Автор: Слоэн Н. Конвей Дж.
Теги: комбинаторный анализ теория графов теория вероятностей математическая статистика математика естественные науки
ISBN: 5-03-002368-2
Год: 1990
Текст
Дж.Конвей, НСлоэн
шаров,
решетки и группы
I
Издательство «Мир»
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290
A Series of Comprehensive Studies in Mathematics
J. H. Conway, N. J. A. Sloane
Sphere Packings,
Lattices and Groups
With Additional Contributions by
E. Bannai, R. Borcherds, J. Leech,
S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker,
L. Queen and В. В. Venkov
Springer-Verlag
New York Berlin Heidelberg
London Paris Tokyo
Дж.Конвей, НСлоэн
Баковки
шаров,
решетки и группы
При участии Э. Баннаи, Р. Борчердса,
Дж. Лича, С. Нортона, Э. Одлыжко,
Р. Паркера, Л. Квин и Б. Б. Венкова
в ДВУХ ТОМАХ
Том I
Перевод с английского
С. Н. Лицына, М. А. Цфасмана и Г. Б. Шабата
Москва «Мир» 1990
ББК 22.174
К64
УДК 519.1
Конвей Дж., Слоэн Н.
К64 Упаковки шаров, решетки и группы: В 2-х т. Т. I. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1990.— 415 с, ил.
ISBN 5-03-002368-2
Книга американских математиков, в доступной, занимательной и
систематической форме освещающая обширный круг вопросов, кото-
которые находят применения не только в различных областях математики
(алгебра, геометрия, теория чисел, сложность вычислений), но и в раз-
разнообразных приложениях: передача и хранение информации, теория
поля и суперструны в физике, кристаллы и квазикристаллы в хнмин.
Русское издание выходит в двух томах.
Для математиков разных специальностей: от алгебры, геометрии
и теории чисел до кибернетики, теории кодирования и кристаллогра-
кристаллографии, для аспирантов и студентов университета.
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-002368-2 (русск.) © 1988 by Springer-Verlag New York
ISBN 5-03-001421-7 AI1 Rights Reserved
i«rm n 1Я7 QRR17 x i™,,\ Authorized translation from Eng-
ISBN 0-387-96617-Х (англ.) ]ish ]anguage edition published by
Springer-Verlag Berlin Heidelbreg
New York Tokio
перевод на русский язык, с автор-
авторскими изменениями, С. Н. Лицын,
М. А. Цфасман, Г. Б. Шабат, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Задача о плотнейшей возможной упаковке равных шаров
в евклидовом пространстве — часть восемнадцатой проблемы
Гильберта — известна большинству математиков с ранней юно-
юности как задача геометрии. Слегка ограничив рассмотрение — по-
потребовав, чтобы центры шаров образовывали аддитивную под-
подгруппу (решетку)—мы приходим к не менее классическим за-
задачам теории чисел о минимумах унимодулярных квадратичных
форм и об их классификации. Эта проблематика в свою оче-
очередь тесно связана с одной из наиболее архетипических задач
алгебры — классификацией конечных простых групп.
Несколько неожиданно для «чистого» математика все эти
задачи оказываются применимыми к проблемам теории пере-
передачи и хранения информации и тесно связаны с теорией кодов,
исправляющих ошибки. Казалось бы, при столь конкретных
приложениях эта столь бурно развивающаяся область может
погрязнуть в обилии вычислений и элементарных конструкций.
Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные
приложения требуют глубокой математики. За последний год-
два были открыты конструкции очень плотных упаковок шаров,
естественно возникающие из глобальных полей (в том числе из
модулярных кривых над конечным полем) и из эллиптических
кривых над глобальными полями. Тем самым этот круг идей
был включен в контекст алгебраической геометрии и алгебраиче-
алгебраической теории чисел.
Предлагаемая читателю книга Дж. Конвея и Н. Слоэна яв-
является как введением в эту область, так и практически един-
единственным в мировой литературе энциклопедическим изложе-
изложением, доведенным почти до самых последних результатов.
«Почти», поскольку приток новых идей в эту область таков, что
за время, которое пройдет до выхода нашего издания, несо-
несомненно, появятся новые работы, о которых сейчас мы не имеем
ни малейшего представления, так же, как они появились за
время перевода книги. Тем не менее авторы и переводчики по-
постарались сделать все, что было в их силах. К более чем
полутора тысячам статей и книг, упомянутых в библиографии
6 Предисловие к русскому изданию
к английскому изданию, авторы добавили несколько десятков
свежих работ, а переводчики, добавив еще несколько работ,
кратко охарактеризовали их в подстрочных примечаниях.
В русском переводе книга выходит в двух томах (т. I —
гл. 1 — 11, т. II — гл. 12 — 30). Предисловие, главы с 1 по 4 и с
26 по 30 переведены М. А. Цфасманом, главы с 5 по 9, с 12 по 14
и 21 — С. Н. Лицыным, главы 10 и 11 — Г. Б. Шабатом, главы
с 15 по 20 —Н. Н. Яковлевым, а главы с 22 по 25 —С. Г. Влэ-
дуцем.
В заключение хотелось бы поблагодарить авторов за то, что
им удалось создать книгу, которую было приятно переводить,
а также за любезно предоставленный нам список исправлений
и изменений.
Ю. И. Манин,
М. А. Цфасман
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные темы. Эта книга посвящена главным образом
проблеме упаковки шаров в евклидовых пространствах размер-
размерности 1, 2, 3, 4, 5, .... Пусть дано большое количество равных
.шаров. Как наиболее эффективно (т. е. плотно) их упаковать?
Мы изучаем также ряд тесно связанных с этим других задач:
проблему контактного числа — сколько шаров можно распо-
расположить таким образом, чтобы они все касались одного централь-
центрального шара того же размера, проблему покрытия — как наибо-
наиболее экономно покрыть я-мерное пространство равными пере-
перекрывающимися шарами, и проблему квантизации, важную для
приложений к аналого-цифровому преобразованию (сжатию)
данных, — как расположить точки в пространстве так, чтобы
средний второй момент их многогранника Вороного был воз-
возможно меньше. При попытках решить эти задачи часто прихо-
приходится располагать шары так, чтобы их центры образовывали
решетку. Решетки описываются с помощью квадратичных форм,
поэтому мы изучаем задачу классификации квадратичных
форм. Большая часть нашей книги посвящена этим пяти про-
проблемам.
Загадки: решетка ?8 и решетка Лича. При изучении этих
проблем происходят фантастические вещи! Имеются две упа-
упаковки шаров, одна в восьмимерном пространстве, называемая
решеткой ?8> и другая в двадцатичетырехмерном — решетка
Лича Л24, неожиданно плотные, очень симметричные и имеющие
массу замечательных и загадочных свойств, далеко не все из
которых мы сегодня понимаем. В каком-то смысле можно ска-
сказать, что эта книга посвящена изучению этих двух решеток и
их свойств.
В некоторый момент в процессе работы над этой книгой мы
подумывали, не ввести ли специальное сокращение для «Имеет-
«Имеется замечательный факт» — настолько часто встречается это вы-
выражение. Но на самом деле мы старались избегать подобных
выражений, придерживаясь солидного стиля изложения.
Несмотря на это, в книге имеется ряд поразительных ре-
результатов, и, по-видимому, здесь уместно упомянуть самые
Предисловие
загадочные. (Все употребляемые здесь технические термины
определены в основной части книги.)
— Появление решетки Лича как единственной слоистой ре-
решетки в 24-мерном пространстве (см. рис. 6.1).
— Теорема Глисона, описывающая весовые энумераторы два-
дважды четных самодвойственных кодов, и теорема Гекке, описы-
описывающая тэта-ряды четных унимодулярных решеток (см. теоремы
16 и 17 гл. 7).
— Взаимно однозначное соответствие между 23 типами глу-
глубоких дыр в решетке Лича и четными унимодулярными 24-мер-
24-мерными решетками с минимальной нормой 2 (см. гл. 16, 23 и 26).
— Конструкция решетки Лича как wx/w в пространстве
Il25,i, где
а> = @, 1, 2, 3 24170)
— вектор с нулевой нормой (см. теорему 3 гл. 26). (Напомним
читателю, что в гиперболическом пространстве R25-1, т. е. в 26-
мерном пространстве с нормой х-х = х2-\- ... -f-х^ — л|6,
имеется единственная четная унимодулярная решетка П25 ь
см. § 1 гл. 26.)
— Появление решетки Лича как диаграммы Кокстера под-
подгруппы отражений в группе автоморфизмов решетки II251 (см.
гл. 27I).
Некоторые другие темы. Кроме отмеченных пяти проблем
есть еще несколько тем, которые мы всегда имеем в виду, это —
коды, исправляющие ошибки, системы Штейнера и t-схемы,
а также теория конечных групп. Решетка Е8 и решетка Лича
теснейшим образом связаны с этими темами, и мы довольно
подробно изучаем эту связь. При этом встречаются многие спо-
спорадические простые группы, и мы посвящаем целую главу Мон-
Монстру (или Дружественному гиганту) — простой группе, конструк-
конструкция которой существенно опирается на свойства решетки Лича.
Основные приложения. Имеется много связей упомянутых
выше геометрических задач с другими областями математики,
в основном с теорией чисел (особенно с квадратичными фор-
формами и геометрией чисел).
') К этому следует добавить еще, что решетки Е& и Л24 стоят в самом
начале бесконечной серии четных унимодулярных решеток, ассоциированных
с ортогональными разложениями комплексных простых алгебр Ли (см.
[Bon I*], [Kos 1*]). .
Удивительна также связь между геометрией и арифметикой алгебраиче-
алгебраических кривых, в частности модулярных, и полей алгебраических чисел, с одной
стороны, и упаковками шаров в пространствах большой размерности—с дру-
другой (см. формулу C8) гл. 1 и примечание переводчика на с. 37—38, а также
разд. 7.4 гл. 8). — Прим. перев.
Предисловие
Основные внематематические приложения — это приложения
к задаче кодирования в канале связи — к проектированию си-
систем передачи и хранения информации, т. е. к созданию кодов
для канала связи с ограниченной полосой частот при наличии
белого гауссовского шума. Со времен работ Никвиста и Шен-
Шеннона известно, что проектирование оптимальных кодов для та-
такого канала эквивалентно задаче упаковки шаров. Теоретиче-
Теоретические исследования информационных возможностей таких кана-
каналов требуют знания параметров наилучших упаковок шаров
в пространствах больших размерностей. С другой стороны, соз-
создание практических сигнальных систем (отметим недавно раз-
разработанную схему решетчатой кодовой модуляции) использует
свойства упаковок шаров в малых размерностях, причем неко-
некоторые из продающихся сейчас модемов используют коды, со-
состоящие из точек решетки ?8!
Имеются красивые приложения этих решеток к числен-
численным методам вычисления л-мерных интегралов (см. разд. 4.2
гл. 3).
Конечно, имеется связь с химией, поскольку кристаллографы
изучают трехмерные решетки с момента появления этого поня-
понятия. Мы иногда думаем, что эта книга — некоторого рода мно-
многомерный аналог «Структурной неорганической химии» Веллса
[Wei 4]. Недавние работы по квазикристаллам используют ше-
шести- и семимерные решетки.
Решетками больших размерностей сейчас интересуются фи-
физики. Недавние достижения в теории двойственности и теории
суперструн используют Еъ и решетку Лича, имеются также
связи с Монстром.
Другие приложения и ссылки по этому поводу описываются
в гл. 1.
Кому следует купить эту книгу. Всем, кто интересуется упа-
упаковками шаров, решетками в n-мерном пространстве или ре-
решеткой Лича. Математикам, интересующимся конечными груп-
группами, квадратичными формами, геометрией чисел, комбинатори-
комбинаторикой. Инженерам, проектирующим системы с использованием
«-мерных кодов в канале с ограниченной полосой частот или
я-мерные векторные квантизаторы. Химикам и физикам, инте-
интересующимся n-мериой кристаллографией.
Требования к подготовке читателя. В первых главах мы пы-
пытались (может быть, не всегда удачно) обращаться к любому
хорошо образованному студенту. Уровень технической слож-
сложности в различных главах разный с тенденцией к увеличению
ближе к концу книги.
10 Предисловие
Что здесь нового. Часть материала этой книги никогда ранее-
не публиковалась. Отметим некоторые моменты.
— Таблицы плотнейших известных упаковок шаров в раз-
размерностях до миллиона (табл. 1.2 и 1.3).
— Таблицы и графы наилучших известных покрытий и кван-
квантизаторов до размерности 24 (см. гл. 2).
— Таблица наибольшего кодового выигрыша от кодирования
для решеток в размерностях до 128 (табл. 3.2).
— Явные конструкции расположений я-мерных сфер с кон-
контактным числом, растущим как 20003n (см. формулу E6) гл. 1) —
наилучшие из известных нам сегодня.
— Явные конструкции хороших сферических кодов (см-
разд. 2.5 гл. 1).
— Явные конструкции л-мерных решетчатых покрытий
с плотностью, растущей как г0084" (см. формулу 13 гл. 2) —
опять же наилучшие известные.
— Новые формулы для тэта-рядов многих решеток (напри-
(например, для решетки Лича по отношению к октаэдральной глубо-
глубокой дыре, формула A44) гл. 4).
— Таблицы, дающие число точек в последовательных обо-
оболочках этих решеток (например, первые 50 оболочек решетки
Лича, табл. 4.14).
— Новая общая конструкция упаковок шаров (конструкция
Af из § 3 гл. 8).
— Новое описание решетчатых упаковок, недавно открытых
Маккеем, Квеббеманном, Крейгом и другими (см. гл. 8).
— Классификация Борчердса 24-мерных четных унимодуляр-
ных решеток (см. гл. 24).
— Список 284 типов мелких дыр в решетке Лича (см. гл. 25).
— Несколько простых способов вычислений с рациональными1
и целочисленными квадратичными формами, включая вычисле-
вычисление элементарных систем инвариантов для таких форм, и удоб-
удобные обозначения для рода формы (см. гл. 15).
— Таблицы бинарных квадратичных форм с —100 ^ det ^
sg: 50, неразложимых тернарных форм с |det|^50, родов,
форм с |det|^ll, родов р-элементарных форм для всех р*
положительно определенных форм с детерминантом 2 до раз-
размерности 18 и с детерминантом 3 до размерности 17 (см.
гл. 15).
— Простое описание конструкции Монстра (см. гл. 29).
Другие таблицы, до сих пор приводившиеся лишь в жур-
журнальных публикациях и трудах конференций, включают:
— Границы для контактных чисел в размерности до 24
(табл. 1.5).
Предисловие 11
— Масс-константы Минковского—Зигеля для четных и нечет-
нечетных унимодулярных решеток в размерностях до 32 (см. гл. 16).
— Четные и нечетные унимодулярные решетки в размер-
размерности до 24 (см. табл. 2.2 и гл. 16, 17).
— Векторы в первых восьми оболочках решетки Е&
(табл. 4.10) и в первых трех оболочках решетки Лича
(табл. 4.13).
— Коды Беста длин 10 и 11, дающие плотнейшую изве-
известную упаковку (Рак) в размерности 10 и наибольшее изве-
известное контактное число (Рцс) в размерности 11 (см. гл. 5).
— Улучшенные таблицы наилучших известных кодов длины
2т при т^.8 (табл. 5.4) и всех длин до 24 (табл. 9.1).
— Слоистые решетки в размерности до 48 (табл. 6.1 и 6.3).
— Наилучшие целочисленные решетки с минимальными нор-
нормами 2, 3 и 4 в размерностях до 24 (табл. 6.4).
— Описание векторов решетки Е& в терминах икосианов
(табл. 8.1).
— Минимальные векторы 40-мерной решетки Маккея Af4o
<табл. 8.6).
— Классификация подмножеств множества мощности 24 от-
относительно действия группы Матье М<ц (рис. 10.1).
— Группы, связанные с решеткой Лича (табл. 10.4).
— Простые группы, возникающие из централизаторов в Мон-
Монстре (см. гл. 10).
— Вторые моменты 3- и 4-мерных многогранников (см. гл. 21).
— Глубокие дыры в решетке Лича (табл. 23.1).
— Обширная таблица корней Лича, как в гиперболических,
так и в евклидовых координатах (см. гл. 28).
— Диаграммы Кокстера — Винберга для групп автоморфиз-
автоморфизмов решеток \п, i при п ^ 20 (см. гл. 28) и решеток lln,i при
n ^ 24 (см. гл. 27).
Содержание по главам. Главы 1—3 — это расширенное вве-
введение ко всей книге. В этих главах мы даем обзор известных
результатов по проблемам упаковки, контактного числа, покры-
покрытия и квантизации. Там также содержатся разделы, посвящен-
посвященные квадратичным формам и их классификации, связям с тео-
теорией чисел, проблеме кодирования в канале, сферическим
кодам, кодам, исправляющим ошибки, системам Штейнера, t-cxe-
мам, связям с теорией групп. В этих главах вводится термино-
терминология и определения, используемые далее во всей книге.
В гл. 4 описывается ряд важных решеток, в том числе куби-
кубическая решетка Z", решетки корней Ап, Dn, Es, E7, Eg, решетка
Кокстера — Тодда Ki2, решетка Барнса — Уолла Aie, решетка
Лича Л24 и двойственные к ним. Среди прочего мы указываем
их минимальные векторы, плотности, радиусы покрытия,
12 Предисловие
векторы склейки, группы автоморфизмов, выражения для тэта-
рядов и таблицы числа точек в каждой из первых пятидесяти
оболочек. Мы также кратко обсуждаем группы отражений и
технику склейки.
Главы 5—8 посвящены технике построения упаковок шаров.
Многие конструкции гл. 5 и 7 основаны на кодах, исправляющих
ошибки; другие конструкции гл. 5—на послойном построении
упаковок. Слоистые упаковки подробно изучаются в гл. 6, где
вводится их формальное определение. Глава 8 использует более
изощренную алгебраическую технику построения решеток.
В гл. 9 вводятся аналитические методы поиска границ для
наилучших кодов, упаковок шаров и других связанных с ними
объектов. Предлагаемые методы используют технику гармони-
гармонического анализа и линейного программирования. Мы приводим
упрощенное описание недавних границ Кабатянского и Левен-
штейна для упаковок шаров.
Главы 10 и 11 посвящены изучению кодов Голея длин 12 и
24, связанных с ними систем Штейнера 5E,6,12) и 5E,8,24),
и их групп автоморфизмов М\2 и М2л. MINIMOG, MOG (или
Чудесный генератор октад), а также тетракод и гексакод яв-
являются техническими средствами, позволяющими легко произ-
производить вычисления с этими объектами. В этих двух главах
также изучается ряд связанных с этим групп, в частности груп-
группа автоморфизмов Со0 (или-0) решетки Лича. В приложении
к гл. 10 описываются все спорадические простые группы.
В гл. 12 приводится короткое доказательство того, что ре-
решетка Лича — единственная четная унимодулярная решетка без
векторов длины 2. В гл. 13 решается проблема контактного
числа в размерностях 8 и 24; наибольшие возможные контакт-
контактные числа в этих размерностях доставляются соответственно
решеткой Е& и решеткой Лича. В гл. 14 показывается, что эти
расположения шаров практически единственны.
Главы 15—19 посвящены классификации целочисленных
квадратичных форм. В гл. 16 и 18 приводятся три доказатель-
доказательства полноты классификации Нимейера четных 24-мерных уни-
модулярных решеток. В гл. 19 выписываются все экстремаль-
экстремальные унимодулярные решетки во всех размерностях.
В гл. 20 и 21 анализируются геометрические свойства ре-
решеток. В гл. 20 мы обсуждаем алгоритмы, позволяющие найти
точку решетки, ближайшую к любой данной точке пространства.
Эти алгоритмы можно использовать в векторных квантизаторах
и в системах кодирования и декодирования решетчатых кодов
для канала с ограниченной полосой частот. В гл. 21 мы изучаем
многогранники Вороного решеток и их вторые моменты.
Предисловие 13
Вскоре после открытия своей решетки Джон Лич высказал
предположение, что ее радиус покрытия в -у/2 раз больше,
чем ее радиус упаковки, но не сумел это доказать. В 1989 г.
Симон Нортон нашел изощренное рассуждение, показывают» е,
что радиус покрытия не более чем в 1.452... раз превышает \ л-
диус упаковки (см. гл. 22), а вскоре после этого Ричарду Ш.р-
керу и авторам удалось доказать гипотезу Лича (см. гл. 23).
Наш метод доказательства включает нахождение всех «глу-
«глубоких дыр» решетки Лича, т. е. всех точек 24-мерного про-
пространства, максимально удаленных от решетки. Мы были пора-
поражены, обнаружив, что имеется в точности 23 различных типа
глубоких дыр, взаимно однозначно соответствующих решеткам
Нимейера (четным унимодулярным 24-мерным решеткам с ми-
минимальной нормой 2), см. теорему 2 гл. 23. Глава 23, или же
«работа о глубоких дырах», как ее обычно называют, оказалась
исключительно плодотворной, стимулировав все оставшиеся гла-
главы книги, а также гл. 6 и ряд журнальных публикаций.
В гл. 24 мы приводим 23 конструкции решетки Лича, по од-
одной для каждой глубокой дыры или решетки Нимейера. Две из
них — это известные конструкции, основанные на коде Голея.
Во второй половине гл. 24 мы вводим понятие диаграммы
дыры, описывающей окрестность глубокой дыры. Глава 25 («ра-
(«работа о мелких дырах») использует результаты гл. 23 и 24 для
классификации всех дыр решетки Лича.
Значительное количество света проливает на эти загадки
понимание того, что решетка Лича и решетки Нимейера очень
легко получаются из одной решетки, а именно из решетки
П25.1 — единственной четной унимодулярной решетки в гипербо-
гиперболическом пространстве R25'1. Для любого вектора w e R25'1 по-
положим
ш1 = {л:е II25,i: x-w — Q}.
Тогда при специальном выборе
а,25 = @, 1, 2, 3, .... 23, 24170),
фактор wx/w — это решетка Лича, а другие выборы w приво-
приводят к 23 решеткам Нимейера.
Свойства решетки Лича тесно связаны с геометрией решетки
Ihb,i- Группы автоморфизмов гиперболических решеток \п, i при
п ^ 19 и Пл, 1 при п = 1, 9, 17 были найдены Винбергом, Кап-
линской и Мейером. В гл. 25 мы находим группу автоморфиз-
автоморфизмов решетки II2s,i- Эта замечательная группа является группой
14 Предисловие
отражений, диаграмма Кокстера которой, грубо говоря, изо-
изоморфна решетке Лича. Точнее говоря, множество фундамен-
фундаментальных корней решетки II25,i состоит из векторов г?112у,
таких, что
мы называем их корнями Лича. В гл. 26 показывается, что
имеется изометрия между множеством корней Лича и множе-
множеством точек решетки Лича. Часть Кокстера группы автомор-
автоморфизмов II25,i как раз равна группе Кокстера, порожденной
корнями Лича (см. теорему 1 гл. 27).
Решетка II25,i — это очень естественная квадратичная форма,
определение которой никак не связано с решеткой Лича, и
остается только удивляться, что решетка Лича в основном оп-
определяет группу автоморфизмов этой формы.
Как мы увидим в гл. 28, корни Лича приводят к лучшему
пониманию групп автоморфизмов остальных решеток In, i и Нп, и
Эта глава также содержит обширную таблицу корней Лича.
В главе 29 описывается конструкция Монстра — наибольшей
спорадической простой группы, а в последней главе описывается
некоторая бесконечномерная алгебра Ли, получаемая из корней
Лича, и высказывается предположение, что она может быть свя-
связана с Монстром.
Структура книги. Первоначально мы собирались просто из-
издать сборник ранее опубликованных статей. Однако за послед-
последние два года книга полностью видоизменилась-, появилось много
новых глав, а исходные главы были сильно переделаны в плане
подведения их к современному состоянию вопроса, устранения
повторений, унификации обозначений и терминологии, устра-
устранения ошибок.
Мы все же оставили ряд повторов там, где это способно
облегчить чтение. Поскольку некоторые главы были написаны
в разное время и разными авторами, читатель может заметить
различие в стиле разных глав.
Вопрос о расположении глав поставил перед нами сложную
проблему. Мы думаем, что сейчас они расположены в наиболее
удачном для читателя порядке, хотя за счет этого одна или две
главы выбиваются из естественного логического порядка. Наи-
Наибольший дефект такого рода состоит в том, что часть главы
о слоистых решетках (гл. 6), относящаяся к решеткам большой
размерности, зависит от глубоких дыр в решетке Лича, описы-
описываемых в гл. 23. Однако предыдущая часть гл. 6, включающая
Предисловие 15
все наилучшие известные решетчатые упаковки в малых раз-
размерностях, должна была появиться так рано, как только воз-
возможно.
Главы 1—4, 7, 8, 11, 15, 17, 20, 25 и 29 новые. Глава 5 ос-
основана на работе Дж. Лича и С.1) [Lee 10]; гл. 6 — на ра-
работе К. и С. [Con 32]; гл. 9— иа работе С. [Slo 13]; гл. 10 —
на работе К. [Con 5]; гл. 12 — на работе К. [Con 4]; гл. 13 —
на работе Э. Одлыжко и С. [Odl 5]; гл. 14 — на работе Э. Бан-
наи и С. [Ban 13]; гл. 16 — на работах К. и С. [Con 27] и
[Con 34]; гл. 18 — на работе Б. Б. Венкова [Ven 1]; гл. 19 —
на работе К-, Э. Одлыжко и С. [Соп19]; гл. 21 — на работе
К. и С. [Con 28]; гл. 22 —на работе С. Нортона [Nor 4];
гл. 23 —на работе К., Р. Паркера и С. [Con 20]; гл. 24 — на
работе К. и С. [Con 30]; гл. 26 —на работе К. и С. [Con 31];
гл. 27—на работе К. [Con 13]; гл. 28 — на работе К- и С.
[Con 33]; гл. 30 — на работе Р. Борчердса, К., Л. Квин и С.
[Вог 5].
Наши соавторы, упомянутые выше — это
Эити Баннаи, Math. Dept., Ohio State University, Colombus,
Ohio 43210, USA;
Ричард Борчердс, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics,
Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England;
Джон Лич, Computing Science Dept., University of Stirling,
Stirling FK9 4LA, Scotland;
Симой Нортон, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics,
Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England;
Эндрью Одлыжко, Math. Sciences Research Center, AT&T
Bell Laboratories, Murrey Hill, New Jersey 07974, USA;
Ричард Паркер, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics,
Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England;
Ларисса Куин, Dept. of Pure Math, and Math. Statictics,
Cambridge University, Cambridge CB2 ISB, England;
Борис Борисович Венков, Ленинградское отделение Матема-
Математического института АН СССР, СССР.
') Фамилии основных авторов здесь сокращены: С. означает Н. Слоэн
(Math. Science Dept. AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, New. Jersey 07974,
USA), K. — Das. Конвей (Math. Dept. Princeton University, Princeton, New
Jersey, 08540, USA). —Прим. перев.
16 Предисловие
Благодарности. Мы благодарим всех наших соавторов и из-
издателей этих статей за разрешение использовать эти материалы.
Мы хотели бы выразить нашу благодарность Е. Барнсу,
X. Кокстеру, Сусанне Куплер, Дж. Форни-мл., В. Кантору,
Дж. Зейделю, Ж--П. Серру, П. де Суза и в первую очередь
Джону Личу за замечания по поводу рукописи этой книги.
Кроме того, благодарности содержатся в отдельных главах.
Все оставшиеся ошибки — на нашей совести: пожалуйста,
сообщите о них Н. Слоэну (Mathematical Sciences Research Cen-
Center, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey 07974, USA). Мы
также хотели бы знать обо всех улучшениях приводимых таб-
таблиц. Мы благодарим Анну Марию Мак Гован, Жизель Уоллейс
и Цинтию Мартин, которые отпечатали первоначальный ва-
вариант многих глав и в особенности Мери Флэннели и Сью-
зан Таржински, которые отпечатали окончательный вариант
всей рукописи. Б. Инглиш и Р. Матула из библиотеки «Белл
лабораториз» помогли нам разыскать сложно находимые
ссылки.
С. благодарит «Белл лэбораториз» (в особенности Р. Гдэ-
хема и Э. Одлыжко) за материальную и моральную поддержку
в процессе этой работы, а К. благодарит «Белл лэбораториз»
за поддержку и гостеприимство во время многочисленных ви-
визитов в Марри Хилл.
Предисловие 17
В размерности два известная гексагональная решетка
О О О
О О О О
О О О О О
о о о о
о о о
решает проблемы упаковки, контактного числа и квантизации.
В каком-то смысле вся эта книга — это просто-напросто по-
попытки найти похожие хорошие расположения в пространствах
больших размерностей.
Глава 1
Упаковки шаров и контактные числа
Дж. Конвей, Н. Слоэн
Первые три главы посвящены описанию ряда вопросов, мо-
мотивировавших появление этой книги. В настоящей главе мы об-
обсуждаем проблему упаковки шаров в евклидовом пространстве
и проблему упаковки сферических шапочек на сфере. Вопрос
о контактном числе является важным частным случаем послед-
последней проблемы: спрашивается, сколько равных шаров может ка-
касаться одного шара того же размера. Мы приводим обзор из-
известных результатов по этим вопросам и вводим терминологию,
используемую далее во всей книге.
§ 1. Проблема упаковки шаров
1.1. Упаковка шариков для подшипников. Классическая проб-
проблема упаковки шаров, по сей день нерешенная, такова: на-
насколько плотно можно упаковать большое количество равных
шаров (например, шариков для подшипников)? Иными словами,
рассмотрим большой пустой резервуар вроде самолетного ан-
ангара и спросим, каково наибольшее число шариков для подшип-
подшипников, которое можно вместить в этот резервуар. Если вместо
шариков мы попытаемся упаковать равные деревянные кубики
(скажем, из детского строительного набора), ответ совсем
прост. Кубики прилегают друг к другу без просветов, и мы мо-
можем заполнить практически все сто процентов пространства
(с точностью до небольшого объема, остающегося около стен
и потолка), так что число кубиков, которое мы можем упако-
упаковать, почти что равно объему ангара, деленному на объем од-
одного кубика.
Но шары не прилегают друг к другу так плотно, как ку-
кубики, между ними всегда остаются какие-то пустоты. Как бы
хорошо мы ни укладывали шарики, около четверти простран-
пространства останется неиспользованным. Один из распространенных
способов упаковки показан на рис. 1.1а и 1.1b; на них центры
шаров образуют гранецентрированную кубическую решетку
(или ice-решетку). (Эта решетка разбирается ниже в гл. 4, где
дается подробное описание наиболее важных упаковок в не-
небольших размерностях.) В этой упаковке шары занимают
§ 1. Проблема упаковки шаров
19
@,2,2)
B 0,0)
@,2,0)
@,0,0)
Рис. 1.1. Два изображения известной упаковки шаров, центры которой обра-
образуют гранецентрированиую кубическую решетку (fcc-решетку). Эта упаковка
встречается на витринах фруктовых магазинов, в кучах пушечных ядер на
военных мемориалах, а также в кристаллическом аргоне. Шары занимают
0 7405... от объема всего пространства, и каждый шар касается 12 других.
На рис (Ь) изображены только центры шаров (кружками). Эти центры полу-
получаются выбором из всех точек кубической решетки Z3 тех, координаты кото-
которых в сумме дают четное число.
я/д/18 = 0.7405 ...') всего пространства. Укладывая шарики
подшипников таким образом, в ангар можно поместить число
шариков, примерно равное 0.7405 объема ангара, деленного на
объем одного шарика. Поэтому мы говорим, что гранецентри-
рованная кубическая решетка имеет плотность, приблизительно
равную 0.7405.
Классический вариант проблемы упаковки шаров гласит:
получили ли мы наибольшее возможное значение плотности?
К сожалению, это — нерешенная задача, одна из наиболее зна-
знаменитых открытых проблем в математике. В течение многих
') Последние знаки десятичных дробей округлены. См. замечание автора
на стр 34. — Прим перев
20 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
лет наилучшая известная граница задавалась результатом Род-
Роджерса, полученным в 1958 г. (равенство C9) ниже, [Rog2],
[Rog 7]): никакая упаковка шаров ие может иметь плотность
больше чем 0.7796 .... Недавно Линдсей [Lin 9] улучшил гра-
границу Роджерса, заменив 0.7796 ... на 0.7784 .... (Мудер
[Mud 1] и Линдсей [Lin 9а] получили дальнейшие небольшие
улучшения этой верхней границы. См. также [Fej 9, р. 298].)
Как замечает Роджерс [Rog 2], «многие математики верят, и
все физики знают», что правильный ответ — это 0.7405. Ситуа-
Ситуация, однако, осложняется тем, что частичные упаковки, более
плотные, чем гранецентрированная кубическая решетка, имеют-
имеются в больших областях пространства, чем можно было бы пред-
предположить [Вое 1].
Общая проблема упаковки шаров, к которой мы вернемся
в разд. 1.4, состоит в поиске плотнейшей упаковки равиых ша-
шаров в n-мерном пространстве. Это проблема значительной прак-
практической важности, даже в размерностях, больших чем три.
Мы остановимся, чтобы заверить читателя, что в п-мерном
пространстве нет ничего таинственного. Точка в вещественном
n-мерном пространстве Чп—это просто набор из п веществен-
вещественных чисел
Х== (ХЬ ¦ • •> Хп)-
Сфера радиуса р в R" с центром и = (щ, ..., ип) состоит из
точек х — (х\, а'2, ..., хп), удовлетворяющих равенству
Упаковку шаров в R" можно задать, указывая набор центров
шаров и их радиус. Все задается координатами, и нет необхо-
необходимости рисовать картинки. В научной фантастике написана
масса ерунды о таинственном четвертом измерении. Не следует,
конечно, думать, что четвертое измерение — это время. В мате-
математике 4-мерное пространство просто состоит из точек с че-
четырьмя координатами вместо трех (и аналогично для любого
количества измерений). Для конкретности читатель может пред-
представить себе телеграфную линию, по которой числа передаются
четверками: A.8, 2.9, —1.3, 2.0), A.1, —0.8, 0.5, 3.1), ... .
Каждая четверка чисел — это точка 4-мерного пространства.
Ниже в этой главе мы проведем некоторые простые вычисле-
вычисления в 4-мерном пространстве.
1.2. Решетчатые упаковки. Упаковка, изображенная на
рис. 1.1, называется решетчатой упаковкой, поскольку она об-
обладает следующими свойствами: 0 является центром, и если
имеются шары с центрами и и v, то имеются также шары с цен-
§ 1. Проблема упаковки шаров 21
трами и-\-v и и— v. Иными словами, множество центров обра-
образует аддитивную группу. В кристаллографии такие решетки
обычно называются решетками Бравэ ([Hahl], [Kit4], [Plel],
[Rys5]). Можно найти три центра v\, v2, v3 (в общем случае п
фундаментальный
решетка параллелограмм
Рис. 1.2. Плоскость, разбитая на фундаментальные области двумерной ре-
шегкн.
центров v\, V2, ..., vn для «-мерной решетки) так, чтобы мно-
множество всех центров состояло из сумм 2 ktvt, где k, — целые
числа.
Векторы Vi, ..., vn называются базисом данной решетки.
Параллелепипед, состоящий из точек
называется ее фундаментальным параллелепипедом. На рис. 1.2
изображены двумерная решетка и ее фундаментальный парал-
параллелограмм, определенный базисом v\, u2. Фундаментальный па-
параллелепипед является примером фундаментальной области ре-
решетки, т. е. такой строительной детали, многократные повто-
повторения которой заполняют все пространство, причем в каждом
экземпляре этой детали содержится ровно одна точка решетки.
На рис. 1.3с показана шестиугольная фундаментальная область
двумерной решетки.
Есть много различных способов выбора базиса и фундамен-
фундаментальной области решетки Л. Однако объем фундаментальной
области однозначно определяется решеткой Л; квадрат этого
объема называется детерминантом или дискриминантом этой
решетки. (Некоторые авторы используют этот термин для не
возведенного в квадрат объема.I) Имеется простая формула
') Далее в этой книге авторы всюду используют только термин детер-
детерминант (для квадрата объема). В других книгах (см., например, [Tsf 3*])
квадрат объема называется дискриминантом, а сам объем—детерминантом.—
Прим. перев.
22
Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
О О О
о о о о
о о о о о
о о о о
(С)
Рис. 1.3. (а) Гексагональная решетка на плоскости. (Ь) Соответствующая
упаковка шаров (в данном случае упаковка кругов). Точки, отмеченные бук-
буквой а, — это точки решетки; точки, отмеченные буквами бис, — это «глубо-
«глубокие дыры» этой решетки, т. е. точки плоскости, наиболее удаленные от ре-
решетки, (с) Многогранники Вороного — правильные шестиугольники, (d) Уве-
Увеличение рнс. (Ь) и (с) вместе, показаны радиус упаковки р этой решетки
{т. е. радиус шаров иа рис. (Ь)) и радиус покрытия R — расстояние от точки
решетки до глубокой дыры. Для этой решетки R = 2p/V3.
для детерминанта. Пусть координаты векторов базиса таковы:
02 =(«21» ^22. • • •. 02т)»
§ 1. Проблема упаковки шаров
ГЛУБОКАЯ ДЫРА
О
(d)
Рис. 1.3. (продолжение)
где т~^п (иногда бывает удобно использовать т> п коор-
координат для описания /г-мерной решетки). Матрица
vn vl2 ...
_ I v2l v22 ...
V
n\
Jn1
называется порождающей матрицей данной решетки, и все век-
векторы этой решетки суть векторы вида
W, B>
где ? = Aь ..., In) — произвольный вектор с целыми коорди-
координатами li. Матрица
А ММТ C>
где т означает транспонирование, называется матрицей Грама
этой решетки. На (i,/)-м месте в матрице А стоит скалярное
произведение о,--о/. (Скалярное произведение векторов и =
= {щ, ..., ит) и v=(vu ..., Vm), равное utyt + ... +umvmy
в этой книге обозначается либо через u-v, либо через (и,у).)
24 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Детерминант решетки Л равен детерминанту матрицы А,
det Л = det Л. D)
Если матрица М квадратная, то
det Л = (det МJ. E)
В качестве примера рассмотрим знакомую нам плоскую гек-
гексагональную решетку, изображенную на рис. 1.3а. Следующая
матрица, очевидно, является для нее порождающей:
( \ 0 \
М=[ /-/ . F)
М/2 V3/2/
/2 V3/2
а соответствующая матрица Грама — это
1/2
\
/2 \
\)
и det Л = det А = 3/4. Однако для многих целей полезнее дру-
другая порождающая матрица
/1 -1 0\
мЧо 1 -J (8)
с матрицей Грама
и теперь det Л = det Л' = 3. В равенстве (8) используются три
координаты для задания двумерной решетки, все точки которой
лежат в плоскости х + у + z = 0. Равенства F) и (8) описы-
описывают гексагональную решетку рис. 1.3а, но в различных коор-
координатах и в разном масштабе. Формально мы говорим, что ре-
решетки, задаваемые матрицами F) и (8), эквивалентны (см.
разд. 1.4). Преимущества равенства (8) над равенством F)_ со-
состоят в том, что координаты выглядят лучше (исчез V^) и
легче увидеть симметрии решетки. Из (8) видно, что все три
координаты можно как угодно переставлять, не изменяя ре-
решетки. Решетка, задаваемая матрицей (8), является двумер-
двумерным представителем (Л2) бесконечного семейства решеток кор-
корней А\, Ач, Аз, ... (см. гл. 4, разд. 6.1).
Теперь мы можем дать точное определение плотности Д
решетчатой упаковки:
Л = доля пространства, занятая шарами = A0)
объем одного шара
объем фундаментальной области
объем одного шара /.i»
§ 1. Проблема упаковки шаров 25
Если гексагональная решетка определена равенством F), мы
можем взять шары (являющиеся в этом случае кругами) ра-
радиуса р = 1/2, получая упаковку, изображенную на рис. 1.3Ь,
с плотностью
Д = -7^ = 0.9069 A2)
Vl2
Равенство (8) приводит к тому же значению: плотность, как и
следовало ожидать, ие зависит от выбора координат.
1.3. Нерешетчатые упаковки. Конечно, большинство упако-
упаковок решетками не являются. В трехмерном пространстве, на-
например, имеются нерешетчатые упаковки, столь же плотные,
как и гранецентрированная кубическая решетка. Это происхо-
происходит из-за того, что fcc-решетка может быть построена послойно,
начиная со слоя шаров, расположенных, как в гексагональной
решетчатой упаковке на рис. 1.3Ь, с центрами в точках, отме-
отмеченных буквой а. Тогда имеются два (эквивалентных) способа
для размещения следующего слоя: шары можно поместить либо
над точками Ь, либо над точками с. Допустим, мы поместили
их над Ь. Теперь третий слой можно расположить над бук-
буквами а, т. е. строго над первым слоем, или иад буквами с.
Аналогично для всех последующих слоев имеется два способа.
Выбирая слои в порядке
... аЬсаЬсаЬс ... или ... асЬасЪасЪ ...,
мы получаем гранецентрированную кубическую решетку. Но
имеется еще несчетное множество других (нерешетчатых) спо-
способов, как, например, ... acbabacbca ..., и все они имеют ту
же плотность. Выбирая слои в порядке ... abababa ..., мы по-
получаем плотную гексагональную упаковку или hcp-упаковку (так
устроены, например, кристаллы гелия [Kit 4], [Wei 4]). Более
подробный анализ слоистых конструкций проводится ниже в
гл. 5 и 6.
Плотная гексагональная упаковка, как и большинство упако-
упаковок, встречающихся в этой книге, является периодической, т. е.
получается размещением некоторой заданной конфигурации из,
скажем, s шаров в каждой фундаментальной области некоторой
решетки Л. Другой пример: тетраэдральная, или алмазная, упа-
упаковка (гл. 4, раззд. 6.4) получается из 8 шаров, помещенных в
каждой фундаментальной области простой кубической решетки.
Плотность периодической упаковки задается формулой
. s-(объем одного шара)
Л== ;¦ .
(det
26 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
В алмазной упаковке радиус шара равен V3/8, так что плот-
плотность равна всего лишь
Л^! ... A4)
Чтобы определить плотность произвольной (не обязатель-
обязательно периодической) упаковки, надо взять большую шарообраз-
шарообразную область, скажем радиуса R, вычислить отношение объема
шаров упаковки, попавших в эту область, к ее объему и устре-
устремить/?-^ оо (см. [Rog7, гл. 1]).
1.4. л-мерные упаковки. Первая основная проблема, рассмат-
рассматриваемая в этой книге, состоит в поиске плотнейшей решетча-
решетчатой или нерешетчатой упаковки равных шаров в /г-мерном про-
пространстве. В размерности один эта задача тривиальна, так как
"ШАР"
-10 12 3
Рис. 1.4. Одномерная решетка целых чисел Z.
одномерный шар — это отрезок прямой, например стержень, и
мы можем достичь плотности Д = 1, помещая центры этих
стержней в целые точки прямой (рис. 1.4). Эти точки образуют
одномерную решетку Z.
Ответ известен также в двумерном случае: наибольшая до-
достижимая плотность равна Л = я/-\Л2 = 0.9069 .. ., как у гек-
гексагональной решетчатой упаковки на рис. 1.3Ь. Этот результат
имеет долгую историю — см. работу Туэ 1910 г. [Thu 1] и до-
доказательство, данное Фейешем Тотом в 1940 г. [Fej 3]. Элегант-
Элегантное компактное доказательство изложено в [Fej 10]. Другие
ссылки— [Fol I], [Gra5], [Rog7], [Seg 1].
В размерности три, как мы уже отмечали в разд. 1.1, ответ
неизвестен. Однако если мы рассматриваем только решетчатые
упаковки, то ответ известен: Гаусс в 1831 г. показал [Gau2],
что гранецентрированная кубическая решетка является плот-
плотнейшей трехмерной решеткой. Доказательство этого результата
можно найти в работах [Cas 2, ch. II, th. Ill], [Con 42], [Cox 14,
§ 18.4], [Demi] или [Мог 5].
Что же происходит в размерностях, больших трех? Чтобы
показать, как легко работать в 4-мерном пространстве, опишем
плотнейшую известную четырехмерную упаковку. Это — шах-
шахматная упаковка D* (гл. 4, разд. 7.2), в которой центрами ша-
шаров являются точки («1, «2, «», «*) с целыми координатами,
§ 1. Проблема упаковки шаров 27
в сумме дающими четное число. Так, допускаются точки
@,0,0,0) и A,1,0,0), но не A,0,0,0). Шар с центром
в @,0,0,0) касается 24 прилегающих шаров с центрами в точ-
точках (±1, ±1,0,0) с любым выбором знаков и любым порядком
координат. (Имеется D-3)/2 = 6 возможностей для двух нулей
и затем еще 4 возможности для выбора знаков, всего 24.) Лю-
Любые два различных центра отличаются по меньшей мере на 1
не менее чем в двух координатах или по меньше мере на 2
в одной координате, так что минимальное расстояние между
центрами равно _л/2. Если мы возьмем теперь шары радиуса
р = -\/2/2= l/V2, то они не пересекутся, и любой шар ка-
касается 24 других.
Из определения ясно, что ZL содержит центры B,0,0,0),
@, 2, 0, 0), ..., @, 0, 0, 2), A, 1, 0, 0), A, 0, 1, 0), ...
..., @, 0, 1, 1) и, обратно, каждый центр из ZL является це-
целочисленной комбинацией этих векторов. На самом деле до-
достаточно использовать B, 0, 0, 0), A, 1, 0, 0), A, 0, 1, 0) и
A, 0, 0, 1), так что
2 0 0 0
110 0
10 10
10 0 1
является порождающей матрицей для ZL. [Например, @,2,0,0) =
= 2A, 1,0,0) —B,0,0, 0).] Детерминант упаковки ZL, следова-
следовательно, равен det D4 = (detMJ = 4.
Чтобы вычислить плотность D4, надо знать объем п-мерного
шара радиуса р; он равен
]/п ¦ р", A6)
где Vn, объем шара радиуса 1, задается формулой
п\
(Вторая форма не использует обозначение (я/2)! для нечетного
п. См. разд. 2С гл. 21 или [Som I, p. 136].) Кроме того,
±b, A8)
где 0 < е < (log2e)/Fn). Площадь сферы радиуса р равна
n-Vn- p»-i. A9)
Из A1) и A6) получаем, что плотность решетчатой упаковки
Л равна
д = —1«_Р , B0)
(detAI/2 v '
28 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
где р — радиус шаров. Мы полагаем р равным половине мини-
минимального расстояния между точками решетки; р называется
радиусом упаковки решетки Л.
Для решетки D4 имеем У4=я2/2, p=l/V2, так что плот-
плотность Д равна
-Й== 0.6169 B1)
ID x '
Это наибольшая известная плотность в размерности четыре;
Коркин и Золотарев [Ког 1] доказали в 1872 г., что это наи-
наибольшая возможная плотность для 4-мерной решетчатой упа-
упаковки. Используя неравенство Морделла (неравенство A9)
гл. 6), можно легко вывести результат Коркина и Золотарева
из оптимальности гранецентрированной решетчатой упаковки
([Мог 4], [Oppl]).
Упаковку ?>4 можно очевидным образом обобщить на /г-мер-
ный случай и получить упаковку Dn (n целых координат с чет-
четной суммой). В гл. 4 мы приводим свойства решеток Dn и дру-
других важных решеток, встречающихся в этой книге, в том числе
гс-мерных решеток Ап (для п^\), 6-, 7- и 8-мерных решеток
Ее, Е7 и Es и 24-мерной решетки Лича Л24. (Индекс внизу
обычно обозначает размерность.)
Если одна решетка получается из другой с помощью только
вращения, отражения и растяжения, мы говорим, что эти ре-
решетки эквивалентны, или подобны, и используем знак s*. Две
порождающие матрицы М и М' определяют эквивалентные ре-
решетки в том и только том случае, когда
М' = cUMB, B2)
где с—ненулевая константа, U—матрица с целыми элемен-
элементами и детерминантом ±1, а В — вещественная ортогональная
матрица (т. е. В-ВТ = Т). Соответствующие матрицы Грама
связаны соотношением
А' = c2UAUT. B3)
Если U имеет детерминант ±1 и с= 1, мы говорим, что М и
М' задают конгруэнтные решетки {строго конгруэнтные при
det?/ = +l). Например, fcc-решетка встречается и в серии Ап>
и в серии Dn как /43 & Ьз.
Любая «-мерная решетка Ln имеет двойственную (или
взаимную, или дуальную) решетку L*, определяемую соотно-
соотношением
L'=be Rn: х ¦ ue Z для всех ие L\. B4)
Так, например, двойственная к fcc-решетке — это объемноцен-
трированная кубическая решетка или Ьсс-решетка A\s* D\
§ 1. Проблема упаковки шаров
(см. гл. 4, § 6.8). Если А— матрица Грама для Ln, то А~1 яв-
является матрицей Грамадля ?,*, detL* ==(detZ,ft)~1. Если Af —
квадратная порождающая матрица для Ln, то решетка ?^ по-
порождается матрицей (М~х)т.
Зачем искать плотные упаковки «-мерных шаров? Для этого
есть много причин.
A) Это — интересная проблема чистой геометрии. Гиль-
Гильберт отметил ее в 1900 г. в своем списке открытых проблем
(нерешенная часть проблемы 18. — Перев.) [Hil I], [Mil 5].
Имеется гигантская литература (см. библиографию), из которой
мы выделяем несколько особенно интересных работ: [Ваг 1],
[Сох 18], [Fej 1], [Fej 9], [Fej 10], [Gru 1], [Hah 1], [Ham 2],
[Hil 2], [Mil 7], [Rog 7], [Sch 16], [Sig 1], [Slo 14], [Wei 4].
Кроме того, лучшие упаковки зачастую совсем неожиданно
оказываются связанными с другими областями математики. На-
Например, лучшие решетчатые упаковки в размерностях до восьми
принадлежат к семействам An, Dn и Еп, и соответствующие диа-
диаграммы Кокстера — Дынкина (см. гл. 4) встречаются во мно-
многих, на первый взгляд совсем далеких областях — см. обзор Ха-
зевинкеля и др. «Вездесущие диаграммы Кокстера — Дынкина
(введение в А—D — ^-проблему)» [Haz 1]. Подобным же об-
образом в размерности 24 решетка Лича Лг< таинственно свя-
связана с гиперболической геометрией, алгебрами Ли, наибольшей
спорадической простой группой — Монстром (см. гл. 23—30 этой
книги и статьи по «Чудовищной чепухе»1): [Con И], [Con 17],
[Fonl], [Кае 21 —[Кае 6], [Koil], [Konl], [Kon 2], [Mas 2],
[Mas3], [Nor 5], [Smil3], [Tho5], [Tho6]. Мы полагаем, что
наступит день, когда кто-нибудь напишет статью «Вездесущая
решетка Лича».
B) Существуют прямые приложения решетчатых упаковок
к теории чисел, например к решению диофантовых уравнений
и к «геометрии чисел» — см. [Cas2], [Gru 1], [Gru la], [НапЗ],
[Hlal], [Hla3], [Kell], [Min4] —[Min 6]. Подробнее мы по-
поговорим об этом в § 2 гл. 2.
C) Имеются важные практические и теоретические прило-
приложения упаковок шаров к задачам цифровой связи, мы увидим
это в гл. 3. Чтобы создать какое-то представление, приведем
типичный вопрос, возникающий при проектировании широко-
широкополосных систем связи для передвижной радиостанции (ср.
[Coo I], [Maz 1]): сколько шаров радиуса 1/3 можно упаковать
в сферу радиуса 1 в 100-мерном пространстве?
') По английски «Monstrous Moonshine»—устоявшийся термин для за-
загадочных явлений, связанных с «Монстром». — Прим. перев.
30 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
D) Имеется много приложений двумерных и трехмерных
упаковок. Так, например, круги двумерной упаковки могут пред-
представлять собой сечения волокон оптического кабеля [Kin 1].
Трехмерные упаковки используются в химии и физике [(Вег И],
[Hoal], [Hoa2], [Kit 4], [O'Kel], [SIo 17], [Slo 19], [Тео 1] —
[ТеоЗ], [Wei 2] — [Wei 5], [Ziml]), в биологии ([Ritl],
[Tarn5]), в проектировании антенн [Str 1], при выборе направ-
направлений для рентгеновской томографии ([She3], [She 4], [Smi 7]),
для задач статистического анализа на сферах [Wat 24].
E) «-мерные упаковки могут быть использованы для чис-
численного вычисления интегралов как по сфере в R", так и по шару.
См. [Bab 2], [Bou2], [Del 6], [Del 16], [Fro 1], [Hla 2], [Hua 1],
[Kea 1], [Nie 1], [Roo 2], [Sha 0], [Sob 3], [Str 3], [Zar 1] и
особенно [Goe5], [McLO], [Sin 1], [Sin 2], [Sob 2]. На эту тему
мы поговорим в разд. 3.2 гл. 3. Родственные этим приложения,
которым пока уделяется недостаточное внимание, состоят в ис-
использовании упаковок для решения n-мерных задач поиска и
приближений — ср. [Airl], [Dob 1], [Renl], [Sob 1].
F) Недавние достижения в физике (в теории двойствен-
двойственности и теории суперструн) используют решетки Es и Л24 и
связанные с ними гиперболические решетки в размерностях 10
и 26, разбираемые в гл. 26 и 27 ([СпаЗ], [God I], [Grel],
[Jac2], [Sch3], [Sen 15], [Thi 1], [ТЫ2]).
1.5. Проблема упаковки шаров — сводка результатов. В этом
параграфе мы приводим обзор известных на сегодняшний день
результатов по проблеме упаковки шаров. Результаты в размер-
размерностях от 1 до 8, 12, 16 и 24 приведены в табл. 1.1; для сравне-
сравнения в ней также приведены ответы на некоторые другие во-
вопросы, рассматриваемые в первых двух главах.
Элементы табл. 1.1, про которые известно, что они опти-
оптимальны, заключены в рамку. Рамки в первом ряду показывают,
что плотнейшая возможная упаковка шаров известна лишь
в размерностях 1 и 2! Про элементы таблицы, расположенные
слева от двойной черты, известно, что они оптимальны среди
решеток. В частности, плотнейшая возможная упаковка из-
известна в размерностях п ^ 8. Про размерности от 1 до 4 мы
уже говорили. Коркин и Золотарев [Ког 3] показали, что ре-
решетка Z>5 является плотнейшей решетчатой упаковкой в раз-
размерности 5, и предположили, что решетки .Еб, Е7, Е8, Л9 и Лю
являются плотнейшими в следующих пяти размерностях. Блих-
фельдт [ВН 2] — [ВН 4] установил оптимальность Е6, Е7 и Eg.
Доказательство Блихфельдта довольно сложно, но оно под-
подтверждено работами Ватсона [Wat 5] и Ветчинкина [Vet 2]. Не-
Неравенство Морделла позволяет вывести оптимальность Е& из оп-
§ 1. Проблема упаковки шаров
31
тимальности Е7, но нам не известно никакого простого доказа-
доказательства оптимальности Е7. Не удается также распространить
работу Блихфельдта на большие размерности. Оптимальность
Е6 следует также из классификации Барнса всех 6-мерных ре-
решеток, плотность которых локально максимальна [Ваг 6],
Таблица 1.1. Рекорды для упаковок, контактных чисел, покрытий
и кватизаторов. (В прямоугольник заключены оптимальныр значе-
значения. Слева от двойной линии расположены оптимальные среда
решеток.) При л<8в первом ряду стоят решетки, изоморфные Л„
Размерность
Ппотнейшав
упаковка
Наибольшее
контактное
число
экономное
покрытие
Наилучший
квантизатор
1 2
0В
1«
aJ
6
i—11—i
0В
на
3
*3
1*3
||2
Аз
А?
4
04
°4
24
А4
D4
5
D5
°5
40
А5
6
Е6
Е6
72
А6
ES
7
Е7
Е7
126
А7
Е7
8
Ее
Е8
240
А8
Ее
12
К|2
Р12Я
840
А,2
К,?
16
А»
А»
4320
А,б
А,6
24
А*4
Аг4
196560
А24
Ag4
[Ваг 7]. Известно, что плотнейшая решетчатая упаковка в раз-
размерностях от 1 до 8 единственна. (См. работы [Ваг 6], [Ваг 7] и
[Vet 2] о единственности ?6, Е7 и Ев-)
Символом Л/, в табл. 1.1 обозначены слоистые решетки. Они
будут определены и подробно изучены в гл. 6. В частности,
слоистые решетки являются плотнейшими решетками в размер-
размерностях до 8, и имеются следующие эквивалентности:
Л, Si Z =*
А*,
B5)
i6 — это решетка Барнса — Уолла (§10 гл.4, [Ваг 18]),
Л24 —решетка Лича (§ 11 гл. 4, [Lee 5]) н Ki2 — единственный
до сих пор не упомянутый элемент таблицы 1.1—это решетка
Кокстера — Тодда (§ 9 гл. 4, [Сох 29]). Весьма правдоподобно,
что Кц, Aie и Л24 являются плотнейшими решетками в размер-
размерностях 12, 16 и 24 соответственно, хотя это и не доказано.
32 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
12 16 20 2ч 28 32 36 40 А А 48
Рис. 1.5. Плотнейшие известные упаковки шаров в размерностях п ^ 48.
По вертикальной оси отложены значения Iog26 + nB4— л)/96, где б — цен-
центральная плотность. Через Л„ обозначаются слоистые решетки, решетки Кп
описаны в гл. 6. К\г — решетка Кокстера — Тодда, крестиками отмечены не-
нерешетчатые упаковки (см. гл. 5, разд. 2.6 и 4.3), решетки Q32, Взе н Рщ
описаны в табл. 1.3а. Верхняя граница—эта граница Роджерса C9), D0).
На самом деле вполне разумно предположить, что все элементы
табл. 1.1 оптимальны.
Плотности этих упаковок показаны на рис. 1.5 и в таблице
1.2, которая получена из таблицы работы [Lee 10] внесением
в нее последних результатов н включает большинство лучших
известных упаковок в размерности до 24. Кроме плотности Д
в таблице 1.2 указана центральная плотность 6, задаваемая ра-
равенством
б = ^-. B6)
которая обычно выражается куда более простым числом. На-
Например (крайний случаи), для Л24 плотность Д равна
я12/479001600 = 0.001930 ..., а 6=1. Точное значение таблица
дает только для 6. Если радиус шаров равен 1, то б есть число
центров на единицу объема. Для решетчатой упаковки из B0)
получаем
6 = p"(detA)-I/2. B7)
На рис. 1.5 масштаб изменен для удобства изображения.
По вертикальной оси отложена величина
На рис. 1.5 и в табл. 1.2 также приведена наилучшая известная
на сегодня верхняя граница для центральной плотности. Для
§ 1. Проблема упаковки шаров
33
Таблица 1.2. Упаковки шаров в размерностях до 24
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Наймем.
упаковки
Ао
Ai-Л]
А2гЛ2
Аз-0з
А4 = 04
А6~Е6
А7аЯ7
A,sEa
Л,
Р9а
А,о
Р1Оа
^lOi
ATT*
К,,
Гц.
Риь
РПс
Л12
Кп
L\2
РПл
А7з"
Кп
Р13а
Р{П
Аи
/>14(,
Рш
А,5
Р15«
А14
Ап
А„
А„
Л20
А21
An
Агз
А24
Плотность
Д
1
1
0 90690
0 74048*
061685
0.46526
0.37295
0.29530
0.25367
014577
0 12885
0 09202
0 09463
0 08965
0 09962
0.05888
006043
0.06624
0 04173
0.04945
0.04456
0.04694
0 02846
0 02921
0.03201
0 02162
9.01686
0.01471
0 008811
0.005928
0.004121
0003226
0.002466
0.002128
0.001905
О.ОО193О
Центральная плотность Ь
достигнутая
1
1/2
1/2 VI
1/4 VI
1/8
1/8 VI
1/8 VI
1/16
1/16
1/16V2
5/128
1/16VJ
19/512
9/256
5/128
1/32
1/18VJ
9/256
1/32
1/27
37/2"
9/256
1/32
1/18VJ
9/256
1/16VJ
l/ieVI
1/16
1/16
1/8VJ
1/8 VI
1/8
1/4V2
1/2VJ
1/2
1
-05
-0 28868
-0 17678
-0 125
- 0 08839
-007217
- 0 0625
- 0 0625
-0 04419
- 0 03906
- 0 03608
-003711
-003516
- 0 03906
-003125
- 0 03208
-0 03516
-0.03125
- 0.03704
-0 03337
-0 03516
-003125
-0 03208
-0 03516
= 0.03608
-0.04419
-0 0625
- 0 0625
-0.07217
-008839
- 0.125
- 0.17678
- 0.28868
-0.5
- 1.0
граница
1
05
0 28868
0 1847
0 13127
0 09987
008112
0 06981
0 06326
0 06007
0 05953
0 06136
0 06559
0.07253
0 08278
0 09735
011774
0 14624
0 18629
0.24308
0.32454
0.44289
0.61722
0.87767
1.27241
Контактное число
наибольшее с недм°е
0
t
6
12
24
40
72
126
240
272
306
336
372
500
372
438
432
566
580
582
648
756
704
840
906
918
ИЗО
066
1422
1484
1582
2340
2564
4320
5346
7398
10668
17400
27720
49896
93150
196560
0
2
6
12
24
40
72
126
240
272
235 3/5
336
353 9/19
340 1/3
372
438
432
519 7/9
648
756
704
770 2/3
906
918
1060 2/3
1422
2340
4320
5346
7398
10668
17400
27720
49896
93150
196560
Гл ,5
6,2
4,S 1
462
..,6 3
4,7?
4,7 1
4,3 3
4,8 2
4,8 1
6,4
5,2 6
6,4
5,2 6
5,2 6
5,2 6
6,4
6.2
5,2 6
5.4 3
5,2 6
6,4
4,9
5,3 3
5.2 6
6,4
6,2
5,4 3
5,4 3
6,4
5,4 3
5,4 3
6,4
5,4 3
4,10
6,6
6,6
6,6
6,6
6,6
6,6
6,6
4,11
Тип
L
L
L
В
L
В
в
в
L
В
N
В
N
N
N
В
L
Л
А
А
В
L
N
N
В
В
N
А
В
А
А
В
А
В
В
В
В
В
В
L
L
1
34
Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
п = 3 это граница Линдсея, упомянутая в разд. 1.1, а для п ^ 4
это граница Роджерса [Rog2], подсчитанная Личем [Lee 5].
Числа, приводимые Личем, оборваны на пятом десятичном зна-
знаке, все же остальные последние цифры десятичных выражений
в этой книге округлены. В столбце «Тип» табл. 1.2 символ В
означает, что известны как решетчатая, так и нерешетчатая
упаковка с этой плотностью и контактным числом, L означает,
что известна только решетчатая упаковка, N — только нерешет-
нерешетчатая, и, наконец, А означает локальное расположение (кла-
(кластер) шаров, касающихся одного шара. Предыдущий столбец
дает ссылку на место в этой книге, где описывается соответ-
соответствующая упаковка.
Из рис. 1.5 и табл. 1.2 видно, что слоистые решетки Л„ яв-
являются плотнейшими известными упаковками в размерностях
п s^ 29, кроме размерностей 10—13. Как мы уже говорили,
в размерности 12 плотнейшая известная решетка — это решетка
Таблица 1.3. Упаковки шаров в размерностях,
не превосходящих 24
и
32
36
48
60
64
80
96
104
128
136
150
180
Наименование
А32
BW32
Си
032
Азе
Вгв
Рщ
Рщ
Резр
BW<*
Qh
Р(,Ис
чСЕгУ
П СР48«)
Pirn
а№ _
1о&5
0
0
1
1.359
I
2
12
14.039
14.039
16.548
16
18.719
22
36
52.078
60
64
85
88
100
113.06
133
154.12
Граница
5.52
8.63
15.27
27.85
31.14
49.90
70.96
80.20
118.6
129.4
153.2
2Q6.7
Контактное
число
208320
146880
249280
261120
42840
234456
52416000
52416000
3908160
9694080
26П200
S260230400
Гл.,§
6,7
8,8.2f
8,8.2h
8,4
5,5.5
5,5.3
8,8.2d
6,7
5,5.7
5,5.7
5,5.5
8,8.2f
8,3d
8,8.2e
8,10c
8,10g
8.10c
8,8.2f
5,6.6
8,10c
S,10c
8,6
8,10c
*,6
§ 1. Проблема упаковки шаров
35
п
192
256
508
512
520
1020
1030
2052
4096
4098
8184
8190
8208
16380
16392
32784
65520
65544
131088
262152
524304
1048584
Таблица
Наименование
ч(л24)
л№
BW256
Вгы
л№
Вьп
л№
А?<&
А?Л
а№
ч(А16)
лШ
Ч (А24)
а№
г, (А24)
а\1Ш
Ч (А24)
Ч (А24)
Ч (А24)
Ч (Ам)
Ч 3^24)
Ч з(А24)
Ч з(А24)
Ч 3^24)
1.3 (продолжение)
Iog28
156
171.44
192
250
270.89
742.66
698
767.46
1922
1947
4755
11344
11279
26712
26154
26808
59617
61608
139488
311364
311496
664962
1.475-Ю6
3.178-Ю6
6.918 10"
Граница
230.0
357.0/
948.1
957.4
980.1
2406
2439
5871
13750
13/58
31547
31573
31655
7В25
71387
159154
350788
350932
767395
1.666-106
3.594107
7.711-Ю7
Гл.,§
8,1Ое
8,6
8,8.2f
8,8.2g
8,6
8,6
8,8.2g
8,6
8,6
8,6
8,6
8,10с
8,6
8,Юе
8,6
8,10е
8,6
8,10е
8,10е
8,10е
8,10е
8,10f
8,10f
8,10f
8,10f
Кокстера —Тодда Ки, а в размерностях 10, 11 и 13 имеются
нерешетчатые упаковки (мы опишем их в гл. 5), более плотные,
чем любая известная решетчатая. В размерностях 30—32 ре-
решетки Квеббеманна (§ 4 гл. 8, [Que5], [Que6]) превосхо-
превосходят Ля-
Таблица 1.3 приводит избранные плотнейшие известные упа-
упаковки в размерностях от 24 до примерно 106. Все эти упаковки
решетчатые. Решетки табл. 1.3 все задаются вполне явно: без
большого труда можно выписать их порождающие матрицы
(необходимое для этого количество операций является полино-
полиномом от размерности п). В размерностях от 64 примерно до
1000 Н. Элкис недавно обнаружил более плотные решетки1).
*) См. примечание переводчика на с. 37—38. — Прим. перев.
36 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Напротив, в 1905 г. Минковский неконструктивно доказал,
что существуют решетки с плотностью
Ш". B8)
где ?(п) = ? * " — дзета-функция Римана. Таким образом,
log2A^ —n-f-1 при л->оо. B9)
Отсюда получается (с помощью B7)), что существуют решетки
с центральной плотностью, не меньшей, чем следующие числа:
п 128 256 512 1024 4096 65536 1048576
Iog26 63 249 750 2006 12102 324603 7290660
Сравнение с табл. 1.3 показывает, что в размерностях около
1000 эти решетки плотнее любых ныне известных. К сожале-
сожалению, доказательство неравенства B8) (см. [Cas 2, ch. 6],
[Lek 1, § 19], [Rog7, гл. 4]) использует усреднение и ничего не
говорит о том, как можно найти решетки, удовлетворяющие
B8). Было найдено много обобщений и расширений неравен-
неравенства B8), но для больших п не известно сколько-нибудь значи-
значимого улучшения. В своей общей форме это неравенство известно
как теорема Минковского — Главки.
Мы до сих пор не знаем, как строить упаковки с плотностью,
указанной в B8). В 1959 г. Варне и Уолл открыли бесконечную
последовательность решеток BWn в размерностях п = 2т с
— log2 Д ~ — -? log2 n при п-*-ао C0)
(разд. 8.2f гл. 8, [Ваг 18]); в 1971 г. в работе [Lee 10] (см.
разд. 6.7 гл. 5) были построены нерешетчатые упаковки с
а в 1973 г. в [Slo 1] (см. разд. 6.8 гл. 5)—нерешетчатые упа-
упаковки, для которых
4-log2A^-6. C2)
Решетки с
^J C3)
обнаружены в работе [Ваг 15] (см. разд. 8.2g гл. 8), а также
Крэйгом (см. § 6 гл. 8), а решетки с
-J-log2A log;» C4)
§ 1. Проблема упаковки, шаров 37
построены в [Bos3] (см. разд. 10h гл. 8). Здесь \ogn есть
наименьшее значение k, при котором ^-кратный двоичный ло-
логарифм числа п меньше 1. Тем не менее решетки, конструируе-
конструируемые в гл. 8, достаточны плотны в довольно больших размер-
размерностях. Так, например, в размерностях п ^ 98328 имеются ре-
решетки с
±l0g2A = - 1.2454... +в,
где |в|< 12n~' log2(n/6), в размерностях n s^ 1051 — решетки с
i-log2A = -2.0006 ... +г',
а в размерностях п^ ю9870 — решетки с
-J- log2 А = - 2.2005 ... + е". C5)
Все эти решетки также строятся явно. Лицын и Цфасман
[Lit 3], [Lit 5] недавно показали, что нерешетчатые упаковки с
4-1.31 C6)
и решетки с
i-2.30 C7)
можно построить методами гл. 8, примененными к алгебро-гео-
метрическим кодам (ср. § 2.11 гл. 3).
В § 7.4 гл. 8 мы увидим, что бесконечные башни полей клас-
классов, найденные Голодом и Шафаревичем [Gol 19], Мартинэ
[Маг 2] и другими, задают бесконечную последовательность ре-
решеток, в наилучшем известном случае удовлетворяющих нера-
неравенству
^~ — 2.218... при п-*оо. C8)
(Это было указано Цфасманом, см. [Lit 3] ').) Однако пока не
видно никакого практического метода явного построения этих
решеток.
*) Более подробное изложение см. в [Lit 5] и в книге [Tsf 3*], гл. 5.4.
Плотные решетки можно также строить по мультипликативным груп-
группам числовых и функциональных полей (Розенблюм и Цфасман [Ros 1*],
[Tsf 4*], см. также [Tsf 3*], гл. 5.4). Так, модулярные кривые приводят к ре-
решеткам с (l/rt)log2 Д*3—1,87, а добавля к этой конструкции удачно вы-
выбранный дивизор, удается получить решетки с (l/rt)log2A#&—1.39.
Как показал Н. Элкис [Elk 1*], группы точек эллиптических кривых с
постоянным /-инвариантом над функциональным полем задают очень плотные
38 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Замечание. Хотя мы и назвали результат Мянковского и не-
некоторые другие результаты «неконструктивными», имеются ал-
алгоритмы, теоретически позволяющие выписать порождающие
векторы за ограниченное время, т. е. в логическом смысле они
эффективны. Однако типичный алгоритм такого типа включает
перебор по чрезвычайно большой совокупности и требует супер-
суперэкспоненциального времени работы. Напротив, наши «явные»
конструкции позволяют очень быстро выписать порождающие
векторы. Мы сознательно воздерживаемся от точных определе-
определений, поскольку чувствуем, что лучше всего разграничения та-
такого рода производятся неформально1).
Совсем недавно в [Rus 1] было показано, что упаковки
в размерности п = р2, где р простое, с
~ log2 Д ^ — 1.000000007719 ...
(число справа равно —A -j-2 (log2 е)/е*2 + •••) можно найти
перебором по специальному конечному множеству кодов дли-
длины п. Хотя этот результат и «неконструктивен», перебор произ-
производится по гораздо меньшей совокупности, чем в теореме Мин-
ковского 2).
Результат Минковского B8) гарантирует существование
плотных упаковок. В противоположном направлении в работах
[Rog2], [Rog7] Роджерс показал, что плотность любой л-мер-
ной упаковки удовлетворяет неравенству
Л<сг„, C9)
где On определяется следующим образом. Пусть S — правильный
n-мерный симплекс с ребром длины 2. Шары радиуса 1 с цен-
центрами в вершинах из 5 не пересекаются, и ап — это отношение
объема части S, покрытой шарами, к объему всего симплекса
5. Из неравенства C9) следует, что никакая двумерная упа-
упаковка не может быть плотнее, чем гексагональная решетка,
решетчатые упаковки в размерностях до 1024. В частности, так получаются
решетки ?>4, ?8, Л24. В размерностях от 64 до 1024 многие решетки Элкиса
плотнее упаковок, указанных в табл. 1.3. Многие из этих решеток получаются
как инвариантные решетки в представлениях больших групп, см. [Gro 4*].—
Прим. перев.
*) Формализация легко проводится в рамках теории сложности алгорит-
алгоритмов; при этом естественно считать эффективными полиномиально конструи-
конструируемые упаковки. Однако сердцу математика дороги прямые конструкции
типа упоминаемой ниже конструкции из [Rus 1], башен полей классов или
решеток по модулярным кривым, хотя они и не являются полиномиаль-
полиномиальными.— Прим. перев.
г) Аналогичные методы привели Дж. Раша [Rus 2*] к решеткам на гра-
границе Минковского. Они также оказались применимы к решетчатым упаковкам
любых «достаточно симметричных» тел. — Прим. перев.
§ 1. Проблема упаковки шаров 39
а в размерности три C9) дает границу «0.7796, упомянутую
в разд. 1.1. Другая форма неравенства C9), найденная Личем
[Lee 10], такова:
log2 6 <1 п log2 (-?) + } to* п - log2 -fc + -JZLr, D0)
последний член здесь дан приближенно. Для больших п из
C9) следует неравенство
^-0.5. D1)
В 1979 г. Левенштейн [Lev 7] показал, что
а ^ /(я/2) ,-оч
А< г(„/2+О2-4" ' D2)
где j(t)—наименьший положительный нуль функции Бесселя
Jt{x). Для больших п = 2/ в D2) можно использовать прибли-
приближенное равенство ([Bos 2], [Olvl])
/(/) » / + 1.8557571 • /!/3 + 1.033150 • Г1/3 -
— 0.003971 • Г1 — 0.0908 • Г5/3 + 0.043 • Г7/3. D3)
В асимптотике из D2) получаем
4" log2 A ^ — 0.5573 .... D4)
В 1979 г. Кабатянский и Левенштейн [Kab 1] получили еще
более сильную границу, которая для больших п дает
^¦logg Л ^-0.5990 »)• D5)
Точная форма их границы и метод ее доказательства приве-
приведены в гл. 9.
Другие границы имеются в [Lev 4], [Lev 5], [Lev 9], [Rog7],
{Sid 1], [Sid 3], [Ural]. Граница Роджерса C9), D0) яв-
является наилучшей для п ^ 42, в более высоких размерностях
граница Кабатянского — Левенштейна превосходит ее. Верхние
границы в табл. 1.3 получены из этих двух границ.
В табл. 1.4 сравниваются различные плотности в размер-
размерности 65536, приведены наилучшие известные упаковки, заве-
1) Заметим, что в правой части D5) стоит величина
I ¦ от , 1 + sin 6 1 I + sin в 1 — sin в , I — sin в \
min < Sin в/2 -\ —:—;;— log2 —;г^-:—я г—:—jr— log? с ¦—й— ( >
о<е<я I 2 sin в 2 sin в 2 sin в 2 sin в J
см. формулы E6) н F) гл. 9. — Прим. перев.
40
Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Таблица
Тип
Конструкции
Граница суще-
существования
Верхние гра-
границы
1.4. Сравнение центральных плотностей
в размерности 65536
Наименование
?Гб55Зв
#65536
П(Л32)
л B954)
Л65536
Ч (Аи) •)
Минковский
Каб. — Лев.
Левенштейи
Роджерс
*) в размерности 65520
log2d
180224
290998
295120
297740
311364
324603
350885
353768
357385
Гл.
8, § 8.2f
8, § 8.2g
8, § Юс
8, § 6
8 § Юе
I, B8)
9
1, D2)
1, D0)
домо достижимая плотность, даваемая границей Минковского,
и три верхние границы на наибольшую возможную плотность.
Таким образом, из B9) и D5) следует, что плотнейшая (ре-
(решетчатая или нерешетчатая) упаковка удовлетворяет для боль-
больших п неравенствам
^ Л ^-0.5990. D6)
(Грубо говоря, когда размерность увеличивается на 1, плот-
плотность наилучшей упаковки делится на число между 2 и 1.51.)
Многие специалисты по теории чисел пользуются постоян-
постоянной Эрмита уп, задаваемой равенством
Y« = 4-62/«, D7)
где бп— центральная плотность плотнейшей решетчатой упа-
упаковки в R" [Lek I, p. 294]; у„ — это минимальная норма опти-
оптимальной л-мерной решетки с детерминантом 1. Она известна
для л sg: 8 (ее можно получить из табл. 1.1 и 1.2), а для боль-
больших п из B9) и D5) следует, что
1 < VjL < 1J44 (АХ\
Уравнения B8) —C4) гл. 3 показывают, что у„ измеряет наи-
наибольший достижимый кодовый выигрыш л-мерной решетки.
§ 2. Проблема контактного числа 41
Хотя в этой книге мы рассматриваем только проблему упа-
упаковки очень большого числа шаров, имеется значительная ли-
литература по задаче наилучшей упаковки N шаров для малых
значений N. См., например, [ВепЗ], [Boel], [Fej2a], [Fej2b],
[G0I8], [Gra4a], [Gri 12] —[Gri 14], [GroO], [Wegl], [WHO].
§ 2. Проблема контактного числа
2.1. Проблема тринадцати шаров. Второй основной вопрос
этой книги, тесно связанный с проблемой упаковки, называют
проблемой контактного числа. В трехмерном случае это вопрос
о том, сколько биллиардных шаров можно расположить так,
чтобы все они касались еще одного шара того же размера. Не
следует представлять себе биллиардный стол, вместо этого пред-
представьте себе один зафиксированный в пространстве биллиард-
биллиардный шар и попробуйте мысленно расположить остальные вокруг
него. (Для этой задачи биллиардные шары несколько нагляд-
нагляднее, чем шарики из шарикоподшипников.) Эта проблема яви-
явилась предметом знаменитой дискуссии между Исааком Ньюто-
Ньютоном и Дэвидом Грегори, состоявшейся в 1694 г. Ньютон считал,
что правильный ответ —12, как в fcc-решетке (см. рис. 1.1а),
а Грегори полагал, что можно поместить и 13.
Сейчас известно, что правильный ответ на этот вопрос, ча-
часто называемый проблемой тринадцати шаров, все же 12. Не-
Некоторые доказательства появились в девятнадцатом веке:
[Benl], [Hopl], [Gunl]. Шютте и ван дер Варден привели
подробное доказательство в 1953 г. [Sch 12]. Наилучшее из
имеющихся доказательств содержится в работе Лича [Lee 2];
хотя оно прямолинейно и элементарно, тривиальным его не на-
назовешь. (См. также [Вое 1], [Was 1].)
Сложности возникают из-за того, что расположение не
единственно; на самом деле расположить 12 биллиардных ша-
шаров вокруг одного можно бесконечным числом способов. На-
Например, если поместить центры 12 шаров в вершины правиль-
правильного икосаэдра, центр которого совпадает с центром фиксиро-
фиксированного шара, то эти двенадцать шаров не касаются друг друга
и их можно свободно двигать. (Оказывается, что любая пере-
перестановка двенадцати шаров может быть получена перекатыва-
перекатыванием внешних шаров по внутреннему — см. приложение к этой
главе.) Икосаэдральное расположение 12 атомов вокруг одного
центрального встречается в ряде сплавов и смесей [Bril],
[Тео2], [Wei 4, р. 71], а также в недавно открытых непериоди-
непериодических структурах, называемых квазирешетками или квази-
квазикристаллами (см., например, [Con 16a], [Elsl], [Els 2], [Gra 6],
[Gru3], [Lev 10], [Levll], [Nell], [SheO]). Расположение 12
42
Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
атомов вокруг одного по типу fcc-решетки (так что их центры
являются вершинами кубооктаэдра) встречается очень часта
[Wei 4, р. 71].
2.2. Контактные числа в других размерностях. Более общим
образом, определим контактное число (обычно обозначаемое т)
Таблица 1.5. Диапазон возможных упаковки шаров любой размер-
значений х„, наибольшего возможного ности как число шаров, касаю-
контактного числа в размерности п. щихся ОДНОГО шара. Для ре-
Й
для получения верхней границы
сит от выбоРа Центрального
шара, однако для произвольной
упаковки при переходе от од-
одного шара к другому т может
меняться. Иногда т называют
числом Ньютона (в честь уче-
ученого, от которого пошла эта
задача) или координационным
числом (последнее название
употребляется в химии).
В n-мерном варианте проб-
проблема контактного числа — это
вопрос о наибольшем возмож-
возможном значении т для произволь-
произвольной упаковки n-мерных шаров.
В одномерном случае ответ 2,
а в двумерном 6 (легко прове-
проверить, что шесть монет можно
разложить на столе вокруг
одной, как на рис. 1.3Ь, а семь—
уже нельзя). В трехмерном
случае, как мы уже говорили,
ответ 12.
Вызывает некоторое удив-
удивление, что мы знаем также
контактные числа в размерно-
размерностях 8 и 24 (см. [Odl 5] зё
гл. 13, [Lev 7]), но не знаем
ответа ни в одной другой раз-
размерности, большей трех. На
самом деле эти числа B40 и 196560 соответственно) получаются
технически проще, чем трехмерный результат. Это связано с тем,
что в данных размерностях расположение единственно: един-
единственный способ окружить 8-мерный шар 240 другими — это
расположение решетки Es, аналогично в размерности 24 един-
л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2
6
12
24-25
40-46
72-82
126-140
240
306-380
500-595
582-915
'840-1416
1130-2233
1582-3492
2564-5431
4320-8313
5346-12215
7398-17877
10668-25901
17400-37974
27720-56852
49896-86537
93150-128096
196560
Степень
9
10
10
10
6
11
11
11
11
12
12
12
13
13
13
13
13
13
14
14
10
§ 2. Проблема контактного числа
43
ственное расположение берется из одной из двух зеркальных
форм решетки Лича (см. [Ban 13]=ёгл. 14).
С другой стороны, в четырехмерном пространстве известно
лишь, что наибольшее контактное число равно 24 или 25. Число
24 встречается в решетке Di, а наилучшая известная верхняя
граница равна 25. Контактные числа различных упаковок в раз-
размерностях до 24 приводятся в табл. 1.1 и 1.2, а табл. 1.3 со-
содержит контактные числа некоторых решеток в размерностях
между 32 и 128. (В больших размерностях мы не знаем кон-
контактных чисел для упаковок, приводимых в табл. 1.3.) Наилуч-
Наилучшие известные границы для хп — наибольшее возможное кон-
контактное число в размерности п — представлены для 1 ^п^24
в табл. 1.5. Указанные там нижние границы взяты из табл. 1.2,
а верхние выводятся ниже, в гл. 13.
До сих пор мы рассматривали контактные числа для произ-
произвольных расположений шаров. Если мы ограничимся только ре-
решетками, то известно гораздо больше: Ватсон [Wat 7] показал,
что слоистые решетки Ап имеют наибольшие возможные кон-
контактные числа в размерностях п s=; 9. В размерностях п ^ 8
наибольшее известное сейчас контактное число для произволь-
произвольных упаковок совпадает с числом, получаемым для решеток.
Однако в размерности 9 имеется нерешетчатая упаковка {Рза),
в которой некоторые шары касаются 306 других шаров, в то
время как наибольшее возможное контактное число для реше-
решеток равно 272 [Wat 7] (см. также [Wat 6], [Wat 8], [Wat 9],
[Wat 13]). Таким образом, с точки зрения контактного числа
9 — это наименьшая размерность, в которой известны нерешет-
нерешетчатые упаковки, лучшие, чем любая решетчатая.
Стоит обратить внимание на состояние наших сегодняшних
знаний об 11-мерных упаковках. Эти знания сводятся к следую-
следующей небольшой таблице (части табл. 1.2):
Наименование
Риа
Рис
Кп
дтах
Тип
нерешетчатая
нерешетчатая
решетчатая
решетчатая
6
0.03516
низка
0.03208
0.03125
ттах
566
582
432
438
Исходя из этого можно думать, что решетчатый и нерешетча-
нерешетчатый варианты проблем упаковки и контактного числа имеют,
воообще говоря, четыре различных ответа. Мораль: проб-
проблема контактного числа — локальная проблема, а проблема
44 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
упаковки — глобальная\ Конечно, мы не знаем, оптимальны ли
приведенные в таблице упаковки, и, вообще говоря, может суще-
существовать одна решетчатая упаковка, лучшая чем все четыре
приведенных.
В больших размерностях (мы возвращаемся к проблеме кон-
контактного числа для произвольных упаковок) известно гораздо
меньше. Кабатянский и Левенштейн показали, что контактное
число л-мерной упаковки ограничено сверху:
D9)
(см. [Kab 1] и гл. 9, формула E5)). Винер [Wyn 1] показал,
что существуют расположения с
х ^2'I~°-51og23)"'1+0'I^ = 20-2075 ••• «(i+o@) E0)
Результат Винера, подобно границе Минковского B8), некон-
неконструктивен. Наилучший известный конструктивный результат
принадлежит Личу, который показал, что решетки Барнса —
Уолла BWn в размерностях n = 2m имеют контактное число
П
~ 4.768... • 2m(m+1>/2 = 4.768 ... • 20-5l°e<1°e*'1+l> E1)
(см. разд. 6.5 гл. 5, разд. 8.2f гл. 8, [Баг 15], [Ваг 18], [Lee 4],
[Bos3]). Решетки Барнса — Уолла, уже упоминавшиеся в фор-
формуле C0), — это один из способов продолжить последователь-
последовательность решеток D4, Ев, ... на все размерности 2. Однако в гл. 5
и 8 мы увидим, что эти решетки основаны на кодах Рида — Мал-
лера и потому дают не слишком хорошие упаковки в больших
размерностях. Третья решетка этой последовательности Ац
имеет наибольшие известные плотность и контактное число
в размерности 16 (см. гл. 4, § 10), но уже четвертая решетка,
эквивалентная слоистой решетке Л32 (гл. 6), уступает решетке
Квеббеманна Q32 (см. § 4 гл. 8, [Que5], [Que6]). Для боль-
больших п контактные числа решеток Барнса—¦ Уолла очень малы
по сравнению с E0). Явная конструкция, дающая много боль-
большие контактные числа, приводится в разд. 2.5.
2.3. Сферические коды. Проблема контактного числа может
быть сформулирована другим способом: сколько точек можно
расположить на сфере в n-мерном пространстве R* так, чтобы
угловое расстояние между любыми двумя из них было не мень-
меньше 60°? Чтобы увидеть, что это — в точности та же проблема,
рассмотрим любое расположение непересекающихся шаров, ка-
касающихся одного шара. Тогда угловое расстояние между точ-
§ 2. Проблема контактного числа 45
ками касания внешних шаров с центральным шаром не меньше
60° (см. рис. 1.6).
Таким образом, проблема контактного числа может рассмат-
рассматриваться как проблема упаковки, аналогичная рассмотренной
в § 1, с тем отличием, что на сей раз мы упаковываем точки
Рис. 1.6. Если шары А и В касаются шара С, то угловое расстояние между
точками касания Р и Q, ZPOQ, равно по меньшей мере 60°, поскольку если
А касается В, то три центра образуют равносторонний треугольник.
на сфере в R" (а не в самом пространстве R"). Это приводит
к важному обобщению. Через Й„ мы обозначим сферу в R".
Оя = {(х, xJeR": 2>?=l}. E2)
Конечное подмножество X сферы Qn называется сферическим
кодом (по аналогии с двоичными кодами, см. § 2 гл. 3); мини-
минимальным углом кода X называется наибольшее число ср, для ко-
которого
x-ys^cosq) для всех х, у е X, хфу.
(Неравенство имеет вид ^, а не ^, так как чем две точки на
Qn ближе, тем их скалярное произведение больше. Если х — у,
то х-у= 1. Если у — противоположная точка к х, т. е. у = —х,
то х-у — — 1.)
Обобщим проблему контактного числа, задавая вопрос: ка-
каково наибольшее возможное число Д(п,ср) точек в сферическом
коде на пп с минимальным углом ф (при данных п и ,ср)? Во-
Вопрос об А(п, я/3)—это проблема контактного числа, и мы уже
видели, что А B, л/3) = 6, А C, я/3) = 12, А D, я/3) = 24 или 25
и т. д.
Аналогия с проблемой упаковки шаров становится яснее,
если мы рассматриваем равные сферические шапочки, располо-
расположенные на сфере, с центрами в точках сферического кода. При
этом Л(п,ф) — это максимальное число сферических шапочек
углового диаметра ср, которое может быть расположено на О,п
без пересечений.
46 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Имеется много приложений сферических кодов (см. ссылки
в конце разд. 1.4, а также в разд. 1.2 гл. 3). Особенно стара-
старательно изучалась трехмерная проблема — поиск значения А C, ср).
Зачастую вопрос задается в обратной форме: каково наиболь-
наибольшее возможное угловое расстояние при расположении М точек
на Q3? Эта задача иногда называется проблемой Таммса по
имени голландского ботаника, который пришел к этой задаче,
изучая распределение пор на цветочной пыльце [Тат 5]. Экви-
Эквивалентный вопрос: в каких точках планеты должны построить
свои дворцы М враждующих диктаторов, чтобы каждый из них
оказался возможно дальше от всех прочих?
Примеры. Наилучший код с М — 4 состоит из вершин пра-
правильного тетраэдра; минимальный угол ф = л — arccos(l/3) «
«* 109.4701. Для М = 6, 8, 12 и 24 наилучшие коды задаются
правильным октаэдром, квадратной антипризмой, правильным
икосаэдром и плосконосым кубом; при этом ф = 90°, 74.859°,
arctgB)« 63.435° и 43,7° соответственно ([Fej 10], [Rob 1],
[Sch 11]). Однако для М — 20 ответом не будет правильный до-
додекаэдр с ф« 41.810°, поскольку ван дер Варден [Wae 1] на-
нашел гораздо менее симметричный код с фя 47.431°. Наилуч-
Наилучшие коды для больших значений М также далеко не всегда
совпадают с очевидными (наиболее симметричными) канди-
кандидатами.
Наилучшие известные трехмерные сферические коды можно
найти в работах [ВбгЗ], [Brul], [Cla 1], [Сох 15, р. 325],
[Danl], [Fej 2], [Fej 10], [Gol 3] - [Gol 7], [Habl], [Lee 11],
[Mell], [Robl], [Rob 2], [Sch 11], [Str2], [Sze2], [Tar 1]—
[Tar 4], [Why 1]. Трехмерные коды с большим числом точек по-
построены в [Ваи 1], (Lub 1], [Lub2]. См. также [Агп 1], [Вес 1],
[Вег9], [ВегЮ], [В1а 1], [Gru2], [Lee3], [Lin 1], [Mell],
[Meyl], [Mohl], [Muel], [Slol3a], [Wei 4]. О четырехмерных
сферических кодах см. [Сох 24], [МасО], [Nunl], [War 4].
Имеются два простых и общих метода построения сфериче-
сферических кодов, пригодных не только для размерности три; один из
них исходит из упаковок шаров, а другой — из кодов, исправ-
исправляющих ошибки. Эти конструкции, так же, как и все приведен-
приведенные выше трехмерные и четырехмерные коды, дают нижние гра-
границы для А {п, ф).
2.4. Построение сферических кодов по упаковкам шаров.
Пусть Л — упаковка шаров в R". Поместим начало координат
в удобную для нас точку Р. (Обычно Р — это либо центр од-
одного из шаров, либо точка, равноудаленная от нескольких цен-
центров. Например, на рис. 1.3Ь можно выбрать в качестве Р точку,
§ 2. Проблема контактного числа 47
отмеченную буквой а, точку, отмеченную буквой 6, или же се-
середину отрезка, соединяющего две точки, отмеченные бук-
буквами а.) Предположим, что на расстоянии и от Р находится N
центров упаковки Л. Изменим масштаб в и раз; тогда эти N
центров образуют «-мерный сферический код, состоящий из N
точек. Иными словами, в качестве кода мы берем одну обо-
оболочку точек вокруг Р [Slo 12].
Расстояние между центрами шаров больше либо равно 2р
(где р— радиус шара), поэтому минимальный угол по меньшей
мере равен
2arcsin(p/«). E3)
Число точек этого кода задается тэта-рядом упаковки по отно-
отношению к Р (см. разд. 2.3 гл. 2).
Примеры. Рассмотрим решетку D4 (разд. 1.4), в качестве Р
возьмем точку этой решетки и положим р = 1/л/2. Первая обо-
оболочка имеет и=д/2 и содержит 24 центра (это контактное
число); полученный сферический код состоит из точек вида
2~1/2(±1, ±1, 0,0), его минимальное угловое расстояние равно
2arcsin(l/2)= 60°. Вторая оболочка имеет ц = 2 и также со-
содержит 24 точки; сферический код состоит из (±1, 0, 0, 0) и
A/2) (±1, ±1, ±1, ±1). Минимальный угол опять равен 60°,
так что в этом случае оценка E3) не дает точного значения ср.
Этот второй код получается из первого вращением. Оба этих
примера показывают, что ЛD, 60о)>=24.
С другой стороны, если мы поместим Р в точку A, 0, 0, 0)
(«глубокую дыру» решетки ZL, см. рис. 1.3d), то получим дру-
другую последовательность сферических кодов. Первая оболочка
теперь содержит 8 точек на расстоянии 1 от Р и задает код
с минимальным углом 90° (вершины правильного четырех-
четырехмерного обобщенного октаэдра). Следовательно, ЛD, 90°) 22? 8.
Числа точек этих двух семейств сферических кодов суть коэф-
коэффициенты тэта-рядов (l/2)(93B2L+e4B2L) и A/2)92BгL
соответственно (см. § 7 гл. 4).
2.5. Построение сферических кодов из двоичных кодов. Пусть
С — двоичный код, исправляющий ошибки (см. § 2 гл.3),длины
п с минимальным расстоянием d. Сферический код получается
из С заменой 1 на —1 и 0 на 1 в каждом кодовом слове и деле-
делением на V«- Получающиеся точки лежат на У„, и минимальный
угол задается равенством
Ф = arccos A — ) , E4)
^=sin*f. E5)
48 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
Примеры. Код, содержащий все 2" двоичных слов длины п,
задает сферический код, состоящий из вершин n-мерного куба
п~1/2(±1 ±1)- Любой другой сферический код, получае-
получаемый с помощью этой конструкции, является подмножеством
этого кода. Код Голея Ч<?24 (см. п. 2.8.2 гл. 3) с п = 24 и d — 8
задает сферический код из 4096 точек на Q24 с cp = arccos(l/3) «
fa 70.529°. Таким образом, А B4, arcos( 1/3)) ^4096.
Используя некоторые коды, построенные Юстесеном, Уэлдо-
ном и Сугиямой с соавторами (см. разд. 2.6 гл. 3), можно полу-
получить бесконечную последовательность сферических кодов с фик-
фиксированным ф и п-*-оо, содержащих 2сп точек (где с зависит
только от ф). Коды Юстесена — простейшие из перечисленных,
но для них d/n^. 0.110 ..., поэтому из них получаются сфери-
сферические коды только с ф^ 38.73°. Для больших углов следует
использовать коды Уэлдона и Сигуямы с соавторами. Проблема
контактного числа, в частности, требует ф = 60°, и из кодов Си-
Сигуямы с соавторами мы получаем явно конструируемую после-
последовательность расположений шаров в R" с контактным числом
t__20.oo3n(i+o(i))> E6)
(Это не очень хорошо по сравнению с результатом Винера E0),
но хотя бы растет экспоненциально по п.)
2.6. Границы для Л (п, ф). Здесь опять имеется неконструктив-
неконструктивная нижняя граница [Sha6], [Wynl]:
Л (га, ф)^2-п1о8г<81п<">>"+°<1>). E7)
(Неравенство E0) — частный случай этого при ф =60°.) В про-
противоположном направлении имеется целый ряд границ. Мы нач-
начнем с границ, применимых при больших ф, и пойдем вниз. Ран-
кин [Ran 4] нашел точное значение для ф ^ 90°:
А(п, ф) = 1 при л<ф<2я, E8)
А(п, ф) — [ 1 — sec ф] при arcsec (— п) ^ ф ^ п, E9)
А(п, ф) = д+1 при — <ф<агсзес(—/г), F0)
А(п, я/2) = 2п. F1)
Сферические коды, соответствующие F0) и F1), суть вершины
соответственно правильного симплекса и правильного обобщен-
обобщенного октаэдра. Кроме того, Ранкин показал, что
А (п. ф)<(A/2)я/г3созфI/2(л/2зт(ф/2))"пA +оA)). F2)
§ 2. Проблема контактного числа 49
Кокстер [Сох 16] предположил, а Бёрёцки [Вбг 2] доказал, что
где sec2а = secср + п — 2, a Fn(a) — функция Шлефли, опреде-
определяемая равенством
где U — «площадь» правильного сферического симплекса на О.п
с углом 2а. Для больших п неравенство F3) сильнее, чем F2),
на множитель, стремящийся к 2/е. Для проблемы контактного
числа подстановка ср = 60° в F3) дает
что не так хорошо, как граница Кабатянского — Левенштейна
D9). Кабатянский и Левенштейн [Kab 1] показали также, что
для фиксированного угла ср, 0 <С <р < я/2, и больших п
1 i „ , ч *¦ 1 + sin ш < 1 + sin ф 1 — sin ф . 1 — sin ф
- log2 А (п, Ф) с$ 2 sjn фф log2 -j^ —_2.iog8-__JL
F5)
и что для 0 < ф <С ф*.
\ log2 А {п, ф) .<С — \ log2 A — cos ф) — 0.0990, F6)
где ф* ж 63° определяется как корень некоторого уравнения.
При ф = 60° из F6) получается D9). Неравенство F5) и
F6) получаются с помощью линейного программирования (см.
разд. 3.5(iv) гл. 9). Метод линейного программирования позво-
позволяет также получить много хороших оценок А (п, ф) в различных
частных случаях (см., например, табл. 1.4 и 9.2). Для cos ф <
< l/Vn Дельсарт с соавторами [Del 16] показал, что
А (П, ф) < я О - cos Ф) B+ («+!) cos Ф) F7)
а Астола [Ast 1] получил оценку
А (п, Ф) <С п B.2 + loge A + па)) F8)
для cos ф = о (п~2/3), а также неравенство
А (л, Ф) ^ A/2) п loge (я cos ф), F9)
справедливое, если псоэф неограниченно растет при п->оо.
Границы для А (п, ф) с помощью неравенства
A<(sin(qj/2))ni4(» + l, ф) для 0<ф<я G0)
50
Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа
приводят также к границам для плотности Д упаковки шаров
в R" (см. теорему 6 гл. 9). Так, например, D5) выводится на
F6) и G0).
Проблемы упаковки шаров в гиперболическом пространстве
изучались в работах [Bez 1], [Bez3], [Вог 1] [Сох 18, р. 173—
177], [Fej I, p. 325], [Fej 4]-[Fej 7], [Fej 11].
Приложение. Перемещения планет
Рассмотрим набор из 12 единичных шаров — планет, касаю-
касающихся заданного шара — солнца, расположенных как в fcc-pe-
шетке. Мы покажем, что они расположены настолько про-
7 7
(а) (Ь) (с)
Рис. 1.7. Как переставлять планеты.
сторно, что 12 планет можно переставить произвольным обра-
образом, катая их вокруг солнца так, чтобы ни в какой момент они
не пересекались.
На рис. 1.7 представлен один из способов доказательства
этого факта. На рис. 1.7а изображены 12 точек касания с солн-
солнцем в начальный момент (когда планеты находятся в вершинах
кубооктаэдра fcc-решетки). Этот кубооктаэдр можно вращать во-
вокруг центра квадратной грани, получая перестановку
я, = @, 10,3, 11)A,9, 4, 2) E, б, 7, 8).
Двигая планеты в направлениях, указанных стрелками, их
можно непрерывно перевести в икосаэдральное расположение
(см. рис. 1.7Ь). (Точное описание этого перемещения можно
найти в [Сох20, § 8.4].) Расстояния теперь настолько увели-
увеличились, что 12 планет уже не касаются друг друга. В этой кон-
конфигурации назовем любую планету, например с номером 1,
южным полюсом, а противоположную (с номером 4) — север-
северным. Будем считать, что любая другая планета является спут-
спутником ближайшего из этих полюсов, как показано на рис. 1.7с.
Теперь приблизим каждый спутник к его полярной планете до
их касания (в направлении стрелок на рис. 1.7с). Пять спутни-
Приложение. Перемещения планет 51
ков северного полюса можно теперь повернуть вокруг него, по-
получая перестановку
^ = C,6,5,9, 10).
Другой выбор полюсов даст двенадцать 5-циклов, подобных
яг. Мы покажем, что эти двенадцать 5-циклов порождают знако-
знакопеременную группу А12. В § 18 гл. 11 показано, что их попар-
попарные отношения порождают группу Матье М\2. Поскольку Мц
пятикратно транзитивна, в ней имеется элемент, переводящий
Яг в любой 5-цикл, но, как хорошо известно, совокупность всех
5-циклов порождает Ai2- Поскольку мы также располагаем не-
нечетной перестановкой п\, получаем полную группу S12, что и
требовалось.
Слабыми возмущениями движений спутников мы можем
получить двенадцать 5-циклов, подобных яг (которые порож-
порождают Ai2), даже когда радиус планет несколько больше, чем
радиус солнца. Мы не знаем, можно ли в этом случае получить
всю группу Si2.
Глава 2
Покрытия, решетки и квантизаторы
Дж. Конвей, Н. Слоэн
Эта глава продолжает обзор основных проблем, мотивиро-
мотивировавших появление книги. Сначала мы обсуждаем проблему наи-
наилучшего покрытия пространства перекрывающимися шарами —
проблему, в известном смысле двойственную к проблеме упа-
упаковки. После этого мы вводим язык квадратичных форм,
показываем, что на самом деле решетки и квадратичные
формы — это одно и то же, и разбираем связь указанных проб-
проблем с теорией чисел. Одним из центральных моментов является
классификация целочисленных квадратичных форм и решеток.
В последнем параграфе мы обсуждаем проблему конструкции
хороших квантизаторов или аналого-цифровых преобразовате-
преобразователей. По каждой из этих проблем мы резюмируем известные на
сегодняшний день результаты.
§ 1. Проблема покрытия
1.1. Покрытие пространства перекрывающимися шарами.
Мы уже познакомились с проблемой упаковки и проблемой кон-
контактного числа. Третья основная тема этой книги в каком-то
смысле двойственна к проблеме упаковки. Спрашивается, как
наиболее экономно покрыть n-мерное евклидово пространство
равными перекрывающимися шарами? На рис. 2.1 показаны два
различных способа покрытия плоскости перекрывающимися кру-
кругами. В случае (а) центры кругов принадлежат квадратной
решетке Z2, а в случае (Ь)—гексагональной решетке. Очевидно,
что покрытие (Ь) экономнее покрытия (а), поскольку его круги
перекрываются в меньшей степени.
Чтобы точно выразить это, определим плотность в покрытия
так же, как и плотность А упаковки. Пусть имеется расположе-
расположение шаров радиуса R, покрывающее R". Если его центры обра-
образуют решетку Л, то плотность определяется формулами, анало-
аналогичными формулам A0), A1), B0) гл. 1:
0 = среднее число шаров, содержащих точку пространства =
объем одного шара VnRn /i\
~~ (detAI'2 "~ (det ЛI'2 " К)
§ 1. Проблема покрытия 53
(а)
(Ь)
Рис. 2.1. Покрытия плоскости кругами. На рис. (а) центры кругов образуют
квадратную решетку Z2, а на рис. (Ь) — гексагональную решетку. Покрытие
(Ь) экономнее, его плотность меньше.
Плотность произвольного покрытия определяется так же, как
и плотность произвольной упаковки [Rog 7, гл. 1]. Всегда Д^
^ 1 ^ в. Нормализованная (или центральная) плотность 0 оп-
определяется равенством
е=тг <2>
(ср. формулу B6) гл. 1). Решетчатые покрытия, изображенные
на рис. 2.1, имеют соответственно плотности в = я/2= 1.5708...
и в = 2я/ЗУз= 1.2092
Проблема покрытия заключается в поиске наиболее эко-
экономного покрытия д-мерного пространства шарами, т. е. покры-
покрытия с наименьшей плотностью.
В 1939 г. Кершнер [Кег 3] показал, что ни при каком рас-
расположении кругов нельзя покрыть плоскость экономнее, чем
при гексагональном решетчатом покрытии, изображенном на
рис. 2.1Ь. Компактное доказательство содержится в работе
[Fej 10] (см. также (Aki I), [Aki2]). Но, как и в случае упа-
упаковок, в больших размерностях оптимальные покрытия неиз-
неизвестны.
В размерности три наилучшее известное покрытие, опти-
оптимальность которого среди трехмерных решетчатых покрытий
54 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
доказал Бамба [Вам 1],—это объемноцентрированная кубиче-
кубическая решетка, упоминавшаяся в разд. 1.4 гл. 1. На первый взгляд
это может показаться странным, поскольку плотнейшая решетча-
решетчатая упаковка задается другой решеткой — fcc-решеткой. Чтобы
понять ситуацию, необходимо глубже заглянуть в структуру
этих решеток и ввести некоторые дополнительные понятия.
1.2. Радиус покрытия и многогранники Вороного. Рассмот-
Рассмотрим дискретный набор точек ^={Pi, Р2, ... } в R". Наимень-
Наименьшая верхняя граница для расстояния от произвольной точки из
R" до ближайшей точки Pt называется радиусом покрытия 0* и
обычно обозначается R. Таким образом,
/?= sup inf dist(x, Р). C)
(Если такой верхней границы не существует, то мы полагаем
R = оо.) Шары радиуса R с центрами в точках из 0* покры-
покрывают R", а шары никакого меньшего радиуса не покрывают.
Вокруг каждой точки Р,е^> расположен ее многогранник
Вороного V(Pt), состоящий из точек пространства R", которые
по меньшей мере так же близки к Р,-, как к любой другой точке
Р/. Таким образом,
V-{Pt) = {ie R": dist(x, P«)<dist(x, Pt) для всех /}. D)
Если представлять себе Pi, P2, ... как школы, то многогран-
многогранники Вороного — это относящиеся к ним участки!') Много-
Многогранники Вороного называют также областями Дирихле, зо-
зонами Бриллюэна или ячейками Вигнера — Зейтца (два послед-
последних термина употребляют физики). Многогранники Вороного
гексагональной решетки, например, — это правильные шести-
шестиугольники, изображенные на рис. 1.3с. Многогранники Вороного
многих других решеток описаны в гл. 4 и 21.
Внутренности многогранников Вороного не пересекаются, но
у них имеются общие грани. Каждая грань лежит в гиперпло-
гиперплоскости, равноудаленной от двух соседних точек Pi. Многогран-
Многогранники Вороного—это выпуклые многогранники, объединение ко-
которых совпадает со всем R". (Верно, хотя и не вполне очевидно,
что пересечение двух примыкающих друг к другу многогран-
многогранников Вороного является полной гранью каждого из них.)
Если & — это решетка Л, то все многогранники Вороного конг-
конгруэнтны и объем каждого из них равен (det ЛI/2.
') Предполагается, что разделение на участки произведено так, чтобы
каждый школьник ходил в ближайшую к дому школу. — Прим. перев.
§ 1. Проблема покрытия 55
Вершины многогранников Вороного представляют особый
интерес. Среди них находятся точки пространства R", расстоя-
расстояние от которых до & реализует локальный максимум функции
расстояния, — эти точки называются дырами набора ^ (ср.
рис. 1.3d). Точка, расстояние от которой до & реализует гло-
глобальный максимум, называется глубокой дырой набора !Р, рас-
расстояние от нее до SP равно радиусу покрытия R. (Ученикам,
живущим в глубоких дырах, дальше всего идти до школы.)
Дыры, не являющиеся глубокими, называются мелкими. Глубо-
Глубокие дыры гексагональной решетки — это точки, отмеченные бук-
буквами & и с на рис. 1.3Ь. Для этой решетки /J = 2р/-\/3, где р —
радиус упаковки. Если {р — решетка, то все вершины соответ-
соответствующих многогранников Вороного являются дырами, в об-
общем же случае это не так.
Для решетчатой упаковки Л, многогранники Вороного ко-
которой конгруэнтны многограннику V, радиус упаковки р совпа-
совпадает с вписанным радиусом (радиусом наибольшей вписанной
сферы), а радиус покрытия — с описанным радиусом (радиусом
наименьшей описанной сферы). Теперь видна разница между
проблемой упаковки и проблемой покрытия. Для получения хо-
хорошей упаковки мы хотим максимизировать р, т. е. выбрать
центры шаров так, чтобы вписанный радиус многогранника Во-
Вороного был возможно больше (для нерешетчатой упаковки мы
рассматриваем наименьший из вписанных радиусов всех много-
многогранников Вороного). С другой стороны, для получения хоро-
хорошего покрытия мы хотим минимизировать R, т. е. выбрать
центры так, чтобы описанный радиус многогранников Вороного
был возможно меньше (для нерешетчатого покрытия мы рас-
рассматриваем наибольший из описанных радиусов всех многогран-
многогранников Вороного).
Вернемся к трехмерной проблеме. Многогранник Вороного
для fcc-решетки — это ромбододекаэдр (рис. 2.2а), один из по-
полуправильных многогранников [Сип 1, р. 114], [Fej9], [Hoi 1],
[Loe 1, p. 42], [Wei 4, p. 73]. Если мы выберем масштаб таким
образом, чтобы детерминант решетки равнялся 1 (и, следова-
следовательно, объем многогранника Вороного также равнялся 1), то
вписанный и описанный радиусы многогранников Вороного
равны р = 2-5'6 = 0.5612 ... и R = 2~1'3 = 0.7937 ... соответ-
соответственно. С другой стороны, многогранник Вороного Ьсс-ре-
шетки — это усеченный октаэдр (рис. 2.2Ь), один из многогран-
многогранников Архимеда [Сип 1, р. 98], [Fej9], [Holl], [Loe I, p. 129],
[Wei 4, р. 73], [Wen I, p. 21]. Если масштаб выбран так, чтобы
эта решетка имела детерминант 1, то р — 2~5/331/2 = 0,5456 ...
и R = 2~Ъ/ЪЪ112 = 0.7043 .... Итак, хотя fcc-решетка является
лучшей упаковкой, bcc-решетка оказывается лучшим покрытием.
56
Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
@00
(а)
A00)
A/2 1/2 1/2)
(-1/2 1/2 1/2)
@10)
(Ь)
@0-1)
Рис. 2.2. (а) Ромбододекаэдр
с центром в начале координат,
вида (±1/2, ±1/2, ±1/2). (Ь)
для bcc-решетки) с центром в
(±1, ±1/2, 0). Например, а =
d = A, 1/2, 0), е= A, 0, 1/
(многогранник Вороного для fcc-решетки)
У него 6 вершин вида (±1,0,0) и 8 вершин
Усеченный октаэдр (многогранник Вороного
начале координат. У него 24 вершины вида
: @,1/2, 1), 6 = @, 1, 1/2), с ==A/2, 1, 0),
2), f = A/2, 0, 1), g= @, -1/2, 1), Л==
= (-1/2, 0, 1).
Между этими решетками имеется еще одно различие. В Ьсс-ре-
шетке, как и в плоской гексагональной решетке, имеется лишь
один тип дыр (все дыры глубокие), а в fcc-решетке — два типа
дыр (мелкие и глубокие). См. рис. 2.2, а также разд. 6.3 и 6.7
гл. 4. Это явление особенно впечатляет в случае решетки Лича,
имеющей 23 типа глубоких дыр и 284 типа мелких (гл. 23 и
гл. 25).
С многогранником Вороного V(Pt) точки Pi связано еще два
важных понятия. Нормализованный второй момент для V(Pi)
определяется равенством
\ \\x-Ptfdx.
\
v(pi)
Если точки Pi образуют решетку Л, то G обозначается также
G(A). С точностью до масштабных множителей G равно сред-
среднеквадратичному расстоянию, которое ребенок, живущий в
V(Pt), должен пройти до школы. (Второй масштабный множи-
множитель превращает G в безразмерную величину.) Величина G
появляется в конструкции Дэвенпорта экономных покрытий
(разд. 1.3), при изучении квантизаторов (разд. 3.2) и в дру-
других приложениях.
§ 1. Проблема покрытия 57
Точки Pi\, ..., Р,г, такие, что гиперплоскость между Р,- и
Pif содержит грань многогранника V(P<) положительной пло-
площади, называются релевантными по Вороному (или просто ре-
релевантными) для Pi. В действительности именно эти точки
нужны для определения многогранника Вороного. Для решетки
Л релевантные (по Вороному) векторы меА — это векторы, ре-
релевантные для начала координат, т. е. точки решетки, необхо-
необходимые для определения V(Q).
Многогранники Вороного рассматриваются в следующих
работах: [Aki I], [Aki2], [Ash3], [Bar 9], [Cha2], [Con 28],
[Con 38], [Dirl], [Edel], [Fej9], [Howl], [Jon 4], [Kell],
[Kit4], [Kocl], [Lan2], [Loel], [Maul], [Pre2], [Shu3],
[Ven5], [Vor 1], [Wan 1], [Wigl]. Алгоритмы вычисления мно-
многогранников Вороного упоминаются в разд. 1.4.
Прежде чем завершить этот раздел, введем области Делоне,
связанные с точками из 1?. Область Делоне определяется для
каждой вершины многогранника Вороного; это многогран-
многогранник, являющийся выпуклой оболочкой точек из &, ближай-
ближайших к данной вершине ([Сох26], [DelO], [Dell], [GalO],
[Rog7]).
Области Делоне образуют разбиение пространства R" на вы-
выпуклые части, в каком-то смысле двойственное к разбиению на
многогранники Вороного. Рассмотрим, например, множество 0>,
обозначенное кружочками на рис. 2.3. Многогранники Воро-
Вороного— это треугольники вида XYZ; имеются два типа областей
Делоые: квадраты с центрами в мелких дырах, таких, как А,
и восьмиугольники с центрами в глубоких дырах, таких, как В.
В fcc-решетке области Делоне образуют мозаику из пере-
перемежающихся тетраэдров и октаэдров. Для bcc-решетки все об-
области Делоне — усеченные октаэдры.
1.3. Проблема покрытия: сводка результатов. В этом разделе
мы приводим сводку известных фактов по проблеме покрытия
(см. табл. 1.1, табл. 2.1 и рис. 2.4). Как уже упоминалось
в разд. 1.1, наиболее экономные покрытия известны лишь в раз-
размерностях 1 и 2. Наиболее экономные решетчатые покрытия из-
известны в размерностях от 1 до 5, и во всех этих случаях опти-
оптимальной решеткой является решетка А*„ (двойственная к Ап,
иногда ее называют главной решеткой Вороного первого типа,
см. разд. 6.6 гл. 4). Этот результат для п = 3 получен Бамбой
в 1954 г. [Ват 1], для п = 4 Делоне и Рышковым в 1963 г.
Del 4], для п = 5 Рышковым и Барановским в 1975 г. [Rys 12],
Rysl3]. (См. также [Ват 2], [Bat 5], [Bar 14], [Blel],
Del 2], [Die 4] —[Die 6], [Few 1], [Gaml], [Gam2], [Kaul],
Woo lj.)
58
Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
Покрытие, ассоциированное с Ап, имеет плотность
E)
и в размерностях п ^ 23 не известно никакого более эконом-
экономного покрытия1). (Поразительно, что решетка А\ св=3.6658...
экономнее, чем Е8 с ©=4.0587 ... .) Однако Л24 имеет плот-
плотность около 63.269, что хуже, чем плотность решетки Лича
Рис. 2.3. Для точек упаковки &, обозначенных маленькими кружочками, об-
области Делоне являются квадратами (А) или восьмиугольниками (В); много-
многогранники Вороного являются треугольниками (например, XYZ).
равная приблизительно 7.9035. (См. § 11 гл. 4 и [Con 20] =
= гл. 23.)
В размерности 3 решетка А\ задает не только плотнейшее
решетчатое покрытие, но и локально оптимальное решетчатое
покрытие2). Т. Дж. Диксон [Die5] обнаружил, что в R4 имеют-
') Сейчас известно, что покрытия Л22 и Л23 лучше, чем А22 и A23[Smi 14].
Имеются также другие улучшения табл. 2.1 и рис. 2.4 в размерностях, чуть
меньших 24.
2) Решетчатое покрытие (соответственно упаковка) LaRn называется
локально оптимальным, если при любом малом шевелении базиса решетки L
получается менее экономное покрытие (соответственно менее плотная упа-
упаковка) , чем исходное. — Прим. перев.
§ L Проблема покрытия
59
ся в точности три локально оптимальных решетчатых покрытия:
А\ и решетки с матрицами Грама
DLa:
DU:
F)
где а ==E — УТз)/2, р « 0.544 и^« 0.499 являются корнями
некоторых многочленов. В размерностях п = 5, 7, 9 ... Барнс и
7
6
5
2
1
0
-
-
-
til! >У\|
у W/}
r/Z
/ / A—ГРАНИЦА
/ / / КОКСТЕРА-ФЬЮ-
/ // РОДЖЕРСА{16)
//Ml 1 t t 1 1 I 1 I 1 I 1 1 1 I 1 I 1
о 2 4 е в ю 1г iv 16 ia го ггг4 26 28 30
РАЗМЕРНОСТЬ
Рис. 2.4. Плотность различных решетчатых покрытий в размерностях п ^ 24.
Значения для решеток от Л13 до Л^ и от Л17 до Кы являются оценками
снизу. (Они вычисляются с использованием радиуса подпокрытия, см. гл. 6).
Тренерри [Ваг 17] нашли локально оптимальные решетчатые
покрытия, лишь немного уступающие А*„. В табл. 2.1 и на
рис. 2.4 приведены наиболее экономные известные покрытия
в размерностях п ^ 24, а также плотности покрытия для ряда
других интересных решеток. Приводимая нижняя граница
60
Гл. 2. Покрытия, решетки и квйнтизаторы
Таблица 2.1. Покрытия в размерностях до 24
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22.
23
24
Наименование
покрытия
Ло
A' = Z
А'г =А2
A,-D3
А\
Diu,
DUa
At
A'i
ВТЬ
D's
»5
A%
Al
#i.
A'
BT-,
?'
D"
Al
Es
Dl
A',
ВТ,
Dl
A io
An
An
Kn
An
A\t
А\ь
A\e
Аи
An
A',,
A 20
-421
А'гг
А'гг
Л 24
-42*4
Плотность
0
1
I
1.2092
1.4635
2.0944
1.7655
1.89
1.93
2.4674
3.1780
2.1243
2.2301
2.4982
4.5977
5.9218
2.5511
4.3603
3.0596
3.2441
4.1872'
1 4.5687
3.6658
4.0587
8.1174
4.3889
.4.6569
8.6662
5.2517
6.2813
7.5101
17.7834
8.9768
10.727
12.817
15.311
18.288
21.841
26.082
31.143
37.185
44.395
53.000
7.9035
63.269
Центральная плотность в
достигнутая
1
0.5
0.3849
0.3494
0.5
0.3578
0.382
0.391
0.5
0.644
0.4036
0.4237
0.4746
0.8735
1.125-
0.4937
0.8437
0.6476
0.6865
0.8862
0.9670
0.9032
1
2
1.331
1.412
2.627
2.059
3.334
5.624
13.318
9.858
17.90
33.60
65.06
i 29.7
265.9
559.4
1207
2666
6023
13908
4096
32789
граница
1
0.5
0.3849
0.3419
0.3360
0.3581
0.4087
0.4949
0.6319
0.8460
1.183
1.721
2.597
4.055
6.537
10.86
18.56
32.57
58.63
108.1
204.0
393.5
775.2
1558
3193
§ 1. Проблема покрытия
61
плотности покрытия — это граница Кокстера — Фью — Роджерса
A6), вычисленная с помощью A7) и неравенства D0) гл. 1.
Во всех размерностях п = 24/ + tn ^ 24 (где 0 ^ m ^ 23)
решетка Л24фЛ24ф ... ф Л24фЛ^ — прямая сумма / экземп-
экземпляров Л24 и А*т — имеет плотность
(Г)
и это покрытие экономнее, чем А„ [ВатЗ]. Еще более эконом-
экономные покрытия для п J5* 25 приведены в [Con 43]. Однако ука-
указанные покрытия имеют тот недостаток, что при л-э-оо
—¦ log2 9 ~ log2 д/-^- = 0.2546 .... (8)
В 1952 г. Дэвенпорт [Dav 2] обнаружил метод, приводящий
при больших п к еще более экономным покрытиям. Конструк-
Конструкцию Дэвенпорта можно описать следующим образом. Начнем
м
г'м
м
0
0
м
Г'М
г'м
Рис. 2.5. Конструкция Дэвенпорта экономных решетчатых покрытий. Эти ре-
решетки содержат прямую сумму т экземпляров первоначальной решетки Л
с порождающей матрицей М.
с фиксированной й-мерной решетки Л с порождающей матрицей
М, и построим йт-мерную решетку 3? с порождающей матри-
матрицей, приведенной на рис. 2.5. Дэвенпорт показал, что если / и т
велики, то плотность i? ограничена сверху величиной, почти не
зависящей от /. Для фиксированного (большого) I и ш,
плотность & удовлетворяет неравенству
-^log2Q-
log2
(9)
62 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
где G(A) было определено в разд. 1.2. Если Л = 7, то G(A) =
= 1/12 (см. ниже равенство (88)) и (9) превращается в (8).
Дэвенпорт взял А = Ак, вычислил G(Ak) (см. равенство B6)
гл. 21) и обнаружил, что оно достигает минимума при k = 8.
Этим путем получаются решетки 9? с
\ log2e^ 0.2012 .... A0)
Рышков [Rys 1] показал, что решетки, получаемые конструк-
конструкцией Дэвенпорта (при Л = Лг), дают более экономные покры-
покрытия, чем Л* для всех п ^ 200.
Ватсон [Wat 2] использовал Л =?8 и получил
4-log26^0.1460 ... A1)
(вычисление Ватсона величины G(?8) не вполне согласуется
со значением 929/12960, приводимым в гл. 21, но расхождение
столь невелико, что оно не влияет на A1)).
Наконец, беря в качестве Л решетку Лича Л24 и используя
нашу численную оценку [Con 38]
G (Л24) = 0.065771 ± 0.000074, A2)
мы получаем покрытия с плотностью
4-log2 6^0.084.... A3)
По-видимому, это наиболее экономные из известных покрытий.
С другой стороны, эти покрытия очень плохи по сравнению
с теоремами существования. Так, в работе [Rog3] Роджерс по-
показал, что существуют решетчатые покрытия с
в <en (Inn)" A4)
для некоторой константы с, где a = (l/2)log2Bne), а в работе
[Rog 1] он доказал, что имеются (быть может, нерешетчатые)
покрытия с
e 5ra A5)
для п^З (см. также [Erd2], [Grill], [Rog7]). Как обычно,
эти результаты неконструктивны в смысле, объясненном в гл. 1.
С другой стороны, Кокстер, Фью и Роджерс [Сох 26] пока-
показали, что любое n-мерное покрытие удовлетворяет неравенству
е>т„. A6)
Это неравенство — пара к неравенству C9) гл. 1. Пусть, как
и там, 5 — правильный симплекс с ребром 2. Шары радиуса
Bп/(п + 1)I/2 с центрами в его вершинах как раз покрывают
§ 1. Проблема покрытия 63
S, и хп определяется как отношение суммы объемов пересече-
пересечений этих шаров с 5 к объему всего S. Таким образом,
п/2
°п~ A7)
%=¦ при «->оо. A8)
eye
Итак, из A5) — A8) следует, что плотность наиболее эконом-
экономного покрытия удовлетворяет неравенствам
—V^6<«Inrt + «InInn + 5rt. A9)
eye
Замечания, (i) Эти границы гораздо ближе друг к другу,
чем соответствующие границы для упаковок (см. неравенство
D6) гл. 1); с другой стороны, наилучшие известные конструк-
конструкции дальше от этих границ, (ii) Мы не знаем примеров нере-
нерешетчатых покрытий, которые были бы экономнее наилучших
решетчатых, (ш) Можно также рассматривать проблему по-
покрытия сферы Qn (по аналогии с разд. 2.3 гл. 1). Некоторые
результаты приведены в работах [Fej 1, р. 325], [Rog6],
[Wyn 2], но в целом по этой проблеме мало что известно,
(iv) Конструкцию Дэвенпорта можно приспособить для полу-
получения двоичных кодов с малым радиусом покрытия [Gra4].
1.4. Вычислительные трудности в упаковках и покрытиях.
Если задана порождающая матрица n-мерной решетки Л, то мы
можем вычислить детерминант Л из уравнения D) гл. 1. Все
же прочее уже сложно! Для произвольной решетки Л наилуч-
наилучшие известные алгоритмы вычисления как радиуса упаковки р,
так и радиуса покрытия R требуют экспоненциально расту-
растущего с п числа шагов ([Die I], [Fin 1], [HeI3], [Hel4], [Kan 2],
[Pohl]). Известно, что задача вычисления радиуса покрытия
лежит в классе NP-полных задач [Emdl], и гипотетически за-
задача вычисления радиуса упаковки также лежит в этом клас-
классе1). Доводом в пользу этой гипотезы является то, что некото-
') Грубо говоря, зависящая от параметра вычислительная задача от-
относится к классу Р, если ее можно решить за полиномиальное (от этого
параметра) время, и к классу NP, если за полиномиальное время можно
проверить, является ли угаданный ответ правильным. Большинство реально
встречающихся задач, решаемых за экспоненциальное время, принадлежит
к классу NP. Основной проблемой теории сложности вычислений является
вопрос о совпадении этих классов (гипотетически ответ отрицательный).
Задача называется NP-полной, если из наличия у нее полиномиального ре-
решения следует совпадение классов Р и NP, т. е. если решение любой
NP-задачи сводится (за полиномиальное время) к решению данной задачи. —
Прим. перев.
64 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
рые тесно связанные задачи из теории кодирования действи-
действительно являются NP-полными [Вег 8]. Известно, что задача вы-
вычисления радиуса покрытия кода также NP-полна [McL2].
Ленстра, Ленстра и Ловас [Len 1] описали алгоритм (так
называемый LLL-алгоритм), который находит векторы решетки
сравнительно небольшой длины за число шагов, растущее, как
полиномиальная функция от п. Кратчайшие векторы Л имеют
длину 2р; LLL-алгоритм находит векторы решетки, длина кото-
которых заведомо ^ 2(га+1)/2р. Для скромных значений п этот алго-
алгоритм находит гораздо более короткие векторы и зачастую обна-
обнаруживает кратчайший вектор. Он использовался для решеток
размерности порядка 100 в связи с задачей дешифровки некото-
некоторых шифровальных схем [Lag 4], [Odl4]. На самом деле LLL-
алгоритм превращает заданный базис решетки в приведенный
базис. Один из векторов приведенного базиса и является корот-
коротким вектором решетки. Известно много других алгоритмов при-
приведения; классический алгоритм Минковского кратко описан
в разд. 10.1 гл. 15. Алгоритмы приведения обсуждаются в рабо-
работах [Aff 1], [Bab 1J, [Bar И] —[Bar 13], [Die7], [Donl], [Gru 1],
[Hel3], [Hel4], [Lag3], [Mini], [Novl], [Rys2], [Rys3],
[Rys8], [Rysl4], [Sch4], [Sto 1], [Tam 1] — [Tarn 4], [Wae3],
[Wae5]. (Для трехмерных решеток см. также ссылки на ра-
работы по кристаллографии в конце этого раздела.) Бабаи [Bab 1]
показал, что LLL-алгоритм можно использовать для вычисления
верхней границы для радиуса покрытия, которая ^ ZnR.
Конечно же, не существует практически пригодного алго-
алгоритма, позволяющего найти наилучшую решетчатую упаковку
или покрытие в заданной размерности. Другие алгоритмы, свя-
связанные с классификацией решеток и квадратичных форм, об-
обсуждаются в § 11 гл. 15.
Положение улучшается, когда решетки имеют какую-либо
алгебраическую структуру. Для решеток корней (см. § 2 гл.4)
и некоторых связанных с ними решеток в гл. 21 мы вычислим
точное значение R и найдем многогранники Вороного. В ряде
других частных случаев R можно найти методом Нортона
([Nor 4] s* гл. 22, [Con 37], [Con 38], [Con 43]). Если п мало, то
можно пытаться сначала найти многогранники Вороного, а за-
затем вычислить R как" расстояние от самой далекой вершины
многогранника Вороного до решетки.
Алгоритмы вычисления многогранника Вороного произвольно-
произвольного множества точек описаны в работах [Aki2], [Bow 2], [ВгоЗ],
[Devi], [Dev2], [Fin 5], [Leel], [Pre2], [Sei4], [Wat 1].
В работах [Con 29] а; гл. 20, [Con 35], [Con 38], [Con 40],
[For 2] описаны алгоритмы, позволяющие для достаточно хо-
хороших решеток устанавливать, какому многограннику Вороного
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 65»
принадлежит произвольная заданная точка х е R™, т. е. позво-
позволяющие найти ближайшую к х точку решетки. Такие алгоритмы
важны для приложений, описанных ниже в § 3 и в § 1 гл. 3.
Имеется много алгоритмов, используемых в кристаллографии
для описания периодических структур в размерности три, см.,
например, [Ahml], [Burl], [Bur 2], [Fer 1], [Hal 5], [Кос 2]„
[Patl], [Sanl], [Say2], [Zim2]. См. также [Coh4a], [Spel].
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел
2.1. Норма вектора. Изучая векторы решетки х = (хи
..., лл)еЛ, обычно удобнее работать не с длиной, а с квад-
квадратом длины или нормой. Она обозначается
N (х) = х • х = (х, х) — ? xl
Минимальный квадрат расстояния между различными векто-
векторами решетки, или, проще говоря, минимальная норма решетки
Л, — это
min {N (х — у):х,у<=А,хфу}= B0)
= min {N (х): х е= Л, хфО}. B1)
Если минимальная норма равна ц, то радиус упаковки равен
B2)
Формулы B0) и B1) являются эквивалентными определениями
минимальной нормы решетки, поскольку если х и у — два раз-
различных вектора из Л, то х' — х — у — ненулевой вектор из Л.
Формулы B0) и B2), но не B1) подходят также и для нере-
нерешетчатых упаковок.
2.2. Квадратичные формы, связанные с решеткой. Квадра-
Квадратичные формы предоставляют другой язык для работы с ре-
решетками, особенно полезный при изучении их арифметических
свойств. В этом разделе мы покажем, как квадратичные формы
и решетки связаны между собой. Некоторые моменты мы об-
обсуждаем в больших подробностях, и читатель может захотеть
сразу перейти к § 3, где мы разбираем проблему квантизации.
Классификация квадратичных форм и решеток кратко обсуж-
обсуждается в разд. 2.4; в гл. 15—18 мы поговорим о ней значительно
подробнее.
Пусть Л — решетка в n-мерном пространстве ,R", имеющая
базис v\, ..., vn (векторы v\, ..., vn суть строки порождаю-
порождающей матрицы М). Общий вектор решетки х — (х\, ..., л,)еЛ
66 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
может быть записан (см. формулу B) гл. 1) как
* = iio,+ ••• +1Л = |М, B3)
где ?<— целые числа и ? = (?ь ..., ?п). Норма этого вектора
равна
t t
B4)
где А = ММТ — матрица Грама решетки Л. Рассмотренная как
функция от п целочисленных переменных |ь ••¦, in функция
f(l) является квадратичной формой, связанной с решеткой.
Так, например, из матрицы Грама, заданной формулой G)
гл. 1, мы получаем одну из квадратичных форм, связанных
с гексагональной решеткой:
Щ + 1&+Щ. B5)
n-мерная кубическая решетка Z" (см. § 5 гл. 4) имеет порож-
порождающую матрицу /„ (единичную матрицу), и соответствующая
квадратичная форма равна
Щ + Щ+ ... +Ц. B6)
Иногда удобнее записывать вектор решетки в ^-координатах
(\и ..., In) вместо ^-координат. Например, если мы начинаем
с квадратичной формы f, то можем определить решетку, пола-
полагая норму (|ь ..., In) равной f(|). (Или же можно разложить
А в произведение ММТ и использовать М в качестве порождаю-
порождающей матрицы.)
Напомним, что конгруэнтные решетки связаны между собой
равенствами B2) и B3) гл. 1, причем с = 1 и det?/=±l.
Квадратичные формы, соответствующие конгруэнтным решет-
решеткам, называются целочисленно эквивалентными. Таким образом,
имеется взаимно однозначное соответствие между классами
конгруэнтных решеток и классами целочисленно эквивалентных
квадратичных форм. Например, векторы v\ и и2 на рис. 2.6а,
а также векторы w\ и w2 на рис. 2.6Ь порождают решетки,
конгруэнтные гексагональной решетке рис. 1.3а. Матрицы Гра-
Грама этих базисов суть соответственно
/ 1 -1/2\ / 3 3/2\
1-1/2 1 ) И U/2 1 )'
а соответствующие квадратичные формы
&?-?& + ?! и 35?+ 31,1, + ^ B7)
целочисленно эквивалентны друг другу и форме B5).
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 67
Если Л — решетка полного ранга, т. е. решетка в п-мерном
пространстве, порожденная п линейно независимыми векторами,
то матрица М имеет ранг п, А — положительно определенная
матрица и соответствующая квадратичная форма называется
положительно определенной.
v2 о
-*о
W,
о о
о о
о
(а) (Ь)
Рис. 2.6. Два конгруэнтных варианта гексагональной решетки.
Неопределенные квадратичные формы (такие, что мат-
матрица А является неопределенной) также можно изучать с по-
помощью решеток, но уже не в евклидовом пространстве 'Rn. Один
из наиболее интересных случаев — случай, когда А имеет сиг-
сигнатуру (п—1,1), так что соответствующая решетка лежит в
гиперболическом пространстве. Мы обсудим эту тему подроб-
подробнее в гл. 15, 16 и 27.
В свете эквивалентности между решетками и квадратичными
формами все геометрические проблемы, обсуждавшиеся в гл. 1
и 2, могут быть переформулированы в терминах квадратичных
форм. Например, нахождение минимальной нормы решетки эк-
эквивалентно нахождению минимального значения f(Q по всем
целочисленным | ф 0, так называемого однородного минимума
квадратичной формы [Cas 2]. Аналогично, неоднородный мини-
минимум формы является квадратом радиуса покрытия решетки. Ло-
Локально оптимальная решетчатая упаковка, т. е. решетка Л,
плотность А которой не возрастает при слабых возмущениях,
соответствует экстремальной форме ([Вас 2], [Ваг 4], [Ваг 6] —
[Ваг 10], [Con 42], [Сох 10], [Кпе2], [Rysl5]). Нам известны
все экстремальные формы от не более чем 6 переменных
([Ваг6], [Ваг7], [Hof 1]). Экстремальные формы от 7 перемен-
переменных изучались в работах [Ваг 9]. [Con 42], [Larl], [Scol],
[Sco2], [Shu 4], [Stal], [Sta 2]. Квадратичная форма, соответ-
соответствующая плотнейшей решетчатой упаковке, называется абсо-
абсолютно экстремальной. Результаты, описанные в разд. 1.5 гл. 1,
показывают, что нам известны абсолютно экстремальные формы
при п =^: 8.
68 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
Значительная часть исследований по решеткам проводилась
на языке квадратичных форм. Однако в этой книге мы пред-
предпочитаем изучать решетки геометрически, поскольку выбор спе-
специального множества базисных векторов зачастую произволен
и скрывает симметрию ситуации. Например, простейшая квад-
квадратичная форма для решетки Es имеет вид
?2_?? 4-62 — ?? 4-Z2 — It 4-Z2 — II 4-
Ц-1& + Ц B8)
и получается из базиса, приведенного на рис. 4.7 гл. 4. Опреде-
Определение, задаваемое формулой (97) гл. 4, демонстрирует куда
большую часть симметрии этой решетки.
Несмотря на это, квадратичные формы важны для изучения
ряда аспектов теории решеток; на эту тему имеется обширная
литература, см. ссылки в § 1 гл. 15. Как мы сейчас покажем,
квадратичные формы особенно полезны для изучения арифмети-
арифметических свойств решеток.
2.3. Тэта-ряды и связи с теорией чисел. Имеется очень старая
задача о числе способов представления целого числа m в виде
суммы четырех квадратов, или, иными словами, о числе четве-
четверок целых чисел (х\, х2, х3, х±), таких, что
x\ + x\ + xl + x\ = m. B9)
Например, при m = 2 имеется 24 решения, состоящие из всевоз-
всевозможных перестановок набора (±1, ±1, 0, 0). (Договоримся
считать решения 2 = I2 + 12 + 02 + 02, 2 = 12 + (— IJ + 02 +
+ О2, 2 = I2 + О2 + I2 + О2 и т. д. различными.)
Имеется красивая переформулировка этой задачи в терми-
терминах решеток. Для любой решетки Л пусть Nm равно числу век-
векторов хеА с нормой т, т. е. с х-х — т. Из B4) видно, что
Nm также является числом целочисленных векторов, таких, что
U$T = m, C0)
или, иными словами, числом способов, которым квадратичная
форма, соответствующая Л, представляет число т. Уравнение
C0) является примером диофантова уравнения степени 2
[Мог 6]. Далее, форма х\ + х\ + х\ + х\ — это квадратичная
форма, связанная с четырехмерной кубической решеткой Z4.
Таким образом, число способов записи m в виде суммы четырех
квадратов равно числу векторов с нормой m в решетке Z4.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 69
Вычисление чисел Nm облегчается введением тэта-ряда (или
тэта-функции) решетки Л, который определяется как
вАB)= Z <f* = C1)
х бЛ
= ? Nmqm, C2)
где <? = еШг. Для многих целей достаточно рассматривать вд
как формальный ряд от неизвестной q, но для более глубоких
исследований следует полагать q=^etliz, где z— комплексная
переменная. В этом случае, как легко видеть, ®\{z) является
голоморфной функцией от z при lmz^O (Gun I, p. 71], [Ser 1,
с. 179]).
Формулу C1) можно использовать и для определения тэта-
ряда нерешетчатой упаковки Л. Наиболее привычный пример
такого рода возникает, когда в качестве Л берется сдвиг ре-
решетки или же объединение нескольких сдвигов (см., например,
формулу C5)).
Для периодической упаковки 53, состоящей из объединения,
скажем, 5 сдвигов
И/ + Л, /=1, ..., s,
решетки Л (ср. с формулой A3) гл. 1), определим усреднен-
.ный тэта-ряд
Е ^'(х+игЧ)=
х<=л
J] /(-""*) C3)
[Odl 6]. Если 0* инвариантна относительно расстояния (ср.
[Мае 6, с. 49]), т. е. обладает тем свойством, что число точек
?Р на любом данном расстоянии d от х е!? не зависит от х, то
. C4)
Например, тэта-ряд решетки целых чисел Z равен
() S 7 7 7 ^ 7
т= — сю
г. е. является тэта-функцией Якоби 03(z) (см. разд. 4.1 гл. 4).
Сдвиг
lf ,1 11,1
70 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
имеет тэта-ряд
оо
ez+1/2B)= ? <71+1/2)г = 2<71'4 + 2<79/4 + 2<725'4 + ..., C5)
т. е. является тэта-функцией Якоби 62B).
Теперь видно одно из преимуществ использования нормы
N(x) — х-х в равенстве C1). Поскольку #((л;,,.. .,*„)) = jcJ+. • •
... + х% = N (*,) + ... + N (хп), получаем
вгп = Вг(г)я = ва[г)а.
Поэтому ответ на задачу, сформулированную в самом начале
этого раздела, есть просто коэффициент при qm в разложении
0з (zL по степеням q.
Чтобы получить тэта-ряд решетки Dn (состоящей из точек
в Z", сумма координат которых четна, см. разд. 7.1 гл. 4), вве-
введем тэта-функцию 84. Можно представить себе, что функции 8з
и 6г получаются при приписывании единичных масс соответ-
соответственно целым и полуцелым точкам на вещественной оси.
Чтобы получить 04, припишем массу +1 четным числам и —1
нечетным, или, формально, положим
в4(г)= t (-?Га=1-2<7 + 2<74-2?9 + 2?16- _ > C6)
т= — оо
Тогда
^ гп. C7)
Мы не удержимся и приведем еще два примера. Нетрудно по-
показать, что сдвиг A/2, ..., 1/2) + ?>/, имеет тэта-ряд (\/2)Q2{z)n.
Упаковка
Я? = Л, U @/2 1/2) +ДО C8)
— это алмазная (diamond) упаковка в размерности три и ре-
решетка Е& в размерности восемь. (См. разд. 7.3 гл. 4. Упаковка
Dt является решеткой тогда и только тогда, когда п четно;
Dt конгруэнтна Z4.) Итак, мы получаем весьма привлекатель-
привлекательные формула [Slo 17]
Gdiamond (Z) = у {Э2 (Zf + 63 BK + 84 (гK}, C9)
вя8 B) = | {б2 B)8 + е3 (zf + е4 B)8}. D0)
В последующих главах появится много других тэта-рядов.
В разд. 6.2 гл. 4 мы вычислим тэта-ряд гексагональной ре-
решетки, чтобы проиллюстрировать один общий метод получения
тэта-рядов из квадратичных форм. Более общей тэта-функцией,
включающей в качестве частных случаев б2, 63 и Э4, является
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 71
тэта-функция Якоби 0з(?|г) (см. формулу F) гл. 4). Однако
•с большинством решеток, с которыми мы встретимся, можно
работать, используя Э2, Эз, 04 и другие более простые функции,
¦определяемые в разд. 4.1 гл. 4.
Мы знаем, что тэта-ряд решетки несет информацию о ра-
радиусе упаковки р, контактном числе т и плотности Д, так как
eA(z)=l + T<740f+ .... D1)
A=Hm(p/r)" ? Nm. D2)
г->оо
.Мы также можем получить тэта-ряд двойственной решетки Л*
лростой подстановкой:
eA.B) = (detA)'/2(f)"/2eA (-у), D3)
«м. формулу A9) гл. 4. Это первый случай, когда нам прихо-
приходится использовать переменную г, а не q. Имеется также обоб-
обобщение формулы D3) на случай нерешетчатых упаковок, яв-
являющихся объединением сдвигов некоторой решетки [Odl 6].
Две иллюстрирующие это ситуации содержатся в примере 6
гл. 7.
Истинные значения тэта-рядов играют важную роль также
в химии (например, при вычислении константы Маделунга, см.
[Вогб], [Gel 2], [GIa7], [Gla8], [Zucl]) и в теории связи.
Если решетка используется как код для определенного гауссова
¦канала, то вероятность ошибки может быть оценена через зна-
значение вЛ(<?) при некотором специальном выборе q; см. фор-
формулу C5) гл. 3.
Решетка определяет тэта-ряд, но не наоборот. Витт [Wit 4]
заметил, что в размерности 16 неэквивалентные унимодуляр-
ные решетки Die и ES®ES имеют совпадающие тэта-ряды.
Зто легко проверить, причем эта проверка позволяет увидеть,
как теория решеток приводит к доказательству равенства ме-
между тэта-функциями. Прежде всего заметим, что, поскольку ре-
решетка Dt конгруэнтна Z4, имеется равенство A/2)@2(гL+
4- е3BL + 04BL) = е3BL, т. е.
e3(zL = e2(zL + e4(z)\ D4)
Нам надо показать, что тэта-ряды ?>,+ и Ел@Ей совпадают,
т. е. что
¦i @2 (г)'6 + 03 (гI6 + 04 (г)'6) = 1 @2 (г)8 + 03 (г)8 + 04 (г)8J
(ввиду C7) — D0)). Эта же формула сразу получается исклю-
исключением 0з(г:) с использованием D4) и разложением обеих ее
частей по степеням q.
72 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
Аналогично этому Кнезер [Кпе 5] заметил, что неэквива-
неэквивалентные решетки D\2 и Di®E& имеют детерминант 4 и их
тэта-ряды совпадают. (Это тождество также сразу следует из
D4).) Позднее Китаока [Kit2] привел пример двух 8-мерных
решеток детерминанта 81 с совпадающими тэта-рядами, и сей-
сейчас, кроме того, известны такие примеры в размерности 4
[Ear 6]. В размерности 2, с другой стороны, тэта-ряд одно-
однозначно определяет решетку (см., например, [Wat 14]). (С этим
также связаны работы [Hsi5], [Hsi7], [Kit 1] и [Lil].)
2.4. Целочисленные решетки и квадратичные формы. Класс
целочисленных решеток включает много важных примеров.
В этой книге мы называем решетку или квадратичную форму
целочисленной, если скалярное произведение любых двух век-
векторов— целое число, иными словами, если все элементы мат-
матрицы Грама А — целые числа. (Иногда для обозначения этого
понятия используется термин классически целочисленная фор-
форма, см. обсуждение различных понятий целочисленности в гл. 15.)
Эквивалентным образом решетка Л целочисленна тогда и
только тогда, когда
Л s Л*; D5>
по многим геометрическим причинам эта форма определения —
самая удачная. Большинство встречавшихся в этой главе ре-
решеток целочисленны (при удачном выборе масштаба). Наш
общий принцип (например, при выборе базиса в гл.4) заклю-
заключается в таком выборе масштаба, чтобы детерминант был воз-
возможно меньше, но решетка при этом оставалась целочисленной.
Например, гексагональная решетка Л2, как она определена фор-
формулой (8) гл. 1, является целочисленной, в то время как экви-
эквивалентная ей решетка F) целочисленной не является.
С целочисленной решеткой Л связана важная группа —
дуальный фактор Л*/А порядка det Л. Например, АЦА2—цикли-
АЦА2—циклическая группа третьего порядка. Три смежных класса А\ по А2
на рис. 1.3Ь обозначены буквами а, Ь, с.
Заметим, что целочисленная решетка Л обладает свойством
(Если хеЛ', то л: = | (ЛГП/ = ?(ЛГТЛГ'М = (detЛ)~Ч •
• adj (Л) М = (det Л) I'M, где \, \' <= Z" > через adj (Л) обоз-
обозначена матрица, присоединенная к Л ').)
') Присоединенной к А называется матрица, составленная из миноров;
adj A = (det А) -Л-1 — Прим. перев.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 73
Целочисленная решетка с | det Л | = 1 или, что равносильно,
с Л = Л* называется унимодулярной или самодвойственной.
(Мы написали j det Л |, а не det Л, чтобы это определение
годилось также и для гиперболических решеток.) Если решетка
Л целочисленна, то х-х обязательно целое для любого лгеЛ.
Если скалярное произведение х-х четно для всех х^А, то ре-
решетка Л называется четной, в противном случае она назы-
называется нечетной. Четные уиимодулярные решетки (также назы-
называемые решетками второго типа, или типа II), представляют
особый интерес. Решетки Es и Л24 являются четными унимоду-
лярными, а решетки Z, Z2, Z3, ... — это нечетные уиимодуляр-
уиимодулярные решетки (первого типа, или типа I).
Известно, что если унимодулярная решетка обладает тем
свойством, что норма каждого вектора решетки кратна неко-
некоторому положительному целому числу с, то с равно либо 1,
либо 2 [О'Ме 1, р. 324].
Таблица 2.2. Количество n-мерных унимодулярных решеток; ап —
число унимодулярных решеток размерности п, не содержащих
векторов с нормой 1. Если л === О (mod 8), то а„ записывается
в виде dn + е„, где dn — число нечетных решеток, а еп — число
четных решеток. Аналогично, Ьп — общее число л-мерных унимоду-
унимодулярных решеток (включая решетки с векторами нормы 1)
п
On
К
п
а
ь„
п
ь.
0
0 + 1
0+ 1
9
0
2
18
4
13
1
0
1
10
0
2
19
3
16
2
0
1
И
0
2
20
12
28
3
0
1
12
1
3
21
12
40
4
0
1
13
0
3
22
28
68
5
0
1
14
1
4
23
49
117
в
0
!
15
1
5
24
156 + 24
273 + 24
7
0
1
in
1 +2
6 + 2
25
368
665
8 \
0 -- 1 I
1 -•- '¦ '.
17
1
9
26
¦Л
9
Классификация нечетных и четных унимодулярных реше-
решеток— важная проблема теории чисел и других областей мате-
математики ([Bri 2], [Doll], [Hazl], [Hir4], [Nik 2]); известные ре-
результаты собраны в табл. 2.2. Четные унимодулярные решетки
существуют тогда и только тогда, когда размерность кратна 8
(следствие 18 гл. 7), а нечетные унимодулярные решетки
имеются во всех размерностях. Решетка Е& — единственная уни-
унимодулярная 8-мерная решетка, а ?8®?8 и О?ъ исчерпывают
список таких 16-мерных решеток [Wit 4]. Все четные унимо-
унимодулярные 24-мерные решетки были перечислены Нимейером
[Nie 2], который обнаружил 24 такие решетки, 23 с минимальной
74 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
нормой 2 и одну — решетку Лича Л24 — с минимальной нор-
нормой 4, см. табл. 16.1 гл. 16. Три независимые проверки резуль-
результата Нимеиера приводятся ниже в гл. 16 и 18.
Кнезер [Кпе4] (см. также [НегО], [Kol], [МогЗ], [Smi6]>
перечислил все нечетные унимодулярные решетки в размерно-
размерностях п^16, авторы этой книги ([Соп27], [Соп34], гл. 16)
продолжили это перечисление до п ^ 23, а Борчердс ([Borl]r
[ВогЗ] = гл. 17) недавно перечислил 24- и 25-мерные нечет-
нечетные решетки. Если решетка Л унимодулярна, то 2'ФЛ тоже
унимодулярна для всех i; поэтому проще всего указывать,
сколько решеток не является решетками вида Z' Ф Л', т. е. не
содержит векторов с нормой 1. Число таких решеток (ап) при-
приводится в первой строке табл. 2.2, а вторая строка (Ь„) дает
общее число унимодулярных решеток. Если п не делится на 8,
то таблица дает просто число нечетных унимодулярных реше-
решеток; если же ns=0(mod8), то числа написаны так, чтобы по-
показать разделение на нечетные и четные решетки. При 1 ^ п ^
^8 имеется единственная нечетная уиимодулярная решетка Z",
а для п = 9, 10, 11, ... есть еще ?8©Zn-8. В размерности 12
появляется третья нечетная решетка D^* так что имеются три
нечетные унимодулярные 12-мериые решетки: Z12, ?8®Z\ Du-
Это объясняет первые двенадцать столбцов табл. 2.2. В гл. 16
и 17 перечисление продолжается до размерности 24. См. также
замечания об экстремальных самодвойственных решетках
в гл. 7.
Масс-формула Минковского — Зигеля дает мощное средство
проверки полноты этих списков. Пусть j Aut (Л) | — порядок
группы автоморфизмов решетки Л (она определена в разд. 4.1
гл. 3). Масс-формула задает явную константу со, такую, что
где сумма берется по всем неэквивалентным решеткам данного
рода (например, по всем n-мерным нечетным унимодулярным
решеткам). Несколько более общая формула задает явное зна-
значение выражения
в()
| Aut (А) | •
л
Проиллюстрируем сказанное, используя масс-формулу для
проверки первых девяти столбцов табл. 2.2. Начнем с четных
унимодулярных решеток. В размерности 8 константа а0 =
= 1/696729600 приводится в табл. 16.4 гл. 16, и действительно,.
1 1
I Aut (?e) | 696 729 600
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 75
(см. разд. 8.1 гл. 4). Значения а0 для нечетных унимодулярных
решеток приводятся в табл. 16.2 гл. 16. Для 1 =g: n =g: 8 имеем
ао= 1/BЛ/г1), что подтверждает единственность нечетной уни-
модулярной решетки Z" (поскольку [Aut(Zn) | = 2лп!, см. § 5
гл.4). Однако, когда п = 9, а0 = 17/2786918400, и, действи-
действительно, имеются две 9-мерные решетки ?8©Z и, Z9, причем
1 ¦ 1 _ 1 . 1 17
| Aut (?8 0 Z) | "*" | Aut (Z8) | 2 • 696729600 "^ 2« • 9! ~ 2786918400 "
D8)
В гл. 16 мы поговорим об этих формулах подробнее. Наиболее
эффектное приложение масс-формулы — проверка полноты
списка Нимейера 24-мерных четных унимодулярных решеток,
приводимого в § 2 гл. 16.
Масс-формула дает также нижнюю границу для числа не-
неэквивалентных решеток в данной размерности (поскольку в фор-
формуле D7) всегда (Aut(A)J^2). Из табл. 16.4 гл. 16 следует,
например, что существует не менее 80000000 различных четных
унимодулярных 32-мерных решеток, так что представляется
крайне маловероятным, что работу Нимейера можно распро-
распространить на размерности 32 и выше.
Эта книга содержит также результаты по классификации
(положительно определенных) квадратичных форм других ма-
малых детерминантов B, 3, ...) (см. гл. 15) и, кроме того, не-
некоторую информацию о неопределенных формах (см. гл. 15,
26 и 27).
2.5. Модулярные формы. Дальнейшие связи между решет-
решетками и теорией чисел возникают благодаря тому, что тэта-ряды
целочисленных решеток являются модулярными формами. Мы
не приводим здесь общей теоремы; некоторые важные частные
случаи встретятся в теоремах 7 и 17 гл. 7. Краткий обзор об-
общей теории связи квадратичных форм с модулярными формами
имеется у Касселса [Cas3]; можно указать много других работ:
[Gunl], [Наг 4], [Нес 2], [НесЗ], [Kit 3], [Knol], [Lan9],
[Oggl], [Pet 4], [Ran 6], [Sch6], [Sch7], [Vigl].
Основным следствием этой теории является конечность числа
возможных тэта-рядов с небольшим детерминантом. Из этого
иногда можно вывести явные выражения для коэффициентов
Nm тэта-рядов или же получить точные численные оценки для
этих коэффициентов. Мы приведем пять примеров таких резуль-
результатов; многие другие примеры содержатся в указанных выше
работах.
(i) В размерностях п ^ 7, как мы уже отмечали, единствен-
единственная унимодулярная решетка — это решетка Z" с квадратичной
76 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
формой B6). Из этого следует, что когда п четно, то имеются
простые формулы для коэффициентов тэта-рядов, т. е. для числа
представлений данного числа в виде суммы п квадратов. На-
Например, окончательный ответ на наш исходный вопрос о числе
представлений m в виде суммы четырех квадратов — это
8 Z d D9>
d\m, 4-f d
(см. формулу D9) гл. 4).
(н) Имеется много других красивых тождеств, появляю-
появляющихся в связи с конкретными модулярными формами, изве-
известными как ряды Эйзенштейна, в коэффициенты которых вхо-
входит арифметическая функция сг*(/п)—сумма k-x. степеней
делителей числа т. Например, тэта-ряд решетки Е» (см. фор-
формулу D0)) равен также
оо
вв. (г) = 1 + 240 ? а3 (т) q2m =
171=1
= 1+ 240<72 + 2160<?4 + 6720<76 + .. ., E0)
см. разд. 8.1 гл. 4 и гл. 7.
(Hi) Положим
Д24(*)= я2 П 0 -ч2тГ = I ти р* =
= <?2-24<?4 + 252(?6-1472G8+ ...; E1)
функция т, задаваемая этим выражением, называется функцией
Рамануджана. Из теории модулярных форм следует, что имеет-
имеется простое выражение для коэффициентов тэта-ряда решетки
Лича Л24- Пусть
оо
®а„ (z) = ? Nmqm = 1 + 196560*?4 + 16773120т6 + E2)
т=0
Тогда для т > 0 (см. § 11 гл. 4)
N2m^-~{oAm)-^{m)). E3>
(iv) Второй член в правой части E3) много меньше пер-
первого. В действительности из результатов Делиня ([Degl],
[Deg2], [K.at 3]I) следует, что если д(т) — число делителей т, то
E4)
E5>
') Эти работы посвящены доказательству многомерной гипотезы Римана
(о ^-функции) над функциональным полем с конечным полем констант и ее
следствиям. — Прим. перев.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 77
для любого положительного е. Поскольку ви{т)> тп,
Ц®гп(т/2) E6)
дает очень хорошее приближение. Это характерно для различ-
различных оценок коэффициентов тэта-рядов (см., например, [Ran 6,
§ 4.5], [Ran 7] и разд. 1.4 гл. 3), по крайней мере при n^s4.
(v) Тэта-ряд любой четной унимодулярной решетки может
быть выражен как многочлен от A2i(z) и тэта-ряда решетки ?&
(теорема 17 гл. 7). Рассмотрим, например, 48-мерные решетки
Я48Р и P48q, упомянутые в табл. 1.3. Зная лишь, что они — чет-
четные уиимодулярные решетки с минимальной нормой 6, мы мо-
можем сразу же вывести из этой теоремы, что обе они имеют
тэта-ряд, равный
е?, (гN - 144О0?, (гK Д24 (г) + 125280А24 (гJ ==
= 1 + 0<72 + Oq* + 52416000<76 + 39007332000?8 + E7)
Контактное число 52416000 получено практически без дополни-
дополнительной работы! Дальнейшая информация об этом и подобных
примерах содержится в гл. 7 и 19.
2.6. Комплексные н квантернионные решетки. Рассматриваемые до сих пор
решетки были определены как подгруппы вещественного и-мериого простран-
пространства R", порожденные п линейно независимыми векторами. Они замкнуты
относительно операций сложения, вычитания и умножения на целые числа
meZ, иными словами, являются Z-модулями. Имеется несколько возмож-
возможных обобщений, например можно использовать комплексные или кватернион-
ные векторы вместо вещественных. Эти более общие решетки интересны сами
по себе и иногда приводят к более простым конструкциям вещественных
решеток. Мы введем их в этом разделе; дальнейшие примеры содержатся,
скажем, в гл. 7 и 8, а также в работах [Cas 3, гл. 7]. [Cha I], [Con 36],
[Hsi 6a], [Kar 1], [Lew 1], [O'Me 1], [Ong 1], [Ong 2], [Otr 1], [Que 4],
[Que 6], [Rog 9], [Rog 11], [Ser 2], [Smi 11].
Пусть С — поле комплексных чисел {z = х -f iy: х, у е R}, где i2 = —1,
н пусть IH — тело кватернионов {г = и + iv -(- jw + kx: и, v, w, x s R}, где
i* = ;* = fe* = _l,
Ц = — ji = k, jk = — kj — i, ki = — ik = j
(cm. [Bir 1], [Cox 8], [Cox 17], [Her 1]). Сопряженное г к элементу z опреде-
определяется как х — iy (для z s С) или как и — iv — jw — kx (для г s H), а норма
г равна N (г) = гг, т. е. х2 + уг или и1 + vz + ге»2 + х2. Аналогично норма
вектора z = (zj zn) равна
N (z) = Z\zx + ... + znzn.
Кроме изменения поля мы также изменим понятие целого числа. Имеется
много возможностей, однако здесь мы рассмотрим только три кольца целых,
которые и будем использовать вместо Z. Это — гауссовы и эйзенштейновы
78 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
целые
$ ={а + ib: eJeZJcC, E8)
8 = {а + <ab: o,*eZ}cС, E9)
где со = (— 1 + i V3~)/2 — комплексный кубический корень из единицы
([Сох 10, р. 421]. [Сох 21, р. 145], [Fej 2], [Наг 5, р. 179], [Lan 0, III, p. 5,
16], а также гурвицовы кватернионные целые [Hur 1], [Сох 18] i
jc + kd: a,b,c,de=Z или a, b, c, d e= Z + V2) cr H. F0)
Пусть / — одно из колец Z, 9, 8, Ж, и пусть К — соответствующее тело
(соответственно R, С, С, W). Определим I-решетку. Возьмем п векторов аь ...
..., оле Кп, линейно независимых над К- Тогда /-решетка Л, порожденная
этими векторами, состоит из всех линейных комбинаций
gi»i + ...+gn»n, F1)
где |i, ..., %п <= /. Поскольку / — кольцо, Л замкнута относительно сложения,
вычитания и умножения (левого в случае кватернионов) на элементы из /,
т. е. является /-модулем.
Отступление. Другие выборы /, приводящие к интересным примерам, —
это, в частности, кольца алгебраических целых чисел {а + Ьв: a, b e Z),
где 8 — одно из чисел
1+V==T 1+У:ГП t+Vs" F2)
или кольца круговых чисел Z[?], где g = e25tJ'm (см. гл. 8, [Bay I], [Con 36],
[Cos 1], [Cra 2] — [Cra 5], [Que 6]). Однако следует проявлять осто-
осторожность. Если / не является областью главных идеалов (например, если
в = -у—5), то Л может быть ранга п над Z, но не порождаться никакими
п элементами, т. е. может не быть свободным /-модулем; такие решетки назы-
называются неглавными. Если / содержит иррациональное вещественное число
(как в последнем примере из F2)), то Л плотно в /С", т.е. не является
(дискретной) решеткой. Несмотря на это, такие примеры можно все же ис-
использовать для получения решетчатых упаковок, переопределяя норму или
связанную с ней квадратичную форму (см., например, § 4 гл. 8). Ограничи-
Ограничиваясь в этом разделе указанными выше специальными кольцами, мы избе-
избегаем этих трудностей.
Пусть даиа /-решетка Л. Как и в случае вещественных решеток, опре-
определим порождающую матрицу М (см. формулу A) гл. 1) и матрицу Грама
А = МЯТ (см. формулу C) гл. 1). Основная трудность по сравнению с ве-
вещественным случаем состоит в том, что скалярное произведение векторов
-х = (Х\, ..., хп) и у = (г/i, ..., у„) теперь определяется как эрмитово про-
произведение
х ¦ у = хф + ... + хпуп. F3)
Детерминант решетки Л задается формулой D) гл. 1, минимальная норма
р, — формулой B1) этой главы, радиус упаковки р — формулой B2), радиус
покрытия—формулой, аналогичной формуле C), тэта-ряд — формулой
A ^ q = e*lz, F4)
JteA
(см. формулу C1)), а двойственная решетка — равенством
Л* = {х е= Кп: гае/ для всех и е= Л} F5)
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 79
(см. формулу B4) гл. 1). Решетка Л является целочисленной, если Л = Л*,
и унимодулярной, или самодвойственной, если Л = Л*.
Если Л — комплексная /-решетка в С", имеется соответствующая ве-
вещественная решетка Лгеа] в R2", состоящая из векторов
(Re (z,), Im (zi), .... Re (zn), Im (zn)) F6)
для (zi, ..., zn) eA. Имеем
det Areai = <5n4~,rt (det ЛJ, F7)
где д — модуль дискриминанта / — равен 3 при / = <? и 4 при / = %. Тэта-
ряд двойственной решетки равен
Если Л — кватерииоииая ЭК-решетка в И", то соответствующая решетка
Лгеа] в R4n получается заменой каждой компоненты и + iv + jw + kx всех
векторов из Л на {и, v, w, х). В этом случае
L. F9)
Во всех случаях Areaj имеет те же радиусы упаковки и покрытия, что и Л,
и мы определим плотность упаковки, контактное число и плотность покрытия
для Л как соответствующие величины для Лгеа]
В случае когда Л является «^-решеткой (где & — кольцо эйзенштейновых
целых чисел), умножение векторов из Л на со является автоморфизмом вез
неподвижных точек порядка 3 решеток Л и Лгеа1; неподвижна только нуле-
нулевая точка. Наоборот, вещественную решетку в R2" с автоморфизмом без
неподвижных точек порядка 3 можно рассматривать как <У-решетку в С".
Если Л имела порождающую матрицу М = X + iY (с вещественными X и
У), то порождающая матрица для Лгеа1 равна
\
G0)
Аналогично, если Л является ^-решеткой (где $ — кольцо гауссовых це-
целых чисел), то умножение на i будет автоморфизмом а решеток Л и Лгеаь
а имеет порядок 4 и степени а, а2, а3 не имеют ненулевых неподвижных точек.
Если Л имела порождающую матрицу М = X + iY (с вещественными X и У),
то порождающая матрица для Лгеа1 равна
(
Jx У G1>
Для 30-решетки Л (где Ж — кольцо гурвицовых целых чисел) ситуация
несколько сложнее. Кольцо Ж содержит 24 числа с нормой 1, называемых
единицами:
±1, ±1, ±/, ±k, ±(й, ±шг,
± а', ± cofe, ± ш, ± в>К ± (Ь!, ± (hk,
80
Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
где
G3)
<й! = i (oi = /со =
a' = j ' со/ =
: = 6 +«• = -?¦ (-1+*-/-?),
со =;
ife = (СО = (О/ =
id
й' = j~' Si = — ka — — а>/ = и — i = 77(~" 1 ~ «' + / + *).
G4)
/ ' й/ = — 1Й = — mk = со — / = — (— 1 + i — j + k),
<&*>
k~l<bk = - /Й = -
co - fe = -i- (-1 + i + i¦>- k).
Как мультипликативная группа это миожество единиц изоморфно 2h^ '), где
А4 — знакопеременная группа степени 4. Через LK обозначим умножение
векторов из Л на л слева, где я — одна из 24 единиц кольца Ж Если
яф\, то Ln — автоморфизм без неподвижных точек решеток Л и Areai-
Обратно, если вещественная решетка L в R4" является левым BА4)- модулем,
причем каждый нетривиальный элемент из 2А4 действует без неподвижных
точек, то L можно рассматривать как 5^-решетку в И . Если порождающая
матрица решетки Л равна М = U + iV + jV + kX (где U, V, W, X вещест-
вещественные), то Лгеа1 имеет порождающую матрипу
U V W X
К U -X W
W X U -V
-X —W V U
G5)
Примеры. Если Л = ?сС, то Area]—это квадратная решетка Z2;
если Л = ^Г, то Лгеа]— гексагональная решетка (рис. 1.3а); если Л = Ж, то
Лгеа, = ?>4 (см. разд. 7.2 гл. 4).
Плотнейшая шестимерная решетка Ее легко описывается как эйзенштей-
нова решетка. Если в качестве Л взять ?Г-решетку в С3 с порождающей мат-
матрицей
9 0 0
G6)
где 8 = и — и = V~3, то Л . = Е6.
') Через 2G обозначается прямая сумма двух групп, изоморфных G. —
При '. перев.
§ 3. Квантизаторы 81
Аналогично, плотнейшая восьмимерная решетка ?а легко описывается
как гурвицова решетка. Если в качестве Л взять ЭК-решетку в И2 с поро-
порождающей матрицей
Решетку Лича можно построить всеми тремя способами, как S-, Ж- или
3*?-решетку, см. § 1 гл. 6 и пример 12 гл. 7.
Обсудим, наконец, вкратце существование четных комплексных решеток.
Норма решетки Л, обозначаемая Jf(A), — это погдруппа группы веществен-
вещественных чисел, порожденная числами {N(x): хеЛ). Мы уже видели, что для
вещественных самодвойственных решеток Л?(Л) равна либо Z, либо 2Z
[О'Ме 1, р. 227, 324]. То же доказательство показывает, что этот результат
также верен для комплексных решеток. Решетки с A"(A) = 2Z называются
чеп.ы.ки. Четные самодвойственные !?-решетки в С™ существуют тогда и
только тогда, когда п делится на 4; четных самодвойственных ё?-решеток не
существует [Ger 5, th. 3.6]. Имеются, однако, четные самодвойственные ре-
решетки над другими кольцами целых, см., например, § 4 гл. 8.
§ 3. Квантизаторы
3.1. Квантизация, аналого-цифровое преобразование и сжа-
сжатие изображений. Как уже говорилось в разд. 1.4 гл. 1, хотя
в основном эта книга посвящена геометрическим задачам, мно-
многие из этих задач находят непосредственное применение в дру-
других областях науки. В этом разделе и в § 1 гл. 3 мы опишем
два основных приложения: к векторным квантизаторам и к про-
проектированию сигналов для передачи по каналу с шумом.
Реальный мир полон отвратительных чисел типа 0,79134989 ...,
мир же компьютеров и устройств цифровой передачи данных
имеет дело с милыми числами типа 0 и 1. Квантизатор, или
аналого-цифровой преобразователь, — это устройство для пре-
превращения отвратительных чисел в милые числа. Квантизаторы
применяются в цифровых измерительных приборах, в записы-
записывающих устройствах, в системах цифровой связи (включая боль-
большинство телефонных сетей средней и большой дальности, на-
например те, которые используют пульсирующую кодовую моду-
модуляцию, см. разд. 1.1 гл. 3). Мы должны, однако, добавить, что
большинство существующих квантизаторов одномерны; описы-
описываемые здесь n-мерные квантизаторы пока еще широко не ис-
используются.
На рис. 2.7 изображен гипотетический двумерный кванти-
квантизатор. Одиннадцать точек-представителей Рь ..., Рц выбраны
заранее. Входом в квантизатор является пара вещественных чи-
чисел {х\,х2), рассматриваемая как точка х на плоскости, а вы-
выходом— ближайшая к х точка из {Pi, ..., Рп}. Любая точка
на плоскости, таким образом, заменяется на ближайшую точку
Р. (или округляется до Р,). Этот процесс называется также
82
/*.*. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
сжатием изображения; с тем же успехом можно считать, что
выход — это номер / ближайшей точки Р,.
МНОГОГРАННИК ВОРОНОГО
ТОЧКИ Р4
Рис. 2.7. Пример (гипотетический) двумерного квантизатора. Одиннадцать
точек-представителей Р\ Рп выбираются заранее. Любая точка х иа пло-
плоскости «округляется», нли квантизуется, до ближайшей точки Pt. Рисунок
также показывает многогранники Вороного точек Pi. Например, любая точка
х, попадающая в многогранннк Вороного точкн Pt (заштрихованная область),
округляется до /V
Формальное определение n-мерного квантизатора таково
(см. рис. 2.8). В пространстве R" выбирается М точек Рь ...
..., Рм- Вход х — это произвольная точка из R"; выход — бли-
ближайшая к х точка Pi. Если ближайшая точка Р,- не единственна,
ВЫХОД - ЭТО ТОЧКА
Pi, БЛИЖАЙШАЯ К X
Рис. 2.8. n-мериын квантизатор.
то случайным образом выбирается любая из ближайших точек.
Действие квантизатора можно также описать, говоря, что
пространство :Rra разбито на многогранники Вороного (см.
разд. 1.2) V(P\), V(P2), ¦¦¦ точек Р(; если на вход подается
элемент из F(A), то выход равен Р,- (см. рис. 2.7).
§ 3. Квантизаторы 83
Процесс квантизации вносит ошибки, величина ошибки из-
измеряется евклидовым расстоянием от х до ближайшей точки
Pi. Поэтому Pi следует выбирать в соответствии с вероятно-
вероятностным распределением х, так чтобы Pt были представитель-
представительными или «типичными» точками. Точнее говоря, мы попытаемся
выбрать Pi так, чтобы минимизировать среднеквадратичную
ошибку (обозначаемую также m. s. е.), т. е. среднее значение
N(x—Pi(x)), где Pi(x) обозначает ближайшую к х точку Pt.
Если х имеет функцию плотности вероятности р(х), то сред-
среднеквадратичная ошибка на размерность определяется как
Е = \ \ N(x-Pi{x))p(x)dx, G8)
которая с учетом разбиения на многогранники Вороного мо-
может быть записана так:
м
?==-7гЕ \ N(x-Pi)p(x)dx. G9)
Замечания, (i) В формулах G8) и G9) предполагается, что
вероятность попадания входного значения х на границы много-
многогранников Вороного пренебрежимо мала. (П) Множитель 1/я
вводится для того, чтобы «честно» сравнивать квантизаторы
разных размерностей, (in) Критерий среднеквадратичной ошиб-
ошибки — это лишь один из многих возможных способов измерить
искажение; его преимущества состоят в широкой употреби-
употребительности и математической простоте. При применениях к об-
обработке речи и изображения правильный выбор меры искаже-
искажения является трудной задачей. См., например, [Ata 1] — [Ata3],
[Flal], [SchlO].
Основная теорема в этой области принадлежит Задору, ко-
который в 1963 г. показал (см. [Zad I], [Zad2]), что среднеква-
среднеквадратичную ошибку на размерность можно уменьшать, используя
многомерные квантизаторы. Другими словами, выгоднее подо-
подождать появления на входе квантизатора нескольких чисел и за-
затем обработать их все сразу, рассматривая их как координаты
точки в некотором пространстве высокой размерности. Промед-
Промедление оказывается выгодным.
К сожалению, результат Задора, как и некоторые другие
уже упоминавшиеся результаты, неконструктивен, и проблема
явной конструкции хороших квантизаторов все еще остается
открытой. Но решетки из табл. 1.1, как мы вскоре увидим, ведут
себя очень хорошо, если входная величина х распределена рав-
равномерно.
84 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
Приведем теперь более точное описание результата Задора.
Для заданной размерности п, числа точек М и функции плот-
плотности вероятности р(х) на входе мы хотим найти точную ниж-
нижнюю грань по всем множествам Р\, ..., Рм е R"
Е(п, М, р) = ШЕ, (80)
ip}
т. е. наименьшую достижимую ошибку. Задор ([Zad I], [Zad2];
см. также [Вис 2], [ВисЗ], [Ger2], [Yam 1]) показал, что при
довольно общих предположениях о р (х)
lim M2lnE(n, M, p) = Gn(\ p(xf{n+2)dx\n+2)ln, (81)
\& )
где Gn зависит только от п. Он показал также, что
Для больших п верхняя и нижняя границы в (82) согласуются:
Gn-> -2^7 = 0.058550 ... при п->оо. (83)
Поскольку функция плотности вероятности р(х) появляется
только в последнем члене (81), для нахождения Gn можно вы-
выбрать любую удобную р(х). Простейший выбор, представляю-
представляющий к тому же значительный интерес сам по себе, сводится
к предположению о равномерном распределении х по большой
области "?" (скажем, по большому шару). При равномерно рас-
распределенном входе среднеквадратичная ошибка минимизируется,
если каждая точка Р, лежит в центре тяжести своего многогран-
многогранника Вороного V(Pt) (см. [Ger 2]). Нам особенно интересен слу-
случай, когда число точек М очень велико. Это позволяет пренебречь
граничными эффектами и приводит к более простым ответам.
При равномерно распределенном входе формулы G9) и (81)
превращаются в
м
1 т~* С
Е = jp* , (84)
Z S*
'-• v(pi)
^уы ¦ (85)
iZ S <•)
§ 3. Квантизаторы 85>
где Е(п, М, р) = inf E. Равенства (84) и (85) можно описать,
говоря, что при равномерно распределенном входе для опти-
оптимальной квантизации, использующей большое число точек, ве-
величина Gn — это среднее значение среднеквадратичной ошибки
на размерность при выборе шкалы, превращающей его в безраз-
безразмерную величину (т. е. не зависящее от выбора масштаба для
точек Pi).
3.2. Проблема квантизатора. Впредь мы считаем, что вход х
имеет равномерное распределение в большом шаре в Rn и что-
М — число точек Р,-— велико. Проблема квантизатора заклю-
заключается в таком выборе точек Pi, ..., Рм в R", который мини-
минимизирует величину
м
(86)
где V(Pi) — многогранник Вороного точки Р,. По формулам (84)
и (85) Gn равно пределу точной нижней грани величины (86)
по всем выборам Р, при М-+со. Как было объяснено в преды-
предыдущем разделе, решение проблемы квантизатора дает как опти-
оптимальный квантизатор для равномерно распределенного входа,
так и (по формуле (81)) вероятность ошибки оптимального
квантизатора для входа с произвольной функцией плотности ве-
вероятности р(х).
Если все многогранники Вороного V(P,) конгруэнтны (как
в случае, когда Р/ образуют решетку), выражение (86) можно
упростить. Пусть все многогранники Вороного конгруэнтны П.
Если1 поместить начало координат в центр тяжести П, то (86)
превращается в
М v l+2/n
-Ч
х ¦ х dx
п
= С(П), (87)
т. е. в нормализованный второй момент многогранника П, оп-
определенный в разд. 1.2. Если точки Р, образуют решетку А
(точнее говоря, большой фрагмент решетки Л), многогранники
Вороного которой конгруэнтны П, мы пишем G(A)=G(H).
Проблема решетчатого квантизатора заключается в поиске
и-мерной решетки Л, для которой G (Л) минимально.
86 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
3.3. Проблема квантизатора — сводка результатов. Нетрудно
показать, что решение одномерной проблемы квантизатора
дается равномерным расположением точек Р, на вещественной
прямой, образующим целочисленную решетку Z (ее большой
фрагмент). Многогранники Вороного — это интервалы длины 1;
положим П равным интервалу [—1/2, 1/2]. Формула (87) дает
1/2
\ x2dx
О, = -^ = 72 = °-083333 .... (88)
-1/2
Это привычный результат в теории квантизации: если равно-
равномерно распределенные числа квантизируются по одному, то
среднеквадратичная ошибка равна 1/12. Теорема Задора пока-
показывает что, используя многомерные квантизаторы, эту ошибку
можно уменьшить.
Для двумерной проблемы Фейеш Тот ([Fej8]; см. также
[Fej 10], [Ger2], [New 1]) показал, что точки должны образо-
образовывать гексагональную решетку; в этом случае
G2 = G (правильного шестиугольника) = j=r = 0.0801875 ...
(89)
(см. разд. 2.1 гл. 21). Как обычно, в больших размерностях
проблема не решена.
Решение проблемы решетчатого квантизатора известно в раз-
размерности три [Ваг 16]: наилучшим решетчатым квантизатором
является bcc-решетка, для нее
¦G (bcc) = G (усеченного октаэдра) = пд- = 0.078543 .... (90)
В работе [Ваг 16] показано также, что bcc-решетка — это един-
единственная решетка, на которой G(II) достигает локального ми-
минимума. Для сравнения
G (fee) = <3 (ромбододекаэдра) =2~u/3 = 0.078745 ... (91)
(см. формулу B6) гл. 21), но эту величину можно уменьшить
малым возмущением решетки. В больших размерностях неиз-
неизвестны даже наилучшие решетчатые квантизаторы.
В табл. 1.1, 2.3 и на рис. 2.9 показаны наилучшие известные
квантизаторы в размерностях п ^ 24. Для некоторых из этих
решеток G(A) можно вычислить точно, как показано в гл. 21.
§ 3. Квантизаторы
87
Однако для ?*, ?*, /С12, Л16 и Л24 величина G(A) была оценена
в [Con 38] методом Монте-Карло, используя алгоритмы поиска
точки решетки, ближайшей к произвольной точке из R" (см.
разд. 1.4 и гл. 20I).
Таблица 2.3. Границы для Gn, среднеквадратичной
ошибки оптимального я-мерного квантизатора.
В последнем столбце приведены значения нашей
гипотетической нижней границы (92)
я
0
I
2
3
4
5
6
7
8
12
16
24
Наименование
квантизатора
Ло
Z
А\ = Аг
A'3=D'}
АЪ*ОЪ
D\=Dt
а;
At
Dl
Os
As
As
El
Et
e;
El
El~Eb
Dl
D»
A\
%At
Kiz s Kiz
Л*6 = Л16
Аи = Л24
Среднеквадратичная
ошибка Gn
0
0.083333
0.080188
0.078543
0.078745
0.076603
0.077559
О.О78О2О
0.075625
0.075786
0.076922
0.077647
0.074244
0.074347
0.073116
0.073231
0.071682
0.074735
0.075914
0.075972
0.077391
0.070100 ± 0.000024
0.068299 ± 0.000027
0.065771 ± 0.000074
Нижняя
граница (92)
0
0.083333
0.080188
0.077875
0 07609
0.07465
0.07347
0.07248
0.07163
0.06918
0.06759
0.06561
В табл. 2.3 и на рис. 2.9 показаны также границы Задора
(82). Нижняя граница для Gn в (82)—это нормализованный
второй момент n-мерной сферы (см. формулу (8) гл. 21).
В работе [Con 39] мы предположили, что имеется новая
нижняя граница для Gn, которая значительно сильнее нижней
границы Задора. Предположение состоит в том, что Gn не
') Уорли [Wor I], [Wor 2] нашел с тех пор точные значения для ?6 и ?7„
см. разд. 3.D гл. 21.
Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы
0.082!
ш 0.080
2 0.078
2 0.076
О
ш 0.074
3 0.072
0.070-
0.068 -
Л" \
-^\
- ГРАНИЦА СФЕРЫ4
_ ГИПОТЕТИЧЕСКАЯ
НИЖНЯЯ ГРАНИЦА
, 1 ,' 1 , 1 , |
:8
S.
/
(92)
,.. 1
-.—
—
\
0
—з>«"
Aft
С
Ч
\.
, i
= ¦ •*=
ГРАНИЦА ЗАДОРА
,1,1,1,1.1
S 0.066
о.
S 0.064
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
РАЗМЕРНОСТЬ П
Рис. 2.9. Наилучшие известные квантизаторы в размерностях до 24.
меньше чем
п + 3 — 2Н
(t + 2
{(п + 1) (я!L Я„ (| arccos ~) }"",
4л(п+1) lv* ' vvv',,^21 " nJ) ' ^
где Нт = I-1 -f 2-1 -f- ... +/n-' (при m=l, 2, ...)—гармо-
...)—гармоническая сумма, a Fn(a) определяется равенством F4) гл. 1.
Эта граница также приведена в табл. 2.3 и на рис. 2.9. Хотя
точного доказательства не найдено, имеются веские геометри-
геометрические причины верить в справедливость этой границы.
Эта предполагаемая граница аналогична границе Роджерса
для проблемы упаковки шаров (формула C9) гл. 1), границе
Кокстера — Фью — Роджерса A6) для проблемы покрытия и
границе Кокстера — Бёрёцки для сферических кодов (формула
F3) гл. 1).
Стоит отметить, что наилучшие известные сегодня п-мерные
квантизаторы всегда двойственны к наилучшим известным упа-
упаковкам. Однако мы не думаем, что это будет всегда так. Хоте-
Хотелось бы иметь больше фактической информации. Каково G(A)
для четырехмерных решеток Диксона, упомянутых в разд. 1.3,
или для решеток Барнса — Тренерри, упомянутых там же?
Дальнейшая информация о квантизаторах содержится в ра-
работах [Adol], [Ber 1] —[ВегЗ], [Вис 1]—[Вис 3], [Dav4],
[Dun 10], [Eli I], [Gal2], [Ger 1] — [Ger3], [Gis 1], [Gra7],
[Jayl], [Lin 2], [Maxl], [Zivl], [Ziv2].
Глава 3
Коды, *-схемы и группы
Дж. Конвей, Н. Слоэн
Это последняя из трех вводных глав. Мы начнем с описания
второго важнейшего приложения упаковок шаров — к проекти-
проектированию сигналов для систем передачи и хранения данных.
Остальные параграфы посвящены темам, которые хотя и не яв-
являются основными для этой книги, все же постоянно имеются
в виду: это коды, исправляющие ошибки, системы Штейнера,
f-схемы и конечные группы.
§ 1. Проблема кодирования для канала
1.1. Теорема об отсчетах. Вторым важнейшим приложением
является проектирование сигналов для систем передачи и хра-
хранения данных. Типичная система изображена на рис. 3.1. Со-
Сообщения возникают из некоторого источника информации, та-
такого, как говорящий человек, оркестр или компьютер. Кодер
источника преобразует сообщения в цифровую форму. В этом
процессе часто участвует квантизация или аналого-цифровое
преобразование, как это описывалось в предыдущей главе. Со-
Сообщения надо передать получателю по каналу, который может
быть каналом передачи данных, как, например, медный теле-
телефонный кабель, микроволновая радиосвязь или оптический ка-
кабель, или же устройством хранения данных, таким, как магнит-
магнитный или оптический диск. В канале присутствует шум, вслед-
вследствие чего полученная (или считанная) информация может
слегка отличаться от переданной (или помещенной на хране-
хранение).
Источник порождает сообщения с определенной скоростью,
и мы хотим передавать их получателю надежно, эффективно
и дешево. Система связи, изображенная на рис. 3.1, осуществ-
осуществляет это с помощью выбора множества специальных сигналов,
называемого кодом, элементы которого устроены так, чтобы их
можно было легко отличить друг от друга, несмотря на нали-
наличие шума. В канале используются только сигналы из кода.
Кодер канала получает на вход выходной сигнал кодера ис-
источника и заменяет его одним из сигналов кода, который затем
Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
и передается по каналу (или хранится в записывающем устрой-
устройстве). Декодер канала обращает этот процесс, преобразуя по-
получаемый (или считанный) сигнал в (предположительно пра-
правильный) сигнал из кода; декодер источника затем превращает
этот сигнал в первоначальное сообщение.
Начиная с этого места, мы будем говорить о проблеме пере-
передачи данных, все время имея в виду, что те же самые резуль-
результаты справедливы и для систем хранения данных.
Теорема об отсчетах играет ключевую роль во многих систе-
системах связи. Эта теорема (см. рис. 3.2) утверждает, что если
источник
ИНФОРМАЦИИ
СООБЩЕНИЕ
КОДЕР
ИСТОЧНИКА
ШУМ
КОДЕР
КАНАЛА
КАНАЛ
ПРИЕМНИК
ДЕКОДГ"
ИСТОЧНИКА
Hi
КАНАЛА
J
Рис. 3.1. Блок-схема системы передачи или хранения данных.
f(t) — сигнал (т. е. функция от времени), не содержащий ком-
компонент с частотой, превышающей W циклов в секунду, то f{t)
полностью определяется набором своих значений (отсчетов)
2W
2W
2W )
A)
взятых через каждые \/{2W) секунд (см. [Dyml], [Higl],
[Jerl], [Lanl], [LeeO], [Pet2], [Sha2], [Stel], [Wozl]). Ha
самом деле имеется явная формула — гармонический ряд, вы-
выражающий f(t) через набор ее значений:
'»-
k \ sm2nW(t~kl2W)
it - k/2W)
B)
Поскольку
sin 2nW (t — k:/2W) sin 2nW (t — 1/2W) ..
2я1Р (t ~ k/2W) 2nW(t~l/2W)
равен 0 при k ф I и равен l/BW) при k = I, энергия сигнала
f(t) задается формулой
C)
§ 1. Проблема кодирования для канала
91
Теорема об отсчетах важна для систем цифровой связи как
в практическом, так и в теоретическом аспекте. Ее легко при-
применять на практике, поскольку из формулы B) следует, что
сигнал f(t) можно восстановить по набору его значений (отсче-
(отсчетов), вводя их в простую электрическую сеть (пороговый
фильтр). Более того, восстановление стабильно в том смысле,
(a)
к
1
2W
I I I I
(с)
(d)
Рис. 3.2. Теорема об отсчетах является основой многих систем цифровой
связи, (а) Не слишком быстро меняющаяся функция f(t), например функция,
не содержащая компонент с частотой, большей, чем W циклов в секунду,
измеряется через каждые 1/BW) секунд. (Ь) Набор значений /@), f(lj{2W)),
fB/BlF)), ... передается по каналу. Теорема утверждает, что f(t) может быть
точно восстановлена по этим значениям. Этот принцип лежит в основе нм-
пульсно-кодовой модуляции (РСМ), (с) За t секунд выбирается п = 2TW
значений. Эти значения (/СО), f(\/{2W)), ..., f((п — \)/{2W)) суть коорди-
координаты точки в /г-мерном пространстве, (а) Таким образом, сложная функция
f(t) представлена одной точкой в /г-мерном пространстве.
что малые ошибки в значениях из набора отсчетов порождают
соответственно малые ошибки в восстановленном сигнале.
Так, например, эта теорема лежит в основе системы цифро-
цифровой передачи данных, известной под названием импульсно-кодо-
вая модуляция, или РСМ (см. [Bel I], [Ben4], [ОН 1]). Чита-
Читателю, без сомнения, хорошо знакомы амплитудная (AM) и ча-
частотная (FM) модуляции. РСМ менее известна, но столь же
важна, поскольку она используется в телефонной связи сред-
средней дальности. Голос говорящего замеряется с определенной
""92 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
частотой (обычно 8000 раз в секунду), и каждое значение округ-
округляется, или квантизуется, до одного из 256 уровней и затем
выражается 8-битовым двоичным числом. Двоичные числа пере-
передаются по каналу, а на приемном конце голос говорящего ре-
реконструируется по принятым значениям. Благодаря справедли-
справедливости теоремы об отсчетах слушатель не замечает всего проис-
происшедшего с сигналом.
Эта теорема имеет также и теоретические следствия. Ьсли
сигнал f(t) продолжается Т секунд1), как показано на рис. 3.2,
то имеется набор из n = 2TW отсчетов, например
) D)
Но D) — это координаты точки в л-мерном пространстве. По-
Поэтому теорема об отсчетах позволяет представить сложную
функцию f{t) единственной точкой (•) в n-мерном пространстве.
Вот демонстрация силы математических обозначений!
Более того, если F s= >Чп обозначает точку с координатами
D), то по формуле C) ее норма пропорциональна энергии f(t):
= пР, E)
о
где
г
F)
— средняя мощность сигнала. Если G представляет другой сиг-
сигнал g(t), то
т
о
т
(8)
1.2. Теорема Шеннона. Наблюдение, что сигналы с ограни-
ограниченной полосой частот могут быть Представлены точками евкли-
евклидова пространства, — ключевой ингредиент исследований, пред-
предпринятых Клодом Е. Шенноном между 1940 и 1960 гг. Эти ис-
1) Строго говоря, функция не может одновременно иметь ограниченную
полосу частот и быть отличной от нуля лишь в ограниченном интервале
0 ^ t ^ Г. Чтобы точно выразить нашу мысль, следует рассматривать сиг-
сигналы с ограниченной полосой, паяти вся энергия которых сосредоточена в
диапазоне 0 s? t s? Г. См. [Dym П. [Lan 3], [Lan 4], [Sle 6], [Sle 7].
§ 1. Проблема кодирования для канала 93
следования заложили фундамент теории связи [Sha 1] — [Sha 8].
Как говорит Дэвид Слепян [Sle 5], «вероятно, ни одна работа
этого века не изменила понимание человечеством того, что же
такое связь, столь глубоко, как работа Шеннона A948 г. „Ма-
„Математическая теория связи"».
Прежде чем переходить к описанию некоторых результатов
Шеннона, упомянем две наиболее важные идеализированные
модели канала, изображенного на рис. 3.1. Одна — это двоич-
двоичный симметричный канал, в котором передаются и получаются
только последовательности из нулей и единиц. В этом случае
код называется двоичным кодом, исправляющим ошибки; такие
коды обсуждаются ниже в § 2. Другой — это канал с белым
гауссовским шумом (или гауссовский канал); проблема кон-
конструирования кодов для этого канала связана с проблемой
упаковки шаров в евклидовом пространстве.
По каналу с белым гауссовским шумом передаются непре-
непрерывные сигналы. Все частоты, превышающие предельную ча-
частоту W циклов в секунду (называемую шириной полосы ка-
канала), полностью затухают; частоты, меньшие W, проходят без
затухания. При прохождении сигнала канал добавляет к нему
белый гауссовский шум.
У этого канала имеется простое описание, основанное на
теореме об отсчетах. Передаваемый сигнал f(t) представляется
точкой F =(fi, ..., fn) в n-мерном евклидовом пространстве.
При передаче эта точка возмущается, к ней прибавляется век-
вектор шума К = (г/1, .... уп), компоненты которого суть незави-
независимые гауссовские случайные величины с математическим ожи-
ожиданием 0 и дисперсией о2. (Таким образом, о2 — это средняя
мощность шума.) Получаемый сигнал представляется вектором
F+Y.
Код для этого канала — это множество точек в 'Чп. Если
в коде имеется М точек, каждая из которых представляет сиг-
сигнал с шириной полосы W и продолжительностью Т секунд, то
скорость кода определяется как
Я = -j- log2 M бит/сек. (9)
Декодер находит точку кода, ближайшую к принятому вектору,
и по ней восстанавливает сигнал. Если шум достаточно мал, то
ближайшая кодовая точка совпадет с передаваемой точкой и
сигнал f(t) будет правильно восстановлен. Если же шум ве-
велик, то принимаемый вектор может оказаться ближе к какой-
либо другой точке кода и декодирование будет неправильным;
эта ситуация называется ошибкой декодирования.
94 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
Итак, мы можем снизить влияние шума, располагая точки
кода возможно дальше друг от друга. Но, с другой стороны,
вследствие формулы E) тогда потребуются сигналы больших
энергий, что увеличит стоимость. Одна из основных теорем
Шеннона устанавливает удивительный факт, что можно достичь
практически безошибочной передачи по этому каналу, используя
сигналы ограниченной мощности, но лишь при условии, что
скорость кода не превосходит некоторого порогового значения,
называемого пропускной способностью канала. Имеются анало-
аналогичные результаты для многих других каналов, в том числе и
для двоичного симметричного канала.
Точная формулировка теоремы Шеннона для гауссовского
канала такова. Для любой скорости R, меньшей пропускной
способности
(Ю)
и для достаточно больших Т (и, следовательно, достаточно
больших n — 2WT) можно найти код со скоростью R (см. (9))
и средней мощностью не более Р (см. F)), для которого ве-
вероятность ошибки декодирования сколь угодио мала. Напротив,
при скоростях R^s С таких кодов не существует.
Мы дадим набросок доказательства более слабого резуль-
результата, чтобы продемонстрировать связь с упаковками шаров;
строгое доказательство теоремы во всей ее полноте см. в рабо-
работах [Gall], [McEl], [Sha2], [Sha6], [Sle5], [Wol3],
[Wyn3] —[Wyn5].
Поскольку средняя мощность сигналов F не превышает Р,
вследствие E) они лежат внутри шара радиуса л/пР с центром
в начале координат. Делая п достаточно большим, можно счи-
считать, что для вектора шума Y, имеющего п компонент с дис-
дисперсиями а2, его норма N(Y) не превосходит п(сг2+е), где е
сколь угодно мало. Иными словами, принятый вектор F+Y
с большой вероятностью лежит в маленьком шаре радиуса
5^{л(сг2 + е)}1'2 с центром в F. Средняя мощность принимае-
принимаемого вектора ^Я + сг2 + е, в частности F-\-Y лежит в шаре
радиуса {п(Р + о2 + е)}1/2 с центром в нуле.
Таким образом, если мы возьмем центры некоторой плотной
упаковки шаров радиуса {п(о2-\- е)}1/2, лежащие в большом
шаре радиуса {п(Р -\- а2 + е)}1/2, то получим код, в котором
передаваемый вектор правильно декодируется с вероятностью,
близкой к 1. Число точек кода по формуле A0) гл. 1 равно
(И)
§ 1. Проблема кодирования для канала
где Д равно плотности этой упаковки шаров. Если п достаточно
велико, то М можно сделать сколь угодно близким к A1). По
формулам (9) и A1) скорость этого кода равна
Поэтому, делая Тип достаточно большими и используя упа-
упаковки шаров с плотностью, удовлетворяющей неравенству
A/n) (log2 Д)^—1 (такие существуют по формуле D6) гл. 1),
можно достичь практически безошибочной передачи при любой
скорости
() A2)
Для доказательства того, что все скорости, меньшие про-
пропускной способности A0), могут, а никакая большая не может
быть достигнута без ошибок, требуются более изощренные аргу-
аргументы, см. приведенные выше ссылки. Аргумент Шеннона, ис-
использующий метод усреднения, — это один из самых известных
примеров неявных доказательств в теории кодирования. (См.
также замечания в разд. 1.5 гл. 1.)
Доказательство показывает, что для достижения скоростей,
близких к A0), п и Т должны быть велики. Более точные ва-
варианты этой теоремы исследуют, как вероятность Ре ошибки
декодирования уменьшается с ростом размерности п при задан-
заданной скорости R. Слепян [Sle 1] изучил взаимоотношения ме-
между всеми семью параметрами W, Т, п, R, Р, о2 и Ре.
Строгое доказательство теоремы Шеннона (см. A0)) также
показывает, что для малых значений сг поиск оптимального
кода с максимальной мощностью Р тесно связан с поиском
плотнейшей упаковки шаров в 1R", как мы уже видели в нашем
эвристическом выводе соотношения A2). Де Буда и Кассем
([Bud 2], [Bud3], [Kas2]) показали, что для всех значений сг
коды, получаемые из решетчатых упаковок шаров, практически
столь же хороши, как и любые коды.
Вторая, очень похожая, проблема — это вопрос о наилучшем
коде, в котором все сигналы имеют одну и ту же энергию (код
постоянной энергии). Для малых значений сг решение этой про-
проблемы тесно связано с проблемой упаковки сферических шапо-
шапочек на n-мерной сфере Qn, т. е. с проблемой конструирования
сферических кодов (см. разд. 2.3 гл. 1).
1.3. Вероятность ошибки. Проблему кодирования для канала
можно сформулировать точнее, давая выражение для вероят-
вероятности ошибки Ре. Предположим, что код состоит из М точек
С\ См в Rn, и пусть V(Ck) — многогранник Вороного точки
96 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
Ск. Если передается точка Си, то декодер принимает правиль-
правильное решение тогда и только тогда, когда вектор шума Y лежит
в V{Ck); вероятность этого события равна
e-'-Wdx. A3)
В предположении, что все точки кода используются с равной
вероятностью, вероятность ошибки для этого кода равна
м
Если все многогранники Вороного конгруэнтны некоторому мно-
многограннику П, то эта формула упрощается:
Поэтому одна из формулировок проблемы кодирования для
гауссовского канала такова. При заданных размерности п и
числе кодовых точек М и при ограничении мощности
N(Ck)^nP, k=l,...,M, A6)
найти код Си ¦¦¦, СмеК", удовлетворяющий A6) и такой,
что вероятность ошибки Ре, даваемая формулой A4), мини-
минимальна. Проблема кода постоянной энергии получается заме-
заменой A6) иа условие N(Ck) = nP для всех k, или, что то же са-
самое, Ck e Qn.
Решетчатый вариант проблемы кодирования для гауссов-
гауссовского канала таков: для заданного значения о найти л-мерную
унимодулярную решетку, минимизирующую значение A5), где
П — многогранник Вороного решетки (его объем равен 1).
Теперь ясна разница между четырьмя основными пробле-
проблемами для решеток. Пусть Л— решетка с многогранником Во-
Вороного П единичного объема. В проблеме упаковки (см. § 1
гл. 1) мы минимизируем вписанный радиус многогранника П,
в проблеме покрытия (см. § 1 гл. 2) мы минимизируем описан-
описанный радиус, в проблеме квантизатора (см. § 3 гл. 2) мы мини-
минимизируем второй момент <3(П), а в проблеме кодирования для
канала мы минимизируем Ре (задаваемое формулой A5)).
Ответы в проблеме кодирования для канала, вообще говоря,
зависят от а. К сожалению, в отличие от выражения для ошиб-
ошибки квантизатора, задаваемого формулой (87) гл. 2, интегралы
в A4) и A5) не удается точно посчитать даже в простых слу-
случаях (кроме случаев размерности 1 и 2 или же когда П — куб;
§ 1. Проблема кодирования для канала 97
в этой ситуации Ре может быть выражено в терминах функции
ошибки A8)). Из-за трудностей в вычислении интеграла боль-
большинство исследователей заменяют A4) на более простое вы-
выражение.
Видимо, наиболее полезной оценкой является следующая
граница объединения (см. [Wei7], [Wozl]). Рассмотрим мно-
многогранник Вороного V(Ck) k-v\. точки кода Ck. Допустим, что
его грани определяются г точками кода Ck\, ¦¦¦, Ckr (т. е. это
релевантные точки для Ck в терминологии разд. 1.2 гл. 2). До-
Дополнение к V(Ck) содержится в объединении соответствующих
полупространств. Поэтому в предположении, что передается
точка Ck, вероятность ошибки Р<*> ограничена следующей ве-
величиной:
е «—'СГ V23t
1-1 Р/
где py = (I/2)||Cfc — СА/||. Перепишем это в виде
П*> < У ~ erf с (—%=¦}, A7)
^2 V а V2 У
где
оо
M -pdt A8)
— функция ошибки [Abr 1]. Верхняя граница для выражения
A8) получается подсчетом вклада полупространств, соответ-
соответствующих всем точкам С =?= Ck. Усредняя по k, мы получим
Ре<±У У ±erfc^=P-. A9)
При 0-vO правая часть A9) приближается к Ре. Это случай,
когда Р ^> а, т. е. случай большого отношения сигнал/шум.
Пусть р =minp; равно половине минимального расстояния ме-
между точками кода, и пусть t — среднее число точек кода на
расстоянии 2р от данной точки кода. (Это не то же самое, что
среднее контактное число1).) Тогда для малых сг решение про-
проблемы кодирования получается минимизацией выражения
— t erf с Г—р-т=Л. B0)
2 VorV2 /
') Среднее контактное число определяется как усреднение числа точек,
находящихся на минимальном для данной точки расстоянии от нее, которое,
вообще говоря, больше минимального расстояния кода.—Прим. перев.
98 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
Таким образом, даже при малых сг не совсем верно было бы
говорить, что проблема кодирования совпадает с проблемой
упаковки шаров, поскольку последняя максимизирует р, но не
обращает внимания на т. На противоположном конце, при боль-
больших а, можно аппроксимировать ехр {—хх/Bа2)} в A4) с по-
помощью 1—х-х/Bа2)-\- ..., и тогда проблема кодирования сов-
совпадет с проблемой квантизации.
1.4. Решетчатые коды для гауссовского канала. Рассмотрим
теперь более подробно решетчатую проблему кодирования для
канала. В одно- и двумерном случаях оптимальная решетка не
зависит от сг. (В размерности один имеется лишь одна решетка,
а оптимальность двумерной гексагональной решетки для всех а
получается подстановкой f (х) = (сг д/2п) ехр{— х2/2о2} в тео-
теорему на с. 133 книги [Fej 10].)
Предположим, что а мало. По формуле B0) вероятность
ошибки Ре приближается числом
Пусть код состоит из всех точек решетки С с N(C)^. пР. Число
его точек М задается равенством
М ¦ Vn ¦ р" = А • Va (nP)nn (I + о A)), B2)
(где оA)-»-0 при М-*- с»), так что
B3)
Средняя норма точек кода равна
B4)
(см. [Са17, Ш. 4]). Для проводимого нами анализа лучше оп-
определить скорость кода формулой
R= — log2.M бит/размерность B5)
(а не формулой (9)). Тогда
p = ^?f A1/n(l+0(l)). B6)
Определим также нормализованное отношение сигнал/шум
кода равенством
s==~?!Qr==l№- B7)
§ 1. Проблема кодирования для канала
99
i i i I I i t i i I i i i i Г I I r.-t
5 10 15 20
ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ S
Ряс. 3.3. Наименьшей известная вероятность ошибки Ре (формула B8)}
для любой «-мерной решетки как функция нормализованного отношения сиг-
сигнал/шум 5 (формула B7)) для различных размерностей п sg; 48.
Собирая воедино B1), B6) и B7), мы получим итоговую'
оценку для вероятности ошибки кода для гауссовского канала
с нормализованным отношением сигнал/шум 5, получаемого из
n-мерной решетки с плотностью А и контактным числом т:
B8>
Эта оценка становится точнее с ростом 5. Для больших зна-
значений х
erfc (x)
следовательно,
log P"e ~ const - (у иА2/га log e) S.
B9>
C0>
Используя формулу B8), мы вычислили вероятность ошибки
для различных решеток. На рис. 3.3 показаны решетки в
размерностях 2, 4, 8, 24 и 48 с наименьшими известными
значениями Р" для Р" < 10~3. В этом диапазоне наилучшие
100 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
известные сейчас решетчатые коды совпадают с плотнейшими
известными решетчатыми упаковками шаров. Кроме того, в этом
диапазоне lg Ре является линейной функцией от S, наклон ко-
которой задается формулой C0).
Из формул B8) — C0) видно, что пока все плотнейшие ре-
решетчатые упаковки шаров в iR" имеют одно и то же контакт-
контактное число, при а-»-0 (или S->-oo) решетчатая проблема коди-
кодирования совпадает с решетчатой проблемой упаковки шаров.
Если же имеются две или более решетки равной плотности
с различными контактными числами, то следует предпочесть
решетку с наименьшим контактным числом.
Мы также вычислили Ре для различных решеток малой раз-
размерности «точно» по формуле A5), используя метод Монте-
Карло. Результаты (до сих пор не опубликованные) согла-
согласуются со значениями, получающимися из B8).
Более грубая мера эффективности кода дается величиной
\х/Е, где [I — квадрат минимального расстояния между точками
кода, а Е — их средняя норма (или энергия). Назовем (номи-
(номинальным) кодовым выигрышем кода с параметрами \ii и ?i по
сравнению с другим кодом с параметрами цг и Е2 величину
Например, беря код, состоящий из точек С решетки Л с нор-
нормой, не превышающей пР, из формул B3) и B4) получаем
о + 'О»- <32>
Для сравнения используем примерно равное число точек, рас-
расположенных n-мерным кубическим массивом с центром в на-
начале координат (т. е. практически одномерный код). Для этого
кода
Номинальный кодовый выигрыш, полученный с помощью ре-
решетки Л, таким образом, равен
(n + 2)A2/"}. C4)
Кодовые выигрыши различных решеток в размерности до 128
приведены в табл. 3.1. Эта таблица также указывает для каж-
каждой решетки значение у = 4б2/га (где 8 = A/Vn). Величина у яв-
является нижней границей для постоянной Эрмита (задаваемой
формулой D7) гл. 1) ив свете соотношений B8) — C4) пред-
представляет собой другую меру кодового выигрыша решетки.
§ 1. Проблема кодирования для канала
101
Как указал Форни [Forl], оценку A9) для Ре можно свя-
связать с тэта-рядом решетки. Поскольку (см. [Mit 6, р. 291])
получаем
C5)
где q = e~1/<aa2\ причем правая часть стремится к Ре при а-»-0.
Велти [Wei 6] и Велти и Ли [Wei 7] использовали формулу
B0) для оценки Ре в случае других четырехмерных кодов, по-
Таблица 3.1. Номинальный кодовый выигрыш
(формула C4)) для различных решеток
из табл. 1.2 и 1.3, значения центральной
плотности б, а также у = 4б2/", нижней
границы постоянной Эрмита
ft
2
4
б
8
12
16
24
48
64
80
128
Решетка
Лг
D4
Ее
Еь
К\г
Л16
Л24
Рщ
Рб*с
П(Е,)
S
1/C2V3).
1/8
. 1/(8л/3)
1/16
1/27
1/16
1
C/2)и
222
288
выигрыш
0.825
1.961
2.832
3.739
4,514
5.491
7.1N
9.037
9.397
10.070
11.557
У
1.155
1.414
1.665
2
2.309
2,828
4
6
6.442
7.464
10,375
лученных из решеток. Другие приближенные формулы для ве-
вероятности ошибки для решетчатых кодов использованы в [Bia 3]
(см. также [Slo 11]) ив [Bud 2].
Проблемы кодирования для канала, описанные в этом па-
параграфе,— зто идеализированные математические проблемы.
На практике ситуация оказывается сложнее, и следует учиты-
учитывать многие дополнительные факторы. Теорема Шеннона пред-
предполагает, что Г (продолжительность сигналов) и п (размер-
(размерность) должны расти для уменьшения вероятности ошибки, но
и то, и другое приводит к задержке процессов кодирования и
декодирования и усложняет их. Для используемых на прак-
практике кодов должны существовать эффективные алгоритмы
102 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
кодирования и декодирования. Далее, кроме гауссовского шума
должны учитываться и другие типы искажения сигналов (на-
(например, взаимовлияние символов и шум, возникающий вспыш-
вспышками).
Было предложено много других конструкций кодов для ка-
канала с целью использования на практике: например, переста-
перестановочные коды [Bil2], [Sle2], «групповые коды» (см. разд. 4.2)
и коды, описанные в работах [Cam 4], [Ein 1], [Ein2], [Fos 1],
[Fos2], [Gaol], [Ger 4], [Gill], [GinlJ, [Kanl], [Ker 2],
[Kril], [Lazl], [Sayl], [Zetl], [Zet2]. См. также ссылки по
поводу конструкций сферических кодов, приведенные в разд. 2.3
гл. 1.
В последние годы геометрические коды для канала описан-
описанного в этом параграфе типа комбинировались с кодами, исправ-
исправляющими ошибки (см. § 2), особенно со сверточными кодами,
с целью получить так называемые схемы с решетчатой кодовой
модуляцией (ТСМ). Эти коды, имеющие на самом деле очень
большую размерность, обладают тем не менее практически при-
применимыми алгоритмами кодирования и декодирования. См.
[Andl], [Cal2] — [Cal8], [Fall], [For 2]—[For 3], fUngl],
[Weil], [WiI20].
§ 2. Коды, исправляющие ошибки
2.1. Проблема кодов, исправляющих ошибки. Другая идеали-
идеализированная модель канала, изображенного на рис. 3.1, — это
двоичный симметричный канал. Для этого канала входными и
выходными символами являются 0 и 1, и имеется некоторая
фиксированная ненулевая вероятность р<1/2 того, что при
передаче одного символа @ или 1) будет получен другой сим-
символ; с вероятностью 1—р>1/2 будет получен правильный
символ. Двоичный код1) С длины п — это множество двоич-
двоичных векторов (называемых кодовыми словами), имеющих п ко-
координат, т. е., другими словами, подмножество из F*, где F2 =
= {0, 1} — конечное поле (поле Галуа) из двух элементов.
Аналогично, q-ичный код — это подмножество в F", где
Fq — конечное поле из q элементов; q является степенью про-
') Строго говоря, это — блоковый код. Важное конкурирующее семей-
семейство составляют сверточные коды (см., например, [Lin 0], [Vit 1]). Хотя свер-
точные коды и важны для многих практических применений, они не связаны
прямо с геометрическими задачами, обсуждаемыми в этой книге.
[Все рассматриваемые здесь коды (как блоковые, так и сверточные)
называются кодами, исправляющими ошибки, или корректирующими кода-
кодами. — Перев)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 103
стого числа. Кроме Гг особый интерес представляют поля из
трех или четырех элементов: f3 — {0, 1, —1), [F4 == {0, 1, со, ш2},
где со2 = ю = ш + 1, (й3 = 1. Эти коды используются в q-ичном
симметричном канале, где символы, используемые на входе и
выходе, занумерованы элементами из fq.
Как и в разд. 1.2, мы хотим выбирать кодовые слова так,
чтобы их можно было легко отличать друг от друга даже при
наличии ошибок. Чтобы сформулировать это точно, определим
расстояние Хэмминга между двумя векторами и = (щ, ..., ип),
v=(vi, ..., vn), Ut, vt e fq, как число координат, в которых
они различаются: d(u, v) = \{i: ut ф vt}\. Весом (Хэмминга)
wt(«) вектора и называется число ненулевых координат и,; та-
таким образом,
d(u, o) = wt(« — v). C6)
Минимальное расстояние d кода определяется как
min{d(и, v): и, эеС, и ф о}. C7)
Если минимальное расстояние кода равно d, то «шары Хэм-
Хэмминга» радиуса
[41 C8)
с центрами в кодовых словах не пересекаются (так что р яв-
является радиусом упаковки этого кода, см. формулу B2) гл. 2)
и, следовательно, код может исправить р ошибок. Код длины п,
состоящий из М слов и имеющий минимальное расстояние d,
называется (п, М, d) -кодом.
Линейный код С — это линейное подпространство в F":
множество кодовых слов замкнуто относительно сложения век-
векторов и покоординатного умножения на элементы из fq. Раз-
Размерность k (иногда записываемая как dim С) равна размерно-
размерности этого подпространства, код С содержит qk слов. Скорость
кода — это
R = — log2 M = — log2 q бит/символ '). C9)
Линейный код длины п, размерности k и с минимальным рас-
расстоянием d называется [п, k, d] -кодом (иногда также [п, k] -
кодом). Минимальное расстояние линейного кода равно мини-
минимальному ненулевому весу его кодовых слов:
d = min{wt(«): кеС, иФ 0}. D0)
*) Часто скоростью (или скоростью передачи) q-пчного кода называется
другое число R = kin, понимаемое как безразмерная величина.— Прим. перев.
104 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
В хорошем коде п мало (чтобы уменьшить задержку), М ве-
велико (для того чтобы канал использовался эффективно) и d
велико (чтобы исправлять много ошибок). Естественно, эти
цели несовместимы. Проблема корректирующих кодов такова:
при заданных п и d найти А(п, d), равное максимальному числу
кодовых слов в (п, М, с?)-коде. Для линейных кодов имеется
аналогичная проблема. Эти проблемы, как правило, не решены.
Однако найдено много верхних и нижних границ для A(n,d),
и известно большое количество конструкций кодов. Таблица
значений А(п, d) при д ^ 24 приводится ниже (табл. 9.1 гл. 9).
Другие таблицы можно найти в работах [Bes 3], [Che 1],
[Gra 2], [Hel 7], [Mac 6], [Pet 3], [Pro 1], [Slo 13], [Ver 1],
(Zin 2], [Zin 4].
В гл. 5 и 7 мы увидим, что между кодами и упаковками
шаров, а также между линейными кодами и решетчатыми упа-
упаковками имеются сильные связи. Это и не удивительно, так как
проблема корректирующих кодов также является проблемой
упаковки, только не в R", а в F" или F™.
Равновесным кодом называется код, все слова которого
имеют один и тот же вес. Двоичные равновесные коды являются
дискретным аналогом сферических кодов, описанных в
разд. 2.3 гл. 1.
Поскольку коды подробно описаны в книге [Мае 6], а также
имеется много других доступных работ ([Ass4], [Вег4], [Вегб],
[Bla2], [Bla5], [Bla9], [LinO], [Lin И], [Pet3], [Vitl]), в
этой главе мы ограничимся лишь кратким обсуждением. В сле-
следующем разделе мы введем некоторые дополнительные обозна-
обозначения и приведем ряд примеров.
Проблема покрытия, обсуждавшаяся в гл. 2, также имеет
двоичный аналог: мы хотим найти наименьшее число перекры-
перекрывающихся шаров Хэмминга, покрывающих F". Эквивалентным
образом определим радиус покрытия кода С как
maxmind(x, с) (^еГ*,сеС). D1)
X С
Кодовый вариант проблемы покрытия таков: для заданной
длины и заданного радиуса покрытия найти наименьшее воз-
возможное число кодовых слов. Мы не обсуждаем в этой книге
такие покрывающие коды, отсылая читателя к [Coh 3], [Coh 4],
[Dow 4], [Gra 4], [Kill], [Kil 2], [Slo 15], [Slo 16]. Гораздо
меньше известно по поводу двоичного аналога проблемы кван-
квантизатора.
2.2. Дальнейшие определения из теории кодирования. Мно-
Многие из приводимых определений аналогичны соответствующим
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 105
определениям для упаковок шаров. Пусть В— мономиальная
матрица размера п X п, т. е. матрица, содержащая в точности
один ненулевой элемент из fq в каждой строке и в каждом
столбце. Множество таких матриц образует полную мономиаль-
ную группу над fq порядка (q—\)пп\. Матрица В переводит
код С над fq в эквивалентный код
С'=СЙ = {«Я: кеС}. D2)
Если С — тот же самый код С, то матрица В принадлежит
к группе автоморфизмов Aut (С) кода С (соответствующее по-
понятие для упаковок шаров определено в § 3). Тогда число ко-
кодов, эквивалентных коду С, равно
| Aut (С) | •
Линейный [п, k] -код С может быть задан порождающей
матрицей. Это матрица М размера k X п, такая, что С состоит
из всех линейных комбинаций (с коэффициентами из fq)
строк М. Всегда можно найти эквивалентный С код с порож-
порождающей матрицей вида
G = [Ik\A], D4)
где 1ц обозначает единичную матрицу размера k X k, a A — не-
некоторая &Х(« — k) -матрица.
Сопряжение в поле fq, где q = ра, р — простое число, опре-
определяется как х-*-х = хр для х е fq1)- Похожее понятие исполь-
используется для векторов: п = (пи ..., пп), матриц и т. д. Двойствен-
Двойственный, или дуальный, код2) определяется как
C' = {xsF;; х ¦ п = 0 для всех неС} D5)
(см. формулу B4) гл. 1 и формулу F5) гл. 2); dimC* =
= n — dim С. Код называется самодвойственным (или авто-
автодуальным), если С= С*; длина такого кода п четна, и dim С=
= п/2. Если порождающая матрица кода С задается формулой
D4), то С* имеет порождающую матрицу
l~AT\In-k} D6)
и код С самодвойствен тогда и только тогда, когда
D7)
') Если q = р2е, то иногда удобно считать сопряжением отображение
х -> хр . — Прим. перев.
2) Иногда двойственный код определяется как {х е F": х-и = 0 для
всех и е С}. — Прим. перев.
106 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
Среди самодвойственных кодов имеются четыре особенно
интересных семейства, состоящие из кодов, все веса слов кото-
которых кратны некоторой константе с > 1. Веса слов двоичного
самодвойственного кода всегда четны. Некоторые двоичные са-
самодвойственные коды обладают тем свойством, что веса всех
кодовых слов делятся на 4; такие коды называются кодами
типа II (или второго типа, или дважды четными), а все осталь-
остальные двоичные самодвойственные коды — кодами типа I (или
первого типа). Веса всех слов троичных самодвойственных ко-
кодов делятся на 3; такие коды называют кодами типа III (треть-
(третьего типа). Наконец, все веса самодвойственных кодов над F4
четны; это — коды типа IV (четвертого типа). Глисон и Пирс
показали, что эти коды исчерпывают список возможностей: два
доказательства этой теоремы даны в книге [Slo 10, § 6.1].
Коды типов I, II, III и IV существуют тогда и только тогда,
когда длина п делится соответственно на 2, 8, 4 и 2 (см. гл. 7).
Похожие результаты для решеток приведены в разд. 2.4 и 2.6
гл. 2. В гл. 7 мы расскажем, что известно о перечислении таких
кодов.
Пусть С есть (n,M,d)-кол, над Fq. Через Ai(c) обозначим
число кодовых слов, находящихся на расстоянии Хэмминга i от
слова с^С. Набор чисел {At(c)} называется весовым спектром
кода С по отношению к слову с. Естественно, Л0(с) = 1, Av(c)^
^0 и ^ At(c) = M. Числа Л,-(с) удовлетворяют также некото-
некоторым менее очевидным неравенствам, обнаруженным Дельсар-
том, которые играют ключевую роль в теории. Эти неравенства
обсуждаются в гл. 9.
Для линейных (и некоторых нелинейных) кодов числа At(c)
не зависят от с и обозначаются Ai. Весовым энумератором.
(Хэмминга) линейного кода С называется многочлен
Wc (x, y)= Z х- wt («yvt «о = D8)
г=0
D9)
Это однородный многочлен, степень которого равна длине
кода; ои очень напоминает тэта-ряд решетки (см. формулы C1)
и C2) гл. 2).
Тождества Мак-Вильяме [Мае 2], [Мае 6, гл. 5] выражают
весовой энумератор двойственного кода С*:
WC'(x,y) = -JlrWc(x + {q-\)y,x-y) E0)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 107
— сравните их с формулой D3) гл. 2. Имеется обобщение на
нелинейные коды (см. [Мае 6, § 5 гл. 5], [Мае 7]).
Весовой энумератор Хэмминга классифицирует кодовые
слова по числу ненулевых координат. Более подробную инфор-
информацию предоставляет полный весовой энумератор (или п. в. э.,
мы обозначаем его символом ewe), задающий число кодовых
слов с данным набором букв. Например, п. в. э. троичного
«ода С равен
cwec(*, у, 2)= ? sV-y'V-™, E1)
ие=С
где nt (и)— число вхождений ie f3 в слово и. Имеется вариант
тождеств Мак-Вильяме и для п. в. э.
Для кодов, как и для решеток (см. формулу D7) гл. 2),
имеются масс-формулы, задающие явные константы а0, такие,
что
где сумма берется по всем неэквивалентным кодам определен-
определенного типа (например, типа II и длины п), см. [Мае 6], [Slo 10].
Чуть более общий вариант дает явную формулу для выражения
E3)
Aut(C)| '
с
(n, M,d)-mji над Г, можно удлинить до (п-\- \,M,df)-код,а,
добавляя проверку на четность
сп = -1,с; E4)
1=0
к каждому кодовому слову СоС] ... сп-\. Если q = 2 и d нечетно,
то удлиненный код имеет rf' = d -f- 1.
2.3. Коды с повторением, код с нулевой суммой и другие
простые коды. Начнем с некоторых простых примеров кодов.
B.3.1) Нулевой [п, 0, п]-код длины п содержит только одно
кодовое слово 00 ... 0.
B.3.2) Полный (или универсальный) [п, п, 1]-код F" двойст-
двойствен коду B.3.1).
B.3.3) [п, 1,п]-код с повторением состоит из всех слов вида
¦аа ... а, а е Тя.
B.3.4) [п, п—1,2]-код с нулевой суммой состоит из всех
векторов, удовлетворяющих условию X с{ — 0; он двойствен
коду B.3.3). При q = 2 он еще называется кодом с проверкой
на четность, поскольку состоит из всех двоичных векторов,
108 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
содержащих четное число единиц; иногда этот код обозна-
обозначается <§п-
2.4. Циклические коды. Код называется циклическим, если
для каждого кодового слова с$с\ ... сп-\ слово сп~\сйс\ ... сп~2
также кодовое. Если не оговорено противное, то предполагается,
что циклический код линеен.
Пусть q = ра, где р— простое число, и пусть С — цикличе-
циклический [n,k,d]-код над F,. Удобно представлять слово с =
= CqCi . . . Сп-\ S С МНОГОЧЛеНОМ с(х) = Со + С\Х -|- • • . + Сп-\Хп~Х
в кольце Rn(x) многочленов с коэффициентами из ffq по мо-
модулю хп— 1. Тогда циклический сдвиг слова с представляется
многочленом хс(х) и линейный циклический код представляется
идеалом в кольце Rn{x) (см. [Мае 6, гл. 7]). Этот идеал по-
порожден одним многочленом g(x), который называется порож-
порождающим многочленом кода. Легко видеть, что g(x) делит
х"—1 над fq и что размерность С равна k = п — degg(x).
Примеры. Для полного кода g(x)= 1, для кода с нулевой
суммой g(x)=x— 1, а для кода с повторением g(x)= 1 +
+ х+ ... +х"--'.
B.4.1) [7, 4,3]-код Хэмминга 2в7 — это двоичный код дли-
длины 7 с порождающим многочленом g (х) = 1 -\- х + хг; его по-
порождающая матрица равна
1 10 10 0 0
0 110 10 0
о о 1 1 о 1 о '¦ E5)
0 0 0 110 1
где строки соответствуют g(x), xg(x) и т. д. Код <5#7 имеет ве-
весовой спектр Ай — 1, А3 = Ai = 7, A7=l, что мы сокращенно
записываем в виде
Группа автоморфизмов AutE^7)—это группа Клейна порядка
168. Двойственный код Ж*7 — это [7, 3,4]-код с весовым спек-
спектром 0'47; его кодовые слова являются вершинами правильного
симплекса.
B.4.2) Расширенный [8, 4, 4] -код Хэмминга Ж& получается
добавлением к 5^? проверки на четность. Если обозначить ко-
координаты в матрице E5) цифрами 0, 1, 2, ..., 6, а добавлен-
добавленную проверочную координату — символом оо, то код 36% содер-
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 109
жит 14 кодовых слов веса 4: слова веса 4 с 1 в координатах
оо 124, оо235, оо346, оо 450, oo561, оо 602, оо 013 E6)
и их дополнения. Другая его порождающая матрица — это
1°
0
Vi
0
0
1
1
Весовой спектр кода Ж
равен
и Aut(<?^8)—аффинная
0
1
0
1
0
1
1
1
8 равен
группа
1
0
0
1
1 1
0 1
1 0
1 1
:)¦
1 )
0'41481, его весовой
порядка 8 • 7•6•4 =
E7)
энумератор
: 1344. Этот
важный код имеет много общих свойств с решеткой Ев- На-
Например, Ж%—наименьший нетривиальный пример самодвой-
самодвойственного кода типа II.
Вернемся к общей теории. Пусть п взаимно просто с q,
и пусть а — примитивный корень п-и степени из единицы; тогда
ff ()
Если мультипликативный порядок числа q по модулю п равен т,
то ае Fq', где q' = qm. Кроме того,
Я(*)=П (*-«') E8)
для некоторого множества К^{0, 1, ..., п—1}, и поскольку
g(x) делит хп—1 над (F?, если te/C, то qi^K [Mac 6, гл. 7].
Корни а} для ie К называются нулями кода. Имеются хорошие
нижние границы для минимального расстояния циклического
кода в терминах его нулей, см. работу Ван Линта и Уилсона
[Lin 13].
B.4.3) Например, двоичный код Хэмминга Збп с парамет-
параметрами п — 2т—1, k~n — т, d=3 получается при /С={1, 2,
4, ..., 2т~'}, так что g(x)—минимальный многочлен элемента а.
B.4.4) Добавляя проверку на четность, мы получим рас-
расширенный код Хэмминга Ж$п с параметрами [2т, 2т — т —
-1,4].
2.5. БЧХ-коды и коды Рида — Соломона. Коды Боуза —
Чоудхури — Хоквингема, или ЪЧХ-коды, длины п с конструк-
конструктивным расстоянием d над полем fq — это циклические коды,
ПО Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
корнями порождающих многочленов которых являются в точ-
точности а, а2, а3, ..., ай~х и все с ними сопряженные ([Вег 4],
[Lin 11], [Mac 6, гл. 7—9], [Pet3]). Истинное минимальное рас-
расстояние между словами этих кодов не меньше конструктивного
расстояния и, вообще говоря, может превышать его.
БЧХ-коды длины п = qm—1 называются примитивными.
Например, примитивные двоичные длины п — 2т — 1 с конструк-
конструктивным расстоянием 3 — это коды Хэмминга.
БЧХ-коды над fq длины n = q—1 обычно называются ко-
кодами Рида — Соломона; они были открыты первыми и очень
важны как в практическом, так и в теоретическом аспектах,
см. [В1а2], [Мае 6, гл. 10], [Reel]. Минимальное расстояние
кода Рида — Соломона равно его конструктивному расстоянию.
Итак, код Рида — Соломона над IF? с параметрами [п — q—1,
k, d = п — k + 1] имеет порождающий многочлен вида
g(х) = (х — аь)(х — ab+l) ... (х — ab+d~2), E9)
где а — примитивный элемент в fq. Обычно полагают 6 = 0
или 1. Такие коды существуют для всех q и 1 ^ k ^ п.
Код Рида — Соломона можно расширить, добавляя одну,
две или три дополнительные координаты, см. [Мае 6, гл. 10, 11].
Для любых q и k существуют расширенные [q,k,q — k-\-\}-
и [q+l, k, q — &-|-2]-коды Рида — Соломона над Tq; кроме
того, существуют трижды расширенные [2т -\- 2,3,2т] - и
\2т + 2, 2т—1,4]-коды Рида — Соломона над fq при q = 2m.
Для любого линейного кода d^.n — k + 1 {граница Сингл-
гона [Мае 6, гл. 1]). Коды с d==n — k-\-l называются разде-
разделимыми кодами с максимальным расстоянием (или МДР-кода-
ми); таковы коды, приведенные в B.3.2) — B.3.4).
Мы приведем два особенно интересных примера МДР-кодов;
они также являются расширенными кодами Рида — Соломона,
кроме того, они самодвойственны.
B.5.1) Троичный [4, 2, 3] -тетракод ^ задается порождаю-
порождающей матрицей
(о I J !)• <бо>
его весовой энумератор равен
г|з4 = л:4 + 8лгг/3, F1)
а полный весовой энумератор равен
л^з^ + гK}. F2)
Группа автоморфизмов кода ^ есть 2.S4, где Sn — симметри-
симметрическая группа порядка п\.
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 111
B.5.2) [6,3,4]-гексакод Фв над р4 задается порождающей
матрицей
•001
О 1 О 1 со й I. F3)
Следующая матрица задает эквивалентный код:
1 0 0 1 а «\
О 1 0 со 1 со I. F4)
,0 0 1 со а 1 /
Используя определение F3), можно получить 64 кодовых
слова гексакода из пяти слов
01 01 сой
coco coco coco
00 11 11 F5)
11 coco сой
00 00 00
произвольным образом переставляя три пары, обращая порядок
в любом четном числе пар и умножая на любую степень эле-
элемента со. Эти пять слов имеют соответственно 36, 12, 9, 6, 1 об-
образов. Весовой энумератор Хэмминга кода ?f6 равен
х6 + 45х2у4+ Щ6 F6)
и Aut(??6) = 3-Аб, где Ап — знакопеременная группа порядка
п\/2. (Используя автоморфизм поля, переставляющий шиш,
получаем чуть большую группу 3.S6.) Этот код лежит в основе
MOG-конструкции решетки Лича, см. § 11 гл. 4 и гл. 11.
2.6. Коды Юстесена. Для больших п БЧХ-коды довольно пло-
плохи: при фиксированной скорости R отношение d/n стремится
к 0 при п-*-оо. Напротив, коды Юстесена — это задаваемое
явно семейство двоичных линейных кодов, для которых и R,
и d/n не стремятся к нулю с ростом п. Мы приведем набросок
их конструкции, подробности можно найти в [Jusl], [Mac 6,
гл. 10]. Начнем с кода Рида — Соломона С над \fq, q — 2m,
длины N = 2т—¦ 1, размерности К и с минимальным расстоя-
расстоянием D = N—К-\-\. Пусть а — примитивный элемент из fq.
Для произвольного кодового слова с = (сас\ ... Ov-i), с, е Fk,
112 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
из кода С положим
с' = (с0, с0, с,, ас, Слг_,, а"-1^..,); F7)
это вектор длины 2N над fg.
Поле F? (для g = 2т) является m-мерным линейным про-
пространством над рг, так что имеется взаимно однозначное соот-
соответствие между Tq и F™. Пусть с" получается из с' заменой
каждой компоненты на соответствующую двоичную т-щ. Тогда
с" — двоичный вектор длины n—2mN; множество всех векто-
векторов вида с", соответствующих с е С, образует код Юстесена.
Его двоичная размерность равна k = mK, а скорость равна
R = k/n= K/2N < 1/2.
Поскольку С — код Рида — Соломона, многие из чисел с,- от-
отличны от нуля. Так как каждое с, умножается на свою степень
а, двоичные 2т-км, соответствующие ненулевым парам (с,, а'с,),
различны. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что значи-
значительная часть компонент вектора с" отлична от нуля; можно по-
показать (см. приведенные выше ссылки), что минимальное рас-
расстояние d кода Юстесена удовлетворяет неравенству
4^0.110A-2/?) F8)
при 0 <С R < 1/2. Коды Юстесена с большей скоростью могут
быть получены удалением подходящего числа координат из с".
Конструкция Юстесена обобщена Уэлдоном [Well], а так-
также Сугиямой с соаторами [Sug 1] — [Sug3], что позволяет по-
получать коды с большими скоростями и минимальными рас-
расстояниями.
2.7. Коды Рида — Маллера. Двоичным весом W(i) неотри-
неотрицательного целого числа i назовем число единиц в его двоич-
двоичном разложении. Для 1 ^Z r ^ т — 2 двоичный выколотый код
Рида — Маллера порядка г длины п = 2т — 1 — это цикличе-
циклический код, нулями порождающего многочлена которого являются
такие а1, что 1 < i^2m —2 и 1 < W(i)^ m — r—l.
Код Рида — Маллера (РМ-код) порядка г длины 2т полу-
получается добавлением проверки на четность к выколотому коду
Рида — Маллера порядка г при 1 ^ г ^ т — 2. РМ-код по-
порядка г имеет параметры
[-*¦• *-§(?)¦ '-*"-']•
F9)
РМ-коды порядков 0, т — 1 и т суть соответственно код с по-
повторением, код с проверкой на четность и полный код. РМ-коды
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 113
порядка т — 2 — это расширенные коды Кэмминга. РМ-коды по-
порядков г и т — г—1 двойственны друг другу (для любого г).
В частности, Ж% — это код Рида — Маллера первого порядка.
Коды Рида — Маллера можно также определить в терминах
булевых функций, см., например, [Мае 6, гл. 13]. О весовых
спектрах РМ-кодов известно довольно много; например, число
кодовых слов минимального веса d = 2m~r равно
т — т—\
Пппг-t _ .
а'-,-,.1,. G0)
(=0
см. [Мае 6, гл. 13—15].
Из определений видно, что БЧХ-коды и РМ-коды образуют
вложенные семейства. Точнее говоря, БЧХ-код с конструктив-
конструктивным расстоянием d содержится в БЧХ-коде с конструктивным
расстоянием d—1, а РМ-код порядка г содержится в РМ-коде
порядка г -f-1, РМ-код порядка г является подкодом кода, по-
полученного добавлением проверки на четность к БЧХ-коду с кон-
конструктивным расстоянием 2m~r— 1.
2.8. Квадратично-вычетные коды. Пусть р и п — простые
числа, причем р является квадратом по модулю п. В наиболее
важном случае р = 2 это означает, что п — простое число вида
8т ± 1. Квадратично-вычетный код длины п над fp — это цик-
циклический код, корни порождающего многочлена которого суть
{а>: i—ненулевой квадрат по модулю п) (см. [Lin 11], [Mac6,
гл. 16], а также [Leo 5], [Leo 6]). Иными словами, корни рав-
равны а', где i — квадратичный вычет по модулю п. Размерность
этого кода равна (п-\-\)/2. Расширенный квадратично-вычет-
квадратично-вычетный код получается добавлением проверки на четность. Если
п имеет вид Аа — 1, то расширенный код самодвойствен. В част-
частности, расширенные двоичные квадратично-вычетные коды дли-
длины Ъпг являются самодвойственными кодами типа II.
Например, при q — 2, п = 7 мы снова получаем коды Хэм-
минга Ж^ и Зё&.
B.8.1) Двоичный [23, 12, 7]-код Голея ^23 — это квадратич-
но-вычетный код длины 23.
B.8.2) Расширенный [24, 12,8] -код Голея ^24 получается
добавлением к ^з проверки на четность. Одна из многих воз-
возможных порождающих матриц изображена на рис. 3.4. Код *&2\
имеет весовой спектр
О1 8759 122576 16759 241 G1)
114
Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
и (что эквивалентно) весовой энумератор
х24 + 759* V + 2576*'y2 + 759х8у16 + У
,24
G2)
Группа автоморфизмов ^24 — это группа Матье Мы (см. гл. 10).
Как мы увидим ниже, код ^24 имеет много общих свойств
с решеткой Лича.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
О
1
\
О
1
1
i
О
О
О
i
О
1
1
О
1
1
О
1
1
1
О
О
О
1
1
2
1
О
1
О
1
1
О
О
О
3
О
1
О
1
О
1
1
1
О
О
i
4
О
О
1
О
1
1
О
1
1
1
О
i
5
О
О
О
i
О
1
1
О
1
1
6
1
О
О
О
i
О
1
О
1
1
7
1
1
О
О
О
1
О
1
1
О
1
1
8
1
1
О
О
О
1
О
1
1
О
i
9
0
1
1
О
О
О
1
О
1
1
1
10
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
i
о"
Рис. 3.4. Порождающая матрица двоичного кода Голея S?24- В пустых местах
должны стоять нули. Конфигурация нулей и единиц в правой половине опре-
определяется квадратичными вычетами по модулю 11.
B.8.3) При <7 = 2, п = 47 мы получаем [47,24,11]- и
[48,24, 12]-коды.
B.8.4) Троичный [11, 6, 5]-код Голея 9и — это квадратично-
вычетный код длины 11 над Рз-
B.8.5) Расширенный троичный [12, 6, 6] -код Голея <&\2 полу-
получается добавлением проверки на четность к фц. Вот одна из
многих возможных порождающих матриц этого кода:
G3)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
—1
—1
1
—1
—1
1
0
1
J
J
1
1
1
0
1
J
1
1
—1
1
0
1
-1
1
—1
-1
1
0
1
1
1
-1
-1
1
0
Его весовой энумератор равен
х12 + 264х6г/6 + 440гУ + 24г/12,
G4)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки
115
а полный весовой энумератор (в предположении наличия слова,
состоящего из всех единиц) —
f 12 = х12 + у12 + г12 + 22 (*Y + tfz6 + z6x6) +
+ 220 (x^z3 + л;3г/623 + x3y3z6). G5)
Группа автоморфизмов #i2 равна 2.Afi2. Коды Голея более
подробно изучены в гл. 10 и 11. (См. также [Gol I], [Gol2],
[Mac 6, гл. 20].)
B.8.6) При <7 = 3, п = 23 и 47 получаем [24,12,9]- и
[48,24, 15]-коды. Полный весовой энумератор последнего равен
Е Aljkxlytzk,
&
где Aljk при i^zj^zk приведены в табл. 3.2. По поводу
[24, 12, 9]-кода см. [Mai 2]. Заметим для дальнейших нужд, что
кодовые слова максимального веса в этих троичных [12,6,6]-,
[24,12,9]- и [48,24, 15]-кодах — это в точности строки мат-
матрицы Адамара, возможно умноженные на —1 (см. разд. 2.13).
Таблица 3.2. Полный весовой энумератор для
троичного квадратично-вычетного [48, 24, 15]-кода
и [48, 24, 15]-кода Плесе
1
17296
190256
190256
4280760
11225104
951280
38621968
209281600
94
2092816
138220984
1343397616
2777932180
210423136
3333094864
1236207385.6
20145351688
36133419520
i
48
33
33
30
30
30
27
27
27
24
24
24
24
24
21
21
21
18
18
j
0
12
9
15
12
9
18
15
12
24
21
18
15
12
21
18
15
18
15
k
0
3
6
3
6
9
3
6
9
0
3
6
9
12
6
9
12
12
15
Число
членов
3
6
6
6
6
3
6
6
6
3
6
6
6
3
3
6
6
3
3
116 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
2.9. Совершенные коды. Совершенный код определяется
условием равенства радиуса покрытия и радиуса упаковки. Ра-
Радиус упаковки (n,M,d)-кода С над Fg равен p = [(d—1)/2],
и код С совершенен тогда и только тогда, когда шары Хэм-
минга радиуса р с центрами в кодовых словах образуют одно-
одновременно и упаковку, и покрытие для р?. (Здесь нет никакой
связи с понятием совершенной квадратичной формы [Cas3].)
Совершенные коды были практически полностью раскласси-
расклассифицированы Тиэтявяйненом и Ван Линтом (см. [Lin 11], [Mac 6,
гл. 6]). Список таков:
(i) Некоторые тривиальные коды (код из одного слова, пол-
полный код и двоичный код с повторением нечетной длины).
(И) Коды Хэмминга, т. е. линейные коды с р = 1 над любым
полем Fq с параметрами n = (qm—1)/(<7—1). k = n — т,
й = Ъ при т ^ 2.
(ш) Нелинейные коды с теми же параметрами, что и коды
Хэмминга (эти коды не были полностью перечислены).
(iv) Двоичный [23, 12,7]-код Голея ?2з и троичный
[11, 6, 5] -код Голея
2.10. Дважды циркулянтные коды Плесе. Плесе (см. [Pie 9],
[Pie 11], [Bla7], [Bla8], [Itol], [Mac 6, гл. 16], [Mai 2]) по-
построила троичный [2р + 2, р + 1]-код S2p+2 при простых р з=
=з—I(mod6). Пусть B = (bij)—матрица размера (р+1)Х
Х(р + 1), строки и столбцы которой занумерованы символами
оо, 0, 1, ..., р — 1, где
боссе = 0, ЬЫ=\, Ь„ = 0,
btoo=l, если p^=l(mod4), bloo ——1, если р==—I(mod4),
Ьц=1, если / — i является квадратом modp (i ф j),
Ьц = —1, если / — i не является квадратом mod p {i ф /').
Рассмотрим код 52р+2 с порождающей матрицей [/ В]. Напри-
Например, при р = 5 порождающая матрица есть G3) и Su совпадает
с кодом Голея ^Pi2. Следующие пять примеров — это [24, 12,9]-,
[36,18,12]-, [48,24,15]-, [60,30,18]- и [84,42, ^21]-коды.
Полный весовой энумератор кода S^ приведен в табл. 3.2, а для
S24, 53s и 5бо — в [Mai 2]. Коды S24 и S48 имеют те же п. в. э.,
что и соответствующие квадратично-вычетные коды, но другие
группы автоморфизмов.
Ниже нам понадобятся следующие свойства этих кодов,
(i) Код S2p+2 самодвойствен (типа III) и содержит вектор, со-
состоящий из всех единиц, (ii) Числа минус единиц, нулей и
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 11Г
плюс единиц в каждом кодовом слове кратны 3. (Ш) Среди
кодовых слов максимального веса содержатся все строки мат-
матрицы Адамара и эти строки, умноженные на —1 (см. разд. 2.13),
причем 5i2, S24 и ^48 не содержат никаких других кодовых слов
максимального веса, (iv) Кодовые слова кодов 5i2, S24 и ^48.
состоящие только из нулей и плюс единиц, имеют тип 0", 1" или
/2/2
2.11. Коды Гоппы и коды из алгебраических кривых. В по-
последние годы было показано, что очень хорошие коды могут
быть получены из алгебраических кривых, однако в этой книге
мы их не используем. См., например, [Gop 1] — [Gop5], [Hir2],
[Ihal], [Kat2], [Lacl], [Len2], [Lit 4], [Man 1], [Мог 7],
[Ser3], [Tsfl], [Tsf2], [Via 1] —[Via 3], [Zin3]').
2.12. Нелинейные коды. Известно много нелинейных кодов,
содержащих больше кодовых слов, чем наилучшие линейные
коды той же длины и с тем же минимальным расстоянием. Вот
некоторые примеры:
(i) Коды, получаемые из матриц Адамара (см. разд. 2.13)
и из конференц-матриц (см. [Мае 6, с. 63, 64], [Slo 18]).
(И) Нелинейные коды, исправляющие одну ошибку, напри-
например (9, 20,4)-код Голея, A0, 40,4)-код Беста, A2, 144,4)-код
Джулина. Об этих и других кодах, исправляющих одну ошибку,
см. гл. 5, [Besl], [Gol2], [Jull], [Kat 1], [Lit 1], [Mac 6, гл. 2],
[Rom 1], [Slo20].
(iii) A6, 256, 6)-код Нордстрома — Робинсона (см. [Mac 6,
с. 81, 82], [Nor 1], [Sem 1]) и коды Кердока и Препараты и их
обобщения (см. [Кап 4], [Kerl], [Mac 6, гл. 15], [Prel]).
2.13. Матрица Адамара. Матрица Адамара Н порядка п —
это матрица размера п~Х.п, состоящая из +1 и —1, с условием
ННТ = nl. G6)
Умножение любой строки или столбца на —1 переводит Н
в другую матрицу Адамара. Этим способом мы можем добиться,
чтобы первая строка и первый столбец в Н состояли из +1.
Такая матрица Адамара называется нормализованной. Если
существует матрица Адамара порядка п, то либо п равно 1 или
2, либо п кратно 4. Обратно, все верят, что для любого порядка
п, кратного 4, существуют матрицы Адамара, хотя это и не
доказано. Известно множество конструкций матриц Адамара;
') В этом году выходит также монография [Tsf 3*], целиком посвящен-
посвященная алгебро-геометрическим кодам. — Прим. перев.
118 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
наименьший порядок, для которого матрица Адамара пока (на
1987 г.) не сконструирована, равен 428. Связи с теорией коди-
кодирования описаны в книге [Мае 6, § 3 гл. 2]. Для целей теории
кодирования матрицу Н зачастую превращают в двоичную, за-
заменяя -f-1 на 0. а —1 на 1. Дальнейшая информация содер-
содержится в работах [Hal I] —[Hal 3], [Наг 8], [Hedl], [Ito2],
[Leol], [Levl], [Lin 10], [Lon 1], [Lon2], [Mac 6], [Sawl],
[Ton I], [Tur 1], [Wai 2].
§ 3. f-схемы, системы Штейнера
и сферические f-схемы
3.1. f-схемы и системы Штейнера. ^-схемы — это равновесные
коды, удовлетворяющие некоторым условиям, похожим на ус-
условия, справедливые для совершенных кодов (но несколько бо-
более слабым). Пусть X есть о-множество (т. е. множество из
и элементов; его элементы мы называем точками; t-схема —
это набор различных й-подмножеств множества X (называе-
(называемых блоками), такой, что любое ^-подмножество из X содер-
содержится в точности в К блоках. Такой набор называют также
t- (v, k, К) -схемой. Если А,= 1, то ^-схема называется системой
Штейнера S{t,k,u). Истоки этой области лежат в применении
таких схем в сельскохозяйственных экспериментах, но сейчас
они используются во всех областях науки [Dia 3].
Если Х= {1, 2, ..., и}, то каждый блок В^Х может быть
представлен своим характеристическим вектором (cit ..., cv),
где Ci = 1, если feB, и С; = 0, если 1фВ. Таким образом,
^-схема превращается в двоичный код длины и, каждое слово
которого имеет вес k. Обычно не имеет смысла различать блок
и его характеристический вектор.
Параметры ^-схемы должны удовлетворять определенным
арифметическим условиям. Пусть Pi, ..., Pt^.X—различные
точки. При l^Ci^C^ число блоков, содержащих Р\, ..., Pi,
равно
-J/i*-J G7)
а общее число блоков равно
Ж) <78>
Каждая точка принадлежит г = Х\ блокам, где
bk = vr, G9)
l(v — l) = r(k—l) при ^>2. (80)
§ 3. t-схемы, системы Штейнера и сферические t-схемы 119
При данных t, k и и мы хотим найти схему с наименьшим X,
т. е. с наименьшим числом блоков. Конечно, необходимым усло-
условием существования схемы является целочисленность правых
частей формул G7) и G8). В некоторых случаях эти условия
также и достаточны (например, для систем Штейнера 5B, 3, v) y
5B, 4, v), 5 B, 5, v) и 5 C, 4, v)), но это не всегда так. В общем
случае точные условия существования t-схем неизвестны. Даль-
Дальнейшая информация о ^-схемах содержится в [Ass 2] —[Ass 4],
[Cam 2], [На13], [Hani], [Han 2], [Hug 2], [Hug3], [Jacl],
[Lan5], [Lin3], [Mac 6, гл.2], [Ragl], [Ton 4], [Wil 18],
[Wil 19].
Многие ^-схемы могут быть построены так: в качестве бло-
блоков возьмем кодовые слова определенного веса (как правило,
минимального) в хорошем двоичном коде, исправляющем
ошибки (см. в особенности теорему Ассмуса — Мэттсона, т. е.
теорему 22 гл. 7). Обратно, хорошие коды можно иногда по-
построить как линейные пространства, натянутые на блоки неко-
некоторых t-схем. Можно также получать ^-схемы из недвоичных
кодов, беря в качестве блоков характеристические функции не-
ненулевых компонент кодовых слов определенного веса Хэмминга;
т. е. блоки — это различные носители кодовых слов заданного
веса. В недвоичном случае гораздо труднее восстановить код
по схеме.
Примеры, (i) Семь кодовых слов веса 3 в коде Хэмминга
3>ё7 образуют систему Штейнера 5B,3,7), а 14 кодовых слов
веса 4 в Жъ— систему 5 C, 4, 8).
(и) В большей общности, кодовые слова веса 3 в коде Хэм-
Хэмминга Жп, n = 2m—1, образуют 5B, 3, 2т—1), а кодовые
слова веса 4 в расширенном коде Хэмминга длины 2т образуют
5C, 4, 2т).
(iii) Носители кодовых слов веса 5 в троичном коде Голея
Фи образуют 5D,5, 11), а носители слов веса 6 в ^?i2 образуют
5E,6,12); 132 блока этой схемы называются гексадами
(см. гл. 11).
(iv) Кодовые слова веса 7 в двоичном коде Голея ^з обра-
образуют 5D,7,23), а слова веса 8 в 9*24 образуют 5E,8,24). Эти
759 блоков (и соответствующие им кодовые слова) называются
октадами (см. гл. 11).
Много других примеров содержится в цитированных выше
работах. Вплоть до недавнего времени значение t = 5 было наи-
наибольшим, при котором были известны ^-схемы (см. [Ass3],
[Denl], [Mil 4], [Wit 2], [Wit3]), но в 1983 г. Магливерас
и Леавитт построили 6-схемы [Magi], [Mag 2], а Теирлинк
[Tel 1] недавно доказал, что ^-схемы существуют для любого t.
120 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
3.2. Сферические tf-схемы. Так же как ^-схемы образуют под-
подкласс класса равновесных кодов, сферические t-схемы образуют
подкласс класса сферических кодов (см. разд. 2.3 гл. 1). Пер-
Первоначальный толчок к изучению этих объектов дала задача
вычисления многомерных интегралов. Интеграл по сфере Й„ от
многочлена можно приблизить его средним значением в точках
кода; если код является сферической ^-схемой, то для много-
многочленов степени ^С? это приближение является точным. Фор-
Формально говоря, сферическая t-схема Х — это конечное подмно-
подмножество в Й„, такое, что равенство
» ?(*) (81)
выполнено для всех многочленов / степени ^^, где ю(|)—мера
Лебега на сфере, нормированная так, чтобы мера сферы Й«
равнялась 1. (Потребовалось бы слишком большое отступление,
чтобы объяснить, почему такие коды называются ^-схемами;
см. [Del 11], [Del 16].)
Много примеров сферических tf-схем можно найти, беря
векторы определенной длины (как правило, векторы минималь-
минимальной нормы) в хорошей решетчатой упаковке. Например, 240 ми-
минимальных векторов решетки Е8 (нормированных так, чтобы
они лежали на Q&) образуют сферическую 7-схему, а 196560 ми-
минимальных векторов решетки Лича образуют сферическую
11-схему. Подходящее значение t для таких схем можно найти,
используя теорему Соболева (см. разд. 4.2) или Венкова (см.
§7 гл. 7).
При заданных п и t мы хотим найти сферическую ^-схему
с наименьшим числом точек. Дельсарт, Гёталс и Зейдель
[Del 16] показали, что это число удовлетворяет неравенствам
+ s~ 1\ {n + s — 2\
п-1 ) + { я-1 J ДЛЯ ' = 2S> (82)
n + s— 1\
п__х J для / = 2s + l. (83)
Если в (82) или (83) имеет место равенство, мы говорим, что
сферическая ^-схема точна. Существует лишь очень немного
точных ?-схем, в частности Баннаи и Дамерелл [Ban 7], [Ban8j
показали, что при п^З не может быть точных Bs)-схем при
2s ^ 6 и точных Bs -f 1)-схем при 2s -j- I ^ 9, за исключением
только что упомянутой 11-схемы, получаемой из решетки Лича.
«(Известно, что последняя единственна, см. гл. 14.) Обобщения
§ 4. Связи с теорией групп 121
этих результатов на другие пространства содержатся в гл. 9
и работах [Ban9], [Ban 10], [Hog 1] — [Hog3], [Neu2].
С другой стороны, Сеймор и Заславский [Sey 1] показали,
что (неточные) сферические ^-схемы в Qn существуют при лю-
любых значениях nut. Дальнейшая информация о сферических
^-схемах содержится в работах [Ban 1] — [Ban 13] [Del 11],
[Del 15], [Del 16], [Dun 5], [Goe5], [Goe6], [Hon 1], [Sob 2],
[Sob3].
§ 4. Связи с теорией групп
4.1. Группа автоморфизмов решетки. Прежде всего, с ре-
решетками связаны группы их симметрии. Группа автоморфизмов
(или группа симметрии) Aut(A) решетки Л — это множество
сохраняющих расстояние преобразований (изометрий) про-
пространства, оставляющих на месте начало координат и переводя-
переводящих решетку Л в себя. Для решетки в евклидовом пространстве
группа Aut(A) конечна и преобразования из Aut(A) пред-
представляются ортогональными матрицами. Пусть М — порождаю-
порождающая матрица решетки А. Ортогональная матрица В тогда и
только тогда лежит в Aut(A), когда существует целочисленная
матрица U с детерминантом ±1, такая, что
UM = MB (84>
(см. формулу B2) гл. 1). Из этого следует равенство U —
= МВМТА~\ где А — матрица Грама. С другой стороны, мно-
множество целочисленных матриц U, для которых имеется ортого-
ортогональная матрица В, удовлетворяющая равенству (84), образует
целочисленное представление группы Aut(A).
Например, группа автоморфизмов гексагональной решетки,
изображенной на рис. 1.3а, — это диэдральная группа порядка
12, порожденная вращением на 60° и отражением относительно
прямой, соединяющей центры двух шаров. Группа автоморфиз-
автоморфизмов простейшей трехмерной кубической решетки состоит из всех
перестановок и перемен знаков трех координат, ее порядок ра-
равен 23-3! = 48. Решетка, двойственная к данной, имеет ту же
группу автоморфизмов, что и сама решетка.
#В некоторых случаях мы рассматриваем бесконечную группу
всех изометрий (аффинных автоморфизмов) объемлющего про-
пространства, переводящих решетку в себя. Эта группа получается
присоединением к группе Aut(A) всех сдвигов на векторы
решетки.
Группы автоморфизмов решеток из таблицы 1.1 в размер-
размерностях до 8 представляют особый интерес: они содержат под-
гоуппы небольшого индекса, порожденные отражениями (группы
122 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
Кокстера), см. § 2 гл. 4. В более высоких размерностях
появляются другие замечательные группы. Например, группа
автоморфизмов 24-мерной решетки Лича — это группа Со0 (или
•0) порядка 8315553613086720000, которая будет довольно де-
детально изучена в гл. 10 и 11. Соответствующая бесконечная
группа (получаемая присоединением сдвигов на векторы ре-
решетки) обозначается Со^ (или -оо). Группа Со0 интересна по
многим причинам помимо ее величины — группа автоморфизмов
24-мерной решетки ?>24 гораздо больше, ее порядок равен
224 • 24! = 10409396852733332453861621760000.
Группа Со0 интересна с точки зрения классификации конечных
групп. Любую конечную группу можно построить из некоторых
специальных групп, называемых простыми, а классификация
простых конечных групп — это работа, завершенная в 1982 г.
и потребовавшая усилий очень большого числа математиков на
протяжении пятидесяти лет (см., например, [Gor 2] — [Gor5]).
Когда в 1968 г. была открыта группа Со0, она породила еще
три новые группы (Соь Со2 и Со3; см. [Con 2], [Con 3] и гл. 10).
Более того, самая большая из «спорадических» простых групп1)
(и одна из найденных последними), так называемый Друже-
Дружественный гигант или Монстр Грисса — Фишера, имеющая по-
порядок
808017424794512875886459904961710757005754368000000000,
была построена Гриссом в 1981 г. с использованием решетки
Лича (см. [Gri 4], [Gri5]). Упрощенная конструкция содер-
содержится в гл. 29.
Группа автоморфизмов решетки в гиперболическом про-
пространстве обычно бесконечна, это широко известно, например,
для решетки II2s,i (см. гл. 26—28). Удивительно, но и на эти
группы пролило свет изучение решетки Лича.
Группы получаются также из корректирующих кодов (§ 2)
и ^-схем (§ 3). Группа автоморфизмов кода была определена
в разд. 2.2; аналогичным образом группа автоморфизмов ^-схе-
мы — это множество всех перестановок точек, переводящих мно-
множество блоков в себя.
Мы следуем ATLAS-соглашениям (см. [Con 16, р. хх]) и
употребляем символ А X В для прямого произведения, символ
А.В или АВ — для группы, нормальная подгруппа которой изо-
изоморфна А, а соответствующая факторгруппа изоморфна В, сим-
') Простые конечные группы образуют несколько естественных бесконеч-
бесконечных серий. Имеется однако 26 групп, не входящих ни в одну из этих серий.
Такие группы назыпаются спорадическими. — Прим. перев.
§ 4. Связи с теорией групп 123
вол А: В — для случая, когда А.В— расщепимое расширение
или полупрямое произведение, и символ А-В — для случая,,
когда расширение А.В не расщепимо.
В качестве общих ссылок по поводу групп упомянем работы
[Cohl], [Coh2], [Con 16], [Сох 20], [Сох 21], [Сох 28],
lGor2] —[Gor4], [Hupl], [She 2].
4.2. Построение решеток и кодов по группам. Мы можем так-
также встать на противоположную точку зрения, начиная с конеч-
конечной группы G и пытаясь построить различные объекты, для ко-
которых группа G является группой автоморфизмов. Из наиболее-
важных конструкций мы разберем три:
(i) Построение решеток из целочисленных представлений.
Если задано представление группы G целочисленными матри-
матрицами U, то следующим образом можно построить решетку, ин-
инвариантную относительно G. Пусть группа действует на квадра-
квадратичной форме /(?)= |Л|Г, переводя А в UAUT, a /(?)—в f(W)
(т. е. действует на порождающей матрице решетки умножением
на U слева, как в формуле B2) гл. 1 и формуле (84)). Тогда,
если /(?) — произвольная положительно определенная квадра-
квадратичная форма, то квадратичная форма
инвариантна относительно G и соответствующая решетка также
инвариантна. Например, группа порядка 3, порожденная мат-
матрицей (° j )> переставляет три квадратичные формы
?2 _|_ 62 62 _|_ о? ? 4- 962 9s2 -4- 9s ? I 62
и, следовательно, оставляет неподвижной их сумму 4 (Щ -+-1^2+
+ ^1), которая является квадратичной формой гексагональной
решетки (см. формулу B5) гл. 2). В этом примере полу-
получающаяся решетка на самом деле инвариантна относительно
большей группы, чем та, с которой мы начали (полная группа,
как мы видели в предыдущем разделе, имеет порядок 12).
Изучение целочисленных представлений заданной группы G в-
значительной степени сводится к изучению решеток, инвариант-
инвариантных относительно этой группы. (См. [Вго 10] — [Вго 13], [Bui l]v
[Con 42], [Cral], [Cra2], [Dadl], [Feil], [Gudl], [Gusl],
[Heml], [Pie 1] — [Pie 5], [Rei 2] —[Rei 4], [Rog 10], [Shul],
[Shu 2], [Tho3].)
(ii) Построение кодов из представлений перестановками. Ана-
Аналогично, если задано представление элементов группы пере-
перестановками, мы можем работать по модулю 2 и получить
124 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы
представление группы G в векторном пространстве V над полем
из двух элементов. Инвариантные подпространства (т. е. подпро-
подпространства в V, переводимые в себя каждым элементом группы)
совпадают с двоичными кодами С, для которых G является
подгруппой в Aut(C). Аналогичными методами можно получить
коды над произвольным полем. Эта техника использовалась
в [ВгоО] —[Bro2], [Cal9], [Knal], [Par 1]. Важную инфор-
информацию об этих кодах дает теория модулярных представлений
групп. Калдербанк и Вэйлз [Cal 9] использовали эту идею для
построения двоичного кода длины 176 и размерности 22, груп-
группой автоморфизмов которого является группа Хигмана — Симса.
Брук [ВгоО]—[Вго2] нашел все двоичные коды, получаемые
таким образом из примитивных представлений перестановками
многих интересных групп. См. также [Knal], [Phe 1].
(iii) Построение сферических кодов и t-схем из ортогональ-
ортогональных представлений. Пусть задано представление элементов
группы G ортогональными матрицами В размера п X гг. Тогда
мы можем построить сферический код XczQn, выбирая началь-
начальную точку хо е Q,t и полагая
Х = {х0В: Bs=G), (85)
т. е. X— орбита точки Xq. Эти коды иногда называются груп-
групповыми кодами, они изучались в [Bill], [ВИЗ], [В1а4],
[В1аб], [Bla9], [Dow I] — [Dow 3], [Inglj, [КагЗ], [Sle3],
[Sle4].
Имеется красивая связь между этими кодами и теорией ин-
инвариантов, открытая Соболевым. Пусть G — конечная группа,
состоящая из вещественных или комплексных («Х«)-матриц
В. Элементы из G действуют на многочленах f(x)=f(xu ...
..., хп) так: В °f(x) = f(BxT). Многочлены, для которых f(x) —
= f(BxT) для всех B^G, называются инвариантными; множе-
множество всех инвариантных многочленов является кольцом Ra.
Пусть теперь G — некоторая группа, состоящая из веще-
вещественных ортогональных матриц. Естественно, что квадрат дли-
длины ф (х) = х\ + ... + х2п инвариантен относительно G. Соболев
показал, что если степень первого инварианта, не являющегося
многочленом от ср(л:), равна ?+1, то любая орбита группы G
является сферической ^-схемой (см. [Sob 2] и другие работы
по сферическим /-схемам, цитированные в конце разд. 3.2).
Примеры. Группа автоморфизмов решетки Es — группа Вей-
ля типа Е8 — это группа, порожденная отражениями (см. § 2
гл. 4). Кольцо инвариантов R0 обладает базисом из однородных
многочленов степеней
2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, (86)
§ 4. Связи с теорией групп 125
причем инвариант степени 2— это ф (х) = х\ -\- ... -\- х\ (см.
[Сох 28, табл. 10]). Из теоремы Соболева следует, что каждая
орбита этой группы является сферической 7-схемой. В частности,
множество из 240 минимальных векторов решетки Ь& является
сферической 7-схемой, как мы уже отмечали в разд. 3.2.
Кольцо инвариантов группы автоморфизмов решетки Лича
изучалось в работе [Huf 5], где показано, что первый инва-
инвариант, не являющийся многочленом от ф, имеет степень 12. По-
Поэтому каждая орбита этой группы (например, множество из
196560 минимальных векторов) является 11-схемой. Эти при-
примеры изучаются далее в гл. 13 и 14. Теорема Венкова (см. § 7
гл. 7) обобщает эти примеры. Другие применения теории инва-
инвариантов мы встретим в гл. 7.
Глава 4
Некоторые важные решетки
и их свойства
Дж. Конвей, Н. Слоэн
В этой главе описываются свойства ряда важных решеток,
в том числе кубической решетки /", решеток корней А„, Dn,
Еб, Е7, Е8, решетки Кокстера — Тодда Км, решетки Барнса —
Уолла Л|6, решетки Лича Л24 и двойственных к ним. Среди
прочего мы указываем их минимальные векторы, плотности, ра-
радиусы покрытия, векторы склейки, группы автоморфизмов, вы-
выражения для тэта-рядов, таблицы числа точек в первых пя-
пятидесяти оболочках. Мы включили сюда также краткое обсуж-
обсуждение групп отражений и техники склейки решеток.
§ 1. Введение
В этой главе мы вводим ряд важных решеток, которые бу-
будут далее использоваться во всей книге. Это Zn (п^1), Ап
(n^l), Dn (га^З), Е6, Е7, Е8, К\2, А\6, Л24 и двойственные
к ним решетки. Мы приводим список основных свойств этих
решеток. Доказательства большинства результатов будут даны
в последующих главах. Некоторые причины, придающие такую
важность этим решеткам, можно почерпнуть из табл. 1.1 гл. 1:
среди них встречается много наилучших упаковок, покрытий и
квантизаторов, а также решеток с наибольшим контактным
числом в размерностях до 24. Кроме того, они являются хоро-
хорошими кандидатами на решение других проблем в этих размер-
размерностях, которые могут возникнуть у читателя.
Сначала (в § 5—8) разбираются «решетки корней» ^", Ап,
Dn, En. Терминология связана с тем, что эти решетки порож-
порождаются системами корней определенных алгебр Ли, хотя об этой
связи мы говорить почти не будем (см. [Bou I], [Hum 1]). Эти
решетки также тесно связаны с группами, порожденными отра-
отражениями; мы обсуждаем это в § 2. Другая причина, по которой
многие исследования начинаются с решеток Z", An, Dn, En, со-
состоит в том, что любая целочисленная решетка, порожденная
векторами с нормой 1 и 2, является прямой суммой этих реше-
решеток (теорема Витта, см. § 3). Для больших норм соответствую-
соответствующей теоремы нет. «Теория склейки» (см. § 3) описывает, как
§ 2 Группы отражений и решетки корней 127
можно получать решетки в более высоких размерностях, ком-
комбинируя решетки-компоненты.
Остальные обсуждаемые в этой главе решетки /Ci2, Ли и Л24
(см. § 9—11) являются подрешетками решетки Лича Л24. На
самом деле Zs*Au А2, А3 = ?>з, D4, D5, Е6, Е7, Еь, А16 и Л24 —
это слоистые решетки (см. формулу B5) гл. 1 и гл. 6), так что
все они содержатся в Л24.
Две важные решетки, не попавшие в эту главу, — это 48-мер-
48-мерные самодвойственные решетки PiSp и PiSq- Краткое перечисле-
перечисление их свойств содержится в примере 9 гл. 7.
Тэта-ряд решетки (см. разд. 2.3 гл. 2) показывает, сколько
точек решетки находится на заданном расстоянии от начала
координат, т. е. сколько точек содержится в каждой сфериче-
сферической оболочке. Тэта-ряды решеток, встречающихся в этой книге,
могут быть выражены через более простые функции, такие, как
тэта-функции Якоби 92, 0з и 04. Они определяются в § 4 вместе
с различными другими функциями.
Мы включили в эту главу таблицы первых 50 коэффициен-
коэффициентов тэта-рядов для большей части перечисленных решеток. Та-
Такие таблицы полезны для изучения самих решеток, для иссле-
исследования связей с теорией чисел (см. разд. 2.3 гл. 2) и в связи
с тем, что конфигурации точек решеток часто являются пре-
прекрасными сферическими кодами (см. разд. 2.3 гл. 1 и § 1 гл. 3).
Отдельные оболочки образуют сферические коды или коды с по-
постоянной энергией, а множества точек решетки, лежащих вну-
внутри или же на оболочке, образуют коды с ограниченной энер-
энергией или сферические кластеры.
Мы также кратко описываем многогранники Вороного точек
решетки (см. разд. 1.2 гл. 2); дальнейшая информация содер-
содержится в гл. 21. Хотя большая часть материала этой главы
имеется в литературе (см., например, [Boul], [Con 27],
[Con 28], [Con 37], [Сох 20], [Intl], [Nie 2], [Slo 12], [Slo 19],
[Teo 2], [ТеоЗ]), некоторые тэта-ряды и таблицы публикуются
здесь впервые. (Ряд связанных с ними таблиц приведен в
[Fral], [Mit5], [New 2], [Pryl].) Дальнейшая информация
об упаковках в размерностях два и три (в том числе и более
подробные таблицы как для упаковок, разбираемых здесь, так
и для других, а также таблицы векторов нескольких первых
слоев) содержится в [Slo 17], [Slo 19], [Teo 2], [ТеоЗ].
§ 2. Группы отражений и решетки корней
На рис. 4.1 изображен калейдоскоп, три зеркала (стенки)
которого высекают на сфере сферический треугольник с углами
я/2, я/3 и я/5. Отражения от этих стенок порождают группу
128
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
порядка 120, называемую [3, 5]-группой отражений. Вся поверх-
поверхность сферы разделяется на 120 треугольников, по одному на
каждый элемент группы.
Это пример конечной, или сферической, группы отражений.
(Группы отражений часто также называют группами Коксте-
ра ).) В общем случае такая группа (если она неприводима)
Рис. 4.1. Калейдоскоп, пересекающий сферу по сферическому треугольнику.
Вся поверхность сферы разбивается на 120 экземпляров этого треугольника.
порождается отражениями от стенок сферического симплекса,
все плоские углы которого являются делителями п. (Приводи-
(Приводимые группы отражений получаются как прямые суммы непри-
неприводимых.) Бесконечный конус, ограниченный отражающими
стенками или гиперплоскостями (т. е. сам калейдоскоп), яв-
является фундаментальной областью для группы отражений. Эта
группа может быть компактно описана с помощью диаграммы
Кокстера — Дынкина — отмеченного графа, каждая вершина ко-
которого соответствует стенке и две вершины соединены ребром
с отметкой р, если угол между соответствующими стенками ра-
равен п/р. Для ребер с малыми значениями р обычно употреб-
употребляются определенные сокращения, см. рис. 4.2. На рис. 4.3 по-
показана диаграмма, соответствующая описанному примеру.
Если обозначить отражение от i-й стенки фундаментальной
области через Rit то диаграмма задает список определяющих
соотношений (или копредставление) группы:
Ri-(RiRj) /==1 (/, / = 1, . . . , П), A)
') Употребляется также термин группа, порожденная отражениями
Прим. перев.
§ 2. Группы отражений и решетки корней 129
ОТРЕЗКИ
ЯВЛЯЮЩИЕСЯ СОКРАЩЕНИЯМИ ДЛЯ
2 5 4 6
Рис. 4.2. Соглашения для диаграмм Кокстера — Дынкина. (См. также гл. 27.)
В
5 -о
\ ABC
2 ^С
Рис. 4.3. Диаграмма для [3, 5]-группы отражений.
где угол между t'-й и /-й стенками равен л/р(/. Знаменитая тео-
теорема Кокстера ([Сох 4], [Сох 28, § 9.3]) утверждает, что каж-
каждая конечная группа, представимая в таком виде, является груп-
группой отражений.
Классификация конечных групп отражений имеет сложную
историю [Кап 3]. Элегантное полное перечисление конечных
групп отражений в терминах диаграмм принадлежит Кокстеру
[Сох 2], [СохЗ], [Сох 20]. Однако Митчелл [Mit 1] — [Mit 4J
ранее решил существенно более трудную задачу. Мы сосредо-
сосредоточимся на рассмотрении кристаллографических групп отраже-
отражений, для которых р принимает значения только 2, 3, 4, 6, так
как лишь эти группы связаны с решетками. Они приводятся
в четвертом столбце табл. 4.1. Полный список неразложимых
некристаллографических групп отражений приведен на рис. 4.4.
Р 5 5
(р 3*2,3,4,6) порядок 120 .порядок
порядок 2р
Рис. 4.4. Неразложимые некристаллографические группы отражений.
Каждая отражающая гиперплоскость определяется перпен-
перпендикулярным к ней вектором, называемым корневым вектором
(или просто корнем). Корневые векторы, перпендикулярные
к стенкам фундаментальной области, называются фундамен-
фундаментальными корнями, а все множество корней называется систе-
системой корней. Вся система корней получается как образ фунда-
фундаментальных корней при действии группы. Решетка, порожденная
130
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
Таблица 4.1. Неразложимые конечные системы корней, или, что то же самое,
неразложимые кристаллографические конечные группы отражений
Система Решетка det
коррей
Конечная группа
Бесконечная группа
An
Вп
1"
E8
системой корней, называется решеткой корней, фундаментальные
корни образуют ее целочисленный базис.
Обратно, если задана-1 решетка Л, определим ее корень (кор-
(корневой вектор) как вектор геЛ, для которого отражение
B)
п Х- Г
¦х — 2 г
является симметрией решетки Л. Группа Н, порожденная отра-
отражениями относительно корней, называется подгруппой отраже-
отражений в Aut(A). Если решетка Л целочисленна и унимодулярна,
то корни суть в точности векторы решетки нормы 1 и 2, они
называются соответственно короткими и длинными корнями
решетки. Отражающие гиперплоскости, соответствующие всем
корням решетки Л, разбивают пространство на фундаменталь-
фундаментальные области относительно действия группы Н. Корни, соответ-
§ 2. Группы отражений и решетки корней 131
ствующие стенкам одной фундаментальной области, образуют
множество фундаментальных корней решетки Л (и группы Н).
Если Л не является решеткой корней, то, вообще говоря, фун-
фундаментальные корни не образуют ее базиса.
Все неразложимые конечные системы корней, а следова-
следовательно, и все неразложимые конечные кристаллографические
группы отражений описаны в табл. 4.1. В первом столбце таб-
таблицы приводится обычное название системы корней, во вто-
втором — наше название решетки корней, порожденной корнями
этой системы, а в третьем — детерминант d этой решетки. Чет-
Четвертый столбец описывает фундаментальные корни, отражения
относительно этих корней порождают соответствующую конеч-
конечную группу отражений. Крайние правые корни в четвертом
столбце имеют норму 2. Длины других корней определяются
соглашением, что й-кратное ребро, стрелка на котором (если
она есть) направлена от г к s, задает условие N(r)= kN(s).
Заметим, что из соглашения, показанного на рис. 4.2, сле-
следует, что если корни г и s соединены ^-кратным ребром, то
угол 0 между ними задается условиями 4cos20 = & и cos0=^0,
т. е.
А: 0 1 2 3
9: 90° 120° 135° 150°
Последний столбец таблицы описывает соответствующие
(бесконечные) евклидовы группы отражений, иногда называе-
называемые аффинными группами Вейля, получаемые присоединением
всех сдвигов на корневые векторы. Это также группа отраже-
отражений, диаграмма которой получается добавлением еще одной
вершины (называемой расширяющей вершиной) к диаграмме
для конечной группы. Если мы начнем с диаграммы для бес-
бесконечной группы, то имеется ровно d = det Л корней, называе-
называемых концами или специальными корнями, удаление одного из
которых приводит к диаграмме для соответствующей конеч-
конечной группы. Концы отмечены на диаграмме двойными
кружками.
Произведение всех порождающих отражений называется
элементом Кокстера, все элементы Кокстера имеют равный по-
порядок h, называемый числом Кокстера. Числа Кокстера имеют
много других интерпретаций. Так, например, общее число кор-
корней равно nh. Таким образом, для решеток А„, Dn и Еп (когда
все корни имеют одну и ту же длину) nh равно контактному
числу.
Замечание о Вп, Сп, G2 и Ft. Объясним, почему только А„,
Dn и Еп (но не Вп, Сп, G2 и Fa) фигурируют в остальной части
132 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
книги. В качестве фундаментальной системы корней для алгебр
Ли Вп и Сп можно взять
1 000... 2 000...
-1 1 0 0 ... —1 10 0...
0 -1 1 0 ... 0—110...
Поскольку они различаются лишь на скалярные множители,
соответствующие конечные группы отражений совпадают. Од-
Однако решетки корней, порожденные этими корнями (равные со-
соответственно Z" и ?>„), различаются, как различаются и беско-
бесконечные группы, получаемые присоединением к конечным груп-
группам сдвигов на элементы этих решеток. Похожий феномен
имеет место и в случаях <3г и Ft. Можно заметить, что каждая
решетка корней порождена кратчайшими корнями. Таким об-
образом, наш список решеток ограничивается решетками Ап, Dn
и Еп, т. е. решетками, все векторы которых имеют равную
длину, и не включает Вп, Сп, G2 и F4- На самом деле система
корней для G2 состоит из всех векторов двух первых норм B
и 6) в решетке корней Л2. Аналогично, система корней для FA
состоит из двух первых оболочек (с нормами 2 и 4) в решетке
корней Di.
Дальнейшие сведения о группах отражений, кристаллогра-
кристаллографических группах (в том числе теоремы Бибербаха) и связан-
связанные с этим вопросы содержатся в [Ausl], [Biel], [Boul],
[Busl], [Сох 20], [Сох 28], [Del 7], {Fri 2], [Gro3], [Hazl],
[Hil 3], [Huml], [OH 2], [Vin 1] —[Vin 15], [Zas 1].
§ 3. Теория склейки
Теория склейки — это способ описывать произвольную
я-мерную целочисленную решетку L, содержащую в качестве
подрешетки прямую сумму
А©12© ... @Lk
данных целочисленных решеток L\, ..., L& суммарной размер-
размерности п. Общий вектор решетки L можно записать в виде
У = У\ + Уг + • • • + Ун, C)
где каждая компонента yt лежит в подпространстве, порожден-
порожденном Li, но не обязательно в самой решетке Li. Какими могут
быть у\, ..., yk1
§ 3. Теория склейки 133
Скалярное произведение вектора yi на любой вектор решетки
Ц — целое число, так как это произведение равно произведе-
произведению у на тот же вектор. Следовательно, вектор yi должен при-
принадлежать двойственной решетке L*.
Конечно, любую компоненту г/, можно изменить, прибавляя
вектор из L:, поэтому можно предположить, что г/, принадле-
принадлежит какой-либо фиксированной системе представителей смеж-
смежных классов решетки L] по Li. Эти представители называются
векторами склейки для Li. Обычно в качестве векторов склейки
берут векторы минимальной длины в своих смежных классах.
Факторгруппа L'JLl называется дуальным фактором или груп-
группой склейки для решетки Li. Как уже отмечалось в разд. 2.4
гл. 2, ее порядок равен detL,-.
Итак, любая возможная решетка L порождена L\ Ф ...
... @Lk и некоторыми векторами вида C), причем каждый yi—
вектор склейки для Li, и надо лишь проверить, что скалярное
произведение векторов вида C) целочисленно и их множество
замкнуто относительно сложения по модулю решетки L\ © ...
... © Lk. Неформально мы описываем такую решетку L, говоря,
что компоненты L\, ..., Lk склеены с помощью векторов склейки
C). Может оказаться, что один из векторов склейкн у вида
C) имеет лишь одну ненулевую компоненту ус, в этом случае
мы говорим, что компонента Ц имеет самосклейку и что у —
самосклеивающий вектор. Например, решетка Dn самосклеи-
самосклеивается, давая решетку Dn.
Вот — важный частный случай.
Теорема 1. Если унимодулярная решетка L получается
склейкой двух решеток L{ и L2, причем самосклейки не проис-
происходит, т. е.
L, = (L, ®R)flL, L2 = (L2 ®R)fU,
то дуальные факторы L*/Ll и L*/L2 изоморфны друг другу.
Изоморфизм задается отображением у\ -\- L\-*-y2 + L2, где
у — j/i -}- у2 является вектором склейки.
Для каждой решетки корней детерминанта d имеется стан-
стандартный выбор векторов склейки [0], [1], ..., [d—1], и мы
употребляем сокращение [а\ ... a.k\ для такого вектора склейки
вида C), что у\ = [й\] для Lb y2 == [а2] для L2, .... (Мы вы-
выбираем в качестве векторов склейки концы расширенных диа-
диаграмм.)
В наших приложениях теории склейки обычно легко видно,
что все автоморфизмы решетки L переставляют решетки
134 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
L\, ..., Lh ') (зачастую это происходит из-за того, что L\ ® ...
... Ф Lk будет частью решетки L, порожденной векторами
с нормой 1 и 2). В этих условиях группа G(L) автоморфизмов
решетки L допускает простое описание.
Группу перестановок решеток Li, возникающих из действия
автоморфизмов из группы G{L), обозначим G2(L). Она изо-
изоморфна факторгруппе G(L)/Goi, где Goi состоит из автомор-
автоморфизмов, порождающих тривиальную перестановку.
Через Gq(L) обозначим нормальную подгруппу группы GOi>
состоящую из автоморфизмов, которые для каждого i переводят
каждый вектор склейки у, в вектор из того же смежного класса
у, + Li, т. е. которые оставляют векторы склейки неподвижными
по модулю компонент. Группа GOi/Go(L) изоморфна группе пе-
перестановок векторов склейки, принадлежащих одной из компо-
компонент (любой); обозначим эту группу перестановок G\{L). Та-
Таким образом, вся группа G(L) составлена из групп Go(L)r
G\(L) и GziL); ее порядок равен
g(L) = go(L)gl(L)g2(L), D)
где gi(L)—порядок Gi(L). Кроме того, группа G0(L) является
прямой суммой групп G0(Li). Однако группа Gi(L), вообще го-
говоря, является лишь подгруппой прямой суммы групп Gi(L,),
и, следовательно, ее надо каждый раз вычислять непосред-
непосредственно.
Например, существует единственная 17-мерная унимодуляр-
ная решетка, не имеющая векторов длины 1 (см. гл. 16). Она
получается из Лцф?6 присоединением вектора склейки
который получается из векторов склейки у\ = [2] для Ли и
г/2 = [1] для Е6- Для этой решетки группа Go является произ-
произведением групп Вейля Go(Au) и G0(EB), порядок Gi равен 2
(мы можем одновременно поставить минус при у\ и у2),
а группа G% конечно же, тривиальна (автоморфизм не может
переставлять Ли и ?6).
Теорема Витта [Wit 5], [Кпе 5] утверждает, что для любой
целочисленной решетки L подрешетка, порожденная векторами
с нормой 1 и 2, является прямой суммой решеток корней. Та-
Таким образом, решетки корней особенно хороши в качестве Li.
Для решетки корней Хп группа Go — это группа Вейля (под-
(подгруппа, порожденная отражениями относительно минимальных
') Имеется в виду, что любой автоморфизм L переводит решетку L,
в одну из решеток Li, ..., Lk — Прим. перев.
§ 4. Обозначения; тэта-функции 135
корней решетки Хп), a G\— это группа симметрии (обычной)
диаграммы Кокстера — Дынкина (так называемая группа ав-
автоморфизмов графа). Группа симметрии расширенной диаграм-
диаграммы Кокстера — Дынкина имеет порядок g\d.
Выдающимся применением теории склейки является список
Нимейера всех четных унимодулярных 24-мерных решеток,
см. § 3 гл. 16. Много других примеров имеется в гл. 16 и 17.
Теория склейки оказалась также полезной в теории кодирова-
кодирования ([Con 21], [Con 24], [Leo 7], [Leo 8], [Pie 18]).
§ 4. Обозначения; тэта-функции
В следующих параграфах индекс п при обозначении ре-
решетки L обычно означает размерность, М — порождающую мат-
матрицу решетки, А — ММТ — ее матрицу Грама, det — детерми-
детерминант (квадрат объема многогранника Вороного), т — контакт-
контактное число, h — число Кокстера (см. § 2), р — радиус упаковки,
R — радиус покрытия, А = Fapn/Vdet — плотность упаковки,
б = A/Vn — центральную плотность, в = VnRn/-\/det — плот-
плотность покрытия; здесь Vn = пп/2/ (п/2)! — объем шара радиуса 1
(см. гл. 1). Ломаные скобки иногда употребляются для указа-
указания порождающих векторов решетки, как в записи А2 =
= <A,—1,0), @,1, —1)>. Символ © означает прямую сумму.
Группа склейки — это L*/L, ее порядок равен detL, а век-
векторы склейки (представители смежных классов группы L* по
L) обозначаются квадратными скобками [i]. Группа автомор-
автоморфизмов G(L) имеет порядок g = gogu где g0 и g{ — порядки
групп G0(L) и Gi(L) (см. § 2).
Для компонент векторов мы используем очевидные обозна-
обозначения. Например, вектор склейки для решетки Е7
М 1 1 ± 1
4'4'4'4'4'4'
сокращенно записывается как
Норма вектора х — это квадрат его длины х-х. Минимальная
норма решетки L — это min{x-x: xei, x=^0}, она равна 4р2.
Тэта-ряд решетки L равен
=I>(mW\ q*=#b, ImB)>0, E)
let
где N{m) (иногда обозначаемое Nm) — это число векторов в L
с нормой m (см. разд. 2.3 гл. 2). Таким образом, коэффициенты
136
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
разложения ®l(z) по степеням q дают числа векторов в после-
последовательных оболочках решетки L с центром в начале коорди-
координат. Мы используем равенство E) и для определения тэта-ряда
нерешетчатой упаковки L (например, для сдвига решетки).
4.1. Тэта-функции Якоби. Тэта-ряды решеток, встречающихся
в этой книге, будут записываться в терминах тэта-функций
Якоби
6
3(|| 2) =
Im(z)>0.
F)
(Ссылки на литературу приводятся в конце раздела.) Для мно-
многих целей достаточно работать с более простыми тэта-функ-
тэта-функциями Ь[(г), %(z), %(z), Q4(z), задаваемыми формулами
= 2?1'4 - 6?9/4 + Ю?25/4 - 1V9/4 + ¦ ¦ • =
- З?2
G)
2<79/4
(8)
= 1 + 2?
где q = еШг. Другие полезные функции задаются формулой
(И)
§ 4. Обозначения; тэта-функции 137
при k = ± 1, ±2, ... и формулами
ФоB)=е2 B2) е2 Fz) + е3 Bг) е3 Fz) =
= Vs {в3 (г/2) 93 (Зг/2) + в4 (г/2) 64 (Зг/2)} =
= 1 + 6<?2 + б?6 + б?8 + 12?м + .. . , A2)
ф1 (г) = 92' Bz) 63 Fг) + 63 Bг) Э2 Fг) =
• • • • A3)
Эти функции связаны между собой целым лабиринтом тож-
тождеств. Наиболее глубокое из них принадлежит Пуассону
A827 г.) и Якоби A828 г.), см. [Wht I], [Bel 2, p. 4]:
93 (|! z) = (- izY1/2 еР/^з A1 - 1) A4)
(здесь имеется в виду главное значение квадратного корня).
Отсюда следуют формулы
A5)
A6)
A7)
A8)
и формула Якоби для тэта-ряда двойственной решетки:
6А. (г) = (detAI/2(//2)"/2eA (-1/2). A9)
Можно рассматривать тождества A4) — A9), равно как и тож-
тождество Мак-Вильяме для весовых энумераторов кодов (формула
E0) гл. 3), как следствия общей формулы суммирования Пуас-
Пуассона, утверждающей, что сумма значений функции по линей-
линейному пространству равна сумме значений ее преобразования
Фурье по двойственному пространству [Dym I, ch. 2, § 11.3],
[Igu 1, p. 44], [Loo 1, p. 153], [Ser 1, гл. VIII, § 6].
Вот несколько других полезных равенств, расположенных
более или менее в порядке возрастания степени и так, чтобы
были видны симметрии') между Q2, 93 и 84:
е2(г+1) = л'Те2B), е3B + 1) = е4(г), e4(z+ i) = e3(z), B0)
е2 (-1/2) = (z/0'/2 04 (г), 83 (-1/2) = (г/о1/2 е3 (г),
') Формулы B0) и B1) показывают, что подстановки г—*¦ г + 1 и
г—*-—1/z переставляют бг, 6з и в4 с точностью до тривиальных множи-
множителей.
138 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
B2)
г) + е4(г) = 2езDг), 83 (z) - 84 (z) = 262 Dг), B3)
г) 83 (г) =A/2) 82 (г/2J, 83 (г) 84 (г) = 84 Bzf,
B4)
2, B5)
, B6)
e2 B) e2 C2) - e3 B) 83 C2) + e4 B) e4 C2) = o, B7)
82 (z) 63 (З2) + 83 B) 82 (З2) = A/2) 82 B/4) 62 C2/4), B8)
e2B)e2C2)+83C)83C2)=(i/2){e3B/4)e3C2/4)+e4B/4)e4C2/4)},B9)
^2 (Z) ~\~®i(Z) ==6зBГL- C1)
Эти функции разлагаются также в бесконечные произведения
(тождества Якоби с тройными произведениями):
со
т=1
со
1 т-1
со
82 B) = 2дЧ* Д A ~ Я2т) A + Фт)\ C4)
со
04B)= ПО- Я2т)A - <72т-!J. C6)
Другое важное произведение — это
со
А Л2 | I /1 л2т\24 . /О'тЧ
^*24 === Ч J.X \ ^ ""** Ч ) — № * /
= {A/2) 62 B) 83 B) 84 B)}8 = {A/2) б! B)}8 = C8)
со
= Ц, х(т) q2m = q2 — 24q* + 252^6 - 1472^8 + . . . . C9)
m=0
§ 5. п-мерная кубическая решетка Z" 139
Коэффициенты т(т) называются числами Рамануджана. (Пер-
(Первые триста коэффициентов приведены в [Leh 2]. См. также тео-
теорему 19 гл. 7.) Некоторые значения функции ^k(z) (формула
A1)) можно также выразить через другие функции:
*-* (г) = Цк (г). D2)
Дальнейшая информация содержится в работах [Bel 2], [Gro 2],
[Наг 4], [Igul], [КгаЗ], [Muml], [Radl], [Ran 6], [Raul],
[Rau2], [Tanl], [Wht 1].
Перенормировка. Часто бывает необходимо перенормировать
решетку, заменяя Л на Л' = сЛ = {сх: хеЛ} с какой-то кон-
константой ceR. Параметры решеток Ли Л' связаны следующим
образом: М' = сМ, А' = с2А, det' = с2" det, (минимальная нор-
норма)' = с2(минимальная норма), р' = ср, R' = cR; контактное
число т, плотности упаковки Д и б и плотность покрытия в не из-
изменяются; (Л') * = с-1 А*, и
вл'(г) = вЛ(с2г). D3)
§ 5. n-мерная кубическая решетка Z"
Обозначим через Z множество целых чисел ..., —2, —1, О,
1, 2, 3, ...; решетка
= {(*,, .... хп):
Z"
называется гс-мерной кубической решеткой или решеткой целых.
(Z2 лучше называть квадратной решеткой, как видно на обыч-
обычной клетчатой бумаге.) В качестве порождающей матрицы Af
можно взять единичную матрицу. Тогда детерминант равен 1,
минимальная норма также равна 1, контактное число т = 2п,
минимальные векторы суть @, ..., ±1, ..., 0). Радиус упа-
упаковки р= 1/2, радиус покрытия R = -^/n/2 = p-\/n, плотность
Д = Vn2-n и центральная плотность б = 2~". Таким образом,
решетка Z имеет плотность А = 1, а плотности решеток Z2,
Z3 и Z4 равны соответственно всего лишь я/4 = 0.785..., я/6 =
= 0.524... и я2/32 = 0.308... . Типичная глубокая дыра — это
A/2, 1/2, ..., 1/2), а многогранники Вороного — это кубы. Ре-
Решетка Z" самодвойственна. Ее группа автоморфизмов состоит
140
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
из всех перестановок и перемен знака координат, ее порядок
равен 2пп\ (Это — группа Вейля решетки Вп.)
Тэта-ряд решетки Z" равен 83B)", а тэта-ряды ее сдвигов
Z" + @a(l/2)"-a) равны
82B)"~a93B)a D4)
(см. разд. 2.3 гл. 2). Числа точек в первых 50 оболочках реше-
решеток Z2, Z3 и их сдвигов приведены в табл. 4.2 и 4.3. В табл. 4.2
Таблица 4.2. Число точек в первых оболочках квадратной решетки Z2
по отношению к различным выборам начала координат. Объяснение
см. в тексте
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
JV«>
1
4
4
0
4
8
0
0
4
4
8
0
0
S
0
0
4
N<»
2
4
2
4
4
0
6
4
0
4
4
4
2
4
0
4
8
NB)
4
8
4
8
8
0
12
8
0
8
8
8
4
8
0
8
16
т
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Л-ffl)
g
4
0
g
0
0
0
0
12
8
0
0
8
0
0
4
0
Nu>
0
4
0
2
8
4
0
4
4
0
4
4
4
2
8
0
0
NB)
0
8
0
4
16
S
0
8
8
0
8
8
8
4
16
0
0
m
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
8
0
4
8
0
0
8
8
0
0
0
8
0
0
0
4
12
4
0
8
4
4
4
0
0
6
4
0
4
8
0
4
4
0
g
0
16
8
8
8
0
0
12
8
0
8
16
0
8
8
0
в столбцах, озаглавленных 7V@), JVA) и JV<2>, приводятся соответ-
соответственно числа точек с нормами m, т+1/4 и 2т +1/2 в ре-
решетке Z2 с началом координат в точке решетки, в середине
ребра и в середине квадрата, т. е., иными словами, соответ-
соответственно коэффициенты при qm, qm+1/* и q2m+1^2 в разложении
функций
83(zJ, 83(z)82(z), 82(zJ. D5)
В табл. 4.3 в столбцах, озаглавленных JV<°>, JV<'>, 7VB), tVC), при-
приводятся соответственно числа точек с нормами m, m+1/4,
m+ 1/2 и 2m + 3/4 в Z3 с началом координат соответственно
в точке решетки, середине ребра, грани и куба, иными сло-
словами, коэффициенты при qm, qm+l/4, qm+l'2 и (?2m+3/* в разложе-
разложении функций
83(zK, 83(zJe2B), Э3(г)92(гJ, 92 (гK. D6)
§ 5. п-мерная кубическая решетка Zn
141
Таблица 4.3. Число точек в первых оболочках кубической
решетки 2s по отношению к различным выборам начала
координат
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
б
12
8
6
24
24
0
12
30
24
24
8
24
48
0
6
48
36
24
24
48
24
0
24
30
NW
2
8
10
8
16
16
10
24
16
8
32
24
18
24
16
24
32
32
16
32
34
16
48
16
16
56
NG>
4
8
8
16
12
8
24
16
16
24
16
16
28
32
8
32
32
16
40
16
16
40
40
32
36
16
N&
8
24
24
32
48
24
48
72
24
56
72
48
72
72
48
48
120
72
56
96
24
120
120
48
96
96
m
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
-43
44
45
46
47
48
49
50
51
72
32
0
72
48
0
12
48
48
48
30
24
72
0
24
96
48
24
24
72
48
0
8
54
84
48
NU)
32
24
32
40
26
48
48
16
32
32
32
56
48
24
64
32
26
56
16
40
64
64
16
40
48
32
Nv>
24
48
32
24
40
48
16
56
32
16
64
40
32
32
36
40
48
48
32
48
48
16
80
40
24
80
.jV<3)
72
96
120
48
104
168
96
48
120
72
96
192
72
144
96
72
144
120
96
104
192
72
120
192
48
144
В разложении
zB(z)=esB)n=S rn(m)q
ra=0
D7)
коэффициент rn(m) задает число способов записи т в виде
суммы п квадратов. В частности, при т > О
г 2 {т) = 46 (т), D8)
где 6(т) определяется как разность между числами делителей
т вида 4а + 1 и 4а + 3, а
8 ? d при нечетном т,
O^mV А D9)
24 /., а при четном т,
d\m,
d\ m
E0)
142 Гл 4 Некоторые важные решетки и их свойства
Много похожих, хотя и более сложных, формул известно для
других значений п. Дальнейшая информация содержится в ра-
работах [Bat 1], [Cas3], [Die 2], [Fril], [Gla 1] —[Gla 6],
[Gro2], [НагЗ] — [Наг 5], [Mai 6], [Мог 2], [Radl], [Ran 6],
[Smi5], [Val l] — [Val3].
Положим r'4(m) = r4(m)/8; функция r'4(m) мультипликативна,
т. е. удовлетворяет условию
= г'4A)г[(т), если / и т. взаимно просты. E1)
Это свойство облегчает вычисление г'4(т), так как достаточно
знать значения этой функции в степенях простых чисел т = ра.
Они равны
г'4(ра) = 1+р + р2+ ... +ра
где р — нечетное простое число. Похожее свойство мультипли-
мультипликативности выполняется и для тэта-функций некоторых других
решеток. Бейтман [Gro 2, р. 131] показал, что функция гп(т)/2п
мультипликативна тогда и только тогда, когда п равно 1, 2, 4
или 8. (Это является отражением теорем о единственности раз-
разложения на простые сомножители в подходящих кольцах целых
в полях вещественных и комплексных чисел, в теле кватер-
кватернионов и в алгебре чисел Кэли.)
§ 6. я-мерные решетки Ап и А*п
6.1. Решетки Ап. При п Г^ 1 положим
где мы используем п + 1 координат для определения п-мерной
решетки: Ап лежит в гиперплоскости ?хг= 0 в R"+1. Стандарт-
Стандартный целочисленный базис отмечен на диаграмме Кокстера —
Дынкина на рис. 4.5. Расширяющая вершина в этом базисе —
это A, 0, 0, ..., О, —1), а расширенная диаграмма приведена
в последнем столбце табл. 4.1. По рис. 4.5 легко определяется
порождающая матрица
М =
-1
0
0
1
-1
0
0
1
-1
0 ...
0 ...
1 ...
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 ... -1 1
E2)
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п
143
Две возможные матрицы Грама таковы:
2
— 1
0
0
0
-1
2
-1
0
0
0 ...
-1 ...
2 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
2
1
0
0
0
-1
2.
>
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
... 1
... 1
... 1
... 1
... 2
E3)
(Первая из них соответствует порождающей матрице E2).)
Для этой решетки детерминант равен п+ 1, минимальная нор-
@,-1,1,0, ,0)
@,0,0, .-1.1 >
(-1,1,0, ,0)
@,0,-1,1,0, ,0)
Рис. 4.5. Диаграмма для А„, изображающая целочисленный базис решетки
корней
ма равна 2, контактное число т = л(га+ 1), минимальные век-
векторы являются перестановками вектора A, —1, 0, ..., 0), число
Кокстера h = n-\-\, радиус упаковки р = l/д/2 , центральная
плотность б = 2~п/2(п + 1)~1/2, радиус покрытия
, _ , f 2flt (Я + 1 - Q)
n+1
} '
E4)
где а равно целой части (п + 1)/2, типичная глубокая дыра —
это вектор склейки [а]. Многогранник Вороного описан в
гл. 21. Векторы склейки:
i— __ zJ_
га + 1 ra+l'ra+1
E5)
где / = n+l — i компонент равны i/(n-\-l), a i компонент
равны —//(n+1), 0 ^ i ^ п. Норма вектора [i] равна
ij/{n-\- 1). Группа склейки — это циклическая группа Сп+\ с за-
законом сложения [/] + [&] = [/ + ?]• Группа автоморфизмов:
группа Go равна группе Вейля системы Ап, т. е. симметриче-
симметрической группе Sn+i перестановок координат, a G\—это группа
порядка 2, порожденная изменением знака у всех координат
сразу (которая переставляет [i] и [п + 1 — г]), за исключением
144 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
случая п = 1, когда G\ = 1. Тэта-ряды:
л- I
где ^==2лг/"
E «.D •)"
—, E6)
E7)
6.2. Гексагональная решетка. Несколько первых случаев мы
опишем более подробно. Естественно, Ai^Z. Решетка Л2 эк-
эквивалентна (или подобна, см. разд. 1.4 гл. 1) хорошо иам зна-
знакомой гексагональной решетке, изображенной на рис. 1.3а гл. 1,
которая называется так в связи с тем, что ее многогранники
Вороного являются шестиугольниками. Гексагональная решетка
порождается векторами A,0) и (—1/2, д/з/2), так что другая,
нежели E2), порождающая матрица равна
/ 1 0 \
М=\ 1 уз" • E8)
Ч 2" ~2~/
В этой форме детерминант равен 3/4, минимальная норма
равна 1, т = 6, минимальные векторы суть (±1,0) и (±1/2,
±Уз/2), h = 3, р = 1/2, плотность упаковки А = я/У12 =
= 0.9069..., 6=1/УТ2 , /?=2р/Уз", типичные глубокие дыры —
это точки (± 1/2, ± 1/2 У 3 ) (см. рис. 1.3d), плотность покры-
покрытия в = 2л;/зУз = 1.2092.... Векторы склейки:
Группа склейки равна С3. Группа автоморфизмов: g0 = 3!,
g, = 2, ^=12. Квадратичная форма, связанная с E8), — это
х*-ху + у2, E9)
а тэта-ряд, следовательно, равен
X,
§ 6. п-мерные решетки А„ и А*п
145
Члены с четным у дают вклад (полагаем г — х — у/2, s = у/2)
Г, i=-oo
а с нечетным у дают вклад (полагаем г = х — (у—1)/2, s =
A)/2)
» = е2 B) е2 (Зг).
Г, S— -00
Следовательно,
ehex (г) = е3 (г) е3 C«) + е2 B) e2 Cz) = Фо B/2) F0)
(см. A2)). Ряд начинается с
ehex(z)=l+6? + 6<?3 + 6<?4+12<77+ ...f F1)
первые 50 ненулевых членов приведены в табл. 4.4. Если сдви-
сдвинуть начало координат в середину между двумя точками решетки
Таблица 4.4. Тэта-ряд плоской гексагональной
решетки
m
0
1
3
4
7
9
12
13
16
19
21
25
27
N(m)
1
6
6
б
12
б
6
12
6
12
12
6
6
m
28
31
36
37
39
43
4S
49
52
57
61
63
64
ЛГОя)
12
12
б
12
12
12
б
IS
12
12
12
12
6
m
67
73
75
76
79
81
84
91
93
97
100
103
108
N{m)
12
12
6
12
12
6
12
24
12
12
6
12
6
m
109
111
112
117
121
124
127
129
133
139
144
147
148
N(m)
12
V2
12
12
6
12
12
12
24
12
6
18
12
(т. е. в середину ребра, если соединить каждую точку ребрами
с ее шестью соседями), то тэта-ряд равен
вйех (edge) (z) =^% B/4) 82 Cz/4) = ф, (z/2) =
= 2^;/4 _j_ 2qzl4 + 4^7/4 + 2<79/4 + • • • • F2)
Если сдвинуть начало координат в глубокую дыру, то тэта-ряд
в[1ех + [1] I
таков:
) = е, (г) ф6 (Зг) + е3 B) ф3 C2) =
= Зд^ + 3q«3 + б?7'3 + 6q13'3 + ...
F3)
146 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
оо
(см. [Slol9], [ТеоЗ]). Если положить впех(z) = ? N(m)qm,
то N (m) равно числу представлений пг квадратичной формой E9)
и функция N'{m) = N(m)/6 мультипликативна (см. определе-
определение E1)). Таким образом, N(m) определяется значениями
Л/'(За)=1 при всех а>0,
N' (ра) = а + 1 при р зз 1 (mod 3),
0 при ps=2 (mod 3) и нечетном а,
1 при р = 2 (mod3) и четном а,
где простое р отлично от 3.
Мы будем использовать обозначение А2 только для формы
этой решетки с минимальной нормой 2. Из F0) получается ра-
равенство
= 1 + б?2 + 6дъ + F4)
6.3. Гранецентрированная кубическая решетка. Как А3, так
и D3 (см. § 7) эквивалентны гранецентрированной кубической
решетке (или fcc-решетке), изображаемой в каждом учебнике
по химии. Эту решетку мы встречаем также в витрицах магази-
магазинов «Овощи — фрукты», глядя на пирамиду, сложенную из
апельсинов (см. рис. 1.1). Фруктовые пирамиды обычно имеют
в основании квадрат, но пирамиды с треугольным рснованием
приводят к геометрически эквивалентным упаковкам. Самое
простое определение дает решетка D3: fcc-решетка состоит из
точек (x,y,z), где х, у и z — целые числа, сумма которых четна.
Порождающая матрица—
/-1 -1 04
М = 1-1 0 , F5)
V 0 1 -1/
детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, т = 12,
минимальные векторы суть перестановки векторов (±1,±1,0),
они являются двенадцатью вершинами правильного кубоокта-
эдра; h = 4, радиус упаковки р = 1/д/2 , плотность А=п/л/18 =
= 0.7405..., б = 2/2, радиус покрытия R = p<\/~2=\.
Многогранник Вороного — ромбододекаэдр (см. рис. 2.2а и
гл. 21). fcc-решетка имеет два типа дыр, соответствующие двум
типам вершин многогранника Вороного: глубокие, или октаэд-
октаэдральные, дыры, такие, как @,0,1), окруженные шестью точ-
точками решетки, и мелкие, или тетраэдральные, дыры, такие, как
§ 6. п-мерные решетки Л„ и Л*
147
A/2, 1/2, 1/2), окруженные четырьмя точками решетки. Век-
Векторы склейки:
[0] = @, 0, 0), [1]:—A/2, 1/2, 1/2), [2] = @, 0, 1),
[3] = A/2, 1/2,-1/2).
Группа склейки равна С4. Группа автоморфизмов: go = 24,
gx = 2, g = 48. fcc-решетка — это единственная решетка с та-
Таблица 4.5. Тэта-ряд гранецентрированной
кубической решетки. Таблица дает значения N(т)
для т = 10r + s
¦\0r\s
0+
20+
40+
60+
80+
100+
0
1
24
24
0
24
30
2
12
24
48
96
48
48
4
6
24
24
6
48
72
6
24
72
48
96
120
72
8
12
0
8
48
24
32
10
24
48
84
48
120
144
12
8
12
24
36
0
0
14
48
48
96
120
96
96
16
6
30
48
24
24
72
18
36
72
24
48
108
72
кой плотностью упаковки, однако имеются столь же плотные
нерешетчатые упаковки (см. разд. 6.5). Тэта-ряд:
(г) = ± (в3
= 63 DzK + З93 Dг) 92 DгJ =
+ ... . F6)
Имеется громоздкая явная формула для его коэффициентов
[Die 2, vol. II, p. 263], [Gro2]. Первые 50 коэффициентов при-
приведены в табл. 4.5. Тэта-ряды сдвигов таковы:
Ofcc+iu B) = у 92 (zf = 4<73/< + 1Ч1/4 + 12<719'4 + .. •, F7)
= б? + 8<73 + 24^ + 30^9 + • • • • F8)
6.4. Тетраэдральная, или алмазная, упаковка. Тэтраэдраль-
ная упаковка, встречаемая в алмазе (самом твердом из извест-
известных минералов), состоит из точек объединения
fcc-решетка (J ([1] + fcc-решетка). F9)
Она изображена, например, в книге [Kit 4, р. 25]. Это упаковка
Dt (см. разд. 7.3), не являющаяся решеткой. Все ее точки эк-
эквивалентны, объем многогранника Вороного вокруг любой из
них равен 1, минимальная норма равна 3/4, контактное число
т = 4, минимальные векторы суть A/2,1/2,1/2), A/2,—1/2,
148 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
— 1/2), (—1/2,1/2,-1/2), (—1/2,-1/2,1/2). Таким образом,
четыре соседа каждой _точки образуют правильный тэтраэдр.
Радиус упаковки p = V3/4, плотность Л= пV3/l6 = 0.3401...
(см. формулу A4) гл. 1), б = 2-633/2, радиус покрытия R =
= 2р — Уз/2, все дыры тэтраэдральные, такие, как A/2,1/2,
— 1/2). Тэта-ряд (см. [Slo 17]):
Osmond B) = у @2 (*K + 63 (zf - 64 (zK) =
= 1 + 4<?3'< + 12^2 + 12?"'* + б?4.... G0)
Если сдвинуть начало координат в дыру, то тэта-ряд таков:
ed.amond (hole, (z) =\ (82 {zf + 93 (zK - 84 (zf) =
69 + 12?11/4 + 8^3 + G1)
6.5. Плотная гексагональная упаковка. Как было отмечено
в гл. 1, решетки А\, А2 и А3 дают наилучшие известные упа-
упаковки в размерностях 1, 2 и 3 (и наилучшие возможные ре-
решетчатые упаковки в этих размерностях). Однако в размерно-
размерности три имеется бесконечно много нерешетчатых упаковок с той
же плотностью и тем же контактным числом, что и у icc-pe-
шетки. Простейшая из них — это плотная гексагональная упа-
упаковка или hep-упаковка (см. разд. 1.3 гл. 1), представляющая
значительный интерес для химии. Не будучи сама решеткой,
hep-упаковка может быть задана как объединение решетки L,
натянутой на векторы A, 0^0), JJ./2, д/з/2, 0) и @, 0, л/Щ),
с ее сдвигом L + (l/2, l/Vl2, V2/3). Иначе она представляется
как объединение решетки, порожденной векторами 2^1/2A, 1, 0),
2/2A,0,1), 2^1/2(-4/3, -4/3, -4/3), с ее сдвигом на 2-'/2@, 1, 1).
Третье определение: hep-упаковка состоит из точек 1)
±(б» + 1,6/+1, 6Й-2, 2УЗD/-1)), G2)
где i, j, k, I — целые числа с i +; + k = 0 [Slo 19]. При первом
определении объем многогранников Вороного равен 1/д/2, ми-
минимальная норма равна 1, т = 12, минимальные векторы суть
(± U), 0),J± 1/2, ± д/3/2,0), ±@, -1/V3", У273") и ±(±1/2,
1/V12, л/2/3), р=1/2, Д=л/3д/^=0.7405... и i?=pV2 = l/V2 •
Имеются два типа дыр: глубокие, или октаэдральные, дыры,
') Это определение задает hep-упаковку не в R3, а в гиперплоскости R,
определяемой условием Х\ + х2 + Хз = 0. —Прим. перев.
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п
149
Таблица 4.6. Тэта-ряд трехмерной плотной
гексагональной упаковки. Таблица дает значения
N(m) для m = A0r + s)/3
10r\.i
0+
10+
20+
30+
40+
50+
0
1
0
12
12
0
0
1
0
12
24
12
12
24
2
0
6
6
2
0
0
3
12
0
0
12
6
24
4
0
0
0
6
24
18
5
0
12
12
24
12
12
6
6
0
0
6
12
12
7
0
12
12
12
24
24
8
¦->
6
0
0
6
0
9
IS
6
24
24
12
12
такие, как (О, l/л/З, l/л/б), и мелкие, или тэтраэдральные,
дыры, такие, как A/2, 1/л/Т2, \/л/Ы). Тэта-ряд:
G3)
(см. табл. 4.6). 1хли сдвинуть начало координат в глубокую
дыру, то тэта-ряд равен
ehcp(hole) B) = 62 B2/3) {62 B) г|N C2) + бз B) Фз C«)} =
G4)
Дальнейшая информация о трехмерных решетках содержится
в гл. 1 и в работах [Ball], [Сох 18], [Сох 20], [Fej8a] —
[FejlO], (IntlJ, [Kit 4], [Smal], [Wei 2] — [Wei 4], [Wycl],
[Wye 2].
6.6. Двойственные решетки А"п. Решетка, двойственная кАп,
равна
п
А'п= (J ([i] + An); G5)
вот ее порождающая матрица:
G6)
1
1
1
1
п
1
0
0
0
1
0
-1
0
0
1
... 0
... 0
... 0
... -1
1
0
0
0
0
1
п + 1
«4- 1
п+1 п+\
150 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
Эквивалентное определение использует матрицу Грама
л —1 -1 ... -1\
~\ .п ~\:'.~.1 G7)
-1 —1 -1 ... п)
{см. формулу D9) гл. 8), det А = (п + I)", или связанную
с ней квадратичную форму
п п
п Z-i xi — Zj xixp {•")
часто называемую главной формой Вороного первого типа
([Rys 12], [Rys 13]). Используя определение G6), мы видим, что
детерминант равен \/{п + 1), минимальная норма равна п/(п+1),
т = 2 при п=\ ит = 2п-)-2 при п ^ 2.
„«/2
,+ 1)(а-1)/8. G9)
ПЙТГ. (80)
типичная глубокая дыра —
^(-л, -л + 2, -л + 4, .... л-2, л), (81)
плотность покрытия равна
многогранник Вороного является пермутоэдром (см. гл. 21),
его вершины суть перестановки вектора (81). А" = Л, ^ Z,
Л*^Л2) Л* — это объемноцентрированная кубическая решетка
(см. разд. 6.7). Решетка А*п дает наилучшее покрытие для R" при
л = 2, наилучшее решетчатое покрытие при п<5 и наилучшее
известное покрытие при п ^ 23, см. [Ват 1] — [ВатЗ], [Del 4],
[Fewl], [Garni], [Gam2], [Rys 7], [Rys 12], [Rys 13] »).
Типичная промежуточная решетка между Лга и А*п — это
Л,,^], где s — какой-либо делитель я+1. Кокстер [Сох 10]
обозначает ее через Агп, где rs — п-\- 1. Ее тэта-ряд получается
суммированием рядов вида E7) для / = 0, s, 2s, ..., п -j- I —s.
*) См., однако, примечание на с. 58.
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п
151
6.7. Объемноцентрированная кубическая решетка. Как А*3,
так и ?>* (см. § 7) эквивалентны объемноцентрированной куби-
кубической решетке (или Ъсс-решетке), также привычной для хими-
химиков. Простейшее определение получается из D\: bcc-решетка
состоит из всех целочисленных точек (х, у, z), где х, у и z одно-
Таблица 4.7. Тэта-ряд объемноцентрированной
кубической решетки
да
0
3
4
8
11
12
16
19
20
24
27 ¦
32
35
N(m)
1
8
6
12
24
8 ¦
6
24
24
24
.' '32 -
12
48
m
36
40
43
44
48
51
52
56
59
64
67
68
72
N(m)
30
24
24
24
8
48
24
48
72
6
24
48
36
m
75
76
80
83
84
88
91
96
99
100
104
107
108
N(m)
56
24
24
72
48
24
48
24
72
30
72
72
32
m
115
116
120
123
128
131
132
136
139
140
144
147
148
N(m)
48
72
48
48
12
120
48
48
72
48
30
56
24
временно четны или же одновременно нечетны. Порождающая
матрица-—
/2 0 0\
М = 0 2 0 , (83>
М 1 1/
детерминант равен 16, минимальная норма равна 3, т == 8,
минимальные векторы суть (±1,±1,±1), р —д/3/2, плотность
упаковки Д=л; Уз/8—0.6802..., 6=3 V^/32, /?=p л/Щ= л/5/2.
Единственный тип дыр в bcc-решетке — это тэтраэдральные
дыры, такие, как @, 1/2, 1), окруженные четырьмя точками
решетки. Далее,
:= 1.4635...,
многогранники Вороного — усеченные октаэдры (см. рис. 2.2t>
гл. 21). Тэта-ряд:
ьсс B) = 92 DzK + e3 DzK =
(84>
152
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
(см. табл. 4.7). При сдвиге начала координат в дыру тэта-ряд
равен
8<72I/4
(85)
Дальнейшая информация содержится в работах, список кото-
которых приведен в конце разд. 6.5.
§ 7. л-мерные решетки Dn и Dn
7.1. Решетка Z)n. При п ^ 3 положим
А. = {(* , хп) е= Z": jc, + • • • + *л четно}.
Иными словами, Dn получается, если раскрасить точки из Z"
попеременно в шахматном порядке в красный и белый цвет
(-1,-1,0 О)
(О 0,1,-1)
A,-1,0, ...0)
Рис. 4.6. Диаграмма для Dn, изображающая целочисленный базис решетки
корней.
и взять красные точки. Поэтому Dn иногда называется шахмат-
шахматной решеткой. Стандартный целочисленный базис отмечен на
диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.6. Расширяющая
вершина в этом базисе равна @, ..., О, 1, 1), расширенная диа-
диаграмма приведена в последнем столбце табл. 4.1. Из рис. 4.6
мы получаем порождающую матрицу
— 1 —1 0 ... О О
1-1 0 ... О О
О 1 -1 ... О О
о
о о
1 -1
(86)
Детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, контакт-
контактное число т — 2п(п—1), минимальные векторы суть все пере-
перестановки вектора (±1, ±1, 0, ..., 0), /г = 2п + 2, радиус упа-
упаковки p = l/V2, центральная плотность б = 2~(п+2)/2, радиус
§ 7. п-мерные решетки Dn и D*n 153-
покрытия R = py2 при п = 3 и R — pyn/2 при п ^ 4.
Имеются два типа дыр: глубокие дыры, такие, как векторы
склейки [2] при п^4 или векторы склейки [1] при га ^ 4,
и мелкие дыры, такие, как векторы склейки [1] при п^4 и
[2] при п ^ 4. При п = 4 имеется только один тип дыр. Мно-
Многогранники Вороного описаны в гл. 21, а области Делоне в
разд. 4.2 гл. 5. Векторы склейки:
[0] = @, 0, ..., 0), его норма равна 0,
[1] = A/2, 1/2, ..., 1/2), его норма равна га/4,
[2] = @, 0, ..., 1), его норма равна 1,
[3] == A/2, 1/2 —1/2), его норма равна га/4.
Группа склейки при четных га равна группе Клейна Vi ([i] +
-|_[/] = 0), а при нечетных га циклической группе С4 ([1] +
+ [2] = [3]). Группа автоморфизмов:
« = 4: ?0 = 23-4!, gi = 3! (все перестановки [1], [2], [3]),
га =^=4: go = 2n~1 • п\, g[ = 2 (перестановка [1] и [3]).
Группа Go порождена всеми перестановками и переменами зна-
знаков у четного числа координат, G[ порождена переменой знака
у последней координаты и еще (только при п = 4) матрицей
Адамара
1 1
,, 1 -. 1-1
-1 -1
-1 1
Тэта-ряд (см. формулу C7) гл. 2):
ой
/71=0
и в обозначениях D7):
%а \п-%(г)п). (89)
При п = 3 ZK = ^4з — гранецентрированная кубическая решетка
(см. разд. 6.3). Решетки D3, D4 и D5 дают наилучшие возмож-
возможные решетчатые упаковки в размерностях 3, 4 и 5, а также наи-
наилучшие известные упаковки в этих размерностях, однако при
п = 3 и 5 имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки
(см. разд. 6.5 и гл. 5).
154 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
7.2. Четырехмерная решетка D4. Описанная в разд. 1.4 гл. 1
решетка D4 — одна из двух наиболее полезных четырехмерных
решеток (другая — это Л*). Она определяется матрицей (86)
или же, эквивалентно, порождающей матрицей
О О
0 - .
\ (90)
1/2 1/2
Матрица
(91)
переводит первое определение во второе (матрица (90) опре-
определяет также двойственную решетку и4, см. § 7.4, откуда сле-
следует, что Z)*^ZL), Используя определение (86), получаем:
детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, т = 24,
минимальные векторы суть все перестановки (±1, ±1,_0, 0),
h= 10, p=l/V2\ Д = я2/16 = 0.6169..., 6=1/8, Я = рл/2"=1,
типичные глубокие дыры суть (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) и
@, 0,0 ± 1), в = я2/4 = 2.4674.... Многогранник Вороного — это
правильный четырехмерный многогранник, известный как 24-
ячейка или {3,4,3} (см. гл. 21 и [Сох 20, § 8.2]). Три нетри-
нетривиальных смежных класса D4 + [i], i=l, 2, 3, эквивалентны.
Тэта-ряд
<=Ч (г) = \ F3 {zf + 94 (zf) = 62 BгL + е8 {2zf (92)
(см. формулу (89) гл. 7). Решетка ZL — единственная решетка
с такой плотностью.
Используя второе определение, (90), мы видим, что D4 со-
состоит из векторов (a,b,c,d), таких, что а, Ь, с, d все лежат
в Z или же все лежат в Z -f- 1/2. Следовательно, можно рас-
рассматривать ZL как решетку целых кватернионов Гурвица (см.
[Сох 8], [Сох 18, р. 25], [Наг 5, § 20.6], [Hurl]). Таким обра-
образом, на точках решетки вводится структура подкольца в теле.
Как и решетка Эйзенштейна, решетка ZL порождена B,0)
и A,0).
Первые 50 коэффициентов тэта-ряда для D4 (в первом опре-
определении, (86)) приведены в табл. 4.8. Эти коэффициенты явно
§ 7. п-мерные решетки Dn и D*n
155
задаются равенством NBm) = r4Bm), использующим вторую
формулу из D9). Число N Bпг)— это число целых кватернио-
кватернионов с нормой т, функция iVBm)/24 мультипликативна. В обо-
обозначениях Шлефли и Кокстера ?>4 — это правильный улей {3,3,
4,3} (см. [Сох 20, § 7.8]).
Таблица 4.8. Тэта-ряд четырехмерной решетки D*. Таблица дает
значения N(m) для т = 10r + s
r\s
0
2
4
6
8
10
0
1
144
144
576
144
744
2
24
288
768
768
1008
1728
4
24
96
288
24
768
336
6
96
336
576
1152
1056
1296
8
24
192
96
432
288
960
10
144
576
744
1152
1872
1728
12
96
24
336
312
576
192
14
192
432
960
912
1152
1920
16
24
312
192
480
96
720
18
312
480
720
1344
1368
1440
7.3. Упаковка Dt. Радиус покрытия решетки Dn растет с рос-
ростом п, и при п = 8 ои становится равен минимальному рас-
расстоянию между точками решетки. Поэтому при «>8 мы мо-
можем втиснуть второй экземпляр Dn между точками из Dn, вдвое
увеличивая число точек (и плотность) без уменьшения расстоя-
расстояния между ними! Дадим формальное определение:
-Dn). (93>
Упаковка Dt является решеткой тогда и только тогда, когда
п четно. Dt — это тэтраэдральная, или алмазная, упаковка
(см. разд. 6.4), Dt ^ Z4. Эта конструкция особенно важна при.
п = 8, решетка Dt известна в обозначении Е8 (см. разд. 8.1).
Объем многогранника Вороного Dt равен 1, минимальная!
норма равна п/4 при п<8и2 при п ^ 8, центральная плот-
плотность б = (У/Г/4)" при п<8и8 = 2~п'2 при п > 8, контактное
число т = 2п~[ при п^7, х = 240 при п==8 и х = 2п(п—1>
при п ^ 9, тэта-ряд равен
(94>
7.4. Двойственная решетка Z)*
D*n^Dn U (Ш + Dn) U ([2] + Dn) U A3] + Dn).
156
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
Порождающая
матрица
м —
равна
1
0
0
1/2
0 ..
1 ..
0 ..
1/2 .
. 0
. 0
. 1
• 1/2
0
0
0
1/2
(95)
детерминант равен 1/4, минимальная норма равна 3/4 при га = 3
и 1 при п ^ 4^ т = 8 при п = 3, т = 24 при я=4 ит = 2л при
п > 5, р = лЛГ/4, б = 3К52-5 при п = 3_? б = 2-е-1) при га > 4,
/?=p«1/2/V2 при четном га, # = pV5/3 при га = 3 и # =
= рB—1I/2/2 при нечетном га ^ 5, многогранник Вороного
описан в гл. 21. Тэта-ряд равен
e2(z)" + e3(zr. (96)
Решетка D*3 — это объемно центрированная кубическая решет-
решетка (см. разд. 6.7), и Z)* = D4.
§ 8. Решетки Е6, Е7 и ?8
8.1. Восьмимерная решетка Ев. Существование четной уни-
модулярной 8-мерной формы сначало было установлено некон-
неконструктивно в [Smi 6, р. 521], явная конструкция была дана в
[Ког 1] —[КогЗ] и в [MinO]. В 1900 г. Госсет [Gos 1] был,
по-видимому, первым, кто начал изучать саму решетку Eg. Ре-
Решетка Es = Ds является частным случаем семейства упаковок,
построенного в разд. 7.3, поэтому ее можно назвать 8-мерной
алмазной решеткой. В четной системе координат решетка Е&
состоит из точек
{(лг, xs): все ^eZ или все xt e Z + 1/2, X х{ з= 0 (mod 2)}.
(97)
Нечетная система координат получается переменой знака у лю-
любой координаты: точки решетки ?8 суть
{(хи ..., xs): все xt e Z или все xt e Z + 1/2,
?** 3*2*8 (mod 2)}. (98)
Стандартный целочисленный базис (в нечетной системе коор-
координат) указан на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.7.
Расширяющая вершина равна A/2, (—1/2O), расширенная
диаграмма приведена в последнем столбце табл. 4.1. Порож-
§ 8. Решетки Ев, Е7 и ?8
157
дающая матрица (в четной системе координат) равна
20000000
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
м =
1
о
о
о
о
о
1/2
1
1
О
о
о
о
1/2
1
-1
О
о
о
1/2
1
— 1
О
о
1/2
1
-1
О
1/2
О
1
— 1
О
О
О
О
1
о
о
о
о
о
1/2 1/2 1/2
(99)
детерминант равен 1, минимальная норма равна 2, контактное
число т = 240, минимальные векторы суть ((±1J,06), а также
I 5 | 3
— -— )
@,-1,1,0*)
(-1.1,0е)
(О2,-1,1,04)
(О6,-1,1)
Рис. 4.7. Диаграмма для ?8> изображающая целочисленный базис решетки
корней в нечетной системе координат. Базис в четной системе координат по-
получается изменением знаков при любом нечетном числе координат (например,
при последних трех).
векторы ((±1/2)8), имеющие четное число минусов в четной
системе координат (или нечетное число минусов в нечетной си-
системе координат). Число Кокстера h = 30, радиус упаковки
p=l/V2, плотность упаковки А = я4/384 = 0,2537..., 6 =
= 1/16, радиус покрытия R = p^2 = l, плотность покрытия
в = я4/24 = 4.0587..., многогранник Вороного двойствен к мно-
многограннику 42i (см. гл. 21 и [Сох 20, § 11.8]). Решетка Е& имеет
два типа дыр: глубокие дыры, такие, как (О7, 1) (половинки
векторов с нормой 4), окруженные 16 точками решетки, и мел-
мелкие дыры, такие, как (A/6O, 5/6), окруженные 8 точками ре-
решетки (см. рис. 21.8). Е*8~Е8, поэтому склейки нет (точнее го-
говоря, единственный вектор склейки [0] =@8)).
Е& — это единственная решетка с такой плотностью и мини-
минимальной нормой [Vet 2]. Группа автоморфизмов: go = 21435527=
= 696729600, gi = \. Группа Go — группа Вейля W(E8), по-
порожденная (в четной системе координат) всеми перестанов-
перестановками восьми координат, всеми четными заменами знаков и
158 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
матрицей
diag [ff«, ff«] A00)
(см. разд. 7.1). См. также [Сох 20], [Сох 28], [Edg3].
Решетка Е& получается применением конструкции А к коду
Хэмминга 5^8 (см. разд. 2.5 гл. 5 и пример 5 гл. 7). Минималь-
Минимальные векторы (после перенормировки) суть 24-14 = 224 вектора
вида ((±1/2L,04), где ненулевые координаты расположены в
носителе кодового слова минимального веса в 36%, вместе
с 16 векторами (±1,07). Это определение лучше всего подходит
для отождествления Е8 с целыми числами Кэли или октавами,
([ВП5], [ВН6], [Con 16, р. 85], [Сох 9], [Сох 17], [Сох 18,
ch. 2]). Пусть координаты обозначены оо, 0, 1, 2, ..., 6, как
в п. 2.4.2 гл. 3. Вещественная алгебра Кэли порождена «чис-
«числами» too = 1, to, t"i, ..., /в, удовлетворяющими условию, что для
четверок {а, Ь, с, d} — {oo, 1, 2, 4}, ..., {оо, 0,1,3} из списка E6)
гл. 3 (соответствующих минимальным векторам кода Ж%, содер-
содержащим оо) множества {ia, 1ь, U, id} = {1, /, /, k} порождают иод-
алгебру кватернионов. Таким образом, iii$ = U, Ы\ = —ц>
iih = io и так далее. Целые числа Кэли — это элементы подре-
шетки в Е8, порожденной векторами вида ((±1/2L,04), для
которых выделенные множества из четырех координат полу-
получаются из списка E6) гл. 3 заменой оо на 0 и наоборот, а так-
также взятием дополнений. Минимальные векторы переходят при
этом в 240 обратимых элементов (с нормой 1) в алгебре Кэли.
С другой стороны, Ея можно отождествить с кольцом ико-
сианов, что описывается в § 2 гл. 8. В табл. 8.1 приводятся
названия икосианов, соответствующих 240 минимальным векто-
векторам. Кватернионная конструкция для Ег дается матрицей G7)
гл. 2. Тэта-ряд:
в?8 {г) = \ (Э2 {zf + 93 (zf + 64 (zf) =
= 92 Bг)8 + 14в2 Bzf 93 BгL + 93 Bг)8 =
= X NmQm = 1 + 240<72 + 2160^4 + ..., A01)
A02)
где
<уг (т) = ? dr A03)
d \m
(см. табл. 4.9). Число Nm равно числу целых чисел Кэли с нор-
нормой т/2, функция ЛГт/2/240 мультипликативна. Если сдвинуть
§ 8. Решетки Ее, Е7 и ?а
159
Таблица 4.9. Тэта-ряды решеток Госсета ?6, Е7 и
m
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
14
36
3S
40
42
44
46
4S
50
л/-„,и?6)
1
72
270
720
936
2160
2214
3600
,4590
6552
5184
10800
9360
12240
13500
17712
14760
25920
19710
26064
28080
36000
25920
47520
37638
43272
JVm(?7)
1
126
756
2072
4158
7560
11592
16704
24948
31878
39816
55944
66584
76104
99792
116928
133182
160272
177660
205128
249480
265104
281736
350784
382536
390726
iVm(?8)
I
240
2160
6720
17520
30240
60480
82560
140400
181680
272160
319680
490560
527520
743040
846720
1123440
1179360
I635I20
1646400
2207520
2311680
2877120
2920320
3931200
3780240
m
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
JVM(?6)
45900
59040
46800
75600
51840
69264
73710
88560
62208
108000
85176
98640
97740
122400
88128
151200
110700
133200
140400
157680
114048
198720
147600
176472
162270
JVm(E7)
470232
505568
532800
615384
640080
701568
799092
809424
853776
1006992
IO5I974
1031688
1195992
1286208
1313928
1469664
1474704
1547784
1797768
1776600
1809360
2104704
2130968
2123982
2382156
Nm (?8)
4747680
4905600
6026880
5853600
7620480
7150080
8987760
8951040
10614240
10402560
13262640
12156960
14817600
14770560
17690400
16541280
20805120
19O8I92O
23336640
22891680
26282880
24917760
31456320
28318320
34022160
начало координат в глубокую дыру, то тэта-ряд будет равен
со
©Я. (hole) (*> = Т № (*)8 + 9з (Z)8 ~ % (*?) = ^ V =
A04)
A05)
Ю24?4
<=16{a8(m)-a8(/n/2)},
причем считается, что стз(х) = 0, если х не целое.
В табл. 4.10 приводятся координаты типичных векторов
в первых восьми оболочках решетки Es. Полный список векто-
векторов получается применением к векторам этой таблицы произ-
произвольных перестановок и перемен знаков с условием, что для
векторов, перед которыми стоит символ Е (соответственно D),
требуется четное (соответственно нечетное) число минусов (в
четной системе координат). Группа Go транзитивно действует
на множествах векторов с нормами 2, 4, 6, 10 и 12 (и имеет
160
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
две орбиты при действии на векторах с нормой 8: такой вектор
может быть удвоенным вектором решетки, а может и не быть;
векторы из второй орбиты суть утроенные мелкие дыры).
Таблица 4.10. Первые 8 оболочек решетки ?$
Норма
0
2
4
6
S
Ю
12
14
16
Количество
1
240
2160
6720
17520
30240
60480
82560
140400
Векторы
О8.
1206,?A/2)8.
207, 1404,/>C/2)A/2O.
2120s, 1602,?C/2JA/2N.
2206, 21403, I8, ?>C/2K(l/2)s, ?E/2)A/2O.
3106, 221204, 2160. ОE/2)C/2)A/2N, ?C/2LA/2L.
31304, 2305, 221402, ?E/2)C/2JA/2M, DC/2)s(l/2K
3210s, 315О2,231203, 2216, DG/2)(l/2O,
Е E/2JA/2N, D E/2)C/2K(l/2L, Е C/2NA/2J.
407, 3213О3, 317, 2404, 2314О, ЕG/2) C/2) A/2N,
D E/2J C/2) A/2M, Е E/2) C/2L A/2K, D C/2OA/2).
Дальнейшая информация о Е6, Е7 и Eg содержится в после-
последующих главах и в работах [Boul], [Сох 10], [Сох 18],
[Сох 20], [Сох 28], [Haz 1].
8.2. Семимерные решетки Е7 и Е*. Векторы в Eg, перпенди-
перпендикулярные к произвольному фиксированному минимальному век-
вектору v e Es, образуют решетку Е7:
?7 = {*е= ?8: х- v = 0}. A06)
Имеется несколько возможных систем координат. Используя
четную систему координат для Eg и полагая у = (A/2)8), полу-
получим выражение
= {(хи ..., х8) е Еъ:
= 0};
A07)
используя нечетную систему координат и d = (A/2O,—1/2),
получим
Е7 = {(х„ ..., х8) s Es: E xt = 2x8}, A08)
а выбор (в любой системе координат) вектора у = (О6, 1,—1)
приводит к выражению
...,*8)е=?8: х7 = х8}. A09)
Стандартный целочисленный базис (в определении A07)) отме-
отмечен на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.8. Расширяю-
Расширяющая вершина " равна (О6,—1,1). Порождающая матрица ре-
§ 8. Решетки ?е, Ег и ?s
161
шетки Е7, определяемой формулой A07), равна
М =
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
(ПО)
1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 —1/2
Еще одно определение (см. разд. 2.5 гл. 5) приводит к порож-
порождающей матрице
2 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
1110 10 0
0 1110 10
A11)
0 0 1110 1
Для определений A07) и (ПО) детерминант равен 2, мини-
минимальная норма равна 2, т = 126, минимальные векторы суть
(-1,1,0е)
о—
(o3,-i,i,o3) to5, -1,1,0)"
Рис. 4.8. Диаграмма для Ет, изображающая целочисленный базис решетки
корней в системе координат A07).
56 векторов вида A,-1, О6) и 70 вида (A/2L, (-1/2У), Л=18,
р=1/У2, Д = зх3/105 = 0.2953..., 6= 1/16, # = рУз = Уз/2 '
типичная глубокая дыра — это вектор склейки [1], многогран-
многогранник Вороного описывается в гл. 21. Векторы склейки:
[0] = @, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), его норма равна 0,
[1] = A/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, -3/4, -3/4), его норма равна 3/2.
162
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойстеа
Группа склейки равна Сч. Группа автоморфизмов: <20 — это
группа Вейля W(E7), ее порядок go = 2I0-34-5-7 = 2903040,
Gi = 1. Е7 — единственная решетка с этой плотностью [Vet 2],
но имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см.
разд. 4.2 гл. 5). Тэта-ряды (см. табл. 4.9):
вв, (г) = в3 BzO + 763 BzK 62 BzL =
= 1 + 126g2 + 756<74 + 2072<76 + .... A12)
вЕ,+1,] (г) = 62-BzO + 762 {2zf 63 Bz)« =
+ 576<77'2 + 1Б12?11'8 + 4032д15/2 +
/ + .... A13)
Другие конструкции появятся в гл. 5.
Двойственная решетка
имеет порождающую матрицу
М =
1
0
0
0
0
0
-3/4
1
1
0
0
0
0
-3/4
0
1
—1
0
0
0,
1/4
0
0
1
-1
0
,0,
1/4
0
0
0
1
-1
, о,
;1/4:
0
0
0
0
1
-1
1/4
0
0
0
0
0
1
1/4'.
0
0
0
0
0
0
1/4
A15)
детерминант равен 1/2, минимальная норма равна 3/2, г = 56,
минимальные векторы суть ±(A/4N, (—3/4J), p = V3/8»
^ = р д/7/3 = V7/8 . типичная глубокая дыра — это G/8,
(—1/8O), ее образы — это вершины многогранника Вороного
(см. [Wor2]). Тэта-ряд является суммой рядов A12) и (ИЗ).
8.3. Шестимерные решетки Е6 и 2?J. Векторы из Es, перпен-
перпендикулярные к любой подрешетке V типа А2, образуют ре-
решетку Е6:
E6 = {x<=Es- x-v = 0 для всех v<=V}. (П6)
Опять имеется несколько возможных систем координат. Ис-
Используя для Е8 четные координаты и полагая V= <A, О6, 1),
A/2)8>, получаем выражение
?6 = {(*,, •.., хь)(=Еь: х, + *8 = *2+ •¦• +х7 = 0}, (Н7)
§ 8. Решетки Ее, Е7 и Es
163
а выбор (в любой системе координат) У=<@5, 1,—1,0),
(О6, 1,—1)> приводит к выражению
Стандартный целочисленный базис (в определении A17)) по-
показан на диаграмме Кокстера — Дынкина иа рис. 4.9. Расши-
(-L\-J-4>
@,-1,1.0»)
-о.
Рис. 4.9. Диаграмма для Ее, изображающая целочисленный базис решетки
корней в системе координат A17).
ряющая вершина равна (—1;06;1). Из рис. 4.9 мы получаем
порождающую матрицу
М =
0
0
0
0
0
1/2
— 1
0
0
0
0
1/2
1
-1
0
0
0
1/2
0
1
-1
0
0
1/2
0
0
1
—1
0
-1/2
0
0
0
1
— 1
-1/2
0
0
0
0
1
-1/2
0
0
0
0
0
—1
A19)
Решетка Е6 может быть легко построена как трехмерная
комплексная решетка — решетка над целыми числами Эйзен-
Эйзенштейна (см. разд. 2.6 гл. 2). Порождающая матрица для этой
конструкции равна
е о о\
о е о I, A20)
ill/
где 9 = ю — co = V—3.
Используя определения A17) и A19), получаем, что детер-
детерминант равен 3, минимальная норма равна 2, г = 72, мини-
минимальные векторы суть 30 векторов вида @;1,-—1, О4; 0), 40 —
вида ±A/2; A/2)8, (—1/2K;—1/2) и 2 —вида ±A;^6;—1),
h = 12,_?= 1/д/2", А = ^/48V3 =0.3729..., 6=l/8V3, R =
= pV8/3, типичная глубокая дыра — это вектор склейки [1]5
164 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
многогранник Вороного приводится в гл. 21. Векторы склейки:
[0] = @; 0, 0, 0, 0, 0, 0; 0), его норма равна 0,
[1] = @; —2/3, —2/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3; 0), его норма равна 4/3,
[2] = —[1], его норма также равна 4/3.
Группа склейки равна С3. Группа автоморфизмов: Go — это
группа Вейля W(E6), ее порядок go — 27-34-5 = 51840, <?i =
= С2 (порождена обращением знака). (См. [Coxl], [Сох 7],
[Сох 13].) ?6 — единственная решетка с такой плотностью
([Ваг7], [Vet2]), но имеются столь же плотные нерешетчатые
упаковки (см. разд. 4.2 гл. 5). Тэта-ряды (см. табл. 4.9):
в*6 B) ¦= Ф0 BK + Т {Фо B/3) - Фо (Z)}3 =
= 1+72<72 + 270<74 + 720<76+..., A21)
вв. B) = -|- [ф0 (г/3)8 + ± {Зф0 B) - ф0 B/3)f] =
+ 432910/3 + 270<?4 +
720<76 + 2160922/3 + ..., A22)
459<716/3. A23)
(Формула A21) следует из определения A20), что показано
в гл. 7, а A22) выводится из A21) посредством A8).)
Двойственная решетка
Е,) A24)
имеет
X Ж
м =
порождающую
0
0
0
0
0
1/2
-1
0
0
0
2/3
1/2
1
-1
0
0
2/3
1/2
матрицу
0
1
-1
0
-1/3
1/2
0
0
1
-1
-1/3
-1/2
0
0
0
1
-1/3
-1/2
0
0
0
0
-1/3
-1/2
0
0
0
0
0
—1
A25)
Как трехмерная комплексная решетка El порождается матри-
матрицей
•9 0 0\
М' = \ 1-1 0 . A26)
§ 9. Двенадцатимерная решетка Кокстера—Тодда Ки
165
Используя определение A25), получаем, что детерминант
равен 1/3, минимальная норма равна 4/3, т = 54, минимальные
векторы суть 30 векторов вида ± @; (—2/3J, A/3L; 0) и 24 ви-
вида ±(±1/2; (—1/6M, 5/6; =Fl/2), р=1/Уз, радиус покрытия
.# = рV2 = V2/3 соответствует глубокой дыре @; 1,1,1,-1,
— 1, —1; 0)/3, образы которой суть вершины многогранника Во-
Вороного (см. [Wor 1]). Тэта-ряд задается формулой A22).
§ 9. Двенадцатимерная решетка Кокстера — Тодда Кп
Все упоминавшиеся до сих пор решетки были известны
в девятнадцатом столетии; теперь мы переходим в двадцатый
век. Группа автоморфизмов решетки К\2 была открыта Мит-
Митчеллом в 1914 г. [Mit3], а сама решетка была впервые явно
описана Кокстером и Тоддом в 1954 г. [Сох 29]. Подобно Е6,
решетка /Ci2 обладает простым комплексным описанием. /Ci2 —
это вещественная форма 6-мерной комплексной решетки над
числами Эйзенштейна, порожденной векторами
(±е,
A27)
где 8 = 0 — co = V—3 может стоять на любом месте и число
минусов четно. Другое определение (см. пример 10а гл. 7) ис-
использует гексакод (см. п. 2.5.2 гл. 3 в варианте, задаваемом
матрицей F4)), что соответствует порождающей матрице
A28)
(См. также пример 11с гл. 7.) В определении A27) решетку
К\2 можно рассматривать как множество векторов решетки
Лича вида
A29)
2
0
0
1
ш
со
0
2
0
ш
1
со
0
0
2
ш
ш
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
«1
»1
fl
«2 ...
V2 ...
Vt ...
tJ ...
«6
V6
Щ
166
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
(см. гл. 6). Матрица A29) соответствует вектору
0
Х\
У\
Z\
0 ..
х2 ..
2/2..
г%..
. 0
. хв
¦ Ув
• «в
решетки Кц- Например, вектор решетки Лича с Vi = «2 = • • •
... = и6 = 2, щ = v2 = ... =ие = 0 соответствует @,15)/У2.
Решетку /Ci2 можно также получить как множество векторов
решетки Лича вида
A30)
где xi + t)i + Zi = 0, i = 1, ..., 6 (см. рис. 6.3). Используя опре-
определение A27) получаем, что детерминант равен 729, минималь-
минимальная норма равна 4, контактное число г = 756^ минимальные
векторы суть 576 векторов BHflaa>v(±8, 1S)/V2, v = 0, 1, 2,
с четным числом минусов и 180 — вида ov(±22, 04)/V2~> ра-
радиус упаковки р = 1, плотность Д_= л6/19440 = 0.04945..., S =
= 1/27, радиус покрытия i? = p У8/3, типичная глубокая дыра
имеет вид D/9, 05)/У2. Многогранник Вороного имеет 4788 гра-
граней, из них 756 соответствуют минимальным векторам, а 4032 —
векторам следующей оболочки [Con 38, th. 3]. Как комплекс-
комплексная решетка над числами Эйзенштейна решетка Ki2 целочис-
ленна и унимодулярна, поэтому (как вещественные решетки)
K*i2^Ki2- Ее группа автоморфизмов как вещественной решетки
имеет порядок 210-37-5-7 = 78382080. Ее автоморфизмы, сохра-
сохраняющие комплексную структуру, образуют комплексную груп-
группу отражений Митчелла вдвое меньшего порядка (эта группа
изоморфна группам 6-РЙГC)-2 и 6-PSU(b) -2). Группа Мит-
Митчелла обозначается еще 6-[/4C)-2, 6-ЯОD,32)-2 [Die 1],
[21; З]2 (см. [Shel]), [3 2 I]3 (см. [ВепО]) и W{K6) [Cohl].
Она имеет номер 34 в списке Шефарда и Тодда [She 2]. См. так-
также [Edg I], [Edg2]. Тэта-ряд:
B) =
45Фо BгJ Ф| Bг)« + 18q>, Bzf =
+ 4032<76 + 20412q8 + • • •
A31)
(см. табл. 4.11). Дальнейшая информация содержится в после-
последующих главах и в работах [Con 37], [Con 38], [Fei2], [Ham 1]>
[Наг 6], [Наг 7], [Lin 6], [Lin 7], [Todl], [Tod 2].
§ 10. Шестнадцатимерная решетка Барнса—Уолла
167
Таблица 4.11. Тэта-ряд 12-мерной решетки
Кокстера — Тодда Кп
m
0
4
6
К
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
Mm)
1
0
756
4032
20412
60480
139860
326592
652428.
1020096
2000376'
3132864
4445532
7185024
10747296
13148352
21003948
27506304
35724404
m
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
Mm)
48009024
64049832
70709184
102958128
124782336
142254252
189423360
237588120
248250240
344391264
397510848
433936440
554879808
671393772
677557440
908374824
1018507392
1079894844
§ 10. Шестнадцатимерная решетка Барнса — Уолла Ai6
Эта решетка, по-видимому, была впервые опубликована
Барнсом и Уоллом [Ваг 18] в 1959 г. и с тех пор переоткрыва-
переоткрывалась многими авторами. Имеется несколько конструкций. Кон-
Конструкция В из гл. 5, примененная к коду Рида — Маллера пер-
первого порядка длины 16, приводит к порождающей матрице, изо-
изображенной на рис. 4.10, для которой детерминант равен 256,
минимальная норма равна 4, контактное число т = 4320,
минимальные векторы суть 480 векторов вида 2~1/2(±22,014)
и 3840 — вида 2~1/2(±18, О8), где ±1 расположены в носителях
одного из 30 кодовых слов веса 8 кода Рида — Маллера пер-
первого порядка и число минусов четно. Радиус упаковки р= 1,
плотность А = я8/16-8! = 0.01471..., 6=1/16, радиус покры-
покрытия # = рд/3, типичная глубокая дыра — это 2-1/2A6,010), где
шесть единиц расположены в глубокой дыре кода Рида — Мал-
Маллера первого порядка (они соответствуют «максимально нели-
нелинейным» функциям от четырех переменных [Мае 6, гл. 14]),
¦см. § 5 гл. 6. Тэта-ряд (см. табл. 4.12):
©л,. B) = y {&, BгI6 + 93 BгI6 + 94 BгI6 + 30 92 Bг)8 93 Bг)8} =
= 1 -f 4320<74 + 61440<76 + A32)
168
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
1
л
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
t
t
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
t
1
2
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
2
0
0
0
0
0
1
0
1
1
2
0
0
0
1
0
1
0
1
2
0
0
1
1
0
i
i
2
0
0
1
1
0
1
0
2
0
0
1
t
1
1
0 !
0 0 1
I 0 0 t _
11A1
Рис. 4.10. Порождающая матрица 16-мериой решетки Барнса—Уолла A[6.
Последние пять строк задают порождающую матрицу для кода Рида—Мал-
лера первого порядка длины 16.
Таблица 4.12. Тэта-ряд 16-мерной
решетки Барнса — Уолла Aie
m
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
1
0
4320
61440
522720
2211840
8960640
23224320
67.154400
135168000
319809600
550195200
1147643520
1771683840
3371915520
4826603520
m
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
8593797600
11585617920
19590534240
25239859200
40979580480
50877235200
79783021440
96134307840
146902369920
172337725440
256900127040
295487692800
431969276160
487058227200
699846624000
776820326400
Решетка Ai6 может быть построена исходя из решетки Лича
Л24. Имеются инволютивные симметрии Л24, инвариантное под-
подпространство которых 16-мерно, часть Л24, попадающая в это
§ 11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича Лм 16©
подпространство, и есть экземпляр Aig. Группа автоморфизмов
решетки Ли является централизатором такой инволюции в
группе автоморфизмов решетки Л24 по модулю этой инволюции.
Порядок g этой группы равен 221-35-52-7 = 89181388800, а
структура есть 21+8-О^B), где О^ B) — простая группа по-
порядка 212-35-52-7 = 174182400.
Решетка Л]6 может быть получена применением конструк-
конструкции С (или D) к последовательности двоичных кодов [16, 1, 16],
[16,11,4], [16,16,1] или же к последовательности [16,5,8],
[16, 15,2] (см. разд. 3.4 гл. 5, пример 7 гл. 7 и разд. 8.2 гл. 8).
Другие конструкции содержатся в § 4 гл. 6 и в § 4 гл. 8, где
Ai6 появляется как самодвойственная решетка над Х[1/Ц
Из последней конструкции ясно, что
§11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича А;
24
Эта решетка была открыта Личем [Lee 5] в 1965 г. В этой
книге мы приведем несколько конструкций. Следующее опре-
определение, вероятно, самое простое. Мы сформулируем его в трех
эквивалентных формах.
(i) Решетка Лича А24 порождена векторами вида
^ТЗ, ±1»), A33)
где +3 может стоять в любой позиции, верхние знаки берутся
в некотором «^-множестве» позиций, т. е. в множестве коор-
координат, где у некоторого кодового слова двоичного кода Голея
Ф24 СТОИТ 1.
(и) Эквивалентно, обозначим координаты символами оо, 0,
1, ..., 22, и пусть Q — множество ненулевых квадратичных вы-
вычетов по модулю 23. Решетка A2i порождается векторами
аB12, О12), 23 вектора с носителями на сдвигах {{0}(JQ} + i,
а(—3, I23), единственный вектор,
а (± 42, О22), 2-24-23 векторов,
где a=l/V8 (см. разд. 3.2 гл. 10).
(ш) Эквивалентно, А24 состоит из векторов
a@ + 2c + 4*), A35)
аA+2с + 4у), A36)
гдеа=1/У8~, 0 = @24), 1=A24), с е ?24 (мы сейчас рассматри-
рассматриваем компоненты с как вещественные нули и единицы, а не как
170 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
элементы из F2) и элементы х, у е Z24 удовлетворяют условиям
X Xi = 0 (mod 2), X ?/< = I(mod2). Векторы вида A35) назы-
называются четными, а вида A36) — нечетными. (См. разд. 4.4 гл. 5.)
Другие конструкции решетки Лича приводятся в разд. 5.7
гл. 5 (с помощью квадратично-вычетного [24, 12,9]-кода или
кода Плесе над Рз), в § 6 гл. 6 (как слоистой решетки), в при-
примере 12 гл. 7 и в разд. 3.6 гл. 10 (как 12-мерной комплексной
решетки с использованием [12, 6, 6]-кода Голея над Рз)> в § 2
гл. 8 (как трехмерной решетки над икосианами, аналог кон-
конструкции Турина кода $?24)> в § 3 гл. 8 (с помощью конструк-
конструкции А/ — обобщения конструкции А), в § 5 гл. 8 (конструкция
Маккея по матрице Адамара порядка 12), в разд. 7.3Ь гл. 8
(конструкция Крэйга как идеала в круговом поле Q(e23t'/39))t
в разд. 7.5 гл. 8 (конструкция Томпсона по круговому полю
Q(е2зТ(/23)), в гл. 11 (MOG-определение, см. ниже); в гл. 17
(формула G), по D2i), в гл. 17 и в § 5 гл. 18 (как решетки, со-
соседней с Л2<); в гл. 24 (двадцать три конструкции, по одной
для каждой решетки Нимейера!), в теоремах 1, 2 и 3 гл. 26
(три конструкции решетки Лича как гиперболической решетки)
и в теореме 1 гл. 27 (как диаграммы Кокстера группы авто-
автоморфизмов гиперболической решетки II25,i)-
В известном смысле конструкция, приводимая в § 6 гл. 6,
проще всех прочих, так как она утверждает, что решетка Лича
может быть построена «индуктивно»: начнем с 1-мерной ре-
решетки целых и будем каждый раз продолжать уже построен-
построенную решетку до плотнейшей решетки в следующей размерно-
размерности. Построенные таким образом решетки изображены на
рис. 6.1; в размерности 24 получается решетка Лича. Это кон-
конструкция «с пустым входом»! Другая такая конструкция дает-
дается в гл. 27.
Однако для вычислений с решеткой Лича удобнее всего ис-
использовать MOG-координаты (координаты «чудесного генера-
генератора октад»), которые устроены в виде прямоугольника 4X6.
MOG-координаты для ^-множеств получаются из кодовых слов
гексакода (см. п. 2.5.2 гл. 3) заменой каждого символа на
столбец длины 4, как показано на рис. 4.11. ^-множества полу-
получаются либо с помощью нечетной интерпретации каждого сим-
символа любым способом, при котором верхний ряд содержит не-
нечетное количество точек, либо с помощью четной интерпрета-
интерпретации любым способом, при котором верхний ряд содержит
четное число точек. Решетка Лича порождается векторами
(±2В, О16), носитель которых является ^-множеством и число
минусов в которых четно, и вектором (—3, I23). MOG-массивы
подробно изучаются в гл. 11.
§ 11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича
171
Порождающая матрица для Л24, приведенная на рис. 4.12,
совместима с MOG-координатами. Для Л24 детерминант ра-
равен 1, минимальная норма равна 4, контактное число т =
= 196560, минимальные векторы суть 27-759 = 97152 векторов
*
*
к
*
*
*
*
*
X
X
1 ш
НЕЧЕТНЫЕ
1 ш
ЧЕТНЫЕ
Рис. 4.11. Два нечетных представления цифры — это множества слева и их
дополнения. Аналогично, два четных представления — это множества справа
и их дополнения.
вида 8-1/2(±28,016), где ±2 стоят на местах, соответствующих
одному из 759 кодовых слов веса 8 в <&м, и имеется четное
число минусов, 24-212 == 98304 векторов вида A33) и 2-24-
•23= 1104 вида 8~1/2(±42, О22). Векторы в первых трех оболоч-
оболочках приведены в табл. 4.13, без указания знаков (см. также
разд. 3.2 гл. 10). Первые пятнадцать описаны иа с. 181 книги
8
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
2
4
2
2
2
4
2
2
2
0
0
0
-3
0
4
00
0
04
0
0
0
0
2
0
0
0
2
С
2
0
0
0
0
0
4
00
00
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
0 0
0
0
2
2
0
0
1
2
0
0
2
0
0
1
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0
40
0
0
2
0
4
0
2
0
00
0
0
0
0
00
2
2
2
2
0
00
00
0
0
00
0
0
4
2
0
0
0
0
0
0
2
00
00
2
2
2
2
0
0
1
0
2
0
0
0
0
!
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
00
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
0
0
0
00
4
0
0
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
1
0
4
0
2
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
00
00
00
0
0
0
0
0
0
4
2
2
2
00
0
0
0
0
00
0
0
00
0
0
0
0
0
0
000
00
00
00
0
2
0
0
00
0
0
0
2
2
2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
00
00
0
2
0
I
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ооо
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
4
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
00
0
2
0
1
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
1
000
0
0
0
00
00
00
000
0
00
000
0
0
0
0
00
00
00
0 0
00 0
0
0
0 0
0.0
00 0
0
0
0
0
0
0
2
0
1
0 0
00
00
0 0
00
0 0
00
2 0
1 1
Рис. 4.12. Порождающая матрица 24-мерной решетки Лича Л24 в стаидартных
MOG-координатах (строки матрицы разбиты на блоки по 4, соответствую-
соответствующие столбцам MOG, читаемым сверху вниз).
172
Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
Таблица 4.13. Векторы в первых трех оболочках решетки Лича.
Л(п), — это векторы Лича нормы In (или типа п) и вида i;
знаки не изображены
Класс
А@),
АBJ
VBK
А BL
АО) 2
ЛC)з
АCL
AC)s
Вид
(О24)
B8О16)
C123)
D2О22)
B12О12)
C3121)
<42«О15)
E123)
Количество
27 ¦ 759
212 • 24
22
2П-2576
з|
28 • 759 • 16
212-24
Класс
АDJ+
ЛDJ-
АDK
А DL
АDL+
АDL_
АDM
АDN
АD)8
Вид
B1608)
B1608)
(Э»1»>
D4020)
D228014)
D2120и)
E32121)
F27016)
(8 О23)
Количество
2п-759
211 • 759 •
*t?J
29 ¦ 759 •
212 • 2576 •
2'2 И"
27 ¦ 759 •
21 -24
15
г]
12
3
8
[Con 16]. Радиус упаковки р = 1, плотность упаковки А =
= я'712! = 0.001930..., 6=1, радиус покрытия Я = -л/2р =
= д/2, имеется 23 типа глубоких дыр (см. гл. 23), один из
которых — это в-1''2D,023) («октаэдральная» дыра, окруженная
48 точками решетки), и 284 типа мелких дыр (см. гл. 25).
Плотность покрытия 0 = BяI2/12! = 7.9035... . Многогранник
Вороного имеет 16969680 граней, из них 196560 соответствуют
минимальным векторам и 16773120 — векторам следующей обо-
оболочки (см. [Con 38] или теорему 10 гл. 21). Л24 — единствен-
единственная целочисленная решетка с детерминантом 1 и минимальной
нормой 4 (см. гл. 12). Ее группа автоморфизмов Со0 (или -0)
имеет порядок
222 • З9 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 = 8315553613086720000 A37)
(см. гл. 10 и 11). Тэта-ряд:
2)= A38)
= 1 {82 (г)8 + 83 (z)8 + 84 B)8}3 - i| {82 (z) 83 (z) 84 (г)}8 =
A39)
~\24 i_ о c~\24\ "" fa t~\ a /~\ Q /-,\\8
Z) ~\- o4 \Z) ) rjr \D2 \Z) 03 \Z) D4. \Z)f —
A40)
= ? N(m)qm = 1 + 196560<74 + 16773120?6 + ..., A41)
m=0
§11. Двадцатичетырехмврная решетка Лича Л24
173
где (см. формулу E3) гл. 2)
A42)
функции А24B) и х(п) определены формулой C9), а Сц(/г) —
формулой A03). Первые 50 коэффициентов N(m) приведены
в табл. 4.14. Разложения первых 20 из них на простые множи-
Таблица 4.14. Тэта-ряд 24-мерной решетки Лича
m N(m)
0 1
2 0
4 196S60
6 16773120
8 398034000
10 4629381120
12 34417656000
14 187489935360
16 814879774800
18 2975551488000
20 9486551299680
22 27052945920000
24 70486236999360
26 169931095326720
28 384163586352000
30 820166620815360
32 1668890090322000
34 3249631112232960
36 6096882661243920
38 11045500816896000
40 19428439855275360
42 33213186220032000
44 55431591273414720
46 90344564568760320
48 144355739339448000
50 226066364540190720
m N{m)
52 348188700764268000
54 527108117540659200
56 786767288036446080
58 1156841376897024000
60 1680521645295642240
62 2409208986562560000
64 3417887115322439760
66 4792384230947389440
68 6658492791534948000
70 9154704673132-162080
72 12486419179545402000
74 16869989277755228160
76 22632233269428619200
78 30102943984468992000
80 39789443408903042400
82 52181704975196160000
84 68053817735463006720
86 88114798569141227520
88 113523923563982568000
90 145290076878792867840
92 185116016465911440000
94 234407918373703925760
96 295640558277712240320
98 37072572^086681600000
100 463209975930723119280
тели содержатся в [SI08, table X]. Коэффициенты быстро рас-
растут; имеется хорошее приближение
N(m)~^on(m/2) A43)
(см. формулы E4), E6) гл. 2). Если сдвинуть начало коорди-
координат в глубокую дыру октаэдрального типа (типа А2*), то
174 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства
тэта-ряд равен
-g- (92 И8 + 83 (zf - 84(z)8}3 + 4" {82 B) 83 (z) 84 (г)}8 = A44)
оо
= Ц N'qm = 48q2 + 4096?3 + 97152о4 + .. ., A45)
m=2
где мы полагаем ац(х) и т(х) равными 0, если х не целое. Дру-
Другие ссылки по поводу решетки Лича: [Bay 1], [Вго 4], [Lep 2],
[Lin 6], [Lin 8], [Mill], [Tit 6], [Tit 7], [Vos 1]. «Нечетная ре-
решетка Лича» С?24 (см. приложение к гл. 6) была открыта О'Крн-
нором и Роллом [О'Со 1] в 1944 г.
Глава 5
Упаковки шаров и коды,
исправляющие ошибки
Дж. Лич, Н. Слоэн
Коды, исправляющие ошибки, используются здесь для по-
построения плотных упаковок шаров в n-мерном евклидовом про-
пространстве R", многие другие упаковки получаются из них взя-
взятием сечений или послойной конструкцией. Этим способом мы
строим плотнейшие известные упаковки во всех размерностях
л ^ 29 и в некоторых больших размерностях, а также ряд дру-
других интересных упаковок.
§ 1. Введение
В этой главе мы систематически используем коды, исправ-
исправляющие ошибки, для построения плотных упаковок шаров.
Рассматривая их сечения, мы затем получаем упаковки в про-
пространствах меньшей размерности. Упаковки, построенные в этой
главе, включают плотнейшие из известных в настоящее время
во всех размерностях до 29, а также ряд других интересных
упаковок. Результаты подытожены в табл. 1.2, 1.3 и
рис. 1.5 гл. 1.
В разд. 1.1 мы начинаем с определения координатного мас-
массива точки, затем в § 2 дается описание конструкции А, кото-
которая приводит к наилучшим результатам в размерностях до 15.
В § 3 описывается конструкция В; оиа хороша в размерностях
от 8 до 24. В § 4 мы делаем отступление, определяя упаковки,
построенные послойно, а в § 5 приводим некоторые частные
конструкции для размерностей 36, 40, 48 и 60. Конструкция С,
обобщающая конструкции А и В и особенно эффективная в раз-
размерностях, равных степеням 2, описывается в § 6. Во всех кон-
конструкциях используются сведения о кодах, исправляющих
ошибки, приведенные в § 2 гл. 3.
Послойная конструкция упаковок рассматривается далее в
гл. 6, а в гл. 7 и 8 мы приводим дополнительные свойства и
обобщения конструкций А, В и С. Эта глава является перера^
ботанным и обновленным вариантом работы [Lee 10].
1.1. Координатный массив точки. Координатный массив не-
некоторой точки х = (х\, ..., х„) с целочисленными координатами
175 Гл 5 Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
получается, если записать двоичные представления координат
Хг в столбцах, начиная с единичного разряда [Lee 5, § 1.42].
Для отрицательных чисел используется двоичная дополнитель-
дополнительная запись (пример приводится ниже). Первая, вторая,
третья, ... строки координатного массива называются соответ-
соответственно 1-, 2-, 4-строками. 1-строка массива содержит единич-
единичные разряды координат, в ней соответственно стоит 0 для чет-
четных и 1 для нечетных координат. Аналогично 2-, 4-, 8-, ... стро-
строки содержат значения соответствующих разрядов в двоичном
разложении координат1). Например, координатный массив точ-
точки D, 3, 2, 1, 0, —1, —2, —3) таков:
О 1 0 1 0 1 О Г
0 110 0 110
10 0 0 0 111
0 0 0 0 0 1 1 1
1-строка
2-строка
4-строка (О
8-строка
Количество строк массива потенциально бесконечно, но все
строки после нескольких начальных одинаковы.
§ 2, Конструкция А
2.1. Конструкция. Пусть С — двоичный (п, М, at)-код. Сле-
Следующая конструкция определяет множество центров шаров упа-
упаковки в R".
Конструкция А. Точка х = {х\ хп) является центром
тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 2 с ко-
кодовым словом из С.
Таким образом, точка х с целыми координатами является
центром тогда и только тогда, когда 1-строка координатного
массива точки х принадлежит С. Решетчатая упаковка полу-
получается тогда и только тогда, когда С — линейный код. Кон-
Конструкция А — это обобщение конструкции решетки Л4, приве-
приведенной к работе [Lee 4, § 1.1]; ее дальнейшее изучение прово-
проводится в гл. 7 и 8, где изложены некоторые ее обобщения.
') Иными словами, неотрицательное число а=*У a V2Y, где a v = 0
/to 2Y 2Y
или 1, заменяется на столбец (a^ a2, a4, .... а2т, 0, 0, ...), а число 6<0 —
т
на столбец (Ь^ Ъ^ b <( ..., Ь^, 1, 1, ...), где 1+6 = - ? A-6,,/)-2',
b / = 0 или 1. — Прим. перев.
§ 2. Конструкция А 177
2.2. Центральная плотность. В пределах единичного куба
{0<х(< 1: г=1 п)
центрами являются точно М кодовых слов. Все остальные
центры получаются добавлением четных чисел к любым коор-
координатам кодового слова. Это соответствует сдвигам на двойку
единичного куба в любом направлении. Таким образом, все
центры могут быть получены повторением строительного блока,
состоящего из 2 X 2 X ¦ • • X 2-куба с кодовыми словами, отме-
отмеченными на вершинах IX IX ••• X 1-куба, расположенного
в одном из углов исходного куба.
Каждый экземпляр 2Х2Х ¦•• X2-куба вносит вклад из
М шаров некоторого радиуса р, поэтому центральная плотность
упаковки, получаемой конструкцией А, равна
б = Мрп2-п. B)
Если два различных центра сравнимы с одним и тем же ко-
кодовым словом, они находятся на расстоянии, не меньшем 2.
Если они сравнимы с различными кодовыми словами, то раз-
различаются по меньшей мере на 1 в не менее, чем d, координа-
координатах и, следовательно, находятся на расстоянии, не меньшем Vd.
Таким образом, мы можем выбрать радиус шаров, равный
p = (l/2)min{2, л/d). (З)
2.3. Контактное число. Пусть S — шар с центром х, где век-
вектор х сравним с кодовым словом с. Кандидатами в ближайшие
к х центры являются следующие векторы, (а) Имеется 2п цент-
центров типа х + ((±2H"-') на расстоянии 2 от х. (Ь) Пусть
{А,(с)}—весовой спектр кода С по отношению к с (разд. 2.2
гл. 3). Так как Ad (с) кодовых слов находятся на расстоянии d
от с, имеется 2dAa{c) центров типа х + (± 1)d0n~d) на расстоя-
расстоянии Vd от х. Поэтому количество шаров, касающихся S, т. е.
контактное число шара S, равно
{2dAd (с), если d < 4,
2л+16А,(с), если d = 4, D)
2л, если d > 4.
2.4. Размерности от 3 до 6. Пусть С — линейный [п, п—1,
2] -код, состоящий из всех кодовых слов четного веса (см.
п. 2.3.4 гл. 3). Число слов веса 2 равно {1/2)п(п—1), и, при-
применяя конструкцию А, мы получаем шахматную решетку Dn
в R" (разд. 7.1 гл. 4) с р = 1/д/2. б = 2-<rt+2>/2 и контактным
178 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
числом т==2/г(л—1). Точками решетки являются чередую-
чередующиеся вершины кубической решетки Z".
В разд. 1.5 гл. 1 мы упоминали, что для п = 3, 4, 5 Dn яв-
является плотнейшей возможной решетчатой упаковкой в R" и
обозначается /„, так как она также является слоистой решет-
решеткой (см. следующую главу). В пространствах R3 и R5 имеются
столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 4.2 ниже,
разд. 6.5 гл. 4, [Lee 6]).
Плотнейшая шестимерная решетка Е6 ^ Л6 не получается
из этого варианта конструкции А прямым образом, но будет
получена в разд. 4.2 добавлением слоев из Л5, а также как се-
сечение решетки Л7 в разд. 4.5 и из обобщения конструкции А
в разд. 8 гл. 7.
2.5. Размерности 7 и 8. Теперь мы применим конструкцию А
к кодам с минимальным расстоянием d — 4. Получаемая упа-
упаковка состоит из шаров единичного радиуса и имеет централь-
центральную плотность б = Шгп и контактное число т= 2л+16Л4(с).
Пусть Нп обозначает двоичную матрицу, полученную из
п X n-матрицы Адамара (см. разд. 2.13 гл. 3) заменой +1 на О
и —1 на 1. Мы считаем, что Нп нормализована так, что пер-
первые строка и столбец полностью нулевые. С точностью до оче-
очевидных преобразований1) имеется единственная матрица Н%,
и если из нее удалить первый столбец, то ее строки образуют
[7,3,4]-код Ж-i с Д4 = 7 (см. п. 2.4.1 гл. 3). Применяя кон-
конструкцию А, мы получим ?7^Л7 — плотнейшую решетчатую
упаковку в R7 с б = 2~4 и т= 2-7+ 16-7 = 126 (см.
разд. 8.2 гл. 4).
Строки #8 и их дополнения образуют [8,4,4] -код Хэм-
минга Ж& с А4 = 14 (см. п. 2.4.2 гл. 3). Он также является ко-
кодом Рида — Маллера (или РМ-кодом) первого порядка. Из
этого кода мы получаем ?8 = Л8— плотнейшую решетчатую
упаковку в R8 с 6 = 2-* и % = 2-8 + 14-16 = 240 (см.
разд. 8.1 гл. 4).
2.6. Размерности от 9 до 12. Матрица Адамара Н12 также
единственна с точностью до эквивалентности. Пусть D — мат-
матрица размера 11X11, состоящая из вектора 11011100010 (еди-
(единицы в нулевой координате и координатах, номер которых яв-
является квадратичным вычетом по модулю 11) и его цикличе-
циклических сдвигов. Тогда Нц может быть представлена в виде
ГО ОМ
L0 D\
E)
') Имеются в виду перестановки строк и столбцов н их умножение
на —1. — Прим. перев.
§ 2. Конструкция Л 179
Суммы пар строк матрицы Hi2 по модулю два и дополнения
этих сумм образуют 132 вектора системы Штейнера 5 E, 6, 12)
(см., например, [Lee 4]). Так как никакие два из этих векторов
не могут совпадать в более чем четырех позициях, содержа-
содержащих 1, они образуют A2, 132,4)-код, все кодовые слова кото-
которого имеют вес шесть. Этот код может быть расширен до нели-
нелинейного A2, 144, 4)-кода добавлением шести кодовых слов типа
01012 и шести слов типа 02110, таких, что шесть I2 и шесть О2
являются непересекающимися множествами. Имеется несколько
различных вариантов этого кода в зависимости от взаимного
расположения позиций единиц в 12 «свободных» кодовых словах
и в векторах системы Штейнера.
Укорочением A2, 144,4)-кода мы получаем A1,72,4)-,
A0,38,4)- и (9, 20, 4)-коды. Коды, эквивалентные четырем при-
приведенным, впервые построили Голей [Gol 2] и Джулин [Jull],
другие конструкции и обобщения приводятся в [Litl], [Mac 6],
[Rom 1], [Slo 18], [Slo20].
Применяя конструкцию А к различным вариантам A2, 144,
4)-кода, мы получаем нерешетчатые упаковки в R12 с централь-
центральной плотностью б = 144-2~12 = 2~8-32 « 0.03516, что меньше,
чем у /Ci2 (см. § 9 гл. 4), но зато в наиболее удачных случаях
некоторые шары этих упаковок касаются, как мы сейчас пока-
покажем, 840 других шаров. Пусть с — кодовое слово веса 6. Любой
вектор веса 4 и длины 12 содержится точно в 8 векторах веса 5
и, следовательно, точно в 4 кодовых словах веса 6 (так как
любой вектор веса 5 содержится в единственном слове веса 6).
Таким образом, количество кодовых слов веса 6, находящихся
на расстоянии 4 от с, равно 3 ( \ ) = 45.
Если 12 свободных кодовых слов выбраны так, что имеется
три слова 01012, единицы которых совпадают с парами единиц
слова с, и три слова 02110, нули которых совпадают с парами
нулей слова с, то имеются дополнительные 6 кодовых слов на
расстоянии 4 от с и Ац(с) = 45 + 6 = 51. Из этих кодов мы
получаем упаковки в R12 с максимальным контактным числом
2-12+ 16-51 =840, достигающимся для тех шаров, центры ко-
которых сравнимы с с.
Существует несколько неэквивалентных вариантов этих упа-
упаковок, зависящих от выбора остальных свободных кодовых
слов, но все они имеют то же самое максимальное контакт-
контактное число 840, и все обозначены Р\ъа в табл. 1.2.
Другой выбор 12 кодовых слов приводит к различным упа-
упаковкам с максимальным контактным числом 824 или 808.
Можно показать, что независимо от выбора 12 свободных кодо-
кодовых слов получаемое среднее контактное число равно 7702/з.
180 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
(Это справедливо даже для тех упаковок, максимальное кон-
контактное число которых меньше чем 840.)
Для R11 мы полагаем х\г = 1 в Риа и находим, что макси-
максимальное контактное число равно 566 в наиболее удачных слу-
случаях, вместе обозначаемых через Рца, но в других случаях оно
может быть равным всего лишь 550 или 534 (если 0101 заме-
заменено на О11). За исключением этого последнего случая, среднее
значение равно 5197/э. (Подробнее Рцо изучается в [Vet 1].)
Для R10, полагая, x11=*12= 1 в Р12а, где хп и xi2 — пред-
предпоследняя и последняя позиции из 01012 и 11002, мы получим
упаковки Piob с 6 = 2~8-32 и максимальным контактным чис-
числом 500. Если вместо этого положим х\2 = 1, *ю = 0, где хю
и х\2 не соответствуют паре одинаковых символов в свободных
кодовых словах, то получим упаковки с б = 2~9-19. В наиболее
удачных случаях, обозначаемых Рюа, максимальное контактное
число равно 372. Среднее контактное число равно 3539/i9 для
Рш и340'/з Для Рюь.
Для R9 мы полагаем хю = 0, хц = хц — 1 в Р\ча и полу-
получаем упаковки Рэа с б = 2~7-5 и максимальным контактным
числом 306; среднее контактное число равно 2353Д-
Можно привести иной способ получения Рю». Тетрады си-
системы Штейнера SC,4, 10) (см. разд. 3.1 гл. 3) образуют
30 кодовых слов длины 10 и веса 4, находящихся на расстоя-
расстоянии Хэмминга, не меньшем 4. В качестве примера можно рас-
рассмотреть тетрады, являющиеся циклическими перестановками
векторов 1110001000, 1101100000, 1010100100. Добавляя нулевое
слово и пять кодовых слов веса 8, можно получить несколько
различных A0, 36, 4)-кодов. Конструкция А, примененная к этим
кодам, приводит к упаковке Рюь.
Аналогичным образом, упаковки РЭа, Рюа, Р\\а могут быть
получены применением конструкции А к (9,20,4)-, A0,38,4)-
и A1,72,4) -кодам. Все они являются нерешетчатыми упа-
упаковками.
Бест [Bes 1] построил A0, 40,4)-код, состоящий из цикли-
циклических перестановок векторов 1010000001, 1100101100,0001010111
и 0111111010. Несмотря на нелинейность, весовой спектр отно-
относительно любого слова равно 0'42261285. Применяя к этому коду
конструкцию А, мы получим 10-мерную нерешетчатую упа-
упаковку Pi ос с 6 = 2~7-5, в которой каждый шар касается 2-10 +
+ 16-22=372 других.
Бест [Besl], [Bes 3] нашел также одиннадцать различных
равновесных кодов, состоящих каждый из 35 слов длины 11
и веса 4 с расстоянием 4; один из этих кодов приведен на
рис. 5.1. Применяя конструкцию А к любому из этих кодов,
получим 11-мерное расположение шаров, в котором некоторые
§ 3. Конструкция В 181
шары касаются 2-11 + 16-35 = 582 других. Все они обозна-
обозначены через Pj к в табл. 1.2. Плотности этих упаковок довольно
малы.
11111111111100000000000000000000000
11100000000011111111100000000000000
00011100000011100000011111100000000
0001001 1000010011100011000011110000
00001000110010000011100110011101000
10000100101000010010010101010010110
01000 1100001000010010010 10110001110
00100001100101001000100011001010101
00100010011000100110010000101001101
1001000001010 10 00101000100100110011
01001001001000110000101001000101011
Рис. 5.1. Столбцы образуют код постоянного веса, найденный Бсстом, содер-
содержащий 35 слов длины 11, веса 4 и с минимальным расстоянием 4.
2.7. Сравнение решетчатых и нерешетчатых упаковок. Суще-
Существует ли в некоторой размерности нерешетчатая упаковка
с плотностью, превосходящей плотность плотнейшей решетча-
решетчатой упаковки, до сих пор не известно. Известно, однако, что
нерешетчатые упаковки Рш, РИа и Pi3a из разд. 4.3 имеют плот-
плотность, большую, чем у плотнейших известных упаковок-
В разд. 2.2 гл. 1 уже упоминалось, что из работы Ватсона
[Wat 7] следует, что Р9а имеет большее контактное число, чем
это возможно для любой 9-мерной решетки.
§ 3. Конструкция В
3.1. Конструкция. Пусть С-—двоичный (n,M,d)-коя, такой,
что вес любого кодового слова четен. Зададим упаковку шаров
в R" следующим образом:
Конструкция В. Точка х = (х\, ..., хп) является центром
шара тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 2
п
с кодовым словом из С и J] xi делится на 4.
г-1
Таким образом, точка х с целочисленными координатами
является центром тогда и только тогда, когда 1-строка коор-
координатного массива х является кодовым словом сеСи 2-строка
182
Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
имеет четный вес, если вес с делится на 4, и нечетный вес, если
он делится на 2, но не на 4. Решетчатая упаковка получается,
если С является линейным кодом (и только в этом случае).
Конструкция В — это обобщение конструкции решетки Л8, при-
приведенной в работе [Lee 4, § 1.1]. Она будет подробнее изу-
изучена в гл. 7.
3.2. Центральная плотность и контактное число. Число цент-
центров шаров составляет половину от числа центров конструкции А,
так что б = Мрп2~п-К
Пусть S — шар с центром х, где вектор х сравним с кодо-
кодовым словом с. Кандидатами в ближайшие к х центры являются:
(а) 2п(п— 1) центров типа х + (±2J0"-2) и (b) 2"-1Ad(c)
центров, сравнимых с ближайшими к с кодовыми словами. По-
Поэтому контактное число для шара S равно
Г2^Ч(), <,
х (S) = < 2fi (п — 1) + 128Л8 (с), если d = 8, F)
I 2fi(re—1), если d>8,
¦а радиус шара S равен p = (l/2)min{y^>
3.3. Размерность 8, 9 и 12. В R8 мы можем применить конст-
конструкцию В к коду с повторением {О8, I8}; снова получим упа-
упаковку Es. В R9 код {О9, 180} приводит к решетчатой упаковке
Л9 с р = д/2", 6 = 2~4'5 и т = 272.
В R12 мы используем A2, 24, 6)-код, образованный строками
матрицы #12 и их дополнениями; получается нерешетчатая упа-
упаковка Ln (см. [Lee 4]) с 6 = 2~16-37 и т = 704. Взяв [12,2,8]-
код {О12,0418, 140414, 1804}, мы получим решетчатую упаковку
Гх с 6 = 2^5 и т = 648.
3.4. Размерности от 15 до 24. В R16 использование [16, 5,
•8] -РМ-кода первого порядка приводит к решетчатой упаковке
Лцз, имеющей б = 2~4 и т = 4320 (см. § 10 гл. 4). Укорачивая
этот код, приравняв одну из координат к нулю, мы получим
симплексный [15, 4,8]-код, приводящий к решетчатой упаковке
Л15 в R15, имеющей б = 2-4-5 и т = 2340.
Пусть Ct, i = 0, 1, 2, ..., 5, обозначает укороченный код,
полученный из [24, 12,8]-кода Голея ^ приравниваем i коор-
координат к нулю, и пусть а; — число кодовых слов веса 8 в Ci.
Тогда ао = 759, а, = 506, а2 = 330, а3 = 210, а4 = 130 и а5 =
= 78 (см. табл. 10.1 гл. 10).
§ 4. Послойные конструкции упаковок 183.
Последовательность полученных из С,- решетчатых упаковок
в R2*-', / = 0, 1 5, имеет б; = 2-('+2>/2 [Lee 4, § 2.4]. В R19,.
R20, R21— это Л19, Лго, Л21, плотнейшие известные упаковки, но
в пространствах R22, R23 и R24 они могут быть улучшены (это.
будет показано в разд. 4.4, 4.5). Полученную выше 24-мерную-
решетку мы обозначим /1Л24; она состоит из половины точек
конструируемой в разд. 4.4 решетки Л24, т. е. является «четной
частью» этой решетки.
Замечание. Конструкции А и В не годятся для больших п.
Для примера рассмотрим применение конструкции В к коду
с d = 8. Легко показать, что log2 б ^ п/2 — 3 log2 n + о (log2 n)
при fi-voo и, значит, в силу A8) гл. 1 log2A^(—1/2)п-
•Iog2(n/ne). Но существуют гораздо более плотные упаковки,.
см. разд. 1.5 гл. 1. Кроме того, -<48^(g) и, следовательно, са-
самое большее, т = O(ns), в то время как известны гораздо боль-
большие значения т, см. разд. 2.2 гл. 1 или разд. 6.5 ниже.
§ 4. Послойные конструкции упаковок
4.1. Упаковка слоями. Основная идея очень проста (см. [Lee6]_
[Lee7]). Пусть Л — решетчатая упаковка шаров в R" с конеч-
конечным значением радиуса покрытия R (равенство C) главы 2)„
и пусть D(A)—множество глубоких дыр в Л. (Заметим, что
приводимая ниже конструкция может быть также применена
и к подходящим нерешетчатым упаковкам.)
Слоем шаров в R"+1 называется множество шаров, центры
которых лежат в некоторой гиперплоскости, причем упаковка А
получается как пересечение рассматриваемого множества ша-
шаров с этой гиперплоскостью. В этой гиперплоскости имеются два
выделенных множества точек-—множество центров С и множе-
множество глубоких дыр D.
Попытаемся построить плотную упаковку шаров в Rn+l, раз-
размещая такие слои столь близко, насколько это возможно. Дла
этого расположим соседние слои так, чтобы множество С
одного слоя находилось против некоторого подмножества или
всего множества D следующего слоя. Так как сечения слоев,
являются решетчатыми упаковками, то если одна точка из С
противолежит точке из D, это же выполняется и для всех то-
точек из С.
Может оказаться, что мощность множества D превосходит
мощность С; тогда этот метод может привести к нескольким,
неэквивалентным упаковкам в R"+1. Эти упаковки могут ока-
оказаться как решетчатыми, так и нерешетчатыми. Примеры при-
приводятся ниже и в следующих параграфах. (Хотя нам и не-
184
Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
удалось найти примера, в котором приведенным способом невоз-
невозможно получить решетчатую упаковку, это представляется воз-
возможным. На самом деле должны существовать также случаи,
когда расположение глубоких дыр приводит либо только к ре-
решетчатым, либо только к нерешетчатым упаковкам.)
Выберем для примера в качестве Л квадратную решетку
Z2 в R2. Тогда С состоит из вершин квадратов, a D — из их
центров. Расположим слои так, чтобы вершины квадратов каж-
каждого слоя противолежали центрам квадратов следующего слоя.
Из равномощности множеств С и D следует единственность та-
такого расположения, и мы получаем гранецентрированную ку-
кубическую решетчатую упаковку Лз в R3 (§ 6.3 главы 4).
Ситуация получится иной, если в качестве Л выбирается
гексагональная решетка Лг с R2. В этом случае мощность мно-
множества D, состоящего из точек, обозначенных Ь или с на
рис. 1.3Ь, в два раза больше мощности множества С (точки а).
Шары исходного слоя могут быть расположены против точек
типа b или точек типа с соседнего слоя. Как уже говорилось
в разд. 1.3 гл. 1, в случае такого расположения слоев, когда
шары в двух слоях, соседних с любым фиксированным слоем,
противолежат точкам, отмеченным различными буквами, полу-
получается решетка Л3. Если же шары по обе стороны от каждого
слоя противолежат точкам, отмеченным одной и той же буквой,
получается нерешетчатая гексагональная упаковка (см. разд. 6.5
гл. 4), имеющая такую же плотность, как и Л3. Если нам тре-
требуются регулярные упаковки, то, так как все слои должны быть
заполнены единым образом, возможности исчерпаны, и эта кон-
конструкция приводит только к двум описанным упаковкам.
В общем случае мы располагаем слои на таком расстоянии,
чтобы наименьшее расстояние между центрами из соседних
слоев равнялось минимальному расстоянию между центрами
одного слоя. Возможны четыре случая. Шары одного слоя могут
(i) не достигать, (ii) касаться или (ш) пересекать центральную
гиперплоскость соседнего слоя, а также (iv) может оказаться
возможным заполнение шарами одного слоя пространства
между шарами соседнего слоя и, таким образом, совмещение
двух слоев в одной гиперплоскости.
Примерами случая (i) являются п = 2 (см. выше) и п — 3,
4, 5 (в § 4.2). В случае (ii) может наблюдаться увеличение
числа касаний, в связи с тем, что касаются друг друга шары,
находящиеся по разные стороны одного слоя. Примерами такой
ситуации могут служить случай п — 6 в разд. 4.2 и упаковка
Р13а из § 4.3. В случае (ш) во избежание пересечений слои
с обеих сторон от исходного слоя необходимо сдвинуть. Приме-
Примером являются конструкции решетки ?8 из слоев решетки D7,
§ 4. Послойные конструкции упаковок 185
как это сделано в [Lee 7], и локальные расположения шаров
Риь, Р\ьа из разд. 4.3. Случай (iv) удваивает плотность исход-
исходной упаковки. Примеры такой ситуации в R8, R12, R24 и
R48 приводятся в разд. 4.4 и разд. 5.6.
Иногда выгодно добавлять слои, не являющиеся решетками.
В качестве примеров можно привести локальные расположения
шаров в R11, R14 и R15, а также нерешетчатую упаковку Pi3c
в R13, которая будет описана в разд. 4.3.
Дальнейшее исследование послойной конструкции прово-
проводится в следующей главе.
4.2. Размерности от 4 до 7. Рассмотрим упаковки в Rn+I, по-
полученные соединением слоев решетки Dn при п ^ 3. В этом
случае области Делонэ (см. разд. 1.2 гл. 2) могут быть двух
типов: каждая пропущенная вершина из Z" (как, например,
вектор склейки из разд. 7.1 гл. 4) является центром октаэдраль-
октаэдральной области р«, а центр каждого куба из Z" (как, например,
векторы склейки [1] и [3]) является центром «полукуба» hyn
[Сох 20, р. 155]. Областей второго типа в два раза больше, чем
первого, и мы будем считать, что области окрашены попере-
попеременно в черный и белый цвет.
Для п = 3 октаэдральные области р3 больше, чем тетраэд-
тетраэдральные области /173, и поэтому мы располагаем шары каждого
слоя против октаэдров соседнего слоя. Так как число октаэдров
и шаров одинаково, мы приходим единственным образом к ре-
решетчатой упаковке D4 ^ Л4.
Для п = 4 области р4 и hy4 подобны, и решетка ZL является
регулярными сотами типа {3,3,4,3} [Сох 20, р. 136]. Таким
образом, имеются три варианта расположения каждого слоя:
шары каждого слоя могут быть помещены напротив пропущен-
пропущенных вершин, черных областей или белых областей. В этом
случае мы получаем либо решетчатую упаковку Dz ^ Л5, либо
три различные регулярные нерешетчатые упаковки, имеющие
одинаковую плотность и то же контактное число [Lee 6].
Для п > 4 области hyn больше, чем области р«, поэтому для
достижения максимальной плотности в Rn+! мы добавляем
слои с шарами, расположенными напротив кубов соседних
слоев. На каждом этапе шары могут быть помещены либо на-
напротив черных, либо напротив белых кубов. Для п — 5 или 6
мы получаем две регулярные упаковки — решетчатую упаковку
Лл+1 и нерешетчатую упаковку с той же плотностью. Для п = 5
обе упаковки имеют одинаковое контактное число. Для п = 6
каждый шар решетчатой упаковки ?7^Л7 касается в два раза
большего числа шаров по сравнению с нерешетчатой упаковкой,
так как шары этой упаковки касаются шаров, находящихся
186 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
в следующем за соседним слое. Это пример описанного выше
случая (и). Для п = 7 получается только решетчатая упаковка
?8 = А8. Это пример случая (ш), когда соседние слои должны
быть сдвинуты во избежание пересечений.
4.3. Размерности 11 и от 13 до 15. В R11 мы строим локальное
расположение Рць 580 шаров, касающихся одного шара (худ-
(худшее по сравнению с Рис из § 2.6), соединением трех частичных
слоев. Центральный слой состоит из 500 центров шаров упа-
упаковки Рюь, касающихся одного шара, с одиннадцатью нуле-
нулевыми координатами. Два других слоя состоят из всех точек
вида
(с„ ...,с10, 0) —A/2 1/2, ±A/2)Уб),
где (си ..., сю) пробегает A0, 10, 4)-код и состоит из
80 точек. Не представляется возможным расширить это
локальное расположение до плотной упаковки всего про-
пространства.
В R13 мы берем любую из упаковок Рца и ее сдвиги на
кратные вектора (A/2I2, ±1) и получаем семейство нерешет-
нерешетчатых упаковок; каждая из них обозначается Р\ъа- Любая из
этих упаковок имеет б = 2~8-32 и максимальное контактное чис-
число 840 + 2-144 + 2 = 1130. Последнее число 2 возникает за счет
шара, касающегося шаров, удаленных на два слоя. Среднее кон-
контактное число равно 10602/з.
Тетрады системы Штейнера SC,4, 14) (см. [Hani]) обра-
образуют 91 кодовое слово длины 14, веса 4 и с расстоянием Хэм-
минга не меньше 4. Например, если 14 координат помечены
символами 12 3 4 5 6 7 и V 2' 3' 4' 5' 6' Т, то в качестве тетрад
можно взять 12 3 6, 2' 5' 6' 7', 1 2 4 2', 6 4' 6' 7', 271' 6', 2' 4 4' 6',
5 7 Г 3', 15 3' Т, 1 4 4' 7', 4 7 Г 4', 6 7 Г 2', 5 6 2' 3', 4 5 3" 4' и их
образы при перестановке A 2 34 567) (Г2'3'4'5'6' Т).Конструк-
Т).Конструкция А тогда дает локальное расположение Рца 1484 шаров, ка-
касающихся одного шара. Однако его можно улучшить, оставляя
тринадцать координат и повторяя построение. Наилучшее сече-
сечение системы 5C,4,14) в R13 состоит из 65 кодовых слов, даю-
дающих локальное расположение Р^ь с 26 + 16-65= 1066 касания-
касаниями худшее, чем Pi за.
Теперь мы образуем локальное расположение Р15а из пяти
частичных слоев. Центральным слоем является Р\зь- Соседние
слои-это (с,0)-(A/2I3, A/2) УЗ) и (с', 0) - (A/2I3, (-1/2) Уз),
где с пробегает укороченный [13, 8, 4]-код Хэмминга, с' обозна-
обозначает с-|-A2, 0"), приведенное по модулю 2. Два внешних слоя
содержат в точности по 2 шара каждый: (± 1, О12, ± УЮ- Та-
§ 4. Послойные конструкции упаковок 187
ким образом, центральный шар касается 1066 + 2-256 + 2-2 =
= 1582 других.
Аналогично, в R15 мы образуем локальное расположение
Рхьа из пяти частичных слоев. Центральным слоем служит Рца.
Соседние слои —это (с, 0) —(A/2)и, A/2) У!) и (с', 0)—
— (A/2I4, (—1/2) д/2), где с пробегает укороченный [14,9,4]-
код Хэмминга и с' равно с —{- (I2,012), приведенному по модулю
2. Внешние слои суть (хи ..., хи, ±У2), где хи ..., хи все
равны нулю, за исключением одной пары x2t-u x2i, которые
равны ±1 во всех четырех комбинациях. Центральный шар ка-
касается 1484 + 2 • 512 + 2 • 28 = 2564 других.
4.4. Удвоение плотности и решетка Лича Л24- В R8 можно
объединить без пересечения два экземпляра D8, чтобы образо-
образовать решетчатую упаковку Es ^ Л8, причем второй экземпляр —
это сдвиг первого на (A/2)8).
В [Lee 5, § 2.31] показано, что в R24 два экземпляра 24-мер-
24-мерной упаковки, полученной в разд. 3.4 из кода Голея Фц, можно
объединить без пересечения, чтобы образовать упаковку А.ц
(теперь обычно называемую решеткой Лича) с б = 1 и т =
= 196560. Второй экземпляр — это сдвиг первого на (—1'/2,
Уг23), и решетка Л24 приобретает вид, заданный формулами
A33) — A36) гл. 4, но с другим масштабом.
4.5. Сечения решетки Л24- Все плотнейшие из известных ре-
решетчатых упаковок в размерностях меньше 24 возникают как
сечения решетки Л24. Имеются две главные последовательности
сечений, Л» и Ki, i = 0, 1, ..., 24, где индексы указывают раз-
размерность и Л; s* Kt для (^6 и / ^ 18. В силу симметричности
Л24 имеется несколько различных путей описания некоторых из
этих сечений.
Последовательность решетчатых упаковок Л, определяется
следующим образом ([Lee 4, § 2.4], [Lee 5, § 2.4]). Л23, Л22
и Л21 получаются из Л24 приравниванием друг к другу любых
двух, трех или четырех координат. Л21 (еще раз), Л2о и Лш
получаются приравниванием трех, четырех или пяти координат
нулю. Напомним (см. разд. 3.1 гл. 3), что кодовые слова веса 8
в ^24 образуют октады системы Штеинера SE,8,24). В силу
того, что эта система Штеинера пятикратно транзитивна, выбор
координат при образовании Л19, ..., Л2з произволен. Ai9 (еще
раз), Ai8, Ai7 и Ai6 получаются приравниванием к нулю сум-
суммы восьми координат, образующих октаду Штеинера, а также
сумм любых четырех, пяти, шести или семи из них.
188
Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
[16, 5,8]-РМ-код возникает как подкод в ^24, и мы сопо-
сопоставляем оставшиеся 16 координат координатным позициям
этого подкода. Любые две пересекающиеся октады [16,5,8]-
кода разделяют координаты на четыре тетрады. Ais, Аи, Ai3
и Ai2 получаются приравниванием к нулю суммы координат,
образующих тетраду, и, кроме того, соответственно ни одной,
любой одной, любых двух из них или каждой из них. Ли, Лю
и Л9 получаются из Аи приравниванием друг к другу любых
двух, любых трех или всех четырех координат в одной из
оставшихся тетрад. Л9 (еще раз) и Л8 получается прирав-
приравниванием к нулю любых трех или всех четырех координат в
тетраде.
Л7 Л4 получаются как сечения решетки Л8 таким же
образом, как Ли, ..., Л8 получаются из Ai2, причем любые че-
четыре координаты из восьми объявляются тетрадой. Наконец,
Лз, ..., Ai получаются из Л4 (четыре координаты объявляются
тетрадой) таким образом, как Ai5, ..., Л]3 получились из Ai6.
Последовательность Ai, ..., Л24 включает в себя наиболее
плотные известные упаковки из R1, ..., R10 и R14, ..., R24. Но
в размерностях с 11 по 13 решетки /Си, Кп, К\з из последова-
последовательности Кп плотнее, чем Л„ ([Lee5], [Lee 10]). Это будет
описано в следующей главе. Ki2 — решетка Кокстера — Тодда
(§ 9 гл. 4) с б = 3~3 и т = 756. /См, /Ci2 и К\з — это плотней-
шие известные решетчатые упаковки в этих размерностях, хотя
Рпа и Риа — более плотные нерешетчатые упаковки. Кроме того,
нерешетчатые упаковки Рта, Р\ос плотнее, чем А:о.
Заметим, что имеется близкая аналогия между упаковками
Оъ, ..., D8 из разд.2.4 и упаковками в !R19, ..., R24 из разд.3.4,
среди которых первые три — плотнейшие из известных, у по-
последней может быть удвоена плотность и плотнейшие проме-
промежуточные упаковки можно получить или как сечение сдвоен-
сдвоенной упаковки или как слоистые упаковки.
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок
5.1. Код длины 40. Мы построим двоичный код длины 40, ко-
который будет использован в разд. 5.2 для получения упаковки
шаров. Через С\ обозначим [16, 11,4]-код Хэмминга; 140 его
кодовых слов веса 4 образуют блоки системы Штеинера
SC, 4, 16). Через ^24 обозначим [24, 12, 8]-код Голея с коор-
координатами, упорядоченными таким образом, чтобы 18016 было
кодовым словом. В этом коде имеется 759 кодовых слов веса 8,
образующих октады системы Штеинера SE, 8, 24).
Пусть С — код длины 40, состоящий из всех кодовых слов
вида (х,у, z), где j/eC,, zsC, и (х,у + )9
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок 189
Теорема 1. С — линейный [40, 23, 8] -код.
Доказательство. Заметим, что если из всех кодовых слов
кода ^24 удалить восемь координат, соответствующих октаде, то
усеченные кодовые слова образуют два экземпляра кода С\
(см. [Вег 5] или гл. 11). В коде С слова у и z могут быть вы-
выбраны 2й способами каждое, и в силу предыдущего замечания
существуют два выбора х так, что (х, у + z) e ^24. Таким об-
образом, код С состоит из 223 кодовых слов. Так как (х, у, z) —
= (х> У + 2,0) + @, z, z), то в силу конструкции wt (л:, у, z) ^
^ wt(x,у -j-2,0):5s 8, и, таким образом, минимальный вес
равен 8.
Теорема 2. Число кодовых слов минимального веса в коде С
равно 2077.
Доказательство. Пусть (х, у, z) — (х, у + z, 0) + @, z, z) — ко-
кодовое слово веса 8. Возможны пять случаев. A) Если у = z =
= 0, то х=\ъ. B) Если уф0, z = 0, то есть 758 слов вида
(л:, у) е ^24, уФО. C) Если у = 0, z ф 0, опять имеется 758 воз-
возможностей. D) Если у = гф0, то wt(t/) = 4, х = 0 и имеется
140 вариантов выбора у. E) Если уФО, гфО, у-\-гф0, то
х = 0, wt(z/ + 2) = 8 = wt(t/) + wtB). Поэтому г/ и г имеют не-
непересекающиеся множества единиц. Вектор у можно выбрать
140 способами, и для каждого из них имеются 3 вектора 2, та-
таких, что @, у + 2) е <5Й24, что дает 420 кодовых слов. Случаи
A) — E) вместе дают 2077 кодовых слов.
Замечание. Если @, у, z) е С, то @, у + z) e <g'24 и, таким об-
образом, у -f 2 содержится в [16, 5, 8]-РМ-коде первого порядка,
и, следовательно, вектор (у, z) принадлежит [32, 16, 8]-РМ-коду
второго порядка.
5.2. Решетчатая упаковка в R40. Решетчатая упаковка в R40
может быть получена из кода С, построенного в разд. 5.1, сле-
следующим образом. Разделим 40 координат на 8+16+16 в со-
соответствии с разбиением кодовых слов из С.
Тогда X = (х, у, z) является центром, если и только если его
2-строка принадлежит С, 1-строка либо полиостью нулевая,
либо нулевая на позициях одного из указанных выше множеств
координат и единичная на позициях двух других, а 4-строка
имеет четный вес, если множество из 8 позиций четно, и нечет-
нечетный вес, если множество из 8 позиций нечетно.
Ближайшие к началу координат центры приводятся в
табл. 5.1. (Центры, описываемые первой строкой таблицы,
имеют 1-строку 08132, 2-строку, равную любому кодовому слову
@,у,г)еС, а 4-строка выбирается так, чтобы сделать вое
190 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Таблица 5.1. Минимальные векторы (х, у, г) в Л4о. В строках,
отмеченных (J), одни нз элементов ±1 должен быть заменен
на =РЗ
х у z
нуль нечет. нечет.
нечет. нуль нечет.
нечет. нечет. нуль
чет. чет. чет.
чет. чет. чет.
Вид
08(±1K2
(±1)8016(±1I6(*)
(±1)8(±1I6016(*)
032(±2)8
038(±4J
Количество
216
24-211
24-212
27-2077
40-39-2
531120
ненулевые координаты равными ±1, и в соответствии с замеча-
замечанием в конце разд. 5.1 число таких центров равно 216. Для дру-
других типов центров результаты могут быть получены простыми
вычислениями.) Таким образом, мы получаем решетчатую упа-
упаковку Л40 с р = 2 V2, б = 24 и т = 531120.
5.3. Сечения решетки Л«. Решетка А24 содержится как сече-
сечение в Л40, а для 1 ^ п ^ 16 решетка Л4о имеет сечение Лад-*
в R40-" с плотностью, в 16 раз большей, чем у Л24-л- Например,
в R36 имеется сечение Л36 с 6 = 2 и т = 234456. Решетка Л3в
получается из Л40, если приравнять к нулю четыре координаты
из тетрады, содержащейся в одном из множеств из 16 позиций.
Л32 мы получаем, приравнивая к нулю все координаты из окта-
ды, содержащейся в одном из множеств из 16 позиций, эта упа-
упаковка имеет б = 1 и т = 208320.
5.4. Упаковки на основе троичных кодов. Пусть С — троич-
троичный (n,M,d)-код,1). По аналогии с конструкцией на основе
двоичных кодов мы получаем упаковки шаров в R" из следую-
следующих конструкций.
Конструкция А3. Точка х = (хи ..., хп) является центром
тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 3
с кодовым словом кода С.
п
Конструкция В3. Кроме того, X xi делится на 2.
i — \
Из конструкции Аз мы получаем упаковку шаров, для ко-
которой _
р = min {3/2, A/2) д/d}, б = Мр-П, G)
') Элементы поля Гз отождествляются с {—1, 0, 1} —Прим. перев.
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок
191
а из конструкции В3 — для которой
Г min{3/V2", A/2) V^}> если d четно,
Р~ min{3/V2, (l/2)(d + 3I/2}, если d нечетно,
б = Мр-13-". (9)
Другие конструкции на основе троичных кодов описываются
в § 8 гл. 7.
5.5. Упаковки, полученные из кодов Плесе. Применением кон-
конструкции Вз к дважды циркулянтным кодам Плесе (см.
Таблица 5.2. Решетки, полученные применением
конструкции В3 к кодам Плесе
п
12
24
36
48
60
Код
[12,6,6]
[24, 12, 9]
[36, 18, 12]
[48, 24, 15]
[60, 30, 18]
Радиус
2-1/2 31/2
31/2
31/2
2/2 3
2/2 3
S
г-1
2-1
2
2-25 324
2-31 3З9
Наимен.
Dl2
h A 24
Ръьр
hP*sp
РбОр
разд. 2.10 гл. 3) мы получаем решетчатые упаковки, представ-
представленные в табл. 5.2.
Применяя конструкцию А3 к_[_12, 6, 6]-коду Голея ffu, мы
получим решетку D\2 с р = V3/2 и б = 2~ . Известно, что
можно удвоить плотность D\2 и получить Di2, а также учетве-
учетверить плотность и получить Л]2 [Lee 4, § 2.1].
В разд. 5.7 мы покажем, что также можно удвоить плот-
плотность упаковок в R24 и R48, при этом получаются решетки Л24
и Р48р- С другой стороны, нам не удалось найти удвоений для
упаковок Рзвр и РбоР, техника разд. 5.7 оказывается здесь не-
неприменимой из-за существования кодовых слов максимального
веса с нечетным числом вхождений каждого знака [Mai 2]
(см. постскриптум в конце этой главы).
В упаковке Р36Р ближайшие к началу координат центры
имеют вид ((±1I2024) и соответствуют кодовым словам мини-
минимального веса; таким образом, т = А\ъ = 42840. В упаковке
Р60р контактное число т = Л!8 + 2-60-59 = 3908160.
5.6. Упаковки, получаемые из квадратнчно-вычетных кодов.
Как отмечалось в разд. 2.8, 2.10 гл. 3, существуют троичные
квадратично-вычетные [24,12,9]- и [48,24, 15]-коды с тем же
весовым спектром, что и у соответствующих кодов Плесе.
192
Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Применяя конструкцию В3, мы получаем упаковки ЛЛ24 и m
Мы покажем, что эти упаковки могут быть удвоены, при этом
получатся Л24 в R24 и еще одна 48-мерная решетка Р«<?-
5.7. Удвоение плотности в RM и R48. Плотность каждой из
решеток /1Л24, hP^p и hPi&q может быть удвоена добавлением
еще одной копии, являющейся сдвигом первой на (—2'/г,
Для того чтобы показать это, мы должны проверить, что все
точки исходной решетки расположены дальше от точки
Таблица 5.3. Минимальные векторы в
P Л
Координаты
(±3J046
(+2)(±1I4033
(±1I8ОЗО
(+2'Л) (±УгУ
(±1'/2K(±'/2L5
Количество
2-48-47
15-415104
20167136
48-96
4 6503296
(—27г, С/г)"), чем начало координат. Любая точка исходной
решетки отличается от этой точки минимум на Уг в каждой ко-
координате. Если некоторые координаты сравнимы с —1 по мо-
модулю 3, то, как следует из разд. 2.10(ii) гл. 3, таких координат
не менее трех и, таким образом, минимум три координаты от-
отличаются на 1Уг. С другой стороны, если все координаты срав-
сравнимы с 0 либо 1 по модулю 3, то в соответствии с разд. 2.10 (iv)
они сравнимы с одним из кодовых слов типа 0л, \п или 0п/21п/2.
Так как сумма координат четна, по меньшей мере одна коор-
координата отличается на 2г/г-
В пространстве R24 удвоенная упаковка имеет центральную
плотность, равную 1, и поэтому должна быть решеткой Л24
(независимо от происхождения из кода Плесе или квадратич-
квадратично-вычетного кода), так как эта решетка единственна (см.
гл. 12).
В R48 из [48, 24, 15]-кода Плесе получается решетка, кото-
которую мы обозначаем Р48р. а из квадратично-вычетного [48,24,
15]-кода — решетка, которую мы обозначаем Pwq; как Р&р, так
и P48<? имеют б = 2~24-32*. Контактные числа для P^q и PiSo
вычисляются, исходя из весового спектра, приведенного в
табл. 3.2. Ближайшие к началу координат центры приведены
в табл. 5.3; их общее количество равно т = 52416000 (что соот-
соответствует значению, даваемому формулой E7) гл. 4). Сечения
решетки Р48р исследуются в § 2 гл. 6. Решетка P^q была впер-
§ 6. Конструкция С 193
вые обнаружена Томпсоном [Tho 7] с помощью конструкции
разд. 7.5 гл. 8. Мы возвращаемся к этим решеткам в примере 9
гл .7, где определяем их детерминанты, тэта-ряды и т. п.
§ 6. Конструкция С
6.1. Конструкция. Пусть d = (n, Mi, di), i= 0, 1, ...
.... а, — семейство кодов с di = y4"-\ где у= 1 или 2. Упа-
Упаковку шаров в R" можно построить следующим образом.
Конструкция С. Точка х с целыми координатами является
центром тогда и только тогда, когда 2'-строка ее координатного
массива принадлежит С, для i = 0, 1, ..., а.
Эта конструкция — обобщение конструкций упаковок в R",
п== 2т, приведенных в [Lee 4, § 1.6]. В конструкции С дальней-
дальнейшее развитие получает используемая в конструкциях А и В
идея удачного выбора ограничений на строки координатного
массива. В общем случае получаемая упаковка не является
решетчатой. С помощью приведенной в § 8 гл. 8 модификации
этой конструкции (конструкция D) всегда получаются решет-
решетчатые упаковки, однако требуется, чтобы коды С,- были линей-
линейными и вложенными, т. е. d ^ С+ь
6.2. Расстояние между центрами. Если первой строкой, в ко-
которой различаются два центра, является 2/-строка, то (i) если
i > а, то расстояние между ними равняется по меньшей мере
2а+1, и (ii) если 0 ^ i ^ а, то они отличаются минимум на 2'
как минимум в di координатах, т. е. расстояние между ними
больше либо равно (dj4')'$ = Vy • 2°. Таким образом, мы мо-
можем взять шары радиуса р = Vy • 2е.
6.3. Центральная плотность. Сколько точек х с целочислен-
целочисленными координатами удовлетворяют условиям конструкции С?
Доля х с 1-строкой из Со составляет Мо-2~п, с 2-строкой из
С] — М[-2~п и т. д. Таким образом, доля взятых в качестве
центров целочисленных точек равна МйМ\ ... Ма-2~(-а+1)п и
центральная плотность равна соответственно
б = М,М, ... Ма-2~ (а+1)'п • р" = М0Мг ... Мауп12 ¦ 2~2п. A0)
Если коды линейны и dim С,- = ki, то
а
log2б = X k{ — In при Y=l. (Ha)
i — Щ- при y = 2. (lib)
194 Га. 5 Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Для больших п мы имеем (из формулы A8) гл. 1)
а
log2 А = ? *< -- Т log2 (8п/ле) + О (log2 n). A2)
Например, мы можем получить 64-мерную нерешетчатую упа-
упаковку, используя следующие коды из таблицы 5.4:
' Со: [64, 1, 64], С,: [64, 28, 16], С2: [64, 57, 4], С3: [64, 64, 1]
A3)
(здесь у = 1, а = 3). По (На) центральная плотность рав-
равняется б = 222. В разд. 8.2е гл. 8 мы построим решетчатую упа-
упаковку с той же плотностью.
6.4. Контактное число. Подсчитаем число шаров, касающихся
шара с центром в начале координат. Для этого, как видно из
обсуждения в разд. 6.2, мы должны найти число центров типа
(± 2r)dr 0n~dr для каждого г = 0, 1 а. Координата, равная
+2Г, соответствует столбцу с одной единицей в 2г-строке коор-
координатного массива, в то время как координата, равная —2Г,
имеет единицы в 2'-строках для всех i ^ л Единицы в 2г-стро-
ке образуют некоторое кодовое слово, скажем с, из Сп а отри-
отрицательные знаки должны быть в позициях единиц в некотором
кодовом слове из Сг+\ П Сг+2 П • • • П Са. 2г-строка может быть
выбрана Ad способами, причем для каждого способа число
возможных выборов знаков равно числу кодовых слов в Сг+\ ["]
[\ Сг+2 П • ¦. П Са, содержащихся в кодовом слове с из Сг. Обо-
Обозначим последнее число через Nr(c).
Тогда число центров требуемого типа равно 2 Nr(c) и
t=EEiVr(c), A4)
где ? означает суммирование по всем с<=Сг. Если величина
а
Nr (с) = Nr не зависит от с, то получается т = ? Ad MT.
6.5. Упаковки, получаемые из кодов Рида-Маллера. Выберем
в качестве кодов С, РМ-коды Bг)-го порядка длины п = 2т
и применим конструкцию С; в результате получится упаковка
Рпг в R". Эти и подобные упаковки были построены в [Lee 4].
Если т четно, то у = 1 и а = т/2, если же т нечетно, то
7 = 2 и а=(т—1)/2; в обоих случаях радиус равен 2(т~2>/2.
Так как РМ-коды вложены друг в друга, Nr(c) равно числу ко-
§ 6. Конструкция С 195
довых слов в РМ-коде Bг + 2)-го порядка длины 2т, содер-
содержащихся в кодовых словах минимального веса в РМ-коде
Bг) -го порядка, а это то же самое, что число кодовых слов
в РМ-коде второго порядка длины 2т~2г. Таким образом,
( т — 2r\ fm — 2r\
log2iVr(c)=l + ( ! ) + [ 2 J. A5)
Используя приведенные в разд. 2.7 гл. 3 свойства РМ-кодов,
находим центральную плотность и максимальное контактное
число
= 2 ¦ п , A6)
т = B + 2) B + 22) ... B + 2т) ~ 4.768 . .. 2т (т+т. A7)
Подробности содержатся в [Lee 4]. (Соотношения между опре-
определенной в [Lee 4] k-четностью вектора и РМ-кодами таково:
двоичный вектор длины 2т является ^-четным тогда и только
тогда, когда он принадлежит РМ-коду (т — &)-го порядка.)
Упаковка Рпг в R", п = 2т, является решеткой тогда и толь-
только тогда, когда п =^ 64. Решетчатая упаковка Бариса — Уолла
BWn (разд. 8.2f гл. 8) в размерностях п = 2т совпадает с Рпг
при п ^ 32 и имеет ту же плотность и то же максимальное
контактное число для всех п.
6.6. Упаковки, получаемые из БЧХ-кодов и других кодов.
РМ-коды очень низких и очень высоких порядков содержат
максимально возможное число кодовых слов, но РМ-коды про-
промежуточных порядков не очень хороши. Для п ^ 64 существуют
БЧХ-коды с большим числом кодовых слов, но и про них из-
известно, что они не оптимальны. Для длины 64 известны расши-
расширенные циклические коды, которые лучше, чем БЧХ-коды.
К сожалению, циклические коды, не являющиеся БЧХ-кодами,
подробно не изучались для длин, больших 99. Таблица цикли-
циклических кодов длины п ^ 63 приведена в [Chel], [Pet 3, при-
приложение D], а Промхауз и Таварес [Pro 1] расширили эту
таблицу до п = 99. Хорошо было бы иметь список лучших
циклических кодов длины 127. В табл. 5.4 мы приводим выбо-
выборочный список наилучших известных в настоящее время кодов
длины п = 2т E ^ т ^ 8) с минимальным расстоянием
d = 2'. Коды Гёталса нелинейны (см. [Goel], [Goe2], [Mac 6t
гл. 15, § 7]); другие приводимые коды являются линейными.
Тривиальные [п, п, 1]-, [п,п—1,2]-, [п, 1,п]-коды в таблице
опущены.
196
Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Таблица
п 1
32
64
128
256
5.4.
og«A
26
16
17
6
57
45
46
47
24
28
7
120
106
78
43
8
247
231
233
199
139
55
9
Наилучшие
I d
4
8
8
16
4
8
8
8
16
16
32
4
8
16
32
64
4
8
8
16
32
64
128
известные коды длины 2
Наименование
Хэммннга
РМ второго порядка
Чена — Слоэна [Che 3]
РМ первого порядка
Хэмминга
БЧХ
расширенный цикличес-
циклический
Гёталса
БЧХ
расширенный цикличес-
циклический
РМ первого порядка
Хэмминга
БЧХ
БЧХ
БЧХ
РМ первого порядка
Хэммиига
БЧХ
Гёталса
БЧХ
БЧХ
БЧХ
РМ первого порядка
Для полноты заметим, что [64,46,8] -код в табл. 5.4 по-
получен добавлением проверки на четность к циклическому
[63, 46, 7]-коду с порождающим многочленом
g (х) = Мм(х) МE> (х) М™ (х) М{™ (х).
A8)
где АИ'Цх)—минимальный многочлен для а1, а а — примитив-
примитивный элемент поля Гб4 (см. разд. 2.4 гл. 3). Аналогично, [64,28,
16]-код получается из циклического [63, 28, 15]-кода с порож-
порождающим многочленом
5
с) A9)
U
[Pet 3, приложение D].
Так как центральная плотность в конструкции С пропор-
пропорциональна числу кодовых слов, используя лучшие коды из этой
таблицы, мы получим значительные улучшения по сравнению
§ 6. Конструкция С 197
с упаковками предыдущего раздела. Например, как мы видели
в разд. 6.3, в R64 мы получаем нерешетчатую упаковку с б =
= 222. Для m ^ 7 мы используем расширенные БЧХ-коды для
получения бесконечного семейства нерешетчатых упаковок Рпь
в R", п = 2. Для пг = 7, 8, 9 они имеют б = 285, 2250, 2вм соот-
соответственно, что улучшает значение центральной плотности упа-
упаковок BWn и Рпг в 221, 258, 2186 раз соответственно. Решетки
с такой же, как у Рпь, плотностью будут получены в разд. 8.2g
гл. 8 с помощью конструкции D. Для размерностей п ^ 256 ре-
решетки Крэйга (см. § 6 гл. 8) все же более плотны; см. обсуж-
обсуждение в разд. 1.5 гл. 1.
Плотность Рпъ для всех m оценивается в следующем раз-
разделе.
Используя вместо БЧХ-кодов коды Геталса с d = 8, можно
увеличить плотность упаковки Р„ь в четыре раза для п = 2m ^
^ 256 при четных т. Тем не менее это не сказывается на даль-
дальнейшем анализе.
БЧХ-коды вложены друг в друга, и то же можно сказать
о расширенных циклических кодах длины 64 из табл. 5.4. Вы-
Вычисление контактного числа этих упаковок требует поэтому
знания числа кодовых слов минимального веса d в каждом
используемом коде, а также знания числа кодовых слов в коде
с минимальным расстоянием d/4, полностью содержащихся
в этих словах минимального веса. Это представляется сложной
проблемой.
6.7. Плотность БЧХ-упаковок. Этот раздел содержит ниж-
нижнюю и верхнюю границы, а также асимптотическое выражение
(теорема 3) для центральной плотности упаковок в R", полу-
полученных использованием расширенных БЧХ-кодов в конструк-
конструкции С. Далее «код» означает «расширенный БЧХ-код длины
я = 2т». Рассматриваются два класса упаковок. Упаковка (а)
использует коды с (истинным) расстоянием Хэмминга 1, 4,
16, ...,4[т/2\ а упаковка (Ь) использует коды с (истинным)
расстоянием Хэмминга 2, 8,32, ..., 2 • 4I(m)/21. Пусть РпЬ обо-
обозначает более плотную из этих двух упаковок.
Как следует из замечания в конце разд. 2.7 гл. 3, код с кон-
конструктивным расстоянием 2х имеет истинное минимальное рас-
расстояние 2\ Пусть размерность этого кода равна k\. Может,
однако, оказаться, что есть коды с конструктивным расстоя-
расстоянием, меньшим чем 2\ имеющие истинное минимальное рас-
расстояние 2\ Пусть К\ — наибольшая размерность такого кода
Тогда ki ^ Кк < &J.-1- Известно, например, что коды длины 128
имеют k5 = 36, К5 = 43, 1ц = 78 [Kas 1].
198 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Если обозначить центральные плотности этих двух упаковок
через 6а и Ьь, то из A1а) и A1Ь)
[т/21 Кт-1)/2]
Iog26a= ? K,2i — 2n, Iog26b= 2 /C2/+i —3n/2.
f0 j 0
Алгоритм вычисления k% приводится в [Вег4, § 12.3]. Мож-
Можно следующим образом описать действие этого алгоритма.
Пусть числа а»,/ определены выражениями
altj = 2'— 1, для
at!, = alil_l + alil_i+l+ ... +а{<1_и для 1<л</.
Тогда ku — n,km=\ и kx = m + ат-к, т при 0 < I < т. Пусть
Л- (*) = 2/=iai, Iх'• Из определения а?>/
,3 ,л х + 2х*+...+1х1
Л1 \х) — ~ ; г •
1 — X — X2 — . . . — X*
Пусть 1 — х — х2— ... — хг = ГЦ=1 (! — Л>*)- ТогДа Лг(л)
можно представить в виде разложения в простейшие дроби
At {х) = 2] j_/vX .
и, таким образом,
Многочлен G{y) = yi+l—2г/'+1 =(у— Щу1 — У1~1 — ¦¦¦ —у—Ц
имеет корни 1, t\ U. Исследование G(y) показывает, что
один корень, скажем tu близок к 2. В действительности для
t> 1 имеет место GB — 21-') < ° и GB — 2-') > 0, так что
2 — 21~t<tl<2-2~t, i>\.
Вычисляя число слов БЧХ-кодов 2т—1с расстояниями 2К к
2^+1, Манн [Man2] показал, что |?у|< 1 для v = 2, 3, ..., /.
Таким образом,
Суммируя эти результаты, мы находим соответственно ниж-
нижнюю и верхнюю границы для log2 ба:
[т/31
2т Z A-22'-Т-2т + О(т2),
[т/2]
2т Е A - 2п-т~Т - 2т + О W).
§ 6. Конструкция С 199
Сумма в нижней границе может быть записана как
Im/21 — с log tn [m/2] — d log tn lm/2]
Z + Z + Z =Z. + Z.i + Zm,
i = 0 i«=[nt/21 — с log m t = lm/2| —d login
где с > 1 и d < 1 являются константами, а логарифмы берутся
по основанию 4. Тогда
\т\}\ — с log га
(l-m4'-2-m)>f -log4m+O(l),
так как с может быть выбрано произвольно близким к 1.
Кроме того, 52п = о (log4 яг), так как cad могут быть сколь
угодно близки. И наконец, поскольку d< 1,
О < Zhi < 0 - т-*Г (d ¦ log4 га) + 1 = о A).
Поэтому
= A/2)пlog2я. — A/2)п log2 log2n + o{nlog2log2n),
так как п = 2т. Подобные рассуждения применим также
к верхней границе и к границам для Iog2 6&. Это доказывает
следующую теорему.
Теорема 3. Пусть б — центральная плотность любой из двух
упаковок в R", п = 2"\ полученной использованием, расширен-
расширенных БЧХ-кодов в конструкции С. Тогда
Iog26 ~ A/2) n log2 п — A/2) я log2 log2n, n-*oo. B0)
Как следует из равенства A8) гл. 1, истинная плотность Д =
= Vn6 этих упаковок удовлетворяет соотношению
log2 Л (l/2)ralog2log2n. B1)
6.8. Упаковки, полученные из кодов Юстесена. Большая по
сравнению с B1) плотность может быть достигнута заменой не-
некоторых БЧХ-кодов кодами Юстесена (см. разд. 2.6 гл. 3).
Предположим, что n = m-2m = 22a, и возьмем ? = 1. Для
0 ^ / ^ 5 пусть С,- состоит только из нулевого кодового слова,
для 6 ^ i ^ E/8)log2Ba) пусть d — код Юстесена с минималь-
минимальным расстоянием 4а~', укороченный до длины п, и для
E/8)log2Ba) < i ^ а пусть С,- — расширенный БЧХ-код, та-
такой же, как и в разд. 6.7, с минимальным расстоянием 4а~'.
Тогда можно показать [Slo 1], что конструкция С дает нере-
нерешетчатую упаковку с
^-log2A^-6. B2)
200 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Замечание. Если бы мы использовали в конструкции С коды,
лежащие на границе Гилберта (см. соотношение C) гл. 9), по-
получили бы нерешетчатые упаковки с
-^-log2 A ^-1,2919... B3)
(к сожалению, хотя такие коды и существуют, неизвестно, как
их строить). С другой стороны, из границы линейного програм-
программирования (см. соотношение A) гл. 9) следует, что плотность
любой упаковки, полученной из конструкции С, ограничена
сверху выражением
-^ log2 A < -0,9042... B4)
Сравните формулы B3) и B4) с формулой D6) гл. 1.
Постскриптум: регулярная конструкция экстремальных ре-
решеток типа II в размерностях 24, 32, 40, 48, 56, 64. Озеки [«Кон-
[«Конструкция четных унимодулярных решеток на основе троичных
кодов», препринт) утверждает, что следующий метод может
быть использован для удвоения плотности решеток, полученных
применением конструкции Вз к троичным самодвойственным
кодам С длины п для всех п = 24, 32, 40, ..., 64, точно так же,
как это мы делали для п = 24 и 48 в разд. 5.7. К решетке при-
присоединяется вектор v вида ((±1/2)"-1 (+5/2)), ((±l/2)"~2,
(—3/2J) или ((±1/2)"-1, —3/2) в зависимости от п = 0, 8
или 16 (mod 24), причем знаки выбираются так, чтобы 2у при-
принадлежало недублированной решетке. Он показал, что если С
имеет минимальное расстояние 9 для п = 24, 32, 40 или же рас-
расстояние 15 для п = 48, 56, 64, то получающаяся решетка после
соответствующего изменения масштаба является экстремальной
решеткой типа II (см. гл. 7, § 7). Требуемые коды кратко описа-
описаны в § 10 гл. 7. Заметим, что такие коды длин 32 и 56 могут быть
получены «вычитанием» [Con 24, § VII] тетракода W* (см. гл. 3,
B.5.1)) из дважды циркулянтных кодов Su и S6o (гл. 3,
разд. 2.10).
Глава 6
Слоистые решетки
Дж. Конвей, Н. Слоэн
Мы изучаем здесь плотнейшие решетчатые упаковки, кото-
которые можно построить послойно. Начнем с 1-мерной решетки Ai
четных целых точек; на n-м шаге совместим слои подходящих
(п—1)-мерных решеток Ля-ь сохраняя ту же минимальную
норму, так плотно, как только возможно; в результате получим
слоистую решетку Л,г. В этой главе определяется плотность
решетки Ап для п =^ 48, найдены все возможные Л„ для п ^ 25
и найдена по крайней мере одна Ля для каждого п в интервале
26 ^/: ^ 48. Решетка Л24 единственна — это решетка Лича.
В размерностях п ^ 30 теперь известны решетки более плот-
плотные, чем An-
§ 1. Введение
Известен следующий естественный способ построения ре-
решетчатых упаковок в n-мерном евклидовом пространстве R".
Начиная с одномерной решетки 2Z, состоящей из четных целых
точек, мы получаем двумерную упаковку, рисуя ряд кругов ра-
радиуса 1 с центрами в четных целых точках на оси, затем по-
подобный ему следующий ряд, расположенный насколько воз-
возможно близко, далее — на таком же расстоянии — другой ряд
и т. д. Эта процедура приводит к гексагональной решетчатой
упаковке Л2. Чтобы перейти в размерность 3, мы расположим
слой биллиардных шаров в гексагональной решетчатой упа-
упаковке, затем расположим такой же слой рядом, насколько воз-
возможно близко, далее — другой слой на том же расстоянии
и т. д.; в результате получим гранецентрированную кубическую
решетчатую упаковку А3 —?>з- На каждом шаге, переходя от
размерности / к размерности /+1, мы располагаем слои, со-
состоящие из копий подходящей t-мерной решетки А,-, насколько
возможно близко. Получающуюся решетку (или решетки, так
как в некоторых больших размерностях этим способом может
быть получена более чем одна решетка) мы называем слоистой
решеткой (более точное определение дается в § 2). Типичная
я-мерная слоистая решетка будет обозначаться через А„.
202
Гл. 6. Слоистые решетки
В этой главе мы определяем плотность решетки Ап для
п ^ 48 (см. рис. 1.5 гл. 1 и табл. 6.1), находим все Л„ для
п ^ 25 (см. рис. 6.1) и по крайней мере одну Ап в каждой
размерности в интервале 26 ^ п =g: 48. Мы увидим, что слоис-
слоистые решетки являются плотнейшими известными упаковками
в размерностях п ^ 29, кроме п = 10, 11, 12 и 13.
Таблица 6.1. Слоистые решетки Ап имеют минималь-
минимальную норму 4, детерминант Хп и центральную плотность
6 = Я,га '2. Расстояние между слоями Лга в Л^+1
равно л~ ' , и наибольший радиус подпокрытия
любой решетки Ап равен hn. Заметим, что
nn = 4 — h2n и ^я = яге-1^/!-1- Кроме того, Лга
меньше или равен гп (наибольшему радиусу
покрытия любой решетки Ло) с равенством, если
А„ < V3" либо тп < V3"
я
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
К
1
4
12
32
64
128
192
256
256
512
768
1024
1024
1024
768
512
256
256
192
128
64
32
12
4
1
4
3
8/3
2
2
3/2
4/3
1
2
3/2
4/3
1
1
3/4
2/3
1/2
1
3/4
2/3
1/2
1/2
3/8
1/3
1/4
2
hi
0
1
4/3
2
2
5/2
8/3
3
2
5/2
8/3
3
3
13/4
10/3
7/2
3
13/4
10/3
7/2
7/2
29/8
11/3
15/4
2
п
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
К
1
2
3
4
4
4
3
2
1
1
3/4
1/2
1/4
1/8
3-2
2-6
2-8
2-9
3.2-12
2-12
2-й
9 — 16
3-2-20
2-21
2-24
2
3/2
4/3
1
1
3/4
2/3
1/2
1
3/4
2/3
1/2
1/2
3/8
1/3
1/4
1/2
3/8
1/3
1/4
1/4
3/16
1/6
1/8
hi
2
5/2
8/3
3
3
13/4
10/3
112
3
13/4
10/3
111
111
29/8
11/3
15/4
111
29/8
11/3
15/4
15/4
61/16
23/6
31/8
1
§ 1. Введение
203
Л(У*РЕШЕТКА ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ
Лх*ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ РЕШЕТКА <
Л,= РЕШЕТКА'ЦЕЛЫХЧИСЕЛ
ГРАНЕЦЕНТРИРОВАННАЯ
КУБИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА
t A Го,
Рис. 6.1. Вложение слоистых решеток Л„. Показаны все Л„ для л ^ 24,
существует 23 решетки Л25 и, вероятно, большое число решеток Л26- По мень-
меньшей мере одна Л„ известна для 26 SS п. ^ 48.
История. Подробное рассмотрение процесса добавления
слоев в размерностях до восьми (а также описание нерешетча-
нерешетчатых упаковок, которые могут быть сконструированы таким же
образом) было проведено в [Lee 7] (см. также § 4 гл. 5), где
было показано, что решетки Ль ..., Лв единственны и сов-
совпадают с шютнейшими (в соответствующих размерностях) ре-
решетчатыми упаковками A^Z, А2, Л3 = ?>з, Diy D5, Е6, Е7, Es
(см. разд. 1.5 гл. 1). В 1946 г. Чонди [Cha 4] открыл слоистые
решетки Лд и Лю, но не показал, что они являются плотней-
шими возможными решетками в размерностях 9 и 10 (это до
204
Гл. 6. Слоистые решетки
во
о о
о о
о о
о о
о о
п°
Uo
о о
п°
1°
Uo
о о
Хо
X О
X О
X о
Хо
Хо
X О
XX
Хо
ХО
ХО
XX
X*
*Т
X *
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
'о
о
о
о
о о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о о
¦о о
о о
о
о
о
о
о
о
о
о
1ТО
XX
X*
X*
X *
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
XX
* X
X*
X*
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
XX
X X
XX
X X
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
X X
X X
X X
X X
X О
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
XX
XX
XX
X X
X о
* о
о о
о о
о о
о о
XX
X X
X X
X X
Хо
X о
t°
* о
о о
о о
о о
о о
X*
XX
X X
XX
Х- о
*-о
X о
X О
о о
о о
о о
о о
.шах
л12
XX
XX
X X
XX
¦Хо
Хо
Хо
ХО
о о
о о
о о
о о
X X
X X
XX
X X
X о
X О
xU
о о
о о
о о
О 0
XX
X X
X X
X X
X О
й
о о
о о
О 0
о о
X X
X X
X X
X X
X о
X X
X X
X X
о о
о о
о о
о о
X X
X X
X X
X X
X X
XX
XX
X X
о о
о о
о о
о о
X X
X X
X X
X X
XX
XX
X X
XX
о о
о о
U о
XX
X X
X X
X X
XX
XX
X X
XX
о о
п°
Уо
XX
XX
X X
X X
х-х
*х
XX
XX
о о
h
XX
XX
XX
X X
X X
X X
XX
XX
о о
ХО
ХО
X о
XX
XX
XX
XX
XX
X X
XX
X X
X О
ХО
X о
X О
XX
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
XX
X О
X о
X О
XX
XX
X X
X X
X X
X X
XX
X X
XX
X *
X*
X*
XX
XX
X X
X X
X X
X X
X X
Х.Х
XX
XX
1%
XX
¦XX
XX
XX
XX
X X
XX
X X
XX
XX
XX-
X X
123
!124
Рис. 6.2. MOG-коордииаты для Ло, .. . ,"<ЛП, рассматриваемых как сечеиия Л24.
На рисунке показаны Ло, AjsZs^!, Л2 =ё А2, A3^A3^D3, Ats?Dt,
Л5 at D5, Л6 - ?6> А7 - Е7, А& а Е&, Л9, А10, Л»« Л™\ Atf", Ам,....
Маленький кружок показывает нулевую координату, пустой контур — это
множество координат, дающих в сумме нуль, звездочка — свободная коорди-
координата, а звездочки, соединенные линией, — множество равных координат.
сих пор не доказано). Барнс (Barnes E. S.) сообщил нал», что
в неопубликованной работе Чонди нашел также некоторые Ап
в нескольких следующих размерностях.
Мы увидим, что слоистые решетки Л15 и Л16 единственны
и в действительности изоморфны решеткам, открытым Барнсом
и Уоллом [Ваг 18] в 1959 г. Единственная решетка А2* яв-
§ 1. Введение
205
ляется решеткой Лича, и «главная последовательность» ее се-
сечений
ал л лтах а тах л шах А . . ,,.
Ло, Ль ..., Лю, Ли , Л12 , Л13 , Ли, Л15, ..., Л24 A)
была описана в [Lee 4] — [Lee 7] и в предыдущей главе, хотя
там и не доказано, что эти решетки дают плотнейшие слоистые
упаковки для п > 8. Элементы этой последовательности отли-
отличаются тем, что они имеют наибольшее контактное число среди
Таблица 6.2. Детерминанты и„ решеток Кп
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
««
1
4
12
32
64
128
192
384
576
л
8
9
10
11
12
13
14
15
16
я«
576
864
972
972
729
972
972
864
576
л
16
17
18
19
20
21
22
23
24
«в
576
384
192
128
64
32
12
4
- 1
л
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1
2
3
4
4
4
3
3
9/4
п
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Kit
9/4
33-2 '
35.2-8
35.2-9
3« 2-12
35-2~"
35.2-12
3з.2-10
32-2~10
Я
40
41
42
43
44
45
46
47
48
i
32.2-Ш
3.2-!0
3-2-'2
2-12
2-н
2~1б
3-2-20
2-81
2-24
An (см. табл. 6.3 далее). На рис. 6.2 мы приводим исключитель-
исключительно простую координатную запись для этих решеток как сечений
решетки Лича (см. [Lee 5]), используя MOG-обозначения § 11
гл. 4. Их детерминанты приводятся в табл. 6.1. Решетка Ai2ax
является решеткой Чонди/i2 (см. [Сох 29]).
В [Lee 4], [Lee 5], [Lee 10] было показано, что имеется вто-
вторая важная последовательность сечений решетки Л24, обозна-
обозначаемая Ко, Ki /<24- Эти решетки совпадают с Ап для п =g: 6
и 18 ^ п ^ 24, но для п = 7, ..., 17 они не являются слоистыми
решетками. Решетка /С12 была открыта Кокстером и Тоддом
([Сох 29]; см. также § 4 гл. 4), решетка Кп была открыта
Барнсом [Ваг9], а решетка Ki3 — Личем (не опубликовано).
На рис. 6.3 приводятся координаты для Кп как сечений ре-
решетки Л24, а табл. 6.2 содержит их детерминанты. Некоторые
из решеток А„ при п ^ 16 и Кп при п^ 13 были переоткрыты
Скубенко [Sku 1], который, по-видимому, не был знаком с бо-
более ранними работами в этой области. Определенные решетки
206
Гл. 6. Слоистые решетки
о о
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
о
о
о
0 О
о
о
о
о
о
о
о о
о о
оо
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
оо
о о
о nz
о о
о о,
о о
'
о о
О 0
о о
оо
о о
о о
о о
о X
о о
о о
о о
XX
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
X X
о о
о о
о о
X X
0 О
о о
о о
о
о
о
о
*
о
о
о
*
о
о
о
¦к
о
о
о
о
о
о
*
о
о
0
о X
ч °
т °
* о
X
о
о
о
X
о
о
о
XX
0
о
о
0
о
0
о X
? °
т °
* о
XX
о о
О 0
о о
X*
о о
о о
о о
XX
X о
* о
* о
X X
о о
о о
о о
XX
о о
о о
о о
X X
н
XX
о о
о о
о о
XX
о о
0 0
о о
X X
ii
XX
* о
io
XX
о о
о о
оо
к
10
X X
ii
X X
?т"
ii
XX
ь**
К12
Чз
о о
У
II
о о
II
О О
п п
II
О О
ПИ
II
оо
11
о о
п
о о
у
II
о о
flfr
II
о о
11A
1У1
О О
и
11
о о
п*
1х
о о
X X
XX
XX
о о
11 1!
II
о о
X X
XX
X X
о о
XX
X X
X X
О О
и*
1х
о о
X X
X X
X X
о о
XX
X X
XX
X о
п *
1х
о о
X X
X X
X X
о о
X X
XX
X X
К
21
^23
*о
1;
о о
XX
X X
XX
о о
XX
XX
XX
Хо
XX
XX
XX-
о о
¦XX
XX
«X
о о
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
о о
XX
XX
XX
о о
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
X о
X X
X X
X X
о о
XX
XX
XX
XX
X X
X X
XX
X X-
X X
X X
X X
-*-х
X X
X X
X X
XX
XX
XX
XX
X X
XX
X X
X X
¦*-*¦
X X
XX
X X
XX
X X
XX
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
Рис. 6.3. MOG-коордииаты для решеток Ко, ¦.., Кч> рассматриваемых как
сечения решетки Лича. Обозначения те же, что на рис. 6.2.
Л25, ..., Л4о также описаны в предыдущей главе. Лич показал,
что при п <; 21 слои могут быть добавлены таким образом,
чтобы получались нерешетчатые упаковки, столь же плотные,
сколь иА»и Кп, за исключением Ль Л2, М, Л8, Ки и /Ci2.
Дополнения к этой главе. Эта работа была нами обобщена
в двух направлениях в [Con 36] рассмотрением (а) слоистых
комплексных и кватернионных решеток (см. разд. 2.6, гл. 2)
и (Ь) целочисленных слоистых решеток, т. е. при дополни-
дополнительном требовании, чтобы Ап была целочисленной (веществен-
§ 1. Введение 207
ной, комплексной или кватернионной) решеткой с заданной
минимальной нормой. Временно обозначим через Л^ некото-
некоторые построенные ниже в § 7 слоистые решетки в размерностях
от 25 до 48. В [Con 36] мы показали, что решетки Ло, Л4,
Л8, Л™ах, Л16, Л20, Л24, ЛИ', Лзг', ..-, A\V можно снабдить
структурой кватернионных решеток (над целыми числами Гур-
вица), а также что эти решетки являются слоистыми кватер-
нионными решетками. Более того, они также имеют структуру
гауссовых и зйзенштейновых решеток (см. разд. 2.6 гл. 2) и, та-
таким образом, также являются слоистыми решетками. Целочис-
Целочисленные слоистые решетки с минимальной нормой М над
кольцом целых / определяются аналогично обычным слоистым
решеткам с дополнительным требованием, чтобы слои образовы-
образовывали целочисленную решетку, т. е. такую решетку, в которой
все скалярные произведения u-v принадлежат /. Вещественные
целочисленные слоистые решетки исследовались и на компью-
компьютере Плескеном и Постом [Pie 6], [Роп2],и теоремы в [Соп 36]
объясняют некоторые их результаты. Для полноты мы вклю-
включили в качестве приложения к этой главе таблицу из [Con 36],
в этой таблице приводятся плотнейшие известные на данный
момент целочисленные решетки с минимальными нормами 2, 3
и 4 в размерностях до 24.
Некоторые другие решетки также канонически получаются
как целочисленные слоистые решетки. Например, решетка Кок-
стера— Тодда Ki2 — единственная 6-мерная целочисленная
слоистая эйзенштейнова решетка с минимальной нормой 2
[Con 36, §4.2].
Метод, используемый для доказательства теоремы 10 работы
[Con 36], может быть легко расширен для получения до-
доказательства теоремы о том, что решетки корней Ло, Аи А2,
Аъ s D3, Dit D5, Е6, E7, Es (см. теорему 2 ниже) совпадают
с единственными слоистыми решетками Ло Л8. Единствен-
Единственный требуемый для доказательства дополнительный шаг со-
состоит в том, чтобы показать, что глубокие дыры в Ло, ..., Е7
принадлежат двойственным решеткам Ло, ..., Е7. Это может
быть сделано с помощью техники Нортона (см. гл. 22 и § 5
ниже). В настоящей главе мы выводим эту теорему из резуль-
результатов Блихфельдта и Ветчинкина. Другое доказательство сде-
сделало бы наше определение решетки Ап для п ^ 48 независимым
от работы Блихфельдта и Ветчинкина (индуктивное рассужде-
рассуждение можно было бы провести с шагом единица, а не с шагом
восемь). Конечно, теорема 3 ниже все равно бы зависела от
результатов из [ВН 4] и [Vet 2].
208 Гл. 6. Слоистые решетки
Лексикографические коды, являющиеся кодовым аналогом
слоистых решеток, изучаются в [Con 41].
Содержание главы. Материал в остальной части этой главы
расположен следующим образом. В нескольких ближайших аб-
абзацах вводятся некоторые обозначения, и в § 2 формулируются
основные результаты. В § 3 мы устанавливаем некоторые ис-
используемые в этой главе свойства решеток Л[, ..., As, а § 4—7
посвящены доказательству теоремы 1.
Обозначения. Так же как и в разд. 1.4 гл. 1, если две ре-
решетки L и М различаются только вращением, масштабным
множителем и, возможно, отражением, то мы говорим, что они
эквивалентны и пишем L ^ М. Мы будем использовать три
различные нормы для решеток. Слоистые решетки Ап всегда
будут иметь минимальную норму 4, для того чтобы соответство-
соответствовать упаковке единичных шаров. Решетки корней А„, Dn и Еп
могут в зависимости от используемых координат иметь норму 2
или 4. Наконец в случае MOG-обозначений (см. § 11 гл. 4) ми-
минимальная норма равна 32. Если минимальная норма решетки
равна ц, ее центральная плотность (в этой главе прилагательное
«центральная], как правило, опускается) равняется
/2, B)
что превращается в б = (det LI/2 для слоистой решетки. Дыра
(см. разд. 1.2 гл. 2) решетки LbSR" — это точка в R", в кото-
которой расстояние до Ln достигает локального максимума. Наи-
Наибольшее расстояние от дыр до Ln называется радиусом по-
покрытия Ln (формула C) гл. 2), а дыра, находящаяся на этом
расстоянии, называется глубокой дырой. Под ^-мерным сече-
сечением решетки Ln мы подразумеваем й-мерную решетку Mk =
? !^k?R", такую, что Mk — Lnf\Rk. Двойственная решетка —
это L* = {х е R": х • у eZ для всех у е Ln} (формула B4)
гл. 1). Если V является подпространством в Rn, то ортогональ-
ортогональным ему подпространством называется Vх = {хе R": х-у = 0
для всех jeF}.
§ 2. Основные результаты
Определение слоистой решетки Ап- Пусть Ло — решетка, со-
состоящая из одной точки. Для п ^ 1 мы перебираем все гс-мер-
ные решетки с минимальной нормой 4, имеющие хотя бы одну
подрешетку Ля-ь и выбираем из них решетку с минимальным
детерминантом. Любая такая решетка является слоистой решет-
решеткой Ап В случае необходимости мы используем верхние индексы
(например, Л?2ах, Лй'п) для того, чтобы различать разные ре-
решетки Ап.
§ 2. Основные результаты 209
Нам пригодятся следующие геометрические понятия. Проек-
Проекцией данной слоистой решетки Л„ на 1-мерное подпространство
(RAn-iI, где An-i—одна из подрешеток в Лп, является одно-
одномерная решетка с некоторой минимальной нормой, которую мы
обозначим через яп-\- Тогда можно рассматривать Ап как объ-
объединение
сдвигов решетки Л„_1, таких, что Лп-i имеет в (RAn-iI коор-
координату i V^n-i • Наименьшая норма s вектора в Лп' не мень-
меньше 4 (и, как окажется, во всех используемых случаях s в дей-
действительности равна 4). Если v — вектор в Лл-i с нормой s
и расстояние от и до Л(в-1 равно пп_ь то
JTn_i = s-/iLi>4-/>2n_i C)
Тогда hn-u которое мы будем называть радиусом подпокрытия,
является нижней границей для радиуса покрытия гп-\ решетки
Лл-ь Несложно видеть, что hn-\ и гп-\ равны, если любое из
этих чисел ^д/З- (Представляется правдоподобным, что hn-i
всегда равно гп-и хотя мы и не можем этого доказать.) Если
детерминант решетки Ап обозначить через Яп, мы получим
K = nn-iK-i- D)
Плотность решетки Л„ равна Яп1/2. Из определения ясно, что
все Лп имеют один и тот же детерминант, но только Ап с мак-
максимальным радиусом подпокрытия (пп) могут быть расширены
до решеток Л„+[.
Наш основной результат состоит в следующем.
Теорема 1. Плотность Хп любой слоистой решетки А„ для
п^.48 совпадает с указанной в табл. 6.1 (см. также рис. 1.5
гл. 1). Наибольший радиус подпокрытия hn для решеток Ап
при п ^ 47 также приведен в табл. 6.1. Если hn ^ 3, то пп
также является наибольшим радиусом покрытия для решеток
Л„. Все Ап при п ^ 25 показаны на рис. 6.1. По меньшей мере
одна решетка Ап известна при 26 ^ п ^ 48.
Оказывается, что число неэквивалентных Л„ в размерно-
размерностях 26 и выше очень велико (см. § 7). Из рис. 6.1 мы видим,
что при п ^ 24 только одна слоистая решетка Л^!<1 не содер-
содержится в Л„+[. Тем не менее Плескен (частное сообщение) пока-
показал, что Ллз* является подрешеткой в Л24.
В масштабе, делающем минимальную норму равной 4, Л„
является целочисленной решеткой тогда и только тогда, когда
210 Гл. 6. Слоистые решетки
п sg; 24. (При п ^ 25 решетка Ап содержит самодвойственную
решетку Л24, но Л24 не выделяется в ней как прямое слагаемое,
и поэтому решетка Ап не является целочисленной.) Квадратич-
Квадратичная форма, ассоциированная с любой слоистой решеткой, яв-
является совершенной (это непосредственно следует из [Ваг 9,
th. II, part 2.1]).
Доказательство теоремы 1 в значительной степени опирается
на следующие две теоремы, первая из которых является свод-
сводкой известных результатов:
Теорема 2. Для п — 0, 1 8 плотнейшие решетчатые упа-
упаковки в R" изоморфны, соответственно Ло, A{^Z, А2, Л3 = ?>3,
Dit D5, Ев, Е7, Еъ. Слоистые решетки Ло, Ль ..., Л8 единственны
и изоморфны перечисленным решеткам. Их детерминанты и ра-
радиусы покрытия приведены в табл. 6.1.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения
см. [ВН4], [Vet2], второго —см. [Lee 7] (и предыдущую главу),
по поводу радиуса покрытия см. гл. 21, [Con 28], [Сох 20].
Теорема 2 содержит результаты теоремы 1 для п ^ 8, хотя,
конечно, утверждения теоремы 2 намного сильнее.
Теорема 3. Пусть Lm+r (m ^ 0, 0 ^ г ^ 8) — любая решетка
в ^bm+r c минимальной нормой ^4 и сечением ASm, имеющим
радиус покрытия r%m- Тогда
(^^) E)
Если в E) имеет место равенство, то существует аддитивное
отображение 9, «склеивающее» отображение, из Л2 в КЛ8т,
такое, что векторы из Lsm+r имеют вид
u+ve + cv, где иеЛ8„, и + u9 e= RA8m, ие=Лг F)
и
c = ^_*nj t G)
и такое, что
N {и + Уе) > 4 - с2// (у) (8)
для всея « е Л8т, « е Лг, (и, v) ф @, 0). Другими словами,
Lsm+r получается подклейкой экземпляра Аг (в нужном мас-
масштабе) к решетке Asm- Более того, Lsm+r является слоистой ре-
решеткой ASm+r U
/ Л ,2 \ г
О)
Доказательство. Типичный вектор из Lsm+r может быть за-
записан как Vi-\-v2, где «1<=КЛ8т, v2<^(RAm)-L. Векторы v2
§ 2. Основные результаты 211
порождают r-мерную решетку Lr, которая изоморфна /,8т+г/Л8т-
Таким образом, detL8OT+r = det Л8т• det Lr.
Добавлением вектора из Л8т мы можем довести норму vi
2
максимум до r8m. Но 4^.N(v{ + v2) — N(vx) + N(v2), и, таким
образом, минимальная норма в Lr по меньшей мере равна
г\
4 — г\,п. Отсюда по теореме 2 получаем
что доказывает E).
Если в E) выполняется равенство, то Lr = cAr с с, опреде-
определяемым формулой G), и существует склеивающее отображение
6, описываемое этой теоремой. Если 0 ^ s ^ г, решетка Аг
имеет сечение Л* (это следует из теоремы 2), и, ограничивая
в F) v до Л5, мы получаем сечение L&m+s решетки Lsm+r- Это
показывает, что Lsm+, является слоистой решеткой, и завершает
доказательство.
Последовательность К„. Мы не будем подробно обсуждать
конкурирующую последовательность сечений Кп решетки Лича.
До п = 6 Кп = Лп; решетки Кп — Кю имеют меньшую плот-
плотность, чем Л7 — Лю, однако Ки, К\2 и ^[3 имеют большую плот-
плотность, чем Лц — Ai3. Для п от 18 до 24 снова Кп = Ап.
Существует аналогичная последовательность {Кп} сечений
решетки Л48, полученных склеиванием Кп (для 0 ^ п ^ 24)
с глубокими дырами в Л24- Детерминанты %п решеток Кп при-
приводятся в табл. 6.2 и на рис. 1.5 гл. 1, а MOG-координаты для
п ^ 24 приведены на рис. 6.3.
Соотношения между плотностями. Последовательности де-
детерминантов {%п} и {хп} обладают рядом удивительных палин-
дромических') свойств (см. табл. 6.1, 6.2), а именно
" <р «
1 = ^=1 @</г<24), A1)
%п
^ 6 2), A2), A3)
V-==44-'1 @<n<8), -^==82-n @<n<4). A4), A5)
J) Палиндром — слово, фраза или стих, одинаково читающееся слева
направо и справа налево, «перевертыш».—Прим. перев.
212 Гл. 6. Слоистые решетки
Это приводит к полезным соотношениям
^ р A6)
Эти равенства частично объясняются следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть Ln — решетка (не обязательно целочислен-
целочисленная) в R", и пусть Е = Ln П 5 — ее k-мерное сечение, где S есть
k-мерное подпространство в Rn. Пусть F==Ln(]S1' есть (п — k)-
мерное сечение решетки L*n. Тогда
В частности, если detLn= 1, то
det/7 = det?1. A8)
Доказательство. Пусть е\ е„ — ортонормированный ба-
базис в R", выбранный таким образом, чтобы е\ ek образо-
образовывали базис в S, a ek+u ..., еп—базис в S-Ч Так как Е яв-
является сечением решетки Ln, мы можем найти целочисленный
базис v\, ..., vn Для Ln, такой, чтобы V\, ..., Vk образовывали
целочисленный базис для Е. Пусть w\, ..., wn — двойственный
к vi, ..., vn базис, т. е. такой, что и,до/= б,;. Тогда W\ wn
является целочисленным базисом для F. Существует матрица
с обратной матрицей Г д^ !_, J, такая, что
Теперь вычисляем детерминанты (см. формулу E) гл. 1):
detZ.n = (detAJ(detCJ, det? = (detЛJ, detF = (detC), от-
откуда следует A7).
Следствие 5. Пусть Ln — либо (i) целочисленная унимоду-
лярная решетка, либо (и) решетка, эквивалентная своей двой-
двойственной, такая, что ее детерминант равен 1. Тогда наименьший
детерминант любого k-мерного сечения решетки Ln равен наи-
наименьшему детерминанту любого (и — k)-мерного сечения для
Доказательство. В случае (i) Ln = Ln, а в случае (п) при
соответствующем выборе масштаба решетка Ln конгруэнтна L*n
(см. разд. 1.4 гл. 1). В обоих случаях detLrt= 1, и, таким обра-
образом, в A7) detE = det/7.
§ 2. Основные результаты 213
Следствие 6 [Lee 10, th. 4.5.1]. Пусть Ln — одна из решеток
Da, Еъ, K12, Ai6, Л24, Раьр или РЮц, причем масштаб выбран так,
что ее детерминант равен 1. Каждому k-мерному сечению решет-
решетки Ln соответствует (п — k)-мерное сечение с тем же детерми-
детерминантом. Аналогичный результат верен и для одной из решеток
Л48, построенной в § 7.
Доказательство. Все указанные решетки удовлетворяют пред-
предположениям следствия 5.
Следствие 7 (ср. [Lee 10, th. 4.5.2]). (а) Решетки Ло, ..., Л8,
Ai6, ..., Л2з имеют наименьший детерминант среди сечений ре-
решетки Лича соответствующих размерностей. (Ь) Для n ^ 23
Лп имеет наименьший детерминант среди n-мерных сечений ре-
решетки Л/,+1. (с) Для п ==^ 23 Кп имеет наименьший детерминант
среди n-мерных сечений решетки К,г+\, содержащих К\2 или со-
содержащихся в К\2.
Доказательство, (а) Ло, ..., Л8 — плотнейшие возможные
решетки в соответствующих размерностях (теорема 2), что до-
доказывает первое утверждение, второе утверждение вытекает из
следствия 6. (Ь) Из следствия 6 также вытекает, что Ад, ..., Ai5
имеют наименьший детерминант среди сечений решетки Ai6.
(с) Аналогично /С7, ..., Кп имеют наименьший детерминант
среди сечений решетки Кп, а К\г Км имеют наименьший
детерминант среди сечений решетки Л24, содержащих Кп- Для
0 < п ^ 6 и 18 < п < 24 Кп — An-
Замечание. Мы не можем исключить возможность существо-
существования в размерностях от 9 до 15 сечений решетки Л24 с мень-
меньшими по сравнению с последовательностями Ап и Кп детерми-
детерминантами (и, следовательно, большими плотностями).
Неравенство Морделла также является следствием теоре-
теоремы 4. Это неравенство утверждает, что если 6„ обозначает наи-
наибольшую возможную центральную плотность решетки в R", то
выполняется неравенство
([Cas 2, ch. X, th. IV], [Мог 4], [Opp 1 ]).
Доказательство. Пусть S(L) и \i(L) обозначают соответ-
соответственно центральную плотность и минимальную норму решетки
L. Пусть Ln — плотнейшая решетка с detLn=l. Тогда
detL* = 1, и, таким образом, 6(L*n) <6(Ln), n(L;)<n(Ln), a
ц (L*\ равно детерминанту плотнейшего 1-мерного сечения
14 Гл. 6. Слоистые решетки
решетки L*, что равно детерминанту плотнейшего (п — 1)-мер-
гного сечения решетки Ln, который не превосходит \i(Ln), так
что применима формула B).
В формуле A9) для п = 1, 2, 4, 8 имеет место равенство.
Если, как мы думаем, Кп, А16, Л24 и PiSp являются плотней-
.шими решетками в соответствующих размерностях, равенство
имеет место также для п = 12, 16, 24 и 48. Некоторые сечения
решетки Р&р описываются в таком следствии:
Следствие 8. В размерности 48 — п решетка PiSP имеет се-
сечение плотности 6 = C48-2n/248-nD)I/2, где D приводится в сле-
следующей таблице:
п = 0 1234567 8 9 10
/)==1 2344444 32/9 28/9 24/9
Кроме того, в размерностях 43 и выше эти решетки имеют наи-
наименьший детерминант среди любых сечений всех четных уни-
модулярных 48-мерных решеток с минимальной нормой 6.
Доказательство. Из табл. 5.3 следует, что координаты для
Pise могут быть выбраны таким образом, чтобы среди мини-
минимальных векторов были все векторы
о*,,±/ = (±32, О46) B0)
и некоторый вектор
о* = (-2,114, О33). B1)
Таким образом, эта решетка содержит взятые в соответствую-
соответствующем масштабе копии Dn (все v±i,±i, содержащие ненулевые
значения в первых п координатах), Ап (часть упомянутой выше
решетки Dn+i с нулевой суммой координат) и решетки, которые
мы будем обозначать Sn (порождаемые о* вместе с вышеупо-
вышеупомянутой Dn-i). При масштабе, в котором решетка РюР является
унимодулярной, ее сечения, ортогональные решеткам
Ао, Аи А2, A3s*D3, Dit D5, D6, D7 или S7, S8, S9> S,o,
имеют те же плотности, что и решетки из следствия 5; первое
утверждение теперь можно получить, меняя масштаб. Второе
утверждение следствия вытекает из оптимальности Ао, • • •, -Ds
(теорема 2).
§ 3. Свойства решеток Ао, • • •. А8
Решетки Ао, . • •, As (которые были определены в теореме 2)
могут рассматриваться как сечения решетки Лича, показанные
сна рис. 6.2. Например, диаграмма для А2 показывает, что А2
§ 3. Свойства решеток Ло, ...,
215-
может быть определена как множество точек решетки Лича,
для которых сумма первых трех координат нулевая, а осталь-
остальные координаты равны нулю. Эта решетка порождается векто-
векторами D,—4, О22) и D,0,—4,021) и, очевидно, является взятым
в соответствующем масштабе вариантом решетки А2.
Заметим (это понадобится нам в следующем параграфе),
что для любого г факторгруппа ЛГ/2ЛГ является элементарной
о-и
-но
Рис. 6.4. Представители классов D3/2D3. Три класса, соединенные линией, дают
в сумме нуль.
абелевой группой порядка 2Г. Обычные координаты для Dn и
Еп в большей степени подходят для описания классов из ЛГ/2ЛГ.
Прежде всего заметим, что ненулевые классы из D3/2D3 имеют,
как это показано на рис. 6.4, структуру проективной плоскости
порядка 2.
В качестве представителей шестнадцати классов Dt/2Di
можно взять
0000 2000 ПИ ТТЛ
ООП ООП ПОО 1100
оюГ oioi Тою loio
ОНО ОНО Т001 1001
где черта над числами обозначает минус и имеется автоморфизм
решетки Di, переставляющий по кругу последние три столбца.
Классы из D5/2D5 и их типичные представители суть
(i) 1 класс @0000);
(И) 20 классов (±12, О3) (минимальные векторы);
(ш) 1 класс (±2, О4);
(iv) 5 классов (±14,0)ЧёТН;
(v) 5 КЛаССОВ (±14,0)„ечётн,.
-216 Гл. 6. Слоистые решетки
Элементы из Е6 описываются как элементы из Es, в которых
последние три координаты равны. Классы и представители из
?6/2?6 суть
1 класс (О8);
16 классов ((±1/2M; (±1/2K) (минимальные векторы);
20 классов (±12, О3; О3) (минимальные векторы);
1 класс (±2, О4; О3);
16 классов (ТЗ/2, (±1/2)*; (±1/2K);
10 классов ( + 14, 0;03).
Каждый из последних 27 классов представляется десятью век-
векторами нормы 4, образующими 5-мерный координатный ёж
(в этих координатах минимальные векторы имеют норму 2).
Аналогично классы из Е7/2Е7 суть
1 класс, представленный (О8);
63 класса, представленные парой минимальных (нормы 2) век-
векторов;
63 класса, представленные 12 векторами нормы 4, образую-
образующими 6-мерную систему координат;
1 класс, представленный 56 векторами нормы 6, т. е. (±16, О2)
с нечетным числом минусов и ±(±2\05; I2).
Наконец, Е8/2Е8 содержит:
1 класс, представленный (О8);
120 классов, представленные парой минимальных векторов;
135 классов, представленные 16 векторами удвоенной мини-
минимальной нормы, образующими 8-мерный координатный ёж.
Каждая глубокая дыра в Е8 является элементом из A/2)?8,
сравнимым (по модулю Es) с 16 векторами, являющимися по-
половинами координатных векторов одного из этих координатных
ежей (см. гл. 21). В MOG-обозначениях (в которых минимальная
норма решетки Е8 равняется 32) эти 135 типов глубоких дыр
имеют следующий вид: 1 ёж /0, состоящий из 16 векторов вида
0
±4
0
0
0
0
0
0
$ 4. Размерности от 9 до 16
21Т
35 положительных тетрад-ежей fZbcdtefgh, состоящих из всех
векторов типа
±2
±2
±2
0
0
0
0
±2
носитель которых есть а, Ь, с d или е, f, g, h и произведение
ненулевых элементов положительно,
35 отрицательных тетрад-ежей fubcd\efgh> определяемых анало-
аналогично, и
64 нечетных ежей, состоящих из векторов типа
±1
±1
=F3
±1
±1
±1
±1
±1
В следующем параграфе мы ссылаемся на эти 135 типов как на
ежи в Е8 (или в Л8).
§ 4. Размерности от 9 до 16
В этом параграфе мы доказываем утверждения теоремы 1
для 9^ п <; 16. Пусть Л8+г A^/"<;8) — любая слоистая ре-
решетка в Rs+r. По определению Л8+г содержит Л8^?8. Из тео-
теоремы 3 следует существование склеивающего отображения
в: Аг-*- КЛ8, такого, что Лв+r состоит из векторов
u + ve + cv, ueA8, oeAr, c2= 1/2.
Если »еЛг имеет минимальную ненулевую норму, равную 4,
то из F) следует, что N(ve)^2. Но самая глубокая дыра в Л8
имеет норму 2, из чего мы делаем заключение, что минималь-
минимальные векторы в Лг должны быть склеены с глубокими ды-
дырами в Л8.
В предыдущем параграфе мы видели, что глубокие дыры
в Л8 являются векторами в (l/2)Ag; для нас представляет
интерес только значение Vе по модулю Л8. Минимальные век-
векторы Лг также порождают Аг, и, таким образом, 2ЛГ отобра-
отображается в Л8. Поэтому 0 индуцирует корректно определенное ото-
отображение
в: А^2Л,->A/2)Ла/А,. B2)
218
Гл. 6. Слоистые решетки
Классы из Лг/2Лг, которые представляются минимальными век-
векторами решетки Лг, должны переходить при отображении 0
в ежи в Л8 (см. предыдущий параграф).
Предложение 9. Для 1 ^ г ^ 8 любой класс из ЛГ/2ЛГ, не
представленный минимальным вектором из Лг, переходит при
отображении G либо в О, либо в ёж (но не в класс, представлен-
представленный половиной минимального вектора решетки Лв).
Доказательство. Для г ^ 2 доказываемое утверждение три-
тривиально. Для г ^ 3, г ф 7, мы сводим все к случаю г = 3, заме-
Рис. 6.5. Образ рис. 6.4 под действием ©.
тив, что любой класс из ЛГ/2ЛГ содержится в подгруппе
Л3/2Л3.
Случай г = 3. Предположим, что ненулевые классы из
D3/2D3, показанные на рис. 6.4, переводятся отображением G
в элементы А, ..., G факторгруппы A/2)Л8/Л8, показаные на
рис. 6.5, причем А, ..., F являются ежами. Без потери общ-
общности можно считать, что А — это ёж f0. В не может быть не-
нечетным ежом, представленным, скажем, (—3, I7), так как тогда
С = В -f- А должно быть представлено (I8), не являющимся
глубокой дырой. Таким образом, В и, аналогично, С, D, Е яв-
являются тетрадами-ежами и поэтому элемент G представлен
вектором с четными координатами. Если G представлен полови-
половиной минимального вектора, мы можем полжить, что он равен
B2, О6). Но тогда F = А —- G представлен вектором B, —2, О6),
который не является глубокой дырой.
Случай г = 7. Аргументация предыдущего случая должна
быть изменена, потому что имеется один класс в Л7/2Л7, пред-
§ 4. Размерности от 9 до 16
219»
ставленный векторами нормы 6. Тем не менее мы можем вы-
выбрать базис Pi, ..., v7 для Л7/2Л7 так, чтобы все и, и »; + v,-
были представлены векторами нормы 2 или 4. Из предыдущих
рассуждений следует, что ни vf, ни (vt ± vf)B не могут быть,
представлены половиной минимального вектора. Существует
квадратичная форма Q, определенная на A/2)Л8/Л8, которая
принимает значение 0 на 0-м классе и на ежах и значение 1
на остальных 120 классах. Тогда квадратичная форма G«Q'
отображает и, и vidtVj в нуль и поэтому равна нулю на
Л7/2Л7. Следовательно, класс из Л7/2Л7, представленный век-
векторами нормы 6, также переводится отображением G в 0 или
в ёж.
Предложение 10. Если vi, ..., vt — минимальные векторы
решетки Лг, независимые по модулю (кет G, 2ЛГ), то можно-
считать что vf, ..., vf представлены начальным сегментом по-
последовательности
4
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0
t
2
0
2
0
2
0
2
0
B3)'
и поэтому t s?: 4. Таким образом, возможные склеивающие ото-
отображения G полностью определяются t и ker G.
Доказательство. Без ограничения общности oi отображается
в ёж /0. Как и в доказательстве предложения 9, никакой мини-
минимальный вектор не может быть отображен в нечетный ёж,
таким образом, без потери общности of представляется
вторым элементом из B3) и т. д., что завершает доказа-
доказательство.
Теперь мы можем определить все возможные слоистые ре-
решетки от Л9 до Ale. Выберем ядро отображения G в ЛГ/2ЛГ
размерности k ^ г — 4 таким образом, чтобы ни один класс
в ядре не был представлен минимальными векторами из Лг.
Пусть ui, ..., vr — базис для ЛГ/2ЛГ, такой, что 0i, ..., vk —
базис для kerG и vk+u ¦¦¦, vr представлены минимальными век-
векторами. Тогда мы отображаем t = r — k векторов Vk+i, ..., vr
в начальный сегмент из B3).
(Л9) Здесь г = t = 1, k = 0 и Q отображает i>i в ёж f0. Та-
Таким образом, существует единственная решетка Ла, которая-.
220
Гл. 6. Слоистые решетки
может быть описана в MOG-координатах как порождаемая
А8:
*
*
*
*
*
*
*
*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Это приводит к определению Л9, данному на рис. 6.2. Кроме
того, как указывается в табл. 6.1, N{cvi) = 2 = л8 и Я9 =
А 51
(Лю) Здесь г = t = 2, k = 0 и G отображает v\ и ог в пер-
первые два элемента из B3). Таким образом, существует един-
единственная решетка Л1а, порождаемая Л9 и вектором
И = !
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
{см. рис. 6.2). Проекцией v на КЛ9 является
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
которая поэтому является типичной глубокой дырой в Л9, имею-
имеющей норму Щ = 5/2, а проекция на (КЛд)-1- — это
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
§ 4. Размерности от 9 до 16 221
имеющая норму яэ = 3/2. Из формул D) или (9) также по-
получаем km = 768.
(Лц) Имеются две возможности, зависящие от того, при-
принадлежит или нет центральный класс на рис. 6.4 ядру в:
(a) * = 2, 6=1, кегв = <B00)> приводит к Л™* (см.
рис. 6.2);
(b) / = 3, k = 0, 9 отображает v\, vi, v3 в первые три эле-
элемента B3), что приводит к Лп'п. В конце этого параграфа мы
увидим, что эти две решетки различны, так же как и решетки
Ai2 и Ai3, конструируемые ниже.
(Л[2) Ядро в является подгруппой первой строки таблицы
классов из Di/2Di (см. § 3), и имеется единственная подгруппа
каждого класса порядков 1, 2 и 4. Таким образом, существуют
(максимум) три возможности для Л12: Л™ах (когда k — 2), по-
показанная на рис. 6.2, A?2d (когда &= 1) и Л™ (когда k — 0).
(Л13) Ядро должно быть подгруппой классов (i), (Hi), (iv),
(v) факторгруппы D5/2D5 и иметь размерность ^1. Однако два
класса из (iv) и (v) с различными носителями имеют разность
типа (ii) и не могут одновременно принадлежать ядру. Таким
образом, ядро содержит максимум три ненулевых класса.
Имеется (максимум) три возможности: (a) k = 2, ker 0 =
= {@0000), B0000), (НПО), (—11110)}, что приводит к ЛГз".
как показано на рис. 6.2. (b) k—1, ker G = < B0000)), что при-
приводит к Ai3ld; (с) k — l, ker © = <A1110)>, что приводит к
A mln
Л13 .
(Лм) Аналогичные рассуждения показывают, что имеется
единственная решетка Лм с ker в = < B0000; 000), A1110; 000) >.
(Л[5) Имеется единственная решетка Л^ с ker 6 = < B00000;
00), A11100; 00), A10011; 00)>.
(Ai6) Имеется единственная решетка Ai6 с ker 6 =
= (B0000000), A1110000), A1001100), A0101010)). Ее радиус
покрытия будет определен в следующем параграфе.
Для того чтобы увидеть, что эти решетки различны, мы вы-
вычислим их контактные числа т. Минимальные векторы попа-
попадают в три класса: лежащие в Л8 (их 240), склеивающие Л8
с сЛ.г (их 16т(Лг)) и лежащие в сЛг (их столько, сколько
представлений элементов из ker0 векторами нормы 4). На-
Например,
т (Л5"зах) = 240 + 16 • 40 + A0 + 8 + 8) = 906. B4)
Результаты приведены в табл. 6.3, а вложенность решеток со-
соседних размерностей отражена на рис. 6.1. Если «^ 15, суще-
существует очень мало «-мерных сечении решетки Л„+ь содержащих
Лв, поэтому все такие вложения легко выписываются.
222 Гл. 6. Слоистые решетки
Таблица 6.3. Контактные числа слоистых решеток
Ао
0
Ag
240
АИ"
888
А»
10668
Ai
2
А,
272
АЙа
890
17400
А2
6
Лю
336
АГз"
906
А2.
27720
Аз
12
432
Л,4
1422
Л22
49896
л4
24
438
Л15
2340
А2з
93150
л5
40
АИ"
624
Л,6
4320
A2i
196560
А«
72
Л ftid
632
Лп
5346
А7
126
Aft"
648
Al8
7398
Л25
196610-196656
§ 5. Глубокие дыры в
Доказав, что ЛN единственна, переходим к следующему-
шагу— поиску глубоких дыр в этой решетке; это мы делаем
методом Симона Нортона (см. гл. 22). Сначала мы перечислим
классы смежности из (l/2)Aie/Ai6.
Предложение 11. 216 классов из (l/2)Ai6/Ai6 суть
(ij нулевой класс;
(и) 2160 классов, каждый представлен парой векторов
(±1/2) v, где v e Ai6 имеет норму 4;
(Ш) 30 720 классов, каждый представлен парой векторов
(±1/2) v, где v e Ai6 имеет норму 6,
(iv) 135 классов, каждый представлен 32 векторами
±A/2)уь ..., (±1/2)^26, где vt — взаимно ортогональные век-
векторы нормы 8 {всего 4320 векторов нормы 8).
(v) 32 400 классов, каждый представлен 16 векторами
±{\J2)v\, ..., (±1/2)^8, sde vi — векторы нормы 8 {по поводу
остальных 518400 векторов нормы 8 см. табл. 4.12 гл. 4), и, на-
наконец,
(vi) 120 классов, каждый представлен половинами опреде-
определенного множества иг 512 векторов решетки ЛN нормы 12. Эти
представители обладают тем свойством, что могут быть рас-
расширены до минимальных векторов решетки Лича дополнением
их (домноженными на масштабный множитель) минимальными
векторами для Л8. Типичные представители показаны на рис. 6.6,
где дополняющие векторы ограничены прерывистой линией. На
рис. 6.6а 512 представителей образуются симметричными раз-
разностями любой строки и любого столбца с четным числом от-
§ 5. Глубокие дыры в
223
рицательных знаков, а на рис. 6.6Ь —3 может быть в любой из
16 позиций и имеется 25 возможных комбинаций знаков.
Доказательство этого предложения очевидно, и мы его
опускаем.
Теорема 12. Радиус покрытия решетки Ai6 равен Уз, и глу-
глубокие дыры в Ли — это векторы из (l/2)Ai6, сравнимые по
модулю Ai6 с одним из классов типа (vi) в предложении 11.
0 2
2 0
2 0
2 0
2 2
0 0
0 0
0 0
2 2|
о о;
О Oi
о о!
-3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i!
i
11
(а)
Рис 6.6. Типичные глубокие дыры в Л^. Прерывистая линия окружает соот-
соответствующий минимальный вектор решетки Лз (или его скалярное кратное).
Таким образом, с точностью до перестановок и замены знаков
глубокие дыры сравнимы по модулю Лш либо с вектором рис. 6.6а,
либо с вектором рис. 6.6Ь. Имеется взаимно однозначное соот-
соответствие между классами смежности глубоких дыр и парами
±и минимальных векторов решетки Ag.
Доказательство. Пусть радиус покрытия решетки Aj6 равен
-\/' d. Тогда существует точка х, находящаяся на расстоянии л/d
от 0 и на расстоянии ^л/d от всех других точек из Л16. Су-
Существование векторов, приведенных на рис. 6.6, показывает,
что d IS: 3. Радиус покрытия решетки (l/2)Ai6 равен A/2)л/d,
и поэтому мы можем записать х = и + х, где «e(l/2)Ai6 и
N(x)^. d/4. Из предложения 11 следует, что и принадлежит
к одному из классов (i) — (vi). В действительности и должен
быть в классе (vi), так как если х = A/2)иг-\-х, где о,еЛ]6
имеет норму г, то N{x ± (l/2)yr)^ d и, таким образом,
r) + N{x)^^-, B5)
откуда вытекает г ^ 9, и поэтому из предложения 11 следует
г^г12. Значит, x = {\/2)Vi2 + x, где y^^Aie, ЛГ(у12)=12,
)/
Перенесем начало координат в точку (l/2)yi2. Из предложе-
предложения 11 следует, что имеется 512 точек <pi, ..., Ф512 в (l/2)Ai6,
окружающих новое начало координат, таких, что Л^(ф,) = 3,
и без потери общности можно считать, что это точка, изобра-
224 Гл. 6. Слоистые решетки
женная на рис. 6.6а, и 511 других точек, полученных нз нее
перестановками и сменами знаков. Определим отображение
512
T(y)=Z(%-y)<p{. B6)
Тогда
512
T(y)-y=Z(<Pt-yJ B7)
является квадратичным инвариантом ортогональной группы,
фиксирующей начало координат и переводящей Ai6 в себя. Так
как это неприводимая группа, Т(у)-у должно быть кратным
квадратичной формы у -у:
y). B8)
(Этот результат является частным случаем теоремы Хадвигера
и выражает тот факт, что ф,- образуют эвтектическую1) звезду
[Сох 20, § 13.7], [Had 1].) Выбирая у с одной ненулевой коор-
координатой, находим, что k = 96. Далее, используя у = х, по-
получаем
512
? хJ = 96ЛГ (х) < 24i. B9)
i-l
Из B9) следует существование некоторой точки ф?, скажем ф, с
<зо>
Запишем d = 3 + 6, б^гО и N(x) = a2, a^s 0. Так как х — глу-
глубокая дыра, Л^(ф — i)^3 + 6. Отсюда и из C0) мы получаем
а2 — а л/з/2 — б ^ 0, и, таким образом, либо
либо
^{{Щ«} C2)
Если выполняется C1), то из а^О следует а = 0, 6 = 0,
х== A/2) v 12 и d = 3, что и требуется. Мы завершим доказа-
доказательство теоремы тем, что покажем, что C2) приводит к про-
противоречию. Из C2) и а2^C + б)/4 следует, что 6 = 0, d = 2>
и a = N(x) = л/З/2. Тогда для всех i выполняется |ф«-х|=^ 3/8
') Эвтектика — тонкая смесь твердых веществ, выкристаллизовывающаяся
из расплава при температуре ниже точки плавления этих веществ. — Прим.
перее.
§ 6. Размерности от 17 до 24 225
и в силу B9) ф»-3с = ±3/8. Теперь можно прямым образом ис-
использовать значения координат ср, для того, чтобы показать не-
невозможность этого случая.
§ 6- Размерности от 17 до 24
Далее мы установим утверждения теоремы 1 для 17^л^;
=^24. Если Ai6+r (l^r^8) является некоторой слоистой ре-
решеткой, то, рассуждая, как в § 4, мы получаем существование
склеивающего отображения
О: ЛГ/2ЛГ^A/2)Л16/Л16. C3)
Образами минимальных векторов в Аг при действии в являются
классы смежности глубоких дыр по модулю Л16. Из § 5 следует
существование вложения
Ф: Л8/2Л8-*A/2)Л16/Л16) C4)
связывающего пары минимальных векторов в Л8 с классами
глубоких дыр в Л
Лемма 13. Если а, р, у— классы смежности из Л8/2Л8, пред-
представленные ±а, ±Ь, ±с, где а, Ъ, с — минимальные векторы
решетки Л8 и а -\- р = у, то знаки могут быть выбраны, таким,
образом, чтобы а -\-Ь = с.
Доказательство. Без потери общности а и b могут быть
выбраны так, чтобы а-b ^ 0. Тогда N(a-\- b) ^ 2N(a), и поэтому
N(a-\- b)= N(a) или 2N(a). В последнем случае из § 3 следует,
что минимальными представителями а -\- b являются 16 векторов
нормы 2N(a), что противоречит существованию с. Таким обра-
образом, а + b является минимальным вектором, который мы обозна-
обозначаем через с. Это завершает доказательство.
Заметим, что Лг A^г^;8) имеет сильное порождающее
множество. Под этим мы подразумеваем такое множество S
минимальных векторов v\, ..., vr, что если мы возьмем замы-
замыкание S по следующим операциям: (i) добавления —и, если
ceS, и (И) добавления v -\- v', если h,»'eShb + »' является
минимальным вектором, то мы получим все минимальные век-
векторы решетки Лг.
Теперь рассмотрим образы \w{\, ..., [wr] классов [vi], ...
..., [vr] при отображении в, где v\, ..., vr — сильное порож-
порождающее множество для Лг, а квадратные скобки означают
«класс смежности, содержащий...», и пусть \xi\ является обра-
образом [wi] под действием Ф-1. Если мы добавляем вектор v + v'
к S для того, чтобы получить другой минимальный вектор
226
Гл. 6. Слоистые решетки
решетки Лг, то, как следует из леммы 13, один из соответствую-
соответствующих векторов ±х±х' в Л8 является минимальным вектором.
Действуя таким образом, мы, получив замыкание сильного по-
порождающего множества в Лг, получим такое же число мини-
минимальных векторов в Л8. Так как эти векторы принадлежат це-
целочисленным линейным комбинациям векторов х\, ..., хг, то
множество этих комбинаций должно быть экземпляром ре-
решетки Лг.
Таким образом, мы доказали, что то, с чем решетка Лг
склеивается в Лш посредством в, является образом относи-
относительно Ф подрешетки (х\, ..., хг} решетки Л8, являющейся
экземпляром Лг. Так как группа Аи1;(Л8) транзитивна на под-
решетках Лг, мы делаем заключение, что An, ..., Л24 един-
единственны (и, в частности, Л24 — решетка Лича). Их детерми-
детерминанты задаются формулой (9), а их радиусы подпокрытия
(кроме Л24)— формулами C) и D). Наконец, радиус покрытия
решетки Л24 известен из гл. 23 (^ [Con 20]).
§ 7. Размерности от 25 до 48
В этом параграфе мы устанавливаем оставшиеся утвержде-
утверждения теоремы 1. Сначала мы конструируем последовательность
Рис. 6.7. Элемент I группы Aut (Аи). В первом столбце меняются местами
1-я и 3-я, 2-я и 4-я компоненты, после чего знаки 2-й н 3-й компонент заме-
заменяются на обратные. Аналогично в других столбцах.
решеток L25 s L2e s ... s L48) содержащих Л24, а затем дока-
доказываем, что они являются слоистыми решетками.
Пусть i обозначает элемент из АиЦЛ24), изображенный на
рис. 6.7, удовлетворяющий условию i2 = —1. Тогда A —|- i) /2
является преобразованием подобия на R24, уменьшающим вдвое
нормы векторов. Решетка L24+s (l^s^24) состоит из векто-
векторов u-\-ve + cv, где kgA24, deAs, 8 = A+0/2 nc=l/V2-
Детерминант решетки Lii+S соответствует значению Kn+S, приве-
приведенному в'табл. 6.1.
§ 7. Размерности от 25 до 48 227
Мы утверждаем, что Lu+S является слоистой решеткой A24+s.
Для 1 ^ s ^ 8 это следует непосредственно из теоремы 3, так
как все L24+s содержат Л24.
Для 9 ^ s ^ 16 сначала рассмотрим любую решетку М32+г
A ^ г ^ 8), содержащую любую Л32. Тогда Л24 ^ Л32 ^ М32+г-
Проектируя на (КЛг^-1-, мы получаем 0^сЛ8^М8+г или 0е
S Л8 s c~lMs+r, где c=l/-\/2 и Л48+г = Мз2+г/А24. Применяя
теорему 3 к c~lMs+r, заключаем, что det(c^1M8+r) ^ Kskr-2-rr
det7H32+r = det Л24 ¦ det Af 8+r ^ Xr-2~2r. Из табл. 6.1 следует, что
решетки L32+r достигают этой границы и поэтому являются
слоистыми решетками, так как никакая решетка, содержащая
Л32, не может иметь меньший детерминант.
Для 17 =^ s ^ 24 аналогичные рассуждения показывают, что
любая решетка Mi0+r, содержащая любую решетку Л4о, имеет
детерминант det M4o+r ^ К • 2~8-3г, и, так как Ью+r достигает
границы, это Л40+г.
Решетки А2$. Мы утверждаем, что имеется точно двадцать
три решетки Л25, по одной для каждого типа глубоких дыр
в Л24 (см. гл. 23). Из определения слоистой решетки следует,
что имеется максимум один тип Л25 для каждого типа глубоких
дыр в Л24, контактное число решетки Л25 равно 196560 + 2V,
где V — число вершин вокруг дыры данного типа (см. табл. 16.1
гл. 16). Это уже показывает, что имеется по меньшей мере де-
девять различных решеток Л25, для которых наибольшее контакт-
контактное число равняется 196560 + 96 и достигается для Л25, по-
построенной по дыре типа Af.
Для того чтобы показать, что все 23 дыры приводят к раз-
различным решеткам Л25, достаточно доказать, что имеется един-
единственная решетка Л24 внутри Л25. В действительности несложно
показать, что в каждой решетке Л25 решетка Л24 характери-
характеризуется следующим свойством: она порождается всеми мини-
минимальными векторами из Л25, которые ортогональны по меньшей
мере 93150 другим минимальным векторам. Заметим, что группа
автоморфизмов решетки Л25, соответствующая глубоким дырам
типа D24, имеет порядок 4 (тогда как | Aut (Л„) | >> 1000 для
4<я==? 24).
Решетки Л26. Наконец, мы кратко опишем эвристическое
рассуждение, показывающее, что число различных решеток Л26
очень велико. Любая решетка Л26 получается склеиванием Л2
с Л24. Пусть а, Ъ, с—минимальные векторы в Л2, такие, что
а + Ь + с = 0, и рассмотрим специальный класс решеток Л26„
в котором все а6, Ьв и с6 являются глубокими дырами в Л24
гипа A2l2, причем а9 + b9 -f с9 == 0.
228 Гл. 6. Слоистые решетки
Подгруппа группы Aut(A24), оставляющая на месте дыру
типа A\v имеет порядок 52 (табл. 16.1), значит, число троек
а, р, у Дыр типа А212 (по модулю Л24) равно (g/52K, где g =
= | Aut (Л24) [ - Сумма a-f-p-fY лежит в решетке A/13)Л24,
в которой Л24 является подгруппой индекса 1324, следовательно,
эта сумма будет нулевой примерно для (^/52K/1324 троек, по-
попадающих по меньшей мере в ^2/E23-1324) орбит группы
Aut(A24). Принимая во внимание тот факт, что —а, —р, —у
и любая перестановка а, р, у приводят к той же решетке Л26,
мы можем ожидать существования около g2/(l2-523-1324) >
> 75000 различных Л26 этого специального типа.
Некоторые вычисления Симона Нортона, касающиеся удваи-
удваивающих норму эндоморфизмов решетки Л24, позволяют пред-
предположить, что число различных Л48 может также быть боль-
большим, и мы полагаем, что имеется большое количество различ-
различных Л„ для всех п = 26, ..., 48.
Благодарности. Мы признательны Симону Нортону за то,
что он ознакомил нас со своими вычислениями и определил
радиус покрытия решетки Л16, а также Е. С. Барнсу и Джону
Личу за их замечания.
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки
Таблица 6.4, почерпнутая из [Con 36] с учетом результатов
Плескена и Поста [Pie 6], [Poh 2], содержит плотнейшие из-
известные в настоящее время целочисленные решетки с мини-
минимальными нормами [I = 2, 3 и 4.
Для минимальной нормы ц, = 2 наименьший возможный
детерминант известен для всех п (см. второй столбец таб-
таблицы). Он равен 1 во всех размерностях п^ 14. Третий стол-
столбец содержит взятые из гл. 16 примеры решеток, имеющих эти
детерминанты. Решетки определяются их компонентами (см.
§ 3 гл. 4), причем знак + показывает наличие дополнительных
векторов склейки с нормой, большей 2.
Для минимальных норм 3 и 4 элементы таблицы в общем
случае дают только верхние границы на наименьший возмож-
возможный детерминант. Целочисленная слоистая решетка Л„{3} с ми-
минимальной нормой 3 состоит из проекций на и1 векторов из
Л„+1, имеющих четное скалярное произведение с и, где v e
еЛп+1 — подходящий вектор нормы 4. Кп{3} определяется ана-
аналогично. Л„{3}1, /(„{З}1 обозначают решетки, ортогональные
к указанным в А2з{3}.
Единственная решетка Л23{3}—это укороченная решетка
Лича О2\. Это единственная 23-мерная унимодулярная решет-
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки
229
Таблица 6.4. Наименьший детерминант любой из извест-
известных в настоящее время целочисленных решеток с ми-
минимальной нормой \i = 2, 3 или 4 и примеры типич-
типичных решеток с такими детерминантами
л
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Д-2
dct
1
2
3
4
4
4
3
2
1
.2
3
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Решетка
Ло
Ах
А2
Аз
1>4
D5
Еь
Еп
Е%
Е%АХ
Е%А2
Df2
(Лб?7)+
eV
А1ь
El
<-АиЕ6)+
aV
(л?л5)+
Еф\2
aV
Е*Е]+
E»Af5
El
n
det
1
3
8
16
32
48
64
64
128
192
243
256
256
243
192
128
64
64
48
32
16
8
3
1
1
- 3
Решетка
Ло{3)
A,{3)
A2{3)
Лз!3)
Л4{3)
Л5C}
Л6{3)
Л7{3}
Л8{3}
Л9{3)
/С,о{3)
Ац(з}
Л12{3}
/С,0C]х
А,{3}^
Л8{3}^
Л.71З/
Л g 13/
ЛзИ1
А4{3)х
Л з 13}
A2l3|
A^F
О23
О24
д
det
1
4
12
32
64
128
192
256
256
512
768
972
729
972
768
512
256
256
192
128
64
32
12
4
1
-4
Решетка
Ло
А!
л2
Аз
А4
А5
А6
Лу
А,
А,
Л ш
*„
Км
Кп
Ли
А15
А,6
А,7
Л,8
А19
А 20
А 21
А22
Ли
А24
230 Гл. 6. Слоистые решетки
ка с минимальной нормой 3 (см. гл. 16, 19), она состоит из
тех векторов решетки Л24, которые имеют четное скалярное
произведение с фиксированным минимальным вектором веЛи,
спроектированным на Vх. Тэта-ряды этой решетки задаются
формулой G) гл. 19.
Мы уже объяснили все решетки табл. 6.4, за исключением
024, которая называется нечетной решеткой Лича. Это един-
единственная 24-мерная унимодулярная решетка с минимальной
нормой 3 (см. гл. 17), и она может быть определена следующим
образом. Пусть /гЛ24— решетка, конструируемая в разд. 3.4
гл. 5. Тогда
+ ЛЛ24, C5).
в то время как сама решетка Лича (см. разд. 4.4 гл. 5) опре-
определяется как
+ ЛЛм. C6>
Решетка О24 была впервые найдена О'Коннором и Поллом
в 1944 г. [О'Со 1].
Глава 7
Дальнейшие результаты о связях
между кодами и упаковками
Н. Слоэн
Эта глава содержит дальнейшие исследования связей между
кодами и упаковками шаров. Конструкции А и В гл. 5 по-
подробно анализируются и обобщаются на случай комплексных
решеток. Кроме того, мы изучаем самодвойственные коды и
решетки, их весовой спектр и тэта-ряды.
§ 1. Введение
В гл. 5 мы уже видели, что коды и упаковки шаров связаны
между собой. В этой главе мы тщательно проанализируем кон-
конструкции А и В гл. 5 и обобщим их на случай комплексных ре-
решеток. (Дальнейшая информация о конструкциях А и С содер-
содержится в следующей главе.) Мы также изучим тэта-ряды упа-
упаковок, полученных с помощью этих конструкций.
Мы увидим, что связи между кодами и упаковками стано-
становятся еще сильнее, если мы рассматриваем самодвойствен-
самодвойственные линейные коды и самодвойственные решетчатые упаковки
(см. § 3, 4), и уж совсем тесная связь обнаруживается при
сравнении самодвойственных кодов, веса кодовых слов которых
кратны 4, с самодвойственными решетками с четной нормой
всех векторов (см. § 6, 7). В последнем случае имеются парал-
параллельные теоремы, дающие верхнюю и нижнюю границы для
лучших кодов и решеток (следствие 21 и теоремы 24, 25), и па-
параллельные теоремы, характеризующие весовой энумератор
кода и тэта-ряд решетки (теоремы 16, 17).
Весовой энумератор самодвойственного кода и тэта-ряд
самодвойственной решетки очень сильно ограничены, так как
первый должен быть инвариантен относительно довольно боль-
большой группы преобразований, а второй должен быть модуляр-
модулярной формой относительно достаточно большой подгруппы
SL2(R). Следовательно, эти весовые энумераторы и тэта-ряды
должны лежать в определенных просто описываемых кольцах,
зачастую являющихся свободными кольцами с малым числом
порождающих элементов (см. теоремы 6, 7, 16, 17, 28—33).
Экстремальные коды и решетки имеют наибольшее мини-
минимальное расстояние или норму, разрешенные упомянутыми
232 Гл. 7. Дальнейшие результаты
теоремами (точное определение дается в § 4). Мы описываем
известные результаты о классификации самодвойственных кодов
и решеток, в частности экстремальных кодов и решеток. В об-
общем случае существует конечное число экстремальных кодов
и решеток, и в ряде случаев они все известны (теоремы 11—13,
20, 34, 36). Экстремальные весовые спектры и тэта-ряды могут
быть (по меньшей мере в принципе) определены явным обра-
образом. Это позволяет показать, что некоторые коэффициенты на
самом деле не обращаются в нуль (теоремы 9, 20, 34), а это
приводит к верхним границам на минимальное расстояние или
норму (следствия 10, 21, 35), и, кроме того, что другие коэффи-
коэффициенты отрицательны, а это показывает, что для достаточно
больших п не существует экстремальных кодов и решеток
(экстремальные решетки не связаны с экстремальными фор-
формами (см. разд. 2.2 гл. 2)).
В § 2—7 рассматриваются двоичные коды и вещественные
решетки, а в § 8—10 — недвоичные коды и комплексные ре-
решетки. Эта глава основана на работах [Slo6] — [Slo 10]. Бруэ
и Ангейар [Вго5] — [Вго7] также заметили многочисленные па-
параллели между кодами и решетками (см. также [Mah 1] —
[Mah3], [Tas 1]).
Обозначения. Мы используем обозначения для кодов, вве-
введенные в § 2 гл. 3, и тэта-функции, определенные в разд. 4.1
гл. 4. В частности, напомним, что в гл. 3 кодами типов I, II, III
и IV соответственно названы самодвойственные коды над L %,
F2, L з, 1м, веса кодовых слов которых кратны 2, 4, 3, 2 .Так же
как и в разд. 2.4 гл. 2, решетками типа I и II называются ве-
вещественные самодвойственные (т. е. целочисленные унимоду-
лярные) решетки, в которых норма любого вектора кратна
соответственно 1 и 2. Если f\, f2, ... — алгебраически независи-
независимые многочлены или степенные ряды, то С [f\, /г, •••] обозна-
обозначает кольцо многочленов от f\, /2, ••• с комплексными коэффи-
коэффициентами (свободное кольцо).
§ 2. Конструкция А
Мы повторяем конструкцию из § 2 гл. 5, внося небольшие
изменения, позволяющие прояснить параллели между кодами
и упаковками.
Конструкция А. Пусть С — двоичный (п, М, с?)-код. Мы счи-
считаем, что нулевое кодовое слово 0 принадлежит С. Упаковка
шаров Л (С) в Чп получается, если в качестве центров взять
все х = (хи ..., х„) в R", такие, что
V2 х (mod 2) е= С. A)
§ 2. Конструкция А 233
Таким образом, все центры совпадают с векторами, которые
могут быть получены из кодовых слов кода С добавлением
произвольных четных _чисел к их компонентам и последующим
делением их на V2. Начало координат всегда является
центром.
Пример 1. Гранецентрированная кубическая решетка D3.
Пусть С= {000, 011, 101, 110} с га = 3, d = 2. Некоторые из
центров, ближайших к началу координат, суть 2-1/2(±1, ±1,0),
2-i/2(_j_2,0,0) Это гранецентрированная кубическая ре-
решетка D3 — плотнейшая решетчатая упаковка шаров в R3 (см.
разд. 6.3 гл. 4).
В общем случае, если d < 4, ближайшими к началу коор-
координат центрами являются 2<Md@) векторов вида 2-1/2(±l)d0"-d,
полученных из кодовых слов веса d. Для таких центров квад-
квадрат расстояния от начала координат составляет d/2. Если
d > 4, то ближайшими к началу координат являются 2га цент-
центров типа (± V2I0"~1, квадрат расстояния от которых до на-
начала координат равняется 2. Наконец, если d = 4, оба множе-
множества центров находятся на одинаковом расстоянии от начала
координат. Поэтому в качестве радиуса шаров можно взять
р=2 3/V/2, если d<4, или 2~'/2, если d>4, B)
а число шаров, касающихся шара с центром в нуле, равно
Г 2% @), если d<4,
х=< 2n+lQAd(Q), если rf = 4, C)
I 2га, если d > 4
(см. формулы C), D) гл. 5). Центральная плотность Л (С)
(см. формулу B) гл. 5) равна
6 = Л1рп2""/2. D)
(Внешнее отличие этой формулы от выражения в гл. 5 объяс-
объясняется присутствием л]2 в A).)
Теорема 1. Упаковка Л (С) является решетчатой тогда и
только тогда, когда С — линейный код.
Доказательство элементарно.
Теорема 2. Пусть С — линейный код размерности k. Тогда
(i) detA(C) = 2"-2*;
(ii) Л(С*) = Л(С)*;
234 Гл. 7. Дальнейшие результаты
(ш) Л (С) целочисленна тогда и только тогда, когда Cs
SC*;
(iv) Л (С) — решетка типа I тогда и только тогда, когда
С — код типа I;
(v) Л (С) — решетка типа II тогда и только тогда, когда
С — код типа II;
(vi) Aut(A(C)) содержит подгруппу 2".Aut(С).
Доказательство. Без потери общности можно считать, что С
задается порождающей матрицей (/ В). Тогда
-LI B 1
л/2 L О 2/J
E)
является порождающей матрицей для А (С) и (i) — (v) полу-
получаются легко, (vi) Aut(A(C)) заведомо содержит все переста-
перестановки координат из Aut(C), все перемены знаков х, —»—х, и„
возможно, другие симметрии.
Замечания. Сравните с теоремой 1 гл. 8. Если в A) опу-
опустить д/2> то конструкция А всегда дает целочисленную ре-
решетку.
Теорема 3 ([Вег7], [Вгоб]). Предположим, что С — линей-
линейный код с весовым энумератором Wc(x,y). Тогда тэта-ряд ре-
решетки Л (С) определяется выражением
вЛ(С)B) = ЯМ93Bг), e2Bz)), F)
где 02(г), 03 (г)—тэта-функции Якоби, определенные в разд. 4.1
гл. 4.
Доказательство. Рассмотрим кодовое слово и = (щ, ..., ип)
из С. Соответствующие ему центры в Л (С) состоят из мно-
множества
Л(и) = {(*/„ ..., уп): yr^-j=ur
Из формулы D4) гл. 4 следует равенство
Ov-Z (г) = 6Z Bz) = 03 Bz), 61/V- + vrte (z) = 02 Bz).
Поэтому
л (о (z) = Z вл (u) (г) = We @з Bz), 62 Bz)).
C
§ 2. Конструкция А 235
Пример 2. Кубическая решетка Zn. Полный код Ft имеет
d = 1, W(x, у) = (х -(-у)п. Конструкция дает решетку {\j^2)Zn,
имеющую тэта-ряд 03(A/2)г)", откуда получается равенство
(см. формулу B2) гл. 4).
92Bz) = 93((l/2)z). G)
Пример 3. Квадратная решетка Z2. Код ^2 = {00, 11} имеет
весовой энумератор
Ъ2 = х2 + у2 (8)
и Л(^2) = Z2, что дает равенство (см. формулу B5) гл. 4)
2 + 92BzJ = 93(zJ. (9)
Пример 4. Шахматная решетка Dn. Как уже было замечено
в разд. 2.4 гл. 4, если С есть [п, п—1,2] -код с четными весами
кодовых слов, мы получаем решетку Dn. В стандартном ва-
варианте Dn минимальная норма равна 2, и в этом случае мы
опускаем д/2 в A). Весовой энумератор кода С равен
Wc(x,y) = ±{(x + y)n + (x-yn, A0)
таким образом, в силу F) тэта-ряды Dn (в новом масштабе)
•суть
@Dn(z) = Wc(e3Dz), 92Dz)) =
i A1)
= \ {(93 Dz) + 92 Dг))п + (93 Dz) - 9 D))"}
^мы использовали формулу B2) гл. 4). В этом масштабе тео-
теорема 2(i) дает
det Л (С) = 22"*, A3)
таким образом, detDn = 4 (см. разд. 7.1 гл. 4).
Пример 5. Решетка Госсета Е8. Пусть Жй есть [8,4, 4] -код
Хэмминга и ^8 — его весовой энумератор (см. п. 2.4.2 гл. 3). Как
мы видели в разд. 2.5 гл. 5, применение конструкции А к Ж%
дает решетку Е8. Из формул B) —D) и теоремы 2 мы получаем,
что Е8 имеет р = 1/д/2, т = 240, б = 2~4, det=l и является уни-
модулярной решеткой типа II. Ее тэта-ряд (по формуле F))
236 Гл. 7. Дальнейшие результаты
равен
вя8 B) = 93 Bz)8 + 1493 BzL 92 BzL + 92 Bz)8 = A4)
= 1 [{93 BzJ + 92 BzJ}4 + {93 BzJ - 92 BzJ}4 +
+ 1693BzL62BzL] = A5)
= ^{92(z)8 + 93(z)8 + 94(z)8} A6)
в соответствии с выражением D0) гл. 2 (для перехода от A5)
к A6) мы используем формулы B4) и B5) гл. 4). Решетка Е7
может быть получена таким же образом из кода Хэмминга Mi
(см. разд. 2.5 гл. 5).
Пример 6. 10-мерная нерешетчатая упаковка Беста Р1ОС-
A0, 40, 4)-код Беста приводит к нерешетчатой упаковке Я!0„
с б = 2-7-5 (см. разд. 2.6 гл. 5). Используя приведенный в гл. 5
весовой спектр, мы находим, что эта упаковка инвариантна отно-
относительно расстояния и имеет тэта-ряд
03 BzI0 + 2293 BzN 92 BzL + 1293 BzL 92 BzN + 593 BzJ 92 Bz)8 =
= 1 + 372q°- + 768<73 + 568V + 614V + . . .; A7)
это еще раз доказывает, что ее контактное число равно 372.
Обобщенная формула Якоби для периодических упаковок, при-
приведенная в [Odl 6] (заменяющая z на —1/z и умножающая на
подходящую константу), преобразует A7) в
li4 . 516 „ . 2048 г,о , 1728 •, . /1QV
1 +-5"<7 +-у 92 +-g-<75/- + -5-<?3+ •••• A8)
Вопрос. Существует ли упаковка, формально «двойственная»
к упаковке Беста, т. е. нерешетчатая упаковка с усредненным
тэта-рядом, равным A8)?
Мы даже не знаем, имеет ли гексагональная плотная упа-
упаковка (см. разд. 6.5 гл. 4) «двойственную» в этом смысле. Если
ответ положителен, то усредненный тэта-ряд в соответствии
с G3) гл. 4 (см. [Odl 6]) должен быть равен
1 + 4 <74/3 + 2<73'2 + V4 + З?17'6 + б?4 + V13'24 + ... . A9)
§ 3. Самодвойственные (или типа I) коды
и решетки
В этом параграфе С обозначает код типа I, а Л — решетку
типа I. Мы увидим, что весовой энумератор Wc(x,y) и тэта-ряд
©л (т) сильно ограничены, причем сходным образом.
§ 3. Самодвойственные (или типа I) коды. и. решетки 237
В действительности из тождества Мак-Вильяме для кодов
(формула E0) гл. 3) и формулы Якоби для решеток (формула
A9) гл .4) мы получаем следующие результаты:
Теорема 4.
We = (y (x + У), ^ (х ~ У)) = Wc (*> У), B0)
Wc(x,-y) = Wc(x,y). B1)
Теорема 5.
вл(-1/2) = (гАГ/2влB), B2)
вл(г + 2) = вл(т). B3)
Пусть G — произвольная конечная (мультипликативная)
группа комплексных матриц размера m~Xm. Мы говорим, что
многочлен f{x) — f(x\, ..., xm) инвариантен под действием G,
если f(BxT) = f(x) для всех BeG (см. разд. 4.2 гл. 3). Из тео-
теоремы 4 следует, что Wc(x, у) инвариантен под действием груп-
группы G\, порождаемой матрицами
, Г 1 11 Г1 01
ku -Л- и -Л
B4)
Легко видеть, что группа d изоморфна группе диэдра порядка
16 (это группа отражений; см. § 2 гл. 4). Теперь можно идти
несколькими путями: нам больше всего нравится путь, исполь-
использующий теорию инвариантов (см. [Blil], [Fla 2] — [Fla6],
[Huf 2], [Mil 2], [Sta3]); он достаточно подробно описан в
[Slo7] и [Мае 6, гл. 19] (см. также [Вег7], [Вгоб], [Gle 1],
[МасЗ], [Tol 1]). Каким бы методом ни действовать, в резуль-
результате получится
Теорема 6 (Глисон). Если С — двоичный самодвойственный
код, то
Wc(x, */)eCM>2, |8], B5)
где ij32 задается формулой (8) и
ls = x>y2(x2-y2f. B6)
То есть (словами) Wc(x,y) может быть однозначно представ-
представлен как многочлен от ty2 и 5в или, что эквивалентно, как много-
многочлен весовых энумераторов кодов <&12 и Шъ.
Обобщения приводятся ниже в этой главе и в [Вег7],
[Hufl], [Leo 7], [МасЗ], [Mac 4], [Mai 2], [Mai 4], [Mai 5],
[Que 6].
238
Гл. 7. Дальнейшие результаты
С другой стороны, пусть G — произвольная подгруппа ко-
конечного индекса в SL2(R), и пусть %—мультипликативный ха-
характер G. Комплекснозначную функцию f(z) называют моду-
модулярной формой веса w относительно G с характером %, если
(i) f(z) «голоморфна» для Im(z)> 0.
для каждого <* = [" <*]е<^ и
(iii) f(z) «голоморфна» для каждой параболической точки
группы G. (По модулярным формам см. [Cas2], [Gun 1],
1Наг4], [Heel], [Нес 2], [Kit 3], [Knol], [Lan9], [Lewi],
[Man 1] — [Mah3], [Modi], [Oggl], [Pet 4], [Radl], [Ran 6],
lSch6], [Sch7], [Serl], [Shil], [Sie 1] —[Sie3].) Так как в
литературе имеется множество различных определений веса,
стоит сказать, что в наших обозначениях форма A2i(z), которая
задает числа Рамануджана, имеет вид
A-<72тJ4, где q = e^
B8)
(см. формулу C7) гл. 4); это модулярная форма веса 12 отно-
относительно 5L2(Z) с тривиальным характером % — 1.
Из теоремы 5 следует, что вл (z)—модулярная форма веса
{1/2)п относительно группы, порождаемой
О -1
с характером %(U)= I, %(S)=i. Пусть Jtn — комплексное век-
векторное пространство, равное линейной оболочке всех модуляр-
ных форм веса A/2)п с характером х> и пусть
Тогда М является градуированным кольцом.
Теорема 7 (Гекке). (a) dimc Жп = 1 + [га/8].
(Ь) Если А — самодвойственная решетка, то
п=0
C1)
§ 3. Самодвойственные (или типа I) коды и решетки 239
где A8(z)—форма вида
9-8й р2_+_П8
= z Н2[—2—J ==
1A __(?4"г)}8= C3)
f ... . C4)
Доказательство. Утверждение (а) следует из [Ogg 1, th. 4,
p. 1—41], поскольку из предположений вытекает, что в обозна-
обозначениях [Ogg I, p. xiv] вл (z)e JtB, 1/2/г, 1]. (b) Так как ряд
Пуанкаре для М имеет вид
можно надеяться отыскать базис для Ж, состоящий из двух
алгебраически независимых модулярных форм, одной из М\
и другой из Jf8. Из формулы A7) гл. 4 нам уже известно, что
Q3(z)<^J(\. Для формы из Л& можно использовать либо вд,(г)
из A6), либо более простую форму
= {93 Bzf + 92 Bzff - {93 Bz)8 + 1493 Bzf 92 {2zf + 92 Bz)8} =
(в силу (9), A4))
- 493 BzJ 92 {2zf {93 BzJ - 92 BzJ}2 = 92 (г)* 94 (z)*— 92 8
(в силу B4), B5) гл. 4)
m=I
в силу C4) гл. 4. Остается показать, что ряд Пуанкаре для
С [03(z), A8(z)] равен C5). Для этого достаточно доказать, что
для любой размерности n = 8a + v, 0 ^ v ^ 7, все сс+1 про-
произведений
%(z)n-&rA8(z)r @
являются линейно независимыми. Но это очевидно, так как
r-е произведение начинается с qr + ... .
240 Га 7. Дальнейшие результаты
Замечание. Из доказательства теоремы 7, в частности из
равенства C5), мы видим, что тэта-ряд n-мерной решетки
типа I может быть записан следующим образом:
т-0
C6)
если п = 8а + v, О =SC v =sC 7, где а,- — целые. Таким образом,
6л (z) является многочленом специального вида (изобарический
многочлен) от В3 и А8 или, что эквивалентно, от тэта-рядов
решеток Z и ?8.
Пример 5 (продолжение). Хорошо известно (см., например,
[Ogg 1]), что ряд Эйзенштейна
оо
Et (г) — 1 + 240 Е 03 (т) а"-т C7)
принадлежит Ла. Из того, что оба ряда начинаются с 1 +
+ 240<72 -f-..., следует, что E4(z) равен тэта-ряду решетки Е%.
Теорема 8 [Slo 10]. Если записать А8(т)= Е агЦт ¦> то коэф-
коэффициенты аг оказываются знакопеременными и мультиплика-
мультипликативными в том смысле, что
|ar|-|as|= E d3\arsid'\. C8)
d | (г, s\
d нечётно
(Ср. с теоремой 21 ниже.)
Классификация. Коды типа I были классифицированы для
длин п ^ 30 в работах [Pie 10], [Pie 12], [Pie 17] (см. исправ-
исправление в [Con 24']), а решетки типа I для размерностей п ^ 25
классифицируются в разд. 2.4 гл. 2 и в гл. 16, 17.
§ 4. Экстремальные коды и решетки типа I
Из теоремы 6 следует, что если п = 2/ = 8a + 2v, где 0 =^
=$: v ^ 3, то
для однозначно определенных целых ао, . ¦ ¦, аа. Допустим, что
нам удалось так подобрать а;, что правая часть C9) приняла
вид
- .... D0)
т. е. что она не содержит степеней у между 0 и 2а -f- 2. Мы на-
называем D0) экстремальным весовым энумератором W*(x,y)
§ 4. Экстремальные коды и решетки типа I 241
длины п, а код, имеющий такой весовой энумератор (если тако-
таковой есть) — экстремальным кодом ') типа I.
Если такой код существует, его минимальное расстояние
равно 4а-(-4, за исключением случая, когда A'ia+i^=0 и d мо-
может быть больше, чем 4а -(- 4. Но теорема 9 показывает, что
такие «инциденты» не происходят. Таким образом, экстремаль-
экстремальный код (если такой код существует) имеет наибольшее мини-
минимальное расстояние среди всех кодов типа I.
Аналогично обстоит дело для решеток: пусть п = 8а -f- v,
где 0 ^ v =sC 7; записываем вд(г) в виде C6) и выбираем
ао, •. •, аа так, чтобы правая часть C6) приняла вид экстре-
экстремального тэта-ряда в размерности п:
в-(г)=1 + А'а+^+1+ .... D1)
Решетка с таким тэта-рядом называется экстремальной решет-
решеткой ') типа I.
Теорема 9 ([Mall], [Mal3], [Sie3]). В экстремальном ве-
весовом энумераторе (соответственно в экстремальном тэта-ряде)
главный коэффициент А*2а+2 ^соответственно А*а+]) положителен.
Доказательство (теоремы 9, а также теорем 19 и 34) дает
явную формулу для экстремальных весовых энумераторов и
тэта-рядов; см. [Mai I], [Mal3].
Следствие 10. Минимальное расстояние самодвойственного
двоичного кода удовлетворяет неравенству
d < 2 [/г/8] + 2. D2)
Минимальная норма самодвойственной решетки удовлетворяет
неравенству
ц<[я/8]+1. D3)
Для экстремальных кодов и решеток в формулах D2) и D3)
имеет место равенство. Из неравенства D3) следует верхняя
граница для плотности (см., например, формулу B) гл. 6). Для
больших значений п граница линейного программирования
(см. [МсЕ 4] и формулу B) гл. 9) приводит к более сильному
утверждению о том, что любой код размерности k — п/2 имеет
~< 0.182490 ..., D4)
') Код или решетка, являющиеся «экстремальными типа I», случайно мо-
могут иметь и тип II!
242 Гл. 7. Дальнейшие результаты
а из границы Кабатянского — Левенштейна (формула D5)
гл. 1) следует, что
-?¦< 0.102 .... D5>
Более строгие границы для минимального расстояния самодвой-
самодвойственных кодов и минимальной нормы унимодулярных решеток
были недавно даны в [Са 10], [Con 43а] — [Con 43d].
Из рассмотрения неравенств D4) и D5) естественно полу-
получается
Теорема 11 [Mall]. Следующий коэффициент A*2a+i( соответ-
соответственно А*а+2) в экстремальном весовом энумераторе (со-
(соответственно в тэта-ряде) отрицателен для всех достаточно
больших п. Следовательно, соответствующих экстремальных ко-
кодов и решеток не существует.
В обоих случаях первый отрицательный коэффициент по-
появляется, когда п — 32; например, экстремальный тэта-ряд для
п = 32 — это
О* B) = 1 + 4700160<?5 - 8094720?6 + .. . .
Теорема 12. ([Ма13], [Pie 10], [Pie 17], [War 2]). Экстре-
Экстремальные самодвойственные коды типа I существуют тогда и
только тогда, когда п = 2, 4, 6, 8, 12, 14, 22 или 24.
Теорема 13 (см. гл. 19). Экстремальные самодвойственные
решетки типа I существуют тогда и только тогда, когда п =
= 1—8, 12, 14, 15, 23 или 24.
Код Нордстрома — Робинсона. Экстремальный весовой эну-
мератор для длины 16 имеет вид
х16 + 112х10у6 + 30 А8 + 112*У ° + У16, D6)
хотя линейного кода с таким весовым энумератором и не суще-
существует. Однако имеется нелинейный код с этим весовым энуме-
энумератором, а именно A6, 256, 6)-код Нордстрома — Робинсона
(см. разд. 2.12 гл. 3). Аналогично экстремальный тэта-ряд в
размерности 16 имеет вид
в* (т) = 1 + 7680?3 + 4320?4 + 276480?5 + 61440?6 + . .. . D7)
Если бы соответствующая упаковка существовала, то были бы
установлены новые рекорды для плотности и контактного числа
в размерности 16. Такой решетки не существует (гл. 19), и мы
предполагаем, что не существует и такой нерешетчатой упа-
упаковки. Изучение формулы D7) позволяет предположить, что
такая упаковка могла бы быть объединением А\в и 15 сдвигов.
§ 5. Конструкция В 243
этой решетки. К сожалению, это невозможно, так как мы мо-
можем доказать следующую теорему.
Теорема 14. Предположим, что Р является упаковкой в IR16
с минимальной нормой 3, состоящей из объединения t сдвигов
Л]6. Тогда t ^ 9 и 9 может быть достигнуто.
Доказательство опускается. Вопрос. Имеются ли упаковки,
аналогичные нелинейным кодам Кердока и Препараты (см.
разд. 2.12 гл. 3)? (Аналогичных кодов и решеток типа II, как
мы увидим в § 7, не существует.)
§ 5. Конструкция В
Мы снова повторим конструкцию из § 3 гл. 5 с некоторыми
изменениями.
Конструкция В. Пусть С — двоичный линейный [n,k,d = 8]-
код, в котором вес каждого кодового слова кратен 4. Упаковка
шаров 3?(С) получается в R", если взять в качестве центров
все х = (х\, ..., хп) в R", для которых
(i) У2* (mod2)<=C и D8)
00 4|л/2Ех,-. D9)
(Такую конструкцию можно применить и к более общему
классу кодов, но приведенный вариант охватывает наиболее
важные случаи.)
Теорема 15. Упаковка 3? (С) является целочисленной решет-
решеткой со следующими значениями минимальной нормы, контакт-
контактного числа, центральной плотности, детерминанта и тэта-ряда:
ц=4 E0)
E1)
2n+2~2k, E3)
в B) = у Wc @3 B2), Э2 B2)) + у М2г)". E4)
Пример 5 (продолжение). [8, 1,8]-код с повторением вновь
дает решетку Ев. В этом случае мы получим тэта-ряд прямым
образом в виде A6).
Пример 7. Решетка Барнса — Уолла Л16. [16, 5, 8]-код Ри-
Рида— Маллера первого порядка дает решетку Ai6 (см. § 10 гл. 4
244 Гл. 7. Дальнейшие результаты
и разд. 3.4 гл. 5) с \i = 4, т = 2-16-15 + 128-30 = 4320, б = 2~\
det = 256, и мы получаем тэта-ряд (см. формулу A32) гл. 4)
из равенства E4).
Пример 8. Код Голея Я1?и с параметрами 24, 12, 8 дает цело-
целочисленную решетку /гЛ24 (см. разд. 3.4 гл. 5), для которой
ц = 4, т = 98256, б = 2-1, det = 4.
§ 6. Коды и решетки типа II
Мы продолжаем начатое в § 4 изучение самодвойственных
кодов и решеток. В этом параграфе С-—код типа II, а Л — ре-
решетка типа II. Именно здесь мы обнаружим наиболее сильные
аналогии между кодами и решетками.
В нашем случае формулы B1) и B3) можно заменить на
Wc (x, iy) = Wc (х, у), E5)
eA(z+l) = eA(z). E6)
Следовательно, Wc(x, у) инвариантен относительно большей
группы G2, порождаемой ¦—=¦ Г ' П и Г1 °1. Это — комплекс-
комплексная группа отражений 4 [6] 2 порядка 192 (см. [She 2]), и мы
получаем (см. [Slo 7]):
Теорема 16 (Глисон). Если С — код типа II, то
Гс(м)еС[ф8,У, E7)
где ф8— весовой энумератор кода Ж% (см. п. 2.4.2 гл. 3),
124 = *У(*4-г/4L, E8)
или, что эквивалентно, Wc(x, у) может быть записан как много-
многочлен от весовых энумераторов Ж& и "??24-
Аналогично вл(г) является модулярной формой веса A/2) п
относительно полной модулярной группы SL^i^), порожденной
S (см. формулу C0)) и Т: z-+z-\-l с характером хG")=1,
x(S) = i. Пусть Мп и М такие же, как в § 3.
Теорема 17 (Гекке). Если Л — решетка типа II, то
(a) dime Jtn — 1 + \^Л > если 8 | л, « dimc^n = 0, если 8 -Г п;
(Ь)вдB)еС[?4(г), ДмB)], E9)
где ?4B)—тэта-ряд решетки Е8, определенный в A4), A6) или
C7), а Л24(г) задается формулой B8) (см. также C7) —C9)
гл. 4). Или, что эквивалентно, в л (г) может быть записан как.
изобарический многочлен от тэта-рядов решеток Es и Л24.
§ 6 Коды и решетки типа II 245
Доказательство. Утверждение (а) следует из [Ogg I, th. 3,
p. 1—23]. (b) Ряды Пуанкаре имеют вид
(dime Jtn) ln = о-яв/а-я»*) ' F0)
«¦=0
и мы рассчитываем найти базис для Ж, состоящий из двух
алгебраически независимых модулярных форм, одной из Л8,
другой из Л?24. Из A6) мы знаем, что Е^{г)^Ж&, а A24(z) =
= 2-8{е2B)е3B)е4B)}8 (см. формулу C8) гл. 4)е= Жи. Осталь-
Остальная часть доказательства следует соответствующим рассужде-
рассуждениям в доказательстве теоремы 7.
Замечание. Доказательство теоремы 16 показывает, что тэта-
ряд решетки типа II является (i) изобарическим многочленом от
?4 и А24 и (и) симметрической функцией от 02(г)8, 63(г)8
И 64 B) 8.
Следствие 18. Код или решетка типа II существует тогда
и только тогда, когда п кратно 8.
Пример 8 (продолжение). Решетка Лича Л24. Решетка Лича
Л24 получается объединением решетки /гЛ24 и ее сдвига на
(—IV2, A/2J3) (см. разд. 4.4 гл. 5). Эта операция удваивает
плотность (не изменяя минимальной нормы), таким образом,
Л24 имеет ц = 4, 6= 1, det = 1 и, следовательно, является ре-
решеткой типа II. Мы можем выписать ее тэта-ряд непосред-
непосредственно в соответствии с теоремой 16. Так как в решетке Л21
нет векторов с нормой 2, тэта-ряд имеет вид E4(z)z — 720A24U)
(см. формулы A38) —A41) гл. 4).
Теорема 19 (Рамануджан [Raml]; см. также [Mori],
00
[Oggl]). В представлении А24B)=Х x(tn)q2m коэффициенты
х(пг) являются функцией Рамануджана, мультипликативной в
том смысле, что
x(r)x(s)= ? dux(rs!d2). F1)
d I (r, s)
Мы уже упоминали оценки значений х(т) в разд. 2.5 гл. 2.
Сравнивая формулы E7) и E9), замечаем, что С [tps, ?24]
и С \E4(z), А24(г)] изоморфны как градуированные кольца-
ряды Пуанкаре обоих равны F). В действительности изомор-
изоморфизм между ними задается формулой F), переводящей
,Q2Bz)). F2)
246 Гл. 7. Дальнейшие результаты
К сожалению, это не дает нам способа нахождения решетки
с заданным тэта-рядом, даже когда известен аналогичный код.
В действительности F2) даже не дает отображения весового
энумератора кода Голея на тэта-ряд решетки Лича. Бруэ и Ан-
гейар [Вго 6] приводят интересное обсуждение изоморфизма
между этими кольцами.
Классификация. Коды типа II были классифицированы для
длин л<32 [Con 21], [Pie 10], [Pie 12], а решетки типа II,
как уже обсуждалось в разд. 2.4 гл. 2 (см. гл. 16), — для раз-
размерностей п ^ 24.
§ 7. Экстремальные коды и решетки типа II
Результаты этого параграфа очень похожи на результаты
§ 4, так что детали мы опускаем. Пусть п = 8/ = 24а + 8v,
0 ^ v ^ 2. Для кодов выберем а0, ..., аа так, чтобы
Z rfi%4 4а+4 F3)
Это так называемый экстремальный весовой энумератор, а код
с таким энумератором называется экстремальным кодом типа II
длины п. Аналогично для решеток: выберем а0, ..., аа так,
чтобы
ЕЛ(Г24( ;а+2^ F4)
г=0
Это экстремальный тэта-ряд, а соответствующая ему рошетка —
это экстремальная решетка типа II в размерности п. Экстре-
Экстремальный тэта-ряд в размерности 48 был приведен в формуле
E7) гл. 2 (см. ниже пример 9).
Теорема 20 ([Mai 1], [Mai 3], [Sie 3]). В экстремальном ве-
весовом энумераторе F3) Л4а+4 > 0 для всех п, но А\а+% < 0 для
всех достаточно больших п. В экстремальном тэта-ряде F4)
А'2а+2 > 0 для всех п, но Л*а+4 < 0 для всех достаточно боль-
больших п.
Указанные коэффициенты впервые становятся отрицатель-
отрицательными приблизительно при п — 3720 для кодов и при п — 41 000
для решеток. Например, не существует экстремального кода
длины 3720, так как экстремальный весовой энумератор для
этой длины имеет вид
г* (х, у)=х3720 + л;24хзюу24 + л;28хзюу28 + • • •,
хде л;24=1.16- ... • 107, Л;28 = -5.84- ... • 10170 [Ма13].
§ 7. Экстремальные коды и решетки типа II 247
Следствие 21, Минимальное расстояние кодов типа II удов-
удовлетворяет неравенству
d<4[n/24] + 4. F5)
Минимальная норма решетки типа II удовлетворяет нера-
неравенству
р. < 2 [ц/24] + 2. F6)
В [Mai 1] показано, что для произвольной константы b
-g--6, d(A)<!-^-b F7>
для всех достаточно больших п. Заметим, что F5) и F6)
сильнее, чем D4) и D5).
Для экстремальных кодов и решеток в формулах F5) и F6)
выполняется равенство. Известны экстремальные коды типа II
следующих длин: 8(один код Ж& [Pie 10]), 16 (два кода, на-
например Жъ®2ё8 [Pie 10]), 24 (один код <8U [Del 13], [Mac 6,
гл. 20], [Pie 8], [Pie 17]), 32 (пять кодов [Con 21], [КосЗ]),
40 (по меньшей мере девять кодов [Iorl], [Oze 3], [Oze 4],
[Ton 2]) и 48, 56, 64, 80, 88, 104, 136 (по меньшей мере один
код — см. [Мае 6, рис. 19.2], [МооЗ], [Huf3]). Большинство
кодов длины ^48— это квадратично-вычетные или дважды
циркулянтные коды. Первый неясный случай — это п = 72 (см.
[Con 22], [Huf4], [Pie 13], [Pie 14], [Pie 19], [Slo3]). Экстре-
Экстремальные весовые энумераторы для п ^ 200 выписаны в
[Ма13].
Известны экстремальные решетки типа II в размерностях 8
[Е8 [Wit 4]), 16 (две решетки Е8®Е8 и D+ [Wit 4]), 24 (одна
решетка Л24 ([Соп4]^гл. 12, [Lee 5], [Nie2])), 32 {BW32
([Bar 18] и разд. 8.2f гл. 8) и по меньшей мере одна отличная
от указанной решетка ([Bayl], [Bro7], [Che 4], [Ozel],
[Ven3], [Ven 6]) (хотя решетка Л32 из предыдущей главы и
имеет в стандартном масштабе детерминант, равный 1, она не
является целочисленной)), 40 (Af4o ([McK2] и § 5 гл. 8) и по
меньшей мере две другие решетки [Bayl], [Oze3], [Oze 4]),
48 (по меньшей мере две решетки Р^р и Р48<7, см. ниже пример
9, а также [Oze 2], [Pet 1]), 56 (по меньшей мере одна ре-
решетка [Hsi 6а]) и 64 (по меньшей мере одна решетка Q64,
см. [Que 5] и разд. 2с гл. 8). См. также постскриптум к гл. 5.
Экстремальные тэта-ряды для п = 48, 56, 64 и 72 (первый не-
неясный случай) соответственно имеют вид:
1 + 52416000?6 + 39007332000?8 + . . .,
1 + 15590400?6 + 36957286800?8 + . ..,
1 +2611200?6+ 19524758400?8+ ...,
1 + 6218175600^* + 15281788354560?10 + . . .. F8>
248 Гл. 7. Дальнейшие результаты
Пример 9. Решетки P4sP и Pi&q. В этом примере мы сумми-
суммируем свойства этих двух очень похожих решеток. Обе решетки
являются четными унимодулярными экстремальными решет-
решетками (типа II), они были определены в разд. 5.7 гл. 5. Решетка
P^q получается применением конструкции В3 (разд. 5.4 гл. 5)
к троичному квадратично-вычетному [48, 24, 15] -коду и после-
последующим удвоением плотности добавлением сдвига на (—5/2,
A/2L7). Решетка Р48р получается таким же образом из [48, 24,
15]-кода Плесе. Так как оба кода имеют одинаковый полный
весовой энумератор (см. табл. 3.2), векторы в Pi&q и Pi&p имеют
одинаковый вид. Тем не менее эти решетки не эквивалентны,
так как они имеют различные группы автоморфизмов. Пометим
для Р48? координатные позиции числами оо, 0, 1, ..., 46, и пусть
Q обозначает множество ненулевых квадратичных вычетов по
модулю 47. Тогда Р481? порождается векторами
сB24, О24), 47 векторов с носителем на сдвигах
{{0}UQ} + *\ 0</<46,
с(—5, I47), единственный вектор и F9)
с (±62, О46), 2-48-47 векторов,
где с = 1/д/12. Для Р48р мы помечаем координатные позиции
числами сю, 0, ..., 22, оо', ..., 22', и пусть Q обозначает мно-
множество ненулевых квадратичных вычетов по модулю 23, а N —
множество невычетов. Тогда Р^р порождается векторами:
сB12, (—2I2, О24), 23 вектора с 2 в позициях i и {Q + i}'
и —2 в оо' и {N + i}', 0<t<22,
с(—5, I47), единственный вектор и G0)
с (±62, О46), 2-48-47 векторов.
Решетки Pi&q и Р48р имеют det = 1, минимальную норму 6,
т = 52416000; минимальные векторы в этих решетках описы-
описываются в табл. 5.3, р = д/з/2, Д = 0.00000002318... (б =
= C/2J4 = 16834.112...); радиус покрытия R этих решеток
неизвестен, но из существования предполагаемых глубоких дыр
сB12,036) следует R > 2. Мы имеем Aut(P48<7) = 22-L2D7) и
Aut(P48P)::= 2-L2B3)X S3 [Tho7]. (Мы знаем, что эти решетки
неэквивалентны, так как нет подходящей группы, содержащей
и L2B3), и L2D7). По поводу тэта-рядов см. формулы F8) и
E7) гл. 2 и табл. 7.1. Сечения описываются в следствии 8 гл. 6.
Представляется естественным вопрос о существовании не-
нелинейных экстремальных кодов типа II и нерешетчатых экс-
экстремальных упаковок типа II (аналогичных коду Нордстрома —
§ 7 Экстремальные коды и решетки типа II
249
Таблица 7.1. Тэта-функции 48-мерных решеток
Р °
m
N(m)
Делители N (m)
О
6
8
10
12
1
52416000
39007332000
6609020221440
437824977408000
1
2>325J7-I3
2537537313
285-7-13-23-47
21233537-13-31 ¦ 103-109
Робинсона). В действительности таких кодов и упаковок, как
заметил Гёталс (частное сообщение), не существует. Так как
код или упаковка должны быть инвариантными относительно
расстояния, то рассуждение в [Del 13] (или [Мае 6]) показы-
показывает, что они должны быть линейными.
Экстремальные коды длины, кратной 24, особенно важны,
так как имеет место
Теорема 22 (Ассмус, Мэттсон [Ass 3], [Mac 6, гл. 6]). Если
С — экстремальный код типа Пип кратно 24, то кодовые слова
любого ненулевого веса образуют 5-схему (см. разд. 3.1 гл. 3).
Параметры этих схем могут быть определены из [Ма13].
Например, кодовые слова минимального ненулевого веса об-
образуют 5-схему с v = п = 24/л, k = Am -+- 4 и % = (J;^"j2).
Для решеток имеется похожий результат.
Теорема 23 (Венков [Ven7]). Если Л — экстремальная ре-
решетка типа Пип кратно 24, то векторы любой ненулевой нор-
мы образуют сферическую \\-схему (см. разд. 3.2 гл. 3).
Число минимальных векторов в экстремальной решетке
типа II в размерности п = 24а может быть найдено из фор-
формулы G) в [Mai 1], оно равняется
65 520
691 a +
G1)
/•¦=0
где р<?+1) — коэффициент при qm в g-ичном разложении числа
Числа А*2а+2 для п = 24, 48 216 и их разложения на про-
простые множители приводятся в табл. 1 из [Slo8].
250 Гл. 7. Дальнейшие результаты
Следствия 10 и 21 дают верхние оценки для самодвойствен-
самодвойственных кодов и решеток. Имеются соответствующие нижние оцен-
оценки, которые показывают, что для больших п самодвойственные
коды лежат на границе Варшамова — Гилберта (см. [Мае 6,
гл. 17]), а самодвойственные решетки удовлетворяют границе
Минковского (см. формулу B9) гл. 1). Следующие теоремы
доказываются в [Мае 6, гл. 19], [Мае 8], [Mil 7, pp. 46—47],
[Thol]. Мы приводим только результат, касающийся кодов
типа II.
Теорема 24. Пусть 6(п) — наибольшее кратное 4 число, та-
такое, что
Тогда существует код типа II длины п с минимальным рас-
расстоянием d^b(n). Для больших п существуют коды типа II с
где
Н2(х) = -х \og2x -A-х) Iog2(l - x) G2)
— двоичная функция энтропии.
Теорема 25. Пусть ш(п) обозначает ближайшее целое к
±{>{*+¦}}"*• <73>
Тогда существует п-мерная решетка типа I с минимальной нор-
нормой ц^ ш(п). Для больших п существуют решетки с
log2 ~>- log2Bяе) = -4.09 . . . G4)
или, что эквивалентно,
^log2A>-l. G5)
Если положить т(п) равным ближайшему к G3) четному
числу, то такие же утверждения выполняются для решеток
типа II.
Доказательства используют масс-формулу Минковского —
Зигеля для решеток и ее аналоги для кодов (см. гл. 16).
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток
Рассмотрим теперь, используя обозначения разд. 2.6 гл. 2,
недвоичные коды и комплексные решетки. В § 8—10 / обозна-
обозначает либо эйзенштейновы целые <%, либо гауссовы целые *§\
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток 251'
в § 4 гл. 8 обсуждается случай / = Z[E], E = (l +/)/д/2- Опи-
Описываемые конструкции могут также применяться к другим
кольцам.
Пусть я—простое в / (—<§Г или ^) нормы ля = q, так что
//я/ э* FV Тогда существует отображение cr: J-+J/nJ-+fq (го-
(гомоморфизм колец), такое, что а(а)^ fg для всех не/. Опре-
Определим действие сг на «-последовательностях следующим обра-
образом: <т(а) = а(аи ..., ап)= (a(ai), ..., а(а„)).
Конструкция Ас. Пусть С есть [л, k] -код длины п над fV
Тогда /-решетка Л(С) состоит из точек я~1/2сН (С) в С™.
Иначе говоря, если мы допустим вольность в обозначениях
и рассмотрим F, как подмножество в /, to Л (С) состоит из то-
точек я~|/2(С + ях) для всех сеСи всех х е /". Если порождаю-
порождающая матрица кода С имеет вид [Ik В], то Л (С) имеет порож-
порождающую матрицу
Ik В
detA(C) = |detG|2 = Ur 2k = q{n 2k)'2. G7)
Соответствующая 2«-мерная вещественная решетка A(C)reai
(разд. 2.6 гл. 2) имеет детерминант
detA(C)real = 4"d"<r2*. G8)
Минимальная квадратичная норма ji решетки Л (С) или
Л (С) reai, радиус упаковки р и контактное число т решетки
Л (С) reai определяются кодовыми словами минимальной евкли-
евклидовой нормы в коде С. Центральная плотность решетки A(C)reai
равняется
6 = 2"p2"a"re/V^. G9)
Тэта-ряд для Л (С) (или, эквивалентно, для A(C)reai) опреде-
определяется полным весовым энумератором кода С а в некоторых
случаях — весовым энумератором Хэмминга.
Конструкция Вс. Упаковка А'(С) состоит из точек я"~'/2(с +
+ пх) для всех Сеси всех х е /", таких, что X xt ^ 0 (mod я).
(Для того чтобы Л'(С) была решеткой, код С должен удовле-
удовлетворять некоторым очевидным условиям.) Тогда detA'(C) =
_ gn/2-k+i и Л'(С) reai имеет центральную плотность
6 = 2np2nd~nl2qk"-\ (80)
Пример 10. Случай, когда J — эйзенштейновы целые, я = 2.
Пусть / = 8, я = 2, так что яя = 4, <§Г/2*? зё (р4. Мы разбиваем
252
Гл. 7. Дальнейшие результаты
%> на 2<ЁГ, 1 + 2<§Г, со + 2*?> со + 2<%', и идентифицируем р4 с
{О, 1, со, со} а <8 (см. рис. 7.1). Конструкция Ас позволяет по-
построить ^"-решетку из кода С над ]
Теорема 26 [Slo9]. Если С есть [n,k,d]-Kod, то Л (С) имеет
минимальную норму fi = min{2, A/2) df} и del Л = 2n~2k. Кроме
того, Л(С)геа1 имеет p = (l/2)Vi*. 6 = 3 n/24*p2rt « тэта-ряд
^с(Фо(г). <Pi(z)), (81)
где Wc(x, г/) — весовой энумератор Хэмминга кода С, а фо(г)
« 9i(z) задаются формулами A2) « A3) гл. 4. ?а/ш С является
Рис. 7.1. Эйзенштейновы целые <§? представляются маленькими кружками
а 2<§? — двойными кружками. Показывается, как $I1<S s F4 = {0, 1, ЭД. ш}.
самодвойственным кодом типа IV, то Л является самодвой-
самодвойственной <§ -решеткой.
Пример 10а. Решетка Кокстера — Тодда К\2 Если С есть
[6, 3, 4]-гексакод W6 (см. п. 2.5.2 гл. 3), то Л(^6) —это 6-мер-
6-мерная самодвойственная ^"-решетка, для которой Л(^6)геа1 = К\2
(см. § 9 гл. 4). Тэта-ряд задается формулой A31) гл. 4, что
следует из теоремы 26. (Это «2-базис» для /С12 в обозначениях
[Соп37]. В A28) гл. 4 приведен «4-базис».)
Пример 11. Случай, когда J — эйзенштейновы целые, п =
= V—3 . Вместо 2 мы можем использовать простое9 = -\/—3 =
= со — со в &", причем (?Г/(Ж ^ [Г3. Мы разбиваем Ж на Q<o,
1+9#, —1+6^ и отождествляем |Гз с {0, 1, —1} cr: JT (см.
рис. 7.2). Конструкция Ас позволяет построить ^"-решетку Л (С)
из кода С над рз-
Теорема 27 [SlolO]. Если С есть [n,_k,d]-Kod, то Л (С)
имеет минимальную норму М- = min {д/3> d/-\/s} и det Л (С) =
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток
253
,rt/2-ft
= ЪЩА~ \ Тогда Л (С)геа1 имеет
det = 3
n-lk
3re/2p2">
т = 3dЛй, если d < 2, т = 6n + 27Л3, если d = 3,
т = бгг, если d ^ 4,
тэта-ряд
(82)
(83)
(84)
(85)
B/
-I
Рис. 7.2. Двойные кружки представляют 6#\ где 8 = у—3. Показывается,
как &I§<S = Ft = {0, 1, —1}.
Пример Па. Решетка Госсета Е6. Если С—код с повторе-
повторением {@00), A11), B22)}, то Л(С)геа1 —это Е6 (см. формулу
A20) гл. 4),
Пример lib. Снова Es. [4,2,3]-тетракод ^ (см. п. 2.5.1
гл. 3) приводит к Е$.
Пример Пс. Снова К\2. Применением конструкции Вс к коду
с повторением длины 6 мы получаем К\2- (Это «3-базис» для
К\2 в обозначениях [Con 37].)
Пример 12. Комплексная решетка Лича. Решетка Лича Л24
может быть построена как комплексная 12-мерная ^"-решетка
из троичного [12,6,6]-кода Голея "g^ (см. п. 2.8.5 гл. 3). Мы
начинаем с того, что применяем конструкцию Вс к ^12. Решетка
\/д А' (^12) состоит из точек с + 9*, где с е <ЁГ12, х е <%12 и
^х, = 0 (mod 9). Комплексная решетка Лича состоит из объ-
объединения этой решетки с двумя ее сдвигами. Таким образом,
254
Гл. 7. Дальнейшие результаты
(после умножения на 8) мы определяем, что комплексная ре-
решетка Лича состоит из векторов
О + Вс + Зх, 1+вс + Зу, — 1+9с + Зг, (86)
где 0 =
удовлетворяют условиям
Z*, = 0, Z^-l. Zz, = -1 (mode).
Легко проверяется, что определенная выше решетка является
^"-решеткой. Минимальная норма этой решетки равна 18, а
196560 минимальных векторов приведены в табл. 7.2. В этой
Таблица 7.2. Минимальные векторы комплексной
решетки Лича
Координаты
9 (а6, О6) = 9с + Зх
(В, а") = 1 + 9с + Зу
или —1 -\- 9с -\- 3z
(BаJ, а10) = 1 + 9с + Зу
или —1 + 9с + 3z
((ЗаJ, 010) = 3*
Количество
264 • З6 =
2 • З6 - 12-2
З6 • 66 • 2 =
66 • 2 • З2
Всего =
64152
= 34992
= 96228
= 1188
196560
таблице символ а используется для обозначения (возможно,
различных) чисел нормы 1, т. е. ±1, +ш, ±ш2, а р — чисел
нормы 7, т. е. одного из чисел вида ± A + Зш), ± A + Зш2), ... .
Центры, описываемые в первой строке таблицы, получаются
выбором одного из 264 кодовых слов веса 6 в ^г, например
с = @, 1, 0, 0, 0, 0, —1, 0, 1, —1, —1, 1), и выбором х, таким,
что
Qc + 3x = @, 9сйа, 0, 0, 0, 0, — 9соь, 0, 9сос, — 9cud, — 9ше, 9©f).
причем а, Ь, с, ... е {0,1,2} и Z xi = 0 (mod 9ef). Имеются три
варианта выбора для каждой из пяти первых ненулевых ком-
компонент х, после чего х однозначно определен, и, таким образом,
имеется 264-З5 таких центров. Типичный центр \-\-Qc-\-3y во
второй строке имеет вид
A
+ 0@
+ 3@
=A
1
1
со2
со2
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
-1
со
со
1
0
0
1
1
1
со2
со2
1
-1
со
со
1
1
со
со
1) +
1) +
-1) =
2со - 1)
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток
255
Первый вектор может быть 1 или —\, с может быть любым
кодовым словом из ^12 и у может быть выбран 12-2 способами:
элемент нормы 7 может появиться в любой из 12 позиций и мо-
может быть выбран двумя способами. Таким образом, число
центров этого типа равно 2-З6¦ 12-2. Другие центры могут быть
перечислены аналогичным образом.
Соответствующая вещественная решетка, умноженная на
V2/3, — это решетка Лича Л24 — ср. с выражениями A35), A36)
Таблица 7.3. Аналогии между вещественной н комплексной
решетками Лнча
Вещественная решетка Лича
Двоичный код Голея %2*
2
(+1. -1}
Система Штейнера SE, 8, 24)
Группа Матье M2i
Группа автоморфизмов содержит
diag ((—l)Cl, ..., (—l)Czt)
для любого с е 92-ц
Комплексная решетка Лича
Троичный код Голея W\
е=-з
{1, со, со2}
Система Штейнера SE,
Группа Матье М^
Группа автоморфизмов
diag(o>Cl coCl2)
для любого с е Ч?\2
г
6, 12)
содержит
гл. 4. Табл. 7.3 демонстрирует некоторые параллели между этими
двумя решетками. Группа автоморфизмов комплексной решетки
Лича будет обсуждена в гл. 10. См. также [Wil3], [Yos 1].
Естественно задать вопрос о существовании аналогичной
конструкции для Л24 как 6-мерной кватернионной решетки, по-
построенной на основе гексакода "g'e над F4. Подробно описывае-
описываемая в гл. 11 MOG-конструкция Л24 по существу является таким
аналогом, хотя эта конструкция не совсем совпадает с тем, что
можно было бы ожидать из сравнения вещественной и ком-
комплексной конструкций. В § 2 гл. 8 описывается конструкция,
использующая икосианы.
Пример 13. Случай, когда J — гауссовы целые, я = 1 +1.
Пусть / = $, я = 1 + i- Тогда яй = 2, $?/я& ^ ^2- Конструкции
Ас и Вс позволяют получать из двоичных кодов гауссовы ре-
решетки. Для этих решеток лучше опускать множитель я~1/2. Тогда
конструкция Ас приводит к решетке с тэта-рядом №(93B.гJ,
92BzJ), где W(x, у) — весовой энумератор кода. Детерминант
вещественной решетки Лгеаь соответствующей гауссовой ре-
решетке А, равен
dt (dtJ (87)
256 Гл. 7. Дальнейшие результаты
Пример 13а. Снова D*. Примененная к ^2= {00,11} кон-
конструкция Ас позволяет построить двумерную гауссову решетку
<Ю2 с порождающей матрицей и матрицей Грама следующего
вида:
Двадцать четыре минимальных вектора имеют вид (±1,±1),
(±1,±«)> (±t, ±t), @, ±l±i). Соответствующая вещественная
решетка совпадает с D$; в этом представлении тэта-ряд имеет
вид (ср. с (92) гл. 4)
во, (z) = 02 BzL + 93 BzL = 1 + 2 V + 24</« + Щ6 + .. .. (89)
Пример 13Ь. Снова ?8. Применение к коду {0000, 1111} кон-
конструкции Вс дает гауссовский вариант решетки ?8> состоящий
из всех векторов х = (хи х2, х3, А'4)е &4, удовлетворяющих усло-
условиям л; (mod 1 + i) == 0000 или 1111 и ^ xi ^ 0 (mod 2). Соот-
Соответствующая вещественная решетка совпадает с вариантом
решетки Es, полученной из кода Хэмминга (см. разд. 8.1 гл. 4).
§ 9. Самодвойственные недвоичные коды
и комплексные решетки
Имеются результаты, аналогичные теоремам 6 и 7.
Теорема 28 (Глисон). Если С — код типа III, то Wc(x, у)
инвариантен относительно группы, Gz порядка 48 и принадле-
принадлежит С[г|з4, ?12], где ^4 — весовой энумератор для "^ (см- фор-
формулу F1) гл. 3), а
\\г = У3 (*3 - У3K- (90)
Эквивалентно, Wc(x,y) может быть записан как многочлен от
весовых энумераторов ^4 и ЯЯхъ.
Для описания полных весовых энумераторов определим сна-
сначала некоторые используемые далее многочлены. Пусть
а = хъ + у* + г\ р = Ъхуг, (91)
Ь = х3у3 + уъ<? + z3x3, (92)
p6 = а2 - 126 = хв + у6 + z6 — 10 (х3у3 + у3г> + z3x3), (93)
% = (х3 - у3) (у3 - г3) (г3 - х3), (94)
C) F) C) C)
а12 = а {а3 + 8р3) = ? х12 + 4 Z л:9У3 + 6 Z л:6У6 + 228 ? х6г/3г3.
(95)
§ 9. Самодвойственные недвоичные коды и комплексные решетки 257
Теорема 29 [Mai 15]. Если С — код типа III, содержащий
вектор из всех единиц, то полный весовой энумератор инвариан-
инвариантен относительно группы G* порядка 2592 и принадлежит
R © fi6n2R, (96)
где
а — "о [р6, а,2, n9j. [yi)
Другими словами, полный весовой энумератор может быть од-
однозначно записан как многочлен от pg, а12 и л*, к которому до-
добавлен другой такой многочлен, умноженный на Р6л?.
Теорема 30. Если С — код типа IV, то Wc(x,y) инвариан-
инвариантен относительно группы Gs порядка 12 и принадлежит
С [г|?2, |g], где ^'2 = х2-\- Зу2 — весовой энумератор кода <%'2 =
= {00, 11, coco, coco}, a
h = y2(x2-y2J. (98)
Эквивалентно, We (x, у) может быть записан как многочлен от
весовых энумераторов кодов Я<?'2 и Ф^
Теорема 31 [Мае 4]. Если С — код типа IV, содержащий
вектор из всех единиц, то полный весовой энумератор инва-
инвариантен относительно группы G6 порядка 1152 и принадлежит
С [/г,/б>/в./12], где {используются стандартные обозначения
для симметричных функций от до, х, у, г)
h = F) + 15 B22) = до6 + ... +15 (ЛУ + ...), A00)
f8 = (8) + 14 D4) + 168 B222), A01)
f12 = A2) + 22 F6) + 330 F222) + 165D44) + 330;D422). A02)
Здесь /г — полный весовой энумератор Ч?\, f6— полный весо-
весовой энумератор гексакода в варианте, определенном формулой
F4) гл. 3, /в — полный весовой энумератор кода, натянутого
на <Э#8 над F4, a f!2 получено из весового энумератора некото-
некоторого кода длины 12 (см. [Мае 4]). Доказательства и обобщения
см. в работах [Ber7], [Glel], [Leo 7], [МасЗ], [Mac 4], [Mac 6,
гл. 19], [Mai 2], [Mai 4], [Mai 5], [Slo6], [Slo7]. Группа Gs
порождается -тг-МтППгтП и является группой отражений
V3 ^ 1JLU WJ
типа 3 [6] 2. Группа G4 порождается всеми перестановками,
diag{l, 1,©} и
258 Гл. 7. Дальнейшие результаты
имеет центр Z(Gi) порядка 12, и Gi/Z(Gi)—группа гессианов
порядка 216 [Сох28]. Группа Gs порождается -^[J _^], [q _J]
и является диэдральной группой. Группа G6 порождается всеми
мономиальными матрицами размера 4X4 и матрицей Я4 из
разд. 7.1 гл. 4 и является группой отражений типа [3,4,3].
Теорема 32 [Slo9]. .Если Л — самодвойственная ^-решетка,
то вл (г) ее С [ф0 (г/2), Дв (z) ], д
- A03)
= q П A-Л6A-^3Т =
m = 1
= q - б?2 + V + 4?4 + б?5 - 54<7б - 40?7 + . .. . A04)
Эквивалентно, вл(г) может быть записан как изобарический
многочлен от тэта-рядов кольца <S и комплексного варианта ре-
решетки Кп {как &-решетки). Если мы запишем Дв (г) = X am4m>
то коэффициенты ат мультипликативны и в действительности
удовлетворяют соотношениям
атап= П d5amn/di. A05)
З-Г d, d\(m, n)
Теорема 33. Если Л — самодвойственная 9-решетка, то
Од(г)еС[0з(гJ,А8(г)]. Эквивалентно, 0Л (z) может быть за-
записан как изобарический многочлен от тэта-рядов кольца 9
и комплексного варианта решетки Е& (как З-решетки).
Доказательство. Из формулы F7) гл. 2 следует, что
det(Areai) = (detAJ = 1, откуда следует, что Areai является ре-
решеткой четной размерности типа I. Решетки А и Areai имеют
одинаковые тэта-ряды, и результат следует из теоремы 7.
Классификация. Коды типа III были расклассифицированы
для длин п < 24 [Con 24], [Leo 8], [Mai 2], [Pie 18], коды
типа IV —для длин п ^ 16 [Con 24], [Mac 4], а самодвой-
самодвойственные коды над Рб — для длин п^ 12 [Leo 7]. Самодвой-
Самодвойственные ^"-решетки были расклассифицированы для размер-
размерностей п^12 [Fei2], а самодвойственные ^-решетки — для
п ^ 7 [Iya 1] (можно было бы расширить последнюю класси-
классификацию, используя результаты гл. 16). См. также [Hsi6a],
[Pie 20]. Для того чтобы проиллюстрировать то, как быстро
растет число таких кодов с ростом п, в табл. 7.4 сведены значе-
значения Nt(n)—общего числа различных кодов типа IV длины п,
§ 10. Экстремальные недвоичные коды и комплексные решетки 259
Таблица 7.4. Число кодов типа IV
п
2
4
6
8
10
12
14
16
24
N,in)
3
27
891
114939
58963707
120816635643
989850695823099
32436417451427131131
~4 1043
Ne(n)
1
1
2
3
5
10
21
55
>108
1
0
1
1
2
4
10
31
а также Ne(p)—числа неэквивалентных кодов и Nt(n)— числа
неэквивалентных неразложимых кодов.
§ 10. Экстремальные недвоичные коды
и комплексные решетки
Для исследуемого случая экстремальные весовые энумера-
торы, коды, тэта-ряды и решетки могут быть определены из
теорем 28, 30 (с использованием лишь энумераторов Хэм-
минга), 32 и 33 в точности так же, как и в § 4 и 7. Имеются
аналоги теоремы 9 и следствия 10.
Теорема 34. В экстремальных весовых энумераторах типа III
и IV и в экстремальных тэта-рядах <§- и 9-решеток первый ко-
коэффициент, который по определению ненулевой, строго положи-
положителен, а для всех достаточно больших п следующий коэффи-
коэффициент отрицателен.
Следствие 35. Минимальное расстояние кода типа III удов-
удовлетворяет неравенству
d<3[n/12] + 3, A06)
а для кодов типа IV выполняется неравенство
^<2[гг/6] + 2. A07)
Минимальная норма самодвойственной S-решетки удовлетво-
удовлетворяет неравенству
jx< [л/6] + 1, A08)
а для 'З-решетки выполняется неравенство
A09)
260 Гл. 7. Дальнейшие результаты.
Для экстремального кода или решетки в A06) — A09)
имеет место равенство. Экстремальные коды типа III суще-
существуют для п = 4 (Ч?4), 8 (?4е?4), 12 (#i2), 16, 20, 24, 32,
36, 40, 44, 48, 56, 60 и 64 и не существуют для п = 72, 96, 120,
144, ..., а для других размерностей вопрос об их существова-
существовании открыт (см. [Beel], [Dawl], [Mac 6], {Mai 2], [Mal3],
[Pie 18] и постскриптум к гл. 5). Экстремальные коды типа IV
существуют для п = 2 (<Г2), 4(^ф^), 6(Ув), 8, 10, 14, 16,
18, 20, 22, 28, 30 и не существуют для п— 12, 102, 108, 114,
120, 122, 126, 128 Для других значений п вопрос открыт
[Con 24], [Mac 4].
Так как существуют [24, 12, 8]-код типа II и [24, 12, 9]-код
типа III, было бы хорошо знать, существует ли экстремальный
[24, 12, 10]-код типа IV ([Соп22], [Соп23], [Мае 4]).
Экстремальные ^-решетки существуют для л от 1 до 5 (Жп),
б {Кп), от 8 до 11, но не существуют при п = 7, 12 и доста-
достаточно больших п [Fei 2].
Теорема 36. Экстремальные 8-решетки существуют тогда и
только тогда, когда п = 1—4, 6, 7 или 12.
Доказательство. Это следует из теоремы 12.
Благодарности. Мы благодарим Э. Баннаи (который неза-
независимо установил теорему 23) за то, что он обратил наше вни-
внимание на статью Б. Б. Венкова [Ven 7], и Дж.-М. Гёталса и
К. Мэллоуса за полезные замечания.
Глава 8
Алгебраические конструкции решеток
Дж. Конвей, Н. Слоэн
В этой главе мы строим плотные решетчатые упаковки в
размерностях 32, 36, 40, 48, 64, 96, ..., 65536, ..., используя
различные методы. Основными используемыми конструкциями
являются конструкции Af (более абстрактный вариант кон-
конструкции A), D (конструкция, использующая вложенные семей-
семейства кодов) и Е (мощная общая конструкция, которую можно
применять рекурсивно). Кроме того, плотные решетки полу-
получаются из идеалов в полях алгебраических чисел. Мы также
строим Es и решетку Лича, используя икосианы.
§ 1. Введение
В этой главе используется множество конструкций, в общем
случае технически более сложных по сравнению с предыдущими
главами. Их объединяет, в частности, использование более
сложных, чем Z, колец, что требует несколько большего зна-
знания алгебры. В числе построенных решеток есть ?8 (см. § 2),
решетка Лича (см. § 2, 3, 5, разд. 7.3, 7.5), решетки Квеббе-
манна Q32 и Q64 (см. § 3 и 4), решетки Сзг (см. разд. 8.2h)
и бзб (см. разд. 8.2d), решетка Маккея Mw (см. § 5), решетки
PibQ (см. разд. 7.5) и Р64с (см. разд. 8.2е), решетки Барнса —
Уолла BWn, п = 2т (см. разд. 8.2f), решетки Вп, п = 2т, полу-
получаемые из БЧХ-кодов (см. разд. 8.2g), решетки Крэйга А^
(см. § 6, разд. 7.3) и бесконечные деревья решеток г|(Л), по-
получаемые из конструкции Е (см. § 10). Последний случай дает
довольно плотные решетки в размерностях до Ю10000 (см. § 10h,
табл. 8.7 и табл. 1.3 и 1.4 гл. 1), хотя в конечном счете их
плотность не очень велика.
Используемые конструкции включают два общих варианта
конструкции А (см. § 3 и 4), вариант конструкции С, всегда
приводящий к решеткам (конструкция D, см. § 8), и мощное
обобщение большей части предыдущих конструкций (конструк-
(конструкция Е, см. § 9 и 10), которое может применяться рекурсивно.
Параграф 7 содержит ряд конструкций, использующих идеалы
в полях алгебраических чисел. Одним из наиболее интересных
262 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
в этом направлении результатов является уже упомянутый в
разд. 1.5 гл. 1 факт, что башни Голода и Шафаревича полей алге-
алгебраических чисел соответствуют бесконечным последовательно-
последовательностям очень плотных решеток (см. разд. 7.4)').
Все упоминаемые в главе упаковки являются решетками.
Иногда мы будем придерживаться более общей точки зрения,
упомянутой в разд. 2.2 гл. 2, и рассматривать решетку Л как
дискретную подгруппу вещественного векторного пространства V,
в котором нормы и скалярные произведения определяются
с помощью симметричной билинейной формы f: VX.V-+R.
Норма х задается формулой f(x)= f(x, x), и мы имеем
где предполагается, что f (x)— положительно определенная квад-
квадратичная форма.
Мы начинаем (в § 2) с введения некоторых кватернионов,
называемых икосианами, которые эквивалентны решетке Е8,
снабженной мультипликативной структурой. Это приводит
к простой конструкции решетки Лича как трехмерной икосиан-
ной решетки (см. разд. 2.2)—прямому аналогу конструкции
Турина кода Голея.
§ 2. Икосианы и решетка Лича
2.1. Группа икосианов. Группа икосианов — это мультипли-
мультипликативная группа порядка 120, состоящая из кватернионов
4-(±2,О, 0, 0)а, ±(±1, ±1, ±1, ±1)А.
у@, ±1, iff, ±т)\
где (а, Р, у, б) означает а + $i + у] + 8k,
верхний индекс А означает, что разрешены все четные пере-
перестановки координат. Мы используем обозначения
1, 1), /я = у
Имеется гомоморфизм из этой группы в знакопеременную'
группу А5, действующую на пяти буквах {G, H, I, J, К} и опре-
') См. также примечание на с. 37—38. — Прим. перев.
§ 2. Икосианы и решетка Лича 263
деляющуюся соотношениями
1 = 1@,2,0,0) -*(Я,/)(/, /С),
/ = 1@,0,2,0) -*(H,J)(K,l),
ft = 1@, 0,0, 2) -(Я, *)(/,/),
<в=4-(—1,1,1, i)-(/,/, к),
*я=-т@, 1, а, т) -*(G, /)(/, К),
ядром которого является {±1}. Приводимая ниже табл. 8.1
дает значительно больше информации об этом гомоморфизме.
Формально говоря, группа икосианов есть совершенное двой-
двойное накрытие группой 2.А5 группы А5 и иногда называется
бинарной икосаэдральной группой.
Кольцо икосианов & — это множество всех конечных сумм
Ц\ + ••• d- Цп, где каждое qt лежит в группе икосианов. Эле-
Элементы кольца икосианов называются просто икосианами
([Con 16], [Dul], [Wil9]).
Типичный икосиан q имеет вид q = a -f- Pi + у} + 6ft, где
координаты а, р, у, б принадлежат полю золотого сечения
Q(t) и поэтому имеют вид а-\-Ь^/5, где a, 6eQ. Сопряжен-
Сопряженный икосиан (см. разд. 2.6 гл. 2) —это q = а — pi — yj — 8k
и ЧЦ = а2 + р2 + у2 + б2.
Мы будем работать с векторами «==(<7ь ^2> •••). элементами
которых являются икосианы. Типичным скалярным кратным
вектора v является %v = (%qu Xq2, ...) со скалярами (тоже
икосианами) слева. Соответственно сравнение q ss r(modЯ,),
где q, г и Я, — кватернионы, означает, что q — г = Xs для неко-
некоторого икосиана s. Два вектора v и да = (п, г2, ...) имеют ква-
тернионное скалярное произведение
(и, w) = qir1 +q2f2 +
Мы будем использовать две различные нормы для таких век-
векторов: кватернионную норму
QN (v) = (v, v), B)
являющуюся числом вида а^-Ь<\/5 с a, JgQ, и евклидову
норму
EN(v) = a + b C)
264 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
Таблица 8.1. Икосиаиы и соответствующие элементы из st-ь и
I-тожд. I.i,->(HIXJK) j-J.-^HJ) IKI) k-l
2 2 2-+ 000-+ 000-+ 000 -.+
000+- 2 2 2-+ 090-+ 0 00+-
000+- 000+- 222-+ 000- +
.0 00+- 000-+ 000+- 222- +
-1- +_l-_ + __i__ + _ _i__ + _
1 + + -+ 1 + + -+-I + -1 + -
1 +' + - + -1 - - - + -1 - - + _ l + + _ +
-1 - - 2-2 -1--00-1--00 -1--00
-1--00-1--00 1++00 1 + +-2 2
-1. --00 1 + +-2 2-1--00 1 + +00
-1--00 1 + +00 1++-2 2 -1--00
)
О 0 0 - + 000-4- 000- + 00000 00000 0 0 0 0 0
102-+ Г20-- «00++ 12000 -г-2 0 0 2 -» О О 0-2
»004-4- 102-4- :20-- -»00 0-2 12 0 0 0 -т-2 0 0 2
i20-- »00++ 102-+ -1-2 0 0 2 -в О О 0-2 1 2 00 0
04-r00 04--00 0+-00 0- + -+ 0 - + - + 0- + -4-
1 + 4-00 Г++-2 0-1Г4-- 0-2 1+ + -+ -«-- + + • - + + 4-
-с + - 0-2 1 + + 0 0 t++-2 0 »- + +¦+ 1 + + -+-I— - + +
I + 4- -2 О -<г + - 0-2 14-4-00 -1--4-4- » - 4- 4- + I+ + - +
-1--00-I--00-I--00 -I 0-2 + - -i 0-2 + - -I 0-2 + -
0+-00 » - + 0 2 Г++-2.0 0O0- + -»00-- t 2 0 - -
t + +-2 o'o+-OO »-+.O2 т 2 0 - - 000- + -»00-~
«-+02 T++-2 0 0+-00 -» 0 0 - - Г20-- 000- +
_l__ + _ _!__ + _ _] _ _ +1 _ -1-2 0 0 0 -1-2 0 0 0 -1-2 0 0 «
0- + - + -»+----t-- + + 00000 »-2 002 -r 0002
-f_- + + 0- + -+ -»+ — — - -r-2 002 00002 «0000
_0+___-t_- + + 0- + -+ »00O2-t0000 0-2 0 0 2
lK,-iKGIHJ) I
-r-2 0 0 2 -r-2 0 0 2 -r-2 0 0 2 -r 2 0 + + -r-2 0 + + -r-2 0 + +
00000 12000 » 0 0 0 2 000-+-I 0-2 + - » 0 0 + +
• 0002 00000 12000 »00++ 0 0 0-+-rl02+-
12000 »0002 00000 -I0-2+- »00++ 000- +
(„-(/СНКЛ Г,„-.УСН/К) l,H-.iKGHJl) lu^KCJIH) I,t-{IGKJH) I,
_t__20-r--20-t-- 20 -t-- + +_t-- + +-t-- + +
0+- о 0 -1 - - 00-»+- 0-2 0+ +- 1 + + -+-»+---
_„ + _ o-2 0+-00-I--00 -» 4 ¦ - - 0+-+- 1 + +- +
_1 _ _ 0 0-»+- 0-2 0+-00 1 + + - + -»+--- 0+- + -
i,,-i«;iirti *
-» 00---» 00---» 00-- -» + - - - _#+__-_«+-.__
О о 0 - + -t-2 0++ I02-+ 0-+-+ Г++-- |++_+
10-+ 000-+ -r-2 0++ 1 + + -+ 0- + -+ t + + - -
-t-2 0++ 102-+ 00-0-+ t+ + -- 1 + + -+ 0- + - +
b,-(JGKIH) S,,~\KGIHJ) Sji—ilGJKH) SW—{HGIKJ) Sin-iHGJIK) s,,—{HGKJI)
_„ + _ 0-2 -» + - 0-2 -» + - 0-2 -» 0 0 0-2 -» 0 0 0-2 -» 0 0 0-2
0 - + 0 0 r + +-2 0-1 --00 00000 -t-2 0 0 2 -1-2 0 0 0
_-] _ _ 0 0 0-+00 Г++-2 0 -1-2 000 00000 -t-2 0 0 2
t++-2 0-l--00 0-+00 -t-2 002-1-2 000 00000
§ 2. Икосианы и решетка Лича 265
(легко показать, что EN(и)^0). Икосианы с кватернионной
нормой 1 образуют группу икосианов.
По отношению к кватернионной норме икосианы принадле-
принадлежат четырехмерному пространству надС(д/5), по отношению
к евклидовой норме они лежат в восьмимерном пространстве.
В действительности в евклидовой норме кольцо икосианов У
изоморфно решетке Е8 в этом пространстве. Таблица 8.1 (взя-
(взятая из [Wil 9]) демонстрирует используемый в дальнейшем
изоморфизм.
Таблица 8.1 имеет 60 элементов, по одному для каждой пары
элементов ±q группы икосианов. Типичным элементом этой
таблицы является
-1 0 0
-1 0 0
1 + + -2 2
1 + + 0 0
который нужно читать следующим образом. Верхняя строка
содержит наименование (наименования) для q (в этом случае
со' = со/о = A/2) (—1 — ? + / + *)) и указывает соответствую-
соответствующую четную перестановку {G, Н, I, J, К). Четыре кватернион-
ные координаты 2q появляются в первом столбце, в следующих
двух столбцах находятся векторы Е&, представляющие 2q и 2aq.
Как обычно, знак «—» используется для —1, а «+» для +1.
Формулы, даваемые формулой G4) гл. 2, удобны для работы
с этими кватернионами.
Система обозначений для q = A/2) (а, р, у, 6) следующая.
Буквы i, /, k указывают, что а = 0, со указывает, что а = —1,
5 — что а = —a, t — что а = —т, а нижние индексы указы-
указывают знаки а, р, у, б:
знаки
0 (+ 0 0)
- +++
- н—
г- +
0 4-4-4-
индекс
G
GH
HG
GI
IG
Н
знаки
04-
-0 4-4-
Q
-0 4—
-0-+
инде
/
HI
IH
JK
К!
Например, соХг соответствует перестановке (Z,T,U), где X, Y,
Z, T, U — четная перестановка G, H, I, J, К- Тройка {ix, jx, kx),
266 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
где X — любой из G, H, I, J, К, образует систему единичных
кватернионов (с i\=-—1, ixh==^x и т- д-)*
Двести сорок минимальных векторов этого варианта Е&
имеют евклидову норму 1 и кватернионную норму либо 1, либо
а2. Они состоят из элементов q и aq, где q — произвольный эле-
элемент группы икосианов.
Используя отображение табл. 8.1, можно отождествить век-
вектор v = (qu ..., qn) с п икосианными координатами с векто-
вектором, имеющим 8л рациональных координат.
2.2. Икосианная конструкция и конструкция туриновского
типа решетки Лича. Пусть L — трехмерная решетка над ико-
сианами, состоящая из всех векторов (х, у, г), х, у, zeJ, удов-
удовлетворяющих условиям
х = у=зг (mod h), D)
x + i/ + 2 = 0 (mod A), E)
и h — кватернион,
A = <B + ff = y(-V5", I, 1, 0.
с hh = 2. Тогда евклидова норма (формула C)) преобразует L
в копию решетки Лича. Это будет доказано в примере (с) § 3.
(Это также установлено в [Wil I], [Wil 9].)
Пусть G — группа автоморфизмов решетки L (рассматри-
(рассматриваемой как трехмерная икосианная решетка). Группа G есть
двойное накрытие 2/2 группы Холла — Янко /2 = HJ [Con 16,
р. 42], [Wil 9]. В действительности из определения L следует,
что G содержит подгруппу S (порядка 27-3-3!), порождаемую
всеми перестановками х, у и г и правым умножением (х, у, z)
на диагональные матрицы {1, i, i}, {i,j,k}, {со, со, со}. Минималь-
Минимальная евклидова норма решетки L равна 4. По модулю скаляр-
скалярного умножения (слева) на элементы группы икосианов для
векторов из L кватернионной нормы 4 имеются четыре орбиты,
а именно
B, 0, 0), @, h, h), (h, 1, 1), A, то, огб), F)
с 3, 24, 192 и 96 образами соответственно, общее их количество
равно 315. Если г — один из этих 315 «корневых» векторов
и ogL, то (и,г)е23' [Wil 9, р. 163] и, таким образом, отра-
отражение относительно г,
2 (v, r) r
сохраняет L (как и в G) и сохраняет кватернионные нормы
и скалярные произведения. Этн 315 кватернионных отражений
порождают 2/2.
§ 3. Общий подход к конструкции А
267
Минимальные векторы в этом варианте решетки Лича — это
элементы из L, имеющие кватернионную норму 4, 4а2 или
2 + 2<т2. Имеется 120-315 = 37800 векторов вида qr (где q —
элемент группы икосианов и г — корень) с кватернионной нор-
нормой 4, такое же количество векторов вида bqr с нормой 4сг2
и 120-1008= 120960 вида qt с нормой 2 + 2ст2, где t — один из
образов векторов (h, сгсо/г, 0), A, 1, сгю/г), (оа, am, h) или A, аи,
<тсо' + со*) при действии S. (Они имеют 48, 192, 192 и 576 об-
образов соответственно.) Для дальнейших сведений об этой ре-
решетке и ее группе см. [Wil 9].
Заметим, что существует простая и хорошо известная кон-
конструкция решетки Лича из Е8, аналогичная конструкции Турина
кода Голея из кода Хэмминга, приводимой в § 12 гл. 11.
В обычных MOG-обозначениях векторы v, для которых
A)
V
V
0
B)
V
V
V
принадлежат Л24, образуют две решетки Е% в одном простран-
пространстве, скажем Е8]) и Е{?\ Мы теперь можем определить Л24 как
решетку, порождаемую векторами
(а, Ь, с), а + Ь + с = 0, а, Ь, с <= Es\
(Ж', X, Х]у X Gi .С8 -
Икосианная конструкция для Л24 — это просто конструкция
туриновского типа, снабженная дополнительной структурой
(см. также [Coh2], [Cosl], [Lep2], [Tit 6], [Tit 7]).
§ 3. Общий подход к конструкции А
и 64-мерная решетка Квеббеманна
Следующий, довольно общий, вариант конструкции А будет
использован в нескольких примерах. (Он не заменяет в полной
мере варианты, описанные в гл. 5 и 7, так как приложим только
к линейным кодам и вещественным решеткам. Конструкция Е
из § 9 является даже более общим вариантом.)
Пусть L — решетка в R", с которой ассоциирована симмет-
симметричная билинейная форма f. Пусть р — простое число, не деля-
делящее detL, и положим
I = L/pL.
Мы обозначаем образ элемента /е! в Г через l = l-\-pL.
Далее, L индуцирует билинейную и квадратичную формы, кото-
которые задаются соотношениями f (I) = f(l)mod p, f{'t, m) =
268 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
= f(l, m)_modp. (Заметим, что если р = 2, то аналога формулы
A) для f нет.)
Пусть С — подпространство в L. (Подпространство С иг-
играет в этой конструкции роль «кода».)
Конструкция Af. Мы определяем новую решетку Л (С) в R"
следующим образом:
A(C)+{/e=L: /" е= С}. G)
Она снабжена билинейной формой f'(l,m)=p~1f(l,m).
Очевидно, что pZ,EA(C)EL. Двойственная решетка Л (С)*
задается соотношением
±f(x, A(C))sZ). (8)
Пространство С*, двойственное С в L, определяется с по-
помощью f:
C' = {^eZ: f(x, C) = 0}.
Теперь мы непосредственно получаем
(9)
Как обычно, решетка, двойственная к L, определяется с по-
помощью исходной формы f:
L' = {x<=Rn: f(x, L)<=Z}. A0)
Пренебрегая строгостью записи, мы можем рассматривать
С* 1С как подгруппу группы Л(С*)/Л(С) = А(С)*/Л(С).
Теорема 1. Если С? С*, го
(
Отсюда следует, что
A2)
Если L — унимодулярная решетка и С = С*, то Л (С) тоже уни-
модулярна.
Доказательство. Для с, с'^С имеет место f(c, с') = 0, по-
поэтому f(l,l')<^pZ для /, /'еЛ(С). Следовательно, A(C)
?Л(С)'. Аналогично, A(C)*sL*, откуда
Л(С)?А (С)* s /Л
Мы определяем гомоморфизм
8: A(Cy/A(C)-»L'/L
§ 3. Общий подход к конструкции А Й69
соотношением 8(у + Л(С)) = v -\-L. Легко проверяется, что 8
корректно определен и (используя, что p-fdetZ,) что 6 сюръ-
ективен. Кроме того, ker9= {v + A(C): u + pLeC*}. Так как
(A(C)/pL)f\ С* = С, получаем кегб ^С*/С, что завершает до-
доказательство.
Примеры, (а) Выбирая L = Z", р = 2, мы получаем линей-
линейный вариант конструкции А (см. гл. 7, § 2).
(Ь) Ортогональные геометрии. Пусть AlgR* — решетка
с симметричной билинейной формой f, пусть р — простое число,
не делящее detM, и пусть М = М/рМ. Предположим, что М
имеет структуру ортогональной геометрии, в частности что
где V и V'— подпространства в М, такие, что f(y) = /(V)=0
и V = V*, V = V* (относительно f).
Пусть L = МП1= Кы с билинейной формой
f (I, ш) = f ((/, /„), (т„ ..., т„)) = Z f (It, "it).
Мы строим самодвойственный «код» С следующим образом.
Пусть В — произвольное подпространство в Vй, и положим
В' = V Л В± = {v е (V)*: f (v, В) = 0},
С = В © В'.
Тогда С = С* (относительно f). Из теоремы 1 следует, что Л (С)
(с формой р/) целочисленна и
Л (СOД (О s* (М'/М)п. A3)
(с) Решетка Лича. Конструкция туриновского типа решетки
Лича, приведенная в разд. 2.2, получается, если положить
М = Es, f—обычное евклидово скалярное произведение на Е8
и р = 2. Тогда М = М/2М есть 4-мерное пространство над F2,
которое может быть записано как V® V, где (в икосианной
записи)
V=(h, ih, jh, (oft), V' = (h, ih, jh, сой).
Мы применяем конструкцию А/ с п = 3, выбирая в качестве В
код с повторением, состоящий из всех (х, х, х), ie V, а в каче-
качестве В' — код, состоящий из всех (х, у, z)e(V'K с х-\-у-\-
+ z = 0. Тогда Л (С)—это решетка L, определенная условиями
D) и E). Можно теперь прямой проверкой убедиться, что
эта решетка соответствует четной унимодулярной 24-мерной
решетке с минимальной нормой 4 (ср. с доказательством
270
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
теоремы 1) и потому, как это следует из результатов гл. 12, яв-
является решеткой Лича.
(d) Решетка Q64- Квеббеманн [Que5] использовал кон-
конструкцию А/ для получения важных решеток в размерностях
32 и 64. Мы отложим рассмотрение 32-мерной решетки до § 4.
Решетка в размерности 64 получается, если в качестве М взято
(в примере (b)) ?8, k = 8, р = 3 и п = 8. Тогда M = ES/3E8
может быть разложено в сумму V®V, где V = <еь е2, е%, б4>,
V = <fb f2, /з, fd и а и /г приведены в табл. 8.2. Координаты
Таблица 8.2. Базис для Et/3ES, 8-мерное
векторное пространство для поля F
(Т означает —1)
V е,
ег
«3
К' /,
/2
/з
/¦
1
1
0
0
0
1
0
0
0
2
1
1
0
0
1
1
0
0
4
1
1
0
0
1
1
0
0
оо
0
1
0
0
0
1
0
0
3
0
0
1
0
0
0
1
0
5
0
0
1
1
0
0
1
1
6
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
в табл. 8.2 помечены таким образом, чтобы их можно было
сопоставить с вариантом ?8, связанным с кодом Хэмминга
(см. разд. 8.1 гл. 4). Смежные классы ei + 3Es и /г + 3?8
(?= 1, ..., 4) имеют минимальную норму 6 (в таком масштабе,
чтобы минимальная норма ?8 равнялась 2). Каждая пара
{ei,e2}, •-., {h,fi} порождает копию тетракода ^4 (см. гл. 3,
п. 2.5.1). Группа Aut^) содержит элементы порядка 8, и по-
поэтому имеются автоморфизмы решетки ?8/3?8 порядка 8, та-
такие, как
я = {A2 оо 4) C506), потом добавить минус к 2 и 5}
(с координатами, помеченными, как в табл. 8.2).
Пусть В — подпространство в Vs, порожденное векторами
(х, х, х, х, х, х,х,х), х<= V, и (у, яу, п2у п7у), y^V. Из
A1) следует, что В' состоит из векторов (г0, z\, ..., z?)^(V'I8,
удовлетворяющих условиям
20 + 2, + ••• + 27 = О,
A4)
A5)
§ 4. Решетки над Z [еЛ1^] и 32-мерная решетка Квеббеманна 271
Возьмем С = В ф В', и пусть Q6i = А(С). Таким образом, Q64
порождается векторами
C/, О7), где / пробегает базис Es, A6)
(я8), xefa, ea, fi, Ы, A7)
(у, пу, ..., л7у), у е= {еи е2, fu f2), A8)
(z0, г„ ..., z7), z^efe, е4, /з, W, удовлетворяющие A4), A5).
A9)
Теорема 2 [Que 5]. Решетка Q64 — экстремальная четная
унимодулярная 64-мерная решетка с минимальной нормой 6,
контактным числом 2611200 и центральной плотностью 6 =
= C/2J4.
Доказательство. Из A3) следует, что detQ64=l и по кон-
конструкции решетка является четной. Предположим, что имеется
вектор v=(v0, ...± »7)eQf4 с A/3)/(и, и)< 4, т. е. f(v,v)^
< 12. Пусть о = (оо, •••, v7), где йг = д; + РГУ + zr, x, уе V,
Zr^-V. Так как f(vi,v,-) четна, имеются по меньшей мере две
координаты i и /, для которых vi = и,- = 0 (в противном слу-
случае f(v, v) ^14). Поэтому л'у = л!у, откуда у == 0, д; = 0 и
vr = zr. Так как zr^-V, норма любого элемента из zr-{-3Es
делится на 6. Поэтому не более двух из zr являются ненуле-
ненулевыми. Теперь из A4) и A5) следует, что все zr = 0 и ws3?|.
Так как ЪЕ\ имеет минимальную норму 18, мы заключаем,
что v = 0 и минимальная норма Qe4 равняется 6. Контактное
число теперь определяется теоремой 17 гл. 7.
Конструкция Квеббеманна несколько отличается от приве-
приведенной здесь, и, вероятно, существует несколько неэквивалент-
неэквивалентных решеток с такими параметрами. Существование по меньшей
мере одной такой решетки было установлено в [Que3].
§ 4. Решетки над Z [e"'/4l
и 32-мерная решетка Квеббеманна
В § 8—10 гл. 7 описываются решетки над эйзенштейновыми
и гауссовыми целыми и их связь с кодами над полями р2,
Рз и р4- Квеббеманн [Que 6] развил аналогичную теорию, свя-
связывающую решетки над кольцом циклотомических целых Z [?],
где ? = e"'/4 = (l + 0/V2, с кодами над Рэ- Тем не менее ре-
результаты не совсем параллельны результатам гл. 7, и пред-
представляется, что этот случай лучше рассмотреть отдельно. Наи-
Наиболее интересным примером является 8-мерная Z [?] -решетка,
которая дает 32-мерную решетку Q32. Эта решетка получается
272 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
из комплексного аналога конструкции А; заменой симметрич-
симметричной билинейной формы / на эрмитову форму.
Сама решетка Z [?]. Сначала мы покажем, что Z [?] мо-
может рассматриваться как вариант двумерной гауссовой решетки
2>2 (см. пример 13а гл. 7) или четырехмерной вещественной
решетки ZL- Представляется вероятным, что Z [?,] соответствует
четырехмерной решетке, так как соответствующее поле Q[?]
является расширением поля рациональных чисел степени 4 с ба-
базисом _ _
1, /, V2", 'У2"- B0)
Корень из единицы ? = enili удовлетворяет ?2 = »', ?4 = —1,
?8=1 и имеет минимальный многочлен X* + 1 (над Z). Эле-
Элементы из Z [?] могут быть записаны либо как
? Р, YeZ[«], B1)
либо как
а = ао + а1? + а2?2 + а3?3, а0, щ, а2, o3eZ. B2)
Для того чтобы отождествить Z [?] с 3!>2, мы рассматриваем
Z [?] как двумерную решетку над Z [t] с базисом 1, ?, и легко
определить эрмитово скалярное произведение ф на Z (^) ука-
указанием на то, что матрица Грама этого базиса равна
I+i 2 У <23>
Поэтому, если а = р + yt,, а' = р' + у%, где р, р', у. У'е Z [t],
то
Ф (а, а') = рр'ф A,1)+ Ру' ф A, Е) + УР'Ф (Б, 1) + YV'«P (Б. 5). B*)
где фA, 1)=ф(?,С) = 2, фA,5)=ф(С, 1)=1 —»• Мы опреде-
определяем норму в Z [^] соотношением ./V(a)= ф(а, а).
Так как B3) совпадает с формулой (88) гл. 7, кольцо Z [?]
со скалярным произведением является решеткой Ж>г- Мини-
Минимальная норма равняется 2, а 24 элемента нормы 2 — это
?\ Sv(l-S) и?A -V2")=EV A — ? -h ё3) для v = 0, 1 7
(образуют три орбиты по 8 элементов под действием умноже-
умножения на ?). Хотя это представление и не так просто получить,
как известное представление минимальных векторов в D± (пе-
(перестановки (±1, ±1,0,0)), это множество из 24 точек обра-
образует приятную симметричную конфигурацию в комплексной
§ 4. Решетки над Z [enil*\ и 32-мерная решетка Квеббеманна
273
плоскости (см. рис. 8.1). Для того чтобы перевести это в знако-
знакомые нам координаты, мы отображаем
в Z [5] в Z [I]2 в Z*
в 1 1
1 i
i i
i -1
или
110 0
0 110
0 0 11
— 10 0 1
Скалярное произведение в Z4— это вещественная часть ска-
скалярного произведения в Z [?] или Z[i]2. Умножение на ^ в
1-5-
*"•*!
-1
Рис, 8.1. Проекция многогранника {3, 4, 3}, вершинами которого являются
24 минимальных вектора в D*, представленных как элементы из Z [?].
Z [g] соответствует перестановке двух координат в Z[i]2
и умножению второй координаты на i и операции «@123), по-
потом добавить минус к 3» в Z4. Векторы нормы 4 в Z[t,] полу-
получаются умножением векторов нормы 2 на g + g = д/2 . Тэта-
ряд решетки Z [?] приведен в формуле (89) гл. 7.
Мы можем записать ф другим образом. Отображение следа
Тг из Q(?) в Q(i) переводит а+ 6/ +с л/2 +di-y/2 (с а, ft, с,
274 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
deQ) в 2а + 2Ы. Для ct = p + YteQ(?), Р, veQ(j), опре-
определим отображение из Q(?) в Q(i)
p + ( + i)Y- B5)
Тогда
Ф(о, а') = Г(а-а'), N(а) = Т(а-а). B6)
Яоле Рэ- Несколько пренебрегая строгостью записи, мы мо-
можем рассматривать корни восьмой степени из единицы ?v как
элементы поля порядка 9. Более точно, пусть р9 состоит из
элементов 0, 1, ?, ?2=1-?, С* = —1 — С, V = -1. ?5 = -?,
?6 = -1 + ?, ?7=1 + ?, где S2 + S-l=0, ?8=1 [Мае 6].
Теперь Z[i]/3Z[i] отождествляется с р9, а Z[?]/3Z[?;] —
с F9XF9. Гомоморфизм a: Z[?]-»-Z [?]/3Z [g]^ FgX F9 за-
задается соотношением
о (Е) = (Е,-0 B7)
или, используя представление B2), соотношением
a (a) = (a0 + a,? + ^ + a3S3, ец, - a^ + a?2 - a3^). B8)
Следующая конструкция является аналогом конструкции Af.
Конструкция Аф. Если В и С — коды длины п над Рэ с С s
s В*, то определим
Л (В, C) = {CgZ И": a(v)^BXC} B9)
с эрмитовым скалярным произведением
1(ф(о„ ш,)+ ... +<р(о„, wj). C0)
Соответствующая вещественная решетка Л (В, C)reai полу-
получается рассмотрением А(В,С) как подрешетки в iZ)? s C2ra и
выписыванием вещественных и мнимых частей (см. формулу
F6) гл. 2). Тогда
det Л (В, С)геа1 = 4" (det Л (В, С)L. C1)
Далее мы соотнесем нормы в А (В, С) с весами кодовых
слов в В и С. Отображение Т, задаваемое формулой B5), ин-
индуцирует отображение t: F9X Рэ->- Гэ", оно определяется соот-
соотношением
t(b, c) = t,b + ?3с для Ь, cgF9
(см. табл. 8.3). Существует соответствующая «норма» N: РэХ
X Рэ->-Рз, определенная аналогично B6). Для а = (&, с)е
^ РэХ Рэ пусть а = (с3, Ь3). Покомпонентное произведение
§ 4. Решетки над Z [ел''4] и 32-мерная решетка Квеббеманна
275
аа — это (be3, cb3), и мы определяем норму а формулой
N (a) = t (аи) = ?&с3 + (&<?)*, C2)
(норма принимает значения в Рз = {0, 1,—1}).
Теорема 3 [Que 6]. Гомоморфизм о взаимно однозначно
отображает элементы кольца Z [?] нормы 2 в элементы нормы
Таблица 8.3. t(b, с) для b, ceF«
Ь\с
0
1
f
Г2
f3
г4
fs
г6
г7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-1
0
-1
1
1
0
1
-1
f
0
1
1
0
]
-1
-1
0
-]
f2
0
1
-1
-1
0
-1
1
1
0
f3
0
0
-1
1
]
0
1
-]
-1
f4
0
1
0
1
-1
-I
0
-1
1
f5
0
-1
-1
0
-]
1
1
0
1
0
-1
1
1
0
1
-1
-1
0
f7
0
0
1
-1
-1
0
1
1
1
— 1 из РэХ Гэ; элементы нормы 4 взаимно однозначно отобра-
отображаются в элементы нормы 1, а элементы нормы 6 отображают-
отображаются (трехкратно) на ненулевые элементы нормы 0.
Набросок доказательства. Это получается из того факта, что
D4/3D* состоит из 81 смежного класса: нулевого класса,
24 классов, представленных единственными векторами нормы 2,
24 классов, представленных единственными векторами нормы 4,
и 32 классов, каждый из которых содержит в точности три век-
вектора нормы 6. Векторы из Z[^]^ZL ненулевой нормы (mod3)
отображаются в векторы ненулевой нормы из РэХРэ-
Теорема 3 дает возможность найти минимальную норму ре-
решетки А(В,С). Мы видим, что для каждой пары кодовых слов
b = (b\, ..., 6n)eB, c = (ci, ..., с„)еС мы должны опреде-
определить число координат i с (bi, с^-ф @, 0), для которых N(b,,d)
принимает значения —1, 1 и 0: пусть эти числа равны соответ-
соответственно pi(b,c), p2(b,c) и p3(b, с). Пусть ро(Ь, с)—число ин-
индексов i, для которых (bi, ct) = @, 0), так что
> = la Pv I
v=0
Если и«
ремы 3
Ь, с). C3)
Z[t,]n таков, что a(v) = (b, с) ф @, 0), то в силу тео-
N (v) > 2Pl (b, с) + 4p2 (b, с) + 6р3 (ft, с) C4)
276 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
и число тех v, для которых выполняется равенство в C4), равно
ЗРз(*. с)^ мы называем четверку (ро(Ь, с), pi(b,c), p2(b, с),
Ръ{Ь,с)) типом пары (Ь, с) и полагаем
р (ft, с) = 2р, (ft, с) + 4р2 (ft, с) + 6р3 (ft, с). C5)
Кроме того, можно показать (как в доказательстве теоре-
теоремы 1), что если ftiei -f- ... + ЬпСп = 0, то p(b,c) кратно 3, что
оправдывает деление на 3 в C0) и доказывает, что Л (В, С)
является целочисленной Z[t]-решеткой. Так как, очевидно,
р{Ь,с) четно, решетка Л (В, С) в действительности является
четной целочисленной Z [?] -решеткой. Кроме того, А(В,С)* =
= Л(С*, В*); поэтому если С = В*, то Л — четная унимодуляр-
ная Z [g]-решетка.
Элементы ceZ^]", такие, что а(и) = @,0), принадлежат
3Z[?]n—подрешетке решетки А(В, С) с минимальной нормой 6
(в силу C0)). Поэтому (по формуле C4)) минимальная норма
для Л (В, С) равняется
min {d/3, 6}, C6)
где
d = min {p (ft, с): ft <= В, с <= С, (ft, с) Ф @, 0)} C7)
— нечто вроде минимального расстояния для пары кодов
(В, С). Суммируя предыдущие результаты, получаем:
Теорема 4 [Que6]. Решетка А(В,С)—четная целочислен-
целочисленная Z [?] -решетка, являющаяся унимодулярной, если С = В*.
Минимальная норма задается формулами C6) и C7). Кон-
Контактное число задается выражением
T = ?3piFlC), если rf< 18, C8)
где суммирование ведется по всем ft e В, с=С с p(b,c)=d,
или выражением
т = 24л, если 4 > 18, C9)
или суммой этих двух выражений, если d— 18.
Квеббеманн также приводит аналогичный теореме 3 гл. 7
результат о тэта-ряде решетки Л (В, С).
Пример. Снова решетка Барнса — Уолла А16. Пусть В — это
[4, 1, 4]-код с повторением над Рэ, и пусть С = В* есть [4, 3, 2]-
код с нулевой суммой компонент кодовых слов. Если Ь Ф 0, то Ь
имеет 4 ненулевые компоненты и (см. табл. 8.3) р(Ь, с)Гзг 8. Если
b = 0, с Ф 0, то р(Ъ, с)^ 18. Так как 6|p(ft, с), то мы приходим
к заключению, что d, минимальное значение р(Ь, с) для (Ь,с)Ф
=?Ц0, 0), равняется 12. Поэтому Л(В, C)reai является 16-мерной
решеткой с минимальной нормой 12/3 = 4 и детерминантом 44
(по формуле C1)).
§ 4 Решетки над Z [еЛ1'4] и 32-мерная решетка Квеббеманна 277
Для определения контактного числа мы должны найти все
(J,c)eB)<C с р(Ь, с) =12. Возможны следующие типы
{Ро, Рь Рь Рз) (см. формулы C3) и C5)): @,2,2,0), @,3,0,1)
и B,0,0,2). Рассмотрим тип @, 3,0, 1) и положим b—(l, 1, 1, 1).
Тогда для того, чтобы p\{b, c)= Pi{b, с) = 2, как мы видим из
табл. 8.3, с должен содержать два элемента из {1,?5 = —?,
?6 = —1+5} и два —из {?4 = — 1, ?, ?2 = 1 — 1} с суммой всех
четырех, равной 0. Существует 162 возможности, а общее число
пар (Ь, с) этого типа равно 8-162= 1296. Типичной парой яв-
является b = A, 1, 1, 1) и с = A, —?, 1 — ?, 1 —?), и единственный
вектор о е Z [?]" с o(v) = F, с) и N(v) = 12 —это
A, С8 — С2. -1 + 2?-?2, _1+2?-?2).
Соответствующий вектор в R16 — это
A0 10, 0 0-1 —1, 1 -1 -1 1, 1, -1 -1 1).
Число пар (Ь, с) типа @,3,0,1) равно 864, а число пар типа
B,0,0,2) равно 48. Из C8) следует, что контактное число
равно 1296 +864-3+ 48-32 = 4320. Решетка А(В, С)геа1 — это
решетка Барнса — Уолла A[6 (см. § 10 гл. 4).
Существует также аналог теорем 17 и 32 гл. 7 с аналогич-
аналогичным доказательством.
Теорема 5 [Que6]. Если А — четная унимодулярная Z|?]-
решетка, то
Оа (z) е= С [вв, (г), А16B)], D0)
где
А.6 (г) = 4 {вл,е (г) - &Dt (zY) = я* Д {A - О A - <Г)}8 =
m-l
= ф — $qi 4- 12^6 + 64?8 - 210^10 -96^12+ ... . D1)
Замечание. Тэта-ряды в теореме 17 гл. 7, в предыдущей
теореме и в теореме 32 гл. 7 являются соответственно модуляр-
модулярными формами относительно групп НA)д* SL2(Z), Я B) иЯC),
где группа Гекке Я (Я) порождается 2->2 + Я и 2-»—1/z
([НесЗ, р. 609], [Ogg I, p. xiii], [Que6]).
Как и в гл. 7, мы теперь можем определить экстремальные
тэта-ряды и решетки. Экстремальная n-мерная Z [?] -решетка
имеет минимальную норму 2[п/4] + 2, и в [Que 6] приводятся
примеры для п^ 11. Первыми примерами являются Z[?]" для
п = 1, 2, 3 и далее Л (В, В*), где В — код с повторением длины
п для 4 ^ п ^ 7. Следующий пример наиболее интересен.
Пример. 32-мерная вещественная решетка Q32. Для п = &
Квеббеманн [Que 6] берет в качестве В код Рида — Соломона
"ЭЛЬ Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
[8,2,7] над Рэ (см. гл. 3, разд. 2.5), порождаемый векторами
A11...1) и Aш ш2... ш7), так что С = В* есть [8,6, 3]-код
Рида — Соломона. Если ЬфО, то р(Ь, с)^ 2-7 = 14, и если
.6 = 0, с ф0, то р(Ь, с) ^г 2-3-6 = 36. Тогда d — 18, и поэтому
-Л(В, С) имеет минимальную норму 6 и является экстремальной.
Ее тэта-ряд равняется
вд4 (г)8 - 1926D< (гL А16 (г) + 576Ai6 (гJ =
= 1+261120?6 + 18947520</8 + 535818240?10 +
+ 8320327680?12 + 83347937280?14 + ...; D2)
-Квеббеманн нашел, что имеется 448 пар (й,с)еВХС типа
E,0,0,3), 36288 — типа A,6,0,1), 108864 — типа A,5,2,0)
и 31104 — типа @, 7, 1, 0), и, таким образом, из C8)+ C9) сле-
следует, что контактное число равно 261120, что согласуется с D2).
Соответствующая вещественная решетка является 32-мерной
решеткой Q32 с детерминантом 216, минимальной нормой 6,
контактным числом 261120, центральной плотностью 6 =
= 2-24316 = 2.5658... и тэта-рядом D2). Это — плотнейшая из-
известная в размерности 32 упаковка. Решетка Q32 была сначала
построена в [Que 5] методом, описанным в | 3. Этот метод
также приводит к решеткам Q30 в R30 с 6 = 2-^23135 = 0.6584...
и <Эз1 в R31 с б = 2-235315= 1.2095... (см. рис. 1.5). Немногим
менее плотная 32-мерная решетка строится ниже в разд. 8.2(h).
§ 5. 40-мерная экстремальная решетка Маккея
Маккей [МсК 2] описал конструкцию решетки Лича, кото-
которая также позволяет построить 40-мерную унимодулярную ре-
решетку с минимальной нормой 4. Пусть р г=—I(mod4) — про-
простое число, и пусть Я—матрица Адамара (см. разд. 2.13 гл. 3)
порядка р + 1 вида Н = 5 — /, где 5 — кососимметрическая
матрица. (Отсюда следует, что 52 = —pi.) Пусть п = 2(р-\-
+ 1)=8/г. Тогда гс-мерная решетка Мп определяется порож-
порождающей матрицей
^1* °
5-2/ /
Матрица Грама равна
Г (k + 1) / - 5 - 2/
L S-2/ 4/
поэтому Мп является целочисленной четной унимодулярной ре-
решеткой, если k нечетно. Прямым, но громоздким вычислением
(которое мы опускаем) проверяется, что если k = 3 или 5, то
], D4)
$ 5. 40-мерная экстремальная решетка Маккея 27Ф
Таблица 8.4. Минимальные векторы Mto {а = 1 + i, Ъ = 1 —г,
с=—1 + г, d = —1—0- Координаты приведены в следующем
порядке: [ ]
Координаты Стабилизатор Количество
2 + 1, 1[118]
a,2il(.a,W
i,2 + i[(i,l)9l
2 +i, 1[A,/,i,ij-i,-1K1
2i,bKc,0,a,0,0,bK]
2i - 1, -Ul,-\,\\-i,i5,\2,-\,-i,\,-\
2, -2/ [c,0,0,d,d,b,a,0,b,b,a,07l
171
9
9
3
3
1
1
80
1520
1520
4560
4560
13680
13680
Mn имеет минимальную норму 4. Для k = 1, 3 или 5 имеется
только один выбор 5 [Lon 1]. В результате получаются решетки
М8 = Е8, jW24 = A24 и М4о — экстремальная решетка типа II.
Несколько лучшее описание М40 получается, если в первом
столбце D3) заменить знаки на противоположные. Тогда
в качестве порождающей матрицы для Mi0 мы возьмем
w Л <45>-
где В строится следующим образом. Пусть строки и столбцы
в В помечены {оо, 0, 1, ..., 18}. Тогда В<хх» = 2, Ви = —2
и В*,, = В,х = 1 для i ^ 0, Б,,-= 1, если / — i является квад-
квадратичным вычетом по модулю 19, и Вц = —1, если j—i—не-
j—i—невычет, для i ф у, i, у ^ 0. Решетка 7И4о имеет det = 1, мини-
минимальную норму 4, контактное число 39600 (минимальные век-
векторы в табл. 8.4), радиус упаковки 1, центральную плотность
б = 1 (ср. с б = 4 для решетки Л4о из гл. 5 и 6) и тэта-ряд
?4(zM-1200?4(zJA24(z) =
= 1 + 3960<У + 87859200?6 + 20779902000</8 + D6)
Для описания минимальных векторов и группы автоморфизмов
мы представим М4о как 20-мерную комплексную решетку, ти-
типичный вектор которой будем записывать как х = (x^xqXi ...
...xi8). Тогда 20 вещественных частей дадут левую часть D5),.
а 20 мнимых частей — правую часть.
Пусть Q= {1,4, 5,6,7,9, 11, 16, 17}, N = {2, 3, 8, 10, 12, 13,
14,15,18}, и положим n(t)=+1, если t^{O}[)Q, n(t)=—l,
если t^{oo}\JN. Тогда Aut(M4o) имеет подгруппу, изоморф-
изоморфную 2.PGL2A9) порядка 13680 (она в действительности может
оказаться и всей группой Aut(M4o)), состоящую из преобразо-
преобразований
ал: xt -*¦ д/я (ad — be) л (ct + d) x at+b
ct + d
280
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
для А = (° ^), а, Ь, с, d e FI9, ad — ftc —±1, где может быть
взят любой из квадратных корней. Например, если А =
= (о '), то aA: xt-*xt+1; если Л = (~о ?), то ал: *-<->-а-_<, ко-
которое переставляет две половины D5). В этих комплексных
обозначениях решетка Mi0 порождается (над Z) векторами
типа F,019), Fi, О19) и образами векторов B + t, 119) при пре-
преобразованиях D7).
В табл. 8.4 мы записываем компоненты минимальных векто-
векторов в порядке XocX0[xiX2xixs...хю], где скобки содержат цикл
длины 18 при преобразовании xt-+x2t. Создается впечатление,
что имеется семь орбит минимальных векторов, и для каждой
из орбит мы даем представляющий ее вектор, порядок фикси-
фиксирующей его подгруппы в 2.PGL2A9) и размер орбиты. Тем
не менее мы не смогли исключить возможность того, что груп-
группа несколько больше, чем указано, и что некоторые орбиты
сольются. Заметим, что это — не гауссовская решетка в смысле
разд. 2.6 гл. 2, так как она не замкнута относительно умно-
умножения на L
§ 6. Повторяющиеся разности и решетки Крэйга
Пусть Л есть n-мерная решетка в Rm с пг^ п. Симпли-
циальный базис для Л — это множество из п + 1 векторов и0.
oi, ..., vn, которое порождает Л и удовлетворяет равенству
oo + Di-j- ... + vn = 0. Тогда разностная решетка АЛ (по от-
отношению к этому базису) порождается векторами о,- — о/. Оче-
Очевидно, что АЛ s Л.
Пусть М есть (п ¦+- 1)Х m-матрица со строками оо, •••, vn-
Опуская последнюю строку, мы получаем порождающую мат-
матрицу М для Л. Если А и А обозначают матрицы
А =
1 -1
О 1
0
-1
О
О
О"
О
о
-1
о
о
о
о
1
о
—1
1
1
0
0
1
-1
1
0
1
0 ...
—1 ...
0 ...
1 ...
0
0
1
1
0
0
-1
2
§ 6. Повторяющиеся разности и решетки Крэйга 281
размера соответственно (га+1)Х(«+1) и «Х«, то строки
КМ образуют симплициальный базис для АЛ и AM является
порождающей матрицей для АЛ. Хотя ДЛ зависит от того, ка-
какой используется симплициальный базис, ее детерминант
остается неизменным.
Теорема 6.
det АЛ = (п + IJ det Л. D8)
Доказательство. Это следует из того факта, что det A =
Примеры, (а) В качестве А*п мы можем взять
где J — матрица, состоящая из всех единиц. Тогда АЛ« =
= ^п-\~1Ап. Минимальная норма возросла с п до 2п + 2.
(Ь) Решетки Крэйга. Следующие решетки были впервые
описаны Крэйгом [Сга 5] с использованием конструкции
разд. 7.3с. В качестве симпликациального базиса для Ап мы бе-
берем строки самой матрицы А и полагаем А{™) = &т~1Ап для
гп=\, 2, .... Таким образом, строки Ат образуют симпли-
симплициальный базис для Лпт). Например, Аз3) порождается стро-
строками матрицы
1-3 3-1 О О О'
О 1-3 3-1 О О
3
—3
1
3
0
1
0
0
0
0
+1
0
—3
1
(Не нужно путать эти решетки с решетками Кокстера Агп [Сох
10]; решетка Кокстера Ли —это наша An(s), где rs =п-\- 1.)
Теорема 7 [Сга 5]. Решетка Л(пт) имеет детерминант (п +
+ 1Jт~\ Если п+1=р простое и т<A/2)«, то аТ] имеет
минимальную норму, по меньшей мере равную 2т.
Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 6.
Так как Л^еЛ„, минимальная норма четна. Для нахождения
минимальной нормы мы представим векторы и = (иощ ... «л)е
е ЛТ}1 многочленами и(Х)= ио + щХ + ... + ипХп в кольце
R = Z [Х]/(Хр— 1). Тогда А{1^ представляется главным идеа-
идеалом ((X—1)т) в R. Предположим, что «еЛ(„т) имеет норму
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
— 2. Имеются два подмножества S, T s {0, 1, ..., п} раз-
размера m—1, возможно, содержащие повторяющиеся элементы,
такие, что
«№= Е Xs- ? х\
S tT
Теперь и(Х) = а{Х) (Х~ 1)т в R для некоторого а{Х) и, та-
таким образом,
u(X) = a(X){X-l)m + b{X){Xp-\) в Z[X].
Повторными дифференцированиями этого выражения мы нахо-
находим, что
#A)аО (modp) для i = 0, ..., т— 1.
Значит,
Поэтому из тождеств Ньютона ([Мае 6, с. 241], [Wae2, 1,
р. 81]) мы видим, что элементарные симметрические функции
¦от S и Т степени <т согласованы и, следовательно, много-
многочлены
совпадают над (FP. Так как многочлен степени /п— 1 над полем
имеет максимум m—1 нулей, мы заключаем, что S = Г и
и = 0. Это завершает доказательство.
Можно показать, что матрица Грама для А^ получается,
если опустить последние строку и столбец в Ат(Лт)т, и (г, /)-й
элемент этой матрицы равен
(-0г+/B™), E0)
где k = m + [ i — / [ (mod n + 1).
Если /г + 1 простое, теорема 7 дает нижнюю границу для
ллотности Л(пт>. Нижняя граница максимизируется выбором
m = m0 — ближайшего целого к (l/2)n/loge(n + 1)- Примеры
приводятся в табл. 1.3, из которой можно увидеть, что это плот-
нейшие известные упаковки для 148 ^ п ^ 3000. Для больших
п плотность А удовлетворяет условию
-^- log2 Л > — y log2 log2 n + о {п),
которое (если предполагать, что нижняя граница близка к ис-
истинному значению) слабее, чем у решеток, строящихся в § 9
(ср. с табл. 1.4).
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел 28?
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел
7.1. Введение. Связи между решетками и алгебраической
теорией чисел изучались многими авторами, начиная с Мин-
ковского. В этом параграфе мы описываем некоторые основные
пути, на которых решетки могут быть получены из идеалов-
в полях алгебраических чисел. На этот подход оказали влияние
работы Леккеркеркера [Lek 1, § 4], Крэйга [Сга 3] —[Сга 5],
Томсона [Tho 7] и Лицына и Цфасмана [Lit 3] (см. также
[Bayl], [Feil], [Quel], [Taul]). Исходную информацию по
алгебраической теории чисел можно найти, например, в [Cas 5],
[Coh6], [Hasl], [HecO], [Jan 7], [Lan7], [LeVl], [Narl],
[Rib 1], [Wae2], [Wei 2].
7.2. Решетки из нормы следа Пусть /C = Q(9) степени п —
поле алгебраических чисел, которое является полем Галуа
с примитивным элементом б. Пусть сопряженными к типичному
элементу аеЯ являются а = аA), ..., а(п), так что A), ...
..., (п)—наименования элементов группы Галуа G —
= Gal{K/Q). След и норма для аеЯ определяются как
Тпс/q (а) = а")+...+<*<">, E1)
) = a<1) ... а<">. E2>
Мы приносим извинения за путаницу, вызываемую многократ-
многократным использованием слова «норма». Мы используем обозначе-
обозначение N для нормы вектора решетки (см. разд. 2.1 гл. 2) и Norm,,
когда это слово используется в смысле алгебраической теории
чисел.
Двумя наиболее важными для нашей цели случаями яв-
являются случаи, когда К либо вполне вещественное (все сопря-
сопряженные б(;) вещественны), либо чисто мнимое (ни одно из б(/)-
не является вещественным). Если К — чисто мнимое, то поло-
положим п = 2s, и мы помечаем элементы из G так, что
и «(s+l)> является комплексным сопряжением. Элементы
a e К могут быть представлены как векторы из R" с помощью-
отображения
a-> v (a) = (aO, a<2> a<">), E3)-
если К вполне вещественное, или
a -> v (a) = (Re erf1», Im a<'\ ..., Re a«, Im a<s>), E4>
284 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
если К чисто мнимое. Норма (в решетке) вектора v (а) равна
N (v (a)) = Z а">2 = Tr/c/Q (а2), E5а)
если К вполне вещественное, или
N (v (а)) = ? | а</> |2 = -i- Tr/c/Q (аа), E5Ь)
если /С чисто мнимое. Норма следа, определяемая формулами
E5а), E5Ь),— это только один из многих возможных способов
определения нормы на К; другой способ приводится в разд. 7.5.
Если мы положим с = 1, когда К вполне вещественное, и с =
= 1/2, когда К чисто мнимое, то E5а) и E5Ь) могут быть
объединены:
JV(o(a)) = cTr*/Q(|a|2). E6)
Пусть О обозначает кольцо целых в К, и пусть (оь ..., а>п —
целочисленный базис в О. Матрица Q = (<о^>) A^/, k^n)
имеет то свойство, что (/, k)-fi элемент в QQ равен
и (det QJ = J disc (A") |—абсолютное значение дискриминанта
поля К.
Наконец, пусть j^eC — целый идеал. Вещественная решет-
решетка Л(^) определяется формулой
Л(.*) = {о(а): ае4 E7)
Сначала обсудим случай, когда зФ = 0.
Теорема 8. Если К вполне вещественное или чисто мнимое,
то А(С) есть п-мерная вещественная решетка с det Л (С) =
= сп\ disc (/С) | и ее минимальная норма по меньшей мере
равна сп.
Доказательство. Если К вполне вещественное, то Q является
порождающей матрицей этой решетки; таким образом,
detA(Of>) = (detQJ = |disc(/C) |. Для оеС, ос#0, из нера-
неравенства между средним арифметическим и средним геометри-
геометрическим следует, что
N {v (a)) = Tr*/Q(a2) > n {Norm (a2)}"".
Эта величина равна по меньшей мере п, так как Norm (a2) —
положительное целое число. В чисто мнимом случае доказа-
доказательство полностью аналогично.
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел 285
Замечание. Если К вполне вещественное или если К чисто
мнимое и комплексное сопряжение принадлежит центру G, то
c~lN(v(a))^Z и с~1/2Л(С) является целочисленной решеткой.
Теорема 9. Для любого идеала st = O решетка А(я?) яв-
является п-мерной подрешеткой в А@) и
det Л (si) = с" Norm (sff | disc (К) |. E8)
Доказательство. (См. [LeV 1, II, р. 68.) Мы можем выбрать
целочисленный базис для si вида
ТJ = Оз!©, + 022@2,
ап2щ + ... + а„псо„,
где a,/eZ, Тогда detA(j#)= (аца22 ... anrtJdetA(C) и мож-
можно показать, что ап ... апп = Norm (si-) = число классов выче-
вычетов кольца О по модулю «s^.
Для йеС пусть М(а) есть целочисленная лX«-матрица,
определенная соотношением
F0)
V an ) \ <°п )
Тогда
Q diag {a*1» а*"»} = M (a) Q, F1)
поэтому det M (a) = Norm (a). Отсюда немедленно следует при-
приводимая ниже теорема.
Теорема 10 [СгаЗ]. Если s& = (a)— главный идеал, то
A.(st) имеет порождающую матрицу M(a)Q. Если st =
= (a, a', a", ...), то Л(«5$) имеет порождающую матрицу MQ,
где М — порождающая матрица для подрешетки в Zn, порож-
порождаемой строками М (а), М (а7).....
7.3. Примеры из круговых полей. Крэйг [Cra 3]—[Cra 5] по-
получил ряд интересных примеров применением этой конструкции
к идеалам в круговых полях.
Для любого целого m ^ 3 пусть t, = t,m = e2mlm. Круговое
поле Q(?m) — это абелево расширение поля Q степени п =
= ф(т), являющееся чисто мнимым, если m нечетно. Кольцо
целых О = Z [?m] имеет целочисленный базис %, %2 %п, и
disc Q (U = (-If2 mn П p-nl{p-l). F2)
p\tn
286 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
Соответствующая решетка A(Z[?m]) имеет матрицу Грама
Л = (Л/*), где ([СгаЗ])
- ц (d) ф (от) . от
A= rf=
A'k= 9(d) ' rf= (m, Л-/)'
Если m нечетное простое, то A(Z[?m])s* Лт-i.
(a) Решетка Е6. Когда т = 9 и Л=(A—?9J), Крэйг
[СгаЗ] показал, что A(st)?*E6. Он смог построить таким об-
образом пять из шести 6-мерных экстремальных форм [Ваг 6],
[Ваг 7].
(b) Решетка Лича. Предположим, что m = 39, я = фC9) =
= 24. В Q(^39) идеалы C) и A3) имеют следующие разложе-
разложения на простые:
где &\, &2 имеют норму З3, а 52 имеет норму 13. Пусть М- =
= ?Р\&291. Крэйг [Сга 4] показал, что A(s&)= А2а. Тем не ме-
менее это не очень простой способ построения решетки Л24, а до*
казательство того, что Л(^) — это Л24, весьма сложно. Более
естественная конструкция решетки Л24 по круговым полям при-
приводится в разд. 7.5.
(с) Решетки Л(„т>- Описанные в § 6 решетки Крэйга были
сначала построены в [Сга 5] как решетки Л (,$$), где &$¦ яв-
является идеалом (A — tp)m+1) в круговом поле Q(?p) и р =
= п + 1 простое.
7.4. Решетки из башен полей классов. Как было замечено
Цфасманом (см. работы Лицына и Цфасмана [Lit 3] и [Lit 5] ')),
бесконечные башни полей классов, найденные Голодом и Ша-
фаревичем [Gol9], Мартинэ [Маг 2], [МагЗ] и другими
[Roql], позволяют строить бесконечные последовательности
очень плотных решеток. Например, эти авторы показали, что
бесконечная последовательность (или башня) чисто мнимых
полей
Ос=/С,с=/С2с=/Сзс=... F4)
может быть получена, начиная с подходящего К\, где /G+i —
максимальное неразветвленное расширение поля /G, группа
Галуа Gal(/Ci+i//Ci) которого является абелевой 2-группой. Мар-
Мартинэ [Маг 2] доказал, что если k — вполне вещественное поле
степени п ^ 10 и q—простое число, которое вполне разложимо
в k, то чисто мнимое поле Ki = k(-\/—q) может быть исполь-
использовано для получения башни F4). Например, мы можем взять
') См. также [Tsf 4*] и [Tsf 3*], гл. 5. 4. — Прим. перев.
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел 287
/5 = Q(cosn/ll, У 2) и q = 23, получая
Кх = Q (cos 4r, V2, У=23) . F5)
поле степени 20 над Q с дискриминантом 230111б2310. Подполе
F6)
поля F5), имеющее степень 10 над Q и дискриминант 215118235,
может также быть использовано как Ki-
В башне F4) пусть [Ki: Ki-i] = К [/C(:Q] = n( и disc(/G) =
Тогда
ni+i = hi+lnit F7)
и так как расширения неразветвлены, то
!^+1| = |D,|ft'+1 F8)
{Has 1, гл. 25, § 5]. Применяя конструкцию E7) к кольцу Ot
алгебраических целых в Ki, мы получаем решетку Л (??»•) раз-
размерности tii. В силу теоремы 8 радиус упаковки и центральная
плотность удовлетворяют неравенствам р ^ -y/nj 2 -у/2,
6>«"'/22~"'|Z),r1/2. F9)
и поэтому плотность решетки А(&) удовлетворяет соотноше-
соотношению
Однако по формулам F7) и F8)
= = =}
2ni+l In. ••¦ 2», ¦
Таким образом, последовательность решеток Л (С,) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
,70,
Выбирая в качестве К\ поле F6), мы получаем
^,>-2.218.... G1)
К сожалению, в настоящее время не известен никакой практи-
практический метод для прямого нахождения этих решеток (или
даже их размерностей). Учитывая границы Одлыжко для
288 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
дискриминантов числовых полей [Odl I] — [Odl 3], получаем,
что решетки, построенные таким образом, всегда удовлетво-
удовлетворяют соотношению
-jlog2A< -1.193, G2)
а при выполнении обобщенной гипотезы Римана
-i-log2A< -1.694, G3)
поэтому они никогда не достигнут границы Минковского (фор-
(формула B9) гл. 1).
7.5. Унимодулярные решетки с автоморфизмом простого
порядка. Решетки ?8, Du, Л24, Рщ являются четными унимо-
дулярными решетками в размерности п = р + 1. где р простое,
имеющими автоморфизм порядка р. Следующий анализ, при-
принадлежащий Томпсону [Tho 7J, делает возможным (по крайней
мере в принципе) найти все такие решетки. (В чем-то похожий
подход применялся в [Bayl], [Cra5], [Feil], [Que 1].) Такая
решетка естественно появляется как двумерная подрешетка Г,
приклеенная к (р — 1)-мерной подрешетке А, где А опреде-
определяется идеалом в круговом поле, с использованием формы
следа, обобщающего использованный в E6).
Пусть Л есть /г-мерная четная унимодулярная решетка, где
п = р + 1 = 0 (mod 8) и р простое, содержащая в своей группе
автоморфизмов G элемент а порядка р. Пусть Г = кегA —
— а)—подрешетка, на которой а действует тривиально, и пусть
Д = A-и)Л = {эеЛ: v ¦ и = 0 для всех и е Г}.
Таким образом, решетка Г имеет размерность 2, а решетка А
имеет размерность р— 1.
Мы покажем, что А естественно представляется как целый
идеал «5^ в круговом поле K = Q(%), где % = е2я1/р. Кольцо це-
целых в К — это Z [?]. Теперь ? удовлетворяет соотношению
а элемент v = 1 + а + • • • + стР~' в групповом кольце Z [о]
удовлетворяет
vA = A-ctp)A = 0.
Поэтому мы можем рассматривать А как Z [?] -модуль, или,
более точно, существует изоморфизм
<р: А-^^, G4)
где si> — идеал в Z [?].
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел 289
Теорема 11. ([Tho7], ср. с [Fei I, th. 6.1].) (а) При описан-
описанных выше Л и Л существует вполне положительный элемент
у е К (т. е. у и все сопряженные к нему положительны), такой,
что
и • v = Tr;c/Q (ф (и) УФ (и)) G5)
для всех и, v e Д и
(Ь) уе^^^, G6)
где 2D — дифферента для K/Q. (с) Обратно, при заданных про-
произвольном идеале з? из Z [i] и вполне положительном элементе
уе/[У, удовлетворяющем G6), М- становится положительно
определенной целочисленной решеткой, если мы положим
(а, Р) = Тгк/0(ауР), а, ре^. G7)
Набросок доказательства, (а) Скалярное произведение u-v
на А очевидным образом распространяется на A<8>Q; но из G4)
следует, что A<8>Q^«s$<8>Q = /C. Таким образом, мы имеем
скалярное произведение ( , ) на К, удовлетворяющее u-v =
= (ф(и),ф(и)) для и, »еД. Кроме того, ф(сш) = ?ф(и) для
и е А, откуда следует, что (а, р) = (?а, ?Р) для а, ре^. По-
Поэтому скалярное произведение на К определяется р — 1 чис-
числами
(l,S') = o,eQ, 0<г<Р~2. G8)
Теперь J;-1, ..., ?-(р-!> образуют базис для К над Q, и суще-
существует двойственный базис 6i, ..., бр_ь удовлетворяющий ус-
условию
[Lan 8, p. 212]. Если мы положим
«¦=1
то
G9)
и G5) следует из G8) и G9). Кроме того, так как Л — поло-
положительно определенная решетка,
Тткш(ауа) = (а, a) > О
для всех иёК, а Ф 0. Отсюда следует, что у вполне положи-
положительно. (Ь) Мы также знаем, что U'IigZ для и, »еД, откуда
Z для a, pe=.s?,
290 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
что означает, что у принадлежит дополнительному идеалу
к $ = з4'?ф, обозначаемому через J (см. [Rib I, p. 204], [Wei 2,
р. 107]). Теперь 38 является дробным идеалом 3$ = $-12Ь-Х,
где SD — дифферента для K/Q, откуда следует G6). Доказа-
Доказательство обратного утверждения мы опускаем.
Следующим шагом является рассмотрение того, как подре-
шетки А и Г склеиваются, чтобы сформировать Л (ср. с § 3
гл. 4). Из теоремы 1 гл. 4 получаем
А*/А ~ Г/Г. (80)
(Так как по построению А = А Л(Л<8> R), Г = ГЛ(Л®Р), то
склеиваний с самим собой не будет.)
Выражение (80) задает изоморфизм Z [о] -модулей. Но о
тривиально действует на Г*/Г и поэтому тривиально действует
на А*/А. Если
i' = {xei(: Tr^/Q(aYx) e Z для всех aei) (81)
является идеалом, соответствующим А*, то ? действует три-
тривиально на s&*, т. е.
A-?) .я*'?=.5*. (82)
Кроме того, зФ* ф зФ (в противном случае А была бы прямым
слагаемым для Л и Л не являлась бы четной, так как dim A
не кратно 8).
Теорема 12 [Tho7]. (а) При таких же Л, А, Г, как и рань-
раньше, идеал «s$, представляющий А, таков, что
(l-03-"^-1^-1 = (Y) (83)
является главным идеалом с вполне положительной образую-
образующей у и
(b) |Д7Д| = |Г7Г| = />. (84)
(c) Обратно, если si является идеалом в Z [?], удовлетворяю-
удовлетворяющим, (83), где у вполне положителен, то скалярное произведе-
произведение G7) переводит s$> в четную целочисленную решетку с де-
детерминантом р.
Набросок доказательства, (а), (Ь). Из (81) следует, что s?*
является дополнительным идеалом к $Фу, откуда
^• = ^-'Y-'^)-'. (85)
Из (82) и (85) следует, что
Я (86)
§ 8. Конструкции DuD' 291
Кроме того, ^j^c^"'. гДе вложение строгое, так как М-* ф
Ф зФ. Тогда _
Но A—t)S)-1 имеет индекс р в 3)~1, поэтому окончательно
мы заключаем, что
A -1)Ф~' = жЛу, (87)
(l-?)j*' = .s*. (88)
Значит, «s^ имеет индекс р в ,я?*, что доказывает (84). Мы
знаем, что в этом круговом поле <Ю является главным идеалом
(A — ?)"-2) и 2>-l = ((l — t,J-p). Теперь (83) следует из (87).
Примеры. Решетка Лича получается, если взять п = 24,
р = 23 и в качестве зФ выбрать простой идеал, делящий 2.
Теперь х2Ъ -f- 1 разлагается по модулю 2 в (*-Ь 1)/1(*)Ы*)г
где
f, (х) = х11 + х10 + х* + х5 + х4 + х2 + 1,
f2(x) = x" + x» + x7 + xa + x5 + x+ 1. ( '
Поэтому B) в Z [?23] разлагается в B) = &\&ъ где
^i = B^ f! (S)), ^2 = B, f2@).
Мы выберем »s# = ^ь «s^ = ^2 и
V- 2A_^о , (90)
что определяет А. В качестве Г мы должны взять двумерную
четную решетку с детерминантом 23 и минимальной нормой 4,
поэтому можно выбрать Г, имеющую матрицу Грама D{ g).
Можно показать, что имеется единственный способ приклеива-
приклеивания А к Г, при котором получается четная унимодулярная ре-
решетка, являющаяся Л24-
Решетка Pi8q (см. пример 9 гл. 7) получается в точности
таким же образом. Многочлен х47 + 1 разлагается по модулю 2
в (х + l)fi (x)f2(x), где fi и /г имеют степень 23. Мы выберем
sl = g>x = B, /i(?))> простой идеал, делящий 2, и Г = (® '8).
Опять-таки имеется единственный способ приклеивания А к Г
для получения Р48<7-
§ 8. Конструкции D и D'
8.1. Конструкция D. Эта конструкция, впервые приведенная
в [Ваг 15], использует вложенное семейство двоичных кодов
для получения решетчатых упаковок L в R". Она обобщает
292 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
конструкцию Барнса и Уолла [Ваг 18] и имеет некоторые общие
свойства с конструкцией С из разд. 6.1 гл. 5, в то же время
отличаясь от нее тем, что она всегда приводит к решетчатым
упаковкам. (С другой стороны, конструкция С применима к ко-
кодам, не являющимся вложенными, и к нелинейным кодам.)
Пусть 7=1 или 2, и пусть Со Э С\ э ... эС„ — двоичные
линейные коды, где Ci имеет параметры [п, kt, di\, причем di ^
^ 41/y Для t = 1, ..., а, а Со — полный [п, п, 1] -код F™. Вы-
Выберем базис С\ сп для F" таким образом, что (i) c\, ...
..., Ck{ порождает Ct для i = 0, ..., а и (и) если М обозначает
матрицу со строками d, ..., сп, то некоторые перестановки
строк М образуют верхнюю треугольную матрицу. Определим
отображение ас (p2->R формулой а,(х) = х/21~1 (х = 0 или 1)
для i=l, ..., а, и тем же символом а, будем обозначать ото-
отображение F" -> R", задаваемое соотношением
Ot (хи ..., хп) =
Пусть также Деа-ы = 0. Тогда новая решетка L в R" состоит из
всех векторов вида
t Е/Ч(^), (91)
где /e=BZ)n и а</> = 0 или 1.
Теорема 13 [Ваг 15]. Упаковка L является решеткой с ми-
минимальной нормой, не меньшей А/у, детерминантом
re —
detL = 4 '-1 (92)
и, таким образом, с центральной плотностью
V
. (93)
Это следствие теорем 15 и 16, приводимых ниже.
Целочисленный базис для L задается векторами ст;(с/),
i = 1, ..., a, } = ki+i + l, ..., h, и п — k\ векторами вида
@, ..., 0, 2, 0 0).
8.2. Примеры, (а) Конструкция А. Если а = у = 1, то кон-
конструкция D превращается в линейный случай конструкции А
(см. гл. 5, разд. 2.1). Типичный пример получается, если С\
§ 8. Конструкции D u D'
293
есть [8, 4,4] -код Хэмминга Ж%. Мы можем взять
с, = A, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
с2 = @, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1),
Сз = @, О, 1, 1, О, О, 1, 1),
О, О, О, 1, 1, 1, 1),
с4 = @,
с5 = @, 0, 0, 1, О, О,
св = (О, О, О, О, О, 1,
С7 = (О, О, О, О, О, О,
с8 = (О, О, О, О, О, О,
О, О),
0, О),
1, О),
О, 1).
Тогда L представляет собой вариант решетки Е% (см. пример 5
предыдущей главы), порождается строками матрицы
0 0
1
0
1
1
О
0 0
11
0 0 0 0
000200
000002
1
О
1
1
00
00
00000020
_0 О О О О О О 2_
и имеет минимальную норму 4, детерминант 28 и б = 2~4.
(b) Конструкция В. Если а = у = 2, С\ есть [п, п—1, 2]-
код с проверкой на четность, С% имеет минимальное расстоя-
расстояние 8 и вес каждого слова С% кратен 4, то конструкция D пре-
превращается в вариант конструкции В, приводимой в § 5 гл. 7.
Например, как в примере 7 гл. 7, если С2 — это [16, 5, 8]-код
Рида — Маллера, мы получим Ai6 = SWi6.
(c) Конструкция С. В тех случаях, когда конструкция С
гл. 5 применяется к линейным и вложенным кодам, конструк-
конструкция D приводит к решетчатой упаковке с той же самой
плотностью.
(d) Код Рао и Редди и решетка в R36. На рис. 8.2 показан
[48, 31, 8]-код С, найденный Рао и Редди [Rao 1]. Двойствен-
Двойственный код С* имеет минимальное расстояние 12; пусть а еС*
имеет вес 12. Кодовые слова с^С, которые имеют нуль в тех
позициях, в которых у а стоит единица (с вычеркнутыми эти-
этими двенадцатью нулями), образуют [36, 20, 8]-код С2. Макси-
Максимальный вес вектора из С2 равен 32; пусть &еС2 имеет вес 32.
294
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
Применением конструкции D к кодам Ci = [36,35,2], С2, С3 =
= {0,&} мы получаем 36-мерную решетку ?36 с б=_4 (см.
табл. 1.2 и рис. 1.5). Аналогично можно получить 6 = <\/2> 2 и
2 д/2 в размерностях 33, 34 и 35. Это улучшение более ран-
раннего результата Боса, который применял конструкцию С для
М2
м2
Мг
м3
О
мг
О
м3
О
О
м2
м3
U
*8
^8
О
»6
О
??8
0 IN 0000 I 0000000
00 I 0000 I I I 000000
1 00 IOQQOI I OOOQOQ
0000000000 I I 10 10
Рис. 8.2. Порождающая матрица М для [48, 31, 8]-кода Рао—Редди. Здесь
и= A1111111)и Эв& (см. E7) гл. 3), Si, Mi, Мг— порождающие матрицы
[8, 4, 4]-, [8, 7, 2]-, [16, 5, 8]-, [16, 11, 4]-кодов соответственно.
получения нерешетчатых упаковок с такими же плотностями
(частное сообщение).
(e) 64-мерная решетка. Для второго примера мы используем
коды из формулы A3) гл. 5 для получения решетки Р64с в R64
с б = 222.
(f) Решетки Барнса — Уолла. Обобщая пример (Ь), мы при-
применяем конструкцию D к кодам Рида — Маллера, используе-
используемым в разд. 6.5 гл. 5. Это дает решетки Барнса — Уолла BWn
для п = 2m, m :=г 2. Решетки BWn имеют центральную плот-
плотность
5V/4 (94)
(как в разд. 6.5 гл. 5), плотность
1 1
— log2A 4~log2tt ПРИ п'
оо
(95>
и контактное число, задаваемое формулой A7) гл. 5. Кроме
того, BW4 ^ D4 s^A4, BW3 ^ Es = Л8 и ВWie = Л16. После умно-
умножения на l/V2 BW32 становится экстремальной решеткой,
типа II с det = 1, б = 1, т = 146880. См. табл. 1.3.
(g) Решетки из БЧХ-кодов. Аналогичным образом нерешет-
нерешетчатые упаковки, полученные из БЧХ-кодов в разд. 6.6 гл. 5,
могут быть теперь преобразованы в столь же плотные решет-
решетчатые упаковки Вп для п = 2т. Размерности этих кодов могут
8. Конструкции D и D' 295
Таблица 8.5. Центральные плотности б «-мерных
решеток В„, полученных из БЧХ-кодов
n
4
8
16
32
64
128
log2 Й
-3
-4
-4
0
19
85
n
256
512
1024
2048
4096
8192
log2i5
250
698
1817
4502
10794
25224
n
16384
32768
65536
131072
Iog25
57819
130510
290998
642300
tat
быть оценены, исходя из БЧХ-границы [Мае 6, гл. 7], и плот-
плотности соответствующих решеток приведены в табл. 8.5 и 1.3.
За исключением малых п, истинные плотности этих решеток
могут быть несколько большими, чем это показано. (Таблицы
БЧХ-кодов небольших длин приведены в [Мае 6], [РехЗ].)
Асимптотически плотность удовлетворяет соотношению
JLlog2A~-i-loglog2n, (96)
как это показано в разд. 6.7 гл. 5. Контактные числа неиз-
неизвестны.
(h) Пусть d = [32, 31,2], С3 = [32, 1, 32], и пусть С2 есть
[32, 17, 8]-код, приведенный в [Che3]. Тогда конструкция D
приводит к 32-мерной решетке С32, для которой 6 = 2 и т =
= 249280.
8.3. Конструкция D'. Эта конструкция обобщает другую из
конструкций работы [Ваг 18] и преобразует множество прове-
проверок на четность, определяющих семейство кодов, в сравнения
для решеток таким же образом, как конструкция D преобра-
преобразует множество порождающих для семейства кодов в порож-
порождающие для решетки.
Пусть у = 1 или 2, и пусть С э Q з ... эСа — двоичные
линейные коды, где С, имеет параметры [п, kt, dt} и dt^y-4'
для I = 0, ..., а. Пусть hi, ..., hn — линейно независимые век-
векторы в F", такие, что (i) для i = 0, ..., а код С, определяется
rt = n — k, векторами проверки на четность hu ..., hr{, (ii) не-
некоторая перестановка векторов /гь ..., hn образует строки верх-
верхней треугольной матрицы, и пусть r_i = 0. Рассматривая век-
векторы h, как целочисленные векторы в R" с компонентами 0 или
1, мы определим новую решетку L' как решетку, состоящую из
тех хе /", которые удовлетворяют сравнениям
AyjessO (mod2i+I) (97)
для всех ( = 0,...,аи ra-i-i + 1 ^ / ^ га-и
296 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
Теорема 14 [Ваг 15]. Минимальная норма для U равна по
меньшей мере у4а, и
а
log2 det V = Z П. (98)
/-о
Доказательство. Соотношение (98) выполняется, потому что
для каждого i = О, .... а решетка U удовлетворяет ra-i —
— ra-i~\ независимым сравнениям по модулю 2'+'. Оценка ми-
минимальной нормы получается непосредственно, и мы ее не
приводим.
Изменением масштаба и перенумерацией кодов можно пере-
переформулировать конструкцию D таким образом, чтобы нормы
и детерминанты решеток L и L' согласовались. Тогда если С,—
коды Рида — Маллера, как в примере 8.2f, то эти две решетки
совпадают. В общем случае тем не менее две рассматриваемые
конструкции приводят к неэквивалентным решеткам с одинако-
одинаковой плотностью.
§ 9. Конструкция Е
Следующая весьма общая конструкция включает в каче-
качестве частных случаев многие из более ранних конструкций.
Впервые она была приведена в [Ваг 15] и [Bos3].
Ингредиентами для этой конструкции являются решетка Л
в R", эндоморфизм D решетки Л, удовлетворяющий некоторым
условиям, одно из которых заключается в том, что A/DA яв-
является элементарной абелевой группой Е порядка рь, и семей-
семейство кодов С0ЭС1Э ••• — Са длины п над Е; в результате
получится семейство Lo ? L\ s ... <=La решетчатых упако-
упаковок в "rlmn.
Предположения.
(i) Пусть Л— решетка в IRm с минимальной ненулевой нор-
нормой М.
(и) Пусть D — эндоморфизм решетки Л, являющийся подо-
подобием (т. е. умножение на константу и ортогональное преобра-
преобразование) и удовлетворяющий соотношению
pD~l = ? afi1 (99)
для целых р~^\, г ^ 0, а0, ..., аг. Пусть Т = D-1, так что
в силу (99) рТ также является эндоморфизмом Л.
Отсюда вытекает, что A/DA имеет структуру элементарной
абелевой группы Е некоторого порядка pb (b~^\). Значит,.
§ 9. Конструкция Е 297
имеется fr-мерная подрешетка /CsA, скажем порождаемая век-
векторами Vi, ..., BjeA, такая, что К/(DAf[К) = Е. Из допуще-
допущений также следует, что
рК^К^А, A00)
pK<=pA<=DA<=A A01)
и, значит, что
К/рК = K/(DA пК)?*Е. A02)
Заметим, что из A00) и A01) следует pK^DAf\K, поэтому
К/рК^ K/(DAf{ К). Но обе части имеют порядок рь и поэтому
должны быть равны, откуда вытекает A02). Кроме того,
|det 74 = />-* = Г (положим), A03)
и Т умножает нормы на t2.
(ш) Предположим, что все рь—1 ненулевых классов смеж-
смежности ТА/А имеют минимальную норму, не меньшую, чем t2M.
(iv) Пусть ф обозначает очевидное отображение из Z/pZ
в Z, которое переводит класс смежности х в х, где д:е{0, 1, ...
..., р—1}. Элементы из Е могут быть отождествлены с 6-по-
следовательностями X = (х\ хь), где все ueZ/pZ. Тогда
... + xbvb
является отображением из ? в Л и
отображает Еп в Л".
(v) Пусть CosCi3 ... ^Са—аддитивные коды над Е
длины п (т. е. абелевы подгруппы в Еп), где С,- содержит рь '
кодовых слов и имеет минимальное расстояние di (мы отме-
отмечаем это указанием, что С,- имеет параметры [п, &,-, к{]), и пред-
предположим, что Со — тривиальный [п, п, 1]-код. Пусть сь ...
..., Cbk, e?" выбраны таким образом, чтобы A) типичное кодо-
кодовое слово из d могло быть записано как
bki
X XjCj, Xj e Z/pZ
для i=\, ..., а и B) некоторая перестановка векторов
С\, ..., Cbkx образовывала строки верхней треугольной матрицы.
Конструкция Е. Пусть Lo = Л", и для г = 1, 2, ..., а по-
положим
Li = U { ?,-i + Z x,T'V (с,)} , A04)
298 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
где объединение берется по всем хь ..., Хьн{ ^ {О, 1, ..., р — 1}.
Пренебрегая строгостью, мы также будем использовать обо-
обозначения D и Т для отображений (D, D, ..., D) и (Т, Г, ...
..., Т), действующих на Rmn. Ясно, что Lo — решетка и что D
и рТ — ее эндоморфизмы.
Теорема 15 [Bos 3]. Для i = 1, ..., а
(a) L, — решетка в Rmn, и на самом деле
Lt = Z(Lt_u rV(Cl), .... rV(cbki)); A05)
(b) D отображает L,- в L,_i;
(c) рТ является эндоморфизмом решетки Li.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по
i. Результаты для i = 0 уже были приведены, (а) Для того
чтобы показать, что L,- — решетка, мы запишем любую цело-
целочисленную комбинацию элементов правой части A04) как
bkt bkt
I + Р Z y,TlV (с,) + Z ZjT'V (с,), A06)
где /eL,_i и 0 ^ Zj ^ р—1. Но по предположению индукции
Р7'У (су) = РГ ¦ Г'V (?/)?!,_„
поэтому A06) превращается в
bkt
I' + ZztrV (ct),
где !'gL,_i, а это принадлежит L,- по формуле A04). Поэтому
Li — решетка и, таким образом, может быть определена правой
частью A05). Теперь (Ь) следует из того, что
Из A05) и (Ь) мы имеем
рТ (L^ = pD-1 (Ld = ? ар1 (Lt) s Lh A07)
;=0
что совпадает с (с).
Теорема 16 [Bos3]. Для i = 0, 1, ..., а детерминант, мини-
минимальная норма и центральная плотность решетки Li задаются
формулами
logp Lt = п logp det Л - 2b ? kh A07)
M = min {M, d,tvM для j = 1, ...,/} A08)
§ 10. Примеры конструкции Е 299
и
б = Mmnl2/2mn (det Lif2 A09)
соответственно.
Доказательство. Равенство A07) непосредственно следует
из A04), а A08)—из определения L, и того факта, что мини-
минимальное расстояние для С, равняется di.
Обычно мы интересуемся только последней решеткой La.
Конструкция Е теперь может быть применена к La, так как она
унаследовала D и Т от Л и (99) по-прежнему выполняется.
Значения put неизменны, в то время как Ъ превращается в nb.
Решетка, полученная применением конструкции Е к Л, обозна-
обозначается через г|(Л) (см., например, табл. 1.3).
§ 10. Примеры конструкции Е
В большинстве из этих примеров Т является линейным ото-
отображением из Rm в Rm, переводящим минимальные векторы
решетки Л в глубокие дыры этой решетки. Полезно представ-
представлять Т как «закручивающее» отображение. Например, отобра-
отображение пространства R2, определяемое A13), — это вращение на
45° против часовой стрелки с последующим сжатием в -\/2.
Минимальные векторы (±1,0) и @,±1) отображаются в глу-
глубокие дыры 2-'/2(±1, ±1).
(a) Конструкция D. Если мы возьмем Л = 2Z и D = 2/,
где / обозначает тождественное отображение, то получим Т =
= A/2)/, р = 2, 6=1, t = 1/2, и конструкция Е превратится
в конструкцию D. Теперь теорема 13 следует из теорем 15 и 16.
(b) Если D удваивает норму. В большинстве последующих
примеров D является удваивающим норму, так что t = l/-y/2,
р = 2 и Ь = т/2. Мы будем брать в качестве кодов С,-, i ^ 1,
разделимые коды с максимальным расстоянием (см. разд. 2.5
гл. 3) над полем F2b с параметрами [п, ki = п — 2' + 1, di = 2'].
В общем случае наибольшее п, для которого в настоящее время
установлено существование таких кодов, равно 2Ь + 1 (см.
[Мае 6, гл. 11]). При п = 2Ь + 1 в качестве кода Ct для г ^ 1
может быть взят циклический код с порождающим многочленом
g(x)= П (* + !'),
/=- s
где | — примитивный корень n-Pi степени из единицы в поле
порядка 22Ь и s = 2'~! — 1 (см. доказательство теоремы 9 гл. 11
300 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
в [Mac 6]1)). Кроме того, что они аддитивны, эти коды также
замкнуты относительно умножения на элементы из F2». Тем не
менее мы никак не используем эту мультипликативную струк-
структуру в нашей конструкции. Очевидно, Со э Ct з С2 з ... . Для
п, меньших 2ь+1, коды укорачиваются — подходящее число
информационных символов полагаются равными нулю. Если п
лежит в диапазоне 2 ^ п ^ 2й + 1, мы используем коды Си
С2, ..., Са, где а определяется из неравенства 2я г^ п < 2О+1.
а
Тогда значение ]? &/» используемое в A07), равно
/-1
an-2a+l +a + 2. A10)
Так как d,t21 = 1, минимальная норма не изменяется (см.
A08)). Из A07), A09), (ПО) и формулы A7) гл. 1 мы полу-
получаем следующий результат:
Теорема 17. Если ш-мерная решетка Л с центральной плот-
плотностью б = 2v имеет удваивающее норму отображение D, удов-
удовлетворяющее предположениям, сделанным в начале § 9, то кон-
конструкция Е приводит к N-мерной решетке А' с центральной
плотностью 6' = 2Y', где N = mn, I <«<2m/2-f I,
и а = [log2 n]. Плотность А решетки А' удовлетворяет соотно-
соотношению
1 V 1 2m | /11 n\
X + e, A12)
log2
где 0 < e < (l/2n)log2Dn).
Следующие примеры содержат потомки решеток Z2, К\2,
Л24 И P^q.
(с) Упаковки, построенные из решетки Z2. Пусть Л — дву-
двумерная квадратная решетка Z2 с минимальной нормой М = 1
(см. рис. 8.3). Хотя это и не очень плотная упаковка, она имеет
удивительно хорошее потомство. Пусть D отображает A,0)
в A,1) и @,1) в A,—1), или, в матричной записи (с D, ото-
отображающим v в vD),
') Эта теорема несправедлива в полях мощности q, если q нечетно
(см. [Мае 6, p. xii]), но это нас не затрагивает, так как здесь q четно.
§ 10. Примеры конструкции Е
301
и формула (99) превращается в 2D~l = D. Тогда A/DA ^
seZ/2Z, рь = 21, и в качестве /С мы можем взять одномерную
решетку, порождаемую vi = A,0) (см.^ис. 8.3).
Мы применяем конструкцию Е к Усп = 2и Сь равным
коду {00, 11} над [рг, и получаем решетку ?L с у = —3 (из
ПН)).
С этого момента у нас нет необходимости определять D, Т
или рь, так как они наследуются (см. замечания в конце § 9).
с
С s
(.)
, (
С
V.
)
(
К.
с
к.
\
)
к
\
1
с
)
(
\
\
)
с
к
S
с
к.
>
)
с
~\
)
с
)
(
к
)
J у
J
Рис. 8.3. Решетка Л = Z2 (представленная узлами сетки), ее подрешетки DK
(маленькие кружки) и К (жирные точки).
Для конкретности тем не менее отметим, что если ?>4 опреде-
определена матрицей A5) гл. 1 или матрицей (86) гл. 4, то Т = D~l
задается матрицей (91) гл. 4 и является по существу един-
единственным.
Применяя конструкцию к D< с л=1, ..., 5 ( = 2* + 1), мы
получаем слоистые решетки
Л4 = -О4> Л8 = ?"8, Л12, Л16, Л20
(см. гл. 6), для которых у равняется
-3, -4, -5, -4, -3
соответственно.
Решетка Еа (первая «внучка» решетки Z2) имеет также по
существу единственное удваивающее норму отображение. Если
Е8 определяется формулой (99) гл. 4, то мы можем взять
А 0 0 0'
0
0
0
h
0
0
0
h
0
0
0
h
Hi -J-
A14)
Мы применяем конструкцию Е к Eg, используя МДР-коды
над Fi6 длин п=1, 2, ..., 17. Решетки г\(Е&), полученные
302
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
таким образом, приведены в табл. 8.6 и 1.3. Этот список вклю-
включает снова Ли, упаковки Лзг и Л4о с теми же плотностями, что
и слоистые решетки Лзг и Л4о, замечательные упаковки в раз-
размерностях от 80 до 136, но весьма посредственные упаковки
в размерностях 24 и от 48 до 72. (Нерешетчатые упаковки
с такими плотностями уже были ранее найдены Босом.) «Дети»
решетки Es распространяются только до размерности 136. За
Таблица 8.6. Центральная плотность б Л^-мерных
решеток т](?8), полученных из Es (N =± 8я)
n
1
2
3
4
s
8
16
24
32
40
48
Iog25
-4
-4
-4
0
4
8
n
7
8
9
10
11
12
JY
56
64
72
80
88
96
Iog25
12
20
28
36
44
52
n
13
14
15
16
17
N
104
112
120
128
136
Iog25
60
68
76
88
100
этой точкой решетки, полученные применением конструкции Е
к Л12 и Ли, в общем сравнимы с ними вплоть до размерности
16B8+1). «Дети» решеток Л2о, Лзг и Л4о не так хороши, как
другие известные упаковки, хотя все эти семейства содержат
некоторые очень плотные упаковки. За размерностью 140 эти
упаковки слабее решеток Крэйга (см. § 6) и решеток, кон-
конструируемых в следующих параграфах.
(d) Упаковки, построенные из решетки Кокстера — Тодда
Ki2- Мы используем комплексную 6-мерную версию Ki2, опре-
определенную в примере 10а предыдущей главы («2-основание»).
Она имеет удваивающее норму отображение
D: (а, Ь, с, d, е, /) ->• (соа + сой, ша — й&, ..., сое + со/, сое — cof)
для а, ..., /е^Г, удовлетворяющее условию D2 + D + 2 = 0,
которое мы можем рассматривать как действующее на /Ci2. Из
конструкции Е получаются решетки л(/С12) в К12я для 1 ^п^
^ 65 с (в силу A11))
log2 б = — Ъп log2 3 + 6 (an — 2a+1 + а + 2), A15)
где а = [Iog2«]. В размерностях от 228 до 780 они плотнее лю-
любой другой решетки, построенной в § 4, но хуже решеток Крэйга.
(e) Решетки, построенные из удваивающего норму отобра-
отображения для решетки Лича Л24. Решетка Лича имеет (по мень-
меньшей мере) два различных удваивающих норму отображения D.
Одно из них — это D = / — I, где i — элемент из Aut(A24), по-
показанный на рис. 6.7, с j2 = — 1 и 7" = D-1=(l/2)(/ + t).
§ 10. Примеры конструкции Е
303
Если Л24 определяется формулой A34) гл. 4, то второе удваи-
удваивающее норму отображение D' представляется симметричной
матрицей
3
—1
J
-1
1
— 1
-3
1
1
-1
-1
1
1
1
—3
—1
1
1
1
1
-1
1
1
— 1
1
-1
1
-1
1
1
... —1
]
2
1
... —1
A16)
в которой во второй строке находятся —3 в позиции 0, единицы
в позициях, являющихся квадратичными вычетами по модулю
Таблица 8.7. Центральные плотности б Af-мерных решеток т](Л24),
полученных из решетки Лича (N = 24л)
п
1
2
3
4
5
6
N
24
48
72
96
120
144
log: E
0
12
24
48
72
96
п
10
21
43
85
170
171
N
240
504
1032
2040
4080
4104
Iog2 6
228
696
1896
4680
11316
11400
и
341
342
683
1366
2731
4097
N
8184
8208
16392
32784
65544
98328
Jog, Ь
26712
26808
61608
139488
311496
491832
23, и минус единицы в остальных позициях. Кроме того, 7" =
= (D')~l = A/2)D'. Как Т, так и Т отображают минимальные
векторы из Л24 в глубокие дыры типа А?4 (см. гл. 23). МДР-
коды над IF4096 существуют для длин л, удовлетворяющих усло-
условию 1 ^ л г^: 4097. Тогда конструкция Е (использующая любое
из отображений D) приводит к решеткам т](Л24) в размерностях
N = 24л, 1 sg: л <; 4097, для которых центральная плотность
удовлетворяет (в силу формулы A11)) соотношению
lOg26= 12 ((от— \)п — 2m + m+ 1), A17)
если 2m~l ^ л ^ 2т—1. Некоторые примеры приводятся в
табл. 8.7, 1.3 и 1.4. До размерности 4096 эти решетки идут нога
в ногу с т](Л12) и t](Ai6). Для N == 24л ==С 24-4097 = 98328
г)(Л24) является решеткой в R^ с плотностью А, удовлетворяю-
удовлетворяющей (в силу A12)) условию
-A-log2A=—1.2454 ... +е, A18)
где |е]< 12Л/"-1 log2(A/"/6). Первый член в правой части A18)
равен (—1/2) log2 D8/en).
304
Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
(f) Решетки, построенные из утраивающего норму отобра-
отображения для Л24. Предположим, что MOG-координаты для век-
вектора решетки Лича
Xl
У\
2i
Хг
Уг
2
Уъ
2з
х*
У*
г*
Хь
Уь
г,
г:
Ув
2в
представлены кватернионным вектором
(w{ -f Xii + yj + Zik, ..., w6 + x6i
y6j + z6k) A20)
в H6. Тогда умножение на кватернион 0 = i + / + k является
утраивающим норму эндоморфизмом D решетки Л24- Исполь-
Используя МДР-коды над F3i2 и конструкцию Е, мы получим решетки
г)з(Л24) в размерностях N = 24л < 24(З12 + 0= 12754608 с
A21)
A22)
где а = (log3n), и
i-
Эти упаковки оказываются плотнейшими из известных в раз-
размерностях от 105 до 108 (см. табл. 1.3).
(g) Упаковки, построенные из Р&ч. Нашей четвертой отправ-
отправной точкой является Р48? (пример 9 предыдущей главы), кото-
которая имеет удваивающее норму отображение D, очень похожее
на A16). Если PiSq определяется выражением F9) гл. 7, то
мы можем в качестве D взять симметричную матрицу
51—1 -1 -1 -1 -1 ... -1
-1
-1
-1
—1
-5
1
1
-1
1
1
1
-5
1
1
1
1
1
1
— 1
1
1
-1
1
1
... -1
с
... и
1
1
A23)
во второй строке которой содержатся —5 в позиции 0, еди-
единицы в позициях, номера которых являются квадратичными вы-
вычетами по модулю 47, и минус единицы в остальных позициях;
здесь также Т = D~l = A/2)D. Это приводит к решеткам
§ 10. Примеры конструкции Е 305
r\(PiSq) в размерностях N = 48п для n sg: 8- Ю8 с
~ log2 ЛГ = —1.4529... +е. A24)
96-мерная решетка особенно хороша (см. табл. 1.3).
(h) Большие размерности. Конструкция может повторно при-
применяться к любой из этих решеток, что приводит к бесконеч-
бесконечному дереву решеток. Мы можем вывести нижнюю границу
плотности решеток в больших размерностях, полученных таким
образом, используя следующие рассуждения. Пусть Л — любая
из решеток, описанных в этом параграфе, с размерностью, ска-
скажем, m = 2ц, центральной плотностью б = 2У и удваивающим
норму отображением D. Мы применяем нашу конструкцию, ис-
используя коды длины п == 2^, и получаем решетку Л'( = Ьа)
в размерности т' = 2\>/ с центральной плотностью б' = 2V', где
в силу A11)
I* (I* — 2) 211 + ц (ц + 2). A25)
Проще иметь дело с плотностью Д, чем с б, поэтому положим
T)==_i2i2A.
(Мы знаем из гл. 1, что для больших размерностей т лучшие
упаковки удовлетворяют условию 0.599 <;т)^:1.) Используя
A8) гл. 1, преобразуем A25) в
T,' = T|+l-^rlog2B«|i) + o(l/n). A26)
Решением для A25) и A26) является ц (щ) = log* m, где
log*2m— наименьшее значение k, для которого Iog2log2 ... Iog2tn
(с k логарифмами) меньше чем 1. Другими словами, при
N-4-oo эти решетки имеют плотность А, удовлетворяющую ус-
условию
¦jr\og2A>-\og2N.i) A27)
Соотношение A27) выполняется для любого выбора исходной
решетки. Действительная скорость роста очень мала. Например,
324-мерная решетка tj (/Ci2) имеет «детей» с
4 . -fe A28)
') Применение конструкции Е к алгеброгеометрическим кодам привело
в работах Лицына и Цфасмана [Lit 3] и [Lit 5] к решеткам с асимптотиче-
асимптотической плотностью -тт- log2 AJ5 — 2.30. — Прим. перее.
306 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток
для N ^ 1051, 65544-мерная решетка т](Л24) имеет «детей» с
-L log2 A = -2.2005... +е A29)
для N ^ 109870, где е в A29) удовлетворяет неравенству
, . . 32772 , N
/torn
lvTease A30)
и так далее.
Благодарности. Мы благодарны Барнсу, Крэйгу, Кантору,
Квеббеманну и Томпсону за полезную корреспонденцию и об-
обсуждения. Параграфы 8—11 основаны на работах [Ваг 15),
[Bos3], [Con 37].
Глава 9
Границы для кодов и упаковок шаров
Н. Слоэн
Эта глава содержит обзор недавних работ, посвященных
нахождению границ для кодов, исправляющих ошибки, для
равновесных кодов, для сферических кодов, для упаковок ша-
шаров и для других упаковок в дважды однородных простран-
пространствах. Приводится упрощенный подход к развитой Кабатянским
и Левенштейном технике рассмотрения таких проблем, как за-
задачи линейного программирования. Мы также описываем ряд
других недавно полученных границ.
§ 1. Введение
Использование техники гармонического анализа и линей-
линейного программирования в теории упаковок шаров и в теории
кодирования привело к значительному усилению классических
границ. Нашей целью в этой главе является вывод этих новых
границ из аналитической теории, приводимой без доказатель-
доказательства в § 2.
Первый шаг к получению этих границ был сделан Мак-
Вильямс, которая доказала удивительный результат о том, что
если С — линейный код, то весовой спектр двойственного кода С*
является определенным линейным преобразованием весового
спектра кода С. (См. формулу E0) гл. 3, [Мае 2], [Мае 6, гл. 5,
теорема 1]. Терминология теории кодирования приведена в § 2
гл. 3 и в [Мае 6].) Отсюда, в частности, естественно следует, что
это линейное преобразование (в действительности это преобразо-
преобразование Кравчука, как мы увидим в разд. 3.1) весового спектра
кода С имеет неотрицательные коэффициенты.
Следующий шаг был предпринят Дельсартом ([Del 8],
[Mac 6, гл. 5, теорема 6]), который показал, что то же самое
преобразование Кравчука весового спектра любого кода, линей-
линейного или нелинейного, принимает неотрицательные значения (см.
ниже теорему 1). Этот результат имел далеко идущие послед-
последствия. Одной из главных проблем теории кодирования явля-
является нахождение функции А(п, d), определяющей максимальное
308 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
число двоичных векторов длины л с тем свойством, что
любые два вектора различаются по меньшей мере в d ме-
местах. Используя свой результат, Дельсарт показал, что значе-
значение А (п, d) ограничено решением некоторой задачи линейного
программирования. Хотя эта переформулировка и не привела
к окончательному решению проблемы, она была весьма плодо-
плодотворной. Одним из ее достоинств является ее общность. В боль-
большой статье, вышедшей в 1973 г., Дельсарт [Del 9] показал, что
в ряде других, комбинаторных проблем также могут быть при-
применены оценки линейного программирования, особенно в проб-
проблемах, в которых ищется наибольшее подмножество схемы
отношений, удовлетворяющее некоторым ограничениям (см. так-
также [Ban 11], [Del 11], [Gabl], [Goe4], [Sei3], [Slo5]). Од-
Одним из таких близко связанных с уже описанной кодовой проб-
проблемой вопросов является вопрос определения функции
A(n,d,w)—максимального числа векторов, содержащих w еди-
единиц и п — w нулей и обладающих тем свойством, что любые
два вектора различаются по меньшей мере в d местах. Такое
множество векторов называется равновесным кодом. Граница
линейного программирования для А(п, d, w), как мы увидим
в § 3, очень похожа на границу для А (л, d).
Наиболее эффективное приложение метода линейного про-
программирования в теории кодирования появилось в 1977 г., когда
Мак-Элис, Родемич, Рамсей и Велч ([МсЕ 4], см. также [МсЕ 1],
[МсЕ 2], [Мае 6, гл. 17]) получили верхние границы для А (л, d)
и А (л, d, w) для больших п, являющиеся значительным улучше-
улучшением существовавших границ и до сих пор остающиеся наилуч-
наилучшими известными границами. Для того чтобы сформулировать
их результаты, необходимо определить скорость лучшего кода
формулой
R(n, d) = ±\og2A(n, d)
и исследовать, как эта скорость ведет себя как функция отно-
отношения d/n, когда dun оба растут, причем 0 ^ d/n ^ 1. На
самом деле достаточно рассмотреть диапазон 0 ^ d/л sg: 1/2,
так как несложно показать (используя, например, границу
Плоткина D5)), что в диапазоне l/2^d/n^.l R(n,d)-^0
при л->оо. Граница Мак-Элиса и др. (или граница линейного
программирования1)) для A{n,d) устанавливает, что для 0 ^
==с d/n ==c 1/2
R(n, d);C min 1+Л(и2)-Л a2 + -^- + — } @
0<u<l-2d/n
') В русской традиции ее зачастую называют границей четырех.—Прим.
перев.
§ 1. Введение
309
при tt->oo, где Л(х) = #2(A — дЛ — х)/2) и Я2(л:) — двоичная
фукнция энтропии, определенная формулой G2) гл. 7. В диа-
диапазоне 0.273 < d/л ^ 0.5 минимум в A) достигается при ы =
= 1 —2d/n, и граница упрощается:
R(n,
при
B)
В другом направлении Гилберт доказал в 1952 г. ([Gill],
[Mac 6, гл. 17, теорема 30]), что для 0^6^1/2 существует
бесконечная последовательность кодов с d/n ^S и скоростью
C)
/<Э1 —п21—I при тг-*оо.
Границы A), B) и C) изображены на рис. 9.1. Для больших п
наилучшие коды находятся где-то в заштрихованной области.
Рис. 9.1. Асимптотические границы для лучших кодов. Показана R(n, d) =
= я-1 Iog2 Л (п, d) как функция d/n при л-»-оо.
Метод линейного программирования оказался также эффек-
эффективен для изучения кодов меньших длин. В [Bes 3] (см. также
[ВгоЭа]) приведено большое количество полученных таким об-
образом границ для A(n,d) и A(n,d,w) при п ^ 24. В разд. 3.3
мы приведем некоторые примеры. Таблица 9.1 отражает совре-
современное состояние знаний о малых значениях A(n,d). Заметим,
что достаточно рассмотреть только четные значения d ^ 4, так
как A(n,2t—\) = A(n+l,2t) и А(п, 2) = 2"-1 (см. [Мае 6,
гл. 2]). Непомеченные элементы таблицы взяты из [Bes 3] или
[Мае 6]. Ссылки на другие таблицы содержатся в разд. 2.1
гл. 3. См. также [Bes 2], [Roo 1].
Следующим серьезным продвижением была статья Каба-
тянского и Левенштейна [Kab 1], которым удалось установить
границы для упаковок шаров, аналогичные границам линей-
линейного программирования для кодов. Для получения этих гра-
границ Кабатянский и Левенштейн обобщили подход линейного
310
Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
Таблица 9.1. Лучшие коды: границы для А(п, d)
(a:[Bes 1], b: [Hon 3], с: [Rom 1], d:
X. Хямялляйнен, e: M. Кайкконен; см. [Bro 9a])
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19.
20
21
22
23
24
rf-4
4
8
16
20
40"
72-79°
144-158"
256
512
1024
2048
2720c-3276
5248''-6552
10496^-13104
20480"-26208
36864-43690
73728-87380
147456-173784
294912-344636
rf-6
2
2
2
4
6
12
24
32
64
128
256
256-340
512-680
1024-1288
2048-2372
2560-4096
4096-6942
8192-13774
16384-24106
rf-8
1
1
2
2
2
2
4
4
8
16
32
36-37
64-74
128-144
256-279
512
1024
2048
4096
rf-10
1
1
1
1
2
2
2
2
2;
4
4
6
10
20
40
42e-48*
48-88*
68е-150
128-280
программирования, чтобы включить в рассмотрение ряд проблем
упаковки на римановых многообразиях. Их статья содержит мно-
множество новых границ, наиболее важной из которых является
верхняя граница на наибольшую плотность Ап произвольной
упаковки равных шаров в n-мерном евклидовом пространстве
Rn. Классический результат Минковского и Блихфельдта (см.
разд. 1.5 гл. 1, [Rog 7]) состоит в том, что
— п -<: log2 К ^ — т + !og2 T для всех
п.
D)
До этого улучшения верхней границы получали Ранкин
[Rani], Роджерс (см. формулы C9) и D0) гл. 1, [Rog 2],
[Rog 7]), Сидельников [Sid 3] и Левенштейн (см. формулу D2)
гл. 1, [Lev 4], [Lev 7]). (Сидельников [Sidl], [Sid 2] и Левен-
Левенштейн [Lev 3] установили также новые верхние границы для
§ 1. Введение 311
A(n,d), но их результат был перекрыт границей линейного
программирования. См. также [Lev 2], [Lev 5], [Lev 6].) Ка-
батянский и Левенштейн показали, что верхняя граница в фор-
формуле D) может быть заменена на
log2 А„ с< — 0.599га при л->оо. E)
Их техника заключается в рассмотрении вместо самой плотно-
плотности Д„ связанной с ней величины А(п, 0). Мы повторим опре-
определение из разд. 2.3 гл. 1. Пусть Qn есть (п—1)-мерная еди-
единичная сфера в R",
Q» = {* = (*,, ..., xn)e=Rn: х\+ ... + xl=\).
Сферический код С размерности я и мощности М с минималь-
минимальным угловым расстоянием 0 — это множество из М точек сферы
пп СО СВОЙСТВОМ
для х, 1/еС, хфу.
Пусть Л (л, 0)—максимальная мощность такого кода. Кабатян-
ский и Левенштейн доказали, что для 0 < 9 <С я/2 и больших
п выполняется неравенство
1 1 л i с\ ^ 1 + sin в 1 1 + sin 8
т log2 А (я, 9) <С -2^8" bg2 -y^q
1 — sin 8 , 1 — sin в /ov
2 sin 6 1US2 2 sin в ' W
и использовали это соотношение для получения неравенства
E). Основной целью этой главы является упрощенное изложе-
изложение общей теории Кабатянского и Левенштейна и краткое опи-
описание метода получения их границ.
Метод линейного программирования оказался также эф-
эффективен в малых размерностях. Как мы увидим в гл. 13, он
может быть использован для решения проблемы контактного
числа в размерностях 8 и 24.
Общей темой этой главы является поиск хороших располо-
расположений точек в различных пространствах. Мы в основном будем
иметь дело со следующими четырьмя примерами.
Пример Е1. Пространством является пространство Хэммин-
га, т. е. множество F2={0, \}n двоичных векторов длины я;
двоичный код — это подмножество в F2 (см. разд. 2.1 гл. 3).
Пример Е2. Пространством является пространство Джон-
Джонсона, т. е. подмножество F"' "" ? F". состоящее из всех векто-
векторов, содержащих w единиц и я — w нулей. Подмножество С
множества F"'"" — это равновесный код, а А(п, d, w)—наиболь-
312 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
шая мощность равновесного кода, в котором различные слова
находятся друг от друга по меньшей мерс на расстоянии
Хэмминга d. (Название связано с тем, что Джонсон первым
предпринял широкое исследование величины А (п, d, w)— см.
[Mac 6].)
Пример ЕЗ. Пространство есть сферическое пространство Qn
и его конечное подмножество — сферический код. В этом при-
примере мы всегда полагаем п ^ 3, а случаи п <; 2 являются осо-
особыми (и тривиальными).
Пример Е4. Пространство есть евклидово пространство Rn.
Подмножество CcR", такое, что N(x— у) ^ 4р2 для х, у^С,
х Ф у, является упаковкой шаров радиуса р.
В § 2 мы воспроизводим необходимую технику гармониче-
гармонического анализа, причем главной целью является построение не-
некоторых функций — зональных сферических функций, связан-
связанных с каждой из рассматриваемых проблем упаковки. В § 3
показывается, как легко получить границы линейного програм-
программирования (теоремы 2—4) из результатов § 2. Дается также
короткое доказательство «неравенства о среднем» для кодов
(теорема 5). В разд. 3.3—3.5 приводятся многочисленные при-
приложения этих границ к примерам El, E2 и ЕЗ. Так, табл. 9.2
содержит границы для числа шаров, которые могут касаться
пары касающихся шаров того же размера. Решающая связь
между сферическими кодами (пример ЕЗ) и упаковками шаров
(Е4) обеспечивается теоремой 6. Наконец, в § 4 приводится
краткое описание других, недавно полученных границ. Из ра-
работ, относящихся к основам теории, мы особенно рекомендуем
[Dyml], [Macl], [Mil 3], [Тег 1] и [Vil 1].
§ 2. Зональные сферические функции
В этом параграфе мы в качестве подхода к границам линей-
линейного программирования конструируем множество функций, на-
называемых зональными сферическими функциями, для каждой
из рассматриваемых проблем.
2.1. Дважды однородные пространства. В качестве исход-
исходного объекта мы выбираем группу G, свойства которой опреде-
определяют все дальнейшее. Хотя теория Кабатянского и Левенштейна
несколько более обща, мы ограничимся здесь двумя классами
компактных групп: конечными группами и связными компакт-
компактными группами. В качестве иллюстраций мы будем использо-
использовать примеры El, E2 и ЕЗ предыдущего параграфа (это поста-
§ 2. Зональные сферические функции
313
новки соответственно для кодов, исправляющих ошибки, равно-
равновесных кодов и сферических кодов). Для нашей задачи подхо-
подходят следующие группы G. В примере Е1 в качестве G мы
выберем группу автоморфизмов n-мерного куба, называемую ги-
гипероктаэдральной группой или [З"-2, 4] — в обозначениях Кок-
стера (см. [Сох 28]). Она имеет порядок 2п-п\. В примере Е2
в качестве G берется симметрическая группа Srt порядка п!,
Таблица 9.2. Насколько много шаров могут касаться
двух шаров? Границы для А(п, arccos(l/3))
из [Ass 1]. Нижняя граница для я = 4 взята
из [Мае 0]
п
1
2
3
4
5
6
Л (и, arccos A/3))
2
5
9
14—15
20—24
32-37
п
7
8
9
10
23
А (п., arccos A/3))
56
64—78
96-107
<146
2300
а в примере h3 — специальная ортогональная группа SO(n)r
т. е. группа изометрий Qn с определителем 1.
Далее следует выбрать дважды однородное G-пространство
М [Hel 6, р. 289]. Это подразумевает три свойства, (i) Группа G
действует на множестве М таким образом, что для любых g^G
и х е М определен элемент ^йеМ, причем g2(gl(x)) =
==(?2g'i)(*) и 1(х) = х для всех х, где gi и g2 — произвольные
элементы из G, a leG — тождественный элемент, (ii) JW —
метрическое пространство с определенной на нем функцией
расстояния т. (Hi) Функция т сильно инвариантна относительно
G: для любых х, х', у, г/'еМ х{х, у) = х{х',у') тогда и только
тогда, когда существует элемент g^G, такой, что g(x) = xr
и g(y) = у'. Пусть ГеС — область значений т.
Условие (iii) очевидным образом подразумевает, что G дей-
действует на М транзитивно. В действительности группа G «дваж-
«дважды транзитивна как группа преобразований метрического про-
пространства».
Пусть Я — подгруппа в G, оставляющая некоторый элемент
хоеМ неподвижным (х0 может быть любым, так как G тран-
транзитивна). Тогда можно отождествить М с пространством G/H
левых смежных классов gH (причем точка Хо соответствует
самой Н).
314 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
Примеры (продолжение). (Е1) В качестве М мы берем мно-
множество вершин n-мерного куба, {(— 1)* := ((— I)*1, ..., (—1)*п)
для х = (хи ..., хп) е IFj?}, которое мы будем часто отожде-
отождествлять с F". Мы обозначим через т((—\)х, (—1)у) расстояние
Хэмминга между хну, так что Т = {0, 1, ..., п}. Типичный
элемент из G имеет вид g = ол и состоит из перестановки
л е Sn с последующей сменой знаков cr = diag{(—1) ', ...
...,(—1) "}, а,=0 или 1. Подгруппой Н, оставляющей неподвиж-
неподвижной вершину хо = A, 1, ..., 1), является сама Sra, а естествен-
естественное отображение G-> G/H ^ М переводит g в (—1)й.
(Е2) М —пространство Джонсона Гг' w с w^.n/2, x(x, у) =
— (половина расстояния Хэмминга между х и у), Т = {0, 1, ...
..., w}, H^Sn_wXSw.
(ЕЗ) M = Qn, %{x,y) = x-y, 7" = [—1,1], H = SO{n—l).
(В этом случае агссоэ(х-г/) является метрикой на М, но проще
работать с х-у.)
Последнее предположение, которое мы делаем относительно
G, это что (а) если G бесконечна, то М-—связное риманово
многообразие, а т пропорционально естественному расстоянию
в многообразии, и (Ь) если G конечна и d0 = ттт(х, у) для
х, у е М, х Ф у, то М имеет структуру графа, в котором вер-
вершина х смежна с вершиной у в том и только том случае, когда
х(х,у) = do; кроме того, т пропорционально естественному рас-
расстоянию в графе.
Эти предположения существенно ограничивают имеющиеся
возможности. В действительности, если G бесконечна, то, как
доказал Ванг ([Wan 2]; см. также [Hel 6, р. 535], [Titl],
[Wol I, Th. 8.12.2]), для пространства М имеются только сле-
следующие возможности:
(a) сфера пп,
(b) вещественное проективное пространство Г)"(К) =
= SO(n+l)/O(n),
(c) комплексное проективное пространство Р"(С) = SU(n-\-
l)/U()
)
(d) кватернионное проективное пространство Р"(Н) =
= Sp(n+l)/(Sp(n)XSp(l)),
(e) проективная плоскость Кэли Р2(Сау).
Это компактные римановы симметрические пространства ранга
один, a (G, Н)—пример пары Гельфанда ([BouO], [Gell],
[Kra2], [Let I], [Let 2]).
Конечные дважды однородные пространства М до сих пор
еще не классифицированы окончательно, хотя они являлись
§ 2. Зональные сферические функции 315
предметом огромного количества исследований в связи с изуче-
изучением транзитивных графов, сильно регулярных графов, двух-
весных кодов и схем отношений (см. [Ban 11], [Ban 12], [Big 2],
[Big За], [Big 4], [Big 5], [Bum 1], [Call], [Cam 2], [Coil],
[Coi2], [Curl], [Del 9], [Del 11], [Del 12], [Del 14], [Dun 1] —
[Dun 9], [Goe4], [Gorl], [Hubl], [Kan 5], [Leo 10], [Leo 11],
[Lin 12], [McKl], [Sei 1] —[Sei3], [Slo5], [Smi 1] —[Smi 3],
[Sta4], [Sta8]). Вот некоторые из наиболее важных при-
примеров:
(f) пространство Хэмминга F" или, в более общем случае,
пространство Wnq строк длины я с элементами из fq, где х(х, у)—
расстояние Хэмминга,
(g) пространство Джонсона F21 w, как в примере Е2,
(h) пространство, элементами х, у, ... которого являются
6-мерные подпространства из F?, где k ^ га/2, с х{х,у) =
(Пу)
(i) пространство максимальных вполне изотропных подпро-
подпространств ортогональной, унитарной или симплектической гео-
геометрии над конечным полем, для них х(х, у) = rank(xf\y),
(j) пространства билинейных, знакопеременных билинейных
или эрмитовых форм над конечным полем, где х(х, у) =
= rank(x — у).
Этот список заведомо неполон. Замечательно, что получае-
получаемые в § 3 границы могут применяться к подмножествам любого'
из этих пространств.
2.2. Представления G. Так как группа G компактна, она
имеет единственную нормализованную меру \i — меру Хаара,
которая инвариантна относительно G (см., например, [Hal 6]).
Это индуцирует единственную инвариантную меру на М, кото-
которая также будет обозначаться через \i. Будем считать, что ц
нормализована так, что (i(M)=l. В примере (El) \i(x)=2-n
для каждого хеГг, а в (Е2) ц (х) = 1 /( ) для любого х е
/ \ш/
gFJ1". В (ЕЗ) jj, является нормализованной мерой Лебега на
сфере с (i(Qn) = 1.
Пусть L2(G) обозначает векторное пространство комплексно-
значных функций и на G, удовлетворяющих условию
\\u(g)fdii(g)<cO,
а
316 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
со скалярным произведением
(«1, Щ) = \ «i ig) щЦ) d[i (g).
а
Функции mgeL2(G), постоянные на левых смежных классах
Н, могут рассматриваться как элементы пространства L2(M),
которое определяется аналогично и имеет скалярное произве-
произведение
(ыь м2) = jj щ (x) щ{х) d[i (x).
м
Мы будем изучать действие группы G на функциях из L2(G)
и L2(M).
Левое регулярное представление группы G на L2(G) задает-
задается следующим соотношением:
где
R(g)м (f) = м(g~'/) для u<=L2(G), /еб.
Представление R{g) является унитарным представлением от-
относительно нашего скалярного произведения, т. е. удовлетво-
удовлетворяет соотношению
(Я(?)«1, R(g)u2) = (uu щ)
для всех мь u2<=L2(G) (см. [Vil I, p. 28]).
По теореме Петера—¦ Вейля (см. [Coil], [Coi2], [Grol],
[Viil], [War 3]) пространство L2(G) разлагается в счетную
прямую сумму попарно ортогональных подпространств fV{m> l\
т = 0, 1, 2, ...; 1 = 1, 2, ..., d'm} со следующими свойствами.
Пространство V(m> l) — это векторное пространство непрерывных
функций размерности d'm, являющееся неприводимым унитарным
представлением группы G. Пространства V{m']), V(m'2\...
(m.d' \
...,VV '"-'изоморфны и задают эквивалентные представления
группы G. Наконец, каждое унитарное представление G полу-
получается таким образом.
Для получения разложения L2(M) мы должны рассмотреть
только такие неприводимые представления группы G, которые
принадлежат «классу 1 относительно Я», т. е. представления
p(g) на пространстве V<m- '>, обладающие тем свойством, что
для всех Лей существует ненулевой вектор а е V(m' ° с
o(h)a = a (см. [Vil 1]). Для рассматриваемых нами групп из-
известно (см. [Coi I, th. 3.5], [Coi2, ch. 2, § 4]. [Gan 1, prop. 3.4],
[Hig2], [Tra 1], что если такой инвариантный вектор а суще-
§ 2. Зональные сферические функции 317
ствует, то он единствен с точностью до постоянного множителя
(подгруппа Я с таким свойством называется массивной).
Тогда (см. [Vil 1]) пространство L2(M) разлагается в счет-
счетную прямую сумму попарно ортогональных подпространств
{V(k), k = 0, 1, ..}. Каждое V(ft) — это одно из вышеупомяну-
вышеупомянутых пространств у(т>'); оно является пространством непрерыв-
непрерывных функций размерности dk = d'm. Пространство V<~k) задает
неприводимое представление р(А)(?) группы G, которое принад-
принадлежит классу 1 относительно Я, и каждое такое представление
появляется в разложении ровно один раз, причем различные V(fe>
попарно неизоморфны. В качестве У<°> мы берем пространство
постоянных функций d0 — 1.
Пусть fef: i=\, ..., dk\ — ортонормированный базис для
V(fe), выбранный так, чтобы вектор е\ совпадал с инвариантным
вектором а. Пусть р(*>(?) представляется в этом базисе мат-
матрицей (р(#(?)). где
р»*>
Понятно, что р(,^(Л) = 1 для АеЯ. Функции pffl(g) постоянны
на левых смежных классах Н, и их можно записать как
хёМ [Vil 1]. Тогда
— ортогональный базис для Vw [Coi 2, Th. 1.10]. Любой эле-
элемент из L2(M) обладает «преобразованием Фурье»
, ^м, G)
ZZ
где ряды сходятся по норме L2(M) и
c?? = dk \u(x)9~^Hx)d[i(x) (8)
м
(см. [Vil 1]).
2.3. Зональные сферические функции. С каждым пространст-
пространством F(ft) мы связываем функцию
Ч
Jk (х, у) = dk E pj*> (x) p}*> (у), х, yz=M, (9)
E
имеющую ряд интересных свойств.
318 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
(i) Непосредственно из определения следует, что Jk{x,y)
положительно определена в том смысле, что для любого и е
e=L2(M)
\ J /* (х, у) и (х) и (у) dp (х) dp (у) > 0, A0)
м м
или, иными словами, для любого целого я, любых точек х\, ...
..., хпёМ и любых комплексных чисел а,\, ..., а„ выполнено
соотношение
п п
Z Zh(xi, x,)ata,^0. A1)
t-i i=i
(Условия A0) и A1) эквивалентны — см., например, [Bocl].)
(ii) Так как представление p(g'), задаваемое пространством
1А*>, является унитарным, из (9) также следует, что Jk{x,y) не
зависит от частного выбора базиса V<fe> и, кроме того, что
**(gx,gy) = h{x,y) A2)
для всех х, j/eM, g^G, т. е. функция Jk{x,y) инвариантна
относительно группы G и, таким образом, зависит только от
х(х,у). Итак, мы можем записать
Jk(x,y) = dk<Dk(x(x,y)), A3)
где
Функция Фй(^), являющаяся непрерывной функцией от t, опре-
определенная на множестве Т (область значений т), называется зо-
зональной сферической функцией, ассоциированной с V(k) (см.
[Coi2], [Dun 7], [Erdl], [Gan 1], [Mull], [Stall], [Vil 1]).
Если мы примем, что %(х,х) — го, то
( = 1
так как {р^*},. — первый столбец унитарной матрицы. Также
ясно, что Ф0@ = 1.
(ш) Из (9) вытекает, что Jk(x, y) = Jk(y,x), а из A3) и
т(х, у) = т(у, х) следует, что Jk(x,y) и Ф*@ вещественно-
значны.
(iv) Из ортогональности пространств V(k) следует, что Ф/е(О
взаимно ортогональны и удовлетворяют условию
§ 2. Зональные сферические функции 319
где Д.— мера на Т, задаваемая соотношением
Д. (А) = (д. {х <= М: х (х0, х) е А}.
(v) Другое выражение для Ф^(/) может быть получено сле-
следующим образом (см. [Coi 2, р. 38], [Vill]). По определению
,a), A7)
где а — единичный вектор в V{k), неподвижный относительно Н.
Кроме того, легко видеть, что ([Vil 1])
=P\f(g) A8)
для любых h\, /г2еЯ, g^G. Таким образом, функция р<^ по-
постоянна на двойных смежных классах HgH. Если gx и gy —
произвольные элементы из G, такие, что
gx (х0) = х, gy {х0) = у,
то
®k(i(x,y)) = p\?{gy%). A9)
В литературе все эти функции p^ig), Fk{x, у) и Фк (t) назы-
называются зональными сферическими функциями (или ядрами).
Наименование идет от отождествления точек хеМ с левыми
смежными классами gH. Множество Нх представляет «сферу»
в М с центром в лсо, проходящую через х, и отождествляется
с двойственным смежным классом HgH. Из A8) следует, что
pW (x) постоянна на этих сферах.
Пример Е1 (см. [Dunl], [Dun8]). Пространство L2(M) со-
состоит из комплекснозначных функций на вершинах я-мерного
куба и имеет базис, состоящий из одночленов ср ... qp"";
где (а,, ..., aj ё F2° и фг есть г-я координатная функция
(причем ф? = фЛ. Группа G переставляет <р; между собой и/или
меняет знак <р,-, в то время как Н только переставляет их. Про-
Пространство V(k) состоит из многочленов степени & от <pi, ..., ф„
( п \
с dk = I I для k = 0, 1, ..., п. Фиксированный вектор
а=е, в V(fc) — это 2 ф ••• ф""> гДе сумма берется по всем
(аи ..., а„) веса k (т. е. содержащим k единиц). Тогда функ-
функции q>k(t) являются частным случаем многочленов Кравчука
320 Гл. 9 Границы для кодов и упаковок шаров
(см. [Мае 6], [Sze 1]):
для k = О, 1, ..., п.
Пример Е2 (см. [Del 12], [Dun 2]). Пространство L2(M) со-
состоит из комплекснозначных функций на ау-подмножествах
n-множества и разлагается в сумму ортогональных подпро-
подпространств {V^k), O^Zk^w}. Пространство V(fe> имеет размер-
размеряя \ / п \
ность dk= \ , \ — ' ,1 и подробно описано в [Del 12]
V k J V к I/
(где оно обозначается через Harm(&)). Оно задает неприводи-
неприводимое представление группы S«» соответствующее двустрочной
таблице Юнга [п — k, k] (см. [Mil 3, § 4.2]). Соответствующей
зональной сферической функцией является
где
та (J( i )
— частный случай многочлена Хана [Каг2].
Пример ЕЗ (наиболее интенсивно изучаемый случай; см., на-
например, [Coi2], [Del 16], [Dun 7], [Erd 1], [Hob 1], [Kool],
[Miil 1], [Vil 1,гл. IX]). Пространство L2(Qn) разлагается в бес-
бесконечную прямую сумму ортогональных подпространств {У<*>,
k = 0, 1, ...}. Пространство К<*> состоит из всех функций в
L2(fira), представимых однородными многочленами f{x\, ..., хп)
полной степени k от переменных х\, ..., х„, удовлетворяющими
уравнению Лапласа
дхп
Пространство V<*> обычно обозначается Harm(^), а его эле-
элементы называют сферическими гармониками. Его размерность
равна
/ + k
n-\ )-{ n-l
Соответствующей зональной сферической функцией является
многочлен Гегенбауэра, или ультрасферический многочлен, яв-
являющийся частным случаем многочлена Якоби. Для того чтобы
§ 2. Зональные сферические функции 321
избежать путаницы в обозначениях, мы записываем его как мно-
многочлен Якоби, используя стандартные обозначения из [Abr 1]:
р(а, р) ,t)
Л k = °'1 B3)
где а = р = (п — 3)/2. (Нормализация задается формулой A5)
с учетом того, что то ~ г(х, х) — х-х = 1.)
Многие другие описанные в разд. 2.1 дважды однородные
пространства также подробно изучались — см. [Coi2], [Del 9],
[Del 11], [Del 12], [Del 14], [Dun 2] — [Dun6], [Koo 1] — [КооЗ],
[Sta 4] — [Sta 11], [Vil 1]. Для проективных пространств P*(R),
Fn(C), P"(H) и Р2(Сау) зональными сферическими функция-
функциями являются многочлены Якоби
-1)
(*Г)
где а = (п — 2)/2 и р =—1/2, 0, 1 и 3 соответственно. Для
конечных дважды однородных пространств многие (но не все)
зональные сферические функции принадлежат к некоторому се-
семейству, найденному Аски и Вильсоном (см. [Ask 4], [Leo 10],
[Leo 11]).
2.4. Положительно определенные вырожденные ядра. Мы ви-
видели, что зональные сферические функции Jk {x, у) являются не-
непрерывными положительно определенными вырожденными (по
формуле (9)) ядрами, или п. в. я. на М. Из A2) следует, что
они инвариантны относительно G. Легко видеть, что произве-
произведение двух п. в. я. есть п. в. я. и что сумма п. в. я. с положитель-
положительными коэффициентами также является п. в. я. П. в. я., задавае-
задаваемые зональными сферическими функциями, называются элемен-
элементарными, и ясно, что любая сумма
F(x,y)=ZxkJk(x,y) B5)
с ЯА^0 и 2 ^ft^fe < °° элементарных п. в. я. также является
инвариантным п. в. я. Удивительно, что имеет место и обратное
утверждение: любое инвариантное п. в. я. может быть записано
в виде B5) как сумма элементарных п. в. я. с положительными
коэффициентами. Этот факт был сначала доказан для примера
ЕЗ Шёнбергом [Sch 5] и затем был обобщен так, чтобы вклю-
включать все группы, рассматриваемые здесь, и многие другие случаи,
Бохнером [Вое 1] и более поздними авторами [Binl], [Gel 1]„
[Кге '] (см. также [Kab 1, теорема 2]).
322 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
Отсюда следует, что произведение любых двух зональных
сферических функций Фг@ и Q>j(t) разлагается в следующую
сумму:
ф<@ ф/ (о=Z <?1/*ф* (о B6)
/г
с с,/* ^ 0 ([КооЗ]). Конечно, это приложимо к заданным выше
многочленам Кравчука, Хана и Якоби. Такие разложения с по-
положительными коэффициентами интенсивно изучались в [Ask 1],
{Ask 2], [Gas 1].
§ 3. Границы линейного программирования
3.1. Коды и их распределение расстояний. Построив зональ-
зональные сферические функции ф*@> мы можем теперь приняться
за получение границ линейного программирования. Мы будем
изучать конечные подмножества С любого дважды однородного
пространства М; такие подмножества будут называться кодами,
так как обобщают понятия кодов, исправляющих ошибки, и сфе-
сферических кодов. Конечно же, мы не интересуемся произволь-
произвольными подмножествами, а только теми, в которых расстояния
между векторами некоторым образом ограничены. Мы считаем,
что задано подмножество 5 Е Т, и хотим найти коды С, для ко-
которых х(х, y)^S для всех х, у^С, хфу; такой код назы-
называется S-кодом, а наибольшая мощность \С\ такого кода
(S-кода) будет обозначаться через Л(М,5).
Пример. (Е1) Если мы возьмем 5 = {d, d+1, ..., п), то
¦S-код—это обычный корректирующий код с минимальным рас-
расстоянием d и A(t\,S) = A(n,d). (E2) Если S = {6, 6+1, ...
..., п), то S-код — это равновесный код с минимальным рас-
расстоянием 26 и A(F"'W, S) = A(n, e, w). (ЕЗ) Если 5 = [—1,
cosG], то S-код — это сферический код с минимальным угловым
расстоянием в и Л (й„, S) = А (п, 6).
Спектр (или распределение) расстояний {at} произвольного
кода определяется следующим образом:
щ = -rg-p¦ (число упорядоченных пар х, у^С с х(х, y) = t).
Из определения немедленно следует, что
ато=1, B7)
а,>0 для /еГ, B8)
? = \С\, B9)
но, кроме того, имеется ряд дополнительных неравенств.
§ 3. Границы линейного программирования 323
Теорема 1. Пусть рй = | С Г1 ?а*Ф*@> ? = 0, 1 — шре-
t
образование» спектра расстояний с помощью зональных сфери-
сферических функций. Тогда р* ^ 0 для всех k.
До казател ьство.
>0в силу A1).
Когда G (и М) конечны, этот результат получен Дельсартом
[Del 8], [Del 9]; в бесконечном случае он может быть обнару-
обнаружен (в явной или неявной форме) в работах [Del 16], [Kab 1],
[Llol], [OdI5]. (См. также [Dun5].) В примере El коэффи-
коэффициенты {р*} являются преобразованием Кравчука коэффициен-
коэффициентов {at}. Если С — линейный код, то {at} — это его весовой
спектр и, как следует из тождества Мак-Вильямс (формула E0)
гл. 3), {р*} является весовым спектром двойственного кода.
3.2. Границы линейного программирования. Теорема 1 и
формулы B7) — B9) позволяют рассмотреть проблемы нахож-
нахождения границ Л(М, S) как задачи линейного программирования:
Прямая задача. Выбрать натуральное число s, подмножества
{ть ..., %s} множества 5 и вещественные числа at,, ..., a%s так,
чтобы
s
максимизировать 2 axt C0)
при условии, что
ах.>0, i=l,...,s, C1)
Это задача линейного программирования с возможно бес-
бесконечно большим числом неизвестных at {t e 5) и ограничений
C2). Если С есть S-код, то его спектр расстояний {at}, безус-
безусловно, удовлетворяет неравенствам C1) и C2). Тогда если
максимальное достижимое (для любого выбора s и ть ..., ts)
значение суммы C0) равняется Л*, то А (Ж, S)^ 1+Л*. (До-
(Дополнительная единица появляется в связи с тем, что член аТо= 1
отсутствует в формуле C0).)
324 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
Двойственная задача, как обычно, удобнее для исследова-
исследования; она описывается следующим образом (см. [Dufl],
[Dun 9], [SimO]).
Двойственная задача. Найти натуральное число N и веще-
вещественные числа /ь ..., /л? так, чтобы
N
минимизировать ? /* C3)
при условии, что
fk>0, k=l,...,N, C4)
t)<-1 Для t<==S. C5)
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Если А* — оптимальное решение либо прямой,
либо двойственной задачи, то А (Ж, S) ^ 1 + А*.
Причина, по которой мы предпочитаем двойственную задачу,
заключается в том, что по теореме двойственности любое допу-
допустимое решение двойственной задачи является верхней грани-
границей оптимального решения прямой задачи или, другими
словами:
Теорема 3. Если числа f\, ..., /лг удовлетворяют условиям
C4) и C5),ro/4(M,S;<l+/,+ ...+fr.
Эта теорема может быть переформулирована в другой фор-
форме, которую иногда легче использовать.
Теорема 4. Пусть даны пространство М, зональные сфери-
сферические функции Ф*@ и подмножество S s T, и мы хотим найти
границу мощности А (М, S) наибольшего подмножества С мно-
множества М, такого, что х(х, y)^S для всех х, у^С, хфу. Если
мы сможем найти линейную комбинацию
f(t)=Z f*<D*(O C6)
для некоторого N, которая удовлетворяет неравенствам /0 > О,
fk ^ 0 для k = 1, ..., N и f(t) < 0 для t^S,ro
Л(М, S)</(to)//o. C7)
Теоремы 2, 3 и 4 дают общие границы линейного программи-
программирования, которые мы искали.
Как следствие из теоремы 1 получаем, что любой код С
должен удовлетворять дополнительным неравенствам, так назы-
§ 3. Границы линейного программирования 325
ваемым неравенствам о среднем. Пусть F(x,y) — произвольное
инвариантное п. в. я. на М. Из разд. 2.4 следует, что мы можем
писать F(x,y) = f(t(x,y)), где
f(t) = Zfk<bk(t), fk>0,
k
и сумма сходится для всех t^T. Средние значения F по С
и по М определяются следующим образом:
Пх,У), C8)
м м
= г
M
— \ F(x, y)dix(x) для любого i/eM, C9)
м
так как F(x,y) зависит только от х(х,у). Поэтому из A6)
и Ф0@ = 1 получаем F{IA) = f0.
Теорема 5. (Неравенство о среднем [Kabl], [Lev 5],
[Sid 3].) Для любого инвариантного п. в. я. F
F(C)^F (M) D0)
или, иными словами,
j^r У, /(T(.v,//)^f, D1)
X, у ЕЕ С
Доказательство. По теореме 1 р& ^ 6ft, 0. Умножая на fk и
суммируя по k, мы получаем D1).
Это дает непосредственное доказательство теоремы 4 без
использования линейного программирования.
Второе доказательство теоремы 4. Пусть С — произвольный
5-код. Из теоремы 5 следует, что
> Х)
,| Q I
Заметим, что единственное свойство зональных сферических
функций, которое используется для доказательства теорем 2—4,
заключается в том, что они являются положительно определен-
определенными ядрами, инвариантными относительно G. В теореме, ссыл-
ссылка на которую содержится в разд. 2.4, утверждается, что
326 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
наиболее общие непрерывные функции с такими свойствами яв-
являются положительными суммами зональных сферических функ-
функций, что (а) подтверждает наше ограничение на рассмотрение
функций вида C6) и (Ь) используется для вывода неравенства
о среднем и поэтому—во втором доказательстве теоремы 4.
В общем случае значение границы линейного программиро-
программирования 1 + А* (см. теорему 2) неизвестно. Неизвестно также в
общем случае, насколько близко граница подходит к точному
значению Л (М, 5). Для малых задач это обычно очень близкие
значения, а иногда граница дает точное значение Л (М, S).
3.3. Границы для кодов, исправляющих ошибки. В примере
Е1 имеется ровно «+ 1 различных функций Ф*, и, таким обра-
образом, в C3) и C6) мы можем положить N = п (и аналогично ва
всех случаях, когда G и М конечны). Теорема 4 утверждает,
что если многочлен
f(t) = ?ohKk(t;n) D2>
удовлетворяет неравенствам /о > 0, fk $г 0 (k=\, ..., п) и
f@<0 для t= d, d -f- 1, .... n, то A(n, d)<f(O)/fo. Приведем
ряд иллюстраций.
(i) При п = 8, d = 4 положим
f (t) = y V ~ 4) С - 8) = *o (t; 8) + 3/C, (/; 8) + 7K2 (t; 8), D3)
откуда следует, что А (8, 4)^ 16. С другой стороны, код Хэм-
минга Звъ (см. разд. 2.4.2 гл. 3) показывает, что А (8,4) ^ 16.
Поэтому А (8, 4) = 16. Этот код является самодвойственным,
и ненулевые слова имеют веса 4 и 8, т. е. нули f(t).
(ii) Техника, предложенная для первого примера, также ра-
работает и в некоторых других случаях. Например, из существо-
существования кода Голея ^24 следует, что А B4, 8) ^ 4096. Многочлен
наименьшей степени, удовлетворяющий ограничениям и прини-
принимающий нулевые значения в ненулевых весах двойственного
кода, — это
D4)
= K0(t; 24)+ ... +i^-/C6tf; 24),
следовательно, А B4, 8) = 4096.
(Hi) Докажем, что код Надлера оптимален [Bes3]. Это не-
нелинейный код длины 13 с минимальным расстоянием 6, содер-
содержащий 32 слова, поэтому Л A3, 6)^ 32. В этом случае нет мно-
многочлена f(t), который мы могли бы использовать в теореме 4
§ 3. Границы линейного программирования
327
для доказательства того, что Л A3, 6) = 32, поэтому мы приме-
применим теорему 2. Пусть С —оптимальный код, содержащий
А A3,6) кодовых слов. Без потери общности можно считать,
что расстояния между кодовыми словами в С четны (если это
не так, вычеркнем одну координату и добавим общую проверку
на четность). Пусть at (и) — число кодовых слов в С, находя-
находящихся на расстоянии t от кодового слова и е С; тогда
1
Кроме того, а0 = 1 и остальные at равны нулю, за исключе-
исключением, быть может, аб, as, Ою и аи. Прямая задача заключается
в том, чтобы максимизировать а6
чениях а, ^ 0 и
ое- За8— 7а10—
—бее— 2а8+18а10+ 54а,.
—бае + 14а8 — 14а10 — 154а12
«ю + а12 при ограни-
ограни13
15а6- 5а8 - 25а
10
275а,
15а6 — 25а8 + 63а10 — 297а12
-20а6 + 20а8 - 36а
10
132а
12
\
J,
/13\
— I I
/13\
— I I,
/ 13 \
~ (^ 4 J ,
/13\
— [ г I,
/13\
— I I
(остальные неравенства C2) избыточны). К сожалению, реше-
решение дает лишь А A3, 6)^ 40. Тем не менее мы можем наложить
одно дополнительное неравенство. Мы обязательно имеем
ai2(u)s^A A3,6, 12) = Л A3, 6, 1)= 1 для всех меСи аю(«Х
^ А A3, 6, 10) = А A3,6, 3)== 4. Более того, эти соотношения
могут быть объединены. Поскольку если ai2(u)= 1, то аю(м) =
= 0, получаем аю(и) + 4а12(м) ^ 4, и усреднение по иеС дает
аю + 4а12<4.
Решая прямую задачу симплекс-методом с этим дополнитель-
дополнительным неравенством, получаем А A3,6)^32. Поэтому Л A3, 6) =
= 32, и код Надлера оптимален. Анализируя решение этой
задачи линейного программирования более детально, Гёталс
[Goe 3] показал, что этот код единствен.
328 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
(iv) Наилучшие имеющиеся границы для А(п, d) при п sg:
^ 24 и d ^ 10 приведены в табл. 9.1; многие верхние границы
были получены из теоремы 2 и симплекс-алгоритма с добавле-
добавлением дополнительных неравенств (как в предыдущем примере),
когда это возможно.
(v) Вернемся к теореме 4. Наилучший выбор для линейного
многочлена — это
f (t) = Ко (t; n) + пК\ (t; n)/Bd — п) = 2 [d — x)/{2d ~ п) для Ы > п.
Он удовлетворяет ограничениям теоремы и дает неравенство
А (п, d) < 2d_n для 2d > п.
Это граница Плоткина (см. [Мае 6, гл. 2, теорема 1]). Комби-
Комбинаторное рассуждение (см. [Мае 6, с. 41]) показывает, что она
может быть улучшена до неравенства
Ь) D5)
для четных d и 2d > п. Аналогично можно показать, что
A Bd, d) ^ 4d для четных d. D6)
В случае существования матриц Адамара соответствующего
порядка Левенштейн показал, что в формулах D5) и D6) имеет
место равенство (см. [Levl], [Mac 6, гл. 2, теорема 8]). Таким
образом, А (п, d) для п ^ 2d по большей части известны.
(vi) Для п, немногим больших чем 2d, Мак-Элис (см. [Мае 6,
гл. 17, теорема 38]) получил границы для A(n,d), используя
теорему 4. Тиэтявяйнен [Tie 1] нашел значительно более силь-
сильные границы, используя аналитические аргументы и некоторые
из неравенств теоремы 1. Другие границы для А(п, d), получен-
полученные методом линейного программирования, можно найти в рабо-
работах [Bes 1] — [Bes3].
(vii) Как уже обсуждалось в § 1, для больших п и d наи-
наилучшей известной в настоящее время границей для А (п, d) яв-
является граница линейного программирования. Более простая
часть этой границы, задаваемая формулой B), получается из
теоремы 4 с использованием многочлена вида
/ @ = -~т {* *+10; ») * * (fl; ») - ** V; ») **+i to n)f D7)
при подходящим образом выбранных значениях а и k. Детали
содержатся в [МсЕ2], [МсЕ 4] или [Мае 6, гл. 17]. Формула
B6) играет решающую роль. Более сложная часть границы
четырех будет кратко рассмотрена в следующем разделе. Гра-
§ 3. Границы линейного программирования 329
ницы линейного программирования были обобщены на древо-
древовидные коды в [Aal 1].
3.4. Границы для равновесных кодов. Пример Е2 (продол-
(продолжение). Функция А(п, d, w) важна как сама по себе, так и по-
потому, что она может быть использована для получения допол-
дополнительных неравенств, которым удовлетворяет весовой спектр
кода, как мы это видели в примере (И) предыдущего раздела.
Таблицы значений А(п, d, w) для п ^ 24 и d sg; 10 приводятся
в [Bes3], и многие указанные там верхние границы были полу-
получены с помощью теоремы 2 и симплекс-метода (опять же с до-
добавлением дополнительных неравенств, когда это возможно).
Наилучшие таблицы А(п, d,w), имеющиеся на сегодняшний
день, содержатся в [Bes 3] или [Gra2], см. также [Besl],
[Вго8], [Вго9], [Coll], [Con 41], [Hon 2] - [Hon 5], [Kib 1],
[KI0I], [Zin 1]. Более обширные таблицы приведены в [Вго9а].
Более сложная часть границы линейного программирования,
т. е. формула A), получается применением теоремы 4 для по-
получения границы для А (п, d, w) и преобразованием ее в гра-
границу для А (п, d) с помощью неравенства Элайеса ')
. , лх* 2nA(ll, 26, W) n ^- ^- /ла\
А(п, 2б)< y-j—-—'- для 0<ш<« D8)
(см. [Basl], [Bas2], [McE2], [Mac6, гл. 17, теорема 33]) от-
относительно деталей доказательства A) см. [МсЕ 2].
3.5. Границы для сферических кодов и сферических упако-
упаковок. Пример ЕЗ (продолжение). Теорема 4 теперь принимает
следующий вид: если многочлен
D9)
удовлетворяет неравенствам fo > 0, fk ^ 0 (k = 1, ..., N) и
l(t) < 0 для — 1 < t < cos 9, то
А(п, е)<-^-. E0)
(i) Проблема контактного числа. Этот результат будет ис-
использован в гл. 13 для получения границ для контактного числа,
т. е. для случая А(п,л/3), и в гл. 14 для доказательства того,
') В ряде работ оно называется неравенством Бассалыго или Басса-
лыго — Элайеса. — Прим перев
330 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
что определенные расположения шаров, достигающие этих гра-
границ, единственны.
(и) Таблицы границ для А(п,д) для некоторых значений 0'
и для ряда задач упаковки в проективных пространствах Pn(R),
Р"(С) и Р"(Н) были вычислены в [Ass 1]. Например, табл.9.2
дает некоторые границы для величины А (п, arccos(l/3)), кото-
которая совпадает с максимальным числом непересекающихся ша-
шаров, касающихся пары касающихся шаров в Rn+i (см. гл. 14,.
теорема 1). Пять биллиардных шаров могут быть расположены
таким образом, что все они касаются двух касающихся бил-
биллиардных шаров, откуда следует, что А B, arccos(l/3)) = 5.
Значения А G, arccos(l/3)) = 56 и А B3, arccos(l/3)) = 4600'
появляются из расположений шаров в Es и в решетках Лича и
были независимо найдены Левенштейном [Lev 7]. В гл. 14 до-
доказывается, что соответствующие сферические коды един-
единственны.
(ш) Кабатянский и Левенштейн [Kab 1] показали, что луч-
лучшие линейный и квадратный многочлены — это f(t)=t — s и
f(t) = (t — s) (t + 1), где s = cos 6. Соответствующие этим мно-
многочленам границы таковы:
Л(», e)<(co^oes~1), если 9<0, (б1>
Л(м,е)<B^;ссо°;99)), если 9<1/п. E2>
На самом деле результаты из [Kab 1J приложимы к любому из
примеров, в которых М является непрерывным многообразием
(см. разд. 2.1), но в этом и следующем пункте мы лишь сфор-
сформулируем их границы для случая, когда М — единичная сфера
п„. Точно так же, как и в кодовом случае (см. разд. 3.3v), гра-
граница, задаваемая линейными многочленами, была уже известна.
Это граница Ранкина (формула E9) гл. 1, [Rani]). Некото-
Некоторые другие границы для А(п, 6), которые можно получить ме-
методом линейного программирования, уже упоминались в разд. 2.6
гл. 1 (включая полученные Астолой (формулы F8) и F9) гл. lv
[Ast 1]) аналоги кодовых границ Тиэтявяйнена).
(iv) Принципиальное достижение работы [Kabl], как уже
обсуждалось в § 1, заключается в получении границ для случая
больших размерностей п. Как и в предыдущем пункте, мы фор-
формулируем результаты только для случая сферы. Действуя ана-
аналогично D7), авторы используют многочлен
/ @ = 7^7 №?' W Pf а) (*) - р(*а> а) W Р&.а) (*)}2 E3>
§ 3. Границы линейного программирования 331
степени 2k + 1, где а =(п—-3)/2, s = cos 9 и k = 1, 2, ... . От-
Отсюда следует, что
— 2
E4)
для cosG^^, где многочлен Якоби Pf'a)(x) имеет & про-
простых корней
l>t[%> ... >/<%•
Для больших п детальным исследованием t^\ Кабатянский и
Левенштейн показали, что из E4) следует граница F). Для
6 < 63° из F) вытекает более простой результат о том, что при
л->-оо справедливо неравенство
-J- log2 А (п, в) ^ - у log2 (I - cos 9) — 0.099 E5)
(формула F6) гл. 1), которое при 9= л/3 приводит к зада-
задаваемой формулой D9) гл. 1 границе для контактного числа.
Для того чтобы связать свою границу E) с плотностью
я-мерной упаковки шаров, Кабатянский и Левенштейн исполь-
использовали следующий аналог неравенства Элайеса D8).
Теорема 6 [Yagl]. Наибольшая плотность Д„ любой упа-
упаковки шаров в R" удовлетворяет неравенству
An<(sin(l/2)9)'M(/2+l, Э) для 0<9<я. E6)
Доказательство. Так как ссылка на [Yagl], приводимая
[Kabl], относится к малодоступной1) работе, мы приводим
краткое доказательство. Пусть 5 — большая сфера радиуса р
в Rn+l, и пусть П — гиперплоскость, проходящая через центр S.
В П мы строим n-мерную упаковку единичных шаров с плот-
плотностью Ап. Небольшими сдвигами упаковки мы можем добиться,
чтобы часть П, находящаяся внутри S, содержала по меньшей
мере Апр" центров. Спроектируем эти центры в направлении,
перпендикулярном к П, «вверх» на 5. Евклидово расстояние
между новыми точками равно по меньшей мере 2, и угловое
расстояние между ними равно по меньшей мере 9, где sin (9/2) =
= 1/р. В результате получается сферический код с минималь-
минимальным угловым расстоянием 9, содержащий An(sin(9/2))-2 ^
<Л(п+ 1,0) точек.
Граница E) следует из E5) и E6), если положить 9 =
= 1.0995.
Для конечных п численные границы для плотности могут
¦быть получены комбинированием формул E4), E6) и информа-
информации о t\a)k, приводимой в [Kab 1, с. 12]. Границы для log2S при
') Для зарубежного читателя. — Прим. перев.
332 Гл. 9. Границы для кодов и упаковок шаров
п ^ 48, приводимые в табл. 1.3, были получены именно таким
образом.
В [Lev 6], [Lev 7] Левенштейн нашел другие многочлены
f(t), которые приводят к границе F) и дают хорошие границы
для малых значений п (см. также [Sid 4]).
§ 4. Другие границы
(i) Ловас [Lov 1] решил старую кодовую проблему об оп-
определении «пропускной способности» (см. [Sha 4]) пятиуголь-
пятиугольника. Его метод, который дает новый подход к получению гра-
границы пропускной способности произвольного графа, оказывает-
оказывается тесно связанным с границей линейного программирования
Дельсарта для подмножеств схемы отношений (см. [МсЕ2],
[МсЕЗ], [Sch9]).
(ii) Необычный метод получения нижних границ для
A(n,d,w) был приведен в [Gra 2] (см. также [Gra 1], [Gra 3],
[Ноп2], [НопЗ], [Kiel]). Он дает
откуда следует, что
А(п, 4, ш) ~дг"-1/а>! при гс->оо
и
А(п, 26, w)^nw-6+1/w\ при /г->оо.
(iii) Коды в некоторых других дважды однородных про-
пространствах, упомянутых в этой главе, описываются в [Big" I],
[Big3], [СатЗ], [Del 15], [НатЗ], [Ham 4], [Kan 4], [Sta6],
[Tha 1], [Tha2].
(iv) Ллойд [Llo 1] предложил другой метод получения гра-
границ линейного программирования для сферических кодов, осно-
основанный на определении схемы отношений на Qn- Еще один под-
подход к этой задаче был предложен Ноймайером [Neul]. Ура-
кава [Ura 1] получил границу для А„, эквивалентную границе
Левенштейна 1979 г. [Lev 7], рассматривая спектры операторов
Лапласа — Бельтрами.
(v) Недавно') Цфасман, Влэдуц и Цинк [Tsf 2] показали,
что коды над fq при q = р2, р ^ 7, построенные из алгебраи-
алгебраических кривых, дают асимптотическое улучшение границы Гил-
Гилберта (см. разд. 2.11 гл. 3).
Благодарности. Р. Аски, Э. Баннаи, А. Калдербанк, П. Диа-
Диаконис, К. Данкл, У. Кантор, К. Курнвиндер, Р. Лидл, Э. Од-
лыжко, Дж. Зейдель и Д. Стэнтон внесли множество полезных
предложений.
1) В 1981 г.; результат справедлив для всех q = p2m ^ 49. — Прим. персе
Глава 10
Три лекции
об исключительных группах
Дж. Конвей
В первой лекции приводятся некоторые исключительные
свойства групп L2(p) и дается описание группы Матье Мп и
некоторых ее подгрупп; далее следует отступление о группе
Янко /i порядка 175560. За исключением материала, связанного
с группой Янко, все описанные структуры реализуются внутри
группы Матье Мы, являющейся предметом второй лекции, в ко-
которой строится эта группа и довольно подробно описываются
ее подгруппы. Полученные сведения об Ми оказываются полез-
полезными в третьей лекции, посвященной группе Соо = -0 и ее под-
подгруппам. В приложении описываются исключительные простые
группы.
Настоящая глава основана на лекциях, прочитанных в Ок-
Оксфорде (Англия) в 1970 г. После выхода работы [Соп 2] груп-
группы, указанные в названии, получили наименование спорадиче-
спорадических, однако мы предпочли не модернизировать язык этой
главы.
§ 1. Первая лекция
1.1. Об исключительном поведении групп Ln(q). Полная ли-
линейная группа GLn{q) — это группа всех линейных автоморфиз-
автоморфизмов д-мерного векторного пространства над полем fq, где q—
любая степень простого числа. Специальная линейная группа
есть ее нормальная подгруппа, состоящая из автоморфизмов
с определителем 1. Центры обеих этих групп состоят из преоб-
преобразований вида x-*-kx (где ^g fq), и соответствующие проек-
проективные группы PGLn{q) и PSLn{q) получаются факторизацией
по этим центрам. Группы PSLn(q) просты (при п^2), за ис-
исключением двух случаев п = 2 и q = 2 или 3. Диксон [Die 1]
называл их дробно-линейными группами и обозначал LF(n,q),
но мы будем пользоваться артиновским обозначением Ln{q)
[Art 1].
При п = 2 выберем в пространстве базис у, z так, что пре-
преобразования группы SLn(q) будут иметь вид y^*-ay-\-bz, z-*-
->су + dz (причем ad — be — 1). Проективная прямая PL{q)
334 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
состоит из q + 1 значений формальных частных х = y/z (кото-
(которые удобно представлять себе как q элементов поля вместе
с формальным частным оо); на проективной прямой группа
L2(q) превращается в группу преобразований вида
.. ах + Ь
Х cx + d '
где ad— be — 1 или, эквивалентным образом, где ad—be—
любой ненулевой квадрат в F9. Используются следующие обо-
обозначения подмножеств прямой PL(q):
Q = PL (q), Q' = Fq = Q \ {oo}, Q = {x2: x e= F,},
N = Q\Q, Q' = Q\{0}, N' = N\{°o}.
На самом деле группа L2(q) порождается тремя преобразо-
преобразованиями
а: х-*-х-\-1, р: x-*kx, у: х-* — х~1
в предположении, что Q' — множество степеней элемента k поля;
действительно, преобразование $ьаа переводит х в kbx + a,
тогда как ^аРусс0 переводит х в с — (kbx-\- а)~1, причем ясно,
что любое преобразование из L2(<7) представимо в одной из
этих форм.
Полное множество определяющих соотношений слегка зави-
зависит от q: если q — простое число, сравнимое с 3 по модулю 4,
то
L2 (q) = (а, р, у: а" = p('/2)(?-D = у2 = аР . а-* = (pYJ = (aYK = ^
поскольку ясно, что эти соотношения позволяют преобразовать
любой одночлен от a, p, f в одну из двух приведенных выше
форм. (Через а^ обозначается р~'оф.) Для случаев q = 3,5,7, 11,
мы выберем k = 1, 4, 2, 3; для р = 5 дополнительное соотно-
соотношение (офуM = 1 завершает указанный список.
Галуа доказал (в письме к Шевалье, написанном накануне
роковой дуэли), что группа Li(p) не имеет нетривиальных
представлений перестановками менее чем р + 1 элементов при
р>\\ [Hup I, p. 214]. Однако при р —3, 5, 7, 11 имеются
транзитивные представления перестановками ровно р элемен-
элементов; с помощью этих представлений мы получим некоторые из
«неожиданных» изоморфизмов
где А„ — знакопеременная группа степени п. Все эти изомор-
изоморфизмы удается разглядеть в группах Матье, и во второй лекции
мы выработаем общий взгляд на эти разрозненные факты. Дан-
§ 1. Первая лекция 335
ное рассмотрение интересно также как пример распространен-
распространенного, но загадочного феномена: четыре случая имеют много об-
общих черт, однако каждому из них присущи какие-то индиви-
индивидуальные свойства, так что полностью охватить их одной общей
конструкцией не удается.
Оказывается, что р объектов, переставляемых группой L2(p)
(р = з, 5, 7, 11), в каждом из этих случаев могут быть реали-
реализованы как р инволюций множества Q. Для р = 3, 5, 7, 11 обо-
обозначим через я соответственно инволюции
(ооО)A2), (ооО)A4)B3), (оо 0) A3) B6) D5),
(оо 0) A6) C7) (9Х) E8) D2) (где X обозначает 10)
и обозначим через щ элемент оНпа'. (Мнемоника: п перестав-
переставляет too с 0 и переводит х в пх или в х/п в зависимости от того,
лежит х в Q' или в N', где п = 2, 4, 3, 6 в соответствующих
случаях.) Удобно обозначить через Пх тождественную переста-
перестановку Q.
Теорема 1. Множество П, состоящее из р инволюций щ (i e
е Й'). инвариантно относительно группы L2(p) (р = 3, 5, 7, 11).
Доказательство. Множество П очевидным образом инвари-
инвариантно относительно а, а приведенное выше мнемоническое пра-
правило показывает, что оно инвариантно также и относительно р,
так что остается проверить его инвариантность относительно v-
Здесь начинаются чудеса — оказывается, что (т)у = л,&, где б,
в этих четырех случаях есть
(оо) @)A) B), (оо)@)A2)C4), (оо) @) A2) C6) D) E),
(оо)@)A)BХ)C4)E9)F7)(8).
Теперь обсудим каждый случай.
1.2. Случай р = 3. Здесь ш являются элементами четверной
группы Клейна, содержащейся в L2C), и, поскольку она инва-
инвариантна, эта подгруппа нормальна в группе /-г(З), которая,
следовательно, не проста. В этом случае представление на р
элементах не точно, так как оказывается, что б действует
тождественно. Поскольку L2C) имеет порядок 12 и содержит
только четные перестановки множества Q, получаем изоморфизм
L2C)^ A4.
1.3. Случай р = 5. Группа L2E) действует на П только чет-
четными перестановками и, имея порядок 60, обязана совпадать
с полной знакопеременной группой на П, так что получаем изо-
изоморфизм L2E)^ A5. Преобразуя П элементами симметрической
группы S6, действующей на Я, получаем ровно 6 таких
336 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
множеств, состоящих из пяти инволюций. Каждая перестановка
из Эб определяет перестановку этих шести множеств, так что
группу S6 можно считать реализованной как группу перестано-
перестановок двух различных систем из шести объектов. Группа So,
оставляющая множество П неподвижным, порождена переста-
перестановками it.-'jtjjTj и содержит исходную группу L2{5); поэтому
она не оставляет неподвижным никакой элемент из Q. Отсюда
следует, что два представления группы S6 на шести объектах
существенно различны в том смысле, что они связаны внешним
автоморфизмом группы Se. Известно, что группы Sn обладают
внешними автоморфизмами лишь при д = 6.
Детали выглядят следующим образом. ПустьП{ = я^'гтяД/ е
е Q). Множества П, и есть шесть множеств из пяти инволю-
инволюций, и перестановка щ множества Й индуцирует перестановку
(Поо, Пг) этих шести множеств, и, симметричным образом, пе-
перестановка (оо,/) индуцирует перестановку, переводящую П*
в П*яг Итак, имеется внешний автоморфизм 9, переставляю-
переставляющий (оо, {) с щ и, следовательно, все 15 инволюций вида
(ab) (с) (d) (e) (/) с инволюциями вида (uv) (wx)(yz). Первый
класс соответствует дуадам Сильвестра [Syll], а второй —
синтемам, шесть множеств П, суть синтемагические тоталы.
Имеем 02=1 и (г, i)e = n{j, где n{J = n't 1я/я/ = я^гус,, за
исключением того, что я<х=,, = я/,» = я,.
1.4. Случай р = 7. В этом случае IL — элементы элементар-
элементарной абелевой группы Е порядка 8. Группа /-2G) действует как
подгруппа группы автоморфизмов L3B) группы Е (поскольку
мы можем считать Е трехмерным векторным пространством
над f2), и, поскольку |L3B) | = |L2G) J, получаем изоморфизм
L2G)^L3B).
Группа Е вместе с L2G) порождает подгруппу F группы
As порядка 8-168 и, следовательно, индекса 15 в As. Поскольку
группа 12G) порождена а, р, у и транзитивна на П, группа F
порождена элементами а, р, у, яо- Но (о чудо!) замечаем, что
у8 = п0, поэтому F порождена также и элементами а, р, б, яо.
Следовательно, группа F содержит две подгруппы L%B), до-
дополнительные к Е, а именно «исходную» L2G) = <a, p, v> и
«исключительную» L2G) = L3B) = <а, р, б>. Они не сопряжены
в F, поскольку одна из них транзитивна на Q, а другая остав-
оставляет неподвижной оо. Такое поведение голоморфа элементар-
элементарной абелевой группы исключительно.
Мы можем описать эту ситуацию и иначе, указав для F
внешний автоморфизм 0, тривиально действующий на ? и на
F/E (но, разумеется, нетривиальный на F). Имеем02 = 1, ае = а,
§ 1. Первая лекция 337
Р9 = Р, y9 = 6, 6е = у и nbi — ni. Нетрудно увидеть, что всякая
подгруппа в F, изоморфная /-2G), сопряжена либо <a,p,v>,
либо <а, р, б>, так что 0 является по существу единственным
внешним автоморфизмом группы F. Другое следствие: F обла-
обладает двумя существенно различными точными представлениями
на 8 элементах (ср. с поведением S6).
Поскольку F имеет индекс 15 в А8, преобразуя П элемен-
элементами из А8, получаем 15 множеств по 7 инволюций, подобных
П. Эти 15 множеств мы будем называть четными множествами,
а если вместо этого преобразовать П элементами дополнения
S8\A8, получим еще 15 множеств, называемых нечетными. Каж-
Каждая из 105 регулярных инволюций из А8 (т. е. инволюций вида
{ab) (cd) (ef) (gli)) лежит ровно в одном четном и ровно в од-
одном нечетном множестве. Имеется, следовательно, естественный
граф, вершины которого соответствуют 30 множествам, а реб-
ребра —105 регулярным инволюциям из А8; каждая инволюция
соединяет два множества, содержащие ее. Каждая вершина од-
одного множества соединена ровно с 7 вершинами другого мно-
множества.
Похожий граф можно построить по элементарной абелевой
группе порядка 16, взяв в качестве четных и нечетных вершин
15 ее инволюций и 15 подгрупп порядка 8 и соединяя каждую
подгруппу с 7 содержащимися в ней инволюциями. Чтобы по-
показать, что эти два графа изоморфны, мы должны превратить
наши 15 четных множеств П,- в элементарную абелеву группу
порядка 16. Мы сделаем это, определив произведение различ-
различных четных множеств П<П; как то единственное третье четное
множество, которое в графе соединено со всеми вершинами,
соединенными и с П,, и с П,. Имеется простое комбинаторное
доказательство того, что таким образом действительно опреде-
определена группа, и, поскольку все элементы из As действуют на ней
нетривиально, Ag является подгруппой ее группы автоморфизмов
L4B). Так как |L4B) | = A/2)8!, получаем изоморфизм
L4 B) ^ А8. Мы не будем вдаваться в дальнейшие детали здесь,
поскольку приведем другое доказательство наличия этого изо-
изоморфизма во второй лекции.
В работе такого рода полезно иметь простой способ с одного
взгляда определить структуры возникающих групп. Мы будем
говорить, что G — группа типа А. В (или АВ, когда это не при-
приводит к недоразумениям), когда G имеет нормальную под-
подгруппу А, факторгруппа по которой изоморфна В. В этих обо-
обозначениях циклическая группа порядка п обозначается просто
п, а элементарная абелева группа порядка рп просто рп. Таким
образом, мы только что занимались группой F типа 23L3B).
338 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
1.5. Случай р = 11. В случаях р = 3, 5, 7 группа (а, р, у, 6)
представляла собой соответственно А4, S6, 23L3B), причем при
р = 5, 7 эта группа обладала внешним автоморфизмом 0, остав-
оставляющим на месте а и р и переставляющим у и б. Мы утверж-
утверждаем, что при р = 11 группа <а, р, у, б> есть группа Матье на
12 символах, Mi2, и что <а,p,v> и <а, р,б> — две подгруппы
типа /-2A1), не переставляемые никаким автоморфизмом
группы Мм
Мы покажем, что <а, $,у, б> есть собственная подгруппа
в Ai2, обладающая 6-мерным проективным представлением над
[Гз- Возьмем 12-мерное пространство S6 над f3 с базисными
векторами xi (i eQ) и для SsQ обозначим через xs сумму
2и xt (iе5) с похожими обозначениями в других случаях.
Рассмотрим пространство Ж, порожденное векторами Wi (ie=Q),
где ze>oo = *s и wi = xN-i — a:q_,- (i g й') и, например, Af — i
обозначает {n—i: n^N}. Троичный код Голея (п. 2.8.5 гл. 3)
есть множество наборов из 12 элементов (с», с0, ..., Сх), та-
таких, что X Cixi е W•
Теорема 2. Пространство ЯЯп 6-мерно, и X с»и>*= 0 тогда
и только тогда, когда (с,-) е ^12.
Доказательство. Элементы до», a»i, шK, ^4, ws, w» линейно не-
независимы в Ж, так что ^12 по крайней мере 6-мерно. Однако
Wn =¦ wq = 0, так что wq = 0 и Долг-; = &><?-/ = 0 для i ge й'.
Следовательно, включение (c^ge"?3^ влечет за собой 2 сгдо,- = 0
и элементы wi связаны по крайней мере шестью линейно неза-
независимыми соотношениями, откуда и следует утверждение.
Определим на S6 линейные отображения А, В, С, D форму-
формулами
A: Xi->xi+i, В: Xi-*x3i, С: Х{-+±х-.щ, D: xt-*Xib,
где б = (оо)@)A)BХ)C4)E9)F7)(8), а знак ± является +
для t'eQn — для j ge Л^.
Теорема 3. Отображения А, В, С, D сохраняют Ж.
Доказательство. Проследив за действием этих преобразова-
преобразований на wu мы убедимся, что чудесным образом
A: wt—>Wi-i, В: Wi~*wzu С: wt-^^w-i/i, D: wi-+wn,
где знак hF противоположен определенному выше ±-
Отсюда немедленно следует, что а, р, у, б порождают соб-
собственную подгруппу Мц группы Ai2. Следующая теорема, ко-
которую мы не доказываем, дает нам значительную информацию
§ 1. Первая лекция 339
о группе М\2. Большая ее часть легко доказывается по анало-
аналогии с методами следующей лекции, применяемыми там к Ми.
Теорема 4. Mi2— пятикратно транзитивная группа порядка
12-11-10-9-8. Группа (А, В, C,D} есть нерасщепляющееся рас-
расширение 2Mi2, состоящее в точности из автоморфизмов про-
пространства 93, сохраняющих "W. Она обладает внешним автомор-
автоморфизмом 6, удовлетворяющим условиям
82=1, Ав = А~\ Вв = В, C9 = C~l = — C, D9 = D;
его присоединение дополняет группу 2МХ2 до группы 2Mi22.
Симметрии, связанные с автоморфизмом 9, проясняются при
переходе к пространству Т = 93/Ж. Пусть векторы vi — кано-
канонические образы векторов xi в Т. Тогда группа 2М\?2 есть груп-
группа линейных автоморфизмов пространства Т®Ж а в качестве
таковой переставляет 48 векторов ±vi, ±w4; автоморфизм 0
переставляет каждый и,- с соответствующим w,. Факторгруппа
М\22 переставляет 24 подгруппы V,-={0, и,-,—и,} и Wt =
= {0,wt,—Wi) пространства Т®Ж. Опишем в этих терминах
некоторые подгруппы группы 2Mi22.
Фиксируя Уоо, получим подгруппу 2М\\ с орбитами поряд-
порядков 2, 22, 24 из 48 векторов, а именно {±Uoo}, {ztur. гей'} и
{±ВД!ЕЙ}. Эта группа обязана быть прямым произведением
СгХ-Мц (где С2 — циклическая группа), поскольку она обла-
обладает подгруппой Мц индекса 2, оставляющей неподвижными vx
и и_оо по отдельности, с орбитами порядков 1, 1, 22, 12, 12,
а именно {vx}, {—f»}, {±o,-: i'eQ'} и {а>,:г<= Я}, {-ш;:/е Q}.
Заметим, что фигурирующее здесь представление группы 2Мц
перестановками 22 элементов не есть прямое произведение
представлений С2 перестановками двух элементов и Мц пере-
перестановками 11 элементов, поскольку Мц по-прежнему тран-
зитивно действует на всех 22 элементах. Есть еще один класс
сопряженности подгрупп Ми в М\2, получаемый переменой ро-
ролей Vi И Wi.
Имеется подгруппа SL2A1) = <A, В, С> с двумя орбитами
порядка 24 и подгруппа L2C1) с орбитами порядков 1, 1, 11,
11, 1, 1, 11, 11, а именно {t>o<>}, {v^. ieQ'}, {а1-»}, {ш^еЙ'} и
получаемые из этих заменой знака. Группа 2,2A1) дополняется
до прямого произведения 2Х^2A1) присоединением —1. В фак-
факторгруппе М122 обе эти группы превращаются в L2(ll), но одна
максимальна в Мц, а другая нет.
Подгруппа 2Х-М10, оставляющая на месте подгруппы V™ и
Vo, имеет орбиты порядков 2, 2, 20, 24. Она обладает подгруп-
подгруппой М\о, оставляющей неподвижным каждый из элементов vx
340 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
и —vx, которая в свою очередь имеет подгруппу М[о, остав-
оставляющую также неподвижным каждый из элементов ио, —t>o-
Подгруппа М[о имеет орбиты порядков 1, 1, 1, 1, 20, 6, 6, 6, 6, ее
неподвижные точки очевидны, а орбиты порядка 6 — это {до,-:
( g JV}, {до,-: igQ} и получаемые из них заменой знака. Совпа-
Совпадение порядков обеспечивает изоморфизм М'ю ^ А6, но можно
также убедиться в изоморфизме M'l0^ L2(9), переведя 10 под-
подгрупп V\, V2, ..., Vx в 10 точек
0, 1, i, —i, l—i, —l—i, t + 1, 00, I—I, —1
проективной прямой PL (9), на которой перестановки из М[о
превращаются в дробно-линейные преобразования. Следователь-
Следовательно, A6^M[0^PSL2(9). Все три группы S9, M10, PGL2(9) раз-
различны, являясь тремя подгруппами индекса 2 в Aut(Ae)
(Aut(A6)/A6 — четверная группа). Группа S6 дополняется до
Aut(Ae) с помощью внешнего автоморфизма Э, заменяющего
дуады на синтемы, М\0 — с помощью внешнего автоморфизма,
заменяющего V*> на Vo, a PGL2(9)—с помощью автоморфизма
поля, переставляющего i и —i. Группы Эб Л1ю, PGLi{§) раз-
различны как абстрактные группы; это можно установить подсче-
подсчетом классов элементов порядков 3 и 5. В 8б содержится два
класса элементов порядка 3 и один порядка 5, в М\0 по одному
каждого из порядков, а в PGL2(9) — один порядка 3 и два по-
порядка 5.
1.6. Копредставление Mx2. Каждая из троек а, р, у и а, р, б
удовлетворяет определяющим соотношениям группы L2(ll).
Замечательно, что соединение этих соотношений с чудесным со-
соотношением (y6J = |32 или эквивалентным ему FvPJ=l оп-
определяет копредставление М]2 в виде
(а, Р, у, б: а11 = Р5 = у2 = б2 = «Р • еГ3 = (ауK =
= (аб)з = (pvJ = m2 = FvPJ = О-
Оно может быть дополнено соотношениями В2 = 1, ае=а~',
ре _ р> Ye^V-1, Se = б, что задает М\22. Приравнивая произ-
произведения, содержащие у, —1, а не 1 (где —1 есть центральная
инволюция), мы получаем 2Mi22.
Если убрать р с помощью чудесного соотношения, то полу-
получится значительно более простое копредставление
(а, у, б: а11 = у°- = б2 = (а\K = (абK = (убI0 = av«v« • а2 = 1),
которое можно затем преобразовать в
(а, у, ц: а11 = у2 = (уцJ == (ауK = ("пуаK = ti10 = rf2arf • а2 = 1)
1. Первая лекция 341
с помощью замены уб на г\ и устранения б. Можно получить
еще одно непредставление, устранив вместо этого у. (Полу-
(Получаемые так копредставления весьма существенно различаются,
несмотря на внешнее сходство, поскольку мы знаем, что под-
подгруппы <ос, р,у> и <а, р,б> глубоко различны — действительно,
одна из них максимальна, а другая нет.)
1.7. Группа Янко порядка 175560. То, как исключительные
представления малых групп L2(p) могут возникать в иных си-
ситуациях, хорошо иллюстрируется представлением группы Янко
/i порядка 175560 на 266 элементах ([Jan 1], [Jan 2], [Cam 1],
[Eval], [Gagl], [Marl], [Perl], [Whi 2J). Стабилизатором
точки является группа L2(ll) с орбитами порядков 1, 11, 110,
132, 12. Этих сведений достаточно, чтобы построить группу ]\
и тем самым установить ее существование. Централизатор
it) X А5 инволюции i группы J\ таков, что группа А5 содер-
содержится в Z.2 A1)- Возьмем некоторую подгруппу /-2A1)= ?.
С ней связано множество S из 11 инволюций, централизующее
все Аб в L, и действуют они так же, как наши 11 перестановок
я, проективной прямой PL A1)—мы обозначаем щ переста-
перестановку на PL A1), соответствующую инволюции i множества S.
Двенадцать смежных классов по L, образующих орбиту под
действием L, переставляются, как точки х прямой PL(ll); че-
через Lx обозначим смежный класс, отвечающий точке х е PL A1).
Любой элемент группы L может быть представлен как произ-
произведение /(а, р,у) порождающих перестановок группы L; пере-
перестановка, индуцируемая им на S, — это такое же произведение
f(a,p,6).
Теперь действие инволюции i из S на 266 смежных классах
можно описать инвариантным относительно L образом. Это су-
сужает возможности и по существу приводит к единственной воз-
возможной картине. Указанные 266 классов суть L, Li, Lij, Lxj, Lx
для xePL(ll),i,/eS,i# j.
Умножение на типичный элемент из L переставляет эти клас-
классы, действуя на х элементом /(а, р, у), а на г и / элементом
f(a, р,б); таким образом, нам остается описать умножение на
типичный элемент AgS.
Поскольку k2 — тождественное преобразование и Liji = Lij,
нам достаточно рассмотреть выражения Lijk и Lxjk, в которых
i, j, k различны. Далее, заметим, что перестановка я(Я;Яй имеет
в PL A1) две неподвижные точки и и и, если вообще их имеет,
причем и я v могут быть выделены тем условием, что переста-
перестановка я/г, меняющая местами и и v, также переставляет ип. и
vn.k, но не переставляет uzik и шт/. Положим u = [i,j,k]; тогда
342 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
[k, j, i] должен совпадать с v. Имеем
Lijk = Lji, если л^л^ не имеет неподвижных точек,
Lijk = Lxh, если [г, /, k] = x = [h, i, j],
Lxjk = Lyh, если x = [h, k, j] и # = [/, k, A],
Lxjk = Lhi, если xnt = [i, j, k] = [h, i, j].
С этими уравнениями легко работать, если вспомнить, что
уравнение [i, j, k] = и разрешимо и позволяет определить л,,
я,-, nk как перестановки переставляющие соответственно пару
(и, ил/гП/), (ыл,-, ипк) и (ы, ыя,п;). (Любая пара различных точек
из PL A1) переставляется одной из перестановок я,-.)
Легко, кроме того, убедиться в том, что группа А266 содер-
содержит собственную подгруппу J\ нужного порядка. Если соеди-
соединить каждую из 266 точек с орбитой порядка 11 в ее стабилиза-
стабилизаторе, мы получим граф с ребрами (L,Lh), (Li,Lhi), (Lij, Lhij),
(Lx,Lyh), (Lxj,Lyhj), где в каждом случае h изменяется произ-
произвольно и выполняется соотношение у = хпн- Несложно прове-
проверить, что определенные выше операции сохраняют описанный
граф. Если вместо этого соединить каждую точку с соответ-
соответствующим множеством из 12 точек, получим список ребер (в ко-
котором у и h произвольны)
(L, Ly), {Li, Lyi), (Lij, Lyij),
(Lx, L), (Lx, Lxh), (Lxj, Lj), (Lxj, Lxhj).
§ 2. Вторая лекция
2.1. Группа Матье М2*. Определим группу М2$ как группу,
полученную присоединением перестановки б: х^>-хэ/9 (xeQ)
или х^>-9х3 (xeiV) к группе L2B3), действующей на проектив-
проективной прямой Q = PLB3). Полный список образующих таков:
,а = (оо)@ 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22),
# = (оо)A5 7 14 5 10 20 17 11 22 21 19) @) ¦
.C 6 12 1 2 4 8 16 9 18 13),
Y = (oo 0)A5 3)G 13) A4 18) E 9) A0 16) B0 8) A7 4) A1 2).
• B2 1)B1 12)A9 6),
¦6 = (оо)A4 17 11 19 22) A5) B0 10 7 5 21) @).
• A8 4 2 6 1) C)(8 16 13 9 12).
Иногда удобно заменять пару у, б произведением -уб2, кото-
которое порождает ту же самую группу, поскольку у и б коммути-
§ 2. Вторая лекция 34$
руют. Имеем
Y = (Yd2M, 6 = (Y6T2 и
Y62 = (оо 0) A5 3) A4 2 22 4 19 18 11 1 17 6) -
•B0 13 21 1Б 5 8 7 12 10 9),
иначе говоря, с алгебраической точки зрения -уб2 переставляет
оо с 0, а при хф оо, 0 переводит х в —(х/2J (если xeQ) или
в BхJ (если xeJV). Ясно, что элементы у, б нормализуют
группу <р> и pv = p-', р« = р3 и Gб2)-'РGб2) = р2.
Теорема 5. Группа M2i пятикратно транзитивна на Q.
Доказательство. Случайным образом перемножая образую-
образующие, находим перестановки типов 1 23, 12112, 1373, 1454, 212, 1828-
и 46 (например, а, р, ба2, б, у, (абK и (а13уб2K). Типы 123
и 212 показывают, что Ми транзитивна, и, следовательно,,
стабилизатор любой точки должен содержать перестановку
типа 1 23 и потому действовать транзитивно на остальных
23 точках. Аналогичным образом проверяется, что стабилиза-
стабилизатор двух точек транзитивен на остальных 22 (используются
циклы 12112 и 1373), а стабилизатор трех точек транзитивен на
остальных 21 (используются 1373 и 1454), так что M2i четы-
четырежды транзитивна. Далее, подгруппа, оставляющая на месте
множество из 4 точек, содержит перестановки типов 1454 и 46,
поэтому она транзитивна на остальных 20 точках, тогда как M2i
должна действовать транзитивно на множестве 5-элементных
подмножеств из Q. Однако подгруппа, сохраняющая любое 5-эле-
ментные множества, содержит перестановки типов 1454 и 1828,
индуцирующие перестановки типов 5 и 132 на 5-элементных
множествах, и пятикратная транзитивность следует отсюда, по-
поскольку две перестановки типов 5 и 132 порождают полную сим-
симметрическую группу на 5 элементах.
Определим М24-* как поточечный стабилизатор /г-элемент-
ного подмножества из Q в M2i (k ^ 5).
Чтобы показать, что М2*— собственная подгруппа знакопе-
знакопеременной группы А24, превращаем множество P(Q) всех под-
подмножеств й в 24-мерное векторное пространство над Рг (по
определению сумма А -\- В двух множеств есть их симметриче-
симметрическая разность (Л\В)ЩВ\Л)) и показываем, что М24 сохраняет
12-мерное пространство. Двоичный код Голея <g'2i (п. 2.8.2 гл. 3)
есть пространство, порожденное 24 множествами Nt (iefi),
где N<x, = Q, а в остальных случаях Ni = N — i={n — i: «e
е= N}. Если S != й, пишем Ns для X! Nt (i e= 5).
Теорема 6. Код 4?2i не более чем 12-мерен.
344 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Доказательство. Можно непосредственно проверить, что
NQ= Nx = 0, где NNi = Q для всех гей и Nc — 0 для всех
Се'??24- Если B?24 &-мерно, имеется, следовательно, по край-
крайней мере k независимых линейных соотношений между его
порождающими множествами Nt, так что /г ^24 — k (приведен-
(приведенные соотношения — следствие хорошо известных теоретико-чис-
теоретико-числовых фактов, но в любом случае a priori очевидно, что каж-
каждое из множеств JVa, NN должно иметь вид aN + bQ + c(oo)-f-
-\-d{0}, так что проверять приходится немного).
Похожее вычисление дает точную размерность <e'2i и достав-
доставляет тест на принадлежность к ^24-
Теорема 7. ^24 в точности 12-мерно, и включение С^.Ч?2*
выполняется тогда и только тогда, когда Nc = 0.
Доказательство. Заметим, что N{-2, о, % з} = {0, 1, 2, 3, 4,
7, 10, 12} есть "^-множество, т. е. принадлежит ^24, с наимень-
наименьшим элементом 0. Прибавляя i (i ^ 10) к его элементам, полу-
получаем ^-множества с наименьшим элементом I (О^г'^10).
Они очевидным образом порождают 11-мерное пространство,
а оставшаяся размерность получается за счет добавления ^-мно-
^-множества, содержащего оо.
Теорема 8. Группа M2i сохраняет <Sl2i-
Доказательство. Очевидным образом имеем Nta = Л^,-_ь
N$ = Af2? и проверяем равенства
#ба = ЛГ{_1. о, 1,з},
из этих равенств мы заключаем, что Niy82 e ^24 для всех i, ис-
используя соотношения Л^уб2 = Nfiyd? — Niy82$2. (На самом
деле только одно нетривиальное соотношение подлежит про-
проверке, поскольку (g724 порождено Nt (для i e Q') и Л'оо == Q.)
Теорема 9. Существуют ^-элементные *&-множества, называе-
называемые (специальными) октадами; каждое непустое ^-множество
Является симметрической разностью строго меньшего ^-множе-
^-множества и октады. Каждое Ъ-элементное множество содержится
ровно в одной октаде.
Доказательство. Одна октада {0, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12} уже
найдена, и поэтому по теореме 5 каждое 5-элементное множе-
множество содержится по крайней мере в одной октаде. Следова-
Следовательно, каждое ^-множество с количеством элементов, не мень-
меньшим 5, является симметрической разностью октады, содержа-
§ 2. Вторая лекция 345>
щей эти 5 точек, и строго меньшего ^-множества. Если бы ка-
какое-нибудь непустое ^-множество имело менее 5 элементов, по
теореме 5 любое равномощное ему множество также было бы
^-множеством, и взятием симметрических разностей мы полу-
получили бы все двуэлементные множества и тем самым все мно-
множества с четным количеством элементов в качестве 'ё'-множеств,
что невозможно. Отсюда следует, что октады — наименьшие не-
непустые ^-множества, поскольку из любых непустых меньших
"F-множеств мы получили бы еще меньшие и т. д. Никакое
5-элементное множество не может содержаться в различных
октадах, поскольку в противном случае симметрическая раз-
разность этих октад была бы ^-множеством, содержащим не более
6 элементов.
Последнее утверждение теоремы 9 гласит, что октады обра-
образуют систему Штейнера 5E,8,24) (разд. 3.1 гл. 3). Мы выво-
выводим отсюда, что существует ровно
= 759 октад,
транзитивно переставляемых группой М^. Витт [Wit 2], [Wit3]
доказал, что система 5E,8,24) — подобно системам 5D,7,23),
5C,6,22), 5E,6,12), 5D,5,11), связанным с другими груп-
группами Матье, — по существу единственна, и определил группу
M2i как группу автоморфизмов этой системы.
2.2. Стабилизатор октады. Группа М24 содержит переста-
перестановки вида 1 3 5 15 и I2 2 4 82, например бос11 и 8<х5. Октада,
содержащая 5-цикл в первом случае (оставляемая этой пере^
становкой неподвижной), может только быть объединением 5-
и 3-циклов, а во втором случае октада, содержащая 4-цикл и
1-цикл, должна быть объединением 4-, 2- и 1-циклов. Четвертая
степень второй перестановки есть, следовательно, перестановка
вида 1828, неподвижные точки которой образуют октаду. Следо-
Следовательно, мы можем предположить, что группа M2i содержит
перестановку К =^(abcde) (fgh) (i) (jkt ... x) и перестановку \х
вида 1828, переставляющую i и / и оставляющую неподвижными
а, Ь, с, d, e, f, g, h. Перестановки цх, цх\ ... имеют те же не-
неподвижные точки, но переставляют уже i с k, i с / и т. д., и,
таким образом, поточечный стабилизатор множества {a,b,c,d,
e<f,g,h} имеет по крайней мере 15 инволюций и порядок не
менее 16. Поточечный стабилизатор множества {a, b,c,d,e) па
крайней мере втрое больше, поскольку содержит также пере-
перестановку Я,5 порядка 3. Отсюда следует, что порядок группы М2а
не меньше 24-23-22-21-20-16-3 = 244823040.
346 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Теорема 10. Подгруппа группы М2а, оставляющая инвариант-
инвариантной октаду (как множество), является группой 24А8, — рас-
расширением элементарной абелевой группы порядка 16 (остав-
(оставляющей неподвижной октаду поэлементно) с помощью знако-
знакопеременной группы на 8 элементах, изоморфной LtB). Группа
M2i имеет порядок в точности 244823040 и содержит все пере-
перестановки множества Q, сохраняющие код Голея <ff2i.
Доказательство. Рассмотрим подгруппу Н индекса 16 в ста-
стабилизаторе октады, которая вдобавок к тому, что сохраняет
множество {а, Ь, с, d, e, f, g, К), сохраняет точку i. Поскольку
множество {а, Ь, с, d, e, f, g, h, i) содержит ровно одно непу-
непустое "^-множество, не пересекающиеся с ним "^-множества об-
образуют пространство коразмерности 8, т. е. размерности 4, и
легко видеть, что каждый нетривиальный элемент из Н нетри-
нетривиально действует на этом пространстве, так что Н — подгруппа
его группы автоморфизмов LAB), порядок которой равен
A6- 1) A6-2) A6-4) A6-8) = 20160.
Группа перестановок элементов а, Ь, с, d, e, f, g, h, индуциро-
индуцированная Н, транзитивна и содержит 3-цикл (hgf) (порожденный
X5) и должна совпадать со знакопеременной группой As порядка
1/2-8! = 20 160; из совпадения порядков вытекает изоморфизм
//?* А8 = М2). Поскольку 20 160 = 244823040/G59-16), поря-
порядок группы М24 в точности равен 244823040 и подгруппа, остав-
оставляющая неподвижными каждый из элементов а, Ь, с, d, e, f, g, h,
имеет порядок ровно 16, будучи транзитивной на остальных 16
буквах. (Зна состоит из тождественного преобразования и из 15
ранее найденных инволюций и потому является элементарной
абелевой группой. (Она двойственна упомянутому выше 4-мер-
4-мерному пространству "^-множеств и тоже переставляется группой
Н.) Рассуждение, связанное с оценкой порядка группы М^
сверху, применимо также к группе всех перестановок множе-
множества Q, сохраняющих с&12и, и устанавливает совпадение двух
групп.
Теорема П. Пусть {а\, а2, ..., ав}—октада. Тогда количе-
количество октад, пересекающих {аь ..., а,-} по {аи ..., а,}, (в точ-
точности) равно (j + \)-му элементу в A-{- 1)-й строке табл. 10.1.
Доказательство. Поскольку M2i транзитивна на этих множе-
множествах заданных мощностей, содержащихся в октадах, количе-
количество октад, содержащих {а\, ..., о,-}, в частности, равно
759-1 . /I . I (для г<5) или 1 (для
§ 2. Вторая лекция ' 34Г
и мы получаем правые элементы таблицы. Остальные выводят-
выводятся из этих повторением того правила, что сумма соседних эле-
Таблица 10.1. Каково количество октад?
759
506 253
330 176 77
210 120 56 21
130 80 40 16 5
78 52 28 12 4 1
46 32 20 8 4 0 1
30 16 16 4 4 0 0 1
30 О 16 О 4 0 0 0 1
ментов в любой строке есть элемент как раз над ними в пре-
предыдущей строке. В табл. 10.2 приведены количества умбраль-
Таблица 10.2. Каково количество додекад?
2576
1288 " 1288
616 672 616
280 336 336 280
120 160 176 160 120
48 72 88 88 72 48
16 32 40 48 40 32 16
О 16 16 24 24 16 16 О
00 16 О 24 О 1600
ных додекад, пересекающих {аи ..., щ) по {аи .... а;} (см-
ниже).
2.3. Строение кода Голея
Теорема 12. ^24 имеет весовой спектр 0'8Г591225г616г59241.
Доказательство. Поскольку по теореме 11 две различные
октады пересекаются по 0, 2 или 4 точкам, их симметрические-
разности имеют мощности 16, 12 или 8. Отсюда вытекает тео-
теорема с учетом теоремы 9 и того факта, что ^-множества обра-
образуют дополнительные пары.
348 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
2.4. Строение P(Q)/<g?24.
Теорема 13. Каждое подмножество в Q <6'^-конгруэнтно
либо единственному множеству мощности не более 3, либо каж-
каждому из 6 различных множеств мощности 4.
Доказательство. Если множество S содержит 5 и более эле-
элементов, получаем конгруэнтное множество с меньшим количе-
количеством элементов, беря симметрическую разность с октадой, со-
содержащей 5 элементов из 5. Если S содержит 4 элемента, по-
получаем еще 5 4-элементных множеств, беря симметрические
разности S с 5 содержащими его октадами (теорема 11). Если
два различных множества с 4 и менее элементами конгруэнтны
по модулю ^24, то их симметрическая разность является окта-
октадой, поэтому они должны не пересекаться и содержать по 4 эле-
элемента каждое, так что теорема неулучшаема.
/24\ /24\ , /24\
Таким образом, 4096= 1 + 24 + (^ 2 J + (^ g J + -Ц 4 J.
Иными словами, ^24 — исправляющий три ошибки код с радиу-
радиусом покрытия 4.
2.5. Максимальные подгруппы в М-ц. Известен полный спи-
список максимальных подгрупп группы М24- Тодд [Tod 3] в своей
работе об Ж24 указал 8 типов, с тех пор был обнаружен еще
один тип — октерная группа порядка 168, которая будет опи-
описана ниже. Чен Чой [Choi] и Кэртис [Cur 2] —[Cur 5] дока-
доказали, что эти девять групп действительно исчерпывают классы
сопряженности максимальных подгрупп группы М24. За двумя
исключениями эти группы легко описываются в терминах кода
Голея B?24, и мы приведем это описание довольно подробно.
В гл. 11 мы также опишем эти группы в терминах MOG.
12-элементное ^-множество называется (умбральной) доде-
кадой, а пара дополнительных умбральных додекад называется
дуумом. Тройка попарно непересекающихся октад называется
трио, а система из 6 тетрад с тем свойством, что объединение
любых двух из них есть октада, называется секстетом. (Мнемо-
(Мнемоника: яуум = 2 ?шбрала, трио = 3 октады, секстет = 6 тетрад.)
Вообще, используется термин «га-ада» для «-элементных под-
подмножеств из Q с точностью до того, что термины октада и до-
декада обычно подразумевают прилагательные специальный и
умбральный.
Максимальные подгруппы в М24 могут теперь быть описаны
как стабилизаторы монад, дуад, триад, октад, секстетов, трио
и дуумов вместе с двумя дополнительными группами /,2B3),
L2G) (см. табл. 11.1 следующей главы). Группа /,гB3) — это та,
§ 2. Вторая лекция Э49
с которой мы начинали, a L2G)—последняя максимальная под-
подгруппа. Мы приведем теоремы, в точности описывающие степень
транзитивности каждой из этих групп на различных конфи-
конфигурациях в Q. Мы будем говорить, что группа а + 6-транзи-
тивна на множествах А и В, если она содержит элементы, пере-
переводящие любые а элементов из Л и одновременно любые Ь эле-
элементов из В в любые заданные наперед позиции.
Теорема 14. Группа 24А8, оставляющая на месте октаду,
является 6+ 1-, 3 + 2- и 1 + 3-транзитивной на октаде и на ее
дополнении.
Доказательство. Стабилизатор октады и еще одной точки
в ее дополнении есть группа // = А8, 6-транзитивная на ок-
октаде и в качестве LiB) дважды транзитивная на остающихся
15 точках дополнения, которые могут рассматриваться как ин-
инволюции группы 24 под действием Z,4B). Стабилизатор двух
точек дополнения есть, следовательно, группа 23L3B), которая
оказывается совпадающей с группой, встретившейся нам в пер-
первой лекции, трижды транзитивной на октаде. Стабилизатор точ-
точки в октаде вместе с двумя точками дополнения есть 1зB), и
легко видеть, что эта группа транзитивна на остающихся 14 точ-
точках дополнения.
Теорема 15. М24 транзитивно действует на додекадах. Груп-
Группа, оставляющая додекаду инвариантной {как множество),есть
группа Матье Afi2, которая 5 + 0-, 3 + 1-, 1 + 3- и 0 + 5-транзи-
тивна на этой додекаде и ее дополнении. Эта группа Мм имеет
индекс 2 в группе Mw2, являющейся стабилизатором дуума.
Доказательство. Группа, оставляющая на месте множества
{а, Ь) и {c,d,e,f,g,h}, есть просто подгруппа 24S6 внутри на-
нашей группы 24As, и легко видеть, что ее подгруппа 24 транзи-
транзитивно действует на 16 октадах, пересекающихся с {a,b,c,d,e,f,
g,h}, согласно теореме 11, по {а, Ь). Пусть одна из октад есть
{a,b,i,j,k,l,m,n}; из сказанного следует, что стабилизатор
двух множеств {c,d,e,f,g,h} и {i, j,k, l,m, n) есть группа Se,
которая по симметрии 6-транзитивна на каждом из этих двух
множеств. (Представления перестановками на этих множествах
не могут быть перестановочно совпадающими, поскольку иначе —
в подходящих обозначениях — нашелся бы элемент порядка 3,
оставляющий на месте каждый из а, Ь, с, d, e, i, /, k, а это про-
противоречит нашим сведениям о поточечных стабилизаторах для
{а, Ь, с, d, e).)
Поскольку каждая додекада представима таким образом как
симметрическая разность двух октад с двумя общими точками
350 Гл. 10 Три лекции об исключительных группах
(по теореме 9), отсюда следует, что Мц транзитивна на додека-
дах. Снова любые 5 точек додекады содержатся в одной из пар
октад, симметрическая разность которых есть додекада, и мы
заключаем, что стабилизатор додекады 5-транзитивен на этой
додекаде (и по симметрии на дополнительной додекаде). (Пред-
(Представления перестановочно не совпадают, поскольку подгруппа
Se обладает двумя орбитами порядка 6 в одной из додекад, на
орбитой порядка 2 в другой.)
Отождествив эту группу с Мп, мы можем сказать, что ста-
стабилизатор точки в одной из додекад есть группа М\\, трижды
транзитивная на другой. На самом деле можно обойтись без
отождествления с предыдущей группой Ми, поскольку можно
определить М\г как стабилизатор додекады в Мц. Это легко сде-
сделать — группы Vac, Ко, • • •, Кх, Woo, Wo, ¦. ¦, WxH3 первой лек-
лекции превращаются в точки
оо, 15, 7, 14, 5, 10, 20, 17, 11, 22, 21, 19, 0, 3, 13, 18,
9, 16, 8, 4, 2, 1, 12, &
множества й, и легко проверяется, что перестановки а, р, у, б
первой лекции действительно соответствуют перестановкам груп-
группы Жг4, как они определены здесь, (аир превращаются в {J
и б довольно явно, и остается только рассмотреть действие у, б
на множествах .V, с использованием теста теоремы 7 для ^-мно-
^-множеств. По существу требуется только два из этих вычислений.)
Внешний автоморфизм G из первой лекции превращается в опе-
операцию у этой лекции, переставляющую две додекады дуума,.
здесь обозначенные N и Q.
Теорема 16. Группа Мг* транзитивна на монадах, дуадах и
триадах, стабилизаторы которых есть соответственно группы,
М2з, М222 и M21S3. Эти группы а + Ь-кратно транзитивны на
двух подходящих множествах при fl + i<5ua< 1,2,3 соот-
соответственно.
Доказательство. Эти свойства немедленно вытекают из пяти-
пятикратной транзитивности действия Мъ*.
Если приписать точкам 2, 3, ..., 22 координаты
100, 010, 001, юшО, 111, oil, 1©1, lol, Оюю, Пю,
101, ахлО, (Ыа>, юОю* 110, ю1й, 011, Оюю, ©11, оОю,
то октады, которые содержат оо, 0, 1 (их количество равно 21)
образуют 21 прямую на проективной плоскости над f4 =
=={0,1, ©, ю}. С помощью стандартной техники можно отожде-
отождествить Мц с ?зD) и вывести из этого простоту групп Л12ь М22,
§ 2. Вторая лекция 351
Теорема 17. Группа М.^ транзитивно действует на секстетах.
Стабилизатором секстета является группа 26.3.S6, а ее подгруп-
подгруппа 26-3, переводящая каждую тетраду в себя, 2+1 + 1+0 +
+ 0 + 0- и 3+1+0 + 0 + 0 + 0-транзитивна на тетрадах
(в любом порядке).
Доказательство. Транзитивность немедленно следует из че-
четырехкратной транзитивности .М24 и того факта, что секстет оп-
определяется любой из его тетрад (как, скажем, семейство всех
тетрад, эквивалентных данной под действием ^24)- Далее, в ста-
стабилизаторе секстета, содержащего {а, Ь, с, d) и {е, f, g, h), рас-
рассмотрим подгруппу, оставляющую на месте четыре точки а, Ь,
c, i. Она содержится в рассматривавшейся выше группе Н = Аз,
и мы узнаем эту группу — это просто S3, очевидным образом
переставляющая /, g, h. Таким же образом она переставляет
три тетрады, не пересекающиеся с {a, b, e, i}, и поэтому груп-
группа, оставляющая на месте эти тетрады по отдельности, а также
четыре точки a, b, e, i, имеет порядок 1. Поскольку эта группа
имеет индекс не более 4-3-4-4=192 в группе всех перестано-
перестановок, оставляющих на месте эти тетрады по отдельности, послед-
последняя имеет порядок не более 192. Однако количество секстетов
равно
, /9Л\
= 1771,
и стабилизатор секстета имеет порядок 244823040/1771 =
= 192-6!. Мы замечаем, что имеется 192 перестановки, остав-
оставляющие на месте тетрады по отдельности, и что все 6! переста-
перестановок тетрад индуцируются перестановками, оставляющими на
месте секстет. 2+1 + 1+0 + 0 + 0-транзитивность также уста-
установлена. Мы оставляем 3+1+0 + 0 + 0 + 0-транзитивность чи-
читателю, равно как и более подробное обсуждение группы поряд-
порядка 192 — Тодд отмечает, что наряду с тождественным преобразо-
преобразованием она содержит 45 перестановок типа 1828, 18 — типа 212
и 128 —типа 1636.
Теорема 18. Группа Af24 транзитивна на трио. Стабилизатор
трио есть группа 26(S3 X ^зB)), а подгруппа группы 26L3B),
оставляющая на месте входящие в него октады по отдельности,
2 + 1 + 1- и 3 + 1 + 0-транзитивна на этих трех окладах (в лю-
любом порядке).
Доказательство. Элемент (abcde) (fgh) (г) (jkl ... х) типа
1 3 5 15 действует на 30 октадах, не пересекающихся с {а, Ь, с,
d, e, f, g, h) (теорема 11), образуя две орбиты порядка 15, со-
состоящие из октад, соответственно содержащих и не содержа-
352 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
щих элемент L Каждая октада, таким образом, принадлежит
15 трио, и группа М2а транзитивна на трио, которых должно
быть 759-15/3 = 3795. Поскольку тетрады секстета могут быть
сгруппированы по 15 различных трио и поскольку 1771 • 15 =
= 3795-7, каждое трио может быть составлено из 7 различных
секстетов. Далее, все секстеты естественно соответствуют эле-
элементам из P(Q)/t§>24 (теорема 13), и 7 секстетов, составляющих
трио, вместе с пустым множеством образуют 3-мерное вектор-
векторное пространство над f2 (подпространство в P(Q) /ffu). Ста-
Стабилизатор трио, следовательно, обладает двумя интересными
нормальными подгруппами — одна оставляет на месте все ок-
тады по отдельности, другая — каждый из 7 секстетов, состав-
составляющих трио. Факторгруппа по первой есть S3, поскольку ин-
индуцируются все перестановки трех октад, а факторгруппа по
второй есть группа L3B) или ее подгруппа, поскольку переста-
перестановки 7 секстетов должны сохранять структуру векторного про-
пространства. Индекс их пересечения, следовательно, делит 6-168,
поэтому пересечение, оставляющее инвариантными и октады, и
секстеты по отдельности, имеет порядок 64-я (так как 64-6-168-
¦3795 = 244823040). Однако рассматриваемое пересечение яв-
является подгруппой в группе, описанной предыдущей теоремой,
и, поскольку элемент 1636 не может оставлять на месте 7 сек-
секстетов, он имеет порядок, не превосходящий 64. Так описывает-
описывается структура нашей группы.
Сделаем еще несколько замечаний относительно транзитив-
транзитивности. Если мы рассмотрим преобразования, оставляющие ин-
инвариантными 3 октады по отдельности, а также точку в одной
из них, мы получим подгруппу 23L3B) индекса 8 в 26L3B), ко-
которая представлена перестановками 7 точек первой октады
(с ядром 23) и двумя различными способами перестановками 8
точек из двух других октад (оба этих представления точны и
связаны внешним автоморфизмом из первой лекции). Требуя
дополнительно неподвижности точки второй октады, мы возвра-
возвращаемся к группе L3B), действующей на 7 точках первой и вто-
второй октад и на 8 точках третьей, в каждом случае дважды тран-
зитивно.
Теорема 19. Af24 содержит подгруппы типа L2B3), дважды,
транзитивные на Q и транзитивные на множестве из 759 октад.
Доказательство. Такова подгруппа <а, fJ,Y>- Дважды тран-
транзитивность на О очевидна, а транзитивность на октадах дока-
доказывается следующим образом. Несложное, хотя и громоздкое
вычисление показывает, что данная октада может сохраняться
не более чем 8 дробно-линейными преобразованиями. Поэтому
§ 2. Вторая лекция 363
ее орбита под действием группы L2B3) содержит по крайней
мере | L2 B3) | /8 = 759 элементов.
Теорема 20. Мы содержит подгруппы 1-2G), транзитивные
на Q, но обладающие импримитивными множествами порядка 3,
не содержащимися ни в каких из упоминавшихся выше под-
подгрупп группы. М24.
Доказательство. Рассмотрим перестановку
П = A2 13 14) B1 7 8) A7 1 20) B 19 15) F 3 11)-
• (оо 5 10) A6 0 9) D 22 8),
не лежащую в М24. Прямое вычисление показывает, что она ком-
коммутирует с перестановкой у, а также с перестановкой
A2) B1 17 2 6оо16 4) A3) G 1 19 3 5 0 22) A4) A8 20 15 И 10 9 8)
из Ми. Эти перестановки порождают подгруппу типа ()
импримитивные блоки которой суть восемь 3-циклов переста-
перестановки П. Легко также показать, что эта группа Ь%G) не сохра-
сохраняет ни монад, ни дуад, ни триад, ни октад, ни секстетов, ни
трио, ни дуумов, и рассмотрение порядков показывает, что она
не может содержаться в группе /-гB3).
Таким образом, новая максимальная подгруппа в Мц легко
определяется как централизатор в М2ц перестановки П, которая
сама не лежит в Ми- Итак, это — октерный стабилизатор,
П-циклы которого являются упорядоченными триадами, или
тернами.
По Чен Чою подгруппы группы М2* подразделяются на три
класса — интранзитивные, транзитивные импримитивные и при-
примитивные, причем его рассуждения, относящиеся ко второму и
третьему классам, очень коротки. Здесь мы показываем, как
быстро справиться с интранзитивными группами.
Теорема 21. Любая интранзитивная подгруппа группы Мъ*
оставляет на месте монаду, дуаду, триаду, октаду или секстет
и поэтому содержится в одной из групп списка Тодда.
Доказательство. Пусть S — непустое собственное подмноже-
подмножество в Q, инвариантное относительно рассматриваемой группы.
Если S^ffu, то либо S, либо его дополнение есть октада или
додекада, оставляемая на месте этой группой. В противном
случае S конгруэнтно по модулю W2* единственной монаде,
диаде или триаде или же шести тетрадам секстета, оставляе-
оставляемым на месте этой группой, как это видно из теоремы 13.
354 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Как мы сейчас увидим, похожие соображения позволяют ра-
разобрать некоторые случаи импримитивных групп. Они также
позволят нам привести полную классификацию подмножеств
в Q относительно действия M2i.
2.6. Строение Р{п).
Теорема 22. Подмножества в Q распадаются под действием
М24 на 49 орбит, связь между которыми изображена на
рис. 10.1. На этом рисунке вершины, соответствуют орбитам и
соединены, линиями, числа на которых указывают, сколькими
способами множество одного типа может быть посредством до-
добавления или удаления одной точки преобразовано в множество
другого типа. Так, в умбральной гептаде (U7) имеется точка,
удаление которой приводит к специальной гексаде (Se), тогда
как удаление любой из шести других приводит к умбральной
гексаде (?/б)- В дополнении к умбральной гептаде имеются две
точки, добавление которых приводит к трансверсной октаде
(Т8), и 15 — приводящих к умбральной октаде @8).
Доказательство. В качестве примера рассмотрим 8-элемент-
ные множества. Каждое 8-элементное множество S сравнимо по
модулю *gP24 с одним из следующих:
(i) пустое множество,
(И) единственное 2-элементное множество Т,
(iii) любая из тетрад То, ..., Ть секстета.
В случае (i) S есть специальная октада S8- Группа Мы тран-
зитивна на таких множествах.
В случае (и) S получается из специальной октады S + Т до-
добавлением одной точки и удалением другой. Поскольку стаби-
стабилизатор специальной октады 1 + 1-транзитивен на ней и на ее
дополнении, М24 транзитивна на множествах этого типа, кото-
которые мы будем называть трансверсными октадами Т8.
В случае (iii) S-{-Ti — специальная октада, если Г,- содер-
содержит две точки из S и две из его дополнения, и умбральная
додекада, если Г, не пересекается с S. Подсчет точек из S по-
показывает, что имеется четыре тетрады первого типа и две —
второго, так что S может быть получено (двумя способами)
удалением четырех точек из умбральной додекады. Поскольку
стабилизатор умбральной додекады четырехкратно транзитивен
на додекаде, группа М24 транзитивна на таких множествах, как
S (мы называем их умбральными октадами Us).
Вообще множество мощности п < 12 называется специаль-
специальным {Sn), если оно содержит специальную октаду или содер-
содержится в ней, а в противном случае умбральным (Un), если со-
содержится в умбральной додекаде, и трансверсным (Тп), если не
§ 2. Вторая лекция
365
5,2.12
Рис. 10.1. Действие группы Afo на P(Q) (теорема 22).
356 Гл. 10. Три лекции х>б исключительных группах
содержится. Неумбральная додекада экстраспециальна (Sit),
если содержит три специальные октады, специальна (S12), если
содержит ровно одну, пенумбральна (f/Гг), если содержит все
точки умбральной додекады, кроме одной, и трансверсна (Т^)
во всех остальных случаях. Множества из более чем 12 точек
описываются теми же прилагательными, что и их дополнения.
Рис. 10.1 позволяет сразу увидеть много интересных связей.
Так, удалив точку из Us, получаем ?/7, в котором содержится
единственная точка, удаление которой приводит к Se- Восемь
точек из U8, следовательно, единственным образом распадаются
на 4 множества по 2 элемента, так что стабилизатор U8 импри-
митивно действует на U8. Из диаграммы видно также, что ста-
стабилизатор любого 8-элементного множества стабилизирует спе-
специальную октаду. Для S8 это само 58, для Т8 это единственное
Ss, имеющее 7 общих точек с Т8, для U8 — объединение двух
тетрад, добавление которых по отдельности превращает Us
в U12. (По поводу орбит групп М2г, М24, 2.Mi2 и т. п. см.
[Соп43е].)
Теорема 23. Если подгруппа группы. Мг* содержит два им-
примитивных множества по 12 элементов или три по 8 элемен-
элементов, то она содержится в одной из групп списка Тодда.
Доказательство. Если 12-ады умбральны, это очевидно. Если
нет, они сравнимы по модулю <SI2A с (таким же) множеством из
1, 2 или 3 элементов или с шестью тетрадами секстета. В про-
противном случае замечаем, что группа М24 стабилизирует три со-
соответствующие специальные октады. Если их объединение есть
Q, они образуют неподвижное трио, а если нет — группа ин-
транзитивна.
Похожим образом, но с помощью более длинных рассужде-
рассуждений можно справиться со случаем четырех множеств по 6 эле-
элементов или шести множеств по 4 элемента, но за пределами
этих случаев требуются новые идеи.
Все максимальные подгруппы групп Матье М23, -М22, Mi2, Ми
также известны. В табл. 10.3 приведены их описания. Левая
колонка описывает действие на множестве Q, при этом точки
с запятой отделяют орбиты данной группы Матье. Например,
символ [1; 1; 7, 15] указывает на то, что подгруппа группы М22
(оставляющая на месте две «1») имеет орбиты из 7 и 15 эле-
элементов на остальных 22 точках. В этом случае имеются два
класса сопряженности в соответствии с тем, какая из двух не-
неподвижных точек дополняет орбиту из 7 точек до октады. Да-
Далее, символ [8, 16] указывает на группу с орбитами из 8 и 16
элементов, в то время как [46] означает, что группа транзитивна
§ 3. Третья лекция 857
Таблица 10.3. Максимальные подгруппы групп Матье
[24] ?2B3> [1; 23] 23.11 [1;1; 1,211 М}, [12; 12] IjUl) A; 11; 1, 11] tj(ll)
[1,23] Ма К [1; 1,22] Ма И; 1
[2,221 Мц.2 [1;2, 211 М„.2 [1; I
[3, 21lA/2,Sj [1;3, 45] 24CxS5Ul;l
[46] 26.3S6 И; 7, 16] 24.А7 [l; 1
[8:] 26a3'B)xS3) [1; 8, 15] А8 [l; 1
[122] Af,j2 [J; 11, 12] Л/,, [l; 1
2,45] 2\SS [l.U; 12] Л/„ [l;1.10,62] M»
6,161 24A6 [12; 1,111 A/,, [1;2.9;34] A/,2.
7,15] A, [2, 10; 62] A/,02 [1;3, 8; 4, 8] A/,.S3
7,15] A7 162;2, 10] Ml02 A; 5, 6; 2, 10] S5
8,14] 2U3<2) [3, 9;34] M9S,
11, II] I2(H) [34,3,9] M,$,
10, б2] Л/,о [4, 8; 4, 8] A/8.S4
C8) ?,G) [l; 1;
[8, 16] 24.A« [6x2; 6X2] 2xSs
[4X3:4X3] A4xS3
14'; 431 42.DI2
с шестью импримитивными множествами по 4 элемента. (Та-
(Таким образом, [46] — не то же самое, что [4, 4, 4, 4, 4, 4].) Сим-
Символ 6X2 обозначает множество из 12 точек с одновременно
шестью импримитивными 2-элементными множествами и двумя
6-элементными множествами, т. е. естественным образом со-
составляющее 6Х2-таблицу. По этой информации легко распо-
распознать группы, и мы воздержимся от дальнейших пояснений.
§ 3. Третья лекция
3.1. Группа Соо = -0 и некоторые ее подгруппы. Эта груп-
группа есть группа автоморфизмов решетки Лича в 24-мерном про-
пространстве "R24. В качестве подфакторгрупп она содержит 12 ис-
исключительных простых групп, и, видимо, оправданна точка зре-
зрения, согласно которой их легче всего изучать в -О.
3.2. Геометрия решетки Лича. Пусть пространство R24 на-
натянуто на ортонормированный базис vi (is Q —PLB3)); опре-
определим vs как 2 vi (i e S) для всех S s Q. Используем обозна-
обозначение ^24 для двоичного кода Голея, W (8) — для множества спе-
специальных октад, "^A2) — для множества умбральных додекад
и, наконец, Q(n) — для множества всех «-ад. Пусть Ло — ре-
решетка, порожденная векторами 2vc для Cef (8).
Теорема 24. Ло содержит все векторы. 4vt (ГеОD)),
а также 4v{—4и,- (i,/efi). Вектор лежит в Ло тогда и только
тогда, когда сумма его координат кратна 16, а индексы коор-
координат, не делящихся на 4, образуют <ё'-множество, будучи чет-
четными.
358 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Доказательство. Если Т, U, V — три тетрады секстета, то Ло
содержит
2 + 2 — 2vu+v = 4vT.
Проиллюстрируем это сложением
2222 2222 0000 ...
+ 2222 0000 2222 ...
— 0000 2222 2222 ...
= 4444
4 4
-0 4
0000
4
4
4
4
0000 ...
0 ...
4 ...
а сложение
= 4 0 0 0 —4 ...
похожим образом доказывает второе утверждение. Последнее
утверждение следует из этих, поскольку Ф"(8) порождает •З'г*,
а множество векторов 4vT и 4о,- — 4vj порождают решетку точек
с суммой координат, кратной 16, и с каждой из координат,
кратной 4.
Решетка Лича Ащ (обозначаемая Л в оставшейся части
книги) есть решетка, порожденная векторами vq — 4о«, вместе
с векторами из Ло, это — определение, приведенное в § 11 (ii)
гл. 4. Сложение
—3 1 1 1 ...
4 -4 0 0 ...
1 -3 1 1 ...
показывает, что Л содержит все векторы vq —
Теорема 25. Вектор (*«,, Хо, .... *гг) лежит в А тогда и
только тогда, когда
(i) все координаты xt сравнимы по модулю 2, скажем, с пг\
(ii) множество тех i, для которых Xi принимает заданное
значение по модулю 4, есть ^-множество;
(ш) сумма координат сравнима с 4/п по модулю 8.
Для х, уеЛ скалярное произведение х-у кратно 8, а скалярное
произведение х-х кратно 16.
Доказательство. Утверждения (i), (ii), (iii), а также утвер-
утверждение, касающееся скалярных произведений, выполняются для
векторов, порождающих Л и, следовательно, по линейности и
для всех векторов из Л. Если х удовлетворяет (i), (ii), (iii), то
§ 3. Третья лекция 359
можно вычесть из него подходящее кратное вектора vq — 40»
с тем, чтобы все координаты стали четными, а их сумма была
кратна 16, и тогда лгеЛ по теореме 24.
Мы можем использовать эти условия для перечисления
векторов в Л любой небольшой длины. Обозначив Л (л) мно-
множество таких х (= Л, что хх = 16/г, обнаруживаем, напри-
например, что ЛA) пусто, тогда как ЛB) содержит 196560 векторов,
а именно 27-759 векторов вида ((±2)8016) (ненулевые коорди-
координаты образуют октаду, и их произведение положительно),
212-24 вектора вида (=F3(± 1J3) (нижний знак берется на
^-множестве) и все 2-24-23 возможных вектора вида
((±4J022) в очевидных обозначениях. Соответствующие разло-
разложения ЛC) и ЛD) также включены в табл. 4.13 гл. 4; эти мно-
множества — орбиты под действием обсуждаемой ниже группы М,
знаки координат опущены.
3.3. Группа -0 и ее подгруппа N. Мы определяем группу
Соо, или -0 (произносится «точка-0») как группу движений
евклидова пространства R24, оставляющих неподвижным начало
координат и переводящих решетку Лича в себя. Поскольку
каждый вектор 8ог лежит в Л, элементы из -0 представимы
ортогональными матрицами с рациональными коэффициентами,
все знаменатели в которых делят 8. Если п — перестановка на
Q, то мы продолжаем л до движения R24, положив vtn = vin,
и для S s Q определяем движение es, положив vies = Vi (i^. S)
или —vi {i e S).
Теорема 26. Следующие свойства элемента X группы. -О
эквивалентны:
(i) v{k = ±Vj для некоторых i, jeQ u при некотором вы-
выборе знака ±;
(И) X = лес для некоторого л е Л4г4 « некоторого С е |2?24-
Эти операции образуют подгруппу N = 212-М24.
Доказательство. Ясно, что из (и) следует (i). Покажем, что
и из (i) следует (ii). Из (i) вытекает, что i-я строка матрицы %
содержит единственный ненулевой элемент ± 1 на /-м месте.
Поскольку X ортогональна, на /-м месте всех остальных строк
должны стоять нули. Далее, Я-образ векторов 4t>,- + 4vk есть
умноженная на 4 сумма i-й и k-й строк и потому имеет коорди-
координаты +4. Поскольку такой вектор должен лежать в Л B), он
имеет вид ((±4J022) и его k-я строка также содержит един-
единственную ненулевую координату ±1. Отсюда следует, что
Я = лев для некоторой перестановки л и некоторого множе-
множества S. Но если С е Ч?24, то ненулевые координаты вектора
860 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
находятся в позициях Ся, так что я сохраняет 'ё'ц и лежит
в М24. Опять-таки координаты, сравнимые с 3 по модулю 4
в (vq—4о«,)Я, находятся на позициях S, так что Se1^ и %
удовлетворяет (И). Последнее утверждение очевидно.
Предполагая, что N — собственная подгруппа в -0, ищем до-
дополнительную операцию. Если -0 транзитивна на Л D), она со-
содержит элемент %, переводящий 8о» в некоторый вектор 4&г,
и в строке матрицы % будут стоять 1/2 во всех позициях, соот-
соответствующих Т, и нули в остальных. Однако умноженная на 4
сумма или разность этой строки и любой другой должны быть
вектором из ЛB), и это сужает возможности: если этот вектор
из Л B) имеет вид ((±2)8016), то в другой строке стоят четыре
элемента ±1/2 на позициях, соответствующих некоторой тет-
тетраде из того же секстета, что Т, и если он имеет вид ((±4J022),
то получаем элементы ±1/2 на позициях, соответствующих Т.
Это позволяет предположить, что мы работаем с матрицей,
представляющей собой прямую сумму шести 4Х4-матриц
с ±1/2, стоящими на позициях, соответствующих секстету.
Знаки следует выбирать тщательно — если S — секстет, то пусть
Л = Лв — отображение, переводящее vi в vt — -5-vт (("еГе 3),
и определим | = |г как г\вт, где В — секстет из Т.
Далее, поскольку две октады пересекаются по 0, 2, 4 или
8 точкам, любая октада есть либо объединение двух тетрад из
S, либо содержит по две точки каждой из четырех тетрад или
же три из одной тетрады и по одной из каждой из остальных.
Предполагая правильную упорядоченность координат, приме-
применяем ц:
л: = 2222 2222 0000 0000 0000 0000
*ti = 2222 2222 0000 0000 0000 0000
л: = 2220 2000 2000 2000 2000 2000
*т]=1113 1111 1111 1111 1111 1111
* = 2200 2200 2200 2200 0000 0000
*ti = 0022 0022 0022 0022 0000 0000
х = 3111 1111 1111 1111 1111 1111
rri=3iii ТТЛ ШТ ТТЛ ТТЛ ТТГГ
(п обозначает —п). Поскольку векторы хц не все лежат в Л, ц
не лежит в -0, однако, изменяя знак любой тетрады, получаем
вектор из Л, так что | = т\гт лежит в -0.
§ 3. Третья лекция 861
В [СопЗ] мы доказали, что N—максимальная подгруппа
в »0, и вместе с тем вычислили порядок -О. Следующий метод
включает явные вычисления с |г, но тем не менее элегантен.
Теорема 27. Группа -0 транзитивна на каждом из трех мно-
множеств ЛB), ЛC), ЛD), а N имеет индекс |ЛD) [/48 в группе
• О, порожденной N вместе с элементом ?г-
Доказательство. Мы уже показали, что ?г переводит опре-
определенные элементы из ЛBJ (см. табл. 4.13) в элементы из
ЛBK, и, аналогичным образом, мы видим, что если i и / ле-
лежат в различных тетрадах из S, то ?г переводит 4vi + 4i>/ в эле-
элемент из ЛBJ, так что подгруппа (N, ??•> группы -0 транзитивна
на Л B). Похожие вычисления (все они несложные) устанав-
устанавливают транзитивность на ЛC) и ЛD). Далее, рассмотрим
вектор 8а»; он имеет 48 образов под действием N (векторы
±8а,), и любая операция из -0, переводящая 8vx в один из этих
векторов, лежит в N. Из этих замечаний следует оставшаяся
часть теоремы. (Если ),е -0, то оказывается, что ja e <iV, |г>»
где 8оооМ- = 8о«Л, так что X е N\i.)
Таким образом, порядок Соо= -0 равен
222 • З9 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 = 8315553613086720000.
Представление -0 на Л D) импримитивно, поскольку векторы
из Л D) фигурируют в естественно определенных координатных
ежах, каждый из которых состоит из 24 попарно ортогональных
пар противоположных векторов. Мы можем охарактеризовать
эти ежи геометрически: векторы ежа, содержащие х, — это все
векторы из ЛD), сравнимые с х по модулю 2Л. Чтобы доказать
это, достаточно по транзитивности рассмотреть частный случай
х = 8а».
Теорема 28. Каждый вектор из А конгруэнтен по модулю 2Л
одному из следующих:
(i) нулевому вектору;
(и) каждому вектору единственной пары х, —х (леЛB));
(iii) каждому вектору единственной пары х, —х (х^ ЛC));
(iv) каждому из 48 векторов координатного ежа из Л D).
Доказательство. Пусть х, у — два вектора из A@)|JAB)U
(JЛC)U ЛD), сравнимые по модулю 2Л, причем уф ±х. Тогда,
поскольку х ± у е 2Л, имеем (х ± у) • (х ± у) ^ 128, тогда как
х-у = 0 и #-л:= (/•(/ = 64 (мы знаем, что и х-х, и у-у не пре-
превосходят 64). Отсюда следует, что и х, и у — элементы из Л D),
лежащие в одном и том же координатном еже. Имеем, сле-
следовательно, по крайней мере |Л@) | + |ЛB) |/2 + |ЛC) |/2 +
362: Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
+ | Л D) |/48 различных классов из Л/2Л, и, поскольку эта вели-
величина как раз совпадает с 224, мы нашли представителей всех
классов.
Будем говорить, что вектор х^Л(п) (нормы 2п) имеет тип
п и что х имеет тип 1%аь, если он, кроме того, является суммой
двух векторов типов а и Ъ.
Теорема 29. Каждый вектор х типа п имеет тип паь для не-
некоторых а, Ъ, удовлетворяющих условию а-\- Ъ =A/2) (п -f- k),
где k = О, 2, 3 или 4 (в соответствии со случаями теоремы 28);
все эти возможности взаимоисключающие. Группа -0 транзи-
тивна на векторах каждого из типов
2, 3, 4, 5, 622, 632, 7, 822, 832) 842, 93з, 942. Ю3з, Ю42, 1052, П4з> И52
(охватывающих все векторы типа п < 12).
Доказательство. Что касается первой части, предположим,
что х сравним с у eA@)UAB)U AC)UAD) по модулю 2Л,
и пусть A/2) (х-\- у) и A/2) (х — у) имеют типы а и Ъ. Относи-
Относительно второй части ограничимся выборочным рассмотрением
нескольких типичных случаев.
Тип 632- Каждый такой вектор имеет вид х — у, где х()
уеАB), х-у = —8 и, таким образом, * + г/еЛD). (Это сле-
следует из первой части сменой знака.) Учитывая возможность
преобразования некоторым элементом -0, можем считать, что
х-\-у имеет вид (8, 0, 0, ...), откуда получаем (х — Ь, 1,
1, ...)ес, г/ = C, 1, 1, ...)ес для некоторого Се^, ооф.С
(это — единственный способ представить (8, 0, 0, ...) как х-\-у,
хеЛB), j/eAC)). Применив еще одно преобразование, мо-
можем считать С пустым, так что х — у под действием -0 экви-
эквивалентен B, 2, 2, ...).
Тип 5. В этом случае типичных вектор имеет вид х — у, где
х, 1/еЛB), х-у = —8, так что х + уеЛC), и можно считать
его вектором E, 1, 1, ...). Отсюда без потери общности полу-
получаем х = C, (—IO, I16), г/ = B8,016) либо наоборот или же х —
= D2,022), у — A,—3, I22) либо наоборот, так что х — у есть
один из ±A, (—ЗO, I16) или ±(—3, —7, I22); координаты —3
в первом случае лежат в специальной гектаде S7. Применяя
подходящее |г. видим, что
1333 3333 1111 1111 1111 1111,
3111 7111 1111 1111 1111 1111
§ 3. Третья лекция
863
превращаются в
5111
зГТТ
3333
5333
которые очевидным образом эквивалентны относительно Ми-
Эти доказательства при дальнейших рассмотрениях стано-
становятся проще, поскольку по ходу дела возникают новые транзи-
транзитивности. Можно избежать явных вычислений с |г, воспользо-
воспользовавшись вместо них методами счета из [СопЗ].
3.4. Подгруппы группы «0. Многие подгруппы из -0 легче
всего рассматривать с привлечением бесконечной группы Coco
или -оо всех евклидовых движений решетки Л, включая сдвиги.
Любая конечная подгруппа G группы -оо оставляет неподвиж-
неподвижной точку (не обязательно из решетки), и поэтому найдется та-
такой сдвиг t пространства R24 (не обязательно из -оо), что
G's-0. Если S — обозначение симплекса, то -S будет обозна-
обозначать подгруппу в • оо, состоящую из элементов, оставляющих
на месте все вершины S, *5 — подгруппу из элементов, остав-
оставляющих инвариантным 5 целиком, a \S — подгруппу, оставляю-
оставляющую неподвижным центр тяжести S. Ясно, что -5 ? *S.? IS.
Далее, симплексы обозначаются по их ребрам. Так, стабилиза-
стабилизатор двух точек, разность между которыми есть вектор типа п,
обозначается -п, стабилизатор вершин треугольника, стороны
которого имеют типы а, Ь, с, обозначается -abc и т. д. — см.
рис. 10.2. Группы • 1, -2, -3 также обозначаются соответственно
Со\, С02, Соз.
Рис. 10.2.
364
Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Таблица 10.4. Различные группы, связанные с решеткой Лнча. fiS, McL,
рп, р'+гя обозначают соответственно группу Хигмана — Симса, группу
Маклафлина, элементарную абелеву группу порядка р" и экстраспециальную
группу порядка p2n+l
.Наимен.
•0
•I
•2
•3
•4
•5
•623
•6з2
•7
•»22
•832
•8«
•9зз
•942
•103}
•Ю42
•1143
•1152
Порядок
2223'547211.13.23
2213'547211.13.23
21836537.11.23
21О37537Л1.23
218325.7.11.23
2836537.11
216365.7.11
21О335.7.11.23
29Э25}7.11
21836537.11.23
2736537.11
215325.7
25375.11
27325,7.11.23
21О32537.П
217325.7.11
21О325.7
28365.7
Структура
2.О>,
Со,
Со2
Со3
2пМ13
McL.2
PSU6B).2
ми
HS
Сог
McL
21+8.А8
35.Л/ц.2
М23
HS.2
21О.М1г
24.А8
PSUtC).2
.Наймем.
•222
•322
•332
•333
¦422
•432
•433
•442
•443
•522
•532
•533
•542
•633
*2«!2
*3-!3
*4
!4
!333
!442
Порядок
2Ь>5.7.11
г'з^^.п
2'32537.11
24375Л1
217325.7.11
27325.7.11.23
2"°325.7
212325Л
27325.7
2736537.11
28365.7
2432537
27325.7.11
26335.11
26537 11.23
2П37537.11.23
219325.7.11.23
22233 5.7.11.23
273'5.П
215345.7
Структура
PSL\B)
McL
HS
3S.MM
2 .Mn
Мгг
24.А8
21+8.А7
Af2i.2
McL
psutd).z
PSU,{5)
M22
Mu
(¦2) x 2
(•3) X2
(•4) X2
2'IMI4
36.2.A/12
2I+8.A9
Структура этих групп приведена в табл. 10.4. Многие иден-
идентификации просты. Так, -632 может быть определена как стаби-
стабилизатор в группе -0 вектора B, 2, 2, ...). Рассуждение тео-
теоремы 29 показывает, что этот вектор представим как сумма
х + у (х е ЛC), г/е ЛB)) 24 способами, и мы можем их все
увидеть: это л: = E, I23), у = {—3, I23) и их образы при пере-
перестановках координат. Поскольку векторы х — у имеют вид 8ог,
то -632 Е N и, таким образом, -бзг = М24- В то же время полу-
получаем -632==Af23 — это достигается стабилизацией тех же двух
точек вместе с E, I23). Группы -632 и -432 совпадают, по-
§ 3. Третья лекция 365
скольку параллелограмм со сторонами л/2 и д/З и одной из
диагоналей Уб имеет в качестве другой диагонали д/7. По-
Поскольку • 432 = • 632 = М2з, группа М2з должна содержаться
в каждой из групп -2, -3, -4, • 632 — это можно увидеть также
в подходящих координатах для всех участвующих векторов,
а именно (—3, I23), E, I23), (8, О23) и B2<).
3.5. Группы Хигмана — Симса и Маклафлина. Аналогично
мы видим, что М22 содержится в каждой из групп -222, -322,
•332. Поскольку -222 есть группа PSU6B), отсюда следует, что
М22 имеет 6-мерное проективное представление над F4 (а от-
отсюда довольно просто следует, что порядок мультипликатора
группы М22 делится на 3).
Хигман и Симе [Hig3] описали простую группу порядка
44352000 = 100 (Мгг! как группу четных перестановок неко-
некоторого графа, имеющего 100 вершин, а Маклафлин [McL 1] об-
обнаружил простую группу порядка 898128000, являющуюся груп-
группой автоморфизмов графа с 275 вершинами. Мы отождествили
группу Хигмана — Симса HS с нашей -332 и наметили иденти-
идентификацию группы Маклафлина McL с -322.
Пусть X = 4vl + vq, Y== 4vj + vq, Z — 0, где i, j — различ-
различные монады, так что XYZ— треугольник типа 332. Тогда имеет-
имеется в точности 100 точек Т, для которых XYZT имеет тип 332222,
а именно точка Р = Av, + 4у„ 22 точки Qk — va — 4vk (& е
eQ\ {i,/}) и 77 точек RK = 2vK ({i, /} s К 6=^(8)). Если мы
скажем, что две такие точки инцидентны, когда их разность
имеет тип 3, то инцидентные пары суть (Р, Q*), (Qk, Rk) (k^K),
(Rk, Rk1) (Kf\K'= {',/}) и видно, что граф инцидентности
является графом Хигмана — Симса.
Далее, X—У + Р —Z = 8a,, так что стабилизатор в -оо
точек X, Y, Z, Р есть подгруппа в N, и на самом деле этот стаби-
стабилизатор есть группа М22 перестановок на Q, оставляющих не-
неподвижными i и '/. Мы отождествляем -332 с группой Хигмана —
Симса и в то же время даем простое доказательство существо-
существования последней, показав, что • оо содержит преобразования,
оставляющие на месте X, Y, Z, но не Р. Действительно, пусть
Я — преобразование из -оо, такое, что Х% = 2ус, YX — 2vD,
ZX = 0, где СеУA2), D = VA2), C + Dg?(8). (Такое % су-
существует в силу транзитивности группы -оо на треугольниках
типа -332.) Далее, подгруппа Н преобразований из N, остав-
оставляющих неподвижными каждую из точек XX, Yk, Z%, не остав-
оставляет неподвижными никакую из 100 точек ТХ, которые отли-
отличаются на вектор типа 2 от каждой из XX, YX, ZX, и поэтому
группа ХНХ'1 содержит преобразования, оставляющие непод-
366 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
важными каждую из точек X, Y, Z, но не Р. (Это рассуждение
выводит транзитивность группы «оо на тетраэдрах типа 332222
из транзитивности на треугольниках типа 332.)
Симе [Sim I] показал, что группа, дважды транзитивно дей-
действующая на 176 элементах, описанная Хигманом [Hig4], изо-
изоморфна группе Хигмана — Симса. (См. также [Smi8] —
— [Smi 10].) Группа Хигмана есть группа автоморфизмов «гео-
«геометрии» из 176 «точек» и 176 «квадрик», по 50 точек на каждой
квадрике и по 50 квадрик, проходящих через каждую точку.
Имеется 352 такие точки G, что GX имеет тип 3, тогда как GY
и GZ имеют тип 2, и они естественно образуют 176 пар Рк =
= {АК,ВК} (^еУ(8), КГШ> = {»"}). AK = 2vK, BK = X-AK.
Аналогично, имеется 176 пар QK ={CK,DK}, полученных заме-
заменами i на /. Если рассматривать «точки» как пары Рк, а «квад-
«квадрики» как пары QK и если говорить, что Рк лежит на Qk', когда
| К, П К'\ = 2, то мы получим геометрию Хигмана вместе с но-
новым доказательством того, что эта группа есть группа Хиг-
Хигмана — Симса.
Если вместо этого рассмотреть треугольник типа 322, оказы-
оказывается, что имеется ровно 275 точек, дополняющих его до тет-
тетраэдра типа 322222, и что граф инцидентности (где хну инци-
инцидентны тогда и только тогда, когда х — у имеет тип 3) есть
граф Маклафлина. Детали этой идентификации довольно
сложны, но в результате получается упрощенное определение
графа Маклафлина. Если рассмотреть треугольник XYZ с А" = 0,
Y = 4vi-\- vq, Z — —4уу- + vq (i?=j), то 275 точек естественно
распадаются на следующие три множества: 22 точки Uk (k e
eQ\{t,/}), 77 точек VK ({i,/}= tfeff(8)) и 176 точек
Gk'(K' e^(8), {i, /}П K' = {i}), и инцидентности могут быть
просто описаны комбинаторными условиями на k, К, К'-
3.6. Группа Со3 = «3. Мы покажем, что Со$= -3 обладает
дважды транзитивным представлением перестановками 276 эле-
элементов, при этом стабилизатор точки — группа McL.2. Чтобы
добиться этого, рассмотрим стабилизатор вектора * = E, I23).
Имеется 276 неупорядоченных пар {у, z}, удовлетворяющих
условию x = y-\-z, где у, геАB), а именно 23 с (например)
у вида D2, О22) и 253 с у вида B8,016); в каждом из этих слу-
случаев координата уж отлична от нуля.
Пусть {г/о, z0}—одна из этих пар; для любой другой пары
{у, z} либо z—г/о, либо у — г/0 имеет тип 2. Для получения ре-
результата достаточно воспользоваться транзитивностью -0 на
треугольниках 322 и тетраэдрах 322222: группа -3 дважды тран-
зитивна на 276 неупорядоченных парах {у, z). Стабилизатор
в группе -3 точки г/0 имеет Индекс 2 в стабилизаторе пары
§ 3. Третья лекция 367
{г/о, z0} и есть, очевидно, • 322. Если взять г/0 = 4vx + 4у0, си-
ситуация инвариантна относительно группы М22, оставляющей на
месте оо и 0, и 276 пар распадаются на орбиты порядков 1, 22,
77, 176 относительно этой группы, содержащейся в трех раз-
различных подгруппах группы -3: в ЛГ23 с орбитами 1 + 22 и 77 +
+ 176, в группе Маклафлина -322 с орбитами 1 и 22 + 77+ 176
и в группе Хигмана — Симса -332 с орбитами 1+22 + 77 и
176; хорошо просматриваются представления Хигмана и Симса
на 100 элементах и дважды транзитивное представление Хиг-
Хигмана на 176 элементах.
Приятная серия подгрупп группы -0 возникает следующим
образом [Tho 7]. Централизатор некоторого элемента х порядка
3 в -0 имеет вид (*)Х2А9, где 2А9— двойное накрытие Шура
группы А9; эта группа содержит естественную последователь-
последовательность подгрупп 2АП B<| п <J9). Централизаторы Вп группы
2А„ для п = 2, 3, ..., 9 суть группы -0, 6Suz, 2G2D), 2Я/,
2С/3C), 2?3B), 2А4, С6, где Я/ (обозначаемая также /2) есть
простая группа Холла — Янко [Hal 4], a Suz — спорадическая
простая группа Судзуки [Suz 1]. Отсюда следует, что HJ обла-
обладает множителем порядка, делящегося на 2, а 5 — множителем
порядка, делящегося на 6, а также то, что HJ обладает 6-мер-
6-мерным проективным представлением, которое может быть опреде-
определено надС(д/—3, V—5), тогда как Suz обладает 12-мерным
проективным представлением над Q(V—3). Это представление
может быть получено следующим образом. Возьмем элемент о
порядка 3 без неподвижных точек, удовлетворяющий в силу
этого (матричному) уравнению ш2 + ю + 1 = 0. В кольце
24Х24-матриц элемент ю порождает экземпляр поля комплекс-
комплексных чисел, в котором он отождествляется с е2Я1/3. Если положить
(для неА) x(a->rbe2m]/3)= ax + b(x(o), то решетка Лича пре-
превращается в комплексную решетку Лича Ас (см. гл. 7, при-
пример 12), т. е. в 12-мерную решетку (или модуль) над кольцом
/ [e2ni/3j целых чисел Эйзенштейна, а группа автоморфизмов
решетки Ас есть группа 6Suz. Комплексная решетка Лича об-
обладает естественной системой координат, в которой просматрива-
просматривается замечательная аналогия ее с вещественной решеткой Лича;
при этом 2 превращается в 9 = л/—3 ==ю — <а2 (см. табл. 7.3).
Детали таковы. Определим векторы Xi, yi, Zi (iePL(ll))
равенствами
Xi + yt + zt = 0, yt = zfiN, Zoo = vu + 4уоо,
Zi = (Уа + 4У1в) 6{оо, 15, 1, 2, 3, 4, 6, 18}Э (i ?= GF A 1)).
Пусть о) — преобразование из -О, для каждого i переводящее
Xi-b-Ui-t-zi^+Xi. В координатах xt и в терминах троичного
368 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
кода Голея Фц решетка Лс теперь порождена (с точностью до
скалярного множителя) векторами Qxc (Се#12), 3*,- — Зю%>
Xq+3xi (Q = PL A1)). Они получаются из векторов 2vc,
Avt^ 4vj, vq — 4vi вещественного случая заменой 2 на в, 4 на
92 = —3 и ±1 на о5. Интересно, что порядок двоичного кода
Голея есть 212, а порядок троичного кода Голея есть б12 = З6 и
что 6Suz порождена своей мономиальной частью вместе с мат-
матрицей из 3 X 3-блоков, элементы которой имеют вид ±al/Q.
(Ср. с вещественным случаем, в котором имеются 4Х4-блоки
с элементами ±1/2.)
3.7. Инволюции в «0. Каждая инволюция в -О сопряжена
инволюции ее (Cef24). Если С — октада, то ее централиза-
централизатор сохраняет соответствующее 8-мерное подпространство, пере-
пересекающееся с Л по экземпляру 8-мерной решетки Ея- Подгруппа
централизатора, сохраняющая каждую точку этого простран-
пространства, следовательно, лежит в N (поскольку пространство содер-
содержит векторы и,), и легко видеть, что это экстраспециальная
группа 21+8 порядка 29. Факторгруппа по этой экстраспециаль-
экстраспециальной группе есть подгруппа группы Вейля решетки Е8 и является
на самом деле производной группой W{E&)', так что полный
централизатор — это группа 21+8(W(ES))'. Если С есть 16-ада,
получаем тот же централизатор.
Если С — додекада, неподвижное пространство не может со-
содержать векторов вида ((±2)8016) или ((=F3) (±1J3) и потому
содержит в Л B) только 22-66 векторов вида ((±4J022), нену-
ненулевые координаты которых лежат в неподвижном пространстве.
Назовем два таких вектора скрещенными, за исключением слу-
случаев, когда они равны, противоположны или ортогональны.
Тогда единственные векторы множества Л B), скрещенные со
всеми векторами, скрещенными, скажем, с jc = 4w/ + 4w/, — это
четыре вектора ±4у; ± 4о/, имеющие те же ненулевые коорди-
координаты, что и х. Отсюда следует (поскольку Dyt- -\-4vj)-\-Dvi —
— 4vj) = 8vi), что централизатор элемента ее лежит в N и по-
потому совпадает с группой 212Мп, централизующей ее в N. (Та-
(Такой централизатор инволюции ее в -3 есть <ec>XMi2> что
видно, если взять в качестве неподвижного вектора группы -3
вектор 212012 — ср. ситуацию в группе Янко /i.)
Единственная оставшаяся инволюция в -0 — это га = — 1, ко-
которая центральна во всей группе.
3.8. Сравнения для тэта-рядов. Пусть
(г) = ? ЛГ (m) q2m=l + 196560?4 + ь...
§ 3. Третья лекция
— тэта-ряд решетки Л (формулы A38) — A41) гл. 4). Из § 6
гл. 7 мы знаем, что вл(^) — модулярная форма веса 12 для
SL2(Z). Поскольку ряд Эйзенштейна 1 +с^стп (m)q2m (c =
= 65520/691) и параболическая формаД(;г) = ?т(т)<72''г — моду-
модулярные формы веса 12, из теоремы 17 гл. 7 следует, что
ж г / \ 65 520/ /\ /w
N И—~шг (а" М ~т М)»
где х(ш) — числа Рамануджана (формулы C7) — C9) гл. 4).
Замечательные сравнения Рамануджана %{т) г= а\(т)
(mod 691) особенно очевидны, и мы можем использовать эту
формулу для нахождения сравнений для х(т) по любому мо-
модулю, являющемуся степенью простого числа и делящему gjc =
= 218-37-53-7-1Ь23-691 (где g —порядок -0). Так, по мо-
модулю 23 имеем N(tn) = Л/(/п)(а), где Л/(/п)(а» — количество век-
векторов из А(т), остающихся неподвижными при действии эле-
элементом а порядка 23. Но неподвижные векторы преобразова-
преобразования а имеют вид аиж + bfav», и, поскольку такие векторы имеют
тип т тогда и только тогда, когда 16m = а2 -f- 2362, получаем
х(гп)= огц(т) зз 0 (mod 23), как только т—невычет по мо-
модулю 23.
3.9. Связь между -0 и группой Фишера Fi-ц. Можно рас-
рассматривать -0 как группу перестановок 196560 векторов из
Л B). Она содержит подгруппу Af = 212Al24, действующую на них
/24\
с тремя орбитами порядков 27-759, 212-24 и 22( „ I. Элемен-
Элементарная часть 212 группы N переставляется группой М24 как
двоичный код Голея ^24. Расширение 212М24 расщепимо.
Группа Fi24 Фишера [Fis 1] является группой перестановок
306936 объектов (инволюций в некотором классе сопряженно-
сопряженности) . Она содержит подгруппу N* = 212М2*, действующую
/24\
с тремя орбитами порядков 25-759, 2°-24 и 210l J. Элементар-
Элементарная часть 212 группы N* переставляется группой М2* как фактор
Р(?1)/<&>24- Расширение 212М24 нерасщепимо.
Эти факты позволяют предположить, что между двумя об-
обсуждаемыми группами имеется связь; она подчеркивается тем
фактом, что подгруппы в М24, соответствующие этим трем ор-
орбитам, совпадают, а соответствующие элементарные группы
двойственны. Подходящее слово для групп, связанных таким
образом, — что бы это ни означало — «близнецы>, как это видно
из следующей притчи. «Жила-была яйцеклетка (элементарная
группа P(Q) порядка 224), которая после оплодотворения (группой
370 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
M2i) раскололась на две (группа <g724 и фактор Р(?1)/<&>24),
и выросли из них два здоровых близнеца (-0 и Ffan).»
Осмысленность этой притчи подтверждается существованием
похожей структуры, связывающей -0 с ней самой с помощью ее
подгруппы 6Suz; при этом инволюции Фишера заменяются на
элементы порядка 3, как со. Элементарная группа 212 в под-
подгруппе N* группы Fi2i содержит 24 фишеровские 3-перестановки
(специальные инволюции его группы), естественно переставляе-
переставляемые группой М24; централизатор любой из них есть группа 2Fi2$.
Похожим образом, -0 содержит подгруппу 36-2Mi2, в которой
З6 содержит 12 специальных подгрупп порядка 3 (изоморфных
группам Vi из первой лекции), естественно переставляемых
группой Ми; централизатор любой из них есть группа 6Suz.
Благодарности. Я хотел бы поблагодарить Д. Ливингстона
и его коллег за некоторые замечания, использованные мной во
второй лекции, и в частности за материал табл. 10.3, а также
Дж. Г. Томсона за постоянный интерес к предмету третьей
лекции.
Приложение об исключительных простых группах
Мы обсудим под шестью заголовками 26 неабелевых про-
простых групп, не входящих в бесконечные серии групп Шевалле,
скрученных групп Шевалле и знакопеременных групп. Вместе
с каждой из групп мы указываем ее порядок вслед за мульти-
мультипликатором Шура, а затем группу ее внешних автоморфизмов
(см. [Con 16], [Gri 1], [Gri3], [Gri9]. Звездочками отмечены
группы, входящие в бесконечные семейства, но включенные
сюда по аналогии.
Группы Матье
М2<
Ma
М22
*м21
1 B10335
1 B7325 •
12B7325
4Х4Х
•7- 11 •
7- 11 •
•7- 11)
3B«325
23I
23I
2
•7JXS3
м12
мп
* А6
* А7
2B6335 •
1 B4325 •
11J
ИI
6 B3325) 2X2
6B3325
•7J
Мы уже обсудили изоморфизмы М2Х ^L3D) и Mlo & A6 е* L2 (9),
но необычные мультипликаторы указывают на то, что стандарт-
стандартные определения этих двух групп не все проясняют. Для зна-
знакопеременных групп, отличных от А6, А7, наш символ прини-
принимает значение 2(га!/2J. Группы под следующими двумя заго-
заголовками— тоже, в некотором смысле, широко понимаемые
группы Матье.
Приложение об исключительных простых группах 371
Группы Фишера
Fi2i 3 B2131в527311 • 13 • 17 • 23 • 29) 2
Ли 1B183135'7-11 • 13-17-23I
F/22 6B1739527-11 • 13J
*Fin 2X2X3B15365-7- 11) S3
Здесь Fift содержит класс сопряженности инволюций, централи-
централизатор любой из которых есть группа 2Fin-\\ произведение лю-
любых двух из этих инволюций имеет порядок, не превосходя-
превосходящий 3. Максимальный набор из таких коммутирующих инво-
инволюций содержит ровно п из них и порождает группу 2п~12, нор-
нормализатор которой — группа 2п~12М„. Имеем изоморфизм /ч-21 =
а?/вB). (См. также [Con 7], [Enr 1J, [Епг 2], [Hun 1], [Par 3].)
Стабилизаторы решеток в «О
•1=Со, 2B2139547211-13-23I *-222 2Х2ХЗB15365 • 7 • 11)S3
• 2 = Со2 1 B1836537 • 11 • 23) 1 • 322 ~ McL 3 B736537 -11J
• 3 = Со3 1 B1037537 • 11 • 23) 1 • 332 a HS 2 B932537 -11J
Первая группа содержит М2\, две следующие содержат М2з,
а оставшаяся содержит М22- Имеем изоморфизм • 222 as ?/6 B).
(См. также [Fin 2].)
Цепочка Судзуки
Suz 6 B1337527 • 11 • 13) 2 Я/ = /2 2 B733527) 2
* G2 D) 2 B1233527 • 13) 2 * G3 C) 1 B5337) 2
Это центральные факторы групп Вп, описанных в разд. 3.6.
Имеем изоморфизм U3C)= G2B)'.
Видимо, следует отметить, что группа UiC) обладает не-
необычным мультипликатором CX3X4). Группа 32?/4C) есть
централизатор двух коммутирующих элементов порядка 3 в -О,
a UiC) тесно связана с некоторым количеством уже обсуждав-
обсуждавшихся групп.
Централизаторы в Монстре
M = F{ 1B46320597611213317- 19-23-29-31 -41 -47 -59 -71) 1
В = F2+ 2 B41313567211 • 13 • 17 • 19 • 23 • 31 • 47) 1
Сох = F2_ 2 B213954721Ы 3 • 23) 1
Fh4 = ^з+ 3 B21316527311 • 13 • 17 • 23 • 29) 2
Suz = F3_ 6 B1337527 • 11 • 13) 2 He = F1+ I B1033527317) 2
372 Гл. 10. Три лекции об исключительных группах
Th = F3|3 I B153I0537213 • 19 - 31) 1 * А7 = F7_ 6B3325
HM = F5+ 1 B1436567 • 11 • 19J Ml2 = Fn+ 2B6335 • 11J }
HJ = Fb_ 2B733527J * ?3 C) = .F13+ 1B43313J
Группа-монстр М, которая была открыта через несколько лет
после того, как были прочитаны эти лекции, позволила обнару-
обнаружить еще несколько простых групп и пролила новый свет на не-
некоторые из уже известных. Эти группы обычно возникают при
изучении структуры централизаторов подходящих элементов
«Монстра». Здесь мы рассматриваем элементы простого порядка
и обозначаем Fp+, Fp_ и т. д. неабелевы композиционные фак-
факторы централизатора элемента класса сопряженности группы
М, обозначаемого р+, р— и т. д. в [Con 16], [Con 17]. Некото-
Некоторые из групп, полученных таким образом, приведены выше.
М = Fu Монстр, или группа Грисса — Фишера, или Друже-
Дружественный гигант, был открыт независимо Гриссом и Фишером
в 1973 г. и построен Гриссом в 1980 [Gri 4] — [Gri 8]. Упрощен-
Упрощенная конструкция описана в гл. 29. Бэби-монстр В = Fz+ был
обнаружен Фишером чуть раньше и построен Леоном и Симсом
[Leo 9], [Sim3].
Существование группы Томпсона Th = F3I3 (построенной
Дж. Г. Томпсоном и П. Смитом [Tho 2]) и группы Харады —
Нортона HN==Fs+ (построенной Нортоном [НагО], [Harl],
[Nor 2], [Nor 8]) подсказаны Монстром, хотя совершенно ана-
аналогичные группы Фишера (^24==^з+) и Хельда (He — F1+)
были уже известны ([Hell], [Hel2]). Все эти группы лучше
всего понимаются в связи с их отношением к Монстру. Отметим,
что Coi=F2-, Suz = F3-, HJ =J2 = F^ M F
Остальные группы
/,
/з
/4
Ru
O'N
Ly
1 B33 • 5
3B7355 •
1 B21335
2 B1433 •
3B9335-
1 B8375*
¦7
17
•7
53
73
7 •
¦ И - 19I
• 19J
• И3-23-29-31 -37-43I
• 7 • 13 • 29) 1
• 11 • 19-31J
11-31-37-67I
Большинство из них было открыто с помощью централизаторов
их инволюций. /2 = Я/ (группа Холла — Янко) и /3 (группа
Хигмана — Янко — Маккея) ([Hig5], [Jan 4], [Con 45], [Gor6],
[Lin 4], [Lin 5], [Smi4], [Tit 4], [Wall], [Wei 3] — [Wei 5]) со-
содержат инволюции с одним и тем же централизатором, как и
Не, М24 и L5B). Централизаторы подходящих элементов по-
Приложение об исключительных простых группах 373
рядка 3 суть ЗА7 в группе Хельда Не и ЗМсЬ в группе Лаенса
Ly ([Lyol], [Sim2]); они выявляют 3-компоненты мультипли-
мультипликаторов этих групп. J\ есть подгруппа в G2 A1), а ОгE)—под-
ОгE)—подгруппа группы Лаенса.
Три оставшиеся группы — это группа Янко /4 [Jan 6], [Con 12],
[Nor3], группа Рудвалиса Ru [Con 10], [Con 44], [Rud 3] и
группа О'Нана O'N [And 2], [O'Nal]. Видимо, самый простой
способ производить вычисление с этими группами — это исполь-
использовать матрицы над различными конечными полями. Группы
/, 3./3 h Ru ЗО'ЛГ Ly
имеют представления степеней
7 9 112 28 45 111
над полями порядков
И 4 2 2 7 5
соответственно (см. [Con 16], [Eval], [МеуЗ], [Rybl]).
Постскриптум. Максимальные подгруппы -l^Coi были
полностью перечислены Вильсоном [Wil 4] вслед за более ран-
ранней работой Кэртиса [Cur 2], [Cur 5]. Максимальные подгруппы
других спорадических групп были классифицированы в [But 1],
[Fin 2] —[Fin 4], [Kiel], [Leml], [Nor 8], [Wil 1] —[Wil 17],
[Wol 0], [Yos 2]. Таблицы характеров и много других сведений
о спорадических группах можно найти в [Con 16]. Общие ссыл-
ссылки о простых группах—[Саг 2], [СагЗ], [Сох 28], [Gor 2] —
— [Gor5], [Tit3] —[Tit9]. См. также [Soil], [Soi3].
Глава 11
Коды Голея и группы Матье
Дж. Конвей
В этой главе содержится детальное описание двоичного кода
Голея длины 24, системы Штейнера SE, 8, 24) и группы Матье
М24 Вычислительными средствами, облегчающими вычисления
с этими объектами, являются MOG (Miracle Octad Generator —
чудесный генератор октад) и гексакод. MINIMOG и тетракод
играют аналогичную роль для троичного кода Голея длины 12,
системы Штейнера 5E,6, 12) и группы Матье М12.
§ 1. Введение
Код Голея ^24, система Штейнера 5E, 8, 24) и группа Матье
М24 — красивые комбинаторные объекты с исключительно бога-
богатой структурой и разнообразными приложениями. MOG и его
собрат по оружию гексакод — вычислительные средства, позво-
позволяющие поразительно легко осуществлять мысленные операции
с ними. В частности, ничего не стоит проверить, что некоторое
слово лежит в ^24, найти всю октаду из 5E,8,24) по любым
пяти ее точкам или быстро выписать много перестановок группы
М24. Имеется также MINIMOG, который вместе с тетракодом
проделывает подобные вещи с Mi2. Некоторые результаты «лек-
«лексикографического» характера о М2А, и Мх2 указывают на то, что
эти средства могут иметь как теоретическое, так и практическое
значение.
Многие вычисления в больших спорадических простых груп-
группах сводятся к вычислениям внутри группы М24, которая в силу
этого использовалась в ряде построений. Упомянем, в частности,
конструкцию групп Конвея с помощью решетки Лича (см. гл. 10),
групп Фишера Fiu, Fi2z, Fki (разд. 3.9 гл. 10), группы Янко
/4 [Con 12], [Nor 3] и совсем недавнее гриссовское построение
Монстра (см. [Gri 4] — [Gri 8] и гл. 29).
Массив MOG был изобретен Кэртисом [Cur 2], [Cur 3]
в ходе его работ по решетке Лича, а затем он и другие авторы
плодотворно использовали его во многих других исследованиях,
связанных с Ми- Специальные черты подхода с использованием
гексакода сформировались существенно позже, при построении
§ 2. Определения гексакода 375
Нортоном, Паркером, Бенсоном, Конвеем и Тэкреем наиболь-
наибольшей группы Янко /4 [Con 12], [Nor3]. Хотя в эту компанию
входило несколько опытных пользователей MOG, было обна-
обнаружено, что использование гексакода вносит еще большие упро-
упрощения в огромное количество связанных с Ми вычислений, не-
необходимых для построения группы /4. Еще позже гексакод
сыграл аналогичную роль для многих вычислений с решеткой
Лича, проводившихся для определения ее радиуса покрытия и
вычисления глубоких дыр (см. гл. 23).
Существует почти столько же различных конструкций М24,
сколько было математиков, интересовавшихся этой наиболее за-
замечательной из всех конечных групп. Обычно, когда строится
большая группа на основе некоторого «более простого» объекта,
сама конструкция имеет меньшую группу симметрии, и оказы-
оказывается, что элементы, лежащие в этой «видимой подгруппе»,
понимать «легко», а остальные — «трудно». Замечательно, что
в конструкции MOG участвует несколько «видимых» групп, и
каждая из них — максимальная подгруппа в М^\ Мы здесь по-
построим ее способом, особенно тесно связанным с секстетной груп-
группой 26: 3'Se, поскольку это дает наибольшие возможности для
использования гексакода, являющегося основной темой на-
настоящей главы. Однако мы чувствуем, что следует уведомить
читателя о следующих фактах: MOG впервые использовался
Кэртисом в связи с октадной группой 24 : А8 и, когда Кэртис
выписал его, проще всего казалось использовать трионную
группу 26: (S3 X ?2 G)), и еще позже было обнаружено, что три-
адная группа PTL3D) столь же просто связана с M.OG. На са-
самом деле основная мощь MOG заключена в его способности пе-
переключаться с группы на группу при поиске нужных элементов.
В первой части главы мы опишем построение гексакода и
MOG и покажем, как их использовать в основных вычислениях,
возникающих при каждом исследовании, связанном с Мц. Вто-
Вторая часть содержит по разделу на каждую максимальную под-
подгруппу, описанную по возможности в тесной связи с гексако-
дом или MOG.
§ 2. Определения гексакода
Как обычно, F4={0, l,co, ш} с соотношениями
1 + (О = Ш, 1 + Ш = СО, (О + Ш = ОМО = 1, СО2 = Ш, Ю2 = СО, (О3 = 1.
Гексакод W6 (п. 2.5.2 гл. 3) есть 3-мерный код длины 6 над F4.
Чтобы некоторые симметрии стали нагляднее, мы обычно груп-
группируем 6 символов слова гексакода в 3 пары. Код может быть
определен несколькими различными способами:
876 Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
Определение 1. Фв порожден словами
со© coco coco, coco coco ccco, coco coco coco, coco coco coco.
Определение 2. We содержит слово W((p)=abcdef для каж-
каждой квадратичной функции q>(x) = ах2 + Ьх-\- с, определенной
над fi. Первые три символа (а,Ь,с) определяют функцию ср,
а последние четыре (c,d,e,f) дают ее значения в 0, 1, со, со:
с = ф@), rf = фA), е = ф(со), / = ф(со).
Определение 3. Каждое слово abcdef кода ЧР6 имеет на-
наклон s. Слово ab cd ef является словом из W6 с наклоном s тогда
и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим соотноше-
соотношениям:
1-правило: a-{-b = c~\-d = e-\-f = s,
(а-правило: а + с + е = а + d + / = b + с + f = Ъ + d + e = cos,
^-правило: 6 + d + / = 6 + c + e = a + d + e^a + c + / = «5s.
(Таким образом, сумма символов каждой пары равна s, тогда
как суммы троек символов из различных пар равны cos или cos
в зависимости от того, левый или правый выбор осуществлялся
нечетное число раз.)
Согласно любому из этих определений, этот код 3-мерен;
в первом случае — поскольку сумма четырех слов равна нулю,
но больше не выполняется никаких линейных соотношений, во
втором случае это очевидно, а в третьем — поскольку из соот-
соотношений
a-\-b = c-\-d = e-\-f = s, a-fc + e = cos
между семью величинами а, Ь, с, d, e, f, s вытекают все осталь-
остальные. (Из первых трех следует, что замена любого символа на
парный к нему изменит сумму на s.)
После того как 3-мерность установлена, убедимся в совпа-
совпадении этих трех кодов, если найдем одни и те же 3 независимых
слова в каждом из них. Мы предлагаем читателю проверить это
для образующих второго варианта:
№(л:2)=1ОО1шсо, №(x) = 0101coco, W(l) = №UU.
Из первого или третьего определения видно, что ^6 обладает
следующими симметриями:
1) скалярное умножение на любую степень со;
2) перестановка символов в любых двух парах;
НЕТ НЕТ ДА ДА НЕТ ДА
§ 3. Распознавание слова гексакода 877
3) любая перестановка пар.
Теперь несложное вычисление показывает, что относительно
этих симметрии любое слово гексакода является образом одного
из следующих пяти:
0101 сой ©©«косой 001111 Псосойю 0000 00
C6 образов) A2 образов) (9 образов) F образов) A образ)
Поскольку образы первого из них занимают более половины
кода, читателю рекомендуется запомнить его — остальные легко
восстанавливаются по нему с помощью известных симметрии.
§ 3. Распознавание слова гексакода
Важно научиться с одного взгляда разпознавать, является
ли слово словом гексакода. Вот как это делается.
Сначала проверяем, удовлетворяет ли слово правилу формы:
с точностью до перестановок пар или перестановок внутри пары
слово должно приводиться к одному из видов
ОаОаЬс, ЬсЬсЬс, 00 аааа, ааЬЬсс, 00 00 00
(где а, Ь, с суть 1, со, й в некотором порядке); затем проверяем,
удовлетворяет ли оно правилу знаков: если условиться, что пара
вида
Ох или z/coz/ имеет знак +,
хО или у п>у имеет знак —,
0 0 или у у имеет знак 0
(где х, уФЪ), то три пары имеют знаки +Н—Ь -\ » —I—»
1- или 000 (т. е. либо все они равны 0, либо их произведе-
произведение равно +)•
Так, 0ш 1со ©0 удовлетворяет правилу формы с а = со, 6 = 1,
с = (о, но знаки трех пар суть -|—|—, и это слово не удовлет-
удовлетворяет правилу знаков и, следовательно, не является словом
гексакода. Оно станет словом гексакода, если переставить
цифры в любой паре, например Ошсо1 ш0 имеет знаки -| .
Мы будем называть распознаванием слова гексакода про-
процесс проверки правил формы и знаков. Какие из слов внизу этой
страницы являются словами гексакода? (Ответы на предыду-
предыдущей странице.)
00 11 сою 10 10 10 соОсоОй! сою сою 00 1со 1со 1со 11 сой coco?
878 Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
§ 4. Дополнение слова гексакода
В приложениях часто встречается задача определения слова
гексакода по некоторой частичной информации о его символах.
Во многих случаях эта задача сводится к одной из двух стан-
стандартных:
3-задача: определить слово гексакода по трем его символам;
5-задача: определить слово гексакода по пяти его символам.
один из которых может быть ошибочным.
В каждом из случаев ответ единственный, и потому мы
искренне рекомендуем
Наилучший метод: угадать правильный ответ, а затем обос-
обосновать его.
Это и легче, и быстрее, чем пользоваться методами, приводи-
приводимыми ниже. Но если вам хочется большей определенности,
то можете решать задачи так:
3-задача. Если известные символы находятся в различных
парах (как, скажем, а, с, е), используйте со- или со-правило для
нахождения s, а затем 1-правило для нахождения оставшихся
символов (здесь Ь, d, f).
Пример, со? 1? О? =ф- cos = со + 1 + О = й, так что s = со, W =
= соО lcoOco со знаками \-. (Хотя ответы должны быть вер-
верными при правильных вычислениях, мы рекомендуем читателю
всегда проверять их по правилам формы и знака.)
Если же среди трех заданных символов содержится пара
(как в случае а, Ь, с), используйте 1-правило для нахождения s
и четвертого символа (d), а затем правила формы и знака (или
со- и ш-правила) для оставшихся двух (е, f).
Пример, col 0? ?? =Ф- s =со+ 1 =«5, так что d—ib, W =
= со10шшО со знаками —|— (здесь правило формы дает
{е, /} = {0, со}, а правило знаков определяет их порядок, соО).
5-задача. Любая 5-задача следующим образом сводится к
нескольким 3-задачам. Неправильный символ, если он есть, вхо-
входит лишь в одну пару. Но, удаляя информацию, касающуюся
любой пары, мы по-прежнему имеем по крайней мере 3 сим-
символа, достаточных для определения слова гексакода. Требуемое
слово должно быть одним из этих трех. Заметим, что в одном
случае нам известно четыре символа — вычисление может быть
ускорено, если обратить внимание, что они являются частью
слова гексакода тогда и только тогда, когда они совместны, т. е.
их сумма равна 0 в ft.
§ 5. Код Голея &и и MOG 379
Пример, col Оса 1? Три 3-задачн суть:
col (ко ?? — несовместны, поскольку ш+1 + 0 + о>?=0;
о»1??1? — значит, s = 6>, W = о»1 о»1 1ю (знаки К но это
не ответ);
??0ю 1? — отсюда s = co, W = (o0 0(o 1ш (знаки —|—, и это
ответ).
Другой пример. о»1 Ош 1? Теперь две пары совместны, и остает-
остается попробовать col05??, что дает colOcocoO (со знаками —|—).
Читателю, действительно настроенному научиться выполнять
проясняющие вычисления с кодом Голея, следует теперь по-
попрактиковаться в вычислениях слов гексакода, определенных
3- и 5-задачами в конце страницы. Ответы находятся на стра-
странице 381. Мы настойчиво советуем, чтобы как можно больше
этих задач было решено «наилучшим методом», а не описанны-
описанными выше более медленными методами.
§ 5. Код Голея ЧР24 и MOG
Код Голея ЧР24 уже несколько раз упоминался (см., в частно-
частности, п. 2.8.2 гл. 3 и § 2 гл. 10). В этой главе мы будем исполь-
использовать пробел и звездочку вместо цифр 0 и 1. Роберт Кэртис
[Сиг 2] обнаружил, что простейший способ производить вычис-
вычисления с ^24 — расположить его символы в 6Х4-таблицу, на-
названную им чудесным генератором октад или MOG.
В этих обозначениях слова кода ЧР24 легко получаются из
слов гексакода путем
либо (i) замены каждого" символа на его нечетную интерпре-
интерпретацию любым способом, чтобы верхняя строка стала
нечетной,
либо (И) замены каждого символа на его четную интерпре-
интерпретацию любым способом, чтобы верхняя строка стала
четной.
Строка или столбец называются нечетными или четными в за-
зависимости от того, содержат они нечетное или четное количество
ненулевых символов. Нечетные и четные интерпретации симво-
символов приведены на рис. 11.1. Заметим, что нечетные интерпре-
интерпретации содержат в каждом столбце либо всего один ненулевой
символ, либо всего один нулевой символ, а четные интерпре-
интерпретации отличаются от нечетных только верхней строкой.
?юО?ю? 11 ?0 ?? ю1 ?ш ш1 йО?а>11 -j)
?ю ?1 ш? юО юО 0? ?1 ?ю ?ю 0? ю1 ??
380
Гл. 11. Коды Голея и группы Цатье
Распознавание ^-множеств. Таким образом, для определе-
определения того, является ли данное множество <&-множеством (т. е.
набором мест 6Х4-таблицы, где стоят ненулевые символы слова
из ^24), можно использовать следующую процедуру:
1) Для каждого столбца и для верхней строки определить
их сумму (т. е. количество содержащихся в них звездочек).
Рис. 11.1. Интерпретации символов гексакода. (а) Нечетные интерпретации.
(Ь) Четные интерпретации.
2) Для каждого столбца вычислить также его счет, полу-
получаемый прибавлением 0, 1, со, «5 для любого ненулевого элемен-
элемента в первой, второй, третьей, четвертой строках соответственно.
(Иначе говоря, счет данного столбца равен некоторому символу
02
*
*
0 2
-х-
*
2 2
* *
*
*
4
1 1
*
-х-
i 3
*¦*
-к
*
1 1
*
3
4 2
*
*
* *
-х- *
0 2
-х-
*
2 2
*
*
* *
2
3 1
* *
¦к
3 1
* -ч
*
1 3
*
*¦
* *¦
О 1 0 1 шш 0 1 0 1 шш 0 1 О 1 шш 0101сош
Рис. 11.2. Четыре слова кода Голея из одного слова гексакода.
тогда и только тогда, когда этот столбец — одна из четырех
интерпретаций этого символа.)
Теперь мы можем сформулировать правило распознавания
^-множеств: множество является ^-множеством тогда и только
тогда, когда все суммы имеют одну и ту же четность, а счета
образуют слово гексакода.
На рис. 11.2 мы привели несколько интерпретаций стандарт-
стандартного слова гексакода 01 01 сой. Мы рекомендуем новичку заим-
заимствовать наш опыт написания сумм сверху, а счетов снизу диа-
диаграмм MOG. Разумеется, на рис. 11.2 все счета имеют вид
01 01 сош.
Какие из картинок внизу следующей страницы соответствуют
словам кода Голея? Вы должны знать, где найти ответы.
§ 6. Дополнение до октады ее 5 точек
381
§ 6. Дополнение до октады ее 5 точек
Октадой называется слово кода Голея веса 8 (точнее, ЧР-мно-
жество, соответствующее ему). Октады, построенные по ^24,
образуют систему Штейнера SE, 8, 24) (разд. 3.1 гл. 3, разд. 2.1
гл. 10); иначе говоря, любые 5 точек из 24 содержатся ровно
в одной октаде. Очень важно научиться определять октаду по ее
5 заданным точкам. Эта задача легко сводится к 3-задачам и
5-задачам, если заметить, что изменение счета в данном столбце
достигается заменой по крайней мере одной точки в столбце и
по крайней мере двух точек, если к тому же требуется сохранить
четность столбца.
Если заданные точки расположены так, чтобы три столбца
были нечетными, а три четными, то мы должны исправить три
столбца с неправильной четностью, и можем позволить себе не
делать замен в остальных. Предположим, следовательно, сначала,
что столбцы должны быть нечетными, а затем — что четными;
в каждом из случаев мы знаем три правильные цифры в соот-
соответствующем слове гексакода, по которым мы и восстановили
исходное слово. Только один из двух выборов приведет к октаде,
совместимой с данными пятью точками. На рис. 11.3 приведен
пример.
Если же заданные пять точек распределены так, что пять
столбцов имеют одинаковую четность, то эта четность и должна
быть правильной, и мы найдем необходимое слово гексакода
(и, следовательно, октаду), решив соответствующую 5-задачу
(см. пример на рис. 11.4).
По-видимому, стоит поподробнее остановиться на способе,
которым октада восстанавливается по слову гексакода в рас-
рассматриваемом примере. Какую из двух четных интерпретаций
*
*
-к
*
*
* *
*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
fl-
flit
*
*
* *
*
* *
*
*
**
*
*
¦*
*
*
*
* *
*
*
*
*
* *
«mo 00 «mo 11 00 11 col lco col шй ш> 11
loo ю1 col соО соО ш1 Й1 Осо Оса 0ш col Й0
Гл. П. Коды Голея и группы Матье
В НЕЧЕТНОМ
СЛУЧАЕ ИЗ
В ЧЕТНОМ
СЛУЧАЕ ИЗ
* *
*
*
? 1 1 ? 1 ?
* *
*
*
*
? 0 1 ? 1 ?
2 ? ?О ?0
* *
*
*
*
? 1 1 1 1 I
ПОЛУЧАЕТСЯ
? *
2_
?
?
* *
* *
0 0 1111
2 2 2 0 20
* *
*
*
*
*
*
*
(НЕУСПЕХ)
1??0?0 ПОЛУЧАЕТСЯ 1шш0ш0 (УСПЕХ)
Рис. 11.3. Пример.
102002 20202 2
*
*
*
*
*
ПРИВОДИТ К
* * 2
? ОшООш шОшО
Рис. 11.4 Еще один пример.
(а) (Ь) (с) (d)
Рис. 11.5. Первый столбец —это (а), а не (Ь); пятый столбец —это (с), а
не (d).
следует выбрать для двух символов, подлежащих замене? Для
первого столбца проблем нет. В этом столбце уже стоит звез-
звездочка, так что мы вынуждены выбрать рис. 11.5а, а не
рис. 11.5Ь. Но теперь мы целиком определили верхнюю строку,
за исключением пятой позиции, и поэтому должны выбрать
рис. 11.5с, а не рис. 11.5d для пятого столбца, чтобы сделать
верхнюю строку четной.
Опыт показывает, что когда имеются три нечетных и три
четных столбца и четность неясна, обычно лучше сначала рас-
рассматривать нечетный случай (отчасти потому, что нечетные ин-
интерпретации легче видеть, отчасти потому, что для октад уело-
§ 6. Дополнение до октады ее 5 точек
вие четности в верхней строке в нечетном случае автоматически
выполнено). Однако правильная четность часто может быть оп-
определена непосредственно по данной информации некоторыми
другими способами.
Октады обязательно распределяются по шести столбцам
группами 4204, или 2402, или 313, так что из распределения пяти
данных точек по столбцам мы можем извлечь следующую инфор-
информацию:
из 4104 или 3204 вытекает 4204 и четность (и тривиальность);
из 31203 или 150 вытекает 315 и нечетность;
из 22103 вытекает 2402 и четность;
однако
из 21302 может вытекать 315 (нечетность) или 2402 (четность).
На этот раз внизу страницы приводится несколько пятито-
пятиточечных множеств, чтобы вы дополнили их до октад.
Определение других ^-множеств. Любое множество, содер-
содержащее нечетное количество из 24 точек, может быть превра-
превращено в ^-множество изменением статуса (входит/не входит)
одной или трех его точек. Наше обсуждение задачи дополнения
до октады почти тривиально обобщается на этот случай — снова
мы должны решить 5-задачу или одну из двух 3-задач в зави-
зависимости от того, расположены ли точки так, чтобы пять столб-
столбцов имели одну четность, а один — другую, или же чтобы по три
столбца имели каждую четность.
НЕТ
0 40404
ДА
0 0 2 2 2 2
ДА
13 3 3 11
НЕТ
2 0 2 2 2 0
-Х-
-х-
¦*-
*
¦X-
¦*
-X-
-X-
¦х-
¦к- -к-
0 С
Ъ А
¦*
#- -X-
х-
и и
1 1
¦к-
-х-
0 0
1 3
-к-
0 0 1111
3 3 3 11 1
* -к-
*- *
•X-
-к- -к-
1 и ш I Оо
НЕТ
0 0 0 0 00
ДА
* -к-
*-
¦к-
-*-
* *
¦к-
1 ш 1 ш 1ш
1113 11
¦к-
¦к-
* *
¦к-
¦к-
ЮшшО I
ДА
* *
-х-
¦к
¦х- -х-
¦к-
¦х-
х-
шО 1 си шО
2 0 2 0 2 2
-х-
¦к-
* *
шО шО5 1
ДА
-х- *
*
3*4
Гл. П. Коды Голея и группы Матье
Множества, состоящие из четного количества точек, либо
однозначно превращаются в '«Р-множества изменением статуса
О или 2 точек, либо шестью различными способами изменением
статуса 4 точек. В первом случае все столбцы имеют одинако-
одинаковую четность или же четыре имеют одну четность, а два — дру-
другую, и мы, как и выше, решаем 5-задачу (но с 6 заданными
символами!) или две 3-задачи (с 4). Во втором случае мы мо-
можем изменить статус произвольной точки, и затем для получения
¦^-множества останется изменить статус еще трех.
§ 7. Максимальные подгруппы группы М24
Как мы уже обсуждали в разд. 2.5 гл. 10, существует ровно
девять классов сопряженности максимальных подгрупп группы
Таблица 11.1. Максимальные подгруппы
Структура группы
М2а
М22:2
РТЦ D)
26: 3*S6
24:А8
ЛГ12:2
2*:S3X?2G)
L2 B3)
L* G)
Разбиение
1, 23
2, 22
3, 21
46
8, 16
122
83
24
З8
Наименование
моиадная группа
дуадная группа
триадная группа
секстетная группа
октадная группа
додекадиая группа
триониая группа
проективная группа
октерная группа
M2i. За исключением L2B3), их можно охарактеризовать не-
нетривиальными разбиениями 24 элементов на сохраняемые ими
множества; см. табл. 11.1.
Некоторые из них использовались как исходные точки для
построения М24, а именно L2B3) Кармишаэлем, РГЬ3D) Виттом
и Титсом, 26 : (Эз X -?-2G)) Турином, 24: А8 Кэртисом, и, конечно,
26: 3"S6 использовалась в нашей конструкции.
В оставшейся части этой главы мы последовательно посвя-
посвятим по разделу каждой из максимальных подгрупп, стараясь как
можно теснее связать их с MOG. Эти разделы расположены до-
достаточно хаотично: сначала идет проективная группа, поскольку
с ней связана наиболее естественная разметка 24 точек, затем —
четыре группы, наиболее тесно связанные с MOG (секстетная,
октадная, триадная и трионная группы), затем — короткие раз-
§ 8. Проективная группа LzB3)
385
делы, посвященные монадным, дуадным и октерным группам,
а затем — особенно длинные раздел, относящийся к группе
М\2 : 2, которая заслуживает еще более длинного!
§ 8. Проективная группа L2B3)
Одна из максимальных подгрупп М24 есть группа PSL2B3),
или, для краткости, L2B3), которая действует на 24 точках,
пронумерованных символами сю, 0, 1, 2, ..., 21, 22, дробно-ли-
дробно-линейными преобразованиями z->-(az + b)/{cz-\- d), где ad —
— be — ненулевой квадрат по модулю 23. Код Голея <& — ^24
может в этих терминах быть определен как код, порожденный
образами множества "Q, состоящего из 0 и квадратичных выче-
вычетов по модулю 23:
Q = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18}
(это определение ЯЯы как расширенного квадратично-вычетного
кода — см. разд. 2.8 гл. 3).
Замечательно то, что подходящая для MOG разметка может
быть построена следующим образом. Для 12-элементного ^-мно-
^-множества (додекады), соответствующего Q, мы примем разметку
рис. 11.6а. Затем впишем числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
на эти места в естественном порядке и снабдим их знаками там,
где это необходимо, чтобы получить элементы из Q (рис. 11.6Ь).
Остающиеся элементы (сю и квадратичные невычеты по мо-
модулю 23) находятся с помощью преобразования -у: г-*- — 1/z,
изображенного на рис. 11.6с. Возникающая в результате
*
*
*
*
*
*
*
О
3
6
9
1
4
-7
-10
2
-5
8
-II
(a) (b) (с)
Рис. 11.6. Построение разметки MOQ.
0
19
15
5
00
3
6
9
1
20
14
21
II
4
16
13
2
10
17
7
22
18
8
12
Рис. 11.7. Стандартная разметка MOQ.
386
Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
разметка, изображенная на рис. 11.7, называется стандартной
(по модулю 23) разметкой MOG. Любой элемент из L2B3) те-
теперь превращается в перестановку группы М24-
§ 9. Секстетная группа 26:3'S6
Секстет есть набор из шести 4-элементных множеств, объ-
объединение любых двух из которых есть октада. Известно, что М24
транзитивна на секстетах и что любая тетрада содержится
в однозначно определенном секстете. Стандартный секстет — это
тот, шесть тетрад которого — столбцы таблицы MOG.
Стабилизатор секстета — это группа 26: 3'S6, в которой под-
подгруппа 26:3 состоит из'перестановок, сохраняющих все тетрады,
а факторгруппа S6 описывает действие на тетрадах. Мы опишем
поподробнее эту группу для стандартного секстета.
Рис. 11.8. Интерпретация для элементов группы 26: 3.
:i
:i
:i
:i
Ц
VJ
J5
11
"\
ii
it
i.
и
11
\ i
i.
Рис. 11.9. Три элемента из одного слова гексакода.
Элементарная абелева подгруппа 26 изоморфна аддитивной
группе гексакода, и ее элементы можно найти по словам гекса-
гексакода с помощью интерпретации их символов, указанной на
рис. 11.8а. Эта группа имеет еще два смежных класса в группе
2е: 3, и элементы этих смежных классов можно найти, интерпре-
интерпретируя символы другими способами, указанными на рис. 11.8Ь
и 11.8с. Таким образом, знание слов гексакода дает нам воз-
возможность узнавать «в лицо» все 192 элемента группы 26:3!
2 2
* ¦*
*
2 О
*
+
02
+
+
3 1111 1
111 3 11
111113
*
+ +
*
*
*
+
*
+
х- *
+ *
*
+
+
шООш
О Ш QJ 1
ш 1 1 ш 1 ц|
си ш шеи 0 0
§ 9. Секстетная группа 2*:3'St
387
РАЗБИЕНИЕ НА ПАРЫ
О I ww I О
Рис. 11.10. Слово, разбиение на пары, пузырьки.
0 0
0
0
0 0
У
¦f-
***
Рис. 11.11. Фиксеры и флиперы: (а) нечетные фиксеры, (Ь) нечетные флип-
флипперы, (с) четные фиксеры, (d) четные флипперы.
0 0
Й
00
t:
«»-
• *•
*о^
Р о
°я
•—*
.-V
-• •-
f \
Ь й
РО
>_.
0|шш10 01шш10 О I шш I О
Рис. 11.12. Еще три перестановки из слова гексакода.
Рис. 11.9 показывает три элемента, полученные таким образом
из слова 01 01 сой.
Но это еще не все! Соответствующим образом интерпретируя
символы подходящих слов гексакода, мы можем также полу-
получить все инволюции подгруппы 3*S6, сохраняющие верхнюю
строку таблицы MOG. (Любая перестановка верхней строки
продолжается до ровно трех элементов этой группы, но это —
нерасщепимое расширение, не содержащее подгруппы Se.)
Пузырьковый трюк. Вот как осуществляется этот трюк. Бе-
Берем любое слово гексакода W с двумя символами 0 и рассма-
рассматриваем любое разбиение этого слова на пары символов, при ко-
котором два 0 образуют пару. Для каждого ненулевого символа
слова W помещаем пузырек в соответствующую строку и стол-
столбец MOG, но в столбцах, соответствующих символам 0, поме-
помещаем вместо этого пузырьки в пересечениях со строками, соот-
соответствующими ненулевым символам, по крайней мере дважды
фигурирующим в W. На рис. 11.10 показано наше разбиение на
пары и пузырьки для слова 016@ 10.
Теперь, используя термины, вводимые на рис. 11.11, мы в со-
соответствии с типом нашей перестановки A42, 1222 или 23) посту-
поступаем следующим образом:
388
Гл 11. Коды Голея и группы Матье
о а
a b
с е
d f
его
сгсг
f d
е с
е f
d с
с f
е d
3 11111
а а
а
с
а
с
с
с
2 2
а а
а
е
2 0
а
е
20
е
е
ш 0 О ш ш
шш ОшО
Рис, 11.13. Секстет и две октады.
* •
II
X
л
п
О I ш оп О I ш
Рис. П.14. Разметка и еще несколько интерпретаций.
а
в •
II
ш т
I I
—•
><
п
п
и
гг
О | О | со( О| О| ид О | О | oijj
Ри<;. 11.15. Три новых интерпретации для 01 01 озй.
A42): заменяем нулевую пару на нечетный флиппер, а дру-
другие цифры на нечетный фиксер;
A22): заменяем нули на четные фиксеры, а другие пары на
четные флипперы;
B3): заменяем и нулевую, и другие пары на нечетные флип-
флипперы.
Эти фиксеры и флипперы всегда должны переводить пузырь-
пузырьки в пузырьки. На рис. 11.12 показан результат для нашего при-
примера.
Другие секстеты. Как мы отмечали, любая тетрада содер-
содержится в единственном секстете, который можно найти дополне-
дополнением до октад различных пятиточечных множеств, включающих
эту тетраду. Пример приведен на рис. 11.13, где указаны также
некоторые из соответствующих октад. (Этот секстет на самом
деле был составлен в уме по тетраде аааа. Поучительно прове-
проверить, что октады, образованные любыми двумя из его тетрад, —
действительно все октады.)
Некоторые другие секстеты особенно элегантны, и на них
без большого труда можно перенести результаты, относящиеся
к нашему стандартному секстету. Например, шесть 2 X 2-блоков,
на которые мы всегда подразделяем наш MOG, и элементы его
группы 26: 3*S6 можно получить из разметки и интерпретаций,
указанных на рис. 11.14. На рис. 11.15 показаны некоторые из
этих элементов.
§ 10. Октадная группа 24:А8
389
§10. Октадная группа 24: д8
Известно, что М24 транзитивна на октадах и что стабилиза-
стабилизатором октады является группа 24: А8. Важно, что знакопере-
знакопеременная группа Ag изоморфна линейной группе GL4B). На са-
самом деле эту группу легче всего понять, сказав, что дополне-
дополнение фиксированной октады приобретает структуру аффинного
четырехмерного пространства над полем §2, или векторного
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* К
(а)
(Ь)
О с
а а+с
d c+d
a+d <?+d
Ь Ь+с
а+Ь
а+Ь
+с
b+d c,
a+b a+b
+d+c+d
(c)
Рис. 11.16. (а) Стандартная октада и (b) ее дополнительный квартет с на-
началом, обозначенным 0 (с1 Элементы квадрата как векторы.
пространства, если также выбрать отмеченную точку и назвать
ее началом.
На рис. 11.16 изображены (а) наша стандартная октада и
(Ь) ее дополнение — стандартный квадрат — и стандартное на-
начало в этом квадрате. 1-ис. 11.16с показывает структуру вектор-
векторного пространства в стандартном квадрате.
Октада и дополнительный к ней квадрат связаны тем фак-
фактом, что имеется взаимно однозначное соответствие между раз-
разбиениями октады на две тетрады и квадрата на четыре парал-
параллельные двумерные плоскости, заданными требованием, чтобы
образующееся семейство из шести тетрад было секстетом. На
рис. 11.17 мы приводим все эти 35 секстетоЕ. Полезно заметить,
что тетрады (т. е. двумерные пространства), входящие в квад-
квадрат, суть в точности те, пересечения которых с четырьмя его
столбцами имеют одинаковую четность и с его четырьмя строка-
строками— одинаковую четность (возможно, ту же самую). Это по-
позволяет легко дополнить до тетрады любые три ее точки.
(Это замечание — основа исходного способа Кэртиса нахож-
нахождения октад в MOG [Сиг 2], использующего тот факт, что каж-
каждая октада, пересекающая стандартную по четырем точкам,
видна в одном из 35 секстетов рис. 11.17. Действительно, каждая
октада, кроме трех из стандартного трио, пересекается по край-
крайней мере с одной из октад этого трио по четырем точкам, так
что с помощью этого рисунка можно действительно найти все
октады.)
Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
о ее
19 3
15 6
2 22
1018
17 в
12
¦П ¦ о*| ¦¦¦ oj Н ¦ • q Ш PL0*! РП
ВОН Ш Ш ш л
Е Ш Ш Ш Ш
Рис. 11.17. 35 стандартных секстетов из MOQ.
Группа 24: As. Нормальная подгруппа 24 состоит из элемен-
элементов, поточечно оставляющих на месте стандартную октаду. На
аффинном языке это просто сдвиги дополнительного квадрата.
Общий элемент группы 24: Ав действует как элемент знако-
знакопеременной группы А 8 на стандартной октаде и как аффинная
симметрия четырехмерного пространства на дополнительном
квадрате. Каждое аффинное преобразование этого квадрата
продолжается до единственного элемента из Ми присоедине-
присоединением подходящей четной перестановки октады. Наоборот, каж-
каждая четная перестановка октады продолжается до 16 элемен-
элементов из М24 — мы можем обеспечить единственность, задав образ
любой точки вне октады. Потребовав, чтобы начало было не-
неподвижным, мы получим ограничение до подгруппы А8, допол-
дополнительной к группе 24.
Проиллюстрируем некоторые из этих идей несложным вы-
вычислением. Операция транспозиции квадрата, очевидно, является
аффинной симметрией — найдем элемент из Ав, продолжающий
ее до перестановки из М2^. Заметим, чд~о две октады на
рис. 11.18а, с имеют по б точек (X) в квадрате и только по две
(о) в октаде. Мы получим октады рис. 11.18Ь и d, переставив
части, лежащие в квадрате, а затем дополнив их до октад.
§ 10. Октадная группа 24:А8
39}
0
0
X
X
X X
X
X
0
0
X X
X
X
X
X
0 0
X X
X
X
X
X
0
0
X
X
X
X
X X
1 О 1 0 ш ш ЮЮшш шшшшОО
(a) (b) (с) (d)
Рис. 11.18. Транспозиция двух октад.
• •
:г
Yi
• •
•—•
ГХ-
• •
n
г;
• •
• •
«-с
fib
m
(a) (b) (c) (d)
Рис. 11.19. Некоторые перестановки из 24: д8.
111113 022022
3
•-
•
-•
¦
У.
2 Г^Р
• •
• •
• •
•/
? 10 0 1 шш О 1 1 О шш I
Рис. 11.20. Задача, некоторые вычисления и решение.
• *
• *
X
X
X
X
п
п
;п
• •
• •
•—•
л
• •
• •
X
X
X
X
• •
• •
« •
• •
г;
п
п
n
п
:\
ТТ1
:i
:i
и
Л
к
vi)
к
4*1
Рис 11.21. Элементы группы 24: As и других групп.
392 Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
Теперь искомая перестановка легко достраивается (рис. 11.19а)
с использованием того факта, что она — инволюция и должна
быть четной перестановкой. На рис. 11.19 также показаны неко-
некоторые другие элементы из М24, получаемые таким образом.
Инволюции в Л/24 лежат в двух классах сопряженности,
имеющих цикленный тип 1828 и 212. Имеется простой способ вы-
вычислить произвольную перестановку типа 1828 по ее неподвиж-
неподвижным точкам (которые должны образовывать октаду) и одной
из транспозиций (которая может быть выбрана произвольно).
Мы просто пользуемся тем фактом, что если октада содержит
четыре из неподвижных точек и две точки, подвергшиеся транс-
транспозиции, то оставшиеся две точки тоже должны быть затронуты
транспозицией этой перестановки. Рис. 11.20 иллюстрирует это
вычисление.
Процесс продолжения перестановок дополнениями октад, од-
однако, довольно скоро надоедает, и полезно знать, что во мно-
многих случаях его можно избежать. В частности, можно найти
много перестановок в группе 24: А8, используя другие группы,
для которых вычисление тривиально. Если искомый элемент
сохраняет секстет, образованный шестью его столбцами или
шестью 2 X 2-подквадратами, то можно использовать секстет-
ную группу. Если он сохраняет стандартное трио, можно ис-
использовать группу 26: (S3 X L2 G)). Наконец, если он сохраняет
стандартную триаду, или, что то же самое, стандартный способ
представления квадрата как двумерного пространства над F4
(а не просто как четырехмерного пространства над Рг). мы
можем использовать триадную группу РГ/,3D), вводимую в § 11.
Разнообразные элементы, получаемые этими способами, изо-
изображены на рис. 11.21.
§ 11. Триадная группа
и проективная плоскость порядка 4
Когда 3 из 24 точек отмечены, на оставшихся 21 точках воз-
возникает структура проективной плоскости над f.*. Точки этой
плоскости коордииатизируются тройками элементов из р4, не
все из которых равны нулю, с обычным соглашением, что
(x,y,z) = (kx,ky,kz). Пять точек с 2 = 0 определяются ча-
частными у/х и называются бесконечно удаленной прямой, тогда
как остальным 16 точкам можно присвоить нормализованные
координаты (х,у, 1), которые мы сокращаем до (х,у); они об-
образуют аффинную плоскость над р4-
В MOG мы берем за три отмеченные точки три нижние точки
в первом столбце, а за бесконечно удаленную прямую — то, что
остается от стандартной октады; тогда аффинная плоскость
§11. Триадная группа
отождествляется со стандартным квадратом; его координати-
зация приведена на рис. 11.22.
Мы следуем Витту [Wit 2], [Wit3], обозначая три специаль-
специальные точки цифрами I, II, III, и будем называть эти точки рим-
со О
I I
Дш
Шй
°|
ijy
Рис. 11.22. MOG как прективная плоскость.
скими. Октады системы Штейнера имеют следующие четыре
типа:
C + 5) Три римские точки вместе с прямой на плоскости.
B + 6) Две римские точки и шеститочечный овал (гиперко-
(гиперконика) на плоскости.
A + 7) Одна римская точка вместе с подплоскостью, опре-
определенной над f2.
(О + 8) Римских точек нет; сумма двух прямых на плоскости.
(Сумма берется по модулю 2, так что пересечение двух пря-
прямых не учитывается.) Гиперконика состоит из 5 точек коники
вместе с единственной точкой, не лежащей ни на одной из хорд
этой коники. На рис. 11.23 изображены примеры всех четырех
* *
*
*
-X-
*
* *
*
-X-
*
*
* *
¦ч- *•
* *
* *
* *
*
*-
*
* *
У^Х у=Х2 КООРДИНАТЫ 0,1 Х = 0 , у =
Рис. 11.23. Четыре октады с проективной точки зрения.
типов октад. Мы будем называть это конструкцией Витта — Тит-
са, поскольку Витт построил М24 по PSL3D), а Тите [Tit 2]
подробно исследовал возникающую геометрию.
Любой автоморфизм плоскости продолжается теперь един-
единственным образом до перестановки из Л^, если продолжить его
до действия на римских точках; это делается следующим об-
образом. Если преобразование осуществляется линейной (над F4)
заменой координат, то подходящая перестановка зависит от де-
детерминанта, как показано на рис. 11.24а. Если же оно получает-
получается из полулинейного отображения, то мы получаем одну из
394
Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
DET= I
ПОЛУЛИНЕЙНОЕ
Рис. 11.24. Подходящие способы переставлять римские точки.
II
Yfy.
(а)
• •-
• •-
• •-
• •-
¦• •
-ф •
-• •
~ф •
•х
• •
• •
II
• •
• •
II
•—•
X
(Ь)
(с)
Рис. 11.25. Четыре элемента из PFL% D): (а) х'= у, у' = х, г' = 2;
(Ь) х' = шх, у' = ay, z'= г; (с) х' = г, у' = у, z' = x\ (d) x' = х, (/' = у,
г' = z.
перестановок, изображенных на рис. П.24Ь, и первую из них,
если оно лежит в РГХ3D). Итак,
PSL3D) оставляет неподвижными все римские точки (и сов-
совпадает с M2i),
PGLz D) переставляет их циклически,
PEL3D) оставляет неподвижной I, и переставляет II и III.
Теперь вы можете выписать перестановку из Ми для любого
элемента из PFL3D). На рис. 11.25 приведены некоторые при-
примеры.
§ 12. Трионная группа 26: (S3X^2G))
М24 транзитивна на трио (мнемоника: три октады), состоя-
состоящих из трех непересекающихся октад. Подгруппа, сохраняющая
трио, — это группа 26: (S3 X ^2 G)); при этом существенно, что
L2G) изоморфна 1зB). Эту подгруппу лучше всего понять, ска-
сказав, что три октады наделяются структурой параллельных аф-
аффинных трехмерных пространств над Рг-
В качестве стандартного трио мы берем то, которое образо-
образовано левой, средней и правой парами столбцов MOG, и разме-
размечаем каждую из этих октад, как указано на рис. 11.26а. Аффин-
Аффинная структура на любой из этих октад изображена на рис. 11.26Ь.
Согласно конструкции Турина [Мае 6, гл. 18, теор. 12], код
i?24 СОСТОИТ ИЗ СЛОВ
§ 12. Трионная группа 2e:(Ss X L2{7))
395
и их дополнений, где X + Y + Z = 0, a X, Y, Z принадлежат от-
резочному коду с рис. 11.27а, тогда как t принадлежит точеч-
точечному коду с рис. 11.27Ь. Тетрады отрезочного кода суть двумер-
двумерные подпространства аффинного трехмерного пространства и
задают октады, будучи помещены в любые две из трех стандарт-
стандартных октад. Тетрады точечного кода — это в точности те, что за-
задают додекады из i?24, будучи повторены во всех трех октадах
00
3
5
6
0
2
1
4
0
а
b
а+b
с
а+с
Ь+с
а+Ь
+с
(a) (b)
Рис. 11.26. Две разметки октады
стандартного трио. (Одна из этих додекад помечена элемен-
элементами из Q в стандартной разметке MOG — см. рис. 11.7.)
Группа 26: (S3 X L2 G)) содержит следующие подгруппы:
1) Элементарную абелеву нормальную подгруппу 26, эле-
элементы которой получаются комбинацией любых трех сдвигов,
в сумме дающих 0.
(а)
* *
* *
* *
» *
* *
* *
*
*
*
*
*
*
*
(Ь)
* »
*
*
к
*
*
*
*
#
* *
*
* »
*
О
Рис 11.27. Два кода конструкции Турина, (а) Эти множества и их допол-
дополнения образуют линейный код. (Ь) Эти множества и их образуют точнечный
код.
2) Подгруппу S3, действующую на трех октадах стандарт-
стандартного трио.
3) Группу L2{7), состоящую из тех преобразований из М24,
которые в точности одинаково действуют на всех трех октадах.
На рис. 11.28 изображены некоторые примеры. На первом ри-
рисунке изображены три сдвига, в сумме дающие 0 (а именно
определенные векторами Ь, с, и 6 + с), на втором — цикличе-
циклические перестановки трех стандартных октад, а оставшиеся три
396
Г л 11. Коды Голея и группы Матье
рисунка изображают элементы
а: 2 -> 2 + 1, р: 2 -
¦42, у: z-f—1/z
группы L2{7) согласно разметке рис. 11.26а.
Отметим, что упомянутые тетрады как отрезочного, так и
точечного кода являются образами друг друга относительно
tffitt
•-•
X
X
—
X
/з
Рис. 11.28. Пять элементов групы трио.
элемента а рис. 11.28. Если назвать инцидентными две тетрады,
пересекающиеся по двум точкам, то рис. 11.29а показывает, как
эти два кода получают свои названия.
Если мы рассмотрим группу 26:L2G), сохраняющую все три
октады, то обнаружим, что она действует на любой из октад
Рис. 11.29. Инцидентность между точками и прямыми.
как группа 23:L2G), в которой нормальная подгруппа 23 со-
состоит из наших аффинных сдвигов, а дополнительная подгруппа
1-2G) определена разметкой на рис. 11.26а. Однако другое до-
дополнение к нормальной подгруппе 23 есть подгруппа L3 B), со-
сохраняющая точку оо и действующая автоморфизмами на про-
проективной плоскости, семь точек которой суть числа 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, а семь прямых получаются из тетрад отрезочного кода
удалением оо (см. рис. 11.29Ь). Таким образом, для получения
изоморфизма L2G) и L3{2) мы просто домножаем любую пере-
§ 13. Октерная группа
397
становку из L2G) на аффинный сдвиг, переводящий оо в подо-
подобающую точку.
На рис. 11.30 изображены три образующие группы ?гG)
(=L3B)), сохраняющие все три октады и к тому же остав-
оставляющие по неподвижной точке в каждой из первых двух. Они
к
к
К
т т
и
11
Т т
й
II
• •
I I
•—•
X
/3'
у'
Рис. 11.30. Образующие другой группы ЬгG).
были получены из перестановок а, р, у рис. 11.28 применением
этого процесса к первым двум октадам.
§13. Октерная группа
Эта (наименьшая) максимальная подгруппа в М24 есть ста-
стабилизатор некоторого разбиения 24 точек на восемь циклически
упорядоченных триад.
Имеются два различных способа выбрать четырехмерное под-
подпространство в <&>2*, состоящее из пустого и полного множеств
вместе с 7 парами дополнительных додекад. В каждом из слу-
случаев мы получаем разбиение 24 точек на восемь триад, рас-
рассматривая пересечение троек додекад. В первом случае за одну
из додекад можно взять множество Q рис. 11.6а, а за осталь-
остальные— ее образы при действии степенями элемента а, опреде-
определенного нами в связи с тряонной группой (§ 12). Получившееся
множество триад состоит из триад точек, аналогичным образом
пронумерованных на рис. 11.26а, а стабилизатором является
подгруппа S3X.L2G) группы трио.
Во втором случае триады суть {щ, п%, п4} для п = оо, 0, 1, ...
.... 6 (рис. 11.31а). Стабилизирующая группа (октерная груп-
группа) есть L2G), порожденная элементами а*, Р*, у*, изображен-
изображенными на рис. 11.31b— 11.31d, с действием
а: nt-*>(n-\- l)t,
у: «*-*( — jr)
v 'tin2 или t2
где nut понимаются по модулю 7, а вторая возможность в по-
последней строчке используется только при п = оо и п — 0. Одна
из додекад состоит из всех точек 0/, Ь, 2t или 4< рис. 11.31а.
398
Гл. 11. Коды Г о лея и группы Матье
24 2,
54 5,
44 6,
ш4 0,
4, 42
3| 32
1, 52
ю, 02
12 Ц
62 64
22 34
т2 04
(а)
•
. /
V
/) >\
(Ы
(с) (d)
Рис. 11.31. (а) Нумерация группы октернов. (Ь) — (d) Элементы а*, Р*, \*.
Эту группу можно определить как централизатор в М24 октер-
ного элемента (не лежащего в M2i):
(оо4 оо2 оо,) @,0204) A,1214) . . . F,6264).
§14. Группа Матье М2з
Фиксируя любую из 24 точек (скажем, точку оо), мы полу-
получим максимальную подгруппу М23, которую иначе можно опреде-
определить как стабилизатор системы Штейнера 5D,7,23), 253 геп-
тады которого получаются удалением оо из всех октад системы
5E,8,24), содержащих ее. Хотя группа М2з меньше, чем М24,
ее свойства легче всего понять при вложении ее в Ми, и по-
поэтому мы больше не будем о ней говорить.
§ 15. Группа М22: 2
Фиксируя две точки из 24 (скажем, оо и 0), мы получим
группу Матье М22, которая, разумеется, не максимальна, по-
поскольку мы можем добавить к ней перестановку, переводящую
эти точки друг в друга, и получить группу М22:2. Это стабили-
стабилизатор системы Штейнера 5C,6,22), получаемой удалением оо
и 0 из всех октад системы 5E,8,24), содержащих обе эти точ-
точки. Разумеется, и об этих группах можно сказать, что их лучше
всего изучать, погрузив в M2i. Однако есть несколько замеча-
замечаний о гексадах, которые могут оказаться полезными.
Любая из 77 гексад не пересекается с 16 другими и пере-
пересекается с каждой из оставшихся 60 по двум точкам (такие
§ 16. Группа М1г, тетракод и MINIMOG 399
взаимоотношения превращают 77 гексад в граф ранга 3). Одна
из гексад для группы Мц2, фиксирующей оо и 0, есть остаток
стандартной октады, а 16 не пересекающихся с ней гексад —
любая строка плюс любой столбец в стандартном квадрате.
Остальные 60 гексад распадаются на ' 15 множеств по 4 эле-
элемента, которые можно получить из рис. 11.17. На этом рисунке
имеется 15 секстетов, для которых одна тетрада содержит
{оо, 0}, и мы получаем 60 гексад, взяв оставшиеся две точки
этой тетрады с одной из четырех тетрад, соответствующих ей
в стандартном квадрате.
§ 16. Группа Mi2, тетракод и MINIMOG
Группа Матье М]2 является и подгруппой группы М2а, и ее
аналогом. Сначала мы рассмотрим ее во втором качестве.
М1? может быть определена как стабилизатор системы Штей-
нера 5E,6, 12), но легче всего ее понять в связи с троичным
кодом Голея Ф12 (п. 2.8.5 гл. 3, разд. 1.5 гл. 10), который мы
определим здесь через тетракод 8% (п. 2.5.1 гл. 3), и с 4ХЗ-таб-
лицей MINIMOG.
Тетракод 8% состоит из 9 слов над р3:
оооо, о ¦+¦ + + , о ,
+ о-\—, ++-О, +-о+,
— о—Ь —+о—, h о
(мы обычно предпочитаем пользоваться символами о, +, —,
а не 0, 1, 2). В типичном слове abed первые два символа а, Ъ
определяют линейную функцию у(х) = ах + Ъ, а последние три
дают значения ф@), фA), фB):
а 6 = ф(о) с==ф(+) й = ф(—).
Иными словами, первый символ задает наклон s слова, а ос-
остальные три символа циклически увеличиваются на s. Это чрез-
чрезвычайно упрощает решение двух типов задач:
2-задача. Дополнить слово тетракода по двум его символам.
4-задача. Исправить слово тетракода, содержащее все 4 его
символа, один из которых может быть ошибочным.
MINIMOG есть ЗХ4-таблица, строки которой помечены о,
+, —, а столбцы соответствуют четырем символам тетракода.
Мы будем пользоваться словом столбец (сокращенно «стл»)
также для слова длины 12 с символом +, соответствующим
позициям одного столбца (и символами о на остальных местах),
400
Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
и словом тетрада (сокращенно «тет») для слова веса 4, в ко-
котором + стоит в позициях, соответствующих слову тетракода,
а о — в остальных позициях (см. рис. 11.32).
6
5
4
3
2
1
0
7
8
9
10
11
Рис. 11.32. Таблица MINIMOG с тасующей нумерацией, «стл> и «тет>.
Троичный код Голея &12 определяется замечанием, что
по модулю 9?12 любой столбец сравним с любой тетрадой
с противоположным знаком.
(Сравните с ??24, по модулю которого любой столбец сравним
с любой гексадой (с противоположным знаком).) В частности,
отсюда следует, что комбинации
стл — стл, стл + тет, тет — тет, стл + стл — тет
все дают б^-слова, а на самом деле они дают гексады со зна-
знаком (??12-слова веса 6)—см. примеры на рис. 11.33. Мы также
о
?
30 3
+
+
+
¦>¦>¦?
1
+
3 1 1
+ ¦:
+ +
7> + -
2
+
—
0 2 2
о + +
¦? - +
1
-
+
22 i
о +
+ 0
+ +—
0 + -
Рис. 11.33. Четыре гексады со знаками и их нечетные-прочь.
включили в этот рисунок распределение по столбцам 6 точек,
а также нечетные-прочь. (Если в столбце стоит всего один от-
отличный от о символ или же всего один символ о, то нечетный-
прочь — имя соответствующей строки. В противном случае для
столбца не определен нечетный-прочь и мы пишем? под ним.)
1
-
1
+
22 1
I1'
3
+ - о ?
2 2 1 2
3 00
-
2
:
022
0
¦+¦ -
2
? ? ? о (о) о о
2 2 0 112 2 0
0
-+1
0
2 02
+ 0 +
2 22
it:
о --1-)
(о) о о о
§ 16. Группа МХ2, тетракод и MINIMOG
401
Если не обращать внимание на знаки, то из этих гек-
сад со знаками мы получим 132 гексады системы Штейнера
SE,6, 12). Это оказываются все возможные гексады, для
которых
1) нечетные-прочь образуют часть слова тетракода и
2) распределение по столбцам не есть 3 2 1 0 в каком-либо
порядке.
Задача дополнения такой гексады по 5 ее точкам легко решается
в терминах 2-задач или 4-задач, и тогда знаки можно при же-
желании расставить с помощью выражений, содержащих столбцы
и тетрады.
Например, 5 точек рис. 11.34а имеют распределение по столб-
столбцам 240 и поэтому должны дополниться до гексады с распре-
*
к
*
* *
*
*
*
*
* #
+
+ + о
+ + о ? -+о-
(а) (Ь) (с)
[
+ О ?
(а)
*
*
+ о -
(е)
—
+ 0
О +
+ + -
+ О -
(f)
Рис. 11.34. От пентад к гексадам со знаками.
делением 230 или 2212. В любом случае средние два символа
в последовательности нечетных-прочь правильны, и мы решили
2-задачу ? + о? => |-о—. Это показывает, что исправления
должны быть произведены в первом столбце, так что ответом
является рис. 11.34Ь. Ответ к задаче 11.34d приведен на
рис. 11.34е.
Остается расставить знаки! Для второй из задач это не со-
составляет трудности, поскольку распределение по столбцам 2212
говорит нам, что гексада имеет вид стл + стл — тет, и поэтому
знаки расставляются, как показано на рис. 11.34f (мы вставили
символы о, чтобы показать, где стояли вычитаемые тетрады).
Однако в исходной задаче распределение по столбцам дает вид
тет — тет, и нам нужны две татрады, ни одна из которых не
есть тетрада нечетные-прочь |-о —, поскольку в этом случае
нечетных действительно уже нет! Ответ таков: берем две тет-
тетрады о и + о-1 , которые согласованы с этой тетрадой
в позиции, соответствующей пустому столбцу (где мы могли
написать ? вместо —), и получаем знаки, как показано на
402
Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
рис. 11.34с ([о ] — [+оЧ ]). Это — один из многих
случаев, когда сделать легче, чем объяснить.
В конце страницы мы поместили несколько 5-элементных
множеств. На странице 400 приведены их дополнения до гексад
из ^12 вместе с правильно выбранными знаками. Заметьте, что
есть два верных способа расставить знаки в гексаде на 5E,6,
12)—тот, о котором вы сначала подумали, и противоположный.
Связь между MOG и MINIMOG. MINIMOG может быть
вставлена в MOG, как показано на рис. 11.35. После этой встав-
г г г
г г г
г г г
г г г
СОДЕРЖИТ
Г Г г И ЗАМЫКАЕТСЯ ДО
Г Г г
г г г
г г г
г г г
Рис. 11.35. Как MOG содержится в MINIMOG.
ки гексады из 5E,6, 12) превращаются в те 6-элементные под-
подмножества правой части (отмеченной г на рисунке), которые
можно дополнить двумя точками из левой части до октады
5E,8,24). На рис. 11.36 приведен пример.
ПРЕВРАЩАЕТСЯ В
*
* * *
и расширяется до
*
*
*
*
* * *
рО Ош I ? wOOwlw
Рис, 11.36. Как гексада превращается в октаду.
§ 17. Карточные и другие игры
Нумерация на рис. 11.32 обладает многими замечательными
свойствами. В процессе исследования математики тасования
карт Диаконис и др. [Dia 2] обнаружили замечательный новый
* X X
*
*
*
* *
*
* * *
* *
* *
* * *
* * *
§ 17. Карточные и другие игры
403
способ строить Afi2. Более общо, для любого делителя п числа 12
возьмем п карт и пронумеруем их 0, 1, 2, ..., п— 1. Рассмотрим
группу Мп перестановок этих карт, порожденных операциями
г„: t^-n—l —t,
sn: t-> min{2t, 2n—l—2t).
На языке карточных игр г„ — операция переворачивания ко-
колоды, sn — специальная перестановка, называемая тасованием
Монжа. Тогда для п=1, 2, 3, 4, 6, 12 мы обнаруживаем, что
это суть соответственно группы
S,, S2, S3, A4, PGL2E), М12,
где PGL2E) действует на картах так же, как переставляет 0,
со, 1, 2, 3, 4, a Afi2 действует на них, как на числах на рис. 11.32.
Многие замечательные свойства группы Mi2 вскрываются,
0+
2"
Г
3"
чСГ
3+
6+
9+
|+
5"
6~
4~
7"
4+
7+
10*
2+
10"
9-
1Г
8"
5+
8+
П+
Рис 11.37. Тасующая нумерация для М24.
когда мы рассматриваем ее действия на множестве, упорядочен-
упорядоченном именно так. Будем считать Mi2 погруженной в M2i, дей-
действующей на двух таких наборах, как на рис. 11.37. Такая ну-
нумерация просто связана с проективной (см. рис. 11.7): положим
/г+=то из чисел п, —/г, которое лежит в Q,
п~ = то из чисел 8//г, — 8//г, которое лежит в Q\Q.
Двойственность этой группы Мц — та перестановка группы M2i,
которая меняет местами и+ и и~. Это особенно интересный
внешний автоморфизм группы М\%.
Если аЬ = 12, имеется стандартное разбиение 12 карт в а
групп по Ъ карт; эти разбиения указываются вертикальными
черточками на рис. 11.38. Стабилизатором такого разбиения
оказывается группа Ма X Мь, где Ма действует на с строк,
а Мь — на Ъ столбцов подходящей таблицы рис. 11.39. Более
того, стандартная двойственность переводит стабилизатор стан-
стандартного разбиения на с множеств по Ъ элементов в стабили-
стабилизатор стандартного разбиения на Ъ множеств по с элементов,
и при этом отображение sa на строках двойственно отображе-
404 Гл. И. Коды Голея и группы Матье
|О I 2 3 456 7 89 10 Щ для а=|,Ь=12'
|О 1 2 3 4 516 7 8 9 10 11 I для а = 2, b = 6
|0 I 2 3|4 5 6 7|8 9 10 I 11 для а = 3, b = 4
|0 I 2|3 4 5|б 7 8|9 10 I I I для а= 4, b = 3
|0 I |2 3|4 5|6 7|89|lO П| ДЛЯ а - 6, Ь = 2
|О|1|2|3|4|5|6|7|8|9|Ю|П| ДЛЯ а = 12, Ь = I
Рис. 11.38. Стандартные разбиения
t/1 R С Й Q >
Изо Г оэ
(а)
Рис, 11.39.
012345
(Ь)
Шесть способов
0
3
Q
9
(с)
1 2
45
78
1011
(d)
0
3
4
7
8
1
2
5
6
9
1110
разложения карт
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(f)
нию s*1 на столбцах! Отображение га на строках двойственно
отображению, обращающему порядок столбцов, хотя в случае
а = 6 это не только га, но его произведение с п, переставляю-
переставляющим строки.
Группа, порожденная круговыми преобразованиями
Г*тп *уч *тч *уч fT9 *ТП *ту
1> * 2> -«З» ¦* 4> ¦» 6> * 8. ¦* 12» 1 24>
изображенная на рис. 11.40, есть 2XMi2; при этом централь-
центральная группа порядка 2 порождена Ти. Это приводит к порази-
поразительно простому определению М\ч. Отождествление точек с оди-
одинаковыми номерами на рис. 11.40 приводит к той же M.\i, кото-
которую мы только что определили.
Еще несколько сюрпризов ждет нас, если мы пометим гек-
сады 5E,6, 12) суммами их элементов в тасующей нумерации.
Получающаяся гистограмма (рис. 11.41) показывает, что нечто
очень специфическое присуще 11 гексадам с суммой 21, и так
оно и есть! Мы назовем их легкими гексадами, а их дополне-
дополнения— 11 гексад с суммой 45—тяжелыми.
Оказывается, 11 легких гексад — это в точности все гексады
из неотрицательных целых чисел, сумма которых равна 21, и
§ 17. Карточные и другие игры
405
0123456789 10 11 11 10 987654321 О
ооооооооооооооооооооооооТ^
2хМ12
Рис. 11.40. Круговые преобразования Th Т2, . , Т2\, порождающие 2 X Л112.
если соединять две гексады, когда они имеют ровно 3 общие
точки, то эти 11 гексад образуют естественную цепочку, в ко-
IS
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
21 23 25 27 2Э 31 33 35 37 39 41 43 45
СУММА
Рис. 11.41. Пирамида между обелисками
торой каждая соединяется только с прилегающими к ней. Бо-
Более того, в нашей двойственности эти гексады соответствуют
11 дуадам {О, 1}, {1,2}, .... {10, 11}, как в табл. 11.2. [Гексада
{a,b,c,d,e,f} двойственна дуаде {х,у} тогда и только тогда,
когда {а+, b+, c+, d+, e+, f+, x~, у~} является октадой из 5 E, 8, 24).]
406 Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
Таблица 11.2. Двойственность
между гексадами и дуадами
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
4
3
4
4
3
4
4
3
4
5
3
5
7
5
6
5
6
5
6
5
6
4
6
8
9
7
10
8
7
9
8
7
11
двойственно
двойственно
двойственно
двойствеиио
двойственно
двойственно
двойственно
двойственно
двойственно
двойственно
двойственно
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Последнее замечание: число тяжелых гексад, содержащих
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
равно соответственно
1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10.
Система Штейнера 5E,6, 12) получается из 11 легких гек-
гексад дополнением до {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} и сложе-
сложением тех гексад, сумма которых снова гексада. Код Голея <S724
порождается соответствующими 11 октадами вместе с универ-
универсальным множеством.
Объяснить все эти наблюдения нелегко. Несомненно, они
связаны с гиперболической геометрией и структурой «дыр» ре-
решетки Лича. Например, в терминологии гл. 24, если воспользо-
воспользоваться координатами решетки Лича с центром в дыре типа ЛЛ
то вершины этой дыры суть 48 f-точек (+4, О23), а следующие
ближайшие точки — это 4096 g-точек (+124), где знаки опреде-
определяются ^-множеством. В этих координатах центр некоторой
?>24-Дыры есть
с = -^-A1>2; -11,-9,-7,-5,-3,-1, 1,3,5,7,9,11),
где позиции координат помечены в порядке
О", Г, 2- 11-; 0+, 1 + , 2+, .... 11 + .
Вершины этой дыры — это f-точки, скалярное произведение ко-
которых с с равно 44/23, а g-точки с координатами —1 противо-
противолежат всем упомянутым выше 11 октадам.
§ 18. Дальнейшие построения для Mi2 407
Лексикография гексакода и код Голея ^24- Если определить
список чисел, составленных из четырех цифр 0, 1, 2, 3, требова-
требованием, чтобы каждое следующее было наименьшим числом, от-
отличающимся от всех предыдущих по крайней мере в четырех по-
позициях, то окажется, что первые 64 из них:
000000, 001111, 002222, 003333, 010123 333300
— это в точности слова гексакода (с 0, 1, 2, 3 вместо 0, 1, со, ю).
Это наблюдение оказывается эквивалентным ах2 + Ьх + с-опре-
делению гексакода, и Уилсон [Wil 6а] обобщил его различными
способами. Рассматривая цифры 0, 1 и требуя, чтобы каждый
следующий набор отличался от предыдущих по крайней мере
в 8 позициях, Ги пришел к коду Голея <jP24 с порядком, получен-
полученным считыванием столбцов MOG слева направо. Такие «лек-
«лексикографические коды» подробнее обсуждаются в работе
[Соп41].
§ 18. Дальнейшие построения для М12
Петля арифметической прогрессии. На 12-элементном мно-
множестве L = {оо, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X = 10} имеется пет-
петлевое умножение *, определенное следующими двумя требо-
требованиями:
1) оо — нейтральный элемент и совпадает с квадратом лю-
любого элемента (например, оо*5 = 5*оо = 5, 5*5 = оо).
2) Если а, Ъ, с — три различных числа в арифметической
прогрессии, а Ъ—а — квадратичный вычет по модулю 11, то
a*b = b*a = c. Квадратичные вычеты суть 1, —2, 3, 4, 5, так
что, например, 7*8= 9, 6*8 = 4.
Эта петля дает две конструкции группы М^.
(I) М\2 порождена перестановками па (a^L), где щ: х-*-
->х ° а. Например, яо = (оо 0)A29748365Х), а другие ла по-
получаются сдвигом чисел в ней на с по модулю 11.
(II) Рассмотрим множество таких перестановок я множества
L, для которых существует я', такая, что
Тогда Mi2 порождается этими перестановками я и л;". На самом
деле перестановки я образуют стандартную группу 1г(П) ото-
отображений вида х-+(ах-\- b)/(cx + d), где ad — be — квадра-
квадратичный вычет, а перестановки я' образуют в М12 другую под-
подгруппу Li2(ll). Это дает образующие группы М\2, использо-
408 Гл. 11. Коды Голея и группы Матье
вавшиеся в гл. 10, а именно
<z = a' = (oo)@123456789X) (t->t+l),
р=р' = (оо)@)A3954)B67Х8) (t-»&),
у - (оо 0) A X) B 5) C 7) D 8) F 9) (t - -10,
Y' = (oo)@)(l)BX)C 4)E 9)F 7)(8).
Перестановка у' в гл. 10 обозначалась б.
Вот словарь, связывающий нумерацию по модулю И с та-
тасующей нумерацией:
тасующая: 0 123456789 10 И
по модулю 11:оо 193450 862 X 7
мнемоника: оо +1 —2+3+4+5 0 —3 +6 —9 —12 —15
Рубикон, или рубик-икосаэдрическая конструкция группы
Af 12- Если мы назовем перестановки аир двенадцати символов
Таблица 11.3. Классы перестановок группы Si2 по модулю Mi2
Четные перестановки:
(a) 1 класс, представленный тождественной перестановкой
(b) 440 классов, представленных 3-цикламн
(c) 495 классов, обладающих тремя представителями типа 2*
(d) 1584 класса, обладающих 12 представителями типа 5
Итого 2520
Нечетные перестановки:
(e) 66 классов, представленных 2-циклами
(f) 990 классов, обладающих тремя представителями типа 4
(g) 1320 классов, обладающих двенадцатью представителями ?тнпа 2'3'
(h) S144 класса, обладающих ПО представителями типа 6
Итого 2520
конгруэнтными, когда ар~' е Мц, то имеется 12!/|JWi2| = 7! =
= 5040 классов конгруэнтности, как показано в табл. 11.3.
Вот примеры классов, содержащих более одного представи-
представителя (в тасующей нумерации):
Класс с:
@ 9) C6) шш A 2) D 5) = G 8) A0 11).
Это квадраты
класса f:
@396) = A425) = GП810),
§ 18. Дальнейшие построения для М12
409
класса g:
A2) (9 63) « @ 2)A0 74) га @1)(П85) аи
=¦ D 5) @ 6 9) = C 5) A 7 10) = C 4) B 8 11) =
в G 8) (9 3 0) = F 8) A0 4 1) = F 7) A1 5 2) =
аа A0 11) @ 3 6) аа (9 11) A 4 7) = (9 10) B 5 8).
(Чтобы понять это, расположите числа в стандартную 4X3-
таблицу, как на рис. 11.39d.)
Для классов d и h мы перейдем к нумерации по модулю 11
{00,0,1, .... X}.
Класс d:
A 9 4 3 5) = B X 6 8 7) = (оо 5 7 8 9) =
= @ 7 5 3 X) аа (оо 4 X 2 5) = (оо 9 6 X 3) =
= (оо 3 2 7 1) шш (О X 4 9 8) = @ 8 1 5 2) =
а* @ 6 9 1 7) sat (оо 1 8 6 4) sb @ 2 3 4 6).
Класс h: отображение
(оо) @) A X) B 9) C 8) D 7) E 6) (* -> -1)
принадлежит классу типа h. Этот класс инвариантен относи-
относительно группы L = L2( 11) отображений t->{at-{- b)/{ct + d),
где ad—be — квадратичный вычет по модулю 11; ПО самых
Рис. 11.42. Икосаэдр.
коротких представителей этого класса сопряжены (оо0 2 34 6)
с помощью элементов из L. (Поскольку перестановка
(оо02346) A 97X85) лежит в L, каждый из этих представи-
представителей является одним из циклов элемента порядка 6 в L.)
410 Гл. П. Коды Голея и группы Матье
Отметим, что перестановки класса d в нашем примере суть
просто 12 5-циклов xt — обходов по часовой стрелке вершин t
икосаэдра, изображенного на рис. 11.42.
Оказывается, что Ми порождена соответствующими отно-
отношениями т^т. Иными словами, Мп—множество перестано-
перестановок вида
закрутить раскрутить закрутить раскрутить...
...закрутить раскрутить
вершин икосаэдрического варианта кубика Рубика, в котором
«закрутки» Tt и «раскрутки» х~1 физически возможны.
Замечания, (i) Закрутка вокруг вершины с последующей рас-
раскруткой вокруг противоположной вершины есть порождающее
вращение икосаэдра. Таким образом, группа вращений ико-
икосаэдра содержится в нашей группе М\2- (П) Математически
проще считать М\2 порожденной двенадцатью перестановками
т,0, где
а = (оо 0) A X) B 9) C 8) D 7) E 6)
—антиподальная инверсия икосаэдра. Оказывается, что
т0сг = (оо0)A 2974 8 3 6 5Х)
(для запоминания: надо поочередно удваивать и менять знак!)
есть перестановка яо, упоминавшаяся выше в этом разделе.
К настоящему времени группы Матье известны уже в тече-
течение столетия с четвертью, однако они все еще способны удив-
удивлять нас. Вот некоторые относящиеся к ним работы: [Ass 2],
[Bet 1], [Carl], [Cur 6], [Cur 7], [Gibl], [Hugl], [Jon 5],
[Krai], [Masl], [Matl], [Mat2], [Peel], [Pie 15], [Pie 15a].
[Soil], [Stal2], [ТопЗ], [Warl], [Whi 1].
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие 7
Глава 1. Упаковки шаров и контактные числа 18
§ 1. Проблема упаковки шаров 30
§ 2. Проблема контактного числа 41
Приложение. Перемещения планет 50
Глава 2. Покрытия, решетки и квантизаторы 52
§ 1. Проблема покрытия 52
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 65
§ 3. Квантизаторы 81
Глава 3. Коды, <-схемы и группы 89
§ 1. Проблема кодирования для канала . 89
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 102
§ 3. /-схемы, системы Штейнера и сферические /-схемы 118
§ 4. Связи с теорией групп 121
Глава 4. Некоторые важные решетки и их свойства 126
§ 1. Введение 126
§ 2. Группы отражений и решетки корней 127
§ 3. Теория склейки 132
§ 4. Обозначения; тэта-фуикции 135
§ 5. л-мерная кубическая решетка Z" 139
§ 6. л-мерные решетки Ап и Ап 142
§ 7. «-мерные решетки Dn и Dn 152
§ 8. Решетки Ее, ?V и ?s 156
§ 9. Двеиадцатимерная решетка Кокстера—Тодда К\2 165
§ 10. Шестнадцатимерная решетка Барнса—Уолла A]6 167
§ 11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича Л24 169
Глава 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки 175
§ 1. Введение 175
§ 2. Конструкция А 176
§ 3. Конструкция В 181
§ 4. Послойные конструкции упаковок 183
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок 188
§ 6. Конструкция С ... 193
412 Оглавление
Глава 6. Слоистые решетки 201
§ 1. Введение 201
§ 2. Основные результаты 208
§ 3. Свойства решеток Ло, ..., As 214
§ 4. Размерности от 9 до 16 217
§ 5. Глубокие дыры в Л^ 222
§ 6. Размерности от 17 до 24 225
§ 7. Размерности от 25 до 48 226
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки 228
Глава 7. Дальнейшие результаты о связях между кодами и упаковками 231
§ 1. Введение 231
§ 2. Конструкция А 232
§ 3. Самодвойствнные (или типа I) коды и решетки 236
§ 4. Экстремальные коды и решетки типа I . 240
§ 5. Конструкция В 243
§ 6. Коды и решетки типа II 244
§ 7. Экстремальные коды и решетки типа II 246
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток 250
§ 9. Самодвойственные недвоичиые коды и комплексные решетки . . 256
§ 10. Экстремальные иедвоичные коды и комплексные решетки . . . 259
Глава 8. Алгебраические конструкции решеток 261
§ 1. Введение 261
§ 2. Икосианы и решетка Лича 262
§ 3. Общий подход к конструкции А и 64-мерная решетка Квеббе-
манна 267
§ 4. Решетки над Z [е31^4] и 32-мериая решетка Квеббеманна . .271
§ 5. 40-мерная экстремальная решетка Маккея 278
§ 6. Повторяющиеся разности и решетки Крэйга 280
§ 7. Решетки из алгебраической теории чисел 283
§ 8. Конструкции D и D' 291
§ 9. Конструкция Е 296
§ 10. Примеры конструкции Е 299
Глава 9. Границы для кодов и упаковок шаров 307
§ 1. Введение 307
§ 2. Зональные сферические функции 312
§ 3. Границы линейного программирования 322
§ 4. Другие границы 332
Глава 10. Три лекции об исключительных группах . 333
§ 1. Первая лекция 333
§ 2. Вторая лекция 342
§ 3. Третья лекцяя . 357
Приложение об исключительных простых группах 370
Глава 11. Коды Голея и группы Матье 374
§ 1. Введение 374
§ 2. Определения гексакода 375
§ 3. Распознавание слова гексакода 377
§ 4. Дополнение слова гексакода 378
§ 5. Код Голея #24 и M0G 379
Оглавление 413
§ 6. Дополнение до октады ее 5 точек 381
§ 7. Максимальные подгруппы группы Af24 384
§ 8. Проективная группа 12B3) 385
9. Секстетная группа 2е: 3-5е 386
10. Октадная группа 24:А8 389
11. Триадная группа и проективная плоскость порядка 4 .... 392
12. Триониая группа 2e:(S3 X L2 G)) 394
13. Октерная группа 397
§ 14. Группа Матье М23 398
| 15. Группа М22: 2 398
§ 16. Группа Af 12, тетракод и MINIMOG 399
§ 17. Карточные и другие игры 402
§ 18. Дальнейшие построения для Мм 407
Научное издание
В двух томах
Джон Коивей, Нил Слоэн
УПАКОВКИ ШАРОВ, РЕШЕТКИ И ГРУППЫ
Том I
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научн. редактор Г. М. Цукерман
Мл. научн. ред. Т. А. Денисова
Художник О. С. Василькова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор С. С. Суставова
ИБ № 7191
Сдаио в набор 20.02.90. Подписано к печати 15.10.90. Формат бОХЭО'/и. Бума-
Бумага этикеточная имп. Печать высокая Гарнитура литературная Объем 13,0
•бум. л. Усл. печ л. 26,0. Уел кр -отт. 26,0 Уч изд. л 22,56 Изд № 1/6768.
Тираж 5100 экз. Зак. 457. Цена 4 р. 30 к.
Идательство «Мир»
В/О «Совэкспорткиига» Государственного комитета СССР по печати
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер. 2.
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая
книга» им Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по пе-
печати 198052. г Ленинград, Л-52. Измайловский проспект, 29 Отпечатано
в Ленинградской типографии № 8 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Соколо-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 190000, Ленинград,
Прачечный переулок, 6.