Inverse Source т е s n Optics
■ i
i i
i ■
■
- А НОС.РОЕНИЁ

Inverse
Source Problems
in Optics
Edited by H. P. Baltes
With Contributions by
H. P. Baltes H. A. Ferwerda J. Geist
B. J. Hoenders H. G. Schmidt-Weinmar
A. Walther A. Zardecki
With a Foreword by J.-F. Moser
With 32 Figures

ОБРАТНЫЕ
ЗАДАЧИ
В ОПТИКЕ
Под ред. Г. П. Болтса
Перевод с английского канд. физ.-мат. наук
В. Н. ПЛАТОНОВА
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук
А. Г. СВЕШНИКОВА,
д-ра физ.-мат. наук П. П. ПАШИНИНА
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1984

УДК 535.1 :519.28
|Г. П. Болте, Дж. Гейст, А. Зардецкий, А. Уолтер,
X. А. Ферверда, Б. Дж. Хендерс, X. Г. Шмидт-Вайнмар
УДК 535.1 : 519.28
Обратные задачи в оптике/Под ред. Г. П. Болтса:
Пер. с англ. В. Н. Платонова; Под ред. А. Г.
Свешникова, П. П. Пашинина. — М.: Машиностроение, 1984.—
200 с.
Учеными из Канады, Нидерландов, США и Швейцарии впервые в
мировой науке сделана попытка выделить в отдельное направление тематику,
посвященную решению обратных задач в физической и, в частности,
когерентной оптике. С единой позиции рассмотрен весь комплекс вопросов,
относящихся к обратным задачам в дифракции, рассеянии когерентного
излучения и статистической оптике. Книга посвящена восстановлению объекта по
рассеянному полю, задаче сверхразрешения в оптике, связи теории обратных
задач с когерентной и статистической оптикой, восстановлению фазы и *
распределения амплитуды волнового фронта.
Для научных работников, занимающихся вопросами когерентной н см.ип-
стической оптики.
1704050000-072
О 72-84
038(01)-84
©by Springcr-ViTlntf Hcilin llririrllu'ifr 1978 All
Rights Reserved. Aullioiiycd liimsl.iliuii from the
English language edition published l>y Spiiiigi*r-Ver-
lag Berlin—Heidelberg—New Yoik
© Перевод на русский язык, inyunrjn.rtiio
«Машиностроение», 1984 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
1 Введение (Г. П. Болте) : 10
1.1. Прямые и обратные задачи в физической оптике 10
1.2. Роль априорной информации 12
1.3. Обзор частных обратных задач 13
1.4. Обозначения в теории когерентности 17
2. Проблема восстановления фазы волнового фронта по амплитудному
распределению и функциям когерентности (X. Л. Ферверда) 21
2.1. Восстановление фазы волнового фронта по амплитудному
распределению 21
2.1.1. Важность фазовой задачи для определения структуры
объектов 21
2.1.2. Вывод основных уравнений фазовой задачи 22
2.1.3. Общее рассмотрение фазовой задачи 24
2.1.4. Предложения Гринэвая для поиска фазы по единственному
распределению интенсивности 27
2.1.5. Использование полуплоскостей для несильно рассеивающих
объектов 28
2.1.6. Логарифмическое преобразование Гильберта: метод
преодоления трудностей, связанных с нулями 80
2.1.7. Восстановление фазы по двум расфокусированным
изображениям в случае сильно рассеивающих объектов 32
2.1.8. Восстановление фазы по распределениям интенсивности в
выходном зрачке и плоскости изображения . 36
2.1.9. Восстановление фазы по двум расфокусированным
изображениям в случае несильно рассеивающих объектов .... 39
2.2. Восстановление фазы по функциям когерентности 41
2.2.1. Определение фазы функций оптической когерентности . . 41
2.2.2. Определение фазы функций пространственной когерентности
с некогерентным опорным точечным источником 42
2.2.3. Определение фазы функции пространственной когерентности
для экспоненциального фильтра 44
2.2.4. Определение фазы функции пространственной когерентности
по интенсивности в плоскости Фраунгофера 45
3. Единственность обратных задач (Б. Дж. Хендерс) 48
3.1. Краткий обзор обратных задач 48
3.1.1. Обратные задачи Штурма—Лиувилля 48
3.1.2. Задачи восстановления ^9
3.1.3. Трехмерное восстановление по проекциям 50
3.2. Обратные задачи дифракции 51
3.2.1. Обратная задача дифракции по значениям поля в дальней
зоне 51
3.2.2. Обратная задача дифракции от сферической поверхности на
сферической поверхности 55
3.2.3. Обратная задача дифракции от плоскости на плоскости ... 57
3.2.4. Обобщение на произвольные поверхности 58
3.2.5. Определение формы рассеивателя по полю в дальней зоне . 59
3.3. Неизлучающие источники 64
3.3.1. Ранние результаты и частные случаи 65
3.3.2. Общая теория 67

3.3.3. Интегральные урйнпепия и елимтисчтость, определяемая
дополнительной информацией 72
'Л 1. Определенно объекти по дпнным рттеннпи 74
3.4.1. Примеры пгедпипиенногги 76
3.4.2. Липли:* фп.чоного (vuiurn н носпиноилгиие потенциала ... 79
3.4.3. Определение иотеицнплп ii.mii иимпитми преломления по
рассеянному полю, еомдиииому системой монохроматических
плоских поли 81
3.4.4. Однозначное определение объекта по дпнным рассеяния . 82
3.4.5. Аналитическое продолжение электромагнитного поля из
внешней области рассеивателя в его ни утреннюю область и
его физический смысл 84
1 Воссшновлснис источников с пространственным разрешением меньше
длины волны по оптическим измерениям в дальней зоне (X. Г. Шмидт-
Вайнмар) 89
4.1. Методы сверхразрешения 90
4.1.1. Система источников с известными диаграммами
направленности излучения 92
4.1.2. Сверхразрешение, использующее исчезающие волны .... 92
4.1.3. ^-локализованные источники 93
4.2. Парциальные волны с комплексными пространственными
частотами 93
4.3. Представления и разложения электромагнитного поля 98
4.3.1. Интегральные представления 98
4.3.2. Представление внешнего поля парциальными волнами . . 99
4.3.3. Мультипольные волны 100
4.3.4. Плоские волны 103
4.4. Ограничение полосы частот, не согласующееся с Я-локализован-
ными источниками 105
4.5. Высокочастотная информация в дальней зоне от
^-локализованного источника 111
4.6. Восстановление по измерениям в дальней зоне ^-локализованного
источника 112
4.7. Измерение фазы и амплитуды оптической диаграммы
направленности излучения 116
4.8. Обсуждение 119
5. Радиометрия и когерентность (Г. П. Болте, Дж. Гейст, Л. Уолтер) . . 124
5.1. Развитие радиометрии 125
5.1.1. Классический период 125
5.1.2. Период барокко 126
5.1.3. Современный период 127
5.2. Когерентность излучения абсолютно черных тел 129
5.2.1. Временная когерентность 129
5.2.2. Пространственная когерентность 131
5.3. Радиометрия первого порядка 132
5.3.1. Поток энергии в скалярных полях 1<32
5.3.2. Теория когерентности и радиометрические величины ... 135
5.3.3. Теорема Ван Циттерта—Цернике 138
5.3.4. Пример: квазистационарные источники 140
5.4. Интенсивность излучения и угловая когерентность 142
5.4.1. Модели источника 143
5.4.2. Обратные соотношения 145
5.4.3. Источники с бесселевской корреляцией 148
5.4.4. Источники с гауссовской корреляцией 149
5.4.5. Применение: когерентность термоэлектронных источников . 150
5.5. Эффективность излучения 150
5.5.1. Энергетическая яркость модельных источников 160
5.5.2. Светимость и эффективность излучения 151
5.5.3. Примеры 151
5.6. Радиометрия второго порядка 152
5.6.1. Флуктуация и автокорреляция интенсивности излучения . 152
6

5.6.2. Радиометрические величины второго порядка 153
5.6.3. Пример: хаотический источник с гауссовской корреляцией 154
6 Определение статистических характеристик фазовых экранов по данным
рассеяния (А. Зардецкий) 160
6.1. Исходная формулировка статистических задач 161
6.1.1. Физические модели 162
6.1.2. Характеристический функционал рассеянного света .... 164
6.1.3. Корреляционные функции 167
6.1.4. Гауссовский предел 168
6.2. Более общие условия детектирования и когерентности 169
6.2.1. Гауссовское рассеянное поле 170
6.2.2. Полихроматические спекл-структуры 174
6.3. Корреляции по амплитуде и интенсивности 176
6 3.1. Информация, содержащаяся в амплитудных корреляциях 176
6.3.2. Информация, содержащаяся в корреляции по интенсивности 178
6.3.3. Движущиеся диффузоры 180
6.4. Явления, зависящие от числа рассеивателеп 182
6.4.1. Моменты и функции распределения вероятности
интенсивности 182
6.4.2. Примеры 185
6.4.3. Применение 187
6.5. Заключительные замечания 188
Список литературы . 189
Предметный указатель 195

ПРЕДИСЛОВИЕ
Puis lorsque j'ai voulu dcscendre a celles (les cho-
ses) qui etaicnt plus particulieres, il s'en est tant
presents a moi de diverses, que je n'ai pas cru qu'il fut
possible a Tesprit humain de distinguer les formes ou
especes de corps qui sont sur la terre, d'une infinite
d'autres qui pourraient у etre si c'eut ete le vouloir de
Dieu de les у mettre, ni par consequent de les rappor-
ter a notre usage, si ce n'est qu'on vienne au-devant
des causes par les ^effete, et qu'on se serve de plu-
sieurs ezperiences particulieres *.
Интересно отметить, что для авторов учебников по физике
характерно сильное пристрастие к прямым задачам, т. е. к
предсказыванию физических явлений на основе известных физических
законов. Сложный математический аппарат, используемый при
решении обратных задач, в частности, включенный в данную книгу,
представляет определенные трудности для читателя, начинающего
специализироваться в этой области. Вероятно читатель также мог
бы удивиться, узнав, что написание этой книги, по крайней мере
частично, вызвано потребностями производства, т. е. область
обратных задач в физической оптике образовалась вне сферы
математического искусства.
Тогда, что за причина заставляет, например, приборостроителей
обращать пристальное внимание на обратные задачи в физической
оптике? Приведем пример, относящийся к оборудованию для
контроля банкнот, имеющему различную производительность.
Назначение таких машин — проверка подлинности графического
исполнения банкнот с высокой степенью секретности и надежности.
Вводная глава показывает непосредственную связь с таким типом задач,
встречающихся при проверке аутентичности оптическим способом.
Тем не менее, эта книга не содержит практических
рекомендаций по решению конкретных технических задач. Путь, ведущий к
технической реализации достигнутых результатов, долгий и
нелегкий.
1 «Затем, когда я захотел перейти к более частным следствиям, мне
представилось их большое разнообразие, и я пришел к мысли, что человеческий ум
не в силах отличить формы и виды тел, существующих на земле, от множества
других, которые могли бы быть на ней, если бы бог захотел поместить их там.
Следовательно, обратить их на пользу можно только, продвигаясь от следствий
к причинам и используя многочисленные частные опыты» (R. Descartes: Disco-
urs de la methode (Librairie Ch. Delagrave, Paris 1877) Part 6, p. 65.
Имеется перевод: Ренэ Декарт. Рассуждение о методе. Изд.-во АН СССР, серия
«Классики науки», 1953, стр. 56).

В гл. 1 предпринята попытка написания краткого
систематического обзора обратных задач в физической оптике и обсуждается
роль априорной информации. Глава содержит примерный список
более 20 конкретных обратных оптических задач (включая и те,
которые не вошли в этот том). Принятый объем томов серии
«Проблемы современной физики» не позволил отобрать больше
материала, чем содержится в следующих пяти главах.
Гл. 2 представляет собой обзор состояния проблемы
восстановления фазового фронта ho амплитудному распределению, а также
по функции взаимной когерентности с приложением как к
обычной, так и к электронной оптике.
Гл. 3 посвящена проблеме восстановления рассеивающего
объекта или потенциала по амплитуде рассеянного поля, причем
особое внимание уделяется вопросу единственности и неизлучающим
объектам. Подробно описывается восстановление поля на
поверхности рассеивателя, а также восстановление объекта по полю вне
объекта.
В гл. 4 излагаются последние работы, посвященные решению
проблемы сверхразрешения, в частности, работы по
восстановлению ближнего поля объектов, локализованных в очень малых
областях, по полю в дальней зоне. Эта глава содержит сжатое
рассмотрение случая плоских неоднородных волн.
Гл. 5 посвящена новой области, находящейся на стыке
когерентной оптики и радиометрии. Вместе с новыми
радиометрическими концепциями для источников произвольной степени
когерентности обсуждается соотношение между полем источника в дальней
зоне и функциями когерентности источника. При этом
рассматриваются корреляции как по амплитуде, так и по интенсивности.
В этой главе также дается краткий исторический обзор
радиометрии.
Последняя, шестая глава представляет обзор известных
статистических свойств рассеянного излучения от экранов со случайной
фазой, описанных через корреляционные функции и статистику
фотонов." Особое внимание уделяется статистическим свойствам
высокого порядка для рассеянного поля. Обсуждается
нехаотическое рассеянное излучение от большого числа рассеивателей.
Полагаем, что это первая книга на указанную тему, потому что
в данной области работают слишком мало исследователей. Книга
будет способствовать объединению усилий для расширения
потенциальных возможностей данной области науки.
Цуг, Швейцару Дж.-Ф. Мозер
Июль 1978 г.

1. ВВЕДЕНИЕ
Г. П. БОЛТС
После общего определения обратных оптических задач в этой
главе обсуждена роль априорной информации и вопросы
единственности и устойчивости. Затем дан обзор различных конкретных
обратных задач в оптике, а также рассмотрено содержание гл. 2—
6. В конце приведены обозначения, используемые в теории
когерентности.
1.1. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
В ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
Прямая, или «формальная», задача в физической оптике
заключается в исследовании процесса возбуждения или распространения
излучения по заданным источникам или рассеивателям. Обратная,
или непрямая, задача состоит в нахождении характеристик
источников или рассеивателей по данным регистрируемого излучения.
Способ интуитивного решения обратной оптической задачи хорошо
известен: о размерах, форме, поверхностной структуре и материале
предметов судят посредством отраженного и поглощенного ими
света, который регистрируется глазами наблюдателя. К интуиции
необходимо прибегать для математического восстановления всякий
раз, когда необходимо проанализировать оптические данные
помимо их визуальной фиксации. Примерами служат экстраполяция и
реставрация «смазанных» оптических изображений, восстановление
по данным, интуитивно не воспринимаемым, гаким как
расфокусированное изображение и интерферограммы, или поиск такой
информации, которая «потеряна» в процессе регистрации, как,
например, фаза.
Следуя Шадану и Сабатье [1.1], дадим следующее общее
определение обратных оптических задач. Будем описывать источники и
рассеиватели'множеством пространственно-временных функций
0={gU gb-tgnU (1Л)
которые будем называть функциями источников (предполагается,
что рассеиватели рассматриваются косвенные, или вторичные,
источники). Результирующее распространение излучения
описывается множеством пространственно-временных функций /г-:
F={fu Л,-,/»),. (1-2)
называемых данными, которые могут быть проверены с помощью
измерений. Из функций источников gi можно однозначно получить
данные fi с помощью прямых соотношений:
fi-=El(gu g2„...9ga), (1.3)

где множество Е операторов Е* является отображением" G в F, а
именно:
E-.Q-+F. (1.4)
Например, в когерентной оптике Е$ соответствуют некоторым
интегральным преобразованиям, a gi и fi — источникам и,
например, амплитудам в дальней зоне и их корреляциям.
Решение прямой задачи означает вычисление данных fi по
известным функциям источников gi с использованием прямых
соотношений (1.3). Решение обратной задачи означает нахождение
функций источников, которые: 1) соответствуют полученным
данным Д-, как того требует уравнение (1.3), и 2) согласуются с
физической информацией, исходящей из общих физических законов
или других экспериментов, с так называемой априорной
(дополнительной) информацией.
Априорная информация сужает класс возможных функций
источников. Например, можно часто допускать как само собой
разумеющееся, что источник имеет конечный объем.
По-видимому, существуют два противоположных подхода к
решению указанной выше задачи.
1. Устанавливаем формулы или алгоритмы, которые позволяют
восстанавливать функции источников обращением отображения
(1.3, 1.4), а именно:
E-i:F->Q. (1.5)
Название «обратной задачи» обычно закреплено за этим подходом.
2. Ищем характерную модель функций источников методом
подбора и подгоняем неизвестные параметры по
экспериментальным данным. Этот подход приводит опять к прямой задаче, так как
приходится проверять модель (1.3). Представление об обратной
задаче в строгом смысле обычно исключает такие процедуры
подгонки. На практике, однако, существует более или менее плавный
переход от обратных процедур к прямым, обратный характер
задачи становится менее заметным с увеличением дополнительной
информации (см. разд. 1.2).
Известно, что. обращение отображения (1.5) включает в себя
математические вопросы существования, единственности и
устойчивости решений. Например, экстраполяция данных в оптических
изображениях [1.2, 1.3] принадлежит к классу задач (обычно
называемых «некорректно поставленными»), в которых решение
зависит от данных однозначно, но не непрерывно [1.4]. Небольшие
погрешности в данных приводят к большим ошибкам, если
дополнительно не поставлены подходящие стабилизирующие условия, т. е.
если не привлечены не требующие доказательств априорные
сведения о решении. Конечно, ошибки неизбежны в экспериментальных
данных.
С историей проблемы читатель может ознакомиться в разд. 3.1
(см. также [1.1]).

1.2. РОЛЬ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Теперь попытаемся собрать воедайо предварительные сведения,
необходимые для получения информации об оптических источниках
или рассеивателях (или среде^/в которой распространяется
излучение), из экспериментальные данных. Для этой цели может быть
полезна схема, представленная на рис. 1.1.
Искомые характеристики источников или рассеивателей, в
принципе, получаются из данных об интенсивности и фазе
посредством соответствующего обратного соотношения с учетом
имеющейся априорной информации. Обратное соотношение, или
алгоритм обращения, конечно, основывается на соответствующей
теории распространения и рассеяния светового излучения. Детекторы
обеспечивают получение данных об интенсивности. Таким образом,
следует получить необходимую информацию о фазе из
распределений интенсивности. Эта задача восстановления фазы
рассматривается в гл. 2. Данные об интенсивности могут также включать в
себя некоторые величины из когерентной и квантовой оптики,
такие как модуль степени когерентности, автокорреляцию
интенсивности, и статистические свойства фотонов. Корректное оценивание
сигналов, получаемых при помощи детектора, требует привлечения
теории фотодетектирования [1.5] и включает в себя другую
обратную задачу, а именно: как восстановить статистические свойства
падающего излучения из статистических свойств фотоэлектронов.
Под априорной информацией подразумеваются любые
сведения о функциях источников до проведения эксперимента, а не
регистрируемые данные, полученные по реализации схемы
наблюдения [1.7]. Эту дополнительную, информацию можно получить из
общих принципов, гипотез [1.8], результатов других экспериментов
и естественных ограничений, обусловленных планируемой
процедурой эксперимента. Понятие априорной информации, используемое
здесь, отличается от эпистимологических или априорных знаний в
строгом кантианском смысле [1.7]. Дополнительная информация
является определяющей для единственности и устойчивости
решения обратной задачи. Более того, природа дополнительной
информации в значительной степени определяет характер задачи
(обратной или прямой). Если дополнительной информации достаточно
I Априорная
информация
—s»
1 Теория
рассеяния
о (разе
у
i

Характеристики источникоб
i
<
Обратные
саотна
шемая
**г—
Индикатор 1
сигнала 1
*
Данные об \
интенсивности
, t ,
Теории 1
[регистрации |
12
Рис. 1.1.

для построения хороших моделей источников, то можно надеяться
на успех в решении обратной задачи методом перебора
параметров при решении прямых задач. Рассмотрим следующий пример.
1. Начнем с хорошо известного определения звездных диаметров
по измерениям модуля степени когерентности \\i\, заданной как
функция углового расстояния (см. например, [1.2, разд. 2]).
Сильно ограничивающие априорные предположения пирнимаем без
доказательства, предполагая, что источник представляет собой
круговой диск однородной яркости с нулевой площадью когерентности.
Применяя к этой модели теорему Ван Циттерта — Цернике,
можем получить угловой диаметр источника, если известен первый
нуль модуля ||л|. Таким образом, следует решить «слабую»
обратную задачу, т. е. установить и оценить только прямое соотношение.
2. Теперь снимем ограничения на форму источника. По теореме
Ван Циттерна — Цернике ji является преобразованием Фурье
профиля интенсивности /0 в плоскости источника. Форму и размер
источника можно определить обратным преобразованием Фурье.
Однако прежде необходимо измерить |jji| в широком диапазоне и
по возможности восстановить фазу \х. Экстраполяция затруднена,
если задаваться целью получения тонкой структуры распределения
интенсивности источника.
3. Если ни распределение интенсивности /о, ни степень
когерентности [Ло в плоскости источника неизвестны, получаем еще более
трудную обратную задачу, усложненную сверткой с
автокорреляцией /0,/2 (см. разд. 5.4.2). Без дополнительных данных, например,
без интенсивности излучения одного лишь измерения |[х|
недостаточно для полного восстановления информации о /о и цо.
Заканчивая этот раздел, еще раз подчеркнем необходимость
рассмотрения вопросов устойчивости и точной спецификации
дополнительной информации.
1.3. ОБЗОР ЧАСТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
В данной книге содержится лишь небольшое число тем,
выбранных из многих (не менее 20) частных обратных задач физической
оптики. В этом разделе предпринята попытка составить список
различных задач, включая те, которые не освещаются в книге, и
которые еще трудно поддаются решению. Ограниченность выбора
пяти из десяти первоначально планируемых глав обусловлена
ограниченным объемом томов серии «Проблемы современной
физики». Возможно в будущем,- дополнительном, томе это упущение
будет исправлено.
Обратные оптические задачи можно разделить на следующие
дна основных класса:
1) задачи, имеющие целью получение информации о
пространственных изменениях функций источников
(пространственно-частотных спектров), таких как профиль интенсивности или степень про-^
(транственной когерентности и другие пространственные
корреляции;
13

2) задачи, имеющие целью получениелшформации о временных
изменениях, т. е. динамике функций ^источников, или временных
частотных спектрах, таких как спектральная плотность или
степень временной когерентности идругие временные корреляции.
В настоящем томе рассмотрим главным образом обратные
задачи класса 1. Отметим, что картины спеклов в полихроматическом
свете и рассеяние движущимися диффузорами [1.10] включает в
себя временное и пространственное изменения, что рассмотрено в
гл. 6. В гл. 5 уломиц-йется другая обратная задача, которая
объединяет спектральный и пространственный подходы и заключается
в восстановлении формы объемного резонатора по спектру
собственных значений или функции временной когерентности.
Другая возможная классификация обратных задач может быть
основана на статистическом аспекте излучения. Так, известны
обратные задачи в классическом переносе излучения («перенос
интенсивности» в рамках слабой пространственной когерентности),,
когерентной и квантовой оптике. Эта книга содержит избранные
обратные задачи с волновыми амплитудами (гл. 3 и 4, первая
часть гл. 2) и функциями когерентности (гл. 5 и 6, вторая часть
гл. 2). Обратный перенос излучения не рассматривается.
С учетом соответствующих математических вопросов и
некоторых «прикладных задач», ниже приведен .следующий, вероятно
неполный, список обратных задач в оптике (звездочками отмечены
те задачи, которые рассматриваются в книге):
1. Распространение интенсивности
1.1. Обратный перенос излучения (обратная теория переноса)
2. Волновые амплитуды
2.1.* Восстановление фазы
2.2.* Обратная задача дифракции (от поверхности к
поверхности)
2.3.* Обратная задача рассеяния (определение рассеивающих
объектов или потенциалов)
2.4.* Восстановление полей источников или рассеивающих объ-
- • ектов за дифракционным пределом (проблема
сверхразрушения)
2.5. Экстраполяция изображений за их границы
2.6. Вычислительное восстановление по голографическим
данным
2.7. Восстановление оптических резонаторов по спектру
собственных значений
2.8. Обратные задачи в эллипсометрии
3. Функции когерентности
3.1.* Восстановление фазы функции пространственной
когерентности
3.2.* Восстановление фазы функции временной когерентности
3.3.* Восстановление радиометрических данных для плоских
источников (двумерных)
3.4. Обратные задачи дифракции и рассеяния функции
когерентности для трехмерных источников
14

3.5. Задачи экстрапбляции и сверхразрешение для частично
когерентного света4
4. Статистические состояния
4.1. Восстановление статистических свойств поля излучения по
детектируемыми сигналам"
4.2. Определение операторов статистических полей из
моментов и корреляций
4.3. Восстановление изображений по максимуму энтропии
(учет статистики фотонов)
4.4. Определение начального статистического состояния рас-
сеивателей (например, атомов) по статистическому
состоянию рассеянного излучения
5. Общие математические вопросы
5.1.* Единственность и неизлучающие источники
5.2.* Устойчивость и ограничивающие условия
6. Некоторые прикладные задачи
6.1. Форма (оптическая плотность) частиц, волокон или
полимеров из данных рассеяния (например, рассеяния Ми)
6.2.*. Характеристики экранов со случайной фазой (например,
шероховатых поверхностей), получаемые из данных
рассеяния
6.3. Оптическая связь через мутные среды и получение
информации о них (лазерная локация, дистанционное
зондирование, адаптивная оптика)
6.4. Изготовление фильтров, например фазовых экранов,
обеспечивающих получение данных характеристик рассеяния.
В приведенном списке (характеристику начнем с задач,
отмеченных звездочками) задачи восстановления фазы 2.1 и 3.1
являются предметом описания гл. 2. В гл. 2 также даны сведениям
фазовых задачах 3.2. Гл. 3 посвящена обратным задачам дифракции
и рассеяния (задачи 2.2 и 2.3) с детальным рассмотрением
вопросов единственности (задача 5.1). Заметим, что задача 2.3 тесно
связана с обратной задачей в квантовом рассеянии [1.1].
Сверхразрешение для когерентного света (задача 2.4) является темой гл. 4.
Вопросы устойчивости затронуты в гл. 2 и 4 (см. также ссылки,
данные в конце разд. 3.1.3). В гл. 5 рассматриваются радиометрия
частично когерентных плоских источников и обращение
радиометрических данных первого порядка (задача 3.3). Радиометрические
величины, соответствующие когерентности второго порядка, также
рассмотрены в гл. 5, но относящиеся к ним обратные соотношения
до сих пор не установлены. Наконец, гл. 6 посвящена одной из
прикладных з|1дач, а именно: как найти статистические свойства
фазовых экранов из оптических данных рассеяния от этих экранов.
Здесь состояние проблемы еще далеко от предложений общей про-
педуры обращения, поэтому нельзя избежать рассмотрения
конкретных статистических моделей. Логические связи между
различными главами могут быть видны из схемы, представленной на
рис. 1.2.
1К

4 Сберхразрешение
5. Когерентность и
радиометрия
Волнобые
амплитуды
>Z. Восстанобление
тазы
Функции
когерентности
9. Экраны со
случайной фазой
Рис. 1.2.
Кратко остановимся на некоторых задачах, не рассматриваемых
в этой книге. Обратный перенос излучения (задача 1.1) является
еще одним примером некорректно поставленной задачи (см.,
например, [1.11]). Многие ссылки можно найти в недавней работе
Ишимару [1.12], который рассмотрел также соотношения между
переносом излучения и многократным рассеянием волн. Задача
экстраполяции 2.5 упоминается в [1.3, 1.4]. По вопросам
восстановления по голографическим данным отсылаем читателя к статье
[1.13] и ссылкам в ней. Соотношение между формой и плотностью
мод оптического резонатора приведено в недавно опубликованной
книге Болтса и Хилфа [1.14]; дальнейшие ссылки даны в разд. 5.2.1.
Задачи обращения отражательной эллипсометрии обсуждены в.
[1.15]. Сверхразрешение с частично когерентным светом в
присутствии шума (задачи 3.5 и 5.2) обсуждено Россом [1.7] и Периной
и др. [1.33].
Восстановление квазивероятностной плотности по скорости
фотоэлектрических отсчетов (задача 4.1) рассмотрено в статье Берто-
лотти [1.16]. Задача счета фотонов исследуется в настоящее
время Селлони и др. [1.17]. Отдельные аспекты задачи 4.2, а именно»
восстановление статистических операторов с заданными
моментами, были изучены Джэйнсом [1.18], Ингарденом и Коссаковским,
[1.19] и совсем недавно Швандиманом и др. [1.20] Задача 4.3
описана в статье Кикучи и Саффера [1.21].
Теперь коснемся некоторых прикладных задач. Существует
обширная литература по рассеянию малыми (сферическими)
частицами (см., например, ссылки, приведенные в [1.12]).
Многообещающим является корреляционное изучение рассеянного света от
плотных суспензий, предложенное Нардуччи и др. [1.22].
Определение структуры володон и полимеров по рассеянному излучению
изучалось, например, Россом [1.7] и Хашимото и др. [1.23].
Относительно задачи 6.3 мы отсылаем к недавним обзорам Шанда [1.24],,
Хинкли [1.25] и Шапиро [1.26]. Интересное применение обратной
16

задачи дифракции заключается в изготовлении экранов с
заданными рассеивающими характеристиками. Первыми шагами в этом
направлении являются синтезированные с помощью ЭВМ
голограммы и киноформы [1.27]. Кроме математических проблем
обращения здесь должно быть решено большое число технологических
проблем. Новый вид специальных отражательных экранов с
управляемой степенью хаотичности и направленностью рассеянного
излучения реализован Энтисом и Гринэваем [1.28].
Насколько нам известно, оставшиеся задачи 3.4 и 4.4 едва ли
были до сих пор открыты. Для того чтобы решить задачу 3.4,
необходимо ввести методы амплитудно-волнового обратного рассеяния
и теорию когерентности. Задача 4.4 имеет целью обращение
динамики связанных систем в квантовой оптике.
Для ознакомления с теорией информации и теорией связи
отсылаем читателя, например, к [1.3, 1.6—1.8, 1.18, 1.21].
1.4. ОБОЗНАЧЕНИЯ В ТЕОРИИ КОГЕРЕНТНОСТИ
Дадим сводку оптических корреляционных функций,
используемых в гл. 2, 5 и 6. Начнем с корреляционной функции Глаубера
и-го порядка (см. например, [1.29])
Iw (хь..., хп% хп+ъ...% х2п) = (Е(-) (^)...Е(-) (хя) Е<+> С*я+1)...
...Е< + >(*2я)>, (1.6)
предполагая, что Xj обозначает пространственно-временную точку
г/, tj, и Е(->, Е<+>— эрмитово сопряженные операторы
электрического поля (индексы в обозначениях векторов и тензоров опущены).
Считаем, что поле излучения имеет когерентность п-го порядка
тогда и только тогда, когда все функции корреляции порядка
пг<п факторизуются. Соответствующая степень когерентности
определяется соотношением
У<яЧхи---,Х2п) = Т<пЧхи.-.,Х2п)П^ (1-7)
7 = 1
Функция корреляции первого порядка П1) отождествляется с
функцией взаимной когерентности Г стационарных полей, а именно:
Г12(*) = Г(г1э ti; r2, Ь=Ь + Ц = ГМ(хи х2). (1.8)
Степень когерентности первого порядка y(1) также связана с
комплексной степенью когерентности [1.30]:
Yi2(') = Y(ri, *i; r2, t2=t} + t)=yM(xu x2). (1.9)
Рассмотрение одной фурье-компоненты (частоты со) приводит к
«спектральной функции когерентности» или «взаимной
спектральной плотности»
W{rur2)=[ */*ехр(Ы)Г12(/) (1.10)
17

и соответствующей «степени спекгральной/йогерентности»
Pi2=P(ri, r2)-W(rl9 r2)[W(ru vl)W{vy4\-x!2' (1.П)
В общем случае введенные выш^величины зависят от частоты,
но здесь мы не будем приводить/формулы, показывающие эту
зависимость. Конечно, эти велич*шы описывают пространственную
корреляцию (первого порядка) поля излучения для спектральной
компоненты с частотой соуГермины «угловая корреляция» и
«угловая когерентность» идимсбоковая когерентность» используются,
если |ri| = |r2| и пространственные координаты (в дальней зоне)
выражаются через углы.
В строгом смысле, полная когерентность означает, что |у(п)| = 1
для любого значения п, т. е. все Пп> факторизуются. Таким
образом, некогерентность означает, что по крайней мере одна функция
Пп> не факторизуется. В более слабом смысле гипотетические
источники с |ix(rb r2)|=0, когда величина |гх—r21 не мала по
сравнению с длиной волны, обычно называются «некогерентными» или
«полностью кекогерентными», тогда как термин «полной
когерентности (первого порядка)» используется для полей с \\х(ги г2)| = 1.
Корреляционные функции второго порядка П2> аналогичным
образом связаны с эффектами «когерентности второго порядка».
Приведенные выше обозначения используются в настоящей
книге. Заметим, что некоторые авторы (например, [1.31, 1.32])
предпочитают различные обозначения порядка когерентности и
используют название «когерентности 2/г-го порядка» по отношению
к явлениям когерентности, связанным с корреляционной функцией
(1.6).
Выражаю благодарность моим .соавторам проф. Ферверде,
Дж. Гейсту. проф. Б. Хендерсу, проф. X. Г. Шмидт-Вайимару,
проф. А. Уолтеру и проф. А, Зардецкому за то, что они нашли
время и проявили энергию и энтузиазм при подготовке этой книги,
что позволило им уложиться, насколько это было возможно, в
сжатые сроки и терпеливо рассматривать предложения редактора,
несмотря на многие другие обязанности. С признательностью
отмечаю активность д-ра X. К. "Лотча, который предложил идею
создания настоящего тома.
Редактор организовал дискуссию и начал переписку со
многими коллегами, большинство имен которых упоминается в
цитируемой литературе данного тома. В частности, полезными были
дискуссии во время заседания Американского оптического общества
в Бостоне в конце 1975 г. и IV Рочестерской конференции по
когерентной и квантовой оптике в 1977 г.
Выражаю благодарность проф. А. М. Нардуччи за труд,
который он взял на себя при установлении первого контакта между
проф. А. Уолтером и редактором.
Многие интересы редактора были стимулированы
предложениями д-ра Дж.-Ф. Мозера, руководителя физической лаборатории
«Лэндис энд Гир Цуг» (ЛГЦ), который был настолько любезным,
что написал предисловие к этой книге. Центр исследования и раз-

вития в ЛГЦ субсидировал изучение теоретических проблем
физической оптики в прикладных исследовательских программах.
Проведение многочисленных коллоквиумов и дискуссий стало
возможным благодаря этому отделению. Более того, постоянное
сотрудничество с д-ром В Стайшюм, математиком ЛГЦ, явилось важной
поддержкой в данной работе.
Г-жа Дж. Болте, сочетая высокую компетентность с
преданностью к работе, обеспечила значительную техническую помощь в
редактировании.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.1. Chadan К., Sabatier P. С. Inverse Problems in Quantum Scatterring
Theory, Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1977.
1.2. Goodman J. W. Synthetic-Aperture Optics. — In: Progress in Optics, ed.
by E. Wolf, vol. VIII, North-Holland, Amsterdam, London, 1970, pp. 1—50.
1.3. Frieden B. R. Evaluation, Design and Extrapolation lor Optical Signals,
Based on Use of the Prolate Functions. — In: Progress in Optics, ed. by E. Wolf,
vol. IX, North-Holland, Amsterdam, New York, 1971, pp. 311—407.
1.4. Viano G. A. J. Math. Phys. 17, 1160—1165 (1977).
1.5. Arecchi F. Т., Degiorgio V. Measurement of the Statistical Properties of
Optical Fields. — In: Lascrhandbook, ed. by F. T. Arecchi, E. O. Schulz-Dubois,
vol. 1, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1972, pp. 191—264.
1.6. Helstrom С W. Quantum Detection Theory. — In: Progress in Optics, ed.
by E. Wolf, vol. X, North-Holland, Amsterdam, London, 1972, pp. 289—369.
1.7. Ross G. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 268, 177—200 (1970).
1.8. Gabor D. Light and Information.— In: Proceedings of a Symposium on
Astronomical Optics and Related Subjects, ed. by Z. Kopal, North-Holland,
Amsterdam, 1956, pp. 17—30.— In: Progress in Optics, ed. by E. Wolf, vol. 1,
North-Holland, Amsterdam, 1966, pp. 109—153.
1.9. Parry G. Speckle Patterns in Partially Coherent Light. — In: Laser
Speckle and Related Phenomena, ed. by J. С Dainty, Topics in Applied Physics, voL
1), Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, Sect. 3.1.
1.10. Jakeman E., Whirter J. G. J. Phys. A9, 785—797 (1976);
Pusey P. N. J. Phys. D9, 1399—1409 (1976).
1.11. Wang J. Y., Goulard R. Appl. Opt. 14, 862—871 (1975).
1 12 Ishimaru A. Proc. IEEE 65, 1030—1061 (1977) (review) (Опубликован
перевод: А. Исимару, ТИИЭР, т. 65, № 7, с. 46, 1977).
1.13. Carter H. W., Но Р. С. Appl. Opt. 13, 162—172 (1974).
1.14. Baltes Н. P., Hill E. Spectra of Finite Systems, Bibliographisches Insti-
tut, Zurich, 976.
1.15. Zaghloul A. R. M., Azzam R. M. A., Bashara N. M. Inversion of the
Nonlinear Equations of Reflection Ellipsometry on Film-substrate Systems. — In:
Ellipsometry, ed. by N. M. Bashara, R. M. A. Azzam, North-Holland, Amsterdam,
New York, 1976, pp. 87—96.
1.16. Bertolotti M. Photon Statistics.— In: Photon Correlation and Light
Beating Spectroscopy, ed. by H. Z. Cummins, E. R. Pike, Plenum Press, New York,
London, 1974, pp. 4L—47, Chap. 5.
1.17. Selloni A., Schwendimann P., Quattropani A, Baltes H. P. Open system
theory of photodetection: Dynamics of field and atomic moments, J. Phys. A7,
1427—38 (1978); Thermal effects in Photodetection. Scheduled for Phys. Rev. A18
(1978).
1.18. Jaynes E. T. Phys. Rev. 106, 620—630 (1957).
1.19. Ingarden R. S., Kossakowski A. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math.
Astronom. Phys. 19, 83—85 (1971).
1.20. Schwendimann P., Baltes H. P., Quattropani A. Relevance of subpoisso-
nian statistics to photon antibunching, Helv. Phys. Acta (to be published).
1.21. Kikuchi R., Softer В. Н. J. Opt. Soc. Am. 67, 1656—1665 (1977).

1.22. Narducci L. M., Colby P. C, Bluemel V., JUft R. A. Phys. Lett. 57A,
204—206 (1976); Colby P. C, Narducci L. M., Blupniel V., Baer J. Phys. Rev. A12,
1530—1538 (1975). /
1.23. Hashimoto Т., Murakami Y., Kawabfl. J. Polym, Sci. 13, 1613—1631,
(1975). /
L24. Schanda E. (ed.). Remote Sending for Environmental Sciences,
Ecological Studies, vol. 18, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1976.
1.25. Hinkley E. D. (ed.). Lasej/Monitoring of the Atmosphere, Topics in
Applied Physics, vol. 14, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1976.
(Опубликован перевод: Лазерный контроль атмосферы/Под ред. Э. Д. Хинкли.
М.: Мир, 1979). '
1.26. Shapiro J. H. Imaging and Optical Communication Through Atmospheric
Turbulence. — In: Laser Beam Propagation in the Atmosphere, ed. by J. W. Stroh-
behn, Topics in Applied Physics, vol 25, Springer, New York, Heidelberg, Berlin,
1978.
1.27. Collier R. J., Burckhardt С. В., Lin L. H. Optical Holography, Academic
Press, New York, London, 1971, Chap. 19 (Опубликован перевод: Кольер Р.,
Беркхарт К., Лин Л. Оптическая голография. М.: Мир, 1973).
1.28. Antes G., Greenaway D. L. Projektionsschirme mit optimalisierter Lichta-
tisbeute und Fremdlichtdiskrimination, Helv. Phys. Acta (to be published).
1.29. Glauber R. J. Coherence and Quantum Detection. — In: Quantum Optics,
ed. by R. J. Glauber, Academic Press, New York, London, 1969, pp. 15—56,
Chap. 3.
1.30. Klauder J. R., Sudarshan E. С G. Fundamentals of Quantum Optics,
Benjamin, New York, Amsterdam, 1968, Chapts. 1,8 (Опубликован перевод: Клау-
дер Дж. Р., Сударшан Э. К. Г. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970).
1.31. Mandel L., Wolf E. Rev. Mod. Phys. 37, 231—287 (1965) (review).
1.32. Perina J. Coherence of Light, Van Nostrand Reinhold, New York,
Cincinnati, Toronto, Melbourne, 1971 (Опубликован перевод: Перина Я-, Когерентность
света. М.: Мир, 1974).
1.33. Perina J., Perinova V., Braunerova Z. Opt. Appl. 7/3, 79—83 (1977).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Frieden В. R. Image Enhancement and Restoration. — In: Picture Processing
and Digital Filtering, ed. by T. S. Huang, Topics in Applied Physics, vol. 6,
Springer, Berlin, Heidelberg New York, 1967, pp. 177—248 (Опубликован перевод:
Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения. — В кн.: Обработка
изображений и цифровая фильтрация/Под. ред. Т. Хуанга. М.: Мир, 1979, с. 193—270).
Frieden В. R., Wells D. С. Restoring with maximum entropy. III. Poisson
sources and backgrounds, J. Opt. Soc. Am., 68, 93—103 (1978).
Kermisch D. A deterministic analysis of maximum entropy image restoration
method and of some related methods, J. Opt. Soc. Am. 67, 1154—1159 (1977).
Bertero M., De Mol C, Viano G. A. Restoration of optical objects using regu-
larization, Opt. Lett. 3, 51—53 (1978).
Bertero M., De Mol C, Viano G. A. On the problems of object restoration and
image extrapolation in optics, Submitted to J. Math. Phys.
Casasenl D. (ed.). Optical Data Processing, Topics in Applied Physics vol. 23,
Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.
Bates R. H. Т., Lewitt R. M., McDonnel M. J., Milner M. O., Peters Т. М.
Practical image processing, Phys. Technol. 9, 101—107 (1978).
Deepak A. (ed.). Inversion Mechods in Atmospheric Remote Sounding,
Academic Press, New York, 1977.
Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media, Academic
Press, New York, 1978.
Goedecke G. H. Radiative transfer in closely packed media, J. Opt. Soc. Am.
67, 1339—1346 (1977).
20

2. ПРОБЛЕМА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗЫ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
ПО АМПЛИТУДНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
И ФУНКЦИЯМ КОГЕРЕНТНОСТИ
А. Л. ФЕРВЕРДА
Проблема восстановления фазы волнового фронта возникает во многих раз-
долах физики. В рентгеноструктурном анализе, например, могут быть
определены только абсолютные величины структурных факторов при явно утраченной
фазе. Характеристики рассеяния (например, его дифференциальное сечение) по-
«иоляют получить только абсолютный квадрат амплитуды рассеяния, тогда как
чпание фазы необходимо для определения свойств рассеивающих объектов.
Аналогичная задача возникает в определении структуры веществ с помощью
оптического или электронного микроскопа, особенно для последующих применений.
Непосредственно измеряемая величина в этом случае есть распределение интен-
пшпости в плоскости изображения или некоторых других плоскостях микроско-
и.ч. Это дает нам абсолютную величину квадрата волновой функции 1 в
выбранной плоскости. Для определения структуры объектов нам также необходимо
шать фазу волновых функций. Большая часть данной главы будет посвящена
определению комплексных волновых функций по одному или нескольким
распределениям интенсивности. В конце кратко обсудим другую фазовую проблему в
оптике, а именно, фазовую проблему в теории оптической когерентности.
Необходимо, по возможности, косвенным образом, найти фазу функции взаимной
когерентности по интенсивности W(ru r2), так как в экспериментах легко измерить
только модуль функции W(vu Г2).
Необходимо подчеркнуть, что решение задачи нахождения фазы, т. е.
вычисление фазы функции по ее модулю, возможно только тогда, когда известно
наперед, что рассматриваемая комплексная функция принадлежит
определенному функциональному классу. Уолтер и Вольф были первыми, кто обратил
внимание на этот факт [2.1, 26]. В случае оптических задач встречаемся с
функциями, заданными в ограниченной полосе частот.
В разд. 2.1.1 кратко объяснена важность фазовой проблемы для определения
структуры объектов. Более детальное обсуждение будет дано в гл. 3.
2.1. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
ПО АМПЛИТУДНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
2.1.1. Важность фазовой задачи для определения
структуры объектов
Рассмотрим объект, который представляет собой
пространственно-зависимое распределение показателя преломления п (г)
(рис. 2.1). Для определения такого распределения будем
использовать квазимонохроматическое,' полностью когерентное,
излучение. Для простоты изложения будем рассматривать задачу о
падении на объект плоской волны. Если задача восстановления фазы
решена, то известна волновая функция в плоскости
непосредственно за объектом, которую будем называть «плоскостью объекта».
Пусть /г(г0) обозначает волновую функцию в плоскости объекта и
пусть ехр(Лкго) обозначает невозмущенную падающую волновую
1 В этой главе использована скалярная теория формирования изображений как для
оптического, так и для электронного микроскопа. Скалярные комплексные амплитуды наз-
лины волновыми функциями.
21

П(Г)
функцию в этой плоскости, где г0 — вектор в
плоскости объекта. Если ось z выбрана
вдоль направления падения и координата z
плоскости объекта равна нулю, то для
волновой функции в плоскости объекта
получаем 1
и (f0) = солз! Г п (г0, z) dz.
(2.1)
Падающая Объект У
плоеная Плоскость
Полна адъента
Рис. 2.1. Иллюстрация
обозначений ""°°
Поэтому решение задачи восстановления фазы дает проекцию
распределения показателя преломления на плоскость,
перпендикулярную направлению падения. Освещая объект с разных
направлений, получаем различные проекции функции п(г). Если число
проекций достаточно велико, можно восстановить трехмерное
распределение п(г) по этим проекциям. Эти задачи более
основательно и в более общем виде будут обсуждены в гл. 3.
Вернемся теперь к задаче восстановления фазы. В следующем
параграфе выведем основные уравнения для фазовой задачи.
2.1.2. Вывод основных уравнений фазовой задачи
Приведем вначале общую схему процесса формирования
оптического изображения, представленную на рис. 2.2.
Мы предполагаем, что
освещение является
квазимонохроматическим и
полностью пространственно
когерентным. В обычной
оптике это предположение
превосходно аппрксимируется
использованием лазерного
освещения. Для случая
электронной микроскопии это
предположение более
проблематично, так как высокая
когерентность может быть
достигнута только при
использовании электронных
пушек с автоэлектронным
катодом в комбинации с
диафрагмами. Последние уменьшают выходную интенсивность.
Координаты определяются следующим образом: ось z
выбирается вдоль направления оптической оси. Через г= (*0, Уо)
обозначаем положение точки в плоскости объекта, которой присваивается
Объект
/1»
Держатель
объекта
Плооность
объекта
Выходной /\
зрачон Плооность
изображения
Рис. 2.2. Общая схема процесса
вания изображения
формиро-
1 Для того чтобы отразить зависимость /г(г) от z, запишем эту величину в
виде /г(г0, г). Здесь г0 — вектор перпендикулярный оси г, определяющий
положение точки в плоскости объекта.
22

координата z, равная йулю. Плоскость объекта определяется как
плоскость непосредственно за объектом, перпендикулярная
оптической оси. Положение точки в выходном зрачке обозначено
вектором £>=(£, т]), а положение точки в плоскости изображения
описано вектором ri=(*i, r/i). В этой главе предполагаем, что изучение
является квазимонохроматическим, полностью пространственно
когерентным, с длиной волны X. Для электронной микроскопии это
означает, что рассматривается только формирование изображения
упруго рассеяными электронами, т. е. неупруго рассеяные
электроны испытывают изменение длины волны при рассеянии. Кроме того,
полная пространственная когерентность возможна только при
упругом рассеяния. Расстояние г0 будет измеряться в единицах X,
1>—в единицах F, где F — фокусное расстояние системы, и г{
измеряется в единицах Мк, где М — увеличение. В дальнейшем будут
встречаться следующие волновые функции: ^о(го) —волновая
функция в плоскости объекта («волновая функция объекта»),
являющаяся величиной, которую в конечном счете необходимо
восстановить. Уравнение (2.1) является соотношением между ^о(го) и
структурой объекта. Кроме того, будет встречаться волновая
функция в выходном зрачке р(@). Здесь р(д) включает аберрации
оптической системы:
p{Q)=\dr0u0(r0)exp{2ni[y(r0, Q) + r0-Q]}, (2.2)
где i|)(r0, q)—аберрационная функция в выходном зрачке [2.2], и
<70 — прозрачная часть плоскости объекта, которая рассматривается
как продолжение объекта.
Мы вычислили p(q) в предположении традиционной скалярной
теории дифракции Кирхгофа. Если формирование изображения
является изопланатическим [2.2], то аберрационная функция <p(r0, q)
не зависит от г0: ф(г0, q) = Ф(е). В этом случае ехр[2л;цр(())] может
быть вынесена за знак интеграла в (2.2), который теперь по
существу выражает соотношения преобразования Фурье между ио(го)
и p(q). Это означает, что, ели р(д) найдена в результате решения
фазовой задачи, и0(г0) может быть получена с помощью обратного
преобразования Фурье. Для неизопланатических аберраций такое
обращение, как показано в [2.3], также может быть выполнено,
однако процедура в этом случае становится более громоздкой.
Соотношение между волновой функцией в плоскости изображения
</t-(r7-) и волновой функцией в выходном зрачке р(е) есть
преобразование Фурье
ui{ri)=^dQp(Q)exp(—2xir1Q), (2.3)
где о— апертура выходного зрачка [2.2, с. 482].
Будем пытаться искать р{®) из выбранных подходящим
образом распределений интенсивности. Распределение интенсивности в
плоскости изображения li(i'i) определяем следующим выражением:
//(r,)HMr,)|2. (2-4)
23

Распределение интенсивности в выходив зрачке определяется
соотношением /е(о) = \p(q) |2. Для того чтобы избежать
непринципиальных усложнений, которые будут Еклюбом случае
несущественными для изопланатического формирования изображения, будем
рассматривать только одномерш^распределение характеристик в
направлении, перпендикулярнсщ оптической оси.
2.1.3. Общее рассмотрение фазовой задачи
Во введении было отмечено, что фазовая задача разрешима
только в том случае, если рассматриваемые комплексные функции
принадлежат определенному классу. То, что это так, видно из
уравнений (2.2) и (2.3): если волновая функция м0(г0) имеет
конечный носитель и непрерывна, то по известной теореме [2.4] /?(£)
является целой функцией от £. В уравнении (2.3) используется
только часть р(£) там, где £ео. Та же теорема устанавливает, что
Ui(xi) есть целая функция от х\. Поэтому волновые функции,
встречающиеся в оптике, являются целыми функциями. Для этого типа
функций модуль и фаза связаны дисперсионным соотношением,
которое будет выведено на основании того фактд, что lg щ(х\) есть
аналитическая функция с точками ветвления в нулях функции
щ(х\). Выведем дисперсионное соотношение для волновой
функции изображения и(х) (в дальнейшем индексы «*'» и «1» будут
опускаться), используя криволинейные интегралы, приведенные в
работе Хендерса [2.5], к которой отсылаем читателей для детального
ознакомления.
Пусть протяженность выходного зрачка определяется
ограничением a^g^p. Уравнение (2.3) в этом случае имеет вид
и (х) = f p {X) ехр (-2п/*у d\. (2.5)
a
Из последнего уравнения легко вывести асимтотическое поведение
и(х) при х-^ос:
и{х)_ -POO'-8"1" L£(E1 e-**r(P-.>_ il . (2.6)
Из (2,6) следует, что нули и(х) имеют следующее
асимптотическое распределение:
ая~®-а)-Ц)1 + у), (2.7)
где п — целое число и у определяется соотношением
Р («Г1 Р (Р) = ехр(2я/у), 2-8>
при очевидном предположении р(а)р{$)фО. Обсудим условие,
когда 1т'у>0. В этом случае асимптотически нули и(х) лежат в.
верхней полуплоскости (ВПП), поэтому только конечное число
нулей расположено в нижней полуплоскости (НПП). Обозначим эти:
24

пули щ, а2, .., щ. Из (2.6) видно также, что эти нули простые.
Затем мы построим из и(х) функцию w(x), которая не имеет нулей в
НПП и получается из и(х) «смещением» нулей в их сопряженные
положения на плоскости. Это приводит к функции
i __ *
*>(*)-**(*) П Х аП » (2-9)
жж х—ап
где ап* является величиной, комплексно сопряженной ап.
Произведение в (2.9) есть так называемый множитель Блашке. Так как
w(x) теперь не имеет нулей в НПП, \gw{x) есть регулярная
функция в этой области. Теперь рассмотрим следующий контурный
интеграл:
1{Х, /?) = (я/)-1 fH^'^expCfrfg*')]
J х' — X
С
где контур С состоит из интервала [—R, R] действительной оси с
полуокружностями бесконечно малого радиуса около возможных
пулей w(x) на действительной оси и дуги окружности радиуса R
в НПП с центром в начале координат. В соответствии с теоремой
Коши I(x, R)=0. Кроме того, вклад от различных участков
контура С может быть оценен в пределе при R-+oo. Это приводит к
уравнению
1 n [w (х) х exp (2niax)] = lg [(2я/)-1 р (а)] —
Lp Г In [x'w (x')exp(2niax')] ^ (2 11)
я/ J x' — x
00
где Р — главное значение функции по Коши. Приравнивая мнимые
величины в обеих частях уравнения (2.11) и используя
соотношение (2.9), получим искомое дисперсионное соотношение
9{Х)=±Р\ ^Ш.^ + 2 \W-«.) +
Я J х' — х J*U
+ argp(a)-^-2nax, (2.12)
где ср(лг) = argu(x). Константы argp(a) и я/2 в правой части (2.12)
не имеют физического смысла, так как фаза и(х) определяется с
точностью до произвольной константы. Линейный член по хв
правой части (2.12) отражает то, что и(х) есть целая функция первого
порядка [2.4, разд. 7.4]. Из соотношений, ведущих к (2.12),
непосредственно устанавливаем, что фаза ф(х) может быть однозначно
получена из и(х), если известно, что и(х) имеет только
действительные нули. Этот результат был уже ранее получен Уолтером-
|2.1]. При использовании (2.12) необходимо знать нули и(х) в
НПП. Такую информацию почти невозможно получить из
экспериментов. Интенсивность 1(х) =и(х)и*(х) для действительных зна-
25

чений х может быть продолжена в комплексную область
посредством следующего соотношения:
1(х) = и(х)и*(х*). (2.13)
Теперь 1(х) является аналитической функцией во всей области
комплексной переменной х. Ири этом невозможно определить,
кз-за какой функции: и(х) или «*(**), возникают комплексные
нули функции 1(х). Поэтому невозможно различить функции и(х)
\xu{x)z=u{x)W (x — а*п)(х — ап)~\ так как они имеют одинаковый
л-1
модуль на действительной оси: | й(х) \ = \и(х) |. Число
сомножителей в произведении, которое встречается при определении и(х),
может быть бесконечным при условии, что произведение сходится.
Если N — число соответствующих нулей 1(х) (понятие
«соответствующие» будет объяснено в разд. 2.1.6), то имеет место
неоднозначность решения и(х) порядка 2^, потому что не известно,
какой функции: и(х) или и*(х*), должны быть присвоены
комплексные нули 1(х). Из (2.7) можно получить, что N примерно равно
числу степеней свободы изображения (число Шеннона). Даже если
ограниченность полосы частот пространственного спектра не
позволит нам различить и(х) и й(х)9 легко можно показать, что обе
функции имеют одну и ту же полосу частот [2.5, 2.6]:
я(х) = |/?(£)ехр(-2ли£)^; (2.14)
а
u{x)*=§p{t)exp(—2nixb)db (2.15)
а
где р(1) и р(£) связаны друг с другом соотношением (см. [2.5])
?(9=/Кб) + 2**2 (2г)>2 П Ы X
у-1 {J} *е{/}
X
у П ^-^ f Р ЮехРI-***** ft' -1)]Л' +
me{j]
+ S П ^|ИПехр[-2ш^^у]^ (а<КР). (2.16)
Ут<0 п±т '
Зресь i/fe = Imafe, a {/} обозначает множество всех /-плетов1,
содержащихся в множестве (1, 2, ..., N). Теперь объясним, каким
образом из уравнения (2.16) следует, что только функция р(1) может
удовлетворять нашим требованиям. Во-первых, заметим, что р(1)
является целой функцией в силу (2.2). В случае изопланатического
формирования изображения p(Q по существу является преобра-
1 Т. е. суммирование производится по всем возможным комбинациям
множителей Блашке. — Прим. пере в.
26

юванием Фурье Uq(xq), и поэтому функция р(1) должна
стремиться к нулю при 1~>н=оо вдоль действительной оси £. Уравнение
(2.16) справедливо по всей комплексной плоскости переменной |,
1ак как обе части уравнения являются целыми функциями
переменной £. Предположим, что р(|) в правой части (2.16) является
истинным решением. Тогда р(|) не может быть решением, потому
1 то р(1) будет, расходиться, если g-^+oo при действительных
значениях, так как нулевые точки ап имеют неисчезающие мнимые
части.
Таким образом, нахождение фазы из простого распределения
интенсивности возможно, если известно, что или Im^X) или <0,
г. е. согласно (2.8) соответственно |р(а)_1р((3) | <1 или >1.
Однако должно быть ясно, что процедура, описанная выше, является
скорее доказательством существования единственного решения фа-
ювой задачи, чем процедурой, легко применимой к практическим
-адачам.
2,1.4. Предложения Гринэвая для поиска фазы
по единственному распределению интенсивности
Недавно Гринэвай сформулировал предложения по
восстановлению фазы из распределения интенсивности [2.7]. Эта цель может
быть достигнута простым расположением непрозрачной
диафрагмы в плоскости выходного зрачка так, что p(i) будет отличаться
от нуля только в интервале a^g^v» 6^£^'Р при у<>8. Если в
предыдущем разделе р(£) должна была стремиться к нулю при
Ц-^±оо вдоль действительной оси (что должно быть установлено
путем аналитического продолжения!), то теперь мы имеем более
удобное условие, что функция /?(£) должна равняться нулю на
интервале у<£><6, где расположена диафрагма. Представим р(£)
и виде
/'(e)=*i№)+?2(6), (2Л7)
|де функция <7i(£) равна нулю вне интервала a<g<v, а ^(S) за
пределами 6<|<|3. Как и в предыдущем случае, рассмотрим две
функции: и(х) и й(х), которые могут быть получены одна из
другой смещением нулей. Тогда уравнение (2.16) при y<£<6
[учитывая, что р(1) обращается в нуль на этом интервале] принимает вид
ию=2я/ 2 да 2 П nx
y-i {/} *е{/}
*
ЦП
0>т ~ CLn
у <о пфт
п exp(2stiaml)Q2{am)
(Y<3<*)> i2-18
,Jni
2/

где Qi(x) и Q2(x) —преобразования Фурье q\(l) и ?2(£)- Вопрос
заключается в том, существуют ли кроме истинного решения р(£)
другие приемлемые решения ]5(£), которые также обращаются в
нуль на интервале y<£<6. Поэтому нам необходимо выяснить,
может ли правая часть (2.18) тождественно равняться нулю на
интервале y<E<6. Это невозможно, если смещено конечное число
нулей, так как правая часть (2.18) есть целая функция от £,
которая не может быть тождественным нулем на интервале у<£<6,
пока все Qi(am) и Q2(am) не обратятся в нуль. В последнем случае
мы получаем из уравнений (2.5) и (2.17)
«(O=Qi(O=Q2(O=0. (2.19)
Подобная маловероятная ситуация возможна, когда qx (£) и
<7г(£) могут быть получены одна из другой смещением на
расстояние о: ^i(g) =^2(| + а). Такой случай невозможен, если диафрагма
Y<&<6 расположена асимметрично в апертуре выходного зрачка.
Если; исключая упомянутый сдвиг, считать q\ и q2
нетождественными, то остается неопределенность 2е, где с — число общих нулей
Q\ и Q2. Когда все нули и(х) смещаются, получаем и*(х). Теперь
и(х) и и*(х) могут иметь образы Фурье, которые обращаются в
нуль на интервале y<£<6, если диафрагма не расположена
асимметрично в апертуре выходного зрачка.
Рассмотренный метод показывает также, что, в принципе, фаза
может быть найдена по одному распределению интенсивности,
однако его применение к практическим задачам весьма затруднено.
Преимущество данного метода заключается в том, что нам не
нужно знать расположения нулей и(х), за исключением, может быть,
некоторых крайних случаев. Этот метод не работает в электронной
микроскопии из-за зарядовых эффектов в апертурной диафрагме,
которая будет вносить нежелательные фазовые сдвиги.
2.1.5. Использование полуплоскостей для несильно
рассеивающих объектов
Рассмотрим случай, когда выходной зрачок представляет собой
одну прозрачную половину:
Р®Ф0, 0<!;<СО;
/>G) = 0, -oo<S<0. (2.20)
Тогда и(х) есть причинное преобразование [2.8], и его
действительная и мнимая части дают пару преобразований Гильберта:
оо
lmu(x)=—P[ Reaixl 4x'\ (2.21)
я J х',— х
— оо
оо
Reu(x)= — Я Г Img-(jf>) dx\ (2.22)
я J х'— х
28

Рассмотрим вначале случай слабо рассеивающих объектов.
Объект будем называть слабо рассеивающим, если волновая
функция изображения может быть записана в виде
u(x)=l + us(x\ (2.23)
где \us(x)\<^l. Здесь us(x) описывает рассеянную волну, которая
предполагается настолько слабой, что в формуле для
интенсивности в плоскости изображения
(х) = 1 + 2 Re us (x) + [Re us (*)]* + [Im us (x)]* (2.24)
можно пренебречь квадратичными членами [Rews(x)]2 и
[Im us(x)]2 no сравнению с 2 Re u3(x):
/CJl(x)=l+2Reus(x). (2.25)
Сели такое приближение справедливо, то Reus(x) получается из
/Сл(х). Подстановка (2.23) в (2.21) дает
оо
Imut(x)=-n~1P Г Re,% (*'W. (2.26)
t/ X Х
— oo
Итак, теперь комплексная волновая функция изображения
определена, и из нее можно получить р{1) для £>0. Рассмотрение
второго случая с дополнительной диафрагмой в выходном зрачке
такой, что р(|) =0 для £>0, позволяет получить р(1) для £<0.
Поэтому /?(£) может быть вычислена на всем интервале
изменения |.
Майзелл и др. [2.9J модифицировали метод аппроксимации для
слабых объектов, принимая во внимание квадратичные члены в
правой части (2.24). Предложенная модификация может быть
применена, если квадратичные члены не очень велики по сравнению
с линейными членами. Когда это условие выполнено, будем
называть объекты несильно рассеивающими, или полуслабыми
Получаем us(x) итерационным методом, при этом на первом шаге
итерации пренебрегаем квадратичными членами в (2.24), что дает
ReMs(1)(x)> гДе верхний индекс 1 означает шаг итерации. lmI8W(x)
получаем из
1т41)(х)=-п^Р°{ ^"{'Чх,) dx\ (2.27)
J х'—х
Итерационная схема продолжается следующим образом:
Re и<п) (*)=-£- {/ (•*)- 1 - [Re и\п~1) (х)]2- [im uST" (x)]2}; (2
1т4я)(х)г=:—п-1Р [ *_ dx'.
28)
29

Сходимость (2.28) устанавливается эмпирически. Это приводит
к тому, что сходимость не может быть достигнута, если
квадратичные члены слишком велики. Рассмотрение двух дополняющих друг
друга полуплоскостей позволит найти /?(£) для всех |.
2.1.6. Логарифмическое преобразование Гильберта:
метод преодоления трудностей,
связанных с нулями
В разделе 2.1.3 было выведено логарифмическое
преобразование Гильберта (2.12), т. е. дисперсионное соотношение между
фазой ц)(х) и модулем \и(х) |. Трудность при практическом
применении этого преобразования заключается в том, что неизвестно
расположение нулей и(х). В данном параграфе мы рассмотрим некоторые
случаи, когда не нужно иметь подробную информацию об этих
нулях. Все подобные случаи относятся к апертурам в выходном
зрачке, которые лежат по одну сторону оптической оси, например
0^|<(3. В таком случае и(х) является причинным
преобразованием, которое означает, что Reu(x) и 1ти(х) связаны
преобразованием Гильберта [(2.12 и 2.22)]. При рассмотрении задачи
восстановления фазы более важно получение соотношения между фазой
<р(#) и модулем решения и(х)> чем соотношение между его
действительной и мнимой частью. Такое соотношение может быть
получено с помощью функции ]gu(x) =lg|и(х) | +iy(x). К
сожалению, когда u(x)^L2 (функции, интегрируемые с квадратом),
\gu(x) не определяется, так как In u(x)-^oo при л:-^±оо. Бэрг
и др. [2.10] предложили метод для преодоления этой трудности и
трудностей, связанных с нулями и(х), которые становятся точками
ветвления ]gu(x). Обсудим кратко несколько методов, при этом
для более детального ознакомления читатель отсылается к работам
[2.10, 2.11]. Рассмотрим случай, когда апертура в выходном зрачке
лежит выше оптической оси: 0^£<|3. Пусть w(x) есть волновая
функция изображения. Из соотношения (2.6) получаем, что
когерентная постоянная составляющая С может быть такой, что
результирующая волновая функция изображения
u(x)=C + w(x) (2.29)
не имеет нулей в НПП К Без потери общности С можно считать
действительной и положительной величиной. Из (2.6) получаем
lg{[С + w(x)]C-1}^L2 вдоль каждой прямой линии в НПП,
параллельной действительной оси. В этом случае ф(х) и lg|^(x)|
связаны соотношением Гильберта в сответствии с теоремой Титчмар-
ша [2.8, стр. 34]:
<p(jc) = „-ipf IS^Lrfjc'. (2.30)
J X X
1 Строго говоря, постоянная С противоречит аналитичности /?(£), так как С
приводит к особенности типа 6-функции в р(£). Однако обход таких
неприятностей не представляет собой проблемы.
30

Гели w(x) —волновая функция, которую нужно восстановить, фазу
iV(x) можно определить из уравнений
luargW= '"WlsinyW (231
6 |tt(*)|cos«p(*)—С ' V }
w (х)\ = [С* +1» (*)|2 - 2Си (*) cos ? (jc)]1/?. (2.32)
Другой способ, тесно примыкающий к предыдущему, основан
на теореме Руше [2.4, стр. 119, 120] и также предложен Бэргом
и др. [2.10]. Он известен как метод нахождения фазы при помощи
опорной функции. Добавим теперь пространственно меняющийся
опорный пучок /?(*)» когерентный волновой функции изображения
н(х). Функция R(x) должна удовлетворять следующим условиям:
а) R(x) регулярна в НПП;
б) R(x) не имеет нулей в НПП;
в) \и(х) | < \R(x) | на вещественной оси и любой
полуокружности |*| =р (р->оо) в НПП.
В соответствие с теоремой Руше и(х) +R(x) не имеет нулей в
НПП. Поэтому функция lg[u(x)+R(x)] регулярна в этой области.
Теперь мы выведем соотношение логарифмического
преобразования Гильберта для и(х) +R(x) =F(x). С этой целью рассмотрим
контурный интеграл
dx\ (2.33)
J x^ix' — x)
Здесь \g{j)F(0)=[(d/dx)i\gF(x)]x=o и п — положительное целое
число, С — замкнутый контур, состоящий из сегмента —р^х'^р
вдоль вещественной оси с огибанием точек х' = х и л:' = 0 и дуги
окружности \х'\ = р в НПП. Так как F(x) —целая функция
первого порядка, как отмечалось выше в связи с (2.12), lg'F(x)
ограничен на бесконечности полиномом. При записи уравнения (2.33)
предполагалось, что ограничивающий полином имеет степень п.
Для оптических задач п может быть выбрано равным единице.
Вклад интеграла по полуокружности С исчезает в пределе при
р-*~<х>. Применение метода вычетов дает после прямых вычислений
я—1
е. lg|/>(*')l —2 x'JReKj
argFix^^xilrnKj-n-^P^ xw)£_x) dx'•
7-0 — «•
(2.34)
где используем сокращенное обозначение
Kf=(j\)-4gi»F(0). (2.35)
В принципе, величина Re/C7= (Л)"1lg(j)l^(0) I может быть
определена из эксперимента, хотя вычисление производной по экспери-
.31

ментальным данным дает большие погрешности. Напротив,
величина Im /Cj = arg^>/7(0) неизвестна и представляет константу, из
которой происходит вычитание в дисперсионном соотношении
(2.34). Очевидно, что число таких констант должно оставаться как
можно меньшим.
Бэрг и др. [2.10] попытались найти расположение комплексных
нулей интенсивности изображения 1(х). Число рассматриваемых
нулей зависит от протяженности интервала, на котором должна
быть известна и(х), и измерительного шума. Это утверждение
основано на теореме Титчмарша, согласно которой модуль целой
функции на действительной оси определяется ее нулями uj =
= а/ехр (iQj) по формуле
оо
|а(*)|=|и(0)|П |1 — JcaJ1 exp(—W)|. (2.36)
y-i
Поэтому нули, расположенные вдали от интервала, где должна
быть определена функция и(х), не представляют интереса,
поскольку их эффект теряется в шуме. Процедура нахождения
расположения соответствующих нулей описана в [2.10].
Итак, рассмотренные методы широко используют свойства
аналитичности. Их преимущества в основном заключаются в том, что
эти методы позволяют выяснить, разрешима ли фазовая задача.
Применимость методов к реальным практическим задачам еще
должна быть доказана. В следующем разделе используем больше
входной информации, чем это строго необходимо в соответствии с
результатами, полученными в предыдущих разделах. Будет
использовано по крайней мере два распределения интенсивности, которые
могут быть либо двумя расфокусированными изображениями, либо
распределениями интенсивности в плоскости изображения и
выходном зрачке. Так как фаза должна быть получена численно,
необходимо также учитывать возможность неаналитических решений,
которые могут быть случайно получены ЭВМ и неприемлемы с
физической точки зрения. В следующих параграфах кратко
рассмотрим удачный способ восстановления фазы по двум
расфокусированным изображениям в случае сильно рассеивающих объектов,
восстановление фазы по распределениям интенсивности в
плоскости изображения и выходном зрачке и восстановление фазы по
двум расфокусированным изображениям с использованием или без
использования распределения интенсивности в выходном зрачке в
случае несильно рассеивающих объектов.
2.1.7. Восстановление фазы по двум расфокусированным
изображениям в случае
сильно рассеивающих объектов
В этом параграфе рассмотрим восстановление фазы по двум
распределениям интенсивности двух расфокусированных
изображений. Итерационный метод, аналогичный итерационной схеме алго-
32

ритма Гершберга — Сэкстона, который будет рассмотрен в разд.
2.1.8, предложен Майзеллом [2.13]. Даже если итерационная схема
сходится, не известно, приемлемо ли полученное решение, пока не
установлена единственность решения. По этой причине. Ферверда
и др. [2.14—2.16] изучали единственность данной задачи
нахождения фазы и сформулировали алгоритм, который математически
более ясен, чем алгоритм, предложенный Майзеллом [2.13].
Вначале выведем основные формулы. Вновь ограничимся
рассмотрением одномерного случая в поперечном направлении. Пусть
l(xi) означает интенсивность в плоскости изображения, р(£) —
волновую функцию в выходном зрачке. Для того чтобы привести
псе величины к рассмотрению в одной плоскости, в данном
случае— плоскости выходного зрачка, возьмем сдвинутое (сдвиг
вводится для удобства математического представления)
преобразование Фурье от 1(х\):
оо
— оо
Используя уравнения (2.3) и (2.4), получим [2.14]
к
Здесь р определяет ширину выходного зрачка: —13<£<|3.
Располагая двумя распределениями интенсивности, соответствующими
двум расфокусированным изображениям Ij{x\)> /=1, 2, и при
условии, что соответствующие параметры расфокусировки равны
\z-} (/=1, 2), получаем два уравнения [2.2, стр. 462, 2.14]
/у(0 = |^(ПрМ6/-Е-Р)ехр{2я/АЛ5^-(6/-6-Юа]}Л/, 7=1,2,
* (2.39)
где
Лу=яХ~1А2:7.. (2.40)
Поэтому в уравнении (2.39) /?(£) является волновой функцией
и выходном зрачке, соответствующей волновой функции в гауссов-
екой плоскости изображения, и Я — длина волны излучения.
Легко проверить, что одно распределение интенсивности не по-
июляет получить единственное решение. Если р(1) есть решение
(2.38), то р*(—I) также является решением этого уравнения. Из
рассмотрения, которое приведено в разделе 2.1.3, следует, что
существуют только два решения, одно соответствующее условию
ИР)[Р(—Р)]"М<Ь и другое — \рШр{—Р)]-М>1- При
вычислении р(1) вдоль этих линий необходимо контролировать
аналитичность на каждом шаге вычисления, что практически
невозможно осуществить на ЭВМ. В [2.14] единственность решения
установлена Дрентом и др. прямым использованием аналитичности р(|).
li последующей работе Хюайзер и Ферверда [2.15] установили един-
•.'-298 33
(2.37)
(2.38)

ственность решения (2.39), когда оно дифференцируемо почти
всюду. Этот факт дает большую уверенность в полученном решении,
которое в конечном счете будет вычисляться на ЭВМ. В
упоминаемом доказательстве приведенные выше функции /?(£) и /?*(£)
считаются независимыми, т. е. не используется соотношение
комплексного сопряжения между ними. Приведем достаточные условия для
единственности:
1) функция р(р) известна, отлична от нуля и р*(—13)^0;
2) sinA(g2—132)=^0, что составит ограничение на допустимую
расфокусировку. Это условие может удовлетворяться для каждого
£е=(—13, р), если
A = A! —А2<яр-2. (2.41)
Может показаться практически неосуществимым требование
задания значений волновой функции на одной из граничных точек
выходного зрачка. В принципе, такое определение возможно, так
как р((3) может быть выбрана действительной и положительной.
Из (2.39) видно, что функция p(Q может быть определена только
с точностью до постоянного фазового коэффициента. Эта
неопределенность может быть использована для выбора такой общей
фазы, при которой р(|3)>0. Тогда функция р(|3) может быть
выражена в виде квадратного корня из интенсивности в точке £ = |3. Ниже
покажем, что эта практическая трудность может быть преодолена.
Теперь мы представим прямой метод нахождения р(Н) из
(2.39). Другой, более развитый метод — алгоритм Ньютона —
Канторовича— рассмотрен в [2.16]. Однако этот алгоритм требует
намного больше машинного времени.
Прямой метод заключается в записи интегрального уравнения
в виде системы алгебраических уравнений. Эту систему можно
получить, аппроксимируя интегралы суммами Римана. С этой целью
разбиваем интервал —(3<|<|3 точками разбиения:
6=р, р —А 0, -р + Л, -р. (2.42)
Для удобства предполагаем, что £ = 0 является точкой
разбиения. Длина интервала разбиения выбирается в соответствии с
теоремой Уиттекера — Шэннона [2.17]: /г = 2р/ао, где ао — ширина
объекта. Так как функция /?*(—13) предполагается известной1, можно
начать с выписывания уравнения для р((3—/г), которое следует
из римановых сумм для fj($—h) в (2.29):
/ДР_/г) = /7ф —/г)/7*(-Р)ехр{2тЛ/[ф —>^)2 —Р2]}. (2.43)
Теперь вычисляем р(|3—h) из (2.43). Для | = р—2h получим
/у(Р-2А) = /|(р-2А)/1*(-р)ехр{2я/Ду[(Р-2А)«-И} +
+ /,(Р-Л)/,»(-р + А)- (2.45)
1 Эта процедура более предпочтительна, чем та, которая используется в
j2.16], где при аппроксимации интервалов применена формула трапеций. Это
т.ребует знания р(р) и р*(—Р). Здесь р*(—Р) выражается через р(Р) из
соотношения
f/(P)=-P(P)/>*(-p), (2.44)
применение которого на практике затруднительно.
34

Уравнение (2.45) является системой двух линейных уравнений
относительно неизвестных р(Р—2h) и р*(—|3 + /г). Детерминант
системы не равен нулю, если выполняется условие (2.41). Таким
же способом получаем набор значений:
Pit-»), /»(Р-2А),...,р(0),...,/>(-р + А)
Р*(-Р + А),...,/>*(0),...,^(Р-Л). (2.46)
Заметим, что при вычислениях нигде не использовано
соотношение комплексного сопряжения между р(£) и р*(—13). Если р*(—р)
имеет верное значение, соотношение комплексного сопряжения
между p($—nh) и р*(р—nh) (я = ,1 2, ..., N) автоматически
выполняется. Фактически невозможно получение точного значения
для р*(—р), поэтому вычисления начнем с произвольного
ненулевого значения для р*(—р). Это, несомненно, нарушает
соотношение комплексного сопряжения между р и р*. При доказательстве
единственности, приведенном в [2.14], р и р* считались
независимыми. Поэтому в действительности в этой работе показано, что
уравнения
/у(У = |^(П^в/-5-Р)ехр(2я/Ду[6/а-(6/-6-РЯ}Л/, / = 1,2
6 (2.47)
имеют единственное решение {/?(£), q(l)} при условиях, установ^-
ленных ранее в (2.41). При применении этого результата к нашей
задаче видно, что неправильные значения р*(—р) приводят к
решению {р(1)у q{l)}> которое отличается на постоянный
коэффициент от истинного решения с </ = р*. Если решение основано на
предположительном значении р*(—р), например р*(—р), и
обозначенном как {р(£), q(b)}, то имеем
где второе уравнение следует из (2.47). Здесь % — неизвестная па-
стояиная, равная р{—р)/р*(—Р), которая может быть найдена из
(2.39) для g = —р:
//-?) = { рЮрЧ^Я'Ч-хГ2 f PW\P$)\*dV. (2.49)
На данном этапе использовано соотношение комплексного
сопряжения между р и р*. Так как p(g) известна, то |х| может быть
получена из (2.49). Аргумент % остается неопределенным, что
отражает неопределенность фазовой постоянной. Эта процедура
гораздо точнее, чем попытка получения р*(—Р) прямым измерением.
Описанный выше алгоритм имеет недостаток: результаты очень
чувствительны к шуму входных данных, так как ошибки
распространяются на другие шаги вычисления. Другой метод, который ли-
щен этого недостатка, но применим лишь к несильно рассеивающим
объектам, будет обсужден в разд. 2.1.9.
2* . 35

2.1.8. Восстановление фазы по распределениям
интенсивности в выходном зрачке
и плоскости изображения
Этот метод впервые был предложен Гершбергом и Сэкстоном
[2.18, 2.19], которые попытались вычислить комплексную волновую
функцию в выходном зрачке по интенсивностям в плоскости
изображения и выходном зрачке. Единственность решения изучена в
ряде работ [2.20—2.22]. Математическая задача заключается в
построении комплексной функции по заданному ее модулю и
модулю ее преобразования Фурье. В работе [2.20] единственность
задачи изучена для случая, когда p(i) есть интегрируемая функция.
Показано, что решение будет единственным, если волновая
функция не является симметричной. В последнем случае решениями
являются р(1) и р*(£), и это показывает, что неопределенность для
этого случая не представляет серьезных затруднений. Так как
аналитичность решения не может быть обеспечена численной
процедурой, следует также учитывать возможность существования
других, неаналитических, решений. В работе [2.21] изучено
существование таких решений. Сформулирован критерий, который является
достаточным для установления единственности решения. К
сожалению, этот критерий зависит от функций, которые еще нужно
найти, и объясняет (в лучшем случае апостериори), почему
единственное решение не может быть получено в конкретном случае.
Проведение численных экспериментов подтверждает теорию [2.23].
Шиске [2.22] привел простой пример, показывающий
неединственность решения. По этим причинам сомнительна практическая
ценность данного метода.
Принимая во внимание эти ограничения, кратко рассмотрим
некоторые предложенные алгоритмы. В [2.18] Гершберг и Сэкстон
получили квадратные уравнения, которые они решали итерационным
способом.
Несмотря на то, что численные эксперименты, по-видимому,
свидетельствуют о получении всегда одного и того же решения, авторы
признают, что о единственности решения ничего не известно.
В последующей статье [2.19] эти же авторы приводят
еще один алгоритм, который теперь называется алгоритмом Герш-
берга — Сэкстона. Он начинается с вычисления преобразования
Анзаца для комплексной волновой функции в выходном зрачке:
модуль известен по распределению интенсивности в выходном
зрачке, а фаза генерируется датчиком случайных чисел из
равномерного распределения в интервале [—я, я]. При таком способе волновая
функция изображения вычисляется с помощью быстрого
преобразования Фурье (БПФ). Модуль вычисленной волновой функции
изображения заменяется значением, получающимся из
распределения интенсивности в плоскости изображения, а вычисленная фаза
сохраняется. Затем используется обратное БПФ для вычисления
р(€), в котором сохранена только фаза, а модуль заменяется на
36

правильное значение, и т. д. Итак, итерационная процедура
заключается в следующем:
Р
и<пЦх)= Г р(п~1Щ)ехр{-2тх1)а1, (2.50)
-Р
оо
/><»>(&) = f u.W(x)exv(2nlxl)dx. (2.51)
—оо
Во многих случаях эта итерационная процедура сходится. Такой
способ получения решения сомнителен, если не гарантируется
единственность решения. Из численных экспериментов установлено
[2.23], что решение зависит от выбора теста для волновой функции
в выходном зрачке. Так как очень трудно математически понять
природу происходящего, многие исследователи создали более про-
стые алгоритмы. Прямой метод представлен в [2.23]. Другая версия
прямого метода, который является адаптацией метода,
разработанного Далласом [2.24], будет обсуждена ниже.
Тот факт, что и(х) в соответствии с (2.3) есть ограниченная по
полосе частот функция, позволяет нам записать разложение
Уиттекера*—Шеннона для и(х) [2.17]:
и{х)= 2 ti[(2§)-in\smz{2§x--n), (2.52)
Я = — ОО
где sincx= (кх)~1 sin(ftx). Волновая функция p(Q может быть
вычислена по формуле
оо
/>(!)= 2 (2рГ1«1(2рГ1»я1ехр[-2я^?(2р)-11. (2.53)
/га = — оо
Функции, которые необходимо вычислить, есть и[(2$)-1п], где
входные величины представляют собой интенсивность в выходном
зрачке и плоскости изображения. Для того чтобы вычислить все
величины в плоскости изображения, возьмем преобразование Фурье
от распределения интенсивности в выходном зрачке:
Р
С(у)= Г |р(6)|2exp{2ту%)d\. (2.54)
Подстановка /?(?)= \ u(x)exp(2nixVjdx дает
С (у)= j fixa (x) и* (х-у), (2.55)
— оо
где вычисления выполнены в предположении j3 = oo, что является
хорошей аппроксимацией, если диафрагма в выходном зрачке не
37

отсекает много энергии. Подставляя (2.52) в (2.55) и используя
формулу
оо
С sin т (х — £) sin п(х — yj) ^ sin /к(£ — т\)
1 ■ ~■~~——~~~~~~~~~' ах, — зх ,
— оо
справедливую т^п>0 (см. [2.4, с. 153, задача 12]), приходим
к формуле
оо
С(у)= 2 (2?)-1 «„«J-* sine(%-*), (2.56)
n.k — — со
где введено сокращенное обозначение м[(2(3)-1/г] = мп. Так как
С (г/) является ограниченной по полосе частот с шириной полосы
2|3, что следует из уравнения (2.54), то функция С (у) может быть
разложена в ряд
С(у)= 2 Cksmc(2$y-k), (2.57)
k=—со
где Ск = С[(2(3)~lk]. Сравнивая уравнения (2.56) и (2.57), получаем
следующую систему алгебраических уравнений:
со
2СЙ= ^ "«""-*• (2-58)
Я = —-со
Так как изображение по существу имеет конечную
протяженность, необходимо рассмотреть только конечное число точек
разбиения:
-N <*<ЛГ, (2.59)
где N — число Шеннона (число степеней свободы) изображения.
Кроме того, из-за свойств симметрии С(у)=С*(—у), что следует
непосредственно из (2.54), можно-ограничиться рассмотрением Си
с £>0: k = 0, 1, 2, ..., 2N. Неизвестные коэффициенты ип легко
получить из уравнения (2.58), которое из-за конечной протяженности
изображения имеет вид
Для k = 2N уравнение (2.60) можно записать в виде
2$C2k=u.nu*Ln. (2.61)
38

Неопределенность фазовой постоянной позволяет выбрать Un
действительными и положительными Так как величина \uN\
получается из эксперимента, Un полностью известна, а #_лг и «^
берем из (2.61). Если в (2.60) принять k = 2N—1, имеем
2§C2n-\ = un-\U-n -f- UnU—n+u (2.62)
из которого необходимо найти Un-i hii-n+ (их мойули известны).
Из простых геометрических соображений непосредственно
получаем, что уравнение (2.62) в общем случае имеет два решения. Эта
процедура продолжается, пока все неизвестные не будут
определены, т. е. до значения k = N. Число решений может быть равно 2iY.
Оставшиеся уравнения (2.60) для & = 0, ..., N могут быть
использованы для уменьшения числа решений.
2.1.9. Восстановление фазы по двум расфокусированным
изображениям в случае несильно
рассеивающих объектов
В разд. 2.1.8 было отмечено, что прямой метод нахождения
фазы для сильно рассеивающих тел очень чувствителен к шуму.
В частности, в электронной микроскопии это представляет
серьезные практические трудности, потому что нельзя набрать
достаточных статистических данных из-за радиационного повреждения
образцов электронным пучком. Так как образцы в электронной
микроскопии являются либо слабо, либо несильно рассеивающими
объектами, можно использовать это обстоятельство для разработки
алгоритма, менее чувствительного к шуму.
Рассмотрим слабо рассеивающие объекты, освещаемые
плоской волной. Волновая функция в выходном зрачке может быть
записана в виде
/i(0=rtft-a) + Afc)f (2.63)
где а описывает область действия падающего пучка и с —
интенсивность этой области в выходном зрачке. На практике 6(£—а)
аппроксимируется функцией sine из-за конечной протяженности
объекта. При записи формулы (2.63) пренебрегали сферическими
аберрациями. Очевидно, это ограничение не окажет существенного
влияния на теоретические результаты. Для волновой функции
изображения и(х) при использовании соотношения (2.3) получаем из
(2.63) формулу
и(х) = с ехр( — 2niax) +C rf5/?i(5)exp( — 2jt/jc5), (2.64)
-э
по которой можно вычислить распределение интенсивности 1(х) =
= \и(х)\2. Для этого необходимо использовать преобразование
Фурье от 1(х):
<х>
1 (у = Г / (Х) ехр (2я/л5) dx. ('2.65)
39

Два расфокусированных изображения дают следующие
уравнения:
h (?) = \с I2 8 (5) + ср[ {% + а) ехр {2ш ду [а2 - (5 + я)2]} +
Р
+ £?Л (а-6)ехр{2ягдЛ(а-6)2-^1>+ f л (5') а(6'-6) X
Хехр{2я/А7[Г -(5'-S)W;
0<5<23; /=1,2; -р<а<р, (2.66)
из которых нужно определить с и Р\(1). Если предположить, что
объекты являются несильно рассеивающими в выходном зрачке,
то линейные члены по р\ [второй и третий члены в правой части
(2.66)] преобладают над квадратичными членами в (2.66), и
можно рассматривать в сходящейся итерационной схеме только эти
линейные члены. Уравнение (2.66) дискретизируется по теореме
отсчетов Уиттекера — Шеннона, примененной к /?i(£). Для этой
цели определяем
/)(*)=W5)-|c|'8ft), (2-67)
где мы должны иметь в виду, что 6(£) аппроксимируется функцией
типа sine. Предположим, что a = lh — точка разбиения (А —
интервал разбиения, равный Go~l). В дальнейшем р\(1) будет считаться
такой, что
рг{Щ = 0. (2.68)
Для простоты обозначений введем сокращение pi(Ift)=pi,i.
Уравнение (2.66) при дискретизации теперь выглядит следующим
образом:
^=^1,«ч-/ехр{2щА/г2[Р-(^ + /)2]} +
+ cpitl-n ехр {2я/ДуА* [(/ - п? - /2]> + 2 Р*^Рьт-пУтп^ (2.69)
т
где
Э
ymnj= J sine [/Г"1 {V—mh)\ sine [A"1 ft' — nh— mh)\ X
—р+лл
Xexp (2л/Ay ft'2 - (5' - ftA)2]} d\\ (2.70)
Полная фаза выбирается такой, что с>0. Уравнение (2.69)
решается итерационным методом (верхний индекс означает шаг
итерации):
7,|Я = с<'>/>#+1е^ X
X ехр {2я/Д^Л2[(/ — л)2 —/2[} +2 /iI^ViT^i-Yn,*/. (2-71)
т
40

(0) ** }> n /i\
где итерация начинается в предположении pl,m= /?i,m=u и с^>
определяется из уравнения
7ЛО_с(1)*8(0)=0. (2.72)
Итерация для с продолжается подстановкой п = 0 в (2.71) с
использованием (2.68):
\о- с^Ь (0)= ^ | /ЙГ" Г Y«o.y- /(2.73)
in
Из (2.71) можно найти p[]n+i и p[ti-n по известным Р(Г п &
р* и т. д., при условии, что определитель уравнении отличен от
нуля, справедливом на всем интервале, где выполняется условие
(2.41). Алгоритм, рассмотренный выше, сильно напоминает метод
внеосевой голографии [2.17, разд. 8.4], что ясно видно из уравнений
(2.66), когда в их правой части можно пренебречь нелинейными
членами. Если направление засвечивающего луча таково, что
я = ±Р, то функция pi (g) может быть вычислена по одной
экспозиции.
Для случая электронной микроскопии, где крайне важно
извлечь как можно больше информации по рассеянным электронам,
Ван Турном и др. {2.25] недавно был предложен другой метод, в
котором кроме двух или более расфокусированных изображений
используется также распределение интенсивности в выходном
зрачке. Как показано, эта процедура дает существенное уменьшение
необходимой дозы облучения для получения достаточно точного
решения.
2.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ ПО ФУНКЦИЯМ
КОГЕРЕНТНОСТИ
2.2.1. Определение фазы функций
оптической когерентности
В предыдущих параграфах была рассмотрена задача
нахождения фазы для комплексных амплитуд. В этом параграфе обсудим
аналогичные задачи определения фазы для функции взаимной
когерентности Г(гь t\\ r2, t2), определяемой средним значением по
ансамблю [2.2, с. 500]:
Г(гь ti; r2, t2)=(u(ru Ь)и*(т2, t2))9 (2.74)
где м(г, /) обозначает стохастическую комплексную амплитуду в
точке г для момента времени t. Если поле стационарно во времени,
то Г зависит только от временной разности t\—/2 = ^ и уравнение
(2.74) принимает вид
Г(гь tx; r2, *2)=Г(гь г2; *).
(2.75)

Конечно, уравнение (2.75) справедливо для
квазимонохроматического излучения.
Можно выделить два типа фазовых задач для функций
оптической когерентности:
I. Фазовая задача временной когерентности: Т\ и г2 —
фиксированы, a t — переменная, при этом Г\ и г2 могут даже совпадать.
Такая ситуация возникает в интерферометре Майкельсона [2.2, с. 506,
507], когда необходимо определить спектральную плотность g((o)
некоторой спектральной линии. Здесь функция g(ico) должна быть
получена из уравнения
оо
Yn(^)=j^Hexp(-^)rfo), (2.76)
о
где
Yu(0 = [/(r1)]-1r(r1, r2; t), (2.77)
и где 1(г{)—интенсивность в точке гь Спектральная плотность
g(co) может быть получена только при условии, что известна
комплексная величина yn(t). В принципе, это возможно, так как
|Yh(0I может быть получена по контрастности
интерференционных полос в интерферометре Майкельсона [2.2, с. 505], а
действительная часть Yn(0 получается по интерферограмме [2.2, разд.
10.3.1]. Детальные измерения интерференционной картины на
практике очень трудно выполнить, поэтому |yii(^)I есть
единственная экспериментально доступная величина. Таким образом,
необходимо вычислить yn(t) из |yu(0I- Эта задача рассмотрена
Вольфом [2.26], Дайэлетисом [2.27] и Нэссинцвайгом [2.28], при
этом использовались те же самые методы, которые были
рассмотрены в разд. 2.1.3
П. Фазовая задача пространственной когерентности: ri и г2 —
переменные и зависимость от t тривиальна, как в случае
квазимонохроматического излучения,
Г(гь r2; t)=W(ru г2)ехр(-Ы). (2.78)
Если стоит задача восстановления объекта при частично
когерентном освещении (или изучаются флуктуации объектов, см. гл. 5
и 6), необходимо знать функцию спектральной когерентности.
Ограничимся рассмотрением фазовой задачи типа II или фазовой
задачи пространственной когерентности. Фазовая задача типа I
или фазовая задача временной когерентности аналогична фазовой
задаче для комплексных амплитуд, которая уже была рассмотрена
достаточно подробно.
2.2.2. Определение фазы функций пространственной
когерентности с некогерентным
опорным точечным источником
Этот метод, который имеет близкое сходство с внеосевой
голографией [2.29], исследовался многими авторами [2.30—2.32] и экс-
42

•Jft
Источник
a
-/?-
периментально проверен Биэрдом
[2.33], Келером и Манделем [2.34]. Опорный
Наиболее интересной величиной в {почечный
этом случае является поперечное источник
распределение интенсивности
излучения действительного или
эффективного источника [2.35].
Эффективный источник определяется как
воображаемый плоский источник,
который вызывает такую же
комплексную степень когерентности в
плоскости наблюдения без оптической
системы, какую создает и физический
источник посредством оптической
системы. Обобщение на неплоские
источники ведет лишь к более сложной
математике. Плоскости источника и
наблюдения считаются параллельными. Рассмотрим случай,
схематически изображенный на рис. 2.3. Пусть s(q) является
распределением интенсивности излучения некогерентного плоского
источника и пусть некогерентный квазимонохроматический точечный
источник с интенсивностью г и той же самой длины волны, что и
источник, помещен в точку @0 в плоскости источника. Тогда полное
распределение интенсивности
S(t>) = rb(Q-Q0) + s(Q). (2.79)
По теореме Ван Циттерта — Церника (см. разд. 5.33) взаимная
интенсивность в точках Г] и г2 в плоскости наблюдения
определяется выражением
' S (р) ехр [« (| Р — Г11 — | р — г2 1)3
Плоскость
набпщдения
Рис. 2.3. Определения фазы с
некогерентным точечным источником
\У(Ги Г2):
"J1
I Р — 1*1 I 1 Р — *2 I
■dQ,
(2.80)
где интеграл берется по области распределения интенсивности
излучения а. В дальней зоне (/?-ь£*й^уравнение (2.80) сводится к
выражению
W(ru г2)=/?-2ехр(/ф) j5(Q\expIiA/?-i(ri-r2)Qlrfe,
(2.81)
где
^=(2/?)-i£(iW22).
(2.81а)
Если ограничиться рассмотрением точек, лежащих
симметрично относительно оси z, которая выбирается перпендикулярно к
источнику, то Г! = г2 и уравнение (2.81) упрощается и принимает
следующий вид:
V/ (гь r2)=/?-2 f 5 (о) ехр [ikR-1 (г, - г2) q] d r.
(2.82)
43

Сделав замену переменной интегрирования q'= (M?)-1q в
уравнении (2.82), получаем
W(ru r2)=X2j5(Q/)exp[2n/(r1~-r2)Qn^e/. (2.83)
(X
Рассмотрим для простоты одномерный случай. Измерение
функции когерентности дает только величину |Щх)|2, где х
связана с х\ кх2 по формуле Х\ = —Х2 = х/2. Из уравнений (2.83) и (2.79)
мы непосредственно получаем
Х-11 W (х) р=г2 + г f s (р') ехр[2я/х(Ро-р')] dp +
(X
+ г j s (р') ехр [Ых (р' - pi) dp' + ^s (p') s (p") X
о <хсх
Хехр[2я/* (р' — р")] dp'dp". (2.84)
Взяв преобразование Фурье (ПФ) от этого выражения, найдем
Х-* ПФ | XV (х) р =г25 (рО + rs (pj- р') + rs (р' + ро) + * (р')2* (2.85)
Предположим, что источник s(p') простирается от р'=а до
р' = 6(6>а). Если величина ро' выбрана настолько большой, что
ро>26 —а или ро<6— 2а, (2.86)
тогда носители функций s(p'+po') и s(p</—р') в правой части
уравнения (2.85) отделены от носителей других функций, и
поэтому 5(р'—ро') или s*(p' + po') могут быть непосредственно
определены. Вывод, является ли s(p) или ее зеркальное изображение
s(—р) искомым решением, может быть сделан из априорных
сведений о положении точечного источника. Если р</ не удовлетворяет
условию (2.86), восстановление сит источника все же возможно
при
Ро>&-а. (2.87)
В этом случае необходимо выполнить два измерения, одно с
опорным источником и другое без него. В соответствии с
уравнением (2.85) это последнее измерение дает s(p')2, поэтому другое
измерение позволяет получить сумму функций s(po'—р') +
+ s(p'—ро'), из которой можно определить s(p') и s(—р'), так как
их носители не пересекаются. В этом случае также необходима
априорная информация для того, чтобы различить s(p') и s(—р').
Этот метод предложен Мета [2.30] и Гамо [2.31] и применен к
астрономическим задачам Таунсом [2.36].
2.2.3» Определение фазы функции пространственной
когерентности для экспоненциального фильтра
Этот метод также предложен Мета [2.37] и был проверен Келе-
1>пм и Манделем [2.34]. Предложенный метод использует тот факт,

что функция взаимной когерентности по интенсивности является
аналитической функцией [2.2, стр. 504]. Таким образом, логарифм
от этой функции также является аналитической функцией, за
исключением точек ветвления, где W(x)=0. Поэтому |№(z)| и
<р(г) =arg W(z) связаны уравнениями Коши — Римана:
дх ' iWI ду '
«irwle_Iwr(z)|jtw_.
ду дх
z=x + iy. (2.88)
Если можно определить | W(z) | и (д/ду) \W(z)\ на
действительной оси, вычисляем ф(х) с точностью до постоянной:
<р{х)=- (д/ду) f In W (z) dx' |^o. (2.89)
о
Для того чтобы применить (2.89), необходимо продолжить
W(х) в комплексную плоскость. Заменяя х в формуле [см. (2.83)]
W(x) = l JS(p')exp(2n/*P')rfp' (2-90)
о
на x+iy> получим
W (x+iy) =X f 5 (р') ехр (— 2яур') exp (2ntxp') dp'. (2.91)
о
При сравнении уравнений (2.90) и (2.91) видно, что функция
S(p') в (2.90) заменена HaS(p/)exp(—2ш/р') в (2.91). Последняя
величина может быть получена на практике помещением после
источника экспоненциального фильтра с функцией пропускания
ехр(—2ш/р'). Измерение контрастности интерференционных полос
дает^| W(x + iy) |. Этот метод нелегко реализовать
экспериментально/не говоря/бб^-ожидаемых теоретических осложнениях из-за
возможных нулей W\z) в окрестности интервала действительной оси,
на котором функция W(x) должна быть определена [см.
обсуждение в связи с уравнением (2.36)]. Эти сложности уже отмечались
в работе [2.34].
2.2.4. Определение фазы функции пространственной
когерентности по интенсивности
в плоскости Фраунгофера
Методы, описанные в предыдущих двух разделах, не являются
самыми практичными для применения к микроскопии, и
фактически неприемлемы для случая электронной микроскопии. Имея в
виду это последнее приложение, Ферверда [2.38] предложил метод,
который может быть полезен для микроскопии. Этот метод приме-
45

ним к случаям, когда функция .взаимной когерентности по
интенсивности W(r, г') зависит только от разности г—г'. Рассмотрим,
распределение интенсивности в плоскости Франунгофера. Такая
ситуация может быть реализована расположением рассматриваемой
плоскости в передней фокальной плоскости линзы. В этом случае
плоскость Фраунгофера является задней фокальной плоскостью
[2.17, с. 86]. Так как комплексные амплитуды связаны между собой
преобразованием Фурье, соответствующие комплексные степени
когерентности связаны по формуле
W(q9 Q') = ^W{r-r')exp[2ni(r.Q-r'.Q')]drdr\ (2.92)
где W(q, q')—степень когерентности в плоскости Фраунгофера й
W(r—г')—степень когерентности, которую нужно определить.
Вновь рассматривая одно пространственное измерение и считая
р = р', получим из формулы (2.92) следствие
2а
/(р) = Г dx{2a — x)[W( — x)exp{--2jiipx)-\-W{x)exp{2nipx)],
(2.93)
где /(р)—интенсивность в точке р фраунгоферовой плоскости.
Предполагалось, что интервал —а^х^а, соответствующий
апертуре шириной 2а, расположен в центре оптической оси. Взяв
преобразование Фурье от /(р), а именно,
оо
1(х)= Г /(p)exp(2jupx)rfP, (2.94)
— оо
получим после простых вычислений
W(x)^-xrl?{-x)* ° <Х <2а (2.95)
\(2a + x)-li( — x), — 2а<л:<0.
Эксперименты должны проверить практичность этого метода..
В разд. 5.4 рассматривается соответствующая радиометрическая
задача.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2.1. Walther A. Opt. Acta 10, 41 (1963).
2.2. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 4th ed., Pergamon Press, London,
New York, 1970, Chap, 9 (Опубликован перевод: Борн М., Вольф Э. Основы
оптики. М.: Наука, 1973).
2.3. Hoenders В. J. On the inversion of an integral equation relating two
wave functions in planes oi an optical system suffering from an arbitrary number of
aberrations, Opt. Acta (to be published).
2.4. Copson E. T. Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford
University Press, Oxford, 1950, pp. 107, 108.
2.5. Hoenders B. J. J. Math. Phys. 16, 1719 (1975).
2.6. Hofstetter E. M. IEEE Trans. Inf. Theory 10, 119 (1964).
2.7. Greenaway A. H. Opt: Lett. 1, 10 (1977).

2.8. Hilgevoord J. Dispersion Relations and Causal Description, North-Holland,
Amsterdam, 1960.
2.9. Misell D. L., Burge R. E., Greenaway A. H. J. Phys. D7, L27 (1974);
Misell D. L., Greenaway A. H. J. Phys. D7, 832 (1974); Burge R. E., Fiddy M. A.,
Greenaway A. H., Ross G. J. Phys. D7, 65 (1974).
2.10. Burge R. E., Fiddy M. A., Greenaway A. H., Ross G. Proc. Roy. Soc,
London A350, 191 (1976).
2.11. Wolf E. J. Opt. Soc. Am., 60, 18 (1970).
2.12. Titchmarsh E. C, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 25, 283 (1926), Lemma 4.4
2.13. Misell D. L., Phys. J. D6, L6, 2200, 2217 (1973). See comment by
R. W. Gerchberg, W. O. Sacton, J. Phys. D6, L31 (1973).
2.14. Drenth A. J. J., Huiser A. M. J., Ferwerda H. A. Opt. Acta 22, 615 (1975).
2.15. Huiser A. M. J., Ferwerda H. A. Opt. Acta 23, 445 (1976).
2.16. Toorn P. van, Ferwerda H. A. Opt. Acta 23, 457 (1976).
2.17. Goodman J. W. Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968, p. 25.
2.18. Gerchberg R. W., Saxton W. O. Optik 34, 275 (1971).
2.19. Gerchberg R. W., Saxton W. O. Optik 35, 237 (1972).
2.20. Huiser A. M. J., Drenth A. J. J., Ferwerda H. A. Optik, 45, 303, 1976.
2.21. Huiser A. M. J., Ferwerda H. A. Qptik 46, 407 (1976).
2.22. Schiske P. Optik 40, 261 (1974).
2.23. Huiser A. M. J., Toorn P. van; Ferwerda H. A. Optik 47, 1 (1977);
Toorn P. van, Ferwerda H. A. Optik, 47, 123 (1977).
2.24. Dallas W. J. Optik 41, 45 (1975).
2.25. Toorn P. van., Huiser A. M. J., Ferwerda H. A. (to be published).
2.26. Wolf E. Proc. Phys. Soc. London 80, 1269 (1962).
2.27. Dialetis D. J. Math. Phys. 8, 1641 (1967). Dialetis D., Wolf E. Nuovo
Cimento 47, 113 (1967).
2.28. Nussenzveig H. M. J. Math. Phys. 8, 561 (1967).
2.29. Leith E. N., Upatnieks J. J. Opt. Soc. Am. 53, 1377 (1963).
2.30. Mehta С L., J. Opt. Soc. Am. 58, 1233 (1968).
2.31. Gamo H. — In: Electromagnetic Theory and Antennas, ed. by E. С
Jordan, Pergamon Press, Oxford, 1963, p. 801.
2.32. Coodman J. W. J. Opt. Soc. Am. 60, 506 (1970).
2.33. Beard T. D., J. Opt. Am. 59, 1525A (1969); Appl. Phys. Lett. 15, 227
(1969).
2.34. Kohler D., Mandel L. J. Opt. Sos. Am. 60, 280 (1970); 63, 126 (1973).
2.35. Hopkins H. H., Proc. Roy. Soc. A208, 263 (1951); A217, 408 (1953).
2.36. Townes С. Н. Phys. Today 25 (7), 17 (1972).
2.37. Mehta С L. Nuovo Cimento 36, 202 (1965).
2.38. Ferwerda H. A. Opt. Commun. 19, 54 (1976).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Ross G., Fiddy M. A., Nieto-Vesperinas M., Wheeler M. W. L. A solution to
ihe phase problem based on the theory of entire functions, Optik 49, 71—80 (1977).
Montgomery W. D. Phase retrieval and the polarization identity, Opt. Lett. 2,
120—121 (1978).
Fienup J. R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier
transform, Opt. Lett. 3, 27—29 (1978).
Psaltis D., Casasent D. Phase determination of an amplitude modulated
complex wavefront, Appl. Opt. 17, 1136—1140 (1978).
Ohtsuka Y. Proposal for the determination of the complex degree of spatial
coherence, Opt. Lett. 1, 133—134 (1977).

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Б, Дж. ХЕНДЕРС
Определение фазы рассеянного поля, которое изучалось в гл. 2Г
является первым шагом в определении структуры рассеивающих
объектов. Следующий шаг, заключающийся в восстановлении поля
на поверхности рассеивателя, и последний шаг восстановления
объекта по внешнему полю изучаются в данной главе с подробным
рассмотрением вопросов единственности задач восстанозления
3.1. КРАТКИЙ ОБЗОР ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Задачи в физике часто возникают в зависимости от того, могут
ли быть определены некоторые свойства полей (объекта) или само
поле (объект) через наблюдаемые величины. Известный пример
такой обратной задачи состоит в определении структуры
кристалла по его рентгеновской дифракционной картине (Хозманн и Бахи
[3.1]) Совсем другая обратная задача была решена еще в 1933 г.
Лангером [3.2], показавшим, что если расположить электрод над
бесконечной плоскостью, являющейся границей среды,
проводимость которой изменяется только в перпендикулярном направлении
к поверхности, то проводимость среды определяется однозначно из-
потенциала на поверхности.
3.1.1. Обратные задачи Штурма — Лиувилля
Другим очень важным примером обратной задачи является
обратная задача Штурма — Лиувилля (Ш—Л), т. е. задача
определения функции q по известному спектру (или нескольким спектрам)
задачи на собственные значения (L + ^2 + ?)^ = 0, где L —
обозначает многомерный линейный оператор и функция яр 'удовлетворяет
граничным условиям. Задачу, связанную с этой проблемой,
сформулировал Кац [3.3] («Можно ли услышать форму барабана?»).
Аналогичные задачи поставили Болте и Хилф [3.4] («Можно ли
увидеть форму абсолютно черного тела?»).
Другим физическим примером обратной задачи Ш—Л является
определение показателя преломления сферического тела по
известным собственным частотам (Бори и Вольф [3.5, разд. 13.5.3], Дебгй
[3.6]) или, в общем случае, определение тензоров e.(r, k), |x(r, k) и
а (г, к) из спектра собственных колебаний исследуемого объекта
(см. также [3.87]).
Обратная задача Ш—Л не рассматривается далее в этой
главе. Отсылаем читателя к статье Борга [3.7], показавшего, что q
определяется однозначно по двум известным спектрам, созданным
двумя различными одномерными граничными условиями, и к бо~
48

лее ранней статье Амбарцумяна [3.8], получившего подобный
результат с помощью более простых вычислений. Оба результата,
полученные для одномерной задачи, вероятно, вполне применимы
и к задачам с большей размерностью. Обзоры обратных задач
приведены в работах Ньютона [3.9] и Болтса [3.10].
3.1.2. Задачи восстановления
Восстановление рассеивающих объектов по измеренному
рассеянному полю может быть разделено на три отдельные задачи:
а) определение фазы поля на поверхности через измеряемую
величину такую, как интенсивность или дифференциальное сечение
рассеяния (фазовая задача);
б) восстановление поля на рассеивателе по известному полю
на поверхности (обратная задача дифракции);
в) восстановление объекта по внешнему полю (обратная
задача восстановления источника).
Задача а была проанализирована в гл. 2 данной книги. Задача
б разбирается в разд. 3.2, где показано, что векторное поле Ау
удовлетворяющее уравнению V X ^ХА—&2А = 0, и скалярное поле
i|), получаемое из уравнения (v2 + &2)^ = 0, такие, что оба поля А
и Ф подчиняются условиям излучения, можно в явном виде
вычислить по полю в дальней зоне на сферической поверхности,
окружающей объект.
В разд. 3.2.2 выводятся процедуры, с помощью которых ноля А
и if) могут быть определены на любой сферической поверхности,
окружающей объект по их значениям на любой сферической
поверхности, до которой распространяется поле. В разд. 3.2.4
показано, что значения скалярного поля на любой поверхности, окрую-
щей рассеиватель, определяются однозначно через значения г£> на
любой замкнутой поверхности, до которой распространяется поле,
при условии, что г|) удовлетворяет на бесконечности условиям
излучения Зоммерфельда. В разд. 3.2.5 показано, что на основе
приближения Кирхгофа или геометрической оптики форму идеального
проводника можно иногда определить по рассеянному полю или
дифференциал£ному\сечению рассеяния.
В ос^ащцйхся разделах разбирается задача в. Зачастую знания
внешнего поля недостаточно для однозначного определения
объекта. В разд. 3.4.1 построены некоторые примеры неоднозначной
связи между объектом и данными рассеяния. Например, показано, что
для каждой приходящей волны можно найти бесконечное число
потенциалов с конечным носителем, которые приводят к бесконечно
малому рассеянному полю вне носителей потенциалов. Возможно
даже построить физически реализуемый потенциал (или
эквивалентный скалярный показатель преломления) такой, что любой
член любого конечного набора приходящих монохроматических
плоских волн приводит к бесконечно малому рассеянному полю пне
объекта. Кроме того, показано, что многие распределения зарядов
4$

и тока не являются излучающими и, следовательно, приводят лишь
к статическому полю вне их распределения. Например, когда
центр однородно заряженной сферической оболочки с полным
зарядом е и радиусом а в чисто поступательном движении
описывает замкнутую орбиту периодически по времени с периодом 2а(сп)~\
где п — целое число и с — скорость света, то электромагнитное
поле в каждой внешней точке является чисто статическим (Шотт
[3.11], Арнет и Гедеке [3.12]). Теория неизлучающих распределений
развита на основе мультипольных разложений электромагнитного
поля (Даваней и Вольф [3.13], см. 3.3.2) или теории интегральных
уравнений (Коэн и Блайстайн [3.14], см. разд. 3.3.3).
Однако единственность может быть получена при
использовании дополнительной информации. Например, показано, что объект,
описываемый потенциалом или показателем преломления, то и
другое с конечным носителем, определяется однозначно
рассеянным полем, созданным либо бесконечным множеством
монохроматических плоских волн с различными волновыми векторами, либо
бесконечным множеством немонохроматических волн (разд. 3.4.4).
Априорные сведения об объекте могут также приводить к
требуемой единственности или к сужению класса решений (разд. 3.4.2).
Майерлесс показал [3.15], что постоянный показатель преломления
бесконечного цилиндра определяется однозначно по рассеянному
полю, созданному приходящейся линейно поляризованной
монохроматической плоской волной. В общем случае знания рассеянного
поля, созданного одиночной плоской волной, недостаточно для
однозначного определения объекта. Однако Шмидт-Вайнмар и др.
[3.16] показали, что и в этом случае однозначное восстановление
объекта возможно, если априори известно, что рассеянное поле
может быть описано в первом порядке приближения Борна и что
тело может быть разбито на структурные блоки размером порядка
длины волны (критику см. в [3.88]).
3.1.3. Трехмерное восстановление по проекциям
Если объект освещается плоской волной и лучи внутри
объекта аппроксимируются прямыми линиями, то можно получить
проекцию объекта. Вопрос в том, можно или нельзя восстановить
объект по его проекциям, не был стандартной частью математики
девятнадцатого столетия, как предполагал Кормак [3.17], а стал
скорее вопросом для математики двадцатого столетия и был решен
для двумерной функции Радоном [3.18] в 1917 г. Мэдер рассмотрел
общий случай [3.19] и показал связь этой проблемы с задачей Коши
для я-мерного гиперболического оператора. Простое
доказательство получено Уленбеком [3.20] (см. также Гельфанд и Шилов
[3.21, т. 1, гл. 1, § 3.11]). Созданная теория является очень
важной в электронной микроскопии. Хотя эта задача не
рассматривается в данной главе, дадим для полноты несколько ссылок. Цвик
и Цайтлер [3.22] составили полный обзор этой проблемы вместе с
многочисленными ссылками и показывают связь нескольких мето-
50

дов определения функции по ее проекциям. Упомянем также статьи
Кормака [3.17], Марра [3.23] и Цайтлера [3.24].
В этой главе не рассматриваются вопросы устойчивости
отдельных процедур восстановления *. Отсылаем читателя к обзорной
статье [3.25] и книге Лаврентьева М. М. [3.26].
3.2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
Предположим, что скалярное поле г|)(г), удовлетворяющее
уравнению
(¥а+Л2)ф=0 (3.1)
в области, которая не содержит объект, является суперпозицией
приходящих волн it>nPHX(r) и рассеянного поля я|)Расс(г). Рассеяние
вызывается, например, распределением потенциала или средой,,
описываемой показателем преломления, в общих случаях
неоднородность имеет конечный носитель. Тогда возникает вопрос,
возможно ли определить поле между рассеивателем и поверхностью
S, лежащей вне рассеивателя, по значениям поля на 5.
Аналогичной электромагнитной задачей будет восстановление векторного
поля А, удовлетворяющего уравнению
VXvXA-#A=0 (3.2)
вне рассеивателя по его значениям на поверхности S. Для анализа
проблемы развиты два конструктивных метода, которые показали,
что при некоторой геометрии возможно единственное определение
ноля вплоть до рассеивателя.
В разд. 3.2.1 формулируется процедура, которая для
скалярного случая восходит к работам Зоммерфельда [3.27] и в векторном
случае к работе Уилкокса [3.28]. Эта процедура показывает, что
знания диаграммы направленности поля в дальней зоне достаточно
для определения поля на любой сферической поверхности,
окружающей рассеиватель. В разд. 3.2.2 и 3.2.3 приведены алгоритмы,
с помощью которых поле на плоской или сферической поверхности
может быть вычислено через его значения на другой плоскости или
сферической поверхности, до которой распространяется поле.
3.2.1. Обратная задача дифракции по значениям поля
в дальней зоне
Пусть гр (г) —решение уравнения
(?2_|_&2}ф(г)^0, (3.3)
которое вне конечной области D удовлетворяет на бесконечности
условиям излучения Зоммерфельда. Разлагая г|)(г) на поверхности
1 Рассматриваемые обратные задачи дифракции являются некорректно
поставленными, и для построения устойчивых методов их решения необходимо ис-
польз^ватьЪбщие принципы регуляризации, в развитие которых большой вклад
внесен А. Н. \ГИХ0Н0ВЫМ (Тихонов А. Н. и Арсенен В. Я. Методы решения
некорректных задач, М.: Наука, 1979). — Прим. ред. перевода.
51

r = a no системе сферических гармоник У?1 (6, ср), получим
№, в, <Р) = 2С^,*(9. ?)Л|Х)(*. г), (3.4)
если
Сш = \ йЩ (а, 6, ?) YUm (в, <р) lk\l)Ska)\-* (3.5)
и hM(kr) обозначает сферические функции Бесселя первого рода.
Используя
ЛР(*Г)= НЕ^й V (/, j)(2irk)-J, (3.6)
где
</, j) = 2-У (J !)-i (4/2 _ 1) (4/2 - 9)... [4/2 _ (2/ - 1)2], (/, 0) = 1, (3.7)
обозначает символ Ганкеля, из уравнений (3.4) — (3.6) можно
получить
оо
<!> (г, 6, ?) =«£££>. ^ fl (е, Т) г-', (3.8)
/ = 0
если
/i(fl. ?) = 2 2 С. OC^IV^e, *)(2/Л)-Л (3.9)
Функции ft удовлетворяют простому рекуррентному
соотношению. Подставляя (3.8) в (3.3), получаем
оо
ехр(''*г) У 1-г-'-1(2/А/) + г-'-8/(/+1) + г-'-2/)]//=0, (3.10)
где ' ° D=(8ine)-iJr(skie^-) + (sinO)Hi^.. (3.11)
Приравнивая коэффициент при г4-2, 1 = 0У ..., имеем
2/*(/+1)/г+1=[/(/+1) + £>]Л. (3.12)
Из соотношений (3.12) следует, что все фукции fi могут быть
вычислены по известным амплитудам поля в дальней зоне
exp (ikr/r)fo(Q, ф) и что, следовательно поле яр может быть
определено вне любой сферической поверхности, окружающей рассеи-
ватель по его диаграмме направленности в дальней зоне.
Подобный результат получен для векторного поля Уилкоксом
[3.28]. Его анализ основан на теореме представления для
векторных полей, удовлетворяющих уравнению
VXVXA-*2A = 0, ' (3.13)
вместе с векторной записью условий излучения
Hmr{rX(vXA) + i*A}=Of (3.14)
Г->оо
К9

где г — единичный радиус-вектор. Необходимо дополнительное
условие
А (г) = 0 (/-*), если г-*оо. (3.15)
Требуемая теорема представления выводится из векторной
записи теоремы Грина. Применяя формулу
j'v.Ftft = Jn.Frfa, (3.16)
т a
где п — единичный вектор нормали к поверхности а,
ограничивающей область т, к вектору
F=AX(VXB), (3.17)
и, используя тождество
V(A X V X B)=(v X A).(v X В)- A v X (V X В), (3.18)
получим
j [A-v X (V X B)-(v X A).(v X B)\dx = j (v X B)xA.nrfa. (3.19)
-с a
Меняя местами А и В в уравнении (3.19) и вычитая результат
из уравнения (3.19), имеем
J [А-V X (V X В) - В v X (V X A)] dx=
= [l(VXB)xA-(vxA)XBI-nrfa. (3.20)
a
Применение формулы (3.20) к полю А, удовлетворяющему
условиям (3.14) и (3.15), и к полю
4я|г— т'\ К J
где и — постоянный вектор в области между большой сферой Sr
радиуса /?, окружающей поверхность 5, и сферой Sa радиуса а, обе
из которых имеют центр в точке г вне S, вместе с соотношениями
VXVXB-fl»B=v("-V) "/f1'"''1 ; (3.22)
A^u-v)"'"*1'-''' =v[A(u-v) ***1к\'~''\] (3.23)
дает
J {О(г, г'; £)uX(VXA).n-AX[vG(r, r'; *)X«]-n-
S+Sa+SR
-NO(r, r'; k)]X(A-n)}d* = 0, (3.24)
где О (г, г'; А)=ехР<*'г-г'1. (3.25)
53

Прямые вычисления показывают, что
lim J...= _A(r).u; (3.26)
а->оо
"5,
J... = -^-jexp(/*/?)/?{-u-?X(vXA)+(^-/?-I)x
SR a
= — ujfexp(ijW?)/?|rX(VX A) + ikA]dQ— f exp (/£/?) А оГ2| .
(3.27)
В силу соотношений (3.14) и (3.15) эти выражения стремятся к
нулю при R-уоо. Данный результат получен Уилкоксом [3.28] без
предположения (3.15), а с более слабым предположением
lim f |fx(vXA) + /*A|2rfo=0. (3.28)
**- Л
Комбинация уравнений (3.24, 3.26, 3.27) при переходе к
пределу R-+oo приводит к требуемой теореме представления
A(r) = JlnX(VXA)0(r, r'; k) + (пХА) X V G (г, r'; k) +
а
+ (A.n)xvO(r, r'; k)do. (3.29)
Из представления (3.29) получаем уравнение, аналогичное
(3.8),
оо
А (г)=Н£1^£) 2 г-п А„ (6, «р), (3.30)
л=0
которое справедливо при всех значениях г, больших радиуса a
сферы, окружающей рассеиватель. Оно возможно благодаря тому,
что G(r, r'; k) допускает разложение в виде степенных рядов по
обратным, степеням |г| для всех значений |г|>с.
Рекуррентная формула для функций Ап установлена Уилкоксом
[3.28]. Опустим довольно длинное доказательство и приведем
результат Уилкокса.
Коэффициенты разложения Ап определим по диаграмме
направленности излучения А0(6, ф), удовлетворяющей условию
А(г)^еМ^-А0(б, ср), (3.31)
г
где А0-г=0, или А0=Ло9 + Ло<Р, (3.32
54

при помощи рекуррентных формул
ikA\=-(sin б)-1
д .(sin 6^)+*^
= -r-vA0; (3.33)
дЬ д<е J
2йяАЦ1 = л(л-1)Л1 + />А1, л = 1, 2, 3,...; (3.34)
2//иЛ*=я(/г-1)Л*_1 + £>Л*_1 + ЛИ„-ь «=1, 2, 3,...; (3.35а)
2ito^=ft(«-l)4-i + 04-i + DA-i, » = 1, 2, 3,..., (3.35,6)
где оператор D, описанный в (3.11), известен как сферический
оператор Бельтрами, и D0 и Ар — линейные операторы первого порядка
(выражая векторные поля F=F'r+F2Q+F3q> через скалярные
функции), вычисляемые как
Df=2-¥L X—F*-2J2Z1*L. (3.36)
и дЬ sin2 8 sin2 8 д<?
nTF = -L- dFi + 2 cos 8 dF*_ \_f3 (337)
* sin8 d<p sin2 8 d<p sin2 В
Рассмотрим теперь задачи, заключающиеся в определении
значений поля на сфере радиуса а по его значениям на сфере
радиуса 6, Ь>а (разд. 3.2.2) и задачу определения поля в плоскости z=
= 0 по его значениям в плоскости z = b> до которой
распространяется поле (разд. 3.2.3).
3.2.2. Обратная задача дифракции от сферической
поверхности на сферической поверхности
W, ». <Р)=2 2 Ct.JiPWVTiBx), (3.38)
Начав со скалярного случая, рассмотрим разложение (3.3):
+i
"UmT
где ClM = [/#> (kr)] -1 J аЩ (г, 6, Т) Yf (в, т). (3.39)
Уравнение (3.38) показывает, что если г|з при г=а разлагается
по полной системе функций Yim с коэффициентами разложения С/,т
и аналогично при r=b с коэффициентами С/)^, то
~т ~ bSP(kb)
Поэтому значения гр (г) на поверхности г=а могут быть
вычислены через значения ф при r=b по формуле
*(а'9' T)==S 2 i1^)!^^9'' ^)кГ(е'' ?')к"(в* *)■
(3.41)
55

Векторное поле А, удовлетворяющее (3.2), может быть
разложено по двум системам векторных сферических гармоник (Деваней и
Вольф [3.29], Блэтт и Вайскопф [3.30]), а именно:
+i
г=1 /тг=—г
А(г)=2 2 [*?E?llB(r) + *f Е?,»(г)], (3.42)
где Е?,ж (r)=ik v X [fh\l) (kr)xV? (6, <?)] ; (3.43)
Ef>m(r)=vX{vXH(/)(Ar)Kr(», ер)]}, (3.44)
Векторные сферические гармоники E?,m и E?,m
ортогональны на поверхности г=а (Джонс [3.31, разд. 8.17]), и,
следовательно, существуют функции Р (а) и Q (а) такие, что
J dQ Е?,ж (г) -Е& (г)=8IiJ3mi/ {_#/(/+ 1) \h\ (ka)f\ =b,Jm,tP(a);
(3.45)
^dQElm(r)-ETAr)^iJm,ta-4(l+l)(l(l + \)[h\(ka)f +
2
+ {^ И(*л)]}2)=8/А,А1«). (3.46)
Кроме того,
JrfQEj,„(r)-E?,,(r) = 0. (3.47)
Применяя свойство (3.47) к уравнению (3.42), приходим к
a/im=jrf2A(r)-^l; (3.48)
«А*
^«JrfQAW-^ii (3.49)
при условии, что поле может быть разложено по гармоникам на
поверхности r = b.
Из значений коэффициентов разложения, описанных
выражениями (3.48) и (3.4ft), можно определить значение А на сферической
поверхности г = а, используя алгоритм, разработанный для
скалярного случая. Это делается разложением поля (3.42) по различным
составляющим векторных сферических волновых функций, которые
имеют вид af'ngi(b)0im(Qi q>) или bimgim(b)Q>im(Q, ср), т. е. вид
произведения функций в точке r = b на функцию от # и ф с
коэффициентами aim и bim. Соответствующая величина на поверхности г==а
находится умножением известных коэффициентов перед Ф/т(Э, <р) на
Si(a)l&i(b).
56

3.2.3. Обратная задача дифракции
от плоскости на плоскости
Вычисления этого параграфа основываются на методах, развитых
Шеуэллом и Вольфом [3.32] и Шерманом [3.33]. Пусть ^>(а, fx, fy)
обозначает пространственное преобразование Фурье волновой
функции \j;(r) в плоскости z=a, т. е.
оо ОО
$(«, fx, /»)= f dx J dyex^[—2ni(fxx-\-fyy)\^(a, x, y). (3.50)
— oo — oo
Тогда волновая функция в плоскости z=b имеет вид
ОО оо
Ф(*. х, у)= f dfx f dfyexp{2ni\fxx-{-fyy + m{b-a)]}X
— oo —OO
X${aJXffy)f ' (3.51)
если m = te-fl-fl)l/2. 1ш{(*»-/1-Л2П>0
и &>а, (3.52)
так как любая плоская волна вида exp 2m(fxx-^fyy + mz) является
решением уравнения Гельмгольца. Следовательно,
пространственное преобразование Фурье волновой функции \j; в плоскости z = b
связано с гр(а, fx, fy) следующим образом:
?(», Л, Л) = ехр{2яш(6-а)}ф(а, /х, /„). (3.53)
Сочетание (3.50) и (3.53) приводит к
-\- ОО -\- ОО
<Ма, х, у)= j rf/x j" dfyexp{2ni[fxx-\-fyy-m(b-a)\}X
— OO —oo
xHb, Л, Л). (3.54)
Вычисление интегралов и сумм, встречающихся в (3.41) и (3.54),
требует определенной аккуратности. Например, уравнение (3.53)
показывает, что высокочастотные компоненты (под которыми мы
имеем в виду те компоненты, для которых fx2+fy2>k2)
ослабляются в процессе распространения. Поэтому они должны быть усилены
в процессе восстановления. Это достигается путем деления каждой
спектральной компоненты на 2шт(Ь—а), вследствие чего ядро
интегрального уравнения (3.54) становится неограниченным. Поэтому
следует ожидать, что приемлемое восстановление возможно только
для таких значений fx и fy, для которых fx2-\-fyu<k2. Это приводит
к лучшему пониманию значения понятия числа степеней свободы
волнового поля (Хендерс и Ферверда [3.34], Миямото [3.35]).
Подобное рассуждение можно провести для восстановления значений
57

скалярного поля на сферической поверхности (3.41), используя
результат, согласно которому для больших значений / имеем
«fM-JffS'iUoffl- '3.55,
Асимптотическое разложение (3.55) легко получаем из
представления h\l) (x) в виде рядов Лорана с добавлением
логарифмического члена, и поэтому
h\l) {ka)/[/tf\kb)\ ^ {b/a)K (3.56)
3.2.4. Обобщение на произвольные поверхности
В случае сферы и плоскости удается в явном виде получить
решение обратной задачи дифракции, так как уравнение Гельмголь-
ца допускает разделение переменных в такой геометрии. Однако
возникает вопрос, можно ли разработать процедуру, с помощью
которой обратная задача дифракции может быть решена для
произвольной геометрии. Этот вопрос обсужден ниже.
Предположим, что яр (г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
вне поверхности а и
ф(г)=/(г), если гео. (3.57)
Если if) удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда, те
существует единственная функция Грина Я (г, г'; k) такая что *
<|»(r) = JH(r, r'; k)f{r')d*. (3.58)
а
Пусть f(r) разложена по полной ортонормированной системе
функций {фп(г)}:
/(г)^2ад>Лг) (3.59)
п
при a„ = J/(!•')?„ (г') rf</. (3.60)
О
Подстановка разложения (3.59) в соотношение (3.58) приводит к
♦ (г) = 2*я<Ыг; Л)' (3в61)
п
где 4>й(г; *)=|Я(г, г'; k)<fn(r')da. (3.62)
а
Проблема заключается в том, можно ли однозначно определить
коэффициенты ап из (3.61), если г принадлежит поверхности S, ок-
1 В рассматриваемом случае первой краевой задачи в формуле (3.58) под
функцией H(r, r', k) следует понимать нормальную производную обычной
функции Грина..— Прим. ред. перевода.
5S

ружающую а. Числа ап вычисляются единственным образом, если
система функций {^n(f\k), rz£S} линейно независима. Однако,
если эта система является линейно зависимой, то существуют числа
bj такие, что
2W; *)=o, r^s> (3-63)
где левая часть уравнения (3.36) есть решение уравнения Гельм-
гольца, когда г расположен вне S, удовлетворяющей на
бесконечности условиям излучения Зоммерфельда. Однако единственное
решение уравнения Гельмгольца, которое равно нулю на поверхности
S и удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда, есть
тождественный нуль вне 5. Напомним, что всякое решение
эллиптического уравнения является аналитической функцией в окрестности
точек, где существуют его вторые производные (Лихтенштейн [3.36],
см. также Мюллер [3.37, Лемма 48] и Миранда [3.38]). Сумма в
уравнении (3.63) тождественно равна нулю для значений г,
расположенных как на поверхности S, так и вне ее, а также вплоть до
поверхности о:
2*/р,(г)=0. (3.64)
Но соотношение (3.64) может быть справедливо только, если
6/=* О, V7, так как система Функций {фп(г)} ортонормирована.
Система функций {г|)п(г; &)}, следовательно, линейно независима1,
и числа ап можно однозначно определить, например, ортогонали-
зацией системы функций {фп(г; k)} или построением системы
функций \|)/l(r; k) такой, что система {г|)п, tyi1} будет биортогональна
(Пелл [3.39])
J Фи (г; *)ф)(г; k)d*=bnJ. (3.65)
3.2.5. Определение формы рассеивателя
по полю в дальней зоне
Рассматриваемая здесь обратная задача заключается в нахож*
дении формы отражателя по известной рассеянной волне. Задача
определения формы отражателя была решена Келлером [3.40] е
применением геометрической оптики для поля приближения. Льюэс
[3.41] разработал волновую теорию, использующую приближение
Кирхгофа для рассеянного поля, на основе которой им развит
метод приближенного вычисления формы рассеивателя. Проссер [3.42]
1 В том случае, когда поверхность а является резонансной (т. е. значение
параметра k совпадает с каким-либо собственным значением оператора Лапласа
для второй задачи в области, огрниченной поверхностью а из проведенных
рассуждений, вообще говоря, не следует справедливость соотношения (3.64), и для
доказательства линейной независимости системы (3.62) нужны более тонкие
рассуждения. (Прим. ред. перевода).
59

рассмотрел поле, возникающее в результате рассеяния приходящей
плоской волны мягкой границей, и по существу обратил решение
интегрального уравнения для поля, получающееся из рядов
Неймана. Начнем с обзора геометрической теории Келлера.
Предположим, что отражатель представляет собой
произвольную гладкую выпуклую поверхность в трехмерном пространестве.
Через а(Ф, ор) обозначим дифференциальное сечение рассеяния в
направлении #, ф, вызываемое плоской волной, падающей слева
вдоль оси х. Пусть Р(,&, ф) есть точка на отражателе, из которой
луч отражается в направлении (-&, ф). Тогда в соответствии с
законами отражения нормаль к отражателю в точке Р(,&, ф) должны
идти по направлению ($/2, ф) и угол падения должен быть равен
ф/2. Дифференциальное сечение рассеяния а и коэффициент
отражения R связаны друг с другом соотношением
4G(&/2, <f)
где G обозначает гауссову кривизну в точке отражения. Уравнение
(3.66) является основным теоретическим соотношением,
показывающим, что если обе величины R и а известны, то гауссова кривизна
определяется на полусфере 0^0^я/2 единичной сферы.
Коэффициент отражения вычисляем по априорным сведениям о материале,
а а определяем. Задача определения замкнутой выпуклой
поверхности, когда для каждой нормали к поверхности задана ее гауссова
кривизна, известна как задача Миньковского (см. Миньковский
[3.43] и Леви [3.44]). Обширный список литературы и подробный
анализ, касающийся таких поверхностей, для которых
f O(n)ntfa> = 0, (3.67)
где интегрирование выполнено по единичной сфере, приводится в
статье Ниренберга [3.45]. Первое доказательство единственности
получено Миньковским, а очень простое доказательство, требующее
всего лишь нескольких производных к поверхности, дано Стоукером
[3.46].
К сожалению, уравнение (3.66) определяет гауссову кривизну
лишь на полусфере О^Ф^я^, и поэтому любое гладкое
продолжение G на сферу О^д^я, удовлетворяющее условию (3.67),
приводит к отражающей поверхности. Единственность получается, если
поверхность освещена из противоположного направления,
поскольку таким способом можно получить значения гауссовской
кривизны и на полусфере я^г^Ф^я.
В качестве простого подтверждения приведенной выше теории
рассмотрим поверхность вращения, на которой рассеивается
плоская волна, падающая вдоль оси вращения (см. рис. 3.1). В этом
случае уравнение (3.66) с AG = d^ldy дает
q(ft)=,*(»/2> . (3.68)
d%/dy
60

Рис. 3.1. Падающий и
отраженный лучи, составляющие угол
Ф/2 с нормалью к отражателю
Так как
dy/dx=ctg(*/2), (3.69)
получаем для поверхности систему параметрических уравнений, а
именно
У = Уо±
Г *(П0 rfal; (3.70)
J Л(*'/2)
о
jc^o+f q(y)tg(y/2)^ (3.71)
U-J /?(ft'/2)
о
Обширная таблица с многими простыми формулами для
конкретных геометрических поверхностей и всевозможными видами
освещения приведена Келлером [.340]. Обратимся теперь к теориям,
которые основаны не на принципах геометрической оптики, а на
приближении Борна первого порядка (Льюэс [3.41]), также известном
как приближение Кирхгофа для интегральных уравнений,
описывающих рассеяние идеальными проводниками, или на точном
интегральном уравнении для скалярного случая (Проссер [3.42]).
Начнем с теории, развитой Льюэсом [3.41]. Пусть плоская
монохроматическая электромагнитная волна с вектором электрического поля
Е=Re {Е0 ехр (/ кг — Ш) (3.72)
рессеивается идеально проводящим объектом объема т,
ограниченным замкнутой поверхностью о. Поле Es, рассеянное в обратном
направлении, получаем из представления (3.29). Учтем условия
обращения в нуль на поверхности идеального проводника как пХ
ХЕ, так и пХН. Тогда уравнение
ГпХа-у'ф^=Гфп.?'ХаЛ (3.73)
О 9
справедливо для достаточно гладких функций а и \|г; при этом
штрихованная производная от G равна отрицательной нештрихованной
производной. В результате (см. Джонс [3.31, разд. 8.32]) имеем
уравнение
Е,
(r) = (graddi^ + £2)f—— «XH(r')G(r, r'; k)do, (3.74)
J to
61

которое для больших г приводит к выражению
Е,(г) ^ kе2^Г) J(" X Н (r')-(nXH (r')-sls}exp(-^sr')rf0,(3.75)
где s обозначает единичный вектор в направлении точки
наблюдения г. Используя приближение Борна первого порядка, т. е. взяв
в качестве Н значения приходящего поля из уравнения (3.75) при
соотношении Н=&-1кхЕ и рассматривая направление s = —к,
имеем
Es (r) _ kexp(ikr) е0 Г (s .п) ехр (2/ кг) do, (3.76)
4ш'г J
где поверхностный интеграл берется по освещенной части
поверхности ел. Из соотношения (3.76) и формулы для дивергенции
получаем
E,(r) + E:(r)=^2e^fer) E0JY(r')exp(2/kr')rfr\ (3.77)
при Y(r)=l, если ret; у(г)=0, если rQEt. (3.78)
Интегрирование в правой части уравнения (3.77) происходит по
всему трехмерному пространству.
Если рассеянное поле может быть измерено для всех частот
<д = ск и для всех направлений падения, тогда известно
преобразование Фурье от у, и функция у (г) может быть вычислена. Эти условия
могут быть ослаблены, так как из-за конечности носителя у левая
часть уравнения (3.77) является аналитической функцией
переменных kx, ky, kz (Титчмарш [3.47]). Поэтому левая часть уравнения
(3.77) однозначно определяется по ее значениям в любой
бесконечной ограниченной системе точек к/(Осгуд [3.48]). Кроме того,
обращение преборазования Фурье функций с конечным носителем было
рассмотрено Хендерсом и Фервердой [3.34], которые построили
формулу обращения, содержащую только значения преобразования
Фурье в произвольно выбранной ограниченной бесконечной
системе точек отсчета.
Формальная процедура обращения [3.42] была развита Прос-
сером, который улучшил приближение Кирхгофа, рассматривая
представление полного решения интегрального уравнения (3.80)
через ряды Неймана. Рассеяние волновой функции г)) (г, k) от мягкой
границы а описывается уравнением Гельмгольца вместе с
граничными условиями:
<j>(r, *)=0, если г <= а. (3.79)
Решение уравнений (3.1) и (3.79), которое должно состоять из
суммы приходящей плоской волны и рассеянной волны, дается
решением интегрального уравнения
<р(г, *)=exp(/k.x)+fO(r, r', k)J*_r'9 k)dcr. (3.80)
i дп
62

Если ряд Неймана сходится, то решение (3.80) имеет вид
<|>(г, £) = ехр(гкг)+2 J°(e)(r. r'; *)exp(*kr')rf«, (3.81)
П а
где 0<«)(г,г'; /fe)= Г (ЗС-1) (г, г"; А) О (г*, г'; Л)—^da"; (3.82)
ст
0(°)(r, r'; k) = Q{r, r'; Л) д/дп(т'). (3.83)
При больших значениях |г| поведение -ф описывается уравнением
Ф(г, *)^ехр(/к-г) + (4я|г|)-1ехр(гк-г) Г(к\ к), (3.84)
где к'=(Л/г) г; (3.85)
Г (к', k)=2fexp( —/к'-г')-^-г ехр(* кг') <*»' + ...
л-1
* X
... + 2-Г. . Г ехр (/к'гО —^— ехр(гкг„) П ~^—
ст о" / = 1
ХО(гг, г/41; Л) do,. (3.86)
Используя
t kda=§ у у (r')n Mr' (3.87)
ст т
и взяв преобразования Фурье, приходим к выражению
Г(к\ к)=2у(к'~к)(к'-к).к + ... + 2«|де-к2)(к'--к2)Х
Хк^к'-И"1 Y(k2-k3) (к2-к3)-к3 (к!-И-1...у(к«-к)Х
X (к* - к) X к d кп ... d кг. (3.88)
Хорошо изученное нелинейное интегральное уравнение (3.88)
известно как уравнение с интегральными степенными рядами. Его
свойства рассмотрены Шмидтом [3.49], который показал, что оно
имеет единственное решение при достаточно малых значениях Т,
когда линейное уравнение Т = 2у-(...) + §у- (...)dk имеет
единственное решение. Бифуркация решения (3.88) может происходить для
произвольных значений Т (Шмидт [3.49] и Вайнберг и Треногий
[3.50]). Вайнберг и Треногий также проводят детальное
обсуждение современной теории. Формальное решение этого уравнения
получено Проссером [3.42] заменой Т на гТ и у на еу, полагая к'
равным —к и приравнивая одинаковые степени гт." Эта процедура
приводит к уравнению
4AM2k) = 24A'Y«(2k), <3-89>
m=l
63

если 4£2Yi(2k)=— Г (к, —к) и
т
4^Y.(2k) = 222^--^^(k~kl)(k~kl)kl-^(k^ + k)X
/-2 г.
X(k/ + k)krfk/...rfk1. (3.90)
Формальное решение основано на использовании данных обрат<
ного рассеяния по всем энергиям и со всех сторон. Однако, если
граница может быть описана при помощи двух независимых
параметров, то в решении (3.90) используются три независимых параметра.
Поэтому кажется правдоподобным, что будет достаточно
меньшего количества данных для определения границы, и эта возможность
должна быть в дальнейшем использована. Наконец, упомянем
некоторые результаты, полученные Майдой [3.51], который обобщил
результат Келлера [3.40] и показал возможность определения
формы рассеивателя при различных граничных условиях для поля на
его поверхности из измерений, характеризуемых так называемыми
подмножествами определяемости.
3.3. НЕИЗЛУЧАЮЩИЕ ИСТОЧНИКИ
Задача, рассматриваемая в данном разделе, касается излучения,
созданного распределением заряда — тока. Излучение, реакция
излучения и самовоздействие распределения заряда — тока
подробно разбирались, начиная с Зоммерфельда [3.52], Герглотца [3.53],
Эренфеста [3.54] и Шотта [3.11], и было найдено, что некоторые
распределения не излучают вообще. Знаменитый пример такого
явления приведен Шоттом [3.11], который показал, что однородно
заряженная оболочка является неизлучающеи, если она находится в
орбитальном движении с периодом Т при условии, что радиус
оболочки кратен сГ/2, при этом орбита не обязательно должна быть
круговой или даже плоской. В разд. 3.3.1 дадим простые
теоретические рассуждения, принадлежащие Гедике [3.55], и выведем
достаточные условия для безизлучательных распределений.
Общая'теория безизлучательных распределений, основанная на мультиполь-
ном разложении электрического поля и развитая Деванеем и
Вольфом [3.13], описана в разд. 3.3.3. Теория Коэна и Блайстайна [3.14],
основанная на методе интегральных уравнений, также изложена в
разд. 3.3.3. Существование безизлучательных распределений очень
важно для обратных задач восстановления источника, так как это
означает, что распределение заряда *— тока ке может быть
однозначно определено по измерениям его диаграммы направленности.
Заметим, что диаграмма направленности излучения достаточна для
определения поля на поверхности рассеивателя и что,
следовательно, диаграмма направленности содержит всю информацию о поле
вне рассеивателя. Имеется еще одна причина, по которой неизлу-
чающие распределения важны для обратных задач восстановления
источника. Предположим, что требуется рассмотреть рассеяние при*
64

ходящей волны Еприх, ограниченной средой, характеризуемой
функцией диэлектрической проницаемости е(г). В предположении
справедливости приближения Борна вектор электрического поля имеет
вид
E(rl = E»PHX(r)+[G(r, r'; k) [кЦп*- 1) Е"Рих(г)'] dr'. (3.91)
X
Используемые в формуле обозначения объяснены в разд. 3.3.3.
Следовательно, k2(n2—1)Еприх можно считать распределением тока,
приводящим к такому же вкладу в источник, что и интегральный
член в правой части уравнения (3.91). Условия, при которых
интеграл в правой части (3.91) обращается в нуль, формулируются в
разд. 3.3.3.
Единственность может быть получена, если использовать
априорную информацию. Например, Коэн и Блайстайн [3.14] показали, что
априорные сведения о временной зависимости распределения
заряд— ток достаточны для: определения распределения заряд — ток
по данным поля в дальней зоне (см. также Шмидт — Вайнмар и др.
[3.16]).
3.3.1. Ранние результаты и частные случаи
Теория, излагаемая в этом разделе, развита главным образом
Гедике [3.55], в статье которого, а также в работе Эрбера и Пра-
стайна [3.56] содержится много ссылок. Рассмотрим заданное
распределение заряд — ток j, p в конечном объеме V. Предположим, что
j и р допускают пространственно-временное разложение Фурье при
условии, что (j, p) периодичны по времени с периодом Г, а именно
оо +0О
j(r, *)=(2п)-8 V [ rfkexp(-/kr + /<o„*)J(k, л); (3.92)
П = — оо —оо
+ ©о -j- оо
Р(г, t)={2n)-3 2 J rfko>-1exp(-/kr-Hu)„*)k-J(k-, л); (3.93)
П = — оо —оо
где а>п=2п пТ~\ л=0, 1, 2,.... (3.94)
Коэффициенты Фурье-разложения р получаются из соотношения
непрерывности. В соответствии с классической электромагнитной
теорией решения уравнений Максвелла через запаздывающие
потенциалы (А, ф) выглядят следующим образом (с = 1):
А (г, 0 = J<*r'|(r'f *-|г-г'|) к-г'Г; (3.95)
«с
Т(г, 0=jdr'p(r', /-Ir-r'Dlr-r'l"1 (3.96)
лри E=-v<P-4t-> H=VXA. (3.97)
01
3—298

Мощность излучения
R=lim fflfQ/af.S, (3.98)
Г->оо J
где S обозначает вектор Пойнтинга, а именно:
S=(4k)"1EXH. (3.99)
Главные члены в асимптотических разложениях (3.95) и (3.96)
по обратным степеням |г| будут равны:
A(r, /) = |r|-> Jflfr'Kr', *-|r| + F-r'); (3.100)
X
<p(r, t)^\T\-^dr'P(r', /-|r|+?.r'). (3.101)
x
Подстановка выражений (3.100) и (3.101) в уравнение (3.97)
приводит к уравнению
R =2 ехР К С ~ Ir I) [2 ш'Шя-' frfS J ^l *> l^ $*-e) x
XJK-Я n-l)]. (3.102]
Достаточное условие для того, чтобы R обращалось в нуль при
всех ty обеспечивается уравнениями
J Кг, л)=0, Л = 1, 2, 3..., (3.103'
и этот простой критерий будет использован при построении приме,
ров неизлучающих распределений. Предположим, что заряд сосре^
доточен внутри сферы радиуса Ь и что
Р(г, /)^р[г-а(/)Ь (3.104
т. е. радиус-вектор центра сферы осуществляет орбитальное перио
дическое движение с периодом 7. Так как j=pv, то уравнен^
(3.104) преобразуется к уравнению
J=a(0p[r —a(/)]t (3.10J
которое согласуется с уравнением непрерывности V'H —=(
Ы
Уравнение (3.103) сводит задачу к нахождению тех р[г—а(/)], д/
которых
т *
T~l f dtd(t) {ехр/[(оЛга(/ — ®nt]} f drp(r)exp(Kr-r )=0,
6 X
л=1, 2,..., (ЗЛО

1ли к нахождению таких распределений, для которых
преобразование Фурье от р обращается в нуль в точках сопг, т. е.
/ (k)= f d г ехр(/ кг) р (г)=0,
если к = о)лг, л=1, 2,..,. (3,107)
Для сферически симметричного распределения заряда с
радиусом в уравнение (3.107) имеет вид
ь
/ (w^r)=4ai(<on)-1 f drr sin (а)лг) р (г), л=1, 2,.,.. (3.108)
Из уравнений (3.108) получаем пример Шотта неизлучающей
сферической оболочки (который выведен Шоттом при помощи
совсем другого метода), а именно: полагая р(у)=б(у—Ь) и,
следовательно,
/К?)=4я&о)~1 sin K&), (оя=2ллГ-1, Л=1, 2,..., (3.109)
которое равно пулю, если 0)1& = 2лйГ~1 = /я, / — целое>0. Это един-
hiuMiiio необходимое условие, и поэтому орбиты не обязательно
цолжпы быть круговыми или даже плоскими. Пример
распределении неизлучающего объекта имеет вид
I ir) = 2 A, cos (ш,г) (ЗЛ1°)
I q
lipn r<b и равное нулю вне этой области, если q — целое^О и чис-
[i;i Aq — произвольно выбранные комплексные числа. Величины
|((опг) равны нулю из-за свойства ортогональности круговых
функции. Примеры вращений, включая даже несимметричное враще-
Biно и другие орбитальные движения неизлучающих распределений,
приведены Гедике [3.55].
Ь.3.2. Общая теория
I Теория Гедике была развита Деванеем и Вольфом [3.13],
которые использовали мультипольные разложения электромагнитного
толя. Из уравнений Максвелла следует, что пространственные части
р(г) и Н(г) декартовых компонент векторов электромагнитного по-
|я E(r, t) и H(r, t), созданных распределением заряд — ток с
С (г, 0=Re{E(r)exp(—Ш)} и H(r, t) = Re{H(r)exp(—Ш)}9 удов-
шетворяют уравнениям
V2+*2)E(r)=-4*pj(r)-Vp(r)]; (3.111)
V2+*2)H(r)=-4n(vXj). (3.112)
67

Ina
| rwa
z
-Rof 0
U
7t 7t
I
•^Roc
Рис. 3.2. Контуры интегрирование
C+ и С~ в плоскости а
Следовательно, для полей
удовлетворяющих на беоконеч-j
ности условию излучения Зом-
мерфельда и уравнениям
(3.111) и (3.112), получаем "
Е(г)=-4я J О (г, г'; k)\iki(r')~V9(r')]dr<;
Н (г) = - 4я J О (г, r';k) [v X j СО] d r',
X
где (Вейль [3.57])
exp ik\v — г' |
(3.113
(3.114
О (Г, Г'; к)-.
Ы | г — г' \
+ 7С
-^- \ дф I rfa sin a exp/Л s (г — г');
-* c±
s = (sin a cos p, sin a sin p, cos a).
(3.115
Контур С+ применяется, когда г—z'>0, а контур С-", когд;
2—2'<0 (см. рис. 3.2). Комбинируя (3.113), (3.114), (3.115) и ис
пользуя V-j—/&р = 0, приходим к
Е(г)=-— ( rfp Ida sin aE(s) exp(t£s-r),
-те c±
и H(r)=-^—( дф I da sin a H(s)exp(/£s-r),
(3.116
при E(s)=—/£sX[&Xl(*s)],
H(s)=/*sXJ(b), j (£s) = f exp(/£s-r) }{r)dr.
т
Из уравнений (3.118) и (3.119) следует, что
s-E(s)=s.H(s) = 0 и E(s)=-sXH(s).
(3.111
(3.11^
(3.11
(3.12d
В результате для каждого 5 подынтегральные члены в (3.116)
(3.117) представляют собой плоские волны, которые удовлетвори
ют однородному уравнению Максвелла с a = ck во всем npocTpaij
стве. Таким образом, уравнения (3.116) и (3.117), известные ка
представления углового спектра электромагнитного поля, являют
ся во всей области их определения разложением электромаг]
68

нитного поля по модам. Вектор H(s), удовлетворяющий условию
s-H(s)=0, может быть разложен по ортонормированным системам
векторных сферических гармоник:
Y?(a, (*)=-/(£, Л.--±-ея^-)г?{а, p) (3.121)
\ да sin a dp /
и sXY™(a, p), которые являются полными на единичной сфере
s • s = I для векторных полей А, удовлетворяющих условию s • А (Де-
ваней и Вольф [3.29]). Следовательно,
Й(8)=2 2 i-iY[-*?4?(*> $) + b?sXV?(a, p)] (3.122)
ТС 1С
„ри а?= Г dp Г da sin aH (s)Y,**(o, p);
—ТС —ТС
+ 7С ТС
*>7=- * jrfpJfifasinaXH(s)[sXYr(a,P)]. (3.123)
-ТС О
Суммирование по I начинается с /=1, а не с /=0, так как не
существует векторных сферических гармоник нулевой степени.
Объединяя уравнения (3.122) с формулой E(s) =—sXH(s) и
используя [3.29]
X
— 7Ь
/,</> (kr) VT (Ъ, <р) =-^- (- /)* j rfp J flfa X sin aXK?(a,P)
—* c±'
Xexp(/As-r), (3.124)
и уравнение ,(3.17), приходим к следующему уравнению:
н(г)=2 2 [-^*(vX)+6fvX(vX)]xrM1)(^)rr(a, ?)
или Н(г) =2 2 [-«ГЕ?,т(г) + бГЕ?1т(г)]. (3.125)
l = \m= — i
Итак, жоле Н разложено по его векторным модам Е?||Я(г) и
Е/|Я1, уже встречавшимся ранее (см. (3.43) и (3.44)). Поле Е
вычисляется из соотношения V X Н = D, которое дает
Е(г)=2 2 WEei,m(r) + b?EZm(r)} . (3.126)
Обычно не обращают внимания на то, что разложение (3.122)
шраведливо только на единичной сфере s-s = l, в то время как,
69

подставляя (3.122) и (3.117), автор неявно предполагал
справедливость разложения (3.122) при всех значениях s. Для теории
существенно, что разложение (3.122) действительно справедливо при
всех значениях s. Подразумевается, что оно имеет отношение к
свойствам аналитичности поля свободного пространства, позволяющим
определить поле всюду до поверхности рассеивателя по данным в
дальней зоне. Справедливость (3.122) для всех значений s легко
установить, заметив, что j(s) является аналитической функцией от
s, так как эта функция есть проебразование Фурье-функции с ко^
нечным носителем (Уиттеккер и Ватсон [3.58]).
Используя асимптотические разложения различных величин,
включенных в (3.122), можно Доказать, что правая часть уравнения
(3.122) является аналитической фукцией от s. Поэтому разложе-^
ние (3.122), справедливое для значений s, удовлетворяющих s-s=J
= 1, является, по принцципу аналитического продолжения,
справедливым для всех комплексных значений s.
Используя асимптотическое разложение
0(г, г'; &)^ехр(/*г) exp(-/&r-s'), (3.127)
где s' обозначает единичный вектор в направлении наблюдения, по-|
лучим из (3.113, 3.114, 3.118, 3.119) поле в дальней зоне или
диаграмму направленности излучения поля:
E(r)~ exP<*'*r)E(s'); (3.128J
Н(г)~ехр(/*г) s'xE(s') (3.129J
\
при E(s') = -iks'x[s'X}(ks% (3.130]
i
Из (3.120]} и (3.123) следует, что диаграмма направленности из-|
лучения однозначно определяет коэффициенты щт и Ыт и,
следовательно, распределение заряд—ток. Кроме того, из уравнений
(3.123) и сотноошения sXE(s)=H(s) видно, что поперечная частв|
jT от j, т. е.
fr (SXi)XS ,q 1Q1
J- |s|2 , (6.161
определяет мультипольные коэффициенты aim и bim. Для неизлуча
ющего распределения интеграл от радиальной компоненты усред[
ненного по времени вектора Пойнтинга через сферу в пределе при
больших радиусах обращается в нуль:
<P)=J-Reflim Г^2г^.[Е(г)хН*(г)]}-=0. (З.ш!
OJt |г->-оо J
^ 2
70

Подставляя разложения (3.125) и (3.126) в (3.132), получаем
<P>=(8n-*22 Щ + 1)Ш + \Ь?Г)=0. (3.133)
Это возможно, если только все мультипольные моменты щш и
1пт обращаются в нуль. Поэтому в соответствии с уравнениями
(3.125) и (3.126) для неизлучающего распределения поле,
созданное таким распределением, тождественно обращается в нуль вне
рассеивателя. Подобный результат получен Арнеттом и Гедике
[3.12] для неизлучающих распределений, построенных Гедике [3.55].
Можно вывести и другой результат из представлений (3.125) и
(3.126), а именно: обращение в нуль jT(fts) при всех значениях s с
ss = l является необходимым и достаточным условием для того,
чтобы локализованное распределение заряд — ток было
неизлучающим. Это условие является достаточным, так как уравнения
(3.119) и (3.123) вместе с формулой sXE = H показывает, что
мультипольные моменты определяются только jT. Необходимость
условия следует из (3.125) и (3.126) и установленного ранее факта, что
ноле неизлучающего распределения есть тождественный нуль вне
распределения заряд — ток. Общая процедура получения
неизлучающих распределений, которая также будет использована для
построения нерассеивающих потенциалов, формулируется следующей
теоремой [3.13]: если f (г) — произвольное векторное поле,
имеющее непрерывные частные производные до третьего порядка' и
обращающиеся в нуль во всех точках вне ограниченной области D,
тогда Re{j(r)exp(—Ш)}, где
f(r) = (4K^)-1[VXVXt(r)-*2f(r)] (3.134)
является локализованным неизлучающим распределением тока и
f(r) есть пространственно зависимая часть электрического поля,
созданного j (r).
Доказательство этой теоремы получаем из решения векторного
'дифференциального уравнения
VXVXE- k*E=4aikj9 (3.135)
удовлетворяющего векторной форме условия излучения Зоммер-
фельда. Это (единственное) решение имеет вид
E(r)=Jflfr'4rt/Aj(r')0(r, г'; k\ (3.136)
т
где функция
G(r, г'; £) = (e+6-2V'v')G(r, r'; к), (3.137)
которая является решением уравнения
(VXVX-*2)G(r, r'; A) = e8(r-r')f (3.138)
и е обозначает единичный тензор.
71

Используя уравнение (3.135) и уравнение
j (VXVXbG -ЬVXVXG) rft = j [(nXVXf)-G -/-(nXVXG)da,
X a
(3.13
которое следует из векторной записи теоремы Грина (3.20), и ра
лагая тензор G по его аффинорам, получаем
E(r)=f(r) + j[(nXvX')-G-f-(nXVXG)lrfe, (3.14
I
где а обозначает поверхность, которая окружает j и точку г. Однак
так как fssO, если r^D, правая часть уравнения (3.140) обращ,
ется в нуль при r^D, тем самым показывая, что j не излучает. I
3.3.3. Интегральные уравнения и единственность,
определяемая дополнительной информацией
I
Другая теория неизлучающих источников была развита Коэнс
и Блайстайном [3.14], которые сформулировали задачу в достаточ*
общем виде, используя теорию интегральных уравнений. В частно
ти, они показали, что дополнительная информация о векторнь
свойствах тока и его временной зависимости вида
й,=0и J (г, *)=](гЖ0, (3.14
где спектр ty(t) отличен от нуля по крайней мере в частотной п<
лосе с конечным носителем, достаточна для однозначного опр
деления распределения тока через значение электромагнитного
ля на поверхности, окружающей j. Интегральное уравнение
которого выводится этот результат, получаем вычитанием из (3
соответствующей формулы с k, замененным на ~ift, приняв для^
значение Е и замечая, что Е удовлетворяет (3.135). Все это npHBjj
дит к следующему соотношению:
-toJtfr'j«a>)(e + ft-W,)-yo(*|r-r/|) =
= J{(nX[V'XE(01)(e + A-sW)/o(*|r-r'|)-
a
-E(r')[nX[V'X(e-f-*-W')]XJo(*|r-r'|]}ufa'. (3.14
Взяв пространственное преобразование Фурье от соотношен^
(3.142), получаем
-/£(e-kk) f(ka)>foCk)=f0(k)X
X[jexp(-/kr'){nX[vXE(r')])(e-kk)-
-E(r'){nXRkX(e-kk)]}^']. (3.1^
72
ГО П1
U3J
для!

I Можно было бы определить j(k, со) для всех значений к,
сокращая член jo (к), появляющийся в обеих частях (3.143). Однако это
Невозможно, так как
Ь0 (к)=-^8 (А _<■>), (3.144)
iito равно нулю всюду, за исключением конуса & = (о. Однако,
возвращаясь к предположению (3.141) для распределения j(r, t),
замечаем, что функция jT(k) = (е—kk)j(k) может быть определена по
[фавой части уравнения (3.143), содержащей только измеримые
величины, для всех значений к таких, что [k: j = со, если со
принадлежит ненулевой части спектра г|)(/). Но jT(k) есть трехмерное
преобразование Фурье от функции с конечным носителем и,
следовательно, является аналитической функцией для всех комплексных
Значений к. Поэтому по принципу аналитического продолжения,
функция j'(k) однозначно определяется по ее значениям при тех к,
Ьля которых | к | = со и величина со, лежит в ненулевом интервале.
1)днако, так как j(k) ez=0, можем определить }{к) однозначно че-
1сз jT(k) и затем вычислить j(r), выполняя обратное
преобразование Фурье.
I Обратимся теперь к уравнению (3.136) и вспомним, что поле не-
1;*лучающего распределения обращается в нуль вне носителя рас-
|ределения. Уравнение (3.136) показывает, что E(r)s=0 для г^т,
■ели при интегрировании по частям справедливо
Lr'G(r, r'; &)(e + k-W')J(r\ «>)=0, reEt. (3.145)
I Используя разложение
t (г, г'; k)=ik J 2 AiU (*r) Ji №')V? (»• f)Y? (&'> «Ю.
I 1=0 m = — l
(3.146)
шраведливое при r>r\ получим из соотношения (3.145) что, если
|аспределение тока ограничено внутри сферы радиуса а, все
коэффициенты
L= Jrf2 j dr^jt{kr')Yf (&', т') (е + £-W)J(r', «>) (3.147)
|бращаются в нуль. То же самое условие получаем из соотноше-
|мя (3.142), используя разложение
1(*|г-г'|) = /*2 2 U(br)Mkr')V? (», T)Kf (»',?'). (ЗЛ48)
I Следовательно, уравнение (3.142) содержит то же количество
^формации о I что и (3.136), потому что должны выполняться од-

ни и те же условия для тех распределений, которые не могут
наблюдаться. Точнее, нуль-пространства линейных преобразований
Г Qhdr и Г /o/Wr, определяемые как множества функций h, для
т т
которых эти интегралы обращаются в нуль вне т, являются
одинаковыми для рассматриваемых линейных преобразований.
Условие (3.147) может быть выражено в виде, полученном
ранее, т. е. (3.131), и также содержится в анализе, проведенном Ге-
дике [3.55] с помощью (3.102). Из разложения
ехр(-Лт) = 4я2 2 (-0'Л(*г)Г?(<х,Р)>7>,т), (3.149)
/ = 0 т=—1
где Ф, ф — полярные углы радиус-вектора г и (а, р) —полярные
углы к, и соотношения (3.147) получим
(е —k£)j(k,a>), если а>=*. (3.150)
Аналогичная, хотя и более простая, теория была развита Коэном
и Блайстайном [3.14] для скалярного случая и была обобщена на
поля с произвольной временной зависимостью Блайстайном [3.59].
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕКТА
ПО ДАННЫМ РАССЕЯНИЯ
Основная цель экспериментов по рассеянию заключается в
получении информации об объекте, на котором рассеивается
приходящая волна. В этом разделе рассмотрим главным образом обратную
задачу рассеяния, связанную с определением скалярного
показателя преломления или распределения потенциала по данным
рассеяния. Предположим, что фаза рассеянной волновой функции
может быть найдена из измеряемой величины такой, как
дифференциальное сечение рассеяния или Плотность тока, определяющие
квадрат модуля амплитуды рассеяния. Так называемая задача
нахождения фазы была разобрана в гл. 2 данной книги. По поводу
рассеяния потенциалами отсылаем к Герберу и Карпласу [3.60] и
Ньютону [3.61]. Отсутствие единственности решения обратной
задачи в этом случае иллюстрируют очень простые примеры. Так,
если плоская волна рассеивается на потенциальной яме, может
быть найдено дискретное множество значений энергии, при которых
не происходит отражение (Мессиа [3.62, гл. 3.7]). Морс и Фешбах
[3.63, разд. 12.3] получили аналогичный результат для потенциала
y(x)=F0{th (xd-1)2}, показав, что отражения не происходит, если
(v+t)1/2=^+T' ^О'1'2*-' (зл51>
где v = 2mrf2A-2i/0f (3.152)
при этом h=h/2n (нормированная постоянная Планка).
Необходимо отметить, что условие (3.151) не зависит от энергии
приходящей волны.
74

Аналогично, если гоюская электромагнитная волна ти'1*'1 ''' ,,п*
дает на однородный диэлектрический слой, не происходит
отражения прии некоторых значениях показателя преломления толщин и
слоя и угла падения волнового вектора падающей плосКоП иол им
и нормали к поверхности (см. Борн и В<?льф [3.5, § 1.6J). Слсдоил-
тельно, объект не может быть однозначно определен по значениям
рассеянного поля, созданного приходящей плоской волной, и
необходимо использовать априорную информацию об объект6 или 1)а:*"
работать процедуру, с помощью которой может быть поДУчена
Достаточная дополнительная информация. Использование априорной
информации заключается, например, в определении сферически
симметричного потенциала по известной зависимости относительно
фазового сдвига от энергии. Априорное сведение о том, чт0
потенциал зависит только от г, позволяет определить потенииал с точ~
ностью до N-параметрического семейства эквивалентные
потенциалов, связанных с так называемыми граничными состоя#иями (см-
Ньютон [3.64 гл. 20]).
Другой пример существенного значения априорной информации
дают уравнения (3.141) и (3.143), которые показывают, я™
априорная информация временной зависимости тока вместе с апРИ0Рньши
сведениями о его векторном характере (j-ez=0), дост#точны Для
однозначного определения тока по его диаграмме направленности
излучения. В этой главе будут обсуждены две процедУРы> с по~
мощью которых становится возможным однозначное определение
объекта. Первая процедура, которую разработали Ферв^рДа и Хен-
дерс [3.65] и Хендерс [3.66], показывает, что если справеДлив0
приближение Борна, то любой потенциал с конечным носителем может
быть восстановлен по известным рассеянным полям, созданным
некоторыми бесконечными системами приходящих
монохроматических плоских волн. Вторая процедура, аналогичная методу Коэна и
Блайстайна (3.141, 3.143), показывает, что по известному
множеству рассеянных полей, созданных бесконечной, системой
приходящих волн различной энергии, может быть восстановлен потенциал
или показатель преломления.
Возможность получить исходные данные при различных
энергиях (частотах) и для различных направлений падакш^й волны
дает дополнительную степень свободы. Последняя необходима,
поскольку для решения эллиптического уравнения, подобного
нестационарному уравнению Шредингера для заданного
электростатического потенциала, она однозначно определяется двум5Я
параметрами, задающими значения (однозначные) решения на з амкнутой
поверхности, в то время как потенциал в общем случае зависит от
трех параметров. План изложения этого раздела следующий: в под-
разд. 3.4.1 построены некоторые примеры нерассеиваюЩих
диэлектриков и потенциалов и показано, в частности, существования
диэлектрических слоев, при наличии которых рассеянное поле,
созданное любым конечным числом приходящих плоские волн,
обращается в нуль вне слоя. Также показано существование
бесконечного класса диэлектриков (или распределений потенциалов) та-
75

ких, что любая приходящая плоская волна с фиксированной
частотой и поляризацией проходит без отражения. В подразд. 3.4.2 дан
краткий обзор обратных задач рассеяния для сферически
симметричных потенциалов и рассмотрено их применение к акустическим
и электромагнитным задачам. В разд. 3.4.3 показано, что если
справедливо приближение Борна, то любой потенциал или скалярный
показатель преломления может быть восстановлен по значениям
рассеянного поля, возникающего от бесконечной системы
приходящих плоских монохроматических волн с различными волновыми
векторами (Ферверда и Хендерс [3.65], Хендерс [3.66]). Также
рассмотрено приближение Борна более высокого порядка и показано,
что рассеянные поля, созданные системой приходящих
монохроматических плоских волн, достаточны для однозначного определения
потенциала или показателя преломления (разд. 3.4.4). Кроме того,
рассмотрено восстановление объекта по данным рассеяния,
вызванного бесконечной системой приходящих волн с различными
энергиями.
Подразд. 3.4.5 посвящен задаче аналитического продолжения
электромагнитного поля к точкам, расположенным внутри рассеи-
вателя (Уэстон и Бауман [3.67], Колтон [3.68], Слиман 3.69]).
Показано, например, что электромагнитное поле может быть
продолжено аналитически внутрь идеальных проводников с определенной
геометрией такой, как сфера.
3.4.1. Примеры неединственности
К сожалению, при исследовании обратных задач очень часто,
приходится встречаться с неединственностью решения. Построим
несколько примеров, которые непосредственно связаны с обратными
задачами, рассматриваемыми в других разделах этой главы.
Например, если приходящая волна фЩ?"*, удовлетворяющая
трехмерному уравнению Гельмгольца, рассеивается потенциалом или
средой со скалярным показателем преломления, может быть
построено бесконечное число нерассеивающих потенциалов или скалярных
показателей преломления с конечным носителем. Доказательство
и идея этой теоремы очень близки по характеристике к таковым
для некоторых классов неизлучающих распределений, которые
были рассмотрены Деванеем и Вольфом [3.13] [см. (3.134) — (3.140)].
Пусть функция -фс равна г|)прих, если r^D, где D обозначает
ограниченную область в трехмерном пространстве х, у, z. Предположим,
что -фс — произвольно выбранная функция, не равная г|)с при хф.Ву
и пусть г|)с не равна нулю при reD и дважды непрерывно диферен-
цируема по всем переменным всюду в трехмерном пространстве (х,
у, г). Предположим, что потенциал V(r) определяется выражением
*Z.V<F) = S3Lt!2£. (3.153)
Единственным решением стационарного уравнения Шредингера
(va + *2—^-^)Ф=0 (ЗЛ54)
76

является сумма приходящих волн и рассеянных волн,
удовлетворяющих на бесконечности условиям излучения Зоммерфельда
(Курант и Гильберт [3.70, т. II, гл. 4, разд. 5.2]). Однако г|)с есть
решение уравнения (3.154), удовлетворяющее этому условию, а так как
яре = «фпрпх ПрИ хфВ и г|)=г]Л потенциал не рассеивает, если волна
-фприх падает на этот потенциал.
Аналогичный результат получили Кэй и Моузес [3.71], которые
показали, что возможно построение физически реализуемого
показателя преломления п(х) такого, что плоские волны при всех углах
падения с фиксированной частотой и поляризацией проходят без
отражения.
Начнем с волнового уравнения в среде с плоскими слоями с
показателем преломления п(х), —оо<лг< + оо;
lV2 + *2*4*)] ♦(!■) = (). (3.155)
Для падающей плоской волны exp (ik-r) можем предположить,
что решение (3.155) имеет вид
$(r)=u{x)ex\>(ikyy-\-ikz-z)9 (3.156)
и, следовательно, )
d*u/dx* + [E-V(x)]u=09 (3.157)
где
E=k2-k\-k\ и l/(jc)=-£2[ft2(jc-l)]. (3.158)
Требуется, чтобы V(x) была неположительной для физики
реализуемой среды. Уравнение (3.158) показывает, что результаты,
полученные для диэлектрического слоя, могут быть
интерпретированы также в терминах квантовой механики: V — одномерный
потенциал, который пропускает падающие частицы с вероятностью
единица, при этом не имеет значения, какова начальная
кинетическая энергия частицы. Задача состоит в нахождении функции V(x)
такой, что решение и(х) уравнения (3.157) ведет себя, как
м{х)~ехр(1Ег/2х) при х—>со, (3.159)
■и одновременно имеет асимптотику
4i(x)~t(E)exp(lEV2x) при ;с->оо и \t{E)\ = l. (3.160)
Выберем TV произвольных положительных констант Ап и 1п и
предположим, что решение уравнения (3.157) имеет вид
а{х)А1 +^/-^7§Т72ехр(^)1ехр(/^/2х), (3.161)
L п=1 П J
77

где функции fn(x) являются решениями N линейных уравнений
(3.162)
«=1,2,..., N.
Подставляя выражение (3.161) в уравнение (3.157),
d
получаем
■1Е^~
+ 2
где
*гёл
(х)ехр{1пх)
-V(x)exp{iE^2x)\
Выражение (3.163) равно нулю, если
М„/я=0;
V[x)=2dldx |2 Л Wexp (/„х) 1.
Применим оператор М„ к n-му уравнению (3.162) и подставим
выражение (3.166), получаемое для V(x). В результате получим
систему однородных линейных уравнений для TAnfn(x), а именно:
(3.167)
(3.163)
(3.164)
(3.165)
(3.166)
JV
1Л^п(х)=Апех9(1пх)^\м,-^-\ехр(1,х)=0.
Коэффициенты матрицы (3.167) будут равны
L+A. "'.'^'■''l-' + A.
.1 п "*" Т II
где I обозначает единичную матрицу, a I+A, как будет показано,,
является несингулярной матрицей.
1^Г>ЛТТГТ TUT ОГГЧ"»ТЭГТТТТ
(3.168)
Введя матрицу
D=in;r1/28„j,
получим
А=1Ап1/2АТ1/2^[(1п + 1,)х](1п + 1-,)-Ц=ОАО-К
78
(3.169)
(3.170)

Отсюда Det (A + I) =Det(I + A), и если det A>0, то
определитель матрицы (3.168) не равен нулю, поэтому
Шп/п(х)=0 (3.171)
является единственно возможным решением уравнения (3.167).
Однако, если А — положительно определенная матрица, т. е. для
любого множества N, чисел уп справедливо соотношение
У У УпУ,АТАГ "*^Х >0, (3.172)
/1=1 t=i n т
^если все не равны нулю Det A>0. Однако левая часть уравнения
(3.172) может быть записана в виде
N N
— оо я = 1Т = 1 — оо |и = 1
N
2
dz.
(3.173)
Это выражение положительно, если только все уп не
обращаются в нуль. Таким образом, уравнения (3.170) — (3.173) показывают,
что Det (I + A)>0, из чего следует справедливость уравнения
(3.171).
Из решений (3.162) для fn{x) и (3.166) легко заметить, что V(x)
стремится экспоненциально к нулю при х-^-оо или —оо. Кроме того,
.Кэй и Моузес [3.71] показали, что функция V(x) отрицательна при
всех конечных значениях х, и асимптотики (3.159) и (3.160)
непосредственно получаются из уравнений (3.162). Из выражения
(3.161) следует возможность существования бесконечного класса
.потенциалов, обращающихся в нуль вне слоя О^х^а, таких, что
рассеянное поле, созданное конечной системой не обязательно мо-
мохроматических плоских волн ^==ехр(Йс; г), /=0, 1, 2,...,п
падающих на слой, будет обращаться в нуль вне слоя.
Напомним, что поле вне слоя определяется однозначно по
значениям и и ди/дх в точках х—0 и х=а, и волновая функция и ее
производная по нормали остаются непрерывными при переходе
через границу. Следовательно, если в точках х=0 и #=а, и и ее
производная равна -ф/ ехр (—ikyy—ikzz) и (dfdx)^fexp (—ikyy—ik*z)f
7 = 0, 1, 2, ..., N> то рассеянное поле не будет наблюдаться.
Выражения (3.161) и (3.162) вместе с этими условиями приводят к системе
уравнений для констант Ап и 1п.
3.4.2. Анализ фазового сдвига
и восстановление потенциала
Если плоская монохроматическая волна, допускающая
разложение (3.140), рассеивается на сферически симметричном
потенциале, то рассеянное поле допускает аналогичное разложение с ji(kf
79

г) замененным на функцию щ{г\ k)(kr)~\ где щ — решение
радиального уравнения Шредингера, и
щ (г, k) ~ ехр( -ft,) cos \kr —±- л (/ +1) _вЛ , (3.174}
где 6z обозначает так называемый фазовый сдвиг, связанный с /-й
парциальной волной. Так как bi содержит информацию о
потенциале, возникает вопрос, можно ли определить потенциал по известной
зависимости относительного фазового сдвига от энергии. В самом
деле, это возможно по Л/-параметрическому семейству
эквивалентных потенциалов, связанных с так называемыми граничными
состояниями. Задача в той постановке, в которой потенциал может
быть восстановлен по всем известным фазовым сдвигам для одного
значения энергии, рассмотрена Ньютоном [3.64, .разд. 20.3].
Процедура определения потенциала по известному сдвигу
одиночной фазы, к сожалению, не может быть обобщена на случай
сферически симметричного показателя преломления (Проссер
[3.42]), так как «потенциал» k2(n2—1) зависит от k. Очень общая
процедура, с помощью которой, в принципе, может быть определен
ограниченный, не обязательно сферически симметричный потенциал
или показатель преломления, предложена Бейтсом [3.72]. Для
математического удобства ограничимся двумерным рассмотрением и
предположим, что п2—1 = 0 при г^а. Разложим волновую функцию
*ф, которая является решением уравнения (3.155), и функцию п2—1
в ряды Фурье
' е= ЭО -f" ОО
■я»-1=2 Я|Иехр(/Лр); ф=2 "W0". *) ехр(//?), (3.175)
1е= ОО 1 = — СО
и разложим \pi{r) в ряды Дини (Ватсон [3.73, гл. 18])
*/(/•. *) =2Ьш(к)Мк1мга-*). (3.176)
т
Числа hi,m — корни уравнения
Ъ(а, k)Jl(hlJ=hl,mb(a; k)J\{hUm\ (3.177)
где штрих обозначает дифференцирование по параметру а. Эти
числа можно вычислить, потому что г|) может быть определена на
рассеивателе из данных в дальней зоне (раздел 3.2.1). Аналогично
'можем разложить щ(г) в ряд Фурье — Бесселя
п, (г) =2 AiJi Uupra-1), если /, (j,,p)=0. (3.178)
Р
Таким образом, мы пришли к определению постоянных Аир„
Подставляя ряды (3.175), (3.176) и (3.178) в уравнения (3.155),
приходим к бесконечной системе линейных уравнений для о\гпч
которая имеет нетривиальное решение, если только определитель
системы равен нулю. Положительная особенность состоит в том, что
'89

этот определитель зависит только от неизвестных коэффициентов
AitPj а наблюдаемые величины исключаются из-за поведения
волновой функции внутри сферы г=а (определяемой коэффициентами
bitm). Кажется разумным, что если определитель усекается до М-го
порядка и рассматривается по крайней мере для М значений k, то
возможно определить т коэффициентов AitP. Для того чтобы
решить, возможно ли использовать эту процедуру в практических
расчетах, необходимы дальнейшие исследования.
3.4.3. Определение потенциала или показателя преломления
по рассеянному полю, созданному системой
монохроматических плоских волн
Если система монохроматических плоских волн
ty=exp(ikjtXx + ikyy-{-imjZ), (3.179)
где mj=(b*-klx-kl)1/29 (3.180)
и числа kjtX являются бесконечной ограниченной системой
вещественных чисел таких, что выражение (3.180) вещественно,
рассеивается потенциалом U с конечным носителем, рассеянная волновая
функция г|)расс. в приближении Борна первого порядка имеет вид
Wr) = j>'0(r,r'; k)V(r')^{T')t (3.181)
где V{r') = — U{r'). (3.182)
Используя разложение, выведенное Вейлем [3.57]
оо оо
0(r,r';*) = ^--J j dfxdfy(k*-fl-fy)-1/2X
ОО 00
X exp [ifx (x - x') + if у (*- у') + /(** — /* — fy)1/2 ,(* - z')\],
(3.183)
где Im{ft2—fx2—fj/^'/'^O, и взяв преобразование Фурье от функции
(3.181) по х и у, приходим к следующему уравнению:
-(f« + ky)2}1/2exvl-nb2-(fx + bj,x)2-(f« + kyni>2z} =
+а
= Г dz' exp {/ (ft» - k),x - k2yf'2 z' -
-ПР-(/, + Ъ,хУ-(/у + ку)2]У2г')У(/х, fy, z'), (3.184)
81

где символ ~ наверху функции обозначает преобразование Фурье
по х и у, и а обозначает носитель V вдоль оси г. Можно показать,
'что система функций {exp (ihjz)}, при %j= (k2— kj>x2—kv2) —[k2—
— (fx+kjiX)2+ (fy+ky)2]1'* полна, если \z\ <a (Пэли и Винер(3.74],
Хендерс [3.66], Ферверда и Хендерс [3.65]). Однако, если система
функций {exp (tkjz)} полна при \z\ ^.a, то не существует функции,
ортогональной ко всем функциям exp (IkjZ), отличной от
тождественного нуля (Пэли и Винер [3.74], Фихтенгольц [3.75]). Поэтому,
если существует другой потенциал V<1\ приводящий к той же самой
левой части уравнения (3.184) при всех значениях /, то V—F(1)
должна обращаться в нуль, что и доказывает требуемую
единственность V. Действительное нахождение V может быть получено
ортонормированием системы функций {exp (iXjZ)} при |z|^a и
вычислением различных коэффициентов Фурье. Хендерс [3.66] и Ферверда
и Хендерс [3.65]получили для Уряды Тэннери, которые содержат в
качестве неизвестных только интегралы Г exp (&jZ)V(fX9 fyj z)dz.
р
Ряды Тэннери определяются, как "V #/(/?), при этом каждый
7-1
элемент а^(р) явно зависит от р.
Уравнение (3.184) также выведено Вольфом [3.76], который
ограничился анализом однородной части углового спектра, т. е.
рассматривал только те значения fx и /у, для которых k2—fx2—fy2^>0.
Его теория развита Дандликером и Вайсом [3.77], которые показали,
что при некоторых значениях fXy fyufZy расположенных внутри
сферы fx2+fy2+fz2^k2y трехмерное преобразование Фурье V(fx, fy, fz)
может быть определено по значениям рассеянных полей на
плоскости. Эти рассеянные поля создаются, например, системой
приходящих волн с различными энергиями или различными направлениями
волнового вектора. Показав возможность определения потенциала
или показателя преломления при условии справедливости
приближения Борна, теперь рассмотрим, как потенциал или показатель
преломления с конечным носителем однозначно определяется по
рассеянному полю, созданному упомянутой выше системой
приходящих волн.
3.4.4. Однозначное определение объекта
по данным рассеяния
Предположим, что объект неоднозначно определяется по
рассеянному полю, созданному бесконечной системой плоских волн
(3.179) или плоскими волнами с различными энергиями. Тогда
должен существовать потенциал или показатель преломления такой,
что рассеянное поле, созданное системой (3.179), обращается в
нуль вне рассеивателя, поэтому наблюдать можно только
приходящую волну yjp11*™*. Поле г|) внутри произвольной поверхности а может
82

быть представлено через его значения ifis на поверхности а:
<|> (г, *)=j ± К (г, г'; k) Г (г') dx', (3.185)
где
*(г,г'; *)=УФ,%У ; (V2 + ^+V)t,=0 (3.186)
и собственные функции г£>г равны нулю на границе. Выберем
поверхность 0 такую, что k2 равно одному из собственных значений k?.
Это всегда возможно осуществить, выбирая поверхность на
достаточно большом расстоянии d от начала, так как, если d
стремится к бесконечности, спектр становится непрерывным. Отсюда любая
малая окрестность вокруг k при достаточно больших d будет
содержать собственное значение ku которое с помощью подходящего
возмущения границы (Морс и Фешбах [3.63, т. II, разд. 9.2], Вассер-
ман [3.78, 79]) может быть сделано равным k2. Если k2=ki2, то
теория уравнений в частных производных требует, чтобы
I=^b(r')b(r')<*°=§V(r')b(rr)b(r')dr' = 0> (ЗЛ87>
О 1
что обеспечивают соотношения (3.185 )и (3.186), если положить
Объемный интеграл непосредственно получается из
поверхностного при помощи теоремы Грина, если т обозначает носитель V.
Функция ty—exip[iax+ify + i{k2—fy2—a2y/*z], где а расположена
внутри произвольной ограниченной области D, не содержащей
точек ветвления а=± (k2+fy2)1/; может быть аппроксимирована
близко и равномерно для всех значений х, у, z^.% линейной
комбинацией достаточно большого числа функций i|)j и интерполяционных
полиномов Лагранжа.
Теория интерполяции по Лагранжу (Ферверда и Хендерс [3.34,
3.80], Маркушевич [3.81, т. II, задача (2.30)]) говорит о том, что это
утверждение справедливо, если а расположено внутри достаточно
малого круга С. Поэтому, если D покрывается с помощью
некоторого (конечного) числа областей С, что возможно, так как радиус С
зависит только от его расстояний до а, то повторное применение
интерполяции Лагранжа приводит к желаемому результату.
Выбирая Im{&2—а2—Д,2)1/а }>0 и а вещественной, получим, что
основной вклад в интеграл (3.187) при а-voo возникает от
маленькой области А около тех частей граничной поверхности S области %>
где z максимально (например, z=zm). Потенциал V(r) по
определению тождественно не равен нулю при г^АПт, тогда как i|)z(r)„
также отлична от тождественного нуля при r^Af|t, потому что
иначе %(г), которая является регулярным решением
эллиптического уравнения, должна обращаться в нуль всюду внутри а~
Если ограничиться рассмотрением поверхностей, для которых
8а

<?--<?,„ в конечном числе точек (xj, */j), /=1,...,р, ^S,
асимптотическое разложение / примет вид
р
J ~^Aja-aexp[iaxj + ikyyj + i{k2 — a2 — kl)l/2zm] при а—>оо,
(3.188)
тде комплексные числа Aj не равны нулю, если /=1,...,р, и а
обозначает положительное число. Однако правая часть уравнения
(3.188) не равна тождественно нулю, если а принадлежит любому
конечному интервалу / действительной оси а, так как система
функций exp {laxj) линейно независима при а<=1. Поэтому интеграл
(3.187) может обращаться в нуль для всех приходящих волн tfo,
если только V есть тождественный нуль. Если рассмотреть случай,
когда z=zm для континуума точек х и у, то намного более
сложный анализ приводит к тому же результату.
Следовательно, потенциал однозначно определяется
рассеянными полями вне т, созданными волнами (3.179), поскольку, если два
различных потенциала приводит к одним и тем же рассеянным
полям, их разность, приводящая к нулевому рассеянному полю,
должна быть равна нулю. В точности таким же путем приходим к
заключению, что потенциал с конечным носителем однозначно
определяется рассеянными полями, созданными системой приходящих
плоских волн с различными энергиями. Этот результат получается
из рассмотрения г|) (г, ^) = фп?их (г, k) + \ Г (г, г'; £)фприх(*"'; k)dvr
интегрального уравнения рассеяния ф = фпРих _|_ Г GVtydr', где | Г (г,
X
г'; k) |=0 (k2) при |&|->оо, 0<arg&<2n, и оба радиус-вектора г и
г^т (Хендерс [3.82]). Функция Грина Г допускает разложение по
собственным модам задачи рассеяния.
Результаты этого раздела справедливы также, если вместо
потенциала объект характеризуется показателем преломления, так
как функция Грина Г допускает то же самое разложение, которое
записано в (3.186) (Курант и Гильберт |[3.70, т. I, гл. 5, разд. 14.3]).
3.4.5. Аналитическое продолжение электромагнитного
поля из внешней области рассеивателя
в его внутреннюю область
и его физический смысл
Восстановление показателя преломления по рассеянным полям,
созданным бесконечной системой приходящих плоских волн, в
общем случае не является однозначным. Однако однозначное
восстановление объекта возможно, если задано достаточное количество
априорной информации о рассеивателе. Например, дополнительная
информация о том, что поле может быть продолжено аналитически
внутрь рассеивателя, ограничивает класс решений задачи восста-
84

новления. Как будет показано ниже, для многих геометрических
форм идеально проводящих тел возможно аналитическое
продолжение электромагнитного поля внутрь рассеивателя на множество
точек ненулевой меры, в то время как поля внутри проводника есть
тождественный нуль (Уэстон и др. [3.67]). Этот пример показывает,
что поле, полученное аналитическим продолжением, отличается от
физического поля. Кроме того, из теоремы Вейерштрасса о
непрерывном продолжении функциональных соотношений (Хилле [3.83,
т. II, разд. 10.7], Осгуд [3.84, гл. 9, разд. 6]) следует, что значения
поля, полученные аналитическим продолжением, по-прежнему
удовлетворяют уравнениям Максвелла для свободного пространства и,
следовательно, всегда отличаются от полей, существующих внутри
тел. Сформулируем основную теорему Уэстона следующим
образом: Пусть произвольная плоскость z=z0 пересекает идеально
проводящую рассеивающую поверхность S, и через S0 обозначим часть
отсекаемой поверхности S выше этой плоскости. Если S0 —
выпуклая поверхность, то существует область D внутри рассеивателя
(которая в зависимости от S может быть пустой) такая, что
векторный потенциал А может быть аналитически продолжен при
значениях его аргумента ^D. Доказательство этой теоремы получается
из теоремы представления [3.29], условия пхЕ = 0, которое
выполняется на поверхности идеального проводника, процедуры,
задаваемой уравнением (3.73) с учетом того, что член grad div(...) может
быть опущен, так как Е и Н связаны с А уравнениями E=i/H(Vx
X'VxA) и H = VxA и разложения (3.115), которое приводит к
А(г)=-^— \ дф \ da sinaexp(^s-r) \ nXH(r') exp(—iks-r' do'
(3.189)
Свойства аналитичности выражения (3.189) определяются
интегралом по 5. Зададим а=2-1л;—it и выберем систему координат
так, что начало расположено на 5 с положительным направлением
оси г, указывающим наружу, и сориентируем систему так, чтобы
;s-x=xcht+zsht. Определяющий вклад в интеграл по 5 даст
окрестность точки у=уо, где dfldyd=0. Метод наискорейшего
спуска приводит к
JnXH(r)exp(-/Asr)do~(^)1/2x
s
X jexv{-ik[xcht+if (x, y0)sht]}-nXH(t)\y=y„dx, (3.190)
xi
где z=f(x, у) описывает 5.
Асимптотическая оценка (3.190) для больших значений t
получается из теоремы Ван Дер Корпута [3.85] (см. Эрдейи [3.86, разд.
2.3]), согласно которой основной вклад в интеграл дают те точки р,
85

в которых величина (—iksht) h' (x)[ti" (x)]-1** вещественна, а
мнимая часть этой функции изменяет свой знак, когда х проходит через
р, где h = ctht+if(x, y0). Поэтому
jnXH(r')exp(—lk&-r')da = 0[ex$(kpsht)] при /-юо, (3.191)
и представление (3.189) сходится и является аналитическим при
z>p,
В качестве приложения рассмотрим поверхность вращения £ =
= —Ь + Ь[Ъ—а2(х2+у2)]1/2> считая, что ось z является осью вращения.
Используя доказательство теоремы, получим, что А (г) может быть
аналитически продолжено для всех значений г внутри поверхности.
В этой связи напомним, что представление поля через решение в
рядах Ми является аналитическим всюду (Уэстон [3.67]).
Аналогичные теоремы получены Колтоном [3.68] и Слиманом [3.69].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3.1. Hosemann R., Bagchi S. N. Direct Analysis of Matter by Diffraction,.
North-Holland, Amsterdam, 1963.
3.2. Langer R. E. Bull. Amer. Math. Soc. (2) B9, 814—820 (1933).
3.3. Kac M. Am. Math. Monthly 73, 1 (1966).
3.4. Baltes H. P., Hilf E. R. Spectra of Finite Systems, Bibliographisches
Institut, Zurich, 1976.
3.5. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 3rd ed., Pergamon Press, Oxford,.
1965 (Опубликован перевод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука,
1973).
3.6. Debeye P. Ann. d. Physik (4) 30, 73 (1909).
3.7. Borg G. Acta Math. 78, 1—94 (1946).
3.8. Ambarzumian V. Z. Physik 53, 690—695 (1929).
3.9. Newton R. G. Siam Rev. 12, 346—356 (1970) (review).
3.10. Baltes H. P. Appl. Phys. 12, 221—244 (1977), Sect. 3.1. (review).
3.11. Schott G. A. Phil. Mag. (Suppl.) 15, 752—761 (1933).
3.12. Arnett J. В., Goedecke G. H. Phys. Rev. 168, 1424—1428 (1968).
3.13. Davaney A. J., Wolf E. Phys. Rev. D8, 1044—1047 (1973).
3.14. Cohen J. K., Bleistein N. J. Math. Phys., 18, 194—201 (1977).
3.15. Mireless R. J. Math, and Phys. 45, 179—187 (1966).
3.16. Schmidt-Weinmar H. G., Lam D. K., Wouk A. Can. J. Phys. 54, 1925—
1936 (1976).
3.17. Cormack A. M. J. Appl. Phys. 34, 2722—2727 (1963).
3.18. Radon J. Ber. d. Math. Phys. Rl. d. Sachs. Ges. d. Wiss. Leipzig 69,
262—277 (1917).
3.19. Mader Ph. Math. Z. 26, 646—652 (1927).
3.20. Uhlenbeck G. E. Physica 5, 423—428 (1925).
3.21. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. М.: Физматгиз,
1959
3.22. Zwick M., Zeitler E. Optik 38, 550—565 (1973).
3.23. Marr R. В. J. Math. Anal. Appl. 45, 357—374 (1974).
3.24. Zeitler E. Optik 39, 396—415 (1974).
3.25 Турчин В. Ф., Козлов В. Н., Малкевич М. С. Успехи физ. наук, т. 102,
вып. 3, с. 345—386 (1970).
3.26. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической
физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
3.27. Sommerfeld A. Partial Differential Equations in Physics. Lectures on.
Theoretical Physics, vol. VI, 5th printing, Academic Press, New York, 1967, Sect.
28.6, pp. 191—192 (Опубликован перевод: Зоммерфельд А. Дифференциальные
уравнения в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1954).

3.28. Wilcox С. Н. Comm. on Pure and Appl. Math. 9, 115—134 (1956).
3.29. Devaney A. J., Wolf E. J. Math. Phys. 15, 234—244 (1974).
3.30. Blatt J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics, Wiley and Sons,
New York, 1966, pp. 798—799 (Опубликован перевод: Блатт Дж., Вайскопф В.
Теоретическая ядерная физика. М.: Изд-во иностр. лит., 1954).
3.31. Jones D. S. The Theory of Electromagnetism, Pergainon Press, Oxford,
1964.
3.32. Shewell J. R., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 58, 1596—1603 (1968).
3.33. Sherman G. С J. Opt. Soc. Am. 57, 1490—1498 (1967).
3.34. Hoenders B. J., Ferwerda H. A. Optik 37, 542—556 (1973).
3.35. Miyamoto K. J. Opt. Soc. Am. 50, 856—858 (1960).
3.36. Lichtenstein L. Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften, vol.
11—3:2, Teubner, Leipzig, 1923, Chap. 12.
3.37. Miiller С Grundprobleme der Mathematischen Theorie Elektromagneti-
:scher Schwingungen. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 88,
Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1957, Lemma 48.
3.38. Miranda С Equazioni alle Derivate Parziali di Tipo Elliptico. Ergebnisse
der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg,
1955, Sect. 44 (Опубликован перевод: Миранда К. Уравнение с частными
производными эллиптического типа. М: Изд-во иностр. лит., 1957).
3.39. Pell A. Trans. Am. Math. Soc. (5) 12, 135—164 (1911).
3.40. Keller J. B. IRE Trans. Ap. 146—149 (1959).
3.41. Lewis R. M. IEEE Trans. AP—17, 308—314 (1969).
3.42. Prosser R. T. J. Math. Phys. 10, 1819—1822 (1969).
3.43. Minkowski H. Math. Ann. 57, 447—495 (1903).
3.44. Lewy H. Trans. Am. Math. Soc. 43, 258—270 (1938).
3.45. Nirenberg L. Comm. on Pure and Appl. Math. 6, 337—394 (1953).
3.46. Stoker J. J. Comm. on Pure and Appl. Math. 3, 231 (1950).
3.47. Titchmarsh E. C. The Theory of Functions, 2nd cd., Oxford University
Press, 1939, Sect. 2.83. (Опубликован перевод: Титчмарш E. Теория функций. М.:
Наука, 1980).
3.48. Osgood W. F. Lehrbuch der Funktionentheorie, vol. 2, Teubner, Leipzig,
1929 Sect 12
3.49. Schmidt E. Math. Ann. 65, 370—399 (1908).
3.50. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных
•уравнений. М.: Наука, 1969.
3.51. Majda A. Comm. on Pure and Appl. Math. 29, 261—291 (1976).
3.52. Sommerfeld A. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math. Phys. KI. Па, Math.
Phys. Chem. Abt., p. 99, 363 (1904); p. 201 (1905).
3.53. Herlotz G. Math. Ann." 65, 87 (1908).
3.54. Ehrenfest P. Phys. Z. 11, 708 (1910).
3.55. Goedecke G. H. Phys. Rev. 135, B281—288 (1964).
3.56 Erber Т., Prastein S. M. Act. Phys. Austr, 32, 224—243 (1970).
3.57. Weyl H. Ann. Phys. (Paris) 60, 481 (1919).
3.58. Whittaker E. Т., Watson G. N. A Course of Modern Analysis, 4th ed.,
Cambridge University Press, 1963, Sect. 5.31 (Опубликован перевод: Уитте-
жер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, изд. 2-е, ч. 1—2. М.: Физ-
лиатгиз, 1962).
3.59. Bleistein N. J. Acoust. Soc. Am. 60, 1249—1255 (1976).
3.60. Gerber R. В., Karplus M. Phys. Rev. Dl, 998—1012 (1970).
3.61. Newton R. G. J. Math. Phys. 9, 2050 (1968).
3.62. Messiah A. Quantum Mechanics, vol. 1, North-Holland, Amsterdam,
1965, Chap. 3, Sect. 7 (Опубликован перевод: Мессиа А. Квантовая механика. М.;
Наука, 1978, т. 1).
3.63. Morse Ph. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill,
New York, 1953 (Морс Ф. М.,- Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. 1—2.
М.: Изд-во иностр. лит., 1958—1960).
3.64. Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-Hill,
New York, 1966 (Опубликован перевод: Ньютон Р. Теория рассеяния волн и
частиц. М.: Мир, 1969).
3.65. Ferwerda H. A., Hoenders В. J. Optik 39, 317—326 (1974).
87

3.66. Hoenders B. J., Thesis Ph. D. State University at Groningen (1972)
Chap. 7.
3.67. Weston V. H., Bowman J. J. Ergun An Arch. Rat. Mech. Anal. 31, 199—
213 (1968).
3.68. Colton D. Quart. J. Math. Oxford (2) 22, 125—130 (1971).
3.69. Sleeman B. D. Proc. Camb. Phil. Soc. 73, 477—488 (1973).
3.70 Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, 3rd printing,,
Interscience, New York, 1966 (Опубликован перевод: Курант Р., Гильберт Д.
Методы математической физики. М.—Л. Гостехтеориздат, 1961).
3.71. Kay I., Moses H. E. J. Appl. Phys. 27, 1503—1508 (1956).
3.72. Bates R. H. Т. J. Phys. A8, L80—82 (1975).
3.73. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Besselfunctions, Cambridge
University Press.; 1966 (Опубликован перевод 2-го англ. изд.: Ватсон Дж. Н_
Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит-ры 1949, ч. 1 и 2).
3.74. Paley R. Е. А. С., Wiener N. Fourier Transforms in the Complex Domain,,
American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 19 (Am. Math. Soc.
Providence R. I. 1934) Sect. 11 (Опубликован перевод: Винер Н., Пэли Р.
Преобразование Фурье в комплексной области, 1964).
3.75. Fichtenholtz G. Rend. Circ. Mat. Pal. 50, 385—398 (1926).
3.76. Wolf E. Opt. Comm. 1, 153—156 (1969).
3.77. Dandliker R., Weiss K. Opt. Commun. 1, 323—328 (1970).
3.78. Wasserman G. D. Phil. Mag. 37, 563—570 (1946).
3.79. Wasserman G. D. Proc. Camb. Phil. Soc. 44, 251—262 (1948).
3.80. Ferwerda H. A., Hoenders B. J. Optik 40, 14—17 (1974).
3.81. Markushevich M. Theory of Funcktions of a Complex Variable, vol. 2r
Prentice-Hall, New York, 1965.
3.82. Hoenders B. J. On the Decomposition of the Electromagnetic Field inta
Its Natural Modes. — In: Proc. 4th Rochester Conf. on Coherence and Quantum
Optics, June 8—10, 1977, ed. by L. Mandel, E. Wolf, Plenum Press, New York,
1978.
'3.83. Hille E. Analytic Function Theory, vol. 2, Chelsea, New York, 1973.
3.84. Osgood W. F. Lehrbuch der Funktionentheorie, vol. 1, Teubner, Lepzigv
1920.
3.85. Corput J. G. Van der. Сотр. Math. 3, 328—372 (1936).
3.86. Erdelyi A. Asymptotic Expansions, Dover, Now York, 1956. (Опубликован
перевод: Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962).
3.87. Hoenders В. J. Completeness of a set of modes connected with the
electromagnetic field of a homogeneous sphere embedded in an infinite medium*
J. Phys. A (to be published).
3.88. Devaney A. J., J. Math. Phys. 19, 1526—1531 (1978).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Bleistein N., Boyarski N. N. Recently developed formulations of the inverse
problem in acoustics and electromagnetics. University of Denver, Colo., Rt. N.
MS—R—7501 (1974).
Nishimura M., Psaltis D., Caimi F., Casasent D. Implementation of the
inverse radon transform by optical convolution, Opt. Commun. 25, 301—304 (1978).

4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ
С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ РАЗРЕШЕНИЕМ МЕНЬШЕ
ДЛИНЫ ВОЛНЫ ПО ОПТИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЯМ
В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ
X. Г. ШМИДТ-ВАЙНМАР
Сверхразрешение, т. е. восстановление деталей источника с
разрешением порядка длины волны и менее давно относится к
дискуссионным вопросам. Большой интерес, возобновившийся в
настоящее время к этой проблеме, с одной стороны, объясняется
возможными применениями сверхразрешения, например, в
медицинских и микробиологических исследованиях, и с другой —
доступностью мощных средств (лазеры, системы сбора данных,
быстродействующие ЭВМ).
Три главных аспекта оптического восстановления, описанные
в гл. 3, — а именно, определение фазы, восстановление поля и
восстановление рассеивающих объектов, — имеют важное значение
также и в этой главе. Трудности, заключающиеся в восстановлении
со «сверхразрешением», еще более явно выражены, чем трудности
в «общих» задачах восстановления, описанных в гл. 2 и 3. Поэтому
изучение задач сверхразрешения вероятно является
обнадеживающим только в хорошо конкретизированных модельных ситуациях,
когда может быть гарантировано достаточное количество
априорной информации и ограничений.
Так как читатель может познакомиться с исчерпывающим
изложением более ранних подходов в статьях (см. разд. 4.1), в данной
главе основное внимание уделяется частной задаче
сверхразрешения, которая в настоящее время представляет интерес. Рассмотрим
достигнутый прогресс в восстановлении ближнего поля источников,
которые априори являются ограниченными в пространстве и
сосредоточенными в области с линейными размерами порядка длины
волны. Также обсудим возможное решение связанной с этой
задачей фазовой проблемы. Кроме того, опишем представление
волновых полей неоднородными плоскими волнами. Это представление
является основным в нашем подходе.
В разд. 4.1 кратко изложены различные старые и новые подходы
в изучении сверхразрешения. В разд. 4.2 и 4.3 описаны волны,
связанные с комплексно значимыми пространственными частотами,
и соответствующее представление полей через локализованные
источники. В разд. 4.4 и 4.5 обсуждены ошибки, возникающие из
ограниченности полосы пространственных частот полей от
источников с размерами, меньшими длины волны (субволновых). Затем
в разд. 4.6 описано, как спектр комплексных пространственных
частот ближнего поля субволнового источника определяется через
характеристики поля в дальней зоне. Наконец, в разд. 4.7 обсужден
недавно предложенный метод для измерений дальнего поля,
включающий определение пространственного распределения фазы.
89

4.1. МЕТОДЫ СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ
Сверхразрешение по оптической информации в дальней зоне
считается практически невозможным главным образом по трем
следующим причинам.
1. Измерение. Если пространственное распределение волнового*
поля при больших радиальных расстояниях от источника рассеяния
или дифракции действительно содержит значительную информацию*
о пространственном распределении ближнего поля, в этом случае
требуется высокая точность; например, длина должна измеряться
с точностью <С?о, где К — длина волны светового излучения. Так как
оптические величины должны измеряться через энергию
электромагнитного поля, то метод, который предусматривает измерение
пространственного распределения фазы рассеянного или
дифрагированного поля (см. гл. 2), по-видимому, является практически
неприменимым. Хотя это и сильный аргумент против практической
применимости сверхразрешения по оптическим данным в дальней
зоне, существуют интерферометрические методы для измерения
требуемых данных, которые обсуждаются в разд. 4.7.
2. Устойчивость. Задача восстановления ближнего поля по
данным в дальней зоне, как известно, является некорректно
поставленной в том смысле, что решения не зависят непрерывно от данных.
Устойчивость, однако, может быть восстановлена введением
подходящих стабилизирующих условий на поле.
3. Информация. В дальней зоне локализованного источника
любое волновое поле аппроксимируется в любой точке поля
однородной плоской волной (рис. 4.1). По-видимому, не существует
доступного метода измерений в дальней зоне, позволяющего дать
информацию, отличную от той, которую несут компоненты
однородной плоской волны заданного поля. Ясно, что такое представление
приводит к вопросу о возможности сверхразрешения по данным
в дальней зоне. Можно прийти к заключению, что так как в данных
о дальней зоне не содержится информации больше той, которая
содержится в спектре однородных плоских волн, то для получения
сверхразрешения необходимо измерять пространственное
распределение поля в ближней зоне или аналитически продолжать спектр
однородных плоских волн.
Следующий факт является интуитивным аргументом в пользу
возможности сверхразрешения по данным в дальней зоне. Поле в
дальней зоне от объекта близко к сферической волне, если оно
распространяется от субволнового источника; если пространственное
распределение поля сферической волны поддается измерению,
можно получить (Миллар [4.1]) из данного распределения положение
точки особенности, этого волнового поля. Такое представление
наводит на мысль, что пространственное распределение субволновых
источников может определяться по данным в дальней зоне с
разрешением порядка длины волны.
Известно [4.2], что преобразование Фурье поля, которое имеет
конечный носитель в одной из плоскостей Z+ и Z~ (рис. 4.2), явля-
90

\
/
-и^
***
/
\
Рис. 4.1. Аппроксимация
поля в точках дальней зоны
однородными плоскими
волнами
ется целой аналитической функцией
плоских пространственных частот fx, fy.
Поэтому сверхразрешение часто
рассматривают как задачу экстраполяции или
аналитического продолжения спектра
плоских пространственных частот по его
известным значениям внутри заданной
низкочастотной области на область
высоких пространственных частот. По этой
проблеме читатель может обратиться к
обзорным статьям Гудмэна [4.3], Хуанга
и др. 14.4], Фридена [4.5] и недавней статье
Паска [4.6]. Подход Лукоша
описывается, например, в [4.3] (см. также Ферверда
f4.7J). Виано [4.8] заметил, что
восстановление объекта по данным от конечной
апертуры является некорректно
поставленной задачей, и предложил метод восстановления устойчивости
введением дополнительных условий. Вольтер [4.9, 10, 11] и Хендерс
и Ферверда [4.12] рассмотрели теорему отсчетов по отношению к
числу степеней свободы изображения. Все эти авторы
соглашаются с теоретической возможностью сверхразрешения по данным в
дальней зоне для ограниченных объектов и бесшумовых
изображающих систем; однако, если измеренный низкочастотный спектр
обладает шумом, практически невозможно найти спектр по
низкочастотным данным вне заданной низкочастотной области.
Слепян и Поллак [4.2], Ландау и Поллак (4.13, 4.14] и Слепян
[4.15] разложили спектр по вытянутым сфероидальным волновым
функциям с двойной ортогональностью и пришли к выводу, что
аналитическое продолжение спектра в высокочастотную область
невозможно выполнить, когда низкочастотная часть спектра
измеряется в присутствии шума. Этот результат находится в согласии
с соотношением неопределенности, и если ненулевая амплитуда
плоского источника существенно ограничена внутри площади
АхАу, которая мала по сравнению с квадратом длины волны,
величина амплитуды его двумерного пространственно-частотного спект-
Рис. 4.2. Представление поля
полупространства плоскими волнами, когда аппроксимация
поля полупространства однородными
плоскими волнами не согласуется в теневых
областях с полем источника, локализованного в К-
области V
91

pa очень мала внутри низкочастотной области А/ХА/У^1Д2. Таким
образом, хотя спектр двумерных пространственных частот поля
источника с конечным носителем задается одной целой
аналитической функцией, нельзя получить достаточную информацию о
высоких пространственных частотах по информации внутри
низкочастотной области.
4.1.1. Система источников с известными диаграммами
направленности излучения
Вольтером и др. [4.16] показана возможность сверхразрешения
по данным в дальней зоне, если высокочастотное электромагнитное
поле возникает, от системы конечного числа диполей, для каждого
из которых априори известна диаграмма направленности. Решение
Вольтера по данным в дальней зоне от .системы диполей не было
ограничено дифракцией, и от измерений не требовалось высокой
точности.
Решение для системы диполей получено непосредственно из:
пространственного распределения поля в дальней зоне /без
какого-либо представления поля угловым спектром плоских волн. Поль-
вермахер [4.17, 4.18] показал возможность сверхразрешения по
оптическим данным для периодических объектов.
Эксперимент Вольтера, в частности, показал, что существует
практическая возможность сверхразрешения по данным поля в
дальней зоне, если априори известно, что источник состоит из
точечных диполей, т. е. в этом случае должна быть известна большая
информация в дальней зоне, чем та, которая связана с
однородными плоскими волнами. Результат Вольтера приводит нас к
следующим вопросам.
1. При какой дополнительной информации возможно
сверхразрешение с непрерывными источниками, в частности, с
непрерывными плоскими источниками?
2. Какая степень пространственного разрешения может быть
получена по данным в дальней зоне и какая точность требуется от
измерений, если диаграмма направленности излучения системы
элементарных источников полностью или частично неизвестна?
3. Как сконструировать оптическую систему, которая не
ограничивается дифракционным пределом?
4.1.2. Сверхразрешение, использующее
исчезающие волны
Нассенштейн |[4.Г9, 4.20] получил сверхразрешение, используя
дифракцию исчезающих плоских волн для перевода
пространственных частот выше 1Д в обычную оптическую область. Нассенштейн
[4.20—4.22], Лукош и Вютрих [4.23] также использовали
исчезающие плоские волны для голографии.
92

4.1.3. Я-локализованные источники
В дальнейшем задача сверхразрешения рассматривается для
объектов, задаваемых первичными или вторичными непрерывными
источниками, которые ограничены в пространстве и заключены в
заданной двумерной или трехмерной области пространства порядка
Я2 или № соответственно. Для краткости такой локализованный
источник будем называть «Я-локализованным» или локализованным
в «^-области» пространства. Предположение существования такого
источника рассеяния или дифракции излучения не вводит какого-
либо нереалистического априорного требования, а согласуется со
свойством многих рассеивающих и дифрагмирующих объектов.
Можно показать, что: 1) любой ограниченный по полосе
пространственных частот спектр в ближней зоне не согласуется с Я-локализо-
ванным источником [4.24—4.28]; 2) для заданного
^-локализованного источника внешнее поле представляется волнами, связанными с
комплексными пространственными частотами. Амплитуда волн
остается значительной в дальней зоне, даже если действительная
часть связанных с этими волнами пространственных частот
превышает дифракционный предел [4.29].
4.2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ЧАСТОТАМИ
На рис. 4.1 показано, что поле в окрестности точки в дальней
зоне, как можно ожидать, локально аппроксимируется
пространственным распределением однородной плоской волны. Однако поле
во всей внешней области локализованного источника не может быть
ни представлено, ни аппроксимировано линейной комбинацией
только однородных плоских волн. Можно показать (см. разд. 4.4)„
что поле, составленное только из однородных плоских волн,
недостаточно для правильной аппроксимации поля источника,
заключенного в Л-области V, в теневой области, схематически обозначенной
на рис. 4.2. Поле, составленное только из однородных плоских волн,
может быть правильной аппроксимацией поля такого источника
всюду вне теневых областей, обозначенных на рис. 4.2. Аналогично
разложение внешнего поля по членам мультипольных волн с муль-
типолями в начале, которое достаточно для аппроксимации
внешнего поля при больших радиальных расстояниях, теряет силу в
областях, показанных на рис. 4.3, и не дает правильную
аппроксимацию поля источника, ограниченного в ^-области У.
Вещественные двумерные пространственные частоты fx, fy^>l/k
в одной из плоскостей Z+ или Z~ обычно связываются с
неоднородными плоскими волнами [4.30], которые движутся вдоль этих
плоскостей и становятся бесконечно малыми в положительном или
отрицательном направлении оси г соответственно (см. рис. 4.2 и
4.4, б). Такой вид волн предполагает, что высокочастотное
возмущение не распространяется в дальнюю зону, а экспоненциальна
поглощается вдали от плоскости объекта [4.31, 4.32]. Тем не менее,
93

известно [4.29, 4.33], что существует бесконечно много базисов
плоских волн, из которых можно составить плоское распределение поля,
заданное^ Z+ или Z- а именно неоднородные плоские волны с
ненулевой г-компонентой вектора распространяющейся волны.
Любая неоднородная плоская волна является исчезающей в
направлении перпендикулярном к направлению распространения
14.34, с. 672—679] (рис. 4.7).
Выбор между этими различными базисами плоских волн есть
выбор между действительными и комплексными двумерными про
(гА*>
tali «■■■■■«;: i
. .. • • мммяяи ■ ■
Рис. 4.3. Представление внешнего поля мультипольными и^лиами, когда мульти-
поли расположены в начале системы координат. Более темные области
означают поле, ограниченное дифракцией, т. е. области, где частичные суммы по муль-
типольным волнам с вещественными степенями /<L=2jta/A, [см. (4.3)], не
могут служить хорошей аппроксимацией поля источника, локализованного в Я-об-
ласти V.
В затемненных областях относительная ошибка амплитуды поля,
ограниченного дифракцией, составляет 7—100%
94

Рис. 4.4. Положительная амплитуда плоских волн с вещественными частотами:
а — однородная плоская волна, распространяющаяся в направлении 30° по отношению к
+z оси; б — плоская волна, исчезающая в +z направлении, которая распространяется в
направлении 90° по отношению к оси г
странственными частотами; однородные плоские волны и плоские
волны, которые являются исчезающими в ^-направлении,
связаны с вещественными двумерными пространственными частотами.
В общем случае неоднородная плоская волна связана с
комплексными двумерными пространственными частотами. Соответственно,,
волновые функции, которые принадлежат различным вещественным
пространственным спектрам, как известно, являются взаимно
ортогональными на плоскости, в то время как волновые функции,
которые принадлежат различным комплексным пространственным
частотам, не являются взаимно ортогональными. Для удобства
предпочитают избегать комплексных пространственных частот и
обычно представляют поле полупространства плоскими волнами,,
определяемыми контурным интегралом по L-траектории (см. рис.
4.4, а и б и 4.5), т. е. непрерывной линейной комбинацией плоских
волн, которые являются либо однородными, либо исчезающими в
направлении оси г.
Представление поля полупространства плоскими волнами
однозначно определяется распределением поля на плоскости Z+ или Z-.
Кроме того, поле вызывается действием «точечных источников», из?
которых составлен заданный источник (принцип Гюйгенса).
Следовательно, если представляемое поле полупространства вызывается
А-локализованными плоскими или объемными источниками, то мы
выдвинем гипотезу о том, что любая плоская волна вносит
существенный вклад в поле полупространства только в тех областях
полуплоскости, где поле этой волны связано причинно с источником.
Например, когда источник является точечным и расположен в
начале координат, то поле любой одной плоской волны вносит
существенный вклад в общее поле только в тех точках поля, где фаза
95

lex l[(4.19) — (4.21)] плоской волны положительна, т. е. справа от
волнового фронта 50 (рис. 4.6), где содержится точечный источник.
Предвестник любой плоской волны, т. е. та часть поля плоской
волны, которая движется к точечному источнику, вносит всего лишь
несущественный вклад в поле полуплоскости, так как эта часть не
связана причинно с точечным источником (см. замечания,
добавленные в корректуру в конце этой главы).
Разложение поля полупространства по однородным плоским
волнам и плоским волнам, которые исчезают в направлении оси z
(см. рис. 4.4), не согласуется с приведенной выше гипотезой.
Например, поле вне плоскостей Z+ и Z~ и вблизи них составлено
существенно из однородных и исчезающих плоских волн, угол
распространения которых принимает значение ft7,=я/2 по отношению
к положительной оси г. Все эти плоские волны задаются точками
на вертикальной линии от Ф=( + л;/2, /0) до ( + я/2, —/оо) (см.
рис. 4.5). Только часть поля любой из этих плоских волн связана
причинно с точечным источником в начале координат, потому что,
тю предположению, не существует физических условий для
отражения любой из этих плоских волн. Пренебрежение
предшествующими плоскими волнами, определяемыми L-траекториями (см. рис.
4.5 и 4.6), может привести к тому, что поле полупространства в
целом будет отличаться от представляемого поля.
Напротив, разложением поля полупространства, выраженным
через неоднородные плоские волны с ненулевой ^-компонентой
вектора распространяющейся волны {плоские волны, определяемые 5-
траекториями, см. (4.25), рис. 4.5 и 4.7], не только подгоняем поле
к заданному распределению на одной из плоскостей Z+ или Z-, но
-Л
г\г m -*-
h (tf/zt in) Рредвестник
Прдддеотник
Рис. 4.5. Плоскость комплексной
переменной О. Плоские частоты
fx, fy и компоненты волнового
вектора плоских волн k связаны с
Ф по формулам (4.19), (4.20),
(4.21)
Рис. 4.6. Непричинные предвестники
составляющих плоских волн

Рис. 4.7. Положительная амплитуда
плоской волны, связанная с
комплексно-значимыми плоскими
пространственными частотами, направление
распространения которой составляет
угол 30° по отношению к оси + z
также удовлетворяем
приведенной выше гипотезе
относительно причинной связи между
полем полупространства и К-
локалиаованным источником.
Поле любой из этих
неоднородных плоских волн вносит
значительный в<клад в поле
полупространства только там, где
оно распространяется от источника, например от точечного
источника в начале координат, из-за эксцоненциального затухания этих
плоских волн в направлении, перпендикулярном направлению
распространения; предвестники этих волн создают поле, амплитуда
которого пренебрежимо мала всюду в полупространстве, за
исключением, может быть, окрестности источника. Непрерывная
сумма неоднородных плоских волн с направлениями распространения,
составляющими угол >к оси z от 0 до 90°, обеспечивает
неограниченное по полосе пространственных частот представление ноля
полупространства (см. разд. 4.5).
х[Х13
^ /^Ы
г[\)
м
1
■*»
* /
0
ш\
III
Г г
1 1 1
а)
8 16 вОГ[Л]
6)
в)
40 г[л}
Рис. 4.8. Мультипольные волны с вещественными степенями l=ka= 10:
а — зависимость от угла Q мультипольной волны со степенью t=\0, где области
почернения указывают на положительные значения lm{h10*{kr)Plox(cos Q)lhlolX(ka)} и дуга
окружности соответствует значению kr=ka=l0, т. е. г=\,6Х; б—зависимость амплитуды
{^X(kr)fh(l )(ka) от г, где параметры на кривых соответствуют значениям /;
в—зависимость фазы h^)(kr)fh{^) фа) от г, где параметры на кривых соответствуют значениям I
4—298 * 97

xlx) з
Э z[X] /И
*)
пис. 4.9. Мультипольные волны с комплексными степенями Re{/} >&а=10:
■зависимость мультипольной волны со степенью /=10+i от угла Q, где области
почернения указывают на положительное значение Re 1 Л^*) . (kr) ^iqj./ (-
cos2)/h(V+.(ka)}:
дуга окружности соответствует значению kr—kr—10, т. св. г=1.6А,; б — зависимость
амплитуды ЛП) (kr)fhy) (ka) от г, где параметры на кривых соответствуют значениям
U в — зависимость фазы А^1) (ur)lhy) (ka) от г, где параметры на кривых соответствуют
значениям I
Поле источника в Л-области V, которая не содержит начала
координат (см. рис. 4.3), может быть разложено вне сферы Л+ по
членам мультипольных волн (см. разд. 4.3.3) с комплексными
степенями 1 '[4.35, с. 214—224, 279—289]. Рисунки 4.8 и 4.9 показывают
для сравнения мультипольные волны с вещественными и
комплексными степенями; эти волновые поля происходят от мультиполей,
расположенных в начале координат. Мультипольные волны с
комплексными степенями могут быть использованы для
представления внешнего поля от источника, локализованного в ^-области V
в соответствии с причинной связью между внешним полем и этим
источником, в то время как любая мультипольная волна с
вещественными степенями принадлежит (фиктивному) мультиполю в
начале координат [4.35, с. 150—154]. Мультипольные волны с
комплексными степенями имеют значительную амплитуду как в ближней,
так и в дальней зоне (см. рис. 4.9).
4.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
4.3.1. Интегральные представления
^Электромагнитное поле в любой заданной точке поля
представляется объемным интегралом от распределения источника и
поверхностным интегралом от распределения электромагнитного поля
1 По поводу терминов степень и порядок см. текст, следующий за формулой
(4.2).
98

14.36, с. 48—56] (принцип Гюйгенса). Для скалярных гармонических
нолей принцип Гюйгенса может быть изложен значительно проще
[4.37, с. 199—200] — с использованием функции Грина, которая
обращается в нуль на граничной поверхности. Функции Грина для
плоскости [4.38, с. 43—45] и для сферы [4.35, с. 198—200] обычно
используются в теории дифракции. Результирующее интегральное
уравнение Фредгольма первого рода численно обращают с целью
получения поля в ближней зоне объекта (4.39, 4.40] из значений
электромагнитного поля в дискретных точках дальней зоны и из
приближения Борна дискретного распределения в трехмерном
пространстве плотности рассеивающего источника [4.41]. Решения
через ряды Неймана задают поле внутри [4.42] и вне [4.43] рассеи-
вателя. Любое распределение ближнего поля, полученное
численным обращением, является вектором в пространстве сигналов с
конечной размерностью, поэтому численное обращение может быть
использовано только тогда, когда объект имеет конечное число
степеней свободы или может быть приближенно представлен таким
образом как имеющий конечное число степеней свободы. Решение,
полученное с помощью такого дискретного метода обращения,
определяет, например, среднее значение показателя преломления внутри
элемента объема [4.41].
4.3.2. Представление внешнего поля
парциальными волнами
Электромагнитное поле, выходящее от гармонического по
времени источника, в любой точке вне источника может быть
представлено дискретной или непрерывной суммой парциальных волн так,
что: 1) каждая парциальная волна является решением волнового
уравнения в свободном пространстве и 2) сумма (или интеграл)
парциальных волн удовлетворяет граничным условиям, заданным
на поверхности, охватывающей или исключающей все источники
14.44, 4.45] (например, заданным на плоскости Z+ или Z~, или на
сфере А+ или А~\ см. рис. 4.2 и 4.3). Физический смысл
парциальных волн или некоторой части спектра парциальных волн является
дискуссионным [4.46], и физическая возможность сверхразрешения
^-локализованных источников зависит опять от подходящего
выбора парциальных волн для представления поля вне таких источников
Теперь обсудим разложение электромагнитного поля
локализованного источника (см. рис. 4.2 и 4.3) по членам как мультиполь-
ных, так и плоских волн. Если поле возникает от первичного
источника, скалярная величина и(х) обозначает одну компоненту
векторного потенциала [4.47] [4.34, с. 704—708] или потенциала Герца
[4.35, с. 238, 268; 4.36, с. 106—108]. Здесь х= (х, у, г) обозначает
вектор положения точки поля. При изучении плоского источника,
например, гауссовского (см. разд. 4.4 и 4.6), и(\) или v(x)
обозначает поперечную компоненту электрического или магнитного поля
[4.48, с. 129, 4.49, с. 268]. Для краткости величины и(х) или v(x)
иногда Сбудем называть «полями».
4*
99

4.3.3. Мультипольные волны
Пусть и (г, Я, if) обозначает одну компоненту векторного
потенциала [4.45], где г, й, г|) — сферические координаты точки поля, ж
путь все источники окружены сферой А+ радиуса г=а (см. рис. 4.3).
Здесь и(х) удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда.
Распределение на сфере А+ векторного потенциала, вызываемого
внутренним распределением источников, обозначается иА+(й, яр) =
= и(а, Я, г|)). Известно, что при г>а, и (г, Q, ар) может быть
представлено в виде разложения по членам мультиполей,
расположенных в начале координат:
«(г, Q, <Ю=2 2 *1тЬ?у(Ьг)У?(Ш (4-1)
/=0 т=—I
где коэффициенты задаются следующим выражением:
2% %
ata=hM{ka)\ lUA+ (2'' WfW* *') Sin 2'rf2W- (4-2)
1 о о
Наши обозначения следуют Гертцелю и Тралли [4J50, с. 154]. Здесь
k — 2n/K и 'Yim обозначают сферические гармоники степени / и
порядка т, которые ортогональны на единичной сфере. Звездочка
обозначает комплексно сопряженные величины. Кроме этого*
hf) — сферические функции Ганкеля первого рода [4.50, с. 157].
Ряды (4.1) сходятся абсолютно и равномерно при г>а [4.45].
Узловые линии, определяемые соотношением Re{yiTO(Q, i^)}==0^
где^Ие обозначает действительную часть величины в скобках,
определяют тессеральную сетку на единичной сфере [4.35, с. 127]. Эти
узловые линии расположены эквидистантно в угловом*
направлении 1|э, а в направлении й — приближенно эквидистантно при
больших I, за исключением областей, близких к двум полюсам: Q = 0
ий = я. Таким образом можно связать с любой мультипольнои
волной две (мгновенные) пространственные частоты /q, f$ в
направлении Q и i|? соответственно на поверхности сферы А+, задаваемых
соотношениями
/e^//2rta, (4.3)
f^=m/2na. (4.4)
Коэффициент aitm, определяемый уравнением (4.2), обозначает
амплитуду выходящей мультипольнои волны, связанной с
пространственными частотами поля на сфере Л+. Для 1—т = 2ла/Х эти
пространственные частоты превышают дифракционный предел 1/А,.
Если распределение векторного потенциала на А+ содержит
компоненты высоких пррстранственных частот, существуют ненулевые
амплитуды агш с I, большим, чем 2яаД. Мультипольные волны
hp)Yim имеют почти постоянную фазу при значениях kr<Y
и быстро растущую фазу при kr>l (см. рис. 4.8)\
Амплитуда любой мультипольнои волны есть величина
0(r-(z+1)) при r-й) и 0{г~1) при г->оо. Поэтому мультипольная
волна высокого порядка быстро убывает во внешнем пространстве
100

вблизи сферы А+ с увеличением радиального расстояния (см. рис.
4.8), так что мультипольная волна единичной амплитуды на сфере
А+ имеет незначительную амплитуду в дальней зоне, исключая
малые значения /, однако малые значения /, т. е. / = 0, 1, ..., связаны
с высокими пространственными частотами (4.3), (4.4), если радиус
ka сферы А+ есть малое число, и монопольная волна, которая
соответствует /=0, т. е. ho(l)Y0° = exp(ikr)/(ikr), изменяется, как г-1, во
всем пространстве. Можно показать (см. раздел 4.4), что, хотя
высокочастотные мультипольные волны (т. е с вещественными l>ka)
плохо распространяются в дальнюю зону, изъятием этих волн из
мультипольного волнового спектра мы получим поле, которое не
согласуется с полем источника, локализованного в А-область
пространства, не содержащим начала координат.
Специальным случаем (4.1) является дипольный точечный
источник (типа ТМ), помещенный в точке r = r0, Q = Qo = 0 и
ориентированный в направлении z. Хорошо известно разложение
векторного потенциала такого диполя по мультипольным волнам [4.35,
с. 145]:
! У(2/+1)Я/(со8 2)У/(*г0)й11)(^г), r>r0j (4.5)
е— = \ ™
1 2i(2l+l)Pt(cosQ)h\l)(kr0)Jl(kr), r<r0, (4.6)
1=0
где Pi(cosQ)—полином Лежандра степени 1\ /г—сферические
функции Бесселя [4.50, с. 157] и
^=(r2 + ro-2rr0cosQ)1/2. (4.7)
Если для А/1) хорошо известное разложение [4.51]
где 6,я=(-2)-"г-"-' У + и)| , 1>п, (4.9)
подставить в (4.1), то получим
•"■"•«-£-S^ (4Л0)
п=0
где
un(Q, ф)=2 ^2 *шУ?(Ъ «. "=0> 1-. • (4.11)
l=n m=—l
Диаграмма направленности, получаемая из (4.11),
Яо@.«=2*«>2 atmY?(Q,® (4.12)
1=0 m=—l
101

содержит амплитуды мультипольных волн Щт всех степеней й
порядков, / = 0, 1, ..., —/^ra^ + Z, тогда: как угловые функции
wn(Q, ip) с большими значениями п, которые являются
амплитудами радиальных функций высокого порядка exp(i/ftr)/{i(&r)n+l],
составлены из всех амплитуд мультипольных волн щт со степенями
1} не меньшими чем п.
Хорошо известные рекуррентные формулы [4.52, с. 194; 4.53]
для угловых функций ип(&,Ур) получаются [4.50, с. 153] из условия,
что сферические гармоники Yim удовлетворяют уравнениям
L?Kf(Qf ♦)=/(/ +1) Kf (Qf«f /=0, l,...r, (4.13)
где
L2=-zd_ Г J_ ( sin fi JL} + JL_ JL1 . (4.14)
sin Q L 02 V dQ J sin Q ^ J v /
Из уравнения (4.9) имеем
-2i(» + l)6/f„+1=['(*fl)-«(« + l>I*i«, l>ft, (4.15)
и получаем
iy-»(*+l)]e.P,«=2R(/+l)-«(»+l)]X
* = /*
m=—l l=n+l m=—l
= -2i(h+l)tin+1(Qy<i), л=0,1,..-. (4Л6)
Рекуррентные формулы (4.16) в принципе связывают угловые
функции высокого порядка мп(Я, Ф), л=1, 2, ..., с диаграммой
направленности «o(Q, г|э), но из уравнений (4.11) и (4.16) также
видно, что рекуррентные формулы не могут быть использованы для
восстановления ближнего поля по данным в дальней зоне.
Угловая функция un+i(Q, ф) есть просто другая линейная комбинация
амплитуд мультипольных волн а\т, которые входят в ип(й, г|)) [см.
(4.11)], и точность, которая может быть получена из значений
угловых функций высокого порядка wn(Q, г|>), определяется
точностью, с которой задаются амплитуды мультипольных волн
высокого порядка: а$ш, 1^п. Следовательно, так как мультипольная
волна с вещественно-значимыми степенями l>ka имеет
незначительную амплитуду s дальней зоне (см. рис. 4.8), угловая функция
высокого порядка un{Q, ф) не может быть найдена по измерениям
в дальней зоне с приемлемой точностью. Однако можно показать
(см. разд. 4.5), что существенная информация об амплитудах
мультипольных волн высокого порядка агт содержится в распределении
в дальней зоне, если это распределение вызвано источниками
поля, ограниченными Я-областью пространства.

4.3.4. Плоские волны
Когда все источники йаходятся вне декартового
полупространства, т. е. слева от Z^ или справа от Z- соответственно (см. рис.
4.2), поле полупространства может быть представлено плоскими
волнами [4.44, с. 733—735; 4.54, с. 11—37]. Здесь и(х) обозначает
одну компоненту векторного потенциала [4.34, с. 704—708, 4.47],
потенциала Герца [4.35, с. 238, 4.36, с. 106—108] или одну
компоненту электрического или магнитного поля [4.48, с. 129, 4.49, с. 268].
Оба полупространства имеют разные начала на оси z, как
показано на рис. 4.2. При 2^0 (2^:0), т. е. для положительного
(отрицательного) полупространства значение 2=0 означает точку в
плоскости Z+(Z~). Если поле удовлетворяет условиям излучения
Зоммерфельда, и(х) в положительном (отрицательном)
полупространстве однозначно определяется распределением и+(х, у)Х
X {и- {х, у)) в плоскости Z+ (Z~)
-f- оо 4"°°
и(х)=| j u±(fx, fy)exp{+i2n[xfx + yfy +
— оо —оо
+ \z\Vi\№-fl-f$) dfAfy, (4.17)
где двумерный пространственно-частотный спектр й± определяется
как
«±(Л,Л) = | |. »±(*. «/)ехр[—12я[/ях + fyy]]dxdy. (4.18)
Л—ОО —оо
Мнимая часть квадратного корня в (4.17) больше или равна
нулю. В общем случае представление (4.17) недействительно в
области между плоскостями Z+ и Z^. Любые двумерные частоты
fXt fy в плоскости Z+(Z~) связаны с плоской волной exp(ikx) такой,
что
kx=2nfx=^r- sin Ь cos ср. (4.19)
А
ky=2nfy =— sin e sin <p, (4.20)
kz=±^/^-J-k2x-kl=±^cos^ (4.21)
где для kz положительное (отрицательное) значение квадратного
корня берется в положительном (отрицательном)
полупространстве. Здесь Ф и <р— угловые сферические координаты волнового
вектора k= (kx, kv, kz) плоской волны. В дальнейшем для удобства
будем рассматривать только положительное полупространство и
будем опускать знаки ±. В плоскости Z+ имеются
пространственные частоты, превышающие 1/А,, если Ф или ср, или оба угла [4.55,
с. 172] предполагаются комплексными величинами [см. (4.19, 4.20)].
103

Плоская волна exp(tk-x) с комплексными волновыми векторами,
задаваемыми уравнениями (4.19, 4.20, 4.21), является решением
скалярного уравнения Гельмгольца, так как
kl + kl + kl=(2n/\)\ (4.22)
Якобиан преобразования (4.19, 4.20) равен (lA^sfindcosft.
Поэтому для поля полупространства получаем непрерывную сумму
плоских волн [4.29]:
2тс (тс/2, — /оо)
и(х)=\ \ С?(&> ср)ехр U -Y-(xsm$cosy-\-у sin & sin cp-J-
0 (0,/0)
+ z cos %)] cos & sin bdbuy, (4.23)
где угловой спектр плоских волн G(0, ф) связан с двумерным
пространственно-частотным спектром u(fXt fy)t
0(&,<р)= — а(—ski&coscp, — sin&sincp]. (4.24)
А.2 у X \ J
Для того чтобы согласовать пределы интегрирования в (4.23) с
пределами интегрирования в (4.17), будем считать <р вещественным
числом в интервале (0, 2я) и интегрировать по Ф от (0, /0) до
(я/2, —ioo) вдоль L-траектории (см. рис. 4.5). Однако
интегрирование по Ф в (4.23) от (0, ДО) до (я/2, —*ioo) по теореме Коши
может быть выполнено вдоль любой траектории, отличной от
L-траектории при условии, что точки особенностей
подынтегрального выражения обходятся деформацией пути интегрирования
[4.2; 4.29, с. 1066]. Обобщенную траекторию интегрирования в
полосе (0, ДО), (я/2, ДО) (я/2, —i'oo), (0, —/оо) в плоскости Ф будем
называть 5-траекторией (см. рис. 4.5).
Плоские волны, задаваемые точками L-траектории, являются
либо однородными (горизонтальная часть L-траектории), либо
исчезающими в направлении + z (вертикальная часть L-траектории,
см. рис. 4.4 и 4.5). Напротив, любая неоднородная плоская волна,
задаваемая комплексным значением Ф= (Фг, *<И) в полосе (0, ДО),
(я/2, ДО), (я/2, —/оо), (0, —too) плоскости Ф распространяется в
направлении (Фг, <р) с длиной волны A,/ehd*. Амплитуда такой
плоской волны изменяется экспоненциально перпендикулярно
направлению распространения, но остается величиной того же порядка в
направлении распространения (см. рис. 4.7). В плоскости z=0
(т. е. в одной из плоскостей Z+ или Z~ соответственно) такая
неоднородная плоская волна имеет распределение
ехр[/ ^(/^+/уУ)]=ехр[/^ sin»'ch»'(*cos<p + y sincp)J x
ХехрГ —— cos&'sh&'Oxrcoscp + y sin <p)j , (4.25)
104

[получаемое подстановкой $=<&r+i®i в (4.19, 4.20)]. Две
комплексные плоские пространственные частоты fx, fy [см. (4.19, 4.20)]
связаны с неоднородной плоской волной Для вертикальной части L-
траектории 0 = л;/2-ИЧ),\ ft^O имеем плоские волны, которые
являются исчезающими в направлении +z с экспоненциальным
изменением в направлении х и у [см. (4.25)] и связаны с
вещественными плоскими пространственными частотами fXt fy см. (4.19, 4.20).
Плоские (двумерные) пространственные частоты, связанные с
неоднородной плоской волной, больше на множитель chft*, чем
плоские пространственные частоты, связанные с однородной плоской
волной при одинаковых значениях Фг и <р [см. (4.25)]. Неоднородная
плоская волна, задаваемая значением ft, которое не находится на
L-траектории, не является линейной комбинацией плоских волн
L-траектории. Таким образом, спектры G(0, cp) поля
полупространства, взятые вдоль траекторий Д, и 5 между (0, ДО) и (я/2, ^—ioo)
плоскости Ф, содержат разные множества информации, потому что
принадлежат существенно различным базисам парциальных волн
[4.56]. Плоские волны S-траектории дают альтернативные базисы
для разложения поля полупространства. В разд. 4.2 была
выдвинута гипотеза, согласно которой базисы S-траекторий
предпочтительнее базисов L-траекторий, если нужно представить поле
полупространства, создаваемое ^-локализованными источниками.
4.4. ОГРАНИЧЕНИЕ ПОЛОСЫ ЧАСТОТ,
НЕ СОГЛАСУЮЩЕЕСЯ С /-ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ
ИСТОЧНИКАМИ
Парциальные волны, связанные с вещественными
пространственными частотами выше 1/А, (дифракционного предела), являются
существенными, если поле, представленное в виде (4.1), (4.17) или
(4.23), согласуется с присутствием источника, локализованного в
А-области пространства. Вначале обсудим последние результаты,
чтобы показать, что только полный интеграл, включая все
компоненты плоских высоких пространственных частот, позволяет
получить представление поля полупространства А-локализованного
источника в соответствии с разложением (4.10); это разложение
характеризует внешнее поле первичного источника, локализованного
внутри сферы данного радиуса около начала координат. Из
разложения (4.10) следует, что внешнее поле удовлетворяет сильным
условиям излучения [4.48, с. 142]
(d/dr-ik)u=0{r-*) (4.26)
при г->оо, равномерно по всем направлениям Q и if>. Далее, из
(4.10) следует [4.27], что ротор действительной части Sr вектора
Пойнтинга внешнего поля ограниченного источника при г->оо
удовлетворяет условию
vXS'=0(r-3) (4.27)
равномерно по всем направлениям й и г|).
105

Поле v(\) плоского источника в плоскости z=0j которое
удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда для всех z^O и
абсолютно интегрируемо на плоскости z = 0 [4.25]:
+ 00 +00
Г [\v(x, у, 0) | dxdy < оо> (4.28)
ОО 00
удовлетворяет сильным условиям излучения (4.26) по крайней мере
вблизи положительного полупространства 0^й^я/2—е, е>0
[4.25].
Согласованность между полем ^-локализованного источника и
полем полупространства, представляемого интегралом плоских
волн, может быть проверено из анализа пространственного
распределения вектора Пойнтинга в ближней зоне, так как
действительная часть вектора Пойнтинга, обозначает усредненный по
времени вектор потока энергии [4.34, с. 625—628], а усредненная по
времени энергия должна уходить от такого источника вдоль
гладких траекторий во внешнем пространстве.
Шерманом и др [4.57, 4.58] изучено асимптотическое поведение
в декартовом полупространстве полей, представляемых
однородными и неоднородными плоскими волнами. Шмидт-Вайнмар, Болте
и Рамзэй [4.24—4.28] получили асимптотические разложения с
переменной полосой частот поля следующих ^-локализованных
источников: 1) диполь Герца, 2) гауссовский источник с малым
поперечником сечения. В дальнейшем представим некоторые
результаты о поле этих ^-локализованных источников, которые
применяются в асимптотическом пределе р= (х2+у2),/2-^оо для
фиксированного значения z. Спектр плоских волн этих полей интегрируется
вдоль L-траекторий между (О, ДО) и (я/2, —/т), где параметр
отсечки т связан с верхней границей полосы частот fx вещественных
плоских пространственных частот fx= (1/X)cht (см. рис. 4.5).
Выбираем т>0 таким, чтобы поля полупространств содержали все
компоненты однородных плоских волн плюс те компоненты плоских
волн, которые исчезают в направлении z и связаны с
вещественными плоскими пространственными частотами между 1Д и
(1Д)сЬт.
Если вещественные пространственные частоты ограничены по
абсолютным величинам от нуля до /т=(1Д)сЬт, векторный
потенциал их(р, z) диполя Герца, расположенного в начале координат,
будет равен
1С/2-/Т
ит(р, z)= f J0{kpsmb)exv(ikzcosb)smbdb, z>0, (4.29)
о
где & = 2лД. В пределе при т->оо, т. е. при неограниченной ширине
полосы вещественных плоских пространственных частот,
выражение (4.29) представляет собой сферическую волну [4.35, с. 242]
lima*(p, *)=exp(/fer) , *>0, (4.30)
106

где
r = (p2-f^)V2. (4.31)
Если i>T(p, z) обозначает х-компоненту электрического поля
аксиально-симметричного гауссовского плоского источника [4.32],
вещественные плоские пространственные частоты которого ограничены
по абсолютным величинам нулем и /т=(1Д)сЬт, поле
полупространства определяется как
я/2—f4
^T(p, z)= \ J0{kp sin ft) ехр — LZL- sjn2 в exp(/&z cos ft) X
о
X sin Ь cos Ш, г > 0, (4.32)
с
lim*(P, 0)=exp(-;/2a2) . (4.33)
Аналогичные интегралы получены [4.28] для у- и г-компонент
электрического и магнитного полей плоского гауссовского
источника.
Для z=0 оба неограниченных по полосе частот поля [4.30] и
[4.33] удовлетворяют сильным условиям излучения * [4.26] при р->-оо,
а именно:
{д1дг-1к)ШШ =йН£т , (4.34)
{-^- - ikj ехр (- f2/2o*)/(ko)*= - (ехр (- р2/2а2)/(Ь)2) [(р/о»)+ik\. (4.35)
Однако интегралы (4.29) и (4.32) имеют следующие главные
члены, когда они асимптотически разлагаются при р->оо и
фиксированных значениях z и т:
и* (р, z)=exp{ikp)/ikp + / (2/я)!/2(ch1/2t/sh t) [ехр (— kzsh т)/(up)3/2] X
Xcos(Apcht+n/4)+0(p-5/2), (4.36)
(диполь Герца, т>0, z>0, р-»-оо);
-с- <»- -(тГ-$Й"!ак:£г*а <«<*<*.+.,«»+
+ 0(р~5/2), (4.37)
(гауссовский источник, т^О, р->оо).
1 Неограниченное по полосе частот гауссовское поле в плоскости z
удовлетворяет более сильным условиям излучения порядка О [р ехр (—р2/2о~2) ], см.
[4.35].
107

Когда р->оо, ограниченные по полосе частот поля
полупространства удовлетворяют условиям излучения порядка 0(р-3/2) при
фиксированном zt а именно:
(д/дг-ik)^(р, z) = ik(e£E^£L_(А.)1'2 *£*. е«Р(-»».Ы>
v '• ^ ' \ (*r)2 \я) shu (k9f2 Л
X [ch t sin (&p ch t-|-3t/4)-{-* cos{kp ch t + n/4)]}-f-0 (p-5/2),
(диполь Герца, т>0, г>0, p->-oo) (4.38)
(^-„),.(, *>-'(-£f^;
Г (bcht)2]
2 y/2 ch^ueXP["" 2 J
X
(fccr)2
X [ch x sin (ftpch t+rt/4)-f-* cos {kpch t+rt/4)]-f-0 (p~5/2),
(гауссовский источник, т^О, 2=0, p->-oo). (4.39)
Уравнения (4.38) и (4.39) показывают, что для получения
ограниченных по полосе частот полей полупространств необходимо
удовлетворить приближенно условиям излучения порядка 0(р~2)
при р-^оо [4.24, 4.25]:
exp(-^sht)-£^(*p)1/2« 1,
(диполь Герца, т>0, z>0, р->оо); (4.40)
ехр[^(^1|^|с^/Ч^р)1/2<< 1,
(гауссовский источник, т^О, 2 = 0, р~>-оо). (4.41)
Уравнения (4.40) и (4.41) подразумевают следующую
зависимость верхней границы полосы плоских пространственных частот
fx от z и а соответственно при р->-оо:
Ут Л 2« 1 2' Т J*
(диполь Герца, z>0, p-voo); (4.42)
(гауссовский источник, о>0, 2=0, р->оо). (4.43)
Эта зависимость указывает на отсутствие конечного значения
верхней границы полосы плоских пространственных частот fT,
достаточной для того, чтобы поля tfx(;p, z) и vx (py z) приближенно
удовлетворяли сильному условию излучения (4.26) (рис. 4.10) при
р->оо с фиксированными малыми значениями 2>0 (диполь Герца)
108

Рис. 4.10. Нормированное условие
излучения RC | r*k (%—ik) и* (р, z) |
для ограниченного по полосе частот
поля дипольного, точечного источника
их (р, г) как функция параметра
среза т исчезающих вЪлн
(см. рис. 4.5). Поперечное расстояние р
точек поля равно 10 000 длин волн.
Параметр на кривых указывает на продольное
расстояние z точек в длинах волн. Для
неограниченного по полосе частот поля
JR.C— 1
О д 6 ЗГ,рид
или а>0 (гауссовский пучок). Аналогичные результаты получены
14.27] относительно асимптотического поведения вектора Пойнтинга
(4.27) для ограниченных по полосе частот электромагнитных
полей диполя Герца.
Таким образом, показано, что неоднородные плоские волны
необходимы для аппроксимации поля полупространства А,-локализо-
ванного источника при асимптотически больших внеаксиальных
расстояниях от источника. Неоднородные плоские волны также
необходимы для получения истинного поведения потока энергии поля
таких источников. Удаление из плосковолнового спектра любой из
компонент неоднородной плоской волны вызовет движение около
извилистых гладких траекторий усредненного по времени потока
энергии внешнего поля от ^-локализованного источника (рис. 4.11).
Следовательно, любая система плоских волн, получаемая
укорочением полного плосковолнового спектра, приводит в
полупространстве к тому, что поле, удовлетворяющее условиям в дальней зоне,
не согласуется с полем Л-локализованного источника.
Несоответствие между ограниченным по полосе частот
волновым полем и источником с очень малыми размерами возникает
также из разложения по членам мультипольных волн векторного
потенциала дипольного точечного источника, расположенного в точке
г=ГоФО, Q = Qo = 0. Ограниченные по полосе частот ряды мульти-
лольных волн [см. (4.5), (4.6)]
ML (г, Q)=2 (21 + 1) j\ (kr0) h\l) (kr) Pt (cos Q), ,- > ro; (4.44) .
1 = 0
L
л*(г, Q) = y^(2l + l)h(tl)(kr0)jl(kr)Pl(cosQ\ r<r0 (4.45)
1=0
не противоречат сильным условиям излучения (4.26) при г->оо.
Каждый член в разложении (4.44) удовлетворяет условию (4.26),
и выполняется рекуррентная формула (4.16) с любым конечным
или бесконечным значением верхнего предела Lb разложении
(4.44, 4.45); это согласуется с представлением [4.45], что каждый
член разложения (4.44) выражает поле мультиполя степени /, рас-
лоложенного в начале координат. Однако, если задан верхний пре-
10,000
1,000
100
10
1
F1 \
iV
у«/
цоот\
i
^\00001
\ 111
109

zmr
ГТТм и:*шкт%ъ*:?:#г% •
* у*--г г*** тт'тш*-*:*;
Hi \\*;**№№*■■*лг^ж
V §:л:и т^тш&Ш/^-?л •■
Г tj+'*:№* гтщ#ш-**ш
*■■> / ■«. *: f > ■ /■ ■/■# * 4 Ш: m ■" m \
*4i.-i-:f-i.4. * f *Ш&? &??'*'* i
WW;*-* * l-f*4WJ*>+tf■■■?■** \
.»■-.♦.. .*.?/■> ^vv-e *£r **? •** ■'■"'*
kf\/iA /'У * / /'*^V^:^^ .- -"'.^ !
Ш^4- XV.^t*-<***.■<?-.■«Г ■?■.■* ■*-* 1
L #ТГ/У//;'>1^^'%Г'-'^-' :
f..■*.*/f;/>>^y^>^'^^-r>'-»- ;
*'*'/*/-mr,*^^d"^^'^*:'*' '
> *r л*>. *^*^^ -^^^ ',
[ tt-* я**..* ?.*<r***■■***??•;*■*■!
1 f ^м»щм*^*^*тж-*^-*^ i
If^^yi*'//^*^/;»-»/^ j
Ь : 1 : ! '
Рис. 4.11. Извилистое
движение усредненного по времени
вектора Пойшгинга вдоль
гладких траекторий для
ограниченного по полюсе частот
электромагнитного поля
Я-локализованного плоского источника.
Верхняя граница полосы
плоских пространственных частот
равна \/К. Неограниченное по
полосе частот
электромагнитное поле в плоскости 2 = 0
распределено по гауссовскому
закону с параметром a=V8 [см.
(4.32, 4.33) J
У7
/л;
xiM
Ж\'-Щ}$
Hiw »&Ггн-: «txi
sS?S:r:;::4.::::i; %
?!:if£:::~::~j::j^
:itlii:r.:::::T.:.:.:
: S S S 5 в Jt.-..? n:::::: s П
!«?*=£ = !• = «? =
: 5 s f s r:: г:: ::~n *t=g rr ; 4 ^ " r: txw.f
Iztzt::;::■::::: ;?:: :£3st: j:.*; :5 r :_:|
Рис. 4.12. Изображение амплитуды поля мультипольной волны, or*
раниченной дифракцией, для точечного дипольного источника,
расположенного в точке с координатами г=г0=2Я, й = й0=0. Верхняя
граница полосы частот L [см. (4.44, 4.45)] равна целому числу 13,
поэтому пространственная частота /а в направлении угла О, на
поверхности г=г0 равна \/Х
110

аел L рядоъ (4.44), (4.45), т. е. такое целое число 1 = 2ягсД, что
uL{r, Q) ограничено по полосе пространственной частотой fa [см.
(4.3)] на сфе^е радиуса г=г0, определяемого соотношением /^
^L/2nr0=l/ly цолучаем поле, амплитуда которого распределена,
как показано на\рис. 4.12; очевидно, ограниченное дифракцией поле
противоречит Я-об^асти с радиальной координатой г = гофО (см.
также распределение относительной ошибки амплитуды поля,
показанное для этого случая на рис. 4.3) Поле, представленное рядом
(4.44), (4.45), не согласуется с источником, локализованным в
А-области г = го=т^=0, если верхний предел L в (4.44), (4.45) не
является бесконечным. Внешняя окрестность сферы А+ (см. рис. 4.3),
когда r-w0 + , является областью, в которой для согласования
внешнего поля с полем источника, локализованного в Х-области с
г = г0=^=0, требуется наивысшее значение верхнего предела L с
(4.44). Эти результаты аналогичны полученным ранее, когда в
разложении поля в полупространстве от такого источника по плоским
волнам спектр был ограничен по полосе частот.
4.5. ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ В ДАЛЬНЕЙ
ЗОНЕ ОТ /ЛОКАЛИЗОВАННОГО ИСТОЧНИКА
Результаты, представленные в подразд. 4.1.1 и разд. 4.4,
показывают, как может быть найдено решение задачи
сверхразрешения, если поле объекта создается ^-локализованными источниками.
Информация о вещественных высоких пространственных частотах
плохо передается в дальнюю зону, так как связанные с ними
парциальные волны сильно поглощаются (см. рис. 4.4 и 4.8). Однако
информация, связанная с вещественными низкими
пространственными частотами, которая передается в дальнюю зону, например, с
однородными плоскими волнами, не согласуется с априорной
информацией, если присутствуют ^-локализованные источники. Эта
несогласованность может быть устранена, если информацця
оценивается б предположении, что такие источники заданы. Например,
когда задано конечное число точечных источников или когда
распределение непрерывного источника может быть аппроксимировано
конечным числом точечных источников. Метод такого оценивания
хорошо известен [4.16, 4.40, 4.41] (см. подразд. 4.1.1 и 4.3.1). Тогда
пространственно-частотные спектры, определяемые по данным в
дальней зоне, задаются линейной комбинацией спектров (4.2Г 4.5,
4.18), вид каждого из которых, по существу, известен:
а/=(2/+1)МАт0),1 = 0, 1,...,
(точечный источник в гфО, Q0 = 0); (4.46)
^р)=((1АЬ/?Г ' 0</р<°о, (4-47)
(точечный источник в начале координат [4,29]).
Б (4.47) /f=skifyX. (4.48)
111

Быстрый вычислительный алгоритм решения обратной задачи
заданных ^-локализованных источников рассеяния получен в
работах [4.40, 4.41]. 7
Поле ^-локализованного источника не согласуется с
ограниченным по полосе частот волновым полем. Согласованность между
полем, восстановленным по данным в дальней ^бне, и априорной
информацией о том, что заданы ^-локализованное источника,
наиболее непосредственно получается разложением внешнего поля по
членам парциальных волн с комплексными пространственными
частотами. Кроме того, предполагается, что поле неоднородных
плоских волн, связанных с комплексными плоскими частотами,
причинно связано с Л-локализованным источником (см. разд. 4.2).
Метод восстановления ближнего поля такого источника с
использованием неоднородных плоских волн будет рассмотрен в разд. 4.6.
Аналогичный метод, которой использует мультипольные волны с
комплексными степенями (см. разд. 4.9), к настоящему времени
не известен, однако волны такого типа уже использовались Зом-
мерфельдом [4.35, с. 214—224, 279—289]. '
4.6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ
В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ ^-ЛОКАЛИЗОВАННОГО ИСТОЧНИКА
Если поле полупространства z>0 представляется
неоднородными плоскими волнами с положительным направлением
распространения, которые в плоскости Ф задаются точками на S-траекто-
рии (см. рис. 4.5), каждая парциальная волна распространяется в
полупространстве с затуханием в направлении распространения.
Эти волны с комплексными плоскими частотами [см. (4.19, 4.20)
и рис. 4.7] сохраняют значительную амплитуду в дальней зоне;
следовательно, задача точного определения спектра плоских волн от
S-траектории по данным в дальней зоне не является задачей
экстраполяции или аналитического продолжения каких-либо данных,
а задачей интерполяции данных в дальней зоне по членам
разложения (4.23). Интерполяция, однако, должна быть осуществлена в
соответствии с априорной аналитичностью спектра G('&, ф)
плоских волн от S-траекторий (см. 4.24). К сожалению, не существует
асимптотического представления поля в дальней зоне, которое
учитывает плоские волны только от окрестности конечного числа точек
S-траекторий (Шмидт-Вайнмар и др. [4.56]).
Шмидт-Вайнмар [4.29] предложил алгоритм определения
спектральной функции 6(Ъ, ф) (4.23) вдоль S-траекторий в комплексной
плоскости Ф (см. рис. 4.5) по диаграмме направленности излучения
Wo(Q, ty) (4.10). При больших значениях г, z>0 интегральное
уравнение Фредгольма первого рода
2тс
exp(ikr) до(а> ф)_Г С Q{^ cp)expj/-^-r[siinQsin& X
0 S-траектория
X cos(cp — ф) + cos Q cos Ц} cos & sin & dbdy (4.49)
112

можно решать для G(0, ф) с помощью рекуррентных соотношений,
используя свойство (см. рис. 4.7) плоских волн от S-траектории,
которые исчезают в направлении, перпендикулярном направлению
распространения. Следовательно, при больших значениях г
значительный вклад в интеграл (4.49) может быть сделан только теми
плоскими волнами 5-траекторий, углы Ьт направления
распространения которых не больше, чем Q + es, где es-*-0 при г-^оо. Таким
образом, можно определить G(0, q))s==G(0) из равенства w0(0, if>) =
= «о(0), вычисляя
xp(ikr)
ikr
I
щ (0) ^ 2nG (0) Г exp U — г cos b\ cos Ь smW, (4.50)
(0,/0)
где Щ (см. рис. 4.5) обозначает первое значение верхнего предела
контурного интеграла вдоль S-траектории, выбранное таким
образом, что остаток от полного интеграла (4.49) вносит
несущественный вклад в член [exp (ikr)likr]u0(0) при г->-оо. Так как Ф^-Я) при
г->оо, получаем правильную аппроксимацию для интеграла,
заменяя G(ft, ф) средним значением G(0, cp) = G(0), которое может
быть вынесено за знак двойного интеграла (4.49). Тогда может
быть вычислено значение оставшегося интеграла справа от G(0)
(4.50). Однако, так как любая плоская волна S-траектории влияет
на поле в точках с Q>'&r, где амплитуда растет экспоненциальна
с увеличением радиального расстояния г точек поля, вклады в поле
в точке (г, Q, \р) с й>0 определяются двумя членами:
exp (ikr)
ikr
2%&s(Q)-bs
tt0(Q9 ф)~ Г Г 0(ftf cp)exp(iP) cos» sin8rf»rf<p +
(0,/0)
где P = P(r, Q, г|), #, ф) = 2nrK-1[smQX
X sin #cos (<p—г|)) + cos Qcos О} и где
^(Q) есть такое значение ft на
S-траектории, действительная часть
которого равна Q. Здесь 6s может быть
любым малым (комплексным) числом,
зависящим от числа приращений Ф/,
ftfts... (-см. рис. 4.5), выбранным для
измерения в направлении Фг. Кроме то-
Рис. 4.13. Амплитуда углового
волнового спектра гауссовского
источника в плоскости Ф.
Стандартное отклонение о поля в
плоскости z=0 равно значению
(4.51)

го, г" -О мри л-^оо. Первый член в разложении (4.51) представляет
cofiofl оклад в иоле в точке (г, Q, г|э) плоскими волнам/ S-траекто*
рии, которые распространяются в направлениях с fl^Q, а второй
член выражает непрерывную сумму всех плоских ш/лн S-траекто*
рии с углами распространения <К, примерно равныг^и Q.
Спектральная функция G('&, ф) в первом члене выражения /4.51) получается
из измерений при меньших значениях Q. Таким дбразом, рекуррент-
но найдем G($, cp) вдоль S-траектории как решение простой и
хорошо обусловленной системы совместных линейных уравнений,
которые связывают диаграмму направленности излучения при
фиксированном Q со значением спектра плоских волн S-траекторий и
фиксированном Ф [4.29]:
ехр (/£/•) „ {п fM_f f ль^—Сп(Ьз(п\*)Х
«о (2, <b) — Г С ...dbd<f=^Q(b*(Q)<t):
ikr
0~/0
X" \ exp{iP) cos* sin bdbdy, 0<<|><2я, 0<ср<2я. (4.52)
Все встречающиеся в этих алгоритмах интегралы могут быть
вычислены с высокой точностью. Эти вычисления могут
потребовать увеличенной точности во время промежуточных шагов
вычислений из-за экспоненциального роста подынтегрального выражения
при увеличении значения г. При этом может быть использована
увеличенная (двойная) точность арифметических операций в
пакете программ и библиотека с фортрановским прекомпилятором [4.59].
Повышенная точность, трбеуемая при промежуточных вычислениях,
не всегда означает, что требуется невозможная точность от данных4
•z/o(Q, ty), как подтверждает следующий пример.
На рис. 4.13 показана амплитуда углового плосковолнового
спектра G(O) поля v(p, z) плоского гауссовского источника в
плоскости Ф:
G(»)=^exp[--^Lsin2»l. (4.53)
[см. (4.32, 4.33)]. G(O) не зависит от ср, потому что этот источник:
симметричен относительно оси г. При z>0 поле задается
следующим образом:
(те/2,—/оо)
v(Pt zy= f М? sind)exp[ — ^- sin2&jexp(iftzcos»)X
(О.ГО)
X sin*cos»rfd. (4.54)
Путь интегрирования (4.54) является S-траекторией и
определяется соотношением
<a>s»'ch&'=l, (4.55)
114

Рнс. 4.14. vАмплитуда и фаза
ближнего поля гауссовского ис- r 1
точныка в плоскости z = Я/10, вое- IM
становленного Vo плоским вол- %
нам, углы распространения кото- '
рых по отношение к оси z
находятся между 0 и 75°,
а стандартное отклонение О поля в
плоскости -2 = 0 [см. (4.32, 4.33)] равно q^
значению о=кцУ2п): у. е.— условные '
единицы; 1 — плоские волны с
комплексными плоскими частотами fx и /
[см. (4.19, 4 20)]; плоские волны 5-тра-
екторий; поле, восстановленное по
плоским волнам S-траекторий, совпадает с
исходным полем с точностью 0,1%; О
2—плоские волны с вещественными
плоскими частотами fx, f [см. (4.19,
4.20)]; однородные плоские волны
т. е. S-траекторией с тангенсом угла наклона, равным —1 в
начале координат (см. рис. 4.5).
Рассмотрим теперь качество восстановления плоского
гауссовского источника субволновой ширины, используя угловой плоско-
волновой спектр вдоль S-траектории. Вначале сравним ближнее
поле, созданное плоскими волнами S-траектории, с полем,
созданным однородными плоскими волнами, которые имеют одинаковые
направления распространения /&г по отношению к оси z. О^.®1^.®^*
где йьг=75° (см. рис. 4.5). Ближнее поле вычисляется в плоскости
z=X/lO по формуле (4.54) с верхним пределом интегрирования,
равным [&Lrt —tch~1(l/cosO/.r)L пхои интегрировании вдоль
S-траектории и с верхним пределом интегрирования, равным (#Lr, ДО), при
интегрировании вдоль L-траектории. Результаты (рис. 4.14)
показывают, что в данном примере непрерывная сумма плоских волн от
S-траекторий с направлениями распространения между нулем и
75° по отношению к оси z очень хорошо восстанавливает поле
близко к плоскости £=0, тогда как непрерывная сумма
однородных плоских волн с теми же направлениями распространения
значительно отличается от точного поля. Поле, восстановленное с
помощью однородных плоских волн, имеет искажения, типичные для
ограниченного по полосе частот спектра, тогда как поле,
восстановленное с помощью плоских волн от S-траекторий не имеет таких
искажений:
Распределение ближнего поля рассматриваемого субволнового
плоского гауссовского источника, восстановленное с помощью
плоских волн от S-траекторий, устойчиво по отношению к машинно-
моделированным ошибкам измерения (шума), добавляемым к
распределению в дальней зоне [4.25]:
а (г2) ~ J- exp^*r) cos а ехр Г - (^f- sin* o\. (4.56)
(Шмидт-Вайнмар и др. [4.56]). К амплитуде (4.56) поля в дальней
зоне был добавлен целый ряд модельных импульсных помех,
распределенных около некоторого среднего значения Q, каждая с за-
2j>[X]
7 " 2j>[/\
115

2,0 0,4
\ '
к V
г\ \
м
\
VS
1 ._. 1 -
/1
/
/
/
г J
2 1
i
*r x.
^^jJ^^-rT^Tt^sJ
OJBIO
O.Q0S
0 W W 30 40 50 £f 0 0,5 1,0 j)[X\ZO
Рис. 4.15. Восстановление ближнего поля с помощью плоских волн «S-траекто-
рий по зашумленным данным в дальней зоне. Предполагается, что поле имеет
гауссовское распределение в плоскости 2=0 со стандартным отклонением а,
равным А,/(У2я) [см. (4.32, 4.33)]. Левая часть: ошибки введены в дальнее поле
тауссовского источника, г=300Я. Амплитуда 1 и фаза 3 поля (масштаб на левой
стороне графика) заданы без ошибок, ошибка 2 в процентах, введенная в
амплитуду поля (масштаб на правой стороне графика), и фаза 4 зашумленного
поля. Правая часть: ближнее поле, восстановленное по точным и зашумленным
данным в дальней зоне тауссовского источника в плоскости 2=Я/10 как
функция рассеяния р от оси z. Числовые метки соответствуют левой части, за
исключением 2, которая означает здесь амплитуду ошибки (масштаб на правой
стороне графика):
&. е. — условные единицы
данным случайным весом и стандартным отклонением с
несколькими степенями. Затем был найден плосковолновой спектр от
«S-траекторий, который принадлежал к искаженным таким
образом данным в дальней зоне и, наконец, поле в плоскости £ = Я/10
было вычислено из искаженного плосковолнового спектра от
S-траектории с использованием интеграла (4.54). Результаты,
показанные на рис. 4.15, являются обнадеживающими: ошибки в
дальней и ближней зонах имеют одну и ту же величину.
Фактически те же самые результаты получены для восстановления в
плоскости z = 0.
4.7. ИЗМЕРЕНИЕ ФАЗЫ И АМПЛИТУДЫ ОПТИЧЕСКОЙ
ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Так как из диаграммы направленности излучения
^-локализованного источника фактически получена информация о
комплексных частотах, действительная часть которых по абсолютному
значению превосходит дифракционный предел, и так щк вследствие
этого данные необходимо измерять только с обычной точностью
116

(например, J%), возникает вопрос, возможно ли измерение с
обычной точностью фазы и амплитуды диаграммы направленности
такого источника для оптических временных частот.
Изображение оптического источника излучения, полученное с
помощью реальных оптических инструментов, показывает только
интенсивность (квадрат модуля) поля. Такое изображение
искажено аберрациями и дифракцией. Даже если все аберрации были бы
известны с достаточной точностью, для пространственного
сверхразрешения нужно было бы обработать изображение численно с
целью нахождения пространственного распределения фазы поля и
исправления дифракции на апертуре инструмента. Для простоты
изложения получение данных в сверхразрешении рассматривается
в последующем безотносительно к формированию изображения.
Задача измерения фазы и модуля оптической диаграммы
направленности излучения wo(Q, г|э) [см. (4.12)] состоит из трех
частей (Шмидт-Вайнмар [4.60], рис. 4.16).
1. Фотоприемником принимаются только данные о
пространственном распределении квадрата модуля поля, в то время как
пространственное распределение фазы поля необходимо найти из
нескольких подходящих наборов данных о таком модуле (см.
гл. 2). Хорошо известно, что как оптическая голография [4.38,
с. 200], так и интерферометрия
[4.61, с. 36] дают данные только о
разности фазы функции
пространственного распределения объекта
и опорной волны (см. также
(4.58, 4.59). Поэтому эти методы
не являются непосредственно
применимыми для наших целей, так
Ш#)-ёвЩ)
d0(tl,il/)-q(uff)
Рис. 4.16. Интерферометр дальней зоны со сдвинутой опорной волной для
измерения углового распределения и0(&, 1|э) диаграммы направленности излучения:
/ — когерентный источник; 2 — объект; 3 — фотометрическое сканирование; 4 — опорный
фокус
Рис. 4.17. Сдвиг опорного волнового фронта для измерения фазы e0(Q, г|э)
(простая стрелка) диаграммы направленности излучения поля опорной волны,
.do № ty) — фаза диаграммы направленности излучения поля объекта. Двойная
стрелка указывает на величину, измеряемую фотодетектором в точке (г, Q, <ф).
Ох означает вектор сдвига. Штрих указывает на величину после сдвига:
/ — волновой фронт от объекта; 2 — сферическая поверхность; 3 — опорный волновой фронт;
4 — сдвинутый опорный волновой фронт
117

как пространственное распределение опорной волны
за/дифракционным пределом на практике неизвестно. 7
2. Измерение углового распределения фазы uQiAit 'ф) требует
задания поверхности С сферической формы в дальней зоне
области измерений (рис. 4.17) внутри малой части v/(~10-2)
оптической длины волны К (~5-10"5 см). Например, длк
дифрагирующего объекта с линейными размерами 6^5-10-4 'см диаметр D
поверхности С, который должен быть велик по сравнению с 62Д для
удовлетворения условиям на поле в дальней зоне, является
величиной порядка 1 см. Поэтому для измерения радиальной координаты
точек поверхности С требуется типичная относительная точность
порядка
(vX/D~10-7. (4.57)
3. Так как оптическая длина волны мала по сравнению с
большинством практических масштабов измерений, оптическая
интерферометрия, по-видимому, является единственно возможным
методом измерения радиальной координаты поверхности С. Этот
метод отличается, однако, от задачи, упомянутой выше (см. п. 1),
тем, что без введения дополнительной информации можно
получить значения только для относительной, а не для абсолютной
фазы.
Изложим теперь в общих чертах метод [4.60, 4.62],
предложенный для решения частной задачи: интерферометрия в дальней зоне
поля со сдвинутой опорной волной.
В любой точке дальней зоны (г, Q, я|)) измеренный квадрат
модуля, полученный смещением волн от объекта
u(x)^[exp(ikr)/ikr\u0{Q, ty=\exp{ikr)/ikr]-\uQ(Q, <W|exp[W0(2> Щ
с полем v(x)^[ex.${ikr)/ikr]v0(Q, ty) = [exp(ikr)/ikr\X
ХН(2, Ф)|ехрИ^, ф)Ь
распространяющимся от подходящего опорного фокуса (рис. 4.16) у
имеет вид
| u+v |2=| v |2| l + u/v |2. (4.58)
Пространственное распределение модуля \v\ опорной волны
может быть измерено без труда. Для определения отношения ujv
измерение |и + и| повторяется дважды с необходимым изменением
значения опорной амплитуды v, реализуемое, например, путем
изменения сдвига фазы в Р (см. рис. 4.16) Это позволяет получить
отношение диаграмм направленности излучения объекта и
опорной волны [4.62]
« ~gp№, Ф) (4,59)
у щ($> Ф)
независящее от г. Остается решить проблему исключения 0О(Я, ty)
из данных об ujv. Величина |и0| может быть легко измерена, по-
118

этому задачу заключается в исключении углового распределения
^0(Й, г|)) фазы диаграммы направленности излучения опорного
пучка. Это может быть осуществлено путем сдвига опорного пучка в
пространстве перемещением либо вращением. Оптические
элементы S могут быть вставлены в опорный пучок (см. рис. 4.16) или
дифракционный элемент в опорном пучке, например апертура,
может быть перемещен для осуществления требуемого сдвига
опорного пучка. Измерение u/v (4.59) повторяется со сдвинутым опорным
пучком, но с фиксированной волной от объекта. Любой сдвиг
приемлем, если он дает известное линейное преобразование
пространственного распределения опорного пучка [4.60]. Таким образом,
можно обеспечить требуемую точность для определения
радиальной координаты поверхности С (4.57).
Если, например, опорный пучок повернут относительно начала
координат на угловое приращение 6Q, 6^, можно получить
производные дво/dQ и deo/dty из отношения данных, полученных до (без
.штриха) и после (со штрихом) сдвига.
Данные =- '
ujv'
V()
expU;[^(Q, Ф)-*о(2, ф)]}, (4.60)
где *J(Q, ♦)-*(>(2. ф) = £0(2+82> У+Щ-е0№ Ф) =
=-*£°-8а + -1?*Мф. (4.61)
Так ка$ отношение |fo|/|i>o'| измеримо, получаем e0(Q, г|э) из
данных (4.60) путем интегрирования выражения (4.61).
Практическая ценность изложенного выше метода нуждается
в экспериментальной проверке.
4.8. ОБСУЖДЕНИЕ
Анализ, проведенный в этой главе, показывает, что
сверхразрешение по данным в дальней зоне физически возможно, когда
поле объекта возникает из ^-локализованного источника, т. е.
первичного или вторичного источника, который сосредоточен в
заданной области прос!ранства с линейными размерами порядка одной
длины волны. Когерентно-оптические системы с фотометрическими
сканирующими устройствами, аналого-цифровые преобразователи
и устройства обработки данных являются необходимой частью
сверхразрешающих интерферометров.
Критическим в оценке физической возможности
сверхразрешения являются, в частности, следующие моменты: 1) ограниченное
по полосе частот волновое поле не согласуется с Х-локализован-
ными источниками; 2) для заданных ^-локализованных источников
излучения спектр пространственных частот в дальней зоне
распространяется на комплексные частоты, действительная часть которых
превышает дифракционный предел*
119

Результаты, представленные в разд. 4.4, о векторе/Пойнтинга,
ограниченного по полосе частот электромагнитного поля,
показывают, что плоские волны, связанные с высокими вещественными
плоскими пространственными частотами, являются необходимыми
компонентами поля гауссовского источника с поперечными
размерами а порядка одной длины волны. Усредненная по времени
энергия в свободном пространстве движется вдоль гладких траекторий
всегда при о^>Ку но извивается около траекторий, когда а^Я, если
поле составлено из всюду однородных плосковолновых компонент.
Если усредненный по времени вектор потока энергии в
электромагнитном поле Я-локализованного источника не отклоняется от
гладких траекторий в свободном пространстве, то разложение такого
поля по членам только однородных плоских волн [4.32, 4.63, 4.64}
является приближением, справедливым только при а»Я. Гладкие
траектории усредненного по времени потока энергии получаются,
однако, для любого значения а разложением поля
полупространства по плоским волнам с комплексными пространственными
частотами.
В некоторых из предыдущих методов сверхразрешения и
обратных задач рассеяния [4.1, 4.16, 4.39, 4.40, 4.41] внешнее поле
аппроксимировалось как конечная линейная комбинация волн, которые
возникают от точечных источников на граничной поверхности или
от точечных источников, представляющих пространственное
распределение рассеивающих потенциалов внутри непрерывного рас-
сеивателя. Результаты этих подходов не согласуются с
результатами [4.31, 4.65, 4.66], в которых плосковолновой спектр образуется
дифракционным пределом, а значительность информации
определяется ее связью с однородными плоскими волнами. Тем не менее,
для представления поля полупространства ^-локализованного
источника требуется неограниченный по полосе частот спектр
вещественных плоских пространственных частот; поле в дальней зоне
такого источника может быть представлено плоскими волнами с
комплексными пространственными частотами; если поле
полупространства представляется плоскими волнами с комплексными
(вещественными) пространственными частотами, любая плоская
волна вносит существенный вклад только (или не только) там, где
его поле причинно связано с ^-локализованным источником.
На вопросы, вытекающие из исследования Вольтера (см. разд.
4.1.1), можно ответить следующим образом. Существуют
нетривиальные объекты, задаваемые Я-локализованными источниками,
ближнее поле которых может быть разрешено со
сверхразрешающей способностью по данным в дальней зоне. Существуют
непрерывные Я-локализованные плоские источники, которые могут быть
восстановлены по данным в дальней зоне, измеренным с обычной
точностью, включая плсэскочастотные компоненты источника,
вещественная часть которых превышает дифракционный предел.
Необходимые данные в дальней зоне могут быть, по-видимому,
измерены оптическим интерферометром со сдвинутым опорным пучком.
Используя плоские волны, связанные с комплексно-значимыми
120

пространственными частотами, поле точечного источника,
рассмотренное Вольтером, может быть расширено путем включения
непрерывных источкиков, сосредоточенных в малых заданных
областях пространства.
Необходимы дополнительные исследования, в частности, об
анализе информации, передаваемой в дальнюю зону парциальными
волнами, связанными с комплексными пространственными
частотами. Поскольку такие волны принадлежат главным образом
источнику с малыми пространственными размерами, намного труднее
анализировать по членам этих волн поле, которое получается от
протяженного источника, например плоского гауссовского
источника со стандартным отклонением а, превышающим длину волны.
Для больших объектов с эффективной границей полосы
пространственных частот ниже 1Д (как, например, в случае электронной
микроскопии) предел пространственного разрешения можно
пересмотреть, учитывая, что источники рассеяния могут быть
сосредоточены внутри малой заданной области пространства. Дальнейшее
исследование может, в частности, касаться: 1) разложения
внешнего поля по членам мультипольных волн с комплексными
степенями и 2) обращения уравнения (4.49) аналитическим, а не
итерационным численным методом. Эксперимент по конкретной обратной
задаче рассеяния, например по восстановлению распределения
показателя преломления в биологической клетке из данных
оптического рассеяния, смог бы прояснить полезность понятия
парциальных волн с комплексными пространственными частотами.
Благодарности. Я хотел бы поблагодарить Шмидт-Вайнмара и
Рамзэя за их вклад при подготовке данной главы и д-ра Р. Мил-
лара из университета Альберта (Эдмонтон, Канада) за его
полезные замечания при прочтении рукописи. Наши исследования по
сверхразрешению данных дальнего электромагнитного поля
были поддержаны Национальным исследовательским советом
Канады.
Замечание, добавленное в корректуру. Принцип 1 юйгенса
рассматривается в книге Бейкера и Копсона «Математическая теория
принципа Гюйгенса » [В. В. Baker, E. Т. Copson: The
Mathematical Theory of Huygens' Principle (Clarendon Press, Oxford, 1969)].
Для иллюстрации основной идеи мы отсылаем к стр. 5 этой
монографии: «..., возмущение в среде, которое мы можем для удобства
назвать эфиром, в основном происходит от источников. Эти
источники с динамической точки зрения являются источниками, в
которых энергия вводится в эфир;...».
Наше использование термина предвестник отличается от
используемого в книге А. Зоммерфельда: Оптика [A. Sommerfeld:
Optics (Academic Press)]1. Наше определение предвестника
аналогично его использованию при описании предварительного отклика
идеального линейного фильтра [см., например. А. В. Carlson:
Communication Systems, and ed. (McGraw-Hill, New York 1975) p. 68].
1 Опубликован перевод [4.37].

В данной главе рассматриваются когерентные субволновые ио
точники. Сверхразрешение для частично когерентного света недав^
но было исследовано Периной и др. (cm.J1.33] в гл. 1), который
получил двухточечное сверхразрешение с двумя гауссовскими
пучками в присутствии шума и ошибок, используя теорему разбиения,,
выведенную Фервердой и Хендерсом (см. [3.80] в гл. 3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4.1. Millar R. F., SIAM J. Math. Anal. 7, 131—156 (1976).
4.2. Slepian D., Pollak H. O. Bell Syst. Tech. J. 40, 43—63 (1961).
4.3. Goodman J. W. Synthetic-Aperture Optics. — In: Progress in Optics, vol..
Vin, ed. by E. Wolf, North—Holland, Amsterdam, London 1970, pp. 1—50,
4.4. Huang T. S., Schreiber W. F., Tretiak O. J. Proc. IEEE 59, 1589—160£
(1971) (Опубликован перевод: Хуанг Т. С, Шрейбер В. Ф., Третьяк О. Ю. ТИИЭР,
т. 59, № 11, с. 59—89, 1971).
4 5. Frieden В. R. Evaluation, Design and Extrapolation Methods for Optical
Signals, Based on the Prolate Functions. — In: Progress in Optics, ed. by E. WolfT
vol. IX, North-Holland, Amsterdam, London 1971, pp. 311—407.
4.6. Pask С J. Opt. Soc. Am. 66, 68—70 (1976).
4.7. Ferwerda H. A. Opt. Commun. 3, 217—219 (1971).
4.8. Viano G. A. J. Math. Phys. 17, 1160—1165 (1976).
4.9. Wolter H. Physica 24, 457—475 (1958).
4.10. Wolter H. Opt. Acta 7, 53—64 (1960).
4.11. Wolter H. Archiv. Elektr. Obertragung 20, 103—112 (1966).
4.12. Hoenders B. J., Ferwerda H. A. Optik 37, 542—556 (1973).
4.13. Landau H. J., Pollak H. O. Bell Syst. Tech. J. 40, 65—84 (1961).
4.14. Landau H. J, Pollak H. O. Bell Syst. Tech. J. 41, 1235-1336 (1962).
4.15. Slepian D. Bell Syst. Tech. J. 43, 3009—3057 (1964).
4.16. Euler G., Blume S., Wolter H. Archiv Elektr. Obertragung 18, 747—750
(1964).
4.17. Pulvermacher H. Optik 44, 413—426 (1976).
4.18. Pulvermacher H. Optik 45, 1—10 (1976).
4.19. Nossenstein H. Opt. Commun. 1, 146—148 (1969).
4.20. Nassenstein H. Naturwissenschaften 57, 468—473 (1970).
4.21. Nassenstein H. Optik 29, 597—607 (1969).
4.22. Nassenstein H. Optik 30, 44—55 (1969).
4.23. Lukosz H., Wuthrich A., Optik 41, 191—211 (1974).
4.24. Schmidt-Weinmar H. G., Can J. Phys. 55, 1102—1114 (1977).
4.25. Baltes H. P., Schmidt-Weinmar H. G., Phys. Lett. 60A, 276—277 (1977).
4.26. Schimdt-Weinmar H. G., Baltes H. P. Helv. Phys. Acta 50, 669—673
(1977).
4.27. Schmidt-Weinmar H. G., Ramsay W. B. Appl. Phys. 14, 175—181 (1977).
4.28. Baltes H. P., Ramsay W. В., Schmidt-Weinmar H. G. J. Opt. Soc. Am.
67, 1437 (1977).
4.29. Schmidt-Weinmar H. G., J. Opt. Soc. Am. 65, 1059—1066 ^1975).
4.30. Gabor D. Light and Information. — In: Progress in Optica, ed. J)v.
E. Wolt. vol. I, North-Holland, Amsterdam, 1961, pp. 109—153.
4.31. Devaney A. /., Wolf E. J. Math. Phys. 15, 234—244 (1974).
4.32. Carter W. H. J. Opt. Soc. Am. 62, 1195—1201 (1972),
4.33. Weyl H. Ann. Phys. 59, 481—500 (1919).
4.34. Magid L. M. Electromagnetic Fields, Energy and Waves, Wiley and Sons»
New York, 1972.
4.35. Sommerfeld A. Partial Differential Equation in Physics, Academic Press,
New York, 1964 (Опубликован перевод: Зоммерфельд А. Дифференциальные1
уравнения в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1950).
4.36. Tai Chen—To. Dyadic Green's Function in Electromagnetic Theory, In*
text Educational Publishers, Scranton PA, 1971.
4.37. Sommerfeld A. Optics, Academic Press, New York, 1964. (Опубликован
перевод: Зоммерфельд А. Оптика. М.: Изд-во иностр. лит., 1953).
122

4.38. Goodman J. W. Introduction to Fourie Optics, McGraw-Hill, New York,
1967 (Опубликован перевод: Гудмен Дж. У. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир,
1970).
4.39. Schmidt-Weinmar H. G. J. Opt. Soc. Am. 61, 1578 (1971).
4.40. Schmidt-Weinmar H. G. J. Opt. Soc. Am. 63, 1307 (1973).
4.41. Lam D. K-, Schmidt-Weinmar H. G., Wouk A. Can. J. Phys. 54, 1925—
1936 (1976).
4.42. Ahner J. F. J. Inst. Math. Its Appl. 19, 425—439 (1977).
4.43. Weinman R. E., Wendland W. L. J. Math. Anal. Appl. 57, 170—202
{1977).
4.44. Sommerfeld A. Ann. Phys. 28, 665—736 (1909).
4.45 Bouwkamp C. J., Casimir H. В. С. Physica 20, 539—554 (1954).
4.46. Banos A. Dipole Radiation in the Presence of a Conducting Half-Space,
Pargamon Press, New York, 1966.
4.47. Hansen W. W. Phys. Rev. 47, 139—143 (1935).
4.48. MiilJer C. Foundations of Mathematical Theory of Electromagnetic
Waves, Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1969.
4.49. Stratton J. A. Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941
(Опубликован перевод: Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.—Л.: Гос-
техиздат, 1948).
4.50. Goertzel G. Tralli N. Some Mathematical Methods of Physics, McGraw-
Hill, New York, 1960.
4.51. Abramowitz M. Stegun К A. Handbook of Mathematical Functions,
Dover, New York, 1970.
4.52. Sommerfeld A. Partielle Differentialgleichungen der Physik, Geest u.
Portig, Leipzig 1948.
4.53. Wilcox С. Н. Comms. Pure Appl. Maths 9, 115—134 (1956).
4.54. Clemmow P. C. The Plane Wave Spectrum Representation of
Electromagnetic Fields, Pergamon Press, New York, 1966.
4.55. Noether F^ Spreading of Electric Waves Along the Earth. — In: Theory
of Functions as Applied to Engineering Problems, ed. by R. Rothe' et al.,
Massachusetts Inst, of Technology, Cambridge, 1951, pp. 167—184.
4.56. Schmidt-Weinmar H. G., Steinle В., Baltes H. P. Superresolution of
Space-Limited Source Fields by Nonuniform Plane Waves?, to be published in Optik
(1978).
4.57. Sherman G. C, Stamnes J. J., Devaney A. J., Lalor E. Opt. Commun. 8,
271—274 (1973).
4.58. Sherman G. C, Stamnes J. J., Lalor E. J. Math. Phys. 17, 760—776
(1976).
4.59. Wyatt W. Т., Lozier D. W., Orser D. J. ACM Transactions on Math. Soft-
тлаге 2, 209—231 (1976).
4.60. Schmidt-Weinmar H. G. J. Opt. Soc. Am. 65, 999—1002 (1975).
4.61. Francon M. Optical Interferometry, Academic Press, New York, 1966.
4.62. Schmidt-Weinmar H. G. J. Opt. Soc. Am. 63, 547—555 (1973).
4.63. Carter W. H. Opt. Commun. 7, 211—218 (1972).
4.64. Carter W. H. Opt. Acta 21, 871—892 (1974).
4.65. Wolf E. Opt. Gommun. 1, 153—156 (1969).
4.66. Devaney A. J. J. Opt. Soc. Am. 67, 1437 (1977).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Walther A. Gabor's theorem and energy transfer through lenses, J. Opt. Soc.
Am. 57, 639—644 (1967).
Ross G. A high-resolution light-scattering method for studying the fine-scale
structure of polymers, J. Phys. D6, 1537—1549, (1973).
123

5. РАДИОМЕТРИЯ И КОГЕРЕНТНОСТЬ
Г. Я. БОЛТ С, Дж. ГЕЙСТ, Л. УОЛТЕР
В современной оптике из харакгеристик поля излучения чаще
всего рассматривается состояние когерентности. В данной главе
описаны обратная задача и связанные с ней вопросы для
скалярных плоских источников любого состояния (первого или второго
порядка) пространственной когерентности. Авторы стремились
обеспечить понимание соотношения между корреляциями источника
и радиометрическими свойствами, классическими и современными,
такими как интенсивность излучателя, флуктуации излучателя и
степени угловой когерентности первого и второго порядка. Тогда
обратная задача заключается в определении корреляции между
функциями в плоскости источника по таким радиометрическим
данным.
Известно, что классическое понятие светимости и классическая
теорема Ван-Циттерта — Цернике описывает радиометрические
свойства в гипотетическом пределе нулевой площади
когерентности. Обратная задача для полностью когерентных источников уже
была исследована в гл. 2—4. Данная глава заполняет пробел
между двумя крайними случаями путем допущения любой степени
когерентности первого порядка для частично когерентных
источников и, кроме того, содержит основные понятия и соотношения
радиометрии второго порядка.
Начнем с краткой истории радиометрии и обзора когерентности
излучения абсолютно черного тела, которое будет в дальнейшем
служить важным примером. Затем рассмотрим понятия и
соотношения радиометрии первого порядка: выведем обобщенный вид
теоремы Ван Циттерта — Цернике для дальней зоны и определение
обобщенной светимости. Установим соотношение между
пространственной когерентностью первого порядка плоского источника и
радиометрическими данными первого порядка, а именно
интенсивностью излучателя и степенью угловой когерентности. Эти
соотношения иллюстрируются для различных модельных источников.
Обсуждаются также обобщенная энергетическая светимость и
связанная с ней эффективность излучателя. В конце обратимся к
радиометрии второго порядка, которая имеет отношение к
корреляциям второго порядка, флуктуации интенсивности излучателя и
эффективности флуктуации. Установим там, где это возможно,
связь с задачей рассеяния экранами со случайной фазой, которая
рассматривается в гл. 6.
Хотя разд. 5.1 написан в основном Гейстом, 5.3 — Уолтером, а
5.2 и 5.4—5.6 — Болтсом, каждый автор разделяет ответственность
за всю главу.

5.1. РАЗВИТИЕ РАДИОМЕТРИИ
Этот раздел резюмирует наиболее важные события в развитии
радиометрии. Более детальный обзор истории радиометрии
опубликован недавно в работе [5.1]. К радиометрии авторы относят
здесь измерение любых величин, которые переносятся посредством
оптического излучения, таких как энергия, число фотонов, импульс
и способность производить визуальные ощущения, а также
флуктуации и корреляции.
Удобно различать в истории радиометрии три периода:
классический (научный), барокко (различные приложения) и
современный. Условными датами, разделяющими эти периоды, являются
1900 г. (закон Планка) и 1960 г. (открытие лазеров). Последняя
дата особенно удобна по трем причинам. Во-первых, в основном
вся радиометрия, развитая до 1960 г. [5.2], устарела из-за
появления усовершенствованных электрич'еских и электронных приборов.
Во-вторых, внедрение лазеров означает начало электрооптической:
революции, которая оказала влияние на радиометрию, так же как
и на другие области науки и техники. Наконец, первая связь
между радиометрией и когерентностью, а именно изучение когерентно^
сти абсолютно черного тела, началось в это же время.
5.1.1. Классический период
То, что теперь относят к радиометрии, было основано в период
с 1725 по 1760 гг. Бугером и Ламбертом. Работа исследователей
ограничивалась изучением визуальных эффектов видимого
излучения (света) и включала область фотометрии [5.3]. Вслед за этим
Шеель, Ламберт, Прево и др. расширили радиометрию, включив
в нее перенос тепла светом и невидимым излучением [5.4]. Для
оценки относительного содержания тепла различных видов
излучения часто в работе использовались термометры. Исследователи
пытались определить связь между светом и теплом. В 1800 г.
Гершель опубликовал важный эксперимент сравнив относительное
содержание тепла и видимые эффекты, производимые в солнечном
излучении. Его методика была проста. Он пропустил солнечные
лучи через щель в экране, а затем через призму на плоскую
поверхность и сравнил повышение температуры в жидкости
стеклянных термометров, располагаемых в разных местах спектра, с
видимым эффектом, производимым в тех же самых местах. В
результате проведенного исследования Гершель открыл невидимое
инфракрасное излучение. Аналогично Шеель распространил
радиометрию на фотохимическое действие света (химическая
актинометрии [5.5]) в связи с исследованиями фотохимического
разложения, вызываемого светом. В 1801 г. Риттер сообщил об актиномет-
рических исследованиях с использованием нитрата серебра и
разложенного в спектр солнечного излучения и о последующем
открытии ультрафиолетового спектрального диапазона.
В течение первой половины 19-го столетия был достигнут
значительный прогресс во многих направлениях. Радиометрия
косвенно была расширена включением рассмотрения передачи энер-

гии с помощью излучения, когда была показана эквивалентность
тепла и энергии. Были введены в практику эксперимента первые
действительно чувствительные искусственные детекторы,
термопары и термобатареи. Беккерель открыл фото-ЭДС. Светящийся газ
стал популярным искусственным осветителем. Потребовались
фотометрические измерения. Поэтому были сделаны попытки
разработки эталонов для фотометрии, которые были бы более
устойчивыми и воспроизводимыми, чем эталонные свечи, используемые в
то время.
Главный упор в радиометрии источника необходимо было
сделать на разработку эталонного источника, который при
конструировании по определенному правилу и при работе в определенных
условиях обеспечил бы заданное количество и качество светового
излучения. Эта задача была значительно продвинута вперед в
середине 19-го столетия, когда Кирхгоф и Стюарт развили понятие
абсолютно черного тела. Абсолютно черное тело, в принципе,
могло бы служить в качестве эталонного источника излучения, если
бы оно излучало свет при определенной температуре. Однако это
было не ясно до 1900 г., когда после значительных
экспериментальных и теоретических усилий Планк открыл физический закон,
описывающий количество и спектральное распределение излучения
абсолютно черного тела. Его открытие означало величайший вклад
радиометрии в физику и формирование квантовой теории.
Кроме закона Планка физика последнего двадцатилетия 19-го
столетия была' также свидетелем развития Лэнгли радиометрии
болометров излучения и атмосферной радиометрии. К этому
периоду также относятся значительные улучшения чувствительности
термобатарей, первые фотоэлектрические ячейки, открытие Смитом
фотопроводимости селена и практическое развитие ламп
накаливания с угольными проволочками. Более важным для радиометрии
было, однако, развитие Ангстремом в 1893 г. первого эталонного
детектора — электрически калиброванного болометра. Это
событие означало начало радиометрии детекторов.
Феноменологическая теория переноса излучения в
поглощающих и рассеивающих средах стала развиваться сразу же с началом
20-го века [5.6] и до сих пор используется в интерпретации
классических измерений коэффициентов отражения и пропускания
рассеивающих материалов [5.7, 5.8].
5.1.2. Период барокко
Со времен Планка до изобретения лазера радиометрия
медленно развивалась вдали от главных направлений физических
исследований и играла поддерживающую роль для других областей
науки и техники [5.9,-5.10]. Ключевые эксперименты классического
периода повторялись много раз все с увеличивающейся точностью.
Кроме того, в этот период произошло превращение абсолютно
черного тела от объекта научного исследования к долгожданному
первичному эталонному источнику оптического излучения. Так как
126

научный ингерес к радиометрии убывал, то возрастало ее значение
в технике. Она использовалась в развитии конструкций световых
приборов. Наиболее важными среди них были газоразрядные
флуоресцентные лампы и лампы накаливания с вольфрамовой
нитью, а также фотоэлектрические детекторы [5.11].
Радиометрические идеи также принесли в этот период пользу атмосферной
физике и техническому развитию инфракрасных [5.9] и видимых
УФ-спектрофотометров [5.12] для спектрохимического и
качественного контроля визуальных явлений (колориметрии [5.13]). Кроме
того, было развито большое число независимых радиометрических
измерительных систем со специальными эталонами и
номенклатурами. Фактически изобилие эталонов и номенклатур придало
этому периоду характер эпохи барокко.
В радиометрии слово «интенсивность» использовалось и до сих
пор используется различными группами физиков, изучающих
различные аспекты оптического излучения, для обозначения трех
различных мощностей, а именно на единичный телесный угол от точеч*
ного источника, единицу площади поверхности, через которую
проходит излучение, и на единичную площадь проекции в единичном
телесном угле.
Использование термина интенсивность в разных смыслах
приводило к путанице. Однако реакция на такое использование,
заключавшаяся в попытке создать совершенно новые слова для
радиометрических понятий, привела к еще большей путанице, когда
в каждой прикладной области стали употреблять свои собственные,
понятные лишь посвященным, термины, например, солнечность,
светочность, излучательность, пространственность, точечность,
поверхностность.
К концу этого периода задачи, связанные с военными
приложениями инфракрасного излучения [5.14] и космической программой,,
уже стимулировали возобновившийся интерес к фундаментальным
аспектам радиометрии. Безусловно, изобретение лазера послужило
даже более сильным стимулом, так как классические
радиометрические стандарты и методы нельзя было применять
непосредственно к измерениям мощности и энергии лазера.
5.1.3. Современный период
Необходимость более удобных и точных радиометрических
измерений в космической программе привело к большому числу
исследований в радиометрии источников. Были разработаны два
новых первичных стандартных источника излучения: синхротронное
излучение [5.15] и водородная дуга [5.16]. Оба направления были
вызваны трудностями, встречающимися при использовании
излучения абсолютно черного тела в качестве эталона в вакууме
в-области ультрафиолетового диапазона длин волн.
После периода относительного затишья была значительно раз-
иита радиометрия детекторов (с электрической калибровкой),
которая была стимулирована не только космической программой и
127

развитием лазеров, но также возможностями новой технологии
([5.1], гл. IV и ссылки в ней). Значительный прогресс был сделан
также в унификации различных измерительных систем, основанных
на источниках и детекторах [5.17—5.20]. Блевин и Браун [5.22]
решили вопрос о давнишнем расхождении более чем на 1 %
константы Стефана — Больцмана между измеренным и вычисленным
значением [5.21].
Фактически эта последняя работа показывает часто
незамечаемую важность когерентности в практике радиометрии, так как
дифракция была вторым наибольшим источником ошибок в
определении константы Стефана — Больцмана. Обычно предполагается, что
излучение абсолютно черного тела полностью некогерентно, но в
действительности оно частично когерентно. Кроме того,
значительная степень когерентности может наблюдаться в плоскости
измерения из-за увеличения по мере распространения частичной
когерентности. И наконец, дифракция есть явление, связанное с
когерентностью.
В то время как классическая радиометрия в основном имела
дело с усредненной спектральной плотностью энергии излучателя,
в этой области были открыты новые направления при измерении
дальнейших статистических свойств поля излучения [5.23—5.30]
таких, как средний квадрат энергии и более высокие
статистические моменты, степень когерентности первого порядка
(амплитудная интерферометрия) и когерентность второго порядка
(интерферометрия по интенсивности). Необходимый шаг в изучении новых
радиометрических свойств заключается в переоценке
общепринятых классических понятий, таких как светимость. Переоценка
подобных частных понятий была начата в 1968 г. Уолтером [5.34] в
связи с изучением радиометрии частично когерентных источников
(см. разд. 5.3). Новые теоретические исследования излучения
абсолютно черного тела касались когерентности абсолютно черного
тела (исследования были начаты Бурре [5.31] в 1961 г.) и эффектов,
связанных с размерами тел [5.32, 5.33]. Теория переноса энергии
излучения свободных электромагнитных полей была вновь
пересмотрена недавно Вольфом [5.35]. Также недавно был пересмотрен
закон изменения Кирхгофа в неравновесных условиях [5.36].
Так как область, где пересекаются радиометрия и
когерентность, сравнительно нова, любой обзор быстро устаревает. Все же
его нужно попытаться сделать. Заметим, что взаимодействие этих
двух областей до сих пор не приводило к большим изменениям ни
в той, ни в другой области. Однако исследователи в области
радиометрии начинают понимать, что классическая радиометрия имела
дело не с полностью некогерентным излучением, а с частично
когерентным в случаях, когда эффектами когерентности можно
пренебречь. В связи с последним развитием приложений,
включающих лазеры, волоконную и интегральную оптику, необходимо будет
расширить радиометрическую практику на случаи, когда результат
зависит от степени когерентности. Таким образом, скоро,
по-видимому, будет иметь место непрерывное развитие теоретических и

Экспериментальных основ классической радиометрии частично
когерентных источников. Распространение некоторых явлений
когерентности может быть рассмотрено в рамках радиометрического
«формализма». Следовательно, весьма вероятно непрерывное
развитие и будущее применение этих идей в дополнение к
классическим радиометрическим характеристикам.
5.2. КОГЕРЕНТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНЫХ ТЕЛ
Теория когерентности и статистическая оптика, с одной
стороны, и эффекты, связанные с размером, формой и близостью, — с
другой, явились двумя основными побудительными причинами для
возобновившегося интереса к области излучения абсолютно
черного тела. Будучи хорошо известным примером хаотического поля
(гауссовским процессом) свободное тепловое поле излучения
пересматривается в терминах корреляционных функций первого
порядка [5.29, 5.31, 5.37—5.49]. Соответствующая функция
пространственной когерентности служит в качестве образцового примера в
современной теории радиометрии [5.34] и переноса излучения [5.35].
Кроме того, пересматривается принятая для теплового излучения
в полуклассической теории излучения [5.50—5.54] возможность
служить в качестве тестового примера. Тепловые поля в присутствии
материальных стенок излучались в связи с эффектом Казимира
[5.55—5.57], передачей излучения между близко расположенными
телами [5.58, 5.59], спектром собственных значений конечных
резонаторов [5.29, 5.32, 5.33, 5.60—5.64] и термодинамикой идеального
газа в малом объеме [5.32, 5.33, 5.65—5.68]. Оба аспекта
когерентность и конечность размеров, сливаются в недавнем исследовании
когерентности ограниченных тепловых полей излучения [5.69—
5.76]. В других работах содержатся обзоры [5.29, 5.32, 5.33]
упомянутых выше разработок. Поэтому в настоящем разделе приведено
только несколько типичных результатов, которые подчеркивают
свойства когерентности свободного теплового поля и имеют
отношение к обратным задачам.
5.2.1. Временная когерентность
Когерентность абсолютно черных тел впервые была
исследована Бурре [5.31] и Кано и Вольфом [5.37] на основе спектральной
плотности Планка и методов, аналогичных тем, которые
используются в теории изотропной турбулентности в несжимаемых текучих
средах, а также Сарфаттом [5.38], использовавшим метод
оператора плотности. Более исчерпывающие результаты были получены
позднее Мета и Вольфом [5.39, 5.40, 5.43] и Фокс-Келлером [5.41].
По определению корреляционная функция первого порядка
электрического поля равна
Г£}(гь tu r2, /2)=<4~}(гь ^i)^+)(r2, /2)>, (5.1)
5—298
129

где t\^\ Ev (jut, v=l, 2, 3) —эрмитово сопряженные операторы
поля, гь г2 и t\9 h — пространственные и BpeMeHHbfe переменные.
В угловых скобках дано усреднение по статистическим состояниям
поля. Тензор (5.1) является функцией от r=ri—г2 и t=t\—12 в
случае, если поле однородно и стационарно. Корреляция по времени
получается из (5.1) в частном случае при г2=т\.
Свободное тепловое поле излучения (температура Т) имеет
временную корреляцию
4V(0, О, О, *)=V(0, (5.2)
где o^v обозначает символ Кронекера, а Г (t), по существу,
является преобразованием Фурье от спектра Планка и удовлетворяет
условию
оо
Г(*)/Г(0)=у(т) = 90я-4У (re+/t)-4. (5.3)
/г = 1
В последней формуле использована приведенная временная
разность r=t(KT/h)1 где К обозначает постоянную Больцмана,
Т — температуру и Й — постоянную Планка, деленную на 2я.
Функция (5.3) известна как комплексная степень временной
когерентности для поля Планка. Модуль \у{%) | быстро убывает
(времярелаксации порядка h/KT) и имеет асимптотику |v(t) I ~ 30я_4т~3 при
т-^оо. Фаза Ф(тО = а^{у(т)} при больших временах имеет
поведение Ф(т) ~—Зя/2+ {3J2)irl [5.37]. Упомянем, что уравнение (5.3)
представляется интересным результатом для фазовой проблемы в
теории когерентности (см. разд. 2.2.1). Функция у(х) и,
следовательно, энергетический спектр источника однозначно определяются
через модуль IyMI, так как y(z), рассматриваемая как функция
комплексной переменной г, не имеет нулей в нижней половине
комплексной полуплоскости lmz<0 [5.37, 5.77, 5.78].
Ограниченное и, следовательно, неоднородное тепловое поле
излучения (малый резонатор, присутствие стенок) имеет
временную корреляцию, которая зависит от положения ri=r2. Тогда на
основе квантово-оптического аналога теоремы Винера — Хинчина
[5.79, 5.80], Фурье-сопряженное преобразование распределения
спектральной энергии получается с помощью пространственного
усреднения
((31/)-i2 J^r^r,, 0, г„ t), (5.4)
где V обозначает объем резонатора. Эта временная корреляция и
соответствующий спектр были получены Болтсом и др. [5.71] для
теплового поля излучения пустой полости в виде куба. Плотность
мод такого излучения (с частотой со) имеет вид
+ 00
4~*Vvfl у (2Ш/С)-1 sin (2vo>/£) - (2ис)~г X
vx,v2,v3=
130

Г 3 Т
L;'=i J
х 5! I ^ "S cos (2mLJw/c)
11/2
+ (1/2)8(0,);
(5.5)
где Lj — длина ребер резонатора и с — скорость света. Член с v —О
соответствует свободному тепловому полю (термодинамический
предел), все другие члены являются поправками к плотности мод
Планка, возникающими из-за конечного размера резонатора.
Гармонический член (v=H=0, тфО) в (5.5) описывает «колебательное»
поведение плотности, вызываемое дискретностью спектра.
Соответствующее распределение электромагнитных мод в общем случае
для аналитических идеально проводящих границ было найдено
только недавно Бальяном и Дюплантье [5.64]. Такие выражения
для точной плотности мод дают ключ к решению обратной задачи
определения формы границы по известным электромагнитным
собственным частотам [5.62]. Известны частные решения менее
усложненного скалярного варианта такой задачи [5.32].
5.2.2. Пространственная когерентность
Полная пространственно-временная корреляция свободного
теплового поля излучения имеет вид [5.39—5.42]
Г#(0, 0, г, t)/T$(0, 0, 0, 0) = 90л-42{?^[(^ + ^ + (г/а)2]-2 +
+ 2а(r^-гЧ^)\{п + it)2 + (r/a)V) *"' (5.6)
с г= (гь г2, г3), г= | г | и a=hc/KT. Временная корреляция (5.3)
получается снова из выражения (5.6) при г=0. Чисто
пространственную корреляцию можно было бы получить при т=0. Принимая во
внимание квантово-оптическую теорему Винера — Хинчина,
удобнее изучать пространственную когерентность в терминах
взаимной спектральной плотности или функции спектральной
когерентности [5.80], а именно:
-f- оэ
WV,(ri. г2, (о)= J dtexp(iwt)T$(rh 0, г2, t). (5.7)
— 00
Систематическое исследование, посвященное изучению этой
величины для скалярного случая, было опубликовано недавно в
работе Манделя и Вольфа [5.81]. Спектральная когерентность
(однородного) свободного теплового поля излучения описывается
следующим выражением [5.43]:
^,(0,г,ш) = 2А(шД^
+ r~^rj2(kr)h (5.8)
5*
131

где js — сферическая функция Бесселя порядка s и fe=co/c.
Выражая js через тригонометрические функции, можно получить
оо
W(0, r) = 2WV(0> r> u) = 4hks[exp{hck/KT)-l]-1(kr)-1smkr
в соответствии с результатом Сарфатта [5.38]. Спектральная
функция когерентности (5.9) используется для изучения излучения
абсолютно черного тела методами скалярной физической оптики. Уол-
гер [5.34] заметил, что косинусоидальная зависимость ламбертов-
ской интенсивности излучения связана со спектральной
когерентностью вида (5.9) (см. разд. 5.3.4). Заметим, что выражение (5.9)
справедливо для большого абсолютно черного тела с достаточно
большой апертурой, но это выражение необходимо
модифицировать для малых апертур, для которых дифракционные эффекты
приводят к изменению ламбертовского распределения (см. разд.
5.4.3).
5.3. РАДИОМЕТРИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Используя скалярную аппроксимацию для одной моды,
выведем основные законы радиометрии из теории частичной
когерентности. В разд. 5.3.1 покажем необходимость^теории когерентности
и выведем соотношения, описывающие поток энергии в скалярном
поле. Затем рассмотрим радиометрические величины (поток
излучения, светимость и яркость, разд. 5.3.2) и вновь обратимся к
теореме Ван Циттерта — Церника (разд. 5.3.3). В разд. 5.3.4
обсуждаются некоторые примеры.
5.3.1. Поток энергии в скалярных полях
До недавнего времени традиционная радиометрия была
отдалена от главных направлений физической оптики. Она
основывалась на предположениях, что 1) излучаемая энергия
распространяется вдоль прямых линий и 2) поток энергии в световых полях
является аддитивной величиной. При этих предположениях
получаем, что световой поток (энергия за единицу времени), движу»
щийся через площадку в заданном телесном угле (рис. 5.1),
может быть вычислен прямым интегрированием [5.3, 5.82]:
0=ff£rfQcos&, (5.10)
в котором энергетическая яркость В есть поток в единичном
телесном угле и через единичную площадь проекции на плоскость,
перпендикулярную направлению наблюдения. В является функцией
как положения, так и направления.
132

Поток Ф выражается в единицах мощности,
обычно в ваттах. Локальный поток на единицу
площади, проинтегрированный по всем
направлениям,
/: =— = Г BdQ cos & (5.10a)
dA J
называется светимостью, если он исходит от
поверхности источника, и освещенностью, если
он получается на освещаемой поверхности.
Поток в единичном телесном угле в заданном
направлении, проинтегрированный по
поверхности источника
J = ^ = ^BdA cos &, (5.106)
называется интенсивностью излучения источника в этом
направлении.
Аддитивная природа потока энергии предполагает, что обычная
радиометрия может иметь дело только с некогерентными полями.
В действительности, однако, некогерентные поля не существуют
[5.83, 5.84]. Даже если бы некогерентные источники существовали,
они не смогли бы объяснить большого разнообразия диаграмм на-
правленностей, наблюдаемых в природе. Свет, полученный в точке
па большом расстоянии от источника, состоит из элементарных
волн, созданных всеми точечными источниками; следовательно,
детали диаграммы направленности могут быть объяснены только
интерференцией, которая предполагает некоторую степень
когерентности.
Правильный учет явлений интерференции требует привлечения
аппарата теории когерентности. Ограничиваясь скалярной теорией
для одночастотной компоненты стационарного оптического поля,
опишем свойства когерентности первого порядка для поля по его
поперечной спектральной плотности W(r\, r2), которая может быть
рассмотрена как пространственная корреляционная функция
случайной амплитуды и (г):
W{rl9 г2)=<й*(г1)й(г2)>. (5.11)
В общем случае как W, так и и зависят от частоты, но их
зависимость не существенна для случаев, рассматриваемых в этом
разделе, и поэтому не будет обозначаться в формулах. Угловые скобки
означают усреднение по ансамблю, которое может быть
вычислено в зависимости от контекста классическим или квантовомеха-
пическим способом. Для формального обоснования такого довольно
упрощенного подхода к теории когерентности читателю следует
обращаться к литературе, например, к [5.81], где могут быть указаны
дополнительные источники.
V
Рис. 5.1. Поток от
излучающей
поверхности при угле наклона
к поверхности ft
133

Случайная амплитуда и (г) удовлетворяет уравнению Гельм-
гольца и, следовательно, может быть представлена интегралом по
плоским волнам:
и(г)=и(х, у, z)—Wu(sx, s^) exp (/& sr) ds^6> (5Л2)
Вектор s=(sXt syt sz)—единичный, причем знак его третьей
компоненты выбирается так, что свет распространяется в
положительном направлении оси г. Угловой спектр u(sx, sy) является
функцией двух переменных и может быть получен, например, из
распределения амплитуды в плоскости z=0 • Фурье-обращением (5.12)
(с длиной волны К):
«for, sv)=-tf- (Ta(*' У> 0)exp[^ik(xsj: + ysy)]dxdy. (5.13)
Основной интерес для радиометрии представляет величина
потока энергии. В скалярном поле У(г, /), которое удовлетворяет
волновому уравнению, вектор потока энергии (с точностью до
константы) обязательно должен иметь вид [5.85—5.87]
Р = ^Lgradl/. (5.14)
dt {
Ограничиваясь полями с одной модой
V (г, *)=2Rea(r)exp-(M),
приходим к следующему уравнению:
Р = —/со [й* grad и — и grad и*]. (5.15)
Чтобы использовать этот результат для частично когерентных
полей, его следует усреднить по ансамблю. Это приводит к
P=2a)Im (й* grad й) =2о)
(5.16)
Imgraded-, r + rOln-o.
В технической литературе усредненный квадрат модуля
амплитуды
u*{r)u{r))=W(r,r)
часто называется интенсивностью. Эта величина не представляет
собой ни поток энергии, ни ее плотность [5.88]; она
пропорциональна ожидаемому отклику от точечного детектора, расположенного
в точке г, наблюдаемому при условии, что произведение времени
на ширину полосы частот много больше единицы. В радиометрии
эта величина не представляет большого интереса, и ее не нужно
путать с интенсивностью излучения, определенной выше. Величиной,
которая определяет передачу энергии из одной части пространства
в другую, является вектор потока энергии, задаваемый
соотношениями (5.14) — (5.16). Он равносилен вектору Пойнтинга при
электромагнитном рассмотрении оптических полей.
134

5.3.2. Теория когерентности
и радиометрические величины
Вектор потока излучения. Предполагается, что все физические
источники расположены слева от плоскости 2=0. В этом случае
могут быть использованы уравнения предыдущего раздела в
полупространстве г>0. Первый шаг к нахождению связи между
обычной радиометрией и теорией когерентности заключается в
вычислении полного потока энергии в поле, описываемом поперечной
спектральной плотностью. На большом расстоянии от источника
интеграл по плоским волнам (5.12) может быть аппроксимирован
15.83, 5.89]
u(rs) = — szti(sX9 Sy)exp(ikr); sze==cos&. (5.17)
Подстановка в уравнение (5.15) дает для вектора потока
энергии на большом расстоянии от источника следующее значение:
и t v 2о>£Х2 2 1~ / 12 /г- 1 о\
(rs) = ~?гSz \u ^ sy\ s- (5-18)
Элемент поверхности сферы, центр которой расположен в
начале координат и на большом расстоянии от источника, может
Г)ыть определен как
,/A=SrfA = r2-^ffLs. (5.19)
Следовательно, полная излучаемая мощность есть усреднение
по ансамблю величины
Ф = Г P.dA = 2<»kl2 f f s2\ii{sx, sy)fdsxdsy. (5.20)
В радиометрии эта величина называется потоком излучения или
получающим потоком.
Интенсивность излучения. Интенсивность излучения источника
it заданном направлении обычно определяется как поток в
единичном телесном угле. Так как величина dsxdsy/sz есть элементарный
тглесный угол, из соотношения (5.20) видно, что поток,
испускаемый в единичный телесный угол в направлении s с точностью до
постоянной, есть величина
для которой можно записать
J(s) = 2mk\*sl&(sxt syi sx, sy\ (Я21)
где W есть полное преобразование Фурье от взаимной
спектральной плотности в плоскости z=0 (обозначаемой как W0):
1^(°„ а</> sx> sy)=J^ V\dxdy f f rfW4^o(S. i\* x, У)Х
ехр[/*(^+т!^ — xsx — ysy)]. (5.22)
'•)тот результат получен Марчандом и Вольфом [5.90].
135

Энергетическая светимость. Полная излучаемая мощность
может быть также вычислена непосредственным интегрированием
вектора потока энергии на плоскости 2=0. Это приводит к
интересной задаче: для того чтобы вычислить Р (х, у, 0) через амплитуды
стохастического поля, необходимо выразить ди/дг через и{х, у, 0).
Это в действительности возможно, так как поле в полупространстве
z>0 будет распространяться вправо. Соотношение между полем и
его градиентом, однако, является нелокальным. Дифференцируя
уравнение (5.12) по z и подставляя результат в формулу (5.13),
получаем
£«(*, У, 0) = * JJ/C(*-Sf y-r\)u& Л, 0)ЛаГть (5.23)
в котором 1\{х, у) = — №kszexp[ik(xsx-\-ysy)]dsxdsy. (5.24)
Ограничиваясь интегрированием неисчезающих волн, можно
оценить этот интеграл [5.91] величиной
/^.Й^/ХЛ, (5.25)
где Р=]Лс2 + у2.
г-компонента вектора потока энергии в этом случае будет равна
Р*(х, У, 0) = 2<»Reu*{x, у, 0) ГГ/С(х —S, y-r\)ti& r\)dWr\,
(5.26)
и полный поток энергии в секунду после усреднения по ансамблю
будет равен
Ф=2ш ^dxdy ^dldv)ReW0{x, УЛ*1\)К{х-\, у-х\). (5.27)
Уравнения (5.20) и (5.27) являются Фурье-сопряженными
уравнениями.
В этом месте можно по аналогии с переходом от величины (5.20)
к величине (5.21) поставить вопрос об определении количества
энергии, испускаемой с единичной площади поверхности
источника в 2 = 0. Эта величина обычно известна как энергетическая све--
тимость Е. Ее получают простым усреднением по ансамблю 2-ком-
поненты вектора потока энергии
Е(х, у, 0)=Ря(х, У, 0) = 2a> jj did4ReW0(x, у, g, Ч) X
ХК(х-Ъ у-ъ).. (5.28)
Однако нелокальный характер этой величины приводит к
несколько несогласованному результату: когда диафрагма
располагается за плоскостью 2=0, энергетическая светимость не только
уменьшается до нуля в затемненной части диафрагмы, но и изме-
136

пяется численно в прозрачной области. Количественные результаты
для таких особенностей рассмотрены в разд. 5.5. Уравнение (5.28)
напоминает результат, полученный Марчандом и Вольфом [5.90], но
отличается в деталях, потому что их вывод основывался на более
раннем определении энергетической яркости, которое приводится в
следующем разделе (5.34). Марчанд и Вольф показали также в
15.90], что светимость иногда может быть отрицательной в
некоторых зонах плоскости источника. Эти явления более детально
обсуждены в [5.92, 5.93].
Энергетическая яркость. Энергетическая яркость обычно
определяется как поток в единичном телесном угле и через единичную
площадь проекции на плоскость, перпендикулярную направлению
наблюдения, т. е. интенсивность на единицу площади, или
светимость в единичном телесном угле. Однако разложение светимости
па составляющие от разных направлений не затруднено. Для
решения этой задачи Уолтер [5.94] рассмотрел поток, проходящий
через произвольный элемент поверхности ndA, расположенный в
полупространстве z>0. Этот поток задается следующим
выражением:
ti<&=(PndA)=2<»lm(ii*gTa<iii)'n dA. (5.29)
Представляя и интегралом по плоским волнам, получаем
d<b=2u)kdA ff s-nRe (u*(r)u{sx, sy)) exp(iks-r)dsxdsy. (5.30)
Сомножитель sn уже встречался в уравнении (5.10) как
косинусный, a dsxd$ylsx является элементом телесного угла, поэтому
последнее уравнение можно записать в виде
d$ = dA Г2ш*5,Ке(и*(г)й(5х, sy)) exp (iks - г) dQ cos ft. (5.31)
Для физической оптики справедливо следующее определение
энергетической яркости:
В (г, s)=2mksz Re (u*(r)u(sx, sy)) exp {iks-r). (5.32)
Можно показать [5.94], что это определение энергетической
яркости инвариантно при поворотах системы координат.
Если ограничиться плоскостью 2=0, то (5.32) может быть
записано как
В(х, y,sX9sy) = ^sg W[WQ{x, У, ** + *, У + Ц) +
+ W0(x — b, у — т], л;, y)]exp[—ik(ZsJC + '4Sy)}d$d'4. (5.33)
Из уравнения следует, что светимость £, задаваемая
выражением (5.28), и яркость В, определяемая уравнением (5.32), связаны
между собой обычными соотношениями (см. начало разд. 5.3.1).
Для электромагнитного поля величины, подобные тем, которые
определены выше, были введены Вольфом [5.35].
6—298 137

Ранее Уолтер [5.34] использовал слегка отличающееся
соотношение для энергетической яркости
*+—£, yHLy'n)exp[-^(^ + 'n5i/)]rfW'n. (5.34)
Это уравнение выглядит привлекательным, потому что оно
задает распределение Винера [5.95] в конфигурационном
пространстве (х, у, sXy sy). Можно доказать, что интеграл типа (5.10) по
плоскости 2=0 при использовании В(1), а не^В в действительности дает
правильный поток излучения. Однако серьезный недостаток В(1>
заключается в том, что ее определение неинвариантно к вращениям
системы координат вокруг осей х и у [5.92—5.94]. Более того, В(1>
в отдельных случаях отличается от нуля, как, например, в затем-
ценных точках диафрагмы, расположенной за источником; яркость
В, определяемая как (5.32), не испытывает этих особенностей.
Очень важным свойством обычной энергетической яркости
^является ее постоянство вдоль лучей света. Используя разложение
по плоским волнам для и*, запишем уравнение (5.32) в виде
B{jr> S)=1J"5*Re jT^^' ay' 5jo Зу)ехр[1к(* — 0)г]ао^оу$ (5.35)
где о — снова единичный вектор. Теперь вычислим значение В в
точках на прямой, проходящей через г в направлении s, т. е. в
точках r + ps. Параметр р обозначает расстояние от г до новой точки
на линии. Подстановка дает
£(r + /?s, s)=^szRe fft^fo, <*у, St, sy}exp[ikp(l—es)]X
X exp[/£(s — e)r]dOjcdoy. (5.36)
Если угловая корреляционная функция равна нулю всегда,
кроме случая, когда s и а имеют почти одно и то же направление, то
экспонента, содержащая р, может быть заменена единицей для не
очень больших значений р. При этих условиях уравнение (5.36)
сводится к виду (5.35), так что В становится инвариантной вдоль
прямых линий, которые могут быть правильно названы лучами
света.
5.3.3. Теорема Ван Циттера — Цернике
В предыдущем разделе были выведены уравнения для
вычисления радиометрических величин Ф, 7, Е и В для полей,
определяемых через их поперечную спектральную плотность. Задача была
иначе сформулирована еще задолго до того, как современная
теория когерентности заняла подобающее ей место в оптике: каковы
свойства когерентности поля, создаваемого заданным
распределением в пространстве предположительно некогерентных источников?
IQft

,->та задача была решена Ван Циттертом и Цернике и описана в
статьях, которые являются сейчас классическими [5.96—5.98]. Ван
11,пттерт рассмотрел подробно совместное распределение
вероятности для фазы в паре точек поля. Цернике избежал столь
детального изучения, главным образом обратив свое внимание на
предсказание результатов экспериментов по интерференции.
Математически их результаты одинаковы. Ван Циттерт [5.99, разд. 28, с. 440,
142] дал следующую формулировку: 1) степень когерентности в
плоскости, освещаемой источником света, тождественна
дифракционной функции для диафрагмы, одинаковой по форме и размеру с
источником света; 2) если колебания двух точек в плоскости,
освещаемой источником света, интерферируют, получается
интерференционная картина, видимость которой равна степени когерентности
между точками.
Эти правила, известные как теорема Ван Циттерта и Цернике,
приобретают новую значимость в свете предыдущего раздела.
Центральным моментом в таком развитии является физический смысл
преобразования Фурье поперечной спектральной плотности,
введенной в предыдущем разделе (5.22). Исходя из представления
поля в дальней зоне (5.17) для случайной амплитуды, можем
записать уравнение для поперечной спектральной плотности в дальней
:юне:
{и* (гЛ) и (r2s2)> =W expik(r*-ri)szlsz2W (sxl, Syu sx2, \sy2). (5.37)
Зависимость этой корреляционной функции от Г\ и г2 очевидно
тривиальна. Физически существенная сторона формулы
заключается в том, что W(sxi, Syi, sx2, sy2) представляет корреляцию между
амплитудами в точках сферы на большом расстоянии от
источника, т. е. угловую корреляцию поля. Теперь вернемся к (5.22) и
введем новые переменные
Syl — Syi Х2 = Х, у2 = У, SX2 = Sx-\- Sx,
sy2z=sy~lTsy-
Подстановка в (5.22) дает
frfo. sy, sx + s'x, Sy + s'y) = jj-NwQ(x+t, jH-4i *, y)X
X exp[ik(bJC + ^sy--xs'Jc — ys'y)]dxdydtd'Y)- (5.38)
Это соотношение снова является преобразованием Фурье.
Следующие пары переменных являются Фурье-сопряженными:
sx и 5f s'x и xf
sy и т], 4 й У-
6*
139

В широком смысле зависимость Wo от разных переменных £ и
г) представляет собой свойство когерентности плоскости источника
в г=0. Зависимость Wo от переменных х и у представляет собой
по существу распределение интенсивности по источнику.
Аналогично, зависимость W от разностных переменных s'x и s'y представляет
собой угловую когерентность в дальней зоне, в то время как
зависимость W от sx и sy представляет собой распределения
интенсивности поля в дальней зоне, т. е. в зоне распределение
интенсивности излучения. Таким образом, соотношения Фурье (5.38)
предполагают, что интенсивность излучения и его свойства когерентности
источника являются Фурье-сопряженными величинами, тогда как
угловая когерентность (свойства когерентности в поле дальней
зоны) является Фурье-сопряженным с распределением интенсивности
по источнику. Это соотношение хорошо согласуется с теоремой Ван
Циттерта — Цернике. В конкретных случаях общие утверждения,
сделанные в этом параграфе, могут быть детализированы (см.
разд. 5.4 и 5.5, где даны многочисленные ссылки Hav литературу).
5.3.4. Пример: квазистационарные источники
Для многих источников поперечная спектральная плотность
Wo(x, у, х + %, У+чг]) равна нулю до тех пор, пока £ и г\ не
остаются внутри малой области когерентности и, кроме того, не зависит от
х и у для всех точек источника, не очень близких к его границе.
Когда эти условия удовлетворены, можно записать для взаимной
спектральной плотности функцию W0(£, rj). Тогда уравнение (5.33)
сводится к виду
В(х, у, sX9 sv)=J£s, JjVoG. 4)exp[-ik(Zsx + 4sy)]dld4, (5.39)
т. е. яркость пропорциональна преобразованию Фурье от функции
поперечной спектральной плотности, умноженному на косинусный
сомножитель sz. Рассмотрим три примера: 1) предельный случай
полностью некогерентного источника; 2) источник типа абсолютно
черного тела; 3) экран со случайной фазой, освещенный
когерентной плоской волной.
1. Некогерентные источники. Под некогеретным источником
следует понимать источник с областью когерентности намного
меньшей, чем длина волны света. Тогда удобно записать приближение
W0& Л) = *^(6)8(т|). (5.40)
Уравнение (5.39) дает
^=jW, (5.41)
Следовательно, энергетическая яркость некогерентного
источника падает как косинус угла между направлением, наблюдения и
нормалью к плоскости источника. Из этого следует, что
интенсивность излучения такого источника изменяется как квадрат косину-
140

са того же угла. Этот результат получен Бераном и Паррентом
[5.83].
2. Излучение абсолютно черного тела. В этом случае имеем в
соответствии с формулой (5.9)
и?0С5>Л) = ю,^, (5-42)
где p=]/I24-ir)2.
Подставляя последнее соотношение в уравнение (5.39),
получаем после перехода к полярной системе координат и интегрирования
по полярному углу
В=±^- WA J^f/o(*P [4 + 4П Р^Р- (5-43)
О
Оценка этого интеграла [5.91, с. 487, уравнение (11.4.38)]
приводит к замечательному результату: все выражение сводится к
константе
B==^Wl. (5.44)
Следовательно, энергетическая яркость абсолютно черного
излучателя не зависит от направления. Как следствие этого,
интенсивность излучения плоского абсолютно черного источника
изменяется пропорционально косинусу угла в первой степени. Источники
с таким свойством называются ламбертовскими. Более точное
изложение для источников с малыми размерами дано в разд. 5.4.
3. Экран со случайной фазой. В качестве третьего примера
рассмотрим экран со случайной фазой в плоскости 2=0 с величиной
пропускания
Т(х, y) = expi<?(x9 у), (5.45)
в которой ф(л:, у) является изотропной гауссовской случайной
функцией с нулевым средним значением и корреляционной
функцией i?(p), p= (£2+ri2)1/2. Если экран освещается плоской волной
щ(х, у> z)=u0exp (i&or), амплитуда распределения в плоскости
z=0 за экраном будет равна
#(-*, У, 0)=uQexp[ikixax-{'yay)]exp[i^(x9 у)]9 так что
и*{х, у, 0)а{х + 1, у+Л, 0) = tibexp[ikfax-{-i\Oy)\X
Хехр (*•[?(*+ 6, у+ Л)-?(*,#)]• (5.46)
Усреднение результатов большого числа тождественных
радиометрических измерений, выполненных с различными фазовыми
экранами одинакового типа, может быть получено путем
рассмотрения усреднения по ансамблю последнего уравнения. Усредненная
левая часть уравнения принимает характер поперечной спектраль-

ной плотности. Усреднение по ансамблю последней экспоненты
[5.100] дает <ехр(*[ср(л: + £, у + ц) — q>(*. y)])> = exp(— [R(0) —
—^(р)]). Поэтому можем записать
^0(S,T])=^exp[/&(^ + Ti^)]exp(-[/?(0)-/?(pO]). (5.47)
Подстановка в уравнение (5.39) дает
В(х, у, sXf sy)=^ufc, ^exp(~[R{Q)-R{p)])exp(ik[l(sx-ax) +
+ i\(Sy-oy)])(Kdr\. (5.48)
Следовательно, энергетическая яркость за фазовым экраном в
первую очередь определяется Фурье-преобразованием
корреляционной функции амплитуды пропускания, централизованного в
направлении падающего света. Заметим, однако, что яркость является
усреднением по ансамблю; в отдельных экспериментах будут
значительные спеклы (см. гл. 6). В практических случаях уравнение
(5.48) необходимо использовать с осторожностью. Оно
основывается на предположении о том, что профиль матового стекла
просто налагается на пропущенный волновой фронт. Это
приближение может давать значительную погрешность для поверхностей, в
высокой степени: нерегулярных.
5.4. ИНТЕНСИВНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
И УГЛОВАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
В этом разделе продолжим изучение пространственной
когерентности первого порядка полей излучения плоских источников.
Особое внимание уделим оцениванию интенсивности излучения и
степени угловой когерентности с точки зрения обратных
соотношений (разд. 5.4.2) и явных моделей источника с «подгоночной»
степенью когерентности (разд. 5.4.1, 5.4.3, 5.4.4). Рассмотрим и
применение к термоэлектронным эмиссионным источникам (разд. 5.4.5).
Классическое изложение частичной когерентности находится в
книгах Борна и Вольфа [5.101], Берана и Паррента [5.83] и О'Нэй-
ла [5.102]. Важный случай источников полей с частичной
когерентностью по апертуре рассмотрен в работе Шелла [5.103], Шора и др.
[5.104, 5.105] и Джейсуола и др. [5.106, 5.107]. Исследования
Уолтера [5,34, 5.93, 5.94, 5.108] по когерентности и радиометрии и
необходимость восстановления корреляции источника по данным в
дальней зоне стимулировали современные работы Вольфа [5.90, 5.92,
5.109—5.115] и Болтса [5.29, гл. 3, 5.116—5.123]. Изучение
оптических соотношений между функциями когерентности в дальней зоне
и в плоскости источника дополняются современными
исследованиями частичной когерентности Фервердой и Ван Хеелем [5.124—
5.126] и др. [5.127]. Математические методы, лежащие в основе этих
исследований, тесно связаны с методами в теории рассеяния и спек-
лов [5.28, 5.128—5.134]. В литературе имеются сообщения о
недавних измерениях пространственной когерентности [5.135—5.142].

11 настоящее время представляют интерес также относящиеся к
рассматриваемому вопросу задачи формирования частично
когерентных изображений [5.143—5.146].
Как и в предыдущем разделе, будем рассматривать одну Фурье-
компоненту (частоту со, волновое число k) и опишем поле через
скалярную спектральную функцию когерентности (5.11).
Соответствующие вычисления векторного поля были выполнены недавно
Кэрпентером и Паском [5.147, 5.148] и Лидером [5.149, 5.150].
Введем слегка измененные обозначения: с данного момента s будет
обозначать двумерный вектор (sXy sy) в отличии от трехмерного
исктора в разд. 5.3.
5.4.1. Модели источника
В плоскости источника 2=0 определим функцию
когерентности как
\VQ(Qu Q2)^W(ru r2)|^2=o, (5.49)
где Qj=(Xjf уз). Предполагая процесс стохастическим и
стационарным и проводя, как обычно, нормировку, можно записать функцию
когерентности в плоскости источника в виде
'^о(вь O20 = [/o(Qi)/o(e2)Fl*o(Q), (5.50)
в = Qi — вг=(^1 — -^2. Ух — Уъ), (5.51)
/o(Qi)slFo(Qi. ft) (5.52)
в соответствии с теоремой Шелла [5.103, см. также 5.104, 5.105,
5.107, 5.114—5.123, 5.128—5.134]. В последних формулах /0(oi)
описывает профиль интенсивности в плоскости источника, и \iq(q)
обозначает степень когерентности, удовлетворяющую условию
Мю(0) = 1. Назовем плоский источник, описываемый уравнением
(5.50), источником Шелла. Он представляет собой ограниченный
апертурой источник поля любой степени когерентности и является
естественным обобщением источника поля с когерентной
апертурой, рассмотренного в гл. 4. Обычно предполагается, что источник
Шелла имеет ограничения, как по распределению интенсивности,
так и по степени когерентности. Такой источник может быть
определен по его поперечному сечению пучка и площадки
когерентности. Радиометрические свойства шелловских источников были
недавно рассмотрены Джейсуолом и др. [5.107] и Болтсом и др.
[5.119—5.123]. Аналог шелловских источников можно получить,
освещая квазиплоский флуктуирующий рассеиватель когерентным
пучком. Часто предполагают, что лазерное освещение имеет гаус-
совский профиль пучка (с шириной а), а именно:
/o(Pi)^expHei|2/2a*). (5.53)
Если профиль интенсивности не изменяется значительно на
расстояниях, где степень когерентности отличается заметно от нуля,

то уравнение (5.50) аппроксимируется следующим образом [5.114,
5.115, 5.121, 5.126, 5.127]:
W0(Qi, Q2Wo(q')Mq)> (5.54)
e' = (Qi + 02)/2> (5,55)
Указанный выше квазистационарный источник приводит к
простым радиометрическим соотношениям. Этот факт впервые
заметил Уолтер [5.34] и позднее развили Вадака и Сато [5.143], Болте
и Стайнл [5.120], Ферверда и Ван Хеель [5.125, 5.126] и наиболее
подробно изложили Картер и Вольф [5.114, 5.115]. Приближение
(5.54) справедливо, например, для абсолютно черного излучателя
с радиусом апертуры a^k~l [5.119] или для источника виртуальных
электронов [5.125, 5.126]. Однако то же самое приближение
несправедливо для освещаемых экранов со случайной фазой с площадью
когерентности и поперечным сечением пучка, имеющими одийако-
вый порядок величины, как, например, в экспериментах Бертолот-
ти и др. [5.139—5.141]. Систематизированное сравнение источника
Шелла (5.50) и квазистационарного источника (5.54) приведено
Болтсом и Стайнлом [5.121].
В настоящее время изучаются два более конкретных семейства
(изотропных) источников, а именно источники с гауссовской
корреляцией [5.29, 5.111, 5.114, 5.115, 5.120—5.123], имеющие степень
когерентности
MQ)=exp(-PW), P = |e|, b>0 (5.56)
с длиной когерентности Ь и источники с бесселевской корреляцией
[5.29,5.117—5.123], когда
\H(Q) = (n/2)l(k9/2)-»/4n/2(k9)t л>-1, (5.57)
где Jn/2 — функция Бесселя порядка п/2. Гауссовская степень
когерентности полезна для описания фазовых экранов с большой
степенью хаотичности [5.133, 5.134] (см. разд. 6.3.1). Поиски
разложения для интенсивности излучения в ряды по косинусам [5.116]
приводят к бесселевскому типу степени когерентности, которая включает ,
абсолютно черный излучатель [5.34, 5.112] в случае п=\. Пло- j
щадь когерентности источника с гауссовской корреляцией
пропорциональна б2, а площадь когерентности источника с бесселевской
корреляцией приближенно пропорциональна п для п^2 [5.116]. Для
малых Ь2 наиболее подходящей для квазистационарной
аппроксимации (5.54) является гауссовская степень когерентности, но она
включает большой вклад от высоких пространственных частот
[5.117, 5.121—5.123]: Источники с бесселевской корреляцией имеют
дополняющий характер поведения; их степень когерентности не
включает пространственные частоты выше k и медленно спадает с
увеличением расстояния р. Дополнительные подробности
приведены в разд. 5.4.3 и 5.4.4.
144

5.4.2. Обратные соотношения
Искусство восстановления функции когерентности источника по
радиометрическим данным намного менее развито по сравнению с
соответствующими обратными задачами волновой оптики,
рассмотренными в гл. 3 и 4. До настоящего времени не изучались
соответствующие понятия функции когерентности ни для обратного
рассеяния (трехмерное восстановление), ни для экстраполяции и
соответствующих разложений. В настоящее время рассматриваются
двумерные функции когерентности [5.29, гл. 3, 5.112, 5.120], но до сих
мор развиваются только методы, аналогичные методам
«Фурье-оптики» или-«обратной дифракции» [5.151]. Кроме того, для плоских
источников оцениваются данные в дальней зоне [5.128—5.131] в
терминах конкретных моделей источников, т. е. при допущении
огромного количества априорных ограничений.
Выразим радиус-вектор точки г в дальней зоне в сферических
координатах, а именно:
r = r( sin Ь cos<p* sin&sincp, cosd) =
'-r[sX9 Sy, (l-S^-4)1/2]=r[s, (1-^)V2], (5>58)
где r= |r|. Направление вектора определяется следующим
соотношением:
* = (sx, sy)= sin b(cosy, sincp).,
A-=|s|=sirift. (5.59)
Определим функцию когерентности в дальней зоне
соотношением
WrirA* s2) = «7(rb r2 |ry=r7.[sy, (ъ-**)Щ. v5.60)
Используя функции Грина [5.23, 5.83, 5.102] или представление
углового спектра [5.94, 5.106—5.109], можно вывести
(приближенное) соотношение
Wr„r% (sb s2) = (£/2;jt)2 (г^з)"1 exp \ik [rx — r2)] cos Ъх cos »2 X
Xjrf2Qrjd2Q2exp[-^(s1Q1-s2Q2)]U70(QbQ2)' (5.61)
между функциями когерентности в дальней зоне и в плоскости
источника (см. рис. 5.2). Низкочастотная часть функции
когерентности WoH4(q\, Q2) в плоскости источника восстанавливается по
заданной функции в дальней зоне Wrir2{*i. s,. из обратного
соотношения [5.120]
WTiQu Q2)^r1r2expl—ik(r1 — r2)]§d%exp(ikQ1sl)clTc(sl)X
X (1 -st)-w J d42exp(/Aq2s2) circ (s2) (1 - s?)-1^ Wrj% (su s2), (5.62)
145

Рис. 5.2. Иллюстрация
обозначений
где круговая функция circ
обеспечивает пропускание допустимого
множества значений 5/ = sin0j<l. Оставшаяся
высокочастотная часть
WT (Ql, Q2) = W0(Qu Q2)-WT(Qu Q2)
(5.63.)
(соответствует «тонкой структуре»
функции когерентности источника и
комплексным углам Oj с s/ = sinO/>l.
Далее в этой главе задача
восстановления информации по функции (5.63) не исследуется (см. 5.128).
Так как абсолютные расстояния г\ и г2 входят в уравнение
(5.62) тривиальном образом, примем ri = r2=r и впредь будем
рассматривать поперечную функцию когерентности
Wr(sus2)^Wrr(sus2). (5.64)
Вводя относительные координаты (5.51), (5.55) и
s'=S! —s2) s=(s1+s2)/2, (5.65)
получим
Wr{su s2)=(^/2n)2r-2cose-1cos&2/7(s') s) (5.66)
с угловой корреляцией [ср. (5.22)]
F(s', s)= jtf2eexp(-/£s'Q') frf2Qexp(-^s6)r0(e' + Q/2, q'-q/2)
(5.67)
и степенью угловой когерентности
M«i, s2)^Wr(su s2)[Wr(slt Sl)^r(s2) s2)]-V2 =
=F (s\ s) [F (0, Sl) F (0, s2)-i/2. (5.68)
Для si=s=s2 уравнение (5.66) дает интенсивность излучения [ср.
(5.21)]
j(s)^rWr(s, s)=(k/2n)*cos2bF(s)t (5.69)
выражаемую через угловой частотный спектр
F(s) = F(0,s) = J>q' jrf2Qexp(-/bQ)ir0(Q' + Q/2, q'-P/2)." (5.70)
Функции (5.67) и (5.70) имеют решающее значение для
нахождения соотношения между характеристиками в дальней зоне и
плоскости источника. Обратное соотношение (5.62) может быть
записано в виде [5.120]
Wo4(p'+p/2, p'-p/2)ocffl?2s'exp(JA:pV) j #2s exp (taps) X
X circ(s + e'/2) circ (s-e'/2)n,(e+e72, s-s72)[/(s+e72)]V»x
X [J(s-s72)]V2[l _(s + s72)2]-i/2[i _{s_s'/2)2]-i/2. (5.71)
146

Таким образом, в общем случае для нахождения функции
когерентности в плоскости источника W0H4 требуются знания как
степени угловой когерентности |Jir(si, s2), так и интенсивности
излучения 7(s) (о фазе \хг см. гл. 2).
До сих пор были использованы только априорные знания о
плоской геометрии источника. Потребуем теперь больше априорных
сведений, т. е. рассмотрим более конкретные модели источника.
Начнем с весьма общего шелловского источника (5.50), имеющего
угловую корреляцию
F(s'9 s) = f d2pexp(—iksp) [x0(p) f af2p'exp(—/£s'p') X
X[/0(p' + P/2)W--P/2)l1'2 (5.72)
и угловой спектр
F (s) = j tf 2pexp (-/Asp) ft, (p) j rfV Uo(p' + P/2) /0IP' - P/2)P=
= f{?o}®[fVo/2}]\ (5.73)
где У «— двумерное Фурье-преобразование и ®-свертка.
Важные способы решения этих интегральных уравнений были
получены численным методом для случая источников с круговой
апертурой и с бесселевской корреляцией [5.119] и аналитическим
методом для источников с гауссовской корреляцией и гауссовским
профилем пучка [5.120—5.123] (см. разд. 5.4.3 и 5.4.4).
В частном случае квазистационарного источника (5.54)
справедливо менее сложное выражение (см. также разд. 5.3)
F(s\ s) = f tfV exp(-/*s'p')/0(p') f tf2pexp(-/£sp)i*0(p). (5.74)
Соответствующий угловой спектр имеет вид
F(s)= S f rf2pexp(-^sp) |i,0(p), (5.75)
где S=jrf2p70(p') (5.76)
обозначает эффективную площадь поверхности. Из уравнений
(5.69), (5.75) легко получаем обращение интенсивности излучения
[5.29, гл. 3; 5.112]
jig4 (p^S-1 j d4 exp(/Aps) circ (s) (1 -s2)"1 J (s). (5.77)
Это соотношение позволяет восстановить низкочастотную часть
|Лонч(е) степени когерентности |Шо(е) из интенсивности излучения
7(s). В данном случае обратное соотношение (5.77) применимо
только, если уже известно, что источник квазистационарный. Для
источников такого типа можно определить низкочастотную часть
профиля интенсивности Iq(q') с помощью Фурье-обращения «сим-
147

(5.79)
метрично просканированной» [5.143] функции когерентности в
дальней зоне Wr(su s2=—si) с угловой корреляцией (s'=2s,):
F(s', 0)==JrfQ^o(e)j,^2e'exp(-^sV)/0(Q/). (5-78>
5.4.3. Источники с бесселевской корреляцией
Проиллюстрируем соотношение между степенью когерентности
ц,о (о) в плоскости источника угловым спектром F(s) и
интенсивностью излучения /(s) с помощью квазистационарного изотропного
источника с бесселевской корреляцией (5.54, 5.57), который
приводит к соотношениям
F{s)/F(0) =
|(l_S2)«/2-l? 0<S <1
и J(s)/J(Q) = cosnb. (5.80)
На рис. 5.3 показаны функции
(5.57), (5.79), (5.80) при разных
значениях параметра п от 0,1 до
40. Этот параметр определяет
степень .когерентности, угловой
спектр и направленность
излучения источника. Заметим, что
высокая степень пространственной
когерентности (большие п)
сопровождается увеличением
значимости низких угловых частот
(5<1) и резко выраженной
.направленностью. Напомним, что
случай п=\ соответствует
абсолютно черному излучателю или
ламбертовскому источнику
(пунктирная кривая на рис. 5.3).
Численная оценка [5.119] шел-
ловского источника с
бесселевской корреляцией (5.50, 5.57) и
- круговой апертурой радиуса а
показывает, что квазистационарное
приближение справедливо при
условии, что ak^lOO и ak^n^l.
Последнее условие означает: 1)
ширина главного максимума
„с. 5.3. Свойства источников с бес- |ю(в) Должна быть малой величи-
>евской корреляцией (из [5.29]): ной по сравнению с диаметром
Цепень когерентности (верхний гра- источника: 2) осциллирующие
лк), угловой спектр (средний гра- значения цо(о) должны достаточ-
^-•пЗВ™"* """"" »° <^Р°™ при *~.

Предполагается, что абсолютно черный излучатель с малой
апертурой, (afc^lOO) имеет значительное отклонение от ламбертовской
интенсивности излучения из-за медленного спада функции
(/ер)-1 sin kp.
5.4.4. Источники с гауссовской корреляцией
Радиометрию частично когерентных плоских источников
произвольных размеров лучше всего пояснить с помощью шелловских
источников с гауссовской корреляцией (5.50), (5.53), (5.56), а
именно, когда
Wo(Qu q2)осехр[ — (|Ql|2 + |q2|2/4а2 — |в1 — Q212/2&2]. (5.81)
В своих теориях флуктуации излучения, рассеянного фазовыми
экранами с большой степенью хаотичности, Джейкман и Пьюзи
[5.133] и Джейкман и Макуиртер [5.134] получили характеристики
источника в дальней зоне (5.81). Болте и Стайнл [5.120—5.123]
установили соответствующие радиометрические соотношения. Ква-
чистационарные источники с гауссовской корреляцией, которые
изучались Картером и Вольфом [5.114, 5.115], являются частным
случаем указанной выше модели, а именно в пределе при а^$>Ь.
Напомним, что эффективная ширина пучка а определяет размер
источника, а эффективная длина когерентности Ь отвечает его
степени когерентности.
На основании уравнений (5.68), (5.69), (5.72), (5.73) имеем для
источника (5.81) следующее выражение интенсивности излучения:
J (s)/y (0)=cos2uexp[- sin* ft/2 (Д/)*1, (5.82)
и степени угловой когерентности
ц(вь s2)=exp[-|s1^-s2|2/2(A[x)2] (5.83)
с «шириной пучка» [5.121] или «видимой шириной пучка» [5.134]
Д/ = *-1 (й~2_)_а-2/4)1/2 - (584)
и «углом когерентности»
Д|А=а-1*Д/=(а*)-1 [1 +(й/2а)2р/2. (5.85)
Параметры Ь и 2а входят в интенсивность излучения (но не в
степень угловой когерентности) симметричным образом. Из ярко
выраженной направленности можно заключить, что как диаметр
источника а, так и длина когерентности Ь велики по сравнению с
krl. Параметры а и Ъ могут быть определены по измерениям
интенсивности излучения (5.82) и (или) степени угловой когерентности
(5.83) (см. также разд. 6.3.1 и 5.121). В квазистационарном
пределе а^>Ь имеем AI-*-(bk)-1 и A\x-*{ak)-1 в соответствии с общими
однозначными соотношениями, приведенными в разд. 5.3.3. Обе
зависимости (5.84) и (5.85) имеют масштабный коэффициент
[1 + (Ь/2а)2]^2 относительно предела W>b. Такие же масштабные
свойства встречаются в экспериментах по рассеянию и численных
расчетах, выполненных Бертолотти и др. [5.139].
149

5.4.5. Применение: когерентность термоэлектронных источников
Ферверда и Ван Хеель [5.124—5.126] показали, что источник!
ускоренных (виртуальных) электронов — виртуальный катод — не
является полностью некогерентным, как предполагалось обычно,
а имеет ненулевую длину когерентности. Начальное распределение
Максвелла — Больцмана и ускоряющее напряжение U приводит к
эффективной интенсивности излучения виртуального катода
J(s)=J(0)exp[ — {eU/KT) sin2»], (5.86)
где е — элементарный заряд. Обычно выполняются условия U=
= 3 • 105 В и Г=3000 К, т. е. имеется очень высокая
направленность.
Используя квазистационарную модель (5.54) и обратное
соотношение (5.77), получим виртуальный источник с гауссовской
корреляцией, а именно:
Ро (Q)=ехр [ - (KT/4eU) *y], (5.87)
где k — волновое число Де Бройля для ускоренных электронов.
Длина когерентности Ь, определяемая уравнением (5.56),
имеет вид .
b=krl (2eU/KTy/2=\Tt (5.88)
где Хт обозначает тепловую длину волны Де Бройля. Для катода
с температурой Г=3000 К получим значение &—ЗА, которое
существенно больше длины ускоренных электронов с энергией 105 эВ
(0,037А). С другой стороны, видим из следствия (5.88), что
соответствующий физический источник (тепловых электронов) имеет
плохую пространственную когерентность с длиной когерентности
порядка длины волны.
5.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Наконец проиллюстрируем радиометрические величины разд.
5.3, используя модельные источники разд. 5.4. Полный поток в
полусферу, излучаемый источником, зависит не только от профиля
пучка /о(pi), но также от степени когерентности |Шо(р).
Максимально возможный поток получается тогда, когда как ширина
пучка, так и длина когерентности намного больше длины волны
[5.121—5.123]. Уменьшение либо ширины пучка, либо длины
когерентности приводит к убыванию потока. Такое положение
описывают «эффективностью излучения» (5.115] или «коэффициентом
переноса» [5.121].
5.5.1. Энергетическая яркость модельных источников
Записывая энергетическую яркость, определяемую уравнением:
(5.34), в виде
BM(q\ s)occos& frf2Qexp(-/Ase)ir/0(Q, + Q/2, q' —q/2), (5.89)
150

иацдем [5.121] для источника с гауссовской корреляцией (5.81)
Д<1>(§', s ocexp(~|Q/|2/2^2)(^)~2cos^exp[~sin2^/2(A/)2], (5.90)
где А/определяется соотношением (5.84). Выражение (5.90)
является также определяющим членом в энергетической яркости
фазовых экранов с большой степенью хаотичности, освещаемых
когерентным гауссовским пучком [5.123]. В квазистационарном пределе
[5.144] (А/)-2 заменяется на (bk)2. Энергетическая яркость
квазистационарного источника с бесселевской корреляцией (5.57)
пропорциональна (cos ft)71-1.
5.5.2. Светимость и эффективность излучения
Светимость £'(1)(q/) = J^cos&5(1)(q', s\ (5.91)
•соответствующая определению (5.89), может быть выражена в
виде
£<i>(e')=C<i>/0(e') (5.92)
с эффективностью излучения
CM = \dQcos^B{l){s) (5.93)
при условии, что энергетическая яркость (5.89) факторизуется, а
именно:
Ж" (в'., s)oc/0(q')£(1)(s). (5.94)
Это условие выполняется для любого квазистационарного
источника (5.54) и, кроме того, как видно из (5.90), конкретно для
шеЛловского источника (5.81).
5.5.3. Примеры
Эффективность излучения источника с гауссовской корреляции
•ей и гауссовским профилем пучка [см. (5.81)] имеет вид [5.121—
5.123]
<№=±(U)-*M[1,5/2, -(Д/)-*/2], (5.95)
где М — сходящаяся гипергеометрическая функция. Этот
результат показан графически на рис. 5.4. Напомним, что (А/)-2=<
= k2/(b-2 + cr2/4). Таким образом, С^-^l при условии, что как
.aift»l, так и 6&>1, в то время как C^^l, если либо ak^l, либо
fefe^l. Соотношение (5.95) включает более ранние результаты из
[5.114] в квазистационарном пределе a^>fe. Противоположный
предел Ь^а соответствует классическому дифракционному
результату для распространения когерентного гауссовского пучка. При
выводе соотношения (5.95) интегрирование по элементам телесного
151

угла dQ = s'mudMq> ограничивается
вещественными углами О, что
соответствует неисчезающим волнам.
Распространение интегрирования
на комплексные углы приводит к
дополнительной мнимой части
эффективности излучения [5.121], которая
«быстро становится пренебрежимо
малой с увеличением ширины пучка
а и длины когерентности Ь.
Соответствующая эффективность излучения
для фазовых экранов с большой
степенью хаотичности описана в [5.123].
Наконец упомянем
эффективность излучения квази-стационарнс-
*о источника с бесселевской корреляцией [5.121], а именно:
Рис. 5.4. Эффективности
излучения (сплошная кривая) и
флуктуации (штриховая кривая)
источников с гауссовской корреляцией
CW = k(n+l)-
(5.96>.
при^СО-Я в когерентном пределе п-^оо. В частности, ламбертов-
скии источник (л=1) создает половину потока, производимого
пространственно когерентным источником [5.115, 5.121].
5.6. РАДИОМЕТРИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Измерение корреляции второго порядка (интерферометрия
интенсивности) имеет существенное значение для получения важных
основных характеристик прямых и косвенных оптических
источников [5.23—5.30]. Будучи основанной на функции когерентности,
первого порядка (5.11), радиометрия частично когерентных
источников, описанная в разд. 5.3—5.5, не может учитывать
характеристики второго порядка, также как флуктуацию интенсивности
излучения и соответствующую корреляцию интенсивности излучения
Юлько недавно Болте с сотрудниками [5.123, 5.152—5.154]
развили дальше радиометрические понятия с целью включения
когерентности второго порядка в радиометрию поля. Эти новые понятия
приводятся в кратком изложении ниже.
5.6.1. Флуктуация и автокорреляция
интенсивности излучения
Радиометрия второго порядка основывается на
четырехточечной функции корреляции
^(2)(гь г2, г3 ,г4)=(й*(г1)й*(г2)й(г8)и(г4)>.
(5.97}
Обозначим через »tf) (вь Q2y ва> в4) и l*f > (sb s2, s3, s4) кооре-
ляции в плоскости источника и дальней зоне соответственно по
аналогии с (5.49) и (5.64).
152

Автокорреляция интенсивности излучения имеет вид
{/^•/(в^^г4^2^!, s2, s2, s1)=(ft/2n)«cos2»1cosaJ»2X
X f d2 Q f rf2 6" exp [ - M (sq + s'Q")l f rf2 Q'" f a?2 Q' Го2 (ед, (h, Qs, 64),
(5.98)
где s, s' определяются, как и в (5.65), но с преобразованием [5.133,
5.134]
Q=Qi + Q2-Q3 — Qt, Q'=(Qi + e2 + Q3 + Q4)/4,
Q"=(Qi-Q2 + Q3-Q4)/2.
Q'" = (ei-Q2-Q3 + Q4)/2 (5.99)
вместо (5.51), (5.55). Флуктуация интенсивности излучения
получается из (5.98) в случае Si = s=s2, а именно:
{y2(s))=r4U7<2>(s, s, s, s)=(£/2tt)4cos4i>ftf2eexp(-/AsQ)X
х J d2 Q" 1rf2 e'" I ^2 e' ^2)(• • •)■ (5-100)
5.6.2. Радиометрические величины второго порядка
Один из возможных способов определения энергетической
яркости второго порядка B(2)(q', s) определяется следующим
выражением [5.123, 5.152—5.154]:
Б<2> (6", s) = (£/2я)4 cos2 & ( d2 q exp (- ik sq) f rf2 q" j rf2 q'" U/0 (...).
(5.101)
Такое определение допускает соотношение
<ya(s)> = cos»& fdaQ'£(2)(e'. s), (5.102)
аналогичное (5.106). Величина второго порядка, аналогичная
потоку (5.10), есть, например, полная полусферическая флуктуация
{®2) = [d&{J2{s)) = \dQ \d2Q'cos2b'BW(Q', s). (5.103)
Это определение соответствует угловому сканированию с
последующим математическим интегрированием измеренной
флуктуации интенсивности излучения по полусфере. Поиск выражения
(5.103) в виде
<3>2)=ftf2Q'£<2)(p/) (5.104)
приводит к определению светимости второго порядка, а именно:
Е(2) (р') = f dQ cos2 &£<2> (р', s) = [ЗА4/2 (2л)5/21 f d2 р (Ар)-6/2 X
У5/2(Ар)|^2р"|йг2р'"Г0(...). (5.105)
153.

Это уравнение может быть записано в виде
Em(9')=CW(ll{p')), (5.106)
где С(2) — эффективность флуктуации и </02(е')> — Wq2(q', q\ q\
g') при условии, что BW(q\ s) факторизуется, т. е.
Ж2>(р', s) = 5(2)(s)(/02(p/)). (5Л07)
Условие (5.107) выполняется для квазистационарных
источников^ когда Wq зависит только от разности положений Qj.
J.6.3. Пример: хаотический источник с гауссовской корреляцией
Рассмотрим хаотический источник с гауссовской корреляцией
(длиной когерентности Ь) и гауссовским профилем интенсивности
(ширина пучка а), т. е.
Wf} (Рь Р2, РзР4) ее ехр ( - ^ I Ъ 12/4а2) IexP ( —IPi —P4 Р/262) ехр X
Х(-|Р2-Рз|7262)+ехр(^|р1~р3р/262)ехр(~|р2~р4р/262)].
(5.108)
Соответствующая энергетическая яркость второго порядка
имеет вид
£<2> (р', s) ос а2 (А/)-4 ехр (— р'/а2) cos2 ft ехр [ - sin2 ft/(Л/)2], (5.109)
где А/ задается выражением (5.84). В этом случае В<2>
соответствует квадрату 5^)[см. (5.90)]. Соответствующая эффективность
флуктуации имеет вид
С<2> = — а2(Л/)-4ЛГ[1,7/2, -(Л/)-2], (5.110)
5
где М — сходящаяся гипергеометрическая функция. На рис. 5.4
приведены графики нормированной эффективности флуктуации
[(A/)2/2a2]C<2>. Аналогичные результаты для модели фазовых
экранов с большой степенью хаотичности можно найти в [5.154].
Необходимы дополнительные исследования для развития
радиометрии второго порядка, включающей нехаотические источники
(см. гл. 6) и, в частности, соотношение второго порядка,
аналогичное теореме Ван Циттерта — Цернике.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5.1. Geist J. Opt. Eog. 15, 537—540 (1976) (review).
5.2. Bauer G. Measurement of Optical Radiation, Focal Press, New York, 1965.
5.3. Walsh J. W. T. Photometry, Dover, New York, 1965.
5.4. Sparrow E. M., Cess R. D. Radiation Heat Transfer, Brooks-Cole, Belmont,
1966. —Опубликован перевод: Спэрроу Э. М., Сесс Р. Д. Теплообмен излучением.
Л.: Энергия, Ленигр. отд-ние, 1971).

5.5. Calvert J. G., Pitts J. N. Photochemistry, Wiley and Sons, New York, 1966
(Опубликован перевод: Калверт Дж., Питтс Дж. Фотохимия. М.: Мир. 1968).
5.6. Chandfasekhar S. Radiative Transfer, Dover, New York, 1960
(Опубликован перевод: Чандрасекар III. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-зо иностр. лит.,
1953).
5.7. Kortiim G. Reflexionsspektroskopie, Springer, Berllin, Heidelberg, New
York, 1969.
5.8. Hecht H. G. J. Res. Nat. Bur. Stand. 80A, 567—583 (1976) (review).
5.9. Hadni A. Essentials of Modern Physics Applied to the Study ofthe
Infrared, Pergamon Press, New York, 1967, p. 2.
5.10. Grand Y. Le. Light, Color and Vision, Wiley and Sons, New York 1957r
pp. 66—72.
5.11. Zworykin V. K., Ramberg E. G. Photoelectricity, Wiley and Sons, New
York, 1949.
5.12. Judd D. B. Color in Business, jScience and Industry, Wiley and Sons,
New York, 1952, pp. 83—94.
5.13. Wyszecki G., Stiles W. S. Color Science, Wiley and Sons, New York,
1967, pp. 228—370.
5.14. Smith R. A., Jones F. E., Chasmar R. P. The Detection and
Measurements of Infrared Radiation, Clarendon Press, Oxford, 1968. (Опубликован
перевод: Смит Р. и др. Обнаружение и измерение инфракрасного излучения. М.:
Изд-во иностр. лит., 1959).
5.15. Codling К., Madden R. P. J. Appl. Phys. 36, 380-387 (1965).
5.16. Ott W. R., Fieffe-Prevost P., Wiese W. L. Appl. Opt. 12, 1618—1629
(1973).
5.17. Frohlich C, Geist J., Kendall J. M., Marchgraber R. M. Sol. Eng, 14,
157—166 (1973).
5.18. Geist J., Schmidt L. В., Case W. E. Appl. Opt. 12, 2773—2776 (1973).
5.19. Geist J., Steiner В., Schaefer R., Zalewski E., Corrons A. Appl. Phys.
Lett. 26, 309—311 (1975).
5.20. Blevin W. R., Steiner B. Metrologia 11, 97—104 (1975).
5.21. Birge R. T. Rev. Mod. Phys. 13, 233—239 (1941).
5.22. Blevin W. R., Brown W. J. Metrologia 7, 15—29 (1971).
5.23. Klauder J. R., Sudarshan E. С G. Fundamentals of Quantum Optics,
Benjamin, New York, Amsterdam, 1968(Опубликован перевод: Клаудер Дж. Р., Су-
даршан Э. К. Г. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970).
5.24. Arecchi F. Т., Degiorgio V. Measprements of the Statistical Properties of
Optical Fields. — In: Laser Hnadbook, ed. by F. T. Arecchi, E. O. Schulz-Dubois,
vol. 1, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1972, Chap. A5, pp. 191—
264.
5.25. Cummins H. Z., Pike E. R. (eds). Photon Correlation and Light Beating
Spectroscopy, Nato Advanced Stury Institute Lectures, Capri, 1973, Plenum Press,
New York, London, 1974.
5.26. Brown R. H. The Intensity Interferometer, Taylor and Francis, London,
1974.
5.27. Crossignani В., DiPorto P., Bertolotti M. Statistical Properties of
Scattered Light, Academic Press, New York, 1975 (Опубликован перевод: Кросинья-
ни Б. и др. Статистические свойства рассеянного света. М.: Наука, 1980).
5.28. Dainty J. С. (ed.). Laser Speckle and Related Phenomena, Topics in
Applied Physics, vol. 9, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.
5.29. Baltes H. P. Appl. Phys. 12, 221—244 (1977) (review).
5.30. Zardecki A., Delisle D. Opt. Acta 24, 241—259 (1977) (review).
5.31. Bourret R. С Nuovo Cimento 18, 347—356 (1960).
5.32. Baltes H. P., Hilt E. R. Spectra of Finite Systems, Bibliegraphisches In-
stitut, Zurich, 1976.
5.33. Baltes H. P. Infrared Phys. 16, 1—8 (1976) (review).
5.34. Walther A. J. Opt. Soc. Am. 58 1256—1259 (1968).
5.35. Wolf E. Phys. Rev. D13 869—886 (1976).
5.36. Baltes H. P. On the -Validity of Kirchhoffs Law of Heat Radiation for
a Body in a Nonequilibrium Environment. — In: Progress in Optics, ed. by

E. Wolf, vol. 13, North-Holland, Amsterdam, Oxford and American Elasevier, New-
York, 1976, pp. 1—25.
5.37. Капо A., Wolf E. Proc. Phys. Soc. 80, 1273—1276 (1962).
5.38. Sarfalt J. Nuovo Cimento 27, 1119—1129 (1963).
5.39. Mehta С L., Wolf E. Phys. Rev. 134, Al 143—1149 (1964).
5.40. Mehta С L., Wolf E. Phys. Rev. 134, Al 149—1153 (1964).
5.41. Keller E. Fox. Phys. Rev. 139, B202—211 (1965).
5.42. Mandel L., Wolf E. Rev. Mod. Phys. 37, 231—287 (1965). Sect. 5.7.
(review).
5.43. Mehta С L., Wolf E. Phys. Rev. 161, 1328—1334 (1967).
5.44. Fiirth R. Proc. Roy. Soc. Edinburg 67A, 289—302 (1967).
5.45. Eberly J. H., Kujawski A. Phys. Rev. 155, 10—19 (1967).
5.46. Kujawski A. Acta Phys. Pol. 34, 957—966 (1968).
5.47. Brevik I., Suhonen E., Phys. Norv. 3, 135—150 (1968).
5.48. Brevik I., Suhonen E. Nuovo Cimento 60, B141—157 (1969).
5.49. Brevik I., Suhonen E. Nuovo Cimento 65, B187—207 (1970).
5.50. Nesbet R. K. Phys. Rev. A4, 259—264 (1971).
5.51. Nesbet R. K. Phys. Rev. Lett. 27, 553—556 (1971).
5.52. Nash F. R., Gordon J. P. Phys. Rev. A12, 2472—2486 (1975).
5.53. Gordon J. Y. Phys. Rev. A12, 2487—2497 (1975).
5.54. Lee H. W., Stehle P. Phys. Rev. Lett. 36, 277—279 (1976).
5.55. Boyer Т. Н. Phys. Rev. 174, 1764—1776 (1968).
5.56. Lukosz W. Z. Phys. 262 327—348 (1973).
5.57. Balian R., Duplantier B. Electromagnetic waves near perfect conductors.
II. Casimir effect., Ann Phys. (N. Y.) 112 (1978).
5.58. Polder D., Hove M. van Phys. Rev. B4, 3303—3314 (1971).
5.59. Margreaves С. М. Radiative Transfer Between Closely Spaced Bodies,
Proefschrift, Univ. Leiden (1973).
5.60. Balian R., Bloch С Ann. Phys. (N. Y.) 64, 271—307 (1971); 84, 559—563
(1974) errata.
5.61. Baltes H. P., Kneubiihl F. K. Helv. Phys. Acta 45, 481—529 (1972).
5.62. Baltes H. P. Phys. Rev. A6, 2252—2257 (1972).
5.63. Baltes H. P. J. Math. Phys. 18, 1275—1276 (1976).
5.64. Balian R., Duplantier B. Electromagnetic waves near perfect conductors
I. Multiple scattering expansions. Distribution of modes. Ann. Phys. (N. Y.) 104
(1977).
5.65. Case K-, Chiu S. С Phys. Rev. Al, 1170—1174 (1970).
5.66. Baltes H. P. Appl. Phys. 1, 39—43 (1973).
5.67. Eckhardt W. Opt. Commun. 14, 95—98 (1975).
5.68. Baltes H. P. J. Phys. (Paris) 7, C2, 151—156 (1977) (review).
5.69. Baltes H. P., Hilf E. R., Pabst M. Appl. Phys. 3, 21—29 (1974); 5. 83
(1974) errata.
5.70. Steinle В., Baltes H. P., Pabst M. Phys. Rev. A12, 1519—1524 (1975).
5.71. Baltes H. P., Steinle В., Pabst M. Phys. Rev. A13, 1866—1873 (1976).
5.72. Agarwal G. S. Phys. Rev. All, 230—242 (1975).
5.73. Agarwal G. S. Phys. Rev. All, 253—264 (1975).
5.74. Agarwal G. S. Phys. Rev. A12, 1974—1986 (1975).
5.75. Eckhardt W. Z. Phys. B23, 213—219 (1976).
5.76. Eckhardt W. Z. Phys. B26, 291—297 (1977).
5.77. Wolf E. Proc. Phys. Soc. 80, 1269—1272 (1962).
5.78. Nussenzveig H. M. J. Math. Phys. 8, 561—572 (1967).
5.79. Glauber R. J. Phys. Rev. 131, 2766—2788 (1963).
5.80. Mehta С L., Wolf E. Phys. Rev. 157, 1188—1197 (1967).
5.81. Mandel L., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 66, 529—535 (1976).
5.82. Planck M. The Thoery of Heat Radiation, Dover, New York, 1959
(Опубликозан перевод: Планк М. Теория теплового излучения, Перевод с 5-го
нем. изд. Л.—М.: ОНТИ, Тлазн. ред. общетехн. лит-ры, 1935).
5.83. Beran M. J., Parrent G. В. Jr., Theory of Partial Coherence, Prentice
Hall, Enlewood Cliffs, 1964.
5.84. Mehta С L., Wolf, Balachandran A. P. J. Math. Phys. 7, 133—138
(1966).
156

5.85. Green H. S., Wolf E. Proc. Soc. A66, 1129—1137 (1953).
5.86. Focke J. Opt. Acta 4, 124—126 (1957).
' 5.87. Walther A. J. Opt. Soc. Am. 57, 639—644 (1967).
5.88. Wallher A. Am. J. Phys. 34, 521—525 (1966).
5.89. Kline M., Kay I. W. Electromegnetic Theory and Geometrical Op lies,
Sect. XII-8, Interscience, New York, 1965.
5.90. Marchand E. W., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 64, 1219—1226 (1974).
5.91. Abramowitz M., Stegun I. A. (eds.). Handbook of Mathematical Etmcli-
ons, N. B. S. Appl. Math. Series 55 (U. S. Department of Commerce, Washington
DC 1964) p. 485, Eq. 11.4.10.
5.92. Marchand E. W., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 64, 1273—1274 (1974).
5.93. Walther A. J. Opt. Soc. Am. 64, 1275 (1974).
5.94. Walther A. J. Opt. Soc. Am. 63, 1622—1623 (1973).
5.95. Wigner E. Phys. Rev. 40, 749—759 (1932).
5.96. Cittert P. H. Van. Physica 1, 201—210 (1934).
5.97. Zernike F. Physica 5, 785—795 (1938).
5.98. Cittert P. H. Van. Physica 6, 1129—1138 (1939).
5.99. Cittert P. H. Van. Physical Optics.— In: Textbook of Physics, ed. by
R. Kronig, Pergamon Press, New York, 1959, Chap. 5, pp. 376—475.
5.100. Middleton D. Statistical Communication Theory, McGraw-Hill, New
York,, 1960, Sect. 8.1.
5.101. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 4th ed., Pergamon Press, Oxford,
1970 (Опубликован перезод: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука,
1973).
5.102. O'Neill E. L. Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1963 (Опубликован перезод: О'Нейл Э. Введение в
статистическую оптику. М.: Мир, 1966).
5.103. Schell А. С. The Multiple Plate Antenna, Doctoral Dissertation,
Massachusetts Institute of Technology (1961) Sect. 7.5.
5.104. Shore R. A. Partially Coherent Diffraction by a Circular Aperture. In:
Electromagnetic Theory and Antennas, ed. E. С Jordan, Pt. 2, Pergamon Press,
London, 1963, pp. 787—795.
5.105. Shore R. A., Thompson B. J., Whitney R. E. J. Opt. Soc. Am. 56,
733—738 (1966).
5.106. Jaiswal A. K., Mehta С L. Opt. Comm-un. 5, 50—52 (1972).
5.107. Jaiswal A. K., Agrawal G. P., Mehta С L. Nuovo Cimento В15, 295—
307 (1973).
5.108 Walther A, Am. J. Phys. 36, 808—816 (1967).
5.109. Marchand E. W., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 62, 379—385 (1972).
5.110. Marchand E. W., Wolf E. Opt. Commun. 6, 305—308 (1972).
5.111. Wolf E., Carter W. H. Opt. Commun. 13, 205—209 (1975).
5.112. Carter W. H., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 65, 1,067—1071 (1975).
5.113. Wolf E., Carter W. H. Opt. Commun. 6, 297—302 (1976).
5.114. Carter W. H., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 67, 785—796 (1977).
5.115. Wolf E., Carter W. H. On the Radiation Efficiensy of
Quasi-Homogeneous Sources of Different Degrees of Spatial Coherence. In: Proc. 4th Rochester
Conf. on Coherence and Quantum Optics, June 8—10, 1977, ed. by L. Mandcl,
E Wolf, Plenum Press, New York 1978.
5.116. Baltes H. P., Steinle В., Antes G. Opt. Commun. 18, 242—246 (1976).
5.117. Antes C, Baltes H. P., Steinle B. Helv. Phys. Acta 49, 759—761 (1<)7(>).
5.118. Steinle В., Baltes H. P. Helv. Phys. Acta 49, 793—795 (1970).
5.119. Steinle В., Baltes H. P. J. Opt. Soc. Am. 67, 24 1—247 (1977).
5'. 120. Baltes H. P., Steinle В Lett. Nuovo Cimento 18, 313-318 (1977).
5.121. Baltes H. P., Steinle B. Nuovo Cimento B41, 428—440 (1977).
5.122. Steinle В., Baltes H. P. Helv. Phys. Acta 50, 661-- (>(>G (1977).
5.123. Baltes H. P., Steinle В., Antes G. Radiometric and Corrdalion Proper-
lies of. Bounded Planar Sources. In: Proc. 4th Rochcslcr Conf on Coherence and
Quantum Optics, June 8—10, 1977, ed. by L. Mandcl, E. Wolf, Plenum Pi ess, New
York, 1978, pp. 431—441.
157

5.124. Ferwerda H. A. Optik 45, 411—426 (1976).
5.125. Ferwerda H. A., Heel M. G. van. Optik 47, 357—362 (1977).
5.126. Ferwerda H. A., Heel M. G. van. Determination of Coherence Length
from Directionality. In: Proc. 4th Roch. Canf. on Coherence and Quantum Optics,
June 8—10, 1977, ed. by Mandel, E. Wolf, Plenum Press, New York, 1978.
5.127. Hawkes P. M. Optik 47, 453—467 (1977).
5.128. Ross G. Phil. Trans. Roy. Soc. (London) 268, 177—200 (1970).
5.129. Asakura Т., Akamatsu I. Opt. Acta 19, 749—763 (1972).
5.130. Asakura Т., Akamatsu I. Opt. Acta 20, 129—136 (1973).
5.131. Fujii, H., Asakura T. Appl. Phys. 3, 121-129 (1974).
5.132. Sirohi R. S., Mohan V. R. Opt. Acta 22, 207—210 (1975).
5.133. Jakeman E., Pusey P. N. J. Phys. A8, 369—391 (1975).
5.134. Jakeman E., McWhirter J. G. J. Phys. A9, 785—797 (1976).
5.135. Asakura Т., Fujii H., Murata K. Opt. Acta 19, 273—290 (1972).
5.136. Fujii H., Asakura T. Optik 39, 99—117 (1973).
5.137..Fujii H., Asakura T. Optik 39, 284—302 (1974).
5.138. Pusey P. N., Jakeman E. J. Phys. A8, 392—410 (1975).
5.139. Bertolotti M., Scudieri F., Verginelli S. Appl. Opt. 15, 1842—1844
(1976).
5.140. Bertolotti M., Scudieri F., Ferrari A., Apostol D. Appl. Opt. 15, 2468—
2470 (1976).
5.141. Bertolotti M., Scudieri F., Spatial Coherence of Light Scattered by
Liquid Crystals. In: Proc. 4th Rochester Conf. on Coherence and Quantum Optics,,
June 8—10, 1977, ed. by L. Madel, E. Wolf, Plenum Press, New York, 1978.
5.142. Carter W. H., Appl. Phys. 16, 558—563 (1977).
5.143. Wadako S., Sato T. J. Opt. Soc. Am. 66, 145—147 (1976).
5.144. Ferwerda H. A. Opt Commun. 19, 54—56 (1976).
5.145. Dutta K., Goodman J. W. J. Opt. Soc. Am. 67, 796—803 (1977).
5.146. Carpenter D. J., Pask С J. Opt. Coc. Am. 67, 115—117 (1977).
5.147. Carpenter D. J., Pask С Opt. Acta 23, 279—286 (1976).
5.148. Pask С Opt. Acta 24, 235—240 (1977).
5.149. Leader J. С The generalized partial coherence of a radiation source and
its far-field, Opt. Acta 25, 395—413 (1978).
5.150. Leader J. С Equivalent source coherence of laser-illuminated rough
surfaces.J. Opt. Soc. Am. 66, 183 (1976) and submitted to Opt. Acta.
5.151. Shewell J. R., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 58, 1596—1603 (1967).
5.152. Baltes H. P. Lett. Nuovo Cimento 20, 87—90 (1977).
5.153. Baltes H. P., Steinle B. J. Opt. Soc. Am. 67, 1366 (1977).
5.154. Baltes H. P., Steinle B. Fluctuating sources and seconderder radiohetry,
Nuovo Cimento B44, 423—441 (1978).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Eckhardt W. Anisotropy and temporal coherence of blackbody radiation, Phys.
Rev. A17, 1093—1099 (1978).
Carpenter D. J., Pask С The angular spectrum approach to diffraction of par-
t'ally coherent light, Opt.-Acta 24, 939—948 (1977).
Bastiaans M. J. The Wigner distribution function applied to optical signals
and systems, Opt. Commun. 25, 26—30 (1978).
Ueha S., Oshima S., Tsujiuchi J. Image reconstruction by using the
propagation law of mutual intensity, Opt. Commun. 18, 488—491 (1976).

Leader J. С. Far-zone range-criteria for quasihomogeneous partially coherent
sources, Preprint.
Carver K. R. Radiometric recognition of coherence, Radio Science 12, 371—379
(1977).
Tatarskii V. I. Locally Homogeneous Fields with Smothly Varying Mean
Characteristics.— In: The Effects of the Turbulent Atmosphere on wave Propagation
(Israel Program for scientific Translations, Jerusalem, 1971), § 7.
Wolf E. Coherence and radiometry, J. Opt. Soc. Am. 68, 6—17 (1978).
Carter W. H. Radiant intensity from inhomogeneous sources and the concept
of averaged cross-spectral density, Opt. Commun. 26, 1—4 (1978).
Boivin A., Deckers C. Un nouveau theoreme d'eschantillonnage pour lc degre
de coherence complexe en vue de la reconstitution d'une source lumineuse isolroDc,
Opt. Commun. 26, 144—147 (1978).
Blates H. P., Hoenders B. J. Kv correlations and micro-area models in diffuse
scattering. Intern. Conf. on Lasers, Orlando, Fla., Des. 11—15 (1978).
McWhirter J. G., Pike E. R. On the numerical inversion of the Laulace
transform and similar Fredholm integral equations of the first kind, J. Phys. A (1978)
to be published.
Hoenders B. J., Balles H. P. The scalar theory of nonradiating partially co-
lierent distributions, Submitted to J. Phys. A.

б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ФАЗОВЫХ ЭКРАНОВ ПО ДАННЫМ РАССЕЯНИЯ
А. ЗЛРДЕЦКИИ
Хаотические фазовые экраны (ХФЭ) являются системами, в
которых фаза падающего электромагнитного излучения
запаздывает на. изменяющуюся в зависимости от положения случайную
величину. Это понятие полезно для описания разнообразных явлений,
сопровождающих распространение электромагнитных волн.
Упомянем несколько характерных примеров. При прохождении земной
ионосферы [6.1—6.3] радиоволны от звездных радиоисточников
могут испытывать нерегулярные фазовые изменения, что вызывает
замирание сигнала. С этим явлением связаны сцинтилляция
удаленных радиоисточников из-за солнечного ветра [6.4] и мерцание
звездного света, вызванное флуктуациями атмосферы [6.5]. При
бассейновом эффекте [6.6] как на глубоком, так и на мелком
краях свет от дна бассейна однороден, а в центре наблюдаются
границы света и тени, покрытые рябью. Интересные примеры
представляют движущиеся рассеивающие поверхности, такие как матовое
стекло [6.7—6.9], и динамическое рассеяние [6.10], проявляемое
тонкой пленкой нематического жидкого кристалла под влиянием
приложенного электрического поля [6.11]. Некоторые авторы [6.12—
6.17] используют понятие ХФЭ в связи с распространением
электромагнитного излучения через турбулентность. Для сильной
турбулентности, возникающей в тонком атмосферном слое, были
установлены соотношения между спектром мерцания и спектром
показателя преломления. Измерения пространственно-угловой корреляции
мерцания звездного света от двойных звезд были использованы для
оценки степени турбулентности в турбулентных слоях [6.18].
В ряде случаев было замечено, что шероховатые поверхности
ведут себя как фазовые экраны [6.19]. Когда световой пучок с
высокой когерентностью отражается или пропускается оптически
шероховатой поверхностью, то получается картина хаотической
интенсивности, или спекл-картина. На основании центральной
предельной теоремы статистика рассеянного поля будет гауссовой, если
поле есть результат когерентного наложения многих компонент с
независимыми случайными фазами. В этом случае две
корреляционные функции низшего порядка определяют все корреляции
поля высшего порядка. Для поверхности с одним слоем
шероховатости функция пространственной корреляции, по существу,
пропорциональна преобразованию Фурье от освещаемой области,
спроектированной по направлению наблюдения [6.20]. По этой причине
пространственно-когерентные характеристики спекл-картины не
передают значительной информации в пределе гауссовского поля. Это,,
может быть, контрастирует с временной оценкой таких
изображений, которая обеспечивает полезную информацию о движении рас-
160

сеивателя [6.21]. Таким образом, становится очевидным то, что
условие негауссовской статистики должно приводить к наиболее
интересным экспериментальным результатам, учитывающим свойства
ХФЭ. Как указано в [6.21], существуют следующие три случая,
когда рассеянное поле не распределяется по гауссовскому закону:
1. Из-за частичной когерентности или частично
поляризованного освещения различные компоненты поля складываются некоге*
рентно, т. е. суммируются интенсивности [6.22].
2. Фазы вкладов не обладают свойством случайности, например
в случае частично проявленной спекл-картины. Такая картина
формируется, если шероховатость поверхности слишком мала для
того, чтобы привести к ослаблению зеркально отраженной
компоненты поля [6.23].
3. Общее число вкладов мало, и применение центральной
предельной теоремы невозможно [6.19, 6.24].
Цель данной главы заключается в рассмотрении вопроса о том,
какая информация о ХФЭ может быть получена по данным поля в
дальней зоне (важность френелевской зоны упоминается в разд.
6.3.2 и 6.3.3). Отдельно будет выделен вопрос о статистических
свойствах рассеянного поля высокого порядка [6.25].
На основе дискретной модели микроповерхности ХФЭ, которая
вводится в разд. 6.2.1" будет развито общее описание
статистических свойств рассеянного поля через характеристический
функционал. Очевидно, что этот функционал содержит информацию о
статистиках поля всех порядков. В контексте статистик ХФЭ в разд.
6.2 возникает классическая задача нелинейного преобразования
гауссовского процесса. Разд. 6.3 посвящен исследованию
корреляций поля и интенсивности (энергетической освещенности).
В разд. 6.4 обсудим усиленные флуктуации, создаваемые
небольшим числом рассеивателей.
Здесь может быть уместным некоторое объяснение систем
обозначений. Пространственно-временную корреляционную функцию
обозначим через Г, а пространственную корреляцию через W.
Например, r<2)(#i, х2; #2, х\) обозначает корреляционную функцию
интенсивности второго порядка [см. (6.28)], a W(ru r2) относится к
пространственной корреляции первого порядка. Пространственные
координаты в плоскости наблюдения будут обычно обозначаться
буквами г, а координаты в плоскости экрана — q. Кроме того,
входное поле и входные корреляционные функции в плоскости экрана
будут отличаться нижним индексом 0, например, Uo(q), W(q\, дг)«
6.1. ИСХОДНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Рассмотрим в основных чертах два подхода к задаче
определения статистик света рассеянного ХФЭ: непрерывный подход, который
пригоден для анализа статистических характеристик рассеянного
света низкого порядка, и подход с использованием
микроповерхностей, основывающийся на представлении экрана как совокуп-»
161

ности отдельных рассеивателеи. В рамках последней модели
получим характеристический функционал рассеянного поля, который
содержит полную статистическую информацию. Для случая большого
количества рассеивателеи показано асимптотическое выполнение
гауссовского предела.
6.1.1. Физические модели
Нашим исходным предположением является то, что влияние
рассеивающего экрана на электромагнитное поле можно выразить с
помощью некоторого числа макроскопических констант. Агарвалом
была сделана попытка описания рассеяния от шероховатой
поверхности способом, развитым при определении атомного строения
вещества, с использованием метода возмущений из теоремы экстинк-
ции Эвальда — Оузина. Другие авторы [6.27—6.29] исследовали
дифракцию электромагнитных волн от шероховатых поверхностей
и слабо шероховатых тонких пленок, учитывая формирование
поверхностных плазмонов. Теория, развитая в [6.29], по-видимому,
хорошо описывает рассеяние света от металлических поверхностей и
возбуждение поверхностных плазмонов.
Распространяя непрерывный подход на макроскопическую
теорию, можно начать со скалярной теории дифракции,
модифицированной определенным образом для описания рассеивающих
экранов. Такой метод, используемый в изучении дифрагированных
радиоволн [6.30—6.32], был последовательно распространен и на
анализ зернистости рассеянного лазерного света [6.33—6.34].
Для написания основных уравнений применим дифракционный
интеграл Рэлея — Зоммерфельда. Комплексная скалярная
амплитуда, соответствующая частоте co=ckt где с обозначает скорость
света, в точке наблюдения г (рис. 6.1) определяется следующим
выражением:
K(r)=="db"J u0(P)eik^-^dY (6.1)
2 = 0
В приближении Френеля запишем уравнение (6.1) в виде
и(г)=-£г- Ио(р)ехр{-/[кх.р + кгС(р)1 + ^р2/2г]^2р, (6.2)
2 = 0
где k=6r/r, k±=kxx + kyy и <p(g>)&z£(g>) является флуктуацией
фазы, вносимой флуктуацией координаты 2=£(д). Уравнение (6.2)
позволяет исследовать негауссовские эффекты в френелевской
зоне. Некоторые из них будут обсуждены в разд. 6.3.
Если размеры освещаемой поверхности намного меньше r\ky
справедливо приближение Фраунгофера. Тогда уравнение (6.2)
можно свести к виду
hpikT Г
Й(Г)="1^7 J «о(Р)ехр{-/[к±р+*,С(р)1>лРР. (6.3)
2=0
162

Пади и) щи и
прок
Рис. 6.1. Геометрия рассеяния:
непрерывная модель
Уравнение (6.3) представляет
собой положение Бекмана [6.35,
6.36] в виде, пригодном для
анализа рассеяния в оптическом
диапазоне [6.37]. Для отражающей
геометрии, когда k
интерпретируется как изменение волнового
вектора, Педерсеном было дано
более строгое обоснование (6.3) ,
исходя из дифракционного
интеграла Кирхгофа.
Непрерывная модель может быть сформулирована другим
способом на языке скалярной теории когерентности [6.39] с
использованием только наблюдаемых величин. Имея в виду применение к
системам формирования изображений, введем /С(г—г')
—когерентную функцию точечного рассеивания в плоскости изображения,
соответствующую точке t'=q в объектной плоскости. Взаимная
спектральная плотность, соответствующая данному значению
функции пропускания 7,(е)=ехр[—*££((>)], имеет вид
W(ru Г2)= J J Wo (Pi. P2)^(Pl)^(P2)^*(ri~P1)/C(r2---p2)^pIrf2p2.
(6.4)
= 0 2 = 0
В случае движущихся рассеивающих поверхностей пропускание
будет зависеть и от времени. Заметим, что уравнение (6.4)
включает также случай распространения в свободном пространстве.
Предшествующие уравнения являются исходными для
вычисления двух- и четырехточечных амплитудных корреляций. К
сожалению, трудности вычисления статистических свойств высшего
порядка возрастают по закону прогрессии. Именно модель
микроповерхностей предназначена для облегчения положения. В контексте
задачи ХФЭ эта модель была использована Инлоэ [6.40], Истесом
и др. [6.41] и Джейкманом и Пьюзи [6.19, 6.24]. Тем не менее,
основные идеи восходят к работам Рэлея [6.42, 6.43] и фон Лауэ
16.44—6.46] (см. также задачу дифракции от случайно
распределенных отверстий [6.47, 6.48]).
Рассмотрим падающий пучок света с отчетливо выраженным
направлением распространения т0:
&пад(г, ш)=и0(г, о)) ехр (/к0г).
(6.5)
Здесь к0= (со/е)/п0, и амплитудная функция ио(г, со) обычно
описывает гауссовский профиль поперечного сечения лазерного пучка.
Обозначим через Qj вектор положения /-й микроповерхности
относительно начала системы координат (рис. 6.2). Тогда в дальней
зоне вклад в рассеянное поле, возникающий от микроповерхности,
будет приближенно равен
иj (г, o))=a0{9j, w)s/exp(/a;)exp [/(£r-- крД
(6.6)
163

Рис. 6.2. Геометрия расстояния:
модель микроповерхностей
где вектор рассеяния k = ks—ко
при ks= (©/с)т/г. Величина а/
обозначает случайную фазу, а
вещественный коэффициент формы Sjr
который учитывает дифракцию,
произведенную
микроповерхностью около pj, определяется
следующим выражением:
s] (»)= (^7")2 f f exP \ik I Pi — Pa I sin » cos т| + <py (Pl) - ?j (p2)] d2Pld2p2,
(6.7)
где т] — азимутальный угол вектора qi—Q2. Внутри области Rj /-й
микроповерхности фаза q)j волнового фронта, исходящего от
фазового экрана, изменяется когерентно. Эта область предполагается
достаточно малой, так что на протяжении Rj падающее поле
приближенно постоянно. В общем случае как ctj, так и q>j((>) являются
стохастическими функциями, зависящими от времени.
Полное рассеянное поле, являющееся результатом когерентного
наложения элементарных вкладов, определяемых уравнением (6.6),
будет равно
а (г, а))=^2йо(р;, а>)5Уехр(шу)ехр( —/кру). (6.8)
i
Когда рассеивающий экран движется, при этом каждая
микроповерхность движется по траекториям Qj{t)9 приближенное
выражение для У (г, t), зависящего от времеи оптического
возмущения, имеет вид
V(r$ t)r=exp[i{kr-^0t)]^V0[pj{t\ <]s;exp(/ay)exp[-/kpy(/)].
(6.9)
Это выражение справедливо для квазимонохроматического
падающего поля, определяемого средней частотой соо, в
предположении, что |р(0 | <с [6.49, 6.50].
В соответствии с введенной терминологией, модель
рассеивающей поверхности, используемая Голдфишером [6.51] и
содержащая бесконечно плотный набор рассеивателей, может входить в
обе наши модели. В настоящее время известны более точные
модели рассеивающих поверхностей [6.52—6.57]. Кроче и Продом [6.58]
рассмотрели задачу с помощью векторного метода, применяя
принцип взаимности Лор-ентца.
6.1.2. Характеристический функционал рассеянного света
Так как оптические флуктуации экспериментально
анализируются посредством измерений распределений фотоотсчетов, перво-

степенную важность приобретает функция распределения
вероятности Р(1) интенсивности рассеянного света. С точки зрения
теории когерентности света Р{1) описывает только одну сторону
проблемы, так как она определяет поле в одной точке пространства —
времени. Более общее статистическое описание заключается в
построении корреляционных функций, которые определяются
совместной плотностью распределения вероятности pL поля в L точках
пространства — времени. В пределе при L-^oo pL становится
вероятностным функционалом p[V(r, t)], который полностью
определяет статистические свойства поля [6.59—6.64].
По практическим соображениям вместо вычисления p[V(r, t)]
сосредоточимся на изучении характеристического функционала
поля Ф. Он определяется как Фурье-преобразование от p[V\ и
аналогичным образом характеристические функции фь определяются
как L-мерное Фурье-преобразование от рь-
Задача заключается в получении характеристического
функционала на основе модели микроповерхности разд. 6.1.1. С этой целью
предположим, что число рассеивателей, расположенных внутри
освещаемой поверхности Л0 в ХФЭ, определяет случайный пуассо-
новский процесс [6.65—6.67]
N(Ao)=\dN(p). (6.10)
Это означает, что кроме флуктуации интерференции, вызванных
случайными величинами Sj и ctj, принимаем во внимание
флуктуации так называемых чисел заполнения. Независимое приращение
cIN(q) представляет собой случайное число рассеивателей внутри
d2q около q. Рассеиватели распределены со средней плотностью
п(д), которая определяет характеристический функционал dN(q);
<ехрИ^(р)]>=ехр{л(р)[ехр(р)-1]^Р}. (6.11)
Когда п(д) является также случайной функцией, говорят о
составном или смешанном пуассоновском процессе, в противном
случае процесс является чистым. Для смешанного процесса уравнение
(6.11) в дальнейшем усредняется по смешанным распределениям
п [6.68, 6.69].
С использованием dN(q) уравнение (6.9) обычно принимает
вид
У (г, *) = УЯ(г, t\ 9)dN{9\ (6.12)
где
R(r> t\ p)=exp(/£r — ikp(/) — №0t]VQ\p(t), /js(p)exp[/a(p)]. (6.13)
Уравнение (6.12) определяет V(r, t) как случайную функциюг
получаемую из пуассоновского процесса [6.70]; интегрирование в
(6.12) принимается в смысле Лебега — Стильтьеса. Таким образом,
как дискретное, так и непрерывное распределения формально
рассматриваются с единой позиции.
165

Характеристический функционал рассеянного поля
определяется по формуле
Ф [С (г, 01=<ехр [J£ (г, t) V* (r„ t) d*rdt - J С* (г, t) V (г, /) d*rdt]y,
(6.14)
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю по всем
случайным переменным в (6.12). Для N центров рассеяния N
случайных фаз oLj и N случайных положений qj образуют вместе с
самим числом N 2W+1-мерный случайный вектор [6.40, 6.71]. Кроме
того, может потребоваться усреднение по распределениям
коэффициентов формы Sj и для смешанного пуассоновского процесса по
m(q). Там, где могут возникать недоразумения, различные
усреднения будут отличаться своими нижними индексами в угловых
скобках.
Производя упрощение
-tf(p)= J 1С (*)#*(*, p)-C(x)R(x, 9)}d*x, (6.15)
где было использовано сокращенное обозначение х= (г, t), dAx~
= d3rdt, запишем характеристический функционал в виде
Ф[С] = <ехр ftf (p)flW(p)> (6.16)
Благодаря статистической независимости приращений dN(Q)
получаем
-ф = 1пФ=ГдГф(р)> (6.17)
где ^(р)=1п<ехрЯ(Р)^(р))а>р>5^. (6.18)
Из соотношения (6.11) для бесконечно малого элемента
поверхности d2p [6.72] теперь получаем
^(р)=1п(ехр(й(Р){ехр[Я(р)1-1}^р))а>р5 =
= «(p)<exp[//(p)l-l>atPfSd*p. (6.19)
Поэтому
Ф[С]=ехрШ j (ехр[Я(Р)]-1>а,,«о(р)^2р}, (6.20)
где за скобки вынесено среднее число рассеивателей N из п(д).
Результирующая плотность по(д), нормированная на единицу,
может рассматриваться как плотность вероятности положения
микроповерхности в д.
В случае смешанного пуассоновского процесса уравнение (6.20)
дополнительно усредняется по ансамблю «о(о)» что приводит к
соотношению
<D[C] = /exp(]V ( (ехр[Я(р)-1])а,,/г0(р)^р)\ . (6.21)

Пространственно-временные функции когерентности
рассеянного поля получаются путем дифференцирования
характеристического функционала. Следовательно, уравнение (6.20) или (6.21) для
случайного п0 обобщает результаты [6.66], где была получена
характеристическая функция, соответствующая одной
пространственной точке.
6.1.3. Корреляционные функции
Из выведенного уравнения (6.14) и определения производной
функционала следует, что для получения момента (п + т)-го по-;
рядка амплитуды поля необходимо дифференцирование
функционала (п + т)-го порядка, а именно:
(V(x1)...V(xtl)V(xn+l)...V(xn+M)) =
Ьп+тф
С=0
(6.22)
&С (xi).. .оС (хп) Ь [ -С* (*„+!)].. .4- С* (хп+т)]
В частности, средние амплитуды будут равны
<!/*(*)> =ЛГ/| <#•(*, р))а?5 /*о(р)<Яр>/го; (6.23)
(V(x))=N^ (R(x, 9))*,sn0(9)d*9\no, (6.24)
Эти функции, описывающие среднее рассеянное поле, будут
отличаться от нуля для фазовых экранов со слабой хаотичностью,
т. е. создающих колебания а меньше, чем 2я. Для фазовых
экранов с большой степенью хаотичности колебания а намного больше
2л, и усредненные значения как </?*>, так и <R> равны нулю.
Функция взаимной когерентности равна
Г(*ь x2)=(V{xl)V(x^)=N^(R*{xu p)/?te, p))a,5 X
Xn0(9)d*P)no + N2^(R*(xu 9i))^n0(9l)d^l^(R(x2, р2))а,,Х
X^0(p2)rf2p2>«0. (6.25)
В оставшейся части этой главы будем рассматривать только
пример неслучайной плотности распределения рассеивателей,
поэтому усреднение по по будет опускаться.
Фазовые экраны с большой степенью хаотичности определяются
условием
<[*•(-*!, Р)]Я1Ж*2, 9)}m)«,s = Km(lR*(Xu Р)№(*2, p)\m)s- (6.26)
Уравнение (6.25) в этом случае имеет упрощенный вид
Т(хи x2) = N^ (1Р(хи 9)R(x2f9))sn0(p)dY (6.27)
167

Корреляционная функция интенсивности или корреляция поля
второго порядка bxih х2, будет равна
ТЮ(хи х2; х2, хг)= (I (хг) I (х2)) =
К (*0 К (х2) Ь [ - С* (*2)] Ь[ - С* (хг)]
(6.28)
Это выражение в общем случае содержит 15 членов. Для
фазовых экранов с большой степенью хаотичности из-за условия
(6.26) в уравнении (6.28) останется только три члена, и
корреляция интенсивности сводится к следующему выражению:
(/(хг)Г(х2))=Щ{\Я(хи p)J2|/?(*2, P)l2>^0(p)rf2p +
+ N2\^(R*(xu9)R(x299))sn0(9)d*?\2 +
+772j(|/?(x1, P1)|2)^0(p1)rf2p1J(|/?(x2, P2)i2>5tt0(p2)rf2p2. (6.29)
Легко заметить, что первый член в (6.29) описывает поправку
к гауссовской статистике, существенную при малых значениях N.
Для простоты напишем общее выражение (6.28) в частном
случае отражательных фазовых экранов, где для зеркального
направления можно в (6.13) принять k = 0. Для дальнейшего упрощения
пренебрежем изменениями V0y s и а при изменении q, полагая, что
Vo=s=l. Тогда из (6.28) получим1
</2/2>=^4|{^>|2|(^2>|2 + ^3[«^2> (/?!> ($) + СС) +
+ ((RiR2) (R^) (R^+CCmi^nKR^ + K^^dR^li-
^N'KiR,) <#|/?2|2>+'.С) + «|/?1|2/Й> <*2>+™) +
+ </&?*> (RlRi) + (R*iR*2) (RiR2) + (\Ri\2) <|tf2|2»l +
+^(|^|2|/?2р), (6.30)
где подстрочные индексы 1 и 2 относятся к точкам Х\ и х2
соответственно, и усреднение берется по случайным распределениям а.
В более общем случае необходимо восстановить интеграл по q с
нужным весом п0(д).
6.1.4. Гауссовскмй предел
Когда среднее число микроповерхностей очень велико,
по.центральной предельной теореме статистики рассеянного света
становятся гауссовскими. Можно доказать это положение путем
рассмотрения асимптотического предела характеристического функ-
1 Сокращение с.с. обозначает комплексное сопряжение величины, стоящей в
тех же скобках. — Прим. перев.
168

ционала от приведенной переменной v(x) =Л'_|/г[У(л;)—<V(x)>].
В действительности, используя (6.26), получаем
Фл?И=ехр(Ж|42рйо(р)}^-1/2([Я(р)-(//(р))])а>,+
+~W №(№)^+°(й-><2)}). (6.31)
При N-*-oo уравнение (6.31) имеет асимптотический вид
Ф^00[с1 = ехр[~ fJC(*i)f(M)(*i, x2)i:*{x2)dxldx2 +
+1/2 J J c (Xl) f(2'0) (*lf x2) С (X!) rf^rf^+1/2 j J C* (^i)X
x r(0>2) (xu x2) с (хг) ах{ах2\, (6.32)
где f(1,1) определяется выражением (6.27), деленным на N, а
Т~(2>0) „ ri(0,2) -
1 и 1 задаются аналогичными уравнениями, содержащими
только R* и R соответственно. Уравнение (6.32) представляет
собой характеристический функционал некругового гауссовского
процесса с нулевым средним значением. Когда Г( '0) и Г(,)
обращаются в нуль, можно обнаружить, что характеристический
функционал выражает круговые статистики теплового излучения [6.73, 6.74].
Это происходит в том случае, когда выполняются условия (6.26),
т. е. когда падающий пучок рассеивается фазовым экраном с
большой степенью хаотичности.
6.2. БОЛЕЕ ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
И КОГЕРЕНТНОСТИ
В этом разделе будем исходить из некоторой
идеализированной ситуации, немного отличающейся от детектирования в
дискретных точках пространства — времени, а именно: будем считать
конечными размер сканирующей апертуры и время отклика
детектирующего устройства в случае гауссовского и, возможно, частично
поляризованного рассеянного света.
Важно представлять, что существуют два различных
физических условия, при которых встречаются суммы спекл-изображений,
возникающих при рассеянии от фазового экрана. Во-первых, когда
падающий на экран свет может быть когерентным, то интерес
представляет статистика изображения, наблюдаемого через
сканирующую апертуру с конечным временем отклика. Во-вторых, когда
ладающий на экран свет частично когерентен и свойства
рассеянного света анализируются путем выделения результирующей
интенсивности из вкладов, возникающих от отдельных когерентных
компонент. Поскольку рассматривается пространственная
когерентность, оба условия имеют сходство, что было подчеркнуто в
недавних обзорах по статистикам спеклов [6.22, 6.75]. Начнем
рассмотрение с рассеянного поля, являющегося гауссовским случайным
7—298
169

процессом, Затем обсудим более реальные ситуации, в которых
из-за известной операции свертки [6.76] рассеянное поле не
является гауссовским, даже если падающее поле и флуктуации
пропускания являются гауссовскими случайными процессами. Это имеет
место для изображений полихроматических спеклов,
Фурье-преобразования амплитуд которых содержат произведение гауссовских
случайных величин.
6.2.1. Гауссовское рассеянное поле
В этом подразделе ограничимся анализом фазовых экранов
с большой степенью хаотичности и большим средним числом рас-
сеивателей, что позволяет характеризовать рассеянный свет гаус-
совской статистикой. Кратко обсудим эффекты, связанные с
временем детектирования и конечностью размера сканирующей
апертуры, в общем случае с произвольной поляризацией. Наш анализ
тесно примыкает к теории, развитой ранее для счета
фотоэлектронов [6.77].
Если считается, что апертура движется циклически с периодом
Т, равным времени отклика детектирующего устройства или
кратным этому времени [6.78], тогда наблюдаемая интенсивность 1л
может быть выражена в виде [6.79]
t+T/2
1А=-^-\й*гА{г) j I(r,t)dt, (6.33)
t—T/2
где А (г) — вещественная и положительная весовая функция, такая
что
f А (г) d2r= 5, (6.34)
a S — площадь апертуры.
В (6.33) предполагается, что интенсивность /(г, t)
соответствует плоской волне с произвольным состоянием поляризации.
Таким образом, можем написать
/(г, o=2^(r' t)V»ir- ъ (6-35)
v-
где греческие нижние индексы относятся к прямоугольным х- и
^/-компонентам аналитического сигнала V(r, t).
Статистические свойства 1л обычно описываются с помощью
характеристической функции
О00=ехр(й/Л), (6.36)
которая задается в виде бесконечного произведения
0(i)=n\^-(iVTS)xm]-K (6.37)
m
170

содержащего собственные значения кт матричного интегрального
уравнения,
t+T/2
2 |^г2Л(г2) J l£(rlf A, r2, *2)/<m)(r2, tJdt2=v.mAm)(rlt tx).
v /—Г/2
(6.38)
Матрица когерентности, образующая ядро интегрального
уравнения (6.38), определяется следующим соотношением:
Гц,(гь hi r2, t2)=(Vl(ru t)Vy(r2,t2)). (6.39)
Если уравнение (6.39) действительно известно, функция G(g)
может быть аппроксимирована по формуле
Q(S)=[l-(it/TS)x]-" (6.40)
в предположении, что интегральное уравнение (6.38) имеет М
одинаковых собственных значений X; Требование точного значения для
двух первых моментов распределения Р(1а) приводит к формулам
M = TS/E{T9 S); (6.41)
*={/A)ST/N, (6.42)
где
t+T/2
2 j* d*rxA (гх) J яГ2г2Л (Г?) |[ |Г|Ч (п. *ь г2> *2) I2 <rti<«2
Е(7\ 5)= -± ff!*- ; (6.43)
t+T/2
<M=™-]J2 Jrf2M(r) J r^(r' ': r' °Л- (6-44)
t*. /-Г/2
Применяя к соотношению (6.40) формулу преобразования
Фурье, с помощью соотношения (6.42) получаем плотность
распределения
Мм {а~1
Т(М) (iAy
P(fA)=^-7^M-*xp(--MIA/(IA)), (6.45)
которая является плотностью гамма-распределения с параметром
М, определяющим число степеней свободы света [6.80—6.92].
Асимптотически при Т и S, стремящимся к бесконечности, Н(Г, S)
становится тождественной объему когерентности [6.93], и поэтому М
может интерпретироваться как число элементов корреляции.
Подчеркиваем, однако, что в противном случае число степеней свободы
не совпадает с числом элементов корреляции [6.79, 6.82]. В любом
случае М всегда относится к контрасту С а интенсивности 1 л,
определяемого как отношение стандартного отклонения к среднему
значению через уравнение
СА=М-г'2. (6.46)
7* 171

a — рассеиватель в покое Гс=оо, М=\г
Сд»1; б — время экспозиции Т=1/100 с,
М=Т/Те*=16,7, СА**0,2; в-Г-1 с; Mm
= 1666,7, СА =0,02 (любезно представлены
Бэрсом)
В качестве примера соотношения (6.46) во временной области
покажем на рис'6.3 три фотоснимка спеклов, полученных с
помощью вращающегося матового стекла, соответствующие трем
различным отношениям времени . наблюдения (экспозиции) Т к
времени когерентности. Так как число степеней свободы
увеличивается вместе с Т, СА уменьшается в соответствии с уравнением
(6.46).
Когда изображение спекла регистрируется логарифмическим
устройством, таким как фотографическая пленка, переменная
преобразуется по логарифмическому закону. Подобное преобразование
рассматривалось Баракатом {6.94] и Арсено и Эприлом [6.95].
Во многих случаях, представляющих практический интерес,
свет является^исто монохроматическим [6.96—6.98] и
поляризованным [6.77], что приводит к факторизации Г(гь tu r2, t2). В
частности, предположим, что имеет место следующее упрощение:
IV,(г* ti; r2, *2)=(l/2)4Vv(r0, r0)W(rl9 r2)Y(*i-*2), (6.47)
где нормированная матрица когерентности Ynv(**o, r0) в опорной
точке г0 описывает состояние поляризации, a y(t\—12) является
нормированной комплексной степенью временной когерентности.
Коэффициент 7г возникает из-за того, что при соответствующем выборе
осей средняя интенсивность, связанная с х- или у-компонентной
поля, является только половиной полной средней интенсивности.
172

Если удовлетворяется уравнение (6.47), уравнение (6.37)
принимает вид
т,п
(6.48)
где Кт и vn — собственные значения интегральных уравнений с
ядрами W(T\, г2) и y(t\—/2) соответственно. В этом случае
приближенные формулы (6.40) или (6.45) все еще справедливы, но
функция Е(7\ S) теперь разлагается на произведение трех
сомножителей:
Е(7\ 5) = [(1+Я2)/21В1(Г)Ва(5), (6.49)
где явный вид Si и Н2 легко получается из (6.43) и (6.47). Если
Тс и Sc обозначают соответственно время и площадь когерентности
йа поверхности детектора, то при Т<^ТС и S<^SC существенны
только поляризационные степени свободы. Точный вид
распределения Р(1а) совпадает с плотностью распределения частично
поляризованного света [6.79, 6.84, 6.99] Приближенный вид Р{1а)
задается формулой (6.45) сМ = 2/(1+Я). Некоторые другие аспекты
эффектов поляризации были исследованы Скрайботом [6.100] и
Резетте [6.101]. Деполяризация света, рассеянного назад от
шероховатых поверхностей, рассмотрена в [6.102—6.107].
С другой стороны, если Р=\ и Т<^ТСу то сталкиваемся с
проблемой распределения интенсивности, измеренной конечной
апертурой [6.94, 6.108—6.112], или, что равносильно, интенсивности,
создаваемой частично когерентным светом и детектируемой в одной
точке. В связи с обратной задачей установим связь между числом
степеней свободы М и свойствами ближнего поля. С этой целью
заметим, что так как поле излучения непосредственно за экраном
может считаться пространственно некогерентным, по крайней мере
для достаточно тонкой микроструктуры рассеивающей поверхности
экрана, то можно оценить М из (6.41) и (6.43) с использованием
теоремы Ван Циттерта — Цернике [6.48]. Если Р=\ и Т<^ТСу то
после известной замены переменных [6.113, 6.114], полагая
WiQu Q2) =Io(Qi)d(Qi—Q2>, получим
ЩТ, S) =
Т f tf2Pi/o(Pi) f dWo(?2) frf2r'exp[^-r'(pi-P2)jx
£=0 £=0
= 5[frf2p/o(p)]2
х1д(г+т)в(г + т)Л • (6-50)
где Xq — средняя длина волны, a D — расстояние между фазовым
экраном и сканирующей апертурой. В (6.50) /о (в) обозначает про-
173

интегрированное по частоте распределение интенсивности. При
S»5C из (6.41) и (6.50) получаем желаемый результат
М-г = ^--^ _ (6.51)
Uc/0(P)rf2p]2J '
который говорит о том, что квадрат контраста наблюдаемый спекл1
картины пропорционален нормированному второму моменту
интенсивности непосредственно за фазовым экраном при условии, что
S^>SC. Обобщение (6.51), учитывающее конечность спектральной
полосы излучения, имеет вид
оо
\ da j [/0(р, o>)]2rf2p
М-\ в Жо_ J z=o ^ 2
ST Г°° по
f rfa) J* / (р, со) йЦ
Когда свет обладает чисто поперечными спектральными
компонентами и пространственное распределение интенсивности за
экраном является однородным, уравнение (6.52) дает соотношение
M=(S/SC){T/TC), .(6.53)
которое совпадает с нашим представлением о М как о числе
элементов корреляции.
6.2.2, Полихроматические спекл-структуры
Строго говоря, в общем случае соотношение (6.52) не
выполняется, так как случайные характеристики рассеивающих экранов
вызывают отличие статистик рассеянного света от гауссовской
статистики. В действительности, предполагая освещение
рассеивающего экрана пространственно когерентным и поляризованным, на
основании (6.3) мы можем записать
оо
я (г, t) = f tf ош<*> (со) и<р> (г, со) е-'«*9 (6.54)
6
где w(S)(co) описывает спектральную часть источника, в то время
как
bolkr С*
"(Р)(г, <»)=-— «o(p)exp<-/Iki-P+*,t(p)l>rf2P (6.55)
Zziir J
определяется с помощью параметров фазового экрана. Опуская в
данный момент пространственную зависимость и предполагая как

w(S)(cd) так и &(р)(со) гауссовскими случайными величинами,
получим для первых двух моментов наблюдаемой интенсивности
оо
{'а)= j>H <|«(Р)Нр> rfco; (6.56)
О
ОО оо
</л>= [ \g{^)g{«h)\{\^P)i«h)\2) (|^(P)^2)|2) +
О О
ti+T/2 t2+T/2
■f I < а(Р>' («,0 а"») («2))12]й?со1ЙГсо2 + -±- J Л," J dh \j£ Ы >
X * Ы exp [/ (со, - co2) (tx -12)\ [< | uW (oh) 12) (| a<p> (co2) i 2) +
+1 (a<">* (соt) ^) (co2))] 2] ащащ. (6.57)
Уравнение (6.56) и спектральная функция g (со) =< ]a<s)(со) |2>
дают вместе с (6.54) исходную точку для изучения спекл-структур,
полученных в полихроматическом свете [6.22, 6.38, 6.115—6.119].
Хотя (6.46) в этом случае не выполняется, контраст спеклов может
быть легко получен с помощью уравнений (6.56) и (6.57) в
пределах при очень длинных и очень коротких временах интегрирования
[6.20]. При Т^>ТС вторым членом в (6.57) можно пренебречь, и
тогда получим
оо оо
J rf»l*(»l) f rf<^(»2)K«(P)>l)«(P)(^)>|2
CL =°- °- . (6.58)
Uoo<l«(/,)<«ol2>*»
I
С другой стороны, если Г<; Гс, тогда
C9=2CL+1. (6.59)
При условии очень узкой спектральной полосы частот, с
центром около средней частоты со0, можем предположить в (6.58), что
(uW{(»i)u(p) со2)} = (|гг(р>(аз0)|2}. Интересно заметить, что
уравнение (6.58) выражает контраст через функцию временной
когерентности источника.
Возвращаясь к (6.57) видим, что в пределе при большом
времени интегрирования <1а2> является моментом второго порядка
гауссовского процесса со спектральной плотностью, играющей
роль весовой функции А(г) для протяженного детектора.
Следовательно, в этом пределе теория, выведенная в разд. 6.2.1, остается
справедливой, если вместо временной области иметь в виду
частотную область. В частности, уравнение (6.38) в этом случае имеет
вид
оо
^d2r2A(r2, <dj) f TjL(г1э a>i; га, ">2)/Г(г2, w2)tfu>2=:Km/?(rb «>i).
V 6
(6.60)
175

Это уравнение обобщает теорию Пэрри [6.22] путем включения
эффектов поляризаций.
6.3. КОРРЕЛЯЦИИ ПО АМПЛИТУДЕ
И ИНТЕНСИВНОСТИ
Маловероятно, что данные поля в дальней зоне когда-либо
дадут возможность получить полное статистическое описание
фазового экрана как случайного процесса в двух пространственных
направлениях. Вместо этого приходится довольствоваться такими
статистическими характеристиками, как дисперсия или
автокорреляция профиля поверхности. В следующих двух подразделах
обсудим усредненные по ансамблю свойства низшего порядка
рассеянного поля, позволяющие получить статистические
характеристики фазового экрана. В подразд. 6.3.2 будем иметь дело с
временной когерентностью света, создаваемой движущимся
диффузором.
6.3.1. Информация, содержащаяся
в амплитудных корреляциях
Начнем с оценки угловой корреляционной функции, используя
уравнение (6.3), в котором предположим, что kz-^k. Эта замена,
которая приводит к упрощению теории Бекмана — Педерсена,
описана Уэлфордом [6.121]. Вводя пространственные частоты f* =
= ki/2K=kSi/2TCy i=l, 2, и предполагая, что £(q) имеет гауссовскую
статистику с дисперсией а2 и коэффициентом автокорреляции
q(Q), получим
W(su «2> = (-^г)2 ехр [ — /* (гх — га)1 J rfV~2m'*spexpX
Х1-кЩ1-д№) j B;(p' + ^Wp'-^*-&««»'-e'dy, (6.61)
2 = 0
где s=(si + s2)/2, s'=si—s2. В уравнении (6.61) приходящее поле
u0(q) может учитывать как неоднородность падающего пучка, так
и размер апертуры.
Аналитические результаты для угловой когерентности и угловой
интенсивности, выражаемые уравнением (6.61), были получены
Болтсом и Стайнлом [6.122—6.124] для гауссовского профиля
интенсивности и0(е)=ехр (—р2/4а2) и коэффициента гауссовской
корреляции (см. также разд. 5.4.4). Их результаты, справедливые,
если функция q(q) может быть разложена в ряд по степеням
длины корреляции рс(<7({>) —1—р2/рс2), показывают, как может быть
получена информация о Ь — эффективной длине корреляции
фазового экрана (fc2 = pc2/2£2a2), из измерений поля в дальней зоне. Для
наилучшего результата необходимо измерять степень угловой
когерентности интенсивности излучения соответственно при а^Ь или
176

a^b. В пределе при fe/a-Cl нельзя получить информацию о рас-
сеивателе из измерений угловой когерентности. Однако необходимо
проявить некоторые предосторожности при разложении
коэффициента автокорреляции, особенно в пределе для экранов с
большой степенью хаотичности [6.125, 6.126].
Работа Лидера [6.20], который сформулировал векторную
теорию зеркального рассеяния, содержит мультипликативную
поправку к уравнению (6.61), уменьшающуюся экспоненциально с
увеличением углового расстояния между Si и s2. Кроме того, Лидер
получил функцию пространственной когерентности света, рассеянного
от шероховатой поверхности, описанную в виде суперпозиции двух
случайных распределений по высоте [6.53].
Нагата и Умебара [6.127, 6.128] определили как дисперсию, так
и длину корреляции высотной координаты. Они исходили из
уравнения, которое аналогично уравнению (6.61), но изменено с учетом
кривизны волнового фронта падающего лазерного пучка.
Упомянем также работу Таганова и Топорца [6.129], которые оценили
влияние шероховатости поверхности на степень пространственной
когерентности.
Вообще говоря, как показано Чэндли и Уэлфордом [6.37, 6.121,
6.130, 6.131], свет, рассеянный в зеркальном направлении при
помощи зеркального фазового экрана, дает информацию о дисперсии
случайной фазы, в то время как свет, рассеянный в других
направлениях, зависит также от автокорреляции фазового сдвига. Для
того чтобы показать это, используем уравнение (6.61), записанное
для угловой интенсивности в виде
(у (S)) =UL\2e-*** I Г «о(Р) в—2rt/*sprf2p|2+Z7 (V*2o2(^2a2*(p)- 1)X
2=0 *=0
Xe~2niksWp9 (6.62)
где константа F возникает от интегрирования по q' в уравнении
(6.61), содержащем медленно изменяющееся распределение
входного поля.
Значительным для зеркального направления, когда 5 = 0,
является первый определяющий член, возникающий от | <exp(t£)>|2.
Вторым членом, важным для незеркального направления, является
Фурье-преобразование Q, автоковариация комплексного
случайного процесса exp(t£). Обращая преобразование, получим
Q(p)=(exp[/(Ci-~y>-exp(/C1)>(exp(-/C2)> =
= Jrf(/(f))^fprf2/. (6.63)
Разумеется, фактор уклонения F зависит от f, но часто
считается постоянным в соответствующем диапазоне [6.131].
Если сохранить наши предположения о гауссовской статистике
случайной высоты £, измерение Q(q) позволяет получить коэффи-
177

циент автокорреляции £ в виде
^(р)=1 + (^Г21п[^(1--е-^2) + ^аав]. (6.64)
Из работы Чэндли [6.130] следует, что поверхности, изученные
им, не имеют гауссовского коэффициента автокорреляции. Однако
поведение интенсивности не зависит критично от гауссовской
формы Q{p) для фазового экрана со слабой степенью хаотичности.
Известными реализациями ХФЭ, изучаемыми интенсивно в
последние годы, являются нематические жидкие кристаллы с
упорядоченной фазой [6.133—6.135], которые рассеивают свет при
приложении внешнего электрического поля. Пространственные и
временные характеристики первого порядка лазерного света,
рассеянного такими системами, были исследованы Бартолино и др. [6.136]
и Скудиери и др [6.137]; соответствующие вопросы рассмотрены в
(6.138—6.140]. Бертолотти и др. [6.141] показали, как угол
пространственной когерентности может быть связан с флуктуациями
постоянной электрической восприимчивости среды, позволяющей
определить длину корреляции флуктуации.
6.3.2. Информация, содержащаяся в корреляции
по интенсивности
Известным проявлением флуктуации интенсивности является
винеровский спектр. Эта величина, встречающаяся в основном в
связи с шумом спеклов [6.40, 6.51, 6.142—6.144], обеспечивает
подходящую меру для определения зернистости спекла-структуры.
Однако чаще для оценки шероховатости поверхностей
используется средний контраст [6.23, 6.38, 6.118, 6.145—6.159]. Исчерпывающий
обзор методов измерения шероховатости поверхностей и
оптических изображений был опубликован в работе Беннета [6.160].
Ричмонд и Шиа (6.161] собрали библиографию по рассеянию при
отражении от различных типов поверхностей.
Для класса простых моделей поверхностей основные положения
теории содержатся в уравнениях (6.25) и (6.30). Предположив, что
точки х\ и x<i совпадают, получим первые два момента
интенсивности в одной точке. Следовательно, контраст будет равен
Cj^aj/il) (6.65)
ПРИ a? = iV3[2(|/?|2)K/?)|2 + ((/?2) (/?*)2 + ^)] +
+л*[2«/?> (R*\R\2)+cx)+(\Rp)*+(R*M) (R2)\ +
+ ЛГ(|/?|4}; (6.66)
</>=ЛГ(|/?|2>+Л^|(/?>р. (6.67)
Когда R отождествляется с ехр(т), приведенные выше
уравнения совпадают с результатом Педерсена [6.147], усредненным по
пуассоновским распределениям чисел Л^ где N— число рассеива-

C=6j/<I>
телей. На рис. 6.4 приведен график
контраста спекла как функции аа
среднеквадратичного отклонения фазы, которое
пропорционально среднеквадратичной
шероховатости .поверхности объекта.
Очевидно, что контраст насыщается на уровне,
большем единицы, а именно при (1 +
+ l/N)l/2, и что для достаточно малогоаа
контраст не зависит заметно от
конкретного вида фазового распределения.
Сильная зависимость от выбора модели,
найденная Педерсоном, наблюдается только
в диапазоне больших аа, когда фазовый
экран больше не может считаться
слабым, и в этом случае полностью
проявляется спекл-структура. Также должно
быть очевидным, что статистика
рассеянного поля является круговой [6.147, 6.162]
во всех случаях, когда <R> и </?*> не
обращаются в пуль. Некруговые
статистики в гауссовском пределе
рассмотрены детально в работах Оцубо и Асакура
[6.163].
Свойства корреляций по интенсивности в плоскости
изображения сильно зависят от вида освещения [6.71, 6.150, 6.152] и свойств
оптической системы [6.157, 6.164]. По-видимому, этот факт мешает
предпочесть поле в плоскости изображения перед полем в
дальней зоне, Хотя формулы [6.145] имеют сложную зависимость от
параметров оптической системы, понимание может быть
достигнуто объединением модели микроповерхности, разработанной в разд.
6.1.1, с уравнением (6.4). Если комплексное пропускание
записывается в виде
Рис: 6.4. Контраст спекл-
структуры, созданной
слабым ХФЭ. Непрерывные
кривые соответствуют гаус-
совскому -и штрихозые
кривые прямоугольному
фазовому распределениям
N
T^=-\ ssехР W8 1р—рД
(6.68)
7 = 1
тогда, следуя выводу Ичиока [6.71], после усреднения случайных
величин Sj, a,-, Qj и N получим выражение для контраста в виде
< S2 > 2/li
dV,
(6.69)
C? = J|^(f)p[#0(«)-
где п — среднее число рассеивателей в единице поверхности;
^ol«)=J/C(f+f1)/e*(f1)rf2/i/Jl^(')|2rf2/; (6.70)
^01»)=^ ^(*+»1)^*(м^2/1 / [^ w^ow:^/!2- (6-71)
Здесь J?(I) и W0(i) обозначают Фурье-преобразования функции
точечного рассеивания, K(q) и взаимной спектральной плотности
Wq(q) соответственно.
179

В когерентном пределе можно заменить W(i) дельта-функцией.
Тогда грубая качественная оценка (6.69) имеет вид
C/%=l + (cp)2/4JV, (6.72)
где для вычисления <s2n> использована формула, полученная на
основе уравнения (6.7) Джейкманом и Пьюзи [6.14, 6.24], а угол
рассеяния $ = 0. В общем случае уменьшение пространственной
когерентности освещаемого света приводит к ослаблению
контраста. Однако, как утверждают Фуджи и Асакура [6.149, 6.150],
линейное соотношение между контрастом и среднеквадратичным
отклонением шероховатости поверхности может быть, по крайней
мере для когерентного освещения, распространено в более
широкую область. Этот вывод, хотя и подвергаемый критике [6.121],
находится в согласии с явно другой задачей получения информации
о структуре среды по характеристикам света, рассеянного
аморфными средами, которую изучил Росс [6.166—6.168].
Касаясь функции точечного рассеяния (ФТР), из данных
машинного моделирования следует, что ФТР не влияет сильно на
контраст [6Л 56, 6.157, 6.169].
Заслуживает внимания то, что уравнение (6.72) с измененным
множителем, зависящим от угла, правильно описывает контраст
спекла в поле дальней зоны, называемый также показателем
мерцания. Для случайного N упомянутый выше результат Джейкмана
и Пьюзи имеет вид
JS-t+^-^fJS^L.) (6.73,
в приближении, что ф изменяется линейно в области
микроповерхности с размерами порядка длины корреляции £. Очевидно, что из
гониометрических измерений, описанных в гл. 5 [см. также (6.170) —
(6.172)], можно получить все необходимые структурные
параметры, т. е. <ф2>, | и N.
В зоне Френеля положение усложняется кроме фокусировки
явлениями наложения и интерференции [6Л73—6.176]. Как
численное, так и аналитическое интегрирование (6.2) показывают, что
интенсивность флуктуации увеличивается от нуля вблизи экрана до
максимального в области фокусировки. Этот эффект возникает из-
за линзоподобного поведения показателя преломления отдельных
неоднородностей. Тщательный анализ дифракционного интеграла
позволяет отождествить члены «множественных рассеивателей»,
соответствующие спеклу, и «одиночные рассеиватели»,
вызывающие явления, ответственные за фокусировку. Моделирование
фазовой корреляционной функции, предпринятое Джейкманом и Мак-
уиртером [6.175], необходимо отнести к задачам атмосферного
распространения. *
6.3.3. Движущиеся диффузоры
В последнее время спекл-структуры все чаще использовались
для исследования диффузно отражающих тел с целью получения

информации об их движении [6.177—6.193], деформации [6.194,
6.195] и механических колебаниях [6.196, 6.197]. Такие приложения
исчерпывающе рассмотрены Энносом [6.198]. Ниже будет
установлена связь между амплитудными корреляциями рассеянного света
и скоростью вращения фазового экрана. В этом смысле
корреляции по интенсивности, изучаемые обычно с помощью методов
фотонной корреляции [6.199], являются также важными.
Без анализа других подходов [6.200—6.202] начнем с уравнения
(6.25), в котором для ХФЭ с большой степенью хаотичности
можно пренебречь вторым членом. После использования уравнения
(6.13), в котором в первую экспоненту добавляется член ikp2/2Dy
описывающий явления во френелевской зоне, получим в стационар-
пом случае для функции взаимной когерентности
ik (гг - г2) - ш0х + i £ (fl _ г2) - vt 1 X
Г (Г!, Г2, t) =
2 = 0
= iVu0$2expi
-г)Ч
) C0 (p + -—j exp[/ -^ (г!-г2)р +
Здесь D — расстояние между ХФЭ и плоскостью наблюдения. Для
простоты считаем По и 5 не зависящими от положения экрана.
Кроме того, на достаточно большом расстоянии от оси вращения
микроповерхности будут находиться в равномерном движении с
постоянной скоростью v. Для падающего лазерного пучка, имеющего
вид ехр(—рр2), где действительная часть комплексного параметра
Р описывает ширину пучка, а мнимая — кривизну волнового
фронта, уравнение (6.74) будет иметь вид
T(rur2,x)=Z(rur2)exP< m?h*L
[(j£--2Im{P})v« + ~<r1-r2)]2
8Re{P}
(6.75)
где Z(ri, r2) — комплексная амплитуда, явный вид которой не
имеет значения для нашего дальнейшего рассмотрения. В частности,
когда лазерный пучок с диаметром перетяжки W фокусируется при
помощи лицзы с фокусным расстоянием fi> уравнение (6.75) пшво-
ляет получить гауссовскую функцию временной когерст мости
Г (г, г, т), которая совпадает с результатом, впервые Полуниным
Эстесом и др. [6.41]. Учет параметров поверхности таких, k.ik
дисперсия случайной фазы или длина корреляции, не влияет n;i фирму
временной корреляции [6.203]. Эффект конечною пятна рассеяния
изучался в [6.66, 6.204], метод движущихся пперцр был также
применен для уменьшения спекла в лазерном и «лечении [6.205].
1Я1

Спектр мощности поля в дальней зоне, рассмотренный в [6.41],,
является гауссовской функцией частоты с полушириной Асоуа,
прямо пропорциональной скорости перемещения, т. е.
Ао)1/2=(2 In 2)V2 v. [{k*w2/4fi) + w-ЦУ2.
Когда вращающийся объект достаточно мал, можно линейно
аппроксимировать скорость. Анализ периодических случайных
сигналов приводит тогда к определению скорости вращения [6.206].
Как обнаружено в [6.75], динамическое поведение рассеянного
поля из-за кривизны падающего волнового фронта в френелевской
зоне свидетельствует как о перемещении тела в целом, так и о
последовательном изменении в структуре. Эти явления были
изучены более детально и в френелевской области [6.207], и в поле
изображения [6.208]. В случае, обозначаемом термином бойлинг
(кипение) и предсказываемом уравнением (6.75), когда k/D =
= 2Im{(3}, скорость перемещения спекла обращается в нуль и спек-
лы только изменяют свою структуру с течением времени.
Появляется возможность широкого практического применения,
например для определения корреляции изображений,
частотно-контрастной характеристики изображающих систем и положения
аккомодации глаза [6.209—6.211], а также при тестировании фотокамер
[6.212].
6.4. ЯВЛЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЧИСЛА
РАССЕИВАТЕЛЕЙ
Когда вклад в амплитуду рассеянного поля вносит только
небольшое число рассеивателей, отклонение от предела гауссовского
поля зависит как от числа, так и от свойств отдельных компонент.
Результаты, выражаемые уравнениями (6.72, 6.73), показывают
значимость увеличивающего контраст второго члена в получении
информации о параметрах рассеивающего экрана. Имея
необходимый формализм разд. 6.1, можно рассмотреть более детальна
статистики высокого порядка негауссовских флуктуации,
созданных ХФЭ с большой степенью хаотичности.
6.4.1. Моменты и функции распределения
вероятности интенсивности
Моменты интенсивности в одной точке пространства — времени
х даются уравнением (6.22), в котором п = т и х\ = Хг = ... =Х2п = х.
Для ХФЭ с большой степенью хаотичности, для которых
выполняется (6.26), необходимая функциональная производная
оценивается в (6.72) и равна
(n=n\Vn(W<W2>, ^W>,..., *<'*»*> ). (6.76)
\ / л V 1! ' . 2! л! /
182

Здесь Уп, полиномы Белла, определяются как [6.213]
при n = vi + V2+ ... +vn, и суммирование происходит по всем
возможным наборам {vft}, являющимся неотрицательными решениями
уравнения vi + 2v2+ ... +nvn = n. Сокращенная запись <\R\2">
обозначает усреднение по s и указывает на интегрирование с
весом /го(о) по освещаемой поверхности экрана. Приведем в качестве
примера первые функциональные производные
(/2)=]V(|/?|*>=2iV2(|/?|2)2;
(P)=N (\Rf) + <W2 ^4) <|/гр>+бЛГв <|/?p>8;
{/4)=N (|/?|B) + 167V2 (\Rf) (\R\*) + 18N2 <|/?|4)2 +
+ 72Л^<|/?|4> (|/?|2)2+247V4 (|/?|2)4. (6.78)
В каждом из ^приведенных выше уравнений член с наибольшей
степенью числа N относится к статистике гауссовского поля, где
<1п> = п\<1>п. Моменты, определяемые (6.76), описывают
общий случай, соответствующий (6.13), для падающего пучка
произвольной амплитуды, рассеянного экраном с необязательно
однородной плотностью рассеивателей n0(Q) и случайным
коэффициентом форм s. В работах Джейкмана [6.214] и Чена и. др. (6.215—
6.217] моменты вычисляются для фиксированного числа центров
рассеяния N, так что сравнение с нашими формулами требует
усреднения по распределению Пуассона. Результаты Джейкмана
соответствуют однородному распределению щ и я0. Следовательно, в
этом случае < |/?J2n> = <s2?l>. С другой стороны, в [6.215]
коэффициент формы постоянен, что соответствует равенству < \R2n\ > =
=s2n. Распределение и моменты, выведенные Пьюзи и др. [6.50,
6.218, 6.219], получаются из (6.78) после отождествления <]R\2n>
с соответствующим моментом коэффициента формы.
Как показано в [6.72], функция распределения плотности
вероятности интенсивности может быть найдена на основе уравнения
(6.76) для моментов. Здесь отметим другой подход, который также
позволяет получить во многих точках пространства — времени
совместную плотность распределения.
Если свет регистрируется в L дискретных точках Х\9 ..., xL, то
Х{х)=1>£,1б(х—xi), что преобразовывает характеристический
функционал (6.20) в характеристическую функцию L комплексных
переменных Vi: /'=1, ..., L. Формула Фурье-обращения дает в этом
случае функцию распределения вероятности поля p(V\y ..., VL), и
183

интенсивность распределения в L точках может быть выражена в
виде
P{Iu-Ji) = \b(Ix-\Vtf)...4IL-\Vtf)p{Vu...,VL)X
-yidWx...dVL. (6.79)
Для L= 1 это дает
P(/)=-i- exp(-TV) jexp{JV<У0{и \R\)>,,„„} J0(u V'l)udu, (6.80)
о
где /о — функция Бесселя нулевого порядка.
Уравнение (6.80) и есть искомый результат для функции
плотности распределения. Если 5 считается неслучайной и освещение
неоднородно, то R является просто постоянной и уравнение (6.80)
имеет вид
оо
P(I)=±{exv{N[JQ(ti\R\)--l]}J0(aVJ)iidii. (6.81)
о
Как легко заметить, при исходных аргументах Рэлея [6.220] и:
больших значениях N уравнение (6.81) воспроизводит
экспоненциальное распределение, соответствующее гауссовскои статистике
рассеянного поля. Действительно, пока u\R\ мало, коэффициент
exp {iV[/o (u | У? [) — 1]} в (6.81) быстро уменьшается с ростом N, так
как ехр[/0(и|/?|) — 1]_меньше единицы для любого конечного и.
Таким образом, когда N очень велико, значительная часть обласга
интегрирования соответствует малому «, для которого
экспоненциальный интеграл в (6.81) может быть заменен на ехр(—Nu2\R\2/4).
Поэтому главный член асимптотической формулы будет равен
Р (I)=(N |#|2)-i exp(-/ \N\R*). (6.82)
Уравнение (6.81) может быть также выражено в^виде
усреднения, взвешенного с пуассоновским распределением NN ехр(—N)/Nl
по известному распределению Кляйвера — Рэлея, описывающего*
двумерное случайное блуждание с равными шагами [6.219, 6.221,.
6.222]. В действительности уравнение (6.81) может быть записано*
в виде
во ...
8
при PN (/) = ± jV0 (u\fW Л (« V7) udu. (6.84)
0
Стоит подчеркнуть, что с уравнением (6.83) сталкиваются в разных
контекстах. Если первый коэффициент в подынтегральном выраже-
184

нии уравнения (6.84) аппроксимируется в ехр(—N\R\2u2/4),
интегрирование может быть явно выполнено, и тогда получаем
/>(/) = V exp(-7V)-^ exp(-//jy|Jgp) (б>85)
В этом уравнении можно узнать формулу для полной плотности
мощности волйы, проходящей через нерегулярную дифрагирующую
среду [6.223, 6.224]. В этом случае N — число, показывающее,
сколько раз волна рассеивалась; в нем учтен луассоновский
коэффициент, имеющий среднее значение N.
Используя ту же процедуру, что и при выводе (6.80), можем
найти дважды свернутое распределение интенсивности. Отметим,
что таким образом в пределе при N-^оо получается формула фон
Лауэ [6.45, 6.75, 6.79].
6.4.2. Примеры
Аналогично уравнению (6.76) для моментов, уравнение (6.80)
включает большое число случаев, зависящих от условий освещения
и распределений s и по. Рассмотрим ряд случаев.
Переменная плотность рассеивателей. С этой целью
предположим, что
Яо(р) = Яо + Яо1(р). (6.86}
Здесь под щ понимается плотный однородный фон малых
рассеивающих зерен, a noi(e) характеризует распределение больших
рассеивателей, нерегулярности поверхности которых имеют порядок
размера освещаемой области. Эти идеи разработаны детально в
исследованиях, посвященных статистическим свойствам сумм спек-
лов [6.55, 6.225, 6.226]. Соответственно, имеем
7vjm2p^a^»1;
N |/г01(р)^2р^1. (6.87)
Когда в соответствии с (6.86) экспонента в (6.80) записывается
в виде произведения двух сомножителей и коэффициент,
содержащий Поь разлагается^в ряд по степеням [/о(и|/?|) — 1],
асимптотически при больших N получаем
Р(1)= , ! eyf-JJ^/jmVl). (6.88)
^ } N\Rf *Ч N\R\2 ) °\ N\R\* ) V ;
Таким образом, в этом частном случае функция распределения
определяется законом Раиса — Накагами. Интересно заметить, что
когда (6.88) экстраполируется в область малых значений N, оно
становится фактически тождественным логарифмически
нормальному распределению, в котором параметр дисперсии стремится к
185

нулю. Явные асимптотические выражения даны Стребеном и др.
[6.227]. Важность логарифмически нормального закона в
контексте ХФЭ обнаружена Блюемелем и др. [6.228], которые
постулировали этот вид распределения для описания данных счета фотонов.
Однородное освещение. Плотность распределения приведенной
случайной величины i = I/\R\2 задается уравнением (6.81) при
|i?|=l в соответствии с результатом Шэфера и Пьюзи [6.67]. На
рис. 6.5 показан график Р{1), полученный численным
интегрированием уравнения (6.81).
Гауссовский пространственный профиль освещаемого пучка.
Если падающий пучок имеет вид
Л/2
(6.89)
^(р)=/Гехр(--р*/2а*)
и no = const, для неслучайного s получаем
<|/?|2»>=^2VS/*, (6.90)
где Na=Nn0na2 — полное число центров рассеяния внутри пучка
радиуса а. Как видно из рис. 6.6, функция плотности распределения
приведенной случайно величины i = I/s2IQ не имеет особенности,
характерной для однородного распределения. Уравнение (6.90)
формально применимо к случаю однородного освещения, но со
случайным коэффициентом формы s, вытекающим из гауссовской
статистики градиента фазы выходящего света. Поэтому рис. 6.6
ра,
°>\
X
0,3
i
ОХ
V
\
-
- 1
1
i
1
^£=<5- ,
1
i
i
i i\
i
1
i
i—i—i—К-Г i i "i
О
1 Z J Ь 5 6 7 8
Рис. 6.5. Функция плотности
вероятности приведенной переменной *=
—II\R\2 для нескольких значений N7
освещение — однородное
Рис. 6.6. Функция плотности
вероятности приведенной переменной t=
=//S2/0 для нескольких значений
No. Освещающий пучок имеет
гауссовский пространственный профиль

представляет плотность распределения интенсивности,
наблюдаемой в заданном угле рассеяния.
К-распределения. Хотя функция Р{1) не может быть оценена
аналитически для произвольного распределения s, был предложен
класс модельных распределений, который приводит к соответствию
с экспериментом для фазовых экранов с большой степенью
хаотичности в области дальней зоны [6.50, 6.176, 6.229].
Модифицированное распределение Бесселя или /(-распределение
где v и (3 — константы, зависящие от точки наблюдения и
падающей интенсивности. Это распределение приводит к уравнению,
имеющему общий вид
в<?+1/1/2«г-1># (si/7)
2QV (Q)
rAeQ=J\f(l+v).
Уравнение (6.92) подвергается экспериментальной проверке,
когда выводится распределение счета фотонов, которое оказывается
^-распределением [6.50], соответствующим (6.92).
6.4.3. Применение
Практика подтвердила, что для систем, рассеивающих свет и
адекватно описываемых моделью фазовых экранов с большой
степенью хаотичности, с помощью негауссовских статистик можно
получить важную информацию. Явление динамического рассеяния
в жидких кристаллах было использовано для исследования
параметров экрана, таких как среднеквадратичное отклонение фазы и
длины фазовой корреляции [6.24, 6.230, 6.231]. Анализ
распределения вероятности интенсивности как функции размера пятна и
длины корреляции рассеивающих неоднородностеи был предложен
Скудиери и Бертолотти [6.223]. Работа Винера — Авниэ [6.233], в
которой наблюдались флуктуации нематического жидкого
кристалла через временные изменения увеличенной спекл-структуры,
показывает, что эти флуктуации возникают больше всего от эффектов
тепловой переориентации.
При изучении оптического распространения через
турбулентность лабораторные измерения статистик высокого порядка
осуществлялись смешиванием конвекционного потока воздуха и
окружающего охлажденного воздуха [6.17, 6.176]. Для подгонки
моментов факториалов распределения счета фотонов наиболее
подходящим является /(-распределение кз раз. 6.4.2.
Исследования квазиупругого рассеяния света о»
коллоидальных растворов показывают гауссовское поведемте при низких
плотностях, связанных с флуктуациями чисел заполнения. При го-
модинодном детектировании эти флуктуации появляются как пре-
187

вышение над фоном с характеристическим временем, равным
времени прохождения частицы через объем рассеяния [6.218, 6.234,
6.235]. С другой стороны, характеристическое время флуктуации
интерференции является временем, необходимым для типичной
частицы, чтобы пройти длину волны света. Флуктуации
интерференции, в которых преобладающую роль играют времена доппле-
ровской флуктуации, были использованы для определения
подвижности биологических образцов [6.236—6.239]. Исходной точкой для
анализа является формула, выражающая корреляцию по
интенсивности
</(0)I(f)) = (bN(0)W(t)) + (N)*[l+\F(k, /)p], (6.93)
которая обобщает (6.78). Здесь 6N(t)=N(t)—N, F(ky t) —функция
фазовой автокорреляции, и F(k, ^)=ехр (—(Mi) —функция,
характеризующаяся постоянной диффузией d. Уравнение (6.93)
справедливо, когда время корреляции числовых флуктуации намного*
больше времени затухания F(k, t) [6.234].
Предсказания теории были проверены с использованием трех
штаммов бактерий Escherichia coli с различными временами жизни
{6.240]. С помощью измерений корреляционной функции
интенсивности рассеянного света удалось получить значение времен жизни
и скорости плавания.
£.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
По отношению к обратной задаче восстановления источника
данные поля в дальней зоне могут дать только статистическую
информацию о рассеивающем фазовом экране. Полное описание
экрана как случайного процесса в двух измерениях, которое, однако,
может казаться привлекательным, в настоящее время находится
за пределами досягаемости. То, что может быть достигнуто — это
выведение некоторых статистических характеристик низшего
порядка для фазовых экранов с небольшой степенью хаотичности,
таких как дисперсия или автокорреляционная функция профиля
поверхности. Примеры характеристик входного поля
обеспечиваются уравнениями (6.51) и (6.52). Замечательно уже то, что
заключения о движении экрана могут быть получены из функции
амплитудной корреляции.
В случае фазовых экранов с большой степенью хаотичности
увеличивающие контраст негауссовские флуктуации имеют
первостепенное значение с точки зрения информативности. С помощью
методов счета фотонов предсказания теории могут быть проверены для
статистических моментов произвольного порядка, ./(-распределение,
введенное в разд. 6.4.2, определяет распределение вероятности
Благодарности. Азтор выражает благодарность д-рам X. Арсено, Г. Болтсу,
Дж. Кростовски, Делислу, Фуджии, Дж. Лидеру и Стайнлу за обсуждения и
переписку.

коэффициента формы дифракции вместе с моментами высокого
порядка. Наиболее обещающей нерешенной задачей теории
остается, вероятно, установление связи между свойствами
когерентности рассеянного поля к статистическими характеристиками
высокого порядка рассеивающего экрана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6.1. Booker H. G., Ratcliffe J. A., Shin D. H. Phil. Trans. Roy. Soc. (London)
242, 579 (1950).
6.2. Hewish A. Proc. Roy. Soc. London 209, 81 (1951). '
6.3. Ratcliffe J. A., Rep. Prog. Phys. 19, 188 (1956).
6.4. Little L. Т., Hewish A. Mon. Not. R. Astron. Soc. 138, 393 (1968).
6.5. Jakeman E., Pike E. R., Rusey P. N. Nature 263, 215 (1976)
6.6. Taylor L. S. J. Math. Phys. 13, 590 (1972).
6.7. Martienssen W., Spiller E. Am. J. Phys. 32, 919 (1964).
6.8. Martienssen W., Spiller E. Phys. Rev. Lett. 16, 531 (1966).
6.9. Arecchi F. T. Phys. Rev. Lett. 15, 912 (1965).
6.10. Deutsch C, Keating P. N. J. Appl. Phys. 40, 4049 (1969).
6.11. Heilmeier G. H., Zanoni L. A., Barton L. A. Proc. IEEE 56, 1162 (1968)
^Опубликован перевод: Хэйлмейер, Занони, Бартон. ТИИЭР, 56, № 7, с. 24—34,
J 968).
6.12. Rumsey V. H. Radio Sci. 10, 107 (1975).
6.13. Marians M. Radio Sci. 10, 115 (1975).
6.14. Furuhama Y. Radio Sci. 10, 1037 (1975).
6.15. Prokhorov A. M., Bunkin F. V., Gochelashvily K. S., Shishov V. I., Proc.
IEEE 63, 790 (1975) (Прохоров А. М., Бункин Ф. В., Гочелашвили К. С, Ши-
шов В. И., ТИИЭР, т. 63, № 3, с. 4—37, 1975).
6.16. Fante R. L. Proc. IEEE 63, 1669 (1975) (Опубликован перевод: Фэнте.
ТИИЭР, т. 63, № 12, с. 43—68, 1975).
6.17. Jakeman E., McWhirter J. G., Parry G., Pusey P. N. (Paper presented at
ihe Topical Meeting on Optical Propagation Through Turbulence, Rain and Fog
- <Golem Press, Boulder, Colo, 1977) WC1-1.
6.18. Rocca A., Roddier F., Vernin J. J. Opt. Soc. Am. 64, 1000 (1974).
6.19. Jakeman E., Pusey P. N. J. Phys. A8, 369 (1975).
6.20. Leader J. С J. Opt. Soc. Am. 66, 536 (1976).
6.21.Jakeman E., McWhirter J. G., Pusey P. N. J. Opt. Soc. Am. 66, 1175
<1976).
6.22. Parry G. Speckle Patterns in Partially Coherent Light. — In: Laser
Speckle and Related Phenomena, ed. by J. С Dainty, Topics in Applied Physics, vol.
'9, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, p. 76.
6.23. Pedersen H. M. Opt. Commun. 12, 156 (1974).
6.24. Jakeman E., Rusey P. N. J. Phys. A6, L88 (1975).
6.25. Mandel L., Wolf E. Rev. Mod. Phys. 37, 231 (1965)
6.26. Agerwal G. S. Opt. Commun. 14, 161 (1975).
6.27. Kretschmann E. Opt. Commun. 10, 353 (1974).
6.28. Kretschmann E., Kroger E. J. Opt. Soc. Am. 65, 150 (1975).
6.29. Toigo F., Marvin A., V Celli V., Hill N. R. Phys. Rev. B15, 5618 (1977).
6.30. Longuet—Higgins M. S. Phil. Trans. Roy. Soc. (London) 249, 321
<1957).
6.31. Mercier R. P. Proc. Cambr. Phil. Soc. 58, 382 (1962).
6.32. Berry M. V. Phil. Trans. Roy. Soc. London 273, 611 (1973).
189

6.33. Allen L., Jones D. G. С Phys. Lett. 7, 321 (1963).
6.34. Rousseau M., Canals-Frau D. C. R. Acad. Sci. Ser. B269, 514 (1969).
6.35. Beckmann P., Spizzino A. The Scattering of Electromagnetic Waves from
Rough Surfaces, Pergamon/McMillan, London, New York, 1963.
6.36. Beckmann P. Scattering of Light by Rough Surfaces. In: Progress in
Optics, ed. by E. Wolf, vol. 6, North-Holland, Amsterdam 1967, p. 55.
6.37. Chandley P. J., Welford W. T. Opt. Quant. Elect. 7, 393 (1975).
6.38. Pedersen H. M. Opt. Acta 22, 523 (1975)
6.39. Marathay A. S., Heiko L., Zuckermann J. L. Appl. Opt. 9, 2470 (1970).
6.40. Enloe L. H. Bell Syst. Tech. J. 46, 1479 (1976).
6.41. Estes L. E., Narducci L. M., Tuft R. A. J. Opt. Soc. Am. 61, 1301 (1971).
6.42. Strutt J. W. (Lord Rayleigh). Phil. Mag. 10, 73 (1880).
6.43. Strutt J. W. (Lord Rayleigh). Theory of Sound, Dover, New York 1945,
Sect. 42 (Опубликован перевод: Стретт Дж. В. Теория звука, Изд. 2-е т. 1—2.
М.: Гостехиздат, 1955).
6.44. Laue M. von. Sitzungsber. Akad. Wiss. (Berlin) 44, 1144 (1914).
6.45. Laue M. von Mitt. Physik. Ges. (Zurich) 18, 90 (1916).
6.46. Lau M. von. Verhandl. Deut. Phys. Ges. 19, 19 (1917).
6.47. Sommerfeld A. Optics, Academic Press, New York, 1967, p. 191
(Опубликован перевод: Зоммерфельд А. Оптика. М.: Изд-во иностр. лит., 1953).
6.48. Born М., Wolf E. Principles of Optics, Pergamon, London 1970.
(Опубликован перевод. Борн М., Вольф Э. Оснозы оптики. М.: Наука, 1973).
6.49. Crosignani В., DiPorto P., Bertolatti M. Stetistical Properties of
Scattered Light, Academic Press, New York, 1975.
6.50. Pusey P. N., Statistical Properties of Scattered Rediation. — In: Photon
Correlation Spectroscopy and Velocimetry, ed. by H. Z. Cummins, E. R. Pike,
Plenum Press. New York, 1977, p. 45.
6 51. Goldfisher L. I. J. Opt. Soc. Am. 55, 247 (1965).
6.52. Leader J. С J. Opt. Soc. Am. 68, 175—185 (1978).
6.53. Leader J. С J. Opt. Soc. Am. 67, 1091 (1977).
6.54. Судаков В. Ф. Оптика и спектроскопия, т. 40, вып. 6, 1976, с. 1050—
1054.
6.55. Field D. L. J. Opt. Soc. Am. 66, 1150 (1976).
6.56. George N. J. Opt. Soc. Am. 66, 1182 (1976).
6.57. Erdmann J. C, Gellert R. I. J. Opt. Soc. Am. 66, 1194 (1976).
6.58. Croce P., Prod'homme L. Nouv. Rev. Opt. 7, 121 (1976).
6.59. Beran M. J., Parent G. B. Theory of Partial Coherence, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1964.
6.60. Perlna J. Phys. Lett. 12, 194 (1964).
6.61. Ingarden R. S. Fortschr. Phys. 13, 755 (1965).
6.62. Keller E. F. Phvs. Rev. 139, B202 (1965).
6.63. Zardecki A. J. Math. Phys. 11, 244 (1970).
6.64. Zardecki A. J. Phys. A. 7, 2198 (1974).
6.65. Chanrasekhar S. Rev. Mod. Phvs. 15, 1 (1943).
6.66. Rousseau M. J .Opt. Soc. Am. 61, 1307 (1971).
6.67. Schaefer D. W., Pusey P. N. Statistics of Light Scattered by
Non-Gaussian Fluctuation. — In: Coherence and Quantum Optics, ed. by L. Mandel, E. Wolf»
Plenum Press, New York, 1973. p. 839.
6.68. Hight F. A. Handbook of the Poisson Distribution, Wiley and Sons, New
York, 1967, Chaps. 3—4.
6.69. Picinbono В., Bendjaballah C, Pouget J. J. Math. Phys. 11, 2166 (1970).
1 6.70. Blans-Lapierre A., Fortet R. Treorie des Foncti'ons Aleatoires, Masson,
Paris, 1953, Chap. 5.
6.71. Ichioka Y. J. Opt. Soc. Am. 64, 919 (1974).
6.72. Zardecki A., Delisle С Opt. Acta 24, 241 (1977).
6.73. Glauber R. J. Optical Coherence and Photon Statistics. — In: Quantum
Optics and Electronics, ed. by С De Witt, A. Blandin, С Cohen-Tannoudji,
Gordon and Breach, New York,N 1965, p. 65.
IPO

6.74. Klauder J. R., Sudarshan E. C. G. Fundamentals of Quantum Optics,
Benjamin, New York, 1968 (Опубликован перевод: Клаудер Дж. Р., Судар-
шан Э. К. Г. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970).
6.75. Dainty J. С. The Statistics of Speckle Patterns. — In: Progress in Optics,
ed. by E. Wolf, vol. 14, North-Holland, Amsterdam, 1976, p. 1.
ti9a5Cb alu5Pil
6.76. Cummins H. Z. Laser Light Scattering Spectroscopy. — In: Quantum
Optics, ed. by R. J. Glauber, Academic Press, New York, 1969, p. 259.
6.77. Zardecki A., Delisie C. Can. J. Phys. 51, 1017 (1973).
6.78. McKechnie T. S., Opt. Commun. 13, 35 (1975).
6.79. Goodman W. Statistical Properties of Laser Speckle Patterns, — In:
Laser Spackle and Related Phenomena, ed. by J. С Dainty, Topics in Applied
Physics, vol. 9, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, p. 9.
6.80. Mandel L. Proc. Phys. Soc. London 74, 233 (1959).
6.81. Gabor D. Light and Information. — In: Progress in Optics, ed. by
E. Wolf, vol. 1, North-Holland, Amsterdam 1961, p. 107.
6.82. Zardecki A., Delisie C, Bures J. Opt. Commun. 5, 298 (1972).
6.83. Perina J., Mista L. Opt. /-la 21, 329 (1974).
6.84. Helstrom С W. Proc. Pbs Soc London 83, 777 (1964).
6.85. Helstrom С W. J. Opt. Soc. Am. 60, 521 (1970).
6.86. Helstrom С W. J. Opt. Soc. Am. 67, 833 (1977).
6.87. Gori F., Guatori G. J. Opt. Soc. Am. 64, 453 (1974).
6.88. Gori F., Paolucci S., Ronchi L. J. Opt. Soc. Am. 65, 495 (1975).
6.89. Blazek V. Opt. Commun. 11, 144 (1974).
6.90. Bures J. J. Opt. Soc. Am. 64, 1598 (1974).
6.91. Eibaum M., Diament P. Appl. Opt. 15, 2268 (1976).
6.92. Saleh В. Е. A. J. Opt. Soc. Am. 67, 71 (1977).
6.93. Zardecki A., Delisie C, Bures J. Volume of Coherence. — In- Coherence
and Quantum Optics, ed. by L. Mandel, E. Wolf, Plenum Press, New York, 1973,
p. 259.
6.94. Barakat R. Opt. Acta 20, 729 (1973).
6.95. Arsenault H. H., Aprill G. J. Opt. Soc. Am 66, 1160 (1976).
6.96. Mandel L. J. OpL Soc. Am 51, 1342 (1961).
6.97. Mandel L., Wolf E. Phys. Rev. 124, 1696 (1961).
6.98. Mandel L., Wolf E. J. Opt. Soc. Am. 66, 529 (1976).
6.99. Mandel L. Proc. Phys. Soc. London 81, 1104 (1963).
6.100. Scribot A. A. Opt. Commun. 13, 81 (1975).
6.101. Rezette Y. Opt. Commun.. 16, 86 (1976).
6.102. Beckrriann P. The Depolarization of Electromagnetic Waves, Golem
Press, Boulder, Colo. 1968.
6.103. Leader J. С J. Appl. Phys. 42, 4808 (1971).
6.104. Leader J. C, Dalton W. A. J. J. Appl. Phys. 43, 3080 (1972).
6.105. Wilhelmi G. J., Rouse J. W. Jr., Blanchard A. J. J. Opt. Soc. Am. 65,
1036 (1975).
6.106 Gasvik K. Opt. Commun. 22, 61 (1977).
6.107. Wilhelmi G. J., Leader J. C, Dalton W. A. J. Appl. Opt. 15, 1837 (1976).
6.108. Goodman J. W. Proc. IEEE 53, 1688 (1965) (Опубликован перевод:
Гудмен, ТИИЭР, т. 53, № 11, с. 1892—1906, 1965).
6.109. Goodman J. W. Opt. Commun. 13, 244 (1975).
6.110. Dainty J. С Opt. Acta 18, 327 (1971).
6.111. Scribot A. A. Opt. Commun. 11, 238 (1974).
6.112. McKechnie T. S. In: Recent Advances in Optical Physics ed. B. IJavcl-
ka, J. Blabla (Palacky University, Olomouc, Society of Czechoslovak
Mathematicians and Physicists, Prague 976), p. 97.
6.113. Miller M. G., Schneiderman A. M., Kelien P. F. J. Opt. Soc. Am (>f>, 779
(1975).
6.114. Wadaka S., Sato T. J. Opt. Soc. Am. 66, 145 (1976).
6 115. Parry G. Opt. Acta 21, 763 (1974).
6.116. Parry G. Opt. Commun. 12, 75 (1974).
6.117. Parry G. Opt. Quant. Elect. 7, 311 (1975).
191

6.118. Pedersen H. M. Opt. Acta 22, 15 (1975).
6.119. George N., Jain A. Appl. Opt. 12, 1202 (1973).
6.120. Jakeman E., Pike E. R., Parry G., Saleh B. Opt. Commun. 19, 359
(1976). ^
6.121. Welford W. T. Opt. Quant. Elect. 9, 269 (1977).
6.122. Baltes H. P., Steinle B. Nuovo Cimento 18, 318 (1977).
6.123. Baltes H. P., Steinle B. Nuovo Cimento B. 41, 428 (1977).
6.124. Baltes H. P., Steinle В., Antes G. Radiometric and Correlation
Properties of Bounded Planar Sources. — In: Proc. 4th Rochester Conference on
Coherence and Quantum Optics, June 8—10, 1977, ad. L. Mandel E. Wolf, Plenum
Press, New York, 1978.
6.125. Holzer J. A., Sung С. С J. Appl. Phys. 47, 3363 (1976).
6.126. Leader J. C, Fung A. K. J. Appl. Phys. 48, 1736 (1977).
6.127. Nagata K., Umebara T. Jpn. J. Appl. Phys. 12, 694 (1973).
6.128. Nagata K., Umebara Т., Nishiwaki J. Jpn. J. Appl. Phys. 12, 1693
(1973).
6.129. Таганов О. К., Топорец А. С. Оптика и спекроскопия, т. 40, вып. 4,
с. 741—746, 1976.
6.130. Chandley P. J. Opt. Quant. Elect. 8, 323 (1976).
6.131. Chandley P. J. Opt. Quant. Elect. 8, 329 (1976).
6.132. Takai N. Opt. Commun, 14, 24 (1975).
6.133. Litster J. D. Liquid Crystals. — In: Photon Correlation and Light
Beating Spectroscopy, ed. H. Z. Cummins, E. R. Pike, Plenum Press, New York, 1974,
p. 475.
6.134. Castellano J. A. Opt. Laser Technol. 7, 259 (1975).
6.135. Chandrasekhar S. Rep. Prog. Phys. 39, 613 (1976).
6.136. Bartolino R., Bertolotti M., Scudieri F., Sette D. Appl. Opt. 12, 2917
(1973).
6.137. Scudieri F., Bertolotti M., Barolino R. Appl. Opt. 13, 181 (1974).
6.138. Bertolotti M., Carnevale M., Daino В., Sette D. Appl. Opt. 9, 962 (1970).
6.139. Bertolotti M., DiPorto P., Crosignani B. Phys. Rev. A5, 396 (1972).
6.140. Чайковский А. П. Оптика и спектроскопия, т. 40, вып. 1, с. 136—140,
1976.
6.141. Bertolotti M,, Scudieri F., Verginelli S. Appl. Opt. 15, 1842 (1976).
6.142. Lowenthal SM Arsenault H. H. J. Opt. Soc. Am. 60, 1487 (1970).
6.143. Arsenault H. H. J. Opt. Soc. Am. 61, 1425 (1971).
6.144. Goodman J. W. J. Opt. Soc. Am. 66, 1145 (1976).
6.145. Sprague R. A. Appl. Opt. 11, 2811 (1972).
6.146. Welford W. T. Opt. Quant. Elect. 7, 413 (1975).
6.147. Pedersen H. M. Opt. Commun. 16, 63 (1973).
6.148. Pedersen H. M. J. Opt. Soc. Am. 66, 1204 (1976).
6.149. Fujii H., Asakura T. Opt. Commun. 11, 35 (1974).
6.150. Fujii H., Asakura T. Opt. Commun. 12, 32 (1974).
6.151. Ohtsubo J., Fujii H., Asakura T. Jpn. J. Appl. Phys. Suppl. 14—1 293
(1975).
6.152. Fujii H., Asakura T. Nouv. Rev. Opt. 6, 5 (1975).
6.153. Fujii H., Asakura Т., Shindo Y. Opt. Commun. 16, 68 (1976).
6.154. Fujii H., Asakura Т., Shindo Y. J. Opt. Soc. Am. 66, 1217 (1976).
6.155. Fujii H., Uozumi J., Asakura T. J. Opt. Soc. Am. 66, 1222 (1976).
6.156. Fujii H., Asakura T. Apl. Opt. 16, 180 (1977).
6.157. Fujii H., Asakura T. Opt. Commun/ 21, 80 (1977).
6.158. Fujii H., Lit J. Opt. Commun. 22, 231 (1977).
6.159. Tanner L. H. Opt. Laser Techn. 8, 113 (1976).
6.160. Bennet J. M. Appl. Opt. 15, 2705 (1976).
6.161. Richmond J. C, Hsia J. J. Res. Nat. Bur. Stand. 80A, 207 (1976).
6.162. Goodman J. W. Opt Commun. 14, 324 (1975).
6.163. Ohtsubo J., Asakura T. Appl. Opt. 16, 1742 (1977).
6.164. Fukaya Т., Tsujiuchi J. Nouv. Rev. Opt. 6, 317 (1975).
6.165. Jakeman E., Welford W. T. Opt. Commun. 21, 72 (1977).
6.166. Ross G. Opt. Acta 15. 451 (1968).
6.167. Ross G. Opt. Acta416, 611 (1969).
192

6.168. Ross G. Phil.,Trans. Roy. Soc. (London) 268, 177 (1970).
6.169. Uozumi J., Fujii H., Asakura T. J. Opt. Soc. Am. 67, 808 (1977).
6.170. Korttim G. Reflectance Spectroscopy, Springer, Berlin, Heidelberg, New
York, 1969.
6.171. Lavin E. P. Specular Reflection, American Elsevier, New York 1971.
6.172. Brownsey G. J., Eldridge J. W., Jarvis D, A., Ross G., Sanders I.
J. Phys. E9, 654 (1976).
6.173. Jakeman E., McWbirter J. G. J. Phys. A9, 785 (1976).
6.174. Parry G., Pusey P. N., Jakeman E., McWhirter J. G. Opt. Commun. 22,
195 (1977).
6.175. Jakeman E., McWhirter J. G. J. Phys. A10, 1599 (1977).
6Л76. Parry G., Pusey P. N., Jakeman E., McWhirter J. G. The Statistical and
Correlation Propertied of Light Scattered by a Random Phse Screen. — In: Proc.
4th Rochester Conference on Coherence and Quantum Optics, ed. L. Mandel,
E. Wolf, Plenum Press, New York, 1978.
6.177. Archbold E., Burch J. M., EmioS A. E. Opt. Acta 17, 883(1970).
6.178. Archold E., Ennos A. E. Opt. Acta 19, 253 (1972).
6.179. Lohman A. W., Weigelt G. P. Opt. Commun. 14, 252 (1975).
6.180. Weigelt G. P. Opt. Commun. 19, 222 (1976).
6.181. Lohman A. W., Weigelt G. P. J. Opt. Soc: Am. 66, 1271 (1976).
6.182. Lohman A. W., Weigelt G. P. Opt. Commun. 20, 50 (1977).
6.183. Francon M., Koulev P., May M. Opt. Commun. 12, 63 (1974).
6.184. Francon M., Koiilev P., May M. Opt. Commun. 13, 138 (1975).
6.185. May M., Francon M. J. Opt. Soc. Am. 66, 1275 (1976).
6.186. Mendez J. A., Roblin M. L. Opt. Commun. 15, 226 (1975).
6.187. Thinh V. N., Tanaka S. Opt. Commun. 20, 367 (1977).
6.188. Komatsu S., Yamaguchi I., Sato H. Opt. Commun. 18, 314 (1976).
6.189. Celaye L., Jonathan J. M., Mallick S. Opt. Commun. 18, 496 (1976).
6.190. Gregory D. A. Opt. Laser Techn. 8, 201 (1976).
6.191. Gregory D. A. Opt. Commun. 20, 1 (1977).
6.192. Dzialowski Y., May M., Shaw R. Opt. Commun. 21, 282 (1977).
6.193. Barker D. В., Fourney M. E. Opt. Lett. 1, 135 (1977).
6.194. Jones R. Opt. Laser Techn. 8, 215 (1976).
6.195. Khetan R. P., Chiang F. P. Appl. Opt. 15, 2205 (1976).
6.196. Ek L., Nolin N. E. Opt. Commun. 2, 184 (1970).
6.197. Tiziani H. J. Appl. Opt. 11, 2911 (1972).
6.198. Ennos A. E. Speckle Interferometry. — In: Laser Speckle and Related
Phenomena, ed. by J. С Dainty, Topics in Applied Physics, vol. 9, Springer,
Berlin, Heidelberg, New York 1975, p. 203.
6.199. Pusey P. N. J. Phys. D9, 1399 (1976).
6.200. Arsenault H. H., Lowenthal S. Opt. Commun. 1, 451 (1970).
6.201. Lowenthal S., Joyeux D., Arsenault H. H. Opt. Commun. 2, 184 (1970).
6.202. Crosignani В., Daino В., Diporto P. J. Appl. Phys. 42, 399 (1971).
6.203. Takai N. Jpn. J. Appl. Phys. 13, 2025 (1974).
6.204. Воронин В. И., Дунаев А. С, Мухамедяров Р. Д.
Оптико-механическая пр9мышленность, т. 42, № 5, с. 75, 1975.
6.205. Ostlund L. A., Biedermann К- Appl. Opt. 16, 685 (1977).
6.206. Saleh В. Е. A. Appl. Opt. 14, 2344 (1975).
6.207. Jakeman E. J. Phys. A8, 123 (1976).
6.208. Yamaguchi I., Komatsu S. Opt. Acta 24, 705 (1977).
6.209. Ingelstam, E., Ragnarsson S. I. Vision Res. 12, 411 (1972).
6.210. Palmer D. A. Vision Res. 16, 436 (1976).
6.211. Ronchi L., Fontana A. Opt. Acta 22, 243 (1975).
6.212. Tanner L. H. Appl. Opt. 13, 2026 (1974).
6.213. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley and Sons,
New York, 1958, Chap. 2 (Опубликован перевод: Риордан Дж. Введение в
комбинаторный анализ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963).
6.214. Jakeman E. Photon Correlation. — In: Photon Correlation and Light
Beating Spectroscopy, ed. by H. Z. Cummins, E. R. Pike, Plenum Press, New York,
1974, p. 75.
6.215. Chen S. H., Tartaglia P. Opt. Commun. 6, 119 (1972).
193

6.216. Tartaglia P., Chen S. H. Opt. Commun. 7, 379 (1973).
6.217. Chen S. H., Tartaglia P., Pusey P. N.. J. Phys. A6, 490 (1973).
6.218. Schaefer D. W., Pusey P. N.. Phys. Rev. Lett. 29, 483 (1972).
6.219. Pusey P. N.. Schaefer D. W., Koppel D. E. J. Phys. A7, 530 (1974).
6.220. Strutt J. W. (Lord Rayleigh). Phil. Mag. (6) 37, 321 (1919).
6.221. Barakat R. Opt. Acta 21, 903 (1974).
6.222. Barakal R., Blake J. Phys. Rev. A13, 1122 (1976).
6.223. Feyer J. A. Proc. Roy. Soc. London A220, 455 (1953).
6.224. Bromley E. N. Proc. Roy. Soc. London A225, 515 (1954).
6.225. Jao J. K., Elbaum M. J. Opt. Soc. Am. 67, 1266 (1977).
6.226. Ohtsubo J., Asakura T. Opt. Lett. 1, 98 (1977).
6.227. Strohbehn J. W., Wang T.-L, Speck J. P. Radio Sci. 10, 59 (1975).
6.228. Bluemel V., Narducci L. M., Tuft R. A. J. Opt. Soc. Am. 62, 1309 (1972).
6.229. Jakeman E., Pusey P. N. IEEE Trans. AP-24, 806 (1976).
6.230. Jakeman E., Pusey P. N. Phys. Lett. A44 456 (1973).
6.231. Pusey P. N., Jakeman E. J. Phys. A8, 392 (1975).
6.232. Scudieri F., Bertolotli M. J. Soc. Am. 64, 776 (1974).
6.233. Eiener-Avnear E. Appl. Phys. Lett. 29, 635 (1976).
6.234. Schaefer D. W., Berne B. J. Phys. Rev. Lett. 28, 475 (1972).
6.235. Carlson F. D. Annu. Rev. Biophys. Bioeng. 4, 243 (1975).
6.236. Nossal R., Shen S. H., Lai С. С Opt. Commun. 4, 35 (1971).
6 237. Nossal R., Chen S. H. Opt. Commun. 5, 117 (1972).
6.238. Shimizu H., Matsumoto G. Opt. Commun. 16, 197 (1976).
6.239. Mustacich R. V., Ware B. R. Phys. Rev. Lett. 33, 617 (1974).
6.240. Schaefer, D. W., Berne B. J. Biophys. J. 15, 785 (1975).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Lorentz H. A. On the change in intensity in the diffraction pattern of a large
number of irregulary arranged holes or particles, Verls. K. Adak. Wet. Amsterdam
26, 1120 (1918).
Ross G. Light scattering in amorphous media. Experimental method. Opt. Acta
16, 95—109 (1969).
Ross G. Loght scattering in amorphous media. The object wave and its
coherence. Opt. Acta 25, 57—66 (1978).
Ross G., Fiddy M. A. The speckle effect: a reappraisal, Opt. Acta 25, 305—217
(1978).
Jakeman E., McWhirter J. G. Correlation function depedence of the
scintillation behind a deep random phase screen. J. Phys. A10, 1599—1643 (1977).
Parry G. Pusey P. N., Jakeman E., McWhirter J. G. Focusing by a random
phase screen. Opt. Commun. 22, 195—201 (1977).
Jakeman E., Pusey P. N. Significance of К distributions in scattering experi
ments. Phys. Rev. Lett. 40, 546—550 (1978).
Chrostowski J., Zardecki A. The effect of occupation number fluctuations on
partially developed Speckle patterns. Opt. Commun. 26, 27—30 (1978).
Ohtsubo J., Asakura T. Measurement of surface roughness properties using
speckle patterns with non-Gaussian statistics. Opt. Commun. 25. 315—319 (1978).
Sung C. C, Eberhardt W. D. Explanation of the experimental results of light
backscattered from a very rough surface, J. Opt. Soc. Am. 68, 323—328 (1978).
Carter W. H., Bertololti M. An analysis of the far-field coherence and radiant
intensity of light scattered from liquid crystals, J. Opt. Soc. Am. 68, 329—333
(1978).
Leader J. C. Intensity fluctuations resulting from partially coherent lighe
propagating through atmospheric turbulence, Preprint.
Wolf D. A. de. Waves in random media: Weak scattering reconsidered, J. Opt.
Soc. Am. 68, 475—479 (1978).
Fried D. L. Propagation of the mutual coherence function for an infinite
plane wave through a turbid medium. Opt. Lett. 1, 104—106 (1977).
Lee M. H. Variance and covariance of irradiance of a finite beam in
extremely strong turbulence. J. Opt. Soc. Am. 68, 167—169 (1978).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация 23, 117
Автокорреляция интенсивности излучения
153
— профиля поверхности 176
— фазовая 188
Аккомодация глаза 182
Алгоритм обратной задачи дифракции
вычислительный 112
— Гертберга — Сэкстона 33, 36
— Ньютона — Канторовича 34
Алгоритм обращения 11
— определения спектральной функции
вдоль 5-траектории 112
Амплитуда поля в дальней зоне 52
,— случайная 133, 139
— средняя 167
Анализ зернистости 162
— фазового сдвига 79
Аналитичность углового спектра 112
Аналог шелловского источника 143
Апертура абсолютно черного тела малая
132
Бактерия Escherechia coli 188
Бифуркация Q3;
Блуждание случайное двумерное 184
В
Вектор Пойнтйнга 66, 105, 106, 109, 120
— потока 134, 135
излучения 135
энергии 106,, 134, 135
Величины радиометрические 132
Ветер солнечный 160
Волны мультипольные 93, 94, 97, 100—102,
109
— плоские исчезающие 92, 95, 96, Ш4,
106
— — неоднородные 89, 93, 96, 104, 109
однородные 90, 92, 95, 104, 106, 120
Волокна 161
Восстановление по голографическим
данным 16
— ^-локализованных источников 112
— однозначное 50
— по проекциям 50
— потенциала 79, 80
— статистических операторов 1(5
— фазы 12, 21, 22, 31—33, 41
— — из простого распределения
интенсивности 27
— — по двум расфокусированным
изображениям 32
Время детектирования 170
— допплеровской флуктуации 188
— жизни 188
— когерентности 172
— отклика 170
— экспозиции 172
Гармоники сферические векторные 56, 69
Голограммы, синтезированные на ЭВМ 17
Голография внеосевая 41, 42
Данные И, 12, 90, 92
— измерения в дальней зоне 90
— об интенсивности 12
— радиометрические 15
первого порядка 15
Движение вектора Пойнтйнга извилистое
ПО
— рассеивателя 160
— рассеивающих поверхностей 160
— хаотических экранов 188
Деполяризация 173
Детектор (датчик) 126, 134
— сигнала 12
Деформация 181
Диаграмма направленности излучения 54,
64, 70
Диполь Герца 106—108
Дисперсия 176
— профиля поверхности 176
— случайной фазы 177, 181
Диффузоры движущиеся 180
Длннга корреляции 177, 178, 181
фазовая 187
Единственность 11„ 12, 33, 36, 37, 72
— по дополнительной информации 72
Зависимость интенсивности излучения лам-
« бертовская косинусоидальная 132
Задача восстановления 49
источника 49, 488
— дифракции обратная 16, 17, 49, 51,
57, 58
— Миньковского 60
— обратная 10, И, 13, 14, 48
для потенциала 48
рентгеновской дифракции 48
физической оптики 13
Штурма. — Лиувилля 48
— прямая 10, 11
— рентгеновской дифракции 48
— фазовая 15, 22, 24, 27, 42, 89
когерентности временной 42
пространственной 42
— экстраполяции 15, 91|
Запись условий излучения векторная 52
Зерна рассеивающие 185
Зернистость спекл-структуры 178
Значение радиометрии в технике 127
Зона френелевская (Френеля) 161, 162, 180
Зрачок выходной 23, 24, 28, 32, 33
И
Излучение тепловое 129, 130, 169
Измерение фазы 116
— в дальней зоне 89
Изображения расфокусированные 32, 40
Интеграл Кирхгофа дифракционный 163
— Рэлея — Зоммерфельда
дифракционный 162
Интенсивность 127, 133, 134
— взаимная 43
— излученяи 13, lt32, 135, 140, 142, 146,
176
— — виртуального катода эффективная
150
— угловая 176»
— хаотическая 160
Интерполяция Лагранжа 83
Интерференция 133
Интерферометрия 117
— со сдвинутой опорной волной 118, 1,20
Информация априорная 12, 44, 65, 84, 89
— в дальней зоне 90
— высокочастотная 111
— дополнительная 12, 50, 72, 84, 92
— о фазе 12
Ионосфера 160
История радиометрии 125
Источник абсолютно черный 141
— виртуальных электронов 150
195

— гауссовскпй 106—108, 114—116, 120, 121
— квазистационарный 144, 147, 148
— ламбертовский 141, 148
— локализованный 89
— ^-локализованный 93, 95, 98, 105, 106,
111, 112, 120
— неизлучающий 64
— некогерентный 133
— ограниченный 89, 93
— плоский 15, 43, 92, 99, 124, 142, 143,
145
— полностью некогерентный 140
— поля любой степени когерентности,
ограниченный апертурой 143
— псевдотепловой 172
— с корреляцией бесселевской 144, 148
гауссовской 144, 149—151
— субволновой 89, 90
— точечный 95, 96
дипольный 101, 1,09, ПО
опорный некогерентный 42
— хаотический 154
— шелловский 143, 144, 147, 148
с гауссовской корреляцией 144, 149,
151
— эталонный 126
первичный 126
— эффективный 43
К
Киноформы 17
Классификация обратных задач 14
Когерентность взаимная 17, 41, 167, 181
— временная 14, 42|, 172, 175
— второго порядка 18, 128
— в (Электронной микроскопии 142
— излучения абсолютно черного тела
124, 129
— порядка первого 18, 128
я-го 17
— полная 18
— пространственная 13, 42, 142, 148, 169
— угловая 18, 140, 142, 147, 149, 176, 177
— частичная 142
Колебания механические 181
Компонента зеркально отраженная 161
— спектральная чисто поперечная 174
Константа Стефана — Больцмана 128
Контраст 174, 175, 179, 180
— спекла 175, 1,79, 180
— средний 178
Контрастность интерференционных полос
42, 45
Корреляция временная 14
абсолютно черного тела 130
— второго порядка 152
— гауссовская 176
— изображения 182
— первого порядка 17, 161
— по интенсивности Ш8, 178, 179, 181,
188
— пространственная 18, 161
— пространственно-временная 161
— угловая 18, 139, 147, 160, 176
— фотонная 181
Коэффициент автокорреляции 176, 177
— переноса 150
— формы 164
случайный 183
Кристалл жидкий нематический 160, 178,
187
М
Матрица когерентности 171
Метод интерферометрический 90
— наискорейшего спуска 85
— полуплоскостей 28
— прямой 34, 27
— сверхразрешения 90
Микроскопия электронная 23, 28, 39, 4U
45, 50
Множитель Блашке 25
Модель источника 143
— микроповерхностей 161, 163—166
— непрерывная 163
Модуль целой функции 32
Моды собственные 84
Момент интенсивности 174, 175, 182
Н
Наложение когерентное 164
Направление зеркальное 177
— незеркальное 177
Направленность 148, 149
Неединственность 36
Некогерентность 18
Носитель конечный 49, 50, 62, 67, 73, 75>
82, 92
Нули волновой функции 24, 25
Нуль-пространство линейного преобразо*
вания 74
О
Обращение дифракции 16
— интенсивности излучения 147
— преобразования Фурье 62
— рассеяния 16
Объект ограниченный 91
— рассеивающий 29, 32, 35, 39, 40
Ограничения 12, 89 ;
Ограниченность полосы частот 26, 8&
Оператор Бельтрами 55
Определение объекта однозначное 82
по данным рассеяния 74, 82
— показателя преломления 81
— потенциала 80, 81
— радиометрии 125
— фазы 41
— яркости 137
Освещенность 133, 161
Отклонение от интенсивности излучения
149
— фазы среднеквадратическое 179, 187
П
Передача энергии 125
Перенос излучения 14, 126, 129
обратный 14, 16
— энергии 128
Переориентация тешговая 187
Плазмоны поверхностные 162
Пленка фотографическая 172
Плоскость выходного зрачка 33
— объекта 2,1, 163
Плотность гамма-распределения 171
— мод оптического резонатора 16, 130,
131
— распределения вероятности
совместная 165, 183
— рассеивателей переменная 185
— спектральная 14, 17, 42, 128, 175
взаимная 17, 131, 133, 135, 138, 140*
163, 179
— энергии 134
Поверхность рассеивающая движущаяся
16)0, 163
— шероховатая 160, 162, 173, 177
Повреждение радиационное 39
Подвижность биологических образцов 188-
Подмножество определяемости 64
Подход непрерывный 161
Показатель мерцания 180
— преломления 21, 48—51, 74, 75—77, 80,
81, 84, 99, 160, 130
пои прохождении без отражения 77
сферы 48

Поле волновое ограниченное по полосе
частот 108, 119
— гауссовское рассеянное 170
— дальней зоны 49, 51, 52, 139
-^ фазового экрана ближнее 173
Полимеры 16
Полиномы Белла 183
Полоса частот 21, 26, 98, 105, 106, 109, ПО,
119—121, 134, 175
Поля некогерентные 133
— неограниченные по полосе частот 107
Поляризация 170, 172, 173, 176
Постоянная диффузии 138
Потенциал Герца 99, 103
Потенциал запаздывающий 65
— нерассеивающий 71, 75, 76
Поток 132, 150, 152
— изучения 135
— энергии 120, 133—136
Предвестник 96, 121
Предел гауссовский 168, 179
Предложения Гринэвая для поиска фазы
27
Представление поля интегральное 97
парциальными волнами 99
— углового спектра 68, 145
Прекомпилятор фортрановский 114
Преобразование Гильберта 28, 30, 31
логарифмическое 30, 31
Преобразование причинное 28, 30
— Фурье 13, 23, 26, 28, 33, 36, 44, 46,
57, 62, 67, 70, 72, 81, 90, 130, 135, 139,
142, 147, 160, 165, 170, 177, 179
быстрде 36
трехмерное 73, 82
Приближение Борна 50, 61, 76, 81, 99
— Кирхгофа 49, 59
— Фраунгофера 162
— Френеля 162
Примеры неединственности 76
— неизлучающего источника Шотта 64,
67
Принцип взаимности Лоренца 164
— Гюйгенса 95, 99, 121
Причинность 95, 96
Продолжение аналитическое 27, 85, 91
— функциональных соотношений
непрерывное (теорема Вейерштрасса) 85
Проекции функции 51
Профиль интенсивности 13
— пучка гауссовский 143, 147, 151, 163,
186 т
Процесс гауссовский 129, 169, 170, 175
некруговой 169
— пуассоновский 165, 1661
смешанный 165, 1661
составной 165
чистый 165
Процедуры подгонки 11
Пучок гауссовский 109, 143, 151i, 163
Пятно рассеяния конечное 181
Р
Радиоволны 160, 162
Радиометрия 16, 124—132, 142
— второго порядка 124, 152, 154
— детекторов 126, 127
— до I960 г. 125
— источников 126, 127
— классическая 128
— обычная 133, 135
— первого порядка 124
— частично когерентных источников 15,
128, 129, 149, 152
Разложение Вейля 81
— мультипольное 50, 67
— поля по плоским волнам 96
— функции Грина свободного
пространства 84
— Уиттекер^ — Шеннона 37
Размер сканирующей апертуры конечный-
169
Разрешение пространственное 92, 121
Расположение нулей 30
Распределение Бесселя модифицированное
187
— вероятности по интенсивности 165,.
182, 183, 187
поля 1G5, 183
— Винера 138
— интенсивности 39, 41t, 43
— Кляйвера — Рэлея 184
— логарифмически нормальное 185
— неизлучающее 50, 64, 67, 70, 73, 76
вращающееся 67
— — Необходимое и достаточное
условия 71
Пуассона 178, 183, 184
— Раиса — Накагами 185
— случайное по высоте 177
— фазы пространственное 90
— экспоненциальное 184
— tf=187, 1S8
— №=187
Распространение атмосферное 180
— через турбулентность 160, 187
Рассеяние динамическое 160, 187
— многократное 16
— потенциалами 74
Растворы коллоидальные 187
Резонатор абсолютно черного тела 130, 13*
— оптический 16
Решение эллиптического уравнения
аналитическое 59
Ряды Дини 8Q
— Ми аналитические 86
— Неймана 6Ю, 62, 63, 99
— степенные интегральные 63
— Тэннери 82
— Фурье — Бесселя 80
С
Сверхразрешение 15, 89—82, 99, 111, 117г
119
— двухточечное 1(22
— для частично когерентного света 16,
122
— пространственное 117
Свет полихроматический 175
Светимость 128, 133, 137
— второго порядка 153
— энергетическая 124, 136
Свойства шелловского источника
радиометрические 143
Сдвиг опорного волнового фронта 117
Сечение рассеяния дифференциальное
21, 49, 60
Система диполей 92
— изображающая бесшумовая 91
— функций биортогональная 59
Скорость вращения фазового экрана 181»
182
— плавания 188
Слой турбулентный Ш0
— шероховатости 160
Смещение нулей 27, 28
Соотношение дисперсионное 24, 25, 80
— неопределенности 91
— обратное 12, 15, 145
— для функции когерентности 145
— прямое 10
Спекл 14, 142, 160, 161, 172, 174, 179, 180, 185Г,
185
Спекл-структура 172, 174, 178, 179, 180, 187
— полихроматическая 174
Спектр вннеровскип 178
— мощности 182
— угловоп 82, 92, 104, 134, Мб
гауссовского пучка 109
197

частотный 146
Среда аморфная 180
Статистика гауссовская 160, 168, 170, 176,
182—136
— гауссовского поля 183
— круговая 179
— негауссовская 161, 187
— некруговая 179
— рассеянного света 161
— спекла 169
Стекло матовое 172
Степень свободы 57, 75, 99, 173
— когерентности 13, 17, 43, 46i, 128, 133,
139, 142—144, 147, 149, 172
временной 172
пространственной 13
спектральной 18
' угловой 124, 142, 147, 149, 176
Сумма спекл-структур 169, 185
Суперпозиция двух случайных
распределений по высоте 177
Суспензия плотная 16
Счет фотонов 16, 186, 187
Т
Тело абсолютно черное 126, 12.9, 132, 141,
148
Теорема Ван Циттерта — Цернике 13, 43,
124, 132, 138, 139, 140, 154, 173
— Вейерштрасса 85
— Винера — Хинчина 130, 131
— Грина 53, 72, 83
— Коши 25, 104
— отсчетов Уиттекера — Шеннона 40
— предельная центральная 1Q0, 161, 168
— представления Уилкокса 54
— разбиения (отсчетов) 91, 122
— Руше 31
— Титчмарша 30, 32
— Уиттекера — Шеннона 34
— Уэстона 85 ^
— экстинкции Эвальда — Оузина 162
Теория информации 17
—• когерентности 17, 21, 129, 133, 135,
138, 165
— рассеяния 12, 142
— регистрации 12
— связи 17
Тестирование фотокамеры 182
Точность арифметических операций
увеличенная 114
Траектория L 104—106
— S 104, 105, 112—116
У
Угол когерентности 149, 178
Уменьшение спекла 181
Уравнение Коши — Римана 45
— Фредгольма интегральное 99, 112
Условия излучения Зоммерфельда 49, 51,
58, 68, 77, 100, 103, 106
векторная форма 71
нормированные 109
— — порядка р~"2 Ю8
р~~3/^ 108
сильные 107, 108
— стабилизирующие 90
Усреднение по ансамблю 133, 176
Устойчивость И, 12, 13, 15, 51, 90, 91
Ф
Фаза случайная 164
Фактор уклонения 177
Фильтр экспоненциальный 44, 45
Флуктуация атмосферы 160
— интенсивности 178
излучения 124, 152, 153
— интерференции 165, 172, 188
198
— негауссовская 182, 188
— оптическая -164
— полная полусферическая 153
— чисел заполнения 165, 187
Форма рассеивателя 59, 64
Формирование изображения изопланатиче-
ское 23, 26
Формула рекуррентная 102
Уилкокса 54
Фотодетектирование 12
Функционал вероятности 165
— характеристический 162, 164, 165, 169
Функция аберрационная 23
— автокорреляционная фазовая 188
— аналитическая определяемая на
бесконечной ограниченной системе точек 62
— взаимной когерентности 17, 41, 45,
167, 181
— волновая 21—24, 29—39, 56, 74, 79—81,
91, 95
— временной когерентности JK, 175, 181
гауссовская 181
— Грина 84, 99, 145
— интегрируемая 36
— источника 10, 12, 13, 14
— когерентности 14, 41, 44, 129, 143, 145,
152, 167, 177
в дальней зоне Г42, 145, 148
— — — — симметрически просканиро-
ванная 148
— — в плоскости источника 142, 143,
145, 147
— корреляционная 17, 133, 138, 142, 152,
161, 165, 167, 168, 176, 180, 188
порядка второго 18, 161
— первого 17, 129
пространственно-временная 161
угловая 176
— ограниченная по полосе частот 21
— Радона 50
— распределения плотности вероятности
интенсивности 183, 186
— рассеяния точки 163, 180
— спектральной когерентности 17, 42,
131, 132
— — — излучения абсолютно черного
тела 132
— точечного рассеяния когерентная 163
— целая 24, 25 ,27, 32, 91, 92
X
Характеристика частотно-контрастная 182"
Ч
Частота угловая 148
— комплексная 112, 115, 116, 119, 121
плоская 112, 115
— пространственная 91, 92, 100, 105, 108,
119, 144, 176
— — вещественная 93—95, 105, 106, 107,
120
высокая 105, 111, 120
низкая 111
комплексная 89, 93, 94, 95, 98, 105,
112, 120
— угловая 148
Число степеней свободы 26, 38, 57, 91, 99,
171
— Шеннона 26ц 38
— элементов корреляции 171, 174
Ш
Шероховатость поверхности 160, 177, 178,
180
среднеквадратичная 179, 180
Ширина пучка 149, 150, 152, 181
видимая 149
Шум 16, 35, 39, 91, 115
— спеклов 178

э
Экран отражательный специальный 17
— рассеивающий 162, 164, 188
— со случайной фазой — см. экран
фазовый хаотический
— фазовый с большой степенью
хаотичности 144, 149, 152, 154, 167, 168, 170,
177, 182, 187, 188
отражательный 168, 177
— — со слабой степенью хаотичности
178
хаотический (ХФЭ) 16, 140, 144,
160, 161, 1613, 165, 178, 181, 186
Эксперимент Вольтера 92
Эллипсометрия 14, 16
Эффект бассейновый 160
— Казимира 129
— негауссовский 162
— размера абсолютно черного тела 128,
129
Эффективность излучения 124, 150, 151, 152
— — источника с бесселевской
корреляцией 152
— — источников с гауссовской
корреляцией 151
— флуктуации 124, 154
Я
Явления^ зависящие от числа рассенвате-
лей 182
— фокусировки 180
Яркость абсолютно черного тела 141
— второго порядка 154
— когерентного источника 140
— как усреднение по ансамблю 142
— экрана со случайной фазой 141
— энергетическая 132, 137, 138, 140, 142,
150, 151, 153, 154