y abc/b, wt «= abc/a, »—]/" аЬс/а^ а если abc < 0, то система (8) решений не имеет.
Возвращаясь к старым переменным, находим, что при любых а, 6, с (abc > 0) решениями исходной системы являются тройки чисел
330
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В .
\ 2bc	2ас	2ab J
Система уравнений (1) называется симметрической системой уравнений, если все многочлены pi (xj, х2, ..., х„), i8i, рт (xj, х2, ..., хп) являются симметрическими многочленами, т. е. если их значения не изменяются при любой перестановке их аргументов. Например, многочлены
' (jf ==^i + Ar2+x3+»»।+ xrt,
(У2 = XiX2 + XiXg 4“ s j s +xrt»iXrtj
•	•	.	. JO .	.	>	4	4*	.	.	»	»	«	» S 3	4	1 D » 1S »
O£ = XiX2 s », Xfc4~x2Xs s i . x&+i+ » j • + #«-£+! i»• Xn-ixn*
= XjX2 • i » Xn
' являются симметрическими многочленами от п переменных и называются основными симметрическими многочленами (о^—сумма всевозможных произведений аргументов, взятых по.& (1<:&^п)).
Основными симметрическими многочленами двух переменных х и у являются многочлены Oj[ = x+y и о2 = ху, а трех переменных х, у и г—многочлены а$ = х-|-у4-г, a2=x#+#z-|-zx и G3 = xz/z.
В основе метода решения симметрических систем лежит следующая теорема:
любой симметрический многочлен от переменных хь х2, . . .. хп может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов oj, о2, SiS,
Например,
х2 + у2 == +у)2 — 2ху, х3+у3 = (x-i-y)s—Зху (х+у), 'fc2+ye+z2=(x+y+2)2—2(xy+yz+gx)t
Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных симметрических многочленов.
П р и м е р 9в Решить систему
( х3+3ху+у^= 61,	'
\ ху =12,	№
Решение. Многочлены х2+3х#+у2 и ху являются симметрическими от двух переменных х и у. Представим их через многочлены и~х+У и v — xy:.
x2 + 3xy+y2=(x+y)2+xy=u^ + vt xy = Vi
Тогда для переменных и и v получим систему
( W2 + v=61, \у=12,
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 33J
которая равносильна системе
( и2 = 49,
[ v =12, имеющей решения: «1 = 7, vi — 12 и м2=—7, о2=12* Таким образом, исходная система (9) равносильна совокупности двух систем:
( х+у = 7,	/ х+у=—7,
| ху —12,	( xz/=12.
Решая каждую из этих систем, например, методом подстановку получим решения исходной системы: (4; 3), (3; 4), (—4; —3)*
Пример 10. Решить систему
Г х3 + / = 6,
1 хуЛ	(“»)
Решение. Возведя второе уравнение в куб, получим систему
( x3 + i/3 = 6,
1	х3^ = 8,
равносильную исходной системе. Отсюда получаем ( х3 = 2,	( х3 = 4,
\ #8 = 4 или —2.
Следовательно, числовые пары (f/2 ; 1^4) и 4} jZs) являются решениями системы (10).
Пример 11. Решить систему
Г ^- + x3y3 + y3=17t
I х-^-ху+у—0.
Решение. Система (11) является симметрической* Сделаем замену переменных
и—х+у, v—xy.
Тогда (x+l/)3 = w?; отсюда
х3+^ = (х+^—Зху (х+#) = м3—-Змо*
Следовательно, для нахождения мио получаем систему ( м3—Змо+о3 = '17г \ м+о=0,
(11)
решая которую находим
^=/17/3, ^=-/17/3, и2=-/17/5, иа=/Ж
Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем:
J *+у=КЖ J х+^=-/Ж, ху = -У 17/3, \	ху=У17]3.
332	ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Вторая система этой совокупности решений не имеет. Решением первой из этих систем, а значит, и исходной системы являются пары
(Кб! + V12 Кб!+51	,	V51 — К12	КбТ+51	\ ,
\	6	’	' ' 6	]’
( /5Т—J/" 12 KI5 + 51	,	Кб!+И 12	КбТ + 51	\
\ 6	’	6	/'
Иногда система не является симметрической, однако в результате соответствующей замены переменных получается симметрическая система, например система
( х3—у3 — 7/8,
I х—у — 3/2, является симметрической относительно переменных х и —у, но не является симметрической относительно переменных х ну.
Пример 12. Решить систему
/ л^ + ^ + г3 —а3,
•I х2 + у2, + г2 = а2,	(12)
\	*+$/ + г = а.
Решение. Данная система является симметрической системой относительно трех переменных: х, у и г.
Сделаем замену переменных:
U — x + y + z, V = хуyzZXt W = XyZi
Поскольку
(х+у+г)2—(х2+tp 4- Z2) = 2 (ху+уг+гх),
(х+У+г)3 — (х3+у* + г3) = 3 (х+у+г) (ху+хг+у г) — бхуг, то для нахождения и, v и w получаем систему уравнений
( и = а,
I и2—2у = а2,	(13)
у u3—3uv-{-6w — а\
Из первых двух уравнений этой системы находим и~а, у —0,и тогда из третьего ее уравнения находим w=0.
Таким образом, система (13) равносильна системе
( и —а, j у = 0, ш = 0.
Переходя к переменным х, у и z, находим решения исходной системы: (0;. 0; а); (0; а; 0); (а; 0, 0).
Пример 13. Решить систему
(x# + #z=18,
xz + zy — 20,	(14)
yx+xz — 3.
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 333
Решен ие. Сложив все три уравнения системы (14), получим уравнение
xy-^-xz4ryz^23i
которое является следствием данной системы. Система (14) равносильна системе
х#4-хг+#г = 23, ^ + (/z== 18, xz + zy = 20, yx-\-xz = 8.
(15)
Вычитая в системе (15) из первого уравнения последовательно второе, третье и четвертое уравнения, получим следствия системы (15):	ху»=3, f/z=15. Следовательно, система (15) равно-
сильна системе
ху = 3,
xz — 5,
£/£= 15, xy+yz=18, xz+z^^=20, yx + xz — 3,
(16)
(17)
где три последних уравнения являются следствиями системы / ху = 3, J xz = 5, 1^=15,
. Таким образом, исходная система равносильна системе (16), Перемножив уравнения системы (16), заменим ее равносильной системой
' (xyz)* = 225f ху = 3} xz = 5, ч yz=15.
Подставляя ху*»3 в первое уравнение этой системы, получим уравнение г8 «о 25, ^которое является следствием системы (17); аналогично, подставляя яг==5 иу?==15в первое уравнение, получим систему х2=1,
Z/2-9, z2 = 25, xz = 5, ху = 3, t/z=15,
равносильную исходной. Поскольку х, у, Z; удовлетворяющие этой системе, имеют одинаковые знаки, то ее решением, а значив и решениями исходной системы являются тройки чисел (1; 3; 5) и (—1; —3; —5),
334	ГЛ- 5- СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Многочлен р (х, у, ;i-., v) степени п от переменных х, у, т iiS, v называется однородным, если для любого числового набора переменных (х, у, v) и при любом фиксированном Х#0 имеет место тождество
р (Хх, Ку, Xv) = X«p(x, у, iiit
В этом случае уравнение р (х, у, »•», v)==0 называется однородным уравнением степени п.
Так, например, многочлены
апхп + an^ixn-'ly+an^xn-9ip+,, :~\-а1хуп-г-\-айуп (ап 5*0), ух* + Зх^у2+5хр3 + бу*,
2у2—ху—х2, х*—уг,
*3 + У3 + Z3 — Зху 2
являются однородными многочленами соответственно п, 4, 2, 2, 3 степеней.
Система алгебраических уравнений от двух переменных х и у вида
f Pi (х, y)^qt (х, у),
I Рз(х, y) = q2(x, у)
называется однородной, если ' многочлены pt, р2, Уъ Qi являются однородными, степень многочлена pt равна степени многочлена р2, а степень многочлена q± равна степени многочлена q2.
Отметим, что степени многочленов pi и qt однородной системы могут быть различными^
Если в левой части одного из уравнений системы от двух переменных хну стоит однородный многочлен, а в правой части стоит нуль, то такая система может быть решена при помощи замены х—ty или y — tx.
Пример 14. Решить систему f х2—2ху—3^=0,	,
( х2«-ху-—2х—3у==б<
Решение. Первое уравнение данной системы является \ однородным уравнением степени 2. Если у^Ъ, то и х = 0, однако х=0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы.
Пусть у & 0. Тогда, разделив первое уравнение на у и полагая t — xjy, получим уравнение ^*-2/*-3 = 0, [которое имеет два корня: tt =хЗ, /2 =—1. Следовательно, система (18) равносильна совокупности двух систем»
Г х = — у>	J х^Зу,
( х2-*-ху~2х*-Зу = 6, I х2~~х#—2х—3у = 6, решая которые методом подстановки, получаем решения исходной системы:( *-2j 2); (3/2) —3/2); (6j 2)) (—3/2; —1/2)*
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 835
Пример 15. Решить систему
I ^-^+^.= 21,
I ^-2^4-16 = 0.	1 ’
Решение. Перепишем данную систему в виде
( ^-ад+^ = 21,
1 ^-2^=-15.	(20)
В системе (20) левая часть каждого из уравнений является однородными многочленами второй степени, а правые части*—однородными многочленами нулевой степени; поэтому система (20) является однородной.	'
Умножив первое уравнение системы (20) на 5, а второе на 7 и сложив полученные уравнения, получим уравнение 5х24~12у2— —19ху==0.
Система
f 5x*4-12^-19xy-0f
1 z/2—2xr/ = —15	'
равносильна системе (19).
Положив в первом уравнении системы (21) y=tx, получим 5х24-12/2х2—19/х2 = 0, т. е.
х2(5-19/4-12/2) = 0. .
Поскольку х / 0 (в противном случае и // = 0, а набор (0, 0) не является решением системы (19)), то t должно удовлетворять у р авнению 12/2 —19/4-5 = 0, откуда Zf = 5 /4, = 1 /3. Тогда у X» (5/4) х или у = (1 /3) х.
Следовательно, система (19) равносильна совокупности систем
(	5	fl
j ^-4^	J
(	-2xy=—15,	V 0**-2хр=-*15|
Решая каждую из этих систем методом подстановки, 'получим следующие решения системы (19)» (4; 5); (—4; —-5); (Зр^З"; г 5")}
Пример 16. Решить систему
I tf-ax+by,
1 у^Ьх+ау	’ }
при 2Ь > а > 0. .
Решение. Система (22) является однородной, так как в обеих частях этих уравнений стоят однородные многочлены.
Если у = 0, то из второго уравнения системы видно, что числовой набор (0; 0) является решением системы (22). Пусть у 0. Тогда из системы имеем
/ х_у ах4~^У \у ) ^Ьх+ау*
336
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
т» е«
Положим x~ty\ тогда из (23) для t получаем уравнение Р = at -|- Ь
ОТКУДЭ
/8(И + а) = а/+&.
Это уравнение равносильно уравнению
(/2—1) (6(/2 + 1) + ^)==0.
По условию 2Ь > а > 0, и поэтому &(Z24~l) + a/ > 0 при всех /; следовательно, решениями последнего уравнения будут числа /1= 1 и Z2 ——L
Таким образом, система (22) равносильна совокупности систем # = х, ( у — —~х, y^^bx + ay, 1 у*^Ьх+ау,
т» е. совокупности у — х,	( у^—х,
У3^(а+Ь)у> I у$~(а—Ь)уг
Первая система этой совокупности имеет (при у 0) решения (У а+b; /а+Ь); (~-/а+&; — У а~}-Ь). Вторая система имеет решение (при у^О) только при а—Ь^ 0; в этом случае ее решениями являются числовые наборы	*- ]/*а—й); ( —	;
Уа~Ь).
Таким образом,
а)	если а—Ь^О, то решениями системы (22) являются (0; 0), (Уд~\~Ь; Уа + ^)Г(—• К# + *—У а + Ь), (У а—Ь; -Уа—Ь), (—У а—Ь; Уа—Ь);
б)	если а—Ь < 0, то решениями системы (22) являются (0;0), (Уа + Ь; Уа+Ь), (—Уа^Ъ; — Уа^Ь).
Часто при решении систем уравнений используют метод разложения систем, суть которого состоит в разложении на множители левой или правой части одного из уравнений системы.
Так, например, систему примера (16) можно решить следующим образом. Складывая и вычитая почленно данные уравнения, найдем
x9+y3-=‘a(x+y)+b(x+y) = (a+b) (х+у), sfi»-y9^a(x—y)—b(x—y)^(a—b)(x—y).
Отсюда получаем систему, равносильную исходной:
(х+у) (х9—ху+у9—а—Ь)=+, (х—у) (х9 + ху+у* — а+&) = 0,
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 337 которая равносильна совокупности четырех систем:
( х-|-г/ = О,	( х-|—£/ = 0,
I х—// — 0,	( х2-|-х#+£/2 = а—Ь,
( x2-xy-{-y2 — a-\-b, J х2—xy-j- у2 — a-j-b,
( х — у = 0,	| x2-j-xr/4-(/2 = a—bt
каждая из которых может быть решена описанными выше методами.
Пример 17* Решить систему
J x2—z/2—ах+ш/ = 0,
1 ху—&.
Решение. Заметим, что
х2—-с/2 —ах+^=(х—(х+//—а)<
Поэтому система (24) равносильна совокупности двух систем:
J х—у = 0, j x-j-y — a, ) ху — а2,	( ху — а2.
Вторая система этой совокупности имеет решение только при а = 0, и это решение есть (0, 0). Первая система имеет решение при любом значении а, и это решение есть (а\ а), (—а; —а).
При решении систем трех переменных можно использовать симметрию системы не по всем трем переменным, а только относительно двух переменных.
Пример J8. Решить систему
( x2+(/2-22 = (x+(/-z)2 + 2,
4 х34-г/3 —z3==(x+^—z)34-9,	(25)
( x44-z/4—z4 = (x-^y—z)4 + 29.
Решение. Во все три уравнения данной системы переменные х и у входят симметрично. Поэтому для решения системы можно сначала использовать именно это обстоятельство, сделав такую замену переменных:
и^х-\-у,
v = xy, z — z. Поскольку
x2+y2 = (x+y)2-~2xy = u2 — 2vt (х_1_^)3— ^Ху (x-|-^) = W3— 3fW, х4+yi = (%2 + у2)2—2х2у2 = (и2 — 2v)2 — 2v2,
то относительно переменных и, v и z будем иметь систему
( и2 — 2v~z2~ (и — z)2-{-2,
1 u3— 3uv—z^ = (u—z)^ + 9,	(26)
V (u2 — 2v)2~ — 2v2- — 84 = (« —z)4 + 29*
838
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим сначала только первые два уравнения этой системы. После простейших преобразований их соответственно можно записать в виде
( 2 (и —2)^ \ -I- V,
4	'	(27)
| uz (и — г) = 3 -j- uv.
При u~-Q не удовлетворяется уравнение их (и — z) = 3 4~ uv;
поэтому, умножив первое уравнение в (27) [на и и вычитая из полученного уравнения второе уравнение, находим и~3.
Рассмотрим теперь первое и последнее уравнения системы (26). Подставив в них вместо и найденное значение tz — 3, после преобразований получим систему уравнений
J 2 (3 — 2) ~ 1 V,
1 (9 - 2v)2 — 2v2 — [9 — 2г (3 — z)]2 - 2z2 (3-- z)2 + 29.
Исключая из этой системы выражение [z(3 —z), получим уравнение
(9 — 2и)2 — 2у2 = [9 — 2 (14-V)]2—2(1+у)2 + 29,
откуда находим у —5/4. Зная и и v, из системы
1 х+у = 3,
I ху = 5/4
находим два ее решения: (1/2; 5/2), (5/2; 1/2). Подставляя и = 3 и v = 5/4 в первое уравнение системы (27), находим z = 3/2.
Итак, все решения системы (25) находятся среди наборов (1/2, 5/2, 3/2) и (5/2, 1/2, 3/2). Проверкой убеждаемся, что решения системы (25) есть оба этих набора.
ЗАДАНИЕ 1
Решить систему:
1) J х+у=1,	2) j (2х—5)2 + (Зу—2)2=17,
1 х2+у2=1; I (2х—5) (Зу—2) = 4;
8) [ х2 — 4у2 — ху+5у = 1,	4) ( х2—у2 = 15,
I х2 + 3у2 —ху—4у =—1;	( х2Зху*-8у2 = 20 j
5)	j
I x24~3xy + 2y2+2x+4y = 0«
ЗАДАНИЕ 2
Решить систему:
1)
х+ху—у=13 х2у—ху2 = 30;
х2 *4“ у "F 5=32 t
Х2 4- 4у а+х	4Ху 4» 2у+2 (
4х2 + 4ху+у2 sa= 2x4- У+
§ 3. СИСТЕ/ЛЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 339
4) j 4х2+2ху + 6х—27 = 0,
*( х2 —5ху + 6у2 = 0;
б)	[	х2+у3 —4х—Зу+5 = 0,
1 3%2 + 3у2—11х—7у+10 = 0»
ЗАДАНИЕ 3
Решить систему:
1) j =	2) ( х2+Зху-Уу2 = 61,
| x-}-y — xz—y2-,	I х//=12;
3)	j 5х2— вху + бу2 = 29,	4) f х2 — хуАг ау~$,
7х2 — 8ху + 7у2 = 43;	| у2 — ху — 4ах — 0;
5И х3+у3=1?
I х2у+ху2=1<
ЗАДАНИЕ 4
Решить систему: ]
1) [ х2 —4у2 = 9,’	2) J 3х2 + 5ху-~4у2 = 38,
"I ху-]- 2у2 = 18;	| 5х2 — Ъху — Зу2 = 15 ;
3)J 6х2 — ху — 12у2 — Q,
I х2 + 2у2= 17/16;
4)	J (x + a)(y-b) + (x-a)(y + b)==2(y2-b2)> \ ay-^bx — 2ab;
5)	f x2 + xy + y2=l,
I X4 + Х2У2 + У4 = 1 г
ЗАДАНИЕ 5
Решить систему:
1) I x+j/+x{/ = 7,	2) J ^+^=17,
1 x24-z/2 + %y= 131 l х+ху-$-у = 9;
\ л T" у ЛУ — 1 u i	я. л i“ “г У — »
3) ( * + ху + у=1,	4) Г £ 1 1 I
1 у+уг + г=2, * I X ’ у ‘ г 2 ( z + zx + х = 3; j х + у + г = 7/2,
xyz = 1;
5) / х + У + г = а,
1 хЗ-|-у24-22 = <72-|-262,
V л:34~у3 + г3 = а3»
ЗАДАНИЕ 6
Решить систему:
1) f x2-xy+y2 = 7t 2) ( х2 + у2 + л;+у = 32, ( х + у = 5;	| 12 (х + у) ==7ху;
3) ( х+у + г = 2,	4) ( £_{_£ । £^13
4 х2+у^ + г? = 6,	I х * у ’ г~3’
к x3+y3 + z3 = 8$	I х+у+г=13/3г
xyz = 11
840
ГЛ. 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ,
5) ( х ^х+у+г)^а,
У(х + У+ г) — Ь, V z(x-\-y-Yz)=-c.
У п р а ж н е и и я
Решить систему:
1)	Г (х-у)(х2Ч-у2)-447,
| ху (х — у) = 210;
2)	( (5х-1)\Зу + 2) = (2х+1)(9у-2),
1 (Зл:-|-2)(2у-9)=-(л:+2)Су+9);
3)	( х3 -|- у3 -J- ху (% + у) = 13,
1 х2у2 (х2 + у2) — 468;
Б) ( х-]-у-[- ху — 19, I
I ху (л:-|-£/) = 84;
7) 1 15(х+г/) = 8^,
1 х + у + х2 + у2=42;
9) J' ху (х-}-у) =30,	10
1 х'3-|-£/3 = 35;
И) ( % + у = 6,
V (^2 + У2) (х3 + У3) == 1440;
18) J 6%2 — Зу2 = x2~\~2xy, Г
I х2 + г/2 = 34;'
15) Г 3(х+у) = Ьху, 1 2x4 -Зу= 12;
6) J
4) ( y4 + лт/2 —2%2 = Qf I x + y = 6\ x3 = 31x2 — 4y2, y3 — 31^2__4x2.
8) J x2— at/ + #2=19, t лл-Нх2у2 + у4 = 9311
x2 -f- 4y2	x Зу хз= 1,
2я — у =1;
12) ( x2 — xy + y^2f I x3 — #3 = 4j
* + #==7xy, х — у — Зху;
16) ( %(f/ + z) = 20,
4 y(x+z) = 18,
I z (*+#) = 14;
17) ( xy — 9z,	18) f x2—y2—z2 = 11,
| ^ = x,	j
\ zx — 4y\	\
19) ( x~\~y-}-z=\3,
j	+ У2, + 22 = 61,
v 2yz^x{y^z)\
уг — 2, '
x-i-y-rz=7;
2°) ( 1+1+1=11,
I х	У	г
i 1+1=18,
I X	у
[ 6х — Зу — 2;
22) ( ху-\-хг = х2-]-2, ] хуyz = у23, xz-}-yz = z2-\-4;
x2 + y2 — z = 0,
x+y+z =—l/2-t
2x-{-y-\-z = 4,
^ + 4^+4г = —5,
21)	( %24-xz/-|-r/2==37,
! x2. + xz + z2 ~ 28, I y2+^+z2 = 19;
23) J 2x2 — 5xy + 3y2 = 0,	24)
( X3 — y*-x — y\
25) ( x-{-y-\-z = 1,	26)
•I xy-Yyzzx — — 4,
ГЛАВА 6
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
При рассмотрении множества действительных чисел отмечалось, что в нем нельзя, например, найти число, квадрат которого равен — L Чтобы подобные задачи были разрешимы, понятие числа расширяется с помощью введения комплексных чисел.
Множество, состоящее из выражений вида г —где /2_р1—о и а, Ь—действительные числа, называется множеством комплексных чисел. При этом сложение, вычитание, умножение и деление двух чисел в этом множестве определены соответственно следующими правилами:
(a+W) + (c+di) = (a+c) + (&+d)Z;	(1)
(a+bl) — (c+di) = (a—c) + (b—d)l-,	(2)
(a-\-bi) (c-\-dl) = (ac—bd)(ad-j-be) i;	(3)
c4-di ca-(-bd , ad — cb .	„ . ,, , .	...
если «8+*8 * °' W
Считается, что комплексное число a~\-bi при b — Q является действительным числом а, т. е. я+(М = а.
Равенство a-\-bi — c-\-di в множестве комплексных чисел означает, чго а —с и b = d.
Заметим, что из знаков сравнения <,	>,^ в множе-
стве комплексных чисел употребляется только знак ф.
Свойства арифметических операций:
1.	£14-22“ *2+*! — коммутативность сложения.
2.	(zi 4- г2) 4* = £14“ (г2+23) — ассоциативность сложения.
3.	Для любых комплексных чисел zi и г2 существует единственное число z такое, что zi + z — z2.
4.	ziz2 = zzzi — коммутативность умножения.
5.	(ziZ2) 23 = ?i (z2z3) — ассоциативность умножения.
6.	Для любых комплексных чисел Zi 0 и z2 существует единственное число z такое, что ziz = z2.
7.	Zi (z24“23) = 2i224- 2i23—дистрибутивность умножения относительно сложения.
Все изложенные свойства следуют из формул (1) — (4) и аналогичных свойств действительных чисел.
Верны также формулы сокращенного умножения:
(214“ 22) - = 214" 2zi?2 4- z2>
(214“ 22)3 = 21 + 3?1Z2 4“ 3zi?2 4- Z2,
21—Z2=(2i — 22) (214~Z1Z2 4“22)
И Т. ли
Из опреде