ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый читателю «Краткий курс высшей математики» пред-
предназначен для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-вту-
заводов-втузов. Он в основном охватывает весь материал, предусмотренный
обязательной программой. Этот курс возник в результате многолет-
многолетней работы авторов со студентами-вечерниками и студентами заво-
завода-втуза.
Несмотря на небольшой объем книги, авторы стремились изло-
изложить материал по возможности строго и доступно. В каждом
разделе курса приведено достаточное количество решенных задач
и примеров, поясняющих и закрепляющих теоретический материал.
Кроме того, чтобы избежать формального введения основных поня-
понятий, предварительно рассматривались геометрические и физические
задачи, естественно приводящие к этим понятиям.
При изложении отдельных тем курса авторы следовали методике,
отраженной в более полных учебниках (например, в курсах матема-
математического анализа А. Ф. Берманта и И,. Г. Арамановича или
Н. С. Пискунова). Методика изложения этих тем проверена много-
многолетней практикой преподавания и менять ее вряд ли целесообразно»
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность
сотрудникам кафедры высшей математики МВТУ им. Баумана и в
особенности доценту этой кафедры С. В. Фролову, а также стар-
старшему преподавателю Минского высшего радиотехнического училища
А. П. Сильвановичу за тщательное рецензирование рукописи и кри*
тические замечания, которые способствовали ее улучшению.
Кроме того, авторы выражают благодарность редактору книги
доценту В. А. Подольскому и редактору издательства А. М. Суход-
скяму, проделавшим большую работу по редактированию рукописи.
Авторы

ГЛАВА I
МЕТОД КООРДИНАТ.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
/. Понятие действительного числа
В настоящем курсе нам все время придется иметь дело с дей-
действительными числами. Напомним основные сведения о действитель-
действительных числах, которые мы считаем известными читателю из курса
математики средней школы. Множество* действительных чисел со-
состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Рацио-
Рациональным числом называется число вида —, где т и п—целые числа,
причем пфО. В частности, всякое целое число т может быть представ-
представлено в виде у и, следовательно, является рациональным числом. Ир-
Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя
представить в виде отношения двух целых чисел.
К необходимости введения понятия иррационального числа при-
приводит рассмотрение многих задач, в частности — задачи измерения
длин некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со
стороной, равной единице). Как известно, всякое рациональное число
'-— либо является целым, либо представляется конечной или перио-
периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число
представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.
Например, рациональные числа ^ и -^ представляются следующими
десятичными дробями:
-§--0,75; | = 0,333 ...-0,C).
Иррациональные числа j/*2 и п представляются непериодическими
бесконечными десятичными дробями:
|/-1,414 ... ; я-3,14159 ... .
* Понятие множества или совокупности является одним из основных ма-
математических понятий. Примерами множеств могут служить совокупность студентов
данного вуза, множество страниц данной книги, множество всех четных чисел и
т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное
или бесконечное количество предметов или, как говорят, элементов. В первом
случае множество называется конечным, во втором—бесконечным.

Запись действительных чисел с помощью десятичных дробей
позволяет каждое иррациональное число заменить близким к нему
рациональным числом. Это близкое рациональное число называется
рациональным приближением данного иррационального числа. В ка-
качестве рационального приближения берут конечную десятичную
дробь, у которой первые п цифр после запятой совпадают с пер-
первыми п цифрами после запятой данного иррационального числа, а
все остальные цифры заменены нулями. Ошибка при этой замене
не превосходит, очевидно, у™. Так, например, рациональным при-
приближением числа я = 3,14159 ... , отличающимся от него не более,
чем на щ, будет рациональное число 3,14: я» 3,14. В инженерных
расчетах арифметические действия над иррациональными числами
заменяются соответствующими действиями над их рациональными
приближениями.
Заметим, что практически для получения приближенного резуль-
результата достаточно во всех вычислениях брать на один знак больше,
чем требуется, а затем округлить полученный результат до_нужного
числа знаков. Например, при вычислении суммы я + |/*3 с точ-
точностью до 0,01 получим
я + КЗ» 3,142 +1,732 = 4,874 «4,87.
Подробное изложение теории действительных чисел читатель
найдет, например, в курсе дифференциального и интегрального исчис-
исчисления Г. М. Фихтенгольца (т. I, гл. I).
2, Геометрическое изображение действительных чисел.
Координаты точки на прямой
Действительные числа можно изображать точками числовой оси.
Числовой осью называется прямая, на которой выбраны началь-
начальная точка (начало), положительное направление (отмеченное на
чертеже стрелкой) и отрезок, длина
которого считается равной единице о _. ^-
(единица масштаба) (рис. 1). Направ-
Направление, противоположное положи- ^1 |
тельному направлению числовой оси,
называется отрицательным. Если Рис. 1
действительное число х > 0, то оно
изображается точкой числовой оси, находящейся от начала на рас-
расстоянии х в положительном направлении; если х < 0, то точка
оси, изображающая х, лежит в отрицательном направлении от на-
начала на расстоянии, равном—х (при х отрицательном —х > 0);
число куль изображается начальной точкой оси.
Действительное число х называется координатой той точки М
числовой оси, которая его изображает. Условимся писать М (х)
в том случае, когда х является координатой точки Af.

На рис. 2, а отмечены точки Мг(\)у М2(—2), М3(~)9 M4(lg2)
числовой оси, изображающие соответственно действительные числа
1, —2, -2-» Ig2. Очевидно, каждому действительному числу х соот-
соответствует единственная точка М числовой оси, и, обратно, каждой
точке М этой оси соответствует единственное действительное число
х—координата этой точки. Как говорят, между множеством всех
действительных чисел и множеством точек числовой оси существует
взаимно однозначное соответствие. По-
^ д^ о m^MjM3 этому в дальнейшем часто вместо слов
^я *щг 1 ж *"" «дано число л:» будут употребляться
ф 0 г слова «дана точка л:». Кроме того,
—Г]?—\—' ? *~ точка на числовой прямой часто будет
обозначаться ее координатой.
Рис. 2 Множество действительных чисел
является упорядоченным. Это значит,
что два любых не равных между собой действительных числа
хх и хг удовлетворяют одному и только одному из двух неравенств:
хг > х2 или хг < л:2.
На горизонтально расположенной оси с положительным направ-
направлением слева направо точки, соответствующие большим действитель-
действительным числам, лежат правее точек, соответствующих меньшим числам.
Отметим также, что множество действительных чисел является
плотным, т. е. обладает следующим свойством: между любыми двумя
не равными друг другу действительными числами находится беско-
бесконечно много других действительных чисел. Это значит, что если
(для определенности) хг < л:2, то существует бесконечное множество
чисел х, больших х19 но меньших х2: хг<х<х2.
3. Абсолютная величина действительного числа
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа х назы-
называется само это число, если х^О, или число —х, если х < 0. Абсо-
Абсолютная величина действительного числа х обозначается символом
|х|. Таким образом:
{х, если ^;
— х, если х < 0.
Так, например, |2[ = 2, |я| = я, |0| = 0, | — 31 = — (—3) = 3. Мо-
Модуль любого действительного числа либо положителен (если число
не равно нулю), либо равен нулю (если само число равно нулю).
Отсюда следует, что любое действительное число не больше своего
модуля, т. е.
Равенство будет иметь место при х > 0, а неравенство при х < 0
(так как в последнем случае число х отрицательно, а его модуль
положителен).
6

Исходя из определения абсолютной величины действительного
числа, легко выяснить ее геометрический смысл: абсолютная величина
действительного числа х равна расстоянию точки М (х) от начала.
Например, точка МхA) (см. рис. 2, а) находится от начала на рас-
расстоянии, равном |1|=1, точка М2(—2) — на расстоянии, равном
|~2 | = 2, и т. д.
Пользуясь геометрическим смыслом абсолютной величины, легко
установить, что при любом е > 0 неравенство | z | < 8 равносильно
неравенствам — е < z < е.
Действительно, неравенство | z | < е означает, что точка отстоит
от начала на расстоянии, меньшем е, т. е. —e<z<e (рис* 2,6).
Обратно, если —е < z < е, то точка z находится от начала на
расстоянии, меньшем е, а это значит, что | z | < е.
Абсолютные величины действительных чисел обладают свойствами»
изложенными в следующих теоремах.
Теорема 1. Абсолютная величина суммы двух действительных чи*
сел не больше суммы абсолютных величин этих чисел:
Доказательство. Предположим вначале, что г 2
Тогда \xl + x2\ = x1-{-x2. Но х1^\х1\ и яа^|яя|. Следовательно,
Предположим теперь, что х1 + х2<с0. В этом случае | jcx —f- jc2 | =====
<| —х21 = |x21. Отсюда |x1 + x2 |^|x1 \ + x2\.
Замечание. Теорему 1 можно обобщить на случай любого
конечного числа слагаемых.
Теорема 2. Абсолютная величина разности двух действительных
чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел:
\у у |*> I у I I у 1
|Л1 Л2 I ^ \Х1 | I Л2 I*
Доказательство. Так как х1 = (х1—х2) + х2У то по теореме 1
получим | jcx | = | (хх—#2) + *2l ^|*i—*21 + 1*21> откуда \хх—х21^
*> I v I I v I
^ 1*1 I 1*2 [•
Теорема 3. Абсолютная величина произведения нескольких дей-
действительных чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел:
Теорема 4. Абсолютная величина частного двух действительных
чисел равна частному абсолютных величин этих чисел:
1*1
I**
Теоремы 3 и 4 непосредственно следуют из определения абсолют-
абсолютной величины и действий умножения и деления.
Замечание. В дальнейшем, как правило, будут рассматри-
рассматриваться числа действительные. Поэтому для краткости они часто будут
просто называться числами. Если же потребуется рассмотреть ком-
комплексные числа, то всякий раз будет сделана особая оговорка.

4. Расстояние между двумя точками на прямой
С помощью координат уже сейчас можно решать некоторые гео-
геометрические задачи. Найдем, например, расстояние между двумя
точками М1(х1) и М2(х2) на прямой (на числовой оси).
Предположим сначала, что обе координаты неотрицательны, при-
причем х2>хг (рис. 3, а). Тогда OM1 = xli ОМ2 = х2 и, следовательно,
искомое расстояние d = OM2—0Мг =
~х2—хх. Если по-прежнему х1 и х2
неотрицательны, но х2 < хх (рис. 3, б),
d
ф
б) о
Рис.3
12
Очевидно, в обоих случаях можно
записать
d=\x%—xx\. A)
Нетрудно убедиться, что в случаях, когда обе координаты хг и
х2 неположительны или когда хх и х2 имеют разные знаки, фор-
формула A) сохраняет свою силу.
Пример 1. Найти расстояние между точками М1 (—0,8) и М2 C, 2).
Решение. По формуле A) получим
d = 13,2—(—0,8) | = 3,2 + 0,8 = 4.
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
/. Декартовы прямоугольные координаты
на плоскости. Метод координат
Как было показано, положение точки на прямой определяется
одним числом — координатой этой точки. Положение точки на пло-
плоскости определяется уже двумя числами.
Шчетберть
я<0;у < о
I чет&ерть
;у<о
Рис. 4
Рис. 5
Действительно, пусть на плоскости заданы две взаимно перпен-
перпендикулярные числовые оси Ох и Оу, имеющие общее начало О (сов-
(совпадающее с точкой пересечения осей) и общую единицу масштаба
(рис. 4).
Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, назовем коор-
координатной плоскостью и обозначим Оху. Рассмотрим произвольно
выбранную точку М координатной плоскости Оху и пусть Мг и

М2—проекции точки М соответственно на оси Ох и Оу. Координата х
точки Мх на оси Ох называется абсциссой точки М, а координата «/
точки М2 на оси Оу—ординатой точки М. Рассматриваемые сов-
совместно числа х и у называются прямоугольными (или декартовыми
прямоугольными) координатами точки М *.
Очевидно, каждой точке М на координатной плоскости соответ-
соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у—ее прямо-
прямоугольные координаты. Обратно, каждая пара чисел х и у определяет
единственную точку М на плоскости Оху. Действительно, числам х
и у соответствуют вполне определенные точки Мх и Мг на осях Ох
и Оу. Перпендикуляры к осям, вос-
восставленные в этих точках, пересе-
пересекутся в единственной точке М с коор-
координатами хну.
В дальнейшем, если будет ска-
скай
ЩE>ь)
M(aiof 2)
у
зано «дана точка» или «найти точку»
на плоскости, то это будет соответ- —
ственно означать, что заданы или
требуется найти координаты этой ^
точки.
Ось Ох называется осью абсцисс, Рис. 6
ось Оу—осью ординат, а обе оси
вместе—осями координат. Общее начало осей абсцисс и ординат
называется началом координат.
Оси Ох и Оу делят координатную плоскость на четыре части,
называемые четвертями (рис. 5). В I четверти х > 0, у > 0; во II чет-
четверти х < 0, у > 0; в III четверти #< 0, у < 0; в IV четверти
х > 0, у < 0.
Условимся в дальнейшем писать М (х\ у) в том случае, когда х
является абсциссой, а у—ординатой точки М. Например, запись
МA; —2) означает, что точка М имеет абсциссу 1 и ординату (—2).
Пример. Построить на плоскости точку М E, 5; —2).
Решение. Строим на оси абсцисс точку Мх по ее координате
5,5, а на оси ординат—точку М2, имеющую координату (—2). Про-
Проводим через точку Mv прямую, перпендикулярную оси Ох, а через
точку М2—прямую, перпендикулярную оси Оу. Точка М пересече-
пересечения этих прямых и есть искомая (рис. 6).
Итак, положение точки на плоскости определяется упорядоченной
парой чисел—координатами этой точки. Ниже мы увидим, что поло-
положение точки в пространстве определяется тремя числами. Способ
определения положения точек с помощью чисел называется методом
координат. Создателем координатного метода был французский ма-
математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометри-
геометрическим задачам и создал новую математическую дисциплину—ана-
дисциплину—аналитическую геометрию, занимающуюся изучением свойств геометри-
геометрических фигур и их взаимного расположения методами алгебры.
Простейшие задачи аналитической геометрии рассмотрены в п. 2, 3,
* По имени французского математика и философа Рене Декарта A596—1650).
9

4 и 5. Основные разделы аналитической геометрий изложены
в гл. II и IV. В дальнейшем метод координат получил широкое
развитие и нашел применение во многих областях математики и ме-
механики.
В следующих пунктах мы рассмотрим применение метода коор-
координат к решению некоторых геометрических задач.
2. Расстояние между двумя точками на плоскости
Пусть даны две точки Мх(хх; ух) и М2(х2; у2). Требуется найти
расстояние между ними.
Предположим вначале, что отрезок МХМ2 не параллелен ни одной
из f координатных осей (рис.7). Проведем
через точку Мх прямую, параллельную
оси Ох, а через точку М2—прямую,
параллельную оси Оу и отметим точку N
пересечения этих прямых. Треугольник
MXM2N—прямоугольный. По теореме Пи-
Пифагора
Пусть А и В— проекции точек Мх и
рИСш 7 М2 на ось Ох, а С и D—проекции тех
же точек на ось Оу. Тогда MXN =
= АВ =с | х2—хх |; NM2 = CD = | у2—ух |. Обозначая искомое расстоя-
расстояние МХМ2 через d, получим
д? = |х2-хг |2 +1 у2-ух |2 = {х2-х,У + (y2-yj*.
Следовательно,
V -yi)\ B)
В частности, расстояние d точки М (х\ у) от начала координат
находится по формуле
Vn C)
Формула B) остается справедливой и в случае, когда отрезок МХМ2
параллелен одной из осей.
Пример. Найти расстояние между точками Мх B; — 1) и М2 (—1; 3).
Решение. По формуле B) получим
3. Деление отрезка в данном отношении
Разделить отрезок МХМ2 в данном отношении К > 0 это значит
найти на заданном отрезке такую точку М, для которой имеет место
равенство ;
10

Пусть точки Mv и М2 имеют соответственно координаты xlt ух
и x2t у2. Найдем координаты х> у точки М. Обозначим через Nlf
N и N2 проекции точек Ml9 M и М2 на ось Ох (рис. 8). Из эле-
элементарной геометрии известно, что отрезки, заключенные между
параллельными прямыми, пропорциональны. Следовательно,
M1M_N1N ^л
ММ2~~ NN2~~
Но NtN = \х—хг |, NNt = |х2—х|, поэтому \X~^l\ = *» в этом от"
ношении модули |л:—х1\ и |л:2—л:[
можно заменить разностями х—хг
и х2—х, если учесть, что эти раз-
разности имеют одинаковые знаки (см.
рис. 8, а, на котором обе разности
положительны, и рис. 8, б, на ко-
котором они отрицательны). Таким об-
образом,
Xo—X
¦ = Л.
Отсюда
x = -
Аналогично можно получить соответ-
соответствующее выражение и для у.
Окончательно, для координат х и
у искомой точки М получим следующие формулы:
1+Х
D)
1+Х
В частности, для координат середины отрезка М1М%(к=^1) по-
получим формулы:
E)
Таким образом, каждая из координат середины отрезка равна
среднему арифметическому соответствующих координат его кон-
концов.
Пример. Разделить отрезок МгМ2 в отношении X=-^f если
ЛМ1;2), М4C;4).
и

Решение. Так как я, —1, ^=2, хг = 3 и j'2 = 4, то по фор-
формулам D) получим:
х~
E 8
~з~; "з"
Замечание. При решении задачи о делении отрезка в данном
отношении мы предполагали, что этот отрезок МгМ2—направленный,
т. е. имеющий начало М1 и конец М2. Если сохранить численное
значение X, а точки Мг и М2 поменять местами, то точка М, де-
делящая отрезок МЪМХ в отношении X, не будет, вообще говоря, сов-
совпадать с прежней точкой М, делившей в отношении X отрезок МгМ2.
Например, точкой, делящей в отношении X = -j отрезок ММг, имею-
/с о \
щий начало Л42C; 4) и конец МгA; 2), будет уже не точка М ( у; у] ,
а точка М (х; у), координаты которой находятся следующим образом:
- 3+У-' 7
х :
о •
^. Координаты точки в пространстве
Покажем, что положение точки в пространстве можно определить
тремя числами.
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси в пространстве
Ох, Оу и Ог, имеющие общее начало О (точку пересечения осей)
и общую масштабную единицу (рис. 9). Назовем эти оси коорди-
координатными осями, а их общее начало—началом координат. Простран-
Пространство, в котором заданы оси Ох, Оу и Ог, обозначим символом Oxyz.
Пусть М — произвольно выбранная точка пространства Oxyz. Прове-
Проведем через нее три плоскости, перпендикулярные координатным осям.
Точки Мр М2 и М3 пересечения этих плоскостей с осями Ох, Оу и Oz
называются проекциями точки М на соответствующие оси. Пусть
точка М1 на оси Ох имеет координату х, точка М2 на оси Оу—коорди-
Оу—координату у и точка М3 на оси Ог — координату г. Числа х, у и z назы-
называются прямоугольными (а также декартовыми) координатами точки М
12

в пространстве. При этом х называется абсциссой, у—ординатой,
a z- -аппликатой точки М. Такие же названия носят и координатные
оси: ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу—осью ординат, ссь
Oz—осью аппликат.
Очевидно, каждая точка М пространства определяет единственную
упорядоченную тройку чисел х, у и z—ее координаты. Обратно,
положение точки М в пространстве Oxyz вполне определяется тремя
ее декартовыми координатами. Поэтому в дальнейшем, если будет
/\
Рис. 9
Рис. 10
\/ У1
сказано «дана точка» или «требуется найти точку», то это будет
соответственно означать, что даны или требуется найти координаты
этой точки.
Если через каждую пару координатных осей провести плоскость,
то получатся три взаимно перпендикулярные плоскости Оху, Oyz
и Ozx, называемые координатными плоскостями. Они делят прост-
пространство на восемь частей—октантов (рис. 10): в I октанте х > 0,
у > 0, z > 0; во II октанте х < 0, у > 0, г > 0; в III октанте х < 0,
у < 0, z > 0; в IV октанте х > 0, у < 0, г > 0; в V октанте х > 0,
у > 0, z < 0; в VI октанте х < 0, у > 0, г < 0; в VII октанте #<0,
#<0, z < 0; в VIII октанте х > 0, г/ < 0, г < 0. В дальнейшем
запись М(х; у; z) будет означать, что точка М имеет абсциссу х,
ординату у и аппликату z.
5. Расстояние между двумя точками в пространстве
С помощью координат в пространстве, как и на плоскости, можно
решать многие геометрические задачи. Рассмотрим одну из них.
Пусть требуется найти расстояние между точками М1(х1\ ух\ zx)
и М2(х2\ у2\ z2) в пространстве.
Проведем через каждую из точек Мг и М2 по три плоскости,
параллельные координатным плоскостям (рис. 11). Эти шесть пло-
плоскостей, пересекаясь, образуют прямоугольный параллелепипед,
диагональю которого является отрезок 7И,М2. Из стереометрии
известно, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
13

равен сумме квадратов трех его ребер, выходящих из одйой вершины.
Поэтому
МгМ\ = МгМ* + МгР2 + M1Qa.
Спроектировав концы ребер MxNt MXP и MXQ параллелепипеда
соответственно на оси Ох, Оу и Ог, получим на этих осях отрезки
АВ, CD и EF, причем
Z
?
о
\
\
у \
/ \
/ \
у \
>
у/
У-
с
/
/
7
р
/
Mm
2
/
= AB = \xt—x1
Следовательно, квадрат искомого
расстояния d
или
Рис. 11
Отсюда окончательно получим
—z.f.
F)
Пример. Найти расстояние d между точками Мг(—1; 2; —3) и
MAU 1; -5).
Решение. По формуле F) получим
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
/. Угол между двумя осями
Рассмотрим в плоскости Р две оси 1Х и /2, пересекающиеся
в точке О. Углом между осью 1Х и осью 12 называется угол, на ко-
который следует повернуть в плоскости Р ось 1Х относительно точки О
до ее совпадения с осью /2. При этом предполагается, что на пло-
плоскости Р выбрано положительное направление вращения (против
часовой стрелки). При повороте оси 1Х в положительном направле-
направлении угол считают положительным, а при повороте в противополож-
противоположном направлении—отрицательным. Таким образом, существенным
является порядок, в котором рассматриваются оси. Обозначим сим-
символом A19 /2) угол между осями 1г и /2. Тогда этот угол и угол
(/2, /4) не равны друг другу. Значение угла между двумя пересекаю-
пересекающимися осями определяется неоднозначно. В самом деле, если после
поворота на угол ф ось 1Х совпала с осью /2, то можно совершить
14

еще несколько полных оборотов в любом направлении, после чего
ось /j опять совпадет с осью /2. Таким образом, для угла ^7
кроме ф, получится еще бесконечно много значений вида
где k может быть любым целым числом. В дальнейшем, если это
специально не оговорено, под углом между двумя осями мы будем
понимать его наименьшее положительное значение.
2. Полярные координаты
В п. 1 § 2 рассматривались прямоугольные декартовы коорди-
координаты точки на плоскости. Однако можно построить много других
систем координат, позволяющих определить положение каждой точки
плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употре-
употребительной после декартовой системы координат является полярная
система координат.
Рассмотрим на плоскости ось / (т. е. прямую, имеющую начало,
положительное направление и масштабную единицу) (рис* 12).
Назовем эту ось полярной осью, а ее
начало О—полюсом.
Пусть М—любая точка плоскости,
не совпадающая с полюсом. Проведем
через эту точку и полюс ось 119 начало
которой совпадает с полюсом; поло-
положительное направление выбрано от
полюса к точке М, а масштабная еди-
единица—та же, что и на полярной оси. Рис* 12
(В частном случае, если точка М лежит
на положительной части полярной оси, то ось 1г совпадает с по-
полярной осью /, если же точка М лежит на отрицательной части по-
полярной оси, то оси /х и / имеют противоположные направления.)
Обозначим координату точки М на оси 1Х через г и назовем ее
полярным радиусом точки М. Угол (Cl[) между полярной осью
и осью /х обозначим через ф и назовем его полярным углом точки М.
Для данной точки М угол определяется неоднозначно (с точностью
до слагаемого вида 2kn, где k — любое целое число). В дальнейшем,
если не будет специально оговорено, из всех этих значений выби-
выбираем то, которое удовлетворяет условию
О < ф < 2я.
Тогда каждой точке плоскости, не совпадающей с полюсом, будет
соответствовать вполне определенное и единственное значение по-
полярного угла ф. Полярный радиус г для такой точки также имеет
вполне определенное значение, он всегда положителен (так как
положительное направление на оси 1г выбирается от полюса О к
точке М) и равен расстоянию этой точки от полюса. Обратно, если
мы знаем, что точка М имеет полярный угол ф и полярный радиус г,
то мы можем построить эту точку. Для этого достаточно провести
через полюс ось 1Х под углом ф к полярной оси / и построить на
оси 1Х точку, имеющую координату г.
15

Таким образом, полярный угол ф и полярный радиус г любой
точки М плоскости, за исключением полюса, вполне определяют
положение этой точки на плоскости. Числа ср и г называются по-
полярными координатами точки М. Полюс находится в особом поло-
положении. Для него ось 1Х не имеет определенного направления и,
следовательно, полярный угол не существует. Полярный радиус
полюса равен нулю, и эта единственная координата вполне опре-
определяет положение полюса.
Условимся писать М(ср; г) в том случае, когда ср является по-
полярным углом, а г—полярным радиусом точки М.
Пример 1. Построить в полярной системе координат точки
;~; 2), М2(я; 1), М9ф; 3) и М
Решение. Для построения первой точки проводим ось 1[ под
углом ~ к полярной оси I (рис. 13) и отмечаем на этой оси точку Мх
l' с координатой 2. Остальные
точки строятся аналогично:
проводятся оси /ь 1\ и /iV,
образующие с полярной осью
соответственно углы пу О и
Рис. 14
с координатой 1, на оси
/iv
точка УИ4 с коорди-
коордиРис. 13
-тг, а затем на оси 1\ строится точка М2
/'/'—точка Ms с координатой 3 и на оси 1\
натой 2.
Замечание. Положительное направление оси 1Х выбрано нами
от полюса к точке М. В некоторых случаях положительным на-
направлением оси 1Х удобнее считать противоположное направление,
от точки М к полюсу. Тогда полярный радиус г точки М будет,
очевидно, отрицательным. Обратно, если задано отрицательное
значение полярного радиуса г точки М, то это значит, что поло-
положительное направление оси 1Х выбрано от точки М к полюсу.
Пример 2. Построить в полярной системе координат точку
'4; -2N
Решение. Проводим ось 1Х под углом ф == ^- к полярной оси
(рис. 14) и строим на оси 1Х точку М с отрицательной координа-
координатой г =—2.
16

3. Зависимость между декартовыми
и полярными координатами
Иногда приходится одновременно пользоваться декартовыми и
полярными координатами на плоскости. При этом естественно по-
поставить следующие две взаимно обратные задачи.
1. Зная полярные координаты ф и г точки М9 найти ее декар-
декартовы координаты х и у.
2. Зная декартовы координаты х и у точки М, найти ее поляр-
полярные координаты ф и г.
Решение этих задач зависит от взаимного расположения полярной
оси и осей декартовой системы. Мы рассмотрим лишь частный
случай, когда полярная ось совпадает с осью абсцисс декартовой
системы (и, следовательно, полюс совпадает с началом координат
декартовой системы). При этом предполагается, что все три оси —
полярная ось и оси Ох и Оу—имеют общую единицу масштаба.
Исходя из определения тригоно-
тригонометрических фуНКЦИЙ COS(p И БШф, У,
получим (рис. 15):
cos ф = ~ , sin ф = —
откуда
y=rsit\(f.
Формулы G) выражают декартовы рис< J5
координаты точки через ее полярные
координаты. Чтобы выразить полярные координаты через декартовы,
возведем обе части каждого из равенств G) в квадрат, а затем
сложим полученные равенства почленно:
х2+у2 = г2 (cos2 ф + sin2 ф),
или
Отсюда
r=Vx* + y*. (8)
Поделив почленно второе равенство G) на первое, получим
tgq> = ?. (9)
Равенство (8) выражает полярный радиус г через декартовы
координаты. Равенство (9) позволяет, зная декартовы координаты,
найти тангенс полярного угла. Однако найденному значению tgф
соответствуют два значения ф (при условии 0 < <р < 2я). Из этих
двух значений полярного угла ср выбирается то, при котором удо-
удовлетворяются равенства G).
Пример. Зная декартовы координаты х = \гЪ и t/==l точки М,
найти ее полярные координаты.
17

Решение. По формуле (8) находим
По формуле (9) получим
tg<p =
Этому значению тангенса соответствуют два значения ф: <Pi = -g-
и фа = -^ Равенства G) в данном случае запишутся так:
Они удовлетворяются только для первого значения ф. Следовательно,
<p = ?L. Таким образом, точка М имеет полярные координаты ф = -г~
и г = 2.
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
/. Переменные величины
Человеку постоянно приходится встречаться с различными фи-
физическими величинами, такими, например, как объем, плотность,
длина, время, давление, температура и т. д. Все эти величины,
качественно отличаясь друг от друга, имеют, однако, то общее
свойство, что каждая из них может быть измерена. В результате
измерений получаются действительные числа, которые мы будем
называть численными значениями соответствующих величин. При
измерениях одной и той же величины могут получиться различные
численные значения, если эта величина измеряется, скажем, в раз-
различные моменты времени или при различных условиях. Например,
скорость движения автомобиля на различных участках пути или
в различные моменты времени имеет различные численные значения.
Точно так же давление некоторой массы газа в замкнутом сосуде
имеет различные численные значения при различных температурах.
Одним словом, численные значения величины могут изменяться,
и поэтому сама величина называется переменной. В математике от-
отвлекаются от конкретного физического смысла величин и считают
переменную величину (короче—переменную) заданной, если известно
множество всех численных значений, которые она может принимать.
Постоянную величину (т. е. величину, которая при рассматриваемых
условиях не меняет своего численного значения) принято рассмат-
рассматривать как частный случай переменной, когда множество ее чис-
численных значений состоит из одного числа. Численные значения
переменной величины образуют некоторое множество действительных
чисел. Ему соответствует некоторое множество точек на числовой
оси. Оба эти множества могут быть самыми различными (в зависи-
зависимости от рассматриваемой переменной). Но в дальнейшем чаще всего
нам придется иметь дело с множествами чисел, которые называются
сегментом и интервалом.
18

Определение 1. Интервалом называется множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь9
где а и Ъ—действительные числа.
Определение 2. Сегментом называется множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам
где а и b—действительные числа.
Интервал обозначается символом (а, 6), а сегмент—символом
[а, Ь]. При этом а и b называются концами соответствующего ин-
интервала или сегмента. Например, интервал B, 5) состоит из всех
чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < х < 5. В частности,
точки х = 3, х = \ принадлежат интервалу B,5), в то время как
точки х = 2, #=5, л: = 8 этому интервалу не принадлежат.
Часто приходится рассматривать также множества чисел, удо-
удовлетворяющих неравенствам а ^ х < b или а < х ^ Ь. Каждое из
этих множеств называется полуинтервалом или полусегментом и
обозначается соответственно [а, Ь) или (а, Ь].
Каждый из введенных терминов будет относиться не только
к данному множеству чисел, но и к соответствующему ему множе-
множеству точек на числовой прямой. Так, сегменту [а, Ь] геометрически
соответствует отрезок числовой оси с концами в точках а и 6, а
интервалу (а, Ь)—тот же отрезок с удаленными концами а и 6.
Сегмент [а, Ь] получится, если к интервалу (а, Ь) присоединить его
концы—точки а и Ь,
В некоторых случаях рассматриваются бесконечные интервалы
и полуинтервалы. Приведем определяющие их неравенства и соот-
соответствующие обозначения:
х > а, обозначение (а, + °°)">
х^а, обозначение [а, +оо);
а:<6, обозначение (—оо, 6);
х^Ь, обозначение (—оо, Ь].
Всю числовую ось можно также рассматривать как бесконечный
интервал, который обозначается символом (— оо, +оо).
2. Понятие функции
При совместном рассмотрении двух переменных величин часто
оказывается, что численные значения одной из них зависят от чис-
численных значений другой. Например, площадь квадрата зависит от
длины его стороны. Если через х обозначить длину стороны квад-
квадрата, а через у—его площадь, то эта зависимость выражается фор-
формулой
у = х2.
Отметим два обстоятельства.
19

1. Нам известно множество численных значений, которые может
принимать х9 это—множество всех положительных чисел. В самом
деле, х выражает длину стороны квадрата и, следовательно, не
может быть отрицательным числом или нулем. С другой стороны,
мы вправе рассматривать любой квадрат, и, следовательно, х может
быть любым положительным числом.
2. Если х изменяется, то изменяется и у, но по определенному
закону: каждому значению х соответствует определенное и единст-
единственное значение у.
Говорят, что площадь квадрата является функцией длины его
стороны.
Рассмотрим еще один пример. Пусть материальная точка дви-
движется прямолинейно с постоянной скоростью v см/сек из пункта А
и через Т сек достигает пункта В. Путь s, пройденный точкой к
моменту t этого движения, можно найти по формуле
s = vt.
Здесь s является функцией /.
Опять отметим, что
1) известно, какие численные значения может принимать t:
2) каждому из этих значений / соответствует единственное зна-
значение s.
Обобщая эти примеры, приходим к следующему определению.
Определение. Переменная у называется функцией перемен-
переменной х, если:
1) задано множество М численных значений х\
2) задан закон, по которому каждому значению х из этого мно-
множества соответствует единственное численное значение у.
При этом х называется независимой переменной или аргументом.
Если у является функцией х9 то говорят, что между х и у суще-
существует функциональная зависимость.
Определение. Множество всех значений аргумента данной
функции называется областью определения (или областью задания)
этой функции.
В первом из рассмотренных выше примеров областью определения
функции у = ха являлся бесконечный интервал @, + оо). Во втором
примере областью определения функции s = at был сегмент [О, Т].
Тот факт, что у есть функция переменной х, записывается
символически следующим образом:
(читается: «у есть эф от х»).
При рассмотрении какого-нибудь частного значения функции
y = f(x), т.е. значения, которое она принимает при заданном чис-
численном значении х — х0, пишут f(x0) или у\х=х0-
Например, если у = х2, то у\ _ i =( у) =т- Аналогично, если
/ (X) = Slfl X, ТО / ( ~7у ] = Sin " = 1 •
20

Кроме буквы / для обозначения функций употребляются и дру-
другие буквы, например: # = ф(л;), y = F(x), y = y(x). Точно так же
не обязательно функция и ее аргумент должны обозначаться бук-
буквами у и х, вполне возможно обозначать их и другими буквами.
3. График функции
Во многих случаях свойства функций становятся более ясными
и наглядными, если эту функцию изобразить графически, т. е. по-
построить ее график.
Определение. Графиком функции y = f(x) называется геомет-
геометрическое место точек плоскости Оху, для каждой из которых абсцисса
х является значением аргумента, а ордината у—соответствующим
значением данной функции.
График функции можно, вообще говоря, строить по отдельным
его точкам. Пусть, например, функция y = f(x) задана на сегменте
[а, Ь]. Выберем между а и Ь ряд близких значений аргумента и
составим таблицу
X
У
Уо
Ух
х2
Уч
...
...
*„ = &
Уп
в которой поместим выбранные значения аргумента х и соответ-
соответствующие им значения функции у. С помощью этой таблицы построим
точки М0(х0\ у0), М1(х1\ уг), М2(х2, у2), ... , Мп(хп; уа) и сое-
соединим их плавной кривой *. Эта
кривая и является приближенным
графиком данной функции (рис. 16).
*2
Рис. 16
Рис. 17
Пример. Построить график функции, заданной формулой
при условии —2^ х 2
* Говоря о плавности кривой, мы подразумеваем, что эта кривая нигде не
прерывается, т. е. малым изменениям абсцисс соответствуют малые изменения
ординат точек кривой. Плавность графика функции тесно связана с понятием
непрерывности функции, которое подробно рассматривается в гл. V, § 2.
21

Решение. Составим таблицу
X
у
—2
4
3
2
9
4
— 1
1
1
2
1
4
0
0
1
2
1
4
1
1
3
2
9
4
2
4
C 9 \
( ) ( ) M"(i; 1), M7(|; 4) и
М3B; 4). Соединив эти точки плавной линией, получим искомый
график (рис. 17).
4. Способы задания функций
Функции могут быть заданы самыми различными способами.
Однако, наиболее часто встречаются следующие три способа задания
функций: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ задания функции. При аналитическом
способе задания функция определяется с помощью аналитического
выражения, т. е. с помощью формулы, указывающей, какие действия
надо совершить над значением аргумента, чтобы получить соответ-
соответствующее значение функции.
В п. 2 и 3 мы уже встречались с функциями, заданными с
помощью формул, т. е. аналитически. При этом в п. 2 для функции
у = х2 область определения @, +оо) была установлена, исходя из
геометрических соображений, а для функции s = at область задания
[О, Т] была указана в условии. В п. 3 для функции у = х2 область
определения [—2,2] также задавалась по условию. Однако очень
часто функция задается только с помощью аналитического выра-
выражения (формулы), без каких-либо дополнительных условий. В таких
случаях под областью определения функции мы будем понимать
совокупность всех тех значений аргумента, для которых это выра-
выражение имеет смысл и приводит к действительным значениям функции.
Пример 1. Найти область определения функции y~V\—х2.
Решение. Функция задана только формулой, ее область
определения не указана и никаких дополнительных условий нет.
Поэтому под областью определения этой функции мы должны
понимать совокупность всех тех значений аргумента х, для которых
выражение ]/\—х2 имеет действительные значения. Для этого
должно быть 1—х2^0. Решая это неравенство, приходим к заклю-
заключению, что областью определения данной функции является сегмент
[-1. !]•
Пример 2* Найти область определения функции y^-zzo9
22

У
Решение. Область определения, очевидно, состоит из двух беско-
бесконечных интервалов (— оо,2)и B, +°°)> так как выражение __2 не
имеет смысла при х = 2, а при всех остальных значениях х определено.
Читатель теперь сам легко увидит, что для функции у = х2
областью определения будет вся числовая ось, а для функции
у=]/х—бесконечный интервал х^О.
Следует обратить внимание на то, что нельзя отождествлять
функцию и формулу, с помощью которой задается эта функция.
Посредством одной и той же формулы можно задать различные
функции. В самом деле, в п. 2 мы рас-
рассматривали функцию у = х2 с областью
определения @, + оо), в п. 3 строился
график для функции у = х2 с областью
определения [—2, 2]. И, наконец, только
что мы рассмотрели функцию, заданную
только формулой у = х2 без каких-либо
дополнительных условий. Областью опре-
определения этой функции является вся чи-
числовая ось. Эти три функции различны
между собой, так как они имеют разные
области определения. Но задаются они
с помощью одной и той же формулы.
Возможен и обратный случай, когда одна функция на раз-
различных участках ее области определения задается различными
формулами. Например, рассмотрим функцию у, определенную для
всех неотрицательных значений х следующим образом: у — х при
О < л; < 1 и у — х2 при х > 1, т. е.
^ 1;
1
Рис. 18
х, если
х2, если х > 1.
Эта функция определена двумя аналитическими выражениями, дей-
действующими на различных участках ее области определения. График
данной функции изображен на рис. 18.
Табличный способ задания функции. При табличном задании
функции составляется таблица, в которой указывается ряд значений
аргумента и соответствующих значений функции. Широко известны
логарифмические таблицы, таблицы значений тригонометрических
функций и многие другие. Довольно часто приходится пользоваться
таблицами значений функций, полученных непосредственно из опыта.
В нижеследующей таблице приведены полученные из опыта удельные
сопротивления р меди (в ом-сантиметрах) при различных темпера-
температурах / (в градусах):
t
р
10
1,8-10-е
20
1,8.10-е
30
1,9. Ю-6
40
2,0.10-е
50
2,0-10-e
23

p
60
2,Ы0-в
70
2,2-Ю-6
80
2,2-10-e
90
2,3-Ю-6
100
2,4-10-е
Графический способ задания функции. При графическом
задании дается график функции, и ее значения, соответствующие
тем или иным значениям аргумента, непосредственно находятся из
этого графика. Во многих случаях такие графики чертятся с помощью
самопишущих приборов.
5. Основные элементарные функции и их графики
Среди функций, заданных аналитически, основную роль в нашем
курсе будут играть элементарные функции. Прежде всего рассмотрим
основные элементарные функции. Так называются следующие
функции:
1. Постоянная (константа) */ = С, где С—действительное число.
2. Степенная функция у = хп, где п—действительное число, от-
отличное от нуля.
3. Показательная функция у = ах (а>0; аф\).
4. Логарифмическая функция y = \ogax (а > 0, аф\).
5. Тригонометрические функции y—smx, y = cosx, y = tgx и
6. Обратные тригонометрические функции //=arcsin x, у=
# g # g
Рассмотрим области определения основных элементарных фун-
функций и их графики.
1. Постоянная—это функция, имеющая одно и то же значение
для всех значений аргумента. График функции у = С—прямая, па-
параллельная оси абсцисс.
2. Вид области определения степенной функции зависит от
показателя п. Если п принимает различные натуральные значения,
то получится ряд функций у = х, у=^х2, у = х:\ у = х* и т.д., для
каждой из которых область определения—еся числовая ось. Для
нечетных п графики некоторых степенных функций приведены на
рис. 19, а для четных — на рис. 20.
Из остальных степенных функций рассмотрим сейчас лишь две:
= — 1) и y^
Первая из них У = — определена на всей числовой оси, за
исключением точки х = 0. График этой функции приведен на рис. 21.
Вторая функция у = Ух (подразумевается арифметическое зна-
значение корня) определена для х>0и имеет график, изображенный
на рис. 22.
24

Рис. 19
Рис. 22
Рис. 20
X
</=iogax
о<а<1
Рис. 21
Рис. 24

3. Показательная функция у = ах определена для всех значений х.
На рис. 23 приведены графики показательных функций для а > 1
и для 0 < а < 1.
4. Область определения логарифмической функции y~\ogax—
бесконечный интервал @, + оо). Графики (для а > 1 и для 0 < а < 1)
изображены на рис. 24.
Рис. 25
5. Графики тригонометрических функций y = slnx и y = cosx
изображены на рис. 25. Каждая из них определена на всей число-
числовой оси. Функция y~tgx определена на всей числовой оси, за
-JC
. y=tga: у=Щх
Рис. 26
исключением точек вида B?+1)-^-, а функция y=ctgx—на всей
числовой оси, кроме точек x=---kn (k—любое целое число). Графики
этих функций изображены на рис. 26.
6. Обратные тригонометрические функции и их графики будут
рассмотрены в гл. V, § 2, п. 5.
6. Сложные функции. Элементарные функции
До сих пор речь шла о функциях, аргумент которых являлся
независимой переменной. Однако во многих случаях приходится
рассматривать функции, аргумент которых в свою очередь является
26

функцией новой переменной. Рассмотрим функцию y = f(u), аргу-
аргумент и которой является функцией переменной х:
Тогда переменная у также будет функцией х. Эта функция назы-
называется сложной функцией или функцией от функции. Она обозна-
обозначается следующим образом:
Переменная и называется промежуточным аргументом сложной
функции.
Например, если y = lgu, a w = sinjc, то у есть сложная
функция х: y = \g(sinx).
При определении сложной функции мы предполагали, что у
есть функция от и. Следовательно, и принимает лишь такие зна-
значения, для которых функция y = f(u) определена. Но тогда и
значения х надо брать лишь такие, для которых соответствующие
значения и входят в область определения функции y — f(u). На-
Например, сложная функция y = lg(sinx) определяется лишь для тех
значений х, для которых и = sin x > 0, так как логарифмическая
функция определена лишь для положительных значений ее аргумента.
Пользуясь понятием сложной функции, можно дать определение
элементарной функции.
Определение. Элементарной функцией называется функция,
которую можно задать одним аналитическим выражением, состав-
составленным из основных элементарных функций с помощью четырех
арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и
деления) и операций взятия функции от функции, последовательно
примененных конечное число раз.
Основные элементарные функции также относятся к классу
элементарных функций. В нашем курсе мы, за редкими исключе-
исключениями, будем рассматривать именно элементарные функции.
Примерами элементарных функций могут служить функции
С некоторыми неэлементарными функциями читатель встретится,
например, в гл. VII, § 6, п. 2.
7. Целые и дробно-рациональные функции
В этом пункте мы рассмотрим некоторые важные частные случаи
элементарных функций.
Определение. Целой рациональной функцией или многочле-
многочленом называется функция вида
27

где п—натуральное число, называемое степенью многочлена, а ао>
аг, ..., an_lt ап—действительные числа, называемые коэффициен-
коэффициентами многочлена.
Примеры целых рациональных функций:
у = 2х2 — 1, у=--х3 — Зх2 + Зх—1, у = 2х*.
Многочлен первой степени у =аох-{-а1 называется линейной
функцией.
Замечание. Постоянную функцию у = С можно рассматривать
как многочлен нулевой степени: у = Сх°.
Многочлен есть функция, определенная на всей числовой оси.
Определение. Дробно-рациональной функцией или рацио-
рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
Р{х)
Целая рациональная функция является частным случаем дробно-
рациональной функции, когда Q (х) — постоянная. Дробно-рацио-
Р (х)
нальная функция -j~- определена для всех значении х, за исклю-
исключением тех, для которых знаменатель Q (х) обращается в нуль.
Примеры дробно-рациональкых функций:
У~ хз + 2^ — 5; У~х*+\'у У~ х + 7 ' У~~х
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
При исследовании функций важную роль играют некоторые их
свойства. В настоящем пункте мы рассмотрим свойства четности,
нечетности и периодичности, которыми обладают некоторые эле-
элементарные функции.
Определение. Функция y = f(x) называется четной, если
f (— x) = f (x) для любого х, принадлежащего области определения
этой функции.
Например, функции у=^х2 и у = cos x являются четными, так
как (—хJ = х2 и cos(—x)=^cosx. Четной будет также степенная
функция с любым четным показателем y = x2kf так как (—хJк — х21г.
Из определения четной функции следует, что две точки графика
этой функции Мг(х\ f(x)) и М2(—х; f{—х)) симметричны отно-
относительно оси ординат (рис. 27). А так как х может быть выбрано
в области определения функции произвольно, то график четной
функции расположен симметрично относительно осы Оу (см. гра-
графики функций у = х2 и y = cosx на рис. 20 и 25).
Определение. Функция y~f{x) называется нечетной, если
f(—x) = — f (x) для любого х, принадлежащего области определения
этой функции.
23

Например, функции у=^х3 и у = sin х будут нечетными, так как
(__ хK = — jt\ sin(— х) =—sin л:.
Нечеткой функцией будет также степенная функция с любым
нечетным показателем: у = х2к~г.
График нечетной функции расположен симметрично относительно
начала координат (рис. 28).
Рис. 27
Рис. 28
фу
не является ни четной, ни нечетной.
Область определения как четной, так и нечетной функции,
очевидно, симметрична относительно начала координат.
Следует иметь в виду, что далеко не всякая функция является
четной или нечетной. Например, каждая из функций у = х2—1
y = x-\-cosx, у — 2х, y = l й
Важное значение в
приложениях математики
имеют периодические функ-
функции.
Определение.
Функция y — f(x) называ-
называется периодической, если су-
существует такое число Т ФО,
что f(x±T) = f(x) в обла-
области определения функции.
При этом наименьшее
из положительных чисел
Т, удовлетворяющих условию / (х ± Т) = / (#), называется перио-
периодом функции y = f(x)*. Из тригонометрии известно, что функции
у = sin х, y = cosxt y^tgx и у= ctg x являются периодическими
функциями. Для первых двух из них период равен 2л, а две по-
последние имеют период я.
При исследовании периодической функции с периодом Т и по-
построении ее графика достаточно знать значения этой функции на
каком-либо сегменте длины Г, например на сегменте [О, Т] (рис. 29).
— 7*
гт
Рис. 29
* Иногда периодом функци / (я) называют любое положительное число С,
удовлетворяющее условию f (x ± C) — f(x).

Любое из остальных значений функции можно получить, пользуясь
свойством периодичности этой функции. Например, зная значения
функции у = sin х на сегменте [0, 2д], легко получить значение
этой функции для любого х (см. график функции y = sinx на
рис. 25).
§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
/. Определение линии с помощью уравнения
Рассмотрим функцию, заданную формулой (уравнением)
У = х\ A1)
Этой функции, а следовательно, и уравнению A1) соответствует
на плоскости вполне определенная линия, которая является гра-
графиком данной функции (см. рис. 20). Из определения графика
функции следует, что эта линия состоит из тех и только тех точек
плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют уравнению A1).
Пусть теперь
</ = /(*)• A2)
Линия, являющаяся графиком этой функции, состоит из тех и
только тех точек плоскости Оху, координаты которых удовлетво-
удовлетворяют уравнению A2). Это значит, что если точка М (х\ у) лежит
на указанной линии, то ее координаты удовлетворяют уравне-
уравнению A2). Если же точка не лежит на этой линии, то ее коорди-
координаты уравнению A2) не удовлетворяют.
Уравнение A2) разрешено относительно у. Рассмотрим уравне-
уравнение, содержащее х и у и не разрешенное относительно у, напри-
например уравнение
д;2 + ^2_4_0. A3)
Покажем, что и этому уравнению в плоскости Оху соответствует
линия, а именно—окружность с центром в начале координат и
радиусом, равным 2. Перепишем уравнение в виде
х» + 0» = 4. A4)
Его левая часть х2 + у2 представляет собой квадрат расстояния
точки М (х, у) от начала координат (см. § 2, п. 2, формула 3).
Из равенства A4) следует, что квадрат этого расстояния равен 4.
Это значит, что любая точка М (г, у), координаты которой
удовлетворяют уравнению A4), а значит и уравнению A3), нахо-
находится от начала координат на расстоянии, равном 2.
Геометрическое место таких точек есть окружность с центром
в начале координат и радиусом 2. Эта окружность и будет линией,
соответствующей уравнению A3). Координаты любой ее точки,
очевидно, удовлетворяют уравнению A3). Если же точка М (х\ у)
не лежит на найденной нами окружности, то квадрат ее расстоя-
расстояния от начала координат х2 + у2 будет либо больше, либо меньше 4,
а это значит, что координаты такой точки уравнению A3) не
удовлетворяют.
30

Пусть теперь, в общем случае, дано уравнение
F(x, у) = 0,
A5)
в левой части которого стоит выражение, содержащее х и у.
Определение. Линией, определяемой уравнением A5), назы-
называется геометрическое место точек плоскости Оху, координаты
которых удовлетворяют этому уравнению.
Это значит, что если линия L определяется уравнением
F {** #)=0» то координаты любой точки L удовлетворяют этому
уравнению, а координаты всякой точки плоскости Оху, лежащей
вне L, уравнению A5) не удовлетворяют.
Уравнение A5) называется уравнением линии L.
Замечание. Не следует думать, что любое уравнение
F (ху #)=0 определяет какую-нибудь линию. Например, уравнение
л:2 И-г/2 +1 =0 не определяет никакой линии. В самом деле, при
любых действительных значениях х и у левая часть данного
уравнения положительна, а правая равна нулю, и следовательно,
этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой
точки плоскости Оху.
Линия может определяться на плоскости не только уравне-
уравнением, содержащим декартовы координаты, но и уравнением в по-
полярных координатах. Линией, определяемой уравнением F (у, г) = 0
в полярных координатах, называется геометрическое место точек
плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют этому
уравнению.
Пример 1. Построить спираль Архимеда* г = ау при а = 2.
Решение. Составим таблицу для некоторых значений поляр-
полярного угла ф и соответствующих им значений полярного радиуса г.
ф
г
0
0
я
Т
я
~2~
я
т
я
Зя
Зя
2
я
2я
5я
4
5я
2
Зя
2
Зя
7я
4
7я
2
2я
4я
9я
4
9я
2
5я
2
5я
ф
г
Ия
4
Ия
2
Зя
бя
13я
4
13я
2
7я
2
7я
15я
4
15я
2
4я
8я
...
...
я
~"Т
я
я
— я
Зя
4
Зя
~~ 2
— я
-2я
...
...
Строим в полярной системе координат точку УИО(О; 0), которая,
очевидно, совпадает с полюсом; затем, проведя ось 1г под углом
q>! =-j- к полярной оси, строим на этой оси точку Мг с положи-
* Архимед (III в. до н. э.) — великий греческий математик и механик.
31

тельной координатой ^=-^-
после этого аналогично строим
точки М2,
с положительными значениями полярного угла и
( 30
2 р у
полярного радиуса (оси для этих точек на рис. 30 не указаны).
Соединив между собой точки УИ0, М19 М29 ... , получим одну ветвь
кривой, обозначенную на рис. 30 жирной линией. При изменении
Ф от 0 до + оо эта ветвь кривой состоит из бесконечного числа
витков.
r*a(i*cosy)
Рис. 30
Рис. 31
Затем проводим ось 1г под углом <р, = —~ к полярной оси и
строим на оси 1г точку М1 с отрицательной координатой г, = —~ «
«—1,6. Аналогично строятся точки М2, ... (оси для этих точек на
рис. 30 не указаны). Соединив точки MOi М1У Л1а, ..., получим
вторую ветвь кривой, которая при изменении ф от 0 до — оо также
состоит из бесконечного числа витков; она обозначена на рис. 30
тонкой линией.
Таким образом, искомая кривая линия состоит из двух ветвей.
Пример 2. На рис. 31 изображена кардиоида, уравнение которой
имеет вид г = яA+созф).
2. Нахождение уравнения линии
по ее геометрическим свойствам
В рассмотренных примерах мы, исходя из уравнения, находили
линию, определяемую этим уравнением. Возможна и обратная за-
задача. Пусть линия L на плоскости задана некоторым характерным
геометрическим свойством, которым обладает всякая точка этой линии
и не обладают точки плоскости, лежащие вне линии L; требуется
найти в заданной системе координат уравнение, определяющее эту
линию, т. е. такое уравнение, которому удовлетворяют координаты
любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек плоско-
плоскости, лежащих вне L. Это уравнение, как мы знаем, называется
уравнением данной линии L. Координаты произвольной точки линии
L называются текущими координатами этой линии. Они зависят
32

от выбранной системы координат и могут быть не только декарто-
декартовыми, а, например, и полярными. Вид уравнения линии тоже за-
зависит от выбора системы координат.
Рассмотрим примеры нахождения (вывода) уравнений некоторых
линий в декартовых или полярных координатах.
Пример 1. Найти уравнение (в декартовой системе координат)
окружности с центром в точке О1(а; Ь) и радиусом R.
Решение. Окружность определяется как геометрическое место
точек плоскости, равноотстоящих от данной точки этой плоскости —
центра окружности. Из определения окружности следует, что любая
точка окружности М(х\ у) с теку-
текущими координатами хну находится
на расстоянии R от центра окруж-
окружности Ох{а\ Ь).
По формуле B) получим , °1
откуда
(х—аJ + (у—bf = R2. A6)
Рис. 32
Уравнение A6) является искомым
уравнением окружности. Ему, оче-
очевидно, удовлетворяют координаты любой точки данной окружности
и не удовлетворяют координаты всякой точки плоскости Оху, не ле-
лежащей на этой окружности.
В частном случае, если центр окружности находится в начале
координат, то а = Ь = 0, и уравнение A6) примет вид
x* + y*=*R*. A60
В дальнейшем под радиусом окружности мы будем понимать как
отрезок, соединяющий центр окружности с некоторой ее точкой,
так и его длину.
Пример 2. В полярной системе координат найти уравнение окруж-
окружности с центром в точке Ох @; а) и радиусом равным а (рис. 32).
Решение. По условию центр окружности Ог имеет полярный
угол ф = 0 и полярный радиус г, равный радиусу а искомой окруж-
окружности. Следовательно, эта окружность проходит через полюс О, и
один из ее диаметров лежит на полярной оси. Обозначим буквой А
вторую точку пересечения этого диаметра с полярной осью. Для
точки А ф = 0, г = 2а. Пусть М (ф; г) —любая точка данной окруж-
окружности. Из прямоугольного треугольника ОАМ имеем:
г = О А • cos ф,
или
г = 2а cos ф. A7)
Уравнению A7) удовлетворяют полярные координаты любой точки
данной окружности. Легко видеть, что если точка не лежит на этой
окружности, то ее координаты уравнению A7) не удовлетворяют.
А это значит, что уравнение A7) — искомое.
2 № 2242 33

§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
/. Параллельный перенос осей координат
Выше уже говорилось о том, что в некоторых случаях прихо-
приходится одновременно рассматривать две системы координат на пло-
плоскости и решать следующую задачу: даны координаты точки в одной
системе координат, требуется найти ее координаты в другой системе.
Формулы, выражающие координаты точки в одной системе через ее
координаты в другой системе, называются формулами преобразова-
преобразования координат.
В § 3, п. 3 были получены формулы преобразования для де-
декартовых и полярных координат. В этом пункте мы будем предпо-
предполагать, что обе системы—декар-
системы—декартовы (прямоугольные), причем
одноименные оси этих систем па-
параллельны и одинаково направле-
направлены. На рис. 33 изображены две
такие системы Оху и OXXY. Си-
Система O±XY может быть получена
параллельным переносом осей Ох
и Оу. Условимся называть коор-
координаты точек в системе Оху ста-
старыми, а в системе OXXY—новы-
OXXY—новыми. Пусть х0 и у0 — координаты
нового начала Ох в старой систе-
системе. Предположим, что произвольно
выбранная точка М на плоскости имеет старые координаты х и у и
новые координаты X и Y. Выведем формулы, выражающие старые
координаты точки М через новые. Проектируя новое начало Ог и точ-
точку М на ось Оху а также точку М на ось ОгХ, получим соответ-
соответственно точки Л, Р и N. Очевидно, ОгЫ = АР. Но OtN = \Х\,
а АР=\х—хо\, так что
Рис. 33
т. е. новая абсцисса X и разность х—х0 равны по модулю. Нетрудно
заметить, что и знаки этих величин одинаковы. В самом деле, если N
лежит правее 019 то Р расположено правее Л, и обе величины X
и х—х0 положительны. Если же N находится левее 019 то Р—ле-
Р—левее Л и, следовательно, X и х—х0 отрицательны. В обоих случаях
=х—х0
откуда
Аналогично получается формула для старой ординаты у. Таким
образом, мы получили следующие формулы преобразования коор-
координат (параллельного переноса осей):
A8)
34

Пример. Дана точка М B; —1) в системе Оху. Найти ее новые
координаты X и Y при параллельном переносе осей, если новое
начало в старой системе имеет координаты —1 и 3.
Решение. По формулам A8) получим
откуда Х =
=—4.
+з!}
и
2. Поворот осей координат
Пусть на плоскости заданы две системы координат, имеющие
общее начало О: система Оху (старая) и система OXY (новая), ко-
которая получена поворотом старой системы на угол а. Это значит,
что угол (Ох, ОХ) = а (рис. 34) и, следовательно, угол (Оу, OY) = a.
Найдем формулы, выражаю-
выражающие старые координаты хну
произвольной точки М плоско-
плоскости через ее новые координаты
X и F.
Введем полярные коорди-
координаты: старые—с полярной
осью, совпадающей с осью Ох,
и новые—с полярной осью,
совпадающей с осью ОХ. Пусть
точка М в новой полярной си-
системе имеет полярный угол ф Рис. 34
и полярный радиус г. В старой
полярной системе полярный угол точки М будет равен а + Ф, а
полярный радиус будет таким же, как и в новой системе.
Поэтому по формулам G) будем иметь:
у ^=г 81п(
Используя тригонометрические тождества для косинуса и синуса
суммы двух углов, получим:
х = г (cos a cos ф — sin азтф) = (г cosy) cos а—(г БШф) sin а;
у = г (sin а cos ф + cos а sin ф) = (г cos ф) sin а + (/* sin ф) cos а.
Но г cos ф = X и г sin ф = Y, поэтому
х = X cos а—Y sin а,
у= X sin а + F cos
«л
а. /
A9)
35

Формулы A9) называются формулами поворота осей.
Пример. Выразить старые координаты точки х и у через ее но-
новые координаты X и Y при повороте осей на угол ос — -j.
Решение. Так как cosi = Jy~, sin~- = ^y-, то по формулам
A9) получим:
ИЛИ

ГЛАВА II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. ПРЯМАЯ
/. Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые Lx и L2, лежащие в плоскости Оху.
Углом между двумя пересекающимися в точке М прямыми Lx и L2
называется наименьший угол, на который надо повернуть относи-
относительно точки М против часовой стрелки прямую L1, для того чтобы
она совпала с прямой L2 (рис. 35)*. Предполагается, что поворот
совершается в плоскости прямых Lx и L2.
Рис. 35 Рис. 36
Существенным является порядок, в котором рассматриваются
прямые. Если угол между прямыми Ьг и L2 обозначить символом
(Lx, L2), то (L2, Ьг) = п—(Lx, L2) (рис. 36). Если прямые парал-
параллельны (или совпадают), то угол между ними считается равным
нулю.
Определение угла между двумя прямыми остается в силе, если
одна из прямых является осью, например осью Ох.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
В этом пункте мы выведем уравнение прямой линии в декар-
декартовой системе координат. Это значит (см. гл. I, § 5, п. 2), что мы
найдем такое уравнение, связывающее х и у> которому будут удов-
удовлетворять координаты любой точки данной прямой и не будут
удовлетворять координаты точек, лежащих вне этой прямой.
Пусть прямая не параллельна ни одной из координатных осей.
Положение такой прямой вполне определяется ординатой Ъ точки
Сравните с определением угла между двумя осями (гл. 1, § 3, п. 1).
37

В (О* b) ее пересечения с осью ординат и углом а между осью Ох
и прямой, т.е. наименьшим углом, на который нужно повернуть
против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой (рис. 67).
Пусть М(х\ у) —произвольно выбранная точка нашей прямой, не
совпадающая с точкой В@; Ь). Проведем через точку В ось Вх„
параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между
У,
B(o;t>)
А,
Л*
*1 ft
ее jz
0
В(о;б)
N
Рис. 37
Рис. 38
осью Вхг и данной прямой, очевидно, также равен а. В системе
Вхху точка М имеет координаты xt и у^ причем хг = х, Ух^у—Ь.
Из определения тангенса угла следует
или
Заменяя в этой уравнении хх и уг их выражениями через xf ynb,
получим
Введем обозначение tga = fe. Тогда уравнение A) примет следую-
следующий вид:
Это уравнение является уравнением данной прямой. В самом деле,
из предыдущих рассуждений следует, что ему удовлетворяют коор-
координаты любой точки М{х\ у) прямой, не совпадающей с точкой
В @; 6). Легко проверить непосредственно, что координаты точки
В @- Ь) ему также удовлетворяют. С другой стороны, можно убе-
убедиться, что координаты любой точки N {х\ у), лежащей вне данной
прямой, уравнению B) не удовлетворяют.
Число fc = tga называется угловым коэффициентом прямой, ор-
ордината Ь—отрезком, отсекаемым прямой на оси Оу, а уравнение
B)—уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пусть теперь прямая параллельна оси Ох или, может быть, сов-
совпадает с ней (рис. 38). В этом случае а = 0.
38

Для определенности предположим, что прямая пересекает ось
ординат в точке В@; Ь). Тогда любая точка М этой прямой имеет
ординату, равную ординате точки В:
У=Ь. C)
Очевидно, координаты точки, не лежащей на данной прямой
уравнению C) не удовлетворяют. Поэтому уравнение C) является
уравнением данной прямой, т. е. прямой, параллельной оси Ох
(при 6 = 0 прямая совпадает с осью абсцисс). Легко видеть, что
уравнение C) является частным случаем уравнения B) при а = 0.
Второй частный случай уравнения B) получим, если отрезок 6,
отсекаемый прямой по оси ординат, равен нулю:
у — кХ. yt}
Прямая в этом случае проходит через начало координат.
Отрезок 6, отсекаемый прямой на оси ординат, и угловой коэф-
коэффициент прямой & = tga вполне определяют положение этой прямой,
так как любому значению tga соответствует вполне определенное
значение угла а (см. п. 1).
Пример 1. Найти уравнение биссектрисы I и III координат-
координатных углов.
Решение. Биссектриса I и III координатных углов есть пря-
прямая, проходящая через начало координат. Ее уравнение мы ищем
в форме D): y = kx. При этом ее угловой коэффициент & = tga=
=tg~=l. Поэтому искомое уравнение имеет следующий вид:
У = х. E)
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
В@; 2) и образующей с осью абсцисс угол a =135°.
Решение. Найдем угловой коэффициент искомой прямой:
fe = tgl35° =—1. По условию, отрезок
6 = 2. На основании формулы B) уравне-
уравнение прямой с угловым коэффициентом бу-
будет иметь вид
или
=— х + 2.
3. Уравнение прямой, параллельной
оси ординат
X
А (а; о)
Предположим теперь, что прямая па-
параллельна оси ординат и проходит через Рис. 39
точку А (а\ 0). (Если а = 0, то прямая
совпадает с осью ординат.) Читатель легко увидит, что уравнение
этой прямой имеет следующий вид (рис. 39):
* = а. F)
Это уравнение не является частным случаем уравнения B) прямой
39

с угловым коэффициентом, так как прямая, параллельная оси орди-
ординат, образует с осью абсцисс угол а = у и для нее угловой коэф-
коэффициент fe = tga = tgy не существует.
4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
Мы видели, что уравнение прямой имеет вид B), если прямая
не параллельна оси Оу, или F), если прямая параллельна оси
ординат. Каждое из этих уравнений есть уравнение первой степени
относительно текущих координат. Поэтому можно считать доказан-
доказанной следующую теорему.
Теорема. Уравнение прямой линии в декартовой системе коорди-
координат есть уравнение первой степени.
Покажем, что имеет место обратная теорема.
Теорема. Любое уравнение первой степени относительно декарто-
декартовых текущих координат есть уравнение прямой линии.
Доказательство. Пусть дано уравнение первой степени
относительно декартовых координат:
Ах+Ву + С^О. G)
Возможны два случая.
1) ВфО. Тогда уравнение G) равносильно уравнению
У— в х в ' W
Рассмотрим прямую, отсекающую на оси Оу отрезок Ь= —-^- и обра-
зующую с осью Ох такой угол а, для которого tga =—-^-. Для
такой прямой уравнение (8) будет уравнением прямой с угловым
коэффициентом. Это значит, что уравнение (8), а следовательно,
и уравнение G), является уравнением прямой.
2) Пусть теперь В = 0; тогда уравнение имеет вид
Ах + С = 0. (9)
При этом А Ф О (так как иначе мы имели бы не уравнение, а тож-
тождество С = 0). Поэтому уравнение (9) равносильно уравнению
Но это уравнение есть уравнение прямой, параллельной оси орди-
—~а'>®;' Уравнение (9), равно-
равносильное A0), также является уравнением этой прямой.
Итак, теорема доказана.
Определение. Уравнение вида G) называется общим уравне-
уравнением прямой в декартовой системе координат.
Замечание. В дальнейшем, если будет сказано «дана прямая»,
или «найти прямую», то это будет означать, что дано или что тре-
требуется найти ее уравнение.
40

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда один или несколько
коэффициентов в общем уравнении прямой равны нулю.
1) В = 0. Такой случай уже рассматривался. Уравнение прямой
приводится к виду A0)
_ С
Если при этом С Ф 0, то прямая параллельна оси ординат. Если
же С = 0, то уравнение имеет вид
и прямая совпадает с осью ординат.
2) А = 0. Уравнение прямой приводится к виду
Это есть уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. В частности,
при С = 0, получаем уравнение оси абсцисс
3) С = 0. Уравнение прямой имеет вид
0. A1)
Легко проверить, что уравнению A1) удовлетворяют координаты
начала 0@; 0). Следовательно, прямая в этом случае проходит через
начало координат.
5. Точка пересечения прямых.
Построение прямой по ее уравнению
Пусть даны две прямые Ах-\-Ву-\-С—§ и Ахх-\-В1у-\-С1 = 0 и
требуется найти их точку пересечения. Так как эта точка принад-
принадлежит каждой из двух данных прямых, то ее координаты должны
удовлетворять как уравнению первой прямой, так и уравнению
второй прямой.
Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересе-
пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений
Ах+Ву + С = 0,
Пример 1, Найти точку пересечения прямых 2х + у—1=0 и
210
Решение. Координаты искомой точки пересечения мы найдем,
решив систему уравнений
2х + у—1=0,
х + 2у + 1=0.
Точка пересечения М имеет координаты x = l и у==—1.
41

Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для постро-
построения прямой достаточно знать две ее точки. Чтобы построить каж-
каждую из этих точек, мы задаемся произвольным значением одной из
ее координат, а затем из уравнения находим соответствующее зна-
значение другой координаты.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С^О оба коэффици-
коэффициента при текущих координатах не равны нулю (АфО и ВфО), то
для построения этой прямой лучше всего находить точки ее пере-
пересечения с осями координат.
Пример 2. Построить прямую 2х + 3у—6 = 0.
Решение. Находим точку М(хх\ yt) пересечения данной пря-
прямой с осью абсцисс. Для этого решаем совместно их уравнения:
2х + 3у—6 = 0,
6 = 0, \
У=0 (
и получаем х1=3, ух = 0. Таким образом, найдена точка МC; 0)
пересечения данной прямой с осью абсцисс (рис. 40). Решая затем
совместно уравнение данной прямой и
уравнение оси ординат
—6 = 0, \
* = 0, J
мы находим точку N@; 2) пересече-
пересечения прямой с осью ординат. Наконец,
строим прямую по ее двум точкам М
и N.
Пример 3. Построить прямую 2у +
+ 5-0.
Рис. 40 Р е ш е н и е. В уравнении данной
прямой коэффициент при х равен нулю,
а свободный член отличен от нуля. Следовательно, прямая па-
параллельна оси абсцисс. Ее уравнение можно записать в следую-
следующей форме:
Таким образом, ордината каждой точки прямой равна —у. Абсцис-
Абсциссы двух точек, нужных для построения прямой, можно выбрать
произвольно. Например, положим хг = 0 и х2= 1. Тогда мы получим
две точки прямой М (О; —у) и ЛП 1; —у], по которым и построим
прямую.
6. Вычисление угла между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть две пересекающиеся в точке М прямые Ьг и L2 опреде-
определяются соответственно уравнениями у= klx-\-bl и y = k2x-\-b2. Най-
Найдем тангенс угла ф между этими прямыми (рис. 41). Мы должны
42

предположить, что данные прямые не перпендикулярны друг другу,
так как иначе tgq> не существовал бы. Пусть прямая Lx образует
с осью абсцисс угол ах, а прямая L2— угол а2. Проведя через
точку УИ, в которой пересекаются прямые Lx и L2, прямую, парал-
параллельную оси Ох, увидим, что
или
Следовательно,
Но tgat = felf а
+tgartga2
поэтому
A2)
Таким образом, если две пересекающиеся прямые Lx и L2 не пер-
перпендикулярны, то тангенс угла ф между ними находится по фор-
формуле A2). При этом угол ф отсчиты-
вается в направлении от прямой Lx к
прямой L2.
Если прямые параллельны, или
совпадают, то ах =а2 и, следователь-
следовательно, tga1==tga2, т.е.
k —k
A3)
Рис. 41
Обратно, если k2 — klt то ax = a2 и,
следовательно, прямые Ьг и L2 парал-
параллельны или совпадают. Условив-
Условившись совпадающие прямые считать
параллельными, мы приходим с следующему признаку параллель-
параллельности прямых.
Необходимым и достаточным условием параллельности двух пря-
прямых является равенство их угловых коэффициентов*.
Если прямые Lx и L2 перпендикулярны, то формула A2) теряет
смысл. Однако в этом случае можно рассматривать котангенс угла
между прямыми:
В случае перпендикулярности прямых ctg ф = ctg у = 0. Следова-
Следовательно, j 1ьа = 0, откуда 1 H-fexfe2 = 0, или
*А = -1. A4)
* Нетрудно проверить, что в случае параллельности прямых Lx и L2 формула
A2) остается справедливой (напомним, что угол между двумя параллельными
прямыми по условию равен нулю).
43

Можно показать, что и обратно, если выполняется равенство A4),
то прямые Lx и L2 перпендикулярны.
Таким образом, формула A4) выражает необходимое и достаточ-
достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Пример. Определить, какие углы образуют с прямой Ъх-\-у—6 = 0
прямые % + 2*/+1 = 0, 6% + 2г/— 1 =0 и х—3# + 2 = 0.
Решение. Приведем уравнения данных прямых к форме урав-
уравнений с угловым коэффициентом. Для этого разрешим каждое из
них относительно у:
; уХ] у Зх + ; y x +
Мы видим, что угловые коэффициенты этих прямых соответственно
равны kx=—3; k2=—у; k3=^--3 и К~-$ • Найдем по формуле
A2) тангенс угла ср между первой и второй прямыми:
1
k2—kx ""IT"*
Следовательно, ф = ~ .
Третья прямая параллельна первой, так как угловые коэффици-
коэффициенты этих прямых равны: kx^k^=--—3. Угол между двумя парал-
параллельными прямыми равен нулю.
Четвертая прямая перпендикулярна первой (угол между ними
равен у], так как угловые коэффициенты этих прямых удовлетво-
удовлетворяют условию перпендикулярности прямых A4): kl-k4 = (—3)^у=
7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
в заданном направлении
Поставим задачу найти уравнение прямой, если известны ее
угловой коэффициент k и точка Мх (хх\ t/x), через которую эта пря-
прямая проходит (частный случай задачи мы решали в п. 2, когда
гочка Мг лежала на оси ординат).
Напишем уравнение прямой с угловым коэффициентом B)
Здесь неизвестен свободный член 6. Но мы можем найти его, зная,
что точка Мх (хх\ уг) лежит на искомой прямой и, следовательно, ее
координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
Отсюда
b=y1—kx1.
44

Подставив найденное значение b уравнение B), получим
или
У—У! = к(х—хх). A5)
Уравнение A5) есть искомое. Оно называется уравнением пря-
прямой, проходящей через заданную точку.
Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
Л1Ж(—1; 2) параллельно прямой у = —Зх+1.
Решение. Искомая прямая по условию параллельна данной
прямой. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой k
равен угловому коэффициенту данной прямой: & = —3. Пользуясь
уравнением A5) прямой, проходящей через данную точку, и учи-
учитывая, что в этом уравнении следует положить хх = — 1, yt=2 и
& = —3, получим
или
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Mt(—3; —1) перпендикулярно прямой 2х + у— 3 = 0.
Решение. Уравнение данной прямой можно записать в форме
у = —2х + 3, откуда следует, что ее угловой коэффициент kt = —2.
Угловой коэффициент k2 искомой прямой, перпендикулярной к дан-
данной, связан с коэффициентом &х условием k±k2=—1. Следовательно,
k2 = — —=—. Теперь остается воспользоваться уравнением A5)
прямой, проходящей через данную точку, положив в нем л:1 = —3,
yi=—1 и fe-=y:
После упрощений получим
х—2у+\ = 0.
8. Пучок прямых
Определение. Множество всех прямых на плоскости, проходя-
проходящих через некоторую точку М этой плоскости, называется пучком
прямых. Точка М при этом называется центром пучка.
Предположим, что в уравнении A5) координаты точки Мх(хх\ ух)
остаются неизменными, а угловой коэффициент k принимает раз-
различные (произвольно выбираемые) значения. Тогда каждому числен-
численному значению k будет соответствовать прямая, проходящая через
точку Мх. Обратно, всякая прямая, проходящая через точку Mlt за
исключением прямой x = xlt перпендикулярной оси абсцисс, имеет
вполне определенный угловой коэффициент k и, следовательно, опре-
определяется уравнением вида A5).
45

Таким образом, уравнение A5), в котором k принимает всевоз-
всевозможные численные значения, определяет пучок прямых с центром
в точке М1(х1; уг) за исключением прямой x = xv
9. Уравнение прямой,
проходящей через две данные тонка
Пусть даны две точки Мх (хг; ух) и М2 (х2; у2). Требуется соста-
составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Напишем уравнение A5) пучка прямых, проходящих через точку
М { )
Из этого пучка нам следует выбрать прямую, проходящую через
точку М2 (х2; у2). Угловой коэффициент k этой прямой должен быть
таким, чтобы координаты точки М2 (х2; у2) удовлетворяли уравне-
уравнению A5), т. е. чтобы имело место равенство
Уг— Ух = к{х2— хх).
Из этого условия мы находим угловой коэффициент искомой прямой
х2—хх
и подставляем его в уравнение A5):
Это уравнение обычно записывают в следующей симметричной форме:
У2—У1 х2—хх'
Мы получили уравнение прямой, проходящей через две данные
точки.
Предполагается, что в уравнении A7) х2фхх и у2фу1У так как
иначе это уравнение не имело бы смысла. Геометрически это озна-
означает, что прямая, проходящая через точки М1(х1\ yt) и М2 (*2; у2),
не параллельна ни одной из координатных осей.
Если х2=хг> то прямая, проходящая через точки М1(х1\ ух) и
М2(х2, у2)у параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = хг.
Если же y2=--ylf то прямая МХМ2 параллельна оси абсцисс, и ее
уравнение может быть записано в виде у = уг.
Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
ЛМ1;2) и М2(-2;3).
Решение. Полагая в уравнении A7) хг=-\\ у1 = 2\ х2 — —2
и #2 = 3, получим
у—2__ *—1
3—2 —2 — 1
или, после упрощений,
х+Зу—7 = 0.
46

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
ЛМ2; -1) и ЛМ—3; —1),
Решение. Имеем уг^у2 =— 1. Следовательно, искомая прямая
параллельна оси Ох. Ее уравнение имеет вид у =—1.
10. Расстояние от точки до прямой
Сначала найдем расстояние от начала координат до прямой
Приведя данное уравнение к виду уравнения прямой с угловым
коэффициентом
А С
У *
замечаем, что угловой коэффициент этой прямой kt=* — -g-. Пря-
Прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно данной
прямой, имеет угловой коэффициент k2 = — Y^'TT' Поэтому урав-
уравнение этой прямой имеет вид
ч
Решая систему уравнений
\
"о
Рис. 42
мы найдем координаты точки N (л:; у),
являющейся точкой пересечения данной
прямой и опущенного на нее из начала координат перпендикуляра:
- -АС
- -ВС
Искомое расстояние d от начала координат до данной прямой равно
расстоянию между началом координат О @; 0) и точкой N (х\ у):
A8)
Найдем теперь расстояние d от произвольно заданной точки
М0(х0;у0) Д° данной прямой Ах + Ву + С — О (рис. 42). Сделаем
параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало
точку Л40. Тогда (см. гл. I, § 6, п. 1)
; = Х + *0,
A9)

и уравнение данной прямой в новой системе координат примет сле-
следующий вид:
A(X
или
или, наконец,
где
Так как в новой системе координат точка Мо является началом
координат, то расстояние d от этой точки до данной прямой найдется
по формуле A8):
или, так как Со == Ах0 + Ву0 + С, то
Заметим, что в числителе правой части формулы B0) стоит
абсолютная величина выражения, которое получится, если в левую
часть уравнения данной прямой Ах + Ву + С = 0 вместо текущих
координат подставить координаты данной точки М0(х0;у0).
Пример 1. Треугольник задан своими вершинами ЛA; 2),
В(—2; 1) и С B; 3). Найти длину его высоты, опущенной из вер-
вершины А.
Решение. Найдем уравнение прямой, проходящей через две
точки В (—2; 1) и С B; 3):
х—2 ___у—3
или
х—2t/ + 4 = 0.
Искомую длину высоты найдем по формуле B0) как расстояние от
точки Л A; 2) до прямой ВС:
d__\ 1-2.2 + 4] = 1_= ^5"
Y2)a уъ 5
Пример 2. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми
3*—4#—2 = 0 и 5л:+ 12г/—1 =0.
Решение. Биссектриса угла есть геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от сторон этого угла. Пусть точка
М(х\у)—любая точка биссектрисы угла между данными прямыми
(рис. 43). Согласно формуле B0) ее расстояние от первой прямой
d _[ 3^-4^-2 | = 1 Зх-4у-2\
1 у& +(—4J 5
48

Точно так же расстояние точки М (х; у) от второй прямой
. \5х+12у-1\_\5х+\2у-\\
у 52-4- 122 ^
По определению биссектрисы
(Л «Т fi
1 1*9 J * • >- •
5 — 13
Если равны модули двух ве-
величин, то эти величины либо рав-
равны, либо отличаются только зна-
знаком. Следовательно,
Ъх— 4у — 2 Ъх+\2у — \
5 "" 13
или
5 13 Рис. 43
Упрощая последние два уравнения, получим
—16^—3=-0 или
Переходя к обозначениям текущих координат х и у вместо х и у ,
получим следущие уравнения биссектрис:
2*—16*/ —3 = 0 или 64х + 8у—31 =0.
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
/• Определение кривой второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, определяемая урав-
уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.
В общем случае это уравнение имеет следующий вид:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0*, B1)
где коэффициенты Л, 2В, С, 2Д 2Е и F—действительные числа и,
кроме того, по крайней мере одно из чисел Л, В или С отлично
от нуля.
Ранее было выведено уравнение окружности (гл. I, § 5, п. 2):
by = R\ B2)
Это уравнение второй степени относительно х и у. Следовательно,
окружность есть кривая второго порядка. В следующих пунктах
будут рассмотрены четыре кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола и парабола.
* Коэффициенты при ху> х и у обозначены соответственно через 2?, 2D и 2Е
для удобства преобразований уравнения B1) в дальнейшем.
49

2. Окружность
Раскрыв скобки в уравнении B2) и выполнив некоторые тож-
тождественные преобразования, мы получим уравнение окружности
в следующем виде:
2ах—2by + a2 + b2 — R2 = 0. B3)
При сравнении этого уравнения с общим уравнением B1) кривой
второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности
выполнены два условия: 1) отсутствует член с произведением коор-
координат ху\ 2) коэффициенты при х2 и у2 равны между собой *.
Рассмотрим обратную задачу. Пусть в общем уравнении кривой
второго порядка отсутствует член с ху и равны коэффициенты при
х2 и у2:
А = С и 2В = 0.
Будет ли это уравнение уравнением окружности? Прежде всего
отметим, что, не ограничивая общности, можно считать, что в урав-
уравнении B1) Л=1 (а следовательно, и С=1), так как если бы этого
не было, то мы могли бы разделить на А обе части этого уравнения.
Таким образом, можно считать, что уравнение кривой второго
порядка имеет следующий вид:
0. B4)
Выделив в левой части этого уравнения две группы членов х2 + 2Dx
и у2-\-2Еуу дополним каждую из них до полного квадрата. Тогда
уравнение примет следующий вид:
или
(x + Df + (у + EY = D2 + E*—F. B5)
Рассмотрим три возможных случая:
1) D2-\-E%—F > 0. В этом случае уравнение B5), а следова-
следовательно, и равносильное ему уравнение B4) определяют окружность
с центром в точке Ох(—D; —Е) и радиусом R=YD2 + E2—F;
2) D2 + E2—/7 = 0. В этом случае уравнение B5) имеет вид
Последнему уравнению, а следовательно, и равносильному ему
уравнению B4) удовлетворяют координаты единственной точки
Ol(_D; -?);
3) D2 + E2—F<0. Уравнение B5), а следовательно, и равно-
равносильное ему уравнение B4) не определяют при этом никакой линии,
так как правая часть уравнения B5) отрицательна, а левая его
часть как сумма квадратов отрицательной быть не может.
* То, что каждый из этих коэффициентов равен единице, несущественно, так
как стоит лишь умножить обе части уравнения B3) на какое-нибудь число X
(X Ф 0, % Ф 1), и коэффициенты при х2 и у2 в уравнении окружности уже не
будут равны единице.
60

Пример 1. Показать, что уравнение х2 + У2 —- 2х + 4#—11=0
определяет окружность, и найти координаты ее центра и радиус.
Решение. Условия Л = С=1 и 2В = 0 здесь выполняются.
Преобразуем данное уравнение:
(х2_2а:+1) + A/2 + 4// + 4)—1 —4—11 =0,
или
Мы получили уравнение окружности с центром О1A\ —2) и ра-
радиусом /? = 4.
Пример 2. Показать, что уравнение x2 + y2 + Qx—-
не определяет никакой линии.
Решение. Преобразуем это уравнение:
(х* + 6х + 9) + @«-6у + 9) —9—9 + 22-^0,
или
Теперь ясно, что данное уравнение не определяет никакой линии.
3. Эллипс
Определение. Эллипсом называется геометрическое место
точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух
данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоян-
постоянная величина (при условии, что
эта величина больше расстоя-
ния между фокусами).
Обозначим фокусы через/7!
и F2, расстояние между ними —
через 2с, а постоянную вели-
величину, равную сумме расстоя-
расстояний от каждой точки эллипса
до фокусов, через 2а (по уело-
вию 2а > 2с).
Построим декартову систему
координат так, чтобы фокусы Fг ис*
и F2 оказались на оси абсцисс,
а начало координат совпало с серединой отрезка FXF2 (рис. 44).
Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: левый фокус
Ft(—с\ 0) и правый фокус F2(c\ 0). Выведем уравнение эллипса в
выбранной нами системе координат. С этой целью рассмотрим
произвольную точку М (х\ у) эллипса. По определению эллипса сум-
сумма расстояний от этой точки до фокусов Fx и F2 равна 2а:
Ft(c;o)
Пользуясь формулой для расстояния между двумя точками,
получим MFl = y (x + cJ + y29 MF2 = V(x—сJ + у2; следовательно,
V V - 2а. B6)
51

Для упрощения этого уравнения запишем его в форме
У (х + сJ + у* = 2а—У {x-cf +у\
Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим
(х + сJ + у2 = 4а2 + (х—сJ + у2—4а V(x—cJ + y2,
или, после очевидных упрощений:
сх—а2 = — а У(х—сJ + у2.
Теперь опять возводим обе части уравнения в квадрат, после чего
будем иметь:
с2х2 — 2сха2 + а* = а2 [(х—сJ + у2],
или, после тождественных преобразований:
(а2—с2) х2 + а2 у2 = а2 (а2—с2). B7)
Так как согласно условию в определении эллипса 2а > 2с, то
а2—?2 — число положительное. Введем обозначение
а*—с* = Ь2. B8)
Тогда уравнение примет следующий вид:
или
$ + ¦&=!• B9)
По определению эллипса координаты любой его точки удовлетворяют
уравнению B6). Но уравнение B9) является следствием уравне-
уравнения B6). Следовательно, ему также удовлетворяют координаты
любой точки эллипса.
Можно показать, что координаты точек, не лежащих на эллипсе,
уравнению B9) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение B9)
есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением
эллипса.
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим урав-
уравнением.
Прежде всего обратим внимание на то, что это уравнение содер-
содержит только четные степени х и у. Это значит, что если какая-нибудь
точка М (х\ у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат также
точка М'(х\ —у), симметричная с точкой М (х\ у) относительно
оси абсцисс, и точка М" (— х; у), симметричная с точкой М (х\ у)
относительно оси ординат. Таким образом, эллипс имеет две взаимно
перпендикулярные оси симметрии, которые в выбранной нами системе
координат совпадают с координатными осями. Оси симметрии эллипса
мы в дальнейшем будем называть осями эллипса, а точку их пере-
пересечения— центром эллипса. Та ось, на которой расположены фокусы
эллипса (в данном случае ось абсцисс), называется фокальной осью.
62

Определим форму эллипса сначала в I четверти. Для зтого раз-
разрешим уравнение B8) относительно у:
Рис. 45
Очевидно, что здесь О^х^а, так как у при х>а принимает
мнимые значения. При возрастании х от 0 до а у уменьшается от
b до 0. Частью эллипса, лежащей в I четверти, будет дуга, огра-
ограниченная точками В @; Ь) и А (а; 0), лежащими на осях координат
(рис. 45). Воспользовавшись теперь
симметрией эллипса, приходим к за-
заключению, что эллипс имеет форму,
изображенную на рис. 45.
Точки пересечения эллипса с
осями называются вершинами эллип-
эллипса. Из симметрии эллипса следует, Afta^j
что, кроме вершин А (а; 0) и В @; Ь),
эллипс имеет еще две вершины
Ах (— а; 0) и Вх @; — Ь) (см. рис. 45).
Отрезки ААХ и BBXt соединяющие
противоположные вершины эллипса,
а также их длины 2а и 26, назы-
называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и b
называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Отношение -^ половины расстояния между фокусами к большой по-
полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозна-
обозначается обычно буквой в:
« = ?¦ C0)
Так как с<а, то эксцентриситет эллипса меньше единицы: е< I.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно, из
формулы B8) следует, что f — j =1 — (~) =1—е2. Отсюда видно,
что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем меньше его малая
полуось b отличается от большой полуоси а, т. е. тем меньше вытя-
вытянут эллипс (вдоль фокальной оси).
В предельном случае при 6 = а получится окружность радиуса а:
^- + ^-=1, или j
^ ^ * = а\ При этом c = Va*—b2 = Va2 — a2 = 09
и фокусы эллипса как бы сливаются в одной точке—центре окруж-
окружности. Эксцентриситет окружности равен нулю:
Связь между эллипсом и окружностью может быть установлена
и с другой точки зрения. Покажем, что эллипс с полуосями а и b
можно рассматривать как проекцию окружности радиуса а.
53

Рассмотрим две плоскости Р и Q, образующие между собой
такой угол а, для которого cosa = ~ (рис. 46). Построим в плос-
плоскости Р систему координат OXY, а в плоскости Q—систему Оху
с общим началом координат О и общей осью абсцисс, совпадающей
с линией пересечения плоскостей. Рассмотрим в плоскости Р ок-
окружность
Х2 + У2 = а2 C1)
с центром в начале координат и радиусом равным а. Пусть
М(Х; Y)—произвольно выбранная точка окружности, N (х; у)—
ее проекция на плоскость Q и
К (х\ 0) — проекция точки М на ось
Ох. Покажем, что точка N (х; у) ле-
лежит на эллипсе с полуосями а и Ь.
В самом деле, по построению
Х — х. Кроме того, из треуголь-
треугольника KMN имеем:
у = KN = KM. cos a = Y • — , откуда
v —Ш
1 ~ ь '
Рис. 46
Заменив в уравнении C1) X и Y
их выражениями через х и у> получим
?+(*)¦-«¦¦
*•
или
Мы видим, что координаты точки N (#; у) удовлетворяют уравнению
эллипса с полуосями а и Ъ. Это значит, что проекция любой точки
М (X; Y) окружности C1) принадлежит эллипсу. Легко видеть, что
и обратно, любая точка N (х\ у) эллипса есть проекция некоторой
точки М (X; Y) окружности. Итак, эллипс есть проекция окруж-
окружности.
Пример 1. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его
большую полуось о = 5и эксцентриситет 8 = 0,6.
Решение. По условию е = — = 0,6. Следовательно, половина
расстояния между фокусами с — а -0,6 = 5 -0,6 = 3. Но тогда квадрат
малой полуоси эллипса Ь2=а2—с2 =25 — 9=16. Таким образом,
искомое каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:
25
16
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходя-
проходящего через точку М1B\ —3) и имеющего большую полуось а = 4.
64

Решение. Каноническое уравнение эллипса при а = 4 имеет
следующий вид:
Этому уравнению должны удовлетворять координаты точки Мг B; —3).
Следовательно,
22 , (-3)*,
16 "•" Ъ2 ~1'
Найдя отсюда б2 =12 и подставив его в уравнение C2), получим
искомое каноническое уравнение эллипса:
16 "*" 12 ~im
4. Гипербола
Определение. Гиперболой называется геометрическое место
точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каж-
каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых
фокусами, есть постоянная величина, при условии, что эта вели-
величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.
Обозначим расстояние между фокусами Ft и F2 через 2с, а посто-
постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой
точки гиперболы до фокусов, через 2а (по условию 0 < 2а < 2с).
Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за
начало координат примем середину отрезка FXF2 (см. рис. 44).
Фокусы в такой системе будут иметь координаты F±(—с; 0) и
F2(c\ 0). Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе коор-
координат. По определению гиперболы для любой ее точки М (х\ у)
имеем \MFt — MF2\ = 2a, или
MF1—MF2=±2a.
Но MF^Vix + cf + y2 и MF2 = V(x—сJ + у2. Поэтому получим
—V(x—cJ + r/2= ± 2a. C3)
После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при
выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:
(а2—с2) х2 + а2у2 = а2 (а2—с2), C4)
которое является следствием уравнения C3).
Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравне-
уравнением B7), полученным для эллипса. Однако в уравнении C4) раз-
разность а2—с2 < 0, так как для гиперболы 2а < 2с. Поэтому положим
с2—а2 = Ь2. C5)
Тогда уравнение C4) приводится к следующему виду:
Ь2 *
55

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Урав-
Уравнению C6), как следствию уравнения C3), удовлетворяют коорди-
координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты
точек, не лежащих на гиперболе, уравнению C6) не удовлетворяют.
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим урав-
уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих
координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии,
в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем
оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы,
а точку их пересечения—центром гиперболы. Ось гиперболы, на
которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Иссле-
Исследуем форму гиперболы в I четверти, где
y=Ly#=3. C7)
Здесь xZ^a, так как иначе у принимал бы мнимые значения. При
возрастании х от а до + оо у возрастает от 0 до + оо. Частью
гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга AM, изображенная
на рис. 47.
Так как гипербола расположена симметрично относительно коор-
координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.
Точки пересечения гиперболы с фо-
фокальной осью называются ее верши-
вершинами. Полагая у = 0 в уравнении
гиперболы, найдем абсциссы ее вер-
вершин: х= ±а. Таким образом, гипер-
гипербола имеет две вершины: А (а; 0) и
Ах(—а\ 0). С осью ординат гипер-
гипербола не пересекается. В самом деле,
положив в уравнении гиперболы
х = 0, получим для у мнимые значе-
Рис. 47 ния: y=±V—б2. Поэтому фокаль-
фокальная ось гиперболы называется дей-
действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной
оси,— мнимой осью гиперболы.
Действительной осью также называется отрезок, соединяющий
вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки
В@; Ь) и В1@\ —Ь) (см. рис. 47), а также его длина 26 назы-
называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь соответственно назы-
называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и
являющуюся графиком функции
и = — Ух1 а2.
Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно
большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки
к прямой
56

проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффи-
коэффициент k — — .
а
С этой целью рассмотрим две точки М (х; у) и N (х\ У), имею-
имеющие одну и ту же абсциссу х и лежащие соответственно на кри-
кривой C7) и прямой C8) (рис. 48), и со-
составим разность между ординатами этих
точек *:
Рис. 48
Числитель этой дроби—величина постоянная, а знаменатель неогра-
неограниченно возрастает при неограниченном возрастании х. Поэтому
разность У—у стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно
сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.
Из симметрии гиперболы относительно координатных осей сле-
следует, что имеется еще одна прямая у= — ~x, к которой сколь угодно
близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала
координат. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее
асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимп-
Рис. 49
* Ордината точки прямой обозначена через Y, для того чтобы отличить ее
от ординаты у точки, лежащей на гиперболе.
67

тоты гиперболы. Для этого следует построить прямоугольник CDEH
с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям
Ох и Оу и соответственно равными 2а и 26. Этот прямоугольник
называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно
продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед
построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.
Отношение половины расстояния между фокусами к действи-
действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы
и обозначается обычно буквой г:
Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше
единицы: е>1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы»
Действительно, из формулы C5) следует, что f —J =(¦?) —1 =
—г2 — 1. Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,
тем меньше отношение — ее полуосей. Но отношение — определяет
форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму
самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более
вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).
Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если
ее действительная полуось равна мнимой полуоси: a = ft. Канони-
Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид
а2 а2 '
ИЛИ
х* —у* = а2. D1)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения
у = х D2)
D2')
и, следовательно, являются биссектрисами координатных, углов.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы
8 = — = -
a
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная
что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет
13
равен j2•
Решение. По условию 2с = 26 и 8 = "~==то# Следовательно,
12 12 26
большая полуось гиперболы a = j^'c=zj^'Y==^' Согласно фор-
формуле C5) малая полуось гиперболы b=^Vc2—а2=1^132 —122 = 5.
58

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:
144 25 -1'
Пример 2. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди-
/ VT\
нат, проходит через точки Мх\—3; -^тр-) и М2D; —2). Найти ее
каноническое уравнение.
Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы
а2
Этому уравнению удовлетворяют координаты точек Мх (—3;
и Л12D; —2). Следовательно,
(НУ
j-3)« \ 2 /_ 42 (-2J
5 1 И  -
или
Отсюда находим а2 = 8 и б2 =4 и подставляем их в каноническое
уравнение гиперболы:
х2 у2 ,
5. Парабола
Определение. Параболой называется геометрическое место
точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой
фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. (Предполагается,
что фокус не лежит на директрисе.)
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Эта
величина называется параметром параболы.
Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так, чтобы
она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела
положительное направление от директрисы к фокусу (рис. 50).
За начало координат выберем середину перпендикуляра FR, опу-
опущенного из фокуса на директрису. В выбранной таким образом
системе координат фокус будет иметь координаты Wy; 0). Урав-
Уравнение директрисы будет иметь следующий вид:
*=-?. D3)
Пусть М(х;у)—точка параболы. По определению параболы, рас-
расстояние MN точки М (х; у) от директрисы равно ее расстоянию MF
от фокуса: MN — MF.
59

Из рис. 50 ясно, что MN =
—ОJ. Следовательно,
= ^ +x9 a MF
V \Х~Т
!•+*-1/ (*-| J-
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим
?
или, после упрощений
У2 = 2рх. D4)
Уравнение D4) называется каноническим уравнением параболы.
Ему, очевидно, удовлетворяют координаты любой точки параболы.
Можно показать, что координаты точек, не лежащих на параболе,
уравнению D4) не удовлетворяют.
S
I
) нннмМ
и
х У(?;о}
Рис. 50
Рис. 51
Исследуем форму параболы по ее каноническому уравнению. Так
как в это уравнение у входит лишь в четной степени (в квадрате),
то ось абсцисс является осью симметрии параболы. Вся кривая
расположена справа от оси ординат, так как левая часть уравнения
D4) неотрицательна, и, следовательно, ху стоящий в правой части
этого уравнения, не может быть отрицательным. При л;^0 имеем
у —0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.
При неограниченном возрастании х абсолютная величина у также
неограниченно возрастает. Парабола, определяемая уравнением D4),
имеет вид, изображенный на рис. 51.
Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пе-
пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной.
В данном случае вершина параболы совпадает с началом координат.
Пример. Дана парабола у2 = 6х. Составить уравнение ее дирек-
директрисы и найти ее фокус.
60

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим урав-
уравнением параболы D4), видим, что 2/7 = 6, р = 3. Так как директриса
параболы имеет уравнение х = — ~ , а фокус—координаты -~ и О,
3 / 3 \
то уравнение директрисы х = к, а фокус F I у; 0 ).
Замечание. Если фокальную ось параболы принять за ось
ординат, то уравнение параболы примет вид
D5)
6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола
как конические сечения
Круговым конусом называется поверхность, которая получится
при вращении прямой вокруг другой прямой (оси вращения), пере-
пересекающей данную прямую. При этом вращающаяся прямая в любом
своем положении называется образующей конуса, а точка пересече-
пересечения прямой с осью вращения называется
вершиной конуса. Конус имеет две поло-
полости, отделяемые друг от друга его вер-
вершиной.
Окружность, эллипс, гипербола и пара-
парабола могут быть получены сечениями
кругового конуса плоскостями, не про-
проходящими через его вершину. (Доказа-
(Доказательство этого мы опускаем.) Поэтому эти
кривые называются коническими сече-
сечениями.
Если плоскость перпендикулярна оси
конуса, то в сечении получится окруж-
окружность.
Если плоскость не перпендикулярна
оси, пересекает лишь одну полость кону-
конуса и не параллельна ни одной из его
образующих, то в сечении получится
эллипс.
Если плоскость пересекает одну по-
полость конуса параллельно какой-нибудь
одной его образующей, то в сечении получится парабола.
Наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, то в се-
сечении получится гипербола (рис. 52).
Кривые второго порядка имеют большое применение в различных
областях науки и техники. Приведем некоторые примеры.
1. Известно, что планеты солнечной системы движутся по эллип-
эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено солнце.
2. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то снаряд, выпу-
выпущенный под углом к горизонту, описывает параболу.
Рис. 52
61

3. Если в фокусе параболы поместить источник света, то лучи,
отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На этом
свойстве основано устройство прожектора.
4. Как доказывается в механике, ракета, запущенная с поверх-
поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной ско-
скоростью 0О = 11,2 км/сек (вторая космическая скорость), будет дви-
двигаться по параболе, неограниченно удаляясь от поверхности земли.
При начальной скорости v0 > 11,2 км/сек ракета также будет неогра-
неограниченно удаляться от поверхности земли, двигаясь уже по гиперболе.
Наконец, при начальной скорости v0 < 11,2 км/сек ракета, двигаясь
по эллипсу, либо упадет снова на землю, либо станет искусствен-
искусственным спутником Земли.
7. Упрощение уравнения кривой второго порядка.
График квадратного трехчлена
Вид уравнения кривой зависит от выбора системы координат.
В различных системах координат для одной и той же кривой мы
можем получить уравнения различной сложности. Поэтому часто
ставится следующая задача. Дано уравнение кривой второго порядка
в некоторой декартовой системе координат Оху, не являющееся прос-
простейшим. Требуется с помощью преобразования координат (см. гл, I,
§ 6) получить простейшее уравнение данной кривой и по виду этого
уравнения определить тип кривой, т. е. выяснить, является ли
кривая эллипсом, гиперболой и т. д.
Пусть, например, дано уравнение
D6)
в правой части которого стоит квадратный трехчлен. Для того чтобы
получить простейшее уравнение данной кривой, воспользуемся
формулами параллельного переноса осей (см. гл. I, § 6, п. 1):
D7)
в которых х0 и у0 — координаты нового начала Ог. Подставив в урав-
уравнение D6) вместо старых координат х и у их выражения через новые
координаты X и У, получим
или, после упрощений,
Y = аХ* + Bах0 + Ь)Х + ая* + Ьхо + с—уо. D8)
Выберем координаты нового начала х0 и у0 так, чтобы в правой
части уравнения D8) коэффициент при X в первой степени и сво-
свободный член обратились в нуль, т. е. чтобы были выполнены условия
D9)
62

Решая эту систему уравнений относительно неизвестных х0 и у0,
получим:
— ^ —^ас—^2 *
Х° ~~ — Та ' #° ~~ 4а *
При таком выборе координат начала Ох новой системы уравнение
D8) примет вид
т. е. будет простейшим уравнением параболы, для которой ось OXY
является осью симметрии.
Таким образом, график квадратного трехчлена
у =s ах2 + Ъх + с
есть парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат, и с
вершиной в точке ( —^; —^— J.
Аналогично можно показать, что кривая х = ау2 + Ьу + с есть па-
парабола с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, и с вершиной
()
Пример. Привести уравнение параболы у=2х2—8л:+11 к про-
простейшему виду и найти координаты вершины.
Решение. Заменяя в данном уравнении х и у их выражениями
через X и Y по формулам D7), получим
или
Y = 2X
Полагая
4х0—8 = 0, 2x1—8хо + 11— #0 = 0,
получим координаты нового начала — вершины параболы: хо
j/0 = 3. При этом уравнение параболы будет иметь вид Y =2Х2
8. Уравнение равносторонней гиперболы,
асимптоты которой приняты за оси координат
Покажем, что графиком функции
является равносторонняя гипербола с асимптотами, совпадающими
с координатными осями.
Для этого, повернув оси координат на угол а = -^- (рис. 53), по-
V2
лучим новую систему координат OXY, причем #=¦——(X — Y), у=
(см. гл. I, § 6, п. 2, пример).
* Из второго уравнения D9) видно, что #о

Подставляя эти выражения для х и у в уравнение E0), получим
(X-Y)
или, после упрощений,
X2—F2 =
Это уравнение равносторонней гиперболы. Ее действительная ось <
при ft > 0 совпадает с осью ОХ, а при ft < 0—с осью OY (на рис. 53 |
Рис. 53
предполагается ft > 0). При этом старые оси Ох и Оу служат бис-
биссектрисами координатных углов новой системы OXY и, следовательно,
являются асимптотами равносторонней гиперболы. Действительная
полуось гиперболы a = ]/2-|fc|. Таким образом, графиком функции
у=^— является равносторонняя гипербола, для которой асимптотами
служат оси координат Ох и Оу.
9. График дробно-линейной функции
Дробно-линейной называется функция вида
^S' E1)
где а, Ьу с и d—постоянные, причем -j-ф-г. Покажем, что графи-
графиком этой функции является равносторонняя гипербола с асимпто-
асимптотами, параллельными осям координат.
Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части
уравнения E1), на с и введем обозначения — = а; — = |J; — = у.
64

Тогда получим
у
Правую часть этого уравнения преобразуем следующим образом:
ау^а(* + У) + Р—«Y = cc . P~«Y
х+у ~*~ х + у
„ .„•¦ Р—аУ
Уа + Т^
Таким образом,
или
у—a =
р — ау
Положим х + у = Х и у—а = У, т.е. сделаем преобразование парал-
параллельного переноса осей х = Х — у
и y = Y + a с новым началом
Oi (—Т» а)- Тогда получим
У _P—«Y
Согласно п. 8, это уравнение равно-
равносторонней гиперболы с асимптотами
0хХ и 0хУ, соответственно параллель-
параллельными осями старой системы Ох и Оу
(рис. 54).
Итак, графиком дробно-линейной
функции E1) является равносторон-
равносторонняя гипербола с асимптотами, па-
параллельными координатным осям. Центр этой гиперболы нахо-
находится в точке 0г( — у; а), где а = —; у = — .
Рис. 54
10. Преобразование уравнения кривой второго порядка,
не содержащего члена с произведением координат
Мы рассмотрели четыре кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гиперболу и параболу. Возникает вопрос: существуют ли
иные линии, определяемые уравнением второй степени Ах2-\-2Вху+
-\-Cy2-\-2Dx-\-2Ey + F = 0? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмот-
рассмотрим примеры.
1) Уравнению второй степени относительно х и у (х—хоJ+
+ (У—УоJ== 0 удовлетворяют координаты единственной точки (xQ; y0)
(см. § 2, п. 2).
2) Уравнение х2—у2 = 0 может быть записано в виде (х—у)х
X (* + #)= 0, и тогда становится ясным, что ему удовлетворяют
координаты любой точки прямой х—у=^0 и любой точки прямой
х + у=0 (и только координаты этих точек). Прямые х—у = 0 и
х + у = 0 (биссектрисы координатных углов) пересекаются между
3 № 2242
65

собой в начале координат. Уравнение х2—у2=0 есть уравнение
двух пересекающихся прямых.
3) Уравнению у2 = 4, которое можно записать в форме (у—2)х
Х(# + 2) = 0, удовлетворяют координаты точек параллельных прямых
у—2=0 и # + 2=0 (и только этих точек). Следовательно, уравне-
уравнение if = 4 есть уравнение двух параллельных прямых.
4) Уравнение х2—2ху + у2 — 0 может быть переписано в виде
(х—уJ = 0 и, следовательно, равносильно уравнению прямой х—у=0
(биссектрисы I и III координатных углов). Условно мы будем гово-
говорить, что уравнение х2 — 2ху + у2 = 0 является уравнением двух
слившихся прямых.
5) Наконец, может случиться, что уравнение второй степени
относительно х и у не определяет никакой линии. Например, урав-
уравнению х'2-\-у2 + \ — 0 не удовлетворяют никакие действительные зна-
значения х и у> и, следовательно, оно не определяет никакого геомет-
геометрического места точек.
Таким образом, в зависимости от значения коэффициентов урав-
уравнение второй степени B1)
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0
может определять окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару
пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару слив-
слившихся прямых, точку и, наконец, может не определять никакой
линии.
Можно показать, что это уравнение не может определять никакой
линии, отличной от перечисленных выше.
Для того чтобы определить, какую линию определяет уравнение
B1) при заданных численных значениях коэффициентов, пользуются
преобразованиями поворота и параллельного переноса осей коорди-
координат. В гл. III будет показано, что с помощью преобразования
поворота осей всегда можно от уравнения B1) перейти к уравнению
второй степени, не содержащему члена с произведением координат.
А далее, с помощью преобразования параллельного переноса осей
всегда можно получить простейшее уравнение кривой второго порядка
и по нему определить вид кривой. Покажем на примере, как это
делается.
Пример. С помощью параллельного переноса осей получить про-
простейшее уравнение кривой х2—2у2 + 2х+ \2у—33 = 0 и построить ее.
Решение. Для членов, содержащих ху и членов, содержащих уу
выполним следующие преобразования с выделением полного квадрата:
— 1 =(х+ IJ — 1;
-2у2+ \2у^ -2 (у*-бу)=-2Ху2-6у + 9-9)=-2(у-3J+ 18.
Данное уравнение теперь можно переписать так:
(%+1J — 2 (у—ЗJ —1 + 18 — 33-0,
откуда
(х+1J—2(г/ —3)^= 16,
66

или
Выполним преобразование параллельного переноса осей с новым
началом 0х(—1; 3):
Х
У/
У
sj
\
0
Рис. 55
Тогда уравнение кривой примет вид
Х^ К1 —1
16 8 •
Это уравнение гиперболы с полуосями а = 4 и 6 = 2V^. На рис. 55
эта кривая построена в системе координат OXXY. Но можно отнести
ее и к исходной системе координат Оху, которая также имеется на
рис. 55.

ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
/• Определители второго порядка и их свойства
Пусть дана таблица (называемая матрицей), состоящая из четы-
четырех чисел:
а9
О)
Матрица имеет две строки аХ1а12 и а21а22 и два столбца п и 12.
п21 #22
Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя
индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер
столбца, в которых стоит данное число. Например, а12 означает
число, стоящее в первой строке и втором столбце; а21—число, сто-
стоящее во второй строке и первом столбце. Числа аХ1, а12, а21, а22
будем называть элементами матрицы.
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответ-
соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим
образом: alta22—а21а12.
Определитель обозначают символом
Таким образом,
#м #i
B)
Числа а11У а12, а21, а22 называются элементами определителя.
Пример.
3 —4
= 2.(—4) — 5-3=— 23.
Приведем свойства определителя второго порядка.
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки поме-
поменять местами с соответствующими столбцами, т. е.
аЛЛ а»
C)
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) опре-
определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную
68

величину, т. е.
11 2
2i «22
D)
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (или
столбцами) равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца)
можно выносить за знак определителя:
«n ka1%
«и
а9Л
E)
Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки (или столбца)
равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определи-
определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или
столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель
не изменит своей величины, т. е.
F)
Все свойства определителя второго порядка доказываются про-
простой проверкой, основанной на правиле вычисления определителей
(формула 2).
Докажем, например, свойство F). Для этого вычислим опреде-
определитель, стоящий в левой части равенства F):
¦k, a12
11+ ^«12
21 + ^22 «2
= (а
а22 — (а21 + Ка22) а1
«541 «2
2. Определитель третьего порядка
Рассмотрим таблицу (матрицу), состоящую из девяти чисел:
G)
Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответ-
соответствующим данной матрице, называют число, получаемое следующим
образом:
«22
«32
«23
«33
«12 #
«21
«31
«23
«33
+ «13 *
«21
«31
«22
«32
Определитель третьего порядка обозначают символом
«12 «13
«22 «:
69

Числа а11Э а,
а33 называют его элементами. Определитель
2 ^13
22 ^23
32 ^33
#22 ^23
^32 Я33
— ^12 '
а21 а„
а31 а33
+ а13 •
^21 #22
B31 #32
третьего порядка имеет три строки и три столбца. Таким образом,
(8)
Формула (8) дает разложение определителя третьего порядка по
элементам первой строки апа12а13 и сводит вычисление определителя
третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Назовем минором, соответствующим данному элементу определи-
определителя третьего порядка, определитель второго порядка, полученный
из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении кото-
которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавными
буквами М с двумя индексами. Так, например, минором УИ12, соот-
соответствующим элементу а12, будет определитель М12 = 21 23 . Он
получаете^, если вычеркнуть из определителя третьего порядка
первую строку и второй столбец.
Формула (8) показывает, что определитель третьего порядка равен
алгебраической сумме попарных произведений элементов первой
строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответ-
соответствующий элементу а12, берется со знаком минус.
Применяя правило вычисления определителей второго порядка,
соотношение (8) перепишем в виде
Пример.
19(a21a92—a91a22)==a11a22aB3—auaS2a29 —
—а12а21а99
(9)
2 3—4
5 6 7
8 0 3
= 2-
6 7
03
—з.
5 7
8 3
(-4)
5 6
8 0
= 2-18 — 3-( — 41) — 4-( — 48) = 351.
Все свойства определителей второго порядка (см. п. 1) остаются
справедливыми для определителей третьего порядка. Доказательства
этих свойств для определителей третьего порядка ничем не отлича-
отличаются от доказательств аналогичных свойств для определителей вто-
второго порядка и основаны на вычислении определителя третьего
порядка по формуле (8). Рекомендуем читателю эти свойства дока-
доказать самостоятельно.
Аналогично формуле (8), дающей разложение определителя
третьего порядка по элементам первой строки, можно получить раз-
разложение определителя по элементам любой строки или столбца.
70

Например, разложение определителя по элементам второй строки
можно получить следующим образом. По второму свойству (см. п. 1),
имеем
«И
«21
«31
«12
«22
«32
«18
«23
«33
=
= — а,
(*)
Разложим определитель, стоящий справа, по элементам первой
строки. Согласно правилу вычисления определителя,
«о
алл ало а13 =а9Л • _" хо — а9
ЛЪ\ 2 «33
Принимая во внимание равенство (*), получим
ал
а*
= —а
По определители
21
«12 «1
«и «
A0)
суть миноры элемен-
элементов а21, а22, а23 в данном определителе. Формула A0) дает разло-
разложение определителя по элементам второй строки.
Поменяв местами первую строку с третьей, докажем аналогично,
что
«21«22«23
= «31 *
«12«13
«32 #
«11«13
«21«23
"Т «33 *
«2А2
Формула A1) дает разложение определителя по элементам третьей
строки.
Обозначая данный определитель третьего порядка через А, запи-
запишем формулы (8), A0) и A1) в виде:
А = аг1М1г —а12М12
A2)
13М13,
А = — а21М21 + a22M22—a23M2S,
' = «31^3
"«32^32+ «33^33-
Можно доказать, что аналогичные разложения будут иметь место
при разложении по элементам столбцов:
А = «цМц—а21М21 + a31M31t
А = — а12М12 + а22М92—а32М32, A3)
А =
а13М13—
3М3
а33М33.
Введем еще одно понятие.
Назовем алгебраическим дополнением элемента определителя его
минору взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца,
в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта
сумма нечетна.
71

Алгебраическое дополнение элемента aik обозначается через Аш.
Здесь i означает номер строки, а к—номер столбца, на пересечении
которых находится данный элемент.
Связь между алгебраическим дополнением элемента и его мино-
минором дается следующим равенством:
Atk = (-l)i+*Mik. A4)
Например: Лп = (—1I+Ш11 = М11> Л12 = (—1I+2М12= —М12,
^13 = ^13 И Т. Д.
Легко видеть, что формулы A2) и A3) для вычисления опреде-
определителей можно переписать теперь следующим образом:
А =
12А12
Д = апАп + а32А92 + а33А33
для разложения определителя по элементам строк и
А = аиАи
21А21
пАп,
^12^12 I #22^*22 "Ь ^3
A5)
A6)
23^23
33^33
для разложения определителя по элементам столбцов.
Этот результат можно сформулировать следующим образом. Опре-
Определитель третьего порядка равен сумме попарных произведений эле-
элементов какой-либо его строки (или столбца) на их алгебраические
дополнения.
Укажем еще одно важное свойство определителя третьего порядка
а31 а32 а
Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен-
элементов другой строки (или столбца) равна нулю.
Например,
для строк
для столбцов:
A7)
О8)
Проверим, например, равенство A7). Используя равенство A4)
и определение минора элемента определителя, можем написать:
13 (— М23) =
а12А22
13А23 = ап (— М21)
а12М22
= — аЛ
«12 «13
+ «12*
«11 «13
—«is*
«11 «12
= — atlal2a33 + а1Ха13а32 + a12ana33—a12a13a31 —
Подобным же образом проверяются и остальные равенства.
72

3. Понятие об определителях высших порядков
Во многих задачах, кроме определителей второго и третьего
порядка, встречаются также определители более высоких порядков.
Например, определитель четвертого порядка
Д =
11
«21 «22
«23 «24
0*„
и, вообще, определитель n-го порядка
a\k
«2ft
0/
Определитель четвертого порядка вычисляется по формуле, ана-
аналогичной формуле (8):
21 2 3 4
— 0,
«31 «3
а41 па
«24
*11
33 «34
43 «44
*44
09
a At a a
«32 «33 «34
«42 «43 «44
а<
Определители третьего порядка в правой части равенства назы-
называются минорами элементов aLV a12, 013, аы.
Обозначая, как и прежде, алгебраические дополнения элемен-
элементов aik через A4k, определитель четвертого порядка А можно пред-
представить в виде
Д = а1ХАХ1 + а12А12 + aV3A13 + аыА 14.
Эта формула дает разложение определителя четвертого порядка по
элементам первой строки.
Аналогично вычисляются определители более высоких порядков.
Все свойства определителей второго и третьего порядков остаются
справедливыми для определителей любого порядка.
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка
3
2
0
5
0
3
4
2
2
—1
—2
0
0
4
3
1
О
= о«
3
4
2
—1
—2
0
4
3
1
—0-
2—14
0—2 3
5 0 1
-Ь
73

2 3
0 4
5 2
4
3
1
4
2
—0-
3
1
1
+ '
2
0
5
3 —1
4 —2
2 0
4—2
2 0
=3i
Q
—2 3
0 1
4 3
2 1
-3-
0 3
5 1
5 2
+ 2[2(—2)—3(—15) + 4(—20)] = 24—78 = — 54.
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Применим изложенную выше теорию определителей к решению
систем уравнений первой степени.
/. Система двух уравнений с двумя неизвестными
Рассмотрим -истему двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными хну:
A9)
В обозначении коэффициента aik первый индекс означает номер урав-
уравнения, а второй индекс—номер неизвестного.
Решим эту систему. Для этого почленно умножим первое урав-
уравнение на а22, второе на (—а12) и сложим полученные уравнения:
(«11«22 «21«1г) Х — С1п22 С2«12' B0)
Аналогично, почленно умножая первое уравнение на (— а21), второе
на ах1 и складывая, получим
ia а а а \ц:—са са t B1)
Но на основании формулы B) (см. § 1, п. 1) можно написать
С2п
аи а12
«21 «22
'11— С1«21
1 22
=
«И
«21
22
•
аи
«22
Сокращенно эти определители будем обозначать так:
Д =
«U «12
«21 «22
Cl «12
С2 «22
«и X
B2)
Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвест-
неизвестных системы A9), называется определителем системы. Определи-
Определитель А^ (или Ау) получается из определителя системы А, если в нем
коэффициенты аХ1 и а21 (или а12 и a2i) при неизвестном х (или у)
заменить свободными членами сх и с2. Принимая во внимание B2),
74

равенства B0) и B1) можно записать в виде:
Д. х = Д^,
B3)
Здесь возможны два случая.
I. Определитель системы Д=?0. Тогда поделив обе части каж-
каждого из уравнений B3) на А, найдем:
или в развернутом виде
C\ «12
C% «22
«11 «12
«21 «22
«11 C±
«21 C2
«11 «12 1
«21 «22 1
B4)
B5)
Формулы B4) (или 25), называемые формулами Крамера*, дают
решение системы A9). (Рекомендуем это проверить.)
Итак, если определитель А системы A9) отличен от нуля, то сис-
система имеет единственное решение, определяемое по формулам B4)
или B5).
II. Определитель системы А = а1га22—а21а12 = 0, т. е. а1Ха22 =
= а21а12. В этом случае коэффициенты при неизвестных одного урав-
уравнения пропорциональны коэффициентам при неизвестных другого
уравнения. Действительно, предположим, что один из них, напри-
например, апф0 и обозначим ^ = А,, откуда а21 = Ха11. Тогда из равен-
«11
ства atla22 — a21a12 найдем, что а22 = ка12. Учитывая это, систему A9)
можно записать в виде
2y=:c,, \
y) = c2. i
B6)
Здесь возможны два подслучая.
1) Оба определителя А^ и Д^ равны нулю: &х = с1а22—cza12 —0,
Ду = с2аи —сга^ = 0. Отсюда находим, что с2 = %сг (так как а22 = ка12).
В этом случае числа а21, а22, с2 пропорциональны числам ап, а12, с19
и система A9) может быть записана в виде
у) = с11. )
B7)
Таким образом, второе уравнение системы получается из первого
уравнения умножением обеих его частей на А,, т. е. является след-
следствием первого уравнения. В этом случае, очевидно, система A9)
имеет бесчисленное множество решений. Задавая, например, произ-
произвольное значение у, получим соответствующее значение х
* Краыер Г. A704—1752)—швейцарский математик.
75

2) Хотя бы один из определителей Ах или Ау не равен нулю.
Пусть, например, Ау = а11с2—аг1с%=Ф0. Тогда апс2 Ф a21Cj и, следо-
следовательно, c2^Xcv В этом случае, как видно из B6), второе из
уравнений К (atlx+а12у) = с2 противоречит первому уравнению
allx + aliy = c1. Следовательно, система A9) не имеет решения (или,
как говорят, несовместна).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить систему
Решение. Здесь
Д =
4 —5
= -22,
Ах—Ьи = \
2 —5
= -41,
2 7
4 2
= —24.
Так как определитель системы А Ф 0, то система имеет единствен-
единственное решение, определяемое по формулам B4):
41
24 12
* Л О1)' У "Л 99 11
22 11 Ф
Геометрически это означает, что прямые, заданные уравнениями
/41 12\
2лг + Зг/ = 7 и Ах—5у = 2, пересекаются в точке М ( ^; jj \ (см. гл. II,
§ 1, п. 5).
Пример 2. Решить систему
Решение. Здесь
л_ 2 5
4 10
=о,
3 5
6 10
= 0,
2 3
4 6
= 0.
Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей
первого уравнения на % = 2. Поэтому система равносильна одному
уравнению 2х + 5у = 3 и имеет бесчисленное множество решений.
Придавая произвольные значения неизвестному у, найдем х= ~ у.
Так, например, если </ = 0, то x = -j; если у=\, то х=—1,ит. д.
Геометрически это означает, что уравнениям 2х + 5у = 3 и 4х+ 10//=6
соответствует одна и та же прямая.
Пример 3. Решить систему
Решение. Здесь
5 3
10 6
= 0,
7 3
2 6
= 36^=0,
Ау =
5 7
10 2
= —60^0.
Следовательно, данная система несовместна, т. е. не имеет решений.
В этом убеждаемся и непосредственно. Умножая почленно обе части
76

первого уравнения на (—2) и складывая со вторым уравнением,
приходим к противоречивому равенству 0=—12. Геометрически это
означает, что прямые 5х + 3у—7 и \0х + 6у = 2 параллельны и,
следовательно, не имеют общих точек.
2. Однородная система двух уравнений первой степени
с тремя неизвестными
Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными имеет
вид
: = 0.
Решим эту систему. Предположим, что определитель
и запишем систему B8) в виде
12y=—alsz, \
22#=— aMz. J
B8)
?=0,
B9)
Тогда для любого значения z система B9) имеет единственное ре-
решение, определяемое по формулам B5) п. 1:
х==
—a13z a12
—a2Sz a22
а21 а22
У =
«и —
—023*1
аХ1 а12
а21 а22
Используя свойства определителей (см. § 1, п. 1), имеем
-а13г а12
-а23г а22
«13
«23
«12
«22
= Z
«12
«22
«18
«23
= —г
Поэтому
Обозначим
X =
а12 als
022 ^23
011 012
021 022
0ц 013
021 023
011 012
021 022
(-Z).
C0)
011 012
091 0ЙЙ
= &, тогда z =
Подставляя выражение z в равенства C0), получим
«И
«21
«13
«23
, ? »v #
«11
«21
«12
«22
C1)
Итак, все решения системы B8) определяются по формулам C1).
Определители в формулах C1) получаются из таблицы (матрицы)
C2)
77

поочередным вычеркиванием соответствующего столбца. Придавая
коэффициенту ft различные числовые значения, получим различные
тройки чисел х, у, г, являющиеся решениями системы B8).
Пример. Решить систему
Решение. Применяя формулы C1), получим:
3 5
2 —6
4 —6
= 32ft, z =
2 3
4 2
= —8fc.
Итак, все решения системы задаются равенствами х=—28ft,
#=32ft, z =—8ft. Придавая ft конкретные числовые значения, по-
получим различные решения системы. Так, например, при/г=1 имеем:
х= —28, у = 32, г = —8; при fc=—I; x = 7, */ = — 8, 2 = 2 и т. д.
3. Система трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными
C3)
Определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов
при неизвестных,
+ а22у + a23z = с21
Д =
«22 #
называется определителем системы.
Решим систему C3). Для этого умножим почленно первое урав-
уравнение системы на алгебраическое дополнение А1Х элемента а11У вто-
второе уравнение на алгебраическое дополнение А21 элемента а21 и
третье уравнение на алгебраическое дополнение Л31 элемента а31:
АХ1а1Хх + А1Ха12у + Аиа13 = Аис19
А21а21х -(- А21а22у -\- А21а23 = А 21с2,
Л31й31х ~\- Л31п32у -\- Л31й33 = А31с3.
Сложим все эти уравнения:
(Апап + А21а21
х + (А1га12 + А21а22 + А31а32) у +
31а33) z = А11с1 + А21с2 + Ад1св. C4)
По перЕой из формул A6), § 1, п. 2 имеем:
78

Коэффициенты при у и г по формулам A8) § 1, п. 2 равны нулю.
Таким образом, равенство C4) примет вид
Рассмотрим определитель
А21с2
«12 «13
а„„ а,
C4')
получающийся из определителя системы Д, если в нем коэффици-
коэффициенты при х (т. е. ап, а21, а31) заменить свободными членами с19 с-%%
с3. Разложим этот определитель по элементам первого столбца.
Замечая, что в этом определителе алгебраические дополнения эле-
элементов cv с2, с3 совпадают с соответствующими алгебраическими
дополнениями элементов ап, а21, asl определителя А, получим
зхс, = Д^ C5)
Аис, + А21с2 + /
Сравнивая C5) и C4'), находим
Аналогично выводятся равенства
=Д, и Д.г =
C6)
C7)
где
ап а3
Определители Д^ и Дг получаются из определителя системы Д,
если в нем заменить соответственно коэффициенты при у и z сво-
свободными членами.
Предполагая, что определитель системы Д=?0, из равенств C6)
и C7) найдем
Z~ A '
C8)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что значения х, у, г,
найденные по формулам C8), являются решениями системы C3).,
Формулы C8), как и формулы B5), называются формулами Крамера.
Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений пер-
первой степени с большим числом неизвестных.
Пример 1. Решить систему
х + 2у— z = 2,
2x — 3y + 2z = 2,
Ъх-\- у+ 2 = 8.
79

Решение, Здесь
A =
1
2
3
1
2
3
2
-3
1
2 -
2
8
—
1
2
1
1
2
1
= -8,
-16,
2
2
8
1
2
3
2
— 3
1
2
— 3
1
2
8
1
2
1
= —24.
По формулам C8) находим
— 8
_ —24 _ Q
~~ —8 *
Если определитель системы Д = 0 и по крайней мере один из
Д А А C3)
определителей Д^
р
Аг не равен нулю, то система C3) не имеет
Д
р ^ у г р у ()
решения (несовместна). Действительно, пусть для определенности
Дд.^0. Тогда равенство C6) невозможно, так как его левая часть
Д*л; = 0 при любом х, а правая часть Д^О
Пример 2. Система уравнений
2х-\ Зу+ 2 = 2,
не имеет решения, так как Д = 0, а Д*=—44=^0.
Наконец, отметим без доказательства, что если Д = 0 и Ах = Ау —
= Д^ = 0, то система C3) либо не имеет решения, либо имеет бес-
бесконечно много решений.
Проиллюстрируем это на примерах.
Пример 3. Рассмотрим систему
х—
Здесь Д = 0, Д^ = 0, Ду = 0, Дг = 0. Данная система не имеет реше-
решения, так как, например, первое и третье уравнения этой системы
противоречивы. Действительно, умножая первое уравнение на 3 и
вычитая третье уравнение, придем к невозможному равенству 0 = 3.
Пример 4. Для системы
2х + 3у— z = 3,
Д = 0, Дя = 0, Ду = 0, Дг = 0. Так как второе уравнение получает-
получается умножением на 2 первого уравнения, то указанная система
равносильна системе двух уравнений:
2х+3у—z =3,
Зх— y + 2z=—l
80

и имеет бесчисленное множество решений. Задавая произвольные
значения х, будем получать соответствующие значения у и z. На-
Например, при # = 1 получаем систему
=1, \
= —4, f
2 11
решая которую, найдем у =—-^ , z =—-g-; при л: = 0, найдем у = 1,
г = 0 и т. д.
4. Однородная система трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными
Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными называют систему вида
C9)
В этом случае А^ = Ду = Az = 0, так как каждый из определителей
имеет столбец, все члены которого равны нулю.
Равенства C6) и C7) п.З примут вид:
Д.* = 0, Л-у = 0, Д.2 = 0. D0)
Если определитель системы C9) Д Ф 0, то система C9) имеет един-
единственное решение х^у^-г = 0.
Для того чтобы система C9) имела ненулевое решение, необхо-
необходимо, чтобы Д=0. Действительно, если, например, хфб, то из
первого уравнения D0) следует, что Д = 0.
Итак, если однородная система C9) имеет ненулевое решение,
то ее определитель Д=0.
Можно показать, что и наоборот, если Д = 0, то система C9)
обязательно имеет ненулевое решение. Доказательства этого утверж-
утверждения мы не приводим.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
/. Скалярные и векторные величины
При изучении различных разделов физики, механики и техничес-
технических наук нам встречаются величины, которые полностью определя-
определяются заданием их численных значений. Такие величины называются
скалярными. Скалярными величинами, например, являются длина,
площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных
величин, в различных задачах встречаются величины, для опреде-
определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также
их направление в пространстве. Такие величины называются век-
векторными. Примерами таких величин являются сила, действующая
81

на тело, скорость и ускорение тела при его движении в простран-
пространстве, напряжение магнитного поля в данной точке пространства
и т. д.
Векторные величины изображаются с помощью векторов. Век-
Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий
определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого
одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вто-
вторая за конец. Если А —начало вектора и В —его конец, то вектор
обозначается символом АВ. Вектор будем также обозначать и одной
буквой жирного шрифта а, а в письме —
одной буквой с черточкой наверху а.
Рис. 56
Рис. 57
Рис. 58
На рисунке вектор изображается отрезком, снабженным у конца
стрелкой (рис. 56).
Длина вектора АВ называется его модулем и обозначается сим-
символом | АВ |, или АВ. Если вектор обозначен через а, то его мо-
модуль обозначается |а|, или а.
Рассматривают также вектор, у которого конец совпадает с на-
началом. Такой вектор-точку называют нуль-вектором и обозначают
символом 0. Нуль-вектор не имеет определенного направления,
модуль его равен нулю, т. е. |0|—0.
Векторы а и Ь, расположенные на одной прямой или парал*
лельных прямых, называются коллинеарными.
Дадим теперь определение равенства двух векторов.
Два вектора а и b называются равными, если они: 1) имеют
равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
В этом случае пишут а = Ь.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно
переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую
точку пространства.
Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 57). На основании
определения равенства векторов можем написать
= BC и
Пример 2. Рассмотрим материальную точку, движущуюся с угло-
угловой скоростью со по окружности радиуса R (рис. 58). Скорость ма-
материальной точки в любой момент времени является вектором, ка-
= DC, но АВфАВ, ВСфВС, хотя
82

сательным к траектории движения точки и имеющим длину, рав-
равную (x)R. Так как направление вектора скорости в разных точках
траектории различно, то vx Ф \2фч3ф..., хотя | vt | = | va | =
Hv,| = ... .
Для каждого вектора а (отличного от нуль-вектора) существует
противоположный вектор, обозначаемый —а. Вектор —а имеет
модуль, равный модулю вектора а, коллинеарен с ним, но направ-
направлен в противоположную сторону.
2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями называются операции сложения и вы-
вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение векторов. Пусть а и b—два произвольных вектора.
Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОЛ^=а. После
этого из точки А отложим вектор АВ = Ь.
Вектор ОВ, соединяющий начало первого слагаемого вектора скоп-
скопцом второго, называется суммой этих векторов и обозначается
а + Ь (рис. 59).
Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.
Отложим от точки О вектор ОА^з. и вектор ОС = Ь. Построим на
этих векторах как на сторонах параллелограмм О ABC. Вектор ОВ,
являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из верши-
вершины О, будет, очевидно, суммой векторов а + Ь (см. рис. 59).
Из рис. 59 непосредственно следует, что сумма двух векторов
обладает переместительным свойством:
Действительно, каждый из векторов а + Ь и b + а равен одному и
тому же вектору ОВ.
Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векто-
векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых.
Пусть, например, даны три вектора a, b и с. Построим сначала
сумму векторов а + Ь, а затем к этой сумме прибавим вектор с,
получим вектор (а+Ь) + с. На рис. 60 ОА = a, AB = b, OB = а+Ь,
ВС-с и ОС = ОВ + ВС = (а + Ь) + с.
83

Из рис.^бО видно, что тот же вектор ОС мы получим, если
к вектору ОЛ=а прибавим вектор ЛС = Ь + с. Таким образом
Поэтому сумму трех векторов записывают просто а + Ь + с. Как
видно из рис. 60, ее можно получить следующим образом. Из про-
произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагае-
слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало
Рис. 60
второго, к концу второго — начало третьего. Вектор, соединяющий
начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных
векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного
числа векторов.
Как было указано выше, сумма векторов обладает перемести-
тельным и сочетательным свойствами:
Если при сложении нескольких векторов конец последнего сла-
слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов
равна нуль-вектору.
Разность векторов. Разностью двух векторов а и Ъ называется
третий вектор с = а—Ь, сумма которого с вычитаемым вектором Ъ
дает вектор а.
Таким образом, если с = а—Ь, то с + Ь —а. Из определения
суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разно-
вектора-разности (рис. 61). Откладываем векторы ОЛ = а и ОВ^Ъ из общей
точки О. Вектор ВА, соединяющий концы уменьшаемого вектора а
и вычитаемого вектора b и направленный от вычитаемого к умень-
уменьшаемому, будет разностью с = а — Ь. Действительно, по правилу
сложения векторов ОВ + ВА=ОА или Ь + с=а.
Если на векторах а и Ь, отложенных_из общей точки О, по-
построить параллелограмм ОАСВ, то вектор ОС> совпадающий с одной
диагональю параллелограмма, равен сумме а + b, а вектор В А,
совпадающий с другой диагональю, равен разности а—b (рис. 62).
Пример. Как должны быть расположены векторы а и Ь, чтобы
модуль их суммы |a-j-b| был равен модулю их разности |а—Ь|?
84

Решение. Очевидно, для этого длина диагонали ОС паралле-
параллелограмма должна равняться длине диагонали ВА (рис. 62). Это
может быть только в том случае, если параллелограмм ОАСВ
является прямоугольником. Следовательно, | а + Ь | = | а — Ь|, если
a_Lb.
Умножение вектора на число. Пусть даны вектор а и число X.
Произведением вектора а на число X называется новый вектор с,
коллинеарный вектору а, имеющий длину | с | = | X | • | а | и то же
-3=0,
Рис. 62
направление, что и вектор а, если X > 0, и противоположное направ-
направление, если X < О.
Так, например, -^ъ есть вектор, направленный в ту же сторону,
что и вектор а, и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор а.
Противоположный вектор—а можно рассматривать как резуль-
результат умножения вектора а на
Из определения умножения
вектора на число следует, что
если b--X-a, то векторы b и а
коллинеарны. Очевидно и об-
обратно, из коллинеарности век-
векторов b и а следует, что Ь= Рис 63
= А,-а. Произведение вектора а
на число X можно записывать как в виде Х-а, так и в виде а Л.
Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает рас-
распределительным свойством
D2)
и сочетательным свойством
Справедливость, например, первого свойства D2) для X > 0 сле-
следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в X раз
его диагонали также изменяются в X раз (рис. 63).
85

Единичный вектор. Вектор, длина которого равна единице, на-
называется единичным.
Пусть дан вектор а. Рассмотрим вектор, коллииеарный векто-
вектору а, одинаково с ним направленный, но имеющий длину, равную
единице. Обозначим этот вектор через а0, тогда |а°| = 1.
Из определения умножения вектора на число следует
I о I
— I a J
D4)
Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный век-
вектор того же направления.
Равенство D4) будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
3. Угол меэюду двумя векторами
Пусть в пространстве даны два вектора а и Ь. Отложим от про-
произвольной точки О векторы ОЛ==а и ОВ = Ъ. Углом между векто-
векторами а. и Ъ называется наименьший угол ср,
на который надо повернуть один из векто-
векторов до его совпадения со вторым (О ^ ср ^ п).
ж Рассмотрим ось /, положительное направ-
и V i ление которой совпадает с направлением
р б4 единичного вектора 1°, расположенного на
оси. Под углом между вектором а и осью
понимают угол ср между векторами awl0 (рис. 64).
4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
Пусть /—некоторая ось, а АВ — вектор, произвольно располо-
расположенные в пространстве. Обозначим через Аг и В1 проекции на
ось / соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 65).
Предположим, что Аг имеет
координату х1У а Вг — коор-
координату х2 на оси /.
Определение, Раз-
Разность х2—хг между коорди-
координатами проекций конца и
начала вектора АВ на ось I <щ~—
называется проекцией вектора
АВ на эту ось.
Если вектор АВ обра-
образует с осью / острый угол,
то х2 > Xj, и проекция х% — хг
положительна; если угол
между осью/ и вектором АВ—тупой, то хг<х1У и проекция
х2—хх отрицательна. Наконец, если вектор ~АВ перпендикулярен
оси U то x2^xlt и проекция х2—х± равна нулю (рис. 66).
Рис. 65
86

Проекцию__вектора АВ на ось / будем обозначать следующим
образом: uptAB,
Рассмотрим некоторые основные теоремы о проекциях.
о
Рис. 66
Теорема 1. Проекция вектора а на ось I равна модулю вектора
а, умноженному на косинус угла ср между вектором и осью:
прга= | а | -cos ср.
D5)
Доказательство. Проекция вектора х2—хх не изменится
при любом его переносе параллельно самому себе, так как при
этом х2 и хх изменяются на одно и то же число. Поэтому доста-
о ^--
х
Рис. 67
точно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с нача-
началом О оси / (рис. 67). Так как координата начала равна нулю, то
л;—0=л:, D6)
где х—координата проекции конца Еектора. По определению коси-
косинуса coscp = -r—, откуда
х = I а | • cos ф,
или
пр^а — |а |'С05ф,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме
проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть АС = АВ + ВС (рис. 68). Обозначим
через х19 х2 и хь координаты проекций Лх, Вх и Сх на ось / точек
87

Л, В и С. Тогда
=x2—хх\ пр^ВС = х3—х2\ пр^ЛС = х3—хх.
Но х3—хх = (х2 —хх) + (х3 — х%), т. е.
пр,ЛС = пр, АВ + npjBC. D7)
Теорема доказана.
Замечание. Эту теорему можно обобщить на случай любого
числа слагаемых.
Теорема 3. Если вектор а умножается на число X, то его проек-
проекция на ось также умноокается на это число:
D8)
Доказательство. Прежде всего заметим, что если вектор
составляет с осью угол ср и число %>0, то вектор Х-а имеет то
же направление, что и вектор а, и составляет с осью также угол ф.
Если же X < О, то направление вектора Х*а противоположно на-
направлению вектора а и вектор Х*а составляет с осью угол п—<р.
На основании теоремы 1 имеем:
1) X > 0; пр? (Х-а) = | Л,-а|-cos ф = | X |-| а |-cos ф ==Х-| a |-cosф=
2) Х<0; npj(ba) = |A,-a|-cos(jc—ф) = j X | • | a j • cos (зх—ср) =
= — к • | а | • (—cos ф) = X. | а | • cos ф = X • пр^а.
Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна
разности проекций этих векторов на ту же ось.
Доказательство предоставляем читателю.
Определение. Произведение проекции вектора на ось I на
единичный вектор 1° этой оси называется составляющей вектора а
по оси I.
Обозначив эту составляющую символом сост^а, по определению
получим
сост^а = пр^а-1°, D9)
или
= (л;2—хх)Л\ E0)
где хх и х2 — координаты проекций Ах и Вх на ось / соответственно
начала А и конца В вектора а—АВ.
Нетрудно заметить, что
= i4^. E1)
В самом деле, модули обоих векторов равны расстоянию между
точками Лх и Вх: \х2—х1\ = \А1В1\. Направлены эти векторы так-
также одинаково, так как направление каждого из них либо совпа-
совпадает с положительным направлением оси / (если х2—хх > 0), либо
противоположно ему (если х2—хх < 0).
Таким образом, составляющая вектора по оси есть вектор, соеди-
соединяющий проекцию начала вектора с проекцией его конца.
88

5. Разложение вектора на составляющие
по осям координат
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Охуг (рис. 69). Отнесем к каждой из осей единичный вектор, на-
направление которого совпадает с положительным направлением оси.
Так, оси Ох отнесем единичный вектор i, оси Оу—единичный век-
вектор j и оси Ог — единичный
вектор k: |i| = |j| = |k|=l.
Эти три взаимно перпендику-
перпендикулярных единичных вектора на-
называются ортами.
Рассмотрим некоторый век-
вектор а в пространстве. Перене-
Перенесем его параллельно самому
себе так, чтобы его начало сов-
совпало с началом координат О.
Другими словами, отложим от
начала О вектор ОМ, равный х^г
а: 0М = &. Проводя через ко-
конец вектора ОМ плоскости,
параллельные координатным плоскостям, получим параллелепипед,
одной из диагоналей которого является вектор ОМ.
Из рис. 69 и из определения суммы нескольких векторов находим:
i
Я а'
Г
Рис. 69
Так как МгР=ОМ2 и РМ=ОМЗУ то
Векторы 0М1У ОМ2, ОМ3 являются составляющими
E2)
вектора
по осям Оху Оу, Ог.
На основании D9) можем написать:
0Мх = прОх ОМ • i, ОМ% = пр0;, 0М-\, ОМ3 = npOz ОМ. к. E3)
Обозначая проекции вектора а = ОМ на оси Ох> Оу, Ог соответст-
соответственно через ax9 ayy az, из E2) и E3) получаем
+ а2к. E4)
Формула E4) дает разложение вектора а на составляющие по коор-
координатным осям.
Пусть точка М — конец вектора имеет координаты х, у, г. В таком
случае по формуле D6) проекции вектора а^ОМ по осям, оче-
очевидно, будут ах = х, ау = у, аг = г> а составляющие по осям—xi9
t/j, zk. Формула E4) разложения вектора на составляющие при-
примет вид
a = xi + jd+zk. E5)
89

Если вектор а имеет проекции на оси координат соответственно
я*| ау> az> т0 мы будем это записывать следующим образом:
а = К, fly, ag\. E6)
Если известно разложение векторов по осям координат, то линей-
линейные операции над векторами можно заменить арифметическими
действиями над их проекциями.
Пример. Даны векторы
b = 3i— 2j + 5k.
Найти их сумму и разность.
Решение. Так как при сложении векторов их проекции скла-
складываются, а при вычитании вычитаются, то
а + b = B + 3) i + C—2) j Ч- E + 5) k = 5i + 3 + 1 Ok,
а —Ь = B—3) i + [3 —(—2)] ] + E — 5) к = —I + 5j.
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для
модуля вектора. Так как вектор а = ОМ является диагональю парал-
параллелепипеда, то на основании известной теоремы о длине диагонали
прямоугольного параллелепипеда можно написать
| ОМ |2 = | ОМг |2 +1ОМ2
но 10Мг\ = \ах\, 10М21 == |ау|, 10М3\ = \аг\. Поэтому
\a\* = al + al + al,
откуда
E7)
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов
его проекций на оси координат.
Рассмотрим теперь вектор АВ, начало которого имеет коорди-
координаты А(хг\ ух\ гг), а конец—В (х2; у2; г2). По определению проекции
вектора на ось находим, что вектор АВ будет иметь следующие
проекции:
прОхАВ=х2—х1, прОуАВ=у2—у1,
Поэтому на основании формулы E4) получаем следующее разложе-
разложение вектора АВ по осям координат:
По формуле E7) находим модуль вектора
V -z.r. E8)
Эта формула совпадает с выведенной ранее (гл. I, §2, п. 5) форму-
формулой для расстояния между двумя точками Л и В.
90

6. Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве определяется углами, а,
Р, у, которые вектор составляет с осями координат (рис. 70). Коси-
Косинусы этих углов cos a, cos C, cos у называются направляющими
косинусами вектора.
С помощью выведенной ранее формулы D5) для проекции век-
вектора легко получить выражения для направляющих косинусов.
Пусть дан вектор a = ax\+a ] +azk. Тогда
ах = прОд.а =) а | • cos a,
L = I a l-cos В,
Отсюда находим выражения для направляю-
направляющих косинусов:
Так как по формуле E7) | a J = Val + al + al то Рис- 70
глягу.^- а* , г.пяр= °у tc.n*y= а* . F0)
Val + al + al Val + al + al J/fl|+flJ + flj
Возводя почленно каждое из равенств формул F0) в квадрат и
складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами
вектора:
откуда
cos2 a -f cos2 p + cos2 7=1,
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна
единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного
вектора а0 на оси координат соответственно совпадают с его направ-
направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям
координат имеет вид
а° =cosa-i + cosp-j-f cos Y*k. F2)
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет
с осями координат, если Л A, 2, 3) и В B, 4, 5).
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ox, Oy, Oz:
прОхАВ=2— 1 = 1, прОу АВ=4—2 = 2, upOzAB^= 5 — 3 = 2.
По формуле E8) находим модуль вектора | АВ | = |/*12+22+22 = 3;
по формулам F0) находим направляющие косинусы вектора:
cos a —у, cosp=y, cosy=y.
91

7. Условие коллинеарности двух векторов
Пусть векторы a = axi + ay] + azk и b = bj + byj + bzk колли-
неарны. В этом случае а = М>, где X—некоторое число (см. п. 2).
Так как при умножении вектора на число его проекции на оси
также умножаются на это число (см. п. 4), получим
ax = fkbx, ay = Xby, а2 = ХЬ2. F3)
Обратно, если имеют место равенства F3), то векторы а и b
коллинеарны.
Действительно, если все проекции вектора а в К раз отличаются
от проекций вектора Ь, то и сам вектор а получается из вектора
b умножением на множитель X, т. е. векторы аи b коллинеарны.
Равенства F3) показывают, что проекции векторов а и b пропор-
пропорциональны. Таким образом, для того чтобы два вектора а и Ь
были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции
были пропорциональны.
Равенства F3) часто записывают следующим образом:
<64>
8. Скалярное произведение
В п. 2 этого параграфа было рассмотрено умножение вектора
на число. В различных задачах механики и физики мы встречаемся
также с операцией умножения вектора на вектор. Однако в отли-
отличие от чисел, когда результат произведения всегда есть снова число,
при умножении векторов результат может быть как числом, так и
вектором.
Соответственно этому рассматривают два вида умножения векто-
векторов: скалярное и векторное.
Изучим сначала скалярное умножение.
Пусть даны два вектора аи Ь, угол между которыми равен <р
(рис. 71).
Определение. Скалярным произведением векторов a u b на-
называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов
на косинус угла ср между ними.
Скалярное произведение обозначается ab. Таким образом, по
определению
a-b = |a|-|b|-cos(p. F5)
Рассмотрим одну физическую задачу, решение которой приводит
к скалярному произведению векторов. Пусть материальная точка М
движется по прямой от точки А до точки В, проходя при этом
путь /. Допустим, что на точку М действует сила F, постоянная
по величине и направлению и составляющая с направлением пере-
перемещения точки М угол а (рис. 72).
92

Из физики известно, что работа Е, совершаемая при этом си-
силой F на участке /, равна
Е = Fl cos a
Если ввести вектор перемещения 1, то по определению скалярного
произведения получим
? = F-1.
Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
в , I » прд а
Рис. 71 Рис. 72 Рис. 73
Формуле F5), определяющей скалярное произведение, можно
придать иной вид.
Так как произведение | b | • cos ф есть проекция вектора b на ось,
определяемую вектором а (обозначается npjb), и | a |-cos ф— проекция
вектора а на ось вектора b (рис. 73), то из равенства
a-b = |a|-|b|« cos ф
следует, что
а • b = | а | • npab = | b | • пр&а. F6)
Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из век-
торов, умноженному на проекцию на него другого вектора.
Из F6) находим выражение для проекции одного вектора на
направление другого:
Ьв.'Ъ
В частном случае, если, например, вектор а единичный, т. е. |а| = 1, то
np,b = ^ = a.b. F7')
Проекция вектора на направление единичного вектора равна ска-
лярному произведению этих векторов.
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1. Скалярное произведение двух векторов обладает переместитель-
ным свойством:
а-Ь=-= Ь-а.
Это свойство непосредственно следует из определения скалярного
произведения:
a-b = [a|-| b|-cosф, b-a = |b|-|a|-cosф,
93

следовательно,
a-b = b-a.
2. Скалярное произведение двух векторов обладает сочетательным
свойством относительно скалярного множителя, т. е.
При доказательстве этого равенства ограничимся случаем Х> 0.
Замечая, что при X > О угол ф между векторами аи b равен углу
между векторами Ха и Ь, получим
X (а • Ь) = X • | а | • | b | • cos ф,
(Ха) • b = | Ха | • | b | • cos ф = X • | а | • | b | • cos ф.
Следовательно, Ца-b) = (Ха)Ь. Аналогично доказывается и равен-
равенство Х(а-Ь) = а-(МЬ).
3. Скалярное произведение двух векторов обладает распределитель-
распределительным свойством:
Действительно, на основании формулы F6) и свойства проекций
имеем
4. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то равен
нулю либо один из перемножаемых векторов, либо косинус угла между
ними, т. е. векторы перпендикулярны.
Обратно, если векторы a_Lb, то соэф = 0 и, следовательно,
скалярное произведение векторов равно нулю.
Таким образом, для того чтобы два не равных нулю вектора
были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скаляр-
ное произведение было равно нулю.
Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на
себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора.
а • а = | a J • | а | • cos 0 = | а | • | а | = | а |2.
Скалярный квадрат вектора обозначается а2. Таким образом,
а2 = |а|3. F8)
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Отметим любопытное свойство скалярного квадрата вектора, вы-
вытекающее из формулы F8). Если вектор а возвести скалярно в
квадрат и затем извлечь корень, то получим, как это видно из F8),
не первоначальный вектор, а его модуль |а|. Таким образом, дей-
действия возведения в квадрат и последующее извлечение корня не
аннулируют друг друга:
Пример. Дан вектор с = 2а-|-ЗЬ, причем |а|=4, |Ь|=5. Угол ф
между векторами а и b равен 60Q. Вычислить модуль вектора с.
94

Решение. Используя формулу F8), получим с3 = |с|3, откуда
|c|=K^=]/*Ba + 3bJ=]/4a2+12a.b + 9b2.
Так как
а2 = |а|2 = 42-16, Ь2 = |Ь|2=52 = 25 и а.Ь = |а|-|Ь|созф =
= 4.5-cos60°=10,
то
|с| =/4-16+12-10 + 9-25 = 1/409.
9. Выражение скалярного произведения через проекции
перемножаемых векторов
Пусть даны два вектора
a = axi + ay) + azk и b = bj + b^j + bzk.
В таком случае
а • b = (axl + ау] + a2k). (bx\ + by] + b2k) =
b b
При раскрытии скобок мы воспользовались распределительным свой-
свойством скалярного произведения.
Заметив теперь, что
i.i =jj = k-k = 1
как скалярные квадраты единичных векторов и что
как скалярные произведения взаимно перпендикулярных векторов,
для скалярного произведения двух векторов получаем окончатель-
окончательную формулу:
&.b = axbx + Oyby + aJ)g. F9)
Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произве-
произведений их одноименных проекций.
Выше мы имели условие, необходимое и достаточное для пер-
перпендикулярности векторов аиЬ: а«Ь=0. На основании формулы F9)
условие перпендикулярности двух векторов принимает вид
ахЬх + ауЬу + агЬг = 0. G0)
Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны,
необходимо и достаточно, чтобы сумма парных произведений их одно-
одноименных проекций равнялась нулю.
Пример. При каком значении т вектор a = 2i + 3j—k перпенди-
перпендикулярен вектору b = i— 5j+m-k?
Решение. Из условия G0) перпендикулярности векторов имеем
05
(—5) + (—1
откуда т=^ —13.

10. Косинус угла между двумя векторами
Из выражения для скалярного произведения векторов
a-b = |a|-|b|- cos ф
находим
Выражая скалярное произведение и модули векторов через их про-
проекции по формулам E7) и F9), получим формулу для нахождения
косинуса угла между векторами:
cos ф = xx ' yy ' zz . G2)
V al+al+aiVbl+bl+Ы
Пример. Вычислить косинус угла между векторами a = 3i+j—k
и b = 2i -f- 2j + к.
Решение. По формуле G2) находим
тяТ= з2 3122+'-'t(~2?"'22 lt 37Ц
Перейдем теперь к рассмотрению второго вида умножения двух
векторов.
//. Векторное произведение
Определение. Векторным произведением вектора а на век-
вектор b называется новый вектор с, который определяется следующим
образом:
1) модуль вектора с численно равен площади параллелограмма,
построенного на перемножаемых векторах а и b как на сторонах,
т. е.
|с | = | а | • | b | sin (a, b); G3)
2) вектор с перпендикулярен к обоим перемножаемым векторам;
3) направление вектора с таково, что, смотря из его конца вдоль
вектора, поворот по кратчайшему пути от
0 вектора а к вектору b мы будем видеть совер-
1 шающимся против движения часовой стрелки
(рис. 74).
/ Векторное произведение векторов а и b
/ обозначается символом а х Ь.
в'"/ Рассмотрим физическую задачу, решение
которой приводит к операции векторного произ-
ис* ведения двух векторов.
Покажем, как вычисляется скорость точек твердого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 75). Допустим, что твер-
твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной
оси. Введем вектор угловой скорости <о. Этот вектор направлен по
96

оси вращения тела в ту сторону, из которой вращение тела видно
против движения часовой стрелки.
Пусть М — произвольная точка тела. Скорость этой точки на-
направлена по касательной к окружности, описываемой точкой при
вращении тела. При этом плоскость окружности перпендикулярна
оси вращения. Величина скорости точки М равна произведению
модуля угловой скорости | со | на рас-
расстояние d точки М до оси вращения, т. е.
|v| = |©|.d. G4)
Возьмем на оси вращения произволь4
ную точку О и отложим из нее вектор
ОЛ = (о и вектор ОМ=г. Обозначим
угол между векторами со и г через у.
Тогда из треугольника ООХМ имеем
d = |r|sinY (см. рис. 75).
Подставляя это значение d в фор-
формулу G4), находим
| v| = |ю|.|г| sin у.
Скорость v точки М перпендикулярна Рис. 75
векторам (о и г, и из конца вектора
скорости v кратчайший поворот от вектора ю к вектору г виден
совершающимся против движения часовой стрелки.
Поэтому на основании определения векторного произведения
имеем:
v = G)xr*. G5)
Рассмотрим теперь основные свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение ме-
меняет свой знак, сохраняя модуль. Таким образом, векторное произ-
произведение не обладает переместительным свойством.
Действительно, из определения векторного произведения следует,
что векторы axb и Ьха имеют одинаковые модули, расположены
на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. По-
Поэтому векторы axb и Ьха являются противоположными векторами
и, следовательно,
axb^=— Ьха.
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством
относительно скалярного множителя, т. е.
X. (а х b) = (ka) х b = a x (Щ.
* Точку О приложения векторов о и г на оси вращения можно выбирать
произвольно. При этом будут меняться г и у> но произведение |г| &iny = d будет
оставаться постоянным.
4 № 2242
97

Доказательство этого свойства непосредственно следует из опре-
определения векторного произведения. Докажем его, например, для
случая К > 0.
|(Ха) х Ь | = | Э^а | -1 b | • sin (ХаГь) = Х-1 а | -1 Ь | - sin (аГь).
Вектор X(ах Ь) перпендикулярен векторам а и Ь. Вектор (Xa)xb
также перпендикулярен векторам а и Ь, так как векторы а и Ь,
Яа и b лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы Я(ахЬ) и
(Яа)хЬ коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают.
Поэтому
Х(Ь)
Подобным же образом проводится доказательство и для случая X < 0 *.
3. Векторное произведение обладает распределительным свой-
свойством, т. е.
Вывод этой формулы мы здесь приводить не будем.
4. Если векторное произведение двух векторов равно нуль-вектору,
то либо равен нуль-вектору один из перемножаемых векторов, либо
равен нулю синус угла между ними,
т. е. векторы коллинеарны.
Обратно, если два ненулевых
вектора коллинеарны, то их век-
векторное произведение равно нуль-
вектору.
Таким образом, для того что-
чтобы два ненулевых вектора а и Ъ
были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы их векторное
Рис. 76 произведение равнялось нуль-век-
нуль-вектору.
Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение век-
вектора на самого себя равно нуль-вектору:
аха = 0.
Рассмотрим примеры на применение указанных свойств.
Пример 1. Найти Ba + 3b)x(a—2b).
Решение. Имеем:
Bа + ЗЬ) X (а—2Ь) = 2а х а + ЗЬ х а — 4а х b — 6Ь х Ь.
Так как аха = 0, ЬхЬ = 0иахЬ = —Ьха, то получаем Ba + 3b)x
Х(а-2Ь)=7(Ьха).- _ _
Пример 2. На векторах ОА и ОВ построен параллелограмм ОАСВ.
Вычислить площадь параллелограмма OCDE, стороны которого
ОЕ и ОС равны соответствующим диагоналям первого параллело-
параллелограмма О ABC. При этом \ОА \ = 3, | ОВ | = 4 и (ОА^ОВ) = — (рис. 76).
* При А, = 0 сочетательное свойство очевидно.
98

Решение. По определению векторного произведения
Так как OJE = AB=OB — OA иОС=_ОЛ+_ОВ, то _
— ОАхОВ + ОВхОА-
= 21OB\-\OA |. sin^- = 2.3.4X2=12
12. Выражение векторного произведения через проекции
перемножаемых векторов
Пусть даны два вектора:
а = ах\ + ау) + azk, b = 6xi + 6^3 + Ьгк.
Найдем выражение векторного произведения axb через проекции
аХУ ауу аг и Ъх byy bz. Предварительно найдем все парные векторные
произведения единичных векторов i, j, k. Так как векторное про-
произведение коллинеарных векторов равно
нуль-вектору, то
ivi iv5 kvk О G9Л
^ Рассмотрим теперь, например, произ-
j J/ ведение ixj. Модуль этого произведения
f
Расположен вектор ixj на прямой, пер-
Рис 77 пендикулярной плоскости векторов i и j,
т. е. на оси Oz. Направлен этот вектор
в сторону положительного направления оси Oz, так как при этом
поворот вектора i к вектору j по кратчайшему пути будет виден
из конца вектора ixj совершающимся против вращения часовой
стрелки (рис. 77). Отсюда следует, что этот вектор совпадает с век-
вектором к:
ixj=k.
Очевидно, что
jxi = —к. G7)
С помощью аналогичных рассуждений убедимся, что
kxi=j, ixk = — j. (//)
Рассмотрим теперь произведение векторов а и Ь.
Используя свойства 3 и 4 векторного произведения и равенства
G6), G7) и G7'), получим
а х b = (axi + ау\ + azk) х фх\ + by] + bzk) -
= axbxi x i + aybx] x i + azbxk x i + axby\ x j +
+ ayby) X j + azbyk x j + axbzi x k + aybj x k +
4* ч 99

+ azbzk x к = aybx (—к) + ajbx\ + axbyk -f-
+ azby (- i) + axbz (- j)i + a/,i = (a,b,—aj),) i -
—(a A—°A) i + («A—aA)k
Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители
второго порядка (§ 1, п. 1). Поэтому
ахЬ =
ayaz
ЪК
\ —
axaz
bxbz
амЛ1
Полученное выражение на основании свойства о разложении опре-
определителя третьего порядка по элементам первой строки можно окон-
окончательно записать следующим образом:
i
ах
ьх
j
ау
Ьу
к
в*
ь,
ахЬ =
Пример 1. Найти векторное произведение векторов
a = 2i + 3j—к и b = 3i—j — 4к.
Решение. По формуле G8) находим
1 1 * 3 1 2 1
axb= 2 3-1 = f А л- п А •]+ I Т-к=-
G8)
1
2
3
j
3
j
к
—1
4
3
—1
—1
—4
•i —
+ 5J-1
2
3
Ik.
j
—4
2
3
3
—1
Пример 2. Вычислить площадь треугольника, вершины которого
находятся в точках А B; 3; 1), BEj_6; 3)^G; 1; 10).
Решение. Рассмотрим векторы АВ и АС, совпадающие со сто-
сторонами треугольника
AS = 3i + 3j + 2k, ЛС = 5i—2j + 9k.
Так как модуль векторного произведения равен площади парал-
параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то
площадь треугольника будет равна половине модуля векторного
произведения АВхАС:
Находим сначала
i
3
5
j
3
—2
к
2
9
3
—2
2
9
—— i
j
3
5
2
9
3
5
3
—2
Следовательно,
= 31i — 17j—21k.
кв. ед.
100

13. Смешанное произведение трех векторов
Рассмотрим теперь произведение векторов a, b и с, составленное
следующим образом:
(axb)-c.
Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный
вектор axb умножается скалярно на третий вектор с. Такое произ-
произведение называется векторно-скалярным, или смешанным произведе-
произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой,
очевидно, некоторое число.
Найдем выражение для смешанного произведения через проекции
перемножаемых векторов.
Определим сначала axb:
axb =
Так как c =
i
ax
К
j
ay
by
к
аг
bz
=
ay az
h h
У г
i —
ax az
h h
X Z
j +
ax
bx
av
by
k.
ay
by
°>z
bz
•Cx —
ax
К
az
•cy +
ax ay
bx by
cy)+czk, то используя формулу F9) для ска-
скалярного произведения, получим:
(axb)-c =
Легко видеть, что полученное выражение является разложением
определителя
,ау az
<by b2
: Cf Cz
по элементам третьей строки. Итак,
(axb)-c =
ау
br bv bT
cy cz
G9)
Смешанное произведение (axb)-с равно определителю третьего
порядка, у которого в первой строке стоят проекции первого пере-
перемножаемого вектора, во второй строке—проекции второго вектора
и в третьей строке—проекции третьего вектора.
Поэтому
(Ьха)-с =
ьх
ax
cx
bybz
ay az
cy cz
= —
ax
bx
cx
ay
by
Cy
az
bz
cz
= —(axb)-c.
Аналогично можно получить следующие формулы:
(axb)'C=(bxc)-a=(cxa)-b= — (bxa)-c=— (axc)-b=— (cxb)-a.
101

Для краткости смешанное произведение (axb)-c будем обозна-
обозначать иногда (abc). В этих обозначениях предыдущие формулы можно
записать следующим образом:
(abc) = (bca) = (cab) = — (bac) = — (acb) = — (cba).
14. Геометрический смысл смешанного произведения
Отложим данные векторы a, b и с от общего начала и построим
на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (предполагая,
что векторы не лежат в одной плоскости). Построим также вектор
d = axb, модуль которого равен
площади Q параллелограмма, по-
построенного на векторах а и b
(рис. 78). На основании определе-
определения смешанного произведения
(abc) = (а х Ь) • с.
По определению скалярного про-
произведения
(axb)-c=|axb|«|c|«cosq> =
Рис. 78 =Q-|c|C0S<pt
где ф угол между векторами d и с.
Предполагая, что Ф<у и обозначая через h высоту паралле-
параллелепипеда, находим
= | с | cos ф.
Таким образом,
Но произведение Q-h равно объему V рассматриваемого паралле-
параллелепипеда. Следовательно, (abc)=V.
Если же Ф>|-, то созф<0 и |с|cosф = —h. Следовательно,
(abc)=— V.
Объединяя оба эти случая, получаем окончательно
(80)
или
V=|(abc)|. (81)
Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака
равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как
на ребрах.
15. Условие компланарности трех векторов
Определение. Три вектора, параллельные одной плоскости
или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.
Пусть три вектора а, Ь, с компланарны. Не ограничивая об-
общности, можно считать, что эти векторы лежат в одной плоскости.
102

В этом случае вектор d^axb будет перпендикулярен этой плос-
плоскости и, следовательно,^ перпендикулярен вектору с, поэтому ска-
скалярное произведение
d
Следовательно, смешанное произведение компланарных векторов
равно нулю.
Обратно, если смешанное произведение (abc) = 0, то векторы
а, Ь, с компланарны.
Действительно, если бы эти векторы были бы не компланарны,
то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом
V^O. Но так как V = |(abc)|, то отсюда следовало бы, вопреки пред-
предположению, что (abc) Ф 0.
Итак, для того чтобы три вектора а, Ь, с были компланарны,
необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равня-
равнялось нулю, т. е.
(аЬс)-О,
или
ах
ьх
с*
ау
ЬУ
су
К
= 0.
(82)
Рассмотрим теперь примеры на применение смешанного произ-
произведения векторов.
Пример 1. Показать, что векторы а = — i-f 3j + 2k, b = 2i—3j—4k
и с = — 3i+12j + 6k компланарны.
Решение. Составляем смешанное произведение этих векторов:
(abc) =
+ 2-
— 13 2
2 —3 —4
— 3 12 6
-3 —4
12 6
—3-
2 —4
—3 6
2 —3
—3 12
= — (—18 + 48)—3A2 —12) + 2 B4—9)^0.
Так как смешанное произведение оказалось равным нулю, то, сле-
следовательно, векторы компланарны.
Пример 2. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках
0@; 0; 0), А E; 2; 0), В B; 5; 0), СA; 2; 4).
Решение. Рассмотрим векторы
Из элементарной геометрии известно, что объем пирамиды, построен-
построенной на ребрах ОА, ОВ и ОС, равен -g- объема параллелепипеда,
построенного на тех же ребрах.
103

Поэтому
1/пир=4|@Л.0В.0С)|,
V ==—.
пир б
5 2 0
2 5 0
1 2 4
5 2
2 5
= 14/«/б.
(при вычислении определителя мы воспользовались разложением
по элементам третьего столбца).
§ 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
/. Понятие о матрице
При изучении определителей и систем уравнений (см. § 1) мы
рассматривали таблицы, составленные из чисел:
11 
а9Л а9
алл alt a13
п
23
(У!'
(83)
Эти таблицы мы назвали матрицами, а числа а119 а12, ... —элемен-
—элементами матрицы.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то такую
матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столб-
столбцов называется порядком матрицы. Так, например, в (83) первая
матрица будет второго порядка, а последняя матрица—третьего
порядка. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов,
называется прямоугольной (средняя матрица в (83)).
Рассмотрим также матрицы, имеющие только одну строку или
один столбец. Матрица (ап а12 а13) называется матрицей-строкой,
а матрица
матрицей-столбцом.
Определитель у составленный из элементов квадратной матрицы,
называется определителем этой матрицы.
Матрицу для краткости будем обозначать одной буквой, напри-
например:
аЛЛ ал
В
а определитель этой матрицы—той же буквой в прямых черточ-
черточках. Так, определитель матрицы А будет
А\—
а„ а9
104

определитель матрицы В
1*1=
au a12 a13
a99 a9
определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то
матрица называется невырожденной. Если же определитель матрицы
равен нулю, то матрица называется выроокденной.
Например, матрица
будет вырожденной, так как
|Л|= 2 3
11 4 6
а матрица
6
= 2.6 — 3.4 =
2 3
4 5
невырожденной, так как
2 3
4 5
= 2-5 — 3-4 = — 2=^0.
2. Равенство матриц. Действия над матрицами
Равенство матриц. Две матрицы А и В называются равными
(А = В), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число
столбцов и их соответствующие элементы равны.
( М (b М
ц ущ р
Так, если А^(пп М и B = (bl1 М, то А = Я, еслиап = Ь1и
\a«i а22/ \Ьц KJ
а,« = <
Сложение матриц. Если даны две квадратные матрицы
одного порядка, например
А =
а1г а12
и, а,
и В =
то их суммой называется матрица
(84)
Аналогично определяется сумма двух прямоугольных матриц,
имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.
'I 2\ /2 + 1 3 + 2\_/3 5N
'1 2 3\ , /2#4 1\ /3 6 4\
Пример 2. { Л _ ] + ( ) = (-.-_].
Пример 1. B 3Vhl
\1 0 V3
2 4 5
3 0 5
5 4
105

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется перемести-
тельному и сочетательному законам:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-
матрицей и обозначается @), или просто 0.
Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного
нуля при сложении чисел:
Например:
Ai As\ , /0
Ai A J \0 0
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы
А-
на число у, называется матрица
4^21
Мы рассмотрели правило умножения матрицы на число для
случая квадратной матрицы второго порядка. Совершенно так же
умножаются на число квадратные матрицы третьего порядка и пря-
прямоугольные матрицы.
При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица:
flu fliA 0 /0 0
[о о
Умножение матриц. Рассмотрим правило перемножения двух
квадратных матриц второго и третьего порядков.
Пусть даны две матрицы
По определению, произведением матрицы А на матрицу В назы-
называется матрицаС = А-В, элементы которой составляются следующим
пбппяпм:
образом:
Если даны матрицы третьего порядка
а22 а2
V#41 0о„ Яоо/
103

то матрица С —А-В составляется следующим образом:
/«1 Ai + ?12^21 + aub3l aub12 + a12b22 + al3b32 anbi3 + al2b23 + ai3b33
"= «2 Al + «2262I + ^23^31 «2 A2 + «^22 + «23^32 «2 Аз + «22Ь23 + «23^3 ]>
(86)
Как мы видим, элемент матрицы-произведения, находящийся на
пересечении i-й строки и k-го столбца, представляет собой сумму
парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на эле-
элементы k-го столбца второй матрицы.
Например, элемент, стоящий во второй строке и первом столбце
матрицы произведения А-В, равен сумме произведений элементов
второй строки матрицы А на элементы первого столбца матрицы В.
Эги правила сохраняются и для умножения прямоугольных
матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу
строк матрицы-множителя.
Пример 1.
2 1 0\ (l j\ /2.1 + 1.2 + 0-2 2-2+Ь1+0-2\ /4 5'
Пример 2.
\«21 «22/ V*
В результате перемножения дзу)С матриц получается матрица,
содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое,
и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.
Рассмотрим еще примеры умножения матриц.
Пример 3.
a r- > 3 —^ IX v\ l 31-1.3 3-1 —Ы\ /0 2
, — 1 2) \3 \) \ — Ы + 2-3 — Ы+2-1 J \5 1
Пример 4.
В А =
3 \)\-\ 2) ^3-3+1.(-1) 3-(-]
2
8 -1у
Эти примеры, показывают, что произведение двух матриц, вообще
говоря, не подчиняется переместительному закону:
107

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочета-
сочетательному закону
А-(В-С)=(А.В)-С
и распределительному закону
При умножении матриц второго порядка особое значение имеет
квадратная матрица
\0
Легко проверить, что при умножении любой квадратной матрицы А
второго порядка на матрицу Е снова получится матрица А:
А . Р р. А A (R7\
Матрица Е называется единичной матрицей.
Единичная матрица третьего порядка имеет вид
/1 О ON
?=0 1 0
V001,
Очевидно, что определитель единичной матрицы
\Е\ = 1. (88)
Можно показать, что если А и В—-две квадратные матрицы
одного порядка с определителями \А\ и | В |, то определитель ма-
матрицы С —А В будет равен произведению определителей перемно-
перемножаемых матриц, т. е.
|С| = |Л|.|В|. (89)
Пример 5. Пусть А=( , *\ В = (\ \\ Как мы видели в
примере 3,
Определители этих матриц таковы:
\А\ =
3 —1
— 1 2
= 5,
1 1
3 1
9 IГЧ
= Z, О =
5 —1
= —10.
Итак, действительно,
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произве-
произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц
подобное обстоятельство может и не иметь места, т. е. произведение
двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
108

Так, например, если А = ( j j) и В = ( j jj, то
3. Обратная матрица
Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу, понятие
которой вводится только для квадратной матрицы.
Если А—квадратная матрица, то обратной для нее матрицей
называется матрица, обозначаемая А-1 и удовлетворяющая условию
А-А-1 = Е. (90)
Можно доказать, что если выполняется равенство (90), то одно-
одновременно выполняется и равенство
A-i-A^E. (91)
Приведем теперь следующую основную теорему.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной,
т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
для матрицы А существует обратная матрица А. Покажем, что
в этом случае матрица А должна быть невырожденной, т. е. ее
определитель |Л|=^=0. Действительно, если бы |Л|—0, то опреде-
определитель произведения
Но это невозможно в силу равенства (91), из которого следует, что
Достаточность. Для простоты проведем доказательство для
случая матрицы третьего порядка.
Пусть
*32 «33/
невырожденная матрица, т. е. ее определитель
| Л j
а9
Ф0.
Покажем, что в этом случае существует обратная матрица.
* Подобным же свойством обладают, как известно, скалярное и векторное
произведения (см. стр. 94 и 98).
109

В самом деле, пусть Aik—алгебраическое дополнение элемента aik.
Матрица Л*1, обратная матрице Л, получается следующим образом.
1) Составим матрицу В, заменяя в матрице А каждый ее элемент
аш его алгебраическим дополнением Aik, деленным на определи-
определитель \А \ матрицы Л:
г
Аи
Ml
^21
Ml
^12
А\
А 22
А\
^32
l3
L \A\ \A
Ml
^23
М|
^33
Ml
2) Составим новую матрицу Б*, поменяв местами в матрице В
ее строки и столбцы. (Матрица В* называется транспонированной
матрицей по отношению к матрице В.)
В* =
L
\А\
Ai3
Ml
Ml
^22
Ml
^23
Ml
А33
Покажем, что матрица В*
этого составим произведение
является обратной матрице Л. Для
\А\
А 12
Ml
Ml Ml
\А\
L
\А
Га,
\А\
\А\
A\
L 1 л I Ml Ml j
(92)
На основании формул A5) и A7) следует, что матрица, стоящая
в правой части равенства (92), является единичной. Таким образом,
А-В*=Е,
откуда следует, что В*=А~1. Итак,
А А А ~1
^11 Л21 Л31 '
Ml
\А\
\А\
^22
Ml
А 23
Ml
^32
\А\
^33
L
(93)
Ml Ml j
и, следовательно, обратная матрица существует.
110

Составим матрицу, обратную матрице второго порядка
I _ (аи ai2
Здесь Лг1 = а22, Л12=—а21, Л21 =
В таком случае
Ml
Ml
21 ^22
И M|J
12,
«2
1
а
\л\
«12
21
Ml
«и
u
«12
Ml
(93')
Ml I -A I -I
Пример. Найти матрицу, обратную матрице
/1 2 0N
Л = [ 3 2 1
V012,
Решение. Определитель этой матрицы
1 2 О
|Л|= 3 2 1 =—9.
О 1 2
Так как | А\Ф§, то матрица Л—невырожденная, и, следовательно,
существует обратная ей матрица.
щу р рц
Вычисляем алгебраические дополнения:
2 1
1 2
1 _/ iu
113— V Ч
( 1М+2
3 1
0 2
= -6,
= С 142 + 1
2 О
1 2
3 2
0 1
= 3,
= -4, Л„ =(-!)*
1 0
0 2
= 2,
^«=(-1
. = f—П3+1
2 О
2 1
1 2
0 1
= -1,
1 2
1 0
3 1
Составляем матрицу
/ 1K+3
"9 ~
3 2
= —4.
9
]_
9
9
111

Меняя местами строки и столбцы в этой матрице, получим матрицу
Л =
L
1
3
2
3
1
з"
4
9
2
9
1
"9"
2
9
1
"9
4
"9
J
Предоставляем читателю проверить, что действительно
Докажем, что определители матрицы Л и ее обратной матрицы
Л обратны по величине:
М-Ч--ПП-. (94)
Действительно, из формулы (90) имеем
Применяя формулы (88) и (89), получим:
1 Л.Л-1! I А 1.1 А-1\ I F I — 1
откуда
4. Матричная запись и матричное решение
системы уравнений первой степени
Применим рассмотренное в п. 2 этого параграфа правило умно-
умножения матриц к так называемому матричному способу записи
уравнений. Пусть дана система уравнений
(95)
a11x1 -f a
а21хг + а
«зЛ+«
системы
Л =
12*2 + «13*
22*2.-f
32*2 "T
/«u
«21
\«31
"«23^
-«зз*
«12
«22
«32
3=C1'
3=C2>
3=^3- J
«1з\
«23 J
«33/
«Jo /
и матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов
/хл\ /сх
112

Очевидно, что
Л.Х = ( а%г а22 Я2з Ы *2 ) = [ «
va31 a32 а33) \х.
Данную систему (95) можно записать, пользуясь определением
равенства матриц (п. 2), следующим образом:
,х2 + а23х3 ] = [ с2 ,
ся
или, короче,
(96)
Равенство (96) называется матричным уравнением.
Если система (95) записана в форме матричного уравнения (96)
и матрица А системы невырожденная, то решается это уравнение
следующим образом. Умножим обе части уравнения (96) на матри-
матрицу л-1, обратную матрице А:
Используя сочетательный закон умножения матриц, можно
написать
Но так как Л-1-Л = ?1
ного уравнения в виде
?-Х = Х, то получаем решение матрич-
матричХ = А-г-С. (97)
Пример. Решить матричным способом систему уравнений
Решение. В матричной форме эта система запишется в виде
Х = С. Здесь
1 2 0\ /*Д /10N
2 1 j, X = hc, , C= 23
\0 1 2/ \xj
Матрица А*1 была найдена в п. 3 и имела вид
1
3
2
3
1
4
т
2
9
1
2
9
1
9
4
ИЗ

Решение системы записываем в виде (97): Х = А-г-С, или
1 4 21
3
2
3
1
з"
9
2
~9
1
9
9
1
9
4
Отсюда, на основании определения равенства матриц, следует:
X} == ГГ, Xt? == О, Хд == О.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти значения неиз-
неизвестных удовлетворяют данной системе.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
/. Основные понятая
Пусть в плоскости Q задана прямоугольная система координат.
Для упрощения записи и удобства преобразования координаты
точек будем обозначать не через х и у, а через х1 и х2 или у1 и уг
и т. д., а основные орты вместо i и j через е, и е2.
Рассмотрим уравнения, связывающие переменные хг и х2 с пере-
переменными ух и у2:
»1=ад+ад. \ 98
где allf al2f а21, a22-
Каждой точке Л4 плоскости Q с координатами хг и х2 соответ-
соответствует в этой же плоскости единственная точка М19 координаты
которой ух и у2 определяются соотношениями (98).
Точка Мг называется образом точки М. Если точка М описы-
описывает в плоскости Q некоторую линию L, то ее образ описывает,
вообще говоря, также некоторую линию L,. Как говорят, с помощью
уравнений (98) устанавливается отображение или преобразование
плоскости Q в себя. В связи с тем, что правые части уравнений (98)
первой степени относительно хг и х.г9 это отображение называется
линейным. В заданной системе координат Охгх2 линейное отображе-
отображение вполне характеризуется квадратной матрицей
А =
составленной из коэффициентов линейного отображения (98).
Если ввести матрицы-столбцы X =
х
Y =
х
то систему
\г/ \Уъ/
уравнений (98) можно записать в следующей матричной форме
(см. § 4, п. 4):
Y AX (99)
114

Матрица А называется матрицей линейного отображения, а ее
определитель | А \ = п 12 —определителем линейного отображе-
а21 а22
ния. Линейное отображение называется невырожденным, если его
матрица невырожденная, т. е. если |Л|^=0. Если же |Л|=0, то
отображение называется вырожденным.
Если линейное отображение невырожденное, то система (98) од-
однозначно разрешима относительно хх и х2. По формулам Крамера
имеем:
02
«Л
«21
«11
«21
«11
«21
«12
«22
«12
«22
Ух
Уъ
«12
«22
\А
\Л\
Итак,
«22
TT
«12
«11
A00)
Уравнения A00) показывают, что, обратно, каждой точке Мг {ylt y2)
соответствует единственная точка М (х19 х2), а именно та точка М9
образом которой являлась точка Мх. Таким образом, невырожден-
невырожденное линейное отображение определяет взаимно однозначное отображе-
отображение плоскости Q в себя. Формулы A00) показывают, что обратное
отображение также линейно, а его матрица есть матрица, обратная
матрице А (см. § 4, п. 3):
Г а22
L |Л| \А
К уравнению A00) также можно прийти, если умножить обе
части матричного уравнения (99) на матрицу Л:
(\ 0
Но так как Л-1-Л = L A = E и
= Х, то
Очевидно, толсдественному отображению
^X. Итак,
A01)
(Ю2)
У* г )
/1 0\
ссответствует единичная матрица Е=[ п ).
115

Пример 1. Линейное отображение
л f2 3\
невырожденно, так как его матрица Л = 1 - 1 имеет определитель
у> о/
\А\ =
2 3
3 5
= 1, отличный от нуля. Обратное отображение получим,
разрешая систему A03) относительно хг и х2:
A04)
5 —
Обратное отображение имеет матрицу А =
\/
Образом точки МA; 2) будет точка Мх с координатами
0х=2-1 +3-2=8, jf/2 = 3-1 +5-2 = 13. Образом прямой L х1 + 2х2 —
— 2 = 0 будет прямая L19 уравнение которой получим, если в урав-
уравнение хг + 2х%—2 = 0 подставим выражения хх и х2 через yt и у2
по формулам A04):
)—2 = 0 или
Пример 2. Линейное отображение
A05)
B 3\
вырожденное, так как матрица А = ( ) имеет определитель
2 3
| А | = д fi , равный нулю. Это отображение не имеет обратного
и не устанавливает взаимно однозначного отображения плоскости
в себя. Действительно, из соотношения A05) легко видеть, что
любая точка М прямой 2Xj + 3x2=0 имеет своим образом начало
координат, так как ул = 2хх + Зх2 = 0 и у2 = 4хх + 6х2 =. 2 Bл:! + 3x2) =
= 2-0-0.
Пример 3S Линейное отображение
A06)
4/S = Л2 )
с матрицей
невырожденное и представляет собой отображение, при котором
образом каждой точки М (xlt x2) является точка М19 симметричная
относительно оси Охг (зеркальное отображение). Так, например,
образом точки МA;2) будет согласно уравнениям A06) точка
ami;-2).
не

Рассмотрим радиус-вектор ОМ точки M(xltx2): 0M=xlel
Отображение (98) ставит в соответствие этому радиус-вектору ра-
радиус-вектор ОМХ точки М1У являющейся образом точки М:
(Ш1^=у1е1 + у2е2; при этом проекции этих векторов х1У х2 и ylt у2
связаны формулами (98).
В заключение отметим, что в случае пространства 0ххх2х3 ли-
линейное отображение определяется системой уравнений
= «21^1+^22^2 + ^23*3»
A07)
с матрицей
A=\ a21 a22 a23
Если определитель этой матрицы не равен нулю, то отображение
называется невырожденным.
/хЛ /уЛ
Введя матрицы-столбцы Х = \х2 и Y = 1 у2 , для невырожден-
\Л/ \yJ
ного отображения получим следующие два матричных уравнения,
аналогичные уравнениям (99) и A01):
У = Л.Х, X = A-*.Y. A08)
2. Преобразование координат
Рассмотрим в плоскости Q прямоугольную систему коорди-
координат 0ххх2 с основными ортами ег и е2. Наряду с системой координат
Охгх2) которую будем назы-
называть старой, рассмотрим но-
новую систему координат Ох[ х2
с ортами ej, e2. Начало коор-
координат старой и новой систем
совпадают (рис. 79).
Возьмем в плоскости Q
произвольную точку М.
Пусть ее координаты в старой
системе координат суть х19
х2У а в новой х'и х2. Найдем
связь между старыми и но-
новыми координатами. Для это-
го разложим радиус-вектор
ОМ точки М на составляю-
составляющие по осям в новой и
Рис. 79
старой системах координат:
и ОМ=
117

Таким образом,
а. A09)
Умножим обе части равенства A09) скалярно на ег Принимая
во внимание, что е1-е, = 1 и e1-e2=^0f получим
xl=x1(e1-e[) + x2(e1-e2). (ПО)
Умножая обе части равенства A09) скалярно на е2, получим
аналогично
x*=x1(ti-e1) + x2(e2-t2). (Ill)
Введем обозначения:
<*н = ег е! = I ei I * I el1 cos (ei^ei) = cos (e^ei),
?
a12=e1-e/2--cos(e1, e'2), } A12)
a21 = e2 • ei = cos (e2, ei), a22 = e2 • e2 = cos (e2, e2).
Тогда уравнения (ПО) и A11) запишутся в виде:
K1=allx[ + a12x2> )
A13)
Формулы A13) называются формулами преобразования коорди-
координат на плоскости. Матрица
A14)
называется матрицей преобразования.
(х\ /УД
Рассмотрим матрицы-столбцы X — ( ) и X' = ! , . Тогда пре-
образование координат A13) в матричной форме запишется в виде
X = LX'.
Установим некоторые свойства матрицы L. Прежде всего найдем
разложение векторов ех и е2 на составляющие по осям Ох[ и Охг.
Так как np^e1 = cos(e1, е^) = аи, прв'е1=а12, np^ea = а21, пр^еа=
= ос22, то
A15)
Формулы A15) дают разложение векторов е1? е2 по векторам е1ь
е2. Аналогично получим разложение ортов ei и е2 на составляющие
по осям Охх и Ох2:
113

Так как e^e^l, е1-е2^=О, е2-е2—1, то, принимая во внима-
внимание формулы A15), получим
e^e.^ai + a^-L1 " " ' A17)
Аналогично, так как е^• е'х = 1, е^«еа = 0, е2-е2 = 1, то из фор-
формул A16) получим
Иными словами, матрица L обладает следующими свойствами:
сумма квадратов элементов строки (или столбца) равна единице,
сумма парных произведений элементов строки (столбца) на соответ-
соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю. Матрица,
обладающая этими свойствами, называется ортогональной.
/au a21\
Рассмотрим транспонированную матрицу L* = ( ], которая
\а12 ос22/
получается из матрицы L заменой строк столбцами. Составим про-
произведение матриц L*L. Принимая во внимание равенства A17) и
A18), получим:
о
Таким образом, матрица L* является обратной по отношению
к матрице L:L* — L.
Замечание. Если новая система координат получена из ста-
старой системы поворотом осей на угол а, то легко видеть, что фор-
формулы A13) аналогичны формулам поворота осей координат, рас-
рассмотренным в гл. I, § 6, п. 2.
Действительно, в этом случае (см. рис. 79)
an = cos (ех, е^) = cos a, a12 = cos (ex, e2) = cos f -5- -f a J = — sin a,
a21 = cos(e2, ei) = cos(-^—aj = sina, a22 = cos(e2, e^^cosa,
и, следовательно, формулы A13) принимают вид:
#i= x'icos а—Х2 sin a, 1
х2 = х[ sin a-\-x2 cos a. j
Пусть в старой системе координат 0хгх2 задано линейное ото-
отображение (98) плоскости Q в себя:
с матрицей отображения А= (ai1 ai2Y Как мы знаем, этоотобра-
\«21 2/
иэ

жение можно записать в матричной форме (99)
где Х«=(Ч>аУ=(^1). Здесь (л^, ха)-—координаты точки М, а
(У1> У2) — координаты ее образа М1 в старой системе координат.
Пусть (х[у х'2) — координаты точки М, а (у'19 у'2) — координаты ее
образа Мг в новой системе координат. Тогда по формулам A13)
получим
и аналогично
Если ввести матрицы-столбцы Х' = ( ! иУ'= )) и матрицу
\Х2/ \#2/
преобразования L=( n 12), то формулы преобразования можно,
как мы знаем, записать в следующей матричной форме:
X = LX\ Y = LY'. A20)
Найдем теперь зависимость между координатами точки М и ее
образа Мг в новой системе координат 0х[х2. Для этого подставим
в уравнение (99) выражения X и Y по формулам A20):
ir = i4LXf. A21)
Умножим обе части этого матричного равенства на матрицу L,
обратную матрице L. Замечая, что L~1-L = ?1, ?У = К', получим
r = L-MLXf. A22)
Таким образом, координаты л^, ^ точки М и координаты у[9 у2
ее образа в новой системе координат Ох[х2 связаны формулой A22),
которая показывает, что в новой системе координат линейное отобра-
отображение плоскости Q самой в себя имеет матрицу A' = L~1AL.
Итак, в новой системе координат линейное отображение имеет
следующий вид:
' '' '' \
Матрица этого отображения А =1 , , 1 связана со старой мат-
рицей А соотношением А' = L~1AL.
Все сказанное для случая плоскости легко переносится на слу-
случай пространства.
Пусть Ох^Хз и Ох[х'2х'3—две прямоугольные системы координат
в пространстве с общим началом О и с основными ортами соответ-
соответственно ех> е2> е3 и е[, е2, е^.
120

Положим
a/y = ere} = cos(ejre}) (i=l, 2, 3; / = 1, 2, 3).
Например, а^^^г-e^cos^, e^), a23 = e2-e3 = cos(e2, e3).
Тогда аналогично предыдущему получим формулы преобразования
координат:
A23)
Хз ~ азЛ 4" ^32^2 "Т* ^З
с матрицей преобразования
/«11 а12 «18 '
L = ( a21 а22 а2
\а31 а32 а33<
Можно показать, что матрица L ортогональна, а
= i a12 a22 a32 j =
Если в старой системе координат Oxxx2x.d задано линейное ото-
отображение
)
1Х 1г 13
с матрицей А=1 а21 а22 а23 ), то в новой системе координат матрица
\Я81 «32 «33/
линейного отображения определяется формулой A' = L~1AL.
3. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Квадратичной формой двух переменных хх и х2 называется одно-
однородный многочлен второй степени относительно двух переменных
F(xi> x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22xl. A24)
Покажем, как квадратичную форму можно записать в матричной
форме. Прежде всего запишем квадратичную форму в виде
F (х19 х2) = (а11х1 + а12х2) хх + (а21хх + а22х2) х29
полагая а21 = а12.
Матрица
Л =
называется матрицей квадратичной формы.
121

(X \
Введя матрицу-столбец X = [Y1) и матрицу-строку X* = (xlx2)f
\Л2/
легко убедиться, что квадратичную форму A24) можно записать
следующим образом в матричной форме:
Ffo, х2) = Х*АХ. A26)
Действительно, по правилу умножения матриц последовательно
находим:
АХ==(а11 <*1г\(хА (а^ + а^хА
\а21 atj \xj \a21xt + a22xj •
«11*1+ «12*2^
= *1 («11*1 + «12*2) + *2 («21*1 + «22*2) = F (*1> *2)«
Будем трактовать переменные хг и х2 как координаты точек
в прямоугольной системе координат Oxxxv Рассмотрим новую пря-
прямоугольную систему координат Ох[х'2. Пусть координаты точек
в старой и новой системах связаны между собой формулами преоб-
преобразования A13)
*1 — а11*1 + а12*2> \
*2 == ^21*1 "Г а22*2 J
с ортогональной матрицей преобразования L—(an a12). Формулы
преобразования A13) можно записать в следующей матричной форме
(см. п. 2):
Здесь X = ( ^ J, X' = ( ,).
Если вместо хх и х2 в квадратичную форму A24) подставим их
выражения A13) через х[ и х2, то получим квадратичную форму
переменных х[ и л:^: Z7^, *2)«
Поставим перед собой задачу: выбрать новую систему координат
Ох[х2 так, чтобы в квадратичной форме F (х[, х%) отсутствовал член
с произведением координат, иными словами, чтобы она приняла
следующий вид:
Р (Y* Y*\ У[ у' ¦ I \ У"' (\ ОЯ\
который называется каноническим.
Для сокращения записи преобразования будем проводить в мат-
матричной форме.
Рассмотрим прежде всего матрицу-строку Х'* = (х'и х2). Легко
убедиться, что имеет место следующее равенство:
Х^Х''-L-1. A29)
122

Действительно, так как L ^=L*= ( axl a21 ), (см. п. 2), то
Но так как на основании равенств A13) аЛ1хгх + а12х2 — х1 и а21л;[ +
+ ^22Х2 =хг> то X'*! = (Х19 Х2) = X*.
Подставим в правую часть равенства A26) для F (х1$ х2) выра-
выражения X* и X из равенств A27) и A29):
F(xlf x2) = X*AX = {X'*L-1)A(LX')=X'*(L-1AL)X' = F(x'ly x2).
Итак, в новой системе координат матрица квадратичной формы
F(x[, x;) = X'*(L-ML)X'
имеет следующий вид:
A'^L-^AL.
Выберем теперь новую систему координат Ох[х[ так, чтобы мат-
матрица А приняла следующую форму:
¦чго-
В этом случае говорят, что матрица приведена к диагональному
виду. При этом квадратичная форма F (х[, х2) запишется в виде A28).
Итак, новую систему координат надо выбрать таким образом,
чтобы матрица L преобразования удовлетворяла соотношению
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу L:
Итак, матрица L преобразования удовлетворяет условию
Так как
и
af =(au a( ^
\a21 atj \a21 a2j \a21au+aMa21 a21al2
то /аиЯ,, а12КЛ = /auau + a12a21 аиа12 + а12а2Л
Va21^ a22X2/ \й21аи + «22«2i аг1а12 + «22агг/ '
Отсюда, на. основании определения равенства матриц, получаем:
а12А,2 а11а
°^А = а«1«1* + «22«22 / ,
123

или
2 A2)-;0 /'
A30)
A31)
Таким образом, неизвестные коэффициенты преобразования ап,
a12, a21, cc22 находятся из систем уравнений A30) и A31). Каждая
из этих систем является однородной. Для того чтобы они имели
отличные от нуля решения, необходимо и достаточно (см. § 2, п. 4),
чтобы определитель каждой из этих систем был равен нулю:
LI —^1 «1
а9Л a9
—О
i—К #1
__ Q
Таким образом, числа %х и К2 являются корнями квадратного урав-
уравнения
= 0
или
0.
A32)
A33)
Дискриминант D этого квадратного уравнения всегда неотрицателен.
Действительно,
D = (ап + а22J—4 (апа22—а12а21) = а2! + а22—2апа22 +
+ 4а12а21 = (ап — а22J + 4а22, так кака12 = а21.
Итак, уравнение A32) всегда имеет действительные корни.
Уравнение A32) называется характеристическим уравнением мат-
матрицы А = ( п 12). Корни Хг и Л,а этого уравнения называются
- ^«21 «22^
собственными значениями матрицы Л. Подставляя наиденные из
уравнения A32) значения ^ и !i2 в системы A30), A31) и решая
их, найдем коэффициенты преобразования координат an, a12, a21, a22.
Замечание 1. Квадратичная форма трех переменных х1У х2, х3
имеет вид
F(x19 x2, х3) =а1Хх1 + а22х1 + а3оХз + 2а12х1х2 + 2алзх1х3 + 2а23х2х3.
Матрицей этой квадратичной формы называется матрица третьего
порядка
/ а12 а13\
А =(«21 «22 «23
в которой al2 = a21, a18=--asl, a23 = a32. Матрица А в этом случае
называется симметрической.
Квадратичную форму трех переменных можно привести к виду
F (x19 x2J х3) = кгхх
124

где числа Х19 %2 и К3 всегда действительны и удовлетворяют харак-
характеристическому уравнению
Яц Л» ^12 ^13
а21 ^22 ^ а23
а31 а32 ^зз —
Замечание 2. Матрице А = A1 12 j квадратичной формы соот-
соответствует в системе координат Охгх2 линейное отображение
_]_ Г
При переходе к новой системе координат Ох[х2 с матрицей преоб-
преобразования L = { u 12) линейное отображение будет иметь вид
v \<х21а22/
у'1=а'11х[+а'12х2, \
У 2 == ^21-^1 I ^*22-^2* J
Матрица нового отображения А' = 1 I1 J) связана с матрицей А
соотношением A'=L~1AL (см. п. 2).
Если за новую систему координат выбрать ту, в которой квадра-
квадратичная форма F (х[, х'2) = к1х[г-\-к2х'ъ, то в этой системе координат,
Аг Л> (К 0 \
как было показано выше, матрица А имеет вид А =(/> -, ),и
формулы линейного преобразования (98) в системе координат 0х[х2
запишутся следующим образом:
или
ll^Cl} A34)
Рассмотрим в новой системе координат Ох[х\ точки М1(\\ 0),
М2@, 1). Очевидно, что 0М1 = е[ и 0М2 = е'2. В силу формул A34)
образами точек Мг и М2 будут соответственно точки Q1(X1; 0) и
Q2@^2). Вектор OQl = Xle[ будет образом вектора ОУИ1=е^, а век-
вектор OQ2 = 'k2e2—образом вектора СШ2 = е'2.
Итак, при линейном отображении A34) векторы е[ и е2 преоб-
преобразуются в соответственно коллинеарные векторы ^^1 и Х2е2.
Если при некотором линейном отображении существует не рав-
равный нулю вектор г, образом которого является коллинеарный ему
вектор Хг, то вектор г называется собственным вектором этого ли-
линейного отображения, а число К—собственным значением отображе-
отображения. Таким образом векторы е^ и е2 являются собственными векто-
векторами линейного отображения A34).
125

4. Упрощение общего уравнения кривой
второго порядка
Покажем, как с помощью преобразований квадратичных форм
можно упростить общее уравнение кривой второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. A35)
Если это уравнение не содержит члена с произведением координат,
т. е. коэффициент 2В=?0, то, дополняя члены, содержащие х и у,
до полных квадратов, мы можем привести уравнение A35) к кано-
каноническому виду (см. гл. II, § 2, п. 10).
Пусть теперь в уравнении A35) коэффициент 2В=^=0. В этом
случае для приведения уравнения к виду, не содержащему члена
с произведением координат, поступаем следующим образом.
Рассматривая квадратичную форму F (х, у) = Ах2 + 2Вху + Су2,
составленную из старших членов левой части уравнения A35), при-
приводим ее методами, изложенными в предыдущем пункте, к сумме
квадратов. При этом общее уравнение кривой второго порядка A35)
преобразуется к виду, в котором будет отсутствовать член с произ-
произведением координат.
Пример. Привести к каноническому виду общее уравнение кри-
кривой второго порядка
5х2 + 8ху + 5у2—18х—18у + 9 = 0.
Решение. Квадратичная форма, составленная из старших чле-
членов данного уравнения, имеет вид
F (х, у) ==¦ ox2 -\- 8xy -f- Ьу2.
'5 4^
Здесь a1]L = 5, а12 = а21 = 4, а22=5; матрица
Составляем характеристическое уравнение A32):
5—к 4
5 —А,
= 0 или X2—10^ + 9 =
Корни этого уравнения А,х = 9, Я2 = 1. Квадратичная форма в новой
системе координат Ох'у' запишется, согласно формуле A28), в виде
Тч /v*' И*\ Oi V"' I У, II Qv I 1 . II
2 1Л у Lj I —— /v-iA I /Vp ij ~— \JA/ ~~y~ L IJ •
Найдем матрицу L = ( n 12) перехода от старой системы коор-
\ос21а22/
диыат Оху к новой Ох'у''. Для этого составим системы уравнений
A30), A31):
E—9)аи + 4ос21=0, | E — 1) a12-f 4а22 = 0, 1
4ап-Н5—9)а21 = 0 J' 4а12 + E — 1)а„ = 0 j1
или
—4ап + 4а21 = 0,
4аи — 4аа1 = 0 j * 4ala+4aa
126
+ 4afl = 0f \
+ 4аи-0 Г

Каждая из этих систем сводится к однохму уравнению. Первая си-
система к уравнению an=a21, a вторая — к уравнению а22 == — а12.
Согласно п. 2, матрица L ортогональна. Поэтому должны иметь
место равенства:
aJ1 + afa = l и о
Так как в то же время аи=а21 и ос22 =— а12, находим
1
1 —1
ry ______ ТЛ rv ____________ f*4 -
1 1 21 tl VV-j a , Uinn ~
± У2 ± V 2 _t p _.
или, выбирая для определенности перед корнем знак «плюс», получим
_ 1 a ____!_ _J[_ 1
Итак, формулы преобразования координат в данном случае при-
принимают вид
Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут
младшие члены общего уравнения кривой:
18 , , _,ч 18 ,
Рис. 80
Таким образом, в новой системе координат Ох'у' уравнение линии
запишется в виде
или
127

Выделяя в членах, содержащих х\ полный квадрат, получим
г 9 1ш
Таким образом, данная линия является эллипсом, центр кото-
которого в новой системе координат находится в точке 01(]/2 ; 0). Для
того чтобы установить расположение эллипса относительно старой
системы координат, надо определить положение новых осей относи-
относительно старой системы. Для этого достаточно установить углы между
ортами ех и е2 старой системы и е^ и е2 новой системы координат.
Согласно формулам A12)
cos (ег, el) = ап = -=, cos (e^ei) = а12 = -
cos (е2, е;) = а21 = у== , cos (e2, ei) = а22 = — .
Следовательно, углы, которые оси новой системы образуют
с осями старой, таковы:
е^е; = 45°, егГе; = 135°, е^ = 45°, е,,^ = 45°.
Расположение осей и эллипса приведено на рис. 80.

ГЛАВА IV
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
/. Уравнение поверхности
4
Как мы видели в гл. I, § 5, уравнение F (х, */) = 0, вообще говоря,
определяет на плоскости некоторую линию, т. е. геометрическое
место точек плоскости Оху, координаты которых х и у удовлетворяют
этому уравнению. Подобно этому уравнение
F(x9y,z) = 09 A)
вообще говоря, определяет в пространстве Oxyz некоторую поверх-
поверхность, т. е. геометрическое место точек, координаты которых х, у, г
удовлетворяют уравнению F (х, у, г) = 0. Уравнение A) называется
уравнением этой поверхности, а х, у и z—текущими координатами.
Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как гео-
геометрическое место точек, обладающих тем или иным свойством.
В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из
ее геометрических свойств.
Пример. Найти уравнение шаровой поверхности (сферы) ради-
радиуса R с центром в точке Ох (хг\ уг\ zx).
Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее
точки М (х;у\ z) от центра Ох (хг\ ух\ zt) равно радиусу R: ОгМ = R. Но
ОгМ = Vix-
(см. гл. I, формула F)).
Следовательно,
Vix-xJ' + iy-y^ + iz-zJ* = R,
или
ytf + iz-zJ^R*. B)
Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлет*.
воряют координаты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют
координаты точек, не лежащих на данной сфере.
В частности, если центр сферы совпадает с началом координат,
то уравнение сферы B) примет следующий вид:
х*+у*-\гг* = Н\ C)
5 № 224 2 129

2. Нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Рассмотрим в пространстве плоскость Q. Положение ее вполне
определяется заданием вектора N, перпендикулярного этой плоско-
плоскости, и некоторой фиксированной точки Мг (xL\ yx\ гх), лежащей в пло-
плоскости Q. Вектор N, перпендикулярный плоскости Q, называется
нормальным вектором этой плоскости. Если обозначить через Л, В и С
проекции нормального вектора N, то
Выведем уравнение плоскости Q,
проходящей через данную точку
Мх (лу, ух\ гх) и имеющей данный нор-
нормальный вектор N = А\ + В] + Ск.
Для этого рассмотрим вектор МгМ,
у соединяющий точку Mt с произволь-
"**"" чой точкой М(х\ у; г) плоскости
Q (рис. 81).
При любом положении точки М
на плоскости Q вектор MtM пер-
перпендикулярен нормальному вектору
N плоскости Q. Поэтому скалярное
произведение /И^М-N = 0. Запишем скалярное произведение AJ,M-N
через проекции. Так как МгМ= (х—xt)l+ (у—уг) ] + {z — zt)k, a
вектор N = /4i + J3j+Ck, то
Рис. 81
и, следовательно,
Мы показали, что координаты любой точки М (х\ у\ г) плоскости Q
удовлетворяют уравнению D). Нетрудно заметить, что координаты
точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетво-
удовлетворяют (в последнем случае ММГ-ЫфО). Следовательно, нами полу-
получено искомое уравнение плоскости Q. Уравнение D) называется
уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой
степени относительно текущих координат х, у и г.
Итак, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравне-
уравнение первой степени относительно текущих координат.
Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку М{\\—2; 3) перпендикулярно вектору N = 2i + 4k.
Решение. Здесь Л = 2, В = О, С = 4. На основании формулы D)
получим
^-3)^0,
или, после упрощения, x-fr 2г — 7 = 0,
130

Придавая коэффициентам Л, В и С уравнения D) различные
значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, прохо-
проходящей через точку М1 (хх\ ух; zx). Совокупность плоскостей, проходя-
проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей. Уравне-
Уравнение D), в котором коэффициенты Л, В и С могут принимать
любые значения, называются уравнением связки плоскостей.
Пример 2. Составить урав- -
нение плоскости, проходящей
через три точки Мх(\\ — 1; 0),
AfaB; l;-3) и А*,(-1; 0; 1)
(рис. 82).
Решение. Напишем урав-
уравнение связки плоскостей, про-
проходящих через точку Мг: р g2
Так как векторы МХМ% и М1М3 лежат в искомой плоскости, то
вектор, равный их векторному произведению и, следовательно, пер-
перпендикулярный этой плоскости, можно принять за ее нормальный
вектор;
I J
1 2 —3
-2 1 1
= 5i + 5j+5k.
Таким образом, А = 5; В = 5; С = 5, и искомое уравнение примет
следующий вид:
5(
или
3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
В п. 2 мы показали, что всякой плоскости соответствует урав-
уравнение первой степени относительно текущих координат.
Рассмотрим теперь общее уравнение первой степени с тремя
переменными х, у и г.
Ax + By + Cz + D = 0. E)
По крайней мере один из коэффициентов Л, В или С не равен
нулю, так как иначе мы имели бы ке уравнение, а тождество ?> = 0.
Предполагая для определенности, что С=^0, представим уравне-
уравнение E) в виде
( ?H. F)
Уравнение F) равносильно уравнению E). Сравнивая уравне-
уравнение F) с уравнением D), мы видим, что оно, а следовательно, и
равносильное ему уравнение E) являются уравнением плоскости
131

с нормальным вектором N = AiJr Bj + Ck, проходящей через точку
Л^! @; 0; —уг). Итак, мы показали, что имеет место предло-
жение, обратное доказанному в п. 2, а именно: всякое уравнение
Ax + By + Cz + D = 0 первой степени относительно текущих
декартовых координат х> у и z представляет собой уравнение неко-
некоторой плоскости. При этом коэффициенты А, В, С являются проек-
проекциями нормального вектора плоскости на координатные оси.
Уравнение E) называется общим уравнением плоскости.
Пример. Выяснить, лежат ли точки Мх(\\ 2; —3) и М2D; 2; 1)
в плоскости 2х-\-Зу — Ъг—23 = 0.
Решение. Точка тогда и только тогда лежит в плоскости,
когда ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. По-
Поэтому для решения задачи нужно проверить, удовлетворяют ли
координаты точек Мг и М2 уравнению плоскости. Подставляя коор-
координаты точки Мх(\\2\—3) в уравнение плоскости, получим 2-1 +
+3-2 — 5(—3)—23=0, т. е. точка Мх лежит в плоскости. Для
точки М2D;2;1) имеем: 2-4+3-2—5-1—23=—14=^0. Так как
координаты точки М2 не удовлетворяют уравнению плоскости,
точка М2 не лежит в этой плоскости.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости E)
Выясним, какие особенности будет иметь расположение плоскости
относительно системы координат, если один или несколько коэффи-
коэффициентов уравнения E) обращаются в нуль.
1. Свободный член равен нулю. Пусть D = 0. В этом случае урав-
уравнение плоскости имеет вид Ax-\-By + Cz = 0. Плоскость проходит
через начало координат О@; 0; 0), так как числа * = 0, # = 0, 2 = 0
удовлетворяют ее уравнению. Итак, если свободный член уравнения
плоскости равен нулю, то плоскость проходит через начало коор-
координат.
2. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю.
Пусть, например, С = 0. В этом случае уравнение плоскости имеет
вид Ax; + By + D = 0. Нормальный вектор плоскости N —i4i + Bj
перпендикулярен оси Oz (так как его третья проекция равна нулю).
Следовательно, сама плоскость параллельна оси Oz. Если уравне-
уравнение Ax + By + D = 0 рассматривать в плоскости Оху, то оно будет
уравнением прямой, по которой наша плоскость пересекает коорди-
координатную плоскость Оху. Рекомендуем читателю установить, что плос-
плоскость Ax-\-Cz-\-D = 0 параллельна оси Оу, а плоскость By-\-CzJr
+ D = 0 параллельна оси Ох. Итак, мы приходим к следующему
выводу: если в уравнении плоскости отсутствует член, содержащий
координату z или у, или х, то плоскость параллельна соответст-
соответственно оси Oz или Оу, или Ох.
3. Коэффициент при текущей координате и свободный член равны
нулю. Например, C = D = 0. В этом случае уравнению Ах + Ву=0
соответствует плоскость, проходящая через начало координат (со-
(согласно п. 1). Так как, кроме того, нормальный вектор плоскости
132

N ^А\ + В] перпендикулярен оси Ог, то сама плоскость Ах~\-Ву-0
проходит через ось Ог. Аналогично, уравнениям J3y + Cz = O и
Ax-\-Cz — Q отвечают плоскости, проходящие соответственно через
оси Ох и Оу.
4. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю.
Пусть, например, Л = В = 0. Тогда плоскость Cz + D = 0 в силу
предыдущего будет параллельна оси Ох и оси Оу, а следовательно,
параллельна координатной плоскости Оху. К этому же выводу можно
прийти, если записать уравнение Cz-\-D — 0 в виде z =— -^г- Урав~
с»
нение z =— -^- показывает, что любая точка плоскости имеет одну
и ту же аппликату, т. е. что плоскость параллельна координатной
плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ax + D = 0 и By + D — Q
отвечают плоскости, соответственно параллельные координатным
плоскостям Oyz и Oxz.
5. Два коэффициента при текущих координатах и свободный
член равны нулю. Пусть, например, A — B — D — 0. Тогда уравнение
плоскости примет вид Cz^O, или г^=0. Эта плоскость проходит
через начало координат (отсутствует свободный член), а ее нормаль-
нормальный вектор N=-k. Следовательно, г = 0 — уравнение плоскости Оху.
Аналогично можно убедиться, что у = 0 — уравнение плоскости Oxz,
а л: —0—уравнение плоскости Oyz.
4. Построение плоскости по ее уравнению
Зная уравнение плоскости, легко построить саму плоскость. Для
этого достаточно найти три какие-либо ее точки, не лежащие на
одной прямой. Для того чтобы найти какую-либо точку на плоско-
плоскости Ax-\-By + Cz + D = Q, доста-
достаточно задать произвольно значе-
значения двух координат, а третью
найти из уравнения плоскости.
Проще всего определять точки пе-
пересечения плоскости с осями коор-
координат.
Пример 1. Построить плоскость
2x-|-3# + 6z —6 = 0.
Решение. Найдем точки пе-
пересечения плоскости с осями коор-
координат. Для того чтобы найти точку
пересечения плоскости с осью Ох,
надо в уравнении плоскости при-
0 0 (
У
Рис 83
ур
нять у = 0 и z —0 (так как для
любой точки оси Ox i/=z = 0). Имеем: 2х+3-0 + 6-0 —6 —0, откуда
х-^Ъ. Аналогично, полагая % = 0, # = 0, находим аппликату точки
пересечения плоскости с осью Oz: 2-0 + 3-0 +6г — 6 = 0, откуда z = 1.
Наконец, при jt=z=--0 находим у = 2. Итак, данная плоскость
2* + 3# + 6z —6 = 0 проходит через точки Л^З^О), М2 @; 0; 1),
М3@;2;0) (рис. 83).
133

Пример 2. Построить плоскость 2х-\-Ьу —10 = 0.
Решение. Эта плоскость параллельна оси Ог. Для ее построе-
построения достаточно найти точки пересечения с осями Ох и Оу. По-
Полагая х=^0, найдем у = 2; полагая у-=0, найдем х = 5. Следова-
Следовательно, плоскость проходит через
точки Мх@\ 2; 0), УИ2E; 0; 0)
(рис. 84).
Рис. 84
Рис. 85
5. Угол между плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости Qx и Q2, заданные соответственно
уравнениями:
Axx-\-B1y-\-Clz-\-Dl=-0 (плоскость Qx)
и
B2y-\-C2z-{- D2 = 0 (плоскость Q2).
Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из дву-
двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 85). Угол ф
между нормальными векторами Nx и N2 плоскостей QL и Q2 оче-
очевидно равен одному из указанных смежных двугранных углов
(рис. 85). Поэтому
(см. гл. III, формула G1)).
Но так как
то
cos <р =
G)
Пример 1. Определить угол между плоскостями х-\-2у — 32 + 4 =
23 80
Решение. Применяя формулу G), получим
COS ф =
134

Из таблицы находим, что ф « 69°05'. Итак, один из смежных дву-
двугранных углов приближенно равен 69°05\
Рассмотрим теперь условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей.
Условие параллельности двух плоскостей. Две плоскости Qx и Q2
тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормаль-
нормальные векторы Nx = Ах\ + Вг) + Сгк и N2 = A2i + В2] + С2к параллельны
между собой. Поэтому из условия параллельности двух векторов
(см. гл. III, формула F4)) получим
Это и есть условие параллельности двух плоскостей. Итак, две
плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда
коэффициенты при соответствующих текущих координатах про-
пропорциональны.
Условие перпендикулярности. Две плоскости перпендикулярны
друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы
Nx и N2 взаимно перпендикулярны. Поэтому, воспользовавшись
условием перпендикулярности двух векторов (см. гл. III, фор-
формула F9)), получим
^0. (9)
Равенство *(9) дает условие перпендикулярности двух плоско-
плоскостей. Итак, две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и
только тогда, когда сумма парных произведений одноименных коэф-
коэффициентов при текущих координатах равна нулю.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Мг(—2; 1; 4) параллельно плоскости Зх + 2у—72 + 8 = 0.
Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих
через точку М1(—~2\ 1; 4) (см. формулу D)):
Из плоскостей связки нам нужно выделить ту, которая параллельна
на плоскости Зх + 2у — 7z 4-8 = 0. Для этого воспользуемся уело-
ARC*
вием (8) параллельности плоскостей: -^-=-^-=-~=. Итак, искомые
коэффициенты Л, В и С должны быть пропорциональны числам 3,
2 и —7. Поэтому можно положить Л=3, В =2 и С = —7. Подстав-
Подставляя найденные значения коэффициентов Л, В и С в уравнение
получим
3
или, после упрощений
Это и есть уравнение искомой плоскости.
135

Пример 3. Через точку УИ1(—2; 3; 6) провести плоскость перпен-
перпендикулярно плоскостям 2х + 3у—2г—4=0 и Зх + Ьу + z^O.
Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих
через точку Мх:
Неизвестные коэффициенты Л, В и С найдем из условия (9) пер-
перпендикулярности плоскостей:
искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости
2х + 3у—2г—4-0, значит 2А + ЗВ + (—2)-С = 0;
искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости
3x + 5y + z=0, значит ЗА + 5-5 + 1 C=r»0.
Итак, для нахождения неизвестных коэффициентов Л, В и С
получаем однородную систему из двух уравнений первой степени
с тремя неизвестными *:
2Л +ЗВ — 2С-0Д
+ С
С-0Д
-0. I
Решая эту систему, найдем
3 —2
Л-fc
5 1
= — k
2 —2
3 1
= — Sk§ C-fe
2 3
3 5
-ft.
В частности, при k~\ найдем: А = 13, В==—8, С = \.
Подставляя найденные значения Л, В и С в уравнение плоско-
плоскости, проходящей через точку М1У получим
13(л; + 2) — 8(у—3)+Ь(г—6)=0, или 13л:—
6. Тонка пересечения трех плоскостей
Пусть даны три плоскости Л1л:4-В1*/ + С1г + О1 =0, t + 2y+
С2 + О2 = 0, Лз^ + Вз^ + ^ + ^з^О. Чтобы найти точку пере-
пересечения этих плоскостей, нужно, очевидно, решить систему урав-
уравнений
Если определитель этой системы
.л С,
Ф0,
то система имеет единственное решение5
секаются в одной точке.
т. е. три плоскости пере-
* См. гл. III, § 2, формулу C1).
** См. гл. III, § 2, п. 3.
136

Пример. Найти точку пересечения плоскостей:
лг-i-i/ — 2г + 3-=0, 2х—2у + 3г—7-0; х + Зу —г — 4 -0.
Решение. Решая систему уравнений
х-4-Зу— z —4-0, ,
найдем координаты точки пересечения плоскостей: *= 1, jc = 2; z =3.
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
/. Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве мы будем рассматривать как геометриче-
геометрическое место точек, принадлежащих каждой из двух пересекающихся
поверхностей. Если эти поверхности определяются уравнениями
F (х, у, г)— 0 и Ф(х, у у г)=0, то линия их пересечения опреде-
определяется системой уравнений
F{x, у, г) = 0, \ (Ш)
Ф(х, у, г)==0. )
Например, окружность, получающаяся при пересечении сферы
*Ч~ У2 + г2=25 плоскостью 2 = 3, определяется системой уравнений
\
Текущие координаты любой точки М (х\ у; г) указанной окружности
удовлетворяют каждому из уравнений этой системы.
2. Общие уравнения прямой
Рассмотрим систему двух уравнений первой степени
Каждое из уравнений этой системы изображает плоскость. Если
коэффициенты при текущих координатах в этих уравнениях не про-
пропорциональны (т. е. если плоскости не параллельны), то система
уравнений A2) определяет прямую L, как линию пересечения двух
плоскостей, т. е. как геометрическое место точек пространства, ко-
координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы A2).
. Уравнения A2) называют общими уравнениями прямой.
Пример. Построить прямую, заданную общими уравнениями:
х+ //-i-z—3 = 0, \
137

Решение. Для того чтобы построить прямую, достаточно знать
две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с ко-
координатными плоскостями. Точка пересечения прямой с координат-
координатной плоскостью называется следом прямой. Координаты следа Мг
заданной прямой на плоскости Оху получим из уравнений прямой,
полагая 2 = 0. Это дает: у = 2, х=1. Итак, координаты точки Л31
таковы: х—\, у = 2, г = 0. Аналогично, полагая в уравнениях пря-
прямой лг = О, получим координаты следа М2 прямой на плоскости Оуг:
/И2@; 1; 2). Имея точки Мх и Л42, строим проходящую через них
прямую.
3. Векторное уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием
какой-либо ее фиксированной точки Мх и вектора s, параллельного
этой прямой. Вектор s, параллельный прямой, называется направ-
направляющим вектором этой прямой,
а его проекции на координат-
координатные оси— направляющими коэф-
коэффициентами прямой.
Пусть прямая L задана ее
точкой Мх{х{, ух\ zx) и направ-
направляющим вектором s — mi + nj +
+pk, имеющим направляющие
коэффициенты m, n и р.
Рассмотрим произвольную
точку М (х, у% г) на прямой. Из
рис. 86 непосредственно по-
получаем
JU. A3)
Рж>.
OM^OM. +
Вектор МХМ, лежащий на пря-
прямой L, параллелен направляющему вектору s, поэтому (см. гл. III,
§ 3, п. 2)
WjVl - /s, A4)
где скалярный множитель I, называемый параметром, может при-
принимать любое значение в зависимости от положения точки М на
прямой. Обозначая радиусы-векторы* точек Мх и М соответственно
через Тг—ОМ^ т = 0М и принимая во внимание формулу A4),
запишем уравнение A3) в виде
г = г4 + й. A5)
Уравнение A5) называется векторным уравнением прямой. Оно по-
показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-
вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.
* Радиусом-вектором точки называется вектор, соединяющий начало коорди-
координат с этой точкой.
138

Представим уравнение A5) в координатной форме. Замечая, что
х1 + у] + гк, т1 = ОМ1=х1\+у1]+г1к и
t$ = tm\ + tn\ + tpkf
получим
A6)
Уравнения A6) называются параметрическими уравнениями пря-
прямой. При изменении параметра t изменяются координаты х, у и г,
и точка М (ху у, г) перемещается по прямой.
4. Канонические уравнения прямой
Пусть М1(х1\ ух\ гх)—точка, лежащая на прямой L, и e =
[ — направляющий вектор прямой. Вектор MtMf соединяю*
щий точку MY с переменной точкой М(х, у, г) прямой L, парал-
параллелен вектору s (см. рис. 86). Поэтому проекции векторов МгМ и s
пропорциональны. Так какЛ^1М = (^—xl)i-\-(y — yi)) + (z — 2t) k, то
*—*i _ У— Ух _ z—zy . ?.
Итак, координаты любой точки прямой должны удовлетворять
уравнениям A7), которые называются уравнениями прямой, прохо-
проходящей через данную точку, или
каноническими уравнениями пря-
прямой.
В частном случае, когда на-
направляющий вектор s — единич-
йый, s = i cos a + j cos p + k cos у
(см. гл. Ill, формула F2)), урав-
уравнения A7) имеют следующий
вид:
х—
У— (Л Z — 2,
cos a
cos
cos у
A8)
Направляющими коэффициентами
здесь являются направляющие Рис. 87
косинусы вектора s.
Уравнения A7) равносильны системе двух уравнений первой
степени, например:
X— Х1==у— УХ X—X^Z—Zj
т п ' т р
zl±==?illl± является следствием уравнений A9).
*1 = y"~~^/l отсутствует координата г. Следова-
Следовательно, оно определяет плоскость Р, параллельную оси Oz (рис. 87).
139
Третье уравнение
В уравнении -

X — X i
m
х — хг
m
у—
n
z—;
P
У\
у—у г
n
У—У\
n
Z— 2,
p
_z—zl
' p
Эта плоскость, очевидно, проектирует прямую L на плоскость Оху.
Точно так же плоскость Q, уравнение которой x~*l = z~~Zl, проекти-
проектирует прямую L на координатную плоскость Охг. Система уравне-
уравнений A9) определяет прямую L как пересечение плоскостей, проек-
проектирующих эту прямую на координатные плоскости Оху и Охг.
Вместо системы A9) можно рассматривать систему
или систему
каждая из которых определяет ту же прямую L.
Замечание 1. Уравнения A7) можно было бы получить сразу
из параметрических уравнений прямой A6) исключением парамет-
параметра t. Действительно, из уравнений 16 находим
х—хг __ . у—Ух _ f г—гх __
^^Г"и ~Г~-и ~F~"t%
или
x — xl=y~y1==z—z1
т п р
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из коор-
координатных осей, например оси Ох. Тогда т = 0 и параметрические
уравнения A7) примут вид:
= *1 ]
B0)
Исключая из уравнений B0) параметр /, получим уравнения пря-
прямой в виде:
—Ух _ 2— гх >
п Р )
Однако и в этом случае условимся формально записывать уравнения
прямой в каноническом виде
помня, что если в равных отношениях один из знаменателей равен
нулю, то и числитель соответствующей дроби равен нулю.
Аналогично, каноническим уравнениям прямой
но

соответствует прямая, заданная уравнениями х = хл, у~ух. Эта пря-
прямая параллельна оси Oz. В частности, |- = | = у суть канониче-
канонические уравнения оси Oz.
В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о том, как перейти
от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям.
Для этого нужно найти какую-либо точку
Mi (#Г> Vv zi) на прямой и направляющий вектор
s прямой.
Пусть прямая L задана общими уравнения-
уравнениями A2)
Координаты точки Мг на прямой L получим из \lvty
системы уравнений A2), придав одной из коорди-
координат произвольное значение. Так как прямая пер-
перпендикулярна нормальным векторам ^ = Л1+ Рис.88
-\-В1] + С1к1 и N2=-- A2\ + B2j+C2k (рис. 88), то
за направляющий вектор s прямой L можно принять векторное
произведение Nt х N2:
Л1 В, Сх
А% В% Сг
Рассмотрим конкретный пример.
Пример. Привести общие уравнения прямой
/-2 + 8=0,
х—
1-1=0 I
к каноническому виду.
Решение. Уравнения прямой в канонической форме имеют вид:
tn n p
Так как Nx = 21 -(- 3j — k, N2 = i — 3j +2k, то
и ^ /\ I* 2 —
i j k
2 3—1
1 —3 2
= 3i — 5|—9k,
и поэтому т--=Ъ, п = —5, p=—9. Точку Мх на прямой найдем,
положив в общих уравнениях прямой, например, г = 0:
2х +
х
+ Зу + 8=0, \
—Зг/4-1=0. j
Тогда, решая эту систему уравнений, получим к——3, у =
141

Итак, Мх (—3; —-^;0J. Следовательно, канонические уравнения
прямой имеют вид
2
+ _yi~3 __z—0
3 ~~ — 5 ~ — 9 #
5. Уравнения прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая L проходит через точки Мх {хх\ ух\ zx) и М2 (х2; у2\ г2).
Составим канонические уравнения этой прямой. С этой целью най-
найдем направляющий вектор s прямой, за который принимаем вектор,
соединяющий точки Мх и М2:
Следовательно, т = х2—х19 п~у2—ylt p=^z2 — zlt и поэтому из
уравнений A7) имеем
Уравнения B1) называются уравнениями прямой, проходящей
через две точки.
Пример. Найти уравнения прямой, проходящей через точки
ЛМ1; 3; -5) и Mt(U 4; 2).
Решение. Пользуясь уравнениями B1), найдем:
Г="Т~~4-3"~2+5'
или
О *~ 1 - 7 #
Так как т = 0, то данная прямая перпендикулярна оси Ох и урав-
уравнения прямой можно записать в виде * = 1, ^p-^^i-, или
1=0, \
— 2—26- 0*. /
7у
6. Угол между двумя прямыми*
Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть в пространстве даны две прямые:
х—Хч у—Ух г—гг , Т ч
i^z—zi — ± (прямая LJ
/Til nl Pi
Как известно, за угол между двумя прямыми принимают один
из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные
* См. замечание 2, п. 4,
142

параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из
этих смежных углов равен углу ф между направляющими векторами
Sj и Sj, данных прямых. Так как sx = mli + nl} + PXK S2=m2i +
+п2\ + ргк9 то по известной формуле для косинуса угла между
векторами получим
1 Sl I I S2 I
ИЛИ
--т ._ - - .==.. B2)
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их
направляющих векторов st и s2.
Условие параллельности. Две прямые параллельны друг другу
тогда и только тогда, когда их соответствующие направляющие
коэффициенты пропорциональны, т. е.
 = 51 = *. B3)
/712 Л2 Рч
Условие перпендикулярности. Две прямые перпендикулярны друг
другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одно-
одноименных направляющих коэффициентов равна нулю, т. е.
mxmt + пхпг + рхрг =. 0. B4)
Пример 1. Найти угол между прямыми
х—2__у + 3_г— 1 л + 2__ у _z—3
5 ~ 3 ~" — 2 ' 3"~~5#
Решение. Применяя формулу B2), получим
cos ф = - =—У .. =. = об ^^ 0,2895;
У 25 + 9 + 4» у 9 + 4 + 25 ^°
из таблицы находим ф«73°10'.
Пример 2. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
МгA; 2; 3) параллельно прямой
3jc—4y+ г
— 7=0, \
г—8 = 0. j
Решение. Запишем уравнения искомой прямой в каноническом
виде
т.
Направляющий вектор искомой прямой s получим как векторное
произведение нормальных векторов Nt = 2i + 3] + 5k и N2 — 3i —4j + k
(см. п. 4):
i 1
2 3 5
3 —4 1
= 23i+13j-17k.
143

Следовательно m = 23, п^13, p = —17. Подставляя эти значения
направляющих коэффициентов в уравнения (#), получим
*— \_у—2__г—3
23 "~ 13 "~ —17 '
Пример 3. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
М1(—4; 0; 2) перпендикулярно прямым ^— = ~^- = -— и ^— =
2
Решение. Запишем уравнения прямой, проходящей через
данную точку:
х+4у — 0г—2
m /г р
Пользуясь условием перпендикулярности прямых, получим
= 0,
Решая эту систему, найдем:
3 4
2 2
2 4
3 2
-8fe, p-
2 3
3 2
- — 5*.
Полагая fe=l, получим m = — 2, м=8, р = — 5.
Подставляя найденные значения m, n и /? в канонические урав-
уравнения, получим
+ 4^z — 2
Пример 3 можно решить иначе, учитывая, что за направляющий
вектор искомой прямой s = т\ + п] + рк можно принять любой вектор,
перпендикулярный направляющим векторам sx — 2i + 3j+4k и s2 =
=3i -J- 2j -(- 2k данных прямых. В частности, вектор s можно поло-
положить равным векторному произведению векторов st и sa:
I J k
= s1xsa= 2 3 4
3 2 2
Отсюда m = —2, n == 8, p == —5.
=— 2i + 8} — 5k.
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
/. Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости
Пусть даны прямая и плоскость:
X — Хг y —
т
(прямая L),
(плоскость Q).
144

Условие перпендикулярности. Прямая и плоскость перпендику-
перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор
прямой s и нормальный вектор N плоскости параллельны, т. е. когда
. B5)
т п
Условие параллельности. Прямая и плоскость параллельны друг
другу тогда и только тогда, когда векторы s и N взаимно перпен-
перпендикулярны, т. е. когда
0. B6)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
УИ,B; —3; 4) параллельно прямым
х _у— 1 г—3 х+\ _у—\ _г + Ь
1 ~ 2 8 4 *~ 0 ~ 2 *
Решение. Запишем уравнение плоскости, проходящей через
точку Мх:
Направляющие коэффициенты А, В и С находим из условия B6)
параллельности плоскости и прямой:
4Л-'г2С = 0. )
Решая эту систему уравнений, находим Л~2, В = 15, С = —4, и,
следовательно,
2(х — 2)-|-15(//-j-3)—4B—4) = 0, или 2х-\-\Ъу—4г + 57 —0.
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
x~xi ==У~У1 __z~zi Bi\
т п ~ р KLi)
С ПЛОСКОСТЬЮ
Ах + By + Cz + D = 0. B8)
Для этого нужно совместно решить систему уравнений B7) и B8).
Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений
прямой:
B9)
Каждому значению параметра / соответствует точка прямой. Нужно
выбрать такое значение /, при котором точка прямой будет лежать
на плоскости B8). Подставляя х, у и z из уравнений B9) в урав-
уравнение плоскости B8), получим уравнение, из которого найдем
145

значение параметра t:
или
t {Am + Вп + Ср) = — (Ахг + Вух + Сгх + D). C0)
Если прямая и плоскость не параллельны друг другу, т. е. если
АВ СО, то из равенства C0) найдем значение t:
1~~ Ат + Вп + Ср '
Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения
прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью,
Рассмотрим теперь случай, когда Ат + Вп + Ср = 0. Как мы
знаем, это условие означает, что нормальный вектор N == А\ -\-В\ +Ск
плоскости и направляющий вектор s = mi + nj+/?k прямой перпен-
перпендикулярны друг другу. Здесь возможны два случая:
а) Ах1 + Ву1 + Сг1-\-Оф0. Это значит, что точка М1(х1; ух\ гг)
прямой не лежит в плоскости Ax + By-{-Cz + D = 0. Так как, кроме
того, Лга-|-Вгс + С/? = 0, то прямая и плоскость параллельны друг
другу и, следовательно, не имеют ни одной общей точки. Этот же
результат непосредственно следует нз соотношения C0), которое,
очевидно, не выполняется ни при каком значении параметра L
б) Ax1 + By1 + Cz1 + D = Q. Это значит, что точка М1(х1; ух\ гг)
прямой лежит в плоскости Ax + By + Cz + D =0. Так как, кроме
того, векторы N и s перпендикулярны (Ат + Вп-{-Ср=0), то отсюда
заключаем, что прямая лежит в данной плоскости. Этот же резуль-
результат можно получить и из соотношения C0), которое при условиях
Ат + Вп + Ср=~--0 и Ax^Byt + Cz^ + D^O примет вид 0^ = 0 и
удовлетворяется при любом значении t.
Таким образом, одновременное выполнение равенств
C2)
дает условие того, что прямая *~*А = У^г = ^—^ лежит в плоско-
плоскости Ax + By + Cz + D=0.
Пример. Найти точку пересечения прямой tj^ = oi- = ?ii-
с плоскостью 2х + 3у—2г + 2 = 0.
Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметри-
параметрическом виде:
Подставим эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости:
2B/
146

Отсюда / = 1. Подставляя в параметрические уравнения прямой t = 1,
получаем: * = 2-1 + 1 =3, //-=3-1 —1=2, 2 = 2-1+5 = 7. Итак, точ-
точкой пересечения прямой с плоскостью будет точка М C; 2; 7).
«?• Расстояние от точки до плоскости
Пусть даны точка Мг (хг\ ух\ гх) и плоскость Q, имеющая урав-
уравнение
0. C3)
Расстояние d между ними, т. е. длина перпендикуляра, опущенного
из точки Мг на плоскость Q, определяется по следующей формуле:
C4)
вывод которой аналогичен выводу формулы расстояния от точки до
прямой на плоскости.
Пример. Найти расстояние от точки Мг(\\ 0; —2) до плоскости
2х—у + 2г — 4-0.
Решение. По формуле C4) получим
(—2)—41 12
^. Пучок плоскостей
Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L,
называется пучком плоскостей, а прямая L—осью пучка.
Пусть ось пучка задана уравнениями
{6 '
Почленно умножим второе уравнение системы C5) на постоянную
К и сложим с первым уравнением:
A1x + B1y+Clz + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = O C6)
Уравнение C6) — первой степени относительно л*, у и z и, следова-
следовательно, при любом численном значении К определяет некоторую
плоскость. Так как уравнение C6) есть следствие уравнений C5),
то координаты точки, удовлетворяющие уравнениям C5), будут
удовлетворять и уравнению C6). Следовательно, при любом числен-
численном значении X уравнение C6) есть уравнение плоскости, проходя-
проходящей через прямую C5).
Покажем, что всякая плоскость пучка плоскостей с осью, задан-
заданной уравнениями C5), кроме плоскости Л2х-|-В2у + С22 + О2 = 0,
может быть представлена в виде C6). Действительно, любая плос-
плоскость пучка определяется ее точкой М1(х1\ ух\ гг), не лежащей на
147

оси пучка. Чтобы найти уравнение этой плоскости, подставим в урав-
уравнение C6) координаты точки Мх:
Аххх + ВхУх + Ctzx + Dx + X (ЛЛ + ВгУх + C2zx + D2) - 0. C7)
Из уравнения C7) найдем значение X, если А2хх + В2ух + C<2zx + О2ф0}
т. е. если точка Мх не лежит во второй из данных плоскостей C5).
Подставляя найденное значение X в уравнение C6), получим урав-
уравнение плоскости пучка, проходящей через точку Мх.
Итак, уравнение C6) при различных значениях X дает уравнение
любой плоскости пучка, ось которого задана уравнениями C5), кроме
плоскости A2x + B2y-\-C2z + D2=0.
Поэтому уравнение C6) называется уравнением пучка плоскостей.
Уравнение пучка плоскостей используют при решении задач,
в которых требуется найти плоскость, проходящую через заданную
прямую, причем значение множителя X обычно находят из какого-
либо дополнительного условия, которое определяет положение ис-
искомой плоскости.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
2х + 3у—5г+1 = 0, ^
Зх— у+ z +28 = 0 }
и точку Мх{\\ —2; 3).
Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих
через данную прямую:
2х+Ъу — 5г+
Подставим в уравнение пучка координаты точки Мх:
2-1+3(—2)—5-3+1+43-1 —1(—2) + 3 + 28]=0.
Следовательно, Х = -^. Подставляя найденное значение X в уравнение
пучка, найдем уравнение искомой плоскости:
2х + Зу—5z + 1 + -i (Зх—у + z + 28) = 0, ил и 7х + Ъу—9г + 30 ¦-= 0.
Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
?-11-= OL-= JL перпендикулярно плоскости Зх-\~3у—г-(- 1 = 0.
Решение. Представляем данную прямую ^- = ^- = ^- как
пересечение ее проектирующих плоскостей:
^1 = 19 Ш =
Составляем уравнение пучка плоскостей:
Зх—2у—b + X{y-3z-\ 1)-0, (*)
или
Зх +(Х — 2)у — 3Xz — 5 4 -X - 0. (**)
148

Записываем условие перпендикулярности плоскости (**) и данной
плоскости Зл: + Зу—z + 1 = 0:
3-3 + 3 (Л — 2) + (—!).(—ЗЯ) = 0.
Решая это уравнение, находим Я = — у. Подставляя найденное
значение X в уравнение пучка (#), получим
или
6л: —
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
/• Сфера
В § 1 п. 1 было выведено уравнение сферы B)
(Х-Х.Г + (у-УгУ + (г-ггГ - Я2
с центром в точке О, {хх\ уг\ хг) и радиусом R.
Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения
получим
Это уравнение второй степени относительно текущих координат
х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат,
а коэффициенты при х2, у2 и г2 равны между собой. Любое уравне-
уравнение второй степени относительно х, у и г, в котором коэффициенты
при х2, у2 и г2 равны между собой, а член с произведением коор-
координат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее,
такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда
может быть приведено к виду
(х-хгу + (у-угу + (z-zxf -=k. C8)
Если при этом k > 0, то уравнение C8) является уравнением сферы
с центром в точке Ох (хг\ у{, zx) и радиусом R = V k. При k = Q урав-
уравнению удовлетворяют координаты лишь одной точки О1(х1\ ух\ zx).
Если же k < 0, то уравнение не определяет никакой поверхности.
Пример. Доказать, что уравнение х2 + у2 + z2 — 2x + 4# + 6z—2=0
является уравнением сферы и найти центр и радиус этой сферы.
Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, получим
или
Мы получили уравнение сферы с центром в точке ОхA; —2; —3) и
радиусом /?^4.
149

2. Цилиндрические поверхности
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составлен-
составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных
данной прямой I. При этом линия L называется направляющей
цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих
эту поверхность и параллельных прямой I—образующей (рис. 89).
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндриче-
цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из коор-
координатных плоскостей, а образующие параллельны ксординатной
оси, перпендикулярной этой плоскости.
Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую
в системе координат Оху уравнение
F(x,y) = 0. C9)
Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллель-
параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением
этой поверхности будет уравнение C9), если его отнести к системе
координат в пространстве Охуг. Пусть М{х\у\г)—любая фиксиро-
фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности. Обозначим
Рис, 89
Рис. 90
через N точку пересечения направляющей L и образующей, прохо-
проходящей через точку М. Точка Nt очевидно, будет проекцией точки М
на плоскость Оху. Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абс-
абсциссу х и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кри-
кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению C9) этой
кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и коорди-
координаты точки М (х; у; г), так как опо не содержит г. Таким образом,
координаты любой точки М (х\ у; г) данной цилиндрической поверх-
поверхности удовлетворяют уравнению C9). Координаты же точек, не
лежащих на этой поверхности, уравнению C9) не удовлетворяют,
так как эти точки проектируются на плоскость Оху вне кривой L.
Таким образом, не содержащее z уравнение F (х, у) = 0, если его
отнести к системе координат в пространстве Oxyz9 является урав-
уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Ог, и направляющей L, которая в плоскости Оху задается тем
лее уравнением F (х, у) ~0.
150

В пространстве
двух уравнений:
Oxyz направляющая L определяется системой
zJ.
Аналогично можно показать, что уравнение F(x, 2) = 0, не содер-
содержащее у, и уравнение F(y,z)-=Oy не содержащее х, определяют
в пространстве Oxyz цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными соответственно осям Оу
и Ох.
Рассмотрим примеры цилиндриче-
цилиндрических поверхностей.
1. Поверхность, определяемая урав-
уравнением
— 4-JL-— 1
fl2 "Г Ь2
D1)
является цилиндрической и называется
эллиптическим цилиндром (рис. 91).
Ее образующие параллельны оси Ог,
а направляющей является эллипс с по-
полуосями а и 6, лежащий в плоскости
Оху. В частности, если а ^=Ь, то на-
направляющей является окружность, а
поверхность является прямым круговым
цилиндром. Его уравнение
= а3- D1') Рис. 91
2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
D2)
называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой
поверхности параллельны оси Оу, а направляющей служит распо-
расположенная в плоскости Oxz гипербола с действительной полуосью а
и мнимой полуосью Ь.
3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
У2 -2/72,
D3)
называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей
является парабола, лежащая в плоскости Oyz, а образующие па-
параллельны оси Ох.
Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть
задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по
этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть
задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекаю-
пересекающихся по этой кривой. Например, окружность С, получающаяся
в. сечении плоскостью 2 = 3 сферы х2-\-у2-\-г2— 25 (см. § 2, п. 1),
151

может быть задана системой уравнений
7+? + * = 25. } М
С другой стороны, эта окружность может быть получена как пере-
пересечение плоскости 2 = 3 и прямого кругового цилиндра л? + */2 = 16,
т. е. задана системой уравнений
D5)
равносильной системе уравнений D4).
Рис. 92
Рис. 93
В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с по-
помощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не
раз будем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проекти-
проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит
так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме
указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверх-
поверхностей.
3. Конические поверхности
Конической поверхностью называется поверхность, составленная
всеми прямыми, пересекающими данную линию L и проходящими
через данную точку Р. При этом линия L называется направляю-
направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из
прямых, составляющих коническую поверхность,— образующей.
В качестве примера рассмотрим коническую поверхность с вер-
вершиной в начале координат, для которой направляющей является
эллипс
D6)
152

с полуосями а и 6, лежащий в плоскости Z=-c*. Эта поверхность
называется конусом второго порядка. Выведем ее уравнение.
Рассмотрим произвольно выбранную точку М (к, у, z) конической
поверхности и проведем через нее образующую ОМ, пересекаю-
пересекающуюся с направляющей в точке N(X\Y\c) (рис. 94). Составим
уравнение прямой О УМ, проходящей
через точки О @; 0; 0) и N (X; Y\ с)
(см. § 2, п. 5):
д:—0 у —0_ г—0
;
или
Отсюда
<-0
Х =
У-0
_ У _
" Y
= 5?. у
г
с—(
с
D7)
. Подста-
вив эти выражения во второе из
уравнений эллипса D6), получим
—.frn^l, или, после преобра-
преобразований
$+fr-|—°- D8)
Мы получили уравнение кону-
конуса второго порядка, В частности,
если а —6, то направляющей яв-
является окружность
г-с, \
N
Рис. 94
а поверхность является прямым круговым конусом. Его уравнение
а1
D8')
4. Поверхность вращения
Пусть линия L, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями
F(K°Z)-0. } №
Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии отно-
относительно оси Ог (рис. 95) **.
* Текущие координаты эллипса мы обозначаем большими буквами X, Y и Z,
чтобы отличить их от текущих координат х, у и г конической поверхности.
** Текущие координаты линии L мы обозначаем большими буквами X, У, Z,
чтобы отличить их от текущих координат х, у, г поверхности вращения.
153

Зта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее
уравнение. Пусть М (х\ у\ z) — произвольно выбранная точка поверх-
поверхности вращения. Проведем через точку М плоскость, перпендику-
перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения этой плоскости
с осью Oz и кривой L соответственно через К и N. Отрезки КМ
и KN являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому
КМ — KN. Но длина отрезка KN равна абсолютной величине орди-
ординаты У точки Л/, т. е. KN = \Y\t а КМ ¦-.ОР — Ух2 + у2. Следова-
Следовательно, \Y\^Vх2-\-у2, или У = ±Vx2+y2. Кроме того, аппли-
аппликата Z точки Л/, очевидно, равна аппли-
аппликате z точки М: Z — z.
Так как точка N лежит на линии I,
заданной уравнениями D9), то координа-
координаты У и Z точки N удовлетворяют вто-
второму из этих уравнений. Подставляя в
него вместо У и Z соответственно рав-
равные им величины ±Vx2-\-y2 и -г, полу-
получим уравнение
F(±Vx* + y2, г)-0, E0)
которому удовлетворяют координаты лю-
любой точки М (х\ у\ z) поверхности враще-
-у ния. Можно показать, что координаты
точек, не лежащих на этой поверхности,
уравнению E0) не удовлетворяют. Таким
Рис. 95 образом, уравнение E0) является урав-
уравнением поверхности вращения относитель-
относительно оси Oz линии L, определяемой уравнениями D9). Уравнение
E0) получается из второго уравнения системы D9) заменой в нем
координат У и Z координатами х, у и г по формулам
E1)
Замечание. Мы считали, что кривая L задана в плоскости Oyz
и вращается относительно оси Oz. Однако кривая L может быть
задана и в другой координатной плоскости и может вращаться
относительно другой координатной оси. Формулы, подобные форму-
формулам D9), E0) и E1), читатель легко составит сам.
Пример 1. Найти уравнение поверхности вращения эллипса
относительно оси Oz.
Y2 Z2
Решение. Записав уравнение эллипса в виде -jjs + ^т = 1 и
заменяя в нем по формулам E1) У и Z текущими координатами х,
154

у и г поверхности вращения, получим искомое уравнение
(± V^+V^f , г2 -
а*
или
х2 у2 г2
а1 "•" а2 ' с2 *
Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения.
E2)
3. Эллипсоид
Поверхность, определяемая уравнением
E3)
называется эллипсоидом. Числа а, Ь и с называются полуосями
эллипсоида. Так как в уравнение E3) текущие координаты входят в
четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координат-
координатных плоскостей. Чтобы установить
форму эллипсоида, будем пересекать
его плоскостями, параллельными
координатным плоскостям. Покажем,
что если пересечь эллипсоид пло-
плоскостью z = h (| h | < с), то в сечении
получится эллипс L. В самом деле, ^ __
исключая из уравнений "S^ J s S У
7^h \ ?>
а2
Рис. 96
аппликату г, получим уравнение цилиндрической поверхности, про-
проектирующей сечение L на плоскость Оху:
:т + тг=1— нг> или
па • ha s>& '
Из этого уравнения видно, что кривая L есть эллипс с полуосями
E4)
|/
1 —
с2 '
Из формул E4) видно, что с возрастанием | h | полуоси эллипса а
и 6 уменьшаются. При |А|=с а = 6 = 0, и сечение вырождается
в точку. При |А|>с эллипсоид с плоскостью г = /г, очевидно, не
пересекается. Аналогично можно показать, что при пересечении
эллипсоида плоскостями x — h (|Л|<а) и y = h (|/i|<6) также по-
получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. 96.
155

В частном случае при а = Ь получаем эллипсоид вращения
(см. формулу E2)). Если все три полуоси равны между собой,
с = Ь = а, то получится сфера х2 + у'2 + г% = а2.
6. Гиперболоиды
Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая урав-
уравнением
лЪ ~Г~ h2 ^2 *»
E5)
называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет
три плоскости симметрии — координатные плоскости, так как теку-
текущие координаты ху у и z входят в
уравнение E5) в четных степенях.
с Пересекая однополостный гипербо-
гиперболоид плоскостью у = 0, получим ле-
лежащую в плоскости Oxz гиперболу
ABCD (рис. 97)
)
E6)
Аналогично, в сечении однополо-
стного гиперболоида плоскостью
х=^0 получится гипербола EFGH
-W—^^1' 1 E7)
Рис. 97 Х- у )
лежащая в плоскости Оуг.
При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью z = h
получится эллипс BFCGy уравнения которого имеют вид:
ИЛИ
Полуоси этого эллипса
а=а ]/~1+^ и Ь^Ь |/l-
+-
возрас-
тают с возрастанием абсолютной величины Л. При /i = 0 получится
156

эллипс, лежащий в плоскости Оху и имеющий наименьшие полу-
полуоси а и Ь. При а = b получим однополостный гиперболоид вращения
При пересечении его плоскостями г = Л будут получаться окруж-
окружности
2
2 =
В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические по-
поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается,
однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверх-
поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, опре-
определяемую уравнениями
а с ~ к \ Ь )'
в которых а, Ь и с—полуоси однополостного гиперболоида, a k —
произвольно выбранное число (k=?0).
Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение
х2 z2 1 у2 х2 , w2 z2 ,
а2 с2 б2 а2 ' б2 с2
5L х.
б2 а2 ' б2 с2
т. е. уравнение однополостного гиперболоида.
Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида являет-
является следствием системы уравнений E9). Поэтому координаты любой
точки М(х\ у\ z), удовлетворяющие системе уравнений E9), удов-
удовлетворяют также и уравнению E5) однополостного гиперболоида.
Иными словами, все точки прямой E9) принадлежат гиперболоиду E5).
Меняя значения /г, мы получим целое семейство прямых, лежащих
на поверхности E5). Аналогично можно показать, что однополост-
ному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства
х г _ 1 / у\ <60>
где I — произвольный параметр.
Можно также показать, что через каждую точку однополостного
гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных
семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рас-
рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий
(рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими
однополостного гиперболоида.
Возможность составления поверхности однополостного гипербо-
гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике. Так,
157

например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г.*
в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, располо-
расположенных по прямолинейным образующим однополостного гипербо-
гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая урав-
уравнением
F1)
называется двуполостным гиперболоидом.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для
двуполостного гиперболоида.
Пересекая эту поверхность
Рис 98
Рис. 99
координатными плоскостями Охг и Oyz, получим соответственно
гиперболы
у=0 ) х=0 J
(рис. 99).
Если двуполостный гиперболоид F1) пересечь плоскостью z=h
(при |Л|>с), то в сечении получится эллипс
F2)
с полуосями «=«l/-^a— 1 к Ь = Ь у -^— 1, возрастающими
с возрастанием \h\. При \h\<c двуполостный гиперболоид F1)
* В. Г. Шухов A853—1939)—почетный член АН СССР.
158

с плоскостью г = А, очевидно, не пересекается. Двуполостный ги-
гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и
объясняется его название. При а =6 уравнение F1) имеет вид
х2 . у2 z* , z2 х2 + у2 л
-^+|г-7Г = -1 или -^ ^=1
и является уравнением двуполостного гиперболоида врашрния* В се-
сечении последнего с плоскостью z = h (\h\ >c) получится окружность
радиуса
7. Параболоиды
Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом назы-
называется поверхность, определяемая уравнением
? F3)
х*
Р
при условии, что р ш q имеют одинаковые знаки. В дальнейшем
для определенности будем считать,
что р > 0, q > 0.
При пересечении эллиптического
параболоида координатными плоско-
плоскостями Охг и Oyz получатся соответ-
соответственно параболы
,-*- \ у- iL \
J
а при пересечении плоскостью z=h
(h > 0)—эллипс
2ph + 2qh ~~ ' i F4)
Рис. 100
с полуосями а = Y%ph и b =
параболоид вращения
(рис. 100). В случае p—q получим
F5)
Поскольку х п у входят в уравнение F3) в четных степенях, эллип-
эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Охг и Oyz.
Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом на-
называется поверхность, определяемая уравнением
&=?-? F6)
159

при условии, что р и q имеют одинаковые знаки. (В дальнейшем
для определенности будем считать, что р > О, q > 0.)
Пересекая эту поверхность плоскостью Охг, получим параболу
у )
(рис. 101).
При пересечении гиперболического параболоида плоскостью х =¦ !г
получится парабола
1г~ р я • \
x=h )
или
F8)
При различных значениях h получится целое семейство парабол,
лежащих в плоскостях, параллельных плоскости Оуг и имеющих
одинаковый параметр д.
Рис. 101
Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверх-
поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии,
что плоскость движущейся параболы остается параллельной плос-
плоскости Oyz, ось симметрии параболы остается в плоскости Охг,
а вершина движется по параболе F7). Пересекая гиперболический
параболоид пноскостью г—К получим (при ИфО) гиперболу
Р Я ' ' ИЛИ <2ph 2qh Ь
)
На рис. 101 показано расположение этой гиперболы для двух
случаев: h > 0 и Л<0. При Л-—0, т. е. при пересечении гипербо-
гиперболического параболоида координатной плоскостью Oxyt получится
160

линия, уравнение которой в плоскости Оху имеет вид —
Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений
Vp Vg
Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плос-
плоскостью Оху по двум прямым
Vp
_* У 0
У~р VI '
лежащим в плоскости Оху и про-
проходящим через начало координат.
Кроме этих двух прямых, сущест- Рис. 102
вуют и другие прямые, полностью
лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, как и в
случае однополостного гиперболоида, можно показать, что через
каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной
прямой каждого из двух семейств прямых
V р V я
_jc у _ 1
Y~p
У
1
Г Я
где fe и / — произвольные параметры.
Таким образом, гиперболический параболоид можно рассматривать
как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 102).
Замечание. Поверхности, составленные из прямых линий,
называются линейчатыми. Таким образом, цилиндрические и кони-
конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гипер-
гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями.
2242

ГЛАВА V
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
/. Предел функции при х —* + °°
Возьмем функцию y = f(x)=2 . Составим таблицу значе-
х
ний этой функции и построим ее график (рис. 103):
Ю I 100
100Э
1,5 1,9 1,99 1,999
Рассматривая таблицу и график, можно предположить, что с воз-
возрастанием аргумента х наша функция неограниченно приближается
к числу 2, или, как говорят, имеет при х, стремящемся к плюс
бесконечности (х—*4-оо), пределом чи-
число 2.
Пусть М (х; у) точка графика функ-
функции #=2 • Найдем расстояние d
от точки М до прямой у = 2:
Рис. 103 i \ *
Тот факт, что при х —> -f oo функция
у —2 имеет пределом число 2, означает, что расстояние d от
х
точки М(х\ у) графика функции до прямой у = 2, т. е. \f{x)—2|,
может быть сделано меньше любого наперед заданного положи-
положительного числа для достаточно больших значений х.
Так, например,
2| = TiT<l, если х>10;
2| = т1г<]^,если х>100;
и вообще, если е > 0, то
|/(x)-2| = JL<e, если х>|.
Дадим теперь точное определение предела функции y = f(x) при
я-—>-(-оо, предполагая при этом, что функция y=f(x) определена
162

или на всей числовой оси, или для всех х9 больших некоторого
числа.
Определение. Число Ь называется пределом функции y = f(x)
при х—> + оо, если, каково бы ни было положительное число е, можно
найти такое число Л/, что для всех х> больших N, выполняется не-
неравенство
|/(*)-6|<в. A)
Иными словами, если функция имеет число Ь своим пределом
(при х—> + оо), то при неограниченном возрастании аргумента х
значения этой функции сколь угодно мало отличаются от числа Ь9
т. е. разность между значением функции и числом Ь становится
сколь угодно близкой к нулю.
То, что функция имеет число Ь своим пределом при х—*+<х>,
записывается следующим образом*: lim f(x) = b. Это читается так:
«предел эф от л: при х, стремящемся к плюс бесконечности, равен
6». Таким образом, возвращаясь к нашему примеру, имеем:
lim B-l)=2.
х _ + ее \ X )
Рассмотрим примеры. »
Пример 1€ Доказать, что lim - =5. -
X -> +00 Х
Решение. Зададим произвольное положительное число е и
рассмотрим абсолютную величину разности f(x)—b, где 6 = 5:
Для того чтобы эта разность была меньше е, f. e. чтобы выполня-
выполнялось неравенство
О
достаточно, чтобы \х\ > —. Так как мы рассматриваем предел функ-
функции при х—*+оо, то х можно считать положительным. Поэтому
з
неравенство B) выполняется для всех х > —. В данном случае ука-
указанное в определении предела число Af равно — .
Итак, для любого е>0 найдено такое число #=4"» что для
г=— выполняется неравенство
б*+3
— 5 < е. А это
значит, что lim =5. График функции у= *~*~ для положи-
Х-+ + оо
тельных значений аргумента х изображен на рис. 104.
* lim — первые три буквы французского слова limes, которое в переводе на
русский язык означает предел,
6* 163

Пример 2. Доказать, что lim x~^~slnx ~ \t
Решение. Задаем е > 0. Имеем
— 1
sin*
так как |sinx|^l. Для того чтобы выполнялось неравенство
<е, достаточно, чтобы -.—г < е. Так как х—*+оо, то
1
можно считать х положительным и, следовательно, —- < е. Послед-
Последнее неравенство выполняется для всех x>— = N. Итак, для лю-
8
бого 8 > 0 найдено такое число N = —, что для всех х > — выпол-
8 ?
ттттт
f
Рис. 104
Рис. 105
ияется неравенство sin*—1 < 8. Тем самым мы показали, что
j х
lim *+sm* = }# График рассмотренной функции приведен на
рис. 105.
Пример 3. Функция y=cosx не имеет предела при х—+-(-оо.
Значения этой функции при х—»--f-oo все время колеблются между
—1 и +1.
Из определения предела вытекает, что постоянная функция
f(x)^A имеет при х—>+оо предел, равный Л, так как неравен-
неравенство \f(x)—А | = | Л — А | <е при произвольном е>0 выполняется
для всех х (здесь N может быть любым числом).
Рассмотренные выше примеры показывают, что функция может
стремиться к пределу (если он существует), оставаясь все время
меньше его, как, например, функция у = 2 (см. рис. 103), или
больше его, как функция #= *"*" (см. рис. 104), и, наконец,
жет колебаться около него, как, например, функция у~
(см. рис. 105).
164

Установим геометрический смысл предела функции при х—> -j- со .
Как мы знаем, если функция y = f(x) имеет пределом число bt то
это значит, что для любого е > 0 найдется такое N, что для всех
х> N выполняется неравенство |/(лг)—Ь\ < е. На основании свойств
абсолютных величин (см. гл. I, § 1, п. 3) это неравенство равно-
равносильно следующим неравенствам:
— е
или
(*)—6<е*,
b—z<f(x)<b + e.
C)
Неравенства C) показывают, что ординаты всех точек графика
функции y=^f(x), абсциссы которых превосходят число N, заклю-
заключены между числами b—е и 6 + е. А это значит, что график функции
a)
Hi
Ф
6
6-t
\
i
/
1
У
д
б-е
0 ж
Рис. 106
y = f{x) для всех х, превосходящих число N, содержится в полосе,
ограниченной прямыми у = 6—г и у = Ь + г (рис. 106, а). Число N,
фигурирующее в определении предела, вообще говоря, зависит от е.
Чем меньше е, т. е. чем уже полоса между прямыми у = Ь—г и
y = b + s, тем большим будет N.
2. Предел функции при х—+— оо
Теперь рассмотрим определение предела функции при х, стре-
стремящемся к минус бесконечности (х—> — оо).
Определение. Число b называется пределом функции при
я—* —оо, если, каково бы ни было положительное число е, можно
найти такое число М, что для всех х, меньших М, выполняется
неравенство | / (х)—b | < е.
Если функция /(х) имеет пределом число b при х—+—оо, то
это записывают так: lim f(x)=b.
х-+ — со
Геометрический смысл предела функции при х—+—оо аналоги-
аналогичен геометрическому смыслу предела при х—v-f-oo. Если lim / (x)=b,
* Так как неравенство | г \ < 8 равносильно неравенствам — 8 < г < е, то,
полагая z = f(x)-—bi придем к неравенствам C').
165

то, каково бы ни было положительное число е > 0, найдется такое
число М, что для всех х<Л1 график функции y = f(x) будет содер-
содержаться в пол ге, ограниченной прямыми у = 6—е и у = Ь + г (рис.
106, б).
3. Предел функции при х—>лг0
Мы ввели понятия предела функции при л;—*+оо и при
х—>—оо. Введем теперь понятие предела при х—>х0. Рассмотрим
сперва случай, когда независимая переменная х приближается к х0
слева.
Определение. Число Ь называется пределом функции y=f(x)
при х—+х0 слева, если, каково бы ни было положительное число 8,
найдется такое число N (меньшее х0), что для всех х, лежащих
между N и х0 (N < х < #0), выполняется неравенство A)
\f(x)-b\<s.
Понятие предела функции при х—+х0 слева сходно с понятием
предела функции при х—>*+оо и отличается от него лишь тем,
что для предела функции при х—> + °° неравенство A) выполняется
для всех х, превосходящих N, а для предела функции при х—>х0
слева,— для всех х, превосходящих N, но меньших, чем х0. Предел
функции при х—>Xf> слева обозначают так: lim/(#)=&. Символ
Х-+Х9-0
х—+х0—0 означает, что х стремится к х0 слева.
Геометрический смысл предела функции при х—*х0—0 заклю-
заключается в следующем: каково бы ни было е > 0, найдется такое
число N (N < х0), что для всех ху заключенных между N и х0,
график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми у = 6—е
и у = Ь + г (рис. 107, а).
Аналогично пределу функции при х—+х0 слева вводят понятие
предела при х—+х0 справа.
Определение. Число Ъ называется пределом функции y~f(x)
при х—+х0 справа, если, каково бы ни было положительное число
е, найдется такое число М (большее х0), что для всех х, лежащих
между х0 и М (х0 < х < М), выполняется неравенство \f(x)—b | < е.
Предел функции при х —> х0 справа обозначают так: lim / (я) = Ь.
х+хо+ о
Если функция y = f(x) при х—+х0 справа имеет пределом число Ъ,
166

то геометрически это означает, что график функции будет лежать
в полосе, ограниченной прямыми у = Ь—е и у = Ь + г для всех х,
заключенных между х0 и М (рис. 107, б).
Пределы функции при х—+х0 слева (x—>xQ—0) и при х—+х0
(+ 0) д
0 (Q) р
справа (х—^хо + 0) называются односторонними пределами.
Если оба односторонних предела существуют и равны между
собой, то говорят, что функция f(x) имеет двусторонний предел
при х—>-xOf или просто имеет предел при х—+х0.
Определение. Число Ъ является пределом, функции при х —>х09
если, каково бы ни было е > 0, можно найти такие числа М и
6
6-е
ЩЩЩШ&
Ш/,
N Ко М
Рис. 108
7
0
J
/
i
t
\ щ , ^
Рис. 109
N(N < х0 < М)9 что для всех х, лежащих в интервале (N, М) (за
исключением, быть может, точки хо)9 выполняется неравенство
\№-Ь\<е.
Назовем окрестностью точки х0 любой интервал, содержащий
эту точку. Таким образом, если Ъ есть предел функции # = /(х)
при х—>х0, то неравенство \f(x)—6|<е выполняется для всех
точек некоторой окрестности точки х0 (за исключением быть может
точки х0).
Если при х—*#0 функция f(x) имеет предел, равный 6, то это
записывают так: lim / (х) = Ь. Геометрический смысл предела при
х-+х0
х—+х0 ясен из рис. 108.
Замечание 1. В определении предела при #—>х0 (или
х—+хо-\-О, или х—>xti—0) рассматривались значения хфхй. В са-
самой точке х0 функция может быть и не огределена. В дальнейшем
это замечание будет неоднократно исполььовано.
Замечание 2. Числа М и N, встречающиеся в определениях
пределов при х—>л:0 (или х—>хо+О, или х—+х0—0), зависят от е и х0.
Пример 1. Рассмотрим функцию у = 2х+1. Ее значение при
х = 4 равно 9. Покажем, что при приближении независимой пере-
переменной х слева и справа к числу 4 значения функции неограни-
неограниченно приближаются к числу 9, т. е. что
lim B*+1) = 9.
Для этого возьмем произвольное положительное число е и убедимся
в том, что разность между функцией и числом 9 по абсолютной
167

величине может быть сделана меньше е для значений xt близких
к #0 = 4:
Это неравенство равносильно неравенствам
)—9<е
или
4 гт<х<А + ~.
Итак, разность между функцией и числом 9 становится (по аб-
абсолютной величине) меньше е для всех х, лежащих между числами
iV = 4 y и М — 4 + -|-. Поэтому функция у^2х-\-\ имеет предел
НтBлЧ-1)--=9.
Пример 2. Рассмотрим функцию y=zf(x), определенную на сег-
сегменте [0; 4] следующим образом:
с—1, если 0<л;<3;
если
'«-3-х.
График этой функции приведен на рис. 109. Очевидно, lim /(#) =
= lim (х—1)=2, a lim /(*) = lim C—х)=0, что наглядно
*-*3-0 Х-*3 + 0 X-+S + 0
видно из графика. Здесь предел справа и предел слева не равны
друг другу. Поэтому функция y = f(x) не имеет предела (двусто-
(двустороннего) при х—>3.
Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он един-
единственный. Это легко установить геометрически. В самом деле, до-
допустим противное, т. е. что функция у = f(x), например, при х—>+ оо
имеет два предела Ъх и 62. Рассмотрим две полосы, одна из кото-
которых ограничена прямыми у = Ь1 — е, у~Ь1-\-г, а другая — прямыми
у = Ь2—е, у — Ь2 + г. При этом е возьмем столь малым, чтобы обе
полосы не имели общих точек. Тогда при достаточно больших х
график функции не может находиться одновременно в каждой из
этих полос. Таким образом, всякая функция либо совсем не имеет
предела, либо имеет только один предел.
4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
Определение. Функция y^f(x) называется бесконечно малой
при х—>Н-оо, если ее предел при х—>+оо равен нулю. Аналогично
определяются бесконечно малые функции при х—>—оо, х—>х0— 0,
х—*хо + О, х—+х0. Так как для бесконечно малой функции предел
6 = 0, a \f(x)—b | = | f(x) — 0|=|/(х)|, то на основании понятия
предела, например при х-—^+оо, можно дать следующее определе-
определение бесконечно малой функции, равносильное только что данному.
Определение. Функция y^=f{x) называется бесконечно малой
(при х—>+ оо), если, каково бы ни было г > 0, можно найти
108

такое число N, что для всех х > N выполняется неравенство
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Покажем, что функция г/ = — является бесконечно
малой при х—Н-оо. Для этого надо показать, что ее предел 6—0
при х—*+оо, т. е. что для любого е>0 можно найти такое N,
что для х > N выполняется неравенство D):
Но это неравенство осуществляется при л:>-т== N.
У г
Вообще, можно доказать, что функция У^-^r (где а—любое
положительное число) бесконечно малая при х—* + оо.
Пример 2. Функция у = х* является бесконечно малой при х—^0.
Задаем е > 0. Неравенство | / (х) | = | х3 | < е, очевидно, выполняется
для всех тех значений аргумента х, для которых \х\ < ?/е . Таким
образом, неравенство |х3|<е выполняется для всех х, лежащих
между N — — ]/г и М—\/г . А это значит (см. стр. 167), что
lhnrJ---0, т. е. функция у — хъ бесконечно малая при х—>0.
X-+Q
Вообще, можно показать, что функция у=хт, где т > 0, бес-
бесконечно малая при х—^0.
Пример 3. Функция у =^2 — не является бесконечно малой при
х—>+оо, так как lim [2—— J =2=^=0.
Докажем теперь несколько теорем о бесконечно малых функциях.
Для определенности все формулировки и доказательства теорем
будем проводить для случая бесконечно малых функций при
х—+-\-оо, так как для всех остальных случаев формулировки и
доказательства аналогичны. Рекомендуем читателю самостоятельно
сформулировать и доказать эти теоремы для х—¦*¦ — оо, х—+х0,
х—+х0—0 и л: —> л:0-f-0.
Теорема 1. Если функции cp(jt) и \|?(л:) являются бесконечно ма-
малыми функциями (при х—++оо), то и их сумма ср (л:) + \|) (х) также
является бесконечно малой функцией (при х—* + оо).
Доказательство. Пусть /(х) = ф(х) + ijf>(x). Докажем, что
lim f(x)--=O, т. е. установим, что для любого е>0 найдется та-
такое число N, что для всех х > N имеет место неравенство D)
Если такое N найдется (для произвольного, заранее заданного е),
* Рекомендуем читателю сформулировать второе определение бесконечно ма-
малой функции для случаев к—> — оо, х—>х0, х—> х0—0 и х—*-*0-|-0.
169

то из этого будет следовать, что lim /(л:)^0. Итак, возьмем про-
извольное г > 0. Так как <р (х) по условию является бесконечно
малой функцией, то для положительного числа -|- найдется такое
число N19 что при х > Nt выполняется неравенство
E)
айдется такое число N2,
при х > N2 выполняется неравенство
Аналогично, для того же числа -|- найдется такое число N2, что
K-f. F)
Пусть N— наибольшее из чисел Л^± и N2. Тогда для x>N выпол-
выполняются одновременно оба неравенства E) и F). Но тогда для всех
х > N имеет место соотношение
Таким образом, для всех х> N \f(x)\ < e, а это значит, что функ-
функция / (х) = ф (л:) + я|э (х) является бесконечно малой функцией при
х—* + оо.
Эта теорема может быть легко обобщена на любое конечное
число бесконечно малых функций. Кратко ее читают так: сумма
нескольких бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Пример 4. Функция у = —\-—^=Н—^ является бесконечно ма-
х у х х
лой функцией при х—> + °°» так как каждое слагаемое -у=> ~ и -^
есть бесконечно малая функция при х~> + оо (см. пример 1).
Пример 5. Функция у = х + х*-\-хь есть бесконечно малая функ-
функция при х—>(), так как функции у ^х, у = х3 и у = хь бесконечно
малые при х—^0 (см. пример 2).
Прежде чем переходить к дальнейшим теоремам о бесконечно
малых функциях, введем понятие ограниченной функции.
Определение. Функция y = f(x) называется ограниченной на
некотором множестве значений аргумента х, если существует такое
положительное число С, что для всех х из этого множества выпол-
выполняется неравенство \f(x)\^C. Таким множеством может быть, на-
например, интервал, сегмент или даже вся числовая прямая.
Рассмотрим примеры.
Пример 6. Функции y^sinx и y=cosA; ограничены на всей
числовой прямой, так как для любого значения х имеем: |sinjc|^I,
| COS X | ^ 1.
Пример 7. Функция у=х* + 4 ограничена на сегменте [0; 3], так
как для всех х, принадлежащих этому сегменту, имеет место нера-
неравенство |/(*)|</C) = 31, т. е. |/(*)|<31.
* Здесь мы воспользовались следующим свойством абсолютных величин:
*|11+|*1 (см- гл- J> § h п- 3).

Пример 8. Функция у = — не является ограниченной на интер-
вале @; 1), так как нельзя указать такое число С, чтобы для всех
х из интервала @; 1) выполнялось неравенство — ^С
Следующие две теоремы устанавливают связь между понятиями
ограниченной функции и функции, имеющей предел. Для опреде-
определенности рассмотрим случай предела функции при х—> -f-oo.
Теорема 2. Если функция у=}(х) имеет предел при х—> + <»,
то она ограничена на некотором бесконечном интервале (N\ +oo).
Доказательство. Пусть lim f(x) = b. Тогда, на основании
определения предела, для е = 1 можно найти такое число N, что
для всех x>N выполняется неравенство \f(x) — 6|<1. Так как
по свойству абсолютных величин |/(л:)—b\^\f(x)\ —16|*, то
|/(х)| — |Ь| < 1, откуда |/(*)| < |Ь| + 1 =С. А это и означает, что
функция y = f(x) ограничена на бесконечном интервале (N\ +oo).
Замечание. Функцию, ограниченную на бесконечном интер-
интервале (N; +oo), будем называть ограниченной при х—*- + оо.
Следствие. Бесконечно малая функция (при х —*• + <*>) огра-
ограничена (при х—>+оо).
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет предел9 отличный от
нуля (при х—*-|-оо), то функция у= f( ограничена (на некото-
некотором бесконечном интервале).
Доказательство. Пусть lim f(x) = bt где ЬфО. Пусть дано
Х-*-+<Х>
положительное число е<|6|. На основании определения предела
найдется такое число N, что для всех х> N имеет место неравен-
неравенство \f(x)—b\ < e.
Так как |/(*)—6| = |6—/ (х)|>|6| — |/(jc)|f то |6|—|/(*)|<в
и |/(л:)|>|6|—е > 0. Следовательно,
1
^ 1^1—в
ТакиАя образом, теорема доказана.
Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции (при х—> + сю)
на функцию ограниченную (при х—*-+°°) является функцией беско-
бесконечно малой.
Доказательство. Пусть ф(х)—ограниченная функция на
бесконечном интервале Л^0<х< + оо. Следовательно, существует
такое число С > 0, что для всех х > NQ выполняется неравенство
|Ф(*)|<С. G)
Пусть, далее, f(x)—бесконечно малая функция при х—> + оо. По-
Покажем, что произведение q>(x)-f(x) есть бесконечно малая функция
* Здесь мы использовали свойство абсолютных величин \а—6|^|а|—\Ь\
(см. гл. I, § 1, п. 3).
171

при х—*-|-оо. В самом деле, так как f (х) — бесконечно малая функ-
функция, то для любого е > 0 найдется такое число Nl9 что при х > h\
имеет место неравенство
Пусть N—наибольшее из чисел No и Nt. Тогда для х > N
одновременно выполняются неравенства G) и (8). Следовательно,
для всех х > N
т. е. ф (х) •/(*) — бесконечно малая функция.
Пример 8, Функция # = s-^ является бесконечно малой при
х—* + оо, так как она является произведением ограниченной функ-
функции sinx на бесконечно малую (при х—* + оо) функцию у = -^ .
Пример 9, Функция y = x2(l-\-s\nx) является бесконечно малой
при х—*0, так как она является произведением ограниченной
функции l+sinx на функцию х2у бесконечно малую при х—*0.
Следствие 1. Так как всякая бесконечно малая функция
ограничена, то из только что доказанной теоремы вытекает, что
произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно
малая.
Следствие 2. Произведение бесконечно малой функции на число
есть функция бесконечно малая.
Теорема 5. Частное от деления функции f{x), бесконечно малой
при х—* + °°> на функцию ф(х), предел которой (при х-—* + оо)
отличен от нуля, является функцией бесконечно малой.
Доказательство. Функция ' , может быть представлена в
виде произведения бесконечно малой функции f(x) на ограниченную
функцию —г-у (ограниченность функции —т-г- следует из теоремы 3).
Но тогда из теоремы 4 вытекает, что частное *^ = / (х) *—т-г
является бесконечно малой функцией.
5. Бесконечно большие функции и их связь
с бесконечно малыми функциями
Определение. Функция y = f(x) называется бесконечно боль-
большой при х—*+оо, если для любого положительного числа А можно
подобрать такое число N, что для всех значений х > N выполняется
неравенство \ [ (х) \ > А *.
Так, например, функция у — х2 является бесконечно большой
при х—*+оо. Какое бы положительное число А мы ни взяли, эта
функция может быть сделана больше, чем А (для всех значений х,
* Число N зависит от Л,
172

превосходящих число N— \Г~А). Аналогично, функция y = lgx
является бесконечно большой функцией при х—* + оо, так как не-
неравенство | \gx\ > А выполняется для всех х, превосходящих N = 104.
Ясно, что всякая бесконечно большая функция при х—*+°о не
является ограниченной, а поэтому она не имеет предела (см. тео-
теорему 2).
О бесконечно большой функции (при х—^ + °°) говорят, что
она стремится к бесконечности, или что она имеет бесконечный
предел. Если функция f(x) бесконечно большая прих—> + °°» то это
символически записывают так: lim/(jt) = oo. Это равенство не сле-
X -+ +00
дует понимать в том смысле, что функция имеет предел; оно озна-
означает только, что функция (не имея предела) является бесконечно
большой.
Если бесконечно большая функция f(x) положительна (для всех
достаточно больших значений х)у то говорят, что она стремится
к +оо, и записывают это так: lim /(%)=-|-оо. Если же беско-
X -* + оо
нечио большая функция отрицательна (для всех достаточно боль-
больших х), то говорят, что она стремится к —оо, и записывают:
lim f(x) = — oo.
ДГЧ+0О
Так, например, lim х2—+оо, a lim (—Jt3)=—оо. Можно
Х-+ + СО АГ-> + 00
доказать, что любой многочлен есть бесконечно большая функция
как при х—*+оо, так и при х—>— оо.
]Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
существует тесная связь, которая устанавливается в теоремах 1 и 2.
Теорема 1. Если функция f (x) является бесконечно большой при
х —* + оо, то функция н Л является бесконечно малой при х—> + оо.
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Покажем,
что для достаточно больших х будет выполняться неравенство
X)
< е, а это и будет означать, что п —бесконечно малая
функция. Так как по условию f(x) — бесконечно большая функция,
то существует такое число N, что при х > N I / (л:) | > —. Но тогда
1
< е. Тем самым теорема доказана.
для тех же х у^-
Пример 1. Функция у = х2 бесконечно большая при х—> + °°«
Следовательно, функция -у является бесконечно малой при
X—>+ °°-
Теорема 2. Если функция f(x), не обращающаяся в нуль, беско-
бесконечно малая при х—*-{-оо, то -тт-у—бесконечно большая функция
при л;—>Н-оо.
Рекомендуем доказать эту теорему читателю.
Аналогично определяются бесконечно большие функции при
лг—*— оо, л: —^ jc0 — 0, х—+хо + О и х—+х0. Так, например, функция
173

y = f(x) называется бесконечно большой при х—>х0—0 (при х—>х0
слева), если, каково бы ни было число А > О, найдется такое А/,
меньшее х0, что для всех х, лежащих между N и х0 (N < х < л:0),
выполняется неравенство |/(л;) | > А.
Все сказанное в этом пункте о функциях, бесконечно больших
при л;—>+оо, справедливо и для бесконечно больших функций при
х—+—оо, х—>х0—0, х—+хо + О и х—+ х0.
Пример 2., Функция у=— на основании теоремы 2 есть беско-
бесконечно большая функция при х—>0, так как функция у = хг беско-
бесконечно малая при х—>0 (см. пример 2, п. 4). При этом lim -3 = — 00,
x_*o-o х
a lim -з = +оо, так как функция -3- для х<0 отрицательна,
оох х
а для л:>0 положительна.
6. Основные теоремы о пределах
В этом пункте мы приведем некоторые теоремы о правилах пре-
предельного перехода, которые, как мы увидим в дальнейшем, облегчат
нахождение пределов. При этом заметим, что как формулировки,
так и доказательства этих теорем для случаев х—>+<*>, х~-+—оо,
х—>х0—0, х—>хо-{-О, х—>х0 совершенно аналогичны. Поэтому,
для определенности, мы приведем их только для случая #—*+оо.
Прежде всего установим связь между функцией, имеющей пре-
предел, и бесконечно малой функцией. Эта связь отражена в содержа-
содержании следующих двух теорем.
Теорема Ь Если функция f(x) имеет предел (при лс—*+оо),
равный Ь, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно
малой функции (при х-—> + °°)-
Доказательство. Пусть lim /(х) — Ь. Рассмотрим разность
f(x)-b=a(x) (9)
и покажем, что а(х)— есть бесконечно малая функция (при
#__*.-}_оо). Так как lim f(x) — b9 то для любого е>0 существует
такое N9 что \f(x)—6|<е для всех x>N. Но тогда и |а(#)|<е
для x>N. А это значит, что а(х) бесконечно малая функция. Из
равенства (9) находим /(x)=6 + a(x). Таким образом, теорема
доказана.
Теорема 2 (обратная). Если функцию f(x) можно представить
как сумму числа b и некоторой бесконечно малой функции (при
х—+-\-оо), то число b является пределом функции f(x) (при
Доказательство. По условию f(x) =b + a(x), где а(х) бес-
бесконечно малая функция (при х—>+ «>). Покажем, что lim / (я) = 6.
Действительно, f(x)—b = a(x). Так как а(х) бесконечно малая
функция, то для произвольного е>0 найдется такое число Л/, что
174

для x>N имеет место неравенство |а(Аг)|<е. Но так как
(/(*) — 61 = | ос (л:) |, то для x>N \f(x) — Ь\<ъ. А это означает, на
основании определения предела, что lim f(x) = b.
х -*¦ + со
5-| |__ ] =5
.. . „ * * /
Решение. Так как функции — и -у бесконечно малые при
# —*-f- oof то —Ь—t как сумма бесконечно малых функций, есть
X X
А 1
функция бесконечно малая. Функция 5 + у + -^ есть сумма числа 5
и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 2
+| + ^) =5.
хх)
Перейдем теперь к выводу правил предельного перехода,
Теорема 3. Если lim f(x)—b и lim ф(*) = с, то функции
ДГf+OO Х+ + <*3
(x) и f(x) — ф(лг) тоже имеют пределы при х—^ + <х>, причем
Ит [/(*) ± <р (*)] = lim /(л:)± lim <р(лг),
т. е. предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
их пределов.
Доказательство. На основании теоремы 1 функции f(x) и
ф(я) можно представить в виде: f(x)=b-\-a(x) и ф(л:)=с+р(л:)>
где а(х)и$(х)—функции бесконечно малые при лг-^ + оо. Но тогда
). A0)
На основании теоремы 1, п. 4 сумма а {х) + р (jc) является бесконечно
малой функцией. Равенство A0) показывает, что функция / (х) + ф (х)
представлена как сумма числа Ь-\-с и бесконечно малой функции
а (х) + р (л:). Следовательно, на основании теоремы 2 настоящего пункта,
число Ь + с является пределом функции /(*) + ф(*)- Итак,
lim [f(x) + (p(x)] = b + c= lim f(x)+ lim
В случае разности функций доказательство аналогично.
Замечание. Теорема 3 справедлива для алгебраической суммы
любого конечного числа функций.
Теорема 4, Если lim f(x) = b и lim (f(x) = c, то функция
JC-» +QO
имеет предел при д:-^ + оо, причем
lim [/(л:)ф(л:)] = lim /(*)• lim ф(х),
X •* + QO ЛГ~»-+0О Jr-*-fOD
m. e. предел произведения двух функций равен произведению их пре-
пределов.
Доказательство. На основании теоремы 1 имеем
175

где а(х) и р(я)—функции, бесконечно малые при х->-\-<х>. Сле-
Следовательно,
]. A1)
Функция ах (х) + 6|3 (л:) + а(х)& (х) является бесконечно малой, как
сумма трех бесконечно малых функций са(х), Ь$(х) и а(х)$(х) (см.
п. 4, следствия из теоремы 4). Равенство A1) показывает, что функ-
функция f(x)*q>(x) представлена как сумма числа be и бесконечно малой
функции са(х) + Ь$ (х) + а (х) |3 (х). Следовательно, на основании
теоремы 2, число te является пределом функции /СффМ- Итак,
lim [/(х)-ф(л:)] =b-c= lim /(*)• lim ф(х).
Следствие из теоремы 4. Постоянный множитель можно вы-
выносить за знак предела, т. е.
lim [k • ср (х)] == fe lim ф (х),
где k—постоянный множитель.
Доказательство. В самом деле,
lim [?-ф(л:)] = lim fe- lim ф(х) = й- lim <((x),
так как lim fe = ft.
Х-++О0
Теорема 4 справедлива для любого конечного числа сомно-
сомножителей. В частности, если эти сомножители равны между собой,
то имеем:
]п}=Л+
= lim /(х). lim /(*)... lim /(х) = Г lim
Это кратко формулируют так: предел степени равен степени
предела.
Теорема 5. Если lim / (х) = b, lim <р{х) = с и с Ф 0, то '-Щ- име-
Х-+ + оо Л -> + оо Ф \Х)
Mm
/ ()
предел при x-* + °°> причем lim Ц^~ = ^Т^00 ., v , /я. ^. предел
5и равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя,
если предел знаменателя не равен нулю.
Доказательство. По теореме 1 f(x) = b+a(x), ф(х) = с + р (х),
где а(х) и $(х) бесконечно малые функции при х-+-\-оо.
Рассмотрим разность
/ (*) Ь _ Ь + а (х) Ь __ са (х) — Ь$ (х)_ .^
Дробь Са гТ^й f! = Y (Л:)> стоящая в правой части равенства A2),
С -f-Cp \Х)
по теореме 5, п. 4, является бесконечно малой функцией, так как
176

числитель этой дроби са(х)—Ь$(х) является бесконечно малой функ-
функцией, а знаменатель по теореме 2 имеет предел с2Ф0>
Из равенства A2) имеем
f(x) _b
() ~
Ф (х) ~ с^ с2 + ф (х) ~"
Поэтому, на основании теоремы 2, '-~~г имеет при х-* + оо предел,
равный —:
к* н lim f(x)
A' -*¦+ 00
Теоремы о пределах суммы, произведения и частного облегчают
нахождение пределов.
Пример 1. Найти предел функции */= я4 + Зх2-f 4 ПрИ Х-+2.
Решение. Имеем
lim (л:4 + За-2 + 4) = lim xx + lim 3*2 + lim 4.
х-*2 л:->2 л:-*2 х->2
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе суммы.
Далее, так как предел степени равен степени предела, ти
х-*2 Lx^2 J
х->2 х-»2
Замечая, наконец, что lim 4 = 4, получим
2
)
Пример^ Найти limg±|±|
Решение. Так как
( ) +
Х^\ Х-*\ Х-+1
а предел знаменателя
lim (х2—2х + 5) = lim х2—2 lim х + 5 = 1 — 2 + 5 = 4 ф О,
х-*1 х-+\ х-*\
то, применяя теорему о пределе дроби, получим
lim ^ ==А== А
у11] л:2 —2л:+ 5 lim (^2—2x+5) 4 2 *
х-> 1
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не
всегда приводит к цели. Так, например, нельзя применять теорему
о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому
часто, прежде чем применять эти теоремы, необходимо тождественно
преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Как это делается,
мы покажем на конкретных примерах.
177

*\
Пример 3. Найти lim
Решение. Здесь непосредственно теорему о пределе дроби при-
применить нельзя, так как предел знаменателя при х-*4 равен нулю:
lim (а:2—6л: + 8) = limх2—61im* + 8 = 42 —6-4 + 8 = 0.
Х-+4 Х-+4 х-*4
Кроме того, числитель дроби имеет предел, также равный нулю.
Поэтому нахождение предела этой дроби сводится, как говорят,
о *
к раскрытию неопределенности -^ . Для этого преобразуем дробь,
разложив числитель и знаменатель на множители:
х2—
(х—2) (х—4)'
Разделим числитель и знаменатель дроби на х—4. Это сокра-
сокращение допустимо, так как при разыскании предела рассматрива-
рассматриваются значения хФА (см. замечание 1 на стр. 167).
Итак, для всех значений хф\ имеет место тождество
(л:—1)(дг—4) _лг—1
(*-2)(*-4)-*-2#
Поэтому пределы этих функций равны между собой:
"™ (*-2)(*-4) ~1™ х-2- lim (*-2)-4-2~ 2 *
х-А
Пример 4. Найти lim
Решение. Здесь непосредственно нельзя применить теорему
о пределе дроби, так как ни числитель, ни знаменатель дроби не
имеют предела при х—»-+оо, одновременно стремясь к бесконеч-
бесконечности**. Таким образом, мы здесь имеем дело с неопределенностью
вида —. Для того чтобы найти предел данной дроби, предваритель-
предварительно преобразуем ее, разделив числитель и знаменатель на л:2; дробь
от этого не изменит своей величины, а следовательно, и своего пре-
* Если при разыскании предела дроби ~\\ числитель и знаменатель стре-
мятся одновременно к нулю или бесконечности, то будем говорить, что эта дробь
представляет неопределенность вида -^- или соответственно —. Нахождение
предела такой дроби условимся называть раскрытием неопределенности вида -^г-
00
или — .
** См. стр. 173.
178

дела. После этого преобразования предел уже найти легко:
•
Пример 5. Найти lim Ъх*+Ах+2 *
Решение. Для того чтобы и здесь можно было применять
теорему о пределе частного, разделим числитель и знаменатель на х2:
JL-4-A
* х*
lim (JL-l.!L\
Пример 6, Найти lim 7f 2+,6f ~?о >
Решение. Так как предел обратной дроби lim 7*у^* о ==
х х2 х3
++
х х2 х3 О
= lim д—о—= -7*-" 0, то она является бесконечно малой функ-
-
JC X
цией при л:—>4-сх>. Следовательно, данная дробь, на основании
теоремы 2, п. 5, бесконечно большая функция: lim /2 , 5 "~ * =±= оо.
Обобщая разобранные примеры, можно сделать следующий вывод:
р -> -Ь оо предел отношения двух многочленов одинаковых сте-
степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях х.
Если же степени многочленов не равны, то предел их отношения
равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя,
и равен бесконечности, если степень числителя больше степени зна-
знаменателя.
В заключение этого пункта укажем еще на две теоремы о пре-
пределах.
Теорема 6. Пусть даны три функции ф(х), f{x) и g(x), удов-
удовлетворяющие неравенствам q>(x)^f(x)^.g(x) для достаточно боль-
больших значений х. Если функции ср (л:) и g{x) имеют один и тот же
предел при х—>-)- оо, то и функция f(x), заключенная между ними,
имеет предел, равный пределу функций ц>(х) и g(x).
Доказательство. Дано lim cp(jc)— lim g(x)=b. Требуется
X^ + CD X-+ + CD
доказать, что lim f(x) = b. Доказательство теоремы ясно из рис. ПО.
Действительно, так как функции ф (х) и g (х) имеют при х —> -f оо
пределом число Ь, то, каково бы ни было г > 0, найдется такое
число W, что для #> N графики функций у = ц>(х) и y=g(x) одно-
одновременно будут лежать внутри полосы, ограниченной прямыми
у = Ь—е и у = Ь-\-е. Но тогда и график функции у = f(x), лежащий
между графиками функций у = ц>(х) и y^g(x), для x>N попадет
внутрь этой же полосы. А это и значит, что lim/(*)=&¦
179

Теорема 7. Если функция y = f(x)^O для всех достаточно
больших значений х и при х—+ + оо имеет предел, то этот предел
не может быть отрицательным.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
lim f(x) = b<0. Тогда, каково бы ни было е > 0, найдется такое
число N, что график функции y = f{x) для х > N попадет внутрь
полосы, ограниченной прямыми у — Ь—е, у^Ь-\-е. Взяв е столь
малым, чтобы эта полоса лежала ниже оси Ох, получим, что для
в
B-t
0
V
>
<-У=9(х)
///7%2$4<?//////
WZ///,
X
Рис. ПО
COSX 3
Рис. Ill
х> N график будет лежать ниже оси Ох, и его точки, следовательно,
будут иметь отрицательные ординаты. А это противоречит тому, что
для всех достаточно больших х /(х)>0. Итак, li/@
х-*- + со
7, Предел функции -^—- при х—+0
Часто приходится иметь дело с пределом функции
- при
x—>(). Как мы увидим, он равен 1. Предварительно докажем, что
lim sinx = 0, a lim cosjt=l.
Пусть 0 < х < -у. Рассмотрим окружность единичного радиуса
(рис. 111). Дуга АС численно равна центральному углу х, выра-
выраженному в радианах, а отрезок АВ численно равен sinx. Так ка:с
0< АВ< АС (рис. 111), то
0<sinA:<x. A3)
Из неравенств A3) следует, что при х—+0 и sinx—+0. Итак,
A4)
lim sinjt = O*.
АГ-ч.0
Докажем теперь, что lim cos x = 1. Замечая, что cos х = 1—2 sin2 4 ,
получим
lim cos jt = lim A — 2 sin2~) = 1 — 2 lim sin24 = 1 —2-0 - 1.
х —
180
* ]Можно доказать, что формула A4) справедлива и в том случае, когда
> 0, оставаясь отрицательным.

Теперь перейдем к рассмотрению предела функции . при
х-+0. Так как предел знаменателя дроби равен нулю, то теорема
о пределе дроби здесь не применима*.
Для разыскания предела функции 5!И?. рассмотрим рис. 111.
Из рисунка непосредственно видно:
пл. АОЛб<пл. сектора О АС < пл. AODC; A5)
а^ло ОВ-ВА cos х• sinх ^ Л/^
пл. ДОЛВ =—?— = ? ;пл. сектора ОАС =
_ * П2У- * la г___ *.пп АППГ-0СС][) __btgx_tg*
Поставим найденные выражения для площадей в неравенства A5):
cosx-sinx . я
2 ^2
Неравенства A6) справедливы для всех значений х, заключен-
заключенных между нулем и у. Разделив все члены этих неравенств на
I
-H-sinx, получим
cos х < -Д- < —— ,
^ sin х cos х 9
или
1 . sin х
COS*
cos л:. A7)
Неравенства A7) были выведены в предположении, что х > 0. Но
^ л sin (—х) sin л: . ч
они верны и при л; < 0, так как —-*-—- = , cos(—x) = cosx,
1 __ l
cos (— х) ~~~cosx
1
Выше мы видели, что limcosx=l. Применив к частному
х->0
COSX
теорему о пределе дроби, получим lim --!- = —i_ =1= 1.
Обе крайние функции cos x и со неравенств A7) при х-
имеют одинаковый предел, равный единице. Но тогда функция ^^ ,
* Так как при х—»0 числитель дроби также стремится к нулю, то
X
мы здесь имеем дело с неопределенностью -^-,
181

заключенная между функциями cosa: и
п. 6, имеет тот же предел при х—+0:
, согласно теореме 6,
A8)
С помощью этого предела находятся многие другие пределы.
Приведем примеры.
Пример 1. Найти lim ^.
о х
*- о
Решение. Числитель и знаменатель дроби прия—^О одновре-
одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприме-
неприменима. Для нахождения предела преобразуем нашу дробь:
lim
x^Q x
= li
J x
lim
Пример 2, Найти lim
Решение. lim
x-*- 0
Ц
cosx
~c°s*
x J
= lim
x ~+ 0
5
*
=lim
x-+Q
X
sin y
x_
"
5. Последовательность. Число е
Рассмотрим функцию, областью определения которой является
множество натуральных чисел: y = f(n). Такая функция называется
функцией натурального аргумента или последовательностью. Зна-
Значения этой функции называются членами последовательности.
Члены последовательности обычно располагаются в порядке
возрастания аргумента:
У, =/B), #з=
называется первым членом последовательности, y2 = f B) —
вторым членом, ..., yn = f(n) называется n-м или общим членом
последовательности. Последовательность кратко обозначают {уп).
Пример 1. Пусть {#„[ = {л!}. Выпишем несколько первых чле-
членов последовательности:
= 1.2.3.4-24, .
Пример 2. Пусть {^B} = |^i|- Тогда
i/i = y=1» У2==22 = -4-» ;
З3
182

Пример 3. Пусть {уп } = {(— 1)" }¦ Тогда
Введем теперь понятие предела последовательности.
Определение. Число b называется пределом последовательно-
последовательности ylf у2, ..., yn = f(n), ..., если, каково бы ни было г > О,
найдется такое натуральное число N, что для всех членов последо-
последовательности, номер которых ri^N, выполняется неравенство \уп—Ь\ < 8
(или \f(n)—Ь\<г).
Если число b—предел последовательности, то это записывается
так: lim/(tt)=6 или \\туп=^Ь.
Л->оо П-+сс
Определение предела последовательности аналогично определе-
определению предела функции при х—*+оо. Для функции условие
\f(x)—fc|<e выполнялось для всех действительных значений
x>N, а для последовательности неравенство |/(гс)—6|<е выпол»
гяется для всех натуральных чисел n^N.
6+е
в
6-е
II
О 7 2 3 к 5 6 7 S № Ю 11 12 13 П
Рис. 112
Неравенство \уп—
<е равносильно неравенствам
b—г <уп<Ь + г.
Поэтому, изображая члены последовательности точками плоскости
Оху с координатами х — п, y = f(n), приходим к следующему гео-
геометрическому смыслу предела последовательности: если последова-
последовательность имеет пределом число Ь, то каково бы ни было е > О,
найдется такое натуральное число N, что все точки, изображающие
члены последовательности с номерами n^N попадут в полосу,
ограниченную прямыми #=&—е, у = Ь-\-г (рис. 112).
Все теоремы о пределах функций, доказанные в этом параграфе,
остаются справедливыми и для последовательностей.
Рассмотрим пример.
Пример 4. Найти предел последовательности {уп} = < "^2*
г
183

Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стре-
стремятся к +°°« Для отыскания предела преобразуем ynt выразив
числитель по формуле суммы арифметической прогрессии:
Итак,
п(я+1)
нга 1+2+;--+"= lim —?- = |mi
/i-^oo n -* со а-+
Пример 5. Рассмотрим последовательность {*/„} = {(— 1)"}. Члены
последовательности попеременно принимают значения 1 и —1. Зта
последовательность, очевидно, не имеет предела.
Пример 6. Рассмотрим последовательность {уп\ = \qn\, где q > 0.
Покажем, что
!0, если q < 1;
1, если (/ = 1;
оо,если # > 1.
Решение. Если <7 = 1> то ^„=1 при любом п. Ясно, что в этом
случае lim уп = 1\т 1 = 1.
« ->• со п -+ <ю
Пусть теперь </>1. Тогда {/ = 1+а, где а>0. По формуле
бинома Ньютона*
Так как а> 0, то все слагаемые в последней сумме положительны.
Отбрасывая все слагаемые, кроме первых двух, получим 1 -f па < qn.
Отсюда заключаем, что так как при я—*оо \-\-na неограниченно
растет, то qn также неограниченно растет, т. е. lim qn — oo.
Наконец, пусть </<1. Тогда ? = -, где г>1. На основании
выше изложенного гп—>оо, поэтому qn = —-^ стремится к нулю:
lim qn = 0.
* Формула бинома Ньютона имеет вид
, м(/г-^-1)(п-2)...2.1.п
¦*¦ i-2-З.../г
п(/г— 1)(/г—2)...
или, так как —i—х о\
... +6».
В частности, при /г = 2 и я = 3 получим известные формулы.
(а + bf = а2 + 2а6 + б2, (а + бK = а3
184

Последовательность^,^, ...,</„, ..., называется возрастаю-
возрастающей, если с увеличением п ее члены увеличиваются, т. е.
Ух < Уг < Уз < •. • < Уп < Упл-х < ...
Если с увеличением п члены последовательности убывают, т. е.
Ух > У* > У, > •.. > уп > уп+1 > ...,
то последовательность называется убывающей.
Последовательность примера 1 возрастающая, а примера 2 —убы-
—убывающая. Последовательность примера 3 не является ни возрастаю-
возрастающей, ни убывающей.
Последовательность у19 у2, ..., Ую ... называется ограниченной,
если существует такое число С, что для всех натуральных чисел п
выполняется неравенство
| уп | < С. Последователь- Уi
кость примера 1 не являет-
является ограниченной. ?
Рассмотрим возрастаю- »
щую последовательность
Z 3 U 5 6 7 8 9 10 11 1Z
Рис. 113
Если эта последователь-
последовательность не является ограни-
ограниченной, то ее члены будут
неограниченно возрастать .
и, следовательно, такая
последовательность не
имеет предела. Если же
возрастающая последовательность ограничена, то ее члены, возра-
возрастая и не превосходя числа С, должны, очевидно, неограниченно
приближаться к некоторому числу Ь<С (рис. 113). Не доказывая
этого факта, ограничимся его точной формулировкой.
Теорема (достаточный признак существования предела последова-
последовательности). Всякая возрастающая ограниченная последовательность
имеет предел *.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим
последовательность, общий член которой yn^(\+LY9 Покажем,
что эта последовательность возрастает и ограничена.
По формуле бинома Ньютона имеем, полагая а==1,
сноску на стр. 184):
+ ±)"-1+A.1+'-4|=3.-!--'^.')«-«
= i- (см.
п
1-2-3 ... п
пп '
* Аналогичная теорема имеет место для убывающей ограниченной последова-
тельности.
185

Замечая, что
п(п — 1) _ 1 _ J_ п(п — \)(п — 2) __ п — \ /г —2
п2 ~ п ' л3 "
п п
Л 1\Л 2\ /i
л — 1 п — 2 л—3 [я — (/г — 1)J
получим
12 3
С увеличением п дроби ~, —, —, ,*, уменьшаются, а разности
12 3
1 9 \ 9 1 9 # # # увеличиваются. Поэтому с увеличением п
3-й, 4-й и т. д. члены разложения увеличиваются. Кроме того,
с увеличением п добавляются новые положительные слагаемые. По-
Поэтому с увеличением п ул = П + —Г возрастает. Итак, последо-
последовательность {уп} == < f I +~)Wf — возрастающая. Покажем, что ока ог-
ограничена.
Если в разложении для уп у каждого слагаемого отбросить
1 2
в скобках дроби —, —, ... , то каждое слагаемое увеличится, и мы
получим сумму, большую первоначальной:
Но
Поэтому
2» * " " "' 2-3-4. ..л ^ 2-2-2.. .2~
п—\ множитель
Сумму 1+•«>¦ +2"+ • • • + 21 на^дем по Ф°РмУле суммы членов
геометрической прогрессии:
2«гт~~ 1 \ —2"У
1""Т
Поэтому уп = A + )П< 1+2=3. Итак, данная последовательность
ограничена,
186

Следовательно, на основании признака существования
предела возрастающей ограниченной последовательности заклю-
заключаем, что последовательность -|j/n = (l^—J I имеет предел. Зтот
предел играет большую роль в математике. Его называют числом е.
Итак,
lim (l+lYW A9)
Число е иррационально. Его приближенное значение с точностью
до 10~в: е «2,718282.
Рассмотрим функцию у — A Н— ] . Можно доказать, что эта
функция при непрерывном изменении х и стремлении его к + оо
также имеет пределом число е:
lim (l+±)*=e. A9')
Доказательства этого факта мы не приводим.
С помощью формулы A9') вычисляются многие пределы.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Показать, что lim (И—) =е.
Решение. Сделаем, как говорят, замену переменной, положив
x = — (t + l). Тогда, очевидно, чтоприлг-—*—оо /—>- + оо. Поэтому
lim 1+-Г = bm 1+—тгтгп = llm FX)
Итак,
lim
X -*-ос
Так как функция f 1+—j имеет один и тот же предел как при
>- + oot так и при х—>—оо, то часто пишут просто
Пример 2. Найти предел функции у = A~\-а)а при а—^0.
Решение. Для разыскания предела сделаем замену перемен-
переменной, положив —=х. Тогда при а—>0 х—-^оо. Поэтому
«87

* Пример 3. Найти Нщ A +-
Решение. Положим х = 2/. При х —> оо и /~-+оо. Следова-
Следовательно,
В заключение отметим, что часто приходится рассматривать по-
показательную функцию с основанием е: у — ех.
9. Натуральные логарифмы
В математике существенную роль играют логарифмы при осно-
основании е. Логарифм при основании е называется натуральным ло-
логарифмом и обозначается \пх:
Найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами.
Пусть у—\пх. Тогда, на основании определения логарифма,
имеем х = еУ. Прологарифмировав обе части последнего равенства по
основанию 10, получим:
\gx=y\ge или \gx=
Так как lge« lg 2,7182 «0,4343, то
\gxtt 0,4343 In x. B0)
Из этой формулы следует, что 1пл:^0 4343 lgx, или
2,3026 lgх. B1)
Формулы B0) и B1) дают связь между натуральными и деся-
десятичными логарифмами.
Пример. Найти In 32,94.
Решение. Так как lg 32,94 ж 1,5177, то, применяя формулу
B1), имеем
In 32,94 « 2,3026-1,5177 « 3,4947.
10. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть функции ф(х) и ty(x) являются бесконечно малыми при
х—>+оо. Рассмотрим предел отношения этих функций при
х—>-j-00 и введем следующие определения.
Определение 1. Функции ср(х) и я|)(я) называются бесконечно
малыми одного и того же порядка малости при х—*+<х>, если
lim 77^ существует и не равен нулю.
х -+ + оо Y W
188

Определение 2. Функция ф(х) называется бесконечно малой
более высокого порядка малости, чем функция ty(x) при х —> + сю,
если
Определение 3. Функция ц>(х) называется бесконечно малой
более низкого порядка малости, чем ф(х), при л:—++оо, если
х-,
Определение 4. Функции ф(дс) а гр(л:) называются несравни-
несравнимыми бесконечно малыми при х—> Ч-оо, если lim yifJ we существу-
em а не ршея сю*.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Функция у=х2 является бесконечно малой при*—>0
более высокого порядка малости, чем функция у ^5х, так как
lim г-=-г-lim х = 0. При приближении х к нулю функция у = хг
стремится к нулю быстрее, чем функция у^-Ъх.
Пример 2. Функции у — хг—4 и у = х2—5л; +6 являются беско-
бесконечно малыми одного порядка малости при л;—>2, так как
COS Jt 1
Пример 3. Функции у(х) = и ty(x) = — являются несравни-
несравнимыми бесконечно малыми при х—^ + °°» так как при х—>-foo не
существует предела их отношения (^^ =
Введем теперь понятие эквивалентных бесконечно малых функций.
Определение. Лее функции ср(л;) и i|)(x), бесконечно малые
при х-+ + оо9 называются эквивалентными (или равносильными),
если предел их отношения при х-> + оо равен единице*.
Из определения следует, что эквивалентные бесконечно малые
функции имеют одинаковый порядок малости.
Например, функции ху sin x, tgjc являются попарно эквива-
эквивалентными бесконечно малыми функциями при л: —»- 0, так как
Нщ5!Н = 1, lim ^ = 1 (см. п. 7).
Пусть ф(л:) и 1[)(л;)—эквивалентные бесконечно малые функции
при x-+xQ: lim yri3^- Тогда для значений х, близких к х0,
х -> х0
имеет место приближенное равенство tti« ^» или <р(х)« *!>(*), точ-
Y \Х)
ность которого возрастает с приближением х к х0.
* Аналогичные определения вводятся при х—> — оо, при х—>х0 справа и
слева, а также при х —> х0.
189

Так как sinx и х—эквивалентные бесконечно малые при х —>-0,
то для х, близких к нулю, sin х «х. Этим обстоятельством широко
пользуются, заменяя при малых х sinx аргументом х.
Так, например, при х^0,1 радиана sinx = sin0,1 ^0,0998.
Если ф(х) и ty(x)—эквивалентные бесконечно малые функции,
то это обозначают так: ф (х) ~ if» (х).
Докажем следующую теорему об эквивалентных бесконечно
малых функциях.
Теорема 1. Пусть ф (х) ~ <рх (х) и if» (х) — \рг (х) при х —> + оо.
Если существует lim 7-7^7, то существует и lim ^44»
jt +
предела равны между собой*.
Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел
отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения
эквивалентных им функций.
Доказательство. Имеем
lim 2М =» lim
= цш ФМ iim 2l?L цш 4iif9 = i. Hm 2l^-1= lim
Доказанная теорема позволяет во многих случаях упрощать
отыскание предела.
Пример 4. Найти lim
о
Решение. Так как sin5x^5x, tg3x~3x при х—>0, то
ii™ sin5x 12_ 5а: 5
В заключение этого параграфа приведем признак эквивалент-
эквивалентности двух бесконечно малых функций.
Теорема 2. Бесконечно малые функции ф (х) и if> (x) эквивалентны
тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая
функция более высокого порядка малости, чем ф(х) и ty(x).
Доказательство. Пусть ф(х) и $>(х) — бесконечно малые
функции, например, при х—>+ оо; обозначим их разность через Р (х).
1. Покажем, что, если <p(Jt)~i|>(jt), то р (л:) — бесконечно малая
функция более высокого порядка малости, чем <р(х) и г|?(х), т. е.
что lim ^ = 0 и lim |^ = 0.
В самом деле,
lim
* См. сноску на стр. 189#
190

Аналогично доказывается, что
Urn
2. Пусть обратно, |5(л;)—бесконечно малая функция более вы-
высокого порядка малости, чем ср (х) и г|) (*)• Докажем, что <р (х) ~ г|) (л:),
т. е. что Ига ?-& = 1.
Действительно, так как р (х) = ф (х)—ф (л:), то ф (х) = р (л:) + г|) (х).
Следовательно,
ft / \
так как lim ^~~ по условию равен нулю.
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций
различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство. Рассмотрим для определенности сумму
трех бесконечно малых функций при х —> + °°- F (х) = f (х) + ф (х) +
+ g(x). Пусть, например, f(x)—бесконечно малая функция низшего
порядка малости, чем остальные слагаемые. Это значит, что
lim
Тогда
+ lim fg-1+0+0-1.
Следовательно, сумма f(x) + y{x)+g(x)—бесконечно малая функ-
функция, эквивалентная функции f(x).
Пример 5. Найти
lim
Решение. Так как при х-^0 по теореме 3 5а:-f-6л:а ~ 5jc,
a sin х + tg8 x ~ sin a:, to, применяя теорему 1, имеем
lim .5*+f3 =lim-gg—б.
Sin^ + tg3X Sin^
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
/. Непрерывность функции в тонне. Точки разрыва
Представление о непрерывности функции интуитивно связано
у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не преры-
прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x)
мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие
191

значения функции; если независимая переменная х приближается
к точке х0, то значение функции y = f(x) неограниченно прибли-
приближается к значению функции в точке х0 (рис. 114).
Дадим теперь строгое определение непрерывности функции.
Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной
в точке х0, если:
1) функция определена в точке
х0 и в некоторой окрестности, содер-
содержащей эту точку,
2) функция имеет предел при
3) предел функции при х —+х0 ра-
равен значению функции в точке х0:
Hm f(x)=f(x0). B2)
Рис, 114
Если в точке х0 функция непре-
непрерывна, то точка х0 называется точ-
точкой непрерывности данной функ-
функции.
Замечание 1. Формулу B2) можно записать в виде
lim /(*)=/( lim x),
B3)
так как lim x = x0. Формула B3) означает, что при нахождении
предела непрерывной функции можно переходить к пределу под
знаком функции.
Замечание 2. Часто приходится рассматривать непрерыв-
непрерывность функции в точке х0 справа или слева (т. е. одностороннюю
непрерывность). Пусть функция y = f(x) определена в точке а0.
Если lim f(x) = f(xQ), то говорят, что функция y~f(x) непре-
х -*• х0 + О
рывна в точке х0 справа; если lim /М=/(*о), то функция назы-
х -*- дго~0
вается непрерывной в точке х0 слева.
Введем теперь понятие точки разрыва.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции
y^f(x), если она принадлежит области определения функции или
ее границе и не является точкой непрерывности*.
В этом случае говорят, что при х = х0 функция разрывна. Это
может произойти, если в точке х0 функция не определена, или не
существует предел функции при х—* х0, или, наконец, если предел
* Точка х0 называется граничной точкой области определения функции, если
любая окрестность этой точки содержит как точки области определения функции,
так и точки, не принадлежащие области определения. Совокупность всех гранич-
граничных точек называется границей области. Так, например, для функции у— —
У 1 —х2
областью определения является интервал (—1, 1), а ее граница состоит из двух
точек х = — 1 и х~ 1.
192

функции существует, но не равен значению функции в точке х0:
lim f(x)=?f(xQ).
х->х0
Пример 1. Рассмотрим функцию // = 5х3. Докажем, что она не*
прерывна в точке х = 2. Для этого надо показать, что в точке х^2
выполнены все три условия, входящие в определение непрерывной
функции, т. е. что: 1) функция определена в точке #=2 и в неко-
некоторой ее окрестности; 2) существует lim/(x) и 3) этот предел
равен значению функции в точке х = 2. Так как функция /(х)=5х3
определена на всей числовой
сси, то первое условие автома-
автоматически выполняется. Далее,
lim / (х) = lim 5x* = 40. Итак,
х -* 2 х -* 2
второе условие выполнено. За-
Замечая, наконец, что /B) =40,
мы видим, что lira / (х) = / B),
х-+2
т. е. и третье условие, опре-
определяющее непрерывность функ-
функции в точке х = 2, выполнено.
Таким образом, функция у = 5я3
непрерывна в точке л: = 2. Ана-
Аналогично можно показать, что
эта функция непрерывна в лю-
любой точке числовой оси.
Пример 2в Рассмотрим функ-
цию
*—!» если
3—*, если 3<,*<4,
приведенную в примере 2, §1,
п. 3. Эта функция определена
во всех точках сегмента [0, 4] Рис. 115
и ее значение при х — 3 равно 0
(см. график функции на рис. 109). Однако в точке х —3 функция имеет
разрыв, так как она не имеет предела при х—> 3: lim / (jc) = 2,
X-+3-Q
a lim /(x)= 0. Следует заметить, что функция f(x) непрерывна
х -* 3 + 0
во всех точках сегмента [0, 4], за исключением точки # = 3. При
этом в точке л: = 0 она непрерывна справа, а в точке #=4 — не-
непрерывна слева (см. замечание 2 на стр. 192), так как
(x—1) = /@)= —1,
lim / (х) = И
х -* 0 + 0 х -> 0 + 0
lim /(*)= Hm C—x)=f{4) = — 1.
*-*4-0 *-*4-0
Пример 3. Функции у = — и # = — (рис. 115) разрывны в гра-
XX
ничной точке области определения ^=^0* так как они не определены
№ 2242
193

в этой точке. Функции ~ и -^ являются бесконечно большими
функциями при х—>0. Поэтому часто говорят, что в точке
# = 0 функции —- и -j имеют бесконечный разрыв.
X X
Пример 4. Функция y — \ogax (я>1) имеет в граничной точке
области определения х = 0 бесконечный разрыв, так как в этой точке
функция не определена и так как lim loga.\; =—оо (см. рис. 24).
*->о + о
Точки разрыва функции можно разбить на два типа.
Определение. Точка разрыва xQ функции f(x) называется
точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних
предела lim f(x) и lim f(x). Точка разрыва, не являющаяся
х-+хо—0 х-+хо + 0
точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
¦1
Рис. 116
Функция f(x), приведенная в примере 2, имеет в точке л: = 3
разрыв первого рода, так как для нее существуют пределы при
х—*3 справа и слева.
Функции у = — и # = —, рассмотренные в примере 3, в точке
X X
х = 0 имеют разрыв второго рода, так как эти функции при х—*0
не имеют предела ни слева, ни справа.
Пример 5, Функция г/ == sin — определена для всех значений ху
кроме х = 0. В этой точке она имеет разрыв. Точка х — 0 есть
точка разрыва второго рода, так как при х—>• 0 как справа, так
и слева, функция sin~, колеблясь между —1 и +1, не прибли-
приближается ни к какому числовому значению. График ее приведен
на рис. 116.
Пример 6. Функция ^Н1? не определена в точке х = 0. Точка
# = 0 является точкой разрыва первого рода, так как при х—>0
194

существуют пределы справа и слева:
lim SilfL^i, lim
Х
Если доопределить функцию ^-^ в точке х = 0, полагая /@) =
то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
^О; /@) = 1.
Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.
Точка х0 разрыва первого рода, в которой lim f(x) = lim f(x)9
х->хо+0 х-+хо-О
называется точкой устранимого разрыва.
В заключение этого пункта отметим одно свойство функции, не-
непрерывной в точке. Если непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет
в точке х0 положительное (отрицательное) значение, то она остается
положительной (отрицательной) во всех точках некоторой окрестно-
окрестности точки х0.
В самом деле, пусть / (л:0) > 0. Возьмем такое е > 0, что / (х0) —
— е>0. Так как lim f(x)=f(x0) (в силу непрерывности функции
х-> х0
в точке л:0), то на основании определения предела функции при
х-+х0 (см. стр. 167) найдутся такие числа М и N (N < х0 < М),
что для всех точек интервала (N, М) выполняется неравенство
\f(x)—f(xo)\<e или f(xo)~ &<f(x)<f(xo) + &. Но так как
}(хо)—г > 0, то и f(x) > 0 для всех точек интервала (N, М). Итак,
функция / (х) положительна в некоторой окрестности точки xQO
2. Операции над непрерывными функциями.
Непрерывность элементарных функций
Если над непрерывными функциями производить операции сло-
сложения, умножения и деления, то в результате будем получать не-
непрерывные функции. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если функции ц>(х) и я|)(л;) непрерывны в точке х09 то
их сумма и произведение также непрерывны в точке х0. Если, кроме
того, *ф (#о) =7^ 0, то функция ^~| непрерывна в точке х0.
Доказательство. Докажем, например, непрерывность про-
произведения / (х) = ф (х) -ур(х). В точке х0 функция / (х) =* ср (х) • -ф (х)
определена, причем f(xo)=:(p(xQ)''^(xo). Из непрерывности функций
в точке х0 следует: lim ф(#) = ф(#0)> ^1т ф(д:)=>ф(л;0). Применяя
X -> Хо Х->Х0
теорему о пределе произведения, получим:
lim f(x)= lim [ф(л:)-'ф(л:)]= lim ф(.ф lim ^(^)= (fW-fW-
X -> Xq X -> Xq X -*¦ Xq X -> Xо
Итак, lim / (x) = / (x0), что и доказывает непрерывность функции
х-+х0
y(x)'ty(x) в точке х0. Аналогично доказываются остальные утверж-
7* 195

дения теоремы. Теорема обобщается на любое конечное число сла-
слагаемых или сомножителей.
Установим непрерывность некоторых элементарных функций.
Ясно, что постоянная функция у = С непрерывна на всей число-
числовой оси. Легко показать, что функция у = х также непрерывна во
всей области ее определения, т. е. на всей числовой оси. Поэтому
функция у = Сх", где п—целое положительное число, непрерывна
на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций
у = С и у — х:
Схп=^С*х-х.. .х.
п множителей
Многочлен
у = айхп + а1х"-1 + ... + an_lx + aa
— непрерывная функция на всей числовой оси, как сумма непрерыв-
непрерывных функций. Далее, рациональная функция, являющаяся частным от
деления двух многочленов, по теореме 1 непрерывна во всех точках,
кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. Так, например, функция
у==—2_lt непрерывна во всех точках числовой оси, за исключе-
исключением точек х = —1 и х=1. Вообще можно доказать, что все
основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х,
для которых они определены.
В гл. I мы ввели понятие сложной функции. Напомним, что
если аргумент и функции y = f(u) в свою очередь является функ-
функцией некоторой новой переменной х, т. е. и = ц>(х), то такую функ-
функцию мы назвали сложной и обозначили y=f\y(x)] (гл- Ь §4, п. 6).
Имеет место следующая теорема о непрерывности сложной
функции.
Теорема 2. Если функция и == ср (х) непрерывна в точке x9f a
функция y==.f(u) непрерывна в точке ио = ф(л:о), то сложная функ-
функция y=f[y(x)] непрерывна в точке х0.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
установить, что lim / [q>(#)] =/[<p(*0)i- Действительно, в силу не-
X -+ Х0
прерывности функции a = cp(x),
lim ф (х) - ф (*0) = и0,
X ч> Хо
т. е. при х—>х0 также и м—>и0.
Поэтому, вследствие непрерывности функции /(«),
lim f [Ф (х)] = lim f (и) = / (и0) « / fФ (х0)].
X -+• Хо U -*¦ Uo
Приведем краткую формулировку доказанной теоремы,
Сложная функция */ = /[ф (*)], образованная из двух непрерывных
функций f(u) и ф (х), есть непрерывная функция.
Так, например, сложная функция t/=*sin(A:3 + 4x—2) непрерывна
для всех значений а\ так как функции у = sin и и а==я8 + 4#—2
непрерывны. Сложная функция # = 1пA—х*) непрерывна для всех

значений х, удовлетворяющих неравенству 1— Л'2 > 0, т. е. в интер-
интервале (—1, 1).
Как мы знаем (см. гл. I, § 4, п. 6), элементарной функцией
называется такая функция, которую можно задать одним аналити-
аналитическим выражением, составленным из основных элементарных
функций с помощью конечного числа арифметических действий и
конечного числа образования сложных функций. Так как основные
элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они
определены, то из теорем 1 и 2 настоящего пункта следует: всякая
элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих
ее области определения.
Этот важный результат позволяет легко находить пределы эле-
элементарных функций при х—*х0, если функция определена при
x = xQ. Для этого достаточно вычислить значение функции в точке xQ:
lim f(x) = f (llm *W(*0)- B4)
X -* Xo \X
Пример 1. Найти lira
4 я
Решение. Так как функция 51%х непрерывна в точке х=:т-9
я
то lim 5tgx = 5 4 = 51 = 5.
Л
В заключение этого пункта рассмотрим два предела, которые
нам понадобятся в дальнейшем.
Пример 2, Найти lim logfl(j+*>.
Решение. Заметим, что при х—*0 числитель и знаменатель
одновременно стремятся к нулю, так как lim loge(l+*) =
= logc(l + 0)--=0. Поэтому здесь теорема о пределе дроби неприме-
неприменима. Выполним следующее преобразование:
х-+о х х->о L^ J *->o
Так как логарифмическая функция непрерывна, то мы можем
переходить к пределу под знаком функции, т. е.
Hmloge(l+*)T =
O
J
Ho lim(l+^)*=c (cm. § 1, n. 8, пример 2). Поэтому
l
lim log"A + x)^logae. B5)
x->0 x
В частности, при а = е
lim 1пЦ±?)=1. B5')
JC->0 X .
Таким образом, y = \n(l+x) ny~x—эквивалентные бесконечно
малые функции при х—>0.
197

Пример 3. Найти lim ;
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида ^.
Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив
ах— 1=Л Тогда x=\oga(t + l). Замечая, что при х—>0 также и
/•—>О, имеем
t ,. 1
lim
*->о
-= lim
i-+0
lim -
так как на основании примера 2 lim oga', ^ =
В частности, отсюда следует, что
lim ?=i
т. е. при х-~*0 у =
лые функции.
—1 и у =
эквивалентные бесконечно ма-
маЧ
3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
В этом пункте мы дадим некоторые свойства непрерывных функ-
функций; при этом, как правило, ограничимся только формулировками
и некоторыми пояснениями, не проводя доказательств.
Прежде всего введем следующее определение.
Определение. Функция у = /(л:) называется непрерывной на
сегменте [а, Ь], если она непрерывна во всех внутренних точках
этого сегмента, а на концах сег-
сегмента, т. е. в точках а и Ь, не-
непрерывна соответственно справа и
слева *.
Теорема 1. Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [а, Ь], то
она достигает на этом сегменте
своего наибольшего и наименьшего
значений.
Эта теорема утверждает, что на
сегменте [а, Ь] найдется такая
х точка х19 что значение функции
f(x) в этой точке будет наиболь*
шим из всех значений функции
на сегменте: f (x)^:f(x1). Аналогично, на сегменте найдется такая
точка х2, в которой значение функции будет наименьшим из всех
значений функции на сегменте: f(x)^f(x2) (рис. 117).
* Т. е. lim f(x)=*f(a), lim f(x) = f(b) (см. замечание 2 на стр. 192).
x~+a+Q x-+b-0
198

Замечание. Утверждение теоремы, вообще говоря, делается
неверным, если заменить в формулировке теоремы сегмент интерва-
интервалом (а, Ь). Так, например, функция у = 5х, непрерывная на интер-
интервале @, 1), не достигает на этом интервале наибольшего значения.
Она принимает значение сколь угодно близкое к 5, однако на интерва-
интервале @, 1) нет точки, в которой функция равнялась бы 5 (точка х-= 1
не принадлежит интервалу). Эта функция не принимает и наимень-
наименьшего значения на интервале @, 1). Точно так же заключение теоремы
перестает быть, вообще говоря, справедливым, если функция, будучи
определенной на сегменте, терпит разрыв в какой-либо точке сегмента.
Следствие из теоремы 1. Если функция f (x) непрерывна на
сегменте [а, Ь], то она ограничена на этом сегменте.
Доказательство. Обозначим через Мит соответственно
наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на сегменте [а, Ь].
Тогда для любого х, принадлежащего сегменту, имеют место неравен-
неравенства m^.f (х)^М.
Пусть С—наибольшее из чисел |т|, |М|. Тогда |/(х)|^С
А это значит (см. § 1, п. 4), что функция y~f(x) ограничена на
сегменте [а, Ь].
Рис 118
Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри
этого сегмента найдется по крайней мере одна точка, в которой
функция равна нулю.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если
точки графика функции y = f(x), соответствующие концам сегмента
[а, Ь], лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя
бы в одной точке сегмента пересекает ось Ох. Для функции, график
которой представлен на рис. 118, таких точек три: х19 х29 и х3.
Эта теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция
y^f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] и /(а) = Л, f(b) = B. Тогда
199

для любого числа С, заключенного между А и В, найдется внутри
этого сегмента такая точка с, что f (с) = С.
Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции
y=zf(x) (рис. 119). Пусть f(a) = At f(b) = B. Тогда прямая y = Cf
где С — любое число, заключенное между Л и В, пересечет график-
функции по крайней мере в одной точке.
Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного значения
к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.
Замечание. Если функция на сегменте имеет хотя бы одну
точку разрыва, то утверждения теорем 2 и 3 перестают быть вер-
верными. Так, например, функция # = — положительна при #=1 и
отрицательна при х=—1. Однако на сегменте [ — 1, 1] нет точки,
в которой она обращается в нуль. Это объясняется тем, что на сег-
сегменте [ — 1, 1] имеется точка разрыва функции у = —(см. рис. 115).
4. Понятие об обратной функции
Начнем с примера. Рассмотрим функцию у — хъу график которой
представлен на рис. 19. Будем рассматривать равенство у = х* как
уравнение относительно х. Это уравнение для каждого значения
#( — оо<у< +оо) определяет единственное значение х: х=^\/у.
Геометрически это значит, что всякая прямая, параллельная оси Ох,
пересекает график функции у — х*
только в одной точке (см. рис. 19).
Поэтому мы можем рассматривать х
как функцию от у. Функция х= \/у
называется обратной по отношению
к функции у — хъ.
Перейдем теперь к общему слу-
случаю. Рассмотрим непрерывную функ-
функцию y = f(x), заданную на сегменте
или на интервале. Если функция
такова, что всякая прямая, проведен-
Рис J2Q ная параллельно оси Ох, пересекает
ее график только в одной точке
(рис. 120), т. е. что уравнение y = f(x) для каждого у (взятого
из области значений функции y — f(x)) определяет единственное зна-
значение х9 то мы можем сказать, что х есть некоторая функция от у:
х = <р(у), которая называется обратной по отношению к данной
функции y=zf(x) (см. рис. 120). Очевидно, что для функции х = ф {у)
обратной является функция y — f(x). Поэтому обе эти функции
называются взаимно обратными.
Данная функция y = f(x) и ее обратная функция х = ц>(у) выра-
выражают одну и ту же связь между переменными х и у. Но в первом
случае мы рассматриваем х как независимую переменную, а у как
функцию; во втором случае — наоборот: у мы считаем независимой
переменной, а х—функцией. Таким образом, одна и та же линия
200

служит графиком для данной функции y = f(x) и для обратной
функции х = у(у). Однако, если для данной функции ось Ох явля-
является осью независимой переменной, то для обратной функции
х = (р(у) осью независимой переменной является ось Оу.
Заметим, что некоторые функции не имеют обратных. Например,
функция у = х2, если ее рассматривать на всей числовой оси, не
имеет обратной функции, так как каждому значению у > 0 соот-
соответствуют два значения х:х = Уу и х= —-Уу. Если функцию
у = х* рассматривать на интервале 0^х< +°°» то она имеет обрат-
обратную функцию х=Уу, так как каждому значению у соответствует
единственное значение #@ ^л: < + оо), удовлетворяющее уравне-
уравнению и — х2.
У\
х, хг
Возрастающая
ос
\
У выдающая
Рис. 121
Если же функцию у — х2 рассматривать на интервале (—оо<
то мы приходим к другой обратной функции х= —У у. Естественно,
возникает вопрос: какова должна быть функция y = f(x)t чтобы Ьиа
имела обратную функцию, т. е. чтобы ее график пересекался прямой,
параллельной оси Ох, только в одной точке?
Прежде чем ответить на этот вопрос, введем понятие возрастаю-
возрастающей и убывающей функций. Пусть функция y = f(x) определена на
сегменте (или интервале).
Определение. Функция y = f(x) называется возрастающей на
некотором сегменте (или интервале), если большим значениям не-
независимой переменной (из этого сегмента или интервала) соответ-
соответствуют большие значения функции, т. е. если х2 > х19 то f (х2) > f (xx).
Функция y = f(x) называется убывающей на некотором сегменте
(ила интервале), если большим значениям независимой переменной
соответствуют меньшие значения функции, т. е. если х2 > хг, то
На рис. 121 приведены графики возрастающей и убывающей
функций. Например, функция у — х* является возрастающей на всей
числовой оси; функция у = х2 возрастает при 0^х< + оо, убывает
при — оо <л:<0.
Если функция y = f{x)9 заданная на интервале (или сегме^ге),
является только возрастающей или только убывающей на этом
20,1

интервале (или сегменте), то она называется монотонной на интер-
интервале (или сегменте).
На рис. 121 непосредственно видно, что каждая прямая, парал-
параллельная оси Ох, пересекает график монотонной функции в одной
точке, т. е. каждому значению у соответствует единственное значе-
значение х, и, следовательно, функция y = f(x) имеет обратную. Можно
показать, что если функция y = f(x) непрерывна, то и обратная
функция х = ц(у) непрерывна.
Приведем без доказательства теорему существования обратной
функции.
Теорема, Если функция y~f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь]
и возрастает (или убывает) на этом сегменте, то обратная функ-
функция х = у(у)9 которая опреде-
определена на соответствующем сег-
У*
У
/
/
-*«
/
/
/
Рис. 122
Рис. 123
менте оси Оу, существует и является также непрерывной возра-
возрастающей (убывающей) функцией.
Практически, чтобы найти для функции y = f(x), заданной с по-
помощью формулы, обратную ей функцию x = q(y), нужно уравнение
y = f(x) разрешить, если это возможно, относительно л:. Так, напри-
2x4-3
мер, разрешая, относительно х уравнение у = —^-г-, получим функ-
X— О
цию х— у о , обратную данной.
В заключение сделаем одно важное замечание.
Пусть функция х = (р (у) является обратной по отношению к функ-
функции y = f(x). Возвращаясь к обычным обозначениям независимой
переменной через х, а функции через у, мы можем эту обратную
функцию записать в виде у = <р(х). Так^например, обратной функ-
функцией для у = х3 будет функция х=1/у, или, меняя обозначения
переменных, у = '$/х.
202

График обратной функции у = ср (х) симметричен с графиком дан-
данной функции y-=f{x) относительно биссектрисы I и III координат-
координатных углов. В этом легко убедиться, рассматривая рис. 122.
На рис. 123_представлены графики функции у-=х3 и обратной
функции у= \/х.
5. Обратные тригонометрические функции
1. Функция у = arcsin x. Рассмотрим функцию у = sin x. Если рас-
рассматривать эту функцию на всей числовой оси (—oo<jt < + оо),
то она не имеет обратной, так как одному значению у(— 1 <*/< 1)
-2Я
XfySK Sb
Рис. 124
соответствует бесконечное множество значений х: х19 х29 х3,..с На-
Например, если y = -j, то^^ — , х2 = п—^, д:3 = 2л:+у,... (рис. 124).
Если же функцию y = sinx рассматривать только на сегменте
Рис. 125
ТТ' то на нем ФУНКЦИЯ У =¦ s*n x является возрастающей
и, следовательно, имеет обратную функцию, которую принято обо-
обозначать х = arcsin у. Если независимую переменную обозначим через
х, функцию через у, то получим у = arcsin x. График этой функции,
203

изображенной на рис. 125, симметричен относительно прямой у — х
графику функции y=s\nx ( — тр^я^у j.
Функция y = arcsin* определена на сегменте [ —1, 1] и прини-
мает значения, пробегающие сегмент —т
y=arccosx
Рис. 126
2. Функция у = arccos х. Функция у = arccos x определяется как об-
обратная по отношению к функции у = cos x9 если последнюю рассматри-
рассматривать на сегменте [0, я]. На этом сегменте функция у = cosx убывает.
Функция у — arccosх определена на сегменте [ — 1, 1], а ее зна-
значения пробегают сегмент [0, я]. График функции у = arccos*
представлен на рис. 126.
3. Функция у = arctgx.
Функция y = avctgx определяет-
определяется как обратная по отношению
к функции y~tgx, если эту
последнюю рассматривать для
всех значений х, лежащих меж-
между —у и ~. На рис. 127 пред-
представлен график функции у =
^arctgx.
Функция // = arctg# опреде-
Рнс ]27 лена на всей числовой прямой, а
ее значения пробегают интервал
(— Т* Ту'пРи ЗТ0М ^m arc^g-^=—у> ^т arctgtf = у(см' рис.127).
V / х-+ — оо х-*- + со
4. Функция y = arcctgx. Функция y = arcctg;c определяется как
обратная по отношению к функции y = ctgx, если эту последнюю
204

рассматривать нз интервале @, я). График функции у = arcctg x
предстазлен на рис. 127.
Функция #™arcctgx определена на всей числовой прямой, при-
причем lim arcctg x = я, lim arcctg x = О (см. рис. 127).
Х-+— 00 Х-*- + 00
Функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctg x называются обрат-
обратными тригонометрическими функциями. Все они непрерывны в каж-
каждой точке области определения, как обратные функции от непрерыв-
непрерывных функций соответственно y^s'xnx, y = cosxf y = tgx и y = ctgx.
6. Показательная и логарифмическая функции
Как мы знаем (см. гл. I, § 4, п. 5) показательной функцией
называется функция у = а* (основание а считаем положительным
и не равным 1). При любом значении х у — ах>0. Поэтому гра-
график показательной функции расположен выше оси Ох. Если а> 1,
то функция у = ах возрастающая, если а < 1 —убывающая. Гра-
Графики показательных функций изображены на рис. 23. Если осно-
основание а> 1, то, как видно из рис. 23, lim ax = 0f a lim а*= 4-°°-
АГ—> — 00 X —> + 00
Логарифмическая функция y — \ogax является функцией, обрат-
обратной по отношению к показательной функции у--=ах. График лога-
логарифмической функции y — \ogax представлен на рис. 24. Как непо-
непосредственно видно из рисунка, функция y — logax определена для
всех положительных значений х. Кроме того, если а> 1, то
lim logax = —оо, a lim logeA:=+oo.
Если основание а = е, то функция у = 1пх яьляется обратной по
отношению к показательной функции у = ех. Заметим в заключение,
что из определения логарифмической функции, как обратной к по-
показательной, следует, что alog«v=x.
7« Понятие о гиперболических функциях
В математике и ее приложениях рассматриваются гиперболиче-
гиперболические функции, а именно—гиперболический синус shx, гиперболи-
гиперболический косинус z\\x, гиперболический тангенс \\\х и гиперболиче-
гиперболический котангенс cthx. Эти функции определяются следующими фор-
формулами:
- е е • nih у е "' е /9А\
* jc i v- » l^lll Л —~ гг . li.UJ
Ол _!_ О ~~ А ' оЛ ji — X ' > '
где е—основание натуральных логарифмов.
Между гиперболическими функциями существуют следующие ос-
основные зависимости, которые легко проверяются с помощью фор-
формул B6):
eh2*—sh2x=l, thjc = 5|L? cth* = ^. B7)
ch x r sh a: x
ch x
205

У|
Рис. 128
Рис. 129
Графики гиперболических функций приведены на рис. 128, 129.
График функции y--=chx называется цепной линией.

ГЛАВА VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
/. Приращение аргумента и приращение функции
Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргу-
аргумента: исходное х0 и новое л:.
Разность х—х0 называется приращением аргумента х в точке х0
(кратко—приращением аргумента) и обозначается символом Ах
(читается: «дельта икс»).
Аналогично, разность y—yo = f(x)—f(xo) называется прираще-
приращением функции y = f(x) в точке х0 (кратко—приращением функции)
и обозначается символом Ау (чи-
(читается: «дельта игрек») *. Величи-
Величины Ах и Ау показаны на рис. 130.
У
у
Таким образом,
= х—х09
или
A)
C)
Подставляя в формулу B) выраже-
выражение для х из формулы C), получим
АХ
Рис. 130
Ax)—f(xo).
D)
Как правило, в тех случаях, когда вводятся Ад; и Ау, исходное
значение аргумента х0 считается фиксированным, а новое значе-
значение х—переменным. Тогда yo~f(xo) оказывается постоянной,
y = f(x)—переменной. Приращения Ау и Ал: также будут перемен-
переменными. Формула D) показывает, что переменная Ау является функ-
функцией переменной Да:.
Пример 1. Для функции у = х2 в точке х0 найти приращение
функции Ау, соответствующее приращению аргумента Да;.
Решение. По формуле D)
—А =
Ах\
* Дд: нельзя рассматривать как произведение А на х, это—единый символ.
То же самое относится к Ау.
207

Пример 2. Найти приращение Ау функции у~х* при переходе
аргумента из точки хо=--1 в точку лс^=1,1.
Решение. По формуле B)
2. Определение непрерывности функции
с помощью понятии приращения аргумента
и приращения функции
В гл. V (§ 2, п. 1) было дано определение непрерывности функ-
функции, согласно которому функция y — f(x) называется непрерывной
в точке xot если
lim f(x) = f(x0). E)
При этом предполагалось, что функция f (х) определена в точке xQ
и некоторой ее окрестности.
Это определение можно сформулировать, пользуясь понятиями
приращения функции и приращения аргумента. Действительно, фор-
формула E), очевидно, равносильна равенству
lim [/(*)-/(*.)] =0. E')
X -+Х0
Полагая х—хо = Дх и f(x)—f(xQ) = Ay и замечая, что при х—*xQ
Ajc—*0 (и, обратно, при Ал:—»0 х—>л'о), вместо соотношения E')
мы получим следующую формулу, равносильную формуле E):
lim Д# = 0. F)
Иными словами, функция y = f(x) непрерывна в точке xQ тогда
и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента Ах
соответствует бесконечно малое приращение функции Ау.
Замечание. Если в точке х0 функция y=f(x) терпит разрыв,
то при Ах--*0 Ау либо стремится к пределу, отличному от нуля,
либо не имеет предела.
3. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по пря-
мой в одном направлении по закону
G)
где t — время, a s—путь, проходимый точкой за время t. Отметим
некоторый момент времени /0. К этому моменту точка прошла путь
so^=/(/o). Поставим задачу определить скорость vQ материальной
точки в момент t0.
Рассмотрим для этого какой-нибудь другой момент времени
/0 + Д/. Ему соответствует пройденный путь s = f(to-{-At). Тогда за
промежуток времени At=-t —10 точка прошла путь
208

(рис. 131). Средняя скорость движения иср за промежуток вре-
времени А* определяется отношением
_ As_
пройденного пути ко времени. Будем считать начальный момент
Бремени /0 фиксированным, а промежуток времени At — перемен-
переменным. Тогда средняя скорость
vcv будет переменной величи- s
ной, зависящей от At, ? с \ 5^_
Скоростью v0 в данный лю- J ^ J~5 '
мент /0 называется предел сред-
средней скорости vcv при At —^0, т. е. Рис- 131
As
vQ= lim ^, (8)
или
vo-= lira /(/°"J"Af|~/(/f>)> (S)
Таким образом, для того чтобы найти скорость v0 в данный
момент /0, необходимо вычислить
lim /<'¦ + *»-'<'•>. A0)
А/-»-о АГ
Задача о плотности стержня. Рассмотрим еще одну задачу, при
решении которой придется находить такого же рода предел. Пусть
дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной /. Опре-
Определим плотность стержня в любой его точке. Предположим, что
стержень расположен па оси Ох, причем один из его концов сов-
совпадает с началом координат. Тогда каждой точке стержня соответ-
соответствует определенная координата х.
Обозначим через т массу отрезка стержня между точками с ко-
координатами 0 и х. Ясно, что т является функцией х: т = /(х).
Рассмотрим две точки стержня: фиксированную точку х0 и пере-
переменную точку хо + Ах. Отрезок стержня, расположенный между
этими точками, имеет длину Ах и массу Am = / (х0 + Ах) — / (х0).
Отношение -г— называется средней плотностью стержня на отрезке
от точки х0 до точки хо + Ах.
Плотностью б стержня в точке xQ называется предел средней
плотности9 когда длина отрезка Ах стремится к нулю:
8= lim %±= lim fl
9
Рассмотренные задачи, несмотря на их различное физическое со-
содержание, привели нас к нахождению предела одного и того же
вида — пределу отношения приращения функции к приращению
аргумента. К нахождению предела подобного вида приводят много-
многочисленные задачи из различных областей естествознания. Поэтому
целесообразно изучить подробнее указанный предел и показать
способы его нахождения.
209

4. Определение производной и ее механический смысл
Определение. Производной функции y — f(x) в точке х0 на-
называется предел отношения приращения функции Ау в этой точке
к вызвавшему его приращению аргумента Ах при произвольном
стремлении Ах к нулю.
Производная функция y = f(x) в точке х0 обозначается симво-
символом /' (х0).
Итак, по определению,
/'(*„)= Km -g, A2)
Д* -* 0 ах
ИЛИ
/'(*„) = lim /(*о+А*)-/(*,), A3)
Для одной и той же функции y = f(x) производная в различ-
различных точках х может принимать различные значения. Другими
словами, производную можно рассматривать как функцию аргу-
аргумента х. Эта функция называется производной от функции f(x) и
обозначается f (х) (читается: «эф штрих от х»)*.
Таким образом, производная функции f(x) в точке х0 является
значением функции /' (л:) в точке х0.
Наряду с обозначением /' (л:) для производной функции упот-
употребляются и другие обозначения, например: у\ уХУ [/(я)]*.
Пример 1. Найти производную функции у = л:2.
Решение. Находим приращение функции Ау:
Ау = (х+ Ал:J—х2 = 2л;Дл;+ Ал:2.
Пользуясь определением производной и считая х фиксированным,
получим
y'= lim %-= lim 2*Д*+Д*2= lim
Да: -> о ах Дл: -> о АА; Д* -> О
Таким образом, производная функции л:2 равна 2х: (х2)'=2х.
Эта производная определена на всей числовой оси, так как при ее
нахождении значение х было выбрано произвольно.
Пример 2. Найти производную функции у~х2 в точке х = 2.
Решение. Подставляя в общее выражение для производной
данной функции вместо х число 2, получим
Нахождение производной функции называется дифференцирова-
дифференцированием этой функции.
Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п. 3, легко заметить,
что каждый из пределов, которые там были получены, есть произ-
производная.
* Иногда для определенности производную функции y = f(x) мы будем назы-
называть ПрОИЗВОДНОЙ фуНКЦИИ у ПО Х% ИЛИ ПрбЙЗВОДНОЙ фуНКЦИИ / (Х) ПО Хь
210

В первой задаче
t,= lim 4г —
Д/ -> о лг
т. е. скорость v прямолинейного движения материальной точки
в момент времени t есть производная от пути s no времени t.
В этом заключается механический смысл производной.
Во второй задаче
е ,. Am ,
д* -> о ^х
т. е. плотность б в точке х прямолинейного стержня есть произ-
производная от массы т по длине х.
5. Дафференцаруелость функции
Определение 1. Функция y = f(x), имеющая производную
в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке.
Определение 2. Функция y^=f(x) называется дифференци-
дифференцируемой в интервале (а, 6), если она дифференцируема в каждой
точке этого интервала.
Например, функция у = х2 дифференцируема (т. е. имеет произ-
производную) в любой точке х, следовательно, ее можно назвать диффе-
дифференцируемой в бесконечном интервале (—оо, + °°)> т. е. на всей
числовой оси.
Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между
дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, то
она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0
приращение Ах, не равное нулю. Ему соответствует некоторое при-
приращение функции Ау. Рассмотрим очевидное тождество Ау = -т~*Ах.
Переходя к пределу, получим:
lim Ay= lim (^->Ax)= lim ^- lim Ах = /' (х0) - 0 - О,
Дл: -> 0 &х ~> о \^Х J Ах -у о ^Х tax -> о
откуда и следует, согласно п. 2, непрерывность функции y = f(x)
в точке х0.
Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции,
которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию у = |х|.
В точке х = 0 функция f(x) — \x\ непрерывна, так как
1) /@) = 101 = 0; 2) lim/M-limj^HO; 3) lim/(x) = /@) = 0.
ДС-+О X -* 0 х -> О
Покажем, что функция / (х) = | х \ не имеет производной в точке
х = 0. Прежде всего отметим, что в точке х = 0
211

Справа от нуля |л:|=л;. Поэтому
!?i iim *
lim %L= iira lid?^ iim !?i= iim Пш ?=1#
A*-» o + o Ал--* 0 + 0 A'V A*-*0 + 0 Дл;-*0 + 0 Ax-* 0 + 0 *
Слева от нуля |х[ = —х. Поэтому
I- Аи t. |л:| «. —х ,. —Ах 1
hm —==• lira ^—^ lim -7—= hm —7-^=-- —I.
Дк-^О-О^* Дл--»0 —0 ^X A*-* 0-0^* Ax-* 0-0 A/V
Таким образом, отношение д| при Дл:—+0 справа и слева имеет
различные пределы, а это значит, что при Дл:—^0 отношение пре-
предела не имеет, т. е. производная f'(x)=> lim -— в точке х = 0 не
Да;-0 Д*
существует.
Рассмотрим еще один пример. Функция у~\/х непрерывна на
всей числовой оси и, в частности, при х = 0. Покажем, что в точке
х = 0 эта функция не имеет производной. В самом деле, в точке
а: = 0 приращению аргумента Да: соответствует приращение функци»
&у = j/бТД^- У 0 - У Ах.
Следовательно,
Ау уКх l
Да: "" Ах ~ Y'Kx^ #
Переходя к пределу, получим
lim —= lim = + °°*
Ад: -> о Ах Ах -* 0 ?/ Дл:
Это значит, что функция у=Ух в точке х = 0 не имеет производ-
производй
ной.
?. Геометрический смысл производной
В этом пункте мы выясним геометрический смысл производной,
который окажется очень полезным при усвоении многих понятий
математического анализа и при ре-
решении некоторых геометрических
задач.
С этой целью введем определение
касательной к кривой в данной точке.
Пусть на плоской кривой С за-
задана точка Мо. Рассмотрим другую
точку М этой кривой и проведем
секущую М0М (рис. 132). Если точ-
Рис. 132 ка М начинает перемещаться по
кривой С, а точка Мо остается не-
неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что
существует прямая L, проходящая через точку Л10, которая обла-
обладает следующим свойством: если точка М при перемещении ее по
кривой С неограниченно приближается к точке Мо (с любой ее
212

стороны), то угол между прямой L и секущей М9М стремится к
кулю. Тогда эта прямая L называется касательной к кривой С
в точке Мо.
Кратко говоря, касательная есть прямая, занимающая предельное
положение секущей.
Замечание. Аналогично определяется касательная и к про-
пространственной кривой.
Рассмотрим теперь график непрерывной функции y = f(x)y имею-
имеющей в точке Мо с абсциссой х0 иевертикальную касательную (рис. 133).
J
0
и
]
г"
>•¦—
Рис. 133
Найдем ее угловой коэффициент fe = tga, где а—угол касательной
с осью Ох. Для этого проведем через точку Л10 и точку М графика
с абсциссой х0 + Ах секущую. Ее угловой коэффициент
- . о At/
fz z= to; p = -~-
где Р —угол секущей с осью Ох (рис. 133). При Ах—^0 в силу не-
непрерывности функции Ау также стремится к нулю, и поэтому точ-
точка М, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к
точке Мо. При этом секущая неограниченно приближается к каса-
касательной, т.е. Нт{3=:аи, следовательно, limtgP = tga. Поэтому
угловой коэффициент касательной
АЖ-+0
fe^tga-lim tgp=lim ^f =/'(*<>)•
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции
в точке х0:
Замечание. Мы показали, что если график непрерывной функ-
функции у = /(х) имеет невертикальную касательную в точке с абсциссой
х0, то в этой точке существует производная /' (хо)? равная угловому
213

коэффициенту касательной feKac. Можно показать, что и обратно,
если в точке х0 функция имеет производную, то ее график в точке
с абсциссой х0 имеет невертикальную касательную.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у = х2 в точке МоB; 4).
Решение. Мы уже видели (см. п. 4, пример 2), что
(*3)'U=2 = 2*U2 = 4.
Остается лишь заметить, что угловой коэффициент касательной
к графику функции в точке УИ0B; 4)
равен значению производной этой функ-
функции в точке х = 2, т. е. fe = 4.
В конце п. 5 было установлено,
что функции у — | х | и у = I/ х не имеют
производных в точке х = 0. Для графи-
графика функции у = \х\ это связано с тем,
что он в точке О@; 0) не имеет ка-
касательной (рис. 134). График функции
у = Ух в начале координат имеет ка-
касательную (ось Оу), но она перпен-
перпендикулярна оси абсцисс, и ее угловой коэффициент fe=tga не имеет
конечного значения.
7. Производные некоторых основных элементарных функций
В этом пункте мы найдем производные следующих основных эле-
элементарных функций: постоянной (константы) у = С, степенной функ-
функции у = хп с натуральным показателем п, показательной функции
у~ах> логарифмической функции y = logax и тригонометрических
функций y=sinx и y = cosx.
Производные остальных основных элементарных функций будут
найдены в последующих пунктах.
1. Производная постоянной у —С. Так как функция у~С со-
сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно
выбранной точке х любому приращению аргумента Ах соответствует
приращение функции Ау, равное нулю. Поэтому
Рис. 134
(СУ=
^= lim ? =
Итак,
(С)'-0. A5)
2. Производная степенной функции у = хп с натуральным пока-
показателем п. Пусть х—произвольно выбранная точка, Ах—прираще-
Ах—приращение аргумента в этой точке и Ау—соответствующее приращение
данной функции. Тогда по формуле бинома Ньютона*
См. сноску на стр. 184.
214

или
Следовательно,
lim ^= lim
Д*-*0АА:
= lim
A*->0
Таким образом,
(хпУ ^пх"-1. A6)
3. Производная показательной функции у —а*. Давая прираще-
приращение Ах произвольно выбранному значению аргумента х% получим
следующее приращение показательной функции:
— ах = ах (аАх— 1).
Следовательно,
(«*)'= lim Й- Иш aX(aZ~l)=aX- lim •?
так как lim flA~~ =lna (см. гл. V, § 2, п. 2> пример 3).
д*-о A*
Таким образом,
(a*)'= a*. In a. A7)
В частности, при а = е получим
(e*)' = e*f A8)
так как 1пе= 1.
4. Производная логарифмической функции y=\ogax. Возьмем
любое значение х из области определения логарифмической функции
и дадим ему приращение А*. Тогда приращение функции
Поэтому
(loge*)'= lim ^= lim '°ga \*T
Для того чтобы найти этот предел, сделаем следующее преобра-
преобразование:
¦«.(¦+?) ,
А
Ад; а; Ах
а:
Принимая во внимание, что величина х постоянна и что при Ах—>0
215

также и — -—>О, по формуле B5) гл. V, § 2 получим
Дл:
log* ( Ц 1 . log« [ i-f
lim ^= lim
а; Да:
л:
1
= -L. lim \ Л/ =-logflg.
Дх->0
Дл: л;
л:
Итак,
(\ogax)' = —loga?, A9)
или
(log,,*) ^ТПГа1 ' ^
так как
В частности, при а—в получим
B0)
так как logee=3lne = l.
5. Производные функций y = sin.\: и y = cosx. Пусть Ах — при-
приращение произвольно выбранного значения аргумента х функции
y = sinx. Тогда приращение этой функции
&у = sin (л: + &х) — sin д: = 2 sin ~ • cos (х + -^ j.
Следовательно,
. Дл:
sin — . д \
= lim Ду • lim cos (^+-^J ^cosx,
_
так как по формуле A8) гл. V, § 1, п. 7
lim = 1, a lim cos f x +-тг) =cosx.
Таким образом,
(sin л:)' =cosx. B1)
Аналогично выводится формула для производной функции
у =-. cos x:
(cos*)' = — sin*. B2)
Рекомендуем читателю вывести формулу B2) самостоятельно.
216

8. Основные правила дифференцирования
Установим правила, по которым можно было бы находить про-
производные суммы, произведения и частного функций, зная производ-
производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.
Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах.
Теорема !. Если функции и = и(х) и v~v(x) дифференцируемы
в данной точке х% то в той же точке дифференцируема и их сумма,
причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:
B3)
Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(x) = u (х) + v (x).
Приращению Да: аргумента х соответствуют приращения
Да =¦ и {х +• Дх) — и(х) и Дv = v (x + Ах) — v (x)
функций и и v. Тогда функция у получит приращение
Ну = / (х -Ь Ах) —f (х) - [и (х + Ах) + v (х + Д*)] — [и (х) + v (х)] =>
= [и(х + Ах) — и (а-)] + [v(х + Ax)-v(x)] = Аи + Av.
Следовательно,
Av
, I- Аи 1. Д«-4-Ди 1- Д« , 1-
у' =, lini -г^= lim ———= hm -Г-+ lim
Длг-^О ^х &Х-+0 &х Av->0 ^Х Ьх-0 &Х
Так как по предложению функции и и v дифференцируемы, то
1- Аи , «. Av ,
и, следовательно, {/'=ttfH-i/.
Итак,
(и + и)' - м# + V.
3 амеча ние. Формула B3) легко обобщается на случай любого
конечного числа слагаемых:
(и + с+...+/)' = и'+ t/+...+/'. B4)
Пример 1. Найти производную функции у = х3 + $тх + 1пх.
Решение. Применяя вначале формулу B4), а затем формулы
A6), B1) и B0), получим
у' = (х* + sin х + In x)f = (а-3)' + (sin x)' + (In x)' = Зх1 + cos jc + i-.
Теорема 2. ?&ш функции и —и(х) и v — v(x) дифференцируемы
в данной точке х, то в той же точке дифференцируемо и их про-
произведение. При этом производная произведения находится по сле-
следующей формуле:
()' ' r B5)
Доказательство. Пусть у =f(x) ==u(x)>v(x). Если х полу-
чит приращение Ах, то функции и, v и у будут иметь соответст-
217

венно некоторые приращения Аи, Av и Ду, причем
Ау = (и + Аи) (v + Д*0—"у = у • Д и + и • Av + А и • Av.
Следовательно,
, 1. Аи «. у Ам-|-м Аа4-А« Аи
Дд;->0 \Ах 1 Дл-^О \Дл;
Так как при фиксированном х и = и(х)к v~v(x) постоянны, то их
можно вынести за знак предела. Поэтому
lim (g.oWlim g)-v = u'Tr. Urn (и-g) -« Urn g«
Кроме того,
lim ^.Д^= lim ^. lim Да-О,
так как функция v по условию дифференцируема, а следовательно,
и непрерывна, и поэтому lim Av = 0.
д*-*о
Таким образом,
у' s (wt;)' = w't; + «t;'.
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной:
(си)' =си'. B6)
Действительно, если у = с (с—постоянная), то по формуле B5)
(си)' =(с
В частности, можно выносить за знак производной множитель,
равный —1, что равносильно вынесению за знак производной
знака «—»:
На этом основании можно получить формулу для производной
разности двух функций:
(u—vy = u' — v'. B7)
Пример 2. Найти производную функции у~excosx.
Решение. По формулам B5), A8) и B2) получим
у' = (ех cos х)' = (ехУ • cos x + e* (cos х)' = ех cos х + е*( — sin x) =
= e*(cosx—sinx).
Пример 3. Найти производную многочлена у = х*—Зл:2 + 5л: + 2.
Решение. Применяя последовательно формулы B4), B6), A6)
и A5), получим
у' = (л:3 — Зх* + 5х + 2)' = (х*)' + (—Зх2)' + Eх)' + B)' =
218

Замечание. Формулу B5) можно обобщить на случай любого
конечного числа п сомножителей. Если, например, п = 3, то
(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'. B8)
В самом деле,
(uvw)' =[(uv)w]' = (uv)'w -f- uvw' =¦= u1'vw-\- uv'w 4" uvw'.
Теорема З. Если в данной точке х функции и~и(х) и v=*v(x)
дифференцируемы и v=^Q, то в той же точке дифференцируемо и
их частное u/v, причем
Доказательство. Пусть Ал:—приращение аргумента х, а
Аи и А у—соответствующие приращения функций и и v. Тогда
функция у = ~ будет иметь приращение
y"~v + Av 17""
Следовательно,
Аи Да
Ах
У'^ Ит % = lim J^z^U Jim %,+A**°~^»
или
/ « V w'u—wo'
Мы считали, что lim At; = 0 вследствие предположения о дифферен-
цируемости, а следовательно, и непрерывности функции v.
Пример 4. Найти производную функции t/^tgx.
Решение. Представив данную функцию в виде частного
^ cos я '
получим по формуле B9):
, (sin x)f cos x—sin л: (cos я)' cos x cos x—sin x (— sin x) __
У cos2 л; ~~ cos2 л;
cos2 я + sin2 x 1
cos2a: cos2.**
Таким образом,
При этом условие t;~cosx=^=0 выполняется для любого ху при-
принадлежащего области определения функции tgx.
Аналогично выводится формула для производной функции
Рекомендуем читателю вывести ее самостоятельно.
219

9. Производная обратной функции
Пусть функция х — ф(#) монотонна в некотором интервале и
имеет в точке у этого интервала производную <p'(t/), не равную
нулю. Покажем, что в соответствующей точке х обратная функция
y = f(x) имеет производную /' (х), причем
Так как по условию функция х = у(у) монотонна и дифферен-
дифференцируема (а следовательно, и непрерывна), то по теореме о сущест-
существовании обратной функций (см. гл. V, § 2, п. 4) функция y = f(x)
существует, монотонна и непрерывна. Дадим аргументу х прира-
приращение АхфО. Тогда функция y=f(x) получит приращение Д#,
которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля. Кроме
того, вследствие непрерывности функции y = f{x) при Д#—+0 &у
также будет стремиться к нулю. Следовательно,
/'(х)-= lim ??= lim ЛМ = ^-ттт = тгт-г-,.
^ ) lim
А
) Ay
Формулу C2) можно записать в следующем виде:
Й = Л. C2')
10. Производные обратных тригонометрических функций
Найдем производную функции i/ = arcsin я. Рассмотрим обратную
функцию х = sin у. Эта функция в интервале —^- < у < -у моно-
монотонна. Ее производная х' =cosy не обращается в этом интервале
в нуль.
Следовательно, по формуле C2') получим
I 1
Ух = -т- =
Но
cos у = ]А — sin2 у = |/Т— х2*.
Следовательно, у' = - , т. е.
(arcsin х)' - -т^= . C3)
у 1 — jc3
* Знак «плюс» перед корнем Еыбран потому, что в интервале — -^ < у <у
cos у положителен.
220

Аналогично найдем производную функции y = arclg#. Эта функ-
функция по определению должна удовлетворять условию —~ < у < ~ •
При этом обратная функция x^tgy монотонна.
По формуле C0) получим
Следовательно, согласно формуле C2')
ys = cos2 у.
Но
1
Поэтому
или
^j^. C4)
Приводим формулы для производных функций у — arccosx и
(arccos х)' = ; C5)
1 C6)
Рекомендуем читателю вывести эти формулы самостоятельно.
//. Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и и — (((х). Тогда у есть сложная функция х:
y = f[if(x)]9 а переменная и—промежуточный аргумент (см. гл. I,
§ 4, п. 6).
Как найти производную сложной функции у'х, зная производную
у по и у и и производную промежуточного аргумента и? Ответ на
этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Если функция и = ср (х) имеет производную ик в точке х,
а функция y = f(u) имеет производную уи в соответствующей точке и,
то сложная функция y — f [<p(x)] в данной точке х имеет производ-
производную у'ХУ которая находится по следующей формуле:
Ух^Уи'и'х- C7)
Часто пользуются менее точной, но более короткой формули-
формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведе-
произведению производной данной функции по промежуточному аргументу
на производную промежуточного аргумента.
Доказательство. Дадим х приращение Дя. Тогда и и у
получат соответственно приращения Дм и Д#.
221

Предположим, что при Ая->0 Аи не принимает значений, рав-
равных нулю. Тогда имеет место тождество
Ay Ау Аи
Ах Аи Ах
Переходя в нем к пределу при Ах—^0, получим
*L.bL\ ,im Д».. ц Ав_
(
Ах - 0 А* Ах -> 0 V А" Л* J Ах - 0 Д" Д* -> 0 Д*
Так как функция ы = ф(х) дифференцируема, а следовательно, и
непрерывна, то при Ал;—>-0 также и Ди—>-0. Поэтому
lim 4*-= Mm 4L-
А* -* 0 Д" Аи-,0 Аи
Следовательно,
Ajc -> 0 Ах Аи - 0 Аи Ах^О Ах
Но Iim "Й"^^ Иш "Е"^^ Iim Й=У«- Поэтому
Ах - 0 А* Да; -> 0 АХ Аи-+0Аи
что и требовалось доказать.
Можно показать, что формула C7) оказывается верной и в слу-
случае, когда при Дл:—^0 Аи принимает значения, равные нулю.
Пример. Найти производную функции y = sin;r3.
Решение. Данная функция—сложная. Введя обозначение
и — л:3, получим у = sin и.
По формуле C7) найдем
у*х = (sin и)'и • (х% = cos и • Зл;%
или, поскольку а=#3,
i/; = cos x3 • Зх2 = Зх2 cos xz.
Сложная функция может быть составлена не из двух звеньев,
как это было в только что рассмотренном примере, а из большего
их числа. Такой, например, является функция f/=^lnarc?gA;2, состо-
состоящая из трех звеньев. Здесь, для того чтобы найти у по данному
значению х, надо совершить три действия: 1) возвести х в квадрат;
2) найти значение арктангенса от хг\ 3) взять натуральный логарифм
от найденного значения arctgx2.
В таких случаях необходимо ясно представить себе, какое из
действий, приводящих к значению сложной функции, является
последним. При дифференцировании сложной функции та величина,
над которой совершается последнее действие, принимается за про-
промежуточный аргумент и.
Для функции y = lnarctg#2 последним действием является взя-
взятие натурального логарифма. Это действие совершается над функцией
arctgx2. Поэтому полагаем промежуточный аргумент a = arctg#2.
222

Тогда yz=]nu. Найдем производную #' по формуле C7):
у' = (In и)'и • (arctg х% = 1 (arctg х% = ^^-2. (arctg х2);.
Дифференцирование не закончено, так как не найдена производная
функции arctg*2. Эта функция также сложная, и последним дей-
действием для нее является нахождение арктангенса от х2. Поэтому,
применяя повторно формулу C7) и полагая в ней уже и=х2, получим
(arctg х% = (arctg и)'и. (х% - т^-г . 2х - ^^ . 2х =
Окончательно будем иметь:
«__! =
* arctg*2 1+д:4 A +*4)- arctg л:2 *
При достаточном навыке буква и для обозначения промежуточ-
промежуточного аргумента не вводится. Вот как, например, могут быть найдены
производные только что рассмотренных сложных функций:
(sin х*)' = cos xs • (хзу = cos х3 - Зх2 = Ъхг cos x*.
Аналогично
(In arctg *)' -jj^ (arctg *y -
2л:
12. Производные гиперболических функций
В гл. V, § 2, п. 7 были введены гиперболические функции.
Найдем их производные. Так как shx = g ~e—, то
Здесь при дифференцировании е~* мы воспользовались формулой
дифференцирования сложной функции: (е**)' =е~х (—л:)' = —е~*.
Итак,
C8)
Аналогично находится производная гиперболического косинуса:
(chx)'=shx. C9)
Производную гиперболического тангенса находим как производ-
производную частного:
/ЧЬ V ( eh* V ch#(shA:)' — sh#(chA:)' ch^-chA:—sh^-shA: ch2 x—sh2A:
{ШХ) ^[Ш) ^ ^ e !
Но так как ch2x—sh2A:=l, то
D0)
223

Аналогично находится производная гиперболического котангенса:
--^. D1)
13. Производная степенной функции
с любым показателем
В п. 7 была выведена формула производной степенной функции
у = хп при натуральном п. Найдем производную степенной функции
у = хп с любым действительным показателем п. Считая х положи-
положительным, воспользуемся тождеством хп^еп 1п х *. Тогда у ~еп ln x есть
сложная функция х> и ее производная находится по формуле C7):
и' = (вп ^п ХУ = 6п *п л • (/tin „t)' рп\п х т _
х
Так как б" 1п* = *", то
, п п га-1
Результат получился такой же, как и при натуральном показа-
показателе:
Можно показать, что если при х < 0 функция у = хп существует,
то формула A6) также остается справедливой.
14. Сводная таблица формул дифференцирования
Сведем в таблицу выведенные ранее формулы дифференцирования:
sin*' х
. у—х , у —пх , . «/ — arcsinx, у - ^__ j
III'. y~e*\ у'=--е*; XI. у.
"V Т Т it <jrr»r»4rf v i»f
х in a '
IV. у — Ю^аХу IJ — , , All. у-
IV. y^lnx; y = j\ XIII. f/ =
V. // = sin.v; r/' = cosx; XIV. y-
VI. y = cosx;y' -^ — sinjc; XV. #=*tl
VII. jf^tgx; y'-^. XVI. у = (
JL-..
sh--.*
* Справедливость этого тождества легко устанавливается логарифмирсваиим
обеих его частей по основанию ?.
224

16. Неявные функции и их дифференцирование
Рассмотрим уравнение
2»—Л'а~ 1=-0. D2)
В нем каждому значению л* соответствует такое единственное зна-
значение у, что если эти значения х и у подставить в уравнение D2),
оно превратится в тождество. Например, значению х — 0 соответ-
соответствует значение //-~0, так как при подстановке этих значений jc иу
в уравнение D2) мы получим тождество 2°—О2—1=0. Аналогично,
значению # = 1 соответствует значение у = 1; значению х = 2— зна-
чеиие f/ = log25 и т. д. Иными словами, у здесь является функцией х,
заданной уравнением D2), не разрешенным относительно у. Зта
функция называется неявной.
Рассмотрим уравнение
х*'\-у*~ 1-0. D3)
Здесь каждому значению х из интервала —1 <х < 1 соответствуют
два вполне определенных значения у, которые совместно с х удов-
удовлетворяют уравнению D3). Например, значению х — 0 соот-
соответствуют два значения у: ух = 1 и у2~—1. Если подстгЕить
в уравнение D3) значения х~0 и (/ = 1 (или л: = 0 и */ = —1), то
это уравнение превратится в тождество. Аналогично, значению
1 /У Уз"
л = у соответствуют два значения у: ух — —^- и у%~ — -^-л"" "» зна-
Уз" 1 1
чеиию х = 5 Два значения ?/: ух~-^ и у%——~к и т. д.
Таким образом, мы имеем здесь две непрерывные функции, задан-
заданные уравнением D3), не разрешенным относительно у. Каждая из
&тих функций называется неявной.
Пусть, в общем случае, дано уравнение
F(x, y) = 0, D4)
связывающее переменные х и у и не разрешенное относительно у.
Если в некотором интервале или сегменте каждому значению х
соответствует единственное значение у, которое совместно с х удов-
удовлетворяет уравнению D4), то мы будем говорить, что это уравне-
уравнение задает (определяет) неявную функцию у~ц>(х).
Таким образом, для любой неявной функции # = ф(х), заданной
уравнением D4), имеет место тождество
F[x,
справедливое для всех х из области определения этой неявной
функции.
Замечание. В некоторых случаях каждому значению х из
данного интервала или сегмента соответствуют несколько значений у.
В таких случаях уравнение D4) определяет не одну, а несколько
неявных функций.
8 № 2242 225

В отличие от неявной функции функция
заданная уравнением, разрешенным относительно у, называется
явной.
Вернемся к рассмотренным примерам. Уравнение D2) можно
разрешить относительно у:
у = log2 (х2 + 1)- D5)
Эта функция—явная. Разумеется, это та же самая функция, кото-
которая ранее была задана неявно уравнением D2). Она тождественно
удовлетворяет уравнению D2). В самом деле, подставив в уравне-
уравнение D2) вместо у его выражение из формулы D5), получим
Этот результат не случаен. Ведь функция у, заданная уравне-
уравнением D2), должна принимать такие значения, которые вместе
с соответствующими значениями х удовлетворяют этому уравнению,
т. е. превращают его в тождество. Уравнение D3) определяет две
неявные элементарные функции: у = ]/1—х2 и у =—]/l—х2, каж-
каждая из которых, будучи подставлена в уравнение D3), превращает
его в тождество.
Не следует, однако, думать, что всякую неявную функцию можно
представить в виде явной элементарной функции. Например, урав-
уравнение
2у—2у + х2 —1=0 D6)
задает неявную функцию у, так как существуют пары значений х
и у, удовлетворяющие этому уравнению (например, # = 0, у = 0\
х=1, у=1 и т. д.). Но уравнение D6) нельзя разрешить относи-
относительно у так, чтобы у выражался через элементарные функции от
аргумента х.
Не всякое уравнение F(я, #) = 0 задает неявную функцию.
Например, уравнению х2 + #2 + 1=0 не удовлетворяют никакие
действительные значения х и у, и, следовательно, оно не определяет
никакой неявной функции. В гл. IX будет выяснено, при каких
условиях уравнение F(x, y) = 0 задает неявную функцию. В неко-
некоторых случаях неявная функция задается уравнением, правая часть
которого не равна нулю. Например, уравнение эллипса -a+p^l
задает две неявные элементарные функции, которые в явном виде
выражаются так:
^2" И У--
Покажем на конкретном примере, как, не разрешая уравнение D3)
относительно у, можно найти производную неявной функции. При
этом мы будем предполагать, что неявная функция дифференцируема.
226

Пример. Найти производную неявной функции у, заданной
уравнением
2у—2у + х% —1=0. D7)
Решение. Уравнение D7), если в нем у считать заданной
неявной функцией х, является тождеством относительно х.
Если две функции тождественно равны, то их производные также
тождественно равны:
B
При дифференцировании функции 2? и (—2у) следует рассматривать
как сложные функции х, а у—как промежуточный аргумент. По-
Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции B^—2у +
+ х2~-1)'х = 2У \п2у'— 2у' + 2х и, следовательно,
2У\п2у'— 2у' + 2х = 0.
Решая это уравнение относительно у', получим
и 2—2У In 2 "
Производная неявной функции, как это наглядно видно из ра-
разобранного примера, выражается, как правило, в зависимости не
только от аргумента, но и от функции.
16. Уравнения касательной и нормали к кривой
Касательная к графику функции y==f(x) в некоторой его точке
М0(х0; у0), для которой #0=/(*<))> есть прямая, проходящая через
эту точку и имеющая угловой коэффициент &кас, равный /' (,г0)
(см. п. 6). Поэтому уравнение этой каса-
касательной можно найти, воспользовавшись
уравнением прямой, проходящей через дан-
данную точку (см. гл. II, формула 15):
У ц __ у (% \ /х х \ /43)
Определение. Нормалью к кривой
называется прямая, проходящая через точку
касания перпендикулярно касательной (рис*
135).
Рассмотрим график функции у = /(х); Рис. 135
пусть М0(х0; у0)—одна из его точек. Тогда
уравнение нормали к графику функции в данной точке MQ(xQ] y°)
имеет вид
У— Уо= -р-^) • (*—*q)i D9)
так как угловой коэффициент нормали kH связан с угловым коэф-
коэффициентом касательной kKac = f'(x0) условием перпендикулярности:
8* 227

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к графику
функции y = tgx в точке с абсциссой л;0 = ^*
Решение. Найдем ординату точки касания: yQ==*tgx0 ««tg-^** {.
Дифференцируем данную функцию: (tgx)' ——^- и находим угловой
коэффициент касательной &кас ——— п =2 и угловой коэффици-
коэффициент нормали &н==—-^-. По формулам D8) и D9) находим уравнена
касательной
и уравнение нормали
Пример 2* Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу
в точке Мо{2; 3).
Решение. Дифференцируя по х обе части уравнения эллипса,
получим
9л:
Отсюда у' = —^. Угловой коэффициент касательной к эллипсу
в точке МоB\ 3)
— Э-2_ 3
¦з ~ 4-3~ ~2 '
1 2
Угловой коэффициент нормали kH=—~к— = -% * Следовательно,
уравнения касательной и нормали соответственно имеют вид:
3 2
или, после упрощений,
— 12=0 и 2х—
17. Графическое дифференцирование
Графическим дифференцированием называется построение (при-
(приближенное) графика производной y' = f'(x) по данному графику
функции y = f(x). Приведем краткое описание этого построения.
Пусть дан график функции y — f(x) на сегменте [а, Ь] (рис. 136).
Разобьем этот сегмент на п частей с помощью точек х0 ~а, xlf xit...
228

...,#„_!, xn — b и отметим на данном графике соответствующие им
точки Af0, Ml9 M2, ..., Afn.lf Mn. Через каждую из этих точек про-
Еедем касательную. Через точку Q ( — 1; 0) проведем параллельные
этим касательным прямые до их пересечения с осью ординат в точках
Ро, Р19 Р29 ..., Рп_19 Рп. Ординаты этих точек ОР0, ОР19ОР29...
..., ОРп_19 ОРп равны значениям производной y'=f'(x) соответ-
ствешю в точках а, х1У х2У ..., хп_19 хп. В самом деле, например,
из треугольника OPXQ имеем
^jST = tg«i. E0)
где аг — угол, который образуют с осью абсцисс отрезок QPX и
параллельная ему касательная к графику данной функции в точке
Рис. 136
Mv Согласно геометрическому смыслу производной tg аг = /' (х^.
Замечая, что QO^=1, из соотношения E0) получим OP1 = f'(x1).
Проведем через точку Рх прямую, параллельную оси Ох, а через
точку Мх—прямую, параллельную оси Оуу до их пересечения
в точке Nv Точка Nx имеет абсциссу хх и ординату /' (хх) и, сле-
следовательно, принадлежит графику производной y'=f'(x). Анало-
гичностроим точки Ы,[а; /' (а)]9 Nt [х2; /' (*,)],... ,^1 [ха_г\ Г (^-х)],
Nnlxn\ I (xn)]' Соединив все эти точки плавной кривой, по-
получим приближенный график производной y'=/'(jt), по которому
нетрудно найти приближенное значение этой производной в любой
точке сегмента [а,Ь\. Построение графика производной будет тем
точнее, чем больше число п точек деления сегмента [а, Ь].
229

§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
/. Нахождение производных высших порядков
Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема. Тогда ее
производная /' (х) является функцией х. Пусть эта функция также
имеет производную. Эта производная называется второй производ-
производной, или производной второго порядка функции y = f(x), и обозна-
обозначается символом у" или f" (х)\*
/"(*) = [/'(*)]'• E1)
При этом /' (х) называется первой производной или производной пер-
первого порядка функции f(x).
Пример 1. Найти вторую производную функции у=х3.
Решение. Находим первую производную данной функции:
Находим вторую производную как производную первой произ-
производной:
у'' = (Зх2У^.6х.
Производная второй производной функции y — f(x) называется
третьей производной или производной третьего порядка данной
функции и обозначается символом у'" или /"'(х):
/'"(*) = [Г (*)]'• E2)
Вообще, производной п-го порядка функции y=zf(x) называется
первая производная производной (п—1)-го порядка данной функции
и обозначается символом у{п) или }{п) (х):
Р">(х) = \Г»-"(х)]\ E3)
Производные порядка выше первого называются производными выс-
высшего порядка.
Пример 2. Найти производную 4-го порядка функции у^Ых.
Решение. Находим последовательно 1, 2, 3 и 4-ю производные:
У
Пример 3. Найти производную n-го порядка функции у = екх.
Решение. Имеем:
у' = (еь*у = kekx\ у" = (kekx)f = k2ekx\
#'''==(fcV;*)'=feV4
По аналогии находим
^<"> = knekx. E4)
Пример 4. Найти прочзводную n-го порядка функции y = smx.
* Читается: «игрек д^а штриха» или «эф два штриха от икс»,
230

Решение. Имеем:
у' = (sin х)' = cos x = sin he + ~
/ = (cos *)'= — sin*==sin(
0"' = ( — sinA:)/ = — cos* = si
По аналогии находим
( )\ E5)
2. Механический смысл второй производной
В п. 4 § 1 был выяснен механический смысл первой производ-
производной. Выясним механический смысл второй производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону
s = /(/), где s—путь, проходимый точкой за время t. Тогда ско-
скорость v этого движения есть некоторая функция времени: v = v(t).
В момент времени t скорость имеет значение v = v(t). Рассмотрим
другой момент времени t-\-At. Ему соответствует значение скорости
vi = v(t'\' At). Приращению времени Д? соответствует приращение
скорости
&v = vi—v = v(t + At)—v (t).
Отношение •^==^Ср называется средним ускорением за промежуток
времени At.
Ускорением w в момент t называется предел среднего ускорения
при At -* 0:
ку== lim йУср= lim ^ = vt.
Л/ -> 0 At -> 0 at
Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть
производная скорости по времени.
Как мы видели, скорость есть производная пути s по времени t:
v=s'. Учитывая это, имеем:
w = v't=(sy=f. E6)
Итак, ускорение прямолинейного движения точки равно второй
производной пути по времени.
Пример. Пусть прямолинейное движение материальной точки
происходит по закону s = y, где время t выражается в сек, а путь
s—в см. Найти ускорение w движущейся точки в момент времени
/ = 5 сек.
* При строгом выводе формул E4) и E5) следует применить метод матема-
математической индукции,
231

Решение. По формуле E6) имеем: w
вательно, искомое ускорение
w |f==5 = 2t \ыъ = 10 (см/сек*).
^ Следо-
Следо§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
/. Дифференциал функции и его геометрический смысл
Рассмотрим функцию у = л:3. Найдем ее приращение Ду, соот-
соответствующее приращению Ал: аргумента в некоторой точке хфО:
&у = (х+ АхK—л:3 = Зл:2 Ал: + За: (Ал:J + (АхK = Зл:2 Дл: + (Зл: + Ал:) (Ал:J.
Как видим, приращение функции можно рассматривать как сумму
двух слагаемых: первого Зл:2Дх, линейного относительно Ал: (точнее
говоря, пропорционального Дл:), и второго (Зл:+Ал:) (Ал:J, нелиней-
нелинейного относительно Дл:. При Дл: —* 0 оба слагаемых являются беско-
бесконечно малыми, т. е. стремятся к нулю. Но при этом второе слагаемое
стремится к нулю быстрее, чем первое, т. е. предел отношения вто-
второго слагаемого к первому равен нулю:
Цш
А*-0
Дх-0
Вследствие этого при малых Дл: приращение функции можно счи-
считать приближенно равным его линейной части: ку « Зл:2Дл:. В связи
с этим линейная часть приращения называется главной частью при-
ращгния функции.
В нижеследующей таблице для функции у=х* в точке х^\
приведены значения приращения функции Д# = 3Ал: -f 3(Ал:)а + (Д)
главной линейной его части ЗДл: и нелинейной части 3(Дл:J (
для различных значений Дл:.
0,1
0,01
0,001
А»
0,331
0,030301
0,003003001
Линейная часть
ЗДл:
0,3
0,03
0,003
Нелинейная часть
3(ДлгJ + (Дх)'
0.031
0,000301
0.000003001
Из этой таблицы наглядно видно, насколько быстрее убывает не-
нелинейная часть Ду по сравнению с главной линейной частью Д#
при убывании Дл:. Подобным свойством обладают многие функции.
Пусть приращение Д# функции f(x) в точке х можно предста-
представить в виде
E7)
где Дл:—приращение аргумента, вызвавшее приращение функции
232

A — постоянная (т. е. величина, не зависящая от Ах);
а(Дл:)—бесконечно малая функция высшего порядка малости,
чем Д*; lim ^> = 0.
Д* - О Д*
Определение. Если приращние Ау функции у =/(*:) в точкех
может быть представлено по формуле E7), то главная часть при-
ранения функции А Ах, пропорциональная приращению аргумента,
называется дифференциалом этой функции.
Дифференциал функции y = f(x) обозначается символом dy (чи-
(читается «дэ игрек») или df{x) (читается «дэ эф о? икс»).
Итак, по определению
dy = AAx. E8)
Таким образом» если функция y = f(x) имеет в точке х диффе-
дифференциал, то ее приращение в этой точке представляет собой сумму
двух слагаемых: дифференциала dy — AAx и нелинейной части а(Длг)
высшего порядка малости, чем Ах при Ах—+ 0. Поэтому, пренебрегая
при малых Ах нелинейным слагаемым, получим следующее прибли-
приближенное равенство
Ау ж А Ах,
или
Ay « dy. E9)
Рассмотрим теперь теоремы, устанавливающие связь между су-
существованием производной и существованием дифференциала.
Теорема. Если функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал,
то она имеет в этой точке производную.
Доказательство. Так как по условию функция y=f(x)
имеет дифференциал, то ее приращение Ау может быть представлено
по формуле E7):
а(Ах),
причем lim д *' =0. Разделив обе части формулы E7) на Ах и
д* -* о ^х
переходя к пределу при Ах—* 0, получим
Нш ^= lim AAx+a(Ax)maA и ^^л.
д*->оА* д*->о Ах ьх-+о д*
Но lim -~У- = ['(х) и, следовательно, производная f (х) существует
Ах -+ 0 ^Х
и равна А.
Вследствие этого выражение для дифференциала будет иметь
следующий вид:
dy = f'(x)bx. F0)
Итак, из существования дифференциала следует существование про-
производной, т. е. дифференцируемость функции. Покажем, что и об-
обратно, из дифференцируемое™ функции следует существование
дифференциала, т. е. имеет место следующая теорема. •
233

Теорема.; Если функция y = f(x) имеет в точке х производную, то
она имеет в этой точке дифференциал.
Доказательство. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х
производную f'(x)= lim ~. Отношение ^ = '¦**"*" *'~~?Щ при фи-
Ах -> О
ксированном х есть функция приращения Дл:. Всякая функция,
имеющая предел, равна сумме этого предела и некоторой бесконечно
малой функции (см. гл. V, § 1, п-. 6). Поэтому
F1)
где &(Ах)—бесконечно малая функция Ах, т. е. Иш Р(Дл:)=О.
Умножая обе части равенства F1) на Ах, получим
Ау = /' (х) Ах+ Ах р (А*). F1')
Таким образом, приращение функции Ау представляет собой
сумму двух слагаемых: f'(x)Ax и Ах-$(Ах). При этом первое сла-
слагаемое пропорционально Ах, а второе слагаемое при Ах —* 0 является
бесконечно малой более высо-
высокого порядка, чем Ах, так как
Дл;
Ах-
Следовательно, согласно данно-
данному выше определению, функция
у =f(x) имеет в точке х диффе-
дифференциал, равный /' (х) Ах.
Итак, понятия существова-
существования дифференциала и диффе-
дифференцируемое™ функции равно-
равносильны.
Выясним геометрический
смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции
y=zf(x) в точке М(х; у) касательную и обозначим через а ее угол
с осью Ох (рис. 137). Рассмотрим ординату этой касательной для
точки х-\-Ах. Отрезок NP, равный разности между этой ординатой
и ординатой касательной для точки х, назовем приращением орди-
ординаты касательной. Покажем, что этот отрезок равен дифференциалу
dy. Из прямоугольного треугольника MNP имеем:
Рис. 137
или NP =
Но, согласно геометрическому смыслу производной,
Поэтому
Итак, мы выяснили геометрический смысл дифференциала: диф-
дифференциал функции y~f(x) в точке х равен приращению ординаты
касательной*
234

2. Производная как отношение дифференциалов
Рассмотрим функцию у =х. Ее дифференциал, согласно форму-
формуле F0), равен:
dy = dx=(xy Дх-ЬДх-Дл;,
Условимся называть дифференциалом независимой переменной диф-
дифференциал функции, равной х, т. е. будем считать, что дифференциал
Независимой переменной равен ее приращению:
dx = kx. F2)
Тогда выражение F0) для дифференциала функции запишется
в следующей форме:
dy = f(x)dx. F3)
Разделив обе части этого равенства на dx, получим
§ = /'(*)• F4)
Таким образом, производная функция равна отношению ее диф-
дифференциала к дифференциалу независимой переменной.
Часто это отношение — рассматривается просто как символ,
обозначающий производную функции у по аргументу х.
& Дифференциал суммы, произведения и частного функций
Пусть и = и(х) и v = v(x)—дифференцируемые функции х. Тогда
имеют место следующие формулы:
F5)
F5')
d (|) - = *™t (при условии юфО). F50
Предоставляем читателю вывести формулы F5) и F5") и огра-
ограничимся лишь выводом формулы F5'),
По определению дифференциала
d (uv) = (uv)' dx = (u'v + uv') dx = vu'dx + uv'dx = vdu-\-udv,
так как u'dx=du и v'dx = dv.
Пример. Найти дифференциал функции у = х2е*.
Решение. По формуле F5') получим
dy =x2d (ex) + еЧ (х2) =^x\ex)f dx + ex (x2)' dx = xex(x-\-2)dx.
4. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала
В п. 2 мы видели, что если х является независимой переменной,
то дифференциал функции y = f(x) имеет следующую форму:
dy = f'(x)dx. F6)
,235

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда х
является не независимой переменной, а функцией. Действительно,
пусть y = f(x) и x = q>(t)9 т. е. у является сложной функцией /:
Тогда dy=y]dt. По правилу дифференцирования сложной функции
имеем yi=y'x-x't. Отсюда
dy=y'x- A dt -ухих -/' (л-)dx,
так как
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложной функции у = / (х), для которой
х = <$>(/), имеет такой же вид dy = f/(x)dxt как если бы аргумент х
был независимой переменной.
Свойство дифференциала сложной функции, выражаемое этой
теоремой, называется инвариантностью формы дифференциала.
Из формулы F6) следует, что выражение для производной
сохраняет свой вид и для случая, когда аргумент х не является
независимой переменной.
5. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
1. В приближенных вычислениях встречаются понятия абсолют-
абсолютной и относительной погрешностей.
Определение. Абсолютной погрешностью приближенной вели-
шны и0 называется абсолютная величина разности между точным
значением и этой величины и ее приближенным значением и0.
Обозначая абсолютную погрешность символом Ай, получим
Чаще всего точное значение и, а следовательно, и абсолютная по-
погрешность Да неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсо-
абсолютной погрешности.
Определение. Границей абсолютной погрешности приближен-
приближенной величины и0 называется любое положительное число До, не мень-
меньшее абсолютной погрешности Да:
|и-«о] = Ди<Да. F7)
Из неравенства F7) следует, что точное значение величины и
содержится между и0 — Д„ и ио + Д„: и0 — Дц<м<иь +~Ап.
Если граница абсолютной погрешности при нахождении некото-
некоторой величины и равна Ди, то говорят, что величина и найдена
с точностью Дя.
236

Ясно, что чем меньше Дл> тем точнее найдена величина и. Однако,
зная границу погрешности, нельзя еще судить о качестве прибли-
приближения.
Так, например, при измерении расстояния от Москвы до Ленин-
Ленинграда с точностью до 1 км мы имеем значительно большую абсо-
абсолютную погрешность, чем при определении с точностью до 10 см
роста человека. Однако ясно, что качество измерения в первом слу-
случае выше, чем во втором. Для того чтобы судить о качестве при-
приближений, вводят понятие относительной погрешности.
Определение. Относительной погрешностью называется от-
отношение абсолютной погрешности Аа к модулю приближенного зна-
значения uQ измеряемой величины.
Обозначая относительную погрешность символом 6а, получим
Определение. Границей относительной погрешности Ьа назы-
называется отношение границы абсолютной погрешности Аа к модулю
приближенного значения и0 измеряемой величины:
*Л/ ^^ Т~~ Г
8tt и б„ часто выражают в процентах.
Возвращаясь к рассмотренным примерам, найдем границы отно-
относительных погрешностей при измерениях расстояния L от Москвы
до Ленинграда и длины I человеческого роста, принимая прибли-
приближенно L«650 км и /«170 см. Так как L0 = 650 км, А^ = 1 км,
то 6^ = ^ «0,0015, или 0,15%. Во втором случае /0 = 170 см,
~Kt --= 10 еж.Следовательно, 6^ = щ « 0,0588, или 5,88%. Измерение
в первом случае значительно точнее, чем во втором.
II. Перейдем теперь к применению дифференциала к приближен-
приближенным вычислениям значений функций.
Пусть нам известно значение функции y = f(x) и ее производной
в точке х. Покажем, как найти значение функции /(x-f-Ax) в не-
некоторой близкой точке х~\-Ах. Для этого воспользуемся приближен-
приближенным равенством E9):
Ay « dtj,
или
Ay « f (x) Ах.
Так как Ay =f(x-{-Ax)—f(x), то
откуда
x)Ax. F8)
Полученная формула решает поставленную задачу. Как можно по-
показать, абсолютная погрешность, которая при этом получается,
237

не превышает
где М — наибольшее значение \f" {х)\ на сегменте [х, х + Ах].
Пример 1. Пользуясь формулой F8), найти приближенное зна-
значение cos 61°.
Решение. Будем рассматривать cos61° как частное значение
функции y = f(x) = cosx. Примем за начальное значение аргумента
х = 60° или в радианах # = ~(при котором cos* легко вычисляется
без таблиц). За новое (приращенное) значение аргумента примем
х-\- Ах = 61° или в радианах л;-f-A* = Tgg-.
Тогда приращение аргумента
Формула F8) в данном случае примет следующий вид:
cos (х + Ах) ж cos х + (cos x)' • Ах,
или
—sin*-Ax.
Подставляя сюда численные значения х и Ах, получим
cos 61° « cos 60°—sin 60°.0,01745 = i_llL -0,01745 « 0,4849.
Для оценки погрешности найдем вторую производную /" (х) =
= (cosjt)" —— cosx. Так как для всех х между 60° и 61°|/"(л;)| =
= |—cosx|<l, то абсолютная погрешность, как это следует из
формулы F9), не превышает
-у--(Л*K <~-@,01745J «0,0003.
Таким образом, погрешность не превышает 0,0003.
Пример 2. Подсчитагъ приближенно увеличение объема цилиндра
с высотой Н = 40 см и радиусом основания /? = 30 см при увели-
увеличении радиуса основания на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте Н и пере-
переменном радиусе основания R является функцией R: V = nHR2. При
подсчете приращения объема AV заменяем это приращение диффе-
дифференциалом dV = 2nHR-AR:
AV&2nHR-AR.
При AR = 0,5 см, Я = 40 см и /? = 30 см имеем
Применяя формулу F9), читатель легко убедится, что в данном
случае граница абсолютной погрешности 5^ = 31,4 см*.
238

6. Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию y — f(x) и предположим, что ее аргумент
х—независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции
dy~f'(x)dx зависит от двух переменных: х и dx^Ax, причем
dx от х не зависит (приращение в данной точке х можно выбирать
независимо от этой точки).
Рассматривая dy = f (x)dx только как функцию х (т. еР считая dx
постоянным), можно найти дифференциал этой функции»
Дифференциал от дифференциала данной функции y*mf(x) на-
называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго
порядка) и обозначается символом d2y и d2f(x). Читается* «дэ два
игрек» или «дэ два эф от икс»).
Таким образом, по определению
Найдем выражение второго дифференциала функции y=*f(x)%
d2y = d (dy) = d [/' (x) dx] = [/' (x) dx]' dx = /" (x) dx-dx= f (*) (dx)\
При дифференцировании dx считалось постоянным, В дальнейшем
скобки при степенях dx мы будем опускать. Тогда выражение для
d2y будет иметь следующий вид:
d*y=~f"(x)dx\ G0)
Аналогично определяются и находятся дифференциалы 3-го, 4-го
порядка и т. д.
Вообще, п-м дифференциалом (или дифференциалом п-го порядка)
функции y=f(x) называется дифференциал от ее (п—1)-го диффе*
ренциала.
Дифференциал п-то порядка функции y = f(x) обозначается сим-
символом dny или dnf(x). Таким образом, по определению
Дифференциал функции dy иногда называется дифференциалом
первого порядка.
Нетрудно установить справедливость формулы
G1)
для функции y = f(x), аргумент которой является независимой пере-
переменной.
Из формулы G1) следует, что
ГМ=0-. G2)
В частности, при /1 = 1, 2 и 3 соответственно получим
Иными словами, производную n-го порядка данной функции (при
условии, что ее аргумент является независимой переменной) можно
239

рассматривать как отношение ее дифференциала я-го порядка к я-й
степени дифференциала независимой переменной.
В п. 4 мы видели, что форма дифференциала первого порядка
dy — f'(x)dx обладает свойством инвариантности. Однако форма
дифференциала высшего порядка (п > 1) dny = fUl) (x) dxn не обладает
свойством инвариантности.
Это значит, что формула G1) (при п > 1) не остается, вообще
говоря, справедливой, если аргумент не является независимой пе-
переменной. Формула G2) в этом случае (при п>1) также, вообще
говоря, не верна. Поэтому производную f{n)(x) (n > 1) в случае,
когда х не является независимой переменной, нельзя рассматривать
как отношение d"y к dxn.
Тем не менее, условимся и здесь сохранить запись fn (х) = j~,
dnu
понимая j~ не как отношение дифференциалов, а как новое симво-
символическое обозначение п-й производной.
§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ,
И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
/. Параметрическое задание функций и линий
До сих пор рассматривались уравнения линий на плоскости,
связывающие непосредственно текущие координаты точек этих линий.
Однако часто применяется другой способ задания линии, в котором
текущие координаты х и у рассматриваются как функции третьей
переменной величины.
Пусгь даны две функции переменной t:
l-m} <73)
рассматриваемые для одних и тех же значений /. Тогда любому из
этих значений t соответствует определенное значение х и определен-
определенное значение у, а следовательно, и определенная точка М(х; у).
Когда переменная t пробегает все значения из области определения
функций G3), точка М(х; у) описывает некоторую линию С в пло-
плоскости Оху. Уравнения G3) называются параметрическими уравне-
уравнениями этой линии, а переменная /—параметром.
Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную функцию
/=ф(я:). Подставив эту функцию во второе из уравнений G3), по-
получим уравнение
у=*у[Ф(х)]> G4)
выражающее у как функцию х.
Условимся говорить, что эта функция задана параметрически
уравнениями G3). Переход от этих уравнений к уравнению G4)
называется исключением параметра. При рассмотрении функций,
240

заданных параметрически, исключение параметра не только не обя-
обязательно, но и не всегда практически возможно. Во многих случаях
гораздо удобнее, задаваясь различными значениями параметра /,
вычислять затем по формулам G3) соответствующие значения аргу-
аргумента х и функции у.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть М — произвольная точка окружности с центром
в начале координат и радиусом R. Декартовы координаты х и у
этой точки выражаются через ее полярный радиус г = R и полярный
угол, который мы здесь обозначим через t, следующим образом
(см. гл. I, § 3, п. 3):
x = Rcost, ]
y = Rs\nt. J
G5)
Уравнения G5) называются параметрическими уравнениями окруж-
окружности. Параметром в них является полярный угол /, который ме-
меняется в пределах от 0 до 2я.
Если уравнения G5) почленно возвести в квадрат и сложить,
то в силу тождества cos2 / + sin2 / = 1 параметр исключится и по-
получится уравнение окружности в декартовой системе координат
= R2f определяющее две элементарные функции:
—х* и у =—УН —х*.
Каждая из этих функций задается параметрически уравнениями
G5), но области изменения параметра для этих функций различны.
Для первой из них O^f^jt;
графиком этой функции служит
верхняя полуокружность. Для
второй функции л^/^2я; гра-
графиком ее является нижняя полу-
полуокружность.
Пример 2. Рассмотрим одновре-
одновременно эллипс
и окружность с центром в начале
координат и радиусом а (рис. 138).
Каждой точке М эллипса сопоста-
сопоставим точку N окружности, имеющую
ту же абсциссу, что и точка Му Рис 138
и расположенную с ней по одну
сторону от оси Ох. Положение точки N, а следовательно, и точки М,
вполне определяется полярным углом t точки Лг. При этом для их
общей абсциссы х получим следующее выражение: x^=acost. Орди-
Ординату у точки М найдем из уравнения эллипса:
241

Знак « + » выбран потому, что ордината у точки М и ордината
#1==:asin/ точки N должны иметь одинаковые знаки.
Таким образом, для эллипса получены следующие параметричес-
параметрические уравнения:
x = acost,\
y^bsmt.] G6)
Здесь параметр / изменяется от 0 до 2я.
Пример 3. Рассмотрим окружность с центром в точке Ог @; а)
и радиусом а, которая, очевидно, касается оси абсцисс в начале
координат (рис. 139). Предположим, это эта окружность катится
без скольжения по оси абсцисс. Тогда точка М окружности, совпа-
совпадавшая в начальный момент с началом координат, описывает линию,
которая называется циклоидой.
Рис. 139
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв за па-
параметр / угол МСВ поворота окружности при перемещении ее фик-
фиксированной точки из положения О в положение М. Тогда для ко-
координат х и у точки М мы получим следующие выражения:
x = OA=OB—AB=OB—MD;
y = AM=BD=BC—DC.
Вследствие того что окружность катится по оси Ох без скольжения,
длина отрезка ОБ равна длине дуги ВМ. Так как длина дуги Я/И
равна произведению радиуса а на центральный угол /, то BM=at.
Поэтому OB=at. Но ВС--=а, MD=a sin/, DC = a cost. Следова-
тельно,
или
—a sin/,
—a cos/,
У
= a(t—sin/), 1
= a(l—cos/), j
G7)
Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями циклоиды.
При изменении параметра / от 0 до 2я окружность совершит один
полный оборот. Точка М при этом опишет одну арку циклоиды.
242

Исключение параметра t приводит здесь к громоздким выраже-
выражениям и практически нецелесообразно.
Параметрическое задание линий особенно часто используется
в механике, причем роль параметра играет время.
Пример 4. Определим траекторию снаряда, выпущенного из ору-
орудия с начальной скоростью v0 под углом а к горизонту. Сопротив-
Сопротивлением воздуха и размерами снаряда, считая его материальной точ-
точкой, пренебрегаем.
Выберем систему координат. За начало координат примем точку
вылета снаряда из дула. Ось Ох направим горизонтально, а ось
Оу—вертикально, расположив их в одной плоскости с дулом орудия.
Если бы не было силы земного тяготения, то снаряд двигался бы
по прямой, составляющей угол а с осью Од: и к моменту времени t
прошел бы путь vot. Координаты снаряда в момент времени t были бы
соответственно равны: x = v0tcosa, y = vot$ina. Вследствие земного
тяготения снаряд должен к этому моменту вертикально опуститься
на величину —. Поэтому в действительности в момент времени t
координаты снаряда определяются по формулам:
х = v01 cos a,
В этих уравнениях и0, а и g—постоянные величины. При измене-
изменении t будут изменяться также координаты х и у точки траектории
снаряда. Уравнения (*) являются параметрическими уравнениями
траектории снаряда, в которых параметром является время /.
Выразив из первого уравнения (*) / = и подставив его во
второе уравнение, получим уравнение траектории снаряда в виде
y=x*tga г-^ х2. Это—уравнение параболы.
2vq cos2a
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Предположим, что функция у от х задана параметрически урав-
уравнениями G3)
причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t)
дифференцируемы и х' (t) Ф 0.
Найдем производную у'х. Как мы знаем у'х=-т > Так как &х =
=*x'(t)dt, dy=y'(t)dt,io
i 1Ш1 !Ж
У'~ dx~х' (t)dt~х'(t)~ x't
Таким образом,
''
<78>
213

Формула G8) позволяет находить производную функции, заданной
параметрически.
Пример 1. Найти производную функции у от xt заданной пара-
параметрическими уравнениями
# = sin2/,
у -sin 2/.
Решение. По формуле G8) получим
dy y't (sin 20' 2 cos 2/
dx x'i (sin2 0' 2 sin / cos /"
Пример 2, Найти уравнения касательной и нормали к циклоиде
'=. 1—COS/
лгпаьг ouotrouLf IT* п а г\ ал/глтпа / — .
в точке Mi (jq; ^), соответствующей значению параметра ^ = -¦»-.
Решение. Находим координаты точки касания Ml(xl; yt):
Х!=(/ —Sin/)
Зл . Зл Зл , . Зл4-2
= -5"— SinT- = -2-+l = —^— ;
=A—COS/)
1 3jt 1
Для того чтобы найти угловые коэффициенты касательной и нор-
нормали, находим по формуле G8) производную
dy A—cos/)' sin/
dx (/ — sin/)' 1 —cos /
Находим угловой коэффициент касательной к циклоиде в точке Мхх
и угловой коэффициент нормали
*чсас
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку,
нетрудно теперь получить уравнение касательной
у—\=—\-\Х ?-), ИЛИ Х + у 2^=°
и уравнение нормали
, , / Зл+2\ Зл л
у— 1 == 1. ^х y~U или х—у—y = 0.
С помощью формулы G8) можно находить и производные выс-
высших порядков функций, заданных параметрически. Покажем, как
244

найти вторую производную -r-f. По определению второй произвол-
clW)
ной ji^- a* • Учитывая, что ~ по формуле G8) находится как
некоторая функция параметра /, ~ ~f(t), мы видим, что при на-
нах'
хождении х' мы должны рассматривать ~ как функцию, задан-
заданную параметрически:
*=Ф@-
d(r)
Поэтому j^ = —-—^ находится по формуле G8), в которой вместо у
dy
следует подставить —л
(dA\
d*y_\dx)t G9)
^2 ' x't '
Пример З. Найти вторую производную -~г функции у, заданной
параметрически:
x = sin2t, \
у == sin 2t. j
Решение. В примере 1 была найдена первая производная
j-. Рассматривая эту производную как функцию, заданную пара-
параметрически:
^ = 2ctg2/, 1
dx }
Ar = sin2/, J
найдем по формуле G9) вторую производную
) m
d2y _ \dx) t _ B ctg 2t)f __
2 sin/cos/ ~" sin3 2/ *
§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
А Параметрические уравнения пространственной кривой
Кривая в пространстве, так же как и на плоскости, может быть
задана параметрически. Рассмотрим три функции переменной /:
\ (80)
= 2@, J
245

имеющие одну и ту же область определения. Каждому значению t
из этой области соответствуют определенные значения х, у и z, a
следовательно, и определенная точка М (х; у\ z) в пространстве.
При изменении t точка М описывает некоторую кривую С в про-
пространстве. Условимся говорить, что эта кривая задана параметри-
параметрически уравнениями (80). Переменную t будем называть параметром.
В гл. IV (§ 2, п. 3) уже рассматривались параметрические урав-
уравнения прямой в пространстве: x = mt + xl9 y = nt-\-y19 z = pt-\-zv
Приведем еще один пример. Рассмотрим кривую, заданную па-
параметрически с помощью уравнений
x=ao,osty
(81)
г=Ы.
Эта кривая называется винтовой линией (рис.
140).
При любом значении параметра t
= a2 (cos21 + sin21) = a2.
% У Это означает, что винтовая линия расположена
на цилиндре
Рис. 140 _
Отсюда следует, что когда точка М движется
по винтовой линии, ее проекция N на плоскость Оху перемещается
по окружности радиуса а, причем / является полярным углом точ-
точки .V. При увеличении параметра / на 2я точка N описывает пол-
полную окружность, а аппликата z точки М винтовой линии изме-
изменяется на величину Л = 2я6. Эта величина называется шагом вин-
винтовой линии.
2. Векторная функция скалярного аргумента
и ее производная
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически
уравнениями (80)
x = x(t),
y=y(t),
Как мы видели, каждому значению параметра /, принадлежа-
принадлежащему области определения функций x(t), y(t) и z(t), соответствует
определенная точка М(х\ у; z), координаты которой находятся по
формулам (80). Но каждой точке М соответствует ее радиус-вектор
г = ОМ, начало которого совпадает с началом координат, а конец
с точкой М (рис. 141). Проекции этого вектора на координатные
оси совпадают с координатами точки М и, следовательно, опреде-
определяются по формулам (80). Таким образом, каждому значению пара-
246

метра t из области определения функций (80) соответствует оп-
определенный вектор
(82)
Этот вектор г мы будем называть векторной функцией (или век-
вектор-функцией) скалярного аргумента t и обозначать символом г (/).
Линия L, описываемая концом радиуса-вектора г(/), называется
годографом.
Задание векторной функции г(/) равносильно заданию трех ска-
скалярных функций—его проекций на координатные оси х (/), у (/) и г (t).
Рис. 141
Рис. 142
Введем для вектор-функции понятия предела, непрерывности и
производной.
Определение. Вектор г0 = xoi + yQ] + zok называется пределом
вектор-функции г = х (t) i + у (t) j + z (t) k при t —> tQ, если lim x (t) = xQ9
t-+t0
lim у (t)=yQ9 lim г (t) = 2Q.
t->t0 t-*t0
Условимся писать при этом lira г (/) = r0.
t -> t0
Пусть вектор-функция r(t) определена при t = t0 и в некотором
интервале, содержащем t0.
Определение. Вектор-функция г(/) называется непрерывной
в точке tQ9 если
lira г @ = г (д.
Пусть вектор -фу нкция r(t) = x(t)i + y(t)]+z (t) k является ра-
диусом-вектором точки М(х; у; г), т. е. г(/) = (Ш (рис. 142). При
изменении параметра t точка М описывает годограф С. Выберем и
зафиксируем значение параметра /. Ему соответствует вектор г (/) и
точка М.
Рассмотрим другое значение параметра t + kt. Ему соответ-
соответствует вектор г (t + Af) и точка Мг. Рассмотрим вектор Дг = ММ19
равный разности векторов r(t + At)=="OM1 и г(/)=(Ш:
—г (О
247

и назовем его приращением вектор-функции г(/) в точке t. Рассмо-
Рассмотрим отношение -^ . Оно представляет собой вектор, коллинеарный
вектору Дг, так как отличается от него скалярным множителем-тт.
Определение. Производной вектор-функции г(t) no скаляр-
ному аргументу t называется новый вектор, равный пределу отно-
отношения приращения вектор-функции Дг к соответствующему прира-
приращению аргумента At при условии, что At стремится к нулю.
Производную вектор-функции г(/) будем обозначать символом
г'@, или*.
Таким образом, по определению
*>«) =1ш%. (83)
Выразим производную вектор-функции г'(t) через ее проекции
на оси координат.
Так как
r(t + At) =
то
и, следовательно,
A/ № ' At ' J ' A/
Поэтому
r'(/)~ lira -77 = 1 lirn ^ a#~"^ +] lim
д/ -* 0 Лг A/ — 0 a^ A^ -»¦ 0
+ k lim
Таким образом,
(84)
5, Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
к пространственной кривой
Выясним направление вектора г'(?). Вектор д?, коллинеарный
вектору Аг, направлен по секущей ММг (рис. 142). Когда Д^—^О,
точка Мх неограниченно приближается к точке М, а секущая ММ1
неограниченно приближается к касательной L к кривой С в точке М.
Отсюда следует, что вектор г' (/) направлен по касательной к го-
годографу радиуса-вектора ОМ = г (t).
248,

Найдем уравнения касательной к пространственной кривой, за-
заданной параметрически уравнениями (80), в некоторой ее точке
M0(xQ; у0; г0), соответствующей значению параметра t—t0.
Эта касательная есть прямая, проходящая через точку Мо. По-
Поэтому ее уравнения можно записать в следующей форме (см. гл. IV,
§ 2, п. 4):
х—х0 ___у— Уо__г — z0
т п р '
где т, п и р — проекции направляющего вектора прямой. Так как
вектор
'k
направлен по касательной к кривой в точке Мо, то его проекции
могут быть приняты за проекции направляющего вектора:
m^x'(t0), n--=y'(t0), p = z'(t0).
Тогда искомое уравнение касательной примет следующий вид:
х — хп_у—Уо__г—z0
Определение. Нормальной плоскостью к пространственной
кривой называется плоскость, перпендикулярная к касательной пря-
прямой и проходящая через точку касания.
Пусть М0(х0; уо\ z0)—точка касания. Выведем уравнение нор-
нормальной плоскости, проходящей через эту точку. Уравнение пло-
плоскости, проходящей через данную точку М0(х0\ уо\ zo)9 имеет вид
где Л, В и С — проекции вектора N {Л; В\С) — нормального к этой
плоскости (см. гл. IV, § 1, п. 2). Но из определения нормальной
плоскости вытекает, что за вектор N можно принять вектор
г'СоЖ('о); У'(*в); г'Со)}- Поэтому A=x'(t0), B=y'(t0), C = z'(t0).
В таком случае искомое уравнение нормальной плоскости запи-
запишется в следующей форме:
Пример. Найти уравнение касательной прямой и нормальной
плоскости к винтовой линии
х = 2 cos /,
у = 2 sin f,
4& —— """"""
Л
в точке Мо, соответствующей значению параметра
Решение. Находим координаты точки касания:
л
о ~~~А
249

Находим проекции вектора г'(/0):
iL— я *
По формулам (85) и (86) находим уравнения касательной прямой
х у 2 z 2*
зх
и нормальной плоскости
или
Апх—2z+l=0.
4. Механический смысл первой и второй производных
векторной функции скалярного аргумента
Выясним механический смысл первой производной вектор-функ-
вектор-функции. Пусть материальная точка движется по кривой, описываемой
концом вектора-функции г = г(/), (т. е. по годографу вектора г),
причем параметр t означает время движения.
Скоростью v = v(t) движения материальной точки в момент t
называется вектора направленный по касательной к траектории
в сторону движения и равный по модулю lim ~, где As—путь,
At -> О А*
пройденный точкой за промежуток времени А/, начиная с момента t.
Покажем, что производная г' (/) радиуса-вектора г (t) движущейся
точки равна скорости v = v(/) движения этой точки.
В п. 3 было установлено, что вектор г' (/) = lim ^ направлен по
д/ -> о ы
касательной к годографу вектора г. При этом вектор ~, а следо-
следовательно, и вектор г'(/) направлен в сторону движения точки (см.
рис. 142). Таким образом, вектор г'(t) имеет одинаковое направле-
направление с вектором скорости v. Покажем, что модули этих векторов
также одинаковы. Действительно, обозначив через As длину дуги
(т. е. путь, пройденный точкой за время At > 0), получим
Аг| I Ar As
Ml~\As At
Аг| As
As A*'
где |Аг|—длина хорды ММ19 a As—длина соответствующей дуги
MMV В дальнейшем (см. гл. VIII, § 3, п. 6) будет показано, что
250

предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды равен
единице: lim LJLI—i. Но тогда lim
As -* О
At-
As
и, следова-
следовательно,
lim
= lim
Д1]. Ит ?=НШ?.
At ¦
As
At
,A/"
Д/-И
As
Так как по определению скорости lim -—=|v|, а, с другой сто-
роны, lim i^ =|r'@|, то
Таким образом, векторы г' (/) и v (t) имеют одинаковое направ-
направление и равные модули. Поэтому
r'@ = v(/). (87)
Итак, производная х'(t) вектор-функции равна скорости v(t)
движения материальной точки в данный момент времени t.
В этом заключается механический смысл первой производной
вектор-функции скалярного аргумента. Производная х'(t) вектор-
функции г (t) есть, в свою очередь, вектор-функция скалярного ар-
аргумента /, которую, вообще говоря, также можно дифференцировать.
Производная по скалярному аргументу t от х' (t) называется вто-
второй производной вектор-функции x(t)
и обозначается символом г" (t) или -^ .
Итак,
Мы видели, что
тельно,
= v(/). Следова-
(88)
Вектор а(/), равный производной ско-
скорости v(/) по времени t, называется
ускорением. Рис. 143
Таким образом, вторая производная
г" (t) вектор-функции равна ускорению движения материальной точ-
точки в данный момент времени t.
В этом заключается механический смысл второй производной
вектор-функции скалярного аргумента.
Пример. Найти скорость и ускорение материальной точки М9
движущейся с постоянной угловой скоростью со по окружности
*2_t-#2 = jR2 (рис. из).
Решение. Обозначив через ф угол радиуса-вектора точки М
с осью Ох, получим по условию -у = со, или ф = со/, где t—время
движения. Это позволяет координаты х и у точки М выразить как
251

функции времени ti
х = R cos ф = R cos о)/; у = /? sin cp =r R sin ©Л
Следовательно, радиус-вектор точки Л1
г = xi + yj = R cos со/ • i + R sin со/ • j.
Теперь легко находим скорость v(/) точки М:
v = r' (t) = (R cos ШУ i + (R sin со/)' j = — i?o) sin <o/ • i + i?co cos со/ j.
Найдем модуль скорости:
| v | = ]/(— /?(o sin ШJ + (/?(o cos o/y2 = (o/?.
Легко убедиться непосредственно, что скалярное произведение век-
векторов v и г равно нулю и, следовательно, векторы v и г взаимно
перпендикулярны. Отсюда следует, что вектор v направлен по
касательной к окружности, по которой движется точка М (см. рис. 143).
Найдем теперь ускорение а(/):
—/to'coscoM — /?.<D2sin<o/.J.
Так как /?coso>/-i + /?sinco/-j = г(/), то
а(/) = — (о2г(/).
Отсюда следует, что векторы г и а имеют противоположные на-
направления.
Таким образом, ускорение материальной точки, движущейся с
постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент
времени направлено к центру этой окружности (см. рис. 143).
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
/. Теорема Ферма*
Теорема. Пусть функция f(x), определенная в интервале (at b),
принимает в некоторой точке с этого интервала наибольшее или
наименьшее значение. В таком случае, если в точке с существует
производная этой функции, то она равна нулю.
Доказательство. Положим для определенности, что f(c) — M
есть наибольшее значение функции в интервале (а, Ь). Покажем,
что /' (с) = 0.
По определению производной
/'(с)= Нп
Так как в точке с функция принимает наибольшее значение, то
при любом знаке Дя будем иметь
/(с)>/(<?+А*) и /(с+Д*)-/(с)<0.
* Ферма П. A601—1665)—французский математик,
252

Отсюда, если Ах > 0, то
° и» следовательно,
Если же Ах < 0, то?1?±М=Ш>0 и
Таким образом, производная /' (с)
не может быть ни положительной,
ни отрицательной. Следовательно,
/'(*) = 0.
Геометрически теорему Ферма
можно пояснить следующим об-
образом. Так как производная равна
тангенсу угла а, образованного каса-
касательной к графику функции с осью
абсцисс, то равенство /' (с) = tg a = 0
указывает на то, что в точке с Рис. 144
абсциссой с, где функция имеет на-
наибольшее или наименьшее значение, касательная
функции параллельна оси Ох (рис. 144).
2. Теорема Ролля**
к графику
Теорема* Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, 6], диф-
дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента
обращается в нуль: f(a) = f(b) = O, то ее производная f (x) обра-
обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке с этого сегмента.
Доказательство. Так как функция непрерывна на сег-
сегменте, то она достигает на этом сегменте своего наибольшего зна-
значения М и наименьшего значения т (гл. V, § 2, п. 3).
Если М —т, то функция постоянна на сегменте [а, &], и, сле-
следовательно, ее производная /'(%) = 0 в любой точке сегмента. Пусть
теперь Мфт> тогда одно из этих чисел, например МФО. Поэтому,
если наибольшее значение М достигается в точке с: f(c) = M> то
точка с должна быть внутренней точкой сегмента [а, Ь]> т. е. при-
принадлежать интервалу (а, Ь) (так как на концах сегмента f(a) =
= f(b) = Q). Следовательно, по теореме Ферма f'(c) = 0.
Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим обра-
образом: если график непрерывной на сегменте [а, Ь] и дифференцируемой
внутри него функции пересекает ось Ох в двух точках х — а и x = bf
то между этими точками найдется хотя бы одна точка с, а < с < 6,
в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс
(см. рис. 144).
* См. гл. V, § 1, п. б, теорема 7.
** Ролль A652—1719)—«-французский математик.
253

Пример. Рассмотрим на сегменте [0, я] функцию /(A:) = sinx. Эта
функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непре-
непрерывна и дифференцируема на сегменте [0, я] и обращается в нуль
на его концах: sin 0 = sin я = 0. Производная этой функции /'(*) =
= cosx обращается в нуль в точке * = у, лежащей внутри сег-
сегмента [0, я].
Замечание. Если не выполнено требование о дифференцируе-
мости функции f(x) во всех внутренних точках сегмента [а, 6], то
утверждение теоремы Ролля может ока-
оказаться неверным. Например, функция
/ (х) = 1 — i/x2 непрерывна на сегменте
[— 1; +1 ] и обращается в нуль на
концах сегмента: / (— 1) = / (+ 1) = 0.
Л
Однако производная /' (х) = 77=
внутри данного сегмента в нуль не
Рис. 145 обращается. Происходит это потому,
что при х = 0 производная не суще-
существует. Из рис. 145 видно, что в этом случае на сегменте
[—1, +1] не существует касательной, параллельной оси Ох.
3. Теорема Лагранжа*.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] и
дифференцируема во всех внутренних его точках, то внутри этого сег-
сегмента найдется хотя бы одна точка с такая, что имеет место равенство
/' (с)- (89)
Доказательство. На рис. 146 показан график функции
y = f(x). Напишем уравнение хорды АВУ воспользовавшись для этого
уравнением прямой, проходящей че-
через две точки А [а\ f (а)] и В [Ь;
Ь—а
y—f(a)
x—a
Отсюда определяется ордината хорды
\№
с
V
Рассмотрим теперь вспомогатель-
вспомогательную функцию F(x), равную разно- рИС 14б
сти ординат графика функции и
хорды, соответствующих одному и тому же значению х\
Лагранж A736—1813)—-французский математик.
254

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на сегменте [ау Ь],
так как на нем непрерывны функции f(x) и х—а. Производная
существует в интервале (а, 6), так как в нем существует /' (х).
На концах сегмента F (а) — F (Ь) = 0. На основании теоремы Ролля
внутри сегмента [а, Ь] найдется такая точка х = с, в которой F' (с) = 0.
На основании равенства (90) находим:
Отсюда
Ь-а
что и требовалось доказать.
Теорему Лагранжа можно геометрически пояснить следующим
образом. Рассмотрим график функции y = f(x), удовлетворяющей
условиям теоремы (см. рис. 146). Отношение uZ. представляет
собой угловой коэффициент хорды АВ, соединяющей концы дуги.
Так как /'(^) = tga есть угловой коэффициент касательной, то
теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y = f(x)
найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику
параллельна хорде, соединяющей концы дуги. Формулу (89) часто
переписывают в виде
f(a) = (b-a)f'(c). (91)
Это равенство читается следующим образом.
Приращение дифференцируемой функции на сегменте [а, Ь] равно
длине сегмента (т. е. приращению аргумента), умноженной на зна-
значение производной от этой функции в некоторой внутренней точке
сегмента.
Формулу (91) называют формулой Лагранжа или формулой о
конечном приращении.
Пример. Функция f(x) = x* задана на сегменте [0; 1]. Определить
значение х, при котором касательная к графику параллельна хорде,
стягивающей концы дуги графика.
Решение. Так как f(b) = f(l)= I, /(a) = /(G)=0, то по фор-
формуле (91) находим
1—0= A— О)Г(с) или f'(c) = l.
Так как, с другой стороны, f'(x) = 4x3 и, следовательно, f'(c) = 4c3,
то 4с3=1 ис= у ~^0,63.
Как известно, производная постоянной у = с равна нулю. Дока-
Докажем с помощью теоремы Лагранжа обратное предложение.
255

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а% Ь) и
имеет во всех его внутренних точках производную /' (х) «= О, то
функция f(x) постоянна на сегменте [а, Ь].
Доказательство. Пусть х — произвольная точка сегмента,
ле совпадающая с точкой а. Напишем формулу Лаграижа (91) при-
применительно к сегменту [а; х]: f (х)—f(a) = (x—а) Г {с), где с—неко-
с—некоторая точка между а и х. Так как с принадлежит сегменту [я; Ь],
то /'(с) = 0. Следовательно, f(х)—/(а) = 0, т.е. f(x) = f(a) для
произвольной точки х сегмента [а\ Ь], а это означает, что функция
f(x) постоянна на сегменте [а; Ь].
Следствие. Если производные двух функций Ф(х) и F(x)
равны во всех точках сегмента [а; Ь], то разность этих функций
постоянна на этом сегменте.
Доказательство. Пусть f(x) = Q)(x) — F(x). Тогда /' (х) =
=Ф' (х) —F' (х) = 0, так как по условию Ф' (х) = F' (х). Следова-
Следовательно, на основании только что доказанной теоремы / (#) = Ф (х) —
— F (х) постоянна на сегменте [а\ Ь].
4. Правило Лопиталя*
В гл. V мы познакомились с приемами нахождения пределов
отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функ-
функций, т. е. раскрытия неопределенности вида тг и ~. Здесь булет
рассмотрено новое правило для раскрытия этих неопределенностей,
называемое правилом Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть f(x) и ц)(х)—функции, диф-
дифференцируемые в некоторой окрестности точки с, за исключением,
быть может, самой точки с, и пусть при х—+с эти функции обе
стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. В таком
Г (х)
случае, если отношение их производных ' ,'* имеет предел при х —+ с,
то этот же предел будет иметь и отношение самих функций
/JW т е
Иш^«ИшШм, (92)
Эту теорему приводим без доказательства.
Пример 1. Найти li
дг-
Решение. Имеем
X-+Q
* Г. Лопиталь A661—1704)—французский математик.
** Теорема остается справедливой и в том случае, если / (х) и <р (х) одновре-
одновременно стремятся к 0 или оо при х—> ± оо, а также при х—*с+0 их—>с— 0.
256

Если отношение производных опять представляет собой неопре-
0 оо
деленность вида -д- или —, то можно снова применить доказанную
теорему, т. е. перейти к отношению вторых производных и т. д.
Пример 2. Найти lim l~cos4x.
х-ю х
Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стре-
стремятся к нулю. Применяя два раза правило Лопиталя, находим
= 81imcos4x=8.
. Пример 3. Найти lim
Решение. Здесь числитель и знаменатель представляют собой
бесконечно большие функции при х—+-\~оо. Применяя два раза
правило Лопиталя, находим
lim g= lim g= lim 1 = 0.
Аналогично можно показать, что вообще
lim **+<v<-l+-+«ш „о,
т. е. многочлен любой степени растет медленнее показательной
функции.
Кроме рассмотренных случаев неопределенностей вида -g- и
~, встречаются еще неопределенности следующих видов.
Неопределенность вида оо — оо. Под раскрытием такой неопре-
неопределенности понимают нахождение предела lim [f(x)—cp(x)]*i когда
х->с
f(x) и (f(x) являются бесконечно большими функциями одного
знака, т. е. Iim/(x) = oo и Нтф(л:) = оо.
Х-+С Х-*С
Этот случай преобразованием выражения f(x) — ср (х) сводится
О оо
к неопределенности вида -тг или —.
Пример 4. Найти lim (sec л:—tgx).
я
Решение. Так как при я-—» — , sec л:—> оо и tgx—+oo9 то
имеем неопределенность вида оо — оо. Выполним следующие преоб-
преобразования:
. 1 sin х1—sin л
secx—tg*--
При х—»у числитель и знаменатель в последнем выражении одно-
* Здесь и в дальнейшем под с следует понимать как число, так и беско-
бесконечность.
9 № 2242 257

временно стремятся к нулю. Таким образом, получаем неопреде-
неопределенность вида -д-. Применяя правило Лопиталя, найдем
,. 1—sins I- — cos* л
urn —— = lim —: =0.
л cos a: n sin*
Итак, lim (sec л:—tgx)—0.
я
Неопределенность вида 0-оо. Под раскрытием такой неопреде-
неопределенности понимают нахождение предела lim [f(x)q>(x)]t если
х->с
lim/(x) =0 и Нтф(л;) = оо. Этот случай также преобразованием
Х-+С Х-Ю f
выражения / (х) ф (х) сводится к раскрытию неопределенностей вида
0 00
-jr ИЛИ—.
Пример 5. Найти lim tg2x[tgx—ctgjc].
Х-* Л/4
Решение. Так как при х—>— tg2A:-^oo и tgx—ctgx—>0,
то имеем неопределенность вида оо-0. Преобразуем данное выра-
выражение так:
lim tg 2x \tz x—ctg x] = lim
и уже ш
жем применить правило Лопиталя:
Щ1 ХЯ/4
Так как здесь мы получили уже неопределенность вида -д-, то мо-
моs
lim *??zz^f lim cos** sin's
Ш
/ /
sin2 2*
Итак, окончательно:
lim tg2x[tgx—ctg*] = — 2.
Неопределенность вида I00. Под раскрытием такой неопределен-
неопределенности понимают нахождение предела lim [/(jc)]^*>t если lim/(x) = l,
Х-+С Х-+С
Нтф(л:) = оо.
Х-+С
Неопределенность вида 0°. Под раскрытием такой неопределен-
неопределенности понимают нахождение предела lim [/ (х)]фи), если lim/r(x)=0
Х-+С Х-+С
и Нтф(л:)=0.
Х-+С
Неопределенность вида оо°. Под раскрытием такой неопределен-
неопределенности понимают нахождение предела lim [/ (х)]фи), если lim/(x) = oo
и Нтф(х)=0. *-*° *-+с
Х-+С
Неопределенности вида I00, 0° и оо° приводятся к случаям не-
неопределенностей вида -Q- или ^ обычно с помощью логарифмиро-
логарифмирования выражения [/ (х)\ч>(хК
258

Пример 6, Найти lim (l+x2)*.
Решение. В этом случае A+х2)—> + оо, > (), и мы имеем
неопределенность вида оо°. Обозначим у= A +х2I/х. Логарифми-
Логарифмируя, находим
Так как при х—>+оо, числитель и знаменатель стремятся
бесконечности, то полу
меняем правило Лопиталя:
к бесконечности, то получаем неопределенность вида —. При-
При2x
' = lim —2-^l.—' = lim —-t—
Так как 1п# функция непрерывная, то lim (In у) =ln ( lim #);
следовательно, ln( lim */)=0 и lim у=1. Итак, lim A+х2I/* = 1.
Х-+ + СР Х-++СР Х-+ + СО
Замечание. Согласно правилу Лопиталя, если существует
предел отношения производных данных функций, то существует
предел отношения самих функций. Если же предел отношения
производных не существует, то это еще не означает, что не сущест-
существует предел отношения самих функций. Рассмотрим, например, две
бесконечно большие функции при х —> + оо: f (х) = х + sin x и
ф(х) — х. Предел их отношения при х—-> + °° существует, так как
lim ?±5!"?в lira
Х
Х
Однако, предел отношения производных данных функций
не существует, так как cos л; при х—j^-)-00 не имеет предела.
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
/• Необходимые и достаточные условия возрастания
и убывания функции
Напомним приведенные в гл. V § 2 п. 4 определения возрастаю-
возрастающей и убывающей функций.
Функция y = f(x), определенная на сегменте (или интервале),
называется возрастающей на этом сегменте (или интервале), если
из неравенства х2 > х19 где х2 и хг—любые две точки, принадлежа-
принадлежащие сегменту (или интервалу), следует неравенство f (х2) > / (#г)
(см. рис. 121).
9* 259

Введя обозначения х% = х1 = Их и f(x2)—/ (jcx) == Д^, замечаем,
что tax и Д# имеют одинаковые знаки. Следовательно, для возрас-
возрастающей функции отношение приращений функции и аргумента
всегда положительно, т. е. -~ > 0.
Функция y = f(x), определенная на сегменте (или интервале),
называется убывающей на этом сегменте (или интервале), если из
неравенства х2>х1У где х2 и xt—любые две точки, принадлежащие
сегменту, следует неравенство f(x2)<f(x1) (см. рис. 121).
В этом случае приращения кх = х2—хх и Ay = f(x2)—/(л^)
имеют разные знаки и поэтому для убывающей функции отноше-
отношение приращений отрицательно, т. е. д~ < 0.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и
убывания функции в интервале.
Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если
дифференцируемая в интервале (а, Ь) функция y = f(x) возрастает,
то ее производная не может быть отрицательной ни в одной точке
данного интервала, т. е. /' (х) ^0 для а <х <Ь.
Доказательство. Пусть y^f(x) функция, возрастающая
в интервале (а, Ь). Рассмотрим две точки х и х + Ах, принад-
принадлежащие интервалу (а, Ь). Тогда, как было указано выше,
—/(*) >Q Переходя к пределу при Дх—>0, получим
*. Так как по предположению функция дифференци-
руема, то lim ir — f'(x) и, следовательно, f (х)^0.
Подобным же образом доказывается следующая теорема.
Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если диф-
дифференцируемая в интервале (а, Ь) функция y = f(x) убывает, то ее
производная не может быть положительной ни в одной точке дан-
данного интервала, т. е. f (х) ^ 0 для а < х < 6.
Рассмотренные теоремы можно наглядно иллюстрировать геомет-
геометрически. Действительно, график возрастающей функции при дви-
движении вправо по оси абсцисс поднимается вверх. В таком случае
касательные к графику образуют острые углы а с положительным
направлением оси Ох, или, быть может, в некоторых точках (на-
(например, в точке хх) параллельны оси Ох (рис. 147, а).
Так как тангенсы острых углов положительны (а в тех точках,
где касательные параллельны оси Ох, равны нулю) и так как по
геометрическому смыслу производной tga = /'(jt), то для воз-
возрастающей функции /' (х) ^ 0.
Аналогично, если функция убывает (рис. 147, б), то касатель-
касательные образуют с осью Ох тупые углы а, или в некоторых точках
(например, в точке х2) параллельны оси Ох. Так как тангенсы
тупых углов отрицательны, то для убывающей функции /'(#)<О,
* Так как предел положительной функции не может быть отрицательным
(см. § 1, п. 6, теорема 7).
260

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если
непрерывная на сегменте [а, Ь] функция y = f(x) в каждой внут*
ренней точке этого сегмента имеет положительную производную,
то эта функция возрастает на сегменте [а, Ь].
Доказательство. Пусть /' (х) > 0 для всех а<х<Ь. Рас-
Рассмотрим два произвольных значения хг и хг из сегмента [а, Ь],
причем х2 > xv Напишем формулу Лагранжа (91) применительно
к сегменту [х19 х2]:
У\
А
У1
0
б)
V
а х
\&v 1 \йк ,
Рис. 147
Во всех точках сегмента [а, Ь] производная /' (х) > 0, поэтому
и в точке с р (с) > 0. Так как, кроме того, х2—хг > 0, то про-
произведение (х2—хг) р (с) > 0 и, следовательно, / (х2)—/ (хг) > 0.
Отсюда f(x2) > /ta), т. е. функция f(x) возрастает на сегменте
[а, Ь].
Подобным же образом доказывается следующая теорема.
Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если непре*
рывная на сегменте [а, Ь] функция y = f(x) в каждой внутренней
точке этого сегмента имеет отрицательную производную, то эта
функция убывает на сегменте [а, Ь].
Напомним, что функция только возрастающая или только убы-
убывающая в каком-либо интервале называется монотонно возрастаю-
возрастающей или монотонно убывающей в этом интервале (см. гл. V, § 2,
п. 4).
Пример. Определить интервалы монотонности функции
Решение. Производная функции равна у' =3х2—3. Функция
возрастает для всех значений х, при которых у' > 0. Решая нера-
неравенство Зх2—3 > 0, находим: л:>1 или х< — 1. Таким образом*
функция возрастает в интервалах —oo<x< — 1 и 1<лг< + оо.
Сбывает функция для значений х9 при которых у' < 0, Решая

неравенство Зх2 — 3 < 0, находим х2 < 1, или —1 < х < + 1. Функция
убывает в интервале — 1<х< + Ь График функции у = х*—3х
представлен на рис. 148.
2. Максимум и минимум функции
Рассмотрим график непрерывной функции y^f(x)> изображен-
изображенный на рис. 149. Как видно из рисунка, значение функции в точке xt
будет больше значений функции во всех «соседних» точках как
слева, так и справа от хх. В этом случае говорят, что функция
имеет в точке хх максимум. В точке х3 функция, очевидно, также
имеет максимум.
а х*
Рис. 148
Рис. 149
Определение 1. Функция у=[(х)имеет максимум в точке с,
если существует такая окрестность точки с, что для всех точек
хфс9 принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство
f(x)<f(c). (93)
В точке х2 значение функции меньше всех «соседних» значений.
В этом случае говорят, что функция имеет в точке х2 минимум.
В точке л:4 функция, очевидно, также имеет минимум.
Определение 2. Функция y = f(x) имеет минимум в точке с,
если существует такая окрестностс точки с, что для всех точек
с, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство
f(*)>f(c).
(94)
Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум
функции. Следует отметить, что если функция имеет в точке макси-
максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наиболь-
наибольшее значение во всей области ее определения. Из определения мак-
максимума следует только то, что это самое большее значение функции
в точках, достаточно близких к точке с. Так, на рис. 149 функция
в точке хг имеет максимум, хотя имеются точки, в которых значе-
значение функции больше, чем в точке хх. Аналогичное замечание можно
сделать относительно минимума функции. В частности, может ока-
262

заться, что минимум функции будет больше максимума (см. значе-
значения функции в точках хг и хх на рис. 149).
Теорема (необходимый признак существования экстремума функ-
функции)* Если дифференцируемая в точке х~с функция y=f(x) имеет
в этой точке максимум или минимум, то ее производная при х = с
обращается в нуль, т. е. f (с) = 0.
Доказательство. Пусть, например, функция y = f(x) имеет
в точке с максимум. Согласно определению максимума, должна
существовать окрестность точки с такая, что для всех точек х (хфс)
этой окрестности
f(x)<f(c), (95)
т. е. значение f(c) будет наибольшим значением функции в этой
окрестности. Так как по условию функция имеет в точке с произ-
производную /'(с), то по теореме Ферма (п. 1, § 6) должно быть f'(c)=O.
Подобным же образом доказывается теорема и для случая мини-
минимума функции.
До сих пор рассматривался только случай, когда функция
y = f(x) имела производную в точке экстремума. Могут, однако,
встретиться случаи, когда в точках экстремума функция не имеет
производной. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. f (х) = |х|. График этой функции изображен на рис. 134,
При х = 0 эта функция не имеет производной (см. § 1, п. 5 и 6),
Но очевидно, что в точке л; = 0 функция имеет минимум.
Пример 2. / (*) = 1 — У?. Здесь /' (х) = ^=, и при х = 0
3 у/ X
производная не существует. График функции изображен на рис. 145»
Несмотря на то что при # = 0 производная /'(О) не существует
(терпит бесконечный разрыв), функция при х = 0 имеет максимум.
Рассмотренные примеры позволяют дополнить сформулирован-
сформулированный необходимый признак существования экстремума следующим
образом.
Если непрерывная функция y = f(x) имеет в точке х=с экстре-
экстремум, то производная функции /' (х) обращается в этой точке в нуль
или не существует.
Следует отметить, что условие /'(с)=0 (или f (с) не существует),
будучи необходимым для существования экстремума, не является
достаточным. Например, функция f(x)=x3 имеет производную
/' (х) = Зх2, обращающуюся в нуль при х = 0, однако при х = 0 функция
не имеет экстремума (см. рис. 19).
Определение. Значение аргумента х=с, при котором произ-
производная обращается в нуль или терпит разрыв (в частности, обра-
обращается в бесконечность), называется критическим (критическая
точка).
Таким образом, экстремум функции, если он существует,
может иметь место только в критических точках. Однако, как мы
видели, не во всякой критической точке функция имеет экстре-
экстремум.
263

Рассмотрим теперь так называемые достаточные условия
существования экстремума, обеспечивающие его наличие в крити-
критической точке.
Предварительно условимся для дальнейшего, в тех случаях,
когда производная слева от критической точки имеет один знак,
а справа от нее—другой знак, говорить, что производная при пере-
переходе через критическую точку меняет знак.
Теорема (достаточный признак существования экстремума). Если
непрерывная функция y=-f(x) имеет производную f (х) во всех точ-
точках некоторого интервала, содержащего критическую точку с (за
исключением, может быть, самой точки с), и если производная
f (х) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с
меняет знак с плюса на минус, то функция в точке с имеет макси-
максимум, а при перемене знака с минуса на плюс—минимум.
у'<0 уг>0
с-п с c+h
Максимум
(r>0 I
c-h с c+h
Минимум
Рис. 150
Доказательство. Пусть с—критическая точка и пусть, для
определенности, при переходе аргумента через точку с производная
меняет знак с плюса на минус, т. е. слева от с производная поло-
положительна, а справа от с—отрицательна. Это значит, что существует
достаточно малое h > 0 такое, что f (х) > 0, если с— h < х < с, и
/' (х) < 0, если с < х < c + h.
На основании теорем о возрастании и убывании функции заклю-
заключаем, что f (х) возрастает на сегменте [с—h, с] и убывает на сег-
сегменте [с, c + h].
Следовательно, в точке с функция будет иметь значение большее,
чем значение функции во всех точках сегмента [с—A, c + h], а это
и означает, что в точке с функция имеет максимум.
Аналогично доказывается теорема и в случае минимума (рис. 150).
Замечание. Если производная /' (х) не меняет знака при пере-
переводе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет
ни максимума, ни минимума.
Рассмотрим примеры на нахождение максимума и минимума
функций.
Пример 1. f(x) = ~x* — 2x* + Sx+\.
Решение. Эта функция определена и дифференцируема на всей
числовой оси.
1. Находим производную:
264

2. Приравниваем производную нулю и находим корни производ-
производной (критические точки):
Эти числа разбивают всю область определения данной функции на
три интервала: —оо<л;<1, 1<л:<3, 3<х< + оо.
3. В каждом из этих интервалов производная сохраняет свой
знак (так как смена знака может произойти только при переходе
через критическую точку). Поэтому при исследовании знака произ-
производной в каждом интерва-
интервале достаточно взять лю-
любую точку этого интер-
интервала.
В интервале —оо <
<х < 1 берем, например,
точку х = 0. В этой точке
/'@)=,02 — 4-0 + 3 = 3 >0.
Поэтому во всем интерва-
интервале — оо < х < 1 производ-
производная положительна.
Аналогично находим,
Рис. 151
что в интервале 1 < х < 3
производная отрицательна,
а в интервале 3 < х < + оо
производная положительна.
Так как при переходе через критическую точку х = 1 произ-
производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция
имеет максимум. Вычисляем его:
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с ми-
минуса на плюс, а следовательно, в этой точке функция имеет минимум:
У»1п=/C) =-5-27-2.9 + 3.3+ 1=1.
Полученные результаты запишем в таблицу:
X
У'
У
— 00 <Х <1
+
возрастает
1
0
максимум
Утах = 7/3
1 < а: < 3
—
убывает
3
0
минимум
3 < х < + оо
+
возрастает
График функции изображен на рис. 151.
Пример 2. f(x)=xex.
Решение. Эта функция определена и дифференцируема на
всей числовой оси.

1. Находим производную: /' (х) =ех (х+ 1).
2. Приравниваем производную нулю и находим корни произ-
производной:
Пх)=0, е*(х+1) = 09 х = -1.
Это число разбивает всю область определения функции на два интер-
интервала: — оо < х <—1, —1 < х < + оо.
3. Исследуем знаки производной в каждом из этих интервалов.
В интервале — оо <х <—1 берем, например, значение х=^—2,
тогда
В интервале —1 <*<
<-t-oo для значения х—0
имеем:
Рис. 152
Так как при переходе через точку х==— 1 производная меняет
знак с минуса на плюс, то при х = — 1 функция имеет минимум*
Полученные данные запишем в таблицу:
X
У'
У
— оо <х < 1
—
убывает
— 1
0
минимум
Ут\п = --у^-0,37
— 1 <х <+оо
+
возрастает?
График функции у — хе* изображен на рис. 152.
3. Достаточный признак существования экстремума,
основанный на знаке второй производной
В некоторых случаях при исследовании функции на экстремум
оказывается удобным следующий достаточный признак существова-
существования экстремума, основанный на знаке второй производной.
Теорема. Пусть в точке х = с первая производная функции f(x)
равна нулю [/'(с)=0], а вторая производная существует и отлична
cm нуля [Г (с)фО]. В таком случае если f" (с) <0, то в точке с
функция имеет максимум, если же /" (с) > 0, то в точке с функция
имеет минимум.
266

Доказательство. Пусть для определенности /г"(с)<0. Пока-
Покажем, что в точке с функция имеет максимум. На основании опре-
определения второй производной имеем:
Так как по условию /'(с)=0, то
Г(С)=Ит
Д* -
Но Г (с) < 0. Поэтому
Так как предел отрицателен, то для малых по абсолютной вели-
величине значений Дл; будет выполняться неравенство
Ах ^
Пусть Дл; < 0; тогда /' (с + Ах) > 0; если же Ах > 0, то
/' (c-f Дх) < 0. Это показывает, что при переходе через точку с первая
производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно,
на основании достаточного признака существования экстремума, рас-
рассмотренного в предыдущем пункте, функция f(x) имеет в точке с
максимум. Аналогично доказывается, что если f" (с) > 0, то в точке с
функция имеет минимум.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти экстремум функции f(x)=x—2 sin* на сег-
сегменте [0, 2я].
Решение. 1. Находим производную f'(x) = \—2cos*.
2. Приравниваем производную нулю и находим корни произ-
производной:
х #
3. Находим вторую производную /" (х) = 2 sin л: и определяем ее
знак в точках д:1=-^-; х%=-?. В точке ^^-^ имеем: Г (-у) =
= 2sin ? - КЗ > 0. В точке *2= ^ имеем: f ^) =2sin ^ =
Следовательно, в точке *i=-y функция имеет минимум:
а в точке х2=-^—максимум:
5л Л . 5л 5л
f/ 2sin
6,96.
В тех случаях, когда в критической точке вторая производная
обращается в нуль или не существует, второй достаточный признак
267

существования экстремума не применим. В этих случаях приходится
пользоваться достаточным признаком, основанным на перемене знака
первой производной.
Пример 2. Найти экстремум функции f(x)=x*.
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на
всей числовой оси.
1. Находим производную /' (х) = 4х3.
2. Приравниваем производную нулю и находим ее корни:
3. Находим вторую производную /" (х) = 12х2. В критической
точке х = 0 вторая производная тоже обращается в нуль. В этом
случае рассмотренный достаточный признак не применим. Применяя
первый достаточный признак, основанный на смене знака первой
производной, убеждаемся, что при х — 0 функция имеет минимум,
так как проходя через точку х=0 первая производная меняет знак
с минуса на плюс (см. рис. 20).
4. Отыскание наибольшего
и наименьшего значений функции
Рассмотрим функцию y = f(x), непрерывную на сегменте [а, Ь].
Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наи-
наименьшего значений либо на границе сегмента, либо внутри него
(гл. V, § 2, п. 3). Если наибольшее (или наименьшее) значение
функции достигается во внутренней точке с сегмента, то это значе-
значение является максимумом (или минимумом) функции, так как нера-
неравенство M=f(c)^f(x) (или tn = f(c)^.f(x)), имеющее место для
всех точек х сегмента [а, 6], выполняется и для любой окрестности
точки с, лежащей внутри сегмента [а, Ь] (см. рис. 150).
Таким образом, получаем следующее правило нахождения наи-
наибольшего и наименьшего значений функции на сегменте [а, Ь).
1. Находим все критические точки функции в интервале (я, Ь)
и вычисляем в них значение функции.
2. Вычисляем значения функции на концах сегмента—в точках
х = а и х = Ь.
3. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.
.. Замечание. Очевидно, если непрерывная на сегменте функция
имеет во внутренней точке этого сегмента только один экстремум,
то в этой точке она имеет наибольшее значение в случае макси-
максимума и наименьшее—в случае минимума.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x)=azx3 — Зх на сегменте [—1,5; 2,5].
Решение. 1. Находим все критические точки функции на
интервале (—1,5; 2,5):
f'(x)=3x2—3, За:2—3-0. Отсюда xl=—l9 х%=+1.
Вычисляем значения функции в этих точках:
/(_l) = (_l)*_3(-l) = 2t /(+ 1) = 1—3 —-—Sk"
268

2. Вычисляем значения функции на концах сегмента:
/(-1,5) = (-1,5K-3 (- 1,5)= 1,125;
= 2,53—3-2,5=8,125.
Таким образом, наибольшее значение функции #наиб==8,125
достигается на правом конце сегмента. Наименьшее значение функ-
функции 4/наим^—2 и достигается в точке х = \.
5. Применение теории максимума и минимума
к решению задач
Изложенную теорию максимума и минимума функции можно
применить к решению практических задач.
Пример 1. Из квадратного листа жести со стороной а требуется
сделать открытый сверху ящик, возможно большего объема, выре-
вырезая равные квадратные уголки и загибая жесть (рис. 153). Какова
должна быть сторона вырезаемых квадратных уголков?
а-гх
Рис. 154
Решение. Пусть сторона вырезаемого квадрата равна х, тогда
сторона квадрата, образующего дно ящика, будет а—2х. Объем
ящика
V= (а—2л:J -х = аЧ—4ах2 + 4х3.
Для решения этой задачи нужно найти, при каком х эта функ-
функция имеет наибольшее значение на интервале @, у). Находим
производную V = а2—8ал;+12л;2. Приравниваем производную нулю
и, решая уравнение, находим критические точки, принадлежащие
интервалу (О, yj:
а2 — 8ах+12х2=0.
Отсюда x = -g-*. Так как при * = -||- вторая производная V"=*
(»¦ *>
2G9
* Второй корень
не принадлежит интервалу

=— 8а + 24х отрицательна (v" (|Л =—8я + 24~ = — 4a <o) , то
в точке x = ~-объем достигает максимума:
^max— {u 6 ) 6 ~~27
Согласно замечанию п. 4, этот максимум функции является ее наи-
наибольшим значением. Итак, коробка будет иметь наибольший объем,
если сторона вырезанного квадрата равна -тт.
Пример 2. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, кото-
который можно вписать в данный прямой конус (рис. 154).
Решение. Пусть высота конуса OB=h и радиус основания
конуса OA=R. Высоту цилиндра ОС обозначим через у, а радиус
основания OF через х. Объем цилиндра V ^тсх2у. В данном случае
объем V зависит от двух переменных хну. Однако можно соста-
составить еще уравнение, связывающее эти переменные.
Из подобия треугольников АОВ и DCB находим
B или x:(h—y) = R:h.
Отсюда
R(h-y)
х- й .
Подставляя это значение х в выражение для объема цилиндра,
получаем
v=-&-№—у) у-
Очевидно, что переменная у может принимать значения от 0 до Л.
Найдем наибольшее значение этой функции на интервале @, ft).
Находим производную от функции V по переменной у:
Приравниваем производную нулю и находим критические точки на
интервале (О, Л):
{y% — h не принадлежит интервалу @, h)).
Так как вторая производная V* = ~r(—4ft + 6у) при у =-*.
h
отрицательна, то при # = у объем V имеет максимум. Это макси-
максимальное значение будет наибольшим.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба
Изучим теперь некоторые свойства графика функции, связан-
связанные с понятиями выпуклости и вогнутости.
270

Определение 1. График дифференцируемой функции y f()
называется выпуклым в интервале (а, Ь), если он расположен ниже
любой своей касательной на этом интервале.
Определение 2. График дифференцируемой функции y = f(x)
называется вогнутым в интервале (а, 6), если он расположен выше
любой своей касательной на этом интервале.
Н
6x0
Рис. 155
На рис. 155 изображены выпуклый и вогнутый графики функций.
Так, например, полуокружность y= + Kl — х% будет выпукла
на сегменте [—1, +1], а парабола у = х2 вогнута в интервале
(—оо, +оо).
График функции в одних интервалах может быть выпуклым,
а в других — вогнутым. Например, график функции y—sinx, рас-
рассматриваемый в интервале от О
до 2я, будет выпуклым в ин-
интервале @, я) и вогнутым в
интервале (я, 2я) (см. рис. 124).
Рассмотрим теперь достаточ-
достаточный признак, позволяющий
устанавливать, будет ли график
функции в данном интервале
выпуклым или вогнутым.
Теорема. Пусть функция
y = f(x) имеет вторую произ-
производную /" (x) во всех точках ин-
интервала (а, Ь). Если во всех точ-
точках этого интервала /"(#)< О, рис, 155
то график функции в этом
интервале выпуклый, если же /" (х) > 0 — вогнутый.
Доказательство. Допустим для определенности, что f (x) < О,
и докажем, что график будет выпуклым. Возьмем на графике функ-
функции произвольную точку Мо с абсциссой х0, принадлежащей интер-
интервалу (а, 6), и проведем через точку Мо касательную (рис. 156). Для
доказательства теоремы мы должны установить, что график функ-
функции в интервале (а, Ь) расположен ниже этой касательной. Другими
271

словами, мы должны показать, что для одной и той же абсциссы х
ордината кривой будет меньше ординаты касательной. Уравнение
графика будет у = / (л:). Уравнение касательной в точке Мо имеет вид
Здесь через У обозначена ордината касательной, соответствующая
абсциссе х.
Разность ординат графика и касательной при одной и той же
абсциссе х будет:
y-Y =/ (х)-[f (xo) + f (х0) (*-*.)],
или
y-Y = / (х)-/ (*,)-/' (х0) (х-х0).
Разность f(x)—/(л:0) преобразуем по формуле Лагранжа (91):
где с заключено между х0 и х.
Тогда
y-Y = f (с) (х-хо)-Г (х0) (х-х0) = (х-х0) [/' (с)-Г (*,)]. (96)
Разность f (с)—/(л;0) снова преобразуем по формуле (91), при-
применяя ее к производной /' (%):
где сх заключено между х0 и с, а следовательно, между х0 и х.
Подставляя выражение для разности в равенство (96), получим
у—У —(л;—хо)(с—xo)/"(ci)- Разности х—х0 и с—х0 имеют одина-
одинаковый знак, так как с заключено между х0 и х следовательно, их
произведение
(х—хо)(с—хо)>О.
Так как по условию /" (х) < 0 на интервале (а, 6), то, в частности,
Г (ci) < 0- Поэтому у—У = (х—х0) (с—х0) /' (сх) < 0. Итак, доказано,
что для всех точек интервала (а, Ь) ордината касательной больше
ординаты графика, т. е. график выпуклый.
Аналогично доказывается, что при f"(x)>0 график будет во-
вогнутый.
Определение. Точка графика непрерывной функции, отделя-
отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Рассмотрим теперь, как находятся точки перегиба графика
функции.
Пусть в точке х0 функция y = f(x) непрерывна. Тогда имеет
место следующая теорема.
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).
Если вторая производная /" (х) меняет свой знак при переходе через х0,
то в точке с абсциссой x=^xQ график функции имеет точку перегиба.
Доказательство. Пусть, например, /"(л;)<0 при x<xQ и
/" (у) > 0 при х > х<>. В этом случае слева от х0 график выпуклый,
272

а справа от х0—вогнутый. Следовательно,
интервал выпуклости от интервала вогнутости, т. е. точка (х0,
графика функции является точкой перегиба (рис, 157).
либо непрерывна,
ф фу
В самой точке х0 вторая производная
точка х0 отделяет
либо
так как по условию
У,
Рис. 157
0 р
разрывна. В случае непрерывности
теоремы /" (х0) при переходе через х0
меняет свой знак.
Поэтому точки перегиба следует
искать только среди таких точек,
где вторая производная обращается
в нуль, или разрывна (в частности,
не определена).
Пример. Исследовать на выпук-
выпуклость, вогнутость и точки перегиба
график функции / (x) = x3—Ъх.
Решение. Находим производ-
производные: f'(x) = 3x*—3, У(х)=6х. При-
Приравниваем вторую производную нулю
и находим ее корень: 6х = 0, откуда
х = 0. Замечая, что при х < 0 /" (х) =
=6х<0, а при х>0 /" (х) = 6х > 0, заключаем, что в интервале
(— оо, 0) график функции выпуклый, а в интервале @, + оо)—
вогнутый. Следовательно, при х = 0 график функции имеет точку пе-1
региба (см. рис. 148).
7. Асимптоты графика функции
При исследовании функции важно установить форму ее графика
при неограниченном удалении точки графика от начала координат
или, как говорят, при удалении его переменной точки в беско-
бесконечность.
Особый интерес представляет случай, когда график функции
при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно
приближается к некоторой прямой.
Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) назы-
называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояния
от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки по графику от начала коор-
координат *.
Рассмотрим отдельно случаи асимптот, параллельных оси Оу и
не параллельных оси Оу.
Асимптоты, параллельные оси Оу. Пусть при х—+х0 функция
y = f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е.
lim f(x) = оо. Тогда из определения асимптоты следует, что прямая
X -> Хо
х^=х0 является асимптотой (рис. 158). Очевидно и обратное, если
прямая х = х0 является асимптотой, то lim f(x)=oo.
* С понятием асимптоты мы встречались на примере гиперболы (гл. II, §2, п. 4).
273

Таким образом, для отыскания асимптот графика функции (/ = /(*),
параллельных оси Оу, надо найти те значения x = xot при которых
функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв).
Тогда асимптота, параллельная оси Oyt имеет уравнение х=хй.
Пример 1, Найти асимптоту графика функции f(x) = x+-~-*bt
параллельную оси Оу.
Решение. Так как Нт/(л;) = Нт [х-\ ^l™00» T0 прямая
Х-+ 2 Х-> 2 V X — ZJ
х=-2 будет асимптотой.
Пример 2. Найти асимптоты графика функции f(x)=^tgx, парад*
лельные оси Оу.
Решение. Так как lim tgx—oo, то график этой функции
имеет бесчисленное множество асимптот:
* — 2 , *»= 2 я, а:— 2 я, .¦»
*=—-у, #=—-^-я, л:=—уя, .¦.¦ (см. рис. 26)
Асимптоты, не параллельные оси Оу.Пусть график функции y~f(x)
имеет асимптоту, не параллельную оси Оу. Тогда уравнение такой
асимптоты имеет вид y — kx + b (в частном случае коэффициент k
Vft*)
у
Асимптота
х0
Рис. 158
х
Рис. 159
может равняться нулю—горизонтальная асимптота). Для опреде-
определения k и Ь поступим следующим образом. Опустим из точки М
графика функции на асимптоту перпендикуляр MN (рис. 159).
Из определения асимптоты следует, что при х—^+оо длина
MN—+0: lim MN = 0. Из треугольника MXMN имеем: МгМ =
» , где а угол наклона асимптоты к оси Ох. Так как a no-
cos a J
стоянно, то МХМ стремится к нулю одновременно с MNt т. е.
lim MhM*=Q.
274

Так как
МгМ = РМг — РМ= Г/асимпт. —^графика = (kx + b) — f (х)9
ТО
lim {{kx + b)—f(x)] = 0. (97)
Из (97) следует, что разность, стоящая в квадратных скобках, есть
бесконечно малая функция при я—>4-°°: f(x) — (kx + b) = Р(х).
Делим последнее равенство почленно на х и переходим к пределу:
lim р-^—k = lim ?i—'.
Так как lim ——0 и lim ?-УУ = 0, то имеем
X -+ + СО Х X -++ СО Х
lim
Отсюда угловой коэффициент асимптоты
k= \\т№. (98)
Определим теперь Ь. Так как
то
У\ ( ( лг\ ___ И у» _^^ ft / у\
Переходя к пределу при х—> + оо, получим
6= lim [/(jc) — Jfex]. (99)
*+ СО
Здесь й находится по формуле (98).
Таким образом, для нахождения асимптоты, не параллельной
оси Оу, надо найти пределы (98) и (99). Можно показать, что и
обратно, если пределы (98) и (99) существуют, то прямая y = kx-\-b
есть асимптота.
Если хотя бы один из этих пределов не существует, то график
функции y = f(x) асимптоты при х—>- + оо не имеет.
Аналогично находятся асимптоты при х—>—оо. Заметим,
что пределы вида (98) и (99) могут быть различными прилг—*+°сэ
и х—> — оо, т. е. график функции может иметь две различные асимп-
асимптоты, не параллельные оси Оу9 при х—^ + °° и х—>—оо.
Пример 3. Найти асимптоты графика функции у = х—2arctgx.
Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей
числовой оси. Следовательно, асимптот, параллельных оси Оу, гра-
график не имеет.
Находим асимптоты, не параллельные оси Оу.
= Hm A _
X J
= 1_2 lim ,
275

&== lim (x—2arctgjc—x) = — 2 lim
X-+ + CH x -* + » г
Итак, уравнение асимптоты при х—>--}-оо: у = х—я.
2) *__оо; fe= lim i=^?lif= lim fl-2arctg*Ul,
b= lim (л:—2arctgjc—x) — — 2 lim (arctg x) =— 2(—-~) = я.
Уравнение асимптоты при л:—*-—оо: у — .
0
7
/ /
ос
Рис. 160
Таким образом, график функции у = х—2 arctg л: имеет две раз-
различные асимптоты, не параллельные оси О у:
у = х—л при х—Н-оо,
у = х-\-п при х—>—оо.
График функции у = х—2 arctg x показан на рис. 160.
8. Общая схема исследования функции
и построение ее графика
На основании всего изложенного в этом параграфе можно ре-
рекомендовать следующий план исследования функций.
1. Нахождение области определения функции, интервалов не-
непрерывности и точек разрыва.
2. Нахождение асимптот графика функции.
3. Нахождение интервалов монотонности функции и ее экстре-
экстремумов (максимумов и минимумов).
* См. гл. V, § 2, п. 5,
?76

4. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек
перегиба графика функции.
5. Построение графика функции.
Замечание 1. При построении графика функции полезно знать
также точки пересечения графика с осями координат.
Замечание 2. Перед построением графика полезно также
установить, не является ли данная функция четной [/(—#) = /(*)]
или нечетной [/(—х) =— /(*)]•
При построении графика четной или нечетной функции рекомен-
рекомендуется использовать симметрию графика относительно оси ординат
или начала координат.
Пример 1. Исследовать функцию f(x) = 2x—3\/х2 и построить
ее график.
Решение. 1. Функция определена и непрерывна для всех
значений х.
2. Асимптоты графика функции, не параллельные оси Оу:
= lim B_3 I/I)-2,
Х-+ + СР \ * Х '
* lim k lim
b= lim [f(x—kx)}, b= lim [2х—3 j/F—2x] =
X -» + 00 X -> + ОО
= lim (—3^/Р)=— оо.
Так как для Ъ не существует конечного предела, то график
функции асимптот, не параллельных оси Оу, при х—>+ оо не имеет.
Легко проверить, что и при х—> — оо график функции также не
имеет асимптот, не параллельных оси Оу. Асимптот, параллельных
оси Оу, также нет, так как функция 2х—3 l/х2 непрерывна при
всех значениях х.
3. Определяем интервалы монотонности функции, максимумы и
минимумы.
2
Находим производную /'(х)=2—3 -.
V х
Определим критические значения аргумента:
2—^-—-=0 или з —^- = 0, ух— 1 =-0, *=1.
V х / х
Кроме того, так как при х = 0 производная терпит бесконечный
разрыв, то значение лг = О будет также критическим.
Определяем знаки производной в каждом из интервалов (—оо, 0),
(О, 1), A, -¦+- оо), на которые точки 0 и 1 разбивают всю область
определения данной функции. Имеем:
(—оо, 0): /'(-1)>0;
@,1): /'(!
A, +оо): /'(8)>0.
277,

Составляем таблицу
X
у'
У
— оо <*< 0
+
возрастает
0
не сущ.
максимум
0 < л: < 1
—
убывает
1
0
минимум
Ут\п — 1
1 <*< оо
+
возрастает
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки пе-
перегиба графика.
Находим вторую производную
f"(x) не обращается в нуль ни при каком значении xt ноприлг=0
не существует (имеет бесконечный разрыв).
Определяем знаки второй производной в каждом из интервалов
(—оо, 0) и @, +оо) и составляем таблицу
X
У"
график
— оо <х <0
+
вогнут
0
не существует
перегиба нет
0 < х < + оо
+
вогнут
Находим точки пересечения графика с осями координат:
о г— Л Л 97
f (х) = 0 2х 3 л/ х* — 0 8х9 27х2 =0 лг = лг — О х
При построении графика необходимо иметь в виду, что при х—+0
f (х)—»- оо, т. е. в начале коор-
координат график имеет вертикаль-
вертикальную касательную (рис. 161).
Пример 2. Исследовать функ-
функцию — и построить ее график.
х
Решение. 1. Функция опре-
определена и непрерывна в интервале
0<л;< + о°. В граничной точке
л; = 0 области определения функ-
функция имеет бесконечный разрыв,
так как lim — = —оо.
v Л , Л X
z
Рис. 161
27$

2. Асимптоты графика. Так как в точке лс = О функция имеет
бесконечный разрыв, то прямая х= О (ось Оу) является асимптотой.
Найдем асимптоту, не параллельную оси Оу:
1
^* lim ?= lim Л = 0.
,2л:
2х2'
1
b== ym (!??_o.x)= lim ^= lim ± = 0.
Итак, ft = 6 = 0 и уравнение асимптоты будет у = 0, т.е. асимптотой
является ось Ох.
Таким образом, график имеет в качестве своих асимптот ось Ох
и ось Оу.
3. Определяем интервалы монотонности и экстремумы функции.
Находим производную
Критические значения х аргумента:
/'(*)= О, Ц^=О, 1 — 1пх=0, 1пх=1, х=е.
Исследуем знак производной в каждом из интервалов @, е), (е, оо),
на которые точка х—е разбивает всю область определения функции.
(О, е): Г A) = Ц^=1>0.
Составляем таблицу
х | 0<х<е
У'
У
+
возрастает
е
0
максимум
1
Ушах — ~
е < х < + оо
убывает
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки пе-
перегиба графика.
Находим вторую производную функции:
27$

Приравниваем f"(x) нулю и находим значения аргумента, при ко-
которых график может иметь точку перегиба:
Определяем знак второй производной в каждом из интервалов
\р9е*)'*[е*9+оо).
(о, Л
21пе-3 2-3
Составим таблицу
X
график
3
0 < х < е2
выпуклый
JL
е2 «4,48
0
т. перегиба
3
2*Т
3
е 2 < х < оо
+
вогнутый
{/т.пер. =
^ 0,33.
Находим точки пересечения с осями координат. С осью Оу гра-
график точек пересечения не имеет,
так как функция определена
при 0<х< + оо. Точки пере-
пересечения с осью Ох находят-
находятся из уравнения у = 0, откуда
—-О
г ез е3/1
Рис. 162
На основании полученных
данных строим график функ-
функции у == -~^, изображенный на
рис. 162.
§ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пусть требуется найти действительные корни уравнения
/(*)=0, A00)
т. е. такие действительные значения х, при которых его левая часть
230

f(x) обращается в нуль. Будем считать при этом, что функция
f(x) непрерывна и имеет первую и вторую производные. Нахожде-
Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:
1) нахождение грубо приближенных значений корней;
2) уточнение найденных значений корней.
/. Нахождение грубо приближенных значений корней
графическим методом
Для нахождения грубо приближенных значений корней строят
график функции у = /(х). Абсциссы точек пересечения графика
с осью Ох будут корнями уравнения f(x) = 0 (рис. 163). Часто
Рис. 163
прибегают к такому приему: уравнение/(л:) = 0 преобразуют к виду
/i (*) - /2 (*) так» чтобы легко было построить графики функций
y~fi{x) и y = f2(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков и
будут корнями данного уравнения (рис. 164).
2. Уточнение найденных значений корней
методом хорд и касательных
Пусть графическим методом найдено, что корень уравнения A00)
лежит внутри сегмента [а, Ь]. Этот сегмент выбирается настолько
малым, чтобы выполнялись следующие три условия:
а) на концах сегмента [а, Ь] функция f(x) имела значения раз-
разных знаков;
б) на сегменте [а, Ь] производная /' (х) сохраняла постоянный
знак;
в) на сегменте [а, Ь] вторая производная f"(x) сохраняла посто-
постоянный знак.
Если на сегменте [а, Ь] выполнены эти три условия, то график
функции f" (х) имеет один из четырех видов, изображенных на
рис. 165*.
: : * Условия (а) и (б) означают, что на сегменте [а, Ь] имеется только один
корень уравнения. Условие (в) существенно для применения излагаемого метода
» означает, что график функции на сегменте [а, Ь] выпуклый или вогнутый.
23*

л
\
\
\
\
\
\\
й

Метод хорд и касательных ваключается в следующем: проведем
сперва хорду АВ (рис. 166) и найдем абсциссу точки пересечения
хорды с осью Ох.
Для этого составим уравнение прямой, проходящей через точки
A [a; f(a)] и В [b; f(b)]:
х—Ь_ y—f(b)
a-b-~f(a)-f(b)-
Точка пересечения хорды с осью Ох имеет координаты x = bt и у — О.
Подставляя эти значения в уравнение хорды, найдем
Число Ьх дает приближенное значение корня.
Найдем теперь абсциссу at точки пересечения касательной, про-
проведенной из конца дуги АВ с осью Ох. Из рис. 165 видно, что
касательную следует проводить в том конце дуги АВ, где знак
Рис. 166
функции f (x) совпадает со знаком второй производной /"(х). В этом
случае абсцисса ах ее точки пересечения с осью Ох лежит внутри
сегмента [а, Ь]у и корень уравнения находится между ах и Ьг.
Если же касательную проводить в другом конце дуги, где знак
второй производной и знак функции противоположны, то точка
пересечения касательной с осью Ох может оказаться лежащей вне
сегмента [а, Ь] (см. рис. 165).
В дальнейшем абсциссу того конца дуги, в котором проводится
касательная, будем обозначать буквой а, а абсциссу другого конца —
буквой b (см. рис. 165).
Уравнение касательной, проведенной в точке с абсциссой а (см.
рис. 166), таково
y-f{a)=f'(a){x-a).
Точка пересечения касательной с осью Ох имеет координаты х~ах
и у = 0. Подставляя эти координаты в уравнение касательной, найдем
A02)
283

Число av так же как и ранее полученное число Ь19 дает прибли-
приближенное значение корня. Истинное значение корня лежит между ах
и bv Применим к новому сегменту [а19 Ьх] снова формулы A01) и
A02). При этом касательную следует проводить в точке с абсцис-
абсциссой alf так как в этой точке /"(*) и f{x) имеют одинаковый знак
(см. рис. 166). Получим:
A03)
Здесь а% и Ь2—новые приближенные значения корня, расположен-
расположенные ближе к корню, чем ах и Ьг (см. рис. 166).
Действуя таким образом дальше, мы будем получать новые более
точные приближения (аа> Ь3)> (а4, 64), ..., (аПУ 6)
A04)
причем при любом п корень уравнения f(x)=Q содержится между
da и bn. Если х0—точное значение корня, то погрешность прибли-
приближения \х0—ап\ или |л:0—6„|не
превосходит \ап—Ьп\:
\x,—an\<\an—bn\f
I*.-«U<K-U'
При вычислении корня х0
задается какая-либо допусти-
допустимая погрешность е (т. е. ищут
число, отличающееся от х0 не
более чем на е). Таким образом,
процесс получения последова-
последовательных приближений, ука-
указанный в методе хорд и ка-
касательных, следует приостано-
приостановить, как только разность
\ап—Ьп\ будет меньше допу-
допустимой погрешности* Все вы-
числения следует проводить
с одним или двумя дополнитель-
дополнительными знаками для того, чтобы ошибка при округлении в процессе
вычислений не превысила допустимой погрешности.
Пример. Вычислить с точностью до 0,001 корень уравнения
2х-\-\ — sin;t=0.
Решение. 1. Находим грубое приближенное значение корня.
Для этого представим уравнение 2х-\-\ — sin;c = 0 в виде
2х -J-1 = sin Хь
Рис. 167
284

Построим графики функций у=2х+\ и у = $тх (рис. 167). Из
рисунка находим, что уравнение имеет единственный корень, лежа-
лежащий на сегменте [ —1,0; —0,8]. Значения х =—1,0 и х =—0,8
являются грубыми приближенными значениями корня.
2. Уточняем найденные грубые приближенные значения. В нашем
случае / (х) == 2х + 1 — sinx. Очевидно, что на сегменте [ —1,0; —0,3]
/'(*) = 2 —cosjt>0 и r(x) = slnx<0.
Так как
f( —0,8) = 2-( — 0,8) + 1— sin ( — 0,8) « — 1,6 + 1+0,7174 «0,1174;
/('—1)=2-(—l)+l— sin(—1)«_2 +1+0,8415 «—0,15*5,
то принимаем Ъ——0,8 и а——1 (при а =— 1 знак функции сов-
совпадает со знаком второй производной).
Применяя формулы A01), A02), A03) и A04), последовательно
находим приближения ai9 bx\ а2, Ьг и т.д.*
Вычисляем
Па) = 2—cos а = 2 —cos ( — 1)= 2—0,5403 = 1,4597.
Находим:
а^~~а /'(я)" ~~ 1.4597
Ьг-Ь-f (b)j^EjWr -0,8-0,1174 ¦ _о
Вычисляем /(ах), /FJ и /' (aj:
/ (at) = 2а, + 1 —sin ax = 2 (—0,8914) + 1 + sin 0,8914 =
= — 1,7828 + 1 + 0,7779 « —0,0049;
f Ft) = 2&t +1 — sin 6, = 2 ( — 0,8850) +1 + sin 0,8850 =t
= — 1,7700 + 1 -|- 0,7739 « 0,0039;
/;'(a1) = 2—cos a, =2—cos ( — 0,8914) = 2—0,6282 = 1,3718.
По формулам A03) находим следующие приближения:
т -0.8850-0,0039 ¦
= —0,8881.
Так как разность
|ag — 6g | = 0,0003
меньше допустимой погрешности 0,001, то дальнейшие вычисления
можно прекратить и принять х0« —0,888.
* Все вычисления проводим с одним дополнительным знаком.

§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГ РА НЖ А
Пусть нам известны значения у0, у19 ...%уп функции y=f(x),
которые она принимает в точках хо> х19 ..., xni #j = /(#/) (i=l,
2, ..., л). Требуется найти многочлен степени п
значения которого в точках xQt xlt x2f . •., хп совпадают со значе-
значениями функций у = f(x):Pn(xt) = /(*,.) = y{ (i = l, 2, .,., л). Так
поставленную задачу называют задачей интерполирования, а много-
многочлен Рп(х) — интерполяционным многочленом. Принимая интерполя-
интерполяционный многочлен Рп(х) за приближенное аналитическое выраже-
выражение функции y=zf(x): f(x)« Р„(х), мы можем, например, находить
приближенные значения функции f(x) в точках х9 лежащих между
х0, х19 ..., хп. Покажем теперь, что задача интерполяции имеет
единственное решение. Для простоты ограничимся случаем интерпо-
интерполяционного многочлена второй степени
A05)
который в точках лг0, х19 х2 (узлы интерполяции) принимает соот-
соответственно значения у0, у1У у2:
P*(xt) = yt (' = 0, 1, 2).
Покажем, что при этих условиях коэффициенты а0, а19 а2 опре-
определяются однозначно. В самом деле, подставляя в уравнение A05)
х = х0, х = х1У х=х2, получим для нахождения коэффициентов а0,
а19 а2 систему трех уравнений первой степени:
Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель
А
х{ хх
Х2 Х2
(числа х0У хг и х2 различны).
Замечание. Так как графиком квадратного трехчлена у =»
=а0х2 + а1х + а2 является парабола, ось симметрии которой парал-
параллельна оси Оу (см. гл. II, § 2, п. 7), то тем самым мы доказали,
что через три точки М0(х0\ у0); М1(х1; уг); М2(х2\ у2) можно про-
провести единственную параболу, ось симметрии которой параллельна
оси Оу*.
В общем случае для многочлена степени п получим систему из
п-f-l уравнения с неизвестными а0У а19 я2, ..., ап. Решение этой
* В частном случае, если точки Мо, Мх и М2 лежат на одной прямой, то
яо=0 и вместо квадратного трехчлена получается линейная функция у = ахх+а2.
286

системы связано с громоздкими вычислениями. Поэтому интерполя-
интерполяционный многочлен Рп(х) будем искать в другой форме, позволя-
позволяющей проще определить неизвестные коэффициенты:
x—xo)(x—х%) .,, (х—хп) +
+а2(х—х0)(х—х1)(х—хг) ... (х—xn) + ...+ak(x—xo)(x—хх)...
.. .(*—хк-х)(x—xk+1)... (х—хп)+... +ап(х—х0) (х—хг) (х—х2).,.
... (х-ха_г). A06)
Для случая п = 2 интерполяционный многочлен запишется в виде
Ръ (х) = а0 (х—хг) (х—хг) + ах (х—х0) (х—х2)+а2 (х—х0) (х—хх). A07)
Покажем, как находятся его коэффициенты а0, аг и а2. Так как
по условию
Р p P
то подставляя последовательно в равенство A07) xot xv хг, получим:
Отсюда
Уо
h) = Ух = «i (*i —*o) (*i —*t).
— /# — /у /у Y \ (У Y \
— уг—иг \лг лоМлг Л1/*
„ »1 „ _
Уг
Подставляя найденные значения а0, ах и а2 в равенство A07),
получим искомый интерполяционный многочлен, который прини-
принимается за приближенное аналитическое выражение функции
—*i)(*~*2> , ,. (* — Дс0) (^—ДС
_Xi) (Хо_^2) + Ух (Xi_Xo) (Х1-
(х,-х0) (хг-
Аналогично, интерполяционный многочлен третьей степени имеет
вид
р / v _
8 К }
O-XJ (X0-X3)
(х—хо)(х — х2)(х—х3)
JC!— ДС0) (Хх-Хг) (^-АГз
(х3-х0) (xz-Xl) (xs-x2) *
Формулы A08) и A09) называются интерполяционными форму-
формулами Лагранжа для случая п = 2 и п = 3.
Пример. Нижеследующая таблица дает значения функции sinx
для некоторых значений х (в радианах). Найти sin 0,57.
X
sin x
0,40
0,3894
0,50
0,4794
0,65
0,6052

Решение. Здесь: х0 = 0,40, хг = 0,50, х2 = 0,65;
00 = 0,3894, */г= 0,4794, у2 =0,6052.
Применяя интерполяционную формулу Лагранжа A08), при
х = 0,57 найдем:
sinO S7 -0 48Q4 . (Q>57-^0,50) @,57-^0,65)
smO,b/ -0,^У4 • (о,4О-О,5О) @,40^0,65) +
, л47о4 @,57-0,40) @,57-0,65) ft fif)l,o @,57-0,40) @,57-0,50)
-t-v,*iv* • ^o,5O—0,40) @,50—0,65)"^ U|OU^ # @,65—0,40) @,65—0,50) =
= —0,0872 + 0,4347 + 0,1920 = 0,5395.
Заметим, что табличное значение с четырьмя верными знаками
будет sin 0,57 = 0,5396.

ГЛАВА VII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
/. Понятая первообразной и неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении мы решали следующую основ-
основную задачу: по данной функции найти ее производную. Много-
Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обрат-
обратной задачи: для данной функции f(x) найти такую функцию F (х),
производная которой равнялась бы заданной функции f(x), т. е.
F'(x)=f(x). A)
Поставленную задачу можно сформулировать в следующей рав-
равносильной ей форме: для данной функции f(x) найти такую функ-
функцию F(x), дифференциал которой равнялся бы заданному выраже-
выражению f(x)dx:
dF( = f(x)dx. B)
Функция F(x), связанная с функцией f(x) соотношением A) или
B), называется ее первообразной.
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение. Первообразной функцией от данной функции
f(x) называется функция, производная которой равна данной функ-
функции или, что то же самое, дифференциал которой равен выражению
f(x)dx.
Так, например, первообразной от функции f(x)~x2 будет функ-
ция F(x) = -j, так как ^'(*) == ( тт) =x% или, что то же самое,
р ф
'(*) == ( тт)
dF (jt) = dE)=*ad*.
Отыскание по данной функции ее первообразной составляет
одну из основных задач интегрального исчисления.
Естественно, возникает следующий вопрос: для всякой ли функ-
функции существует первообразная?
Утвердительный ответ на этот вопрос для достаточно широкого
класса функций дает следующая теорема, принимаемая нами пока
без доказательства.
Теорема 1. Любая непрерывная на сегменте функция имеет на
этом сегменте первообразную*.
Если функция, для которой мы ищем первообразную, имеет
точки разрыва, то мы будем ее рассматривать только в тех интер-
интервалах, где она непрерывна.
* Доказательство этой теоремы будет дано в гл. VI 11г § 2А п, 3.
10 № 2242 289

Задача отыскания по данной функции ее первообразной ре-
решается не однозначно. В самом деле, если, например, f(x)=^x2y то
первообразной для нее является не только у, но также и у
и тг + 9, и вообще ^-+С, где С—некоторая произвольно выбран-
о о
ная постоянная. Поэтому, естественно, возникает вопрос об оты-
отыскании всех первообразных для данной функции.
Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 2. Если функция F (х) есть первообразная от функции f (х) на
сегменте а^.х^.Ь, то всякая другая первообразная от f(x) отли-
отличается от F (х) на постоянное слагаемое, т. е. может быть пред-
представлена в виде F(x)~{-Cf где С—постоянная.
Доказательство. Пусть Ф(лг)—любая другая первообраз-
первообразная функция от f(x), тогда Ф' (x) = Ff (x) = f (x). Но если две функ-
функции на сегменте имеют равные производные, то разность этих
функций постоянна на данном сегменте (см. гл. VI, § 6, п. 3),
т.е. Ф(л;)—F(x)=C, где С—постоянная. Таким образом, Ф(х) =
=xF(x)-\-C. Тем самым теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что выражение F(x)-{-Cf где
F (х)—некоторая первообразная от функции /(#), а С—произволь-
С—произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных от
данной функции.
Введем теперь понятие неопределенного интеграла.
Если F (х)—одна из первообразных для функции f (x), то выражение
F(x)-{-C, где С—произвольная постоянная, называется неопределен-
неопределенным интегралом.
Неопределенный интеграл от функции обозначается символом
f(x)dx (читается: «неопределенный интеграл f(x) на dx»). Следо-
Следовательно,
l C)
Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx—подын-
f(x)dx—подынтегральным выражением, х—переменной интегрирования, а символ
—знаком неопределенного интеграла. Под знаком интеграла мы
пишем не производную искомой функции, а ее дифференциал.
Так как, например, функция F(x)=^ является одной из пер-
первообразных от функции f(x)=x2, то на основании формулы C)
получим
Действие отыскания неопределенного интеграла или, что то же
самое, нахождение всех первообразных от данной функции, назы-
называется интегрированием этой функции.
Из самого определения первообразной следует, что дифферен-
дифференциал этой первообразной равен подынтегральному выражению,
290

Так как это имеет место для любой первообразной от данной функ-
функции, то кратко это можно выразить следующим образом.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль-
подынтегральному выражению, т. е.
d\f(x)dx=f(x)dx. D)
Отметим еще одно свойство, которое, как и первое, устанавли-
устанавливает связь между операциями дифференцирования и интегриро-
интегрирования.
Пусть F (х) первообразная от /(х), Тогда
Но f(x)dx = dF(x). Поэтому равенство C) часто записывают
в виде
l E)
Таким образом, неопределенный интеграл от дифференциала не-
некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.
Например: \dx = x + Cy \dcosx^cosx + C.
Указанные свойства означают, что дифференцирование и интег-
интегрирование являются взаимно обратными действиями.
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
Пусть требуется найти кривую y = F(x)9 зная, что тангенс угла
наклона касательной в каждой ее точке есть заданная функция
f(x) абсциссы этой точки. Согласно геометрическому смыслу про-
производной (см. гл. VI, § 1, п. 6), тангенс угла наклона касатель-
касательной в данной точке кривой y = F(x) равен значению производной
F' (х). Значит, нам нужно найти такую функцию F(x)> для которой
*'(*)=/(*). F)
Соотношение F) показывает, что искомая функция F (х) является
первообразной от f(x). Следовательно, задача свелась к основной
задаче интегрального исчисления — к нахождению первообразной
от данной функции.
Таким образом, у = J / (х) dx или у = F (х) + С.
Мы видим, что условию задачи удовлетворяет не одна кривая,
а семейство кривых. Причем, если y = F(x) есть одна из таких
кривых, то всякая другая может быть получена из нее параллель-
параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 168).
Для того чтобы из данного семейства кривых выделить одну
определенную кривую, нужно к условию задачи присоединить до-
дополнительное условие, например потребовать, чтобы кривая прохо-
проходила через данную точку (хо\ у0). Такое условие называется на*
чальным. Задание начального условия позволит выделить из
10* 291

семейства веек кривых вполне определенную, именно ту кривую,
которая проходит через точку (хо\ у0). Координаты этой точки
должны удовлетворять уравнению искомой кривой y = F (х)-\-С,
т.е. у0 = F(х0) + С. Из этого условия однозначно определяем С:
C = yo-F(xo).
Пример. Через точку М A; 2) провести кривую, у которой
угловой коэффициент касательной в каждой точке с абсциссой х
равен х*.
Решение. Имеем у' =х2. Следовательно,
Итак, кривые, для которых в точках с абсциссой х тангенс угла
наклона кас&тельной равен х2, образуют семейство кубических па-
парабол у^ + С (рис. 169). Из это-
го семейства кривых нам нужно
выбрать ту кривую, которая прохо-
проходит через точку М A; 2) (началь-
х
Рис. 168
Рис. 169
I8 5
ное условие). Это дает 2 ==^+С, откуда ? = ¦?•. Таким образом,
я3 5
уравнение искомой кривой будет у s^ + y.
Рассмотренная задача позволяет выяснить геометрический смысл
неопределенного интеграла.
Назовем график первообразной функции от f(x) интегральной
кривой. Таким образом, если F' (x) = f(x)t то график функции
y=zF(x) есть интегральная кривая.
Неопределенный интеграл геометрически представляется семейст-
семейством всех инпгегральных кривых.
292

Все кривые из этого семейства у =F (х) + С могут быть полу*
чены из одной интегральной кривой параллельным сдвигом в на-
направлении оси Оу.
3. Таблица основных интегралов
Отыскание первообразной от данной функции есть задача зна-
значительно более трудная, чем задача нахождения по данной функ-
функции ее производной. В дифференциальном исчислении мы нашли
производные основных элементарных функций (см. гл. VI), устано-
установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного,
а также сложной функции.
Эти правила позволили нам определять производные любых
элементарных функций. Для отыскания первообразных от элемен-
элементарных функций таких простых и универсальных правил и рецеп-
рецептов, как в дифференциальном исчислении, не существует. Так, на-
например, нет никаких определенных правил для нахождения перво-
первообразных от произведения, частного двух элементарных функций,
даже если первообразную каждой из этих элементарных функций
мы умеем найти.
Методы интегрирования функций (т. е. нахождения первообраз-
первообразных) сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во
многих случаях приводит к цели.
Для облегчения интегрирования составляется таблица так назы-
называемых основных интегралов. Эта таблица получается из основных
формул дифференциального исчисления.
Вот эта таблица.
В частности, при п = 0:
II. Jf = l
III. [ s'mxdx = — cosx + C.
IV. [ cosxdx = smx-\-C.
v. f _*
J COS2 X
Вывод этих формул сводится к проверке того, что дифферен-
дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой
части равенства, и не представляет труда для всех формул, за
исключением второй.
293

Докажем справедливость формулы (II). Подынтегральная функ-
функция — определена и непрерывна для всех значений х, отличных от
нуля.
Если х > О, то | х J = х и In | х \ = In х. По известной формуле
дифференциального исчисления имеем: din|*| = dInя = —. Поэтому
х
для х > О
Если л:<0, то |л:|=>—л; и ln|x| = ln(—л:). Но dln(—x) =
— d* *= ~. Следовательно, для х < О
"—X X
Таким образом, формула (II) остается справедливой в обоих
случаях.
4. Основные свойства неопределенного интеграла
Приведем два свойства неопределенного интеграла, которые по-
позволят значительно расширить возможности применения формул
таблицы основных интегралов.
Свойство А. Неопределенный интеграл от алгебраической
суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопре-
неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т. е.
$U(x)+g(x)-<p(x)]dx=lf(x)dx+lg(x)dx-l<t(x)dx. (А)
Свойство В. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла, т. е.
= k ^f(x)dx. (В)
(предполагается, что постоянная k^O).
Равенства (А) и (В) следует понимать в том смысле, что левая
и правая их части отличаются на постоянное слагаемое. Поэтому,
чтобы установить справедливость этих равенств, достаточно пока-
показать, что производная (или дифференциал) левой части равна про-
производной (или дифференциалу) правой части (см. гл. VI, § 6, п. 3).
Докажем, например, справедливость равенства (В). Дифферен-
Дифференцируя левую часть равенства (В) и применяя формулу D), имеем
Дифференцируя правую часть равенства (В), получим
294

Итак,
d\kf{x)dx^d{k\f(x)dx)>
откуда следует равенство (В).
Пример., Найти J (л:3 + 3 sin x—8) dx.
Решение. Применяя свойства (А) и (В), имеем:
(х* + 3s\nx—8)dx= ^xUx + 3 ^ sinx dx—8
Но )&dx = ljri+Cl = j + C1 (см. формулу (I)).
По формуле (III)
8 ^dx =
Таким образом,
С (л:3 + 3 sin л:—-8) dx = ~—3 cos х—8* + (Сг + ЗСа —8С8).
При каждом интегрировании мы получали свою произвольную
постоянную. Но в конечном итоге мы пишем только одну произ-
произвольную постоянную, так как если С19 С2, Св — произвольные по-
постоянные, то и С = С1 + ЗСЯ—8С3 также является произвольной
постоянной.
Поэтому окончательно:
U
Правильность полученного результата нетрудно проверить диф-
дифференцированием. Действительно,
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Укажем теперь несколько приемов, которые во многих случаях
позволяют сводить заданные интегралы к табличным. Такими прие-
приемами являются: интегрирование методом разложения, интегриро-
интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям,
/. Интегрирование методом разложения
Этот метод основан на разложении подынтегральной функции
на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно
найти с помощью других методов.
Приведем простейшие примеры.
Пример 1, Найти §**+?+2&с.
295

Решение. Так как *±g±l = ^ + 2 + ±t то
Проверка:
В дальнейшем мы проверки проводить не будем. Однако реко-
рекомендуем читателям на первых порах ее проводить в целях само-
самоконтроля.
Пример 2. Найти
Решение. Имеем
р 4* __ Г cos2 х + sin2 х, __ (Y_J 1_\н
J cosa*sin«* J cos2*sin2A; а*~~ J Vcos2* + sin2*;
Удачно разложив подынтегральное выражение, мы свели инте-
интеграл к табличным интегралам (формулы (V) и (VI)).
Перейдем теперь к рассмотрению других методов интегриро-
интегрирования.
2. Интегрирование методом замены переменной
Во многих случаях удается введением вместо переменной интег-
интегрирования х новой переменной z свести данный интеграл \ f(x)dx
к новому интегралу, который или содержится в таблице основных
интегралов, или легко вычисляется другим способом. Этод метод
интегрирования получил название метода замены переменной или
метода интегрирования подстановкой.
Введем вместо х новую переменную 2, связанную с х соотноше-
соотношением *=<p(z), где cp(z) — непрерывная монотонная функция, имею-
имеющая непрерывную производную ф' (г). Покажем, что имеет место
равенство
^l]<?'(z)dz. G)
Формула (?) называется формулой замены переменной. Для доказа-
доказательства справедливости формулы G), очевидно, достаточно убе-
убедиться, что дифференциалы обеих ее частей равны.
Дифференцируя левую часть соотношения G), имеем

Но так как лг = <р(г), то dx=q>r (z)dz. Поэтому
(8)
С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения G),
имеем
d J / [Ф (*)] Ф' (г) dz = / [Ф (г)] <р' (г) Л. (9)
Соотношения (8) и (9) показывают, что
Тем самым справедливость формулы G) доказана.
Допустим, что интеграл, стоящий в правой части соотношения G),
найден. Пусть
Отсюда легко найти искомый интеграл в виде функции от х. Для
этого разрешим уравнение x = q>(z) относительно z, т. е. найдем
обратную функцию z = со (х) и подставим ее в Ф (г) *:
Замечание. Формулу G) легко запомнить. Ее правая часть
получается, если в интеграле \f(x)dx заменить х на ф(г), a dx на
p()
Приведем примеры.
Пример 1. Найти \ , .
J /*-*«
Решение. Положим д: = аг, находим dx = adz. Применяя фор-
формулу G), получаем
С dx _ Г adz _ С dz
) УЖ^? ~~) Уа*—а*г* "" J /T=^ '
но \ =ягг.ц1п ^ + ^i согласно формуле VIII, § 1, п. 3. Поэтому
(VII Г)
а2—я2 J К 1 —
Возвращаясь снова к переменной х, получим
dx
а
Применяя ту же замену переменной x = az, легко получить
формулу
* Существование обратной функции вытекает из монотонности и непрерывно-
непрерывности функции #=8<р(г).
297

Пример 2. Найти [ sin axdx.
Решение. Полагая х = —, dx = — и применяя формулу G),
имеем
С С dz 1 Г* 1 I
\ sinaxdx= \ slnz — = — \ sinzdz= cosz + C=
J J a a J a a
Рассмотрим еще один способ применения формулы замены пере«
менной. Если под интегралом стоит сложная функция, умноженная
на производную от внутренней функции, т. е. интеграл имеет вид
^ / [ф (х)] ф' (х) dx, то этот интеграл часто можно упростить, если
заменить внутреннюю функцию новой переменной z = y(x). В самом
деле, применяя тогда формулу G) замены переменной, получим
Заметим, что полученная формула отличается от формулы G)
только обозначением независимых переменных.
Пример 3. Найти f tgxdx.
Л Г* oin у
Решение. Имеем \tgxdx = \ dx. Замечая, что sinxdx =
d^r, положим z = cos x. Тогда
J cosa; J
= — ln|cosx|
Таким образом,
^tgxdx= — ln\cosx\ + C. (XV)
Аналогично находим
^ctgxdx=ln\s\nx\ + C. (XVI)
С приобретением навыка при интегрировании с помощью замены
переменной можно не производить в простейших интегралах по-
подробно всех выкладок.
Пример 4. Найти f p/l+x2xdx.
Решение. Замечая, чтоd(\ +x2) = 2xdx, получимxdx^ -Kd(\ +x2).
Поэтому
J
Часто применяют одновременно метод интегрирования разложе-
разложением и метод замены переменной.
296

Рассмотрим интегралы вида
\ sin mx • cos nx dx, [ sin mx • sin nx dx, \ cos mx • cos nx dx.
Эти интегралы вычисляются методом разложения на основании сле-
следующих тригонометрических тождеств:
sin (т-4-п) х4-s\n (т — п) х
smmx-cosnx= — 2— '
Пример 5. Vsin2je-cos6jtd* = -2- С [sin B + 6) Х +sin B — Q)x]dx=z.
IP If* 1 Г 1 С
= у \ sin 8л: dx — -g- \ sin 4x dx = yg 1 sin 8x d (8x) — у \ sin ix d Dл:) =з
= — ~cos8x +4-cos4* + c-
<?. Интегрирование по частям
Пусть и=и(х) и у = р(л;)—- две функции от л:, имеющие непре-
непрерывные производные. Из дифференциального вычисления мы. знаем
(см. тл. VI, формула F5')), что
d(uv)=udv + vdu. A0)
Интегрируя обе части равенства A0), имеем
или
[ d (uv) = [ и dv + \ v du,
Г и dv = [ d (uv) — [ v du.
Ho [ d (uv) = uv-\-Ct поэтому
[ udv = uv—[ vdu. A1)
В формуле A1) произвольной постоянной С мы не пишем, так как
в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содер-
содержащий произвольную постоянную.
Формула A1) называется формулой интегрирования по частям.
Она дает возможность свести вычисление интеграла [ udv к вычис-
вычислению интеграла ^vdu, который во многих случаях оказывается
более простым.
Поясним применение этого метода примерами.
Пример 1. Найти [xsinxdx.
299

Решение. Здесь перед нами несколько возможностей. Напри-
Например, можно положить и = sin л;, a xdx = dv; можно положить и — л,
a sin xdx = dv.
X2
Полагая a=sin#, dv = xdx, найдем du = cosxdx, y = -y.*
Применяя формулу A1), получаем
С х2 1С
\ xsmxdx^-^-smx—-^ \ x2cosxdx.
Это разбиение подынтегрального выражения на произведение двух
множителей следует признать неудачным, так как оно приводит к
более сложному интегралу.
Положим и = х, dv~s\nxdx\ отсюда найдем du = dx, v = — cos#,
Применяя формулу A1), имеем
х sin x dx = x (— cos л:) — f (— cosx)dx = — a:cosa:+ f cos xdx.
Ho [ cosxdx = sinx + C. Поэтому окончательно получаем
xs\nxdx = —
Иногда для получения окончательного результата нужно интег-
интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.
Укажем на некоторые часто встречающиеся интегралы, которые
вычисляются методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида
Р (х) екх dx, ^ Р (х) sin kx dx, J P (x) cos kx dx9
где P (x)—многочлен, a k—некоторое число.
Интегралы этих типов берутся по частям, если положить и = Р (х).
Пример 2. Найти ? (х2 — 2x + 7)e2xdx.
Решение. Положим и = х2 — 2^ + 7, dv = e2x dx; тогда
du = Bx—2)dx, v = ±e2x.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
xdx = ±(x2 — 2x + 7)e2x—§±e2x Bx—2)dx =
Последний интеграл является интегралом того же типа, что и
данный интеграл, но степень многочлена х— 1 на единицу ниже
степени многочлена х2—2х + 7.
* v—\dv=[xdx=-2--\-C. За v выбираем одну из первообразных от функ-
функции х.
300

Применяем к интегралу С (х—l)e2xdx снова интегрирование по
частям, полагая и = х—1, dv = e2xdx; тогда du = dx, v = Ye2x- Имеем
Следовательно,
= (x
II. Интегралы вида
P (л:) In x dx, J P (л:) arcsin x dx, С Р (x) arccos л: dx,
P (x) arctg x dx, \P (x) arcctg x dx,
где Р(х) — многочлен относительно х.
Во всех этих случаях за и при интегрировании по частям при-
принимают функцию, являющуюся множителем при Р (х).
Пример 3. Найти f Dг* + 6л:—7)\nxdx.
Решение. Положим и = 1пх, dv = Dх3 + 6л:—7)dx; тогда
dw у
, у
Формула (II) дает:
III. Интегралы вида [е0*cos bxdx, \ eaxs\nbxdx, где a a b —
числа. Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по
частям.
Рассмотрим пример.
Пример 4. Найти [ е2х cos Ъх dx.
Решение. Положим и = е2х, dt; = cos Ъх dx *, откуда da = 2e2* dx,
u^-^sinSx.
Тогда
С е2дс cos 3xdA; = у б2д? sin Зх—|- С «** sin Зх dx.
К последнему интегралу снова применим интегрирование по
частям, положив а = е2х, dv = sin3xdx, тогда da==2^dx,
v = — ¦«- cos Зх.
* Можно также принять w = cos3*, dv = e
301

Следовательно,
С е2х sin 3xdx = — ~e2*cos3* f-~ Г e2xcos 3xdx,
Таким образом,
С e2x cos 3x dx = -~ e2* sin 3x—-| f — ~ e2* cos 3* + ~- f e2* cos 3* dx\,
или
J f|W ~§e2x cosSxdx.
В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл
{е2х cosSxdx. Перенося его в левую часть, получим
О +") I*2*C0S 3jcdjc== T^ (sinЗл: + -|
Отсюда
Полученная функция есть одна из первообразных от функции
?2*cos3a\ Чтобы найти все первообразные, остается к правой части
прибавить произвольную постоянную С:
Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементар-
элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться
изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
/. Некоторые сведения о многочленах
В этом пункте мы кратко рассмотрим некоторые сведения о много-
многочленах, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Корнем многочлена Р (х) называют всякое число а (действитель-
(действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль, т. е. такое,
что Р(а) = 0. Так, например, для многочлена xs + x2—2х—-8 число
а = 2 является корнем, так как 23 + 22—2-2—8 = 0.
Имеет место следующая теорема, которую принимаем без дока-
доказательства.
Всякий многочлен степени п может быть представлен в виде
произведения п линейных множителей вида х—а и постоянного числа
а0—коэффициента при старшей степени х, т. е.
Р (х) = а0 (х—аг) (х—а2).. .(х-ап). A2)
Числа а1Э а2, ..., о^, очевидно, являются корнями многочлена Р (х).
302

Пример К Легко проверить, что
б*4 — 40х3 + 115ха — 140л; + 60 =5 (х—2) (х—2) (х— 1) (х—3).
Пример 2. Многочлен
Среди линейных множителей, на которые разложен многочлен,
могут быть одинаковые. Объединяя в разложении A2) одинаковые
сомножители, мы можем его записать в виде
Р(х) =ав(х—а)*» (*—&)*¦.. .{х—/)Ч A2')
где все корни а, 6, ..., I различны и t 2 s
Корень а многочлена Р (х), для которого линейный множитель
в разложении A2') встречается kx раз, называется корнем кратно-
кратности kx. Корень кратности единицы называется простым.
Так, например, многочлен Р(х)=4(х—2K (jc + 1J(к—5) имеет
следующие корни: а ^=2, Ь==—1, с = 5, причем 2 есть корень крат-
кратности 3; (—1)—корень кратности 2; 5 — простой корень.
В алгебре доказывается, что если многочлен с действительными
коэффициентами имеет корнем комплексное число y=a+|3i крат-
кратности k, то сопряженног комплексное число у ==a—$i также является
корнем многочлена той же кратности.
Отсюда следует, что если в разложении многочлена на множи-
множители имеется множитель (х—y)kf соответствующий комплексному
корню Y^a + pf, то в этом разлсжении_имеется множитель (х~~y)k,
соответствующий сопряженному корню v = a—pt. Перемножим эти
два множителя, соответствующие сопряженным корням:
где /;=»—-2a, q= $
Таким образом, произведение линейных множителей, соответ-
соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трех-
трехчленом с действительными коэффициентами.
Все вышеизложенное позволяет высказать следующее оконча-
окончательное предложение, с помощью которого удается избежать мнимых
чисел при разложении многочлена на множители.
Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно
представить в следующей форме:
Р(х) =а.(х—а)Ь (х—Ь)Ь.. Л^ + РхХ + Я^ (*2 + P*x + q)k*...
В этом разложении линейные множители соответствуют действи-
действительным корням, а квадратные трехчлены соответствуют комплек-
комплексным корням многочлена. Постоянные a0, a, bf ..., plf qv ...—
действительные числа.
303

2. Рациональные дроби.
Выделение правильной рациональной дроби
Как мы знаем (см. гл. 1, § 4, п. 7), дробной рациональной функ-
функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная
частному от деления двух многочленов:
где Рт(х)—многочлен степени т, a Qn(x) — многочлен степени п.
Например:/? (ж) ^4+53у5
Рациональная дробь называется правильной, если степень числи-
числителя меньше степени знаменателя; в противном случае рациональ-
рациональная дробь называется неправильной. Приведенная выше рациональ-
рациональная дробь неправильна.
Задача настоящего параграфа заключается в изложении методов
интегрирования рациональных дробей.
Отметим прежде всего, что всякую неправильную рациональную
дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной
рациональной дроби.
Р (х)
В самом деле, пусть R(x)=-^~^r—неправильная рациональная
дробь, т. е. степень Р (х) больше или равна степени Q (х). Разделив
числитель на знаменатель, получим тождество
P(x)-Q(x)L(x)=r(x)t
где L(x) и г(х)—многочлены, причем степень остатка г(х) меньше
степени знаменателя дроби Q(x).
Отсюда
где ypz — правильная рациональная дробь.
Например, пусть R (х) =* х34-2*-*1 ' РазДелив *4+5#3 — 6jc+5
на хг + 2х — 1, получим частное L (х) = х ~\- 5 и остаток г (х) =
= —2jc2—15jc+ 10.
Следовательно,
— 2л:2—15л:+10
Таким образом, интегрирование неправильной рациональной
дроби т~^ сводится к интегрированию многочлена L (х) и правиль-
правильной рациональной дроби ^^
304

Так как многочлен мы интегрировать умеем, то остается рас-
рассмотреть интегрирование правильных рациональных дробей.
Как мы увидим ниже (см. п. 4), всякую правильную рациональ-
рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа так
называемых простейших дробей следующих четырех типов;
I-j^; 11.^,(^2,3, ...);
Mx + N , IV Mx+N
где At a> p, q, M к N—действительные числа, а трехчлен x
не имеет действительных корней, т. е. ^-—q < 0. Поэтому если
мы научимся интегрировать простейшие дроби и разлагать правиль-
правильную рациональную дробь на сумму простейших, то задача интегри-
интегрирования рациональных дробей будет решена.
3. Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование простейших дробей I и II типов не представляет
никакого труда. В самом деле:
х—a J х—а
Перейдем теперь к интегрированию рациональных дробей III и
IV типов.
Рассмотрим отдельно знаменатель x2 + px-\-q и дополним х2-\-рх
до полного квадрата:
Так как по условию трехчлен x2-\-px-\-q не имеет действительных
2 2
корней, то выражение q——- > 0. Введем обозначение q—?-=а2.
Применим теперь к интегралу замену переменной, положив /=
=* + -?-*. Отсюда
* Эту подстановку легко запомнить, если заметить, что / равно половине
производной знаменателя: / = -^ (х2 + рх + q)' = х + ~ .
305

Следовательно,
i +
Заменяя, наконец, t и а их выражениями, получим
Пример.. Найти
Решение. Введем новую переменную *, положив ее равной
половине производной знаменателя (см. сноску на стр. 305). Тогда
t =у
Следовательно,
tdt
IV Г Mx+N
Введем, как и в случае III, новую переменную /, положив
~-. Это дает:
2
где, как и выше, cP--=q—~.
Следовательно,
Первый интеграл соотношения A3) легко вычисляется.
306

Итак, остается вычислить интеграл 1п=* \ ,,а , 2^. Запишем этот
интеграл в виде
/ Г dt - 1 Г^2+^)~^2^- * ГГ dt Г i
Л=а J (/2+«2)" ~~ «2 J (*2-f я2)" ~~ «2 LJ ('2 + я2)"* J (*2
Замечая, что jGq^rri = A,-i, получим
/ _1Г/ С
^« —fl2 [У«-1 J
К интегралу \ ^2 2)д применим интегрирование по частям, пола-
полагая и=/, Ai=tf, do^^ ^
Г /a dt / 1_ С dt
J (/аН-аа)я 2A —/i) (/а + а*)»-1 2A— л) J (/2 + «2)/J-1
1_/
2 A —/г) (/2 + а2)"-х 2 A —/г) "~1#
Подставляя найденный интеграл в формулу (*), получим
"а2 [2—2п1п~1^г2(п—
Итак,
Полученная формула называется формулой приведения. По-
Покажем ее применение на примере.
Пример. Найти /8==J—^_.
Решение. Здесь а = 1, п==3. Применяя формулу (**), найдем
/ _± [2-3-3, / 1 _^j . /
/з~" I2 [2-3—2/2i~2C--l)(/2+lJJ "" 4 i2^4(/2+lJ'
Но по той же формуле (**)
/ Г ^ _ [2-2-3 . t 1 1 ; , /
Так как
то
807

Следовательно,
7
3/
Таким образом, чтобы закончить вопрос об интегрировании
рациональных дробей, нам остается выяснить, как правильную
рациональную дробь можно разложить на сумму простейших.
4. Разложение правильной рациональной дроби
на простейшие дроби
Выше (см. п. 2) мы видели, что интегрирование рациональной
дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рацио-
рациональной дроби. Мы сейчас выясним, каким образом всякая пра-
вильная рациональная дробь тгг4 может быть разложена на про-
простейшие дроби. При разложении правильной рациональной
Р (х)
дроби jrj-у на простейшие дроби существенное значение имеет
разложение знаменателя дроби Q (х) на произведение линейных и
квадратных множителей (см. п. 1).
Пусть для определенности знаменатель Q (х) разлагается на
множители следующим образом:
Q (х) = (x-a)k (х—ЬУ {
где квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда
имеет место следующая теорема, которую приводим без дока-
доказательства.
Р (х)
Теорема. Правильную рациональную дробь ^—~, где Q (х) =
=х (х—а)к{х—ЬI (х2 + рх + q)m, можно единственным образом разло-
разложить в сумму простейших дробей:
Q(x) x-a^ {x-af ^ ^ (x-a)k х-Ь^(x-b
где Ai9 Bh Miy N;—действительные числа (?=1,2, ...)
Из формулы A4) видим, что линейным множителям знаменателя
Q (х) соответствуют простейшие дроби I и II типа, а квадратным
множителям соответствуют простейшие дроби III и IV типа. При
этом число простейших дробей, соответствующих данному множи-
множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот
множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.
Правило разложения правильной рациональной дроби остается
справедливой при любом конечном числе линейных и квадратных
множителей, входящих в разложение знаменателя Q (л;).
308

5. Метод неопределенных коэффициентов
Одним из наиболее простых методов определения коэффициен-
коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является
метод неопределенных коэффициентов.
Поясним применение этого метода на примерах.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби
х2 —
Решение. Применим формулу A4):
_ Л, Л2 Mx + N
(х— 1J(х2 + 2х + 2) х— 1>(х — 1J
где Л1Э Л2, М и /V — пока неизвестные числа.
Приводим правую часть тождества A5) к общему знаменателю:
x— IJ
(х—-IJ (
В этом тождестве знаменатели дробей одинаковы. Следовательно»
числители должны быть тождественно равны:
х2—5х + 9 = А х (х— 1) (х2 + 2х + 2) +
Раскрыв скобки и расположив многочлен в правой части послед-
последнего равенства по убывающим степеням х, получим
Два многочлена тогда и только тогда тождественно равны друг
другу, когда коэффициенты при одинаковых степенях х равны.
Приравнивая друг другу коэффициенты этих многочленов при оди-
одинаковых степенях х, получим систему уравнений:
при х3: Л1 + УИ
при х2: Al + A2
при х: 2А2 + М—2Л/ = — 5;
свободный член: —2Лх + 2Л2 + Л/ = 9.
Решив эту систему, получим*
Подставив в формулу A5) вместо Аг, Л2, М и N найденные
значения, получим окончательно
7 1 7* + 21
(х— 1J(*2-Ь2*+2) 5(л;
* Так как разложение правильной рациональной дроби на сумму простей-
простейших всегда возможно и единственно, то система уравнений для определения
неизвестных коэффициентов разложения всегда имеет единственное решение.
309

Пример 2* Разложить на простейшие дроби
Решение. Так как знаменатель имеет только действительные
корни, то разложение дроби согласно формуле A4) имеет вид
Приведем правую часть соотношения A7) к общему знаменателю:
(* — 2
Приравнивая числители, получаем
Расположим многочлен в правой части по убывающим сте-
степеням х:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой
и левой частях равенства, получим систему уравнений
4 1
Решив эту систему, найдем А1=-^9 А2=2, Вг=^-#
Подставив найденные значения коэффициентов в соотношение
A7), получим
4,2,1
(х—2J (х + 3) ~~ 5 (х—2) "*"(лг—2)а "^5 (л; +3) *
Пример 3. Разложить на простейшие дроби
2л:2 +10*— 18
(х—1) (jc + 2) (jc —3) •
Решение. Применяя формулу A4), имеем тождество
2*2+ю*—18^ _^A__i ^.j_ с
(* —1)(* + 2)(*—3) л:—1 1 * + 2п *—3*
Приводя дроби в правой части к общему знаменателю и при-
равнивая после этого числители правой и левой частей, получим
тождество
2xa+ IOjc—18 = А (х + 2) {х—2>) + В(х—1)(х—3) -f C(x — 1) (х + 2),
A9)
откуда
310

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу-
получим систему уравнений
— 6Л + ЗВ—2С= —18,
из которой находим Л = 1; В=—2, С = 3. Следовательно,
2х2-\-\0х—18 __ 1 2__ 3
(*_ 1) (х + 2) (х—3) ~ х— 1 х+2"""х^Зв
Часто нахождение коэффициентов разложения можно значи-
значительно упростить. В самом деле, рассмотрим только что приведен-
приведенный пример. Полученное там выражение A9)
есть тождество, справедливое при любом значении х.
Выбираем такие значения ху при которых выражение A9)
примет наиболее простой вид. Здесь проще всего за х принять
один из корней знаменателя.
Полагая #=1, имеем —6=—6Л, откуда А — \.
Аналогично, полагая л; =—2, найдем —30 = 15В, В = — 2.
При х = 3 30 = ЮС, С = 3.
Указанный метод особенно удобен в случае, когда знаменатель
Q (х) правильной рациональной дроби имеет только действительные
простые корни.
На практике часто комбинируются оба рассмотренных выше
приема.
Пример 4« Разложить на простейшие дроби
Решение. Применяя формулу A4), получим
_ A Mx+N
(a:—1)
Приводя дроби в правой части равенства к общему знамена-
знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей,
получим
x2 + x+\3 = A(x2 + 4) + (Mx+N)(x— 1), B0)
х* + х+\3 = (А + М)х* + (— M + N)x + 4A — N. B0')
Полагая в формуле B0) х = 1, имеем 15 = 5Л, откуда Л=3.
Приравнивая коэффициенты при л:2 и л: и замечая, что Л=3,
получаем
откуда М=—2, Л/ = — 1.
311

Следовательно,
_ з 2х+\
6. Интегрирование рациональных дробей
Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам
сформулировать основные правила интегрирования рациональной
дроби.
1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют
в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби
(см. п. 2).
Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби
сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной
дроби.
2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.
3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму про-
простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рацио-
рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
Рассмотрим примеры.
п *л 3jc3 5*2 -1- 30* 22
Пример 1. Найти \ —^ а g^".i 12 ^х'
Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная
дробь. Выделяя целую часть, получим
х4 —З*3 —5*2 + 30* —22 _ g *2 + 2* + 2
JC3__JC2_8*+12 —* ~1" *з_ х% — 8*+12'
Следовательно,
-IV-
* — З*3—5*2 + 30*—22 , __
х*-х* — &с + \2 пХ-
Замечая, что л:3—х2—8х+ 12 = (л:—2)а (х + 3), разложим пра-
правильную рациональную дробь
*2 + 2*+2
xs—xz—$x+ 12 (*—2J (* + 3)
на простейшие дроби:
(см. формулу A8)). Поэтому
^ + 2*+2 -_РГ 4
^2_8j,+ 12^-J [б(^
312

Таким образом, окончательно имеем
Од;—22
л:3—л:2—8л: + 12
. __
Пример 2. Найти
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.
Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу A6)), получим
___! , _1_ .
FWv 1\ I /v 1 \2 Т I
(х— 1J(х2 +
Следовательно,
р х»-5х + 9 ^ 7Cdx С dx 7 С
J (х-\)Цх*+2х + 2)пХ- 5 J^-l^J (х-\)*^ 5 J
Что касается последнего интеграла в правой части равенства,
то он берется, как мы знаем (см. п. 3), подстановкой ^=
Это дает: /--=*+1, x=t — l, dx = dtf x2 + 2x + 2 = t2 + 1. Тогда
+ 2 arctg / + С = у In (jc2 + 2x + 2) + 2 arctg (л
Таким образом, имеем
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
/. Интегралы вида \s\nnx*cosmxdx, где т an — целые числа
Рассмотрим вначале случай, когда одно из чисел т или ,п не-
нечетно. В этом случае интегралы сводятся к интегралам от рацио-
рациональных функций. Сущность метода интегрирования ясна из сле-
следующих примеров.
Пример 1. Найти J sin5;ccos4A:dA:.
Решение. Замечая, что sinxdA: = — dcosx, сделаем замену
переменной, положив z = cos;r. Это дает dz = —s'mxdx, и, следо-
следовательно, так как sin2A:=l—cos2x = l—г2, получим
sin5xcos4xdx = J sin4лсcos4a:-sin xdx——J A—Z2)az4dz
— cos5* , 2cos7л; cos9x
h
313

Пример 2. Найти
Решение. Так как cos^d;c = dsin;f, то полагая z = sinx,
получим dz — cos xdx, cos2jc= 1—sinaA: = l—za, sin2* = 2a, и
dx))dz)\
г+с
Замечание. Этот же метод применим и в том случае, когда
одно из чисел m или п нечетно и положительно, а другое—любое
действительное число.
Пример 3« Найти J l/cos2xsmzxdx.
Решение. Имеем: j j/cos2xs\n3xdx= J cos2/3a: sln2^ sin xdx.
Полагаем cos;c = 3. Тогда dz=—sin xdx. Следовательно,
Зг5/3 3211/3
Пусть теперь оба показателя m и п—четные неотрицательные
числа (в частности, одно из них может быть равным нулю).
Заменяя sinax, cos2x, sin x cos x по формулам
sin* cos* =4 sin 2*,
мы добьемся того, что произведение sin"A:«cosCTx заменится суммой
произведений подобного вида, но с меньшими показателями степе-
степеней. Метод интегрирования ясен из следующих примеров.
Пример 4. Найти J cos2xdx.
Решение. Имеем
Пример 5. Найти J sin4 xcos2xdx.
Решение. Имеем
С . л „ , Р/1—cos2x\8 l+cos2#
\ sin4хcos2xdx = \ ( ) •^
) •
= -~j(l—cos2xJ(l+cos2x)dx--=-^Jsin22x(l—
= y Csina2xdx—y f sin22xcos2xdx=^ f A—cos4x)dx
314

Замечание. Как мы знаем, первообразные от одной и той
же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Это обстоятельство следует иметь в виду (особенно при интегриро-
интегрировании тригонометрических функций), так как в зависимости от
метода интегрирования мы можем получать различные по форме
ответы.
Так, например, \sin2*d* =— yCOs2*-J-C. Но, с другой сто-
стороны, J s\n2xdx= jj 2 sin л; cos *d* = 2 J sin*dsin* = sin2
Таким образом, —у cos 2* и sin2я являются первообразными
для одной и той же функции sin 2л; и, как легко видеть, отлича-
отличаются друг от друга на постоянное слагаемое:
—у cos 2* = — у (cos2* — sin2*)=* — у A — 2 sin2*) =— у + sin2*.
Для дальнейшего изучения методов интегрирования тригономет-
тригонометрических функций нам понадобятся новые понятия, изложенные
в следующем пункте.
2. Рациональные функции двух переменных
Многочленом относительно двух переменных и и v называется
сумма произведений вида Aunvm> где п и т—целые неотрицатель-
неотрицательные числа.
Например, выражения 3u2v -f-bubv*—5t/3+6, 5pa-f 4м являются
многочленами относительно и и v.
Частное от деления двух многочленов относительно и и v назы-
называется рациональной функцией от и и v, или рациональным выра-
выражением относительно и и v.
Например, дроои jjq^i, —3—, jjqr^ являются рациональ-
рациональными выражениями относительно и и v. Рациональную функцию
от и и v обозначают R(u\ v).
Легко заметить, что сумма, разность, произведение и частное
нескольких рациональных функций от и и v есть тоже рациональ-
рациональная функция от и и v.
Рациональным выражением относительно функций ф(*) и fy(x)
называется рациональная функция от и и v, в которую вместо й
подставлено ф (*), а вместо v — 1]) (*). Рациональное выражение отно-
относительно ф(*) и <ф(*) обозначают R(()())
\fy I 4 х
Пример К ~—r i—рациональное выражение относи-
относительно * и У
sin х 1 соч^ х
Пример 2* ^пз ХТ2 cosa x—рациональное выражение относительно
sin* и cos#.
815

Заметим, что если <р (*) и г|)(*)— рациональные функции от #,
то R (ф (*); г|) (*)) также является рациональной функцией от *.
3. Интегралы вида $/?(sin.*:;cos x)dx
В этом пункте мы рассмотрим общий метод нахождения интег-
интегралов вида
(sin л:; cos*)d*,
где /?(sin*; cos*)— рациональное выражение относительно sin* и
cos л:. Такими интегралами, например, являются интегралы
J
cos2*
' J ' J sin л;
Наоборот, интеграл j sin7/4*cos2*d* не является интегралом ука-
указанного вида, так как под интегралом стоит функция, не рацио-
рациональная относительно sin* и cos*.
Покажем, что всякий интеграл вида j R (sin *; cos *) dx можно
свести к интегралу от рациональной функции. Для этого вместо *
введем новую переменную г, связанную с переменной г соотно-
соотношением
х X
Тогда sin* и cos* выразятся рационально через г. В самом деле,
применяя формулы, известные из тригонометрии, имеем
о . X X
sin * = 2 sin-^-- cos-g- =
<
Аналогично
_ 2 * • 2 х __ COs2Y~sin2 2" _ 1"~tg2T _ I—г2
— COS "o~""~~ Sin —jr — "'" .. — ' т~ — 1 ; ~r
Наконец, учитывая, что z = tg у, найдем * = 2 arctg 2, d* = г2
Итак, если положить z~tg-~, то
Формулы B2) показывают, что sin*, cos* и dx рационально
выражаются через г. Подставляя выражения sin*, cos* и dx через
г, получим
! (sin*;
316

Последний интеграл является интегралом от рациональной функции
переменной z и может быть вычислен методами, рассмотренными
в§3.
Пример 1. Найти \ —г-^—.
j sin х
Решение. Полагая z=tgy и применяя формулы B2), имеем
2dz
dx
sin*
2г
i-f
Пример 2. Найти \
dx
COS X
Решение. Полагая z = tg ~, находим
2dz
'¦ = 2
COS X
Итак,
1—г3
т=!п
1+г
1—г
1+tgy
+с
COS JC
rfx
sin jc
= ln
¦ = ln
+c,
(XVII)
(XVIII)
Эти формулы рекомендуется запомнить.
Хотя подстановкой г =tg у интеграл \ /? (sin л:; cos x)dx всегда
приводится к интегралу от рациональной функции, но очень часто
это ведет к слишком громоздким вычислениям. Поэтому во многих
случаях целесообразнее пользоваться другими методами нахожде-
нахождения этого интеграла. Так, например, если Я (sin*, cosx) = sinnA;coswA;,
где т и п—целые числа, то удобнее пользоваться методами, изло-
изложенными в п. 1.
Укажем еще на один частный случай функции R(smx; cosa:),
при котором применением другой подстановки значительно сокра-
сокращают вычисления.
Рассмотрим интеграл от функции, рационально зависящей только
от tg x: J R (tg a:) dx.
Этот интеграл можно взять заменой переменной tgx=z. В самом
деле, так как # =
и dx =
г
1 + Z
я , то
317

Подынтегральное выражение в последнем интеграле является ра-
рациональной функцией от z.
Пример 3. Найти Jt~рт-
Решение. Сделаем замену переменной, положив z = tgx. Тогда
х — arclg г, dx = { * t . Следовательно,
Г dx р dz _ 1 С(
Jtgx+l~J A+«)A+г»)- 2 J
1 1-г\, 1 .
1 Ja2 2 1П
Пример 4.
+ In I cosx\ + C.
Замечание. Такой же подстановкой берутся интегралы
[ R(slnx\ cosx)dx, если sin* и cos* входят только в четных сте-
степенях. Это следует из того, что sin2* и cos2* выражаются рацио-
рационально через tg*:
i\r\2 y =c ^ Х то.2 у
sin *e- cos X~
П„имео5 Г dx _Г 1+г* _Г
пример ». j 1+С032Л- 1 _i -J
§ б. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим некоторые типы [интегралов, содержащих иррацио-
иррациональные выражения.
/¦ Интегралы вида \ R(x; %/ах-{-Ь) dx
Интегралы вида
J( y~^~) B3)
где п—целое число, а /?(*; )/ах+b)—рациональное выражение
относительно * и \/ах-{-Ь, могут быть сведены к интегралам от
рациональных функций. В самом деле, сделаем в интеграле B3)
318

2*2 fy
замену переменной, положив ax + b = zn; тогда х =—-—
пг
71-1
Следовательно,
Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть интеграл от
рациональной функции относительно переменной интегрирования z
и, следовательно, может быть ^айден приемами, изложенными в § 3.
Г
Пример 1. Найти I v—7r=?dx.
Р К J *-2 Vx
Решение. Здесь ах + Ь = х, п = 2. Полагаем x--=z29 откуда
dx-=2zdz.
Следовательно,
f \-V~x 1 C(\-zJzdz_oC(\-~z)dz
J х-2У~х ) *-* ~ J z-2 *
Таким образом, мы свели наш интеграл к интегралу от рацио-
рациональной функции.
Подставляя вместо z его выражение через х, т. е. z — Y"x"t
имеем
Пример 2. Найти
Г
lx — 3-Ь^/Bд:—3K
Решение. Приводя в подынтегральном выражении радикалы
к одному показателю, убеждаемся, что оно рационально зависит
от л; и от $/2х—3:
2*-f-(*/2*^3J
Здесь /г = 4, поэтому полагаем 2х—3 = г4. Отсюда x =
Следовательно,
319

Интегралы более общего вида:
где R — рациональное выражение от х и у — ~_ \, приводятся
к интегралам от рациональной функции подстановкой axj~_ . = гп.
2. Интеграл вида Г
J
Частными видами этих интегралов являются интегралы
dx
Г dx Г
J Уа^х^ J
Первый интеграл табличный:
= arcsin —|- С (VIII)
l* — X* a
Для вычисления второго интеграла сделаем замену переменной,
полагая ]/rx2 + m = — x + t. Возведя обе части равенства в квадрат,
получим х2-\-т = х2— 2х/ + /2. Отсюда
/2—/72
х — —2J—
Так как, кроме того, Vx2 + m = — х+/= —
i2 + m
dt
С dt
2/
Но так как t = V x2 + m-\-x, то окончательно имеем
(XIX)
Этот интеграл часто встречается, поэтому формулу (XIX) необхо-
необходимо запомнить.
п - Г Mx+N А о
Переидем теперь к интегралам вида \ ах. Эти ин-
r J у Ах2+ Вх + С
тегралы заменой переменной / = -^ {Ах2 -\-Bx-\- С)' приводятся к ин-
Г Dt + E j,
тегралам вида I • r r at.
J VAt^+m
Вычисление последнего инт
у вида (XIX), а при Л<
Пример 1. Найти ( —-dx*
Вычисление последнего интеграла при А > 0 сводится к интег-
интегралу вида (XIX), а при Л<0—к интегралу вида (VIII').
320

Решение. Полагая /= — F—2х—х2)', имеем: / = —- 1-х,
Таким образом,
1 l/^fi 9у у2 1 лГЧ У2 1 \fl /2 1 i/ /2
—4 Г .=;—|/—t2—4arcsin ._ +С =
^-./б—2х— x
* x
Пример 2. Найти I
Решение. Полагаем: /==-2"(л;2 + 4л: + 5)/:::::=д; + 2* Тогда л: == if—2,
()
Следовательно,
Г xrfx _ Г (/—2)i/ ___ Г tdt ^r d/ _
—2 In I / + KTh7!"! + C =
3. Интегралы видов С |/"а2—дг2 dju: а С Vx2 + m dx
Рассмотрим, например, второй интеграл
^^^. B5)
По формуле (XIX) Г ** -=\n\x+Vx* + i
J V х2-\-т
Для вычисления интеграла \ / применим метод интегри-
J г х2+т
рования по частям, полагая и~х, dv = -^JL-^—т-; тогда du~dx,
Следовательно,
J Vx* + m о
Подставляя найденные значения интегралов в равенство B5),
получим
11 № 2242 321

В правой и в левой частях последнего соотношения стоит иско-
искомый интеграл С Yx2 + mdx. Перенося его в левую часть, найдем
x^~
Аналогичным приемом можно показать, что
С|/а2— х2dx^-j (xVa*~x* + a2arcsin~) + О»
4. Интегралы вида С R (дг; Кл*2 + Вх + C)dx,
где R (дг; VAx2 + Bx + C) —рациональное выражение относи-
относительно х и V
1 D
Подстановкой t = у (Лх2 + Бл: + C)f =» Лл:+-к" подкоренное выра-
выражение сведется к сумме или разности квадратов, и интеграл
С i? (xt K^a + fi^ + C) dx сведется в зависимости от коэффициентов
А% В и G к одному из следующих интегралов!
I. $Я(*; У^ЩсИ, II. J/?(/j K^T^)d/, HI. J Я(*; К?1^^^)^.
Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:
для интеграла I типа;
для интеграла II типа;
-JL. дЛя интеграла III типа.
cos г
Пример 1* Найти I ¦ , ' *—dx.
Решение. Прежде всего в интеграле сделаем подстановку
I
I = -х- ^л -^- Za —- о) =л-{-1, л =» I—1, ал=см» хОГДа л -^-^л — о =
= (/— l)* + 2(f—1)—3 = <г—4.
Следовательно,
J
Интеграл в правой части последнего равенства есть интеграл
III типа. Для его вычисления положим
2|/ ~g-—1 = 2 tg г. Таким образом,
sin2z\ . ,-, 1 , .
g—)+С = -|-(г —sinzcosz
322

Так как t = -^—, ю cos 2= у, z=arccos ( у J, sin 2 =
= j/l-cos2z-» |/l-f|j8 = ^, Поэтому
+ 2л:— 3
Возвращаясь к переменной х(/=л;+1), получим
С Yx* + 2x— 3 - 1 Г 2 2
Пример 2. Найти I #** dx.
ра
Тогда d# = 2cos tdt, 4—х* = 4—4 sin21 =4 cos21. Имеем:
Решение. Интеграл \ ——^^-dx—I типа. Положим # = 2sin/.
J x
Так как sin/ = T, то
— ctgt—t + C
cos/ |Л— sin2/ К l~~l*J
^^^ sin, = ^^^
Поэтому
f
i
arcsin
Заметим, что интеграл ^]/а2—x2> dx, рассмотренный в п. 3,
относится к I типу и может быть вычислен подстановкой x — as'mt,
ПримерЗ. Найти
Решение. Это интеграл II типа. Полагаем x = 2tgi* Отсюда
|/"^T4K4tg4 + 4 1/"-^.=^. Следовательно,
dx . \ «os2 / l \ . Jx l
<^os2/ __ 1 I
/ 2 \3"^T
lcos/y <
X
i_ ^g^ 1 ^>== ^ 2 .q __ x uQ4
ti* 323

§ 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
/. Общие замечания
Мы разобрали наиболее важные методы интегрирования, охваты-
охватывающие обширный класс элементарных функций. Однако следует
заметить, что на практике не всегда следует действовать по трафарету.
Так, например, интеграл \ 8jl.92 ~ о^х можно было бы взять
обычным методом интегрирования рациональных функций, разложив
подынтегральную функцию на простейшие дроби:
3*2 + 4*—1 _ Зд:2 + 4л:—1 __ А В С
*2—*—2
Однако при внимательном рассмотрении подынтегральной функ-
функции мы замечаем, что числитель 3x2 + 4jt—1 является производной
знаменателя. Поэтому
Г 32 + 4— I г>^(*3 + 2*2—* —2)
dx-=)
Нахождение многих интегралов часто сводится к ранее извест-
известным. Поэтому для практического интегрирования можно рекомендо-
рекомендовать различные справочники, содержащие обширные таблицы инте-
интегралов. Например, справочник по математике И. Н. Бронштейна и
К. А. Семендяева, а также таблицы интегралов Рыжика.
2. Понятие об интегралах,
не берущихся в элементарных функциях
Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная
от любой элементарной функции есть функция элементарная. Дру-
Другое дело операция, обратная дифференцированию,— интегрирование.
Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функ-
функций, первообразная от которых хотя и существует, но не является
элементарной функцией. Так, например, хотя по теореме существо-
. v2 sin* cos* 1 •
вания для функции е~х , , , -.— существуют первообраз-
первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря
на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них состав-
составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать
эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисле-
вычисления значений таких функций.
Так, например, большое значение в различных приложениях
1 —
играет первообразная Ф (х) от функции —r^r=. e 2 , удовлетворяющая
дополнительному условию Ф@)=0. Эта функция, в частности,
встречается в теории вероятностей и называется интегралом вероят-
вероятностей. Для нее составлены таблицы значений для различных зна-
значений аргумента х.
Если первообразная для некоторой функции не является элемен-
элементарной функцией, то говорят-, что интеграл не берется в эле-
элементарных функция^

ГЛАВА VIII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
/. Задана о площади
В элементарной геометрии рассматривались площади плоских
фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площадь
круга и его частей. Поставим задачу о вычислении площади пло-
плоской фигуры К, ограниченной произвольной замкнутой линией
(рис. 170).
Вначале рассмотрим частный случай, когда фигура К лежит
в плоскости Оху и ограничена кривой АВ, отрезком CD оси абс-
абсцисс и двумя прямыми СА и DB, проведенными в концах отрезка
параллельно оси Оу (рис. 171).
Назовем эту фигуру криволиней-
криволинейной трапецией, а отрезок CD —
ее основанием. Предположим,
Рис. 170
что точки С и D имеют абсциссы соответственно а и b F > а) и
что кривая АВ относительно выбранной системы координат задана
уравнением y=f(x)f где f(x) — непрерывная и положительная на
сегменте [а, Ь] функция.
Разобьем сегмент [а, Ь] на части с помощью п—1 точек деления
с абсциссами
*1 < *а <•••<*/<•••< хп-1-
Кроме того, для единообразия записи положим а=х0 и Ь=хп.
Точки деления разбивают сегмент [а, Ь] на п малых сегментов:
[х0, xj, [х19 х2], ..., [^/-х, #/], ..., l^rt-i» хп]'
Проведя через точки деления прямые, параллельные оси Оу, мы
разобьем криволинейную трапецию на п малых криволинейных тра-
трапеций (рис. 172). Ясно, что площадь всей криволинейной тралеции
равна сумме площадей всех п маль^х криволинейных трапеций.
325

Поэтому если обозначить через S площадь всей криволинейной
трапеции, а через ASf-—площадь малой криволинейной трапеции
с основанием [xt-lt x{] (i принимает значения от 1 до п), то
или, в более короткой записи,
п
S =* /^ AS B)
п
где буква 2 (сигма) есть знак суммы, а символ 2 означает, что
суммируются п слагаемых при изменении индекса i от 1 до л*.
Рис. 172
Но вычислить площади этих малых трапеций так же трудно,
как и площадь большой. Поэтому мы поступим следующим обра-
образом: в каждом из малых сегментов [#/-lf xt] выберем произвольную
точку ?/(*/-! ^6/^*/) и построим в этой
точке ординату кривой /(?,) (см. рис. 172
и 173).
Заменим теперь каждую малую криволи-
криволинейную трапецию с основанием [x^lt x]
(i = 1, 2, ..., п) прямоугольником с тем же
основанием и а высотой, равной f(lt) (см.
рис. 173).
Площадь этого прямоугольника равна
1 1 так как xt —xt-x—длина малого сегмента
рис# 173 t^/-i» xil* Приняв площадь этого прямо-
прямоугольника за приближенное значение пло-
площади малой криволинейной трапеции, получим
-*/-!>• C)
Например, 2
4#-fsin 5д?.
326

Заменив площадь каждой малой криволинейной трапеции пло-
площадью прямоугольника с тем же основанием, но с высотой, равной
ординате кривой в некоторой произвольной точке основания, полу-
получим ступенчатую фигуру, показанную на рис. 172. Площадь этой
ступенчатой фигуры дает нам приближенное значение площади
криволинейной трапеции. Поэтому для площади S криволинейной
трапеции получаем следующее приближенное равенство:
или в более короткой записи,
(*/—*/-!>• D)
Обозначим через X наибольшую из длин малых сегментов!
л=наио. \(х1 хо)\ (х2 хгу, ••*\(хп хп-~\))т
С уменьшением Я точность приближенной формулы D) увеличи-
увеличивается. Поэтому вполне естественно за точное значение площади S
криволинейной трапеции принять предел суммы площадей ступенча-
ступенчатых фигур при условии, что наиболь-
наибольшая длина К малых сегментов стремится т
к нулю. Таким образом,
п
S =a lim 2 / (?/) (*/—*/-i)« E)
Если, кроме того, обозначить #,•—
— лс^х = Длг^, то формула E) примет сле-
следующий окончательный вид:
п
S = lim 2 / (Ь) д*/- F)
K->oi=i Рис. 174
Таким образом, вычисление площади
криволинейной трапеции привело нас к нахождению предела неко-
некоторой суммы вида F).
Возвращаясь к задаче о вычислении площади плоской области К,
ограниченной произвольной замкнутой линией, заметим, что эта
задача может быть сведена к задаче нахождения криволинейных
трапеций. Например, на рис. 174 площадь области, ограниченной
контуром АпВтА, можно найти как разность площадей криволи-
криволинейных трапеций А1В1ВтАА1 и А^В^ВпАА^
2. Задача о работе переменной силы
Если материальная точка под действием силы F, не меняющейся
ни по величине, ни по направлению, переместилась на расстояние /
в направлении действия силы, то работа силы, как известно из
механики, равна произведению величины силы F на перемеще-
перемещение /, т» е.
F — F. / G^
327

Рассмотрим теперь случай, когда сила F меняется по своей чис-
численной величине, хотя и сохраняет постоянное направление. Пусть
под действием этой силы материальная точка перемещается по пря-
прямой, направленной вдоль линии действия силы. Поставим задачу
о вычислении работы силы F.
Примем прямую, вдоль которой перемещается материальная
точка, за ось Ох. Пусть начальная и конечная точки пути имеют
абсциссы соответственно а и Ь (а < Ь). В каждой точке сегмента [а, Ь]
Рис. 175
величина силы имеет определенное значение, т. е. является некото-
некоторой функцией абсциссы: F=f(x). Эту функцию будем считать не-
непрерывной. Разобьем сегмент [а, Ь] между начальной и конечной
точкой пути на п малых сегментов (рис. 175)
[ХОу Хг\, [Х19 Хг\у . . ., [^•-1, Xi\> . . ., [ХПтт1, Хп\
(здесь a=xOi b—xn), длины которых соответственно равны:
ах1 = х1—х0, Ах2=х2—xlt ..., Axi = xi—#/-i» ..., &xn—xn—xn~x.
Работа на всем пути [а, Ь] равна сумме работ на всех малых
участках пути. Обозначив искомую работу на всем пути через Е,
а работу на малом участке [х;-1У X;] — через A?f, имеем
Но определить работу на малом участке так же трудно, как
на всем пути, так как сила не постоянна. Однако, если сегменты
[х,--!, х{] разбиения брать достаточно мелкими, то вследствие пред-
предположения о непрерывности функции F=f(x) сила на каждом из
малых участков пути изменится незначительно. Выберем в каждом
малом сегменте [х:-19 х(] по точке E/to-i^E/^*/) и предположим,
что в каждом малом сегменте величина силы имеет постоянное зна-
значение, равное ее значению в точке ^:f/= /(?,•)•
В этом предположении работа силы на отрезке пути [х(-19 х{]
согласно формуле G) будет равна
Но в действительности на малом сегменте [x^v X;] сила непо-
непостоянна, поэтому выражение /(?,.) Axi дает нам лишь приближенное
значение работы на этом малом участке. Таким образом, на участке
[ ]
328

а на всем пути [а, Ь]
2А**. (8)
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше &х(.
Поэтому за точное значение работы естественно принять предел
суммы (8) при условии, что наибольшая длина % малых переме-
перемещений стремится к нулю, т. е.
A*f. (9)
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Если отвлечься от конкретного содержания задач, разобранных
в § 1, то легко заметить, что при их решении применялся один и
тот же прием, сводившийся, в конечном счете, к нахождению пре-
предела определенного вида сумм.
Решение каждой задачи было связано с некоторым действием,
производимым над заданной на сегменте непрерывной функцией.
В частности, в задаче о нахождении площади криволинейной тра-
трапеции такой функцией являлась переменная ордината кривой,
в задаче о нахождении работы —переменная сила. К нахождению
предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит целый
ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот
процесс независимо от конкретного содержания той или иной
задачи.
/. Интегральная сумма. Определенный интеграл
Пусть на сегменте [а, Ь) задана функция #=/(#). Выполним
следующие действия.
1. С помощью точек деления хх < х2 <... < Х;~г < xt <... <Схп-{
разобьем сегмент [а, Ь] на п «малых» сегментов (см. рис. 175):
[;с0, хг], [х17 х2], ..., [#;-!» #,•], ..., [-*7z-i> хп\> гДе хо=а, хп = Ь.
2. В каждом из малых сегментов [х^19 xt] (/=1, 2, 3, ..., п)
выберем произвольную точку ?,-, #/-i^?^x,- и умножим значе-
значение функции f(x) в точке ^ на длину Axi = xi—х^г соответствую-
соответствующего сегмента:
fih)^. (Ю)
3. Составим сумму оп всех таких произведений:
Ах„,
или в сокращенной записи:
J]*,. A1)

Сумма вида A1) называется интегральной суммой.
4. Назовем наибольшую из длин малых сегментов [х/-1э х(]
шагом разбиения и обозначим его через Я.
Пусть число п сегментов разбиения [*/-1э х(] неограниченно
растет и %—*0. Если при этом интегральная сумма оп имеет пре-
предел /, который не зависит ни от способа разбиения сегмента
[а, Ь] на малые сегменты [xim.19 х{], ни от выбора точек ?/ в каж-
каждом цз них, то это число / называется определенным интегралом
от функции f(x) на сегменте [а, 6] и обозначается символом
ь
\f(x)dx (читается так: «определенный интеграл от а до 6 от f(x)
на dx).
Таким образом,
A2)
Числа а и Ъ называют соответственно нижней и верхней границами
интегрирования*, f(x) — подынтегральной функцией, х—переменной
интегрирования, а сегмент [а, Ь]—сегментом интегрирования (или
областью интегрирования).
Таким образом, приходим к следующему определению.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому
стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится
к нулю.
Функция f(x), для которой на сегменте [а, Ь] существует опре-
ь
деленный интеграл j / (x) dx, называется интегрируемой на этом
а
сегменте.
Сделаем некоторые важные замечания.
Замечание 1. Для заданной функции f(x) и заданного сег-
сегмента [а, Ь] мы, очевидно, имеем бесконечное множество интеграль-
интегральных сумм. Значения этих интегральных сумм зависят как от выбора
точек деления х19 #2, ..., xit ..., ха-19 так и от выбора проме-
промежуточных точек gf.
Замечание 2. Если функция y — f(x) не отрицательна на
сегменте [а, Ь], то как интегральная сумма, так и ее слагаемые,
имеют простой геометрический смысл. В самом деле, произведение
f(li) Ax( численно равно площади прямоугольника, имеющего осно-
основанием сегмент [х;-1У х(], а высотой — ординату кривой в точке |,-
(см. рис. 173). Построив над каждым малым сегментом прямоуголь-
прямоугольник с высотой /(Н/), получим ступенчатую фигуру, площадь кото-
которой равна интегральной сумме оп, соответствующей данному раз-
разбиению сегмента [а, Ь] на части и данному выбору точек %( (см.
рис. 172).
Возвращаясь теперь к задачам § 1, мы видим, что:
* Границы интегрирования называются также пределами интегрирования.
?. 30

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y = f(x), где f(x)^0 для всех х на сегменте [а, 6], численно равна
определенному интегралу от функции /(#), взятому по сегменту
[a, ft]:
Этот факт, выражающий геометрический смысл опреде-
определенного интеграла, кратко формулируется так: определен-
определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен пло-
площади криволинейной трапеции.
2. Работа Е переменной силы, величина которой F — f(x), равна
определенному интегралу от силы, т. в.
Рассмотрим пример на вычисление определенного интеграла.
ь
Пример, Вычислить интеграл
Решение. Разобьем сегмент [а, Ь] на п произвольных частей
точками деления х1У ...9 х(, ..., хп-г и построим соответствую-
соответствующую интегральную сумму. Так как подынтегральная функция по-
постоянна и тождественно равна единице, то при любом выборе про-
промежуточных точек \t будем иметь:
Таким образом, любая интегральная сумма для данной функции
равна Ь—а, а следовательно, и ее предел (т. е. определенный
интеграл) также равен b—а:
ь ь
x=b—a. A3)
Замечание 3. Интегральная сумма (И), очевидно, не зави-
зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции.
Следовательно, и ее предел, т. е. определенный интеграл, не зави-
зависит от обозначения переменной интегрирования:
И Т. Д.
Ь
Замечание 4. При определении интеграла {f(x)dx мы исхо-
а
дили из предположения, что нижняя граница а меньше верхней
границы b(a<.b). Обобщим понятие определенного интеграла на
331

случай, когда a>b и a = b. При a>b по определению полагаем
(И)
Зто кратко выражают так: при перестановке границ интегри-
интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный.
Определенный интеграл с равными нижней и верхней грани-
границами по определению принимается равным нулю:
O.f A5)
В связи с определением определенного интеграла возникает воп-
вопрос, при каких условиях существует предел интегральной суммы,
т. е. существует определенный интеграл.
Имеет место теорема существования, которую мы приведем без
доказательства.
Теорема существования определенного интеграла. Всякая непре-
непрерывная на сегменте [а, Ь] функция интегрируема, т. е. для такой
функции существует предел интегральных сумм при стремлении
шага разбиения к нулю.
Таким образом, для интегрируемости функции достаточно ее
непрерывности на данном сегменте. Однако, определенный интеграл
может существовать и для некоторых разрывных функций. Напри-
Например, можно доказать, что для всякой ограниченной на сегменте
функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва, сущест-
существует определенный интеграл.
2. Свойства определенного интеграла
Установим теперь, исходя из определения интеграла, его про-
простейшие свойства. При этом подынтегральную функцию будем счи-
считать непрерывной.
I. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного
интеграла, т. е. если k—некоторое число, то
A6)
Действительно,
С kf (х) dx = lim У kf (I) A*, = limffc У / fo) AjJ
При этом мы воспользовались тем свойством, что постоянный мно-
множитель можно вынести за знак предела.
332

• . .II. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен
сумме определенных интегралов, от слагаемых.
Например, для двух слагаемых f(x) и ф(л;) имеем:
ь ь ь
\ U (х) + ф (х)] dx = J / (х)dx+ J ф (х)dx. A7)
а а а
Действительно, согласно определению интеграла имеем:
ь п
lim | V / &;) Ах, + V ф
+ lim
Ф
;,. 1 - lira V / (|,)
6
J Ф (х) dx.
Совокупность свойств I и II называется свойством линейности.
III. Если сегмент интегрирования
1а, Ь] разбит на две части [а, с] и
ct b], то
J f(x) dx = J f(x)dx+ J /(x) dx. A8)
а а с
Действительно, предел интегральной
суммы не зависит от способа разбиения
сегмента [а, Ь] на части и от выбора
промежуточных точек ?,. Это позволяет
при составлении каждой интегральной
суммы включить точку с в число точек
разбиения. Пусть c = xk. Тогда интегральная сумма будет состоять
из двух частей, одна из которых относится к сегменту [а, с], а
другая—к сегменту [с, Ь]:
п k п
Переходя к пределу, получим
lim У / (U Дх,- = lim У / (I,) Дх, + lira У f (I,) Ax,-,
или
Геометрически свойство III выражает тот факт, что площадь
криволинейной трапеции с основанием [а, Ь] равна сумме площа-
площадей криволинейных трапеций с основаниями [а, с] и [с, Ь] (рис. 176).
ззз

Замечание. Свойство III было нами сформулировано в пред-
предположении, что а<с<Ь. Однако равенство A8) имеет место для
любых чисел а, Ь и с. В самом деле, пусть для определенности
с<а<6. Тогда, применяя свойство III к сегменту [с% Ь]*г имеем
b а Ъ
J/(х)dx =.$/(*) d*+J/(x)d».
о о а
Но
(см. формулу A4)), поэтому
с а а
ИЛИ
Ь с Ь
\f(x)dx=\f{x)dx+\f{x)dx.
а а с
Свойство III часто называется свойством аддитивности*
ь
IV. Если на сегменте [а,Ь] /(*)>0, то J / (x) dx > 0.
а
В самом деле, так как /(^-)^0 и Д^. >0 для любых I, то ин-
тегральная сумма 2 / (^f) Алг^ ^ 0. Поэтому и предел интегральной
ь
суммы при Я —> 0, т. е. j / (x) dx9 также неотрицателен.
а
Можно доказать, что если на сегменте [а, Ь] непрерывная функ-
функция f(x)^O и хотя бы в одной точке этого сегмента / (х) > 0, то
имеет место строгое неравенство
ь
j
V. Если на сегменте [а, Ь] две функции f(x) и ц>(х) удовлетво-
ряют неравенству f (х) ^ ф (л:),; то
ь ь
A9)
Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать.
В самом деле, разность f(x)—ф(л:)^0, поэтому согласно свой*
ству IV
ь
а
* При этом мы предполагаем, что функция / (я) непрерывна иа сегменте [с, Ь]щ
334

Но, так как по свойствам I и II
ь ь
а
ТО
откуда
Это свойство имеет простой геометрический смысл. Пусть для оп-
определенности обе функции f(x) и ср(лг) неотрицательны на сегменте
[а, Ь]. Тогда криволинейная трапе-
трапеция, ограниченная кривой y=f(x),
содержит криволинейную трапецию,
ограниченную кривой у = ц)(х) (рис.
177). Поэтому площадь первой фи-
фигуры не меньше площади второй
фигуры. Исходя из геометрического
смысла определенного интеграла,
V-H*)
Рис. 177
В частности, так как всегда
"I/Ml ^/M^l/MI» то из свойства V следует» что
Отсюда имеем
lf{x)dx
B0)
VI. Теорема о среднем значении. Если f(x)—непрерывная на сег-
сегменте [ar b] функция, то существует такая точка ? этого сегмента,
что
B1)
Обозначим через т и М соответственно наименьшее i: наиболь-
наибольшее значения функции f(x) на сегменте [а, Ь]. Тогда для любого х
6
m </(*)< М.
B2)
835

Применяя свойства V и I, из неравенства B2) получим
Ь Ъ b
т\ dx< \ f (х) dx < М j\ dx.
а а а
Ь
Но ]dx = b—а (см. п. 1, пример). Следовательно,
а
Ь
тF—а)< J /(x)dx<M(b—a). B3)
а
Разделив все члены двойного неравенства B3) на Ъ—а, получим
ъ
т<4 <М.
^ Ь—а
Введя обозначение
J/M* B4)
получим
Таким образом, число \\> является промежуточным числом между
наименьшим значением т функции f (х) и ее наибольшим значени-
значением М. Так как непрерывная на сегменте [а, Ь] функция f(x) при-
принимает все промежуточные значения между т и М (см. гл. V, §2,
п. 3), то найдется такое значение ? на сегменте [а, 6], для которого
Подставляя в формулу B4) вместо ц, равное ему значение /(!),
получим
ь
ИЛИ
Итак, определенный интеграл от непрерывной функции равен
значению подынтегральной функции в некоторой промежуточной
точке у умноженному на длину сегмента интегрирования.
Теорема о среднем допускает наглядное геометрическое толко-
ь
вание. Пусть f(x)^0 на сегменте [а, Ь]. Интеграл J f(x) dx числен-
а
336

но равен площади криволинейной трапеции (рис. 178). Рассмотрим
прямоугольник аАВЬ с тем же основанием [а, Ь]9 что и у криво-
криволинейной трапеции, и с высотой, равной /(?). Произведение f(l)(b—a)
численно равно площади прямоугольника/ Следовательно, криволи-
криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием
и с высотой, равной ординате кривой
в некоторой промежуточной точке ?
основания.
Значение функции в точке ?, опре-
определяемое из формулы B1), называется
средним значением функции на сегменте.
3. Производная интеграла по
переменной верхней границе
Пусть y = f(x)—функция, непрерыв-
непрерывная на сегменте [а, Ь]. Рассмотрим ин-
интеграл j / (х) dx. При заданной подын-
подынтегральной функции значение интеграла зависит от обеих границ
интегрирования а и Ь. Если мы закрепим нижнюю границу а и бу-
будем изменять верхнюю границу 6, то интеграл будет функцией
своей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница
переменная, мы обозначим ее вместо b через х. Переменную интег-
интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, обозначим
через t\ ясно, что значение интеграла от этого не изменится (см.
замечание 3 в п. 1). Таким образом, интеграл с переменной верх-
верхней границей является некоторой функцией х:
Эта функция обладает замечательным свойством, выраженным
в следующей теореме.
Теорема. Производная от интеграла по верхней границе равна
подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования
заменена верхней границей:
d J / @ dt
-iL_-
B5)
Доказательство. Для нахождения производной функции
х
I (х) = j / (/) dt дадим х приращение Дл:. Тогда новое значение функ-
а
ции будет равно
х+Ах
l(x+Ax)=
33?

Следовательно, приращение функции / (л:) при переходе из точки х
в точку х + кх окажется равным
х
Д/**/(* +Ал?)—/(*)=* J f(t)<tt—\f(t)dt.
а а
Но, так как по свойству аддитивности
х+Ах х х+кх
J f(t)dt-lf(t)dt+ $ f(t)dt,
а й х
то
A/-]
С
Применим к
а а х
X Х + &Х X
** С С
i х а
последнему интегралу теорему
х+кх
$ f(t)dt=f(c)Ax,
Х+&Х
¦ I f(t)dt.
X
о среднем:
где с заключено между х и х + Ах. Таким образом, приращение А/
функции / (л:) равно / (с) Ах:
А/-/(с) А*.
Согласно определению производной, имеем
х
d$/@tf
—2—. = —-—=я Нт -т- = lim —-.— = Hm
Так как Д#~«*0, то л:+Дл:, а следовательно, и с стремятся к х.
Согласно условию, подынтегральная функция f(t) непрерывна в точ-
точке L Поэтому
lim /(с)- Нт/(с) =»/(*)¦
Ах -> 0 с -> х
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Теорема о производной интеграла по верхней границе является
одной из основных теорем математического анализа. Эта теорема
вскрывает глубокую связь между операциями определенного инте-
интегрирования и дифференцирования. Теорема о производной интеграла
по верхней границе показывает, что функция J f{t)dt является пер-
а
х
вообразной для f(x). Но вдтеграл \f(t)di существует для любого
833

значения х, в силу теоремы существования определенного интеграла
от непрерывной функции.
Таким образом, имеет место следующая теорема существования
первообразной для непрерывной функции: всякая непрерывная функ-
функция f(x) имеет первообразные, од-
одной из которых является интеграл
[f(t)dt
а
Замечание 1. Исходя из гео-
геометрического смысла интеграла, как
площади, замечаем, что / (х) = J /(/) dt
I.
\il*)
Рис. 179
выражает переменную площадь кри-
криволинейной трапеции с основанием
[а, х] (рис. 179). Следовательно, на
основании только что изложенного,
можно сказать, что эта переменная площадь является первообраз-
первообразной для ординаты y = f(x) линии, ограничивающей эту криволи-
криволинейную трапецию.
х
Замечание 2. При /(#)>0 функция I(x)^ ^f{t)dt — возра-
а
стающая, так как g возрастанием х площадь криволинейной трапе-
трапеции возрастает.
4. Формула Ньютона—Лейбница
Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных
сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производ-
производной интеграла по верхней границе позволяет установить простой
метод вычисления определенных интегралов, минуя суммирование
и переход к пределу. Этот новый метод вычисления определенного
интеграла выражается формулой Ньютона—Лейбница, к выводу
которой мы приступим*.
В предыдущем пункте мы установили, что функция
является первообразной для непрерывной подынтегральной функ-
функции f(x). Как известно, всякая другая первообразная для функции
f(x) отличается от I (х) только постоянным слагаемым. Поэтому,
если F(x)—другая первообразная для /(л:), то /(х) = F(х) + С, или
lf(t)dt=F(x
B6)
* И, Ньютон A642—1727) — великий английский математик, физик и астроном.
Г» Лейбниц A646—1716) — великий немецкий математик,
839

Постоянную С легко найти, если заметить, что / (а) = J / (/) dt — О,
а
как интеграл с равными границами интегрирования. Поэтому, под-
подставляя в соотношение B6) х = а, получим
х
Отсюда С = — F (а) и, следовательно, }f(t)dt=F(x)—F (а). В ча-
а
b
стности, при х=*Ь имеем }f(t)dt=>F(b)—F (а).
а
Это и есть формула Ньютона—Лейбница.
Она показывает, что, для того чтобы вычислить определенный
интеграл, нужно найти какую-либо первообразную F (х) для под-
подынтегральной функции f(x) и взять разность значений этой перво-
первообразной, вычисленных для значений х, равных верхней и нижней
границам интегрирования. Короче говоря, определенный интеграл
равен приращению первообразной от подынтегральной функции на
сегменте интегрирования.
Разность F(b)—F(а) символически обозначают/7^) :
а
Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона —
Лейбница в таком виде:
= F(b)-F(a). B7)
г
Рассмотрим несколько простейших примеров.
2
Пример 1. Вычислить ^e*dx.
Решение. Одной из первообразных от подынтегральной функ-
функции является функция ех. Поэтому, применяя формулу B7)
Ньютона—Лейбница, получим
= е*
= е2 —е1 = е (^— 1).
1
1
Пример 2. Вычислить \
dx
V
34Р

Решение. По формуле B7) Ньютона—Лейбница
1
Т
г —»
= arcsin х
2_
2
= arcsin -3- — arcsin 0 = ~-.
о
Замечание. Формула Ньютона—Лейбница была выведена
в предположении, что подынтегральная функция f (х) непрерывна.
Для разрывных функций формула Ньютона—Лейбница может не
иметь места.
5. Замена переменной в определенном интеграле
8
х dx
С х
Пример 1. Вычислить определенный интеграл \—т=
з * х^~ ¦
Решение. Найдем вначале первообразную от подынтегральной
функции, сделав замену переменной по формуле
Тогда x = t2—1, dx = 2tdt и, следовательно,
xdx
Возвращаясь к переменной х> получим
Таким образом, одной из первообразных от функции х , яв-
ляется функция
Следовательно, применяя формулу Ньютона—Лейбница, полу-
получим
Покажем, что можно упростить вычисление определенного
интеграла, не возвращаясь от переменной t вновь к переменной х.
Предположим, что нужно вычислить определенный интеграл
ь
\f{x)dxy где f(x)—непрерывная функция на сегменте [а, 6].
Перейдем от переменной х к переменной t, положив
х=»Ф(/). B8)

Пусть значению t = a по формуле B8) соответствует значение
х = а, а значению t=fi по той же формуле—значение х = Ь\
Ф(а)=а, Ф(Р) = 6. B9)
Предположим, кроме того, что:
1) функция ф(/) и ев производная ф'@ непрерывны на сег-
сегменте a^.t ^P;
2) при изменении t от ос до р значения функции ф(?) не вы-
выходят за пределы сегмента а^х^.Ь.
При этих условиях имеет место следующая формула замены пе-
переменной в определенном интеграле:
Ь 3
В самом деле, пусть F {х)—первообразная для функции f(x)> т.е.
F' (х) »/(jf). Тогда по формуле Ньютона—Лейбница
= F(ft)-f (а). C0)
Теперь покажем, что если в первообразной F (х) положить
х = ф(;), то функция F[y(t)\ будет первообразной для подынте-
подынтегральной функции преобразованного интеграла, т. е. для функ-
функции /[ф@]*ф'@- Действительно, применяя правило дифферен-
дифференцирования сложной функции, получим
Поэтому по той же формуле Ньютона—Лейбница
Но так как по условию ф(р)=6, а ф(ос)=а, то F [ц> (Щ = Т7 F),
a f [ф (а)] =F(a). Поэтому
C0')
Сравнивая равенства C0) и C0'), приходим к формуле замены
переменной:
Р Э
]f(x) dx~lf[<f(t)Wit)dt. C1)
Рассмотрим примеры.
Вернемся к примеру 1, приведенному в начале этого пара-
п хйх
графа, и найдем вновь \
342

Положим Vx+l =t или x = t2 — 1. В данном случае а = 3,
р + = 2; при я = & = 8 ?=]+
Итак, а = 2, |5=зЗ. Следовательно, по формуле C1) замены пере-
переменной имеем
я
т
0
а*-аЧШ a cos td
п
т
I (\ 1 rn° ^/\ At
Л \ \х j \^LIo Z»t ^ lit-
0
Л
2
/ = aa jcos4dt"
a2 i , | sin 2^\
9 I 9 i
Пример 2с Найти ^]/"a2—x2dx.
о
Решение. Полагая л; = a sin /, получим dx = a cos / d/. При # = О
0=sin?, t« arcsin 0 = 0; при д: = а 1 = sin/, ^ = ^"* Итак, а = 0,
Следовательно, применяя формулу замены переменной, найдем
2
Заметим, что часто вместо замены переменной #=ф@ употребля-
употребляют обратную замену t^\\>(x)\ однако при этом необходимо, чтобы
функция, обратная функции / = г|? (х), существовала и чтобы для этой
обратной функции выполнялись условия, при которых была выведена
формула замены переменной.
21п2
h
Пример 3, Найти \ у
In 2
Решение. Полагаем Ye* — 1 = /. При этом легко убеждаемся,
что обратная функция х = 1пA + И существует и удовлетворяет
условиям, при которых была выведена формула замены переменной.
Находим dx = 2~i- При х = 1п2 f = 1; прих=21п2 t=yj. Итак,
а-^1, р=|/3. Применяя формулу замены переменной, получим
21п 2
ах
j
In 2
843

& Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть и = и(х) и v=>v(x)—две функции, непрерывные со своими
первыми производными на сегменте [а, Ь]
Возьмем дифференциал от их произведения:
d [a (x) v (х)] =* и (х) dv (х) + v (x) du (х) = и (х) v' (x)dx ф v (x) и9 (х) dx.
Интегрируя это тождество в пределах от а до 6, получим
ь ь ь
\d\u (x) v (*)] *= J и (х) vf (х) dx+\v (x) uf (x) dx. C2)
а , а а
Но по формуле Ньютона—Лейбница
Таким образом, равенство C2) примет следующий вид:
ь
= \ и (х) &
а
(х) dx+ J v (x) и' (х) dx9
откуда
= u {x)v{x)
C3)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям
в определенном интеграле.
Так как du = u'(x)dx и dv = v'(x)dx, то формулу C3) можно
записать в следующем более компактном виде:
и dv =з uv
— \ v du.
C4)
При этом следует иметь в виду, что границы интегрирования отно-
относятся к независимой переменной х.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Вычислить }хcos xdx.
о
Решен ие. Положим# = и, cosxdx = dv. Тогда du = dx, v = sinx.
Применяя формулу интегрирования по частям, найдем
=—2%
так как л:-sin л:
= я • sin л—0 • sin 0 =» 0.
е
Пример 2* Найти \
m
344

Решейие. Положим \пх = и, -y^s- = dvy откуда du — -~f
v = 2\/rx. Следовательно, по формуле интегрирования по частям.
— \2 Vic-= 2 Vein е—2\Л In l—*V A =
2Ve—DVe—4) = 2B—Ve).
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
/. Вычисление площади в декартовых координатах
Как мы видели (см. § 2, п. 1), если на сегменте [а, Ь],
функция y = f(x) непрерывна и положительна, то криво-
криволинейная трапеция с основанием [а, Ь], ограниченная сверху
графиком этой функции, имеет площадь
S, которую можно найти по формуле У,
или кратко
S= \ydx.
C5)
C5')
Пример 1. Вычислить площадь сегмен-
сегмента параболы, т. е. фигуры, ограничен-
ограниченной дугой параболы х = у2 и отрез- рис j8o
ком АВ прямой х = а (рис. 180).
Решение. Исходя из симметрии сегмента параболы относи-
относительно оси Оху найдем его площадь S, как удвоенную площадь
криволинейной трапеции ОАа:
JL а
2
4сЛГ
4 -, /—
0 0 0
Пример 2. Определить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Решение. Из симметрии эллипса относительно осей вытекает,
что искомая площадь S равна учетверенной площади криволинейной
трапеции ОАВ (см. рис. 45):

Но, согласно примеру 2 § % п. 5,
> Следова*
тельно,
В частности, если a = & = /?, то эллипс превращается в окруж*
ность радиуса /?, и мы приходим к известной формуле для пло-
площади круга: Ss=Jt/?2.
Пусть теперь на сегменте [a, b] /(#)<() (рис. 181), Криволиней-
ная трапеция с основанием [а, Ь], ограниченная снизу кривой у «= f (jc),
лежит ниже оси Ох, Из соображений симметрии заключаем, что ее
Рие. 181
Рис. 182
площадь S равна площади другой криволинейной трапеции, имею-
имеющей то же основание, но ограниченной сверху кривой у = — f(x)
(см. рис. 181). Так как по условию f(x)<0, то — /(х)>0и,
применяя формулу C5), найдем
[—/ (х)] dx'-=:~\f(x) dx.
C6)
Так выражается площадь криволинейной трапеции в случае отри-
отрицательной подынтегральной функции.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 — 4 и осью абсцисс (рис. 182).
Решение. Парабола у=х2—4 пересекается с осью абсцисс
в точках А (—2; 0) и В B; 0). Следовательно, надо найти площадь S
криволинейной трапеции АСВ, основанием которой служит сегмент
[—2, 2], Так как на этом сегменте у^О, то для нахождения пло-
площади S пользуемся формулой C6):
-2
346

Формулы C5) и C6) можно объединить в одну:
S=l\f(x)\dx.
C7)
Эта формула остается справедливой также и в том случае, когда
функция f(x) на сегменте [а, Ь] меняет знак, т. е. имеет на этом
сегменте как положительные, так и от-
отрицательные значения.
Пример 4. Вычислить площадь S
фигуры OABCD, ограниченной косину-
соидой у ¦¦ cos xf осями координат и
прямой #*= п (рис. 183).
Решение. По формуле C7) имеем
i \ | cos х | dx.
Так как функция cosx в интервале
О, у) положительна,
| cos x I =
а в интервале (-^
cos х, если
—cos л:, если
Рис. 183
отрицательна, то
Поэтому
Я
= \
0
= ^ \cosx\dx+
2
я
з (—cos #) dx = sin л:
Вычислим теперь площадь фигуры, ограниченной сверху кривой
y~f(x)f снизу кривой у = у(х) {f(x)^q(x)) и двумя прямыми
х = а и л:«=6 (см. рис. 177). Искомая площадь равна разности пло-
площадей криволинейных трапеций aCDb и аАВЬ:
пл. ACDB = пл. aCDb—пл. аАВЪ
C8)
Формула C8) справедлива при любом расположении графиков функ-
функций y=*f(x) и у=Ц>(х) при условии f(x)^q>(x).
Пример б, Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кри-
кривыми у=*а«~$с* и y = ext осью ординат и прямой х**\ (рио. 184).
347

Решение. В данном примере /(х) = ех9 ср(х) = — х2, f (х) > ср(х)%
0, &«= 1. Следовательно, по формуле C8) получим
В заключение рассмотрим пример на вычисление площади фи-
фигуры, ограниченной линией, заданной параметрически*
Рис. 184
Рис. 185
Пример 6. Определить площадь фигуры, ограниченной осью
абсцисс и одной аркой циклоиды: я = а(/ — sin/), у = аA—cos/)
(см. рис. 139).
2яа
Решение. Искомая площадь S равна \ ydx. Сделаем в этом
интеграле замену переменной, положив х = a (t — sin /). Тогда
dx = a(l—co$t)dt. На основании уравнений циклоиды у—а(\—cos/).
Заметив, кроме того, что прид;=0 / = 0и при х=2ка t =2л, найдем:
2яа 2я
— cos/)a(l—
2л
= Зяа2.
2. Вычисление площади в полярных координатах
Пусть дан криволинейный сектор ОАВ (рис. 185), ограниченный
радиусами-векторачи О А ц ОБ и кривой, уравнение которой задано
в полярных координатах: г=/(ф). При атом предположим, что
348

г = /(ф) — непрерывная функция для всех ф, удовлетворяющих
условию: а^ф^р.
Пусть радиус-вектор О А образует с полярной осью угол а,
а радиус-вектор ОВ —угол C. Разобьем угол АОВ на части с по-
помощью лучей, выходящих из полюса О и составляющих с полярной
осью последовательно углы
а < <Pi < ф* <... < Ф/-1 < <Р/ < ¦.. < ф„-1 < Р-
Кроме того, обозначим а = ф0 и |5 — <рл. Через А19 Л2, ..., Л/_,,
Аь ..., Л„_х обозначим точки пересечения лучей с кривой.
Криволинейный сектор АОВ разобьется на п малых криволи-
криволинейных секторов (см. рис. 185) АОА1У AfiA2, ..., AimmiOAi9 ...
..., An_fiB. Углы AOAl9 AfiA» ..., A^xOAif ..., An^OB соот-
соответственно равны Дфз^--^ ф1-—ф0, Аф.2 = ф2—ф1э..., Дф/ = ф/—ifi-i,...
..., Лф„ = ф„—Ф„-1. Если обозначить через S площадь всего кри-
криволинейного сектора, а через As,— площадь малого криволинейного
сектора, ограниченного лучами 0А^г и 0Аь то S= ks1 + As2+ ...
п
... -f- As; + ... + &sn или 5=2 As,-. Вычислить площадь малого
криволинейного сектора так же трудно, как и площадь большого.
Поэтому мы поступим следующим образом: внутри каждого малого
сектора Л/^ОЛ,- проведем луч под углом Ф,-(ф;-х ^ Ф,-^ Ф,-). Точку
пересечения этого луча с кривой обозначим через Л!,-. Тогда
0Л1; = rf- = / (ф|)« Заменим теперь каждый малый криволинейный
сектор A^fiAi круговым сектором, описанным из вершины О ра-
радиусом г,-= /(9,-) (см. рис. 185). Площадь каждого такого кругового
сектора равна —~ Ац>; = — [2 (ф,.) Дф,. и дает приближенное значе-
значение площади малого криволинейного сектора.
Таким образом, имеем следующее приближенное равенство:
/2(ф
Заменив площадь каждого криволинейного сектора площадью соот-
соответствующего кругового сектора, получим фигуру, состоящую из
ряда круговых секторов.
Площадь этой фигуры дает нам приближенное значение пло-
площади S криволинейного сектора. Поэтому для его площади полу-
получим приближенное равенство
или в сокращенной записи
349

Точность этого приближенного равенства повышается с уменьше-
уменьшением Аф/. Поэтому точное значение площади S криволинейного
сектора получится как предел площади фигуры, составленной из
круговых секторов, при условии, что все Дф^ стремятся к нулю.
Таким образом,
Hm Vij
<=i
Так как V -к /2 (ф/) Дф/ есть интегральная сумма для непрерывной
?=1
функции -п-/2(ф)* заданной для значений ф, заключенных между а
и р, то ее предел есть определенный интеграл
а
Следовательно,;
5=4]>(Ф)<*Р, C9)
а
или в сокращенной записи
1 С
iJd(p. D0)
Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
яA + СО8ф) (СМ. рИС. 31).
Решение. Применяя формулу D0) при а = 0 и р = 2я, найдем:
2я
3. Вычисление объема тела по известным
поперечным сечениям
Рассмотрим некоторое тело, объем V которого мы хотим опреде-
определить (рис. 186). Предположим, что нам известны площади сечений
этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. Эти сечения
будем называть поперечными. Положение поперечного сечения опре-
определяется абсциссой х точки его пересечения с осью Ох.
С изменением х будет, вообще говоря, изменяться площадь се-
сечения. Следовательно, площадь сечения будет некоторой функцией х,
которую мы обозначим через s(x) и будем считать известной. Обо-
350

значим далее через а и & абсциссы крайних сечений тела *. Для
вычисления ()бъема V тела поступим следующим образом: разобьем
сегмент [а, Ь) на л частей точками
а =х0 < хх < х2 <...< д
и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные
Рис. 186
оси Ох. Эти плоскости рассекут тело на п слоев (рис. 187). Обозна-
Обозначим объем слоя, заключенного между плоскостями, проведенными
через точки х^г и xi через Д^-. Тогда V** Д Д Д
или
D1)
Рассмотрим один из слоев, образованный сечениями с абсциссами
*/-i и ЛГ/« Его объем Д^. приближенно равен объему прямого ци-
цилиндра, высота которого равна длине отрезка [xim.19 x/\9 т. е.
Рис. 187
* Оба эти сечения, или одно из них, в частных случаях могут сводиться
точкам.
851

Дл;,— */—-*;_!, а основание совпадает с поперечным сечением тела,
соответствующим какой-либо абсциссе ci% где xitml < с{ < х{
(см. рис. 187) и, следовательно, имеет площадь s(C/).
Объем такого цилиндра равен, как и объем кругового цилиндра,
произведению площади основания на высоту: s^Ajc/. Таким обра-
образом, Ди,- ж s (с,-) Аде,-. Поэтому для объема нашего тела получим сле-
следующее приближенное равенство:
Точность этого приближенного равенства увеличивается с умень-
уменьшением шага разбиения X отрезка [а, Ь]. Поэтому точное значение
объема получим, устремляя шаг разбиения к нулю. Итак,
К-+0 &
п
Сумма ^is(ci)Axi есть интегральная сумма для функции s(x).
Поэтому
п
im У s (С;) Ах; = V s (x) dx.
-> 0 i =1 •)
lim
Следовательно,
V=C s(x)dx.
D2)
В этой формуле s(x) означает площадь поперечного сечения, а а и
Ь — абсциссы крайних точек сечения тела.
Пример. Определить объем тела, ограниченного эллипсоидом
Решение. Пересекая эллипсоид плоскостью л: = Л, получим
zi эллипс
+-
Т\ z=z Ь
с полуосями Ь 1/1 2* и
Рис. 188 C|/l_^!. (рис. 188). Следова-
Следовательно (см. п. 1, пример 2), площадь сечения s(h) = nbc(\ П .
Поэтому по формуле D2), в которой х заменяем на Л, по-
352

лучим
В частности, при
которого равен ~^
D3)
= /? получаем шар радиуса /?, объем
4. Объем тела вращения
Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [а, Ь]9 огра-
ограниченную непрерывной кривой y=zf(x). Определим объем тела,
образованного вращением трапеции вокруг оси Ох (рис. 189). По-
Поперечными сечениями будут круги с радиусами, равными модулю
Рис. 189
Рис. 190
ординаты у вращающейся кривой. Следовательно, площадь сечения
Применяя формулу D2), найдем объем тела вращения
ь
или сокращенно
D4)
D5)
Пример^ Определить объем тела, ограниченного поверхностью
вращения параболы у2 = х вокруг оси Ох и плоскостью x=^h
(рис. 190).
Решение. Применяя формулу D5), найдем:
12 № 2242
353

б. Длина дуги кривой
В элементарной геометрии измерялись длины прямолинейных
отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окруж-
окружности принимался предел периметров правильных вписанных в
окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа
их сторон. Обобщим это определение на случай любой кривой.
Пусть в пространстве задана дуга АВ (рис. 191). Разобьем ее
точками Ми Mi9 • »», Мп„г на п частей. Соединив соседние точки
деления отрезками, получим
р ломаную, вписанную в дугу
~ "" " АВ. Эта ломаная состоит из
звеньев MQMlf M1Ma, ,,,,
М^ХМ{, ..., Mn_lt Mnf где
Мо совпадает с точкой Л, а
Мп — с точкой В.
Рис- 191 Примем для длин этих
звеньев следующие обозна-
обозначения: дл. М0Мг = ALX, дл. MtM2 == AL2, ,.,, дл. Mf^Mj ¦¦ ALit »*.,
дл. Мп„хМп=*№п. Тогда периметр Ln этой ломаной
или, в сокращенной записи,
2^. D6)
Очевидно, е уменьшением длин звеньев AL/ ломаной она по
своей форме приближается к дуге АВ. Поэтому естественно ввести
следующее определение.
Длиной I дуги АВ называется предел, к которому стремится
периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев
неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится
к нуАю1
/= lim 2AL/- D7)
max АЦ ¦+ 0 i=Tl
При этом предполагается, что предел D7) существует и не зависит
от Выбора вписанных ломаных.
Кривые, для которых предел D7) существует, называются спрям-
спрямляемыми. Мы сейчас покажем, что при выполнении некоторых
ограничений, наложенных на кривые, этот предел всегда существует.
Рассмотрим сначала вопрос о длине дуги плоской кривой, за-
заданной уравнением в явном виде.
Теорема* Пусть кривая АВ задана уравнением y~f(x), где f(x)—
непрерывная функция* имеющая непрерывную первую производную во
364

всех точках сегмента [а, Ь]. Тогда дуга АВ имеет длину, равную
ь
Доказательство. Разобьем дугу АВ точками М19 М2, ...,
Мп„х на п частей (рис. 192). Пусть эти точки имеют соответствен-
соответственно абсциссы х19 х2, ..., хп„19 причем
а =*0 <хг <х2 <...<хп„г <хп=Ь.
Впишем в дугу АВ ломаную М0М1М2.. .М^
периметр этой ломаной будет равен
... .Мп„гМп. Тогда
»У\
о а х+
7-7
Рис. 192
где AL,-—длина звена М1ят1М(. Согласно формуле расстояния между
двумя точками М^г(хН1; у^г) и М((х(\ yf) на плоскости
где i//—&/-i==/(^/)—/t*7-i)- Но по формуле о конечном прираще-
приращении (гл. VI, § 6, п. 3), примененной к сегменту [хН1У х{],
i—xi^1O причем *,_!
Следовательно,
Mr^V{xJ^
или
где Lxi^Xt—Xt-v
Поэтому периметр ломаной
п
v ЛГ/=2
12*
D8)
D80
355

Итак, периметр ломанной оказался равным интегральной сумме,
составленной для функции jA + f/' (x)]2. Эта функция непрерывна
на сегменте [а, Ь] вследствие предположения о непрерывности
/' (л:). Следовательно, по теореме существования определенного
интеграла интегральная сумма D8) имеет предел, равный
ь
\ У\ + [/' (x)Ydx при условии, что шаг разбиения X стремится к
а
нулю.
п
Длина кривой / равна пределу периметра 2^/ вписанной в
2
нее ломаной при условии, что наибольшая из длин звеньев AL,-
стремится к нулю. Заметив, что при AL,-—>0 также и Дд^—>()*,
получим
Игл S AL, = lim 2 VI + [Г (с<)]2 = \Vl + [f' (x)Y dx
Таким образом,
ь
1/'(*)]*<**. D9)
или, в сокращенной записи,
b
V tf*dx. E0)
Пример 1. Вычислить длину дуги цепной линии y = chx для
0<х<1 (см. гл. V, § 2, п. 6, рис. 128).
Решение. Находим yf = (ch x)f = sh х. Следовательно, 1 + у'2 ==
= 1 + sh2 a: = ch2 jc. Применяя формулу E0), получим
1 1
1=\ у ch2хdx =. \
J J
= sh I—shO^sh 1.
Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями
x = x(t) и y=y(t), a^^^p. При этом предположим, что функ-
функции х(У) и у(/) и их производные непрерывны и x'(/)>0. Сделаем
в интеграле формулы D9) замену переменной, положив x=x(t).
Так как при этом y-=y(t), то по правилу дифференцирования
функции, заданной параметрически, найдем y^^Sl и, замечая,
что dx = x'(t)dt9 получим
V @ dt =
у/ и, следовательно, | Ад:/1 <
356

Следовательно,
ь Э
V\+y?dx^^V[*' (t)Y + W (t)ydt, F1)
a
где а — х(а) и Ь=хф).
Замечание. Формула E1) справедлива и в том случае, когда
производная х* (t) на сегменте [a, f$] либо отрицательна, либо не
сохраняет знак.
Пример 2. Определить длину одной арки циклоиды
x=a(t —sint), y=-a(l—cost), 0<*<2я (см. рис. 139)
Решение. Так как x'(t) = a(l—cost), у' (t) = as\nt, то
VV @j2 + W {t)Y = Va2(l —cos tf + a2 sin2/ =a 1^2A —cost) =
= 2asin y.
Применяя формулу E1), получим
2л
l = 2a\ s\n-^dt = —4acos-7>-
о
Рассмотрим, как выражается длина дуги кривой, заданной
уравнением в полярных координатах г=г(ф), а^ф<:р, предпо-
предполагая, что г(ф) и г'(ф) непрерывны на сегменте [а, р]. Эту кри-
кривую можно задать параметрически, принимая за параметр поляр-
полярный угол ф. Действительно, так как между декартовыми и поляр-
полярными координатами существует зависимость л: = гсозф, */=i
то, принимая во внимание, что г = г(ф), получим
Х=Г(ф).СОБф, \^
y = r(<p)-sinq>. J
как x' = r'cosq)—г$1Пф, у' = г' sin ф + г cos ф, то, применяя
формулу E1), получим
/ = f V(x'f + (yfJ ?2ф == С V(r' cos ф—г sin фJ + (г' sin <р + г cos фJ dy.
а а
После очевидных упрощений получим
E2)
Пример 3. Найти длину кардиоиды r = a A + cos ф) (см. рис. 31).
Решение. Кардиоида симметрична относительной полярной оси.
Изменяя полярный угол ф от 0 до щ мы получим по формуле E2)
357

половину длины кардиоиды:
я
о
ra* (I +cosц)* + a2 sin* у dy ^а [У2 (I +cos у)йц¦•
= 2а \
я
cos-5-d(p = 4a sin-
о
Вся длина кардиоиды / = 2«4a = 8a.
Можно показать, что для длины дуги пространственной кривой,
заданной уравнениями x=*x(t), y = y(t), z = z(t)t a^l^P, имеет
место формула, аналогичная формуле E1):
g
l = ^yCx'* + y'*+z'*dt. F3)
a
Пример 4,: Определить длину одного витка винтовой линии:
x = acos^, y = asmt, z = bt, O^t^2я^(см. рис. 140).
Решение. Применяя формулу E3) для длины пространствен-
пространственной кривой, имеем
2я 2л
/=f У(— a sin О2 + (a cos tf + b% Л = f Va* + b*dt=2nVa* + bK
6. Дифференциал дуги
Пусть в формуле D9) для длины дуги нижняя граница а остает-
остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть
это, обозначим верхнюю границу буквой х, а переменную интегри-
интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей,— буквой U
Если при этом учесть, что длина дуги / будет функцией верхней
границы, то формулу D9) можно записать в следующем виде:
Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе
эта функция дифференцируема, и ее производная
1'(х)=У1 + 1Г(х)]*. .E4)
Отсюда дифференциал дуги
dl (х) = /' {х) dx = У1 + [/' (*)]* dxt
или, в сокращенной записи,
F5)

Так как j,'=g, то d/=
или
+ Ф2. E6)
Пользуясь формулой E6) и учитывая, что дифференциал функ-
функции равен приращению ординаты касательной (см. гл. VI, § 3, п. 1),
приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала
дуги (рис. 193): дифференциал дуги dl равен длине отрезка каса-
касательной от точки касания М с абсциссой х до точки Мх с абсцис*
сой x + dx.
U
Рис. 194
В гл. VI (§ 5, п. 4) была использована теорема, принятая без
доказательства, о пределе отношения длины дуги к длине стяги-
стягивающей ее хорды. Докажем теперь эту теорему. Для простоты до-
доказательства ограничимся случаем плоской кривой, заданной урав-
уравнением */ = /(#).
Теорема. Пусть дуга задана уравнением y = f (x), причем f (x) и
/'(х)—непрерывные функции. Тогда предел отношения длины этой
дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице при стремлении
длины хорды к нулю.
Доказательство. Рассмотрим участок дуги кривой между
точками Л и В с абсциссами х0 и лго + Д# (рис. 194). Длина дуги
1= j VT+{FWdx.
Применяя теорему о среднем (см. формулу B1)), получим
где
где
Да:
С другой стороны, длина стягивающей хорды АВ=У 1 -f [/' (с2)]2Ах,
х0 <с2 <хо + Ах (см. формулу D8)). Замечая, что* при
0
0 2 о ( фруу
0 сг и сй стремятся к х0, получим
АВ
359

7. Площадь поверхности вращения
Определим площадь поверхности, образованной вращением
дуги АВ кривой y-.= f(x)t a^.x^.b, относительно оси Ох.
Будем предполагать, что на сегменте [а, Ь] функция y~f(x)
и ее производная /' (х) непрерывны и, кроме того, /(х)>0.
Рассмотрим на дуге АВ точку М с абсциссой х. Длина дуги AM
определится по формуле
E7)
Подынтегральная функция здесь положительна, и поэтому функ-
функция / {х) возрастающая (см. § 2, п. 3, замечание 2). Кроме того,
в п. 6 уже упоминалось, что функция 1(х) дифференцируема (а
значит, и непрерывна) на сегменте [ау Ь]. Следовательно, сущест-
существует обратная непрерывная функция х = хA) (см. гл. V, § 2, п. 4).
Но тогда y=:f(x) = f[x (/)] = у (/) также будет непрерывной функ-
функцией /. Таким образом, кривая y = f(x) на сегменте [а, Ь] может
быть задана параметрически
* = *(/), \
У = УA), I
причем параметром является длина дуги /, О
на всей дуги АВ.
Разобьем дугу АВ точками Ml9 M2, ...,
, где L—дли-
L—длиMi
^l9 Mit ..., Mn_t
на п дуг: AMlf МхМ.й, ..., М^ХМ(, ..., лС^В
и обозначим длины этих дуг соответственно через Д/г, А/2, ...,
А//, ..., Д/Л. Поверхность враще-
вращения при этом также разобьется
на части, имеющие соответственно
площади Asx, As2, ..., Asif ...,
Asn. При малом шаге разбиения
каждая из этих частичных поверх-
поверхностей по форме мало отличается
от боковой поверхности усеченного
конуса (рис. 195).
Площадь боковой поверхности
усеченного конуса, равная произве-
произведению длины окружности среднего
сечения 2nR на образующую т, дает
приближенное значение As/f если
принять m = A//f %--=у.1=у(с;)9 где ci—значение параметра /, соот-
соответствующее среднему сечению.
Таким образом,
As,« 2ш/ (с{) Mt. E8)
Площадь S всей поверхности вращения равна сумме площадей
Рис. 195
360

частичных поверхностей 2 &sr Следовательно,
jA/,. E9)
За точное значение S принимаем по определению предел
интегральной суммы E9):
п
S = lim S 2пУ (с<) Ч-.
max Д// -+0« = 1
ИЛИ
L
S^2n\y{l)dl F0)
о
Сделаем в интеграле F0) замену переменной, перейдя от пере-
переменной интегрирования I к переменной х. Эти переменные связаны
формулой E7). Найдем новые границы интегрирования: при / = 0
имеем х = а, при / = L имеем л: = 6. Далее, так как dl = ]/1 + [/' (д;)]айл:
и y=y(t)=*f(x), то из формулы F0) получим
[*)J2d*, F1)
или, в сокращенной записи,
ь
Vx. F2)
Пример. Найти площадь поверхности вращения дуги синусоиды
у = sin х, 0 ^ х <; я.
Решение. По формуле F2) получим
Я Я
^ V ]2dx^=2п^ sinxVl +cos2xdx9
о
Сделаем замену переменных, положив cos# = ?. Тогда Л =
d:, /|JC=s0==cos0= 1, < |х=вж == cos я = —1 и, следовательно,
-1
>— 2я
l
\n(t +VT+T*)] |^=n[2Vr2
(см. гл. VII, § 5, п. 3).
36!

8. Общие замечания о решении задач
методом интегральных сумм
При решении вопросов, связанных с нахождением площади
криволинейной трапеции, объема тела по поперечным сечениям,
работы переменной силы, применялся один и тот же прием. На-
Нахождение интересующей нас величины приводило к рассмотрению
предела интегральной суммы. При этом во всех задачах искомая
величина была связана с некоторым вполне определенным сегмен-
сегментом [а, Ь] и некоторой функцией, заданной на этом сегменте. Так,
например, в задаче о площади это было основание [а, Ь] криво-
криволинейной трапеции и ордината кривой # = /(*).
Кроме того, искомая величина, которую мы обозначим через
Q, обладала следующими двумя свойствами:
1. Свойство аддитивности. Разобьем сегмент [а, Ь] на части
[a, xj, [л^, х2], ..., [*„_!, 6]. Каждой из этих частей соответ-
соответствует свое значение величины Q: AQt, AQ2, ... , AQn.
Величину Q мы назовем аддитивной, если при любом разбиении
сегмента [а, Ь] на части имеет место равенство
Q=AQ1 + AQ2+...+AQB. F3)
Так, например, работа силы на всем пути [а, Ь] равнялась
сумме работ на отдельных участках [а, хх], ]х19 х2]9 ... , [хп„и Ь]
(см. § 1# п. 2).
2« Свойство линейности в малом. Пусть [х, х-\-кх] — произволь-
произвольный малый сегмент, принадлежащий сегменту [а, Ь]. Мы предпо-
предполагаем, что величина AQ, соответствующая сегменту [х, jc-|-Ajc],
приблизительно пропорциональна его длине Ах:
F4)
Отношение -^ мало отличается от числа k, в том смысле, что
существует
lim AQ fe.
Каждой точке х соответствует свое значение &, т. е. k является
функцией х: k — f(x). Поэтому формулу F4) можно записать в сле-
следующем виде:
AQ&f(x)Ax. F5)
Покажем, что если искомая величина Q обладает свойствами
1 и 2, то ее нахождение сводится к вычислению определенного
интеграла.
В самом деле, разбивая сегмент [а, 6] на малые части с длинами
Ах19 Д*2, ..., Ахт мы в силу аддитивности величины Q имеем:
362

На каждом малом сегменте длины Axt величина Q в силу свойства
линейности в малом приблизительно пропорциональна Дл^, т. е.
согласно формуле F5)
\Г) г*/ f (y\ \Y
Таким образом, для Q получаем следующее приближенное
равенство:
п п
(*,) A*,. F6)
Выражение, стоящее в правой части равенства F6), является ин-
интегральной суммой для функции f(x). В пределе при шаге раз-
разбиения К9 стремящемся к нулю, получим точное значение Q:
А,-»» О i-\ a
Подынтегральное выражение f(x)dx, дающее приближенное зна-
значение величины Q на сегменте от х до x + dx, называется элемен-
элементом величины Q и обозначается через dQ.
Если выражение для элемента найдено, то нет необходимости
составлять интегральную сумму и переходить к пределу. Доста-
Достаточно взять определенный интеграл от R
элемента dQi a, ~
F7)
Пример 1, Вычислить работу, кото-
которую необходимо затратить, чтобы выка-
выкачать воду из конического сосуда, обра-
обращенного вершиной вниз и имеющего радиус
основания Rm и высоту Н м.
Решение. Работа, необходимая для Рис 196
поднятия тела веса р на высоту ft, равна
ph. В нашей задаче дело осложняется тем, что отдельные слои
воды находятся на различных глубинах и высота поднятия для
различных слоев не одинакова. Поэтому с помощью плоскостей,
параллельных основанию конуса, разобьем конический сосуд на п тон-
тонких горизонтальных слоев толщины Д/i,- (рис. 196) *. Обозначим
через Д?/ работу, необходимую для поднятия t'-ro слоя воды на
поверхность. Тогда вся работа ?, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать воду из сосуда, равна сумме элементарных работ
? = 2 ДЯ„
т. е. работа обладает свойством аддитивности. Взяв Aft; достаточно
* На рис. 196 дано сечение кони некого сосуда плоскостью, проходящей
через ось конуса.
363

малым, можно приближенно считать, что вся вода t-ro слоя нахо-
находится ца одной и той же глубине ht. Работа АЕ( приближенно
равна произведению веса A/?,- i-ro слоя воды на высоту поднятия А,-:
F8)
Для того чтобы найти вес Apiy вычисляем объем At/,- i-ro слоя.
Учитывая, что Aht мало, примем этот слой за цилиндр с высотой
Aht и радиусом основания г(. Из подобия треугольников ЛЕВ и
CED (см. рис. 196) находим ri = -jy(H—А,.). Поэтому Av{ ж
&т?АЬ,1 — п-тр(Н—htf AAf. Так как удельный вес воды равен
R*
единице, то Api = Avi^nj^(H—Л,J ДА,- (при этом если длина
измеряется в м, то вес выразится в т). Подставляя найденное
значение А/?, в формулу F8), получим
т. е. работа обладает свойством линейности в малом.
Вся работа
Е = X AEi« 2 я -S (H—hi)* htAh(. F9)
Это равенство будет тем точнее, чем меньше АА,-. В пределе при
шаге разбиения X = наиб. {AAt, ДАа, ... , АА„} —> 0 получим точное
равенство
Сумма F9) является интегральной суммой для функции
г>2
я-772-(Я—ЛJА. Поэтому предел этой суммы равен определенному
интегралу в границах от Л = 0 до Л==Я. Итак,
/2/l~2Hh2
12
Пример 2. Пусть точка движется прямолинейно со скоростью и,
являющейся заданной функцией времени t: v=^v(t). Найти путь,
пройденный точкой за промежуток времени от момента t=tx до
момента / =t2.
Решение. Рассмотрим момент времени t и близкий к нему
момент / + d/. Считая, что в течение малого промежутка времени dt
скорость движения v не изменяется и равна скорости в момент
времени t, найдем элемент пути ds> пройденный за время dt:
ds = v(t)dt. Пусть s обладает свойством аддитивности.
364

Поэтому взяв интеграл от элемента пути, получим искомый путь
& = J v (/) dt. G0)
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
/. Основные определения
При переходе из одной точки прямой в другую касательная
(которая совпадает с самой прямой) не изменяет своего направле-
направления, при переходе же из одной точки в другую по кривой каса-
касательная поворачивается на некоторый угол, что объясняется
Рис. 197
Рис. 198
Рис. 199
«искривленностью» кривой. В этом основное различие между пря-
прямой линией и кривой. Сравним теперь между собой две различные
кривые линии (рис. 197). Интуитивно ясно, что кривая / более
искривлена, чем кривая II. Однако для того чтобы строго оценить
степень искривленности той или иной кривой, надо дать матема-
математически точное определение кривизны.
Пусть дана кривая. Рассмотрим на этой кривой дугу Жмх
длины А/ (рис. 198). Проведем в точках М и Mt касательные
к кривой. При переходе по кривой из точки М в точку Мх каса-
касательная поворачивается на угол Дф, который называется углом
смежности. Этот угол мы считаем положительным.
Определение. Средней кривизной дуги ММ1 называется
отношение угла смежности Д<р к длине Д/ этой дуги: Д/Сср = д?.
Пример. Найти среднюю кривизну дуги ММг окружности ра-
радиуса R (рис. 199).
Решение. Угол Дф между касательными к окружности в точ-
точках М и Mlf очевидно, равен центральному углу Дф между
радиусами ОМ и OMV Длина дуги ММХ окружности
G1)
365
Следовательно, средняя кривизна дуги

Итак, средняя кривизна любой дуги данной окружности есть вели-
величина постоянная, обратная ее радиусу. Однако, в общем случае, сред-
средняя кривизна может оказаться неодинаковой на различных участках
кривой. Для того чтобы охарактеризовать искривленность линии
в окрестности данной точки, нужно брать среднюю кривизну для
все более и более мелких участков дуги, содержащих данную точку.
Таким образом, мы естественно приходим к понятию кривизны
кривой в данной точке.
Определение. Кривизной данной кривой в ее точке М назы-
называется предел средней кривизны дуги АПМХ при условииг что точка
Мх неограниченно приближается по данной кривой к точке М.
Обозначив через К кривизну кривой в точке М, получим по
определению
К **> lim /Ccp. G2)
В частности, кривизна окружности радиуса R в точке М
/С= lim /Ccp== Mm Tf^'jf •
Таким образом, в любой точке окружности кривизна имеет одно
и то же значение, равное обратной величине радиуса:
*=Tf. G3)
Предоставляем читателю доказать, что кривизна прямой в любой ее
точке равна нулю.
2. Вычисление кривизны
Пусть кривая задана уравнением y = f(x), в котором функция
f(x) дважды дифференцируема в интервале (а, 6), т. е. имеет в каж-
каждой точке этого интервала первую и вторую производные. Вычислим
кривизну этой кривой в точке М,
имеющей абсциссу х (рис. 200).
Рассмотрим на данной кривой
вторую точку Мх с абсциссой
х + Ах. Проведем в точках М и
Мх касательные к кривой y = f(x)
и обозначим их углы с осью О*
соответственно через а и а+Аа.
Тогда угол смежности Д<р = | Да | *•
Средняя кривизна дуги
4^
|Да|
Да!
А/
Рис. 200
где А/—длина дуги ММХ.
Если точка Aflt перемещаясь по кривой, неограниченно прибли-
приближается к точке М9 то Ал:—>0. Следовательно, кривизна кривой
* Напомним, что угол смежности А<р по условию считается положительным,
тогда как Да может оказаться и отрицательным.
366

в точке М
lim K{
ср
lim
Аа
А/
Разделив числитель и знаменатель на Дх, получим
/(=¦ Нт
Д*->0
Аа
Ал:
А/
Ад:
lim
Да:-»- 0
Нт
Дхн-0
Аа
Ад:
А/
Аа:
da
dx
dl
dx
G4)
Согласно геометрическому смыслу производной #' = tga, откуда
a = arctg#' (если #'>0) или а == я + arctg #' (если у' < 0).
В обоих случаях
Кроме того, т~У\+у'% (см- формулу E4)). Подставляя эти вы-
выражения для ~ и j- в формулу G4), получим
1+у'*
1/1
Итак, получена следующая формула для вычисления кривизны
кривой:
к п+Т^* G5)
Пример 1с Найти кривизну гиперболы # = — в точке с абсциссой
1 2
Решение. Последовательно находим: у' = 3, у" = -=. По
^с л:
формуле G5) имеем
2
Г*
Следовательно, при # = 1 имеем /С|^=1--=-
2-13
+ 14)/з
Выведем формулу для вычисления кривизны кривой2 заданной
параметрическими уравнениями
предполагая функции x(t) и y(t) дважды дифференцируемыми.
367

Тогда (см. гл. VI, § 4, п. 2, формулы G8) и G9):
Л2 ^ I /Г" ) ( 7Г ) V ' /
jtxt—ytxi
W dx x't x\ xt (xty
Подставляя выражения для yx и yx в формулу G5), получим
после упрощений
Пример 2. Найти кривизну циклоиды x—a(t — sin/), у =
= аA—cosf).
Решение. Последовательно находим: х\ = а A —cos /), у\ =
Подставляя эти выражения в формулу G6), получим
и |acos/-a(l—cost)—asin/-asin/| | cos t—1| 1
[a2 A — cos 0a + «2 sin21K/* a [2 A —cos t)\*J* 4a
sinT
3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
Мы видели, что кривизна к окружности есть величина, обрат-
обратная ее радиусу R:
К = -
Чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. По ана-
аналогии вводится понятие радиуса кривизны кривой в данной точке.
Определение. Радиусом кривизны R в данной точке кривой
называется величина, обратная кривизне К:
R = X- G7>
Так как кривизна кривой, вообще говоря, изменяется при пере-
переходе от данной ее точки к другой, то и радиус кривизны является
переменной величиной.
Если кривая задана уравнением y=f(x), то ее радиус кри-
кривизны /?, как величина, обратная кривизне, определяется следующей
формулой:
K = !i±?fi. .G8)
Если же кривая задана параметрически, то ее радиус кривизны
выражается формулой
Х=[ЫШЩ1. G9)
I Уг xt —yt xt I
Пример. Найти радиус кривизны кривой у = In х в точке М A; 0).

Решение. Находим у' = — и уп = ^ ¦ По формуле G8) получим
X X
x-l
2V2.
x=l
Построим теперь в данной точке М кривой отрезок МР, на-
направленный по нормали к кривой в сторону ее вогнутости и равный
по величине радиусу кривизны кривой в точке М:
1
д л D D
К
(рис. 201). Окружность с центром в точке Р и радиусом, равным
радиусу кривизны кривой в данной точке R = Y9 называется кругом
кривизны. Центр Р этого круга называется центром кривизны.
Очевидно, данная кривая и ее круг кривизны в точке М имеют
общую касательную (рис. 201).
Рис. 201
Рис. 202
«с
Покажем, как найти координаты центра кривизны кривой,
заданной уравнением y=f(x).
Пусть М (х; у)—точка данной кривой и Р (?; т]) — соответствующий
ее центр кривизны (рис. 202). Уравнение нормали к кривой в точке
М (х; у) имеет вид
YV (Xx)
Так как точка РA;ц) лежит на нормали, то ее координаты
удовлетворяют этому уравнению:
ч—у==— yd—*)•
Кроме того, расстояние между точками Р (I; ц) и М (х\ у) равно
радиусу кривизны R кривой:
369

откуда
Решая совместно систему уравнений
т,-у=-1(!-х)
A-хУ + (г\-у)г =
и заменяя R его выражением по формуле G8), найдем
Предположим для определенности, что у" > 0. Тогда кривая
вогнута и г| > у (см. рис. 202), т. е. в правой части формулы (80) для
т) следует взять знак «плюс», и, следовательно, в правой части
формулы для ?—знак «минус». При этом, поскольку у" > 0, | у" \ = у"у
для координат 1 и ч\ центра кривизны мы получим следующие
формулы:
(81)
Можно показать, что в случае у" < 0 формулы (81) сохраняют
свой вид.
4. Эволюта а эвольвента
Если точка М перемещается по данной кривой, то соответст-
соответствующий ей центр кривизны Р, вообще говоря, также описывает
некоторую кривую.
Определение. Геометрическое место центров кривизны данной
кривой называется ее эволютой.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвен-
эвольвентой или разверткой.
Зная уравнение кривой, можно по формулам (81) выразить ко-
координаты ? и rj центра кривизны в зависимости от абсциссы х,
т. е. получить параметрические уравнения эволюты.
Исключая из этих уравнений параметр х, получим уравнение
эволюты в^форме F (?, т])=0, непосредственно связывающее текущие
координаты эволюты.
Пример. Найти уравнение эволюты параболы f/*™^-.
Решение. Сначала находим первую и вторую производные
данной функции у' ~х и г/" = 1, а затем по формулам (81) находим
параметрические уравнения эволюты:
870

Таким образом, параметрические уравнения эволюты имеют сле-
следующий видг
Исключая из этих уравнений параметр х, последовательно
получим:
откуда
Мы получили уравнение эволюты, непосредственно связывающее
ее текущие координаты. Эволютой параболы # = 4* оказалась по-
полукубическая парабола. На рис. 203 изображены парабола # = 4-
и ее эволюта.
Рис. 203
ддомбента
Укажем (без вывода) два важных свойства эволюты и эвольвенты,
устанавливающие связь между ними.
1. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте в соот-
соответствующей точке (рис. 204).
2. Если на некотором участке эвольвенты радиус кривизны изме-
изменяется монотонно, то приращение радиуса кривизны на этом участке
равно по абсолютной величине длине дуги соответствующего участка
эволюты. Например, на рис. 204 Р1Р2 = /?2—R^ ЛЛ — ^з—R2-
Покажем, как с помощью этих свойств можно построить эволь-
эвольвенту, зная ее эволюту. При этом мы будем считать, что эволюта
не имеет точек перегиба.
Натянем на эволюту РгР^ нерастяжимую гибкую нить, имеющую
свободный (не натянутый на эволюту) прямолинейный участок Рхтх.
371

В точке Мг поместим карандаш. Будем теперь развертывать нить,
оставляя ее в натянутом состоянии. Тогда карандаш вычертит линию,
являющуюся эвольвентой для данной эволюты РгР^ Очевидно,
в зависимости от длины свободного участка нити РгМг мы можем
для данной эволюты получить бесконечное множество различных
эвольвент.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
/. Интегралы с бесконечными границами
Определение интеграла, приведенное в § 2, было дано в пред-
предположении, что областью интегрирования является конечный сегмент
[а, Ь]. Если же предположить, что область интегрирования беско-
бесконечна, например, является интервалом [а, +оо), то даже для
непрерывной функции f(x) обычное определение интеграла стано-
становится неприемлемым. В данном случае нельзя говорить об инте-
интегральных суммах, так как при любом разбиении интервала [а, + ooj
на конечное число частей одна из этих частей будет бесконечной.
Обобщим теперь понятие определенного интеграла на случай беско-
бесконечной области интегрирования.
Но прежде чем переходить к определениям, рассмотрим пример.
Функция у= -j- непрерывна на бесконечном интервале [1, +оо).
Поэтому на любом сегменте [1, 6], где 6> 1, существует интеграл
ь
dx - 1
который при Ь—юо имеет предел, равный единице. Этот предел
называют несобственным интегралом от функции —% и обозначают
С dx
символом \ -JJ-. Таким образом,
Обобщая этот пример, рассмотрим функцию # = f(x), непрерыв-
непрерывную на бесконечном интервале а^л:< + оо. Для любого конеч-
ь
ь
ного сегмента [а, Ь] интеграл \^f(x)dx существует.
а
Ь
. Если интеграл j f (x) dx стремится к конечному пределу при
а
неограниченном возрастании Ь, то этот предел называют несобствен-
несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f(x) и
+ 00
обозначают символом J f(x)dx.
а
372

Таким образом,
f(x)dx= lim \f(x)dx.
b -+ + oo .*
(82)
и
В этом случае говорят, что несобственный интеграл ]f(x)dx
а
существует или сходится. Если указанный предел не существует
(в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не суще-
существует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной
нижней границей:
ь ь
J f(x)dx^ lim \f{x)dx. (83)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами опре-
определяется формулой
J /(*)<** = J f(x)dx+ \f(x)dx*
(84)
где с—любая фиксированная точка оси Ох*
+ 00
Таким образом, интеграл J f(x)dx существует только тогда,
— со ^
когда существует каждый из ин- у\
С +00
тегралов J / (х) dx и J / (х) dx.
со с
Из наших определений непо-
средственно видно, что несобствен-
несобственный интеграл является не преде-
пределом интегральных сумм, а преде-
пределом определенного интеграла с пе-
переменной границей интегриро-
интегрирования. Рис 205
Заметим, что есди функция по-
положительна и непрерывна на бесконечном интервале [а, +оо) и
если J / (л:) dx существует, то мы можем его трактовать как пло-
а
щадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y = f(x), бесконечным интервалом оси Ох [а, +оо) н прямой #«=а
(рис. 205).
+ OD
* Можно показать, что \ f(x)dxt определяемый формулой (84), не зависит
— 00
от выбора точки с.
373

Пример 1» Исследовать, для каких значений а>0 сходится
+ 00
С dx
интеграл \ -р-,
ь
Sdx
—zr (h > 1).
i x
1
Если же а = 1, то \ — = 1пл:
1
Если а> 1, то а—1>0 и поэтому lim (bl~«) = lim т^гг^0-
ь
Следовательно, в этом случае lim 1-4-= lim -. (б1-*—1)=
b-t-+<xv x b-++<» * a
Если а < 1, то имеем lim \ -?-= lim t """ =я +оо, и анало-
гично при а = 1 lim \— = lim lnb=+°o.
&-> +00 " Х Ь-+ +«Ю
+ QO
С dx
Таким образом, \ -^ при а> 1 сходится, а при oc^l pacxo-
дится;
+ 00
С dx
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл I ^ а .
— 00
Решение. По формуле (84), в которой полагаем ? = 0, получим
О +оо
dx
С dx __ С dx. С
А & а 09 О
Но
dx
lim (arctgO — arctga) =
+ 00
Аналогично можно показать, что \ , х 2 =-^-»
^ 1+^ 2
374

Поэтому
т. е. интеграл сходится.
+ oo b
Пример 3« \ slnxdje расходится, так как J sin#d#**I—cosfc не
о о
имеет предела при Ъ —> + °°> хотя и остается заключенным между 0 и 2.
Можно показать, что большинство основных свойств определен-
определенных интегралов сохраняется для сходящихся интегралов с беско-
бесконечными пределами. В частности, например, справедлива формула
замены переменной. Часто удачной заменой переменной несобствен-
несобственный интеграл с бесконечными пределами сводится к определенному
интегралу.
+ 00
С dx
Пример 4. Вычислить интеграл \ A , ava ¦
о
Решение. Положим * = tgz, тогда
Иг— dz _JL_ — _JL_-coq42
пХ ~ cos2 z ' A -f *2J ~~ (sec2 zf "" COS Z*
При этом, если г меняется от 0 до -^-, то х меняется от 0 до +оо#
Поэтому
2. Интегралы от разрывных функций
Пусть функция y = f(x) непрерывна при а^лг<6, а в точке Ь
имеет разрыв. В этом случае определение интеграла от функции
f(x) на сегменте [а, Ь] как предела интегральных сумм, вообще
говоря, не применимо, так как этот
предел может и не существовать. В са- У
мом деле, пусть, например, / (х) > 0 и
lim / (х) = + оо (рис. 206). В этом слу-
случае при любом разбиении сегмента [а, Ь
на части [a, xt], [xlt x2], ..., [хп_19 Ъ
функция f(x) будет неограниченной на
последнем сегменте [хп_19 Ь] (так как
по предположению lim / (х) = -f °°)«
х->Ь-0
Поэтому, если взять точку \п достаточ-
достаточно близко к точке 6, можно сделать
произведение /(?п)Длсп, а следователь-
Рис.206
^, сколь угодно большими. Это
значит, что интегральные суммы неягравичены, щ следовательно
375
п
но и интегральную сумму ^J / (?,)

они не имеют предела при стремлении шага разбиения К к
нулю.
Однако и в этом случае, несмотря на то, что прежнее опреде-
определение интеграла неприемлемо, можно обобщить понятие интеграла.
Прежде чем переходить к определениям, разберем конкретный
пример. Рассмотрим функцию у= f -. Эта функция стремится к
У 1 х
бесконечности при х—*1 слева. Поэтому составлять для нее инте-
интегральную сумму на сегменте [0, 1] нельзя. Однако на сегменте
[О, с], где 0<с<1, функция непрерывна, и поэтому существует
интеграл
f
J
У 1—
который имеет предел при с—> ! — 0:
lim 2A—КГ=^
10
Этот предел и называют несобственным интегралом от разрывной
на сегменте [0, 1] функции f и обозначают символом
Таким образом
1
lim Г-т=^== lim 2A-]/Г=
Обобщая этот пример, рассмотрим функцию у =*f(x)9 разрывную
в точке b сегмента [а, Ь] и непрерывную на сегменте [а, с], где с—
любая точка интервала (а, Ь) (см. рис. 206).
с
Если при с—ьЬ слева определенный интеграл }f(x)dx стремит-
а
ся к конечному пределу, то этот предел называется несобственным
ь
интегралом от разрывной функции и обозначается символом J f(x)dx.
а
Таким образом,
ь с
\f{x)dx= lim \f(x)dx.
? с-+ь-о?
ъ
В этом случае говорят, что несобственный интеграл ^f(x)dx суще-
а
ствует или сходится. Если указанный предел не существует, то
говорят, что интеграл не существует или расходится.
376

Аналогично, если f(x) разрывна при приближении к справа
к точке а, то
ь ь
(x)dx= lim [f(x)dx, гдеа<с<6.
с-а + 0*
Наконец, если функция f(x) разрывна в некоторой внутренней
точке d сегмента [а, 6], то мы разбиваем этот сегмент на два сег-
сегмента: [a, d] и [d, 6]. Если несобственные интегралы от данной
функции существуют на каждом из этих сегментов, то сумма этих
интегралов, по определению, называется несобственным интегралом
от функции f(x) на сегменте [а, 6], т. е.
Ь d Ь
\f{x)dx=\f{x)dx+\f(x)dx.
а а а
Таким образом, из определений непосредственно видно, что несоб-
несобственный интеграл от разрывной функции является не пределом
интегральных сумм, а пределом определенного интеграла.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать, для каких значений jx>0 сходится
интеграл
Решение. Подынтегральная функция разрывна в точке # = &.
с
Рассмотрим интеграл \ ,. * , где а < с < Ь.
о \°—хг
а
Если (л =т^= 1, то
С dx 1 1 с^ 1 Г 1 1 1
J F—xff- p. — 1 #F—x)v-1 a~~\i — I L(^—сУ-1 F—a)^-ij'
а
с
Если |г = 1, то Г^=— In (b—x) °a = In(b—a)~InF—c).
a
Если ц.<1, то [i—1<0 и, следовательно,
lim f _?___!_. lim Г!'
a
Если [1 = 1, то lim Cr^-= lim [lnF—a)—lnF—c)] = + oo.
Если (x > 1, то \i—1 > 0 и поэтому
377

Следовательно, несобственный интеграл \ гт—г- сходится при
J (с? Х)г
а
< 1 и расходится при [г^1.
г
dx
Пример 2« Исследовать на сходимость интеграл
гра-
фик подынтегральной функции изобра-
жщ на рис. 207.
Решение. Подынтегральная
функция 3 ¦ разрывна в точке
л; = 0 ( lim -5-7= = + °° ) • Рассмотрим
\*-*о ух2 /
интегралы
о
Г -^г и
. Они
оба существуют, причем
и
f dx Q
= =пЗ. Поэтому по определению существует интеграл
1 0 1
1
Пример 3* Исследовать на сходимость интеграл f ~.
Л Х
Решение. Подынтегральная функция -^ разрывна в точке
^ = 0. Поэтому, как и в примере 2, рассмотрим отдельно интегралы
о t
\ -т и \ "jr- Легко убедиться в том, что оба эти интеграла не су-
-1 0
шествуют. Следовательно, по определению не существует интеграл
~ • Заметим, что если бы мы действовали формально, применяя
С dx
формулу Ньютона—Лейбница к интегралу \ -у, то получили бы
Л х
i
заведомо неверный результат \ -у=—-г =—2. Этот результат
J X л |-1
неверен, так как интеграл от положительной функции на сегменте
$78

[—1, 1J не может быть отрицательным. Наша ошибка произошла
потому, что мы незаконно применили формулу Ньютона—Лейбница,
которая была выведена в предположении непрерывности подынтег-
подынтегральной функции на сегменте интегрирования. В нашем же случае
функция -j- имеет в точке х = 0 бесконечный разрыв.
3. Признака сходимости несобственных интегралов
В некоторых случаях нет необходимости вычислять несобствен-
несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расхо-
расходится» В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный
несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, схо-
сходимость или расходимость которого известна. Приведем без дока-
доказательства теоремы, устанавливающие признаки сходимости или
расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов.
Теорема 1. Пусть в интервале [а, +°°) функции f(x) и у(х)
непрерывны и удовлетворяют неравенствам О ^ ф (х) ^ / (я). Toadai
+ 0Q
а) если интеграл \ f(x)dx сходитсяг то сходится и интеграл
+ CD +00
б) если интеграл j y(x)dx расходится, то интеграл J f(x)dx
а а
также расходится.
+ »
Пример К Исследовать на сходимость интеграл I * х
> + 1
*
Решение. Сравним подынтегральную функцию * сфунк
цией ¦ -+-*>* Очевидно, что в интервале
ух5
х
+ 00
Но I -577 сходится, так как а = у> 1 (см. п. 1, пример 1). Сле-
довательно, по теореме 1 сходится и данный интеграл ( * х
+ 0
Г*
I
J
+ »
Пример 2е Исследовать на сходимость интеграл \ п^х ~*~ ^ dx.
2
Решение. На интервале 2^лг< + °° 1п(л:2 + 1)>1, так как
при х ^2 сумма х24-1 больше основания натуральных лога-
379

рифмов е. Следовательно, на этом интервале
+ <»
С dx
Но интеграл \ — расходится (см. п. 1, пример 1). Следовательно,
и данный интеграл также расходится.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и у(х) в интервале [а, Ь) непре-
непрерывны и удовлетворяют неравенствам 0^ф(#)^/(л;), а в точке
х—Ь имеют разрыв. Тогда:
ь
а) если интеграл J / (х) dx сходится, то сходится и интеграл
б) если интеграл J ф (х) dx расходится, то интеграл j / (x) dx
а а
также расходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл I % * .
о ^
Решение. Подынтегральная функция непрерывна на интер-
интервале [0, 1), а в точке л: = 1 имеет бесконечный разрыв. Будем
сравнивать подынтегральную функцию с функцией 3 , также
у 1 —X
непрерывной в интервале [0, 1) и имеющей бесконечный разрыв
в точке *= 1. Прежде всего отметим, что для О^лс < 1 имеет место
неравенство я4 О и, следовательно, неравенство 1—л:4>1--х.
Но тогда уЛ— *4 > Ъ-/\—х и поэтому 3// 4 < з/1.1' • Таким
образом, подынтегральная функция 3 в интервале [0, 1) ока-
у 1 ¦ X
залась меньшей, чем функция э , .
у\—х
С dx
Так как интеграл I 3/ сходится (см. п. 2, пример 1), то
^1
по теореме 2 сходится и интеграл ' х
380

§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
/. Общие замечания. Постановка вопроса.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл /= J / (х) dx от
а
непрерывной функции f(x). Если может быть найдена первообраз-
первообразная F (х) подынтегральной функции, то по формуле Ньютона —
Лейбница
Если же первообразная не может быть найдена или если функция
y=zf(x) задана графически или таблично, то для вычисления ин-
интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых
может быть сделана сколь угодно большой.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла в
большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл
ь
^f(x)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограни-
а
ченной кривой у = / (х), сегментом [а, Ь] оси Ох и вертикальными прямы-
прямыми проведенными через точки х = а и х = 6. Благодаря этому задача
о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о при-
приближенном вычислении площади криволинейной трапеции.
Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том,
что кривая y^f(x) заменяется новой, достаточно «близкой» к ней
кривой.
Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволи-
криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.
В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают та-
такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается
просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту
или иную приближенную формулу интегрирования.
2. Метод трапеций
ь
Пусть требуется вычислить определенный интеграл / = С / (х) dx,
а
Разобьем сегмент интегрирования [а, Ь] на п равных малых сегмен-
сегментов точками деления: х1$ х2, ..., x^lt xi9 ..., хп-г. Кроме того,
положим хо=а, хп^=Ь. Длина h каждого малого сегмента равна
_ZZiL: ft^-JZS. Через точки деления проведем прямые, параллель-
параллельные оси Оу. Пусть они пересекают кривую в точках А09 АХУ Л2,
..., Ai-l% Ai% ..., An-lf An. Заменим данную кривую y = f{x) впи-
381

санной в нее ломаной А^А^А^ ... Ап-гАп (рис. 208), соединив
концы смежных ординат прямыми линиями.
Для наглядности будем предполагать, что на сегменте [я, Ь]
функция f(xO^Q. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
сверху построенной ломаной, даст нам приближенное значение
интеграла С / (х) dx.
Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций,
ограниченных сверху звеньями ломаной. Площадь каждой такой
трапеции легко подсчи-
подсчитать. В самом деле, осно-
основаниями ее будут ордина-
ординаты смежных точек деле-
деления *,._! и xi9 а высотой —
малый сегмент [x^lt х(],
длина которого h = -^
(см. рис. 208). Поэтому
площадь такой трапеции
Рис. 208
0
Но
I
С
Г !
!
1 1
1 1
| |
| |
хг xt
f\
у\
ь
-1 Ч
j
!
i
\Упч
t i
Уп\
h 1
-; д X
Следовательно, пло-
площадь фигуры, огра-
ограниченной сверху ломаной АЬАХ... Ап9
После очевидных преобразований получим
уп-А, где А:
Ь—а
Таким образом, имеем приближенную формулу
ъ
(85)
Эта формула называется формулой трапеций.
Формула трапеций, выведенная в предположении, что /()>,
остается справедливой для любой функции /(х), непрерывной на
сегменте [я, Ь].
Ясно, что с возрастанием числа п точек деления точность,
даваемая формулой трапеций, возрастает.
При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций обычно
поступают следующим образом:
1) вычисляют значения интеграла 1п и /а„ при числе точек деле-
деления п и 2п;
2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые
совпадающие знаки.
382

1,0
Пример, Вычислить интеграл С sm(x2)dx с помощью формулы
значений подынтегральной
трапеций, полагая л =«8 и п =16.
Решение. Составляем таблицу
функции при п = 8 и ft^-^« ' ~~ ^=0,2 (табл. 1).
Таблица 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1
0
0,04
0,16
0,36
0,64
1,00
1,44
1,96
2,56
0,0000
0,0400
0,1593
0,3523
0,5972
0,8415
0,9915
0,9240
0,548?
По формуле (85) при я=*8 получим
0
= 0,2 Г9+°2'5487 + 0,0400 + 0,1593 + 0,3523 + 0,5972 + 0,8415 +
+ 0,9915 + 0,9249] =0,2-4,1807 =0,8362.
Теперь составим таблицу значений подынтегральной функции
при п-1в и й = Ь±аЬ±р2 = 0,1 (табл. 2).
Таблица 2
1
0
1
2
з
4
б
8
9
10
U
12
13
14
16
16
х>.
0
Р,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,3
[4
1,5
1,6
0
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
1,00
1,21
1,44
1,69
1,96
2,25
2,5§
0,0000
0,0100
0,0400
0,0899
0,1593
0,2474
0,3523
0,4706
0,5972
0,7243
0,8415
0,9356
0,9915
0,9.928
0,9249
0,7776
0,5487
383

Применяя формулу G8) для случая я =16, получим
sin(^)^^^r0+02>5487 + 0,0100 + 0,0400 + 0,0899 + 0,1593 +
+ 0,2474 + 0,3523 + 0,4706 + 0,5972 + 0,7243 + 0,8415 +
+ 0,9356 + 0,9915 + 0,9928 + 0,9249 + 0,777б] » 0,8429.
Сравнивая результаты обоих вычислений, видим, что после
округлений совпадают первые два знака. Следовательно, за при-
приближенное значение интеграла можно принять
sin (x2) dx « 0,84.
о
Табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001
равно 0,84528.
3. Метод параболических трапеций
(метод Симпсона*)
Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла
основан на замене графика подынтегральной функции не
хордами, как в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых
параллельны оси Оу.
Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим тот частный слу-
случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную тра-
трапецию, является графиком квадратного трехчлена у = / (х) = Ах2 +
В С
Имеет место следующая формула:
ь
b=f (86)
где ул—ордината кривой в точке х = а (левая ордината);
уп—ордината кривой в точке х — Ь (правая ордината);
Ус—ордината кривой в средней точке сегмента [а, Ь], т. е.
в точке х^^-~- (рис. 209).
Вывод этой формулы сводится к ее непосредственной проверке.
Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы:
*) Т. Симпсон A710—1761)—английский математик.
384

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы
(86), найдем предварительно уЛУ уп и ус:
Подставляем в правую часть формулы (86):
Мы видим, что правая и левая части формулы (86) равны между
собой, что и доказывает ее справедливость.
Рис. 209
Рис. 210
Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную
произвольной кривой y = f(x) (рис. 210). Через точки Мх (хл; ул),
М2(хс\ ус), М3 (хп; уп) этой кривой, гдехл==а, хс = ^-~9 Хп^Ь* ПРО-
ведем вспомогательную параболу # = Ах2 + Вх + С. Такую параболу
всегда можно провести через три точки и при этом только одну
(см. гл. VI, § 9, замечание).
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогатель-
вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволи-
криволинейной трапеции:
a a
Так как согласно формуле (86)
ь
U Ах2
а
п),
13 № 2242
385

то для произвольной функции y = f(x) имеет место следующее
приближенное равенство:
Однако, если сегмент [а, Ь] достаточно большой, то приближе-
приближение, даваемое формулой (86), будет слишком грубым. Поэтому, для
ь
того чтобы получить более точное приближение интеграла J f(x)dx,
а
поступим следующим образом: сегмент [а, Ь] разобьем на четное
число 2п равных малых сегментов длины ft = -^p-. Пусть xv xv
#з» •••» хгп-1—точки деления. Рассмотрим малые сегменты длины
^Тр: [*<» *2]> [*2. Хь], ..., [*2„-2, х2п] (хо = а, х2п^Ь)\ серединами
этих сегментов будут соответственно точки xlt x3, ..., xm_v
b
Разобьем интеграл \f(x)dx на сумму нескольких интегралов:
f(x)dx.
(87)
Применим к каждому из интегралов правой части равенства (87)
формулу (86):
f (x) dx
(уг
*2П
где
(88)
ij{ = f{x{), f = 0. 1, 2, ...# 2n.
Складывая правые и левые части соотношений (88), получим
-Л (89)
Эта формула носит название формулы параболических трапеций
или формулы Симпсона.
386

Для оценки погрешности вычислений по формуле Симпсона
можно рекомендовать следующую формулу, которую прив©дим без
вывода
ь
[(Х)йх—/гп|^ jg , (Уи)
где /2Я и Iin—соответственно результаты вычислений интеграла по
формуле Симпсона при числе делений сегмента интегрирования на
2п и 4/1 частей.
Пример, Вычислить с помощью формулы Симпсона
sin (х2) dx
Решение. Составим таблицу для 2/г = 4 и Л = -^ = 7 4~~ =» 0,4
Таблица 3
при 2п = А и 2/г = 8.
(табл. 3)
1
0
1
2
3
4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
4
0,00
0,16
0,64
1,44
2,56
0,0000
0,1593
0,5972
0,9915
0,5487
Применяя формулу (89), получим
^sin(x2)dxr Ь~йт" '
6л
1,6—0
12
[0 + 0,5487 +4 @,1593+ 0,9915) +2-0,5972] =0,8462.
При 2п = 8 и h = ^^=ll68 °=0,2, пользуясь табл. 1, получим
sin (ж2) dx
2=
1'6"
^— [0 + 0,5487 + 4@,0400 + 0,3523 + 0,8415 + 0,9249) +
+ 2 @,1593 + 0,5972 + 0,9915)] = 0,8455.
Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после
округления совпадают первые три знака. Поэтому за приближен-
приближенное значение интеграла принимаем
sin (x2) dx « 0,846.
13*
387

Напомним, что табличное значение данного интеграла с точностью
до 0,00001 равно 0,84528.
Замечание. При одном и том же числе точек деления сег-
сегмента интегрирования метод Симпсона дает обычно более точный
результат, чем метод трапеций. Можно показать, что погрешность
в методе трапеций обратно пропорциональна квадрату числа точек
деления, а в методе Симпсона—обратно пропорциональна четвер-
четвертой степени числа точек деления.

ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
/. Функция двух переменных и ее область определения
До сих пор мы рассматривали функции, зависящие от одной
переменной величины. В этой главе будут изучаться функции,
зависящие от нескольких переменных. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Площадь S прямоугольника зависит от двух величин:
его основания х и высоты у. Эта зависимость выражается формулой
S^xy. A)
Каждой паре (х, у) положительных значений х и у по формуле A)
соответствует определенное значение площади S. Говорят, что пло-
площадь S прямоугольника является функцией его основания х и вы-
высоты у.
Пример 2. Сила тока / зависит по закону Ома от двух вели-
величин—напряжения U и сопротивления R:
Если предположить, что в некотором опыте U и R изменяются
в определенных конечных границах, а именно
Rt<R<R2 C)
(Uv U2i Rt и jR2 — постоянные), то каждой паре значений U и /?,
удовлетворяющих неравенствам C), по формуле B) будет соответ-
соответствовать определенное значение силы тока /, т. е. / является функ-
функцией U и R. Обобщая эти примеры, приходим к следующему опре-
определению.
Определение. Переменная г называется функцией двух пере-
менных х и у, если:
1) задано множество О пар численных значений х и у;
2) задан закон, по которому каждой паре чисел (х, у) из этого
множества соответствует единственное численное значение г.
При этом переменные х и у называются аргументами или не-
независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных
аналогичны обозначениям функций одной переменной:
*=/(*, У)> *=ф(х, У)> г = г{х9 у) и т. д.
389

При нахождении частного значения г0 функции z =*/(л:, у), которое
она принимает при заданных численных значениях аргументов
х=х0 и у=у0, пишут zQ=^
Хо или го = /(хо, f/o)- Например, если
то
= «/e
= I =Д1, 2) = 1-2 =2.
лт=2
Определение. Множество G всех пар значений аргументов
данной функции двух переменных называется областью определения
(или областью задания) этой функции.
Читателю рекомендуется сравнить область определения G функ-
функции двух переменных с областью определения М функции одной
переменной (см. гл. I, § 5, п. 2) и обратить внимание на то, что
множество М состоит из действительных чисел х, а множество
z
«7
0
•
Рис. 211
Рис. 212
G — из пар чисел (х, у). Каждой паре чисел (х, у) в плоскости Оку
соответствует точка Р(х\ у). Поэтому часто пары чисел называют
точками и говорят о функции двух переменных f(x, у) как о функ-
функции точки Р, имеющей в плоскости Оху координаты хну. Иногда
и пишут f(P) вместо f(xt у).
Области определения функции двух переменных G в плоскости
Оху соответствует некоторое множество точек. Это множество точек
мы также будем называть областью определения функции двух
переменных. Так, в примере 1, в котором рассматривалась площадь
прямоугольника S =xy, как функция основания х и высоты у,
областью определения G функции является множество точек первой
четверти, так как только для этих точек обе координаты положи-
положительны (рис. 211). В примере 2 рассматривалась сила тока /=о-,
как функция напряжения U и сопротивления R, и предполагалось,
что по условиям опыта (/г ^ U ^ (У2, Rx ^ R ^ i?2.
Областью определения G функции здесь служит прямоугольник,
ограниченный прямыми U = Ul9 U = U2t R =RX и R — R2 (рис. 212).
Точки этого прямоугольника (включая его границы) имеют коор-
координаты U и R, удовлетворяющие неравенствам C); напротив,
координаты точек, лежащих вне указанного прямоугольника,
неравенствам C) не удовлетворяют, и, следовательно, эти точки
в область определения функции не входят.
Так же как и в случае функции одной переменной, способы
задания функций двух переменных могут быть самыми различными.
390

Функция может быть задана с помощью таблицы (табличный способ
задания функции). Для функции z=/(jc, у) такая таблица (таб-
(таблица с двойным входом) имеет, например, следующий вид:
ч^ у
0
1
2
3
4
0
100
100
100
100
100
1
81
83
84
84
85
2
63
65
68
69
70
3
45
48
51
54
56
4
28
32
35
39
42
В клетках левого столбца этой таблицы даются значения аргу-
аргумента х, в клетках верхней строки—значения аргумента у. В осталь-
остальных клетках таблицы даются значения функции г. При этом, если зна-
значение л; выбирается в клетке i-й строки, а значение у — в клетке &-го
столбца, то соответствующее значение г помещается в клетке, ле-
лежащей на пересечении f-й строки и &-го столбца. Например, при
х^З, у = 2 имеем 2 = 69.
Приведенная таблица соответствует значениям относительной
влажности z (в процентах) в зависимости от температуры х (в гра-
градусах по Цельсию) сухого термометра и разности температур у
сухого и влажного термометров.
Самым важным в нашем курсе является аналитический способ
задания, когда функция задаете? с помощью аналитического выра-
выражения (с помощью формулы). В рассмотренных выше примерах
1 и 2 функция задавалась аналитически, причем область задания
в первом примере определялась из геометрических соображений,
а во втором примере — из условий опыта. Однако часто функция
двух переменных задается только с помощью формулы, и при этом
область определения ее не указывается.
Если функция двух переменных задана с помощью аналитиче-
аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий, то
областью ее определения принято считать множество таких точек
плоскости Охуу для которых это выражение имеет смысл и дает
действительное значение функции.
Например, многочлен 1-й степени z=ax-}-by-{-c, многочлен
2-й степени z = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f и т. д. определены для
всех пар чисел (х9 у)9 т. е. во всей плоскости Оху.
Рациональная функция двух переменных, т. е. отношение двух
многочленов относительно х и у, определена во всех точках пло-
плоскости Оху, за исключением тех точек, в которых знаменатель
обращается в нуль. Так, рациональная функция z =х^ у опре-
определена па всей плоскости Оху, за исключением прямой х—*/ = 0.
Приведем еще примеры на нахождение областей определения функций.
Пример 3. Найти область определения функции г = 1пA —х2—у2).
391

Решение. Функция задана только с помощью формулы. Об-
Областью определения этой функции является множество всех тех
точек, для которых выражение In A—х2—у2) определено, т. е.
множество точек, для которых 1—х2—у2 > 0, или#2 + у2<1. Так
как выражение х2~\-у2 представляет собой квадрат расстояния
точки Р (х\ у) от начала координат, то в область определения данной
функции войдут только те точки, расстояние которых от начала
Рис. 213
Рис. 214
координат меньше единицы. Множество таких точек образует
внутренность круга с центром в начале координат и радиусом,
равным единице.
Пример 4.Найти область определения функции z--^arcsin(#2 + //2—3).
Решение. Функция определена при условии
которое равносильно условию
Граничными линиями области определения являются окружности
= 2 и
которые также принадлежат этой области.
Таким образом, область определения функции состоит из точек,
лежащих между окружностями х2-\-у2 = 2 и л;2 + */2^4, и точек,
лежащих на этих окружностях (рис. 213).
2. График функции двух переменных
График функции одной переменной y^f(x) в прямоугольной
декартовой системе координат на плоскости есть, вообще говоря,
кривая. Графиком функции двух переменных z=f(x, у) в прямо-
прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является
в общем случае поверхность.
392

В самом деле, пусть функция z =f(x, у) определена в области О
(рис. 214). Каждой точке Р (х\ у) этой области соответствует опре-
определенное значение функции z — f(P). Примем это значение z за
аппликату некоторой точки М в системе координат Oxyz. Абсциссу
и ординату для этой точки возьмем такими же, как и для точки Р.
(Таким образом, точка Р является проекцией точки М (х; у; z) па
плоскость Оху.)
Тогда каждой точке Р области G будет соответствовать вполне
определенная точка М в пространстве. Всей области будет соот-
соответствовать некоторое множество точек М, образующее, вообще
говоря, поверхность.
^га поверхность называется графиком функции z = f(x, у).
Если поверхность является графиком некоторой функции двух
переменных, то уравнение, задающее эту функцию, называется
уравнением соответствующей поверхности.
В аналитической геометрии уже рассматривались некоторые
поверхности, которые являются графиками функций двух перемен-
переменных. Напомним некоторые из них.
Эллиптический параболоид является графиком функции z = ^- +|-
(р и q — постоянные одинакового знака) (см. рис. 100).
Гиперболический параболоид является графиком функции
z= ^——- (р и q — постоянные одинакового знака) (см. рис. 101).
X1 Ф Z2
Верхняя часть эллипсоида -^§ + ^г+ ^а" == 1 (см. рис. 96) является
графиком функции
а нижняя его часть—графиком функции
г= —с
5. Функции трех и большего числа переменных
Мы подробно рассмотрели понятия функции двух переменных
и ее области определения. В практике встречаются, однако, функ-
функции, зависящие от трех или большего числа переменных. Напри-
Например, объем V прямоугольного параллелепипеда зависит от трех
величин—длины а и ширины Ь его основания и высоты h парал-
параллелепипеда:
V=abh.
Дадим определение функции трех переменных.
Определение. Переменная и называется функцией трех пе-
переменных х, у и z, если:
1) задано множество Q троек численных значений х9 у и z;
393

2) задан закон, по которому каждой тройке чисел (х\ у, г) из
этого множества соответствует единственное значение и.
Переменные х, у и z называются при этом аргументами функ-
функции и или независимыми переменными.
Множество Q, которое образуют все тройки {х\ у; z) численных
значений аргументов х, у и z, называется областью определения
или областью задания функции трех переменных.
Обозначаются функции трех переменных так же, как и функ-
функции одной или двух переменных:
u=*f(x, уу г), w = w(xt у, г) и т. д.
Функцию трех переменных u = f(xt у, г) можно рассматривать
как функцию точки Р(х, у, z), имеющей координаты xt y,ZB про-
пространственной системе координат Oxyz.
Пользуясь геометрической терминологией, аналогичной той,
которую мы приняли для функции двух переменных, скажем, что
область определения функции u=f(x, у, z) есть некоторое множе-
множество точек в пространстве.
Способы задания функций трех переменных u~f(xt у, z) могут
быть самыми различными, но важнейшим в нашем курсе будет
аналитический способ задания, когда функция задается с помощью
аналитического выражения (формулы). При этом часто область
определения функции не указывается. В последнем случае областью
определения (областью задания) функции принято считать множе-
множество всех тех точек Р (х; у; z) пространства, для которых это вы-
выражение имеет смысл и дает действительное значение функции и.
Пример L Найти область определения функции
-х у z .
Решение. Данное выражение дает действительные значения и
тогда и только тогда, когда
или
Областью определения функции, таким образом, является р
шар единичного радиуса с центром в начале координат. Точки
граничной шаровой поверхности относятся к области определения
функции.
Аналогично можно ввести понятия функции четырех, пят:1 и
вообще п переменных.
Определение. Переменная величина и называется функцией
п переменных х, у, z, ...,/, если:
1) задано множество систем (х, у, г, ..., /) численных значений
х, у, г, ..., /;
2) задан закон, по которому каждой системе (х, у, г, ,.., /) из
этого множества соответствует единственное значение и.
394

Например, и = х2 + 3#2 + 2г2—/2 есть функция четырех перемен-
переменных х, у, z и /, определенная для любых значений этих переменный*
Обозначения функций п переменных аналогичны обозначениям
функций двух и трех переменных:
u=f(x, у, z, ..., t) и т. д.
Для того чтобы сохранить удобную геометрическую терминологию^
функцию п переменных u=f(x, у, z, ..., t) при п > 3 также часто
рассматривают как функцию точки Р(х\ у; г\ ...-; t) и пишут
u=zf(P). Под точкой Р(х\ у\ г\ ...;<) в таких случаях понимают
просто систему п чисел (х\ у\ г\ ...; t). Числа х, у, г, ..., t на-
называют при этом координатами точки Р (х\ у\ г\ ...; t). Множе-
Множество всех точек Р(х\ у\ г\ ...; t) z n координатами называется
пространством п измерений.
§ 2. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции. Точки разрыва
/. Основные определения
При рассмотрении предела функции одной переменной г/^/Ч
было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки
там понимался интервал MN, содержащий эту точку. При вве*
дении понятия предела для функции двух переменных
= f (P) мы будем рассматривать ок-
окрестность точки в плоскости Оху. У;
Окрестностью точки Ро (х0; у0)
называется внутренность круга с
центром в этой точке. Если радиус
этого круга равен б, то говорят
б-окрестность точки (рис. 215). Оче-
Очевидно, что любая точка Р (х; у), при-
принадлежащая б-окрестности точки
Ро(хо* Уо)> находится от этой точки ' р 215
на расстоянии, меньшем б.
Определение. Число b называется пределом функции двух пере-
переменных z~f(x9 у) = /(Р) при Р —> Ро, если для любого числа е > О
найдется такая Ь-окрестностъ точки Ро (х0; yo)t что для любой
точки Р(х; у) этой окрестности (за исключением, быть может>
точки Ро) имеет место неравенство
|/(Р)-6|<е, D)
или
I/ \xf У)—°\ <ч ». \о)
При этом пишут lim f(P) = b или lim f(x, y)**b, так как при
р-+р0 *-*в
Р(Ъ У)-+рЛх*> Уо)> очевидно, x-+xQt y-+y0.
395
&-окрестность
точки. Рй

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если
ее предел равен нулю.
Заметим, что если число Ъ есть предел функции г = / (Р), то, как
это следует из определения предела, разность f(P) — b является
бесконечно малой, когда точка Р произвольным образом неогра-
неограниченно приближается к точке Ро.
Пример 1. Найти
lim ,.*+*
V-+0
Решение. Предел функции находится при Р (х\ у) —* Ро @; 0),
т. е. при р—з-О, где р = Р0Р— расстояние между точками Ро и Р.
В данном случае точка Ро есть начало координат. Следовательно,
р= ух*-\-у2 • Таким образом,
Х2 + у2 ?
ига ¦¦ -' ¦ =* ига ,/—„ , -, , = и га
-J™ (^^5+1 + 1)-2.
Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере
х2 + и2
функция г- 2 ¦¦¦ 2 =g— не определена в точке Ро@; 0), но имеет
предел 1ри Р—> Ро.
д;2 |i2
Пример 2. Функция г= 2 ; -г определена и непрерывна на всей
плоскости, за исключением начала координат. Покажем, что при
приближении точки Р (х\ у) к началу координат функция не имеет
предела. Действительно, приближаясь к началу координат по оси Ох,
где i/^ 0, получим lim г = hm-2^-^ = 1. Если же приближаться к
#->0 х->0 х ' U
началу координат по оси Оу, где х^О, то limz =
Таким образом, при приближении точки Р (х\ у) к началу коор-
координат по различным направлениям функция имеет различные пре-
предельные значения и, следовательно, не имеет предела при х—>0,
У-+0.
Определение предела функции п переменных при п > 2 будет
тождественным определению предела функции двух переменных,
если ввести понятие б-окрестности точки Ро пространства п изме-
измерений. Назовем расстоянием между двумя точками Р (х\ у\ г\...; /)
и Ро(*о> #о» zo'-> •••» ^о) в пространстве п измерений выражение, рав-
ное V(x—xo)* + (y—yoJ + (z-Zo)'2 + ~- + (t-toJ. Очевидно, что при
п=2 и п = 3 это выражение совпадает с известными формулами
расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.
Определение. 8-окрестностыо точки Ро (хи; г/0; г0;...; t0) в про-
пространстве п измерений называется множество всех точек Р (х\ у; г;..;/),
396

расстояние каждой из которых от точки Ро (х0; у0; z0;...; tQ) меньше б:
У КУ <б.
Очевидно, что в пространстве трех измерений Охуг (л=3) б-окрест-
ностью точки Ро (х0; уо\ z0) будет множество всех внутренних точек
шара с центром в точке Ро и радиусом б.
Для функций нескольких переменных остаются справедливыми
правила предельного перехода, установленные для функций одной
переменной (см. гл. V, § 1, п. 6).
2. Непрерывность функции нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных уста-
устанавливается с помощью понятия предела.
Определение. Функция нескольких переменных и — / (Р) назы-
называется непрерывной в точке Ро, если
lim f(P) = f(P0). F)
Р-»Ро
Заметим, что функция / (Р), непрерывная в точке Ро, должна
быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе
нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка Ро, в кото-
которой функция нескольких переменных u-^=f(P) непрерывна, назы-
называется точкой непрерывности этой функции.
Для непрерывных функций справедлива следующая теорема.
Теорема. Если функции п переменных fx (Р) и /2 (Р) непрерывны
в точке Ро, то в той же точке будут непрерывными и их сумма
fi(P) + f*(P)* разность 1г(Р)—f2{P) и произведение f1(P)-f2(P)', если,
/ (Р)
кроме того, f2 (Ро) Ф 0, то частное -fjpl также непрерывно в точке Ро.
Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно ана-
аналогично доказательству соответствующей теоремы для функций одной
переменной (см. гл. V, § 2, п. 2).
На основании приведенной теоремы легко установить непрерыв-
непрерывность многих функций, например непрерывность многочлена отно-
относительно двух независимых переменных в любой точке плоскости Оху,
непрерывность рациональной функции во всех точках плоскости,
в которых знаменатель не обращается в нуль.
3. Понятие области
Введем некоторые определения, которые понадобятся в даль-
дальнейшем.
Определение. Областью (открытой областью) называется
множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:
1) каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой
окрестностью этой точки (свойство открытости);
2) всякие две точки области можно соединить непрерывной линией,
целиком лежащей в этой области (свойство связности),
397

Часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура L (рис. 216),
является областью, так как: 1) для любой точки Р, лежащей вну-
внутри L, существует окрестность, также лежащая внутри Ц 2) две
любые точки Р и Q, лежащие внутри L, можно соединить непре-
непрерывной кривой, лежащей внутри L.
Области определения функций в примерах 1 и 3 п. 1 являются
открытыми областями. Вся плоскость, очевидно, также является
открытой областью.
Точка Ро называется граничной точкой области G, если любая
окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки,
ей не принадлежащие.
Множество всех граничных точек области называется ее границей.
На рис. 216любаяточкаР0контура1, очевидно, является граничной.
Границу области на рис. 211 состав-
составляют неотрицательные части осей Ох и 0у>
Если к открытой области присоеди-
присоединить ее границу, то полученное мно-
множество точек называется замкнутой
областью.
Области определения функций в при-
примерах 2 и 4 (см. рис. 212 и 213) являются
замкнутыми.
Если для данной области можно
Рис. 216 подобрать круг, полностью ее покры-
покрывающий, т. е. такой, внутри которого
лежат все точки области, то такая область называется ограниченной.
Если же круга, полностью покрывающего область, подобрать
нельзя, то область называется неограниченной. Ограниченными обла-
областями являются области определения функций, рассмотренные в при-
примерах 2, 3 и 4 § 1 п. 1 (см. рис. 212, 213). Напротив, область опре-
определения функции в примере 1—неограниченная область. Область G
(открытая или замкнутая) называется односвязной, если для любого
замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им
часть плоскости целиком принадлежит области G. Области, изобра-
изображенные на рис. 211, 212, являются, очевидно, односвязными. Напро-
Напротив, область, заключенная между окружностями х2-\-у2 = 2пх2-\-у2 = 4
(см. рис. 213), не является односвязной, так как, например, окруж-
окружность д:24-у2—3, лежащая в этой области, содержит внутри себя
точки, не принадлежащие области (например, начало координат).
Замечание. Все введенные в этом пункте понятия почти без
изменений переносятся на пространство трех и большего числа
измерений.
4. Точки разрыва
При изучении функций иногда приходится рассматривать их точки
разрыва.
Определение. Точка Ро называется точкой разрыва функ-
функции /(Р), если она принадлежит области определения этой функции
или ее границе и не является точкой непрерывности.
398

Пример!. Функция г= а* 2, очевидно, имеет единственную
точку разрыва — начало координат О@; 0), в которой она не опре-
определена. При неограниченном приближе-
приближении точки Р (х\ у) к началу координат
функция г =81 2 стремится к бесконеч-
бесконечности (рис. 217).
Пример 2. Найти точки разрыва функ-
1
Решение. Функция определена и не-
непрерывна всюду, кроме тех точек, коор-
координаты которых удовлетворяют уравнению
2х + У + 1 =0. Это—уравнение прямой,
являющейся границей области определе-
определения функции. Каждая точка этой прямой
есть точка разрыва. Таким образом,
точки разрыва образуют целую пря-
прямую—линию разрыва данной функции
Рис. 217
5с Свойства функций, непрерывных в ограниченной
замкнутой области
В гл. V, § 2, п. 3 были рассмотрены свойства функций? непре-
непрерывных на сегменте. Этими же свойствами обладают функции двух
и большего числа переменных, непрерывные в ограниченной замк-
замкнутой области.
Определение. Функция z^f(x, y)^zf(P) называется непре-
непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна
в каждой точке этой области.
При этом функция f{P) считается непрерывной в граничной
точке Ро, если в равенстве lim f(P) =/(Р0) точка Р стремится
Р-»Р0
к точке Ро вдоль любого пути, принадлежащего данной области.
Теорема. Если функция z~f(P) непрерывна в ограниченной замк-
замкнутой области, то она в этой области:
1) ограничена: \f(P)\<N\
2) имеет наименьшее т и наибольшее М значения]
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное
значение, заключенное между т и М.
Эту теорему мы оставляем без доказательства.
Так, например, функция г = ]/"!—хг—у2, которая определена
и непрерывна, очевидно, в ограниченной замкнутой области
(круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице),
обладает указанными в теореме свойствами!
1) ||1
399

2) наименьшее значение функции т*=0 достигается на границе
области определения функции, т. е. в точках окружности х2 + у2==-- 1;
наибольшее значение М = 1 — в начале координат О@; 0);
3) любое число, заключенное между нулем и единицей (между
т и М), является некоторым значением функции.
Рис. 218
Графиком функции, очевидно, является верхняя полусфера
с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 218).
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
/• Частные производные первого порядна
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, у). Зафиксируем
один из ее аргументов, например у, положив у~ yQ. Тогда функция
/ (х> У о) будет функцией одной переменной х. Пусть она имеет про-
производную в точке х0:
Нт /(*о + Л*> Уо) — /(*о. У о) /6ч
д*->0 Ах ' {)
Эта производная называется частной производной (или частной про-
производной первого порядка) функции z~f(x, у) по х в точке
^о Cv» У о) и обозначается символом
Разность f(xo + Ax, у0)—/(дс0, у0) называется частным прираще-
приращением по х функции z = f(xfy) в точке Р0(х0\у0) и обозначается
символом &xz:
К2 =f(xo + Л*> У о) — f (*©. У о)- G)
Учитывая эти обозначения, можно записать
/;(*„*,)- lira -^. (8)
Аналогично определяются и обозначаются частное приращение
функции z~f(x,y) по у и частная производная по у в точке
400

bf f(xt,y9), (9)
Таким образом, частная производная функции двух переменных
по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного при-
приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Значение частной производной зависит от точки Р (х; у), в кото-
которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух
переменных z—f(x,y), вообще говоря, есть функция точки Р(х\ у)>
т. е. также является функцией двух переменных х и у.
Частные производные, рассматриваемые как функции двух пере-
переменных, обозначаются следующим образом:
Гх(х,У), ГУ(х,у) или г'х, гу или •?., Л *.
Частные приращения и частные производные функции п пере-
переменных при п > 2 определяются и обозначаются аналогично. На-
Например, для функции трех переменных и =/(*, у, г) частное прира-
приращение по х в точке Ро (дг0; уо\ z0) получится, если х получит'
приращение Ал:, а остальные аргументы останутся неизменными:
y07 zo)—f(xO9 у0У г0). A0)
Частная производная функции и— f(x, у, г) по аргументу х в точке
Ро (V> Уо\ *0) будет равна
Таким образом, частная производная функции нескольких пере-
переменных определяется как производная функции одной из этих
переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференци-
дифференцирования, выведенные для производных функции одной переменной,
сохраняются для частных производных функции нескольких пере-
переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и фор-
формулах при нахождении частной производной по какому-либо
аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.
Пример 1. Найти частные производные функции г — f (х, у)^х2у —
— Зу2 + 5*.
Решение. Частную производную f'x(x, у) находим как произ-
производную функции f(x9y) по аргументу х в предположении, что
у= const. Поэтому
* Заметим, что в отличие от производной функции одной переменной внра-
дг дг Л _
жения -д— и -т- нельзя рассматривать как дроби. Эти выражения являются
символами» обозначающими частные производные.
401

Аналогично
Пример 2. f(x, y)*=x + y—V*2 + y*. Найти /;C; 4).
Решение. Находим сначала частную производную функции
/ (х, у) по х\
Теперь вычислим частное значение найденной частной производ-
производной при х**= 3, у— 4:
. Пример 3. Пусть на оси Ох расположен стержень. Температура 0
в произвольной точке М (х) стержня является функцией коорди-
координаты # точки М (х) и времени /: 9=/(лг, /). При х~х0 функция
Q=*f(xOft) представляет изменение температуры в данной точке
стержня в зависимости от времени t. Частная производная
щ- в этой точке дает скорость изменения температуры со време-
временем. Если теперь положить t =t0, то функция 9=/(а:, /0) дает
закон распределения температуры вдоль стержня в данный момент
времени t0. В этом случае частная производная ^ представляет
собой скорость изменения температуры вдоль стержня в данный
момент времени t0.
2. Геометрический смысл частных производных
функции двух переменных
Выясним геометрический смысл частной производной ~ функ-
функции двух переменных z*^f(x,y). Как известно, графиком функции
z***f{x,y) является некоторая поверхность. Рассмотрим точку
Р0(х0; у0) в плоскости Оху и соответствующую точку М0(х0; у0; zQ)
на поверхности (рис. 219). Сделаем параллельный перенос осей
с новым началом в точке Ot @; у0; 0) и рассмотрим плоскую кри-
кривую АМ0В, которая получится при сечении поверхности новой
координатной плоскостью OXXZ (т. е. плоскостью у — у0 в старой
системе координат). Эту кривую можно рассматривать как график
функции одной переменной z -=*f(xt у0) в плоскости OXXZ (т.е.
в плоскости у=у0 в старой системе). Но тогда, согласно геометри-
геометрическому смыслу производной функции одной переменной, ^ Уо' =
=¦ tga, где ос—угол с осью ОХХ} или, что то же, с осью Ох каса-
касательной, проведенной к кривой АМ0В в точке Мо» G другой
стороны,
4t2

Отсюда следует, что (^-) =tgcc. Итак, значение частной производ*
\ОХ J Ро
ной ^~ в точке Ро (xQ; уь) равно тангенсу угла, составленного с осью Ох
касательной, проведенной в точке Мо (хо\ yQ\ %0) к линии пересечения
поверхности z = f(x,y) и плоскости у=р0. В этом заключается
геометрический смысл частной
производной ^ . Аналогично
выясняется геометрический
смысл частной производной ~.
8. Частные производные
высших порядное
Частные производные функ- х /xwrv °°
ции нескольких переменных
являются функциями тех же
переменных. Эти функции, в
свою очередь, могут иметь ча-
частные производные, которые
мы будем называть вторыми
частными производными (или
частными производными вто- Рис. 219
рого порядка) исходной функции.
Так, например, функция г=/(х, у) двух переменных имеет
четыре частных производных второго порядка, которые опреде-
определяются и обозначаются следующим образом:
dz
дх
о(д1
-**-- f
dz
dx
ду -дхду-'ху^'*»
= 7)S; = fy*(x>y)-
Функция и = f(x9 у у г) трех переменных имеет девять частных
производных второго порядка:
(ди
дх
дг
д2и
дхдг'
и т. д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
третьего и более высокого порядка функции нескольких перемен-
переменных: частной производной п-го порядка функции нескольких пере-
403

менных называется частная производная первого порядка от частной
производной (п — \)-го порядка той же функции.
Например, частная производная третьего порядка дхд ., функ-
функции z = f(x9y) есть частная производная первого порядка по у от
частной производной второго порядка у—т- :
дЧ = \dxdyj
дхду2 ду
Частная производная второго или более высокого порядка,
взятая по нескольким различным переменным, называется смешан-
ной частной производной.
Например, частные производные
дЧ дЧ дЧ дЧ
дх ду ' дудх' дхду2 f дхдудх
являются смешанными частными производными функции двух пе-
переменных z =f(x, у).
Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка
функции z =*х2у*.
Решение. Находим частные производные первого порядка
дг
Затем находим смешанные частные производные второго порядка
д(-
4j
d'2z
Мы видим, что смешанные частные производные «- и
отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования,
т. е. последовательностью, в которой производится дифференциро-
дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными.
Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных про-
производных имеет место следующая теорема, которую мы прини-
принимаем без доказательства.
Теорема. Лее смешанные частные производные одной и той же
функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны
между собой при условии их непрерывности.
В частности, для функции двух переменных z^=/(x, у) имеем:
дЧ дЧ
дх ду ду дх *
4Q4

§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
/. Полное приращение функции
При нахождении частных производных рассматривались част-
частные приращения функции нескольких переменных, когда лишь
один из аргументов изменялся, остальные же оставались фиксиро-
фиксированными (постоянными). Теперь мы рассмотрим полное прираще-
приращение, которое получает функция при изменении всех ее аргументов.
Пусть дана функция двух переменных z=*f(x> у). Предположим,
что ее аргументы х и у полу-
получают соответственно прираще-
приращения Ах и Ау. Тогда функция
z — f(x, у) получает полное при-
приращение Дг, которое опреде-
определяется следующей формулой:
Az=xf(x + Ax, у~\~Ау) —
-f(x, у), A2)
Геометрически полное прира-
приращение функции Дг равно при-
приращению аппликаты графика ^
функции z-=f(x, у) при пере- У
ходе из точки Р (х\ у) в точ- х"
ку Pi (* + Д*; У + &У) (рис. 220). Рис 220
Пример. Найти полное при-
приращение функции z^xy2 при условии, что х имеет приращение
Да:, а у — приращение Ау.
Решение. Применяя формулу A2), получим
Аг = (х + Ах) (у + АуJ —ху2 = ху2 + у2Ах + 2хуАу + 2уАхАу + х{Ayf+
+ Ах (АуJ —ху2 = у2Ах + 2хуАу + 2уАхАу + х (АуJ + Ах (Ау)\
Мы видим, что полное приращение Дг данной функции можно
представить в виде суммы двух слагаемых: первого слагаемого
t/Ax-\~2xyAyy линейного относительно приращений аргументов Ах
и Ау, и второго слагаемого 2уАхАу + х(АуJ + Ах(АуJ, не линейного
относительно Ах и Ау. Оба эти слагаемые, очевидно, стремятся
к нулю при Ах—+0, Ау—> 0. Однако второе слагаемое при этом
стремится к нулю быстрее, чем первое. Это наглядно видно из
следующей таблицы, в которой приведены значения полного при-
приращения данной функции Дг в точке РоA\ 1), а также значения
его линейной части Ах-\-2Ау и нелинейной части 2Д*Ду+ (АуJ +
-f-Ax(AyJ для различных значений Дя и Ау:
Ах
0,1
0,01
0,001
Ау
0,1
0,02
0,01
Az
0,331
0,050804
0,0211201
Линейная часть
Ах+2Ау
0,3
0,05
0,021
Нелинейная часть
2АхАу+(Ау,2 + Ах(АуJ
0,031
0,000804
0,0001201
405

2. Полный дифференциал функции
В предыдущем пункте мы рассмотрели пример, в котором при-
приращение функции двух переменных было представлено в виде
суммы двух слагаемых, линейного относительно Дд: и Ау и нели-
нелинейного, причем при Да:—*0, Ау —у 0 нелинейная часть прираще-
приращения стремилась к нулю быстрее, чем линейная. Подобным свой-
свойством обладают многие функции. Эти функции называются диф-
дифференцируемыми.
Определение. Функция z=f(xt у) называется дифференци-
дифференцируемой в точке Р (х, у), если ее полное приращение Az можно пред-
представить в следующем виде:
(Axf Ау), A3)
где Да: и Ну—любые приращения соответствующих аргументов х
и у в некоторой окрестности точки Р\ А и В—постоянные (т. е.
величины, не зависящие от Ах и Ау); о)(Да:, Ау)—бесконечно малая
более высокого порядка, чем расстояние р = КД*2 + Д#2 между точ-
точками Р(х\ у) и Рг(х + Ах\ у + Ау) (т. е. lim ю(А*' Ay) = 0.V
\ Р-о Р /
Таким образом, если функция z=f(x, у) дифференцируема
в данной точке, то согласно формуле A3), ее полное приращение
в этой точке состоит из двух частей: главной части приращения
AAx-\-BAyf линейной относительно Да; и Ду, и нелинейной части
со (Да:, Ау), более высокого порядка малости, чем главная часть
приращения.
Определение. Главная часть приращения функции г = /(а:, //),
линейная относительно Ах и Ау, называется полным дифференциа-
дифференциалом этой функции и обозначается символом dz или df(xt у).
Таким образом,
d AA BA A4)
В выражении для дифференциала ААх + ВАу величины А и В
не зависят от Да: и Ayf но зависят от точки Р(х\ у), в которой
этот дифференциал рассматривается. Иными словами, А и В яв-
являются функциями х и у. Вид этих функций устанавливается
следующей теоремой.
Теорема.. Если функция z=*f(x, у) в точке P(xf у) дифферен-
дифференцируема (т. е. имеет дифференциал ААх-{-ВАу), то она имеет
в точке Р (х\ у) первые частные производные -— и ~, причем
дх ' ду
Доказательство. Так как по условию теоремы данная
функция в точке Р(х\ у) дифференцируема, то ее полное прира-
приращение Дг в этой точке выражается по формуле A3). Эта формула
справедлива для любых достаточно малых Да: и Ау. В частности,
она остается справедливой, если Д# = 0, а Дх^О. Но тогда при-
приращение функции Дг становится частным приращением Axzt и фор-
406

мула A3) будет иметь следующий вид:
Axz =
Разделив обе части этого равенства на Ах и перейдя к пределу
при Ах—5-0, получим
Нш А?=Л+ lim -
Ал: -> 0 *х Ьх -> 0
Покажем, что lim х- = 0. В самом деле, так как Ау — 0, то
• о
р = VАх2 + Ау2 = | Ах |. Следовательно,
1( (О «• СО «• СО л
hm -r-^i llm "пгт^^ bm — = 0.
Дх -* 0 ^* | Ал: I -^ 0 I ^х I р -> 0 Р
Таким образом, предел lim —-• существует и равен Л. Но
Ах -> О А*
lim -^j-353-^ и поэтому частная производная ~ в точке Р(#; у)
существует и равна Л. Аналогично можно показать, что частная
производная Д в точке Р (х; у) существует и равна В.
Заменяя теперь в формулах A3) и A4) Л и В частными про-
дг дг
изводными -g- и у-, получим
A5)
Можно показать, что обратная теорема, вообще говоря, не-
неверна, т. е. из существования частных производных не следует
существование полного дифференциала. Однако если предположить,
что частные производные не только существуют, но и непрерывны,
то функция будет дифференцируемой. Иными словами, имеет место
следующая теорема, доказательства которой мы не приводим.
Теорема. Если частные производные ~ и J- функции z=f(xf у)
непрерывны в окрестности точки Р (х, у), то эта функция в точке
Р (х, у) дифференцируема.
Как и в случае функции одной переменной, для приращений
независимых переменных введем следующие обозначения:
Тогда выражение для дифференциала примет следующий вид:
или
x, y)dy. A8)
407

Всё сказанное легко распространяется на функции трех и
большего числа переменных. Так, например, для дифференцируемой
функции трех переменных u=f(x, у, г) полное приращение Дм
выражается формулой
A9)
при условии
lim —т- = 0 (p :
л ее полный дифференциал имеет вид
j да , . да , , да , /ОАч
аи — -?- dx-\~ ^-ау-{--к- ах. B0)
Пример 1. Найти полный дифференциал функции z~xy2 в про-
произвольной точке.
Решение. Полный дифференциал dz — -~r- dx-\-^-dy существует
при условии непрерывности частных производных л~ и ^-. На-
Находим
Мы видим, что найденные частные производные являются непре-
непрерывными функциями во всей плоскости Оху. Поэтому дифференциал
этой функции всюду существует, причем
Пример 2. Найти значение полного дифференциала функции
з xJlM ПрИ # = 1; ?=—2; z = — 1; Д* = 0,1; Д#=-0,2; Дг=0,5.
Решение. Находим частные производные
0ц_ (х+уУ _ 1 0ц__ /л-+j/V _ 1 д//_
а затем и полный дифференциал
du =— Дл:Ч— Дг/—"Ц^ Дг.
г [ z * z*
Теперь находим значение этого полного дифференциала при
jc = 1; y^—2\ z= —1; Дл: = 0,1; Д^/=0,2; Дг=0,5:
du = _^ . о, 1 +^1-. 0,2 -1=^- • 0,5 =0,2.
40В

3. Приложение полного дифференциала
к приближенным вычислениям
I. Полным дифференциалом функции нескольких переменных
можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана
дифференцируемая функция z=f(x> у). Ее полное приращение
выражается формулой
'y(xt у)Ьу + (о(Их, Ау).
Здесь со (Дл;, Ау) стремится к нулю быстрее, чемр = /"() (#
Поэтому при малых р, т. е. при малых |Длг| и \Ау\, слагаемым
(о (Ал:, Ау) можно пренебречь и писать:
Дг «/;(*, y)Ax + fy(xy у) by, B1)
т. е. приращение функции приближенно можно заменить ее пол-
полным дифференциалом.
Так как z^f (x, у), то
:, y + Ay)—f(x, у).
Подставляя это выражение для Дг в формулу B1), получим
f(x + Axt y+Ay)—f(x, y)&f'x(x, y)Ax + f'y(x, y) Ay,
откуда
/ (x + Ax, у + Ay) « / (x, у) + f'x (xy у) Ах + f'y (x, y) Ay. B2)
Формулой B2) можно пользоваться для приближенных вычис-
вычисй й ф Р ( А А)
(
лений значений функции двух переменных в точке Р (х-\- Ах; у + Ау),
близкой к точке Р (х\ у), если известны значения функцци и ее
частных производных в самой точке Р (х\ у).
Аналогичные формулы можно вывести для функции п перемен-
переменных при п > 2. Например, при /г~3 получим
f(x+Axt y-\-Ayf z + Az)&f(x, у, z) + f'x(x, yy z)Ax + f'y(x, у, z)Ay+
+ f'z{xy y, z)Az. B3)
Пример 1. Вычислить приближенно с помощью полного диффе-
дифференциала arctg ( pq2— IJ .
Решение. Рассмотрим функцию f(x, у) = arctg ( — —lj. При-
Применяя формулу B2) к этой функции, получим
или
409

Положим теперь х = 2, у=\; тогда Дх=* —0,03, Д*/ = 0,02.
Следовательно,
(т-
. о 09
12 + B — lJ b' '
ИЛИ
arctg (j^— l) « arctg 1 — i- - 0,03—0,02- -J_0,015-0,02 « 0,75.
Пример 2. Центральный угол кругового сектора, равный 80°,
желают уменьшить на 15'. Насколько надо удлинить радиус г = 30см,
для того чтобы компенсировать изменение площади?
Решение. Площадь S кругового сектора выражается формулой
о _^
360 '
где г—радиус круга, а ф — центральный угол в градусах.
Если изменение (приращение) площади AS заменить (прибли-
(приближенно) полным дифференциалом, то
А с ds л . as А
AS «-г- Аг + -=г- Аф.
а/- ' ду ^
По условию, при уменьшении центрального угла и увеличении ра-
радиуса AS должно равняться нулю. Поэтому полагаем
dS * . dS
Аг +
откуда
dS А
А ^Дф_
ягф 2ф
V 360 У г Ш
A \°
т)>
получим
зо-Г-4-Л
^Gj-J-CM = -^CMttV,b ММ.
Замечание. Можно показать, что ошибка, получающаяся
при применении приближенной формулы B2), не превосходит числа
где М — наибольшее значение абсолютных величин вторых частных
производных Гхх(х9 у), f"xy(Xy у), Гуу{х> У) ПРИ изменении аргументов
соответственно от х до х + Ах и от у до у f Ay.
410

И. Покажем, как применяется дифференциал функции несколь-
нескольких переменных к нахождению границ абсолютной и относительной
погрешностей в приближенных вычислениях (см. гл. VI, § 3, п. 5).
Пусть величина и является дифференцируемой и положительной
функцией трех (для определенности) переменных х9 у и г:
u=f(x, У, г). B4)
Предположим, что точные значения х, у, г ее аргументов неизвест-
неизвестны, но зато известны их приближенные значения х0У у09 z0, и гра-
границы абсолютных погрешностей Д^, А^, Дг. Как найти границы
абсолютной и относительной погрешностей функции и, вычисляемой
по формуле B4)?
Введя обозначения х—хо = кх> у—уо = Ау, z — го = Дг, согласно
определению границы абсолютной погрешностей, получим
„. |Аг|<Д,.
B5)
Абсолютная погрешность функции и равна, очевидно, модулю
Af A А Af г0) и
20) | X
ее приращения Au=^f(xo + Ax, уо + Ау, zo + Az)—f(xO9 y0,
приближенно равна модулю полного дифференциала и:
|Да|«|й(*0, у0, zo)kx + f'y(xo, у0, 20)Ду + /;(л:0, у0,
По свойству абсолютных величин
I fx (*о> Уъ> zo) &Х + f'y (Х09 у09 20) Ду + ^ (Хо, у0, 20) Д2 |< | /; (
X\kx\ + \fj{xo, yot zo)\.\Ay\ + \f'z(xo, у0У 20)|.|Д2|.
Поэтому, учитывая формулы B5), получим
|Ди|<|й(*0, у09 Z0)\~Kx+\f'y(xQ, у0, 20I^ + 1^(^0» Уь> 2о)|Д,-
Это означает, что число
A« = |/x(*o. 0о. го)|"Дж + |/;(хв> у09 zG)\~Ky + \f'z(x0, y09 zo)\Az B6)
можно принять за границу абсолютной погрешности и.
По определению границы относительной погрешности 8В будем
иметь:
o, г.)\
Уо>
f{*o* Уо* Ч)
f'z(*o> Уо>
о, Уо> «о)
Заметив, что
дх
у
д\пи
ду '
f (*о. Уо.
д\пи
получим
д In f (xOf y0, gp)
20)
лг0> у»,
Выражение, стоящее в правой части этого равенства^ является
411

границей абсолютной погрешности функции In / (я, у, г) =» In м. Поэтому
К = Дщ „, B7)
т. е. за границу относительной погрешности некоторой функции
можно принять границу абсолютной погрешности натурального ло-
логарифма этой функции.
Рассмотрим пример.
Как известно из физики, период колебания маятника Т опре-
определяется равенством Т = 2яу — , в котором / — приведенная дли-
длина маятника, a g—ускорение силы тяжести. Разрешая это равен-
равенство относительно g, получим
S^. B8)
Формулой B8) пользуются для вычисления ускорения силы
тяжести в различных точках земной поверхности, измеряя в этих
точках приведенную длину маятника I и период его колебания Т.
Пусть в результате измерений получены следующие приближенные
значения для / и Т: /0 = 50,00 см\ То = 1,4196 сек. Предположим
также, что известны границы абсолютной погрешности А, — 0,01 и
Ат = 0,0001. Требуется вычислить по формуле B8) ускорение силы
тяжести g и найти границы абсолютной и относительной погреш-
погрешностей найденного значения g.
При определении погрешностей следует учесть, что в формуле
B8.) приходится брать приближенное значение л0 числа я. Возьмем
это число с точностью до 0,0001, т. е. положим я«я0 = 3,1416,
Ап= 0,0001. Тогда по формулам B7) и B6) получим
6^ = Д In g = | (In g)n |я=я0 ' Ля + I (In g)i |Л=я0 ' Д / + | (In g)T |я=лт0 • A T =•
T=T0 Г=Г0 T=T0
_ 2bi , A, , 2Ar _ 2-0,0001 0,01 2-0,0001 _ Л oofti|n
-"-^ f"U~i~~7\"~ 3,H16 "^"бОГ" 1,4196 ^u»uww»
т. е. граница относительной погрешности равна 0,040%.
Найдем теперь по формуле B8) приближенное значение g:
_4-C,1416J.50,00_
Так как
?° ' A,4196J
bg=8fig= 979,6.0,00040» 0,4
то
8 = 979,5 ± 0,4 (^).
В заключение рассмотрим некоторые правила приближенных вы-
вычислений, которые мы получим как следствие формул B6) и B7).
412

Пусть при измерении или вычислений положительных величин х
и у получены приближенные значения х0 и у0 с границами абсо-
абсолютных погрешностей соответственно Ах и Ду.
1) Если z = x + y, то по формуле B6) получим
Д2-ДЛ. +Ду,
дг л дг «
так как з-=1 и ^-=1.
дх ду
Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы равна
сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых.
2) Если г = х—у у то
так как
а2_1 дг— 1 м
дх ' ду
= 1,
Итак, граница абсолютной погрешности разности равна сумме
границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
3) Если z = xy, то \пг—Лпх+\пу и поэтому
Применяя формулу B7), получим
т. е. граница относительной погрешности произведения равна сумме
границ относительных погрешностей сомножителей.
4) Если г= —, то аналогично легко получить
у
т. е. граница относительной погрешности частного равна сумме
границ относительных погрешностей делимого и делителя.
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
/. Дифференцирование сложных функций
Пусть дана функция двух переменных z=f(x, у), причем аргу-
аргументы этой функции являются функциями одной независимой пере-
переменной t: x=x(t), y--=y(t). Тогда z есть сложная функция одной
независимой переменной t. Поставим задачу найти производную
этой сложной функции -г-, зная частные производные ч- и ^- и:
производные •— и -~ . При решении этой задачи мы будем предпо-
предполагать, что функции х =x(t) и у -^y(i) имеют производные в точке tf
а функция двух переменных z=f(x, у) в соответствующей точке
(х\ у) дифференцируема.
413

Пусть независимая переменная t получает приращение At; тогда
переменные хну получат соответственно приращения Ая и Ay, a
функция г—приращение Аг. Так как функция г по предположе-
предположению дифференцируема, то ее полное приращение Аг может быть
представлено в следующем виде:
Аг = | Ах +1 Ау + о) (Ах, Ау), B9)
причем
lim —— 0, где р = \^Ах2 -f- Ay*.
р^о Р
Разделив обе части равенства B9) на At и переходя к пределу
при At —> 0, получим
д/™0 аНё'д/^о 5F+S'A1/!!1o й"+а'Йо S"'* C0)
Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого ра-
равенства, существует, то существует и предел, стоящий в левой части
dz т т 1« Ajc ??лг 1 • Aw <i и
этого равенства, т. е. производная ^-. Но lim — = -т- и lim xf=^
существуют по предположению.
Найдем
lim дт = Hm ( —- • 4— ) = Hm — • lim —¦ •
Рассмотрим сначала
lim -гг = lim
Этот предел существует, так как существуют производные ~ и
¦77. Прежде чем находить lim —, отметим, что при Д/—>0 также
и р—^0**. Но тогда lim — = lim —==0 и, следовательно,
А/ ->0 Р р->0 Р
Учитывая это, формулу C0) можно записать в следующем виде:
dz _^ dz dx .dz dy
* Частные производные^- и ^- вынесены за знак предела, так как они
зависят от At.
** В самом деле, р=- |/*Адс2 + А^. Но^ и t/ дифференцируемы, а следователь
но, и непрерывны. Поэтому Ах —> 0 и Ау —> 0 (а следовательно, и р ¦—> 0),
если А/ —> 0.
414

Пример 1. Найти производную-^, если z—x?, # = sin^, y=t2.
Решение. Применяя формулу C1), получим
^-ухУ'1 cos t + ху \nx-2t = /2 (sin О*' cos * + 2t (sin 0'2 In sin t =»
= tf (sin f)*2 (tf cos ? + 2 sin tf • In sin /).
Рассмотрим теперь функцию z ==/ (л:, у) при условии, что у =у (х).
Здесь переменная z есть функция одной переменной х: z =
— f (x, y(x)). Этот случай сводится к предыдущему, причем роль
переменной t играет х. По формуле C1) имеем
dz dz 4x j,dz dy
Но ~ = 1, и поэтому
dz__dz^ i дг ^
В правой и левой частях этой формулы имеются производные
г по я. Одна из них -^ — частная производная функции двух пе-
переменных z=*f(x, у), которая находится так, как если бы у не
тл dz
зависел от х. В отличие от нее производная -т-, стоящая в левой
части формулы C2), есть производная сложной функции одной
переменной z—f(x, y9 (х)). Эту производную мы будем называть
полной производной.
Предположим теперь, что z=f(x, у), причем x=x(w, v) и
y=Ly(ut v). Тогда z будет сложной функцией двух независимых
переменных и и v. Найдем частные производные этой сложной функ-
dz dz
ЦИИ т- И т-.
ди да
Частные производные ^, ~ и ~ находятся так, как если бы
г, х и у были функциями одной переменной и. Но тогда можно
пользоваться формулой C1), заменив в ней производные-|, -? и
•~ соответствующими частными производными: —¦, — и — \
dz dz dx , dz dy
Аналогично можно получить выражение для у j
dz dz dx . dz dy {W\
Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной
функции любого конечного числа аргументов.
415

В частности, для функции трех переменных u~F(x, у, г), где
x=x(t)9 y = y(t), z = z(t), имеем
dt~~dx ' dt^dy ' dt^dz ' df foW)
Пример 2. Убедиться, что функция z=arctg~, где x = u-\-v,
Ur—Vt удовлетворяет соотношению:
dz , dz _ u — v
ди ' dv v2 -f- u2'
Решение. Находим 4~ и ~:
I
y i _
Теперь имеем
dz , dz у—х
i +
__ 2(u—v) _ 2(ц— v) __ u—v
~ vJ-\~(u—t»J "~2(м2 + с2)~и2 + у2
что и требовалось доказать.
2. Инвариантность формы полного дифференциала
Как известно, для дифференциала функции одной переменной
y^f(x) имеет место инвариантность его формы. Это значит, что
выражение для дифференциала
dy=f'(x)dx
остается верным независимо от того, является ли х независимой
переменной или функцией некоторой переменной: # = <p(/) (см. гл. VI,
§ 3, п. 4).
Для функции нескольких переменных u=f(x, у, z, ...,/) спра-
справедливо аналогичное утверждение: полный дифференциал функции п
переменных u--^f(x, у, г, ... , t) сохраняет свою форму
j ди * . du Л , ди j , > ди j.
dudx + dy + dz++dt
416

независимо от того, являются ли л% у, z, ... , t независимыми пе-
переменными или функциями других переменных.
Мы ограничимся доказательством этого утверждения только для
случая функции двух переменных z = f(x, у). Как известно, если
х и у являются независимыми переменными, полный дифференциал
имеет следующий вид:
, dz j , dz j
dz=^-dx +^-dy.
dx ' dy v
Покажем, что эта форма дифференциала сохраняется, когда х и у
становятся функциями новых переменных: х~х(и, v),y—y(u, v).
Тогда z является сложной функцией и и v. Дифференциал этой
сложной функции выражается формулой
d2 = p-du+%.dv.
ди ' до
Но по формулам C3) и C4)
Следовательно,
л _ (dz . дх
\дх ди
__dz md*du
дх ди
_dz /дх
дх \ди
так как
дх А .д.
ди ' aj
а2
Ж =
^:
az
az
^ дх
1и +
7
az
" дх
dz
= -дх~
ду\
* ди)
,dxd
дх d
dv
_дг
дх
-
= аХ,
дх dz
9 ди+ а</#
дх , аг
'ау^а^/'
./dz
' \ал'
W4-az ду
^ dy* ди
\ JL^Z (дУ
) ду \ди
dz
dy
а гт— 0,1л
du
ду
du'
ду
dv'
дх
' dv
Аи
аи
da
i i
\дг ду
ду dv
+ dz ^dy
' dy' dv
• ду , \
a// , ,
Следовательно, полный дифференциал dz не изменяет своей формы:
dz j , dz ,
когда л: и у становятся функциями других переменных.
3. Дифференцирование неявных функций
Как известно, неявная функция у аргумента х задается урав-
уравнением
F(x,y)=09 C5)
не разрешенным относительно у (см. гл. VI, § 1, п. 15),
Мы знаем, что не всякое уравнение, связывающее х и у, опре-
определяет неявную функцию. Например* уравнение
14 № 2242 417

не определяет функции у (мы имеем в виду только действительные
значения переменных).
Каким же условиям должно удовлетворять уравнение
F(x,y) = 0,
чтобы оно определяло неявную функцию у} Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема существования неявной функции. Если функция F(x,y)
и ее частные производные F'x (х, у) и F'y (х, у) определены и непрерывны
в некоторой окрестности точки Р0(л;0; у0) и при этом F(x09 уо)=О,
а Fy (хо* Уо) Ф Of mo уравнение
определяет в некоторой окрестности точки Ро (х0; у0) единственную
неявную функцию у = у{х), непрерывную и дифференцируемую в неко-
некотором интервале, содержащем точку х09 причем у(хо)=у0.
Эту теорему мы оставляем без доказательства.
Пусть левая часть уравнения C5) удовлетворяет указанным
в теореме условиям. Тогда это уравнение определяет неявную функ-
функцию y=zy(x)t для которой в окрестности точки ро(хо; у0) имеет место
тождество
относительно х.
Так как производная функции, тождественно равной нулю,
также равна нулю, то полная производная
"dx ~~ *
Но по формуле C2)
dF___dF_ dF_dy
dx dx ' ду dx'
и поэтому
ду dx'
откуда
dx~ dF'
dy
По этой формуле находится производная неявной функции (одной
переменной).
Пример 1. Найти производную неявной функции у, заданной
уравнением
*2 + 32+ — 1 =0.
Решение. Введем обозначение F(xty)~x2—2х + 3у* + ху— 1.
dF dF
Тогда j-~2х—2 + у\ ^-=^6у-\-х. Следовательно, по формуле C6)
У dJL
dy дх 2х-\~у—2
Тх~ "^?~ х + Ьу '
ду
418

В частности, в точке РгB; —1)
___ __ 2-2—1—2
Х=2
dy
dx
Пример 2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в точке Р0@; 1).
Решение. Находим частные производные первого порядка
функции F (х, у)=х2у + ехУ2—у и их значения в точке Р0@; 1):
F'x(x, у) = 2ху + у*ехУг; F'y(x, у) ~х* + 2хуехУ2-1; F'x@, 1) = 1;
Ffy@; 1)=-1.
Пользуясь формулой C6), вычисляем угловой коэффициент каса-
касательной
Kac~~dx
а затем угловой коэффициент нормали kH =—т—=—1.
Теперь находим уравнение касательной
у—1 = 1«(*—0), или х—у-\-1=лО,
и уравнение нормали
у —1= — 1 (л:—0), или х + у—1=0.
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
/. Скалярное поле и его геометрическое изображение
Определение. Скалярным полем называется часть простран-
пространства (или все пространство), каждой точке Р которой соответст-
соответствует численное значение некоторой скалярной величины и.
Например, неоднородное тело, каждой точке которого соот-
соответствует определенное значение плотности, можно рассматривать
как скалярное поле. Другими примерами скалярных полей являются
поле распределения температуры в данном теле, поле распределе-
распределения электрического потенциала и т. д. Во всех случаях мы будем
предполагать, что скалярная величина и не зависит от времени, а
зависит только от положения точки Р в пространстве. Иными сло-
словами, величина и рассматривается как функция точки Р: tt=^F(P).
Эта функция называется функцией поля. Если в пространстве ввести
систему координат Охуг, то точка Р в этой системе будет иметь
определенные координаты х9 у и г, и скалярная величина и станет
функцией этих координат:
14* 419

Обратно, всякая функция трех переменных u=F(x, у, г) задает
некоторое скалярное поле.
Скалярные поля часто изображаются геометрически с помощью
так называемых поверхностей уровня.
Определение. Поверхностью уровня (или эквипотенциальной
поверхностью) скалярного поля называется геометрическое место точек
пространства, в которых функция поля и =*F (х, у, г) имеет одно и
то же значение С.
Уравнение поверхности уровня имеет вид
F(x,y,z)=C.
Придавая С различные значения, получим семейство поверхностей
уровня.
Например, если поле задано функцией и =х2 + у*+г*, то поверх-
поверхностями уровня будут сферы
с центром в начале координат.
Если скалярным полем является поле распределения темпера-
температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня
этого поля будут так называемые
изотермические поверхности, т. е.
поверхности, на каждой из кото-
которых температура постоянна.
Наряду со скалярными полями
в пространстве рассматриваются
также плоские скалярные поля.
Плоское скалярное поле опреде-
ляется как часть плоскости (или
вся плоскость), каждой точке Р
которой соответствует численное
значение скалярной величины г.
Функция плоского скалярного
Рис. 221 поля зависит от двух переменных:
z =/(*,*/).
Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью
линий уровня. Линия уровня определяется как геометрическое место
точек плоскости, в которых функция плоского скалярного поля
имеет одно и то же значение. Для функции z=f(x, у) плоского ска-
скалярного поля уравнение линии уровня имеет следующий вид:
f(x, #)=С,
где С—постоянная.
Например, для плоского скалярного поля, заданного функцией
г=х2—у2, линиями уровня являются равносторонние гиперболы
jc3—*/2=С (рис. 221). При С =0 получим х2—у2-~0, или
(х—у)(х + у)—0. Это значит, что асимптоты гипербол х—# = 0 и
х +у = 0 (биссектрисы координатных углов) также относятся к числу
линий уровня рассматриваемого поля.
420

2. Производная по направлению
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля
u=^F(x, у, z). Рассмотрим точку Р (х; у; z) этого поля и луч /, выхо-
выходящий из точки Р в направлении единичного вектора
1 — cos а • i + cos p • j -f- cos у • k,
где а, р и у — углы вектора 1 с осями координат.
Пусть Pl(xJrAx\ y-\-Ay\ z-\-Az) — какая-нибудь другая точка
этого луча. Разность значений функции и скалярного поля в точ-
точках Рг и Р назовем приращением этой функции в направлении I
и обозначим через Atu. Тогда
Atu=F(x+Ax9 y + Ayt z + Az)—F(xtytz).
Обозначим также через А/ расстояние между точками Р и Рг:
Определение. Производной функции u = F (х, у, z) no направ-
направлению I называется предел Ига -~.
А/ -* о Л/
Производная функции и по направлению / обозначается симво-
символом -г-. Таким образом,
J57 = "Ш -д7« C7)
А/ -> о
Заметим, что если производная функции и в точке Р(х\ у\ z) по дан-
данному направлению / положительна, ~ > 0, то функция и в этом
направлении возрастает, если
же ~ < 0, то функция и в
направлении / убывает.
Можно сказать, что про-
ди
изводная по направлению ^~
дает скорость изменения
функции и в этом направле-
направлении.
Выведем формулу для вы-
вычисления производной по на-
направлению. Прежде всего
заметим, что приращения Ах,
Ау и А г координат точки Р
связаны с длиной отрезка Рис. 222
РХР =А1 и направляющими
косинусами вектора I следующими соотношениями (рис. 222):
C8)
Так как функция и по условию дифференцируема, то ее прираще-
приращение Aw в точке Р (х\ у\ z) можно представить в следующем виде:
Аи = F'x (*, у, z) Ax + F'y (*, у, z) Ay + F'z (xf у, г) А г + со, C9)
421

причем о стремится к нулю быстрее, чем р = V Ax2 + Ay2 + Az* > т. е.
Шп^-=0 (см. § 4, п. 2, формула A9)).
р-о Р
Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направ-
направлении вектора !, то Ди = Д^м, р = А/, а Да:, Ау и Дг выражаются
по формулам C8). Формула C9), следовательно, примет следую-
следующий вид:
Alu=F'x{x, у, г) Alcosa+ F'y(x, у, z) Alcosfi+F'z(x, у, z) Д/ cos у + ©.
Разделив обе части этого равенства на Д/ и переходя к пределу
при Д/ —> 0, получим
z(y )v] ^р
Но F'x(x, у, z), Fy(x, у у z), F'z(x, у, z) и направляющие косинусы не
зависят от Д/, и так как lira тт~ Hm— = 0, то
д/ _ о Л/ р - о Р
^ = F'x (*t У> Z) C0S *+F'y (X> У у Z) C0S P + ^г (^, У, Z) COS Y- D0)
Из формулы D0) следует, что если вектор 1 совпадает с одним из
ортов iT j или к, то производная и по направлению / совпадает
с соответствующей частной производной этой функции. Так, напри-
например, если I = i, то cos<x = l9 cosj3 =0, cosy—О и, следовательно,
ГЛхУг)
Пример 1.. Найти производную функции и=л;2 — 2xz + y* в точке
РхA; 2; —1) по направлению, идущему от точки Рх к точке
Р,B;4;-3).
Решение. Находим вектор РХР2 = B—1I + D—2)j + (—3+l)k=
= i-j-2j — 2k и соответствующий ему единичный вектор
Таким образом, вектор 1 имеет следующие направляющие косинусы:
cos a = -g-; cos р = у; cos y = —j *
Теперь найдем частные производные функции u = xz—2xz-\-tf\
и их значения в точке РхA; 2; —1):
аи
дх
422
ди
= Bх—2г) х= 1 = 4; ~ = Bу)
^ дг

Подставляя в формулу D0) найденные значения частных произ-
производных и направляющих косинусов, получим искомую производную:
Если скалярное поле—плоское, то функция поля г, как уже
было сказано, зависит от двух переменных: z = /(.#, у). Вектор 1
в этом случае лежит в плоскости
Оху (т. е. cosy-^0) и, следова-
следовательно, I = cosa-i -fcosp-j, или
1 = cos a- i + sin a-j, так как cos C =
= sina (рис. 223). Формула D0)
для производной по направлению
в случае плоского скалярного
поля имеет следующий вид:
OZ
м=Гх(х> y)cosa + f'y(x9
sin a.
D1) •
Пример 2. Найти производную Рис. 223
от функции 2 = 1п(л; + 2#) в точке
1; Y)t принадлежащей параболе У^-^у по направлению ка-
касательной к этой параболе.
Решение. Находим частные производные от функции f(x,y)=
= In (x + 2у):
Гу(х> У) =
и их значения в точке РA; у):
1 + 2-
1 + 2-
= 1.
Для того чтобы найти cos a и sin a, входящие в формулу D1), на-
находим угловой коэффициент касательной в точке РA; 2):
Таким образом, tga = l, откуда получим два значения a: a1»45Q
и а2 = 225°, которые соответствуют двум взаимно противоположным
направлениям касательной.
|/~2~ V ^
При ах = 45° имеем cos ах = cos 45° = -—-; sin a = sin 45° = ~-.
Следовательно, по формуле D1)
ди __ 1 ]/*2 . ]/Т __ 3 [/Т
Ж"~~2 ~~2~ + 1'~2~"~~Т~~ *
При а2--225° аналогично получим -^г = —
423

3. Градиент
При изучении скалярных полей наряду с функцией поля
u—F(x, у, z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный
с этой функцией,— градиент скалярного поля.
Определение. Градиентом в точке Р(х, у, z) скалярного поля,
заданного дифференцируемой функцией u=F(x, у, г), называется
вектор, равный
F'x(x, У, z)i + Fy(x, у, z)]+F'z(x, у, г)к.
Градиент функции u — F(x, у, г) мы будем обозначать одним из
символов
gradF(x, у, г), grad F(P).
По определению
gradF(xt у, z) = F'x(x, у, z)l + F'y(x, у, z)\ + Fz(xf у, г) к. D2)
Таким образом, каждой точке Р(х\ у; г) скалярного поля, задан-
заданного дифференцируемой функцией u=F(xt у, г), относятся не
только значение этой функции, но и вполне определенный век-
вектор—gradF(P).
Пример 1. Найти градиент функции и=х2 + 2у2—г2—5 в точке
РоB; -1; 1).
Решение. Введя обозначение F(xf у, z)=x2-\-2y*—z2—5,
найдем F'x(x, у, г)—2а:; F'y(x, yt z) = 4y\ Е'г(х, у, z) = —2z. Затем,
пользуясь формулой D2), получим
= 41 — 4j—2k.
Между градиентом функции и =F(xt у, z) в данной точке и про-
производной по направлению ^- в той же точке имеется связь, кото-
которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Проекция вектора grad и на единичный вектор 1 = cos а-1-|-
+ cos р • j + cos у * к равна производной функции и по направлению I:
npjgradM=~. ' D3)
Доказательство. Пусть u = F(xt у, г). Из векторной алгебры
известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор
равна скалярному произведению этих векторов (см. гл. III, § 2,
п. 8, формула F7)).
Но
grad и ==f; (*, у9 z)l + F'y(x9 yt z)]+F'2(x, у, г) к.
Поэтому
u-\~F'x(x9 yt z)cosa-\-F'y(xt у, г)с
xy у,
(см. формулу D0)). Теорема доказана.
424

Учитывая, что производная по направлению щ выражает ско-
скорость изменения скалярного поля и ~F (х, у, z) в этом направлении,
формулу D3) можно прочитать так: проекция grad и на вектор I
равна скорости изменения поля u=F (х, yt z) в направлении вектора I.
Обозначим через ф угол между единичным вектором I и grad и.
Тогда пр; grad и = | grad u\ -соэф. Поэтому, на основании формулы D3),
да
01
= | grad и | cos ф.
D4)
Если направления векторов 1 и grad u совпадают (ф=0), то про-
производная по направлению ^т имеет, очевидно, наибольшее значение,
равное | grad и | cos 0 = | grad и |.
grad F(P0)
Рис. 224
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: grad и
есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастании
поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого
возрастания.
Отсюда следует, что grad и функции скалярного поля и ¦— F (х, у, г)
определяется самим полем и не зависит от системы координат,
в которой рассматривается функция поля.
Выясним взаимное расположение gradu=gradF(x, у, z) в дан-
данной точке Р0(х0; у0; г0) и поверхности уровня, проходящей через
эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид
F{x, у, г)=С0, или F(x, у, z)— С0=0. D5)
Рассмотрим кривую L, лежащую на поверхности D5) и прохо-
проходящую через точку Ро (рис. 224). Предположим, что эта кривая
425

задана уравнениями
y=y(t), \ D6)
где л: @, y(t) и г(О—дифференцируемые функции /, причем хо= х (/0),
yo—y(tQ), 20 = г(/0). Каждая точка кривой L имеет координаты
*(/), y(t) и 2@, которые должны удовлетворять уравнению D5)
поверхности уровня, поскольку кривая L полностью лежит на этой
поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество
F[x(t), y(t)y z(t)]-Co=0.
Дифференцирую обе части этого тождества по /, получим, при-
применяя формулу C4) (см. § 5, п. 1) и учитывая, что (C0)i -=0:
В частности, при t--=t0 имеем
F'x(Xo> Уо> *o)x'(to) + F'y(Xo> У о, *0)y'(t0) + F'2(x0, yQ, zo)zf(to)^0. D7)
Левая часть этого равенства является скалярным произведением
(Po) = F'x(Xo, У о, zo)i + F'y(xQy у0, zo)]-\-F'2(xQ, yQi zQ)k
и вектора
направленного по касательной к кривой L (см. гл. VI, § 5, п. 3).
Таким образом,
gradw(P0).r'(/o) = 0. D8)
Предположим, что grad и (Ро) Ф 0. Тогда из равенства D8) выте-
вытекает, что gradw(P0) перпендикулярен к вектору г'(/0), направлен-
направленному по касательной к кривой L в точке Ро.
Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы прихо-
приходим к следующему выводу. Пусть скалярное поле задано дифферен-
дифференцируемой функцией u=F(x, y> г). Тогда все касательные, проведенные
в точке Ро к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим
через точку Ро, расположены в одной плоскости, перпендикулярной
вектору gradF(P0), при условии, что этот вектор не равен нулю.
В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируе-
дифференцируемой функцией двух переменных z~f(x, у), градиент определяется
формулой
grad/(x, y)=f'x(x, y)\ + fy(x, у)I D9)
Ьго связь с производной по направлению ^ выражается равенством
дг
np^grad z — gj-,
420

или
~ = | grad z \ cos
где ф—угол между единичным вектором 1 и grad г. Можно пока-
показать, что если поле задано дифференцируемой функцией г=»/(л:$ у),
то вектор grad f(xOf у0) перпендикулярен к касательной, проведен*
кой к линии уровня в точке Р0(х0\ у0).
Пример 2. Найти наибольшую скорость возрастания функций
z = x2y—5y3 в точке РоB; 1).
Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна
модулю градиента этой функции. Находим
В точке Ро B; 1) grad2 = 4i — llj. Следовательно, наибольшая ско*
рость возрастания функции равна
| grad г |Ро = /42 + 112 = /Т37.
Касательная
плоскость
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением
F(x, у, г)-0, E0)
левая часть которого является функцией, дифференцируемой в не-
некоторой области. Эта функция u = F(x, у, z) определяет скалярное
поле, для которого данная по-
поверхность E0) является одной
из поверхностей уровня *. Пусть
в точке Ро (*0; у0; z0) grad F (x,y,z)
не равен нулю. Тогда, соглас-
согласно п. 3, все касательные,
проведенные в точке Ро к ли-
линиям, лежащим на поверхности
E0) и проходящим через точ-
точку Ро, расположены в одной
плоскости, перпендикулярной
grad F (Ро). Эта плоскость назы-
называется касательной плоскостью
к поверхности F(#, у, г) = 0, в
точке Р0(х0; у0; г0) (рис. 225).
Найдем уравнение этой пло-
плоскости. Искомая плоскость про-
проходит, очевидно, через точку
Ро(Ч> Уо\ zo)> поэтому ее урав-
уравнение имеет вид:
А(х—хо)+В(у—у(
Рис. 225
— z0) =0
E1)
* Поверхность E0) является геометрическим местом точек, в которых функ-
функция поля u = F(x, у, г) принимает одно и то же значение, равное нулю.
427.

(см. гл. IV, § 1, п. 2, формула D)). Так как вектор
gradF(P0) = /?;(x0, у09 zo)i + F'y(xQ, у0> zo)]+F'z(xot yQt zo)k
по условию перпендикулярен касательной плоскости, то его можно
принять за нормальный вектор этой плоскости, т. е. можно поло-
положить A~*F'x(xQy yQ, z0), B=Fy(xv yOf z0), C=-Fz(xot yQ, г0). Тогда
уравнение E1) примет следующий вид:
Fi(*o. Уо. *о)(*—*o) + fi(*o. */0, zo)(y—yo) +
+ F*(Xo> У» zo)(z-z0)=^0. F2)
Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности
E0) в точке Р0{х0, у0, г0).
Пусть поверхность E0) имеет в некоторой ее точке Ро (х0, у0, г0)
касательную плоскость. Прямая, проходящая через точку Ро пер-
перпендикулярно этой касательной плоскости, называется нормалью к
поверхности E0) в точке Р0(х0, у0У г0). Вектор gradF(P0), очевид-
очевидно, направлен вдоль нормали и поэтому может быть принят в
качестве ее направляющего вектора. Итак, канонические урав-
уравнения нормали имеют следующий вид:
х—х0 = у—у0 ^ г—г0
К (х0, у о, г0) F'y(xOt у 0, г0) fz (х0, у0, г0)'
Пример 1, Найти уравнения касательной плоскости и нормали
к однополостному гиперболоиду х2-\-2у2 — г2 — 5 = 0, в точке
Ро B; -1; 1).
Решение. В п. 3 (см. пример 1) был найден градиент функции
F (х, у, z) ^x2 + 2y2—z2 — 5 в точке Ро B; —1; 1). При этом ока-
оказалось, что grad F (Ро) = 4i — 4j — 2k.
Поэтому искомые уравнения касательной плоскости и нормали
будут следующими:
4(х_2)-4(у+1)-2(г-1)=0,
или
2х—2у—z—5 = 0 (уравнение касательной плоскости);
х — 2__у+\ _z — 1
4 ~~ —4 ~ — 2 >
ИЛИ
^— = ^-—^==1^— (уравнения нормали).
Итак, grad F (Ро) является направляющим вектором нормали.
Поэтому единичный вектор нормали п мы найдем, разделив вектор
gradP(P0) на его длину:
grad F(P0) __
*о* Уо> Уо) ^
V[Fx(x0, у0, *o)]2 + [Fy(*o, Уо, *o)]2+[F2(xo, У», zo)f
Рассмотрим теперь случай, когда поверхность задана уравнением
*=/(*, У). E5)
.428

Этот случай можно свести к предыдущему, записав уравнение E5)
в виде
*-/(*, »)=0
и положив
*—f(x, y)=F(xf у, г).
Тогда
F'x(x, У> z) = —f'x(x, у), F'y(x, yt z) = —f'y{x, у), F'2(x, у, г) = 1
и, следовательно,
gradF(*0, yot ze) = F;(х0, у0, zo)i + F'y(xot у0, zo)i + Fz(xOf //0, г0) к =
= — fx fa, У о) l—f'y fro> У о) J + к. E6)
Поэтому уравнение касательной плоскости в точке Ро (х0, yo,zo)
запишется в виде
—fxfr» y*)fr—Xo)—f'yfro> Уо)(У—Уо) + г — го = °>
или
г—го = Гх{хо, Уо)(х—х9) + Гу(хо, уо)(У—Уо)> E7)
а уравнение нормали — в виде
х—х0 __ у—Уо __ z—г0 E8)
У) 1
Единичный вектор п нормали в этом случае находится по фор-
формуле
П = — fx (х(» Уо) i — fy (хо> У о) I + k /59)
Vlf() + f( )
а его направляющие косинусы — по формулам
Vl+fx (*<». Л)+fy <*«• *в) К 1 + f х (дс„ „
005 7 = ^7====^====. F0)
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости к эллипти-
эллиптическому параболоиду г=дс2-Ь-|- в точке Ро A; —2; 3).
j 2
Решение. Положив х2+-™- = /(л;, у), получим f'x(x, y) = 2x;
f'yfr* У)=У и> следовательно, f'x(\, —2) =2; ^A, —2) =—2. Теперь,
пользуясь формулой E7), легко получим уравнение касательной
плоскости
429
или
2х—2у—z—3=0.

5. Геометрический смысл полного дифференциала
функции двух переменных
Пусть функция z = f(x, у) имеет в точке PQ(x0, yQ) дифференциал
dz = f'x (х0, yQ) Ax+f'y (х0, yQ) Ay,
или
Рассмотрим уравнение касательной плоскости
2—го = /*(хо, Уо)(х—х0) + Гу(Хо> Уо)(У—Уо)-* F2)
Мы видим, что правая часть этого уравнения совпадает с пра-
правой частью выражения F1) для дифференциала dz.
z,
Касательная
плоскость
Рис. 226
Следовательно, и левые части этих равенств равны Но в ра-
равенстве F1) левая часть есть дифференциал функции z=f(x, у)
в точке Р0(х0, у0), а в уравнении F2) левая часть означает соот-
соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.
Мы приходим к следующему выводу, поясняющему геометрический
смысл дифференциала функции двух переменных: дифференциал
функции двух переменных равен соответствующему приращению
аппликаты касательной плоскости (см. рис. 226).
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
/. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума
Понятие максимума и минимума для функции нескольких пере-
переменных вводятся так же, как и для функции одной переменной.
* Мы обозначили через Z аппликату точки касательной плоскости, чтобы
отличить ее от аппликаты г точки поверхности.
430

Мы рассмотрим эти понятия только в применении к функции двух
переменных.
Пусть функция двух переменных ?=/(#, у) задана в некоторой
области G,
Введем следующие рпределения,
Определение. Функция двух переменных z = f(x, y)^zf(P)
имеет в точке Ро (х0; у0) области G максимум, если существует такая
окрестность этой точки, что для всех точек Р (х; у) этой окрест-
окрестности, отличных от Ро, выполняется неравенство
f(P*)>f(P).
Определение. Функция двух переменных z = f(x, y)=f(P)
имеет в точке PQ(x0; y0) области G минимум, если существует
такая окрестность этой точки, что для всех точек Р(х\ у) этой
окрестности, отличных от Ро, выполняется неравенство
f(Po)<f{P)-
Точка Ро, в которой функция z = f(P) имеет максимум (или минимум),
называется точкой максимума (или минимума).
Как и в случае функции одной переменной, точку максимума
(или минимума) не следует смешивать с точкой, в которой функция
принимает наибольшее (или наименьшее) значение в области Сг,
Существует общее название для максимума и минимума—экст-
минимума—экстремум.
Теорема (необходимый признак существования экстремума). Если
Р0(х0; у0) есть точка экстремума функции z = f{x, у), то
в предложении, что указанные частные производные существуют
в точке PQ(xQ, y0).
Доказательство. Частная производная функции z=.f(x, у)
по х в точке Р0(х0, у0) есть производная функции одной перемен-
переменной ф(х)— f{x, у0) в точке х = х0. Но в этой точке функция ф(х)
имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, ф'(л;0)=0 (см. гл. VI,
§ 7, п. 2). Так как <p'(*o)=/i(*o> у0), то f'x(x0, yo)=0. Аналогично
можно показать, что f'y(x0$ y0) =0. Теорема доказана.
Таким образом, обращение в нуль в точке Ро частных цроиз-
водных первого порядка функции z=f(x, у) (если они существуют)
является необходимым условием существования в точке Ро экстре-
экстремума этой функции.
Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех
точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.
Например, функция z = ]/x2-f у2, очевидно, имеет минимум в точке
0@, 0), но не имеет в этой точке частных производных.
Точки, в которых первые частные производные f'x(x, у) и Гу(х, у)
функции z = (x, у) обращаются в нуль или не существуют, называ-
называются критическими точками этой функции.
431

Из изложенного выше следует, что точки экстремума функции
находятся среди ее критических точек. Однако существуют крити*
ческие точки, не являющиеся точками экстремума. Рассмотрим,
например, функцию z — f(x, у) = ху.
Первые частные производные этой функции
dz dz
дх v ду
обращаются в нуль в точке Ро@; 0), следовательно, эта точка
является критической. Однако экстремума в ней функция г = ху
не имеет.
В самом деле, z(P0) = Q, но в любой окрестности точки Ро@\ 0)
имеются как положительные (в точках, принадлежащих I и III чет-
четвертям), так и отрицательные (в точках, принадлежащих II и
IV четвертям) значения функции г.
Рассмотренный пример показывает, что необходимый признак
существования экстремума не является достаточным признаком.
Достаточным условием наличия экстремума в критической точке
^о(*о> Уо) является условие
А (Ро) = & (Л,) • & (Р.) - Ifxy (Ро)]2 > 0,
причем в случае /** (Ро) < 0 Ро есть точка максимума, а в случае
Гх*(Ро)>®—точка минимума. Условие
является достаточным для отсутствия экстремума в критической
точке Ро.
В случае Л(Я0) = 0 точка РО может быть, а может и не быть
точкой экстремума (сомнительный случай). В этом случае необхо-
необходимы дополнительные исследования.
Сформулированные здесь достаточные признаки существования
или отсутстЕпя экстремума мы оставляем без доказательства.
Пример. Найти экстремумы функции
f(Xf y) =
Решение. Находим первые частные производные:
/;(х, у) - Зл-2 + 3#2-30, /;(х, у) = бху-18.
Приравнивая эти производные нулю, получим после элементар-
элементарных преобразований:
Складывая и вычитая почленно уравнения F3), получим:
х2 + 2ху-\-у2 = 16, )
х2 — 2ху+у2 = 4, |
432

или
x-y=±2.f
Решая эту систему уравнений (равносильную данной), находим
четыре критические точки:
Р2C; 1), /\A; 3), p,(-i; -3) и р4(-з, -1).
Теперь найдем вторые частные производные
fit = бх; fly = 6#; /у = 6*
и составим выражение
а (Р)=/;. (Р) /;. (?) - [/;, (Р)]2=зб (х2 - г/а).
Убеждаемся, что
1) A (PJ > 0, fxt (Рг) > О, Р1—точка минимума;
2) А (Р2) < 0, в точке Ра экстремума нет;
3) А (Р3) < 0, в точке Р3 экстремума нет;
4) А(Р4)>0, fl*(P4)<09 P4—точка максимума.
Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке Рг —
минимум /(Рг)=:—72, в точке Р4— максимум /(Р4)=*72.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции
двух переменных
Пусть функция г = /(л:, у) непрерывна в ограниченной замкну-
замкнутой области G и дифференцируема внутри этой области.
Тогда она имеет в этой области наименьшее и наибольшее зна-
значения (см. § 2, п. 5), которые достигаются либо внутри области,
либо на ее границе. Если наибольшее или наименьшее значение
функция принимает во внутренних точках области G, то эти точки,
очевидно, будут точками экстремума функции г = [(х, у). Таким
образом, точки, в которых функция имеет наибольшее или наи-
наименьшее значения, будут либо точками экстремума функции, либо
граничными точками области G.
Мы приходим к следующему правилу нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции двух переменных.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функ-
функции z = f(x, у) в ограниченной замкнутой области G, следует найти
значения функции в критических точках этой области, а также ее
наибольшее и наименьшее значения на границе области G. Наи-
Наибольшее из всех этих значений будет наибольшим значением функ-
функции f(x, у) в области G. Наименьшее из тех же значений функции
будет ее наименьшим значением в области G.
В некоторых случаях при нахождении наибольших и наимень-
наименьших значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой
433

области границу этой области удобно разбить на части, каждая
из которых задается своими уравнениями.
Пример, Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г = х2—у2 в круге х2+у1^4.
Решение. Находим первые частные производные
гх = 2х и z'y = —2у.
Решая систему уравнений
2х~ О,
получим одну критическую точку Ро@; 0), в которой значение
функции равно нулю.
Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на
границе, т. е. на окружности л;2 + */2 = 4. Так как на окружности
переменные х и у связаны соотношением x2 + y2 = 4t, то для точек
окружности функцию z = x2—у2 можно представить как функцию од-
одной переменной л;: г =x2—D—л:2), т. е. z = 2х2 — 4, причем—2 ^л:^ 2.
Итак, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
двух переменных на окружности лг2+#2=4 мы свели к нахождению
наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
г=*2ха—4 на сегменте [—2, 2]. Находим критические точки функ-
функции в интервале (—2, 2) и вычисляем значения функции в этих
точках и на концах интервала (см. гл. VI, §7, п. 4): г' =4х,
4л; = 0. Отсюда имеем критическую точку х = 0; z \ Xz=0 =—4;
г|Лз.2=4, 2|х=г2 = 4. Таким образом, функция имеет наибольшее
значение, равное 4, и наименьшее значение, равное —4.
Итак, наибольшее значение функция z =х2 —у2 в круге х2 + у2 ^ 4
принимает в точках Мг(—2; 0) и М2B; 0) окружности х2-\-у%=*4
и наименьшее—в точках М3@; 2) и УИ4(О; —2) той же окружности.
Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на
окружности х2 + у2=4: можно найти иначе.
представим уравнения окружности в параметрическом виде:
Тогда z =*х2 —у2 = 4 cos21 — 4 sin21 = 4 cos 2/. Найдем наибольшее
и наименьшее значения этой функции на сегменте 0 ^ t ^ 2я. Для
этого, продифференцировав функцию z=4cos2?, получим z'=¦ —
— 8 sin 2t. Составив уравнение—8 sin 2t =0, находим три критические
точки /i=y, t2=*n, ?8=-y-, лежащие внутри указанного сегмен-
сегмента. Вычислив значения функции г =4 cos 2t в этих точках, а так-
также на концах сегмента ? = 0 и ^=2я, заметим, что получаются
лишь два различных между собой значения функции: zt=— 4 (наи-
(наименьшее значение функции) и za= 4 (наибольшее значение функции).

ГЛАВА X
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
/. Задачи, приводящие к двойному интегралу
Задача об объеме. Пусть а—область в плоскости Оху, ограни-
ограниченная замкнутым контуром /. Рассмотрим тело, ограниченное об-
областью а, цилиндрической поверхностью С с направляющей / и
с образующими, параллельными оси Oz, и частью поверхности $,
уравнение которой г —/(х, у) (рис. 227). При этом предположим,
что функция z = f(x, у) опре-
определена, непрерывна и неот-
неотрицательна в области а. Та-
Такое тело назовем цилиндри-
цилиндрическим. Поставим задачу о
вычислении объема цилин-
цилиндрического тела. Для этого
разобьем область а (см. рис.
227) произвольным сбра-
зом на п малых площадок
Дах, Да2, ..., Дап, причем
п
2 Да^а*. Над каждой из
i; =1
малых площадок Да,- по-
построим цилиндр, ограничен-
ограниченный сверху куском поверхно-
поверхности S, проектирующимся в
площадку Да,-. Этим самым Рис 227
все цилиндрическое тело с
основанием а разобьется на п столбиков с основаниями Да,..
Обозначим объем столбика с основанием Да,, через ДУ,-. Тогда
объем V цилиндрического тела равен сумме объемов этих столби-
п
ков: V = 2 ДУ/« Рассмотрим цилиндр с основанием Да;. За вы-
высоту цилиндра примем аппликату zi поверхности S в некоторой
произвольной точке Pt(xh у{) площадки Да,- (рис. 228): 2/ = /(х/, */,).
Объем этого цилиндра, равный произведению площади основа-
основания Да,- на высоту zi = f(xi9 у?), примем за приближенное значение
объема &Vt столбика с основанием Да,-:
В дальнейшем ог Аа^ означают как области, так и их площади.
435

Взяв сумму всех таких объемов, получим приближенное значение
объема V цилиндрического тела:
ГС
За точное значение объема V примем предел суммы
^] f(xi> yj)^°i ПРИ условии, что число малых площадок Да/ неог-
i = 1
раниченно увеличивается, а каждая площадка
стягивается в точку:
п
V = lim 2 f{xi9 у,) Да,.. A)
п -*¦ оо i =i
Итак, задача о вычислении объема V ци-
цилиндрического тела свелась к нахождению
некоторого предела.
Задача о массе плоской пластинки. Пусть
дана тонкая материальная пластинка а, рас-
расположенная в плоскости Оху. Рассмотрим не-
некоторую площадку Да этой пластинки и в
ней точку Р(х\ у). Отношение массы Am пло-
Рис. 228 А Am
щадки Да к ее площади, т. е. --г-, называется
средней поверхностной плотностью площадки Да. Если существует
предел y отношения -г— при условии, что площадка Да стягивает-
стягивается в точку Р(х\ у)у то этот предел называется поверхностной
плотностью в точке Р. Этот предел зависит от положения точки Р
и потому является некоторой функцией ее координат: у=*у(х9 у).
Определим массу т пластинки а, зная, что поверхностная плот-
плотность y B каждой ее точке есть заданная непрерывная функция
координат точки Р(х\ у): y = y(x> У)*- Если бы пластинка была
однородной, т. е. плотность y b каждой ее точке была постоянной
Y = Yo> T0 ее масса была бы равна
m = Yo°- B)
Так как в общем случае плотность меняется от точки к точке, то
формула B) для определения массы пластинки а непригодна. Поэтому
поступим следующим образом.
Разобьем пластинку а на п малых площадок Aolf Да2, ..., Да„.
В каждой такой малой площадке выберем по точке Р;(х{; у()
(рис. 229). Если площадки Да,- достаточно малы, то в пределах
каждой такой площадки плотность y изменяется незначительно и
мало отличается от плотности Y/ = y(#,-, Уд в точке Pt. Принимая
приближенно плотность в каждой малой площадке Да,, постоянной,
* Пластинку считаем столь тонкой, что изменением плотности по ее толщине
пренебрегаем.
436

равной плотности в выбранной точке Pif подсчитаем приближенно
массу А/77/ площадки Ао{:
Дт,. ъ Yi А(У/ = У (xi> Уд Аа/ (* =~ J» 2» • • > ")•
/г
Так как масса т всей пластинки а равна m = 2 Am/> то Для ее
/ = i
вычисления получаем следующее приближенное равенство:
п п
т -^ 2 Am, » 2 V (*/> Уд ДсГ/-
За точное значение искомой
массы т примем предел суммы
п
2 Y^/» У[)^°1 ПРИ условии, что
число малых площадок неограни-
неограниченно увеличивается, а каждая
площадка стягивается в точку:
= Нт
C)
Рис 229
Таким образом, поставленная нами задача о вычислении массы
тонкой пластинки сведена к нахождению предела некоторой суммы.
Рассмотренные здесь задачи приводят нас к очень важному обоб-
обобщению определенного интеграла, а именно — к двойному интегралу,
к изучению которого мы сейчас перейдем.
2. Двойной интеграл. Теорема существования
Задачи в п. 1 привели нас к рассмотрению сумм определенного
вида. Составление этих сумм было связано с некоторой областью а
(на плоскости Оху) и с заданной в ней непрерывной функцией.
К нахождению предела таких сумм приводят многочисленные физи-
физические и технические задачи. Поэтому желательно изучить свойства
пределов таких сумм в общем виде, независимо от той или иной
конкретной физической задачи.
Итак, пусть в области а плоскости Оху задана функция г =
4(P) = f(x> У)*
Выполним следующие действия.
1. Разобьем область а на п малых площадок Дс^, Аа2, . .., Аоп
(см. рис. 229) так, чтобы сумма площадей малых площадок была
п
равна площади всей области а: а = ^? Да^.
2. В каждой малой площадке Да,- выберем произвольную течку
Pi(xh Уд- Умножим значение функции z = f(P) = f(x, у) в точке Pt
на Да,-:
\og = f(xt9 Ui) Да;.
* Всюду, не оговаривая этого в дальнейшем, будем полагать, что область а
имеет конечную площадь и ограничена одной или несколькими линиями.
437

3. Составим сумму всех таких произведений:
Сумма вида D) называется интегральной суммой, составленной для
функции двух переменных z = f(P)~f(x, у).
4. Рассмотрим предел интегральной суммы D) при неограничен-
неограниченном увеличении числа п малых площадок и при стягивании каждой
из них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от
способа разбиения области а на малые площадки Да,, ни от выбора
в каждой из них точек Pi(xit у{), то он называется двойным инте-
интегралом от функции z = / (Р) = / (л:, у) по области а и обозначается так:
$$/(P)da, или JJ f{x, у)da.
о а
Таким образом,
\\f(x> y)da= lim 2 f(xh у,) Да,,
или в другой записи
Здесь подразумевается, что при п—юо, каждая из малых пло-
площадок Даг- стягивается в точку; а называется областью интегриро-
интегрирования, функция f(xt у) называется подынтегральной функцией,
f(x, у) da—подынтегральным выражением, da—элементом площади.
Итак, мы имеем следующее определение.
Определение. Двойным интегралом от функции f(x, у) по
области а называется предел, к которому стремится интегральная
сумма D) при неограниченном увеличении числа малых площадок
Да,- и при условии, что каждая из них стягивается в точку.
Возвращаясь теперь к задачам об объеме и массе, мы видим,
что объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу
от аппликаты z = f(x, y)^Q, взятому по области а:
V = lim 2 / (*/» Уд А*/ = \\ f(x, У) da.
В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки а с плотностью у = -у (а:; у) равна
двойному интегралу от плотности:
т = lim У! у (xlf yt) Aa; = \ \ у (х, у) da.
Замечание. Если подынтегральная функция f(x, y)==l, то
значение двойного интеграла численно равно площади области
интегрирования: ^ J da = a.
433

Действительно, в этом случае любая интегральная сумма имеет
вид
Да,
и численно равна площади области а. Так как предел интеграль-
интегральной суммы тоже равен а, то
С С
\\do= lim
я -*¦ оо i=
4i
h
их,
Существование двойного интеграла, т. е. предела интегральной суммы
для f(x, у)^0, кажется очевидным, так как этот предел дает объем
цилиндрического тела. Однако это рассуждение не является строгим.
В более полных курсах это утверж-
утверждение строго доказывается и носит
название теоремы существования
двойного интеграла.
Теорема существования. Для всякой
функции z = f(x, у)у непрерывной в
ограниченной замкнутой области,
имеющей площадь а, существует двой-
двойной интеграл, т. е. существует предел
интегральных сумм при неограничен-
неограниченном увеличении числа малых площадок .
Ао{, при условии, что каждая из них
стягивается в точку. Этот предел
не зависит ни от способа разбиения
области о на части Aah ни от выбора точек Р,-^-; у-).
В дальнейшем мы будем рассматривать только функции, непре-
непрерывные в области интегрирования.
Из теоремы существования следует, что мы можем, например,
разбить область а на малые прямоугольники Да,- со сторонами Ахг
и Ayi прямыми, параллельными осям координат (рис. 230). При
этом Ав; = Ах(Ау{. Выбирая затем в каждом малом прямоугольнике
по точке Р((х(\ у(), мы можем написать, согласно определению двой-
двойного интеграла
(*, у) da = lim У f(xi9 у^Ах^у^
Рис. 230
Для того чтобы подчеркнуть, что двойной интеграл можно полу-
чить как предел суммы вида 2/(#/, y() AxtAy{, вместо обозначения
\\f(x> y)de употребляют также обозначение \\f(x9 y)dxdy.
Итак,
, y)dxdy= lim 2 f(xi>
1
439

Выражение dxdy называется элементом площади в декартовых коор-
координатах и равно площади прямоугольника со сторонами dx и dy,
параллельными координатным осям.
Заметим, что при составлении интегральной суммы площадки
Да,, прилегающие к границе области а, не имеют формы прямо-
прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибка от замены таких
площадок прямоугольниками с площадями Дл^-Д*/; в пределе све-
сведется к нулю.
3. Свойства двойного интеграла
Легко заметить, что определение двойного интеграла
\\f{xy у)da = lim % f(xif y{)Да,
конструктивно совершенно аналогично определению определенного
интеграла (см. гл. VIII, § 2, п. 1):
\f(x)dx= lim 2
** п -*. г» /= 1
П -*¦ 00 izz
В связи с этим двойной интеграл обладает теми же свойствами,
что и определенный интеграл. Более того, доказательства этих
свойств для двойного интеграла проводятся совершенно аналогично
доказательству соответствующих свойств определенного интеграла.
По этой причине свойства двойного интеграла приведем без вывода*.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного
интеграла, т. е. если k—некоторое число, то
, y)da.
2. Двойной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме
двойных интегралов от слагаемых:
\\(x9 y)de.**
3. Если в области интегрирования о имеет место неравенство
fix, y)>0, то и $$/(*, y)da^O.
о
За. Если в области интегрирования f(x, у) ^ 0 и хотя бы в одной
точке области f {х, у) > 0, то ^ / (х, у) do > 0.
* Рекомендуем читателю доказать эти свойства, освежив предварительно
в памяти доказательства аналогичных свойств для определенного интеграла.
** Как и в случае определенного интеграла, совокупность свойства 1 и 2
называется свойством линейности.
440

'4. Если в области интегрирования функции f(x, у) и ф(х, у)
удовлетворяют неравенству f{xy у)^ц>(х, у)> то
(*, у)da.
5. Теорема о среднем значении. Пусть функция f(x, у) непре-
непрерывна в замкнутой ограниченной области о. Тогда в области а
существует такая точка Р0(х0У у0), что
= f(xOf y0)o. E)
Если функция f(x, y)^0 в области а, то эта теорема имеет сле-
следующий геометрический смысл.
Объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с тем же
основанием а, что и у цилиндрического тела, и с высотой, равной
значению функции в некоторой точке Р0(х0, у0) области а. Значение
функции f (х09 у0), определяемое из равенства E), называется средним
значением функции f{x, у) в области а.
6. Свойство аддитивности. Если область интегрирования разбить
на несколько частей olt а2, ..., аЛ, то
y)do+ ... + JJ /(*, y)da.
о ot a8 a/,.
Геометрически, если рассматривать двойной интеграл как объем
цилиндрического тела, это свойство очевидно. Оно выражает тот
простой факт, что если основание цилиндрического тела разбить
на несколько частей о19 ..., aft, то объем всего цилиндрического
тела равен сумме объемов составляющих его цилиндрических тел
с основаниями ог, ..., Gk.
4. Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
Вычисление двойного интеграла как предела интегральной суммы,
так же как и в случае определенного интеграла, связано обычно с
большими трудностями. Чтобы их избежать, вычисление двойного
интеграла сводят к последовательному вычислению двух определен-
определенных интегралов. Покажем, как это делается. Для простоты при
выводе ограничимся случаем, когда в области интегрирования a
подынтегральная функция f(x, y)^Q. Такое предположение позво-
позволяет нам рассматривать двойной интеграл как объем цилиндри-
цилиндрического тела.
Итак, требуется вычислить двойной интеграл [\f(x, у)do, от
о
непрерывной функции f(x, у).
Предположим сперва, что область интегрирования а ограничена
двумя непрерывными кривыми у = ^х[х) и у = уг(х) и двумя
441

прямыми х = а, х = 6, причем для всех значений х, заключенных
между а и bt имеет место неравенство ФаМ^фЛ-*) (рис. 231).
Проведем через точку (л;; 0) оси Ох прямую, параллельную сси
Оу. Эта прямая встречает кривые, ограничивающие область а, соот-
соответственно в точках Сх и С2. Точку Сх будем называть точкой
входа, а точку С2—точкой выхода. Их ординаты обозначим соответ-
соответственно увх и увых. Ордината точки входа равна #вх = <Pi (*)> а °РДИ*
() И йй
ната точки выхода равна
If к
\
Убых
). Известно, что двойной инте-
интеграл ff f(x, у) do численно pa-
о
вен объему V цилиндрического
тела, ограниченного частью по-
поверхности z = f(x, у), которая
проектируется в площадку о
(см. рис. 227):
f(x, у) da.
Подсчитаем теперь объем V
цилиндрического тела иначе, а
именно, с помощью метода по-
поперечных сечений (см. гл. VIII,
§ 3, п. 3).
Как мы знаем, если сечение тела плоскостью, перпендикулярной
к оси Ох, проходящей через точку с абсциссой х(а^х^Ь), имеет
площадь s(xO то объем V тела выражается формулой
F)
Рис. 231
Применим эту формулу к вычислению объема цилиндрического тела.
Проведя через точку (х\ 0; 0) плоскость, перпендикулярную оси
Ох, мы получим в сечении криволинейную трапецию С1М1М2С2
(рис. 232). Аппликата z=f(x> у) точек линии МХМ^ при постоян-
постоянном х является функцией только от у, причем у изменяется в гра-
границах от увх = фг (х) до увых = ф2 (х). Площадь s (x) трапеции CxMxMfiv
очевидно, равна определенному интегралу:
8{х)= J zdy= J f(x, y)dy.
G)
Итак, формула G) выражает площадь s(x) поперечного сечения
цилиндрического тела.
Подставляя в формулу F) выражение для s(x), получим
У =
f(x, y)dysdx.
(х) )
(8)
442

Но так как, с другой стороны, объем V цилиндрического тела равен
двойному интегралу \\f{x, у)do, то имеем
Ь Гф2 (х)
ИЛИ
Это и есть искомая формула.
Z
О i-фв [X) \
ь=1\ S f(x> y)dy\dx>
а ^ф4 (*) '
Ь ф2 (х)
x J f(x, y)dy.
(I)
Рис. 232
Поясним смысл формулы (I). Для того чтобы вычислить двой-
двойной интеграл $$/Ч#> y)do> нужно сперва вычислить определенный
а
Ф« [х)
интеграл \ f(x, y)dyf считая х постоянным (или, как говорят,
вычислить внутренний интеграл).
Нижней границей интегрирования является ордината точки
входа ?/BX = 9i(#), а верхней границей интегрирования является
ордината точки выхода Увых^ФгМ» соответствующие данному фик-
фиксированному значению х. Результат вычисления этого интеграла
является функцией только от х. Интегрируя теперь эту функцию
в границах от а до Ь, получим значение двойного интеграла.
Сделаем следующие замечания.
Замечание 1. Если область а ограничена двумя кривыми
x — \pl(y), x = tyz(y) и двумя горизонтальными прямыми # = с,
443

y = d(c<d), причем для всех у между cud \|)j(#)<г|J(у) (рис. 233),
то аналогично можно доказать, что имеет место равенство
ИЛИ
$ f(x, y)dx\dy,
» A/)
(II)
Здесь при внутреннем интегрировании у следует считать постоян-
постоянным. Результат этого интегрирования будет функцией от у> кото-
которую затем следует проинтегрировать в границах от с до d.
Рис. 233
Рис. 234
Интегралы, стоящие в правых частях формул (I) и (II), назы-
называют повторными или двукратными интегралами.
Замечание 2. Следует обратить внимание на то, что в фор-
формулах (I) и (II) границы внешнего интеграла всегда постоянны.
Замечание 3. Формулы (I) и (II) выведены в предположении,
что область а имеет специальный вид. Если контур области а бо-
более сложный (рис. 234), то поступают так: область о разбивают на
конечное число частей, удовлетворяющих условиям, при которых
была выведена формула (I) или (II). Затем вычисляют интеграл по
формуле (I) или (II) для каждой из таких областей. Интеграл же
по всей области, в силу свойства аддитивности, равен сумме интег-
интегралов по каждой из этих частей. Для случая, приведенного на
рис. 234, имеем:
JJ ^ H(x, у)do.
Замечание 4. Если областью интегрирования а служит пря-
прямоугольник, ограниченный прямыми х=а, х = Ъ (а<Ъ) и #=с,
y^d (c<d) (рис. 235), то формулы (I) и (II) для этого случая
444

примут вид:
ас
d Ь
г, y)dy,
y y)dx.
Рассмотрим примеры на вычисление двойных интегралов.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл ^ j (л:2 -+• У2) do, если
а
областью интегрирования а является треугольник, ограниченный
прямыми у=0, #=--2, 0 = -тг (рис. 236).
У,
и
С
0
d
1
i
a L
Рис. 235
Рис. 236
Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользо-
пользоваться формулой (I), то здесь yBX = (fx (х) =0, #Вых = Ф2 (*) = у (так
как точки входа лежат на оси Ох, а точки выхода —на прямой
)
)
Поэтому, применяя формулу (I), имеем
$$¦
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем х постоянным:
Y
1
__
4
Следовательно,
Я
13
445

Применяя для вычисления двойного интеграла J j (х2 + У2) do
а
формулу (II), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что
в этом случае xBX--ity1(y)=2y, хвых = if>2 (у) = 2 (так как точка входа
лежит на прямой # = -п- или х = 2у, а точка выхода на пря-
прямой я =2), с=^0, d = l (см. рис. 236), получим
Так как
J J
1 2
J
О 2у
14
ТО
Если принять во внимание геометрический смысл двойного
интеграла, то [^ (x2 + y2)do дает объем V цилиндрического тела,
ограниченного сверху частью параболоида вращения z = x2-\~y2,
которая проектируется на плоскость Оху
в треугольник о.
Пример 2.; Вычислить двойной интег-
интеграл 5 5 ХУ2 d°> если область интегрирова-
о
ния а ограничена линиями л; = 0, у = х,
у = 2—х2 (рис. 237).
Решение. Применим для вычисления
двойного интеграла формулу (I). Здесь
Ь = 1. Поэтому
1 2-х2
[ [ ху2 da— [ dx \ xy2 dy.
Рис. 237 о о а:
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем х постоян-
постоянным:
2-х2
J
х*
•
446

Следовательно,
—л:2L
15
24 + 24 15 120'
Если при вычислении двойного интеграла \[xy2da пользо-
G
ваться формулой (II), то придется область интегрирования а раз-
разбить на две части аг и <?а (см. рис. 237), так как линия ОАВ, на
которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается
различными уравнениями. По свойству аддитивности
\ \ ху2 da= \\ xy2 da+ [ [ ху2 da.
Применяем формулу (II) к каждому из интегралов, стоящих в пра-
правой части последнего равенства:
1 У
Иху* da*=\dy\ xy2 dx,
at 0 0
так как хвх= ^х(у) =0, #вых=г|>(#) = #, с=0, d = L
Вычисляем внутренний интеграл, помня, что у—постоянно:
Следовательно,
Аналогично находим
Х2у2
у*
2dx, так как #вх =
1 о
У2-у
0
—у) у*
Следовательно,
2 *
! ~24 '
Таким образом, окончательно,
447

Этот пример показывает, что для нахождения двойного интег-
интеграла [\xy2do в данном конкретном случае выгоднее применить
формулу (I). Это следует иметь в виду при вычислении двойных
интегралов и пользоваться той из формул (I) или (II), применение
которой ведет к менее громоздким вычислениям.
5. Вычисление Двойного интеграла в полярных координатах
Одним из методов упрощения вычисления определенных интег-
интегралов был метод замены переменной. Точно так же введение новых
переменных в двойных интегралах очень часто приводит к более
экономным вычислениям. Мы огра-
ограничимся здесь наиболее важным
для практических приложений
частным случаем замены перемен-
переменных, а именно, заменой декарто-
декартовых координат хну полярными
координатами г и ф.
Предположим, что нужно вычи-
вычислить двойной интеграл j ^ f(x9 y)do
G
от непрерывной функции z=f(x, у)
по области а. Как мы знаем,
Рис. 238 Рис. 239
двойной интеграл является пределом интегральной суммы
f (х, У) do = lim 2 / (xfi yt) Аа/Э
l
(9)
2
причем этот предел не зависит ни от способа разбиения области о
на части, ни от выбора в каждой малой площадке Да; точки Pjt
Отнесем область а к полярной системе координат, полюс которой
совпадает с началом координат, а полярной осью служит ось Ох.
44а

Осуществим специальное разбиение области интегрирования а на
малые площадки Дс, с помощью лучей, выходящих из полюса и
окружностей с общим центром в полюсе (рис. 238). Рассмотрим
площадку Да,-, ограниченную двумя лучами, выходящими из полюса
и составляющими между собой угол Дф,-, и двумя окружностями
радиусов т{ и riArbrl (рис. 239, а). Площадь Да,- этого криволиней-
криволинейного четырехугольника найдем как разность площадей двух круго-
круговых секторов:
До^пл. сект. 0M1M2 — wu сект. ^
-1 г?ДФ/ = оДг.-Дф, + \ (Дг,.I ДФ/ = (г, + 4?) Дг,-ДФ/.
Обозначим через Г/ средний радиус между т{ и г1- + А/'/» т. е.
г'^г1-\—?• • Тогда Д0/ = г^Дг/Дф/. В каждой малой площадке Да,-
выберем по точке Р/(#,-, */,)• При этом точку Pt возьмем лежащей на
окружности радиуса г\. Обозначим через ф,- полярный угол точки Р,.
Принимая во внимание, что декартовы координаты xit у{ точки Р(
и ее полярные координаты г\ и ф,- связаны известными соотноше-
соотношениями xi-^r'icos(fi и tfi = r\sinф^ получим на основании соотноше-
соотношения (9)
$$(*, У) da = lim
а
/г
= lim 2 / (П cos Ф/, г; sin
/г
Следует заметить, что при составлении интегральной суммы пло-
площадки Да,, прилегающие к границе области а, могут оказаться
срезанными и иметь площадь, меньшую, чем r't Дг^Дф,. Однако можно
доказать, что ошибка от такой замены в пределе сведется к нулю.
В правой части последнего равенства стоит предел интегральной
суммы для функции / (г cos ф, г sin ф) г по переменным г и ф. Поэтому
lim У[ / (r\ cos ф,-, r/sin Ф/) г \ Аг( Дф; = j j f(r cos ф; г sin ф) rdrdф.
n -»¦ оо 7= 1 о
Итак, мы приходим к следующей формуле:
)) f(x, y)da=^ f(r cos ф, г sin ф, rdrdy. A0)
а
Выражение do=^rdrd<( называется элементом площади в полярных
координатах.
С точностью до бесконечно малых более высокого порядка ма-
малости, чем rdrdtp, оно дает площадь &e = rdrd(p +y (drJd(p кри-
криволинейного четырехугольника, изображенного на рис. 239, б.
Формула A0) называется формулой преобразования двойного
интеграла к полярным координатам.
15 № 2242 449

Итак, для того чтобы преобразовать двойной интеграл к поляр-
полярным координатам, нужно переменные х и у в подынтегральной функ-
функции f (x, у) заменить соответственно через г cos cp, r sin <p, а элемент
площади da заменить его выражением в полярных координатах:
ddd
Для вычисления двойного интеграла j j / (г cos ф, г sin ф) г dr Лр
а
применяют тоже правило сведения его к повторному интегралу, но
только здесь роль пере-
переменных х и у играют г и
ф. Покажем, как это сде-
сделать. Предположим, что
область а ограничена двумя
лучами, выходящими из
полюса под углами а и
Р (а < Р), и двумя кривы-
кривыми, уравнения которых в
полярных координатах
таковы: г—гх (ф) и г— г2(ф).
Проведем из полюса луч
Рис. 240 под углом ф (а < ф < Р).
Этот луч встречает кри-
кривые г = г1(ф) и г = г2(ф) соответственно в точках Сх и С2 (рис. 240).
Точку Ct назовем точкой входа, а точку С2—точкой выхода. Для
этой области интегрирования формула вычисления двойного интег-
интеграла имеет вид
, г sm у)г drd<f = ^d<p J /(гсоэф, г sin q>)rdr. A1)
/(гсоэф, г sin ф) г dr берется (при по-
Гх (Ф)
стоянном ф) в границах от полярного радиуса точки входа (гвх — гх (ф))
до полярного радиуса точки выхода (гвых — г8 (ср)). Результат этого
интегрирования будет, вообще говоря, некоторой функцией от пе-
переменной ф, которую затем нужно проинтегрировать в границах
от а до р (крайние значения аргумента ф).
Если область интегрирования а имеет вид, изображенный на
рис. 241, а (полюс принадлежит границе области), то для нее по-
полярный радиус входа равен нулю: /*вх=0 и, следовательно,
р г(ф)
^/(гсоэф, гsmy)rdrdy--= Jdq> J f(rcosФ»rэк1ф)rdr. A2)
a a 0
Если, наконец, область a содержит внутри себя начало коорди-
координат и ограничена кривой г=^г(ц>) (рис. 241,6), то очевидно, имеем
2л г (ф)
^Ф \ /(гсоэф, г sin ф) г dr. A3)
a 0 0
450

В частности, если замкнутая кривая —окружность радиуса R с цент-
центром в начале координат, то
2п R
p, г sin cp) r dr. A4)
0 0
Пример 1« Вычислить двойной интеграл Jj V^—x2 —у* da где
а
а есть круг радиуса 2 с центром в начале координат.
Рис. 241
Решение. Применяя формулу A0), получим
SS]/—л:2—у2 da = J J /4 — (г cos ФJ — (г sin <p)a r dr dtp:
а
Применяя к этому интегралу формулу A4), найдем
2л 2
/=7* г dr.
а 0 0
Вычисление внутреннего интеграла дает:
поэтому
Итак,
2я
15*
451

Заметим, что вычисление этого же интеграла в декартовых коор-
координатах сопряжено с более громоздкими вычислениями.
Пример 2. Найти объем тела, вырезанного из шара радиуса R
прямым круговым цилиндром диаметра R, образующая которого
проходит через центр шара.
Решение. Поместим начало координат в центр шара, напра-
направив ось Oz по образующей цилиндра, а ось Ох—вдоль диаметра
основания цилиндра. В силу сим-
симметрии тела относительно коорди-
координатных плоскостей Оху и Охг до-
достаточно найти объем части тела,
Рис. 242
Рис. 243
х
находящейся в первом октанте, и полученный результат учетверить
(рис. 242). Следовательно,
где г — аппликата точек сферы, а а—полукруг в плоскости Оху
ту //? \
радиуса у с центром в точке ( у; О J (рис. 243).
Так как уравнение сферы радиуса R с центром в начале коор-
координат имеет вид л;2+#2 + 22=/?2, то в первом октанте z = YR2—х%—у2
и, следовательно,
V =,
2 — x'— у2 da.
Переходя к полярным координатам, согласно формуле A0) получим
Замечая, что гвх=0, rBblx=/?cos<p, a = 0, Р = у (см. рис. 243), по
формуле A2) получим
2 R COS ф
0 0
452

Так как
R cos<p
О
R cos ф
я
т
ТО
О
Итак, искомый объем
6. Приложения двойного интеграла
В гл. VIИ, § 3, п. 8 были рассмотрены общие принципы, лежа-
лежащие в основе решения задач методом интегральных сумм. Эти прин-
принципы остаются в силе и при решении задач на приложение двой-
двойного интеграла. В самом деле, при решении задач, связанных
с нахождением объема цилиндрического тела и массы плоской пла-
пластины,' применялся один и то1т же прием. Нахождение интересующей
нас величины (которую мы обозначим через Q) приводило к нахож-
нахождению предела интегральной суммы. В разобранных задачах искомая
величина Q была связана с некоторой областью 0 плоскости Оху
и функцией f(xy */), определенной в точках этой области. Кроме
того, искомая величина обладала двумя свойствами: 1) свойством
аддитивности и 2) свойством линейности в малом.
Свойство аддитивности. Разобьем область а на малые площадки
Дах, Да2, ..., Дая. Каждой из этих малых площадок соответствует
свое значение величины Q: Щ1У AQ2, ... , AQn.
Величину Q мы назовем аддитивной, если при любом разбиении
области а на части Дах, Да2,..., Аап имеет место равенство:
Q = AQ1 + AQi+... + AQ»=JjAQ,. A6)
Так, например, масса т всей области а равнялась сумме масс Am,,
малых площадок Дет,..
Свойство линейности в малом. Пусть Р — произвольно выбран-
выбранная точка области а и площадка Да—малая часть а, содержащая
точку Р. Мы предполагаем, что величина Д<3, соответствующая пло-
площадке Да, приблизительно пропорциональна ее площади;
A6)
453

AQ
Отношение — мало отличается от числа k. Это следует пони-
.. до ,
мать в том смысле, что существует Iim ~ =k при условии, что
площадка Да произвольным образом стягивается в точку Р. Каж-
Каждой точке Р соответствует свое значение коэффициента ft, т. е. k
является некоторой функцией точки Р: ft = /(P). Эта функция на-
называется плотностью величины Q в точке Р,
Формулу A6) можно записать в виде
A7)
Покажем, что если искомая величина Q обладает свойствами
1) и 2), то ее нахождение сводится к вычислению двойного интеграла.
Действительно:
1 ^разбивая область а на п малых площадок Да,, мы в силу
аддитивности величины Q имеем
Q =2 Щ> О8)
2) в пределах каждой малой площадки Да,, величина AQ; в силу
свойства B) дриблизителыю пропорциональна Aaif т. е.
Д(?,.» / (Р,) Да,; A9)
3) таким образом, для Q имеем следующее приближенное выра-
выражение:
Q=2 AQ,«2 №)A*/. B0)
Выражение, стоящее в правой части равенства B0), является ин-
интегральной суммой для функции /(Р).
Точность приближенного равенства B0) повышается с уменьше-
уменьшением размеров площадки Да,.. Переходя к пределу при неограничен-
неограниченном увеличении числа п малых площадок и при стягивании каж-
каждой из них в точку, получим точное значение искомой величины Q:
Выражение f(P)da называют элементом искомой величины и обоз-
обозначают через dQ: dQ=f(P)de.
Таким образом, если величина Q обладает свойствами 1) и 2),
то ее можно найти как двойной интеграл от ее элемента: Q =
о
Рассмотрим еще ряд задач, приводящих к двойному интегралу.
Статические моменты; центр тяжести плоской фигуры. Статиче-
Статическим моментом Sx относительно оси О* материальной точки Р(х\у)у
лежащей в плоскости Оху и имеющей массу /л, называют произве-
произведение массы точки на ее ординату, т. е. Sx=*my. Аналогично опре-
определяют статический момент S^ относительно оси Оу: Sy~mx.
454

Если дана система, состоящая из нескольких материальных точек,
то статический момент системы относительно оси координат опреде-
определяют как сумму соответствующих статических моментов точек этой
системы.
Пусть теперь в плоскости Оху задана материальная площадка а,
поверхностная плотность у которой в любой точке есть заданная
функция координат этой точки: у —у(х, у).
Для нахождения статических моментов Sx и Sy этой площадки
поступим следующим образом.
Разобьем площадку а на п малых площадок Да,. В каждой
малой площадке Да,-выберем произвольную точку P/ta;*/,). Считая
плотность в каждой малой площадке постоянной, равной плотности
в выбранной точке Plt получим приближенное выражений для
массы Ат{ этой площадки:
Am,« y ta> Уд A<V B1)
Заменим каждую малую площадку Ао( материальной точкой P/ta; yd
с массой Дт,«. Статические моменты этой точки относительно осей
дадут приближенные значения статических моментов AS? и AS^ пло-
площадки Дет,-:
« yty ta, уд Д(Т/,
ж xty ta, yf) Acr/e
Так как статический момент всей площадки равен сумме статиче-
статических моментов малых площадок Aai (по свойству аддитивности),
то для Sx и Sy получим следующие приближенные равенства:
За точное значение каждого из статических моментов принимаем
предел соответствующей интегральной суммы, когда все малые пло-
площадки стягиваются в точки:
Sx = lim 23 У it ta» Уд Aai = ЦУУ &> У) da>
B2)
S - lim 2] */V ta» Л) A^ S W
Замечание. Эту же задачу можно решить и так: в площадке а
выделим «бесконечно малую» площадку do, столь малую, что ее
положение характеризуется некоторой точкой Р (х\ у), принадлежа-
принадлежащей площадке da. Подсчитаем элемент статического момента элемен-
элементарной площадки da относительно оси Ох> считая, что вся масса dm
площадки do сосредоточена в точке Р{х\у)\ dS^—ydm, Так как
453

dm=ay(x;y)do9 то dSx^yy(x; у) da. Взяв двойной интеграл от dSx
по площадке а, найдем
Аналогично
dSy =ху (х, у) da и Sy = 5 J ху (х, у) da.
о
Как известно из механики, координаты х, у центра тяжести
плоской материальной системы определяются равенствами:
х= —, у=—, B3)
где ш—масса системы, a S^ и Sj,—статические моменты системы.
В частности, так как масса плоской площадки а равна ])y(xty)do
(см. § 1, п. 2), то, применяя формулы B,2) и B3), получим следую-
следующие выражения для координат центра тяжести плоской пластинки:
уу (х, у) da .
а
y (х, у) do
В частности, если пластинка однородная* у—То» то
da
JJ1V 'v J J J J
a a a
Аналогично
Так как 5^^ = ^ (см. § 1, п. 2, замечание), то
а
B4)
Пример 1. Найти координаты центра тяжести однородной пло-
площадки,, ограниченной параболой у=^4^х2 и осью Ох (рис. 244).
Решение. Так как фигура симметрична относительно оси Оу,
то без вычислений ясно, что Jc.=?O... Ординату ^ центра, тяжести
456

подсчитаем по формуле B4). Для этого найдем статический
4-ЛГ2 2
момент Sx:
—2
2
и определим площадь а:
a -20
Следовательно, по формуле B4)
8
Итак, координаты центра тяжести та-
о
ковы: х*»0,у ж^.
Момент инерции. Моментом инерции
материальной точки массы т относитель-
относительно оси называют произведение массы
этой точки на квадрат ее расстояния
до оси.
Пусть теперь дана плоская мате-
материальная площадка ,а, плотность у которой есть заданная функ-
функция координат: у =>у(х>> у). Найдем моменты инерции этой площадки
относительно осей Ох и Оу. Выделив малую площадку dor, , найдем
элементы ее моментов инерции относительно координатных осей*:
dlx = у2 dm =у2у (х, у) do, dly =x2dm=r- x2y (x, у) da.
Взяв двойной интеграл от dlx и djy по площадке а, найдем иско-
искомые моменты инерции:
Рис. 244
= И
О G
Пример 2. Найти момент инерции относительно оси Оу однород-
однородной площадки примера 1, считая, что плотность у = 1.
Решение. По формуле B5) имеем
4-*а
'Очевидно, момент инерции есть величина аддитивная.
457

Площадь поверхности, В гл. VIII решалась задача о вычисле-
вычислении площади поверхности вращения. Теперь решим более общую
задачу: вычислить площадь части поверхности, заданной уравнением
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть а—площадь проекции плоской фигуры с площадью Я
на некоторую плоскость. Тогда
а = Q cos ф, B6)
где ф — острый угол между плоскостью проекции и плоскостью фи-
фигуры (рис. 245).
Как известно, формула B6) справедлива для треугольников.
Так как любой плоский многоугольник можно разбить на несколько
треугольников, то формула B6),
очевидно, остается справедливой
и для плоских многоугольников.
Пусть теперь дана плоская
фигура площади Q, ограниченная
некоторой кривой. Так как ее
площадь можно рассматривать
как предел площадей вписанных в
нее многоугольников, то формула
B6), справедливая для многоуголь-
многоугольников, будет справедлива и в пре-
пределе.
Перейдем теперь к вычислению площади S поверхности, задан-
заданной уравнением 2=-=ф(х, у). При этом будем считать, что как сама
функция ф(х, у), так и ее частные производные первого порядка
непрерывны в области а плоскости Оху> в
которую проектируется поверхность S.
Разобьем область а на п малых площа-
площадок Да,-. Через AS?- обозначим ту часть
поверхности S, которая проектируется в пло-
п
щадку Да,-. Ясно, что S = 2 kSt *.
i-1
Для того чтобы вычислить площадь ASi9
поступим следующим образом: в каждой ма-
малой площадке Да,- выберем по точке Р( (xif yt).
Точке Pt (xt\ yt) соответствует на поверх-
поверхности S точка Mh аппликата которой
zi=^f(Pi) = f(xif yt). Проведем в точке М(
касательную плоскость и рассмотрим ее ку-
кусок AQ/f который проектируется в площадку
Да/ (рис. 246). Площадь AQZ- этой части касательной плоскости
примем за приближенное значение площади куска поверхности AS,-:
A = 1,2, ...,/г).
Рис. 245
Рис. 246
* Через S и AS,- обозначены как поверхности, так? и их площади.
458

Таким образом, вся поверхность S «покроется» плоскими пластин-
пластинками ДО,, сумма площадей которых дает приближенное значение
площади поверхности:
п
s « 2 дй/-
За площадь поверхности S принимают, по определению, предел,
п
к которому стремится сумма 2 Afy» когда число малых площа-
док Да,, стремится к бесконечности и при этом каждая площадка Да,-
стягивается в точку:
S= lim 2 ДО/. B7)
Площадь ДО, найти легко. Так как. Да, является проекцией
площадки ДО,, то по формуле B6) имеем
Да, = ДО, cos Y/, или ДО/ЯИ^-,
где Y/—острый угол между площадками ДО/ и Да,-. Угол Y/ между
этими площадками равен углу между перпендикулярами к ним, т. е.
углу между нормалью к поверхности в точке Mt и осью Ог. Принимая
во внимание выражение для cosy/ (см. гл. IX, § 6, п. 4), получим
Следовательно,
ду, = —— = К 1 + ф* (х,, у,) + <$y (xif y{) • Да,.
Подставив это выражение в равенство B7), получим
lim 2 ДQ/ = lir" 2^1+ Фх* (^/t Уд + Ь (xif Уд
Сумма, стоящая в правой части последнего равенства, есть интег-
интегральная сумма для функции У 1 -\-q>'x*(x, y)-\-<p'y2 (xt у). Так как
в силу непрерывности частных производных эта функция непрерывна,
то ее предел существует и равен двойному интегралу:
п
lim 2^1+ ЧС! (*/, Уд+Ъ (*/. Уд Ао,- =
П -*- оо f = 1
Итак, площадь S части поверхности z =ф(л:, у), проектирующейся
в площадку а плоскости Оху, вычисляется по формуле
;2(*,#) da. B8)

Под знаком двойного интеграла стоит элемент площади поверхности
do
dS = y^l + ф'* (х, у) + ф'^ (х, у) da =
cosy
B9)
Пример 3. Вычислить площадь той части параболоида вращения
~x2 + y2, которая вырезается цилиндром л:2 + г/2 = 4 (рис. 247).
Решение. Применяем формулу B8). Здесь ф (х9 у) = х2 + у2\
* = 2л:, Ф^ = 2у, тогда у 1 + ф'* + ф'у = j/"l + 4 (л;2 + г/2). Следова-
Следовательно,
где
a—круг радиуса 2 с центром в начале
координат (см. рис. 247). Вычисление
интеграла проводим в полярных коор-
динатах:
и
2л 2
О О
, Внутренний интеграл
3
Следовательно,
2я
§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
/. Задана о массе
Пусть в пространстве Охуг дано некоторое материальное тело 7.
Рассмотрим некоторую его часть—малое тело АУ, содержащее точку
Р (х; у; г). Отношение массы Дт этого малого тела к его объему AV,
т. е. д^, называется средней плотностью тела АУ. Если существует
Am A17
предел у отношения -^ при условии, что малое тело AV стягивается
в точку Р (х; у\ г), то этот предел называется плотностью в точке Р.
Он зависит от положения точки Р (х\ у\ г) и поэтому является неко-
некоторой функцией ее координат: у = у{х,у,г). Вычислим массу /h
тела объема V, зная, что плотность в каждой точке тела есть за-
заданная непрерывная функция координат точки Р (х\ у\ z): y=*y(x, у% г).
460

Если бы тело V было однородным, т. е. плотность у в каждой
его точ!Ге была бы одной и той же, равной у01 то его масса m
была бы равна
m = y0Vf C0)
где К—объем тела.
Так как в общем случае плотность у меняется от точки к точке,
то формула C0) для определения массы тела непригодна. Поэтому
мы поступим следующим образом.
Разобьем тело V на п малых тел AV\, AV2, ..., ДУ„ так, что
п
К=2 AV,.. В каждом малом теле AV{ выберем по точке Р/С*,-; у{\ г{).
Если тела JSVt взять достаточно малыми, то в пределах каждого
такого тела плотность изменяется незначительно и мало отличается
от плотности yi--=y(Pi) = y(x[1 (/,-, Z;) в точке Р,. Считая плотность
в каждой точке малого тела AV/ постоянной и равной плотности
в точке Р/, подсчитаем приближенно его массу Am,-.
Am,-« т,.ДV, = y (xi9 yi9 zt) AVt (i = 1, 2, ..., n).
Так как масса m всего тела равна 2 Am/» T0 получаем для ее вы-
вычисления следующее приближенное равенство:
n
m =
За точное значение массы т принимаем предел этой интеграль-
интегральной суммы, когда каждое из малых тел ДК,- стягивается в точку:
п
т =* lira 2 У (*,•» Ун *д Д^/«
п -> ее i=[
Решение задачи о массе тела привело нас к рассмотрению пре-
предела сумм определенного вида. Так как к нахождению предела
сумм такого вида сводятся многие задачи геометрии, физики и т. д.,
то естественно изучить свойства пределов таких сумм в общем виде,
независимо от той или иной задачи, что приведет нас к понятию
тройного интеграла.
2. Тройной интеграл и его свойства
Пусть в пространстве задана область, объем которой равен V.
Пусть в каждой точке Р этой области определена функция и =/(Р) =
= /(*, у, г). Выполним теперь следующие действия.
1. Разобьем тело на п малых тел HVlf AV2, ..., Д1/я, причем
2 &Vt=v*.
* В дальнейшем V и ДУ/ обозначают как тела, так и их объемы.
46!

2. В каждом из малых тел AF,- выберем произвольную^ точку
Pi(xt\ у{\ zt). Умножим значение функции и = /(Р) в точке* Pt на
объем AV{ малого тела, которому принадлежит точка Р$
f(Pi)Wi~f(xi9yi9zi)tiVi.
3. Составим сумму всех таких произведений:
/(P,)AV,= 2/<*/.»/. */)AV,
1 /a= 1
Эта сумма называется интегральной 'суммой.
4. Рассмотрим предел интегральной суммы при неограниченном
увеличении числа п малых тел AV?. и при стягивании каждого из
них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от спо-
способа разбиения области V на малые тела AV,, ни от выбора в каж-
каждом из них точки Р,(Х;\ у(\ z{)f то его называют тройным интегралом
от функции ы =¦ / (Р)» / (х, у, г) по области V и обозначают так:
$$ или $5$-/<*,У. z)dv.
V
Таким образом,
S$$(x, у, z)dV = lim 2 /<*;. У,; *,) AV,.
Возвращаясь к п. 1, заключаем, что масса т тела V равна
тройному интегралу от переменной плотности y^vC*» У* z)> т« в.
Мы видим, что тройной интеграл является непосредственным
обобщением двойного интеграла на случай, когда областью интег-
интегрирования является тело трех измерений. Так же, как и в случае
двойного интеграла, имеет место теорема существования тройного
интеграла, которую приводим без доказательства.
Теорема существования. Для всякой функции u~f(x, у, z), не-
непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей объем V,
существует тройной интеграл, т. е. существует предел интеграль-
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа малых тел АV,- при
условии, что каждое из них стягивается в точку. Этот предел не
зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от вы-
выбора точек Р( (Х/'э у{, z().
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной
интеграл.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного
интеграла, т. е.
462

2. Тройной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме
тройных интегралов от слагаемых, т. е.
9 У, z)]dV ^^lf(xt yt z)dV+^<f (x9 yt z)dV.
3. Если в области интегрирования f (xt у, z) ^ 0, то
V
$
V
4. Если в области интегрирования f(x9 у, г)>ф(л;, у, г), то
V V
5. Теорема о среднем значении. Если функция f (х, у, z) непре-
непрерывна в замкнутой ограниченной области V, то в этой области
существует такая точка P0(xQ, yOf z0), что
V
где V—объем области
6. Свойство аддитивности. Если область интегрирования V раз-
разбита на k частей Vlt V2, ..., Vkf то
№ fix, У, z)dV = Hlf(x,y9 *)ЛЧ-$$$/(*, У. z)dV+...
V Vt Vt
vk
В заключение этого пункта отметим, что если в области V
подынтегральная функция f(x, у, г)г1, то тройной интеграл чис-
численно равен объему области, т. е.
Ш
v
Это следует из того, что в данном случае f(x, yy z) = 1, т. е. любая
п
интегральная сумма имеет вид 2 1 • Д^ = V и численно равна объ-
объему тела.
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых
координатах
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному
вычислению трех определенных интегралов. Предположим, что
областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу
поверхностью z=g(x, у), а сверху—поверхностью z = h(x, у). Пусть
это тело проектируется на плоскость Оху в площадку а, ограни-
ограниченную кривыми # = <Pi(#), У = фа {х) [q>! (x) < <ра (х)] и прямыми
463

x^a, x = b(a<b) (рис. 248). Проведем через точку Р {х\ у\ 0) пло-
площадки а прямую, параллельную оси Ог. Эта прямая встретит ниж-
нижнюю поверхность z=g(x, у) в некоторой точке М и верхнюю по-
поверхность* z = h(x, у) в точке N.. Точку М назовем точкой входа,
а точку N—точкой выхода, а их аппликаты обозначим соответ-
соответственно гвх и zBbTX.
Тогда, если /(*,*/, z)—непрерывная функция в области V, то,
как можно доказать, значение тройного интеграла ^ И f(x, у, z)dV
вычисляется по формуле
', z) dz | do.
C1)
Смысл формулы C1) заключается в следующем.
Рис. 248
Для того чтобы вычислить тройной интеграл J \ J f(x,y> z) dV,
h {x, у)
нужно сперва вычислить определенный интеграл J f(x, у, z)dz,
g (х. У)
считая х и у постоянными. Нижней границей интеграла является
аппликата точки М входа: zBX^=g(xf у), а верхней границей инте-
интегрирования— аппликата гВЬ!Х = h (x, у) точки выхода N. Результат
вычисления этого интеграла есть функция двух переменных хну.
Интегрируя затем эту функцию по площадке а, являющейся
464

проекцией области!/ на плоскость Оху, получим значение тройного
интеграла. Вычисляя двойной интеграл по площадке а от функции
h (х, у)
\ /(^> У у z) dz в декартовых координатах (см. § 1, п. 4, формулу (I)),
g (х, у)
получим
(h (х, у) } Ъ ф2 (х) ( h (х, у) }
f(x, у, z)dz\do^\dx \ \ [ f(x,y,z)dz\dy.
о \g(x,y)
Таким образом,
{х, у)
Ъ Ф2 (х) / h (х, у) }
\\\f{x1yiz)dV=\dx S { 5 f(x,y,z)dz\dy. C2)
V а ф1 (л) I g {х, у) )
Опуская фигурные скобки, формулы C1) и C2) обычно пишут в виде
h (л:, у)
o J f(x,y,z)dz,
g (х, у)
или * ф,с*> м,,,)
JJJ/(^^Z)^=J^ J ^ J f(x,y,*)dz.
V а ф1 (л;) ^ (Jf. ^)
Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее разбивают
на конечное число областей V19 V2, ..., Vk указанного вида и к
каждой из них применяют форму-
формулу C3). Интеграл же по всей обла-
области в силу свойства аддитивности
равен сумме интегралов по каждой
из областей Vt.
Пример. Вычислить тройной ин-
интеграл I)) zdV> если областью ин-
v
тегрирования V служит пирамида,
ограниченная плоскостями #=0,
у = 0, 2 = 0, х + у + г=1 (рис. 249).
Решение. Площадка а, в ко-
которую проектируется пирамида, есть
треугольник плоскости Охуу огра-
ограниченный прямыми х = 0, у = 0,
х + у=1. Так как zBX = 0, а 2ВЫХ=1—х—у, то на основании
формулы C3) имеем
\-x-y 1 1-х \-x-y
° J *<fa=S* S dy J zdz-
0
Рис. 249
S dy J
0 0
Вычисляя последовательно интегралы, получим
\-x-y
~ -х-у A-х-уу
465

—лгK
A-*KЛг-
1-х)*
24
-^ A—лг)
_J_
о~~24#
Итак,
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических
координатах
Наряду с декартовыми координатами часто применяются цилин-
цилиндрические координаты. Рассмотрим точку М в системе координат
Oxyz. Пусть N—проекция точки М на плоскость Оху. Положение
точки М в пространстве можно определить, задав полярные коор-
координаты г и ф точки N в плоскости Оху и аппликату г точки М
(рис. 250).
Z ^
Рис. 250
Рис. 251
Эти три числа г, (риг называются цилиндрическими координа-
координатами точки М. Цилиндрические координаты точки связаны с де-
декартовыми координатами х, у, г следующими соотношениями:
z = z. C4)
В декартовой системе координат точка Мо с координатами
(*о"» #</> zo) является точкой пересечения плоскостей л; = л;0, у=^у0,
z^zq. В цилиндрической системе координат точка УИ0(г0; ф0; г0)
является пересечением следующих трех поверхностей: г = г0, ф = ф0,
z^zQ (рис. 251).
466

Первому уравнению r = rQ, очевидно, соответствует в пространстве
прямой круговой цилиндр радиуса г0, образующие которого парал-
параллельны оси Oz (ось цилиндра). Заметим, что при го = О цилиндр
вырождается в ось Oz. Уравнению ф = ф0 соответствует полупло-
полуплоскость, проходящая через ось Oz и составляющая с плоскостью Oxz
угол ф0. Уравнению z = z0 соответствует плоскость, параллельная
плоскости Оху и пересекающая ось Oz в точке с аппликатой г0.
Таким образом, мы имеем три семейства поверхностей г = const,
Ф = const, г = const, называемых координатными поверхностями.
Уравнению z=*f(x,y) соответствует в пространстве некоторая
поверхность. Если вместо х, у и z подставить их выражения через
цилиндрические координаты по формулам C4), то мы получим урав-
уравнение поверхности в цилиндрических координатах г=/ (г cos ф, г sin ф).
Вычисление тройного интеграла часто сильно упрощается при
переходе от декартовых координат к ци-
цилиндрическим. Пусть требуется вычис-
лить тройной интеграл
/(*» ?/»
V
по области V пространства Oxyz.
Как мы знаем, имеет место следующая
формула C3):
h(x,y)
J f(xfy,z)dz,
где о—область плоскости Оху, являю-
являющаяся проекцией тела У, a g (х, у)як (х, у) —
аппликаты входа и выхода. Допустим, что х/
область а такова, что двойной интеграл Рис 252
по этой области легче вычислить в по-
полярных координатах. Тогда формулу C3) можно записать в та-
таком виде:
h (rcos ф, /^пф)
Иг»
da ^ / (г cos ф, г sin ф, z) dz.
V о g(rcosq>, гз*пф)
Применяя для вычисления двойного интеграла, стоящего в правой
части последнего равенства, правила вычисления двойного интеграла
в полярных координатах, получим
3 г*(Ф) h (r cos ф, г sin ф)
$$$/(*, У, z)dV^ jcfcp \ rdr J / (г cos ф, г sin ф, z) dz, C3')
V а /Ч(Ф) g(rcosq>, гз!пф)
где гх (ф) = гвх, г2 (ф) = гвых.
Это и есть формула для вычисления тройного интеграла в ци-
цилиндрических координатах.
Пример. Определить массу т прямого кругового цилиндра V
высоты Н и радиуса Ry если плотность у в любой его точке равна
расстоянию г от этой точки до оси цилиндра: у —г.
Решение. Выберем систему координат, как указано на рис. 252.
467

Масса т цилиндра V равна тройному интегралу от плотности у:
где областью интегрирования является цилиндр V. Вычислим этот
интеграл в цилиндрических координатах. Проекцией цилиндра на
плоскость Оху является круг радиуса R с центром в начале коор-
координат.
Применяя формулу C3'), получим:
2я R Н 2п R
J
Итак, искомая масса
П1 —
В. Приложения тройного интеграла
Принципы, лежащие в основе применения тройного интеграла
к решению физических задач, аналогичны принципам, лежащим в
основе применения двойного интеграла, изложенным в п. 6, § 1.
К тройным интегралам приводят, например, задачи, связанные с
пространственным распределением массы. Рассмотрим некоторые из
этих задач.
Статические моменты; центр тяжести. Как известно, статическим
моментом Sxy материальной точки массы т относительно плоскости
Оху называется произведение массы точки на ее аппликату: Sxy = mz.
Аналогично определяются статические моменты Syz и Sxz соответ-
соответственно относительно плоскостей Оуг и Oxz: Sy2 = mxt Sxz=my. Если
дана система, состоящая из нескольких материальных точек, то ее
статический момент определяется как сумма соответствующих ста-
статических моментов материальных точек, составляющих эту систему.
Пусть теперь в пространстве задано тело V, плотность которого
в любой точке есть функция координат этой точки: у — у (х, у, г).
Вычислим статический момент Sxy этого тела.
Разобьем тело V на п малых тел AVf (t' = lf 2, ..., п). В каждом
малом теле ДУ, выберем произвольно по точке Р((хг\ yt\ г:). Считая
приближенно плотность в каждой точке малого тела ДУ,- постоян-
постоянной, равной плотности в выбранной точке Ph получим приближен-
приближенное выражение для массы Д/П/ этого малого тела:
Заменим каждое малое тело ДУУ материальной точкой P/fo-; y,\ z,)
с массой Д/П/. Статический момент этой точки относительно коор-
468

динатной плоскости Оху даст приближенное значение статического
момента &Sxy:
&Sxy ж z^trti ж 2,-v (л:/, yi9 zt) AV/e
По свойству аддитивности статический момент всего тела равен
сумме статических моментов тел bVt. Поэтому для Sxy получим
следующее приближенное равенство:
п
Sxy ж 2 zty (xi9 yi9 2,) Д V,.
В пределе при условии, что малые тела AVi стягиваются в точки,
получим точное значение статического момента:
Sxy=Um 2 *!•?(*/. Ун zi)bVi=[\[zy(x9 у, z)dV.
Итак,
$$ I- . C5)
Аналогично, для статических моментов тела V относительно
плоскостей Oyz и Oxz получим
s* - J 5 S ^Yi*, У, г) dV, Sx,= J S S yy¦(*, t/,' z) dV. C5')
• Координаты xt y, z центра тяжести тела V определяется равен-
равенствами, аналогичными равенствам B3), п. 6, § 1:
7—Syz 7i — S*z ~i— Sxy
x y z-
где m—масса тела V. Так как масса т тела V, согласно п. 2 на-
настоящего параграфа, определяется по формуле т= И \ у(х, у, z)dVt
то, применяя формулы C5'), C5) и C6), найдем:
])(х, У, \^
Для однородного тела у — const, поэтому формулы C7) примут вид:
или,
. ( t
так
как ^у
S
X —
V
V
> У
то
V
III1
Ц1у
V
iv'~ SSS^'
dV _ SJS2dV
C8)
469

Пример. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного
параболоидом вращения 2z=4 —х2—у2 и плоскостью г=0(рис. 253).
Решение. Исходя из симметрии тела относительно координат-
координатных плоскостей Оху и Оуг, заключаем, что центр тяжести лежит
на оси Ог и, следовательно, дг = г/ = 0. Остается таким образом,
найти аппликату г центра тяжести,
которая определяется по формуле
C8):
л /\ л
zdV
$$$
Подсчитаем объем тела V = ^ J jj dV
v
и статический момент Sxv~ \\\ zdV.
рис 253 Вычисления будем проводить в ци-
цилиндрических координатах: zBX=0,
гвых в ~~*2~~У = ~~jr~ * Площадка а в плоскости Оху—круг ра-
радиуса г=2 с центром в начале координат. Поэтому
4-Га
а о а
2Я 2
F==lCf D — /
v о о
Таким образом,
о о
3 '
Следовательно, координаты центра тяжести таковы:
Момент инерции. Момент инерции 1Х материальной точки мас-
массы т относительно оси Ох равен произведению массы этой точки
на квадрат расстояния от этой точки до оси Ох.
Так как квадрат расстояния точки Р(х; у; г) до оси Ох равен
y* + z\ то
470

Аналогично определяются моменты инерции относительно осей Оу
и Ог:
Пусть дано тело V, плотность у которого в любой точке есть
заданная функция координат этой точки, т. е. у = у(х, у, г). Най-
Найдем моменты инерции этого тела относительно осей координат.
Выделив малое тело &Vi9 найдем приближенно его момент инер-
инерции A/j относительно оси Ох:
Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, вычислим приб-
приближенно момент инерции тела Vi
i =1
В пределе при условии, что каждое из малых тел AV/ стяги-
стягивается в точку, получим точное значение момента инерции:
^ )y(xi9 yi9 *,) AV, = $$$(?* +г») y(*. У, z)dV.
Итак,
'^Ш^+^Ж*.». *)dv- C9)
v
Аналогичные формулы получим для моментов инерции 1у и 1гх
',=SSS(*¦+*¦)?(*. у* z)dV> /«=И5^1+^>^^ у>z)dV-C9')
V V
Пример. Определить момент инерции относительно оси Ог одно-
однородной пирамиды V (см. рис. 249) плотности у = 3, ограниченной
плоскостями х = 09 у-=0, г = 0, х + у + г~1.
Решение. Применяя формулу C9'), имеем
V
l 1-х l-x-y l 1-я
0
-x
{ (x2 + y2)(l—x—y)dy= ? [x2{\—x)—
0 0 0 0 0
Ho
f
л V1~л^ 2 ' 3 Tjo "". 2 r 12 *
Поэтому
1
0
471

§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
/. Векторное поле
В гл. IX, § 7 было введено понятие скалярного поля и изу-
изучены его основные свойства. Однако во многих вопросах приходится
иметь дело с векторными полями.
Определение. Векторным полем называется область прост-
пространства или плоскости, каждой точке М которой поставлен в со-
соответствие вектор Ф.
Проекции Р, Q и R вектора Ф на координатные оси являются
функциями координат точки М:
Р=Р(х, у, г), Q = Q(xy: у, г), R = R{x, yt г).
Таким образом,
Ф=Ф(М)=Р(л:, J/, z)i + Q(x, у, z)\+R(x, у, г)к.
В частности, если, поле задано на плоскости, то
Ф = Р(лг, y)\ + Q(x, у)].
В качестве примера векторного поля рассмотрим поле сил тя-
тяготения. Если в начале координат помещена масса т, то эта масса
создает поле сил тяготения, так как в каждой точке М про-
пространства на помещенную в ней единичную массу действует си-
сила, равная по величине, согласно зако-
закону Ньютона, р^ и направленная к началу
координат. Здесь г = (Ш, а к ^-постоян-
^-постоянная тяготения.
Следовательно,
где г0 = ^==-7 =
| ОМ |
IГ1
вектор
Рис. 254
^==-7 = —г —единичный
| ОМ | IГ1
(рис. 254).
Пусть х, у, z—координаты точки М.
Тогда
Следовательно,
Здесь
ктх
хту
ктг
!K
* В этой формуле знак «минус» стоит потому, что сила F имеет направле-
направление, противоположное направлению вектора г0.
472

2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
Многие задачи физики приводят к очень важному обобщению
понятия определенного интеграла—к криволинейному интегралу.
Рассмотрим, например, следующую задачу. Вдоль некоторой
кривой L, находящейся в поле сил F=P(x, у, z)i + Q(x, у, z)] +
+ R(xf у, г) к, движется некоторая масса (материальная точка).
Требуется определить работу сил поля при перемещении этой массы
из точки А в точку В.
Из физики известно, что если материальная точка под действием
постоянной силы F совершила прямолинейное перемещение, выра-
выражаемое вектором I, то работа Е силы F равна скалярному прбиз-
ведению силы F на 1 (см. гл. III,
§ 3, п. 8):
?=Fl. D0)
Так как в общем случае сила F
меняется как по величине, так и по
направлению, и так как перемещение
по кривой L не является прямолиней-
прямолинейным, то непосредственно применять
формулу D0) нельзя. Поэтому мы л*Ав мг
поступим следующим образом. Ра-
Разобьем кривую L в направлении от рис. 255
точки Л к точке В на п.«малых» дуг
точками деления АХ9 А2, ..., АПттХ, Начальную точку А кривой L
обозначим через Ло, конечную точку В через Ап (рис. 255). Пусть xi9 yif
г^'-гдоординаты точки Л,A=0, 1, 2, ..., п). Впишем в кривую L
ломаную, соединив соседние точки деления прямолинейными отрез-
отрезками. На каждой дуге Aim.1Al выберем произвольную точку УИ,
с координатами \i9 т],., ?,.
Заменим кривую L ломаной А0АхА2 ... Ап, а силу F, которая,
вообще говоря, меняется и по величине и по направлению от точки
к точке, будем считать постоянной вдоль каждого звена At-%At
ломаной и равной заданной силе в точке Mt дуги Л^Л,:
или подробнее,
F(A!,)f*PF,, л/, C,)i+Q(i/,Jb Wi + ЖБ,, Л/,
Тогда работа силы вдоль дуги AimmlAt будет приближенно равна
работе силы F(Mt) вдоль звена Ai^xAiy которая согласно формуле
D0), равна скалярному произведению силы ?(Mt) на вектор пере-
перемещения Ai^Af. FjM^Aj^Ag.
Проекции вектора А^ХА( на оси координат равны соответственно:
Д*,. ===*;—х{-19 Ау{= у;—(/._„ Az.;—Z;—z^x. Выражая скалярное
произведение VW^A^Ai в координатной форме, получим
473

Суммируя эти выражения по всем звеньям ломаной, найдем
приближенное значение работы Е вдоль кривой L:
2
п
= 2 [Р (h, i\t, Q Д*« + Q (h> л,. Q Ay/+R (Ь> %. W A*/].
За точное значение работы ? примем предел полученной суммы,
устремляя длины дуг А~^А( к нулю:
Ш~ Нт ? [Р A,., г],, С,) Д*,+ Q (|,, л„ у Д& +Я E„ л„ Q Да,].
Я -> во 1=1
Таким образом, вычисление работы привело нас к нахождению
предела суммы определенного вида. Нахождение пределов сумм
рассмотренного вида встречается и в других вопросах, не связан-
связанных с вычислением работы. Изучим свойства пределов таких сумм
в общем виде, независимо от той или иной физической задачи.
Пусть в некоторой области трехмерного пространства задана
непрерывная кривая L (дуга ЛЬВ) и вектор-функция Ф=Р(х,у, z) 1+
+Q{x> У> z)j +R(x9 у, z)k, определенная в каждой точке кривой/..
Проделаем следующие действия.
1. Разобьем дугу АВ точками А1? А2, ..., Ап_х в направлении
от точки А к точке В на п дуг А^А19 Л1Л2> ..., Ап_хАп. Начало
дуги А мы обозначили через; Ло> а конец В—через Ап. Пусть xi9
yi9 zt—координаты точки ЛД1=0, 1, 2, ..., п).
2. На каждой дуге Ai-xAi выбираем произвольную точку Mt
с координатами ?/f r\h ?.. Составим скалярное произведение вектора
ф = Р (х, у, z)i + Q (х, у у г) ] + R (х, у, г) к, вычисленного в точке Mit
на вектор
Ф (Л*,) ГаJ. в р (|., 4/f t/) A
3. Составим сумму всех таких произведений:
2 (^)Й7 S
Эта сумма называется интегральной суммой.
4. Если существует предел интегральной суммы при условии,
что длины всех дуг А^^А^ стремятся^нулю, не зависящий ни от
способа разбиения дуги АВ на дуги AimmlAh ни от выбора на каж-
каждой из них точки Mit то этот предел называют криволинейным ин-
интегралом от вектор-функции Ф=Р (х, у, z) I + Q (х, у, z) y+R (x, у, z) k
вдоль кривой L (или вдоль дуги АВ) в направлении от А к В и
обозначают
474
Р(х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy-\-R(x, у, z)dz%
АВ

или
1?(х9 у, z)dx+Q(x, у, z)dy + R{xt у, z)dz*
L
Так как подынтегральное выражение Pdx + Qdy + Rdz есть ска-
скалярное произведение вектора <X> = Pi + Qj +/?k и дифференциала
dr=dxi + dy} + dzk радиуса-вектора г переменной точки кривой L,
то криволинейный интеграл от вектор-функции <X>=Pi-?-Qj4-#k
можно записать в следующей векторной форме: ^Ф-dr.
L
Итак, по определению
S ,y9 z)dy + R(x9 y9
АВ
= Hm S
Здесь подразумевается, что при n—+oo каждая из дуг А^ХА( стя-
стягивается в точку.
Так как
2 [^ (Б/. Л/. W А«/ + Q (Б/, Л/, W Aif/ 4- Я (Б/, %, С/) АгЛ -
- S P (It. %. W Ах, + 2 Q (I/. Л/, W Ajf/ + S Я U/, Л/. W Аг„
то предполагая, что существуют пределы сумм, стоящих в правой
части последнего равенства, имеем
Ига S (Р &, Л/. W А*/ + Q A/, Л/, W Ау/ + R (Б/. Л/. W AzJ =
И ->• 00 t = 1
= lira S P (li, Л/. W Ajc,+ I'm 2 Q (Б/, Л/, С/) Ау/+
H-lim Д1/?(Б/,Л/.С,)Аг/. D1)
rt -*• oo /= 1
Пределы, стоящие справа, можно рассматривать как криволиней-
криволинейные интегралы вдоль дуги АВ соответственно от векторов-функций
P(jc, у, z)i, Q(#, у у 2)j, /?(^, у, 2) к. Поэтому равенство D1) можно
переписать в виде
J
АВ
J Р(*, у, 2)dx+Q(A;, y% z)dy + R(x9 у, z)dz =
В
Р(х, у, z)dx+ J Q(x, у, z)dy+ J /?(*, у,
ЛВ АВ
J J J
ЛВ ЛВ АВ
* Криволинейный интеграл от вектор-функции часто называют криволиней-
криволинейным интегралом по координатам,
475

Определение криволинейного интеграла показывает, что работа
силы F вдоль дуги L есть криволинейный интеграл от силы F вдоль
этой дуги, т. е.
Е= J Pdx + Qdy + Rdz,
АВ
где Р, Q и R — проекции силы на координатные оси.
Так же, как и в случае определенного интеграла, имеет место
теорема существования криволинейного интеграла, которую мы
принимаем без доказательства.
Теорема существования криволинейного интеграла. Пусть кри-
кривая L задана в параметрическом виде уравнениями x~x(t), y = y(t),
z = z{t), еде x(t), y(t)t z(t)—функции, имеющие непрерывные произ-
производные первого порядка для a^.t^.$. Тогда для всякой вектор-функ-
вектор-функции Ф = Р(л;, у у z)i + Q(x, yt z)]+R(x, у, г) к, непрерывной вдоль
этой кривой, существует предел интегральной суммы при неограни-
неограниченном увеличении числа дуг, на которые разбивается кривая L при
стремлении к нулю длины каждой из них. Этот предел не зависит
от способа разбиения дуги L на части и от выбора промежуточных
точек Mf*.
О. Вычисление криволинейного интеграла
Покажем, что вычисление криволинейного интеграла сводится
к вычислению определенного интеграла.
Пусть дуга L {АВ) задана параметрическими уравнениями x**x(t),
y=y(t), z = z(t), а</<р, причем функции x{t), y(t), z(t) непре-
непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка. Пред-
полоким, что начальной точке А дуги АВ соответствует значение
параметра / =а, а конечной точке В—значение / = р и при изме-
изменении параметра t от а до |i переменная точка М (х; у\ z) описывает
дугу в направлении от А к В. Пусть далее Р{ху у, z) непрерывная
функция, заданная вдоль кривой L. Так как Р(х, у> z)—непрерывная
функция переменных х, у, г, а х, у, z—непрерывные функции от /,
то сложная функция P[x(t), y(t)> z (t)] является непрерывной функ-
функцией от t на сегменте а^/^р. Так как кривая L и функция
Р{х> у> z) удовлетворяют условиям теоремы существования криво-
криволинейного интеграла, то существует криволинейный интеграл
J P {х, у, z) dx и, следовательно, существует предел интегральной
L
суммы
который не зависит ни от способа разбиения дуги L на* части, ни
* Вектор-функция Ф = Р (#, уи z) \+Q (х, ух z) j + # (х, у, г) к называется не-
непрерывной, если ее проекции Р, Q и R являются непрерывными функциями.
476

от выбора промежуточных точек Л1Д^-; т^; ?,). Разобьем сегмент
[а, р] на п частей точками t19 /2, ...9tn-i, кроме того, обозначим
/0 —а, /я = р. Этим значениям параметра / соответствуют точки дуги L
A=Aot Alt Л2, ..., Ап_1У Ап = В, имеющие следующие координаты.
** = *('«)> Уп = У{*п)> Zn=Z(tn).
При этом точки Лх, Л2, ..., Л,^, делящие дугу, расположены по-
последовательно в направлении от точки А к точке J3.
При переходе из точки Л,^ к точке А{ абсцисса х получает
приращение Дл;,— *,-—xi^1 — x(ti)—x{tt_^). Применим к разности
x(h)—x(ti-i) теорему Лагранжа о конечном приращении:
г)=^х'(т()М1$ где Mi^tl—ti^l и ti_l<xi<ti.
Значению параметра / = т/ соответствует на кривой точка М( с коор-
координатами 5/ = л:(т/), Л/ = f/ (T/)» ?/ = z(*/)» лежащая на дуге Л/.1Л/.
Составим для выбранного разбиения дуги L на части и для вы-
выбранных выше точек М( интегральную сумму:
и перейдем к пределу при условии, что шаг разбиения к сегмента
[а, р] стремится к нулю. Как можно доказать, при этом длины дуг
А~[А{ стремятся к нулю, и мы имеем согласно определению криво-
криволинейного интеграла
(*. у, z)dx= lim 2
= lim 2 Р И*,). У (*/), г (т,)] х' (г,) At,.
л —> 0 с = 1
Сумма, стоящая в правой части последнего равенства, является ин-
интегральной суммой для непрерывной функции одной переменной /:
P[x(t)> y(t)t z(t)]x (t)f заданной на сегменте [а, 0]. Ее предел ра-
равен определенному интегралу:
р
iiH 2 р \х (Ъ)> У (т/), г (т,)] х9 (т,) А/, - J Р [х (/), у @, г (/)] х' (/) Л.
А, - 0 i =
Таким образом,
I"
5 P (*, у, z) dx = J P [* (/), i/ @, г @] *' @ Л. D2)
L a
AIT

Это и есть искомая формула, позволяющая свести вычисление
криволинейного интеграла к вычислению определенного интеграла *.
Итак, для того чтобы вычислить криволинейный интеграл
)Р{х, У, z)dx, надо задать кривую L параметрическими уравнени-
L
ями x = x(t), y^y(t), z = z(t) и в подынтегральном выражении
Р (х, у, z)dx заменить переменные х9 у и z их выражениями через
параметр t, a dx—дифференциалом функции x = x(t) (т. е. поло-
положить dx^x' (t)dt). За нижнюю границу в получившемся определен-
определенном интеграле нужно принять значение параметра, соответствующее
началу дуги, а за верхнюю границу—значение параметра, соответ-
соответствующее концу дуги.
Аналогично получим,
$ Q (х, у, z)dy~\Q [x (/), у (/), z (/)] yf (t) dU D2')
L a
J R (х, у, z)dz~\R [x (О, У (/), z (/)] г' (/) dt. D2")
L а
Складывая почленно равенства D2), D2') и D2"), получим
, z(t)]x'(t) + Q[x(t), y(t), z{t)]y'(t) +
+ R[x(t), y(t), z(t)]z'(t)}dL D3)
Если, в частности, дуга L является плоской, заданной пара-
параметрическими уравнениями x = x(t), y=y(t) (а^/^Р), а Р(х> у)
и Q(x, у)—непрерывные функции, определенные на кривой L, то
для вычисления криволинейного интеграла по этой плоской кривой
от вектор-функции Ф=Р(х, y)i + Q(x, у)} мы получим формулу
J {P [x {f)9 У (<)] * @ + Q [x @. У @] У' @} Л. D4)
Из формулы D4) легко получить формулу для вычисления кри-
криволинейного интеграла в случае, когда плоская кривая задана
уравнением у=у(х). Пусть при перемещении точки по кривой L
* Мы предполагали, что заданному направлению на кривой L существует
изменение параметра t от а до р (где a < p). Формула D2) остается справедли-
справедливой и в случае a > р.
478

из точки А в точку В х меняется от а до Ь. Принимая в этом слу-
случае х за параметр, получим следующие параметрические уравнения
кривой L: х=х, у=у(х), причем х меняется от а до Ь. Применяя
формулу D4) и замечая, что х'=~ = 1, получим
ь
(x, y)dx + Q(x9 y)dy^\[P{xf <t(x)) + Q(x, y{x))v'(x)]dx. D5)
a
В частности,
ь
\P(x, y)dx = [p (x, ф (x)) dx. D6)
L a
В заключение приведем следующие два почти очевидных свойства
криволинейного интеграла.
Свойство 1. Значение криволинейного интеграла зависит от
направления, в котором проходится кривая L. Если ту же кривую
проходить не от точки А к точке В, а в обратном направлении,
от В к А, то значение интеграла изменит знак на противополож-
противоположный, т. е.
АВ ВА
Это объясняется тем, что при изменении направления обхода
кривой приращения Axif A^., Hzi9 входящие в интегральную сумму,
изменяют свои знаки на противоположные.
Свойство 2 (свойство аддитивности). Если кривая L
состоит из нескольких кривых Llf L2, ..., Ls и на каждой из этих
кривых криволинейные интегралы существуют, то существует ин-
интеграл вдоль всей кривой L и он равен сумме интегралов вдоль каждой
из ее частей, т. е.
J-S+J+- + J-
При этом предполагается, что все кривые проходятся в одном на-
направлении.
Рассмотрим теперь примеры на вычисление криволинейных ин-
интегралов.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл J 2xydx+y2dy-\-z2dz,
АВ
где АВ—один виток винтовой линии x = cos?, у = sin?, z = 2t от
точки ЛA; 0; 0) до точки 5A; 0; 4я).
Решение. Вдоль дуги АВ параметр t меняется от 0 до 2я.
Применяя формулу D3) и замечая, что х' — —sin/, у' —xost, z' — 2,
* Ради сокращения записи мы иногда не будем выписывать подынтегральные
выражения,
479

получим
АВ
2л
= ^ [2cos t sin t (— sin /) + sin21 cos / + 4/2-2}dt
Пример
0
~j)
2,
sin
Вычислить
s
si
криволинейный
(x2 + y2) dx + 2x%
3 3
2я
0
интеграл
ydy
64
3
вдоль дуги кубической параболы у=х2 от точки ЛA; 1), до точки
В B; 8).
Решение. Применяя формулу D5), получим
АВ
Если криволинейный интеграл fodr от вектор - функции
Ф — Р(х9 у, z)i + Q(x9 у, z)]-\-R(x, у, г) к берется по замкнутому
контуру L, то он называется циркуляцией векторного поля Ф по
замкнутому контуру L и обозначается
или §Р(х, у, z)dx + Q{xt у, z)dy+R(x9 yf z)dz.
L
Пример З. Вычислить циркуляцию векторного поля ф — х\ +
+ 2yj-f-ek вдоль окружности L, образованной от пересечения ци-
цилиндра х2 + у2=^1 плоскостью z = 1.
Решение. Запишем параметрические уравнения окружности L:
x^cost, y = sint, z = l
Так как х' = —sin/, у'= cost и z'= 0, то по формуле D3) получим
Итак, циркуляция вектора Ф= x\-^2y] + zk вдоль окружности
равна нулю,
480

4. Формула Остроградского — Грана*
Рассмотрим на плоскости Оху область а, ограниченную кривой,
пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям, не
более чем в двух точках (рис. 256). Пусть далее P(xt у) и Q(x, у)—
функции, непрерывные вместе со своими частными производными
-к- и -р в области а. Тогда имеет место следующая формула, на-
называемая формулой Остроградско-
Остроградского—Грина\
(*, y)dx + Q(x, y)dyt
где двойной интеграл берется по
области а, а криволинейный ин-
интеграл—вдоль замкнутого конту-
контура L, ограничивающего область а.
При этом контур L проходится в
положительном направлении, т. е.
при движении вдоль него область а остается слева (см. рис. 256).
Для вывода этой формулы рассмотрим вначале двойной интеграл
дР ^т*'
jr-do. Пусть у = (р(х)—уравнение дуги AnBf a y~ty(x)—урав-
Рис. 256
нение дуги АтВ (см. рис. 256). Тогда по правилу вычисления двой-
двойного интеграла получим
ф (х)
Так как Р(х> у) при постоянном х есть одна из первообразных
для |, то
Поэтому
Ь Ь
J Р (х, ф (х)) dx-^P (х, Ф (х)) dx.
* М. В. Остроградский A801—1861)—выдающийся русский математик и ме-
механик.
Д. Грин A793-*!841)—-английский математик и физик.
.16 Яа 2242
481

Интеграл )Р{х> <f(x))dx, как это следует из формулы D6) преды-
а
дущего пункта, равен криволинейному интегралу [Р{х} y)dx вдоль
АпВ
дуги АпВ:
S Р{х, y)dx.
АпВ
Аналогично
ь
\Р{х, ¦ (*))<** = $ P(xf y)dx.
а АтВ
Следовательно,
1IP{Xt y)dx-
АпВ
Изменив направление вдоль дуги АтВ на противоположное по
свойству 1 криволинейного интеграла, имеем
J P(x, y)dx~— J P(x9 y)dx.
АтВ ВтА
Поэтому
Так как дуги ВтА и АпВ дают в совокупности границу L обла-
области от, проходимую в положительном направлении, то, принимая
во внимание свойство аддитивности, получим
J P(x9 y)dx+ J P(x, y)dx = §P{x, y)dx.
ВтА АпВ L
Следовательно,
ПС
Аналогично доказывается, что
ПС
D8)
Вычитая почленно из равенства D8) равенство D7), получим
формулу Остроградского—Грина
Эта формула выведена в предположении, что контур L пересекается
прямыми, параллельными осями координат, не более чем в двух
482

точках, однако, как можно показать, она остается справедливой,
когда это условие не выполнено (например, для области а, изо-
изображенной на рис. 234).
Применим формулу Остроградского—Грина к вычислению пло-
площади плоской области с помощью криволинейного интеграла. Рас-
Рассмотрим функции Р (х, у) SS 0 и Q (х, у) 35 х. Так как ~- = 0, а —¦ = 1,
то, применяя формулу Остроградского — Грина, получим
или
а
Но интеграл ))da численно равен площади области а. Поэтому
а
окончательно имеем
D9)
Аналогично, полагая Р==з—у, a Q = 0, можно получить еще
одну формулу для вычисления площади области с помощью криво-
криволинейного интеграла:
o^—Sydx. D9')
Эти формулы дают возможность с помощью криволинейного инте-
интеграла подсчитать площадь плоской области <т.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом, задан-
заданным параметрическими уравнениями
x = acost, \
y = bs\nt. f
Решение. Если обходить эллипс в положительном направле-
направлении, то параметр / изменяется от 0 до 2я. Применяя формулу D9)
и правила вычисления криволинейного интеграла, получим
2л 2Я
= \ a cos / b cos tdt —ab\ cos2 tdt = nab,
о о
5. Независимость криволинейного интеграла
от пути интегрирования
Пусть дано плоское векторное поле Ф = Р(л:, y)i + Q(x, у)]. В даль-
дальнейшем мы будем предполагать, что функции Р и Q непрерывны
дР 0Q о Л п
вместе со своими производными j- и ¦— в некоторой области G пло-
плоскости Оху.
Рассмотрим в области G две произвольные точки А и В. Эти
точки можно соединить различными линиями, лежащими в области Gf
16* • 483

вдоль которых значения криволинейного интеграла ^ Pdx + Qdy,
АВ
вообще говоря, различны. Так, например, рассмотрим криволиней-
криволинейный интеграл
и две точки ЛA; 1) и В B; 4). Вычислим этот интеграл, во-первых,
вдоль отрезка 1Х прямой г/ =3л:—2, соединяющей точки Л и В, и,
во-вторых, вдоль дуги /2 параболы у — х2, соединяющей эти же
точки. Применяя правила вычисления криволинейного интеграла,
найдем
а) вдоль отрезка lt:
2 2
= $[х + Cх—2) +2a: (За;—2).3]d*= JA8*a—8л:—2) Же = 28;
l l
б) вдоль дуги 12 параболы:
Таким образом, мы видим, что значения криволинейного инте-
интеграла J (x + y)dx + 2xydy зависят от пути интегрирования, т. е.
L
зависят от вида линии, соединяющей точки А и В. Наоборот, как
нетрудно проверить, криволинейный интеграл
L
вдоль тех же линий 1Х и /2, соединяющих точки ЛA; 1)и?B; 4),
дает одно и то же значение, равное 33у.
Разобранные примеры показывают, что криволинейные интегралы,
вычисленные по различным путям, соединяющим две данные точки,
в одних случаях различны между собой, а в других случаях при-
принимают одно и то же значение.
Пусть А и В—две произвольные точки области G. Рассмотрим
различные кривые, лежащие в области G и соединяющие точки А и В.
Если криволинейный интеграл ]Р(х, y)dx + Q(x, y)dy по любому
L
из этих путей принимает одно и то же значение, то говорят, что
он не зависит от пути интегрирования.
В следующих двух теоремах приводятся условия, при которых
криволинейный интеграл ^Pdx + Qdy не зависит от пути интегри-
L
рования.
484

Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл ^ Pdx + Qdtj
L
в некоторой области G не зависел от пути интегрирования, необ-
необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому кон-
контуру, лежащему в этой области, был равен
нулю.
Доказательство. Достаточность.
Пусть интеграл \ Р dx + Q dy по любому замкну-
L
тому контуру, проведенному в области G, ра-
равен нулю. Покажем, что этот интеграл не за-
зависит от пути интегрирования. В самом деле,
пусть А и В две точки, принадлежащие обла-
области G. Соединим эти точки двумя различными,
произвольно выбранными кривыми Ajnb и АпВ,
лежащими в области G (рис. 257). Покажем, что )= у Дуги АтВ
^ ^ АтВ АпВ
и АпВ образуют замкнутый контур АтВпА. Учитывая свойства
криволинейных интегралов, получим
§ -$ + $-$- $.
АтВпА АтВ ВпА АтВ АпВ
так как j ,= — j • Но по условию (р = О как интеграл по замк-
ВпА АпВ АтВпА
нутому контуру.
Следовательно, J — J =0, или J = ^ . Таким образом, кри-
АтВ АпВ АтВ АпВ
волинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Необходимость. Пусть в области G криволинейный инте-
интеграл \^Pdx-\-Qdy не зависит от пути интегрирования. Покажем,
L
что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой
области, равен нулю. В самом деле, рассмотрим произвольный
замкнутый контур, лежащий в области G, и возьмем на нем две
произвольные точки А и В (см. рис. 257). Тогда
§ = J + J » J _ J =0,
АтВпА АтВ ВпА АтВ АпВ
так как по условию j = J . Итак, интеграл по любому замкну-
АтВ An В
тому контуру L, лежащему в области G, равен нулю.
Следующая теорема дает удобные для практического использо-
использования условия, при соблюдении которых криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования.
Теорема 2. Для того чтобы криволинейный интеграл ^Pdx + Qdy
L
не зависел от пути интегрирования в односвязной* области G,
* Определение односвязной области см. в гл. IXt § 2? п. 3.
485

необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области
выполнялось условие
Доказательство. Достаточность. Пусть в области G
~- = -р. Покажем, что криволинейный интеграл y^Pdx + Qdy по
любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю.
Рассмотрим площадку а, ограниченную контуром L. В силу одно-
односвязности области G площадка а целиком принадлежит этой об-
ласти. На основании формулы Остроградского—Грина ^> Pdx+Qdy—
)^а- ^° в области G и, частности, на площадке 0
^—1^ = 0. Поэтому [§(Ш—fr)da = 0> a следовательно, §Pdx+
G
^Qy — O. Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L
в области G равен нулю. На основании теоремы 1 заключаем, что
криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Необходимость. Пусть криволинейный интеграл jj Pdx-f-Qdy
L
не зависит от пути интегрирования в некоторой области Q. Пока-
* дР до
жем, что во всех точках области -г— = ~-.
Предположим противное, т. е. что в некоторой точке Р0(л:0, у0)
области О (jfjjjp ^(gfjp- ПУСТЬ Для определенности (Ш)р —
— \Т") ^ ®ш ^ сил^ пРеДположения о непрерывности частных
У Р° дР 00 до дР *
производных д~ и gZ разность ^~д~ будет непрерывной функ-
функцией. Следовательно, около точки Ро можно описать круг а
(лежащий в области G), во всех точках которого, как и в точке Ро,
разность т~—д— будет положительной. Применим к кругу а фор-
формулу Остроградского—Грина:
где L—граница круга а. Так как во всех точках круга а 1^—1^ > 0,
то на основании свойства двойного интеграла (Т (з^—'r-)da> 0.
486

Следовательно, <р Pdx+Qdy> 0. Итак, криволинейный интеграл,
L
взятый по границе L круга а, не равен нулю. Это противоречит
тому, что по условию интеграл не зависит от пути интегрирова-
интегрирования. Полученное противоречие доказывает, что во всех точках
а г> дР дО
области G имеет место равенство т-=-р •
Пример Ь Криволинейный интеграл J (х2+y2)dx+2xydy не
L
зависит от пути интегрирования, так как для него выполняются
условия теоремы 2. Действительно, здесь Р = х2 + у*9 Q=2jq/,
дР о дО о дР дО
дЦ^ 2у> SF^11'' следовательно, j^-gjf.
Пример 2. Рассмотрим криволинейный интеграл ]{x + y)dx + 2xydy.
L
Выше мы уже видели, что этот интеграл зависит от пути интегри-
интегрирования (см. стр. 484). Это подтверждается и доказанной теоремой.
Здесь
6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
Пусть дано дифференциальное выражение Р(х, у) dx + Q(x, y)dy9
причем Р и Q непрерывны вместе со своими частными производ-
производными т- и ^ во всей плоскости Оху или в некоторой односвяз-
иой области G. Выясним прежде всего, при каких условиях данное
дифференциальное выражение Pdx-\~Qdy является полным диффе-
дифференциалом некоторой функции. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение Pdx + Q dy
в сдносвязной области G было полным дифференциалом некоторой
функции U — U (Ху у), необходимо и достаточно, чтобы в области G
выполнялось условие
? = |S. E0)
ду дх v '
Доказательство. Необходимость. Если Pdx + Q dy
есть полный дифференциал, то существует функция U (х, у), для
которой
Следовательно, §^-=Л у = $¦ Продифференцировав первое равен-
У d2U дР dW dQ „
ство по у, а второе-по х, получим д^ = ^, ду^^д^' аК
как вторые смешанные производные непрерывны (в силу предпо-
487

дР дО\
ложения о непрерывности ^- и ^Ч, то они равны друг другу
$
d*U n дР д<$
= л~л" • Следовательно, ¦%- = =-=-.
дудх ду дх
дхду~дудх' ^""> ду~дх
Достаточность. Пусть в области G выполнено соотноше-
соотношение E0). Покажем, что существует функция U (х, у), для которой
dil =Pdx-\-Qdy или, что то же самое, -^ = Р и -j- = Q- Из условия
E0) следует (см. теорему 2 предыдущего пункта), что криволиней-
криволинейный интеграл ^Pdx + Qdy не зависит от пути интегрирования,
АВ
а зависит только от положения начальной точки А и конечной
точки В. Поэтому, если мы зафиксируем точку Л, то значение
криволинейного интеграла будет зависеть только от положения
точки В, т. е. интеграл будет функцией координат точки В. Пусть
#о> Уо координаты точки Л, а х9 у—координаты точки В. Обозна-
(х; у)
чим через J Pdx + Qdy криволинейный интеграл, взятый по
(*<>; у о)
произвольной кривой, соединяющей точки А(хо\ у0) и В(х\ у).
Этот интеграл является функцией
Ук от а: и у, которую обозначим через
U(x9 у):
у
U(x, 0 =
(хо\ Уо)
Покажем, что в каждой точке
области G полный дифференциал этой
функции равен Pdx + Qdy. Для
этого достаточно показать, что в
любой точке области G имеют место
Рис- 258 равенства ^- = Р, — = Q. Итак,
пусть В{х, у)—произвольная фиксированная точка области G.
Найдем частную производную по х от функции U (х, у) в точке В.
Сохраняя у постоянным, сместимся из точки В в точку Вх с коор-
координатами х + &х, у (рис. 258). Значение функции U(x + Ax, у)
в точке Вх равно значению криволинейного интеграла вдоль лю-
любого пути, соединяющего точку А с точкой В19 т. е.
{х+Ьх\у)
U (х + Дх, у) = J Pdx-\~Q dy.
Of о; у о)
Частное приращение AXU функции U (х, у) при переходе из точки В
в точку В1
(х+Ах\ у) (х; у)
Г С
<*<>; Уо) (хо\ </«,)
483

Так как криволинейный интеграл не зависит от пути интегриро-
интегрирования, то для вычисления криволинейных интегралов в последнем
равенстве можно брать произвольные пути. Возьмем в качестве
пути, соединяющего точки Л и В, произвольную кривую llf лежа-
лежащую в области G, а в качестве пути, соединяющего точки А и Blt
возьмем кривую /х и отрезок ВВХ (см. рис. 258). Тогда
Дл:; у) (х\ у)
J -S -$ -S-$+$-$=$***+««&•
(хо\ У о) (х0) у0) АВВг А В АВ ВВХ А В ВВХ
E1)
Криволинейный интеграл, стоящий в правой части равенства E1),
легко выразить через определенный интеграл. Для этого напишем
параметрические уравнения отрезка BB^.x — ty у = у> где / меняется
в границах от л: доя + Дл;, а у постоянен. Так как dx=dt, dy=O,
то по правилу вычисления криволинейного интеграла получим
х+кх
S P(x9 y)dx+Q(xt y)dy^ \ P(t, y)dt.
BBt x
Итак,
J P(t, y)dt.
Замечая, что P(t, у) при постоянном у является функцией одной
переменной /, применим к последнему интегралу теорему о среднем
значении:
х+\х
P{tt y)dt = P(x, y)/±x,
х
где х содержится между х и х + hx. Разделив kxU на Дл: и перехо-
переходя к пределу при Дл: --* 0, получим частную производную
6U ,. Axil л. п /— ч
зг= 1«п -т-= lim P(x, у).
ах Дж-*0 ах ДЛГ-.0
При Ал:—>-0 х стремится к х. В силу непрерывности функции
Р (х, у) имеем ^ = Jim P (х, у) = Р (х, у).
X -+ X
Таким образом, в точке В ^- = Р (х9 у). Аналогично доказывается,
что в этой же точке -r-=Q(x9 у). Так как В(х, у)—произвольная
точка, то для любой точки области G имеем ^ = Р (х, у), g~ = Q (#, У)
и, следовательно, dU =Pdx+ Q dy. Итак, криволинейный интеграл
(х: у)
j Pdx+Qdy есть та функция, полный дифференциал которой
(х0, У о)
равен Pdx+Qdy, Таким образом, теорема полностью доказана.
489

Введем теперь следующее определение:
Функция U (х, у), полный дифференциал которой равен диффе*
ренциальному выражению Р dx-\- Q dyt называется первообразной от
этого выражения.
<*; у)
Следовательно, криволинейный интеграл j Pdx+Qdy яв-
является первообразной от дифференциального выражения Р dx-\-Qdy.
(х; у)
При нахождении первообразной U (xt //) = J Pdx+Qdy можно
(*<>; Уо)
взять любую линию, соединяющую точки (#0, у0) и (х, у), так как кри-
криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Для того
. . чтобы не смешивать координаты точ-
" ¦ ки (х\ у) с переменными интегриро-
интегрирования, обозначим последние буквами
У
Уо
? и 1]. Тогда выражение для 0 (х, у)
можно переписать следующим обра-
образом:
с (у)
I (*<>; Уо)
! E2)
0 % Для упрощения вычислений це-
рис 259 лесообразно в качестве пути интег-
интегрирования взять ломаную АСВ со
сторонами АС и СВ, соответственно параллельными координатным
= J + \- Уравнения отрезка АС можно
АСВ АС СВ
записать следующим образом: ? = /, ц—у09 причем параметр t ме-
меняется от х0 до х. Заметим, что при интегрировании по отрезку АС
интеграл j Q (?, r\)dt\ равен нулю, так как вдоль этого отрезка ц
АС
постоянна и, следовательно, dr| = 0. Поэтому
J J > (/, yo)dt.
AC x0
Уравнения отрезка СВ таковы: ? = #, т] = /, причем параметр / ме-
меняется от у0 до у. Так как вдоль этого отрезка | постоянно, то
d? = 0. Поэтому
Итак,
2(*, t)dU E3)
Уо
490

Ясно, что если U (х, у) есть первообразная от некоторого диф-
дифференциального выражения, то U(x, у) + С также является перво-
первообразной. Можно показать, что любая первообразная может быть
представлена в виде U(xf y) + C.
Пример. Найти первообразную от дифференциального выраже-
выражения (x2 + y2)dx + 2xydy.
Решение. Здесь Р(х, у)~х*+у*у Q(x, у) = 2ху. Так как
^- = 2#,-~ = 2#, то условие ^- = ~~ выполнено во всей плоско-
u; v)
сти Оху. Следовательно, U(xt у) = J (?a + T]2)d?-f-2?r]dTi. За иа-
(х0; у о)
чальную точку (хо\ у0) возьмем начало координат. Тогда по фор-
формуле E3) получим
(*, У)
(J(x, y)~ J (
@;0)
X3
Итак, одной из первообразных будет функция и = -^
Пусть выражение Pdx + Qdy имеет первообразную
<*; у)
U(x, y)= J Pdx + Qdy.
(х0; у о)
{Хш\ Уг)
г*
Рассмотрим криволинейный интеграл J Pdx-\-Qdy, где хг; ух и
(Xi\yi)
Яг', У г—соответственно начальная и конечная точки пути интегри-
интегрирования. Очевидно,
H)
«; Уг) (х0; у0) (хг; yt) (xz; yt) (yi, xt)
S = S + J - J - J •
( ) ( ) ( ) ( Ы
i; i/i) (^«; Уг)
0; г/о) (^e; u»)
E4)
Таким образом, если дифференциальное выражение Pdx+Qdy
(xt\ Уг)
имеет первообразную, то криволинейный интеграл ^ Pdx + Qdy
491

равен разнести значений первообразной в конечной и начальной
точках пути интегрирования. Формула E4) аналогична формуле
Ньютона—Лейбница для определенного интеграла.
Рассмотрим силовое поле F = Р (х, у) \ + Q (х, у) j, заданное в не-
некоторой области G плоскости Оку. Силовое поле называется потен-
потенциальным, если существует такая функция (/(л:, у), градиент кото-
которой равен F:
F=grad?/ или Pi + Qj^i + g^j. E5)
Функция U (х9 у) называется потенциальной функцией или потен-
потенциалом.
Из равенства E5) следует, что^- = Р и^- = <2, т. е. потенциал
U (xf у) есть первообразная от дифференциального выражения
<*; у)
Pdx + Qdy и, следовательно, U (х, */)= j Р(х, y)dx + Q(x,y)dy,
(Хо'.Уо)
На основании изложенного выше можно сказать, что силовое поле
F = Р (х, y)i + Q (x, у) j потенциально в некоторой односвязной обла-
области G тогда и только тогда, когда д- = ^«
Как мы знаем, работа Е силы F вдоль дуги АВ выражается
через криволинейный интеграл: ?= \ Pdx + Qdy. В потенциалы
АВ
ном поле работа, очевидно, не зависит от пути, соединяющего точки
А {хг\ уг) и В (х2; у2). Применяя формулу E4), получим
<*«; у*)
Е= J Pdx + Qdy= J Pdx + Qdy = U(x,f y%) — U(xlt yx). E6)
АВ (*il yt)
Таким образом, в потенциальном поле работа равна разности по-
потенциалов.
Пример. Рассмотрим материальную точку массы т, на которую
действует сила тяжести, равная mg. Допустим, что точка переме-
перемещается в вертикальной плоскости. Введем в этой плоскости систему
координат Оху, направив ось Оу вертикально вниз (к земле). Оче-
Очевидно, F = mg]. Здесь Р = 0, Q = mg. Так как ~ = 0, ^ = 0, то
g- = g~, и, следовательно, поле тяжести потенциально. Найдем по-
потенциальную функцию U(х9 у). Так как dU =Pdx-\-Qdy = +
+ mgdy = mgdy то, очевидно, одной из потенциальных функций
будет функция U (x9 y) = mgy. Выражение для работы, совершаемой
при перемещении массы из точки A (xL; уг) в точку В {х2; у%)9 полу-
получим по формуле E6)
492

7. Криволинейный интеграл по длине дуги
В предыдущих пунктах мы рассматривали криволинейный интег-
интеграл от вектор-функции (криволинейный интеграл по координатам).
Однако некоторые задачи приводят к криволинейному интегралу
другого рода. Рассмотрим в плоскости Оху кривую Аб длины /.
Пусть вдоль этой кривой распределена масса с линейной плот-
плотностью y=zf(M) = f(x; у). Определим массу т кривой. Для этого
разобьем кривую АВ точками деления А19 Л2, ..., Ап_г на п частей,
обозначая для единообразия точки А и В соответственно через Ао
и Ап. Обозначим через Am,- массу дуги Ai^1Al длины А/,-. Ясно,
что, т= 2 ^mr Подсчитаем приближенно массу дуги А(тт1А{. Пусть
i— 1
Aff (дс/, у,) —произвольная точка дуги AlmmlAt. Считая, что плотность
в каждой точке дуги Л/_1Л/ такая же, как в точке Mi9 получим
приближенное значение массы: Am,-^ f(M() A/j = f(xi9 y{) A//# Сум-
Суммируя, найдем приближенное значение массы т:
т «Jj / (Щ М, = 2 / (xi9 уЦ А/,. E7)
За точное значение массы кривой АВ примем предел суммы E7)
при условии, что все А/?—^0. Итак,
т= lim 2 f(M() A/,= lim 2 f(xi% yt) Mt. E8)
К подобного рода суммам и их пределам приводят и другие
задачи. Отвлекаясь от конкретного содержания приведенной задачи,
рассмотрим непрерывную функцию f(x9 y)9 определенную в точках
дуги АВ. Составленная для нее сумма вида E7) называется интег-
интегральной суммой. Предел интегральной суммы E7) при условии,
что все А/,—>0, называется криволинейным интегралом от функции
f(x9 у) по длине дуги АВ и обозначается символом ^ f(M)dl или
АВ
S Н*. У)**-
АВ
Итак, с "
) f(x, у) dl = lim 2/(*/,#,) Л/,,
АВ л-юо i—\
Таким образом, масса дуги равна криволинейному интегралу
от плотности по длине этой дуги:
= S fix, y)dl. E9)
т
Лв
Следует обратить внимание на то, что, в отличие от криволи-
криволинейного интеграла по координатам, криволинейный интеграл по
длине дуги не зависит от выбора направления на кривой.
493

Можно показать, что вычисление криволинейного интеграла
по длине дуги сводится к вычислению определенного интеграла.
Если дуга АВ задана уравнением у = у(х) (а^х^Ь), то
l = lf [х- у (х)] -/l+y'2 dx. F0)
АВ а
Подынтегральное выражение в правой части равенства F0) полу-
получается из подынтегрального выражения в левой части заменой
у~у(х) и дифференциала дуги dl на его выражение в декартовых
координатах у 1 + у'* dx.
Пример. Найти массу дуги кривой у = In x между точками с абс-
абсциссами х = 1 и х = 2, если плотность у=^х*.
Решение. Применяя формулы E9) и F0), получим
АВ
2
= 1E V 5 — 2 V 2) ед. массы.
о
Замечание. Часто криволинейный интеграл по длине дуги
называют криволинейным интегралом первого рода, а криволиней-
криволинейный интеграл от вектор-функции—криволинейным интегралом
второго рода.

ГЛАВА XI
РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
/. Основные определения
Пусть дана последовательность чисел ult и2, м3» ..., ип> ...
Определение. Числовым рядом называется выражение
U1 + U2 + U3+ ...+Un+ ... . A)
Числа их> и2У ..., unt ... называются членами ряда; в частности
их—первый член, иг—второй член, ..., ип—п-й или общий член
ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда ипУ
как функция его номера п: un=f(n).
Приведем несколько примеров рядов:
^А^'-в> общий член ряда ^=;
2 + 6+ 18Н [-2.3П-1Н , общий член ряда ип = 2.3п-1\
1 — 1 + 1 — Н h(— lf'H 1 общий член ряда ал = (— I)"*1;
sin у + sin -2- + sin у + • • • + sin -^ + • • •, общий член ряда ип = sin— .
Определение. Сумма Sn первых п членов ряда называется п-й
частичной суммой ряда:
f •••+«». B)
Рассмотрим ряд
Составим последовательность частичных сумм Sn этого ряда. Для
этого прежде всего заметим, что общий член ряда можно записать
следующим образом:
1 2L
Поэтому
1 Q -Lj_-L.-±_±_l±_±--1_±.
2 ' °8 ^ 12^-3~ 1 2 "*" 2 З" 3'
1 , 1 1 1 ,1 I , 1 1 1 1
1 2f2 "З^У 4" Тс
495

Подобным же образом найдем, что
S = —+ ¦ 1 ' 1 '
==1_1 , ±_1_+_1_± + _| ! 1 i 1_.
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм
этого ряда
lim Sn= lim П —j^ry ) = 1— ^m ^4ГГ= ^
Рассмотрим еще ряд
Найдем последовательность его частичных сумм:
с о ^ — '
Эти частичные суммы можно переписать следующим образом:
Sl = 2 = 3 —I, S2 = 8 = 32 —I, S8-26 = 33—1, ..., S/I=3W~1*.
Отсюда следует, что
lim 5n== lim Cn— l)=oo.
П -*¦ 00 П ¦+ 00
Для ряда
l_l + l_l + ...+(_iy«-i+..; E)
последовательность частичных сумм имеет вид
S1=l, S2=0, S3 = l, S4 = 0 ...
В этом призере последовательность частичных сумм не стремится
ни к какому пределу.
Таким образом, для некоторых рядов последовательность час-
частичных сумм стремится к определенному пределу, для других же
рядов такой предел не существует.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует
конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при
неограниченном возрастании номера суммы, т. е.
lim Sn=S. F)
Определение. Предел S последовательности частичных сумм
сходящегося ряда называется суммой ряда.
Если S является суммой сходящегося ряда их-\-и2-\-и3-\-... +
+ип+ ..., то пишут:
5 =иг + и2 + и8 + • • • + ип + ... .
Если последовательность частичных сумм ряда не имеет пре-
предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы
не имеет.
* Вывод этой формулы можно выполнить с помощью математической индукции,
496

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, заключаем, что
ряд C) сходится и его сумма S=l, а ряды D) и E) расходятся и
суммы не имеют.
Ряды являются очень важным аппаратом математического ана-
анализа и применяются для вычислений и исследований Как в различ-
различных разделах самой математики, так и во многих задачах.
2. Геометрическая прогрессия
Одним из простейших, но очень часто встречающихся рядов,
является геометрическая прогрессия:
a + aq + aq*+...+aq»-1+...; G)
а называется первым членом прогрессий, а множитель q—знаме-
q—знаменателем прогрессии.
Сумма п первых членов (п~я частичная сумма) прогрессии, как
известно, может быть вычислена при q Ф 1 по формуле
с — а—аяп
1) Если |<7|<1, то qn—+0 при п—> оо (см. гл. V, § 1, п. 8),
пример 6) и
Ит Sn= lim 2=22! = lim Л ton
l Я l
Я J
Таким образом, при | q \ < 1 геометрическая прогрессия является
сходящимся рядом, сумма которого
1-я
2) Если \q\> 1, то qn^+oo при п—> оо (см. гл. V, § 1 п. 8) и
1 /7
Ч
Следовательно, в этом случае ряд расходится.
3) Если <7=1, то ряд G) принимает вид
Для него Sn = na и при a=?Q lim Sn = oo, т. е. ряд расходится.
4) Если 9 = — 1, то ряд G) принимает вид
а—а-\-а—а-\-...
В этом случае Sw = 0 при п четном к Sn = a при п нечетном. Сле-
Следовательно, при а Ф 0 lim Sn не существует и ряд расходится.
Итак, геометрическая прогрессия является сходящимся рядом при
| q | < 1 и расходящимся при | q \ ^ 1,
497

3. Простейшие свойства числовых рядов
Рассмотрим несколько простых свойств числовых рядов, кото-
которые нам понадобятся в дальнейшем.
Теорема Ь Если ряд
Щ + иг + иь+ ... +ип+ . .* (8)
сходится и имеет сумму S, то ряд
+ .. м (9)
гЗе а заданное число, также сходится и его сумма равна aS,
Доказательство. Пусть /г-я частичная сумма ряда (8) бу-
будет Sn, а п-я частичная сумма ряда (.9)—оп. Тогда
Отсюда
lim а„*« lim aSn *» a lim Srt = aS.
Таким образом, ряд (9) сходится и имеет сумму aS,
Теорема 2* ?с./ш рябь/
+...+un+... A0)
сходятся и имеют соответственно суммы S и S, то ряд
(м1 + о1) + (и1 + о1) + (аш + ов)+...+(ая + оя)+...| A2)
получающийся почленным сложением данных рядов, также сходится
и имеет сумму S + S.
Доказательство. Обозначим я-е частичные суммы рядов
A0), A1) и A2) соответственно Snt Sn и вп. Имеем:
Переходя к пределу, получаем
lim an= lim (Sn + Sn)= UmSn+
Итак, ряд A2) сходится. Ряд A2) называется суммой рядов A0)
и A1).
Замечание. Аналогично можно доказать, что будет сходиться
ряд
(u1—vl) + {ut—v%) + (u9 — vb)+... +(ua—vn)+... A3)
и его сумма будет равна S—S. Ряд A3) называется разностью ря-
рядов A0) и (И).
Рассмотрим два ряда
+.„ A4)
1 + ая-|-м| A4')
493

Теорема 3. Если сходится данный ряд A4), то сходится и ряд A4'),
полученный из ряда A4) отбрасыванием конечного числа k его пер-
первых членов. Обратно, если сходится ряд A4'), то сходится и дан-
данный ряд A4).
Доказательство. Обозначим через Sn сумму п первых чле-
членов ряда A4), через Sk сумму k отброшенных членов (k <n) и через
а„_Л сумму п—k первых членов ряда A4'):
, + U8 + . .
Следовательно,
Sn = Sk + on-k9 A5)
причем Sk — некоторое число, не зависящее от п.
1. Пусть ряд A4) сходится и имеет сумму S, т. е. lim Sn = S.
п -> оо
Тогда из равенства A5) следует:
lim on-k= lim (Sn—Sk)= lim Sn— lim Sk = S—Sk.
П-+ CO n-*CD П->00 n-*-CO
Итак, частичные суммы an_k ряда A4') при п—> оо имеют предел,
т. е. ряд A4') сходится.
2. Пусть ряд A4') сходится и имеет сумму а, т. е. 1тктлНк = а.
П-»- 00
Из A5) следует:
lim Sn= lim
П -*¦ 00 П->00
т. е. ряд A4) сходится.
Теорему A3) можно сформулировать также следующим образом.
На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного
числа его первых членов.
4. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд их + и2 + и3 + ... + ип + ... сходится, то его
общий член ип стремится к нулю при неограниченном возрастании
номера п.
Доказательство. Пусть дан сходящийся ряд
имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы
5„-1 = их + и2 + ид + ... + ип_г.
Отсюда un = Sn—Sn_1. Следовательно,
lim un= lim (Sn—5Я_1)= lim Sn— lim S^
499
n
n~+cc n -* со n-*-ao n -* со

Ho HmSrt = SH Hm SA;_,=S, так как при я —юо и я — 1—>оо.
Поэтому
lim un=S—S = 0. A6)
Итак,
lim и„ = 0.
Я ->• СО
Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если
общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возраста-
возрастании его номера п, то ряд обязательно расходится.
Действительно, если бы ряд сходился, то по предыдущей теореме
его общий член обязан был бы стремиться к нулю, что противоречит
условию. Например, для ряда
Общий член ип =
2 ^ 3 ^ 4
lim un = lim —^j- = lim =- = 1.
Так как lim ип=1ф0, то ряд расходится.
Условие lim мЛ = 0 является необходимым для сходимости ряда,
wo н^ достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся
ряды, для которых lim un — 0.
П -+ QO
Примером может служить ряд
1 ^^.-.+;i=+— 07)
Здесь lim «„= Hm -^= = 0. Однако легко показать, что этот ряд
расходится.
Для этого рассмотрим частичную сумму ряда
о 1,1,1, ,1
TaKKaK_i_>_L, _!r>_L,_^_>_L, ..., то 0чезидН01
ЧТО
Отсюда непосредственно следует, что
lim Sw = oo,
«->00
и, следовательно, ряд расходится.
500

5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных
рядов
Как мы уже знаем, суммой ряда называется предел последова-
последовательности его частичных сумм S= lim Sn. Однако нахождение этого
п -+ оо
предела во многих случаях связано с большими трудностями. В та-
таких случаях сумму ряда находят приближенно, заменяя ее частич-
частичной суммой Sn с достаточно большим номером п. Но для этого надо
быть уверенным, что данный ряд сходится. Сходимость или расхо-
расходимость ряда во многих случаях удается установить с помощью
так называемых достаточных признаков. В этом пункте будут рас-
рассмотрены достаточные признаки сходимости и расходимости для
рядов с положительными членами. Такие ряды называются знако-
знакоположительными»
Прежде всего заметим следующее. Так как в знакоположитель-
знакоположительном ряде все члены положительны, то его частичные суммы
S S S S
возрастают с увеличением номера суммы п. Таким образом, частич-
частичные суммы ряда образуют монотонно возрастающую числовую после-
последовательность
51<S2<S3<..<SW<...
Здесь возможны два случая.
1. Последовательность частичных сумм неограничена. В этом
случае limSw=oo и, следовательно, ряд расходится.
п -* оо
2. Последовательность частичных сумм ограничена, т. е. Sn < С
при любом п. В этом случае последовательность частичных сумм
имеет предел (см. гл. V, § 1, п. 8) и, следовательно, ряд сходится.
Таким образом, при доказательстве того, что тот или иной зна-
знакоположительный ряд сходится, достаточно доказать только огра-
ограниченность последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим теперь некоторые наиболее часто встречающиеся
признаки сходимости и расходимости рядов.
Признаки сравнения рядов
Теорема 1 (достаточный признак сходимости). Даны два знако-
знакоположительных ряда
+-... (V)
Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих чле-
членов второго ряда:
Ki<t>lf и2<1>2, и3<а3> •••> ия<оя, ..., A8)
и второй ряд сходится. В таком случае первый ряд также сходится
и его сумма не превосходит суммы второго ряда*.
* Заключение теоремы 1 остается в силе, если некоторые члены ряда (V)
равны нулю.
501

Доказательство. Обозначим через Sn и б„ соответственно
n-е частичные суммы первого и второго рядов:
S b
Из неравенств A8) следует, что Sn^.8n. Так как второй ряд (V)
сходится, то существует Нтб„ = б. При этом, поскольку члены
п •-*¦ оо
ряда положительны, очевидно, что б„ < б, а следовательно, и Sn < 6.
Таким образом, частичные суммы ряда (U) ограничены и, следова-
следовательно, ряд (U) сходится, причем его сумма не превосходит суммы
ряда (V), как это следует из неравенства Sn < б.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Даны два
знакоположительных ряда
\ Ь0„ + • • • (V)
Пусть члены первого ряда не меньше соответствующих членов вто-
второго ряда
u1>vl> u2^v2> a3>03, ..., un^vnt ..., A9)
и второй ряд расходится. В таком случае первый ряд также расхо-
расходится.
Док азательство. Обозначим снова через Sn и б„ соответст-
соответственно частичные суммы первого и второго рядов:
Из неравенств A9) следует, что Sn^an. Так как ряд (V) расхо-
расходится и его частичные суммы возрастают, то liman = oo. В таком
П -*¦ со
случае и HmS^oo и, следовательно, ряд (U) расходится.
При исследовании рядов с помощью признаков сравнения не-
необходимо иметь для сравнения ряды, относительно которых известно,
сходятся они или расходятся.
В п. 2 мы рассмотрели геометрическую прогрессию и устано-
установили, что она представляет собой ряд, сходящийся при |<7|<1 и
расходящийся при | q \ ^ 1.
Ниже будет показано, что ряд
5р+-'1&+-- B°)
сходится при показателе р> 1 и расходится при 0<р^1. При
р=в1 получается ряд
который называется гармоническим. Ряд B0) называется обобщен-
обобщенным гармоническим рядом.
Геометрическая прогрессия, гармонический и обобщенный .гар-
.гармонический ряды очень часто используются при исследовании рядов
с помощью признаков сравнения.
502

Пример 1С Исследовать, сходится ли ряд
1^4h4+...+-l+... B2)
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд
-J L _i ! 1 L . . . -L. — 4- • •• №\
О2 ' 03 I 9^ ' ОН ' V /
Ряд B3) представляет собой геометрическую прогрессию со знаме-
знаменателем q = -j < 1 и, следовательно, сходится. Так как члены ряда
B2) не превосходят соответствующих членов ряда B3), то по тео*
реме 1 ряд B2) также сходится.
Пример 2. Исследовать, сходится ли ряд
1 +-Я^ + 7г?=7 + -''+^4=т=^+--' B4)
У\п 2
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд
1 I ' I ' I ,. ¦ I ' | . B5)
который расходится (см. п. 4). Так как каждый член ряда B4)
больше соответствующего члена ряда B5):
In л < я, Vhui < Vn, -7^=- > ^L-,
у In/г у п
то по теореме 2 ряд B4) также расходится.
Применение признаков сравнения при исследовании рядов часто
бывает затруднительно из-за необходимости составлять вспомога-
вспомогательный ряд. Общих приемов для зтого, годных для всех случаев,
не существует. Поэтому при исследовании рядов часто применяются
другие достаточные признаки, в частности следующий признак.
Признак Даламбера*, Если для знакоположительного ряда
«! + ". + «•+•••+"»+••• B6)
существует предел отношения последующего члена к предыдущему
при неограниченном возрастании номера члена л, т. е.
lira ^ = P, B7)
то при р < 1 ряд сходится, а при р > 1 ряд расходится.
Доказательство, а) Пусть р<1. Покажем, что ряд схо-
сходится. Действительно, так как
то на основании определения предела для любого е > 0 можно по-
подобрать такое N, зависящее от е, что для всех членов ряда, номер
* Даламбер A717—1783)—французский математик.
603

которых n^N9 выполняется неравенство и*^—Р <*• Отсюда
следует, что
ИЛИ
Полагая p-fe = ?, будем иметь ^^ < q. Так как р по предполо-
предположению меньше единицы, а е произвольно мало, то е можно выбрать
настолько малым, чтобы <7 = р + е<1. Таким образом, для nN
будем иметь:
ИЛИ
«//+1 < «Art. «^+г < «лч-i? < uNq\ uN+}i < i%+2? < uNq\ . .7
Рассмотрим два ряда
-\ , B8)
+... B9)
Ряд B9) сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем
\q\ < 1. Так как члены ряда B8) не превосходят соответствующих
членов ряда B9), то на основании признака сравнения (теорема 1)
ряд B8) также сходится.
Но ряд B8) получается из данного ряда B6) отбрасыванием
конечного числа членов ut + u% + ua+ • • • +uN^t; следовательно, по
теореме 3 п. 3 ряд B6) также сходится.
б) Пусть теперь р> 1. Покажем, что ряд расходится. Действи-
Действительно, в этом случае
Я-00 «It
Отсюда следует, что начиная с достаточно больших значений п > N
^> 1. или ип+1>ип.
Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера
члена п. Поэтому Итипф0, т. е. не выполнен необходимый при-
п -+ оо
знак сходимости ряда и ряд должен расходиться.
Замечание 1. Если lim ^±±=oo, то ряд также расходится,
П-+ оо ип
так как и в этом случае для достаточно больших п ^-^ > 1 и,
следовательно, lim un
П-+ 00
504

Замечание 2. Подчеркнем еще раз, что, если расходимость
ряда установлена с помощью признака Даламбера, то общий член
ряда не стремится к нулю.
Замечание 3. При р=1 признак Даламбера на вопрос о том,
сходится или расходится ряд, ответа не дает. Как показывают
примеры, в этом случае может иметь место как сходимость, так
и расходимость.
Рассмотрим примеры исследования рядов на сходимость с по-
помощью признака Даламбера.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
Л • 3
3
Решение. Вычисляем
р= Шп 2"±*- Hm PCH-O-i.gnrdi _ „m »&+D_
п -*• со "п п -»• во
_5_ _7^ ,
Зз "Г 34 "Г
. 2м—1
"Г 3" -г
Итак, р=1/3<1 и, следовательно, данный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
2 4 8
T+I6+8T+
2п
Решение. Вычисляем
= 21im т-^--=2 lira
Так как р = 2> 1, то данный ряд расходится.
Рассмотрим теперь два примера рядов, для которых р=1, и
покажем, что один из этих рядов сходится, а другой расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
"Ь
Решение. Вычисляем
На основании признака Даламбера сделать заключение о сходимо-
сходимости или расходимости ряда мы не можем. Однако, как было ука-
указано в п. 4 этого параграфа, этот ряд расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
1,1,1, , 1
+ +1
п(п+\)
605

Решение. Вычисляем
1
1 lim n(n+\)
Выше (см. п. 1 этого параграфа) непосредственным нахождением
суммы этого ряда было показано, что он сходится.
В тех случаях когда признак Даламбера не позволяет сделать
вывода о сходимости или расходимости ряда, наряду е признаками
сравнения часто применяется следующий достаточный признак схо-
сходимости ряда.
Интегральный признак Коши *. Пусть члены знакоположитель-
знакоположительного ряда
\ Ь ип Н C0 j
являются значениями при jc = 1, 2, 3, ..., п, ... некоторой функ-
функции f(x), положительной, непрерывной, монотонно убывающей на
интервале 1 ^л: < + °°> ^пак что
Тогда:
+ 00
а) если J f(x)dx сходится, то сходится и ряд C0);
1
+ 00
б) если \ f(x)dx расходится, то ряд C0) также расходится.
1
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную сверху графиком функции y = f(x) с основанием от
х—1 до х= п. Впишем в эту трапецию и
опишем около нее две ступенчатые фигуры,
состоящие из прямоугольников, основания-
основаниями которых служат сегменты [1,2], [2, 3],
[3,4], ...
Высотами первой из них служат значе-
значения функции /B), /C), fD), ..., /(л), а
высотами второй — значения / A), / B), / C),
...,f(n— 1)(рис. 260). Как
видно из рисунка, пло-
площадь криволинейной тра-
трапеции, выражаемая интег-
ралом
п
\ f(x)dx,
1
заклю-
1 в з k n-t п
чается между площадями
Рис. 260 вписанной и описанной
ступенчатых фигур.
Так как площадь вписанной фигуры выражается суммой
* О. Коши A789—1857) — французский математик,
506

а описанной — суммой
то получаем неравенства
иг + иь + tit -\ i-un
или короче,
п
Sn-ui<lf(x)dx<Sn-un,
Отсюда получаем
п
\ C1)
i
n
Sn>un+\f(x)dx. C2)
1
Рассмотрим теперь следующие случаи.
00
а) Пусть несобственный интеграл \if(x)dx сходится (существует).
п
Это значит, что существует lim \f(x)dx=*I. Так как /(х)>0, то
П-+ СО 1
п
с возрастанием n\^f(x)dx возрастает и не превосходит своего пре-
дела:
п п
\f(K)dx< lim \f(x)dx=I.
Из неравенства C1) следует, что Sn<a1 + /. Таким образом,
в этом случае последовательность частичных сумм ограничена и,
следовательно, существует lim Sn = S, т. е. ряд сходится.
б) Пусть несобственный интеграл J f(x)dx расходится (не су-
1
п
ществует). В этом случае lim \ f(x)dx=+oo. Из неравенства C2)
следует, что последовательность частичных сумм Sn неограничена
и, следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим примеры на применение интегрального признака.
Выше в этом пункте было указано без доказательства, что обобщен-
обобщенный гармонический ряд B0)
1,1,1, 1 ,
+ + ^ H
607

где предполагается, что р > 0 сходится при р > 1 и расходится
при р^1. Докажем это с помощью интегрального признака.
Члены ряда здесь равны значениям положительной монотонно
убывающей функции /(л;)=~ при х = 1, 2, 3, •.., п> ... Рассмот-
+ 00
С dx
рим несобственный интеграл \ ^. Как мы знаем (см. гл. VIII,
§ 5, п. 1), при /?^1 этот интеграл расходится, а при р > I—схо-
I—сходится. Следовательно, ряд B0) сходится при р > 1 и расходится
при /?< 1.
6. Знакопеременные ряды
До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были
положительными*. Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов,
содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие
ряды называются знакопеременными.
В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд
±_±_± , JL + ±_J _L + ±_i__L
|а 22 З2 """ 42 ^ 52 б2 72 ' 82 ' 92
C3)
Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая,
так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за
каждым положительным членом следует отрицательный и за каж-
каждым отрицательным членом следует положительный.
Обозначая через ии и2, ..., ип—абсолютные величины членов
ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся
ряд запишем следующим образом**:
ut—u, + u3-u4+... +(—l)n-iUn+ ... C4)
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак
сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде C4) абсолют-
абсолютные величины членов убывают:
Щ > и2 > и3 > ... > ип >... C5)
и общий член ряда стремится к нулю: lim ип == 0, то ряд сходится
и его сумма не превосходит первого члена ряда.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа
членов ряда
* Ряд* все члены которого отрицательны, не представляет нового по сравне-
сравнению со знакоположительным рядом, так как он получается умножением членов
знакоположительного ряда на (—1).
** Исследование знакочередующегося ряда с отрицательным первым членом
—и^-\-щ—и3+...—(— 1)й-1ыя + ... путем умножения всех его членов на (—1)
сводится к исследованию ряда C4).
508

Сгруппируем члены попарно:
52да = (иг—
Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают,
то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S2m
положительна и возрастает при увеличении т.
Запишем теперь S2m, группируя члены иным образом:
Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому
для любого значения т S2m < иг. Таким образом, последовательность
четных частичных сумм S2m возрастает с увеличением /и, оставаясь
при этом ограниченной. Следовательно, S2m имеет предел lim S2m = S.
ГЛ. -*¦ CD
При этом, так как S2m<ult то ясно, что S^ut.
Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:
При т—> оо имеем
lim S%m+l = llm (Stm + utm+l)=lim S2m + \im u%m+l =
tit -*• 00
так как по условию Нтий = 0 и, следовательно, Птм2/я+1=0.
п -*¦ оо т -»- оо
Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного
числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще
lim SW = S, т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказатель-
П -*• со
ства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
1 ! | ! _l/ !
i 9^3 1 Q.42 * * • ^ V
1-2* 2-33 1 3-42 ••• г\ ч п(п+\)* ••'
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейб-
Лейбница:
ч Т2з > > > > ^
2) lim«n- lim
Следовательно, ряд сходится.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакоперемен-
знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде
+... C6)
числа и19 иг, и3, ... ип9 ... могут быть как положитель-
положительными, так и отрицательными.
Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак
сходимости знакопеременного ряда.
Теорема.. Если для знакопеременного ряда
+... C7)
509

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
KI + KI+KI+..- + KI» C8)
то данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, состав-
составленный из членов рядов C7) и C8):
l 1  + 1^1 | , ип + \ип\ ,
2 I 2 г • • • "I 2 г • • • •
Имеем:
при «п>0 «„ = |«в| и r«
При Ы„<0 К|—Ц, И
Таким образом, члены ряда C9) либо равны членам сходящегося
ряда C8), либо меньше их. Поэтому ряд C9) сходится на основании
признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).
Умножив все члены сходящегося ряда C8) на -^, получим схо-
сходящийся ряд
(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью
сходящихся рядов C9) и D0)
V
Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.
Но ряд C7) получается из последнего ряда умножением всех его
членов на 2:
Следовательно, ряд C7) также сходится (п. 3, теорема 1).
Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд C3)
1 1 1 1 1 1
IT—22*— 3^"+ 42 "+"2" "S3" • ••
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных вели-
величин членов данного ряда
"р" ~Ь-^а" Н" 2" +-42" + • • • • D1)
Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показа-
показателем р = 2> 1. Следовательно, на основании доказанного признака
сходится и данный ряд C3).
Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это зна-
значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то
510

время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов,
расходятся.
Действительно рассмотрим ряд
т+ • • • +*-1)" !+•••• D2)
который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем,
ряд
1+Т + 7+Т+--+1Г+"-' <43)
составленный из абсолютных величин членов данного ряда D2)»
является гармоническим и, следовательно, расходится.
Хотя рассмотренные выше ряды C3) и D2) оба сходятся, однако
характер их сходимости различен.
Ряд C3) сходится одновременно с рядом D1), составленным из
абсолютных величин его членов, тогда как ряд D3), составленный
из абсолютных величин сходящегося ряда D2), расходится.
В связи с этим введем следующие определения.
Определение. Знакопеременный ряд иг + и2 + иг + ... +
+ип-\-.,,называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд,
составленный из абсолютных величин его членов \ их | +1 и2| +1 ti8 | -f
Н-...+|ап| + ...
На основании достаточного признака сходимости знакоперемен-
знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.
Определение. Знакопеременный ряд #1+ма+мз+... +ип+...
называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, состав-
составленный из абсолютных величин его членов | их | +1 и2 \ +1 ив \ + ... -{-
+| ип | + ... > расходится.
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать,
что ряд C3) является абсолютно сходящимся, а ряд D2)—неабсо-
D2)—неабсолютно сходящимся.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани-
занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды пере-
переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеет
свойство переместительности, которым обладают только абсолютно
сходящиеся ряды.
Это свойство, которое мы приводим без доказательства, форму-
формулируется следующим образом.
Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой пере-
перестановки его членов.
Наоборот, в неабсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять
члены, так как в случае их перестановки может измениться сумма
ряда и даже получиться расходящийся ряд.
Говоря о перестановке членов, мы подразумеваем, что меняем
местами бесконечное множество членов, так как, переставляя два,
три, четыре или любое конечное число членов, мы, очевидно,
не изменим суммы ряда.
511

Рассмотрим в качестве примера неабсолютно сходящийся ряд D2)
сумму которого обозначим через S.
Переставим члены этого ряда, поместив после каждого положи-
положительного члена два отрицательных. Получим ряд
± + 1-±-±
8^5 10 12
D24
Обозначим частичные суммы ряда D2) через Sn и ряда D2') через
оп. Тогда
s =i_j_==i. s =r_j i | i l^JL
4=1—14-1 — 14-1 — 1-5?
6 2 "+" 3 4 ' 5 6 ~~ 60 ' # " '
i._I.__J_ —i ! L_j_! ! L—7
_ 7_ J j 1 _ 37
a9~4~t" 5 10 12 20э '"
Итак, Oo —-?rS2, ae =-jr54, a9 = ^-S0, ... и вообще, как можно
? Zi ?
1 i« о о 1- 1 «S
показать, сгзп-= у S2/z. Так как limo2w=S, то lim о%п~-<г\\т S2n=—.
/Z —>• 00 /2->00 rt-*-C©
Итак, последовательность частичных сумм ряда D2) с номерами,
кратными трем, имеет своим пределом у S. Можно показать, что
этот же предел -^ S имеют последовательности всех частичных сумм
Таким образом, a = limaw существует и, значит, ряд D2') схо-
П -»¦ 00
дится. При этом его сумма составляет половину суммы ряда D2),
из которого он получен перестановкой членов.
7. Остаток ряда и его оценка
Рассмотрим сходящийся ряд
Как известно, его сумма S является пределом последовательности
его частичных сумм Sn=^u1 + u2 + u3+ ... -\-ип при м—>оо:
S = lim Sn.
Поэтому для достаточно больших п имеем приближенное равенство
S*Sn. D5)
Точность этого равенства возрастает с увеличением п. Для оценки
точности приближенного равенства D6) введем понятие остатка
сходящегося ряда,
512

Определение. Разность между суммой ряда S и его п-й час-
частичной суммой Sn называется п-м остатком сходящегося ряда D4).
Остаток ряда обозначается гп:
ra = S-Sn. D6)
Как видно из равенства D6), остаток ряда представляет собой
сумму сходящегося ряда, полученного из данного ряда отбрасыва-
отбрасыванием п его первых членов:
rn = w«+i + ип+2 + ... + un+k + .., D7)
Из определения остатка ряда ясно, что
lim гя = 0. D8)
п -> со
Действительно,
lim гя= lim (S—Sn)=S— lim Sn = S—S = 0.
П -»• CD П -*¦ 00 /i -»¦ CO
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частич-
частичной суммой Sn, очевидно, равна модулю остатка ряда:
A5 = |S-SJ = |re|.
Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до
е > 0, то надо взять сумму такого числа п первых членов ряда,
чтобы выполнялось неравенство \гп\ < е. Однако в большинстве
случаев находить остаток гп точно мы не умеем. Поэтому выясним,
как выбирать номер остатка я, чтобы его модуль не превосходил
заданного числа е.
Оценка остатка знакоположительного ряда
Теорема 1. Если все члены сходящегося знакоположительного ряда
Щ + U-ъ + «з +••-+«»+••• D9)
не превосходят соответствующих членов другого сходящегося знако-
знакоположительного ряда
vt + v2 + v3+ ... +0Я-Ь... E0)
то п-й остаток ряда D9) не превосходит п-го остатка ряда E0).
Доказательство. Обозначим через гп и г'п /1-е остатки ря-
рядов D9) и E0)
.. E2)
Каждый из этих остатков является суммой сходящегося знакополо-
знакоположительного ряда.
Так как по условию un+1^vn+1, un+2^va+2, ... , то на осно-
основании признака сравнения (п. 5, теорема 1) сумма первого ряда
не превосходит суммы второго ряда, т. е.
17 № 2242 513

Определение. Если даны два сходящихся ряда
... , (V)
причем члены ряда (V) больше соответствующих членов ряда (U),
то ряд {V) называется мажорирующим рядом по отношению
к ряду (U).
Из предыдущей теоремы следует, что остаток мажорирующего
ряда всегда больше или равен остатку основного ряда.
Обычно в качестве мажорирующего ряда берут ряд, остаток
которого г'п можно легко вычислить (например, геометрическую
прогрессию).
Тогда, по только что доказанной теореме, мы легко оценим
остаток гп данного ряда.
Пример 1. Оценить третий остаток ряда
J_,_! l
2-5"*~ 3.52 "Г"
3.52 "Г" 4-53 "*" •• •~
Решение. Каждый член этого ряда меньше соответствующего
члена геометрической прогрессии
3"+ 5Г+ 53-+ ••• +5^+-'*
со знаменателем </=-=-. Следовательно, третий остаток г3 данного
ряда меньше третьего остатка г3 этой прогрессии:
г гг'Lj± + JL+ +4 54 1
г <гг—Lj_ + + +4-
'з <* 'з — 54 "г 5в "Г 5в г • • • ^г^п-г • • • 1 —1/5 — 500 *
Таким образом, сумма данного ряда отличается от суммы его
трех первых членов меньше, чем на ^.
Оценка остатка знакопеременного ряда
Теорема 2. Пусть дан абсолютно сходящийся знакопеременный ряд
Тогда абсолютная величина его п-го остатка не превосходит п-го
остатка ряда, составленного из абсолютных величин членов этого ряда.
Доказательство. Пусть знакопеременный ряд
иг + и2 + и3 + ... + ип+ ... E3)
сходится абсолютно. Это значит, что сходится и ряд
\иг\ + \и2\ + \и3\+...+\ип\+... E4)
Рассмотрим п-е остатки этих рядов
514

При любом р имеем:
К+1 + ^«+2 + • • • + Un+p | < | Un+l | + | Un+2 | + • • • + | tln+p |.
Переходя в этом неравенстве к пределу при р—*оо, получим
lim \un+1 + ua+t+...+un+ К lim [K+ii + K+2H- ••• +\ип+Р\]>
П -> 00 « > ад
П -> 00
ИЛИ
Пример 2. Оценить третий остаток г3 ряда
sin I sin 2 sin 3 . sin я
2 "Гз '"^ » ••• • ~2« {"••• •
Решение. Данный ряд знакопеременный, так как, например,
sin 1 > 0, sin 2 > 0, sin 3 > 0, sin 4 < О,
sin 5 < 0, sin 6 < 0, sin7>0,..#
Рассмотрим ряд
sin I I , I sin 2
-Q-I + I-22-I +
sin az
2» Г
Этот ряд сходится, так как его члены не превосходят соответствую-
соответствующих членов геометрической прогрессии-о-+"о2* + "оз'+ • • • +о«+ • • • :
sin я
2« -^ 2n *
Поэтому данный ряд сходится абсолютно.
Обозначая остатки данного ряда, ряда, составленного из абсо-
абсолютных величин, и геометрической прогрессии соответственно через
г3, Гз, и Гд, имеем
Таким образом, находим оценку третьего остатка данного ряда
1 *" 1
Оценка остатка знакочередующегося ряда*
сходящегося по признаку Лейбница
Особенно проста оценка остатка в случае знакочередую-
знакочередующегося ряда.
Теорема 3. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку
Лейбница, то его п-й остаток по абсолютной величине не превосхо-
превосходит первого из отброшенных членов.
Доказательство. Пусть ряд
17* 515

сходится по признаку Лейбница. Тогда п~и остаток ряда
гя = ± (ип+1 — ип+% + ип+9— ...)
сам является суммой знакочередующегося ряда. На основании при-
признака Лейбница остаток гп по абсолютной величине должен быть
не больше первого члена ряда, т. е.
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда
J L_L_J Л-f Пн-1 * | *
It 3! ^~ 5! • • • Т Ч B/1 — 1)!^ * • *
Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница,
поэтому
As = |S-S;!| = |/-n|<«n+1.
Так как сумма ряда должна быть вычислена с точностью до 0,01,
то достаточно, чтобы выполнялось неравенство | rn | ^ ип+1 ^0,01, или
Это неравенство выполняется, начиная с п = 3. Таким образом,
S«S, = -~—51- + -^-«1—0,167 + 0,008 « 0,841 « 0,84.
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
/• Область сходимости функционального ряда
Перейдем теперь к изучению таких рядов, членами которых
являются не числа, а функции, определенные в некоторой области
изменения аргумента х:
ut(x) + ut(x)+...-\-un{x)+... E6)
Например,
sin -^ + ~ s*n 2х+ ... +— s\nnx+ .. •
Такие ряды называются функциональными. Придавая х какое-либо
значение х9 из области определения функций un(x)t получим
числовой ряд
их (х0) + и% (х0) +...+ип (х0) + ... E7)
Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то
точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда E6).
Если при х=х0 ряд E7) расходится, то точка х0 называется точ-
точкой расходимости функционального ряда. Для одних точек, взятых
• Произведение натуральных чисел от I до какого-либо натурального, числа т,
т. е. 1-2*3 ... т, называется факториалом и обозначается ml. Таким образом,
т!=*!'2-3 . . . rth Например, 5l~l-J2-3«4-5=120.
516

из области определения функций ип(х), ряд может сходиться, а
для других —расходиться.
Определение. Совокупность всех точек сходимости функцио-
функционального ряда называется областью его сходимости.
Частичная сумма функционального ряда, т. е. сумма первых
его п членов
Sn (х) = иг (х) + и2 (х) +...+ия (х) E8)
является функцией переменной х.
Из определения области сходимости функционального ряда
следует, что для любой точки х этой области существует предел
частичной суммы Sn(x) при п—+оо. В точках, не принадлежащих
области сходимости, частичная сумма Sn(x) не имеет предела. Ясно,
что сумма S(x) функционального ряда является некоторой функ-
функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда.
В этом случае пишут
Если функциональный ряд сходится и имеет сумму S(x)9 то
разность S(x)—Sn(x) называется, как и для числовых рядов, его
остатком. Остаток ряда будем обозначать через гп (х): тп (х) =
= 5(х)—Sn(x). Ясно, что Urn гЛ(х)=0. Остаток гп(х) есть сумма
ряда, полученного из ряда E6) отбрасыванием его первых п членов
гп (х) = ип+1 (х) + ип+2 (х)+...+ ип+р (*)+... E9)
Пример. Определить область сходимости функционального ряда
Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем q = —. Как мы знаем, геометрическая прогрессия
сходится, если |<7|<1, и расходится, если | q \ ^ 1. Поэтому данный
ряд сходится для тех значений х> для которых -д < 1, или х2 > 1.
Таким образом, наш ряд сходится для всех точек х, для которых
|#|> 1. Область сходимости данного ряда состоит из двух беско-
бесконечных интервалов —оо<х< — 1и1<х< + оо.
2. Правильно сходящиеся функциональные ряды
и их свойства
Определение. Функциональный ряд E6)
«1 (*) + «2 (X) +...+«„ (X) + • • •
называется правильно сходящимся на сегменте [а, Ь], если существует
такой знакоположительный сходящийся ряд . '"'"'.
:..,• — • ' 'F3)
51?

что абсолютные величины членов данного ряда E6) для любого зна-
значения х, принадлежащего сегменту [а, 6], не превосходят соответ-
соответствующих членов знакоположительного ряда F1), т. е.
\ип{х)\<Ьп (л = 1, 2, ...). F2)
Приведем без доказательства некоторые теоремы о свойствах
правильно сходящихся рядов.
Теорема 1. Всякий функциональный ряд, правильно сходящийся
на сегменте [а, 6], сходится абсолютно в любой точке этого сегмента.
Известно, что сумма конечного числа непрерывных функций
есть функция непрерывная. Этим же свойством обладает сумма
правильно сходящегося функционального ряда, члены которого
являются непрерывными функциями, т. е. имеет место следующая
теорема.
Теорема 2. Если члены правильно сходящегося на сегменте [а, Ь]
функционального ряда
непрерывны, то сумма также непрерывна на сегменте [а, Ь].
Как мы знаем, сумму конечного числа функций можно почленно
дифференцировать и интегрировать.
Если
то
]
xt хг хг t t
J /(x)dx=> J[q> (x) + ®(x) + g(x)]dx = l ф(x)dx+ Jсо (x)dx+ \g(x)dx.
xt xt xt xx xt
F3)
Оказывается, что эти свойства не всегда выполняются, если число сла-
слагаемых бесконечно, т. е. для рядов. Однако эти свойства сохраняются
для правильно сходящихся на сегменте функциональных рядов.
Теорема 3. Если члены правильно сходящегося на сегменте [а, Ь]
функционального ряда
и1(х) + и2(х)+...+ип(х) + ...
непрерывны на этом сегменте, то ряд можно почленно интегриро-
интегрировать.
Это значит, что если хг и х2 любые две точки сегмента [а, 6], то
dx + ...
$.. F4)
Теорема 4. Пусть функциональный ряд
518

сходится на сегменте [at b] и его члены имеют непрерывные произ-
производные ип{х) (/гг=1, 2, ...). Тогда, если ряд, полученный после по-
почленного дифференцирования является правильно сходящимся на
сегменте [at b], то его сумма равна производной от суммы данного
ряда:
... +ип(х)+ ...]' = и[(х) + и'2(х)+ ... +и'п (х)+...
F5)
Теорема 5. Если правильно сходящийся на сегменте [а, Ь] ряд
и±(х) + иг(х) + ... +ип(х)+ ...
умножить на ограниченную функцию у(х), то полученный ряд
q>(x)-u1(x)+q(x).u2(x)+... +<f(x)-un(x)+... F6)
будет правильно сходящимся на сегменте [at b].
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Важным частным случаем функциональных рядов являются
степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
t (x—a) + a2 {x—af +...+ап (х—а)п + ..., F7)
где а и коэффициенты ряда а0, а1У ..., ап9 ... —постоянные. В частно-
частности, при а = 0 степенной ряд имеет вид
2х*+...+апхп+... . F8)
/. Область сходимости степенного ряда
Изучим сперва свойства степенных рядов вида F8)
ао + а1х + а2х*+...+апхп+...
Прежде всего выясним, какой вид имеет область сходимости сте-
степенного ряда F8). Для этого рассмотрим знакоположительный ряд,
составленный из абсолютных величин членов ряда F8):
..., F9)
и применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем предел
отношения последующего члена un+1 = \an+1xn+1 \ к предыдущему
ип = \апхп\ при п—> оо:
И»
Предположим, что существует lim
. Обозначим его че-
рез -j*: lim -?±i ==¦?•
519

Тогда
и 1
На основании признака Даламбера заключаем, что если lim "^ =
= -!-—-< 1, т. е. если |x|</?f то ряд F9) сходится. Но в таком
случае по общему достаточному признаку сходимости знакоперемен-
знакопеременных рядов ряд F8) также сходится при |х| </?, причем, очевидно,
сходится абсолютно. Если же lim^-i > 1, то ряд F9) расходится. Так
как в этом случае для всех достаточно больших п члены ряда F9)
возрастают (см. стр. 505), то общий член ип=-\апхп\ не стремится
к нулю при п—*оо. Следовательно, не стремится к нулю и общий
член ряда F8), т. е. апхп. Поэтому для всех значений х, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству |jc|>/?, степенной ряд F8) расходится.
Рис. 261
Если, наконец, lim ^ii — LS — l, т. е. если \x\-R, то здесь
признак Даламбера неприменим, и как ряд F9), так и ряд F8)
могут сходиться или расходиться в зависимости от конкретных
случаев.
Таким образом, в предположении, что lim ^-^ существует
и не равен нулю, доказана следующая теорема.
Теорема. Областью сходимости степенного ряда
аЛ 4- аЛх + ajt2 -4- ... + а„хп + ...
является интервал (— R, /?), к которому, в зависимости от конк-
конкретных случаев, могут быть добавлены концевые точки — R и R
(рис. 261). В каждой точке интервала (—/?, R) ряд сходится аб-
абсолютно*.
Интервал (— /?, R) называется интервалом сходимости степен-
степенного ряда, а половина его длины, т. е. число R—радиусом сходи-
сходимости.
Ясно, что всякий степенной ряд F8) сходится при х = 0, так
как при х = 0 получается числовой ряд ao + O-f0+...-f0-f-
Если других точек сходимости нет, то в этом случае будем считать,
* Можно показать, что теорема остается справедливой и в случае, когда
~п + 1 1
не существует,
520

что радиус сходимости R — Q. Если степенной ряд сходится во
всех точках числовой оси, то будем считать, что радиус сходимости
Рассмотрим примеры на отыскание области сходимости степен-
степенных рядов.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда
-4= + -^== + ... Н—?=-+ ... G0)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных, ве-
величин членов данного ряда G0):
лг~г ~t~ 1/--7Г ~Н • • • "Ь ,/•— ~Ь • • v Ч
\х\п I х \n+l
Здесь а„ = ' ' , un+i = ' ' ; тогда
lim
Таким образом, ряд G1), а следовательно, и ряд G0) сходится
для | jc| < 1, т. е. в интервале (— 1, 1), и расходится для |jc|> I.
Радиус сходимости ряда /? = 1. Исследуем теперь сходимость ряда
на концах интервала сходимости, т. е. в точках х=1 их = —1.
Подставляя в ряд G0) л: ===== 1, получим расходящийся обобщен-
обобщенный гармонический ряд
+ ---¦+ Г7~-Ь + +
УТ 1 1/2" ' КЗ" ТА"п ' 'Ж#
(так как р = ~<1, см. §1, п. 5, стр. 508.)
В точке х = — 1 получим знакочередующийся ряд
который сходится на основании признака сходимости Лейбница.
Таким образом, окончательно, областью сходимости ряда G0)
является интервал (— 1, 1), к которому добавляется левая конце-
концевая точка х = — 1: — 1 ^ х < 1.
Пример 2. Найти область сходимости ряда
Решение. Найдем предел отношения последующего члена
к предыдущему для ряда, члены которого равны абсолютным вели-
величинам членов данного ряда:
1+^+^+...+^+...; G3,
521

Итак, для любого значения х '™ ^L±i = 0<l. Следовательно,
на основании признака Даламбера ряд G3), а значит и ряд G2)
сходятся на всей числовой оси. Здесь радиус сходимости R = oo.
2. Свойства степенных рядов
Пусть степенной ряд F8)
ао + а1х + а2х2+ ... + апхп+ ...
имеет интервал сходимости (—R, R). Рассмотрим ряды, получаю-
получающиеся из ряда F8) почленным дифференцированием и интегрирова-
интегрированием:
+...; G4)
.... G5)
Применяя признак Даламбера к рядам, составленным из абсо-
абсолютных величин членов ряда G4) и G5), и предполагая при этом,
что lim р^ы существует, легко убедиться, что ряды G4) и G5)
п -* оо I ап
имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд F8).
Таким образом, имеем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть степенной ряд
ао + агх + а2х2 + ... +апхп+...
имеет интервал сходимости (—R, R). Тогда ряды, полученные из
данного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием,
имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.
Теорема 2.у Пусть степенной ряд F8)
2 + ... +апхп +...
имеет интервал сходимости (—R, R); а г—произвольное положи-
положительное число, меньшее чем R @ < г < R). Тогда данный степенной
ряд является правильно сходящимся на сегменте [—г, г].
Доказательство. Как мы знаем, степенной ряд сходится
абсолютно в любой точке интервала сходимости. Поэтому в точке
х = г знакоположительный ряд
r2 + ...+\an\rn+... G6)
сходится. Пусть х—любая точка сегмента [—г, г]. Так как |л|^,
то | апхп 1^1^ \гп. Поэтому члены ряда, составленного из абсолютных
величин членов данного ряда F8)
2x2\+ ... +\апхп\+ ...,
для любого значения х, принадлежащего сегменту [—г, г], не
превосходят соответствующих членов числового знакоположительного
ряда G6). А это означает, согласно определению, что данный сте-
522

пенной ряд правильно сходящийся на сегменте [—/*, г]. Таким
образом, теорема доказана.
Теорема 3. Сумма степенного ряда F8)
ао + а1х + а2х*+ ... +апхп+ ...
является непрерывной функцией в каждой точке его интервала схо»
димости (— Ry R).
Доказательство. Пусть х0—любая точка интервала сходи*
мости. Тогда существует такое положительное число г, | х0 | < г < R,
что сегмент [—г, г] содержит точку х0 (рис. 262). По теореме 2
степенной ряд F8) на сегменте [—г, г] правильно сходящийся*
. 5 1 1 1 1 1 *-
-R -Г О XQ Г R X
Рис. 262
Потому, на основании теоремы 2, § 2, его сумма является непре-
непрерывной функцией в любой точке сегмента [—г, г] и, в частности,
в точке х0.
Теорема 4. Степенной ряд F8)
ao+a1x+atx2+... +апхп+...
можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала
сходимости.
Доказательство. Пусть степенной ряд F8) имеет интервал
сходимости (—R, R). Рассмотрим ряд, составленный из производ-
производных членов данного ряда:
а1 + 2а2х+...+папхп~1+... (*)
Согласно теореме 1, его интервал сходимости совпадает с интерва-
интервалом сходимости данного ряда. Пусть х0—произвольная точка интер-
интервала сходимости. Рассмотрим сегмент [—г, г], лежащий внутри
интервала сходимости и содержащий точку х0 (| х0 \ < г < R) (см.
рис. 262). По теореме 2 степенной ряд (*) правильно сходящийся.
Следовательно, на основании теоремы 4, § 2, его сумма равна
производной от суммы данного ряда, т. е.
(ao + alx+ ... +апхп+ ...)' =ах + 2а2х+ ... +папхп~1+...
Теорема 5. Степенной ряд
ао + агх + а2х2 + ... +апхп+ ...
можно почленно интегрировать в интервале cxoduMocmv (—R9 R),
т. е. еслих1 их2 — точки, принадлежащие интервалу сходимости, то
х% х2 хг
пх" + .. .)d* = S aodx+ \axxdx+ ... +
523

Доказательство. Рассмотрим сегмент [—г, г], лежащий
е интервале сходимости и содержащий точки хх и хг. Так как на
сегменте [—г, г] степенной ряд правильно сходящийся, то по тео-
теореме 3, § 2 его можно почленно интегрировать.
3. Ряды по степеням разности х—а
Рассмотрим теперь ряды по степеням разности х—а:
ао + а1(х—а) + а2(х—ау+...+а„(х~-а)»+... G7)
Ряды вида F8) являются частным случаем рядов G7) при а^О.
Положив х—a = t, приведем ряд G7) к ряду вида F8)
» +... G8)
Если ряд G8) имеет интервал сходимости (— R, /?), т. е. схо-
сходится для всех значений t> удовлетворяющих неравенствам—R <
< / < /?, то, очевидно, ряд G7) сходится для всех тех значений х,
для которых —R <х—а < R, т. е. для всех х, лежащих в интер-
интервале а—R <х <а + /?. Так как ряд G8) расходится для всех tt
таких, что |/|> R, то, следовательно, ряд G7) расходится для всех
значений х, удовлетворяющих условию \х—а \ > R.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда G7)
является интервал с центром в точке а длины 2/?. Во всех точках
этого интервала ряд G7) сходится абсолютно, а вне этого интервала
ряд G7) расходится. В точках x^a + R и x = a — R (т. е. на концах
интервала сходимости) в зависимости от конкретных видов ряда
может иметь место сходимость или расходимость.
Свойства степенных рядов по степеням х сохраняются и для
рядов по степеням х—а.
Степенной ряд G7) абсолютно сходится на интервале (а—R,
a-\-R) и его сумма есть непрерывная функция на этом интервале.
Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать
внутри его интервала сходимости, причем полученные ряды имеют
тот же интервал сходимости, что и исходный ряд G7).
Практически интервал сходимости ряда G7) можно находить
так же с помощью признака Даламбера.
Пример. Найти область сходимости степенного ряда
х~2_|_ (х—2J ^ (х—2)п ^ ^ ^д.
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных вели-
величин членов данного ряда:
\х-2\
1*-2P t |s-2|»
я
Применяем признак Даламбера: и„ = >;2„ , ."„+1 = (
Jim ^±1- lim l*-
,,Т1 и- ~n"l \x-2
524

По признаку Даламбера ряд G9') сходится, если -—^—-<1,ирас-
ходится, если ' 2 - > 1. Следовательно, и данный ряд G9) схо-
j х 21 1 х 21
дится, если -—й—-<1# и расходится, если -—~—-> 1. Поэтому
ряд G9) сходится в интервале 0 < х < 4 с центром в точке а = 2.
Радиус сходимости R'=^2. Исследуем сходимость ряда G9) в точках
х — 0, х = 4, т. е. на концах интервала сходимости. При х = 4 по-
получаем расходящийся гармонический ряд
1 + 4- + Т+...+ТГ+...
При х— 0 получаем неабсолютно сходящийся знакочередующийся ряд
Итак, ряд G9) сходится для всех *, удовлетворяющих условию
0<х<4.
4. Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора
Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда
х—а)п+.. .9 (80)
интервал сходимости которого (а — /?, a + R).
В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в степен-
степенной ряд в окрестности точки а или по степеням х—а. Найдем
коэффициенты а0, а19 ..., ап9 ... этого степенного ряда.
Л1ы знаем, что в интервале сходимости степенной ряд можно
почленно дифференцировать, причем в результате получается ряд,
имеющий тот же интервал сходимости (а — /?, а + /?), что и исход-
исходный ряд. Последовательно дифференцируя тождество (80), получим
тождества, справедливые для любого х из интервала сходимости
f(x) =a9 + at (х—а) + аъ (х—af + a3 {x—af + а, (х—а)* + ...
Г (х) = а, + 2а, {х-а) + За3 {x-af + 4а4 (х-а)* + ...
... +пан(х—а)»-1 + (п + 1)ап + х(х—а)а + .. .9
Г (х) = 2а,+ 2. За, {х—а) + 3- 4а4 (х—а)* +...
l)n(n-\)an+l(x—a)"-*+...9
525

Полагая в полученных тождествах х — ау получим
f(a) = a09 /»=*!. /»=2аа, /"» = 2.3а3,
р>(а) = п(л-1)(я —2}...3.2ая,...
Отсюда находим коэффициенты степенного ряда:
г/ ч «/ х /"(я) /"'И f{a)(a)
ИЛИ
Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (80),
получим
fin) (а\
Итак, если функция /(л;) разлагается в степенной ряд по сте-
степеням х—а, то этот ряд имеет следующий вид:
f{a) + ?^(X-a)+^(x-a)>+...+^(x-a)»+... (81)
Полученный ряд (81) называется рядом Тейлора* для функции/(я).
В частном случае, при а = 0 ряд (81) принимает вид
Этот ряд называется рядом Маклорена** для функции f(x).
Таким образом, если функция разлагается в ряд по степеням
х—а, то этот ряд является ее рядом Тейлора (или рядом Макло-
Маклорена, если а = 0).
Как мы видим, если функция разлагается в степенной ряд по
степеням х—а, то она имеет производные всех порядков в точке
х = а, или, как говорят, бесконечно дифференцируема в точке а.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть дана бесконечно
дифференцируемая в точке а функция f(x). Составим для нее фор-
формально ряд Тейлора
Поставим следующий вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора
совпадать с функцией f(x), для которой он составлен? Как пока-
показывают примеры, это не всегда так.
Пример.. Рассмотрим функцию y = f(x), определенную следующим
образом:
(
0, если х = 0.
* Тейлор A685—1731)—английский математик.
** Маклорен A698—1746)—шотландский математик.
626

Можно показать, что в точке л; = 0 эта функция имеет производные
всех порядков, причем f{n)@) = 0(п^ 1, 2, ...). Поэтому ряд Мак-
лорена для этой функции будет иметь вид
Его сумма S(x) тождественно равна 0 и, следовательно, не совпа-
совпадает с данной функцией.
Выясним теперь, при каких условиях сумма ряда Тейлора дан-
данной функции совпадает с функцией, для которой этот ряд составлен.
Запишем частичную сумму ряда Тейлора
Эта частичная сумма называется многочленом Тейлора степени п.
Рассмотрим разность между функцией f(x) и ее многочленом Тей-
Тейлора степени п. Эта разность называется остаточным членом ряда
Тейлора и обозначается через Rn(x)*:
Rn(*) = f(x)-Sn(x). (83)
Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке а
функция f(x) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора,
необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn(x) стремился
к нулю при п—+оо.
Доказательство. Условие необходимо. Пусть f(x) есть
сумма ряда Тейлора, т. е. lim Sn(x) = f(x). Тогда из формулы (83)
п -*- со
следует, что lim/?„(*) = 0.
Условие достаточно. Пусть limRn{x) = 0. Тогда из формулы
(83) следует, что lim [/(*)—Sn(x)] = 0, т. е. что limSn(x) = f (x). А это
п-+ 0 л-* оэ
и значит, что f(x) есть сумма ряда*
Эта теорема показывает, что для исследования вопроса о разло-
разложимости функции в ряд Тейлора нужно исследовать поведение его
остаточного члена Rn(x) при п—>оо. Если для данного значения
х = х0 lim Rn{xQ) =0, то сумма ряда Тейлора равна значению функции
в точке х0, т. е, f{x0). Если Rn{x0) не стремится к нулю, то ряд
Тейлора либо расходится, либо его сумма при х=х0 не совпадает
со значением функции в данной точке #<>.
Найдем, какой вид имеет остаточный член Rn{x). Из формулы
(83) имеем
* Не следует смешивать остаточный член ряда Тейлора с остатком ряда Тей-
Тейлора. Остаток ряда Тейлора есть разность между его суммой S(x) и частичной
суммой Sn(x): S(x)—Sn(x), а остаточный член ряда Тейлора Rn(x) есть разность
между функцией / (х), для которой этот ряд составлен, и Sn (x). Остаток ряда
Тейлора будет совпадать с остаточным членом ряда Тейлора только в случае,
если S(x) = f(x).
527

Подставляя в последнее соотношение выражение для Sn(x)> получим
(84)
Будем искать остаточный член R,,(x) в виде
где величина Q подлежит определению.
Тогда формулу (84) можно переписать в виде
Зафиксируем х. Тогда Q будет иметь некоторое числовое значение.
Для нахождения Q составим вспомогательную функцию
(л+ 1I V*
Полагая / —х, получим, очевидно, что F(x) — 0. Принимая во
внимание равенство (86), убеждаемся, что и F (а) — 0. Найдем произ-
производную от F (/) по переменной /, полагая при этом, что х постоянно:
или, после упрощений,
Итак, на сегменте [а, х] функция F(t) дифференцируема и на
концах сегмента обращается в нуль. Следовательно, она удовлетво-
удовлетворяет условиям теоремы Ролл я (см. гл. VI, § 6, п. 2). Поэтому
существует такое значение t=c, заключенное между а и х, для
которого производная F' (/) обращается в нуль: F'(c) = 0, т. е.
Из последнего соотношения находим Q:
Подставляя найденное значение Q в равенство (85), получим
(87)
где с заключен© между а и х.
528

Выражение остаточного члена по формуле (87) называется оста-
остаточным членом в форме Лагранжа.
В частном случае при а = 0, получим выражение остаточного
члена для ряда Маклореиа
где с содержится между 0 и л:.
Приведенные виды остаточного члена во многих случаях позво-
позволяют легко исследовать его поведение при п—> оо.
Принимая во внимание соотношение (86) и выражение (87) для
остаточного члена, получим
iT (89)
где с заключено между а и х.
Формула (89) называется формулой Тейлора, а ее частный слу-
случай при а = 0 называют формулой Маклорена
9^|,- (90)
где с заключено между 0 и х.
5. Разложение некоторых элементарных функций
в ряды Тейлора и Маклорена
Приведем примеры на разложение в степенные ряды некоторых
элементарных функций.
1. Разложение в степенной ряд функции f(x) — ex. Находим про-
производные: }'(х) = ех, f"(x)=ex, ..., f(n)(x) = ex, ... При х = 0 имеем:
/0 по Г0 1 /@1
) п) Г() /()
Напишем ряд Маклорена для функции f(x) — ex, воспользовав-
воспользовавшись формулой (82):
Определим область сходимости этого ряда, применяя признак Да-
ламбера:
X»*1
Следовательно, для любого х lim i^±A = 0<l, т. е. ряд (91) схо-
сходится абсолютно на всей числовой оси.
Для того чтобы установить, что этот ряд имеет своей суммой
функцию ех, покажем, что для любого х Rn(x) стремится к нулю
при п~*оо. Напишем остаточный член ряда Маклорена. Так как
529

f{n+1)(c)=ec, то по формуле (88) Rn(x) имеет вид
f(W + l) (q\ pC
п^ ' (п-\-\)\ (я-f-l)! •
где с заключено между 0 и х. Функция ех монотонно возрастает»
поэтому ес<е'*1, так как c<|jc|. Таким образом,
Мы только что видели, что ряд с общим членом '-^j- сходится на
всей числовой оси. Поэтому в силу необходимого признака сходи-
мости при любом х lim ь~- = 0. Но тогда и ' ' п также стремит-
ся к нулю при /г—> сю. Следовательно, на основании неравенства (92)
Rn(x)—**0 Для любого значения х и сумма ряда (91) совпадает
с функцией ех.
Итак, на всей числовой оси имеет место разложение
2. Разложение в степенной ряд функции f(x) = sin x. Находим
производные: /' (jt)=cos x, f" (х)=— sin x, f" (х)=—cos x, /IV (jc)=sin x,
Г (х) = cosх9 Г1 (х) = — sinх,..., /(п) (х) = sin (х + п у) (см. гл. VI,
§ 2, п. 1, формула E5)).
При х =0 имеем:
/(О)=о, /'@) = i, f(O)=o, Г@)=-1, /IV(O)=o,
/v@) = l, ..., p»-i>@)=(—I)»-1, /B«>@)=0, ...
Принимая во внимание формулу (82), получим для функции sin x
следующий ряд Маклорена:
х* х* *» (—1)я^я'
^ SI^S!""?!"" #'i Bл—1I h" #
Как легко проверить, полученный ряд сходится на всей число-
вой оси. Исследуем его остаточный член Rn (х) — ' l; xn+1 =
sin Г + ^+^У
^ / 4- IV хпАгХу где с содержится между 0 и х. Так как
| /*+i (с) | = I sin Гс+ (я + l)fl < 1, то | Rn (х) | < [Ji^. Принимая во
lyjn + l
внимание, что lim ' ' nt = 0 (см. предыдущий пример), заключаем,
что Rn(x)-^0.
Поэтому для функции sin л: на всей числовой прямой имеет место
разложение
8шл:=л:—зу + gj—. ..+ B„_ 1)! +• •• <94)
530

3. Разложение в степекной ряд функции f(x) = cos лг. Разложение
функции cos л: можно было бы получить приемом, аналогичным
тому, с помощью которого было получено разложение в ряд функ-
функции sin*. Однако проще получить разложение функции cosx, если
почленно продифференцировать разложение sinr*:
Следовательно,
у2 v4 / ]\n-lY2n — 2
рлс v 1 Л ! _ | ' > L
(95)
Bп — 2)!
Это разложение справедливо на всей числовой оси.
4. Биномиальный ряд. Разложим по степеням х функцию / (х) =
= (l+x)OT, где т—любое действительное число, отличное от нуля.
Дифференцируя, имеем:
При х —О
= 1, f'@) = m9
= т(т— 1)(т—2) A
= т(/п —1), Г'
—1)(т—2),
Подставляя в формулу (82), получим ряд Маклорена для функ-
функции A +)w
• пг
m(m —1
^2 ,
31
"i" • • •
т (m-1) (т—2).. .(т-п+ 1) „„
/г!
xn+ ...
Этот ряд называется биномиальным. Найдем его интервал схо-
сходимости. Применяя признак Даламбера, получим
т(т — 1) (т—2)...(т—п-\-\)(т—п)
lim ^Lti = lim
п •+ со ип п -»¦ а
/72 (/??-
/г!
^"
= | х | lim
л+1
Мы видим, что ряд сходится при | х | < 1, т. е. в интервале — 1 < х < 1.
Можно показать, что и в данном случае остаточный член Rn (x) для
|jc|<1 при п—> оо стремится к нулю. Однако в связи со сложно-
сложностью этого доказательства мы его опускаем.
Итак, в интервале —1 <х< 1 имеет место разложение
__ _j(m-l)v2 , m(m-l)(m-2).
1!
2! Л ^ 3!
т (т—\) (т—2).. .(т—п +1) „
л! * "
(96)
* Почленное дифференцирование законно на основании свойств степенных
рядов.
531

у При |jc|> 1, если только т не является натуральным числом,
ряд расходится. На границах интервала сходимости ряд будет схо-
сходиться или расходиться в зависимости от конкретных значений т*.
Если т—натуральное число, то начиная с n = m+l все коэффи-
коэффициенты обращаются в нуль, и получаем многочлен, называемый би-
биномом Ньютона (см. в сноске на стр. 184 формулу бинома Ньютона,
в которой следует положить а = 1, b=xt n = m).
Приведем несколько примеров биномиальных рядов для различ-
различных значений т.
j_
a) f(x) = V\ +jc = A -\-xJ . Здесь т=-^. Применяя формулу
(96), получим
1
2!
3!
¦+
 V] \~2~~2
или, после упрощений,
1-х2
(—I)"-1 1-3-5...Bл — 3)х"
2й /г»
-...(97)
Это разложение имеет место во всяком случае для —1 <#<1.
Более подробные исследования показывают, что оно справедливо и
при ? = —L, и при х-=\ (см. сноску.)
б)
получим разложение
1 , I* , 1-3.
V8. Здесь т = — у. По формуле (96)
справедливое для |х|<1. Можно показать, что разложение (98)
справедливо и для х=^\ (см. сноску.)
в) f(x) = (l+x)b. Здесь т = 5. Применяя формулу (96), получим
после упрощений
+ 10х2 + IOjc3 + 5л:4
* Поведение ряда на концах интервала сходимости при различных значениях от
видно из следующей таблицы:
— i < т < 0
т > 0
расходится
сходится условно
сходится абсолютно
т < 0
т > 0
расходится
сходится абсолютно
532

5. Разложение в степенной ряд функции у = In x. При х=^0
функция \пх не определена, поэтому ее нельзя разложить по сте-
степеням х, т. е. в ряд Маклорена. Разложим функцию у = In.x, на-
например, по степеням х—1.
Находим производные:
f'(x)=± = x-\ П*) = -Ь*-я, Г(х) = \-2-х-\
/IV(jt) = —Ь2-3-*-*, .... /<»'(*) = (— I)»-1 (/г — \)\х~пу ...'
При х= 1 получим
Применяя формулу (81), получим ряд Тейлора для функции \пх:
%-Х (х~1J 1 2»(^-1K 3! <лс—1>* (-1)|»-1(я-1I
или, после сокращений,
1 2 ' з 4 h •;•н й h •••
Применяя признак Даламбера и исследуя ряд на концах, найдем,
что он сходится для всех значений х, удовлетворяющих неравенст-
неравенствам 0<х^2. Можно показать, что для всех значений х, принад-
принадлежащих области сходимости, lim Rn (x) = 0. Поэтому для 0<х^2
имеет место следующее разложение:
х-\ (х-1J (лс-1)з (-ly-ifr--!)» .
1ПХ- 2 ^"З •• • ' п h'"
Разложение функций в степенной ряд по формулам (81) и (82)
часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении произ-
производных и исследовании остаточного члена. Покажем некоторые
приемы, позволяющие при разложении функции в степенной ряд,
избежать этих трудностей. С одним из таких приемов, основанным
на возможности почленного дифференцирования степенного ряда
в интервале его сходимости, мы познакомились при разложении
функции y = cosx.
Применение формулы суммы геометрической прогрессии. Рассмот-
Рассмотрим функцию f(x)= , . . Легко видеть, что эта функция является
суммой геометрической прогрессии с первым членом, равным еди-
единице, и со знаменателем q= — х. Поэтому
J= 1— х + х2 — х*+...+(— \)пхп+... (99)
1 -\-Х
Это разложение имеет место для |х|<1. Заметим, что функцию
f(x) можно записать в виде f(x)-^(l +х)~х и, следовательно, ряд (99)
является биномиальным и его можно было бы получить по форму-
формуле (96) при /я=- — 1.
БЗЗ

Метод подстановки. Сущность этого метода ясна из следующих
примеров.
Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию е~*2.
Решение. Положим — х2 =¦ t. Тогда е~*2 = е*. Напишем разло-
разложение функции е*> применив формулу (93):
Это разложение имеет место для всех значений t. В частности, при
t = — х2 получим разложение
справедливое для всех значений х.
Пример 2. Разложить по степеням х функцию
Решение. Полагаем t = — х2. Тогда
= A+0 2 ¦ Воспользовавшись формулой (98), получим разложение
1 , \4 ЬЗ/2 ЬЗ-5/3 (-i)^-ib 3-5... Bя—1)/я
J/T+7 *" 2-1! 22-2! 23^3! " ' ' 2«-/г! +•••>
справедливое для интервала —1 </< 1.
Подставив в это разложение —х2 вместо t, получим разложение,
годное для всех значений х из интервала —1 <л:< 1:
1 =1 . Ь*2 1 Ь3-** | 1 <3'5^8 | « ЬЗ-5...B/г-1)л;2"
Vl— а:2 2-1! ' 22-2! 23-3! '' " *Г 2"-/i! "^""
A01)
Пример 3. Разложить по степеням х функцию . а ,
Решение. Полагая ^ = х2, получим f 2 = у-у-г. По форму-
ле (99)
Подставив в это разложение х3 вместо /, получим
_L_ = 1 __
справедливое для интервала —1 <л:< 1.
Разложение в степенной ряд методом интегрирования. Сущность
метода заключается в следующем. Допустим, что известно разло-
разложение в степенной ряд для производной от функции f(x). Тогда,
интегрируя ряд почленно, получим разложение в ряд функции/(jc).
Пример 4. Разложить по степеням х функцию In A +л:).
Решение. Рассмотрим следующее тождество: In A + х) =¦
X
о
534
X
¦ Разложим подынтегральную функцию у^ по форму-

ле (99) в степенной ряд
1
который сходится для всех значений t из интервала —1</<1.
Так как в интервале сходимости степенной ряд можно почленно
интегрировать, то для |*|< 1 имеем
1пA
= ^A-/ + /•-/•+...+(-1)"
о+ 3
О 4
П+\
, (

Таким образом, если —1 <л:< 1, то
A03)
Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1.
Пример 5. Разложить по степеням х функцию arctg*.
Решение. Рассмотрим тождество
Разложим подынтегральную функцию . 2- в степенной ряд, вос-
воспользовавшись формулой A02):
Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравен-
неравенствам — 1 < t < 1. Следовательно,
о
о 7
Это разложение справедливо для всех значений х из интервала
— 1 <х< 1. Однако можно показать, что оно остается в силе и на
концах интервала.
Итак, для всех х, принадлежащих сегменту [—1, 1], имеет место
равенство
Х3 ХЪ /
X "з" + "~~~ #' ' ^
2/г—1
635

§4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Числовые и функциональные ряды широко применяются в при-
приближенных вычислениях. Укажем на наиболее важные из этих
применений.
/. Вычисление значений функций с помощью рядов
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х = хц
с заданной степенью точности. Предположим, что функцию можно
разложить в степенной ряд
f(x) ^ао + аг (х—а) +.. ..+ап {х-а)я + ...
на интервале (а — /?, а-\- R) и что точка х~х0 принадлежит данному
интервалу. Тогда
/ (х0) = а, + аг (хо—а) + а2 (хо—аJ + ... -\-ап {хо—а)п +...
Взяв достаточное число первых членов ряда, получим прибли-
приближенное равенство
/ (х0) « S» (х0) = а0 + ах (хо—а) + а2 {xQ~af + ...+ап(х0 —а)п.
Точность этого равенства увеличивается с возрастанием п. Абсолют-
Абсолютная погрешность этого приближенного равенства, т. е. | / (х0)-—Sn (x&) |,
равна модулю остатка ряда:
где
Желая вычислить значение функции f(x0) с точностью е > 0, мы
должны взять сумму такого числа п первых членов, чтобы
С методами оценки остатка ряда мы познакомились в § 1, п. 7.
Приведем еще один метод оценки остатка ряда с помощью оста-
остаточного члена ряда Тейлора (или Маклорена).
Если функция разложена в степенной ряд, то, как мы знаем,
этот ряд есть ряд Тейлора или Маклорена (см. § 3, п. 4). В этом слу-
случае абсолютная погрешность, т. е. \f(x0)—Sn(x0)\, равна модулю
остаточного члена ряда Тейлора (или Маклорена).
Таким образом,
где с содержится между а и х0. В зависимости от каждого кон-
конкретного случая применяется тот или иной метод оценки остатка
ряда.
Рассмотрим примеры.
Пример 1» Вычислить с точностью до 0,001 число е.
536

Решение. Как известно, для любого х имеет место разложе-
разложение (93)
е*=1+*+_ + ш+...+_ + ...
При х = 1 получим
Взяз первые я+1 членов, получим приближенное равенство
e^l + 1+l+l+...+i.
Оценим погрешность приближения с помощью остаточного члена
ряда Маклорена. Так как f{n+l) (x)=exy то
п{<Х' (/г+1)! Х '
где с лежит между 0 и х. При х=1 имеем
Принимая во внимание, что ?с < ^ < 3 (см. гл. V, § I, п. 8), по-
получим /?„(!)< (^рТ)Г
При /1=5 EН=Т)Г==б1 = 240>0>001> а при rt=:=6
F+1)!
Поэтому для достижения требуемой точности достаточно взять п = G.
Итак, с точностью до 0,001 имеем
^i+1+i+i+i+i+i.
Калсдое слагаемое выпишем с одним дополнительным знаком, чтобы
к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых:
е «1,0000+1,0000 + 0,5000 + 0,1667 +
+ 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181.
Следовательно, с точностью до 0,001 е = 2,718.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 sin 18°.
Решение. Для sin а: имеем разложение (94), справедливое при
всех значениях х:
—д:—3f+ ST——
ST—— Н B/i-l)! +'••
Переводя 18° в радианы, получим ^ = tq- Следовательно,
I t ЯР ' ^ ^ ^3 1
Sin ib = Sin jg = ц— 2\ ЮЗ T"
537

Ряд A04) знакочередующийся, члены которого убывают по абсо-
абсолютной величине и стремятся к нулю. Поэтому его остаток не пре-
превосходит первого отброшенного члена (см, § 1, п. 7). Так как
3>я10з > 0,0001, a -gfyos" < 0,0001, то с точностью до 0,0001 получим
18° « -tj:
10 31 103 •
Все вычисления проводим с одним дополнительным знаком, полагая
п «3,14159. Так как я3-31,00624, то
= 0,31416 —0,00517== 0y3
Итак, sin 18° «0,3090.
2. Приближенное вычисление интегралов
Поясним сущность метода примерами.
1/3
Пример 1. Вычислить определенный интеграл J e~*2dx с точ-
0
ностью до 0,0001.
Решение. Применить для вычисления этого интеграла фор-
формулу Ньютона—Лейбница мы не можем, так как первообразная
для е~*2 хотя и существует, но не выражается в элементарных
функциях. Поэтому разложим подынтегральную функцию е~*2 в сте-
степенной ряд (см. формулу A00)):
е х ==1~ТГ+Г~"зГ~^ "• *
Этот ряд сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно
почленно интегрировать на любом сегменте и, в частности, на сег-
сегменте 0, у и
JL _L
1
з
5-2!
7-3!
X — X
J_ 1_ 1_ 1
о 3-1
о
± X?
+
Искомый интеграл равен сумме знакочередующегося ряда. Так как
<0001а >
то с точностью до 0,001 на основании правила оценки погреш-
погрешности в случае знакочередующегося ряда (см. § 1, п. 7), имеем
1
3
е-*2 dx « 4—та ~ 0,3333—0,0123 = 0,3210.

Итак,
Т
J e~*zdxtt 0,321.
о
Замечание. Как мы знаем, первообразная F(х) для функции
е~х* не является элементарной функцией. Ее легко получить в виде
суммы степенного ряда, проинтегрировав ряд A00) почленно в гра-
границах от 0 до jc:
р , v Xz . Хь X1 (
Производная этой функции равна е~*2: Т7'(x) = e"~*2.
Пример 2. Вычислить интеграл
1 4^dx
2
с точностью до 0,001.
Решение. Так как
уЗ хЬ
oin у у _4-—
ОН 1 <Лс —— И/ л | | р.. ^^^ . . • ,
то деля почленно обе части этого равенства на х, получим разложение
? + Ц—.... A05)
Интегрируя обе части равенства A05), получим
1 1
sin л: , Г ( л х2 , х4
5-5!
JL JL JL
2 2 2
1 _ _Л ±WJ L
•••""V1 2; V3-3! 3-3!
J
з-зг
551
Полученный ряд можно рассматривать как разность двух схо-
сходящихся знакопеременных рядов, удовлетворяющих условиям тео-
теоремы Лейбница (см. § 1, п. 6):
2 3-3! 23 ^5-5! 25 ^ ^ ;
2 3-3! 23^5-5! 25 7-7127
Поэтому
2
„П !_+_! ^_ь 1
[2 3-312»^ 5-5125 7-7!27"r *#']•
53Э

Но так как в знакочередующемся ряде, сходящемся по признаку
Лейбница, погрешность не превосходит модуля первого из отбро-
отброшенных членов и так как
Yjj < 0,001 (для ряда *),
5-5! 2*
ТО
< 0,001 (для ряда *#),
j ^rdx «* I1 —тж+'5ж\ ~ [т~~гж&1 ** °'4530-
2
1
Итак, с точностью до 0,001 С -^^ dx == 0,453.
§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
/. Понятие о функции комплексной переменной
Читатель знаком с понятием комплексных чисел из средней
школы. Напомним вкратце это понятие. Комплексное число имеет
вид x-\-iy, где х и у—действительные числа, a i = \ —1. Комплекс-
Комплексное число z = x + iy геометрически изображается точкой М(х\ у)
плоскости Оху, координатами которой служат числа х и у. Оче-
Очевидно и обратно, каждой точке плоскости Оху соответствует един-
единственное комплексное число г. Поэтому плоскость Оху будем назы-
называть комплексной плоскостью, а точку плоскости, соответствующей
комплексному числу z = x + iy, называть точкой г.
Модулем комплексного числа z = x~\-iy называют действитель-
действительное число | z | = У х2-\-уг. Таким образом, геометрически модуль
комплексного числа представляет собой расстояние точки z комп-
комплексной плоскости от начала координат. Неравенству | z \ < R
(где R > 0) соответствует множество точек комплексной плоскости,
отстоящих от начала координат на расстояние, меньшее, чем R.
Иными словами, неравенству |z|<7? соответствует внутренность
круга радиуса R с центром в начале координат.
Введем понятие функции комплексной переменной.
Определение. Комплексная переменная w называется функ-
функцией комплексной переменной z=-x + iy> если
1) задано множество G комплексных чисел z\
2) задан закон, по которому каждому комплексному числу z из
этого множества соответствует одно или несколько значений комп-
комплексной переменной w = u-\-iv.
В дальнейшем будем рассматривать только однозначнт функции,
т. е, такие, для которых каждому значению z соответствует, един-
единственное значение w.
Б40Г

Функция комплексной переменной обозначается так же, как
и.функция действительной переменной: w = f(z).
Примером функции комплексной переменной может служить
многочлен
w = аогп + а^»'1 + ... + а„-хг + апУ
где п — натуральное число, а а0, ах, ..., ап— комплексные числа.
Эта функция определена для всех значений z или, как говорят,
во всей комплексной плоскости.
Функция, являющаяся отношением двух многочленов, называется
рациональной функцией. Например, w — oz2 , J~о—рациональная
функция.
На функции комплексной переменной переносятся понятия пре-
предела, непрерывности и производной.
Введем предварительно понятие окрестности точки комплексной
плоскости: б—окрестностью точки zQ называется внутренность круга
радиуса S с центром в точке г0.
Комплексное число c^=a-\~ib называется пределом функции w — f{z)
при z —* г0, если каково бы ни было положительное число е, сущест-
существует такая Ь—окрестность точки г0, что для всех точек z комп-
комплексной плоскости, лежащих в этой окрестности (за исключением
быть может точки г0), выполняется неравенство
\f(z)-c\<z.
Предел функции обозначается так:
lirn f{z) = с.
г~»г9
Функция w — f(z) называется непрерывной в точке г0, если
lim f(z) = f(zQ).
Можно показать, что сумма и произведение нескольких непре-
непрерывных в данной точке функций есть функция непрерывная. Част-
Частное двух непрерывных функций будет тоже непрерывной функцией,
если знаменатель в данной точке не равен нулю.
Производная от функции комплексной переменной w = f(z) опре-
определяется так же, как и производная функции действительной пере-
переменной, т. е. как предел отношения приращения функции к при-
приращению аргумента при услозии, что приращение аргумента стре-
стремится к нулю
Пример. Найти производную функции ш = /(г) — zn.
Решение. Имеем /(г + &z) = (z + kz)n. Применяя формулу
бинома Ньютона, получим:
f (г -f Дг) - (г 4- Дг)" = zn + nzn~x Дг + п(п~1) гп~% (ДгK -f ... 4- (&*)".
641

Найдем приращение функции:
Hw=f(z+Az)—/(г) = [г"
— г" == пг" Дг + п(п~1) г" (АгJ + ... + (Лг)«.
Следовательно,
B)= lim ДЕ= lim
А
Можно показать, что правила дифференцирования суммы, про-
произведения и частного, выведенные для функций действительной
переменной, остаются справедливыми и для функции комплексной
переменной.
2. Числовые ряды с комплексными членами
Рассмотрим последовательность, члены которой являются ком-
комплексными числами
*i> z2, ...» *Л, ...» где гя =
Обобщим понятие предела последовательности для данного случая.
Комплексное число c — a-\-ib называется пределом последователь-
последовательности {zn}9 если каково бы ни было положительное число е, найдется
такое натуральное число N, что для всех натуральных чисел ^N
выполняется неравенство
\
Так как гп—с=*{хп +- iyn) — {a + bi) = (xn—a) + i (yn—b), то
Но выражение V(xn—аJ + (уп—bJ равно расстоянию между точ-
точками {хп\ уп) и (а; Ь)у т. е. между точками гп и с; следовательно,
точки гп неограниченно приближаются к точке с с возрастанием п.
Пусть дан ряд, членами которого являются комплексные числа
*1 + 2а+...+гя+..., где zn = xn + iyn. A06)
Если существует предел частичной суммы ряда Sn = zx + z2-{-... +гп
при п —-> оо,то ряд A06) называется сходящимся, а предел S = limS,2 —
/г -> оо
его суммой; если частичная сумма не имеет предела, то ряд назы-
называется расходящимся.
Имеет место теорема, которую мы приведем без доказательства.
Теорема. Пусть дан ряд с комплексными членами
542

если ряд, составленный из модулей членов данного ряда
сходится, то данный ряд также сходится.
Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Абсолютно
сходящиеся ряды с комплексными членами обладают теми же свой-
свойствами, что и абсолютно сходящиеся ряды с действительными чле-
членами.
3. Степенные ряды в комплексной области
Пусть дан степенной ряд
2+... +апгп+ ...,
где z=x-\-iy, а коэффициенты а0, а19 ..., апУ ... комплексные или
действительные числа. Аналогично тому, как это было сделано для
степенных рядов в действительной области, можно установить сле-
следующее.
1. Для каждого степенного ряда, вообще говоря, существует
такое число R > О, что для всех |г|</? степенной ряд сходится,
для |z|>/?— расходится. Точки z=-x + iy комплексной плоскости,
для которых | z | < R, лежат внутри круга радиуса R с центром
в начале координат. Этот круг называется кругом сходимости сте-
степенного ряда, а его радиус R—радиусом сходимости. Вне круга
сходимости, т. е. в точках, где | z | > R, степенной ряд расходится.
На границе круга сходимости, т. е. в точках, для которых |z|=/?,
в зависимости от конкретных видов ряда может иметь место схо-
сходимость или расходимость.
Замечание. Если степенной ряд сходится только в точке
г = 0, то его радиус сходимости полагают равным нулю : 7? = 0. Если
степенной ряд сходится при всех значениях z, т. е. во всей плос-
плоскости комплексной переменной, то радиус сходимости полагают
равным бесконечности: R = oo.
2. Внутри круга сходимости степенной ряд обладает всеми свой-
свойствами, которыми обладают степенные ряды с действительными чле-
членами, т. е. внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно схо-
сходится и его сумма S(z) есть непрерывная функция комплексной
переменной; степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно
дифференцировать, причем полученный ряд имеет тот же радиус
сходимости, что и первоначальный. Эти утверждения мы не дока-
доказываем.
Функция комплексной переменной, которая может быть пред-
представлена как сумма степенного ряда в некотором круге сходимости,
называется аналитической функцией в данном круге сходимости.
Круг сходимости можно найти с помощью признака Даламбера.
В качестве примера найдем область сходимости следующего ряда:
1+Т+5+ •••+-?+•••• A07>
543

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей членов данного ряда:
(щ
Это знакоположительный ряд: ип
1)!
I г
1
я!
= |г I lim
1п\\)\ *
=|г 1-0 = 0.
Итак, при любом г lim ^±i = Q < 1. Следовательно, ряд A08)
п-хх, ип
сходится во всей плоскости комплексной переменной; но тогда по
теореме п. 2 ряд A07) также сходится во всей плоскости комплекс-
комплексной переменной, причем сходится абсолютно.
С помощью степенных рядов в комплексной области обобщим
понитие показательной и тригонометрических функций на случай
комплексной переменной.
Как мы знаем, для любого вещественного значения х имеет место
разложение (93)
^1 + *.+!-+...+_+....
Рассмотрим ряд, получающийся из ряда (93), если в нем действи-
действительную переменную х заменить комплексной переменной г:
Мы только что видели, что этот ряд сходится во всей плоскости
комплексной переменной и его сумма является, таким образом,
аналитической функцией, которая при действительных значениях г
(т. е. при z-=x) совпадает с ех. Обозначим сумму этого ряда
и в случае комплексной переменной также ег. Таким образом, по
определению
*г = 1+ТГ + !г + !г+---+^Г+---- A09)
Можно показать, что для любых комплексных чисел гл и г2 имеет
место равенство е2**** =е***ег*.
Дифференцируя ряд A09) почленно, получим
И'=-гг+2Г+зг+---++ 1 + ++++
гг
Сравнивая с равенством A09), пол>чим (^)' = ^. Таким образом,
функция ег в комплексной области обладает основными свойствами
показательной функции. Аналогично определим тригонометрические
функции sin г и cos г для комплексных значений г:
УЪ уЬ
+•••>.
644

Эти ряды сходятся абсолютно для всех значений г. При z^x
(jc—действительная переменная) определенные выше функции сов-
совпадают с функциями sin л: и cos* действительной переменной.
Между показательной функцией е* и тригонометрическими функ-
функциями sin г и cos г имеется простая связь. Пусть z~it> где t —
какое-то комплексное число. Подставим z — it в ряд A09), тогда
Так как i2 = —l, i* = i*.i=—i9 t4 = г3-ta = (— 1)(— 1) = 1 и т. д.,
то получим
* ^1! 2! 3! ^ 4! ^ 5! 6! 7! ^ " " "
Ряд A09) сходится абсолютно для любого значения г, следова-
следовательно сумма ряда не изменится от перестановки слагаемых.
Поэтому
t2 i4 /6 \ • f *3 *5 t1 \
2Г+-4Г~бГ+ •-•) + i[t~~w+~u~iT+ •••;•
Но при любом /
/2 /4 /6
cos/ = l__ + __^r+...,
/3 ^Б /7
Следовательно,
^=cos/ + isin/, A12)
где / — любое комплексное число.
Заменяя в равенстве A12) t на (—/), найдем
e~il = cos (—/) + i sin (—/) = cos / — i sin t.
Итак, для любого комплексного числа / имеем
eif = cost+ islut,
eif = cost+ islut, \
-f^cost — isint. ]
Формулы A13) называются формулами Эйлера*. Из этих формул
легко находим
pit p-it
Пример. Найти е 2.
Решение. По свойству показательной функции е а == еъ •
Применяя для вычисления е 2 формулу Эйлера при f = ~^-, получим
2
* Л. Эйлер A707—1783) —великий математик, механик и физик.
18 № 2242 545

В заключение заметим, что в комплексной плоскости функция
ег является периодической с периодом Т=2ш\ В самом деле
?*+ 2я/ = ezewi = ez (C0S 2я -(- i sin 2л) = ez. A15)
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
/. Периодические процессы и периодические функции
Весьма многие процессы, происходящие в природе и технике,
обладают свойством повторяться через определенные промежутки
времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами
периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня
в двигателях, явления, связанные с распространением электромаг-
электромагнитных колебаний, и многие другие. Изучение периодических про-
процессов математически описывается периодическими функциями.
Определение периодической функции дано в гл. I, § 4, п. 8.
Простейшими периодическими функциями являются известные
нам тригонометрические функции sin* и cos*. Период этих функ-
функций равен 2я:
sin (х ± 2я) = sin х, cos (х ± 2л) = cos x. A16)
Функции sin сох и cos сод: также являются периодическими, но пе-
период их 7* = -^. Действительно,
sin со (х ± -~) = sin (cox ± 2л) = sin сод;.
Сумма двух периодических функций, как, например, функция
вида a sin (огх + Ь cos а>гх, вообще говоря, уже не будет периодиче-
периодической. Но можно доказать, что если отношение g^:©, есть число
рациональное, эта сумма будет периодической функцией.
Простейший периодический процесс—гармоническое колебание —
описывается периодическими функциями sin сод; и cos со*. Более
сложные периодические процессы, как мы увидим, описываются
функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконеч-
бесконечного числа слагаемых вида sin сод; и cos сод;.
Приведем несколько формул, которые нам понадобятся в даль-
дальнейшем.
Каковы бы ни были целые числа р и k, имеют место следующие
равенства:
018)
546

sinpx-coskxdx^=0. A19)
-я
coskxdx = 0, , J smkxdx = O. A20)
-Я
Проверим, например, равенство A17). Воспользуемся известной
формулой
cospx.coskx=cos{p+k)x+cos{p-k)x.
Пусть сначала рфк. Тогда
=0.
-Я -Я
так как sin(p + fc) jt = O, sin(p—fe)n = 0.
Если p = k, то cos рл; • cosfct = соБ2рл; = ~^~c°s px и
я я я
С 1 С 11
\ cos2 pxdx=-~- \ A +соэ2рл:) dx=~~-(x + lr-sm 2px) =я«
J * J 4 Zp
-я -я -я
Аналогично проверяются и равенства A18), A19) и A20).
2. Ряд Фурье
Рассмотрим функциональный ряд следующего вида
^Y + at cos x + bx sin x + a2 cos 2л: -f b2 sin 2л: +... 4- an cos nx-\»
+bns\nnx+... A21)
Числа a0, alf b19 a2, b2, ..., aw, fcw, ... называются коэффициентами
ряда. Свободный член ряда записан в виде -у-для единообразия
получающихся в дальнейшем формул. Ряд A21) часто записывается
также следующим образом:
00
-^г + X (ап cos пх + Ъп sin nx). A22)
Так как члены тригонометрического ряда A22) имеют общий период
Т^2л, то и сумма ряда, если он сходится, будет также периоди-
периодической функцией с периодом 2зт.
Допустим, что функция f(x) есть сумма этого ряда:
00
/ (X) = -у- + X (ап C0S Л* + К sin Л*)* 022')
13* 547

В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в тригоно-
тригонометрический ряд. Предполагая, что ряд правильно сходящийся на
сегменте ['—я, я], покажем, как определить его коэффициенты.
Так как правильно сходящийся на сегменте ряд можно почленно
интегрировать на этом сегменте (см. § 2, п. 2), то
an ^ cos nxdx + bn\ sin nxdx).
-я -я
Но т^к как ^cosnxdx^ jj sin nxdx^O (см. формулы A20),
-я п — \ -я
я я
-я -я
ТО
я я я
-я -я -я
Отсюда
= аоп.
Пусть теперь k—натуральное число. Для нахождения коэффи-
коэффициента ак умножим ряд A22') почленно на cosftx. Полученный ряд
f (х) cos kx = -~- cos kx + 2^ (ап cos nx cos kx +bn sin nx cos fe#)
в силу теоремы 5 § 2, п. 2, будет правильно сходящимся на сегменте
[—я, я]. Интегрируя его почленно, получим
Я .Я оо Я
f f (x)coskxdx =-y- f coskxdx-{- ]Г (а„ \
1 я
-я я=1 -я
я
+&л Г sin nx cos feja/x). A23)
-я
Вследствие равенств A17) и A18) под знаком суммы отличным
от нуля будет только один интеграл при n = k:
я
cos2 kx dx = я.
-я
я
Так как по формуле A20) J cos kx dx = 0, то равенство A23) запи-
-я
шется в виде
я
j f (x) cos kx dx = акп,
548

откуда
я
1 С
ak = — i / (x) cos kx dx.
-я
Аналогично, умножая обе части равенства A22') на sinfcv и инте-
интегрируя в пределах от—я до л, на основании равенств A18), A19)
и A20) найдем выражения для коэффициентов 6к:
л
bk = — \ / (х) sin
Таким образом, если периодическая функция y = f(x) с перио-
периодом 2я является суммой правильно сходящегося на сегменте [ — л, л]
тригонометрического ряда A22), то коэффициенты этого ряда опре-
определяются по формулам:
По этим формулам можно вычислить все коэффициенты ряда для
любого натурального k. Коэффициенты ряда, определенные по этим
формулам, называются коэффициентами Эйлера — Фурье.
Тригонометрический ряд
cos пх + ъп s^ nx)9
п-\
коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера — Фурье
A24), называется рядом Фурье*, соответствующим функции y = f(x).
Таким образом, если периодическая функция y — f(x) является
суммой правильно сходящегося тригонометрического ряда, то этот
ряд является ее рядом Фурье.
3. Сходимость ряда Фурье
При выводе формул A24) мы заранее предполагали, что функ-
функция y = f(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометри-
тригонометрический ряд A22). Если же такого предположения н^ делать, а допу-
допустить только, что для функции f(x) существуют все интегралы,
стоящие в правых частях формул A24), то по этим формулам можно
вычислить коэффициенты а0, ak и bk и составить тригонометри-
тригонометрический ряд A22), который будет рядом Фурье, соответствукмщщ
данной функции.
Будет ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся
и если он будет сходиться, то имеем ли мы право утверждать, что
Ж- Фурье (I7Q8—1830) — французский математик.
54!)

он сходится именно к функции f(x), с помощью которой вычисля-
вычислялись коэффициенты ряда?
Подобный же вопрос возникал при изучении степенных рядов.
Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции
имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные
условия сходимости ряда Фурье и, следовательно, возможность раз-
разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле*. Прежде
чем формулировать эту теорему, введем два определения.
Определение. Функция у=f (x) называется кусочно-монотонной
на сегменте [а, Ь], если этот сегмент можно разделить на конечное
число сегментов, внутри каждого из которых функция либо только
возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
^ .. I
-471 -3JZ /°2Л \~Xj
I
/гя
Рис. 263
Дадим теперь основное для этого раздела определение.
Определение. Функция y~f(x) называется удовлетворяющей
условиям Дирихле на сегменте [а, 6], если:
1) функция непрерывна на сегменте [а, Ь] или же имеет на нем
конечное число точек разрыва первого рода**;
2) функция кусочно-монотонна на сегменте [а, Ь].
Сформулируем теперь теорему Дирихле, дающую достаточные
условия разложимости функции f(x) в ряд Фурье.
Теорема Дирихле. Пусть периодическая функция y = f(x) с перио-
периодом 2я удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком
случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех
точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности
функции f (х) сумма ряда S (х) равна значению функции в этой точке.
В каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна среднему
арифметическому предельных значений функции при х—+х0 слева
и справа, т. е.
=-f( Iim f(x)+ Iim f(jc)). A25)
Доказательства этой теоремы мы приводить здесь не будем.
Рассмотрим теперь пример разложения функции в ряд Фурье.
П. Дирихле A805 —1859) —немецкий математик.
Определение точки разрыва первого рода см. гл. V, § 2, п. 1.
55а

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2я,
заданную на интервале—я<х^,п формулой f(x) = x (рис. 263).
Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, сле-
следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя фор-
формулы A24), найдем коэффициенты Эйлера—Фурье:
—[sinkxdx] =-±-2cos
к J J л/г2
-я
= ^ [cosfcrt—cos^n] =0; afc = 0.
1 Г . *_ j 1 Г х cos fc* I , 1 С . ji
= — \ jcsin/jjcал: = — г— +~j- \ coskxdxl =
Я Я Я
я я
coskxdxl
J
-Я -Я
= -r— —ncoskn—ncoskn -{-jpSinkx =
Таким образом,
ae = fl1 = aa=...=aJI=...=0;
,_2 ,__ 2 b_2 - _ 2
°1 — "J" > ^2 — " > ^3 — 3 > ^4 — 4 » • • •
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) будет иметь вид
A26)
Так как функция f(x)~x удовлетворяет условиям Дирихле, то
в любой точке непрерывности / (л:) сумма ряда равна значению функ-
функции. В точках—пп и пп функция имеет разрывы первого рода, и
сумма ряда будет равна нулю (полусумма предельных значений справа
и слева ~" ^ я = 0 j. Это также непосредственно получается из
ряда A26) при х = пп. На рис. 264 показан график функции f(x)
и частичные суммы ряда A26), содержащие 1, 2 и 3 члена. Из
рисунка видно, как графики частичных сумм ряда приближаются
к графику функции f(x) при увеличении числа членов суммы,
• Действительно, cos kn = 1 при к четном и cos kn= — 1 при к нечетном, поэтому
можно написать cos&jx = (—l)fe.
65!

Из-формулы A26) можно получить интересное следствие. Полагая
: = у, получим
[и
Зя . 4л;
5л
ИЛИ
Отсюда находим сумму ранее изучавшегося нами ряда
1 3~*~5 •••~Н Ч 2п — I "+" • "• "" 4 *
A27)
Рис. 264
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
В некоторых случаях формулы A24) для вычисления коэффи-
коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных
и нечетных функций (см. гл. I, § 4, п. 8).
Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных
функций.
I. Произведение четной функции на четную или нечетной на не-
нечетную есть функция четная.
Пусть, например, y=zf(x) и у=^у{х)—четные функции. Дока-
Докажем, что функция o>(jt) = f(x)-<p(x) также четная.
Так как f(x) и ф(я)—функции четные, то
отсюда
т.е. со(лг)—функция четная. Аналогично доказывается и вторая
часть утверждения I.
552

II. Произведение четной функции на нечетную есть функция
нечетная.
Это свойство доказывается так же, как и свойство I.
III. Если у z=f(x) — четная функция, то
dx. A28)
На основании свойства аддитивности определенного интеграла
можем написать
В первом интеграле сделаем замену переменной. Положим *= — z,
тогда dx=—dz\ при лг = О г = 0,. при л: = —а г=~а. Поэтому
О О а а
J / (х) dx = - J / (^-z)dz = j / {-z)dz = S / (г) dz.
-a a 0 0
Следовательно,
так как определенный интеграл не зависит от обозначения пере-
переменной интегрирования.
IV. Если y = f(x)—нечетная функция, то
(x)d*=O. A29)
Доказательство проводится аналогично доказательству свойства III.
Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четцую
функцию f(#). Так как созл;—функция четная, а sin л:—функция
нечетная, то произведение f(x)cosx будет функцией четной, а
f(x)s\nx—функцией нечетной (свойства I и II). На основании
свойств III и IV получим
я
— Я
-Я
я
, [• A30)
653

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид
00
Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то
вследствие свойств I и II произведение f(x)coskx будет функцией
нечетной, a f(x)s\nkx—функцией четной. Поэтому
~
•»
л
= ~ [f(x)sinkxdx.
о
Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид
00
/г=1
sinnx.
A32)
A33)
Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по
косинусам, а нечетная функция—только по синусам кратных дуг.
Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье четных и нечет-
нечетных функций. В предыдущем пункте мы нашли ряд Фурье для
Рис. 265
функции f(x)=x (см. пример). Эта функция нечетная. Поэтому
коэффициенты а0> alt а2> ..., аю ... должны обратиться в нуль
согласно формулам A32). В рассмотренном примере мы убедились
в этом непосредственным вычислением коэффициентов.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2я, задан-
заданную на интервале —я <л:^я формулой f(x) —1#| (рис. 265).
Решение. Функция / (х)—четная, поэтому коэффициенты ряда
определяются по формулам A30):
Б54

Таким образом,
4 4 4
ао — п, ах— я:1а» ^2==U, а3= —?> а4 = и, а&= п^29...
Ряд Фурье, соответствующий функции f(x), имеет вид
я 4 ["cos* , cos Зх . cos 5л; . , cos B/г—1)х . 1
2 я I I2 3^ S2 ^^ Bл 1V^ ^^ I
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следо-
следовательно, ряд сходится на всей числовой оси и имеет своей суммой
функцию f(x).
5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 21
Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции
периода, отличного от 2л.
Этот случай легко сводится к изученному ранее. Пусть функция
y=:f(x)t удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период 21:
Введем новую независимую переменную z с помощью соотношения
z = j*. A34)
Рассмотрим функцию
(?) A35)
Так как из A34) следует, что х = — г, то
Ф (г) = /(*). 036)
Покажем, что ф (г) есть функция с периодом 2я. Действительно,
на основании равенства A35)
Так как функция f(x) имеет период 2/, то
f
Следовательно,
Составим для функции ф(г) ряд Фурье
Т + 2 (ak cos kz + bk sin kz), A37)
/г=1
где коэффициенты aQ) ak> bk находятся по формулам Эйлера — Фурье.
555

Имеем
Делаем подстановку: z = -jx. Тогда dz = ydx и, изменяя ссответ-
ственно границы интегрирования, получим
Аналогично находим
1
-/
ak = — \ ф (г) cos kzdz = ~ \f\z) cos
. -i
-/
Л Я
bk = — \ ф (г) sin kzdz = — \ f [ —z) slnkz dz =
— л , -л
/
Таким образом, в случае функции /(*), имеющей период 2/, коэф-
О 1 2 3 /t S
Рис. 266
фициенты Эйлера — Фурье вычисляются по формулам:
±
^
bk = — \ f(x)sin~xdx.
A38)
55G

Заменяя в ряде A37) z на jjc, получим ряд для функции f(x):
x + bsmx) A39)
к — 1
Пример I. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2/^2, за-
заданную на интервале —1<л;^1 формулой f(x)=x—1. График
функции f(x) изображен на рис. 266.
Решение. Коэффициенты Фурье находим по формулам A38),
в которых полагаем / =¦ 1:
= -2, а. = -2.
ao= \(x—l)dx =
и
-I
xsinknx\l
~ \ х cos knxdx— \
i
sin/m;x
sin
3
-i
= 0,
.= j (a;—1) sin knxdx =
x cos ил*
kn
cos ^ял:
-i
cos /?jxjc 1
kn
Итак,
[coste-cos(-te)] =
(—О
2 2 2
В частности, &г=—, fre =JT* &3==lto' *•'
Ряд Фурье для функции f(x) будет иметь вид
, , 2 TsinA: sin 2x . sin3jc , / 1ч„_,51пBл — \)х .
-1+^[-1 2^ + ~3 +(-1) 2п-1 +-
Формулы A30) и A32) для ¦ коэффициентов Фуръе четных и не-
нечетных функций, в случае функций, имеющих период 2/, преобра-
преобразуются следующим образом.
Для четной функции:
t i
ao = T$f(x)dx, ak = ^f(x)cosk-l-xdx, 6ft = 0. A40)
О О
557

Для нечетной функции:
а0 = ак — 0, Ьк = у \ / (л:) sin -j- x dx.
о
Ряды Фурье A31) и A33) в этом случае примут вид:
для четной функции:
для нечетной функции!
A41)
п=1
A42)
A43)
В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о разложении
в ряд Фурье произвольной непериодической функции. Пусть у — f (x)
непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как
сумма тригонометрического ряда является периодической функцией,
то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть
разложена в ряд Фурье.
-и -31 -
х
Рис. 267
Рассмотрим теперь эту функцию на интервале —/<л:^/ и по-
попытаемся построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой
на этом интервале.
Для этого рассмотрим вспомогательную функцию/(л:) периода 2/,
значения которой на интервале—/ < х ^ /__совпадают со значениями
функции f(x) (рис. 267). Если для функции f(x) выполняются условия
теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом
Фурье. Этот ряд на интервале—/< х ^ /_во всех точках непрерыв-
непрерывности функции будет иметь своей суммой f(x) = f(x).
Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только
в интервале 0 < х ^ /. В этом случае мы можем сначала продол-
продолжить по какому-либо закону функцию на интервал —/ < х < О,
а затем продолжить ее на всю числовую прямую периодически с
558

периодом 21. Продолжить функцию из интервала 0 < х ^ / на ин-
интервал —/ < х ^ 0 можно произвольным образом.
Чаще всего встречается продолжение функции четным или не-
нечетным образом. Если функция продолжается четным образом, т. е.
значения функции в интервале —/<л;^0 принимаются равными
х
Рис. 268
-ч -ъ -г ч\
ее значениям f(x) в интервале 0<#^Z, то ряд Фурье будет со-
содержать только косинусы и свободный член. Если же функция
продолжается нечетным образом, т. е. ее значения в интервале
—/<д:^0 принимаются равными —f(x), то ряд Фурье будет со-
содержать ТОЛЬКО СИНУСЫ. ni
Таким образом, если *
функция задана в ин-
интервале 0 < х ^ /, то
продолжая ее на инте-
интервал —/<%<0, а за-
затем продолжая полу-
полученную функцию пери-
периодически на всю число-
числовую прямую, мы можем
получить бесчисленное
множество рядов Фурье.
Однако все эти ряды на
интервале @, /) будут представлять одну и ту же заданную функ-
функцию f(x), а на интервале (—/, 0) каждый ряд будет иметь своей сум-
суммой соответствующее продолжение функции f(x) (рис. 268).
Пример 2. Разложить функцию f(x)=l, заданную в интервале
0<х^1, в ряд по синусам.
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо
ее продолжить на интервал—1 <х^0 нечетным образом (рис. 269)
рис# 269
559

а затем продолжить полученную функцию периодически на всю
числовую ось.
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
о
Здесь надо принять 1=^1 и /(х) = 1. Тогда
1 cos knx
1 г
Итак,
Ряд Фурье для данной функции имеет вид
1 Г sin* , s\n3x , sin 5л: ц , s'mBn— !)*_, ]
?["Т""^"~У~ + "Т~ г " ' ~| 2л=П h ' ' "J"

ГЛАВА XII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
/. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям,
и некоторые общие понятия
При решении многих задач математики, физики и техники часто
не удается установить непосредственную зависимость между иско-
искомыми и данными переменными величинами, но зато удается соста-
составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую
функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифферен-
дифференциальным. Решая его, находят зависимость уже между самими пе-
переменными. Дифференциальное уравнение может не содержать в
явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обя-
обязательно должно содержать одну или несколько производных иско-
искомой функции.
Например, уравнения
будут дифференциальными уравнениями.
С простейшим дифференциальным уравнением мы уже встреча-
встречались при решении задачи об отыскании первообразной функции.
Действительно, если функция yz=F(x) есть первообразная для
функции /(х), то по определению первообразной
y' = f{x). О)
Уравнение A), содержащее производную искомой функции, является
простейшим дифференциальным уравнением.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф-
дифференциальным уравнениям.
Задача 1. Тело охладилось за 10 мин от 100 до 60°. Темпера-
Температура окружающего воздуха поддерживается постоянной и равной 10°.
Определить, через сколько минут температура тела станет равной 20е.
На первый взгляд может показаться, что эта задача решается
элементарно: если тело за 10 мин охладилось на 40° (от 100 до 60°),
то еще на 40° (от 60 до 20°) оно охладится также за 10 мин. Таким
образом, от 100 до 20° тело охладится через 20 мин.
Однако такое рассуждение ошибочно. Дело в том, что, как из-
известно из физики, скорость охлаждения тела пропорциональна
разности между температурой, до которой нагрето тело, и темпера-
температурой окружающей среды.
Обозначим температуру тела в некоторый момент времени t через T(t),
тогда скорость изменения температуры по времени равна производной
66)

dT ~
-g-. Так как скорость охлаждения пропорциональна разности между
температурой нагрева тела и температурой окружающей среды, то
получаем уравнение
*L = k(T —10). B)
at N
Здесь k—множитель пропорциональности, подлежащей определению.
Уравнение B) является дифференциальным уравнением. Искомая
функция Т (t) должна удовлетворять следующим требованиям, ука-
указанным в условии задачи: в начальный момент времени / = 0 тем-
температура тела Т = 100°. При ? = 10 мин температура Т =60°. Реше-
Решение уравнения B) будет дано в п. 3.
Задача 2. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограни-
ограниченной осями координат, касательной и прямой, параллельной
оси Оу и проходящей через точку касания, есть величина пос-
постоянная, равная а2.
Рис. 271
Пусть М(х\ у)—произвольная точка искомой кривой, уравне-
уравнение которой y~f(x). Площадь трапеции, указанной в условии за-
задачи, S = -^(OA+BM)-OB (рис. 270). Для того чтобы составить
дифференциальное уравнение данной задачи, выразим отрезки О А,
ВМ и ОВ через координаты текущей точки (х\ у) и через произ-
производную у'.
Из рисунка замечаем, что ВМ~у и ОВ = АС=х,
Подставляя эти выражения в формулу для площади трапеции, най-
найдем
2 •* — а,
или
2ху—х2у' = 2а2. C)
Уравнение C) является дифференциальным уравнением. Его ре-
решение будет приведено в п. 5.
Задача 3. Материальная точка массы m падает под действием силы
земного притяжения. Требуется определить путь, пройденный точ-
562

кой за время /, если в начальный момент точка имела скорость
Примем вертикальную прямую, по которой движется точка, за
ось Оу. За начало координат возьмем точку оси, соответствующую
положению точки в начальный момент (при t — 0, y = 0). За поло-
положительное направление оси Оу примем направление к земле (рис. 271).
Пройденный точкой путь у будет некоторой функцией времени t.
Нужно определить вид функциональной зависимости y = f(t).
Из механики известно, что при свободном падении ускорение па-
падающего тела постоянно и равно g"«9,81 м/сек2. С другой стороны
известно, что ускорение равно второй производной от пути по вре-
времени, т. е. у". Приравнивая эти два выражения, получаем
*/"=?• D)
Мы снова получили дифференциальное уравнение. В отличие
от дифференциальных уравнений B) и C) оно содержит вторую
производную. Нам надо найти решение этого уравнения, удовлет-
удовлетворяющее следующим ограничениям, указанным в условии задачи.
В начальный момент пройденный путь уо = О и начальная скорость
равна v0. Так как скорость есть первая производная от пути по
времени, то это условие записывается следующим образом: в на-
начальный момент у'\ = v0.
Решение задачи будет приведено в § 2, п. 2.
Как показывают приведенные примеры, дифференциальное урав-
уравнение может содержать первую производную, вторую производную
или производные более высоких порядков. Введем следующее опре-
определение.
Определение. Порядком дифференциального уравнения назы-
называется высший из порядков, входящих в это уравнение производных
искомой функции.
Так, например, уравнения у'-\-2>ху—у2=0 и у' -\-V^y — 0— пер-
первого порядка; уравнения у" + 5ху' + 6у=0, у"-\-у2 sin х^Ьх, у"+
+ х2 = у—второго порядка; уравнение tfm + y" \пх = 1—четвертого
порядка и т. д.
В рассмотренных выше задачах уравнения B) и C) были урав-
уравнениями первого порядка, а уравнение D)—уравнением второго
порядка.
Перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений пер-
первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка связывает неза-
независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную.
Поэтому в общем виде его можно записать следующим образом:
F{x, у, iO=0. E)
Здесь х—независимая переменная, у—искомая функция, а у'—ее
производная.
563

Уравнение E) может не содержать в явном виде к и у, но обя-
обязательно содержит у'.
Разрешая уравнение E), если это возможно, относительно про-
производной у\ получим
y' = f(x,y). F)
Уравнение F) называется уравнением первого порядка, разрешен-
разрешенным относительно производной.
Замечание. Уравнение F) можно записать в виде f(x, y)dx —
— dy — O. В таком виде оно является частным случаем более общего
уравнения
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = O. F')
Условимся уравнение F') также называть дифференциальным
уравнением первого порядка. Например, уравнение x*dx-{-угdy = О
будет дифференциальным уравнением первого порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения первого
порядка называется всякая функция у = ц>(х), которая при подста-
подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Так, например, функция y = s\nx является решением уравнения
yf + ctgx-y—2cosx = 0; действительно,
(sin x)' + ctg x (sin x)—2 cos x = cos x + cos x—2 cos л: = 0.
Как мы увидим ниже, при нахождении решения дифференциаль-
дифференциального уравнения приходится в большинстве случаев выполнять
операции интегрирования. Поэтому процесс нахождения решения
дифференциального уравнения называется интегрированием диф-
дифференциального уравнения.
Определение. График решения дифференциального урав-
уравнения называется интегральной кривой.
Выясним прежде всего, каков геометрический смысл диффе-
дифференциального уравнения первого порядка F).
Будем рассматривать в уравнении F) переменные х и у как
декартовы координаты точки на плоскости. Пусть у = ф(л:) —ре-
—решение уравнения F). Это значит, что если в уравнение F) под-
подставить вместо у функцию ср(х), а вместо у' производную ф'(х),
to получится тождество
<р'(*)«/[*, <р(х)]. G)
Рассмотрим на графике функции у = у(х), т.е. на интегральной
кривой, произвольную точку М(х\у) и проведем в этой точке
касательную. По геометрическому смыслу производной
(8)
где а—угол наклона касательной к оси Ох. Из соотношений (8),
G) и F) получаем tga = /[x, <f(x)]=f(xt y)t где (л;; #) —коорди-
—координаты точки М. Таким образом, угловой коэффициент касательной
к интегральной кривой в каждой ее точке равен значению в этой
точке правой части дифференциального уравнения F).
564

Итак, дифференциальное уравнение F) определяет в каждой
точке * направление касательной к интегральной кривой, прохо-
проходящей через эту точку.
Рассмотрим дифференциальное уравнение yf —f(x, у). В каждой
точке М(х; у) проведем маленький отрезок, угловой коэффициент
которого равен значению правой части дифференциального урав-
уравнения в этой точке: k = tga^=f(x, у).
Определение. Часть плоскости (или вся плоскость), каж-
каждой точке которой отнесен отрезок так, что тангенс угла наклона
его к оси Ох равен значению в данной точке правой части диф-
дифференциального уравнения у'' = / (х, у), называется полем направ-
направлений данного дифференциального уравнения.
Таким образом, дифференциальному уравнению F) соответст-
соответствует его поле направлений.
В этом состоит геометрический смысл дифференциального
уравнения F). Проведя такие отрезки для достаточно большого
числа точек, получим наглядное изображение поля направлений.
Так как касательная в точке интегральной кривой имеет то же
направление, что и отрезок поля в этой точке, то задачу реше-
решения (интегрирования) дифференциального уравнения F) геомет-
геометрически можно сформулировать следующим образом: провести
интегральную кривую так, чтобы направление ее касательной в
каждой точке совпадало с направлением отрезка поля в этой точке.
Для того чтобы облегчить построение поля направлений, най-
найдем все те точки плоскости Оху, в которых отрезки поля имеют
одно и то же направление.
Определение. Геометрическое место точек плоскости, в
которых отрезки поля имеют одно и то же направление, назы-
называется изоклиной дифференциального уравнения.
Уравнение изоклины (кривой равных наклонов) найти очень
легко. Действительно, в каждой точке изоклины тангенс угла
наклона отрезков поля имеет одно и то же значение tga = fe.
Так как с другой стороны tg а = у' = / (х, у), то координаты каж-
каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению
f(x,y) = k. (9)
Уравнение (9) и будет уравнением изоклины дифференциального
уравнения F). Если предположить, что в уравнении (9) k может
принимать различные значения, то это уравнение можно рас-
рассматривать как уравнение семейства изоклин.
Пример 1. Построить поле направлений дифференциального
уравнения у' =х2 + у2.
Решение. Уравнения изоклин этого дифференциального урав-
уравнения будут
k
т. е. изоклинами здесь являются концентрические окружности
радиуса ]/& с центром в начале координат. В точках каждой из
* В каждой точке, принадлежащей области определения функции / (*, у).
565

окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью Ох
один и тот же угол а, тангенс которого равен &. Так, при fe = l/2
изоклиной будет окружность х2 + у2 — -^ ; при k = 1 —окруж-
—окружность х2+у2 = 1 и т. д. При fe=--0 получаем х2 + у2 = 0. Этому
уравнению удовлетворяет единственная точка @; 0). В этом случае
изоклина состоит только из одной точки, для которой tga = 0.
На рис. 272 изображено поле направлений данного дифферен-
дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную
кривую, возьмем на плоскости какую-нибудь точку (х0; у0). Про-
Проведем через нее интегральную кривую так, чтобы она в каждой
Рис. 272
точке имела направление поля (т. е. чтобы направление каса-
касательной к ней в каждой точке совпадало с направлением отрезка
поля в этой точке). На рис. 272 построены интегральные кривые,
проходящие через точки @; 0) и A; 1).
Рассмотренный пример позволяет сделать ряд выводов, кото-
которые при определенных условиях оказываются справедливыми для
широкого класса дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Дифференциальному уравнению F) соответствует бесчис-
бесчисленное множество интегральных кривых и, следовательно, бес-
бесчисленное множество решений.
2. Для выделения из этого множества конкретной интеграль-
интегральной кривой надо задать точку (х0; ув), через которую должна
проходить кривая.
Иными словами, надо задать то значение у0,. которое прини-
принимает решение у = ф(л;) при значении аргумента х=х0. Задание
566

значения у0 искомого решения при х^х0 называется начальным
условием. Оно записывается обычно следующим образом*
У\х-х.=Уо или у(хо)=уо. A0)
Условия, при которых дифференциальное уравнение F) имеет
решение, составляет содержание основной теоремы теории диф-
дифференциальных уравнений. Эта теорема, принадлежащая Коши,
носит название теоремы существования и единственности решения
дифференциального уравнения F). Мы приведем эту теорему без
доказательства.
Теорема. Если правая часть f (x, у) уравнения у' =f (x, у) и
ее частная производная f'y(x, у) определены и непрерывны в неко-
некоторой области G изменения переменных х и уу то какова бы ни
была внутренняя точка (хо\ у0) этой области, данное уравнение
имеет единственное решение у = у(х), принимающее при х = х0
заданное значение у = у0.
Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю
точку (хо\ у0) области G проходит единственная интегральная
кривая.
Нахождение решения уравнения y'=f(x, у), удовлетворяю-
удовлетворяющего начальному условию у(хо)=уо, называется задачей Коши.
Точки (х\ у) плоскости, в которых не выполняются условия
теоремы существования и единственности решения, называются
особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках
терпит разрыв или функция f (x> у) или ее частная производная
Гу(х, у)- Через каждую из таких точек может проходить либо
несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение у'=-^-#
Здесь правая часть /(х, у) =— и ее частная производная f'y(x, у) = —
непрерывны при хфО. Таким образом, во всей плоскости
Оху, за исключением оси Оу, правая часть уравнения удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси Оу,
являются особыми.
Легко проверить, что решением этого уравнения будет функ-
функция у^Сх, зависящая от произвольной постоянной С. Это реше-
решение называется общим. При конкретных значениях постоянной
С будем получать частные решения.
Например, при С—\ у—х, при С =10 у=10х и т.д. Для
решения задачи Коши задаем начальное условие: у(хо)=уо. Под-
Подставляя в общее решение вместо х и у их значения х0 и у0, по-
получим соотношение для определения постоянной С: у0 = Сх0.
Отсюда С = ~ и соответствующее частное решение у =^-х.
Xq Xq
Общее решение у = Сх геометрически представляет собой сово-
совокупность всех прямых, проходящих через начало координат, за
исключением оси Оу. Через каждую точку, не лежащую на оси
Оу, проходит единственная прямая (интегральная кривая). Через
667

начало координат проходит бесчисленное множество интегральных
кривых. Нарушение единственности объясняется тем, что начало
координат является особой точкой. Отметим также, что через осо-
особые точки, лежащие на оси О у и не совпадающие с началом коор-
координат, не проходит ни одной интегральной кривой.
Дадим теперь определения общего и частного решений диф-
дифференциального уравнения F), правая часть которого f(x, у)
удовлетворяет в некоторой области G условиям теоремы Коши.
Определение. Функция у = ц>(х, С), зависящая от аргу-
аргумента х и произвольной постоянной С, называется общим решением
уравнения F) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:
1) при любых значениях произвольной постоянной С, принад-
принадлежащих некоторому множеству, функция у = ср (ху С) является
решением уравнения F);
2) какова бы ни была точка (xOf yo)f лежащая внутри области G,
существует единственное значение постоянной С = С0 такое, что
решение f/ = q>(#, С^) удовлетворяет начальному условию у\х=Хл~уь,
Значение С = С0 можно найти из уравнения
• Уо = Ф (*о> Q-
Определение. Всякое решение у = <р(х, Со) уравнения F),
получающееся из общего решения у = ф (х, С) при конкретном зна-
значении C=Cot называется частным решением.
Замечание. Если общее решение дифференциального урав-
уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно у, т. е. в виде
о (jc, у, С) = 0, то оно называется общим интегралом дифферен-
дифференциального уравнения.
Перейдем теперь к рассмотрению методов нахождения решений
дифференциальных уравнений первого порядка. Вообще не сущест-
существует единого метода нахождения решений уравнения F) для
любой правой части f{x,y). Поэтому мы рассмотрим методы ре-
решения (методы интегрирования) этого уравнения лишь в некото-
некоторых частных случаях.
3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется урав-
уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать
в виде
y'=tA*)-hiy)- (И)
Правая часть уравнения A1) представляет собой произведение
двух множителей, каждый из которых является функцией только
одного аргумента.
Например, уравнение у'' = ^ есть уравнение с разделяю-
разделяющимися переменными, так как в нем можно принять /1(jc) = x*
h
568

Точно так же, уравнение ху'-\-у = у% есть уравнение с раз-
разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде
A1): У'=У^, где М*)=4' Ш = У*-У-
Напротив, уравнение ху'-\-у — хг нельзя представить в виде
A1), и, следовательно, оно не является уравнением с разделяю-
разделяющимися переменными.
Метод интегрирования уравнения с разделяющимися перемен-
переменными состоит в следующем. Перепишем уравнение A1) в виде
¦| = М*)-Ш. Тогда
Если уравнение A1) представлено в виде A2), то говорят, что
в нем разделены переменные.
Допустим, что мы нашли решение у(х) уравнения A2). Если
эту функцию у(х) подставим в A2), то это уравнение обратится
в тождество и, интегрируя его, получим
Перенося Ct в правую часть равенства и обозначая Сг—Сг~
получим
где С—произвольная постоянная.
Выражение A3) представляет собой общий интеграл уравнения A2).
Пример 1. Решить уравнение ху'+у = 0.
Решение. Разрешая уравнение относительно у\ получим
«' = — -?., или^ = ——. Разделяя переменные, находим— = — —.
х их х ух
Интегрируя, получаем ln\y\ ~ln\x\ + Cif где Сх— произвольная
постоянная. Для упрощения полученного решения воспользуемся
часто применяемым приемом; положим Ct = In Ca (C2>0)*, тогда
1п\у\ = — 1п|х|-НпС8, откуда |у|=—i. или у = ±^щ Полагая
±С2 = С, окончательно получим
0=4, (И)
где С—произвольная постоянная. Геометрически полученное общее
решение A4) представляет собой семейство равносторонних гипербол.
Пусть требуется из найденного общего решения выделить част-
частное решение, удовлетворяющее начальному условию у _ = у. За-
Заменяя в A4) х и у начальными данными, получим соотношение
* Заметим, что при изменении С2от0до oo In С2 изменяется от—оодо+оо.
65Э

1 С
— = —, из которого найдем С = 2. Таким образом, искомое част-
частное решение имеет вид у= —.
Приведем теперь решение уравнения B) задачи 1 п. 1. Уравне-
Уравнение B) имело вид
§ = ft (Г-10).
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя перемен-
переменные в уравнении, получим
Интегрируя, находим:
In | Г — 101 =
\Т — 10| = <V", T—10 =
Итак,
T=Cekt+10. A5)
Формула A5) дает общее решение уравнения B). Для выделе-
выделения частного решения используем начальное условие: Г|<=0 = 100.
Таким образом, Cefe*°+10 = 100, откуда С = 90. Итак, частное ре-
решение будет иметь вид
Это решение содержит неизвестный множитель ft. Для его опреде-
определения используем второе дополнительное условие: при ? = 10 тем-
температура тела Т = 60°. Тогда
откуда eio* = -g-, и, логарифмируя, находим
*->(!) •
Таким образом, искомое решение уравнения B) будет
) ^
+ 10 = 90 (l-)^ 10.
Итак,
Для ответа на вопрос, через сколько времени тело охладится
до 20Q, получаем уравнение
20=90^)^+10,
S70 ;

откуда
JT\ To J
Логарифмируя, находим
Рассмотрим теперь некоторые уравнения, которые с помощью
несложных преобразований приводятся к уравнениям с разделяю-
разделяющимися переменными.
4. Однородные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным, если его можно записать в виде
где правая часть есть функция только от отношения переменных —.
Например, уравнения -^=(-^-) -fsin~ + 2 и ~ = 1п —+ 3е*—од-
нородные уравнения.
Уравнение #' = J2 * также однородное, так как деля числи-
числитель и знаменатель правой части на х3, получим у' =, .2-.
В частности, уравнение, записанное в виде y'=f(x, у), будет
однородным, если /(#, у) есть отношение двух однородных много-
многочленов одной и той же степени*.
В однородном уравнении A6) переменные, вообще говоря, не
разделяются. Однако оно легко может быть преобразовано в урав-
уравнение с разделяющимися переменными,
С этой целью введем новую функцию z, положив
~ =2, или y=xz. A7)
Дифференцируя A7), находим
Tx-z+xTx'
Подставляя выражения A7) и A8) в уравнение A6), придадим ему
вид
* Однородными многочленами степени п (измерения п) называются многочлены,
у которых сумма показателей степени переменных в каждом члене равна л. На-
лример, х*-\-хъу—2х2у2-\-ЬуА—однородный многочлен четвертой степени (четвер-
(четвертого измерения).
671

В полученном уравнении переменные разделяются.
Действительно,
xdz = [ip(z)—z]dx9
и предполагая, что <р(г)— z ^ 0, получим
dx_ dz
х ~
Выполняя интегрирование, получим
Найдя интеграл в правой части A9) и возвращаясь к первоначаль-
первоначальному переменному у, получим общее решение однородного уравне-
уравнения A6).
Пример. Проинтегрировать уравнение 2хуу' =
Решение. Запишем уравнение в виде
lt±?
dx~ 2xy '
Делая подстановку y = xz, получаем
dz , 1+г2 dz 1 — г2
-j-Jt + Z— —~— , ИЛИ -т-Х = —Гь— .
dx ' 2z J dx 2z
В полученном уравнении переменные разделяются:
2zdz __dx
Интегрируя, имеем
\пС1 — In 11 — z2\ = \n\x\,
откуда
С1==|д:|.| 1 — 22|, или хA — 2а) = ±С1в
Положим zbCj —С; тогда хA—г2) —С. Возвращаясь к функции #,
получим
С=х(\—^\9 или х2—у2—Сх-0.
5. Линейные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется линейным, если его можно записать в виде
%x (x), B0)
где Р (х) и Q (х) — заданные функции.
Таким образом, искомая функция у и ее производная ™ входят
в линейное уравнение в первой степени.
572

Если в частном случае Q (#)=== О, то уравнение B0) называется
линейным уравнением без свободного члена или линейным однородным
уравнением.
Например, уравнения ^| =«/cos2 х + х2 и ху' = у + ех будут ли-
линейными уравнениями. Уравнение же ууг-\-ху* — sin x не будет ли-
линейным.
Уравнение B0) интегрируется следующим образом. Рассмотрим
соответствующее уравнение без свободного члена
% = Р(*)-У. B1)
В этом уравнении переменные разделяются, и его общее решение
находится сразу.
Из B1) получаем:
У
Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения B1):
J* Р (x)dx J* Р (х) их
y=±Cte =Ce . B2)
Для нахождения общего решения уравнения B0) применим так
называемый метод вариации произвольной постоянной. Этот метод
заключается в следующем. Общее решение уравнения со свободным
членом B0) будем искать по формуле B2), заменяя в ней произ-
произвольную постоянную С некоторой дифференцируемой функцией
B3)
Для того чтобы функция B3) была решением уравнения B0), нужно,
чтобы она удовлетворяла этому уравнению.
Находим производную
, J P(x)dx J Р (х) dx
y' = z'(x)eJ +z(x)eJ
fP{x)dx J* P (x) dx
= z (x) e -\~z (x) P (x) e
Подставляя выражения для у и у' в уравнение B0), находим
соотношение для определения функции z(x):
Отсюда
z* (х)е х * = Q (л;), или z' (x) =
Интегрируя, находим
r -J*P (x)dx
z{x)^)Q(x)e dx + C0.
673

Подставляя найденное выражение г (х) в формулу B3), получаем
общее решение линейного уравнения B0)
a-(P{x)dx ч tP(x)dx
Q(x)e dx + C0)e . B3')
Пример К Найти общее решение уравнения
dx
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальному
условию У lz=*
Решение. При интегрировании этого уравнения не будем поль-
пользоваться готовой формулой B3'), а проделаем все вычисления вновь.
Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного члена
~ = -^. В этом уравнении переменные разделяются: -^ = ~. Инте-
dx х ух
грируя, находим
In|f/1^In|л:| + InСх, или у = ±С1х = Сх.
В полученном общем решении линейного уравнения без свобод-
свободного члена заменяем постоянную С функцией z(x), получаем
y=z(x)-x.
Дифференцируя, находим у' = г'(x)-x + z(x). Подставляем в данное
уравнение выражения для у и у':
или
Отсюда z (х) = х-к + Со и общее решение данного уравнения имеет вид
или
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
y = -j при * = 1:
Следовательно, С0 = 0 и частное решение запишется в виде
у = ±х*9
Вернемся теперь к задаче 2, рассмотренной в п. 1. Выведенное
там уравнение имело вид
2ху—х*у' = 2а2, или у' = —# ^ • B4)
X X
574

Полученное уравнение является линейным и интегрируется указан-
указанным выше способом. Сначала рассматриваем уравнение без свобод-
ного члена у' = — у. Находим его общее решение, разделяя пере-
х
менные и интегрируя:
Заменяем теперь постоянную С на функцию г(х) и ищем решение
данного уравнения B4) в виде y = z(x)-x2. Находим у' = z'(x)-x2 +
-\-2x-z(x) и подставляем у и у' в уравнение B4):
откуда
г,' /лЛ .
/ / ч 2а*
Интегрируя, получим
_2о2
и окончательно находим общее решение y = z-x2 =-^--\-С0х2, или
6. Уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = O. B5)
Это уравнение первого порядка, так как из него следует, что
^=— щ?%- Допустим, что Р(х, у) и Q(x, у)—функции непре-
дР до
рывные вместе со своими частными производными j- и ~^ в неко-
некоторой области G. Если левая часть уравнения B5) Р(х, y)dx +
+Q(*> y)dy является полным дифференциалом некоторой функции
U (х, у), т. е.
dU (х9 у)=Р (х, y)dx + Q (х, у) dy, B6)
то уравнение B5) называется уравнением в полных дифференциалах
и может быть записано следующим образом:
dU{x, y) = 0. B7)
Его общий интеграл имеет вид
U{x, y) = C. B8)
Как известно (см. гл. X, § 3, п. 6), для того чтобы выраже-
выражение Р (х, y)dx + Q (x, у) dy было полным дифференциалом в односвяз-
ной области G, необходимо и достаточно, чтобы в области Q
675

тождественно выполнялось равенство
ду ~ дх '
Если это условие выполняется, то функция U (х, у) находится
следующим образом (гл. X, § 3, п. 6, формула E3)):
х у
U(x, y) = l P(t, tJ(>)dt+[Q(x, t)dt. C0)
Следовательно, общий интеграл дифференциального уравнения B5)
запишется так:
х у
$Р(/, yo)dt + lQ(x, t)dt = C. C1)
Здесь (лс0; у0) — произвольная фиксированная точка области G.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
dy_ \ — 2xy
dx~~3y* + x* *
Решение. Запишем уравнение в виде
Здесь Р(х, у) = 2ху—1, Q(x, y) = 3y2-\-x*. Проверяем выполнение
условий B9):
^ = 2х, « =2*.
ду ' дх
Таким образом, данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Находим его общий интеграл по формуле C1),
полагая для упрощения вычислений хо — уо = 0:
у
о о
Выполняя интегрирование, находим общий интеграл данного урав-
уравнения:
ттштт. f I I //3 1 у2/\ —— I н nu __ у I у#3 I v*2y# §
I О О
7. Особые решения
По теореме Коши, если правая часть уравнения
у' — f (х, у)
непрерывна в некоторой области G и имеет в ней непрерывную
производную fy(x, у), то через каждую внутреннюю точку (х0; у0)
области G проходит единственная интегральная кривая. Однако
условия теоремы Коши могут оказаться не выполненными в точках,
лежащих на границе области С Такие точки, где не выполняются
условия теоремы Коши, мы назвали особыми (см. стр. 567). Если
Б76

M0(xQ; y0) — особая точка, то может оказаться, что через нее либо
не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит не-
несколько интегральных кривых. Так, мы видели (см. п. 2, пример 2),
что для дифференциального уравнения */'= — вся ось Оу состоит
из особых точек. При этом через начало координат проходит бес-
бесконечное множество интегральных кривых, а через особые точки,
отличные от начала координат, не проходит ни одной интеграль-
интегральной кривой.
Если линия у = у(х) состоит только из особых точек и является
интегральной кривой дифференциального уравнения, то функция
у^ф(л:) называется особым решением.
Условия теоремы Коши являются достаточными условиями для
того, чтобы в некоторой области G не существовало особого реше-
решения. Поэтому для существования особого решения необходимо,
чтобы не выполнялись условия теоремы Коши. Следовательно, для
того чтобы найти особое решение дифференциального уравнения
У' = }(х> У)» надо найти линию у = у(х), в каждой точке которой
терпят разрыв f(x, у) или!'у(х,у), и проверить, является ли функция
у=у(х) решением уравнения. Если функция у—ср (х) окажется решением
дифференциального уравнения, то она и будет особым решением.
Пример 1. Рассмотрим уравнение y'=i/y2. Правая часть этого
уравнения f(xf y)= %/у2 непрерывна при всех значениях у, однако
производная fy (х, у) = 3
терпит разрыв при у = 0, т. е.
во всех точках оси Ох. Та-
Таким образом, каждая точка
прямой у = 0 является осо-
особой. Очевидно, что функ-
функция у=^0 является решением
данного уравнения. Следова-
Следовательно, решение у = 0 будет
особым.
Найдем теперь общее ре-
решение данного уравнения.
Разделяя переменные, нахо-
находим -JL = dtf. Интегрируя,
получаем общее решение: Рис. 273
или у«
Семейство интегральных кривых, соответствующих найденному
общему решению, состоит из кубических парабол. Так как через каж-
каждую точку особого решения у^=0 (оси Ох) проходит еще одна интег-
интегральная кривая данного уравнения (кубическая парабола), то в
каждой точке оси Ох нарушается свойство единственности (рис. 273).
19 № 2242
577

Заметим, что особое решение, вообще говоря, не содержится о
обшрм решении и не может быть выделено из него ни при каком
конкретном значении постоянной С.
Пример 2, Рассмотрим уравнение у' = 1/у2 + 1. Как и в пре-
предыдущем примере, геометрическим местом особых точек является
прямая у = 0 (ось Ох). Однако функция у = 0, как легко прове-
проверить, не является решением данного уравнения. Поэтому данное
уравнение особых решений не имеет.
8. Приближенное решение
дифференциальных уравнений первого порядка
методом Эйлера
В п. 2 этого параграфа был изложен метод приближенного по-
построения интегральных кривых дифференциального уравнения
первого порядка с помощью изоклин.
Рассмотрим теперь еще один приближенный метод нахождения
частного решения уравнения, называемый методом Эйлера.
Идея метода Эйлера заключается в том, что интегральная кри-
кривая, являющаяся графи-
графиком частного решения,
приближенно заменяется
ломаной.
Пусть дано дифферен-
дифференциальное уравнение F)
*'=/(*. У)
и начальное условие
у \х=Хо=^у0.
Требуется на сегменте
хо^.х^Ь приближенно
построить интегральную
кривую y = (f(x) уравне-
уравнения F), проходящую через
точку (хо\ у0).
Разобьем сегмент [л;0, Ь] точками деления
хо<х1<х2<...
на п равных частей длины Ах = —-^ (рис. 274). Величина Ах
называется шагом разбиения сегмента. Пользуясь уравнением F),
вычислим в начальной точке (х0; у0) интегральной кривой угловой
коэффициент ее касательной: */о =¦= / (л;0, Уо)> тогда уравнение каса-
касательной в точке (х0; у0) будет иметь вид
—Хо)> или y =
o, уо)(х—хо).
Заменяя на сегменте [х0, хг] искомую интегральную кривую
= у(х) отрезком этой касательной (см, рис. 274), найдем прибли-
578

женное значение решения уг в точке хх:
У1
или, так как х1—xo =
Подставив значения х1 и уг в правую часть уравнения F), найдем
0l=/(*i, Ух)-
На сегменте [х19 х2] заменим приближенно интегральную кри-
кривую у = у(х) отрезком касательной, проходящей через точку
(хх\ уг) и имеющей угловой коэффициент k=y[=f(x19 yj:
—Xi)> или у^
Полагая в уравнении этой прямой х=--х29 найдем приближенное
значение искомого решения # = ф(л;) в точке х2:
или, так как х2—xt =
Продолжая этот процесс, получим последовательно приближен-
приближенные значения решения у = (р(х) в точках х39 х4, ... , х(, ... , хп = Ь.
При этом значение функции в точке х{ вычисляется через значение
функции и ее производной в точке х{_х по формуле
0/ = 0/-i + /(*/-i. yt-Jbx (t = l, 2, 3, ...). C2)
Таким образом, мы получили приближенные значения искомого
решения в точках хг> х29 х39 ...;, xh ... и приближенно построили
интегральную кривую в виде ломаной.
Замечание. Мы рассмотрели случай Ь>х0. Если 6<х0, то
формула C2) остается в силе, но в этом случае Ax = -I^ будет
отрицательным.
Метод Эйлера является простейшим из методов приближенного
интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
Недостатком метода является малая точность. Очевидно, что ошиб-
ошибка, которая получается при замене интегральной кривой ломаной,
зависит от числа точек разбиения сегмента [xOi b]. Можно пока-
показать, что ошибка при вычислении ординат yi пропорциональна
)
Пример. Составить на сегменте [1, 2] таблицу приближенных
значений частного решения у = ф(х) дифференциального уравнения
у'—у2—х2, удовлетворяющего начальному условию y|^=i = l. Шаг
разбиения сегмента [1, 2] принять равным Дх —0,1.
Решение. Согласно указанной схеме, вычисления значений
решения у — ц>(х) выполняем по формуле C2). Все вычисления за-
записываем в общей таблице и проводим с точностью до четвертого
знака после запятой.
19* 679

г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\
,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
*,о
т
1
1
0,979
0,9308
0,8484
0,7244
0,5519
0,3264
0,0480
—0,2758
—0,6292
Uxb УО-yf-xf
0
—0,21
—0,4816
—0,8236
— 1,2402
—1,7252
—2,2554
—2,7835
—3,2377
—3,5339
0
—0,021
—0,0482
—0,0824
—0,1240
—0,1725
—0,2255
—0,2784
—0,3238
^-0,3534
Столбец у( таблицы содержит приближенные значения функции
ц>(х) в точках xt.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
/• Основные понятия
Дифференциальное уравнение второго порядка связывает неза-
независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую
производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать
ху у и у'. Однако уравнение второго порядка обязательно должно
содержать у".
Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае
записывается в виде
F(x, У, У\ У") = 0 C3)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй
производной
</" = /(*, У, У'). C4)
В § 1, п. 1 мы рассмотрели задачу, которая привела к про-
простейшему дифференциальному уравнению второго порядка (см. фор-
формулу 4, § 1, п. 1).
Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения
второго порядка существует общее и частное решение. Рассмотрим
сначала на примере, какой вид имеет общее решение уравнения
второго порядка и как из него выделяется частное решение.
Возьмем простейшее уравнение второго порядка
/=2. C5)
Для его решения введем обозначение у1 ~v(x). Тогда y"—v', и
уравнение C5) примет вид t/=2. Отсюда следует, что v==2x-\-Cv
или у'=2х + Сг. Интегрируя еще раз, найдем y = z CC
580.

Полученное решение зависит от двух произвольных постоянных
(общее решение). Геометрически это решение представляет множе-
множество парабол (интегральных кривых), причем через каждую точку
плоскости, очевидно, проходит бесконечное множество парабол,
имеющих в этой точке различные касательные (рис. 275). Для вы-
выделения из множества этих кривых какой-либо одной интегральной
кривой необходимо, кроме
координат точки (х0; у0), че-
через которую проходят пара-
параболы, дополнительно задать
угловой коэффициент каса-
касательной, т. е. значение в этой
точке производной у1'.
Таким образом, условия,
с помощью которых из общего
решения уравнения второго
порядка выделяется частное
решение (начальные усло-
условия), имеют вид:
У\х=хо = Уо> У'\х=хо = Уо, где
хо> Уо и f/o—заданные числа.
Первое из этих условий ука-
указывает точку, через которую Рис. 275
должна проходить интеграль-
интегральная кривая. Второе условие
определяет наклон интегральной кривой в данной точке.
Зададим, например, для уравнения C5) следующие начальные
условия: у\х=1 = 2, у'\ХяХ = 1.
Из общего решения y = x2 + Ctx + C2 находим у' =2х + Сг. Исполь-
Используя начальные условия, получаем для определения Сх и С2 систе-
систему уравнений
2
Из этой системы находим значения Ct — —1 и С2 = 2. Поэтому
искомое частное решение имеет вид у = х2—х + 2.
Результаты, полученные в этом простейшем примере, остаются
справедливыми и в общем случае уравнения второго порядка. Для
уравнения второго порядка, как и для уравнения первого порядка,
имеет место теорема существования и единственности (теорема Коши),
которую мы приводим без доказательства.
Теорема. Пусть правая часть f(x, у> у') уравнения ytf = f(x, у> у')
и ее частные производные fy (x, у, у') и f'y, (x> у, у') определены и
непрерывны в некоторой области G изменения переменных х> у и у'.
Тогда какова бы ни была внутренняя точка (х0У yQi y'o) этой обла-
стиу данное уравнение имеет единственное решение у = ч(х), удов1
летворяющее начальным условиям
У\х=х. = у» У*\х.х.=у1. C6)
581

Задача нахождения решения уравнения t/' = f(x9 у, у'), удов-
удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае урав-
уравнения первого порядка, называется задачей Коша.
Дадим теперь определения общего и частного решений уравне-
уравнения второго порядка y"=zf(x9 у, у')9 правая часть которого удов-
удовлетворяет условиям теоремы Коши в некоторой области G измене-
изменения переменных х, j/ и у'.
Определение. Функция у = у(х9 С19 С2), зависящая от аргу-
аргумента х и двух произвольных постоянных Сх и С2, называется общим
решением уравнения C4) в области G, если она удовлетворяет двум
условиям:
1) при любых значениях произвольных постоянных Сг и С2 функ-
функция у sb ф (х, Clf C2) является решением уравнения C4);
2) каковы бы ни были начальные условия C6)
У\х~х.=у9, y'lxmjb^yl*
существуют единственные значения постоянных С10 и С2в такие, что
функция y = q>(x9 C10, Ci0) является решением уравнения C4) и
удовлетворяет начальным условиям C6).
Замечание 1. Значения постоянных С10, С20 находятся из
системы уравнений
</о = ф(*о> С19, С20), \
^=ф'(*о> С1Ш9 Сао). /
Замечание 2. При задании начальных условий C6) необхо-
необходимо, чтобы значения переменных х09 у0 и у'о принадлежали обла-
области G.
Замечание 3. Если общее решение дифференциального урав-
уравнения второго порядка получено в виде, не разрешенном относи-
относительно искомой функции: Ф(л:, yt Clf С2)=0, то это соотношение
называют общим интегралом данного дифференциального уравнения.
Определение. Всякое решение у = ц>(хХ9 С10> С20) уравне-
уравнения C4), получающееся из общего решения у = у{х, СиСш) при кон-
конкретных значениях постоянных Cl=ClOf Cz = C20t называется част-
частным решением.
2. Простейшие уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
В этом пункте мы рассмотрим уравнения второго порядка, ко
торые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям пер-
первого порядка. Такое преобразование уравнения называется пони-
понижением порядка. Простейшими уравнениями второго порядка,
допускающими понижение порядка, являются следующие:
I. y" = f(x). C7)
И. / = /(*, У')- C8;
HI. yr = f{y, у'). C9)
Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение
порядка и как интегрируется каждое из указанных уравнений.

I. Уравнение y"=*f(x). Введем новую функцию v(x)t положив
у' = v (х). Тогда t/' = v' (x), и мы получим уравнение первого порядка:
v'(x)=^f(x). Решая его, получим
где F(х)—одна из первообразных от f(x). Так как v(x)=y', то
у' =F(x) + Cv Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее реше-
решение уравнения C7)
Пример 1. Найти общее решение уравнения y^^
Решение. Полагая у' = v (х)> получаем уравнение и' (х) = sin x.
Интегрируя, находим v(x)=—cosx + C^ Заменяя v(x) на у' и
интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения:
у = — sin х + Схх + Са.
II. Уравнение у" = \(х, у'). Это уравнение не содержит явно
искомой функции у. Вводя, как и в предыдущем случае, новую
функцию v(x) = y' и замечая, что y" = v'(x), получаем уравнение
первого порядка относительно функции v(x)t
v'(x) = f(xt v).
Допустим, что найдено общее решение этого уравнения
1> = ф(х, Сг).
Заменяя в этом решении функцию v на у\ получаем
Отсюда общее решение уравнения C8) будет иметь вид
(х, CJdx + C,.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
A+х*)уГ—2ху' = 0
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям y\Xstl = 0, g'\xsal=l.
Решение. Положим y'=v(x). Тогда y" = v'(x). Подставляя
эти выражения в данное уравнение, получим уравнение первого
порядка
(l2)'
Разделяя в этом уравнении переменные, находим
dv_ 2xdx
Интегрируя, получаем
583

1отенцируя, находим
Гак как v = yr, то yr =C1(l+xt). Интегрируя еще раз, получаем
)бщее решение данного уравнения
Выделим из этого общего решения частное решение. Используя пер-
зое начальное условие у|Л==1 = 0, находим 0=Сх ( 1 +у) +С2, или
g- Сх + С2 = 0. Дифференцируем общее решение: #' = С1 A + #2).
Используя второе начальное условие у' |Жя1 = 1, получим 1 =Ct A + 1)»
откуда С^у.
Таким образом, для определения постоянных Сх и С2 получаем
систему уравнений
Г 1
1 2
Отсюда Ct= у, С2 =—у. Следовательно, искомое частное решение
л:3 , х 2
данного уравнения имеет вид # = -§-+2"—"j*
III. Уравнение у" =f(y, у'). Это уравнение не содержит явно
независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения
снова вводим новую функцию v(y)9 зависящую от переменной у,
полагая
Дифференцируем это равенство по х, помня, что у является функ-
функцией от х:
dy
У dx dx dy dx'
Так как g = »@f то/ = ?•». D0)
Подставляя выражения для у' и у" в данное дифференциальное
уравнение, получаем уравнение первого порядка относительно функ-
функции v(y):
%
Пусть функция v(y) = (f(yt Сх) является общим решением этого
уравнения. Вспоминая, чтох>(#) = ~, получим уравнение с разде-
разделяющимися переменными
584

Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального урав-
уравнения C9):
)(С)~
Пример 8. Найти общее решение уравнения l+y'z =2уу".
Решение. Вводим новую неизвестную функцию v(y), полагая
тогда, согласно равенству (Щ, у" =-^v. Подставляя выражения для
у' и у" в данное уравнение, получим
В этом уравнении первого порядка переменные разделяются:
2v dv dy
Интегрируя, находим: In A + и2) = In j у \ + In Со. Отсюда 1 + v* =
— ±СоУ — С\У и v = dzV~Cxy — 1.
Так как 0 = ~ , то ~ =± VCxy—1 и, следовательно,
л dy
Интегрируя, получаем общий интеграл
(х + Q = ± 1 VCxy-l, или (* + С2J = ^ (Сху-1).
Отсюда находим общее решение:
У= х Х 4Q •
Рассмотрим теперь задачи, решение которых приводит к диффе-
дифференциальным уравнениям второго порядка. Прежде всего вернемся
к задаче о свободном падении материальной точки, рассмотренной
в § 1, п. 1. Уравнение, к которому привела эта задача, имело вид
(формула 4)
Это уравнение вида C7). Аргументом здесь является время. Вводя
новую функцию v(t)-y', получаем уравнение vf —g. Интегрируя,
находим
Так как в начальный момент скорость точки должна быть равной
v0 и так как скорость точки есть первая производная у' от пути
по времени, то для определения Сх имеем уравнение voO C
Отсюда ^ = ^0 и
585

Зто известная из физики формула для скорости при свободном па-
падении материальной точки.
Заменяя здесь и иа J и интегрируя еще раз, находим
Так как в начальный момент пройденный путь равен по условию
нулю, то получаем
откуда С2 = 0. Итак, частное решение уравнения D) имеет вид
Это формула пройденного пути при свободном падении тела.
Задача. В моторной лодке, движущейся прямолинейно со ско-
скоростью i>0 — 5 м/сек, выключается мотор. При своем движении
лодка испытывает сопротивление воды, сила которого пропорцио-
пропорциональна квадрату скорости лодки, причем коэффициент пропорцио-
пропорциональности & = ~, где т — масса лодки. Через сколько времени
скорость лодки уменьшится вдвое и какой путь пройдет за это
время лодка?
Решение. При решении этой задачи воспользуемся вторым
законом Ньютона.
Величина силы, действующей на материальную точку, равна
произведению массы точки на величину ее ускорения, а направле-
направление силы совпадает с направлением ускорения.
Так как скорость есть первая производная от пути по времени
ds
v=-[7> а ускорение — вторая производная от пути по времени
d2s
а—-ш> то принимая лодку за материальную точку, можем напи-
написать уравнение движения лодки в виде ma = F, или
mdt2 ~ 50 \dt) ' U
Знак «минус» здесь указывает на то, что 'сила сопротивления
воды направлена противоположно движению лодки.
Так как скорость y = s', то начальные условия будут следую-
следующими:
s^o^0* s'Lo^Lo^o^S м/сек.
Так как sn = v\ то, подставляя выражения для sr и s" в уравне-
уравнение (*), получаем уравнение первого порядка
586

или
do_ v^_
di ~ 50 '
Разделяем переменные и интегрируем:
v* — 50ш» t/ "^
Используя начальное условие s'|f==0 = i;|f=0 = 5, найдем C^-g-
50 г*. ds
и а = п^. Так как 0=-^, то
ds 50
Интегрируя последнее уравнение, находим
s = 501n(*+10) + Cf.
Принимая во внимание, что s |f=0 == 0, получим 0 = 50 In @+10) +С2
Следовательно, С2 = —50 In 10 и
Итак, мы получили закон движения лодки. По условию задачи
требуется узнать время, через которое скорость лодки уменьшится
вдвое. Для этого подставляем в формулу для скорости о= /л-ю'
значение и = у^0==2,5. Обозначая через Г врем , спустя которое
скорость лодки уменьшится вдвое, получим 2,5 = ^ , 10« Отсюда
время Г = 10 с^к.
Для вычисления пути, пройденного лодкой за это время, в вы-
выражение для s подставляем значение Т= 10 сек:
50.0,69^34,5 м.
3. Понятие о дифференциальных уравнениях
высших порядков
Дифференциальное уравнение /г-го порядка в общем виде запи-
записывается следующим образом:
F(x, у, у\ у\ ... , 0(»>)=О
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно у{п):
y(n) = f(x, У, У', У\ ... , У(^Х))=0. D1)
В частном случае дифференциальное уравнение /г-го порядка может
не содержать в явном виде х, у, у'у у"% ... , y{n~v, но обязательно
содержит у{п\
687'

Общее решение уравнения п-го порядка зависит от п произволь-
произвольных постоянных, т. е. является функцией вида
y = V{xf Cl9 С2, ... , Сп). D2)
Решение дифференциального уравнения, получающееся из общего
решения при конкретных значениях постоянных Сг = С10У С2=С20> ...
... Сп = Си0, называется частным решением.
Для того чтобы из общего решения уравнения выделить частное
решение, задаются начальные условия. В случае уравнения п-го
порядка начальные условия имеют вид
»и.*в=7..^и»*.=^/и.*.=Л ...,y(")U=x0=C-1). D3)
Дифференцируя общее решение D2) п — 1 раз и используя началь-
начальные условия D3), получим систему уравнений для определения
постоянных С10, С20, ... , Сп0:
0о = Ф(*. сю> С20, ••• > Ся0),
^;=ф'(х, с10, с20, ..., сп0)9
Уо == ф (-^0> ^10> ^20> ••• > ^пО/>
fj(tl-l) ГГ)<П~1)(у Г Г С \
Уо —Y v^o» ию> и20» • • • » Wo/-
Для уравнения п-го порядка D1) имеет место теорема существо-
существования и единственности решения, аналогичная соответствующим
теоремам для уравнений первого и второго порядков.
Задача Коши для уравнения /г-го порядка формулируется сле-
следующим образом: найти решение дифференциального уравнения
D1), удовлетворяющее начальным условиям D3).
Пример. Найти общее решение уравнения третьего порядка
у'" =24*+ 6
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям: */U0 = 0, */'|*=0 = 0, |Л*=о = 1-
Решение. Так как у'" — (у")', то (у")'= 2Ах + 6. Интегрируя,
находим y"=^\2x2 + 6x + Cv Так как у" = (#')', то (?/')' =- 12х2 +
+6* + ^, и, интегрируя еще раз, получаем у'= 4а:3 + За:2 + С1х + С2.
Наконец, после еще одного интегрирования получим общее решение
Это решение зависит от трех произвольных постоянных. Выделим
из него частное рещение, удовлетворяющее данным начальным
условиям.
Выпишем еще раз общее решение и первую и вторую его про-
производные:

Подставляя в эти соотношения начальные условия у\х=0 = 0, у' 1^0=0»
У*|*во —1» последовательно найдем:
С3=0, С2=0 и С1==1.
Итак, частное решение, соответствующее данным начальным усло-
условиям, имеет вид
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Большое количество задач математики, механики, электротехники
и других технических наук приводят к особому виду дифференци-
дифференциальных уравнений, так называемым линейным уравнениям. Линей-
Линейные уравнения первого порядка рассматривались в § 1, п. 5.
В этом параграфе будет изложена теория линейных уравнений
второго порядка.
/. Определения и общие свойства
Определение. Дифференциальное уравнение вида
а, (х) у" + а, (х) у' + а2(х)у^=Ь (х) D4)
называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Здесь коэффициенты уравнения ао(х), ах(х), а2(х) и свободный
член Ь(х)—заданные функции аргумента х. Если Ь(х)^==0, то ли-
линейное уравнение принимает вид
а0 (х) уГ + ах (х) у' + а2 (х) у = 0 D5)
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением
(или уравнением без правой части). Если же b(x)^Of то уравнение
D4) называется неоднородным линейным дифференциальным уравне-
уравнением (или уравнением с правой частью).
Например, уравнения:
xtf + 5xy' + 2y=e* и у" + */' + *3*/ = 0
будут линейными уравнениями, причем первое из них неоднородное,
а второе—однородное.
Уравнения
У" + 5(уУ—2#=0 и Ъуу"—&y' + y = casx
не принадлежат к виду D4) и не будут линейными. Первое из них
содержит квадрат производной, а второе—член с произведением
второй производной на искомую функцию.
Разрешим уравнение D4) относительно у":
и" — *(*)
у ~ n«W
589

Так как это уравнение является частным видом дифференциального
уравнения y" = f(x, у, у)', то для него справедлива теорема суще-
существования и единственности решения Коши, сформулированная в
предыдущем параграфе. Однако для линейного уравнения эта тео-
теорема может быть сформулирована проще.
Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения ао{х),
ai(x), a2(x) и свободный член Ь(х) непрерывны на некотором ин-
интервале (а, Р), причем коэффициент ао(х) не обращается в нуль ни
в одной точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения D6)
f(y и **\ __Ь(х)~-ах(х)у'—а2(х)у
П*> У', У ) - ^щ
и ее частные производные
будут непрерывными функциями при любых значениях переменных
у и у' и при значениях х, принадлежащих интервалу (а, р). Поэтому
уравнение D6) удовлетворяет условиям теоремы Коши. На осно-
основании сказанного сформулируем теперь теорему существования и
единственности решения линейного дифференциального уравне-
уравнения D4).
Теорема. Если коэффициенты а0 (х), ах (х), а2 (х) и правая часть
Ь(х) линейного уравнения D4) непрерывны на интервале (а, Р), при-
причем коэффициент а0 (х) не обращается в нуль ни в одной точке этого
интервала, то каковы бы ни были начальные условия у\х=:Хо:=У(ц
У' \х=хо~Уо> г^е точка х0 принадлежит интервалу (а, Р), существует
единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным
условиям.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных
дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если функции у1=у1(х) и у2~уЛх) являются реше-
решениями линейного однородного уравнения D5), то и функция
у = Сгуг (х) + С^у2 (х) также является реигением этого уравнения при
любых значениях постоянных Сх и С2 *.
Доказательство. Подставив функцию у~С1у1 (х) + С2уг(х)
и ее производные в левую часть уравнения D5), получим
а0 (х) [СхУ1 (х) + Сл% (*)]" + а, (х) [С& (х) + С2у2 (х))' +
+ а% (х) [Схух (х) + С2у2 (х)] = а0 (х) [Сд{ (х) + С2у2" (х)] +
+ аг (х) [Cjfl (х) + С2у2 (х)] + а2 (х) [С#г (х) + С2у2 (х)} -
- Сг [а0 (х) у\ (х) + ах (х) у[ (х) + а2 (х) ух (х)] +
+ С2 [ап (х) у; (х) + ах (х) у2 (х) + а2 (х) у2 (х)] = О,
* Выражение Схух (х) + С2у2(х) называется линейной комбинацией функций
Уг (*) и у2 (х).
590

так как функции уг{х) и уг{х) являются решениями уравнения D5)
и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках
равны нулю.
Так как общее решение у = ф(л:, Clf С2) дифференциального
уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные
Сх и С2, то возникает вопрос, не будет ли решение у = Сгуг (х)+С2у2(х)
общим решением уравнения D5).
Покажем, что это не всегда имеет место. Так, например, урав-
уравнение у" + 4# = 0 удовлетворяет условиям теоремы существования
и единственности решения при любых начальных условиях
(см. стр. 590). Это уравнение имеет, как легко проверить, частные
решения yl = s\n2x и */2 =10 8т2л;. Однако их линейная комбина-
комбинация y = Ct sin 2л: + Са • 10 sin 2л;, являясь решением данного уравне-
уравнения, не будет его общим решением. Действительно, нетрудно
убедиться в том, что функция */ = cos2x, удовлетворяющая началь-
начальным условиям ?/ J^^o == 1, у' |*_0 = 0, является решением (единствен-
(единственным) уравнения у"-|-4у = 0. Однако это решение нельзя получить
из линейной комбинации у = С1 зт2л; + С2«10 sin 2л:, так как уже
первое начальное условие у \XssQ = 1 для функции у = Сх sin 2л: +
+ C2-10sin2A: не выполняется ни при каких значениях Ct и С/.
QsinO + C,. 10 sin 0=5*1.
Определение 1. Два частных решения ух(х) и у2(х) однород-
однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка образуют
фундаментальную систему решений на некотором интервале (а, E),
если ни в одной точке этого интервала определитель
= Ух (X) У'г {X) —у[ (X) у2 (X) D7)
не обращается в нуль.
Определитель W {х) называется определителем Вронского * (или
вронскианом).
Пример 1. Выше мы указали, что уравнение у" + 4у = 0 имеет
своими частными решениями функции ух = sin 2л:, «/2 = 10 sin 2л:,
y^zo%2x. Легко убедиться, что первое и второе решение не обра-
образует фундаментальной системы, а первое и третье образуют фунда-
фундаментальную систему на всей числовой оси. Действительно,
sin 2л: 10 sin 2л: ОА . п о пл . n o
п о ол о = 20 sin 2л: cos 2л:—20 sin 2л: cos 2x s
2 cos 2л: 20 cos 2л:
sin 2л: cos 2л: ft . 9O rt 9O o t A
. ==_2 sin2 2л:—2соэ22л:=—2=^=0.
2 cos 2л: —2 sm 2л:
Пример 2. Легко проверить, что уравнение
10. Вронский A778—1853) —польский математик.
591

имеет частные решения ух^х и у2 = я2. Эти решения образуют
фундаментальную систему на любом интервале, не содержащем
точку х = 0. Действительно,
т. е. определитель Вронского не обращается в нуль при
Замечание. Очевидно, всякое линейное однородное уравне-
уравнение имеет решение уг^=0. Однако это решение ни с одним другим
частным решением у2 = */2(х) фундаментальной системы не образует,
так как в этом случае определитель Вронского тождественно равен
нулю:
О у2(х)
О у2(х)
Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения одно-
однородного линейного уравнения дает следующая теорема.
Теорема 2 (о структуре общего решения). Если два частных ре-
шения Ух — Ух^х) и Уъ—Уъ(х) уравнения D5) образуют на интервале
(а, Р) фундаментальную систему, то общге решение этого уравнения
имеет вид
х). D8)
При этом предполагается, что коэффициенты а0 (х), ах (х) и а2 (х)
непрерывны и ао(х)^=О на интервале (а, |3).
Доказательство. Прежде всего заметим, что при любых С{
и С2 функция у = С1у1 (х) + С2у2 (х) на основании теоремы 1 яв-
является решением уравнения D5). Поэтому, чтобы убедиться, что это
решение является общим, остается показать, что из него можно
выделить единственное частное решение, удовлетворяющее задан-
заданным начальным условиям:
У\х=хо=Уо, У'\х=хо = Уо, D9)
где точка х0 принадлежит интервалу (а, Р), a y0 и у'о произвольны.
Пусть Y =У(х)—какое-либо частное решение уравнения D5),
удовлетворяющее начальным условиям D9). Покажем, что оно
может быть выделено из решения D8) надлежащим выбором по-
постоянных Сг и С2. Действительно, так как у = С}у1(х)-{-С2у2(х) и
у' =^ Сгу[ (х) + С2у2 (х), то, подставляя начальные условия, получим
Эти равенства представляют собой систему уравнений с неизвест-
неизвестными Сх и С2.
Определитель этой системы
592

равен значению определителя Вронского W (х) при х — х0. Так как
по условию частные решения ух (х) и уг (х) образуют фундаменталь-
фундаментальную систему частных решений на интервале (а, р), которому при-
принадлежит точка х0, то W (х0) Ф 0. Поэтому для неизвестных Сх и
С2 получим следующие единственные значения:
Уо У2 (*о)
У о Уч. (*о)
Ух (*о) У о
У1 (*о) Уо
10 - W(x0) • ~2*~ W(x0) *
Полученное частное решение у = С1Оу1(х) + С2Оу2(х) в силу теоремы
единственности будет совпадать с решением Y (х). Итак, показано,
что если ух (х) и у2 (х) образуют фундаментальную систему частных
решений, то общее решение имеет вид
Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего ре-
решения достаточно знать два его частных решения, образующие фун-
фундаментальную систему.
Пример 3. Рассмотрим уравнение х2у"—2ху' +2у = 0. Как мы ви-
видели в примере 2, функции ух =-х и у2 ~х2 образу ют фундаментальную
систему решений на любом интервале, не содержащем точку х = 0.
Поэтому на основании теоремы 2 общее решение этого уравнения
имеет вид у = Слх + С2х2. Найдем частное решение данного уравнения
при следующих начальных условиях: y\x=sl—0, #'1*^1 = 1. Так как
у' =Сг~\-2С2х, то, подставляя начальные условия, получим систему
уравнений для определения постоянных Сг и С2:
Решая эту систему, находим С1== —1, С2 = \. Таким образом, иско-
искомое частное решение имеет вид
у = х2—х.
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Рассмотрим теперь основные свойства линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка D4)
а, (х) у" + a, (x)yf +a2(x)y = b (х).
Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает
с левой частью неоднородного уравнения D4), в дальнейшем будем
называть соответствующим однородным уравнением.
Теорема 1. Если у(х) частное решение линейного неоднородного
уравнения D4), a Y (х) общее решение соответствующего однородного
уравнения, то функция у = у(х) -f- Y (х) является общим решением
неоднородного дифференциального уравнения D4).
593

Доказательство. Так как у(х) есть решение уравнения
D4), то
а0 (х) • у" (х) + ах (х) ~у' (х) + а2 (х) Tj(x)^b (x).
Аналогично, вследствие того что Y (х) есть решение соответствую-
соответствующего однородного уравнения,
а0 (х) У" {х) + ах (х) У (х) + а, (х) Y (х) =* 0.
В таком случае имеем
я0 (х) [y(x) + Y_ (х)]" + ax(x)fy (х) + У (х)Г + а% (х) ["у (х) + Y (х)} =
= [«• (х) у" (х) + а, (х) у' (х) + аг (х) у(х)] + [а0 (х) У" (х) +
Отсюда следует, что функция у^у(х) + У (х) действительно являет-
является решением неоднородного уравнения D4). Для того чтобы убе-
убедиться, что это решение является общим, остается показать, что
из него можно выделить единственное частное решение, удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям D9):
Пусть у±(х) и у2(х) два частных решения соответствующего
однородного уравнения, образующие фундаментальную систему
частных решений. В таком случае Y = Схух (х) + С2#2 (х) и
У = У(х) + У(х) = у (х) + С& (х) + С2у, (х). E0)
Пусть у = ф(л;) какое-либо частное решение неоднородного уравне-
уравнения D4), удовлетворяющее начальным условиям D9). Покажем,
что оно может быть выделено из решения E0) соответствующим
подбором Сг и С2.
Действительно, так как
У = У (х) + СхУг (х) + С2у, (х) и у'=у' (х) + ед (х) + Сгу'г (х\
начальные условия, полу
неизвестных Ct и С2:
У о = 1 (Хо) + Схух (х0) + С2у2
то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений
для определения неизвестных Ct и С2:
или
Ь(Хо)=Уо— HXxo)t
'h(xo) = y'o—y'(xQ) .J
Эта система имеет единственное решение С10 и С20, так как ее опре-
определитель отличен от нуля (см. доказательство теоремы 2, п. 2).
Полученное частное решение у = у(х) + С1Оух(х) + С2Оу2(х) в силу
теоремы единственности будет совпадать с решением у = (г>(х).
Таким образом, теорема доказана»
594

4. Метод вариации произвольных постоянных
В предыдущем пункте было показано, что для нахождения
общего решения линейного неоднородного уравнения достаточно
знать общее решение соответствующего однородного уравнения и
частное решение неоднородного уравнения.
Сейчас мы покажем, как находится частное решение неоднород-
неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего
однородного уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравне-
уравнение D4)
Пусть Y = С1у1(х) + С2у2(х)—общее решение соответствующего одно-
однородного уравнения, где ух(х) и у2(х) частные решения, образующие
фундаментальную систему. Заменим в общем решении постоянные
Сг и С2 некоторыми функциями z, (х) и z2 (х). Подберем эти функ-
функции так, чтобы
У = *i (х) Ух (х) + г2 (х) у2 (х) E1)
было решением уже неоднородного уравнения D4). Функция у,
определенная равенством E1), должна быть решением уравнения
D4). Поэтому при подстановке у, у', у" в уравнение D4) должно
получиться тождество.
Продифференцируем у по х, получим
7 = А (х) У г (х) + г\ (х) у2 (х) + гх (х) у\ (х) + г2 (х) у\ (х). E2)
Мы ввели две новых неизвестных функции zt(x) и г2(х). Для их
определения надо составить два уравнения. В качестве одного из
этих уравнений примем следующее:
^(x)y1(x) + z2(x)y2(x)^0. E3)
Тогда выражение E2) для у' упростится и примет вид
y' = Zi(x)y'Ax) + z2(x)y'2(x). ъ E4)
Дифференцируя это равенство еще раз, найдем
7 = г\ (х) У[ (х) + г, (х) у\ (х) + г2 (х) у'2 (х) + г2 (х) у2 (х).
Подставляя выражение для ]/, у' и 'у" в уравнение D4), получим
а0 (х) [z[y[ + гху\ + г\у2 + z2y] + аг (х) \z
или, группируя члены,
Wo (х) У\ + ах (х) у\ + а2 {х) yx]zx + [а0 (х) у + аг (х) у\ +
+ а2 (х) yt] z2 + а0 (х) [г\у\ + z^] = b (x). E5)
Так как функции уг и у2 являются решениями однородного
уравнения, то имеют место тождества
595

Поэтому равенство E5) принимает вид
или
E6)
Уравнение E6) является вторым уравнением, которому должны
удовлетворять функции zt(x) и гг(х).
Таким образом, объединяя уравнения E3) и E6), для функций
г^х) и zi(x) получим систему уравнений
bjxl \
2b(x)
2a0(x)
E7)
Из системы уравнений E7) можно найти единственные значения
для z[(x) и г'2(х), так как определитель системы
У Л*) УЛХ)
У'Л*) УК*)
как определитель Вронского для фундаментальной системы частных
решений уг(х) и у2(х). Определив z[(x) и z2(x)t интегрированием
находим г1(х) и z2(x) и затем по формуле E1) составляем частное
решение.
Пример. Найти частное решение уравнения у" + Ау = cqs 2y.
Решение. В примере 1 п. 2 мы установили, что уравнение
^4|-4|/ = 0 в качестве фундаментальной системы частных решений
имеет функции уг (х) = sin 2х и у2 (х) = cos 2x. Поэтому частное реше-
решение данного неоднородного уравнения на основании формулы E1)
запишется в виде
йГ= zx (х) sin 2x + z2 (x) cos 2x. E8)
Система E7) для нахождения z[(x) и z2(x) в данном случае будет
иметь вид
z[ (х) sin 2х + z2 {х) cos 2х = О, j
2z[ (x)cos2x—2z'%(x)sin2jc = ^ j
Решая эту систему относительно г\ (х) и z'2 (x), находим
cos 2л:
— 2 sin 2x
О
1
cos 2л:
— cos 2x«
1
cos2jc
sin 2x cos 2л:
2 cos 2л: —2 sin 2л:
Подобным же образом находим z'2(x) = — -j
лучаем
—2 sin2 2л:—2 cos2 2л:
х. Интегрируя, по-
596

Произвольных постоянных мы не пишем, так как ищем частное решет
ние. Подставляя эти выражения в равенство E1), получим частное
решение у данного неоднородного уравнения
у = у х sin 2х + -j cos 2л: • In | cos 2х |.
Замечание. Найдя частное решение у неоднородного уравне-
уравнения и зная фундаментальную систему частных решений соответст-
соответствующего однородного уравнения, мы можем написать общее реше-
решение неоднородного уравнения (см. п. 3, формула E0)) у = у + У, или
у = у sin 2х + С°^ In | cos 2х | + Сх sin 2х + С2 cos 2x.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этом параграфе будет рассмотрен частный случай линейных
уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоян-
постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравне-
уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит
особенно широкое применение.
/. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
аоу"Л-агуг + а2у = 09
в котором коэффициенты а0, а1У а2 постоянны. Полагая, что а0
деля все члены уравнения на а0 и обозначая
запишем данное уравнение в виде
O. E9)
Как известно, для нахождения общего решения линейного одно-
однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундамен-
фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фун-
фундаментальная система частных решений для однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
y=ek*. F0)
Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для
У> у' и у" в уравнение E9), получим
Б97

Так как ekxФО, то, сокращая на ekxf получим уравнение
Q. F1)
Из этого уравнения определяются те значения k, при которых
функция ekx будет решением уравнения E9).
Алгебраическое уравнение F1) для определения коэффициента k
называется характеристическим уравнением данного дифференциаль-
дифференциального уравнения E9).
Характеристическое уравнение является уравнением второй сте-
степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть
либо действительными различными, либо действительными и рав-
равными, либо комплексными сопряженными.
Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных
решений в каждом из этих случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и раз-
различные: кхфкъ. В этом случае по формуле F0) находим два
частных решения:
#1 = ?м, y%=*ek*K.
Эти два частных решения образуют фундаментальную систему реше-
решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде
не обращается в нуль:
Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле D8)
имеет вид
У^С^' + С^*". F2)
2. Корни характеристического уравнения равные: k%=kv В этом
случае оба корня будут действительными. По формуле F0) полу-
получаем только одно частное решение
Покажем, что второе частное решение у2(х), образующее вместе
с первым фундаментальную систему, имеет вид
Прежде всего проверим, что функция у% (х) является решением урав-
уравнения E9). Действительно,
= 2 V
x + k\x + p + pxkx + qx)=
- e*i* [x (k\ + pkx + q) + (p + 2k,)].
Ho kl + pkx + q = O, так как kt есть корень характеристического
уравнения F1). Кроме того, по теореме Виета р — — (&1 + й2)т= — 2fer
Поэтому p + 2k1 = 0. Следовательно, yl + py'2 + q=0, т. е. функция
уг(х)=хек*х действительно является решением уравнения E9),
598

Покажем теперь, что найденные частные решения ух = ек*х и
y2^xek*x образуют фундаментальную систему решений. Действи-
Действительно,
W tx\ __ е lX хе lX __ е lX хе **
' (ек*х)' (xek**)' kxek*x ek*x(\+kxx)
Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного
уравнения имеет вид
или
Y^e^{Cx + C,x). F3)
3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как извест-
известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными
коэффициентами являются сопряженными комплексными числами,
т.е. имеют вид: fe1 = a + Pi, fe2 = a—fit. В этом случае частные реше-
решения уравнения E9), согласно формуле F0), будут иметь вид:
у _ ektx __ е(а+00 х _ еах, ei$x^
Применяя формулы Эйлера (см. гл. XI, § 5 п. 3), выражения для
ух и у2 можно записать в виде:
уг = е«х (cos рлс + i sin рлс),
у2 = еах (cos р* — i sin fix).
Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действи-
действительные решения, рассмотрим новые функции
y^Yi(f/l ~У*)= e* sin P^'
Они являются линейными комбинациями решений ух и у2 и, следо-
следовательно, сами являются решениями уравнения E9) (см. § 3, п. 2,
теорему 1).
Легко показать, что определитель Вронского для этих решений
отличен от нуля и, следовательно, решения уг = е«* cos fix и
у2=е*хslnfix образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, общее решение однородного линейного дифферен-
дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристи-
характеристического уравнения имеет вид
У =Схе«х cos р* + С2е«* sin p*,
или
Y = ех {Сг cos fix + C2 sin fix). F4)
Приведем в заключение таблицу формул общего решения урав-
уравнения E9) в зависимости от вида корней характеристического урав-
уравнения.
699

Уравнение
Характеристическое
уравнение
Корни характеристи-
характеристического уравнения
Фундаментальная си-
система частных решений
Формула общего ре-
решения
•+РГЧЧ-0
ekl*
ек,х
же*1*
+ С2ж) *
e01^ sin Pjc
К = е«^ (Ct cos |5#+
Пример I, Найти общее решение уравнения у" + Ьу' + 6у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифферен-
дифференциального уравнения имеет вид fe2 + 5fe + 6 = 0. Его корни kx=*—2,
fe2=—3. Фундаментальная система частных решений: у1=е~2Х9
у^=>е~зх. Общее решение:
Пример 2. Найти общее решение уравнения у"—2уу
Решение. Характеристическое уравнение ft2—2fe+l=--0 имеет
равные корни fe1=fe8 = l. Фундаментальная система частных реше-
решений: #! = ?*, y.z~xex. Общее решение уравнения
Пример 3. Найти общее решение уравнения у у ^
Решение. Характеристическое уравнение fe2 + 4fe-f 13 = 0 имеет
корни ^=—2 + 31" и fe2 = — 2—3L Здесь .а = — 2, р=3. Фунда-
Фундаментальная система частных решений: ух = е^ cos Зх, у2 = е~2х sin Зл:.
Общее решение уравнения имеет вид
У = е~2х (С, cos Зл: + С2 sin Зх).
Пример 4. Найти общее решение уравнения у" + 2у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение k2 + 2 =0 имеет корни
kx=V 2i и fe2 = — V 2i. Здесь a = 0 и ^=^]/г2. Фундаментальная
система частных решений: j^^cosV 2x, y2 = sin К 2 х. Общее ре-
решение уравнения
У -d cosV~2х + С2 sin V2х.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим теперь уравнение
F5)
609

в котором коэффициенты р и q по-прежнему некоторые числа и пра-
правая часть f(x) известная функция. Как было показано выше (§ 3, п. 3),
общее решение уравнения F5) представляет собой сумму общего ре-
решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения.
Метод нахождения общего решения однородного уравнения
с постоянными коэффициентами E9) подробно рассмотрен в преды-
предыдущем пункте. Для нахождения частного решения неоднородного
уравнения F5) можно применить метод вариации постоянных, изло-
изложенный в п. 4 предыдущего параграфа. Этот метод применим, вообще
говоря, к любой правой части. Однако для уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный
вид, существует более простой способ нахождения частного решения.
Этот способ называется методом подбора формы частного решения.
Не приводя выводов, укажем форму, в которой следует искать
частное решение в зависимости от вида правой части f(x) диффе-
дифференциального уравнения.
I. Правая часть уравнения / (х) = Рп (х) = аохп + агхп~х + ...
В этом случае частное решение у следует искать в виде
y = Qn(x)xr. F6)
Здесь Qn{x)—многочлен той же степени, что и многочлен Рп(х),
но с неизвестными коэффициентами, а г—число корней характери-
характеристического уравнения, равных нулю.
Пример 1. Найти общее решение уравнения у" -\-у' =5x^-3.
Решение. Здесь характеристическое уравнение k? + k = 0 имеет
корни ^=0, fe2=—1. Соответственно этому общее решение одно-
однородного уравнения имеет вид
Y = Схе°-Х + С2е~* = Сг + С2е~х.
Так как правая часть уравнения является многочленом первой
степени и так как один из корней характеристического уравнения
равен нулю (г = 1), то частное решение, согласно формуле F6), надо
искать в виде
у = (Ах + В) х1 = Ах2 + Вх.
Подберем коэффициенты А и В таким образом, чтобы у было ре-
решением данного уравнения. Для этого подставим выражения для у
в данное уравнение:
(Лх2 + Вх)" + (Ах2 + Вх)' - Ъх + 3.
Отсюда
или
2Ах + BЛ + В) = 5* + 3.
Полученное равенство является тождеством, поэтому коэффициенты
при одинаковых степенях х в обеих частях равенства должны быть
601

равны. Таким образом, получаем следующую систему уравнений
2А + В=3, }
из которой находим Л=у, ?=—2.
Итак, частное решение данного уравнения имеет вид у = -^х2—2х}
а общее решение—
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Реше ни е. Составив характеристическое уравнениеfe2(+,
найдем его корни kx —— 1, k2 = —2. Поэтому соответствующее одно-
однородное уравнение имеет следующее общее решение: Y ~Схе~х-}-С2е~2х.
Так как правая часть уравнения является многочленом второй сте-
степени (л;2=л;2 + 0-л; + 0) и так как ни один корень характеристи-
характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение надо искать
в форме
Находим производные у' = 2Ах + В, у" =2Л. Подставляя их в дан-
данное дифференциальное уравнение, получим
или
2 Ах2 + F Л + 2В) х + B А + ЪВ + 2С) = х\
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем
к системе уравнений
2С-0,
1 3 7
решая которую, находим: А=-^у ?= — у, С = —. Таким образом,
частное решение у~ -jx2—у* +-4"» а °бщее решение
И. Правая часть уравнения f(x)=eaxPn(x). Здесь Рп(х)-~много-
Рп(х)-~многочлен степени /г, а коэффициент а в показателе—действительное
число.
(Ю2

В этом случае частное решение у следует искать в виде
~y = Qn(x)e«xxr. F7)
Здесь Qn(x)—многочлен той же степени, что и многочлен Рп(х),
но с неизвестными коэффициентами, а г — число корней характери-
характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом в показателе а.
Замечание. При а^0 имеет место I случай, так как f(
= е»хРп(х)=Рп(х).
Пример 3. Найти общее решение уравнения
у"—2у'—3# =
Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим
его корни: fe2—2k—3 = 0; fc1==—1, fe2 = 3. Общее решение уравне-
уравнения без правой части имеет вид
Так как среди корней характеристического уравнения имеется
только один корень кг =а = 3, то г = 1, и частное решение у следует
искать в виде
у = (Ах + В) е*х-х = (Ах* + Вх) е*\
Находим у" и у":
у' = B Ах + B)ezx + 3 (Ах* + Вх) езх,
у" = 2Aezx + 6 B Ах + В) егх + 9 (Ах2 + Вх) е*х.
Подставляя выражения у, у* и у" в уравнение (*) и сокращая на
множитель е%хФ®, получаем тождество
2А + 6 BАх + В) + 9 (Ах% + Вх)—2 [BАх + В) + 3 (Ах* + Вх)] —
—3(Ах* + Вх)=х + 2.
После приведения подобных членов и группировки находим
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xf получаем
систему уравнений
1
=2, /
из которой находим Л=-§- и B=jg.
Подставляя найденные значения А и В в выражение для у} найдем
частное решение уравнения
соз

Общее решение уравнения (*) находится как сумма общего решения
Y уравнения без правой части и частного решения у уравнения (*),
III. Правая часть уравнения / (х) = М cos bx + N sin bx, где M,
N и b—заданные числа. __
В этом случае частное решение у следует искать в виде
у = (Л cos bx + В sin bx) xr, F8)
где Л и В — неизвестные коэффициенты, а г равно числу корней ха-
характеристического уравнения, совпадающих с Ы.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у" -\- 4у' + Ъу =-- 2 cos х—sin x
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям: i/1 дг^о = 1» f//U=o==2.
Решение. Xарактеристическое уравнение k2 + 4k + 5 = 0 имеет
корни fej = — 2 +if fe2 = —2—и Поэтому общее решение соответст-
соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. формулу F4))
Y = e~2* (Ct cos x + С2 sin x).
Так как Ы = + i не является корнем характеристического урав-
уравнения, то г = 0 и частное решение надо искать в форме .
у— A cosx + В sin х.
Дифференцируя, находим
*/' =—Л sin x + B cosx, у" = — A cosx — В sinx.
Подставляя выражения для у\ у' я у в данное неоднородное диф-
дифференциальное уравнение, получим
—Л cos х—В sin х + 4 (—Л sin х + В cos х) + 5 (Л cos х + В sin х) =
=2cosx—sinx.
Группируя и приводя подобные члены, имеем
DЛ + 4В) cos х + DВ — 4Л) sin х = 2 cos х—sin x.
Написанное равенство является тождеством. Поэтому коэффици-
коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях равенства должны
быть равны. Приравнивая эти коэффициенты, получим систему урав-
уравнений для определения Л и В
4Л + 4В=2, \*
4В—4Л= —1. /
1 з
Из этой системы находим В = -^ , Л = -х-.
о о
¦Первое из этих уравнений получится из тождества D A -f- Щ cos x +
+ DВ — 4А) sin* = 2cosx—sinx при х = 0, а второе—при я=-2-.
604

О 1
Таким образом, частное решение имеет вид */ = -g-cosA: + -g- sin jcf
а общее решение уравнения
3 1
cosx +
g g 2Ar(C1 cos x + С2 sin л:).
Для выделения частного решения используем заданные начальные
условия: y\Xss0 = l9 #'1*=о=2. Так как
у' =—Y^
2 COS *),
то
Отсюда
^ 5 г 25
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
ycosx + s
Пример 5. Найти общее решение уравнения
/ +4*/ = 5 sin 2л;.
Решение. Характеристическое уравнение k2 + 4 = 0 имеет кор-
корни kl==2i, k2 = —2i. Общее решение однородного уравнения имеет
вид Y = C1 cos 2х + С2 sin 2х. Правая часть / (х) = 5 sin 2x данного
дифференциального уравнения принадлежит к рассматриваемому
типу, так как ее можно представить в виде 5sin2x+0-cos2x. Заме-
Заметим, кроме того, что bi = 2i совпадает с одним из корней харак-
характеристического уравнения и, следовательно, г = 1. Поэтому частное
решение неоднородного уравнения ищем в виде
у = (A cos 2x + В sin 2x) х.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, последовательно получим
у' ==(—2A sin 2x + 2B cos 2x) x + (A cos 2x + В sin 2x),
у" = (—4Л cos 2л:—4В sin 2л:) л: + (—2Л sin 2л: + 2В cos2jc) +
+ (—2Л sin 2л: + 2В cos 2л:) =(—4Л cos 2л:—4В sin 2л:) х +
+ (—4Л sin 2л: + 4В cos 2л:),
(—4Л cos 2л:—4В sin 2л:) х + (—4Л sin 2л: + 4В cos2x) +
+ 4(Л cos 2л: + В sin 2л:) л: = 5 sin 2x.
После приведения подобных членов получим
— 4Л sin 2л: + 4В cos 2x = 5 ^in 2л:.
605

Отсюда
=5, \
=0, f
или А = —y , В = 0. Таким образом, у = —-j x cos 2х, и общее
решение неоднородного уравнения запишется в виде
y=zy-\-Y = —-jx cos 2x + Сг cos 2л: -f- С2 sin 2х.
В заключение приведем теорему, которая часто применяется при
решении линейных уравнений.
Теорема» Если ух есть частное решение уравнения
!f + py' + qy = fi(x) F9)
и у2 есть частное решение уравнения
У" + РУ' + ЯУ=1Лх) G0)
с одной и той же левой частью, то сумма уг+&2 будет частным
решением уравнения
Доказательство. Подставив в левую часть уравнения G1)
сумму Ух + у2, получим на основании равенств F9) и G0)
+ РУг + ЯУъ) = /i (х) + f% (х).
Таким образом, действительно, уг + у2 есть решение уравне-
уравнения G1).
Пример 6. Найти общее решение уравнения
уп—2у' + у = Зех + х + 1. G2)
Решение. Характеристическое уравнение &а—2/г+1 =0 имеет
корни k1 = k2=l, поэтому общее решение соответствующего однород-
однородного уравнения запишется следующим образом: У = е*(Сг + С2х)
(см. формулу 63).
г Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
рассмотрим два вспомогательных уравнения:
(**)
и находим для каждого из них частные решения уг и у2. Частнсе
решение уравнения (*) ищем в виде уг = Ае**х29 так как число корней
характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентомя= 1
в показателе, равно 2 (г =2).
Дифференцируя ух и подставляя в уравнение (*), найдем
т у" = Аех-х2 + 4Ае*-
606

Сокращая обе части равенства на множитель ех =^0 и приводя подоб-
О О
р
О _ О
ные члены, получим 2Л=3, Л=уИ, следовательно, ух = у
Частное решение уравнения (**) ищем в виде у%~Вх-{-С. Так
как у'2 = В и у"ъ = 0, то, подставляя в уравнение (**), находим
Отсюда В = \ и С=3. Таким образом, t/2=x-f 3.
На основании предыдущей теоремы частное решение уравнения G2)
Общее решение этого уравнения запишется в виде
^J>
3. Приложение линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
к изучению механических и электрических колебаний
Рассмотрим следующую задачу. Материальная точка (груз) мас-
массы т, подвешенная к концу пружины, движется по вертикальной
прямой. Требуется определить закон движения груза.
Примем, что в положении равновесия вес груза уравновеши-
уравновешивается упругой силой пружины. Поместим начало координат в
положение равновесия груза, а ось Оу на-
правим вертикально вниз по прямой, вдоль
которой движется груз. Положение груза в
произвольный момент времени t определяется
отклонением у груза от начала координат
(рис. 276). Для нахождения закона движе-
ния груза надо определить зависимость
отклонения у от времени t.
На груз действуют следующие силы.
1) Восстанавливающая сила ?lt стремя-
щаяся вернуть груз в начальное положе-
ние. Сила ?г направлена вдоль оси Оу, и ее
проекция на эту ось пропорциональна откло-
отклонению груза от положения равновесия: Fly =>
= —ky. Число k называется коэффициентом
восстановления (k > 0). Знак «минус» в
выражении проекции силы Fly указывает на
то, что восстанавливающая сила направлена в сторону, противо-
противоположную деформации пружины.
2) Сила сопротивления F2 среды, в которой находится пружина
с грузом, цапразлена противоположно вектору скорости движения
груза. Величина силы F2, как показывает опыт, пропорциональна
величине скорости v груза. Поэтому проекция силы ?2 на ось Оу
запишется в" вще F2y^—ко (где л > 0).
т !
. [
р
607

Силу веса груза мы не учитываем, так как она уравновешивается
упругой силой пружины, а весом самой пружины пренебрегаем.
Для составления дифференциального уравнения движения груза
воспользуемся вторым законом Ньютона:
ma = 2F- G3)
Здесь а—вектор ускорения и 2F—сумма действующих на матери-
материальную точку сил.
В нашем случае на материальную точку (груз) действуют две
силы Ft и F2, направленные вдоль оси Оу. Проектируя векторы,
стоящие в обеих частях равенства G3), на ось Оу и замечая, что
проекция вектора ускорения а на ось Оу равна -dr, получаем иско-
искомое дифференциальное уравнение
ИЛИ
m^-+bf + ky = 0. G4)
Уравнение G4) является уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами и называется уравнением свободных колебаний.
Если на груз, кроме того, действует внешняя «возмущающая»
сила, направленная вдоль оси Оу, величина которой F (t) есть за-
заданная функция времени t> то уравнение G4) принимает вид
и называется уравнением вынужденных колебаний.
Разделив обе части уравнения G5) на т и введя обозначения
- = 26, ~ =
т ' т
26, со,
получим уравнение вынужденных колебаний в следующей оконча-
окончательной форме
**. + 2b4L + <*y = f(f). G6)
Уравнение G6) является неоднородным линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка.
Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения.
1) Пусть отсутствуют сопротивление среды F = 0) и внешняя воз-
возмущающая сила (/ (/) = 0). В этом случае уравнение G6) примет вид
§ :=0. G7)
Уравнение G7) является уравнением свободных колебаний груза
при отсутствии сопротивления среды. Характеристическое уравне-
уравнение ?2 + (o2=0 имеет корни kx= +ои, &2 = — со/, и общее решение
уравнения G7) запишется в форме
Y =.СХ cos co/+C2 sin со/, G8)
608

Введем вместо произвольных постоянных Сх и Са новые произ-
произвольные постоянные N и ср, связанные с постоянными Сг и С2 соот-
соотношениями
Сг = Ы sin ф, С2 = N cos ф.
Отсюда N и ф выражаются следующим образом:
2
Подставляя выражения Сх и С2 в равенство G8), получим
7 = Af sin ф cos tot + N cos ф sin со/ = N sin (со/+ф)-
Итак, общее решение уравнения G7) можно представить в виде
Эта формула показывает, что груз совершает простое периодическое
движение, которое называется гармоническим колебанием. Период
колебания Т = -?- (см. гл. XI, § 6, п. 1). Величина со называется
собственной частотой колебания. Величина N представляет собой
наибольшее отклонение груза от положения равновесия и назы-
называется амплитудой колебания; ф называется начальной фазой.
2) Пусть теперь имеет место сопротивление среды (Ь Ф 0), но по-
прежнему отсутствует внешняя возмущающая сила (/ (/)==0). В этом
случае уравнение G6) имеет вид
-g-4-261 + ^ = 0. G9)
Его характеристическое уравнение А2 + 2Ь& + со2 = 0 имеет корни
Рассмотрим практически наиболее интересный случай малого
сопротивления, когда b < со. В этом случае корни будут комплекс-
комплексными: kU2=—Ь±он', где со = Ксо2—Ь2. Общее решение уравнения
G9) имеет вид
Y == e-bt {Cx cos со/ + С2 sin ш/) = Ne~bt sin (©< + ф),
где CX = N sin ф, C2 = N cos ф.
Отсюда видно, что груз будет совершать колебания, амплитуда
которых N*e~~bt стремится к нулю при /->оо. Такие колебания
называются затухающими.
Заметим, что при b > со корни характеристического уравнения
будут действительными и различными. Общее решение уравне-
уравнения G9) в этом случае имеет вид
В этом случае груз, не совершая колебаний, приближается к поло-
положению равновесия (при /—*оо У—*0). Это же обстоятельство имеет
место и при 6 = со.
20 № 2242 609

3) Рассмотрим теперь случай, когда сопротивление среды отсут-
отсутствует F = 0), но на груз действует внешняя периодическая возму-
возмущающая сила /(^) = asin|ji. В этом случае уравнение движе-
движения G6) примет вид
-g- + (D2y = asinM- (80)
Общее решение этого уравнения, как известно, есть сумма частного
решения у неоднородного уравнения (80) и общего решения Y соот-
соответствующего однородного уравнения G7)
Общее решение уравнения G7) было найдено выше и имело вид
Y = N sin
Найдем теперь частное решение уравнения (80).
Допустим сначала, что частота \i внешней периодической воз-
возмущающей силы отлична от собственной частоты колебаний со. Так
как в этом случае \ii не является корнем характеристического
уравнения fe2 + (o2 = 0, то согласно правилу п. 2 этого параграфа
частное решение у следует искать в форме
у — A sin \kt + В cos \xt.
Дифференцируя у два раза и подставляя выражения для # и ~
в уравнение (80), найдем выражение для коэффициентов А и В:
5=0.
Таким образом, частное решение уравнения (80) будет иметь вид
у = --Л—- sin wt,
а общее решение этого уравнения
sin <*t + N sin (orf + ф). (81)
Из формул (81) следует, что если частота (л внешней возму-
возмущающей силы близка к собственной частоте колебаний пружины
со, то разность о2 — \i* близка к нулю и амплитуда колебания рез-
резко возрастает.
t Если же частота (л внешней возмущающей силы совпадает с соб-
собственной частотой со, то формула (81) становится неприменимой.
Так как при этом [u = gm является корнем характеристического
уравнения &2 + оJ=0, то согласно правилу п. 2 частное решение
уравнения (80) в этом случае следует искать в форме
у = (A sin (i/ -f- В cos [it) • t.
610

Подставляя у и -т~- в уравнение (80) и учитывая, что \i = со, найдем
значения коэффициентов А и В:
2g)#
Поэтому частное решение у будет иметь вид
Общее решение уравнения (80) запишется следующим образом:
— ^ cos со/.
Наличие множителя t во втором члене указывает на то, что
амплитуда колебания с течением времени неограниченно возрастает.
График функции |^cos(o* изображен на рис. 277 для случая а = 2,
(о = 1. В этом случае говорят,
**/ I что имеет место резонанс. Итак,
резонанс при колебательном
,y*tcost движении наступает в том слу-
случае, если собственная частота
колебаний совпадает с частотой
внешней силы.
Рис. 277
Рис. 278
К линейным дифференциальным уравнениям второго порядка
приводят также явления, связанные с изменением силы тока в цепи.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из омического сопро-
сопротивления R, самоиндукции L, емкости С, к которой подключен
источник электродвижущей силы, изменяющейся с течением времени
по известному закону: (/ = ?/(/) (рис. 278). Определим, как изме-
изменяется сила тока в цепи 1 = 1 (t) в зависимости от времени /. Обо-
Обозначим через Uab> Ubc, Ued падения напряжения соответственно
на участках ab, be, cd цепи. Так как в замкнутом контуре алгеб-
алгебраическая сумма падений напряжения равна электродвижущей
20*
611

силе, то
Ua
Из физики известно, что
(закон Ома),
t
Поэтому
#./ ^) + L^^+^\j I(t)dt = Uif).
о
Дифференцируя по t обе части последнего равенства, получим
или
г R_ ГА- — — Ш-
+ L "^ LC~~ L '
Таким образом, искомая сила тока / в цепи является решением
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоян-
постоянными коэффициентами.
Если внешняя электродвижущая сила U постоянна (в частности
равна нулю), то [/'=0, и мы приходим к линейному дифференци-
дифференциальному уравнению без правой части
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
В этом параграфе мы очень кратко рассмотрим линейные дифферен-
дифференциальные уравнения высших порядков. При этом доказательства
свойств решений этих уравнений приводиться не будут, так как они
аналогичны соответствующим доказательствам для уравнений вто-
второго порядка.
/. Определения и общие свойства
Определение. Дифференциальное уравнение вида
а0 (х) */<»> + ах (х) у*~» + а2 (х) {/<«-*> + ... + ап (х) у = f (x) (82)
называется линейным дифференциальным уравнением п-го порядка.
Здесь коэффициенты ао(х), a1(x)i a2(x), ... , ап(х) и свободный
член f(x)—заданные функции аргумента х.
Если /(x)=e=0, то линейное уравнение принимает вид
а0 (х) У™ + ах (х) у^ + а, (х) */<*-2> + ... + ап (х) у = 0 (83)
и называется линейным однородным уравнением (или уравнением
без правой части). Если же /(#)^0, то уравнение называется неод-
неоднородным уравнением (или уравнением с правой частью).
612

Теорема существования и единственности решения линейного диф-
дифференциального уравнения п-го порядка формулируется аналогично
теореме существования и единственности решения для линейного
уравнения второго порядка.
Теорема. Если коэффициенты а0 (х), ах (х), а2 (х), ... , ап (х) и пра-
правая часть f (x) линейного уравнения (82) непрерывны на интервале
(а, Р), причем коэффициент а0 (х) не обращается в нуль ни в одной
точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия
у\х-Хо "#о> У* \х=х0 =Уо> У"\х-х0 —Уо> • • • > Уп \х=х0 =?/оЛ~1> (а<*о<Р)»
существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным
начальным условиям.
Пусть уг(х), у2(х), у3(х), ... , уп(х)—п каких-либо частных ре-
решений однородного линейного уравнения (83). Определитель
{/iW Уш(х) У*(х) •••#»(*)
У'Лх) у'г{х) у3{х) ...у'п(х)
У1(х) У1(х) yl(x) ...утп(х) (84)
У[п~1} (х) у[п~1У (х) у<*~" {х)... y^v (х)
называется определителем Вронского.
Определение. Частные решения ух (х), у2 (х) , ... >уп(х)
однородного линейного дифференциального уравнения п-го порядка
образуют фундаментальную систему частных решений на некотором
интервале (а, Р), если ни в одной точке этого интервала определи-
определитель Вронского W (х) не обращается в нуль.
Как и в случае линейных уравнений второго порядка, для ли-
линейных уравнений п-го порядка имеют место следующие теоремы
о структуре общего решения.
Теорема 1. Если у = ух(х)9 У = у2(х), У = у3(х), .,,, у^уп(х) —
частные решения однородного линейного уравнения п-го Порядка (83),
образующие на интервале (а, р) фундаментальную систему частных
решений, то общее решение этого уравнения имеет вид
х)+ ... +СпУп(х). (86)
Теорема 2. Если у—частное решение линейного неоднородного у рав-
равнения (82), a Y—общее решение соответствующего однородного урав-
уравнения (83), то функция у = y-\-Y является общим решением неодно-
неоднородного дифференциального уравнения (82).
2. Линейные дифференциальные уравнения
п-го порядка с постоянными коэффициентами
Определение. Линейным дифференциальным уравнением п-го
порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(86)
613

Здесь коэффициенты а0, а19 а%> ... > ап-19 ап—некоторые числа.
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение е
постоянными коэффициентами
<*оУ{п) + ОгУ*-" + я2#(и-2> + • • • + ай-У 4- апу = 0. (87)
Будем искать решение уравнения (87) в виде y = ekx. Подставляя
эту функцию в данное уравнение и сокращая на общий множитель
екх ф о, получим алгебраическое уравнение
= 0, (88)
из которого определяются те значения k, при которых функция
у=екх является решением уравнения (87). Алгебраическое уравне-
уравнение (88) называется характеристическим уравнением для линейного
дифференциального уравнения (87).
Уравнение (88) n-й степени и поэтому имеет п корней. Можно
показать, что:
1) любому действительному корню kx характеристического урав-
уравнения, имеющему кратность г (kt = &2 *=k3 = ... =&,.), соответствует г
частных решений:
2) любой паре комплексно-сопряженных корней характеристи-
характеристического уравнения Л1 = а + Р^ k2=a—fii, каждый из которых име-
имеет кратность г, соответствует 2г частных решений:
ух = е*х cos рх, уг = хе*х cos $xt ... , yr == х'-Ч^ cos fix.
Число таких решений, соответствующих всем действительным и
комплексным корням характеристического уравнения (88), равно п.
Эти; решения, как можно показать, образуют фундаментальную сис-
систему частных решений.
Пример Ь Найти общее решение уравнения
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Решаем его, разлагая левую часть на множители:
Итак, корни характеристического уравнения:
Корню А1=Л2 = 0 кратности два соответствуют два частных реше-
решения у1 = еох^1 и у2 = хе°* == л:. Корням ks = ^4 = 1 соответствуют
частные решения у3 = ех и у^=^хех и, наконец, простому корню
/>Б=7 —1 соответствует одно частное решение уъ~е~х. Все эти част-
614

ные решения образуют фундаментальную систему. Поэтому ©бщее
решение имеет вид
Y - Сх + С2х + С3е* + С^хе* + Сье~*.
Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами
а<>У{п) + аху(п-» + а2у<п~» + ...+any = f (x). (89)
Как мы знаем, общее решение этого уравнения является суммой
общего решения соответствующего однородного уравнения (83) и
частного решения неоднородного уравнения (89).
Нахождение общего решения однородного линейного уравнения
было только что рассмотрено.
При отыскании частного решения неоднородного уравнения (89)
ограничимся случаем, когда правая часть имеет специальный вид,
рассмотренный в § 4, п. 2.
Правила составления формы частного решения неоднородного
уравнения остаются при этом дословно такими же, как сформули-
сформулированные в § 4, п, 2, правила для составления формы частного
решения уравнения второго порядка.
Пример 2, Найти общее решение уравнения
y"f-\-y'=:cos2x.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Его корни fet = 0, ?а=-Н> Л3=—I. Общее решение однородного
уравнения имеет вид
Y = C1 + C2cosA: + C3Sinx.
Частное решение неоднородного уравнения надо искать в форме
у =s A cos 2x + В sin 2x.
Дифференцируем ?_три раза;
у' ^ — 2Л sin 2х + 223 cos 2xf
#" =— 4<4cos2jt—4Bsin2xt
у'" = 8A sin 2x—8B cos 2x.
Подставляем выражения у"' и у' в данное уравнение и приводим
подобные члены:
8Л jsin 2х—8В cos 2х—2A sin 2х + 2В cos 2х = cos 2л:,
6A sin 2x—GB cos 2x = cos 2x.
Приравнивая коэффициенты при sin 2лг и cos 2* в левой и правой
частях последнего равенства, получим
6Л = 0, —6В=1.
Отсюда /1 = 0, /J=—-g-, и частное решение будет иметь вид
у = — -^- sin 2x.
615

Общее решение данного уравнения
Irs
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
В § 1, п. 8 были рассмотрены приближенные методы интегри-
интегрирования уравнений первого порядка—метод изоклин и метод Эй-
Эйлера. В этом параграфе будет изложен метод нахождения прибли-
приближенного решения дифференциального уравнения с помощью рядов.
Этот метод пригоден для приближенного решения уравнений любого
порядка.
Решение дифференциального уравнения может во многих слу-
случаях быть представлено в виде степенного ряда, сходящегося в опре-
определенном интервале. Коэффициенты этого ряда можно найти мето-
методом, основанным на применении ряда Тейлора.
Пусть требуется найти частное решение дифференциального
уравнения второго порядка
y"=f(x, У> У% (90)
удовлетворяющее начальным условиям
У\х=х.=У1» У'\х=хй=Уо-
Допустим, что решение у — у(х) данного уравнения можно пред-
представить в виде степенного ряда (ряда Тейлора):
^ ^^{xQ)(^^+... (91)
Для определения коэффициентов ряда поступим следующим образом.
Значения у(хо) = уо и у'(хо)=у'о нам известны из начальных ус-
условий. Для нахождения у" (х0) подставим в правую часть уравнения
(90) вместо у и у' их значения при х = х0:
y"(Xo)=yl = f(xo, «e. У*)- (92)
Для определения у'" (х0) дифференцируем обе части равенства (90)
по х и подставляем значения у, у' и у" при х=х0.
Последовательно получаем
y^M-K+WV'+W9"**^*' у' у'> *">• (93)
Дифференцируя равенство (93) еще раз и подставляя значения у0,
Уо* y'o't У'о" при х = х0, найдем значение у™ (х0) и т. д. Найденные
значения производных подставляем в ряд Тейлора (91), который
дает решение уравнения (90).
Пример. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
частного решения уравнения
удовлетворяющего начальным условиям: #@)=--1, #'@)=0.
616

Решение. Ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена
Принимая во внимание, что при x = 0 y=l, из данного дифферен-
дифференциального уравнения находим
Для нахождения у'" дифференцируем обе части данного уравнения:
у'" —у' cosх—ys\nx+ 1;
при х = 0 получим
^"(О)^^' (O).cosO—f/(O)sinO+l =0-1 —
Подставляя найденные значения производных в ряд, для решения
у (х) получим приближенное выражение в виде частичной суммы ряда
Замечание. При применении рядов к приближенному решению
дифференциальных уравнений мы не рассматриваем вопрос о том,
при каких условиях возможно искать решение в виде степенного
ряда. Этот вопрос изучается в специальных курсах дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
/. Общие понятая
Во многих задачах математики, физики и техники требуется оп-
определить сразу несколько функций, связанных между собой несколь-
несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравне-
уравнений называется системой дифференциальных уравнений. В частности,
к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение
тел в пространстве под действием заданных сил.
Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под
действием силы F движется материальная точка массы т. Требуется
определить закон движения точки, т. е. зависимость координат точ-
точки от времени.
Допустим, что
(О
радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точ-
точки обозначить через x(t), y{t), z(t), то
617

Скоресть и ускорение движущейся точки вычисляете» по формулам:
v~~ dt "" dt l^ dt 9-r dt K>
(см. гл. VI, § 5, n. 4).
Сила F, под действием которой движется точка, вообще говоря,
является функцией времени, координат точки и проекций скорости
на оси координат:
У, *,?>?
x, у, г,
dx
dy dz \ «
На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки
записывается следующим образом: ma = F.
Проектируя векторы, стоящие в левой и правой частях этого
равенства, на оси координат, получим три дифференциальных урав-
уравнения движения:
d2x г. /, „ _ _ dx dy dz
m^ = Fx[t, x, у,
m
dt ' dt
d2l-F (t x и z -^ ^- ^-\
dt2 ~~ z \ y ' ^' ' dt ' Л ' d/ j *
(94)
Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех
дифференциальных уравнений второго порядка* относительно трех
искомых функций: x = x(t), y-=y(t), z = z(t).
В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы урав-
уравнений первого порядка специального вида относительно искомых
функций ух (*), у2 (*), Уз (*)> • • • > Уп W- Эт2 система имеет вид
dy* _
"dx ""'
«> У3, •••> Уп)-
(95)
Система уравнений (95) называется системой в нормальной форме,
или нормальной системой.
В нормальной системе правые части уравнений не содержат
производных искомых функций.
Реигением системы (95) называется совокупность функций ух (х),
У2 (х)> Уз (х)> • • • > Уп (*)• удовлетворяющих каждому из уравнений
этой системы.
* Порядком системы дифференциальных уравнений называется наивысший
из порядков уравнений, входащня в эту систему.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков
можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые
функции. Так, например, систему (94) можно преобразовать в
нормальную форму следующим образом. Введем новые функции
u(t)9v(t),w(t), положив u(t)^^tv(t)^-§-9w(t)^. Тогда
йН du tPu dv йгг dw „ /r...
dF^IF' W^W* dF^W' и система Уравнении (94) запишется
следующим образом:
du
W
dw
dx
dt
dz
dt
— l F
= ±Fy
— l F
(t, X,
(/, xt
(t, x,
1
У,
У,
У,
г. i
2, U
Z, U
I, V,
I, V,
I, V,
(96)
Система (96) является нормальной.
Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений
с тремя неизвестными функциями х% у, г\
х> У>
¦3f=/2(<, xf у, г),
(97)
<, У, 3). J
Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема
Коши существования и единственности решения формулируется сле-
следующим образом.
Теорема. Пусть правые части уравнений системы (97), т. е. функ-
функции fi(t9 ху у, z) (I = 1, 2, 3) непрерывны по всем переменным в неко-
некоторой области G и имеют в ней непрерывные частные производные:
д* 1Г ' (Г 9 Тогда каковы бы ни были значения /0, х0, у0, г0, при-
принадлежащие области G, существует единственное решение системы
x(t), y(t)y z(t), удовлетворяющее начальным условиям:
*(*о) = *о. У{!0)=Уп> z(/0) = z0. (98)
Для интегрирования системы (97) можно применить метод, с по-
помощью которого данная система, содержащая три уравнения относи-
относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего
порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на
примере применение этого метода. Для - простоты ограничимся
619

системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений
Для нахождения решения системы поступаем следующим образом.
Дифференцируя первое из уравнений системы по t, находим
d2x ? dx . dy
dt2 ~~ dt "*" dt '
^ du
Подставляя в это равенство выражение -^г из второго уравнения
системы, получим
Заменяя, наконец, функцию у ее выражением из первого уравне-
уравнения системы
У=? + 7х, О
получим линейное однородное уравнение второго порядка относи-
относительно одной неизвестной функции:
или
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
х = е-4 {Сх cos / + С2 sin t). (* *)
Дифференцируя равенство (**), находим
Подставляя выражения для х и -^- в равенство (*) и приводя по-
подобные члены, получим
0=—6e-e'(C1cos/ + C1sin/) + e-i'(—Cx sin / + С2 cos
+ 7e~6t (Сг cos t + С2 sin/) = е~н [(С2 + Сг) cos
+ (Са—CJsin/].
Функции
jc = ^64CCos/ + Csin/)
являются решением данной системы.
Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных
уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произволь-
произвольных постоянных Сх и С2. Можно показать, что и в общем случае для
620

нормальной системы, состоящей из п уравнений, ее общее решение
будет зависеть от п произвольных постоянных. Так, для нормальной
системы из трех уравнений
¦зг=М'» х> У' z)>
——fa
ut
общее решение зависит от трех произвольных постоянных С19 С2, С3
и имеет вид
x = x(t, Cl9 C2, C3), y=y(t, Clt С2, С3), г = г(/, Clf C2, С,).
Для выделения частного решения задаются начальные условия:
и постоянные С19 С2, С3 определяются из системы уравнений
y(tOf C19 С2, С3)=у0,
В качестве примера выделим из полученного выше общего ре-
решения (***)
x = e~6t (Сх cos / + С2 sin /),
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
При начальных условиях из решения (***) получаем систему урав-
уравнений для определения постоянных Сг и С2:
\
-С1).О. f
Отсюда С1==0, С2 = 1.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
x = et sin*,
у = е~6* (cos * + sin /).
2. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Кроме рассмотренного метода интегрирования нормальной сис-
системы уравнений, мы укажем сейчас еще один метод, применимый
только к нормальным системам линейных уравнений с постоянными
коэффициентами.
621

у дана нормальная- система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты ограни-
ограничимся системой трех уравнений с тремя неизвестными функциями
г9 \ (99)
. j
Будем искать частое решение этой системы в виде
z = yekt. A00)
Мы должны определить коэффициенты a, |J, у и показатель сте-
степени k так, чтобы функции A00) были решением системы (99). Под-
Подставляя эти функций в систему (99) и сокращая на множитель
к*0 получим
Перенося все члены в одну сторону, получим следующую систему
алгебраических уравнений относительно неизвестных a, р, у:
Система A01) является однородной системой уравнений. Как
известно (см. гл. III, § 2, п. 4), для того чтобы однородная систе-
система имела отличные от нуля решения, необходимо и достаточно,
чтобы определитель системы; равнялся нулю. Таким образом, для
того чтобы система A01) имела отличные от? нуля решен»», должно
иметь место равенство
йи—k
A02)
Равенство A02) представляет собой уравнение третьей степени
относительно k и называется характеристическим уравнением для
системы (99). Ограничимся случаем, когда характеристическое урав-
уравнение имеет различные действительные корни kl9 k29 kB. Для каж-
каждого из этих корней напишем соответствующую систему уравнений
A01) и определим коэффициенты al9 pif уг\ о*, р2, у2; «з» Рз» Тз-
Если обозначить частные решения системы, соответствующие корню
характеристического уравнения k19 через xl9 ylf zt; соответствую-
соответствующие корню k2—через х29 у„ z% и корню hz—через л?8, у39 гг9 то,
как можно показать, общее решение ейоеша дифференциальных
уравнений (99) запишется в виде
622

или в виде
х @ - Сдв
V(t) = QVM +C?2ekit + €.№', (ЮЗ)
г @ - ClT ^ + С.
Пример. Найти общее решение системы
dy - у
(*)
Решение. Характеристическое уравнение A02), соответствую-
соответствующее данной системе дифференциальных уравнений, имеет вид
-2—к —3
— 1 0—к
= 0,
или fe2 + 2fe—3 = 0. Его корни kt = — 3, &2 = 1. Частные решения
системы (*) будем искать в виде
Система уравнений A01) для определения аир при kt = — 3
имеет вид
[_2_(_3)]а1-ЗР1^0,1
_а1+ [0_(_3)]Р1=,0,/ или
Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как вто-
второе уравнение есть следствие первого. Полагая, например^ ^ = 1,
находим а1 = 3. Итак, корню характеристического уравнения
й1=^ — 3 соответствуют частные решения xt = 3e^zt и у1==ета^.
Система уравнений A01) для определения аир при & = 1 имеет
— За2 —Зр2 = 0
-а2-р3=0.
В качестве решений этой системы можно взять а2 = 1# Р2 = —1.
Тогда корню характеристического уравнения &=1 соответствуют
частные решения x2=ef и у2 = — е*.
Общее решение данной системы (*), согласно формуле A03),
запишется в виде:
Если среди корней характеристического уравнения A02) име-
имеются комплексные, то соответствующие им частные решения пре-
преобразуются по формулам Эйлера подобно тому, как это делалось
для одного линейного уравнения (см. § 4, п.1).
623

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
В гл. VI, § 9 была поставлена задача интерполирования и выведена интер-
интерполяционная формула Лагранжа. Однако во многих случаях удобнее пользо-
пользоваться записью интерполяционного многочлена в другой форме—в форме Ньютона.
Прежде чем выводить интерполяционную формулу Ньютона, дадим некоторые
общие понятия.
/. Разности и их свойства
Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим ряд равноотстоящих значений
независимой переменной х: х0, хъ ..., хПУ образующих арифметическую прогрес-
прогрессию с разностью /г: х0, хг = xo-\-h, x2—x0+2ht ..., xn=x0-\-nh. Пусть #0> #i > • • •» уп—
значения функции */ = /(*) соответственно в точках х0, хъ ..., хп:
= 0, 1, 2, ... п).
Величины
•••» Уп— Уп-i^fiXn)— f(xn-i)
называются разностями первого порядка, или первыми разностями, и обозначаются
соответственно через Д*/о, Aylf ..., &уп-г или Af (х0), А/ (хх), ..., А/ (хп).
Таким образом,
АУо^=У1—Уо> ЬУ1*=Уъ—Уи •••» ЛУк^Уь+г—Уь* •• •» ^Уп-1"=Уп—Уп-v
Разности
называются разностями второго порядка, или вторыми разностями.
Аналогично определяются разности третьего порядка
и вообще разности порядка р:
= 0, 1, 2, ...)
Все разности можно расположить в виде таблицы.
Таблица 1
X
*0
*i=x,+A
x2=x0+2h
x3=x0 + 3h
xt=x0 + 4h
*5=*0+5ft
X.-X. + *
У
Уо
У\
Уг
Уз
Уа
Уь
У*
л,
Л ц
д
АЛ
дч
A2f/i
Д2Уз
Д2г/4
дз
Дз
Дз
Дз
Д42/«
Д4г/1
д%
624

Табл. 1 называется диагональной таблицей разностей с шагом Л. В каждом
столбце этой таблицы разности записываются между соответствующими значениями
уменьшаемого и вычитаемого.
Пример 1. Составить диагональную таблицу разностей с шагом h = \ для
функции у=хь, считая х0 — —4.
Решение приведено в табл. 2.
Таблица 2
X
—4
—3
—2
— 1
0
1
2
3
4
б
у
— 1024
—243
—32
— 1
0
1
32
243
1024
3125
At/
781
211
31
1
1
31
211
781
2101
A2t/
—570
-180
-30
0
30
180
570
1320
A3i/
390
150
30
30
150
390
750
А*//
—240
-120
0
120
240
360
АЪУ
120
120
120
120
120
0
0
0
0
Укажем следующие очевидные свойства разностей.
1. Разность постоянной равна нулю, т. е. Ас = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за внак разности, т. е.
( Af()
f() f()
3. Разность суммы нескольких функции равна сумме разностей этих функций,
т. е. A[f (x)+g(x)] = Af (x) + Ag(x).
Предлагаем эти свойства доказать читателю.
Рассмотрим первую разность степенной функции у = хп
По формуле бинома Ньютона (см. сноску на стр. 184)
(x+h)» = x»- »'»_п
Следовательно,
2!
Таким образом, разность степенной функции у — хп есть многочлен степени
п—1 с коэффициентом nh при хп~г. В частности, А(х2) есть многочлен первой
степени, а А (х) — многочлен нулевой степени, т. е. постоянная (А#=*(л: + А)—х ±=А).
Рассмотрим теперь многочлен степени п
Рп W =
... +аа-1х+ап.
Найдем его первую разность. Используя свойства разностей, получим
(ап).
625

Согласно предыдущему, А (хп) есть многочлен степени п—1, Д (я"-1) — многочлен
степени п—2, ..., Д (х) — постоянная, Д(а„) = 0. Следовательно, ДРЛ(х) есть
многочлен степени п—1 с коэффициентом при старшей степени, равным aonh:
Взяв разность от первой разности АРп (х), получим разность второго по-
порядка Д2Р„(л;) = Д [ДР„(х)], которая согласно предыдущему будет многочленом
степени п—2.
Таким образом, степень каждой последующей разности уменьшается на
единицу. Следовательно, разность п-го порядка будет многочленом нулевой
степени, т. е. постоянной. Очевидно, все последующие разности равны нулю.
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Разность п-го порядка многочлена п-й степени при условии^ что
переменная х получает равные приращения h, есть величина постоянная. Все
последующие разности равны нулю.
Диагональная таблица разностей, составленная для функции у = хь (см. табл. 2)
иллюстрирует эту теорему. Имеет место и обратное предложение, которое мы
приводим без доказательства.
Теорема 2. Если разности п-го порядка при условии, что аргумент х по-
получает постоянное приращение hf для некоторой функции постоянны, то эта
функция есть многочлен п-й степени.
Теорема 2 имеет большое практическое значение. Она позволяет заменить
функцию многочленом, если разности ее какого-либо порядка становятся постоян-
постоянными или мало отличаются от постоянных.
Пример 2. Рассмотрим таблицу значений интеграла вероятностей ф(*) =
х - 11
L \ e 2 dt и составим разности функции Ф (я) (см. табл. 3)*.
Таблица 3
X
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
У
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
At/
301
278
254
230
206
A8i/
—23
—24
—24
—24
—1
0
0
Мы видим, что вторые разности почти постоянны. Поэтому на рассматривае-
рассматриваемом участке данная функция ведет себя приблизительно как многочлен второй
степени.
2. Интерполяционная формула Ньютона
Как мы знаем, (см. гл. VI, § 9), задача интерполирования для многочленов
формулируется следующим образом: найти многочлен Рп(х) степени п, если из-
известны его значения ?/0, уъ ,.., уп в узлах интерполяции xOt хъ ..., хп. Как
* Условимся разности записывать в единицах последнего разряда без нулей
впереди.
626

было показано в гл. VI, § 9, эта задача имеет единственное решение. Здесь
мы рассмотрим тот частный случай, когда узлы интерполяции равноотстоят
друг от друга, т. е. образуют арифметическую прогрессию, разность которой
обозначим через h:
Запишем искомый многочлен в виде
Рп(х) = А0 + Л1(х — х0) + А2(х — х,) (х—х1) + А3(х—х0) (x—Xi) (х—х2)+...
...+Ап (х—х0) (х—хг) (х—х2)...(x—Xn-j). A)
Для нахождения коэффициентов Ло, Al9 ..., Ап будем последовательно под-
подставлять В формулу A) X — Хо, Х = Хц Х — Х2 И Т. Д.
При x = xQ получим уо = Рп(хо) = Ао. Итак, А0 = у0.
При х = хх: yi = Pn(xi) = Ao + A1{x1—xQ) — Ao + A1h^yo + A1h. Следова-
При х = х2: у2 = Рп (х2) = А0 + А1 (д:2—
х2—xQ = 2h. Следовательно, у2 — Ло + A
Аг их выражения, получим у2 — у0-\—т^
Так как
2 (х2х0) (х2х1). Hox2-—x1 = h;
2'2h-h. Подставив вместо Ао и
2, или у2—у0—2Д#0 = Л2»2А2.
то Д2</0 =
2. Отсюда ^2=
Аналогично найдем As~~~ и вообще Аь~—— .
o.ti k\hb
Подставляя найденные значения коэффициентов Ао, А19 А2, ..., Ап в фор-
формулу (l)i получим искомый многочлен
•"" +Ш* (*—х«) (*—xi) (х-**)- --(x—Xn-i). B)
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона.
В частности, при п = 1 получим многочлен первой степени—линейную интерпо-
интерполяционную формулу:
Pi(x)=yo+^(*-Xo)- C)
При л = 2 получаем параболическую или квадратичную интерполяционную фор-
формулу:
р% (*)=Уо+х Ь-**)+ш {х~Хо) {x~Xlh D)
Интерполяционной формуле Ньютона можно придать несколько другой вид,
более удобный для практического применения. Положим —-—^=/. Тогда
х—хх__х—
—
—х0
627

читывая эти* равенства, формулу B) можно записать в следующем виде: •
+ ?bt(t-l)...[t-(n-\)}. E)
\ частности, формулы C) и D) примут вид:
= у о + ДМ F)
^ ^(t-~l). G)
Предположим теперь, что для некоторой функции y = f(x) разности я-го по*
>ядка постоянны или почти постоянны. Это значит, что на некотором отрезке
функция y = f(x) ведет себя как многочлен я-й степени (см. п. 1. теорема 2
i пример 2). Заменяя данную функцию интерполяционным многочленом Рп (я),
;начения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции/(я),
юлучим приближенное равенство
Рп (х) = У +^ <**)+
1ЛИ
+ &tlt-l)...li-ln-l)]. (9)
Обозначим через Rn (x) разность f (x)—Pn(x)~Rn(x). Эта разность дает
погрешность приближения функции интерполяционным многочленом степени п.
Доказывается, что
Яп (х) ** ^г^ (х-х0) (*—xj.. .(*—*„-!) (х—*„) A0)
или, полагая ¦  °==^Л
^w^OT^'1''* A1)
В частности, для линейной интерполяции (п = 1) формула A1) примет вид
#i (х) » -^ t (/ — 1). A2)
Формулы (8) или (9) применяют обычно для значений х, лежащих в интер-
интервале х0 < х < *!. Поэтому 0 < /=—т—- < *, ° = 1. Как легко показать, на
отрезке 0 < t < 1 выполняется неравенство | / (/ —1)|^~ . Поэтому
A3)
Итак, если первые разности почти постоянны, то погрешность линейной ин-
интерполяции не превосходит одной восьмой абсолютной величины второй разности.
Рассмотрим пример на применение интерполяционной формулы Ньютона.
628

Примерз. В табл. 3 приведены значения интеграла вероятностей ф (х) =
=——— I e 2 dt. Найти значение Ф(х) при лс = 0,75.
1/ Л—. 1
Решение. Так как вторые разности почти постоянны, то на рассматривае-
рассматриваемом участке Ф (х) ведет себя приблизительно как многочлен второй степени.
Поэтому Ф (x)ttPQ(x). В частности, Ф@,75)«Р2@,75). Так как число 0,75 содержится
между 0,7 и 0,8, то принимая за х0 « 0,7, из табл. 3 находим t/0 =0,2580,
АУо = 0,0301, А2у0 = — 0,0023, h ==0,1. Учитывая, что /^l^^0'7^°'7 =0,5,
и применяя формулу G), найдем
Ф@,75) « Р2 @,75) = 0,2580+ ^М -0,5+ (~"°^023) . 0,5@,5—1) =
=0,2580 + 0,0151 +0,0003 = 0,2734.
Подсчитаем погрешность приближения, применяя формулу A1) для случая
2
Так как А3//0 = —0,0001, / = 0,5, то
1—0,0001
Я2 @,75) | = "^j 0,5 @,5-1) @,5 -2)
< 0,00001.
Итак, применение интерполяционного многочлена второй степени не вносит
погрешности при вычислениях с точностью до пятого знака после запятой.
5. Численное дифференцирование
Задача численного дифференцирования заключается в следующем: дана таблица
значений некоторой функции f (х). Требуется найти значение ее производной в
некоторой точке.
Суть метода состоит в том, что функция f (x) заменяется интерполяционным
многочленом Рп (х) (/ (х) » Рп (х), который дифференцируем необходимое число
раз. При этом, естественно, чем меньше расстояния между узлами интерполяции,
тем точнее полученный результат. Если таблица значений функции составлена
^ля неравноотстоящих значений аргумента, то следует пользоваться интерполя-
интерполяционной формулой Лагранжа. Если же таблица составлена для равноотстоящих
значений аргумента, то пользуются интерполяционными формулами Ньютона.
Пусть, например, функция / (х) заменяется многочленом с помощью интер-
интерполяционной формулы Ньютона (см. п. 2):
/(х) » Рп(х) » Р ^
где /=  °, Здесь функция f(х) заменяется функцией Рп(х0 + Щу в которой
независимой переменной является t. По правилу дифференцирования сложной
функции имеем
dt ~ dx dt' {Щ
Так как -р^/'М» а ^=Л, то формула A5) запишется в виде -~r^^f'
629

Отсюда
Аналогично найдем, что
и вообще
}-1л
h dt '
Л2
A6)
A7)
dt*
Таким образом, дифференцируя правую часть соотношения A4) и применяя фор-
формулы A6) и A7), найдем
Г (х) =4
C/2-6/ + 2) + ...] ,
A8)
A9)
Пример. Найти первую и вторую производные при # = 0,15 от функции,
заданной табл. 4.
Таблица 4
X
0
0,1
0,2
0.3
0,4
у
2,0000
2,П52
2,2614
2,4399
2,6518
ьу
1152
1462
1785
2119
ьгу
310
323
334
13
и
Решение. Здесь # = 0,15. Так как 0,1<#<0,2, то за #0 берем 0,1.
Итак, #о = О,1, #0 = 2,1152, Д#0 = 0,1462, Д2#0 = 0,0323, Д3#0 = 0,0011, Л = 0,1,
. #—#р_0,15—0,Ю _АК
* =*-_,_ _ и,о.
Применяя формулы A8) и A9), получим
= 10 @,1462 + 0—0,00004) = 1,4616;
Г @,15) = 7о\]2 [0,0323+0,0011@,5—1)] = 3,17.
Итак, Г @,15) = 1,4616, Г@,15) = 3,17.
Табл. 4 составлена для функции /(#) = е* + #2+1. Следовательно, f'(x)~
= е* + 2#, f" (х) =6-^ + 2. Значения производных в точке # = 0,15 с точностью до
0,0001 таковы: /' @,15) = 1,4618, Г @,15) =3,1618. Следует заметить, что чем выше
порядок производной, тем выше порядок разности, с которой начинается формула
для производной и, следовательно, тем больше сказываются ошибки в значениях
функции. Поэтому вторая производная в нашем примере оказалась вычисленной
менее точно,
630

Замечание. Часто вместо формул A8) и A9) для нахождения производ-
производных применяют менее точные формулы:
/*«»
Л2
/<»><*)«
B0)
Покажем, например, справедливость первой из формул B0). Из определения
производной следует, что /' (х)— Игл / v т ) ( V ;__ \\ш ) Поэтому при
ft~> 0 Л h -> 0 п
малых h имеет место приближенное равенство / (х) « /~ • Аналогично прове-
проверяется справедливость остальных формул.
ПРИЛОЖЕН ИЕ 2
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате опыта получена таблица значений функции у для ряда
значений независимой переменной х:
X
У
ч
Ух
ч
Уг
Уз
Уп
Предположим, что точки М1(х1; ух), М2(х2; у2), ..., Мп(х„; уп) примерно
располагаются на одной прямой. Это означает, что зависимость между х и у
близка к линейной Y — ax-\-b. Подберем неизвестные коэффициенты а и b так,
чтобы прямая K=ojc+6 лежала по возможности ближе к каждой из нанесенных
точек. Назовем отклонением в точке Х{ разность Y-t—#/, где К/ = а*/+6, а
ух—значение функции в точке л;,-, полученное из опыта. Сущность метода наи-
наименьших квадратов заключается в том, что искомую прямую Y = ax-\-b выби-
выбирают таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений У/—ух была бы наи-
наименьшей. Таким образом, неизвестные параметры а и b находят из условия^
п п
что сумма ^ (Yx—у,-J, т. е. 2 (ахх~\-Ь—*//J, имела бы наименьшее значение.
< = 1 i = 1
Поскольку Х{ и ух—постоянные числа (данные опыта), то указанная сумма есть
функция параметров а и Ь:
Чтобы найти эти значения параметров а и 6, воспользуемся необходимыми
условиями экстремума функций нескольких переменных: найдем частные произ-

водные, от Ф (а, Ь) по а и b и приравняем их к нулю:
дФ
1=1
п
A)
Следовательно, параметры а и Ь, для которых осуществляется наилучшее при-
приближение (в указанном смысле), определяется из системы уравнений A); эту
систему можно переписать в следующем виде:
B)
Для определения чисел а к b мы получили систему двух уравнений первой
степени. Можно доказать, что эта система всегда имеет единственное решение
и что для найденных чисел а и b функция Ф (a, b) достигает минимума.
Подставляя найденные значения а и b в уравнение Y = ax+b, получим ли-
линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величи-
величинами хну, полученную из опыта.
Если опытные данные таковы, что при нанесении графика они примерно
располагаются по квадратной параболе, то можно искать, приближенную зави-
зависимость в форме
Для нахождения значений коэффициентов a, b и с нужно найти минимум выра-
выражения:
2 <У1—Удъ= 2
i=1 *=1
6, с).
Нахождение минимума функции трех переменных Ф (а, 6, с) сводится к решению
системы трех уравнений первой степени:
C)
2 *? + *2 *?+c 2 **=
2
=1
из которых определяются неизвестные параметры a, 6, с.
Пример. В табл. 1 приведены полученные из опыта значения функции при
различных значениях независимой переменной х.
X
У
0
2,9
1
6,3
1,5
7,9
1
2,1
10,0
" аблица 1
3
13,2
632

Построив точки, убеждаемся, что они расположены примерно на одной пря-
прямой. Это значит, что зависимость между х и у близка к линейной у = ах-\-Ь.
Применяя метод наименьших квадратов, найдем неизвестные параметры а и Ь.
Таблица 2
NN
1
2
3
4
б
2
0
1,0
1,5
2,1
3,0
7,6
т
2,9
6,3
7,9
10,0
13,2
40,3
0,00
1,00
2,25
4,41
9,00
16,66
0,00 .
6,30
11,85
21,00
39,60
78,75
Ч
, 2,86
6,28
7,99
10,04
13,12
6,04
0,02
0,09
0,04
0,08
Вычисления располагаем, как указано в табл. 2 и составляем систему урав-
уравнений B)
16,66а + 7,66 = 78,75, \
7,6а + 56 =40,3 . /
Решая эту систему, находим а = 3,42, 6 = 2,86.
Таким образом,
у=* 3,42л: + 2,86. D)
В табл. 2 в шестом столбце указаны значения </, вычисленные по формуле
D); седьмой столбец содержит абсолютные значения отклонений опытных данных
от значений «/, вычисленные по формуле D).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава /. Метод координат. Понятие функции
§ 1. Действительные числа. Координаты точки на прямой 4
1. Понятие действительнопушсла D). 2. Геометрическое изображение
действительных чисел. Координаты точки на прямой E). 3. Абсолют-
Абсолютная величина действительного числа F). 4. Расстояние между двумя
точками на прямой (8).
§ 2. Координаты на плоскости и в пространстве 8
1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Метод коорди-
координат (8). 2. Расстояние между двумя точками на плоскости A0). 3. Де-
Деление отрезка в данном отношении A0). 4. Координаты точки в прост-
пространстве A2). б. Расстояние между двумя точками в пространстве A3).
§ 3. Угол между двумя осями. Полярные координаты 14
1. Угол между двумя осями A4). 2. Полярные координаты A5). 3. За-
Зависимость между декартовыми и полярными координатами A7).
§ 4. Функциональная зависимость 18
1. Переменные величины A8). 2. Понятие функции A9). 3. График
функции B1). 4. Способы задания функций B2). 5. Основные элемен-
элементарные функции и их графики B4). 6. Сложные функции. Элементар-
Элементарные функции B6). 7. Целые и дробно-рациональные функции B7).
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции B8).
§ 5. Уравнение линии 30
1. Определение линии с помощью уравнения C0). 2. Нахождение урав-
уравнения линии по ее геометрическим свойствам C2).
§ 6. Преобразование координат 34
1. Параллельный перенос осей координат C4). 2. Поворот осей коор-
координат C5).
Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямая 37
1. Угол между двумя прямыми C7). 2. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом C7). 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
C9). 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи D0). 5. Точка
пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению D1). 6. Вы-
Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и пер-
перпендикулярности двух прямых D2). 7. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в заданном направлении D4). 8. Пучок прямых D5).
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки D6). 10. Рас-
Расстояние от точки до прямой D7).
§ 2. Кривые второго порядка 49
1. Определение кривой второго порядка D9). 2. Окружность E0). 3. Эл-
Эллипс E1). 4. Гипербола E5). 5. Парабола E9). 6. Окружность, эллипс,
гипербола и парабола как конические сечения F1). 7. Упрощение урав-
уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена F2).
8. Уравнение равносторонней гиперболы, оси которой приняты за оси
координат F3). 9. График дробно-линейной функции F4). 10. Преобра-
Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена
с произведением координат F5).
634

Глава III, Элементы векторной и линейной алгебры
§ 1. Элементы теории определителей ¦ . . 68
1. Определители второго порядка и их свойства (Щ. 2. Определители
третьего порядка F9). 3. Понятие об определителях высших поряд-
порядков G3).
§ 2. Системы уравнений первой степени 74
1. Система двух уравнений с двумя неизвестными G4). 2. Однородная
система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными G7).
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными G8).
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неиз-
неизвестными (81).
§ 3. Элементы векторной алгебры 81
1. Скалярные и векторные величины (81). 2. Линейные операции над
векторами (83). 3. Угол между двумя векторами (86). 4. Проекция век-
вектора на ось и составляющая вектора по оси (86). 5. Разложение век-
вектора на составляющие по осям координат (89). 6. Направляющие ко-
косинусы вектора (91). 7. Условие коллинеарности двух векторов (92).
8. Скалярное произведение (92). 9. Выражение скалярного произведе-
произведения через проекции перемножаемых векторов (95). 10. Косинус угла
между двумя векторами (96). 11. Векторное произведение (96). 12. Вы-
Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых
векторов (99). 13. Смешанное произведение трех векторов A01). 14. Гео-
Геометрический смысл смешанного произведения A02). 15. Условие ком-
компланарности трех векторов A02).
§ 4. Матрицы и действия над ними 104
1. Понятие о матрице A04). 2. Равенство матриц. Действия над матри-
матрицами A05). 3. Обратная матрица A09). 4. Матричная запись и матрич-
матричное решение системы уравнений первой степени A12).
§ 5. Линейные отображения 114
1. Основные понятия A14). 2. Преобразование координат A17). 3. При-
Приведение квадратичной формы к каноническому виду A21). 4. Упроще-
Упрощение общего уравнения кривой второго порядка A26).
Глава IV, Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость . / , 129
1. Уравнение поверхности A29). 2. Нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку A30). 3. Общее
уравнение плоскости и его частные случаи A31). 4. Построение пло-
плоскости по ее уравнению A33). 5. Угол между двумя плоскостями. Условия
параллельности и перпендикулярности двух плоскостей A34). 6. Точка
пересечения трех плоскостей A36).
§ 2. Прямая в пространстве , . 137
1. Уравнения линии в пространстве A37). 2. Общие уравнения пря-
прямой A37). 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения
прямой A38). 4. Канонические уравнения прямой A39). 5. Уравнения
прямой, проходящей через две точки A42). 6. Угол между двумя пря- .
мыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых A42).
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве 144
1. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
A44). 2. Точка пересечения прямой с плоскостью A45). 3. Расстояние
от точки до плоскости A47). 4. Пучок плоскостей A47).
§ 4. Поверхности второго порядка 149
1. Сфера A49). 2. Цилиндрические поверхности A50). 3. Конические
поверхности A52). 4. Поверхность вращения A53). 5. Эллипсоид A55).
6. Гиперболоиды A56). 7. Параболоиды A59),
Глава V. Теория пределов
§ 1. Предел функции 162
1. Предел функции при х -*+ оо A62). 2. Предел функции при х ~>— оо
A65). 3. Предел функции при х-+х0 A66). 4. Бесконечно малые функ-
635

ции* Ограниченные функции A68). 5. Бесконечно большие функции и
их связь с бесконечно малыми функциями A72). 6. Основные теоремы
о пределах A74). 7. Предел функции ^^ при *~>0 A80). 8. После-
Последовательность. Число е A82). 9. Натуральные логарифмы A88).
10. Сравнение бесконечно малых функций A88).
§ 2. Непрерывные функции 191
1. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва A91). 2. Операции
над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
A95). 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте A98). 4. Понятие
об обратной функции B00). 5. Обратные тригонометрические функции
B03.). 6, Показательная и логарифмическая функции B05). 7. Понятие
о гиперболических функциях B05).
Глава VI. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Производная 207
1. Приращение аргумента и приращение функции B07). 2. Определе-
Определение непрерывности функции с помощью понятий приращения аргумента
и приращения функции B08). 3. Задачи, приводящие к понятию про-
производной B08). 4. Определение производной и ее механический смысл
B10). 5. Дифференцируемость функции B11). 6. Геометрический смысл
производной B12). 7. Производные некоторых основных элементарных
функций B14). 8. Основные правила дифференцирования B17). 9. Про-
Производная обратной функции B20). 10. Производные обратных триго-
тригонометрических функций B20). 11. Производная сложной функции B21).
12. Производные гиперболических функций B23). 13. Производная
степенной функции с любым показателем B24). 14. Сводная таблица
формул дифференцирования B24). 15. Неявные функции и их диффе-
дифференцирование B25). 16. Уравнения касательной и нормали к кривой B27).
17. Графическое дифференцирование B28).
§ 2. Производные высших порядков 230
1. Нахождение производных высших порядков B30). 2. Механический
смысл второй производной B31).
§ 3. Дифференциал функции 232
1. Дифференциал функции и его геометрический смысл B32). 2. Про-
Производная как отношение дифференциалов B35). 3. Дифференциал суммы,
произведения и частного функций B35). 4. Дифференциал сложной
функции. Инвариантность формы дифференциала B35). 5. Применение
дифференциала к приближенным вычислениям B36). 6. Дифференциалы
высших порядков B39).
§ 4. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование . . . 240
1. Параметрическое задание функций и линий B40). 2. Дифференциро-
Дифференцирование функций, заданных параметрически B43).
§ 5. Векторная функция скалярного аргумента 245
1. Параметрические уравнения пространственной кривой B45). 2. Век-
Векторная функция скалярного аргумента и ее производная B46). 3. Урав-
Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространствен-
пространственной кривой B48). 4. Механический смысл первой и второй производ-
производных векторной функции скалярного аргумента B50).
§ 6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 252
1. Теорема Ферма B52). 2. Теорема Ролля B53). 3. Теорема Лагран-
жа B54). 4. Правило Лопиталя B56).
§ 7. Приложение производной к исследованию функций *и построению гра-
графиков 259
1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функ-
функции B59). 2. Максимум и минимум функции B62). 3. Достаточный
признак существования экстремума, основанный на знаке второй- про-
производной B66). 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции B68). 5. Применение теории максимума и минимума к реше-
решению задач B69). 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
636

перегиба B70). 7. Асимптоты графика функции B73). 8. Общая схема
исследования функции и построение ее графика B76).
§ 8. Приближенное решение уравнений 280
1. Нахождение грубо приближенных значений корней графическим
методом B81). 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд
и касательных B81). .
§ 9. Интерполяционная формула Лагранжа • 286
Глава VII. Неопределенный интеграл
§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства 289
1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла B89). 2. Гео-
Геометрический смысл неопределенного интеграла B91). 3. Таблица ос-
основных интегралов B93). 4. Основные свойства неопределенного инте-
интеграла B94).
§ 2. Основные методы интегрирования 295
1. Интегрирование методом разложения B95). 2. Интегрирование мето-
методом замены переменной B96). 3. Интегрирование по частям B99).
§ 3. Интегрирование рациональных функций 302
1. Некоторые сведения о многочленах C02). 2. Рациональные дроби.
Выделение правильной рациональной дроби C04). 3. Интегрирование
простейших рациональных дробей C05). 4. Разложение правильной
рациональной дроби на простейшие дроби C08). 5. Метод неопреде-
неопределенных коэффициентов C09). 6. Интегрирование рациональных дро-
дробей C12).
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 313
1. Интегралы вида \ sin^jt-cos^Jtd*, где т и п—целые числа C13).
2. Рациональные функции двух переменных C15). 3. Интегралы вида
С /?(sinjt; cos*)Же C16).
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных функций 318
1. Интегралы вида V R (x\ yfax-\-b)dx C18). 2. Интеграл вида
Mx4-N с
г ;~ — dx C20). 3. Интегралы видов V ya2—x2dx и
rx* + mdx C21). 4. Интегралы вида С R (х\ V Ах* + Вх + С) dx,
где R (x; }f Ах2 ~{-Вх-\-С)—рациональное выражение относительно х
и VAx*+Bx+C C22).
§ 6. Общие замечания о методах интегрирования. Интегралы, не берущиеся
в элементарных функциях 324
1. Общие замечания C24). 2. Понятие об интегралах, не берущихся
в элементарных функциях C24).
Глава VIII. Определенный интеграл
§ 1. Задачи, приводящие к определенному интегралу 325
1. Задача о площади C25). 2. Задача о работе переменной силы C27).
§ 2. Определенный интеграл . . 329
1. Интегральная сумма, Определенный интеграл C29). 2. Свойства
определенного интеграла C32). 3. Производная интеграла по перемен-
переменной верхней границе C37). 4. Формула Ньютона-Лейбница C39).
5. Замена переменной в определенном интеграле C41).
§ 3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 345
1. Вычисление площади в декартовых координатах C45). 2. Вычисле-
Вычисление площади в полярных координатах C48). Вычисление объема тела
по известным поперечным сечениям C50). 4. Объем тела вращения
C53). 5. Длина дуги кривой C54). 6. Дифференциал дуги C58).
637

7. Площадь поверхности вращения C60). 8. Общие замечания о реше-
решении задач методом интегральных сумм C62).
§ 4. Кривизна плоской кривой 365
1. Основные определения C65). 2. Вычисление кривизны C66). 3. Ра-
Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны C68). 4. Эволюта
и эвольвента C70).
§ 5. Несобственные интегралы 372
1. Интегралы с бесконечными границами C72). 2. Интегралы от раз-
разрывных функций C75). 3. Признаки сходимости несобственных интег-
интегралов C79).
§ 6. Приближенные методы вычисления определенных интегралов .... 381
1. Общие замечания. Постановка вопроса C81). 2. Метод трапеций
C81). 3. Метод параболических трапеций (метод Симисона) C84).
Глава IX. -Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§ 1. Функции нескольких переменных 389
1. Функция двух переменных и ее область определения C89). 2. Гра-
График функции двух переменных C92). 3. Функции трех и большего
числа переменных C93).
§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.
Точки разрыва 395
1. Основные определения C95). 2. Непрерывность функции несколь-
нескольких переменных C97). 3. Понятие области C97). 4. Точки разрыва
C98). 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой
области C99).
§ 3. Частные производные 400
1. Частные производные первого порядка D00). 2. Геометрический
смысл частных производных функций двух переменных D02). 3. Част-
Частные производные высших порядков D03).
§ 4. Полный дифференциал функции нескольких переменных 405
1. Полное приращение функции D05). 2. Полный дифференциал функ-
функции D06). 3. Приложение полного дифференциала к приближенным
вычислениям D09).
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 413
1. Диффенцирование сложных функций D13). 2. Инвариантность
формы полного дифференциала D16). 3. Дифференцирование неявных
функций D17).
§ 6. Скалярное поле 419
1. Скалярное поле и его геометрическое изображение D19). 2. Произ-
Производная по направлению D21). 3. Градиент D24). 4. Касательная пло-
плоскость и нормаль к поверхности D27). 5. Геометрический смысл пол-
полного дифференциала функции двух переменных D30).
§ 7. Экстремум функции двух переменных 430
1. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
D30). 2. Наибольшее и наименьшее значение функции двух перемен-
переменных D33).
Глава X. Кратные и криволинейные интегралы
§ 1. Двойной интеграл 435
1. Задачи, приводящие к двойному интегралу D35). 2. Двойной ин-
интеграл. Теорема существования D37). 3. Свойства двойного интеграла
D40). 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
D41). 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
D48). 6. Приложения двойного интеграла D53).
§ 2. Тройной интеграл 460
1. Задача о массе D60). 2. Тройной интеграл и его свойства D61).
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах D63).
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
D66). 5. Приложения тройного интеграла D68).
638

§ 3. Криволинейный интеграл 472
1. Векторное поле D72). 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
D73). 3. Вычисление криволинейного интеграла D76). 4. Формула
Остроградского—Грина D81). 5. Независимость криволинейного интег-
интеграла от пути интегрирования D83). 6. Отыскание первообразной по
полному дифференциалу D87). 7. Криволинейный интеграл по длине
дуги D93).
Глава XI. Ряды
§ 1. Числовые ряды 495
1. Основные определения D95). 2. Геометрическая прогрессия D97).
3. Простейшие свойства числовых рядов D98). 4. Необходимый при-
признак сходимости ряда D99). 5. Достаточные признаки сходимости
знакоположительных рядов E01). 6. Знакопеременные ряды E08).
7. Остаток ряда и его оценка E12).
§ 2. Функциональные ряды 516
1. Область сходимости функционального ряда E16). 2. Правильно
сходящиеся функциональные ряды и их свойства E17).
§ 3. Степенные ряды 519
1. Область сходимости степенного ряда E19). 2. Свойства степенных
рядов E22). 3. Ряды по степеням разности х—а E24). 4. Разложение
функций в степенные ряды. Ряд Тейлора E25). 5. Разложение некото-
некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена E29).
§ 4. Приложения рядов к приближенным вычислениям 536
1. Вычисление значений функций с помощью рядов E36). 2. Прибли-
Приближенное вычисление интегралов E38).
§ 5. Понятие о функции комплексной переменной. Степенные ряды в комп-
комплексной области 540
1. Понятие о функции комплексной переменной E40). 2. Числовые
ряды с комплексными членами E42). 3. Степенные ряды в комплекс-
комплексной области E43).
§ 6. Ряды Фурье 546
1. Периодические процессы и периодические функция E46). 2. Ряд
Фурье E47). 3. Сходимость ряда Фурье E49). 4. Ряды Фурье для
четных и нечетных функций E52). 5. Разложение в ряд Фурье функ-
функций с периодом 2/ E55).
Глава XII Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 561
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, и некото-
некоторые общие понятия E61). 2. Дифференциальные уравнения первого
порядка E63). 3. Уравнения с разделяющимися переменными E68).
4. Однородные уравнения E71). 5. Линейные уравнения E72). 6. Урав-
Уравнение в полных дифференциалах E75). 7. Особые решения E76).
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого по-
порядка методом Эйлера E78).
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка • .. . . 580
1. Основные понятия E80). 2. Простейшие уравнения второго
порядка, допускающие понижение порядка E82). 3. Понятие о диффе-
дифференциальных уравнениях высших порядков E87).
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 589
1. Определение и общие свойства E89). 2. Линейные однородные
дифференциальные уравнения второго порядка E90). 3. Линейные
неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка E93).
4. Метод вариации произвольных постоянных E95).
§. 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян-
постоянными коэффициентами 597
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами E97), 2, Линейные неоднородные диф-
G39

ференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици-
коэффициентами F00). 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений
второго порядка к изучению механических и электрических колеба-
колебаний F07).
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 612
1. Определения и общие свойства F12). 2. Линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения п-то порядка с постоянными коэффициентами F13)
§ 6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . • 616
§ 7. Понятие о системах дифференциальных уравнений 617
1. Общие понятия F17). 2. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами F21).
Приложение 1. Интерполяционная формула Ньютона 624
1. Разности и их свойства F24). 2. Интерполяционная формула
Ньютона F26). 3. Численное дифференцирование F29).
Приложение 2. Метод наименьших квадратов 631