MATHEMATISCHE LEITFADEN
Herausgegeben von em. o. Prof. Dr. phil. Dr. h. с G. K6the, Universitat Frankfurt/M.,
und o, Prof, Dr, rer, nat. G. Trautmann, Universitat Kaisersiautern
MODULN UND RINGE
Von Dr. rer. nat. FR1EDRICH KASCH
o. Professor an der Universitat Miinchen
B. G. TEUBNER
Stuttgart 1977

Ф. КАШ
MOAWI
и
КОЛЬЦА
Перевод с немецкого
Е. Н. ЗАХАРОВОЙ и М. И. УРСУЛА
под редакцией
В. А. АНДРУНАКИЕВИЧА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1981

УДК 519.4
Книга видного западногерманского математика знакомит чи-
читателя с современным состоянием теории колец и модулей — од-
одного из быстро развивающихся разделов алгебры. Изложение со-
сопровождается многочисленными упражнениями, что делает книгу
пригодной и для первоначального знакомства с предметом.
Для математиков различных специальностей, студентов стар-
старших курсов и преподавателей алгебры в университетах и педаго-
педагогических институтах.
Редакция литературы по математическим наукам
Ф. Каш
модули и кольца
Ст. науч. редактор В. И. Авербух. Мл. науч. редактор Ю. С. Андреева. Художник
М. Н. Кузьмина. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор
Л. П. Бирюкова. Корректор В, С. Антипова,
ИБ № 1801
Сдано в набор 12.05.80. Подписано к печати 25.05.81. Формат бОХЭО'Дл. Бумага типограф-
типографская Л'! 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 11.50 бум л. Усл. печ. л.
23. Усл. кр.-отт. 23. Уч.-изд. л. ?0.37. Изд. № 1/0292. Тираж 6 000 экз. Зак. 622.
Цена 2 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР». 129820, Москва, И-110. ГСП. 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
полиграфии и книжной Торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
1702030000 © В. G. Teubner, Stullgart 1977. Ailein aulori-
20203—006 sierte russische Oberselzung der deutschen Ori-
K . 06-81, ч. 1 ginalausgabe
041@1)—81 (g) Перевод на русский язык, «Мир», 1У81

Предисловие к русскому изданию
Эта книга, принадлежащая перу известного западногерманского
алгебраиста Фридриха Каша, предназначена для тех, кто, озна-
ознакомившись с кольцами и модулями в объеме обязательного уни-
университетского курса (см. Кострикин А. И. Введение в алгебру.
— М.: Наука, 1977; Скорняков Л. А. Элементы алгебры. —М.:
Наука, 1980), хотел бы углубить свои знания в этой области.
Изучив книгу Каша, читатель познакомится с рядом важных
результатов теории модулей и получит возможность читать соот-
соответствующую журнальную литературу.
Однако немало важных аспектов теории модулей останется вне
его поля зрения, ибо автор не гонится за полнотой изложения.
Ниже даются рекомендации- по заполнению этих пробелов. В пер-
первую очередь для дополнительного чтения можно рекомендовать
книгу Ламбека [5]1. С большим трудом читается претендующая
на энциклопедичность двухтомная монография Фейса [86]. Неплоха
для первого чтения книга Херстейна [88], где рассматриваются
теоретико-кольцевые вопросы. Специальным вопросам теории
модулей посвящена монография Мишиной и Скорнякова [82]. Тео-
Теоретико-радикальные аспекты получили развитие в монографии
Андрунакиевича и Рябухина [68]. Отметим, что проективные модули
широко используются в книге Кона [74], основное содержание
которой теоретико-кольцевое. Отметим еще, что современная теория
абелевых групп в значительной мере выглядит как теория модулей
над кольцом целых чисел, что позволяет рекомендовать для даль-
дальнейшего чтения и книгу Фукса [87].
В заключение заметим, что предлагаемый автором список
учебников уместно дополнить книгами [66], [67], [70], [71], [83],
[85], [89].
Узнав о подготовке русского издания, автор прислал нам
список опечаток, исправлений и дополнений. В частности, им был
добавлен целый новый параграф, посвященный теореме Бьёрка
(§ 11.7). Мы выражаем ему искреннюю благодарность.
Л. Л. Скорняков
1 Если не ограничиваться литературой на русском языке, то здесь уместно
было бы назвать также книги [10J, [89J и [83J.

Предисловие
Задумывая эту книгу, я ставил перед собой две главные за-
задачи. Во-первых, дать изложение основных понятий теории
модулей и колец, и притом настолько подробное, чтобы книга
была пригодна и для самостоятельного изучения.
Во-вторых, мне хотелось изложить легко доступным образом
некоторые темы, не нашедшие до сих пор отражения в учебной
литературе, но занимающие важное место в теории. Это относится,
в частности, к кольцам с полной дуальностью и квазифробениу-
совым кольцам (QF-кольцам).
Таким образом, книга должна провести -читателя от простей-
простейших основных понятий до актуальных проблем и методов совре-
современной теории модулей и колец.
Той же цели служат многочисленные упражнения различной
степени трудности. Они касаются не только излагаемого в тексте
материала, но также затрагивают новые понятия и направления,
не отраженные в книге.
Строение книги определяется тем убеждением, что понятия
проективного и инъективного модулей принадлежат к важнейшим
основным понятиям теории модулей и колец и потому должны
быть введены в самом начале. В дальнейшем они используются
уже при изложении классических разделов теории.
Равным образом я постарался ввести как можно раньше поня-
понятия образующего и кообразующего, чтобы постоянно иметь их
в своем распоряжении.
Если добавить еще сюда различные условия конечности, то
мы получим все главные мотивы книги. Соответственно, идейная
кульминация достигается в разделах, посвященных теории колец,
являющихся инъективными кообразующими (в частности, инъек-
тивными кообразующими с условиями конечности (QF-колец)).
Чтобы книга не разрослась чрезмерно, категорные понятия
включены в нее лишь в минимально необходимом объеме. По
теории категорий есть много хороших книг (например, Pareigis
В. Kategorien und Funktoren. -Stuttgart: В. Q. Teubner, 19691),
1 Или: Букур и Деляну [72], Цаленко И Шулыейфер [90] (см. лигературу,
добавленную при переводе), — Прим. ред.

Предисловие
так что читатель легко может пополнить свои знания в этой
области.
. Кроме того, неизбежен был, разумеется, отбор обсуждаемых
тем. Мы руководствсЕались при этом в первую очередь принци-
принципом: дать все абсолютно необходимые понятия, —а в остальном
по возможности ориентировали изложение на материал трех пос-
последних глав.
Эта книга возникла из семинаров и лекций, прочитанных
мною в разных университетах. Приобретенный при этом опыт
преподавания нашел в ней свое отражение. Так, специалист может
обнаружить, что я не всегда выбираю «кратчайший» вариант дока-
доказательства и иногда привожу выкладки там, где их можно было
бы опустить. Не пугают меня и отдельные повторы или приве-
приведение другого варианта доказательства. Все это продиктовано
желанием сделать книгу более доступной для понимания. При
этом я отдаю себе отчет в том, что возможны самые разные педа-
педагогические точки зрения.
По моему мнению, в учебнике, в отличие от научной публи-
публикации, не обязательно указывать авторство всех без исключения
результатов. Я весьма широко пользуюсь этим правом свободного
выбора и называю имена лишь в самых четких и ясных случаях.
Для многих направлений, развитых сразу целым рядом авторов,
определить точное авторство того или иного результата зачастую
затруднительно. Опыт других книг показывает, что лучше уж
совсем не приводить данных, чем рисковать давать их неверными.
Для побуждения читателя к инициативе в литературе помимо
ряда учебников по теории модулей и колец приводятся и неко-
некоторые оригинальные работы по тематике трех последних глав.
Выбор работ отражает личные вкусы автора и не более того.
Мне хочется поблагодарить здесь многочисленных коллег —
сотрудников и студентов, проявивших интерес к этой книге и
высказывавших критические замечания в ее адрес. Я сердечно
признателен им всем. Особую благодарность я приношу В. Мюл-
Мюллеру, В. Циммерманну и X. Цёшингеру за их поддержку. В част-
частности, последние главы возникли из продолжительных бесед с
д-ром X. Цёшингером, который внес в них свою лепту также
многими упражнениями. Без стимулирующего интереса названных
лиц к встававшим при написании книги математическим и педаго-
педагогическим вопросам она вряд ли бы приняла свой настоящий вид.
Наконец, я благодарен редакторам серии и издательству за
благоприятное и небюрократическое отношение.
Мюнхен, осень 1976 Ф.

Используемые в книге обозначения
Символ Значение
Л и
V или (неисключающее)
V квантор общности («для всех», «для каждою»)
3 квантор существования («существует»)
=} импликация («влечет»)
<=> эквивалентность
:= определение
^ противоречие
с подмножество
с собственное подмножество
gt не является подмножеством
Q, подобъект в смысле соответствующей структуры
С собственный подобъект
Ф
<f> не является полобъектом
| делит (а | b означает «оделит Ы)
\ теоретико-множественная разность (А\В: = {а а
АфВ})
П конец доказательства
N множество натуральных чисел (N: = {1, 2, 3,...})
Z кольцо целых чисел
Q поле рациональных чисел
R поле вещественных чисел .

1. Некоторые основные понятия
теории категорий
С 1945 г. развивается новая область математики —теория
категорий. Эта теория интересна не только потому, что она поро-
породила существенно новые понятия и методы, но и потому, что она
способствует пониманию математики в целом. Ее значение состоит
в том, что она дает возможность охватить воедино важные поня-
понятия и рассуждения из различных разделов математики. В част-
частности, она позволяет сформулировать и исследовать общие свойства
различных структур.
Теория категорий принесла с собой новые точки зрения и
постановки вопросов, которые интересны не только в ней самой,
но вызвали новые исследования в различных конкретных катего-
категориях. В особой мере это относится к теории модулей, давшей
со своей стороны толчок для развития теории категорий.
Наконец, надо отметить, что основные понятия теории кате-
категорий во все большей мере входят в математический «разговорный
язык» и используются для формулировки понятий и утверждений
в других разделах математики. И как раз для категорий моду-
модулей такое знание категорного языка обязательно.
Ниже даются необходимые сведения об этом языке. Хотя мы
будем по возможности кратки, однако рассматриваемые понятия
разбиваются настолько далёко, насколько это требуется для их
понимания. Более подробные сведения о категориях можно найти
в вышедшей в этой же сериих книге Б. Парайгиса «Категории
и функторы»2.
1.1. Определение категории
Мы предполагаем известными понятия множества и класса.
В первом приближении под классом можно понимать «очень боль-
большое множество», над которым нельзя выполнять операций, могу-
могущих приводить к парадоксам. Например, из класса нельзя обра-
образовать кллсс всех подклассов по аналогии с множеством всех
1 Mathematisehe Leitfaden (учебники по математике). — Прим. ред.
" Упомянутой в предисловии автора. См. также подстрочное примечание
к соответствующему месту этого предисловия.—Прим. ред.

1 0 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
подмножеств некоторого множества. В аксиоматической теории
множеств и классов множества — это в точности те классы, кото-
которые являются элементами какого-нибудь класса. Интуитивно можно
представлять себе класс как совокупность всех объектов с опре-
определенным свойством.
Точные сведения можно найти в соответствующих учебниках,
но больше сказанного здесь нам не понадобится, ибо в этой книге
не проводятся математические рассуждения, основанные на'поня-
на'понятии класса.
1.1.1. Определение. Говорят, что задана категория &?, если
заданы:
(I) класс Ob(aT), называемый классом объектов категории Ж',
элементы которого называются объектами категории SK и
обозначаются буквами А, В, С,...;
(II) для каждой пары объектов (А, В) множество Мог$;(А, В),
такое что для различных пар объектов (А, В)Ф(С, D)
элементы множества Мог^(А, В) называются морфизмами
из А в В и обозначаются буквами а, р, у,...;
(III) для каждой тройки объектов (А, В, С) отображение
Могж(В, С)хМог^(Л, В) з (р, а).— рае Мог^(Л, С),
называемое умножением (или взятием композиции) мор-
физмов, для которого
A) выполняется закон ассоциативности: у (ра) = (ур) а для
всех а <= Мог^ (А, В), р <= Мог^ (В, С), у <= Мог^ (С, ?>);
B) существуют тождественные морф из мы: для каждого
объекта А е Ob (Щ существует морфизм \А е Мог^(/4, А), назы-
называемый тождественным морф из мо м для А, такой что
для всех а е Мог^(Л, В)
а\А = 1ла = а.
Приведем теперь некоторые обозначения и простые свойства.
Если не возникает путаницы, мы пишем просто
Мог (Л, ?):=Мог^(Л, В).
Далее,
МогEГ):= (J Мог^(Л, В)
А, в е бь $?)

1.1. Определение категории И
обозначает класс всех морфизмов категории <%". Используется
также сокращенная запись:
• Л е <%":<=> Л е Ob
Пусть теперь а е Мог (Л, В). Тогда, как и для отображений,
определим
область определения a = dom(a) := A,
область значений а = ran (а): = В.
Для различных пар (Л, В) множества Мог (Л, В) не пересе-
пересекаются, поэтому dom(a) и ran (а) однозначно определяются мор-
физмом а.
Вместо а е Мог (А, В) пишут также
а:А-+В или А-^В.
Символ
А-+В
обозначает некоторый элемент из Мог (А, В), а стрелка -^—неко-
-^—некоторый элемент из Мог (<%").
Коммутативность диаграммы
>D
означает, что ра = бу.
Если для морфизмов а, ре Мог (а%) мы записываем произве-
произведение рос, то это включает в себя условие ran(oc) = dom(p), тре-
требуемое в определении 1.1.1.
1.1.2. Утверждение. Тождественный морфизм \А однозначно
определяется свойством, указанным в 111B).
Доказательство. Пусть еА — также тождественный морфизм,
тогда
1.1.3. Определение. Пусть 3% — категория и а:А->В— ее мор-
морфизм. Говорят, что:
A) а — мономорфизм, если
VC S5 ЖVyi, 1>2 е Мог (С, Л) [ocyi = ау2 ^ Yiz=x У*\>

12 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
B) а —эпиморфизм, если
VCe^Vp,, р2е=Мог(В, С)[М = Р.« => Pi = РЛ
C) а — биморфизм, если
(а — мономорфизм) Д (а — эпиморфизм);
D) а —изоморфизм, если
ЭР е= Мог (Б, Лра = 14 Л «Р = h]\
E) а —эндоморфизм, если
dom (a) =ran(a);
F) а —автоморфизм, если
(а — изоморфизм) Д (а — эндоморфизм).
1.1.4. Утверждение, (а — изоморфизм)=э(а — биморфизм).
Доказательство. Пусть р« = 1д и ар = 1В. Тогда из с^ = ау2
следует, что
Vi = 14Yi = P«Vi = Р«?2 = 1 л?2 = Y2-
Аналогично из рха = рза следует, что
Р1 = Р,1л = Р1аР = Р2«Р = Р21в = Р2- П
Заметим, что утверждение, обратное к 1.1.4, вообще говоря,
неверно (примеры даны в упражнениях). Однако оно верно в ряде
важных категорий, например в категории модулей; позже мы это
докажем.
1.2. Примеры категорий
В приводимых ниже примерах, в пункте (I) указывается класс
объектов, в пункте (II) —множества Мог(Л, В), в пункте (III) —
умножение морфизмов (произведение р« для аеМог(/1, В), Ре
еМог(Б, С)). Аксиомы всякий раз легко проверяются.
1.2.1. оУ — категория множеств.
(I) Ob (<??) = класс всех множеств.
(II) Мог {А, В) = множество всех отображений из А и В.
(III) р« = композиция аир (результат последовательного выпол-
выполнения сначала отображения а, а затем Р).
1.2.2. & = категория групп.
(I) Ob (p) = класс всех групп.
(II) Мог(Л, В):=Нот(Л, В) = множество всех групповых гомо-
гомоморфизмов из А в В.
(III) Композиция.

1.2. Примеры категорий 13
1.2.3. sd = категория абелевых групп.
(I) Ob (е^) = класс всех абелевых групп.
(II) и (III), как в j>.
В этом примере само множество Нот (Л, В) можно превратить
в абелеву группу.
Определение. Пусть групповая операция в В записывается адди-
аддитивно, и пусть а1У а2 <= Нот (А, В). Определим «х + ссг следующим
образом:
dom (а,+а2): = A, ran(al-\-a2):=B,
Vae-4[(a, + а2)(а): = а, (а) + аг(а)].
Легко проверяется, что Нот (Л, В) становится при этом абелевой
группой. В частности, ее нулевым элементом служит нулевое
отображение из Л в В, и для всякого а е Нот (А, В) гомомор-
гомоморфизм — а определяется так:
dom(— а):= Л, гап(—а): = В,
Va е= Л [(—а)(о):= —
1.2.4. <М ^категория колец с единицей.
(I) Ob(cffi) — класс всех колец с единицей.
(II) Mor(/?, S) = множество всех унитарных кольцевых гомомор-
гомоморфизмов из R в S (см. определение 3.2.1).
(III) Композиция.
1.2.5. в?ц = категория унитарных правых R-мод у лей
над кольцом R с единицей.
(I) Ob(oSR) = класс унитарных правых /^-модулей (см. определе-
определение 2.1.1).
(II) Мог(Л, В):=Нот(Л, В) = множество модульных гомоморфиз-
гомоморфизмов из Л в В (см. определение 3.1.1).
(III) Композиция.
Как и в случае категории абелевых групп, Нот^(Л, В) при
помощи того же определения 1.2.3 превращается в абелеву группу,
не становясь, однако, вообще говоря, /^-модулем! Подробнее об
этом будет сказано позже.
Если S — еще одно кольцо с единицей, то через Se? и s^r
обозначаются категории унитарных левых S-модулей и унитарных
S-Z^-бимодулей соответственно (см. определение 2.1.1 и следующий
за ним абзац).
1.2.6. f — категория топологических пространств.
(I) Ob (#") = класс всех топологических пространств.
(II) Мог (Л, В) = множество непрерывных отображений из Л в В.
(III) Композиция.

14 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
Во всех рассмотренных до сих пор категориях (кроме )
объектами были множества с дополнительной структурой, а мор-
физмами— отображения, сохраняющие эту структуру. Сейчас
мы приведем примеры категорий другого рода.
1.2.7. Группа как категория. Пусть G — произвольная
группа и * —ее произвольный элемент. Построим категорию G
следующим образом:
(I) Ob (&) = {•}.
(II) Mor(*, *) = G.
(III) Групповая операция в G.
Очевидно, что 1% = нейтральный элемент группы G.
1.2.8. У пор ядоченное множество как категория.
Пусть (М, «^ — упорядоченное множество. Определим катего-
категорию М следующим образом:
(I) ОЪ(М) = М.
Ф при
т. е. Мог(у4, В) в случае А^В есть множество, состоящее из
единственного символа (А ^ В).
(III) (ВСЯС
Тождественным морфизмом для А является 1д = (/4^Л).
1.2.9. Дуальная категория. Пусть дана категория $С. Ду-
Дуальная к категории <%" категория <%"° определяется следующим
образом:
(I) Ob(<^o) = Ob(^).
(II) У/А, ЯеОЬ(аП[МогзИЛ, Я)=Мог^(Б, А)].
(III) Мог^о(В( С)хМог^о(Л, Я)э(у, Р)»-*РуеМогж-о(Л) С),
где Ру образуется в Мог (&?).
1.3. Функторы
Функторы играют для категорий ту же роль, что и отображе-
отображения, сохраняющие структуру (= гомоморфизмы) для обычных
алгебраических структур или непрерывные отображения для
топологических структур. В соответствии с этим функтор (при
нашем определении) — это пара сохраняющих структуру отображе-
отображений из одной категории в другую (не обязательно отличную от
первой).

1.3. Функторы 15
1.3.1. Определение. Ковариантный, соотв. контр а ва-
вариантный, функтор F из категории %?С в категорию X — это
пара F — (Fo, FK) отображений Fo, F№:
(I) F0:ObCV)-+Ob(X),
(II) FM5T)M(i
со следующими свойствами:
A) VoeMor(^)[oeMor(i4, В) => .*„ (a] g= Мог (Fo (A), F0(B)]t
соотв. fete Мог (Л, B)=t> Fu(a) <= Мог (F0(B), F0(A)]\
B) УЛеОЬ(^)[/?мAд)=1л-0,и)];
C) Vet, p€EMor(^)[ran(a) = dom(P)=>FM(Pa)=FM(P)FM(ct)], со-
соотв. [ran (a) = dom (P) => /rM (P«) = /rM (a) Z7,, (P)].
Вместо Fq и Z7,, пишут также просто F, т. е. /Г(Л):= ^(Л),
/7(a): = /;'M(a). Тогда условие A) записывается следующим образом:
A) a: A^B=$F(a):F(A)^F(B),
соотв. а: А-+В =$ F (a): F (BJ-+F (А),
или
A) dom(/r(a)) = /:'(dom(a))Aran(/r(a)) = F(ran(a)))
соотв. dom (F (а)) = F (ran (a))/\ran (F (a)) = F (dom (а)).
Запись F;tfC-^>-% означает, что F — функтор из Ж в =5?.
Если G: =5?-v^5 — тоже функтор, то, очевидно, последователь-
последовательное их выполнение GF: $?-+&> — также функтор. Если оба функ-
функтора F и G ковариантиы или оба контравариантны, то GF
ковариантен; если F и G различно „вариантны", то GF контрава-
риантеи.
1.3.2. Забывающие функторы. Забывающий функтор F из
<MR в категорию е// абелевых групп определяется следующим
образом:
Р0:О((
FM: Мог (р#я) э а >—* а е Мог
Этот ковариаитный функтор „забывает" модульную структуру;
он сохраняет только аддитивную структуру модуля. Если „забы-
„забывается" еще и аддитивная структура, то получается забывающий
функтор F из <JtR в категорию S" множеств:
Fo: Ob(
Fu: Мог
'Функторные свойства проверяются тривиальным образом. Легко
привести и другие примеры забывающих функторов.

16 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
1.3.3. Функторы представления. Пусть Ж — произволь-
произвольная категория и ^еЖ1. Определим
Мог^Л, -):О
гдеМог^(Л, |) для Х:= dom(|),K:=ran (?) задается следующим
образом:
Мог^(Л, g):Mor^(/4, Х)эаь^^еМог^(Л, У).
Легко проверяется, что Мог(^(Л, —) -=- ковариантный функтор
из Ж в S?.
Аналогично для фиксированного объекта ВеЖ определим
, B)eOb(^),
где для X:=dom(|), K:=ran(|) полагаем
Нетрудно проверить, что Мог,^- (—, В) — контравариантный функ-
функтор из ЗР в ^.
До сих пор мы рассматривали функторы от одного аргумента,
т. е. из одной категории в другую. Однако часто встречаются
функторы от многих аргументов. Правда, с помощью произведе-
произведения категорий (и дуальных категорий) они сводятся к (ковари-
антным) функторам от одного аргумента. Для наших целей
достаточно рассмотреть функторы от двух аргументов.
1.3.4. Определение. Пусть SV, <%", X — категории. Функтор
F от двух аргументов, а именно ковариантный, соотв.
контравариантный, по первому аргументу и ковари-
ковариантный по второму аргументу, из &С-Л.&С' в Х — это пара
отображений F = (F0, FH):
(I) Р0:ОЪ(Ж)хОЪ(Ж')-+ОЪ(?),
(II) fH: Мог (а/Г) х Мог (<%"')->Мог (#),.
со следующими свойствами:
A) для аеМог(еЖ) и а'еМогEГ'). где а:А-+В и а':А'~^В'
имеем
FH(a, a'):F0(A, A')-+F0(B, В'),
соотв. F№{a, a'):F0(B, A')-+F0(A, В');
B) F№(U, U-) = Ifoia, A')\
C) FB(P«, P'«') = /rM(P. P')^(«. «').
соотв. f.(pa, p'a') = f.(«, P')MP, «')•

1.4. Функторные морфизмы и сопряженные функторы 17
Аналогично определяются функторы, которые контравариантны
по обоим аргументам или ковариантны по первому и контрава-
контравариантны по второму,
1.3.5. Функтор Мог. Каждой категории УС соответствует функ-
функтор Мог = Мог^ из $?§§&? в ?*, который контравариантен по
первому аргументу и ковариантен. по второму. Он определяется
так:
Мог:ОЬ(е/Г)хОЬ(е/Г)=э(Л, Б)-* Мог (Л, Б)еОЬ(^),
Мог: Мог (Ж1) х Мог (Щ =э (а, у) >->¦ Мог (а, у) ев Мог (?*),
где Мог (а, у) Для ж А-*-В, y.C-^-D определяется следующим
образом:
Мог (a, у): Мог (В, С) =э Р>-» ура eMor (A, D).
Требуемые функторные свойства легко проверяются.
Как частный случай этого функтора, получаем функтор Нот:
1.4. Функторные морфизмы и
сопряженные функторы
Пусть F и G — два функтора из категории $С в категорию X.
Во многих важных примерах эти функторы не «независимы» друг
от друга. Между ними существует функторный морфизм1, который
мы сейчас определим.
1.4.1. Определение. Пусть F: Ж-^-Х и G: 3ff-+? — dea кова-
риантных либо два контравариантных функтора. Функтор-
Функторный морфизм Ф: F->-G — этд такое семейство морфизмов
Ф = (ФА | ФА е Мог^ (F (A), G(A))/\A<= К),
что для всех морфизмов а: А-+-В из $?
G (а) ФА = Ф/jF (а),
т. е. коммутативна диаграмма
Г(А) ^ > с(А)
I* +1
/¦(с) ! ! G(a)'~
+ ' Фв \ I
F(B) > G(B)
где вертикальные сплошные и штриховые стрелки обозначают
соответственно ковариантный и контравариантный случаи.
1 Используется также термин естественное преобразование функторов. —
Прим. персе.

18 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
При этом существенно, что ФА зависит лишь от F, G и А,
но не от а.
Тривиальный пример функторного морфизма —тождественный
морфизм F-+F, где фА—\Г(А) для всех /4еЖ. Далее, ясно,
что последовательное выполнение двух функторных морфизмов Ф:
F->G и W: G-+H опять дает функторный морфизм. Если
W = (WA | А <= <%"), то по определению
Если отвлечься от теоретико-множественных затруднений, то
для двух заданных категорий &С и X можно определить теперь
новую категорию Fund (<%", X) — категорию функторов из Ж в X.
Объекты ее —функторы из &С в X, а морфизмы — функторные
морфизмы функторов из Ж в X. Например, в соответствии
с нашими обозначениями MorFunct(^ X)(F, G) было бы «множе-
«множеством» функторных морфизмов из F в G. Разумеется, здесь нужно
быть осторожным, поскольку для произвольных категорий
^orFunct E? j?)(F' ^) может не быть множеством. Но предположим,
что класс объектов категории Ж есть множество (в этом случае
%?С называется малой категорией). Тогда для произвольных функ-
функторов F и-G, как нетрудно видеть, MorFunct(^,X)(F, G) —также
множество и Funct (<%", X) — на самом деле категория. Такого
рода категории играют важную роль в теории категорий. Однако
для нас они не столь важны, и потому мы ограничимся сказан-
сказанным выше.
1.4.2. Определение. {Обозначения см. в 1.4.1.) Функторный
морфизм Ф: F-+G называется функторным изоморфиз-
изоморфизмом1, если ФА —изоморфизм для всех ДеЖ. В случае когда
между функторами F: Ф?-+Х и G: S%-+X существует функ-
функторный изоморфизм, это записывают так: Fg^G.
Всё, что было введено до сих пор для функторных морфизмов
от одного аргумента, имеет смысл также для функторов от многих
аргументов. Пусть, например, F: SftxSK'-+% и G: Ж аЖ'-+Х —
два функтора от двух аргументов, а именно контравариантных
по первому аргументу и ковариантных по второму. Семейство
морфизмов
, A'), G(A, A'))f\(A, Л')е=
называется функторным морфизмом из F в G, если для всех
морфизмов а: В-+А из Ж и а': А'-^-В' из Ж' коммутативна
1 Или естественной эквивалентностью, —Прим. перев.

1.4. Функторные морфизмы и сопряженные функторы 19
диаграмма
F(A.A') ^±^ >G(A,A')
а, а')
G(a.a')
F(B,,B') ^ ». G(B.B')
Ф называется функторным изоморфизмом между F и G (запись:
F^G), если все Ф(л, /п — изоморфизмы.
Теперь мы можем ввести понятие сопряженного функтора,
играющее в теории категорий фундаментальную роль. В категории
модулей весьма полезно иметь его в своем распоряжении, ибо
только при использовании этого понятия становится ясной связь
между функтором Мот и функтором тензорного произведения
(см. гл. 10), которые на самом деле являются взаимно сопряжен-
сопряженными.
Пусть даны два ковариантных функтора F: &C-+Х и G: X->-<%",
где G имеет противоположное к F «направление» вариантности.
Рассмотрим «составной» функтор
\1 'у ' ) ,
Здесь речь идет о функторе от двух аргументов из &Рх? в кате-
категорию множеств S", который коитравариантен по первому аргу-
аргументу и ковариантен по второму. То же самое относится
к функтору
При этих предположениях дадим следующее определение.
1.4.3. Определение. Функторы F и G называются парой
сопряженных функторов (или взаимно сопряжен-
сопряженными функторами), причем G называется орпряженным
справа к F, a F — сопряженным слева к G, если суще-
существует функторный изоморфизм между Мог,*? (F —, —) и
M(—, G—).
1.4.4. Пример функторного морфизма. Пусть <ЛК — кате-
категория векторных пространств над полем К. Для данного вектор-
векторного пространства Vк, как известно, пространство
KV*:=HomK(V, К)
называется (алгебраическим) сопряженным, а пространство
VI*:-Нот* (К*, К)

20 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
вторым сопряженным. Если
a: V^W
— линейное отображение, т. е. морфизм категории <МК, то ото-
отображение
а*: IF *э if—* грае К*
называется сопряженным к а, а отображение
— вторым сопряженным. (Заметьте, что действие линейных ото-
отображений и умножение на элементы из К мы записываем с про-
противоположных сторон.)
Утверждение. 1. С помощью определения
A(V):=V**, A(a):=a**
получается функтор
А. М М
2. Для оеУ определим леУ** как отображение
а также Фу е Horrid (V, V'**) как отображение
ф„: 1/эо^веГ*.
Тогда (D:=(dV| К <= Лк) — функторный морфизм между тожде-
тождественным функтором категории <МК и функтором А.
3. Если ограничить Ф на категорию конечномерных векторных
пространств над К, то Ф —функторный изоморфизм.
Доказательство. Несложное доказательство этого утвержде-
утверждения предоставляется читателю в качестве упражнения. q
1.5. Произведения и копроизведения
При исследовании модулей имеются две возможности. С одной
стороны, можно исследовать подмодули и фактормодули данного
модуля и на основании этого получить информацию о строении
самого модуля. С другой стороны, можно, исходя из данных
модулей, строить новые модули, с тем чтобы получить информа-
информацию о категории модулей. В связи с последней возможностью
наибольший интерес представляют конструкции произведений и
копроизведений. Чтобы лучше оценить их значение, введем эти
понятия для произвольной категории.

1.5. Произведения и копроизведения 21
1.5.1. Определение. Пусть УС — категория.
1. Пусть (Ai | is/)- семейство объектов из УС. Пара
(Р, (ф/i *'^/)) называется произведением семейства
(Л, i i <= /), если
(I) Ре Ob (<%");
(II) (ф,-1 i <= /) — семейство морфизмов из УС,
сР;: /?-*Л„ ig/. .
(III) -Д"я каждого семейства (Y,(/e/) морфизмоя у,-: С->-Л,-,
ie/, «з Ж" существует единственный морфизм у,-: С-*-Р из УС,
такой, что
2. Пусть (A{\i e /) — семейство объектов из $С. Пара
(Q, (i],-|/s/)) называется ко произведением семейства
Д|/
(|)
(I) Qe Ob ()
(I I) (т),-1 / e /) — семейство морфизмов из УС,
г],-: 4-^Q, ie/.
(Ill) Для каждого семейства (a/fte/) морфизмов a,: /4,-^-S,
is/, «з Ж1 существует единственный морфизм a: Q-+B из SK,
для которого
Если (Л (ср,-11 e /)) — произведение семейства (/4,-jie/), то
мы полагаем
11
ief
и называем \\ А{ произведением. Это может привести к недора-
ief
зумениям, поскольку запись Y[ M создает впечатление, что про-
С<=1
изведение определено однозначно, и поскольку при этом опу-
опускается задание семейства (срг | i e /). Поэтому при использовании
записи Yl Ai необходима осторожность!
Если (Q, (r]i | / е /)) — копроизведение семейства (At | i e /), то
мы полагаем
Y\
и называем ] [ Л; копроизведением. Сделанное для случая про-
изведений предостережение остается в силе и здесь.

22 Гл. 1. Некоторые основные понятия теории категорий
Содержащееся в (III) требование для произведения в случае
/ = {!,.2} можно выразить следующей коммутативной диаграммой:
Соответственно для копроизведения получаем коммутативную
диаграмму
В данной категории <%" не обязательно существуют произведе-
произведения и копроизведения. Если они существуют для произвольных
семейств (Л,-1 / е /), то Ж называется категорией с произведениями,
соотв. с копроизведениями. Если они существуют по меньшей
мере для любых конечных множеств индексов, то <Ж" называется
категорией с конечными произведениями, соотв. с конечными
копроизведен иями.
Произведения и копроизведения, в случае когда они суще-
существуют, определены однозначно с точностью до изоморфизма.
Более точно, имеет место следующая теорема.
1.5.2. Теорема. Пусть &? — произвольная категория.
A) Если (Р, (фг | i s= /)) и (Р', (фг | i e /)) — произведения семейства
Л|/) ф РР' д
(, (ф | )) ((ф | )) р
(), то существует изоморфизм а: Р
щий условию
Р', удовлетворяю-
удовлетворяюB) Если (Q, (т],-|/е/)) и (Qr, (T]J[te/)) — копроизведения семей-
семейства (Л,1/е/), то существует изоморфизм т: Q-+Q', удовлет-
удовлетворяющий условию

Упражнения 23
Доказательство. A) Подставляя в 1.5.1 (III) вместо (у,-1 / е /)
семейство (ф(|/е/) и беря С = Р', получаем, согласно определе-
определению, морфизм а': Р'-*~Р, для которого фг = фга'. Аналогично
существует морфизм а: Р-+Р', для которого (p,- = <pja. Отсюда
следует, что ф,= ф,а'сг, cpj = (pjaa'. Если взять теперь в опреде-
определении произведения вместо (у,|ге/) семейство (ф;|/е/), то
Y=1P дает нужное равенство: ф;- = ф,1р. Так как у определено
однозначно, а, с другой стороны, ф, = ф,а'а, то \Р — о'а и ана-
аналогично lp' = aa', что и требовалось доказать.
B) Доказательство для копроизведений получается дуализацией
(= обращением стрелок) и предлагается читателю' в качестве
упражнения. п
Примеры произведений и копроизведений мы рассмотрим
в категории eSR.
Упражнения
1. Пусть Ж — категория. Доказать, что
(Pa — мономорфизм) rz? (a — мономорфизм).
(), а — мономорфизмы Д ran (a) = dom (Р)) r^ (ра — мономорфизм).
( кх — эпиморфизм) rz? (Р — эпиморфизм).
(Р, а —эпиморфизмы Д ran (a) = dom (P)) =^ (Ра—эпиморфизм).
2. а) Показать для категории S" множеств и категории ?Г топологических
пространств, что если а — морфизм, то
(а — мономорфизм) ?г> (а инъективно как отображение множеств);
(а — эпиморфизм) C=S> (а сюръективпо как отображение множеств).
Ь) Пусть ?Г2 — категория отделимых топологических пространств. Прове-
Проверить, выполняется ли а) для ЗГ2.
3. Абелева группа А называется делимой, если Vn e N [яЛ = /4]. Пусть
o/fo — Категория делимых абелевых групп. Указать пример мономорфизма
в ет^о. который не инъективен как отображение множеств. (Указание. Исполь-
Использовать Q и Q/Z.)
4. Пусть G —группа, содержащая более чем один элемент, и б —соответствую-
—соответствующая ей п смысле 1.2.7 категория. Указать те и только те множества /, для
которых существуют произведения и копроизведения с множеством индексов /.
5. Пусть М — упорядоченное множество и М—соответствующая ему в смысле
1.2.8 категория.
a) В терминах отношения порядка в М дать необходимые и достаточные
условия для того, чтобы в М существовали конечные, соответственно произ-
произвольные произведения и копроизведения.
b) Какие морфизмы в М являются биморфизмамн и какие биморфизмы —
изоморфизмами?
6. Определить категорию afC с Ob (Ж) — N ={1, 2, ...} так, чтобы произведе-
произведением семейства (Ai\i=\, ..., п), где Л,-ее** был наибольший общий дели
тсль Ах Ап, а копроизведением (Ai\i=\ л) —наименьшее общее
кратное /4t А„.

2. Модули, подмодули и фактормодули
2.1. Предположения и соглашения
От читателя требуется некоторое знакомство с простейшими
фактами о кольцах и модулях. Он должен быть знаком по мень-
меньшей мере с двумя специальными видами модулей —с векторными
пространствами и абелевыми группами.
Хотя определения большинства понятий даются здесь заново —
прежде всего, чтобы установить обозначения, — но, с учетом
желательной предварительной подготовки читателя, эти понятия
не особенно мотивируются. Таким образом, мы будем при этом
очень кратки. Обоснования и примеры приводятся только тогда,
когда мы выходим за рамки основных понятий, в частности
когда речь идет не о непосредственных обобщениях понятий,
относящихся к векторным пространствам.
В дальнейшем предполагается, что все кольца (которые обычно
обозначаются через R, S или Т) имеют единицу 1
2.1.1. Определение. Пусть R —некоторое кольцо. Правый
R-м оду ль М — это
(I) аддитивная абелева группа М вместе с
(II) отображением
MxR^-M, (т, г)у^-тг,
называемым модульным умножением, для которого выпол-.
няются:
A) закон ассоциативности: (mr^ r2 = m(rir2),
B) законы дистрибутивности: (т{ + т2) г = mLr -f~ m2r, т (rt + г2) =
= тгг -\- тг2,
C) закон унитарности: т\=т.
(Здесь т, тъ т2 — произвольные элементы из М, а г, гь г2 —про-
—произвольные элементы из R.)
Подчеркнем, что в соответствии с этим определением все рас-
рассматриваемые в дальнейшем модули являются унитарными. Если
М — правый R-модуль, то мы записываем его также в виде MR
или М — MR, чтобы указать кольцо R. Аналогично определяются
левые модули.

2.2. Подмодули и идеалы 25
Пусть даны два кольца S и R. Тогда М называется S-R-6u-
модулем, если М — левый 5-модуль и правый /^-модуль (с одной
•и той же аддитивной абелевой группой) и дополнительно выпол-
выполняется следующий закон ассоциативности:
s(mr)=(sm)r для произвольных sg5, теУИ, r^R.
Мы записываем 5-/?-бимодуль как sMR.
Когда мы говорим просто «модуль» или «/^-модуль», мы имеем
в виду односторонний Я-модуль, у которого, однако, «сторона»
не фиксирована. Утверждения об /^-модулях имеют силу как
для левых, так и для правых /^-модулей.
Как известно, /^-модуль называется векторным пространством
над R, есл.1 R является полем (или телом). Далее, модули над
кольцом целых чисел Z —это (аддитивно записываемые) абелевы
группы.
Если М — правый /?-модуль и нейтральные элементы аддитив-
аддитивных групп М и R обозначаются через 0м и 0д> соответственно,
то, как и для векторных пространств, мы имеем
0м, тОк = 0м,
а также
_ (тг) = (— т)г — т (— г)
для произвольных me M, r^R.
В дальнейшем, как обычно, вместо 0м и 0# будем писать
просто 0.
2.2. Подмодули и идеалы
Вообще говоря, при изучении математических структур важ-
важную роль in рают подструктуры, такие как, например, подгруппы,
подиоля, подпространства топологических пространств.
Точно также при исследовании модулей важную роль играют
подмодули, к определению которых мы сейчас перейдем.
2.2.1. Определение. Пусть М —правый R-модуль. Подмножество
А в М называется подмодулем модуля М (запись: A Q. М или
AR С MR), если А является правым R-модулем при ограничении
и.о. А сложения и модульного умножения в М.
/Мы используем для обозначения подмодулей запись A Q М,
чтобы освободить запись A cz M для обозначения теоретико-мно-
теоретико-множественного включения. Кроме того, мы употребляем такие обо-
обозначения:
А с М : о А — собственный подмодуль модуля М;
A <f> М : о А не является подмодулем модуля М.

26 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
Заметим, что из А ф М не обязательно следует А ф М.
2.2.2. Лемма. Пусть М — правый R-модуль. Если А — подмноже-
подмножество в М и АФф, то следующие утверждения эквивалентны:
A) ЛсМ;
B) А есть подгруппа аддитивной группы модуля М и для всех
а е А и г е R имеем аг е А (где аг — модульное произведение в М)\
C) для веек аи а2 ^ А имеет место включение ах-\-йч^. А (сло-
(сложение в М), а для всех а е А иг е R — включение аг е А.
Доказательство проводится точно так же, как и для слу-
случая линейных подпространств векторных пространств. Мы пре-
предоставляем его читателю в качестве упражнения. D
Аналогичные утверждения верны для подмодулей левых мо-
модулей и бимодулей.
Заметим, что кольцо R можно рассматривать и как правый
^-модуль RR, и как левый /^-модуль RR, и как /?-/?-бимодуль RRR.
Правый идеал (соотв. левый идеал, двусторонний идеал) кольца
R — это подмодуль модуля RR (соотв. RR, RRR). Если R комму-
коммутативно, то правые, левые и двусторонние идеалы совпадают и
говорят просто об идеалах.
Примеры а замечания. 1. Каждый модуль М имеет три-
тривиальные подмодули 0 и М, где 0 —это модуль, состоящий из
одного нулевого элемента модуля М.
2. Пусть М — произвольный модуль и ffljeM. Из 2.2.2 сразу
видно, что
m0R: — {mor \ r e R}
является подмодулем. Он называется циклическим подмодулем
в М, порожденным элементом т0.
3. В случае когда Мк —векторное пространство над полем К,
подмодули называются (линейными) подпространствами.
4. В кольце целых чисел Z каждый идеал цикличен.
5. Циклические идеалы кольца будем называть главными идеа-
идеалами', коммутативное кольцо называется кольцом главных идеалов,
если каждый его идеал является главным.
6. Поле К имеет лишь тривиальные идеалы 0 и К.
2.2.3. Определение. A) Модуль M = MR называется цикли-
циклическим, если
Эт0 <= М [М =

2.2. Подмодули и идеалы 27
B) Модуль M=*Mr называется простым, если
т. е. МфО и О и М суть единственные подмодули в М.
C) Кольцо R называется простым, если
=0\/А =sR],
т. е. ЯфО и 0 и R суть единственные двусторонние идеалы
кольца R.
D) Подмодуль A Q. М называется минимальным, соотв. мак-
максимальным, подмодулем модуля М, если
ф
соотв. Ас+
Ф
Так же определяются простые, минимальные и максимальные
идеалы. Как уже было сказано, циклические идеалы называют
главными идеалами.
Заметим еще, что минимальные подмодули — это в точности
простые подмодули. Минимальные (= простые), соотв. максималь-
максимальные, подмодули модуля, если они существуют, очевидно, являются
минимальными, соотв. максимальными, элементами в упорядочен-
упорядоченном (по включению) множестве ненулевых подмодулей, соотв.
собственных подмодулей.
2.2.4. Лемма. Модуль М просто
МфО/\Ут еУИ [тФ0 =}mR = М].
Доказательство. „=?": тФ0 =?mRФ0 (так как /п1 = ше
?Е mR) =$mR = M. „<=": Ос^сМ пае Л, aфO=$aR = M=>
=$M = aRQ.Ac+M=$A = M. ?
Примеры. 1. Кольцо Z не содержит минимальных (= простых)
идеалов, так как если идеал пХфО, то он содержит собственный
идеал, отличный от нуля, например 2nZ.
Максимальные идеалы кольца Z —это в точности простые
идеалы вида рЪ, где р — простое число. Это следует из того
факта, что
тЪ с; пЪ о п! т.
2. Модуль Qz не имеет ни минимальных, ни максимальных под-
подмодулей. Действительно,
О с Л с: Qz и а'<=Ау а ф 0 =3> 0 с 2аЪ Q. аЪ Q. A Q Q.

28 Гл. 2. Модули, подмодули н фактормодулн
Таким образом, А не может быть минимальным. Отсутствие
максимальных подмодулей будет выведено ниже как следствие
из 2.3.7.
3. В векторном пространстве V = VK минимальные. (= простые)
подпространства исчерпываются одномерными подпространствами.
Одномерные подпространства суть подпространства вида vK, где
у =т^0, feV, Если V n-мерно, то максимальные подпростран-
подпространства—это в точности (п— 1)-мерные подпространства. Если V бес-
бесконечномерно, то и тогда имеются максимальные подпространства
(что хорошо известно из линейной алгебры и что мы еще раз
покажем в дальнейшем).
4. Если К — тело, то модуль Кк прост и К. просто как кольцо
(т. е. модуль кКк прост). Это непосредственно следует из того
факта, что любой ненулевой элемент из К имеет обратный.
5. Пусть R: = /С" — кольцо квадратных матриц порядка п с коэф-
коэффициентами из тела /(. Отметим без доказательства (оно после-
последует позже), что хотя R просто (как кольцо), но модуль RR не
прост для п > 1.
Напомним в этой связи определение алгебры.
2.2.5. Определение. Алгебра —это пара (R, К), где
(I) R —кольцо, а
(II) К — коммутативное кольцо, причем
(III) R есть правый К-модуль и
Vrb r2 ^RVkz=K [(гггг) k = rx (r2k) = (r.k) r2].
Из наших предположений о кольцах и модулях следует, что R
обладает единицей и К унитарно действует на R.
Алгебра (R, К) называется также К-алгеброй R или алгеб-
алгеброй над К.
Тот факт, что мы определили R как „правую /(-алгебру", не
играет никакой роли. Поскольку К коммутативно, с помощью
определения
kr: = rk, r^R, k^K
можно перейти к „левой /(-алгебре".
Если 1 — единица кольца/?, то 1/( = {1^1 fce/Q — подкольцо
центра кольца К. Обратно, каждое кольцо является алгеброй
над любым подкольцом своего центра. Напомним, что центр
кольца R— это множество таких элементов a^R, что аг = га
для любого элемента г е R. Центр кольца R является его ком-
коммутативным подкольцом, содержащим единицу.

2.3. Пересечения и суммы подмодулей 29
2.3. Пересечения и суммы подмодулей
орое
А]}
2.3.1. Лемма. Пусть Г — некоторое множество подмодулей
модуля М. Тогда
является подмодулем в М-.
Доказательство пров
пространств векторных пр
Замечание. Заметим, что для Т — ф это определение дает
Доказательство проводится с помощью 2.2.2, как для под-
подпространств векторных пространств. ?
Из 2.3.1 непосредственно вытекает
Следствие. Q А —наибольший подмодуль в М, содержащийся
во всех ЛеГ,
Примеры. 2Z П 3Z = 6Z; П pZ = 0.
р—простое
число
2.3.2. Лемма. Пусть X — подмножество модуля MR. Тогда
(а |
{^Xfr/lx, (=Xf\r/<=Rf\nf=W, если Хфф,
v=.i )
0, если Х=*ф
является подмодулем в М.
Доказательство. Для Х = ф утверждение очевидно. Пусть
Хфф. В силу 2.2.2,
т п т п.
И х'г'е А => 2] л;<-/'( + 2] «w e ^.
=! 1=1 /=1
2.3.3. Определение, Модуль А, определенный в 2.3.2, называется
подмодулем в М, порожденным множеством X, и
обозначается | X).
Важно, что этот подмодуль, который для Хфф состоит из
всех конечных линейных комбинаций ?х/Г/, где jc;eX, может
быть охарактеризован следующим свойством.

30 Гл. 2. Модули, подмодули н фактормодулн
2.3.4. Лемма. \ X) — наименьший подмодуль в М, содержащий X,
и
\х)= п с.
Доказательство. Если Х = ф, то |Х)=0 и утверждение
тривиально.
Пусть X Ф ф и С —подмодуль, содержащий X. Тогда вместе
с X) е X модулю С принадлежат также Х/п и все конечные суммы
таких элементов. Следовательно, | X) Q. С. Так как X —подмно-
—подмножество в | X) (ввиду того что x = xl ^\Х)), то |Х) —действи-
—действительно наименьший подмодуль в М, содержащий К.
Пусть D: = |~| О. Тогда X есть подмножество в D,
CMAC
а поскольку D— подмодуль, то \X)C,D, С другой стороны, | X)
фигурирует в указанном пересечении как одно из С, поэтому
Dq.\X), а значит jX)=D. ?
В случае S-Я-бимодуля М подмодуль, порожденный подмно-
подмножеством X в М, задается равенством
" 1
?] SjXjrjlXj & X/\sj & S/\rf & R/\п & Ю, если Хфф,
О, если X = ф.
Как и выше, имеем (X) —наименьший подмодуль в 5Л^Л, содер-
содержащий X, и
П с-
Такие же обозначения используются для идеалов.
2.3.6. Определения. Пусть снова M — MR.
A) Подмножество X модуля М называется сие те мой обра-
зующих для М, если \Х) — М.
B) Модуль М (или правый идеал) называется конечно-порож-
конечно-порожденным, если для М существует конечная система образующих.
C) Модуль (соотв. правый идеал) называется циклическим
(соотв. главным правым идеалом), если он порождается
одним элементом (ср. с 2.2.3).
D) Подмножество X модуля М называется свободным, если
для каждого конечного подмножества \хъ хг, ..., хт\ с: X, где
х1фх! при 1ф] (/, /=1, 2, .... т), ш
т
fi = 0, Г|? R,

2.3. Пересечения и суммы подмодулей 31
следует, что rt = О (/ = 1, 2, ..., т).
E) Подмножество X модуля М называется базисом для М,
если оно является системой образующих для М и свободно.
Если X Ф ф —система образующих для М, то это означает,
что каждый элемент /iie/И представим в виде конечной линей-
линейной комбинации
п
JTI — / j XjTji Xj fez: A , Ij ^ A.
/=--1
Само собой разумеется, что neN здесь не фиксировано, а зави-
зависит от выбранного т. Далее, как коэффициенты rf, так и эле-
элементы ^ е А, действительно входящие в линейную комбинацию,
не определяются однозначно элементом т. Правда, если X =
= \хъ ..., xt\ конечно, то каждый элемент т е М можно запи-
записать в виде
m = 2j xirh
так как отсутствующие слагаемые Х/Г,- можно включить в сумму
в виде Х/0. Однако и здесь коэффициенты г, могут определяться
не однозначно.
Нсли же речь идет о базисе, то коэффициенты определяются
однозначно.
213.6. Лемма. Пусть X Ф ф — некоторая система образую-
образующих для М = Mr,. Т.агда: X — базис <=> для каждого m e M пред-
представление
т = 5j %irit где Xj ёХ, г/ g= R,
однозначно в следующем смысле: если
п п
то I
П—П (/=1. 2 п).
Доказательство. „=?": Пусть

32 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
Тогда
0=
и так как А' свободно, то получаем rt — r] = 0, т. е. /¦/ = /¦,' (/ =
= 1, 2, ..., п).
„<=": Пусть
Л
0f\xi=^x, для г^/ (t, /=1, .... п).
Поскольку также \)='?lx,0, то г, = 0 (/=1, 2, ..., п), т. е. X
свободно. ?
Замечание. Если Х = {х1, ..., xt\ — конечная система образую-
образующих (причем х(фх/ для i=?j), то справедливо такое утвержде-
утверждение: X —базис <=> для каждого т^М коэффициенты ri^R
в представлении
определены однозначно. Заметим, что в случае бесконечного
базиса X это утверждение об однозначности лишено смысла. Для
бесконечного X отсутствующие слагаемые нельзя включить
в сумму в виде членов х;0, так как бесконечные суммы —даже
нулей — не определены! Утверждение об однозначности прихо-
приходится понимать в смысле 2.3.6!
Примеры. 1. Каждый модуль М тривиальным образом служит
сам себе системой образующих (поскольку каждый элемент m e M
есть конечная линейная комбинация вида т — т\, \^R).
2. Если R — кольцо, то {1} —базис для RR (и для RR).
3. Рассмотрим теперь свойства модуля Qz.
2.3.7. Утверждение. Если из произвольной системы образую-
образующих X для Q/ удалить конечное число произвольных элементов,
то оставшееся множество снова будет системой_образующих для Qz.
Доказательство. Достаточно показать, что из X можно уда-
удалить произвольный элемент х0. Утверждение для конечного числа
элементов получается затем по индукции.

2.3. Пересечении и суммы подмодулей 33
Из того что X — система образующих, следует, что хо/2 можно
представить в виде конечной суммы
~- = XoZo+ 2 Х&> Xt(=X, Zi<=Z.
Тогда
хо = хо2го+ 2j x&zi> откУДа хоп= ? х,-2г,-,
где п: = 1 — 2z0 e Zf\n ФО. Пусть теперь
2
^ 2^ xiz'h
",фх0
Тогда
xfnz'j= 2 Xi2ZiZ'0+ ? x,nzj
xo xi*xo x/^xo
^j Xk e= X, z'k e Z.
Таким образом, х0 принадлежит подмодулю, порожденному мно-
множеством Х\{л:0}, и поскольку X —система образующих для Qz,
то и Л'\{*о} — также система образующих. ?
Из этого результата вытекают такие следствия:
Qz не обладает конечной системой образующих. В противном
случае пустое множество было бы системой образующих для Qz
и мы имели бы Qz = 0 ^ 1.
В Qz нет максимальных подмодулей. Действительно, предпо-
предположим, что А — такой подмодуль и q e. Q, q ф А. Тогда, согласно
2.2.2,
является подмодулем в Qz- Так как этот модуль строго содер-
содержит А, то
Следовательно, A \j \q\ служит системой образующих для Qz. Но
тогда и само А будет системой образующих, откуда получаем
Л 0*
Отсутствие в Qz простых (= минимальных) подмодулей уже
было установлено раньше. Разумеется, Qz не обладает базисом,
ибо если из базиса выбросить один элемент, то оставшееся мно-
* Напомним (см. стр. 8), что символ ? означает: „Противоречие!" — /7рам
ред.
2 Ф. Каш

34 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
жество не будет системой образующих (поскольку удаленный
элемент не представим линейно через оставшиеся).
4. В качестве следующего примера мы докажем теорему о том,
что каждое векторное пространство над телом обладает базисом.
Здесь мы впервые применим лемму Цорна, которая позже будет
использоваться во многих доказательствах. Поэтому сформули-
сформулируем ее здесь.
Лемма Цорна. Пусть А — упорядоченное множество. Если каж-
каждое вполне упорядоченное подмножество в А обладает верхней
гранью в Л, то А обладает максимальным элементом.
Отметим тот известный факт, что лемма Цорна эквивалентна:
1° аксиоме выбора;
2° теореме о полном упорядочении.
В этой книге мы используем как лемму Цорна, так и аксиому
выбора.
2.3.8. Теорема. Каждое векторное пространство над телом обла-
обладает базисом.
Доказательство. Пусть К — тело и Vк — векторное простран-
пространство над К- Обозначим через Ф множество всех свободных под-
подмножеств в V Поскольку пустое множество свободно, то Ф не-
непусто. Множество Ф является упорядоченным по включению.
Чтобы применить лемму Цорна, нам нужно показать, что каж-
каждое вполне упорядоченное подмножество Г в Ф обладает верхней
гранью. Рели Г = ф, то каждый элемент является верхней гранью
для Г. Пусть теперь Г = {X/1/ е /} Ф ф. Покажем, что
X:=(J X,
является верхней гранью для Г в Ф. Пусть хъ х2, ..., хп — раз-
различные элементы из Г. Поскольку Г вполне упорядочено, суще-
существует ХуеГ, такое что хъ х2, ..., ^еА'у. Так как Х; сво-
свободно, то {xi, ..., хп\ свободно, следовательно А' свободно. Тогда
по лемме Цорна в Ф существует максимальный элемент Y. Пока-
Покажем, чю У —базис пространства V над К. Поскольку Y сво-
свободно, достаточно показать, что >Y) = V. Если V = 0, то Y = ф
и из определения (У) следует, что \Y) — V. Если УфО, то
Уфф. Пусть теперь seV и ифУ. Тогда Y \j {v} не свободно
в силу максимальности Y. Следовательно, существуют различные
Уъ г/г. • ¦ •. Уп е У и k, ku k2, ..., kn^K, такие, что

2.3. Пересечения и суммы подмодулей 35
причем не все k, къ ..., kn равны нулю. Равенство k — О невоз-
невозможно, ибо тогда (в силу того что ,Y свободно) мы имели бы
6/ = 0 (/ = 1 п). Из того что 1гфО, следует, что
v = vkk-1 = 2j г/у (— kjk.-1) e ! Y)
и потому у = I F). П
После рассмотрения этих примеров продолжим общие рассуж-
рассуждения.
Утверждение. Пусть Л = {At \ i е /} — некоторое множество
подмодулей Д- Q МЛ. Тогда
' " ¦ ¦ - - - - конецноЛ всли д^ф^
/
Л=G),
И А А состоит из всех конечных сумм
i I
т. е. для Кфф модуль
V]a;, где а,е Д-.
Доказательство. По определению, для 1фф модуль
И Ai\ представляет собой множество всех конечных сумм вида
П
Yi ЦП, где а, У
/=1 IS/
Объединяя все слагаемые а,г^, лежащие в данном фиксирован-
фиксированном А{, в одну сумму a'i и поступая аналогичным образом с осталь-
остальными слагаемыми, получаем
п
Ti airi =¦ I] a'i-
/= 1 i&I'
Таким образом,
, At\ Q / 2 a/! a/ e Д-Д/' с /Д/' конечно}-
4 / Us/' J
Обратное включение очевидно. rj
2.3.9. Определение. Если A={At | i e /} — произвольное множество
подмодулей At Q. М, то
U At
is/
2»

36 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормоду?и
называется суммой подмодулей {Л/ [ t е /}.
п
При Л = {ЛЬ ..., Ап\ каждый элемент из ? Aj можно запи-
записать в виде
п
2 а/, где а/ е Л/,
беря вместо отсутствующих слагаемых я,- = 0. Подчеркнем еще
раз, что представление V а< Для элементов суммы не обязано
быть однозначным. Представление это будет однозначным в част-
частном случае, которым мы займемся в следующем параграфе.
Теперь мы в состоянии описать максимальные подмодули про-
произвольного модуля.
2.3.10. Лемма. Пусть Ас^М. Следующие условия эквивалентны:
A) А — максимальный подмодуль в М\
B) VM[AM A]
Доказательство. „A)=> B):" : т ф А =* A Q. ()
„B)=>A)": Пусть AQ.BQ.M. Тогда те В, т ф А =^> М =
— mR-j-A Q. B-j-A Q. В Q. М =$ В = М и, таким образом, имеет
место A). ?
Как было показано, Qz не содержит максимальных подмоду-
подмодулей. В связи с этим интересна следующая теорема.
2.3.11. Теорема. В конечно-порожденном модуле MR каждый
собственный подмодуль А содержится в некотором максимальном
подмодуле.
Доказательство. Пусть {ти тг, ..., mt\ — система образую-
образующих для М. Если Ас, М, то множество
непусто, поскольку ЛеФ. Далее, оно упорядочено по включе-
включению. Чтобы применить лемму Цорна, нужно показать, что каж-
каждое вполне упорядоченное подмножество Г сг Ф обладает верхней
гранью в Ф. Положим
С:- U В. ,
вег
Тогда AQ.C. Допустив, что С = М, мы получили бы, что
\ти тг, ..., mt\czC и, следовательно, должен существовать под-

2.3. Пересечения и суммы подмодулей 37
модуль ВеГ, для которого \mlt..., mt) а В. Но тогда В — М fy .
Этим показано, что СеФ. По лемме Цорна в Ф существует не-
некоторый максимальный элемент D. Покажем, что D — максималь-
максимальный подмодуль в Мк. Допустим, что D qLq Мн. Тогда L е Ф,
Ф
и в силу максимальности D в Ф получаем D — L. ?
Полагая А—0, получаем, что'всякий ненулевой конечно-
порожденный модуль М обладает максимальным подмодулем.
2.3.12. Следствие. Каждый конечно-порожденный модуль МфО
содержит максимальный подмодуль.
Чтобы дуализовать понятие конечной порожденности, нам
нужно найти для него другую, эквивалентную формулировку.
2.3.13. Теорема. Модуль MR конечно-порожден тогда и только
тогда, когда в каждом множестве \At\i^I} подмодулей AiQ.M,
удовлетворяющем условию
существует такое конечное подмножество {Ai\i е/0} (т. е. /ос:/
и /о конечно), что
Доказательство. Пусть М конечно порожден, т. е. М ==
— mxR-{-...-\-mtR. В силу того что ^] ^г = ^> каждый эте-
этеге/
мент ту является конечной суммой элементов из Л,-. Следова-
Следовательно, существует такое конечное подмножество /ос/, что
ти ..., m,e ? At.
Отсюда вытекает, что
IS /о
т. е. наше утверждение верно.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим мно-
множестве подмодулей {mR\m^M}. Существует конечное подмно-
подмножество {miR, ..., mtR}, для которого
следовательно, М конечно-порожден. ?
Введем теперь дуальное понятие.
2.3.14. Определение. Модуль М# называется конечно-копо-
рожденным, если в каждом множестве \At \ i е /} подмодулей

88 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
At G М, удовлетворяющем условию р| At — О, существует такое
конечное подмножество {Ai\i&I0} (т. е. 10а1. и 10 конечно),
что f] Ai = 0.
Позже мы еще вернемся к этому понятию, а пока приведем
лишь два примера.
1. Модуль Zz не является конечно-копорожденным, ибо
р — простое
число
но для любого конечного набора простых чисел pt рп
п
f| p{Z=p! ... рп
l
2. Векторное пространство V над полем К конечно-копорождено
тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Доказательство
предоставляется читателю в качестве упражнения.
Как и для векторных пространств, для модулей над произ^
вольным кольцом имеет место закон модулярности.
2.3.15. Лемма (закон модулярности). Если А, В, С Q. М и
В Q, С, то
Доказательство. Пусть a + b—c e (A +B)f\C, где йё/1,
Ь е В, с&С. Тогда (поскольку В Q.C) а = с — Ь^А[)С. Следо-
Следовательно, а + Ь=с^(А [\С) + В и потому (А -\-В) (]Cq.(A [}С) + В.
Пусть теперь d ^ A[\C, b ^В. В силу В Q.C имеем d + b e
<=(А + В)[)С и, следовательно, (А [}С) + В q. (А ±В)[)С. р
Заметим, что для А, В, С Q. М включение
справедливо всегда —и без предположения, что В Q.C. Однако
обратное включение не всегда верно.
2.4. Внутренние прямые суммы
2.4.1. Определение. Модуль М называется (внутренней)
прямой суммой множества {Bi\i^.I) подмодулей BtQ.M
(запись: М= © ВА, если
A) М~2,В{ и
B) V/e/ /S
(?1

2.4. Внутренние прямые суммы _¦ J$9
Равенство М— 0 ?,¦ называется также прямым разложе-
наем модуля М в сумму подмодулей {B^te/}.
В случае конечного множества индексов /=={1, 2,..., п\ пишут
также М = В1@...В
2.4.2. Лемма. Пусть {В',-| i e /} — некоторое множество подмо-
подмодулей В( Q М и М = ? Bj. Тогда условие B) предыдущего опре-
ie/
деления эквивалентно следующему условию:
Для каждого х^М представление х= ? Ъ„ где bi^Bit
Г с /, /' конечно, -однозначно в том смысле, что если х
= Hi &'= .S с'> где b» ci^Bi> mo Vi<^I'[bi = Ci].
Доказательство. „=?": Пусть выполнено условие B) и х =
= И &.- = I] г<- ТогДа
IE/' IE/'
Из того что
ie/
, что b/ = C/ для всех / е/'.
„C=": Пусть feeSyfl 2 s'* ТогДа b = bf^Bh и существует
ie/
такое конечное подмножество / с /, j ф I , что
ДополниЬ левую сторону слагаемыми 0 е В/, is/', а правую —
слагаемыми 0 е S^, для обеих сторон получаем одинаковое ко-
конечное множество индексов /' U {/}. Из однозначности разложе-
разложения вытекает, что b = b/ = O, т. е. верно B). ?
2.4.3. Определения. A) Подмодуль В q."M называется пря-
прямым слагаемым в М, если ЗСQ М[М — В®С].
B) Модуль МфО называется неразложимым, если 0 и
М — единственные прямые слагаемые в М.

40 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
Примеры и замечания. I. Пусть V = VK — векторное про-
пространство и {х,- j / e /} — некоторый его базис. Тогда, очевидно,
V = 0 *Д.
is/
Как мы покажем позже, всякое подпространство в V является
прямым слагаемым.
2. В Zz идеал пЪ, где пфО, пф±\, не является прямым сла-
слагаемым. Действительно, Z = nZ®mZ => я/я e nZ f) mZ = 0 => m —-
— 0=>Z = rtZ=>n = ±il ^. Отсюда следует, что модуль Zz не-
неразложим.
3. Каждый простой модуль Л1 неразложим, ибо лишь 0 и М
являются его подмодулями.
4. Если модуль обладает наибольшим собственным подмодулем
или во множестве его ненулевых подмодулей есть наименьший
подмодуль, то этот модуль неразложим. Доказательство предо-
предоставляется читателю в качестве упражнения.
2.5. Фактормодули и факторколыда
Фактормодули определяются так же, как и факторпростран-
ства векторных пространств, поскольку при этом используются
лишь свойства линейности.
Всякий подмодуль С с, Mr является, в частности, подгруппой
аддитивной группы М. Следовательно, определена факторгруппа
М/С= {т-\-С\т е М) со сложением
В М/С можно ввести такое модульное умножение, что М/С ста-
становится правым модулем. Он называется фактор моду леи или мо-
модулем классов вычетов М по модулю С (или просто по С).
2.5.1. Определение. (т + С) г := mr-\-C, m^M, reR.
Чтобы показать, что М/С действительно является правым
^-модулем, достаточно проверить, что
M/CxR-уМ/С, (т + С, г)>-*тг
является отображением, ибо выполнение остальных модульных
свойств немедленно следует из их выполнения в М. Имеем
nil + С — тг + С => тх = m<i +с, с ^C=s> tmr + С = (т2 + с) г -f C=
--= т2г + сг + С = т2г + С.
Фактормодули левых модулей и бимодулей определяются ана-
аналогично.

2.5. Фактормодули и факторкольца 41
Пусть теперь R — некоторое кольцо и С —двусторонний идеал
в R. Факторгруппу R/C аддитивной группы кольца R по модулю С
можн'о превратить в кольцо, которое называется факторкольцом
или кольцом вычетов R по модулю С (или просто по С).
2.5.2. Определение. (rt + С) (гг + С): = гхгг -\- С, гъ i,eR.
Как и выше, легко видеть, что это умножение не зависит от
выбранных представителей классов вычетов, т. е. операция опре-
определена корректно. Выполнение остальных кольцевых свойств
в R/C непосредственно следует из их выполнения в R. Если
кольцо R обладает единицей 1 (как мы здесь всегда предпола-
предполагаем), то 1+С —единица кольца R/C.
Исследуем теперь некоторые связи между свойствами двусто-
двусторонних идеалов и свойствами соответствующих факторколец. Для
этого нам понадобятся некоторые понятия и простые факты.
2.5.3. Определение. Пусть А, В — двусторонние идеалы в R.
Тогда
т. е. АВ — двусторонний идеал кольца R, порожденный всевозмож-
всевозможными произведениями ab, где ае А, ЬеВ. Идеал АВ называется
произведением идеалов А и В.
Из этого определения непосредственно следует
( " \
Замечание. Л В = < J] aftj \ а,- е А Д hs е В Д п е N >.
2.5.4. Определение. Пусть С— двусторонний идеал в R.
A) С называется вполне первичным идеалом в R, если
Vrlt г2 е= R [г^ е= С => (^ е= С\J r2 е= С)].
B) С называется первичным идеалом в R, если
VЛ, В С RRR [АВ аС=$(А(^С\/В<^ С)],
т. е. в случае когда С содержит произведение АВ двусторонних
идеалов А, В, по крайней мере один из них должен содержаться в С.
C) Элемент г е/? называется п равым делителем нуля,
если г^=0 и существует такой элемент sel?, s^Q,,4mo rs = 0.
Аналогично определяется левый делитель нуля.
D) Кольцо R называется кольцом без д е л и те лей нуля,
если в R нет ни правых, ни левых делителей нуля.
E) Пусть г е R\ элемент /-'ей называется правым обрат-
обратным (соотв. левым обратным, обратным) для г, если
гг' = \ (соотв. г'г=\, г г' — г'г — 1).
Заметим, что из существования правого делителя нуля в не-
некотором кольце следует существование в этом кольце и левого

42 Гл. 2. Модули, подмодули и фьятормодули
делителя нуля (и наоборот). Если г' —правый обратный и г"--ле-
г"--левый обратный для г, то
г' = \г' = (г"г) г' = г" (гг1) = г"\ = г".
Отсюда сразу следует, что обратный элемент (если он существует)
определен однозначно. Обозначается он через г-1.
2.5.5. Лемма. A) Если С —вполне первичный идеал в R, то
С — первичный идеал в R.
B) Если R — коммутативное кольцо, то верно и обратное (т. е.
в коммутативном кольце понятия полной первичности и первич-
первичности совпадают).
Доказательство. A) Пусть А, В Q. RRR и ABQ.C. Предпо-
Предположим, что А 9> С. Тогда За0 е А [а0 ф С]. Так как aob е С/\ а0 ^
<ф С, то b e С для всех JgS, откуда В С С.
B) Пусть r-j% е С. Так как R коммутативно, то rxR и г2/? —
двусторонние идеалы; /-ir2eC=> r1RriR = rir2R Q.C. В силу того
что С —первичный идеал, получаем riR о.С\/г^ Q.C, откуда
2.5.6. Теорема. Пусть С — двусторонний идеал в R. Тогда
A) С —вполне первичный идеал в кольце RoRjC —кольцо без де-
делителей нуля.
B) С — первичный идеал в R о нулевой идеал кольца R/C первичен.
C) С — максимальный двусторонний идеал в R <=> R/C просто.
4) С — максимальный правый идеал в R о R/C — тело.
Доказательство. A) „=>": Положим для краткости R:= R/C
и г:=г + С, и пусть гъ f2 e R. Имеем f1ri
= Cof1r!eC=>f1eC\/f2GC=>f1 = 0\//г = 0.
A) „<=": гъ /¦2е^Л/'1/'2еС=е>О = г1/-2
х (г2 + С) = fif2 => Л = 0\/Л! = 0 => г* е= С V/г е= С.
D) „=е>": 0^rz=R=$r(?C=>R = rR + C. Так как /¦ ^ С, то
/¦# + С — правый идеал, строго содержащий С, поэтому в силу
максимальности С он должен быть равен R. Следовательно, су-
существуют такие г' е R и сеС, что 1 =гг' + с=>1 =rr' + C =
= (г-\-C)(r'-\-C) — rr'', т. е. каждый элемент =^0 из R обладает
правым обратным. Так как I = гг' Ф 0 =$ ? ф 0, то существует
такой элемент г" е Rs что f'f" = Т =$ r = f" =$ г' — обратный эле-
элемент для /", значит, /? — тело.
D) „<=": r(=R/\rфC=$rфO=$Зr' e±R [rr' = f/¦ = I] =?•
=>rr' + C= l+C=>rr' + c= l.=>r/? + C = /?=> (согласно 2.3.10)
С —максимальный правый идеал в /?.
B) и C) показываются аналогично A) и D). Провести это
доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Кроме того, позже мы укажем более точную связь между решет-

Упражнения . 43
нами идеалов R и R/C, из которой непосредственно следуют все
утверждения этой теоремы. ?
Примеры. 1. Хорошо известный пример — факторпространства
векторных пространств.
2.
поле из р элементов, если п = р — простое число,
кольцо с делителями нуля, если пФр/\пфО/\п=?± 1,
О, если п — ± 1,
Z (с точностью до изоморфизма), если п = 0.
3. Пусть К [ж] —кольцо многочленов от переменного х с коэффи-
коэффициентами из некоторого поля К. Если f(x)<=K[x] и f(x) непри-
неприводим, то К [x]/f (х) К \х\ — конечномерное надполе поля К (точнее,
поля, изоморфного полю /С).
Упражнения
1. Показать, что в определении модуля коммутативность сложения следует из
остальных условий.
2. Указать пример модуля М, не обладающего конечной системой образующих,
в котором каждый собственный подмодуль содержится в некотором максималь-
максимальном подмодуле.
3. а) Пусть А, В, С С M = MR. Доказать, что A a B\}C=S> А С В\/А с С.
Ь) Привести пример модуля М и подмодулей А, В, С, D Q MR, таких что
А с B\}C\}Dt\A & В/\А й. Ct\A <? D.
4. Пусть Л—двусторонний идеал кольца R. Показать, что Л —максимальный
правый идеал <^> А — максимальный левый идеал.
5. Пусть M = MRhx<= М^хфО/\А:= {А I А С, М/\х & А]. Показать, что
a) Л непусто и содержит некоторый максимальный элемент (в качестве
отношения порядка рассматривается включение).
b) Если R — K — прле то каждый максимальный элемент из Л является
максимальным подмодулем в М.
6. В множестве Л := |Л | Л Q 02Д1 <? Л} указать минимальный элемент В и
подмодуль С С, Qz, такие что
В с С с Qz.
7. Пусть {В,-|/=1, 2, ...}—некоторое множество подмодулей в M = MRt
причем
М= 2 В,.

44 Гл. 2. Модули, подмодули и фактормодули
Показать, что следующие условия эквивалентны:
A) V/=l, 2, ...
со Л
53 в<=0'
со
B) M= 0 В,.
г=1
8. а) Указать пример модуля с максимальным свободным подмножеством
не являющимся системой образующих.
Ь) Дать пример модуля Ф 0, не являющегося векторным пространством,
у которого каждое максимальное свободное подмножество есть базис. (Указа-
(Указание. Используйте подходящий Z-модуль.)
9. Пусть V — VK — векторное пространство, К — свободное подмножество в V
и К —система образующих для V, причем XczY. Показать, что существует
базис 1 пространства V, удовлетворяющий условию X с Z с Y.
10. а) Указать пример модуля М и подмодуля А С М, таких что существуют
подмодули В1 С, М и В2 с, М, для которых М= А © Bs = А © В2.
Ь) Указать пример, модуля М, который непрост и в котором для каждого
подмодуля А С, М существует единственный подмодуль В с, М, такой что
11. Пусть А" —конечное множество, X = {х, „., х„\, и R := Rx — множество
всех отображений /: X -*¦ R (где R —поле вещественных чисел). Показать, что
a) R — коммутативное кольцо при следующем определении операций:
(f.geS, i=l «);
b) # —кольцо главных идеалов;
c) каждый идеал есть пересечение максимальных идеалов, и пересечение
чсех максимальных идеалов равно 0;
а) каждый идеал есть прямое слагаемое;
е) R — прямая сумма простых идеалов.
12. Пусть {At 11 s= /} — некоторое множество подмодулей модуля М и ВС,М.
Показать что
а) 2 (А,Г\В)С>B А,\(\В;
ll W/ /
b)
Ue/
с) Дать пример, когда
d) Дать пример когда
f [) Аг\ + ВФ Г| (At + B).

Упражнения t 46
13. Определение. Кольцо R называется регулярным (в смысле фон Ней-
Неймана), если W s= R~3r' s= R [г г'г —г].
Показать, что следующие условия эквивалентны:
A) R регулярно;
B) каждый циклический правый идеал в R является прямым слагаемым в RR;
C) каждый циклический левый идеал в R является прямым слагаемым в RR;
D) каждый конечно-порожденный правый идеал в R является прямым слагае-
слагаемым в RR;
E) каждый конечно-порожденный левый идеал в R является прямым слагав-
R1

3. Гомоморфизмы модулей и колец
3.1. Определения и некоторые простые свойства
Отображения модулей, сохраняющие структуру, называются
гомоморфизмами. Они определяются так же, как и линейные
отображения векторных пространств.
3.1.1. Определение. Пусть Аи В— правые R-модули, соотв.
левые S-модули, S-R-бимодули. Гомоморфизм а из А в В —
это отображение
а: А-+В,
для которого
A) Vab а2 ев A Vrb r2 ев R\a(alri + a.2r2) = a(a:) гг + а(а2)г2],
соотв.
B) Vtfi, а2 <= A Vsb so ев S fa (s^ + s2a2) = Sja (at) + s2a (a2)],
C) Vfli, a2 e Л Vsi, s2 e S Vr^ r2 e /? [a (sxa^i 4-s2a2/-2)
= Syo. (ал) i
Запись
озчачает, что А и В —правые ^-модули и а —гомоморфизм. Ана-
Аналогично записываются гомоморфизмы левых модулей и бимодулей.
Для того чтобы указать кольцо или „сторону", в случае а: Л#->
->/?я говорят об R-модульном гомоморфизме или гомоморфизме
правых модулей. Вместо а (а) для образа яё/! при гомоморфизме a
мы будем писать также просто аа. В случае a: sA->s& образ а
при гомоморфизме а обозначается через аа; при этом равенство B)
принимает вид:
(Siai + s2a-2) a = st (a-ia + s2 (a2a).
Таким образом, гомоморфизм и умножение на элементы кольца
записываются с противоположных сторон. Если нужно откло-
отклониться от такой системы записи, то мы это особо оговариваем.
Для обозначения соответствия элементов при отображении
а: А-+В обычно применяется символ а>—*а(а); мы объединяем
а: Л->В и ai—*-а(а) в запись
а: А э а \—*¦ а (а) е В,
которая уже использовалась в гл. 1.

3.1. Определения и некоторые простые свойства 47
Для гомоморфизмов употребляются также следующие обще-
общепринятые для отображений понятия:
область определения a = dom(a) :== Л;
область значений а = ran (a) :— В;
образ а = im (а) ; = {а (а)! а е А};
а— интекцияо Vab а% ^ А [а (а^ = а (а.2) =$ cti = аг]
(т. е. а взаимно-однозначно);
a — сюръекция о im (a) = ran (a)
(т. е. а—отображение „на");
а—биекция<> а —инъекция Да —сюръекция.
В дальнейшем, если мы говорим о гомоморфизмах модулей без
указания „стороны", то речь идет о понятиях и утверждениях,
которые относятся к односторонним модулям. Рассуждения про-
проводятся только для правых модулей; ясно, что всё, имеющее
место для правых модулей, соответственно справедливо и для
левых. Большинство фактов верно также и для бимодулей, однако
дальше нам это не понадобится."
Рассмотрим теперь три простых примера.
Примеры гомоморфизмов. 1. Нулевой гомоморфизм из А
в В:
0: Дэа>-*0еВ.
2. Тождественная инъекция = вложение (включение) 'подмодуля
А С, В:
i: Л э а>—*а е В.
3. Естественный (канонический) гомоморфизм модуля А на фак-
тормодуль А /С, где С С Л:
v: /1эа^й + Се А'С.
В примерах 1 и 2 очевидно, что мы имеем дело действительно
с гомоморфизмами; для v это следует сразу из определения
модуля А/С:
v (avrx -f a-fi) = (tt/i + агг.г) -\- С = (я,г, -f С) + (агг2 -f С)
= (а, -!- С) гх + (а* + С) r2 = v (a,) r L + v (a2) r2.
В дальнейшем гомоморфизмы 0, i, v всегда имеют указанный
смысл; иногда при них могут стоять индексы, указывающие
область определения или область значений. Тождественное ото-
отображение модуля А — частный случай включения — обозначается
символом 1д.
Если а и р — гомоморфизмы, для которых ran (a) = dom (f5),
скажем ¦'/: Д->?, р: В-^С, то результат последовательного выпол-

48 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
нения отображений аир, обозначаемый через |3а, очевидно,
является гомоморфизмом из А в С. Для а е А имеем фа) а —
= Р(а(а)).
Легко видеть, что отображение а: А -> В будет биекцией тогда
и только тогда, когда существует (однозначно определенное)
обратное отображение а-1: В-> А, для которого а~1а= 1^, ajarl-=
= 1Й. Если а —биективный гомоморфизм, то а~1 также гомомор-
гомоморфизм. Действительно, пусть bl = <x(a1), Ь2 = a (<h) — произвольные
элементы из В и ru г, ей. Тогда
or1 (Vi -\- Va) = а-1 (а (аг) гг + а
aj2)) = alr1
Ниже всюду а: А -> В — гомоморфизм.
Для U а А, V с В положим
a{U) : =
a-J(K):={« a^A/\a(a)^V}.
Заметим, что само a-1 определено, лишь когда гомоморфизм а
биективен.
3.1.2. Лемма. A) U С А => a (U) С 5.
B) К CB^a-'WQ .4.
Доказательство. A) Пусть иъ u2^U. Тогда а(иг),
поскольку uxrt -f «2^2 s ?Л
B) Пусть Д|, агеа-^К). Тогда a(ai), a(a2) е К Д/-j, r2s
e/?=>a(airi+ay's) =a(^i) /"i +a(a2) r2eK=>ajru + a2rsea~1 (У). ?
3.1.3. Определение.
Ядро а = ker (a)
образ a--im(a)
коядро a = coker (a)
ко об раз a = coim(a)
Образ im (a) уже был определен нами раньше. На основа-
основании 3.1.2 мы знаем, что ker (a) и im (a) — подмодули, поэтому
определение коядра и кообраза имеет смысл.
Для категории o?R правых ^-модулей, введенной нами в 1.2.5
(заметим, что все модули теперь унитарны), мы используем все
понятия и обозначения, введенные в гл. 1. В частности, мы хотим
сейчас охарактеризовать с помощью понятий из 1.1.3 инъектив-
ные, сюръективные и биективные гомоморфизмы. Прежде всего
напомним эти понятия для категории a?R.
= ran (oc)/im (a) = В/а(А),
=-¦ dom (a)/ker (a) = А/а'1 @).

3.1. Определения и некоторые простые свойства 49
3.1.4. Определение. Гомоморфизма: AR-^BR называется моно-
мономорфизмом, если
o?RVyu y2<=HomR(C,
э п им орфизмом, если
VC е= e*k Vpb $2<=HomR(B,
биморфизмом, если
а — эпиморфизм Д а — мономорфизм;
изоморфизмом, если
Эа'<=НогПя(В, А)[а'а=\А[\аа' = \в\
3.1.5. Лемма. Пусть а: А ->- В — гомоморфизм. Тогда
A) а — инъекция <=> а — мономорфизм;
B) а —сюръекцияо а —эпиморфизм;
C) а — биекция <=> а — биморфизм <=> a — изоморфизм.
Доказательство. A) „=>": Пусть aYi=aY2> гДе Y, Уге
eHoms(C, Л). Предположение, что Yi#Y*. =^Эсе C[yi (с) Ф
ф 7г (с)] =>a (Yi (с)) Фа (уг (с)) => aYi # aY-2 ^ • Итак, должно выпол-
выполняться равенство Vi = Тэ-
A) „<=": a (at) = а (а2) =j> a (a^) - a (a2) = a (at — а2) = 0.
Если
Yi = i: (аг — аг) R э (аг — а2)г>—* (аг —а2)г^ А,
Y2 — 0: (ах — аг) R э (at — a2) r»—* 0' е А,
то yi, Y2 ^ Hom^ ((a, — a2) R, А) и имеют место равенства
a (Yi ((«i - «г) /")) = a ((Oi - яг) О = «(«i - я*) г = 0,
a(Y!i((O|-fl2)r))=a@) = 0t т. е. aYi=«Y2-
Тогда из предположения следует, что у, =y-2=> Yi («i — яг)
= at — a2 = Ys («i — «г) = 0 => at = аг.
B) „=j>": Пусть Pja = p2a, где p,,.4J2e Hom/^B, С). Предпо-
Предположение, что Pi Ф р2, =^ 3b e В [Pj F) =^ Рг F)]. Так как а сюръ-
ективен, то существует такой элемент йе/1, что a(a) = b=^
=>p]a(a) = p1(b)^p2(b) = p2a(a5=i>Pia^P2a ^. Итак, рх = р2.
B) „<=": Если
Pi = v: B->B/\m(a),
р2 = 0: B->B/im(a),
то Pi, р2 е Нот,? (S, B/im(a)) и р1ос = р2а = 0. Тогда из предпо-
предположения следует рх = р2, т. е. В = im (a) и, значит, а сюръективен.

50 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
C) Эквивалентность „а — биекция <=> а — биморфизм" следует
из A) и B). Далее, ясно, что каждая биекция является изомор-
изоморфизмом, поскольку для всякой биекции а, как уже было пока-
показано раньше, а-1 является гомоморфизмом. Обратно, если а—изо-
а—изоморфизм, то из аа' = 1в следует, что а инъективен, а 'из а'а =
= 1,4.— что а сюръективен. (Очевидно, что тогда а-1 = а'.) rj
3.1.6. Лемма. Пусть а: Л->В и р: В -> С — гомоморфизмы.
Тогда:
A) а, р — мономорфизмы =$$а — мономорфизм',
а, $ —эпиморфизмы => Ра — эпиморфизм;
B) |3а — мономорфизм => « — мономорфизм;
ра —эпиморфизм =е>р —эпиморфизм.
Доказательство. A) Пусть Yi. V2 е Нот/?(/И, А). Поскольку р
н а—мономорфизмы, то fiaYi = $аЪ =$аУ\ =^У-г =>У\ — у>- Таким
образом, (?а —мономорфизм. Для эпиморфизмов доказательство
проводится аналогично.
B) Пусть сновя 7i' у*^Нотк(М, А). Тогда, поскольку Ра—
мономорфизм, то avL = ау-2 =J> pay] = Рау2 =J> Vi = V2- Таким обра-
образом, а — мономорфизм. Для эпиморфизмов доказательство анало-
аналогично. ?
3.1.7. Определение. Два модуля А и В называются изоморф-
изоморфными (запись: А^В), если существует изоморфизм а: А-+В.
Замечание. В классе всех правых /^-модулей отношением
является отношением эквивалентности.
Доказательство. A) Так как \А — изоморфизм, то А м Л.
B) Если а: А -*¦ В - изоморс} из м, то а-1: 5->Л —также изомор-
изоморфизм, т. е. из А~В следует В^А.
C) Если а: Л^-В, р: В ->-С — изоморфизмы, то ра —также
изоморфизм, потому что аРра=1л и раа-'р-1 = ]с, т. е. из
Л = В и В^С следует А = С.
3.1.8. Лемма. Пусть а: Л->В —гомоморфизм. Тогда:
A) а — мономорфизм <=> ker (а) = 0.
B) U С Л => а-1 (а (U)) = U + ker (а).
C) V <ZB=$a(a-l(V)) = V0 im(a).
D) ?слн Р: В ->- С — также гомоморфизм, то ker (Pa) = a-1 (ker (P))
/\p P(i
Доказательство. A) „=>": а — мономорфизм => а — инъекция
(согласно 3.1.5) => ker (a) = 0 (поскольку а@)==0).
A) „<=": a (aL) = a (о4) => a (aL — дг) = 0 => а, — а2 е ker (aj =
0 ~ инъекция => а — мономорфизм (согласно 3.1.5).

8.1. Определения и некоторые простые свойства 61
B) „а-1 (а (?/)) Q U + ker (а)": а ев а-1 (а (U)) ^а(и)еа (?/) =>
г>ЗиеУ[а (а) =а (н)] => а (а — «) = 0 => а — « е ker (а) =>'а е ?/+
-)- ker (а).
B) ,.U + ker (а) Q a'1 (а (?/))": u^U, k е= ker (а) => а +
= = а(м) + а(&) — а (и) + 0 = а(«) еа(?/) => и + ? ев а (а (?/)).
C) Упражнение для читателя.
D) а ев ker фа) о Ра (а) = 0 о а (о) ев ker (f) <? й ё
а J (ker (Р)); im (ра) = р» (Л) = р.(а (Л)) = р (im (а)). п
Из этой леммы непосредственно следует, что если U Q Л и
а: .4 -> В — мономорфизм, то f/ = a-1 (a (U)), т. е. каждый под-
подмодуль U из Л представим в виде а-1 (К), где V Q б (полагаем
V= a(?/)). Далее, если К Q В и. а: Л->-В —эпиморфизм, то
V =а(а-1 (К)), т. е. каждый подмодуль К из В представим в виде
a(U), где f/Q Л (полагаем U = -l(V)).
Оба эти факта дальше используются без особых ссылок.
3.1.9. Следствие. Если диаграмма
А
Ч Iй
С т >D
о
коммутативна, т. е. pa = Ьу, и если у — эпиморфизм, а р — моно-
мономорфизм, то
im (a) = p-1 (im (б)), ker (б) = у (ker (a)).
Доказательство. Поскольку р — мономорфизм, то, в силу
3.1.8, im (а)=§-1 ф (im (a))) =} ' im (a)=p-! (im (Pa))=p-» (im F7)) =
= P(imF)), так как у — эпиморфизм. Далее, поскольку у —эпи-
—эпиморфизм, . то, в силу 3.1.8, ker (б) = у (у-1 (ker (б))) ==> ker (б) =
-Y (кег Fv)) (в силу 3.1.8) => ker (б) = v(ker (Pa)) = 7 (ker («)). так
как Р — мономорфизм. rj
Теперь перейдем к вопросу о,том, как ведут себя суммы и
пересечения подмодулей при гомоморфизмах и взятии прообразов
(в связи с этим см. также упр. 1).
3.1.10. Лемма. Пусть даны гомоморфизм а: А->В, некоторое
множество ]Д-'/е/| подмодулей Ai Q А и некоторое множество
1 Для краткости автор часто, допуская некоторую вольность, использует
символ „;=?" просто как замену слов „откуда следует, что".—Прим. ред.

52 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
{б,-|ге/} подмодулей BiQB. Тогда:
(а) а( % А,)= ^ Ш. отЧ(] в') = П «"W
\/ / / \/ У
(b) а-^2 В<)^ 2 а-1№), a/f| ЛЛ С f| а
\/е/ / «е/ \«<=/ / lei
(c) Далее, если Bt q. im (а) 5ля всех ie/, mo
lie/ / / e /
а если ker (а) С Л,- для всех i e /, то
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) проверяются без
труда, сделать это предоставляется читателю в качестве упражне-
упражнения. Докажем (с).
Учитывая (а) и 3.1.8, получаем
2 Bt) = а-1 ( 2 E, П im («))\ = а--1
t<=i / \ie/ /
/ 2 а-1 (Я,-Я = f Ц а-1 E,)\ + ker (a) = 2 «'х (В,),
<е/ J \tsi I (ml
а также
a
f| Аf) ( ())f|
ie/ У lie/ У lie!
= aa-1 / f| a, (Л,)\ = f f| a (^'>1 П im («) = f| a М-
\/ У \</ У /
«е/
3.1.11. Следствие. Пусть UrqMr. Тогда M/U конечно-копо-
рожден (см. 2.3.14) ¦е» в каждом множестве {/4,-|?е/} подмодулей
At Q. М, удовлетворяющем условию
П
lei
существует конечное подмножество {А; 11 е /0} (/и. б. /0 конечно),
такое что
П ^=^-
f/
Доказательство. „=>": Обозначим через v: УИ -v Myf/ естествен-
естественный эпиморфизм. В силу равенства f] Ai = V имеем V—ker (v)q.
/
IS/

3.1. Определения и некоторые простые свойства ' 53
Q/4/, так что можно применить 3.1.10 (с), а потому
Л v (Аг) = v / f| А,\ = v (U) = 0 Q M/U.
ie/ lie/ /
По предположению существует такое конечное подмножество
/о с: /, что
Тогда, согласно 3.1.10 (а),
v-i@)=y = v-i/ f| v(A-)W f| v-ivM,.)= П ( П
U e /o / i e /o / e /0 i'e/o
„?=": Пусть теперь {Лг |/ е /} — некоторое множество подмо-
подмодулей Л, С M/f/, удовлетворяющее условию
Тогда, в силу 3.1.10 (а),
is/ / ie/
По предположению существует такое конечное подмножество
/о с: /, что
l
Учитывая, что t/ = ker(v) Q v-^A,-), на основании 3.1.10 (с) полу-
получаем
v(f| v-i(A()\= П vv-1(Ai)= П (Л,-П ™ (v)) =
\<J / ti 1
П
= f| A, = v(t/) = 0.
7
Решеткой, соотв. полной решеткой, называется упорядоченное
множество, в котором каждое двухэлементное подмножество,
соотв. каждое подмножество, имеет точную нижнюю и точную
верхнюю грань. Множество всех подмодулей произвольного модуля
есть полная решетка с отношением порядка Q. При этом точная
нижняя грань есть пересечение подмодулей, а точная верхняя
грань —сумма подмодулей.
Для данного модуля AR обозначим через Lat(А) решетку
подмодулей модуля А. Пусть дан гомоморфизма: Л-vL Положим
C:=ker(a), N :—\т{а). Рассмотрим подрешетку
Lat (Л, C):=\U\CaUdA\

>4 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
решетки Lat (А) и подрешетку
Lat(L, N): = {V\VGN\ (= Lat
решетки Lat (L). При наших обозначениях справедлива следующая
лемма.
3.1.12. Лемма. Правилом
a: Lat (А, С)э(/н^а ((/) <= Lat (L, N)
задается биекция, для которой
A) a(Ul + U2) = d(U U
B) a (t/x П */8) = а (?
3/но означает, что а является решеточным изоморфизмом между
Lat(dom(a), кег(а)) и Lat (ran (а)^ im (а)) = Lat (im(a)).
Доказательство. Мы воспользуемся 3.1.8.
«а —инъекция»: Пусть a(U}) = a(U2), где Uu U2^Lat(A, С).
Тогда a-1(a(t/I)) = f/1 + ker(a) = a-1(a(y2)) = ^2 + ker(a). В силу
того что ker (а) = С Q. ?/,- (I = 1, 2), имеем (/,=f/2.
«а —сюръекция». Если Vc/V = im(a), то а-1 1
С A /\a(ori(V)) = V{\N = V, т. е. 4
A) a(f/1 + f/2) = a(f/1 + i/a)^a(f)() () + ()
B) Очевидно, что a(Ul[\U2) c^d(U^){\ d(U,_). Пусть теперь
л;ё «(f/i) Ла(^г). т. е. л: = а(и,) = а(и2), где u^^Ui, иг^(]2.
Тогда a(«! —и2) = 0=> «х — и2 = се ker(a) = С=> «1 = «2 + с. По-
Поскольку С Q.U2, имеем нх = и2 + с е f/x fl f/2 => л: = a («x) e
a (f/, П Ut) => d.(f/x) fl a (f/t) С «(f/i Л Ut). П
3.1.13. Следствие. Если С Q. А и v: Л -v Л/С — естественный
гомоморфизм, то отображение
v: Lat (Л, С) э?/н* v (U) e Lat (Л/С)
является решеточным изоморфизмом.
3.1.14. Следствие. Подмодуль СсЛ максимален <=> фактор-
модуль А/С прост.
В качестве упражнения читателю предлагается дать новое и
полное доказательство теоремы 2.5.6.
3.2. Гомоморфизмы колец
Сделаем теперь несколько замечаний о кольцевых гомомор-
гомоморфизмах.
3.2.1. Определение. Пусть R и S —кольца. Кольцевым
гомоморфизмом из R в S называется отображение

3.2. Гомоморфизмы колец 55
такое что для всех г,, г2е=/?
Гомоморфизм р называется унитарным, если R и S —кольца
с единицей (как здесь всегда предполагается) и р отображает
единиц// кольца R в единицу кольца S.
Для категории колец мы тоже используем понятия, введенные
в 1.1.3.
3.2.2. Лемма. Если р: R->- 5 — кольцевой гомоморфизм, то
A) р — инъекция => р — мономорфизм',
B) р — сюръекция => р — эпиморфизм;
C) р — биекция <=> р — изоморфизм => р — биморфизм.
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.5. ?
Стоит заметить, что для A) верно и обратное утверждение,
обращения же импликаций B) и C), вообще говоря, не имеют
места (см. упражнения). В этом отличие категории колец от
категории модулей.
Два кольца R и S называются изоморфными (запись: R^S),
если существует изоморфизм R на S. Очевидно, что ^ есть
отношение эквивалентности в классе всех колец. Изоморфизм R
на R называется автоморфизмом.
Как и для модулей, имеются кольцевые гомоморфизмы i и v,
а также и 0, если ввести в рассмотрение и нулевое кольцо.
Если С —двусторонний идеал кольца R, то v определяется так:
v: R^>r>-*
где R/C — кольцо вычетов (см. 2.5.2).
Далее, ясно, что образ (унитарного) подкольца при (унитарном)
кольцевом гомоморфизме р является (унитарным) подкольцом
в ran (р). В частности, im (р) — подкольцо (унитарное) в гап(р).
В большинстве случаев важны не просто подкольца, а идеалы.
В связи с этим докажем следующую лемму.
3.2.3. Лемма. Если р: R-^ S — кольцевой, гомоморфизм и V —
двусторонний идсаи в S, то р-1 (У) — двусторонний идеал в R.
Доказательство. Пусть ии u2^p'y(V) и r^R. Тогда
Р («1 + иг) = р (их) + р (и2) EF^tt. + ajep-1 (V); р («!/¦) = р (ai) X
Хр (r)EF=) uxr e рл (V) и аналогично гих е= р-1 (V) е= р~х (У)=>
=>p~l(V) — двусторонний идеал в R. rj
Из этой леммы вытекает, что кег(р) —двусторонний идеал в R.
Поэтому существует кольцо вычетов R/ker(p). В частности, для v:
R-+R/C имеем ker(v) = C.

56 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
Покажем, что для каждого унитарного кольцевого гомомор-
гомоморфизма
р: R + S
существует функтор (см. 1.3)
Для этого каждому модулю Ms поставим в соответствие модуль MR
следующим образом: аддитивная группа М+ для MR остается
той же, что и для Ms, а /^-модульная структура вводится так:
тг : = тр (г), т е М+, г е R.
Нетрудно проверить, что MR действительно является унитарным
/^-модулем.
Пусть теперь
ф: Ms^-Ns.
Тогда, очевидно,
ф (тг) = ф (тр (г)) = Ф (т) р (г) = ф (т) г,
т. е. каждый 5-гомоморфизм является и /^-гомоморфизмом. Чтобы
убедиться, что Fp, где FP(MS) = MR, Fp (ф) = ф, — действительно
функтор, остается только заметить, что
Fp(\ms)= \mr, Fp(№) = tyq> = Fp(ty)-Fp((().
В англоязычной литературе функтор Fp называется обычно
change of rings (замена колец).
Из того факта, что каждый S-гомоморфизм является ^-гомо-
^-гомоморфизмом, вытекает, что Homs(M, N) Q HomR(M, N). Если р
сюръективен, то имеет место даже равенство Homs(Af, N) =
= Homw(M, N). Очевидно, что 5-подмодули в Ms будут также
и /^-подмодулями. В случае когда р сюръективен, 5-подмодули
совпадают с R-подмодулями.
Примеры кольцевых гомоморфизмов. 1. Как уже отмечалось,
если R — унитарное подкольцо в S, то тождественное вложение
р = i является кольцевым гомоморфизмом.
2. Для каждого кольца 5 с единицей 1 имеется кольцевой гомо*
морфизм
р: Zbzh-*z\ eS.
Соответствующий функтор Fp —это просто забывающий функтор
из <Л$ в категорию абелевых групп.
3. Пусть С — двусторонний идеал кольца R и
v: R-+R/C

3.3. Образующие и кообразующие 57
— естественный эпиморфизм. Тогда любой /?/С-модуль является
^-модулем и для Мщс, Nщс имеет место равенство
HomR/c(M, Ar) =
3.3. Образующие и кообразующие
Образующие и кообразующие — категорные понятия, играющие
важную роль в современной теории модулей, а также и в других
категориях. Мы дадим здесь определения и некоторые простые
следствия из них. Позже мы неоднократно будем возвращаться
к этим понятиям.
3.3.1. Определение, (а) Модуль BR называется образующим
(для <MR), если
I
J
ю
J
[ ф<=Нотд(В, М)
(Ь) Модуль CR называется /сообразующим (для <MR), если
ker (ф
, С)
Для произвольных модулей В, М
\т(В, М):= 2 |т(ф)
(j)SHom^(B, М)
является подмодулем в М как сумма подмодулей в М. Свойство
модуля В быть образующим означает, что для каждого М модуль
im (В, М) велик настолько, насколько это только возможно,
т. е. равен М.
Для произвольных модулей С и М
ker(M, C):= f| ker(cp)
H(, С)
есть подмодуль в М как пересечение подмодулей в М. Свойство
модуля С быть кообразующим означает, что ker (Л1, С) для
каждого модуля М мал настолько, насколько это только воз-
возможно, т. е. равен 0.
Приведем сразу пример образующего для <MR\ модуль RR
является образующим. Действительно, если т е М, то существует
гомоморфизм
срт: R3r>—*mr^M,
для которого фшA) — т\ —т. Отсюда следует, что
М= JJ \m(ym)C>\m(R, M)Q.M.
тем

58 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
Таким образом, \m(R, M) = M.
Для a?R существуют также и кообразующие, но примеры их
приведем позже, когда в нашем распоряжении будут инъективные
модули.
3.3.2. Следствие, (а) Если В — образующий и А —такой модуль,
что \т(А, В) = В, то А —также образующий.
(b) Каждый модуль, эпиморфно отображающийся на RR, является
образующим.
(c) Если С — кпобразующий и D —такой модуль, что ker(C, D)=0,
то D — также кообразующий.
Доказательство, (а) Очевидно, что
, В) ф,.
, М)
ф ф
(b) Это утверждение следует из (а), так как ^ — образующий.
(c) Очевидно, что
П кег(^ф) = f| ф-i (кег Ш = П qWf| ker ®)\=
, С) ф, ф ф \ф I
C, D)
= р|ф-1(О) = р|кег(ф) = 0- ?
ф ¦ ф
Образующие и кообразующие можно охарактеризовать с по-
помощью свойств гомоморфизмов следующим образом.
3.3.3. Теорема, (а) В — образующий <=>
VliHomR(M, N), ц^О, 3ye=HomR(B,
(Ь) С — кообразующий e=s>
(L, М),
Доказательство, (а) «=>»: Поскольку (i.^0, существует
т е М, для которого \\.{т)Ф0. Так как В— образующий, то
найдется представление т в виде
к
т = 2 Ф'- (*/)• Ф*
«=--1
откуда вытекает, что
1 — 1
и, следовательно, существует гомоморфизм ф,-, для которого

3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение 59
(a) «с=»: Допустим противное, т. е. что imE, М)ФМ, и
пусть
v: M-+Mfim{B, M)
— естественный эпиморфизм. Поскольку v=/=0, существует фе
еНот/?E, "М), такой чтоуф#0. Следовательно, im((p)<?im(fi, M),
что противоречит определению im (В, М).
(b) «=>»: Так как кфО, существует элемент ieL, такой что
КA)Ф0. Так как С — кообразующий, то найдется гомоморфизм
феНот;?(М, С), для которого Я(/)^кег(ф). Поэтому фЯ(/)#0,
т. е. (р-Х^О.
(b) «<=»: Предположим противное, т. е. что кег(М, С)Ф0.
Пусть
i: кег(М, С)-*М
— тождественное вложение. Поскольку i#0, найдется гомомор-
гомоморфизм fpeHom;?(M, С), такой что ф1#0. Следовательно,
кег(УИ, С) ф. кег(ф), вопреки определению кег(М, С). ?
3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение
Зачастую полезно представить данный гомоморфизм в виде
произведения двух гомоморфизмов, причем по крайней мере один
из них, а то и оба обладают некими «полезными» свойствами.
Первый и очень важный пример такого разложения —теорема
о гомоморфизмах.
3.4.1. Теорема о гомоморфизмах* (а) Каждый модульный
гомоморфизм
а: А^-В
обладает разложением a = a'v, где
v: Л->-Л/кег(а)
—¦естественный эпиморфизм (см. 3.1), а а' — мономорфизм, опре-
определяемый следующим образом
а': Л/кег (а)эй + кег (a) i—> a (a) s В.
Мономорфизм а' является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда а — эпиморфизм.
(Ь) Каждый кольцевой гомоморфизм
р: R^S
обладает разложением р = p'v, где
v: R -> R/ker (p)

60 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
— естественный эпиморфизм, ар' — мономорфизм, определяемый
следующим образом:
р': R/ker (р) =э г + кег (р) ь-* р (г) <= S.
Мономорфизм р' является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда р сюръективен.
Замечание. Равенство a = a'v эквивалентно коммутативности
диаграммы
Л/кег(«)
(и аналогично для равенства p = p'v).
Доказательство. Достаточно провести доказательство для (а),
потому что для (Ь) оно проходит аналогично.
Прежде всего покажем, что а' отображение. Действительно,
а + ker (a) = а^ + кег (а) => аг = а + и, ме кег (а)=> a' (at + кег (а))=
= a(a1) — a(a + u) = a(a)-\-a(u) = a(a)=a'(a + ker(a)). Ясно, что
а' — гомоморфизм. Далее, проверим, что а' — мономорфизм. Имеем
(с учетом 3.1.8) а'(a1 + ker(tt)) = a(al) = O=>a1&ker(a)=эaJ-\-
+ кег (а) = 0 + кег (а) => кег (а') = 0.
Пусть теперь а е А — произвольный элемент. Тогда
a' (v (а)) = а' (я + кег (а)) = а (а) => а = a'v.
Из того что а' — мономорфизм и im (a') = im (а), вытекает, что а'
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда а —эпи-
—эпиморфизм. D
3.4.2. Следствие, (а) Если а: А-*-В — модульный гомоморфизм,
то
а: А/кег(а)з a-{-ker (a)y-+a(a)
является изоморфизмом. Таким образом,
А/кет (a) ^ im (a).
(Ь) Если р : R -*- S — кольцевой гомоморфизм, то
р: R/ker (р) э г + кег (р) >-*¦ р (г) <= im (p)
является изоморфизмом. Таким образом,
R/ker (p) ?ё im (p) (как кольца).

3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение 61
Доказательство, (а) а получается из а' ограничением
с ran (a') = ran (а) на im(a).
(b) Доказательство аналогично. ?
Поскольку для последующих рассуждений того, что мы уже
знаем о кольцевых гомоморфизмах, будет достаточно, далее мы
ограничимся только модульными гомоморфизмами.
Итак, ниже мы рассматриваем модули А, В, С, ... (правые,
левые или бимодули) и все гомоморфизмы из некоторой катего-
категории модулей.
3.4.3. Первая теорема об изоморфизме. Если В q A/\CqA,
то
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизмы
v: B + C
с ker(v) = C и
Применяем 3.4.2:
(В + С)/С д* im (v) = v (В + С) = v (В) + v (С) = v(?),
В/(В П С) ^ im (a) = а (В) = v (В) =>
(В + С)/С ^В1(В ПС). П
Эту теорему можно доказать и без использования 3.4.2, непо-
непосредственно проверив, что отображение
¦В/{В П С) э b+JLB f}C)_^+b + Ce=(B + С)/С
— изоморфизм. Провести такую проверку предоставляется чита-
читателю в качестве упражнения.
3.4.4. Следствие. A = B®C=s> A/Cg^B.
Доказательство. А/С = (B + C)/Cg*B/(B(}C) = B/0g*B. q
Приведем здесь еще одно следствие — лемму Цассенхауза, суще-
существенно используемую в следующем пункте. Эта лемма показы-
показывает, что в некоторых случаях для использования первой тео-
теоремы об изоморфизме необходимо провести некоторые преобразо-
преобразования.
3.4.5. Если U' Q.Uq.A/\V QVQ А, то
(V + (U f]V))/(U' + (U [\V'))^(V + (U (]V))/(V + (U' []V)).
Доказательство. Покажем, что левая сторона изоморфна

62 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
Поскольку это выражение симметрично относительно U и V, то
правая сторона также ему иЗоморфиа, откуда и следует наше
утверждение. Поскольку U[\V Q.U(]V, имеем
Далее, в силу закона модулярности B.3.15)
По первой теореме об изоморфизме
) + (V + (U f\V')))/(U' + (U f\V'))
]V) + (Uf]V')). О
3.4.6. Вторая теорема об изоморфизме. Если С а В с, А,
то
Доказательство. Пусть
v^ А-у А/С,
v2: А/С-+(Л/С)/(В/С);
v2 имеет смысл, так как из С Q, В Q. А вытекает, что В/С — под-
подмодуль в А/С. Поскольку vx и v2 —эпиморфизмы, то v2Vi —эпи-
—эпиморфизм C.1.6). Применив 3.4.2, получим
При этом, согласно 3.1.8,
ker (V.V,) = vl1 (ker (v,)) = vr1 (В/С) = vj1 (v, (В)) -
откуда и следует доказываемое утверждение.
Пример. Z/3Z^(Z/6Z)/CZ/6Z).
Укажем, наконец, результат, который можно рассматривать
как обобщение теоремы о гомоморфизмах 3.4.1.
3.4.7. Теорема. Пусть а: А->В —гомоморфизм и q>: A-+-C —
эпиморфизм, причем ker (ф) Q ker (а). Тогда существует гомомор-
гомоморфизм Я: С-+-В, такой что
A) а = Я(р;
B) im(X) = im(a);
C) X — мономорфизм <=> ker (cp) = ker (a).

3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение 63
Замечание. Равенство A) означает коммутативность диаграммы
• А ^—>В
/
С
Доказательство. Поскольку ф —эпиморфизм, то для произ-
произвольного с^С существует такое аеД что ф(а) = с. Если для
каждого с^С выбрать такое асеЛ, что (р(ас) = с (здесь мы
пользуемся аксиомой выбора), то правило
Я(с):=а(ас)
определяет отображение Я: С-+В, Чтобы показать, что Я—гомо-
Я—гомоморфизм, надо убедиться, что Я не зависит от выбора ас и
q>(ac) = c. Действительно, пусть с = ц> (а) = ф (ас), где а,ас^А.
Тогда ф (а — ас) = 0 г=> а — ас е кег (ф) с кег (а) (по предположе-
предположению) =э а (л — ас) = 0 =$ а (а) = а (аг) = Я (с). Отсюда сразу следует,
что Я является гомоморфизмом. В самом деле, пусть С1==ф(а!),
сг = ф(аа), где аи а2<= А и гъ r2^R. Тогда
Ф (fli^i + а2гг) = ф (аг) гл -\г ф (о2) г2 = слгг + сггг
=> Я (с,г, + с2гг) = а (а1г1 + аггг) = а (а^ /-j -f а (аг) г2
= Я(с,)г1 + Я(сг)гг.
Утверждения A) и B) непосредственно получаются из определе-
определения Я. Докажем C). Допустим вначале, что Я является мономор-
мономорфизмом. По' предположению кег (ф) С кег (а), поэтому достаточно
установить обратое включение ker (a) Q кег (ф). Пусть а е кег (а).
Тогда из 0 == а (а) = Я (ф (а)) вытекает, что ф (а) = 0, следовательно,
аекег(ф). Теперь предположим, что кег (ф) = кег (а). Тогда из
равенств Я(с) = 0 и с = ф(а) вытекает, что а(а) = О. Таким обра-
образом, а е ker (а) = ker (qj) и,'следовательно, с = ф(а) = 0. ?
Укажем два частных случая теоремы 3.4.7.
1. Пусть а: А-+В, A' Q ker (а), С = А/А', ф = v. Л-
Тогда диаграмма
/А.
A/A
коммутативна, причем %(а-\- А') = а(а). Для Л'= кег (а) это сов-
совпадает с теоремой о гомоморфизмах 3.4.1.

64- Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
2. Если A" G A' Q. A, a = v': A-+А/А',С = А/А", cp = v': A-+A/A",
то диаграмма
И/Л"
коммутативна, причем Х(а + А") = а-\- А'.
Пусть теперь для данного гомоморфизма X дано разложение
его в произведение X = 0а:
Возникает вопрос о связи между свойствами X и свойствами
такого разложения.
Напомним вначале определение (внутренней) прямой суммы
B.4), на этот раз для случая ' всего лишь двух слагаемых.
В этом случае
3.4.8. Определение. A) Подмодуль B0Q.B называется прямым
слагаемым в В, если существует подмодуль BtQ.B, такой
что В = В0®Bv
B) Мономорфизм а: А-*-В называется расщепляющим, если
im (а) — прямое слагаемое в В.
C) Эпиморфизм р: В-*-С называется расщепляю щим, если
ker (P) — прямое слагаемое в В.
3.4.9. Лемма. Пусть диаграмма

3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение 65
коммутативна, т. е. к=$а. Тогда
A) i
B) i
Доказательство. A) X = pa => im (^) = im (Pa) = p (im (a))
=e>p-1(im(^)) = p-1(P(im(a))) = im(aL-ker(P) (в силу 3.1.8).
B) ker (I) = ker фа) = a-1 (ker (p)) Св силу 3.1.8) =>a(ker (Я,)) =
1(kP) im(a)nker(P) (в силу 3.1.8). ?
3.4.10. Следствие, (а) X — эпиморфизм => im (a) -f ker (P) =
p1M B
p()
(b) Я — мономорфизм => im (a) fl ker (P) = a @) = 0.
(c) К — изоморфизм => im (a) © ker (P) = S.
Доказательство. Это непосредственно следует из 3.4.9. ?
3.4.11. Следствие. A) Для а: А-+В следующие условия экви-
эквивалентны:
(a) a — расщепляющий мономорфизм;
(b) существует такой гомоморфизм Р: В->Л, что Ра=1л.
B) Для р: В-+С следующие условия эквивалентны:
(a) р — расщепляющий эпиморфизм;
(b) существует такой гомоморфизм у: С-+В, что ру=1с.
Доказательство. A) „(a) =>(b)": Пусть В = !т(аHВ! и
л: S-^-im (а)— проекция В на im (a), определяемая так:
n(a(a)Jrb1) := a (a), a(a)eim(a), bi^Bx.
Далее, обозначим через а0 отображение /1эйь-»а(а)е1т(а),
т. е. а0—изоморфизм, получаемый ограничением области значе-
значений мономорфизма а на im(a). Тогда для P:=ao'ix
Pa(a) = ao'ixa(a) = ao1 (a(a)) = a, йе/1.
Следовательно, ра=1д.
A) „(а)<=(Ь)": Так как ра=1д, то а является мономорфиз-
мономорфизмом, и притом, согласно 3.4.10 (с), расщепляющим.
B) „(а)=>(Ь)": Пусть B = ker(P)©B! и иВ^б^беВ-
вложение Bt в В. Обозначая через Pj ограничение р на Въ
получаем, что Pi — изоморфизм (поскольку р —эпиморфизм и
ker(P)flS1 = O). Тогда для -у :== l^T1 имеем
т. е. Py= 1c.
B) „(а)<=(Ь)": Так как Pv = lc» то р является эпиморфизмом,
и притом, согласно 3.4.10 (с), расщепляющим. ?
Отметим особо тот частный случай, когда а —вложение под-
подмодуля А с В и {5: В-*¦ В/А — естественный эпиморфизм.
3 Ф. Каш

66 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
3.5. Теорема Жордана —Гёльдера —Шрайера
Мы будем рассматривать сейчас конечные цепи подмодулей
данного модуля А. Пусть
О = Во G fli Q Ба С,... Q fift_! Q Bk = Л,
О = Со q С, Q Са Q ... Q С,_, Q С, = А.
Обозначим первую из этих цепей через S3, вторую —через W.
Дадим следующее определение.
3.5.1. Определение. A) Длина цепи S3:=k.
B) Факторы цепи qM — это фактормодули Bi/Bt-lt i = 1, ...
..., k\ 1-й фактор а® — это B,/B,-i.
C) Цепи S3 и гё называются изоморфными (запись: sffiz^iZ),
если существует биекция б между множеством индексов I для <?1д
и множеством индексов J для сб, такая, что
В^В^смСш/Сщ-и i=\, 2, ..., k.
D) сё называется уплотнением Si, a Si — подцепью цепи ??,
если либо Si = 'io [тривиальное уплотнение), либо Si получается
из ?> удалением некоторых С,.
E) Цепь SS для А называется композиционным ря-
рядом, если Vt=l, 2, ..., k [fi,-_i максимален в Bt] (<=>Vi = l,
2 k [Bi/Bi-! прост], в силу 3.1.14).
F) Модуль А называется модулем конечной длины, если
A = O\J А обладает композиционным рядом.
Замечание. Если Si^t? и Bt^ B^ для некоторого i, то
существует такое /, что цепи, полученные удалением Bj из S3 и
Cj из W, опять изоморфны.
Доказательство. Прежде всего, В, = В,_! влечет fi(-/fi,-_i = О
и потому Св(/)/СвA-)_1 = 0. Следовательно, CS{i) = C6tn-1. С удале-
удалением Bj, соотв. Св(,-), исчезает лишь фактор В,/В/_] = 0 =
— СвA)/С6(,)_!, а остальные факторы остаются неизменными. ?
В дальнейшем мы будем пользоваться этим замечанием без
особых оговорок. Далее, ясно, что изоморфизм, определенный
в C), является отношением эквивалентности в множестве всех
цепей вида Si для модуля А.
Примеры. 1. Пусть V = Vк — векторное пространство и {xlt ...
¦ ••> х„}~базис для V. Тогда
О С Х,К С ХгК + ХгК G ... Q "fj x,K С J] *Д = К
— композиционный ряд для V-

3.5. Теорема Жордана — Гёльдера — Шрайера * 67
2. Каждая цепь в Zz допускает нетривиальное уплотнение. Пусть
. OQfijQ ...QZ
— цепь с Вг=/=0 (это не приводит к потере общности). Поскольку
Z не содержит простых идеалов, то Вх не может быть простым.
Таким образом, между 0 и В[ можно вставить отличный, от них
идеал. Следовательно, Zz не имеет композиционных рядов.
3. В Qz каждую цепь
с {)фВ1 и Б^-iT^Qz можно уплотнить нетривиальным образом
как между 0 и Въ так и между Bft_! и Qz, поскольку Qz не
содержит ни минимальных, ни максимальных подмодулей.
Поэтому Qz также не обладает композиционным рядом.
Мы докажем сейчас теорему Жордана— Гёльдера —Шрайера.
Важнейшим следствием ее является единственность (с точностью
до изоморфизма) композиционного ряда модуля.
3.5.2. Теорема Жордана — Гёльдера — Шрайера. Любые две
(конечные*.) цепи для данного модуля имеют изоморфные уплот-
уплотнения.
Доказательство. Пусть S3 и ^ — данные конечные цени для
модуля А. Вставим между Bt и Б,+1 (t = 0, ..., k— 1) модули
/ = 0, ...,/,
для которых, очевидно, имеют место соотношения
Bi = Bi0Q. BitlQ. ... С Biti = В,+1.
Аналогично между С/ и С;ц (/ = 0, ..., /—1) вставим модули
Cu = C, + {Chl(\Bt), t = 0, .... k,
для которых также
С/ = Cnj С, Cij С,... С, Ck.j = С/ч-i-
Уплотненные таким образом цепи обозначим через <Ш* и W*.
Они имеют одинаковую длину Ы. Согласно 3.4.5,
fl/.^i/fl/./ = Cmj/Cu (i = 0, ..., k - 1; / = 0, ..., / - 1).
Из того факта, что в этих kl изоморфизмах фигурируют все kl
факторов цепи <?8* и все kl факторов цепи &*, следует, что
Ж^%*. ?
3.5.3. Следствие. Пусть А—модуль конечной длины- Тогда:
A) каждую цепь Уд вида

68 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
можно уплотнить до композиционного ряда;
B) любые два композиционных ряда модуля А изоморфны.
Доказательство. A; По предположению в Л существует ком-
композиционный ряд f. По теореме Жордана — Гёльдера — Шрай-
ера 33 и ?f обладают изоморфными уплотнениями <?73* и W*.
Но ^ как композиционный ряд можно уплотнить только три-
тривиальным образом, поэтому (согласно замечанию после 3.5.1) для
33 существует уплотнение 33°, изоморфное W. Из того что в W
все факторы просты, вытекает, что то же самое верно для всех фак-
факторов цепи 33°. Следовательно, 33° — композиционный ряд.
B) Пусть 33 и ^ — композиционные ряды. Рассматривая,
как и в части A), уплотнение 33° для 33, имеем 33° ^ci. По-
Поскольку <$?° — уплотнение для 33 и оба они —композиционные
ряды, то 33 = 33° и потому 33^%. D
3.5.4. Определение. Пусть А —модуль конечной длины, Дли-
ной А (обозначаемой через Ing (А)) называется длина любого ком-
композиционного ряда для А (все они имеют одинаковую длину).
3.5.5. Следствие. Пусть А СМ. Тогда М — модуль конечной
длины <=> А и Ml A — модули конечной длины. В этом случае
Ing (М) = Ing (A) + Ing (MlA).
Доказательство. Если 0 = Л или А — М, то утверждение
очевидно. Пусть теперь 0Q А С, М и М — модуль конечной дли-
ны. 1огда цепь
ОС, АаМ
можно уплотнить до композиционного ряда
О Q Л, Q ... Q/U = А а--. ¦ Ап = М.
Начальный отрезок этого ряда до Ak = А служит композицион-
композиционным рядом Для А Мы утверждаем, что
О = А/А С, Аш/А С ... G Ап/А = М/А
— композиционный ряд модуля М/А. Действительно, в силу
второй теоремы об изоморфизме модуль
(Аьнп/А)/(АШ/А)о* Ak+i+l/Ak+i
прост. Из предыдущего следует, что
Ing (М) = Ing (Л) + Ing (MlA).
Пусть теперь Л и М/А— модули конечной длины и
ос; А, а... о. Ак = А,
6qB1c...qB1 = MIA

3.6. Свойства функтора Нот
— композиционные ряды для Л и М/А соответственно. Пусть,
далее., v.M-^M/A и В,: ^v-^B,). Тогда Л С В, и
= В,-. Из простоты Bi+1/Bi и изоморфизма
вытекает простота Bi+1/Bt. Следовательно,
— композиционный ряд для М, т. е. М — модуль конечной
длины. ?
Это доказательство, в частности, показывает, как из компози-
композиционных рядов для Л и М/А можно построить композиционный
ряд для М-
Пример. Z-модуль Z/6Z имеет два композиционных ряда:
О Q. 2Z/6Z Q Z/6Z,
О С 3Z/6Z С Z/6Z.
Факторы первого:
2Z?6Zs^Z/3Z, (Z/6Z)/BZ/6Z) e* Z/2Z;
второго:
3Z/6Z ?Ё Z/2Z, (Z/6Z)/CZ/6Z) ?i Z/3Z.
Отсюда сразу явствует изоморфизм обоих рядов.
Значение теоремы Жорлана — Гёльдера — Шрайера для модулей
конечной длины поясняется следующим соображением. Пусть А —
модуль конечной длины, В — произвольный подмодуль в Л и С —
максимальный подмодуль в В. Тогда В/С — композиционный фак-
фактор (= фактор некоторого композиционного ряда) для А. Дей-
Действительно, рассмотрим цепь
OQCqBCЛ
или соответствующую более короткую цепь, в случае С = 0 или
(В = Л). Согласно 3.5.3, ее можно уплотнить до композиционного
ряда, причем между С и В не будет подмодулей, так как С ма-
максимален в В. Следовательно, В/С — действительно композицион-
композиционный фактор для Л, т. е. один из конечного числа однозначно
определенных (с точностью до изоморфизма) композиционных
факторов для Л.
3.6. Свойства фуннтора Нот
В гл. 1 мы ввели функтор Horn/? из категории <MR (или 5оЛ,
в категорию множеств ^, контравариантный по первому

70 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
аргументу и ковариантный по второму:
НотЛ: Ob {<JtR) х Ob (<ЛН) =э (А, В) .-* Нот;? (Л, В)
Нотл: Мог (<*^я) X Мог (<*#л) => (а, у)>—*-Нотл(а, v)
где Hom# (Л, В) — множество гомоморфизмов из Л в В и Нотл (а, у)
определяется следующим образом: для а: Л-vB, y.C-^-D
Horn*(а, y):HomR(B, С) =э Рь-* vP«<= H°m/?(Л, ?)).
Если R = K — поле, т. е. <^л — категория векторных пространств
над Д', то Нотл(Л, В), как известно, превращается в векторное
пространство над К с помощью определений
(ak)(a):=a(ak)
(где a, av а2<=Ноп\к(А, В), а<=А, k^K), так что Ногпд- мо-
можно рассматривать как функтор в категорию <MR (а не только
в S0). Обобщим теперь это свойство.
Пусть R — снова произвольное кольцо с единицей. Множество
Нотл(Л, В) превращается в абелеву группу при помощи следую-
следующего определения: at + a2 для а1( а2еНотд(Л, В) определяется
равенством
К + «г) И = ai (а) + «г (а), а е= Л.
Групповые свойства Ногп#(Л, В), вытекающие из групповых
свойств В, легко проверяются; в частности, нулевое отображение
из Л в В служит нулевым элементом группы HomR(A, В) и
отображение —а, задаваемое формулой
— обратным гомоморфизмом для аеНот^(Л, В).
Если толковать Нот/?(Л, В) таким образом, то Homff стано-
становится функтором в категорию оЛ абелевых групп. Чтобы убе-
убедиться в этом, надо еще показать, что Hom^(a, у) есть группо-
групповой гомоморфизм из Нотл(В, С) в Нотл(Л, D). Но действи-
действительно,
= Нот* (а, у) (Р,) + Нотд (а, у) (Р2),
поскольку
= (Тр,а) (а) + (Vp2a) (a) = (Vpta + YP2a) (a).
Если теперь S —еще одно кольцо с единицей, A = SAR и
снова В = BR, то как непосредственно проверяется, Нот/? (Л, В)

3.6. Свойства функтора Нош. 71
с помощью определения
{as)(a):— a(sa) а е Нош» (^, В), а ее Л, seeS,
превращается в правый „S-модуль.
Далее, если Т — кольцо с единицей и А = AR, а В = г^/?, то
HomR(A, В) с помощью определения
(ta)(a):=ta(a). аеНотй(Л, 5), йеД, /еГ,
превращается в левый Г-модуль.
Если одновременно А =¦- сЛ# и В = 7S/?, то
Нотд(/1, В) = 7Нот«(Л, B)s,
т. е. Нот/,. (Л, В) становится T-S-бимодулем.
3.6.1. Определение. Центром кольца R называется множество
сеп (#):= {sls
Замечание, сеп (#) — коммутативное подкольцо в #, содержащее
единицу.
Положим S:=cen(S). Как легко убедиться, модуль А = AR
с помощью определения
превращается в 5-/?-бимодуль.
Из того что ьто верно для любого ^-модуля, вытекает, что
Hom/j(/4, В) можно рассматривать как правый S (= сеп (R))-uo-
дуль (или как левый, или как бимодуль». Нетрудно видеть, что
Horrid можно интерпретировать как функтор в категорию <JLS,
соотв. S<JL, s&%r- Если R коммутативно, т. е. S=cen (R) = R, то
Honi/j —функтор в c?R, как в случае векторных пространств над
полем.
Чтобы в сложных случаях избежать путаницы, мы пишем
иногда, например для SAR, TBR,
UomR(sAR, TBR);
здесь индекс R у Homff указывает, что речь идет об ^-гомомор-
^-гомоморфизмах, а индексы S и Т означают, что HomR(sAR, rBR) рас-
рассматривается как T-S-бимодуль в указанном выше смысле. В слу-
случае кAs, RBT множество HomR(RAs, RBT) является S-T-бимодулем,
и по нашему соглашению в начале § 3.1
a (sat) = (as) (at) = (asa) t = о sat
означает, что сначала а ее А умножается на s g S, затем к as при-
применяется а ее Horrid (А, В), а йотом результат умножается на t e T.

72 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
Если НоШя при фиксированном втором аргументе a?R рас-
рассматривается как функтор по первому аргументу, то используются
следующие обозначения:
Нотя(—, Af): Ob (o^*) э Л .-—Нот* (Л, Af) e Ob
Нотя(—, Af):Мог (А1л)=э а.-» Нотисе, AJ) е= Мог
где
Нотя(а, М) :=Нот^(а, \м).
Аналогичная запись применяется при фиксированном первом аргу-
аргументе.
3.7. Кольцо эндоморфизмов модуля
Как было сказано в предыдущем параграфе, Нот/? (Л, Л) для
каждого модуля Л есть аддитивная абелева группа. Далее, мы
знаем, что композиция Pa двух гомоморфизмов а: Л->б, E: В->С
— также гомоморфизм. Следовательно, в Нот/?(Л, Л) можно опре-
определить произведение двух элементов как их композицию, и так
определенное умножение ассоциативно (поскольку операция взятия
композиции отображений ассоциативна).
3.7.1. Теорема. Нош^(Л, Л) представляет собой кольцо с еди-
единицей, в котором сложение и умножение определяются следующим
образом:
(otj + a,) (a) = аг (а) + а2 (а),
(а1а2)(а)=а1(а2(а)).
Доказательство. После предыдущих рассуждений остается
лишь показать, что выполняются законы дистрибутивности. Имеем
((а, + а2) а3) (а) = (а, + ад (а, (а)) = а, (ая (а)) + сц (а8 (а))
= (а,а3) (а) + (а2аа) (а) = (а,а8 + a^) (a)
=^ (aj + а2) Од = а,а3 + с^аз;
(а8 fa + од) (а) = а3 ((а, + а2) (а)) = а3 (а, (а)) + а2 (а))
= а3 (а, (а)) + <%((% (а)) = (а3а
= (a3aj+a3a2)(a)
Единицей кольца Нот^(Л, Л) служит тождественное отображе-
отображение Л на себя. ?
3.7.2. Определение. Описанное в 3.7.1 кольцо называется коль-
кольцом эндоморфизмов модуля А {или кольцом R-эндоморфизмов
модуля А) и обозначается через End (AR).

3.7. Кольцо эндоморфизмов модуля 73
Пример. Если V = VK — векторное пространство, то End (V к) —
кольцо всех линейных преобразований этого векторного простран-
пространства.
Замечание. Если Vk — векторное пространство размерности п,
где 0 < п < оо, то End (V к) изоморфно кольцу квадратных матриц
порядка п с коэффициентами из К. Доказательство этого факта
будет дано позже в более общей ситуации.
Теперь мы хотим определить End (Vr) для произвольного кольца R.
С этой целью рассмотрим для фиксированного ro^R отображение
В силу законов дистрибутивности и ассоциативности r^> e
е Нот/? (Rr, /?#); г<'> называется левым умножением, порожденным
элементом г0. Пусть теперь ср е End (Rr). Тогда для произволь-
произвольного х е /? и единицы 1 е /? имеем
т. е. ф = фA)(". Следовательно, End (R^) состоит в точности из
всех левых умножений; поэтому мы пишем
3.7.3. Лемма. Отображение
р: д эг >_¦ r(o e д(п
является кольцевым изоморфизмом.
Доказательство. Для ru r2, x^R имеем
г2х
irxrtf» (x) = (r,r2) (x) =
Таким образом, р — кольцевой гомоморфизм.
Пусть теперь г^х — г2х. Тогда для х=1 имеем гл=гх\ =г2\ —
= r.z, поэтому г<" = г<" =>rt = г2, т. е. р инъективно. То, что р
сюръективно, очевидно. D
Аналогично можно рассмотреть кольцо Rin правых умножений
для R и получить
Я е*ЯИ = End

74 Гл. 3. Гомрморфизмы модулей и колец
Далее следует важный результат о кольце эндоморфизмов
простого модуля. Сначала докажем несколько более общий ре-
результат.
3.7.4. Пусть А и В — два простых R-модуля. Тогда каждый
гомоморфизм из А в В есть либо О, либо изоморфизм.
Доказательство. Пусть а: А--+В — гомоморфизм. Поскольку
kev(a)C.A, то либо кег(а) = Л, а значит, а = 0, либо кег(а) = 0,
т. е. а — мономорфизм. Поскольку im (а) Q. В, то либо im(a) = 0,
а значит, а = 0, либо im(a) = fi, т. е. а— эпиморфизм. Итак,
О =$ а — изоморфизм. ?
3.7.5. Лемма (Шур). Кольцо эндоморфизмов простого модуля
является телом.
Доказательство. Согласно 3.7.4, каждый ненулевой эндо-
эндоморфизм является автоморфизмом, а значит, обладает обратным
элементом в кольце эндоморфизмов. Следовательно, кольцо эндо-
эндоморфизмов является телом. ?
Вернемся еще раз к общей ситуации, когда дан произвольный
модуль Ar. Положим 5:= End {AR). При нашей системе записи
эндоморфизмы действуют на А слева. Записывая вместо а (а)
лишь aa, где ае5, а^А, легко проверить, что А — левый
5-модуль. Из равенств
а (аг) = а (а) г = (aa)/-, asS, a <= А, г е R,
вытекает, что А является даже 5-/?-бимодулем. В дальнейшем
мы неоднократно будем обращаться к этой бимодульной струк-
структуре, ибо связь между структурами AR, SA и sAr играет важ-
важную роль в некоторых рассуждениях.
3.8. Дуальные модули
Как и для векторных пространств, важное место в теории мо-
модулей занимают понятие дуального модуля и связанные с ним соот-
соотношения Глаьный результат последующих рассуждений—доказа-
рассуждений—доказательство того, что переход к бидуальному модулю является функ-
функтором Д и что существует функторный морфизм между тождест-
тождественным функтором и А.
Докажем сейчас следующую общую теорему.
3.8.1. Теорема. Пусть дан бимодуль tLr. Тогда
A) Hom.v (—, tLr): е/Ин-+Т<Л, где
Нош/? (— , TLRy. Ob (cSR) э А >-* Horn/? (A, TLR) e Ob {T*M),
Horn/? (— , tLr): Мог (<Mr) э a i—*¦ Honi/? (a, \L) <= Мог (Та?),

3.8. Дуальные модули * 75
является контравариантным функтором.
B) Если AL:= Homr (гНот/?(—, tLr), tLr), то
является ковариантным функтором. '
C) Для А е о%ц определим отображение Фа'- А-*- Ах,(Л) правилом
ФА (а): Нот/? (Л, L) еф!-»ф(а)ЕЬ.
Тогда
ф = (ф„ ! Л е
является функторным морфизмом между тождественным функ-
функтором 1 Mr и функтором А/.
Доказательство. A) Как было показано раньше, Homff X
(AR, tLr) есть левый Т-модуль и для aeHomR(/l, В)
HomR (а, 1,,): Нот/? (S, L) э г|5 >—» г|;а е Нот/? (Л, L).
Остается показать, что HomR (а, 1/.)— гомоморфизм левых Т-моду-
лей. Это непосредственно следует из равенства
tty ¦ а =;= t ¦ г|хх, ^ ёГ.
Наконец,
НоГП;?Aл1 1/.) = 1нот/? (Л ,l)i
Нот/?фа, Ц) = Нот„(а, 1,.)Нотл(Р, Ь),
чем все и доказано.
B) Функтор А;, есть композиция функторов
НоШ/? ( • , tLr)' orfC^ —У- xa/fC
и (аналогично определенного) функтора
Ногпт(-,
C) ФА есть /^-гомоморфизм. Пусть ах, аг^. А,
Н(Л,?). Тогда
фф {ахгх -[¦ а2г2) = ф (a^t + a2r2) — ф (a,) rt + ф (a2) r2 =
= фФ (ai) Г! + фФ [а.,) гг= Ф (Ф (ai) П +Ф (а2) г2,
что и требовалось доказать.

76 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
Осталось установить коммутативность диаграммы
ФА
Л >Д.(Д)
С одной стороны, для йе/1, г|) е Hom/?.(B, L)
а с другой стороны,
ipAi (а) Фл (а) = г|ххФл (а) = \|хх (a) = г|) (оса),
что и требовалось доказать. ¦ ?
Особый интерес представляет частный случай Т — Rw TLR — RRR.
3.8.2. Определение. A) Для AR модуль
A*:=HomR(A,R)
называется дуальным к AR, a
Л**:= &(А):= AR(A) = HomR(RHomR(AR, RR), RR)
— бидуальным к AR модулем.
B) Для a: AR-+BR гомоморфизм
а* : = Нот/? (a,R) = Нотя(а, 1R)
называется дуальным гомоморфизмем к а, а
а** := Нот/?(Нотд (а, R), R)
— б ид у а ль ным к а гомоморфизмом.
C) Для а^А элемент а** :—ФА(а) называется бидуальным
к а элементом.
Во многих случаях интересно знать, какими свойствами обла-
обладает гомоморфизм
Фл: А=эа*-*а**€=:А**.
Если AR — конечномерное векторное пространство, то, как известно,
Фл — изоморфизм. В общем случае это не всегда так. Некоторые
из имеющихся здесь возможностей получили особые названия.
3.8.3. Определение. Пусть ФА: А эй>->а** е А**.
A) AR называется полу рефлексивным1, если ФА — моно-
мономорфизм.
1 Используется также термин „модуль без кручения в смысле Басса".
— Прим. перев.

3.9. Точные последовательности _77
B) AR называется рефлексивным, если ФА — изоморфизм.
Позже мы рассмотрим многочисленные применения этого поня-
понятия, поэтому здесь не приводим примеры.
3.9. Точные последовательности
В гомологической алгебре важную роль играют комплексы и
точные последовательности. Они принадлежат к основным алгеб-
алгебраическим понятиям и используются, в частности, для определе-
определения функторов Ext и Тог. И хотя в этой книге дальше гомоло-
гомологических понятий мы не идем, все же необходимо привести по
крайней мере определения комплекса и точных последовательнос-
последовательностей. Целесообразность этого выявится при одном их использова-
использовании в гл. 12.
Пусть R — некоторое кольцо и
Л. al-t А «М Л '*.• Л «1+1
А .==...— -¦ Л,_] • /1; —• Лд4 >. . .
— последовательность гомоморфизмов At -i AM правых /?-моду-
лей, конечная или бесконечная в одну или в обе стороны. Напри-
Например, А может иметь вид
или
или
где всюду 0-> Л, соотв. W -> 0 — однозначно определенный ^-гомо-
^-гомоморфизм. Наконец, нумерация может быть обратной, например:
3.9.1. Определение, (а) Последовательность А называется комп-
комплексом, если для каждой подпоследовательности вида
A a'rl A a' A
имеет место включение
\т (a,_i) С ker [щ).
(Ь) Последовательность (или комплекс) Л называется точной,
если для каждой подпоследовательности вида

78 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
имеет место равенство
im («,-_,) = ker (a,).
(с) Точная последовательность А называется расщепляющей
точной последовательностью, если для каждой подпоследователь-
подпоследовательности вида
im (а, t) = ker (а,) есть прямое слагаемое модуля Л,-.
(d) Если А — комплекс, то последовательность
..., kerK-VimCoc,--!), ker(oc,vi/im (a,),...
называется гомологией для A, a ker(a,)/im (а,--,) называется
i-м модулем гомологии для А.
(e) Точная последовательность вида
0-+А !->М-*-№-+0
называется короткой точной последовательностью.
Заметим, что последовательность А является комплексом тогда
и только тогда, когда (для всех встречающихся в последователь-
последовательности пар индексов /, /—1)
(так как a,a/_1 = 0<=i> im (a,_i) с ker(a,)).
Мы напомнили все эти понятия исключительно ради полноты,
в этой книге (в гл. 12) будут рассматриваться только короткие
точные последовательности. Далее мы ограничиваемся тем, что
нам понадобится ниже.
Прежде всего выясним, что означает точность короткой после-
последовательности
Поскольку первое отображение 0->-Л имеет образ 0, точность
0->- А -''- М означает, что / — мономорфизм. Так как последнее
отображение W-*-0 — нулевое с ядром>W, то точность М й- W-+0
означает, что g — эпиморфизм. Из im(/) = ker(g') вытекает, что
M\fW
(f)
В частности, для A Q. М мы имеем короткую точную после-
последовательность
где I —включение и v — естественный эпиморфизм.
Позже мы воспользуемся следующим предложением.

3.9. Точные последовательностн-
79
3.9.2. Предложение. Пусть все модули — правые R-модули и
все гомоморфизмы — ^-гомоморфизмы. Пусть, далее,
0-
О—+ Я—> N—* X
— коммутативная диаграмма (т. е. [if = ha и cog = k[i) с точными
строками, причем a, [i, со — мономорфизмы. Тогда [i является изо-
изоморфизмом, если и только если а и со — изоморфизмы.
Доказательство. Пусть fi — изоморфизм. Если fteS, то
li(fi)eJV=) существует т ее М с [i (m) =h(b)=> cog (m) = k[i (m) =
= /eh F) = 0. Так как со — мономорфизм, g(m) = 0 и, следовательно,
т е ker(g) = im (/) => существует такое йб^, что f(a)=*m=s>
=$ha(a) = [if (a) — [i(m) = h(b)=>h(a(a)— b) = 0, а поскольку
/г — мономорфизм, то а (а) = Ь, т. е. а также сюрьективно, и
потому а —изоморфизм.
Пусть теперь задано iel Тогда существует такое neiV,
что /г (я) = х =>существует такое.т е= М, что ц(/л) = п => cog(m) =
= /гц (т) = /г (/г) = л: => со также сюръективно, а значит, является
изоморфизмом.
Обратно, пусть а-и со —оба изоморфизмы и дгеЛ/. Тогда
существует'до ее №, для которого со(до) = /г(п). Следовательно,
найдется такое шеМ, что g (m) = до ^>/г^ (т) = cog (m) = со (до) =
== k (п) => k (п — [i (т)) = 0 => существует такое b e S, что ft F) =
= п — [I (т) => найдется такое йе,4, что а (а) = 6 => ^/(а) =
= ha (a) =h (b) = n — [i(m) => [i(f(a)-\-m) = п\ таким образом, [i
сюръективно и, следовательно, является изоморфизмом. П
Это доказательство ¦ типичный пример так называемого диаг-
диаграммного поиски. Очсв1'Д1.о, что без диаграммы это доказательство
было бы совершенно не наглядным.
Теперь вернемся к расщепляющим точным последовательностям.
Пусть
0-+А '-*M±W-+0
— точная последовательность. Очевидно, последовательности
0-+A-f~M и М ?-Г->0
всегда расщепляющие, так что, является ли данная точная пос-
последовательность-расщепляющей, зависит только от того, является

80 Гл. 3. Гомоморфизмы модулей и колец
ли таковой последовательность
т. е. от того, будет ли im (/) = ker (g) прямым слагаемым в М.
3.9.3. Предложение. Пусть А = 0-*- А -^ М -5>№->0 — короткая
точная последовательность.
(a) Следующие условия эквивалентны:
A) А является расщепляющей,
B) существует такой гомоморфизм f0: М-*-А, что
fof— 1а''
C) существует такой гомоморфизм g0: W-*-M, что
ggo — 1 \v-
(b) Если последовательность А — расщепляющая, то существуют
/о и g0, такие как в B) и C) соответственно, так что последо-
последовательность
— точная и расщепляющая.
Доказательство, (а) «A)<=>B)»: 3.4.11A). «A)«=>C)»:
3.4.11B).
(Ь) Пусть /0: М -> А — произвольный гомоморфизм, для кото-
которого /о/=1д- Согласно 3.4.10,
М = im (/) © ker (/о) = ker (g) з ker (/0). ,
Поэтому g I ker (/0) — изоморфизм. Пусть h: W -> ker (/„) — обратный
изоморфизм и i: ker (/0) -> M — включение. Положим go:=ih.
Из того что М = ker (g) © ker (/„) и g — эпиморфизм, вытекает, что
каждый элемент из W записывается в виде g(x), где ,veker(/0).
Отсюда вытекает, что
ggo (g (x)) = gi (hg (x)) = g(x)\
таким образом, да)=1\г, и также gog(x) = x, а значит, im (^o) =
--ker(/0). Следовательно, последовательность
0 ч- A i°- Ж -*• Г ч- 0
точна и, в силу равенств ggo=lw и fof=\A, является, со-
согласно (а), расщепляющей. rj
Упражнения
I. Пусть A, L ев *,1lR, a: A-*-L, В Q. А, С Q A, M Q. L, N с, L.
а) Пок.чзать, что следующие утверждения эквивалентны:
A) а(/?Г,С) = а(Д)Па(С);
B) (В + ker (а)) П (С + ker (а)) = В П С + ker (а);

Упражнения 81
C) П()) + (п()) (+)П()
b) показать, что следующие утверждения эквивалентны:
A) a-l(M + N) = a-i(M) + a-i(N);
B) Ш П im (a)) + (N П im (a)) = (M+N)ft im (a);
C) (M + i())n(W + i()) (MnAO + i()
2. Привести пример модуля, для которого не выполняется соотношение A)
из упр. 1, а) (соотв. Ь)).
3. а) Пусть дан гомоморфизм модулей ср: M-+N, а также подмодули A Q. М,
VC.N. Показать, что ср (ср (A) + V) = Л + ф (V).
Ь) Пусть дан гомоморфизм модулей ср: M-*-N, а также подмодули BQ.N,
U Q.M. Показать, что ср (cjr1 (В) (] U)--=B Пф (U).
4. а) Доказать, что в категории унитарных колец каждый мономорфизм инъек-
тивен. (Указание. Используйте Т\х\ — кольцо многочленов от х с коэффициен-
коэффициентами из Z.)
Ь) Показать, что i: Z-> Q— эпиморфизм в категории унитарных колец.
5. Найти все композиционные ряды для Z/30Z и указать все изоморфизмы
между ними.
6. а) Определить следующие группы: Homz(Q, Z), Homz(Q/Z, Z), Homz(Q, Q),
Homz(Z/nZ, Q) для neN.
b) Доказать, что для М е *AtR
Нотд (R, M)^M,
7. Пусть А — аддитивная абелева группа и End (Л) — кольцо ее эндоморфизмов,
причем для a <= End (А) и а е А образ а при а обозначается через <ш. Пусть,
далее, R — кольцо и
pi R-+End(A)
— кольцевой гомоморфизм, соотв. унитарный кольцевой гомоморфизм.
a) Показать, что при помощи определения
га:=р(г)а, ае/1, г е R,
А превращается в левый ^-модуль, соотв. унитарный левый ^-модуль.
b) Доказать, что каждый левый R-модуль, соотв. унитарный левый ^-модуль,
RA с А в качестве аддитивной группы получается с помощью указанного
выше способа единственным образом.
c) Привести пример аддитивной абелевой группы А и кольца R, для которых
А можно превратить в унитарный левый ^-модуль двумя способами.
d) Сформулировать соответствующее утверждение для правых ^-модулей без
изменения умножения в End (Л),
8. Доказать, что для каждого векторного пространства V% кольцо эидойор
физмов End (VKJ регулярно (см. упр. 13 к гл. 2).

4. Прямые произведения,
прямые суммы,свободные модули
В структурной теории модулей, с одной стороны, изучают
данный модуль при помощи аддитивного разложения на более
простые модули либо при помощи сведения модуля к более
простым фактормодулям, с другой стороны, стремятся, исходя
из данных модулей, построить новые модули. Разумеется, эти
конструкции создаются не произвольно; ведущий принцип при
этом — построение модулей с определенными универсальными
свойствами. С такими универсальными свойствами мы познакоми-
познакомились, рассматривая произведения и копроизведения в категориях
(§ 1.5).
Сейчас мы исследуем произведения и копроизведения в кате-
категории модулей.
4.1. Конструкция произведений и копроизведений
Начнем с того, что напомним некоторые известные теоретико-
множественные понятия. Пусть (Ai | i e /) — семейство множеств Л,-
с индексным множеством 1фф. Произведение \\ At семейства
(el
(Ai | i e /) — это множество всех отображений
а:
U А„
удовлетворяющих условию а(г)еД- для каждого //=/.
Обозначения. A) «,: —а(/) (называется г'-й компонентой а).
B) (щ):-(«(/)):-а.
Очевидно, для (а,), (а\) е П 4
IS/
Заметим, что / не обязательно должно быть счетным. В случае
когда / счетно, скажем / = {1, 2, 3, ...}, используется также запись
...) :=(«,) = а. _

4.1. Конструкция произведений и копроизведений 83
Когда / конечно, скажем / = {1, 2, ..., п\, мы пишем
(alai...an):=(ai)=a.
Если теперь Л,- е eSR для всех / е /, то |~[ Л,- естественным
образом превращается в унитарный правый /^-модуль с помощью
следующего покомпонентного определения.
4.1.1. Определение. Пусть (a,-), (bt) е ]" ] Л;, re/?.
(SI
С ложе ние: (а,-) + (Ь,): = (а,- + Ь,).
Модульное умножение: (а,-)г : = (я,-г).
Записывая а=(а(), |J = ({?,), получаем
Доказательство того, что Р[ Л,- при таком определении— объект
категории q?r, тривиально. В частности, нулевое отображение
/ э it—- 0,- е (J Л,-, где 0,-— нуль из Л,-, служит нулевым эле-
ментом ]^ Л,-, а противоположным элементом относительно сло-
жения для а = (аг) служит —а:={—а,).
4.1.2. Определение. Элемент (о,) е [] Л,- называется финит-
HWJK1, если множество индексов ie7, для которых а,-=^=0, конечно
(причем пустое множество рассматривается как конечное).
Легко видеть, что множество всех финитных элементов из [ | Л,
является подмодулем в JJ Лг.
4.1.3. Определение. A) Для всякого семейства (Л;!г'е/) объек-
объектов из <Л$ модуль Y\ Aj^aSR называется прямым произве-
(eJ
дением этого семейства.
B) Подмодуль всех финитных элементов из ]~[ Л, называется
(внешней) прямой суммой семейства (Л,|ге/) и обозна-
обозначается через \\ А\.
1 В оригинале endlichwertig (буквенно: коночнозиачиый). В отечественно
литературе соответствующего устоявшегося термина нет.—Прим. ред.

84 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
4.1.4. Замечание. Если I конечно, то
П 4-11 4-
ts.1 is/
В 1.5 мы определили в произвольной категории произведение
и копроизведение для семейства объектов. Покажем, что прямое
произведение, соотв. прямая сумма, вместе с некоторым семейством
гомоморфизмов есть произведение, соотв. копроизведение, в °/flR.
С этой целью рассмотрим следующие отображения (для /е/):
п,: |~| Л,-=э (а,-) >—а/е= А,,
(S/
а: Ц Л,э(а,)-»(а,)еП А»
л ТТЛ /¦ С О ПРИ 'V= /.
Легко проверяются следующие свойства этих отображений.
4.1.5. Лемма. A) я, ы л;а — эпиморфизмы.
B) ity u аг|;- — мономорфизмы.
( \А для ^ = /,
C) яАаг!;= '
I 0 для
D) (ат1/л;)а = аг|/я;-
E) / = {.1, 2, .... ^^.(^л^Л/^ЛЬтл.^Х
4.1.6. Теорема. A) 1\\ Л,, (я,|/е/\ представляет собой про-
произведение семейства (Л,-1 / е /) б категории eSR, т. е. для каждого
объекта С из <JCR и каждого семейства (yt \ i e /) гомоморфизмов
УС. С-*-Аи ie/,
существует единственный гомоморфизм
такой что
Y; = я,у, / е /.
B) /]J Л,-, (т],-|/е/)] представляет собой копроизведение семей-
e
(Л,-! / е /) е категории oSR, т. е. для каждого объекта В
из <JlR и каждого семейства (E;i/е/) гомоморфизмов

4.1. Конструкция произведений-и копроизведений 85
существует'единственный гомоморфизм
'р: Ц Д->Я,
такой что
Доказательство. A) Мы построим искомый гомоморфизм у:
C-v^Q Л,- следующим образом. Положим
V(с) := (у/ (с)) <= J] Л,- для сеС.
Ясно, что y — гомоморфизм и
(с) = л/ (у (с)) = Y/ (с), с <= С.
Следовательно, Y/ —Л/У. /е'-
Докажем единственность Y- Пусть также y': С* —>- J~J Л,- удов-
летворяет условиям у/ (с) = (л^') (с) = п/ (y' (с)). Тогда y' (с> =
= (Y.(t')) = Y(c), т. е. y'=Y-
B) Снова явно укажем искомый гомоморфизм Р: JJ Л,-у В.
Положим
где сумма распространяется только на те i e /, для которых
а,=?0. По определению ]J Д- эта сумма имеет смысл (сумма
по пустому множеству индексов полагается, как обычно, равной
нулю;. Ясно, что р — гомоморфизм и
Таким образом, р;- = |3г];, / е/.
Докажем единственность C. Пусть также р': ;Ц Ai-^-B удов-
летворяет условиям Р/ = Р'т];. Тогда
Так как каждый элемент из |J Д- есть сумма конечного числа щ,
то р = р'. "П
В дальнейшем будем использовать следующие общепринятые
определения.

86 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
4.1.7. Обозначения. Пусть / — непустое множество и Л е a?R.
Положим
Л7:=Ц Л,-, где At = A для всех /е/,
ЛG):=Ц Л,-, где Л, = Л для всех /е/.
Модуль Лг, соотв. Л(/>, называется прямым произведением, соотв.
прямой суммой, I экземпляров модуля А.
4.2. Связь между внешними и внутренними
прямыми суммами
В § 2.4 были введены внутренние прямые суммы, а в преды-
предыдущем параграфе —внешние прямые суммы. Мы покажем здесь,
что эти понятия несущественно отличаются друг от друга, так
что не опасаясь путаницы, их можно обычно отождествлять.
Рассмотрим с этой целью определенный в § 4.1 мономорфизм
\]j: Aj =э а, •-* а/ е= Ц А'>
где
(О при/*/,
( йу ПрИ I = /.
Положим A/'.= t]/(Af). Ясно, что Л,' —модуль, изоморфный Aj.
Для случая / = {1, 2, 3, ..., п\ имеем
fl/ = @... Ofl/0...0) (at на /-м месте),
а также
/4; = {@...0а,-0...0);а;е Aj\.
4.2.1. Теорема. Для всякого семейства R-модулей (Л,-)ге/)
Ц Д= (В А}, где A,^A't,
т. е. внешняя прямая сумма модулей Л,- совпадает с внутренней
прямой суммой изоморфных им подмодулей А\ модуля JJ Л,-.
is/
Доказательство. По определению Л,- имеем ? А\ С [ | Л,-.
Пусть теперь 0 Ф (а,-) е ] \ Л,-, причем at Ф0, ..., at ф{) и

4.3. Гомоморфизмы прямых произведений и сумм 87
q, = 0 для всех других i'e/. Тогда
и, следовательно
iе I i e /
Далее,
(а,) е А)'¦{] У Л • => а,= 0 для i ф /,
Наконец, как было .показано выше, имеет место изоморфизм
Ai^A'i, при котором a,-i—»т],-(а,-). ?
Внимание! Изоморфные модули Л, и Л,' в дальнейшем чаще
всего отождествляются, и вместо А\ мы пишем Л,-. Далее, ввиду
теоремы 4.2.1 различие между внешней и внутренней прямыми
суммами часто игнорируется, в обоих случаях пишут ©Л,- и
говорят просто о прямой сумме. Из контекста обычно ясно,
о какой сумме идет речь.
4.3. Гомоморфизмы прямых произведений и сумм
Пусть (Л,|/е/), (В,-\ i е /) — два семейства модулей Л,-, В(е
Eil8. Далее, пусть (к,-1 i e /) — некоторое семейство гомомор-
гомоморфизмов
к,-: Л,->В;, ie/.
При этих условиях имеет место
4.3.1. Лемма. Отображения, определенные следующим образом:
\ ] а,-: П л< э («') *"* («' (fl«')) е Ц В„
ie/ ie/ (е/
© а;: © Л; э (а,) >-* (щ (а,)) е © Б,-,
ie/ ie/ ie/
являются гомоморфизмами, причем
A) Па,- — лоно <=> © а,- — лоно о V; е / [«г — моно],
B) Па,- — эпи <=> © gcj: — эпи о V, е / [а,- — эпм],
C) Па,- — изо .о- © а,- — шо о V, е / [а,- — изо].
Доказательство. Упражнение для читателя. rj

88_ Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
4.3.2. Лемма. Пусть выполнены те же условия и, кроме того,
I,-: кег («О => (а,) н— а,- е Л,-, •
ч': im (а,) => F<) >-+bi<=Bi,
отображения
0) Пкег (а«)э (а0 *—* (i' (а-'))е кег (Т1 a'V
is/ Us/ /
B) ®f кег (а() э (а,) •-* (i, (а,)) е кег / © а,^, .
C) П im («О 3 У') -* A^ ^)) е im
is/ -
D) © im (а,) э F,) •— (i? F,-)) е im / © аЛ
(s/ Vis/ /
являются изоморфизмами и, следовательно,
П кег (ад = кег (П a''V © кег (а') = кег ( ® а
cei . \is/ / ie/ Vis/
П im (а,-) = im fll a'V ф im(a/)^im ( © a,),
is/ . lis/ / 'e/ lis/ )
Доказательство. Упражнение для читателя. ?
4.3.3. Лемма. Для любых заданных семейств (At j ie/), (fi; [ / e /)
б
НотЛ / © Л(, П Bt) з ф н-* (Цгфт|,) е П Horn
\is/ /eJ у (i,/)s/xJ
является групповым изоморфизмом.
Доказательство. Ясно, что мы имеем групповой гомомор-
гомоморфизм. Остается доказать «моно» и «эпи».
«Моно»: O^ipG Нот# (© Л,-, П5,-) => существует (a,) e © Ah
для которого ф ((а*)) =^ 0. Поскольку (а,) == ^ а«- т0 Ф ((°д) =
() 2ф(^)^=0=;> существует /, для которого ф(а,-)
= фг|,- (а,)Ф0 => найдется/, для которого луфт],- (а,)^=0 => л,- ф^
«Эпи»: Пусть (а;-,)еПНот^(Л/, j5;). Согласно 4.1.6, при
фиксированном i'e/ для семейства (^|/е/), где a^,-: Ai-^Bj,

4.4. Свободны! модули . 89
существует такой гомоморфизм (J,-: А—>Р[ В], что диаграмма
\
Pi
UBj >Bj
«J
коммутативна.
Снова в силу 4.1.6, для семейства (|3y|ie/) существует та-
такой гомоморфизм ф: Ф Лг-*-ТТВ/( что диаграмма
коммутативна. Поэтому а,; = Лур*,= л,фг|ь откуда и следует namt
утверждение. ?
Частные случаи
HonW ® Ai, B)^T\ HomR(А',В), причем ф»—
HomR(A, Y\ б/\ = П Нотд(Л, В,), причем ф»—* (л,ф)
\ /S/ / 1SS.J
4.4. Свободные модули
В 2.3.5 было дано определение базиса как свободной порож-
порождающей системы. Модули, обладающие базисом, могут быть опи-
описаны следующим образом.
4.4.1. Лемма. Для модуля F — FR следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) F обладает базисом;
B)F=®4AViG[
Доказательство. Заметим прежде всего, что условия A) и
B) выполнены для F = 0, а именно в A) в качестве базиса надо
взять ф, а в B) надо взять / = ф. (Напомним о соглашении,
что сумма по пустому множеству индексов равна 0.) Поэтому
мы можем предположить, что FO

90 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
«A)=>B)»: Пусть X — базис для F и пеХ. Тогда, очевидно,
отображение
<ра: RR з г I-* ar <= RR
есть эпиморфизм. Так как из свойств базиса следует, что аг =
= 0 = а0=>г = 0, то фа — изоморфизм.
Мы утверждаем, что F = Q aR Поскольку X как базис
as Л V.
является также системой образующих, то F = ? aR. Пусть для
aSX
с gee a^R П /, aR.
ae Л
Тогда существуют различные ах, .... а„еХ, а,=^а0, а также
г0, /"ь .... ля е^ R, такие что
откуда, в силу свойства базиса 2.3.5D),
Го "= Г} =... "== гп = (J, т. е. a$R f] ^, aR = (J.
Таким образом, F= © a/?.
as Л
«B)=>A)»: Пусть ф;: RR-+ At — изоморфизм, существующий
по условию леммы. Мы утверждаем, что {ф,A)| i e /} — базис
для F. В самом деле, поскольку Л, = ф,- (/?) = ф,- A ¦/?) — ф,- A)/?,
то F= © Л,-= © ф,- A)/?, следовательно, |ф, A)!/е/[— система
is; is; '
образующих для F. Если /' с /, /' конечно и
то согласно 2.4.2 для всех i e /' имеем
Так как ф; является изоморфизмом, то г,- = 0, так что, действи-
действительно, {ф,- A)| i e /[ — базис для F. ?
4.4.2. Определение. Модуль F, удовлетворяющий условиям
леммы 4.4.1, называется свободным.
4.4.3. Лемма. Для произвольного множества I модуль /?(У) явля-
является свободным R-модулем, имеющим базис той же мощности,
что и I.

4.4. Свободные модули
Доказательство. Рассмотрим семейство модулей (/1| J i e /),
где Ai = RR для всех / е/. Согласно 4.2.1,
#'>=П А,= ® А'и где ^=Л;йл;.
is/ 's/
Как было показано выше, отсюда следует, что RW — свободный
модуль с базисом {ф,- A) | i e /}. ?
Напомним еще (см. § 4.2), что в случае / = {1, 2, ..., п)
т. е. в этом случае {cp;(l)|t = l, ...,_п} является «каноническим
базисом» для R".
4.4.4. Следствие. Каждый модуль MR есть эпиморфный образ
некоторого свободного правого R-модуля. Если MR конечно-порож-
конечно-порожден, то MR —эпиморфный образ некоторого свободного правого
R-модуля с конечным базисом. '
Доказательство. Пусть Y — какаятнибудь система образу-,
ющих модуля М. Рассмотрим свободный модуль
Из единственности представления элементов из R<-Y) через эле-
элементы базиса следует, что правило
определяет эпиморфизм. q
4.4.5. Обозначение. То что мы обозначили базис R°> через
{ф( A) U е/}, не обязывает нас придерживаться этого обозначе-
обозначения в дальнейшем. Очевидно, в качестве элементов базиса можно
взять элементы любого другого множества, равномощного /, на-
например элементы самого множества /. Таким образом, мы прихо-
приходим к записи
М= ® iR\
is/
при этом надо, конечно, иметь в виду, что элементы индексного
множества / рассматриваются одновременно как элементы ба-
базиса модуля R^i.
Укажем еще одно важное свойство свободных модулей, кото-
которое будет играть в последующем (при изучении проективных
модулей) основополагающую роль.
4.4.6. Теорема. Если

92 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
— эпиморфизм и FR —свободный модуль, то ф является расще-
расщепляющим (см. определение 3.4.8).
Доказательство. Пусть Y — некоторый базис модуля FR и
для каждого ЬеУ выбрано й(еД такое что <p(ab) = b. Тогда
отображение
Ф': F =э 2 Ьг„ н-н. 2 abrb ее А
будет гомоморфизмом (так как Y — базис). Поэтому
ФФ' B brb) = ф B аъГъ) = 2 Ф (я*Уй = 2 ^*>
и, значит, фф' = 1/г. Следовательно,
Л = im (ф')©кег (ф). ?
4.5. Свободные и делимые абелевы группы
Каждую абелеву группу можно естественным образом рас-
рассматривать как Z-модуль, поэтому все понятия теории модулей
применимы к абелевым группам. Абелева группа называется
свободной, если она свободна как Z -модуль, т. е. представляет
собой прямую сумму некоторого множества экземпляров мо-
модуля Zz.
Ниже под группой всюду подразумевается аддитивная абе-
абелева группа.
4.5.1. Определение. Группа А называется делимой, если
4.5.2. Лемма. Каждый эпиморфный образ делимой группы есть
делимая группа и, следовательно, каждая фактор-группа делимой
группы делима.
Доказательство. Пусть Л—делимая группа и Ф: А^^В —
эпиморфизм. Тогда для O^zeeZ имеем
Таким образом, В —делимая группа. ?
4.5.3. Лемма. Прямое произведение и прямая сумма делимых
групп делимы.
Доказательство. Пусть (At\ i e= /) — семейство делимых
групп. Тогда для O^zeeZ
П4П
А,)г= © (Aiz)= © Ait
1 I C&I Ш1

4.5. Свободные и делимые абелевы группы 93
как это непосредственно следует из определения прямого про-
произведения и прямой суммы ?
Примеры. Q и Q/Z —делимые группы. Группа Z не является
делимой.
4.5.4. Каждая абелева группа изоморфна подгруппе некоторой
делимой абелевой группы. ¦
Доказательство. Пусть А — абелева группа. Согласно 4.4.4,
существуют свободная абелева группа F и эпиморфизм
Ф: F-+A
Положив X: = х+кег(Ф), получаем, что
Ф': F/ker (Ф) =э X >-* Ф (х) е А
— изоморфизм (см. 3.4.1). Пусть Y — какой-нибудь базис мо-
модуля F = Fz. Рассмотрим
Из изоморфизма QZ = 6QZ следует делимость bQ, а значит, в
силу 4.5.3, и делимость D. Поскольку F=©6Z, то F — под-
подгруппа в D. Тогда ker (Ф) — также подгруппа в D и, в силу
4.5.2, D: = D/ker (Ф) — делимая группа. Пусть
i: F/ker
— включение. Тогда Ф' — искомый мономорфизм А в делимую
группу D. ?
Докажем теперь дуальную к 4.4.6 теорему, показывающую, что
делимые группы — это инъективные Z-модули (определение инъ-
ективного модуля будет дано в следующей главе).
4.5.5. Теорема. Если
— мономорфизм и D'1 — делимая группа, то ф является растоп-
растопляющим (т. е. im (у) —прямое слагаемое в В).
Доказательство. Согласно 4.5.2, группа ш(ф) делима, по-
поэтому без ограничения общности можно рассматривать Dz как
подгруппу в Вг и cp = i как включение. Положим
Поскольку [У = 0еГ, имеем Тфф. Далее, очевидно, что объе-
объединение вполне упорядоченного множества элементов из Г
(с включением в качестве порядка) также принадлежит Г, по-
поэтому по лемме Цорна в Г имеется максимальный элемент, ко-

94 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
торый обозначим через U. Для него выполняются соотношения
Остается показать, что B = D®U.
Для произвольного 6еВ рассмотрим идеал z0Z всех «таких
?eZ, .что bz ^ D + U.* Пусть bzo — d-\-u. Из делимости D вы-
вытекает существование элемента d0. для которого dozo = d=$(b—
— do)zo = и. Отсюда очевидно, что z0Z можно рассматривать так-
также как идеал, состоящий из элементов ?eZ, для которых
(bd)D U
(bdo)z^D + U.
Мы утверждаем, что D[)(U-{- (b — do)Z) = Q. Действительно,
пусть d1 = u1-\-(b-d0)z1eEDr\(U + (b-d0)Z). Тогда (b-do)z1 =
=d^ — «!^ D + U => zx—zut, ( е Z => (b — d0) zot=ut—d1—ui => 0 =
= dx — («i + «0 =>di = 0. Из максимальности U вытекает, что
(b — do)Z С U =>6—d0 et/=jbeD + t/.Следовательно, B=D®U,
что и требовалось доказать. . rj
4.6. Полугрупповые кольца
В качестве дальнейшего примера применения свободных мо-
модулей введем понятие полугруппового кольца. Пусть G — произ-
произвольный мультипликативно записываемый моноид, т. е. G — мно-
множество с операцией G X G э (a, b)-*-ab^G, которая ассоциа-
ассоциативна и имеет нейтральный элемент е.2 Далее, пусть R — про-
произвольное кольцо. Положим
GR:= © gR
gee
в смысле 4.4.5; таким образом, в качестве базиса взято само
множество G. Заметим, что тогда g\=g для geG, I e R (g
стоит вместо фгA), см. 4.4.5). Введя в GR умножение, превра-
превратим его в кольцо (с единицей).
4.6.1. Определение. Пусть Т, 7" — произвольные конечные
подмножества в G. Для
положим
'e7"
1 Этот идеал ненулевой, в противном случае для подгруппы Н, порож-
денно'1 элементом Ь, мы имели бы H(](D-\-U) = 0 откуда (#-f-t/)ЛD = 0,
что противореча выбору U.—Прим. перев
¦ Другими словами моноид —это полугруппа с единицей, что и справ-
дываег названии «полугрупповое кольцо». —Прим ред.

4.6. Полугрупповые кольца 95
Это определение означает, что в GR элементы из G умно-
умножаются как в G, а элементы из R — как в R; в остальных слу-
случаях " произведения вычисляются по дистрибутивности, причем
считается, что элементы из G и R коммутируют.
Замечание. В стоящей в правой части сумме ^gg'rgr'g' один и
тот же групповой элемент может встречаться многократно в виде
gg'. Таким образом, это, вообще говоря, —не базисное разложе-
разложение. Базисное разложение получится, если по дистрибутивности
сгруппировать элементы базиса:
2_i ggrgrg'= 2j oSjj, где Sj) = 2_i rgrg'-
geT ьетт gg' — ь
g'eT' geT, g'eT'
Для конечного моноида G = {gu ..., gn] определение можно дать
в следующем виде
2 H 2 2
\/=1 / i. /=1 fe= I
где
(. i—i. ..., л
Легко проверить, что с введением этой операции GR стано-
становится кольцом. Ассоциативность GR следует из ассоциативности G
и R, а дистрибутивность — из дистрибутивности #. Если е еди-
единица (= нейтральный, элемент) моноида G, то е = е\ —единица
кольца G#, что непосредственно следует из 4.6.1.
4.6.2. Определение. Кольцо GR называется полугрупповым
кольцом полугруппы G над кольцом R (или с коэффи-
коэффициентами в R). Если G — группа, то GR называется группо-
групповым кольцом группы G над кольцом R.
Рассматривая подкольцо eR в GR, видим, что отображение
eR =э ег н— г е= R
есть кольцевой изоморфизм, поэтому обычно eR отождествляется
с R, и тогда единица el группового кольца (где 1 е R) записы-
записывается просто как 1.
Наконец, отметим, что, положив
rY.grg : = erl.grg =
мы превращаем GR в левый ^-модуль, для которого G снова
является базисом. Так как кольцо GR является e^-G^-бимоду-
лем, то оно является также #-С#-бимодулем. Если R коммута-
коммутативно, то GR есть ^-алгебра (см. 2.2.5).

96 Гл. 4. Прямые произведения, прямы» суммы, свободные модули
При исследовании групповых колец используются понятия
теории колец, теории модулей и теории групп, а при более глу-
глубоких исследованиях—и арифметические понятия. Эта многосто-
многосторонность делает данную область особенно интересной и увлека-
увлекательной.
4.7. Амальгама и коамальгама <
Пусть даны два гомоморфизма с одной и той же областью
определения:
а: Л->5, ф: А-+М.
Во многих задачах, которыми мы позже займемся, возникает
вопрос, можно ли эти гомоморфизмы дополнить до коммутатив-
коммутативного квадрата.
А -—>В
(*) f I I ?
м-
Мы покажем, что это можно сделать нетривиальным образом, и
даже с помощью некоторой универсальной пары г|з, р, т. е. такой
пары, что любое другое дополнение пары ф, а до коммутативного
квадрата можно получить факторизацией.
Естественно возникает и дуальный вопрос—существует ли для
данных г|з, р с одной и той же областью значений универсальное
дополнение ф, а до коммутативного квадрата. Ответ также поло-
положителен.
В первом случае решение называется амальгамой (английский
термин: Pushout), во втором случае— коамальгамой 1 (английский
термин: Pullback).
4.7.1. Определение. Пусть дана коммутативная диаграмма (*).
A) Пара (г|>, Р) называется амальгамой пары (ф, а), если для
каждой пары (г|/, Р'), Ф': М-+Х, Р': В^-Х, удовлетворяющей
условию t|/cp = P'a, существует единственный гомоморфизм с: N -+¦
->Х, такой что t|>' = cn|), |$' = ap.
B) Пара (ф, а) называется коамальгамой пары (ар, Р), если
для каждой пары (ф'( а'), ф': Y^-M, a': Y-+B, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию a|)q/ = pa', существует единственный гомоморфизм
т: У'-»- А, такой что ф' = фт, а'=ат.
1 В оригинале соответственно Fasersumme (расслоенная сумма) и Faser-
product (расслоенное произведение). Приведенные в скобках термины также
используются, но реже. — Прим. перев.

4.7. Амальгам» и коамальгама
97
Поясним эти ситуации на соответствующих диаграммах:
Прежде чем доказать существование амальгамы и коамальгамы,
докажем их единственность.
4.7.2. Замечание. Для любой данной пары (у, а), соотв. (г|>, Р),
амальгама, соотв. коамальгама, определена однозначно с точно-
точностью до изоморфизма.
Доказательство. Пусть (г|>, Р) и (ty', P') — две амальгамы
для (ф, а). Тогда наряду с а: N -> X существует также гомомор-
гомоморфизм р: X-+N, для которого ф = рг|/, р = рР'. Для pa: N-+N
имеем t|> = рг|/ = pm|>, p = pP' = pap. Из требуемой в определении
однозначности следует, что po=lN, соотв. ор = 1Х' значит, а и
р —взаимно обратные изоморфизмы. Дуализуя это рассуждение,
получаем утверждение для коамальгамы. ?
Ниже мы обозначаем элементы из УИ©В-через (т, Ь), а эле-
элементы из (М © B)/U — через (т, Ь).
4.7.3. Теорема. A) Пусть дана пара (ф, а), где
ф: А-*-М, а: А-*-В.
Если N:=M®B/U, где U:- {(<р(а), — а(а))|аеЛ}, и
z^. Р)— амальгама для (ф, а).
B) Пусть дана пара (г|>, Р), где
А:={(т, b)\m<= M/\b <
ф: /1 э (т, b)t—¦ me M,
а: Л э (иг, Ь) »-* 6 е В,

98 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
rn0 (<Pi a) ~ коамальгама для (t|>, Р).
Доказательство. A) Прежде всего ясно, что U — подмодуль,
поэтому N есть фактормодуль модуля М®В, а ^ и р —гомомор-
—гомоморфизмы, для которых t|>(jp = pa. Пусть теперь t|/, P' —те же, что
и в определении 4.7.1. Определим a: N-*-X следующим образом:
а ((т, b)) := i|/ (m) + P' (b). Чтобы доказать, что а —отображение,
достаточно показать, что для (m, b)&U имеет место равенстве
о((т, Ь)) = 0. Но действительно, ,
а ((Ф (а), — а (а)) = фу (а) - р'а (а) = 9,
так как t|/(p = P'a. Непосредственно ясно, что a — гомоморфизм и
at|) = t|/, ap = P'. Остается доказать единственность а. Пусть
также t|/ = <Xi\|>, P' = aiP для некоторого Oi. N -*¦ X. Тогда
(а — ai) tp = 0, (a —ai)P = 0 и, следовательно,
, 0)),
, b)).
Но {(m, 0), @, b) | tn s M f\b e В} является системой образующих
для N и поскольку o — Oi равно на ней нулю, то a —ai = 0.
Тем самым для амальгамы все доказано.
B) Для коамальгамы доказательство проходит дуальным обра-
образом. Укажем только гомоморфизм т: К->Л:
и установим единственность т. Если (т — т^ (у) = (m, b), то
0 = а (т — Xi) (у) = а (т, &)=¦&
и, значит, (т — ti) (у) == 0, т. е. т — Т! = 0. ?
Ниже мы постоянно используем амальгамы и коамальгамы
в форме, явно заданной в этой теореме.
В следующей главе при определении инъективных модулей
нам понадобится
4.7.4. Теорема. Если (t|>, |J) — амальгама для (ф, а), то
A) а — моно => t|> — моно, a — 3««=>i|3 — эпи,
Ф — моно => р — ломо, ф — эпи => Р — эпи.

4.7. Амальгама и коамальгама ¦ М
B) Если а, —мономорфизм, то im(t|>) является прямым слагаемым
в N тогда и только тогда, когда существует такой гомоморфизм
и: В-*-М, что ф = ха:
D.7.6) f
Доказательство. A) Пусть а — мономорфизм и Vp(m) =
= (т, 0) = 0. Тогда существует а е А, для которого (т, 0) =
= (ф (а), — а (а)) => — а (а) = 0 =>а = 0 => т = ф (а) =* 0.
Пусть а —эпиморфизм и (m, 6)eJV, Тогда найдется йеД
для которого Ь = — а (а), =>
= (т-ф(а), 0)
= (т-ф(а),
Таким образом, ф — также эпиморфизм.
Доказательство для второй строки проводится аналогично.
B) Пусть im (ф) — прямое слагаемое в N, т. е.
Л^ = im (ф) © No.
Так как а —мономорфизм, то, в силу A), ф —также мономор-
мономорфизм и, следовательно, t|> индуцирует изоморфизм^: M->im(t|>).
Пусть л: N-*-im (ty) — проекция, соответствующая прямой сумме
N = im (t|))ф No. Тогда х:= t|)o'np— искомый гомоморфизм:
ш.(а) = фо'яр (а) = г]зо'яф (а) = фо'я (ф (а), 0) = ф (а).
Обратно, пусть дан х, для которого ф = ха. Рассмотрим ото-^
бражение
|: N=>(m, b)>-
Поскольку \ (ф (а), — а (а)) = ф(а) — ха(а) = 0, это — действительно
отображение, и притом гомоморфизм. Так как Щ (т) = |((т, 0)) =
= т, то 1^==1М, откуда следует, что Л/ = !т(т)})фкег (I), как и
утверждалось. ?
Теперь сформулируем дуальную теорему, которая подготав-
подготавливает определение проективных модулей.
4.7.6. Теорема. Если (ф, а) — коамальгама для (t|>, P), то
A) р — моно=$ ф — моно, р — эпи =>ф — эпи,
\J) — эпи => а — эпи.

100 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
B) Если ty —эпиморфизм, то кег (а) является прямым слагаемым
в А тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм и:
В-+М, для которого Р*=г|»с:
Доказательство дуально к доказательству теоремн 4.7.4»
поэтому мы ладим лишь его набросок.
A) Пусть г]з — эпиморфизм. Если 6еВ, то найдется теМ, для
которого г]з (т) = р ф). Таким образом, (т, Ь) е Л и а ((т, Ь)) е Ь,
т. е. а — эпиморфизм. Рассуждения для других импликаций ана-
аналогичны.
B) Пусть кег (а) —прямое слагаемое в А:
А = кег (а) © Ао.
Так как вместе с г]з и а —тоже эпиморфизм, то ао:= а| Ло —изо-
—изоморфизм. Если i: Ао-*А — включение, то и:=фьао' служит
искомым гомоморфизмом:
г|ж (Ь) = \|;ф (ьаё1 (Ь)) = PaiaJ1 (Ь) =
Обратно, пусть дан х, удовлетворяющий условию \|ж = р. Тогда
для
г,: в=эЬ<-+(к(Ь), Ь)<= Л
имеем ац=\в, откуда Л = ker (a)© im п. П
4.8. Некоторые характеризации образующих
и кообразующих
В § 3.3 мы познакомились с понятиями образующего и кооб-
разующего. Дадим некоторые новые характеризации этих понятий.
Прежде чем сделать это, приведем одно предложение, которое
интересно и само по себе.
4.8.1. Предложение. (Обозначения см. в § 4.1.)
(а) Для каждого гомоморфизма ifr: || Л,->М

4.8. Некоторые характеризации образующих и кообразующих 1в1
(Ь) Для каждого гомоморфизма 1]з: М -у Y[ Ai
ie/
ker (q>) = f| ker (nft).
Доказательство, (а) В силу.финитности элементов копроиз-
ведения каждый элемент из ]J[ А{ записывается как конечная
сумма
2' 11/ (ад, где а, е= At.
Отсюда
Ч> (S'Tb (а?)) = S'^Hi, (а,).
Таким образом,
im(t|))C 2 "п^Ы-
(е/
Обратно, если me ^] im(tprji), то т представимо в виде конеч-
ной суммы:
m=2>i« (a,) = i|>(S4 (ад), 1^4
Отсюда вытекает, что meim (t|>). Следовательно,
2 im(t|)ri,)cim(t|)).
re/
(b) Если m e ker (t|>), то непосредственно видно, что т е
к() для каждого ie/. Поэтому
ker (ф) С f] ker (я,ф).
IS/
Обратно, пусть me fl кег(Я;г]з). Это означает, что все компоненты
я|з(т) равны 0, поэтому t|)(m) = 0 и, следовательно,
f| ker (п<г|з) С ker (i|j). П
ie/
Перейдем к характеризации образующих и кообразующих.
4.8.2. Теорема, (а) Следующие условия эквивалентны:
A) Вд — образующий.
B) Каждая прямая сумма экземпляров В — образующий.
C) Некоторая прямая сумма экземпляров В — образующий.
D) Каждый модуль Mr является эпиморфньш образом некоторой
прямой суммы экземпляров В.
(Ь) Следующие условия эквивалентны:
A) Сд — кообразующий.

102 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
B) Каждое прямое произведение экземпляров С — кообразующий.
C) Некоторое прямое произведение экземпляров С — кообразующий.
D) Каждый модуль Мк можно мономорфно отобразить в неко-
некоторое прямое произведение экземпляров С.
Доказательство, (а) „A)<=>B)", „A)<*C)": Эти эквивалент-
эквивалентности следуют из 3.3.2.
„A)=>D)": Рассмотрим прямую сумму
ф, где 5Ф = В для всех ф е НотЛ (В, М)
и гомоморфизм
, М)
определяемый так:
Поскольку в (Ьф) лишь конечное число ЬуфО, то сумма справа
имеет смысл. Согласно 4.8.1, имеем
im (ip) 2 im (ф) = М,
следовательно, ij) — эпиморфизм.
„D)=>A)": Обратно, если существует эпиморфизм
]J[fiW, где Bt = B для всех ie/,
и r\i обозначает i-e включение В в JJfl,-, то 0);% е UomR (В, М),
а также, в силу 4.8.1,
М = im (ip) = 2 im (ip, tj,-) q. 2 1Ш(ф)СЛ1.
Таким образом, ? 1"т(ф) = Л1, т. е. В — образующий.
В, М)
(Ь) „A) о B), A) <s> C)": Эти эквивалентности следуют из 3.3.2.
„A)=>D)": Рассмотрим прямое произведение
YI Сф, где C<f = C для всех феНот^(Ж, С),
, С)

Упражнения ¦ 103
и гомоморфизм
«: уМ-> П С*
1, С)
определенный следующим образом:.
•ф(т):=(Сф), где Сф:=<р(т) для всех феНотЛ(М, С).
Для т е ker (ij)) имеем
те Р| ker (<p) = 0,
<реНот^(Л1, С)
следовательно, ip — мономорфизм.
,;D)=>A)": Обратно, если существует мономорфизм
ijj: M-*-Y[Ci> гДе Сг = С для всех i'e/,
и л,- обозначает г-ю проекцию, то ntip^Нотк(М, С), а также
согласно 4.8.1,
fl ker (ф) Q. fl ker (яД>) = ker (op) = 0;
<j>eHom^(Al, C) ie/
значит Pi ker(<p) = O, т. е. С — кообразующий. ?
1, С)
Упражнения
1. а) Показать, что для гомоморфизма а: А ->• В следующие утверждения
эквивалентны:
A) ker (а) является прямым слагаемым в A, a im (a) — прямым слагаемым в В;
B) существует такой гомоморфизм ($: В-у А, что a = af5a.
b) Как упрощается эта эквивалентность в случае, когда a — мономорфизм или
эпиморфизм?
2. Указать примеры семейства модулей (А{ | i е /) и модуля М, для которых
(Л,. А!),
П
\ се/
соотв.
НотЛ , ф ^ ф
(^ означает „не изоморфны как аддитивные группы").
3. а) Пусть Мрфй—модуль, удовлетворяющий условию М„=Л1„®Л1п, и
пусть S := End (Л1^). Доказать, что для каждого п е N у Ss существует
базис из п элементов.
Ь) Дать пример модуля Мф\,, удовлетворяющего условию М &s M ф М, и
для каждого п е N указать базис Ss из л элементов.

104 Гл. 4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули
4. Показать, что кольцо ЯфО является телом тогда и только тогда, когда
каждый правый /^-модуль свободен.
5. Доказать, что 4.4.6 имеет место также и для прямых слагаемых свободных
модулей.
6. а) Доказать, что если Р: BR-*-CR—эпиморфизм, <р: FR-*-CR— гомоморфизм
и FR — свободный модуль, то существует такой гомоморфизм ф': FR-*BR, что
Ф=рФ'.
Ь) Показать, что а) остается верным, если FR заменить произвольным пря-
прямым слагаемым свободного модуля.
7. а) Показать, что если
л
М-
— амальгама для (<р, а), то существует такой изоморфизм ту. B/im (a) ->
-> N/im (i|)), что диаграмма
В >В/\т(а)
N —>JV/im(i|>)
коммутативна (v — естественный эпиморфизм).
Ь) Сформулировать и доказать дуальное утверждение.
8. Пусть R — область целостности с полем частных К. Модуль MR называется
делимым, если для каждого ОфгеЯ имеет место равенство Мг=М. Дока-
Доказать, что
a) класс делимых ^-модулей замкнут относительно взятия фактормодулей,
произведений и копроизведений;
b) единственные делимые подмодули KR суть 0 и К;
c) R Ф К =$ каждый делимый циклический /^-модуль равен 0.
9. Пусть R — область целостности. Доказать следующие утверждения:
a) Модуль MR делим тогда и только тогда-, когда для каждого циклического
идеала А С R и каждого гомоморфизма q>: AR -> MR существует такой гомо-
гомоморфизм ф': RR -> MR, что ф' | /4 = ф.
b) Если для данного фиксированного MR при произвольном Л^ каждый моно-
мономорфизм ф: MR -*¦ NR является расщепляющим, то модуль MR делим.
10. а) Пусть Г —делимая абелева группа. Показать, что
A) если из произвольной системы ее образующих над Z выбросить конечное
множество произвольных элементов, ю оставшееся множество снова будет
системой образующих (см. также 2.3.7);
B) Т не содержит максимальных подгрупп.
b) Показать, что абелева группа не содержащая максимальных подгрупп,
делима.
c) Дать пример делимой абелевон группы, содержащей простую подгруппу.

Упражнения i 105
11. Для абелевой группы А определим периодическую часть1 Т (А) формулой
. Т(А):={а\а<=А/\Эге=2 [гфО/\аг = О]\.
Показать, что
a) А делима =J> T (А) — прямое слагаемое в А.
b) А делима ДТ(/4) = О=?/4 Z-изоморфна прямой сумме экземпляров Qz
(Указание. А можно сделать векторным пространством над Q.)
12. Пусть р — простое число и
Доказать, что
Q/Z = © Qp/Z.
р—простое
число
13. Пусть 0 —группа, R — кольцо и GR — групповое кольцо 0 над R.
а) Показать, что посредством правила
(Zgrg). (Sg'r'g.) := Sgg'erVi' для Sg/V 2gVg'
на GR определяется структура левого GR-молупя.
b) Используя а), указать пример модуля, являющегося левым и правым OR-
модулем, но не являющегося GR-G^-бимодулем.
14. Модуль MR называется регулярным (в смысле фон Неймана), если в нем
каждый циклический подмодуль является прямым слагаемым. Показать, что
A) в регулярном модуле каждый конечно-порожденный подмодуль является
прямым слагаемым;
B) R^ регулярен <=> KR регулярен <=> для каждого г е R существует такое
г' s R, что r = rr'r (см. также упр. 13 к гл. 2);
C) если кольцо R регулярно, то каждый свободный правый ^-модуль F регу-
регулярен. (Указание. Пусть \xi\iel] какой-нибудь базис для FRnxeFR,
Рассмотрите левый идеал в R, порожденный коэффициентами при х в разло-
разложении по элементам базиса. Согласно A) и B), он имеет вид Re, где е2 = е;
используя этот факт, найдите проекцию F -*¦ xR).
Т—от torsion (кручение). — Прим. ред.

5. Инъективные и
проективные модули
Инъективные и проективные модули —и вообще инъективные
и проективные объекты в категории —играют важную роль
в современной алгебре. Знакомство с этими понятиями должно
поэтому произойти как можно раньше, с тем чтобы при даль-
дальнейших рассуждениях можно было показать в выгодном свете эти
понятия и основанные на них точки зрения. В настоящей главе
описаны некоторые общие свойства инъективных и проективных
модулей. Позже мы неоднократно будем возвращаться к этим
понятиям.
Как вспомогательное средство при исследовании инъективных
и проективных модулей нам понадобятся косущгственные и суще-
существенные подмодули, а также дополнения. Эти понятия оказыва-
оказываются важными и в других случаях (как, например, при изучении
радикалов и цоколей) и потому будут сейчас изложены несколько
шире, чем это нужно для рассмотрений данной главы.
5.1. Несущественные и существенные подмодули
5.1.1. Определение, (а) Подмодуль А модуля М называется
косущественным ( = малым) в М (запись: А с? М), соотв.
существенным ( — большим) в М (запись: Ас?М), если
Vt/ с; М [A + U = М =>t/ = M],
соотв.
(b) Правый, левый или двусторонний идеал А кольца R называется
косущественным, соотв. существенным в R, если А —
несущественный, соотв. существенный подмодуль в RR, RR или RRK.
(c) Гомоморфизм а: А->В называется косущественным, соотв.
существенным, если
ker (а) с? А, соотв. im (а) с? В.

5.1. Косущественные и существенные подмодули 107
Замечание. Из определения непосредственно вытекают следую-
следующие свойства:
A) Ac$M
B)
D) МфО/\Ас?М=$ АфО.
5.1.2. Примеры. 1. Для каждого модуля М имеем Ос?Л4, Me?M.
2. Модуль называется полупростым, если каждый его подмодуль
является прямым слагаемым (см. гл. 8).
Если модуль М полупрост, то единственный несущественный
подмодуль в М — нулевой и единственный существенный подмодуль
в М — это сам М.
Доказательство. A Q.М =}существует такой подмодуль
UQ.M, что A®U = M. Поэтому AC M=$U = M=$ А = 0;
A<?M=*U = 0=$A = M. ?
3. Пусть R —локальное кольцо (см. гл. 7), не являющееся телом,
и А — двусторонний идеал из необратимых элементов в R. Тогда
А Ф 0 (так как R не тело) и А — наибольший собственный левый,
правый, соотв. двусторонний идеал в R (см. 7.1.1). Отсюда сле-
следует, что А косуществен и (поскольку А Ф 0) существен в RK,
rR И rRk.
Пример. R:=Z/pnZ, A:=pZ/pnZ, p — простое число.
4. В свободном Z-модуле лишь тривиальный подмодуль 0 явля-
является косущественным.
Доказательство. Пусть
<—свободный Z-модуль с базисом {хг|/е/}, AQ.F, а^А. Пусть
причем гхф0. Пусть, далее, /isZ, н. о. д. (гь /г)=1 и /г>1
(например, п есть простое число р, не делящее z{). Полагая
?/= 0
имеем aZ-\-U = F, а значит, A-\-U — F, где t/#F. D
В частности, лишь 0 является косущественным идеалом в Z.
Однако каждый ненулевой идеал в Z существен, потому что для
любых двух ненулевых идеалов aZ и bZ мы имеем 0 Ф ab e aZ f| 6Z.

Гл. б. Инъективные и проективные модули
5. Каждый конечно-порожденный подмодуль в Qz несуществен
в Qz. Действительно, пусть qu ..., ?,gQ и t/ С Qz, причем
Тогда {<7ь ..., qn) U U — система образующих для Q. Следовательно,
согласно 2.3.7, уже само U является системой образующих для
Qz и потому U = Q.
Мы переходим теперь к простым следствиям из определения.
5.1.3. Лемма, (a) A Q.B Q.M q. N/\B с? М => Л с? ЛЛ
(b) А,$М, г=1, 2, .... я=>Д1 А,СМ.
(c) Ac$M/\(f>e=HomR(M, N) =34(А) с$ N.
(d) Если а: А-*-В, C: В-+С — косущественные эпиморфизмы, то
рос: А-+С — тоже несущественный эпиморфизм.
Доказательство, (a) A + U = N=$B + U = N=$B + (U(]M) = M
(закон модулярности) =$U(]M — M (так как В с? М) => М Q. U,
и так как по * предположению A Q. М, то U = A-[-U = N, что
и требовалось доказать.
(Ь) Проведем индукцию по п. Для п = 1 утверждение леммы
верно по предположению. Пусть уже доказано, что
и для U с М
Тогда An-\-U = М, так как Ас$ М, =$U = M, поскольку Ап с? М
(с) Пусть ф(Л) + ^ = Л^, где U Q.N. Тогда для произвольного
т е УИ имеем ф(т) = ф(а) + ы, где йёЛ, u^U, =$ц>(т — а)=--
1 1(/1 1{/
ф() + ф() + ф()
= ф-хA0, потому что Лс^УИ, =? ф(Л1) = фф-х (U) = U (] im (ф) =}
=>ф(Л) С ф(М) С?У =5>U = q>(A) + U =.N, что и требовалось
доказать.
(d) Пусть ker(pa)-f-^= А, где U Q. А. Тогда, в силу равенства
ker(pa)=«-1(ker(p)),
a (ker (pa)) + a (U) = ker (p) + a (U) = a (A) = B.
Так как по предположению ker p cj В, то мы заключаем, что
a(U) = B и, следовательно,
ker («) + ?/ = А.
Поскольку ker (a) с? Л, получаем U = А, что и требовалось
доказать. . ?

%,Ь ^осуществимы* и существенные подмодули 109
Прежде чем заняться дуальными свойствами существенных
подмодулей, приведем еще один важный результат о циклических
подмодулях, не являющихся несущественными.
5.1.4. Лемма. Для a<=MR подмодуль aR не является косущест-
венным в М <=> существует максимальный подмодуль С Q. М,
такой что афС.
Доказательство. „<=": Если С —максимальный подмодуль
в М и а<фС, то aR-{-C = M, поэтому aR не является косущест-
венным в М.
„=>": Для доказательства этой импликации воспользуемся
леммой Цорна. Положим
Г : = {В ! В Q М Л«/? + В = М}.
Ф
Так как aR не является косущественным, то существуют ВеГ,
т. е. Тфф.
Пусть Л Ф ф — произвольное вполне упорядоченное (по вклю-
включению) подмножество в Г. Ясно, что
Во:^ U В
Вел
служит верхней гранью Л. Допустим, что а е Во. Тогда а должно
содержаться уже в некотором В, откуда следует, что aRQ.B,
а потому
Таким образом, афВ0 и, значит, B0Q.M. Так как BQ.B0 для
В s Л, то
Следовательно, ВоеГ, т. е. Л обладает верхней гранью в Г.
По лемме Цорна Г обладает максимальным элементом С.
Мы утверждаем теперь, что С — максимальный подмодуль в М.
Действительно, пусть С Q U q. M. Тогда U фТ, так как С макси-
максимален в Г. Из соотношений M — aR-\-CQ.aR-\-UQ.M вытекает,
что aR-\-U = M. Поскольку U ф Г, должно выполняться равен-
равенство U = M, что и требовалось доказать. ?
Обратимся теперь к существенным подмодулям. Прежде всего
для них справедливо дуальное к 5.1.3 утверждение.
5.1.5. Лемма, (а) А с В с М С N/\Ac*N=$B<$M.
п
(b) Atc*M, *«1, .... я=к> U
i—i

110 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
(c) Bc?N/\<peHomR(M, N) =>qr1 (В)с*М.
(d) Если а: Л-^-fi, 0: В->-С —существенные мономорфизмы, то
Р«: А-*-С — также существенный мономорфизм.
Доказательство, (a) U Q. M/\B f|?/ = 0=> Л f\U = ,
так как Ac?Nf\UQMQ.N.
(b) Применим индукцию по /г. Для п = 1 утверждение верно
по предположению. Пусть уже доказано, что
и пусть для U С. М
AC\An{}U = 0.
Тогда Л„П^ = О, поскольку А(?М, =>/У = 0, так как Апс* М.
(c) i/ С МДф (В) П J/ = 0 ==> В П Ф(f/) = 0 => ф ([/) = 0, так как
fl С* Л^, => ^ С ker (ф) = ф1 @) С ф-1 (B)=>U = ф-1 (fi) П ^ = 0.
(d) Пусть U Q.C и im (Pa) f) U = 0. Поскольку р — мономор-
мономорфизм, то
0 = (И @) = р'1 (im (ра)) П Р-1 (U) = im (а) П Р (U).
Так как \т(а)с?В, мы заключаем, что Р~1(?/) = 0. Отсюда сле-
следует, что im(P)fl^=O, а так как im(p)cfC, то мы получаем
0 = 0, что и требовалось доказать. ?
Для существенных подмодулей имеется следующий важный
для применений критерий, который нельзя непосредственно дуа-
лизовать.
5.1.6. Лемма. Пусть Aq.Mr. Тогда
Ac?MRo\/mezM, тфО Эг е R[mr ф0/\тг <= Л].
Доказательство. „=>": тф0=$тЯф0=2> А{]тЯф0,
так как Ас?М, =э наше утверждение.
: В-О.М/\Вф0=> найдется те В, тфО. Далее, тг ф
г(=А=$0фтг(=АС\В=$Ас?М. ?
5.1.7. Следствие. Пусть М = ]?М{, MtQ.M, A{cfMi для всех
i'e/ и
Тогда
А с?М и М= ф ,

S.I. Косуществеиные и существенные подмодули Ш
Доказательство. „Ас?М": Каждый элемент из М есть сумма
конечного числа элементов из М,-, поэтому, согласно 5.1.6, доста-
достаточно доказать утверждение для конечного множества индексов /,
скажем для / = {1, ..., п).
Проведем доказательство индукцией по п. При п=\ наше
утверждение верно по предположению. Пусть оно верно для п— 1
слагаемых, т. е.
и пусть
Офт = т1 + ... + Шп-! + т„, где т{&М{.
Если mi-f-. .-f-ffv_i = 0, то т — тпф§, поэтому найдется такое
r<=R, что Офтг = тпг^А„. Будем поэтому считать, что т1-\-
... -f Шп-i Ф 0- Тогда по предположению индукции найдется г е R,
для которого
Если тпг = 0 для этого г, то все доказано. Пусть поэтому
тпгф0. Тогда существует такой элемент sg #, что 0 =? mre/-s е Ля,
откуда mrs e Лх + ... + Лге. Поскольку сумма Л,- —прямая, имеем,
далее, тгзфО. Это показывает, что Лс* М.
„М = ф М;": И в этом случае также достаточно взять / =
= {1, ..., п) и предположить, что
ге-1
Тогда существует г <= R, для которого
ге-1
Таким образом,
п-1
Если бы нашлось seR, для которого 0фтпг8& Ап, то мы имели бы
п-1
0#mrers= (mi+ ... + /«„_!)rse An[\ JJ Л(,
в противоречие с предположением. ?
5.1.8. Следствиег Пусть М= ф М,-, М, Q. M, A{cf М( для всех
is/
(е/. Тогда
Л:= У] Л,= ф' Ai и AcfM.

112 Гл. 5. Инъективные н проективные модули
Доказательство. Из соотношений Л4 = фЛ4, и Ai С М{ сле-
следует, что Л = ©Л/. Из 5.1.7 вытекает теперь, что Ас?М. ?
5.1.9. Следствие. Пусть М= © Mt и BQ.M. Тогда следую-
щие условия эквивалентны:
A) V[MM]
B)
(.3)
Доказательство. „A)=>B)": В силу 5.1.8.
„B) => C)": Это следует из того, что ф (В П М{) с* В, и из
lei
5.1.5(а).
„C) => A)": Пусть О Ф щ е= Mt. Тогда по 5.1.6 найдется r<=R,
для которого Офт^^В. Так как, с другой стороны, m/e УИ,-,
то О Ф пцг е В П Mit следовательно, имеет место A). ?
5.2. Дополнения
Речь здесь пойдет об ослаблении понятия прямой суммы двух
подмодулей. Прямая сумма
определяется,, как мы знаем, двумя условиями:
Ослабляя их указанным ниже образом, мы приходим к понятию
дополнений.
5.2.1. Определение. Пусть Ас,М.
(a) А' С М называется аддитивным дополнением {сокра-
{сокращенно а. д.) для (или к) А в М, если
A) Л + Л' = М,
B) А' — минимальный подмодуль со свойством А-{-А' — М, т. е.
УВ Q. М [(А + В = М/\В С А)=> В = А].
(b) А' С /И называется дополнением по пересечению
(сокращенно д. п.) для (или к) А в М, если
A) А(]А' = 0,
2) А'— максимальный подмодуль со свойством А[}А' — 0, т. е.
усМ[(Апсо/А'С)А' с\J
B
[(/\) \
Прежде всего мы должны обосновать наше предварительное
замечание.
1 Ниже для краткости вместо „аддитивное дополнение" и „дополнение по
пересечению" мы пишем иногда „-(--дополнение" и „ П -дополнение" соответ-
соответственно. — Прим. перев.

8.2. Дополнения . Ш
5.2.2. Следствие. Пусть AQ.M и BQ.M. Тогда А® В =
= М.о В — одновременно а. д. и д. п. для А в М.
Доказательство. „<=": Непосредственно следует из опреде-
определения.
„=>": Пусть А + С = М и С С В. В силу закона модулярно-
модулярности, (Af\B) + C = B, а из того что Af\B = 0, получаем С = В.
Поэтому В-а. д. Далее, А[}С = 0 и В сС=$ А®С = М=$ В = С,
согласно предыдущему рассуждению, если поменять в нем ролями В
и С. Таким образом, В является д. п. для А. ?
Возникает вопрос о единственности и существовании таких
дополнений. Уже в случае А®В = М подмодуль В (при фикси-
фиксированных М и А), вообще говоря, определен лишь с точностью
до изоморфизма. Для дополнений даже это не имеет места
(см. пример в упр. 6, d)), всё же мы приведем позже некоторые
результаты о единственности.
Обратимся теперь к вопросу о существовании дополнений.
Как показывает пример Zz, аддитивные дополнения не всегда
существуют. Действительно, пусть п, meZ, причем (п, т) = \.
Тогда
Для п Ф 0, т Ф ± 1 и (п, q) = 1, q > 1 мы также имеем (п, qm) = 1,
причем qtnL Q. tnZ; следовательно, nL не обладает аддитивным
дополнением.
С другой стороны, легко привести примеры модулей, в кото-
которых аддитивные дополнения существуют,таковы, например, арти-
новы модули и полупростые модули. Напротив, дополнения по
пересечению существуют всегда, причем они могут быть даже
выбраны специальным образом.
5.2.3. Лемма. Пусть A, BQ.M, причем A[\B = Q. Тогда для А
существует такое (~1 -дополнение А', что В Q. А', и, следовательно,
для А' существует такое П -дополнение А", что AQ.A".
Доказательство. Привлечем лемму Цорна. Положим
Ясно, что Г Ф ф, ибо ВеГ, Так как объединение всякого вполне.
упорядоченного подмножества из Г, очевидно, принадлежит Г,
то каждое вполне упорядоченное подмножество в Г имеет верх-
верхнюю грань в Г. По лемме Цорна в Г существует максимальный
элемент А'. Беря А' вместо А и А вместо В, аналогично полу-
получаем А С А". ?
Тот факт, что дополнение по пересечению существует всегда,
а аддитивное дополнение нет, играет для общей теории модулей

114 Гл. 8. Инъектнвные н проективные модули
важную роль. Например, отсюда следует, что инъективная обо-
оболочка (определение будет дано ниже) существует всегда, а проектив-
проективная оболочка, вообще говоря, не всегда. Причина заключается
в том, что в категории модулей лемму Цорна нельзя применить
в дуальном случае.
Между понятиями косущественного подмодуля и аддитивного
дополнения, соотв. между понятиями существенного подмодуля и
дополнения по пересечению, существует важная связь, которую
мы сейчас опишем.
5.2.4. Лемма, (а) Пусть М = А + В. Тогда В —а. д. для А
в М<*А[}Вс?В.
(b) Если В — а. д. А в М и А" —а. д. А' в М, то А' —также
а. д. для А" в М.
(c) Если А' —а. д. А в М и А" —а. д. А' -в М, причем A" Q. А,
то А/А"с$М/А".
Доказательство, (а) „=>": Пусть U Q.B, причем (А{\В)-\-
+ ?/ = В. Тогда M = A + B = A + (A[}B)-\-U= A + U. Так как
В —а. д. для А, то U — B. Следовательно, А[}Вс?В.
(a) „<?=": Пусть М = A + U, причем UQ.B. Тогда В = (А П В) +
-\-U. Поскольку АГ\Вс?В, отсюда вытекает что B — U. Следо-
Следовательно, В—а. д. для А в М.
(b) По условию, М = А"-\-А'. Пусть U Q. А', причем М =
= A"-\-U. Тогда А' = (А" П А')-\-U. В силу равенства М = А+ А,
получаем М — А -\- (А" П А') + U. Из А" П А' с? А" следует, что
А"(\А*с$М. Поэтому M = A + (A"C\A-) + U=A + U. Так как
Л' —а. д. для А и U Q. А', то U — А . Следовательно, Л' —а. д.
для А" в М.
(c) Пусть (А/А") + (U/A") = М/А", где A" Q U Q М. Тогда
A + U = M. Далее, поскольку М = Л"-|-Л' и Л" Q. U, то U =
= Л"-|-(Л" П U). Отсюда вытекает, что М=Л-|-С/=Л+Л"+(Л" П U)=
= A + (A'f\U). Так как Л' —а. д. для Л, то Л"П^=Л". Следова-
Следовательно, Л" С U и потому М = Л"+ Л" Q, U Q, М. Таким обра-
образом, U = М, откуда U/А" = М/А", что и требовалось доказать. D
Перейдем к дуальному утверждению.
5.2.5. Лемма, (а) Если А и В — подмодули в М, для которых
0 = А[}В, то В-д. п. для А в М <$(А + В)/Вс* М/В.
(b) Если А' —д. п. А в М и А" —д. п. А' в М, то А' —также
д. п. А" в М.
(c) Если А' — д. п. А в М и А" —д. п. А' в М, для которого
AQA", то Ас* А".
Доказательство, (а) „=>": Пусть (Л-f В)/В ПU/B = 0, при-
причем BQ.UQM. Тогда (A + B)[)U = B. Отсюда Af}UQ,B и,
следовательно, A(\Uq.A(\B. Так как В —д. п. для А, то

5.8. Определение инъективных л проективных модулей ПБ
Af]B = 0. Таким образом, Af\U = 0. В силу того что В Q. U и
В —д. п., имеем B — U. Поэтому U/B = B/B=Q. Это означает, что
(Л + В)/В — существенный подмодуль в М/В.
(a) „4=": Пусть теперь A[}U = 6, причем В Q.U Q.M, и пусть
x^(A + B)f\U. Тогда х = а-\-Ь = и, где я^Л, be В, u^U.
Следов ательно,, а —и — b ^ A[\U = 0; и потому а = 0ид; = 6еВ.
Отсюда (A + B)(\U = B, поэтому (A + B)/B[]U/B = 0. В силу того
что (<4-fB)/Bcf М/В, мы должны иметь U/B =0. Это означает,
что В —0. Следовательно, В — д. п. для А в М.
(Ь) По условию Л"ПЛ' = 0. Пусть Л'с?/сЛ4, причем
Л'П?/ = 0. Из (Л" + Л')/Л"с* М/Л" следует, что Л" + Л'с?М
(в силу 5.1.5(с)). Пустьл;е(Л" + Л')П(ЛП^)- Тогда л: = а" + а'=
= а = и, где а" е Л", й' е /1', аеД,ие(/. Отсюда а" = и — а' е
е Л"П f/=0. Следовательно, а"=0, и потому х = а!=ае Л' П Л=0.
Таким образом, (Л"+ Л') П(ЛП^)=^О. Поскольку Л"+Л'с^ Л,
имеем A[\U = 0. Так как Л' —д. п. для Л и так как было пред-
предположено, что А'С, U, то A' = U, что и требовалось доказать,
(с) Пусть U С, А", причем A(]U = 0. Для хеДП(^'П^) имеем
х = а = а' + и, где яеЛ, а'еА', u^U. Отсюда получаем, что
а~и = а'^ А"(] А'= 0. Таким образом, х — а = и е Л f|f/ = O.
Следовательно, ЛП(Л' + ^) = 0. Отсюда Л' + {/ = Л', и потому
UQ. А'. Учитывая, что U Q. А", получаем U Q. А"Т\ А' *=0 и, зна-
значит, U = 0. Этим доказано, что Л cf Л". ?
5.3. Определение инъективных и проективных
модулей и некоторые простые следствия
5.3.1. Теорема, (а) Для модуля Q# следующие условия эквивалентны:
A) Каждый мономорфизм
1-.Q-+B
является расщепляющим (т. е. im (|) — прямое слагаемое в В).
B) Для каждого мономорфизма а: Л -v В и каждого гомоморфизма
<р: A^-Q существует такой гомоморфизм к: B-vQ, что ср = иа.
C) Для каждого мономорфизма а: Л-у В отображение
Нот (а, 10): Нот«(В, <Э)-^Нот«(Л, Q)
есть эпиморфизм.
(b) Для модуля PR следующие условия эквивалентны:
A) Каждый эпиморфизм
|: В^Р
является расщепляющим (т. е. ker Ц) —прямое слагаемое в В).
B) Для каждого эпиморфизма р: В^-С и каждого гомоморфизма
г|з: Я-vC, существует такой гомоморфизм %: f-vB, что ч|з = рА,.
C) Для каждого эпиморфизма ft: B^>-C отображение
НотAР, Р): Нот« (Я, В)^Нотн(Р, С)

116 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
есть эпиморфизм.
Диаграмма для
/ -
/
Я
Диаграмма для
1
/
>
¦R
у
(а),
-В
(Ь),
>
B):
B):
Доказательство, (а). „A) =$B)": Эта импликация следует
из 4.7.4, поскольку по условию яр в 4.7.4 является расщепляющим.
„B) :=? A)": По предположению существует такой гомоморфизм
и: B-+Q, что диаграмма
б
коммутативна, т. е. 1q=^x1, поэтому, согласно 3.4.11, | является
расщепляющим.
(a) „B) <=> C)": Из рассмотрения определения Нот (a, \Q)
(см. 3.6) явствует, что C) есть эквивалентная формулировка
утверждения B).
(b) „A) =е> B)": Это следует из 4.7.6, поскольку по предполо-
предположению а в 4.7.6 является расщепляющим.
(Ь) „B)=$(\)": По предположению существует такой гомомор-
гомоморфе Р ¦
физм X:
¦В, что диаграмма
у
В-
коммутативна, т. е. \Р = 1Х, поэтому, согласно 3.4.11, ? является
расщепляющим.

5.3. Определение инъективных и проективных модулей Ш
(Ь) „B) <=> C)": Одно утверждение — эквивалентная переформу-
переформулировка другого. ?
5.3.2. Определение, (а) Модуль Q%, удовлетворяющий условиям
5.3.1(а), называется инъективным- R-модулем.
(б) Модуль PR, удовлетворяющий условиям 5.3.1(Ь), называется
проективным R-модулем.
В этом определении инъективного, соотв. проективного, модуля
используется категория правых унитарных ^-модулей, поскольку
допускаются все мономорфизмы а: А -*¦ В, соотв. все эпиморфизмы
р: B-vC. Таким образом, в обоих случаях мы имеем категориое
„внешнее" определение.
Естественно возникает вопрос, можно ли охарактеризовать
инъективные и проективные модули с помощью „внутренних"
свойств. Для проективных модулей, как мы скоро увидим, это
легко сделать: /^-модуль проективен тогда и только тогда, когда
он изоморфен прямому слагаемому некоторого свободного ^-мо-
^-модуля. Для инъективных модулей в общем случае нет аналогич-
аналогичного простого описания через внутренние свойства. Все же для
R = Z такое описание имеется: Z-модуль инъективен тогда и
только тогда, когда он делим. Общий случай сводится к этому.
Приведем сначала некоторые простые следствия из определения.
5.3.3. Следствие, (a) Q инъективен и Q^A=>A инъективен,
(b) P проективен и Р^С=$С проективен.
Доказательство, (а) Пусть ср: Q^A. Если а: А-+-В — мо-
мономорфизм, то аф — также мономорфизм. Согласно 5.3.1, im(a) —
прямое слагаемое в В. Поскольку im(acp) = im (a), то А также
пнъективен.
(Ь) Пусть я|>: Со^Р. Если 0: В -у С — эпиморфизм, то г|>р—
также эпиморфизм. В силу равенства ker (tyP) = ker (P), ker(P) —
прямое слагаемое в В, следовательно, С проективен. ?
5.3.4. Теорема, (а) Если Q^YlQ» то
Q инъективен <=> V/ <= / [Q,- инъективен].
(Ь) Если P=Yl pi или Р= 0 Ph то
«e/
P проективен «Vie/ [P{ проективен].
Доказательство. Обозначения проекций для прямого про-
произведения и инъекций для прямой суммы те же, что и в гл. 4.

118 Гл. 5. Инъектнвные н проективные модули
(а) „=^>": Пусть Q инъективен, а: А ->¦ В — мономорфизм и дл)
/<=/ пусть <р: A-+Qj — некоторый гомоморфизм. По предположе
нию, для огуу существует гомоморфизм со: B-+Q, такой чтч
= соа:
V
о
У
/
Тогда искомым гомоморфизмом и, для которого ф = ка, будет
и := Лу-со, так как
ф
ф
(orj/ф) = П] (соа) = (яусо) а = иа
(а) „<=": Пусть теперь даны мономорфизм а: Ач-В и гомо-
гомоморфизм ф: Л^-Q. По предположению для каждого я,ф сущест-
существует такой гомоморфизм %,-, что л/ф = ига. Согласно 4.1.6, сущест-
существует к: В-ь-Q, для которого %< = л/и:
Q
Мы утверждаем, что ф = ка. В самом деле, из л;ф = ща и щ =
= л/И следует, что л,ф = л(ха, поэтому по 4.1.6 (единственность)
(Ь) В силу 5.3.3, достаточно рассмотреть случай Р = J| Pt.

5.3. Определение инъективных и проективных модулей
119
Доказательство дуально к (а), поэтому мы будем кратки.
(Ь) ,»=>": Теперь мы имеем такую ситуацию:
г U
*~с
Поскольку Р проективен, то существует ю, для которого
= Р«>. Тогда Я, := <ат^ дает требуемый гомоморфизм. Действи-
Действительно,
(Ь) ,,^=": В диаграмме
существуют такое Kt, что ^ = рЯ, (по предположению), и такое X,
что Kl = ly\i (так как /э = цРг)- Остается показать, что i]) = pX.
Из 1|я1г = Р^ и Я/ = Хт]г следует, что я|;г]( = рЯт)/. Поэтому по 4.1.6
(единственность) \|з = рЯ. ?
Отсюда, в частности, вытекает, что каждое прямое слагаемое
проективного модуля тоже проективно, а поскольку для конеч-
конечного множества индексов прямая сумма совпадает с прямым про-
произведением, то и каждое прямое слагаемое инъективного модуля
инъективно.

120 Гл. 5. Инъективиые и проективные модули
5.4. Проективные модули
Теперь мы можем дать упомянутое выше внутреннее описа-
описание проективных модулей.
5.4.1. Теорема. Модуль проектшен тогда и только тогда, когда
он изоморфен прямому слагаемому некоторого свободного модуля.
Доказательство.. По 4.4.6 каждый свободный модуль про-
ективен, а потому, согласно 5.3.4 и 5.3.3, каждый модуль, изо-
изоморфный прямому слагаемому свободного модуля, также проекти-
вен. Докажем обратное. Пусть Р — проективный модуль Р и
— эпиморфизм некоторого свободного модуля F uaP, существую-
существующий по 4.4.4. Поскольку Р проективен, ? является расщепляющим:
F = ker(|)$F0,
а значит, Fo изоморфен Р. ?
Эта теорема, у которой нет дуальной для инъективных моду-
модулей, сводит теорию проективных модулей к изучению свойств
свободных модулей и их прямых слагаемых.
Как известно, каждый подмодуль свободного Z-модуля снова
свободен (см. упр. 10). Отсюда вытекает
Следствие. Каждый проективный 2-модуль свободен.
Важным вспомогательным средством для исследования проек-
проективных модулей служит так называемая лемма о дуальном базисе,
которая для проективных модулей в некотором смысле заменяет
свойство существования базиса у свободных модулей.
5.4.2. Теорема (лемма о дуальном базисе). Следующие свойства
эквивалентны:
A) Модуль PR проективен.
B) Для каждого семейства (yt \ i е /) образующих Р над R суще-
существует семейство (%\i^I), где q>i^P*:=HomR(P, R), такое
что
(a) Vp е Р [ф; (р) Ф 0 лишь для конечного числа i e /],
(b) vPz=P[p= и
ie.i
4>t (р) Ф о
C) Существуют такие семейства (yt\i&I), t/,-sP, и ((p,-|te/),
(()(еР*, что имеют место (а) и (Ь).
Доказательство. „A)=>B)": Как показано в § 4.4, сущест-
существуют свободный ^-модуль F с базисом {x,|ie/} И эпиморфизм

5.5. Инъективные модули . 12Г
|: F-*-P, удовлетворяющий условию i(*/) = t/i. Пусть
п,: F3^xiril-^rf^R, /е=/,
(где мы полагаем // = 0, если в 2*<г/ член с индексом / отсут-
отсутствует). Тогда для a = Yixiri е ^ имеем: щ (а) Ф 0 лишь для конеч-
конечного числа /е/ и а='?х1я1(а).
Из проективности Р следует существование к: P~*-F, для
которого \р — \Х:
/
Введем обозначение ф;:=Я;Я, !б/. Ясно, что ф^еЯ* и для
jjgP значение ф; (р) = п{к(р)Ф0 только для конечного числа
i е /. Далее, для р^Р имеем
= 1 B *,я, (X (р))) = 21 (*,) п,к (р) = ^ «/гФг (р).
Таким образом, выполнены (а) и (Ь).
„B) =Э C)": Очевидно.
„C)=^A)": В силу (b), (yi | i e /) — семейство образующих
для Р. Пусть теперь |: F-*-P — тот же эпиморфизм, что и в дока-
доказательстве импликации A)==}B). Пусть, далее, т: P-vF опреде-
определено формулой х(р):~ ?я,ф,- (р). Прежде всего ясно, что т —кор-
—корректно определенное отображение, поскольку ф;(р) однозначно
определены и, в силу (а), почти все ф; (р) равны 0. Более того,
очевидно, что т есть ^-гомоморфизм. Поэтому
Ь (р) = i B xt% (p)) = 2 ут (р) = р;
следовательно, 1Р = |т, т. е. | является расщепляющим, а зна-
значит, в силу 5.4.1, Р проективен.
5.5. Инъективные модули
Вообще говоря, инъективные модули нельзя описать с помощью
внутренних свойств таким простым способом, как проективные
модули. Однако для R = Z такое описание есть, и это имеет
большое значение .также и для случая произвольного кольца R,
ибо эта характеризация используется для доказательства сущест-
существования инъективных расширений.
5.5.1. Теорема. Z-модуль (=абелева группа) инъективен тогда
и только тогда, когда он делим.

122 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
Доказательство. Если модуль Dz делим, то в силу 4.5.5
он инъективен. Обратно, пусть модуль Qz инъективен, и пусть
qo^Q, О Ф г0 е Z. Рассмотрим гомоморфизмы
/
У*
Q'
где i —включение, а ф определен формулой ф(г0) :=^о- В силу
инъективности Q существует и, для которого ф = и1. Имееми(го) =
—и A ¦ г0) = х A) г0 = ф (г0) = qo- Ввиду произвольности qo&Q полу-
получаем Qzo = Q, т. е. Q — делимая группа. ?
Пусть R — произвольное кольцо. Так как каждый модуль
есть эпиморфный образ свободного ^-модуля и свободные модули
проектиБны, то каждый модуль есть эпиморфный образ проек-
проективного модуля. Обратимся теперь к дуальному вопросу и пока-
покажем, что каждый модуль можно мономорфно отобразить в инъек-
тивный модуль.
5.6.2. Предложение. Если D —делимый (= инъективный)
Z-модуль, то Homz(R, D) инъективен как правый R-модуль.
Доказательство. Пусть а: А->В — произвольный ^-моно-
^-мономорфизм и ф: A-*-Homz(R, ?>) —произвольный ^-гомоморфизм.
Обозначим через а следующий гомоморфизм:
а: Homz(R, D)s/i-
и рассмотрим диаграмму
Л ы
Л/ /
Г/'
Если трактовать а и ф как лишь Z-гомоморфизмы, то в силу
Z-инъективности D существует Z-гомоморфизм т: B->D, для
которого аф = та. Определим теперь к: B->Homz(R, D) формулой
b<=B, r<=R.

5.5. Ииъективиые модули . 123
Тогда, очевидно, для фиксированного &efl имеем и(&)б?
e=Homz(#, D) и
и (ftrO (г) = т (ft^r) = и (Ь) (/у) = (и F) Гх) (г),
т. е. и (Ьгх) = и (&) /v Следовательно, х является ^-гомоморфизмом.
Для него
wx (а) (г) = х (а (а) г) = т (а (а/-)) = та (аг) = аср (аг)
= Ф (аг) A) = (Ф (а) г) A) = Ф (а) (г).
Таким образом, иа = ф. ?
5.5.3. Теорема. Для каждого модуля существует мономорфизм
в инъективный модуль.
Доказательство. Пусть дан модуль MR. По 4.5.4 суще-
существует Z-мономорфизм
в делимую абелеву группу D. В силу 5.5.2, Hom2 (R, D)R инъек-
тивен как /?-модуль. Определим
р: M->Homz(/?, D)
правилом р(т) (г) := \i(mr), теМ, г е /?. Очевидно, р является
/^-гомоморфизмом. Из того что ц — мономорфизм, следует, что и
р — мономорфизм. ?
5.5.4. Следствие. QR инъективеноQR изоморфен прямому сла-
слагаемому модуля вида Homz (R, D)R, где D — делимая абелева группа.
Доказательство. „=Э": Содержится в доказательстве тео-
теоремы 5.5.3.
„<=": Вытекает из 5.5.2 и 5.3.4.
Следствие 5.5.4 можно рассматривать как „внутреннюю" харак-
теризацию инъективных модулей.
5.5.5. Следствие. Каждый модуль есть подмодуль инъективного
модуля.
Доказательство мы оформим в виде отдельного предложения.
5.5.6. Предложение. Пусть р: Mr-> NR — мономорфизм. Тогда
найдутся такой модуль N', удовлетворяющий условию М С, N',
и такой изоморфизм т: N'-*-N, что p = Ti, где i— включение М
в N'.
Доказательство. Пусть D — произвольное множество, равно-
мощное множеству Л^\р(Л1) (теоретико-множественному допол-
дополнению множества р (М) в W), причем Dp[M = 0, и
Р: D-*-N\p(M)

124 Гл. 5. Инъективиые и проективные модули
— некоторая биекция. Рассмотрим множество N' := М U D, и пусть.,
т: N'-+N
— биективное отображение, определенное следующим образом:!,
т(т):=р(т), /пеМ,
x(d) :=
Чтобы превратить ЛГ в Я-модуль, содержащий MR, а т —вгомо-'
морфизм R-модулей, положим t
хг :=тг1(т(х)г), r<=R.
Как легко видеть, все наши утверждения имеют место. ?•
Из этого предложения сразу следует 5.5.5, так как модуль
N' инъективен как изоморфный инъективному модулю N— '
= Hom2 (R, D)R. -.
5.6. Инъективные и проективные оболочки ;*
Итак, с одной стороны, каждый модуль мономорфно отобра-f
жается в некоторый инъективный модуль. С другой стороны,^
всякий модуль является эпиморфным образом проективного модуля.!
Сейчас займемся вопросом, существуют ли „наименьшие" такие!
модули. j
5.6.1. Определение. Пусть дан модуль MR. *'
(a) Мономорфизм tj: M->Q называется инъективной обе
лочкой модуля М, если Q — инъективный модуль, a tj — сущест-
существенный мономорфизм (см. 5.1.1).
(b) Эпиморфизм |: Р-*-М называется проективной оболоч-..
кой модуля М, если Р — проективный модуль, а \ — косущест-
венный эпиморфизм {см. 5.1.1).
В случае когда tj: M->Q — инъективная оболочка, часто, если ¦'*
это не ведет к недоразумениям, сам модуль Q называют инъек- 'с
тивной оболочкой модуля М, не указывая явно tj. Аналогично *
поступают и в случае проективной оболочки.
Понимаемая в этом смысле инъективная оболочка для М обо-
обозначается через 1(Л1), а проективная оболочка для М — через Р(М).
Заметим, что I (М) и Р (М) не определяются модулем М одно- "
значно, а лишь с точностью до изоморфизма (см. 5.6.3). ,t
Пример. Zz-^*Qz —инъективная оболочка для Zz, ибо i —моно-
—мономорфизм, Qz инъективен (= делим) и, согласно 5.1.6, Z2 —суще-
—существенный подмодуль в Qz.

5.6. Ииъективные и проективные оболочки 125
5.6.2. Следствие, (а) Если ц(: Mi->Qi, где /=1, 2 п,-«
инъективные оболочки Ми то
© Ш' © Л!,-*- © Q<
i i i
«- инъективная оболочка ф Мг.
(Ъ) ?сли |,-: Я/ -*- Л4<, где t = 1, 2,..., п — проективные оболочки Mt,
то
Ф & Ф ^-»- Ф Л1,
— проективная оболочка © ЛЬ.
i = i
Доказательство, (а) следует из 5.1.7 и 5.3.4, (Ь) —из 5.1.3
и 5.3.4. D
Теперь возникают два вопроса, а именно о единственности и
существовании оболочек. Мы начнем с вопроса о единственности.
Докажем сейчас даже несколько более общий результат.
6.6.3. Теорема, (а) Пусть ср: Mi-*-М% — изоморфизм, гц:
инъективная оболочка и tj2: M2->Q2 — мономорфизм, причем Q2
инъективен. Тогда существует такой расщепляющий мономорфизм
что диаграмма
М,
коммутативна и
tj2: М2 э /и |—» % (т) е im (f)
— инъективная оболочка М*. Сам tj2 является инъективной обо-
оболочкой модуля М2 тогда и только тогда, когда г|з — изоморфизм.
(Ь) Пусть <р: Mi~*-M2—изоморфизм, |х: Pi-^-M.^ —эпиморфизм,
Рхпроективен и 12: Р2'-*-М2 — проективная оболочка. Тогда суще-
существует такой расщепляющий эпиморфизм

126 Гл. S. Ииъективиые и проективные модули
коммутативна и ii'=li\P0, где Pi = ker(ty)еРо (заметим, что
Po = Pi/ker(ty)) —проективная оболочка для Мг. Сам |х является
проективной оболочкой модуля Mi тогда и только тогда, когда
ty —изоморфизм.
Доказательство, (а) В коммутативной диаграмме
/
Mi / Ф
¦ф существует, так как Q2 инъективен. Из того что ]ф ф|1
мономорфизм, следует, что ker (i|)) fl im (^i) = 0- Поскольку im (гц)
существен в Qu то ker (ij)) = 0, т. е. г|з — мономорфизм. Учитывая,
что Qx инъективен, получаем, что г|з является расщепляющим и
im (i))) инъективен.
Поскольку im (rj2) Q. imip, % определено корректно. Вместе с ц2
также и fj2 представляет собой мономорфизм и ran (fj2) = im (г|з) инъек-
инъективен. Осталось показать, что im (т}2) = im (rJ) — существенный под-
подмодуль в im(ij)). Положим
ясно, что ij) — изоморфизм и
Так как гц (Мх) существен в Qlt отсюда, согласно 5.1.5 (с) (с cp=ip-1),
вытекает, что fj8 (Мг) — также существенный подмодуль в ran (ty) =
= im (ф).
Если т]2—инъективная оболочка М2, то im(rJ)cf Q2 и из вклю-
включения im (rj2) Q im (г|з) следует, что im (г|з) cf Qt- Поскольку im (\fe) —

5,6, Инъективные и проективный оболочки
прямое слагаемое в Q2, это возможно лишь при im(ij)) = Q2, т. е.
ф — изоморфизм. Обратно, если i|) — изоморфизм, то r]2 = rj2, т. е.
rj2 —инъективная оболочка модуля Mt.
(b) В коммутативной диаграмме
у м,
р
2
ij) существует, поскольку Pi проективен. Из того что ф|1 = |2;Ф —
эпиморфизм, следует, что im (гр) + кег (|2) = Р2- Так как ker(|2)
косуществен в Р2, то im(ij)) = P2> т. е. и|> — эпиморфизм. По-
Поскольку Р2 проективен, то ife является расщепляющим:
и Ро = Pi/ker (tj)) — проективный модуль.
Из включения ker (ij)) Q. кег (|х) вытекает, что вместе с ^ также
и §!: = ^i | /*0 является эпиморфизмом. Так как Ро проективен,
остается лишь показать, что ker (|i) c? Ро- Положим
-^ АЛ
Ясно, что tj) —изоморфизм, а из равенства cpii = !2ij) итого, чтоф
и ^—изоморфизмы, следует равенство
кег (|0 = Г1 (ker (W).
Поскольку ker (|2) — косущественный подмодуль в Р2, то, согласно
5.1.3(с), ker (li) — косущественный подмодуль в if (Р2) = Яо-
Если li — проективная оболочка модуля Mi, то ker (Ю с> Pi.
Так как ker (i|)) Q. ker (Ю> то ker (tj)) с? Pi. Поскольку, однако,
ker (i|)) — прямое слагаемое в Plt это возможно лишь при ker (ф) =
= 0, т. е. ^ — изоморфизм. Обратно, если i)> — изоморфизм, то
li = li» так что |i — проективная оболочка модуля Mi. ?
Подчеркнем еще раз, что в силу доказанной теоремы инъек-
инъективная, соотв. проективная, оболочка (если она существует),
определена однозначно с точностью до изоморфизма. Например,
положив в инъективном случае M = Mi = М2 и ф = 1Ж, полу-
получаем, что гJ— инъективная оболочка для М тогда и только тогда,
когда i|5 — изоморфизм.

128 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
Перейдем теперь к вопросу о существовании проективных и
инъективных оболочек. Мы покажем, что в то время как инъек-
тивная оболочка существует для каждого модуля, дуальное пред-
предложение не имеет места. Таким образом, существуют модули, не
имеющие проективной оболочки. Например, Z-модуль, не являю-
являющийся проективным (= свободным), не обладает проективной обо-
оболочкой, ибо, как было показано в 5.1.2, единственным косущест-
венным подмодулем свободного Z-модуля служит тривиальный
подмодуль 0.
В связи с этим возникает интересный вопрос об описании
таких колец R, для которых каждый /?-модуль имеет проектив-
проективную оболочку. Это — совершенные кольца, которыми мы займемся
позже.
5.6.4. Теорема. Каждый модуль М обладает инъективной обо-
оболочкой. Точнее, если \i: M-^-Q —мономорфизм в некоторый инъ-
ективный модуль Q и \т (ц)" — второе (]-дополнение1 Kim(\L)eQ,
удовлетворяющее условию \т (\i) Q. im (\i)", то
p.: M-^-im(n)",
где ji(т) = ц(т) для всех гае М (ограничение области значенийц
на im(\i)"), есть инъектшная оболочка модуля М.
Доказательство. Положим А:=\т(ц). Как было показано
в 5.2.5(с), А — существенный подмодуль в А". Остается устано-
установить, что А" инъективен. Для этого мы докажем, что Л" —пря-
—прямое слагаемое в Q; поскольку Q инъективен, отсюда по теореме
5.3.4 будет следовать, что А" также инъективен. Рассмотрим
диаграмму
где i — включение, а а и р определяются следующим образом
(ниже мы записываем элементы из Q/A'®Q/A" как пары): для
Р (а" + а'):= (а". + а' + А', а" + а' + А") = (а" + А', а' + А"),
а для ?eQ
a(q):=(q+A', q + A").
Ясно, что диаграмма коммутативна, т. е. p = ai. Отсюда следует,
что im (P) Q. ira (a). Поскольку А'(]А" = 0, то а и Р —мономор-
t То есть Л-Дополнение П -дополнения. —Прим. ред.

5.6. Инъективные и проективные оболочки 129
физмы. Так как Q инъективен и а —мономорфизм, то а является
расщепляющим.
Мы утверждаем, что im (P) существен в Q/Af®Q/A". В самом
деле, по 5.2.5 имеем А" + Л'М'с*Q/A' и А"+ А'/А"с*Q/A", от-
откуда, с учетом 5.1.7, и вытекает сделанное утверждение.
Из включения im(P)Q.im(a) следует тогда, что im (а) —су-
—существенный подмодуль в Q/A'qQ/A". Так как а является рас-
расщепляющим, то \т(а) —QfA'sQ/А", т. е. а —изоморфизм. По-
Поэтому для произвольного q e(J существует такое q1 е Q, что
(q + A', o + A') = {qi + A', qi + A"), откуда видно, что .<?, е= А",
а значит, q <^ А"-\-А'. Таким образом, A"^A' — Q. П
Проследим еще раз всю конструкцию, при помощи которой
мы получили пнъектнвную оболочку модуля MR:
1. Вложение (мономорфизм) М как абелевой группы в делимую
абелеву группу D.
2. Вложение ц: MR -> Homz (R, D)R (модуль Homz(R, D)R инъ-
инъективен).
3. Пусть im (|я)" — второе f) -дополнение к im(|u) в WomziR, D)R,
удовлетворяющее условию im (|д) Q im (ц)". Тогда
Д.: М => т f—* ц (т) е im (ц)"
—инъективная оболочка модуля М.
Ясно, что при такой сложной конструкции едва ли можно
ожидать, чтобы в общем случае можно было делать заключения
о свойствах инъективной оболочки модуля М, непосредственно
исходя из свойств самого модуля М. Вопрос о том, какие свой-
свойства модуля сохраняются при переходе к инъективной оболочке,
а какие теряются, несомненно интересен; он изучался с различ-
различных точек зрения и при различных предположениях.
Инъективная оболочка, являющаяся „минимальным инъектив-
ным расширением", может быть также описана как „максималь-
„максимальное существенное расширение".
5.6.5. Определение. Пусть а: А -*¦ В — мономорфизм.
A) а называется существенным расширением модуля А,
если im (а) с? В.
B) а называется максимальным существенным расши-
расширением модуля А, если а — существенное расширение А и любое
существенное расширение модуля В является изоморфизмом.
5.6.6. Теорема. Пусть у: М -> W — мономорфизм. Тогда у яв-
является максимальным существенным расширением модуля М в том
и только том случае, если у — инъективная оболочка модуля М.
б Ф. Каш

130 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
Доказательство. Пусть ц: Af~»-Q--инъективная оболочка
модуля М. Рассмотрим коммутативную диаграмму
м
1
где ф существует ввиду инъектипности Q. Поскольку imG)cf W
и im (у) П ker (ср) = 0, то кег (ф) -- 0, т. е. ф — мономорфизм. Из
im (т|) Q. Ш1(ф) и im(r))cfQ следует, что im^)cfQ. Поэтому,
если у — максимальное существенное расширение, то ф—изомор-
ф—изоморфизм и, следовательно, у — инъективная оболочка.
То что, обратно, каждая инъективная оболочка является мак-
максимальным существенным расширением, вытекает из того факта,
что каждый мономорфизм
a: Q->B
с инъективным Q — расщепляющий, а прямые слагаемые не могут
быть существенными подмодулями содержащего их модуля. П
Скажем еще пару слов о проективной оболочке. Как мы знаем,
она существует не всегда. Все же, предполагая существование
соответствующих аддитивных дополнений, можно дуализовать
теорему 5.6.4. Используемые в доказательстве теоремы 5.6.4 до-
дополнения по пересечению существуют в силу леммы Цорна всегда,
аддитивные же дополнения — лишь при надлежащих предположе-
предположениях. Пока мы не даем точных формулировок. Позже при рас-
рассмотрении полусовершенных и совершенных модулей вопрос о су-
существовании проективных оболочек будет исследован подробнее.
5.7. Критерий Бэра
Чтобы установить инъективность модуля Q, надо, согласно
определению инъективности, проверить, существует ли для каж-
каждого мономорфизма а: А->~В и каждого гомоморфизма ф: A~*-Q
такой гомоморфизм х: B~>-Q, что ф = т. Возникает вопрос,
нельзя ли сузить класс „тестовых" мономорфизмов а: А->~В. Это
на самом деле возможно, а именно достаточно рассмотреть все
включения правых идеалов U Q. RK.
5.7.1. Теорема (критерий Бэра). Модуль QR инъективен тогда
и только тогда, когда для каждого правого идеала U Q RR и каж-
каждого гомоморфизма р: U->~Q существует гомоморфизм т: RR~*Q,
для которого p = ti, где i — включение U в R.

5.7. Критерий Бэра
131
Доказательство. То что указанное условие необходимо для
инъективностн модуля, очевидно. Доказательство достаточности
проведем в два шага.
Шаг 1. Пусть а: А->В — мономорфизм и феНотд(Л, Q).
Допустим, что CQ. В, im(a)Q.C, и пусть y: С->Q —гомомор-
—гомоморфизм, причем у(а) = уа(а) для всех аеЛ. Мы утверждаем, что
существуют такой подмодуль CjQ.fi, что Cq.Cu и такой гомо-
гомоморфизм Yi: Ci-*-Q, что тх | С = т (а следовательно, также ф(а) =
= YiK («))•
Для доказательства этого утверждения возьмем be.В, ЬфС.
Положим C1 = C + bR. Если бы Cf}bR — O, то у можно было бы
продолжить на Сг тривиальным образом. Трудности возникают
при "С Л W? =^ 0. Пусть
Очевидно, что U — правый идеал в R и
I: U=>u*-*bu(=C
— R-гомоморфизм. Положим р:=у?, р: U-+-Q. По предположе-
предположению найдется такой гомоморфизм т: R-+-Q, что р = тя:
U-
I
с /
Определим теперь уг: Ci->Q правилом
Проверим, что Yi — отображение:
c-\-br = Ci-\-brlt с, Ci^C, г,
=>c—c1=b(r1
=е> Y (с - Ci) =
R
- г)) = у% (Г! - г) = т (п - г)
, и. т. д.
Поскольку y и т суть /^-гомоморфизмы, то Yi — также /?-го-
моморфизм, и из определения Yi вытекает, что Yii^ = Y-
5*

132 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
Шаг 2. Пусть C0:==im(a) и а0 — изоморфизм модуля А на Со,
индуцированный а. Положим Yo:=fPao'- Тогда q)(a) = Yoa(a) для
всех йеА Продолжим гомоморфизм Yo на fi с помощью шага 1
и леммы Цорна. Именно, пусть Г—множество всех пар (С, y).
где im (а) Сп С С Q fi и y^ C-*~Q, причем у\Сп = Уо- Это множе-
множество непусто, ибо (Со, Yo)sF. Введем в множестве Г порядок
следующим образом:
(Си у) ^ (Сь Yi):<
Пусть теперь Л—произвольное непустое вполне упорядоченное
подмножество в Г и
D: = U С.
(С. V)SA
Ясно, что Со G D Q. В. Пусть, далее,
для d<=C, где (С, v)sA. Ввиду условия 2°, б —гомоморфизм,
для которого 6!Co = Yo. Этим показано, что (D, б) является верх-
верхней гранью для Л в Г. Поэтому по лемме Цорна в Г существует
максимальный элемент, и в силу шага 1 он должен быть равен
(В, к), где ср = ха. Тем самым доказательство завершено. Q
Отметим здесь, что теорема остается верной, если RR заменить
произвольным образующим (см. упр. 21). Однако дуальное утвер-
утверждение не имеет места.
Важное применение критерия Бэра дано в следующей главе,
где будет показано, что кольцо R нётерово тогда и только тогда,
когда каждая прямая сумма инъективных ^-модулей снова инъ-
ективна.
5.8. Дальнейшие характеризации и свойства
образующих и кообразующих
В § 3.3 и 4.8 мы ввели образующие и кообразующие и опи-
описали некоторые их свойства. Здесь мы продолжаем эти рассмот-
рассмотрения. В частности, мы приводим одну характеризацию кообра-
кообразующих, которая дает возможность построить их и тем самым
доказать их существование. Более того, таким способом можно
построить „минимальный" кообразующий.
5.8.1. Теорема, (а) Модуль BR является образующим тогда и
только тогда, когда для каждого проективного модуля PR сущест-
существует прямая сумма экземпляров В, содержащая прямое слагаемое,
изоморфное Р.

5.8. Дальнейшие характеризации образующих и кообразующих 133
(Ь) Модуль CR является кообразующим тогда и только тогда,
когда для каждого инъективного модуля QR существует прямое
произведение экземпляров CR, содержащее прямое слагаемое, изо-
изоморфное Q.
Доказательство, (а) Пусть Яд —образующий. Тогда, со-
согласно 4.8.2D), существует эпиморфизм некоторой прямой суммы
экземпляров В на Р. Так как по 5.3.1 каждый эпиморфизм на
проективный модуль — расщепляющий, то ниже условие выпол-
выполнено. Обратное утверждение также вытекает из 4.8.2D), если
заметить, что каждое прямое слагаемое модуля является его эпи-
морфным образом и что, согласно 4.4.4, каждый модуль М яв-
является эпнморфным образом проективного (и даже свободного)
модуля.
(Ь) Доказывается дуальным образом, причем вместо 4.4.4
используется 5.5.3. ?
5.8.2. Следствие, (а) Пусть Р — проективный образующий. Мо-
Модуль В является образующим тогда и только тогда, когда су-
существует прямая сумма экземпляров В, содержащая прямое сла-
слагаемое, изоморфное Р.
(Ь) Пусть Q— инъективный кообразующий. Модуль С является
кообразующим тогда и только тогда, когда существует прямое
произведение экземпляров С, содержащее прямое слагаемое, изо-
изоморфное Q.
Доказательство, (а) Если В — образующий, то указанное
условие выполняется в силу 5.8.1. Обратно, пусть выполнено
это условие, т. е. v
l± B, = B, P'ozP.
is/
Очевидно, этот модуль можно эпиморфно отобразить на Р, зна-
значит, он является образующим, а тогда по 4.8.2 и В — также
образующий.
(Ь) Доказательство дуально к доказательству (а). ?
Проективный модуль Р определяется тем условием, что для
каждого эпиморфизма |J: В^-С также и НотAР, ^ — эпимор-
эпиморфизм. Наоборот, образующий мы можем теперь охарактеризовать
тем, что для каждого эпиморфизма Hom(lo, |3), также и |3 — эпи-
эпиморфизм. Аналогичное описание имеет место и в дуальном случае.
5.8.3. Теорема, (а) Модуль DR —образующий тогда и только
тогда, когда каждый гомоморфизм |3: 5->-С, для которого
¦НошA0, |3) —эпиморфизм, сам является эпиморфизмом.

134 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
(Ь) Модуль CR — кообразующий тогда и только тогда, когда каж-
каждый гомоморфизм а: А-+В, для которого Нот (а, 1С) — эпимор-
эпиморфизм, является мономорфизмом.
Доказательство, (а) Если D — образующий, то
<peHom^(D, С)
Так как Нот 0 о. Р) — эпиморфизм, то для каждого ере
е Hom# (D, С) найдется такой гомоморфизм ф' <= Нотй (D, В),
что ф = |3ф'. Имеем
С= 2 im(q>)= 2 i
Таким образом, im(P) = C, т. е. р— эпиморфизм.
Докажем обратное. Пусть MR — произвольный модуль. По-
Положим
В:= Ц Ар-
где Dy — D для каждого феНотя(С, М), и определим Р:
-> М по следующему правилу:
Очевидно, что для ф0 е HomR (Z>, M) справедливо равенство
фо= РЛфо» гДе TW ^->II^ф —канонический мономорфизм. Отсюда
следует, что Hom^(lo, P) является эпиморфизмом. Поэтому, по
предположению, р — эпиморфизм. Следовательно,
M = im(p)= 2 1ш(ф)
, Af)
и, значит, D — образующий.
(Ь) Так как доказательство проводится дуальным образом, то
мы. будем кратки. Если С — кообразующий, то выполняются со-
соотношения
0= (] кег(Ф)= _S кег(ф'а)
ФеНотд(Л.С) ф'е НотЛ(В, С)
= f| а-1 (кег (ф')) Z> а-1 @) = кег (а) D 0,
ч'
из которых следует, что кег(а) = 0, т, е. а — мономорфизм.

5.8. Дальнейшие характеризации образующих и кообразующих 135
Докажем обратное утверждение. Пусть MR — произвольный
модуль. Положим
где СФ = С для каждого феНотд(М, С), и определим а: М->
-*-В формулой
Тогда для ф0еНотя(М, С) справедливо равенство фО = яФоа,
где яФо: 11Сф^-Сф0 = С —канонический эпиморфизм. Значит,
Нот (а, 1с) — эпиморфизм, а тогда, по предположению, а —моно-
—мономорфизм. Следовательно,
0 = ker(a)= f| ker(cp).
фе Hom^(Af, С)
Таким образом, С —кообразующий. ?
5.8.4. Следствие, (а) Если PR — проективный образующий и
|3: BR-+CR — гомоморфизм, то
|3 — эпиморфизм <=> Нот AР, |3) — эпиморфизм.
(в) Если Qr — инъективный кообразующий и а: Ля->- ВR — гомо-
гомоморфизм, то
а — мономорфизм <=>.Нот (a, 1q) — мономорфизм.
Доказательство. „=>": Справедливость этих импликаций
следует из того, что Р проективен, соотв. Q инъективен.
„<=": Это вытекает из 5.8.3. ?
Займемся теперь отдельно кообразующими. Пусть ER — простой
модуль и I (ER) — его инъективная оболочка, относительно которой
мы предполагаем, что Е Q I (E). Пусть CR — кообразующий. Тогда,
поскольку
fl кег(Ф) = 0,
фе НотдA (?)¦, С)
должен существовать такой гомоморфизм ц> ^HomR(l (E), С),
что ?<?кег(ф). Так как Е прост, то Е f| ker (ф) = 0. Поскольку
Е — существенный подмодуль в 1(Е), отсюда вытекает, что
кег(ф)=0, т. е. ф —мономорфизм. Очевидно (в силу 5.6.3), чтр
ф': Е э х>—* ц>(х) е im (ф)
—инъективная оболочка модуля Е. При этом модуль im(ф)
является инъективиым подмодулем модуля С, изоморфным I (E).
Более того, как инъективный модуль он будет даже прямым сла-
слагаемым модуля С. Тем самым мы показали, что для каждого

136 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
простого модуля Е кообразующий С содержит некоторую его
инъективную оболочку. Существенно, что это свойство является
характеристическим для кообразующих.
5.8.5. Теорема, (а) Модуль CR — кообразующий тогда и только
тогда, когда для каждого простого модуля он содержит некото-
некоторую его инъективную оболочку.
(в) Пусть \Е] | / е /} — какая-нибудь система представителей
классов изоморфных простых R-моду лей и I {Ej) — инъективные
оболочки модулей Et. Тогда
С„:= Ц1(?,)
является кообразующим.
(с) Модуль СR —кообразующий тогда и только тогда, когда он
содержит подмодуль, изоморфный Со.
Доказательство, (а) То что кообразующий содержит для
каждого простого модуля Е некоторую его инъективную оболочку,
мы уже установили выше. Обратно, пусть это условие выполнено
для модуля С. Если Офт^ М, то модуль mR конечно-порожден
и потому, согласно 2.3.12, содержит максимальный подмодуль А.
Тогда фактормодуль Е :=mR/A прост. Пусть
у:Е-+ЦЕ)
— инъективная оболочка Е, удовлетворяющая условию I (E) а С;
она существует по предположению. Так как у —мономорфизм,
то у{т-\- А)фО. Если v: mR-+mR/А — естественный эпиморфизм,
то уу (т) = у (т + А) ф 0. Так как I (E) — инъективный модуль,
то найдется у': УИ->1(?), для которого диаграмма
тля
коммутативна. Следовательно, у' (т) Ф 0. Определим ср правилом
Ясно, что <р(т)фО, т. е. тфкег(ср). Итак,
f| ker(cp)=O(
ФеНошЛ(Л1, С)

5.8. Дальнейшие характеризации образующих и кообразующих 137
т. е., действительно, С —кообразующий.
(в) Принимая во внимание 5.6.3, выводим из (а), что Со =
= \\ I (?/) — кообразующий.
(с) Из (а) следует, что если найдется такой подмодуль Сх С С,
что Ci = C0. то С —кообразующий. Обратно, пусть С — кообра-
кообразующий. Тогда, согласно (а), для каждого Ej существует инъек-
тивная оболочка Q/ С С, которая в силу 5.6.3 изоморфна I {
Положим yf: l(Ej)^Qf. Мы утверждаем, что
причем сумма берется в С. Пусть Е}:=у/(Е/). Ясно, что Е) изо-
изоморфен Es и E'/CfQj. Чтобы доказать сделанное утверждение, доста-
достаточно, в силу 5.1.7, показать, что
Допустим противное, т. е. что сумма слева не является прямой.
Тогда найдется конечная подсумма Ф 0, которая тоже не явля-
является прямой. Среди всех конечных подсумм =^0, не являющихся
прямыми, выберем (изменив, если надо, нумерацию) подсумму
?[ + ... + Е'„ с наименьшим п. Тогда имеем
а также Е\ (] (?? © • • • © Е'п) Ф 0. Из простоты Е\ следует, что
E\QE2®...eE'n.
Пусть я, —проекция Е'2®...®Е'п на Е\, i = 2, ..., п. Найдется
такое !)? {2 «}, что то(Е[)ф0. Поскольку Е[ и Е'!о просты,
то E'i^nio(Ei) = E'!o. Таким образом, Ei ^ Е\ ^Е'{а ^ Eio, в про-
противоречие с предположением о системе {Ef\j ^ J}. Этим показано,
что на самом деле
и потому изоморфизмы Y/: I(^/) = Q/ можно объединить в изо-
изоморфизм
(см. 4.3.1), для которого Y((fl/)) = 2'Y/(a/), где (a^it»
r()©Q a
Утверждение (b) этой теоремы доставляет нам „минимальный"
кообразующий Со (см. в связи с этим упр. 28), который для

138 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
конечного J инъективен. Для произвольного J он инъективен,
если RR нётеров (см. 6.5.1).
Чтобы получить инъективный кообразующий в общем случае,
надо взять произвольный, инъективный модуль, содержащий
JJ Е), например lf]J Ej\
К инъективным кообразующим мы еще вернемся позже, при-
причем предыдущая теорема будет существенно использоваться.
5.8.6. Пример. В случае R — Z модуль Q/Z является инъектив-
инъективным кообразующим. Действительно, прежде всего, так как он
делим, то он инъективен. Далее, для произвольного кольца R
каждый циклический /^-модуль М = mR изоморфен модулю R/A,
где AR<ZRR (A = ker(oc) для a: R э г i—¦ mr e M). Следовательно,
каждый циклический, а поэтому, в частности, каждый простой
Z-модуль изоморфен некоторому модулю вида Z/nZ (где п е Z).
Поскольку, очевидно, для п Ф- 0 отображение
является мономорфизмом, то Q/Z содержит изоморфный экзем-
экземпляр каждого простого Z-модуля и, значит, является кообразу-
кообразующим.
Упражнения
1. Пусть A Q В СМ. Показать, что
а) В CJ М С=> В/A Cj Ml А /\ А С? М.
в) Лс^М<=> Ас* В/\Вс*М.
с) Пусть А' — а. д. А в М. Показать, что для
d) Пусть А'—д. п. А в М. Показать, что для Т с. М
Т с* М => (Т + Л')/Л' с* Ml А'.
2. Пусть Л и В — подмодули в М.
a) Показать, что Л + В = МЛЛПВС?В=>В — а. д. Л в М.
b) Показать, что И П В=^ОЛ(Л + В)/Вс«М/В => В —д. п. Л в М.
3. Доказать, что для А С М следующие условия эквивалентны:
a) А С? М.
b) Для любой системы образующих (х-, ' i «= /) модуля УИ и любого семейства
(а,-11 s /), где а,- «= И, множество (л:,- —а,- ' i e /) —также система образующих
для УИ.
c) Существует такая система образующих (х,- j i «= /) модуля М, что для каж-
каждого семейства (а,- • i е /), где а,- «= Л, множество (х,- — а,- j i «= /) также явля-
является системой образующих для М. (Отметим частный случай MR~RR, для
которого системой образующих служит 1 )
d) При выбрасывании из любой системы образующих модуля М всех элементов
из А оставшееся множество снова будет системой образующих для М.

Упражнения . 139
4. Для т е MR положим
• rR(m) = {r)re=Rf\mr = O\.
Доказать что множество
sing (М) :=\т\т f=M/\rR (т) с? RR\
образует подмодуль модуля MR (sing (M) называется сингулярным подмодулем
модуля М.)
5. Доказать следующие утверждения:
a) Пусть # —коммутативное кольцо, A Q. RR и Л'—а. д. А в R. Тогда най-
найдется такой подмодуль В Q. А, что А' ® B = R.
b) Если R—область целостности и Л С RR имеет а. д. в R, то А косуществеи
в R.
6. Подмодуль X С MR называется замкнутым в М, если из X с? U С. М
всегда следует X = U. Показать, что
a) Для X следующие условия эквивалентны:
i) X замкнут в М.
и) X является П -дополнением некоторого подмодуля в М, т. е. найдется
такой подмодуль А с М, что Х — А'.
iii) Из X С V С? М всегда следует Y/X cj M/X т. е. естественное отображение
v: M-+M/X сохраняет существенные подмодули.
b) Пусть, кроме того, Mc?QR, причем QR инъективен (и, следовательно,
является инъективнон оболочкой модуля М). Тогда X замкнут, если и только
если найдется такое прямое слагаемое Y С Q, что Y [\М = Х.
c) В модуле MR каждый подмодуль выделяется прямым слагаемым (= MR
полу прост) тогда и только тогда, когда каждый подмодуль замкнут.
d) Привести пример, показывающий, что замкнутый подмодуль не обязательно
является прямым слагаемым. \Указание. Рассмотрите, скажем, модуль
MZ:=(Z/8Z)©(Z/2Z).)
e) Если R — область целостности, то в каждом ^-модуле R-подмодуль кручения
:= {m\m<=M/\mr = 0, r <= R,
замкнут.
7. Охарактеризовать замкнутые подгруппы для случая R = Z, т. е. в категории
абелевых групп. Показать, что для X С Mz справедливы следующие утверж-
утверждения:
a) Если Л' —дополнение по пересечению для А в М, и т<=М, тф.Х,
тр «= X для некоторого простого числа р, то существует такое х е X, что
тр = хр. (Указание. Покажите, что (mZ-\-X)/X прост, а (Х-\-А)/Х существен
в MIX, так что т<=Х + Л.)
b) Если X с? U С М, то существует такое ие(/ н такое простое число р,
что и ф. X, up e X. (Указание. Покажите, что U/X содержит простую под-
подгруппу.)
c) Подгруппа X замкнута в М тогда и только тогда, когда для любого простого
числа р

140 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
d) Подгруппа X замкнута в М тогда и только тогда, когда
soc (MIX) = (soc (М) + Х)/Х.
Здесь soc (М)—сумма всех простых подгрупп группы М.
8. Пусть 0 Ф е ф 1 — некоторый идемпотент (е2 = е) из центра кольца R. Пока-
Показать, что правый ^-модуль eR проектипеп, но не свободен.
9. Пусть рх: /\-»-УИ, р2: Р2->-М— эпиморфизмы, причем PJt Р2 проективиы.
Показать, что
Р1 © ker (Р2) ^ В2 © ker (Pj).
10. Пусть UQ.F, где F—свободный правый /^-модуль с базисом («,¦[/«=/).
Допустим, что множество / вполне упорядочено (относительно «?), и положим
для каждого / «= /
F/= © etR, F,= © e,R. Ut = U(]Fj, U/=U(]F,,
а также Aj=n/(Uj), где Я/ обозначает /-ю проекцию F на i?. Доказать сле-
следующие утверждения:
а) Если правый идеал А,- проективен, то найдется такое V/^Ai, что 0/ =
UeV ¦
b) Если для каждого ie/ найдется такое К,-, что Ui — Ui®Vit то
U~ © Vt.
is/
(Указание. Для того чтобы установить, что X = 2V,- совпадает с ?/, покажите
что множество {i \ i (= I/\U; <f» Х\ пусто.)
c) Если в R каждый правый идеал проективен, то каждый подмодуль свобод-
свободного правого ^-модуля является прямой суммой правых идеалов (с точностью
до изоморфизма).
d) Для кольца главных идеалов без делителел нуля каждый подмодуль сво-
свободного модуля тоже свободен.
11. Пусть (Г; [ I «= /) — некоторое семейство колец. Положим
R становится кольцом, если определить сложение и умножение покомпонентно.
Это кольцо называется произведением семейства колец (Г,- j i «= /). Далее,
положим
А = П П
Очевидно, Л с В. Для k e / обозначим через е^ тот элемент из А, у которого
k-я компонента равна 1, а остальные равны 0. Показать, что
a) Л —двусторонний идеал в R, причем AR= © etR и ARc*RR;
b) А„ проективен;
c) HomR ((R/A)R, RR) = 0 и (R/A)R не проективен в случае, когда I бесконечно;
d) для / <= /
(ejR)R инъективен <?^> (Tj) j инъективен;
e) если все (Tj)T инъективны и / бесконечно, то модуль AR есть прямая
сумма инъективных ^-модулей, но сам не инъективен.
f) Rg инъективен <i^> V/ <= / [(Г;) Т ииъективен].

Упражнения 141
12. Пусть # —область целостности с полем частных K?=R. Показать, что
a) HomR(K, Д) = 0;
b) Кд не проективеи;
c) если проективный модуль Р^ содержит конечно-порожденный существенный
подмодуль, то он сам конечно-порожден;
d) каждый проективный идеал конечно-порожден (как ^-модуль).
(Указание. В случае с) воспользуйтесь леммой о дуальном базисе.)
13. Показать, что в категории абелевых групп (т. е. при R = Z) справедливы
следующие утперждения:
a) Если Р проективен (= свободен) и А, В — два прямых слагаемых в Р, то
А (} В — также прямое слагаемое в Р.
b) Если Q инъективеп (—делим) и А, В — два прямых слагаемых в Q, то и
А-\-В — прямое слагаемое в Q.
14. Показать, что модуль Р проективеи тогда и только тогда, когда для
каждого эпиморфизма fi: Q-+C, где Q инъективен, и каждого гомоморфизма
ф: Р-*-С найдется такой гомоморфизм ф': P^>-Q, что ф = рф'.
15. Всюду ниже предполагается, что I (М) — инъективная оболочка модуля М,
удовлетворяющая условию М С I (М).
a) Доказать, что каждый эпиморфизм ф модуля I (М), для которого ф(т) = т
при всех т е М, является автоморфизмом.
b) Доказать эквивалентность двух Приводимых ниже условий:
A) каждый эндоморфизм ф модуля I (М), такой что ф(т) = т для всех те М,
является тождественным;
B) HomR(I(M)/M, I(M)) = 0.
16. Как было сказано в предыдущем упражнении, мы предполагаем, что всегда
МС,\(М), соотв. X С, I (X). Модуль М назовем Х-однозначным1, если
HomR(I (M)IM, 1(Х)) = 0,
Доказать следующие утверждения:
a) МХ-однозначеп <—> для каждого гомоморфизма ф: М -»- X существует един-
единственный гомоморфизм ф': I (M) -*¦ I (X), такой что ф(т) = ф'(т) при всех
т «= М.
b) M инъективеп <z>VAe^/s [M Х-одпозначен].
c) Vje«=X[{/-;/-c=/?A^ = O}cJ/?R=>Je = O]<=^VAl *=<MR [M Х-однозначен].
d) M J~| Х,-однозначен <=>Vie/[M Х,-однозначеи].
e) Мх(уМ2 Х-одпозначен <—> Мг и М2 X-однозначны.
f) Мгг-)М2 является Мг фМг-однозначным <tz> М,- является Му-однозпачным
для I, /=1,2.
ц) Пусть С — кообразующин и X — произвольный модуль. Инъективпые мо-
модули— это в точности С © Х-однозначные модули. В частности, С©Х является
С© Х-однозначпым <=>С и X ииъективны.
17. Доказать, что если Q,, Q2 инъективны и nt: Qi->-Q2, Иг: Qa->¦ Qi — моно-
мономорфизмы, то QX^Q2. (Указание. Без ограничения общности можно считать,
что Q2 С» Qj, а (.ц: Qi-^-Qx и рассматривать |л2 как включение. Если Qr =
~Q2®A, то пусть В := Л-Ьц, (Л) + |л? (А)-\-\^1 {А) + ... и С —инъективная
оболочка Bf\Q2 = \Jn (В) в Q2. Используя гомоморфизм Вэ(и—«-^(ЦС
покажите, что А®С^С.)
1 Основанием для выбора такого названия служит утверждение а) ниже. —
Прим. ред.

14? Гл. 5. Инъективные и проективные модули
18. Пусть S: = End (MR). причем М рассматривается как S-Я-бимодуль SMR.
Доказать следующие утверждения:
a) Пусть для данного х е М модуль xR прост и содержится в некотором
инъективном подмодуле модуля MR. Тогда Sx—простой левый S-модуль-
b) Пусть х, у е М, xR^yR и xR содержится в некотором инъективном
подмодуле модуля MR. Тогда Sx изоморфен некоторому подмодулю модуля Sy.
c) "Пусть х, у <= М и xR^yR, причем как xR, так и yR содержатся в инъек-
тивиых подмодулях модуля М. Тогда I (Sx) ^ I (Sy).
19. Показать, что для области целостности R каждый делимый ^модуль без
кручения инъективен. (Напомним определения: MR делим, если Vr е R, гфО,
[Мг = М]; М„ — модуль без кручения, если Vme/И, тфО, У г е R, гфО
[тгфО].)
20. Пусть R — область целостности и /( — ее поле частных. В решетке L(KR\
^-подмодулей модуля KR вводится умножение
U - V :- IД] u,v, I н, е t/До/ е V Л л
Это умножение коммутативно, ассоциативно и имеет R в качестве единичного
элемента. Доказать следующие утверждения:
a) Для 0 Ф11 Q KR приводимые ниже условия эквивалентны:
A) существует подмодуль V Q KR, такой что U ¦ V = R;
B) UR проективен и конечно-порожден;
C) UR проективен.
(Указание. Примените лемму о дуальном базисе.)
b) Если 0 ф UR Q RR, то три эквивалентных условия из а) эквивалентны,
кроме того, условию
D) для всех делимых MR отображение
Hom(i, l^): HomR(R, M)->HomR(U, M)
сюръективно.
(с) Для R следующие два условия эквивалентны:
A) каждый идеал проективе»;
B) каждый делимый ^-модуль инъективеп.
Область целостности со свойством A) из (с) называется дедекиндовым
кольцом. В частности, каждое кольцо главных идеалов без делителей нули
является дедекиндовым кольцом.
21. Модуль MR назовем Х^-инъективным, если для каждого мономорфизма
а: А-+Х отображение
Нот (а, \му. WomR(X, /И)->НотЛ(Л, М)
сюръективно. Доказать приводимые ниже утверждения:
a) Пусть 1]^: Xt -*¦ X — мономорфизм и |2: X-> Ха —эпиморфизм, причем
im (Z,i) = ker (|2). Если М А"-инъективен, то М также Xt- и А-инъективен.
b) Пусть М Х-инъективен и М± — сутцественный подмодуль в М. Тогда 1ЛХ
Х-инъективен С=> im (ф) Q. М± для каждого ф е Нот^ (X, М).
c) Если М А",-инъективеи для каждого А",- из семейства (A"; I i е /), то М
также JJ А",-инъективен. (Указание. Примените утверждение (Ь) к инъектив-
мой оболочке модуля М.)

Упражнения ¦ 143
d) Если М Л"-ипъективен и X— образующий, то М инъсктивсп (обобщение
теоремы 5.7.1).
22. Модуль MR назовем Y^-проективным, если для каждого эпиморфизма
(C: Y -*¦ В отображение
№ P): UomR(M, Y)^HomR(M, В)
сюръективпо. Покажите, что
a) в случае R=Z модуль Qz является 72-проективным, по не гк-проективен
[ZN := Yl zn< гДе 2n=Z для всех nsNl
\ «SN /
b) Если каждый простой правый- ^-модуль Х-проективен, то X полупрост
(= сумме всех своих полупростых подмодулей).
23. Доказать, что
a) если R — дедекиндово кольцо (см. упр. 20) с полем частных K?=R, то
KIR — инъективпый кообразующий для aAt'R,
b) если R — кольцо главных идеалов без делителей нуля, имеющее ровно один
максимальный идеал pR^O, то /(/#-проективпые модули (см. упр. 22) —это
в точности /^-модули без кручения. (Указание. Воспользуйтесь следующими
двумя фактами относительно кольца R:
A) Если ^-модуль М не является модулем без кручения, то он имеет прямое
слагаемое, изоморфное K/R или Rl(pn) для некоторого «5sl.
62) Я-модули Ап\— Rl(pn) обладают таким свойством: Ап Q В/\В/ Ап — модуль
без кручения :=> Ап — прямое слагаемое в В.)
24, Пусть S := End (C^). Рассмотрим С как S-Я-бимодуль ?R. Для U Q. С
положим
а для Т czS
vc(T) := {c\c(=Cf\t(c) = O при всех /еГ).
Ясно, что (s((/) —левый идеал в S, а гс (Г) —подмодуль в CR. Аналогично
определяются и все дальнейшие аннуляторы.
Показать, что для кообразующего CR справедливы следующие утверждения:
a) B'QCR=3tc\s(B) = B.
b) AQ,RR=$vR\c(A)=--A.
c) SS — кообразующий ==>CR инъективен. (Указание. Пусть ц: С -* I (С) —
инъективная оболочка; используя левый идеал Lc*sS:
L:^{fo-)\l<=UomR(I(C), С)},
покажите, что ц является расщепляющим.)
d) Если модуль R является двусторонним кообразующим, то он ипъективен
с обеих сторон.
25. Пусть QR инъективен, S :=-. End (QR) и U Q. Q, V Q Q. Доказать, что
a) ls(U[)V)=:\s(U) + is(Vy,
b) IsVq(I) = I для всех конечно-порожденных левых идеалов I Q SS.
26. Пусть S = End (Л!^). Для U С, М определим в S правый идеал

144 Гл. 5. Инъективные и проективные модули
для Т с: S определим в М ^-подмодуль
Показать, что
a) УИ^ —образующий :=> рЛ,Л5 (?/) = ?/ для всех U Q. М^.
b) MR просктивен z=>\s(U+ V) = hs(U) + hs(V) для всех U, V с. МR.
c) /М^ проективен =^ ?vSpAI (/)=/ для всех конечно-порожденных / с i's.
27. Пусть # = К[*, у] — кольцо многочленов от переменных х а у над полем К-
Для фиксированного neN обозначим через Л идеал кольца К, порожденный
элементами
и положим S := RI А. Доказать следующие утверждения:
a) Ss не инъективен.
b) ^-модуль
М>=
является также и S-модулем (т. е. MA — Q) н содержит ровно один простой
подмодуль ?5-
c) Включение Es Q Mg является максимальным существенным расширением.
d) Ms — инъективпьш кообразующий.
28. Допустим, что кообразующий Со, введенный в 5.8.5(Ь), инъективен, и
пусть D—также кообразующий для еД?™ обладающий тем свойством, что
в каждом кообразующем для е#^ содержится изоморфный ему подмодуль.
Показать, что Сос^?>.

6. Артиновы и нётеровы модули
Исторически одним из исходных пунктов развития теории
некоммутативных колец и модуле^ над такими кольцами была
теория алгебр над полем К. Как сами такие алгебры, так и их
идеалы и модули над ними являются одновременно векторными
пространствами над К- Следовательно, можно привлечь теорию
векторных пространств, что и 'было сделано в полном объеме на
начальном этапе развития теории. Если используются условия
конечности, то ясно, что нужно требовать конечной размерности
лежащих в основе векторных пространств над К. <
Последующее развитие было нацелено на максимальное воз-
возможное освобождение от предположения, что мы имеем дело
с алгеброй. При рассмотрении колец (не являющихся алгебрами)
в нашем распоряжении уже нет теории линейных пространств и
потому, в частности, возникает вопрос о подходящей замене усло-
условий конечности для алгебр, которые более не применимы.
Соответствующие понятия и точки зрения здесь разработала
в первую очередь Эмми Нётер, заложив тем самым основы для
дальней/него развития. В качестве условий конечности она ввела
условия максимальности и минимальности, которые могут быть
сформулированы эквивалентным образом как условия для цепей.
И в других разделах алгебры они оказались столь же важными
и естественными. Мы сформулируем эти условия уже сейчас,
чтобы в последующих рассуждениях можно было ими пользо-
пользоваться. Однако наше исследование артииовых и иётеровых моду-
модулей никоим образом не заканчивается в этой главе. Позже мы
неоднократно будем возвращаться к ним, когда в нашем распо-
распоряжении появятся другие понятия и средства изучения.
Чтобы nt возникало недоразумений, сразу подчеркнем, что
в дальнейшем речь идет о конечных или счетных цепях (рядах)
подмодулей и в качестве отношения порядка рассматривается
включение.
6.1. Определения и некоторые характеризации
6.1.1. Определение. A) Модуль M = MR называется нётеро-
нётеровы м, соотв. ар т и новым, если каждое непустое множество его
подмодулей имеет максимальный, соотв. минимальный (по вклю-
включению), элемент.

146 Гл. 6. Лртиновы и нётеровы модули
B) Кольцо R называется нётеровы м справа, соотв. ар ти-
типовым справа, если модуль RR нётеров, соотв. артинов.
C) Говорят, что цепь подмодулей модуля М
... Q Д--! СЛС Ам Q...
(конечная или бесконечная) стабилизируется (или обры-
обрывается), если она содержит лишь конечное число различных At.
Замечания, (а) Очевидно, указанные свойства сохраняются
при изоморфизме.
(Ь) Нётеровы, соотв. артиновы, модули называют также модулями
с условием максимальности, соотв. с условием минимальности.
6.1.2. Теорема. Пусть М = МК и A Q M.
(I) Следующие условия эквивалентны:
A) М артинов.
B) А и Ml А артиновы.
C) Каждая убывающая цепь А^ .р А2 .р А3 .р... подмодулей мо-
модуля М стабилизируется.
D) Каждый фактормодуль модуля М конечно-копорожден.
E) В каждом множестве {At \ i е /} Ф ф подмодулей модуля М
существует конечное^ подмножество {Лг|ге/0} (т. е. /0 с: / ко-
конечно), такое что
П 4= П *•
(II) Следующие условия эквивалентны:
A) М нётеров.
B) А и Ml А нётеровы.
C) Каждая возрастающая цепь Аг Q. A2 Q. A3 Q.... подмодулей
модуля М стабилизируется.
D) Каждый подмодуль модуля М конечно-порожден.
E) В каждом множестве {Л,-1 i е /} Ф ф подмодулей модуля М
существует конечное подмножество {Aj\i^/0} (т. е. /0 с: / ко-
конечно), такое что
?4= 2 А{.
(III) Следующие условия эквивалентны:
A) М артинов и нётеров,
B) М — модуль конечной длины (см. 3.5.1).
Доказательство. (I) „A)=>B)": Поскольку каждое непустое
множество подмодулей в А является непустым множеством под-
подмодулей в М, то в этом множестве существует минимальный эле-
элемент. Следовательно, А — артинов модуль.

6.1. Определения и некоторые, характеризации |47
Пусть v: М~уМ/А и {Q,-1 i е /} — непустое множество подмоду-
подмодулей, в М/А. Мы утверждаем, что если v-1^,) минимален
в {v-1 (fi,-)| is /}, то fi,0 минимален в {Q,-|/e=/}. Действи-
Действительно, fi,- С fi;0 => v-1 (й,) Q v-1 (fi/0) =^«. (в силу минимально-
минимальности Q,,) v-1 (Q,) = v-1 (Ql0) => Q, = vv-1 (Q,) = vv-1 (Q,,) = Q,,. Следо-
Следовательно, М/А артинов. Это следует также непосредственно из
3.1.13.
(I) „B)=>C)": Пусть /4i О А2 ^) А3 D... — убывающая цепь
подмодулей At Q. М и пусть снова v: M-+M/A. Положим
Г:=Мл'»' = 1, 2, 3, ...}, v(r):={v(A-)|/=l, 2, 3, ...},
Гд:={Л,ПЛ|/=1, 2, 3, ...}.
Так как Г непусто, то v (Г) и ГА непусты. Поэтому по предпо-
предположению в v (Г) существует минимальный элемент, скажем v (А{),
и в Гд тоже существует минимальный элемент, скажем Ат[\А.
Пусть п:=тах(/, т). Тогда
v(An) = v(An«), An(\A = An+l{\A, t = 0, 1, 2, ....
Мы утверждаем, что Ап = Ап+;, i = 0, 1, 2, ..., так что данная
цепь действительно стабилизируется. Имеем
v (А„) = v(An+i) => Ап + А = v-Ч (An) = v^v (An+i) = An+I + A,
т. е. Ап + А = АШ + А. Далее, Лл f| A = Ля+1- П А, а также, по
предположению, А„ ^> An+i. В силу закона модулярности
(I) „C)=>A)": Проведем доказательство от противного. Пусть
непустое множество подмодулей Л не содержит минимального
элемента. Тогда для каждого (/еЛ найдется такой У'еЛ, что
V Q.U. Зафиксируем для каждого U такой V (аксиома выбора).
Ф
Для произвольного (/оеЛ цепь
будет бесконечной строго убывающей цепью, в противоречие
с условием C).
(I) „D) <=> E)": Это непосредственно следует из 3.1.11 (если
в E) записать U;— |"| Л
i /
(I) „A)=>E)": Согласно A), в множестве всех возможных
конечных пересечений подмодулей Л,-, i <= /, существует мини-
минимальный элемент. Пусть это будет D:= П Аг. В силу мини-

148 Гл. в. Дртиновы и нётеровы модули
мальности D для каждого / е / имеем D П At = D и потому
DQ f] 4=>D = П А1-
(I) „E) => C)": Пусть дана цепь Ai-PA2-P А3^э Согласно E),
найдется п, для которого
п *= п *¦
;=i, 2, з, ... ;= 1 п
Следовательно, Ап = А{ для (^ггс.
(II) Доказательство дуально к артинову случаю, за исключе-
исключением эквивалентности D) «• E). Эта эквивалентность была дока-
доказана в 2.3.13 (в E) вместо ^ At надо подставить М).
(III) „A)=>B)": Так как М нётеров, то согласно (II) каждый
его подмодуль нётеров. Следовательно, в каждом ненулевом под-
подмодуле A Q. М (в частности, в самом М) существует максималь-
максимальный подмодуль А'. Пусть для каждого модуля А выбран фикси-
фиксированный максимальный подмодуль А'. Рассмотрим цепь
М чЭ М' чЭ М" D М'" «Э....
Поскольку М артинов, то эта цепь обрывается и, значит, пред-
представляет собой композиционный ряд, т. е. М имеет конечную
длину.
(III) „B)=>A)": Пусть А := Л, Q Аг С, А3 ... — возрастающая
цепь подмодулей модуля М. Допустим, что длина модуля М
(= длина некоторого композиционного ряда для М) равна /. Мы
утверждаем, что в А имеется самое большее /+1 различных А;.
Действительно, предположим противное, т. е. что имеется больше
чем /+1 таких модулей. Тогда в А существует подцепь вида
Ее можно уплотнить до композиционного ряда для М (см. 3.5.3),
и следовательно, М имеет длину ~^Л-\-\ ^. Итак, А имеет лишь
конечное число различных А(, т. е. стабилизируется, стало быть,
М нётеров. Аналогично устанавливается, что М артинов. ?
Условие A)C), соотв. (II) C), в 6.1.2 называется условием
обрыва убывающих, соотв. возрастающих, цепей. Таким образом,
теорема 6.1.2 утверждает, что модуль в точности тогда удоплет-
ьоряет условию минимальности, соотв. максимальности, когда он
удовлетворяет условию обрыва убывающих, соотв. возрастающих,
цепей.
Это утверждение остается в силе, если рассматривать не все
подмодули, а лишь конечно-порожденные или циклические иод-

6.1. Определения и некоторые ларактеризации 149
модули, соотв. прямые слагаемые модуля. Например, модуль удо-
удовлетворяет условию минимальности для конечно-порожденных
подмодулей (т. е. в каждом непустом множестве конечно-поро-
конечно-порожденных подмодулей существует минимальный элемент) тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет условию обрыва конечно-
порожденных подмодулей. Это означает, что каждая убывающая
цепь конечно-порожденных подмодулей стабилизируется. Неслож-
Несложное доказательство этого и других аналогичных утверждений
предоставляется читателю в качестве упражнения. Читателю
должно быть также ясно, что вместо множества всех конечно-
порожденных подмодулей, соотв. всех циклических подмодулей,
всех прямых слагаемых может быть взято произвольное множе-
множество подмодулей. Впрочем, для нас представляют интерес только
эти три указанных случая.
6.1.3. Следствие. A) Если модуль М является конечной суммой
нётеровых, соотв. артиновых, подмодулей, то он сам нётеров,
соотв. ар типов.
B) Если кольцо R нётерово справа, соотв. артиново справа, и
модуль М = Mr конечно-порожден, то он нётеров, соотв. артинов.
C) Каждое факторкольцо нётерова справа, соотв. артинова справа,
кольца также нётерово справа, соотв. артиново справа.
п
Доказательство. A) Пусть М= ? Ап где Л,- с; М. Прове-
дем доказательство индукцией по числу п слагаемых. Для п = 1
утверждение совпадает с условием теоремы. Пусть утверждение
доказано для п — 1 и
М = J] А„
где Л; —нётеровы, соотв. артиновы, для всех i. Тогда модуль
п —1
L:= ? At
t = i
нётеров, соотв. артинов. По первой теореме об изоморфизме 3.4.3
В силу 6.1:2, вместе с L нётеров, соотв. артинов, также и модуль
LjL П Ап, а потому и М/Ап. Так как Ап нётеров, соотв. артинов,
то наше утверждение следует из 6.1.2.
B) Для х е М рассмотрим отображение

150 Гл. 6. Артиновы н нётеровы модули
Очевидно, фл: — гомоморфизм из RR в Mr. По теореме о гомомор-
гомоморфизмах
(изоморфизм правых /^-модулей). Отсюда согласно 6.1.2 вытекает,
что если модуль RR артинов, соотв. нётеров, то и модуль xR
артинов, соотв. нётеров Пусть хи ..., ха — система образующих
для MR. Наше утверждение следует теперь из A) ввиду равенства
C) Если A QR RR, то вместе с RR будет нётеровым, соотв.
артиновым, и модуль (R/A)R. Так как (R/A) А = 0, то подмодули
в (R/A)R совпадают с правыми идеалами в R/A, откуда и выте-
вытекает наше утверждение. Ц
6.2. Примеры
1. Всякое конечномерное векторное пространство —модуль
конечной длины. Докажем это. Пусть VK — векторное простран-
пространство над телом К и {хъ ..., х„\ — его базис. Тогда
0 С xtK Q ххК + хгК Q ... Q ххК +... + хпК = V
Ф Ф Ф Ф
представляет собой композиционный ряд для V, так как в силу
изоморфизма
(XlK +... + ХмЮКхгК +... + xtK)9* x,+lK S* К
каждый фактор прост.
2. Всякая конечномерная алгебра R над полем К имеет (как
/(-модуль) конечную длину с обеих сторон, так как каждый ее
правый или левый идеал является одновременно подпространст-
подпространством в R, рассматриваемой как векторное пространство над К.
3. Бесконечномерное векторное пространство Vк не является ни
артиновым, ни нётеровым. Действительно, пусть {x,|ieN[ —
какое-нибудь множество линейно-независимых элементов. Рас-
Рассмотрим цепи
,= 1 Ф 1 = 2 Ф 1 = 3 Ф
И
хгК Q. хгК + х2К а х^ + х2К + х3К С ....
Ф Ф Ф
Обе они не обрываются.

6.2. Примеры
151
4. Модуль Zz нётеров, но не артинов. Действительно, так как
в нем каждый идеал главный и, следовательно, конечно-поро-
конечно-порожденный то он нётеров, а так как цепь
Z ,p 2Z ,р 22Z ,р...
Ф Ф Ф
не обрывается, то он не артинов.
Замечание. Кольцо Z нётерово слева и справа, но не арти-
артиново. Обратная ситуация для колец (с единицей!) невозможна.
В самом деле, как будет позже показано, всякое артиново кольцо
нётерово. Поэтому, чтобы привести пример артинова, но не нёте-
рова модуля (см. следующий пример), нет смысла брать кольца.
5. Пусть р — простое кольцо и
т. е. Qp —множество всех рациональных чисел, знаменатель кото-
которых есть степень р (включая р°=\). Ясно, что Qp —подгруппа
в Q (рассматриваемом как аддитивная группа) и Z с Qp.
Утверждение. Z-модуль Qp/Z артинов, но не нётеров.
Доказательство. Пусть —,- -f Z) — подмодуль Z-модуля
Qp/Z, порожденный элементом -(-f Z
Тогда
— строго возрастающая цепь, поскольку
1
pi+i
т
pi
Следовательно, Qp/Z не нётеров. Чтобы доказать, что он артинов,
мы покажем, что в рассмотренной выше цепи содержатся все его
собственные подмодули. Отсюда, разумеется, следует, что в каждом
непустом множестве подмодулей существует наименьший подмодуль
(а не только минимальный!).
Заметим прежде всего, что
(*)
(а, р)=\
Р'
Действительно, так как (а, р) = 1 (т. е. а и р взаимно просты),
то найдутся такие b, ceZ, что ab -\- р'с — 1, откуда -^ т =
= -ceZ. Следовательно, -f-f Z =-;-f Z, а значит T-fZjc;

152 Гл. в. Артиновы и нётеровы модули
a
Так как, с другой стороны,
-j- + Z , то
наше утверждение доказано. . ?
Если теперь В G Qp/Z, то возможны два случая.
Случай 1. Для каждого n <= N существует такое ieN, что i^n
и fl. + Zefi, причем (а, р) = 1 (т. е. в В существуют элементы
сколь угодно высокого порядка). Из (*) вытекает, очевидно, что
В = Qp/Z, поскольку каждый класс 1 + Zefl.
Случай 2. Существует максимальное i'e N, для которого найдется
-у -|-ZeB с (а, р) = 1 (т. е. в В нет элементов произвольно
высокого порядка). Из (*) следует тогда, что
6. Пример кольца, которое с одной „стороны" артиново и нёте-
рово и, следовательно, имеет конечную длину, а с другой —ни
артиново, ни нётерово.
Пусть R и К — поля, причем # —бесконечное расширение К,
например R и Q. Пусть S —кольцо всех матриц вида
( Г1\ где /г е=/С, гъ r2eER.
Легко видеть, что S — кольцо с единицей
И
S не является слева ни артиновым, ни нётеровым. Пусть {х,-1 / е N} —•
какое-нибудь счетное множество элементов из R, линейно-неза-
линейно-независимых над К. Положим
_/0
Тогда
k r A /0 kxi
О rj Si ~ \0 0 /
и, следовательно, для левого идеала, порожденного элементом s,-,
мы имеем
s-J0Kxi

6.3. Теорема Гильберта о базисе 153
Поэтому
. Ssj Q. Ssi + Ss2 G Ss! + Ss2 + Ss3 Q...-.
Ф Ф Ф
•—строго возрастающая цепь левых идеалов, а
OD ОО ОО
(=1 Ф i = 2 Ф (=3 =?
¦—строго убывающая цепь левых идеалов.
Чтобы доказать, что Ss — модуль конечной длины, достаточно
явно указать композиционный ряд для S.s- При этом полезно
иметь перед глазами произведение двух элементов из S:
h аЛ
Положим
А
Г
1о
/0
\0
rj
1\
Ihk
"U
/0
~\0
А/
R
0
Очевидно, эти правые идеалы просты (так как R — поле) и ЛгП
ПЛ2 = 0. Отсюда следует, что (Ai + A^lAi1^ A2 также прост.
Мы утверждаем, что О Q. Ax Q. Ax -\- A2 Q S — композиционный ряд
для Ss. Чтобы убедиться в этом, нужно только показать, что
Лх + Лг максимален в Ss. Пусть
о >
Тогда h Ф 0 и для
мы имеем
haA /0 0 Ш^-ЬгЧЛЦХ.^
О сьГ\0 1-О./Д 0 1 } \0 1/
Следовательно, В = S.
6.3. Теорема Гильберта о базисе
Теорему Гильберта о базисе можно рассматривать как способ
построения нётеровых колец. Эта теорема имеет важные приме-
применения в алгебраической геометрии.

154 Гл. 6. Артиновы и нётеровы модули
6.3.1. Теорема. Если кольцо R нётерово справа, то кольцо мно-
многочленов R[x] {где х коммутирует с элементами из R) также
нётерово справа.
Следствие. Кольцо R[xlt ..., хп] нётерово справа.
Доказательство теоремы. Мы покажем, что каждый пра-
правый идеал A bR [х] конечно-порожден. Можно считать, что АФО.
Доказательство разобьём на 3 шага.
Шаг 1. Если Р (х) =xnrn + x"-1rn-1 + .. . + r0 e= R[x], гпф0, то
гп называется старшим коэффициентом многочлена Р (х). Примем,
что старший коэффициент нулевого многочлена из R[x] равен 0.
Обозначим через Ло множество старших коэффициентов много-
многочленов из А.
Мы утверждаем, что Ло О. Rr- Действительно, если a,iG Ao,
О ЬфО, то существуют многочлены
г (х) = хта + х^От-г + ...еД
2 (х) = х"Ь
Пусть, далее, rlt r2<=R, причем атх + Ьг^фО. Тогда Р1(х)хпг1 +
+ Р2 (х) хтг2 е А, а значит агх + br2 е Ао', следовательно, Ао Q. RR.
Так как RR нётеров, то Ао конечно-порожден. Если аъ ...
..., ak — система образующих для Ао, причем все а(#0, то суще-
существуют многочлены Pi(x), ..., Рк(х)^А, для которых йь ...
..., аь — старшие коэффициенты (в указанной последовательности).
Умножением на соответствующую степень х можно добиться того,
чтобы все Pi(x) имели одну и ту же степень, скажем п. Пред-
Предположим, что это сделано. Рассмотрим теперь
Ясно, что В конечно-порожден и В Q. А.
Шаг 2. Пусть F (х) е А. Мы утверждаем, что F (х) можно
записать в виде
где G(x)<=6 и Н(х) = 0 или1 deg#(x)^n. Действительно, если
р (х) = 0 или degF (х)^п, то это утверждение верно тривиальным
образом с Н (х) = F (х).
Пусть поэтому degF(x) = t>n. Старший коэффициент Ъ мно-
многочлена F (х) можно представить в виде
, r{<=R.
1 Ниже uegP(x) обозначает степень многочлена Р (х).—Прим. ред.

6.3. Теорема Гильберта о базисе .155
Ясно, что многочлен
' F1 (х): = F (х) -12 Р, (x) rt) xf~n
имеет степень «s t — 1 или равен 0. Поэтому, полагая
(
имеем
где G!(x)efi. Если всё еще deg Ft (x) > п, то разлагаем анало-
аналогично Fi (л:):
где G2(x)efi и F2(x) = 0 или degF2(x)^t — 2. Тогда
где CxM + G-iMeEfi и F2(a;) = 0 или deg F2 (д;) ^ ^ - 2. Самое
большее через / — п шагов (таким образом, мы применяем индук-
индукцию) получится искомое разложение
Поскольку F (х) <= А и G (х) <= В с; А, то
ZZ/ог З. Рассмотрим правый ^-модуль
Это ^-подмодуль конечно-порожденного правого ^-модуля R +
+ xRJr... + xnR над нётеровым справа кольцом R. Согласно
6.1.3 и 6.1.2 он также конечно-порожден. Пусть, скажем,
Мы утверждаем, что
Дейстпит»'льно, так как Р((лг), Qj (x) e Л, то правая сторона
содержится в Л, а в силу (*) она содержит Л. Этим доказатель-
доказательство завершено. ?

156 Гл. 6. Артиновы и нётеровы модули
6.4. Эндоморфизмы артиновых и
нётеровых модулей
Пусть М = MR — произвольный модуль и ф — эндоморфизм М,
т. е. гомоморфизм М в себя. Тогда <p", «sN,-также эндомор-
эндоморфизм М, причем
im (ф) .р im (ф2) .р im (ф3) Z>...,
ker (ф) G ker (ф2) G ker (ф3) Q.
Для артинова, соотв. нётерова, модуля первая, соотв. вторая,
цепочка должна обрываться. Отсюда получаются интересные
следствия.
6.4.1. Теорема. Пусть ф — эндоморфизм модуля М.
A) М артинов=эЗп0 <= NVn5sno[M = im (фл) + ker (фл)].
B) М артинов /\ц> — мономорфизм => ф — автоморфизм.
C) М нётеров=>3п0& NVrtSs/iotO^m^n ker (фл)].-
D) М нётеров и ф — эпиморфизмуф — автоморфизм.
Доказательство. A) Согласно сделанному перед теоремой
замечанию найдется такое п0 <= N, что im (фл°) = im (фл) для n^sn0.
Тогда для п^п0 имеем \т(уп) = \т(^п). Поэтому xgM=)
=$• фл (л;) <= im (фЛ) — im (ф2л) =$ существует у е М, для которого
Ф» (л;) = ф2^(//), =^> ф" (х - ф" (г/)) = 0 => k: = х - фЛ (г/) е ker (Фя) г^
х = ф« (г/) -f- ^ e im (фЛ) + ker (фЛ),
что и требовалось доказать.
B) Если ф — мономорфизм, то, очевидно, фл —также моно-
мономорфизм для всех neN, т. е. кег(фл) = 0. Тогда, в силу A),
М = 1'т(фл») и потому М=мт(ф), ибо im^"°) G 1т(ф). Таким
образом, ф — эпиморфизм и, следовательно, автоморфизм.
C) Из нётеровости вытекает, что Зяо е N, такое что кег(ф"») =
==кег(фя) при rtSsrt0. Тогда для п^п0 имеем ker (фл) = ker (ф2л).
Если х <= im (фл) П ker (фл), то существует такое i/eM, для
которого л;=фл(г/) н
Следовательно, </ е ker (ф2л) = ker (фл), откуда вытекает, что х =
= фл(у) = о. Значит, 0==!т(фл) П ker (фл).
D) Если ф — эпиморфизм, то фл —эпиморфизм для всех neN,
т. е. \т(уп) = М. Отсюда в силу C) следует, что O = ker (ф"°).
Учитывая, что ker (ф) G ker (фл°), получаем кег(ф) = 0. Таким
образом, ф — мономорфизм, а следовательно, и автоморфизм.
6.4.2. Следствие. Пусть М—модуль конечной длины и ф — его
эндоморфизм. Тогда

6.5. Одна характеризация нётеровых колец - 157
E) Зпо <= N Vn ^ п0 \М = im (срл) © ker (фя)].
F) "ср — автоморфизм <=> ф — эпиморфизм <=> ф — мономорфизм.
Доказательство. E) В качестве я0 можно взять максималь-
максимальное из чисел п0 в A) и C).
F) следует из B) и D). D
Это следствие обобщает хорошо известные свойства конечно-
конечномерных векторных пространств.
6.5. Одна характеризация нётеровых колец
Мы дадим здесь характеризацию нётеровых колец, имеющую
основополагающее значение для теории модулей над иётеровыми
кольцами. Доказательство существенно опирается на критерий
Бэра.
6.5.1. Теорема. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) Модуль RR не те ров. *•
B) Любая прямая сумма инъективных правых R-модулей инъек-
тивна.
C) Любая счетная прямая сумма инъективных оболочек простых
правых R-модулей инъективна.
Доказательство. „A)=}B)": Пусть Q := © Q,- — прямая
(внутренняя или внешняя) сумма инъективных правых /?-моду-
лей Qt. Согласно критерию Бэра 5.7.1, для доказательства ее
инъективности достаточно установить, что для каждого правого
идеала UQ.RR и каждого гомоморфизма р: U-*~Q существует
такой гомоморфизм х: R-*~Q, что р = тч, где i: U->R — включение.
Так как RR нётеров, то U конечно-порожден:
Образы р(«,-)> i=l, ..., п, элементов ut при гомоморфизме р
имеют отличные от нуля компоненты лишь в конечном числе
модулей Qh скажем в модулях Q{, ге/0, где /0 —некоторое
конечное подмножество в /. Пусть
1о= © Qi-+ © О,-
h i1

158 Гл. 6. Артииовы и иётеровы модули
— включение и р0 — гомоморфизм, индуцированный ограничением
области значений р на 0 Q;. Тогда р = iopo- Поскольку /0 конечно,
то сумма 0 Qi инъективна и существует такой гомоморфизм т0,
что следующая диаграмма коммутативна:
V
fo
e о
t
te/n
Следовательно, р = iopo = iotoi = ti, где т • = ioxo
„B)=эC)": C)-частный случай B).
„C)=^A)": Проведем доказательство от противного. Пусть RR
не нётеров. Тогда имеется строго возрастающая цепь правых
идеалов кольца R
А := AiQ. A2Q. A3Q.—
Ф Ф Ф
Множество
О А{
— правый идеал в R, и для каждого аеЛ найдется такое n8GN,
что аеД для всех i^na. Для каждого t=l, 2, 3, ... выберем
С{ е А, с( <фА{. Согласно 2.3.12, в циклическом модуле (с,7? +Л,)/Л,
существует максимальный подмодуль NjAi. Ясно, что
— простой правый ^-модуль. Обозначим через
v,:
естественный эпиморфизм. Пусть I (?,•) — инъективная оболочка
модуля ?,-, удовлетворяющая условию ?,• с, I (?,), и i,-: ?,•->-

6.5. Одна характеризация нётеровых колец
159
I (?,•) — включение. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
-+At)lAi 1± ,
где if — соответствующее включение, причем
для t= 1, 2, 3,
Теперь введем отображение
% (ct) = ifvf (ct) Ф О
a:
таким образом, т),-(а+Л,-) есть t'-я компонента элемента а (а).
Поскольку аеД для i^sna, то а (а) действительно лежит
в указанной прямой сумме (если рассматривать 01 (?,•) как
внешнюю прямую сумму, то надо положить
оэ
a.(a) — (y\i(a-{-Ai)) Так как по предположению сумма 0 I (?,-)
ннъективна, то существует такой гомоморфизм E, что диаграмма
i
А-
а.
¦R
А
Ф j)
i = I
коммутативна. Пусть &,• обозначает f-ю компоненту элемента f$ A^
в © I (?,¦). Существует такое neN, что &; = 0 для i^n. Поскольку
a(a) = P(a) = PUK ае Л, то -п«(а + Л) = &А т. е. т1,(а + Л)=0
для всех is? я и всех aei Но т]„ (с„ + Ап) Ф 0 по определе-
определению г],-. Противоречие! Тем самым теорема полностью доказана. D
Замечание. Если в этой теореме интересоваться только экви-
эквивалентностью A)<=>B), то доказательство можно упростить.
Импликация C)=>A) будет нам нужна позже при доказательстве
одной теоремы. Наметим вкратце, как упрощается доказательство

160 Гл. 6. Артиновы и нётеровы модули
импликации B)=>A) по сравнению с доказательством имплика-
импликации C)=>A). Доказательство проводится на этот раз прямо,
причем мы исходим из произвольной цепи
Аг С А2 G A3 q ...
правых идеалов. Пусть снова
и пусть теперь г), —включение
и
а: Л-*© 1(А/А;)
*•—i
определяется формулой
t=i
Тогда для i^sn имеем т], = 0. Следовательно, А = А,- для i^n.
Если /? — произвольное кольцо и т),-: М,->1(М,), ( = 1, ...
..., л, — конечное число инъективных оболочек /^-модулей, то
0тц: 0
i\ i
(—i
— тоже инъективная оболочка. Если же RR иётеров, то, согласно
6.5.1 и 5.1.7, этот результат верен для любого множества индексов.
6.5.2. Следствие. Пусть RR нётеров и (Af/jte /) — некоторое
семейство правых R-модулей. Если для каждого i^.1
— инъективная оболочка Miy то
0 п,: 0 М,^ © 1(М,)
— инъективная оболочка 0 Мг.
6.6. Разложение инъективных модулей над
нётеровыми и артиновыми кольцами
Для того чтобы сформулировать проблему, которой мы будем
заниматься в этом параграфе, нам нужно предварительно ввести
ряд определений.

6.6. Разложение инъективных модулей 161
6.6.1 Определения, (а) Модуль MR называется разложимым,
если у него имеются прямые слагаемые, отличные от О и М
(и неразложимым — в противном случае).
(Ь) Пусть U С Mr. Модуль М называется однородным над U,
если для любых двух подмодулей A,.Bq.M, таких что U Q. А,
U С В, выполнено условие U Ф А[\В.
с) Модуль М называется однородным, если он однороден над 0.
Один из основных вопросов теории модулей — вопрос о раз-
разложении данного модуля в прямую сумму подмодулей. Очевидно,
что наиболее полное разложение такого рода достигается, когда
все подмодули из разложения сами уже неразложимы. В связи
с этим возникают следующие вопросы:
1. При каких условиях модуль разлагается в прямую сумму
неразложимых подмодулей?
2. Единственно ли такое разложение (если оно существует)?
3. Какими свойствами обладают неразложимые модули?
Здесь мы дадим ответ на первый и третий вопросы для
инъективных модулей над нётеровыми и артиновыми кольцами.
Ответ на второй вопрос дается в следующей главе теоремой
Крулля — Ремака — Шмидта.
Начнем с изучения неразложимых инъективных модулей.
Пусть вначале кольцо R произвольно.
6.6.2. Теорема. Пусть модуль QR инъективен, QR=?0. Тогда
следующие условия эквивалентны:
A) Q неразложим.
B) Q является инъективной оболочкой любого своего ненулевого
подмодуля.
C) Каждый подмодуль в Q однороден.
D) Q является инъективной оболочкой некоторого своего ненулевого
однородного подмодуля.
Доказательство. „A)=>B)": Пусть U С Q, ЦфО и I (U) Q
Q.Q — инъективная оболочка U. Так как 1/фО, то 1A/)ФО.
Как инъективпый модуль I (V) выделяется прямым слагаемым в Q,
откуда I (V) = Q.
„B) =>C)": Пусть М С Q и А, В с М, Аф0,Вф0.Так как
Q—инективная оболочка А, то А — существенный подмодуль в Q.
Следовательно, А [\ ВфО.
„C) => D)": В качестве однородного подмодуля можно взять
сам Q.

162 Гл. в. Артиновы и нётеровы модули
„D)=>A)": Пусть Q — инъективная оболочка своего однород-
однородного подмодуля М Ф0. Допустим, что Q=A®B, АфО, ВфО.
Так как М — существенный подмодуль в Q, то . М П А Ф 0,
М П ВфО. Из однородности М следует, что (М {] А) П (М [\В)фО,
в противоречие с тем, что А(]В = 0. Значит, модуль Q нераз-
неразложим. П
6.6.3. Следствия, (а) Инъективная оболочка простого R-модуля
неразложима.
(b) Неразложимый инъективный модуль Q содержит не 6oiee
одного простого подмодуля.
(c) Если модуль Rr артинов, то каждый неразложимый инъек-
инъективный модуль С1кф0 есть инъективная оболочка некоторого
простого модуля.
Доказательство, (а) Каждый простой модуль однороден.
(b) Пусть Е, Ег — простые подмодули в Q. Из того, что
Ec?Q, следует, что Е[]Е1ф0. Поэтому ? = ?n?i = ?i-
(c) Если 0фд<=С1, то согласно 6.1.3 модуль qR артинов.
Следовательно, в qR Q.Q существует простой подмодуль Е.
По теореме Q — инъективная оболочка Е. О
Теперь мы подошли к интересной теореме, дающей новую
характеризацию нётеровых, соотв. артиновых, колец.
6.6.4. Теорема, (а) Следующие условия эквивалентны:
A) Модуль RR нётеров.
B) Каждый инъективный модуль QR есть прямая сумма неразло-
неразложимых подмодулей.
(б) Следующие условия эквивалентны:
A) Модуль RR артинов.
B) Каждый инъективный модуль. QR является прямой суммой
инъективных оболочек простых R-модулей.
В силу 6.6.3 (а) инъективные оболочки простых модулей,
о которых ицет речь в характеризации артиновых колец, нераз-
неразложимы. В частности, из теоремы следует, что если RR нётеров,
но не артинов, то найдется неразложимый инъективный /^-модуль,
не содержащий простых подмодулей.
Доказательство теоремы мы проведем здесь только для нёте-
нётеровых колец в направления A)=>B). Чтобы получить имплика-
импликацию A)=>B) для артиновых колец, мы используем тот факт,
что любое артиново справа кольцо нётерово справа; этот факт
будет доказан в гл. 9. Для установления импликации B)=>A)
нам потребуются некоторые вспомогательные средства, в частности
единственность (с точностью до изоморфизма) разложения полу-
полупростого модуля в прямую сумму простых модулей. Когда

6.6. Разложение инъективных.модулей 163
в нашем распоряжении будут все необходимые утверждения, мы
проведем доказательство до конца (в § 9.5). Итак, мы докажем
здесь только
6.6.5. Утверждение. Если модуль RR нётеров, то каждый
инъективный модуль Q# есть прямая сумма неразложимых под-
подмодулей, Если RR, кроме того, и артинов (позже будет доказано,
что из артиновости R% следует его нётеровость), то каждое
из этих неразложимых слагаемых является инъективной оболочкой
некоторого простого R-модуля.
Для доказательства этого утверждения нам понадобятся два
предложения, представляющие и самостоятельный интерес.
6.6.6. Предложение. Пусть Г — произвольное множество под-
подмодулей модуля MR. Тогда среди всех подмножеств ЛсГ, удов-
удовлетворяющих условию
(*) 2 U= © U>
(/ел и
существует максимальное множество Ло.
Доказательство проведем с помощью леммыЦорна. Положим
G ¦:= {Л|Л сг Г Д выполняется (*)}.
Ясно, что G упорядочено по включению и йфф, поскольку
0e.G (нбоО= У) U= 0 U\. Пусть Я —вполне упорядочен-
упорядочение© "еф )
ное подмножество в С и
Q:= U Л.
Лей
Тогда QcrF. Мы утверждаем, что йеб, т. е, Q удовлетворяет
условию (*). Действительно, предположим противное, т. е. что
сумма всех подмодулей из Q не является прямой. Тогда суще-
существует конечная подсумма, не являющаяся прямой. Но конечное
число подмодулей из Q лежит в некотором Ле// (поскольку
Н — вполне упорядоченное подмножество), так что их сумма
будет прямой. Следовательно, на самом деле QeC и, значит,
Q —верхняя грань для Н в G. Таким образом, по лемме Цорна
в С существует максимальный элемент Ло. ?
6.6.7. Следствие, (а) Для каждого модуля MR существует мак-
максимальное множество неразложимых инъективных подмодулей,
сумма которых прямая.
(Ь) Для каждого модуля MR существует максимальное множество
простых подмодулей, сумма которых прямая.

164 Гл. 6. Артиновы н нётеровы модули
Доказательство. Это следует из 6.6.6, если в качестве 1Л
взять в случае (а) множество всех неразложимых инъективиых
подмодулей, а в случае (Ь) — множество всех простых подмодулей. ?
6.6.8. Предложение. Если модуль RR нётеров,. то каждый нену-
ненулевой модуль MR содержит ненулевой однородный подмодуль.
Доказательство. Мы докажем, что каждый ненулевой конечно-
порожденный подмодуль В G М (согласно 6.1.3 такие подмодули
нётеровы) содержит однородный ненулевой подмодуль. Рассмотрим
IX \Х С, В [\Х — д. п. в В\ — множество всех собственных подмо-
подмодулей в В, которые являются дополнениями по пересечению в В
для некоторого подмодуля модуля В. Это множество непусто,
так как 0 —д. п. в В. Поскольку модуль В нётеров, то в этом
множестве существует максимальный элемент Хо. Пусть Хо — д. п.
для UoqB. Тогда, очевидно, и0ф0.
Мы утверждаем, что каждый ненулевой подмодуль С QU0
существен в Uo и, следовательно, Uo однороден. Действительно,
предположим противное, т. е. что для LqU0 имеет место равен-
равенство C[\L = 0. Тогда C[\(X0-\-L) — 0. В силу максимальности ХО
и того, что СфО (а значит, С'фВ), имеем Xo + L = Хо, т. е.
L G Хо. Следовательно, L С Uo (] Хо = 0. Ввиду равенства С П L — 0
получаем L = 0, т. е. Cc?U0. О
Доказательство утверждения 6.6.5. Рассмотрим макси-
максимальное множество неразложимых инъективиых подмодулей в Q,
сумма которых прямая (следствие 6.6.7). Пусть эта сумма равна
Qo: == 0 Q{. Так как все Q,- инъективны, то по 6.5.1 модуль Qo
также инъективен. Следовательно, Qo — прямое слагаемое в Q:
Допустим, что Qi^O. Тогда Qi содержит однородный подмодуль
М Ф 0 (предложение 6.6.8). Если I (М) — инъективная оболочка М,
содержащаяся в Qlt то ](М) — прямое слагаемое в Qb т. е.
Qi — \(M)®Q2, и (согласно 6.6.2) I (M) неразложим. Но тогда
сумма Qo= ffi ft не максимальна, поскольку Qoe I (M) — тоже
te.1
Прямая сумма неразложимых инъективных подмодулей модуля Q.
Это противоречие показывает, что имеет место равенство Q =
= Qo 0 Qi-
Если RR не только нётеров, но и артинов, то по 6.6.3 все
С?1ф0 являются инъективными оболочками простых модулей. ?

Упражнения 165
Упражнения
1. Пусть /?„ —кольцо квадратных матриц порядка п с коэффициентами из R.
Доказать, что Rn артиново справа, соотв. пётерово справа, тогда и только
тогда, когда R артииово справа, соотв. пётерово справа.
2. Доказать что каждое артиново справа кольцо без делителей пуля — тело.
3. Пусть L :=/?(/), (%, C, ...) — поле рациональных функций от переменных 1г,
t2, tSt ... с коэффициентами в ноле k. Элементы из L — это частные многочленов
-^¦—т (где Р2(^;)=И=0). Положим К := k (t\, t% t\, ...); ясно что К — подполе
в L. Показать, что
a) отображение т: L э ¦ i—*¦ ' s К представляет собой кольцевой
Рг (U) P2 (fi)
гомоморфизм;
b) множество R :=LxL с помощью определений
(к. 12> + {Щ, Щ)-=
(lv I2)(mu mi):=(li
превращается в кольцо с единицей;
c) модуль „R имеет длину 2 (т. е. обладает композиционным рядом вида
О Q AQR).
d) модуль RR не артипов и не нётеров.
4. Кольцо называется кольцом главных идеалов, если любой правый идеал
главный (= циклический).
Пусть R — кольцо главных правых и левых идеалов без делителей пуля
и А С, RR, АфО. Доказать, что модуль (R/A)R артинов.
5. а) Показать, что для пётеровости модуля MR достаточно, чтобы он удовлет-
удовлетворял условию максимальности для конечно-порожденных подмодулей.
b) Привести пример иенётерового модуля MR, удовлетворяющего условию
максимальности для циклических подмодулей.
c) Доказать что для абелевой группы М = Мг следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) М удовлетворяет условию минимальности для циклических подгрупп;
B) Т(М) = М, т. е. Vm е= МЗг <= Z, г=?^0[тг = 0].
C) М удовлетворяет условию минимальности для конечно-порожденных под-
подгрупп.
6. Пусть А, В —кольца и дМв — некоторый Л-В-бимодуль. В множестве
Я:={(« Г^|яе= A, meM, b<
1\0 о 11
определим сложение покомпонентно и умножение следующим образом:
/а, тЛ1аг щ\ !а-\пг
\о h До bJ'--\ о
Тогда R становится кольцом с единицей f J. Доказать, что
a) RK нётеров (соотв. артинов) <=> Ад, Вв, Мв нётеровы (соотв. артиновы,
b) „R не'теров (соотв. артинов) <=> АА, ^В, АМ нётеровы (соотв. артиновы).

166 Гл. 6. Артиновы и нётеровы модули
{Указание. Рассмотрите кольцевой гомоморфизм р: -R-+- Ах В, задаваемый фор-
формулой р( ) = (а, Ь), и для его ядра /С :==1^ег (р) покажите, что KR и Мв
(соотв. RK. и АМ) имеют изоморфные структуры подмодулей.)
7. Доказать следующие утверждения:
a) Пусть M — U® U1 = V®Vl, где UQ.V. Тогда U имеет прямое дополнение
в М, содержащее Vt (т. е. M = U®W, причем Vt Q. W), а V имеет прямое
дополнение в М, содержащееся в ?/х.
b) Модуль MR удовлетворнет условию максимальности для прямых слагаемых
тогда и только тогда когда он удовлетворяет условию минимальности для
прямых слагаемых.
c) Пусть MR удовлетворяет условию максимальности для прямых слагаемых.
Показать, что для ф е End (МЛ приводимые ниже 'условия эквивалентны:
A) ф обратим слева (т. е. ф —расщепляющий мономорфизм).
B) ф обратим справа (т. е. ф — расщепляющий эпиморфизм).
C) ф обратим (т. е. ф — изоморфизм).
8. Привести пример кольца R и модуля М^, не являющегося модулем конеч-
конечной длины и обладающего тем свойством, что для каждого ф е End (M^)
a) Зя0 е= N Vn =э п0 [М = im (фл) ® кег (ф«)] и
b) ф — автоморфизм <=? ф — мономорфизм <=> ф—эпиморфизм.
(Указание. Возьмите в качестве MR прямую сумму бесконечного числа нензо-
морфных простых модулей.)
9. Доказать, что если модуль В^ФО артинов, то он обладает неразложимым
в сумму фактормодулем. (Модуль MR называется неразложимым в сумму, если
сумма любых двух его собственных подмодулей — снова собственный подмодуль
10. Показать, что для коммутативного кольца R следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) для каждого xsR последовательность xR4ЭхЩ4D&R4Э ... стабилизи-
стабилизируется;
B) для каждого циклического модуля MR ннъектнвные эндоморфизмы нвляются
автоморфизмами;
C) каждый простой идеал в R максимален.
(Указание. При доказательстве импликации C) => A) рассмотрите мультипли-
мультипликативное подмножество S*:= {xn(\— xr) \ п^О, гак}.)
11. Показать, что для модуля М^ следующие условия эквивалентны:
A) каждое множество подмодулей, сумма которых прямая, нвляется конечным;
B) каждый подмодуль удовлетворяет условию максимальности для прнмых
слагаемых;
C) каждая последовательность Ut Q. Иг С, U$ Q. ..., где Ui Q. М и Ui~прямое
слагаемое в U(+i, обрывается;
D) каждая последовательность М ^D i/x ^D U2 -P Ua ?)¦... где U{ Q M и f/;+1 —
прямое слагаемое в 0;, обрывается;
E) каждый подмодуль содержит конечно-порожденный существенный подмодуль;
F) М удовлетворяет условию максимальности для f] -дополнений;
G) М удовлетворяет условию минимальности для П -дополнений;
(8) инъективная оболочка М удовлетворяет условию минимальности для пря-
прямых слагаемых.

Упражнения " 167
12. Пусть
srng (M):— \т '¦ г# (т) с? RR}
— сингулярный подмодуль модуля М, определенный в упр. 4 к гл. 5.
Доказать, что для кольца R с sing (R) = 0 следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) 1 (R/j) удовлетворяет условию максимальности для прямых слагаемых;
B) для любого семейства (Qt\is /), где Q; — инъективные .модули и sing(Q;) = O,
модуль ]j Qi инъективен.
e
(Указание. Используйте эквивалентность условий из упр. 11 и при доказа-
доказательстве импликации B)=>A) покажите сначала, что для любой возрастаю-
возрастающей последовательности
Ai С, Л2С ... С, RR
П-дополнений ввиду условия sing(/?ff) = 0 мы имеем sing (R/A{ — 0.)
13. а) Доказать, что для модуля М^ следующие условия эквивалентны:
A) МA) инъективен для любого множества индексов /;
B) Al'N' инъективен;
C) М инъективен и R удовлетворяет условию максимальности для правых
идеалов, которые являются аннуляторами подмножеств из М.
Ъ) Показать, что для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) модуль RR иётеров;
B) для каждого ипъективного модуля QR модуль Q(N) также инъективен.

7. Локальные кольца, теорема
Нрулля — Ремака — Шмидта
Как было показано в гл. 6, каждый инъективиый модуль над
нётеровым кольцом есть прямая сумма своих неразложимых под-
подмодулей. Возникает вопрос, будет ли и в каком смысле такое
разложение единственным. На этот вопрос дает ответ теорема
Крулля — Ремака — Шмидта. В этой теореме предполагается, что
кольца эндоморфизмов прямых слагаемых являются так называе-
называемыми локальными кольцами. Поэтому мы вначале введем понятие
локального кольца и приведем некоторые достаточные условия
для того, чтобы кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля
было локальным.
7.1. Локальные кольца
Элемент г кольца R называется обратимым справа, соотв.
слева, если существует такой элемент r'^R, что гг' — \, соотв.
г'г—\. В этом случае г' называется правым, соотв. левым, обрат-
обратным к г. Если rr'=r'r = l, то г называется обратимым, а г' —
обратным к г. Если г имеет и правый обратный и левый обратный,
то они совпадают и, следовательно, их общее значение есть эле-
элемент, обратный к г (см. 2.5.4).
Как показывают примеры, существуют обратимые справа или
слева, но не обратимые элементы.
Мы будем рассматривать кольца, у которых множество всех
необратимых элементов имеет особую структуру. При этом мы
предполагаем всегда, что RO
7.1.1. Теорема. Пусть А —множество всех необратимых элемен-
элементов кольца R. Тогда следующие условия эквивалентны:
(\Т А — замкнуто относительно сложения (т. е. Vab а2е.А
[ai + а.2 е А]);
B) А —двусторонний идеал;
(Зп) А — наибольший собственный правый идеал;
(Зл) А — наибольший собственный левый идеал;
Dи) в R существует наибольший собственный правый идеал;
Dл) в R существует наибольший собственный левый идеал;

7.1. Локальные кольца 169
Eп) для каждого элемента r^R либо г, либо \ — г обратим
справа;
E л) для каждого элемента г е R либо г, либо 1 — г обратим
слева;
F) для каждого элемента г е R либо г, либо \—г обратим.
Доказательство. „A)=>B)": Покажем сперва, что каждый
обратимый справа, соотв. слева, элемент обратим. Пусть bb' = 1.
Случай 1. b'b ф Л => существует seR, для которого 1 — sb'b,
=$b' = sb'bb' = sb' => l = b'b, что и требовалось доказать.
Случай 2. b'b е А=>\ — b'b ф А, так как в противном случае
\-Ь'Ь + Ь'Ь----1 е^. Далее, 1 =s{l-b'b)=>b'=s(\-b'b)b' =
-¦¦- s (b' — b'bb') = s (b' — /)') = 0, в противоречие с тем, что bb' = l.
По предположению А аддитивно замкнуто, поэтому нам остается
лишь показать, что
Допустим противное, т. о. что аг ф А. Тогда найдется s e R, для
которого ars --¦ 1. По предварительному замечанию (с а =--- b и
rs = b') имеем rsa~\, в противоречие с тем, что а^А. Для га
доказательство проводится- аналогично.
„B) => Cit)": Так как Ac>RRR, то Aq.Rr. Поскольку 1 ф А,
то А ф R. Пусть Bc>RRf\b<=B. Тогда bRc^B Q.RR => b не имеет
правого обратного =>Ь не имеет обратного =>&еЛ=^Вс;Л.
„(Зп) => Dп)": Очевидно.
„Dп) => Eи)": Пусть С —наибольший собственный правый идеал
(он определен однозначно). Пусть для элемента г е R ни г, ни
1 —г не являются обратимыми справа. Тогда rR Q. RRf\(\ — г)R С
„Eи) => F)": Достаточно доказать, что каждый "обратимый
справа элемент обратим. Пусть ЬЬ' = 1.
Случай 1. b'b обратим справа => существует s e Я, для кото-
которого \=b'bs=>b = bb'bs = bs=>l-=b'b.
Случай 2. l — b'b обратим справа => нейдется такое- s,e R,
что 1 — A — 6'b) s => b = b A — b'b)s — bs — bb'bs = O, в проадворечие
с тем, что bb' = 1.
„F) =>A)": Предположим, что для некоторых а,, й4е^ эле-
элемент ai + a2 обратим. Тогда существует такое seR, что (ад -j-o2)s----
=. 1 :=>aj.s=--- L — a2s. Из импликации F) => Eп) вытекает (как было
показано при доказательстве импликации Eп) => F)), что каждый
обратимый справа элемент обратим. Поэтому из йе

17ft Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
следует, что и аг е А (ибо аг ф А => аг обратим справа => о
обратим справа =>а ^ Л ^г). Таким образом, Ojse ЛД^е Л,
но, с другой стороны, из того, что a2s^A, в силу F) вытекает,
что rtjS = 1 — a2s ф A ty.
В „левостороннем" случае рассуждения аналогичны. ?
7.1.2. Определение. Кольцо, удовлетворяющее эквивалентным
условиям теоремы 7.1.1, называется локальным кольцом.
7.1.3. Следствие. Пусть R —локальное кольцо и А—идеал его
необратимых элементов. Тогда справедливы следующие утверждения:
A) R/А-тело.
B) Каждый обратимый слева, соотв. справа, элемент в R обратим.
C) Каждое ненулевое кольцо, являющееся образом локального кольца
при сюръективном кольцевом гомоморфизме, само локально. В част-
частности, каждый изоморфный образ локального кольца — локальное
кольцо.
Доказательство. A) Каждый элемент, не содержащийся
в А, имеет обратный.
B) Доказательство этого утверждения содержится в доказатель-
доказательстве теоремы 7.1.1.
C) Пусть a: R-+S — сюръективный кольцевой гомоморфизм.
Покажем, что для S выполнено условие 7.1.1 F). Для всякого s e S
найдется г е R, такое что a(r) = s и, следовательно, аA — г) =
= о A) — а (г) — 1 — s. По предположению либо г, либо 1 — г обра-
обратим. Пусть обратим г. Тогда а (г) — обратный элемент для s,
так как из п~х = г~Ч = 1 следует, что а (г) а (/-*) = so (r-1) =
= air-1) s = a(l)= I eS. Если же обратим 1 —г, то <х(A —г))—
обратимый элемент для 1—s. ?
7.1.4. Примеры локальных колец. 1. Кольцо формальных
степенных рядов К [[*]] над полем К локально, ибо его необра-
необратимые элементы —это в точности ряды со свободным членом,
равным 0, а множество таких рядов замкнуто относительно
сложения.
2. Локализации коммутативных колец по первичным идеалам
локальны. Напомним вкратце определение локализации.
Пусть R — коммутативное кольцо и P^=R — первичный идеал
в R. "Такой идеал Р характеризуется свойством
Va, Ь e=R\ob е= Р =ь{ае= Р\/Ъ е=Р)\
Это эквивалентно тому, что
Va, bezR[(az?P/\bz?P)=>a
Положим
Г :={(/-, a)\re=Rf\ae=R\P}

7.2. Локальные кольца эндоморфизмов Г71_
и введем в Г отношение эквивалентности ~ следующим образом:
\гъ а!)~(/-2, a2):<=^3a^R\P[r1a2a = r2a1a].
Класс эквивалентности с представителем (г, а) обозначается
через —. Пусть /?(Р) — множество всех таких классов эквивалент-
эквивалентности, т. е.
Если определить в этом множестве операции сложения и умножения
формулами
г± _¦_ Гг_ . _
Oj ~"~ а2'
то оно, как легко проверить, становится кольцом. Нулевым
и единичным элементами кольца RiP) служат соответственно у
и у, где 0 —нулевой, а 1—единичный элемент кольца R,
Отображение
Ф: # =э г.—» у е= #(р)
является кольцевым гомоморфизмом, и часто 1т(ф) отождествляется
с R (например, Z рассматривается как подкольцо кольца Q).
Как легко доказать, необратимые элементы в R(p\ — это те
и только те элементы —, для которых г^Р. Множество этих
элементов замкнуто относительно сложения, следовательно, кольцо
R локально.
Рекомендуем читателю в качестве упражнения провести деталь-
детальное доказательство корректности этой конструкции и, в частности,
проверить, что определенные выше операции не зависят от выбора
представителей классов вычетов.
В коммутативном кольце R без делителей нуля 0 является
первичным идеалом; кольцо Ri0) называется полем частных для R.
Например, для кольца целых чисел Z имеем Z@) = Q.
Если R— кольцо главных идеалов и Р=(р), то вместо R(P)
будем писать Rip).
Обратите внимание: Qp=?Z(p)!
7.2. Локальные кольца эндоморфизмов
Мы приведем здесь условия, при которых кольцо эндоморфизмос
данного модуля является локальным. Необходимое условие —
неразложимость модуля. Вообще говоря, этого условия недоста-

172 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
точно, как показывает пример Z2. Поэтому мы укажем дополни-
дополнительные условия, обеспечивающие локальность кольца эндомор-
эндоморфизмов.
Начнем с того, что рассмотрим некоторые важные в этой связи
свойства колец.
7.2.1. Определение. Пусть R —кольцо и г <= R.
A) элемент г называется ни ль патентны м (или ни ль по-
потен том), если 3nGN[r" = 0].
B) элемент г называется идемпотентным (или ид ем по-
потен том), если гг = г.
7.2.2. Следствия. A) Если г нильпотентен, то он не обратим,
а элемент 1 — г обратим.
B) Если г — идемпотент, то 1 — г — также идемпотент.
C) Если г — идемпотентен и обратим, то г=\.
Доказательство. A) Предположим, что rs—\. Пусть «0 —
наименьшее neN, такое, что rn = Q. Тогда г""-1 Ф 0=>0 = r4os =
= r«o-Vs = r"»-1 ¦ 1 = г4»-1 Ф 0. ^- Далее
B) A-л)A-л) = 1 -r-
C) г2 = гЛт' = 1=>г = ггг' = /-2г' = гг' = 1. ?
Примеры. 1. Пусть R— кольцо всех квадратных матриц
порядка п с коэффициентами из некоторого поля (или кольца).
Обозначим через d,y матрицу, у которой на пересечении г-й строки
и /-го столбца стоит 1, а остальные элементы 0. Тогда
А А К А ( ° ДЛЯ №k'
[ du для / = k.
В частности,
d'fj = Q для 1ф\, т. е. du — нильпотент,
du = da, т. е. du — идемпотент. .
2. Пусть G — конечная группа порядка я, К —поле и GK — груп-
групповое кольцо группы G над К. Положим
Ясно, что yg = y для каждого ffeG. Следовательно, у2 = ул.
Если характеристика л/(/() поля К является делителем п, то
У2 = у/; = О, т. е. у— нилыютент. Если %(К) не делит п, то
/ ' V2 _ 2 1 _ Л _
I
г. е. у — идемпотент.

7.2. Локальные кольца эндоморфизмов 173
В следующем предложении собраны некоторые утверждения,
касающиеся разложения колец; позже они понадобятся нам и при
других рассуждениях.
7.2.3. Предложение. Пусть R — кольцо и
rr= e At
— его разложение в прямую сумму правых идеалов Ai, i е= /. Спра-
Справедливы следующие утверждения:
(a) Подмножество
/п = {г|ге/ДЛ,-^0}
конечно; следовательно,
r= e а,.
(b) Существуют такие элементы ei^Ai, (е/ц, что
A) At = e,R, ie/о,
B) 1 = 2 еи
т. е. \ei I i е /0} — множество ортогональных идемпотентов.
(c) Если Ah i ^ Iо —двусторонние идеалы, то элементы еи ie/c,
из (Ь) лежат в центре кольца R (т. е. ej = ret для всех г е= R).
(d) Обратно, если даны такие ортогональные идемпотенты е\, ...
.... en^R, что
то
/? = © е-Я,
причем etR являются двусторонними идеалами, если ei принадлежат
центру R.
Доказательство. Пусть 1 = 2] еь ei e At и
/„:={/1» е/Де«#0}.
Тогда /0 конечно и
1 - 2 «.

174 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулли — Ремака — Шмидта
причем et Ф О для i <= /0. Поскольку ех е А;, то также Л,- # О
для i е /0. Пусть теперь а/ е Лу для произвольного / е /. Тогда
из равенства
умножением справа на af получаем
а, =
Так как /?# = 0 Л,- и е,-а/ е Л,-, то мы имеем
Г для /
е/„
2° для / е /0: ау = еуау => Лу = еу Лу Q су^ С Лу => Лу = e,R, а также
= е,ау для гф\.
Если мы теперь ограничимся i, / е /0, то для е/ = а/ получим
i = ejeh eiei = 0 ПРИ ('^/> чем доказано (Ь). Из того что 1 = J] е,,
следует, что для всякого г ^ R мы имеем одновременно г=У\ cj
и г= ^ ге,-- Если Л; —двусторонние идеалы, то ret e Л,- и из
равенства
вытекает утверждаемое в (с) равенство eir = rer
Для доказательства утверждения (d) заметим прежде всего,
что из равенства
умножением справа на R получается равенство
/?=2*я.
(=i
Пусть теперь
я
г е eifi П B е,-/?.
Тогда
л
г = ецг и г = 2j ej/-,-,

7.2. Локальные кольца эндоморфизмов П5
так что
п
г = еиг = 2 euein = 0.
Следовательно,
Если <?,¦ лежат в центре /?, то мы имеем re,/? = etrR Q. etR, т. е.
идеал ^ — двусторонний. Предложение полностью доказано. ?
7.2.4. Следствие. Для кольца R следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) модуль RR неразложим',
B) модуль %R неразложим;
C) \ и 0 — единственные идемпотенты в R.
Доказательство. «(l)=j>C)»: Если е — идемпотент, то е и
1-е с\ть ортогональные идемпотенты, причем \ =е-\-A—е}.
Поэтому согласно 7.2.3
R = eR@(l-e)R.
По в силу A) либо eR = 0, а значит, е = 0, либо eR = R. В
последнем случае
A -<?)# = A-<?)<?/? = 0
и, следовательно, A — еI = 1 — е = 0.
«C)=>A)»: Допустим, что RR = A®B. Тогда, согласно
7.2.3, сущестзует идемпотент е, для которого A = eR. В силу
C), либо е= 1, либо е=0. Значит, либо A=R, либо Л = 0,
т. е. RR неразложим.
Аналогично доказывается эквивалентность B)оC). q
7.2.5. Теорема. Пусть S : = End (MR). Следующие условия экви-
эквивалентны:
A) MR неразложим;
B) S.s неразложим;
C) ,sS неразложим;
D) 0 и 1 —единственные идемпотенты в S.
Доказательство. Согласно 7.2.4, условия B) —D) эквива
лентны между собой.
«A) => D)»: Если eeS- идемпотент, то
М=е(М)®(\ —е)М,

176 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
поскольку т = е (т) + A — е) (пг) для т^М. Полагая е(тл) =
= A— е)т2 и применяя е к этому равенству, получаем
В силу A), либо е(М) = 0, а следовательно е = 0, либо A —
— е)(Л1) = 0, а значит 1-е.
«D) =>A)»: Пусть MR — A®B. Тогда
т): М эа + /I-*ае М
сть эндоморфизм, удовлетворяющий условию тJ = т), т. е. идем-
потент в S. По предложению т) = 0 или 1. Если т) = 0, то Л = 0,
если т) = 1, то А — М, т. е. М неразложим.
7.2.6. Следствие. Если кольцо S : = End (MR) локально, то
модуль MR неразложим.
Доказательство. !В силу 7.2.5 достаточно доказать, что
О и 1—единственные идемпотенты в S. Пусть ее S — идемио-
тент, тогда 1 —е — также идемпотент. Допустим, что ефО, еф\.
Тогда ]—еФ=0, \—еф\. Так как элементы е и 1-е оба
необратимы, то в силу локальности кольца R элемент 1 —
= е-\-\—е также должен быть необратим ^. ?
При дополнительных ограничениях имеет место и обратное
утверждение. Мы покажем это для двух случаев.
7.2.7. Теорема. Если Мяф0 — неразложимый модуль конечной
длины, то кольцо End (MR) локально и его необратимые эле-
элементы — это в точности нильпотентные элементы.
Доказательство. Пусть cpeEnd(MR). Тогда по 6.4.2
3« е N [М = i m (фл) © ker (cp")].
Так как М неразложим, то либо ker(cp") = O, либо im(<p") = 0.
Случай 1. ker (фи) = 0 => ker (ф) = 0 =>ф — мономорфизм =>
(согласно 6.4.2) ф — автоморфизм, т. е. ф обратим.
Случай 2. im (фи) = 0 => фи = 0 => 1 — ф обратим (по 7.2.2A)).
Таким образом, мы доказали, что или ф или 1—ф обратим.
Поэтому, в силу 7.1.1, End (MR) — локальное кольцо. Если ф
необратим (случай 2), то ф нильпотентен. Обратно, если ф ниль-
потентен, то, согласно 7.2.2, ф необратим. q
В качестве частного случая этой теоремы получаем уже из-
известный нам результат, что кольцо эндоморфизмов простого мо-
модуля является телом. Действительно, единственным нильпотент-
ным эндоморфизмом простого модуля является нулевое отобра-
отображение.

7.2. Локальные кольца эндоморфизмов 177
Другой интересный случай представлен в следующей теореме.
7.2."8. Теорема. Если QR=^= 0 —неразложимый инъективный мо--
дуль, то End (QR) — локальное кольцо.
Доказательство. Если ср: _Q-vQ —мономорфизм, то его
образ im (ф) инъективен и, следовательно, выделяется прямым
слагаемым в Q. Поскольку Q неразложим, отсюда следует, что
jm(cp) = Q, т. е. ср — автоморфизм и потому обратим в End(QR).
Значит, каждый необратимый эндоморфизм модуля Q имеет не-
ненулевое ядро.
Пусть теперь cpi, cp2 — два необратимых эндоморфизма Q. То-
Тогда kei^cp^^O, ker (cp2)=^0. Так как (в силу 6.6.2) Q одноро-
однороден, то
О ф ker (cpi) П ker (cp2) Q ker (cpx + cp2),
т. e. cpi + cp2 тоже необратим. Поэтому, согласно 7.7.1, End (MR) —
локальное кольцо. ?
В связи с приводимой ниже теоремой Крулля — Ремака —
Шмидта представляет интерес вопрос, какие модули разложимы в
прямую сумму подмодулей с локальными кольцами эндоморфизмов
Вот наиболее важные классы таких модулей:"
1° инъективные модули над нётеровым (или артиновым) коль-
кольцом;
2° модули конечной длины;
3° полупростые модули;
4° проективные полусовершенные модули.
В случае 1° указанная разложимость следует из 6.6.5 и
7.2.8. Случай 2° мы рассмотрим сейчас, а к случаям 3° и 4°
обратимся в гл. 8 и 11 соответственно.
7.2.9. Теорема. Пусть Мкф0.
(a) Если модуль М артинов или нётеров, то у него существуют
такие неразложимые подмодули Mlt ..., Мп, что
(b) Если М — модуль конечной длины (т. е. артинов и нётеров),
то у него существуют такие подмодули М1у ..., М„, что
п
М= © Mi Д кольцо End(AJj) локально для t = l, ..., п.
Доказательство, (а) Пусть М артинов и Г —множество
всех прямых слагаемых ВфО в М. Так как МфО и М =

178 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
= yV/©0, то сам М принадлежит Г, следовательно, Тфф.
Пусть Во — минимальный подмодуль из Г. Тогда Во неразложим
(иначе он не был бы минимальным). Пусть, далее, Л —множе-
—множество всех подмодулей G С М, для которых существует конечное
число неразложимых подмодулей ВхфО, ..., В^О, таких что
М = В1@...@В1®С.
Из существования Во следует, что Афф. Пусть Со минимален
в Л и
М = Mi®...® Mi® Со
— соответствующее разложение. Мы утверждаем, что G0 = 0.
Действительно, в противном случае Со, будучи как подмодуль
артинового модуля и сам артинов (см. 6.1.2), обладал бы в
силу предыдущего рассуждения собственным ненулевым нераз-
неразложимым прямым слагаемым,- в противоречие с минималь-
минимальностью Со.
Пусть теперь М нётеров и Г—множество всех прямых сла-
слагаемых АФМ в М. Так как ОеГ, то Г ф ф. Пусть Ао мак-
максимально в Г и
М = А0®В0.
Ввиду максимальности Ао модуль Во неразложим, а поскольку
АофМ, то В0ф0. Пусть Л —множество всех подмодулей в М,
являющихся прямыми слагаемыми в Л! и конечными прямыми
суммами неразложимых подмодулей. Так как {0} еЛ, то Аф ф.
Пусть
B1-\-...-\-Bk:=Bi®...®Bk, где Bt неразложимы,
— максимальный элемент в Л. Далее, пусть
M = B1®...®Bk®C0.
Предположим, что С0ф0. Тогда, как и в первом рассуждении,
доказывается, что нётеров модуль Со содержит ненулевое нераз-
неразложимое прямое слагаемое. Это противоречит максимальности
элемента Bi®...®Bk. Таким образом, С0 = 0, чем доказательство
и завершено.
Замечание. Симметрия доказательств в обоих вариантах про-
проистекает из того, что в первом используется лишь условие ми-
минимальности для прямых слагаемых, а во втором —лишь усло-
условие максимальности. Но, согласно упр. 7 к гл. 6, эти два усло-
условия эквивалентны.
(Ь; следует из (а), 6.1.2 и 7.2.7. ?

7.3. Теорема Крулля — Ремака — Шмидта 179
7.3. Теорема Крулля — Ремака— Шмидта
Мы подошли теперь к важной теореме единственности — тео-
теореме Крулля — Ремака — Шмидта.
7.3.1. Теорема. Если
mr= e ми
причем кольца End (M,) локальны для всех ie/, и
MR= 0 Nf,
jesJ
где Nj неразложимы и Nt ф О для всех j'eA то существует
биекция р: /-»-¦/, такая что Mi^N^ для всех ie/.
Доказательство мы проведем в несколько шагов, первые из
которых оформлены в виде самостоятельных предложений.
7.3.2. Предложение. Пусть
М= ® М„
причем кольца End (М;) локальны для всех ie/, и пусть
a, reEnd(M) и \м = а-{-х.
Тогда для каждого / е= / существуют Uf Q. М и изоморфизм
Ф,-: Mj-+Uh индуцированный а или т (т. е. ср? (х) = а (я) для всех:
УИ ф/(л;)=т(л;) для всех х&М/), такие что
®
tei
1Ф1
Доказательство. Для /е= / пусть Л/'. М-+М/ и iy: УИ/->
->- УИ — соответственно проекции и инъекции, отвечающие пря-
прямой сумме (см. гл. 4). Из того что 1м = о-{-т, следует, что
Ц = я,-1 мЧ = я, (а + тI, = Я/О1, + "/Т1/.
Так как в локальном кольце End (My) необратимые элементы
образуют идеал (теорема 7.1.1), а эндоморфизм \м обратим, то
по крайней мере один из элементов Я/оу, я/п;- обратим, т, е.
является автоморфизмом М/. Пусть, скажем, щы, — автоморфизм.
Положим
ц>/%. Mj^x*-*o(x) e= U/t
I/: Uf^yt-+y<E:M.

180 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
Ясно, что фу —эпиморфизм. Для x^.Mj
1/фу (X) = фу (X) =О(Х) = (Ку (X) => 1/фу = aiy => Яу1/фу = Пу(Пу.
Значит, имеет место следующая коммутативная диаграмма:
б
М
Так как Я/aiy — автоморфизм, то по 3.4.10 из коммутативности
нижнего треугольника вытекает, что
М = im (lycpy) © ker (п;) = V, © / © МЛ ?
lie/
7.3.3. Предложение. Пусть выполнены условия предложения
7.3.2 и пусть E={iu ..., it\czl. Тогда существуют подмодули
Ci.QM, / = 1, ..., t, и изоморфизмы
Ъг
-с,..,
каждый из которых индуцирован либо о, либо т, такие что
© мл
/
Доказательство. Будем строить модули С,- последовательно
с помощью 7.3.2. Возьмем в 7.3.2 / = «i и положим С;, = ?/,,.
Имеем
МЛ.
В силу изоморфизма Mil^C[l, кольцо End(C(l) тоже локально.
Используя 7.3.2, заменим, далее, в написанном выше разложе-
разложении М,-2 на некоторое Ci2- Заметим, что это С,-2 не обязательно
совпадает с Ul2, поскольку теперь мы имеем дело с другим раз-
разложением М! Сделав t шагов (по индукции), получим нужный
результат. D
7.3.4. Предложение, Пусть

7.3. Теорема Крулля — Рема'ка — Шмидта
причем кольцо End (/И,-) локально для всех ("е/, и пусть
М = А®В,
где подмодуль АфО неразложим, и л': М-*-А — соотпетствую-
шап проекция. Тогда существует такое k е /, что л' индуцирует
изоморфизм М/, на А и
Доказательство. Пусть i: А-*¦ М — включение и л':=ш'.
Поскольку 1М = л+ AЛ —л), мы можем применить 7.3.2 с а = л
и т = 1 лТ — п. Так как Л=^0, то найдется О'^аеД, для кото-
которого л(а) = а. Тогда (\м — п)(а) = 0. Пусть
— единственное представление а в УИ = © Л1;. Пусть, далее, мо-
дули Cf/ и изоморфизмы у, определены, как в 7.3.3. Допустим,
что все ус индуцированы эндоморфизмом \м — л. Тогда имеем
л)(а)=2 AЛ-я) (т,),
A л - n) (mil) = у1у. (mf/) e Ci..
Из того что сумма С,—прямая, вытекает, что уь(т,-.) = 0. Сле-
Следовательно, «г,/ = 0, откуда а = 0 ^. Итак, найдется по крайней
мере один индекс г,, для которого у*, индуцируется с помощью п.
Обозначим его через &. Тогда
yk: Mk^xv-*n (x) e Cft
— изоморфизм. В силу 7.3.3, Ck — прямое слагаемое в УИ; пусть
M CL. Далее,
Поэтому
А = М П А = (С* ® L) П А = Ck e (L П А).
Так как А неразложим и Скф0 (ибо Мкф0), мы получаем
отсюда, что А = Ск.
Из коммутативности диаграммы
i
М

182 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
где i: Mk-+M — включение, следует, ввиду 3.4.10, что
М = im (i) © ker (я') = Mk © В,
чем все и доказано.
Доказательство теоремы 7.3.1. Согласно 7.3.4 (с A = Nf),
каждый Nj изоморфен некоторому Mt; следовательно, End(N}) —
локальное кольцо и условия теоремы симметричны. Введем теперь
в каждом из множеств / и J свое отношение эквивалентности,
а именно:
it^is-.oMi^Mt, (ii, ije/),
h^h'-oNj^Nj, (/i, /2еУ).
Для всякого i e / обозначим через I порожденный им класс
эквивалентности, а через / — множество всех классов эквивалент-
эквивалентности. Аналогичные обозначения введем для J.
Определим теперь Ф: /->- J следующим образом:
ф (?) = /, если Mi^Nj.
Ф — биективное отображение. Прежде всего, Ф корректно
определено на всем /, так как для всякого ie/, в силу 7.3.4
(с A = Mj и M = @Nj вместо /W = @/W,-), существует такое /е/,
что Nj^Mi. Поскольку изоморфизм является отношением экви-
эквивалентности, то Ф не зависит от выбора представителей (в / и J),
т. е. действительно является отображением. Далее, Ф инъективно,
поскольку из Ф(ii) — /i = /2 = Ф(/2) следует, что Mil^Njl^.
~*Nj, = Mis. Таким образом, li = I2. В силу того же предложе-
предложения 7.3.4 (с A = Nj), Ф также сюръективно.
Осталось еще показать, что для каждого i е / существует
биекция р,-: 1-+ФA). Тогда р: / э i >-+ $¦ (i) e J будет искомой
биекцией, причем Mi^Np^). Согласно теореме Шредера — Берн-
штейна (которую можно найти в любом учебнике по теории мно-
множеств у), достаточно показать, что существуют инъективные
отображения
В силу симметрии условий достаточно установить существование
какой-нибудь одной инъекции, скажем Ф(/)-м.
Случай 1. I конечно. Пусть число элементов в / равно t.
Пусть, далее, ? = {/ь •••. ЙсФ(г). Согласно 7.3.4 (с A = Nh)
существует такое Mit, что Mtl ^ Nilt т. е. i'je? и
1 См., например, П. С. Александров, Введение в теорию множеств и
общую топологию,—М,: Наука, 1977. — Прим. перев.

7.3. Теорема Крулля — Ремака — Шмидта 183
По 7.3.4 /с A = Nh и ? = Мс,©I © NA\ найдется такое М{„
\ 'eJ II
что Mc,^Njt, т. е. h^l и
M=-Mtl@Mt,®( ф N,\.
ЧФП. \Фи I
Последовательно продолжая эту процедуру, получаем, что
М~М{ ®...®Mt ®( ф Nf\, где Mi^Nj для /= 1 s.
1 s \iej ' '
Так как эта сумма прямая, то Mit ..., /И, попарно различны.
Таким образом, s^t. Следовательно, число элементов в Ф (I)
не превосходит t, откуда и следует наше утверждение.
Случай 2. I бесконечно. Пусть n'f. M-+N,- — проекция и для
E(k) : = {j\i!e J/\п} индуцирует изоморфизм Mk на Nf}.
Мы утверждаем, что Е (k) конечно для каждого k e /. Дей-
Действительно,
t
/=i '' '' ' ' ''
Чтобы п) индуцировало изоморфизм, мы должны иметь л',(т)фО,
т. е. / е {/ъ ..., и}- Далее, мы утверждаем, чтоФ(г)= (J E(k).
kei
,,Ф@=э U E(k)'1: Пусть fte/и j(=E(k). Имеем
„Ф@с= (J E(k)": j(=<l>(l)=$M{l9*Nj. Согласно 7.3.4, най-
ke'i
дется такое йе/, что л} индуцирует изоморфизм Мк на N/,
=$ Mk^NjZp Mkg*Mi=$ k(=lj\j-(=E(k).
Пусть [J E (k) обозначает и дизъюнктное объединение мно-
множеств Е (&O"Очевидно, существует инъекция
E(k)-+ [J E(k).

184 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
Поскольку каждое Е (k) конечно, то для каждого Е (k) сущест-
существует инъекция в N. Поэтому существует инъекция
ke'c
Так как I бесконечно, то, как известно из теории множеств',
найдется биекция /xN-w. В совокупности все эти инъекции
дают инъекцию Ф (/)->-/. Тем самым теорема Крулля — Ремака —
Шмидта доказана. ?
7.3.5. Следствие. Пусть
М = 0 М,,
iel
причем кольцо End (Mi) локально для каждого i е= /, и
n= e n,,
где Nj неразложимы и Л^=?0 для всех /е/, и пусть M^N.
Тогда существует биекция 0: /->-./, такая что М,с^Л/'р(,-) для
всех i'g/.
Доказательство. Пусть а: N-+М — изоморфизм. Тогда
где o(Nj) неразложимы. Согласно 7.3.1 (с M = @a(Nj) вместо
M=®Nj), имеем М,-^а(Лтр|;))^ N${i). D
7.3.6. Следствие. Разложение инъективного модуля над нёте-
ровым кольцом, соотв. модуля конечной длины, в прямую сумму
неразложимых подмодулей однозначно определено в смысле теоремы
Крулля — Ремака — Шмидта.
Доказательство. Это следует из 6.6.5 и 7.2.8, соотв. 7.2.9. rj
Упражнения
1. Пусть a: R-*- S — сюръективпый гомоморфизм колец и S Ф 0. Показать,
что если кольцо R локально и А — идеал его необратимых элементов, то а (А) —
идеал необратимых элементов в S.
См. тот же учебник II. С. Александрова. — Прим. персе.

Упражнения ' 185
2. а) Пусть /? — локальное кольцо. Доказать, что для модуля М^ следующие
условия эквивалентны:
A) структура подмодулей в М вполне упорядочена;
B) множество циклических подмодулей в М вполне упорядочено;
C) каждый конечно-порожденный подмодуль в М циклический;
D) каждый подмодуль в М, порожденный^двумя элементами, циклический.
Ь) Дать пример кольца R и модуля М„, таких что C) выполняется, а A) — нет.
3. (Продолжение упр. 11 к гл. G). Доказать, что для инъективного модуля Q^
следующие условия эквивалентны:
A) Qp удовлетворяет условию максимальности для прямых слагаемых.
B) Qr, — прямая сумма конечного числа неразложимых подмодулей.
(Указание. При доказательстве импликации B)=г>A) покажите вначале, чго
каждый ненулевой подмодуль в Q содержит однородный подмодуль.)
4. Модуль М, удовлетворяющий эквивалентным условиям упр. 11 к гл. 6,
называется конечномерным, а число неразложимых слагаемых в разложении
I (М) (однозначно определенное по теореме Крулля—Ремака — Шмидта) — раз-
размерностью ' М (обозначение: dim (/И)). Доказать, что
(a) dim (М)=0 <=>/И = 0: dim (М) = 1 <=> М однороден Д/И^О.
Ь) М конечгомерен /\U С М rr> t/ конечномерен Adim (U) «S dim (М);
(c) если М — конечномерный модуль и U Q. М, то
U с? М <=> dim (U) = dim(M)
(d) если /Mj, Мг и My Ф/И2 — конечномерные модули, то
dim (Mj © М2) = dim (Mt) + dim (M2);
(e) если X С М и X, М/Х конечномерны, то и М конечномерен и
dim (М) s? dim (A") + dim (М/Х).
5. а) Указать ненулевой нильпотептиый элемент в Z/360Z.
b) Указать три отличных от единицы идемпотента в Z/360Z.
c) Разложить кольцо Z/360Z в прямую сумму неразложимых идеалов.
6. Доказать, что
a) модуль Qz неразложим;
b) модуль Qz есть сумма двух- собственных подмодулей;
c) кольцо эндоморфизмов модуля Qz изоморфно полю Q.
d) модуль Qz обладает фактормодулем, который является неразложимым.
7. Пусть R — область целостности и К — поле частных R. Пусть V и W — век-
векторные пространства над К, а М и N — ^-подмодули в V и W соответственно.
т
Пусть xlt ..., xmf=M, kit ..., km<=K,- ^xfcezM, <p e Horn (M, N).
i— I
Показать, что
т \
2 *,¦*,¦=
/
В литературе ее часто называют размерностью Голди. — Прим. перев

186 Гл. 7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта
(Обращаем внимание, что здесь вовсе не обязательно, ни чтобы k-t e R, ни
ЧТОбЫ Xjkt <= М I)
8. Пусть R — область целостности и К — поле частных R. Пусть, далее, V = VK
есть /i-мерное векторное пространство над К и U — Up — произвольный /?-под-
модуль в V = Vп- Доказать, что в U найдутся такие неразложимые #-подмо-
дули иъ ..., Um, т^п, что
l/ = l/i© ... ®Um.
(Указание. Пусть дано разложение U=Ul® ... ®Um и пусть u,- e (/,-, щФ§
Тогда «j, ..., ит линейно-независимы над /С.)
9. Пусть K=l/Q —модуль с базисом х^ хП1.„, причем т, п>;2. Пусть,
далее, ph q;-, где lsgisgrn + n, I «S/^m + «— 1 —простые числа и
т + я — 1,
а) Показать, что если д, рл, ^ь ..., </n_j попарно различны, то
— неразложимый Z-модуль. (Указание. Предположим, что U=U'®U", и обо-
яначим соответствующие проекции через я' и л". Установите последовательно
следующие факты: я' (х,) Л,- С У, л' (х,-) <= х,-Л,-, п'(х,-) = 0 или л"(х,-) = О.
Далее, используя элементы (//—, докажите неразложимость U.)
Ь) Пусть р,, 2=St=s;rt + m, i^«+l, и qj, l=s;/«Srt + m— 1 попарно раз-
различны и пусть Pi = pn+1. Показать, что
m -f" m+л—1
2 2
неразложимы. Определим
<р: t/i Ф У2 -¦ t/i Ф У2
для
л-f- /h n-\m — 1
i=i /=i
равенством
<Р (") := (Я\ («1 +*i)+?п+1 (вл+1 + 6/.+i) (A?i — л:„+1).
Показать, что ф есть /^-гомоморфизм. Найти ^i, <7я+ъ такие что ф2=ф. Выве-
Вывести отсюда, что t/j ф С2 можно записать как прямую сумму неразложимых

Упражнения s 187
подмодулей двумя существенно различными способами (т. е. способами, не
получающимися друг из друга с помощью изоморфизмов и перестановок).
10. Пусть M = MR. Для nsN положим М":=М{1'2 л}. Пусть
причем End (Л,-) локальны для Is/, а В/ неразложимы для / е У. Доказать
следующие утверждения:
a) Пусть п е N. Если Ап ^ 6й, то Л ^ б.
b) Пусть / конечно и пусть S, Т — непустые множества. Если А^ ^ =¦ А^ \
то S и Т имеют одинаковую мощность.

8. Полупростые модули и кольца
8.1. Определение и некоторые свойства
Существуют два непосредственных и важных обобщения поня-
понятия векторного пространства. Это —
1° свободные модули и прямые слагаемые свободных модулей,
т. е. проективные модули, с которыми мы познакомились в гл. 5;
2° модули, в которых каждый подмодуль является прямым
слагаемым; такие модули называются полупростыми модулями;
их-то мы и рассмотрим в этой главе.
Вначале докажем ряд подготовительных лемм.
8.1.1. Лемма. Пусть M — MR — модуль, в котором каждый под-
подмодуль выделяется прямым слагаемым. Тогда каждый ненулевой
подмодуль содержит простой подмодуль.
Доказательство. Пусть II — произвольный нулевой конечно-
порожденный подмодуль в М. Согласно 2.3.12 существует мак-
максимальный подмодуль С С U. По предположению М © С ® М,. Учи-
Учитывая закон модулярности, получаем U = M f\U = C®(Ml f\U).
Значит, U/C^Ml[\U. Так как С максимален в U, то U/C прост.
Следовательно, Mi f] U — простой подмодуль в U. ?
8.1.2. Лемма. Пусть М= ? Mi, где Mt — простые подмодули.
tei
Пусть, далее, U Q. М.
(a) Существует такое Jczl, что M = U ®(® МЛ.
(b) Существует такое К cz I, что V ^ ф Mi.
Доказательство, (а) Доказательство проводится с использо-
использованием леммы Цорна. Положим
Г:= ,A+ S i (@
Так как © /Иг = 0, то феГ. Следовательно, Тфф. Далее, Г
160
упорядочено го включению. Пусть Л — произвольное вполне упо-
упорядоченное подмножество в Г. Мы утверждаем, что
i-ел

8.1. Определение и некоторые свойства 189
— верхняя грань для Л в Г. Ясно, что L* — верхняя грань. Надо
только проверить, что L* еГ. П>сть Е cz L* и Е конечно. Тогда
найдется LeA, для которого EczL. Если теперь
и -f- 2 mi — 0. «g(/, m,- e М,-,
то, поскольку EcL, имеем w = m,- = 0 для всех i^E.
Таким образом,
V Mi = U®( 0 МЛ
и, следовательно, L*gF.
По лемме Цорна в Г существует максимальный элемент УеГ.
Положим
N: = U 4- 2 М'= U ® ( © ^')
Для произвольного г'ое/рассмотрим N-\-Mt . Равенство N-{-Mt =
= /V ф Mt невозможно, так как тогда
Значит, N [}М1()ф0. Но поскольку MiQ прост, то /V f| УИ,-0 »= /И,-0.
Следовательно, /W,o Q /V. Поэтому
М = 2 MjCtfCiW,
т. е. Л/ = /И.
(Ь) Пусть теперь M=U®l@ MX Применим (а) к подмодулю
ф Mi (вместо U). Мы получим, что существует К а I, для koto-
koto's/
рого
М-(®МЛ<в(@ МЛ.
\t<=i I \ie=K I
По первой теореме об изоморфизме
Ug*MI ф MiQ* © Mi. О
I is/ i<=K
Сформулируем теперь основную теорему о полупростых модулях.
8.1.3. Теорема. Для модуля M = MR следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) каждый подмодуль в М является суммой простых подмодулей,
B) М — сумма простых подмодулей;
C) М — прямая сумма простых подмодулей;

190 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
D) каждый подмодуль в М выделяется прямым слагаемым.
Доказательство. „A)=> B)": B) — частный случай A).
„B) => C)": 8.1.2 (а) для /7 = 0.
„C)=>D)":8.1.2(а).
„D)=>A)":Пусть UQ.M. Положим
М. прост
MtQ.U
Ясно, что Uo Q. U. В силу D), Uo — прямое слагаемое в М, скажем,
-Случай 1. Nf}U = 0=>U = Uo=$(\).
Случай 2.Nf}U=?0=$ (в силу 8.1.1) существует простой
подмодуль В Q, N [}0=э В Q,U0 (согласно определению Uo)=$
=>BQU0-r\(NC\U) if.
Итак, возможен только первый случай. ?
8.1.4. Определение, (а) Модуль M = MR называется полу про-
простым, если он удовлетворяет эквивалентным условиям из 8.1.3-
(Ь) КольцоRназывается полупростым справа; соотв. слева,
если модуль RR, соотв. RR, полу прост.
Заметим, что модуль 0 полупрост, поскольку
0=2 Mi, Mi просты,
но не прост, поскольку для простого модуля М предполагается,
что МФО.
Позже мы покажем, что RR полупрост<$RR полупрост. Поэтому
у полупростого кольца можно не указывать сторону.
Примеры 1. Каждое векторное пространство V = VK над телом К
полупросто:
Vk= 2 х% Л хК просты для
2. Факторгруппа Z/nZ (где пфО) полупроста как г-модуль<=>п
свободно от квадратов (т. е. п есть произведение попарно различ-
различных простых чисел) или я=±1. Доказательство предоставляется
читателю в качестве упражнения. Позже мы приведем его в более
общей ситуации.
3. Модули Zz и Qz не полупросты, так как у них нет простых
подмодулей.
4. Пусть V = Vк. — векторное пространство. Тогда кольцо End(l/#)
полупросто (и справа и слева) <=> dim^ (V) < со. Доказательство
будет дано .позже (в 8.3.1).

8.1. Определение и некоторые свойства 191
8.1.5. Следствие. A) Каждый подмодуль полупростого модуля полу-
полупрост.
B) Эпиморфный образ полу простого модуля полу прост.
C) Сумма полупростых модулей полупроста.
D) Любые два разложения полупростого модуля в прямую сумму
простых модулей изоморфны в смысле теоремы Крулля — Ремака —
Шмидта 7.3.1.
Доказательство. A) непосредственно следует из 8.1.3.
B) Пусть А — простой модуль и а: А -*¦ В — эпиморфизм, тогда
Л/кег(а)^5. Если кег(а) = 0, то В прост. Если кег(сс) = Л, то
5 = 0. В силу простоты А другие случаи для кег(а) невоз-
невозможны. Следовательно, образ суммы простых модулей при гомо-
гомоморфизме есть сумма простых модулей и нулей, которые можно
опустить. Поэтому, в силу 8.1.3, эпиморфный образ полупро-
полупростого модуля полупрост.
C) Поскольку каждый полупростой модуль, согласно 8.1.3,
есть сумма простых модулей, то и всякая сумма полупростых
модулей представима в виде суммы простых модулей и потому,
в силу 8.1.3, полупроста.
D) Так как кольцо эндоморфизмов простого модуля является
телом'и, следовательно, локально, то применима теорема Крул-
Крулля—Ремака—Шмидта. ?
Следующая теорема показывает, что для полупростых модулей
все условия конечности эквивалентны.
8.1.6. Теорема. Для полупростого модуля M = MR все приводимые
ниже условия эквивалентны:
A) М есть сумма конечного числа простых модулей;
B) М есть прямая сумма конечного числа простых модулей;
C) М имеем конечную длину;
D) М артинов;
E) М нётеров;
F) М конечно-порожден;
G) М конечно-копорожден.
Доказательство. Для М = 0 все эти условия выполняются
тривиальным образом, поэтому мы можем считать, что У
„A)=>B)": 8.1.2.
п
„B) => C)": Пусть М = © M[t где М[ просты. Тогда
i=i
0 С Mi С Мг е Мг С ... Q © Mi = М
— композиционный ряд, поскольку фактормодули Мг®...®
Ф ... е Mi~! й^ Mt просты.

192 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
„C) => E)" -1. .
„E)=>F)"Г в силу ЬЛ'2-
„F)^>A)": 2.3.13.
„G)=>B)": Предположим, что М является прямой суммой
бесконечного числа простых подмодулей М{. Тогда в М суще-
существует подмодуль вида M,r.;M2o... (ирямая сумма счетного
числа простых подмодулей Mlt M2, ...). Положим
Л,-: = © MJt i е= N
/ 1
Тогда Р| Л( = 0, ибо
а значит
(M1@...@Mn)[][ Г| А,) = 0
4=1
для произвольного «eN. Однако пересечение любого конечного
числа Л,- равно, очевидно, At с наибольшим i и, следовательно,
не равно 0. ?
Пусть Mr полупрост. Обозначим через Г множество всех его
простых подмодулей:
Г: = {E\EQ.M/\E прост}.
Рассмотрим в Г отношение эквивалентности ^. Пусть {Qyl/еУ} —
множество соответствующих классов эквивалентности, так что
Qj — класс изоморфных между собой простых подмодулей в М.
Ясно, что
й/. П Q/, = Ф Для /о, /х е= J, /о # /х-
8.1.7. Определение. 5;:= 2] ^ называется однородной
компонентой модуля М.
8.1.8. Лемма. Пусть MR —полу простой модуль и В,—его одно-
однородная компонента.
(a) UQ.Bj/\V npocm=3U <=Q,.
(b) M= 0 В/.

8.1. Определение и некоторые свойств»
Доказательство, (а) следует из леммы 8.1.2 (Ь). Действи-
Действительно, согласно этой лемме существует Е е Qy, такое что U^E,
поскольку других слагаемых в U нет, в силу его простоты.
Ь) Так как М — сумма своих простых подмодулей и каждый про-
простой подмодуль содержится в некотором Qy, то М= ? Bj. Допу-
стим, что для некоторого /0 е J
/«и
1ФЫ
Тогда, в силу 8.1.1, в D найдется простой подмодуль Е. По-
Поскольку EQ.Bh, то, согласно (а), Е <= Q/o. Поскольку Eq. ]? Bh
\Фн
то по 8.1.2 (Ь) существует такое /jeJ, /i#/o. что E<=Qlt.
Тогда Q/, П Й/, Ф Ф Н • О
Проверить в конкретном случае, является ли данный модуль
полупростым, довольно трудно; это может зависеть от самых
разных свойств модуля. С этой точки зрения представляет инте-
интерес следующий важный пример полупростых модулей (и колец).
Пусть R := GK — групповое кольцо конечной группы G над
полем К (см. 4.6.2).
8.1.9. Теорема Машке. RR и RR полупросты тогда и только
тогда, когда характеристика поля К не делит порядок группы G.
Доказательство. Пусть характеристика К не делит n:=|G|.
Тогда для 0#&е/( элемент nk:= k-\-...-\-k (n слагаемых) обра-
обратим. Элемент, обратный к я1, где 1е/(, будем записывать как
1/п. Пусть элементы группы G суть gb ..., gn. Если рассмат-
рассматривать R как правый /С-модуль, то R — векторное пространство
над К. Для каждого q> e End (RK) определим отображение ср:
R-+R формулой
i=\
Покажем, что ср е End (/?#). Для произвольного
Ф (rk) = — Л Ф (rkgi) Ш' = (тг /_. Ф (''gVg'i' ] fe = ф (г) fe.
1 = 1
Пусть теперь g<=G. Так как {ggi ggn} = {gu ••¦, gn}, то
л л
Ф ('S')== — У, Ф (rggi) g7' = — / ф (rggi) (ggi)gl = Ф
1=1 i^"i

194 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
Отсюда следует, что q> (г (х) = q> (r) х для произвольных r,x^R,
т. е. Ipe End(RR).
Пусть AQ.RR. Тогда Л —линейное подпространство в RK.
Следовательно, существует В Q. RK, для которого Rk = А ®В.
Пусть: я: RK^-RK— проекция R на А, т. е. п(а + Ь) = а для
яеД Ь е В. Поскольку A Q. RR, имеем для а е А
я я
я и=тг 2 я ^ ?<7'= i 2 agigV = i «а=a
и для r^R получаем
n
T 2 «
так как я (rgi) е Л. Отсюда вытекает, что я — проекция RR на Л
и
Следовательно, RR полупрост. Доказательство для RR анало-
аналогично (см. также 8.2.1).
Пусть теперь характеристика р поля К делит п. Покажем,
что для ro:=g1 + ... + gn идеал r0R не является прямым слагае-
слагаемым модуля RR. Прежде всего, аля geG имеем rog = ro- Отсюда
вытекает, что rl = hro = O, а также, что r0R — r0K- Предположим,
что RR = r0R ® 0. Тогда существует идемпотент е, для которого
eR = r0R = r0K. Но если e = roko,- где k0 <=/(, то e — e2 = rlkl = 0.
Следовательно, г0 — 0 ^. D
8.2. Полупростые кольца
Если кольцо обладает некоторым свойством с одной „стороны",
то оно вовсе не обязательно обладает им с другой. Например,
мы показали, что существуют кольца, являющиеся артиновыми
лишь с одной стороны. При рассмотрении любого свойства колец,
зависящего от „стороны", возникает естественный вопрос, дейст-
действительно ли оно „односторонне" или же наличие его с одной
стороны влечет за собой его наличие и с другой. С полупросто-
полупростотой колец дело обстоит как раз таким образом.
8.2.1. Теорема. Для кольца R
RR полупрост о RR полупрост.
Доказательство. Достаточно показать, что если rR полу-
полупрост, то и RR полупрост, поскольку обратная импликация полу-
получается тогда по симметрии.

8.2. Полупростые кольца • 195
Согласно 7.2.8 (с заменой стороны), полупростое кольцо RR
обладает разложением
где Li = Ret — простые подмодули в RR, е{ф0, е,е/ = буег, 1 =
п
= 2 ег. Из 7.2.3 (d) вытекает, что
г= 1
и остается только доказать, что все etR просты. Пусть е —одно
из et и пусть О Ф а = еа е eR. Тогда aR d. eR. Нам достаточно
показать, что aR = eR\ отсюда сразу будет следовать, что eR прост.
Поскольку еафО и Re прост, то
q>: Re э re i-*- rea = ra^ Ra
— изоморфизм. Если RR*=Ra®U, то
ь-*ц>-1(га)=гее. R
есть эндоморфизм ##, определенный правым умножением на неко-
некоторый элемент b ^ R (поскольку R(r) = End (Л/?), см. § 3.7). Таким
образом,
e = ty(a) = ab=$e<=aR=5eRQ.aR=5eR = aR. ?
8.2.2. Следствие, (а) Кольцо R полупросто о> каждый правый
и каждый левый R-модули полупросты.
(b) R полупросто => RR и rR имеют одинаковую конечную длину.
(c) Если R полупросто и р: R~+ S — сюръективный гомоморфизм
колец, то и S полупросто.
(d) R полупросто =$ RR и rR — кообразующие.
(e) R полупросто о каждый правый и каждый левый R-модули
инъективны о каждый правый и каждый левый R-модули проек-
тивны.
({) R полупросто о каждый простой правый R-модуль и каждый
простой левый R-модуль проективны.
Доказательство, (а) „=>": Если RR полупрости M — MR)
шёМ, то, в силу 8.1.5, mR как эпиморфный образ RR полу-
полупрост. Следовательно, модуль
М=
полупрост как сумма полупростых модулей. Рассуждение для
„левого" случая аналогично.

Щ Гл. 8. Полупростые модули и колыщ
(a) „<=": Частный случай.
(b) Доказательство этого утверждения содержится в доказа-
доказательстве теоремы 8.2.1, так как из простоты Ret следует про-
простота etR.
(c) Ss можно рассматривать как ^-модуль (см. также § 3.2),
если положить
sr: =« sp (r), s ® S, r <a R.
При этом идеалы в Ss совпадают с подмодулями в SR. Так как SR
полупрост, то и 55 полупрост.
(d) Чтобы показать, что RR — кообразующий, возьмем т е MR,
тфЬ. В силу полупростоты RR эпиморфизм
является расщепляющим. Следовательно, mR изоморфен некото-
некоторому правому идеалу в R. Таким образом, найдется мономорфизм
ср: tnRR->-RR. Поскольку mi?—прямое слагаемое в MR, то суще-
существует гомоморфизм ф: MR->-RR, удовлетворяющий условию
ф | mR — ф. Отсюда следует, что т ф ker (ф), что и требовалось
доказать.
(e) RR полупрост => каждый правый ^-модуль полупрост =>
каждый подмодуль есть прямое слагаемое => каждый правый
^-модуль инъективен, соотв. проективен, => каждый правый
идеал в R есть прямое слагаемое в RR=5> RR полупрост. Рас-
Рассуждение для левого случая аналогично.
({) „=>": Очевидно в силу (е).
(f) „С=": Пусть soc (RR) — сумма всех простых правых идеалов
в R (подробным изучением soc(MR) мы займемся в следующей
главе). Нам надо показать, что R = soc(RR). Допустим, что R=?
=?soc(RR). Тогда, в силу 2.3.11, soc(RR) содержится в некото-
некотором максимальном правом идеале А кольца R. Так как фактор-
кольцо R/A является простым правым ^-модулем и, следовательно,
по предположению проективно, то существует гомоморфизм ф,
для которого диаграмма
коммутативна. Ясно, что
R = im (ф) ф А.

8.2. Полупростые кольца ¦ 197
Но так как im (cp) прост, то мы должны иметь в противоречие
с-этим равенством
im(<p) Q,soc(RR) С Л.
Таким образом, R — soc(RR). . П
Следующий шаг наших рассуждений состоит в том, чтобы
разложить полупростое кольцо в прямую сумму неразложимых
двусторонних идеалов. А именно, пусть R— полупростое кольцо и
¦—разложение модуля RR на однородные компоненты (в смысле
8.1.8). Согласно 7.2.3, число однородных компонент, являющихся
по определению правыми идеалами, конечно. Мы покажем, что
В/ суть двусторонние простые идеалы, аннулирующие друг друга.
Предварительно докажем один результат для "произвольного
кольца R.
8.2.3. Лемма. Пусть А — прямое слагаемое в RR. Тогда двусто-
двусторонний идеал RA, порожденный А, содержит все правые идеалы
кольца R, являющиеся эпиморфными образами А.
Доказательство. Пусть RR=A®B, и я: /?->А — соответст-
соответствующая проекция. Пусть, далее, а: А-> А' — эпиморфизм, A'Q.
С. RR и i': А' ->-RR — включение. Тогда i'oot e Ногпд (RR, RR).
Как было показано в § 3.7, каждый эндоморфизм модуля RR
есть левое умножение. Следовательно, существует такое ceR,
что cl = t'an. Тогда, в силу равенства я (/?) = л (Л), имеем
Л' = i'got (R) == 1'ая (Л) = cAc=RA,
что и требовалось доказать. ?
Докажем теперь первую часть классической теоремы Веддер-
бёрна, полученной им первоначально для алгебр.
8.2.4. Теорема. Пусть R Ф 0 — полупростое кольцо и
.®Bmt соотв. RR = Ci®...®Cn,
— разложение модуля RRt соотв. RR, на однородные компоненты
(см. 8.1.8). Тогда
(a) Bj, /=1, ..., т, —простые двусторонние идеалы в R;
(b) п = т и (после надлежащей перенумерации) Bj = Cj, / = 1, ...
..., т;
(c) В^^ЬцВи i, /=1 m;
(d) B{, рассматриваемые сами по себе, являются простыми коль-
кольцами с единицей',
(e) разложение R в прямую сумму простых двусторонних идеалов
определено однозначно с точностью до перестановки.

198 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
Доказательство, (а) Покажем сперва, что если Е — простой
подмодуль в В,-, то RE — Bt. Для всякого rei? отображение
?эхI—*-гдее гЕ
есть эпиморфизм. Так как Е прост, то это либо нулевое отобра-
отображение, т. е. гЕ = 0, либо изоморфизм, т. е. Е^гЕ: В обоих
случаях rEc^Bi. Таким образом, RE Q. В{. Обратно, если Е ?ё Е'
(т. е. Е, E'^Qi), то, согласно 8.2.3, Е' имеет вид Е'—гЕ,
откуда BiQ.RE. В итоге получаем RE = Br
Поскольку В,- = 2 Е> т0 мы имеем
e<=q.
Значит, В( — двусторонний идеал. Пусть теперь А Ф О — двусторон-
двусторонний идеал, содержащийся в В/. Тогда модуль AR полупрост, и,
следовательно, существует простой правый идеал Е, для которого
? С Ля Q В,.
Поэтому
откуда A = Bt. Таким образом, В{ как двусторонний идеал прост.
(b) Аналогично С), / = 1, ..., п,— также простые двусторон-
двусторонние идеалы. Поскольку Bfij — двусторонний идеал, то он содер-
содержится как в В;, так и в С/. Но оба они просты, так что либо
В,С/=0, либо Bi = BiC/ = Cf. Для каждого фиксированного
го = 1, ..., т должно существовать по крайней мере одно /„, для
которого Bio=Bi0Cj<)=Cj0, ибо в противном случае мы имели бы
Bi0R = 2 Bt<,C/ —0 ^- Но такое /„ может существовать только
одно, ибо из равенств Bia = Blo С/, = Ск вытекало бы, что С;„ =
= С/, ^. Так как для каждого С1а, /0=1, ..., п, соответственно
должно существовать /0, такое что Вк=С,„, то утверждение (Ь)
доказано.
т т
(c) Из того что R = 0 Bf, следует, что RBf = В/ = 0 ВгВ/(
откуда и вытекает доказываемое утверждение.
(d) В силу (с), в В,- двусторонние Я-ид^алы совпадают с дву-
двусторонними Вгидеалами. Таким образом, Bt просто как кольцо.
Пусть 1=2/,-, /,-е=Вг. Тогда, в еллу G.2.3), В,= Д/? и Д-идем-
потенты из центра R. Для & = ДгёВ,- имеем тогда fe/je/^rs
ssf(r = fii' = b. Таким образом, ft — единица в В,-.

8.3. Структура простых колец ' 199
(е) Доказательство аналогично доказательству утверждения
(Ь). • ?
8.2.5. Определение. Простые двусторонние идеалы В{, i — l, ...
..., т из теоремы 8.2.4 называются блоками кольца R.
8.2.6. Следствие. Пусть кольцо R полупросто. Тогда число его
блоков равно числу классов изоморфных простых правых R-модулей
и равно числу классов изоморфных простых левых R-модулей.
Доказательство. Каждый простой правый, соотв. левый,
^-модуль изоморфен некоторому правому, соотв. левому, идеалу
в R (так как каждый эпиморфизм модуля RR на циклический
правый ^-модуль является расщепляющим). Следовательно, доста-
достаточно рассмотреть простые правые, соотв. левые, идеалы, а для
них наше утверждение следует из 8.2.4. ?
8.3. Структура простых колец, обладающих
простым односторонним идеалом
Чтобы полностью выяснить структуру полупростых колец,
нужно еще исследовать двусторонние простые идеалы BJt фигу-
фигурирующие в 8.2.4. По определению Bj суть правые идеалы полу-
полупростого кольца R, следовательно, они являются полупростыми
правыми ^-модулями. Отсюда, в силу 8.2.4 (с), следует, что
Bj — полупростые кольца. Речь идет, таким образом, об одновре-
одновременно простых и полупростых кольцах. Примеры показывают
(см. упр. 8), что не каждое простое кольцо полупросто. Так
как Bj полупросты и предполагается, что Bj^O, то это простые
кольца, обладающие -простым правым идеалом.
Обратно, как мы сейчас покажем, каждое простое кольцо R,
обладающее простым правым идеалом Е, будет также полупро-
полупростым. Пусть Б — однородная компонента для Е в RR, т. е. сумма
всех изоморфных Е правых идеалов в R. Тогда модуль BR как
сумма простых правых идеалов полупрост. Далее, для ге^и
простого правого идеала Е' С. Rr произведение гЕ' либо является
изоморфным Е' правым идеалом, либо равно 0. Таким образом,
В — ненулевой двусторонний идеал в R. В силу простоты кольца R
отсюда вытекает, что B — R. Объединяя все это вместе (см.
также 8.2.4 (а)), получаем, что модуль RR полупроет.
Рассмотрим теперь структуру таких колец.
Покажем, что каждое такое кольцо изоморфно кольцу эндо-
эндоморфизмов (= кольцу всех линейных отображений в себя) неко-
некоторого конечномерного векторного пространства V над телом К;
это кольцо эндоморфизмов изоморфно в свою очередь кольцу
квадратных матриц порядка п (где п = dim^ (V)) с элементами
из К, и потому его можно считать уже известным.

200 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
8.3.1. Теорема. Пусть V =*KV — векторное пространство над
телом К-
(a) Если 1 *^dimK(V) — n<oo, то End(*У) — одновременно про-
простое и полупростое кольцо.
(b) Если dim*r (V) — оо, то End (КУ) не является ни простым,
ни полу простым.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что здесь мы, имея
в виду последующую теорему, формулируем результат для слу-
случая левого векторного пространства V = kV. Соответственно эндо-
эндоморфизмы V будем записывать справа от аргумента: для ф е
е End (kV) и хеУ образ х при эндоморфизме q> обозначается
через л;ф. Аналогичный результат, конечно, справедлив и для
правых векторных пространств.
(а) Пусть Vi, ..., vn — какой-нибудь базис пространства KV.
Положим
«. 2J./Cty, /=1 л;
Тогда
— простой правый идеал в S и
5s = ?1e ...е?„;
EiQ^Ef для всех i, /=1, ..., п.
Следовательно, 5 полупросто. Поскольку все ?,¦ изоморфны между
собой, то 5S состоит из одной-единственной однородной компо-
компоненты и потому S — простое кольцо. Приведенные выше утвержде-
утверждения относительно Ei доказывать здесь не стоит. Речь идет о про-
простых фактах линейной алгебры, проверка которых предоставляется
читателю в качестве упражнения.
Доказательство можно провести также с помощью изоморф-
изоморфного 5 кольца квадратных матриц порядка п с элементами из К.
В этом кольце каждая строка' — простой правый идеал (а каждый
столбец—простой левый идеал), и оно есть прямая сумма п строк
'соотв. столбцов), которые все изоморфны.
(Ь) Положим снова S:=End(KV).
Определение. Эндоморфизм ф е 5 называется конечномерным, если
dii (ф))<оо,
1 То есть матрица, в которой все элементы, не принадлежащие некоторой
строке; нулевые. Аналогично понимается здесь и слово „столбец",— Прим. ред.

8.3. Структура простых колец . 201
Легко показать, что множество А всех конечномерных эндо-
эндоморфизмов есть ненулевой собственный двусторонний идеал в S.
Следовательно, 5 не является простым кольцом. Если бы 5 было
полупростым кольцом, то существовал бы подмодуль В Q. Ss,
такой что
SS = A@B.
Так как Л— двусторонний идеал, то мы имели бы
и, значит, В.А = 0. Пусть р е В, Р^О, vmV, сф^О и
V = Kv$@U, UQ.KV.
Определим для k^K, и е U отображение а правилом
а; УэЬр + ">-*Ьре V.
Тогда аг А (поскольку im(a) = Kv$) и v$a = v$фO. Следова-
Следовательно, Ра^О, в противоречие с тем, что ВА = 0. ?
Как мы уже отмечали, теорема 8.2.4 содержит первую часть
известной и важной теоремы Веддербёрна о полупростых кольцах.
Сейчас мы переходим ко второй ее части.
8.3.2. Теорема. Простое кольцо R, обладающее простым правым
идеалом, изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторого конечно-
конечномерного векторного пространства над телом. Точнее, пусть
Е~ простой правый идеал в R и K:=End(ER). Тогда К —тело,
Е ~ КЕ — конечномерное левое векторное пространство над К и
Доказательство. Согласно лемме Шура 3.7.5, К — тело и
Е можно рассматривать как левый /(-модуль. Таким образом, Е
является /С-Я-бимодулем. Для i/e? рассмотрим отображение
т. е. левое умножение Е на у. Очевидно, у^&К. Для re/?
рассмотрим отображение
/¦<?>: Е<=х>-+хг<=Е.
Ясно, что г<е ) <= End (кЕ), ибо для k е К имеем k (xr) = (kx) r.
Покажем, что
Ф: /? э п-* riPa End ОгД)
— кольцевой изоморфизм.
Прежде всего, Ф, очевидно, является кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом. Так как ker (Ф) — двусторонний идеал в R, отличный от R

202 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
(ибо 1^?кег(Ф)), то из простоты R следует, что кег(Ф) = 0.
Следовательно, Ф — мономорфизм. Остается установить, что Ф —
эпиморфизм. Поскольку ЕфО и #? —двусторонний идеал, то
RE = R, откуда получаем
A) Ф(Д) = Ф(Д?) = Ф(Д)Ф(?).
Далее, покажем, что Ф (Е) — правый идеал в R" := End (KE). Пусть
?<=#" и х, у<=Е. Тогда
у DП> I) = (ух) 5 = (</<?> *) 5 - yf (xl) - У (*?) = у ВД,
откуда следует, что
т. е.
B) Ф(?)#" = Ф(Я).
Наконец, учитывая, что <?>(R) Q. R" и l^1) = l?s Ф(#), получаем
C) /?" = Ф (/?)/?».
Из A) —C) следует, что .
R" = ф (R) R" = ф (R) ф (Е) R" = Ф (R) Ф (Е) = Ф (Д).
Таким образом, действительно Ф (R) = R".
Так как Я — простое кольцо п R^R", то и R" — простое кольцо.
Поэтому, согласно 8.3.1, dim*- (E) < оо, чем и завершается дока-
доказательство. . Ц
Помимо этого непосредственного доказательства, в следующем
параграфе мы дадим второе доказательство теоремы 8.32 — получим
ее как следствие из теоремы плотности.
. Сформулируем основное содержание теорем 8.2.4 и 8.3.2 еще
раз в несколько ином виде:
8.3.3. Следствие. Всякое полупростое кольцо (с единицей) есть
прямая сумма аннулирующих друг друга простых колец, каждое
из которых изоморфно некоторому полному кольцу матриц над
телом.
8.3.4. Следствие. Пусть R —простое кольцо, обладающее про-
простым правым идеалом Е, и пусть, кроме того, R является конечно-
конечномерной алгеброй над полем Н. Тогда существует изоморфное Н
подполе Ко поля K:=End(ER), такое что dimKo(K)<.co.
Если Н алгебраически замкнуто, то Н^К = End(?R).
Доказательство. Определим для ЛеЯ правое умножение

8.4. Теорема плотности • ?03
Поскольку (xh)r = (дг)h для rei?, то hp eК. Поэтому
— кольцевой гомоморфизм. Положим /Со:= im(i|)). По условию
алгебра RH конечномерна, значит, и алгебра Ен конечномерна.
Так как h'i)x = xh для всех йеЯ, ^е?, то базис для Ен
над Я будет также базисом для *„? над Ко- Отсюда следует, что
к„К конечномерно и, следовательно, *Д тоже должно быть конечно-
конечномерным (ибо dimA;(l(/;C)-dimA'(jE') = dimA;0 (?)). ¦
Поскольку К — конечное алгебраическое расширение Ко, то
в случае, когда Н, а следовательно, и Ко алгебраически замкнуты,
имеем Ко = К. Таким образом, Н^Ко = К. ?
8.4. Теорема плотности
В предыдущих рассуждениях мы обычно имели дело с правым
^-модулем М = MR. При этом ^-гомоморфизмы модуля М запи-
записывались слева от элементов из М. В частности, если S: =
= End (MR) — кольцо эндоморфизмов модуля М, то М можно рас-
рассматривать как S-^-бимодуль. Такой способ записи целесообразен
во многих случаях, но не во всех. Так например, он не удобен
в случае рассмотрений, при которых исходят из произвольной
аддитивной группы М и кольца T:=End(AIz) всех ее эндомор-
эндоморфизмов, а как раз этот случай будет нас интересовать в даль-
дальнейшем.
Чтобы показать, как систему записи, использовавшуюся до сих
пор, можно свести к системе записи, которая будет применяться
ниже, и какое значение имеют последующие результаты, мы сде-
сделаем несколько предварительных замечаний, причем сначала ничего
нового не предполагается.
8.4.1. Определение. Пусть R, соотв. R°, — кольцо с умножением ¦,
соотв. °. Кольцо R° называется кольцом, противополож-
противоположны м к R, если
A) аддитивная группа у R и R° одна и та же;
B) Vr, se=tf[r-s = s»r].
8.4.2. Замечания, (а) Существует ровно одно кольцо R°, про-
противоположное к R.
ф) ROO = R.
(с) R коммутативно <=> R = R°.
Доказательство, (а) Существование R°. Положим (RQ, +): =*
=(R, +) и
s°r :— r -s, r, s e R.

204 Гл. §. Полупросты» модул» д кольца
Тогда R° будет кольцом, противоположным к R.
Единственность. Пусть R* — также противоположное к R
кольцо с умножением *. Тогда по определению
(/?*, +) = (/?. +)-(Я°. +)•
Далее, s*r = r-s = s-r для всех г, s e R. Следовательно, R* = R°.
Доказать утверждения (Ь) и (с) предоставляется читателю
в качестве упражнения. ?
Далее, из определения следует, что все свойства кольца R
переносятся на R , с заменой „сторон".
8.4.3. Замечание. Пусть М — MR. При помощи определения
г°т:=тг для т&М, г е R0
М превращается в левый R°-модуль ц°М. В точности те адди-
аддитивные подгруппы в М, которые являются подмодулями в MR,
будут подмодулями и в ц°М.
Доказательство. При доказательстве того, что M = R°M, мы
ограничимся лишь проверкой закона ассоциативности:
г г • (г8 - т) = гх • (тг2) = (тг2) гх
= т (г2гх) = {ггг-й • m = (г! • ra) = m
для всех гь r2ei?, me M.
Далее, U Q. MR => г • U = Ur с U для всех г ei?=>f/Q ц°М.
Аналогично U Q. r°M => U Q. MR.
Итак, все свойства MR переносятся на ц°М (с заменой сторон). ?
Теперь, после того как мы уяснили роль замены сторон, пред-
предположим, что M=RM. Далее, пусть Т := End(Mz) (= кольцо
всех эндоморфизмов группы М), причем эндоморфизмы должны
применяться слева, так что мы имеем также М = тМ. Тогда для
каждого fEi? левое умножение
г<л>: М э х с-> rx e M
будет элементом из Т и отображение
ip: /?эгн-».г<л>е Г,
как легко проверить, является кольцевым гомоморфизмом.
Кольцо /?<л> := im (if) называется кольцом левых умножений
модуля RM. Ядро ker (if) представляет собой двусторонний идеал
б R, состоящий из всех г е R, таких что гМ = 0.
8.4.4. Определение. Модуль RM называется точным, если
Vr е= R [гМ = 0 =5> г = 0] <=> ker (i|>) = 0.

8.4. Теорема плотности . |05
Для точных модулей кольцо R можно отождествить с R(n\ так
что в этом случае RQ.T.
8.4.5. Определение. Пусть Т — произвольное кольцо и АсТ
(т. е. А — подмножество в Т). Множегтво
сепг (Л) := {t \t e= T/\ Va е= А [ей = ta]}
называется централизатором А в Т.
Непосредственно ясно, что cen;- (Л) — унитарное подкольцо в Т
и что септ(Т) совпадает с центром Т.
8.4.6. Лемма. Пусть M = RM, 7:=End(Afz), S:=End(RM)
(всё применяется слева). Тогда
(a) S = R':=cenT(RW);
(b) Rw czR":= сепу-(cenr (#<л>));
(c) R' = R'": = cenr (cenr (cenr
Доказательство, (а) „S q. cenT(R^)": Пусть o<=S. Тогда
для всех г<= R, нёМ имеем o(rx) = r(ox). Следовательно,
()()(^()) i?())S (#())
() ()
для всех г е i? => т (гх) = г (хх) => т е S.
(Ь) и (с) следуют из определения централизатора. D
В связи с этой леммой возникает интересный вопрос: при
каких условиях имеет место равенство RM = R" и какие соотно-
соотношения между R{n) и R" имеют место в случае, когда S^'^i?"?
Заметим при этом, что #1л> и R" зависят, разумеется, от M=RM,
хоть это и не отражено в записи.
8.4.7. Примеры. 1. Если М = яМф0— свободный Я-модуль,
то gM. — точный ^-модуль и R^ = R". (Упражнение для читателя.)
2. Пусть RM = ZQ. Тогда ZsZ<"> и S = Z'= Z" q=; Q. (Упражнение
для читателя.)
3. Пусть V = Vk — бесконечномерное векторное пространство и R—
подкольцо б Т := End (Vk), порожденное тождественным отобра-
отображением и всеми конечномерными линейными отображениями. Тогда
(a) V = вУ есть простой /?-модуль;
(b) R' = End(RV) = Wn)(=KY'
(c) nM = R?sR> = End(VR.y,
(d) для любого конечного числа элементов olf ..., vt s= V и любого
a<= R" существует гei?, такое что ay,- = rvt, i=\, ..., t.
Доказательство утверждений (а) — (с) предоставляется читателю
в качестве упражнения; утверждение (d) —частный случай при-
приводимой ниже теоремы плотности.
8.4.8. Определение. Пусть R и S —кольца, и пусть RM и SM—
модули с одной и той же абелевой группой. Модуль RM называется

206 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
плотным в sM> если для любого конечного числа элементов
хь ..., xt е= М и любого s е= S найдется такое rs/?, что sxt —
= rxit 1 = 1, ..., t.
8.4.9. Теорема. Каждый полупростой модуль RM плотен в ц»М.
Доказательство проведем в три шага.
Шаг 1. Пусть вначале N = RN — произвольный модуль и U —
прямое слагаемое в N, т. е. N = U @NV Пусть R'' = Rn — второй
централизатор R относительно N.
Утверждение: R"U = U, т. е. U есть ^"-подмодуль в r»N.
Действительно, пусть я — проекция N на U и rj—вложение U в N.
Тогда т]я е= R' = Hom/j (Л^, Л^) и im (т]я) = U. Поэтому для г" е= R"
и aef/ имеем
г"и = г"цп (и) = т)яг" (и) = цп (г"и) е U,
что и требовалось доказать.
Пусть теперь модуль W полупрост и х е= W. Тогда Rx — прямое
слагаемое в Af и Rx= R"Rx = R"x. Следовательно, для каждого
х е= N и каждого г" е= R" найдется такое r0 e R, что гох = г"л;.
ZZ/аг 2. Пусть М = ЛМ — полупростой модуль и W : = ]J[ Mh
где Mi = M для t = l, ..., я. Тогда (см. гл. 4)
Значит, модуль Л^ есть прямая сумма полупростых модулей М\
и потому (см. 8.1.5) сам полупрост. Обозначим второй централи-
централизатор R относительно М, соотв. W, через R"m, соотв. R"N.
Утверждение. Для г'е% н (xi...xn)^N с помощью
определения
r"(x1...xn):=(r"x1...r''xn)
N превращается в Ялгмодуль, и отображение
г": N=>(x1...xn)^(r"x1...r"xn)^N
является элементом из R"n. (Более того, отображение Rm э г" *-<-+•
i—> г" е= R"n есть кольцевой мономорфизм.)
Модульные свойства очевидны. Покажем, что г" э R"N. Пусть
я,-: N-+-M{ и г]*: Mi-+N

8.4. Теорема плотности _ 207'
¦—канонические проекции и включения (см. гл. 4). Тогда
' г"щ(xi, .... хп)= r"Xi = n-r"{x-i....хп),
г" ¦ \\iXi = г" @... 0л-@... 0) = y\ir"xu
т. е. г"щ = л1г", г"т1( = т]/".
п.
Поскольку 2 y\ini= In, то для произвольного ф<=Нотя(М, N)
мы имеем
причем я(фТ]у е Н.отк(М, М) (ибо УИг = УИ). Поэтому
= 2 2 ^ ("'Ч51!/)г"^ = B 2
что и требовалось доказать.
Шаг 3. Пусть теперь даны xi, ..., х„еА1 и г" <= R"M. Согласно
шагу 1, примененному к
п
N := П М" где ^ = Л^ Для ' = 1 «.
а также к х = (л;1, ..., «n)eAf и г" <= R°N (где г" — элемент, соот-
соответствующий элементу г" в смысле шага 2), найдется такое
г0 е R, что
гол; = (roXi... гпхп) = г"х = (r'xi... г"хп).
Таким образом,
roXi = r"Xi, i= I, ..., п. П
8.4.10. Следствие. Если модуль RM прост и М конечномерен
над K=-End(RM), то R^ = R".
Доказательство. Пусть Х\, ..., хп — базис для КМ. Тогда
для каждого а <= R" найдется такое г е #, что ал;< = гл;(, i = 1,..., п.
Так как а и r(J° — линейные отображения, то а = г(л); значит,
R"Q.Rln). С другой стороны, R^QR", поэтому RW = R". О
8.4.11. Следствие. Если RM прост, a RR артинов, то М
конечномерен над К и R^ R"

208 Гл. 8. Полупростые модули и кольца
Доказательство. Согласно 8.4.10, достаточно показать, что
КМ конечномерен. Допустим, что это не так. Тогда в КМ найдется
счетное множество линейно-независимых элементов х1у Хъ х3,....
Положим
Ап:= {a\aR/\ax1*=... = axn = 0}.
Ясно, что Л„ —левый идеал в R. Так как (в силу 8.4.9) в А
существуют такие а„, что апхп+1 Ф 0, то Ап .р Лп+Х и, следовательно,
существует бесконечная цепь левых идеалов
,Ф
A3
что противоречит артиновости RR. П
В качестве следствия теоремы 8.4.9 докажем еще раз струк-
структурную теорему для простых колец (теорему 8.3.2).
8.4.12. Следствие. Всякое простое кольцо R, обладающее простым
левым идеалом,, изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторого конечно-
конечномерного векторного пространства над телом.
Доказательство. Как было показано в начале § 8.3, кольцо
R полупросто, а значит, согласно 8.1.6, артиново (с обеих сторон).
Пусть цМ. — простой левый идеал в R. Тогда
— изоморфизм. Действительно, ker(ip) как двусторонний идеал
в простом кольце R равен 0, ибо 1 ф ker (op). Поэтому наше
утверждение следует из 8.4.11. ?
Упражнения
1. а) Пусть р —простое число и/ieN. Каков наибольший полупростой Z-под-
модуль в Z/p"Z?
b) Каков наименьший Z-подмодуль U в Z/p^Z, для которого фактормодуль
(ZlpnZ)IU полупрост?
(с) Указать пример такого модуля М и такого его подмодуля U, что М не
полупрост, но M/U и U полупросты.
2. Пусть Я —кольцо. Обозначим через clis (/?) число классов изоморфных про-
простых правых ^-модулей. (В классе всех простых правых ^-модулей „^" есть
отношение эквивалентности; класс изоморфизма — это класс эквивалентности
относительно ^.)
a) Дать для каждого ле N пример кольца R с clis (R) = n.
b) Указать пример кольца, для которого clis(#) = oo,
c) Возможен ли случай clis (Я) = 0?
3. Пусть е — идемпотентный элемент кольца R. Показать, что
a) End (e RR) ^ eRe;
b) Если R просто и е#е—-тело, то eR — простой правый идеал в R.

Упражнения . 209
я
4. Пусть Ri, /=1, ..., п, — кольца и /?:= JJ Ri (с покомпонентным сложе-
сложением и умножением).
a) Показать, что R — полупростое кольцо С3> Vt = 1 п [R{ полупросты]
b) Верно ли а) для случая бесконечного произведения?
б. а) Пусть VK — векторное пространство счетной размерности. Показать что
идеал, состоящий из всех конечномерных эндоморфизмов VK, — единственный
ненулевой собственный двусторонний идеал в End/VK). -
b) Верно ли а), если размерность V несчетна?
6. Доказать, что если модуль М = М^ полупрост и S :— End (M^), то и модуль
SM полупрост.
7. Пусть М„ —полупростой ^-модуль с конечным числом однородных компонент:
Мо= © В,.
* /=1
Показать, что
л
a) S := End (MR)= © S/, где S/— двусторонние идеалы в S и S/^End(В>R)\
b) если модуль М^ конечно-порожден, то кольцо S полупросто;
c) если Мц конечно-порожден и все его простые подмодули изоморфны, то S
одновременно просто и полупросто;
d) если Мр не является конечно-порожденным, то S ни просто, ни полупросто.
8. Пусть К :— R (х) — поле рациональных функций от д; с вещественными коэф-
коэффициентами. Пусть, далее, для JeK
k' := 4- (k)
— обычная производная и R :— К [</] — аддитивная группа всех многочленов
от у с коэффициентами из К. Определим в К [у] (некоммутативное) умножение
индукцией по я = 0, 1, 2, ... при фиксированном т = 0, 1, 2, ...:
(ау«)(Ьут):=аЬут, а, Ь <= К,
(ауп) (bym) := ay"'1 (bym+1 + Ьут) для п > 0.
Кроме того, потребуем выполнения законов ассоциативности и дистрибутивности.
Доказать следующие утверждения:
a) R — простое кольцо. (Указание. Если двустороннему идеалу кольца # принад-
принадлежит многочлен степени л>1, то ему принадлежит и некоторый многочлен
степени п — 1.)
b) R не содержит ни правых, ни левых простых идеалов и потому не полупрост.
9. Доказать утверждения примеров 8.4.7.
10. Пусть M = MR,
a) Показать, что М полупростС=>в М нет собственных существенных подмодулей.
b) Пусть М конечно-порожден. Показать, что М полупрост <=> в М нет суще-
существенных максимальных подмодулей.
c) Дать пример неполупростого модуля, не имеющего существенных максималь-
максимальных, подмодулей.

9. Радикал и цоколь
Уже на ранних порах развития теории колец было доказано,
что во всякой конечномерной алгебре А существует двусторонний
нильпотентный идеал В (идеал В называется нильпотентным,
если В" = 0 для некоторого натурального числа п), такой что
А/В — полупростая алгебра.
Поэтому при исследовании конечномерной алгебры А можно
выделить три основных пункта:
1° изучение полупростой алгебры А/В (с помощью теории
полупростых алгебр);
2° изучение нильпотентного идеала В;
3° изучение связи между А/В и А, определяемой -эпиморфиз-
-эпиморфизмом А-+А/В; в частности, возникает вопрос о „поднятии"
свойств А/В в А.
Так как такой подход к исследованию конечномерных алгебр
оказался очень плодотворным, естественно возникло желание
найти для произвольного кольца или модуля какой-то аналог
идеала В. Мы не будем здесь останавливаться на интересной
истории развития этого вопроса. Скажем только, что это разви-
развитие привело к современному понятию радикала, которому и по-
посвящена эта глава.
Радикал модуля MR, обозначаемый через rad(MR), опреде-
определяется как пересечение всех максимальных подмодулей MR, или,
что то же самое, как сумма всех косущественных подмодулей MR.
Для радикала выполняется соотношение rad (M/rad (M)) = 0, и
rad(M) содержится в каждом подмодуле 1/Q.M, для которого
rad (M/U) = 0. Здесь также можно выделить три пункта, анало-
аналогичных указанным выше, хотя фактормодуль M/rad (M), вообще
говоря, уже не будет полупростым.
Дуальным к понятию радикала является понятие цоколя.
Цоколь модуля MR, обозначаемый через soc (MR), — это сумма
всех минимальных (= простых) подмодулей MR, а значит наи-
наибольший полупростой подмодуль в MR. Он равен пересечению
всех существенных подмодулей в MR.

0.1. Определение радикала и цоколе 2Ц
9.1. Определение радикала и цоколя
9.1.1. Теорема. Пусть М=*Мц. Тогда
(a) s а= п в= п ker(q>>;
п п
BQ.M q>eHomn(Af, N)
В максимален Nr В0Яупр0ОТ
П л= S в= 2 im(<p)-
fM BQM <psHomn(/V, iM)
"« полупрост
Доказательство, (а) Обозначим три подмодуля в М, равен-
равенство которых нужно доказать, через Uu U2 и U3 соответственно.
„f/2Qt/i": Пусть aef/j. Предположим, что aR не является
косущественным подмодулем в М. Тогда, в силу 5.1.4, найдется
максимальный подмодуль С в М, такой что афС и, значит,
а ф U2 ^. Следовательно, aR — косущественный подмодуль и
потому a^aRQ. Ui.
„U3 Q. U2": Пусть В — максимальный подмодуль в М и vB: M ->
->¦ М/В — естественный эпиморфизм М на простой модуль М/В.
Тогда ker (vB) = В, откуда следует, что
U, с fl ker(vB)= fl В-I/,.
fl fl
BQ.M BQ.M,
В максимален . В максимален
„t/iQt/з": Согласно 5.1.3(с), для каждого гомоморфизма
ф: M-+N мы имеем Ac? M=$y(A)c$ N- Если N полупрост, то
единственным косущественным подмодулем в N является 0 и
потому ф(Л) = 0, т. е. Лскег(<р). Следовательно, UiQ.U3.
(b) Снова обозначим подмодули, о которых идет речь, через
Ult Ui и U3 соответственно.
„f/2 Q. f/i": В — простой подмодуль в M\J А с? М =$ A fl В Ф
олпвввлс/г/
^п21
It' „f/3QUi': Так как гомоморфный образ полупростого модуля
также полупрост и сумма полупростых модулей полупроста
(см. 8.1.5), то U3 является полупростым подмодулем в М и, зна-
значит, равен сумме некоторых простых подмодулей в М. Следова-
Следовательно, 1/3о.иъ ибо U2 — сумма всех простых подмодулей в М.
„Ux Q. Us"'- Докажем сначала, что модуль ?/х полупрост. Пусть
Cq(/i и С — П-дополнение для С в М. Тогда С + С =СеС'с*М
(в силу 5.2.5) и, таким образом, 1/xQ.C + C''. Из закона моду-
модулярности (заметим, что Cq^) вытекает, что f/1 = C©(C По-
Последовательно, JJ\ полупрост. Поэтому если i : Ui-^M — вклю-
включение, то Ui = im (i) q. U3. ?
9.1.2. Определение. A) Заданный в 9.1.1(а) подмодуль модуля М
нащвается его радикалом {обозначение', г ad (M)).

212 Гл. 9. Радикал и цоколь
B) Заданный в 9.1.1(Ь) подмодуль модуля М называется его цоко-
цоколем (обозначение: soc(Al)).
9.1.3. Следствие, (а) Для всякого т&.Мц
rnRc$Mom<= rad (М).
(b) soc (М) — наибольший полупростой подмодуль в М.
Доказательство, (a) mR с? М =*/nsm^ С rad (/И) (no 9.1.1).
Обратная импликация т е rad (М) => mR с? M была уже уста-
установлена при доказательстве теоремы 9.1.1 (а) (в пункте ,Д. Q ?/i").
(b) По определению, soc(Af) есть сумма простых подмодулей
и потому полупрост. Пусть С — произвольный полупростой под-
подмодуль в М. Тогда С как образ при включении i: C-*-M содер-
содержится в soc (/И). Таким образом, soc (М) — наибольший полу-
полупростой подмодуль в М. ?
Мы подошли теперь к основной теореме о радикале и цоколе.
9.1.4. Теорема, (a) (peHom^M, N) г=г> q> (rad (М)) С rad (N) Д
Д((УИ))(Л^)
Дф(())()
(b) rad (Л'1/rad (М)) = О Д VC С М [rad (М/С) = 0 => rad (Л1) с; С],
т. е. rad (M) — наименьший среди подмодулей С в М, для кото-
которых rad (М/С) = 0.
(c) soc (soc (М)) = soc (Л!) Д VC Q M [soc (С) «= С =з> С Q soc (УИ)],
т. е. soc (УИ) — наибольший подмодуль в М, совпадающий со своим
цоколем.
Доказательство, (а) Из равенства rad(M) ^] А следует,
Ас?М
что (p(rad(/M))= 2 фИ)- Н°» как показано в 6.1.3, ф(Л) cj JV.
Следовательно, ф (rad (M)) С rad (iV). Поскольку образ полупро-
полупростого подмодуля также полупрост, то ф(бос(/И)) Csoc(W).
(b) Утверждение. Максимальные подмодули А в М/С
.получаются как образы максимальных подмодулей В Q. М, для
которых CQ.В, при гомоморфизме v: М-*-М/С.
Это следует из 3.1.13 или доказывается непосредственно сле-
следующим образом: vv-1 (A) = A |"| im (v) = А; пусть В: = v1 (А); тогда
v(S) = A и CQ.BQ.M; так как А максимален, то (М/С)/А =
— (М/С)/(В/С) ^ М/В прост. Значит, В — максимальный подмо-
подмодуль в М.
Утверждение. Если (Bt \ i е /) — произвольное семейство под-
подмодулей в М и Vt e / [С Q. Bi\, то
П
/е/

9.1. Определение радикала и цоколи . 213
Действительно, ясно, что (П Bt)/C Q. П (В{/С). Обратно, пусть
v-\-C&()(Bi/C). Тогда для каждого i найдется такое 6,-е В,-, что
C C B C Bi для всех ie7=>o +
(П;)/
Применяя оба эти утверждения, получаем
rad (M/rad (М)) == f| Д= f|
JW/d(JW BQ
В макси
rad(M)
B)/rad(M)
AQJW/rad(JW) BQJW
Л максимален В максимален
rad(M)QB
BQ.M
В максимален
rad(M)QB
BQJW
В максимален
Если теперь С Q. М и rad (М/С) = 0, то для отображения v: УИ->-
-+-М/С в силу (а) имеем
v (rad (М)) <= rad (М/С) = О,
и, следовательно,
rad (M) С ker (v)= С.
(с) Полупростой модуль совпадает со своим цоколем. Отсюда
следует, что soc(soc(iW)) = soc(Al), так как soc (УН) — наибольший
полупростой подмодуль в М. Если soc (С) = С, то С полупрост
и, значит, Cq.soc(M). ?
Утверждения (а) — (с) этой теоремы можно сформулировать на
языке функторов и получить таким образом определения пред-
радикала ((а)), радикала ((а) и (Ь)) и цоколя ((а) и (с)) в кате-
категориях.
9.1.5. Следствия, (a) q>: M-^-N— эпиморфизм Дкег (ср) с? М =>
Ф (rad (М)) = rad (N)/\rad (M) = ф-1 (rad (N))i
ф: М -*- N — мономорфизм Д im (ф) с? N =$
Ф (soc (М)) = soc (N)/\soc (M) = ф-1 (soc (N)).
(b) С С М => rad (С) с rad (Л!) Asoc (С) С soc (M).
(c) УИ= 0 УИг => rad (М) = 0 rad Mt Л soc (Л!) = 0 soc (M{).
«<=/ f/ fe/
(d) УИ = 0 Mi => УИ/rad (УИ) зй © (M,/rad (УИ;)).
Доказательство, (а) Согласно 9.1.4, (p(rad(M)) Q.rad(N).
Пусть теперь U c? N и A + у1 (U) — M для ЛО.УИ. Так как

214 Гл. 9. Радикал н цоколь
Ф — эпиморфизм, то (p(A) + U — N. Следовательно, y(A) = N и
потому
А + ker (ф) == М.
Поскольку ker (ф) с? М, то А — М, т. е. ф-1 (U) с? М, => ф-1 (U) Q.
С rad (М) => ф (Ф (U))=U Q. ф (rad (M)). Таким образом, rad (N) Q.
Q.y(rad(M)). Наконец, из равенства <p.(rad(M)) = rad(N) с уче-
учетом включения ker (ф) Q. rad (M) получаем
rad (М) = rad (М) + ker (ф) = ф~*ф (rad (М)) = ф-1 (rad (N)).
Для цоколя, снова в силу 9.1.4, ф(зос(А1)) Q. soc(N). Если теперь
Е Q. N прост, то, поскольку im (ф) cf N, имеем Е Q. im (ф), откуда
ф-1 (Е) Q.soc(М), =>фф-х(Е)=ЕQ.фEОс(ЛТ))=^5Ос(Л^) Q.y(soc(M)).
Наконец, из равенства ф (soc (М)) = soc (Л^) следует, что
soc (М) = ф-1ф (soc (М)) = Ф (soc (W)).
(b) Если i: С -*-М — включение, то согласно 9.1.4
rad (С) = i (rad (С)) С rad (M) Дбос (С) -1 (soc (С)) С soc (M).
(c) rad (Л*,-) | С rad (M) (в силу (Ь)) =>
2] rad (М,-) - 0 rad (Л*,) С rad (Л1).
Пусть теперь /п = ? /и,- е rad (Л1,) и я,-: Л1 -»- Mi — проекция.
Тогда, в силу 9.1.4, nt (т) = Ш{ е rad (M,-) =>/пеф rad (Мг) =$
=$ rad (УН) С ф rad (Af;) =$ наше утверждение. В случае цоколя
рассуждения аналогичны.
(d) Мы зададим изоморфизм
q>: Al/rad (M) -*¦ 0 (Alj/rad (Alt))
в явном виде. Пусть S^e® Mi, где /п< е Л1Й — произвольный
элемент из М. Положим
Ф ((? /л,) + rad (М)):- S (m,- + rad (M,)) е 0 (Ai,/rad (M,)).
Прежде всего, ф — отображение. Действительно, если B пц) +
+ rad (М) = (S /n'() + rad (М), где /л,-, /П; е Af;, то S (/"< — т'д е
erad(AI). Учитывая Сс), получаем, что /п, —/nj e rad(yW,),
откуда пц + rad (Л1;) = т\ -\-rad (M,). Следовательно,
2 (/я, + rad (Л!,)) - 2 (mj + rad (Mt)).
Далее, ф — мономорфизм. Действительно, если
Ф ((Sm,) + rad (M)) = 2 (m, + rad (Aff>) = О,

9.1. Определение радикала и цоколя 2П>
то для каждого из фигурирующих здесь тг имеем т* е= rad (Mi).
Поскольку rad (Mi) Q rad (M), отсюда следует, что
(Sm,) + rad(M)=rad(M).
Таким образом, ker(<p) = O.
То что ф —эпиморфизм, очевидно.
Примеры 1. rad(Z2) = 0, так как 0 — единственный косуществен-
ный идеал в Z (см. 5.1.2). Поскольку Z не имеет простых идеалов,
то и soc (Zz) = 0.
2. rad(Qz) = Q, потому что для каждого q^Q подмодуль qZ
является косущественным в Qz (см. 5.1.2). Это равносильно тому,
что в Q нет максимальных подмодулей.
3. Пусть ne=Z, п>1, и
, П=/7™1.../7™*, pi=?p) ДЛЯ 1ф\, rnt>Q,
— разложение числа п на простые множители. Максимальные
идеалы в Z —это идеалы, порожденные простыми числами. Поэ-
Поэтому максимальными идеалами, содержащими nZ, будут идеалы
/?,Z, / = 1, ..., k, причем
П PiZ = pi...pkZ.
Следовательно,
rad (Z/nZ) = ( f) PiZ) inZ = Pl... pkZlnZ,
откуда вытекает, что
rad (Z/nZ) = 0 <=e> n = Pi... pk.
Для n = 0 и n = 1 тоже rad (Z/nZ) = 0.
Найдем теперь цоколь soc (Z/nZ). Для п = 0и n= 1 он равен 0.
Пусть /г> 1, и пусть п имеет указанное выше разложение. Пока-
Покажем прежде всего, что Z/nZ прост тогда и только тогда, когда
п — простое число. Действительно, если п = р — простое число,
то Z/pZ является (как кольцо) полем и потому просто как
Z-модуль, а если п имеет хотя бы один собственный делитель q,
то qZ/nZ — ненулевой собственный подмодуль в Z/nZ. Учитывал,
что
(<•=! к),

216 Гл. 9. Радикал и цоколь
получаем, что модули — Z/nZ являются простыми подмодулями
в Z/nZ, =}
2 iz/nZ - [2 i z)
I
nZ - т^Ыz/nZ a soc
С другой стороны, пусть qZ/nZ с п = qny — простой подмодуль
в Z/nZ. Поскольку
qZ/nZ ^ Z/tijZ,
то rti —одно из простых чисел ръ р2, .... pk, скажем /?,-. Таким
образом, q — — . Отсюда
Отметим особо следующие частные случаи:
rad (Z/px... pkZ) == 0, soc (Z/ft... pkZ) == ZlpY... pkZ,
rad (Z/pnZ) = /?Z//?"Z ^ г!рп-Ч, soc (Z//?"Z) = pn~xZlpnZ ^ Z//?Z.
9.2. Дальнейшие свойства радикала
В следующей теореме собраны некоторые дальнейшие свойства
радикала.
9.2.1. Теорема. Пусть М = _
(a) М полупрост => rad (M) — 0.
(b) Afrad(^)Crad(Af).
(c) М конечно-порожден =$ rad (М) с? М. В частности,
cjff*.
(d) УИ конечно-порожден/\ A Q. rad (RK) (<=> Л с? /?j?) => Af Л cj Af
(лглла Накаямы).
(e) УИ конечно-порожден/\МфО=>rad (Л1) # Л1.
(f) rad (RR) — двусторонний идеал в R.
(g) Для всякого проективного модуля Рц "
(h) С Q М => С + rad (Л*)/С С rad (Af/Q.
Доказательство, (а) /И полупрост =$ каждый подмодуль
в нем является прямым слагаемым =} 0 — единственный косуще-
ственный подмодуль =} rad (/И) = 0.

9.2. Дальнейшие свойства радикала 217
(Ь) Для всякого meAI отображение фт: RKsr-^mr &Mr
есть-гомоморфизм. Согласно 9.1.4,
т rad (RK) = Фт (rad (/?*)) Q rad (M)
(c) Пусть rad(Af) + C= Л1. Предположим, что С'ФМ. Поскольку
М конечно-порожден, С содержится в некотором максимальном
подмодуле В Q. М (см. 2.3.11)=>Л1 = rad(M) + CC,B ? . Таким
образом, С — М, а потому rad (M)(?M.
(d) MAQ Mrad(RR)Q.rad(M)c* M=*MA<$ M.
(e) Так как МфО/\га<1(М) cj M, то rad(Af)#Mj ибо из
равенства rad(Af) = M следовало бы, что rad (М) + 0 = Л1 и, зна-
значит, 0 = М.
(f) следует из (Ь) при Л1^==^.
(g) Пусть (yh ф,-) — „проективный базис" в смысле леммы
о дуальном базисе 5.4.2. Тогда для и е rad (P) имеем у{ (и) е
erad(^) (в силу 9.1.4).
Поэтому
Следовательно, rad (P) Q, P rad (Л)
Справедливость обратного включения вытекает из (Ь).
(h) Если v: M-*-M/C — естественный эпиморфизм, то
D
Заметим, что в § 9.3 мы воспользуемся (f) для доказательства
равенства rad (/?R) = rad (RR).
Теперь мы хотим показать, что если модуль М артинов, то
M/rad (M) полупрост. Это вытекает из следующей более общей
теоремы.
9.2.2. Теорема, (а) Каждый подмодуль в М обладает аддитив-
аддитивным дополнениемДrad (М) = 0 <=> М полупрост.
(b) M артинов и rad(M)—0<=s>M полупрост и конечно-порожден.
Доказательство, (а) „=>": С Q.M/\C — а. д. С в М=>М =
= С + С (в силу 5.2.4 (а))=>СПС" С rad (М) = 0 => Л! =
— С®С'=>М полупрост.
(a) „с=": Очевидно.
(b) „=>": Если М артинов, то каждый его подмодуль обла-
обладает а. д. Учитывая (а), получаем, что М полупрост. Конечная
порожденность М вытекает из его полупростоты и артиновости
. (см. 8.1.6).
(Ь) „с=": Так как М полупрост и конечно-порожден, то М
артинов (см. 8.1.6). Ясно, что rad(Af)=O. D

218 Гл. 9. Радикал и цоколь
9.2.3. Следствие. М артинов ¦=> Mlrad(M) полу прост. В част-
частности, RR артинов =$ R/raa (RR) полупрост.
Доказательство. Если М артинов, то и УИ/гас1(УИ) артинов.
Согласно 9.1.4 (b), rad (УИ/rad (УИ)) = 0, поэтому, в силу 9.2.2,
УИ/rad (М) полупрост. D
Заметим, что в частном случае артинова модуля MR = RR
фактормодуль R/rad (RR) полупрост как правый Я-модуль. jCor-
ласно 9.2.1 (f), rad (RR) — двусторонний идеал. Поэтому /?: =
= R/rad (RR). полупрост справа и как кольцо. Тогда, как было
показано раньше (см. 8.2.1), -^R также полупрост. Следовательно,
полупрост и R'R. Отсюда, учитывая 9.1.4 (Ь), получаем включе-
включение
rad (RR)Q rad (RR).
По симметрии справедливо и обратное включение. Следовательно,
rad (RR) = rad(RR). В следующем параграфе это равенство будет
доказано для произвольных колец.
9.3. Радикал кольца
Основной результат этого параграфа — доказательство равенства
rad (RR) = rad (RR).
В качестве подготовки к нему докажем
9.3.1. Предложение. Для Aq.Rr следующие утверждения экви-
эквивалентны:
A) A CRr\
B) ЛсЫ(Яя);
C) Vq;e А \\—а обладает правым обратным в R].
D) Vfle-4 [1 — а обладает обратным в R].
Доказательство. „( 1) =>B)": По определению радикала.
„B):=>A)": Согласно 9.2.1 (с), rad(RR)c? RR. Следовательно,
Ac?RR.
„A)^C)": Vre=/?[ar + (l-fl)r = /•]=> Л+ A -a)R = R=>
=$(\-a)R = R (ибо ЛСЯ«)=>C).
„C)=>D)": Пусть (l-a)r = l. Тогда г = 1 +аг = 1 -(— or).
Так как —огеЛ,.то существует s&R, для которого rs = A —
— (—ar))s=l. Следовательно, г имеет обратный слева 1—а и
обратный справа s. Но они должны совпадать, поэтому 1 = rs =
= r(l—a), т. е. г есть обратный для A—а).
„D)=>A)": A+B = RR=$\ = a + b, где ае=Л, 6еВ,=>6 =
= 1 — а =$существует г, для которого br = (\ — а) г, =>В = R=$
=} Ac?RR. D

9.3. Радикал кольца ; . 219
Замечания, (а) Правые идеалы, обладающие свойством C)
называют квазирегулярными.
(Ь) Естественно, имеет место „левый аналог" этого предложе-
предложения, который получается, если всюду заменить правую сторону
на левую.
9.3.2. Теорема. rad(RR)-=rad(RR).
Доказательство. Применяя предложение 9.3.1 к Л-rad (RR),
заключаем, что для А выполнено условие D). Поскольку А как
двусторонний идеал (см. (9.2.1 (/)) является также левым идеа-
идеалом, то выполнено условие D) левого аналога предложения
9.3.1. Следовательно,
rad (RR) с rad (RR).
По симметрии верно и обратное включение. Таким образом,
rad(RR) = rad(RR). ?
9.3.3. Определение, rad (R) := rad (RR) = rad (RR).
Вообще говоря, кольцо R/rad(R) не полупросто. Например,
для R = Z мы имеем rad(Z) = 0 и потому Z/rad (Z) = Z/0 Se Z,
a Z не полупросто. Для случая когда Rlrad (R) полупросто, можно
получить интересные утверждения.
9.3.4. Теорема. Если R —кольцо, для которого R/rad(R) полу-
полупросто, то
(a) каждый простой правый, соотв. левый, R-модуль изоморфен
некоторому подмодулю в (R/vad(R))R, соотв. R(R/ra'd (R));
(b) число блоков в R/rad (R) конечно и равно числу классов изо-
изоморфных простых правых R-модулей, а также числу классов изо-
изоморфных простых левых R-модулей.
Доказательство, (а) Каждый циклический правый Я-модуль
MR — mR является эпиморфным образом RR. Поэтому M = R/A,
где A Q. RR. Если теперь MR прост, то А должен быть макси-
максимальным. Следовательно, rad(R)Q.A, и мы получаем, что
М ?* R/A с* (Я/rad (/?))/(Л/rad (/?)).
Поскольку %:= R/rad(R) полупросто, то А:= A/rad(R) выделя-
выделяется прямым слагаемым:
откуда MR^BR. Доказательство для левых модулей проводится
аналогично.
(Ь) Как- мы знаем, /^-подмодули в RR совпадают с правыми
идеалами в R и два /^-подмодуля изоморфны тогда и только

220 Гл. 9. Радикал и цоколь
тогда, когда они изоморфны как правые идеалы в R. Наше
утверждение следует поэтому из 7.2.3 и 8.2.6. ?
В 9.2.1 было показано, что для произвольного модуля Mr
Mrad(R)Qrad(M).
Дадим здесь достаточные условия для справедливости равенства
Md(R) d(M)
9.3.5. Теорема. Если кольцо R/rad (R) полупросто, то для всякого
модуля Mr
A) rad (M) = М rad (R);
B) soc (М) = \м (rad (#)): = {т | т е= М Д т rad (R) = 0}.
Доказательство. A) Поскольку (М/М rad (R)) rad (R) — 0, то
М/М rad (R) можно рассматривать как R/rad (/?)-модуль. При этом
/^-подмодули' и R/rad (/?)-подмодули в М/М rad (R) совпадают.
В силу 8.2.2, М/М rad (R) как модуль над полупростым кольцом
R/rad (R) полупрост. Следовательно, согласно 9.2.1(а), rad (M/
М rad (R)) = 0. Отсюда на основании 9.1.4 (Ь) заключаем,
что rad (М) с М rad (R). Обратное включение справедливо всегда
(см. 9.2.1 (Ь)).
B) С одной стороны, из 9.2.1 (а) и (Ь) следует, что soc(M) С
Q. lM(rad (/?)). С другой стороны, lM(rad(R)) полупрост как
R/rad (Я)-модуль, а значит и как /^-модуль. Поэтому имеет место
обратное включение lM(rad(R)) Qsoc(M). О
9.3.6. Определение. Правый, левый или двусторонний идеал
кольца R называется ниль-идеалом, если Vae/43rceN
[а" = 0], и нильпотентным идеалом, если 3neN
[А" = 0].
9.3.7. Следствие, (а) Каждый односторонний или двусторонний
нильпотентный идеал является ниль-идеалом.
(b) Сумма двух нильпотентных (правых, левых или двусторонних)
идеалов — также нильпотентный идеал.
(c) Если модуль RR нётеров, то каждый двусторонний ниль-идеал
нильпотентен.
Доказательство, (а) Очевидно.
(Ь) Пусть А а Rr, В С Rr и Ат = 0, Вп-*0. Тогда (А + В)т+" «= 0.
Действительно, возьмем произвольные элементы а{^А, bi&B,
i = \, ..., m + n. Раскрывая скобки, мы видим, что произведение
П
равно сумме произведений т + п сомножителей, причем в каждом
из таких произведений содержится либо не менее т сомножителей

9.3. Радикал кольца ; 221
из А, либо не менее «сомножителей из В. Так как Л и В—
нильпотентные идеалы, то все эти произведения равны нулю,
чем наше утверждение и доказано.
(с) Пусть N — двусторонний ниль-идеал в R. Из нётеровости Rr
следует, что среди имеющихся в N правых нильпотентных идеалов
есть максимальный. Пусть Л—такой идеал и Лй = 0. В силу (Ь),
А будет даже наибольшим правым нильпотентным идеалом,
содержащимся в N. Поскольку для всякого х е R множество хА
является нильпотентным правым идеалом, содержащимся в N,
то Л—даже двусторонний идеал. Если для некоторого элемента
b^N имеет место включение (bR)k Q. А, то (bR)kn = 0 и, значит,
bR С А.
Утверждение: A=*N. Действительно, предположим, что
А Ф N, и пусть b e N\A выбрано так, что идеал
xR(b, A):={r\r^R/\br^A}
максимален1. Тогда для любого хе^
xb^N и xR(b, A)Q,xH(xb, A),
поскольку N и Л—двусторонние идеалы. Следовательно, для
хЬфА
xR(b, A) = xR{xb, A).
Пусть для хЪ ф А мы имеем (xb)k €= Л и (xb)k~l ф А (такое k
существует, поскольку элемент xb нильпотёнтен!). Тогда
xR{b,. A) = xR{{xby-\ А).
Таким образом, bxb e Л и, следовательно, (Ь#JсЛ; здесь
используется тот факт, что xb е Л, поскольку Л— двусторонний
идеал. Как было показано вначале, отсюда следует, что bR Q. А,
и, значит, te/1 ^. ?
Рассмотрим, как связаны вновь введенные понятия с понятием
радикала.
9.3.8. Теорема. Каждый (односторонний или двусторонний)
ниль-идеал содержится в радикале.
Доказательство. Пусть Л —правый ниль-идеал, as Л,
ап'— 0. Тогда ..
т. е. 1—а —обратимый элемент. В силу 9.3.1, AQ.rad(R). О
Займемся теперь радикалами артиновых колец.
1 Среди всех правых идеалов такого вида. — Прим. персе.

222 Гл. 9. Радикал и цоколь
9.3.9. Теорема. RR артинов => rad (R) нильпотентен.
Доказательство. Для краткости положим ?/:¦=«rad(/?).
Поскольку RR артинов, ряд
обрывается, т. е. найдется такое neN, что U"= (/"+'(Ie N).
Покажем, что Un = Q. Предположим противное, т. е. что ипфЬ.
Тогда множество правых идеалов
непусто, ибо (/еГ. В силу предположенной артиновости суще-
существует минимальный идеал Ао е Г. Далее, найдется такой элемент
ао^Ао, для которого а0ипф0, а значит и ао/??/я=^О. В силу
минимальности Ао имеем a0R^A0. Поскольку Un = Un+1 и RU = U,
мы получаем
ао RUn
так что a0U = a0R =¦ Ао. С другой стороны, из конечной поро-
жденности RR и того, что ?/=»rad(/?), вытекает в силу леммы
Накаямы 9.2.1, что
и, значит, OoU*?aoR ty. П
9.3.10. Следствия, (а) Если Rr артинов^ то rad (R) — наиболь-
наибольший нильпотентный правый, соотв. левый, соотв. двусторонний
идеал кольца R.
(b) Если кольцо R коммутативно и артиново, то rad (R) совпа-
дает с множеством всех нильпотентных элементов из R.
(c) Если RR артинов, то для каждого правого R-модуля MR,
соотв. каждого левого R-модуля RM,
rad (M) = M rad (R) с? М, соотв. rad (Л!) = rad (R) М с? М.
Доказательство, (а) Идеал rad(R) нильпотентен и содержит
каждый нильпотентный идеал.
(b) Поскольку rad (R) нильпотентен, то и каждый его элемент
нильпотентен. Пусть теперь as/?, a" = 0. Ввиду коммутативно-
коммутативности R
(aR)n = anRn = a"R «= OR = 0.
Следовательно, aR нильпотентен, а потому a&aRQ. rad (R).
(c) В силу 9.2.3 и 9.3.5, rad (M) = M rad (/?), соотв. rad(M)=
= rad (/?) М. Но (по теореме 9.3.9) rad (R) нильпотентен, поэтому
найдется такое п е= N, что (rad (/?))" = 0. Пусть теперь для Uq.Mr

9.3. Радикал кольца 223
Заменяя п — \ раз в правой части М на U-\-Mrad(R), получаем
•М = U + М га d (/?)" = ?/,
откуда видно, что М rad (/?) с? М.
Для левых модулей доказательство проводится аналогично. ?
9.3.11. Теорема. Пусть кольцо R/rad (/?) полупросто и rad (/?)
нильпотенпген. Тогда для модуля Mr следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) Mr арпгинов;
B) Mr нётеров;
C) Mr имеет конечную длину.
(Аналогичный результат справедлив для левых R-модулей).
Доказательство. Поскольку A) Д B)<=>C), достаточно по-
показать, что A)<=>B). Положим для краткости U:=rad(R) и
определим для каждого модуля М число е(М) формулой
e(M):=min{t|ie=N ДМ/'^О}.
Такое число существует, так как имеется натуральное п, для
которого Un = 0, а следовательно и MU" = 0. Докажем эквива-
эквивалентность (!)<=> B) индукцией по числу е(М) для всех модулей
MO
Начало индукции: е(Л1) = 1, т. е. Ж/ = 0. Поэтому, полагая
m(r + U):=mr, re/?, m<=M,
мы превращаем М в R: = R/U'-модуль, причем /?-подмодули сов-
совпадают с R-подмодулями. Из полупростоты $ вытекает, согласно
8.2.2 (а), что М полупрост. Поэтому эквивалентность A)с=>B)
следует из 8.1.6.
Пусть теперь наше утверждение уже доказано для всех
модулей с e(M)s^k, и пусть модуль М таков, что e(M) = k-\-\.
Тогда е(М(/*)= 1 В силу того что (M/MUk)Uk = 0, имеем, далее,
MM(/*fe
Пусть теперь М артинов, соотв. нётеров. Тогда, согласно
6.1.2, MUk и M/MUk также артиновы, соотв. нётеровы. По пред-
предположению индукции оба эти модуля нётеровы, соотв. артиновы,
а значит, в силу 6.1.2, М нётеров, соотв. артинов. ?
9.3.12. Следствие, (а) Пусть Rr артинов. Тогда если модуль Mr
артинов, соотв. нётеров, то он также нётеров, соотв. артинов.
(b) Если Rr артинов, то он и нётеров.
(c) Если Rr артинов, а RR нётеров, то rR тоже артинов.
Доказательство, (а) Согласно 9.2.3, кольцо R/rad(R) полу-
полупросто, а в силу 9.3.9, vad(R) нильпотентен. Поэтому наше
утверждение следует из 9.3.11.

224 Гл. 9. Радикал и цоколь
(b) Частный случай (а) при RR = MR.
(c) Следует из 9.3.11 при RR = RM. ?
9.4. Характеризации конечно-порожденных
и конечно-копорожденных модулей
Мы уже познакомились ранее с понятиями конечно-порожден-
конечно-порожденного и конечно-копорожденного модулей. Они использовались,
в частности, для характеризации нётеровых и артиновых модулей
(в гл. 6). Теперь мы можем дать дальнейшие их характеризации.
9.4.1. Теорема. Модуль MR конечно-порожден тогда и только
тогда, когда
(a) rad (М) — косущественный подмодуль в М и
(b) M/rad (М) конечно-порожден.
Доказательство. Допустим вначале, что модуль MR конечно^
порожден. Тогда условие (а) выполнено в силу 9.2.1 (с). Далее,
вместе с М конечно-порожден и любой эпиморфный образ М.
Поэтому выполнено и (Ь).
Обратно, пусть выполнены одновременно условия (а) и (Ь), и
пусть Х{ = Х{ + rad(М), i—l, ..., и, — система образующих для
M/rad (М). Тогда
Поскольку rad (М) с? М, отсюда следует, что
т. е. модуль М конечно-порожден. Q
9.4.2. Следствие. Модуль MR нётеров тогда и только тогда,
когда для любого подмодуля U Q.M
(a) rad (U) С U и
(b) U/rad(U) конечно-порожден.
Доказательство. Это следует из 6.1.2 и 9.4.1. ?
Рассмотрим теперь конечно-копорожденные модули.
9.4.3. Теорема. Для модуля MR^0 следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) MR конечно-копорожден;
B) (a) soc (М) — существенный подмодуль в М и (b) soc(M)
конечно-копорожден;
C) инъективная оболочка I (М) модуля М представима в виде
где каждое Qt есть инъективная оболочка некоторого простого
R-модуля.

9.4. Характеризации конечно-порожденных модулей 225
Доказательство. „A)=^B)": (а) Мы докажем с помощью
леммы Цорна, что каждый ненулевой подмодуль U Q. М содержит
простой подмодуль Е, такой что ?/f|soc (М) ФО. Пусть
— множество всех подмодулей ?/(#0 модуля U. Поскольку
то Тфф. Упорядочим Г следующим образом:
(по обратному включению). Пусть
— произвольное вполне упорядоченное подмножество в Г. Пока-
Покажем, что
является верхней гранью Л в Г. Очевидно, достаточно установить,
что Del1. Предположим противное, т. е. что D = 0. Тогда,
согласно A), уже пересечение некоторого конечного числа Af
должно быть равно нулю. Так как Л вполне упорядочено, то
среди конечного числа этих Лу найдется максимальный элемент
(относительно обратного включения) и он должен быть равен нулю.
Получаем противоречие с тем, что Ut Ф О!
Таким образом, D#0, т. е. ОеГ. По лемме Цорна в Г
существует максимальный элементно- Очевидно, что Uo — простой
подмодуль модуля U.
(Ь) По определению конечной копорожденности вместе с моду-
модулем М конечно-конорожден и любой его подмодуль. В частности,
rad (M) конечио-копорожден.
„B)=>A)": Из того что
f| Л, = 0, AtQM,
следует, что
f| 5ОС(Л,)=0.
•is/
Поскольку 5ос(Л,) Q. soc(Af), и soc(M) конечно-копорожден, суще-
существует такое конечное подмножество /0 с: /, что
f| socM,)=0.
По определению цоколя, для любого подмодуля A Q. М
soc(A) = A[]soc(M).
8 Ф. Каш

226 Гл. 9. Радикал и цоколь
Поэтому
0= р| 5ос(Л,)= П (Ai[]soc(M))=( f|
Так как по предположению soc (Л1) —существенный подмодуль
в /И, то мы получаем, что
Тем самым доказательство импликации B)=^A) завершено.
„B)=^C)": Пусть I (М) —инъективная оболочка модуля М,
причем М С I (М) и М=^= 0. Поскольку soc(M)cf Л1, tosoc(M)=^0.
Далее, пусть
где модули Я,- просты, и пусть Q,- Q I (M) — инъективная оболочка
для ?,-. Тогда по 5.1.7
1=1 '='
(суммы в I (M)), а также
soc (M) С ф <?,-.
i = i
л
Модуль @ Q,- инъективен как конечная прямая сумма инъектив-
(= i
ных модулей и потому выделяется прямым слагаемым в 1 (М).
Из того что soc(/W)c? M и Мс*1(М), следует, что soc(M)c?
С? I (M). Поэтому
Сопоставляя полученные факты, заключаем, что
ч. т. д.
' „C) =э B)": Без ограничения общности можно снова считать,
что
л
М Q I (M)= © Qf, EiCfQi и Я/ просты.
Поскольку EiCfQi, то ^ — единственный простой подмодуль в Q{.
Поэтому, согласно 9.1.5,
soc (I (М)) = 0 soc (Q.) = ф Е{.
i i

9.5. Завершение доказательства.теоремы о характеризации 227
Так как М cf I (М), то Et Q М для i = 1,..., п и, следовательно,
soc (M) =©?¦<.
По 8.1.6 модуль soc(M) конечно-копорожден, т. е. условие B)
(Ь) выполнено. Поскольку
soc (М) = soc (I (M)) cf I (M),
то soc(M)cf M, так что имеет место и B) (а). ?
9.4.4. Следствие. Модуль MR артинов тогда и только тогда,
когда для любого фактормодуля M/U
(a) soc (M/U) с* M/U и
(b) soc (M/U) конечно-копорожден.
Доказательство. Это следует из 6.1.2 и 9.4.3. ?
9.5. Завершение доказательства теоремы
0 характеризации артиновых
и нётеровых колец
В гл. 6 мы сформулировали под номером 6.6.4 следующую
теорему, которую, однако, смогли там доказать лишь частично.
Теорема, (а) Следующие условия эквивалентности:
A) модуль RR нётеров;
B) каждый инъективный модуль QR есть прямая сумма неразло-
неразложимых (инъективных) подмодулей.
(Ь) Следующие условия эквивалентны:
A) модуль Rr артинов;
B) каждый инъективный модуль QR есть прямая сумма инъек-
инъективных оболочек простых R-модулей.
В 6.6.5 были доказаны обе импликации A)=^B). При этом,
в силу 9.3.12, в пункте (Ь) достаточно предполагать лишь арти-
новость модуля RR (в отличие от гл. 6, где мы дополнительно
предполагали, что RR нётеров). Теперь мы в состоянии доказать
обратные импликации.
Доказательство. (Ь) „B)=}A)": Ввиду 9.4.4 достаточно
показать, что каждый фактормодуль M—R/A модуля ## удо-
удовлетворяет условию C) теоремы 9.4.3. Пусть Т (R/A) — инъектив-
ная оболочка R/A, причем R/A Q I (R/A). По предположению
1 (R/A) = © Qh
ie.1

228 Гл. 9. Радикал и цоколь
где Qi — инъективные оболочки простых ^-модулей. Так как
модуль R/А — циклический, то он содержится уже в некоторой
конечной подсумме:
R/A Q. ф Qu /о а /, /о конечно.
Поскольку R/A с? I (R/A), отсюда следует, что / = /0, т. е. I (RiA) =
— ф Qi> что и требовалось доказать.
(а) „B)=>A)": Чтобы установить эту импликацию, достаточно
показать, что выполнено условие C) теоремы 6.5.1. Пусть
М= ф Q,
— прямая сумма инъективных оболочек Q,- . простых /^-модулей
EiQ.Qi, и пусть I (М) — инъективная оболочка М, причем М Q.
Q. I (М). Нам надо доказать, что М = I (M). Из того что Mcf I (M),
следует, что soc(M) = soc(I (M)). Далее,
soc(M)= ф soc(Q,-)= Ф Ei-
{= 1 ¦ i= 1
Теперь используем предположение, что \(М)— ф D/t где D,—
неразложимые инъективные модули. Положим,
Тогда
soc(I(M))= ф soc(D;).
teJ,
Если soc(Dj)^0, то согласно 6.6.3 модуль F/:=soc(D/) прост
и D/ есть его инъективная оболочка. Следовательно,
soc(I(M))=(i Е{
По теореме Крулля — Ремака — Шмидта эти два разложения изо-
изоморфны (в смысле теоремы 7.3.1). Если E{^.Fj, то, в силу 5.6.3,
Qi^Dj. Учитывая биекцию из теоремы 7.3.1, имеем
М= © QiQ* ф D/.
Поскольку
DX
)
модуль М изоморфен прямому слагаемому инъективного модуля
I (M) и, следовательно, сам инъективен, ч. т. д. ?

9.6. Радикал кольца эндоморфизмов 229
9.6. Радикал кольца эндоморфизмов инъективкого
или проективного модуля
Во многих ситуациях полезно знать радикал кольца эндомор-
эндоморфизмов данного инъективного или проективного модуля. Настоя-
Настоящий параграф посвящен изучению этого вопроса. В качестве
приложения мы покажем затем, что для любого проективного
модуля Р ф 0 всегда rad (P) Ф Р. Это означает, что такие модули
всегда имеют максимальные подмодули.
9.6.1. Теорема, (а) Пусть модуль QR инъекпшвен и S :— End(QR).
Тогда для aeS
S а с? SS <=> а <= rad E) о ker (а) с? QR.
(b) Пусть модуль PR проективен и S := End (PR). Тогда для asS
а5 с? Ss <=> а е rad E) <з> im (а) с? PR.
Доказательство, (а) „5а с? 55 о а е rad E)": В силу 9.1.3,
(а) „а е rad (S) => ker (а) cf QR": Пусть U q. QR и ker (a) f) ^=0.
Тогда ссо: — a \ U — мономорфизм и существует коммутативная
диаграмма
V 22— О
Поскольку M=i(w) = pao(w) = Pa(M) для неС/, то ?/С ker A—
— Р«). Из а е rad E) следует, что 0а е rad E). Тогда, в силу
9.3.1, элемент 1—Ра обратим, поэтому kerA — 0а) =0. Отсюда
вытекает, что U = 0. Это показывает, что ker (а) — существенный
подмодуль в Q.
(a) „ker(a)c?<?tf=>Sac?sS": Пусть Sa + T = sS, гдеГс;55.
Тогда найдутся такие aeS, уеГ, что аа-\-у=\. Поэтому
ker(a)f)ker(v)=O. Так как ker(a)cfQR, то ker(v)=0. Значит,
существует коммутативная диаграмма
т. е. 1q = 67. Отсюда вытекает, что Г =5, и, следовательно,
5а С sS.

230 Гл. 9. Радикал и цоколь
(b) „aS С sS о а е= rad E)": В силу 9.1.3.
(Ь) „а е rad E) =} im (а) с? PR": Пусть U С, PR, причем im (а) +
+ U = P, и пусть v: Р-> P/U — естественный эпиморфизм. Тогда
va — тоже эпиморфизм, и мы получаем коммутативную диаграмму
р
У \
Так как v = vap\ то v(l—a|3) = 0. Таким образом, im(l— ар*) с
Q.U. Поскольку a e rad E), то и ар е rad E). Поэтому, согласно
9.3.1, элемент Г—ар обратим. Следовательно,
P=im(l-otP)Gt/QP,-
т. е. U=P. Это показывает, что im(a) cj Pr.
(b) Jm(a)c$PR^aSc$sS": Пусть а5 + Г = 55) где Г Q Ss.
Тогда существуют такие яе5, Vе Г, что ао + 7=1. Отсюда
следует, что im (a) + im (у) = Р. Поэтому im (у) = Р, ибо im (a) с?
С? Р/?. Таким образом, у — эпиморфизм. Следовательно, существует
гомоморфизм б, такой что диаграмма
$.
у
у
у
коммутативна, т. е. \Р = у6. Значит, T=S, ч. т. д. ?
9.6.2. Следствие.. Пусть модуль QR инъективен и S : = End (QR).
Тогда для каждого aeS существует такое ys5, что
aya — a e rad E).
Доказательство. Пусть aeS и U — д. п. для ker(a) в Q.
Согласно 5.2.5, ker (a) + ?/С? Q. Из того что кег(а)П^ = 0, сле-
следует, что а0 := а | U — мономорфизм. Поэтому существует гомо-
гомоморфизм у s S, делающий коммутативной диаграмму
«о
U
У

9.6. Радикал кольца эндоморфизмов 23J
(где I — включение). Для ме?/
Поэтому
ker (a) + U Q ker (а-уа — а).
'Гак как
то также
ker (ccycc — a) cf Q.
Из 9.6.1 вытекает тогда, что
ссусс — a e rad E). ?
Этот результат означает, что кольцо S/rad E) регулярно.
Регулярные кольца будут введены и подробно изучены в сле-
следующем параграфе.
Из 9.6.1 (Ь) и леммы о дуальном базисе получается интерес-
интересное утверждение о радикале проективного модуля.
9.6.3. Теорема. Для каждого проективного модуля РФО
rad (Р)ф Р.
Доказательство. Отметим сначала следующий общий факт.
Если р е PR и феР* = HomR (PR, RR), то pep можно рассмат-
рассматривать как элемент кольца S = End (Pr). А именно, положим
(pep) (х): = pep (х) для х е Р.
Так как
(РФ) (Vi + х2г2) = рф (xin + х2г2)
= Р (Ф (xi) /-j + ф (л;2) г,) = (рф (дгО) г i + (РФ (*«)) г2
= (рф) (хО ri + (рф) (х2) г2,
то рф — действительно элемент из 5.
Пусть теперь perad(P). Тогда pRc?PR и, следовательно,
im (рф) =рф (Р) С Pr (ибо рф (Р) Q pR). Согласно 9.6.1 (Ь), имеем
Я с? 5S. Пусть
— представление х, даваемое леммой о дуальном базисе 5.4.2.
Предположим, что хфО, и пусть (после соответствующей пере-
перенумерации) /=1, .... л —те индексы, для которых 0

232 Гл. 9. Радикал и цоколь
Тогда
/ " \
i = l \i=l /
откуда
1р- 2р,ф,](х) = 0;
здесь р,ф, рассматриваются как элементы из S.
Допустим теперь, что rad(P)=P. Тогда im (р,ф,) С Pr и.
значит, pffljS с? Ss, а следовательно, р,ф; е rad (S) для /=1, ...
..., п, так что и
2 р,Ф; е rad (S).
t—\
В силу 9.3.1,
ip — 2 Р'Ф'
— обратимый элемент в S Обозначая обратный к нему элемент
через а е S, имеем
х=1р(х) = а 1 -
п
Таким образом, предположение О^^ёР оказалось неверным,
т. е. равенство rad (Р) = Р возможно лишь для Р = 0. ?
Как уже было сказано, условие rad (Р) Ф Р означает, что Р
содержит по крайней мере один максимальный подмодуль.
9.6.4. Следствие. Если модуль Р проективен и Р = Рг 0 Р2,
где P2Crad(P), то Р2 = 0.
Доказательство. Пусть я: Р->Р2 —проекция Р на Р2. Из
включения Р2 Q. rad (P) вытекает, согласно 9.1.4, что Р2 С
Q. я (rad (P)) С rad (P2). Таким образом, Р2 = rad (P2). Поскольку
Р2 проективен, то, в силу 9.6.3, Р2 = 0. D
9.7. Хорошие нольца
В 9.2.1 (Ь) было показано, что всегда Mrad (R) Q. rad (M).
Возникает вопрос о том, когда здесь имеет место равенство. Для
произвольных колец и модулей равенства может и не быть.
Например, rad(Z) = 0, но, как мы знаем, существуют Z-модули

9.7. Хорошие кольца . 233
с ненулевым радикалом, как например Z/4Z или Qz(rad(Qz) =
Q)
Следующая теорема проливает свет на этот вопрос.
9.7.1. Теорема. Пусть <Ж R — категория правых унитарных R-
модулей и R:= R/rad (R). Приводимые -ниже условия эквивалентны:
A) VM <=<**K[Mrad(#) = rad(M)];
B) VM е= <MR [М rad (R) = О => rad (М) = 0];
C) VQeM/j[rad(Q) = 0];
D) VM, Af <= <*#kV<p <= Нот/? (М, AT) Гф (rad (M)) = rad (ф (М))];
E) VMe^Vt/QM [(rad(M) + t/)/^ = rad(M/t/)];
F) VM г «4!RVf/ Q M [rad (M) = 0 => rad (M/t/) = 0].
Доказательство. Мы докажем, что A) =>B) =t>C) =>A)
и A)=>D)=>E)=>F)=>A).
"A)=^>B)": Частный случай.
"B)=>C)": Пусть йе»1?-, Тогда Q можно превратить в пра-
правый #-модуль следующим образом:
cor : = сол, со е Q, f = г -\- rad (/?) е Я.
Очевидно, что для Q, рассматриваемого как правый /?-модуль,
Q rad (R) = 0. Поэтому, в силу B), rad (QR) = 0. Поскольку из
определения й# следует, что /^-подмодули в й в точности сов-
совпадают с /^-подмодулями, то rad(Q^) = 0.
„C)=>A)": Ввиду того, что (М/М rad (R))vad(R) = 0, модуль
М/М rad (R) можно превратить в ^-модуль следующим образом:
m~r = (m + M rad (R)) (r + rad (R)):=mr = mr+M rad (R).
Заметим, что снова ^-подмодули в М/М rad (Я) совпадают с R-
подмодулями. Поэтому из rad( (М/М rad (R))R) == 0 следует, что и
rad (М/М rad (R)) = 0. Согласно 9.1.4 (b), имеем rad (M) С
Q. Mrad(R), следовательно, в силу 9.2.1 (b), rad (М) = М rad (R).
„A) => D)": М rad (#) = rad (М) Д Ф (М) rad (R) = rad (ф (М)) =>
=> ф (rad (М)) = ф (М rad (R)) = ф (М) rad (R) = rad (ф (М)).
„D) =^E)": E) —частный случай D), отвечающий ф = у: М-*-
-+M/U.
„E) =>F)": Очевидно.
„F)=>A)": В силу 9.1.5 (а) условие A) сохраняется при изо-
изоморфизмах модулей. Так как каждый модуль является эпиморф-
ным образом некоторого свободного модуля, то достаточно дока-
доказать A) для модулей вида F/U, где F — некоторый свободный
модуль и UC+F. Согласно 9.2.1 (g), имеем rad(F) = Frad(R).
Поэтому rad (F/F rad (R)) = 0, а значит, в силу F),
rad ((F/F rad (R))/(F rad (R) + U/F rad (/?))) = 0.

234 Гл. 9. Радикал и цоколь
Поскольку
(F/F rad (R))/(F rad (R) + U/F rad (R))
^F/(F rad (R) + U)^ (F/U)/(F rad (R) -f U/U),
то
rad ((F/U)/(F rad (R) + U/U)) = 0,
и следовательно, согласно 9.1.4 (b),
rad (F/U) с F rad (R) + U/U = (F/U) rad (R).
Учитывая 9.2.1 (b), получаем отсюда rad (F/U) ~ (F/U) rad (R), что
и требовалось доказать. ?
9.7.2. Определение. Кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы
9.7.1, назовем хордшим справа. Аналогичным образом опре-
определяется хорошее слева кольцо. Кольцо, хорошее и слева и
справа, будем называть просто хорошим.
9.7.3. Следствия, (а) Всякое кольцо R, для которого
/?:= R/rad(R) полупросто, является хорошим (согласно C)).
(b) Согласно 9.2.3, каждое артиново (с одной стороны) кольцо
является хорошим.
(c) Если R —хорошее справа кольцо, то, в силу 9.1.5 (Ь) и 9.7.1 A),
для произвольного модуля MR
М = 2 Mt=* rad (М) = 2 rad М)-
IS/ i<=I
Заметим еще, что существуют хорошие кольца, для которых
R/rad (R) не полупросто. Такая ситуация имеет, например, место,
когда R/rad (R) коммутативно и регулярно (см. упр. 18 к гл. 10),
но не полупросто.
Упражнения
1. а) Показать, что для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) rad (M) Cj M для каждого правого ^-модуля;
B) не существует ненулевого правого ^-модуля М с rad(M) = M.
(b) Показать, что для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) soc (М) с? М для каждого правого /?-модуля М;
B) soc(M)c?M для каждого правого циклического ^-модуля М;
C) не существует ненулевого правого ^-модуля М с soc(M)=0.
2. а) Пусть soc (M) G. BR С, MR /\аеМ/\а$В. Доказать, что тогда сущест-
существует такой подмодуль CcJM, что В С, С, а ([ С.
b) Доказать, что soc (M) с, BRc, MR=$B— f] С.
BQCc*M
c) Доказать, что soc (М) с, А С. М Д soc (М/А) с* М/А => А с* М.

Упражнения 235
3. Показать, что RR является кообразующим тогда и только тогда, когда
инъективмая оболочка любого конечно-копорожденного правого Я-модуля
проективна.
4. а) Для следующих двух колец найти rad (Я)> soc (^Я). soc (RR) и проверить,
будет ли soc(RR) = soc (RR):
R:
Здесь R —поле вещественных чисел.
b) Условия те же, что и в упр. 6 к гл. 6. Показать, что
rad (Я) = {(ф тЛ I a e= rad (А), т е= М, Ъ е= rad (В)}.
Указание. Найдите обратимые справа элементы в R.)
5. Показать, что для модуля MR следующие условия эквивалентны
(ср. 9.2.2(Ь)):
A) М конечно-копорожден Hrad(M)=0;
B) М конечно-копорожден и полупрост.
6. Пусть Д —полная решетка (см. § 3.1). Обозначим наименьший ее элемент
через 0, наибольший —через М. Если /1, ВеД, и Л=ёВ, то подрешетка
[A, B]:={Ls=A|
(с индуцированной из Д структурой) тоже будет полной.
Определения, (а) Семейство Г = (Л,-' i е /) элементов из-А называется
направленным (вверх), если для любых двух элементов Л;, А/ из Г сущест-
существует такой элемент Ak из Г, что Ai^Ak и Ajzz-Ak-
(b) Элемент А е А называется компактным, если в любом направленном семей-
семействе (Л; | ('s/), удовлетворяющем условию A?=k yj Л;, существует элемент
А/, такой что A^Aj.
(c) Решетка Д называется компактно-порожденной, если каждый ее элемент
представим в виде объединения компактных элементов.
(а) Решетка Д называется модулярной, если
WA, В, С еД[Й^Л=> ЛП(ВиС) = ВиИПС)].
(е) Элемент Л е Д называется косущественным в Д, если
(f) rad (A) := f| В.
В максимален
в Д\{Л1}

236 Гл. 9. Радикал и цоколь
Доказать следующие утверждения:
A) U i4ssrad(A).
А косуществен в Д
B) Если А компактен и Л :g:rad (Д), то А косуществен в Д.
D) Если Д компактно-порождена, то
У Л = гас1(Д).
А косуществен Д
D) Для любого А е Д
i4Urad(A)s?rad([i4, М]).
E) Если /isCrad(A), то rad (A) = rad ([A, М]).
F) Если Л компактна, то гаа(Д) косуществен в Д.
G) Если Д модулярна и ЛеД, то rad ([0, ^])s?rad(A).
(8) Что означает в решетке подмодулей некоторого модуля М, что подмодуль
ЛеД компактен? (Заметьте, что в этом случае U означает +¦)
7. Определение, (а) Модуль M=Mr называется полуартиновым, если
(b) har(M) := 2 и-
VQ-M
V полуартннов
Доказать следующие утверждения:
A) М полуартинов z^> Vt/ Q. M [M/U полуартинов].
B) УМее^я [har (M) полуартинов].
C) VM, N е гМрУц е Hotn^ (M N) [ф (har (M)) С, har (N)].
D) har(har(M)) = har(M).
E) har(M/har(M)) = O.
F) М полуартинов :=> soc (М) с? М.
G) М полуартинов =^> V(/ С, М [soc (M/U) с? M/U].
(8) Vt/Q M [M полуартинов С^ M/U полуартинов Д U полуартинов].
(9) М полуартинов и нётеров С^ М артинов и нётеров.
A0) М полуартинов /\RR нётеров :r> M есть сумма своих артиновых под-
подмодулей.
8. Определение, (а) Модуль М называется полунётеровым, если
1U С, М, U ФО [rad (U) ф U].
(b) hnr(M) := ^ U-
UQ.M
rad([/)=U
Выяснить, справедливы ли утверждения, дуальные к утверждениям упр. 7,
и если нет, то при каких дополнительных условиях они справедливы.
9. Определение. Модуль М называется коатомарным, если
V?7 с. MIA Q M [U Q А Д А максимален в М].
Доказать приводимые ниже утверждения.
а) Если М полупрост или конечно-порожден, то М коатомарен.

Упражнения ... . - 237
b) Существует коатомарный Z-модуль М, не являющийся ни полупростым, ни
коиечн'о-порожденным.
c) М полупрост с^ М коатомарен Д каждый максимальный подмодуль в М
иыделяется прямым слагаемым в М.
d) U Q rad (М) Д U коатомарен => U С? M.
с) М коатомарен :=> rad (M) CJM.
f) Существует модуль М с rad(M) = 0, не являющийся коатомарным.
10. Пусть M = MZ — абелева группа и
Т(М) : = -{теМ:32
i'O периодическая часть. Доказать, что
a) soc (М) с* М <=> Г (М) = М; soc(M) = 0<=>T(M)=0;
b) U с* М <=> soc (М) Q i/ Q М Д Т (M/U) = М/?/;
c) М полупрост {=>Т (М) — М Л rad (M) = 0.
11. Показать, что для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) для каждого семейства (М, 11 e /) правых ^-модулей
soc
B) произведение любого числа полупростых правых ^-модулей полупросто;
C) каждый правый /?-модуль без радикала (т. е. с rad(M) = 0) полупрост.
D) кольцо R/rad (R) полупросто.
12. Показать, что для простого ^-модуля ¦
a) Uc,M/\U — прямое слагаемое в М :=>
rad (Mill) = (rad (M) + U)/U, soc (M/U) = (soc (M) + U)/U\
b) Vi/ Q M [rad (U) = U(] rad (M)] C^> rad (Af) =0;
c) V(/ Q A) [soc (M/i/) = (soc (M) + U)/U] <=> M полупрост.
13. а) Показать, что для левого идеала U C,^R следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) /JJ мЛб/="|~[ (MjU) для каждого семейства (М,-1 i s /) правых R-m-
\ )
дулей;
B) RU конечно-порожден.
b) Если R — хорошее справа кольцо, то радикал в г///„ перестановочен с пря-
прямым произведением тогда и только тогда, когда Rrad (R) конечно-порожден.
c) Если R коммутативно и нётерово, то радикал перестановочен с прямым
произведением.
14. Для коммутативных колец R
rad (MR)= |"| {МА | Л —максимальный идеал в R}.
Этот результат допускает обобщение на случай колец, в которых каж-
каждый максимальный правый идеал является двусторонним.
Определение. Для всякого правого ^-модуля М„ положим
D (М) := |"| {МА \ Л —максимальный правый идеал в R}.

238 Гл. 9. Радикал и цоколь
Доказать, что
a) D (М) — подмодуль в MR и для каждого гомоморфизма f: M -+ N
/(D(M))e=D(/V)
(т. е. D —предрадикал в e/ff^y,
b) D (#^) = R С^ никакой максимальный правый идеал не является двусто-
двусторонним;
c) D (М) = rad (М) для всех М е М„ С^ каждый максимальный правый
идеал является двусторонним.
15. Пусть M = MZ — произвольная абелева группа. Показать, что сущест-
существует абелева группа N с rad(Af)= M. (Указание. Выберите какое-нибудь
ипъективное расширение М Q. Q и рассмотрите soc (Q/M).)
16. Обозначения те же, что и в упр. 27 к гл. 5. Показать, что
a) S локально;
b) цоколь 5^ имеет длину п-\-\.
17. Для каждого ^-модуля М определим возрастающую последовательность
подмодулей M,(i = 0, 1, 2, ...) следующим образом:
Мо : = 0, Mi+1/Mi: = soc (M/M,-)
(точнее, если v: М -+ М/М{ — естественный эпиморфизм, то М-1+1 :— V
(soc (M/Mj))). Доказать, что
a) если М артинов, то для каждого I з= О
A) М/ч имеет конечную длину,
B) В с. Мш Л Ing (В,) «= i => В С. Mt; ¦
b) если М артинов и является самообразующим, то он также нётеров.
' (Модуль М называется самообразующим, если для каждого его подмодуля U
справедлива формула
и= 2 imtf)-
, U)
Указание. При доказательстве утверждения (Ь) покажите, что множество
{А I А С, М Д М/А нётеров} содержит наименьший элемент Ао и примените
утверждение (а) с г = lng (M/Ao).)
18. Для каждого ^-модуля М определим убывающую последовательность
подмодулей М1 A=0, 1, 2, ...) следующим образом:
Мв := М, M'+i:= rad(M').
Показать,гчто
a) если кольцо R/rad(R) полупросто и модуль М„ нётеров, то для каж-
каждого i 5= 0.
A) M/Mi+1 имеет конечную длину,
B) М'"+1 с, В Q. М Л Ing (М/В) ^ i => М' с. В;
b) если R/rad(R) полупросто и М — нётеров самокообразующий, то М
артинов.
c) Можно ли в (Ь) снять условие «R/rad(R) полупросто»?
(Модуль М называется самокообразующим, если
0= П ker(/)
feHom^ (M/U, М)
.для каждого его подмодуля U.)

10. Тензорное произведение, плоские
модули и регулярные кольца
Значение тензорных произведений основано прежде всего на
следующих двух фактах:
Г. Тензорное произведение обладает важным свойством про-
пропускания, а именно каждое тензорное отображение можно про-
пропустить через тензорное произведение (см. 10.1.8) и тензорное
произведение определяется этим свойством однозначно с точностью
до изоморфизма (см. 10.1.19).
2°. Тензорное произведение есть функтор (см. 10.3.1), а именно
сопряженный к функтору Нот (см. 10.3.4).
10.1. Определение и свойство пропуснания
Операция взятия тензорного произведения ставит в соответст-
соответствие модулям As и SU новый модуль
который, вообще говоря, является Z-модулем, однако при соот-
соответствующих предположениях может быть также модулем над
другими кольцами.
Чтобы определить A<*>U, рассмотрим
— декартово произведение множеств А и U. Далее, обозначим
через F = F(Ay.U, Z) свободный правый (или левый— сторона
в случае кольца Z не играет никакой роли) Z-модуль с базисом
АхО (см. § 4.4). Базисные элементы мы обозначаем снова через
(а, и). Наконец, пусть К~ подмодуль модуля F (как Z-модуля),
порожденный множеством D1 \j D2 \j T, где
D1:={(a + a', и) —(а, и) —(а', и)\а, а' е А /\и<=Щ,
D^:—{(a, и + и') — (а, и) —(а, «') | а е А/\и, и'<^Щ,
T:={(as, и) —(a, su)\a<^ A/\u^U/\seS}.

240 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
10.1.1. Определение. Фактормодуль F/K называется тензор-
тензорным произведением модулей As и sU над S:
A®U:=F/K.
Образ элемента (а, и) е F при естественном эпиморфизме F ->
-+F/K называется тензорным произведением элементов а
и и и обозначается через а® и:
а®и:= (а, «) + К.
Если из контекста ясно, о каком кольце идет речь, то вместо
A®U пишут просто A®S.
Для тензорного произведения имеют место следующие правила
вычисления:
10.1.2. Правила вычисления:
A) (а-\-а')® и = а® и-\-а' ®и.
B) ае (и + и') = а® и + а® и'.
C) а$®и
D) 0®ы
E) —(а®и) = (—а)®и = а®(—и).
F) (a®u)z = {az)®u = a®(uz), zeZ.
Доказательство. A) —C) следуют из определения К-
D) 0®ы + 0®ы = @ + 0)®ы = 0®ы=>0®ы = 0; аналогично
устанавливается, что а®0 = 0.
E) а ® и + (— а)®и — {а — а)®ы = 0®ы = 0=>(— а)® и =
= —(а®«); аналогично для а®(—«).
F) г>0 : (а® u)z = a® и + ... + а® и = (а -\-... -\- a) <g u=(az)-® и;
г слагаемых
() = 0 = 0®ы = (а0) ® и]
г < 0 : (а ® и) (— г) — {а (— г)) ® и = (— аг) ® « = — ((аг) ® и) со-
согласно E). Так как
(a f м) (— г) + {а ® м) г = (а ® и) (— г + z) = (а ® м) 0 = 0,
то однозначно определенный противоположный элемент для
— ((az)®u) равен, с одной стороны, (аг)®и, а с другой, (а® и)г.
Поэтому (az)®u — (a®u)z. Аналогично доказывается и второе
равенство. ?
10.1.3. Замечания. A) Свободный правый Z-модуль F можно
также рассматривать и как свободный левый Z-модуль; сторона
не играет никакой роли, и в дальнейшем для F и для A %U вы-
выбирается та сторона, которая в данный момент удобнее.

10.1. Определение и свойство пропускания 241
B), Согласно правилу F), каждый элемент <еЛ®?/ может быть
записан в виде конечной суммы вида
C) Представление / = Sa<®"( определено, вообще говоря, не
однозначно. Оно не единственно даже в случае, когда речь идет
о представлениях „наименьшей длины".
D) Тензорное произведение двух ненулевых модулей может ока-
оказаться равным нулю.
Пример к C) и D). Пусть /4 = (Z/2Z)Z, G = Z(Z/3Z). Тогда
для любых аеЛ, «е(/ имеем в A®U
0=0®0=а®0— 0®м = а® C«) — Bа) ® и
= 3 (а ® и) — 2 (а ® и) = а ® и.
Следовательно, А ® U = 0.
10.1.4. Определение. Пусть даны модули As, SU, Mz.
A) Отображение ф: AxU-*-M называется биаддитивным,
если
Va, a'<= A V«, «'е(/[ф(а + а', и)=ц>(а, ы)+ф(а', ") Л
Ф(а, « + «') = Ф(а. и) + ф(я, «')]•
B) Биаддитивное отображение ф называется S-сб а лансиро-
лансированным1 отображением, если
Va<=A V« s t/ Vs e 5 [ф (as, «) = ф (a, s«)].
10.1.5. Следствие. Пусть v: F-^-F/K = A ^U— естественный
эпиморфизм и т —его ограничение на базис AxU для F:
x:=v\AxU, т. е. х(а, «) = а®«.
Тогда для каждого Z-гомоморфизма fc. A®U'-*¦ М отображение
ф:=Хт: AxU-+M
является S-сбалансированным. В частности, само х является
S-сбалансированным отображением.
Доказательство. Имеем Хх(а + а', и) = Х((а + а')®и) =
= X (а ® и + а' ® и) = X (а ® и) + X (а' ® и) = кх (а, и) + Кх (а', «). Ана-
Аналогично проверяются и прочие свойства. ?
f В оригинале S-tensorielle. Мы придерживаемся терминологии, принятой
в переводе книги Фейса *[12]. Соответственно ниже мы используем вместо
авторского Tens символ Bin (напоминающий к тому же о билинейных отобра-
отображениях, каковыми являются сбалансированные отображения в классическом
случае модулей над общим коммутативным кольцом). — Прим. ред.

242 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Для дальнейшего важно, что образ всякого элемента при ото-
отображении Я можно выразить через ф:=Ат:
A0.1.6) Я (? а,-® «,) = 2 Ча< ® «0 == 2 Ма» "<) = S Ф (а<. «<)•
Обозначим теперь через Bin (AxU, M) множество всех 5-сба-
лансированных отображений из AxU в М. Очевидно, это мно-
множество становится Z-модулем, если ввести определения
(ф1 + ф2)(а, «):=фа(а, «) + <ра(а, «),
(—Ф)(а, ы):=-ф(а, и),
и отображение
Ф: Нот2(Л®?/, М) =>Я,ь-*ф := Ят<= В1п(Лх?/, М)
есть Z-гомоморфизм.
10.1.7. Теорема. Ф является изоморфизмом.
Доказательство. Инъективность Ф следует из 10.1.6.
Докажем сюръективность Ф. Пусть дано феВ1п(Лх?/, М).
Надо найти такое Я е Homz M ® ?/, М\, что ф = Ят. Прежде
всего продолжим ф до фе Homz (F, М) по формуле
Ф (S (а«, Щ Zi): = S ф (а,-, «,¦) г{.
Так как ф 5-сбалансировано, то /Сскег(ф). Следовательно, ф
можно пропустить через F/K = A ®U (частный случай теоремы
3.4.7), т. е. существует такое отображение к: F/K->M, также
являющееся Z-гомоморфизмом, что ф = Ят. ?
Для дальнейших приложений объединим 10.1.6 и 10.1.7 в еди-
единое утверждение:
10.1.8. Следствие. Для каждого S-сбалансированного отображе-
отображения ф: А х U -*¦ М существует единственный Z-гомоморфизм
X: A®U-*-M, такой что ф = Ят. При этом
В заключение покажем, что тензорное произведение A®U
определяется свойством пропускания 10.1.8 однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
Точнее, пусть модуль Сг и 5-сбалансированное отображе-
отображение у: AxU-^C таковы, что для каждого Z-модуля М и каж-
каждого S-сбалансированного отображения ф: AxU-^M существует
единственный Z-гомоморфизм
ц: С-+М,

10.2. Дальнейшие свойства тензорного произведения 243
удовлетворяющий условию ф = tiy- Тогда A®U^C (как Z-mo-
дули).
На самом деле при доказательстве этого факта можно обой-
обойтись и более слабыми предположениями, как показывает следую-
следующая теорема.
10.1.9. Теорема. Пусть у: AX.U-+C есть S-сбалансированное
отображение со следующими свойствами:
A) существует такой Z-гомоморфизм
о: С —*- А ® U,
что х — оу (т. е. т пропускается через у)',
B) равенство Y = 1TY> где tieHomz(C, С), выполняется лишь для
ti = 1c (т. е. пропустить у через у можно лишь единственным,
образом). Тогда
C^A®U (как Z-модули).
Доказательство. Ввиду 10.1.8 найдется р: A®U-+C, такое
что 7 = РТ- По предположению имеем т = ву. Из этих двух ра-
равенств вытекает, что т=арт, у = рау. В силу 10.1.8 и предполо-
предположения B) получаем
сгр=1л®1/, ра= 1С.
Таким образом, C~A®U. ?
Из свойств тензорного произведения здесь использовались
лишь равенство 7 = РТ и единственность пропускания т = <трт.
10.2. Дальнейшие свойства тензорного
произведения
10.2.1. Тензорное произведение гомоморфизмов. Пусть
даны 5-модули As, Bs, а также SU, sV и 5-гомоморфизмы
а: А-^В, ц: U-+V.
Рассмотрим отображение
ф: AxU^(a, u)>—*-а(а)®ц(и) s Б® V.
Как легко проверить, <р является 5-сбалансированным отображе-
отображением, причем ф(а, и) = а(а)®ц(и). Отвечающий ему (согласно
10.1.8) Z-гомоморфизм из A®U в B®V обозначим через а®р.;
он действует следующим образов: , .
а ® \i: A ® U э У, а,- ® щ >-^- S а (а,-) ® (х (и,-) s В ® V,
т. е. а и |i применяются к соответствующим компонентам.

244 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Определение. Гомоморфизм а®\а называется тензорным
произведением гомоморфизмов а и \х.
Для тензорного произведения гомоморфизмов непосредственно
проверяются следующие свойства:
A) 1д®1у=1д|у.
B) Пусть, кроме а и р, даны еще гомоморфизмы E: Bs-*-Cs,
v: sV-+sW. Тогда (Ра)®(уц)=»(Р®у)(авц).
C) Если а и ц — изоморфизмы, то а®ц — также изоморфизм,
причем (a ® ц)-1 = or1 ® ц-1.
10.2.2. Модульные свойства тензорного произведения.
Пусть R — еще одно кольцо и rAs — бимодуль. Покажем, что
А ® U с помощью определения
r(?ai®ui):=2l(rai)®ui, re Я,
превращается в левый ^-модуль. С этой целью рассмотрим при
фиксированном г е R отображение
Так как rAs — бимодуль, то это отображение есть 5-гомомор-
физм, который мы обозначим через г. Согласно 10.2.1, г-®\и
является гомоморфизмом, причем
так что при указанном определении А ® U действительно стано-
становится левым ^-модулем. (Независимо от представления 2я/®«*
элемент '2i{rai)®ui однозначно определяется по г и ?а,-®«г!)
Если ^Jt — бимодуль, то A®U превращается в правый 7-мо-
дуль, если положить
и для бимодулей rAs, s^t тензорное произведение A®U будет
о
^-7-бимодулем.
Для гомоморфизмов
a: rAs->rBs, ц: sV-*-sV
а ® ц является ^-гомоморфизмом:
так как
(а ® ц) (г
= /" ? «(fli) ® И ("г)

10.2. Дальнейшие свойства тензорного произведения 245
Соответственно для
a: RAs-*-RBs, ц: sUt~>sVt
а® ц есть бимодульный7?-Г-гомоморфизм из (A®U\ в (B$>V\ .
Если R — подкольцо центра S (например, в случае коммута-
коммутативного кольца S, если R — S), то As и SU с помощью опре-
определений
ra:—ar, ur:~ru, re/?, аеЛ, «ё(/,
превращаются соответственно в R-S- и S-R-бимодули, a A&U —
в /?-#-бимодуль. При этом
Особый интерес представляет частный случай, когда S комму-
коммутативно и R = S.
Пусть теперь даны %А5, dJ и ^/И, а также S-сбалансирован-
ное отображение
ф: AxU^-M, ф(га, и) = гц>(а, и), г ^ R.
Рассматривая А®1) как левый ^-модуль, покажем, что отвечаю-
отвечающий ему (согласно 10.1.8) Z-гомоморфизм к является также
R -гомоморфизмом:
I (Г V Я,- © «,.) = А, B (Гй;) ® Н;) = ^ ф (ГО;, Н,-)
Соответствующее утверждение имеет место также для бимодулей
rAs, sUt, rMt- Наконец, покажем, что отображение
к: А © S э 2 а< ® Si >—¦ S ял е ^
является S-изоморфизмом правых S-модулей A&S и /4S- Так как
о
отображение
ф: А х S э (а, .)н-»й8еЛ
S-сбалапсированно и ф(аь 881) = ф(аь s)slt то А, есть S-гомомор-
S-гомоморфизм и даже, очевидно, эпиморфизм. Если ?ai®s; s ker (А.), т. е.
va;s, = 0, то
Sa,-®s,- = 2 (од® 1) = (?од)® 1 =0® 1=0.
Следовательно, А, является также мономорфизмом, а значит, изо-
изоморфизмом. Аналогично имеет место изоморфизм

246 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
10.2.3. Ассоциативность тензорного произведения. Мы до-
докажем здесь, что операция взятия тензорного произведения ассо-
ассоциативна с точностью до изоморфизма. А именно, мы утверждаем,
что для любых модулей AR, RMS, s^
R
причем изоморфизм задается следующим образом:
*¦ 2 at ® {Щ ® "г) •
Чтобы доказать это, рассмотрим при фиксированном и е U ото-
отображение
Как легко видеть, ф„ есть ^-сбалансированное отображение,
поэтому, согласно 10.1.8, существует гомоморфизм
%„: А ® М э 2 ai ® Щ •—*¦ ? а* ® (тг ® и) е Л
Следовательно, элемент ^а,-®(т,®«) определяется однозначно по
2a/®/«i и « (независимо от представления 2а«®т/)- Стало
быть, отображение
является S-сбалансированным. Значит, в силу 10.1.8, отображе-
отображение (*) есть гомоморфизм; обозначим его через р. Точно также
существует соответствующий гомоморфизм а в обратном направ-
направлении, причем, очевидно,
таким образом, р и а —изоморфизмы.
Ввиду установленной ассоциативности в тензорных произве-
произведениях трех и более сомножителей скобки можно опускать, если
все рассматривается с точностью до изоморфизма.
10.2.4. Перестановочность с прямыми суммами. Пусть
даны модули As, s^ и
A=®Ah U=®U}.
lei /с/
Обозначим через Мц подгруппу в A®U, порожденную элемен-
элементами ui®Uj, a,-e Л,-, Uj^Uj. Тогда
A) A®U=
s i
и, следовательно,
B) (®АЛъ(®иЛд* 0

10.2. Дальнейшие свойства тензорного произведения 247
Доказательство. Прежде всего, в силу определения Мц
ъ ie/, /e/
Пусть
л,-: A-+Ah я',: U^U,
— канонические включения и проекции, отвечающие нашим пря-
прямым суммам. Тогда
и, значит,
Ц® Uf = Л,-1; ® Л/1/ = (Л; ® Л •) (l,- ® I/).
Поэтому i;®i/ — мономорфизм, для которого im (i,-® i/) Q M,y. Из
определения М;у и i,- ® i/ вытекает, что на самом деле справед-
справедливо даже равенство im (i,- э \.'j) — My, т. е. i,- ® i/ индуцирует (при
сужении области значений) изоморфизм ю,у между ,4,©f/y и М;;.
Это означает, что между элементами щ ® Uj e Л ® f/, где агеЛ;,
Ыу е(//, и элементами cii®Uj<= At ® ?/,• можно не делать никакого
различия.
Обратите внимание, что для первого элемента at®Uf речь
идет об элементе из A® U, для второго элемента щ®и< — об эле-
о
менте из Ai^U,-. Так как ю,у — изоморфизм, то лг®л/|/И;/ —
также изоморфизм. Отсюда вытекает, что
и, следовательно,
(ог/ (л,- ® л/)
является проекцией A®U на М,у. Таким образом, A®U —
= ®М1{. ¦ ¦ П
10.2.5. Тензорное произведение свободных модулей. Пусть
As — свободный 5-модуль с базисом {x^l^L}, так что Л =
= © x,S.
Утверждение. Каждый элемент из A&U представим в виде
конечной суммы
где щфО определены однозначно.

248 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Доказательство. Применяя 10.2.4, получаем, что
Доказательство можно также провести непосредственно с по-
помощью 10.1.8. Ввиду закона дистрибутивности для тензорного
произведения (см. 1.0.1.2) ясно, что каждый элемент из А ъ U
о
может быть записан в виде конечной суммы ?xi®Ui. Осталось
доказать единственность. Пусть
а = ? X/S,, S[ e 5,
— представление элемента ое/1 через базисные элементы, и
пусть фиксировано fceL Очевидно, что соответствие
Isku, если к встречается в представлении а через
базисные элементы,
0 в противном случае
определяет S-сбалансированное отображение AxU-^-U. Следова-
Следовательно, существует гомоморфизм А й U ->- U, для которого
"to
если k встречается в сумме У^
' ' п в противном случае.
Так как при гомоморфизме образ определен однозначно (незави-
(независимо от представления ?л:/®«г)> отсюда следует единственность
ик Ф 0. ?
Если А и U — векторные пространства над одним и тем же
полем размерностей тип соответственно, то их тензорное про-
произведение является векторным пространством над тем же полем
размерности тп. Более общо, имеет место
Утверждение. Пусть S — коммутативное кольцо, As — свободный
S-модуль с базисом хъ ..., хт и SU — свободный S-модуль с бази-
базисом гъ ..., гп. Тогда А®0 есть свободный S-модуль с базисом
о
{Xi®zj\i=\, .... m; /=1, .... я}.
Доказательство. Это следует из 10.2.4 или из предыду-
предыдущего утверждения. Согласно этим утверждениям, в ^лгг®ыг эле-
элементы Ui4^0 определены однозначно, поэтому однозначно опре-
определены и ненулевые коэффициенты из представления
«/ = S Sikzk
элемента ut через базисные элементы. Отсюда следует, что и нену-
ненулевые Sik из представления v xt s ut = 2 (xt ® zk) slk тоже опреде-
определены однозначно. ?

10.3. Функториые свойства тензорного произведения ~ 249
10.3. Функторные свойства тензорного
произведения
Пусть, как и всюду в этой книге, <Ж5, соотв. Se?, обозначает
категорию (унитарных) правых, соотв. левых, 5-модулей и Л —
категорию Z-модулей, т. е. абелевых групп (определения см.
в гл. 1).
10.3.1. Теорема. Тензорное произведение —функтор из <Msy,sJC
в А, ковариантный по обоим аргументам.
Доказательство. Проверим, что выполнены условия 1.3.4.
Прежде всего ясно, что отображения
и
Horns (Л, 5)xHoms(t/, У)=э(а, ц).-*а®ц <= HomzM®?/, BfV\
определены корректно. Далее, как показано в 10.2.1,
Тем самым теорема доказана. ?
Для полноты отметим, что тензорное произведение можно также
рассматривать как ковариантный функтор
Мы займемся сейчас доказательством того факта, что тензорное
произведение и Нот при одном фиксированном аргументе являются
сопряженными функторами по второму аргументу. Это мы полу-
получим как частный случай следующей общей теоремы. Чтобы ее
сформулировать, нам придется напомнить вначале некоторые
установленные ранее факты.
Пусть даны модули Xs, sUr, Ут- Если гомоморфизмы из
Y]omT(U, Y) записывать слева от элементов из U, т. е. если
образ элемента u^U при гомоморфизме ц е Homr(U, Y) обозна-
обозначается через [\ (и), то Homr(U, Y) с помощью определения
{\is) и := h-(sm), u^U, seS, ц,е Hornet/, У)
превращается в правый S-модуль. В выражении Homs(X,
Homr (U, Y)) будем понимать Homr(f/, Y) как правый
S-модуль в этом смысле. Далее, так как sf/r есть S-T-бимодуль,
то X®U является правым Г-модулем и как таковой фигурирует
в выражении Homr (X®U, Y\.

250 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Определим теперь гомоморфизм (аддитивных групп) Ф{Х, и, п
из Нотт(Х®и, Y\ в Homs(X, HomT(U, У)) Лля этого каждому
р е. Horrid (X® U, Y) надо поставить в соответствие его образ
p*eHoms(X, Homr(t/, Y)) Для хеА' мы должны иметь
р* (х) е HomT(U, Y). Действие р* (х) на «efi будем записывать
в виде р* (х) (и). Положим теперь
р* (х) (и) : = р (х® и), хеА, u^U, x®u<=X®U,
pe=Homr (*<§?/. К).
Ясно, что этим р* определено однозначно для любых ieA и
UG.IJ. Далее, для хъ ^еХ, ии u2gU, slt s2&S, tu k^T
имеем
Р* (XiSi + X2S2) (Mi*i + U-lt-l)
= р ((XiSi + X2S2) ® (Uih + U2t2)
= p (xi ® SiHj) ti + p (%i ® Si«2) ^2 + P (л;г ® S2«i) ^1 + P (^2 ® s2u2) t2
откуда следует, что p*eHoms(A's, HomT(U, Y)). Если теперь
рь p2eHomr/A's[/, К), то, очевидно,
(Pi + Р2)* (х) (и) = (Pi + р2) (х®и) =
= Pi (я: ® и) + Р2 (х ® и) = pf (х) (и) + р| (х) {и),
т. е.
Итак, отображение
A0.3.2) Ф(х,и.n:Homr (*§>{/, V) эр—*
p*eHoms(X, Homr(t/, К)),
р* (л;) (н) := р(л;® и), ieX, u^U,
есть гомоморфизм аддитивных групп.
10.3.3. Теорема. A) Для каждой тройки Xs, s^t, Ут гомомор-
гомоморфизм Ф(х,и,у) является изоморфизмом.

10.3. Функторные свойства тензорного произведения 251
B) Для любых гомоморфизмов |: Xs->-Xs, \i: sU't-+sUt, tj: Yt-*-
-*-Y't диаграмма
HomT(X® U, Y) ^^ ^ Hom5(X,Homr((/, Y))
5
, Hom(|i,
HomT(X'®U',Y') ^^^ *-Homs(X',HomT(U'tY'))
коммутативна.
Доказательство. A) Положим для краткости Ф:=ФХ(;к.
Гомоморфизм Ф является мономорфизмом, поскольку р* = 0 озна-
означает, что р* (х) (и) = р(х® и) = 0 для всех х^Х, и е(/, а зна-
значит, р = 0. Пусть aeHoms(X, Horn?-^, Y)). Рассмотрим 5-сба-
лансированное отображение
(x, u)*-*o(x)(u)<=Y.
Для него существует 7-гомоморфизм
р: X ® I/ э S х,- ® ы,-1—> 2 a (xi) («;) s У.
Для этого р имеем
р* (х) (и) = р (х ® и) = а (х) (и),
т. е. Ф(р) = а. Таким образом, Ф является также эпиморфизмом
Тем самым доказано, что Ф — изоморфизм.
B) Отправляясь от р s Homr (X®U, Y\, мы при прохождении
по левому пути имеем
р i—* Horn (I ® ii, tj) (р) = tip A ® ц) •-*¦ (rip (I ® ц))*,
а при прохождении по правому
р _* р* ^ нот F, Нот (ц, ц)) (р*) = Нот (ц, тт.) р*§.
Применяя отображения, стоящие справа, вначале к х' s X',
а потом к и' G.U', получаем
(tip (I ® ц))* (х1) (и1) = (tip A ® ц)) (х' ® и') = lip (
(Нот(ц, т))р*6)(х')(и') = (Нош(ц, г|)р*)(^)(м') =
= Т| (р* (|%') (ЦМ')) = Tip {1Х' ® ЦИ').
Таким образом, диаграмма коммутативна. ?

252 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
10.3.4. Следствие. Для каждого U е= 5ЖТ
и
образуют пару сопряженных функторов.
(Определение сопряженных функторов см. в гл. 1,)
Доказательство. Это следует из 10.3.3 при ц= 1У. ?
10.3.5. Замечание. Утверждения, аналогичные 10.3.3 и 10.3.4,
справедливы также для SX, rUs> rY (пРи перестановке сторон).
В частности, вместо A) в 10.3.3 имеет место изоморфизм
ttomR(U®X, K^Homs(X, Hornet/, У))
и сопряженными функторами в аналоге 10.3.4 будут
Позже мы рассмотрим важные приложения факта сопряжен-
сопряженности функторов ® и Нот, поэтому здесь не будем приводить
никаких примеров. Первое такое приложение появится уже в сле-
следующем параграфе.
10.4. Плоские модули и регулярные кольца
Пусть A Q. Я —двусторонний идеал кольца R и i: A-^-R —
включение. Рассмотрим гомоморфизм
i®l: A®R/A->R®R/A (где 1 =
Утверждение. A) i®l=0.
B) A®R/A^A/A2; следовательно, А®R/АфО для АфА2.
Доказательство. A) Для а^А, f
т. е. i ® 1 =0.
B) Положим й:= а+А2<= А/А2 для as А. Так как отобра-
отображение
AxR/A=3(a, r)y-+'ar<
^-сбалансированно и сюръективно, существует такой эпиморфизм
Я: A®R/A->A/A2,
что %{а®г) = аг. Пусть
п п I п \
2 я,-® Л = 2 а/« ® I =( 2 aifi)® T e ker (k).
i=.\ i=>\ U=l /

10.4. Плоские модули и регулириые кольца
263
Тогда 2 airi ^ Л2 и, значит,
п ¦ ft.
/=!
ft
2>
Следовательно,
2
j=!
т. е. Я является также мономорфизмом. Стало быть, Я—изомор-
Я—изоморфизм. ?
Таким образом, для А*ФА (например, для A = nZQ.Z, где
п>\) мы имеем следующую ситуацию: хотя i: A-+R — моно-
мономорфизм, но i ® 1 не является мономорфизмом.
С другой стороны, существуют модули rM, такие что для
каждого мономорфизма a: Ar-*-Br и
а®
: А<§М-*-В®М
— также мономорфизм. Как будет показано ниже, этим свойст-
свойством обладают, например, все проективные модули RM. Такие
модули интересны со многих точек зрения, и мы займемся сейчас
их изучением.
10.4.1. Определение. Модуль RM называется плоским, если
для каждого мономорфизма
a: AR-+BR
а®\м — тооке мономорфизм.
10.4.2. Следствие, Каждый изоморфный образ плоского модуля
является плоским.
Доказательство. Пусть RM плосок и q>: RM-*-RN — изомор-
изоморфизм. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
fl«Af

264 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Так как 1д®ср и 1в®ср — изоморфизмы, то a®\N является моно-
мономорфизмом тогда и только тогда, когда а ®_ ^ — мономорфизм. ?
10.4.3. Теорема. Если
RM= JJ М, (или к
tel
то М — плосок тогда и только тогда, когда все Ми i e /, плоски.
Доказательство. В силу 10.4.2 достаточно рассмотреть слу-
случай М = JJ Mi, причем элементы прямой суммы обозначаются,
как и в гл. 4, через (mi) (где лишь конечное число т,=^0).
В этом случае мы имеем коммутативную диаграмму
м
(LI
И (А ® м,) —
iei к
II (в ® м,)
здесь вертикальные отображения— это изоморфизмы, определен-
определенные в 10.2.4 (например, для левого изоморфизма a®(m,)i—»(а® m,)).
Отсюда следует, что а®1Л является мономорфизмом в том и
только том случае, когда (a® \Mj) является таковым, а это имеет
место в точности тогда, когда а® 1М; —мономорфизм для каждого
/е/. Тем самым наше утверждение доказано. ?
10.4.4. Теорема. Каждый проективный модуль плосок.
Доказательство. Как мы знаем, каждый проективный модуль
изоморфен прямому слагаемому свободного модуля. Поэтому,
ввиду 10.4.2 и 10.4.3, достаточно проверить теорему для д/?. Но
в коммутативной диаграмме
. . м® 1„
Б
a®lR является мономорфизмом тогда и только тогда, когда a —
мономорфизм. ¦ ?

10.4. Плоские модули и регулярные кольца 255
В связи с этим результатом возникает естественный вопрос,
имеет, ли место, и при каких условиях, обратное утверждение.
В 1960 г. X. Басе описал такие кольца R, над которыми любой
плоский левый ^-модуль проективен. Они характеризуются сле-
следующими эквивалентными условиями:
A) Кольцо R/rad(R) полупросто и rad(R) трансфинитно ниль-
потентен справа, т. е. для любой последовательности аъ а2, а3, ...
элементов из rad(R) найдется такое натуральное число п, что
ад ... а„ = 0.
B) R удовлетворяет условию минимальности для главных правых
идеалов (= циклических правых идеалов).
C) Каждый левый ^-модуль RM обладает проективной оболоч-
оболочкой, т. е. существует эпиморфизм RP-+RM с проективным Р и
косущественным ядром.
Кольцо с этими свойствами (имеются и другие эквивалентные
характеризации) называется совершенным слева. Согласно A),
соотв. B), каждое артиново слева, соотв. справа, кольцо совер-
совершенно слева. В дальнейшем мы разовьем теорию совершенных
колец довольно далеко.
Другой естественный вопрос —это вопрос о" кольцах R, для
которых каждый ^-модуль плосок. Описание таких колец —глав-
—главная цель последующих рассуждиний.
10.4.5. Предложение. Пусть даны модули В$ и RM.
(a) Если 0— y,bi® /?г,-е В® М, то существуют такие конечно-
порожденные подмодули Во Q, В, Мо Q.M, что bt е Мо, mte. Мо и
0 = v bt ® mt е Во ® Мо.
(b) Если Вхо.В, MiQ,M u-Q) = '?ibi®mt^Bl®M1, то
IX
Доказательство, (а) В качестве порождающих элементов
для Во, соотв. Мо, возьмем в первую очередь все элементы bt,
соотв. ти встречающиеся в ^Ь\®Щ, так что выполнено условие
^bi®mte Во®Мп. Чтобы обеспечить выполнение условия ?6*®
® ш; = 0е So® М0, нужно привлечь и другие элементы. В силу
определения 10.1.1, условие ^]6,-®т( = 0е В®М означает, что
? (bit mi) е К, где К = К (В, М) зависит от В и М. В представ-
представлении X! (Ьг> Щ) как элемента из К фигурирует лишь конечное
число элементов из В в качестве первой компоненты, соотв.
лишь конечное число элементов из М в качестве второй компо-
компоненты. Эти элементы также возьмем в качестве порождающих Во,

256 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
соотв. Мо. Тогда ? (bt, tnt) s К (Во> Мо), а значит, 0 = ? b-t ® mt
(Ь) Пусть iBl: Bi-*-B и ц*,: MX->M — включения. Имеем
0 = (|В, ® 1ль) @) = (tBl ® 1м.) (? 6г ® /и,)
П
10.4.6. Следствие. Если каждый конечно-порожденный подмодуль
модуля М = RM содержится в некотором плоском подмодуле, то
сам М является плоским.
Доказательство. Пусть a: AR->BR — мономорфизм и У, а,® /?г,е
eker(a®l^). Тогда, согласно 10.4.5 (а), существует конечно-
порожденный подмодуль Мо Q. М, для которого ? Я; ® Щ ^ А ® Л10
и 2 аг® meeker (a® 1Мо).
Пусть MoQMiQM и Мг плосок. Из 10.4.5 (Ь) следует, что
тогда 2ial®mi^ ker(a® lMl). Так как Мг плосок, то 2я«® от,- ==
= 0^/4®/^!. Поэтому, в силу 10.4.5(b), ^a,®т,- = 0е Л®Л1,
что и требовалось доказать. ?
10.4.7. Следствие. Если для гомоморфизма a: AR-+BR и модуля RM
гомоморфизм
а® 1^: А®М-+В®М
не является мономорфизмом, то существует такой конечно-поро-
конечно-порожденный подмодуль A0Q.A, что (а\А0)<в>\м также не является
мономорфизмом.
Доказательство. По предположению имеется ненулевой эле-
элемент 2а«® Щ s ker(a® lM). Если Ао — подмодуль в А, порожден-
порожденный элементами а,, встречающимися в ^ai®mh то по 10.4.5 (Ь)
0 ф Ц а{ ® m, s Ао ® М
н
и, как и раньше,
((а| Ай)® lM)(i;a,-®m,-) = 2a(a;)®m(- = 0eB®A1. П
Для того чтобы проверить, является данный модуль плоским
или нет, достаточно ввиду этого следствия ограничиться моно-
мономорфизмами а: А-*-В с конечно-порожденными модулями А. Воз-
Возникает вопрос, нельзя ли еще больше сузить класс „тестовых"
мономорфизмов. Это и в самом деле можно сделать, а именно
это достигается сведением к инъективным модулям и к примене-
применению критерия Бэра.

10.4. Плоские модули и регулярные кольца 257
Сведение к инъективным модулям осуществляется с помощью
произвольного инъективного кообразующего для <Мг. Пусть D—
такой кообразующий, скажем D = Q/Z (см. 5.8.6). Положим для
К.
так что Х° снова является Z-модулем. Если в случае X = RM
положить (см. § 3.6)
(фг) (т) = ф (гт), феМ°, r&R, meM,
то М° становится правым ^-модулем и может быть рассматри-
рассматриваем как Z-Я-бимодуль.
Если еще для произвольного |а: RM -*¦ RN положить
ц°:=Нот(ц, \D):№-+M°,
то ° будет контравариантным функтором из Н<Ж в <Лп.
10.4.8. Теорема. Для модуля RM следующие условия эквивалентны:
A) RM — плоский модуль;
B) для каждого конечно-порожденного правого идеала A Q RR
с вложением
a м является мономорфизмом',
C) модуль MR=Homz(M, D) инъективен.
Доказательство. Для гомоморфизма а: А-+В следующие
условия эквивалентны:
(a) а® 1М —мономорфизм;
(b) Нот(а®1М) 1д): IB® M\°-*-fA ® MY — эпиморфизм;
(c) Нот (а, НотAл, 1в)) = Нот(а, lM°): HomR(B, M°)-+HomR
(А, М°) — эпиморфизм.
Эквивалентность (а)<*(Ь) следует из 5.8.4, а (Ь)о(с) — из 10.3.3.
Если потребовать выполнения условий (а)— (с) для каждого моно-
мономорфизма а, то (а) означает, что RM плосок, а (с) — что MR
инъективен. Этим показано, что A)оC). Согласно критерию
Бэра 5.7.1, M°R инъективен тогда и только тогда, когда (с) имеет
место для всех вложений iA: AR-+-RR правых идеалов. Возвра-
Возвращаясь снова к (а), получаем, что M'R инъективен тогда и только
тогда, когда 1д ® 1 м — мономорфизм для каждого AR Q RR. В силу
10.4.7 при этом можно ограничиться конечно-порожденными пра-
правыми идеалами AR Q. RR. Этим доказано, что C) о B). ?
Теперь мы ответим на вопрос, какие кольца обладают тем
свойством, что любой модуль над ними является плоским. Напомним
по этому поводу, что кольца, для которых любой модуль проек-

258 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
тивен, соотв. инъективен,—это полупростые кольца. Поскольку,
как мы установили ранее, каждый проективный модуль плосок,
полупростые кольца попадают в класс колец, описываемых сле-
следующей теоремой.
10.4.9. Теорема. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) каждый модуль RM плосок;
B) для каждого элемента г еГ существует такой элемент г' е R,
что rr'r = /•;
C) каждый циклический правый идеал в R является прямым сла-
слагаемым в Rr\
D) каждый конечно-порожденный правый идеал в R является пря-
прямым слагаемым в RR.
Ясно, что условие B) симметрично относительно замены сто-
сторон, так что указанные выше условия эквивалентны аналогичным
левым условиям.
10.4.10. Определение. Кольцо R, удовлетворяющее условиям
10.4.9, называется регулярным.
Доказательство теоремы 10.4.9. „A)=>B)": Для г s R
рассмотрим вложение i: rR-*-R. По предположению
i ® \rirZ. rR ® (RlRr) -+R® (R/Rr)
— мономорфизм. Имеем
(i® \R/Rr)(r<s>\) = r®\ = l®rT = l®f=l®0 = 0,
поэтому O=r®T &rR®(R/Rr). Пусть # := y + Rr e R/Rr (в том же
смысле используется черта и выше) и гг:= rz + rRr ^
Тогда, очевидно,
rR X R/Rr э (rx, g)>-*rxy& rR/r Rr
есть ^-сбалансированное отображение, и, следовательно,
т: rR
— гомоморфизм (аддитивных групп; на самом деле даже изомор-
изоморфизм). Поскольку 0 = г®1 ег/?®(R/Rr), то
Таким образом, г е rRr, т. е. найдется такое г' е R, что rr'r—г.
. „B)=>C)": Если rr'r = г, то (rr')(rr') = (rr'r)r' = rr' и, сле-
следовательно, е := rr' — идемпотент, так что
RR = eR®(\-e)R.

10.4. Плоские модули и регулярные кольца
269
Далее, eR — rr'RQ.rR, а поскольку er =rr'r = г, то rRQeR и,
значит, rR = eR.
„C) => D)": Докажем индукцией по числу порождающих эле-
элементов, что каждый конечно-порожденный правый идеал поро-
порождается некоторым идемпотентом. Начало индукции обеспечивается
условием C). Действительно^ если RR = rR®A и 1 = et + еа, ех е
&rR, вц^А, то ех, ег — ортогональные идемпотенты, причем
rR — e-iR, A=e2R (см. 7.2.3). Пусть теперь
По предположению индукции существует такой идемпотент е е R,
что eR = rt# -f... -f г„_1^. Тогда, в силу равенства г„ = ег„ +
+ A — е) г„, имеем
и, следовательно,
1 -e)rnR.
Как было показано в начале индукции, найдется такой идемпо-
идемпотент f & R, что
fR = (l-e)rnR.
Поэтому eR + rnR = eR + fR. Поскольку /еA— е)г„#, то е/ = 0.
Мы утверждаем, что g:=e-f/(l—е) есть идемпотент, для
которого
. Далее, имеем geR —
. Наконец,
Действительно, прежде всего gRc
= eRQ. gR, а также
(ибо е/ = 0 и /2 = /). Таким образом, gR =
т. е. g — идемпотент. Следовательно, RR = gR®(l —g) R, чем D)
и доказано.
„D)=>A)": Согласно 10.4.8 достаточно проверить, что для
каждого вложения iA: AR-*-RR конечно-порожденного правого
идеала A Q RR и произвольного модуля RM отображение 1Д® 1^
является мономорфизмом. Поскольку Л —прямое слагаемое в RR,
существует идемпотент g, для которого A = gR. Пусть
m» =
т,- =
ker

260 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
так что
i = 1 ® 2 №OTi = 0 е Я ® М.
Тогда (согласно A0.2.5) ?ga,«i, = 0 и потому также
2а,- ® я?,- = g® (Zgaiitii) = g® 0 = 0.
Следовательно, 1Д® 1^ — мономорфизм, чем и доказано A). ?
Как было замечено выше, каждое полупростое кольцо регу-
регулярно. Однако существуют регулярные кольца, не являющиеся
полупростыми. Чтобы построить пример такого кольца, возьмем
произвольное регулярное кольцо (например, поле) К и положим
00
Я=П К', где Kt=*K для 1=1, 2, 3
Определив в R сложение покомпонентно и умножение тоже поком-
покомпонентно:
превращаем R в кольцо Это кольцо регулярно. Действительно,
если kik'iki = ki, то (ki)(k'i)(ki) = (ki). В случае когда /С —поле,
ki можно выбрать так:
kj1, если kt фО,
О, если ki = 0.
00
Как легко проверить, Л :=JJ/С, —собственный двусторонний
00
идеал в R = Y\_ Kh являющийся существенным как в RR, так и
в RR. Следовательно, Л не может быть прямым слагаемым в RR
(или в RR). Значит, кольцо R не полупросто и ни модуль (R/A)R,
ни модуль R(R/A) не проективен (ибо в противном случае эпи-
эпиморфизм R-^-RlA был бы расщепляющим). Так как любой #-мо-
дуль плосок, то мы получаем, что (R/A)R — плоский, но
не проективный модуль.
В заключение приведем понятие чистого мономорфизма, пред-
представляющее собой своего рода дуализацию понятия плоского
модуля.
10.4.14. Определение. Мономорфизм
a: AR-*-BR
называется чистым, если а®1^ для любого R-модуля RM
является мономорфизмом. Если ARQ.BR и вложение i: A-+B
чисто, то А называется чистым подмодулем модуля В.

10.5. Плоские фактормодули плоских модулей 261
10.5. Плоские фактормодули плоских модулей
Мы рассмотрим здесь вопрос о том, при каких условиях
фактормодуль плоского модуля будет плоским. Этот вопрос инте-
интересен, в частности, в связи с совершенными кольцами, которыми
мы займемся в следующем параграфе.
10.5.1. Предложение. Пусть RM — плоский модуль, Uc*RM,
AQ. Rr и i: A-*-R — вложение. Тогда следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) is> 1м/и- А ® (M/U) -*-R®(M/U) — мономорфизм;
B) U[\AM = AU.
Доказательство. „A)=>B)": Если н = ?а,-я^ е?/|"| Л/W, то
для t = ? а,- ® ffii <= A ® (M/U)
R
(i ® 1 м/и) (t) =
г?
и, значит, по предположению / = 0. Очевидно, что соответствие
Ax(M/UK(a, m)>-*am:=am + AU <=AM/AU
задает R-сбалансированное отображение, которое индуцирует
гомоморфизм
X: A»(M/U)-+AM/AU.
Поскольку t = 0, то
() = ф @) = ф (/) = v fl.OT. = и,
стало быть, w e AU.
„B) => A)": Пусть для / = V а; «га,е/18 (Л1Д/)
@ = И ai » mi = 1 ® И aini< = 0,
т. е. Vfl;mjef7. По предположению справедливо равенство
v а,ш; = 2 fl/м/ е Л^/, где u7- e't/.
Тогда, очевидно,
v at» ш,- — Ц а/ « u7- e ker (i ® 1 м).
Так как по предположению модуль М плосок, то ker(i® 1м) = 0.
Поэтому получаем ?а;® пц = ^а) % щ и, следовательно, для
у. M-+M/U имеем
t = Aд ® V) (И а1 ® от<)= И О; ® т;
= A л ® V) Afl/ R »/) = 1й;-ви,=0е Л®
Итак, i®1jh/c/ —на самом деле мономорфизм.

262 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
Заметим, что при доказательстве импликации A)=>B) усло-
условие, что RM — плоский модуль, не использовалось.
10.5.2. Теорема. Пусть RM — плоский модуль и U Q RM. Тогда
следующие условия эквивалентны:
A) Фактор модуль M/U плосок; -
B) U П AM = AU для каждого конечно-порожденного правого идеала
AQRR.
Доказательство Это следует из 10.5.1 и 10.4.8. ?
Как легко видеть, доказательство импликации A)=>B) в 10.5.1
является обобщением доказательства импликации A)=>B)
в 10.4,9. Обратно, последнюю импликацию можно вывести из
10.5.1 или 10.5.2. А именно, если в 10.5.2 взять M = RR, U = Rr,
A=rR, то получим
rR-Rr = rRr;
поскольку г е Rr [)rR, существует такое г', что rr'r=r.
Теорема 10.5.2 имеет интересное приложение, касающееся
плоских фактормодулей проективных модулей.
10.5.3. Теорема. Если модуль RP проективен, t/Qrad(P) и
фактор моду ль R/U плосок, то U = 0.
Доказательство. Шаг 1. Мы докажем сперва этот резуль-
результат для свободного модуля RF (вместо RP). Пусть \xt i e /} —
некоторый базис F. Для произвольного элемента ке() запишем
его представление через базисные элементы:
Обозначим через А = ? atR правый идеал, порожденный коэффи-
коэффициентами at в представлении элемента и. Этот идеал, по опреде-
определению, конечно-порожден. На основании 10.5.2 имеем
U{]AF=AU.
Таким образом, u — ^bjUj, где b/ e А, щ et/. По предположению
U С, rad (F) = rad (R) F (последнее равенство имеет место в силу
9.2.1). Поэтому в представлении элемента «/:
все c/fterad(/?) (ибо rad (/^ — двусторонний идеал). Имеем
и = 2] а<*< = 2j Tt btcikXk-
i i k
Приравнивание коэффициентов дает
«j = 2 b/c,, e= A rad (/?).

Упражнения - 263
Так как это имеет место для каждого элемента а,-, а эти элементы
порождают Л, то A Q. A rad (R). Следовательно,
На основании 9.2.1 мы заключаем, что Л = 0, но тогда и = 0.
Поскольку элемент u^U был произвольным, то U = 0. Тем самым
для свободных модулей доказательство завершено.
Шаг 2. Пусть теперь Р — прямое слагаемое свободного мо-
модуля F, т. е.
F = P@PU
и пусть U с, rad (Р), причем фактормодуль P/U плосок. Если
v: F^-F/t/ —каноническое отображение, то
Поскольку U С, Р, то
v(P) + v(P1) = v(P)ev(P1),
а также
х(Р) = Р + U/U = P/U, \(P1) = Pl + UlU9* Pl/Pl [)U9*PV
Следовательно, имеет место изоморфизм
Так как модули P/U и Р1 плоски — первый по предположению,
а второй в силу своей проективности (см. 10.4.4), то по 10.4.2 и
10.4.3 фактормодуль F/U также плосок. Из того что t/Crad (P) с;
Crad(F), следует, как уже было показано, что U = 0. Для про-
произвольного проективного модуля наше утверждение следует теперь
из 10.4.3. D
Так как нулевой модуль плосок, в качестве непосредственного
следствия мы получаем результат, уже ранее установленный
в 9.6.3:
10.5.4. Следствие. Если модуль RP проекпшвен и rad (Р) = Р,
то Р = 0.
Упражнения
1. Пусть даны коммутативное кольцо S и S-модули А и U. Доказать, что
A®UszU®A.
2. Пусть даны произвольное кольцо S и S-модули BS,Q As. SV С, SU. Обо-
Обозначим через L (В, V) подгруппу в А ® U, порожденную элементами вида
а ® v, b ® и, где а е А, 6еВ, ogC, иеУ, Доказать, что
(А/В) | (U/V) ?й (А | U\/L (В, V).

264 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
3. а) Пусть В —правый, а V— левый идеал кольца S. Обозначим через B + V
аддитивную подгруппу в S, порожденную В и V. Показать, что
b) Привести пример кольца S с идеалами fis#S, SV Ф S, для которых
(S/S)|(S/V) = 0.
4. а) Доказать, что для любых двух идеалов Bs, SV С S
Здесь BV обозначает аддитивную подгруппу в S, порожденную элементами
вида bv, где iefi, heF.
b) Дать пример, когда Bs Ф 0, SV Ф S и fi|(S/V) = 0.
5. а) Пусть ig и iy—вложения идеалов Bs и SV в S. Показать, что
im (iB® iv) ^ SV.
b) Привести пример, когда В®УФ0, но im (ifl ® 1у) = 0.
6. Пусть Q —аддитивная группа рациональных чисел. Доказать, что
Q ® Q зё Q.
7. Показать, что если Л —абелева группа, то Л® A = jC^A делима и каж-
каждый ее элемент имеет конечный порядок. (См. упр. 10 и 11 к гл. 4.)
8. Пусть S := К [х, у] — кольцо многочленов от двух переменных х и у с коэф-
коэффициентами из некоторого поля К. Положим В :— xS+yS, т. е. В —идеал
в S, порожденный элементами х и у. Показать, что элемент х<В>у—у ® х *=
е В ® В отличен от нуля.
9. Для данных множества Н и модуля Ms положим
Мн := JJ Mft, где М^ = М для всех h e H.
Лея
Как в гл. 4, будем обозначать элементы из Мн через (т./,). Доказать следую-
следующие утверждения:
а) Для каждого множества Н существует единственный гомоморфизм
фя: М | SH -*¦ Мн,
удовлетворяющий условию
b) Если Я конечно, то фя—изоморфизм.
c) im (ф//)= UB , где В пробегает все конечно-порожденные подмодули в М„
d) Ms конечно-порожден тогда и только тогда когда фя для каждого множе-
множества Н является эпиморфизмом.
10. Указать множества / и У и правые, соотв. левые, S-модули Ah i e /,
соотв U,-, / s У, такие что
= ТТ (Ai ?Uf)'

Упражнения 265
11. Пусть дан унитарный кольцевой гомоморфизм р: R-+S. Тогда каждый
правый S-модуль Ms становится правым /?-модулем, если положить тг :=
:= щ (г), т е М, г ей (см. § 3.2); аналогично для левой стороны. Ниже мы
предполагаем, что так и сделано для всех правых, соотв. левых, S-модулей.
Доказать что для всякого SU справедливы следующие утверждения:
a) Отображение X: Usui—>l®«eS®C есть мономорфизм левых /?-моду-
лей RU*R(S%U).
b) Отображение
\i: S ® U э Е st ® щ >—*¦ Е SiUj e U
является S-эпиморфизмом и ядро этого эпиморфизма порождается элементами
s ® и — 1 ® su.
c) ^ (S | U\= im (Я,) 6 ker (ц).
d) Пусть, далее, дан еще один модуль ^С и
х: C3Ci-»l8ceS®C.
Тогда отображение
HomS (s (S f C)' S^3(P^Pe Hom« (rC- «^)
есть изоморфизм.
e) Пусть фиксированы p: R-> S и ^С, и пусть для данного модуля SX суще-
существует /?-гомоморфизм к': %С->- %Х, такой, что для каждого SU отображение
Homs (SX, SU) э ф 1—»• щ' s Hom^ (^C, RU)
является изоморфизмом. Доказать, что S §> U и X S-изоморфны.
f) Привести пример такого гомоморфизма р: R-> S и такого модуля ^С, что
х: С-эс н-* 1 ® с е S ® С
не является мономорфизмом.
12. Пусть R, S — кольца и %MS — некоторый ft-S-бимодуль. Определить функторы
F: qMr э Л н-* И | М s ®#S)
G: ®#s эА«. Homs (M, X) е= ®#^
и показать, что
a) F сопряжен слева к G;
b) следующие условия эквивалентны:
A) F сохраняет мономорфизмы,
B) G сохраняет инъективные объекты (т. е. Xs инъективен => Homs (M, Х)%
ипьективен),
C) %М — плоский модуль.
c) следующие условия эквивалентны:
A) G сохраняет эпиморфизмы,
B) F сохраняет проективные объекты (т. е. А% проективен :=> (А ® М\ч
проективен).
C) Ms проективен.
Далее, пусть р: S-> R — унитарный кольцевой гомоморфизм. Показать, что

266 Гл. 10. Тензорное произведение, плоские модули
d) Qs инъективен :=> Homs (R, Q) ннъективен как правый /?-модуль;
e) Ps проективен z^> Р 0 R проективен как правый /?-модуль.
13. а) Пусть RM — свободный модуль с базисом j^jie/J. Доказать, что для
U С М следующие условия эквивалентны:
A) M/U плосок;
B) ке(/=>«е Л„1/ где Аа — правый идеал, порожденный коэффициентами,
встречающимися в разложении и по заданному базису;
C) «е U =>3 ф: М -> U [ф («)=«].
D) иг ..., uBet/ =$ 3 ф: M-+U |ф («;) = «; для t = 1 и].
Ь) Показать что условия A), C), D) эквивалентны и для проективных КМ.
14. Пусть кольцо R коммутативно и модуль RM полупрост.
a) Доказать, что если RM инъективен, то он плосок.
b) Доказать, что если RM плосок и имеет лишь конечное число однород-
однородных компонент, то он инъективен.
в) Дать пример, когда RM полупрост и плосок, но не инъективен.
15. а) Показать, что абелева группа тогда и только тогда плоска, когда она
является группой без кручения.
Ь) Привести пример плоской, но не проективной абелевой группы.
16. Назовем модуль RM регулярным, если каждый его циклический подмодуль
является прямым слагаемым. Доказать следующие утверждения:
a) В регулярном модуле каждый конечно-порожденный подмодуль является
прямым слагаемым.
b) Для произвольного семейства (М; lie/) регулярных проективных ^-моду-
^-модулей модуль М= Ц Mi—также регулярен (и проективен). (Указание. Дока-
жите это утверждение сперва для | / | = 2.)
c) Справедливо ли утверждение Ь) без дополнительного предположения
о проективности?
d) Если R нётерово слева или R/rad(R) полупросто, то каждый регулярный
левый /?-модуль полупрост.
17. Пусть /?—-кольцо, М — /?-модуль и S = End(M). Показать, что
a) S регулярно <=^> Va e S [im (a) и ker (a) — прямые слагаемые в М\\
b) R регулярно г^ каждый проективный /?-модуль регулярен;
c) R регулярно ДМ проективен и конечно-порожден => S регулярно;
d) R регулярно => Мп (R) регулярно (Мп (/?) — кольцо квадратных матриц
порядка п над R)
18. Доказать, что для коммутативного кольца R следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) R регулярно;
B) каждый (циклический) идеал I С* R идемпотентен (т. е. /2 = /);
C) каждый однородный идеал' первичен;
D) каждый однородный идеал максимален;
E) каждый (циклический) А?-модуль М является модулем без радикала (т. е.
rad(M)=0);
@) каждый простой /?-модуль инъективен.
19. Пусть G —конечная группа и Т — кольцо. Показать, что групповое кольцо
GT регулярно тогда и только тогда, когда Т регулярно и порядок группы G
обратим в Т
'Идеал / кольца R называется однородным, если однороден модуль (R/I)R
(см. 6.6.1). — Прим. перев

11. Полусовершенные модули
и совершенные кольца
Исторически в структурной теории некоммутативных колец
и модулей первоначально изучались конечномерные алгебры. При
этом важным вспомогательным средством служила имевшаяся в рас-
распоряжении теория векторных пространств. Позже—в первую
очередь Эмми Нётер —было показано, что при структурных иссле-
исследованиях во многих вопросах можно обойтись условиями на цепи
и что исследовать можно не только кольца и их идеалы, но и
модули. Таким образом получается, в частности, структурная
теория артиновых колец и модулей над такими кольцами.
С этой точки зрения последние достижения в развитии алгебры
представляют собой новый шаг вперед. Новые понятия, в част-
частности категорные и гомологические понятия, такие как проектив-
проективность, инъективность, плоскостность, гомологическая размерность
и т. д., дают поводы и возможности развивать структурную
теорию дальше в различных направлениях. Мы уже познакоми-
познакомились, например, с теоремами о разложении инъективных моду-
модулей над нётеровыми и артиновыми кольцами. Теперь мы потре-
потребуем существования проективных оболочек у определенных модулей
и при этом предположении естественным способом разовьем
структурную теорию для одного класса модулей (и колец),
строго содержащего класс артиновых модулей.
В этом введении нельзя отразить все результаты этой главы,
но все же хотелось бы привести один особенно яркий результат,
служащий хорошей иллюстрацией последующих рассмотрений.
Теорема (X. Басе, 1960). Для кольца R следующие условия экви-
эквивалентны:
A) каждый модуль MR обладает проективной оболочкой {т. е.
существует эпиморфизм |: Р -*¦ М с проективной областью опре-
определения Р и косущественным ядром в Р);
B) каждый плоский правый R-модуль проективен;
C) R удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для цикли-
циклических левых идеалов;
D) каждый ненулевой левый R-модуль имеет ненулевой цоколь и
RR удовлетворяет условию минимальности для прямых слагае-
слагаемых;

268 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
E) кольцо R/rad (R) полупросто и радикал rad (R) t-нильпотен-
тен' слева, т. е. для каждой последовательности аи а2, ая, ...
элементов а, е rad (R) существует такое 4eN, что akak-\.. .at =
= 0.
Кольцо, удовлетворяющее этим эквивалентным условиям, назы-
называется совершенным справа. Согласно E), каждое артиново слева
или справа кольцо совершенно справа. Особенный интерес пред-
представляют для нас условия A) и B), ибо они позволяют ответить
на два вопроса, поднятые нами ранее. В целом теорема приме-
примечательна тем, что „внешние" свойства, такие как A) и B), ока-
оказываются эквивалентными „внутренним", таким как C) и E).
11.1. Полусовершенные модули. Основные понятия
Как мы установили ранее, инъёктивной оболочкой обладает
любой модуль, а вот проективной — не всякий. Например, в слу-
случае R = Z проективной оболочкой обладают лишь проективные
(= свободные) Z-модули (причем проективная оболочка изоморфна
исходному свободному модулю). Мы будем предполагать здесь
существование „достаточно многих" проективных оболочек.
Начнем с теоремы, дуальной к теореме 5.6.4, в предположе-
предположении существования проективной оболочки. Само собой разумеется,
эту теорему можно было бы доказать уже в гл. 5, но нам хоте-
хотелось собрать вместе все рассуждения, в которых фигурирует
условие существования проективных оболочек.
11.1.1. Теорема. Пусть модуль NR имеет проективную оболочку.
Если
a: P-+N
— эпиморфизм с проективной областью определения Р, то суще-
существует разложение Р в прямую сумму Р — Р, © Рг, где Р2 с
Cker(a) и
— проективная оболочка.
Доказательство. Если т: Po-*-Л/ —проективная оболочка
для N, то имеет место коммутативная диаграмма
,Р
ж /
У
' t - от transfinite. Заметим, что чаще используют большую букву Т.—
Прим. ред.

11.1. Полусовершенные модули. Основные понятия 269
Так как а —эпиморфизм, то, в силу 3.4.10, P0 = im(x) + ker("r).
Поскольку ker (т) С Ль то P0=im(x), т. е. х —эпиморфизм.
Далее, Ро проективен, поэтому из 5.3.1 следует, что х является
расщепляющим:
Тогда
xx:=x|P,: Р1-*Р0
— изоморфизм. Так как (согласно 5.1.3)
кег(тх,) = х,-'(кег(т))с?Я„
то
тх, = ffi: P, -*• N
— также проективная оболочка для N. Поскольку ker (x) Q ker (а)
и P = P!®ker(x), мы можем взять P2:=ker(x). ?
11.1.2. Следствие. Пусть UQ.P, модуль Р проективен и P/U
имеет проективную оболочку. Тогда существует такое разложение
р = Р1@Р2, что P2U/UCP
Доказательство. Это следует из 11.1.1 при а= v: P-+-P/U. ?
Заметим, что в случае Р2 = 0 мы имеем Р\=Р и P[]U =
= U cj P, т. е. если U не содержит ненулевых прямых слагаемых
модуля Р, то U — косущественный подмодуль в Р.
Если потребовать лишь, чтобы для каждого эпиморфного
образа данного модуля MR существовала проективная оболочка,
то уже это имеет такие интересные следствия, касающиеся строе-
строения М, что мы прежде всего изучим эту ситуацию.
11.1.3. Определение. Пусть R — произвольное кольцо и MR —
правый R-модуль.
(a) М называется полусовершенным, если каждый эпиморф-
ный образ М обладает проективной оболочкой.
(b) M называется модулем с дополнениями, если каждый
подмодуль в М обладает аддитивным дополнением (а. д., см. 5.2.1)
в М.
11.1.4. Следствие. A) Каждый эпиморфный образ полусовершен-
полусовершенного модуля полусовершенен.
B) Каждая проективная оболочка простого модуля полусовер-
полусовершенна.
C) Каждый эпиморфный образ модуля с дополнениями является
модулем с дополнениями.
Доказательство. A) Ясно из определения.
B) Пусть 1: Р->? —проективная оболочка простого модуля
Е. Тогда ker (|) — косущественный и максимальный подмодуль

270 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
в Р. Для произвольного L/Q.P имеем U + ker (I) Q.P и, следова-
следовать ф
тельно, UQ.ker(l). Таким образом, U с$ Р и, значит, P^-P/U—
проективная оболочка для P/U. Таким образом, Р — проективная
оболочка каждого ненулевого эпиморфного образа Р, т. е. Р —
полусовершенный модуль.
C) Пусть С —модуль с дополнениями, y: С^-М —эпиморфизм
и В с; М. Мы утверждаем, что у (у-1 (В)') —а. д. для В в М.
Действительно, положим A'.^y^lB). Поскольку С = А-{-А', то
Пусть также M = B-\-U, где UQ.y(A'). Тогда
Следовательно, каждый элемент у е у^1 (^) может быть записан
в виде
у = х-\-к, где хе Л', ^екег(у).
Отсюда следует, что у(у) = у (х) + Y (^)= Y (х) е ^> а значит,
дсе Y^) Л Л*. В силу того что кег (у) Q. А = у~1(В), имеем
следовательно,
Из минимальности А' вытекает, что у1 (U) (] А'= А'. Отсюда
A' Q.yl(U), т. е. y(A')Q.U. Так как по предположению U Q.
Q.y(A'), то в результате получаем U = y(A'), что и требовалось
доказать. ?
Позже мы покажем, что конечно-порожденный проективный
модуль Р полусовершенен уже тогда, кргда каждый простой образ
Р обладает проективной оболочкой.
Следующее предложение показывает, что изучение проектив-
проективных модулей можно в основном свести к изучению проективных
полусовершенных модулей и что при этом решающую роль играет
существование дополнений.
11.1.5. Теорема. Пусть |: Р-+М — проективная оболочка для
М. Следующие условия эквивалентны:
A) М полусовершенен;
B) Р полусовершенен;
C) Р — модуль с дополнениями.
Доказательство. Мы покажем, что B) => A)=> C)=>B).

11.1. Полусовершенные модули. Основные понятия 271_
„B) => A)". Ясно из определения полусовершенности.
,-,A)=> C)". Пусть AQ. Р. Рассмотрим эпиморфизм
Согласно 11.1.1, существует такое прямое слагаемое Pi С Р, что
аг:=а\Рг: Pi^MH(A)
— проективная оболочка. Мы утверждаем, что Рг — а. д. А в Р.
Действительно, поскольку о(Рг) = М/Ъ(А), то Р — Р1 + кет(а).
Так как ker(a) = ker (vg) = g-^ker (v) = g-1 (| (Л)) = A + ker(g), то
Р = Р1-\- A +ker (|), а поскольку ker (|) с? Р. то Р = Р1+Л. Если
теперь для U Q Рх также имеем Р = ?/+Л, то a(P) = a(P!) =
s= ax (Px) = Ox (U) (ибо a (A) = 0), следовательно,
Pi = or1 (ax (P0)= arl (ax (t/)) = t/ + ker (ax).
Из того что ker (ax) с? Рц следует, что Рг = 11. Тем самым пока-
показано, что Рх действительно является а. д. для А в Р.
„C)=>B)". Пусть о: Р ->- N — эпиморфизм. Положим
L/:=ker(a). Пусть t/'-а. д. U в Р. Согласно 5.2.4, t/* f|t/ =
= U' П ker (а) с? f. Мы покажем, что t/' является прямым сла-
слагаемым в Р и, следовательно, проективен, так что
— проективная оболочка для N.
Пусть U" — a. д. для (/". Мы утверждаем, что P = U' ®U
Действительно, рассмотрим естественный эпиморфизм
v: P = U
и введем обозначения Р:=\(Р), U' :=v(U'), U" :—v(U"). Оче-
Очевидно, Р =U' ®U". Пусть далее л: Р->-1/' — проекция Р =¦
= U'®U" на G". Имеет место коммутативная диаграмма
U~
Поскольку nv = vx9, то nv(t/') = t/' =у1ф({/'), следовательно,
(/' = ф ((/') +ker К). Так как ker (v1) = t/< П^'' С? ?/' (см. 5.2.4),
то U'=if(U'), поэтому P = U' +кег(ф). Из включения кег(ф)С

272 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Q.ker(nv) = U" и минимальности U" следует, что кег(ф) = ?/".
С другой стороны,
U' • = ker (jtv) = ker (vxq>) = ф-1 (ker (vx)) = ф-1 (LT П U").
Так как ф —эпиморфизм, то мы получаем
0 = Ф(?/••) = Фф-1(?/' Л ?/••) = ?/' W,
что и требовалось доказать. ?
11.1.6. Следствие. Кою/сдый проективный артинов модуль полу-
полусовершенен.
Доказательство. Каждый артинов модуль является модулем
с дополнениями. ?
11.1.7. Теорема. Если MR — полусовершенный модуль, то
(a) М является модулем с дополнениями;
(b) Al/rad (M) полупрост;
(c) rad (М) — косущественный подмодуль в М.
Доказательство, (а) следует из 11.1.4 и 11.1.5.
(b) Так как Al/rad (А1) полусовершенен как эпиморфный образ
М, то УИ/rad (М) — модуль с дополнениями. Если Л Q M/rad(M)
и Л' —а. д. для Л в M/rad(M), то
M/rad(M) = A + A< и AftA' c$ M/rad(M),
так что Л П Л' С rad (M/rad (М)) = 0, а следовательно, M/rad (M) =»
= Л©Л'. Таким образом, каждый подмодуль Л выделяется пря-
прямым слагаемым и, значит, Af/rad (M) полупрост.
(c) Пусть |: Р->УИ — проективная оболочка М. Так как
ker (I) с? Р, то ker (%) Q. rad (Р), поэтому, в силу 9.1.5, | (rad (P)) =
= rad(M), так что ввиду 5.1.3 остается только показать, что
rad (Р) с? Р. Рассмотрим эпиморфизм v: P->P/rad(P). Согласно
11.1.2, существует разложение Р = Рх® Р2, такое что Рх f| rad (P) с?
с? Pi и Р2 С rad (P). Из 9.6.4 следует, что Р2 = 0, поэтому
Р = РХ и
rad (Р) = Р П rad (P)cJ P. D
11.2. Поднятие прямых разложений
11.2.1. Определение, (а) Пусть дан гомоморфизм а:А-+М.
Говорят, что разложение
М = 0 М,
IS/

11.2. Поднятие прямых разложений 273
может быть поднято относительно а, если существует такое
разложение
А = 0 Аи
что a(Ai) = Mt для всех is/,
(b) Пусть В Q. А. Говорят, что разложение
А/В - 0 Mt
eel
можно поднять в А, если это разложение может быть под-
поднято относительно v: A-+A/B.
11.2.2. Теорема. Пусть g: Р -> М — проективная оболочка и
М = 0 М{.
lei
Предположим, что для каждого i e / существует эпиморфизм
щ: Ai-*-Mi с проективным Л,- и ker (a,) Q. rad (Л(). Тогда разложение
М= 0 Mi можно поднять относительно |.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
,А :.= Ф Д,
/ %
ф м.
Здесь ф существует, поскольку 1 — эпиморфизм, а А проективен.
Так как ф щ — эпиморфизм, то, согласно 3.4.10,
Р = im (ф) + ker (g).
Поскольку ker(|)c?P, то Я = !т(ф), т. е. ф — эпиморфизм. Так
как Р проективен, то ф является расщепляющим:
Из коммутативности указанной выше диаграммы вытекает,
что ker (ф) С, ker (еа,) = 0 ker (с^) С 0 rad (Л,) = rad (А) (последнее
равенство справедливо в силу 9.1.5). На основании 9.6.4 заклю-
заключаем, что кег(ф) = О, следовательно, ф — изоморфизм. Поэтому
Р = 0 ф (At),
где |ф(Л,) = а;(Л,) = М,-, i'e/. Тем самым показано, что разло-
разложение М = 0 Mi можно поднять относительно |. ?

274 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Из этой теоремы непосредственно вытекают такие следствия.
11.2.3. Следствие. Пусть |: Р -> М — проективная оболочка
полусовершенного модуля М. Тогда каждое прямое разложение М
можно поднять относительно I.
Доказательство. Это следует из 11.2.2, поскольку каждое
прямое слагаемое модуля М обладает проективной оболочкой. ?
11.2.4. Следствие. Пусть модуль Р полусовершенен и проективен.
Тогда каждое прямое разложение полупростого модуля P/rad (P)
можно поднять в Р.
Доказательство. Это следует из 11.2.2, поскольку (в силу
11.1.7) rad (Р) с? Р и каждое прямое слагаемое в P/rad (P) обла-
обладает проективной оболочкой. ?
В качестве частного случая получаем, что для артинова справа
кольца R каждое разложение факторкольца R/rad (R) (как правого
/^-модуля) можно поднять в RR. He имея в распоряжении этих
общих результатов, в литературе указанное поднятие производят
обычно при помощи явных вычислений с идемпотентами.
11.3. Основная теорема о проективных
полусовершенных модулях
Приводимые ниже характеризации проективных модулей весьма
важны как для понимания структуры таких модулей, так и для
решения вопроса, является данный модуль полусовершенным
или нет.
11.3.1. Теорема. Для проективного модуля PR следующие условия
эквивалентны:
(a) Р полусовершенен;
(b) Р — модуль с дополнениями;
(c) Р таков, что
A) P/rad (P) полупрост,
B) каждое прямое слагаемое (P/rad (P))R является образом некото-
некоторого прямого слагаемого модуля PR при гомоморфизме P->P/rad(P),
C) rad (P) с? Р.
В (с) мы привели условие B) в самой слабой возможной форме,
поскольку, согласно 11.2.4, для импликации (а)=>(с) все равно
имеется более сильное утверждение. Так как для приложений
представляет интерес импликация (с) ==> (а), то (с) стоит взять
п возможно более слабой форме.

11.3. Основная теорема • 275
Доказательство, „(а) о (Ь)": Было доказано в 11.1.5.
„(а)=>(с)": Вытекает из 11.1.7 и 11.2.4.
„(с) ==> (Ь)": Обозначим через
v: P^P/rad(P):=P
естественный эпиморфизм. Так как Я ¦ полу прост, то для А С, Р
имеем разложение
Согласно B), существует прямое слагаемое Р., С Р, для которого
v(P2) = F. Мы утверждаем, что Р.2 — а. д. А в Р. Действительно,
из равенства Р = v(Л)зу(Р2) следует, что
P = /l + P2 + rad(P), А П Р2 С rad (Р),
поэтому, в силу того что rad (P) с? Р, имеем
Так как Р2—прямое слагаемое в Р, то согласно 5.1.3 (с)
(с помощью проекции из Р на Р2) получаем, что даже А (] Р2 С? Р2-
Предположим, что для некоторого В Q. Р
Л + 5-Р, ВСР2.
Тогда, в силу закона модулярности,
А[)Р2 + В = Р2,
а значит В = Р2, поскольку А П Р2 С? Р2. ?
11.3.2. Следствие. Пусть R —кольцо.
(I) /<;# полусовершенен <=>
A) ^:= /?)rad(R) полу просто и
B) Зля каждого идемпотента ее/? существует такой идемпо-
тент е е /?, что е = ё.
(II) /?^ полусовершенен о rR полусовершенен.
Доказательство. (I) Согласно 9.2.1, rad (#) с? #/?, так что
условие C) из 11.3.1 (с) выполнено для любого кольца и потому
здесь как условие излишне. Далее, поскольку наше условие A)
совпадает с условием (с) из 11.3.1, то нужно проверить только,
что условия B) из 11.3.1. и 11.3.2 следуют одно из другого.
„==>":_ Пусть е е R -^идемпотент. Согласно 11.2.4, для разло-
разложения RR — eRi>(\ — е) R имеется разложение
RR = eR®(l-e)R,
где е е/? — некоторый идемпотент и

276 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Тогда её = ё, (I — е) (I — ё) = I — ё, а значит е = ё. _
„G=": Каждое прямое слагаемое в RR имеет вид eR, где е е R—
некоторый идемпотент. Если теперь е — идемпотент из R, такой
что ё = е, то eR — прямое слагаемое в RR и eR = eR = eR.
(II) Условия A) и B) из (I) не зависят от стороны. ?
Кольцо R называется полусовершенным, если оно удовлетворяет
(эквивалентным) условиям 11.3.2. В частности, это понятие
в силу (II) не зависит от стороны.
Как было установлено ранее, каждый проективный артинов
модуль полусовершенен. В частности, каждое артиново справа
кольцо RR полусовершенно справа и слева независимо от того,
артиново R слева или нет. Однако существуют полусовершенные
кольца, не являющиеся артиновыми. Если R — локальное кольцо
(см. 7.1.2), то кольцо R/rad(R) является телом, а потому полу-
полупросто, и оно, очевидно, содержит лишь один ненулевой идемпо-
идемпотент—единицу. Следовательно, согласно 11.3.2, R полусовершенно.
Например, кольцо К [[х]] формальных степенных рядов ^
1 = 0
от переменного х с коэффициентами из поля К локально. Его
радикал равен
и не обладает никакими „ниль-свойствами". Отметим, что это
кольцо полусовершенно, но не совершенно (см. § 11.6).
11.3.3. Теорема. Пусть (Pt \ i е 1)—семейство полусовершенных
проективных R-модулей. Модуль
полусовершенен тогда и только тогда, когда rad (P) с? Р.
Доказательство. Согласно 11.3.1, условие rad(Р) с? Р явля-
является необходимым. Чтобы показать, что оно и достаточно, мы
проверим, что выполнены условия A) —C) нз 11.3.1 (с). Прежде
всего, условие C) имеет место по предположению.
A): В силу 9.1.5 (d),
P/rad (P) ?ё © P,/rad (Р,).
Так как, согласно 11.3.1, P,/rad (P,) полупрост для каждого i'g/,
то P/rad (P) полупрост.
B): Мы покажем сперва, что каждый простой подмодуль Е мо-
модуля P/rad (P) обладает проективной оболочкой. Поскольку P/rad (P)
^©P</rad(Pi), модуль Е изоморфен некоторому простому подмоду-
подмодулю Е' модуля 0 P,/rad (Pi). Разлагая каждое Pf/rad (P,-) в прямую

11.3. Основная теорема ' . 277
сумму простых подмодулей и применяя 8.1.2 (Ь), заключаем, что
Е' изоморфен некоторому простому подмодулю модуля P,/rad (Pi).
Так как этот простой подмодуль как прямое слагаемое полусовер-
полусовершенного модуля P,/rad (Р,) имеет проективную оболочку, то и
изоморфный ему модуль Е имеет проективную оболочку.
Пусть теперь дано разложение P/rad(P) = A1®A2. Поскольку
P/rad (P) полупрост, каждое Ак есть прямая сумма простых под-
подмодулей:
Afc= 0 ?/, 6=1, 2.
Если !*: Л/ ->?/ — проективная оболочка, то
«fc:= 0 fj:Ak:= 0 Л/->Л* = 0 Е)
/ejk ,-<=Jk /<=jk
— эпиморфизм с проективной областью определения Ak и так как
ker(|/)c? Л*, а значит ker (g/) С rad^/), то
ker(ocfc) = 0 ker(i/)crad(Лfc), й=1, 2.
Для | = v: P-> P/rad (P) выполнены условия теоремы 11.2.2, и
потому разложение P/rad (Р) = Лх 8 Л2 можно поднять в Р. ?
11.3.4. Следствие, (а) Прямая сумма любого конечного числа
полусовершенных R-модулей является полусовершенным модулем.
(Ь) Если RR — полусовершенен, то каждый конечно-порожденный
R-модуль полусовершенен.
Доказательство, (а) Пусть Мъ ..., Мп полусовершенны и
If. Pi-*-Mh i = l п,
— проективные оболочки- Согласно 11.1.5, Рг полусовершенны,
п п
а по 11.3.3 иР:= 0 Р,- полусовершенен, ибо rad (P) = 0 rad (PA
несуществен в Р как конечная прямая сумма косущественных
подмодулей rad (Р,). Поскольку Р полусовершенен, то и модуль
MxQ...® Мп полусовершенен как эпиморфный образ Р.
(Ь) Согласно (а), каждый конечно-порожденный свободный
модуль полусовершенен, а тогда полусовершенен и любой эпиморф-
эпиморфный образ такого модуля. ?
Дадим теперь интересную характеризацию полусовершенных
модулей, которая сослужит нам позже хорошую службу.
11.3.5. Теорема. Для проективного модуля Р следующие утвер-
утверждения эквивалентны:

278 Гл. П. Полусовершенные модули и совершенные кольца
A) Р полусовершенен;
B) Р удовлетворяет, условиям:
(a) каждый собственный подмодуль Р содержится в некотором
максимальном подмодуле Р и
(b) каждый простой факпюрмодуль модуля Р обладает проективной
оболочкой.
Доказательство. „A)=^B)": Из определения полусовершен-
полусовершенного модуля следует, что выполнено условие (Ь). Докажем (а).
Пусть L/Q.P. Так как P/U полусовершенен, то согласно 11.1.7
Ф.
радикал модуля P/U косуществен и, следовательно, является
собственным подмодулем в P/U. Поскольку радикал есть пере-
пересечение всех максимальных подмодулей, то существует по крайней
мере один максимальный подмодуль модуля P/U, имеющий вид
X/U, где U с, X с Р- Из того что X/U максимален в P/U и Р/Х^
^(P/U)/(X/U), вытекает, что X максимален в Р.
„B)=?A)": Мы проведем доказательство этой импликации
в три шага.
Шаг 1. Покажем, что rad (P) с? Р. В самом деле, если бы имело
место равенство U + rad (P) = P, где UQ.P, то в силу (а) суще-
существовал бы такой максимальный подмодуль XQ.P, что U Q.X.
Отсюда следовало бы, что U + rad(Р) Q ХфР, — противоречие!
Шаг 2. Теперь покажем, что Р j_= P/jad (P) полупрост. Пред-
Предположим противное, т. е. что soc(P)=/=P. Тогда v~1(soc (P)) фР,
где v: Р -*- Р — естественный эпиморфизм. Поэтому, согласно
(а), существует максимальный подмодуль X Q. Р, такой, что
v-1(soc(P)) q. X. Так как, в силу (b), P/X обладает проективной
оболочкой, то по 11.1.2 мы имеем
где Р2 Q. X и Рх П X с? Рь а следовательно, Рх П X с, rad (P).
Отсюда вытекает, что
(•) P = v(P1)®v(X).
Поскольку X максимален в Р (и потому rad (P) q. X), то
Р/Х с* (P/rad (P))/(X/rad (P)) = P/v (X) ^ v (Px)
прост и, значит, v(Pi) Q soc(P) С v(X), в противоречие с усло-
условием (*)!
Шаг 3. Пусть теперь
р= 0 Et, где Et просты.
ii

11.4. Неразложимые полусовершенные модули 279
Для каждого j e /
?) ?ё Я/ 0 EiQ* P/v-110 Ел.
В силу (Ь) существуют проективные "оболочки
а,: Л; + ?/, /<=/.
Так как, очевидно, любой простой модуль, имеющий проективную
оболочку, полусовершенен, то все Ej полусовершенны, а тогда,
согласно 11.1.5, и все А/ полусовершенны.
Для v: P-vP/rad(P) (в роли |) и P/rad (P) = ©?г (в роли /И)
выполнены условия теоремы 11.2.2. Как и в доказательстве тео-
теоремы 11.2.2, получаем, что
ср: А : = в А-, -» Р
является изоморфизмом. Следовательно, Р = 0ср(Лг) —прямая
сумма полусовершенных модулей ср (Л,-). Поскольку rad (Р) с? Р,
то на основании 11.3.3 заключаем, что Р полусовершенен. ?
11.4. Неразложимые полусовершенные модули
Как мы установили в 11.2.4, для каждого проективного полу-
полусовершенного модуля Р# любое разложение полупростого модуля
P:=P/rad(P) в прямую сумму
простых модулей ?,-, i е /, может быть поднято в Р. Это озна-
означает, что если
— канонический эпиморфизм, то существует разложение
р = е Ри
для которого v(Pt)~Ei, /e/.
В силу того что rad (P) = © rad (P,) (см. 9.1.5), имеем rad (P() =
= rad(P)flP,-- Поэтому
Ei = v (Pt) = Pt + rad (P)/rad (P) s^ P,/P,- П rad (P) = P;/rad (P;).
Поскольку Ei прост, то rad (P,) — максимальный подмодуль в Pt.
Сейчас мы хотим изучить проективные модули, у которых
радикал является максимальным подмодулем. Напомним (см. упр. 9
к гл. 6), что модуль MR называется неразложимым в сумму,
если он не представим в виде суммы двух собственных подмоду-
подмодулей. Если MR представим в таком виде, то он называется разло-

280 Гл. П. Полусовершенные модули и совершенные кольца
жимым в суммы (ср. с определением (просто) неразложимости
6.6.1).
11.4.1. Теорема. Пусть Ркф0 проективен. Тогда следующие
условия эквивалентны:
(a) Р неразложим в сумму,
(b) P полусовершенен и неразложим;
(c) rad (Р) — максимальный и косущественный подмодуль в Р\
(A) rad (Р) — наибольший собственный подмодуль в Р;
(е) End (Р#) — локальное кольцо.
Доказательство. „(а)=$(Ъ)": На основании 11.1.5 достаточно
доказать, что Р — модуль с дополнениями. Но в силу (а) каждый
отличный от Р подмодуль в Р имеет Р своим а. д.
„(Ь)=>(с)": Согласно 11.1.7, rad (Р) С Р- Так как модуль
P/rad (P) в силу 11.2.4 неразложим, то он не только полупрост,
но даже прост. Следовательно, rad (P) — максимальный подмодуль
в Р.
„(с) => (d)": Пусть U С,Р, V <? rad (P). Поскольку rad (P) —
максимальный подмодуль, то i/-(-rad (Р) = Р. В силу того что
rad (P) с? Р, имеем U=P. Следовательно, имеет место (d).
„(d)=>(e)": Если ср: Р->Р— эпиморфизм, то он должен быть
расщепляющим, а значит, в силу (d), является автоморфизмом.
Следовательно, если фх, ср2 е End (P#) необратимы, то они не
могут быть эпиморфизмами. Поэтому
im (ф! + ф2) Q im (ф^ + im (ф2) С, rad (P),
так что и сумма ф1 + ф2 необратима, т. е. End (P/?) — локальное
кольцо.
„(е) =>(а)": Если Р = А-\-В, то имеет место коммутативная
диаграмма
v : =
Р/В
Поэтому для у:=1лф, где i^: А->Р — включение, справедливы
соотношения
(ибо х + В = ф (х) + В для всех igP). Так как lP=v + (lp — v)
и так как кольцо End (PR) локально, то либо у, либо 1Р — у

11.4. Неразложимые полусовершенные модули 281
должно быть автоморфизмом, следовательно, либо А = Р, либо
Я=Р. ?
11.4.2. Следствие. Всякий проективный полусовершенный модуль
PR обладает разложением
Р = © Pi,
(el
где модули Р,- удовлетворяют условиям теоремы 11.4.1. Это раз-
разложение единственно в смысле теоремы Крулля — Ремака — Шмидта
7.3.1.
Имея в виду дальнейшие применения, подробно запишем этот
факт еще раз специально для случая колец; при этом мы примем
во внимание 7.2.3.
11.4.3. Следствие. Всякое полусовершенное кольцо R обладает
единственным в смысле теоремы 7.3.1 разложением
RR = e1R®...®enR
со следующими свойствами:
A) еъ .... еп суть ненулевые ортогональные идемпотенты с
1-Х
B) rad (eiR) — наибольший собственный правый идеал в
( ()
C) etR неразложимо в сумму;
D) End (etR) локально и End (е,/?)?^
Доказательство. Ввиду 11.4.2 и 7.2.3, всё непосредственно
ясно, кроме двух следующих фактов, которые имеют место для
произвольного идемпотента ее/?:
„rad (cR) = e rad (/?)": В силу 9.1.5, rad (еЯ) С rad (Я). Из того что
х = ех для каждого x^eR, вытекает, что rad (eR) Q. erad(R).
Обратно, в силу 9.2.1, erad{R) Q.rad(eR).
„End(eR)^eRe": Очевидно, что умножение на данный элемент
еае е eRe индуцирует эндоморфизм
(еае)'\ eR э ег >—* еаег е eR.
Тем самым мы получаем кольцевой гомоморфизм
\|>: eRe э еае >—* (еае)' е End (eR).
\|з — мономорфизм. Действительно, если eaer = eber для всех ег е
ее/?, то при г=\ мы имеем еае = еЬе. Далее, \|з —эпиморфизм.
В самом деле, пусть <xeEnd(e/?). Так как eR — прямое слага-

282 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
емое в RR, то а можно продолжить до эндоморфизма RR, т. е.
до левого умножения на некоторый элемент не R:
причем последнее равенство справедливо, поскольку aer e eR.
Итак, а=(еае)'. П
Пример. Для кольца Ri—Z'nZ, п>1, укажем явно разложение,
существование которого утверждается в 11.4.3. В конце § 9.1
мы определили радикал и цоколь R. Будем использовать обозна-
обозначения, введенные там. Положим
Pi1
Очевидно,
н. о. д. (пи .... «*)= 1.
Следовательно, существуют аи ..., aseZ, для которых
...-\-aknk—\. Отсюда следует, что н.о. д. (я,-, Рд=\-
Покажем теперь, что если
е,-: = а{щ + пЪ е Z/nZ,
то
есть искомое разложение. Прежде всего ясно, что
Далее, поскольку п \ щщ для / Ф /,
e-fij = 0 при / ф).
Умножая равенство e1 + ...4-6ft = l на eit получаем
e} = et.
Поэтому, согласно 7.2.3,
RR = e1R®...eekR.
Ввиду 11.4.1, остается лишь показать, что e,R имеет локальное
кольцо эндоморфизмов. Как следует из определения е,-, кольцевой
гомоморфизм
Z э z н—»¦ eflei = etz e e{Rei
имеет своим ядром /7(m'Z (заметим, что н. о. д. (а,-, уэ,) = 1), следо-
следовательно,

11.5. Свойства ниль-идеалов и /-ннлыютентных идеалов 283
Далее, как было показано в § 9.1,
и в силу изоморфизма
rad (Z/pfiZ) является максимальным идеалом в Z/p'"lZ. Но тогда
и rad (е,#е,) будет максимальным идеалом, а значит наибольшим
собственным идеалом в etRei. Из 11.4.1 следует поэтому, что
e-iRe-i — локальное кольцо.
11.5. Свойства ниль-идеалов и tf-нильпотентных
идеалов
При изучении совершенных колец используются свойства
ниль-идеалов и ?-нильпотентных идеалов, выводом которых мы и
займемся в этом параграфе.
Прежде всего речь пойдет о поднятии ортогональных идемпо-
тентов по модулю ниль-идеала. Напомним, что элемент c^R
называется идемпотентом, если е2 = е. Идеал А из R называется
ниль-идеалом, если каждый элемент а е А нильпотептен, т. е.
существует такое «gN (зависящее, вообще говоря, от о), что
ап = 0. В 9.3.8 было установлено, что каждый ниль-ндеал содер-
содержится в vad(R).
В качестве основы для поднятия идемпотентов докажем сле-
следующее простое
11.5.1. Предложение. Пусть b — произвольный элемент кольца
R и Ro — подкольцо в R, порожденное элементами Is/? и Ь.
(a) Для произвольных т, п е N
#= bnR + A - b)mR + (b- b2) R,
b"R П A - b)mR = bn A - b)mR.
(b) Если элемент b — b2 нильпотентен, то существует такой
идемпотент е е R», что
e = br0, e — b = (b — b2) s0, где r0, so^Ro.
Доказательство (а) Рассмотрим Z[x] —кольцо многочленов
от переменной х с коэффициентами из Z. Имеем
1 - хп - A - х,т е= (х - л:2) Z [х],
потому что х(\—х) — х — х2 делит 1 — х" — A — х)т, ибо х = 0 и
х= 1 являются корнями многочлена 1 — хп — A — х)т. Следова-
Следовательно, существует такой многочлен 2QeZ(x], что

284 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
При кольцевом гомоморфизме Z[x]-*-R0, переводящем х в Ь, это
равенство переходит в равенство
1 = Ьп + A - Ь)т + (Ь - Ь2) г0, го 6= /?о.
Следовательно,
Ro = bnRo + A - b)mRo + (b - b2) Ro,
а также
R = b"R + A - b)mR + F - ft2) /?.
Обратимся к второму равенству из (а). Непосредственно ясно,
что
bn (I - b)mR Q &"# П A - b)mR.
Обратно, пусть
d = bnr = {\- b)ms EibnR{\(\- b)mR {r, s<=R).
Тогда из равенств
следует равенство вида
s = d + feros = fc"r + bros, где ro^Ro-
Подставляя в правую часть вместо s снова эту правую часть,
получаем
s = bnr + br0 (bnr + bros) = bnrx + b2rbs, где гг е /?;
здесь было использовано то, что Rn коммутативно. Повторяя
последовательно эту процедуру, получим после конечного числа
шагов равенство вида s = bnt, где t e ^. Отсюда следует, что
d = (l-b)ms = (\-b)mbnt,
а следовательно d e bn (\ — b)mR, что и требовалось доказать.
(Ь) Пусть (Ь — Ьг)п = О. Тогда (Ь — b2) R» — нильпотентный идеал
в ^о (так как #0 коммутативно), поэтому (Ь — b2) Ro Q rad (Ro) и,
следовательно, идеал (Ь — b2) R» косуществен в ^0- Из равенства
^0 = b"R0 + A - b)nR0 + (b- b2) Ro
следует, что
а поскольку
b"R0 П A - b)nRo = bn{\- b)nR0 = (b- b2)nRu = 0,

11.5. Свойства ниль-идеалов и /-ыильпотентных идеалов 285
то мы имеем даже
В силу 7.2.3 существует такой идемпотент гей, что
eR0 = b"R0, (I - е) Ro = A - b)nR0\.
Значит, e = br0, /-ое/?0- Далее, согласно (а),
е- Ь = A - Ь) - A - е) е bR0 П A - Ь) Ro = (Ь - b2) Ro.
Поэтому e — b = (b — №) s0, s0 e Ro- ?
11.5.2. Определение, (а) Яусть Л Q.RRR и v: R-+R/А—естест-
R-+R/А—естественный кольцевой эпиморфизм. Говорят, что идемпотент е е 7?//4
можно поднять в R, если существует идемпотент ее /?, Зля
которого v (е) = е.
(Ь) Говорят, что множество {ег|ге/} ортогональных идемпотен-
идемпотентов &i e /?//4 можно поднять в R, если существует множество
{«il. е /} ортогональных идемпотентов et e /?, таких что v (e,) =
= ^ Зля всех t e /.
11.5.3. Теорема. Пусть А С^/^ — ниль-идеал. Тогда каждое конеч-
конечное или счетное множество ортогональных идемпотентов е,- е /?/Л
можно поднять в R.
Доказательство проведем по индукции. Начало индукции:
один идемпотент е е R/A можно поднять в R. Пусть снова v:
R-yR/A — канонический эпиморфизм, и пусть элемент fee/?
таков, что v(b) = e. Тогда
v (b - b2) = v (Ь) - v (Ь2) = е - е = О,
а значит b — b2^ ker (v) = А. Согласно 11.5.1 (b) существует такой
идемпотент ее/?, что е — b — (b — b2) s0 e Л. Тогда имеем
О = v (e - b) = v (е) - v (b) = v (e) - е,
следовательно, v (e) = е.
Проведем теперь шаг индукции. Пусть
— конечное или счетное число ортогональных идемпотентов из
R/A, и пусть еъ ..., е„ уже выбраны, как надо. Возьмем се/?,
для которого v (с) = е„+1, и положим
Вследствие ортогональности е1( ...,
eib = bei=Q1 /=1, ..., п,

286 Гл. II. Полусовершенные модули и совершенные кольца
В силу начального шага индукции и 11.5.1 (Ь) найдется такой
идемпотент еп+1, что
v (е„+1) = v (ft) = е„+1, е„+1 = br0 = го&-
Поскольку еф = bet = 0, то
= еп+1е* = 0, i=\, .... n,
чем доказательство и завершено. ?
Перейдем теперь к изучению /-нильпотенгных идеалов. Напом-
Напомним приведенное в начале этой главы определение.
11.5.4. Определение. Множество А элементов кольца R назы-
называется t-нильпотентным слева, соотв. справа, если для
каждого семейства
(аи а2, из, ..-). at^ A>
существует такое ieN, что
akak-i... п\ = 0, соотв.
Очевидно, что каждый ?-нильпотентный слева или справа
идеал является ниль-идеалом. С другой стороны, не каждый
/-нильпотентный идеал нильпотентен. Таким образом, /-нильпо-
тентные идеалы находятся между нильпотентными и ниль-идеа-
лами.
11.5.5. Теорема. Для правого идеала А О. RR следующие условия
эквивалентны:
(a) А t-нильпотентен слева;
(b) всякий модуль MR, удовлетворяющий условию МА = М, равен 0;
(c) для любого модуля MR имеет место соотношение МАс^М;
(d) #(NMc? R[N) (как правые R-модули).
Доказательство. „(а)=}(Ъ)". Предположим, что МА — М
и МФО. Тогда найдутся тх^.М, аг^ А, для которых О
Пусть m1 = ^mia'i. Тогда т^аг = }^m'iaia1=>существует
тг^М, ajE'i. Пусть nh^^mjaj. Тогда m<iaial'?
=> существует т3а3а2а1 Ф 0. Повторяя это рассуждение, получаем
последовательность (аъ а2, а3, ...), at^A, для которой апап^...
... ах Ф 0 при всех heN.b противоречие с ^-нильпотентностью А.
„(Ь):=>(с)": Предположим, что MA + U = M. Тогда (M/U)A =
= M/U =$ M/U = 0 (по предположению) =}U — М, что и требова-
требовалось доказать.

11.5. Свойства ниль-идеалов и f-нильпотентных идеалов 287
„(с) ==> (d)": (d) — частный случай (с).
„(d) =}> (а)": Рассмотрим F := R{ti) как правый Д-модуль с бази-
базисом х\, х2, х3, .... Для данной последовательности (аи а2, а3, ...),
где а,- е А, рассмотрим его подмодуль
00
Очевидно, что FA-\-U = F, поэтому по предположению t/ = F.
В частности, ^еУ и, значит, существует представление
k_
г2 — ал) + х3 (г3 — (
+ ... + xk(rk- dk-jk-x) —
Приравнивая коэффициенты, получаем
а также
.al = O. П
11.5.6. Следствие. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) rad (R) t-нильпотентен слева;
B) радикал каждого проективного правого R-модуля косуществен;
C) /?(N1, рассматриваемый как правый R-моду ль, имеет косуще-
ственный радикал.
Доказательство. „A)=^B)": Эта импликация —частный слу-
случай импликации (а)=?(с) из 11.5.5, ибо, согласно 9.2.1, для
проективных модулей rad(P) = .Prad(#).
„B)=>C)": Очевидно.
„C)=>A)": Ввиду 9.2. l(g) это следует из импликации (d)=? (a)
теоремы 11.5.5. П
Другая интересная характеризация ^-нильпотентных идеалов
получается с помощью аннуляторных условий.
11.5.7. Теорема. Для правого идеала Aq.Rr следующие условия
эквивалентны:
(a) А t-нильпотентен слева;
(b) всякий модуль RM, для которого1 хм(А) = О, равен 0;
(c) для каждого модуля RM
* Напомним \о.ч. упр. 24 к гл. 5), что tM(A) = {т | т е М Д Лт = 0}.—
Прим. перев.

288 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Доказательство. „(а)=>(Ь)": Предположим, что гж(Л)*»0 и
МФО. Тогда для каждого О^яеМ найдется такое аеЛ,
что атфО. Поэтому для фиксированного О Ф т0 e M по индукции
строится последовательность (alt а^, а3, ...), щ е А, такая что
а„а„-1 ... а^ШофО для каждого beN, а следовательно, апап-х...
... агфО для каждого bgN, в противоречие с условием ^-ниль-
^-нильпотентности А.
„(Ь)=>(с)": Если для XQ.M
то гх(Л) = 0, а значит Х = 0.
„(с) =$ (а)": Проверим, что выполнено условие 11.6.6 (Ь).-
А именно, покажем, что МАфМ для MR^0. Для краткости
положим U :—vR(My, U — собственный двусторонний идеал
в кольце R. Далее, рассмотрим
Ясно, что U а Н и
В силу (с), HjU с? R/U, поэтому U а Н и, следовательно, ЛШ т^ 0.
Однако МАН a MU = 0. Отсюда вытекает, что МАфМ. Q
11.6. Совершенные кольца
Приступим теперь к изучению совершенных колец, введенных
в начале главы. Начнем с того, что приведем еще раз их опре-
определение.
11.6.1. Определение. Говорят, что кольцо R совершенно
справа (или что RR является совершенным), если каждый
правый R-модуль обладает проективной оболочкой.
11.6.2. Следствие. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
(a) R совершенно справа;
(b) i?(N> полусовершенно как правый R-модуль',
(c) R полусовершенно и радикал каждого свободного правого R-модуля
косуществен.
Доказательство, „(а) =$ (Ь)": Ясно из определения.
„(Ь) ==> (с)": Как прямое слагаемое в R(r] кольцо R полусовер-
полусовершенно. Согласно 11.1.7 радикал RrN) косуществен, поэтому в силу
11.5.6 радикал каждого проективного /^-модуля косуществен.
„(с) =$ (а)": Если R полусовершенно и радикал каждого сво-
свободного правого /^-модуля косуществен, то согласно 11.3.3 каждый
свободный правый /^-модуль полусовершенен. Поскольку каждый

11.6. Совершенные кольца • 289
правый /^-модуль есть образ свободного правого /^-модуля, каж-
каждый правый модуль является полусовершенным, т. е. R полу-
полусовершенно справа. D
Чтобы иметь пример совершенного кольца, покажем, что арти-
ново справа кольцо совершенно с обеих сторон.
Итак, пусть модуль RR артинов. 'Как было отмечено сразу
после доказательства следствия 11.3.2, каждое артиново справа
кольцо полусовершенно. Поскольку в силу 9.3.10 для каждого
правого и каждого левого /^-модуля М
rad(M)c?M,
двусторонняя совершенность R следует из 11.6.2.
Докажем теперь теорему, приведенную во введении к этому
параграфу; для удобстра читателя повторим ее формулировку.
11.6.3. Теорема. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) R совершенно справа;
B) каждый плоский правый R-модуль проективен;
C) R удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для цикли-
циклических левых идеалов;
D) каждый ненулевой левый R-модуль обладает ненулевым цоколем
и R не содержит бесконечного множества ортогональных идемпо-
тентов;
E) кольцо R/rad(R) полупросто и rad(R) t-нильпотентен слева.
Доказательство. Мы последовательно докажем, что A)=?
=> B) => C) => D) => E) => A).
„A):=>B)": По предположению любой правый /^-модуль и,
в частности, любой плоский правый /^-модуль М обладает проек-
проективной оболочкой. Поэтому, согласно 10.5.3 (с M = P/U), каждый
плоский правый /^-модуль проективен.
„B) => C)": Пусть
Rat ;э Ra2 ^> Ra2 ^> ...
— убывающая цепь левых идеалов в R. Поскольку %ейй|,
существует такое b,+1 e R, что а,Ч1 = &г+1а,-. Положив bi = au по
индукции находим, что
Следовательно, указанную выше цепь можно записать в. виде
Rbi Z> Rbzbt Э Rbabib! Z> ...,
т. е. она однозначно определяется последовательностью b\, b2,
Ьз
Мы покажем в 3 шага, что существуют левый идеал A Q rR
и т е N, такие что
Rbnbn-i ...b1=>Ran = A

290 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
для всех гаЗг/л. Это, очевидно, эквивалентно тому, что исходная
цепь обрывается.
Шаг 1. Рассмотрим модуль fi-^'s^ с базисом
xt := @0 ... 010 ...) A на i-м месте), I'eN,
и его подмодуль
п
В'- 23 (Xi-xi+1bi)QPR.
i= i
Покажем, что F/B — плоский модуль. Для этого, согласно 10.5.2,
нужно показать, что для каждого конечно-порожденного левого
идеала LQ. RR
В [\FL~BL.
Включение BL Q. Вf]FL имеет место всегда. Докажем обратное
включение. Пусть d es В |"| FL, т. е.
d ~ 23 (*' ~ хмЬд г,- = 23 hh. fi s F, U e L.
Так как L —левый идеал, то
d~ 23/Л- 23V/. где 1/sL
Приравнивая коэффициенты, получаем
Отсюда последовательно получаем, что все г,- eL; следовательно,
d<=.BL, что и требовалось доказать.
Шаг 2. В силу условия B), F/B — проективный модуль. Поэтому
эпиморфизм
v: F-+F/B
является расщепляющим, так что F = B®U. Пусть теперь
я: F зЬ + и*-*- и &F, Ъ е В,- ие(/,
— соответствующая проекция F на U С F (с областью значений Л).
Имеем
следовательно, я(xk) = я(jca+i)&*. Полагая zk:= n(лгА), получаем

11.6. Совершенные кольца 291_
отсюда последовательной подстановкой находим, что
'zk = zm+1bmbm-i ... bk, m^sk.
Отметим еще, что поскольку я2 = я, то я (г*,) = 2*,, i^eN.
Мы утверждаем, что для правого аннулятора tR (г*) элемента z*
в R справедлива формула
То что множество, стоящее справа, содержится в vR (г*), следует
из того, что zk = zm+1bmbm-i ... bk- Обратно, пусть гшхк(гк), т. е.
гАг = 0. Поскольку
j, r}mR,
имеет место равенство вида
т
Сравнивая коэффициенты, получаем
Г\ = Гг =: ... = rk-i = О,
Гк+2 = Ьк+1Гк+Ъ
?т == Ьт-1^т-Ъ
О = bmrm.
Производя последовательные подстановки, находим, что
О = bmrm — bmbm-irm^ = ... = bmbm-i ... Ьнг,
чем сделанное утверждение и доказано.
Шаг 3. Пусть zk записываются (как элементы модуля F =
в виде
Рассмотрим левый идеал А кольца R, порожденный коэффициен-
коэффициентами si для гх:
Так как почти все s\ = 0, то А конечно-порожден.
Мы утверждаем, что существует такое т0, что Rbnbn-i '• ¦ • bi= A
для всех п^т0- Установив это, мы, очевидно, завершим дока-
доказательство импликации B) =? C).

292 Гл. 11. Полусовершенные модулн и совершенные кольца
Как было показано на шаге 2,
Ч = Zm+ФтЪт-х ... Ьъ meNl
следовательно, для всех i'eN
s} = sf+ ЬтЬт-х ... bu
откуда вытекает, что
А С, Rbmbm-i ... h, meN.
Докажем, что для достаточно больших т справедливо обратное
включение. Поскольку я = я2, то г/ = л (лу) = я2 (х/) = я (г/), откуда
получаем
(
где h выбрано так, что s} = 0 для j^h; заметим, что из равенства
h
*i= E x'si
/= 1
следует, что
гх = я (гх) = 2 я } 2 22 ^
Сравнение коэффициентов дает
/ = i
Из равенства г, = гл+1ЬлЬл_х ... bf, h^j (шаг 2) получаем
Подставляя это в предыдущее равенство, находим, что
h h ¦
/ = 1 / = 1
Так как, с другой стороны, s} = s?+1ftAbA_x ... Ьх, то
s?+1 ( 2 &A-i • • • b,s)-bhbh.r ... b,j = 0, ieN;
следовательно,
\=i "" ^ ' H h1' Л1

11.6. Совершенные кольца 298
Согласно шагу 2 существует такое то5гп+1, что
bmobmo-l • • ¦ bft+l f У! bh ••¦ b/S) — bhbh-i ... bi = 0.
Это означает, однако, что bmbm-i :.. Ьг е А, а следовательно,
Rbn ... biQ. А для ft ^ т0.
„C) => D)": Пусть О^те^УИ. Нам надо показать, что Rm
содержит простой подмодуль. Допустим противное. Тогда каждый
ненулевой подмодуль модуля Rm содержит ненулевой собственный
подмодуль. Значит, существует бесконечная цепь
Rm .p Rrxm ?>
Ф Ф
Поэтому
Ф Ф Ф
в противоречие с условием обрыва убывающих цепей для цикли-
циклических левых идеалов.
Докажем теперь, что R не содержит бесконечного множества
ортогональных идемпотентов. Пусть еи е2, е3,... — ненулевые орто-
ортогональные идемпотенты в R. Тогда, как мы сейчас покажем,
R^DR(l-e1)iDR(l-e1-ei)^D ...
Ф Ф ф
будет строго убывающей цепью циклических левых идеалов, в про-
противоречие с предположением. В самом деле, поскольку
то
/?A — «ж— ... -en.x)
допустив, что
,A-6!- ... -«„_!) = Г A -в!- ... —еп),
мы после умножения справа на еп получили бы е„ = 0 ^.
„D) => E)": Сначала докажем, что rad (R) ^-нильпотентен слева.
Для этого, в силу 11.5.7, достаточно показать, что для каждого
левого /?-модуля М
tM(rad(R))c*M.
Но всегда
soc{gM)Q.tM(rad(R))
(ибо rad (/?) soc (УИ) С rad (soc(M)) = 0), а по предположению
(M? М

294 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Итак, rad (R) /-нильпотентен слева и, следовательно, является
ниль-идеалом, поэтому из 11.5.3 следует, что R/rad (R) не может
содержать бесконечного множества ортогональных ицемпотентов.
Для дальнейших рассуждений заметим, что левые идеалы
R/rad (R) — это в точности /^-подмодули в R (R/rad (/?)), так что
каждый ненулевой левый идеал кольца R/rad (R) содержит про-
простой левый идеал. Для краткости введем обозначение Т := R/rad(R).
Утверждение. Каждый простой левый идеал Е Q. ТТ является
прямым слагаемым в тТ-
Действительно, так как rad(/?/rad(/?)) = rad(r) = O, то Е не
косуществен в тТ\ следовательно, существует такой подмодуль
A Q. тТ, что Е-\- А —ТТ. Поскольку Е прост, то Е (] А = 0 (в про-
противном случае Е Q. Л => А — Т)\ значит, Е@ А — тТ.
Мы построим сейчас последовательность ортогональных идем-
потентов, которая, как мы установили выше, должна обрываться
после конечного числа шагов. Пусть Ех Q. гТ. Тогда найдется
идемпотент ех, такой что Е\ = Тех и
Если Лх = 0, то тТ прост и всё доказано. Если Лх=/=О, то по
предположению найдется простой левый идеал Е2 С Лх. Пусть
гГ = Я2®1/2: В силу закона модулярности имеем Лх = ?2© (Лх П ^а)-
Полагая Л2: = Лх Л U2, находим, что
гГ=?'1©?'а©Л2.
Повторно применяя это рассуждение, получаем последователь-
последовательность разложений
ГГ = ?'1© ...©?„©Л„, . п=1, 2, 3, ....
где
Л„_1 = ?Я©Л„, « = 2, 3
Она обрывается, лишь если появится Л„ = 0. Но тогда ТТ полу-
полупрост и доказательство закончено.
В силу 7.2.3 этой последовательности разложений отвечает
последовательность ортогональных идемпотентов
еи ..., еп, ап, п = 1, 2, 3
где
ап-1 = еп + а„, п = 2, 3, ...
(т. е. при разложении aB_x в сумму идемпотентов еп и ап преды-
предыдущие ортогональные идемпотенты еъ ..., en-i не изменяются!).
Как мы уже установили, последовательность еъ е2, е3, ... должна
обрываться, поэтому обязательно встретится ап = 0, а значит
Л Г 0

11.7. Теорема Бьёрка •__ 295
„E)=>A)": В силу 11.3.2 и 11.5.3 кольцо R полусовершенно.
Согласно 1L5.6, для каждого свободного правого /?-модуля FR
Из 11.3.3 следует тогда, что каждый свободный правый ^-мо-
^-модуль является полусовершенным. Но это означает, что RR
совершенно. Тем самым доказательство теоремы 11.6.3 полностью
завершено. ?
Кольца, описанные в этой теореме, интересны со многих
точек зрения. В дальнейшем мы неоднократно будем возвра-
возвращаться к ним. Заметим еще раз, что для каждого правого R-mo-
дуля над совершенным справа кольцом имеют силу все утверж-
утверждения о полусовершенных модулях. В частности, любой проектив-
проективный модуль над таким кольцом обладает разложением, описанным
в 11.4.2 (однозначным в смысле теоремы Крулля —Ремака —
Шмидта).
11.6.4. Следствие., Для полусовершенного справа кольца R
(a) каждый нётеров левый R-модуль артинов;
(b) каждый артинов правый R-модуль нётеров;
(c) если модуль RR нётеров, то он и артинов.
Доказательство, (а) Пусть RM нётеров. Тогда любой его
подмодуль и любой фактормодуль также нётеровы. Следовательно,
цоколь любого фактормодуля М конечно-порожден. Так как,
согласно 11.6.3D), цоколь произвольного левого /?-модуля является
существенным подмодулем, то, в силу 9.4.4, RM артинов.
(b) Пусть MR артинов и f/q. MR. Тогда 0 артинов и, следо-
следовательно, U/rad (U). полупрост и артинов, а потому конечно-по-
конечно-порожден. Так как R совершенно справа, то (по 11.1.7) rad (?/) с? f/,
откуда следует (по 9.4.1), что U конечно-порожден. Но это озна-
означает, что модуль М нётеров.
(c) Согласно 9.3.7, rad (R) нильпотентен. Поскольку, кроме
того, кольцо R/rad (R) полупросто, наше утверждение вытекает
из 9.3.11. - ' D
11.7. Теорема Бьёрка
Согласно теореме 11.6.3 кольцо совершенно справа тогда и
только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убываю-
убывающих цепей для циклических левых идеалов. Естественно возни-
возникает вопрос, а не будет ли кольцо в этом случае удовлетворять
также условию обрыва убывающих цепей для конечно-порожден-
конечно-порожденных левых идеалов. Оказывается, что, действительно, так оно и
будет. Это вытекает из следующей теоремы, принадлежащей
Й.-Э. Бьёрку [32].

296 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
11.7.1. Теорема. Пусть R — произвольное кольцо. Каждый R-mo-
дуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей для цик-
циклических подмодулей, удовлетворяет этому условию также и для
цепей конечно-порожденных подмодулей.
Доказательство. Напомним, что условие обрыва убывающих
цепей для циклических, соотв. для конечно-порожденных, подмо-
подмодулей эквивалентно условию минимальности для циклических,
соотв. для конечно-порожденных, подмодулей. Ради краткости
обозначим условие обрыва убывающих цепей для циклических,
соотв. для конечно-порожденных, подмодулей через (Ц), соотв.
через (К). Доказательство проведем для правых /^-модулей.
Разобьем его на несколько шагов.
Шаг 1. Утверждение. В множестве подмодулей произвольного
модуля, удовлетворяющих условию (К), существует максималь-
максимальный элемент.
Доказательство проводится с помощью леммы Цорна. Пусть
М — произвольный модуль и Ш — множество подмодулей в М,
удовлетворяющих условию (К)'. Ясно, что 0е§. Упорядочим Ш
по включению. Пусть &С'фф — цепь из Ш. Тогда
V:= I) U
VSfC
— верхняя грань для &С в Ш. Действительно, если иъ р2,..., vn<=V,
то (поскольку &С — цепь) найдется U е 3%, для которого vu v2,...
..., чЛе(У. Следовательно, каждый конечно-порожденный подмо-
подмодуль в V содержится уже в некотором (/еж, и потому каж-
каждая убывающая цепь конечно-порожденных подмодулей в V содер-
содержится уже в некотором U e &C. Значит, она обрывается. Таким
образом, и в самом деле V &.Ш.
По лемме Цорна в Ш существует максимальный подмодуль
A Q. М. Если А = М, то всё доказано. Поэтому в дальнейшем мы
считаем, что А — собственный подмодуль в М.
Шаг 2. Пусть теперь MR — модуль, удовлетворяющий усло-
условию (Ц). Поскольку A Q. М, то множество циклических подмо-
подмодулей mR, meM, для которых mRcfcA, непусто. По условию
в этом множестве найдется минимальный элемент y0R.
Мы утверждаем, что Uo:— A-\-y0R удовлетворяет условию (К),
в противоречие с максимальностью А.
Действительно, рассмотрим произвольную убывающую цепь
иг ^> иг ^d U3 ^d ...
конечно-порожденных подмодулей в Uo. Если Ui Q. А для неко-
некоторого i, то по предположению относительно А эта цепь обры-
* <?—от endlich erzeugte (конечно-порожденный). — Прим. ред.

11.7. Теорема Бьёрка •_ 297
вается. Поэтому допустим, что (/,• <?. А для всех г = 1, 2
Тогда в каждом (/,• существует циклический подмодуль uR, такой
что uR ф А. По предположению и среди таких подмодулей, удов-
удовлетворяющих условию uR qt А, найдется минимальный цикличе-
циклический подмодуль yiRczUi. Пусть для каждого i—l, 2, ... за-
зафиксирован такой элемент у,.
Шаг 3. Утверждение. Если ?/; = Л; + г/,/?, где At Q. А, то ?/,=»
= Л,--ft/,,,/? для г = 0, 1, 2
Поскольку !ii-i^UlriQ.Ui,TO yui = a-j-ytr, где а<=А, rei?.
Из того что yixl<? А, вытекает, что также ytr ф А и, следова-
следовательно, ytrR<f.A. Так как у,/? —минимальный циклический под-
подмодуль в (/,-, удовлетворяющий условию uRqtA, то yirR — yiR;
следовательно, найдется r'<=R, для которого ytrr' = yt. Тогда
yitlr' = аг' + у{гг' = ar' + yit а значит yi = — ar' + yi+1r', где ar' e
е Л,-. Учитывая, что г//+1 е (/,-, получаем (/(= Лг + t/?JR = At + yi+iR.
Шаг 4. Докажем по индукции, что
U,= At + y,R, i-l, 2, 3, ....
где
A iD A; iD Л(+1 и Лг конечно-порождены.
По условию каждый подмодуль (/iri, г = 0, 1, 2, ..., конечно-
порожден; пусть vlt ..., у„ —система образующих для (/г+1. Пусть
уже доказано, что Ut = At + ytR, где Л/ Q. А. Тогда, в силу
шага 3, Ui+1 Q. (/х = Л, + yt+iR- Следовательно, fy = О/-f i//+1r;-, где
aj^Ai, rf^R. Отсюда а] = ь1 — умг1 и, значит, а„ ...,а„,
«//+1 —система образующих для t/i+1. Таким образом, можно взять
Л;+1 : = fli/? + ... + a«/?. Для того чтобы начать индукцию, в нашем
распоряжении имеется равенство Uo = A-\-yuR.
Шаг 5. Так как Л удовлетворяет условию (К), то цепь
Лх .р Л2 .Р Л3 iD...
обрывается. Следовательно, найдется ft, для которого
Ап=Ап^, /=1, 2, 3, ....
Тогда
и по индукции мы получаем, что Un = Un+i, i=l, 2, 3, Зна-
Значит, и цепь
обрывается. Тем самым утверждение, высказанное на шаге 2,
доказано, и доказательство теоремы Бьёрка завершено. ?

298 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
11.7.2. Следствие. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) R совершенно справа;
B) каждый левый R-модуль удовлетворяет условию обрыва убываю-
убывающих цепей для конечно-порожденных подмодулей.
Доказательство. „A)=> B)"' Каждая убывающая цепь цик-
циклических подмодулей данного модуля RM может быть записана
в виде
Rm i2 Rr^tn
Так как, согласно 11.6.3, RR удовлетворяет условию (Ц), то цепь
R Z> Rri
стабилизируется, следовательно, и предыдущая цепь тоже стаби-
стабилизируется. Таким образом, RM удовлетворяет условию (Ц),
а потому, в силу 11.7.2, и условию (К).
„B)=>A)": По предположению RR удовлетворяет условию (К),
а значит и (Ц); следовательно, в силу 11.6.3, имеет место A). ?
11.7.3. Следствие. Если R — совершённое справа кольцо и В — дву-
двусторонний идеал в R, то факторкольцо R/B также совершенно
справа.
Доказательство. Согласно 11.7.2, R(R/B) удовлетворяет усло-
условию (Ц). Так как В — двусторонний идеал, то R/B является также
левым /?/В-модулем и подмодули в R(R/B) совпадают с подмо-
подмодулями в R/b(R/B). Значит, и r/b(R/B) удовлетворяет условию (Ц).
Поэтому, согласно 11.6.3, R/B совершенно справа. П
Очевидно, что в этом доказательстве использовалась не сама
теорема 11.7.1, а лишь ее следствие 11.7.2, да и то для усло-
условия (Ц). Существенных приложений теоремы 11.7.1, в которых
используется не только условие (Ц), но и условие (К), пока нет.
Упражнения
1. Пусть # —область целостности с полем частных К- Показать, что
a) если R не является полем, то /^-модуль К не обладает проективной обо-
оболочкой;
b) если R нелокально и М„ неразложим в сумму, то М„ не обладает проек-
проективной оболочкой;
c) если R нелокально и MR полусовершенен, то М = 0.
2. а) Доказать, что если А и А® В имеют проективные оболочки, то и В обла-
обладает проективной оболочкой.
Ь) Пусть R — область целостности, имеющая ровно п максимальных идеалов
(п;>=2). Показать, что
A) Я-модуль М := R/таА (R) полупрост и имеет 2" подмодулей;
B) лишь два подмодуля в М обладают проективной оболочкой.

Упражнения • 299
3. Пусть R— локальное кольцо главных идеалов без делителей нуля
не являющееся полем, и M = MR. Показать, что
a) М обладает проективной оболочкой тогда и только тогда, когда он предста-
представим в виде прямой суммы проективного и конечно-порожденного ^-модулей.
b) M полусовершенен тогда н только тогда, когда он конечно-порожден.
(Указание. Поле частных счетно-порождено к#к Я-модуль.)
4. а) Привести пример модуля с дополнениями М, имеющего подмодуль,
не являющийся модулем с дополнениями.
b) Если /И = Л + В, где А и В — модули с дополнениями, то и сам М — мо-
модуль с дополнениями.
c) Если М конечно-порожден и любой максимальный подмодуль обладает
а. д., то М — модуль с дополнениями.
5. A) Показать, что для модуля MR с rad (М) Ф М следующие условия экви-
эквивалентны:
a) М неразложим в сумму;
b) Для каждого X Q. М фактормодуль М/Х неразложим;
c) rad (М) — максимальный и косущественный подмодуль в М;
d) rad (M) — наибольший собственный подмодуль в М;
e) для каждого те М либо mR С? М, либо mR = M.
B) Пусть М Ф О — полусовершенный модуль и \: Р -*¦ М — проективная обо-
оболочка. Доказать, что М удовлетворяет эквивалентным условиям из A) тогда
и только тогда, когда он удовлетворяет эквивалентным условиям из 11.4.1.
6. A) Показать, что проективный модуль Р„ полусовершенен справа тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет следующим двум условиям:
A) каждый некосущественный подмодуль содержит ненулевое прямое слагаемое;
(ii) каждый подмодуль содержит максимальное прямое слагаемое.
B) Показать, что конечно-порожденны"! модуль М со свойством (ii) удовлет-
удовлетворяет условию максимальности для прямых слагаемых.
7., Доказать, что для проективного модуля PR следующие условия эквива-
эквивалентны:
a) кольцо S: = End (PR) полусовершенно;
b) P полусовершенен и удовлетворяет условию максимальности для прямых
слагаемых:
c) Р полусовершенен и конечно-порожден.
8. A) Показать, что для кольца R следующие условия эквивалентны:
a) каждый конечно-порожденный правый идеал обладает а. д. в RR;
b) каждый циклический правый идеал обладает а. д. в RR\
c) # = #/rad (R) — регулярное кольцо и для каждого идемпотента ее/? су-
существует идемпотент ее/), такой что <?=е.
B) Если RR инъективно, то R удовлетворяет эквивалентным условиям из A).
C) Кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет
эквивалентным условиям из A) и не содержит бесконечного множества орто-
ортогональных идемпотентов.
9. Показать, что всякий двусторонний идеал А кольца R, f-ннльпотентный
слева и справа и конечно-порожденный как левый или правый идеал, является
нильпотентным.
10. Для данного кольца R рассмотрим левый /^-модуль
R, Q/Z).

300 Гл. 11. Полусовершенные модули и совершенные кольца
Доказать следующие утверждения:
a) „/С — ннъектнвный кообразующий.
b) Правый идеал А С, RR тогда и только тогда <-ннльпотентен слева, когда

с) Если KN обладает существенным цоколем, то радикал кольца R <-ниль-
потентен слева. Привести пример, показывающий, что обратное неверно.
П. Пусть R — кольцо. Показать, что
a) радикал проективного модуля PR косуществен тогда и только тогда, когда
P/rad(Р) обладает проективной оболочкой как правый ^-модуль;
b) радикал кольца R тогда и только тогда ?-нильпотентен, когда правый
/?-модуль (R/rad (/?))'N) обладает проективной оболочкой;
c) R совершенно справа тогда и только тогда, когда каждый полупростой
правый /^-модуль обладает проективной оболочкой.
12. Доказать, что если /?<N) выделяется прямым слагаемым в RN (как правом
/?-модуле), то R совершенно справа. (Указание. Пусть Rax JD Ra2 ^Э ... — убы-
убывающая цепь циклических левых идеалов, &1:=а1, &,-+iat = ai+i и
г*:=@ 0, bk, bk+lbk, ЬшЬк^Ьь ...)ezRs,
где bk стоит на k-м месте. Покажите, что
A) г1 = (а1, а2, ..., ак, 0, ..¦) + гк+хак для всех ?s=N;
B) если разложить z^ = u^ + yft e/?<N) Ф V = /?N, то fi = f*+ia* для всех
ft ^= IN J
C) если координаты ии начиная с m-ro места, равны нулю, то Ram =
= Ram+1 = ....)
13. Пусть К. — поле, V—векторное пространство над К со счетным базисом
Ху, х2, ... и S:=End^(V). Далее, пусть
У0:=0, Vn:= 2 xtK. n^l.
Положим
N := {/ е S ! dim (im (f)) <oo/\f (Vn+l) с Vn для всех п ^ 0}.
Доказать, что
A) N — подгруппа в S, удовлетворяющая условию N^cN;
B) N /-нильпотеитна слева, но не справа;
C) если А с S — подкольцо умножений на скаляр, то R := А + N — подкольцо
в S, для которого rad(#)=/V и #/rad (R) ^ К (как кольца);
D) R — локальное кольцо, которое совершенно справа, но не совершенно слева;
E) soc(^) = 0.
(Указание. Покажите вначале, что Is(N) = 0.)
14. Доказать, что кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда кольцо
эндоморфизмов модуля F^ = /?(N' регулярно. (Указание. Докажите вначале, что
End (FK) регулярно =$ R совершенно справа, а затем воспользуйтесь тем
фактом, что В из доказательства теоремы 11.6.3 является образом некоторого
подходящего эндоморфизма модуля F.)

12. Кольца с полной дуальностью
12.1. Введение и формулировка основной теоремы
Кольцо R называется кольцом с полной дуальностью, если пра-
правые и левые /?-модули обладают теми же свойствами дуальности,
что и векторные пространства, т. е. наилучшими возможными
свойствами дуальности. При этом конечномерным векторным про-
пространствам соответствуют конечно-порожденные или конечно-ко-
порожденные /?-модули.
Возникает вопрос об описании колец с полной дуальностью.
Этим вопросом впервые занимался Ж. Дьёдонне, решивший его
для случая артиновых колец A958 г.). Здесь мы рассмотрим его
для случая произвольных колец. Для того чтобы можно было
сформулировать ответ (см. 12.1.1), нужно предварительно ввести
некоторые понятия.
Пусть R — произвольное. кольцо. Напомним (см. 3.8.2), что
под дуальным к данному модулю MR понимается модуль
, RR),
причем в соответствии с определением
М* является левым /^-модулем. Если М = цМ — левый /?-модуль,
то М* будет правым /?-модулем, в соответствии с определением
(фг) (т): = ф (т) г, или (т) (фг): = ((т) ф) г
(в зависимости от того, .с какой стороны записываются гомомор-
гомоморфизмы — слева или справа от аргумента).
Для каждого A Q Mr определим ортогональное дополнение А°
к А в М* формулой
Как легко видеть, A°QRM*.
Обратно, для каждого X с, RM* положим
Очевидно, XL Q. Mr.

302 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
Для каждого модуля MR существует гомоморфизм
Фм: MR-+M%\
определенный следующим образом: ¦
=<Р(т), т<=М, <р<=М*.
В идеальной случае Фм —изоморфизм и тогда модуль М назы-
называется рефлексивным (см. 3.8.3). Как хорошо известно, каждое
конечномерное векторное пространство рефлексивно.
Мы сформулируем сейчас основные результаты этой главы.
Они будут служить нам путеводной нитью в последующих рас-
рассуждениях, в ходе которых мы шаг за шагом докажем эти резуль-
результаты. В приводимой ниже формулировке под /^-модулем пони-
понимаются как правые, так и левые ^-модули.
12.1.1. Основная теорема. Следующие свойства кольца R экви-
эквивалентны:
A) каждый конечно-порожденный R-модуль рефлексивен;
B) каждый циклический R-модуль рефлексивен;
C) каждый конечно-копорожденный R-модуль рефлексивен;
D) для каждого R-модуля М и каждого подмодуля А в М спра-
справедливо равенство A = A°L;
E) RR и RR — /сообразующие;
F) RR — кообразующий, a RR — инъективен;
G) RR — кообразующий, a RR — инъективен;
(8) RR и RR инъективны и для каждого простого R-модуля су-
существует изоморфный ему идеал в R1.
12.1.2. Определение. Кольцо, удовлетворяющее условиям 12.1.1,
называется кольцом с полной дуальностью.
12.1.3. Следствие. Если кольцо R является кольцом с полной
дуальностью, то оно полусовершенно и RR, а также RR конечно-
копорождены.
В основной теореме условия A) —D) выражены в терминах,
относящихся к дуальности, а в условиях E) —(8) речь идет
о свойстве быть кообразующим и свойстве инъективности.
Следствие означает, что в случае колец с полной дуальностью
можно использовать все результаты о полусовершенных кольцах
(из гл. 11) и о конечно-копорожденных модулях.
В дальнейших рассуждениях будут доказаны не только вспо-
моРательные утверждения, используемые для получения указан-
указанных выше основных результатов, но и теоремы, представляющие
самостоятельный интерес, а также результаты, которые нам по-
понадобятся в следующей главе.
< Последнее свойство получило в литературе имя автора.

12.2. Свойства дуальности 808
12.2. Свойства дуальности
Пусть # — произвольное кольцо и /: Ar-+Mr — произвольный
/^-гомоморфизм. Определим отображение
Г: RM*-+RA*
формулой
Поскольку /*(/-i<Pi + ra<pa) - {ГгЩ + г2ц>2) f — гх (ф^ + гг (ф2/)
= Ы* (фО + ^г/* (фг). то /* является ^-гомоморфизмом; этот го-
гомоморфизм называется дуальным к /. Некоторые простые свой-
свойства дуальных гомоморфизмов собраны в следующем утверждении.
12.2.1. Утверждение. Пусть fi AR-*-MR, f0: MR-*-AR u g:
Mr -*¦ WR — гомоморфизмы. .
(a) (g/)* = /V. w=iA=>f*/;«ia = u..
(b) / — эпиморфизм => /* — мономорфизм.
(c) Если RR инъективен, тоf — мономорфизмуf* —эпиморфизм.
(d) Если Rff — кообразующий, то f* — мономорфизм ¦=$ f — эпимор-
эпиморфизм, /* — эпиморфизм =э / — мономорфизм.
(e) Если
— расщепляющая точная последовательность (см. 3.9.1), то
— также расщепляющая точная последовательность.
(f) Если RR инъективен, то для всякой точной последователь-
последовательности
0 _* Д Хм-*•№-* 0
последовательность
также точна.
Доказательство. (a) (gf)* (ю) = ю(gf) = (<ае)f = /¦ (<ье) =
/* (8* И) = (/*§*)« =* (gf)* =</У •
1J (а) -а1А = а = Ц. (а) => Ц.= 1Л. => (/,/)• =/•/?= 1^ = 1Л..
(Ь) Из /* (ф) = ф/ = 0 следует, что ф (/ (т)) = 0 для всех т е М.
Если / — эпиморфизм, то ф(М) = 0 и, следовательно, ф = 0.

304 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
(с) Пусть дано аеА*. Поскольку RR инъективен, существует
такое <реМ*, что а=ф/ = /*(ф):
i
А
R
(d) Пусть /* —мономорфизм, т. е. из /*(ф) = ф/ = 0 следует,
что ф = 0. Предположим, что / не эпиморфизм. Так как RR — ко-
образукщий, то существует те (M/im(/))*, хфО. Пусть v: M->-
-*- M/im (/) — канонический эпиморфизм. Тогда ф:=тгеМ*,
Ф =? 0 и ф (im (/)) = 0; значит ф (/) == 0, а потому /* (ф) = 0, т. е.
Пусть /* — эпиморфизм. Предположим, что f не является мо-
мономорфизмом. Так как RR — кообразующий, то существует такое
ае!*, что a (ker (/)) Ф 0. Если феМ*, где а = /* (ф) = ф(/), то
Офа(ker(/)) = ф(/(ker(/))) = 0 t-
(e) Так как последовательность является расщепляющей, то
(согласно 3.9.3) существуют такие гомоморфизмы /0: М->/4,
ge: W-^-M, что /о/=1д, ggo= lw- Отсюда в силу (а) вытекает,
что
Следовательно, /* — эпиморфизм, a g*-мономорфизм и в после-
последовательности
и im(g*), и кег (/*) — прямые слагаемые в М*.
Осталось доказать точность в месте М*; здесь нам понадо-
понадобится только точность исходной последовательности, а не то, что
она является расщепляющей. Из gf — O следует, что
= «?/ = 0 ДЛЯ всех сое W*;
стало быть, im (g*) Q ker (/*). Пусть /* (ф) = ф/ = 0, т. е. ф (/ (т))
= 0 для всех me M. Тогда
ker (g) = im (/) С, ker (ф).
Согласно 3.4.7, в диаграмме
M
Д
/
/со

12.2. Свойства дуальности 305
существует ве!7*, такое что ф = <а# = ?* (ю). Следовательно,
' ker(/*)Cim(?*).
(f) В силу (b), g* —мономорфизм, а в силу (с), /*—эпимор-
/*—эпиморфизм. Как и в предыдущем пункте,-отсюда вытекает, что
imfe*) = ker(/*). D
Аналогичные утверждения, разумеется, имеют место при пере-
перестановке сторон.
Применим теперь предыдущие рассуждения к гомоморфизму
Фж: MR-»M%*.
Мы получим гомоморфизм
Ф*м: RM***-+RM*, где Ф^(т) = тФж, теМ***,
Далее, рассмотрим гомоморфизм
Фм.: RM*-+RM***.
12.2.2. Предложение. Пусть R — произвольное кольцо и Mr —
произвольный правый R-модуль.
(а) ФйФЛ« = 1л*.
и, следовательно,
Фм* — мономорфизм,
Ф% — эпиморфизм,
(b) Если Фм —эпиморфизм, то Фм» — изоморфизм, т. е. модуль
М* рефлексивен.
(c) Для произвольного гомоморфизма /: AR-+MR диаграмма
Ф
'А
ф*
коммутативна.
(d) Лд является кообразующим тогда и только тогда, когда Фм
для каждого модуля MR — мономорфизм.
(e) Пусть RR и RR инъективны. Тогда для каждой точной после-
последовательности

ЗОв Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
последовательность
также точна и диаграмма
0-
¦м-
¦ w-
Ф
'м
к И,
О *~А** *~M**-Z—i
коммутативна.
Доказательство, (а) Пусть феМ*. Тогда
(ФмФм*) (ф) = Фм (Фм* (ф)) = Фм* (ф) Фм-
Поэтому для me M
(Фж. (Ф) Фм) (т) = Фм. (ф) (Фм (т)) = Фм (т) (ф) = ф (т).
Следовательно, (Ф^Фм*) (ф)=Е=ф, а значит Ф%ФМ.— \М,.
(Ь) Если <bM — эпиморфизм, то, как следует из 12.2.1 (Ь),
Фм —мономорфизм. Тогда, в силу (а), Ф^ — изоморфизм и Фм.—
обратный ему изоморфизм,
(с) Для йеАифеМ*
)) (
(/)(«)) (Ф).
Следовательно, /**Фд = Фл1/-
(d) Из ФЛ1(т) = 0 вытекает, что ф(т) = О для всех <реМ* и,
значит,
те (~| ker(ф).
Если Rr — кообразующий, то
П кег(ф) = О,
поэтому т = 0. Обратное очевидно.
(е) Из 12.2.1 (е) следует точность последовательности
а из 12.2.2 (с) — коммутативность указанной диаграммы.
?

12.2. Свойства дуальности
307
Из проведенных рассуждений довольно быстро получается
следующая теорема, которая интересна сама по себе и, кроме
того, в дальнейшем будет иметь важные применения.
12.2.3. Теорема, (а) Пусть R — произвольное кольцо. Если
— расщепляющая точная последовательность правых (или левых)
R-моду лей, то модуль М рефлексивен тогда и только тогда,
когда А и W рефлексивны.
(Ь) Пусть RR и RR — инъективные кообразующие. Если
— точная последовательность правых (или левых) R-модулей, то
модуль М рефлексивен тогда и только тогда, когда А и W ре-
рефлексивны.
Доказательство, (а) По предположению и по 3.9.3 (Ь) су-
существуют гомоморфизмы /0 и go. такие что
/о/=1,4, ggo=\\v
и последовательность
о-^л-г-лк-иг-^о
fo go
является точной и расщепляющей. Тогда, согласно 12.2.1 (е),
диаграмма
:М
Ф,
'м
О
'А**
f**
Ф
M**:
w
W**:
2*
•SO
¦*¦
имеет расщепляющие точные строки, и в силу 12.2.2(с) она ком-
коммутативна.
Пусть модуль М рефлексивен. Так как тогда Фм —изомор-
—изоморфизм и / — мономорфизм, то, в силу равенства OM/ = /**O^,
Фд — также мономорфизм. Аналогично проверяется, что и Ф^—
мономорфизм. Из 3.9.2 следует теперь, что Фд и Ф^ —изомор-
—изоморфизмы.
Обратно, пусть теперь А и W рефлексивны. Для того чтобы
снова можно было применить 3.9.2, нужно показать, что Фм —

308 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
мономорфизм. Пусть текег(ФЛ1). Из того что
и d%— изоморфизм, следует, что
т <= ker (g) = im (/).
Значит, существует такое йёД что
/(а) = /п.
Поэтому
0 = Фм (т) = Фм (/ (а)) = (Фж/) (а) = У**Фл) (а).
Так как /** и Ф^ — мономорфизмы, то а = 0, следовательно,
т = 0. Этим показано, что Фм —мономорфизм. Наше утверждение
вытекает теперь из 3.9.2.
(Ь) По предположению имеет место 12.2.2(е). Согласно 12.2.2(d),
в диаграмме из утверждения 12.2.2(е) гомоморфизмы Фд, Фм и
Фц/ суть мономорфизмы. Поэтому наше утверждение следует из
3.9.2. ?
12.2.4. Следствие. Пусть R — произвольное кольцо.
(a) Если А^М, то М рефлексивен тогда и только тогда, когда
А рефлексивен.
h
(b) Если MR = © Mi, то М рефлексивен тогда и только тогда,
i = 1
когда все Ми i—\, .... п, рефлексивны.
(c) Каждый конечно-порожденный проективный R-модуль рефлек-
рефлексивен.
Доказательство, (а) Пусть дан изоморфизм /: AR-+MR.
Тогда
— точная расщепляющая последовательность, и наше утвержде-
утверждение следует из 12.2.3(а).
(Ь) Достаточно доказать утверждение для п = 2, поскольку
тогда по индукции оно будет справедливо для любого п. Для
случая же п = 2 оно получается из 12.2.3(а), если рассмотреть
точную расщепляющую последовательность
где I —включение Mi в М, а я —проекция М на Mj.
(с) Так как RR рефлексивен, то согласно (Ь) каждый конеч-
конечно-порожденный свободный Я-модуль рефлексивен. (Это можно
доказать и непосредственно, так же, как для векторных про-
пространств, с применением дуальных базисов.) Следовательно, каж-
каждый конечно-порожденный проективный модуль рефлексивен как
прямое слагаемое конечно-порожденного свободного модуля. D

12.2. Свойства дуальности 309
12.2.5. Следствие. Пусть М — произвольный R-модуль.
(a) -Если М рефлексивен, то все модули М*, М**, М***, ...
также рефлексивны,
(b) Если модуль М* не рефлексивен, то и все модули М**,
М***, ... не рефлексивны.
Доказательство, (а) Следует из 12.2.2 (Ь).
(Ь) Согласно (а), достаточно доказать, что если М*** рефлек-
рефлексивен, то и М* рефлексивен. В силу 12.2.2(а), М* изоморфен
прямому слагаемому irr^O^.) в М***. Поэтому из 12.2.4 сле-
следует, что если М*** рефлексивен, то и М* рефлексивен. ?
В заключение этих рассмотрений, посвященных свойствам
дуальности, докажем еще одно утверждение, в котором идет речь
о рефлексивности циклических модулей.
12.2.6. Предложение. Пусть Aq.Rr.
(а) Отображение
А:
где I := 1 -\-А <= R/A, является изоморфизмом.
(b) Ф/?/л — мономорфизм <z=>tRlR (А) = А.
(c) Отображение р: RR-*-lK(A)*, определенное формулой
р (г) (х): = хт, rt=R, *<=(/? (Л),
является гомоморфизмом, для которого диаграмма
коммутативна (здесь h— изоморфизм из (а)),
(d) Ф/?/д — эпиморфизм <=>р — эпиморфизм.
Доказательство, (а) То что h есть ^-гомоморфизм, очевидно.
Пусть /1(ф) = фA) = 0. Тогда
следовательно, ф = 0, т. е. h — мономорфизм. Пусть ле
Правилом
ф: R/A эгк*»е/?
определяется фе=(#/Л)*, для которого h(q>) =фA)=д;. Следова-
Следовательно, h является и эпиморфизмом.

310 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
(b) Если r<=R/A, то гекег(ФЛ/д)<=>ФЛ/д(г)(ф)=ф(г) =
= фA)г = 0 для всех «(. е(/?/Л)*огегй[д(Л) (в силу (а)),
откуда и следует наше утверждение.
(c) Для ге=# и q><=(R/A)* имеем (Л*р (г)) (ф) = (р (г) Л) (ф) =
= Р (г) (Ф (I)) = Ф (I) /•. а также (<&R/Av (г)) (ф) = ФЛ/д (г) (ф) = ф (г)=
= ф A) г, следовательно, А*р = Фя/aV.
(d) Так как А* — изоморфизм, a v — эпиморфизм, наше утвер-
утверждение вытекает из равенства А*р = Ф^/^. П
После того как мы познакомились со свойствами дуальности,
рассмотрим другие свойства, применяемые при доказательстве
основной теоремы; некоторые из них используются и в следую-
следующей главе.
12.3. Замена сторон
Мы займемся сейчас вопросом о том, каким образом опреде-
определенные .свойства MR можно перенести на $М, где
S:--=End(M«).
12.3.1. Предложение. Пусть R — произвольное кольцо, х, i/e
eMR) 5 := End(MR), yR^xR, и пусть xR содержится в неко-
некотором инъективном подмодуле модуля MR. Тогда Sx изоморфен
как S-модуль некоторому подмодулю в Sy. Если Sy прост, то
Sy ^ Sx.
Доказательство. Пусть ф: yR-^-xR — изоморфизм, сущест-
существующий по предположению. Далее, пусть xR Q QR Q. MR, где
модуль QR инъективен. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
xR

12.3. Замена сторон . ¦ 311
где 1Ь i2, i3 — соответствующие включения. Для so:—iay^S
имеем.
soyr, r<=R.
Пусть элементы r0, rx е # определены так, что
<Р (У) = soy = xr0,
Тогда
ф: Sx э sx i—*¦ sxr0 — ssoy
является S-гомоморфизмом.
Предположим теперь, что. sxro=0. Тогда
sxrori = ssoyri »= sx = 0;
следовательно, ф — мономорфизм. Поскольку xR^yR, то либо
х = у=0, либо х=?0/\у=?0; поэтому из простоты Si/ следует
изоморфизм Sy^Sx. П
12.3.2. Предложение. Пусть S := End(M/?), лгеМ, х^ р
ы содержится в некотором инъективном подмодуле Q модуля NlR.
Тогда Sx —простой подмодуль в SM.
Доказательство. Мы покажем, что для произвольного
0 So^S, выполняется равенство
Sx.
Так как xR прост n-sox=?0, то s0xR также прост и отображение
xR э лгг i—»• soxr e soxR
есть изоморфизм. Пусть
т:

312 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
— обратный изоморфизм. Существует такой гомоморфизм ф, что
диаграмма
soxR
xR
/
f
Mr
коммутативна; здесь ilt i2, i3 — соответствующие включения. По-
Положим /0:=1зф. Ясно, что to^S Htosox — TSox = x; следовательно
Ssox = Sx, что и требовалось доказать.
12.4. Свойства аннуляторов
В этом параграфе мы изучим связь между свойствами коль-
кольца R и свойствами соответствующих аннуляторов. Вместо 1ц(А),
соотв. tR(A), мы будем для краткости писать просто [(Л), соотв.
г (Л). С одним свойством аннуляторов мы уже познакомились
в 12.2.6, где речь шла о характеризации рефлексивности цикли-
циклических модулей.
12.4.1. Предложение. Если Сц — кообразующий, то для каж-
каждого A Q. RR ' ,
tic (А) = А.
Доказательство. Из определения аннуляторов следует, что
Acetic (А).
Пусть гей, г ф А. По предположению существует гомомор-
гомоморфизм т: (R/A)R-+CR, для которого т(г-\-А)фО. Если v: R-+-
-уR/A — канонический эпиморфизм, то 0= xv (A) = xv(l) А. Сле-
Следовательно xv(l) e 1с (А). Далее, xv(l)r = xv (г) = т(г-f А)Ф0,
так что г ф йс (А). Таким образом,
tlc{A)Q.A,
откуда и вытекает наше утверждение.

12.4. Свойства аннуляторов 313
В большинстве случаев это предложение используется для слу-
случая CR = RR, и тогда пишут кратко й(А) = А-
12.4.2. Теорема, (а) Если RR инъективен, то
A) для произвольных A Q. RR, В Q.RR
B) для произвольного конечно-порожденного С Q. RR
Ir (С) = С.
(Ь) Если для RR выполнены условия A) и B) из (а), пю каждый
гомоморфизм любого конечно-порожденного правого идеала кольца R
в R получается умножением слева на некоторый элемент из R.
Доказательство, (а) Очевидно, что всегда
l(A) + l(B)Ql(A{\B).
Обратно, пусть х е I (А П В). Тогда отображение
есть Я-гомоморфизм (ибо
е A f\B=$ xb! — x(a — a1) + xb = xb). Так как RR инъективен, то
существует такое у е R, что <p(a-\-b) = y(a + b)=xb. В частности,
0 = у(а) — уа для всех аеЛ, и следовательно, у^1(А). Далее,
для всех ЬеВ имеем у(Ь) = уЬ=хЬ, а значит z:= х~у ^ЦВ).
Отсюда вытекает, что x = y + z ^l(A) + l(B). Тем самым A) до-
доказано.
Перейдем к B). Пусть
Тривиальным образом проверяется, что
Последовательно применяя A), получаем
[г B Ret) = I ( f) )
(
V=i
Чтобы установить B), нужно показать еще, что
Гг (Re) = Rc, ce=R.
Очевидно, что RcQ.lv (Re). Пусть теперь b^h(Rc). Тогда г (с) С
Q. v (b) и потому
cR з сг *—* br ^ R

314 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
является гомоморфизмом, который в силу инъективности RR за-
задается умножением слева на некоторый элемент а е R. В част-
частности, ac = bt т. е. be Re. Таким образом, U(Rc)QRc, что и
требовалось доказать.
(Ь) Проведем индукцию по числу п порождающих элементов
конечно-порожденного правого идеала.
п=1: Пусть ф: aR->~RR — гомоморфизм. Так как изаг=0
следует, что также q>(ar) = 0 = <p(a)r, то г (а) С г(ф(а)). Отсюда
вытекает, что
((/?а)Сг(Яф(в)),
и согласно B) получаем
#Ф (а) = Гг G?ф (а)) С It (Ra) = Ra.
Следовательно, существует такое с ^ R, что ф (а) = са и потому
Ф(аг) = ф(а)г = саг,
что и требовалось доказать.
Переход от п к п+1: Пусть
<р: Д] aiR-^RR
— гомоморфизм. По предположению индукции существуют сь
с2 е R, такие что
V=i / i = i
В силу A) имеем
d - с, е I f 2] а'^ П e»+i/?^ = if S 0«/?Ni +1 (fln+i/?),
т. е. существуют такие
< e I (fln+i/?),
\l=l
что С\ — c2 — s — t. Положим с:= cx — s = c2 — t. Тогда
/"+' \ / " \
2 - 0 O Yi
i=l i=l
так что ф задается умножением слева на элемент с. Тем самым
(Ь) также доказано. D

12.5. Инъектнвность н свойство кольца быть кообразующнм 316
12.4.3. Следствие. Если RR нётеров и выполнены условия A) и
B) из 12.4.2, то RR инъективен.
Доказательство. Так как RR нётеров, то каждый правый
идеал в R конечно-порожден. Поэтому наше утверждение сле-
следует из 12.4.2(Ь) и критерия Бэра. • ?
12.5. Инъективность и свойство кольца
быть кообразующим
Для RR свойство быть кообразующим и инъективность,—
вообще говоря, независимые свойства (см. упр. 13 и 14). Чтобы
имела место их эквивалентность, надо налагать на кольцо неко-
некоторые дополнительные условия.
В качестве подготовки к соответствующей теореме докажем
следующее.
12.5.1. Предложение. Пусть R — произвольное кольцо.
(а) Если Рь Р2 — проективные правые R-модули с косуществен-
ными радикалами, то
Pi ?ё Р2 <=> Pi/rad (Р,) se Pt/rad (Р2).
(b) Если Qu Q2 — инъективные правые R-модули с существенными
цоколями, то
Qi & Q2 <=> soc (QO ^ soc
Доказательство. Пусть ф: Pi-*-Pz — изоморфизм. Поскольку
Ф (rad (/\)) = rad (Pt),
то ф индуцирует изоморфизм
Ф: P^rad (/>,) э л + rad (Pt) ^* ц> (Pl) + rad (P2) e P2/rad (P2).
Обратное следует из 5.6.3, так как P1-*-P1/rad(P1) и Р.2->
->P2/rad(P2) являются проективными оболочками.
(Ь) Доказательство дуально к доказательству утвержде-
утверждения (а). . ?
Мы подошли теперь к теореме, которая представляет само-
самостоятельный интерес. Ее можно рассматривать как ослабленный
односторонний вариант сформулированной в начале главы основ-
основной теоремы.
12.5.2. Теорема. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
A) RR — кообразующий и существует лишь конечное число клас-
классов изоморфных простых правых R-модулей',
B) RR — кообразующий и каждый простой левый R-модуль изо-
изоморфен некоторому левому идеалу R;

316 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
C) каждый модуль MR, для которого tR (М) = 0 (т. е. каждый
точный модуль MR), является образующим;
D) каждый кообразующий в <MR является образующим:
E) RR инъективен и конечно-копорожден;
F) RR инъективен, полусовершенен и имеет существенный цоколь.
Замечание. Кольцо R, удовлетворяющее условиям этой тео-
теоремы, в литературе называется правым PF-кольцом. Г. Адзумая
поставил нерешенный до сих пор вопрос, является ли всякое
правое PF-кольцо левым PF-кольцом.
Доказательство Мы покажем, что B) => C) => D) => E) =$
6 Л 1<
)Л() ()<)
Так как Яд —образующий, то в силу 3.3.2 доста-
достаточно показать, что
Так как М* = Нот«(Л1, R) — левый /^-модуль, то Т — левый
идеал. Пусть z^tR(T). Тогда для каждого m e M и каждого
Ф е М *
Ф (mz) = ф (т) 2 = 0,
следовательно,
Mz cr p ker (ф).
Так как 7?д — кообразующий, то
f) кег(Ф) = 0;
значит, Мг = 0. Поскольку по предположению tR(M) = 0, то
г = 0. Таким образом, гд(Т'} = 0.
Предположим теперь, что T=?R. Тогда найдется максималь-
максимальный левый идеал A QRR, такой что Т Q A Q R. По предположе-
предположению существуют Rx С rR и изоморфизм
a: R/Ag*Rx.
Поэтому для всех ае А имеем
следовательно,
Итак, Т = R, что и требовалось показать.

12.5. Инъектнвность н свойство'кольца быть кообразующнм 317
„C)=^D)": Из 12.4.1 при Л=0 следует, что каждый кообра-
зующий точен, а значит, в силу C), является образующим.
„D) => E)": Минимальный в смысле 5.8.5 (Ь) кообразующий
является по условию образующим. Поэтому, согласно 5.8.2, RR
изоморфен прямому слагаемому некоторой прямой суммы экземп-
экземпляров Со, а значит, по определению Со, и некоторой прямой
суммы экземпляров Qj, /еУ. Так как R== \R — циклический
модуль, то он изоморфен прямому слагаемому некоторой конеч-
конечной прямой суммы
п
Q =U Q» где Q, = !(?,) (см. 5.8.5).
i=i
Поскольку модуль Q инъективен, то и RR инъективен. В силу
9.4.3, Q конечно-копорожден, но тогда и RR конечно-копорожден
как изоморфный образ прямого слагаемого в Q.
„E)=>F)": Надо лишь показать, что RR — полусовершенный
модуль. Ввиду 9.4.3,
© () гДе Ei просты.
1=1
Поскольку Etc*l(Ei), то I (Я,-) неразложим. Поэтому, в силу
7.2.8, кольцо End (I (?,)) локально, значит, согласно 11.4.1,
модуль I (?,) полусовершенен, а тогда . по 11.3.4 и RR является
таковым.
„F)=>B)ЛA)": По предположению
soc (RR) с? RR.
Так как, в силу 12.3.2, soc (RR) Q. soe (RR) и так как, согласно
9.2.1 (а) и (b), soc(RR)QtR(rad(R)), то rff(rad (i?)) cf RR.
Пусть теперь Е — простой левый /^-модуль и U — подмодуль
в RR, такой что E^R/U. Поскольку R полусовершенен (согласно
11.3.2, с обеих сторон!), то ввиду 11.1.2 существует разложение
где R2QU, R^Ut^R^ Пусть R1 = Reu R2 = Re2c идемпотен-
тами elt e2=l —ev Поскольку R2Q.U, to, в силу закона моду-
модулярности,
U=(R1[]U)®R2,
причем
Ri П U Q rad (/?!) q rad (/?).

318 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
Поскольку е\ = егф\ (ибо R2dU^R и г = е2г + A — е2)г для
re/?, то
Учитывая, что Rif\U С rad(/?), получаем
Как было показано, гЛ (rad G?)) с? #я, поэтому tR (Rx f\U)c? RR,
откуда
О Ф r« (Я, П t/) П гЛ (#<?,) = r« (G?! П ^/) + /fei) = xR (U).
Пусть теперь 0^аегя((/). Из максимальности U в RR следует,
что \R(a) = U. Таким образом,
т. е. для любого простого левого 7?-модуля кольцо R содержит
левый идеал, изоморфный этому модулю. Тем самым доказано B).
Пусть теперь
Ralt .... Ran, где Rat Q. RR,
— система представителей классов изоморфных простых левых
Я-модулей. Так как R полусовершенно, то согласно 9.3.4 эта
система конечна. Поскольку RR имеет существенный цоколь,
каждый правый идеал atR содержит по крайней мере один про-
простой правый идеал, который может быть записан в виде afaR,
i=l, ..., п. Положим ct:= afii. Ввиду простоты Rait Rcti^RCi
и, следовательно,
Rci, .... Rcn
также является системой представителей классов изоморфных
простых левых ^-модулей. Если предположить, что CiR^CjR, то,
согласно 12.3.1, мы будем иметь Rci^RCf и, значит, z=/.
Поэтому (в силу 9.3.4)
, ..., cnR
— есть система представителей классов изоморфных простых пра-
правых ^-модулей. Так как RR инъективен, то из 5.8.5 следует,
что RR является кообразующим. Тем самым доказано и A).
' „A)=^F)": Так как RR — кообразующий, то (согласно 5.8.5)
существует система представителей классов изоморфных простых
правых 7?-модулей вида
otiR, ..., anR,
где atR Q. Q,- с RR, причем Qt — инъективная оболочка aiR. Так
как aiR прост и aRcfQi, то Q,- неразложим. Из того что Qt —
прямое слагаемое в RR, следует, что Q,- проективен. Согласно

12.6. Доказательство основной теоремы - 819
7.2.8 и 11.4.1, F,-.'-Qt/rad (Q,) прост и rad (Qt) с? Q{. Поэтому,
в силу 12.6.1, Flt ..., Рп тоже является системой представителей
классов изоморфных простых правых ^-модулей. Поскольку
— проективная оболочка для F{, то, "согласно 11.3.5, RR, а тогда
(см. 11.3.2) и RR полу совершенен. Пусть
— разложение RR, даваемое следствием 11.4.2. Тогда Л^/rad(А{)а^
j^Fy для подходящего / и, значит, согласно 12.5.1, Ai^Qj.
Следовательно, RR сам инъективен как прямая сумма инъектив-
ных модулей. Так как Qj — инъективная оболочка простого идеала
OjR, то ajRCQ] и потому а, R = soc (Qj) с* Qj. Поскольку AtQ^Qj,
отсюда следует, что soc(Ai)c? At и soc(Ai) прост. На основании
6.1.8 и 9.1.5 заключаем, что
soc (RR) = © soc (At) с* RR.
Этим завершается доказательство импликации A)=>F), а с иим
и всей теоремы. ' ?
12.5.3. Следствие. Если модуль RR является нётеровым кообра-
зующим, то он инъективен, полусовершенен и имеет существенный
цоколь.
Доказательство. Так как RR нётеров, то soc (RR) конечно-
порожден и, следовательно, имеет лишь конечное число одно-
однородных компонент. Из того что RR — кообразующий, следует, что
существует только конечное число классов изоморфных простых
правых /^-модулей. Поэтому утверждение следствия вытекает из
теоремы 12.5.2. D
12.6. Доказательство основной теоремы
Мы докажем здесь сформулированную во введений теорему
12.1.1 последующей схеме: E)^(8), E)Д(8)о F)ЛG), F)=>E),
G) =^E), E)Л(8)^A)ЛC), A)^B)^(8), C)^E), E)«D).
„E) =$ (8)": В силу E) выполнено 12.5.2 B) для обеих сторон.
Поэтому, согласно 12.5.2, имеет место (8).
„(8)=>E)": Очевидно ввиду 5.8.5 (а).
„E) Д (8) => F) Д G)": Очевидно.
„F) =^E)": Нужно показать, что RR — кообразующий. Для
этого сперва покажем, что RR — модуль с дополнениями. Пусть
AQ.Rr и BQxR-д. п. для 1(Л), т.е. ((Л)ДВ = 0, где В — тк-

320 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
симальный подмодуль с таким свойством. Так как RR инъекти-
вен, то из 12.4.2 следует (при перестановке сторон), что
Так как RR — кообразующий, то с учетом 12.4.1 имеем
Покажем, что г (В) — минимальный подмодуль с таким свойством.
Действительно, если U С г (В), причем A-\-U — R, то l(A + U)*m
= Г (Л) ПI (U) = Г (R) = 0. Далее, V Q г (В) => В Q 1г {В) Q I (U) ==>
=$l(U) = B, ибо В — максимальный подмодуль со свойством
Г(Л)П# = О. Согласно 12.4.1, fi«=l(i/)=^r(fi) = rf(?/) = (/. Так
как, ввиду 11.1.5, R полусовершенно, то в силу 9.3.4 имеется
лишь конечное число классов изоморфных простых правых R-
модулей. Этим показано, что выполнено условие 12.5.2A). Тогда
согласно 12.5.2B), с учетом инъективности RR, получаем, что
RR является кообразующим.
„G) => E)": Эта импликация устанавливается аналогично.
Итак, мы доказали, что E) о F) о G) о (8). Это —часть ос-
основной теоремы, не связанная со свойствами дуальности.
„E)Л(8) ¦?>A)ДC)": Поскольку каждый конечно-порожденный
модуль является эпиморфным образом конечно-порожденного сво-
свободного модуля, A) следует из 12.2.4 (с) и 12.2.3 (Ь). Пусть
теперь AR конечно-копорожден. Тогда, согласно 9.4.3 (каждое Q{
из разложения \(A) = Q1@...®Qn можно мономорфно отобразить
в RR), существует мономорфизм Л в конечно-порожденный сво-
свободный /?-модуль. Поэтому, как и выше, утверждение теоремы
вытекает из 12.2.4 (с) и 12.2.3 (Ь).
„A)=>B)": Очевидно.
„B) =з (8)": Покажем с помощью критерия Бэра, что %R
инъективен. Если В Q RR, то, согласно предложению 12.2.6
(примененному к R(R/B)), lt(B) = B. Применяя теперь 12.2.6
к A — t(B)Q.RR, получаем, что для каждого гомоморфизма т из
RB = lt(B) в RR существует ro^R, такое что т(х) = хг0. Значит,
по критерию Бэра RR инъективен. Аналогично показывается, что
RR инъективен. Пусть теперь ER прост и Л Q. RR, причем
R/A Se ER.
Поскольку Л = г((Л), то, в силу 12.2.6, |(Л)#0. Если 0фх(=
е[(Л), то
что и требовалось показать. Аналогично рассматривается случай
простого модуля RE.
„C) =э E)": Если модуль ER прост a QR — инъективная обо-
оболочка для ER, то QR конечно-копорожден. Так как QR рефлекси-

12.8. Доказательство основной'теоремы 321
вен, то существует такое cpeQ*, что ф (?)=?*= 0. С другой сто-
стороны, из Е с? Q следовало бы в случае кег (<р) Ф 0, что Е Q.
Скег(ф). Таким образом, ker(<p) = O, т. е. ф — мономорфизм.
Отсюда вытекает, что RR — кообразующий. Рассуждение для RR
аналогично. (В этом доказательстве, вместо C) мы использовали
лишь то, что инъективные оболочки простых модулей полуреф-
полурефлексивны.)
„E)=эD)": По определению, Aq.A°1. Поскольку RR — кооб-
кообразующий, то для каждого ms/И, т <ф А, существует феМ*,
такое что ф(т) ^0 и f (А) = 0. Отсюда вытекает, что ф е А°,
а т<фА°1; следовательно, A°L с А. Для левой стороны рассуж-
рассуждение аналогично.
„D) =s> E)": Пусть MR — произвольный модуль. Тогда, очевидно,
0° = М* и
0 = (>¦<¦= f) кег(ф),
т. е. RR — кообразующий. Случай RR рассматривается аналогично.
Тем самым основная теорема полностью доказана. ?
Осталось еще доказать следствие 12.1.3. Оно непосредственно
получается из теоремы 12.5.2, причем используется тот факт,
что кольцо с полной дуальностью удовлетворяет условиям этой
теоремы с обеих сторон (например, сразу, видно, что 12.1.1 E) =э
=> 12.5.2 B)).
12.6.1. Дополнение к основной теореме. Пусть R —кольцо
с полной дуальностью. Тогда для каждого R-модуля М и каждого
A q. M гомоморфизм
является изоморфизмом.
Доказательство. По определению г|3 — мономорфизм. Как
легко видеть, ip является изоморфизмом для всех MR и всех
A Q. MR тогда и только тогда, когда RR инъективен. Действи-
Действительно, если if) для всех A Q. RR представляет собой эпиморфизм,
то это означает, что выполняется критерий Бэра, т. е. что RR
инъективен. Обратно, если RR инъективен, то каждый элемент
из Л* можно продолжить до элемента из М*. ?
В заключение укажем еще на следующее свойство. В силу
12.2.5, при любом кольце R, если 7?-модуль М рефлексивен, то
М* также рефлексивен, и если М** рефлексивен, то М* тоже
рефлексивен. В случае когда R — кольцо с полной дуальностью,
из рефлексивности М* следует даже рефлексивность самого М.
Действительно, пусть М* рефлексивен. Тогда, в силу 12.2.2 (а),
Фм — изоморфизм, а значит, согласно 12.2.1 (d), Фм —изоморфизм,
т. е. MR рефлексивен.
11 Ф. Каш

322 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
В следующей, последней главе мы снова будем иметь дело со
свойствами дуальности. Рассматриваемые там квазифробениусовы
кольца являются кольцами с полной дуальностью, артиновыми
с обеих сторон (достаточно предположить нётеровость с одной
стороны). Однако существуют кольца с полной дуальностью, не
удовлетворяющие никаким условиям обрыва (см. упр. 11). В слу-
случае артиновых колец можно дать новые характеризации полной
дуальности, например такую: для всех простых модулей дуаль-
дуальные модули снова просты (см. в связи с этим упр. 12).
Упражнения
1. а) Если модуль MR рефлексивен, AC.MR, A°l = A и гомоморфизм i*:
М-+А* сюръективен, то А также рефлексивен.
b) Если MR рефлексивен, A Q MR, A°l = А н i*: М** -* А°* (где i: A°-+М*)
сюръективен, то и Ml А рефлексивен.
c) Приведите пример такого рефлексивного модуля MR и такого его подмодуля
A Q MR, что ни А, ни Ml А не рефлексивны.
2. Пусть (Mi I i e /) —непустое семейство правых /^-модулей. Доказать следую-
следующие утверждения:
а) Имеет место коммутативная диаграмма
(П (Aff)> (U(Mf))*
AЩ)** *. П (/И;** )
Ф
им.
>
Им,
ПФд
где i и к. Ц (М?)-*- II (М*) — включения.
b) Если / конечно, то модуль Ц М,- рефлексивен тогда и только тогда, когда
все Mi рефлексивны.
c) Если „R является кообразующим или инъективен и ЦМ,- рефлексивен, то
почти все (т. е. все, кроме, быть может, конечного числа) М; равны нулю.
(Указание. В первом случае я* —мономорфизм, во втором —эпиморфизм.)
3. Пусть М — произвольный модуль, Y — конечно-порожденный подмодуль в М*
и а е Y*. Показать, что если RR — кообразующий, то существует такое /пеМ,
что а = ФЛ1(т) | Y.
4. Пусть даны модуль М^ и непустое семейство ((m,-, U{) \ I e /), где /п;е/И
и Ui Q. М. Элемент me M называется решением (этого семейства), если т —
— mi^Ui для всех ie/. Модуль М^ называется линейно-компактным, если

Упражнения . 323
каждое семейство ((/n,-, U{) \ i e /), любое конечное подсемейство которого
обладает решением, само обладает решением.
a) Если RR — кообразующий, то модуль MR линейно-компактен тогда и только
тогда, когда он рефлексивен и RR инъективен относительно М* (последнее
означает, что для каждого мономорфизма a: RY -*¦ ^М* и каждого гомомор-
гомоморфизма f}: д^->-д^ существует гомоморфизм .у-' дМ*'"-*" д#> удовлетворяющий
условию P = va; см- УПР- 21 к гл. 5).
b) R является кольцом с полной дуальностью тогда и только тогда, когда
RR— кообразующий и RR линейно-компактен.
c) Если R — кольцо с полной дуальностью, то /?-модуль рефлексивен тогда и
только тогда, когда он линейно-компактен.
5. Доказать следующие утверждения:
a) Каждый артинов модуль линейно-компактен.
b) Каждый линейно-компактный, модуль является модулем с дополнениями
(т. е. у каждого его подмодуля существует аддитивное дополнение.) (Указание.
Доказательство существования дополнения по пересечению можно в этом случае
дуализовать.)
c) Ни для а), ни для Ь) обратное утверждение не имеет места.
d) Если модуль М = ф Mi линейно-компактен, то почти все Mt равны нулю.
(l
e) Если М линейно-компактен и A Q. М, то как А, так и М/А линейно-ком-
линейно-компактен.
f) Если М линейно-компактен и rad (М) косуществен в М, соотв. soc (М) суще-
существен в М, то М конечно-порожден, соотв. конечно-копорожден.
g) Если R — нелокальное кольцо главных идеалов без делителей нуля, то
каждый линейно-компактный Я-модуль артинов.
6. Непустое семейство ((m,-, Ui) 11 е /), где т,- <= М и (У,- Q М, называется
проективным, если 1 направлено (т. е. на / определен порядок sg, такой что
для произвольных i, / е / существует fee/, удовлетворяющее условиям is?&,
j^k) и из (sg/ следует, что UjCUi, а также что т.]—m,- e (У,-. Показать, что
a) М линейно-компактен <=> каждое проективное семейство имеет решение в М;
b) если A Q. М и А и М/А линейно-компактны, то и М линейно-компактен.
7. Показать, что если R инъективен с обеих сторон, то для каждого конечно-
порожденного /^-модуля М модуль М* рефлексивен. (Указание. Используйте
упр. I, а)).
8. Для всякого целостного кольца R с полем частных К положим
rang (MR) := dim^ IM ® K\.
a) rang (M) = rang (MIT (M)), где T (M) — подмодуль кручения для М, (Указание-
Модуль KR плосок.)
b) rang (М) = 0 <=> М = Т (М).
c) rang (М) < со и A Q М => rang (А) < со Д rang (М/Л) < со Д
rang (M) = rang (^) + rang (М/Л).
d) 71 (М) = 0 <=> не существует свободного подмодуля А в М, удовлетворяющего
условию Ad^M. Если A^R^\ то rang(М) = ! / |.
e) Если М порождается п элементами, то rang (М) г? п.
f) rang (M) < со z=> rang (M*) =S rang (М) /\ М* рефлексивен.
9. Пусть Rp—кообразующий. Доказать следующие утверждения:
a) soc (д#) с? RR. (Указание. Для О Ф х е R выберите максимальный правый
идеал, содержащий vR(x).)
b) soc (RR) Q. soc (RR).
11*

324 Гл. 12. Кольца с полной дуальностью
Если, кроме того, soc (Я^) имеет лишь конечное число однородных компо-
компонент, ' то
c) tR (rad (К)) = soc (RR) = soc (RR) = \R (rad (I?));
d) сд1я (rad (/?)) = rad (/?) = l^ (rad (/?)).
10. Пусть 71 —коммутативное кольцо Для всякого Г-модуля Мт определим
коммутативное кольцо R :— Id (Мг) следующим образом:
A) как множество R:= МхТ;
B) сложение в R покомпонентное:
(т, 0 + (т'. <'):=(т+т'. < + О:
C) умножение в # задается формулой
(m, 0(m'. t'):=(mt'+m't, W).
Ясно, что единицей кольца R служит элемент @, 1). Показать, что
a) элемент x=(m, t) обратим, соотв. нильпотентен, в RC=$t обратим, соотв.
нильпотентен, в Т;
b) rad (R) «= MX rad (Г); '
c) soc (tf) = soc (M) х (soc (Г) П tr (M));
d) /? совершенно, соотв. полусовершенно, тогда и только тогда, когда Т яв-
является таковым.
e) R нётерово, соотв. артиново, тогда и только тогда, когда Т и Мт являются
таковыми.
11. Пусть Т — коммутативное кольцо и Мт—точный Г-модуль (т. е. гг(Л1) = 0).
Дли кольца R = ld(MT), определенного в упр. 10, доказать следующие
утверждения:
a) RR инъективен <=>Мт ннъективен и для каждого фе End(Mr) существует
ts T, такое что (p(m) — mt для всех яеМ.
b) RR—кообразующий <=> RR инъективен и Мт—кообразующнй.
c) Пусть Т — полное кольцо дискретного нормирования с полем частных К и
МГ:=К/Т, Тогда R—кольцо с полной дуальностью, но не нётерово кольцо.
12. а) Пусть R — коммутативное локальное кольцо с конечно-порожденным
цоколем и Е — простой ^-модуль. Показать, что
где п := Ing (soc (R)).
b) Показать, что если К—поле и Мк:=> Кп (лЭ=1), то кольцо R=\d(MK),
определенное в упр. 10, коммутативно, локально и артиново и
Ing (soc (tf)) = п.
c) Показать, что если R—коммутативное локальное кольцо, то для простого
^-модули Е следующие условия эквивалентны:
A) Е рефлексивен;
B) Е* прост;
C) soc (R) прост.
d) Пусть Т — неполное кольцо дискретного нормирования с полем частных К
и MTi=K/T. Показать, что #=Id(Mj.) (см. упр. 10) удовлетворяет условиям
из с), но R не является кольцом с полной дуальностью.
13. Доказать, что
a) R полупросто с=> rad (R) = 0 и для каждого простого правого ^-модуля
имеется изоморфный ему правый идеал в R;

Упражнения •___ 325
b) если R — бесконечное произведение полей, то RR инъективен, но не является
кообразующим (см. также упр. И к гл. 5).
14. Пусть К —поле и R есть К-алгебра с базисом {1, «„, ии «2, ..., е0, еъ
ег, ...} н умножением
«i«; = 0, «,<?/ = fy,/,-, <?,«; = 6,-.,«/, «,<?;= fy_i,;«,-.
Доказать следующие утверждения:
A) Пусть х= ik + Ztiiki + leihi e R, где k, klt h( <= К. Тогда
a) х обратим слева <=> х обратим справа ?=J> й^ОЛА + Л/^О для всех i = 0,
1, 2, ...;
b) x <= rad (R) <z$k = Q = h( для всех (<=>д? = 0»х нильпотентен;
c) xscenR€=$k{ = 0 = hi для всех i.
B) a) (rad (/?))* = 0;
b) Сд (rad (R)) = rad (/?) = (д (rad (/?));
c) soc (RR) = rad (/?) = soc (RR);
d) /?/rad (i?), рассматриваемое как кольцо, коммутативно и регулярно.
C) Для максимальных, соотв. простых, идеалов в R верны приводимые ниже
факты:
а) Максимальные правые идеалы—это в точности идеалы
Ими же исчерпываются и все двусторонние идеалы, а также все максимальные
левые идеалы.
b) Максимальные правые идеалы—это в точности идеалы
UoR, utR, u2R
Ими же исчерпываются все двусторонние идеалы и все простые левые идеалы.
c) «„Я. «i#. И»Я> ••• есть система представителей классов изоморфных правых
/^-модулей.
оо
d) А := 2 eft является максимальным левым идеалом в R и R/A, Ru0, Rui,
1 = 0
Ru2, ... есть система представителей простых левых Я-модулей. Для R/A
не существует изоморфного ему левого идеала в R.
D) Для каждого i Э= 0
a) eiRei как кольцо изоморфно полю К, так что, в частности, е,- — локальный
идемпотент;
b) UtR — единственный нетривиальный подмодуль в e-tR и etR/U{R ^ Щ+iJR;
c) модуль etR инъективен и, следовательно, RR — кообразующнй;
d) RR не инъективен.
[Указание к с). Если Л С, RR, f e Нотд (А, е,/?) и 6 е R, то f моэкио про-
продолжить на A + bR тогда и только тогда, когда существует такой гомоморфизм
g <= Нощь (bR, etR), что f н g совпадают на A f[bR. Подумайте, как применит*
этот метод для b=ej, /Э=0, и b= I— e,-_i—e,- (e_i:=0).]
15. Пусть /? — произвольное кольцо. Показать, что RR — кообразующий тогда
и только тогда, когда инъективная оболочка каждого конечно-копорожденНЫго
правого /^-модуля проективна.

13. Квазифробениусовы кольца
13.1. Введение
Мы идем здесь в направлении, обратном тому, в каком все
развивалось исторически. Фактически первоначально рассматри-
рассматривались — более или менее явно — групповые кольца конечных
групп с коэффициентами из некоторого поля (в рамках теории
представлений конечных групп).
Пусть R:=GK — такое групповое кольцо, причем элементы
группы G суть
gi = e, gi, .... gn-
Тогда отображение
является /(-гомоморфизмом R в /С, т. е.
- <pe=R*i=HomK(R, К).
Этот гомоморфизм ф обладает тем важным свойством, что кег (ф)
не содержит отличных от нуля. идеалов, ни правых, ни левых;
Ф определяется этим свойством по существу однозначно (а именно
однозначно с точностью до умножения справа на регулярные
элементы из R). Будем называть ф гомоморфизмом Фробениуса.
Так как R* является правым ^-модулем, то (pR Q. R%- Более
того, для гомоморфизма Фробениуса yR = R*. Далее,
- Ф: Яд э г .-* <р> е <р# = #fc
является ^-изоморфизмом, и обратно, для каждого ^-изоморфизма
Ф: RR>-*R%
формула ф:=ФA), 1е/?, задает гомоморфизм Фробениуса
В ходе развития теории постепенно выяснилось, что многие
хорошие свойства групповых колец основываются только на суще-
существовании гомоморфизма Фробениуса ф, или, что эквивалентно,
изоморфизма Ф, и постулирование существования такого ф,

18.2. Определение и основная теорема 827
соотв. Ф, для конечномерной /(-алгебры RK привело к понятию
фробениусовой алгебры'(хотя первоначально оно было сформулиро-
сформулировано Т. Накаямой в 1939 г. в терминах теории представлений).
Следующий существенный шаг состоял в освобождении от рамок
алгебр.. Как легко убедиться, для фробениусовых алгебр с по-
помощью ф, соотв. Ф, получаются следующие свойства аннуляторов:
tRlR(A) = A для всех Ac,RR,
lRtR (В) = В для всех В Q.RR
(соотношения ортогональности, связывающие конечномерное век-
векторное пространство с его дуальным пространством!). Обратно,
при некотором дополнительном ограничении на размерности из
этих равенств для аннуляторов следует фробениусовость алгебры.
В эти аннуляторные равенства свойства алгебры уже никак
не входят. '
Артиновы справа и слева кольца, удовлетворяющие указанным
равенствам для аннуляторов, были названы квазифробениусовыми
кольцами, а в случае если они удовлетворяют еще одному допол-
дополнительному условию, — фробениусовыми кольцами (Т. Накаяма,
1941).
На основе этого определения было получено весьма много
результатов о квазифробениусовых и фробениусовых кольцах.
Новый сильный импульс к развитию теории дало появление
категорно-гомологических понятий. Это развитие привело к тому,
что на сегодняшний день мы имеем следующий результат:
Кольцо тогда и только тогда квазифробениусово, т. е. артиново
(а значит, н нётерово) с обеих сторон и удовлетворяет приведен-
приведенным выше условиям на аннуляторы, когда оно, во-первых,
нётерово с одной стороны и, во-вторых, инъективно с одной
стороны или является кообразующим.
Этот результат — основная теорема данной главы. Так как,
согласно этой теореме, квазифробениусово кольцо является арти-
новым (и нётеровым) с обеих сторон инъективным кообразующим,
то для квазифробениусовых колец в нашем распоряжении есть
всё, что мы доказали раньше для артиновых и нётеровых модулей,
а также для колец с полной дуальностью.
13.2. Определение и основная теорема
Мы докажем несколько больше, чем утверждается в приведен-
приведенной во введении теореме. Вместо lR, соотв. tR, будем писать в
дальнейшем просто I, соотв. t.
13.2.1. Теорема. Пусть RR нётеров.
(а) Следующие условия эквивалентны:
A) RR инъективен;

828 Гл. 13. Квазифробеннусовь| кольца
B) Rr — кообразующий:
(8) RR инъективен;
D) RR —/сообразующий:
E) VЛ С RR [rl (Л) = A]/\VBCRR [U (В) -= В].
(b) ?слм выполнены условия из (а), то 7? артиново с обеих сторон.
13.2.2. Определение. A) Кольцо, удовлетворяющее условиям
13.2.1, называется квазифробениуоовым.
B) /Сольдо 7? называется фробениусовым, если оно квази-
фробениусово и
soc (#д) эй (#/rad (R))R, soc fofl) g* R (R/rad (R)).
Из определения очевидно, что кольцо с полной дуальностью
квазифробениусово тогда и только тогда, когда оно нётерово с
одной стороны.
Довольно длинное доказательство теоремы 13.2.1 мы разобьем
на несколько утверждений; некоторые из них представляют и
самостоятельный интерес.
13.2.3. Утверждение. Если RR инъективен и нётвров, то R
артиново с обеих сторон.
Доказательство. Так как RR инъективен, то, согласно
12.4.2, Гг(С) = С для всех конечно-порожденных левых идеалов
С Q. RR. Так как RR нётеров, то R удовлетворяет условию обрыва
убывающих цепей для всех конечно-порожденных и, в частности,
для всех циклических левых идеалов. Следовательно, в силу
11.6.3, RR совершенен. Поэтому, согласно 11.6.4, RR артинов.
Поскольку h (С) = С, то RR удовлетворяет условию обрыва воз-
возрастающих цепей для конечно-порожденных левых идеалов. Пока-
Покажем, что, более того, rR нётеров. Действительно, если бы RR
не был нётеров, то нашелся бы идеал В С RR, не являющийся
конечно-порожденным. Тогда для каждого конечно-порожденного
левого подыдеала левого идеала Вх существовал бы строго
больший конечно-порожденный подыдеал и, значит, в В можно
было бы построить (по индукции) строго возрастающую цепь
конечно-порожденных подыдеалов, в противоречие с тем, что мы
установили раньше. Так как R артиново справа и нётерово слева,
то, согласно 9.3.12, RR артинов. ?
13.2.4, Утверждение. Если RR нётеров и выполнено условие (б)
теоремы 13.2.1, то RR инъективен и R артиново с обеих сторон.
Доказательство. Мы хотим применить 12.4.3. Для этого
надо показать, что для любых правых идеалов А и В кольца R
1 То есть идеала кольца R, содержащегося в В. —Прим. пврев.

18.2. Определение и основная теорема 829
В силу (б),
(последнее равенство проверяется непосредственно). Применяя t,
получаем
I (А Л В) = Ir.(I (А) + Г (В)) = 1(А) + 1 (В).
На основании 12.4.3 заключаем, что RR инъективен. Остальное
следует из 13.2.3. ?
13.2.5. Утверждение. Если Rr или rR нётеров и
п(А) = А или h(A) = A
для всех двусторонних идеалов А в R, то rad (R) нильпотентен.
Доказательство. Достаточно провести доказательство для
случая х[(А) = А, ибо для другого случая доказательство прово-
проводится совершенно аналогично. Положим N:— rad(R). Тогда
N^эN2 ?>N3?>... и, следовательно,
— цепь двусторонних идеалов. Поскольку Rr либо RR нётеров,
эта цепь обрывается, т. е. найдется такое н, что
Отсюда следует, что
N* = tl (Nn) = гГ (Л^1)
Так как Rr либо RR нётеров, то NR либо RNn конечно-порожден,
так что, согласно 9.2.l(d), Nnnc?Nn. Из двух последних соот-
соотношений вытекает, что W = 0, ч.т.д. rj
13.2.6. Утверждение. Если Rr инъективен и RR нётеров, то
RR — кообразующий и R артиново с обеих сторон.
Доказательство. Поскольку rR нётеров, каждый левый
идеал в R конечно-порожден. Тогда в силу 12.4.2 и 13.2.5,
rad (Я) нильпотентен. Из 9.6.2 при Qr*=Rr получаем, что кольцо
R:= R/rad(R) регулярно. Из того, что rR нётеров, следует, что
и rR нётеров, а тогда таковым является и rR. Поэтому, согласно
10.4.9, каждый левый идеал в R является прямым слагаемым в
R, т. е. R полупросто. Следовательно, в силу 11.6.3, R совер-
совершенно с обеих сторон и, согласно 11.6.4, rR артинов. Поскольку
rR совершенен, то, в силу- 11.6.3D), soc(Rr) является сущест-
существенным подмодулем в Rr. Из 12.5.2 вытекает, что Rr — кообразую-
щий. Тогда (по 12.4.1) х\(А) — А для всех AQ.RR. Так как rR
нётеров, отсюда следует, что Rr артинов. ?

330 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
Доказательство теоремы 13.2.1. Утверждение (Ь) следует
из 13.2.4. Остается доказать (а).
„A)=>B)": Согласно 12.2.3, RR артинов, а следовательно, и
нётеров. Поэтому наше утверждение вытекает из 13.2.6.
„B)=>E)": Согласно 12.6.3, RR инъективен, а значит, ввиду
13.2.3, f(R нётеров. Поскольку RR — кообразующий, то, в силу
12.4.1, х1(А)==А для всех AQ.Rn. Далее, из инъективности RR и
нётеровости RR вытекает, согласно 12.4.2, что также U(B) = B
для всех В d RR. Следовательно, имеет место (б).
„E)=>A)": Следует из 13.2.4.
„E) => C)": Из E) и того факта, что RR нётеров, вытекает,
что RR артинов, а значит и нётеров. Поэтому, в силу 13.2.4,
имеет место C).
„C)=>D)": Следует из 13.2.6.
„D) => (б)": Из условия D) и нётеровости RR вытекает, со-
согласно 12.4.1, что RR артинов, а потому и нётеров. Далее рас-
рассуждаем как при доказательстве импликации B)=>E). ?
13.3. Свойства дуальности квазифробениуорвых
нолец
Квазифробениусовы кольца можно охарактеризовать как нёте-
ровы кольца, для которых выполнены условия теоремы 12.1.1.
С помощью этих условий мы можем теперь дать дальнейшие
характеризации квазифробениусовых колец в терминах свойств
дуальности. Будем использовать обозначения гл. 12.
В качестве подготовки к дальнейшим рассуждениям выясним
вначале, как условия конечности переносятся на дуальные модули.
13.3.1. Предложение. Пусть MR конечно-порожден и
M*:=HomR(MR,RR).
(a) Если RR нётеров, то и RM* нётеров.
(b) Если RR артинов, то RM* имеет конечную длину (т. е: арти-
артинов и нётеров).
Доказательство, (а) Если F : =» 0 XiR — конечно-порожден-
ный свободный правый ^-модуль с базисом xit..., ха, то (как и
в случае векторных пространств)
т. е F* -является свободным левым ^-модулем с базисом 6X,..., бя.
Поскольку RR нётеров, то, в силу 6.1.3, и RF* нётеров.

13.3. Свойства дуальности квазифробениусовых колец 331
Пусть теперь
1=1
Поскольку t] — эпиморфизм, то
Нот(т], 1д): М* э а <—*¦ ar\ e F*
— мономорфизм. Так как RF* по доказанному нётеров, то и RM*
нётеров.
(Ь) следует из (а) и 6.1.3. ?
Из 13.3.1 в сочетании с результатами гл. 6 вытекает, что
если R артиново с обеих сторон, то для каждого конечно-порож-
конечно-порожденного правого или левого ^-модуля М все подмодули и фак-
тормодули модулей М и М* имеют конечную длину. Этот факт
будет использоваться в дальнейшем без специальных оговорок.
Далее, напомним, что lng(M) обозначает длину модуля М (т. е.
длину композиционного ряда для М).
13.3.2. Теорема. Для артинова с обеих сторон кольца R следу-
следующие условия эквивалентны:
A) R квазифробениусово;
B) модули, дуальные к простым правым R-модулям и к простым
левым R-модулям, тоже являются простыми;
C) для каждого конечно-порожденного правого R-модуля и каждого
конечно-порожденного левого R-модуля М
Ing (М) = Ing (M*).
Доказательство. „(\) => B)": Пусть ER прост. Из того что
RR является кообразующим, следует, что существует мономорфизм
fi: ERr+RR. Значит, Е* := HomR(ER, RR) ФО. Пусть теперь
Офа& Е*. Покажем, что E* = Ra, т. е. Е* прост. Поскольку
ER прост и а^О, та а должно быть мономорфизмом. Поскольку
RR инъективен, то для каждого | е Е* существует коммутатив-
коммутативная диаграмма
/

332 Гл. 13. Квазифробеииусовы кольца
где г'о — левое умножение на некоторый элемент r0 e R- Следова -
тельно, ? = /ух, т. е. E*=Ra. Рассуждение для случая левых
модулей аналогично.
„B)=>A)": Докажем, что выполнено условие 13.2.1E). Дока-
Доказательство проведем в два шага.
Шаг 1. Утверждение. Если Aq.Bq.Rr и В/А просто, то
1(А)/1(В) либо просто, либо равно нулю.
Действительно, отображение
:=xb, хеЦА),
является, как легко видеть, мономорфизмом, а (В/А)* по усло-
условию просто. Само собой разумеется, аналогичное утверждение
справедливо и для левых идеалов.
Шаг 2. Пусть теперь A Q RR. Тогда в RR существует компо-
композиционный ряд, содержащий А, скажем,
A) O = A,c;...<s. Am = R.
Действительно, рассмотрим цепь
(Н) R = l@)^l(A1)^...&l(R) = 0.
Согласно шагу 1, Ing (##) < Ing (RR). По симметрии lng(RR)^
^lng(RR), поэтому \ng(RR) = lng(RR). Следовательно, (ii) — ком-
композиционный ряд для RR. Но тогда и
— также композиционный ряд для RR. Так как (i) — композици-
композиционный ряд и AiQtl(Ai), то Ai = tt(Ai), г = 1,..., т\ в частности,
t[(A) — A. Аналогично доказывается, что к (В) — В для BqrR.
„A) Д B)=*C)": Проведем индукцию по lng(M^). В силу B)
наше утверждение верно для Ing (MR) — 1. Предположим, что оно
уже доказано для всех модулей с Ing (МЛ) =^/г. Пусть LR — мо-
модуль с Ing(LR) = «+1 и Е — его простой подмодуль. Тогда по
предположению индукции \ng((L/E)*) — n. Рассмотрим
(ортогональное дополнение к Е, см. § 12.1). Очевидно,
и, следовательно, lng(?0) = n.
В силу 12.6.1, отображение
г|з: L*/E°-*E*, у + Е°^(р\Е
является изоморфизмом и lng(?*) = l. Поэтому lng(L*)=n+l.
„C)=^B)": B) —частный случай C). ?

13.4. Классическое определение 333
13.4. Классическое определение
Приведенные выше характеризации квазифробениусовых колец
не делают классическое определение и связанные с ним дальней-
дальнейшие характеризации излишними, ибо эти последние дают хоро-
хорошую информацию о структуре идеалов квазифробениусовых колец.
Определение квазифробениусовых колец восходит к Т. Накаяме
A939 г.). Чтобы привести это определение, нам понадобятся
некоторые обозначения. Пусть R — артиново с обеих сторон кольцо
и N := rad(R). Запишем
R = Ап ©... © A igl е Л21 ©... © Лгг, ©... © Akl ©...© Akgk
= euR ©... © e\glR ф... © eklR ©.. .© ekgkR.
Это — разложение в прямую сумму' неразложимых правых идеа-
идеалов Aif — eijR с ортогональными идемпотентами elt,... ,ekg . При
этом индексация произведена таким образом, что ЛA,... ,Aig.
(i — \,...,k) суть в точности все правые идеалы из разложения,
изоморфные Ац. Для краткости положим Л,- := Ац и e,:=e,i.
Пусть еще R:= R/N и /¦:= r + N ei?. Ниже е и ё означают
какие-нибудь два из ортогональных идемпотентов ец. В силу 12.5.1,
Каждый из e-ijR прост —и как правый идеал в R, и как правый
/?-модуль (см. 11.4.3). Далее, каждый простой правый R-моцулъ
изоморфен некоторому {eijR)R (см. 9.3.4). Всё вместе это пока-
показывает, что
является системой представителей классов изоморфных простых
правых ^-модулей.
13.4.1. Замечание. Если е и е' —любые два из ортогональ-
ортогональных идемпотентов е^, то
eR^eR<=$Re9E:Re.
Доказательство. Согласно 12.5.1,
Поскольку R как полупростое кольцо инъективно с обеих сторон,
то, в силу 12.3.1 и 12.3.2,
Повторно применяя 12.5.1, приходим к искомому утверждению. D
Если eR для некоторого илемпотента ефб неразложим, то
это означает, что е нельзя представить в виде суммы е = е'-\-е"

334 Гл. 18. Квазифробеииусовы кольца
двух ненулевых ортогональных идемпотентов. Отсюда следует,
что и Re неразложим. Напомним, что в этом случае е называется
примитивным идемпотентом.
Таким образом, из приведенного выше правостороннего раз-
разложения для R получается левостороннее разложение
R = Ren®...®Relgl ®...®Rekl®...®Rekgk,
которое обладает аналогичными свойствами.
В следующей теореме в качестве одного из эквивалентных
условий фигурирует первоначальное определение квазифробениу-
совых колец, данное Накаямой.
13.4.2. Теорема. Для артинова с обеих сторон кольца R при-
приводимые ниже условия эквивалентны:
(a) R квазифробениусово;
(b) для каждого примитивного идемпотента е цоколи soc (eR) и
soc (Re) просты и в soc (Rr), соотв. в soc( RR), содержатся с точ-
точностью до изоморфизма все простые правые, соотв. левые, R-модули;
(c) для каждого примитивного идемпотента е цоколи soc (eR) и
soc (Re) просты и soc (RR) = soc (RR);
(d) (определение Накаямы) существует перестановка я множества
{1,..., k}, такая что для каждого i=l,...,k
soc (etR)RS* (en{{)R~)R, «soc (Ren{{)K*R(Re{).
t
Доказательство, „(a) =>(b)": Пусть Е — простой подмодуль
в eR. Поскольку eR инъективен как прямое слагаемое в RR, то
eR содержит инъективную оболочку этого Е, которая является
прямым слагаемым в eR. Из того что eR неразложим, следует,
что eR — инъективная оболочка для Е. Так как Ec^eR, то Е =
soc(eR). Этим доказано первое утверждение. Поскольку RR и
RR — кообразующие, то в soc (RR), соотв. в soc (RR), содержатся
с точностью до изоморфизма все простые правые, соотв. левые,
Я-модули.
„(Ь) :=> (с)": Так как soc (RR) содержит идеал, изоморфный
(eR)R, то (в силу равенства ёе=г) soc (RR) eф 0. Поскольку
soc (RR) — двусторонний идеал, отсюда вытекает, что он содержит
некоторый ненулевой подыдеал идеала Re, а значит и soc(^e) (ибо
последний прост и существен в Re). Таким образом, soc (RR) Q.
Q. soc (RR) (так как soc (RR) = soc (© Ret)) = © soc (Reit)). Обратное
включение доказывается совершенно аналогично.
„(с) => (Ь)": Пусть е — примитивный идемпотент. Из того что
0 Ф soc (Re) — soc (Re) e, следует, что
0 Ф soc (RR) e = soc (RR) e.
Следовательно, найдется такое *esoc(#R), что xeR прост. Тогда
^eR и, значит, имеет место (Ь).

13.4. Классическое определение* j 88Б
„(Ъ)/\(с) =$ (d)": Поскольку soc (e,R) прост, для каждого i&
{={!;...,?} найдется я (г) •= {1,..., k\, такое что
Таккак в soc (RR) = © soc (e^R) содержатся лишь простые ицеалы,
изоморфные некоторому soc(e,7?), / = 1,..., k, и в то же время,
согласно (Ь), должны быть представлены все классы изоморфных
правых ^-модулей, то {soc(etR) |i — 1,...,k} образует систему пред-
представителей этих классов. Поскольку {e,R\i—I,..., k} тоже обра-
образует систему представителей, то i*—*n(i) (см. (#)) является
перестановкой множества {l,...,k}. Если soc(eiR) — e,a,R, то из
изоморфизма soc (eiR) = en(i)R следует, что е^ещ^фО, поэтому
(^) i)^- Так как
О Ф e^fin (i) е soc (RR) = soc (RR),
TO
Re^ex (,-) c; soc (л/?) П Ren to = soc (Rea (i)),
а поскольку soc{Ren(t)) прост, мы заключаем, что
Тогда эпиморфизм
Re, э re,- и-* ге,щеп @ е soc
дает изоморфизм
чем и установлено(d).
„(d)=}(b)": В силу теоремы Крулля — Ремака — Шмидта можно
предполагать, что идемпотент е из (Ь) является одним из е,,
фигурирующих в (d), а тогда всё становится очевидным.
Тем самым доказано, что условия (Ь), (с) и (d) эквивалентны.
„(Ь)Л(с)=> (а)": Согласно 13.3.2, достаточно показать, что для
любого простого правого ^-модуля и любого простого левого
^-модуля дуальный модуль также является простым. Так как
изоморфные модули обладают изоморфными дуальными модулями,
достаточно установить, что для каждого soc (e,7?) и каждого
soc (Re,), i = 1,..., k, дуальный модуль прост, причем, в силу сим-
симметрии можно ограничиться случаем soc(e,/?). Покажем сперва,
что каждый ненулевой гомоморфизм
индуцируется умножением слева на некоторый элемент из Re,.
Используя доказанное выше равенство soc(e^) —e,a,en{i)Rt полу-
получаем
Ф (е«а,ея (Ог) = ф (е;а,ея (i)) ея щг, г <= R.

336 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
Если q:= <р(ед^яto) =/= 0> то Qen(i)R прост и, точно так же, как
и при доказательстве импликации (Ь)Д(с)=> (d), мы имеем @=/=
ФRqen(i) Q. soc (RR) ft Ren(i) = soc (Яея@) Д soc (Яея(/)) прост =>
=5Rqen(i)=soc(Re3f(i))), откуда вытекает, что
Я^жо = soc (Ren{i))=ReiaieIlii).
Следовательно, существует гое,- е Яе,, такое что
а значит,
ф (ега,-ея (,-> г) = <7бя (Ог = г
Если умножение цоколя soc(eiR)=eiaieliWR слева на элемент
хе,-, хе/?, записывать как (хе;)л, тоф = (г0е<)л. Итак, отображение
1|з: ^е,- э дк/1-* (хе/)л s (soc (e,7?))*
есть эпиморфизм. Положим N:=va&(R). Поскольку
= Nsoc (RR),
то NeiQ.ker(ty). Так как 1|з=/=0 и, согласно 11.4.3, Л/е, —единствен-
—единственный максимальный идеал в Reit то ker (tJj) = Net. Таким образом,
etQ* (soc
и, следовательно, (soc(e,7?))* прост, ч. т. д. П
13.4.3. Следствие. Если кольцо R артиново с обеих сторон, то
следующие условия эквивалентны:
A) R фробениусово;
B) soc (RR)^(R/rad (R))R/\Rsoc (RR) ^R(R/rad (R));
C) R квазифробениусово Д
soc (RR)R s* (R/rad (R))R или Rsoc (RR) ^ R(/?/rad (^)).
Доказательство. „A)=>B)ДC)": Очевидно из определения
13.2.2B).
„B)=>A)": Так как в (R/N)R, соотв. в R(R/N), содержатся
с точностью до изоморфизма все простые правые, соотв. все про-
простые левые ^-модули, то же самое имеет место и для soc (RR)R,
соотв. для Rsoc(RR). Поскольку
0 soc (e,fR) = soc (RR) ^ (R/N)R = 0 eifR
и все etjR просты, подсчет числа слагаемых показывает, что и
все soc (eijR) просты. Левосторонний случай разбирается аналоги-
аналогично. Таким образом, выполнено условие 13.4.2 (Ь).
„C)=>A)": Пусть soc(Rr)rQe(R/N)r. Согласно 13.4.2(d), это
эквивалентно тому, что ?(=?Я(л для всех i=\,...,k. Поскольку,
ввиду 13.4.1, gi не зависят от рассматриваемой стороны, то
Rsoc(RR)^R(R/N), ч. т. д. П

13.5.- Квазифробениусовы алгебры 337
13.5. Квазифробениусовы алгебры
Главная цель последующих рассмотрений —показать, что ква-
квазифробениусовы, соотв. фробен-иусовы, кольца в случае, когда
они являются алгебрами над полем, могут быть также описаны
с помощью классического определения-квазифробениусовых, соотв.
фробениусовых, алгебр.
Пусть К — поле и ##—унитарная /(-алгебра (см. 2.2.5). Это
означает, в частности, что RK есть унитарный Л-модуль, т. е.
векторное пространство над К. Алгебра RK называется конечно-
конечномерной, если размерность R как векторного пространства над К
конечна. Если A Q. RR, то для аеД, k^K
т. е. всякий правый идеал является и /(-подпространством
в RK. Если В Q. RR, то для всех hsB, keК
так что и левые идеалы тоже являются /(-подпространствами.
Для всякого /(-подпространства U в RK его размерность над /(
будем, как обычно, обозначать через dim^ ((/). Если dim# ((/)¦< со,
то для идеалов A Q, В Q. RR, соотв. AQ.B Q. rR, имеем
Ф ¦ Ф
din^ (A) < dim*- (В) < оо.
Следовательно, в этом случае R представляет собой артиново
с обеих сторон кольцо, потому что любая строго убывающая
цепь идеалов обрывается через самое большее dii% (R) шагов.
Рассмотрим теперь отображение
¦n:K^k^ik(=R (Is/?).
Из того, что I (k1-\-k2) = lk1-\-lki и .
1 (*А) = {Щ) К = (ОВД *i = 0*,) A^2),
следует, что х —кольцевой гомоморфизм. Для единицы е алгебры
К имеем 1е=1, поэтому к — ненулевой гомоморфизм и, следо-
следовательно (поскольку К —поле), мономорфизм. Далее, к(К) лежи?
в центре кольца R. Действительно,
Ввиду этого факта мы можем и будем всюду далее предполагать,
что К — подполе центра R (т. е. К заменяется на к (К) и к (К)
снова называется К).
Пусть'теперь d\mK(R) — n. Рассмотрим дуальное к RK вектор-
векторное пространство
R*:=HomK(R, К),
12 Ф. Каш

838 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
для которого также dimK(R*) = n. (Заметьте, что теперь * отно-
относится к К, а не к R, как раньше!) Правило
(ф/-)(*):=ср (пс), среЯ*, г, x&R,
превращает R* в правый ^-модуль. Из того что п = dim*(R)
= dimK(R*), следует, что R и R* изоморфны как векторные
пространства над К- Одним из существенных для дальнейшего
вопросов является вопрос, изоморфны ли R и R* также как
правые ^-модули. Мы покажем, что это так в том и только том
случае, когда R — фробениусово кольцо.
13.5.1. Лемма. Пусть dimK(R)=n. Для ф е R* следующие усло-
условия эквивалентны:
A) кег(ф) не содержит ненулевых правых идейлов R;
B) кег (ф) не содержит ненулевых левых идеалов R;
C) /: #я э г н-*¦ фг е R% является R-изоморфизмом.
Доказательство. „A)=>C)": Если фг = 0, то ср(гх) — О для
всех x^R, т. е. ф(л#) = 0. Отсюда в силу A) следует, что г —0,
т. е. / — мономорфизм. Поскольку d\mK(R) = di^mK(R*) =n, то
/ — изоморфизм.
„C)=>A)": ф (rR) = 0 => фг = 0 => (поскольку / — изоморфизм)
г = 0. Э1им показано, что имеет место A).
„B) => C)": q>R является /(-подпространством в R*. Предполо-
Предположим, что (pR=?R*. Тогда найдется 0=?x^R, такое что ср(гх)=0
для всех г ^ R (можно взять любое ненулевое х из ортогональ-
ортогонального дополнения к cpR в R). Следовательно, cp(Rx)=0, в проти-
противоречие с B)! Таким образом, q>R = R*, т. е. / — эпиморфизм,
а значит, по размерностным соображениям, изоморфизм.
„C) =s> B)": Для каждого Oфx^R найдется такое |е#*,
что \(х)=/=0. Пусть | = фг. Тогда у(гх)фО, а следовательно,
<р(Я*)#О, т. е. Rx<?ka(q>). П
13.5.2. Определение. Линейная функция ф «а /?^, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям 13.5.1, называется невырожденной.
13.5.3. Следствие. Если dii%(#)<;oo, то следующие условия экви-
эквивалентны:
A) на RK существует невырожденная линейная функция;
B) RRg*R%.
Доказательство. „A)=}B)": Это следует из 13.5.1.
„B)=>A)": Пусть f:RR^R% и <р:=/A). Тогда

19.5. Квазифробеииусовы алгебры
так что f'.R&rt—»-<pr &R*. Поэтому, согласно 13.5.1, <р невы-
рожденна. П
13.5.4. Определение. Пусть d\mK(R)<.oo.
(a) Алгебра R называется фробениусовой, если. RrquR%
(b) Алгебра R называется квазифробениусовой, если нераз-
неразложимые прямые слагаемые в RR и R% совпадают с точностью
до изоморфизма и перестановки слагаемых (т. е. каждому прямому
слагаемому в RR соответствует изоморфное ему прямое слагаемое
в R%, и обратно).
В этом определении мы придерживаемся классической форму-
формулировки, с тем чтобы сделать доступнее старую литературу в этой
области. Разъясним, что оно означает с современной точки зрения.
В основе всего лежит то обстоятельство, что для произвольной
конечномерной алгебры RK дуальное пространство R% как правый
Я-модуль является инъективной оболочкой для (R/rad(R))R, откуда
сразу следует, что R% является инъективным кообразующим.
Поэтому условие (Ь) эквивалентно тому, что R% является инъек-
инъективным кообразующим, и, значит, представляет собой квазифро-
бениусово кольцо, а условие (а) означает, что, кроме того,
soc (RR) e* soc (R%) e* (Я/rad (R))R,
т. е. R является даже фробениусовым кольцом. Всё это сейчас
мы докажем строго.
Для того чтобы доказать, что R% — инъективная оболочка
модуля (R/rad (R))r, установим сперва тот факт, что каждая
полупростая конечномерная алгебра является фробениусовой. При
этом алгебра называется полупростой, если она полупроста как
кольцо (см. § 8.2).
13.5.5. Следствия. A) Если RK — фробениусова алгебра, S^ —
произвольная К-алгебра и R = S (изоморфизм К-алгебр), то SK •—
фробениусова алгебра.
B) Пусть
— разложение К-алгебры RK в прямую сумму ненулевых двусто-
двусторонних идеалов. Алгебра R фробениусова тогда и только тогда,
когда каждый идеал Аи i — \,:..,m, является фробениусовой
алгеброй.
C) Пусть L — тело, содержаще К в центре, причем dim* (L)<;oo.
Тогда кольцо всех квадратных матриц порядка п (neN с коэф-
коэффициентами из L является фробениусовой алгеброй над К.
D) Каждая конечножрная полупростая алгебра фробениусова.
E) Если G — конечная (мультипликативная) группа и К — поле,
то групповое кольцо GK является фробениусовой алгеброй над К.
12*

340 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
Доказательство. A) Изоморфизм алгебр р: R-+S является
кольцевым гомоморфизмом, для которого р (х) к = р (xk) при всех
х е R, As К- Пусть ф — невырожденная линейная функция на RK.
Тогда фр — невырожденная линейная функция на SK, так как из
0 = фр-1 (s0S) = Ф (p-t (So) p-1 (S)) = ф (р-1 (s0) R)
следует, что p-1(so) = O, т. е. so = O.
B) Если ф — невырожденная линейная функция на RK, то
ф|Л, г = 1, ..., т, —невырожденная линейная функция на Л,-.
Это сразу становится ясным, если заметить, что AtAj = 0 при
1ф\ и, стало быть, aAt = aR для ае4 Обратно, если ф,- —
невырожденная линейная функция на Л,-, i = 1, ..., т, то ф =
= (ф!,..., фт) — невырожденная линейная функция R, поскольку из
следует, что 0==ф,(а,Л<) для всех i и, значит, по предположению
at = b, г== 1, ..., т.
C) Пусть wlt ..., Wm, где wx = 1 — базис LK над К и d/y —
матрица с 1 на (г, /)-м месте и 0 на остальных. Тогда, очевидно,
dyWt (t, /= 1 ,...,«;/= 1,.... m) — базис кольца матриц L"- " над /(.
Определим функцию ф: Ln-n-*-K формулой
Это—невырожденная линейная функция. Действительно, пусть
Тогда найдется й';/о^0. Следовательно,
Таким образом, ядро <р не содержит ненулевого правого идеала.
D) На основании 8.2.4 и B) можно ограничиться случаем,
когда Rk — простая конечномерная алгебра. Тогда можно приме-
применить 8.3.2. Пусть Е — простой правый идеал в R. Положим
L := End (ER). Тогда iE — конечномерное векторное пространство
над L. Пусть vlt ..., vn — какой-нибудь базис LE. Согласно8.32,
имеем кольцевой изоморфизм
р: R=sr*-+{h,)<=Ln'n, lU(=L,

13.5. Квазифробениусовы алгебры
где матрица Aц) определяется из условия
Так как К содержится в центре R, то К является подполем в L,
а поскольку К a R, то даже подполем центра L. Следовательно,
L"' " является также /(-алгеброй, причем (/,-,) k — (U)k) для k^K',
здесь Ujk— произведение в L. Поэтому для rk имеем
= 1 / /=1
а значит,
P (rk) = p(r)k,
т. е. р есть /(-изоморфизм алгебр. Теперь наше утверждение
следует из A) и C).
E) Пусть \G\ = n и G = {gt = e, g2, .... gn\. Тогда
ф:<Жэ f
— невырожденная линейная функция. Действительно, если
л
скажем, fy =^= 0, то
так что ker (ф) не содержит ненулевых правых идеалов. D
13.5.6. Теорема. Пусть К —поле. Для всякой конечномерной
К-алгебры RK
(a) R/rad (R) ^ soc (R%) как правые R-модули;
(b) R% — инъективная оболочка для (R/rad (R))r',
(c) R% — инъективный кообразующий.
Доказательство проведем в несколько шагов.
Шаг 1. R% инъективен. Доказательство этого факта совершенно
аналогично доказательству предложения 5.5.2. В роли Z высту-
выступает теперь К, а в роли Dz выступает Кк'> Z-инъективности
Dz соответствует теперь /С-инъективность Кк- После этих измене-
изменений доказательство предложения 5.5.2 дословно переносится на
наш случай.

942 Гл. 13. Квазифробеннусовы кольца
Шаг 2. Согласно 9.3.6, soc(RR) — lR* (rad(R)). Мы утверждаем,
что gel«« (rad (#))<=> rad (#)Gker(g). Действительно, пусть
для всех u^rad(R) и всех x^R. Беря х=1, получаем
rad (R) Q. ker (?). Обратно, пусть имеет место это включение.
Тогда (поскольку rad (R) — правый идеал)
для всех и е rad (R), «ei? и, следовательно, ? е lR* (rad (R)).
Шаг 3. Для g e soc (R%) обозначим через 1 индуцированную g
линейную функцию
1: R/rad (/?) э x+rad (/?) •— g (x) e /С.
Мы утверждаем, что отображение
К)
является Я-изоморфизмом. То, что это Я-мономорфизм, очевидно.
Пусть теперь g e Honi^ (R/rad (R), К) и
v: R-+R/rad (R).
Тогда gv^soc(R%) и gv — g. Следовательно, ^ — изоморфизм.
Шаг 4. Поскольку i?/rad (R) — конечномерная полупростая
/(-алгебра, то по 13.5.5 существует R/rad (Я)-изоморфизм
Л: Нот* (R/rad (R), К) -> R/rad (/?),
который мы можем и будем рассматривать также как ^-изомор-
^-изоморфизм. В итоге мы имеем изоморфизм
+(R/rad(R))R.
Этим доказано утверждение (а). Обозначим обратный изоморфизм
через /.
Шаг 5. Пусть i: soc (RR)-+R*R — включение. Поскольку
soc (R%) cj* RR (в силу артиновости) и R% инъективен, то
i/: (R/rad(R))R-*RR
•—инъективная оболочка. Эгим доказано утверждение (Ь).
Шаг 6. Так как в (R/rad (R))R содержатся с точностью до
изоморфизма все простые ^-модули, то R% является кообразующим,
т. е. выполнено (с). D
Дадим теперь обещанное строгое доказательство.
13.5.7. Теорема. Пусть RK — конечномерная алгебра над полем К.
A) Алгебра RK квазифробениусова тогда и только тогда, когда,
Ц — квазифробениусово кольцо.

13.6. Характеризация квазифробениусовых колец 343
B) Алгебра RK фробениусова тогда и только тогда, когда R—
фробениусово кольцо.
Доказательство. A) Напомним, что модуль является кообра-
зующим, если и только если для любой инъективной оболочки
каждого простого модуля он содержит изоморфный этой оболочке
подмодуль. Последний будет тогда неразложимым прямым сла-
слагаемым кообразующего. Поскольку, согласно 13.5.6, R% есть
(инъективный) кообразующий, то RR является кообразующим
в том и только том случае, когда Rk — квазифробениусова алгебра.
B) Если ## —фробениусова алгебра, то Rk — тоже квазифро-
квазифробениусова алгебра, а значит, в силу A), квазифробениусово кольцо.
Далее, в силу 13.5.6 и изоморфизма R%^R
(R/r ad (#))« ?ё soc (R%) g* soc (RR).
На основании 13.4.3 заключаем, что R — фробениусово кольцо.
Обратно, пусть R — фробениусово кольцо. Тогда # —квазифро-
—квазифробениусово кольцо и по определению имеем
Следовательно, инъективная оболочка R% модуля (R/rad (R))R
изоморфна инъективной оболочке RR модуля soc(RR), поэтому
Rk — фробениусова алгебра. То что RR действительно является
инъективной оболочкой для soc (RR), следует из инъективности RR
и того факта, что для артиновых колец soc(RR)c*RR. П
13.6. Характеризация квазифробениусовых колец
В заключение мы вернемся еще раз к общему случаю квази-
квазифробениусовых колец и дадим для них одну интересную характе-
ризацию. Она интересна, в частности, тем, что здесь для полу-
получения алгебраических результатов существенно используются
теоретико-множественные рассуждения. Мы должны будем при
этом применить некоторые теоретико-множественные факты, кото-
которые в этой книге не доказываются, однако их доказательства
можно найти в любом учебнике по теории множеств.
13.6.1. Теорема (Фейс —Уокер). Для кольца R следующие усло-
условия эквивалентны:
A) R — квазифробениусобо кольцо;
B) каждьш проективный правый R-модуль инъективен',
C) каждый инъективный правый R-модуль проективен.
Доказательство. Проведем доказательство по схеме A)=> B),
A)=^C), B)=^A), C)=^A). При этом первые две импликации
доказываются легко, и мы сперва сразу освободимся от них,

344 Гл. 13. Квазифробеннусрвы кольца
в то время как для двух .последних нужно будет заводить речь
издалека.
„(\)=$B)": Так как RR инъективен и нётеров, то согласно
6.5.1 каждый свободный правый R-модуль инъективен, а значит
и каждое прямое слагаемое такого .модуля инъективно. Следова-
Следовательно, каждый проективный правый 7?-модуль инъективен.
„A):=>C)": Пусть QR — инъективный Я-модуль. Согласно 6.6.4,
Q есть лрямая сумма подмодулей, которые являются инъективными
оболочками простых правых /?-модулей. Поэтому достаточно пока-
показать, что каждый такой модуль проективен. Но действительно,
поскольку RR — кообразующий, каждая проективная оболочка
простою правого 7?-модуля изоморфна прямому слагаемому в RR
и потому проективна.
Для продолжения доказательства нам понадобится следующее
13.&.2. Предложение. ^Пусть R — произвольное кольцо R иМц~—
произвольный R-модуль. Если модуль M(N) инъективен, то R удо-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для правых идеалов
вида tR(U), где UaM.
Доказательство. Предположим противное, г. е. что суще-
существуют ?/,• с7И,-, i'eN, такие что'
Тогда (поскольку xRlMxR{U) =
Выберем для каждого ieN
x,(=lMtR(Ut), Xif
Тогда найдется такой элемент ai+1 s tR (Ui+1), что ед+i 'Ф 0. Поло-
Положим, далее,
Ясно, что A Q. RR и для каждого оеЛ существует па е N,
такое что
для всех i ~^na.
Отсюда вытекает,, что
х{а = 0 для всех 15= По-
Последовательно, для элемента х:— {хлхгх9...)
ха = (XiaXid ... хПогХа 000 ...) е /H(N).

13.6. Характернзация хвазифробениусовых колец 345
Стало быть,
'<рх: А =э а <—* ха е M (N>
— гомоморфизм. По нашему предположению M(N) инъективен,
поэтому существует коммутативная диаграмма
Пусть p(l) = (ziz2 ... 2„000...). Тогда для всех ае А
<рх(а) = ля = р (а) = р A) а = (гга ... zna 000...).
Следовательно, xta = 0 для всех i > п и всех а е= А, в частности
Xiai+i = 0 при i>n ^. ?
Продолжим теперь доказательство теоремы 13.6.1.
„B)=?A)": Так как по предположению /?(N> — инъективный
правый .R-модуль, мы можем применить 13.6.2 для случая MR = RR.
Получим, что R удовлетворяет условию обрыва возрастающих
цепей для идеалов вида г#(?/), где U a R. Поскольку RR инъек-
тивен, то, в силу 12.4.2, R удовлетворяет условию обрыва убы-
убывающих цепей для конечно-порожденных, в частности для цикли-
циклических левых идеалов. На основании 11.6.3 заключаем, что RR-—
совершенный модуль. Положим N := rad(R). Тогда цепь
обрывается, т. е. существует t s N, для которого
Так как Л^'— двусторонний идеал, то и rR (Л/') —двусторонний
идеал. Предположим, что tR(Nt)ФR. Тогда, согласно 11.6.3,
soc
Пусть je — какой-нибудь ненулевой элемент из этого цоколя. Тогда
x&tR(N') и (поскольку цоколь полупрост) Nx = 0, следовательно,
NxctR(N'). Поэтому
стало быть ^er^(JV'+1) = tfl(JV') ty. Это противоречие показывает,
что tR(N') = R, а потому N' = 0, т. е. N = rad(R) нильпотентен.
Следовательно, RR также является совершенным. Согласно 11.6.3,
каждый ненулевой правый ^-модуль имеет тогда ненулевой цоколь.

346 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
Поэтому soc (RR) cf Rr- Этим показано, что выполнено условие
12.5.6F), откуда следует, что RR — кообразующий. Поэтому,
в силу 12.4.1, tRlR(A) — A для каждого правого идеала А в R
и, следовательно, RR нётеров. Так как, кроме того, RR инъективен,
то (по 13.2.1) R квазифробениусово. Этим показано, что B)=^A).
„C) =$ A)": Так как каждый инъективный правый ^-модуль
проективен, то каждый инъективный модуль можно мономорфно
отобразить в свободный модуль. Поскольку каждый правый
^-модуль можно мономорфно отобразить в некоторый инъективный
модуль, то (по 4.8.2) RR является кообразующим. Теперь надо
показать, что модуль RR нётеров.- Пусть QR — его инъективная
оболочка. Так как Яд —кообразующий, то и QR — кообразующий.
Мы вначале предположим, что Q(N) инъективен, и закончим дока-
доказательство импликации C)=эA) при этом предположении; дока-
доказательство инъективности Q(N> мы приведем в конце. Согласно
13.6.2 (при MR = QR), R удовлетворяет условию обрыва возрастаю-
возрастающих цепей для правых идеалов вида tR (U), где U cQ. Так как,
в силу 12.4.1, каждый правый идеал в R имеет такой вид, то
RR нётеров, и тем самым доказательство завершено, — в предпо-
предположении, что уже доказана инъективность Q(N).
Если до сих пор доказательство проходило в рамках привычных
рассуждений, то в дальнейшем нам придется существенно исполь-
использовать теоретико-множественные рассуждения. Отдельные шаги
доказательства, представляющие самостоятельный интерес, мы
сформулируем в виде самостоятельных предложений.
Наша ближайшая цель — доказать теорему Капланского, утвер-
утверждающую, что каждый проективный модуль является прямой
суммой счетно-порожденных подмодулей. При этом „счетный"
включает в себя „конечный".
13.6.3. Предложение. Пусть R — произвольное кольцо и М—
произвольный R-модуль. Предположим, что
М= 0 М/ = А®В,
i
где каждый модуль Mj счетно-порожден. Тогда для каждого мно~
жества Я с У, такого что
удовлетворяет условию
существует множество I, H с I a J, такое что
Ф
W := © М/

13.6. Характериэация кваэифробеняусовых колец 347
удовлетворяет условиям
где С — некоторый счетно-порожденнцй подмодуль.
Доказательство. Пусть аир (= \м — а) — проекции, соот-
соответствующие разложению М = А® В. Пусть iQ e J\H. Поскольку
Mi счетно-порожден, то a(Mi0) и Р(М,-0) счетно-порождены. Поэтому
найдется такое счетное множество 1Х с J, что
Q 0 М,.
/е/.
Поскольку каждый модуль Mj счетно-порожден и Д — счетное
множество, то © Mj счетно-порожден. Следовательно, существует
счетное множество /2 с: J, для которого
/;© +р е щь е У
Продолжая по индукции, получаем последовательность счетных
множеств
/о '•— \'о}| -^1» /г» • • •»
таких что
MjQu(® мЛ + р/ф МЛс; 0 Mj.
Поскольку im (a) = А и im (Р) = В, это означает, что
(*) .© MJQ.fAC\i © M,-\ + fB(] © МЛ.
Ясно, что множества
L:= U /«ИДЯ
л = 0, 1, 2, ...
также счетны. Положим I:—H\]L и
0 }, @ j
i<~L\H /e/
Очевидно, V тоже счетно-порождено. Мы утверждаем, что
Прежде всего ясно, что (A(]W)®(B (]W) Q.W. Чтобы доказать
обратное включение, мы покажем, что каждое Mj, j s /, содер-
содержится в (A f) W) ® (В A Ц7). Для /еЯ это верно по предположению.

348 Гл. 13. Квазифробеинусовы кольца
Если же / е L\H, причем, скажем,, / е /„, то это имеет место
согласно (*).
Из равенств
и закона модулярности следует, что
A(]W = (A(]U)®C, B(]W =
где
C:=((BftU)®V)()A, D:=
Отсюда вытекает, что
W = (А П W) ® (В П W)
Так как W = U®V, то мы получаем, что
Таким образом, С является эпиморфным образом счетно-порожден-
ного модуля V и потому сам счетно-порожден. ?
13.6.4. Теорема. Пусть R — произвольное кольцо и М — произволь-
произвольный R-модуль. Если
, = А®В,
где подмодули Mj счетно-порождены, то модули А и В являются
прямыми суммами счетно-порожденных подмодулей.
Доказательство. Само собой разумеется, достаточно доказать
утверждение для А. Пусть {Ах | Я е Л} — множество всех счетно-
порожденных подмодулей модуля А. Положим
Х:={(Я, Г)|Яс /ДГс=Л
а © М/=(А{\ е мл®(ва е мл
= е ал.
)
Так как (ф, 0)еХ, то Хфф. Введем на А' порядок следую-
следующим образом:
Если Y,с X — произвольное вполне упорядоченное подмножество,
то, как легко проверить,
(#', Г'), где Я':= U Я, F:= U Г,
(Я, Г)еУ (Я. Г)У

13.6. Характеризация квазифробениусовых колец 849
служит верхней гранью для У в X. По лемме Цорна существует
некоторый максимальный элемент (Н, Г) е X. Допустив, что
Н ФЛ, мы получили бы, согласно 13.6.3, что существует строго
больший элемент в X fy. Поэтому // = /. ?
13.6.5. Следствие. Каждый проективный R-модуль над произ-
произвольным кольцом R является прямой, суммой счетно-порожденных
подмодулей.
Доказательство. Поскольку каждый проективный ^-модуль
изоморфен прямому слагаемому некоторого свободного .R-модуля,
это утверждение следует из 13.6.4 при M = i?(J). ?
13.6.6. Предложение. Пусть R — произвольное кольцо и AR-—
конечно-порожденный R-модуль. Тогда если инъективная оболочка
модуля А проективна, то она конечно-порождена.
Доказательство. Так как все инъективные оболочки А изо-
изоморфны, то без ограничения общности можно считать, что А —
подмодуль своей инъективной оболочки Q. Поскольку модуль Q
проективен, существует мономорфизм
ц: Q-*W>
в некоторый свободный /?-модуль. Так как А конечно-порожден,
найдется конечное подмножество JQ с J, для которого
Обозначая через п проекцию R(J) на #(/»>, получаем, чтопц| А—¦
мономорфизм. Поскольку /4cfQ, то и пц — мономорфизм. Следо-
Следовательно, модуль jth(Q) конечно-порожден как прямое слагаемое
в №J>\ а тогда конечно-порожден и Q. ?
13.6.7. Следствие. Для произвольного кольца R имеет место
следующее: каждый R-модуль, который одновременно проективен
и ин.ъективен, является прямой суммой конечно-порожденных
подмодулей.
Доказательство. Согласно 13.6.5, достаточно доказать утвер-
утверждение для счетно-порожденного одновременно проективного и
инъективного ^-модуля М. Пусть
М = 2 XiR
¦—такой модуль. Обозначим через QtQ.M инъективную оболочку
для XtR. Так как модуль Qx —прямое слагаемое в М, то он также
проективен и, стало быть, согласно 13.6.6, конечно-порожден. Пусть

3S0 Гл. 13. Квазифробеннусовы кольца
Тогда Вг также проективен и инъективен. Пусть уже индуктивно
построены Qlt ..., Qn и Вп, такие что
п
и хъ ..., х„ s 0 Qit и пусть
хп+1 = ап+1 + Ь„+1, где ап+1 е= © ф, Ь„+1 <= В„.
Возьмем в качестве (?„« с; Бл инъективную оболочку для bn+1R.
Для полученной таким образом последовательности конечно-
порожденных прямых слагаемых
Qu Q2» ^з> • • •»
л
удовлетворяющей условию хи ..., х„е 0 Q;, очевидно имеет
место равенство
М= ф Qt. а
Покажем теперь инъективность модуля Q(N) из доказательства
импликации C)=>A) в теореме 13.6.1. Напомним, что Q — инъек-
тивная оболочка для Rr. По предположению Q также проективен
и потому, согласно 13.6.6, конечно-порожден. Пусть теперь т—
некоторое бесконечное кардинальное число, строго большее 21Л|,
где | R | — кардинальное число множества R. Если AR — конечно-
порожденный ^-модуль, то т больше, чем кардинальное число
множества всех подмодулей в AR, так как это множество является
частью множества всех подмножеств в R, а последнее множество
имеет кардинальное число 2^' (см. любой учебник по теории
множеств).
Пусть теперь / — какое-нибудь множество с кардинальным
числом т. Положим
M: = Q' = Y[ Qh гДе Qt — Q Для всех i s /.
Так как модуль Q инъективен, то и М инъективен, а следовательно,
также проективен. Пусть QJ —образ сомножителя Qt = Q при
каноническом мономорфизме аг)г (см. 4.1.5).
С другой стороны, согласно 13.6.7, М есть прямая сумма
конечно-порожденных подмодулей:
М = ф М,.

13.6. Характеризации квазифробеииусовых колец 351
Выберем произвольное ^е/. Поскольку модуль Q'tt конечно-
порожден, существует конечное подмножество Ji с J, такое что
Q'itC+ ф Mj.
feJt
Положим еще
Q(i) := Q'u и Dt := 0 Mj. •
Ясно, что модуль Di конечно-порожден и найдется BxQ-Di,
для. которого
Рассмотрим множество
Это множество подмодулей конечно-порожденного модуля Dv
В силу выбора кардинального числа т множества / не все
DiOQi различны между собой (трансфинитный принцип ящи-
ящиков). Пусть, скажем,
Поскольку Q'ia[)Q'k = 0, то
Следовательно,
0 Mjlh © М,
eJ /еДУ
— мономорфизм (здесь ц и п2 — соответствующие включение и
проекция, причем ker (n2i2) = Ьх П Q/s = 0, ибо ker (ni) = D1). Так
как QJ, конечно-порожден, существует конечное множество
JiClJ\Jl,
такое что
im (n2i2) С D2 : = © Mj.
В силу выбора /2 имеем /1ЛЛ=Ф- Пусть теперь
Q<2) := im(n2i2).
Тогда
и существует такое В2, что

352 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
По индукции мы можем построить модуль Q'in, in^I\{ii
in-i}, для которого
п
а также конечное множество
удовлетворяющее условию
im(nnin)QDn :=» ф Mj.
Далее,
лп(ли...ил-х)=ф.
Если положить
Q(n) :== im(nnin),
то снова Q{n)^Q и существует такое Вя, что
Для получающихся таким образом последовательностей
Ji, J2, /31 •••» 1 "г> ^з. •••.
имеют место следующие соотношения:
(*) Q(N)g^ 0 Q (ПОСКОЛЬКУ Q0)^Q),
N
= ф Mj = (® МЛ®( ф УИ;Л
/У 1/еН / \jeJ\n )
= Ф / Ф МЛ = ф Д- = ф (Q(i) ® ВЛ,
где
Я:= [J У,.
Следовательно,
М = ( ф
Таким образом, модуль
ф (ЗЛф/ © ВЛ®( ф

Упражнения 353
является прямым слагаемым инъективного модуля М и потому
сам инъективен. Тогда, согласно (*), и Q(N) также инъективен,
что и требовалось доказать. Тем самым доказательство импли-
импликации C)=>A) завершено. ?
Упражнения
1. Показать, что
a) коммутативное артиново кольцо тогда и только тогда квазифробениусово,
когда оно является прямой суммой идеалов, имеющих простые цоколи;
b) каждое коммутативное квазифробгниусово кольцо является фробениусовым;
c) если R—коммутативное кольцо главных идеалов без делителей нуля и
ОФ AC, Rjj, то R/A — фробениусово кольцо.
2. Пусть К — поле и R— кольцо всех матриц вида
/a b\ v
'Q I, где a, b, cs=K.
а) Доказать, что для х = [п
\и с]
A) х обратим слева <i=> x обратим справа С=> ас =7^0;
B) х нильпотентен <=>*2 = 0 С=$>а = с=0;
^ (/0 0\ /1 0\ /О Ь
C) »^^^ ( j (
D) x^ простев* =7^0 Д ° = 0; ^* прост <J=^x =?ьО Д c=0.
b) Доказать, что
r.dW-($*0). «<**)-B
( ' (К К
vR (rad (/?)) = soc (RR), \R (rad (/?)) = soc (tf^),
B) ^ (soc (RR)) = soc foR), 1^ (soc (fy)) = 0,
t/?(soc(^))=0, iR (soc (ЛЛ)) == soc
C) soc (/?^) как левый идеал является, прямым слагаемым, но как правый
идеал не цикличен (а следовательно, не является прямым слагаемым);
D) soc (R#) как правый идеал является прямым слагаемым, но как левый
не цикличен.
с) Найти решетку правых идеалов кольца R, а именно показать, что
A) Ing (Яд) = 3;
B) максимальные правые идеалы в R суть soc (Я^) и soc (rR);
C) простые правые идеалы в R суть rad (R) и

354 Гл. 13. Квазифробениусовы кольца
D) решетка правых идеалов имеет следующий вид:
R
eoc(RR).
d) Найти инъективную оболочку модуля ^
A)-для всех k e К
как правые /?-модулн;
а именно показать, что
B) единственные инъективные правые идеалы в R суть 0 и soc
„
~ инъектив-
C) R является подкольцом в S :
ная оболочка для Rn
к
3. Доказать следующие утверждения:
A) Пусть R — квазифробениусово кольцо. Если е е R — идемпотент, для кото-
которого eR — двусторонний идеал, то е лежит в центре R. (Указание. Покажите,
что факторкольцо R/eR тоже квазифробениусово, и воспользуйтесь этим фак-
фактом.)
B) Пусть А н В —кольца, АМВ — бнмодуль н R : = I Y Тогда R квази-
квазифробениусово <J=^ А и В квазифробениусовы и М = 0.
4. Пусть К — поле и R — коммутативная К -алгебра с базисом 1, о, ft, с и
умножением
\r — r\=r для re/?, ab = ba=Q, aa = 62=c.
Доказать следующие утверждения:
a) Для *= 1^! +0*2 + ^3+^4 е й й е /С)
1) х обратим С=> ?х Ф 0;
2) х нильпотентен <=> л3 = 0 <=> Ах = 0 <=^ х е rad (/?);
3) х е= soc (/?)<=> ^ = ^ = ^ = 0.
b) Пусть N := rad (/?). Тогда JV2 = soc (R) = cR и О С. с/? С а/? С, N С, R —
композиционный ряд для /?^. В частности, soc (/?) прост, и следовательно,
R — квазифробениусово кольцо.
c) Положим Ak := (ak-\-b)R для каждого А е /С. Тогда
A) с/? С ЛА С JV, причем Аь Ф Ак, для k ф k".
B) если {/ — идеал в R длины 2, то либо U = aR, либо U = Ak для некото-
некоторого А е К. (Указание: покажите сперва, что U цикличен.)
C) Найти решетку идеалов R.
d) Факторкольцо R/N2 не является квазифробениусовым.
5. Пусть кольцо R коммутативно и артиново. Показать, что
а) если А — максимальный идеал в R, то инъективная оболочка фактормо-
дуля R/A конечно-порождена;

Упражнение J6g
b) для каждого конечно-порожденного /?-модуля указанная инъектнвная обо-
оболочка тоже конечно-порождена;
c) если G — минимальный кообразующнй в JHR, то кольцо S :«= Id
определенное в упр. 10 к гл. 12, квазифробениусово н обладает фактор-
кольцом, изоморфным R.
(Указание к а). Пусть Q—инъективвая оболочка для R/A и B(:=Iq(A{).
Покажите сперва, что фактормодуль В,-+1/В(-'конечно-порожден.)
6. Пусть RR нётеров и каждый циклический левый /?-модуль рефлексивен.
Показать, что
a} R артиново справа и слева;
b) каждый максимальный правый идеал В является аннуляторным идеалом
(т. е. B=tR\R(B)). (Указание: если Е — простой левый /?-модуль н
AR — простой модуль с Л| О, ER., то RA^RE);
c) если RRczMR и M/R прост, то /?д —прямое слагаемое в MR)
d) R квазнфробениусово.
7. Доказать, что каждое кольцо с полной дуальностью, совершенное с одной
стороны, является квазифробениусовым.
8. Показать, что все рефлексивные модули над квазнфробеннусовым кольцом
конечно-порождены.

Литература
Учебники по кольцам и модулям (в порядке выхода в свет)
[1] Э. Артин, С. Несбитт, Р. Тролл (Е. Artin, С. Nesbitt, R. Thrall) Rings with
Minimum Condition. Ann Arbor, Mich. 1944.
[2] H. Джекобсон (Jacobson N.) Structure of Rings. Amer. Math. Soc. Coll, Publ.
37A956). [Имеется перевод: Строение колец. — M.: ИЛ, 1961.]
[3J Н. Бурбаки (N. Bourbaki) Algebre. Paris 1958. Chap. 8. [Имеется перевод:
Алгебра. Гл. VII—IX. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.)
[4] Дж. П. Дженс (J. P. Jans) Rings and Homology, New York, 1964.
[5] И. Ламбек (J. Lambek) Lectures on Rings and Modules. New York—London,
1966. [Имеется перевод: Кольца и модули. — М.: Мир, 1971.]
[6] К. Фейс (Faith С.) Lectures on lnjektive Modules and Quotient Rings. Ber-
Berlin — Heidelberg — New York, 1976. = Lecture Notes in Math. 49.
[7] H. Бурбаки (N. Bourbaki) Algebre. Paris 1970, Chap. 2. [Имеется перевод
более раннего издания: Алгебра. Гл. I—III. Алгебраические структуры.
Линейная и нелинейная алгебра. — М. Физматгиз, 1962].
[8] Д. У. Шарп, П. Вамош (D. W. Sharpe, P. Vamos) lnjektive Modules. London
1972.
[9] X. Татикава (H. Tachikawa) Quasi-Frobenius Rings and Generalizations,
QF-3 and QF-1 Rings. Berlin — Heidelberg — New York,. 1973.= Lecture
Notes in Math. 351.
[10] Ф. У. Эндерсон *, К. Р. Фуллер (F. W. Anderson, K. R. Fuller) Rings and Ca-
Categories of Modules. Berlin — Heidelberg — New York, 1974.
[11] Б. Стенстрём (В. Stenstrom) Rings of Quotients, Berlin — Heidelberg—
New York, 1975.
Литература к главам 11—13 (в хронологическом порядке)
(работы по QF-3- и QF-1-кольцам не указаны,
их можно найти в списке литературы в книге Татикавы [9])
[1] Т. Накаяма (Т. Nakayama) On Frobenius algebras I, Ann. Math. 40, B) A939),
611-633.
[2] Т. Накаяма (Т. Nakayama) On Frobenius algebras II, Ann. Math. 42, B) A941),
1-21.
[3] Т. Накаяма (Т. Nakayama) On Frobenius algebras III. Jap. J. Math. 18 A942),
49-65.
[4] Ф. Каш (F. Kasch) Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen.
Math. Ann. 127 A954), 453-474.
[5] С. Эйлеиберг, Т. Накаяма (S. Eilenberg, T. Nakayama) On the dimension of
modules and algebras II (Frobenius algebras and quasi-Frobenius rings). Nagoya
Math. J. 9 A956), 1-16.
[6] Ж. Дьёдонне (J. Dieudonne) Remarks on quasi-Frobenius rings. Illinois J. Math.
2 A958), 346—354.
[7] И. Капланский (I, Kaplansky) Projective modules. Ann, Math, 68 A958).
372-377.
Андерсон. —Прим, ред.

Литература 367
[8] К- Морита (К. Morita) Duality for modules and its applications to the theory
of rings with minimum condition. Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, A6 A958),
83-142.
[9] X. Татикава (Н. Tachikawa) Duality theorem of character modules for rings
with minimum condition. Math. Z. 68 A958), 479—487.
]10] Г. Адзумая (G. Azumaya) A duality theory for injektive modules. Amer.
J. Math. 81 A958), 249—278.
[11] X. Басе (H. Bass) Finitistic dimension and a homclogical generalization of
semi-primary rings. Trans. Amer. Math.'Soc. 95 (IS60), 466—488.
[12] Ф. Каш (F. Kasch) Projektive Frobeniuserweiterungen. Sitz.-Ber. Heidelber-
ger Akad. VViss. A960/61), 89—109.
[13] Ф. Каш (F. Kasch) Dualitatseigen?chaften von Fro'jeni iserweiterungen. Math.
Z. 77 A961), 219-227.
[141 *• Каш (F. Kasch) Ein Satz iiber Frobeniuserweiterungen. Arch. Math. 12
A961), 102—104.
[15] Э. А. Маргз l (A. Mares) Semi-perfect modules. Math. Z. 82 A963), 347—360.
[16] Б. Й. Мюллер (В. J. Miiller) Quasi-Frobenius-Erweiterungen. Math. Z. 85
A964), 345—368.
[17] К- Морита (К. Morita) Adjoint pairs of functors and Frobeniusextensions.
Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku 9 A965), 40—71.
[18] Б. Й. Мюллер (В. J. Miiller) Quasi-Frobenius-Erweiterungen II. Math. Z. 88
A965), 380—409.
[19] Г. Адзумая (G. Azumaya) Completely faithful modules and selfinjective rings.
Nagoya Math. J. 27 A966), 697-708.
[20] К. Фейс (С. Faith) Rings with ascending chain condition on annihilators. Na-
Nagoya Math. J. 27 A966), 179—191.
[21] Ф. Каш, Э. А. Марез (F. Kasch, E. A. Mares) Eine Kennzeichnung semi-perfek-
ter Moduln. Nagoya Math. J. 27 A966), 525—529.
[22] Дз. Миясита (J. Miyashita) Quasi-projective modules, perfect modules and
a theorem for modular lattices. J.Fac. Sc.Hokkaido Univ. 19 A966), 86—110.
[23] К- Морита (К. Morita) On S-rings in the sense of F. Kasch. Nagoya Math. J.
27 A966), 687—695.
[24] Б. Л. Ософская (В. L. Osofsky) A generalization of quasi-Frobenius rings.
J. Algebra 4 A966), 373—387.
[25] P. Реичлер (R. Rentschler) Eine Bemerkung zu Ringen mit Minimalbedingung
fur Hauptideale. Arch. Math. 17 A966), 298—301.
[26] К- Фейс, Э. Уокер (С. Faith, A. Walker) Direct sum representations of
injective modules. J. Algebra 5 A967), 203—221.
[27] Т. Като (Т. Kato) Se!f-injective rings. Tohoku Math. Z. 19 A967), 469—479.
[28] Ю. Утуми (Y. Utumi) Self-injective rings. J. Algebra 6 A967), 56—64.
[29] Т. Като (Т. Kato) Torsionless modules. Tahoku Math. J. 20 A968), 234—243.
[30] Т. Като (Т. Kato) Some generalizations of QF-rings. Proc. Jap. He. 44 A968),
114—119.
[31] Т. Оиодэра (Т. Onodera) Ober Kogeneratoren. Arch. Math. 19 A968), 402—410.
[32] Я.-Э. Бьёрк (J.-E. Bjork) Rings satisfing a minimum, condition on principal
ideals. J. reine angew. Math. 236 A969), 112—119.
[33] Ж.-И. Шамар (J.-Y. Chamard) Anneaux semi-parfaits et presque-frobeniusi-
ens. С R. Acad. Sci. Paris 269 A969), 556—559.
[34] K- P- Фуллер (К. R. Fuller) On indecomposable injectives over artinian rings.
Pacific J. Math. 29 A969), 115—135.
[35] Ф. Каш, Х.-Й. Шнайдер, X. Й. Штольберг (F. Kasch, H.-J. Schneider, H. J.
Stolberg) On injective modules and cogenerators. Carnegie-Mellon Univ. Report
23 A969), 1-23.
[36] Г. О. Михлер (G. O. Michler) Idempotent ideals in perfect rings, Canadian
J. Math. 21 A969), 301—309.
=Mapec, — Прим. ред.

358 Литература
[37] Э. Э. Раттер (Е. A. Rutter) Two characterizations of quasi-Frobenius rings.
Pacific J. Math. .30 A969), 777-784.
[381 Ф. Л. Сандомирски (F. L. Sandomierski) On semi-perfect and perfect rings,
Proc. Amer. Math. Soc. 21 A969), 205—207.
[39] Д. Иона1 (D. Jonah) Rings with minimum condition for principal right ideals
have the maximum condition for principal left ideals. Math. Z. 113 A970),
106-112.
[40] Б. Й. Мюллер (В. J. Muller) On semi-perfect rings. Illinois J. Math. 14 A970),
464-467.
[41] Ф. Л. Сандомирски (F. L. Sandomierski) Some examples of right self-injective
rings which are not left self-injective. Proc. Amer. Math. Soc. 26 A970), 244—
245.
[42] И. С. Голан (I. S. Golan) Quasi-perfect modules. Quart. J. Math. Oxford 22
A971), 173-182.
[43] Т. Онодэра (Т. Onodera) Eine Bemerkung uber Kogeneratoren. Proc. Jap.
Acad. 47 A971), 140-142.
[44] Т. Онодэра (Т. Onodera) Eine Satz fiber koendlich erzeugte RZ-Moduln, Tohoku
Math. J. 23 A971), 691-695.
[45] Б. Л. Ософская (В. L. Osofsky) Loewy lenght of perfect rings. Proc. Amer.
Math. Soc. 28 A971), 352-354.
[46] Э. Э. Раттер (E. A. Rutter) PF-modules. Tohoku Math. J. 23 A971), 201—206.
[47] P. Уэйр (R. Ware) Endomorphismrings of projective modules. Trans. Amer.
Math. Soc. 155 A971), 233-256.
[48] У. Оберет, Х.-Й. Шнайдер (U. Oberst, H.-J. SohrHder) Die Struktur von pro-
jektiven Moduln. Invent, math. 13 A971), 295—304.
[49] Ф. У. Эндерсон, К- Р- Фуллер (F. W. Anderson, K. R. Fuller) Modules with
decompositions that complement direct summands. J. Algebra 22 A972), 241 —
253.
[50] И. Бек (I. Beck) Projective and free modules. Math. Z. 129 A972), 231—234.
[51] Ф. Каш, Б. Парайгис (F. Kasch, В. Pareigis) Einfache Untermoduln von Ko-
Kogeneratoren. Sitz.-Ber. Bay. Akad. Wiss. A972), 45—76.
[52] Т. Онодэра (Т. Onodera) Linearly compact modules and cogenerators. J. Fac.
Sci. Hokkaido 22 A972), 116-125.
[53] Э. Т. Ханнула (А. Т. Hannula) On the construction of quasi-Frobenius rings.
J. Algebra 25 A973), 403-414.
[54] Г. Хаугер, В. Циммерманн (G. Hauger, W. Zimmermann) Quasi-Frobenius-
Moduln. Arch. Math. 24 A973), 379—386.
[55] Л. А. Скорняков. Еще о квазнфробениусовых кольцах. — Матем. сб., 1973,
92, № 4, 518—529.
[56] Г. Адзумая (G. Azumaya) Characterization of semi-perfect and perfect modu-
modules. Math. Z. 140 A974), 95—103.
[57] P. С. Каннингэм, Э. Э. Раттер (R. S. Cunningham, E, A. Rutter) Perfect modu-
modules. Math. Z. 140 A974), 105-110.
[58] P. Минг (R. Y. С Ming) On simple P-injective modules. Math. Japonicae 19
A974), 173-176.
[59] Б. Й. Мюллер (В. J. Muller) The structure of quasi-Frobenius rings. Can. J. Math.
26 A974), 1141-1151.
[60] X. Цёшингер (Н. Zoschinger) Komplementierte Moduln uber Dedekindringen.
J. Algebra 29 A974), 42—56.
[61] X. Цбшингер (H. Zoschinger) Komplemente als direkte Summanden. Arch.
Math. 25 A974), 241-253.
[62] Г. Хаугер (G. Hauger) Aufsteigende Kettenbedingungen fur zyklische Mo-
Moduln und perfekte Endomorphismenringe. Acta Math. Ac. Sci, Hungar, 1976,
28, № 3—4, 275—278.
1 = Ионах.— Прим. ред.

Литература . 359
[63] Т. Такэути (Т. Takeuchi) The endomorphism ring of a indecomposable module
with an Artinian projective cover. Hokkaido Math. J. 4 A975), 265—267.
[64] Т. Такэути (Т. Takeuchi) On cofinite-demensional modules. Hokkaido Math. J.
5.A976), 1—43.
[65] В. Циммерманн (W. Zimmermann) Ober die aufsteigende Kettenbedingung
fur Annullatoren. Arch. Math. 27 A976), 261—266.
Литература, добавленная при переводе
[66] И. Т. Адамсон (I. Т. Adamson) Rings, modules and algebras. Oliver and Boyd,
Edinburgh, 1971.
[67] И. Т. Адамсон (I, T. Adamson) Elementary rings and modules, Oliver and Boyd,
1972; New York, 1973.
[68] В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин. Радикалы алгебр и структурная тео-
теория. — М.: Наука, 1979.
[69] М. Атья, И. Макдоиальд (М. F. Atiyah, I. Q. Macdonald) Введение в комму-
коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
[70] М. Ауслэидер, Д. Буксбаум (М. Auslander, D. A. Buchsbaum) Groups, rings,
modules. Harper and Row, New York, 1974.
[71] Т. Блис (Т. S. Blith) Module theory. An approach to linear algebra. Oxford
University Press, Oxford, 1977.
[72] И. Букур, А. Деляиу (I. Bucur, A. Deleany) Введение в теорию категорий
и функторов. — М.: Мир, 1972.
[73] А. Картан, С. Эйленберг (Н. Cartan, S. Eilenberg) Гомологическая алгебра.—
М.: ИЛ, 1960.
[74] П. Кон (P. Cohn) Свободные кольца и их связи. — М.: Мир, 1975.
[75] Ч. Кэртис, И. РаЙнер (С. W. Curtis, I. Reiner) Теория представлений конеч-
конечных групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.
76] С. Ленг (S. Lang) Алгебра. — М.: Мир, 1968.
77] С. Маклейн (S. MacLane) Гомология. — М.: Мир, 1965.
.78] А. В. Михалёв. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей.—
В сб.: Алгебра. Геометрия. Топология (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР).—
М.: 1974, с. 51-76.
[79] А. В. Михалёв, Л. А. Скорняков. Модули. — В сб.: Алгебра. Геометрия.
Топология. 1968. (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР), — М.: 1970, с. 57—
100.
[80] А. В. Михалёв, Л. А. Скорняков. Модули. I—IV. — Новосибирск: 1973.
[81] А. В. Михалёв, Л. А. Скорняков. Модули. — В сб.: Алгебра. Геометрия.
Топология (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). — М.: 1976, с. 57—190.
[82] А. П. Мишина, Л. А. Скорняков. Абелевы группы и модули. — М.: Наука,
1969. [Имеется переработанное английское издание 1976 г.]
[83] Г. Ренольт (Q. Renault) Algebre поп commutative. Gauthier-Villars, Paris,
1975.
[84] Л. А. Скорняков. Модули. — В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965
, (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). — М.: 1967, с. 181-216.
[85] А. Сольян (A. Solian) Theory of modules. An introduction to the theory of
module categories, Editura Academiei RSR—Wiley, Bucurefti—London,
1977.
[86] К- Фейс (С. Faith) Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1, 2. — М.: Мир,
1977, 1979.
[87] Л. Фукс (L. Fuchs) Бесконечные абелевы группы. Т. 1,2,— М.: Мир, 1974,
1977.
[88] И. Херстейи (I. Herstein) Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
[89] П. Хилтон, By (P. J. Hilton, Y.-Ch. Wu) A course in modern algebra. John
Wiley and Sons, New York, 1974.
[90] M. Ш. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер. Основы теории категорий, — М,: Наука,
1974.

Именной указатель
Адамсон И. Т. (]. Т. Adamson) 359
Адзумая Г. (G. Azumaya) 316, 357, 358
Александров П. С. 182, 184
Андерсон см. Эндерсон
Андрунакневич В. А. 5, 359
Артин Э. (Е. Artin) 356
Атья М. (М. F. Attyah) 359 . .
Ауслэндер' М. (М. Auslander) 359
Басе X (Н. Bass) 255, 267, 357
Бек И. A. Beck) 358
Блнс Т. (Т. S. Bllth) 359
Буксбаум Д. (D. A. Buchsbaum) 359
Букур И. (I. Bucur) 6, 359
Бурбакн Н. (N. Bourbakl) 356
Бьёрк Я.-Э. (J.-E. Bjork) 295, 357
Вамош П. (P. VSmos) 356
By (Y.-Ch. Wu) 359
Голан И. С. (I. S. Golan) 358
Деляну A. (A. Deleanu) 6, 359
Джекобсон Н. (N. Jacobson) 356
Дженс Дж. П. (J. P. Jans) 356
Дьёдоние Ж. (J. Dieudonne) 301, 356
Иона (= Йоиах) Д. ,(D. Jonah) 358
Каниингэм Р. С. (R. S. Cunningham) 358
Капланский И. (I. Kaplansky5) 356
Картан А. (Н. Cartan) 359
Като Т. (Т. Kato) 357
Каш Ф. (Friedrlch K.asch) 5, 7, 356 — 358
Кои П. (P. Conn) 5. 359
Кострикин А. И. 5
Кэртис Ч. (С. W. Curtis) 359
Ламбек И. (J. Lambek) 5, 536
Ленг С. (S. Lang) 359
Макдональд И. (I. G. Macdonald) 359
Маклейн С. (S. MacLane) 359
Марез (= Марес) Э. А. (Е. A. Mares) 357
Минг P. (R. Y. С. Ming) 358
Михалёв А. В. 359
Михлер Г. О. (G. О. Michler) 357
Мишина А. П. 5, 359
Мнясита Дз. (J. Miyashila) 357
Морита К. (К. Mori la) 357
Мюллер Б. Й. (В. J. Mflller) 357, 358
Мюллер В. (W. Mfiller) 7
Накаяма Т. (Т. Nakayama) 327, 333, 334,
356
Несбитт G. (О. Nesbitt) 356
Нётер Э. (Е. Noether) 145, 267
Оберет У. (U. Oberst) 358
Онодэра Т. (Т. Onodera) 357, 358
Ософская Б. Л. (В. L. Osofsky) 357, 358
Парайгис Б. (В. Pareigis) 6, 9, 358
Райнер И. A. Reiner) 359
Раттер Э. Э. (Е. A. Rutter) 358
Ренольт Г. (G. Renault) 359
Ренчлер P. (R. Renlschler) 357
Рябухин Ю. М. 5, 359
Сандомнрски Ф. Л. (F. L. SandomlerskI)
358
Скорняков Л. А. 5, 358, 359
Сольян A. (A. Solian) 359
Стенстрём Б. (В. Stenslrom) 356
Такэути Т. (Т. Takeuchi) 359
Татнкава X. (Н. Tachikawa) 356, 357
Тролл P. (R. Thrall) 356
Уокер Э. Э. (Е. A. Walker) 343, 357
Утуми Ю. (Y. Utuml) 357
Уэйр P. (R. Ware) 358
Фейс К. (С. Faith) 5, 241, 343, 356, 357,
359
Фукс Л. (L. Fuchs) 5, 359
Фуллер К. Р. (К. R. Fuller) 356—358
Хапнула Э. Т. (А. Т. Hannula) 358
Хаугер Г. (G. Hauger) 358
Херстейн И. (I. Herstein) 5, 359
Хилтон П. (P. Hilton) 359
Цаленко М. Ш. 6, 359
Цёшннгер X. (Н. ZOschinger) 7, 358
Циммерманн В. (W. Zimniermann) 7, 358,
359
Шамар Ж.-И. (J.-Y. Chamard) 357
Шарп Д. У. (D. W. Sharpe) 356
Шнайдер Х.-И. (H.-J. Schneider) 357, 358
Штольберг X. Й. (П. J. Stolberg) 357
Шульгейфер Е. Г. 6, 359
Эйленберг С. (S. Eilenberg) 356, 359
Эндерсон Ф. У. (F. W. Anderson) 356, 358

Предметный указатель1
а. д. [Adko) 112
автоморфизм [Automorphismus] 12, 55.
аддитивное дополнение lArlditlonskompIe-
ment] 112
алгебра [Algebra] 28
— квазифробеннусова IQuasi-Frobenlus-]
339
— конечномерная [enrllich dimensionale]
337
— полупростая [halbehilachej 339
— фробеннусова [Frobenius-] 327, 339
амальгама [Fasersumme, pushout (англ.)] 96
аннулятор [AnnuIIator] 143, 312
аннуляторный идеал [Annullatorideal] 355
артинов [artinsch] 145, 146
базис [Basis) 31
— проективный [projektive] 217
без кручения [torsionsfrei] 142
бнадднтнвнын [biadditiv] 241
бндуальнбш [bldual] 76
бнекцня [BIjektIon] 47
бнмодуль [Bimodul]'25
бнморфнзм [Bimorphismus] 12, 49
блок [Block] 199
большой [grofi] 106
Бьёрка теорема 295
Бэра критерии [Baersches Kriterium] 130
Веддербёрна теорема 197, 201
[вполне первичный идеал Estarkes Primldeal]
41
Гильберта теорема о базнсе 153
главный идеал I На up t! deal] 30
Голди размерность 185
гомология [Homologie] 78
гомоморфизм [Homomorphlsmus] 46, 54
— бндуальный [bidualer] 76
— дуальный [dualer] 76, 303
— косущественный [klelner] 106
— существенный [groSer] 106
^— унитарный [unitarer] 55
— Фробениуса [Frobenlus-] 326
групповое кольцо [Gruppenrlng] 95
д.п. [Duko] 112
двусторонний [zweiseitlg] 26
дедекиндово кольцо [Dedeklndrlng] 142
делимая группа [teilbare Gruppe] 23, 92
делитель нуля [Nullteiler] 41
диаграммный поиск [Diagrammjagd] 79
длина [Lange]
— модуля 68
— цепи 66
дополнение [Komplement] 112, 128, 301
— аддитивное [Additions-] 112
— ортогональное [orthogonales] 301
— по пересечению [Durchschnittskomple-
ment] 112, 128
дуалнзацня [Dualisieren] 23
дуальный [dual] 14, 76, 301, 303
естественный
— преобразование функторов 17
— эквивалентность 18
Жордана—Пльдера—Шрайера теорема 67
забывающий функтор [VergiBfunktor] 15
закон модулярности [modulares Qesetz] 38
— унитарности [unitares Qesetz] 24
замена| колец [change of rings (англ.)] 56
— сторон [Vertauschtmg der Seiten] 204
идеал [Ideal] 26
— аннуляторный [Annulator-] 355
— вполне первичный [starkes Prim-] 41
— главный [Haupt-] 26, 27, 30
— двусторонний [zweiseitiges] 26
— квазирегулярный [quasiregulares] 219
— косущественный [kleines] 106
— левый [Links-] 26
— максимальный [maximales] 27
— минимальный [minlmales] 27
— ннльпотентный [nllpotentes] 220
— однородный [irreduzibles] 266
— первичный [Prim-] 41
— правый [Rechts-] 26
— простой [einfaches] 27
— существенный [groBes] 106
— циклический [iyklisches] 30
идемпотент [idempotent] 172
— примитивный [primitives] 334
изоморфизм [Isomorphismus] 12, 49, 55
инъективный [lnjektiv]. 117, 124, 323
инъекция [injektion] 47
Кальдерона теорема 149
Капланского теорема 346
категория [Kategorie] 10
— дуальная [duale] 14
* В квадратных скобках приведены оригинальные немецкие термины. В тех слу-
случаях, когда в оригинале используется англоязычный термин, он дается о соответ-
соответствующей пометой. Термины-прилагательные приводятся в мужском роде и при
повторениях заменяются тире, даже если онн повторяются в другом роде. На воз-
возможность варьирования рода указывает курсивный шрифт окончания (например,
левый). — Прим. ред.

362 Предметный указатель
— малая [kleine] 18
— с копроизведениями Emit Koproduklen]
22
— — произведениями [mit Produkten] 22
Каша свойство 302
квазирегулярный [quaslregular] 219
квазифробеннусов [Quasi-Frobenius-] 327,
328, 339
коамальгама iFaserproduct, pullback (англ.)]
96
коатомарный [koatomar] 236
кольцевой гомоморфизм [Ringhomomor-
phismits] 54
кольцо [Ring]
— артиново [artinscher] 146
— без делителей нуля [nuliteilerfreler] 41
— вычетов [Restklassen-] 41
— главных идеалов [Hauptideal-] 26,
165
— групповое [Gruppen-] 95
— квазифробениусово [Quasl-Frobenius-]
327, 328
— левых умножений [der Llnksmultlpli-
katoren] 204
>— локальное Elokaler] 170
— нётерово [noetherscher]
— полугрупповое [Monoid-] 94, 95
— полупростое [halbeinfacher] 190
— полусовершенное [seml-perfekter] 270
— простое [einfacher] 27
— противоположное [inverser] 203
— регулярное [regularer]
— с полной дуальностью [mlt vollkomme-
пег Duaiitat] 301, 302
— совершенное [perfekter] 255, 268, 288
— фробениусово [Frobenius-] 327, 328
— хорошее [guier] 234
— эндоморфизмов [Endomorphlsmen-] 72
компактно-порожденный [kompakt erzeugt]
235
компактный [kompakt] 235
комплекс [Romplex] 77
композиционный ряд [Kompositlonskette]
66
композиция см. умножение
конечно-копорожденный [endlich koerzeugt]
37
конечномерный [endllchdlmenslonal] 185,
337
конечно-порожденный [endllch erreugt] 30,
37
кообраз [Robild] 48
кообразующий [Kogenerator] 57
копроизведенне [Koprodukt] 21
несущественный [klein, fiberflDssig] 106, 235
коядро [Kokern] 48
Крулля—Ремака—Шмидта теорема 179
левый [link] 24, 25
— обратный [Llnkslnverses] 41, 168
— умножение [Linksmuitipiikator] 73, 204
лемма о дуальном базисе [Dualbasls-Lem-
ma] 120
локализация [Lokalisierung] 170
— — радикала [radikaifreier] 266
— бидуальный [bidualer] 76
— большой [grofier] 106
— гомологии 1-й [i-te Homologie-] 78
— делимый [teiibarer] 104, 142
— Дуальный [dualer] 76, 301
— инъективный [injektiver] И7
— классов вычетов [Restklassen-] 40
— коатомарный [koatomarer] 236
— конечной длины [von endiicher Lange]
66
— конечно-копорожденный [endlich koer-
zeugler] 37
— конечномерный [endlichdlmensionaler]
185
— конечно-порожденный [endlich erzeug-
ter] 30, 37
— левый [Links-] 24
— линейио-компактный [llnear-kompakter]
322
— малый [klelner] 106
— неразложимый [direkt unrerlegbarer] 39,
161
— — в сумму [unrerlegbarer] 166, 279
— иётеров [noetherscher] 145
— однородный [Irreduzibler] 161
— пло.ский [flacher] 253
— плотный [dlchter] 206
— полуартинов [halbartinscher] 236
— полунётеров [halbnoetherscher] 236
— полупростой [halbeinfacher] i07, 190
— полурефлексивиый [torsionslos] 76
— полусовершеиный [semi-perfekter] 269
— правый LRechts-] 24
— проективный [projektiver] 117
— простой [einfacher] 27
— разложимый [direkt rerlegbar] 161
— с дополнениями [kompiementierterj 269
— свободный [freier] 90
— точный [treuer] 204
— циклический [zykiischer] 30
— Х-однозиачный [X-eindeutig] 141
— Х^-ииъективный fx^-injektiver] 142
— У^-проективный [У^-projektiver] 143
моноид [Monoid] 94
мономорфизм [monomorphismus] 11, 49
— расщепляющий [zerfaiiender] 64
— чистый [reiner] 260 v.
морфизм [Morphismus] i0
— функторный [funktorielier] 17, 18
Накаямы лемма 216
направленный [gerichtet] 235, 323
невырожденная линейная функция [nicht-
ausgeartete lineare Funktion] 338
неразложимый [direkt unzerlegbar] 39
— в сумму [unzeriegbar] 166, 279
иётеров [noe.thersch] 145, 146
ниль-идеал LNiiideai] 220
нильпртент [Nilpotent] 172
максимальный [maximal] 27, 129
малый [klein] 18, 106
Машке теорема 193
минимальный [minimal] 27
модуль [Modul] 24
— артинов [artinscher] 145
— без кручения [torsionsfreier] 142
— — — в смысле Басса [torsionslos] 76
область значений [Ziel] 47
— определения [Quelle] 47
оболочка [Hfliie]
— ииъективная [injektive] 124
— проективная [projektive] 124
образ [Bild] 47, 48
образующий [Generator] 57
образующих система [Efreugensystem] 30

Предметный указатель
363
обратимый [invertierbar] 168
— слева [links-] 168
— справа [rechts-] i68
обратный элемент [inverses Element] 41, 168
обрывающийся [stationer] 146
объект 'категории [Objkt elner Kategorie] 10
однородная компонента [homogene Kompo-
nentej 192
однородный lirreduzibei] 161, 266
ортогональное дополнение [orthogonales
Komplement] 301
раещепляющий [zerfallend] 64, 78
регулярный [regular] 105, 258, 266
рефлексивный [reflexiv] 77, 302
решение семейства [Losung der Famille] 322
решётка [Verband] 53
— компактно-порожденная [kompakt-er-
zeugter] 235
— модулярная Imodularer] 235
— полная [volIstSndlger] 53
первичный идеал [Primideal] 4i
периодическая часть [Torstonsuntergruppe]
105
плоский IHachJ 253
плотный [dlcht] 206
подмодуль [Untermodui] 25
— большой [groBer] i06
— замкнутый [abgeschiossenerj i39
— косущественный [kielner, (iberfliissigerj
106
— кручения [Torsions-] 139
— максимальный [maxlmaler] 27
— малый [kielnerJ 106
— минимальный [minimalerj 27
— порожденный [erzeugter] 29
— сингулярный [singularer] 139
— собственный techier] 25
— существенный [groSer, wesentllcherj 106
— циклический [zykiischer] 26
— чистый [relner] 260
поднятие [Hochheben] 272, 273, 285
— идемпотента 285
— разложения 272, 273
подцепь Ueilkette] 66
поле частных [Quotlentenkorper] 171
полуартинов [hablartlnsch] 236
полугрупповое кольцо [Monoldring] 94, 95
полунётеров [halbnoethersch] 236
полупростой [halbeinfach] 107, 190, 339
полурефлекснвный [torslonsios] 76
полусовершеииый [seml-perfekt] 269, 276
правый [recht] 24, 25
— обратный [RechtsInversesJ 4i, i68
— умножение [Rechtsmultiplikator] 73
предрадикал [Praradlkal] 213
проективный [projektiv] П7, 124, 217
— семейство [Famiile] 323
произведение [Produkt] 21, 140
— идеалов 41
— колец [Ring-J 140
— прямое tdirektes] 83, 186
пропускания свойство [Faktorlslerungsei-
genschaft] 239, 242
простой [einfach] 27
прямой [direkt]
— разложение [Zeriegung] 39
— слагаемое tSummand] 39, 64
— сумма [Summe] 38, 83, 86
радикал [Radtkal] 210, 21 i, 218
разложение [Zeriegung] 39
разложимый [direkt zeriegbar] 161
— в сумму [zeriegbar] 279 — 280
размерность [Dimension] 185
расширение [Erwelterung]
— существенное [groBe] 129
— — максимальное [maximal] 129
самообразующнй [Selbstgenerator] 238
сбалансированное отображение [tensorlelle
Abbildung] 241
свободный [frei] 30, 90, 92
система образующих [Erzeugendensystem]
30
совершенный [perfekt] 255, 268, 288
стабилизирующийся [slationSr] 146
сумма прямая [dlrekte Summe] 36, 83, 86
существениьш [groB, wesentllch] 106, 129
сюръекция [Surjektlon] 47
тензорное произведение tTensorproduktJ
240
— — гомоморфизмов 244
теорема Гильберта о базисе LHIlbertscher
Basissatz] 153
— о гомоморфизмах [Homomorphiesatz]
59
— об изоморфизме i-я Li-er Isomorphiesatz]
61
— — — 2-я [2-er Isomorphisatz] 62
— плотности [Dlchtesatz] 203
тождественный морфизм [ldentltSt] 10
точная последовательность [exakte Foige] 77
— — короткая Ikurze] 78
— — расщепляющая [zerfallende] 78
точный модуль [treuer Modui] 204
траисфинитио нильпотентиый [transflnit-
niipotent] 255
умножение [Multipiikation] 10
унитарный [unitar] 55
уплотнение (цепи) [Verfelnerung] 66
условие максимальности [Maximalbedin-
gung] U6
— минимальности [Minimalbedingung] 146
— обрыва возрастающих цепей [aufstei-
gende Kettenbedingung] 148
— — убывающих цепей [absteigende Kei-
tenbedlngung] 148
Нктор цепи [Faktor einer Kette] 66
кторкольцо [Faktorring] 4i
ктормодуль [Faktormodul] 40
Фейса—Уокера теорема 343
финитный [endllchwertlg] 83
Фробениуса гомоморфизм [Frobenlushomo-
morphlsmum] 326
фробениусов [Frobenius-J 327, 328, 339
функтор [Funktor] 15, 16
— забывающий [VergIB-] i5
— ковариантный [kovarianter] i5
— контравариантный [kontravarianter] 15
— 'Представления [darsteiiender] 16
*- сопряженный ladjungierter] 19

364 Предметный указатель
функториый изоморфизм [funktorieller lso-
morphismus] 18, 19
— морфизм [Morphismus] 17, 18
Цассенхауза лемма 61
центр [Zentrum] 28, 71
централизатор [Zentralizator] 205
цепь [Kette] 66
— обрывающаяся [stationary] 146
— стабилизирующаяся [statioriare] 146
циклический [zyklisch] 26, 30
цоколь [Sockel] 210, 212
Цорна лемма 34
чистый [rein] 260
Шура лемма 74
эндоморфизм [Endomorphismus] 12
— конечномерный [endlichdimensionaler]
200
эпиморфизм [EpimorphisimisJ 12, 49
— расщепляющий [zerfallender] 64
ядро [Кегп] 48
PF-кольцо [PF-Ring] 316
Лнильпотентпый [f-nilpotent] 268, 286
+-дополиение 112
П-дополнение 112

Указатель обозначений
Bin 242 Lat 53, 54
cen 71, 205- Ing 68
clis 208 Мог 10, 17
coim 48 Ob 10
coker- 48 r 143, 312
deg 154 rad 210, 211, 219, 235
dim 185 ran 11, 47
dom 11, 47 rang 323
e 223 sing 139, 167
End 72' soc 140, 210, 212
Funct 18 T 105, 139
har 236
hnr 236 ' 112
Horn 13 ' 112
im 47, 48 | | 193
ker 48 c? 106
I 143, 312 c* 106
1 См. также стр. 8. —Прим. ред.

Оглавление
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие " 6
Используемые в книге обозначения ." 8
1. Некоторые основные понятия теории категорий 9
1.1. Определение категории 9
1.2. Примеры категорий 12
1.3. Функторы 14
1.4. Функторные морфизмы и сопряженные функторы 17
1.5. Произведения и копроизведения 20
Упражнения 23
2. Модули, подмодули и фактормодули 24
2.1. Предположения и соглашения 24
2.2. Подмодули и идеалы 25
2.3. Пересечения и суммы подмодулей 29
2.4. Внутренние прямые суммы , 38
2.5. Фактормодули и факторкольца 40
Упражнения , 43
3. Гомоморфизмы модулей и колец 46
3.1. Определения и некоторые простые свойства 46
8.2. Гомоморфизмы колец 54
8.3. Образующие и кообразующие 57
3.4. Разложения гомоморфизмов в произведение 59
3.6. Теорема Жордана—Г.ёльдера — Шрайера , 66
3.6. Свойства функтора Нош , 69
3.7. Кольцо эндоморфизмов модуля 72
3.8. Дуальные модули " 74
3.9. Точные последовательности , 77
Упражнения 80
4. Прямые произведения, прямые суммы, свободные модули 82
4.1. Конструкция произведений и копроизведений 82
4.2. Связь между внешними и внутренними прямыми суммами ... 86
4.3. Гомоморфизмы прямых произведений и сумм 87
4.4. Свободные модули 89
4.5. Свободные и делимые абелевы группы . , 92

Оглавление 367
4.6. Полугрупповые кольца 94
4.7. Амальгама и коамальгама 96
4.8. Некоторые характеризации образующих и кообразующих . . . 100
Упражнения 103
5. Инъективные и проективные модули 106
5.1 Косущеавенные и существенные подмодули 106
5.2. Дополнения 112
5.3. Определение инъективных и проективных модулей и некоторые
простые следствия 115
5.4. Проективные модули 120
5.5. Инъективные модули 121
5.6. Инъективные и проективные оболочки 124
5.7. Критерий Бэра , 130
5.8. Дальнейшие характеризации и свойства образующих и кообра-
кообразующих 132
Упражнения 138
6. Артиновы и нётеровы модули 145
6.1 Определения и некоторые характеризации 145
6.2. Примеры Г 150
6.3. Теорема Гильберта о базисе . . . 153
6.4. Эндоморфизмы артиновых и нётеровых модулей 156
6.5. Одна характеризация нётеровых колец 157
6.6. Разложение инъективных модулей над нётеровыми и артиновы-
ми кольцами 160
Упражнения 165
7. Локальные кольца, теорема Крулля — Ремака — Шмидта 168
7.1. Локальные кольца 168
7.2. Локальные кольца эндоморфизмов 178
7.3. Теорема Крулля—Ремака —Шмидта 179
Упражнения 184
8. Полупростые модули и кольца 188
8.1. Определение и некоторые свойства 188
8.2. Полупростые кольца 194
8.3. Структура простых колец, обладающих простым односторонним
идеалом 199
8.4. Теорема плотности 203
Упражнения 208
9. Радикал и цоколь 210
9.1. Определение радикала и цоколя . 211
9.2. Дальнейшие свойства радикала 216
9.3. Радикал кольца 218
9.4. Характеризации конечно-порожденных и конечно-копорожден-
ных модулей 224
9.5. Завершение доказательства теоремы о характеризации артино-
артиновых и нётеровых колец , , , , , , , 227

368 Оглавление
9.6. Радикал кольца эндоморфизмов инъективного или проективного
модуля ............ 229
9.7. Хорошие кольца 232
Упражнения 234
10. Тензорное произведение, плоские модули и регулярные
кольца 239
10.1. Определение и свойство пропускания 239
10.2. Дальнейшие свойства тензорного произведения 243
10.3. Функторные свойства тензорного произведения 249
ЮЛ. Плоские модули и регулярные кольца 252
10.5. Плоские фактормодули плоских модулей 261
Упражнения 263
11. Полусовершенные модули и совершенные кольца .... 267
11.1. Полусовершенные модули. Основные понятия 268
11.2. Поднятие прямых разложений 272
11.3. Основная теорема о проективных полусовершенных модулях 274
11.4. Неразложимые нолусовершенные модули 279
11.5. Свойства ниль-идеалов и /-нильпотентных идеалов 283
11.6. Совершенные кольца 288
11.7. Теорема Бьёрка ." 295
Упражнения 298
12. Кольца с полной дуальностью 301
12.1. Введение и формулировка, основной теоремы . . 301
12.2. Свойства дуальности 303
12.3. Замена сторон 310
12.4. Свойства аннуляторов 312
12.5. Инъективпость и свойство кольца быть кообразующим .... 315
12.6. Доказательство основной теоремы 319
Упражнения 322
13. Квазифробениусовы кольца 326
13.1. Введение 326
13.2. Определение и основная теорема 327
13.3. Свойства дуальности квазифробениусовых колец 330
13.4. Классическое определение ' 333
13.5. Квазифробениусовы алгебры 337
13.6. Характеризация квазифробениусовых колец 343
Упражнения 353
Литература 356
Именной указатель 360
Предметный указатель 361
Указатель обозначений . , 365