Текст
Дидактические материалы
,...
.......,
.
.
...............
.
л. И. 3вавич, М. В. Чинкина,
л. Я. Шляпочник
rеометрия
к л а с с ы
8
11
Пособие для школ и классов
с yrлубленным изучением
математики
ш
Dрофа
Москва
2000
"УДК 372.851
ББК 74.262.21
3-42
Серия. «Дидактические материалы»
основана в 1999 zoay
Звавич Л. И. и др.
З 42 rеометрия. 8 11 КЛ.: Пособие ДЛЯ шк. и КЛ. С yr-
лубл. изуч. математики / Л. И. Звавич, М. В. Чин
кина, Л. Я. Шляпочник. М.: Дрофа, 2000.
288 С.: ил. (Дидактические материалы).
ISBN 5 7107 3542 6
Пособие содержит контрольные работы для 8 11 классов,
тематическую подборку задач, примерные билеты к выпуск-
ным экзаменам в 9 и 11 классах с уrлубленным изучением ма-
тематики, а также тематическое планирование. Ко всем зада-
ниям даны ответы. Книrа может быть использована в качестве
задачника в классах с сильным составом учащихся, а также
для самостоятельных занятий.
УДК 372.851
ББК 74.262.21
ISBN 5 7107 3542 6
@ 000 -Дрофа., 2000
От авторов
Настоящая книrа предназначена для работы в клас-
сах с уrлубленным изучением математики, классах с
профилем, рассчитанным на расширенное изучение ма-
тематики, общеобразовательных классах с сильным со:
ставом учащихся, интересующихся rеометрией. Книrа
может быть использована и для самообразования, само-
проверки.
В первом разделе представлены контрольные работы
по rеометрии для 8 11 классов с уrлубленным изучени-
ем математики. Они полностью отвечают содержащему-
ся в приложении тематическому планированию. В COOT
ветствии с методической концепцией авторов контроль-
ные работы несколько перенасыщены материалом. Это
сделано для Toro, чтобы учитель Mor сам, ориентируясь
на конкретные условия, разrружать контрольную рабо-
ту, снимая определенную часть заданий или заменяя их
на более леrкие. Если же учитель считает, что само ко-
личество контрольных работ избыточно, то он может
провести часть их как самостоятельные работы или за-
дать на дом в качестве домашней контрольной работы по
типу «проверь себя».
Все контрольные работы помимо двух основных вари
антов снабжены еще и третьим подrотовительным.
Авторы придают этому варианту особое значение. Он ис
пользуется для задания на дом или решения в классе
4
От авторов
непосредственно перед контрольной работой и призван
мобилизовать учаIЦИХСЯ на подrотовку к контрольной
работе, помочь им определить основные моменты повто
рения. Подrотовительный вариант может оказаться He
сколько труднее каждоrо из основных вариантов самой
контрольной работы; здесь учитываются специфические
трудности соответствующих заданий двух основных Ba
риантов. Естественно, что подrотовительный вариант
можно использовать и друrим способом, например для
задания на дом после разбора контрольной работы в
классе (в качестве работы над ошибками), как третий Ba
риант контрольной работы, как дополнительный вари
ант для тех учащихся, которые отсутствовали в день Ha
писания контрольной работы.
Помимо контрольных работ приводятся также при
меры тестовых работ для 9 11 классов. Как правило,
задания в них не требуют rромоздкиХ вычислений. Tec
ты рассчитаны на 90 минут и MorYT быть использованы
как для контроля знаний отдельных учащихся, так и в
качестве материала для итоrовоrо повторения на уроках
или дома. Давать тест в качестве контрольной работы
для Bcero класса, по нашему мнению, имеет смысл толь
ко В том случае, если в Hero включено не менее
10 вариантов.
Второй раздел книrи содержит тематическую подбор-
ку задач по различным темам курса rеометрии 8
11 классов. Эти задачи можно использовать для реше-
ния на уроке, домашних заданий, самостоятельных pa
бот или составления ка,рточек для индивидуальноrо оп-
роса. Наиболее полно представлены задачи по темам
«Векторы на плоскости» И «Координаты на плоскости и
в пространстве».
В третьем разделе даны примерные тексты билетов к
устным экзаменам по rеометрии в 9 и 11 классах c yr
лубленным изучением математики, а также примерные
задачи к билетам.
5
От авТОрОВ
В приложении приводится тематическое планирова
ние учебноrо материала курса rеометрии 8 11 классов с
уrлубленным изучением математики. Кроме Toro, в при
ложение включены списки теорем планиметрии и CTe
реометрии.
При оформлении контрольной работы для экономии
времени учащиеся, на наш взrляд, MorYT пользоваться
списком теорем, имеющимся в приложении. Наличие
TaKoro списка у каждоrо учащеrося не только экономит
время, но и способствует систематизации знаний, рацио
нализации и оптимизации теоретических обоснований,
даваемых ими при решении задач контрольной или дo
машней работы, ответе у доски. Материал списка может
быть также использован для зачетов по теоретическому
материалу. "Указанный список соответствует приводимо-
му в данной книrе тематическому планированию, но, ec
тественно, он может быть как дополнен, так и сокращен.
Все задания контрольных и тестовых работ, а также
тематической подборки задач снабжены ответами.
В классах с уrлубленным изучением математики мы
считаем вполне возможным использовать любой из
имеющихся учебников rеометрии в совокупности с учеб
никами и учебными пособиями по rеометрии для клас
сов с уrлубленным изучением математики и задачника
ми по rеометрии, указанными в списке литературы.
Авторы выражают искреннюю признательность
А. М. Суходскому за ценные замечания, рекомендации
и советы, способствовавшие улучшению данной книrи.
Авторы будут блаrодарны за все замечания, прислан
ные по адресу: 121096, Москва, а/я 534, Звавичу Л. И.
1. Коnтрольnы"е работы"
: '.. ......<у??;:р:Р::?,:::..
8 класс
ЕМ -8-1
Повторение курса 7 класса
П одzотовителъный вариант
1. В треуrольнике АВС LA == 340, L С == 660. Бис
сектрисы треуrОЛЬНИка АК и ВМ пересекаются в точ
ке О. Найдите остальные уrлы четырехуrольника
МОКС. '
2. В треуrольнике АВС L С == 580. АК и ВМ BЫ
соты Треуrольника. Какие значения может прини
мать величина уrла между прямыми, содержащими
данные высоты?
3. Длина отрезка ВС равна 8 см. Точка А лежит на
прямой ВС, но не принадлежит отрезку ВС, причем
5АВ == АС. Точка D принадлежит отрезку ВС и 4DC ==
== ВС. Найдите длину отрезкаAD.
4. В треуrольнике АВС проведена биссектриса ВК.
Прямая МК параллельна ВС и пересекает сторону АВ
в точке М, L ВМК == 1240. Найдите величину уrла
МКВ.
5. Сколько существует неравных между собой прямо
yrольных треуrольников со стороной 4 см и yrлом 45 0 ?
7
Условия задач
Вариант 1
1. В треуrольнике АВС L А == 210, L В == 980. Бис-
сектрисы треуrольникаАМ и ВК пересекаются в точ-
ке Т. Найдите уrлы четырехуrольника МТКС.
2. Прямые, содержащие высоты МА и Р В тре-
уrольника МРН, образуют уrол 560. Какие значения
может принимать величина уrла РНМ?
3. Длина отрезка АВ равна 8 см. Точка С лежит на
прямой АВ, причем АС == 3СВ. Найдите длину отрезка
АС (рассмотрите все случаи).
4. ТреуrОЛЪНИR АВС равнобедренный (АВ == ВС),
L В == 240, СР биссектриса треуrолъника, Р К па-
раллельна ВС и пересекает сторону АС в точке К.
Найдите уrол КРС.
5. Сколько существует неравных между собой равно-
бедренных треyrолънИRОВ со стороной 5 см и yrлом ЗО О ?
Вариант 2
1. В треуrольнике АВС LA == 560, L В == 880. Высо-
ты треуrольника АМ и ВК пересекаются в точке Т.
Найдите уrлы четырехуrольника МТКС.
2. Прямые, содержащие биссектрисы МА и РВ тре-
уrольника МРН, образуют уrол 820. Какие значения
может принимать величина уrла РНМ?
3. Длина отрезка МК равна 10 см. Точка Р лежит
на прямой МК, причем 4МР == РК. Найдите длину от-
резка МР (рассмотрите все случаи).
4. Треуrольник АВС равнобедренный (АВ == ВС),
L С == 720, АР биссектриса треуrольника, РК парал
лельна АВ и пересекает сторону АС в точке К. Найди-
те уrол КРА.
5. Сколько существует неравных между собой прямо
yrольных треуrольников со стороной 5 см и уrлом 60 0 ?
.
8
Контрольные работы. 8 класс
KM.8 2
Параллелоrрамм
П одzотовuтелькый вариакт
1. Нарисуйте с помощью линейки какой нибудъ
неравнобедренный треyrольник. Попытайтесь затем
дорисовать ero до параллелоrрамма так, чтобы дан-
ный треуrольник являлся одним из четырех Tpe
уrольников, на которые параллелоrрамм разбивается
ero диаrоналями. Сколько параллелоrраммов может
при этом получиться?
2. В параллелоrpамме AВCD биссектриса yrла В пе-
ресекает сторону AD в точке М так, что АМ в 4 раза
больше MD. Найдите длины сторон параллелоrрам
ма, если ero периметр 36 см.
3. Один из уrлов параллелоrрамма AВCD в 5 раз
больше друrоrо, а диаrональ BD является высотой,
причем BD '"' 5 см. Найдите длину стороны CD.
4. а) Даны параллелоrраммы AВCD и CDMN с об-
щей стороной CD. Точки В и N лежат по разные CTO
раны от прямой CD; L BCD '"' 380, LAВN '"' 820,
L DCN '"' 520, NM'"' 9 см. ПериметрАВСD равен 28 см.
Докажите, что AВNM параллелоrрамм, и найдите
ero уrлы и периметр.
б) Даны параллелоrраммы AВCD и CDMN с общей
стороной CD. Точки В и N лежат по одну сторону от
прямой CD; L BCD '"' 1370, L BNM '"' 1630, L DCN '"'
'"' 470, NM'"' 10 см. ПериметрАВСD равен 46 см. Дока-
жите, что AВNM ,IIараллелоrрамм, и найдите ero
уrлы и периметр.
Вариан.т 1
1. Диаrональ параллелоrрамма делит ero на Tpe
уrольниКИ, два уrла одноrо из которых равны 430 и
570. Найдите все значения, которые может прини-
мать величина тупоrо уrла параллелоrрамма.
9
УСЛОВИЯ задач
2. В параллелоrрамме AВCD диarонали пересека
ются в точке О. Периметр треуrольника ОВС на 6 см
больше периметра треyrольника OCD. Сторона ВС пе-
ресекает биссектрису уrла BAD в точке М так, что
ВМ: МС == 5: 3. Найдите стороны и периметрАВСD.
3. Диаrональ BD параллелоrрамма AВCD является
ero высотой и равна половине стороны АВ. Найдите
расстояние между прямым и АВ и CD, еслиAD == 8.
4. Даны параллелоrраммы AВCD и CDMN с общей
стороной CD. Точки В и N лежат по разные стороны
от прямой CD, причем L BCD == 230, L DCN == 370,
ВС == CN. Периметр AВCD равен 5 м. Точки А, В, N
не лежат на одной прямой. Докажите, что AВNM
параллелоrрамм, и найдите ero уrлы и периметр.
Вариант 2
1. Диаrональ параллелоrрамма делит ero на Tpe
уrольники, два уrла одноrо из которых равны 130 и
1170. Найдите все значения, которые может прини
мать величина тупоrо уrла параллелоrрамма.
2. В параллелоrрамме AВCD диаrонали пересека
ются в точке О. Периметр треуrольника ОВС на 8 см
меньше периметра треуrольника OCD. Сторона DC пе
ресекает биссектрису уrла BAD в точке М так, что
DM: МС == 3: 4. Найдите стороны и периметрАВСD.
3. Диаrональ BD параллелоrрамма AВCD является
ero высотой, опущенной на AD, и равна половине CTO
роны АВ. Найдите расстояние между прямыми АВ и
CD, если ВС == 4.
4. Даны параллелоrраммы AВCD и CDMN с общей
стороной CD. Точки В и N лежат по одну сторону
от прямой CD, причем L BCD == 1320, L NCD == 720,
ВС == CN. Точки А, В, N не лежат на одной прямой.
Периметр AВCD равен 23 см. Докажите, что AВNM
параллелоrрамм, и найдите ero уrлы и периметр.
10
Контрольные работы. 8 класс
КМ -8 3
Частные виды параллелоrрамма.
Трапеция
П одzотовительный вариант
1. В равнобедренной трапеции AВCD длина боко-
вой стороны 4 см, а меньшеrо основания 5 см. Най-
дите величины уrлов трапеции и ее периметр, если ве-
личина уrла между высотой трапеции и ее боковой
стороной равна 300.
2. Найдите длину стороны ромба, если ero высота
равна 7 см, а величина yrла между стороной ромба и
одной из диаrоналей равна 150.
3. В выпуклом четырехуrольнике AВCD точки М,
N, Т и К являются соответственно серединами сторон
АВ, ВС, CD иAD. Известно, что NK биссектриса yr-
ла MNT. Докажите, что MN == NT == ТК == КМ.
4. Трапеция AВCD равнобедренная, М и N се-
редины ее боковых сторон АВ и CD соответственно.
Диаrональ АС пересекает отрезок MN в точке К,
МК == 3, KN == 5. Диаrональ BD пересекает MN в точ-
ке Р. Высота трапеции равна 8.
Найдите:
а) длину отрезка КР;
б) величину уrла ADB;
в) отношение DP : РВ.
Вариант 1
1. Длины сторон трапеции равны а, а, а и 2а. Най
дите величины уrлов трапеции.
2. Сторона ромба равна 8 см. Найдите ero высоту,
если уrол между стороной ромба и одной из диarона-
лей равен 750.
3. В выпуклом четырехуrольнике AВCD точки М,
N, Т, Н являются соответственно серединами сторон
Условия задач
11
АВ, ВС, CD и AD. "Уrол NTH прямой. Докажите,
что МТ == NH.
4. В треyrольнике АВС АВ == ВС, АС == 4, высота ВН
равна 6 (точка Н лежит на отрезке АС). Точка М
середина ВС, точка К лежит на стороне АС и уrол
МКС прямой. Отрезки АМ и ВН пересекаются в
точке Q.
Найдите:
а) длину отрезка МК;
б) величину уrлаАМК;
в) отношение AQ : АМ.
Вариант 2
1. Длины боковых сторон трапеции равны 2а и 2а,
а длины оснований равны 5а и 7 а. Найдите величины
уrлов трапеции.
2. В прямоуrольнике AВCD диarональ BD равна
6 см и образует со сторонойAD уrол 150. Найдите рас-
стояние от вершины С до диаrонали BD.
3. В треуrольнике АВС проведена биссектриса АМ.
Отрезок МК параллелен стороне АС и пересекает АВ
в точке К, МР параллельнаАВ и пересекает АС в точ-
ке Р. Докажите, что прямые АМ и КР перпендику
лярны.
4. В треуrольнике АВС АС == 6, высота ВН == 6 (точ-
ка Н лежит на отрезке АС), АН == 2НС, М середина
АВ, Р середина ВС. Точки К и Т лежат на стороне
АС так, что уrлы КМР и МРТ прямые. Отрезки АР
и ВН пересекаются в точке Q.
Найдите:
а) длину отрезка МК;
б) величину уrла между прямыми КР и МТ;
в) отношениеАQ: QP.
12
Контрольные работы. 8 класс
ЕМ 8 4
Площади фиrур
П одzотовительный вариант
1. Площадь параллелоrрамма равна 56 см 2 . Найди-
те длины высот параллелоrрамма, если ero стороны
равны 7см и 14 см.
2. В равнЬбокой трапеции AВCD (AD 11 ВС) диarо
наль АС является биссектрисой уrла А. Известно, что
L. В == 1500, AD == Ь, ВС == а. Найдите площадь трапе
ции.
3. В прямоуrольном треуrольнике KMN медиана
NP == 10 см, а ero площадь равна 280 см 2 . Найдите pac
стояние от середины катета NK дО rипотенузы КМ.
4. Точки К и Р делят большее основание AD трапе
ции AВCD на три равные части. Площадь треуrольни-
ка ВКР равна 2. Найдите площадь трапеции, если из-
вестно, что AD в 3 раза длиннее ВС.
5. Два равных прямоуrольника AВCD и MNKP
расположены так, что вершиной одноrо из них явля-
ется точка пересечения диаrоналей друrоrо, и наобо
рот. Найдите площадь фиrуры, состоящей из всех то-
чек данных прямоуrольников, если длины сторон
прямоуrольника равны 4 и 6.
Вариант 1
1. В параллелоrра ме AВCD АВ == 8, ВС == 10.
Меньшая высота параллелоrрамма равна 4. Найдите
площадь параллелоrрамма и ero большую высоту.
2. В прямоуrольной трапеции МТРК диаrональ
МР является биссектрисой прямоrо уrла ТМК. Най
дите площадь трапеции, если длины ее оснований Т Р
и МК соответственно равны 5 и 11.
13
Условия задач
3. В прямоуrольном треуrольнике АВС медиана
СМ равна 12 см, а расстояние от середины катета АС
дО rипотенузы АВ равно 3 см. Найдите площадь Tpe
уrольника.
4. Площадь трапеции AВCD равна 1; М середи
на основания ВС; К середина боковой стороны CD.
Найдите площадь четырехуrольника АМСК.
5. Два равных квадратаАВСD и МРКТ расположе-
ны так, что точка Р делит диarональ BD в отношении
вр : Р D == 2 : 1, а точка D лежит на диаrонали РТ.
Найдите площадь фиryры, состоящей из всех точек
данных квадратов, если длина стороны каждоrо KBak
рата равна 3.
Вариант 2
1. В параллелоrраммеАВСD CD == 6, ВС == 14. Б6ль
шая высота параллелоrрамма равна 7. Найдите пло-
щадь параллелоrрамма и ero меньшую высоту.
2. В равнобедренной трапеции МТРК боковые CTO
роны МТ и РК лежат на взаимно перпендикулярных
прямых. Найдите площадь трапеции, если длины ее
оснований равны 7 и 17.
3. В прямоyrольном треyrольнике АВС медиана СМ
равна 8 см, а расстояние от середины катета АС дО rиnо
тснузыАВ равно 2 см. Найдите площадь треyrольника.
4. Точки К и М делят диаrональ BD трапеции
AВCD на три равные части. Площадь треyrольника
СКМ равна 1. Найдите площадь трапеции, если ее ос-
нование AD в 2 раза длиннее ВС.
5. Два равных прямоуrольных треуrольника с пло
щадью 12 расположены так, что вершина прямоrо yr
ла одноrо из них лежит на rипотенузе друrоrо, и они
имеют общую биссектрису прямоrо уrла, длина KOTO
рой равна 3. Найдите площадь фиrуры, состоящей из
всех точек данных треуrольников.
14
Контрольные работы. 8 класс
ЕМ -8 5
Теорема Пифаrора.
Формула repOHa
п одzотовительный вариант
1. Катеты прямоуrольноrо треуrольника имеют
длины 3 и 6. Найдите:
а) rипотенузу:
б) площадь треуrольника;
в) высоту, опущенную на rипотенузу.
2. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника боль
ше одноrо из катетов на 2. Найдите длины сторон тре-
уrольника, если ero периметр равен 40.
3. в равнобедренной трапеции AВCD длина боКо-
вой стороны равна 1 О см, меньшеrо основания
4 см, а высоты 6 см. Найдите площадь трапеции.
4. Длины сторон параллелоrрамма равны 17 и 15,
а одна из диаrоналей равна 8. Найдите высоты парал
лелоrрамма.
5. Сторона и высота ромба соответственно равны
25 см и 24 см. Найдите длины диаrоналей ромба.
6. Найдите площадь треуrольника со сторонами
13, 14 и 15.
Вариант 1
1. Катеты прямоуrольноrо треуrольника имеют
длины 5 и 3. Найдите:
а) rипотенузу:
б) площадь треуrольника;
в) высоту, опущенную на rипотенузу.
2. Диаrональ прямоyrольника больш одной из ero
сторон на 4. Найдите эту диаrональ, если периметр
прямоуrольника равен 28.
Условия задач
15
3. в равнобокой трапеции AВCD боковая сторона
АВ равна 13, а основания равны 7 и 31. Найдите пло-
щадь трапеции.
4. Стороны параллелоrрамма имеют длины 13 и 5.
Одна З ero диаrоналей равна 12. Найдите расстояние
междj.т прямыми, содержащимИ меньшие стороны па-
раллелоrрамма.
5. Периметр ромба равен 52 см. Диаrональ ромба
отсекает от Hero треуrольник с периметром 36 см.
Найдите высоту ромба.
6. Найдите площадь треуrольника со сторонами
13,20 и 21.
Вариант 2
1. Катеты прямоyrольноrо треyrольника имеют
длины 2 и 7. Найдите:
а) rипотенузу;
б) площадь треyrольника;
в) высоту, опущенную на rипотенузу.
2. Диаrональ прямоуrольника больше одной из ero
сторон на 1. Найдите эту диаrональ, если периметр
прямоуrольника равен 34.
3. В прямоyrольной трапеции AВCD большая боко
вая сторона АВ равна 25, а основания равны 2 и 26.
Найдите площадь трапеции.
4. Стороны параллелоrрамма имеют длины 24 и
25. Одна из ero диarоналей равна 7. Найдите расстоя-
ние между прямыми, содержащими меньшие CTOpO
ны параллелоrрамма.
5. Периметр ромба равен 40 см. Диarональ ромба
отсекает от Hero треуrольник с периметром 36 см.
Найдите высоту ромба.
6. Найдите площадь треуrольника со сторонами 9,
10 и 17.
16
Контрольные работы. 8 класс
ЕМ -8 6
Подобие треуrОЛЬНИRОВ
п одzотовительный вариант
1. Сторона АС треуrольника АВС разделена на
три отрезка точками D и Е так, что AD : DE : ЕС
3 : 5 : 7. Точка F делит сторону АВ в отношении
1 : 7, считая' от А. Какую часть площади треуrольни
каАВС составляет площадь треуrольника FDE?
2. Известны длины сторон треуrольника АВС:
АВ 6, СА 7, ВС 5. На луче ВС выбрана такая
точка Р, что уrол ВАР равен уrлу АСВ. Найдите CTOpO
ны треуrольника ACF.
3. Высота АН прямоуrольноrо треуrольника АВС
делит rипотенузу ВС в отношении 9: 16. Найдите
длины катетов, если длина высоты равна 12.
4. Биссектриса АМ параллелоrрамма AВCD пере
секает диаrональ BD в точке Р, а биссектриса CN
пересекает диаrональ BD в точке Т. Какую часть BD
составляет отрезок РТ, если ВМ: МС 2: 3?
5. Треyrольники АВС и МКР таковы, что три уrла
и две стороны одноrо из них равны трем уrлам и двум
сторонам друrоrо, но треуrольники не равны. Извест-
но, что АВ 16, АС 25. Какие значения может
принимать длина стороны ВС?
Вариант 1
1. В треуrольнике 1U3C точка М середина CTOpO
ны АС, точка Т делит сторону АВ в отношении 2: 3,
считая от А, точка К делит сторону ВС в отношении
3: 5, считая от В. Найдите отношение площадей тре-
уrольников МТК иАВС.
2. Известны длины сторон треуrольника АВС:
АВ 5, СА 8, ВС 9. На луче АВ выбрана такая точ-
17
Условия задач
ка К, что уrол КСА равен уrлу АВС. Найдите стороны
треуrольника КВС.
3. Высота ВК прямоуrольноrо треуrольника АВС
делит rипотенузу АС в отношении 3 : 4. Найдите пло-
щадьАВС, если ero меньший катет равен 9.
: -4. Биссектриса АК параллелоrрамма AВCD пересе-
кает диаrональ BD в точке Р. Отношение вр : Р D ==
== 2 : 7. В каком отношении точка К делит сторону ВС?
5. Треуrольники АВС и МКР таковы, что три уrла
и две стороны одноrо из них равны трем уrлам и двум
сторонам друrоrо, но треуrольники не равны. Извест-
но, что АВ == 27, ВС == 36. Чему может быть равна АС?
Вариант 2
1. В треуrольнике АВС точка D середина сторо-
ны ВС, точка R делит сторону АВ в отношении 1 : 2,
считая от А, точка Q делит сторону ВС в отношении
2: 5, считая от В. Найдите отношение площадей тре-
уrольников RDQ и АВС.
2. Известны длины сторон треyrольникаАВС: АВ ==
== 4, АС == 8, ВС == 6. На отрезке ВС выбрана такая точ-
ка D, что уrол ВАп равен уrлу АСВ. Найдите стороны
треуrольника АпС.
3. в прямоуrольном треyrольнике АВС высота СН
делит rипотенузу АВ в отношении 2 : 3. Найдите пло
щадьАВС, если ero больший катет равен 9.
4. Биссектриса DN параллелоrрамма AВCD пересе-
кает диаrональ АС в т'очке К, которая делит АС в OTHO
шении 5: 3, считая отА. Найдите отношение BN: NC.
5. Треуrольники АВС и МКР таковы, что три уrла
и две стороны одноrо из них равны трем уrлам и двум
сторонам друrоrо, но треуrольники не равны. Извест-
но, что АВ == 6, ВС == 4. Какие значения может прини
мать АС?
18
Контрольные работы. 8 класс
KM-8 7
Подобие мноrоуrОЛЬНИRОВ
П одzотовительный вариант
1. Прямая, параллельная одной из сторон паралле-
лоrрамма, делит ero на два подобных параллелоrрам
ма. Найдите их коэффициент подобия, если известно,
что прямая делит сторону данноrо параллелоrрамма в
отношении 5 : 3.
2. В треуrольнике АВС точка М принадлежит CTO
ронеАВ, точка N стороне ВС. ОтрезкиAN и СМ пе-
ресекаются в точке Р. Прямая ВР пересекает сторону
АС в точке R. Какую часть АС составляет отрезок AR,
еслиАМ: МВ == 3: 5 и NC: BN == 3: 2?
3. В треуrольнике АВС точка К середина сторо-
ны АВ, точка F делит сторону ВС в отношении 3: 1,
считая от В. Прямая KF пересекает луч АС в точке М.
Найдите отношение МС : СА.
4. Диаrонали АС и BD трапеции AВCD пересекают
ся в точке К. Площадь треуrольника АВК равна 24,
а ВС : AD == 1 : 4. Найдите площадь трапеции.
5. Для выпуклых пятиyrольников AВCDE и
A1B1C1D1E1 имеют место соотношения LA == LAl'
АВ ВС CD DE АЕ
LB==LB и == == == == Дo
1 AIBl B1C 1 C1D 1 DIEl AIEl'
кажите, что данные пятиуrольники подобны.
Вариант 1
1. Прямая, проходящая через точку пересечения
диаrоналей параллелоrрамма, отсекает от Hero подоб-
ный ему параллелоrрамм. Найдите отношение сторон
данноrо параллелоrрамма.
2. в треуrольнике АВС известно, что АВ : АС ==
== 2 : 5. Медиана ВМ пересекает биссектрису АК в точ
ке Т. Прямая СТ пересекает сторону АВ в точке Р.
Найдите отношение АР : Р В.
Условия задач
19
3. Точка Р делит сторону АВ треуrольника АВС в
отношении 3: 7, считая от А. В каком отношении
прямая СР делит медиану ВМ?
4. Диаrонали АС и BD трапеции AВCD пересекают-
ся в точке М. Площади треуrольников МВС и МАп
равны соответственно 3 и 27. Найдите:
а) отношение оснований ВС и Ап;
б) площадь трапеции.
5. Для выпуклых четырехуrольников AВCD и
A 1 B 1 C 1 D 1 имеют место соотношения LA == LA 1 ,
АВ AD
L В == L Вр L С == L С р L D == L D 1 И А В == А D .
1 1 1 1
Докажите, что данные четырехyrольники подобны.
Вариант 2
1. Прямая, параллельная одной из сторон паралле-
лоrрамма со сторонами 4 и 10, делит ero на два подоб-
ных (но не равных) параллелоrрамма. Найдите их ко-
эффициент подобия.
2. В треуrольнике MNK NP медиана, МТ
биссектриса, NP пересекается с МТ в точке О. Пря
мая КО пересекает сторону MN в точке С. Найдите OT
ношение MN : МК, если МС : CN == 7 : 3.
3. Точка N делит медиану ВК треyrольника АВС в
отношении 12: 5, считая от вершины В. В каком от-
ношении прямая CN делит сторону АВ?
4. Диarонали АС и BD трапеции пересекаются в
точке О. Площади треyrольников СВО и AOD равны
соответственно 5 и 45. Найдите:
а) отношение оснований ВС и Ап;
б) Площадь трапеции.
5. В выпуклых четырехуrольниках AВCD и
A 1 B 1 C 1 D 1 имеют место соотношения LA == LA 1 и
АВ ВС CD AD
А 1 В 1 == В 1 С 1 == C 1 D 1 == A 1 D 1 .
Докажите, что данные четырехyrольники подобны.
20
Контрольные работы. 8 класс
KM-8 8
Соотношения между сторонами
и уrлами прямоуrольноrо треуrольника
П одzотовительный вариант
1. В прямоуrольном треуrольнике АВС катеты АС
и СВ равны соответственно 7 и 24. Вычислите зна
чения:
а) триrонометрических функций уrла ВАС;
б) триrонометрических функций уrла АМС, rде
СМ : МВ 0= 1 : 3;
в) триrонометрических функций уrла DCA, если
L BCD 0= 300.
2. В прямоуrольной трапеции AВCD меньшее осно-
вание и высота имеют длину Ь, а величина уrла меж
ду высотой и боковой стороной равна [3. Найдите пе-
риметр трапеции.
3. В ромбе острый уrол равен а, а высота равна h.
Найдите длины диаrоналей ромба.
4. Пусть а острый уrол, такой, что tg а 0= .
Используя прямоуrольный треуrольник с катетами
а
3 и 4, вычислите tg "2'
Вариант 1
1. В прямоуrольноN1 треуrольнике АВС rипотенуза
АВ 0= 13, катет АС 0= 12. Вычислите значения:
а) триrонометрических функций уrла ВАС;
б) триrонометрических функций уrла ВМС, rде
ВМ медиана;
в) триrонометрических функций уrла КСА, rде
СК биссектриса.
21
Условия задач
2. Острый уrол параллелоrрамма равен <р, а одна из
ero диаrоналей равна h и является высотой паралле-
лоrрамма. Найдите пери метр параллелоrрамма.
3. 'Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольни
ка равен а, высота, опущенная на ero боковую сторо-
ну, имеет длину т. Найдите длину основания.
4. Используя равнобедренный прямоуrольный тре-
уrольник, найдите tg 22,50.
Вариант 2
1. В прямоуrольном треуrольнике АВС даны кате-
ты СВ == 8, АС == 6. Вычислите значения:
а) триrонометрических функций yrлаАВС;
б) триrонометрических функций уrла пАС, rде
AD медиана;
в) триrонометрических функций уrла ТСА, rде
СТ биссектриса.
2. В равнобедренной трапеции АВсп ВС мень-
шее основание, ВС == а. Найдите пери метр трапеции,
если известно, что острый уrол равен а, а высота тра-
пеции равна меньшему основанию.
3. 'Уrол при вершине равнобедренноrо треyrоль-
ника равен <р, длина основания равна Ь. Найдите
высоту треуrольника, проведенную к боковой CTO
роне.
4. Используя прямоуrольный треуrольник с уrлом
300, найдите tg 150.
22
Контрольные работы. 8 класс
КМ-8-9
Теоремы синусов и косинусов
п одzотовительный вариант
1. Вычислите:
0,4tg 430. cos 900 + 6tg 1500 + 2sin 1200 +
+ 4cos 1500 2ctg 1350.
2. Одна из сторон треуrольника равна 2, а два ero
уrла равны 450 и 600. Найдите все значения, которые
может принимать площадь треуrольника.
3. В треуrольнике АВС точка D принадлежит от-
резку АВ и делит ero в отношении 2 : 1, считая от А,
пв == 4, сп == 6, ВС == 5. Найдите:
а) косинус yrла В;
б) длину АС;
в) площадь треуrольника АВС.
4. В ромбе АВсп L. пвс == . Точка F лежит на CTO
роне пс, причем уrол AВF в 4 раза больше уrла FBC.
Найдите длину отрезка BF, если периметр ромба ра-
вен 8q.
Вариант 1
1. Вычислите:
cos 1200 32sin 4 1500 + 2cos 900. sin 1560 2tg 1350.
2. Одна из сторон треуrольника равна 1, а два ero
уrла равны 300 и 1350. Найдите все значения, кото-
рые может принимать площадь треуrольника.
3. В треуrольнике АВС АВ == 3, АС == М, ВС == 5.
Н йдите:
а) косинус уrла В;
б) длину медианы СМ;
в) площадь треуrольникаАВС.
УсловИЯ задач
23
4. В ромбе АВсп L. ВАС == а; точка К лежит на сто-
роне ВС так, что yrол ВАК равен половине уrла КАп.
Найдите длину отрезка АК, если длина диarонали АС
равна а.
Вариант 2
1. Вычислите:
4sin 1200 32sin 5 1500 + 2сов 900. Bin 1720 + 3tg 1350.
2. Одна из сторон треyrольника равна 1, а два ero
уrла равны 450 и 1200. Найдите все значения, кото-
рые может принимать площадь треyrольника.
3. В треуrольнике АВС АВ == 4, ВС == J[3 , АС == 3.
Найдите:
а) косинус yrлаА;
б) длину медианы СМ;
в) площадь треyrольникаАВС.
4. В ромбе АВсп L. ВАС == а; точка К лежит на сто-
роне ВС так, что yrол пАК в 3 раза больше уrла КАВ.
Найдите длину отрезка АК, если периметр ромба ра-
вен 2р.
KM 8-10
Окружность
П одzотовительныu вариант
1. Две хорды АВ и сп окружности пересекаются
в точке N так, что DN == 16,5, NC == 14, а AN на
10 больше, чем NB. Найдите длину хорды АВ и ради-
ус окружности, если ON == 13 (О центр окружности).
2. Каждая из двух окружностей, имеющих ради-
усы 25 и 26, проходит через концы отрезка длиной
48. Чему может быть равно расстояние между цeHTpa
ми этих окружностей?
24
Контрольные работы. 8 класс
3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют
общую точку О. Окружности радиусов 1 и 5 касаются
обеих прямых. Чему может быть равно расстояние
между центрами этих окружностей? (Рассмотрите все
возможные случаи их взаимноrо расположения.)
4. в окружность диаметра 10Л м вписан шести
уrольник, у KOToporo одна сторона равна 10 м, а все
остальные равны между собой. Найдите уrлы этоrо
шестиуrольника.
5. К двум окружностям, касающимся друr друrа
внешним образом, проведены две общие внешние ка-
сательные NF и TL (N, Р, Т, L точки касания, при-
чем N и Т точки меньшей окружности), образую
щие уrол 600. Радиус большей окружности равен 6.
Найдите: а) радиус меньшей окружности; б) длину
хорды NT.
Вариант 1
1. Две хорды АВ и CD пересекаются в точке М так,
что АМ 6, МВ 4, а DM на 10 больше, чем МС.
Найдите длину хорды DC и радиус окружности, если
ом 5 (О центр окружности).
2. Через концы отрезка длиной 6 проходит каждая
из двух окружностей, имеющих радиусы 4 и 5. Чему
может быть равно расстояние между центрами этих
окружностей?
3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют
общую точку О. Окружности, радиусы !{оторых рав-
ны 2 и 6, касаются обеих прямых. Чему может быть
равно расстояние между центрами этих окружнос
тей? (Рассмотрите все возможные случаи.)
4. в окружность вписан двенадцатиуrольник, две
соседние стороны KOToporo равны радиусу, а десять
остальных сторон равны между собой. Найдите уrлы
этоrо мноrоуrольника.
УсловИЯ задач
25
5. Две окружности с радиусами 2 см и 8 см Kaca
ются друr друrа внешним образом. К ним проведены
две общие внешние касательные NF и TL (N, F, Т,
L точки касания, причем N и Т точки меньшей
окружности), имеющие общую точку Р. Найдите:
а) длину отрезка NF;
б) длину хорды NT;
в) расстояние от Р до центра большей окружности.
Вариант 2
1. Две хорды АВ и CD пересекаются в точке М так,
что АМ == 12, МВ == 3, а DM на 16 больше, чем МС.
Найдите длину хорды DC и радиус окружности, если
ОМ == 8 (О центр окружности).
2. Через концы отрезка длиной 6 проходит каждая
из двух окружностей, имеющих радиусы 7 и 5. Чему
может быть равно расстояние между центрами этих
окружностей?
3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют
общую точку О. Окружности, радиусы которых paB
ны 3 и 4, касаются обеих прямых. Чему может быть
равно расстояние между центрами этих окружнос-
тей? (Рассмотрите все возможные случаи.)
4. в окружность вписан десятиyrольник, две сосед-
ние стороны KOToporo равны радиусу, а восемь осталь-
ных сторон равны между собой. Найдите уrлы этоrо
мноrоуrольника.
5. Две окружности с радиусами 1 см и 9 см Kaca
ются друr друrа внешним образом. К ним проведены
две общие внешние касательные NF и TL (N, F, Т,
L точки касания, причем N и Т точки меньшей
окружности), имеющие общую точку Р. Найдите:
а) длину отрезка NF;
б) длину хорды NT;
в) расстояние от Р до центра большей окружности.
26
Контрольные работы. 8 класс
KM-8 11
Вписанные и описанные окружности
п одzотовительный вариант
1. Прямоуrольник, одна сторона KOToporo вдвое
больше друrой, разрезали на два треуrольника и из
них сложили параллелоrрамм. При этом одна из ди
arоналей параллелоrрамма равна большей стороне
прямоуrольника, а друrая ero диаrональ равна 4.
Одна из сторон параллелоrрамма равна меньшей CTO
ране прямоуrольника. Вычислите площадь паралле
лоrрамма.
2. Катеты прямоуrольноrо треуrольника равны 6
и 8. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до
вершины меньшеrо уrла.
3. Около треуrольникаАВС с уrлами 500 и 660 опи-
сана окружность. Найдите уrлы треуrольника, вер-
шинами KOToporo являются точки пересечения Kaca
тельных к окружности в точках А, В и С.
4. в равнобедренную трапецию с боковой стороной
13 и высотой 12 вписана окружность. Найдите:
а) основания трапеции;
б) радиус вписанной окружности;
в) диаrональ;
r) радиус описанной окружности.
5. в треуrольникеАВС LA == 350, L С == 650, длина
биссектрисы BL равна 3 м. Используя микрокальку
лятор, найдите с точностью до 0,1:
а) периметр треуrольникаАВС;
б) радиус описанной около треуrольника АВе OK
ружности;
в) площадь треуrольника АВС.
УсловИЯ задач
Вариант 1
1. Квадрат разрезали на два треyrольника, из кото-
рых сложили параллелоrрамм с разными диаrоналя-
ми. Найдите площадь этоrо параллелоrрамма, если
ero большая диarональ равна 5.
2. Катеты прямоуrольноrо треyrольника равны 12
и 5. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до
вершины наименьшеrо уrла;
3. В треуrольник с уrлами 500 и 700 вписана ок-
ружность. Найдите yrлы треyrольника, Вершинами
KOToporo являются точки касания окружности со сто-
ронами треуrольника.
4. В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9
вписана окружность. Найдите:
а) боковую сторону;
б) радиус вписанной окружности;
в) высоту;
r) диаrональ;
д) радиус описанной окружности.
5. В треуrольникеАВС LA == 260, L В == 590. Длина
биссектрисы yrла С треуrольника равна 8,2 см.
Используя микрокалькулятор, найдите с точностью
доО,l:
а) длину стороны АВ;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь треуrольника.
27
28
Контрольные работы. 8 класс
Вариант 2
1. Ромб разрезали по ero меньшей диаrонали, paB
ной 12, и из получившихся треуrольников сложили
параллелоrрамм, который не является ромбом и име-
ет периметр 44. Найдите площадь этоrо параллело
rpaMMa.
2. Катеты прямоуrольноrо треуrольника равны 24
и 7. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до
вершины наименьшеrо уrла.
3. В треуrольник с уrлами 720 и 960 вписана ок-
ружность. Найдите уrлы треуrольника, вершинами
KOToporo являются точки касания окружности со CTO
ронами треуrольника.
4. в равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8
вписана окружность. Найдите:
а) боковую сторону;
б) радиус вписанной окружности;
в) высоту;
r) диаrональ;
д) радиус описанной окружности.
5. в треуrольнике АВС L А == 560, L С == 850. Длина
биссектрисы треуrольника, проведенной из уrла В,
равна 4,8 см. Используя микрокалькулятор, найдите
с точностью до 0,1:
а) длину стороны АС;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь треуrольника.
...>,....:.. ,........
Ответы
КМ 8-1
Подzотовителъный вариант
1.1230; 970; 740. 2.580. 3.8 ем. 4.620. 5. Два треуrоль-
ника.
Вариант 1
1.1120; 1170; 770; 540. 2.1240; 560. 3.6 ем или 12 ем. 4.390.
5. Четыре треуrольника.
Вариант 2
1
1.900; 1440; 900; 360. 2. 160.3.2 см или 33 ем. 4.360.5. Три
треуrольника.
КМ-8-2
Подzотовителъныи вариант
1. Три параллелоrрамма. 2.8 см; 10 ем; 8 ем; 10 ем. 3.10 ем.
4. а) 980; 820; 980; 820; периметр 38 ем; б) 1630; 170; 1630; 170;
периметр 72 см.
Вариант 1
1.1230; 1370; 1000. 2.10см; 16см; 10см; 16ем; периметр
52 см. 3. 4. 4. 970; 830; 970; 830; периметр 5 м.
30
Контрольные работы. 8 класс
Вариант 2
1. 1170; 1670; 1300. 2. 14 ем; 6 ем; 14 см; 6 ем; периметр 40 ем.
3.2.4. 1680; 120; 1680; 120; периметр 23 см.
KM 8 3
п одzотовительный вариант
1. 600; 600; 1200; 1200; пери метр 22 ем. 2. 14 см. 4. а) 2; б) 450;
В) 1 : 1.
Вариант 1
1.600; 600; 1200; 1200. 2.4 ем. 4. а) 3; б) 450; в) 2: 3.
Вариант 2
1.600; 600; 1200; 1200. 2. 1,5 см. 4. а) 3; б) 900; в) 4: 1.
КМ-8-4
п одzотовительный вариант
1 2 а(а + Ь) 3 4 5
. 4 см; 8 см.. 4 .. 7 см. . 8. . 42.
Вариант 1
1.40; 5.2.40.3.72 ем 2 . 4. 0,5. 5. 17.
Вариант 2
1.42; 3. 2. 60. 3.32 ем 2 . 4. 9. 5. 19,5.
KM 8 5
п одzотовительный вариант
6Л 2 1
1.а)3,)5; б)9; в)т, 2.8; 15; 17. 3.72см. 4.8; 7 17 '
5. 30 ем; 40 ем. 6. 84.
Вариант 1
м; ) 15.)34 3
1. а) ",34; б) 7,5; в . 2.10. 3.95. 4.12. 5.9 13 ем.
5.126.
Ответы
31
Вариант 2
1. а) .[53 ; б) 7; в) 14 5 J? . 2.1з.3.98.4.7.5.9,6 см. 6.36.
KM 8-6
Подzотовителъный вариант
1 4 5 61
1. 24 .2.7; 2,2; 8,4. 3.15; 20. .1: 4. .10 25 ; 20; 39 16 '
Вариант 1
1. . 2.7,8; 9; 14,4.3.27 JЗ. 4. 2: 5.5.48; 20,25; 18JЗ.
Вариант 2
1. . 2. 5 ; 3 ; 8. 3. 13,5./6.4.2: 3. 5. 2 ; 9; 2./6.
KM 8 7
п одzотовителъный вариант
1. Л . 2. . 3. 1 : 2. 4. 150.
Вариант 1
1. J2 . 2. 5 : 2. 3. 14 : 3. 4. а) 1 : 3; б) 48.
Вариант 2
1
1. "2' 2. 3 : 7.3.5: 6. 4. а) 1 : 3; б) 80.
КМ-8-8
Подzотовителъный вариант
1. (Ниже даны значения синуса, косинуса, TaHreHca и котан-
24 7 24 7 7 6 7 6 ,J3 1 r;;
reHca.) а) 25 ; 25 ; '7; 24 ; б) J85 ; J85 ; 6; 7; в) 2"; "2; ",3;
JЗ 2 ( 1 ) h h 1
3 ' .Ь 3+tg + .3. ; .4. 3 '
cos f-' а.. а.
COS"2 SШ"2
32
Контрольные работы. 8 класс
Вариант 1
1. (Ниже даны значения синуса, косинуса, TaHreHca и KOTaHreH-
5 12 5 5 6 5 J2 J2
са.) а) 13 ; 13 ; 12 ; 2,4; б) .[6i ; .[6i ; 6; 1,2; в) 2""; 2""; 1; 1.
2. 2h(cosq> + 1) . 3. .....Е:....... 4. J2 1.
sш q> cos '" 2 + 1
2
Вариант 2
1. (Ниже даны значения синуеа, косинуса, TaHreHca и котан-
34342323 ЛЛ
reHca.) а) "5; "5; 4"; 3; б) JIЗ ; JiЗ ; 3; 2; В) 2""; 2""; 1; 1.
2. 2а( 1 + cO:i 1 ). 3. bcos . 4. J3 1+ 2 2 .[3 .
KM-8 9
п одzотовителъный вариант
rn 3+JЗ 3+JЗ 1 r:i77
1.2 з.,,2. 2. ; ; 3 .[3; 3. а) 8; б) .,,154;
) 45./7 4 2qsin 2(1.
В 4 . . . 8(1. .
SШ 5
Вариаliт 1
1. O,5. 2. J3 4+ 1 ;
) 5 J5 4 а sin (1.
В 2 . . . 4(1.'
sш 2""
J3 1
;
J3 1
8
3. а) i; б) 5 Jo,69 ;
рариант 2
rn 2 3+JЗ . 3 jЗ 3 jЗ
1.2(."з 2). . 4 , ;
в) 3.[3.4. psin ;(1. .
2 sin 2 (1.
3. а) ; б) J7 ;
33
Ответы
KM-8 10
Подzотовителъный вариант
1.32; 20. 2.17; 3. 3.6./2; 4./2; 2JfЗ. 4. 1080; 1080; 1260
(4 уrла). 5. а) 2; б) 2./3.
Вариант 1
1.14; 7.2. 4 J7; 4 + J7. 3.8./2; 4./2; 4./5.4.1200; 1380;
1380; 1560 (9 уrлов). 5. а) 8 см; б) 3,2 см; в) 3 см.
Вариант 2
1.20; 10. 2. 2,f[б + 4; 2,f[б 4. 3. ./2; 5./2; 7./2. 4.1200;
1350; 1350; 1500 (7 уrлов). 5. а) 6 см; б) 1,2 см; в) 11,25 см.
KM 8-11
п одzотовителъный вариант
1.4. 2. а) 2; б) 5; в) 2,f[б. 3.480; 520; 800. 4. а) 8 и 18; б) 6;
lЗJ3i3 5 2
в) ",313; r) . . а) 13,7 м; б) 2,7 м; в) 7,9 м .
Вариант 1
1.5.2. а) 2; б) 6,5; в) 2..[26.3.550: 600; 650. 4. а) 5; б) 1,5; в) 3;
r;>; 5./34 5 2
r) ",34; д) ----б---' . а) 20,8 см; б) 10,5 см; в) 81,9 см .
Вариант 2
1.96. 2. а) 3; б) 12,5; в) 15./2. 3.420; 540: 840. 4. а) 5; б) 2;
в) 4; r) J41 ; д) 5./f- . 5. а) 3,5 см; б) 2,9 см; в) 8,2 см 2 .
2 I сометрия. 8 11 кл.
ё
"'>.' .....,.......
9 класс
КМ-9-1
Векторы
п одzотовителъныu вариант
1. В параллелоrрамме AВCD АВ 2 см, ВС 5 см,
L АВС == 1120.
а) Постройте этот параллелоrрамм с помощью ли
нейки, транспортира, ЦИРКУЛЯ.
б) Постройте вектор DE == 0,5 ВС З АВ .
в) Измерьте длину вектора DE .
r) Измерьте уrол между векторами DE и DA .
2. В трапецииАВСD (ВС 11 AD) ВС == 2, AD == 5, О
точка пересечения диаrоналей. Найдите такое число
х, если оно существует, что:
а) АО == х . ОС ; б) OD == х . BD ; в) ОА == х . ОВ ;
r) ОК х . AD , rде К лежит на стороне CD и
OKIIAD.
3. Векторы а и Ь не коллинеарны; с == 2а ЗЬ;
d == 4а + хЬ. Найдите все такие действительные числа
х, что:
а) векторы с и d коллинеарны;
35
Условия задач
б) векторы 2а 5'5 и ё 2а коллинеарны;
в) разложите вектор а по векторам '5 и ё.
4. В треуrольнике АВС АВ == св == 10, АС == 12.
Разложите по векторам АВ и ВС :
а) вектор вр (вр биссектриса);
б) вектор АН (АН высота);
в) ОР (О центр вписанной окружности).
Вариант 1
1. В параллелоrрамме AВCD АВ == 5 см, ВС == 4 см,
LAВC == 1430.
а) Постройте этот параллелоrрамм с помощью из
мерительных приборов (линейки, транспортира, цир
куля).
б) Постройте вектор СР == 2AВ + 0,5 DA .
в) Измерьте длину вектора СР .
r) Измерьте уrол между векторами СР и ВС .
2. В трanецииАВСD (ВС 11 AD) ВС == 4, AD == 6, О
точка пересечения диarоналей, М середина ВС, К
серединаAD, F точка пересечения прямых АВ и CD.
Найдите такое число х (если оно существует), что:
а) АО ==х . ОС ; B) FM ==x . FK ;
б) во == х . АС ; r) FO == х . FM .
3. Векторы а и '5 не коллинеарны; с == 3а 7Ь;
d == х . а + з'5. Найдите все такие действительные чис
ла х, что:
а) векторы ё и d коллинеарны;
б) векторы 3а + 8'5 и 5ё 6а коллинеарны.
в) Разложите вектор а по векторам ё и '5.
4. В треуrольникеАВС АВ == св == 10, АС == 8. Раз
ложите по векторам АВ и ВС :
а) вектор АР (АР биссектриса);
б) вектор СН (СН высота);
в) ов (О центр описанной окружности).
36
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 2
1. В параллелоrрамме AВCD АВ == 4 см, ВС == 3 см,
LAВC == 1340.
а) Постройте параллелоrрамм с помощью измери
тельных приборов (линейки, транспортира, циркуля).
б) Постройте вектор DP == 0, 5AВ + 2 ВС .
в) Измерьте длину вектора DP .
r) Измерьте уrол между векторами DP и DC .
2. В трапецииАВСD (ВС 11 AD) ВС == 6, AD == 8, О
точка пересечения диаrоналей, М середина ВС,
К середина AD, F точка пересечения прямых
АВ и CD. Найдите такое число х (если оно существу
ет), что:
а) ВО ==х' DO ; B) FK ==x . FM ;
б) АО ==х . BD ; r)FO==x . FK.
3. Векторы о: и Ь не коллинеарны; с == х а 5Ь;
d == 7 . о: + 2Ь. Найдите все такие действительные
числа х, что:
а) векторы с и d коллинеарны;
б) векторы 50: 4Ь и с + 7а коллинеарны.
в) Разложите вектор Ь по векторам о: и а.
4. В треуrольнике АВС АВ == СВ == 12, АС == 10.
Разложите по векторам АС и СВ :
а) вектор АР (АР биссектриса);
б) вектор СН (СН высота);
в) ОВ (О центр описанной окружности).
КМ-9-2
Скалярное произведение векторов
П одzотовиf11елъный вариант
1. Даны векторы о: и Ь такие, что 10:1 == 2, Ibl == 3,
L (О:, Ь) == 600. Найдите:
а) о: . Ь; б) (20: 3Ь) . Ь; в) 120: зы;
r) косинус уrла между векторами 20: 3Ь и Ь;
37
Условия задач
д) значение числа х, при котором длина вектора
р == х . а + Ь наименьшая.
2. В прямоyrольник AВCD АВ == 2, AD == 6, точка
Е такова, что АЕ . АВ == 6, АЕ . AD == 12.
а) Разложите вектор АЕ по векторам АВ и AD .
б) Разложите вектор АВ по векторам АЕ и AD .
в) Как расположены прямыеАЕ и BD?
3. В треyrольник АВС (АВ == 5, АС == 8, ВС == 7) впи-
сана окружность, К точка касания этой окружнос-
ти со стороной АС. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС ;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС ;
в) величину yrла А;
r) длину вектора ВК ;
д) разложение вектора ВК по векторам АВ и АС .
Вариант 1
1. Дано: laI == 3, lbI == 4, L. (а; Ь) == 1200. Найдите:
а) а . Ь; б)(а 2Ь) . Ь; в) 'а 2Ь\;
r) косинус уrла между векторами а 2Ь и Ь;
д) значение числа х, при котором длина вектора
р == х . а + ь наименьшая.
2. В прямоyrольнике AВCD АВ == 2, AD == 3, точ-
ка F такова, что AF . АВ == 4, АР ' AD == 6.
а) Разложите вектор AF по векторам АВ и ВС .
б) Разложите вектор AD по векторам AF и АВ .
в) Как расположены прямые BD и АР?
3. В треуrолъник АВС, у KOToporo АВ == 5, АС == 8,
ВС == 7, вписана окружность, К точка касания этой
окружности со стороной АС. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС ;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС ;
в) величину yrлаА;
r) длину вектора ВК ;
д) разложение вектора ВК по векторам АВ и АС .
38
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 2
1. Дано: 11ZI == 2 Л, 'Ь! == 6, L. (а; Ь) == 1350. Найдите:
а) а . Ь; б) (а 5Ь) . Ь; в) 'а 5bl;
r) косинус yrла между векторами а 5Ь и Ь;
д) значение числа х, при котором длина вектора
р == а + х . Ь наименьшая.
2. В прямоуrольникеАВСD АВ == 4, AD == 5, точка
Р такова, что АР . АВ == 8, АР . AD == 25.
а) Разложите вектор АР по векторам АВ и AD .
б) Разложите вектор вр по векторам АС и BD .
в) Как расположены прямые BD и СР?
3. В треуrольник АВС, у KOToporo АВ == 5, АС == 3,
ВС == 7, вписана окружность, М точка касания этой
окружности со стороной АВ. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС ;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС ;
в) величину уrлаА;
r) длину вектора СМ ;
д) разложение вектора СМ по векторам АВ и АС .
КМ 9 3
Метод координат на плоскости
П одzотовителъный вариант
1. Точки А, в, С и D заданы своими координатами:
A( 5; 3), В(3; 1), С(8; 9), D( 2; 7). Найдите расстоя
ние между серединой отрезка ВС и точкой, делящей
отрезок AD в отношении 1 : 2, считая от А.
2. Известны координаты вершин параллело
rpaмMa AВCD: A( 2; 3); В( 1; 4); D(9; 1). Найдите
координаты вершины С.
3. Даны векторы: p{ 5; 12}, q{10; 24}, r{x; 3}.
Найдите:
а) косинус yrла между векторамир и q;
39
Условия задач
б) ТаЕое число х, что векторы р и r коллинеарны;
в)такое число х, что вектор q перпендикулярен
вектору r;
r) значение х, при котором длина векторар q r
наименьшая.
4. Даны вершины треуrольника АВС: A( 3; 5),
В(2; 7), С(5; 1). Найдите:
а) длины ero сторон;
б) косинус меньшеrо уrла;
в) площадь треyrольникаАВС;
r) координаты точки пересечения медиан.
5. а) Даны точкиА(l; 1), В(5; 2). Найдите все точки
С оси абсцисс, для которых треyrольник АВС пря
моyrольный.
б) Даны точкиА(2; 1), В(3; 6). Найдите все точки С
оси ординат, для которых треyrольник АВС равно-
бедренный.
Вариант 1
1. Даны точкиА( l; 3), В(7; 1l), C( 7; 5), D(8; 12).
Найдите расстояние между серединой отрезка АВ и
точкой, делящей отрезок CD в отношении 1 : 3, счи-
тая от С.
2. Известны координаты вершин параллелоrрам-
ма MNPQ: М(1; 5); N(2; 6); Р(3; 3). Найдите коор-
динаты вершины Q.
3. Даны векторы т{ 3; 4}, п{12; 5}, r{x; 1}. Най-
дите:
а) косинус yrла между векторами т и п;
б) такое число х, что т 11 r;
в) такое число х, что п 1. r;
r) значение х, при котором длина вектора т п + r
наименьшая.
40
Контрольные работы. 9 класс
4. Даны вершины треуrольника A( 5; 3), B( l; 6)
и С(7; 2). Найдите:
а) длины ero сторон;
б) косинус меньшеrо уrла;
в) площадь треуrольникаАВС;
r) координаты точки пересечения медиан.
5. Даны точки К(l; 3), Р(5; 4). Найдите все такие
точки В оси абсцисс, что треуrольник КРВ paBHO
бедренный.
Вариант 2
1. Даны точки А(l; 3), B( 7; 11), с(о; 5), D(8; 13).
Найдите расстояние между серединой отрезка АВ и
точкой, делящей отрезок CD в отношении 2: 3, счи
тая от С.
2. Известны координаты вершин параллелоrрамма
MNPQ (вершины взяты по порядку обхода): М(3; 2),
N(2; 6), P( 4; 2). Найдите координаты вершины Q.
3. Даны векторы т {4; 3}, п{5; 12}, r{2; х}. Найди
те:
а) косинус уrла между векторами т и п;
б) такое число х, что т 11 r;
в) такое число х, что п ..1 r;
r) значение х, при котором длина вектора т п r
наименьшая.
4. Даны вершины треуrольника А(6; 3), В(2; 6) и
С(8; 2). Найдите:
а) длины ero сторон;
б) косинус большеrо уrла;
в) площадь треуrОЛJi1ника АВС;
r) координаты точки пересечения медиан.
5. Даны точки К(l; 3), Р(3; 7). Найдите все такие
точки В оси ординат, что треуrольник КРВ прямо-
уrольный.
41
Условия задач
КМ -9-4
Уравнения линий на плоскости
П одzотовительныu вариант
Даны точки М(1; 2) и N( 3; 4).
1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:
а) с уrловым коэффициентом; б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой КР, параллельной MN и проходящей че
рез точку K( 2; 1), и укажите какую либо точку F
этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходящей через начало координат
и перпендикулярной MN.
4. Вычислите:
а) площадь треyrольника MNF;
б) расстояние между прямыми КР и MN.
5. Для каждоrо числа R > О определите взаимное
расположение окружности (х + 4)2 + (у + 1)2 == R 2 И
прямой MN.
6. Найдите rеометрическое место точек Р таких,
что: а) МР == NP; б) 3МР == NP; в) мр 2 + Np 2 == 40.
Вариант 1
Даны точки М(l; 1) и N(2; 2).
1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:
а) с yrловым коэффициентом; б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой КР, параллельной MN и проходящей че-
рез точку К(3; 3), и укажите какую либо точку F
этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходящей через начало координат
и перпендикулярной MN.
42
Контрольные работы. 9 класс
4. Вычислите:
а) площадь треуrольника MNF;
б) расстояние между прямыми KF и MN.
5. Для каждоrо числа R > О определите взаимное
расположение окружности (х 2)2 + (у 10)2 == R 2
ипрямойМN.
6. Найдите rеометрическое место точек Р таких,
что: а) мР == NP; б) МР == 2NP; в) мр 2 + Np 2 == 20.
Вариант 2
Даны точки М(1; 1) и N(4; 1).
1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:
а) с уrловым коэффициентом;
б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой KF, параллельной MN и проходящей че-
рез точку К(3; 3), и укажите какую либо точку F
этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходящей через начало координат
и перпендикулярной MN.
4. Вычислите:
а) площадь треуrольника MNF;
б) расстояние между прямыми KF и MN.
5. Для каждоrо числа R > О определите взаимное
расположение окружности (х + 1)2 + (у + 2)2 == R 2
и прямой MN.
6. Найдите rеометрическое место точек Р таких,
что:
а) МР == NP;
б) NP == 2МР;
в) М р2 + N р2 == 17.
Условия задач
43
КМ-9-5
Длина окружности и площадь Kpyra
П одzотовительныu вариант
1. Сторона правильноrо треуrольника, вписанноrо
в окружность, на 5 больше стороны вписанноrо в нее
квадрата. Найдите площадь правильноrо шестиyrоль-
ника, описанноrо около этой окружности.
2. На основании paвHocTopoHHero треуrольника со
стороной а как на диаметре построена полуокруж
насть, рассекающая треуrольник на две части. Най-
дите площадь той части треyrольника, которая лежит
вне полукрyrа.
3. В прямоyrольнике AВCD диаrонали пересека
ются в точке О, АВ == 1 см, L ОАВ == 600. Найдите
площадь и периметр фиryры, которая получается при
пересечении KpyroB, описанных около треуrольников
АВО и ВОС.
Вариант 1
1. Дана окружность радиуса 12 см. Найдите:
а) сторону правильноrо описанноrо треуrольника;
б) периметр правильноrо вписанноrо четырехyrоль
ника;
в) площадь правильноrо описанноrо шестиyrоль
ника.
2. В Kpyre из одной точки окружности проведены
две хорды под yrлом 900 друr к дрyry. Найдите пло-
щадь части Kpyra, заключенной между ними, если
длина каждой хорды равна 4 см.
3. К двум окружностям, радиусы которых равны
8 см, проведены общие внешние касательные. Найди
те площадь и периметр полученной фиrуры, если pac
стояние между центрами окружностей равно 16 см.
44
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 2
1. Дана окружность радиуса 6 см. Найдите:
а) сторону правильноrо вписанноrо треуrольника;
б) периметр правильноrо описанноrо четырехуrоль
ника;
в) площадь правильноrо вписанноrо шестиуrоль-
ника.
2. В Kpyre из одной точки окружности проведены
две хорды, составляющие уrол 1200. Найдите пло
щадь части Kpyra, заключенной между ними, если
длина каждой хорды равна 4 см.
3. Две окружности, радиусы которых равны
4J2 см, имеют общую хорду длиной 8 см. Найдите
периметр оrраниченной этими окружностями фиrуры
и расстояние между центрами окружностей.
KM 9 6
Движения плоскости
п одzотовительный вариант
1. Найдите координаты образа точкиА(2; 3) при:
а) центральной симметрии относительно точки
м(о; 3);
б) осевой симметрии относительно прямой у == 1;
в) повороте на уrол 900 BOKpyr начала координат в
направлении по часовой стрелке.
2. Параллельный церенос переВОДИТ точку (2; 1)
в точку (3; 1). Напишите уравнение образа кривой
х 2 + у2 == 4х при этом переносе .
3. Существует ли выпуклый пятиyrольник, диаrо
наль KOToporo лежит на ero оси симметрии?
Условия задач
45
4. Нарисуйте неравнобедренный треyrольник АВС.
Движение G плоскости таково, что оно меняет ориен
тацию, а прямая АВ остается неподвижной. Укажите
на рисунке какие либо образы точки С.
5. Даны два равных ромбаАВСD и МРКЕ, причем
М является точкой пересечения диаrоналей BD и АС,
а С точкой пересечения диаrоналей РЕ и МК. YKa
жите:
а) центральную симметрию, переводящую данные
ромбы один в дрyrой;
б) осевую симметрию, переводящую эти ромбы один
в друrой;
в) параллельный перенос, переводящий ромБАВСD
в ромб МРКЕ.
Вариант 1
1. Найдите координаты образа точки А( 1; 2) при:
а) центральной симметрии относительно точки
М(2; 5);
б) осевой симметрии относительно прямой х == 2;
в) повороте на уrол 1200 BOKpyr начала координат в
направлении против часовой стрелки.
2. Найдите уравнение образа окружности х 2 +
+ у2 4х + 8у == 5 при параллельном переносе на ВеК-
тор с координатами { 2; 3}.
3. Нарисуйте неравнобедренный треyrольник АВС.
Движение G плоскости таково, что оно меняет ориен
тацию, а точки А и В остаются неподвижными. Ука-
жите на рисунке какой либо образ точки С.
4. Сколько осей симметрии имеет правильный
754 уrольник?
5. Две окружности с центрами А и В касаются
друr друrа в точке М середине отрезка АВ. YKa
жите:
46
Контрольные работы. 9 класс
а) центральную симметрию, переводящую эти ок-
ружности одна в друryю;
б) осевую симметрию, переводящую эти окружнос-
ти одна в друrую;
в) параллельный перенос, переводящий окруж-
ность с центром А в окружность с центром В;
r) какой либо поворот на yrол 600, переводящий
окружность с центром В в окружность с центром А.
Вариант 2
1. Найдите координаты образа точки А(3; 5) при:
а) центральной симметрии относительно точки
М(1; 7);
б) осевой симметрии относительно прямой у == 2;
в) повороте на уrол 1200 BOKpyr начала координат в
направлении по часовой стрелке.
2. Найдите уравнение образа окружности х 2 + у2 +
+ 6х 4у == 3 при параллельном переносе на вектор с
координатами {5; 3}.
3. Нарисуйте неравнобедренный треуrольник АВС.
Движение плоскости G таково, что прямая АВ непо
движна и а(А) == В, и оно не меняет ориентацию. YKa
жите на рисунке какой либо образ точки С.
4. Сколько осей симметрии имеет правильный
175 уrольник?
5. Даны два квадратаАВСР и РСМК. Укажите:
а) центральную симметрию, переводящую KBaдpa
ты один в друrой;
б) осевую симметрию, переводящую квадраты один
в друrой;
в) параллельный перенос, переводящий квадрат
АВСР в квадрат РСМК;
r) какой либо поворот на yrол 900, переводящий
квадрат РСМК в квадрат АВСР.
Условия задач
47
КМ-9-7
Повторение
П одzотовительный вариант
1. Длины сторон параллелоrрfu"4ма равны 15 см и
13 см, а одна из ero высот равна 12 см. Найдите (рас-
смотрев все случаи): а) площадь параллелоrрамма;
б) диarонали параллелоrрамма.
2. ТреyrолъникАВС, у KOToporoAC == 6, LA == 750,
L В == 300, вписан в окружность. Найдите длины дуr
окружности, концами которых являются вершины
треуrольника.
3. Три окружности, имеющие радиусы 1, 2 и 3, по
парно касаются дрyr дрyrа внешним образом. Найди-
те радиус окружности, проходящей через центры дан-
ных окружностей.
4. В треyrольнике АВС известно, что АВ == 15,
ВС == 14, АС == 13, а медиана АА 1 пересекает биссект-
рису ВВ 1 в точке Р. Найдите площадьА 1 РВ 1 С.
Вариант 1
1. В треyrолънике АВС высотыАА 1 и ВВ 1 равны
соответственно 3 и 5, а yrол между прямыми, содер-
жащими эти высоты, равен 600. Рассмотрев два слу-
чая, найдите: а) площадь треyrольника; б) высоту СС 1 .
2. В окружность радиуса 10 вписан треyrольник
MNF, у KOToporo LM == 800, LN == 400. Биссек-
триса yrла М пересекает окружность в точке Р,
биссектриса yrла N в точке Q. Найдите длину PQ.
3. Три равные окружности, радиусы которых рав-
ны 8 J3 , попарно касаются друr дрyrа. Найдите ради-
ус окружности, касающейся этих трех окружностей.
4. В треyrолънике АВС АВ == 6, ВС == 5, АС == 4.
Медиана ВВ 1 пересекает биссектрису АА 1 в точке Q.
Найдите площадь четырехyrольника А 1 QB 1 С.
48
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 2
1. В треуrольнике АВС высоты СС! И ВВ! равны
соответственно 2j2 и 4, а yrол между прямыми, co
держащими эти высоты, равен 450. Рассмотрев два
случая, найдите:
а) площадь треуrольника;
б) третью высоту.
2. В окружность радиуса 6 вписан треуrольник
MNF, у KOToporo L F == 400, L N == 200. Биссектриса
уrла F пересекает окружность в точке L, биссектриса
уrла N в точке Е. Найдите длину отрезка LE.
3. Центры четырех равных окружностей радиуса 2
находятся в вершинах квадрата со стороной 4. Найди
те радиус окружности, касающейся всех этих четы-
рех окружностей.
4. В треуrольнике АВС АВ == 3, ВС == 2, АС == 4.
Медиана ВВ 1 пересекает биссектрису СС! в точке Q.
Найдите площадь четырехуrольника АВ 1 QC 1 .
КМ-9-8
Итоrовое повторение
П одzотовительный вариант
1. Точки А, В, С и D лежат на окружности радиуса
R (в данном порядке при обходе по часовой стрелке).
Дуrи DCB и СВА равны по 800, а дуrа пСА равна 1000.
Найдите уrлы четырехуrольника AВCD и длину от-
резка ВС.
2. В прямоуrольном треуrольнике АВС к rипотену-
,.
зе АВ проведена высота CN. Площадь треyrольника
ACN равна 6 см 2 , а площадь треуrольника BCN
54 см 2 . Найдите стороны треуrольника АВС и ради
усы вписанной и описанной окружностей.
49
УсловиЯ задач
3. в прямоуrольнике AВCD AD : АВ == 5 : 3. На сто-
ронах АВ, ВС, CD и DA выбраны точки Е, Р, М и Р
соответственно так, что АР: PD == 2: 3, а ЕРМР
ромб. Найдите отношение площадей прямоуrольника
и ромба.
4. Отрезок СН биссектриса треуrольника. Точки
F и D основания перпендикуляров, опущенных
из точки Н на стороны АС и ВС соответственно;
АС == ВС, LACB == 600, HD == 14JЗ. Найдите CTOpO
ны треyrольника.
5. В прямоyrольную трапецию с острым уrлом а
вписана окружность радиуса R. Найдите площадь
трапеции.
Вариант 1
1. На окружности радиуса R последовательно отме-
чены точки А, В, С и D так, что величины дyrАВ иве
равны соответственно 500 и 800, а диarонали четырех
yrолъника AВCD равны между собой. Найдите длину
наибольшей стороны четырехyrолъника.
2. Отрезок СН высота прямоуrольноrо треуrоль
никаАВС (L С == 900); HL == 3НК, rде HL и НК бис
сектрисы треуrольников ВСН и АСН соответственно,
АВ == 2 J5 . Найдите площадь треуrольника АВС.
3. На двух сторонах прямоrо yrла с вершиной М
выбраны точки D и К соответственно так, что
MD: МК == 7. На биссектрисе DMK взята точка Е,
равноудаленная от D и К. Определите длину отрезка
DK, еслиМЕ == 4.
4. Отрезок СМ биссектриса треуrольника АВС.
Точки К и Р основания перпендикуляров, опущен-
ных из точки М на стороны треyrольника АС и ВС co
50
Контрольные работы. 9 класс
ответственно; ВС == AC, L ВСА == 600, МК == 2. Най
дите отношение площадей треуrольников МСА и
ВМС и длину стороны АВ.
5. Трапецию можно вписать в Kpyr, радиус катара-
ro в J7 раз больше радиуса Kpyra, вписанноrо в эту
же трапецию. Найдите все yrлы данной трапеции.
Вариант 2
1. На окружности радиуса r последовательно отме-
чены точки К, М, N и Q так, что величины дyr КМ и
MN равны соответственно 400 и 1000, а хорды KN и
MQ пересекаются под уrлом 700. Найдите длину на-
ибольшей стороны четырехуrольника KMNQ.
2. В прямоуrольном треуrольнике АВС (L С == 900)
проведена высота СН. Отрезки АМ и СР медианы
треyrольников АСН и НСВ соответственно, причем
3АМ == 4СР. Найдите радиус окружности, описанной
около треуrольникаАВС, если ero площадь равна 96.
3. Уrол АВС прямой, АВ == 4, ВС == 3. Найдите
расстояние от В ДО точки К, лежащей на биссектрисе
прямоrо уrла, если точка К равноудалена от А и С.
4. В остроуrольном треуrольнике АВС высоты
АА 1 == 2, СС 1 == 4, BN биссектриса треуrольника,
AN == . Найдите длину отрезка NC и площадь тре-
уrольника АВе.
5. В прямоуrольную трапецию вписана окруж-
ность. Точки касания этой окружности со сторонами
трапеции являются вершинами четырехyrольника,
площадь KOToporo в 4 раза меньше площади трапе-
ции. Чему равен наименьший уrол трапеции?
51
Условия задач
Вариакт 3
1. Для четырех точек плоскости А, D, F и N выпол
няется соотношение AN == 4AD ЗАР . Докажите, что
точки D, N и F принадлежат одной прямой. Найдите
ND, если NF == 12.
2. На боковой стороне трапеции выбрана точка, дe
лящая эту сторону в отношении З : 1, считая от вер-
шины меньшеrо основания. Прямая, проходящая че-
рез эту точку параллельна основаниям, делит пло-
щадь трапеции в отношении 2 : 1, считая от меньшеrо
основания. В каком отношении делит площадь трапе-
ции ее средняя линия?
3. Окружность радиуса R касается катета РМ пря-
моyroльноrо треyrольника MPN в точке М, а также
касается катета PN и пересекает rипотенузу треyrоль-
ника, деля ее в отношении 4 : 1, считая от вершины
М. Найдите радиус окружности, вписанной в Tpe
yrольник MPN.
4. В полукрyr диаметра d помещены две равные ка-
сающиеся дрyr дрyrа окружности. Определите длину
одной такой окружности, если каждая из двух ок-
ружностей касается также диаметра полукрyrа и ero
дyrи.
5. Докажите, что rеометрическое место точек, CYM
ма квадратов расстояний от которых до вершин квад-
рата равна сумме квадратов ero диarоналей, есть опи-
санная около этоrо квадрата окружность. (Возможно
использование координатноrо метода.)
52
Контрольные работы. 9 класс
Барuакт 4
1. Для четырех точек плоскости А, Б, С и D выпол
няется соотношение 5 0Б == ОА + 4 0С . Докажите, что
точки А, Б и С лежат на одной прямой. Найдите ВС,
если АВ == 24.
2. На боковой стороне CD трапеции AВCD выбраны
точки М и L так, что СМ == ML == LD, а на стороне АВ
выбраны точки N и Р так, что АР == PN == NB. Отноше
ние площадей четырехyrольников BNMC и APLD
равно 1: 3. Чему равно отношение основанийAD и ВС
трапеции?
3. В треуrольнике ADF стороны AD и DF равны.
Окружность касается основания треyrольника в точ-
ке А, касается также стороны DF, а сторону AD пере
секает в точке М такой, что АМ: MD == 3. Найдите
длину основания треуrольникаADF.
4. Две окружности, радиусы которых равны r и
O,5r, касаются внутренним образом в точке D. OTpe
зок DP диаметр окружности большеrо радиуса.
Найдите радиус третьей окружности, если она KacaeT
ся двух данных окружностей и отрезка DP.
5. Докажите, что rеометрическое место точек, сум-
ма квадратов расстояний от которых ДО сторон КВад-
рата в 1,5 раза больше площади этоrо квадрата, есть
вписанная в этот квадрат окружность. (Возможно ис
пользование координатноrо метода.)
Условия задач
53
Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1. Найдите больший уrол треуrольника, если вели
чины ero уrлов образуют арифметическую nporpec-
сию с разностью 150.
А) 800; Б) 600; В) 750; r) 1050.
2. Два уrла треуrольника равны 580 и 260. Найдите
уrол между высотой и биссектрисой, проведенными
из вершины третьеrо yr ла.
А) 180; Б) 160; В) 1200; r) 1640.
3. Стороны треyrольника равны 13 и 5. Какое на-
именьшее целое значение может принимать периметр
этоrо треyrольника?
А) 36; Б) 19; в) 18; r) 27.
4. Вписанный в окружность уrол величиной 400
опирается на дуry длиной 16. Найдите длину окруж-
ности.
А) 164; Б) 2п; в) 72; r) 16п.
5. Точка, лежащая внутри прямоyrольника, OTCTO
ит от ero сторон на 1, 8, 9, 5 (стороны берутся по ПО
рядку). Найдите площадь прямоyrольника.
А) 120; Б) 130; В) 112; r)126.
6. Диаrонали трапеции образуют прямой уrол и
каждая из них равна 8. Найдите площадь трапеции.
А) 64; Б) 32; В) 8п; r) 16.
7. Уrол между апофемами, проведенными к двум
соседним сторонам правильноrо мноrоуrольника, pa
вен 100. Найдите число сторон мноrоуrольника.
А) 72; Б) 18; В) 36; r) 20.
54
Контрольные работы. 9 класс
8. Средняя линия отсекает от треуrольника трапе
цию, площадь которой равна 30. Какова площадь Bce
ro треyrольника?
А) 60; Б) 40; В) 90; r) 20.
9. Одна из сторон вписанноrо в окружность пяти-
уrольника является диаметром окружности, а осталь-
ные стороны равны между собой. Найдите уrол меж-
ду равными сторонами.
А) 1200; Б) 1350; В) 1050; r) 450.
10. Одна из сторон прямоуrольника в 7 раз больше
дрyrой. Найдите площадь прямоуrольника, если ero
диаrональ равна 1 о.
А) 21; Б) 50; в) 70; r) 14.
11. Стороны трапеции равны 2, 2, 2, 4. Найдите
сумму тупых уrлов трапеции.
А) 2700; Б) 2400; в) 2000; r) 1000.
12. В окружность вписан треуrольник со CTopOHa
5 12 13 u
ми , , . Наидите длину окружности.
7t 7t 7t
А) 13п;
Б) 20;
В) 13;
r) 7п.
13. Высота прямоуrольноrо треуrольника делит
rипотенузу на отрезки 16 и 9. Найдите сумму длин
катетов.
А) 40;
Б) 25;
В) 8;
r) 35.
14. Два прямоyrольных треуrольника с катетами 5
и 12 имеют общую rипотенузу. Найдите расстояние
между вершинами прямых уrлов этих треуrольни
ков, если прямая, проходящая через эти две различ
ные точки, не параллельна и не перпендикулярна rи
потенузе треуrольников.
60
А) 13 ;
Б) 13;
В) 2;
r) 7.
УсловИЯ задач
55
15. Основания трапеции равны 2 и 4. Диarональ тра-
пеции разбивает ее на два треуrольника, площадь боль-
шеrо из которых равна 8. Найдите площадь трапеции.
А) 20; Б) 10; В) 14; r) 12.
16. Сколько диаrоналей у выпуклоrо семиуrоль-
ника?
А) 21; Б) 7; В) 14; r) 28.
17. В треуrольнике АВС ВВ! медиана, АВ!
== ВВ 1 == ве. Найдите меньший yrол треyrольника.
А) 450; Б) 300; в) 200; r) 900.
18. Дано: jaJ == 3; JbI == 4, L (а; Ь) == 1200. Найдите
ra 2bJ.
А) J79 ; Б) 7; в) J97 ; r) 5.
19. Найдите координаты образа точки A( 55; 1)
при повороте на 1800 BOKpyr точки В(2; 7).
А) (1; 55); Б) (59; 3); В) (13; 59); 11 (59; 13).
20. Найдите длину линии, заданной уравнением
х 2 + х + у2 == о.
А) 2п; Б) п;
7t
В)2;
r) 1.
21. Вставьте пропущенное: «Для Toro чтобы вы-
пуклый четырехyrольник был параллелоrраммом,
..., чтобы диarональ делила ero на два равных Tpe
уrольника. .
А) необходимо; В) необходимо и достаточно;
Б) достаточно; r) не необходимо и не достаточно.
6
. '. . . .
.':" ..:-,:".":.".:.',':
.' ..." . . .
Ответы
KM 9 1
п одzотовителъныu вариант
1. в) 5,57; r) 92,60. 2. а) ; б) ; в) не сущеетвует; r) .
3 1 3 4 1 1
.a) 6; б) 9; в)а 2Ь + 2е, .a) 2AВ + 2ВС; б)АВ +
7 3 3
+ 25 вс; в) 16 АВ + 16 вс.
Вариант 1
2 3 2 б
1. в) 11,66 ем; r) 148,930. . а) 2; б) не еущеетвует; в) 3; r) 5'
9 93 1 7 5
3. а) 7 ; б) 16 ; в) а 3 с + 3 ь. 4. а) АВ '9 ВС; б) BC О,68АВ;
25 25
в) 84 АВ 84 вс.
Вариант 2
3 4 б
1. в) 4,83 ем; r) 63,330. ,.2. а) 4; б) не еущеетвует; в) 3; r) 7'
35 1 7 4 5
3. а) 2; б) 60,25; в) Ь 2 d 2 а. . а)АС + 11 св;
47 25 36 72
б) 72 АС+ 72 св; в) 119 АС + 119 св.
Ответы
57
KM-9 2
п одzотовительный вариант
rc; 7 3 2 3 1
1. а) 3; б) 21; В) ",61; 1') Jбi ; д) х 4' . а) zAВ з AD ;
2 2 3
б) зАЕ + gAD; В) перееекаютея. . а) ВС AВ + АС; б) 20;
r.n 3
В) 600; r) ",19; д) AВ + вАС.
Вариант 1
1 rn;; 19 2 2
. а) 6; б) 38; В) ",97; r) rn;; ; д) х 3 ' . a)AF AВ +
2",97
2 3 3 3
+зВС;б)AD zAF+ zАВ;в)пересекаются. .a)BC AC AВ;
б) 20; В) 600; 1') Л9; д) вк AC AВ .
Вариант 2
1. а) 12; б) 192; В) ,)1028 ; r) ; д) х i. 2. а) АР
1 1 5
zAВ + AD; б) вр 4AC + 4BD; В) пересекаются.
- ,j43 . .....
3. а) ВС AC AВ; б) 7,5; В) 1200; r) ""'2; д) см О,lAВ AC.
KM 9-3
п одzотовителъный вариант
1 ./3733 119 5 36
. . 2. С(10; 8). 3. а) 169 ; б) 4; В) 5; 1') 15.
4. а) АВ 13; АС 10; ЕС 3./5; б) ; В) 33; 1') ( 1i; 1 ).
5. а) (3 . ./2; 0), (3 + ./2; 0), ( 1 ; о ), ( 5 ; о ); б) (о; 4),
(о; 1 J22 ), (о; 1 + J22), (о; 6 J[7), (о; 6 + J[7).
58
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 1
.j2474 16 3 5
1. . 2. Q(2; 4). 3. а) 65 ; б) 4 ; В) 12 ; 1') 9. 4. а) 5; 13;
м 17.[2 ( 1 1 ) м м
8..,,2; б) ""'"'26'"; В) 28; 1') "3; 23 . 5. (1 + 2..,,2; О), (1 2..,,2; О),
Св 1 ; О). (6; О), (4; О).
Вариант 2
./997 16 3 5 4
1. . 2. Q( 3; 6). 3. а) 65 ; б) 2; В) 6; r) 15. . а) 5; 10;
./29; б) 5 ; В) 7; r) (5 ; 2 ). 5. (о; з ), (о; 8Ю, (о; 6),
(о; 4).
KM 9 4
П одzотовителъный вариант
1 2 1 1 Х у
. Х + 2у 5 == О. . а) у == 2 Х + 22; б) 5 + 2,5 .,. 1.
3. а) у == Х 2; Р(О; 2); б) У == 2х. 4. а) 9; б) J5 . 5. При
11J5 11J5
R < общих точек нет; при R == одна общая точка;
при R > 11 5 J5 две общие точки. 6. а) у == 2х + 5; б) (х )2 +
( 7 ) 2 45
+ у 4 == 16 ; В)(Х + 1)2 + (у 3)2 == 15.
Вариант 1
1. 3х + у 4 == о. 2. а) у == 3x + 4; б) 4 3 + == 1. 3. а) 3х +
1 r1t'i. 6 ЛО
+ у 6 == о; Р(2; О); б) У == 3 х. 4. а) 1; б) 0,2..,,10.5. При R <
6ЛО
общих точек нет; при R == одна общая точка; при
_ 6ЛО ( 7 ) 2
R > две общие точки. 6. а) х 3у 3 == о; б) х 3 +
2 40 2 2
+ (у + 3) == 9"; В)(Х 1,5) + (у + 0,5) == 7,5.
59
Ответы
Вариант 2
2 2х 5 х У
1.2х + 3у 5 о. . а) у З + 3; б) 2,5 + 5/3 1.
238
3. а) у 3 х 1; P( 3; 1); б) у 2 х. 4. а) 4; б) щ ' 5. При
R < J[3 общих точек нет, при R J[3 одна общая точка,
при R > J[3 две общие точки. 6. а) 6х 4у 15 о; б) х 2 +
+ ( у Ю 2 5; ; в) (х 2,5)2 + у2 5,25.
KM 9-5
п одzотовителъный вариант
1 25./3 '" '" 2 2 а2 '" 3 1 '"
. --з-----(",3 + ..,,2). . 24 (3",з п). . S 36 (4п 3",з) +
+ 112 (2п 3./3 ) см 2 ; Р (2./3 + 3) ем.
Вариант 1
1. а) 24./3 см; б) 48./2 см; в) 288./3 ем 2 . 2. (4п+8)ем 2 .
3. S (256 + 64п) см 2 ; Р (32 + 16п) см.
Вариант 2
1. а) 6./3 см; б) 48 см; 54./3 см 2 . 2.(8./3+ з п )CM2. 3.p
4п./2 ем; L 8 см.
KM 9 6
Подzотовительный вариант
1. а) ( 2; 9); б) (2: 1); В) ( 3; 2). 2. (х 3)2 + (у 2)2 4.
3. Не еуществует. 4. Один образ еимметричен С относительно
прямой АВ, друrой образ еимметричен С отноеительно cepe
Динноrо перпендикуляра к отрезку АВ. 5. а) Zo. О середина
отрезка мс; б) Sa' а серединный перпеНДИКУЛЯр к отрезку
мс; в) Т мс '
60
Контрольные работы. 9 класс
Вариант 1
1. а) (5; 12); 6) (5; 2); в) О ./3 ; 1 1 ) . 2. (х,)2 + (у,)2 +
+ 2у' 24. 4. 754. 5. а) ZM; 6) 8/, М Е l, l ..L АВ; в) ТАЕ ; r) Rбg'.
О Е l, по часовой етрелке.
Вариант 2
1. a)( l; 19); 6)(3; 1); в) ( ; ). 2. (х 2)2 +
+ (у + 1)2 16. 4. 175. 5. а) Zo' АМ (1 ВК О, О u СР; 6) 8 рс ;
90"
в) Т СМ ; r) Rp.
КМ-9-7
п одzотовителъный вариант
1. а) 156 или 180 ем 2 ; 6) 4М или 2 ./157 см. 2.5п; 5п; 2п.
4 13
3. 2,5. . 26 43 .
Вариант 1
l.а)5./3; 6» );g или 1; .2.10'/з. 3.16 8./3; 16+ 8./3.
4 33./7
. 32 .
Вариант 2
м rn м 21М
1.а)8;6)4илиО>8.J 5 .2.6.J 2 .3.2.J 2 2;2.J2 +2.4. 64'
KM 9 8
п одzотовителъный вариант
1. 400; 1400; 1400; 400; рс R. 2. 2 JIQ см; 6 JIQ см; 20 см; ра-
диус опиеанной окружности 10 см, радиус вписанной окруж-
ности (4М 10) см. 3.9: 5. 4. АВ ./117 ; ВС 12;АС 9.
5. 2R 2 (Si.n а + 1) .
SШ а
ответЫ
61
Вариант 1
1. 2R или J6 ; J2 R. 2.3. 3.5. 4.3: 2; 190 .[2i. 5.60°, 60°,
120°,120°.
Вариант 2
r;:; 7 J2 10 4 rп; о
1. 2т или r",з. 2. 10.3. """2.4. "3; 3 ",21 2. 5. 30 .
Вариант 3
2 З J5 r;:;
1.9. .11: 7. 3. R. 4.п(",2 1)d.
Вариант 4
л5 4
1.6.2.7. 3. 3R. 4. gr.
Тестовая работа
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
В Б r в Б Б В Б Б r Б в r Б r в Б В r Б А
...:.:.....:... с........
10 класс
KM-10-l
Аксиомы стереометрии.
Простейшие rеометрические тела
П одzотовительный вариант
1. В треуrольнике DEF EF == 8, ED == 17. Найдите
площадь треyrольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону FD, и точку
пересечения высот треyrольника можно провести по
крайней мере две различные плоскости;
б) через медиану DK и центр вписанной в треуrоль-
ник окружности можно провести по крайней мере две
различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости
DEF, пересекающая биссектрису DK и содержащая
центр окружности, описанной около треуrольника
KFD.
2. В правильном тетраэдре EFGS EF == 12; точки L
и N лежат на ребрах SG и SE соответственно; SL == 3,
SN == 3; точка Т середина ребра SF. Найдите:
а) точку У1 пересечения прямой LT и плоскости
EFG;
63
УсловИЯ задач
б) точку У2 пересечения прямой NT и плоскости
EFG;
в) длину отрезка У1 У2;
r) точку пересечения прямой NT и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY1 У 2 и NFE;
е) отношение, в котором плоскость LY 1 У 2 делит OT
резок SE (считая от точки S).
Вариант 1
1. В треуrольнике АВС АС == 12; ВС == 5. Найдите
площадь треyrольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону АВ, и центр
описанной около треyrольника окружности можно
провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через прямую АК, перпендикулярную ВС, и
центр вписанной в треуrольник окружности можно
провести по крайней мере две различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости
АВС, пересекающая медиану ВМ и содержащая
центр такой окружности, которая проходит через Bep
шины В, С и середину стороны АС.
2. В кубеАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 с ребром 8 точка М се-
рединаАА 1 ; N лежит на ребре DD 1 ; D 1 N == 6. Найдите:
а) точку Х 1 пересечения прямой MN и плоскости
АСВ;
б) точку Х 2 пересечения прямой MN и плоскости
А 1 В 1 С 1 ;
в) длину отрезка Х 1 Х 2 ;
r) точку Х 3 пересечения прямой ВХ 1 и плоскости
DD 1 C;
д) отношение, в котором точка Х 3 делит отрезок
DC (считая от D);
е) общую прямую плоскостей Х 1Х2Х 3 И АА 1 В.
64
Контрольные работы. 10 класс
Вариант 2
1. В треуrольнике кмр км == 4, кр == 5. Найдите
площадь треуrольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону КР, и центр
описанной около треyrольника окружности можно
провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через прямую АМ, перпендикулярную кР, и
центр вписанной в треуrольник окружности мож
но провести по крайней мере две различные плос
кости;
в) существует прямая, не принадлежащая плоскос
ти треуrольника, пересекающая медиану РВи прохо-
дящая через центр вписанной в треyrольник кмр
окружности.
2. В правильном тетраэдре AВCD все ребра имеют
длину 8; М середина AD; К середина DB; Р ле
жит на ребре DC; DP == 6. Найдите:
а) точку Х 1 пересечения прямой мр и плоскости
АВе;
б) точку Х 2 пересечения прямой кр и плоскости
АВе;
в) длину отрезка Х 1 Х 2 ;
r)точку пересечения прямой МР и плоскости
АКс;
д) прямую пересечения плоскостей мх 1 к и X 2 DC;
е) отношение, в котором плоскость МХ 1 Х 2 делит
отрезок DB (считая от В).
65
Условия задач
KM 10-2
Взаимное расположение прямых в пространстве
П одzотовителыlйй вариакт
1. в кубе EFGHE 1 F 1 G 1 H 1 точки L, N и Т середи-
ны ребер F 1 Gl' G 1 H 1 и Н 1 Н соответственно, К точ-
ка пересечения диarоналей rрани EE 1 F 1 F.
а) Заполните таблицу взаимноrо расположения
прямых и уrлов между ними.
Прямые Их расположение Уrол между ними
LN и Еа
F1ТиFН
F lN и КТ
TN и Еа
F 1 Т И KN
КН1иLN
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью
KNT, если ребро куба равно а.
2. В правильном тетраэдре AВCD ребро АВ == 7;
А/ и К середины ребер DB и АС соответственно.
Точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 2, считая от
точки С. Найдите длину отрезка прямой, проходящей
через точку Р параллелъно прямой КМ, заключенно-
ro внутри тетраэдра.
3. Пусть М середина ребра АВ пирамиды
AВCD, а точка N делит ребро АС в отношении 1: 2,
считая от вершины А. Докажите, что в плоскости
rрани BCD нет ни одной прямой, параллельной пря
мой MN.
3 rсомстрия. 8 1l кл.
66
Контрольные работы. 10 класс
Вариант 1
1. В правильном тетраэдре АВсп точки К, F,
Р, м середины ребер AD, пс, ВС и АВ соответ-
ственно.
а) Заполните таблицу взаимноrо расположения
прямых и уrлов между ними.
Прямые Их расположение 'Уrол между ними
KF и МР
KF и ВС
кр и MF
ВFиМР
кр и ВС
СМ и'КF
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью
KMF, если ребро тетраэдра равно а.
2. В кубе АВспА 1 в 1 с 1 п 1 с диаrональю в 1 п == 8
через точку К ребра В 1 С 1 , делящую ero в отношении
3: 5, считая от Вl' проведена прямая, параллельная
прямой в 1 п. Найдите длину отрезка этой прямой,
заключенноrо внутри куба.
3. Докажите, что в плоскости rрани мпс пира-
миды МАВсп (АВсп параллелоrрамм) нет ни
одной прямой, параллельной прямой АР (Р середи
на ВС).
67
Условия задач
Вариант 2
1. В кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки К И F середины
ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно; М и р точки пе-
ресечения диаrоналей rраней A 1 D 1 DA и DCC 1 D 1 COOT
ветственно.
а) Заполните таблицу расположения прямых и yr-
лов между ними.
Прямые Их расположение 'Уrол между ними
KF и МР
КМ и FP
KF и BD
DC 1 и KF
FРиAD
МР и В 1 С
б) Найдите длину наибольшей стороны MHOrO
уrольника, являющеrося сечением куба, проходящим
через точки М, F и К, если ребро куба равно а.
2. В тетраэдре AВCD все ребра KOToporo равны 12,
точка М середина ребра BD, точка Р делит
ребро АС в отношении 5: 7, считая от С. Найдите
длину отрезка прямой, проходящей через точку Р
параллельна прямой СМ, заключенноrо внутри тет-
раэдра.
3. Докажите, что в плоскости rрани ВВ 1 С 1 С приз-
мы АВСА 1 В 1 С 1 нет ни одной прямой, параллельной
прямойАК (К середина ребраА 1 В 1 ).
68
Контрольные работы. 10 класс
KM-l0 3
Взаимное расположение
прямой и ПЛОСRОСТИ
п одzотовительныu вариант
1. В кубеАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , все ребра KOToporo равны
а, точка М лежит HaAD; АМ == х.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М
и параллельное прямым вп и А 1 С.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
2. В кубеАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 точки Р, N, К, М внут.
ренние для реберА 1 Вl' А 1 п 1 , DD 1 и ВВ 1 соответствен-
но, причем прямые РМ и NK пересекаются. Прямые
NK и AD пересекаются в точке Zl' прямые РМ и
АВ в точке Z2' а МК и BD в точке Z3. Найдите
длину отрезка Z2Z3' если ZlZ2 == 8, ZlZЗ == 13.
3. Равнобедренная трапеция А 1 в 1 с 1 п 1 является
изображением трапеции AВCD с основаниями AD ==
== 10, ВС == 5. Найдите площадь трапеции А 1 в 1 с 1 п 1 ,
если около нее можно описать окружность с диа
MeTpoMA 1 D 1 иА 1 В 1 == 3.
Вариант 1
1. В правильном тетраэдре AВCD с ребром а точка
М лежит на отрезке АС; МС == х.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М
и параллельное прямым пС и АВ.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
69
Условия задач
2. В треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1 М, К, N и
Р внутренние точки ребер ВВ 1 , В 1 Сl' А 1 С 1 И АА 1
соответственно, причем прямые MN и КР пересека-
ются. Прямые МК и ВС пересекаются в точке Хl'
прямые NP и АС в точке Х 2 ' а МР и АВ в точ-
ке Х З ' Найдите длину отрезка Х 1 Х 3 ' если Х 1 Х 2 == 10,
Х 2 Х 3 == 12.
3. Трапеция A 1 B 1 C 1 D 1 является изображением тра-
пеции AВCD с основаниями АВ == 2 и CD == 8. Найди-
те площадь трапеции A 1 B 1 C 1 Dl' если около нее мож
но описать кру!' С диаметром C 1 D 1 иА 1 В 1 == Jб.
Вариант 2
1. В правильной треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1
все ребра равны а; L середина А 1 В 1 ; м лежит на
АС; МС == х.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М и
параллельное прямым АВ и CL.
б) Определите площадь сечения.
2. В тетраэдре AВCD М, N и Р внутренние точки
ребер AD, DB и DC соответственно, причем прямые
МР иАС пересекаются в точке Уl' прямые PN и ВС
в точке У2' прямые MN и АВ в точке У3' Найдите
длину отрезка У2 У З' если У1 У 2 == 3, У1 У З == 5.
3. Равнобедренная трапеция A 1 B 1 C 1 D 1 является
изображением трапеции AВCD с основаниями AD == 2
и CD == 8. Найдите площадь трапеции A 1 B 1 C 1 Dl' если
в нее можно вписать Кру!' с диаметром 9.
70
Контрольные работы. 10 класс
KM 10 4
Параллельпые плоскости
П одzотовительный вариант
1. Плоскости а и f3 параллельны, плоскость у пере
секает плоскость а по прямой а, а плоскость f3
по прямой Ь. Плоскость 8 пересекает плоскость у ПО
прямой с. Как MorYT быть расположены прямые
а, Ь и с?
2. В правильной треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1
все ребра равны а. Точка М лежит наАВ, АМ: МВ ==
== 3: 1, N серединаВ 1 С 1 .
а) Через точку М проведите сечение, параллельное
плоскости А 1 ВС.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
r) В каком отношении плоскость сечения делит от-
резок AN, считая от А?
3. Прямая DF пересекает параллельные плоскости
а, В, у соответственно в точках п, Е и F, причем
DF == 3, FE == 9. Прямая EG пересекает плоскости а и
у соответственно в точках G и Н, причем EG == 12.
Найдите все значения, которые может принимать
длина GH.
Вариант 1
1. Плоскость а 1 параллельна плоскости В1' а плос
кость а 2 параллельна плоскости В 2 ; а 1 пересекает а 2
по прямой fi; В 1 пересекает В 2 по прямой Ь. Как MorYT
быть расположены прямые а и Ь?
2. Точка М лежит на ребре А 1 В 1 кубаАВСDА 1 В 1 с 1 п 1
с ребром а; В 1 М: А 1 М == 2: 1.
71
Условия задач
а) Через точку М проведите сечение, параллельное
плоскостиАВ 1 С 1 .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
r) В каком отношении плоскость сечения делит от-
резокА 1 С, считая отА 1 ?
3. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости
а, t3, у соответственно в точках А, В, С, причем АВ == 3,
ВС == 7. Прямая МК пересекает плоскости а, t3, у со-
ответственно в точках М, К, Р, причем МР == 10.
Найдите все значения, которые может принимать
длинаМК.
Вариакт 2
1. Прямые а и Ь параллельны. Прямая а параллель-
на плоскости а, прямая Ь параллельна плоскости t3.
Как Moryт быть расположены плоскости а и t3?
2. В правильном тетраэдре AВCD, ребро KOToporo
равно а, DO высота тетраэдра, М середина DO.
а) Через точку М проведите сечение, параллельное
плоскости BCD.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
r) В каком отношении плоскость сечения делит вы-
соту тетраэдраAF, считая отА?
3. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости
а, t3, у соответственно в точках А, В, С, причем
АВ == 14, ВС == 4. Прямая МК пересекает плоскости
а, t3, у соответственно в точках М, К, Р, причем
МР == 10. Найдите все значения, которые может р:ри-
нимать длина МК.
72
Контрольные работы. 10 класс
KM 10-5
Перпендикулярность
прямой и плоскости
П одzотовuтельн.ыu вариан.т
1. В четырехуrольнике AВCD диаrонали АС и BD
перпендикулярны и равны. Точка М не лежит в плос.
кости четырехуrольника, причем МА перпендику-
лярна этой плоскости. Известно, что МА == МС == MD.
Найдите уrлы четырехуrольника.
2. В правильной треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1
все ребра равны 2; точка М середина ребра В 1 С 1 .
а) Докажите, что прямая В 1 С 1 перпендикулярна
плоскости АА 1 М.
б) Через точку пересечения диаrоналей rрани
АА 1 С 1 С проведите прямую, перпендикулярную плос
костиАА 1 М.
в) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен
Horo внутри призмы.
r) В каком отношении делит этот отрезок плос-
костьАА 1 М?
д) Найдите площадь сечения призмы плоскостью,
проходя щей через середину СМ перпендикулярно
прямой СВ.
3. в прав ильной треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1
все ребра равны между собой; М середина ребра
СВ. Через точку N, "лежащую на А 1 М, A 1 N == х,
х Е (о; 7), проведено сечение, перпендикулярное пря-
мой АМ. Как изменяется сумма внутренних уrлов ce
чения этой призмы плоскостью В зависимости от х,
если АМ == 7?
Условия задач
73
Варuан.т 1
1. Дан ромб AВCD, точка М не лежит в ero плос
кости; АМ == МВ == МС; прямая DM перпендикуляр-
на плоскостиАВС. Найдите уrлы ромба.
2. Дан куБАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 с ребром 2.
а) Докажите, что прямая А 1 С 1 перпендикулярна
плоскости BDD 1 .
б) Докажите, что плоскость A 1 C 1 D перпендикуляр-
на прямой BD 1 .
в) Через точку К (середину C 1 D 1 ) проведите пря-
мую, перпендикулярную плоскостиА 1 С 1 D.
r) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен
Horo внутри куба.
д) В каком отношении плоскость A 1 DC 1 делит дaH
ный отрезок, считая от точки К?
3. В кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 , диаrональ KOToporo рав-
на 6, через внутреннюю точку М диаrонали BD 1 про-
ведено сечение, перпендикулярное этой диаrонали.
Как меняется сумма внутренних уrлов сечения в за-
висимости от х, если х == МВ, х Е (о; 6)?
Варuан.т 2
1. Дана трапеция AВCD (АВ 11 CD); L ADC == 500;
точка М не лежит в плоскости трапеции; М D == МС ==
== МВ; прямая МА перпендикулярна плоскости АВС.
Найдите уrлы трапеции.
2. В правильном тетраэдре AВCD с ребром 2 точка
М серединаDВ.
а) Докажите, что DB перпендикулярна плоскости
АМС.
б) Через точку пересечения медиан треуrольника
ADC прав едите прямую, перпендикулярную плоскос-
ти АМС.
74
Контрольные работы. 10 класс
в) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен-
Horo внутри тетраэдра.
r) В каком отношении делит этот отрезок плос-
костьАМС, считая от точки М?
д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоско
стью, проходя щей через середину см перпендику-
лярно прямой АС.
3. Все ребра тетраэдра АВсп равны между собой.
Через точку м, лежащую на медиане АК (АК == 6)
rрани АВС, проведено сечение, перпендикулярное
прямойАК. Как меняется сумма внутренних уrлов ce
чения тетраэдра этой плоскостью в зависимости от х,
если х ==АМ, х Е (о; 6)?
KM 10-6
Расстолние в пространстве
п одzотовuтельн.ый варuан.т
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит ero
в отношении 7: 5, считая от точки В. Найдите рас-
стояние от точки А до плоскости, если расстояние от
середины отрезка до этой плоскости равно 2.
2. Все вершины куба, кроме, может быть, двух
противоположных А и С 1 (лежащих на одной диаrона
ли), одинаково удалены от некоторой плоскости. Най-
дите расстояние от каждой из этих вершин (не считая
А и С 1 ) дО этой плоскости, если ребро куба равно 6.
(Рассмотрите два случая.)
3. В равнобедренном треуrольнике АВС АВ == ВС ==
== а, L В == а. Расстояние от точки М ДО плоскости тре-
уrольника также равно а; М 1 проекция точки М на
плоскость треуrольника является точкой пересече
ния медиан треуrольника. Найдите расстояния от
точки М до вершин треуrольника и прямых, coдep
жащих ero стороны.
75
УсловИЯ задач
Варuан.т 1
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит ero
в отношении 3 : 7, считая от А. Расстояние от середи
ны этоrо отрезка до плоскости равно 4. Найдите pac
стояние от точки В ДО этой плоскости.
2. Длины всех ребер тетраэдра равны 6. Все верши
ны тетраэдра одинаково удалены от некоторой плос-
кости. Найдите расстояние от вершины тетраэдра до
этой плоскости (рассмотрите два случая).
3. В ромбе AВCD острый уrол L А == а, АВ == а. Рас-
стояние от точки М ДО плоскости ромба равно а;
М 1 проекция точки М на плоскость ромба
лежит на отрезке АС и М 1 А == 3М 1 С. Найдите расстоя-
ние от точки М до вершин ромба и прямых, содержа
щих ero стороны.
Варuан.т 2
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит ero
в отношении 2: 5, считая от точки В. Найдите pac
стояние от середины этоrо отрезка до плоскости, если
расстояние от точки В ДО этой плоскости равно 10.
2. Длины всех ребер тетраэдра равны между собой.
Все вершины тетраэдра одинаково удалены от HeKOTO
рой плоскости на расстояние 6. Найдите длину ребра
тетраэдра (рассмотрите два случая).
3. В ромбе AВCD тупой yrол L А == а, АВ == а. Рас-
стояние от точки М до плоскости ромба также равно а;
11J 1 проекция точки М на плоскость ромба рас-
положена на луче АС так, что М 1 А == AC. Найдите
расстояние от М до вершин ромба и прямых, содер-
Жащих ero стороны.
76
Контрольные работы. 10 класс
KM-I0 7
Уrол между прямой
и плоскостью
П одzотовuтельн.ыu варuан.т
1. Отрезок АС проекция наклонной АВ на плос-
кость ACD. Уrол между лучами АС и AD равен 450.
Найдите уrол между лучами АВ иAD, если уrол меж-
ду прямой АВ и плоскостью ACD равен 600.
2. Сторона АВ прямоуrольника AВCD лежит в
плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоско-
стью уrол <р. Какой уrол образует с этой плоскостью
диаrональ BD, если: а) BD == 2АВ; б) ВС == 2АВ?
3. Две наклонные, проведенные к плоскости, обра-
зуют с ней равные уrлы. Их проекции образуют уrол
t3, а уrол между наклонными равен <р. Найдите уrол
между каждой из наклонных и плоскостью.
Варuан.т 1
1. Отрезок АС проекция наклонной АВ на плос-
кость ACD. Лучи AD и АС образуют уrол 300. Най
дите уrол между прямой АВ и плоскостью ACD, если
уrол между прямыми АВ и AD равен 600.
2. Сторона АВ треуrольника АВС лежит в плоскос-
ти АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью
уrол <р. Какой уrол образует с этой плоскостью сторо-
на АС, если: а) треуrольник АВе равносторонний;
б) АВ ==АС, L САВ == 90 0 ?
3. Из одной точки к плоскости проведены две
наклонные, образующие между собой уrол t3, а с плос
костью уrлы, равные <р. Найдите уrол между их
проекциями.
77
)'О\ОВИЯ задач
Вариакт 2
1. Отрезок АС проекция наклонной АВ на плос
I:ОСТЬ ACD. Уrол DAВ равен 450. Найдите уrол между
лучами AD и АС, если уrол между наклонной АВ и
плоскостью DAC равен 300.
2. Сторона АВ параллелоrрамма AВCD лежит в
;лоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоско
СТЬЮ yrол <р. Какой уrол образует с этой плоскостью
диаrональ BD, если: a)AВCD квадрат; б)АВСD
ромб, L В == 120 0 ?
3. Две наклонные, проведенные из одной точки к
плоскости, образуют с ней уrлы, равные <р. Их про-
екции образуют уrол 13. Найдите уrол между наклон
ными.
KM-I0 8
Уrол между двумя плоскостями
П одzотовuтельн.ый варuан.т
1. Дан ромБАВСD с уrлом 600. Прямая МА перпен-
дикулярна плоскости ромба, причем АВ == АМ == а.
Найдите уrлы между плоскостями: а)АМВ и АВС;
б)АМВ и AМD; в) MDC и АВС; r) МАп и МВС;
д) MDC и ВСМ.
2. Плоскости АВС и AВD образуют yrол 450. Из-
вестно, что AD == 3, АВ == 5, ВС == J2, DA 1. АВ,
СВ 1. АВ. Найдите: а) CD; б) уrол между прямой CD и
плоскостью АВС.
3. Точка М лежит внутри двyrранноrо уrла вели-
чиной 600 и удалена от ero rраней на расстояния 3 и 5.
Найдите расстояние от точки М до ребра двуrранноrо
уrла.
78
Контрольные работы. 10 класс
Варuан.т 1
1. Дан ромб AВCD с уrлом А, равным 600. Пря-
мая МА перпендикулярна плоскости ромба, АВ == а,
АМ == 2а. Найдите уrлы между плоскостями: а)АМВ
и АВС; б)АМВ и AМD; B)MDC и АВе; r)MAD и
МВС; д)МDСиВСМ.
2. Уrол между плоскостями АВС и AВD равен 600,
DA..L АВ, CB..L АВ, AD == 2, АВ == 4, св == 3. Найдите:
а) CD; б) уrол между прямой CD и плоскостью АВе.
3. Точка М лежит внутри двуrранноrо уrла величи-
ной 450 и удалена от ero rраней на расстояния 4 и зJ2.
Найдите расстояние от М до ребра двуrранноrо уrла.
Варuан.т 2
1. Дан ромб AВCD с уrлом А, равным 600. Прямая
МА перпендикулярна плоскости ромба, АВ == 2а,
АМ == а. Найдите уrлы между плоскостями: а)АМВ и
АВС; б)АМВиАМD; в)МDСиАВС; r)МADиМВС;
д) MDC и МВС.
2. Плоскости АВС и AВD образуют уrол 600,
DA ..L АВ, CB..L АВ, AD == 4, АВ == 3, св == 2. Найдите:
а) CD; б) уrол между прямой CD и плоскостьюАВС.
3. Точка М лежит внутри двyrранноrо уrла величи-
ной 1200 и удалена от ero rраней на расстояния 4 и 6.
Найдите расстояние от М до ребра двуrранноrо уrла.
KM 10 9
Мпоrоrраппые уrлы
П одzотовuтельн.ый варuан.т
1. Все плоские уrлы выпуклоrо MHororpaHHoro yr
ла равны 850. Какова может быть сумма всех плоских
уrлов этоrо MHororpaHHoro уrла?
79
Условия задач
2. Точка М лежит внутри TpexrpaHHoro уrла с вер-
шиной К, все плоские уrлы KOToporo прямые,
и удалена от ero rраней на расстояния 12, 16 и 21.
Найдите уrлы, которые образует прямая КМ со всеми
rранями и ребрами TpexrpaHHoro уrла.
3. Дан трехrранный уrол ODEF, L DOE == L DOF ==
== arcsin , ребро OF наклонено к плоскости ODE
ПОД уrлом 450. Найдите:
а) двуrранный уrол при ребре OD, при условии, что
он тупой;
б) уrол EOF;
в) уrол наклона ребра OD к плоскости OFE;
r) уrол FGH, rде G проекция точки F на плос
кость DOE, Н проекция точки Е на плоскость
DOF.
Вариант 1
1. Все плоские yrлы выпуклоrо MHororpaHHoro yr-
ла равны 630. Какова может быть сумма всех плоских
уrлов этоrо MHororpaнHoro уrла?
2. Точка М лежит внутри TpexrpaHHoro уrла с Bep
шиной К, все плоские yrлы KOToporo прямые,
и удалена от ero rраней на расстояния 3, 4 и 12. Най-
дите уrлы, которые образует прямая КМ со всеми
rранями и ребрами TpexrpaHHoro уrла.
3. Дан трехrранный yrол ОАВС, LAOB == LAOC ==
== arctg Л, L ВОС == 900. Найдите:
а) двуrранный yrол при ребре ОА;
б) уrол На1шона ребра ОА к плоскости ОВС;
в) уrол наклона ребра ОС R плоскости ОАВ;
r) уrол ВРМ, rде Р проекция точки В на плос-
кость АОС, М проекция точки Р на ПЛОСRостьАОВ.
80
Контрольные работы. 10 класс
Варuан.т 2
1. Все плоские уrлы выпуклоrо MHororpaHHoro yr-
ла равны 500. Какова может быть сумма всех плоских
уrлов этоrо MHororpaHHoro уrла?
2. Точка М лежит внутри TpexrpaHHoro уrла с вер-
шиной К, все плоские уrлы KOToporo прямые,
и удалена от ero rраней на расстояния 9, 12 и 8. Най-
дитеуrлы, которые образует прямая КМ со всеми
rранями и ребрами TpexrpaHHoro уrла.
3. Дан трехrpанный yrол мр К, L мор == L МОК ==
== arccos Jз , двуrранный уrол при ребре ом равен
1200. Найдите:
а) уrол РОК;
б) двуrранный уrол при ребре р;
в) уrол наклона ребра р к плоскости МОК;
r) уrол КСЕ, rде С проекция точки К на плос-
кость мор, Е проекция точки С на плоскость МОК.
KM 10 10
Цилиндр и конус
П одzотовuтельн.ыu варuан.т
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R
проведены два пересекающихся сечения. Найдите
длину их общеrо отрезка, если:
а) плоскости сечений проходят через середину оси,
причем одна проходит также и через хорду OCHOBa
ния, а друrая пар лельна основанию;
б) одна плоскость проходит через диаметр АВ ниж-
Hero основания и касается BepxHero основания в точке
С, а друrая проходит через диаметр CD BepxHero осно-
вания и касается нижнеrо основания в точке А.
81
Условия задач
2. Конус с высотой 3 и радиусом основания 4 имеет
с каждой из параллельных плоскостей одну общую
точку. В каких пределах может изменяться расстоя-
ние между этими плоскостями?
3. Через вершину конуса проведено сечение с yr-
лом при вершине, равным 2а. Найдите уrол, образуе-
мый сечением с основанием конуса, если yrол при
вершине oceBoro сечения конуса равен 2/3.
4. Осевое сечение конуса треуrольник с yrлом
1200 при вершине и высотой h. В конус вписан ци-
линдр с образующей 0,5h. Найдите радиус основания
цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образующая цилиндра лежит на диаметре осно-
вания конуса.
Вариакт 1
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R
проведены два пересекающихся сечения. Найдите.
длину их общеrо отрезка, если:
а) плоскости сечений параллельны оси цилиндра;
б) плоскости сечений проходят через середину оси
и параллельные между собой хорды оснований.
2. Цилиндр с высотой 8 и радиусом основания 3
имеет с каждой из параллельных плоскостей одну об-
щую точку. В каких пределах может изменяться рас-
стояние между этими плоскостями?
3. Уrол в осевом сечении конуса равен 1200. Через
две образующие конуса проведено сечение под yrлом
600 к основанию. Найдите yrлы этоrо сечения.
4. Осевое сечение конуса прямоyrолъный треyrоль-
ник с rипотенузой а. В конус вписан цилиндр с ради
усом основания r. Найдите высоту цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образующая цилиндра лежит на диаметре осно-
вания конуса.
82
Контрольные работы. 10 класс
Вариакт 2
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R
проведены два сечения, образованные плоскостями,
проходящими через центр нижнеrо и две хорды Bepx
Hero основания. Найдите длину их общеrо отрезка,
если:
а) хорды параллельны;
б) хорды имеют общую точку на окружности OCHO
вания.
2. Цилиндр с высотой 6 и радиусом основания 4
имеет с каждой из параллельных плоскостей одну об-
щую точку. В каких пределах может изменяться рас-
стояние между этими плоскостями?
3. Через вершину конуса проведено сечение под
уrлом 2а к основанию. Найдите уrлы этоrо сечения,
если образующая конуса наклонена к основанию под
уrлом а.
4. Осевое сечение конуса равносторонний Tpe
уrольник с высотой h. В конус вписан цилиндр с обра
зующей 1. Найдите радиус основания цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образующая ЦИЛИНдра лежит на диаметре OCHO
вания конуса.
КМ-I0-ll
Сфера и шар
Подzотовuтелъкыu вариакт
1. Две сферы, радиусы которых равны 13 и 15,
имеют общее сечение, диаметр KOToporo равен 24.
Найдите расстояние между центрами этих сфер.
111
83
Условия задач
2. Два шара, радиусы которых равны 1 м и 2 м, ка-
саются каждой из трех попарно перпендикулярных
между собой плоскостей. Чему может быть равно рас-
стояние между центрами этих шаров?
3. а) Ребро куба равно 10. Найдите радиус шара,
касающеrося всех ребер этоrо куба.
б) Все ребра треyrольной пирамиды равны 4. Най-
дите радиус шара, касающеrося всех ребер этой пира
миды.
4. В правильной пирамиде MAВCDEF МО == h ее
высота. Боковой rранью пирамиды является paBHO
бедренный треуrольник с уrлом 300 при вершине.
Найдите длину линии пересечения поверхности пира
миды с поверхностью сферы, если: а) МО радиус
сферы с центром М; б) МО диаметр сферы.
Вариакт 1
1. Две сферы, радиусы которых равны 7 и 5, имеют
общее сечение, диаметр KOToporo равен 8. Найдите
расстояние между центрами этих сфер.
2. Два шара, радиусы которых равны 2 м и 8 м, Ka
саются каждой из трех попарно перпендикулярных
между собой плоскостей. Чему может быть равно рас-
стояние между центрами этих шаров?
3. Ребро основания правильной треyrольной приз
мы равно 6. Шар касается всех ребер этой призмы.
Найдите: а) радиус шара; б) высоту призмы.
4. В правильной пирамиде MAВCD высота МО paB
на h, а боковые rрани правильные треyrольники.
Найдите длину линии пересечения поверхности пира-
миды с поверхностью сферы, если: а) МО радиус
сферы с центром М; б) МО диаметр сферы.
84
Контрольные работы. 10 класс
Вариакт 2
1. Две сферы, радиусы которых равны 9 и 5, имеют.
общее сечение, диаметр KOToporo равен 6. Найдите
расстояние между центрами этих сфер.
2. Два шара, радиусы которых равны 3 м и 4 м, ка-
саются каждой из трех попарно перпендикулярных
между собой плоскостей. Чему может быть равно рас-
стояние между центрами этих шаров?
3. Все ребра правильной шестиyrольной призмы
равны 8. Шар касается всех ребер этой призмы. Най
дите: а) радиус шара; б) высоту призмы.
4. В правильном тетраэдре МАВС высота МО равна
h. Найдите длину линии пересечения поверхности
тетраэдра с поверхностью сферы, если:
а) МО радиус сферы с центром М;
б) МО диаметр сферы.
KM-I0 12
Повторение
П одzотовuтелъкый вариакт
1. В правильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD TaHreHC уrла наклона апофемы к плоскости
основания равен J2. Точка К лежит на стороне
основания АВ и делит ее в отношении 1: 5, считая
от А. Найдите уrол м'"ежду прямой КМ и плоскостью
DMC.
2.В правильной четырехуrольной призме
AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро основания равно 15, а высота
Условия задач
85
равна 15jЗ. Точка К лежит на ребре основания A 1 D 1
и делит ero в отношении 1: 4, считая от А1' а точка
Р лежит на ребре основания D 1 C 1 и делит ero в OTHO
шении 1 : 2, считая от D 1 .
а) Постройте сечение призмы плоскостью ВКР.
б) Найдите величину двуrранноrо уrла В(КР )В 1 .
в) Найдите площадь сечения.
3. Ребро основания правильной пирамиды DAВC
равно б, а апофема равна 3 J3 + 2 Jб. Точка М
середина высоты DH пирамиды. Точка Н является
центром шара, касающеrося ребра АВ основания
пирамиды. Найдите длину линии пересечения по-
верхности пирамиды и сферической поверхности.
Вариант 1
1. В правильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD плоские уrлы при вершине М равны БОа.
Точка К лежит на стороне основания AD и делит ее в
отношении 1: 3, считая от А. Найдите уrол между
прямой КМ и плоскостью DMC.
2. Дан куб AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром Ь. Точка К ле-
жит на ребре AD и делит ero в отношении 1: 2, счи
тая от А; точка Р середина ребра DC.
а) Постройте сечение куба плоскостью В 1 КР.
б) Найдите величину двуrранноrо уrла В 1 (КР )В.
в) Найдите площадь сечения.
3. Высота DH правильноrо тетраэдра DAВC равна h
и является диаметром шара. Найдите длину линии
пересечения поверхности тетраэдра и сферической
lIOверхности.
86
Контрольные работы. 10 класс
Вариакт 2
1. В правильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD уrол наклона боковоrо ребра к плоскости oc
нования равен 450. Точка К лежит на стороне OCHOBa
ния CD и делит ее в отношении 5: 3, считая от С.
Найдите уrол между прямой КМ и плоскостью DMA.
2. В прав ильной четырехуrольной призме
AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро основания равно 8 см, а высота
равна 8,8 см. Точка К лежит на ребре основания AD и
делит ero в отношении 5: 3, считая от D; р cepe
дина ребра АВ.
а) Постройте сечение куба плоскостью С 1 КР.
б) Найдите величину двуrранноrо уrла С 1 ( КР )С.
в) Найдите площадь сечения.
3. Ребро правильноrо тетраэдра DAВC равно а.
Точка М лежит на высоте тетраэдра СН и делит ее в
отношении 1: 3, считая от Н. При этом точка М
является центром шара, касающеrося ребра АВ. Най
дите длину линии пересечения поверхности тетраэдра
и сферической поверхности.
87
Условия задач
Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1. Медиана треуrольника делит этот треyrольник
на два равнобедренных треуrольника. Сколько плос-
костей можно провести через эту медиану, ортоцентр
и центр тяжести этоrо треyrольника?
А) ни одной; Б) одну; В) бесконечно MHoro;
r) это зависит от дополнительных условий.
2. Два равнобедренных треyrольника АВК и АВМ
имеют общее основание АВ == 24; АК == ВК == 13;
АМ == ВМ == 20. Найдите сумму всех различных це-
лых значений, которые может принимать длина от-
резка МК.
А) 21; Б) 32; В) 176;
r) таких значений бесконечно MHoro.
3. Дан тетраэдр DAВC; ВС == 10, AD == 11, Р лежит
на ребре ВС, РС == 3. Через точки С, Р и В проведены
параллельные плоскости а, 13 и у, пересекающие пря-
мую AD соответственно в точках А, L и К, причем
AL == 6. Найдите DK, если L лежит на ребреAD.
А) 9; Б) 7; В) 11; r) о.
4. Расстояние между параллельными плоскостями
а и /3 равно 7, а расстояние между прямой а, прина
длежащей а, и прямрй Ь, принадлежащей /3, равно 8.
Каково может быть расположение прямых а и Ь?
А) параллельны или скрещиваются;
Б) параллельны; В) скрещиваются;
r) данная ситуация невозможна.
5. В тетраэдре DAВC АС == ВС == АВ == 3; AD == 7;
BD == 5. Сколько плоскостей, перпендикулярных пря-
мой DC, можно провести через прямую АВ?
А) одну; Б) ни одной; В) бесконечно MHoro;
r) это зависит от длины ребра DC.
88
Контрольные работы. 10 класс
6. Вершины треуrольника АВе удалены от плоскос
ти а на расстояния 1,5 и 8. Сколько различных значе-
ний может принимать расстояние от точки М пересе
чения медиан этоrо треуrольника до плоскости а?
А) бесконечно MHoro; В) четыре;
Б) одно; r) три.
7. В кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с длиной ребра 6 точка К
лежит на ребре В 1 Сl' В 1 К == 2, М лежит на ребре АВ,
АМ == 4. Найдите уrол между прямыми АС 1 И К М.
2./2
А) о; В) arctg 5 ;
7t
Б)(i;
r) BepHoro ответа нет.
8. В тетраэдре DAВC длины всех ребер равны. Рас-
стояние между прямыми DC и АВ равно 6, Р сере-
дина ребра AD, М середина ребра ВС. Найдите рас-
стояние между прямыми РМ иАС.
А) 2JЗ; Б) о;
В) зл!2 ;
r) 3.
9. Прямая МА составляет с плоскостью АВе уrол
57° и перпендикулярна прямой АВ; прямая КВ
составляет с плоскостью АВе уrол 47° и также пер
пендикулярна прямой АВ. Какие значения может
принимать уrол между прямым и МА и КВ?
А) 10° или 104°; Б) 10° или 76°;
В) значения в диапазоне от 10° до 76° включи
тельно;
r) значения в диапазоне от 0° до 90° включительно.
10. Высота правильной четырехуrольной пирами
дЫ MAВCD равна 6 и ОQразует с Плоскостями rраней
уrлы 30°. Найдите расстояние от точки А до rрани
МВС.
А) 3 JЗ; Б) 6; В)::::: 5,3; r) в условии мало данных.
89
Условия задач
11. Внутри двуrранноrо yrла, paBHoro 600, лежит
точка, удаленная от ero rраней соответственно на 5 и
2. Найдите расстояние от этой точки до ребра ДBY
rpaHHoro уrла.
А) 7;
Б) 2Щ;
.[5i
В) 10arctg "7 ;
r) BepHoro ответа нет.
12. Точка М лежит внутри куба AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Прямая АМ составляет с плоскостями АА 1 В 1 И АВС
уrлы 300 и 450 соответственно. Какой уrол составляет
эта прямая с плоскостью ADA 1 ?
А) arcsin -: ; Б) 450; В) arctg ; r) 300.
2п
13. Два плоских уrла TpexrpaHHoro уrла равны 3
1t С u
И 3' колька целых значении может принимать Tpe
тий плоский yrол?
А) ни одноrо; Б) 120; В) 3; r) сколько уrодно.
14. Прямая МК лежит внутри TpexrpaHHoro уrла
с вершиной М, все плоские уrлы KOToporo прямые,
и составляет со всеми ero rранями равные yrлы. Най-
дите величину этих уrлов.
A)arctg J2; Б) 600; В) arccos ; r) верноrоответанет.
15. Уrол в развертке конуса равен 1080. Как распо-
ложен относительно данноrо конуса центр описанно-
ro около этоrо конуса 'шара?
А) лежит на основании конуса;
Б) лежит внутри конуса;
В) совпадает с вершиной конуса;
" r) лежит вне конуса.
90
Контрольные работы. 10 класс
16. Найдите отношение диаметров вписанноrо и
описанноrо около цилиндра шаров.
А) 1: ; В) 0,5;
Б) 1 ; r) в условии мало данных.
17. На поверхности сферы взяты три окружности,
каждая из которых проходит через точки А и В, ле
жащие на сфере, и имеет длину 1Оп. Найдите диаметр
сферы.
А) любое число, большее 10; В) 10;
Б) 5; r) BepHoro ответа нет.
18. Четыре сферы радиуса 6 расположены так, что
каждая из них касается трех остальных. Найдите рас-
стояние от плоскости, касающейся трех таких сфер,
до центра четвертой сферы.
А) 4 J6 + 6; В) 4 J6 6;
Б) 8; r) BepHoro ответа нет.
6
..::-:....,< '.'. ....
Ответы
КМ-10-1
П одzотовительный вариант
1. а) 60; б) 4 ./273 ; в) 60.2. в) УI У 2 =о 6; 1') У2; д) Y2N (или TN);
е) 1 : 3.
Вариант 1
1. а) 30; б) 5 ; в) 30.2. в) ВЩ; д) 1 : 1; е) ВМ.
Вариант 2
1. а) 6; б) 1,25.;39; в) 2,J2I . 2. в) 4; 1') Х 1 ; д) Х 2 К (или РК);
е) 1 : 1.
КМ-10-2
П одzотовительный вариант
1. а)
Прямые Их раеположение "У1'ол между ними
LN и EG скрещиваются 900
F 1 ТиFН 1
пересекаютея arctg ./2
2 2
F 1 N и КТ параллельны 00
TN и EG скрещиваются 600
F 1 ТиКN 1
пересекаются arccos ./5
КН 1 иLN скрещиваютея 300
9а 2
б) 8' 2. 2.j2 .
92
Контрольные работы. 10 класс
Вариант 1
1. а)
Прямые Их расположение 'у rол между ними
KF и мр параллельны 00
KF и ВС скрещиваются 600
кр и MF пересекаются. 900
BF и мр скрещиваются arccos
кр и ВС пересекаются 900
см и KF скрещиваются 300
2
6) . 2. 5.
Вариант 2
1. а)
Прямые Их расположение 'Уrол между ними
KF и мр параллельны 00
км и FP параллельны 00
KF и вп скрещиваются 900
пС 1 и KF скрещиваются 600
FРиAD пересекаются arctg J2
мр и В 1 С скрещиваются 600
...
aJ5 2 М
6)2' .3,5",з.
93
Ответы
КМ-10-3
Подzотовительныu вариант
rn х 2 Jб 27 J3
1. б) х(",5 + ",2); в) 4"'""'".2.5 или 21. 3. 4"'""'"'
Вариант 1
15.ji5
1. 2а; в) х(а х). 2. 2 или 22. 3. .
Вариант 2
1. б) (а 2 x 2 ),.ft .2.2 или 8.3. 101 .
КМ-10-4
п одzотовительный вариант
1. Прямые а и Ь параллельны, а прямая с либо параллельна
3 9a 2 J7
им, либо их перееекает. 2. б) 4 а (2.j2 + 1); в) 64; 1') 3 : 5.
3.3; 6.
Вариант 1
1 2 2а rn 1 2 rn 3 15
. а 11 Ь. . б) "3 (3 + ",2); в) 3 а ",2; r) 1 : 5. . 3; 2" .
Вариант 2
25а 2 J3 7
1. а 11 . 2. б) 2,5а; в) ""'144'"; r) 5 : 1. 3. 79; 14.
КМ.10.5
п одzотовительный вариант
1. 600; 750; 1500; 750. 2. в) 1; r) 1 : 1; д) jЗ. 3. Сумма уrлов
равна 1800, еели х Е (о; 4]; 3600, еели х Е (4; 7).
Вариант 1
1.600; 1200; 600; 1200. 2.1') JЗ; д) 1; 2. 3. Сумму уrлов равна
1800, если х Е (о; 2]; 7200, если х Е (2; 4); 1800, еели х Е [4; 6).
94
Контрольные работы. 10 класс
Вариант 2
1.50°; 130°; 65°; 115°.2. В) ; r) 1 : 1; д) .r; .3. Сумма уrлов
равна 180°, если х Е (о; 4]; 360°, если х Е (4; 6).
KM 10 6
п од<iотовительный вариант
1.12.
2. J3 или 3.
3.MA MC J I0 + 8sin2 ;
МВ J 9 + 4cos 2 ; р(М; АВ) р(М; ВС) J 9 + sin 2 а;
а J 2 а
р(М; АС) 3 9 + cos 2"'
Вариант 1
1.14.
2. J6 или IO.
3.МА
а J 2 а
2 4 + 9cos 2";
a J 2а a J .2а
МС 2 4 + cos 2"; МВ MD 2 5 + 3sш 2"; р(М; ВС)
р( М; CD) J 16+sin 2а;
J 16+9sin 2а.
Р(М; АВ) р(М; Ап)
Вариант 2
1.7, 5. 2.6jб или 12.;2. 3. МА aJl + 9 cos 2 ; МС
a J l + cos 2 ; МВ MD a J 2 + 3cos 2 ; р(М; ВС) ==
р(М; CD) J 4 + sin 2а; р(М;АВ) р(М;Ап) J 4 + 9sin 2а.
КМ-10-7
п од<iотовительный вариант
. <Р
1 .;2 2 . J3 sin <р . 2 sin qJ 3 sш 2
. arccos т' . а) аrсsш 2 ; б) аrсsш . . arccos .
",5 sш
2
Ответы
95
Вариант 1
sin
1. arccos J3 з 3 . 2. а) <р; б) arcsin (Л sin <р). 3. 2arcsin .
cos <р
Вариант 2
1..arccos Л. 2. а) arccos J1 +C;s2<p ; б)<р. 3. 2arcsin ( eos <р sin }
КМ-10-8
п одzотовительный вариант
1. а) 900; б) 600; в) aretg .Уз ; 1') arctg f ; д) 2aresin .
r;;n . .[[5 3 14JЗ
2. а) сп ..30 ; б) arCSlll 10 . . -----з--.
Вариант 1
1. а) 900; б) 600; В) arctg Jз ; 1') aretg J} ; д) arcsin .
2. а) сп J23 ; б) arcsin Jiз . 3. 2 J29 .
Вариант 2
1. а) 900; б) 600; В) 300; 1') 1t 2arcsin ; д) 600. 2. а) сп
J2i ; б) arcsin . 3. 4 . Л.
КМ-10-9
п одzотовительный вариант
1.2550 либо 3400. 2. 'Уrлы, образуемые прямой КМ е rpанями:
. 12 . 16 . 21 б б
arCSlll 29 ; arCSlll 29 ; arCSlll 29 ; уrлы, о разуемые ею е ре ра-
. J697 . зJ65 . 20 3 ) 120 0 б) 90 0
ми: arCSlll '29; arCSlll 29; arCSlll 29 ' . а ; ;
в) arccos Л; r) 600.
96
Контрольные работы. 10 класс
Вариант 1
1.1890, либо 2520, либо 3150. 2. 'Уrлы, образуемые прямой
К . 3 . 4 . 12 б
М с rранями: arCSlll 13 ; arCSlll 13 ; arCSlll 13 ; уrлы, о pa
. 4J1Q . 3М . 5
зуемые ею с ребрами: arcslll --з:з-; arcslll --з:з-; arCSlll 13 .
3. а) 1200; б) arccos Л; в) 450; r) 600.
Вариант 2
1.1500, либо 2000, либо 2500, либо 3000, либо 3500. 2. 'Уrлы,
б u КМ . 9 . 12
о разуемые прямо и е rранями: arCSlll 17 ; arCSlll 17 ;
. 8 б б . 4Щ
arCSlll 17 ; уrлы, о разуемые ею с ре рами: arCSlll 17;
arcsin ; arcsin . 3. а) 900; б) 450; в) 450; r) 600.
KM.10 10
п одzотовительныu вариант
1. а) 2R; б) J h 2 + 2R2; 2. (3; 8].
h
б) 24 (12 J3 ).
3 . сов 13
. arCSlll .
сов о:
hJ3
4.а)т;
Вариант 1
1. а) h; б) 2R. 2. (6; 10]. 3. arcsin Уз ; arcsin Jз ; 2arccos Уз .
4. а) r; б) а 4r.
Вариант 2
..
1. а) 2R; б) J h 2 + R 2 . 2. (6; 10]. 3. arcsin 2 1 ; arcsin 2 1 ",;
сов о: сов
1 h 1 h J3
2arccos 2сов 0: ' 4. а) J3 ; б) 2 Т'
97
Ответы
КМ-l0-11
п одzотовительный вариант
1.4 ил и 14.2. JЗ; JП; Щ; 3jЗ. 3. а) 5./2; б) ./2.4. а) 7th;
б) 27th J зJ3 5.
Вариант 1
1. J33 + 3 или J33 3. 2. 6JЗ; 2Щ; 2,/59; 10JЗ.
3 r;; 4 41th 81th
. а) 2",з; б) 6. . а) 3; б) зJб '
Вариант 2
1. 3 J6 + 4 или 3 J6 4. 2. J3 ; J5i ; 3 JП ; 7 J3 . 3. а) 8; б) 8.
2J21th
4. а) 7th; б) .
КМ-10-12
п одzотовительный вариант
1. arcsin 2;!!. .2. б) 600; в) 390. 3. 57tJ3 .
...,31
Вариант 1
1 . (6 2 о 5ь 2 J2 3 21thJ2
. аrсsш 4 13 ' . б) 45 ; в) б----- . . .
Вариант 2
1. arcsin .2. б) 450; в) 58./2 . 3. 4п JЗ .
Тестовая работа
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
В В А Б Б В В r Б Б Б r в А Б А В r
4 rсомстрия. 8 11 кл.
:;:"; .::,::.:...:::.<....:...
..':.. ." '.' ....
11 класс
KM II-1
Повторение
П одzотовительный вариант
1. В квадрате AВCD со стороной 12 точка К лежит
на стороне CD так, что СК == 3. Прямая КМ перпенди
кулярна плоскости квадрата, длина отрезка КМ рав-
на 4 J3 . Найдите:
а) уrол между прямой BD и плоскостью MCD;
б) двуrранный уrол M(AВ)D;
в) расстояние между прямыми МК и АС;
r) уrол между прямыми MD иАС.
2.В правильной пирамиде МАВС с основанием
АВе уrол между боковым ребром АМ и высотой М Н
равен х. При каком значении х отношение радиуса
описанноrо BOKpyr пирамиды шара к высоте пирами
ды равно 20?
3.В шаре перпендикулярно диаметру проведено
сечение, делящее диаметр на отрезки 1 и 3. Одно из
оснований цилиндра, радиус KOToporo равен образую
щей, лежит на плоскости сечения, а ОКРУЖНОСТЬ
друrоrо на сферической поверхности. Найдите об
разующую цилиндра.
99
Условия задач
Вариант 1
1. В ромбеАВСD сторона равна 6, LA == 600. Точка
К лежит на стороне CD так, что СК == 2. Из точки К к
плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина
KOToporo равна 6. Найдите:
а) уrол между прямойAD и плоскостью MCD;
б) величину двуrранноrо уrла M(AВ)D;
в) расстояние между прямыми МК и BD;
r) уrол между прямыми МС и BD.
2. "Уrол при вершине oceBoro сечения конуса равен
х. При каком значении х отношение радиуса вписан-
Horo в конус шара к высоте конуса равно 0,1?
3.В шаре перпендикулярно диаметру проведено
сечение, делящее диаметр на отрезки 1 и 3. Найдите
образующую paBHOCTopOHHero цилиндра, одно из oc
нований KOToporo лежит на плоскости сечения, а OK
ружность друrоrо на сферической поверхности.
Вариант 2
1. В ромбеАВСD сторона равна 8, LA == 1200. Точ
ка К лежит на стороне CD так, что СК == 2. Из точки К
к плоскости ромба проведен перпендикуляр K.LY, дли-
на KOToporo равна 4. Найдите:
а) уrол между прямой AD и плоскостью MCD;
б) величину двуrpанноrо уrла M(AВ)D;
в) расстояние между прямыми МК и BD;
r) уrол между прямыми МС и BD.
2. "Уrол при вершине oceBoro сечения конуса равен
х. При каком значении х отношение радиуса описан
Horo около конуса шара к высоте конуса равно 10?
3.В шаре перпендикулярно диаметру проведено
сечение, делящее диаметр на отрезки 2 и 3. Найдите
образующую paBHOCTopOHHero цилиндра, поверх-
ность KOToporo касается плоскости сечения и coдep
жит центр этоrо сечения, а ровно одна образующая
является хордой шара.
100
Контрольные работы. 11 класс
КМ-II-2
Мноrоrранни:ки
Подzотовuтельный вариакт
1. В правильной шестиуrольной призме
AВCDMNA1B1C1D1M1N1 проведено сечение через Bep
шину С 1 и точки К и F середины соответственно ре-
бер AN и MN. Определите количество rраней ребер и
вершин образовавшеrося мноrоrранника, одной из
вершин KOToporo является точка С.
2. в шестиrранникеАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 реброАА 1 == 4 и
AA 1 ..L (AВC).rpaHbA 1 B 1 C 1 D 1 квадрат со стороной 4;
rpaHb AВCD прямоуrольник со сторонами AD == 7 и
DC == 16. Стороны квадрата соответственно парал-
лельны сторонам прямоуrольника.
Найдите:
а) длины трех неизвестных ребер;
б) площадь полной поверхности шестиrранника;
в) длину наибольшей диаrонали.
3. Две rрани пятиrранника АВСА 1 В 1 С 1 тре-
уrольники. Треуrольник АВе равносторонний со
стороной 8. Боковые ребраАА 1 , ВВ 1 и СС 1 параллель-
ны между собой, ребро АА 1 перпендикулярно плос
кости АВе, АА 1 == 3, ВВ 1 == 7, СС 1 == 5.
Найдите:
а) расстояние между точками пересечения медиан
треуrольников;
б) уrол между плоскостями АВе иА 1 В 1 С 1 .
101
Условия задач
Варuапm 1
1. в кубеАВСDА l В 1 С 1 D l с ребром 8 проведено сече-
ние через вершину D и середины ребер AlBl и BlC!,
разделившее куб на два мноrоrранника. Для каждоrо
из них найдите количество вершин, ребер, rраней и
диarоналей. Для мноrоrранника, содержащеrо Bep
шину В, найдите длину наибольшеrо отрезка, при-
надлежащеrо этому мноrоrраннику.
2. !'рани AВCD и AlBlClDl шестиrранника
AВCDAlBlClD l лежат в параллельных плоскостях.
rрань AВCD квадрат со стороной 80, диаrонали ко-
Toporo пересекаются в точке К. rрань AlBlClDl
прямоуrольник со сторонами AlBl == 40 иАlD l == 8, ero
диarонали пересекаются в точке М. Отрезок КМ ра-
вен 15 и лежит на прямой, перпендикулярной плос-
кости rрани AВCD.
Определите:
а) площадь полной поверхности мноrоrранника;
б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данноrо
квадрата и данноrо прямоуrольника;
в) имеют ли прямые АА!, ВВр сер DDl одну об-
щую точку.
3. Дан шестиrранник AВCDAlBlClD p у KOToporo
rрань AВCD ромб со стороной 6, уrол BAD равен
600. РебраАА р ВВ!, се!, DDl перпендикулярны плос-
кости АВе, причемАА 1 == 7, ВВ! == 6, СС ! == 5.
Найдите:
а) длины остальных ребер;
б) уrол между плоскостью АВе и прямой А! C l ;
в) уrол между плоскостями АВе иА 1 В l С l ;
r) самую большую диаrональ шестиrранника.
102
Контрольные работы. 11 класс
Варuапт 2
1. в кубеАВСDА 1 В l С 1 D l с ребром 6 проведено сече-
ние через середины ребер сер АВ и AD, разделившее
куб на два мноrоrранника. Для каждоrо из них най
дите количество вершин, ребер, rраней и диаrоналей.
Для мноrоrpанника, содержащеrо вершину А, найди-
те длину наибольшеrо отрезка, принадлежащеrо это
му мноrоrраннику.
2. rрани AВCD и A 1 B 1 C l D 1 шестиrранника
AВCDA l B l C 1 D l лежат в параллельных плоскостях.
rрань AВCD квадрат со стороной 10, диarонали
KOToporo пересекаются в точке К. rрань AlBlClDl
прямоуrольник со сторонами А 1 В 1 == 28, A1Dl == 20,
ero диаrонали пересекаются в точке М. Отрезок КМ
равен 12 и лежит на прямой, перпендикулярной плос-
кости rрани AВCD.
Определите:
а) площадь полной поверхности мноrоrранника;
б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данноrо
квадрата и данноrо прямоуrольника;
в) имеют ли прямые ААр ВВ 1 , сер DD 1 одну об-
щую точку.
3. Дан мноrоrранник AВCDAlBlClD l с восемью
вершинами. rрань AВCD квадрат со стороной 6,
ребра AA l , ВВ 1 , CC l ' DD 1 перпендикулярны плоскос
ти квадрата и лежат по одну сторону от нее, причем
АА 1 == 9, ВВ 1 == 7, СС 1 == 5, DD 1 == 7.
Найдите:
а) количество rраней данноrо мноrоrранника;
- б) длины остальных ребер;
в) уrол между плоскостями АВе иА 1 В l С 1 ;
r) наибольшую диаrональ мноrоrранника.
103
Условия задач
КМ-II-3
Призма
П одzотовuтелън.ыu варuан.т
1. Основанием прямой призмы AВCA 1 B 1 C 1 являет-
ся равнобедренный треуrольник с тупым уrлом а при
вершине С. Уrол B1AC равен ; высота призмы равна
h. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2. Основание призмыАВСDА1В1С1D 1 ромБАВСD,
АС == 8, BD == 6, А 1 А == Аl С, L AIAD == L A1AВ == 600.
Найдите:
а) диаrонали призмы;
б) расстояния между плоскостями противополож-
ных боковых rраней.
3. В шар радиуса R вписан куб. Основание
AВCDKF правильной шестиуrольной призмы
AВCDKFAIBICIDIKIFp все ребра которой равны, ле-
жит на rрани куба, а вершины Ар Вр ер Dp K 1 , Fl
на сфере. Найдите высоту шестиуrольной призмы, ec
ли она не имеет с кубом общих внутренних точек.
Варuан.т 1
1. В правильной треyrольной призме AВCA1B1C 1
уrол AВ1C равен а. Найдите площадь основания, если
высота призмы равна h.
2. Все rрани параллелепипеда AВCDA1B1C1D 1
ромбы со стороной а. Все уrлы, принадлежащие rpa-
ням с вершиной А, равны 600. Найдите высоту парал-
лелепипеда и расстояние между боковыми противопо-
ложными rранями.
3. в правильную шестиyrольную призму с ребром
основания 4 можно вписать шар. Найдите радиус ша-
ра, описанноrо около этой призмы.
104
Контрольные работы. 11 класс
Бариапт 2
1. Основание прямоrо параллелепипеда
AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 ромб с острым уrлом а. Прямая БС 1
составляет с плоскостью DC 1 D 1 уrол . Найдите длину
ребра основания, если длина боковоrо ребра равна а.
2. В треуrольной призме АВСА 1 В 1 С 1 основание
АВе правильный треуrольник со стороной а. rрани
АСС 1 А 1 и СС 1 В 1 В ромбы с острым уrлом а при вер-
шине С. Найдите высоту призмы.
3. В прав ильную шестиуrольную призму с боко-
вым ребром 6 можно вписать шар. Найдите радиус
шара, описанноrо около этой призмы.
KM 11 4
Правильнал пирамида
П одzотовительныu вариапт
1. В правильной шестиуrольной пирамиде с BЫCO
той h плоский уrол при вершине равен . Найдите
сторону основания.
2. В правильной шестиуrольной пирамиде
MAВCDEF проведено сечение через точки В, F и сере-
дину ребра MD. В каком отношении это сечение де-
лит высоту МО, считая от точки М?
3. Найдите радиус шара, описанноrо около пра-
вильной усеченной треуrольной пирамиды с боковым
ребром а J3 и ребрами оснований а и За.
Вариант 1
I.В правильной треyrольной пирамиде плоский
уrол при вершине равен а, а высота равна h. Найдите
сторону основания.
Условия задач
105
2. В правильной четырехyroльной пирамиде
MAВCD проведено сечение через середины ребер AD,
АВ и МС. В каком отношении это сечение делит высо-
ту пирамиды МО, считая от М?
3. Найдите радиус шара, описанноrо около пр а-
вильной усеченной четырехуrольной пирамиды с бо-
ковым ребром Ь J2 и ребрами оснований Ь и 2Ь.
Вариант 2
1. в правильной четырехуrольной пирамиде пло-
ский уrол при вершине равен а, а высота равна h.
Найдите СТОРОНу.основания.
2. В прав ильной треуrольной пирамиде МАВС про-
ведено сечение через середины ребер АС, АВ и МВ.
В каком отношении это сечение делит высоту пирами
дЫ МО, считая от М?
3. Найдите радиус шара, вписанноrо в правильную
усеченную четырехуrольную пирамиду с ребрами ос-
нований 2Ь и 8Ь.
KM 11-5
Частные виды пирамид и их свойства
П одzотовительный вариан.т
1. Ребро правильноrо октаэдра равно а. Найдите:
а) расстояние между двумя rранями, не имеющи
ми общей вершины;
б) расстояние между двумя скрещивающимися
прямыми, содержащими ребра октаэдра.
2. Основанием пирамиды MAВCD является Tpa
пеция AВCD (ВС 11 AD), причем АВ == ВС == CD == а,
AD == 2а. Найдите высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды равны 2,4а;
б) каждый из двуrранных yrлов при ребрах ВС
иAD равен 600;
106
Контрольные работы. 11 класс
в) rрани МВС и MCD перпендикулярны OCHOBa
нию, а ребро АМ равно 2а;
r) rрани МАВ и MCD перпендикулярны основа-
нию, а плоскость МВС образует с плоскостью АВе
уrол величиной 450;
д) плоскость MAD перпендикулярна основанию,
а rрань MAD является равнобедренным прямоуrоль
ным треуrольником.
3. В кубеАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 с ребром 12 проведено ce
чение плоскостью MNP, rде М лежит на ребре CD
(МС == 10), N на ребре СС 1 (NC == 4), Р на ребре
СВ (еР == 3). Определите:
а) в каком отношении сечениеМNР делит объем куба;
б) уrол между прямыми PN И CD.
Вариант 1
1. Основанием пирамиды МАВС служит треуrоль
ник АВе, у KOToporoAВ ==АС == а и L ВАС == 13. Найди
те высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды наклонены к плос-
кости основания под yrлом 600;
б) все двуrранные уrлы пирамиды при ребрах ее oc
нования равны 450;
в) rрани МАе и МАВ перпендикулярны плоскости
основания, а двуrранный yrол при ребре вс равен а;
r) rрань МАе равнобедренный треуrольник с yr-
лом 1200, а плоскость этой rрани перпендикулярна
основанию пирамиды.
2. Найдите площадь поверхности и объем правиль-
Horo октаэдра, если радиус описанноrо около Hero ша
ра равен 4.
3. В тетраэдре DAВC все плоские yrлы при верши-
не прямые. Известно, что DA == 3, DB == 4, DC == 5.
Найдите:
а) объем тетраэдра;
б) yrол между прямыми АВ И DC;
в) расстояние между ребрами АВ и DC.
107
Условия задач
Вариапт 2
1. Основанием пирамиды МАВС служит треyrоль-
ник АВе, у KOToporoAВ ==АС, ВС == а, LACB == . Най
дите высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды наклонены к плос-
кости основания под уrлом 450;
б) все двyrpанные yrлы пирамиды при ребрах ее ос-
нования равны 600;
в) rрани МАС и МАВ перпендикулярны плоскости
основания, а двyrранный yrол при ребре ВС равен 300;
r) rрань МАе равнобедренный треyrольниК с yr-
лом между равными сторонами, а плоскость этой
rрани перпендикулярна основанию пирамиды.
2. Найдите площадь поверхности и объем правиль-
Horo октаэдра, если радиус вписанноrо в Hero шара
равен 6.
3. В тетраэдре DAВC все плоские yrлы при верши-
не D прямые. Известно, что DA == 12, DB == 4,
DC == 5. Найдите:
а) объем тетраэдра;
б) yrол между прямыми АС и DB;
в) расстояние между ребрами АС и DB.
КМ-11-6
Векторы в пространстве
П одzотовительпый вариапт
1. Пусть L (а; Ь) == L (а; с) == 600, E...L с, IliI == 2,
Ibl == 3, ICI == 4. Найдите:
а) а . Ь; а' с; Ь' с;
б) (2а ЗЬ) . (Ь + с);
в) IЗа Ь + С!;
r) уrол между векторами За Ь + с и ( Ь);
д) все такие числа х, при которых векторы
За хЬ + с и а + Ь хс ортоrональны;
108
Контрольные работы. 11 класс
е) такое значение у, при котором вектор (у + 1)а
2Ь + ус имеет наименьшую длину;
ж) длину проекции вектора а на плоскость, комп-
ланарную векторам Ь и С.
2. В прав ильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD плоский уrол при вершине М равен а, а боко-
вое ребро равно т. Пусть МА == а, МВ == Ь, МС == С,
МО высота пирамиды.
а) Разложите векторы МО и MD по векторам а, Ь, с.
б) Найдите yrол между векторами AD и МС .
в) Найдите уrол между векторами МС и АК (rде
к точка пересечения медиан треуrольника MDC).
3. Даны три единичных вектора ОА , ОВ , ОС , уrол
между любыми двумя из которых равен 600. Разло
жите В данном базисе единичный вектор OD , обра
зующий с этими векторами равные уrлы. (Рассмотри
те все возможные случаи.)
Варuапт 1
1. Пусть lal == Ibl == 2; Icl == 3; а 1. Ь; а 11 с; L (Ь; с) == 600.
Найдите:
а) аЬ, ас, ьс;
б) 'а 3Ь + -ёj;
в) уrол между векторами х == а 3Ь + с и у == Ь с;
r) все такие числа а, при которых векторы
т == 3а + аЬ с и х == а 3Ь + с ортоrональны;
д) такие значения t, при которых длина вектора
р == 3а + 2tb (t + 1)с наименьшая.
2. в прав ильной треуrольной призме AВCA 1 B l C 1
длины всех ребер равны 1. Медианы треуrольника
АВе пересекаются в точке М. Найдите:
а) АВ . CB l ; б) L (А 1 В; СВ 1 ); В) А 1 М' С 1 В.
109
Условия задач
3. в четырехуrольной пирамиде MAВCD rpaHb
AВCD параллелоrрамм и МА == а, МВ == Ь, МС == ё.
а) Разложите MD по векторам а, Ь, ё.
б) Пусть точка К середина отрезка АМ, точка Р
принадлежит отрезку МС и 3МР == ре, точка L при-
надлежит отрезку МВ и ML == 3LB. В каком отноше-
нии разделится отрезок MD плоскостью (KLP), счи-
тая от точки М?
Варuапт 2
1. Пусть Ilil == Ibl == 2; lci == 3; а 1. Ь; а 1. ё; L (Ь; с) ==
== 1200. Найдите:
а) аЬ; ас, ьё;
б) la + 3Ь cl;
в) уrол между векторами х == а + 3Ь с и у == 2Ь + с;
r) все такие числа а, при которых векторы т ==
== 2а аЬ + с и х == а + 3Ь ё ортоrональны;
д) такие значения t, при которых длина вектора
р == 2а 3(t + 1)Ь + 2tc наименьшая.
2. В правильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD (AВCD основание) длины всех ребер рав-
ны 1. Точка К середина отрезка МС, а Р точка
пересечения медиан треуrольникаАМВ. Найдите:
а) АМ . СА ;
б) L ( DK ; АВ );
в) МС . DP .
3. в параллелепипеде AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки D и
М середины ребер D 1 K и B 1 C 1 соответственно и
АС == а; AD 1 == Ь; АВ 1 == ё. Разложите по векторам а,
Ь, ё векторы АС 1 и КМ .
110
Контрольные работы. 11 класс
КМ-11-7
Координаты в пространстве
П одzотовителъный вариант
1. В пространстве заданы две точки: А(О; 1; 1) и
в(о; 1; О). Найдите rеометрическое место точек М
пространства, для которых выполняется условие
5
АМ == звм.
2. Основание АВе правильной треуrольной призмы
АВСА 1 В 1 Сl' все ребра которой равны между собой, ле
жит в плоскости хОу, причем А(О; 1; О), в(о; 1; О).
Найдите координаты остальных вершин. (Рассмотри
те все возможные случаи.)
3. В пространстве заданы четыре точки: А(3; 2; 1),
В(1; 1; О), с(о; о; 4), D( 1; о; 1).
а) Напишите параметрические уравнения прямой
ЛС.
б) Напишите уравнение плоскости АВе.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром Ап.
r) Опишите взаимное расположение прямой ВС и
этой сферы.
д) Напишите уравнение плоскости, касающейся
этой сферы в точке D.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и Ап.
Вариант 1
1. В пространстве заданы две точки: А(О; 2; О) и
В(О; 6; О). Найдите rеометрическое место точек М
пространства, для которых выполняется условие
АМ == 3МВ.
2. Вправильной четырехуroльной пирамиде PAВCD
все ребра равны между собой, причем A( 2; о; О) и
С(2; о; О). Найдите координаты остальных вершин,
если Р принадлежит оси Oz.
Условия задач
111
3. В пространстве заданы четыре точки: А(l; 1; 1),
В(1; 2; 2), С(9; о; о), D(2; 3; 4).
а) Напишите параметрические уравнения прямой
ВС.
б) Напишите уравнение плоскостиАВС.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром AD.
r) Опишите взаимное расположение прямой БС
и этой сферы.
д) Напишите уравнение касательной плоскости
в точке А к данной сфере.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС иAD.
Вариант 2
1. В пространстве заданы две точки: A( 6; о; о) и
В(3; о; о). Найдите rеометрическое место точек М
пространства, для которых выполняется условие
АМ== 2МВ.
2. Основание АВС правильноrо тетраэдра AВCD ле
жит в плоскости хОу, причем А(l; о; о), B( l; о; о).
Найдите координаты остальных вершин.
3. В пространстве заданы четыре точки: А(2; о; о),
В(2; 1; 3), С(10; 1; 1), D(3; 2; 3).
а) Напишите параметрические уравнения прямой
ВС.
б) Напишите уравнение плоскостиАВС.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром AD.
r) Опишите взаимное расположение прямой ВС
и этой сферы.
д) Напишите уравнение касательной плоскости
в точке D к данной сфере.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС иAD.
112
Контрольные работы. 11 класс
KM-ll 8
Объемы и поверхности тел вращения
П од отовительный вариант
1. Найдите объем меньшеrо из тел, оrраниченноrо
поверхностями х 2 + у2 + z2 == 6z и 4х + 7у + 4z == о.
2. Два конуса имеют общее основание. Расстояние
между их вершинами равно d, а общей их частью яв-
ляется конус с меньшей высотой. "Уrлы при вершинах
их осевых сечений равны а и , причем а > . Найди-
те объем общей части конусов.
3. В полукруrе с диаметром АВ == 4 точка О
центр, ОС радиус, перпендикулярный АВ, OD
радиус, составляющий с радиусом ОВ уrол 600. Из по
лукруrа вырезаны сектор BOD и треуrольник OCD.
Полученная фиrура вращается BOKpyr прямой АВ.
Найдите объем и площадь поверхности тела враще
ния.
Вариант 1
1. Найдите объем большеrо из тел, оrраниченноrо
поверхностями
2х + у 2z + 3 == О и х 2 + у2 + z2 == 2z + 4х 4у.
2. Два конуса имеют общую высоту h. "Уrлы при
вершинах их осевых сечений равны а и . Найдите
объем их общей части.
3. Из прямоуrольника AВCD со сторонами АВ == 6
,.
и ВС == 10 вырезаны сектор четверть Kpyra с ради
усом АВ и треуrольник MCD (МС == MD == 5). Полу-
ченная фиrура вращается BOKpyr прямой АВ. Найди-
те объем и площадь поверхности тела вращения.
113
Условия задач
Вариант 2
1. Найдите объем большеrо из тел, оrраниченноrо
поверхностями
х 2у 2z + 12 == О и х 2 + у2 + z2 == 2у 2х 8z 2.
2. Два конуса имеют общее основание. Расстояние
между их вершинами равно d, а уrлы при вершинах
их осевых сечений равны а и 13. Найдите объем тела,
состоящеrо из всех точек, которые принадлежат хотя
бы одному из данных конусов.
3. Из полукруrа диаметром АВ (АВ == 8) вырезана
вписанная в Hero трапеция с основанием АВ и тремя
друrими равными сторонами. Полученная фиrура
вращается BOKpyr прямой АВ. Найдите объем и пло-
щадь поверхности тела вращения.
КМ-11-9
Движения в пространстве
П одzотовителъный вариант
1. ПустьА(4; 6; 9). Найдите образ точки А при:
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости yOz;
в) повороте на 900 относительно оси Oz;
r) параллельном переносе на вектор {3; 2; 4};
д) симметрий относительно точки с координатами
(3; 1; 2).
2. Докажите, что композиция двух симметрий:
сначала относительно плоскости х + у == О, а затем от-
носительно плоскости х у == О, есть поворот про-
странства. Найдите ось и уrол поворота.
3. Дан куб AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Движение f таково, что
f(A)==D, {(С)==Аl' {(Вд == В, f(D)==D 1 . Найдитеоб
разы остальных вершин куба.
114
Контрольные работы. 11 класс
4. В основании треуrольной пирамиды DAВC ле
жит правильный треуrольник АВе. Пирамиду повер-
нули BOKpyr ее высоты DO на уrол а, О < а 300.
Какой процент объема пирамиды составляет объем
фиrуры, полученной при пересечении образа и прооб
раза этоrо поворота?
Вариант 1
1. ПустьА( 3; 2; 5). Найдите образ точки А при:
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости zOy;
в) повороте на 900 относительно оси Ох;
r) параллельном переносе на вектор { 1; 2; 3};
д) симметрии относительно точки (1; 2; о).
2. Докажите, что композиция двух симметрий:
сначала относительно плоскости z == о, а затем относи
тельно плоскости х == о, есть поворот пространства.
Найдите ось и уrол поворота.
3. Дан куБАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Движение fTaKoBo, что
f(A) == D 1 , f(A 1 ) == С 1 ' f(D) == D, f(B) == А 1 . Найдите обра-
зы остальных вершин куба.
4. Правильную четырехуrольную пирамиду
MAВCD повернули BOKpyr высоты МО на уrол 450.
Какой процент объема пирамиды составляет объем
фиrуры, полученной при пересечении образа и прооб
раза этоrо поворота?
Вариант 2
1. ПустьА(3; 7; 1). Найдите образ точки А при:
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости хОу;
в) повороте на 900 относительно оси Оу;
r) параллельном переносе на вектор { 2; 1; 3};
д) симметрии относительно точки (1; 2; о).
115
Условия задач
2. Докажите, что композиция двух симметрий сна-
чала относительно плоскости z ;: о, а затем относи
тельно плоскости z ;: 3 есть параллельный перенос.
Найдите координаты вектора переноса и наПИIlIите
уравнение какой нибудь ero неподвижной плоскости.
3. Дан куБАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Движение f таково, что
f(D 1 ) ;: А, f(Ct> ;: Ар f(D) ;: D, f(At> ;: В. Найдите обра-
зы остальных верIlIИН куба.
4. Правильную треуrольную призму повернули во-
Kpyr ее боковоrо ребра на уrол 300. Какой процент
объема пр из мы составляет объем фиrуры, полученной
при пере сечении образа и прообраза этоrо поворота?
КМ-I1-10
Повторение
П одzотовительный вариант
1. а) В треуrольнике АВе через некоторую точку М
на стороне АС проведены две прямые, параллельные
АВ и ВС. Площади образовавшихся при этом Tpe
уrольников равны 81 и 82' Найдите площадь АВе.
б) Через некоторую точку О внутри треуrольника
АВС проведены три прямые, параллельные ero сторо-
нам. Известно, что площади образоваВIIIИХСЯ при
этом трех треуrольников равны 81' 82 и 8 з . Найдите
площадь треуrольника АВС.
2. В прав ильной усеченной четырехуrольной пира-
миде точка пересечения диаrоналей является верши-
ной двух четырехуrольных пирамид, основаниями
которых служат верхнее и нижнее основания данной
усеченной пирамиды. Объемы этих пирамид равны V 1
и V 2 . Найдите объем усеченной пирамиды.
3. Около шара, радиус KOToporo равен R, описана
правильная четырехуrольная пирамида. При какой
высоте пирамиды ее объем будет наименьшим?
116
Контрольные работы. 11 класс
Вариант 1
1. В трапеции AВCD с основаниями ве и AD ДИаrо-
нали пересекаются в точке О. Известно, что площади
треуrольников ове и OAD равны соответственно 81 и
82' Найдите площадь трапеции.
2. Высота конуса разделена в отношении 3: 4 : 3,
и через точки деления проведены сечения, параллель-
ные основанию. Объем части конуса, заключенной
между плоскостями сечения, равен V. Найдите объем
конуса.
3. Около шара, радиус KOToporo равен R, описан
конус. Найдите образующую, при которой объем ко-
нуса будет наименьшим?
Вариант 2
1. Высота треуrольника разделена в отношении
3: 4 : 3. Через точки деления проведены прямые, па-
раллельные основанию треуrольника. Площадь части
треуrольника, заключенной между этими прямыми,
равна 8. Найдите площадь треуrольника.
2. В усеченном конусе точка пересечения диаrо-
налей oceBoro сечения является вершиной двух KOHY
сов, основаниями которых служат верхнее и нижнее
основания данноrо усеченноrо конуса. Объемы этих
конусов равны V 1 и V 2 . Найдите объем усеченноrо ко-
нуса.
3. В конус вписан шар. Для KaKoro значения уrла
при вершине oceBoro сечения конуса отношение объ
ема шара к объему конуса является наибольшим?
Найдите это отношение.
117
Условия задач
КМ-l1-11
Итоrовое повторение
П одzотовительный вариант
1. 1) Центр сферы радиуса r лежит на сфере ради
уса R (R > r). Найдите длину линии пересечения двух
сфер.
2) Сечение куба AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 проходит через
середины F и G ero ребер В 1 С 1 и D 1 C 1 параллельна ди
аrонали куба АС 1 . Постройте это сечение и найдите
ero площадь, если ребро куба равно а.
2. 1) В тетраэдре AВCD плоские уrлы при вершине
D прямые. Ребра DA и DB образуют с плоскостью
АВС уrлы а и /3 соответственно. Двyrранный уrол
C(AВ)D равен у. Докажите, что
(sin 2 а + sin 2 /3 1)(1 + tg 2 у) + 1 == о.
2) В тетраэдре SAВC плоские yrлы при вершине
S прямые. Известно, что SA == 2, SB == 6, SC == 4.
Точка К лежит на ребре SB, причем SK: КВ == 2: 1.
Точки М и N середины ребер АВ и АС COOTBeTCTBeH
но. Найдите:
а) расстояние от вершины А до плоскости KMN;
б) расстояние от вершины S до плоскости KMN;
. в) уroл наклона плоскости KMN к плоскости
AВS;
r) уrол между КС и плоскостью KMN.
3) Шар радиуса r == 10 ,110,2 касается трех ребер
TpexrpaHHoro уrла SAВC. Найдите расстояние от Bep
шины S уrла до центра шара, если L ASB == 90,
L ASC == L BSC == arccos ( ) .
118
Контрольные работы. 11 класс
3. 1) Все двуrранные уrлы при ребрах основания
треуrольной пирамиды равны 600. Длины ребер одной
из боковых rраней равны 10, 26 и 4,/29, причем боль-
шее из них является rипотенузой прямоуrольноrо
треуrольника, лежащеrо в основании пирамиды.
Найдите объем пирамиды и площадь ее боковой по
верхности.
2) Два одинаковых шара радиуса r == 3 J7 Kaca
ются друr друrа и rраней двуrранноrо уrла величиной
900. Третий шар большеrо радиуса R (R > r) касается
обоих шаров и rраней данноrо двуrранноrо уrла. Най
дите R.
4. Основанием правильной треуrольной пирамиды
SAВC является треуrольник АВе, R == 6J5i радиус
шара, вписанноrо в пирамиду . Через середины ребер
АВ, ВС и BS проходит плоскость, разбивающая пира
миду на два мноrоrранника, в каждый из которых
можно вписать шар. Найдите отношение радиусов
этих шаров, а также объем пирамиды SAВC.
Вариант 1
1. Основание конуса лежит в плоскости а. Этой
плоскости касается шар радиуса R (шар и конус рас-
положены по одну сторону от плоскости). Высота KO
нуса равна диаметру шара, а их объемы равны. На Ka
ком расстоянии от плоскости а надо провести парал
лельную ей плоскость 13, чтобы она пересекала шар и
конус по KpyraM, имеющим одинаковые площади?
2. Вершина прямоуrольноrо параллелепипеда яв
ляется единственной общей точкой параллелепипеда
и плоскости <р. Ребра параллелепипеда, выходящие из
этой вершины, образуют с плоскостью q> уrлы а, 13 и у.
Докажите, что sin 2 а + sin 2 13 + sin 2 у == 1.
119
Условия задач
3. Все двуrранные yrлы при ребрах основания Tpe
уrольной пирамиды равны 600. Длины ребер одной из
боковых rраней равны 2 J2, J5 и 3, причем большее
из них является катетом прямоуrольноrо треуrольни
ка, лежащеrо в основании пирамиды. Найдите объем
пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
4. Дана правильная четырехуrольная пирамида
MAВCD, причемАВСD ее основание. Через середи-
ны ребер АВ, ВС и ВМ проведена плоскость, разби-
вающая пирамиду на два мноrоrранника, в каждый
из которых можно вписать шар. Найдите отношение
радиусов этих шаров.
Вариант 2
1. Шар радиуса J3 и цилиндр имеют одинаковые
объемы, а ось цилиндра совпадает с диаметром шара.
Найдите кратчайшее расстояние между двумя линия
ми пересечения поверхности шара и боковой поверх-
ности цилиндра.
2. Вершина А куба единственная общая точка
куба с плоскостью <р. Три rрани куба, содержащие
вершину А, составляют с плоскостью q> уrлы а, 13 и у.
Докажите, что
8in 2 а + 8in 2 13 + 8in 2 у == 2.
3. В основании пирамиды лежит равнобедренный
треуrольник с боковой стороной 2. Каждое боковое
ребро пирамиды составляет с плоскостью основания
yrол 600. Найдите объем и площадь боковой поверх
насти пирамиды, если высота пирамиды равна 2 J3 .
4. В основании прямой призмы AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 ле
жит ромб AВCD. Через середины ребер АВ, AD и АА 1
проходит плоскость, разбивающая призму на два
мноrоrpанника, в каждый из которых можно вписать
шар. Чему равно отношение радиусов этих шаров?
120
Контрольные работы. 11 класс
Вариант 3
1. В правильной четырехуrольной пирамиде пло
ский уrол при вершине равен а. Определите двуrран
ный уrол при боковом ребре.
2. Основанием прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 С высо-
той 3 служит прямоуrольный треуrольник с катетами
АС 2 и ВС 4. Плоскость а проходит через середи-
ны ребер АС, А 1 В 1 и ВВ 1 призмы. Найдите:
а) расстояние от вершины С до плоскости а;
б) расстояние от вершины А до плоскости а;
в) уrол наклона плоскости а к плоскости основа-
ния призмы;
r) уrол между отрезком СВ 1 и плоскостью а.
3. Два одинаковых шара радиуса 3 касаются друr
друrа и rраней двуrранноrо уrла величиной 600. Тре-
тий шар меньшеrо радиуса касается обоих шаров и
rраней данноrо двуrранноrо уrла. Найдите радиус
третьеrо шара.
4. Каждый из двух цилиндров имеет высоту 4r и
радиус основания r. Цилиндры расположены так, что
их поверхности касаются, причем центр основания
одноrо из них является также серединой образующей
друrоrо. Найдите площадь поверхности шара Ha
именьшеrо радиуса, содержащеrо оба цилиндра.
Вариант 4
I.В правильной треуrольной пирамиде двуrран-
ный уrол при боковом ребре равен 13. Определите ДBY
rранный уrол при ребре основания.
2. Основанием прямоуrольноrо параллелепипеда
AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 является квадрат со стороной 2, боко
вое ребро равно 1. Пл.оскость 13 проходит через верши
ну С 1 и середины ребер АВ иAD. Найдите:
а) расстояние от точки А ДО плоскости 13;
б) расстояние от точки пересечения диаrоналей па-
раллелепипеда до плоскости 13;
Условия задач
111
в) уrол между плоскостью 13 и rраньюАА 1 D 1 D;
r) уroл между диarональюА 1 С и плоскостью 13.
3. Шар радиуса 4 касается двух rраней двуrранно-
ro уrла величиной 1200. Два одинаковых шара мень-
шеrо радиуса также касаются rраней двуrранноrо yr-
ла и, кроме Toro, они касаются друr дрyrа и большеrо
шара. Найдите радиус каждоrо из меньших шаров.
4. Два одинаковых конуса с радиусом основания r
и образующей 4r имеют общую вершину и общую об
разующую. Найдите радиус шара наименьшеrо объ-
ема, содержащеrо оба конуса.
Вариакт 5
1. Через середины ребер МВ и CD параллельна ди
аrонали BD основания правильной четырехуrольной
пирамиды MAВCD проведена плоскость. Найдите
площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если
сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро
равно Ь.
2. Шар радиуса 1 касается трех ребер TpexrpaHHoro
уrла МАВС. Найдите расстояние от вершины М до цeнт
ра шара, если LAМB == 900, LAМC == L ВМС == 600.
3. в тело, полученное вращением прямоуrольноrо
треуrольника с катетами 2 и 2 J3 BOKpyr rипотенузы,
вписана правильная треyrольная призма, боковая
rpaHb которой квадрат, а основание перпендикулярно
оси вращения. Найдите отношение объема тела вра-
щения к объему призмы.
4. В основании пирамиды SAВCD лежит прямо-
уrольная трапеция AВCD с основаниями АВ == За и
CD == 2а, боковой стороной Ве == 2а и прямым уrлом
А. Двуrранные уrлы при ребрах ВС и CD равны, rpaHb
ASB перпендикулярна основанию пирамиды, L BSC ==
== arccos . Найдите объем пирамиды.
122
Контрольные работы. 11 класс
Вариакт 6
1. Сечение правильной треуrольной призмы
АВСА 1 В 1 С 1 проходит через середины ее ребер АС и
А 1 В 1 параллельна диаrонали А 1 С боковой rрани.
Постройте это сечение и найдите ero площадь, если
сторона основания призмы равна а, а боковое ребро
равно Ь.
2. Шар радиуса R касается трех rраней TpexrpaHHo-
ro уrла МКРС. Найдите расстояние от центра шара до
ребраМС, если L. КМР == 900, L. КМС == L. РМС == 600.
3. В тело, полученное вращением треуrольника со
сторонами 2, 7 и 5jЗ BOKpyr ero большей стороны,
вписана правильная четырехуrольная призма с осно-
ванием, перпендикулярным оси вращения. Диаrо
наль призмы образует с осью вращения уrол 300. Ка-
кую часть объема тела вращения составляет объем
призмы?
4. В основании пирамиды SAВCD лежит ромб
AВCD со стороной 5. Ребро SA перпендикулярно плос
кости основания, SC == 7, L. CSB == 450. Найдите объем
пирамиды.
123
Условия задач
Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1. В шестиrpаннике AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 rpани AВCD и
A 1 B 1 C 1 D 1 прямоyrольники, а четыре остальные
rрани трапеции. Пери метр AВCD равен 20, а пло
щадь равна 25. Одна из диаrоналей прямоyrольника
A 1 B 1 C 1 D 1 в 2 раза больше одной из ero сторон. Явля
ется ли данный шестиrранник усеченной пирамидой?
А) да; Б) нет; В) не обязательно;
r) TaKoro шестиrpанника не существует.
2. В кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение через
точку В 1 и середины реберAD и DC, разбивающее куб
на два мноrоrранника, один из которых содержит
вершину В. Определите r + В + Р, rде r число rpa-
ней этоrо мноrorранника, В число ero вершин, Р
число ero ребер.
А) 26; Б) 24; В) 28; r) 31.
3. Дана правильная треyrольная призма AВCA 1 B 1 C 1 .
Сколько существует таких плоскостей, от которых
все вершины призмы находятся на одинаковом рас-
стоянии?
А) ни одной; Б) одна; В) четыре; r) семь.
4. Сумма количества rраней и количества ребер
призмы равна 998. Найдите количество ее вершин.
А) 500; Б) 498; В) 502; r) в условии мало данных.
5. Все боковые ребра треyrолъной пирамиды обра-
зуют с ее высотой один и тот же yrол. В этом случае
высота пирамиды проходит через:
А) точку пересечения медиан основания;
Б) точку пересечения биссектрис основания;
В) точку пересечения высот основания;
r) BepHoro ответа нет.
124
Контрольные работы. 11 класс
6. rpaHb МАВ треуrольной пирамиды МАВК
перпендикулярна основанию и представляет собой
прямоуrольный треуrольник с rипотенузой АВ == 2 и
острым уrлом 150. Найдите ВЫСОТУ пирамиды, опу
щенную из вершины М на основание АВК.
А) ..[3;
Б) 0,25;
В) 0,5;
r) 3tg 150.
7. В основании пирамиды лежит трапеция с oc
нованиями 3 и 7. Все двуrранные уrлы при ребрах
основания пирамиды равны 600. Найдите периметр
трапеции.
А) в условии мало данных;
Б) 23;
В) 20m;
r) 20.
8. Определите расположение точек А(I; 2; 3) и
B( 3; 3; 5) относительно плоскости 8х 3у + 5z 2 == о.
А) обе лежат в плоскости;
Б) одна лежит в плоскости, а друrая нет;
В) лежат по разные стороны плоскости;
r) лежат по одну сторону плоскости.
9. "Укажите уравнение плоскости, касательной к
сфере х 2 + у2 + z2 == 4 и проходящей через точку с KO
ординатами ( 3; 4; 1).
А) 2х 2у + z + 13 == о; в) х + у z == о;
Б) 2х 2у z + 15 == о; r) такой плоскости нет.
х
10. Дан тетраэдрАВСК; KL == 3КА + 2х' КВ + 2 . КС.
При каких значениях х точка L лежит в плоскости АВе?
А) при всех; Б) ни при каких; в) х == 1,2; r) х == 0,8.
11. Все rрани пятиrранника являются правильны-
ми мноrоуrольникамtI со стороной 6. Какие значения
может принимать объем пятиrранника?
А) 48Jб;
Б) 36.}2;
В) 54..[3;
r) BepHoro ответа нет.
Условия задач
125
12. Даны два шара, радиус одноrо из которых в
3 раза больше радиуса друrоrо (r 2 == 3r 1 ); Рl и Р2
сумма всех ребер, вписанных соответственно в пер-
вый и во второй шары правильных шестиуrольных
пирамид с плоским уrлом 200 при вершине; 81 и 82
полные поверхности описанных около этих шаров KO
нусов с уrлом 1300 в развертке каждоrо из них; V 1 и
V 2 объемы октаэдров, в которые соответственно
Р2 82 У 2
вписаны первый и второй шары. Найдите р + S + V .
111
А) 27;
Б) 3;
В) 39;
r) в условии мало данных.
13. Найдите отношение объема четырехуrольной
призмыАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 к объему тетраэдра ACB 1 D 1 .
А) 1 : 3; В) 1 : 2;
Б) 1 : 6; r) в условии мало данных.
14. В кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 через точку К диаrонали
АС 1 такую, чтоАК: КС 1 == 2 + JЗ, проведено сечение,
разбивающее куб на два мноrоrранника, в каждый из
которых можно вписать шар. Определите форму этоrо
сечения.
А) треуrольник; В) шестиyrольник;
Б) четырехуrольник; r) в условии мало данных.
15. Плоскость а параллельна плоскости 13, а рас-
стояние между ними равно 5. Композиция двух
симметрий относительно плоскостей а и 13 COOTBeT
ственно переводит точку М в точку К. "Укажите длину
отрезка М К.
А) 5; Б) 10; В) о;
r) это расстояние зависит от расположения точки
М относительно плоскости а.
126
Контрольные работы. 11 класс
16. Отрезок 0102 соединяет центры BepXHero и ниж
Hero оснований цилиндра. Точка К лежит на отрезке
0102 и делит ero в отношении 1 : 3, считая от 01; ВС и
AD два взаимно перпендикулярных диаметра OCHO
вания цилиндра с центром 01' В каком отношении де-
лит объем цилиндра сечение плоскостью, проходящей
через точки С и К параллельно прямой AD? (Дайте OT
вет, считая первым тело, содержащее точку 01')
А) 2 : 3; В) 2 : 9;
Б) 1 : 4; r) 1 : 3.
17. Найдите объем тела вращения прямоуrольной
трапеции AВCD (уrлы А и В прямые, уrол D равен
450, АВ == ВС == 2) BOKpyr прямой CD.
А ) 25пЛ . В ) 28пЛ .
3 ' 9 '
Б) 2S;Л ; r) BepHoro ответа нет.
18. Найдите объем тела вращения BOKpyr оси Ох
криволинейной трапеции, оrраниченной rрафиком
. п
у == sш х и прямыми х == "2 ; х == п.
2 2
ппп
А) 1; Б) 3"; В) "4; r) 2'
6
..:.:-;...,..:,.......
Ответы
ЕМ-Н-1
п одzотовительный вариант
1. а) 450; б) 300; в) 3./2 2 2 ; r) areeos . 2. х ==
..,,546
3 J7 1 J7+1
. или .
1
2 areeos ( 0,95).
2./3
1. а) 600; б) arctg"""3;
3 ./76 4 ./76+4
. 5 или 5 .
Вариант 1
в) 2 JЗ; r) arecos . 2. 2 aresin 9 ! .
2..,,10
1. а) 600;
б) 300;
Вариант 2
.[[5
в) 3; r) areeos 10 .
2. 1t areeos 0,9.
3 2JП 2 ЦП+2
. 5 или 5 .
EM H-2
п одzотовительный вариант
1.8 rраней, 18 ребер, 12 вершин. 2. а) 5; 4.[[0; 13; б) 240 +
+ 22.[[0; в) ,/321 . 3. а) 5; б) aretg l.
128
Контрольные работы. 11 класс
Вариант 1
1. Мноrоrранник с вершиной D 1 : 8 вершин, 12 ребер, 6 rраней,
2 диаrонали; мноrоrранник с вершиной В: 9 вершин, 14 ребер,
7 rраней, 5 диаrоналей; длина наибольшеrо отрезка равна 8 J3 .
2. а) 13600; б) ./1921 ; в) нет. 3. а) DD 1 6; А 1 В 1 B 1 C l
fr);:; 1 1
C l D 1 D 1 A 1 ,,37; б) arctg ; в) arctg ; r)A 1 C.
3"з 3"з
Вариант 2
1. Мноrоrранник с вершиной С: 8 вершин, 12 ребер, 6 rраней,
2 диаrонали; мноrоrранник е вершиной А: 10 вершин,
15 ребер, 7 rраней, 9 диаrоналей; длина наибольшеrо отрезка
равна 6 JЗ. 2. а) 1604; б) АА 1 ВВ 1 CC l DD 1 5 Jlб ;
в) нет. 3. а) 6 rраней; б)А 1 В 1 В 1 С 1 C 1 D 1 DlAl 2Jlб;
в) aretg f ; r) 3М.
ЕМ-ll-З
п одzотовительный вариант
h 2 ( 1 + SinЮСОS 13 32
1. . 2. а) 5" ; J66 ;
sin J sin2 cos 2 13
2 2
б) JI3 . 3. (Щ JЗ).
2
5 ,j48j ;
./481 ;
Вариан.т 1
1 h2 jЗ(1 cos а) 2 аJб . аJб 3 2 {;; 7
. 4cos а 2 . . 3 ' 3 . . "1.
..
Вариан.т 2
1 asin 13 2 J4sin 2 a 1 3 J2i
' ,) .2 .2.. а 3 .. .
sш а sш 13
129
Ответы
КМ-l1.4
п одzотовительный вариант
1 2h 2 3 а {2i
. . .3: 1. . 2" 5 .
Jc tg2 3
Вариант 1
1. 2h .2.3: 1. 3. ь.;2 .
J ctg2
Вариант 2
а.
2h tg2"
1. .2.3: 1.3. 2Ь.
J 1 tg2
КМ-l1-5
Подzoтовительный вариант
1 {2 (2 2 аJП9 3а аЛ
. а) а 3 ; б) а з' . а) ----т----; б) "4; в) а; r) 2 ; д) а или 2а.
3. а) 5 : 427; б) 900.
Вариант 1
1 аЛ asinl3 13 аЛ
. а) -----------р; б) ; в) atg а eos 2"; r)
2 cos 2" 2( 1 + SiПЮ 6
2.64./3; 2 6 . 3. а) 10; б) 900; в) 152 .
или
аЛ
2'
Вариант 2
1 а аЛsiпl3 аЛ atgl3
. а) sin213 ; б) 2(1 + cos(3) ; в) 6"" tg /3; r) "'"""2
а
или
4cosl3tg .
2.864./3; 432./3.3. а) 40; б) 900; в) .
5 rеометрия. 8 l1 KII.
130
Контрольные работы. 11 класс
KM 1l-6
п одzотовительныu вариант
1. а) а . -Б 3; а . с 4; -Б. с о; б) 13; в) J67; r) 900;
5 1 rn 1 1
д) х 8 ; е) у 14 ; ж) '" 2 . 2. а) МО :1 а + :1 с; MD а + с Ь;
б) + ;B)arccos 4 5cosa .3.0D -: ОА+ -: ОВ+ -: ос
J 17 16cosa
jб jб jб
илиОD --БОА 60B --БОС'
Вариант 1
1. а) а' -Б о; а' с о; -Б. с 3; б).j3i; в) areeos ( ) .
Jffi '
4 3 2 1 ( 1 ) 3
I')а з;д)t 13 ' .а):1;б)аrесоs 4 ;в)l. .a)a b+c;
б) 3 : 11.
Вариант 2
1. а ) а . -Б о. а . с о. -Б . с 3' б ) '67. В ) arccos 12 .
, , , ",U/, ю..[67'
2 1 2 1 3 1 1 1
r)а з; д)t :1' .a) l; б) 300; в) з, . :1 а + :1 Ь + :1 с;
3 1 7
4a+4b+4C,
КМ-1l-7
п одzотовительныu вариант
15,/5 ( 1 9 )
1. Сфера е радиусом 16 и центром о; 28; 16 .2. Возмож-
ны четыре елучая: 1) с(JЗ; о; О), A1(0; 1; 2), B1(0; 1; 2),
c 1 (J3; о; 2); 2) с(JЗ; о; О), A1(0; 1; 2), B1(0; 1; 2),
:\(JЗ;о; 2); З)С( J3; о; О), A1(0; 1; 2), B1(0; 1; 2),
Cl( J3; о; 2); 4) с( JЗ; о; О), A1(0; 1; 2), B1(0; 1; 2),
Cl( J3; о; 2).
131
Ответы
{ х t,
3. а) у t,
z 4 4t;
+ (у 1)2 + (z 1)2 == 5; r) прямая пересекает сферу; д) 2х + у +
1
+ 2 == о; е) 9 .
t Е R; б) 5х 9у z + 4 о; в) (х 1)2 +
Вариант 1
1. Сфера с радиусом 3 и центром (о; 7; О). 2. Возможны четы
ре случая: 1) в(о; 2; О), D(O; 2; О), Р(О; о; 2); 2) В(О; 2; о),
D(O; 2; О), Р(О; о; 2); 3) в(о; 2; О), D(O; 2; О), Р(О; о; 2);
{ х == 9 + 8t,
4) в(о; 2; О), D(O; 2; О); Р(О; о; 2). 3. а) у == 2t, t Е R;
z == 2t;
б) х + 6у + 2z 9 == о; в) (х 1,5)2 + (у 2)2 + (z 2,5)2 == 3,5;
r) прямая не имеет общих точек со сферой; д) х + 2у + 3z 6 о;
38
е) J227 '
Вариант 2
1. Сфера с радиусом 6 и центром (6; о; О). 2. Возможны четы
ре случая: 1) с(о; JЗ; О), D( о; Jз ; 2 ): 2) с(о; JЗ; О),
D( о; Jз ; 2 > 3) с(о; jЗ; О), D( о; Jз ; 2 );
{ х == 2 + 8t,
4)C(0; J3;0),D(0; ; 2 ). 3. а) y==1 2t, tER;
0./0 z == 3 + 2t;
б) х + 6у + 2z 2 == о; в) (х 2,5)2 + (у 1)2 + (z 1,5)2 == 3,5;
r) прямая не имеет общих точек со сферой; д) х + 2у + 3z 16 == о;
38
е) J227 '
KM 11.8
1 550п
. 81 .
Подzотовительный вариант
а з . з fЗ . 2 а а
п sш sш cos
2. 2 2 2
3 . з а fЗ
SШ
3 2(10 ./3)п . (4./3 + 54)п
. 3 ' 3 .
132
Контрольные работы. 11 класс
Вариан.т 1
1 80п 2 1 3 2 qJ
. 3"" . Возможны два случая: 1) з1th tg 2' rде q>
1 3 [ tg tg ] 2
"'" min (а; (3); 2) з1th а 13 3. 248п; 396п.
tg"2 + tg"2
Вариан.т 2
3887п
1. 81' 2. Возможны
[ а 13 ] 2
1 tg"2 tg 2
два случая: 1) з 1td3 а 13 ;
tg"2 + tg"2
] 3
tg qJ
2) ! 1td 3 tg 2 У. [ "2
3 2 У qJ'
tg z tg z
3 64п r;:,
. 3"' ' 321t",з + 64п.
rде q> "'" min (а; (3), у "'" тах (а; (3).
KM 1l 9
п одzотовuтельн.ый вариан.т
1. а) ( 4; 6; 9); б) ( 4; 6; 9); в) (6; 4; 9) или ( 6; 4; 9);
r) (7; 8; 5); д) (2; 8; 5). 2.0z; 1800. 3. {(В) "'" А; ((А 1 ) "'" с;
100J3sin( Ю
f(C 1 )"",B 1 ;f(D 1 )"",C 1 .4. %'.
cos sin( + а)
13ариан.т 1
1. а) (3; 2; 5); б) (3; 2; 5); в) ( 3; 5; 2) или ( 3; 5; 2);
r) ( 4; 4; 2); д) (5; 2; 5). 2.0у; 1800. 3. {(В 1 ) "'" В 1 ; {(С) "'" А;
{(с 1 ) "'" В; ((п 1 ) "'" с. 4. 200( J2 1)% '" 83%.
ОТВ(!ТЫ . ,
133
Вариант 2
1. а) ( 3; 7; 1); б) (3; 7; 1); в) (1; 7; 3) или ( 1; 7; 3);
r) (1; 6: 2); д) ( 1; 11; 1). 2. (о: о; 6); х + у == 0.3. f(A) == с;
f(B) == C 1 ; f(C) == D 1 ; f(Bl) == Bl' 4. 100(2,/2 3)% = 46%.
КМ-Н-10
п одzотовительный вариант
1. а) (.fSt + jS; )2; б) (.fSt + jS; + JSз )2.
2. ( +:vv;)( + зJV 1 V 2 + ). 3. 4R.
Вариант 1
1. (.fSt + jS; )2. 2. 275: V. 3. 3R,/2.
Вариант 2
1. 2,58. 2. ( зjV;, + :vv; )( з.А + зjV 1 V 2 + ЗМ ).
3. 2arcsin .
КМ-Н-Н
Подzотовительный вариант
1 1 ) n,J4R2 ,2 . 2) 7а2 J6 2 2) ) . б) .
. R' 16' . а Щ' J[7 ,
в) arccos ;..., ; r) arcsin ; 3) 51. 3.1) 160/3; 240; 2) R == 2.
,,17 ,,34
4. 1 : 2; 102.
Вариант 1
2R 5./3 r;;
1. 3' 3. """"4 ; 15.4. .,,2 : 3.
Вариант 2
1. 2. 3. 2; 2 J15 + J39 . 4. 1 : 5.
134
Контрольные работы. 11 кл сс
Вариант 3
1. 2arcsin J2 .
а
2 cos "2
2. а) .:. ;
",94
9
'б) '
J94 '
2
В) arccos 1nA ;
",94
. 6 3 (17, 4 rЛ85
r) аrсsш 1nA ' . 5 ",13. . 4 .
5",94
Вариант 4
1. arccos J1 ;соs rз .
JП
2. а) II ;
б ) JП .
22 '
1
В) arccos r.1 ;
",11
r) arccos ( Jй ). 3. 7 з./5.4. 176 r.
Вариант 5
1 5J2ab 2 rn 3 343п 4 3
. 16' . ",3. . 108'/з ' . 2,5а .
Вариант 6
1 3aJ3a 2 + 12ь 2 2 @R 3 300 4 7 [29
. 16 " "2" 73 . п' . {з'
Тестовая работа
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Б А В Б r в r в Б r r А А А Б r Б в
11. Тематическая
подборка задач
1. Векторы на плоскости
Векторы и направленные отрезки.
Уrол между векторами.
Действия с векторами
1.1. Постройте множество точек В таких, что для
данной точки А выполняется равенство !АВI == 2 см.
1.2. Постройте множество точек В таких, что для
данной точки А выполняются неравенства 3 IAВI 5.
1.3. В ромбеАВСD уrолАВС равен 400. Найдите yr-
лы между векторами АВ и AD ; АВ и CD ; АВ и DA ; АВ
и АС ; СВ и BD ; АС и BD ; АС и пв ; AD и ВС . 'Укажите,
какие из перечисленных векторов имеют наиболь-
шую длину.
1.4. Дана трапеция AВCD, в которой АВ == ВС ==
== CD == 4, AD == 8. Найдите уrлы между векторами АВ
и AD ; АВ и CD ; ВС и DA , АС и BD ; СВ и DC ; АС и ВС ;
DB и АВ ; BD и АВ ; СА и BD . 'Укажите, какие из пере-
численных векторов имеют наибольшую длину.
1.5. Найдите множество таких точек В, что для
данных точек А, М и N уrол между векторами АВ и
MN равен 800.
136
Тематическая подборка задач
1.6. Найдите множество таких точек В, что!АВ1 == р,
rдеА произвольная точка данной прямой 1 ир О.
1.7. Дан вектор АВ ::j:. О. rде расположены все такие
точки С, что: а) !АВ + Ес l == !AB I; б) !АВ Ec l == !AВI?
1.8. Дан вектор АВ ::j:. О. rде расположены все такие
точки С, что: а) !АВ + Ес l == I EC I; б) !АВ Ес l == I EC I?
1.9. Определите уrлы между взятыми попарно BeK
торами, если известно, что: а) !АВ I == , вс , == !Ac l; б) lal ==
== !БI == 'а БI. Сделайте рисунок.
1.10. Пусть lal == 5, IБI == 13. В каких пределах может
изменяться: а) 'а + БI; б) 'а БI?
1.11. Пусть 'аl == 8, 'а + БI == 2. В каких пределах мо-
жет изменяться IБI?
1.12. Пусть lal == 11, 'а БI == 11. В каких пределах
может изменяться IБI?
1.13. Пусть la + БI == 7, 'а БI == 15. В каких пределах
может изменяться: а) lal; б) IБI; в) 'аl + IБI; r) 'аl . IБI?
1.14. Пусть 'аl == 3, IБI == 2. В каких пределах может
изменяться lcl, если: а) ё == 2а + 5Б; б) ё == 7а 8Б?
1.15. Пусть 13а 5ы == 13, 17а 12ы == 7. В каких пре-
делах может изменяться: а) lal; б) lbl; в) lal lbl; r) 'аl 'Ibl?
1.16. Пусть !АВ I == 4, !Ас l == 8, уrол между векторами
АВ и АС равен 600. Постройте вектор ё и измерьте ero
длину (с помощью измерительной линейки), если
ё == АВ + АС .
1.17. Пусть !АВ I == 4, !Ас l == 8, уrол между векторами
АВ и АС равен 900. Постройте вектор ё и измерьте ero
длину (с помощью измерительной линейки), если
ё == АВ AC .
1.18. Пусть !АВ I == 4, !Ас l == 2, уrол между векторами
АВ и АС равен 450. Постройте вектор ё и измерьте ero
длину (с помощью измерительной линейки), если
ё == 3АВ + 5АС .
137
Вt::КТоры на плоскости
1.19. пусть!АВ1 == 2, !Асl == 1, уrол между векторами
АВ и АС равен 1200. Постройте вектор ё и измерьте
ero (с помощью измерительной линейки), если
ё == БАВ 7АС .
1.20. Пусть О точка пересечения диаroналей па-
раллелоrраммаАВСD. Найдите ОА + ОБ + ОС + OD .
1.21. Пусть О точка пересечения диarоналей четы-
рехyrольника AВCD, причем ОА + ОБ + ОС + OD == о.
Верно ли, что AВCD параллелоrрамм?
1.22. Пусть О точка пересечения медиан пра
вильноrо треyrольникаАВС. Найдите ОА + ОБ + ОС .
1.23. Пусть О точка пересечения медиан Tpe
уrольника АВС, причем ОА + ОВ + ОС == о. Верно ли,
что треуrольник АВС правильный?
1.24. Пусть ОМ == З ОР . Докажите, что точки О, М
и р лежат на одной прямой. Определите взаимное рас-
положение точек О, М иР.
1.25. Пусть КМ == 5 ME . Докажите, что точки К,
М и Е лежат на одной прямой. Определите взаимное
расположение точек К, М и Е.
1.26. Докажите, что если три различные точки А,
В и С лежат на одной прямой, то существует такое
число а, что АВ == а.АС .
1.27. Дано: la + ы == 1, 1100а + 99ы < 1. Оцените Be
личины: а) lal и 'а bl; б) Ibl и 198а + 99bl.
Разложение вектора
по двум неколлинеарным векторам
1.28. Пусть точка М середина отрезка АВ, К
произвольная точка, не лежащая на прямой АВ. Раз-
ложите вектор:
а) КМ по векторам КА и КВ ;
б) КА по векторам КВ и КМ .
138
Тематическая подборка задач
1.29. Пусть Ар А2' А з , А4 точки прямой, причем
А 1 А 2 == АzAз == А:зА4' Точка К не принадлежит прямой
А1А4' Разложите вектор:
а) КА 2 по векторам КА 1 и КА 4 ;
б) КА з по векторам КА 1 и КА 4'
1.30. Пусть точка М лежит на отрезке АВ и
АМ: МВ == т: п. Докажите, что
NM ==........!!:.... . NA + . NB .
т+п т+п
1.31. В треуrольникеАВС точка К лежит на CTOpO
КС вк
не ВС. Докажите, чтоАК == ВС . АВ + ВС . АС.
1
1.32. а) Пусть а == Зс 5Ь, m == 2с, п == :3 Ь. Разложи
те вектор а по векторам m и п.
1
б) Пусть а == "7 ь + Зс. Разложите вектор Ь по BeKTO
рам а и с.
1.33. Пусть а == 5 т Зп, ь == 7 т 4п, rде векторы m
и п неколлинеарны. Докажите, что векторы а и Ь не-
коллинеарны, и разложите векторы m и п по векто-
рам а и Ь.
1 2
1.34. Пусть l == "7 а :3 Ь, m == За 14Ь, rде векторы
а и Ь неколлинеарны. Докажите, что векторы m и 1
неколлинеарны, и разложите вектор m по векторам
1 иа.
1.35. Известно, что АМ == л МВ , Л::j:. 1. Докажите,
что точка М делит отрезок АВ в отношении Л. Сде-
лайте рисунки для случаев: а) О < л < 1; б) л > 1;
в) 1<л<0;r)Л< 1.
1.36. Пусть МС == х МА + у МВ , rде точка М не ле
жит на прямой АВ; точка С лежит на прямой АВ. До-
кажите, что х + у == 1.
139
Векторы на плоскости
1.37. Пусть МС == х МА + у МВ и х + у == 1. Докажи-
те, что точка С лежит на прямой АВ.
1.38. Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении
Л и точка М не лежит на прямой АВ. Разложите BeK
тор МС по векторам МА и МВ .
1.39. Пусть точка М не лежит на прямой АВ и
МС == х МА + (1 х )МВ . В каком отношении точка С
делит отрезок АВ?
1.40. В трапеции AВCD основание ВС вдвое мень-
ше основания А. Разложите по векторам т == АВ
и п == AD векторы ВС , АС , BD , М 1 М 2 (М 1 и М 2 се-
редины ВС и AD соответственно), N 1 N 2 (N 1 и N 2
середины АВ и CD соответственно).
1.41. В трапеции AВCD с основаниями ВС и AD
уrол А прямой, уrол D равен 600, ВС == CD. Разло-
жите по векторам а == ВС и Ь == CD векторы BD , AD ,
АС , М 1М 2 ' N 1 N 2 , rде Мl' М2' N 1 и N 2 определяются
так же, как в задаче 1.40.
1.42. Векторы т и п неколлинеарны. При каких
значениях х коллинеарны векторы а и Ь, если
а == х т 7п и Ь == 8 т + 3п?
1.43. Векторы т и п неколлинеарны. При каких
значениях х коллинеарны векторы а и Ь, если
а == 15 т + хп и Ь == хт + 5п?
1.44. Используя векторы, докажите, что средняя
линия треуrольника параллельна третьей стороне и
равна ее половине.
1.45. Используя векторы, докажите, что средняя
линия трапеции параллельна ее основаниям и равна
их полусумме.
1.46. Докажите, что отрезки, на которые делятся,
пересекаясь, диаrонали трапеции, пропорциональны
ее основаниям.
140
Тематическая подборка задач
1.47. В трапеции AВCD продолжения боковых сто-
рон АВ и DC пересекаются в точке Р. Докажите, что
РА: РВ PD: РС Aп: ВС.
1.48. Докажите, что в трапеции середины основа-
ний и точка пересечения диаrоналей лежат на одной
прямой.
1.49. Докажите, что в трапеции середины OCHOBa
ний и точка пересечения продолжений боковых сто-
рон лежат на одной прямой.
1.50. Докажите, что в трапеции середины OCHOBa
ний, точка пересечения диаrоналей и точка пересече
ния продолжений боковых сторон лежат на одной
прямой.
1.51. Докажите, что медианы треуrольника пере
секаются в одной точке и делятся ею в отношении
2 : 1, считая от вершины.
1.52. Пусть МО точка пересечения медиан тре-
уrольника АВС. Докажите, что для любой точки М
1
выполняются равенства ММО з (МА + МВ + МС) и
МоЛ + МОВ +МоС o.
1.53. Пусть М 1 И М 2 точки пересечения медиан
треуrольников А 1 В 1 С 1 И А 2 В 2 С 2 соответственно. ДOKa
1
жите, что М 1 М 2 з(А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 ).
1.54. в треуrольникахА 1 В 1 С 1 иА 2 В 2 С 2 точки пере
сечения медиан совпадают. Разложите:
а) вектор А 1 А 2 по векторам В 1 В 2 и С 1 С 2 ;
б) вектор А 1 В 2 по векторам B 1 C 2 и А 1 С 1 .
1.55. В треуrольнике АВС проведена биссектриса
уrла А, пересекающая сторону ВС в точке A 1 ; АВ с,
ВС а, СА Ь. Докажите, что:
Векторы на ПАОСКОСТИ
141
1 1
а) векторы АА 1 и ё . АВ + Ь . АС коллинеарны;
Ь с
б)АА 1 == ь-+;; . АВ + ь + с . АС.
в) Обобщите результаты пунктов а) и б).
1.56. Биссектриса внешнеrо уrла А треуrольника
АВС пересекает продолжение стороны ВС в точке А 1 .
Докажите, что АВ : АС == БА 1 : А 1 С.
1.57. В треуrольнике АВС точка В 1 делит сторону
АС в отношении 3 : 2, считая от точки А; отрезок ВВ 1
пересекает медиану АА 1 в точке М. Найдите отноше-
ния ВМ: МВ 1 иАМ: МА 1 .
1.58. В треуrольнике АВС точка А 1 делит сторону
ВС в отношении 1': 2, считая от точки В, точка В 1 де-
лит сторону АС в отношении 2 : 3, считая от точки А.
Отрезки АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке М. Найдите
отношения ВМ : МВ 1 и АМ : МА 1 .
1.59. В треуrольнике АВС точка В 1 делит сторону
ВА в отношении 3 : 5, считая от точки В, точка В 2 де-
лит сторону ВС в отношении 1: 2, считая от точки В,
медиана ВМ пересекает отрезок В 1 В 2 в точке Во. Най-
дите отношение В1 В О : ВоЕ2'
1.60. В треуrольнике АВС точка В 1 делит сторону
БА в отношении 3 : 5, считая от точки В, точка В 2 де-
лит сторону ВС в отношении 1 : 2, считая от В, меди-
ана ВМ пересекает отрезок В 1 В 2 в точке Во. Найдите
отношение ВВО : ВоМ.
1.61. Дан треyrольникАВС и прямая а, пересекаю
щая прямую АВ в точке М, прямую ВС в точке N и
АМ
прямую АС в точке Р. Пусть, кроме Toro, мв == а,
BN СР
NC == , РА == у. Докажите, что аfЗy == 1 (теорема Ме-
нелая).
142
Тематическая подборка задач
Векторы и координаты
1.62. Даны точки A( 3; 4) и B( 7; 7). Найдите ко-
ординаты и модули векторов АВ , ВО , ОА .
1.63. Даны точки М(7; 5) и K( 5; 10). Найдите
координаты и модули векторов МК , 2 КМ , ОМ + ОК ,
OM OK .
1.64. Даны вектор а{3; 8} и точкаА(7; 1). Найдите
координатыI точки В, если вектор АВ :
а) равен вектору а;
б) противоположен вектору а.
1.65. Даны вектор Ь{7; 3} и точка В(7; 2). Найди
те координаты точки А, если вектор АВ :
а) равен вектору Ь;
б) противоположен вектору Ь.
1.66. Найдите уравнение множества всех таких TO
чек В, что вектор. АВ имеет ту же длину, что и вектор
а{7; 1}, если точка А имеет координаты (1; 5).
1.67. Найдите уравнение множества всех таких TO
чек А, что вектор АВ имеет длину, вдвое большую,
чем вектор т { 3; 1}, если точка В имеет координаты
( 1; 3).
1.68. Найдите координаты единичноrо вектора, co
направленноrо с вектором а{х; у} (а :;t:. О).
1.69. Даны точки А(х 1 ; У1) и В(х 2 ; У2)' Найдите ко-
ординаты всех единичных векторов, коллинеарных
вектору АВ .
1.70. Сумма двух векторов а и Ь имеет координаты
{ 7; 1l}, а их разность координаты {8; 5}. Найди
те координаты векторов а и Ь.
1.71. Известно, что с{3; 8}, a{ 1; 6}, с == 3а 5Ь и
d == 2а 3Ь. Найдите координаты векторов а и Ь.
1.72. Даны векторы а{3; 6}, Ь{l; 7}, с{2; 14} и
а{':"'1; 2}. Среди данных векторов укажите пары co
направленных, противоположно направленных, He
коллинеарных.
143
Векторы на плоскости
1.73. Даны точки A( 3; 8), В(7; 11), С(6; 1) и
D( 2; 18). Составьте, используя точки А, В, С и D в
качестве начала и конца вектора, пары сонаправлен-
ных, противоположно направленных и неколлинеар-
ных векторов.
1.74. При каком значении х векторы а{3; 8} и
Ь{7; х} коллинеарны?
1.75. При каком значении х векторы АВ и АС кол-
линеарны, если известно, что А(3; 8), B( 7; 1) и
С(х; 11)?
1.76. Дана точка А. Как связаны координаты всех
точек В таких, что векторы АВ и а коллинеарны, если
А(3; 5) и a{ 1; 4}?
1.77. Дана точки А. Как связаны координаты всех
точек В таких, что векторы АВ и а коллинеарны, если
A( 7; 8} и а{25; 50}?
1.78. Постройте векторы ОА {3; 4}, OB { 4; 3},
OC { 3; 4} и OD {4; 3}. Что представляет собой фиrу
ра AВCD?
1.79. Дан квадрат AВCD; вектор АВ имеет коорди
наты {3; 4}. Какие координаты Moryт иметь векторы
BC , CD , DA ?
1.80. На rрафиках функций у == х 2 3х + 5 и
у == x2 + 2х 1 найдите такие точки А и В co
ответственно, чтобы вектор АВ имел координаты
{ 2; 7}.
1.81. На rрафике функции у == ! найдите все такие
х
пары точек А и В, чтобы вектор АВ имел координаты
{3; 1,5}.
1.82. Даны векторы а{3; 5}, Ь{7; 3} и с{2; 1}. Разло-
жите каждый из данных векторов по двум друrим.
1.83. Даны точки A( 3; 5), В(7; 3) и С(2; 1). Раз
ложите вектор АВ по векторам АС и ВС .
144
Тематическая подборка задач
1.84. Дан треуrольник АВС, в котором АВ {3; 4},
BC { 5; 12}. Найдите координаты векторов АС , ВВ 1
(точка В 1 середина отрезка АС), ВВ 2 (луч ВВ 2
биссектриса уrла АВС, точка В 2 лежит на стороне АС).
1.85. Дан треуrольник АВС, в котором АВ {3; 4},
BC { 5; 12}. Найдите координаты вершин треуrольни
ка, если точка пересечения ero медиан совпадает с Ha
чалом координат.
Скалярное произведение векторов
1.86. Дано: laj ;: 6, Ibl;: 5, <р;: 600. Найдите: а . Ь;
(а + Ь) . а; Ь. (а Ь); (а + Ь) . (а Ь).
1.87. Дано: lal ;: з-12, Ibl;: 2, <р;: 1350. Найдите:
а . Ь; (2а Ь) . а; Ь . (2а + Ь).
1.88. Дано: а . Ь;: 3, lal;: 2, Ibl;: 3. Найдите <р.
1.89. Дано: а . Ь;:5, lal;:5-12, Ibj;:l.Найдитеq>.
1.90. Дано: (а зь)2 ;: 5, (а + зь)2 ;: 7. Найдите:
а . Ь; la зы; la + зы.
1.91. Дано: (2а + ь)2 ;: 6, (2а ь)2 ;: 11. Найдите:
а . Ь; 12а + bl; 12а bl.
1.92. Дано: а{3; 4}, Ь{ 5; 12}. Найдите: а . Ь; lal;
Ibl; сов <р.
1.93. Дано: a{ l; 5}, Ь{10; 2}. Найдите: а . Ь; <р; lal;
Ibl; la bl.
{ 1 } { 2 7 } u
1.94. Даны векторы: а 1; 2 ,Ь 3; 6 . Наидите:
(а + 3Ь)(5а 3Ь); la + зы; 15а зbj; косинус уrла меж-
ду векторами а + 3Ь и 5а 3Ь.
1.95. Дано: а{2; 3}, Ь{ 1; О}. Найдите значения BЫ
ражений: (2а 3Ь)(а + 7Ь); 12а зы; la + 7bl; косинус
уrла между векторами 2а 3Ь и а + 7Ь.
145
Векторы на плоскости
1.96. Даны точки А(1; 3), В(2; 5) и C( 3; 1). Най
дите: АВ . АС ; !AВI ; !Acl ; косинус yrла ВАС.
1.97. Даны точки M( I; 3), К(2; 5) и O( 5; 9). Най
дите: МК . МО , I MK I; I MO I; уrол КМО.
1.98. Дан вектор a{ 1; 2}. Найдите проекции векто-
ра а на следующие оси: ось Ох; ось Оу; ось, сонаправ
ленную вектору а; ось, противоположно направлен
ную вектору а; ось, противоположно направленную
вектору Ь{2; 1}; ось, сонаправленную вектору р{1; 7}.
1.99. Дан вектор р{3; 4}. Найдите проекции на
ось, сонаправленную вектору р, следующих векторов:
а{О; 1}, Ь{1; О}, р; p; q{4; 3}; т {1; 2}.
1.100. В ромбе AВCD уrол BAD равен 600, BD == 1.
Найдите проекцию вектора АВ на ось, сонаправлен
ную: вектору AD ; вектору DB ; вектору АС ; вектору
1
AD 2AВ.
1.101. В параллелоrрамме AВCD диаrональ BD
перпендикулярна cTopoHeAD, АВ == 3. Найдите проек-
ции векторов АВ , AD , АС на ось, сонаправленную BeK
тору BD .
1.102. 'Упростите выражение
АВ . MN AВ . PQ + BC ' MN +
+ СА ' MN PQ . ВС + АС . PQ .
1.103. 'Упростите выражение
(е 1 е 2 е з е 4 ) . (е 1 + е 2 + е з + е 4 ),
rде e i единичные векторы, </>1 + </>2 == 1800, rде </>1
уrол между векторами е 1 и е 4 , </>2 уrол между векто-
рами е 2 и е з ,
1.104. Возможно ли для трех ненулевых векторов
соотношение а' (Ь . с) == Ь . (а . с) == с . (а . Ь)?
1.105. Возможно ли для трех ненулевых векторов
соотношение а' (Ь + с) == а . (Ь + 2с)1
146
Тематическая подборка задач
1.106. В треуrольнике АВС известны стороны
АВ == 3, АС == 4, ВС == 5. Найдите: АВ . АС ; ВА . ВС ;
СА . СВ ; косинусы уrлов А, В и С.
1.107. В треуrольнике АВе известны стороны
АВ == ВС == 13, АС == 10. Найдите: ВА . ВС ; АВ . АС ;
СВ . СА , косинусы уrлов В, А и С.
1.108. Докажите, что сумма квадратов диаrоналей
параллелоrрамма равна сумме квадратов всех ero CTO
рон.
1.109. Докажите, что косинус уrла А, противоле
жащеrо стороне а треуrольникаАВС, вычисляется по
ь 2 + с 2 а 2
формуле cosA == 2Ье (Ь и с две друrие сто-
роны треyrольника).
1.110. В треуrольнике АВС со сторонами а, Ь и с
проведена медиана та к стороне а. Докажите, что
2 2ь 2 + 2е 2 а 2
т а == 4
1.111. Две медианы треуrольника взаимно перпен
дикулярны и равны 6 и 8. Найдите третью медиану.
1.112. В треуrольнике АВС известны стороны
АВ == 6, АС == 8, ВС == 7. Найдите биссектрису АА 1 .
1.113. Докажите, что еслиАА 1 биссектриса уrла
А треуrольника АВС, то AAi == АВ . АС А 1 В . А 1 С.
1.114. В треуrольнике АВС на стороне ВС взята
точкаА 1 так, что ВА 1 :А 1 С == 2: 3. НайдитеАА 1 , если
АВ == 6, АС == 8, уrол А равен 600.
1.115. В треуrольникеАВС стороны АВ и ВС равны
. 2 J2 и 4 соответственно, уrол В равен 1350. Какой
уrол составляет со стороной АС медиана ВВ 1 ? (YKa
жите косинус уrла.)
Декартовы координаты на плоскости
147
1.116. Пусть точка Р (J. образ точки Ро(1; О) при
повороте BOKpyr точки 0(0; О) на уrол а, точка РjЗ
образ точки Р о при повороте BOKpyr точки О на уrол
(О < < а < 900). Выразите скалярное произведение
ОР (J. . ОРjЗ через координаты векторов и через коси-
нус yrла между ними. Сравнивая результаты, дока-
Жите, что сов (а ) == сов а сов + Bin а Bin .
2. Декартовы координаты на плоскости
Координаты на прямой
2.1. Найдите расстояние между точками: а) А(3) и
B( 7); б)А(х 1 ) и В(х 2 ).
2.2. Найдите на прямой все точки А(х) такие, что
расстояние от них ДО точки В(2): а) равно 3; б) меньше 3.
2.3. Как расположены точки А 1 (х 1 ), AiX2) и А з (х з ),
если IX 1 хзl + I x 3 х 2 1 == IX 1 х 2 1?
2.4. Как расположены точки А 1 (х 1 ), А 2 (х 2 ) и А з (х з ),
если IX 1 хзl IX 2 хзl == I X l х 2 1?
2.5. Пусть А(хд, В(х 2 ), С(Х 3 )' Найдите отношение:
а) АВ : вс; б)АС: СВ.
2.6. Найдите координаты такой точки А(х), что
АВ ==АС, rде В(3), C( l1).
2.7. Найдите координаты середины отрезка АВ, ec
ли А(х 1 ), в(х 2 ).
2.8. Известно, что А(3), В(8). Найдите координаты
всех таких точек М, что АМ: мв == 4: 1.
2.9. Даны точки А(7) и B( l1). Найдите координа-
ты всех таких точек М, дЛЯ которых АМ : МВ == 4 : 5.
2.10. Точка М делит отрезок АВ в отношении 1..,
т. е. АМ == л. . МВ .
148
Тематическая подборка задач
а) Докажите, что координата точки М равна
Хl + ЛХ2
1 + л ' если А(х 1 ) и В(х 2 ).
б) rде находится точка М, если: Л == 1; л > 1;
0<Л<1; 1<л<О; л< 1?
2.11. Из точек А(8) и В(20) одновременно стартуют
два тела, отношение скоростей которых равно 3. Най-
дите координату места встречи, если:
а) тела движутся навстречу друr друrу;
б) тело, вышедшее из точки А, доrоняет тело, дви
жущееся из точки В.
Rоордипа ты па плоскости
2.12. а) Докажите, что проекция середины отрезка
АВ на ось Ох(Оу) есть середина отрезка АхВх(АуВу)
проекции данноrо отрезка на ось Ох (Оу).
б) Пусть А(х 1 ; У1)' В(х 2 ; У2)' М середина отрез-
( Х 1 + Х 2 Уl + У2 )
ка АВ. Докажите, что М 2 ; 2 .
2.13. Даны точки А(3; 8) и М(7; 5). Найдите KOOp
динаты такой точки В, что М середина отрезка АВ.
2.14. Пусть М(7; 3) точка пересечения диаrона
лей параллелоrрамма AВCD, rде А(О; 1) и В(2; О).
Найдите координаты остальных вершин.
2.15. ТочкиА(1; 3); В(2; 5) и C( 1; 5) три после
довательные вершины параллелоrрамма AВCD. Най
дите координаты точки М пересечения диаrоналей и
четвертой вершины параллелоrрамма.
2.16. Найдите координаты такой точки М, которая
вместе с точками N(O; 3), Р(7; О) и 0(0; О) образует па-
раллелоrрамм (точки можно брать в различной после
довательности).
149
Декартовы координаты на плоскости
2.17. Точка А(7; 5) вершина треУl'ольника АВС,
точки В 1 (3; 6) и Al( l; 7) середины сторон АС и
ВС соответственно. Найдите координаты остальных
вершин.
2.18. Точки A1( 3; 8), В 1 (7; 5) и C 1 (6; 8) середи-
ны сторон ВС, АС и АВ треУl'ольника АВС COOTBeT
ственно. Найдите координаты вершин треУl'ольника.
2.19. Даны точки А(7; 26), B( l; 2) и C( 3; 4).
Найдите АВ, АС, ВС и докажите, что точки А, В и С
лежат на одной прямой, причем В лежит между А и С.
В каком отношении точка В делит отрезок АС, считая
от точки А?
2.20. Даны точки A( 3; 6), В(9; 2) и C( 9; 8). Най
дитеАВ, АС, ВС и докажите, что точки А, В и С лежат
на одной прямой. В каком отношении точка В делит
отрезок АС, считая от точки А?
2.21. Лежат ли на одной прямой точки:
а) М(l; 4), N(2; 1) и К(8; 17);
б) Q( 3; 1), Р(О; 11) и Р(3; 19)?
2.22. Даны точкиА(3; 5) и В(11; 11). Найдите точ-
ку М, делящую отрезок АВ: а) в отношении 0,6;
б) в отношении 3.
2.23. В каком отношении точкаА(l; 6) делит отре-
зок ВС, I'де В(О; 16) и C( 5; 66), считая от точки В?
2.24. В каком отношении точка М(l; 1) делит отре-
зок NK, I'де N(4; 1) и К(7; 3)?
.2.25. а) Пусть точкиА(Х1; Yl)' В(Х 2 ; У2) и С(Х з ; Уз) ле
u u У2 Уз Yl Уз
жат на однои прямои. Докажите, что == .
Х 2 Х з X 1 Х з
б) Сформулируйте и докажите утверждение, обрат-
ное утверждению пункта а).
2.26. При каком значении t точки А(3; 8), В(9; t) и
C( 5; о) лежат на одной прямой?
150
Тематическая подборка задач
2.27. При каком знанении t точки M(t; 4),
N(2; t) и К(8; 17) лежат на одной прямой?
2.28. В трапеции AВCD известны координаты Bep
шин: А(О; О), В(l; 1), С(3; 1), D(8; О). Найдите:
) i ВС
а отношение длин основании 11. == Ап ;
б) координаты точек, делящих диаrонали СА и BD
в отношении л (см. пункт а», считая от С и В. Сделай
те вывод из полученных результатов.
2.29. Докажите, что для Toro чтобы точки А(х 1 ; У1)'
В(х 2 ; У2)' с(х з ; уз) и D(x 4 ; У4)' не лежащие на одной
прямой, были последовательными вершинами парал
лелоrрамма AВCD, необходимо и достаточно выпол
нение условий
{ Х1 + Х З == Х 2 + х 4 ,
У1 + УЗ == У2 + У4'
2.30. Найдите координаты двух вершин квадрата,
если известны координаты двух друrих ero вершин
A( 4; О) и В(4; О).
2.31. Найдите координаты двух вершин квадрата,
если известны координаты двух друrих ero вершин
А(8; 6) и В( 8; 6).
2.32. Найдите координаты третьей вершины
paBHocTopoHHero треуrольника АВС, если A( 4; О),
В(4; О).
2.33. Найдите координаты третьей вершины
paBHocTopoHHero треуrольника АВС, если А(8; 6),
B( 8; 6).
2.34. Найдите координаты двух вершин ромба с yr-
лом 600, если известны две друrие ero вершины
A( 4; О) и В(4; О).
2.35. Найдите координаты двух вершин ромба с yr-
лом 600, если известны две друrие ero вершины
А(8; 6) и В( 8; 6).
Декартовы координаты на плоскости
151
2.36. В треуrольнике АВС известны координаты
вершин А(О; О), С(2р; О) и В(2т; 2п), rде р> О. Най-
дите:
а) стороны АВ, АС и ВС;
б) медианы АА 1 , ВВ 1 и СС 1 .
2.37. Используя результаты задачи 2.36, докажи-
те, что:
2 2 2 2 2 2
) АА 2 == 2 == 2Ь + 2с а вв 2 == 2 2Ь + 2с а
а 1 та 4 ' 1 т ь 4 '
сс 2 2 2а 2 + 2ь 2 с 2
1 те 4
б ) т2 + т 2 + т 2 == ( а 2 + ь 2 + с 2 )
а Ь е 4 .
2.38. а) Докажите, что точки А(О; О), В(т; п),
С(т + а; п) и п(а; О), rде а > О являются вершинами
параллелоrраммаАВСD. Найдите стороны и диаrона-
ли этоrо параллелоrрамма.
б) Докажите, что в параллелоrрамме сумма квад-
ратов диarоналей равна сумме квадратов всех ero
сторон.
2.39. Найдите третью вершину равнобедренноrо
треyrольника АВС, rде В(3; 7) и C( 1; 5), если она
лежит на оси абсцисс.
2.40. Найдите третью вершину равнобедренноrо
треуrольника АВС, rде В(3; 7) и C( l; 5), если она
имеет равные по абсолютной величине координаты.
2.41. Докажите, что треyrольник АВС прямо
уrольный, если известно, что А(О; 5), В(3; 6) и
C( 7; 26).
2.42. Докажите, что треуrольник АВС прямо-
уrольный, если известно, что А(5; 2), В(8; 5) и
С(l1; 4).
2.43. Найдите длину отрезка, концы KOToporo ле-
жат на осях Rоординат, а серединой является точка
M( 5; 11).
152
Тематическая подборка задач
2.44. Найдите длину отрезка, один из концов кото-
poro имеет ординату 8, а друrой абсциссу 6, если точ
ка M( 1; 4) отрезка делит ero на части, отношение
длин которых равно 5.
2.45. На прямой АВ, rде А(3; 8) и B( 1; 5), найди
те точку с абсциссой О.
2.46. На прямой АВ, rде A( 7; 4) и В(l1; 3), най-
дите точку с ординатой 1.
Уравнение прямой
2.47. Найдите точки пересечения прямой, за
данной уравнением 5х + 7у 35 == О, с осями коорди-
нат.
2.48. Найдите точки пересечения прямой, задан
ной уравнением 8х + 2у + 7 == О, с осями координат.
2.49. Напишите общее уравнение прямой, парал
лельной оси абсцисс и проходящей через точку
М(3; 8).
2.50. Напишите общее уравнение прямой, парал
лель ной оси ординат и проходящей через точку
M( 4; 11).
2.51. Запишите уравнение прямой 8х 11у + 88 ==
== о как уравнение в отрезках и постройте ее.
2.52. Запишите уравнение прямой 3х + 7у 21 == О
как уравнение в отрезках и постройте ее.
2.53. Запишите уравнение прямой 3х 6у + 11 == О
в виде уравнения с уrловым коэффициентом и с по
мощью микрокалькулятора найдите уrол, образован
ный данной прямой с положительным направлением
оси Ох.
2.54. Запишите уравнение прямой 8х + 4у 3 == О
в виде уравнения с уrловым коэффициентом и с по-
мощью микрокалькулятора найдите уrол, образован
153
Декартовы координаты на плоскости
ный данной прямой с положительным направлением
оси Ох.
. 2.55. Напишите общее уравнение прямой, если она
проходит через точки А(2; 7) и B( 3; 7).
2.56. Напишите общее уравнение прямой, если она
проходит через точки K( 5; 1) и M( 5; 83).
2.57. Напишите общее уравнение прямой, если она
проходит через точки E( 8; О) и н(о; 7).
2.58. Напишите общее уравнение прямой, если она
проходит через точки Р(3; 5) и Т(8; 1).
2.59. Напишите уравнение прямой, проходя щей
через точку M( 3; 5) и имеющей уrловой коэффици
ент k == 7.
2.60. Напишите уравнение прямой, проходя щей
через точку Е(О; 1) и имеющей уrловой коэффици-
ент k == 3.
2.61. Найдите уrловой коэффициент прямой, про-
ходящей через точки К(2; 5) и М(3; 5).
2.62. Найдите уrловой коэффициент прямой, про-
ходящей через точки O( 3; 8) и P( 3; 3).
2.63. Найдите уrловой коэффициент прямой, про_.
ходящей через точки А(7; 7) и В(8; 8).
2.64. Найдите уrловой коэффициент прямой, про-
ходящей через точки E( 1; 3) и н(з; 1).
2.65. Найдите уравнение прямой, проходя щей че-
рез точку М(2; 7) под уrлом 450 к положительному
. направлению оси абсцисс.
2.66. Найдите уравнение прямой, проходящей че-
рез точку T( 5; 4) под уrлом 1350 к положительному
направлению оси абсцисс.
2.67. Запишите уравнение пучка прямых, прохо
дящих через точку M( 3; 5); выберите из них пря
мую, проходящую через начало координат.
154
Тематическая подборка задач
2.68. Запишите уравнение пучка прямых, прохо
дящих через точку M( 3; 5); выберите из них пря-
мые, пересекающие ось Оу на расстоянии 2 от начала
координат.
2.69. Запишите общее уравнение прямой, задан-
ной параметрически:
J х == 3 2t,
1 У == 5 + 3t (t Е R).
2.70. Запишите общее уравнение прямой, задан
ной параметрически:
J х == 7 5t,
1 У == 8t (t Е R).
2.71. Запишите параметрические уравнения пря-
мой 5х 3у + 8 == о.
2.72. Запишите параметрические уравнения пря-
мой 7 х + 3у 11 == о.
2.73. Определите взаимное расположение прямых
3х 4у + 7 == О и 6х 8у + 1 == о.
2.74. Определите взаимное расположение прямых
5х + 3у 1 == О и 8х 3у + 2 == о.
2.75. Определите взаимное расположение прямых
7x 8y+2==0 и 4y 3,5x 1==0.
2.76. Определите взаимное расположение прямых
у == 3х + 7 и у == 3х 5.
2.77. Определите взаимное расположение прямых
у == 2x 11 и у == 5х + 3.
2.78. Прямая задана уравнением у == 6х 3. Co
ставьте уравнение прямой:
а) проходящей через точку М(7; 11) параллельна
данной прямой;
б) проходящей через начало координат параллель-
на данной прямой.
155
Декартовы координаты на плоскости
2.79. Найдите точку пересечения прямых
7x+3y 10==0 и 5x 2y 3==0.
2.80. Найдите точку пересечения прямых
y==3y 5 и у==8х+7.
2.81. Найдите точку пересечения прямых
{ х == 2t,
3х + 5у 11 == О и rде t Е R.
У == 3 t,
2.82. Найдите точку пересечения прямых
{ х == 5 3t,
У == 2 + 5t, rде t Е R,
и
{ х == 2 + 3и,
у == 7 2u, rде и Е R.
2.83. Напишите уравнение прямой, перпендику
лярной прямой 3х 4у + 5 == О и проходящей через
точку M( 7; 8).
2.84. Напишите уравнение прямой, перпенди:ку-
лярной прямой 5х + 3у 1 == О и проходящей через
точку М(1; 1).
2.85. Докажите, что прямые ах + Ьу + с == О и
Ьх ау + d == О перпендикулярны.
2.86. Докажите, что прямые
{ х == Х 1 + at, и J х == Х 2 + Bt, rде t Е R,
У == У1 + Bt 1 у == У2 at,
перпендикулярны.
2.87. Составьте уравнения прямых, содержащих
стороны, медианы и высоты треуrольни:ка АВС, если
А(1; 3), В(1; 5), С(2; 7).
2.88. Составьте уравнения прямых, содержащих
стороны, медианы и высоты треуrольника АВС, если
А(О; 3), В(2; 4), С(8; 7).
2.89. Найдите точку пересечения прямой, задан-
ной уравнением 3х 4у + 2 == О, с перпендикуляром,
опущенным на нее из точки М(1; 1).
156
Тематическая подборка задач
2.90. Найдите расстояние от точки М(1; 1) до пря-
мой 3х 4у + 2 == о.
2.91. Докажите, что расстояние от точки м(х о ; уо)
до прямой ах + Ьу + с == О можно вычислить по фор
'ах о + ЬУО + с!
муле р == .
J a 2 + ь 2
2.92. Найдите расстояние от точки N( 1; 3) до пря-
мой 5х 12у 11 == о.
2.93. Найдите расстояние от точки К(2; 7) до пря-
мой 24х + 7 у 48 == о.
2.94. Найдите расстояние между прямыми
3х 4у + 11 == О и 3х 4у 5 == о.
2.95. Найдите расстояние между прямыми
у == 3х + 7 и у == 5х 8.
2.96. Найдите rеометрическое место точек М та-
ких, что АМ == ВМ, если: а)А(3; 7), В(5; 11);
б) А(2; 4), B( 2; 8).
2.97. Дан треуrольник АВе, rде А(l; 3), В(5; 7) и
C( l; 9). Найдите уравнения прямых, содержащих
ero медианы, и покажите, что все они проходят через
одну точку.
2.98. Дан треуrольник АВС, rде А(1; 3), В(5; 7),
C( l; 9). Найдите уравнения прямых, содержащИХ
ero высоты, и покажите, что все они проходят через
одну точку.
2.99. Напишите уравнение прямой, проходя щей
через точку М(4; 6) и отсекающей от положительных
полуосей координат треуrольник с суммой катетов,
равной 20.
2.100. Напишите уравнение прямой, проходящей
через точку М( 4; 8) и отсекающей от положитель-
ных полуосей координат треуrольник с суммой кате-
тов, равной 8.
eKapTOBЫ координаты на плоскости 157
2.101. Составьте уравнение множества точек М,
равноудаленных от прямых
3х 4у + 7 == О и 4х + 3у 8 == О.
2.102. Составьте уравнение множества точек М,
равноудаленных от прямых
у == 3х 2 и У == 3x + 3.
2.103. Дана трапеция AВCD, rде А(О; О), В(5; 8),
С(5; 12) и D(O; 24).
а) Составьте уравнения прямых, содержащих ее
диаrонали, и найдите точку их пересечения М.
б) Составьте уравнения прямых, содержащих ее
боковые стороны, и найдите точку их пересечения К.
в) Докажите, что прямая МК проходит через сере-
дины оснований AD и ВС трапеции.
2.104. На прямой 5х 3у + 2 == О возьмите две про-
извольные точки А и В. Запишите координаты векто-
ра АВ , выясните зависимость между ero координата-
ми и коэффициентами при Х и у в уравнении прямой.
2.105. Даны точки A( 7; 8), В(5; 3), С(х; у). Запи-
шите зависимость между Х и у, если векторы АС и АВ
коллинеарны. Запишите уравнение прямой, проходя-
щей через точки А и В. Сравните полученные резуль-
таты.
2.106. Дано уравнение прямой ах + Ьу + с == О. Най-
Дите Координаты какоrо либо вектора, коллинеарно
ro данной прямой.
2.107. Дан вектор т {т 1 ; т 2 }. Напишите уравнение
какой либо прямой, коллинеарной данному вектору.
2.108. Прямая задана параметрически:
J у == уо + at,
1 х == Хо + Bt,
rде t Е Н. Найдите координаты какоrо либо вектора,
коллинеарноrо данной прямой.
158
Тематическая подборка задач
2.109. Дан вектор т {т 1 ; т 2 }. Напишите парамет-
рические уравнения прямой, проходящей через точку
А(х о ; УО) и коллинеарной данному вектору.
2.110. Даны прямые у == 7х 5 и у == 7х + 11.
Найдите координаты TaKoro вектора АВ , что точка А
лежит на первой прямой, точка В на второй пря
мой, и вектор АВ коллинеарен вектору а{1; 2}.
2.111. Найдите координаты вектора ОА , если он co
направлен с вектором Ь{1; 2}, точка О имеет координа
ты (о; О), а точка А лежит на параболе у == х 2 4х + 5.
2.112. Найдите расстояние от точки М(3; 8) до пря-
мой 3х 4у 1 == О.
2.113. Даны уравнения ПРЯМЫХ: 3х + 4у 9 == О и
12х + 9у 8 == О. Найдите уравнения биссектрис yr-
лов, образованных этими прямыми.
2.114. Выведите формулу для определения коси
нуса уrла между прямым и а 1 х + Ь 1 У + С 1 == О И
а 2 х + Ь 2 У + С 2 == О.
Уравнение окружности
Составьте уравнение окружности по следующим дан-
ным (2.115 2.120).
2.115. Центр 0(3; 4), R == 5.
2.116. Центр 0(4; 8), точка М(1; 3) лежит на OK
ружности.
2.117. Отрезок АВ, rдеА(3; 5) и В(7; 11), является
диаметром окружности.
2.118. Отрезок МР, rде М(l; 7) и Р(2; 3), является
радиусом окружности.
2.119. Отрезок АВ, rде А(2; О) и В(l; jЗ), является
хордой окружности, длина которой равна радиусу.
2.120. Три точки М(3; 4), N(O; 5) и К(5; О) лежат на
окружности.
159
Декартовы координаты на плоскости
Найдите координаты центра и радиус окружности,
заданной уравнением (2.121 2.124):
2.121. х 2 Х + у2 == О.
2.122. х 2 + 6х + i 8у == 7.
2.123. х 2 + 3х + у2 5у == 2.
2.124. 2х 2 Х + 2 у 2 + 4у 1 == О.
2.125. Как расположены точки А(2; 1), В(1; О) и
С(3; 8) относительно окружности, заданной ypaвHe
нием х 2 + 3х + у2 5у == 161
2.126. Как расположены точки A( 1; 2), B( 3; 8),
С(10; 20) относительно окружности, заданной ypaвHe
нием х 2 5х + i + у == 961
2.127. Найдите условие, которому удовлетворяют
координаты вершины прямоrо yrла треyrольника с
rипотенузойАВ, еслиА(3; 5), В(7; 11).
2.128. Найдите условие, которому удовлетворяют
координаты середины rипотенузы прямоyrольноrо
треуrольника с вершиной прямоrо уrла С(3; 5) и дли-
нами катетов 2 и 8.
2.129. Сколько точек с целочисленными координа-
тами лежит на окружности: а) х 2 6х + у2 + 8у == о;
б) х 2 + у2 == 101
2.130. Найдите rеометрическое место точек К Ta
ких, что КА == 3КВ, rдеА(1; О), В(5; О).
2.131. Найдите rеометрическое место точек К та-
1
ких, что КА == зКВ, rдеА(1; О), В(5; О).
2.132. Даны точкиА(О; О), В(Ь; О). Найдите на пря-
мой АВ все такие точки М, что АМ == /...МВ, rде л. > О,
л.;t:1.
2.133. Даны точки А(О; О) и В(Ь; О). Найдите на
плоскости все такие точки М, что АМ == /...МВ, rде
л.>0,л.;t:1.
160
Тематическая подборка задач
2.134. Найдите уравнение множества центров OK
ружностей радиуса r, касающихся данной окружнос
ти: а) r == 5, х 2 + у2 == 4; б) r == 4, х 2 + у2 == 36.
2.135. Найдите уравнение множества середин OT
резков длины а, концы которых лежат на осях KOOp
динат.
2.136 Найдите уравнение множества середин OT
резков, один конец которых имеет абсциссу 2, а дpy
rой ординату 3, если длина отрезка равна 2.
2.137. Составьте уравнение множества точек, CYM
ма квадратов расстояний от которых до точек А(3; 5)
и В(7; 11) постоянна и равна: а) 234; б) 136.
2.138. Опишите множество точек, сумма KBaдpa
тов расстояний которых до двух данных точек посто-
янна.
2.139. Точка м(з; 4) лежит на окружности, задан
ной уравнением х 2 + у2 == r 2 , и является вершиной
вписанноrо в нее квадрата. Найдите радиус окружнос
ти И координаты остальных вершин квадрата.
2.140. Точка м(о; 1) лежит на окружности
х 2 2х + у2 + 2у + 1 == О и является вершиной вписан
Horo в нее квадрата. Найдите координаты остальных
вершин квадрата.
2.141. Точка Р(1; О) лежит на окружности с цeHT
ром в начале координат и является вершиной вписан
Horo в эту окружность правильноrо треуrольника. Най
дите координаты остальных вершин треуrольника.
2.142. Решите задачу 2.141, если в окружность
вписан правильный шестиуrольник.
2.143. Решите задачу 2.141, если в окружность
вписан правильный двенадцатиуrольник.
2.144. Решите задачу 2.141, если точка Р имеет
координаты ( 1; о), а центр окружности точка О
(о; о).
161
Декартовы координаты на плоскости
2.145. Решите задачу 2.141, если центр окружно-
сти точкаА(2; О), а точка Р имеет координаты (1; О).
2.146. Решите задачу 2.141, если точка Р имеет KO
ординаты (о; 1), а центр окружности точкаА(О; 2).
2.147. Решите задачу 2.141, если центр окружнос-
ти начало координат, а точка Р имеет координаты
(2; О).
2.148. Найдите множество точек, сумма квадратов
расстояний от которых до трех точек (о; О), (1; 1),
(2; 2) равна: а) 7; б) 2.
2.149. Докажите, что множество точек, сумма
квадратов расстояний от которых до данных трех TO
чек постоянна, есть либо пустое множество, либо точ-
ка (центроид трех данных точек), либо окружность,
центром которой является центраид этих трех точек.
2.150. Пусть даны п различных точек плоскости.
Докажите, что множеством точек, сумма квадратов
расстояний от которых до данных п точек есть посто-
янное число, является: либо пустое множество, либо
точка (центроид данных точек), либо некоторая OK
ружность, центр которой центра ид данных точек.
(Центроидам п точек на координатной плоскости
называется точка, координаты которой равны средне-
му арифметическому соответствующих координат
данных точек.)
2.151. Выясните взаимное расположение окруж
ностей х 2 + i 6х + 8у == О и х 2 + у2 + 4х 6у == 3.
2.152. Каково взаимное расположение окружнос-
тей х 2 + i 4х + 2у + 1 == О и х 2 + у2 + 2х 6у + 1 == О.
2.153. Составьте уравнение окружности радиуса 5,
касающейся окружности х 2 + i 10у == О в точке
М(3; 1).
2.154. Составьте уравнение окружности радиуса 10,
касающейся окружности х 2 + (у 5)2 == 25 в точке
М(3; 1).
6 rеомеТРИII. 8 1l кл.
162
Тематическая подборка задач
2.155. Дана окружность х 2 + у2 == 4 и точка м.
Найдите все такие точки N, что середина отрезка MN
лежит на данной окружности, если: а) М(1; О);
б) М(3; 3).
2.156. Дана окружность х 2 + у2 == 4 и точка м.
Найдите все такие точки N, что М является cepe
диной отрезка, один из концов KOToporo N, а друrой
лежит на данной окружности, если: а) М(3; О);
б) М(1; 1).
2.157. Найдите расстояние от точки М(3; 1) дО OK
ружности х 2 + 2х + у2 4у == 11.
2.158. Найдите расстояние от точки 0(0; О) дО OK
ружности х 2 + 6х + у2 10у == 2.
2.159. Найдите все точки, удаленные от окружнос
ти х 2 + у2 == 9 на расстояние р == 1.
2.160. Найдите все точки, удаленные от окружнос
ТИ х 2 + у2 == 9 на расстояние р == 4.
2.161. Найдите все точки, удаленные от окружнос-
ти х 2 + у2 == 9 на расстояние р == 3.
2.162. Какое множество точек задает уравнение
х 4 + х 2 у2 == 36х 2 ?
2.163. Какое множество точек задает уравнение
х 4 + 2х2у2 + у4 16 == О?
2.164. Какое множество точек задает уравнение
х 4 + у4 + 2х2у2 26х 2 26 у 2 + 25 == О?
2.165. Какое множество точек задает уравнение
(х 2у)2 + (2х + у)2 == 5?
2.166. На окружности х 2 + у2 == 1 взята точка М Ta
кая, что L мор == 300, rде О начало координат,
Р(1; О) и ордината точки М положительна. Найдите
координаты вектора ом .
163
Декартовы координаты на плоскости
2.167. На окружности х 2 + у2 == 1 найдите такую
точку Р, чтобы вектор ОР был сонаправлен вектору
а{3; 4}.
2.168. Найдите координаты таких векторов ОР о '
ОР р ..., ОР 7 , что О начало координат, Р о (1; О),
а точки P i лежат на окружности х 2 + у2 == 1 и делят ее
на 8 равных частей (нумерация ведется против часо
вой стрелки).
2.169. Найдите координаты таких векторов ОР о '
ОР 1 , ..., ОР 1р что О начало координат, Р о (1; О),
а точки P i делят окружность х 2 + i == 1 на 12 равных
частей (нумерация ведется против часовой стрелки).
Прямая и окружность
2.170. Найдите общие точки прямой 3х 5у == 8 и
окружности (х 1)2 + (у + 1)2 == 81.
2.171. Найдите длину хорды окружности (х 1)2 +
+ (у + 1)2 == 81, лежащей на прямой 3х 5у == 8. Мож-
но ли решить эту задачу, не выполняя задания 2.170?
2.172. Найдите общие точки прямой 3х + 2у == 7
и окружности х 2 3х + у2 + 5у == 12.
2.173. Найдите общие точки прямой 2х + 5у == 20
и окружности х 2 + х + у2 == 1.
2.174. Найдите общие точки прямой
J x==3 2t, rдеtе В,
1 у == 1 + 3t,
и окружности х 2 3х + у2 + 5у == 12.
2.175. Найдите общие точки прямой
J х == 5 + 5t,
1 у == 2 2t, rде t е В,
и окружности х 2 + х + у2 == 1.
164
Тематическая подборка задач
2.176. При каких значениях k прямая у == kx имеет
22.
С окружностью Х 4х + у + 3 == О одну общую точ
ку, две общие точки, не имеет общих точек?
2.177. При каких значениях k прямая у == kx 5
имеет с окружностью х 2 + у2 == 9 одну общую точку,
две общие точки, не имеет общих точек?
2.178. Среди прямых, проходящих через одну из
данных. точек: М(2; 2), N(3; 4), Р(10; О), найдите те,
которые пересекают окружность х 2 + у2 == 25 в двух
точках, касаются окружности, не имеют с окружно-
стью общих точек.
2.179. Среди прямых, проходящих через одну из
данных точек: Р( 4; 3), N(O; О), м(о; 5), найдите те, ко-
торые пересекают окружность х 2 10х + у2 == О В двух
точках, касаются окружности, не имеют с окружно
стью общих точек.
2.180. Напишите уравнение касательной, прове-
денной к окружности х 2 + (у 1)2 == 10 через точку:
а) М(1; 4); б) К(3; О).
2.181. Напишите уравнение касательной, прове
денной к окружности х 2 + (у 1)2 == 10 через точку:
а) М(7; 2); б) К(6; 3).
2.182. Напишите уравнение всех общих касатель-
ных окружностей х 2 + у2 == 1 и (х 4)2 + i == 4.
2.183. Напишите уравнение всех общих касатель
ных окружностей х 2 + у2 == 4 и (х 3)2 + i ==1.
2.184. Окружность х 2 + у2 6х + 8у == О пере-
сечена прямой. Найдите длину образовавшейся xop
ды, если прямая задана уравнением: а) 4х + 3у == о;
б) х + у 6 == О.
2.185. Найдите уравнение окружности радиуса R,
проходящей через точку М и касающейся:
а) оси ординат, если М(2; 3) и R == 5;
б) оси абсцисс, если М(I; 1) и R == 5.
Декартовы координаты на плоскости
165
2.186. Найдите уравнение окружности радиуса 1,
Щt.сающейся:
а) осей координат;
б) прямых х + у == О и х у == О.
2.187. Составьте уравнение множества центров OK
ружностей, проходящих через две данные точки:
а)А(1; 7) и B( 3; 5);
б)А( I; 4) и В(9; О).
2.188. Составьте уравнение окружности с центром
на данной прямой, проходящей через точки А и В:
а) 2х 3у 6 == О, А(2; О), В( 4; О);
б) 2х + 3у 5 == О, А(5; 3), B( 3; 5).
2.189. Составьте уравнение окружности, проходя-
щей через точкиА(3; 4), В(5; О), C( 4; 3).
2.190. Составьте уравнение окружности, проходя
щей через точки Е(1; 12), К(14 1), Р(6; 11).
2.191. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей радиуса 5, отсекающих на оси ор-
динат хорду длиной 6.
2.192. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей радиуса 13, отсекающих на оси абс
цисс хорду длиной 10.
2.193. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей радиуса 4, касающихся прямой
3х 4у + 1 == О.
2.194. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей радиуса 2, касающихся прямой
7 х + 24у 13 == О.
2.195. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей, касающихся прямых
3х 4у 1 == О и 5х + 12у + 5 == О.
2.196. Составьте уравнение множества центров
всех окружностей, касающихся прямых
у == 2 и 4х + 3у 2 == О.
166
Тематическая подборка задач
2.197. На окружности х 2 + у2 == 25 найдите точку:
а) ближайшую к точке М(6; 8);
б) наиболее удаленную от точки К(8; 6).
2.198. Найдите расстояние между прямой, задан
ной уравнением 3х + 4у 12 == О, и окружностью:
а) х 2 + (у + 2)2 == 9;
б) (х 2)2 + (у 1)2 == 0,01.
2.199. Через точку М(3; 4) проведена прямая, вы-
секающая на окружности х 2 + у2 == 100 хорду, KOTO
рая ТОЧКОй М делится пополам. Составьте уравнение
прямой и найдите длину хорды.
2.200. Через точку М(5; 12) проведена хорда, наи
более удаленная от центра окружности х 2 + у2 == 194.
Найдите длину Этой хорды.
2.201. Найдите уравнение прямой, содержащей
общую хорду окружностей
х 2 + у2 == 25 и (х 8)2 + у2 == 25.
2.202. Найдите уравнение прямой, содержащей об
щую хорду окружностей
х 2 + (у 5)2 == 17 и (х 2)2 + (у + 4)2 == 26.
2.203. Найдите уравнение всех касательных к OK
ружности х 2 + у2 == 16:
а) параллельных прямой х + 3у == о;
б) пересекающих оси координат на равном расстоя
нии от начала координат.
2.204. Напишите уравнение прямой, перпендику-
лярной вектору т {3; 8} и проходящей через точку
А(7; 3).
2.205. Напишите уравнение касательной к окруж
ности х 2 6х + у2 + 8у == О в точке M( l; 1).
Декартовы координаты на плоскости
167
Разные задачи
2.206. Даны две точки А и В. Найдите rеометриче
ское место точек М таких, что:
а)АМ 2 + 2вм 2 .: 6АВ 2 ;
б) 21АМ 2 вм 2 .: 2АВ 2 .
2.207. Даны две окружности, имеющие радиусы R 1
и R 2 , расстояние между центрами которых равно а.
Найдите rеометрическое место точек таких, что от-
резки касательных, проведенных из этих точек к
двум данным окружностям, равны (исследуйте от-
вет).
2.208. Даны две окружности, имеющие радиусы 2
и 1 и касающиеся дрyr друrа внешним образом. Най-
дите rеометрическое место точек т8.Rих, что длина от-
резка касательной, проведенной из этих точек к пер-
вой окружности, в 2 раза больше длины отрезка каса-
тельной, проведенной ко второй окружности.
2.209. Найдите множество точек, отношение рас-
стояний от которых до двух данных пересекающихся
прямых есть постоянное положительное число.
2.210. Окружности радиусов R 1 и R 2 касаются дрyr
друrа внешним образом. Найдите длину отрезка их
общей внешней касательной, заключенноrо между
точками касания.
2.211. Окружности радиусов R 1 и R 2 имеют общую
внутреннюю касательную, расстояние между точка-
ми касания равно а. Найдите расстояние между цeHT
рам и окружностей.
2.212. Найдите множество точек М(х; у), paвHO
удаленных от точкиА(О; 0,25) и от прямой у.: 0,25.
2.213. Дан квадрат AВCD со стороной 2 J2 . Найди
те множество таких точек М, что /АМ CMI.:AВ.
168
Тематическая подборка задач
2.214. Найдите множество точек, сумма квадратов
расстояний от которых до вершин paBHocTopoHHero
u 2 2
треуrольника со сторонои а равна а.
2.215. Докажите, что для любой точки окружнос
ти, описанной около квадрата со стороной а, сумма
квадратов расстояний до четырех ero вершин есть ве-
личина постоянная и равная 4а 2 .
2.216: Докажите, что для любой точки окружнос
ти, вписанной в правильный треуrольник, сумма
квадратов расстояний до ero вершин постоянна. Най
дите значение Этой суммы.
2.217. Найдите множество точек, сумма квадратов
расстояний от которых до вершин данноrо квадрата
со стороной а равна 3а 2 .
2.218. Какое наименьшее значение может прини
мать выражение
J x 2 + у2 6х + 8у + 25 +
+ J x 2 + у2 + 2х 4у + 5?
2.219. Найдите все точки окружности х 2 + у2 == 25,
сумма расстояний от которых до точек А(О; 7) и
В(7; О) наименьшая.
3. Координаты
в пространстве
3.1. Найдите координаты вектора АВ , если извест-
ны координаты точекА(3; 8; 7) и B( 1; 8; 3).
3.2. Найдите координаты точки М, если даны ко-
ординаты точки N( 3; 3; 8) и вектора MN {1; о; 5}.
3.3. Найдите координаты точки К, если даны коор-
динаты точки Р(3; 1; 5) и вектора KP { 8; 1; 7}.
Координаты в пространстве
169
3.4. Найдите все такие значения х, при которых
:векторы а{3; 5 х; х} и Ь{5 + х; 7х + 1; 2} коллине
арны.
3.5. Компланарны ли векторы а{1; о; 3}, b{ 2; 5; 8}
и с{О; 5; 14}?
3.6. Ком план арны ли векторы а{1; 1; О}, Ь{1; о; 1} и
с{О; 1; 1}?
3.7. Даны векторы а{1; о; О}, Ь{1; 1; О} и с{1; 1; 1}.
Разложите по данным векторам вектор т{ 3; 7; 11}.
3.8. Докажите, что точки А(3; 5; 1), B( l1; 26; 6)
и С(13; 10; 6) лежат на одной прямой, и определите,
какая из них лежит между двумя друrими.
3.9. Лежат ли точки А(2; 1; 5), B( 1; 2; 2) и
С(26; 7; 61) на одной прямой?
3.10. Лежат ли точки A( 1; 2; 5), В(7; 8; 3) и
с(о; 1; О) на одной прямой?
3.11. Найдите координаты такой точки С плоскос-
ти хОу, которая лежит на одной прямой с точками
А(3; 8; 7) и B( 1; 2; 7). Какая из точек А, В, С ле
жит между двумя друrими?
3.12. Существует ли на оси Oz точка, лежащая на
одной прямой с точкамиА( 1; 3; 5) и В(2; 2; 8)?
3.13. Даны векторы а{3; 8; 1} и Ь{1; 1; 2}. Найди-
те координаты вектора т == 3а 8Ь.
3.14. Известно, что т == 7а + 2Ь. Найдите коорди-
наты вектора а, если b{ 1; 5; 3} и т {О; 1; 8}.
3.15. Найдите координаты середины отрезка АВ,
еслиА( 1; 8; 3) и В(1; 5; 7).
3.16. Найдите координаты точек М 1 , М 2 , М з , М4 И
М 5' делящих отрезок АВ соответственно в отноmени-
1 1
ях л. == 1, л. == 3, л. == 5, л. == 3' л. == 2' еслиА(О; 1; 3)
цВ(5; 2; 8). Запишите эти точки по порядку на пря-
мой в направлении АВ.
170
Тематическая подборка задач
3.17. Даны точкиА(3; 5; 6), В(4; 7; 8) и С(3; 8; 10).
Найдите координаты точки пересечения медиан Tpe
уrольника АВС.
3.18. Точка м(о; о; 3) делит отрезок АВ в OTHO
1
шении Л == 3' Найдите координаты точки А, если
В(5; 8; 1).
3.19. Прав ильный тетраэдр AВCD с ребром 6 pac
положен так, что центр треуrольника АВС совпадает
с началом координат, точка А лежит на оси Ох, точка
D на оси Oz. Найдите координаты вершин тетраЭk
ра, если абсцисса точки А, аппликата точки D и орди
ната точки С положительны.
3.20. Начало координат совпадает с центром сферы
радиуса 3. Найдите координаты всех точек сферы,
удаленных от плоскостей хОу и yOz соответственно на
2 и 1.
3.21. Дана точка A( 1; 3; 8). Найдите расстояние
от точки А до:
а) начала координат;
б) каждой из координатных плоскостей;
в) каждой из координатных осей;
r) точки В(1; 5; 7);
д) плоскости, все точки которой имеют апплика
Ty 8.
3.22. Найдите на оси Oz точку, равноудаленную от
точек с координатами ( 1; 3; 5) и (3; 7; 1).
3.23. Дана точка P( 1; 3; 8). Найдите координаты
проекций точки Р на координатные плоскости и на
координатные оси. Вершинами KaKoro мноrоrранни
ка являются эти проекции вместе с точкой Р и нача
лом координат О? Найдите объем и полную поверх
ность этоrо мноrоrранника.
Прямая в пространстве
171
Опишите множества точек А(х; у; z) пространства,
для которых выполняются условия задач 3.24 3.37:
3.24. у == 3. 3.26. х == 2, z == 8.
3.25. х == у. 3.27. х == у == z.
3.28. х 2 + у2 + Z2 == 25;
3.29. х 2 + 4у2 + 9z 2 2x 8у + 6z + 8 == о.
з.30.lхl == 2. 3.32. х 2 + у2 == 9.
{ 22 { 2 22
3.31. х + у == 9, 3.33. х + у == z ,
z == 6. z == 2.
3.34. х 2 + у2 == Z2. 3.35. х 2 3х + 2 == О.
3.36. (х 1)(у + 2)(z 5) == О.
3.37. (х 1)2 + (у + 2)2 + (z 5)2 == О.
3.38. Даны точки А(3; 1; 5) и B( 2; 2; 4). Найдите
все такие точки С на оси аппликат, что треуrольник
АВС равнобедренный.
3.39. Даны точки A( I; 3; 8) и B( I; 2; 9). Найдите
все такие точки С плоскости zOy, что треуrольник
АВС равносторонний.
3.40. Даны точки А(2; 7; 4) и в(о; 3; 2). Найдите
все точки С оси Oz такие, что треyrольник. АВС
прямоуrольный.
3.41. Найдите четвертую вершину правильноrо
тетраэдраАВСD, еслиА(О; о; 4), в(о; 4; О), С(4; о; О).
4. Прямая в пространстве
4.1. Как расположены точки M( I; 1; 2), N(3; 5; 8)
{ X== I+t,
и К(О; 3; 4) относительно прямой у == 1 + 2t,
х==2+2!?
4.2. При каких значениях а и точка М(I; 5; 8)
{ х == 3 + 2t,
лежит на прямой у == 7 at,
z == 8 + t?
172
Тематическая подборка задач
4.3. Напишите параметрические уравнения пря
мой, по которой пересекаются плоскости
2х + 3у z == 6 и х + у + z == 1.
4.4. Напишите параметрические уравнения каж
дай из прямых, по которым плоскость 3х + 8у + z == 11
пересекается с координатными плоскостями.
4.5. Напишите параметрические уравнения пря
мой АВ. и найдите точки пересечения этой прямой
с координатными плоскостями, если A( 8; 1; 3) и
В(I; 5; 1).
4.6. Напишите параметрические уравнения пря
мой, проходящей через начало координат и делящей
пополам отрезок MN, если M( 3; 8; 1) и N(1; о; 7).
4.7. Определите взаимное расположение прямой
АВ и прямых, соответствующих осям координат, если
A( 1; 2; 4) и В(8; 3; 6).
4.8. Напишите уравнения прямой, проходящей че
рез начало координат и параллельной прямой
{ X==2 t,
у == 3 + 2t,
z == 7t.
4.9. Напишите уравнения прямой, проходящей че-
рез середину отрезка MN и параллельной оси орди-
нат, если M( 3; 1; 5) и N(7; 1; 5).
4.10. Какому условию должны удовлетворять чис
ла а и , чтобы прямые
{ Х == 3 5t, { Х == и,
у == 2 + t, и у == 5 и,
z == at z == 2 u
были взаимно перпендикулярны?
4.11. Найдите уrол между прямыми
{ Х == 1 2t, { Х == 1 + 3и,
y==t, и y==5 и,
z == 2 Х == 3 2и.
Прямая в пространстве
173
4.12. Найдите уrол между осью аппликат и прямой
j х =' 2 + t,
у='1 2t,
z =' 2t.
4.13. Напишите уравнения прямой, проходя щей
через точку М(I; 3; 2) и перпендикулярной оси ор-
динат и прямой
j х =' 3 2t,
у='7 + t,
z =' 1 5t.
4.14. Напишите уравнения прямой, проходящей
через точку L( I; 2; 3) и перпендикулярной оси абс
цисс и прямой пересечения плоскостей
3х + у + z 4 =' О и х + 2у 3z =' О.
4.15. Найдите расстояние от точки А(3; 1; 1) до
прямой
j Х =' 1 + 2t,
у='7 8t,
z='5 4t.
4.16. Определите взаимное расположение прямых
j Х =' 3 + 2t, j Х =' 1 2и,
у='5 t, и у='6 + и,
z =' 2 + 7t z =' 5 7и.
4.17. Определите взаимное расположение прямых
j Х =' 7 + 3t, i Х =' 5 6и,
у == 2 t, и У == 8 + 2и,
z =' 8 + 0,5t z == 1 и.
4.18. Определите взаимное расположение прямых
i Х == 5 + 7t, i Х == 3 2и,
у == 2 t, и У == 5 + 3и,
z==9 z==8 и.
174
Тематическая подборка задач
4.19. Определите взаимное расположение прямых
{ х == 3 + 5t, { х == 5 + и,
у == 1 t, и У == 7 5и,
z == t z == и.
4.20. При каких значениях Zo прямые
{ X==4 t,
У == t,
z==3+5t
{ х == 1 + 2и,
и у == 8 3и,
z == Zo + 2и
пересекаются?
4.21. Найдите rеометрическое место таких точек
м(х о ; уо; zo) пространства, что прямые
{ х == 2 + t, 1 х: хо + 2и,
y==t, и y Yo'
z == 2t z == Zo u
пересекаются.
4.22. Найдите все такие тройки чисел (а; ; у), что
{ х == 2 + t, { х == 1 + 2и,
прямые у == t, и У == и, пересекаются.
z == t z == 5 уи
4.23. Напишите уравнения прямой, проходящей
через начало координат, пересекающей прямую
{ X==2 t,
У == 3 + t,
z==5 t
и перпендикулярной к ней.
4.24. На прямой
{ х == 3 t,
у==2
z == 5'+ 2t
найдите точку М такую, что прямая MN перпендику-
лярна данной прямой, если N(l; 1; 1).
Уравнение плоскости
175
4.25. Найдите расстояние от начала координат до
j Х == 2 + t,
прямой У == 8 t,
z == 2t.
4.26. Найдите расстояние от прямой
j X==l+t,
y==2 t,
z==3
до каждой из осей координат.
4.27.3адайте параметрически уравнение отрезка
АВ, еслиА(l; 2; 1) и В(О; 1; 3).
4.28. Найдите длину отрезка прямой
j Х == 2 3t,
У == 3 + 12t, t Е [о; 1].
z == 1 4t;
4.29. Напишите уравнения прямых, содержащю
боковые ребра четырехуrольной пирамиды с верши
ной М(3; 8; 11), если ее основание лежит в плоскости
Х + у + z 6 == О и каждая из вершин основания равно-
удалена от координатных плоскостей.
4.30. Напишите уравнения всех прямых, точки KO
торых равноудалены от координатных плоскостей.
{ Х == 3 2t,
4.31. На прямой у == t, найдите все точки,
z==3
равноудаленные от осей координат.
5. Уравнение плоскости
5.1. Даны точки А(3; 2; 5), B( l; 2; 8), С(2; 1; 3),
0(0; о; о) и плоскость Х + 3у z 4 == О. Назовите:
а) точки, лежащие на данной плоскости;
б) точки, лежащие вне этой плоскости;
в) пары точек, лежащие по одну сторону от плос-
кости.
176
Тематическая подборка задач
5.2. Для каждой из данных плоскостей укажите ее
взаимное расположение с координатными плоскостя
ми хОу, xOz, yOz и осями координат Ох, Оу, Oz (при
надлежность, совпадение, пересечение, параллель-
ность):
а) х == о;
б) у == 2;
в) 2х + Зу == о;
r) Зу 5z == о;
д) у + 3z 5 == о;
е) 2х + у z + З == о.
5.3. Найдите точки пересечения осей координат с
плоскостью 2х + Зу z 5 == о.
5.4. Найдите все точки плоскости 5х + Зу z 2 == о,
равноудаленные от координатных плоскостей.
5.5. Напишите уравнение плоскости, содержащей
точку M( 3; 8; 5) и перпендикулярной вектору
р{l; 2; 7}.
5.6. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точку K( 2; 7; 1) и перпендикулярной вектору
АВ , еслиА( l; 2; 8) и В(l; 1; 3).
5.7. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через середину отрезка MN и перпендикулярной это
му отрезку, если М( З; 1; 5) и N(З; 9; 1).
5.8. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точку М(1; 2; 9) и параллельной плоскости
2х Зу z 1 == о.
5.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точки M( l; 2; 7) и N(l; З; 5) параллельно
оси Оу.
5.10. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точки М(l; 3; 8) и N(2; 5; 1) перпендикулярно
плоскости 2х у + z == о.
Уравнение плоскости
177
5.11. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точки А(I; о; 3), В(О; 1; 1) и C( 6; 2; О).
5.12. Одно из оснований призмы лежит в плоскос
ти 2х 3у + z 5 == О. Напишите уравнение плоскос
ти, в которой лежит друrое основание, если одна из
вершин призмы имеет координаты (8; 1; О).
5.13. 'Уравнение плоскости 3х + 2у 6z 12 == О
запишите как уравнение в отрезках.
5.14. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точки М(3; о; О), N(O; 5; О) и к( о; о; ).
5.15. Найдите все такие значения параметра t, при
которых точки A(3t; t 2; 3) и В(2; 1; 5t + 3) лежат
по разные стороны от плоскости 3х + 5у z 1 == О.
5.16. Найдите все такие значения параметра t,
при которых на отрезке АВ нет ни ор;ной точки
плоскости 2х + 3у 5z 2 == О, если A(2t; t + 1; 2) и
В(3; 5; 3t + 1).
5.17. Изобразите множество точек пространства,
для которых xyz == О.
5.18. Изобразите множество точек пространства,
для которых Ixl + Iyl == 1.
5.19. Изобразите множество точек пространства,
для которых Ixl + Iyl + Izl == 1.
5.20. Изобразите множество точек пространства,
для которых Ixl + Iyl + Izl == 2х + 3у + 4z.
5.21. Изобразите множество точек пространства,
для которых х 2 + 4zy == у2 + 4z 2 .
5.22. Изобразите множество точек пространства,
для которых Ixl + Iyl Izl == 4.
5.23. Изобразите множество точек пространства,
для которых х 2 4х + у2 + 6у + z2 21z1 + 17 == О.
178
Тематическая подборка задач
5.24. Найдите rеометрическое место таких точек
М(х; у; z), которые равноудалены от начала коорди
нат и от точки Р(2; з; 8).
5.25. Найдите rеометрическое место таких точек
М(х; у; z), сумма квадратов расстояний которых до
точек А(З; 8; 1) и В(1; 1; 3) равна сумме квадратов из
расстояний до точек с(о; 1; 3) и D(I; 5; 2).
5.26. Найдите rеометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний которых до семи вершин куба
в 7 раз больше квадрата расстояния от этих точек до
восьмой вершины.
5.27. На плоскости 2х + Зу 5z 1 == О найдите Ta
кую точку Мо(х; у; z), что отрезок ММ о перпендику
лярен этой плоскости, если М(I; 2; 1).
5.28. На плоскости х 2у 2z + 1 == О найдите
точку М о(х; у; z), наименее удаленную от точки
М(I; 1; 1). Определите длину отрезка ММО'
5.29. Найдите расстояние от точки М( З; 1; 2) ДО
плоскости 3х + 4у 12z + 2 == О.
5.30. Напишите уравнение плоскости, проходя щей
через начало координат и точку А(I; З; 8), если рас-
стояние от плоскости ДО точки М(1; 1; О) равно 1.
5.31. Напишите уравнение плоскости, содержащей
ось Оу, если расстояние от этой плоскости ДО точки
M( 3; 8; 1) равно 1.
5.32. Найдите rеометрическое место точек, pac
стояние которых до плоскости 2х Зу + Z 1 == О paB
но расстоянию до плоскости 2х Зу + Z + 5 == О.
5.33. Найдите rеометрическое место точек, удален-
ных от плоскости х + 2у 2z 5 == О на расстояние 2.
5.34. Найдите rеометрическое место точек, рав-
ноудаленных от плоскостей Зх + 12у 4z 1 == О и
4х Зу + 12z + 5 == О.
Сфера и шар
179
5.35. Найдите уrол между плоскостями
2х + 2у z 2 == О и 5х + 12у 2 == о.
5.36. Найдите величину двyrранноrо уrла, образо-
BaHHoro плоскостями х + 2у 2z 7 == О и Зх + 4у +
+ 12z + 1 == О и содержащеrо начало координат.
5.37. Найдите косинусы уrлов, образованных ПЛос-
костью Зх 5у + z 8 == О и координатными плоскос-
тями.
5.38. Докажите, что сумма квадратов косинусов yr-
лов, образованных произвольной плоскостью с тремя
попарно перпендикулярными плоскостями, равна 1.
5.39. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через начало координат и перпендикулярной плос
костям 2х + Зу z 5 == О и х + 2у + z 11 == О.
5.40. в каком отношении плоскостъ Зх 5у + 2z
5 == О делит отрезок АВ, еслиА(З; 2; 1) и В(7; 1; 2)?
5.41. Прямая АВ пересекает плоскость а в точке
М, отличной от А и В. Докажите, что
АМ == l аХ 1 + ЬУ1 + cZ 1 + d l
вм аХ2 + ЬУ2 + cZ 2 + d '
если А(х 1 ; У1; z1)' В(х 2 ; У2; z2)' а плоскость а задана
уравнением ах + Ьу + cz + d == О.
6. Сфера и шар
6.1. Напишите уравнение сферы с центром в точке
M( 1; 3; 5) и радиусом 4.
6.2. Напишите уравнение сферы с центром в точке
М(2; о; 3), проходящей через начало координат.
6.3. Напишите уравнение сферы с диаметром АВ,
еслиА( 3; 5; о) и В(l; 7; 2).
180
Тематическая подборка задач
6.4. Напишите уравнения всех сфер, радиусом
которых служит отрезок PQ, если P( l; 2; 1) и
Q(O; 3; 2).
6.5. НаЙДИ!l'е множество центров сфер, проходя-
щих через точки P( l; 2; 7) и Q(3; 8; 1). Какая из
этих сфер имеет наименьший радиус?
6.6. Найдите множество центров всех сфер, прохо-
дящих через точкиА(l; 3; 1), В(5; 9; 1) и С(7; 7; 7).
6.7. Найдите центр сферы, проходя щей через точ-
ки А(О; 2; 4), в(о; 2; 6), С(2; 4; 8) и начало коорди-
нат.
6.8. Найдите центры всех сфер, проходящих через
точки А(О; 5; 12), В(4; 3; 12) и С(12; 4; 3).
6.9. Найдите координаты центра и радиус описан-
ной около тетраэдра сферы, если координаты вершин
тетраэдра (о; о; О), (8; о; О), (о; 2; О) и (о; о; 6).
6.10. Для каждоrо а определите множество точек,
заданных уравнением х 2 + 4х + у2 2у + z2 == а.
6.11. Для каждоrо а определите множество точек,
заданных.уравнением х 2 + 2ах + у2 + z2 4z + 8 == О.
6.12. Найдите длину линии, состоящей из всех об
щих точек двух сфер (х 1)2 + (у + 3)2 + (z 5)2 == 64
и (х + 3)2 + (у + 6)2 + (z + 7)2 == 25.
6.13. Найдите площадь фиrуры, состоящей из всех
общих точек двух шаров (х 3)2 + (у + 4)2 + Z2 == 13 и
(х 3)2 + (у 2)2 + (z 8)2 == 5.
6.14. Напишите уравнение плоскости, в которой
лежат все общие точки сфер х 2 + у2 + Z2 == 4 и
(х 1)2 + (у 2)2 + (z 2)2 == 4.
6.15. Напишите уравнение плоскости, в которой ле-
жат все общие точки сфер (х 1)2 + (у + 2)2 + (z + 5)2 == 9
и (х 4)2 + (у + 6)2 + (z + 5)2 == 16.
Сфера и шар
181
6.16. Найдите точки пересечения осей координат
со сферой (х 1)2 + (у + 3)2 + z2 == 9.
6.17. Найдите длину хорды, высекаемой сферой
(х + 2)2 + (у 1)2 + (z + 3)2 == 16 на оси аппликат.
6.18. Напишите уравнение плоскости, касающейся
сферы х 2 + 2х + у2 + 2у + z2 4z == О в начале координат.
6.19. Напишите уравнение плоскости, касающейся
сферы х 2 4х + у2 + z2 == 9 в точке М(3; 2; 2).
6.20. Напишите уравнения всех плоскостей, про-
ходящих через ось абсцисс и касающихся сферы
х 2 + (у 3)2 + (z 4)2 == 16. Для каждой плоскости
укажите координаты точки касания.
6.21. Напишите уравнения всех сфер, проходя-
щих через точки (6; 3; О), (1; о; 4) и касающихся
плоскостей z == 5 и у == 8.
6.22. Найдите координаты центров всех сфер ради-
уса 1, касающихся каждой из плоскостей х == о, у == 1,
z == 5.
6.23. Напишите уравнение сферы с центром
(1; 1; 2), касающейся сферы х 2 + у2 + z2 == 24.
6.24. Напишите уравнение сферы с центром
(5; 1; 1), касающейся сферы х 2 + у2 + Z2 == 3.
6.25. Напишите уравнение сферы, касающейся
сфер х 2 + у2 + z2 == 1 и х 2 + у2 + z2 == 9, если центр
этой сферы лежит в плоскости х + у + zJ2 4 == О.
6.26. Найдите множество всех таких точек
М(х; у; z), чтоАМ == 2ВМ, еслиА(О; 1; О) и B( 2; о; 1).
6.27. Найдите множество всех таких точек
АМ . J3
М(х; у; z), что вм == 2"' если А(l; 2; 5) и B( 2; 1; О).
6.28. Найдите множество таких вершин А(х; у; z)
'1'реуrольника АВС, что биссектриса уrла А проходит
через начало координат, если B( 2; о; О) и С(3; о; О).
182
Тематическая подборка задач
6.29. Найдите множество таких вершин С(х; у; z)
треуrольникаАВС, что уrол С является прямым, если
А(1; 2; 7) и В(3; 4; 1).
6.30. Найдите множество таких точек В(х; у; z),
что уrол АВС является тупым, если А(3; 1; О) и
С(l; 3; 2).
6.31. Найдите множество таких точек К(х; у; z),
что уrол MKN является острым, если М(1; 2; О) и
N( 1; 2; 4).
6.32. Найдите множество точек, расстояние от KO
торых до сферы (х 1)2 + i + (z + 2)2 == 9 равно 2.
6.33. Найдите множество таких точек P(z; у; z),
что сумма квадратов расстояний от них до точек
А(3; 4; О) и В(1; 2; 3) равна 39.
6.34. Найдите множество точек пространства, CYM
ма квадратов расстояний которых до вершин Tpe
уrольника АВС равна 32, если А(1; 2; 3), в(о; 1; 4) и
С(1; 1; О).
6.35. Докажите, что сумма квадратов расстояний
от любой точки сферы, описанной около куба, до всех
вершин куба есть величина постоянная. Найдите эту
величину.
6.36. Докажите, что сумма квадратов расстояний
от любой точки шара, вписанноrо в куб, до всех Bep
шин куба есть величина постоянная. Найдите эту Be
личину.
6.37. Докажите, что rеометрическое место точек,
сумма квадратов расстояний которых до всех вершин
октаэдра с ребром 1, равна 6, есть описанный около
октаэдра шар.
6.38. Найдите rеометрическое место точек таких,
что сумма квадратов расстояний от них до вершин
прав ильной треуrольной призмы, все ребра которой
имеют длину 1, равна 5.
Прямая и плоскость, сфера, шар
183
6.39. Найдите множество точек, сумма расстояний
которых до осей координат равна 2.
6.40. Найдите множество точек, сумма квадратов
расстояний которых до плоскостей х == О, У z == О,
У + 1 == О равна 4.
6.41. Точка А(х; у; z) лежит на сфере, заданной
уравнением х 2 + 4х + у2 2у + z2 6z == О. в каких
пределах изменяется сумма ее координат?
7. Прямая и плоскость, сфера, шар
7.1. Определите взаимное расположение прямой
i х == 1 + 5t,
у == 1 3t,
z==t
и плоскости 2х + 3у z 5 == О.
7.2. Определите взаимное расположение прямой
i X==3 t,
У == 5 + 2t,
z==3
и плоскости 2х + у 5z 1 == О.
7.3. Определите взаимное расположение прямой
i х == 2 + 3t,
у == 1,
z == 6 + 2t
и координатных плоскостей.
7.4. Определите взаимное расположение прямой
i х == 1 3t,
У == 2 + 2t,
z==5 t
и плоскости х + у + 5z == о.
184
Тематическая подборка задач
7.5. Напишите уравнение прямой, проходящей че-
рез точку М(О; 3; 4) и перпендикулярной плоскости
5х + 2у z 5 == О. Найдите координаты точки пересе
чения этой прямой с данной плоскостью.
7.6. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через начало координат и перпендикулярной прямой
j Х == 3 t,
У == 2t,
z == 5 + 3t.
Найдите координаты точки пересечения этой плос-
кости с данной прямой.
7.7. Напишите уравнение прямой, проходящей
через точку М(3; 8; 1), параллельной плоскости
2х + у + z == О и пересекающей ось Оу.
7.8. Напишите уравнение плоскости, параллель
ной прямой
j X==8+t,
y==1 8t,
z == 3t
и содержащей ось Oz.
7.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через начало координат и содержащей прямую
j X==3+t,
у == 5 t,
z == t.
7.10. Существуют ли плоскости, проходящие через
прямые
j X==5 t, j X==5+2t,
у == 2 + 7t, и У == 2 t,
z==1 t z==l?
Если да, то напишите все их уравнения.
Прямая и плоскость, сфера, шар
185
7.11. Существуют ли плоскости, проходящие через
прямые
i х == 3 t, i х == 2 + и,
у == 2 + 5t, и У == 1 5и,
z == t z == 1 и1
Если да, то напишите все их уравнения.
7.12. Найдите yrол между прямой
i х == 2 + 3t,
у == 1 t,
z==2+t
и плоскостью 2х 3у + z 1 == О.
7.13. Найдите расстояние между плоскостью, за-
данной уравнением 2х + 3у 5z + 1 == О, и прямой
i х == 2 + t,
у == t,
z==3+t.
7.14. В каком отношении плоскость, заданная
уравнением 2х + 3у + 5z 20 == О, делит отрезок пря-
мой АВ, если А(2; 1; 1) и В(7; 10; 0)1
7.15. Определите взаимное расположение прямой
i х == 1 3t,
У == 2 + 2t,
z==4+t
и сферы х 2 + у2 + z2 == 25.
7.16. Определите взаимное расположение прямой
i х == 1 + 3t,
у == 5 12t,
z == 12 + 5t
и сферы (х 1)2 + у2 + z2 == 169.
7.17. Определите взаимное расположение прямой
i х == 2 + 3t,
у == 7 t,
z == 15 + 9t
и сферы х 2 + у2 + z2 == 1.
186
Тематическая подборка задач
7.18. Найдите длину хорды, отсекаемой на прямой
{ х == 2 + 4t,
у == t,
2 == 1 3t
сферой (х 1)2 + (у + 2)2 + (2 + 1)2 == 25.
7.19. Найдите все точки на оси 02, через которые
проходит хотя бы одна прямая, касающаяся сферы
(х 1)2 + (у + 2)2 + (2 + 2)2 == 9 в точке Р(3; 1; 4).
7.20. Из начала координат проведены всевозмож-
ные прямые, касающиеся сферы (х 4)2 + (у 3)2 +
+ (2 12)2 == 144. Найдите уравнение плоскости, в ко-
торой лежат все точки касания.
7.21. Найдите уравнения всех сфер с центром в на-
чале координат, касающихся прямой
{ х == 3 2t,
У == 1 + t,
z == 5.
7.22. В плоскости х + у + 2z == О найдите все
прямые, касающиеся сферы (х 2)2 + (у 4)2 + 22 == 8
и проходящие через начало координат.
7.23. Напишите уравнения проекций пря ой
{ х == 3 2t,
y==1+3t,
z==5
на координатные плоскости.
7.24. Прямая
{ х == 3 2t,
у == 7 + 5Ь,
z==l t
пересекает координатные плоскости хОу, xOz и yOz
соответственно в точках М1' М2' М3' Какая из этих
точек лежит между двумя друrими?
187
Наибольшее и наименьшее значения
7.25. Нanишите уравнения центров всех сфер, ка-
сающихся всех координатных осей.
7.26. Найдите rеометрическое место центров таких
шаров, что все точки прямых
1 х == 3 t,
У == 2 + 2t,
z==l+t
1 х == 2 + 3и,
и у == 2и,
z == 6,
для которых t Е [ 1; 3], и Е [о; 6], принадлежат ша
рам, а друrие точки этим шарам не принадлежат.
7.27. На сфере х 2 + i + z2 == 1 найдите точки, pac
стояния от которых ДО прямой
1 х == 3 + t,
y==2 t,
z == 1 2t:
а) наименьшее; б) наибольшее.
8. Задачи на отыскание наибольmеrо
и наименьmеrо значений
8.1. Найдите площадь полной поверхности пра-
вильной шестиуrольной призмы, объем которой pa
вен 4, а сумма длин всех ребер наименьшая.
8.2. Основание пирамиды правильный треyrоль-
ник, одно из боковых ребер совпадает с высотой пира-
миды, длины двух дрyrих боковых ребер равны 3. При
какой высоте пирамиды ее объем является наиболь-
шим? Найдите это наибольшее значение объема.
8.3. Прямоyrольный треyroльник, сумма длин ка-
тетов KOToporo равна 3, вращается BOKpyr одноrо из
них. Какими должны быть длины катетов, чтобы
объем полученноrо при вращении конуса был Ha
ибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
188
Тематическая подборка задач
8.4. Середина боковоrо ребра правильной треуrоль
ной пирамиды находится на расстоянии 2 от BыcoTы
основания, не пересекающей это боковое ребро. При
какой длине стороны основания пирамиды она будет
иметь наибольшую площадь боковой поверхности?
Найдите это наибольшее значение площади.
8.5. Правильная треуrольная призма вписана в
шар раДиуса 4 так, чтобы одно из боковых ребер ле-
жит на диаметре шара, а все вершины противополож-
ной боковой rрани принадлежат поверхности шара.
При какой высоте призмы сумма длин всех ее ребер
является наибольшей?
8.6. В правильную четырехуrольную пирамиду,
диаrональное сечение которой правильный тре-
уrольник со стороной 3, вписана правильная четырех-
уrольная призма, боковые ребра которой параллель-
ны диаrонали основания пирамиды, одна боковая
rpaHb лежит в основании пирамиды, а вершины про
тивоположной rрани лежат на боковых rранях пира-
миды. При какой высоте призмы ее объем является
наибольшим? Найдите это наибольшее значение объ-
ема.
8.7. В куб с ребром 6 вписана правильная шести
уrольная призма так, что диаrональ куба проходит
через центры оснований призмы и на каждой rрани
куба лежат по две вершины призмы. Найдите высоту
призмы, при которой ее объем является наибольшим.
Какую по объему часть куба занимает при этом
призма?
8.8.0дно из оснований правильной треуrольной
призмы принадлежит большому Kpyry шара с ради
усом 26, а вершины дрyrоrо основания принадлежат
поверхности этоrо шара. Определите высоту призмы,
при которой сумма длин всех ее ребер является ШI..
ибольшей.
Наибольшее и наименьшее значения
189
8.9. В куб с ребром 3 вписан ЦИЛИндр, ось KOToporo
лежит на диаrонали куба, а окружности оснований
касаются rраней. Найдите высоту цилиндра, при ко-
торой он будет иметь наибольший объем. Определите
это наибольшее значение объема.
8.10. В правильную треуrольную пирамиду вписа-
на правильная треyrольная призма, одно основание
которой лежит в плоскости основания пирамиды, а
вершины дрyrоrо основания при надлежат апофемам
пирамиды. Высота призмы равна 2, а сторона ее осно-
вания Jб. При какой высоте пирамиды радиус опи
санной около нее сферы является наименьшим? Най-
дите это наименьшее значение радиуса.
8.11. В сферу вписана правильная шестиуrольная
призма, боковые rрани которой квадраты с длиноЙ'
стороны 6. Вершины BepxHero основания правильной
четырехуrольной призмы принадлежат сфере, а ее
нижнее основание лежит в плоскости BepxHero осно-
вания данной шестиyrольной призмы. Какой должна
быть высота четырехyrольной призмы, чтобы ее
объем был наибольшим? Найдите это наибольшее
значение объема.
8.12. В сферу вписан конус, в который, в свою оче-
редь, вписана правильная четырехуrольная призма;
одно из ее оснований лежит в плоскости основания
конуса, а вершины друrоrо основания на боковой
поверхности конуса. Длина боковоrо ребра призмы
равна 4, а длина стороны основания равна 8. Опреде-
лите высоту конуса, при которой радиус описанной
около Hero сферы являет\... наименьшим. Найдите это
наименьшее значение радиуса.
8.13. В правильную треyrольную пирамиду вписан
шар. Друrой шар касается всех боковых rраней пира
миды и первоrо шара. Расстояние между центрами
шаров равно 4. КaRИМИ должны быть радиусы шаров,
чтобы пирамида имела наименьший объем?
190
Тематическая подборка задач
8.14. В правильную четырехуrольную пирамиду
вписан шар. Второй шар, имеющий радиус 4, касает-
ся первоrо шара и всех боковых rраней. При каком
радиусе первоrо шара пирамида имеет наименьший
объем? Найдите отношение объема пирамиды к объ-
ему первоrо шара в этом случае.
8.15. В конус вписана правильная четырехyrольная
призма с высотой 6; ее нижнее основание лежит в плос-
кости основания конуса, а вершины дрyrоrо основания
принадлежат ero боковой поверхности. Вершины Bepx
Hero основания дрyrой призмы, подобной первой, при-
надлежат боковой поверхности конуса, а ее нижнее ос-
нование лежит в плоскости BepxHero основания первой
призмы. При какой высоте второй призмы отношение
ее объема к объему конуса является наибольшим?
Найдите это наибольшее значение отношения.
8.16. В конус с высотой 3 и радиусом основания 2
вписана правилъная треyrольная призма, нижнее ос-
нование которой лежит в плоскости основания KOHY
са, а вершины дрyrоrо основания принадлежат ero бо
ковой поверхности. Вершины BepxHero основания
дрyrой призмы, подобной первой, принадлежат боко-
вой поверхности конуса, а ее нижнее основание ле
жит в плоскости BepxHero основания первой призмы.
При какой высоте первой призмы вторая призма име-
ет наибольший объем? Найдите это наибольшее зна
чение объема.
8.17. В правильную треyrольную пирамиду с вы-
сотой 4 вписана правильная треуrольная призма со
стороной основания 3, так что ее нижнее основание
лежит в плоскости пирамиды, а вершины дрyrоrо ос-
нования лежат на боковых ребрах пирамиды. Нижнее
основание второй призмы, подобной первой, прина-
длежит верхнему основанию первой призмы, а Bep
шины BepxHero основания также лежат на боковых
ребрах пирамиды. При какой высоте первой призмы
191
Наибольшее и наименьшее значения
вторая призма имеет наибольший объем? Найдите OT
ношение объема пирамиды к объему второй призмы в
этом случае.
8.18. В сферу радиуса 2 вписана правильная тре-
уrольная призма; вторая призма, подобная первой,
своим нижним основанием поставлена на верхнее
основание первой призмы, а вершины ее BepxHero
основания принадлежат сфере. При какой высоте
первой вписанной призмы вторая призма имеет на-
ибольшую высоту?
8.19. В сферу радиуса 9 вписана правильная тре-
уrольная пирамида. В пирамиду вписана прямая
призма, одно основание которой лежит в плоскости
основания пирамиды, а вершины друrоrо лежат на
боковых ребрах пирамиды. Какими должны быть BЫ
сота пирамиды и высота призмы, чтобы объем приз-
мы был наибольшим? Найдите это значение объема.
Покажите, что при этом пирамида также должна
иметь наибольший объем.
8.20. В сферу вписана правильная четырехуrоль-
ная пирамида; в пирамиду вписан цилиндр, у которо-
ro одно из оснований лежит в плоскости основания
пирамиды, а окружность друrоrо основания касается
боковых rраней. Высота цилиндра и радиус ero осно-
вания равны 4. При какой высоте пирамиды радиус
описанной около нее сферы является наименьшим?
Найдите это наименьшее значение радиуса.
8.21. Конус с уrлом 600 между образующей и высо-
той вписан в сферу радиуса 2 так, что ero вершина на-
ходится в центре сферы, а окружность основания
на сфере. Все вершины нижнеrо основания правиль-
ной шестиyrольной призмы (параллельноrо основа-
нию конуса) лежат на сфере, а остальные ее вершины
принадлежат боковой поверхности конуса. Какими
должны быть высота и сторона основания призмы,
чтобы площадь ее боко ой поверхности была наиболь-
шей? Найдите это наибольшее значение площади.
192
Тематическая подборка задач
8.22. Одно основание правильной шестиуrольной
призмы, все ребра которой равны 4, принадлежит
основанию прав ильной шестиуrольной пирамиды,
а вершины друrоrо основания лежат на боковых rpa
нях пирамиды. При какой высоте пирамиды объем
вписанноrо в нее .шара является наибольшим? Найди-
те это наибольшее значение объема шара. Определите
отношение объемов пирамиды и шара.
8.23. В шар вписана правильная четырехуrольная
пирамида. Одна rрань куба с ребром 2 лежит в плос
кости основания пирамиды, при этом один конец ди
аrонали куба совпадает с центром основания пирами-
ды, а друrой конец этой диаrонали лежит на боковом
ребре пирамиды. При какой высоте пирамиды объем
шара является наименьшим? Найдите это наимень-
шее значение объема.
8.24. В правильную четырехуrольную пирамиду с
ВЫСОТОй 6 и уrлом 600 между боковым ребром и высо-
той помещена правильная четырехуrольная призма.
Все вершины ее нижнеrо основания (параллельноrо
основанию пирамиды) принадлежат сфере с центром
в вершине пирамиды и касающейся ее основания;
верхнее основание призмы является сечением пира
миды. Какими должны быть сторона основания и BЫ
сота призмы, чтобы площадь ее боковой поверхности
была наибольшей? Найдите это наибольшее значение
площади.
8.25. В сферу радиуса 5 вписана правильная четы
рехуrольная пирамида, высота которой равна стороне
основания. Между боковой rранью пирамиды и сфе
рой расположена правильная треуrольная призма, ok
но из оснований КОТОРОй (ближнее к центру сферы) ле
жит в плоскости боковой rрани пирамиды, а вершины
друrоrо основания принадлежат сфере. Какой должна
быть высота призмы, чтобы ее объем был наиболь
шим? Найдите это наибольшее значение объема.
Построение сечений куба
193
9. Построение сечений куба
в задачах 9.1 9.15 постройте сечение куба плоско
стьюМRР.
9.1.
м
9.4.
9.7.
R
7 rеометрия. 8 11 кл.
9.2.
р
9.5.
R
9.8.
9.3.
R
9.6.
р
9.9.
р
194
Тематическая подборка задач
9.10.
9.12.
Аl Аl
I
I B
f-
R I
I
А А D
М Е (A1B1C 1 )
9.13. 9.14. 9.15.
р,
9.11.
Аl
р
А
R Е (АВС)
С
С
А D
РЕ (AAIBl)'
R Е (A1B1C 1 ),
м Е (DD1C 1 )
в задачах 9.16 9.18 постройте линию пересечения
секущей плоскости NKF с плоскостью PQM.
9.16.
9.17.
Р
9.18.
м
Пирамида, призма и сфера
195
в задачах 9.19 9.24 постройте точку пересечения ce
кущей плоскости N К F с прямой PQ.
9.19.
р
9.22.
9.20.
к
9.23.
9.21.
N
F
9.24.
10. Пирамида, призма и сфера
Правильная пирамида
10.1. В правилъной четырехyrолъной пирамиде
МАВсп плоский уrол при вершине равен а. Сторона
основания а. Найдите:
а) двyrранный уrол при ребре основания;
б) двуrранный уrол при боковом ребре;
в) уrол между плоскостями соседних боковых rpa
ней;
r) уrол между плоскостями не соседних боковых
rраней;
196
Тематическая подборка задач
д) длину высоты;
е) расстояние от центра основания до боковой rрани;
ж) расстояние от вершины А до боковой rрани МСВ;
3) уrол между боковой rранью и не лежащим в ней
боковым ребром;
и) уrол между боковой rранью и пересекающим ее
ребром основания;
к) расстояние от К (середины ребра АВ) дО боковой
rрани МСВ;
л) yrол между боковой rранью и не лежащей в ней
апофемой;
м) все высоты тетраэдра МАВС;
н) все высоты тетраэдра МАКС.
10.2. В правилъную шестиуrольную пирамиду впи-
сан шар радиуса 1. Расстояние от центра этоrо шара
до вершины основания пирамиды 7. Найдите:
а) длину стороны основания;
б) длину боковоrо ребра;
в) длину высоты;
r) радиус описанноrо около пирам иды шара.
10.3. Радиус шара, описанноrо около правильной
треуrольной пирамиды, равен 5, а расстояние от ero
центра до плоскости основания пирамиды 3. Найдите
боковое ребро пирамиды (рассмотрите все случаи).
10.4. Правильная четырехуrольная пирамида
MAВCD и правильная треуrольная пирамида KTLQ
имеют общую высоту М К, равную отрезку QC. Опре
делите количество !'раней, ребер и вершин MHoro-
уrольника, являющеrося пересечением этих пирамид.
10.5. Основание правильноrо тетраэдра DAВC с
ребром 1 является боковой rранью правильной четы
рехуrольной пирамиды AВCPQ. Вершина D лежит
вне пирамиды AВCPQ. Найдите:
а) расстояние между вершинами D и Р;
б) уrол между прямым и BD и QC.
Пирамида, призма и сфера
197
Пирамида с равными боковыми ребрами
10.6. В основании треуrольной пирамиды лежит
треуrольник со сторонами 5, 6 и JЗi. Все боковые
rрани пирамиды равны между собой. Высота пирами
ды составляет с каждым из ее боковых ребер уrол 600.
Найдите боковое ребро.
10.7. Основанием пирамиды является трапеция с
основаниями 2 и 10 и высотой 4. Все боковые ребра
пирамиды наклонены к плоскости основания под yr
лом 450. Найдите боковое ребро и высоту пирамиды.
10.8. В шар радиуса 13 вписана пирамида, основа-
нием которой является прямоуrольник со сторонами
10 и 24, а все боковые ребра равны между собой. Най-
дите площадь ее полной поверхности.
10.9. В треуrольной пирамиде длины пяти ребер
равны 25, а длина шестоrо равна 14. Найдите длины
всех высот пирамиды (расстояний от вершины до про-
тивоположной rpани).
10.10. В треуrольной пирамиде длины четырех pe
бер равны 2, а длины двух ребер равны 2 J2 . Найдите
радиус описанноrо около пирамиды шара.
Пирамида, все двуrранные уrлы которой
при ребрах основания равны
10.11. В основании пирамиды MAВCD лежит ромб
AВCD с диarоналями АС == 6; BD == 8, а все боковые
rрани образуют с основанием уrол 450. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) расстояние от вершины М до ребра основания;
в) расстояние от вершины А до плоскости М ВС;
r) площадь сечения, проходящеrо через ребро AD и
точку пересечения медиан rрани МСВ.
198
Тематическая подборка задач
10.12. Основанием пирамиды МАВсп является
трапеция АВсп с прямым уrлом А и основаниями
ЕС == 3, AD == 6. Все боковые rрани образуют с высотой
уrол 600. Найдите высоту пирамиды.
10.13. Основание пирамиды правильный Tpe
уrольник, а высота пирамиды проходит через один из
центров вневписанной окружности и равна радиусу
ЭТОй окружности. Найдите величины двуrранных yr
лов пирамиды при ребрах ее основания.
10.14. Основанием пирамиды является треуrоль-
ник со сторонами 13, 14, 15. "Уrол между плоскостью
основания и плоскостью каждой из боковых rраней
равен 300. Рассмотрите четыре возможных случая и
для каждоrо из них найдите высоту пирамиды.
10.15. Основание пирамиды равнобедренный
треуrольник АВе с уrлом А, равным а. Высота пира
миды проходит через центр окружности, вписанной в
основание, и равна боковой стороне треуrольника.
Найдите уrол наклона боковых rраней к основанию.
(Для каждоrо 00 < а < 1800 рассмотрите все случаи.)
Пирамида, у которой одна из боковых rраней
перпендикулярна основанию
10.16. Основание пирамиды правильный Tpe
уrольник со стороной а. Одна из боковых rраней пер
пендикулярна основанию и представляет собой paBHO
бедренный треуrольник с основанием 0,56а. Найдите
высоту пирамиды.
10.17. Основанием пирамиды является ромб с ост-
рым уrлом а. Одна из боковых rраней есть paBHOCTO
'ронний треуrольник и перпендикулярна ПЛОСкости
основания. Найдите величины двуrранных уrлов при
ребрах основания пирамиды.
Пирамида, призма и сфера
199
10.18. Основанием пирамиды служит прямоуrоль
ный треуrольник с острым уrлом 600. Боковая rpaHb,
содержащая rипотенузу пирамиды, перпендикулярна
основанию, а две дрyrие образуют с основанием уrлы
по 450. Высота пирамиды равна 8. Найдите площадь
основания пирамиды.
10.19. Основание пирамиды равнобедренный
треуrольник АВС, в котором АВ == АС == 13, ВС == 10.
Ребра МС и МА наклонены к плоскости основания
под уrлом 450, а rpaHb МВА перпендикулярна OCHOBa
нию пирамиды. Найдите высоту пирамиды.
10.20. Все боковые ребра треуrольной пирам иды
МАВС составляют с высотой МК уrлы, равные а;
АВ == а; ВС == 2а; rpaнb МАС перпендикулярна основа-
нию. Найдите: а) площадь основания; б) высоту пира
миды; в) радиус описанноrо шара.
Пирамида, у которой две боковые rpани
перпендикулярны основанию
10.21. Основание пирамиды квадрат со стороной
а. Две боковые rрани перпендикулярны плоскости ос-
нования, а две друrие составляют с ней уrол 600. Най
дите высоту пирамиды.
10.22. Основание пирамиды ромб со стороной а
и тупым уrлом 1200. Две боковые rрани перпендику-
лярны плоскости основания, а две дрyrие составляют
с ней уrол 600. Найдите высоту пирамиды (рассмотри
те все случаи).
10.23. Основанием пирамиды является трапеция
со сторонами а, а, а и 2а. Две боковые rрани перпен-
дикулярны плоскости основания, а одна из двух дpy
rих составляет с ней уrол 450. Найдите высоту пира-
миды (рассмотрите все случаи).
200
Тематическая подборка задач
10.24. В тетраэдре ребра АВ, АС иAD соответствен-
но равны 3, 4 и 5, а все плоские уrлы при вершине
А прямые. Найдите величину двуrранноrо уrла при
каждом ребре пирамиды.
10.25. Основание пирамиды правильный шести
уrольник с ребром а. Найдите длины всех боковых ре-
бер пирамиды, если ее две не соседние боковые rрани
перпендикулярны плоскости ее основания, а высота
пирамиды равна удвоенному диаметру окружности,
вписанной в основание.
Разные .пирамиды
10.26. В треуrольной пирамиде скрещивающиеся
ребра попарно равны между собой. Найдите сумму
плоских уrлов при вершине пирамиды.
10.27. Основание пирамиды квадрат AВCD со
СТОрОНой а. Боковые ребра МВ и МА равны между со-
бой, двуrранный уrол при ребре AD равен а, а при
ребре DC равен ( < а < 900). Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) уrол наклона к основанию пирамиды большеrо
боковоrо ребра.
10.28. В правильной четырехуrольной пирамиде
MAВCD все ребра равны Ь. Правильная треуrольная
пирамида КАРТ расположена так, что Р и Т лежат со-
ответственно на ребрах ВС и CD, а вершина на бо-
КОВОй поверхности пирамиды MAВCD. Найдите pac
стояние между М и к.
10.29. Основание пирамиды MAВCD ромб AВCD
с острым уrлом BCD, равным 600, и высотой 12.
Вершина М равноудалена от прямыхAD, ВС и от вер-
шин В и С. Найдите длины боковых ребер, если BЫCO
та пирам иды равна 1.
10.30. Дана правильная четырехуrольная пирамида
MAВCD. Можно ли на прямых МА и CD найти четыре
вершины правильноrо тетраэдра? Ответ обоснуйте.
Пирамида, призма и сфера
201
10.31. Прав ильная четырехуrольная пирамида
МАВсп такова, что на прямой АВ и на прямой, содер-
жащей апофему rрани мсп, можно найти четыре
вершины правильноrо тетраэдра. Найдите отношение
ребра этоrо тетраэдра к ребру основания пирамиды
МАВсп.
Шар и призма
10.32. Докажите, что для Toro чтобы около призмы
можно было описать шар, необходимо и достаточно,
чтобы призма была прямой и около ее основания
можно было описать Kpyr.
10.33. Докажите, что для Toro чтобы в прямую
призму можно было вписать шар, необходимо и до-
статочно, чтобы в каждое из ее оснований можно бы-
ло вписать Kpyr и диаметр этоrо Kpyra был равен бо-
ковому ребру призмы.
10.34. В наклонную призму вписан шар. Докажи-
те, что:
а) высота призмы равна диаметру этоrо шара;
б) в сечение соответствующей данной призме приз-
матической поверхности плоскостью, перпендику-
лярной ее боковому ребру, можно вписать Kpyr, ради-
ус KOToporo равен радиусу шара.
10.35. В правильную треyrольную призму вписан
шар радиуса R. Найдите объем призмы.
10.36. Около правильной треуrольной призмы, все
ребра которой равны d, описан шар. Найдите радиус
шара.
10.37. В правильную шестиуrольную призму мож-
но вписать шар. Найдите отношение радиуса этоrо
шара к радиусу шара, описанноrо около призмы.
10.38. В куб с ребром а вписан шар. Найдите рас-
стояние от центра этоrо шара до: а) вершины куба;
б) ребра куба.
202
Тематическая подборка задач
10.39. в куб с ребром а вписан шар. Найдите ради
ус шара, касающеrося данноrо шара и трех rраней KY
ба, имеющих общую вершину.
10.40. В куб с ребром а вписан шар. Найдите ради
ус шара, касающеrося данноrо шара и плоскостей
трех rраней куба, имеющих общую вершину.
10.41. В куб с ребром а вписан шар. Найдите на-
именьший радиус шара, касающеrося двух соседних
rраней куба и данноrо шара.
10.42. В куб AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а помещены
два касающихся друr друrа шара. Один из них каса-
ется трех rраней куба, имеющих общую вершину А,
а друrой трех rраней куба, имеющих общую Bep
шину С l' Найдите радиусы шаров, если они равны
между собой.
10.43. В куб AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а помещены
два касающихся друr друrа шара. Один из них Kaca
ется трех rраней куба, имеющих общую вершину А,
а друrой трех rраней куба, имеющих общую Bep
шину А 1 . Найдите радиусы шаров, если они равны
между собой.
10.44. В куб АВспА 1 в 1 с 1 п 1 с ребром а помещены
два касающихся друr друrа шара. Один из них Kaca
ется трех rраней куба, имеющих общую вершину А,
а друrой трех rраней куба, имеющих общую Bep
шину В 1 . Найдите радиусы шаров, если они равны
между собой.
10.45. В куб AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а помещены
два касающихся друr друrа шара. Один из них Kaca
ется трех rраней куба, имеющих общую вершину А,
а друrой трех rраней куба, имеющих общую вер-
шину С l' Найдите радиусы шаров, если они относятся
как 2 : 3.
Пирамида, призма и сфера
203
10.46. Основанием прямой призмы АВспА 1 в 1 с 1 п 1
является равнобедренная трапеция АВсп, у которой
АВ == сп и острый уrол равен 300. Найдите радиус
вписанноrо в призму шара, если сумма всех ребер
призмы равна 40.
10.47. Найдите радиус шара, описанноrо около
прямой призмы, основание которой прямоуrоль-
ный треуrольник с rипотенузой 5, а боковое ребро
равно 13.
10.48. Дан куб с ребром а. Найдите радиус шара,
касающеrося всех ребер куба.
10.49. Шар радиуса R касается всех ребер куба.
Найдите радиус шара, касающеrося данноrо шара и
плоскостей трех rраней куба, имеющих общую вер-
шину.
10.50. В шар радиуса R вписан куб. Найдите ради-
ус шара, касающеrося rрани куба в точке пересече-
ния ее диаrоналей и данноrо шара (рассмотрите два
случая).
10.51. Шар радиуса R касается всех ребер одной из
rраней куба и проходит через все вершины противо
положной ей rрани. Найдите объем куба.
10.52. Шар радиуса R проходит через все вершины
rрани куба и касается противоположной rрани. Най-
дите ребро куба.
10.53. Шар с центром в точке С 1 проходит через
вершины В, D и А 1 куба АВспА 1 в 1 с 1 п 1 . Найдите
длину линии пересечения поверхности шара с rраня-
ми куба, если ребро куба равно а.
10.54. Может ли сфера проходитъ ровно через семь
вершин четырехуrолъной призмы? (Ответ обоснуйте.)
10.55. Основанием призмы АВспА 1 в 1 с 1 п 1 слу
жит квадрат АВсп со стороной а; М середина реб-
ра А 1 п 1 ; О точка пересечения диarоналей АВсп;
204
Тематическая подборка задач
МО == h высота призмы. Найдите радиус сферы,
проходящей через точки А, В, С, D, Ар D 1 .
10.56. Основанием призмы AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 слу
жит квадрат AВCD со стороной а; М середина реб
ра A 1 D 1 ; О точка пересечения диаrоналей AВCD;
МО == h высота призмы. Найдите радиус сферы,
проходя щей через точки А, В, С, D и касающейся
прямой А 1 D l'
10.57. в кубе AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а проведено
сечение через точки М, N, Р, лежащие соответственно
на ребрах АА 1 , АВ, AD на равных расстояниях от А.
Найдите площадь этоrо сечения, если в каждый из
двух полученных мноrоrранников можно вписать шар.
Шар и пирамида
10.58. Центр шара, вписанноrо в правильную че
тырехуrольную пирамиду , делит ее высоту в отноше
нии 5 : 3. Найдите величину двуrранноrо уrла при бо
ковом ребре пирамиды.
10.59. Центр шара, описанноrо около прав ильной
четырехуrольной пирамиды, делит ее высоту в OTHO
шении 5: 3, считая от вершины. Найдите величину
уrла наклона боковоrо ребра пирамиды к плоскости
ее основания.
10.60. Точка пересечения диаrоналей основания
прав ильной четырехуrольной пирамиды делит отре-
зок, соединяющий вершину пирамиды с центром опи
санной около пирамиды сферы, в отношении 5: 3.
Найдите величину уrла наклона боковоrо ребра пира
миды к плоскости ее основания.
10.61. В тетраэдр вписан шар радиуса r. Найдите
расстояние от центра шара до вершин и до ребер этоrо
тетраэдра, если все ребра тетраэдра равны.
Пирамида, призма и сфера
205
10.62. В четырехуrольную пирамиду вписан шар
радиуса r. Найдите расстояние от центра шара до
каждой из вершин и до каждоrо из ребер этой пира-
миды, если все ребра пирамиды равны.
10.63. В шар радиуса R вписана правильная тре-
уrолъная пирамида с плоским уrлом 900 при верши-
не. Найдите высоту пирамиды.
10.64. В шар радиуса R вписана правильная тре-
уrолъная пирамида с двуrранным yrлом 600 при ребре
основания. Найдите сторону основания пирамиды.
10.65. Центр шара, описанноrо около правильной
четырехуrолъной пирамиды, совпадает с центром
вписанноrо в нее шара. Найдите уrол наклона боково-
ro ребра пирамиды к плоскости ее основания.
10.66. Центр описанноrо около прав ильной шести-
уrолъной пирамиды шара является серединой отрез-
ка, соединяющеrо центр вписанноrо в пирам иду шара
с основанием высоты пирамиды. Найдите двуrран-
ный yrол при ребре основания пирамиды.
10.67. Центры вписанной и описанной около пра-
вилъной четырехуrольной пирамиды сфер симмет-
ричны относительно плоскости основания пирамиДЫ.
Найдите отношение радиуса описанной сферы к ради-
усу вписанной.
10.68. Основанием треуrольной пирамиды с рав-
ными боковыми ребрами является прямоуrольный
треуrолъник с rипотенузой 10. Высота пирам иды рав-
на 12. Найдите радиус описанноrо шара.
10.69. Основание пирамиды ромб с уrлом 600 и
стороной 6. Вершина пирамиды проектируется в точ-
ку пересечения диarоналей основания. Высота пира-
миды равна 9. Сфера проходит через четыре вершины
пирамиды. Найдите расстояние от пятой вершины
пирамиды до сферы (рассмотрите все случаи).
206
Тематическая подборка задач
10.70. ОснованиеАВСD кубаАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 явля
ется основанием правильной четырехуrольной пира
миды MAВCD. Сфера проходит через все девять ука-
занных точек. Ребро куба равно а. Какие значения
может принимать высота пирамиды?
10.71. В треуrольную пирамиду, все ребра которой
равны 2 см, помещены четыре равных шара, каждый
из которых касается трех остальных и вписан в один
из трехrранных yr лов пирамиды . Найдите радиус
этих шаров.
10.72. Высота правильной четырехуrольной пира
миды, все ребра которой равны Ь, является радиусом
некоторой сферы. Найдите длину линии пересечения
поверхностей сферы и пирамиды (рассмотрите два
случая).
10.73. Высота правильной шестиуrольной пирами
ды, все боковые ребра которой равны Ь и плоский
уrол при вершине равен 300, является диаметром не-
которой сферы. Найдите длину линии пересечения
поверхностей сферы и пирамиды.
10.74. В пирамиду вписана сфера радиуса 7. Пол
ная поверхность пирамиды равна 33. Найдите объем
пирамиды.
10.75. Около правильной четырехуrольной пира-
миды со стороной основания 4 и высотой 4 описана
сфера. Друrая сфера проходит через все вершины ос-
нования пирамиды и центр описанной сферы. Найди
те отношение поверхностей сфер.
10.76. Радиус описанной около правильной четы-
рехуrольной пирамиды сферы в 10000 раз больше бо
KOBoro ребра пирамиды. Найдите величину плоскоrо
уrла при вершине пирамиды.
10.77. Радиус описанной около правильной четы-
рехуrольной пирамиды сферы в 10000 раз больше
высоты пирамиды. Найдите величину плоскоrо уrла
при вершине пирамиды.
Пирамида, призма и сфера
207
10.78. Радиус вписанной в правильную треуrоль-
ную пирамиду сферы в 10000 раз меньше высоты пи
рамиды. Найдите величину плоскоrо уrла при верши
не пирамиды.
10.79. Сфера касается всех ребер правилъной шес-
тиуrолъной пирамиды с ребром основания а и высо-
той h. Найдите радиус сферы.
10.80. Основание правильноrо тетраэдра пАВС яв-
ляется боковой rранью правилъной четырехyrольной
пирамиды AВCPQ. Вершина D лежит вне пирамиды
AВCDPQ. Определите, лежит ли точка D на сфере,
описанной около пирамиды AВCPQ.
Задачи на отыскание
наименьmеrо периметра
10.81. В правильно м тетраэдре пАВС через реб
ро ВС проведено сечение наименьшеrо периметра.
Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра равно
J3 1.
10.82. в кубеАВСDА 1 В 1 С 1 Dl' ребро KOToporo равно
6, точка М лежит на ребре В 1 С 1 и делит ero в отноше-
нии 5: 1, считая от В 1 ; точка Р лежит на ребре AD и
делит ero в отношении 1 : 2, считая от А; на ребре
А 1 п 1 выбрана точка L так, что ломаная MLP имеет
наименьшую длину. Найдите:
а) отношение, в котором точка L делит ребро А 1 п1'
считая от А 1 ;
б) длину ломаной MLP.
10.83. В правильном тетраэдре пАВС через высоту
пк rрани пвс проведено сечение наименьшеrо пери
метра. Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра
равно 2.
208
Тематическая подборка задач
10.84. В правильном тетраэдре DAВC точка К ле-
жит на ребре ВС и делит ero в отношении 1 : 2, считая
от С. Через DK про веде но сечение наименъшеrо пери
метра. Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра
равно 3.
10.85. В правильной четырехуrольной пирам иде
MAВCD длина ребра основания равна 6, длина боко
Boro ребра равна 5. Через апофему ML rрани MDC
проведено сечение наименъшеrо периметра. Найдите
этот периметр.
10.86. В правилъной четырехуrолъной пирамиде
MAВCD ребро основания равно а, а плоский уrол при
вершине М равен а (а < Ю . Через ребро CD проведено
сечение наименъшеrо периметра. Найдите этот пери
метр.
Ответы, указания, решения
1. Векторы на плоскости
Векторы и направленные отрезки.
Уrол между векторами. Действия с векторами
1.1. Окружноеть е центром А и радиуеом 2 ем.
1.2. Кольцо е центром А, внешним радиуеом 5 и внутренним
радиуеом 3.
1.3.1400; 1800; 400; 700; 1600; 900; 900; 00; BD и DB .
1.4.600; 1200; 1800; 600; 600; 300; 900; 120 0 ; AD и DA .
1.5. Вее точки лучей AВ 1 и АВ 2 , еоставляющих е лучом MN
уrол 800.
1.6. Полоеа, заключенная между двумя параллельными пря
мыми, раеетояние между которыми равно 2р, а прямая l делит
их общий перпендикуляр пополам.
1.7. а) На окружности с центром А и радиуеом АВ; б) на ок-
ружноети радиуеаАВ с центром в точкеАl' еимметричной точ-
ке А отноеительно точки В.
1.8. а) На еерединном перпендикуляре к отрезку АВ; б) на
прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точ-
ку, еимметричную еередине отрезка АВ относительно точки В.
1.9. а) 1200 между векторами АВ и ВС , 600 между векторами
АВ и АС , ВС и АС ; б) 600 между векторами а и Ь, а и а Ь, 1200
между векторами Ь и а ь.
1.10. а) 8 .;; la + bl.;; 18; б) 8 .;; la 'БI.;; 18.
1.11.6';; 1bI.;; 10. 1.12. о.;; !Ь!';; 22.
210
Тематическая подборка задач
1.13. а)4 lal 11. 'Указание. Так как (а + Ь) + (а Ь)
2a, то 8 12aj 22; б)4 'ЕI 11; в)8 Jal + 'ЕI 22;
r) 16 'аl . 'ЕI 121.
1.14. а) 4 'ёl 16; б) 5 lёl 37.
1.15. а) 121 'аl 191. 'Указание. Пуеть 3а 5Е ё,
70, 12Е (1. Тоrда 36а 60Е 12ё, 35а 60Е 5(1, отеюда
а 12ё 5(1; б) 70 /ы 122; в) 1 laj /ы 121;
r) 8470 lal . 'Ь! 23 302.
1.20.0.
1.21. Да. 'У к а з а н и е. Покажите, что диаrонали четырех-
уrольника AВCD, пересекаяеь, делятся пополам.
1.22. О.
1.23. Нет. 'У к а з а н и е. Данное векторное равенство выпол
няетея в любом треуrольнике.
1.24. Точка Р лежит между О и м.
1.25. Точка М лежит между К и Е.
1.26. 'У к а з а н и е. Воспользуйтееь тем, что АВ Fл I' АС, ее-
IABI
ли векторы АВ и АС сонаправлены, и АВ !Ас l . АС, еели век-
торы АВ и АС противоположно направлены.
1.27. а) 98 < Jal < 100,197 < 'а ЕI < 201. 'У к а з а н и е. Пуеть
с а + Ь, d 100а + 99Ь. Тоrда а d 99е, а Ь 2d 199е, при-
чем jёl 1, 1(11 < 1; б) 99 < IbJ < 101, 197 < 198а + 99ЕI < 199.
'У к а з а н и е. Иепользуя обозначения пункта а), имеем:
Е 100с (1, 980, + 99Ь 198с (1.
Разложение вектора
по двум неколлинеарным векторам
1.28.a) KM KA + KB ; б) КА 2 КМ КВ .
1 29 2 1 1 2
. . а) КА 2 зКА1 + зКА4; б) КА з з КА1 + зКА4'
1.31. 'У к а з а н и е. В задаче 1.30 положите п КС, т ВК.
1.32. а) а т 15п; б) Е 70, 21ё.
1.33. п 7o' + 5Е; т 4a + зЕ.
1.34. т 217 + Оа.
211
Ответы, указания, решения
38 1 л
1. . МС л + 1 МА + л + 1 МВ.
1 х
1.39. . 'У к а з а н и е. Используйте результат задачи 1.38.
х
1.40. ВС О,5п; АС т + О,5п; BD т + п; М 1 М з ==
O,25п т ; N 1 N з O,75п.
1.41. BD a + Ь; AD 1,5а; АС 1,5a b; М 1 М 2 o,25a + Ь;
N 1 N 2 1,25a.
1.42. х 18 . 1.43. х :t5j3.
1.51. Реш е н и е. Пусть точка А 2 принадлежит медиане АА 1
треуrольникаАВС, причем АА 2 :A l 2: 1. Тоrда для произ
вольной точки М имеем равенство МА 2 == МА + МА 1
1 2 1 1
3 МА + 3 . 2 (МВ + МС) 3 (МА + МВ + МС). Аналоrично,
для точек В 2 и С 2 , принадлеж8ЩИХ соответственно медианам ВВ 1
1
и СС 1 , получаем МВ 2 МС 2 3 (М А + МВ + МС). 3начит, точ
ки А2' В2' С 2 совпадают, откуда и еледует утверждение задачи.
1.53. 'Указание. Иепользуйте равенство М 1 М 2 ОМ 2
ОМ 1 И результат задачи 1.52.
1.54. а) А 1 А 2 == В 1 В 2 С 1 С 2 ; б) А 1 В 2 А 2 С 1 В 1 С 2 .
1.55. а) Реш е н и е. Возьмем единичные векторы ё 1 и ё 2 , со-
направленные е векторами АВ и АС . Так как луч АА 1 бис
сектриса уrла ВАС, то, разлаrая вектор АА 1 по векторам АВ и
АС , получим параллелоrрамм, который .являетея ромбом. 3на-
чит, еуществует такое число х, что АА l хё 1 + хё 2 == x( АВ +
1 ) 1 1
+ ьАС ,т. е. векторы АА 1 и ёАВ + ьАС коллинеарны.
б) 'У к а з а н и е. 'Учитывая, что точкаА 1 лежит на стороне ВС,
х х Ьс
имеем а + ij 1 (см. задачу 1.36), откуда х == Ь + с '
212
Тематическая подборка задач
1.56. 'у к а з а н и е. Так как внешний уrол образован двумя
лучами, один из которых сонаправлен, а друrой противопо
ложно направлен лучам АВ иАС, то АА } хе 1 + x( e2)' rде е} и
е 2 единичные векторы, сонаправленные с векторами АВ и
х x
АС. Тоrда АА} ё АВ + ьАС, rде с AВ, Ь AC.
1.57. Реш е н и е. Пусть ВМ: МВ} х. Разложив векторы
1 1
АА 1 И АМ по векторам АВ и АС, получим АА 1 2 АВ + 2 АС,
АМ ........!...... АВ + AC ........!...... АВ + 3х АС В
1 + х х + 1 1 + х 5(1 + х) . силу
1 1
коллинеарности векторов АА 1 и АМ имеем 1 + х : 2
3х 1 5 3 3
5(1 + х) : 2' откуда х 3' Далее, АМ в АВ + вАС
3
4АА1' откуда АМ: МА 1 3: 1.
1.58.5: 4; 2 : 1. 1.59.9 : 8. 1.60.6: 11.
1.61. Реш е н и е. Имеем АМ а 1 МВ , BN Р} NC , СР
1} РА , rде аl' Рl' 1} числа, модули которых соответственно
равныа,Р,1. Т о r да
MN МВ + BN МВ + 13} . NC ; (1)
АВ + ВС + СА О, т. е.
АМ + МВ + BN + NC + СР + РА О,
(1 + ( 1 ) . МВ + (1 + Р 1 ) . NC + (1 + 11) . РА О,
откуда
РА 1 + а 1 . МВ 1 + 131 . NC .
1 + Уl 1 + Уl
3начит,
1 + а 1 1 + 131
PM PA+AМ . MB . NC+a}' MB
1 + Уl 1 + Уl
( а )
} 1 + Уl
1 + 131
. MB NC.
1 + Уl
(2)
Ответы, указания, решения
213
'Учитывая коллинеарность векторов MN и РМ , получим
1 + а 1 1 + 1}1
а ,откудаа l У l Р l l,тоrда apy l.
1 l+Уl (1+Y1)' 1
Векторы и координаты
1.62. AВ { 4; 3}, \AВI 5, ВО {7; 7}, 1Ш5I 7 J2, OA { 3; 4},
I OA I 5.
1.63. MK { 12; 5}, IMK I 13, 2 КМ {24; 10}, 12 KMI 26,
ОМ + ОК {2; 15}, 1 0М + OКI ,1229 , ОМ ОК {12; 5},
1 0М OКI 13.
1.64. а) В(10; 7); б) В(4; 9). 1.65. а)А(О; 1); б)А(14; 5).
1.66. (х 1)2 + (у + 5)2 50. 1.67. (х + 1)2 + (у 3)2 40.
1.68. е 1 { ) Х ; J у } .
х2 + у2 х2 + у2
1.69. е 1 и е2' rде
{ ХI Х2 У1 У2 }
е 1 ; ,e2 el'
J (x 1 Х2)2 + (УI У2)2 J CX1 Х2)2 + (У1 У2)2
1.70. а{0,5; 3}; Ь{ 7,5; 8}. 1.71. a{ 14; 6}; Ь{ 9; 2}.
1.72. Ь и ё еонаправлены; а и d противоположно направлены;
ё и d неколлинеарны.
1.73. AD и СВ еонаправлены; вп и АС противоположно Ha
правлены; АВ и АС неколлинеарны.
2 2
1.74. х 18з, 1.75. х 77'
1.76. у 4x + 17. 1.77. у 2х + 22.
1.78. ЧетырехуrольникАВСD квадрат.
1.79. ВС{4; 3}, cп{ з; 4}; пA{ 4; 3} или BC{ 4; 3},
cп{ з; 4}; пА {4; 3}.
1.80.А(I; 3), В( I; 4) щrиА(3,5; 6,75), В(I,5; 0,25).
1.81.A( 1; 1), В(2; 0,5) илиА( 2; 0,5), В(l; 1).
1.82. а Ь + 2ё, Ь a + 2ё, ё 0,5а + 0,5Ь.
1.83. АВ АС ВС . 3 а м е ч а н и е. Результат не зависит от
координат данных точек.
214
Тематическая подборка задач
1.84. AC { 2; 16}, BB l{ 4;4}, BB 2{ 3 ; }.
1.85.А( ; 6Ю, B( ; ю, с( 2 ; 9 ).
Скалярное произведение векторов
1.86.15; 51; 10; 11. 1.87. 6; 42; 8.
1.88. 1200. 1.89.450. 1.90.0,5; J5 ; 17 .
1.91. ; Jб; Лi. 1.92.зз; 5; 13; :; .
1.93. о; 900; Щ; ./104 ; ./130 .1.94.5; 5; Лб; 1[: .
19 м-:i 17 19 3М
. 5. 17; 85; ",34; rnnn;; ' . 6.12; ",65; 4",5; 65 .
",2890
r:;r, r:;r, 13 J2
1.97.12; ",13; 2",13; 900. 1.98. 1; 2; ",5; ",5; о; 50'
99 4 3 J3
1. . 5; 5; 5; 5; о; 2,2. 1.100. 0,5; 0,5; 2""; о.
1.101. 3; о; 3. 1.102. о. 1.103. о.
1.104. Да, если все три вектора сонаправлены.
1.105. Да, если уrол между векторами а и ё равен 900.
3 4 119 5 5
1.106. о; 9; 16; о; 5; 5' 1.107.119; 50; 50; 169 ; 13 ; 13 '
1.109. у к а з а н и е. Рассмотрите скалярный квадрат обеих
частей соотношения АВ АС СВ .
1.110. у к а з а н и е. Рассмотрите скалярный квадрат обеих
1
частей соотношения АА! 2" (АВ + АС).
1.111.10. у к а з а н и е. Возведите в квадрат равенство
1
МС ! 2" (МА + МВ), rде М точка пересечения медиан тре-
уrольникаАВС, СС ! искомая медиана.
1.112.6. 'у к а з а н и е. Используйте равенство АА ! AВ +
3
+ 7АС и результат задачи 1.109.
215
Ответы, указания, решения
1.114. Щ. 'у к а з а н и е. Используйте равенство AA l
3 2 r;;
БАВ + gBC. 1.115.0,2",5.
2. Декартовы координаты на плоскости
Координаты на прямой
2.1. а) 10; б) 'Х 1 х 2 1.
2.2. a)Al( I); А 2 (5); б) все точки отрезка AIA2'
2.3. Аз(х з ) лежит между точками Аl (X 1 ) и А 2 (Х2)'
2.4. А 2 (х 2 ) лежит между точками Аl (X 1 ) и Аз(х з ).
2.5. а) I I ; б) I I '
Х 2 Ха Х 2 Ха
2.6. Реш е н и е. Пусть А(х); тоrда Ix з1 Ix + 111, откуда
[ Х 3 Х + 11,
3 Х Х + 11,
2 7 Х 1 + Х 2
. . Х 2'
2.8. Реш е н и е.
т. е. х 4.
Пуеть М(х); тоrда I x 3 1
х 8
х 3 3 х ( 2 )
х 8 == 4 или х 8 4,T.e.Ml 9з ,М 2 (7).
4, откуда
2.9. Ml( I); М 2 (79).
2.10. а) Реш е н и е. Пусть М(х); тоrда если М лежит между
АМ х Х 1
точками А и В, то М В == л., rде л. > О. Отсюда находим
Х 2 Х
Х 1 + л.Х 2
х Х 1 == л.Х 2 л.х, Х + хл. == Х 1 + л.х 2 , Х == 1 + л. . Если же М(х)
х Х 1 Х 1 + л.Х 2
лежит вне отрезка АВ, то л. < О, == л., т. е. х == 1 л. '
х Х 2 +
б) Если 1 < л. < О, тоА принадлежит отрезку МВ; если л. < 1,
то В принадлежит отрезку АМ; ее ли л. == 1, то М еередина
отрезка МВ; если О < л. < 1, то М принадлежит отрезку АВ; ec
ли л. > 1, то А принадлежит отрезку АВ.
2.11. а) М(17); б) М(26).
216
Тематическая подборка задач
Координаты на плоскости
2.13. В(11; 18). 2.14. С(14; 5), D(12; 6).
2.15. м(о; 1), Щ 2; 7).
2.16. Таких точек три: M 1 (7; 3) в параллелоrрамме ONM1P;
M2( 7; 3) в параллелоrрамме OM1NP; М з (7; 3) в параллело
rpaMMe ONPM 1 .
2.17. B( 1; 21), C( 1; 7).
2.18.А(16; 5), В( 4; 11), C( 2; 5).
2.19.АВ 8Лб, АС 10Лб, ВС 2Лб; точкаВделитот
резок АС в отношении л 4, считая от точкиА.
2.20. АВ 4 Лб, АС 2 Лб, ВС 6 Лб; точка В делит OT
2
резок АС в отношении л 3 ' считая от точки А.
2.21. а) Да; б) нет.
1
2.23. л 6'
2.26. t 14.
2.22. а) М(6; 1); б) М(18; 19).
2.24. л 2.
2.27. t 1 или t 10.
б) M 1 C5 2 ; g) точка на диаrонали СА;
1
2.28. а) л 4";
( 12 4 )
М 2 5" ;"5 точка на диаrонали BD. Так как М 1 м 2 , то ди-
аrонали трапеции, пересекаясь, делятся на отрезки, пропорци
ональные основаниям.
2.29. 'у к а з а н и е. Воспользуйтесь утверждением: для Toro
чтобы четырехуrольник являлся параллелоrраммом, необхо
дима и достаточно, чтобы ero диаrонали, пересекаясь, дели-
лись пополам.
2.30. С(4; 8), Щ 4; 8), или С(4; 8), D( 4; 8), или с(о; 4), D(4; О).
2.31. С(6; 8), D( 6; 8), или С(4; 22), D(20; 10), или C( 20; 10),
D( 4; 22).
2.32. с(о; 4JЗ) или с(о; 4JЗ).
2.33. С(6JЗ; 8JЗ) или С( 6JЗ; 8JЗ).
2.34. Таких ромбов шесть: AC1BDl' rде C1(0; 4JЗ) и D1(0; 4JЗ);
AC 2 BD 2 . rде С 2 ( о; 4f ) и D 2 ( о; 4f ); АВСзD з , rде С з (8; 4 JЗ)
217
Ответы, указания, реmения
и Dз(О; 4.[3); АВс 4 п 4 . rде п 4 (о; 4.[3) и C4( 8; 4.[3); АВс 5 п 5 .
rде п 5 (о; 4.[3 ) и С 5 (8; 4.[3 ); АВСБD Б . rде Dб(О; 4.[3 ) и С б ( 8;
4.[3 ).
2.35. Таких ромбов шесть: Ас1впl' rде С 1 (6.[3; 8.[3) и
п/..-6.[3 ; 8.[3); Ac п2' rде С 2 ( 2.[3 ; 16з./3) и п 2 ( 2.[3 ; 16з./3 );
АВСзD з . rде С з (6.[3 16; 8.[3 + 12) и D з (6.[3; 8.[3); АВс 4 п 4 ,
rде п 4 (6.[3 + 16; 8.[3 12) и С 4 (6.[3; 8.[3); АВс 5 п 5 , rде
п5( 6.[3 + 16; 8.[3 12) и C5( 6.[3; 8.[3); АВСБD Б , rде
Dб( 6.[3; 8.[3) и Сб( 6.[3 16; 8.[3 + 12).
2.36. а)АВ 2.fm 2 + п 2 , АС 2р , ВС j(p т )2 + п 2 ;
б) АА 1 j(т + р)2 + п 2 . ВВ 1 j( 2т р)2 + 4п 2 . СС 1
.f (2p т)2 + п 2 .
2.38. а )АВ .fm 2 + п 2 , ВС а, АС j (a + т 2 ) + п 2 ,
Bп .f( т a2) + п 2 .
2.39. А(4; О).
2.40. А(I; 1) илиА(4; 4). 'у к а з а н и е. Раеемотрите два ел у-
чая: А(а; а) иА(а; a).
2.43. 2 J146 . 'у к а з а н и е. Пусть А(х; О) и В(О; у) концы
данноrо отрезка; тоrда
{ х ; О 5. { х 10.
т. е. у 22.
О ; У 11,
2.44. J 1787,04 или J646,56 . 'у к а з а н и е. Пуеть А(х; 8) и
В(6; у) концы данноrо отрезка; тоrда раеемотрите две воз
можноети: АМ: МВ 5 и АМ: МВ 1: 5. В каждом елучае
примените формулу нахождения координат точки, делящей
отрезок в данном отношении.
2.45. с(о; 5,75). 2.46. С(47; 1).
218
Тематическая подборка задач
Уравнение прямой
2.47. М(7; О), N(O; 5). 2.48. м(о; 3,5), N( O,875; О).
2.49. у 8. 2.50. х 4.
2.51. :1 + 1. 2.52. + 1.
2 53 1 11 . 26 0 34 ' 2 54 3 ,
. .y 2 Х + 6' a . . .y 2x+ 4:; a=:1l6°34.
2.55. у 7. 2.56. х 5.
2.57. 7х 8у + 56 О. 2.58. 6х 5у 43 О.
2.59. у 7х + 26. 2.60. у 3x 1. 2.61. k О.
2.62. Прямая параллельна оси ординат.
2.63. k 1. 2.64. k 1.
2.65. у х 2. 2.66. у x 1.
2.67. а(х + 3) + Ь(у 5) О, rде а и Ь одновременно не равны
нулю, уравнение пучка; 5х + 3у О уравнение искомой
прямой.
2.68. х + у 2 О или 7х + 3у + 6 О.
2.69. 3х + 2у 19. 2.70. 8х + 5у 56.
j х 3t,
2.71. 5 8 rде t Е R. 2.72. { У Х: : 1 + 3 7 t' t, rде t Е R.
y t+ з ,
2.73. Параллельны. 2.74. Пересекаются.
2.75. Совпадают. 2.76. Параллельны.
2.77. Пересекаются. 2.78. а) у 6х 53; б) у 6х.
2.79. М(1; 1). 2.80. M( 2; 12,2).
2.81. М(8; 1). 2.82. М(2; 7).
2.83. 4х + 3у + 4 О. 2.84. 3х 5у + 2 О.
2.87. 'Уравнения сторон АВ, АС и ВС: х 1, У 4х 1, у
2х + 3; уравнения медиан АА!, ВВ! и CC l : у 6х 3, у 5,
1 7
У 3х + 1; уравнения высот АН!, ВН 2 И СН з : у 2 х + 2'
1 21
y 4X+ 4' y 2.
2.88. 'Уравнения сторон АВ, АС и ВС: х 2у + 6 О, 5х + 4у
12 О, 11х + 6у 46 О; уравнения медианАА!, ВВ! и CC l :
9х + 10у 30 о; 3х + у 10 О, 3х + 2у 10 о; уравнения
219
Ответы, указания, решения
высот АН!, ВН 2 И СНз: 6х Ну + 33 о, 4х 5у + 12 о,
2х + У 11 о.
2.89. M( 0,08; 0,44). 2.90. 1,8.
2.92.4. 2.93. 1,96.
2.94. 1,2. 2.95. о.
2.96. а) х + 9у 22 о; б) 3У х 6 о.
2.97.y 2x+5; 5y+13x 30 0; 4y+llX 25 0;M( ; Ю.
2.98. 8у 3х 21 о; 3У х + 26 о; 5у 2х 47 о;
H( 271; 99).
2.99. х + у О или 3х + 2у 24. 2.100. х + У 4.
2.101. х + 7у 15 О или 7х У 1 о.
1 5
2.102. У 2 или х 6 .
( 30 72 )
2.103. а) 12х 5у о, 5у + 16х 120 о, м 7" ; 7" ;
б) 8х 5у о, 12х + 5у 120 о, К(6; 96).
2.104. Отношение коэффициента при х к коэффициенту при у
равно отношению ординаты к абсциесе, взятому е противопо
ложным знаком.
2 105 х + 7 У 8
. . 12 5'
2.107. т 2 х т 1 у + с о.
{ х хо + m 1 t,
2.109. + t tE R.
У УО т2'
2.111. {1; 2} или {5; 10}. 2.112.4,8.
2.113. 3х 3У + 19 О и 3х + 3У 5 о.
2 114 'а 1 а2 + ь 1 ь 2 1
. .еоэ<р .
",а 1 + Ь 1 . ",а2 + Ь 2
2.106. {Ь; a}.
2.108. {а; [3}.
2.110. { 3,2; 6,4}.
Уравнение окружности
2.115. (х 3)2 + (У + 4)2 25. 2.116. (х 4)2 + (У 8)2 34.
2.117. (х 5)2 + (у + 3)2 68.
2.118. (х 1)2 + (У 7)2 17 или (х 2)2 + (у 3)2 17.
2.119. х 2 + i 4 или (х 3)2 + (у JЗ)2 4.
220
Тематическая подборка задач
2.120. х 2 + i 25.
2.122. 0( 3; 4), R 4./2.
2.124. 0(0,25; 1), R 1,25.
2.125. А на окружности, В внутри ее, С вне ее.
2.126. А внутри окружности, В на ней, С вне ее.
2.127. (х 5)2 + (у + 3)2 68, кроме точек (3; 5) и (7; 11).
2.128. (х 3)2 + (у 5)2 17. 2.129. а) 12; б) 8.
2.130. Окружность с центром (5,5; О) и радиусом 1,5.
2.131. Окружность с центром (0,5; О) и радиусом 1,5.
2.132. M 1 ( 1 ь: л ; о), М 2 ( 1 Ь л ; о).
2.121.0(0,5; 9), R 0,5.
2.123. 0( 1,5; 2,5), R 0,5J42.
2.133. Окружность с центром ( о; Л2 ) И радиусом I ьл2 1 ,
л l л2 1
для которой точки M 1 И М 2 (см. задачу 2.132) являются конца-
ми диаметра.
2.134. а) (х 2 + i 49) . (х 2 + i 9) о;
б) (х 2 + у2 64) . (х 2 + i 16) О.
2
2.135. х 2 + i . 2.136. (х 2)2 + (у 3)2 1.
2.137. а) (х 5)2 + (у + 3)2 49; б) (х 5)2 + (у + 3)2 О, т. е.
точка (5; 3) середина отрезка АВ.
2.138. Либо таких точек нет, либо это середина eOOTBeTCT
вующеrо отрезка, либо это Оl,РУЖНОСТЬ с центром в середИне
отрезка.
2.139. R 5; ( 4; 3), ( 3; 2), (4; 3).
2.140. (1; О), (2; 1), (1; 2).
2.141. ( ; 1 ), ( ; 1 ).
2.142. ( ; 1 ). ( ; 1 } ( 1; О), ( ; 1 } ( ; 1 )-
( ./3 1 ) ( 1 ./3 ) ( 1 ./3 ) ( ./3 1 )
2.143. '2; 2' 2; '2' (о; 1), 2; '2' '2; 2 '
( 1; О), ( 1 ; ). ( ; 1 ) (о; 1), ( ; 1 ). C ; )-
Ответы, указания, решения
221
2.144. ( ; 1 ). ( ; 1}
2.145. Ответ получается, если в ответе к задаче 2.144 увели
чить на 2 абсциссы всех точек.
2.146. Ответ получается, если в ответе к задаче 2.145 nOMe
нять местами абсциссы и ординаты.
2.147. Ответ получается, если в ответе к задаче 2.141 увели-
чить в 2 раза координаты всех точек.
2.148. а) (х 1)2 + (у 1)2 == 1; б) таких точек нет.
2.151. Окружности пересекаются.
2.152. Окружности касаются.
2.153. (х 6)2 + (у + 3)2 == 25.
2.154. (х 9)2 + (у + 7)2 == 100 или (х + 3)2 + (у 9)2 == 100.
2.155. а) (х + 1)2 + у2 == 16; б) (х + 3)2 + (у + 3)2 == 16.
2.156. а) (х 6)2 + у2 == 4; б) (х 2)2 + (у 2)2 == 4.
2.157.1. 2.158. 6 J34 .
2.159. (х 2 + у2 16)(х 2 + у2 4) == О две окружности.
2.160. х 2 + у2 == 49 окружность.
2.161. (х 2 + у2 36)(х 2 + у2) == О окружность и точка.
2.162. Окружность радиуса 6 с центром в начале координат и
прямую Оу.
2.163. Окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
2.164. Две концентрические окружности с центром в начале
координат и радиусами 1 и 5.
2.165. Единичную окружность с центром в начале координат.
2.166. ОМ{ О,5JЗ ; 0,5}.
2.167. Р(О,6; 0,8).
2.168. ОР о {l; О}, OP 1 {0,5,)2; 0,5,)2}, ОР 2 {0; 1}, ОРз{ 0,5,)2;
О,5,)2}, OP4 { 1; О}, OP 5{ o,5,)2; 0,5,)2}, ОР 6 {0; 1},
ОР 7{О,5,)2; 0,5,)2}.
2.169.0Р о {1; О}, OP 1 {0,5,J3; 0,5}, ОР 2 {О,5; О,5JЗ}, ОР з {О; 1},
OP4{ 0,5; О,5JЗ}, ОР5{ 0,5JЗ; 0,5}, OP6{ 1; О}, ОР7{ 0,5JЗ; 0,5}.
222
Тематическая подборка задач
Прямая и окружность
( 45 27 ) ( 45 27 )
2.170. J34 + 1; J34 1 , J34 + 1; J34 1 .
2.171.18. Можно, поскольку хорда является диаметром, т. е.
проходит через центр.
2.172. (1; 2), (5 16з ; 4 19з ).
2.174. (i; 2), ( 5 16з ; 4 19з ).
J3
2.176. При k :t 3 одна общая точка;
J3 J3
две общие точки, при k < 3 или k > 3
2.173. Общих точек нет.
2.175. Общих точек нет.
J3 J3
при 3 < k < 3
общих точек нет.
2.177. При k :t одна общая точка, при k < или
4 4 4
k> :3 две общие точки; ПРИ :3 < k < :3 общих точек нет.
2.178. Любая прямая, проходящая через точку М(2; 2) ne
3 25
ресекает окружность в двух точках. Прямая у 4: х + 4"
является касательной к окружности и проходит через точку
N(3; О). Остальные прямые, проходящие через эту точку, nepe
секают окружность в двух точках. Прямая х 10 не имеет с
окружностью общих точек. Прямые у k(x 10) проходят че
J3
рез точку Р(10; О). При k :t 3 прямые у k(x 10) касают
ся окружности; при J} < k < J} эти прямые пересекают OK
ружность в двух точках; при k < J} или k > J} прямые не
имеют с окружностью общих точек.
2.179. Все прямые, проходящие через точку Р, пересекают
окружность в двух точках. Прямая х О, проходящая через
точку N, касается окружности, а остальные прямые, проходя-
'щие через точку N, пересекают окружность в двух точках. Для
точки М: прямые х О и у 5 касаются окружности; прямые
у kx имеют с окружностью две общие точки при k < О, не
имеют общих точек при k > О.
223
Ответы, указания, реmения
2.180. а) 3у + х 13 о; б) У 3х 9.
2.181. а) 3у + х 13 О или 13у 3х 5 о; б) 3х У 9 о.
2.182. х + уЩ + 4 о; х уЩ +4 о; 3х+ yJ7 4 О.
./2 3./2 ./2 3./2
2.183.x 2; y TX т; y TX+ т.
2.184. а) 10; б) J2 .
2.185. а) (х 5)2 + (у + 1)2 25 или (х 5)2 + (у 7)2 25;
б) (х + 2)2 + (у + 5)2 25 или (х 4)2 + (у + 5)2 25.
2.186. а) (х 1)2 + (у 1)2 1, (х 1)2 + (у + 1)2 1, (х + 1)2 +
+ (у + 1)2 1 или (х + 1)2 + (у + 1)2 о;
б) (х J2/ + у2 1, (х + J2/ + у2 1; х 2 + (у J2)2 1
или х 2 + (у + J2)2 = 1.
2.187. а) х 3у 2 = о; б) 5х 2у 16 О.
2.188. а) (х 3)2 + (у 4)2 17; б) (х 1)2 + (у 1)2 32.
2.189. х 2 + у2 25. 2.190. (х 1)2 + (у + 1)2 = 169.
2.191. х 4 или х = 4. 2.192. у = 12 или у = 12.
2.193. 3х 4у 19 О или 32х 4у + 21 = О.
2.194. 7х + 12y 39 = О или 7х + 12у + 13 = О.
2.195. 7х 56у + 6 О или 32х + 4у 19 = О.
2.196. 2х у + 4 О или х + 2у 2 = о.
2.197. а) (3; 4); б) ( 4; 3). 2.198. а) 1; б) 0,3.
2.199. 3х + 4у 25 о: 10/3. 2.200. 10.
2.201. х = 4. 2.202. 2х 9у + 7 =0.
2.203. а)х + 3у 4jIO, х + 3у 4jIO; б)х + у = 4J2,
х + у = 4 J2, х у 4 J2, х у 4 J2 .
2.204. 3х 8у 45 О. 2.205. 4х 3у + 1 = О.
Разные задачи
2.206. а) Окружность, центр которой делит отрезок АВ в отно-
4
шении 2 : 1, считая от А, а радиус равен зАВ; б) окружность,
центр которой симметричен точке В относительно точки А, а
радиус вдвое больше АВ.
2.207. Реш е н и е. Пусть 01(а; о), 02(а; о), rде а = 0102' Если
М(х; у) точка искомоrо множества, то MO = R = MO = R ,
224
Тематическая подборка задач
а 2 + R R
т. е. х 2 + у2 Ri (х а)2 + у2 R , откуда х 2
Если окружности расположены так, что R 1 + R 2 < а, то иско-
мое множество точек есть прямая, перпендикулярная линии
а 2 + R R
центров и пересекающая ее на расстоянии 2 от 01
(по ту же сторону, что и 02)' в друrих случаях это два луча, ле-
жащие на прямой, перпендикулярной линии центров и пересе-
l a 2 + R 2 R 2 /
кающей ее на расстоянии 21 2 от 01' причем если
а 2 + R R
2 > о, то точка пересечения лежит на луче 0102'
/ а 2 + R 2 R2 1
а если 21 2 < О на дополнительном луче.
2.208. Дуrа окружности, центр которой находится на пересе-
чении линии центров с меньшей окружностью (но не в точке
касания), а радиус равен J[3 , т. е. (х 4)2 + у2 13.
2.209. Две прямые, проходящие через точку пересечения дан-
ных прямых.
2.210. 2 JRIR2 ' 2.211. Ja 2 + (R 1 + R 2 )2.
2.212. Парабола у х 2 . 2.213. rипербола ху 1.
2.214. Окружность, описанная около треуrольника.
5 2
2.216. +, rде а длина стороны треуrольника.
2.217. Окружность, вписанная в квадрат.
2.218. 4JlЗ. 2.219. М 1 (3; 4), М 2 (4; 3).
3. Координаты в пространстве
3.1. ( 4; о; 10). 3.2. M( 4; 3; 3). 3.3. К(11; 2; 2).
3.4.1. 3.5. Да. 3.6. Нет.
3.7. т 10а 18Ь + 11е.
3.8. Точка А лежит между В и с.
3.9. Да. 3.10. Нет.
3.11. С(l; 3; о); точка С лежит между А и В.
3.12. Нет. 3.13. {1; 32; 19}.
225
Ответы, указания, решения
{ 2 9 2 }
3.14. "7; "7;"7 .
( 5 14 ) ( 25 3 43 )
3.16. ( 2,5; 2,5; 0,5), 3; о; 3 ,(2,5; 0,5; 5,5), "6; 2; "6 .
( 1 2 ) ( 5 8 13 )
3.17. 3з;6з;8 . 3.18.А 3; 3; 3"'
3.19. D(O; о; 2.[6), А(2JЗ; о: О), С( JЗ; 3; О), В( JЗ; 3; О).
3.20. (1; 2; 2), ( 1; 2; 2), (1; 2; 2); (1; 2; 2), (1; 2; 2),
( 1; 2; 2), ( 1; 2, 2), ( 1; 2; 2).
3.21. а) Щ; б) 1; 3; 8; в) Jlб; J65 ; J73: r) 3; д) 16.
3.22. (о; о; 3).
3.23. Pxoy( l; 3:0), Pxoz( l; о: 8), PYOz(O; 3; 8), Px( l; о; О),
PiO: 3; О); Pz(O; о; 8): этот мноrОI'ранник прямоyrольный
параллелепипед: V 24: S 70.
3.24. Плоскость, параллельная плоскости xOz и проходящая
через точку (о; 3: О).
3.25. ПЛоскость, проходящая через ось Oz и биссектрису yrла хОу.
3.26. Прямая, параллельная оси Оу. 3.27. Прямая.
3.28. Сфера с центром (о; о; О) и радиусом 5. 3.29. 0.
3.30. Две плоскости, параллельные плоскости yOz.
3.31. Множество точек окружности радиуса 3 с центром на
оси Oz; эта окружность расположена в плоскости z == 6.
3.32. Цилиндрическая поверхность с осью Oz; направляющей
этой поверхности является окружность с радиусом 3.
3.33. Окружность с центром (о; о; 2) и радиусом 2.
3.34. Множество точек крyrовой конической поверхности с осью
симметрии Oz и вершиной (являющейся также центром симмет-
рии) в начале координат (yrол в осевом сечении равен 900).
3.35. Две плоскости, параллельные плоскости yOz.
3.36. Три плоскости. 3.37. ТочкаА(l; 2; 5).
3.38. (о; о; 5,5), (о; о; 5 Л7), (о; о; 5 + Л7), (о; о; 4 .[(9),
(о; о; 4 + .[(9).
3.39. С(О; 2; 8) или С(О: 3: 9).
3.40. с(о; о; 41), или с(о; о: 13), или с(о; о; 3 Щ), или
С(О: о; 3 + Щ).
3.41. D(4: 4; 4) или D( ; ; ) .
3.15. (о; 6,5; 5).
8 I'еометрия. 8 1l КЛ.
226
Тематическая подборка задач
4. Прямая в пространстве
4.1. Точки М и К принадлежат прямой, а точка N нет.
i х 3 4t,
4.2. а 2; (3 о. 4.3. у 4 + 3t, t Е R.
z t;
j х t j Х 131 , j х 131 t ,
4.4. у 8 8' у о, у t, t Е R.
z t; z t; z о;
{ х 8 + 9t
4 5 Y 1 6t' tER ' (0 . 13 . ) ( 13 ' 0 ''!.. ) ( ' '!..' o)
.. " , 3' 9' 2' '3' 4' 2' .
z 3 4t;
i х 2t,
4.6. У 4t,
z 4t.
4.7. Ох и АВ пересекаются; Оу и АВ скрещиваются; Oz и АВ
скрещиваются.
i х t,
4.8. у 2t, t Е R.
z 7t;
4.10. а + (3 5.
i х 2,
4.9. у t, t Е R.
z о;
4.11. arccos ( J0:7 ).
i х 1 5t,
4.13. У 3, t Е R.
z 2 + 2t;
4.14.J::;1 3t, tER.
1 z 3 7t;
4.16. Прямые совпадают. 4.17. Прямые параллельны.
4.18. Прямые пересекаются в точкеА(5; 2; 9).
4.19. Прямые скрещиваются. 4.20. Zo 42.
4.21. Плоскость х 5у + 7z 2 о.
4.22. 5а 4(3 У о, а 2 + (32 + -( о.
i х 0,5t,
4.23. У 3,2Бt, t Е R. 4.24. М(1,8; 2; 7,4).
z 2,7Бt;
4.25. М.
4.12. arccos .
4.15.0.
4.26. 3; 3; 1,5/2.
Ответы, указания, решения
227
{ х 1 t,
4.27. у 2 t, t Е [о; 1].
z 1+4t;
{ х 2 + t, { х 6 3t,
4.29. У 2 + 6t, t Е Н; у 6 + 2t, t Е Н;
Z 2 + 9t; z 6 + 17t;
{ х 6 3t, { х 6 + 9t,
у 6 + 14t, t Е Н; у 6 + 2t, t Е Н.
Z 6 + 5t; z 6 + Ы;
4.30. х у z, х у =< z, х y z; х y z.
4.31. ( 3; 3; 3).
4.28. 13.
5. Уравнение плоскости
5.1. а)А; б)В, С, о; в)В иС, В ио, ОиС.
5.3. М х (2,5; о; О), Му(О; ; О), Mz(O; о; 5).
5.4. ( ; ; ). ( ; ; ). (2; 2; 2), ( ; ; ).
5.5. х + 2у 7z + 22 О. 5.6. 2х 3у 5z + 30 О.
5.7. 3х + 4у 3z 14 О. 5.8. 2х 3у z + 13 == О.
5.9. х + z 6 == О. 5.10. 7х + 10у + 5z 104 О.
5.11. х + 5у + х 4 О. 5.12. 2х 3у + z 13 О.
5.13. + + 2 1. 5.14. 5х 3у + 120z 15 О.
5.15. ( oo; ) U ( :3 ; +00 ). 5.16. t Е ( : ; ).
5.17. Совокупность точек координатных плоскостей.
5.18. Совокупность точек бесконечной цилиндрической по
верхности с образующей, параллельной оси аппликат; сечени-
ем этой поверхности плоскостью хоу является квадрат с Bep
шинами (Н; О), (о; Н).
5.19. Совокупность точек поверхности октаэдра с вершинами
(хl; о; О), (о; Н; О), (О; о; хl).
5.20. Совокупность точек поверхности шестиrpанноrо yrла с
вершиной в начале координат. Каждое ребро yrла находится в
соответствующем октанте, за исключением двух октантов со Bce
ми положительными или всеми отрицательными координатами.
228
Тематическая подборка задач
5.21. Совокупность точек двух пересекающихся плоскостей
х у + 2z О и х + у 2z о.
5.22. Совокупность точек поверхности октаэдра с вершинами
(Н; о; о), (о; :t4; о), (о; о; :t4).
5.23. Пустое множество. 5.24. 4х 6у + 16z 77 о.
5.25. 2х + 2у + 2z 15 о. 5.27. МО( 17 9 ; ; ) .
5.28. Mo( ; ; 193 ); ММо j.
27
5.29. 13 . 5.30. х + 2у + 2z о.
5.31. z о и 3х + 4z о. 5.32. 2х 3у + z + 2 о.
5.33. Две плоскости х + 2у 2z 11 О и х + 2у 2z + 1 о.
5.34. Две плоскости 7z + 9у + 8z + 4 О и x 15у + 16z + 6 о.
5.35. arccos 18з . 5.36. arccos .
5.39. 5х 3у + z о. 5.40. 4 : 25.
6. Сфера и шар
6.1. (х + 1)2 + ( 3)2 + (z 5)2 16.
6.2. (х 2)2 + у + (z + 3)2 13.
6.3. (х + 1)2 + (у + ч 2 + (z 1)2 41.
6.4. (х + 1)2 + (у 2) + (z 1)2 3 и х 2 + (у 3)2 + (z 2)2 3.
1 х 1 + t,
6.5. у 5 + 2t, t Е R; (х 1)2 + (у 5)2 + (z 3)2 29.
z 3 + 2t;
1 х 10,8 2t,
6.6. у 0,8 + t, t Е R.
z t;
{ х 2t
6.8. у t, 't Е R. 6.9. (4; 1; 3); J26.
z t;
6.10. Если а < 5 пустое множество; если а 5 точка
( 2; 1; о); если а > 5 сфера радиуса с центром
( 2; 1; о).
6.11. Если а Е ( 2; 2) пустое множество; если а 2 точ-
ка (2; о; 2); если а 2 точка ( 2; о; 2); если а Е ( oo; 2) u
u (2; +00) сфера радиуса Ja 2 4 с центром ( a; о; 2).
6.7. (11; 1; 3).
229
Ответы, указания, решения
6.12.25 п. 6.13.20,16п.
6.14. 2х + 4у + 4z 9. 6.15. 6х 8у 47 о.
6.16. (1; о; О); (о; 3 + 2./2; О); (о; 3 2./2; О).
6.17. 2Щ. 6.18. х + y 2z о.
6.19. х + 2у + 2z 11 о.
6.20. z О,А(О; 3; 4) или 24у + 7z О, В(О; 0,84; 2,88).
6.21. (х 1)2 + (у + 3)2 + z2 25 или (х + 17з )2 + (у 6п 2 +
+ ( z + 11030) 2 ( 11635) 2 .
6.22. (1; 2; 6); (1; 2; 4); (1; о; 6), (1; о; 4); ( 1; 2; 6); ( 1; 2; 4);
( 1; о; 6); ( 1; о; 4).
6.23. (х 1)2 + (у 1)2 + (z 2)2 6 или (х 1)2 + (у 1)2 +
+ (z 2)2 54.
6.24. (х 5)2 + (у 1)2 + (z 1)2 12 или (х 5)2 + (у 1)2 +
+ (z 1)2 48.
6.25. (х 1)2 + (у 1)2 + (z ./2)2 1.
6.26. Множество всех точек сферы радиуса 2 Л с центром
( . !. ! )
3' 3' 3 .
6.27. Множество всех точек сферы радиуса 2 ,,/105 с центром
(10; 5; 20).
6.28. Множество всех точек сферы радиуса 6 с центром ( 6; о; О)
за исключением начала координат и точки ( 12; о; О).
6.29. Множество всех точек сферы радиуса J26 с центром
(2; 1; 3) за исключением точек А и В концов диаметра АВ.
6.30. Множество всех внутренних точек шара радиуса J6 с
центром (2; 1; 1) за исключением точек диаметра АС.
6.31. Все точки К(х; у; z), лежащие вне сферы х 2 + i + (z 2)2
О, за исключением тех из них, которые лежат на прямой
x l y 2 z
---т----- 4'""'"" 4' содержащей точки М и N.
6.32. (х 1)2 + у2 + (z + 2)2 1 и (х 1)2 + у2 + (z + 2)2 25.
230
Тематическая подборка задач
6.33. Множество всех точек сферы радиуса "J15,24 с центром
(2; 3; 1,5).
6.34. Множество всех точек сферы радиуса J6 с центром
( ; ; ).
6.35. 12а 2 , rде а ребро куба. 6.36. 8а 2 , rде а ребро куба.
6.38. Множество всех точек сферы радиуса 0,5 с центром
в центре призмы.
6.39. Множество всех точек сферы радиуса 1 с центром в нача
ле координат.
6.40. Множество всех точек сферы радиуса 4 с центром
(о; 2; 1).
6.41. в пределах от 2 3Щ дО 2 + ЗЩ.
7. Прямая и плоскость, сфера, шар
7.1. Прямая лежит в плоскости.
7.2. Прямая параллельна плоскости.
7.3. Прямая параллельна плоскости xOz; прямая пересекает
плоскость хОу в точке M( 7; 1; о); прямая пересекает плос-
кость yOz в точке (о; 1; 4 ).
7.4. Прямая пересекает плоскость в точке ( 13; 11 ; ).
{ x ы,
7.5. у == 3 + 2t, t Е Н; (0,5; 3,2; 3,9).
z == 4 t;
7.6. х 2у 3z == о; (з ; 1 ; 2 ) .
{ х == 3 + 3t,
7.7. У == 8 и, t Е Н. 7.8. 8х + у о.
z == 1 + t;
7.9.5x 3y 8z 0.
-7.11.x+z 3 0.
7.10. Да; х+2у+ 13z 22 0.
7.12. arcsin .
....154
10
7.13. r;;o '
....38
7.14. 1 : 3.
Ответы, указания, решения
231
7.15. Прямая и сфера пересекaIOТСЯ в двух точках А(4; 0,3),
( 1 4 2 )
В 7;27;47 .
7.16. Прямая и ефера касаются в точке (1; 5; 12).
7.17. Прямая и сфера не имеют общих точек.
7.18.8.
7.19. Такая точка единетвенная: (о; о; 6,5).
7.20. 4х + 3у + 12z 25 '"" о.
7.21. Такая окружноеть единственная: х 2 + у2 + z2 == 30.
1 х == t, 1 х == t,
7.22. Таких прямых две: У == t, и У == 1H, t Е В.
Z == t z == бt;
1 х == 3 2t, 1 х == о; { х == 3 2v,
7.23. у == 1 + 3t, у == 1 + 3и, у == о, t, и, v Е В.
Z == о; z == 5и; z == 5v;
7.25. z == у == z, х == у == z, х == y == z, х == y == z.
1 х == 2t,
7.26. У == 22,5 3t, t Е В.
Z == 37 + 8t;
7 27 а) ( ...!!.. . ...!!.... . .....!.... ) . б) ( ...!!.. . ...!!.... . .....!.... )
. . J498' J498' J498' J498' J498' J498 .
8. Задачи на отыскание
наибольmеrо и наименьmеrо значений
8.1.8 + 4./3.
8.4.4./3; 12./6.
8.7. 2./3 ; .
8.10.6; 4,5.
8 13 2./6 . 6 ./6
. . 3' 6 .
8.16. ; 1,5./3 (Ю 5 .
8.19.12; 4; 96./3.
8.2. ./3 ; 1,5.
8.5.2./2; 24./2.
8.8. 2 J13 .
8.11.2; 80.
8 25
.14. 5; 27t '
8.17. 1; ( )6
8.20. 12; 9.
8.3. 2; 1; 7t .
8.6. 1; 12(2 ./3 )2.
r;; 3./3
8.9''''3;2'
8.12. 12; 9.
8.15. 5; ( )5 п.
8.18. JJз 1.
2 ./3 r;;
8.21. 3; 1; 4",з.
232
Тематическая подборка задач
8 2 16 343п
.2 . 28; пJЗ ; б--'
8.24. зj2; 2jЗ.
8 23 243п
. . 2 .
8.25.6./5; 50fб .
10. Пирамида, призма и сфера
Правилъная пирамида
10.1. а) 8.rCCOS ( tg Ю ; б) arccos ( tg2 Ю ; в) arccos ( tg2 Ю ;
( а ) ) a ./cosa е ) a./cosa . Ж ) a./cosa .
r) 2arcsin tg"2; д ; а ' а '
2sin"2 2cos"2 cos"2
3) arcsin ( 2tg ,)cosa ); и) arcsin ./cosaa ; к) ./cos ;
cos"2 2cos"2
) . 2 .[ё(JSa . .[ё(JSa .
л аrсsш а а ; аrсsш а а '
cos"2 ctg "2 cos 2 ctg"2
M ) a./cosa . a./cosa . a./cosa . a .
.а.' а' а.'2'
2 SШ 2 cos 2 cos 2
1 tg2
H) a./cosa . a./cosa . a 'a 2
. а ' а' 4 ' а
2SШ"2 cos 2 5 4tg 2 "2
м 4 r;;r:;n;; 72 73
10.2. а) 4"з; б) 35 ",3999; в) 35 ; r) 12 105 '
10.3.4./5 или 2./5. 10.4.8 вершин, 7 rраней, 13 ребер.
10.5. а) JЗ; б) 450 или 600.
Пирамида с равными боковыми ребрами
10.6. 2f . 10.7. Щ; JlЗ.
10.8.10 ,)313 + 24 ,)194 + 240.
109 14Л679 . 14Л679 . 25Л679 . 25Л679
.. 25JЗ ' 25jЗ' 48 ' 48 .
10.10. .
Ответы, указания, реmения
233
Пирамида, все двyrранные yrлы которой
при ребрах основания равны
(ё, 10.j26
10.11. а) 2,4; б) 2,4./2; в) 2,4",2; r) ,
10.12. 2!: . 10.13.450; 450; 1350.
10.14. Уз ; ; 3,5JЗ; 4jЗ.
2 ( 1 + sin 2)
10 15 1 + cosa
. . arctg sina ; arctg sin2a .
Пирамида, у которой одна из боковых rраней
перпеидикулярна основанию
10.16. а.
10 1 о /3 /3 /3
. 7.90; arctg 2 ; arctg .....,.........; arctg .....,..........
Slna Slna Slna
О 128 55
1 .18.64 + /3 . 10.19.9 238 '
10.20. а) а 2 ; б) a 2 J5 ctg а; в) 2 a.J5 2 .
Sln а
Пирамида, у которой две боковые rpани
перпеидикулярны основанию
10.21. аjЗ. 10.22.1,5а. 10.23. а"!: ; аjЗ.
о 4J34 3Щ 25
10.24. 900; 900; 90 ; aretg 15; arctg 20; aretg 12 '
10.25. aJ19; aJ19; 4а; 4а; аЩ; аЩ.
Разные пирамиды
10.26.1800,
10.27. а) tg а; б) aretg tga' tg
Jt g 2 a + tg2
10.28. (2/3 3 3)Ь .
10.30. Нет.
10.29. J85 ; J85 ; J37; )229 .
10.31. Jз .
234
Тематическая подборка задач
Шар и призма
r;:, 3 О 36 d J21 /3
10.35. 6",3R. 1.. --б---- 10.37. 4"7'
10 38 аjЗ а./2 10 39 2 ./3
. .а)т;б)т, . . a.
10 40 2 ./3 . 2 + ./3 10 41 rn
. . 2 а, 2 а. .. (1,5 ...2 )а.
10.42. ./3( 1) а. 10.43.0,25а.
10.44. ./2(';; 1) а. 10.45. 2а./3 . 3а./3 .
5 + 5./3' 5 + 5./3
10.46.1. 10.47.0,5 ./194 . 10.48. а{! .
10.49. (з./2 2/3 J6 + 2). 10.50. 3R 6 Rj3 ; 3R +6 R./3 .
512R 3 О 4
10.51. rт:; ' 1 .52. 3 R. 10.53.1,5па.
41.,,41
10.54. Нет.
J 4 222
1 0 55 а + 24а h + 6h
.. 8h .
10.57. (6./3 9)а 2 .
2h2 + 2
10.56. 4h а .
Шар и пирамида
8 . 4М
10.5 . аrсsш 25' 10.59. aretg 2.
10.61. 3r до вершин; r/3 до ребер.
10.62. r/3, r .} 5 + 2jЗ до вершин; rJI:5, r .} З + J3 до
ребер.
2
10.63. 3 R.
10.65.arctg .}Н./2 .
./55
10.60. aretg 11'
10.67.1+ Jб.
10.69. 3(./5 1); 2(4 J7).
10.64. 172
10.66.arctg 4./3 2J7 .
5 3
10.68. 126: .
10 70 а(jЗ + 1) . а(jЗ 1)
.. 2 ' 2 .
Ответы, указания, решения
235
1
10.71. .
1 + ",6
10.73.nbJ2 (JЗ 1)2.
4
10.75. 9'
10.72. о; 2п Л .
10.74.77.
1
10.76. areeos .
4 . 10
1 78 6666 J3
О. . aretg 2 .
3333 . 3 1
,} 2 2 2 ,} 2 2 2
10 79 2а а + h а . 2а а + h + а
.. 2h . 2h .
10.80. Нет.
10.77. arceos 20 OO '
Задачи на отыскание
наименъшеrо периметра
10.81. 2.
10.83. J7 + jЗ.
10.85. 4 + J58.
10.82. а) 7 : 5; б) зJ[7 .
10.84. J7 + Щ.
10.86. 4aeos 2 .
111. Подz.отО81\,а
1\, устnь/,м Э1\,замеnам
9 класс
Примерные билеты
к устному экзамену
Билет 1
1. Свойства равнобедренноrо треyrольника, Teope
ма о свойстве медианы равнобедренноrо треуrольни
ка, проведенной к основанию.
2. Зависимость между стороной правильноrо мно-
rоуrольника и радиусами описанной и вписанной
окружностей. (Вывод формулы.) Установление этой
зависимости для квадрата, правильных треуrольни
ка, шестиуrольника.
3. Задача по теме «Подобие треуrольников».
Билет 2
1. Признаки равенства треуrольников. (Доказа
тельство всех признаков. )
2. Деление отрезка на п равных частей, с обоснова-
нием.
3. Задача по теме «Вписанная окружность».
Примерные билеты
237
Билет 3
1. Пропорциональные отрезки в Kpyre.
2. Вывод формулы для вычисления суммы yrлов
выпуклоrо мноrоyrольника.
3. Задача по теме (,Метод координат».
Билет 4
1. Параллельные прямые (определение). Признаки
параллельности двух прямых и доказательство этих
признаков.
2. Нахождение rипотенузы, катета и oCTporo уrла
прямоуrольноrо треyrольника по данным второму ка-
тету и острому уrлу.
3. Задача по теме «Уrлы в окружности».
Билет 5
1. Теорема об уrлах, образованных при пересече
нии двух параллельных прямых третьей.
2. Вывод формулы S == аЬ sin С.
3. Задача по теме «Правильные мноrоуrольники».
Билет 6
1. Внешний уrол треyrольника (определение). Тео-
рема о внешнем уrле треуrольника. Сумма внешних
yrлов п-уrольника.
2. Нахождение значений синуса, косинуса и Taн
reHca уrла в 450.
3. Задача по теме «Описанная окружность».
238
Подrотовка к устным экзаменам. 9 класс
Билет 7
1. rеометрическое место точек. Теорема о rеометри
ческом месте точек, равноудаленных от двух данных
точек, в rеометрической и аналитической формах.
2. Kpyr (определение). Формула для вычисления
площади Kpyra (без вывода). Вывод формулы площа-
ди KpyroBpro сектора.
3. Задача по теме «Трапеция».
Билет 8
1. Треyrольник (определение). Теорема о сумме yr-
лов треyrольника, прямая Эйлера (без доказательства).
2. Выражение расстояния между двумя точками
через координаты этих точек (три случая).
3. Задача по теме «Комбинации окружностей».
Билет 9
1. Признаки равенства прямоуrольных треуrоль-
ников (доказательства всех признаков).
2. Окружность (определение). Формула для вычис-
ления длины окружности (без вывода). Вывод форму-
лы длины дуrи окружности.
3. Задача по теме .Площади мноrоуrольников».
Билет 1 О
1. Признаки параллелоrрамма с доказательством.
2. Построение треyrольника по трем сторонам.
3. Задача по теме «Окружность и мноrоуrольник».
Билет 11
1. Параллелоrрамм (определение). Свойства парал
лелоrрамма с доказательством (не менее четырех
свойств).
Примерные билеты
239
2. Построение биссектрисы уrла. Свойства биссект-
рисы yr ла треyrольника.
3. Задача по теме «Элементы треyrольника».
Билет 12
1. Прямоyrольник (определение). Свойства прямо-
уrольника (не менее двух свойств). Признаки прямо
уrольника.
2. Нахождение катета и острых уrлов прямоуrоль-
Horo треуrольника по данным rипотенузе и друrому
катету.
3. Задача по теме «Пропорциональные отрезки в
Kpyre».
Билет 13
1. Определение ромба. Свойства и признаки ромба.
2. Построение прямой, проходящей через данную
точку и перпендикулярной данной прямой.
3. Задача по теме .Биссектриса BHyтpeHHero yrла
треyrольника» .
Билет 14
1. Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказа
тельство одной из них.
2. Вписанный четырехyrольник.
3. Задача по теме «Задачи на построение».
Билет 15
1. Средняя линия треyrольника и трапеции (опре-
деление). Теоремы о средней линии треyrольника и
трапеции.
2. Построение окружностей, вписанной в треуrоль-
ник и описанной около Hero.
3. Задача по теме .Дополнительные теоремы reo-
метрии» .
240
Подrотовка к устным экзаменам. 9 класс
Билет 16
1. Признаки подобия треyrольников (доказатель
ства).
2. Построение касательной к окружности (два слу
чая).
3. Задача по теме «Прямоуrольник, квадрат».
Билет 17
1. Вывод формулы
1
S == 2 aha'
Формула repoHa
(вывод).
2. Выражение координат середины отрезка через
координаты ero концов (рассмотреть различные слу
чаи).
3. Задача по теме (,Векторы».
Билет 18
1. Вывод формул площади параллелоrрамма
S == ah a ; S == d 1 d 2 sin L (d 1 ; d 2 ).
2. Вывод формул радиусов описанной и вписанной
окружностей (для треуrольника).
3. Задача по теме «Задачи на построение».
Билет 19
1. Трапеция (определение). Вывод формулы пло
щади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции
(доказательство ).
2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное pac
положение прямой и окружности в координатах.
3. Задача по теме «Решение треуrольников».
Примерные билеты
241
Билет 20
1. Теорема Пифarора (прямая и обратная).
2. Правильный мноrоуrольник (определение). По
строение правильных четырехуrольника, пятиуrоль
ника, mестиyrольника.
3. Задача по теме «Координаты на плоскости».
Билет 21
1. Теорема синусов.
2. Построение прямой, параллельной данной.
3. Задача по теме «Подобие».
Билет 22
1. Теорема косинусов.
2. Деление отрезка пополам (рассмотреть два спо-
соба).
3. Задача по теме «Комбинации окружности с раз
личными фиryрами».
Билет 23
1. Окружность Аполлония.
2. Вертикальные уrлы (определение). Свойства
вертикальных уrлов. Смежные уrлы.
3. Задача по теме «Элементы треуrольника».
Билет 24
1. Теорема Чевы (прямая и обратная). Доказатель-
ство одной из них.
2. Описанный четырехуrольник.
3. Задача по теме «Прямоуrольный треyrольник».
242
Подrотовка к устным экзаменам. 9 класс
Примерные задачи
к устному экзамену
1. Одна из сторон треуrольника равна 8, а два ero
уrла 300 и 450. Найдите все возможные значения
периметра треуrолъника.
2. Один из уrлов треуrольника равен 1500, а две ero
стороны .:....... 2 и 7. Найдите все возможные значения
площади треуrольника.
3. В треyrольнике АВС уrлы А и В равны COOTBeT
ственно 380 и 860. Найдите уrлы треуrольника, Bep
шинами KOToporo являются точки касания сторон
треуrолъникаАВС со вписанной в Hero окружностью.
4. В треуrольникеАВС АВ == с, АС == Ь, ВС == а. Най-
дите длины каждоrо из шести отрезков, на которые
разбивают стороны треуrольника точки касания BHe
вписанных окружностей.
5. Напишите уравнение всех прямых, отсекающих
от окружности х 2 + у2 == 25 хорду длины 6.
6. Найдите rеометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний которых до вершин paBHOCTO
pOHHero треуrольника равна квадрату периметра это
ro треyrольника.
7. В окружность вписан 11 уrольник, одна из сто-
рон KOToporo равна радиусу окружности, а остальные
десять сторон равны между собой. Найдите yrлы
11 уrольника.
8. На окружности с центром О взяты точки М и N.
Друrая окружность вдвое меньшеrо радиуса касается
первой в точке М и делит пополам отрезок ON. Най
дите yrол ONM.
9. Точка F лежит на стороне АВ правилъноrо
восъмиуrолъника AВCDMNPQ так, что АР == 3./2,
F В == ./2 . Найдите расстояния от точки F до прямых,
содержащих стороны восьмиуrольника.
243
Примерные задачи
10. Площадь правильноrо шестиyrольника AВCDEF
равна S. Какая фиrура образуется при пересечении
треyrольниковАСЕ и BDF? Найдите ее площадь.
11. В треуrольнике АВС АВ == 2, ВС == 3 и уrол ВАС
в 3 раза больше yrла ВСА. Найдите радиус описанной
окружности.
12. В треyrольнике АВС LA == 450, АВ == 7, АС==
== 4 J2 . Найдите расстояние между центрами окруж
настей, описанных около треyrольников АСА 1 и
ВАА 1 , rдеАА 1 высота треуrольникаАВС.
13. Найдите длину отрезка, параллельноrо OCHOBa
ниям трапеции (их длины равны а и Ь) и делящеrо
трапецию на две равновеликие части.
14. Найдите площадь трапеции с боковыми CTOpO
нами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.
15. В круrовой сектор с уrлом 600 помещен Kpyr,
касающийся дуrи сектора и обоих радиусов. Найдите
отношение площади сектора к площади Kpyra.
16. Найдите площадь фиrypы и длину rраницы фи
rypbl, являющейся общей частью двух KpyrOB радиуса
R, если расстояние между их центрами также равно R.
17. В треуrольникеАВС точкиА 1 , В 1 и С 1 делят две
стороны ВС, АС и АВ соответственно в отношениях:
ВА 1 : А 1 С == 3: 7, АВ 1 : В 1 С == 1 : 3, АС 1 : С 1 В == 1. Найди
те отношение площадей треyrольников АВС и А 1 В 1 С 1 .
18. В прямоyrольнике AВCD Ап: АВ == 5 : 3. На
сторонах АВ, ВС, CD и DA выбраны точки Е, F, М и Р
соответственно так, что АР: PD == 2: 3, а EFMP
ромб. Найдите отношение площадей прямоуrольника
и ромба.
19. Высота ромба, проведенная из вершины ero TY
поrо yrла, делит сторону ромба в отношении 1 : 2, счи
тая от вершины ero ocтporo yrла. Какую часть площа-
ди ромба составляет площадь вписанноrо в Hero Kpyra?
244
Подrотовка к устным экзаменам. 9 класс
20. В равнобедренную трапецию с острым уrлом а
вписана окружность. Какой процент площади трапе
ции занимает площадь четырехуrольника с вершина
ми в точках касания?
21. Две медианы треуrольника равны 3 и 4. В каких
пределах может изменяться третья медиана? При Ka
ких ее значениях треyrольник будет прямоуrольным?
22. Две высоты треуrольника равны 2 и 3. В каких
пределах может изменяться третья высота треуrоль
ника? При каких ее значениях треуrольник будет
прямоуrольным?
23. Найдите расстояние от центра окружности ради
уса 9 см ДО точки пересечения двух взаимно перпенди
кулярных хорд, длины которых равны 16 см и 14 см.
24. В круrовой сектор с уrлом 1200 помещен Kpyr,
касающийся дуrи сектора и обоих радиусов. Найдите
отношение площади сектора к площади Kpyra.
25. Биссектриса треуrольника делит одну из ero
сторон на отрезки, длины которых равны 3 см и 5 см.
В каких пределах может изменяться периметр Tpe
уrольника?
26. rипотенуза прямоyrольноrо треyrольника делит-
ся на отрезки 5 см и 12 см точкой касания вписанной в
треуrольник окружности. На какие отрезки делит Ka
тет треyrольника биссектриса ero м еньшеrо уrла?
27. Постройте отрезок длины J a 2 ь 2 + аЬ, rде
а> Ь, если а и Ь длины двух данных отрезков.
28. Постройте треуrольник по трем точкам касания
ero сторон с вписанной в треуrольник окружностью.
29. На сторонах ВС, АС и АВ треуrольника АВС
выбраны точки А1' В 1 , С 1 соответственно, причем OT
резкиААl' ВВl' СС 1 пересекаются в точке О. Докажи
ос == СА! + СВ!
те, что
ОС! А!В В!А'
245
Примерные задачи
30. Точка А 1 лежит на стороне ВС треуrольника
АВС так, что А 1 В : А 1 С == 1 : 3. Вершина А середина
отрезка МС. В каком отношении (считая от В) прямая
А 1 М делит сторону АВ?
31. Дан квадрат AВCD со стороной а. Вершины С,
А и В являются серединами отрезков ВМ, ND и DF co
ответственно. Найдите радиус окружности, описан
ной около треyrольника NFM.
32. Квадрат AВCD со стороной 8 см повернули BO
Kpyr ero центра О так, что точка К, лежащая на CTO
ране АВ, rде АК == 1, перешла в точку на стороне ВС.
Найдите все возможные расстояния между точкой D
и ее образом D' при этом повороте.
33. Найдите уrол между векторами а и Ь, если
llil == 4, /2а 5ы == 17, (3а + 2Ь)(2а 3Ь) == 42.
34. Дано: llil == 5, 'ы == 4, 'а + Ь! == 3. Найдите 'а + 2Ьj.
2
35. Постройте отрезок , rде а и с длины дан-
е
ных отрезков.
36. По данным четырем отрезкам а, Ь, с, d построй
те трапецию с основаниями а и Ь. При каком COOTHO
шении между длинами этих отрезков это возможно?
37. Найдите острые уrлы треyrольника АВС, если
L С == 900, АС == 2jЗ, ВК == 1, rде СК высота Tpe
уrольника.
38. В треуrольник АВе вписана окружность; С 1 и
В 1 точки ее касания со сторонами АВ и АС COOTBeT
ственно; АС 1 == 7, ВС 1 == 6, В 1 С == 8. Найдите радиусы
вписанной и описанной около треуrольника АВС OK
ружностей.
39. Найдите площадь треуrольника с вершинами
А(1; 4), B( 3; 1), С(2; 2).
246
Подrотовка к устным экзаменам. 9 класс
40. Докажите, что сумма квадратов расстояний от
любой точки описанной около правильноrо треуrоль
ника окружности до трех ero вершин постоянна и paB
на удвоенному квадрату стороны этоrо треуrольника.
41. Найдите площадь квадрата, вписанноrо в ромб
со стороной 6 см и yrлом 300 (сторона квадрата парал-
лельна диаrонали ромба).
42. Нllйдите длину отрезка, параллельноrо основа-
ниям трапеции (их длины равны а и Ь) и делящеrо
трапецию на два подобных четырехуrольника.
43. Найдите площадь фиrуры, оrраниченной дуrа-
ми трех попарно касающихся окружностей, радиусы
которых равны 1, 1 и J2 1.
44. Круrи, имеющие радиусы 1, 6 и 14, касаются
дрyr друrа. Найдите радиус окружности, вписанной в
треуrольник, вершины KOToporo совпадают с центра-
ми данных KpyroB.
45. Докажите, что биссектриса АА 1 треуrольника
А
2АВ . ACcos "2
АВС вычисляется по формуле АА 1 == АВ + АС
46. Докажите, что для медианы треуrольника со
сторонами а, Ь, с, проведенной к стороне а, выполнл-
2ь 2 + 2с 2 а 2
ется соотношение т == 4
47. Окружность, радиус которой равен 1, касается
rипотенузы прямоyrольноrо треуrольника, а также
продолжений ero обоих катетов. Найдите периметр
треуrольника.
48. в прямоуrольном треуrольнике АВе L С == 900,
CD высота, а один из катетов вдвое больше дрyrоrо.
В треуrольниках ACD и BCD проведены биссектрисы
DK и DP соответственно. Найдите площадь треyrоль
ника АВе, если КР == 4.
Ответы
1.8 + 12.[2 + 4jб, или 12 + 4.[2 + 4jЗ, или 4jб + 8JЗ
4.[2. 2. 3,5 или; jЗ. 3.620; 470; 710. 4.р а; р Ь; р с;
Ja 2 16
Р а; р Ь; р с, rде р == 0,5(а + Ь + с). 5. у == а :t 4 х, rде
'аl 4; х == 4, х == 4. 6. Окружность, центр которой еовпадает
с центром треyrольника, а радиус в j6 раза больше етороны
треyrольника. 7. Два уrла по 1350 и 9 yrлов по 1500 или два yrла
по 270 и 9 yrлов по 1740. 8.600.9. о; 1; 4 + .[2; 5 + 4.[2; 8 + 4.[2;
7 + 4.[2; 4 + з.[2; 3. 10. Правильный шеетиyrольник; .
11 2.[6 2 13 Ja2 + ь 2 14 15 16 4п 3./3 .....2
. 3.1 .2,5. . . .198. .1,5. . 6 10;
1tR.17. 5.18. 1,8.19. 1tf .20. (50sin 2 а)%. 21. (1; 7); J5 или
rn;:; r; 6 r;-;; (2 + ./3)2
",,29. 22.(1,2; 6); 1,2",,5 или 13 ",,13. 23. 7 см. 24. 12 .
5
25. (16; 40). 26.3,75 ем и 4,25 ем. 30.2: 3. 31. 3 а. 32.8 ем
или 11,2 см. 33.900. 34.5. 36. При Ic dl < 'а ы < с + d.
37. LA == 300; L В == 600. 38.4; 8,125. 39. 14,5. 41.6 см 2 .
42. Jёib. 43. 1 1t + п ';; . 44. 2.47.2.48.18.
11 класс
Примерные билеты
к устному экзамену
Билет 1
1. Параллельностъ прямых в пространстве. Teope
ма о двух прямых, параллелъных третьей.
2. Расстояние в пространстве. rеометрические Mec
та точек, равноудаленных от двух точек, трех точек,
двух плоскостей.
3. Задача по теме .Векторы в пространстве; CKa
лярное произведение» .
Билет 2
1. Взаимное расположение прямой и плоскости
в пространстве. Признак параллельности прямой и
плоскости.
2. TpexrpaHHbIe и MHororpaHHble уrлы.
3. Задача по теме .Комбинации мноrоrранников
и тел вращения» .
Примерные билеты
249
Билет 3
1. Перпендикулярность прямой и плоскости. При
знак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Задание сферы и шара в пространстве с по
мощью координат.
3. Задача по теме «Сечения мноrоrранников».
Билет 4
1. Связь между параллельностью прямых и пер
пендикулярностью прямой и плоскости. Теорема о
двух параллельных прямых, одна из которых перпен
дикулярна плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхностей приз
мы и цилиндра.
3. Задача по теме «Координаты В пространстве;
уравнения плоскости и сферы» .
Билет 5
1. Взаимное расположение двух плоскостей. При-
знаки параллельности двух плоскостей.
2. Прямая в координатах в пространстве.
3. Задача по теме «Вписанный шар, описанная
сфера» .
Билет 6
1. Свойства параллельных плоскостей. Теорема о
единственности плоскости, проходящей через данную
точку параллельна дрyrой плоскости.
2. Площади боковой и полной поверхностей пира-
миды и конуса, в том числе усеченных.
3. Задача по теме «Комбинации мноrоrранников».
250
Подrотовка к устным экзаменам. 11 класс
Билет 7
1. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак
перпендикулярности двух плоскостей.
2. Площадь ортоrональной проекции мноrоуroль
ника.
3. Задача по теме «Площадь поверхности сферы,
объем шара».
Билет 8
1. Свойства перпендикулярных плоскостей. Теоре-
ма о линии пересечения двух плоскостей, перпенди-
кулярных третьей плоскости.
2. Параллельный перенос и ero свойства.
3. Задача по теме «Шар».
Билет 9
1. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех
перпендикулярах (две теоремы).
2. Правильные мноrоrранники. Формула Эйлера
(без вывода).
3. Задача по теме «Объем конуса, усеченноrо ко-
нуса».
Билет 1 О
1. Уrлы между двумя прямыми в пространстве.
Теорема об yrлах с сонаправленными сторонами.
2. Теорема rюльдена. Площадь поверхности сферы
(с доказательством). Площадь сферической поверхно-
сти сферическоrо cerMeHTa (без доказательства).
3. Задача по теме «Объем призмы».
251
Примерные билеты
Билет 11
1. Взаимное расположение двух прямых в про-
странстве. Признаки скрещивающихся прямых.
2. Векторы в пространстве. Действия над вектора-
ми (кроме скалярноrо произведения). Координаты
векторов.
3. Задача по теме .Цилиндр, конус».
Билет 12
1. Расстояние между двумя точками, заданными
своими координатами. Координаты точки, делящей
отрезок в данном отношении.
2. Описанная около мноrоrранника сфера. Распо-
ложение ее центра (на примере сферы, описанной
около призмы).
3. Задача по теме .Призма, параллелепипед, куб».
Билет 13
1. Скалярное произведение векторов и ero свойства.
2. Построения в пространстве. Построение плос-
кости, перпендикулярной прямой и проходящей че-
рез данную точку; построение прямой, перпендику-
лярной плоскости и ПрОХодящей через данную точку.
3. Задача по теме .Объем пирамиды».
Билет 14
1. Взаимное расположение сферы и плоскости в
пространстве. Теорема о сечении сферы плоскостью.
2. Параллельное проектирование и ero свойства.
Изображение фиryр на плоскости (треyrольник, па-
раллелоrрамм, трапеция, тетраэдр, параллелепипед).
3. Задача по теме . Боковая и полная поверхности
пирамиды» .
252
Подrотовка к устным экзаменам. 11 класс
Билет 15
1. Сечение пирамиды плоскостями, параллельны
ми основанию. Теорема об отношении периметров и
площадей сечений пирам иды плоскостями, парал
лельными основанию.
2. Поворот BOKpyr прямой в пространстве и ero
свойства. Фиryры вращения.
3. Задача по теме « Уrол между двумя плоскостя
ми, двyrранный yrол».
Билет 16
1. Теорема о разложении вектора по трем некомпла
нарным векторам. Векторный базис в пространстве.
2. Пирамида. Виды пирамид. Усеченная пирамида.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в Про
странстве: уrол между прямой и плоскостью».
Билет 17
1. Задание пространственных фиrур уравнениями
и неравенствами. Уравнение плоскости.
2. Центральная симметрия в пространстве и ее
свойства. Примеры центральносимметричных про
странственных фиryр.
3. Задача по теме «Пирамида».
Билет 18
1. Вывод формулы расстояния от точки до плоскос
ти В координатах.
2. Призма. Виды призм.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про
странстве: уrол и расстояние между прямыми».
Примерные билеты
253
Билет 19
1. Вычисление объемов фиrур вращения (с по
мощью интеrрала). Вывод формулы для вычисления
объемов конуса, шара.
2. Двyrранный уrол. Линейный уrол двуrранноrо
уrла. Теорема о равенстве всех линейных уrлов дaH
Horo двуrранноrо уrла.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про
странстве: расстояние между точками и от точки ДО
прямой» .
Билет 20
1. Вывод формулы для вычисления объема пира
миды.
2. Симметрия относительно плоскости. Ее свойства.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про
странстве: расстояние от точки ДО плоскости» .
254
Подrотовка к устным экзаменам. 11 класс
Примерные задачи к устному экзамену
1. В прямоуrольной декартовой системе координат
заданы векторы а{2; 1; 1} и Ь{l; 2; 1}. Найдите коор-
динаты вектора С, если с J. а, с J. Ь, ICJ == 2 J[i , а уrол
между с и осью Ох тупой.
2. Ребро правильноrо тетраэдра AВCD равно а,
АВ == ер АС == е 2 , AD == е з , Точка О центр треyrоль-
ника АВе; точка Р лежит на ребре BD, а точка L на
ребре АС, причем ВР: PD == 2: 1, AL: LC == 1 : 2. Най
дите LP . OD .
3. Шар касается всех ребер пирамиды MNKP. До-
кажите, что MN + КР == МК + NP == МР + KN.
4. Около шара описана правильная треyrольная
призма, а около призмы описан шар. Найдите OTHO
шение площадей поверхностей этих шаров.
5. В правильной треуrольной пирамиде, сторона
основания которой равна а, а боковое ребро равно 3а,
проведено сечение параллельна боковому ребру.
Найдите площадь этоrо сечения, если оно является
ромбом.
6. Постройте сечение куба AВCDA 1 B 1 C 1 Dl' прохо-
дящее через точку пересечения диarоналей rрани
AВCD параллельна прямым АВ 1 и ВК (К середина
ребра СС 1 ). Найдите площадь сечения, если ребро KY
ба равно а.
7. Найдите расстояние между плоскостью 2х 2у
z + 3 == О и точкойА(О; 2; 2), а также yrол между этой
плоскостью и прямой ОА, rде О начало координат.
8. На плоскости х + 2у + 3z == 25 найдите точку,
наименее удаленную от точки А(2; 3; 5).
9. в треуrольной пирамиде AВCD АС == 4, вс == 3,
LACB == 900. Ребро AD длиной 12 перпендикулярно
255
Примерные задачи
плоскостиАВС. Найдите радиус описанной около пи-
рамиды сферы.
10. Найдите боковое ребро правильной усеченной
четырехyrольной пирамиды со сторонами оснований
а и Ь, если в пирамиду можно вписать шар.
11. Найдите отношение объемов параллелепипеда
AВCDA 1 B l C l D l и треyrольной пирамиды BDClA l .
12. Центры тяжести rраней треyrольной пирами-
ды являются вершинами мноrоrранника. Найдите от-
ношение объемов пирамиды и мноrоrpанника.
13. В прав ильной призме AВCDAlBlClD l ребро АВ
равно а,. yrол между ребрами AВ l и DB равен а. Най-
дите площадь поверхности шара, проходящеrо через
точки В, B l , C l иА l .
14. В полушар вписан цилиндр наибольшеrо объ-
ема. Найдите отношение объеМIl этоrо цилиндра к
объему полymара.
15. В куб AВCDA 1 B 1 C 1 D l вписан шар радиуса R.
Найдите площадь сечения шара плоскостьюADlС.
16. Вершина А кубаАВСDАlВlСlD l является цeHT
ром сферы, а вершина Dl лежит на этой сфере. Най-
дите длину линии пересечения сферы и поверхности
куба, если ребро куба а. Сделайте чертеж.
17. Высоту конуса разделили на пять равных час-
тей и через каждую точку деления провели плос-
кость, параллельную основанию. Объем части, ЗaRЛЮ-
ченной между вторым и третьим сечениями, равен У.
Найдите объем конуса.
18. Образующая усеченноrо конуса НaRлонена к
плоскости основания под уrлом 600, а центр большеrо
основания равноудален от меныпеro основания и боко-
вой поверхности конуса. Найдите объем усеченноro ко-
нуса, если площадь ero боковой поверхности равна 2х.
19. Объем треyrольной призмыАВСАlВlС l равен У,
а длина ее боковоrо ребра равна а. На прямой AAl
взят отрезок MN длины Ь. Найдите объем пятиrран
256
Подrотовка к устным экзаменам. 11 класс
никаМNВСС 1 В 1 (еrоребраМN, С 1 С, В1В' В 1 С р ВС,
МВр мер NB, NC).
20. Все ребра треуrольной призмы касаются шара
радиуса R. Найдите объем призмы.
21. Даны две параллельные плоскости, расстояние
между которыми равно х. Между ними расположен
конус с образующей 25 см и радиусом основания 7 см
так, что на каждой плоскости есть хотя бы одна точка
конуса, а вне плоскостей таких точек нет. Найдите
все возможные значения х.
22. Через точку М, лежащую в плоскости OCHOBa
ния цилиндра с радиусом основания 3, высотой 3 и
удаленную от оси цилиндра на расстояние 7, проведе
ны всевозможные прямые, имеющие с цилиндром
единственную общую точку. Какие значения может
принимать длина отрезка такой прямой от точки М
до общей точки прямой и цилиндра?
23. Диаrонали АВ 1 и DC 1 rраней четырехуrольной
призмы AВCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллельны. Докажите, что
прямые AD 1 и ВС} также параллельны.
24. Дан куб с ребром а. Второй куб получен поворо
том первоrо на уrол а (00 < а < 900) BOKpyr ребра.
Определите объем общей части этих кубов.
25. Высоту пирамиды разделили в отношении
3 : 7, считая от вершины, и провели сечение, парал
лельное основанию. В каком отношении разделится
объем пирамиды?
26. Основанием пирамиды служит треуrольник со
сторонами 7, 15 и 20. Боковые ребра пирамиды имеют
равные длины, а центр описанноrо около пирамиды
шара удален от плоскости основания на расстояние
2 : . Найдите объем пирамиды.
27. Найдите двуrранный уrол при ребре основания
правильной четырехуrольной пирамиды, если плос-
257
Примерные задачи
кость, проведенная через сторону основания, делит
этот yrол и боковую поверхность пирамиды пополам.
28. Основанием пирамиды, объем которой равен
4,8, является треyrольник со сторонами 3,4 и 5. Най
дите площадь полной поверхности пирамиды, если ее
высота составляет равные yrлы с боковыми rранями, а
основание высоты лежит внутри основания пирамиды.
29. Основание пирамиды правильный шести-
уrольник. Одно из боковых ребер пирамиды перпен-
дикулярно плоскости ее основания и равно стороне
шестиуrольника. Найдите: двyrранные yrлы при реб-
рах основания пирамиды; yrлы наклона боковых ре-
бер пирамиды к плоскости ее основания.
30. Боковое ребро правильной треyrольной пирами
ды составляет с плоскостью основания уrол а (а < 450).
Найдите yrол наклона плоскости, проходящей через
сторону основания и центр описанноrо около пирами-
ды шара, к плоскости основания пирамиды.
31. Для правильноrо тетраэдра AВCD с ребром а
определите расстояние от точки К середины ребра
АС ДО плоскости BCD и уrол между прямой кв и
этой плоскостью.
32. Все ребра наклонной призмы AВCA 1 B 1 C 1 , OCHO
вание которой правильный треyrольник, равны а.
Точка А 1 равноудалена от А, В и С. Найдите расстоя-
ние от вершины А 1 до плоскости ВСС 1 И уrол, состав-
ленный с этой плоскостью прямой А 1 С.
33. В правильном тетраэдре AВCD точки К и L
середины ребер AD и ВС соответственно. Найдите
уrол между KL и высотой СС 1 треyrольникаАВС.
34. Объем пирамиды AВCD равен V. Найдите
объем пирамиды KN ВР, если В середина АР, точка
К лежит на ребре AD и АК : KD == 3, N точка пере-
сечения медиан rрани BCD.
9 rеометрия. 8 11 кл.
258
Подrотовка к устным экзаменам. 11 класс
35. Два прямоуrольных неравных друr друrу Tpe
уrольника AВD и CBD имеют по равному острому yr
лу а, общий катет BD == а и общую вершину прямоrо
уrла D. Найдите уrол между прямыми АВ и CD и pac
стояние между ними, если плоскости AВD и CBD вза
имно перпендикулярны.
36. Н йдите расстояния и уrлы между диаrональю
АС 1 куба AВcDA 1 B 1 C 1 D 1 и каждой из скрещиваю
щихся с ней диаrональю rраней этоrо куба, если реб
ро куба равно 1.
37. Точка К середина стороны AD квадрата
AВCD со стороной а. Квадрат переrнули по прямой
КС так, что образовался двуrранный уrол величиной
600. Найдите расстояние между точками В и D.
38. Внутри двyrранноrо уrла величиной а (а < 900)
взята точка М, удаленная от rраней двуrранноrо уrла
на расстояния а и Ь. Найдите расстояние от точки М
до ребра двуrранноrо уrла.
39. Квадрат ACMD и правильный треуrольник
АВС со стороной а расположены так, что двуrранный
уrол M(AC)D равен 1200. Найдите расстояние от точ-
ки В до плоскости квадрата и от точки М до плоскос-
ти треуrольника.
40. Дана правильная шестиуrольная пирамида
SAВcDME. Найдите расстояние от плоскости SAВ дО
каждой не лежащей на ней вершины пирамиды, если
точка пересечения медиан rрани SDM удалена от
плоскости SAВ на 8 см.
Ответы
1 2 42 4 5 92 6 32 7 о
. c( 2; 2; 6). . 9 а. .0,2. . 16 а. . 4" а. .1; 45 .
8. Р(3; 1; 8). 9.6,5.10. Ja 2 ; ь 2 . 11.3.12.27. 13. па 2 ( 1 +
1 ) 4 ./3 2 2 125 1 7
+ . 1 . 3 . 15. з 7tR . 16.1,5па. 17. 19 у. 8. 9 п .
2соз а
19. 2а з : Ь У. 20.2,25R 3 . 21. [13,44; 25]. 22. [5; 7].
24. a 3 tg ( Ю. 25.27: 973. 26.140 или 218,75. 27.450.
28 29 1t 1t 2./3 1t 1t 2./3 1t 1t 1t
. 21,6. . 2; 2; arctg 3; 6; 6; arctg 3; 2; 4"; 6;
1 1t 1t 30 . 31 аJб . J2
arctg 2; 6; 4"' . arctg (2ctg 2а). . 6; arcsIn З'
32. af ; 450. 33. arccos : . 34.0,25У. 3 5.900; acos а ил и
. 36 J6 о 37 {;\Q 38 ./ а2 + ь 2 + 2аЬсоза
asIn а. . 6 ; 90. . а",0,8 .. . .
sша
39. а; а;: . 40. По 12 см от М и D; по 6 см от Е и С.
п риложепие
Список основных теорем
Планиметрия
Прямые, отрезки, уrлы
1. Теорема о смежных и вертикальных yrлах.
2. Свойства уrлов, образованных при пересечении
параллельных прямых секущей.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Биссектриса уrла как rеометрическое место TO
чек.
5. Серединный перпендикуляр к отрезку как reo-
метрическое место точек.
6. Теорема Фалеса.
7. Теорема о пропорциональных отрезках (обоб
щенная теорема Фалеса).
Треуrольник
8. Признак равенства треуrольников (по двум CTO
ронам и уrлу между ними).
9. Признак равенства треуrольников (по стороне и
прилежащим к ней уrлам).
10. Признак равенства треуrольников (по трем сто-
ронам).
Приложение
261
11. Свойство уrлов при основании равнобедренноrо
треуrольника.
12. Признак равнобедренноrо треyrольника (по
двум уrлам).
13. Свойства биссектрисы равнобедренноrо Tpe
yrолъника, проведенной к основанию.
14. Признак равнобедренноrо треуrольника (по
совпадению двух из трех линий: медианы, биссектри-
сы, высоты).
15. Теорема о сумме уrлов треуrольника.
16. Теорема о внешнем уrле треуrольника.
17. Теоремы о соотношениях между сторонами и
уrлами треуrольника.
18. Неравенство треуrольника.
19. Признак равенства прямоуrольных треуrолъ-
ников по rипотенузе и катету.
20. Теорема Пифarора.
21. Теорема, обратная теореме Пифаrора.
22. Теорема о средней линии треyrолъника.
1
23. Формула S == 2 ah a для вычисления площади
треуrольника.
24. Теорема об отношении площадей треyrольни
ков, имеющих по равному yrлу.
25. Формула S == i absin у для вычисления площа-
ди треуrольника.
1
26. Формула S == 2pr для вычисления площади
треуrольника.
27. Формула I'epoHa.
28. Теорема о биссектрисе BHyтpeHHero уrла тре-
уrольника.
29. Теорема о медианах треуrолъника.
30. Признак подобия треуrольников (по двум yr
лам).
262
Список основных теореМ
31. Признак подобия треуrольников (по двум CTO
ранам и yrлу между ними).
32. Признак подобия треуrольников (по трем CTO
ранам).
33. Теорема о пересечении серединных перпенди-
куляров к сторонам треуrольника.
34. Теорема о пересечении биссектрис уrлов тре-
уrольника.
35. Теорема о пересечении высот треуrольника.
36. Теорема синусов.
37. Теорема косинусов.
38. Теорема Чевы.
39. Теорема Менелая.
Четырехуrольники
40. Теорема о сумме уrлов выпуклоrо мноrоуrоль-
ника.
41. Свойства параллелоrрамма.
42. Признаки параллелоrрамма.
43. Формула S == ah a для вычисления площади па
раллелоrрамма.
44. Формула для вычисления площади прямо-
уrольника.
45. Свойство диаrоналей прямоуrольника.
46. Признак прямоуrольника.
47. Свойства диаrоналей ромба.
48. Признаки ромба.
49. Свойство уrлов равнобедренной трапеции.
50. Свойство диаrоналей равнобедренной трапе-
ции.
51. Теорема о средней линии трапеции.
52. Формула для вычисления площади трапеции.
53. Теорема о четырех точках трапеции.
Приложение
263
Окружность
54. Теорема о касательной, проходящей через ко-
нец диаметра.
55. Свойство отрезков касательных, проведенных
к окружности из одной точки.
56. Теорема о вписанном уrле.
57. Теорема о хордах, СТЯl'ивающих равные дуrи.
58. Теорема об yrлах, опирающихся на равные дyI'И.
59. Теорема о хордах, проходящих через концы
равных дyr.
60. rеометрическое место точек, из которых OTpe
зок виден под заданным yrлом.
61. Критерий вписываемосТи четырехyrольника.
62. Критерий описываемости четырехyrольника.
63. Перпендикулярность хорды и диаметра, прохо-
дящеl'О через ее середину.
64. Теорема об yrле между двумя пересекающими
ся хордами.
65. Теорема об уrле между секущими, проведенны-
ми из одной точки.
66. Теорема о произведениях отрезков хорд, прохо
дящих через фиксированную точку Kpyra.
67. Теорема о касательной и секущей.
68. Теорема об yrле между хордой и касательной,
проходящей через ее конец.
69. Формулы для вычисления длины окружности
и ее дyrи.
70. Формула для вычисления площади Kpyra и
сектора.
71. Формулы, связывающие длину стороны пра-
вильноrо мноrоуrольника с радиусами описанной
около Hero и вписанной в Hero окружностей.
72. Теорема Птолемея.
73. Критерий коллинеарности векторов.
74. Теорема о разложении вектора по базису.
264
Список основных теорем
75. Критерий принадлежности трех точек одной
прямой.
76. Теорема Шаля.
Стереометрия
Следствия из аксиом
1. О плоскости, проходящей через прямую и не ле-
жащую на ней точку.
2. О плоскости, проходящей через две пересекаю-
щиеся прямые.
3. О плоскости, проходящей через две параллель-
ные прямые.
Теоремы о параллельпых прямых
4. О прямой, параллельной данной и проходящей
через данную точку пространства, не лежащую на
данНОй прямой.
5. О двух параллельных прямых, одна из которых
пересекает плоскость.
6. О транзитивности параллельности.
Теоремы о скрещивающихся прямых
7. Признаки скрещивающихся прямых (две Teo
ремы).
8. Об уrлах с сонаправленными сторонами.
Теоремы о параллельпости прямой и плоскости
9. Признак параллельности прямой и плоскости.
10. О линии пересечения плоскостей, одна из KOTO
рых проходит через прямую, параллельную дрyrой
плоскости.
11. О линии пересечения двух плоскостей, каждая
из которых проходит через одну из параллельных
прямых.
Приложение
265
Теоремы о параллельности плоскостей,
12. Признак параллельности двух плоскостей
13. О пересечении двух параллельных плоскостей
третьей плоскостью. .
14. О прямой, пересекающей одну из параллель
ных плоскостей.
15. Об отрезках параллельных прямых, заключен-
ных между двумя параллельными плоскостями.
16. Пространственная теорема Фалеса.
17. О проведении плоскости, параллельной данной
плоскости, через точку пространства, не лежащую на
данной плоскости.
18. О транзитивности параллельности плоскостей.
19. О плоскости, пересекающей одну из параллель-
ных плоскостей.
Параллельное проектирование
20. Основные свойства проекции прямой.
21. О возможности проектирования любоrо Tpe
yrольника в треyrольнИК, подобный некоторому Tpe
уrольнику.
22. Об отношении длин проекций отрезков, лежа
щих на одной прямой или на параллельных прямых.
Теоремы о перпендикулярности
прямой и плоскости
23. Признак перпендикулярности прямой и плос-
кости.
24. О двух параллельных прямых, одна из которых
перпендикулярна плоскости.
25. О двух прямых, перпендикулярных плоскости.
26. О двух плоскостях, перпендикулярных одной
прямой.
27. О двух параллельных плоскостях, одна из KO
торых Ifерпендикулярна данной прямой.
28. О проведении плоскости, перпендикулярной
данной прямой.
266
Список основных теорем
29. О проведении прямой, перпендикулярной дан-
ной плоскости.
30. О длинах перпендикуляра и наклонной, прове-
денных к плоскости из одной точки, об ортоrональ-
ных проекциях равных наклонных, проведенных из
одной точки.
31. О трех перпендикулярах (прямая и обратная)
или обобщенная теорема о трех перпендикулярах.
Теоремы об yrлах в пространстве
32. Об уrле между прямой и плоскостью.
33. О линейных уrлах двуrранноrо yrла.
34. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
35.0 перпендикуляре к одной из двух взаимно
перпендикулярных плоскостей, имеющей с друrой
общую точку.
36. О линии пересечения двух плоскостей, перпен
дикулярных третьей.
37. О свойстве TpexrpaHHoro уrла.
38. О свойстве суммы плоских уrлов MHororpaHHo
ro уrла.
39. Об общем перпендикуляре скрещивающихся
прямых.
40. О площади ортоrональной проекции MHoro
уrольника.
Теоремы о телах вращения
41. Теорема о сечении шара плоскостью.
42. Теоремы о плоскости, касательной к шару
(прямая и обратная).
43. Теорема о симметрии шара.
44. Теоремы о сечениях цилиндра плоскостями,
перпендикулярными или параллельными оси ци-
линдра, и о центре симметрии ЦИЛИНдра.
45. Теорема о сечениях конуса плоскостями, пер-
пендикулярными или параллельными оси конуса.
4
Тематическое планирование
учебноrо материала
8 класс
(3 ч в неделю, Bcezo 102 ч)
Вступительное занятие (1 ч)
1Сонтрольная работа» 1 (2 ч) ("Установочная, на по-
вторение курса 7 класса).
Разбор контрольной работы (1 ч)
Четырехyrолъники (18 ч)
Мноrоуrольник. Выпуклые и невыпуклые мноrоуrоль
ники. Виды мноrоуrольников, стороны, внутренние yr-
лы, внешние yrлы мноrоуrольника, диаrонали. Сумма yr
лов выnyклоrо мноrоyrольника (внутренних и внешних).
Количество диаrоналей выпуклоrо мноrоуrольника. Пра-
вильные мноrоуrольники. Четырехуrольники и их виды.
Параллелоrрамм. Элементы параллелоrрамма: стороны,
уrлы, диаrонали, высоты. Свойства и признаки паралле
лоrрамма. Свойства биссектрис внутренних уrлов парал
лелоrрамма. Теорема Фалеса. Нежесткость параллело-
rpaMMa. Построение параллелоrрамма по ero элементам.
Контрольная работа » 2.
Частные виды параллелоrрамма. Прямоуrольник.
Свойства и признак прямоуrольника. Ромб. Свойства и
признаки ромба. Построение ромба. Квадрат. Свойства и
268
Тематическое планирование. 8 класс
признаки квадрата. Трапеция, виды и свойства трапеции.
Равнобедренная трапеция. Теорема о средней линии тре-
уrольника и трапеции. Теорема о медианах треуrольни
ка. Разбиение трапеции на треуrольник и параллело-
rpaMM. Задачи на построения, связанные с параллело
rpaMMoM и трапецией (построение трапеции по четырем
отрезкам, построение треуrольника по ero медианам и
друrие).
Контрольная работа М 3.
Площадь и теорема Пифаrора (18 ч)
Понятие площади. Свойства площадей. PaBHOCOCTaB
ленные и равновеликие мноrоуrольники. Задачи на разре
зание мноrоуrольников. Площадь квадрата, прямоуrоль
ника. Площадь параллелоrрамма. Площадь треуrольни
ка. Отношение площадей треуrольников, имеющих по
равной стороне, по равной высоте. Способы нахождения
площадей некоторых мноrоуrольников. Площадь ромба.
Трианrуляция. Площадь трапеции.
Контрольная работа М 4.
Теорема Пифаrора (прямая и обратная). Пифаrоровы
тройки натуральных чисел. Приложения теоремы Пифа
ropa. Формула repoHa. Вычисление площади трапеции по
длине ее оснований и боковых сторон.
Контрольная работа М 5.
Подобие треyrольников и произвольных фиrур
(20 ч)
Пропорциональные отрезки. Определение подобных
треуrольников. Теорема об отношении площадей двух
треуrольников, имеющих равный уrол. Отношение пло
щадей подобных треуrольников. Признаки подобия тре-
уrольников. Применение подобия к доказательству теорем
и решению задач. Свойство биссектрисы уrла треуrольни
ка; свойство биссектрисы внешнеrо уrла треуrольника;
теорема о пропорциональных отрезках в прямоуrольном
треуrольнике. Расширенная теорема Фалеса.
Контрольная работа М 6.
Теоремы Чевы и Менелая (прямые и обратные). При
меры решения задач на построение методом подобия.
269
Приложение
Пропорциональные отрезки в трапеции. Подобие MHOro-
уrольников. Понятие о подобии произвольных фиrур.
Контрольная работа М 7.
Соотношения между сторонами и yrлами треyrоль-
ника (18 ч)
Синус, косинус, TaнreHc и KOTaнreHc oCTporo yrла
прямоуrольноrо треуrольника. Значения триrонометри
ческих функций уrлов 300,450,600 и уrла 180. Соотноше-
ния между сторонами и уrлами прямоуrольноrо треуrоль
ника. Решение прямоуrольных треyrольников. Нахож
дение уrла по ero триrонометрическим функциям с
помощью микрокалькулятора и таблиц. Соотношения
между триrонометрическими функциями одноrо и Toro
же oCTporo уrла.
Контрольная работа М 8.
Формулы для вычисления триrонометрических функ-
ций тупых уrлов. Триrонометрические функции прямоrо
уrла. Теорема косинусов. Формула вычисления площади
треуrольника через две стороны и синус уrла между ни-
ми. Теорема синусов.
Контрольная работа М 9.
Окружность (18 ч)
Взаимное расположение прямой и окружности. Каса-
тельная к окружности. (Представление о касательной к
кривой линии на плоскости.) Взаимное расположение
двух окружностей. Общие касательные к двум окружнос
тям. Центральный и вписанный уrлы. Теорема о вписан
нам уrле. Измерение уrлов, связанных с окружностью.
Пропорциональные отрезки в окружности (теоремы об от-
резках хорд и об отрезках секущих). Радикальная ось и
радикальный центр окружностей.
Контрольная работа М 10.
Четыре замечательные точки треуrольника. Вписан-
ные и описанные окружности. Расширенная теорема си
нусов. Мноrоуrольники и окружности. Теоремы о вписан
ных и описанных выпуклых четырехуrольниках.
Контрольная работа М 11.
270
Тематическое планирование. 9 класс
Решение задач, повторение и закрепление (6 ч)
Экзаменационная работа (при наличии письменноrо
экзамена)
9 класс
(3 ч в неделю, ecezo 102 ч)
Векторы (20 ч)
Понятие вектора, равенство векторов, коллинеарные и
сонаправленные векторы. Сложение и вычитание векто-
ров. "Умножение вектора на скаляр. Разложение вектора
по двум неколлинеарным векторам. "Условие коллинеар-
ности векторов. Некоторые стандартные соотношения,
связанные с разложением вектора на плоскости (разложе
ние медианы и чевианы, условие принадлежности трех
точек одной прямой). Применение векторов к решению
задач и доказательству теорем планиметрии.
Контрольная работа М 1.
Скалярное произведение векторов. Понятие об аркси-
нусе и арккосинусе. Элементы векторной алrебры. При
менение векторов к решению задач и доказательству Te
орем планиметрии.
Контрольная работа М 2.
Метод координат на плоскости (16 ч)
Координаты вектора. Ортонормированный базис. Ор-
тоrональная система координат. Простейшие задачи, ре-
шаемые с помощью координат: нахождение расстояния
между двумя точками, нахождение середины отрезка,
действия над векторами (сложение, вычитание, умноже-
ние на скаляр, скалярное произведение), условие колли
неарности и ортоrональности векторов, уrол между двумя
векторами, деление отрезка в данном отношении. Реше-
ние задач координатным методом.
Контрольная работа М 3.
Примеры уравнений линий на плоскости. "Уравнение
окружности. "Уравнение прямой и ero виды. "Условия па
раллельности и перпендикулярности двух прямых. "Уrол
271
Приложение
между двумя прямыми в координатах. Понятие арктан-
reHca. Расстояние от точки ДО прямой в координатах. reo
метрические места точек плоскости в координатах. Пред-
ставление об уравнениях эллипса, rиперболы и параболы.
Решение задач координатным методом.
Контрольная работа М 4.
Длина окружности и площадь Kpyra (12 ч)
Правильные мноrоуrольники, их свойства и связан
ные с ними соотношения. Длина окружности. Длина ду-
rи. Площадь Kpyra, сектора, сеrмевта.
Контрольная работа М 5.
Движения (15 ч)
Отображение плоскости на себя, понятие движения.
Ориентация плоскости. Параллельный перенос, цент-
ральная и осевая симметрии, поворот BOKpyr точки. Зада-
ние движений в координатах (формулы параллельноrо
переноса, центральной симметрии, осевой симметрии от-
носительно осей координат, поворота BOKpyr начала коор-
динат). Композиция движений. Теорема Шаля. Решение
задач на построение и доказательство с помощью движе-
ний. Понятие о rомотетии и инверсии.
Контрольная работа М 6.
О развитии rеометрии и ее месте в науке. и технике
(3 ч)
Практикум по решению задач курса планиметрии
(27 ч)
в течение практикума проводятся:
Тестовая работа.
Контрольная работа М 7 (3 ч).
Контрольная работа М 8 (4 ч).
Повторение и подrотовка к устному экзамену по reo-
метрии (9 ч)
272
Тематическое планирование. 10 класс
10 класс
(3 ч в неделю, всеео 102 ч)
Аксиомы стереометрии, простейшие rеометрические
тела (9 ч)
Повторение планиметрии. Предмет стереометрии. Oc
новные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.
Следствия из аксиом. О плоскости, проходящей через
прямую и не лежащую на ней точку, через две пересекаю
щиеся прямые, через две параллельные прямые. Пересе
чение прямой и плоскости, двух плоскостей. Техника BЫ
полнения простейших стереометрических чертежей. CTe
реометрические фиrуры: куб, призма, пирамида, шар,
цилиндр, конус. Построение сечений в кубе и тетраэдре.
Контрольная работа М 1.
Взаимное расположение прямых в пространстве (7 ч)
Пересекающиеся и параллельные прямые в пространст-
ве. Скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающих
ся прямых. Теорема о двух параллельных прямых, одна из
которых пеf'eсекает плоскость. Теорема о транзитивности
параллельности прямых в пространстве. Направление в
пространстве. Теорема о равенстве двух уrлов с сонаправ
ленными сторонами. Определение уrла между скрещи
вающимися прямыми. Решение простейших задач на по
строение в пространстве (проведение через точку прямой,
параллельной данной; прямой, пересекающей данную
прямую под заданным уrлом; прямой, скрещивающейся с
данной). Число решений в задачах на построение.
Контрольная работа М 2.
Взаимное расположение прямой и плоскости (9 ч)
Параллельность прямой и плоскости. Признак парал
лельнасти прямой и плоскости. Теорема о линии пересе
чения плоскостей, одна из которых проходит через пря
мую, параллельную друrой плоскости. Теорема о линии
пересечения двух плоскостей, каждая из которых прохо
дит через одну из параллельных прямых. Теорема о плос
кости, проходя щей через одну из скрещивающихся пря
мых параллельна друrой. Решение простейших задач на
273
Приложение
построение в пространстве (проведение через точку пря-
мой, параллельной данной плоскости, и плоскости, па-
раллельной данной прямой). Параллельное проектирова-
ние. Свойства параллельноrо проектирования. Изображе-
ния фиryр при параллельной проекции (треуrольника,
параллелоrpамма, трапеции). Еще раз о технике стерео-
метрическоrо чертежа.
Контрольная работа :м 3.
Параллельные плоскости (9 ч)
Взаимное расположение двух плоскостей в простран
стве. Параллельность плоскостей. Признак параллель
насти двух плоскостей. Теорема о линиях пересечения
двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью.
Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных
плоскостей. Теорема о проведении плоскости, параллель-
ной данной плоскости, через точку, не лежащую на ней,
единственность такой плоскости. Теорема о транзитив
ности параллельности плоскостей. Теорема о плоскости,
пересекающей одну из параллельных плоскостей. Teope
ма об отрезках параллельных прямых, заключенных
между двумя параллельными плоскостями. Пространст
венная теорема Фалеса.
Контрольная работа :м 4.
Перпевдикулярность прямой и плоскости (8 ч)
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых
перпендикулярна плоскости. Теорема о двух прямых,
перпендикулярных плоскости. Теорема о двух плоскос
тях, перпендикулярных прямой. Теорема о двух парал
лельных плоскостях, одна из которых перпевдикулярна
данной прямой. Проведение плоскости через точку пер
пендикулярно данной прямой. Проведение через точку
прямой, перпевдикулярной данной плоскости. Перпенди
куляр и наклонная. Ортоrональное проектирование, ero
свойства. Теоремы о длинах перпендикуляра, наклонных
и проекций. Теоремы о трех перпендикулярах (прямая и
обратная).
Контрольная работа :м 5.
274
Тематическое планирование. 10 класс
Расстояние в пространстве (9 ч)
Расст'ояние между двумя точками. Расстояние между
двумя фиrурами. Ближайшая точка. Теорема о ближай-
шей точке. Расстояние между точкой и прямой. Расстоя
ние между точкой и плоскостью. Расстояние между ДBY
мя параллельными прямыми. Расстояние между прямой
и плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями.
Расстояние между скрещивающимися прямыми. reoMeT
рические места точек пространства, связанные с расстоя
ниями. Множество точек, равноудаленных от концов дaH
Horo отрезка. Множество точек, равноудаленных от Bep
шин треуrольника. Множество точек, равноудаленных от
двух параллельных плоскостей. Множество точек, yдa
ленных от данной точки на данное расстояние. Множест
во точек, удаленных от данной прямой на данное расстоя-
ние. Множество точек, удаленных от данной плоскости
на данное расстояние. Приемы нахождения расстояний
между фиrурами в пространстве.
Контрольная работа М 6.
Уrол между прямой и плоскостью (9 ч)
Определение уrла между наклонной и плоскостью.
Теорема об уrле между наклонной и плоскостью. "Уrол
между прямой и плоскостью. Множество прямых, прохо-
дящих через данную точку, не лежащую на плоскости, и
образующих с плоскостью данный острый уrол. Методы
нахождения уrла между наклонной и плоскостью.
Контрольная работа М 7.
Уrол между двумя плоскостями (9 ч)
Двуrранный уrол. Линейный уrол двуrранноrо уrла.
Теорема о линейном уrле двуrранноrо уrла. Перпендику-
лярные плоскости. Признак перпендикулярности плос-
костей. Теорема о прямой, перпендикулярной линии пе
ресечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей и
лежащей в одной из них. Теорема о прямой, перпендику
лярной одной из двух взаимно перпендикулярных плос
костей и имеющей со второй плоскостью общую точку.
Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпен-
дикулярных третьей. "Уrол между двумя плоскостями.
275
Приложение
Методы нахождения двуrранных yrлов и yrлов между
двумя плоскостями. Множество точек пространства, paв
ноудаленных от двух Пересекающихся плоскостей.
Контрольная работа М 8.
MHororpaHHble yrлы (10 ч)
Трехrранный уrол, ero вершина, rрани, ребра, плоские
уrлы при вершине. Теорема о плоских уrлах TpexrpaнHo-
ro уrла (неравенство TpexrpaHHoro yrла). Теоремы сину-
сов и косинусов TpexrpaHHoro уrла. Три взаимно перпен
дикулярных плоскости. Понятие о системе координат в
пространстве.
MHororpaHHble уrлы. Вершина, rрани, ребра, плоские
уrлы при вершине выпуклоrо MHororpaнHoro уrла. Теоре-
ма о сумме плоских уrлов выпуклоrо MHororpaнHoro уrла.
Контрольная работа М 9.
Тела вращения (14 ч)
Цилиндр. Основания, образующие, ось, высота ци-
линдра. Сечения цилиндра плоскостью. Конус. Вершина,
основание, образующие, ось, высота конуса. Сечения KO
нуса плоскостью. "Усеченный конус. Цилиндр, вписанный
в конус.
Контрольная работа М 10.
Шар и сфера. Хорда, диаметр, радиус сферы и шара.
Взаимное расположение плоскости и сферы. Сечение сфе
ры плоскостью. Плоскость, касательная к сфере. Теоремы
о касательной плоскости. Расстояние между плоскостью и
сферой. Взаимное расположение прямой и сферы. Пря
мая, касательная к сфере. Ее свойства. Взаимное располо
жение двух сфер. Касание двух сфер (внешним и BНYTpeH
ним образом). Сфера, вписанная в двyrранный уrол. Сфе
ра, вписанная в мноrоrраввый уrол. Сфера, вписанная в
куб. Сфера, вписанная в конус и цилиндр. Теорема о су-
ществовании и единственности сферы, проходящей через
четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскос
ти. Сфера, описанная около куба, цилиндра и конуса.
Контрольная работа М 11.
Повторение (9 ч)
Контрольная работа М 12.
276
Тематическое планирование. 11 класс
11 класс
(3 ч в неделю, ecezo 102 ч)
Повторение (9 ч)
Аксиомы стереометрии и следствия из них
О плоскости, проходящей через прямую, и не лежа
щую на ней точку. О плоскости, проходящей через две пе
ресекающиеся прямые. О плоскости, проходящей через
две параллельные прямые.
Теоремы о параллельных прямых
О прямой, параллельной данной и проходящей через
данную точку пространства, не лежащую на данной пря
мой. О двух параллельных прямых, одна из которых пе
ресекает плоскость. О транзитивности параллельности.
Теоремы о скрещивающихся прямых
Признаки скрещивающихся прямых (две теоремы). Об
уrлах между сонаправленными сторонами.
Теоремы о параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости.
О линии пересечения плоскостей, одна из которых прохо-
дит через прямую, параллельную друrой плоскости. О ли-
нии пересечения двух плоскостей, каждая из которых
проходит через одну из параллельных прямых.
Теоремы о параллельности плоскостей
Признак параллельности двух плоскостей. О линиях
пересечения двух параллельных плоскостей с третьей
плоскостью. О прямой, пересекающей одну из параллель
ных плоскостей. Об отрезках параллельных прямых, за
ключенных между двумя параллельными плоскостями.
Пространственная теорема Фалеса. О проведении плос
кости, параллельной данной плоскости, через точку про-
странства, не лежащую в данной плоскости. О транзитив
насти параллельности плоскостей. О плоскости, пересе
кающей одну из параллельных плоскостей.
Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
О двух паралелльных прямых, одна из которых перпен
дикулярна плоскости. О двух прямых, перпендикуляр
ных плоскости. О двух плоскостях, перпендикулярных
одной прямой. О двух параллельных плоскостях, одна из
Приложение
277
которых перпендикулярна данной прямой. О прав еде нии
плоскости, перпендикулярной данной прямой. О проведе-
нии прямой, перпендикулярной данной плоскости.
О длинах перпендикуляра и наклонной, проведенных к
плоскости из одной точки; об ортоrональных проекциях
равных наклонных, проведенных из одной точки. О трех
перпендикулярах (прямая и обратная) или обобщенная
теорема о трех перпендикулярах.
Теоремы об уzлах в пространстве
Об уrле между наклонной и плоскостью. О линейных
уrлах двуrpанноrо уrла. Признак перпендикулярности
двух плоскостей. О перпендикуляре к одной из двух вза-
имно перпендикулярных плоскостей, имеющей с друrой
общую точку. О линии пересечения двух плоскостей, пер
пендикулярных третьей. О свойстве TpexrpaHHoro уrла.
О свойстве суммы плоских уrлов MHororpaнHoro уrла.
Об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых.
О площади ортоrонаJ1ЬНОЙ проекции мноrоуrольника.
Круzлые тела и их свойства
Цилиндр, конус, шар
Контрольная работа М 1.
Мноrоrранники (7 ч)
Общее понятие мноrоrранника. Выпуклые MHororpaн
ники. Ребра, rрани, вершины. Плоские уrлы при верши
нах, MHororpaнHble уrлы при вершинах, двуrранные уrлы
при ребрах. Понятие о развертках мноrоrранника, о три-
анrуляции мноrоуrольника и мноrоrранника. Теорема
Эйлера (без доказательства). Определение призмы и пира-
миды, усеченной пирамиды. Сечения мноrоrранника
плоскостью. Площадь поверхности мноrоrранника. По
нятие об объеме мноrоrранника. Свойство объемов. MHO
rоrранники, описанные около сферы и вписанные в нее.
Контрольная работа М 2.
Призма (8 ч)
Призма. Определение. Количество ребер, вершин, rpa-
ней, диarоналей. Прямая и наклонная призмы. Высота
призмы. Правильная призма. Перпендикулярное сечение в
призме. Площади боковой и полной поверхностей призмы.
278
Тематическое планирование. 11 класс
Параллелепипед: наклонный, прямой, прямоуrоль-
ный, куб. Свойства диаrоналей параллелепипеда. Свойст
во прямоуrольноrо параллелепипеда. Объем прямоуrоль
Horo параллелепипеда; прямой призмы, основание ко-
торой прямоуrольный треуrольник; прямой призмы
с треуrольным основанием; прямой призмы. Лемма об
объеме наклонной призмы. Объем наклонной призмы.
Общая формула объема призмы. Построение сечений в
призме. Призма, вписанная в сферу и описанная около
нее. Призма, вписанная в цилиндр и конус, описанная
около них.
Контрольная работа М 3.
Пирамида и правильные мноrоrранники (16 ч)
Пирамида. Количество ребер, вершин, rраней. Пло-
щади боковой и полной поверхностей. Высота пирамиды.
Правильная пирамида. Апофема правильной пирамиды.
Сечения пирамиды плоскостью, параллельной ее OCHOBa
нию, усеченная пирамида, высота усеченной пирамиды.
Правильная усеченная Пирамида, ее апофема. Формулы
для вычисления боковой поверхности правильной пира-
миды и правильной усеченной пирамиды. Объем пирами-
ды. Объем усеченной пирамиды. Пирамида, вписанная в
сферу и описанная около нее. Пирамида, вписанная в ко-
нус и описанная около Hero. Параллельные сечения в пи
рамиде. "Усеченная пирамида и сфера, усеченная пирами
да и конус.
Контрольная работа М 4.
Частные виды пирамид и их свойства. Пирамида, у
которой: все боковые ребра равны (боковые ребра одина
ково наклонены к основанию); все двуrранные уrлы при
ребрах основания равны; одна боковая rрань перпенди
кулярна основанию; две соседние боковые rрани перпен-
дикулярны основанию; две несоседние боковые rрани
перпендикулярны основанию; боковое ребро образует с
ребрами основания, выходящими из данной вершины,
равные уrлы.
Тетраэдры и их виды. Возможность выбора основания
у треуrольной пирамиды. Свойство отрезков, соединяю-
279
Приложение
щих вершины тетраэдра с центрами тяжести противопо
ложных rраней, центр тяжести тетраэдра. Правильный
тетраэдр. Ортоцентрический тетраэдр. Тетраэдр, у KOTO
poro сумма плоских уrлов при каждой вершине равна
1800 (все rрани равны между собой). Сфера и пирамиды
различных видов. Тетраэдр, у KOToporo все yrлы между
плоскостью основания и плоскостями боковых rраней
равны. Тетраэдр и шар. Тетраэдр и параллелепипед. Фор
мула объема тетраэдра V == аЬр(а; b)sin <р, rде а и Ь
длины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, q> уrол
между прямыми, содержащими эти ребра, а р расстоя
ние между этими прямыми. Отношение объемов двух тет-
раэдров, имеющих равный трехrранный yrол. Правиль
ные мноrоrpанники. Элементы правильных мноrоrранни
ков. Вычисление площадей поверхности и объемов
прав ильных мноrоrранников.
Контрольная работа М 5.
Векторы и координаты в пространстве (27 ч)
Вектор в пространстве. Коллинеарность двух BeKTO
ров, компланарность трех векторов. "Уrол между вектора-
ми. Коллинеарность вектора и прямой, компланарность
вектора и плоскости. Действия над векторами (сложение,
вычитание, умножение на скаляр) и их свойства. Разло
жение одноrо вектора, компланарноrо данной плоскости,
по двум неколлинеарным векторам, компла;нарным этой
плоскости. Векторный базис пространства. Разложение
вектора пространства в данном базисе. Координаты BeK
тора в данном базисе. "Условие коллинеарности двух BeK
торов, условие компланарности трех векторов. Соотноше-
ния, связанные с разложением вектора в данном базисе.
Скалярное произведение векторов и ero свойства, проек-
ция вектора на ось. Формулы, связанные со скалярным
произведением. "Условие ортоrональности двух векторов.
Ортоrональный базис, ортонормированный базис в про
странстве. Решение rеометрических задач векторным ме-
тодом.
Контрольная работа М 6.
280
Тематическое планирование. 11 класс
Прямоуrольная декартова система координат в про-
странстве. Координаты вектора и точки. Формулы pac
стояния между двумя точками пространства через их KO
ординаты; координаты середины отрезка; деление отрез
ка в данном отношении. Действия над векторами в
координатах и формулы, с ними связаНН:Рlе. "Условия кол
линеарности и ортоrональности двух векторов в коорди
натах, условия компланарности трех векторов в коорди
натах. "Уравнения и неравенства, задающие множества
точек в пространстве. "Уравнение сферы инеравенство
шара. Друrие примеры.
"Уравнение плоскости в пространстве. "Уравнение плос
кости, проходящей через заданную точку и перпендику
лярной данному вектору. Общее уравнение плоскости и
ero исследование. "Уравнение плоскости в отрезках. Дpy
rие виды уравнения плоскости. "Условие параллельности
плоскостей. "Уrол между двумя плоскостями в координа
тах. Формула расстояния от точки до плоскости.
Плоскость и сфера. Прямая в пространстве. Парамет
рические уравнения прямой. Взаимное расположение
двух прямых в координатах. Взаимное расположение
прямой и плоскости в координатах. Решение rеометриче
ских задач координатным методом.
Контрольная работа М 7.
Объемы и поверхности тел вращения (13 ч)
Объем цилиндра. Вычисление объемов тел с помощью
интеrрала. Объем тела вращения. Объемы конуса, усечен
Horo конуса и шара. Объемы частей шара. Вычисление
площадей боковых поверхностей цилиндра, конуса, yce
ченноrо конуса. Обобщение этих формул теорема
rюльдена. Формулы для вычисления площади поверхно
сти сферы и ее частей.
Контрольная работа М 8.
Движения в пространстве (10 ч)
Отображения; перемещения (движения). Свойства пе
ремещений. Неподвижные точки, прямые и плоскости.
281'
Приложение
Ориентация в пространстве. Перемещения nepBoro и BTO
poro рода; композиция перемещений. Задание движения
в координатах. Векторы и перемещения. Виды перемеще-
ний. Параллельный перенос. Центральная симметрия.
Зеркальная симметрия. Поворот BOKpyr прямой. Осевая
симметрия в пространстве. Примеры композиции переме
щений. Теорема Шаля (без доказательства).
Контрольная работа М 9.
Практикум по решению задач курса стереометрии.
Повторение теории (12 ч)
Контрольная работа М 10.
Контрольная работа М 11.
Литература
1. Аверьянов Д. И., 3вавич Л. И., Пиzарев Б. П., Ряза-
новский А Р. Сборник задач по rеометрии для проведе
ния YCTHoro экзамена в 9 и 11 классах. М.: Просвещение,
1996.
2. Александров А д., Вернер А Л., Рыжик В. И. reo
метрия 10 11. М.: Просвещение, 1992.
3. Александров А Д., Вернер А Л., Рыжик В. и. reo
метрия 8 9. М.: Просвещение, 1991.
4. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др.
rеометрия 10 11. М.: Просвещение, 1992.
5. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др.
rеометрия 7 9. М.: Просвещение, 1992.
6. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др.
rеометрия. Дополнительные rлавы к школьному учебни
ку. М.: Просвещение, 1996.
7. Болтянский В. Т. Элементарная rеометрия: Книrа
для учителя. М.: Просвещение, 1985.
8. Талицкий М. Л., Тольдман А М., 3вавич Л. И.
Курс rеометрии 8 класса в задачах / / Квантор. Львов,
1991.
9. Тотман Э. Т. Задачи по планиметрии и методы их
решения. М.: Просвещение, 1996.
10. Тусев В. А, Литвиненко В. Н., Мордкович А Т.
Практикум по элементарной математике. rеометрия. М.:
Просвещение,1992.
283
Литература
11. 3вавuч Л. И., Рязановскuй АР. rеометрия в табли-
цах. 7 11 классы: Справочное пособие. М.: Дрофа, 1997.
12. 3вавuч Л. И., Чuнкuна М. В. Планирование и
контрольные работы по rеометрии для 8 и 9 классов
с уrлубленным изучением математики / / Математика
в школе, N!! 6, с. 4 22, М., 1997.
13. 3вавuч Л. И., Чuнкuна М. В. ПЛанирование и
контрольные работы по rеометрии для 10 и 11 классов
с yrлубленным изучением математики. / / Математика в
школе, М 1, с. 2 21, М., 1998.
14. 3ив В. r., Мейлер В. М., Баханскuй А r. Задачи
по rеометрии для 7 11 классов. М.: Просвещение, 1991.
15. Кuселев А. П., Рыбкuн Н. А rеометрия. Планимет-
рия. "Учебник и задачник. 7 9 классы. М.: Дрофа, 1995.
16. Киселев А П., Рыбкuн Н. А rеометрия. Стереомет-
рия. "Учебник и задачник. 10 11 классы. М.: Дрофа, 1995.
17. Поzорелов А. В. rеометрия 7 11. М.: Просвеще-
ние, 1989.
18. Прасолов В. В., Шарыzuн И. Ф. Задачи по стерео-
метрии. М.: Наука, 1989.
19. Сборник задач по математике для поступающих во
втузы: "Учебное пособие / Под ред. М. И. Сканави. М.:
Высшая школа, 1988 и последующие издания; Новое из-
дание: М.: Столетие, 1997.
20. Шарыzuн И. Ф. rеометрия 10 11. М.: Дрофа,
1999.
21. Шарыzuн И. Ф. rеометрия 7 9. М.: Дрофа, 1997.
22. Шарыzuн И. Ф. Задачи по rеометрии. Планимет-
рия. М.: Наука, 1986.
23. Шарыzuн И. Ф. Факультативный курс по матема-
тике. Решение задач. 10 класс. М.: Просвещение, 1989.
24. Шарыzuн И. Ф., rолубев В. И. Факультативный
курс по математике. Решение задач. 11 класс. М.: Про-
свещение, 1991.
25. Яковлев r. Н., Купцов Л. П., Резнuченко С. В., ry
сяmнuков П. Б. Всероссийские математические олимпи
ады школьников. М.: Просвещение, 1992.
От авторов
КМ-8-1.
KM 8-2.
КМ -8-3.
КМ-8-4.
КМ-8-5.
KM-8 6.
KM-8 7.
KM-8 8.
КМ-8-9.
KM 8-10.
KM-8-1l.
KM-9 1.
КМ-9-2.
KM 9 3.
КМ-9-4.
КМ-9-5.
Содержание
1. Коктролькые работы
8 класс
Повторение курса 7 класса . . . . . . . .
Параллелоrрамм ...............
Частные виды параллелоrрамма.
Трапеция ........... .... ......
Площади фиrур ................
Теорема Пифаrора. Формула repoHa
Подобие треуrольников ..........
Подобие мноrоуrольников . . . . . . . .
Соотношения между сторонами и yr-
лами прямоуrольноrо треуrольника
Теоремы синусов и косинусов .....
Окружность ...................
Вписанные и описанные окружности
9 класс
Векторы ................. . . . . .
Скалярное произведение векторов . .
Метод координат на плоскости ....
"Уравнения линий на плоскости. . . .
Длина окружности и площадь Kpyra
3
Усл. Отв.
6 29
8 29
10 30
12 30
14 30
16 31
18 31
20 31
22 32
23 33
26 33
34
36
38
41
43
56
57
57
58
59
Содержание
285
'Уел.
44
47
48
53
Отв.
59
60
60
61
. KM 9 6. Движения плоскости .. . . . . . . . . .
KM 9 7. Повторение.. . . . . . . . . . . . . . . . . .
'KM 9 8. Итоrовое повторение ...........
Тестовая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 класс
KM 10 1. Аксиомы стереометрии. Простейшие
rеометрические тела. . . . . . . . . . . . 62 91
KM 10 2. Взаимное расположение прямых
в пространстве ................ 65 91
KM 10 3. Взаимное расположение прямой
и плоскости .................. 68 93
KM 10 4. Параллельные плоскости. . . . . . . . 70 93
KM 10 5. Перпендикулярность прямой
и плоскости .................. 72 93
KM 10 6. Расстояние в пространстве. . . . . . . 74 94
KM 10 7. "Уrол между прямой и плоскостью 76 94
KM 10 8. "Уrол между двумя плоскостями .. 77 95
KM 10 9. Мноrоrранные уrлы . . . . . . . . . . . . 78 95
KM 10 10. Цилиндр и конус .............. 80 96
KM 10 11. Сфера и шар. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 97
KM 10 12. Повторение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 97
Тестовая работа ........................ 87 97
11 класс
KM 11 1. Повторение...................
KM 11 2. Мноrоrранники ...............
KM 11 3. Призма......................
KM-11 4. Правильная пирамида ...... . . . .
KM-11 5. Частные виды пирамид и их
свойства .....................
KM 11 6. Векторы в пространстве. . . . . . . . .
KM 11-7. Координаты в пространстве. . . . . .
KM 11-8. Объемы и поверхности тел
вращения ... . . . . . . . . . . . . . . . . .
КМ-11-9. Движения в пространстве .......
KM-11 10. Повторение. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KM 11 11. Итоrовое повторение ...........
Тестовая работа .......... . . . . . . . . . . . . . .
98 127
100 127
103 128
104 129
105 129
107 130
110 130
112 131
113 132
115 133
117 133
123 134
286
Содержание
11. Темати-ч-еская подборка зада-ч-
1. Векторы на плоскости
Векторы и направленные отрезки. "Уrол меж
ду векторами. Действия с векторами . . .
РiJ.зложение вектора по двум
неколлинеарным векторам . . . . . . . . .
Векторы и координаты ...............
Скалярное произведение векторов ......
2. Декартовы координаты на плоскости
Координаты на прямой ...............
Координаты на плоскости .. . . . . . . . . . . .
"Уравнение прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"Уравнение окружности ... . . . . . . . . . . . .
Прямая и окружность .. . . . . . . . . . . . . . .
Разные задачи .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Координаты в пространстве. . . . . . . . . . .
4. Прямая в пространстве ..............
5. Уравнение плоскости ................
6. Сфера и шар .......................
7. Прямая и плоскость, сфера, шар .......
8. Задачи на отыскание наибольшеrо
и наименьшеrо значений ..........
9. Построение сечений куба . . . . . . . . . . . . .
10. Пирамида, призма и сфера
Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . .
Пирамида с равными боковыми ребрами
Пирамида, все двуrранные уrлы которой
при ребрах основания равны . . . . . . . .
Пирамида, у которой одна из боковых
rраней перпендикулярна основанию .
Пирамида, у которой две боковые rрани
перпендикулярны основанию. . . . . . .
Разные пирамиды ...................
Шар и призма ......................
Шар и пирамида ....................
Задачи на отыскание наименьшеrо
периметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Усл. Отв.
135 209
137 210
142 213
144 214
147 215
148 216
152 218
158 219
163 222
167 223
168 224
171 226
175 227
179 228
183 230
187 231
193
195 232
197 232
197 233
198 233
199 233
200 233
201 234
204 234
207 235
Содержание
287
111. Подzотовка к устны,м экзаменам
9 класс
Примерные билеты к устному экзамену
Примерные задачи к устному экзамену. . . . . .
11 класс
Примерные билеты к устному экзамену
Примерные задачи к устному экзамену. . . . . .
'Уел. Отв.
236
242 247
248
254 259
Прuложенuе
Список основных теорем ................. 260
Тематическое планирование учебноrо материала
8 класс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267
9 класс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270
10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272
11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 276
Литература ........................... 282
Учебное издание
Сер ия «Дидактические материалы»
3вавич Леонид Исаакович
Чинкина Марина Викторовна
UUляпочник Леонид Яковлевич
rЕОМЕТРИЯ
8 11 классы
Пособие для школ и классов
с yr лубленным изучением математики
3ав. редакцией М. r. Цuновсн:ая
Редактор А. М. Суходсн:ий
Художественный редактор Л. П. Копачева
Художник В. Н. Любин
Технический редактор Н. и. Тераси.мова
Компьютерная верстка Н. И. Салюн:
Корректор Е. Е. Нин:улина
Изд. лиц. М 061622 от 07.10.97.
Подписано к печати 10.08.2000. Формат 84Х1081/з2.
Бумаrа типоrрафская. rарнитура «IlIкольная » .
Усл. печ. л. 15>12. Тираж 10000 экз. Заказ М 1413.
000 _Дрофа».
127018, Москва> Сущевский вал> 49.
По вопросам приобретеllИЯ продукции издательства _Дрофа.)
обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал> 49.
Тел.: (095) 795 05 50, 795 05 51. Факс: (095) 795 05 52.
Отпечатано с rOToBbIX диапозитивов
в ордена ТрУДОВоrо KpacHoro Знамени
rупп «Детская книrа. Роскомпечати.
127018, Москва> Сущевский вал> 49.