Текст
                    Дж.Конвей, НСлоэн
шаров,
решетки и группы
I
Издательство «Мир»


Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290 A Series of Comprehensive Studies in Mathematics J. H. Conway, N. J. A. Sloane Sphere Packings, Lattices and Groups With Additional Contributions by E. Bannai, R. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and В. В. Venkov Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo
Дж.Конвей, НСлоэн Баковки шаров, решетки и группы При участии Э. Баннаи, Р. Борчердса, Дж. Лича, С. Нортона, Э. Одлыжко, Р. Паркера, Л. Квин и Б. Б. Венкова в ДВУХ ТОМАХ Том I Перевод с английского С. Н. Лицына, М. А. Цфасмана и Г. Б. Шабата Москва «Мир» 1990
ББК 22.174 К64 УДК 519.1 Конвей Дж., Слоэн Н. К64 Упаковки шаров, решетки и группы: В 2-х т. Т. I. Пер. с англ. — М.: Мир, 1990.— 415 с, ил. ISBN 5-03-002368-2 Книга американских математиков, в доступной, занимательной и систематической форме освещающая обширный круг вопросов, кото- которые находят применения не только в различных областях математики (алгебра, геометрия, теория чисел, сложность вычислений), но и в раз- разнообразных приложениях: передача и хранение информации, теория поля и суперструны в физике, кристаллы и квазикристаллы в хнмин. Русское издание выходит в двух томах. Для математиков разных специальностей: от алгебры, геометрии и теории чисел до кибернетики, теории кодирования и кристаллогра- кристаллографии, для аспирантов и студентов университета. Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-002368-2 (русск.) © 1988 by Springer-Verlag New York ISBN 5-03-001421-7 AI1 Rights Reserved i«rm n 1Я7 QRR17 x i™,,\ Authorized translation from Eng- ISBN 0-387-96617-Х (англ.) ]ish ]anguage edition published by Springer-Verlag Berlin Heidelbreg New York Tokio перевод на русский язык, с автор- авторскими изменениями, С. Н. Лицын, М. А. Цфасман, Г. Б. Шабат, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Задача о плотнейшей возможной упаковке равных шаров в евклидовом пространстве — часть восемнадцатой проблемы Гильберта — известна большинству математиков с ранней юно- юности как задача геометрии. Слегка ограничив рассмотрение — по- потребовав, чтобы центры шаров образовывали аддитивную под- подгруппу (решетку)—мы приходим к не менее классическим за- задачам теории чисел о минимумах унимодулярных квадратичных форм и об их классификации. Эта проблематика в свою оче- очередь тесно связана с одной из наиболее архетипических задач алгебры — классификацией конечных простых групп. Несколько неожиданно для «чистого» математика все эти задачи оказываются применимыми к проблемам теории пере- передачи и хранения информации и тесно связаны с теорией кодов, исправляющих ошибки. Казалось бы, при столь конкретных приложениях эта столь бурно развивающаяся область может погрязнуть в обилии вычислений и элементарных конструкций. Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные приложения требуют глубокой математики. За последний год- два были открыты конструкции очень плотных упаковок шаров, естественно возникающие из глобальных полей (в том числе из модулярных кривых над конечным полем) и из эллиптических кривых над глобальными полями. Тем самым этот круг идей был включен в контекст алгебраической геометрии и алгебраиче- алгебраической теории чисел. Предлагаемая читателю книга Дж. Конвея и Н. Слоэна яв- является как введением в эту область, так и практически един- единственным в мировой литературе энциклопедическим изложе- изложением, доведенным почти до самых последних результатов. «Почти», поскольку приток новых идей в эту область таков, что за время, которое пройдет до выхода нашего издания, несо- несомненно, появятся новые работы, о которых сейчас мы не имеем ни малейшего представления, так же, как они появились за время перевода книги. Тем не менее авторы и переводчики по- постарались сделать все, что было в их силах. К более чем полутора тысячам статей и книг, упомянутых в библиографии
6 Предисловие к русскому изданию к английскому изданию, авторы добавили несколько десятков свежих работ, а переводчики, добавив еще несколько работ, кратко охарактеризовали их в подстрочных примечаниях. В русском переводе книга выходит в двух томах (т. I — гл. 1 — 11, т. II — гл. 12 — 30). Предисловие, главы с 1 по 4 и с 26 по 30 переведены М. А. Цфасманом, главы с 5 по 9, с 12 по 14 и 21 — С. Н. Лицыным, главы 10 и 11 — Г. Б. Шабатом, главы с 15 по 20 —Н. Н. Яковлевым, а главы с 22 по 25 —С. Г. Влэ- дуцем. В заключение хотелось бы поблагодарить авторов за то, что им удалось создать книгу, которую было приятно переводить, а также за любезно предоставленный нам список исправлений и изменений. Ю. И. Манин, М. А. Цфасман
ПРЕДИСЛОВИЕ Основные темы. Эта книга посвящена главным образом проблеме упаковки шаров в евклидовых пространствах размер- размерности 1, 2, 3, 4, 5, .... Пусть дано большое количество равных .шаров. Как наиболее эффективно (т. е. плотно) их упаковать? Мы изучаем также ряд тесно связанных с этим других задач: проблему контактного числа — сколько шаров можно распо- расположить таким образом, чтобы они все касались одного централь- центрального шара того же размера, проблему покрытия — как наибо- наиболее экономно покрыть я-мерное пространство равными пере- перекрывающимися шарами, и проблему квантизации, важную для приложений к аналого-цифровому преобразованию (сжатию) данных, — как расположить точки в пространстве так, чтобы средний второй момент их многогранника Вороного был воз- возможно меньше. При попытках решить эти задачи часто прихо- приходится располагать шары так, чтобы их центры образовывали решетку. Решетки описываются с помощью квадратичных форм, поэтому мы изучаем задачу классификации квадратичных форм. Большая часть нашей книги посвящена этим пяти про- проблемам. Загадки: решетка ?8 и решетка Лича. При изучении этих проблем происходят фантастические вещи! Имеются две упа- упаковки шаров, одна в восьмимерном пространстве, называемая решеткой ?8> и другая в двадцатичетырехмерном — решетка Лича Л24, неожиданно плотные, очень симметричные и имеющие массу замечательных и загадочных свойств, далеко не все из которых мы сегодня понимаем. В каком-то смысле можно ска- сказать, что эта книга посвящена изучению этих двух решеток и их свойств. В некоторый момент в процессе работы над этой книгой мы подумывали, не ввести ли специальное сокращение для «Имеет- «Имеется замечательный факт» — настолько часто встречается это вы- выражение. Но на самом деле мы старались избегать подобных выражений, придерживаясь солидного стиля изложения. Несмотря на это, в книге имеется ряд поразительных ре- результатов, и, по-видимому, здесь уместно упомянуть самые
Предисловие загадочные. (Все употребляемые здесь технические термины определены в основной части книги.) — Появление решетки Лича как единственной слоистой ре- решетки в 24-мерном пространстве (см. рис. 6.1). — Теорема Глисона, описывающая весовые энумераторы два- дважды четных самодвойственных кодов, и теорема Гекке, описы- описывающая тэта-ряды четных унимодулярных решеток (см. теоремы 16 и 17 гл. 7). — Взаимно однозначное соответствие между 23 типами глу- глубоких дыр в решетке Лича и четными унимодулярными 24-мер- 24-мерными решетками с минимальной нормой 2 (см. гл. 16, 23 и 26). — Конструкция решетки Лича как wx/w в пространстве Il25,i, где а> = @, 1, 2, 3 24170) — вектор с нулевой нормой (см. теорему 3 гл. 26). (Напомним читателю, что в гиперболическом пространстве R25-1, т. е. в 26- мерном пространстве с нормой х-х = х2-\- ... -f-х^ — л|6, имеется единственная четная унимодулярная решетка П25 ь см. § 1 гл. 26.) — Появление решетки Лича как диаграммы Кокстера под- подгруппы отражений в группе автоморфизмов решетки II251 (см. гл. 27I). Некоторые другие темы. Кроме отмеченных пяти проблем есть еще несколько тем, которые мы всегда имеем в виду, это — коды, исправляющие ошибки, системы Штейнера и t-схемы, а также теория конечных групп. Решетка Е8 и решетка Лича теснейшим образом связаны с этими темами, и мы довольно подробно изучаем эту связь. При этом встречаются многие спо- спорадические простые группы, и мы посвящаем целую главу Мон- Монстру (или Дружественному гиганту) — простой группе, конструк- конструкция которой существенно опирается на свойства решетки Лича. Основные приложения. Имеется много связей упомянутых выше геометрических задач с другими областями математики, в основном с теорией чисел (особенно с квадратичными фор- формами и геометрией чисел). ') К этому следует добавить еще, что решетки Е& и Л24 стоят в самом начале бесконечной серии четных унимодулярных решеток, ассоциированных с ортогональными разложениями комплексных простых алгебр Ли (см. [Bon I*], [Kos 1*]). . Удивительна также связь между геометрией и арифметикой алгебраиче- алгебраических кривых, в частности модулярных, и полей алгебраических чисел, с одной стороны, и упаковками шаров в пространствах большой размерности—с дру- другой (см. формулу C8) гл. 1 и примечание переводчика на с. 37—38, а также разд. 7.4 гл. 8). — Прим. перев.
Предисловие Основные внематематические приложения — это приложения к задаче кодирования в канале связи — к проектированию си- систем передачи и хранения информации, т. е. к созданию кодов для канала связи с ограниченной полосой частот при наличии белого гауссовского шума. Со времен работ Никвиста и Шен- Шеннона известно, что проектирование оптимальных кодов для та- такого канала эквивалентно задаче упаковки шаров. Теоретиче- Теоретические исследования информационных возможностей таких кана- каналов требуют знания параметров наилучших упаковок шаров в пространствах больших размерностей. С другой стороны, соз- создание практических сигнальных систем (отметим недавно раз- разработанную схему решетчатой кодовой модуляции) использует свойства упаковок шаров в малых размерностях, причем неко- некоторые из продающихся сейчас модемов используют коды, со- состоящие из точек решетки ?8! Имеются красивые приложения этих решеток к числен- численным методам вычисления л-мерных интегралов (см. разд. 4.2 гл. 3). Конечно, имеется связь с химией, поскольку кристаллографы изучают трехмерные решетки с момента появления этого поня- понятия. Мы иногда думаем, что эта книга — некоторого рода мно- многомерный аналог «Структурной неорганической химии» Веллса [Wei 4]. Недавние работы по квазикристаллам используют ше- шести- и семимерные решетки. Решетками больших размерностей сейчас интересуются фи- физики. Недавние достижения в теории двойственности и теории суперструн используют Еъ и решетку Лича, имеются также связи с Монстром. Другие приложения и ссылки по этому поводу описываются в гл. 1. Кому следует купить эту книгу. Всем, кто интересуется упа- упаковками шаров, решетками в n-мерном пространстве или ре- решеткой Лича. Математикам, интересующимся конечными груп- группами, квадратичными формами, геометрией чисел, комбинатори- комбинаторикой. Инженерам, проектирующим системы с использованием «-мерных кодов в канале с ограниченной полосой частот или я-мерные векторные квантизаторы. Химикам и физикам, инте- интересующимся n-мериой кристаллографией. Требования к подготовке читателя. В первых главах мы пы- пытались (может быть, не всегда удачно) обращаться к любому хорошо образованному студенту. Уровень технической слож- сложности в различных главах разный с тенденцией к увеличению ближе к концу книги.
10 Предисловие Что здесь нового. Часть материала этой книги никогда ранее- не публиковалась. Отметим некоторые моменты. — Таблицы плотнейших известных упаковок шаров в раз- размерностях до миллиона (табл. 1.2 и 1.3). — Таблицы и графы наилучших известных покрытий и кван- квантизаторов до размерности 24 (см. гл. 2). — Таблица наибольшего кодового выигрыша от кодирования для решеток в размерностях до 128 (табл. 3.2). — Явные конструкции расположений я-мерных сфер с кон- контактным числом, растущим как 20003n (см. формулу E6) гл. 1) — наилучшие из известных нам сегодня. — Явные конструкции хороших сферических кодов (см- разд. 2.5 гл. 1). — Явные конструкции л-мерных решетчатых покрытий с плотностью, растущей как г0084" (см. формулу 13 гл. 2) — опять же наилучшие известные. — Новые формулы для тэта-рядов многих решеток (напри- (например, для решетки Лича по отношению к октаэдральной глубо- глубокой дыре, формула A44) гл. 4). — Таблицы, дающие число точек в последовательных обо- оболочках этих решеток (например, первые 50 оболочек решетки Лича, табл. 4.14). — Новая общая конструкция упаковок шаров (конструкция Af из § 3 гл. 8). — Новое описание решетчатых упаковок, недавно открытых Маккеем, Квеббеманном, Крейгом и другими (см. гл. 8). — Классификация Борчердса 24-мерных четных унимодуляр- ных решеток (см. гл. 24). — Список 284 типов мелких дыр в решетке Лича (см. гл. 25). — Несколько простых способов вычислений с рациональными1 и целочисленными квадратичными формами, включая вычисле- вычисление элементарных систем инвариантов для таких форм, и удоб- удобные обозначения для рода формы (см. гл. 15). — Таблицы бинарных квадратичных форм с —100 ^ det ^ sg: 50, неразложимых тернарных форм с |det|^50, родов, форм с |det|^ll, родов р-элементарных форм для всех р* положительно определенных форм с детерминантом 2 до раз- размерности 18 и с детерминантом 3 до размерности 17 (см. гл. 15). — Простое описание конструкции Монстра (см. гл. 29). Другие таблицы, до сих пор приводившиеся лишь в жур- журнальных публикациях и трудах конференций, включают: — Границы для контактных чисел в размерности до 24 (табл. 1.5).
Предисловие 11 — Масс-константы Минковского—Зигеля для четных и нечет- нечетных унимодулярных решеток в размерностях до 32 (см. гл. 16). — Четные и нечетные унимодулярные решетки в размер- размерности до 24 (см. табл. 2.2 и гл. 16, 17). — Векторы в первых восьми оболочках решетки Е& (табл. 4.10) и в первых трех оболочках решетки Лича (табл. 4.13). — Коды Беста длин 10 и 11, дающие плотнейшую изве- известную упаковку (Рак) в размерности 10 и наибольшее изве- известное контактное число (Рцс) в размерности 11 (см. гл. 5). — Улучшенные таблицы наилучших известных кодов длины 2т при т^.8 (табл. 5.4) и всех длин до 24 (табл. 9.1). — Слоистые решетки в размерности до 48 (табл. 6.1 и 6.3). — Наилучшие целочисленные решетки с минимальными нор- нормами 2, 3 и 4 в размерностях до 24 (табл. 6.4). — Описание векторов решетки Е& в терминах икосианов (табл. 8.1). — Минимальные векторы 40-мерной решетки Маккея Af4o <табл. 8.6). — Классификация подмножеств множества мощности 24 от- относительно действия группы Матье М<ц (рис. 10.1). — Группы, связанные с решеткой Лича (табл. 10.4). — Простые группы, возникающие из централизаторов в Мон- Монстре (см. гл. 10). — Вторые моменты 3- и 4-мерных многогранников (см. гл. 21). — Глубокие дыры в решетке Лича (табл. 23.1). — Обширная таблица корней Лича, как в гиперболических, так и в евклидовых координатах (см. гл. 28). — Диаграммы Кокстера — Винберга для групп автоморфиз- автоморфизмов решеток \п, i при п ^ 20 (см. гл. 28) и решеток lln,i при n ^ 24 (см. гл. 27). Содержание по главам. Главы 1—3 — это расширенное вве- введение ко всей книге. В этих главах мы даем обзор известных результатов по проблемам упаковки, контактного числа, покры- покрытия и квантизации. Там также содержатся разделы, посвящен- посвященные квадратичным формам и их классификации, связям с тео- теорией чисел, проблеме кодирования в канале, сферическим кодам, кодам, исправляющим ошибки, системам Штейнера, t-cxe- мам, связям с теорией групп. В этих главах вводится термино- терминология и определения, используемые далее во всей книге. В гл. 4 описывается ряд важных решеток, в том числе куби- кубическая решетка Z", решетки корней Ап, Dn, Es, E7, Eg, решетка Кокстера — Тодда Ki2, решетка Барнса — Уолла Aie, решетка Лича Л24 и двойственные к ним. Среди прочего мы указываем их минимальные векторы, плотности, радиусы покрытия,
12 Предисловие векторы склейки, группы автоморфизмов, выражения для тэта- рядов и таблицы числа точек в каждой из первых пятидесяти оболочек. Мы также кратко обсуждаем группы отражений и технику склейки. Главы 5—8 посвящены технике построения упаковок шаров. Многие конструкции гл. 5 и 7 основаны на кодах, исправляющих ошибки; другие конструкции гл. 5—на послойном построении упаковок. Слоистые упаковки подробно изучаются в гл. 6, где вводится их формальное определение. Глава 8 использует более изощренную алгебраическую технику построения решеток. В гл. 9 вводятся аналитические методы поиска границ для наилучших кодов, упаковок шаров и других связанных с ними объектов. Предлагаемые методы используют технику гармони- гармонического анализа и линейного программирования. Мы приводим упрощенное описание недавних границ Кабатянского и Левен- штейна для упаковок шаров. Главы 10 и 11 посвящены изучению кодов Голея длин 12 и 24, связанных с ними систем Штейнера 5E,6,12) и 5E,8,24), и их групп автоморфизмов М\2 и М2л. MINIMOG, MOG (или Чудесный генератор октад), а также тетракод и гексакод яв- являются техническими средствами, позволяющими легко произ- производить вычисления с этими объектами. В этих двух главах также изучается ряд связанных с этим групп, в частности груп- группа автоморфизмов Со0 (или-0) решетки Лича. В приложении к гл. 10 описываются все спорадические простые группы. В гл. 12 приводится короткое доказательство того, что ре- решетка Лича — единственная четная унимодулярная решетка без векторов длины 2. В гл. 13 решается проблема контактного числа в размерностях 8 и 24; наибольшие возможные контакт- контактные числа в этих размерностях доставляются соответственно решеткой Е& и решеткой Лича. В гл. 14 показывается, что эти расположения шаров практически единственны. Главы 15—19 посвящены классификации целочисленных квадратичных форм. В гл. 16 и 18 приводятся три доказатель- доказательства полноты классификации Нимейера четных 24-мерных уни- модулярных решеток. В гл. 19 выписываются все экстремаль- экстремальные унимодулярные решетки во всех размерностях. В гл. 20 и 21 анализируются геометрические свойства ре- решеток. В гл. 20 мы обсуждаем алгоритмы, позволяющие найти точку решетки, ближайшую к любой данной точке пространства. Эти алгоритмы можно использовать в векторных квантизаторах и в системах кодирования и декодирования решетчатых кодов для канала с ограниченной полосой частот. В гл. 21 мы изучаем многогранники Вороного решеток и их вторые моменты.
Предисловие 13 Вскоре после открытия своей решетки Джон Лич высказал предположение, что ее радиус покрытия в -у/2 раз больше, чем ее радиус упаковки, но не сумел это доказать. В 1989 г. Симон Нортон нашел изощренное рассуждение, показывают» е, что радиус покрытия не более чем в 1.452... раз превышает \ л- диус упаковки (см. гл. 22), а вскоре после этого Ричарду Ш.р- керу и авторам удалось доказать гипотезу Лича (см. гл. 23). Наш метод доказательства включает нахождение всех «глу- «глубоких дыр» решетки Лича, т. е. всех точек 24-мерного про- пространства, максимально удаленных от решетки. Мы были пора- поражены, обнаружив, что имеется в точности 23 различных типа глубоких дыр, взаимно однозначно соответствующих решеткам Нимейера (четным унимодулярным 24-мерным решеткам с ми- минимальной нормой 2), см. теорему 2 гл. 23. Глава 23, или же «работа о глубоких дырах», как ее обычно называют, оказалась исключительно плодотворной, стимулировав все оставшиеся гла- главы книги, а также гл. 6 и ряд журнальных публикаций. В гл. 24 мы приводим 23 конструкции решетки Лича, по од- одной для каждой глубокой дыры или решетки Нимейера. Две из них — это известные конструкции, основанные на коде Голея. Во второй половине гл. 24 мы вводим понятие диаграммы дыры, описывающей окрестность глубокой дыры. Глава 25 («ра- («работа о мелких дырах») использует результаты гл. 23 и 24 для классификации всех дыр решетки Лича. Значительное количество света проливает на эти загадки понимание того, что решетка Лича и решетки Нимейера очень легко получаются из одной решетки, а именно из решетки П25.1 — единственной четной унимодулярной решетки в гипербо- гиперболическом пространстве R25'1. Для любого вектора w e R25'1 по- положим ш1 = {л:е II25,i: x-w — Q}. Тогда при специальном выборе а,25 = @, 1, 2, 3, .... 23, 24170), фактор wx/w — это решетка Лича, а другие выборы w приво- приводят к 23 решеткам Нимейера. Свойства решетки Лича тесно связаны с геометрией решетки Ihb,i- Группы автоморфизмов гиперболических решеток \п, i при п ^ 19 и Пл, 1 при п = 1, 9, 17 были найдены Винбергом, Кап- линской и Мейером. В гл. 25 мы находим группу автоморфиз- автоморфизмов решетки II2s,i- Эта замечательная группа является группой
14 Предисловие отражений, диаграмма Кокстера которой, грубо говоря, изо- изоморфна решетке Лича. Точнее говоря, множество фундамен- фундаментальных корней решетки II25,i состоит из векторов г?112у, таких, что мы называем их корнями Лича. В гл. 26 показывается, что имеется изометрия между множеством корней Лича и множе- множеством точек решетки Лича. Часть Кокстера группы автомор- автоморфизмов II25,i как раз равна группе Кокстера, порожденной корнями Лича (см. теорему 1 гл. 27). Решетка II25,i — это очень естественная квадратичная форма, определение которой никак не связано с решеткой Лича, и остается только удивляться, что решетка Лича в основном оп- определяет группу автоморфизмов этой формы. Как мы увидим в гл. 28, корни Лича приводят к лучшему пониманию групп автоморфизмов остальных решеток In, i и Нп, и Эта глава также содержит обширную таблицу корней Лича. В главе 29 описывается конструкция Монстра — наибольшей спорадической простой группы, а в последней главе описывается некоторая бесконечномерная алгебра Ли, получаемая из корней Лича, и высказывается предположение, что она может быть свя- связана с Монстром. Структура книги. Первоначально мы собирались просто из- издать сборник ранее опубликованных статей. Однако за послед- последние два года книга полностью видоизменилась-, появилось много новых глав, а исходные главы были сильно переделаны в плане подведения их к современному состоянию вопроса, устранения повторений, унификации обозначений и терминологии, устра- устранения ошибок. Мы все же оставили ряд повторов там, где это способно облегчить чтение. Поскольку некоторые главы были написаны в разное время и разными авторами, читатель может заметить различие в стиле разных глав. Вопрос о расположении глав поставил перед нами сложную проблему. Мы думаем, что сейчас они расположены в наиболее удачном для читателя порядке, хотя за счет этого одна или две главы выбиваются из естественного логического порядка. Наи- Наибольший дефект такого рода состоит в том, что часть главы о слоистых решетках (гл. 6), относящаяся к решеткам большой размерности, зависит от глубоких дыр в решетке Лича, описы- описываемых в гл. 23. Однако предыдущая часть гл. 6, включающая
Предисловие 15 все наилучшие известные решетчатые упаковки в малых раз- размерностях, должна была появиться так рано, как только воз- возможно. Главы 1—4, 7, 8, 11, 15, 17, 20, 25 и 29 новые. Глава 5 ос- основана на работе Дж. Лича и С.1) [Lee 10]; гл. 6 — на ра- работе К. и С. [Con 32]; гл. 9— иа работе С. [Slo 13]; гл. 10 — на работе К. [Con 5]; гл. 12 — на работе К. [Con 4]; гл. 13 — на работе Э. Одлыжко и С. [Odl 5]; гл. 14 — на работе Э. Бан- наи и С. [Ban 13]; гл. 16 — на работах К. и С. [Con 27] и [Con 34]; гл. 18 — на работе Б. Б. Венкова [Ven 1]; гл. 19 — на работе К-, Э. Одлыжко и С. [Соп19]; гл. 21 — на работе К. и С. [Con 28]; гл. 22 —на работе С. Нортона [Nor 4]; гл. 23 —на работе К., Р. Паркера и С. [Con 20]; гл. 24 — на работе К. и С. [Con 30]; гл. 26 —на работе К. и С. [Con 31]; гл. 27—на работе К. [Con 13]; гл. 28 — на работе К- и С. [Con 33]; гл. 30 — на работе Р. Борчердса, К., Л. Квин и С. [Вог 5]. Наши соавторы, упомянутые выше — это Эити Баннаи, Math. Dept., Ohio State University, Colombus, Ohio 43210, USA; Ричард Борчердс, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics, Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England; Джон Лич, Computing Science Dept., University of Stirling, Stirling FK9 4LA, Scotland; Симой Нортон, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics, Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England; Эндрью Одлыжко, Math. Sciences Research Center, AT&T Bell Laboratories, Murrey Hill, New Jersey 07974, USA; Ричард Паркер, Dept. of Pure Math, and Math. Statistics, Cambridge University, Cambridge CB2 1SB, England; Ларисса Куин, Dept. of Pure Math, and Math. Statictics, Cambridge University, Cambridge CB2 ISB, England; Борис Борисович Венков, Ленинградское отделение Матема- Математического института АН СССР, СССР. ') Фамилии основных авторов здесь сокращены: С. означает Н. Слоэн (Math. Science Dept. AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, New. Jersey 07974, USA), K. — Das. Конвей (Math. Dept. Princeton University, Princeton, New Jersey, 08540, USA). —Прим. перев.
16 Предисловие Благодарности. Мы благодарим всех наших соавторов и из- издателей этих статей за разрешение использовать эти материалы. Мы хотели бы выразить нашу благодарность Е. Барнсу, X. Кокстеру, Сусанне Куплер, Дж. Форни-мл., В. Кантору, Дж. Зейделю, Ж--П. Серру, П. де Суза и в первую очередь Джону Личу за замечания по поводу рукописи этой книги. Кроме того, благодарности содержатся в отдельных главах. Все оставшиеся ошибки — на нашей совести: пожалуйста, сообщите о них Н. Слоэну (Mathematical Sciences Research Cen- Center, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey 07974, USA). Мы также хотели бы знать обо всех улучшениях приводимых таб- таблиц. Мы благодарим Анну Марию Мак Гован, Жизель Уоллейс и Цинтию Мартин, которые отпечатали первоначальный ва- вариант многих глав и в особенности Мери Флэннели и Сью- зан Таржински, которые отпечатали окончательный вариант всей рукописи. Б. Инглиш и Р. Матула из библиотеки «Белл лабораториз» помогли нам разыскать сложно находимые ссылки. С. благодарит «Белл лэбораториз» (в особенности Р. Гдэ- хема и Э. Одлыжко) за материальную и моральную поддержку в процессе этой работы, а К. благодарит «Белл лэбораториз» за поддержку и гостеприимство во время многочисленных ви- визитов в Марри Хилл.
Предисловие 17 В размерности два известная гексагональная решетка О О О О О О О О О О О О о о о о о о о решает проблемы упаковки, контактного числа и квантизации. В каком-то смысле вся эта книга — это просто-напросто по- попытки найти похожие хорошие расположения в пространствах больших размерностей.
Глава 1 Упаковки шаров и контактные числа Дж. Конвей, Н. Слоэн Первые три главы посвящены описанию ряда вопросов, мо- мотивировавших появление этой книги. В настоящей главе мы об- обсуждаем проблему упаковки шаров в евклидовом пространстве и проблему упаковки сферических шапочек на сфере. Вопрос о контактном числе является важным частным случаем послед- последней проблемы: спрашивается, сколько равных шаров может ка- касаться одного шара того же размера. Мы приводим обзор из- известных результатов по этим вопросам и вводим терминологию, используемую далее во всей книге. § 1. Проблема упаковки шаров 1.1. Упаковка шариков для подшипников. Классическая проб- проблема упаковки шаров, по сей день нерешенная, такова: на- насколько плотно можно упаковать большое количество равных шаров (например, шариков для подшипников)? Иными словами, рассмотрим большой пустой резервуар вроде самолетного ан- ангара и спросим, каково наибольшее число шариков для подшип- подшипников, которое можно вместить в этот резервуар. Если вместо шариков мы попытаемся упаковать равные деревянные кубики (скажем, из детского строительного набора), ответ совсем прост. Кубики прилегают друг к другу без просветов, и мы мо- можем заполнить практически все сто процентов пространства (с точностью до небольшого объема, остающегося около стен и потолка), так что число кубиков, которое мы можем упако- упаковать, почти что равно объему ангара, деленному на объем од- одного кубика. Но шары не прилегают друг к другу так плотно, как ку- кубики, между ними всегда остаются какие-то пустоты. Как бы хорошо мы ни укладывали шарики, около четверти простран- пространства останется неиспользованным. Один из распространенных способов упаковки показан на рис. 1.1а и 1.1b; на них центры шаров образуют гранецентрированную кубическую решетку (или ice-решетку). (Эта решетка разбирается ниже в гл. 4, где дается подробное описание наиболее важных упаковок в не- небольших размерностях.) В этой упаковке шары занимают
§ 1. Проблема упаковки шаров 19 @,2,2) B 0,0) @,2,0) @,0,0) Рис. 1.1. Два изображения известной упаковки шаров, центры которой обра- образуют гранецентрированиую кубическую решетку (fcc-решетку). Эта упаковка встречается на витринах фруктовых магазинов, в кучах пушечных ядер на военных мемориалах, а также в кристаллическом аргоне. Шары занимают 0 7405... от объема всего пространства, и каждый шар касается 12 других. На рис (Ь) изображены только центры шаров (кружками). Эти центры полу- получаются выбором из всех точек кубической решетки Z3 тех, координаты кото- которых в сумме дают четное число. я/д/18 = 0.7405 ...') всего пространства. Укладывая шарики подшипников таким образом, в ангар можно поместить число шариков, примерно равное 0.7405 объема ангара, деленного на объем одного шарика. Поэтому мы говорим, что гранецентри- рованная кубическая решетка имеет плотность, приблизительно равную 0.7405. Классический вариант проблемы упаковки шаров гласит: получили ли мы наибольшее возможное значение плотности? К сожалению, это — нерешенная задача, одна из наиболее зна- знаменитых открытых проблем в математике. В течение многих ') Последние знаки десятичных дробей округлены. См. замечание автора на стр 34. — Прим перев
20 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа лет наилучшая известная граница задавалась результатом Род- Роджерса, полученным в 1958 г. (равенство C9) ниже, [Rog2], [Rog 7]): никакая упаковка шаров ие может иметь плотность больше чем 0.7796 .... Недавно Линдсей [Lin 9] улучшил гра- границу Роджерса, заменив 0.7796 ... на 0.7784 .... (Мудер [Mud 1] и Линдсей [Lin 9а] получили дальнейшие небольшие улучшения этой верхней границы. См. также [Fej 9, р. 298].) Как замечает Роджерс [Rog 2], «многие математики верят, и все физики знают», что правильный ответ — это 0.7405. Ситуа- Ситуация, однако, осложняется тем, что частичные упаковки, более плотные, чем гранецентрированная кубическая решетка, имеют- имеются в больших областях пространства, чем можно было бы пред- предположить [Вое 1]. Общая проблема упаковки шаров, к которой мы вернемся в разд. 1.4, состоит в поиске плотнейшей упаковки равиых ша- шаров в n-мерном пространстве. Это проблема значительной прак- практической важности, даже в размерностях, больших чем три. Мы остановимся, чтобы заверить читателя, что в п-мерном пространстве нет ничего таинственного. Точка в вещественном n-мерном пространстве Чп—это просто набор из п веществен- вещественных чисел Х== (ХЬ ¦ • •> Хп)- Сфера радиуса р в R" с центром и = (щ, ..., ип) состоит из точек х — (х\, а'2, ..., хп), удовлетворяющих равенству Упаковку шаров в R" можно задать, указывая набор центров шаров и их радиус. Все задается координатами, и нет необхо- необходимости рисовать картинки. В научной фантастике написана масса ерунды о таинственном четвертом измерении. Не следует, конечно, думать, что четвертое измерение — это время. В мате- математике 4-мерное пространство просто состоит из точек с че- четырьмя координатами вместо трех (и аналогично для любого количества измерений). Для конкретности читатель может пред- представить себе телеграфную линию, по которой числа передаются четверками: A.8, 2.9, —1.3, 2.0), A.1, —0.8, 0.5, 3.1), ... . Каждая четверка чисел — это точка 4-мерного пространства. Ниже в этой главе мы проведем некоторые простые вычисле- вычисления в 4-мерном пространстве. 1.2. Решетчатые упаковки. Упаковка, изображенная на рис. 1.1, называется решетчатой упаковкой, поскольку она об- обладает следующими свойствами: 0 является центром, и если имеются шары с центрами и и v, то имеются также шары с цен-
§ 1. Проблема упаковки шаров 21 трами и-\-v и и— v. Иными словами, множество центров обра- образует аддитивную группу. В кристаллографии такие решетки обычно называются решетками Бравэ ([Hahl], [Kit4], [Plel], [Rys5]). Можно найти три центра v\, v2, v3 (в общем случае п фундаментальный решетка параллелограмм Рис. 1.2. Плоскость, разбитая на фундаментальные области двумерной ре- шегкн. центров v\, V2, ..., vn для «-мерной решетки) так, чтобы мно- множество всех центров состояло из сумм 2 ktvt, где k, — целые числа. Векторы Vi, ..., vn называются базисом данной решетки. Параллелепипед, состоящий из точек называется ее фундаментальным параллелепипедом. На рис. 1.2 изображены двумерная решетка и ее фундаментальный парал- параллелограмм, определенный базисом v\, u2. Фундаментальный па- параллелепипед является примером фундаментальной области ре- решетки, т. е. такой строительной детали, многократные повто- повторения которой заполняют все пространство, причем в каждом экземпляре этой детали содержится ровно одна точка решетки. На рис. 1.3с показана шестиугольная фундаментальная область двумерной решетки. Есть много различных способов выбора базиса и фундамен- фундаментальной области решетки Л. Однако объем фундаментальной области однозначно определяется решеткой Л; квадрат этого объема называется детерминантом или дискриминантом этой решетки. (Некоторые авторы используют этот термин для не возведенного в квадрат объема.I) Имеется простая формула ') Далее в этой книге авторы всюду используют только термин детер- детерминант (для квадрата объема). В других книгах (см., например, [Tsf 3*]) квадрат объема называется дискриминантом, а сам объем—детерминантом.— Прим. перев.
22 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа О О О о о о о о о о о о о о о о (С) Рис. 1.3. (а) Гексагональная решетка на плоскости. (Ь) Соответствующая упаковка шаров (в данном случае упаковка кругов). Точки, отмеченные бук- буквой а, — это точки решетки; точки, отмеченные буквами бис, — это «глубо- «глубокие дыры» этой решетки, т. е. точки плоскости, наиболее удаленные от ре- решетки, (с) Многогранники Вороного — правильные шестиугольники, (d) Уве- Увеличение рнс. (Ь) и (с) вместе, показаны радиус упаковки р этой решетки {т. е. радиус шаров иа рис. (Ь)) и радиус покрытия R — расстояние от точки решетки до глубокой дыры. Для этой решетки R = 2p/V3. для детерминанта. Пусть координаты векторов базиса таковы: 02 =(«21» ^22. • • •. 02т)»
§ 1. Проблема упаковки шаров ГЛУБОКАЯ ДЫРА О (d) Рис. 1.3. (продолжение) где т~^п (иногда бывает удобно использовать т> п коор- координат для описания /г-мерной решетки). Матрица vn vl2 ... _ I v2l v22 ... V n\ Jn1 называется порождающей матрицей данной решетки, и все век- векторы этой решетки суть векторы вида W, B> где ? = Aь ..., In) — произвольный вектор с целыми коорди- координатами li. Матрица А ММТ C> где т означает транспонирование, называется матрицей Грама этой решетки. На (i,/)-м месте в матрице А стоит скалярное произведение о,--о/. (Скалярное произведение векторов и = = {щ, ..., ит) и v=(vu ..., Vm), равное utyt + ... +umvmy в этой книге обозначается либо через u-v, либо через (и,у).)
24 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Детерминант решетки Л равен детерминанту матрицы А, det Л = det Л. D) Если матрица М квадратная, то det Л = (det МJ. E) В качестве примера рассмотрим знакомую нам плоскую гек- гексагональную решетку, изображенную на рис. 1.3а. Следующая матрица, очевидно, является для нее порождающей: ( \ 0 \ М=[ /-/ . F) М/2 V3/2/ /2 V3/2 а соответствующая матрица Грама — это 1/2 \ /2 \ \) и det Л = det А = 3/4. Однако для многих целей полезнее дру- другая порождающая матрица /1 -1 0\ мЧо 1 -J (8) с матрицей Грама и теперь det Л = det Л' = 3. В равенстве (8) используются три координаты для задания двумерной решетки, все точки которой лежат в плоскости х + у + z = 0. Равенства F) и (8) описы- описывают гексагональную решетку рис. 1.3а, но в различных коор- координатах и в разном масштабе. Формально мы говорим, что ре- решетки, задаваемые матрицами F) и (8), эквивалентны (см. разд. 1.4). Преимущества равенства (8) над равенством F)_ со- состоят в том, что координаты выглядят лучше (исчез V^) и легче увидеть симметрии решетки. Из (8) видно, что все три координаты можно как угодно переставлять, не изменяя ре- решетки. Решетка, задаваемая матрицей (8), является двумер- двумерным представителем (Л2) бесконечного семейства решеток кор- корней А\, Ач, Аз, ... (см. гл. 4, разд. 6.1). Теперь мы можем дать точное определение плотности Д решетчатой упаковки: Л = доля пространства, занятая шарами = A0) объем одного шара объем фундаментальной области объем одного шара /.i»
§ 1. Проблема упаковки шаров 25 Если гексагональная решетка определена равенством F), мы можем взять шары (являющиеся в этом случае кругами) ра- радиуса р = 1/2, получая упаковку, изображенную на рис. 1.3Ь, с плотностью Д = -7^ = 0.9069 A2) Vl2 Равенство (8) приводит к тому же значению: плотность, как и следовало ожидать, ие зависит от выбора координат. 1.3. Нерешетчатые упаковки. Конечно, большинство упако- упаковок решетками не являются. В трехмерном пространстве, на- например, имеются нерешетчатые упаковки, столь же плотные, как и гранецентрированная кубическая решетка. Это происхо- происходит из-за того, что fcc-решетка может быть построена послойно, начиная со слоя шаров, расположенных, как в гексагональной решетчатой упаковке на рис. 1.3Ь, с центрами в точках, отме- отмеченных буквой а. Тогда имеются два (эквивалентных) способа для размещения следующего слоя: шары можно поместить либо над точками Ь, либо над точками с. Допустим, мы поместили их над Ь. Теперь третий слой можно расположить над бук- буквами а, т. е. строго над первым слоем, или иад буквами с. Аналогично для всех последующих слоев имеется два способа. Выбирая слои в порядке ... аЬсаЬсаЬс ... или ... асЬасЪасЪ ..., мы получаем гранецентрированную кубическую решетку. Но имеется еще несчетное множество других (нерешетчатых) спо- способов, как, например, ... acbabacbca ..., и все они имеют ту же плотность. Выбирая слои в порядке ... abababa ..., мы по- получаем плотную гексагональную упаковку или hcp-упаковку (так устроены, например, кристаллы гелия [Kit 4], [Wei 4]). Более подробный анализ слоистых конструкций проводится ниже в гл. 5 и 6. Плотная гексагональная упаковка, как и большинство упако- упаковок, встречающихся в этой книге, является периодической, т. е. получается размещением некоторой заданной конфигурации из, скажем, s шаров в каждой фундаментальной области некоторой решетки Л. Другой пример: тетраэдральная, или алмазная, упа- упаковка (гл. 4, раззд. 6.4) получается из 8 шаров, помещенных в каждой фундаментальной области простой кубической решетки. Плотность периодической упаковки задается формулой . s-(объем одного шара) Л== ;¦ . (det
26 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа В алмазной упаковке радиус шара равен V3/8, так что плот- плотность равна всего лишь Л^! ... A4) Чтобы определить плотность произвольной (не обязатель- обязательно периодической) упаковки, надо взять большую шарообраз- шарообразную область, скажем радиуса R, вычислить отношение объема шаров упаковки, попавших в эту область, к ее объему и устре- устремить/?-^ оо (см. [Rog7, гл. 1]). 1.4. л-мерные упаковки. Первая основная проблема, рассмат- рассматриваемая в этой книге, состоит в поиске плотнейшей решетча- решетчатой или нерешетчатой упаковки равных шаров в /г-мерном про- пространстве. В размерности один эта задача тривиальна, так как "ШАР" -10 12 3 Рис. 1.4. Одномерная решетка целых чисел Z. одномерный шар — это отрезок прямой, например стержень, и мы можем достичь плотности Д = 1, помещая центры этих стержней в целые точки прямой (рис. 1.4). Эти точки образуют одномерную решетку Z. Ответ известен также в двумерном случае: наибольшая до- достижимая плотность равна Л = я/-\Л2 = 0.9069 .. ., как у гек- гексагональной решетчатой упаковки на рис. 1.3Ь. Этот результат имеет долгую историю — см. работу Туэ 1910 г. [Thu 1] и до- доказательство, данное Фейешем Тотом в 1940 г. [Fej 3]. Элегант- Элегантное компактное доказательство изложено в [Fej 10]. Другие ссылки— [Fol I], [Gra5], [Rog7], [Seg 1]. В размерности три, как мы уже отмечали в разд. 1.1, ответ неизвестен. Однако если мы рассматриваем только решетчатые упаковки, то ответ известен: Гаусс в 1831 г. показал [Gau2], что гранецентрированная кубическая решетка является плот- плотнейшей трехмерной решеткой. Доказательство этого результата можно найти в работах [Cas 2, ch. II, th. Ill], [Con 42], [Cox 14, § 18.4], [Demi] или [Мог 5]. Что же происходит в размерностях, больших трех? Чтобы показать, как легко работать в 4-мерном пространстве, опишем плотнейшую известную четырехмерную упаковку. Это — шах- шахматная упаковка D* (гл. 4, разд. 7.2), в которой центрами ша- шаров являются точки («1, «2, «», «*) с целыми координатами,
§ 1. Проблема упаковки шаров 27 в сумме дающими четное число. Так, допускаются точки @,0,0,0) и A,1,0,0), но не A,0,0,0). Шар с центром в @,0,0,0) касается 24 прилегающих шаров с центрами в точ- точках (±1, ±1,0,0) с любым выбором знаков и любым порядком координат. (Имеется D-3)/2 = 6 возможностей для двух нулей и затем еще 4 возможности для выбора знаков, всего 24.) Лю- Любые два различных центра отличаются по меньшей мере на 1 не менее чем в двух координатах или по меньше мере на 2 в одной координате, так что минимальное расстояние между центрами равно _л/2. Если мы возьмем теперь шары радиуса р = -\/2/2= l/V2, то они не пересекутся, и любой шар ка- касается 24 других. Из определения ясно, что ZL содержит центры B,0,0,0), @, 2, 0, 0), ..., @, 0, 0, 2), A, 1, 0, 0), A, 0, 1, 0), ... ..., @, 0, 1, 1) и, обратно, каждый центр из ZL является це- целочисленной комбинацией этих векторов. На самом деле до- достаточно использовать B, 0, 0, 0), A, 1, 0, 0), A, 0, 1, 0) и A, 0, 0, 1), так что 2 0 0 0 110 0 10 10 10 0 1 является порождающей матрицей для ZL. [Например, @,2,0,0) = = 2A, 1,0,0) —B,0,0, 0).] Детерминант упаковки ZL, следова- следовательно, равен det D4 = (detMJ = 4. Чтобы вычислить плотность D4, надо знать объем п-мерного шара радиуса р; он равен ]/п ¦ р", A6) где Vn, объем шара радиуса 1, задается формулой п\ (Вторая форма не использует обозначение (я/2)! для нечетного п. См. разд. 2С гл. 21 или [Som I, p. 136].) Кроме того, ±b, A8) где 0 < е < (log2e)/Fn). Площадь сферы радиуса р равна n-Vn- p»-i. A9) Из A1) и A6) получаем, что плотность решетчатой упаковки Л равна д = —1«_Р , B0) (detAI/2 v '
28 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа где р — радиус шаров. Мы полагаем р равным половине мини- минимального расстояния между точками решетки; р называется радиусом упаковки решетки Л. Для решетки D4 имеем У4=я2/2, p=l/V2, так что плот- плотность Д равна -Й== 0.6169 B1) ID x ' Это наибольшая известная плотность в размерности четыре; Коркин и Золотарев [Ког 1] доказали в 1872 г., что это наи- наибольшая возможная плотность для 4-мерной решетчатой упа- упаковки. Используя неравенство Морделла (неравенство A9) гл. 6), можно легко вывести результат Коркина и Золотарева из оптимальности гранецентрированной решетчатой упаковки ([Мог 4], [Oppl]). Упаковку ?>4 можно очевидным образом обобщить на /г-мер- ный случай и получить упаковку Dn (n целых координат с чет- четной суммой). В гл. 4 мы приводим свойства решеток Dn и дру- других важных решеток, встречающихся в этой книге, в том числе гс-мерных решеток Ап (для п^\), 6-, 7- и 8-мерных решеток Ее, Е7 и Es и 24-мерной решетки Лича Л24. (Индекс внизу обычно обозначает размерность.) Если одна решетка получается из другой с помощью только вращения, отражения и растяжения, мы говорим, что эти ре- решетки эквивалентны, или подобны, и используем знак s*. Две порождающие матрицы М и М' определяют эквивалентные ре- решетки в том и только том случае, когда М' = cUMB, B2) где с—ненулевая константа, U—матрица с целыми элемен- элементами и детерминантом ±1, а В — вещественная ортогональная матрица (т. е. В-ВТ = Т). Соответствующие матрицы Грама связаны соотношением А' = c2UAUT. B3) Если U имеет детерминант ±1 и с= 1, мы говорим, что М и М' задают конгруэнтные решетки {строго конгруэнтные при det?/ = +l). Например, fcc-решетка встречается и в серии Ап> и в серии Dn как /43 & Ьз. Любая «-мерная решетка Ln имеет двойственную (или взаимную, или дуальную) решетку L*, определяемую соотно- соотношением L'=be Rn: х ¦ ue Z для всех ие L\. B4) Так, например, двойственная к fcc-решетке — это объемноцен- трированная кубическая решетка или Ьсс-решетка A\s* D\
§ 1. Проблема упаковки шаров (см. гл. 4, § 6.8). Если А— матрица Грама для Ln, то А~1 яв- является матрицей Грамадля ?,*, detL* ==(detZ,ft)~1. Если Af — квадратная порождающая матрица для Ln, то решетка ?^ по- порождается матрицей (М~х)т. Зачем искать плотные упаковки «-мерных шаров? Для этого есть много причин. A) Это — интересная проблема чистой геометрии. Гиль- Гильберт отметил ее в 1900 г. в своем списке открытых проблем (нерешенная часть проблемы 18. — Перев.) [Hil I], [Mil 5]. Имеется гигантская литература (см. библиографию), из которой мы выделяем несколько особенно интересных работ: [Ваг 1], [Сох 18], [Fej 1], [Fej 9], [Fej 10], [Gru 1], [Hah 1], [Ham 2], [Hil 2], [Mil 7], [Rog 7], [Sch 16], [Sig 1], [Slo 14], [Wei 4]. Кроме того, лучшие упаковки зачастую совсем неожиданно оказываются связанными с другими областями математики. На- Например, лучшие решетчатые упаковки в размерностях до восьми принадлежат к семействам An, Dn и Еп, и соответствующие диа- диаграммы Кокстера — Дынкина (см. гл. 4) встречаются во мно- многих, на первый взгляд совсем далеких областях — см. обзор Ха- зевинкеля и др. «Вездесущие диаграммы Кокстера — Дынкина (введение в А—D — ^-проблему)» [Haz 1]. Подобным же об- образом в размерности 24 решетка Лича Лг< таинственно свя- связана с гиперболической геометрией, алгебрами Ли, наибольшей спорадической простой группой — Монстром (см. гл. 23—30 этой книги и статьи по «Чудовищной чепухе»1): [Con И], [Con 17], [Fonl], [Кае 21 —[Кае 6], [Koil], [Konl], [Kon 2], [Mas 2], [Mas3], [Nor 5], [Smil3], [Tho5], [Tho6]. Мы полагаем, что наступит день, когда кто-нибудь напишет статью «Вездесущая решетка Лича». B) Существуют прямые приложения решетчатых упаковок к теории чисел, например к решению диофантовых уравнений и к «геометрии чисел» — см. [Cas2], [Gru 1], [Gru la], [НапЗ], [Hlal], [Hla3], [Kell], [Min4] —[Min 6]. Подробнее мы по- поговорим об этом в § 2 гл. 2. C) Имеются важные практические и теоретические прило- приложения упаковок шаров к задачам цифровой связи, мы увидим это в гл. 3. Чтобы создать какое-то представление, приведем типичный вопрос, возникающий при проектировании широко- широкополосных систем связи для передвижной радиостанции (ср. [Coo I], [Maz 1]): сколько шаров радиуса 1/3 можно упаковать в сферу радиуса 1 в 100-мерном пространстве? ') По английски «Monstrous Moonshine»—устоявшийся термин для за- загадочных явлений, связанных с «Монстром». — Прим. перев.
30 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа D) Имеется много приложений двумерных и трехмерных упаковок. Так, например, круги двумерной упаковки могут пред- представлять собой сечения волокон оптического кабеля [Kin 1]. Трехмерные упаковки используются в химии и физике [(Вег И], [Hoal], [Hoa2], [Kit 4], [O'Kel], [SIo 17], [Slo 19], [Тео 1] — [ТеоЗ], [Wei 2] — [Wei 5], [Ziml]), в биологии ([Ritl], [Tarn5]), в проектировании антенн [Str 1], при выборе направ- направлений для рентгеновской томографии ([She3], [She 4], [Smi 7]), для задач статистического анализа на сферах [Wat 24]. E) «-мерные упаковки могут быть использованы для чис- численного вычисления интегралов как по сфере в R", так и по шару. См. [Bab 2], [Bou2], [Del 6], [Del 16], [Fro 1], [Hla 2], [Hua 1], [Kea 1], [Nie 1], [Roo 2], [Sha 0], [Sob 3], [Str 3], [Zar 1] и особенно [Goe5], [McLO], [Sin 1], [Sin 2], [Sob 2]. На эту тему мы поговорим в разд. 3.2 гл. 3. Родственные этим приложения, которым пока уделяется недостаточное внимание, состоят в ис- использовании упаковок для решения n-мерных задач поиска и приближений — ср. [Airl], [Dob 1], [Renl], [Sob 1]. F) Недавние достижения в физике (в теории двойствен- двойственности и теории суперструн) используют решетки Es и Л24 и связанные с ними гиперболические решетки в размерностях 10 и 26, разбираемые в гл. 26 и 27 ([СпаЗ], [God I], [Grel], [Jac2], [Sch3], [Sen 15], [Thi 1], [ТЫ2]). 1.5. Проблема упаковки шаров — сводка результатов. В этом параграфе мы приводим обзор известных на сегодняшний день результатов по проблеме упаковки шаров. Результаты в размер- размерностях от 1 до 8, 12, 16 и 24 приведены в табл. 1.1; для сравне- сравнения в ней также приведены ответы на некоторые другие во- вопросы, рассматриваемые в первых двух главах. Элементы табл. 1.1, про которые известно, что они опти- оптимальны, заключены в рамку. Рамки в первом ряду показывают, что плотнейшая возможная упаковка шаров известна лишь в размерностях 1 и 2! Про элементы таблицы, расположенные слева от двойной черты, известно, что они оптимальны среди решеток. В частности, плотнейшая возможная упаковка из- известна в размерностях п ^ 8. Про размерности от 1 до 4 мы уже говорили. Коркин и Золотарев [Ког 3] показали, что ре- решетка Z>5 является плотнейшей решетчатой упаковкой в раз- размерности 5, и предположили, что решетки .Еб, Е7, Е8, Л9 и Лю являются плотнейшими в следующих пяти размерностях. Блих- фельдт [ВН 2] — [ВН 4] установил оптимальность Е6, Е7 и Eg. Доказательство Блихфельдта довольно сложно, но оно под- подтверждено работами Ватсона [Wat 5] и Ветчинкина [Vet 2]. Не- Неравенство Морделла позволяет вывести оптимальность Е& из оп-
§ 1. Проблема упаковки шаров 31 тимальности Е7, но нам не известно никакого простого доказа- доказательства оптимальности Е7. Не удается также распространить работу Блихфельдта на большие размерности. Оптимальность Е6 следует также из классификации Барнса всех 6-мерных ре- решеток, плотность которых локально максимальна [Ваг 6], Таблица 1.1. Рекорды для упаковок, контактных чисел, покрытий и кватизаторов. (В прямоугольник заключены оптимальныр значе- значения. Слева от двойной линии расположены оптимальные среда решеток.) При л<8в первом ряду стоят решетки, изоморфные Л„ Размерность Ппотнейшав упаковка Наибольшее контактное число экономное покрытие Наилучший квантизатор 1 2 0В 1« aJ 6 i—11—i 0В на 3 *3 1*3 ||2 Аз А? 4 04 °4 24 А4 D4 5 D5 °5 40 А5 6 Е6 Е6 72 А6 ES 7 Е7 Е7 126 А7 Е7 8 Ее Е8 240 А8 Ее 12 К|2 Р12Я 840 А,2 К,? 16 А» А» 4320 А,б А,6 24 А*4 Аг4 196560 А24 Ag4 [Ваг 7]. Известно, что плотнейшая решетчатая упаковка в раз- размерностях от 1 до 8 единственна. (См. работы [Ваг 6], [Ваг 7] и [Vet 2] о единственности ?6, Е7 и Ев-) Символом Л/, в табл. 1.1 обозначены слоистые решетки. Они будут определены и подробно изучены в гл. 6. В частности, слоистые решетки являются плотнейшими решетками в размер- размерностях до 8, и имеются следующие эквивалентности: Л, Si Z =* А*, B5) i6 — это решетка Барнса — Уолла (§10 гл.4, [Ваг 18]), Л24 —решетка Лича (§ 11 гл. 4, [Lee 5]) н Ki2 — единственный до сих пор не упомянутый элемент таблицы 1.1—это решетка Кокстера — Тодда (§ 9 гл. 4, [Сох 29]). Весьма правдоподобно, что Кц, Aie и Л24 являются плотнейшими решетками в размер- размерностях 12, 16 и 24 соответственно, хотя это и не доказано.
32 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа 12 16 20 2ч 28 32 36 40 А А 48 Рис. 1.5. Плотнейшие известные упаковки шаров в размерностях п ^ 48. По вертикальной оси отложены значения Iog26 + nB4— л)/96, где б — цен- центральная плотность. Через Л„ обозначаются слоистые решетки, решетки Кп описаны в гл. 6. К\г — решетка Кокстера — Тодда, крестиками отмечены не- нерешетчатые упаковки (см. гл. 5, разд. 2.6 и 4.3), решетки Q32, Взе н Рщ описаны в табл. 1.3а. Верхняя граница—эта граница Роджерса C9), D0). На самом деле вполне разумно предположить, что все элементы табл. 1.1 оптимальны. Плотности этих упаковок показаны на рис. 1.5 и в таблице 1.2, которая получена из таблицы работы [Lee 10] внесением в нее последних результатов н включает большинство лучших известных упаковок в размерности до 24. Кроме плотности Д в таблице 1.2 указана центральная плотность 6, задаваемая ра- равенством б = ^-. B6) которая обычно выражается куда более простым числом. На- Например (крайний случаи), для Л24 плотность Д равна я12/479001600 = 0.001930 ..., а 6=1. Точное значение таблица дает только для 6. Если радиус шаров равен 1, то б есть число центров на единицу объема. Для решетчатой упаковки из B0) получаем 6 = p"(detA)-I/2. B7) На рис. 1.5 масштаб изменен для удобства изображения. По вертикальной оси отложена величина На рис. 1.5 и в табл. 1.2 также приведена наилучшая известная на сегодня верхняя граница для центральной плотности. Для
§ 1. Проблема упаковки шаров 33 Таблица 1.2. Упаковки шаров в размерностях до 24 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Наймем. упаковки Ао Ai-Л] А2гЛ2 Аз-0з А4 = 04 А6~Е6 А7аЯ7 A,sEa Л, Р9а А,о Р1Оа ^lOi ATT* К,, Гц. Риь РПс Л12 Кп L\2 РПл А7з" Кп Р13а Р{П Аи />14(, Рш А,5 Р15« А14 Ап А„ А„ Л20 А21 An Агз А24 Плотность Д 1 1 0 90690 0 74048* 061685 0.46526 0.37295 0.29530 0.25367 014577 0 12885 0 09202 0 09463 0 08965 0 09962 0.05888 006043 0.06624 0 04173 0.04945 0.04456 0.04694 0 02846 0 02921 0.03201 0 02162 9.01686 0.01471 0 008811 0.005928 0.004121 0003226 0.002466 0.002128 0.001905 О.ОО193О Центральная плотность Ь достигнутая 1 1/2 1/2 VI 1/4 VI 1/8 1/8 VI 1/8 VI 1/16 1/16 1/16V2 5/128 1/16VJ 19/512 9/256 5/128 1/32 1/18VJ 9/256 1/32 1/27 37/2" 9/256 1/32 1/18VJ 9/256 1/16VJ l/ieVI 1/16 1/16 1/8VJ 1/8 VI 1/8 1/4V2 1/2VJ 1/2 1 -05 -0 28868 -0 17678 -0 125 - 0 08839 -007217 - 0 0625 - 0 0625 -0 04419 - 0 03906 - 0 03608 -003711 -003516 - 0 03906 -003125 - 0 03208 -0 03516 -0.03125 - 0.03704 -0 03337 -0 03516 -003125 -0 03208 -0 03516 = 0.03608 -0.04419 -0 0625 - 0 0625 -0.07217 -008839 - 0.125 - 0.17678 - 0.28868 -0.5 - 1.0 граница 1 05 0 28868 0 1847 0 13127 0 09987 008112 0 06981 0 06326 0 06007 0 05953 0 06136 0 06559 0.07253 0 08278 0 09735 011774 0 14624 0 18629 0.24308 0.32454 0.44289 0.61722 0.87767 1.27241 Контактное число наибольшее с недм°е 0 t 6 12 24 40 72 126 240 272 306 336 372 500 372 438 432 566 580 582 648 756 704 840 906 918 ИЗО 066 1422 1484 1582 2340 2564 4320 5346 7398 10668 17400 27720 49896 93150 196560 0 2 6 12 24 40 72 126 240 272 235 3/5 336 353 9/19 340 1/3 372 438 432 519 7/9 648 756 704 770 2/3 906 918 1060 2/3 1422 2340 4320 5346 7398 10668 17400 27720 49896 93150 196560 Гл ,5 6,2 4,S 1 462 ..,6 3 4,7? 4,7 1 4,3 3 4,8 2 4,8 1 6,4 5,2 6 6,4 5,2 6 5,2 6 5,2 6 6,4 6.2 5,2 6 5.4 3 5,2 6 6,4 4,9 5,3 3 5.2 6 6,4 6,2 5,4 3 5,4 3 6,4 5,4 3 5,4 3 6,4 5,4 3 4,10 6,6 6,6 6,6 6,6 6,6 6,6 6,6 4,11 Тип L L L В L В в в L В N В N N N В L Л А А В L N N В В N А В А А В А В В В В В В L L 1
34 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа п = 3 это граница Линдсея, упомянутая в разд. 1.1, а для п ^ 4 это граница Роджерса [Rog2], подсчитанная Личем [Lee 5]. Числа, приводимые Личем, оборваны на пятом десятичном зна- знаке, все же остальные последние цифры десятичных выражений в этой книге округлены. В столбце «Тип» табл. 1.2 символ В означает, что известны как решетчатая, так и нерешетчатая упаковка с этой плотностью и контактным числом, L означает, что известна только решетчатая упаковка, N — только нерешет- нерешетчатая, и, наконец, А означает локальное расположение (кла- (кластер) шаров, касающихся одного шара. Предыдущий столбец дает ссылку на место в этой книге, где описывается соответ- соответствующая упаковка. Из рис. 1.5 и табл. 1.2 видно, что слоистые решетки Л„ яв- являются плотнейшими известными упаковками в размерностях п s^ 29, кроме размерностей 10—13. Как мы уже говорили, в размерности 12 плотнейшая известная решетка — это решетка Таблица 1.3. Упаковки шаров в размерностях, не превосходящих 24 и 32 36 48 60 64 80 96 104 128 136 150 180 Наименование А32 BW32 Си 032 Азе Вгв Рщ Рщ Резр BW<* Qh Р(,Ис чСЕгУ П СР48«) Pirn а№ _ 1о&5 0 0 1 1.359 I 2 12 14.039 14.039 16.548 16 18.719 22 36 52.078 60 64 85 88 100 113.06 133 154.12 Граница 5.52 8.63 15.27 27.85 31.14 49.90 70.96 80.20 118.6 129.4 153.2 2Q6.7 Контактное число 208320 146880 249280 261120 42840 234456 52416000 52416000 3908160 9694080 26П200 S260230400 Гл.,§ 6,7 8,8.2f 8,8.2h 8,4 5,5.5 5,5.3 8,8.2d 6,7 5,5.7 5,5.7 5,5.5 8,8.2f 8,3d 8,8.2e 8,10c 8,10g 8.10c 8,8.2f 5,6.6 8,10c S,10c 8,6 8,10c *,6
§ 1. Проблема упаковки шаров 35 п 192 256 508 512 520 1020 1030 2052 4096 4098 8184 8190 8208 16380 16392 32784 65520 65544 131088 262152 524304 1048584 Таблица Наименование ч(л24) л№ BW256 Вгы л№ Вьп л№ А?<& А?Л а№ ч(А16) лШ Ч (А24) а№ г, (А24) а\1Ш Ч (А24) Ч (А24) Ч (А24) Ч (Ам) Ч 3^24) Ч з(А24) Ч з(А24) Ч 3^24) 1.3 (продолжение) Iog28 156 171.44 192 250 270.89 742.66 698 767.46 1922 1947 4755 11344 11279 26712 26154 26808 59617 61608 139488 311364 311496 664962 1.475-Ю6 3.178-Ю6 6.918 10" Граница 230.0 357.0/ 948.1 957.4 980.1 2406 2439 5871 13750 13/58 31547 31573 31655 7В25 71387 159154 350788 350932 767395 1.666-106 3.594107 7.711-Ю7 Гл.,§ 8,1Ое 8,6 8,8.2f 8,8.2g 8,6 8,6 8,8.2g 8,6 8,6 8,6 8,6 8,10с 8,6 8,Юе 8,6 8,10е 8,6 8,10е 8,10е 8,10е 8,10е 8,10f 8,10f 8,10f 8,10f Кокстера —Тодда Ки, а в размерностях 10, 11 и 13 имеются нерешетчатые упаковки (мы опишем их в гл. 5), более плотные, чем любая известная решетчатая. В размерностях 30—32 ре- решетки Квеббеманна (§ 4 гл. 8, [Que5], [Que6]) превосхо- превосходят Ля- Таблица 1.3 приводит избранные плотнейшие известные упа- упаковки в размерностях от 24 до примерно 106. Все эти упаковки решетчатые. Решетки табл. 1.3 все задаются вполне явно: без большого труда можно выписать их порождающие матрицы (необходимое для этого количество операций является полино- полиномом от размерности п). В размерностях от 64 примерно до 1000 Н. Элкис недавно обнаружил более плотные решетки1). *) См. примечание переводчика на с. 37—38. — Прим. перев.
36 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Напротив, в 1905 г. Минковский неконструктивно доказал, что существуют решетки с плотностью Ш". B8) где ?(п) = ? * " — дзета-функция Римана. Таким образом, log2A^ —n-f-1 при л->оо. B9) Отсюда получается (с помощью B7)), что существуют решетки с центральной плотностью, не меньшей, чем следующие числа: п 128 256 512 1024 4096 65536 1048576 Iog26 63 249 750 2006 12102 324603 7290660 Сравнение с табл. 1.3 показывает, что в размерностях около 1000 эти решетки плотнее любых ныне известных. К сожале- сожалению, доказательство неравенства B8) (см. [Cas 2, ch. 6], [Lek 1, § 19], [Rog7, гл. 4]) использует усреднение и ничего не говорит о том, как можно найти решетки, удовлетворяющие B8). Было найдено много обобщений и расширений неравен- неравенства B8), но для больших п не известно сколько-нибудь значи- значимого улучшения. В своей общей форме это неравенство известно как теорема Минковского — Главки. Мы до сих пор не знаем, как строить упаковки с плотностью, указанной в B8). В 1959 г. Варне и Уолл открыли бесконечную последовательность решеток BWn в размерностях п = 2т с — log2 Д ~ — -? log2 n при п-*-ао C0) (разд. 8.2f гл. 8, [Ваг 18]); в 1971 г. в работе [Lee 10] (см. разд. 6.7 гл. 5) были построены нерешетчатые упаковки с а в 1973 г. в [Slo 1] (см. разд. 6.8 гл. 5)—нерешетчатые упа- упаковки, для которых 4-log2A^-6. C2) Решетки с ^J C3) обнаружены в работе [Ваг 15] (см. разд. 8.2g гл. 8), а также Крэйгом (см. § 6 гл. 8), а решетки с -J-log2A log;» C4)
§ 1. Проблема упаковки, шаров 37 построены в [Bos3] (см. разд. 10h гл. 8). Здесь \ogn есть наименьшее значение k, при котором ^-кратный двоичный ло- логарифм числа п меньше 1. Тем не менее решетки, конструируе- конструируемые в гл. 8, достаточны плотны в довольно больших размер- размерностях. Так, например, в размерностях п ^ 98328 имеются ре- решетки с ±l0g2A = - 1.2454... +в, где |в|< 12n~' log2(n/6), в размерностях n s^ 1051 — решетки с i-log2A = -2.0006 ... +г', а в размерностях п^ ю9870 — решетки с -J- log2 А = - 2.2005 ... + е". C5) Все эти решетки также строятся явно. Лицын и Цфасман [Lit 3], [Lit 5] недавно показали, что нерешетчатые упаковки с 4-1.31 C6) и решетки с i-2.30 C7) можно построить методами гл. 8, примененными к алгебро-гео- метрическим кодам (ср. § 2.11 гл. 3). В § 7.4 гл. 8 мы увидим, что бесконечные башни полей клас- классов, найденные Голодом и Шафаревичем [Gol 19], Мартинэ [Маг 2] и другими, задают бесконечную последовательность ре- решеток, в наилучшем известном случае удовлетворяющих нера- неравенству ^~ — 2.218... при п-*оо. C8) (Это было указано Цфасманом, см. [Lit 3] ').) Однако пока не видно никакого практического метода явного построения этих решеток. *) Более подробное изложение см. в [Lit 5] и в книге [Tsf 3*], гл. 5.4. Плотные решетки можно также строить по мультипликативным груп- группам числовых и функциональных полей (Розенблюм и Цфасман [Ros 1*], [Tsf 4*], см. также [Tsf 3*], гл. 5.4). Так, модулярные кривые приводят к ре- решеткам с (l/rt)log2 Д*3—1,87, а добавля к этой конструкции удачно вы- выбранный дивизор, удается получить решетки с (l/rt)log2A#&—1.39. Как показал Н. Элкис [Elk 1*], группы точек эллиптических кривых с постоянным /-инвариантом над функциональным полем задают очень плотные
38 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Замечание. Хотя мы и назвали результат Мянковского и не- некоторые другие результаты «неконструктивными», имеются ал- алгоритмы, теоретически позволяющие выписать порождающие векторы за ограниченное время, т. е. в логическом смысле они эффективны. Однако типичный алгоритм такого типа включает перебор по чрезвычайно большой совокупности и требует супер- суперэкспоненциального времени работы. Напротив, наши «явные» конструкции позволяют очень быстро выписать порождающие векторы. Мы сознательно воздерживаемся от точных определе- определений, поскольку чувствуем, что лучше всего разграничения та- такого рода производятся неформально1). Совсем недавно в [Rus 1] было показано, что упаковки в размерности п = р2, где р простое, с ~ log2 Д ^ — 1.000000007719 ... (число справа равно —A -j-2 (log2 е)/е*2 + •••) можно найти перебором по специальному конечному множеству кодов дли- длины п. Хотя этот результат и «неконструктивен», перебор произ- производится по гораздо меньшей совокупности, чем в теореме Мин- ковского 2). Результат Минковского B8) гарантирует существование плотных упаковок. В противоположном направлении в работах [Rog2], [Rog7] Роджерс показал, что плотность любой л-мер- ной упаковки удовлетворяет неравенству Л<сг„, C9) где On определяется следующим образом. Пусть S — правильный n-мерный симплекс с ребром длины 2. Шары радиуса 1 с цен- центрами в вершинах из 5 не пересекаются, и ап — это отношение объема части S, покрытой шарами, к объему всего симплекса 5. Из неравенства C9) следует, что никакая двумерная упа- упаковка не может быть плотнее, чем гексагональная решетка, решетчатые упаковки в размерностях до 1024. В частности, так получаются решетки ?>4, ?8, Л24. В размерностях от 64 до 1024 многие решетки Элкиса плотнее упаковок, указанных в табл. 1.3. Многие из этих решеток получаются как инвариантные решетки в представлениях больших групп, см. [Gro 4*].— Прим. перев. *) Формализация легко проводится в рамках теории сложности алгорит- алгоритмов; при этом естественно считать эффективными полиномиально конструи- конструируемые упаковки. Однако сердцу математика дороги прямые конструкции типа упоминаемой ниже конструкции из [Rus 1], башен полей классов или решеток по модулярным кривым, хотя они и не являются полиномиаль- полиномиальными.— Прим. перев. г) Аналогичные методы привели Дж. Раша [Rus 2*] к решеткам на гра- границе Минковского. Они также оказались применимы к решетчатым упаковкам любых «достаточно симметричных» тел. — Прим. перев.
§ 1. Проблема упаковки шаров 39 а в размерности три C9) дает границу «0.7796, упомянутую в разд. 1.1. Другая форма неравенства C9), найденная Личем [Lee 10], такова: log2 6 <1 п log2 (-?) + } to* п - log2 -fc + -JZLr, D0) последний член здесь дан приближенно. Для больших п из C9) следует неравенство ^-0.5. D1) В 1979 г. Левенштейн [Lev 7] показал, что а ^ /(я/2) ,-оч А< г(„/2+О2-4" ' D2) где j(t)—наименьший положительный нуль функции Бесселя Jt{x). Для больших п = 2/ в D2) можно использовать прибли- приближенное равенство ([Bos 2], [Olvl]) /(/) » / + 1.8557571 • /!/3 + 1.033150 • Г1/3 - — 0.003971 • Г1 — 0.0908 • Г5/3 + 0.043 • Г7/3. D3) В асимптотике из D2) получаем 4" log2 A ^ — 0.5573 .... D4) В 1979 г. Кабатянский и Левенштейн [Kab 1] получили еще более сильную границу, которая для больших п дает ^¦logg Л ^-0.5990 »)• D5) Точная форма их границы и метод ее доказательства приве- приведены в гл. 9. Другие границы имеются в [Lev 4], [Lev 5], [Lev 9], [Rog7], {Sid 1], [Sid 3], [Ural]. Граница Роджерса C9), D0) яв- является наилучшей для п ^ 42, в более высоких размерностях граница Кабатянского — Левенштейна превосходит ее. Верхние границы в табл. 1.3 получены из этих двух границ. В табл. 1.4 сравниваются различные плотности в размер- размерности 65536, приведены наилучшие известные упаковки, заве- 1) Заметим, что в правой части D5) стоит величина I ¦ от , 1 + sin 6 1 I + sin в 1 — sin в , I — sin в \ min < Sin в/2 -\ —:—;;— log2 —;г^-:—я г—:—jr— log? с ¦—й— ( > о<е<я I 2 sin в 2 sin в 2 sin в 2 sin в J см. формулы E6) н F) гл. 9. — Прим. перев.
40 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Таблица Тип Конструкции Граница суще- существования Верхние гра- границы 1.4. Сравнение центральных плотностей в размерности 65536 Наименование ?Гб55Зв #65536 П(Л32) л B954) Л65536 Ч (Аи) •) Минковский Каб. — Лев. Левенштейи Роджерс *) в размерности 65520 log2d 180224 290998 295120 297740 311364 324603 350885 353768 357385 Гл. 8, § 8.2f 8, § 8.2g 8, § Юс 8, § 6 8 § Юе I, B8) 9 1, D2) 1, D0) домо достижимая плотность, даваемая границей Минковского, и три верхние границы на наибольшую возможную плотность. Таким образом, из B9) и D5) следует, что плотнейшая (ре- (решетчатая или нерешетчатая) упаковка удовлетворяет для боль- больших п неравенствам ^ Л ^-0.5990. D6) (Грубо говоря, когда размерность увеличивается на 1, плот- плотность наилучшей упаковки делится на число между 2 и 1.51.) Многие специалисты по теории чисел пользуются постоян- постоянной Эрмита уп, задаваемой равенством Y« = 4-62/«, D7) где бп— центральная плотность плотнейшей решетчатой упа- упаковки в R" [Lek I, p. 294]; у„ — это минимальная норма опти- оптимальной л-мерной решетки с детерминантом 1. Она известна для л sg: 8 (ее можно получить из табл. 1.1 и 1.2), а для боль- больших п из B9) и D5) следует, что 1 < VjL < 1J44 (АХ\ Уравнения B8) —C4) гл. 3 показывают, что у„ измеряет наи- наибольший достижимый кодовый выигрыш л-мерной решетки.
§ 2. Проблема контактного числа 41 Хотя в этой книге мы рассматриваем только проблему упа- упаковки очень большого числа шаров, имеется значительная ли- литература по задаче наилучшей упаковки N шаров для малых значений N. См., например, [ВепЗ], [Boel], [Fej2a], [Fej2b], [G0I8], [Gra4a], [Gri 12] —[Gri 14], [GroO], [Wegl], [WHO]. § 2. Проблема контактного числа 2.1. Проблема тринадцати шаров. Второй основной вопрос этой книги, тесно связанный с проблемой упаковки, называют проблемой контактного числа. В трехмерном случае это вопрос о том, сколько биллиардных шаров можно расположить так, чтобы все они касались еще одного шара того же размера. Не следует представлять себе биллиардный стол, вместо этого пред- представьте себе один зафиксированный в пространстве биллиард- биллиардный шар и попробуйте мысленно расположить остальные вокруг него. (Для этой задачи биллиардные шары несколько нагляд- нагляднее, чем шарики из шарикоподшипников.) Эта проблема яви- явилась предметом знаменитой дискуссии между Исааком Ньюто- Ньютоном и Дэвидом Грегори, состоявшейся в 1694 г. Ньютон считал, что правильный ответ —12, как в fcc-решетке (см. рис. 1.1а), а Грегори полагал, что можно поместить и 13. Сейчас известно, что правильный ответ на этот вопрос, ча- часто называемый проблемой тринадцати шаров, все же 12. Не- Некоторые доказательства появились в девятнадцатом веке: [Benl], [Hopl], [Gunl]. Шютте и ван дер Варден привели подробное доказательство в 1953 г. [Sch 12]. Наилучшее из имеющихся доказательств содержится в работе Лича [Lee 2]; хотя оно прямолинейно и элементарно, тривиальным его не на- назовешь. (См. также [Вое 1], [Was 1].) Сложности возникают из-за того, что расположение не единственно; на самом деле расположить 12 биллиардных ша- шаров вокруг одного можно бесконечным числом способов. На- Например, если поместить центры 12 шаров в вершины правиль- правильного икосаэдра, центр которого совпадает с центром фиксиро- фиксированного шара, то эти двенадцать шаров не касаются друг друга и их можно свободно двигать. (Оказывается, что любая пере- перестановка двенадцати шаров может быть получена перекатыва- перекатыванием внешних шаров по внутреннему — см. приложение к этой главе.) Икосаэдральное расположение 12 атомов вокруг одного центрального встречается в ряде сплавов и смесей [Bril], [Тео2], [Wei 4, р. 71], а также в недавно открытых непериоди- непериодических структурах, называемых квазирешетками или квази- квазикристаллами (см., например, [Con 16a], [Elsl], [Els 2], [Gra 6], [Gru3], [Lev 10], [Levll], [Nell], [SheO]). Расположение 12
42 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа атомов вокруг одного по типу fcc-решетки (так что их центры являются вершинами кубооктаэдра) встречается очень часта [Wei 4, р. 71]. 2.2. Контактные числа в других размерностях. Более общим образом, определим контактное число (обычно обозначаемое т) Таблица 1.5. Диапазон возможных упаковки шаров любой размер- значений х„, наибольшего возможного ности как число шаров, касаю- контактного числа в размерности п. щихся ОДНОГО шара. Для ре- Й для получения верхней границы сит от выбоРа Центрального шара, однако для произвольной упаковки при переходе от од- одного шара к другому т может меняться. Иногда т называют числом Ньютона (в честь уче- ученого, от которого пошла эта задача) или координационным числом (последнее название употребляется в химии). В n-мерном варианте проб- проблема контактного числа — это вопрос о наибольшем возмож- возможном значении т для произволь- произвольной упаковки n-мерных шаров. В одномерном случае ответ 2, а в двумерном 6 (легко прове- проверить, что шесть монет можно разложить на столе вокруг одной, как на рис. 1.3Ь, а семь— уже нельзя). В трехмерном случае, как мы уже говорили, ответ 12. Вызывает некоторое удив- удивление, что мы знаем также контактные числа в размерно- размерностях 8 и 24 (см. [Odl 5] зё гл. 13, [Lev 7]), но не знаем ответа ни в одной другой раз- размерности, большей трех. На самом деле эти числа B40 и 196560 соответственно) получаются технически проще, чем трехмерный результат. Это связано с тем, что в данных размерностях расположение единственно: един- единственный способ окружить 8-мерный шар 240 другими — это расположение решетки Es, аналогично в размерности 24 един- л 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 6 12 24-25 40-46 72-82 126-140 240 306-380 500-595 582-915 '840-1416 1130-2233 1582-3492 2564-5431 4320-8313 5346-12215 7398-17877 10668-25901 17400-37974 27720-56852 49896-86537 93150-128096 196560 Степень 9 10 10 10 6 11 11 11 11 12 12 12 13 13 13 13 13 13 14 14 10
§ 2. Проблема контактного числа 43 ственное расположение берется из одной из двух зеркальных форм решетки Лича (см. [Ban 13]=ёгл. 14). С другой стороны, в четырехмерном пространстве известно лишь, что наибольшее контактное число равно 24 или 25. Число 24 встречается в решетке Di, а наилучшая известная верхняя граница равна 25. Контактные числа различных упаковок в раз- размерностях до 24 приводятся в табл. 1.1 и 1.2, а табл. 1.3 со- содержит контактные числа некоторых решеток в размерностях между 32 и 128. (В больших размерностях мы не знаем кон- контактных чисел для упаковок, приводимых в табл. 1.3.) Наилуч- Наилучшие известные границы для хп — наибольшее возможное кон- контактное число в размерности п — представлены для 1 ^п^24 в табл. 1.5. Указанные там нижние границы взяты из табл. 1.2, а верхние выводятся ниже, в гл. 13. До сих пор мы рассматривали контактные числа для произ- произвольных расположений шаров. Если мы ограничимся только ре- решетками, то известно гораздо больше: Ватсон [Wat 7] показал, что слоистые решетки Ап имеют наибольшие возможные кон- контактные числа в размерностях п s=; 9. В размерностях п ^ 8 наибольшее известное сейчас контактное число для произволь- произвольных упаковок совпадает с числом, получаемым для решеток. Однако в размерности 9 имеется нерешетчатая упаковка {Рза), в которой некоторые шары касаются 306 других шаров, в то время как наибольшее возможное контактное число для реше- решеток равно 272 [Wat 7] (см. также [Wat 6], [Wat 8], [Wat 9], [Wat 13]). Таким образом, с точки зрения контактного числа 9 — это наименьшая размерность, в которой известны нерешет- нерешетчатые упаковки, лучшие, чем любая решетчатая. Стоит обратить внимание на состояние наших сегодняшних знаний об 11-мерных упаковках. Эти знания сводятся к следую- следующей небольшой таблице (части табл. 1.2): Наименование Риа Рис Кп дтах Тип нерешетчатая нерешетчатая решетчатая решетчатая 6 0.03516 низка 0.03208 0.03125 ттах 566 582 432 438 Исходя из этого можно думать, что решетчатый и нерешетча- нерешетчатый варианты проблем упаковки и контактного числа имеют, воообще говоря, четыре различных ответа. Мораль: проб- проблема контактного числа — локальная проблема, а проблема
44 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа упаковки — глобальная\ Конечно, мы не знаем, оптимальны ли приведенные в таблице упаковки, и, вообще говоря, может суще- существовать одна решетчатая упаковка, лучшая чем все четыре приведенных. В больших размерностях (мы возвращаемся к проблеме кон- контактного числа для произвольных упаковок) известно гораздо меньше. Кабатянский и Левенштейн показали, что контактное число л-мерной упаковки ограничено сверху: D9) (см. [Kab 1] и гл. 9, формула E5)). Винер [Wyn 1] показал, что существуют расположения с х ^2'I~°-51og23)"'1+0'I^ = 20-2075 ••• «(i+o@) E0) Результат Винера, подобно границе Минковского B8), некон- неконструктивен. Наилучший известный конструктивный результат принадлежит Личу, который показал, что решетки Барнса — Уолла BWn в размерностях n = 2m имеют контактное число П ~ 4.768... • 2m(m+1>/2 = 4.768 ... • 20-5l°e<1°e*'1+l> E1) (см. разд. 6.5 гл. 5, разд. 8.2f гл. 8, [Баг 15], [Ваг 18], [Lee 4], [Bos3]). Решетки Барнса — Уолла, уже упоминавшиеся в фор- формуле C0), — это один из способов продолжить последователь- последовательность решеток D4, Ев, ... на все размерности 2. Однако в гл. 5 и 8 мы увидим, что эти решетки основаны на кодах Рида — Мал- лера и потому дают не слишком хорошие упаковки в больших размерностях. Третья решетка этой последовательности Ац имеет наибольшие известные плотность и контактное число в размерности 16 (см. гл. 4, § 10), но уже четвертая решетка, эквивалентная слоистой решетке Л32 (гл. 6), уступает решетке Квеббеманна Q32 (см. § 4 гл. 8, [Que5], [Que6]). Для боль- больших п контактные числа решеток Барнса—¦ Уолла очень малы по сравнению с E0). Явная конструкция, дающая много боль- большие контактные числа, приводится в разд. 2.5. 2.3. Сферические коды. Проблема контактного числа может быть сформулирована другим способом: сколько точек можно расположить на сфере в n-мерном пространстве R* так, чтобы угловое расстояние между любыми двумя из них было не мень- меньше 60°? Чтобы увидеть, что это — в точности та же проблема, рассмотрим любое расположение непересекающихся шаров, ка- касающихся одного шара. Тогда угловое расстояние между точ-
§ 2. Проблема контактного числа 45 ками касания внешних шаров с центральным шаром не меньше 60° (см. рис. 1.6). Таким образом, проблема контактного числа может рассмат- рассматриваться как проблема упаковки, аналогичная рассмотренной в § 1, с тем отличием, что на сей раз мы упаковываем точки Рис. 1.6. Если шары А и В касаются шара С, то угловое расстояние между точками касания Р и Q, ZPOQ, равно по меньшей мере 60°, поскольку если А касается В, то три центра образуют равносторонний треугольник. на сфере в R" (а не в самом пространстве R"). Это приводит к важному обобщению. Через Й„ мы обозначим сферу в R". Оя = {(х, xJeR": 2>?=l}. E2) Конечное подмножество X сферы Qn называется сферическим кодом (по аналогии с двоичными кодами, см. § 2 гл. 3); мини- минимальным углом кода X называется наибольшее число ср, для ко- которого x-ys^cosq) для всех х, у е X, хфу. (Неравенство имеет вид ^, а не ^, так как чем две точки на Qn ближе, тем их скалярное произведение больше. Если х — у, то х-у= 1. Если у — противоположная точка к х, т. е. у = —х, то х-у — — 1.) Обобщим проблему контактного числа, задавая вопрос: ка- каково наибольшее возможное число Д(п,ср) точек в сферическом коде на пп с минимальным углом ф (при данных п и ,ср)? Во- Вопрос об А(п, я/3)—это проблема контактного числа, и мы уже видели, что А B, л/3) = 6, А C, я/3) = 12, А D, я/3) = 24 или 25 и т. д. Аналогия с проблемой упаковки шаров становится яснее, если мы рассматриваем равные сферические шапочки, располо- расположенные на сфере, с центрами в точках сферического кода. При этом Л(п,ф) — это максимальное число сферических шапочек углового диаметра ср, которое может быть расположено на О,п без пересечений.
46 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Имеется много приложений сферических кодов (см. ссылки в конце разд. 1.4, а также в разд. 1.2 гл. 3). Особенно стара- старательно изучалась трехмерная проблема — поиск значения А C, ср). Зачастую вопрос задается в обратной форме: каково наиболь- наибольшее возможное угловое расстояние при расположении М точек на Q3? Эта задача иногда называется проблемой Таммса по имени голландского ботаника, который пришел к этой задаче, изучая распределение пор на цветочной пыльце [Тат 5]. Экви- Эквивалентный вопрос: в каких точках планеты должны построить свои дворцы М враждующих диктаторов, чтобы каждый из них оказался возможно дальше от всех прочих? Примеры. Наилучший код с М — 4 состоит из вершин пра- правильного тетраэдра; минимальный угол ф = л — arccos(l/3) « «* 109.4701. Для М = 6, 8, 12 и 24 наилучшие коды задаются правильным октаэдром, квадратной антипризмой, правильным икосаэдром и плосконосым кубом; при этом ф = 90°, 74.859°, arctgB)« 63.435° и 43,7° соответственно ([Fej 10], [Rob 1], [Sch 11]). Однако для М — 20 ответом не будет правильный до- додекаэдр с ф« 41.810°, поскольку ван дер Варден [Wae 1] на- нашел гораздо менее симметричный код с фя 47.431°. Наилуч- Наилучшие коды для больших значений М также далеко не всегда совпадают с очевидными (наиболее симметричными) канди- кандидатами. Наилучшие известные трехмерные сферические коды можно найти в работах [ВбгЗ], [Brul], [Cla 1], [Сох 15, р. 325], [Danl], [Fej 2], [Fej 10], [Gol 3] - [Gol 7], [Habl], [Lee 11], [Mell], [Robl], [Rob 2], [Sch 11], [Str2], [Sze2], [Tar 1]— [Tar 4], [Why 1]. Трехмерные коды с большим числом точек по- построены в [Ваи 1], (Lub 1], [Lub2]. См. также [Агп 1], [Вес 1], [Вег9], [ВегЮ], [В1а 1], [Gru2], [Lee3], [Lin 1], [Mell], [Meyl], [Mohl], [Muel], [Slol3a], [Wei 4]. О четырехмерных сферических кодах см. [Сох 24], [МасО], [Nunl], [War 4]. Имеются два простых и общих метода построения сфериче- сферических кодов, пригодных не только для размерности три; один из них исходит из упаковок шаров, а другой — из кодов, исправ- исправляющих ошибки. Эти конструкции, так же, как и все приведен- приведенные выше трехмерные и четырехмерные коды, дают нижние гра- границы для А {п, ф). 2.4. Построение сферических кодов по упаковкам шаров. Пусть Л — упаковка шаров в R". Поместим начало координат в удобную для нас точку Р. (Обычно Р — это либо центр од- одного из шаров, либо точка, равноудаленная от нескольких цен- центров. Например, на рис. 1.3Ь можно выбрать в качестве Р точку,
§ 2. Проблема контактного числа 47 отмеченную буквой а, точку, отмеченную буквой 6, или же се- середину отрезка, соединяющего две точки, отмеченные бук- буквами а.) Предположим, что на расстоянии и от Р находится N центров упаковки Л. Изменим масштаб в и раз; тогда эти N центров образуют «-мерный сферический код, состоящий из N точек. Иными словами, в качестве кода мы берем одну обо- оболочку точек вокруг Р [Slo 12]. Расстояние между центрами шаров больше либо равно 2р (где р— радиус шара), поэтому минимальный угол по меньшей мере равен 2arcsin(p/«). E3) Число точек этого кода задается тэта-рядом упаковки по отно- отношению к Р (см. разд. 2.3 гл. 2). Примеры. Рассмотрим решетку D4 (разд. 1.4), в качестве Р возьмем точку этой решетки и положим р = 1/л/2. Первая обо- оболочка имеет и=д/2 и содержит 24 центра (это контактное число); полученный сферический код состоит из точек вида 2~1/2(±1, ±1, 0,0), его минимальное угловое расстояние равно 2arcsin(l/2)= 60°. Вторая оболочка имеет ц = 2 и также со- содержит 24 точки; сферический код состоит из (±1, 0, 0, 0) и A/2) (±1, ±1, ±1, ±1). Минимальный угол опять равен 60°, так что в этом случае оценка E3) не дает точного значения ср. Этот второй код получается из первого вращением. Оба этих примера показывают, что ЛD, 60о)>=24. С другой стороны, если мы поместим Р в точку A, 0, 0, 0) («глубокую дыру» решетки ZL, см. рис. 1.3d), то получим дру- другую последовательность сферических кодов. Первая оболочка теперь содержит 8 точек на расстоянии 1 от Р и задает код с минимальным углом 90° (вершины правильного четырех- четырехмерного обобщенного октаэдра). Следовательно, ЛD, 90°) 22? 8. Числа точек этих двух семейств сферических кодов суть коэф- коэффициенты тэта-рядов (l/2)(93B2L+e4B2L) и A/2)92BгL соответственно (см. § 7 гл. 4). 2.5. Построение сферических кодов из двоичных кодов. Пусть С — двоичный код, исправляющий ошибки (см. § 2 гл.3),длины п с минимальным расстоянием d. Сферический код получается из С заменой 1 на —1 и 0 на 1 в каждом кодовом слове и деле- делением на V«- Получающиеся точки лежат на У„, и минимальный угол задается равенством Ф = arccos A — ) , E4) ^=sin*f. E5)
48 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа Примеры. Код, содержащий все 2" двоичных слов длины п, задает сферический код, состоящий из вершин n-мерного куба п~1/2(±1 ±1)- Любой другой сферический код, получае- получаемый с помощью этой конструкции, является подмножеством этого кода. Код Голея Ч<?24 (см. п. 2.8.2 гл. 3) с п = 24 и d — 8 задает сферический код из 4096 точек на Q24 с cp = arccos(l/3) « fa 70.529°. Таким образом, А B4, arcos( 1/3)) ^4096. Используя некоторые коды, построенные Юстесеном, Уэлдо- ном и Сугиямой с соавторами (см. разд. 2.6 гл. 3), можно полу- получить бесконечную последовательность сферических кодов с фик- фиксированным ф и п-*-оо, содержащих 2сп точек (где с зависит только от ф). Коды Юстесена — простейшие из перечисленных, но для них d/n^. 0.110 ..., поэтому из них получаются сфери- сферические коды только с ф^ 38.73°. Для больших углов следует использовать коды Уэлдона и Сигуямы с соавторами. Проблема контактного числа, в частности, требует ф = 60°, и из кодов Си- Сигуямы с соавторами мы получаем явно конструируемую после- последовательность расположений шаров в R" с контактным числом t__20.oo3n(i+o(i))> E6) (Это не очень хорошо по сравнению с результатом Винера E0), но хотя бы растет экспоненциально по п.) 2.6. Границы для Л (п, ф). Здесь опять имеется неконструктив- неконструктивная нижняя граница [Sha6], [Wynl]: Л (га, ф)^2-п1о8г<81п<">>"+°<1>). E7) (Неравенство E0) — частный случай этого при ф =60°.) В про- противоположном направлении имеется целый ряд границ. Мы нач- начнем с границ, применимых при больших ф, и пойдем вниз. Ран- кин [Ran 4] нашел точное значение для ф ^ 90°: А(п, ф) = 1 при л<ф<2я, E8) А(п, ф) — [ 1 — sec ф] при arcsec (— п) ^ ф ^ п, E9) А(п, ф) = д+1 при — <ф<агсзес(—/г), F0) А(п, я/2) = 2п. F1) Сферические коды, соответствующие F0) и F1), суть вершины соответственно правильного симплекса и правильного обобщен- обобщенного октаэдра. Кроме того, Ранкин показал, что А (п. ф)<(A/2)я/г3созфI/2(л/2зт(ф/2))"пA +оA)). F2)
§ 2. Проблема контактного числа 49 Кокстер [Сох 16] предположил, а Бёрёцки [Вбг 2] доказал, что где sec2а = secср + п — 2, a Fn(a) — функция Шлефли, опреде- определяемая равенством где U — «площадь» правильного сферического симплекса на О.п с углом 2а. Для больших п неравенство F3) сильнее, чем F2), на множитель, стремящийся к 2/е. Для проблемы контактного числа подстановка ср = 60° в F3) дает что не так хорошо, как граница Кабатянского — Левенштейна D9). Кабатянский и Левенштейн [Kab 1] показали также, что для фиксированного угла ср, 0 <С <р < я/2, и больших п 1 i „ , ч *¦ 1 + sin ш < 1 + sin ф 1 — sin ф . 1 — sin ф - log2 А (п, Ф) с$ 2 sjn фф log2 -j^ —_2.iog8-__JL F5) и что для 0 < ф <С ф*. \ log2 А {п, ф) .<С — \ log2 A — cos ф) — 0.0990, F6) где ф* ж 63° определяется как корень некоторого уравнения. При ф = 60° из F6) получается D9). Неравенство F5) и F6) получаются с помощью линейного программирования (см. разд. 3.5(iv) гл. 9). Метод линейного программирования позво- позволяет также получить много хороших оценок А (п, ф) в различных частных случаях (см., например, табл. 1.4 и 9.2). Для cos ф < < l/Vn Дельсарт с соавторами [Del 16] показал, что А (П, ф) < я О - cos Ф) B+ («+!) cos Ф) F7) а Астола [Ast 1] получил оценку А (п, Ф) <С п B.2 + loge A + па)) F8) для cos ф = о (п~2/3), а также неравенство А (л, Ф) ^ A/2) п loge (я cos ф), F9) справедливое, если псоэф неограниченно растет при п->оо. Границы для А (п, ф) с помощью неравенства A<(sin(qj/2))ni4(» + l, ф) для 0<ф<я G0)
50 Гл. 1. Упаковки шаров и контактные числа приводят также к границам для плотности Д упаковки шаров в R" (см. теорему 6 гл. 9). Так, например, D5) выводится на F6) и G0). Проблемы упаковки шаров в гиперболическом пространстве изучались в работах [Bez 1], [Bez3], [Вог 1] [Сох 18, р. 173— 177], [Fej I, p. 325], [Fej 4]-[Fej 7], [Fej 11]. Приложение. Перемещения планет Рассмотрим набор из 12 единичных шаров — планет, касаю- касающихся заданного шара — солнца, расположенных как в fcc-pe- шетке. Мы покажем, что они расположены настолько про- 7 7 (а) (Ь) (с) Рис. 1.7. Как переставлять планеты. сторно, что 12 планет можно переставить произвольным обра- образом, катая их вокруг солнца так, чтобы ни в какой момент они не пересекались. На рис. 1.7 представлен один из способов доказательства этого факта. На рис. 1.7а изображены 12 точек касания с солн- солнцем в начальный момент (когда планеты находятся в вершинах кубооктаэдра fcc-решетки). Этот кубооктаэдр можно вращать во- вокруг центра квадратной грани, получая перестановку я, = @, 10,3, 11)A,9, 4, 2) E, б, 7, 8). Двигая планеты в направлениях, указанных стрелками, их можно непрерывно перевести в икосаэдральное расположение (см. рис. 1.7Ь). (Точное описание этого перемещения можно найти в [Сох20, § 8.4].) Расстояния теперь настолько увели- увеличились, что 12 планет уже не касаются друг друга. В этой кон- конфигурации назовем любую планету, например с номером 1, южным полюсом, а противоположную (с номером 4) — север- северным. Будем считать, что любая другая планета является спут- спутником ближайшего из этих полюсов, как показано на рис. 1.7с. Теперь приблизим каждый спутник к его полярной планете до их касания (в направлении стрелок на рис. 1.7с). Пять спутни-
Приложение. Перемещения планет 51 ков северного полюса можно теперь повернуть вокруг него, по- получая перестановку ^ = C,6,5,9, 10). Другой выбор полюсов даст двенадцать 5-циклов, подобных яг. Мы покажем, что эти двенадцать 5-циклов порождают знако- знакопеременную группу А12. В § 18 гл. 11 показано, что их попар- попарные отношения порождают группу Матье М\2. Поскольку Мц пятикратно транзитивна, в ней имеется элемент, переводящий Яг в любой 5-цикл, но, как хорошо известно, совокупность всех 5-циклов порождает Ai2- Поскольку мы также располагаем не- нечетной перестановкой п\, получаем полную группу S12, что и требовалось. Слабыми возмущениями движений спутников мы можем получить двенадцать 5-циклов, подобных яг (которые порож- порождают Ai2), даже когда радиус планет несколько больше, чем радиус солнца. Мы не знаем, можно ли в этом случае получить всю группу Si2.
Глава 2 Покрытия, решетки и квантизаторы Дж. Конвей, Н. Слоэн Эта глава продолжает обзор основных проблем, мотивиро- мотивировавших появление книги. Сначала мы обсуждаем проблему наи- наилучшего покрытия пространства перекрывающимися шарами — проблему, в известном смысле двойственную к проблеме упа- упаковки. После этого мы вводим язык квадратичных форм, показываем, что на самом деле решетки и квадратичные формы — это одно и то же, и разбираем связь указанных проб- проблем с теорией чисел. Одним из центральных моментов является классификация целочисленных квадратичных форм и решеток. В последнем параграфе мы обсуждаем проблему конструкции хороших квантизаторов или аналого-цифровых преобразовате- преобразователей. По каждой из этих проблем мы резюмируем известные на сегодняшний день результаты. § 1. Проблема покрытия 1.1. Покрытие пространства перекрывающимися шарами. Мы уже познакомились с проблемой упаковки и проблемой кон- контактного числа. Третья основная тема этой книги в каком-то смысле двойственна к проблеме упаковки. Спрашивается, как наиболее экономно покрыть n-мерное евклидово пространство равными перекрывающимися шарами? На рис. 2.1 показаны два различных способа покрытия плоскости перекрывающимися кру- кругами. В случае (а) центры кругов принадлежат квадратной решетке Z2, а в случае (Ь)—гексагональной решетке. Очевидно, что покрытие (Ь) экономнее покрытия (а), поскольку его круги перекрываются в меньшей степени. Чтобы точно выразить это, определим плотность в покрытия так же, как и плотность А упаковки. Пусть имеется расположе- расположение шаров радиуса R, покрывающее R". Если его центры обра- образуют решетку Л, то плотность определяется формулами, анало- аналогичными формулам A0), A1), B0) гл. 1: 0 = среднее число шаров, содержащих точку пространства = объем одного шара VnRn /i\ ~~ (detAI'2 "~ (det ЛI'2 " К)
§ 1. Проблема покрытия 53 (а) (Ь) Рис. 2.1. Покрытия плоскости кругами. На рис. (а) центры кругов образуют квадратную решетку Z2, а на рис. (Ь) — гексагональную решетку. Покрытие (Ь) экономнее, его плотность меньше. Плотность произвольного покрытия определяется так же, как и плотность произвольной упаковки [Rog 7, гл. 1]. Всегда Д^ ^ 1 ^ в. Нормализованная (или центральная) плотность 0 оп- определяется равенством е=тг <2> (ср. формулу B6) гл. 1). Решетчатые покрытия, изображенные на рис. 2.1, имеют соответственно плотности в = я/2= 1.5708... и в = 2я/ЗУз= 1.2092 Проблема покрытия заключается в поиске наиболее эко- экономного покрытия д-мерного пространства шарами, т. е. покры- покрытия с наименьшей плотностью. В 1939 г. Кершнер [Кег 3] показал, что ни при каком рас- расположении кругов нельзя покрыть плоскость экономнее, чем при гексагональном решетчатом покрытии, изображенном на рис. 2.1Ь. Компактное доказательство содержится в работе [Fej 10] (см. также (Aki I), [Aki2]). Но, как и в случае упа- упаковок, в больших размерностях оптимальные покрытия неиз- неизвестны. В размерности три наилучшее известное покрытие, опти- оптимальность которого среди трехмерных решетчатых покрытий
54 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы доказал Бамба [Вам 1],—это объемноцентрированная кубиче- кубическая решетка, упоминавшаяся в разд. 1.4 гл. 1. На первый взгляд это может показаться странным, поскольку плотнейшая решетча- решетчатая упаковка задается другой решеткой — fcc-решеткой. Чтобы понять ситуацию, необходимо глубже заглянуть в структуру этих решеток и ввести некоторые дополнительные понятия. 1.2. Радиус покрытия и многогранники Вороного. Рассмот- Рассмотрим дискретный набор точек ^={Pi, Р2, ... } в R". Наимень- Наименьшая верхняя граница для расстояния от произвольной точки из R" до ближайшей точки Pt называется радиусом покрытия 0* и обычно обозначается R. Таким образом, /?= sup inf dist(x, Р). C) (Если такой верхней границы не существует, то мы полагаем R = оо.) Шары радиуса R с центрами в точках из 0* покры- покрывают R", а шары никакого меньшего радиуса не покрывают. Вокруг каждой точки Р,е^> расположен ее многогранник Вороного V(Pt), состоящий из точек пространства R", которые по меньшей мере так же близки к Р,-, как к любой другой точке Р/. Таким образом, V-{Pt) = {ie R": dist(x, P«)<dist(x, Pt) для всех /}. D) Если представлять себе Pi, P2, ... как школы, то многогран- многогранники Вороного — это относящиеся к ним участки!') Много- Многогранники Вороного называют также областями Дирихле, зо- зонами Бриллюэна или ячейками Вигнера — Зейтца (два послед- последних термина употребляют физики). Многогранники Вороного гексагональной решетки, например, — это правильные шести- шестиугольники, изображенные на рис. 1.3с. Многогранники Вороного многих других решеток описаны в гл. 4 и 21. Внутренности многогранников Вороного не пересекаются, но у них имеются общие грани. Каждая грань лежит в гиперпло- гиперплоскости, равноудаленной от двух соседних точек Pi. Многогран- Многогранники Вороного—это выпуклые многогранники, объединение ко- которых совпадает со всем R". (Верно, хотя и не вполне очевидно, что пересечение двух примыкающих друг к другу многогран- многогранников Вороного является полной гранью каждого из них.) Если & — это решетка Л, то все многогранники Вороного конг- конгруэнтны и объем каждого из них равен (det ЛI/2. ') Предполагается, что разделение на участки произведено так, чтобы каждый школьник ходил в ближайшую к дому школу. — Прим. перев.
§ 1. Проблема покрытия 55 Вершины многогранников Вороного представляют особый интерес. Среди них находятся точки пространства R", расстоя- расстояние от которых до & реализует локальный максимум функции расстояния, — эти точки называются дырами набора ^ (ср. рис. 1.3d). Точка, расстояние от которой до & реализует гло- глобальный максимум, называется глубокой дырой набора !Р, рас- расстояние от нее до SP равно радиусу покрытия R. (Ученикам, живущим в глубоких дырах, дальше всего идти до школы.) Дыры, не являющиеся глубокими, называются мелкими. Глубо- Глубокие дыры гексагональной решетки — это точки, отмеченные бук- буквами & и с на рис. 1.3Ь. Для этой решетки /J = 2р/-\/3, где р — радиус упаковки. Если {р — решетка, то все вершины соответ- соответствующих многогранников Вороного являются дырами, в об- общем же случае это не так. Для решетчатой упаковки Л, многогранники Вороного ко- которой конгруэнтны многограннику V, радиус упаковки р совпа- совпадает с вписанным радиусом (радиусом наибольшей вписанной сферы), а радиус покрытия — с описанным радиусом (радиусом наименьшей описанной сферы). Теперь видна разница между проблемой упаковки и проблемой покрытия. Для получения хо- хорошей упаковки мы хотим максимизировать р, т. е. выбрать центры шаров так, чтобы вписанный радиус многогранника Во- Вороного был возможно больше (для нерешетчатой упаковки мы рассматриваем наименьший из вписанных радиусов всех много- многогранников Вороного). С другой стороны, для получения хоро- хорошего покрытия мы хотим минимизировать R, т. е. выбрать центры так, чтобы описанный радиус многогранников Вороного был возможно меньше (для нерешетчатого покрытия мы рас- рассматриваем наибольший из описанных радиусов всех многогран- многогранников Вороного). Вернемся к трехмерной проблеме. Многогранник Вороного для fcc-решетки — это ромбододекаэдр (рис. 2.2а), один из по- полуправильных многогранников [Сип 1, р. 114], [Fej9], [Hoi 1], [Loe 1, p. 42], [Wei 4, p. 73]. Если мы выберем масштаб таким образом, чтобы детерминант решетки равнялся 1 (и, следова- следовательно, объем многогранника Вороного также равнялся 1), то вписанный и описанный радиусы многогранников Вороного равны р = 2-5'6 = 0.5612 ... и R = 2~1'3 = 0.7937 ... соответ- соответственно. С другой стороны, многогранник Вороного Ьсс-ре- шетки — это усеченный октаэдр (рис. 2.2Ь), один из многогран- многогранников Архимеда [Сип 1, р. 98], [Fej9], [Holl], [Loe I, p. 129], [Wei 4, р. 73], [Wen I, p. 21]. Если масштаб выбран так, чтобы эта решетка имела детерминант 1, то р — 2~5/331/2 = 0,5456 ... и R = 2~Ъ/ЪЪ112 = 0.7043 .... Итак, хотя fcc-решетка является лучшей упаковкой, bcc-решетка оказывается лучшим покрытием.
56 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы @00 (а) A00) A/2 1/2 1/2) (-1/2 1/2 1/2) @10) (Ь) @0-1) Рис. 2.2. (а) Ромбододекаэдр с центром в начале координат, вида (±1/2, ±1/2, ±1/2). (Ь) для bcc-решетки) с центром в (±1, ±1/2, 0). Например, а = d = A, 1/2, 0), е= A, 0, 1/ (многогранник Вороного для fcc-решетки) У него 6 вершин вида (±1,0,0) и 8 вершин Усеченный октаэдр (многогранник Вороного начале координат. У него 24 вершины вида : @,1/2, 1), 6 = @, 1, 1/2), с ==A/2, 1, 0), 2), f = A/2, 0, 1), g= @, -1/2, 1), Л== = (-1/2, 0, 1). Между этими решетками имеется еще одно различие. В Ьсс-ре- шетке, как и в плоской гексагональной решетке, имеется лишь один тип дыр (все дыры глубокие), а в fcc-решетке — два типа дыр (мелкие и глубокие). См. рис. 2.2, а также разд. 6.3 и 6.7 гл. 4. Это явление особенно впечатляет в случае решетки Лича, имеющей 23 типа глубоких дыр и 284 типа мелких (гл. 23 и гл. 25). С многогранником Вороного V(Pt) точки Pi связано еще два важных понятия. Нормализованный второй момент для V(Pi) определяется равенством \ \\x-Ptfdx. \ v(pi) Если точки Pi образуют решетку Л, то G обозначается также G(A). С точностью до масштабных множителей G равно сред- среднеквадратичному расстоянию, которое ребенок, живущий в V(Pt), должен пройти до школы. (Второй масштабный множи- множитель превращает G в безразмерную величину.) Величина G появляется в конструкции Дэвенпорта экономных покрытий (разд. 1.3), при изучении квантизаторов (разд. 3.2) и в дру- других приложениях.
§ 1. Проблема покрытия 57 Точки Pi\, ..., Р,г, такие, что гиперплоскость между Р,- и Pif содержит грань многогранника V(P<) положительной пло- площади, называются релевантными по Вороному (или просто ре- релевантными) для Pi. В действительности именно эти точки нужны для определения многогранника Вороного. Для решетки Л релевантные (по Вороному) векторы меА — это векторы, ре- релевантные для начала координат, т. е. точки решетки, необхо- необходимые для определения V(Q). Многогранники Вороного рассматриваются в следующих работах: [Aki I], [Aki2], [Ash3], [Bar 9], [Cha2], [Con 28], [Con 38], [Dirl], [Edel], [Fej9], [Howl], [Jon 4], [Kell], [Kit4], [Kocl], [Lan2], [Loel], [Maul], [Pre2], [Shu3], [Ven5], [Vor 1], [Wan 1], [Wigl]. Алгоритмы вычисления мно- многогранников Вороного упоминаются в разд. 1.4. Прежде чем завершить этот раздел, введем области Делоне, связанные с точками из 1?. Область Делоне определяется для каждой вершины многогранника Вороного; это многогран- многогранник, являющийся выпуклой оболочкой точек из &, ближай- ближайших к данной вершине ([Сох26], [DelO], [Dell], [GalO], [Rog7]). Области Делоне образуют разбиение пространства R" на вы- выпуклые части, в каком-то смысле двойственное к разбиению на многогранники Вороного. Рассмотрим, например, множество 0>, обозначенное кружочками на рис. 2.3. Многогранники Воро- Вороного— это треугольники вида XYZ; имеются два типа областей Делоые: квадраты с центрами в мелких дырах, таких, как А, и восьмиугольники с центрами в глубоких дырах, таких, как В. В fcc-решетке области Делоне образуют мозаику из пере- перемежающихся тетраэдров и октаэдров. Для bcc-решетки все об- области Делоне — усеченные октаэдры. 1.3. Проблема покрытия: сводка результатов. В этом разделе мы приводим сводку известных фактов по проблеме покрытия (см. табл. 1.1, табл. 2.1 и рис. 2.4). Как уже упоминалось в разд. 1.1, наиболее экономные покрытия известны лишь в раз- размерностях 1 и 2. Наиболее экономные решетчатые покрытия из- известны в размерностях от 1 до 5, и во всех этих случаях опти- оптимальной решеткой является решетка А*„ (двойственная к Ап, иногда ее называют главной решеткой Вороного первого типа, см. разд. 6.6 гл. 4). Этот результат для п = 3 получен Бамбой в 1954 г. [Ват 1], для п = 4 Делоне и Рышковым в 1963 г. Del 4], для п = 5 Рышковым и Барановским в 1975 г. [Rys 12], Rysl3]. (См. также [Ват 2], [Bat 5], [Bar 14], [Blel], Del 2], [Die 4] —[Die 6], [Few 1], [Gaml], [Gam2], [Kaul], Woo lj.)
58 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы Покрытие, ассоциированное с Ап, имеет плотность E) и в размерностях п ^ 23 не известно никакого более эконом- экономного покрытия1). (Поразительно, что решетка А\ св=3.6658... экономнее, чем Е8 с ©=4.0587 ... .) Однако Л24 имеет плот- плотность около 63.269, что хуже, чем плотность решетки Лича Рис. 2.3. Для точек упаковки &, обозначенных маленькими кружочками, об- области Делоне являются квадратами (А) или восьмиугольниками (В); много- многогранники Вороного являются треугольниками (например, XYZ). равная приблизительно 7.9035. (См. § 11 гл. 4 и [Con 20] = = гл. 23.) В размерности 3 решетка А\ задает не только плотнейшее решетчатое покрытие, но и локально оптимальное решетчатое покрытие2). Т. Дж. Диксон [Die5] обнаружил, что в R4 имеют- ') Сейчас известно, что покрытия Л22 и Л23 лучше, чем А22 и A23[Smi 14]. Имеются также другие улучшения табл. 2.1 и рис. 2.4 в размерностях, чуть меньших 24. 2) Решетчатое покрытие (соответственно упаковка) LaRn называется локально оптимальным, если при любом малом шевелении базиса решетки L получается менее экономное покрытие (соответственно менее плотная упа- упаковка) , чем исходное. — Прим. перев.
§ L Проблема покрытия 59 ся в точности три локально оптимальных решетчатых покрытия: А\ и решетки с матрицами Грама DLa: DU: F) где а ==E — УТз)/2, р « 0.544 и^« 0.499 являются корнями некоторых многочленов. В размерностях п = 5, 7, 9 ... Барнс и 7 6 5 2 1 0 - - - til! >У\| у W/} r/Z / / A—ГРАНИЦА / / / КОКСТЕРА-ФЬЮ- / // РОДЖЕРСА{16) //Ml 1 t t 1 1 I 1 I 1 I 1 1 1 I 1 I 1 о 2 4 е в ю 1г iv 16 ia го ггг4 26 28 30 РАЗМЕРНОСТЬ Рис. 2.4. Плотность различных решетчатых покрытий в размерностях п ^ 24. Значения для решеток от Л13 до Л^ и от Л17 до Кы являются оценками снизу. (Они вычисляются с использованием радиуса подпокрытия, см. гл. 6). Тренерри [Ваг 17] нашли локально оптимальные решетчатые покрытия, лишь немного уступающие А*„. В табл. 2.1 и на рис. 2.4 приведены наиболее экономные известные покрытия в размерностях п ^ 24, а также плотности покрытия для ряда других интересных решеток. Приводимая нижняя граница
60 Гл. 2. Покрытия, решетки и квйнтизаторы Таблица 2.1. Покрытия в размерностях до 24 п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22. 23 24 Наименование покрытия Ло A' = Z А'г =А2 A,-D3 А\ Diu, DUa At A'i ВТЬ D's »5 A% Al #i. A' BT-, ?' D" Al Es Dl A', ВТ, Dl A io An An Kn An A\t А\ь A\e Аи An A',, A 20 -421 А'гг А'гг Л 24 -42*4 Плотность 0 1 I 1.2092 1.4635 2.0944 1.7655 1.89 1.93 2.4674 3.1780 2.1243 2.2301 2.4982 4.5977 5.9218 2.5511 4.3603 3.0596 3.2441 4.1872' 1 4.5687 3.6658 4.0587 8.1174 4.3889 .4.6569 8.6662 5.2517 6.2813 7.5101 17.7834 8.9768 10.727 12.817 15.311 18.288 21.841 26.082 31.143 37.185 44.395 53.000 7.9035 63.269 Центральная плотность в достигнутая 1 0.5 0.3849 0.3494 0.5 0.3578 0.382 0.391 0.5 0.644 0.4036 0.4237 0.4746 0.8735 1.125- 0.4937 0.8437 0.6476 0.6865 0.8862 0.9670 0.9032 1 2 1.331 1.412 2.627 2.059 3.334 5.624 13.318 9.858 17.90 33.60 65.06 i 29.7 265.9 559.4 1207 2666 6023 13908 4096 32789 граница 1 0.5 0.3849 0.3419 0.3360 0.3581 0.4087 0.4949 0.6319 0.8460 1.183 1.721 2.597 4.055 6.537 10.86 18.56 32.57 58.63 108.1 204.0 393.5 775.2 1558 3193
§ 1. Проблема покрытия 61 плотности покрытия — это граница Кокстера — Фью — Роджерса A6), вычисленная с помощью A7) и неравенства D0) гл. 1. Во всех размерностях п = 24/ + tn ^ 24 (где 0 ^ m ^ 23) решетка Л24фЛ24ф ... ф Л24фЛ^ — прямая сумма / экземп- экземпляров Л24 и А*т — имеет плотность (Г) и это покрытие экономнее, чем А„ [ВатЗ]. Еще более эконом- экономные покрытия для п J5* 25 приведены в [Con 43]. Однако ука- указанные покрытия имеют тот недостаток, что при л-э-оо —¦ log2 9 ~ log2 д/-^- = 0.2546 .... (8) В 1952 г. Дэвенпорт [Dav 2] обнаружил метод, приводящий при больших п к еще более экономным покрытиям. Конструк- Конструкцию Дэвенпорта можно описать следующим образом. Начнем м г'м м 0 0 м Г'М г'м Рис. 2.5. Конструкция Дэвенпорта экономных решетчатых покрытий. Эти ре- решетки содержат прямую сумму т экземпляров первоначальной решетки Л с порождающей матрицей М. с фиксированной й-мерной решетки Л с порождающей матрицей М, и построим йт-мерную решетку 3? с порождающей матри- матрицей, приведенной на рис. 2.5. Дэвенпорт показал, что если / и т велики, то плотность i? ограничена сверху величиной, почти не зависящей от /. Для фиксированного (большого) I и ш, плотность & удовлетворяет неравенству -^log2Q- log2 (9)
62 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы где G(A) было определено в разд. 1.2. Если Л = 7, то G(A) = = 1/12 (см. ниже равенство (88)) и (9) превращается в (8). Дэвенпорт взял А = Ак, вычислил G(Ak) (см. равенство B6) гл. 21) и обнаружил, что оно достигает минимума при k = 8. Этим путем получаются решетки 9? с \ log2e^ 0.2012 .... A0) Рышков [Rys 1] показал, что решетки, получаемые конструк- конструкцией Дэвенпорта (при Л = Лг), дают более экономные покры- покрытия, чем Л* для всех п ^ 200. Ватсон [Wat 2] использовал Л =?8 и получил 4-log26^0.1460 ... A1) (вычисление Ватсона величины G(?8) не вполне согласуется со значением 929/12960, приводимым в гл. 21, но расхождение столь невелико, что оно не влияет на A1)). Наконец, беря в качестве Л решетку Лича Л24 и используя нашу численную оценку [Con 38] G (Л24) = 0.065771 ± 0.000074, A2) мы получаем покрытия с плотностью 4-log2 6^0.084.... A3) По-видимому, это наиболее экономные из известных покрытий. С другой стороны, эти покрытия очень плохи по сравнению с теоремами существования. Так, в работе [Rog3] Роджерс по- показал, что существуют решетчатые покрытия с в <en (Inn)" A4) для некоторой константы с, где a = (l/2)log2Bne), а в работе [Rog 1] он доказал, что имеются (быть может, нерешетчатые) покрытия с e 5ra A5) для п^З (см. также [Erd2], [Grill], [Rog7]). Как обычно, эти результаты неконструктивны в смысле, объясненном в гл. 1. С другой стороны, Кокстер, Фью и Роджерс [Сох 26] пока- показали, что любое n-мерное покрытие удовлетворяет неравенству е>т„. A6) Это неравенство — пара к неравенству C9) гл. 1. Пусть, как и там, 5 — правильный симплекс с ребром 2. Шары радиуса Bп/(п + 1)I/2 с центрами в его вершинах как раз покрывают
§ 1. Проблема покрытия 63 S, и хп определяется как отношение суммы объемов пересече- пересечений этих шаров с 5 к объему всего S. Таким образом, п/2 °п~ A7) %=¦ при «->оо. A8) eye Итак, из A5) — A8) следует, что плотность наиболее эконом- экономного покрытия удовлетворяет неравенствам —V^6<«Inrt + «InInn + 5rt. A9) eye Замечания, (i) Эти границы гораздо ближе друг к другу, чем соответствующие границы для упаковок (см. неравенство D6) гл. 1); с другой стороны, наилучшие известные конструк- конструкции дальше от этих границ, (ii) Мы не знаем примеров нере- нерешетчатых покрытий, которые были бы экономнее наилучших решетчатых, (ш) Можно также рассматривать проблему по- покрытия сферы Qn (по аналогии с разд. 2.3 гл. 1). Некоторые результаты приведены в работах [Fej 1, р. 325], [Rog6], [Wyn 2], но в целом по этой проблеме мало что известно, (iv) Конструкцию Дэвенпорта можно приспособить для полу- получения двоичных кодов с малым радиусом покрытия [Gra4]. 1.4. Вычислительные трудности в упаковках и покрытиях. Если задана порождающая матрица n-мерной решетки Л, то мы можем вычислить детерминант Л из уравнения D) гл. 1. Все же прочее уже сложно! Для произвольной решетки Л наилуч- наилучшие известные алгоритмы вычисления как радиуса упаковки р, так и радиуса покрытия R требуют экспоненциально расту- растущего с п числа шагов ([Die I], [Fin 1], [HeI3], [Hel4], [Kan 2], [Pohl]). Известно, что задача вычисления радиуса покрытия лежит в классе NP-полных задач [Emdl], и гипотетически за- задача вычисления радиуса упаковки также лежит в этом клас- классе1). Доводом в пользу этой гипотезы является то, что некото- ') Грубо говоря, зависящая от параметра вычислительная задача от- относится к классу Р, если ее можно решить за полиномиальное (от этого параметра) время, и к классу NP, если за полиномиальное время можно проверить, является ли угаданный ответ правильным. Большинство реально встречающихся задач, решаемых за экспоненциальное время, принадлежит к классу NP. Основной проблемой теории сложности вычислений является вопрос о совпадении этих классов (гипотетически ответ отрицательный). Задача называется NP-полной, если из наличия у нее полиномиального ре- решения следует совпадение классов Р и NP, т. е. если решение любой NP-задачи сводится (за полиномиальное время) к решению данной задачи. — Прим. перев.
64 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы рые тесно связанные задачи из теории кодирования действи- действительно являются NP-полными [Вег 8]. Известно, что задача вы- вычисления радиуса покрытия кода также NP-полна [McL2]. Ленстра, Ленстра и Ловас [Len 1] описали алгоритм (так называемый LLL-алгоритм), который находит векторы решетки сравнительно небольшой длины за число шагов, растущее, как полиномиальная функция от п. Кратчайшие векторы Л имеют длину 2р; LLL-алгоритм находит векторы решетки, длина кото- которых заведомо ^ 2(га+1)/2р. Для скромных значений п этот алго- алгоритм находит гораздо более короткие векторы и зачастую обна- обнаруживает кратчайший вектор. Он использовался для решеток размерности порядка 100 в связи с задачей дешифровки некото- некоторых шифровальных схем [Lag 4], [Odl4]. На самом деле LLL- алгоритм превращает заданный базис решетки в приведенный базис. Один из векторов приведенного базиса и является корот- коротким вектором решетки. Известно много других алгоритмов при- приведения; классический алгоритм Минковского кратко описан в разд. 10.1 гл. 15. Алгоритмы приведения обсуждаются в рабо- работах [Aff 1], [Bab 1J, [Bar И] —[Bar 13], [Die7], [Donl], [Gru 1], [Hel3], [Hel4], [Lag3], [Mini], [Novl], [Rys2], [Rys3], [Rys8], [Rysl4], [Sch4], [Sto 1], [Tam 1] — [Tarn 4], [Wae3], [Wae5]. (Для трехмерных решеток см. также ссылки на ра- работы по кристаллографии в конце этого раздела.) Бабаи [Bab 1] показал, что LLL-алгоритм можно использовать для вычисления верхней границы для радиуса покрытия, которая ^ ZnR. Конечно же, не существует практически пригодного алго- алгоритма, позволяющего найти наилучшую решетчатую упаковку или покрытие в заданной размерности. Другие алгоритмы, свя- связанные с классификацией решеток и квадратичных форм, об- обсуждаются в § 11 гл. 15. Положение улучшается, когда решетки имеют какую-либо алгебраическую структуру. Для решеток корней (см. § 2 гл.4) и некоторых связанных с ними решеток в гл. 21 мы вычислим точное значение R и найдем многогранники Вороного. В ряде других частных случаев R можно найти методом Нортона ([Nor 4] s* гл. 22, [Con 37], [Con 38], [Con 43]). Если п мало, то можно пытаться сначала найти многогранники Вороного, а за- затем вычислить R как" расстояние от самой далекой вершины многогранника Вороного до решетки. Алгоритмы вычисления многогранника Вороного произвольно- произвольного множества точек описаны в работах [Aki2], [Bow 2], [ВгоЗ], [Devi], [Dev2], [Fin 5], [Leel], [Pre2], [Sei4], [Wat 1]. В работах [Con 29] а; гл. 20, [Con 35], [Con 38], [Con 40], [For 2] описаны алгоритмы, позволяющие для достаточно хо- хороших решеток устанавливать, какому многограннику Вороного
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 65» принадлежит произвольная заданная точка х е R™, т. е. позво- позволяющие найти ближайшую к х точку решетки. Такие алгоритмы важны для приложений, описанных ниже в § 3 и в § 1 гл. 3. Имеется много алгоритмов, используемых в кристаллографии для описания периодических структур в размерности три, см., например, [Ahml], [Burl], [Bur 2], [Fer 1], [Hal 5], [Кос 2]„ [Patl], [Sanl], [Say2], [Zim2]. См. также [Coh4a], [Spel]. § 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 2.1. Норма вектора. Изучая векторы решетки х = (хи ..., лл)еЛ, обычно удобнее работать не с длиной, а с квад- квадратом длины или нормой. Она обозначается N (х) = х • х = (х, х) — ? xl Минимальный квадрат расстояния между различными векто- векторами решетки, или, проще говоря, минимальная норма решетки Л, — это min {N (х — у):х,у<=А,хфу}= B0) = min {N (х): х е= Л, хфО}. B1) Если минимальная норма равна ц, то радиус упаковки равен B2) Формулы B0) и B1) являются эквивалентными определениями минимальной нормы решетки, поскольку если х и у — два раз- различных вектора из Л, то х' — х — у — ненулевой вектор из Л. Формулы B0) и B2), но не B1) подходят также и для нере- нерешетчатых упаковок. 2.2. Квадратичные формы, связанные с решеткой. Квадра- Квадратичные формы предоставляют другой язык для работы с ре- решетками, особенно полезный при изучении их арифметических свойств. В этом разделе мы покажем, как квадратичные формы и решетки связаны между собой. Некоторые моменты мы об- обсуждаем в больших подробностях, и читатель может захотеть сразу перейти к § 3, где мы разбираем проблему квантизации. Классификация квадратичных форм и решеток кратко обсуж- обсуждается в разд. 2.4; в гл. 15—18 мы поговорим о ней значительно подробнее. Пусть Л — решетка в n-мерном пространстве ,R", имеющая базис v\, ..., vn (векторы v\, ..., vn суть строки порождаю- порождающей матрицы М). Общий вектор решетки х — (х\, ..., л,)еЛ
66 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы может быть записан (см. формулу B) гл. 1) как * = iio,+ ••• +1Л = |М, B3) где ?<— целые числа и ? = (?ь ..., ?п). Норма этого вектора равна t t B4) где А = ММТ — матрица Грама решетки Л. Рассмотренная как функция от п целочисленных переменных |ь ••¦, in функция f(l) является квадратичной формой, связанной с решеткой. Так, например, из матрицы Грама, заданной формулой G) гл. 1, мы получаем одну из квадратичных форм, связанных с гексагональной решеткой: Щ + 1&+Щ. B5) n-мерная кубическая решетка Z" (см. § 5 гл. 4) имеет порож- порождающую матрицу /„ (единичную матрицу), и соответствующая квадратичная форма равна Щ + Щ+ ... +Ц. B6) Иногда удобнее записывать вектор решетки в ^-координатах (\и ..., In) вместо ^-координат. Например, если мы начинаем с квадратичной формы f, то можем определить решетку, пола- полагая норму (|ь ..., In) равной f(|). (Или же можно разложить А в произведение ММТ и использовать М в качестве порождаю- порождающей матрицы.) Напомним, что конгруэнтные решетки связаны между собой равенствами B2) и B3) гл. 1, причем с = 1 и det?/=±l. Квадратичные формы, соответствующие конгруэнтным решет- решеткам, называются целочисленно эквивалентными. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между классами конгруэнтных решеток и классами целочисленно эквивалентных квадратичных форм. Например, векторы v\ и и2 на рис. 2.6а, а также векторы w\ и w2 на рис. 2.6Ь порождают решетки, конгруэнтные гексагональной решетке рис. 1.3а. Матрицы Гра- Грама этих базисов суть соответственно / 1 -1/2\ / 3 3/2\ 1-1/2 1 ) И U/2 1 )' а соответствующие квадратичные формы &?-?& + ?! и 35?+ 31,1, + ^ B7) целочисленно эквивалентны друг другу и форме B5).
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 67 Если Л — решетка полного ранга, т. е. решетка в п-мерном пространстве, порожденная п линейно независимыми векторами, то матрица М имеет ранг п, А — положительно определенная матрица и соответствующая квадратичная форма называется положительно определенной. v2 о -*о W, о о о о о (а) (Ь) Рис. 2.6. Два конгруэнтных варианта гексагональной решетки. Неопределенные квадратичные формы (такие, что мат- матрица А является неопределенной) также можно изучать с по- помощью решеток, но уже не в евклидовом пространстве 'Rn. Один из наиболее интересных случаев — случай, когда А имеет сиг- сигнатуру (п—1,1), так что соответствующая решетка лежит в гиперболическом пространстве. Мы обсудим эту тему подроб- подробнее в гл. 15, 16 и 27. В свете эквивалентности между решетками и квадратичными формами все геометрические проблемы, обсуждавшиеся в гл. 1 и 2, могут быть переформулированы в терминах квадратичных форм. Например, нахождение минимальной нормы решетки эк- эквивалентно нахождению минимального значения f(Q по всем целочисленным | ф 0, так называемого однородного минимума квадратичной формы [Cas 2]. Аналогично, неоднородный мини- минимум формы является квадратом радиуса покрытия решетки. Ло- Локально оптимальная решетчатая упаковка, т. е. решетка Л, плотность А которой не возрастает при слабых возмущениях, соответствует экстремальной форме ([Вас 2], [Ваг 4], [Ваг 6] — [Ваг 10], [Con 42], [Сох 10], [Кпе2], [Rysl5]). Нам известны все экстремальные формы от не более чем 6 переменных ([Ваг6], [Ваг7], [Hof 1]). Экстремальные формы от 7 перемен- переменных изучались в работах [Ваг 9]. [Con 42], [Larl], [Scol], [Sco2], [Shu 4], [Stal], [Sta 2]. Квадратичная форма, соответ- соответствующая плотнейшей решетчатой упаковке, называется абсо- абсолютно экстремальной. Результаты, описанные в разд. 1.5 гл. 1, показывают, что нам известны абсолютно экстремальные формы при п =^: 8.
68 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы Значительная часть исследований по решеткам проводилась на языке квадратичных форм. Однако в этой книге мы пред- предпочитаем изучать решетки геометрически, поскольку выбор спе- специального множества базисных векторов зачастую произволен и скрывает симметрию ситуации. Например, простейшая квад- квадратичная форма для решетки Es имеет вид ?2_?? 4-62 — ?? 4-Z2 — It 4-Z2 — II 4- Ц-1& + Ц B8) и получается из базиса, приведенного на рис. 4.7 гл. 4. Опреде- Определение, задаваемое формулой (97) гл. 4, демонстрирует куда большую часть симметрии этой решетки. Несмотря на это, квадратичные формы важны для изучения ряда аспектов теории решеток; на эту тему имеется обширная литература, см. ссылки в § 1 гл. 15. Как мы сейчас покажем, квадратичные формы особенно полезны для изучения арифмети- арифметических свойств решеток. 2.3. Тэта-ряды и связи с теорией чисел. Имеется очень старая задача о числе способов представления целого числа m в виде суммы четырех квадратов, или, иными словами, о числе четве- четверок целых чисел (х\, х2, х3, х±), таких, что x\ + x\ + xl + x\ = m. B9) Например, при m = 2 имеется 24 решения, состоящие из всевоз- всевозможных перестановок набора (±1, ±1, 0, 0). (Договоримся считать решения 2 = I2 + 12 + 02 + 02, 2 = 12 + (— IJ + 02 + + О2, 2 = I2 + О2 + I2 + О2 и т. д. различными.) Имеется красивая переформулировка этой задачи в терми- терминах решеток. Для любой решетки Л пусть Nm равно числу век- векторов хеА с нормой т, т. е. с х-х — т. Из B4) видно, что Nm также является числом целочисленных векторов, таких, что U$T = m, C0) или, иными словами, числом способов, которым квадратичная форма, соответствующая Л, представляет число т. Уравнение C0) является примером диофантова уравнения степени 2 [Мог 6]. Далее, форма х\ + х\ + х\ + х\ — это квадратичная форма, связанная с четырехмерной кубической решеткой Z4. Таким образом, число способов записи m в виде суммы четырех квадратов равно числу векторов с нормой m в решетке Z4.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 69 Вычисление чисел Nm облегчается введением тэта-ряда (или тэта-функции) решетки Л, который определяется как вАB)= Z <f* = C1) х бЛ = ? Nmqm, C2) где <? = еШг. Для многих целей достаточно рассматривать вд как формальный ряд от неизвестной q, но для более глубоких исследований следует полагать q=^etliz, где z— комплексная переменная. В этом случае, как легко видеть, ®\{z) является голоморфной функцией от z при lmz^O (Gun I, p. 71], [Ser 1, с. 179]). Формулу C1) можно использовать и для определения тэта- ряда нерешетчатой упаковки Л. Наиболее привычный пример такого рода возникает, когда в качестве Л берется сдвиг ре- решетки или же объединение нескольких сдвигов (см., например, формулу C5)). Для периодической упаковки 53, состоящей из объединения, скажем, 5 сдвигов И/ + Л, /=1, ..., s, решетки Л (ср. с формулой A3) гл. 1), определим усреднен- .ный тэта-ряд Е ^'(х+игЧ)= х<=л J] /(-""*) C3) [Odl 6]. Если 0* инвариантна относительно расстояния (ср. [Мае 6, с. 49]), т. е. обладает тем свойством, что число точек ?Р на любом данном расстоянии d от х е!? не зависит от х, то . C4) Например, тэта-ряд решетки целых чисел Z равен () S 7 7 7 ^ 7 т= — сю г. е. является тэта-функцией Якоби 03(z) (см. разд. 4.1 гл. 4). Сдвиг lf ,1 11,1
70 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы имеет тэта-ряд оо ez+1/2B)= ? <71+1/2)г = 2<71'4 + 2<79/4 + 2<725'4 + ..., C5) т. е. является тэта-функцией Якоби 62B). Теперь видно одно из преимуществ использования нормы N(x) — х-х в равенстве C1). Поскольку #((л;,,.. .,*„)) = jcJ+. • • ... + х% = N (*,) + ... + N (хп), получаем вгп = Вг(г)я = ва[г)а. Поэтому ответ на задачу, сформулированную в самом начале этого раздела, есть просто коэффициент при qm в разложении 0з (zL по степеням q. Чтобы получить тэта-ряд решетки Dn (состоящей из точек в Z", сумма координат которых четна, см. разд. 7.1 гл. 4), вве- введем тэта-функцию 84. Можно представить себе, что функции 8з и 6г получаются при приписывании единичных масс соответ- соответственно целым и полуцелым точкам на вещественной оси. Чтобы получить 04, припишем массу +1 четным числам и —1 нечетным, или, формально, положим в4(г)= t (-?Га=1-2<7 + 2<74-2?9 + 2?16- _ > C6) т= — оо Тогда ^ гп. C7) Мы не удержимся и приведем еще два примера. Нетрудно по- показать, что сдвиг A/2, ..., 1/2) + ?>/, имеет тэта-ряд (\/2)Q2{z)n. Упаковка Я? = Л, U @/2 1/2) +ДО C8) — это алмазная (diamond) упаковка в размерности три и ре- решетка Е& в размерности восемь. (См. разд. 7.3 гл. 4. Упаковка Dt является решеткой тогда и только тогда, когда п четно; Dt конгруэнтна Z4.) Итак, мы получаем весьма привлекатель- привлекательные формула [Slo 17] Gdiamond (Z) = у {Э2 (Zf + 63 BK + 84 (гK}, C9) вя8 B) = | {б2 B)8 + е3 (zf + е4 B)8}. D0) В последующих главах появится много других тэта-рядов. В разд. 6.2 гл. 4 мы вычислим тэта-ряд гексагональной ре- решетки, чтобы проиллюстрировать один общий метод получения тэта-рядов из квадратичных форм. Более общей тэта-функцией, включающей в качестве частных случаев б2, 63 и Э4, является
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 71 тэта-функция Якоби 0з(?|г) (см. формулу F) гл. 4). Однако •с большинством решеток, с которыми мы встретимся, можно работать, используя Э2, Эз, 04 и другие более простые функции, ¦определяемые в разд. 4.1 гл. 4. Мы знаем, что тэта-ряд решетки несет информацию о ра- радиусе упаковки р, контактном числе т и плотности Д, так как eA(z)=l + T<740f+ .... D1) A=Hm(p/r)" ? Nm. D2) г->оо .Мы также можем получить тэта-ряд двойственной решетки Л* лростой подстановкой: eA.B) = (detA)'/2(f)"/2eA (-у), D3) «м. формулу A9) гл. 4. Это первый случай, когда нам прихо- приходится использовать переменную г, а не q. Имеется также обоб- обобщение формулы D3) на случай нерешетчатых упаковок, яв- являющихся объединением сдвигов некоторой решетки [Odl 6]. Две иллюстрирующие это ситуации содержатся в примере 6 гл. 7. Истинные значения тэта-рядов играют важную роль также в химии (например, при вычислении константы Маделунга, см. [Вогб], [Gel 2], [GIa7], [Gla8], [Zucl]) и в теории связи. Если решетка используется как код для определенного гауссова ¦канала, то вероятность ошибки может быть оценена через зна- значение вЛ(<?) при некотором специальном выборе q; см. фор- формулу C5) гл. 3. Решетка определяет тэта-ряд, но не наоборот. Витт [Wit 4] заметил, что в размерности 16 неэквивалентные унимодуляр- ные решетки Die и ES®ES имеют совпадающие тэта-ряды. Зто легко проверить, причем эта проверка позволяет увидеть, как теория решеток приводит к доказательству равенства ме- между тэта-функциями. Прежде всего заметим, что, поскольку ре- решетка Dt конгруэнтна Z4, имеется равенство A/2)@2(гL+ 4- е3BL + 04BL) = е3BL, т. е. e3(zL = e2(zL + e4(z)\ D4) Нам надо показать, что тэта-ряды ?>,+ и Ел@Ей совпадают, т. е. что ¦i @2 (г)'6 + 03 (гI6 + 04 (г)'6) = 1 @2 (г)8 + 03 (г)8 + 04 (г)8J (ввиду C7) — D0)). Эта же формула сразу получается исклю- исключением 0з(г:) с использованием D4) и разложением обеих ее частей по степеням q.
72 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы Аналогично этому Кнезер [Кпе 5] заметил, что неэквива- неэквивалентные решетки D\2 и Di®E& имеют детерминант 4 и их тэта-ряды совпадают. (Это тождество также сразу следует из D4).) Позднее Китаока [Kit2] привел пример двух 8-мерных решеток детерминанта 81 с совпадающими тэта-рядами, и сей- сейчас, кроме того, известны такие примеры в размерности 4 [Ear 6]. В размерности 2, с другой стороны, тэта-ряд одно- однозначно определяет решетку (см., например, [Wat 14]). (С этим также связаны работы [Hsi5], [Hsi7], [Kit 1] и [Lil].) 2.4. Целочисленные решетки и квадратичные формы. Класс целочисленных решеток включает много важных примеров. В этой книге мы называем решетку или квадратичную форму целочисленной, если скалярное произведение любых двух век- векторов— целое число, иными словами, если все элементы мат- матрицы Грама А — целые числа. (Иногда для обозначения этого понятия используется термин классически целочисленная фор- форма, см. обсуждение различных понятий целочисленности в гл. 15.) Эквивалентным образом решетка Л целочисленна тогда и только тогда, когда Л s Л*; D5> по многим геометрическим причинам эта форма определения — самая удачная. Большинство встречавшихся в этой главе ре- решеток целочисленны (при удачном выборе масштаба). Наш общий принцип (например, при выборе базиса в гл.4) заклю- заключается в таком выборе масштаба, чтобы детерминант был воз- возможно меньше, но решетка при этом оставалась целочисленной. Например, гексагональная решетка Л2, как она определена фор- формулой (8) гл. 1, является целочисленной, в то время как экви- эквивалентная ей решетка F) целочисленной не является. С целочисленной решеткой Л связана важная группа — дуальный фактор Л*/А порядка det Л. Например, АЦА2—цикли- АЦА2—циклическая группа третьего порядка. Три смежных класса А\ по А2 на рис. 1.3Ь обозначены буквами а, Ь, с. Заметим, что целочисленная решетка Л обладает свойством (Если хеЛ', то л: = | (ЛГП/ = ?(ЛГТЛГ'М = (detЛ)~Ч • • adj (Л) М = (det Л) I'M, где \, \' <= Z" > через adj (Л) обоз- обозначена матрица, присоединенная к Л ').) ') Присоединенной к А называется матрица, составленная из миноров; adj A = (det А) -Л-1 — Прим. перев.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 73 Целочисленная решетка с | det Л | = 1 или, что равносильно, с Л = Л* называется унимодулярной или самодвойственной. (Мы написали j det Л |, а не det Л, чтобы это определение годилось также и для гиперболических решеток.) Если решетка Л целочисленна, то х-х обязательно целое для любого лгеЛ. Если скалярное произведение х-х четно для всех х^А, то ре- решетка Л называется четной, в противном случае она назы- называется нечетной. Четные уиимодулярные решетки (также назы- называемые решетками второго типа, или типа II), представляют особый интерес. Решетки Es и Л24 являются четными унимоду- лярными, а решетки Z, Z2, Z3, ... — это нечетные уиимодуляр- уиимодулярные решетки (первого типа, или типа I). Известно, что если унимодулярная решетка обладает тем свойством, что норма каждого вектора решетки кратна неко- некоторому положительному целому числу с, то с равно либо 1, либо 2 [О'Ме 1, р. 324]. Таблица 2.2. Количество n-мерных унимодулярных решеток; ап — число унимодулярных решеток размерности п, не содержащих векторов с нормой 1. Если л === О (mod 8), то а„ записывается в виде dn + е„, где dn — число нечетных решеток, а еп — число четных решеток. Аналогично, Ьп — общее число л-мерных унимоду- унимодулярных решеток (включая решетки с векторами нормы 1) п On К п а ь„ п ь. 0 0 + 1 0+ 1 9 0 2 18 4 13 1 0 1 10 0 2 19 3 16 2 0 1 И 0 2 20 12 28 3 0 1 12 1 3 21 12 40 4 0 1 13 0 3 22 28 68 5 0 1 14 1 4 23 49 117 в 0 ! 15 1 5 24 156 + 24 273 + 24 7 0 1 in 1 +2 6 + 2 25 368 665 8 \ 0 -- 1 I 1 -•- '¦ '. 17 1 9 26 ¦Л 9 Классификация нечетных и четных унимодулярных реше- решеток— важная проблема теории чисел и других областей мате- математики ([Bri 2], [Doll], [Hazl], [Hir4], [Nik 2]); известные ре- результаты собраны в табл. 2.2. Четные унимодулярные решетки существуют тогда и только тогда, когда размерность кратна 8 (следствие 18 гл. 7), а нечетные унимодулярные решетки имеются во всех размерностях. Решетка Е& — единственная уни- унимодулярная 8-мерная решетка, а ?8®?8 и О?ъ исчерпывают список таких 16-мерных решеток [Wit 4]. Все четные унимо- унимодулярные 24-мерные решетки были перечислены Нимейером [Nie 2], который обнаружил 24 такие решетки, 23 с минимальной
74 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы нормой 2 и одну — решетку Лича Л24 — с минимальной нор- нормой 4, см. табл. 16.1 гл. 16. Три независимые проверки резуль- результата Нимеиера приводятся ниже в гл. 16 и 18. Кнезер [Кпе4] (см. также [НегО], [Kol], [МогЗ], [Smi6]> перечислил все нечетные унимодулярные решетки в размерно- размерностях п^16, авторы этой книги ([Соп27], [Соп34], гл. 16) продолжили это перечисление до п ^ 23, а Борчердс ([Borl]r [ВогЗ] = гл. 17) недавно перечислил 24- и 25-мерные нечет- нечетные решетки. Если решетка Л унимодулярна, то 2'ФЛ тоже унимодулярна для всех i; поэтому проще всего указывать, сколько решеток не является решетками вида Z' Ф Л', т. е. не содержит векторов с нормой 1. Число таких решеток (ап) при- приводится в первой строке табл. 2.2, а вторая строка (Ь„) дает общее число унимодулярных решеток. Если п не делится на 8, то таблица дает просто число нечетных унимодулярных реше- решеток; если же ns=0(mod8), то числа написаны так, чтобы по- показать разделение на нечетные и четные решетки. При 1 ^ п ^ ^8 имеется единственная нечетная уиимодулярная решетка Z", а для п = 9, 10, 11, ... есть еще ?8©Zn-8. В размерности 12 появляется третья нечетная решетка D^* так что имеются три нечетные унимодулярные 12-мериые решетки: Z12, ?8®Z\ Du- Это объясняет первые двенадцать столбцов табл. 2.2. В гл. 16 и 17 перечисление продолжается до размерности 24. См. также замечания об экстремальных самодвойственных решетках в гл. 7. Масс-формула Минковского — Зигеля дает мощное средство проверки полноты этих списков. Пусть j Aut (Л) | — порядок группы автоморфизмов решетки Л (она определена в разд. 4.1 гл. 3). Масс-формула задает явную константу со, такую, что где сумма берется по всем неэквивалентным решеткам данного рода (например, по всем n-мерным нечетным унимодулярным решеткам). Несколько более общая формула задает явное зна- значение выражения в() | Aut (А) | • л Проиллюстрируем сказанное, используя масс-формулу для проверки первых девяти столбцов табл. 2.2. Начнем с четных унимодулярных решеток. В размерности 8 константа а0 = = 1/696729600 приводится в табл. 16.4 гл. 16, и действительно,. 1 1 I Aut (?e) | 696 729 600
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 75 (см. разд. 8.1 гл. 4). Значения а0 для нечетных унимодулярных решеток приводятся в табл. 16.2 гл. 16. Для 1 =g: n =g: 8 имеем ао= 1/BЛ/г1), что подтверждает единственность нечетной уни- модулярной решетки Z" (поскольку [Aut(Zn) | = 2лп!, см. § 5 гл.4). Однако, когда п = 9, а0 = 17/2786918400, и, действи- действительно, имеются две 9-мерные решетки ?8©Z и, Z9, причем 1 ¦ 1 _ 1 . 1 17 | Aut (?8 0 Z) | "*" | Aut (Z8) | 2 • 696729600 "^ 2« • 9! ~ 2786918400 " D8) В гл. 16 мы поговорим об этих формулах подробнее. Наиболее эффектное приложение масс-формулы — проверка полноты списка Нимейера 24-мерных четных унимодулярных решеток, приводимого в § 2 гл. 16. Масс-формула дает также нижнюю границу для числа не- неэквивалентных решеток в данной размерности (поскольку в фор- формуле D7) всегда (Aut(A)J^2). Из табл. 16.4 гл. 16 следует, например, что существует не менее 80000000 различных четных унимодулярных 32-мерных решеток, так что представляется крайне маловероятным, что работу Нимейера можно распро- распространить на размерности 32 и выше. Эта книга содержит также результаты по классификации (положительно определенных) квадратичных форм других ма- малых детерминантов B, 3, ...) (см. гл. 15) и, кроме того, не- некоторую информацию о неопределенных формах (см. гл. 15, 26 и 27). 2.5. Модулярные формы. Дальнейшие связи между решет- решетками и теорией чисел возникают благодаря тому, что тэта-ряды целочисленных решеток являются модулярными формами. Мы не приводим здесь общей теоремы; некоторые важные частные случаи встретятся в теоремах 7 и 17 гл. 7. Краткий обзор об- общей теории связи квадратичных форм с модулярными формами имеется у Касселса [Cas3]; можно указать много других работ: [Gunl], [Наг 4], [Нес 2], [НесЗ], [Kit 3], [Knol], [Lan9], [Oggl], [Pet 4], [Ran 6], [Sch6], [Sch7], [Vigl]. Основным следствием этой теории является конечность числа возможных тэта-рядов с небольшим детерминантом. Из этого иногда можно вывести явные выражения для коэффициентов Nm тэта-рядов или же получить точные численные оценки для этих коэффициентов. Мы приведем пять примеров таких резуль- результатов; многие другие примеры содержатся в указанных выше работах. (i) В размерностях п ^ 7, как мы уже отмечали, единствен- единственная унимодулярная решетка — это решетка Z" с квадратичной
76 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы формой B6). Из этого следует, что когда п четно, то имеются простые формулы для коэффициентов тэта-рядов, т. е. для числа представлений данного числа в виде суммы п квадратов. На- Например, окончательный ответ на наш исходный вопрос о числе представлений m в виде суммы четырех квадратов — это 8 Z d D9> d\m, 4-f d (см. формулу D9) гл. 4). (н) Имеется много других красивых тождеств, появляю- появляющихся в связи с конкретными модулярными формами, изве- известными как ряды Эйзенштейна, в коэффициенты которых вхо- входит арифметическая функция сг*(/п)—сумма k-x. степеней делителей числа т. Например, тэта-ряд решетки Е» (см. фор- формулу D0)) равен также оо вв. (г) = 1 + 240 ? а3 (т) q2m = 171=1 = 1+ 240<72 + 2160<?4 + 6720<76 + .. ., E0) см. разд. 8.1 гл. 4 и гл. 7. (Hi) Положим Д24(*)= я2 П 0 -ч2тГ = I ти р* = = <?2-24<?4 + 252(?6-1472G8+ ...; E1) функция т, задаваемая этим выражением, называется функцией Рамануджана. Из теории модулярных форм следует, что имеет- имеется простое выражение для коэффициентов тэта-ряда решетки Лича Л24- Пусть оо ®а„ (z) = ? Nmqm = 1 + 196560*?4 + 16773120т6 + E2) т=0 Тогда для т > 0 (см. § 11 гл. 4) N2m^-~{oAm)-^{m)). E3> (iv) Второй член в правой части E3) много меньше пер- первого. В действительности из результатов Делиня ([Degl], [Deg2], [K.at 3]I) следует, что если д(т) — число делителей т, то E4) E5> ') Эти работы посвящены доказательству многомерной гипотезы Римана (о ^-функции) над функциональным полем с конечным полем констант и ее следствиям. — Прим. перев.
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 77 для любого положительного е. Поскольку ви{т)> тп, Ц®гп(т/2) E6) дает очень хорошее приближение. Это характерно для различ- различных оценок коэффициентов тэта-рядов (см., например, [Ran 6, § 4.5], [Ran 7] и разд. 1.4 гл. 3), по крайней мере при n^s4. (v) Тэта-ряд любой четной унимодулярной решетки может быть выражен как многочлен от A2i(z) и тэта-ряда решетки ?& (теорема 17 гл. 7). Рассмотрим, например, 48-мерные решетки Я48Р и P48q, упомянутые в табл. 1.3. Зная лишь, что они — чет- четные уиимодулярные решетки с минимальной нормой 6, мы мо- можем сразу же вывести из этой теоремы, что обе они имеют тэта-ряд, равный е?, (гN - 144О0?, (гK Д24 (г) + 125280А24 (гJ == = 1 + 0<72 + Oq* + 52416000<76 + 39007332000?8 + E7) Контактное число 52416000 получено практически без дополни- дополнительной работы! Дальнейшая информация об этом и подобных примерах содержится в гл. 7 и 19. 2.6. Комплексные н квантернионные решетки. Рассматриваемые до сих пор решетки были определены как подгруппы вещественного и-мериого простран- пространства R", порожденные п линейно независимыми векторами. Они замкнуты относительно операций сложения, вычитания и умножения на целые числа meZ, иными словами, являются Z-модулями. Имеется несколько возмож- возможных обобщений, например можно использовать комплексные или кватернион- ные векторы вместо вещественных. Эти более общие решетки интересны сами по себе и иногда приводят к более простым конструкциям вещественных решеток. Мы введем их в этом разделе; дальнейшие примеры содержатся, скажем, в гл. 7 и 8, а также в работах [Cas 3, гл. 7]. [Cha I], [Con 36], [Hsi 6a], [Kar 1], [Lew 1], [O'Me 1], [Ong 1], [Ong 2], [Otr 1], [Que 4], [Que 6], [Rog 9], [Rog 11], [Ser 2], [Smi 11]. Пусть С — поле комплексных чисел {z = х -f iy: х, у е R}, где i2 = —1, н пусть IH — тело кватернионов {г = и + iv -(- jw + kx: и, v, w, x s R}, где i* = ;* = fe* = _l, Ц = — ji = k, jk = — kj — i, ki = — ik = j (cm. [Bir 1], [Cox 8], [Cox 17], [Her 1]). Сопряженное г к элементу z опреде- определяется как х — iy (для z s С) или как и — iv — jw — kx (для г s H), а норма г равна N (г) = гг, т. е. х2 + уг или и1 + vz + ге»2 + х2. Аналогично норма вектора z = (zj zn) равна N (z) = Z\zx + ... + znzn. Кроме изменения поля мы также изменим понятие целого числа. Имеется много возможностей, однако здесь мы рассмотрим только три кольца целых, которые и будем использовать вместо Z. Это — гауссовы и эйзенштейновы
78 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы целые $ ={а + ib: eJeZJcC, E8) 8 = {а + <ab: o,*eZ}cС, E9) где со = (— 1 + i V3~)/2 — комплексный кубический корень из единицы ([Сох 10, р. 421]. [Сох 21, р. 145], [Fej 2], [Наг 5, р. 179], [Lan 0, III, p. 5, 16], а также гурвицовы кватернионные целые [Hur 1], [Сох 18] i jc + kd: a,b,c,de=Z или a, b, c, d e= Z + V2) cr H. F0) Пусть / — одно из колец Z, 9, 8, Ж, и пусть К — соответствующее тело (соответственно R, С, С, W). Определим I-решетку. Возьмем п векторов аь ... ..., оле Кп, линейно независимых над К- Тогда /-решетка Л, порожденная этими векторами, состоит из всех линейных комбинаций gi»i + ...+gn»n, F1) где |i, ..., %п <= /. Поскольку / — кольцо, Л замкнута относительно сложения, вычитания и умножения (левого в случае кватернионов) на элементы из /, т. е. является /-модулем. Отступление. Другие выборы /, приводящие к интересным примерам, — это, в частности, кольца алгебраических целых чисел {а + Ьв: a, b e Z), где 8 — одно из чисел 1+V==T 1+У:ГП t+Vs" F2) или кольца круговых чисел Z[?], где g = e25tJ'm (см. гл. 8, [Bay I], [Con 36], [Cos 1], [Cra 2] — [Cra 5], [Que 6]). Однако следует проявлять осто- осторожность. Если / не является областью главных идеалов (например, если в = -у—5), то Л может быть ранга п над Z, но не порождаться никакими п элементами, т. е. может не быть свободным /-модулем; такие решетки назы- называются неглавными. Если / содержит иррациональное вещественное число (как в последнем примере из F2)), то Л плотно в /С", т.е. не является (дискретной) решеткой. Несмотря на это, такие примеры можно все же ис- использовать для получения решетчатых упаковок, переопределяя норму или связанную с ней квадратичную форму (см., например, § 4 гл. 8). Ограничи- Ограничиваясь в этом разделе указанными выше специальными кольцами, мы избе- избегаем этих трудностей. Пусть даиа /-решетка Л. Как и в случае вещественных решеток, опре- определим порождающую матрицу М (см. формулу A) гл. 1) и матрицу Грама А = МЯТ (см. формулу C) гл. 1). Основная трудность по сравнению с ве- вещественным случаем состоит в том, что скалярное произведение векторов -х = (Х\, ..., хп) и у = (г/i, ..., у„) теперь определяется как эрмитово про- произведение х ¦ у = хф + ... + хпуп. F3) Детерминант решетки Л задается формулой D) гл. 1, минимальная норма р, — формулой B1) этой главы, радиус упаковки р — формулой B2), радиус покрытия—формулой, аналогичной формуле C), тэта-ряд — формулой A ^ q = e*lz, F4) JteA (см. формулу C1)), а двойственная решетка — равенством Л* = {х е= Кп: гае/ для всех и е= Л} F5)
§ 2. Решетки, квадратичные формы и теория чисел 79 (см. формулу B4) гл. 1). Решетка Л является целочисленной, если Л = Л*, и унимодулярной, или самодвойственной, если Л = Л*. Если Л — комплексная /-решетка в С", имеется соответствующая ве- вещественная решетка Лгеа] в R2", состоящая из векторов (Re (z,), Im (zi), .... Re (zn), Im (zn)) F6) для (zi, ..., zn) eA. Имеем det Areai = <5n4~,rt (det ЛJ, F7) где д — модуль дискриминанта / — равен 3 при / = <? и 4 при / = %. Тэта- ряд двойственной решетки равен Если Л — кватерииоииая ЭК-решетка в И", то соответствующая решетка Лгеа] в R4n получается заменой каждой компоненты и + iv + jw + kx всех векторов из Л на {и, v, w, х). В этом случае L. F9) Во всех случаях Areaj имеет те же радиусы упаковки и покрытия, что и Л, и мы определим плотность упаковки, контактное число и плотность покрытия для Л как соответствующие величины для Лгеа] В случае когда Л является «^-решеткой (где & — кольцо эйзенштейновых целых чисел), умножение векторов из Л на со является автоморфизмом вез неподвижных точек порядка 3 решеток Л и Лгеа1; неподвижна только нуле- нулевая точка. Наоборот, вещественную решетку в R2" с автоморфизмом без неподвижных точек порядка 3 можно рассматривать как <У-решетку в С". Если Л имела порождающую матрицу М = X + iY (с вещественными X и У), то порождающая матрица для Лгеа1 равна \ G0) Аналогично, если Л является ^-решеткой (где $ — кольцо гауссовых це- целых чисел), то умножение на i будет автоморфизмом а решеток Л и Лгеаь а имеет порядок 4 и степени а, а2, а3 не имеют ненулевых неподвижных точек. Если Л имела порождающую матрицу М = X + iY (с вещественными X и У), то порождающая матрица для Лгеа1 равна ( Jx У G1> Для 30-решетки Л (где Ж — кольцо гурвицовых целых чисел) ситуация несколько сложнее. Кольцо Ж содержит 24 числа с нормой 1, называемых единицами: ±1, ±1, ±/, ±k, ±(й, ±шг, ± а', ± cofe, ± ш, ± в>К ± (Ь!, ± (hk,
80 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы где G3) <й! = i (oi = /со = a' = j ' со/ = : = 6 +«• = -?¦ (-1+*-/-?), со =; ife = (СО = (О/ = id й' = j~' Si = — ka — — а>/ = и — i = 77(~" 1 ~ «' + / + *). G4) / ' й/ = — 1Й = — mk = со — / = — (— 1 + i — j + k), <&*> k~l<bk = - /Й = - co - fe = -i- (-1 + i + i¦>- k). Как мультипликативная группа это миожество единиц изоморфно 2h^ '), где А4 — знакопеременная группа степени 4. Через LK обозначим умножение векторов из Л на л слева, где я — одна из 24 единиц кольца Ж Если яф\, то Ln — автоморфизм без неподвижных точек решеток Л и Areai- Обратно, если вещественная решетка L в R4" является левым BА4)- модулем, причем каждый нетривиальный элемент из 2А4 действует без неподвижных точек, то L можно рассматривать как 5^-решетку в И . Если порождающая матрица решетки Л равна М = U + iV + jV + kX (где U, V, W, X вещест- вещественные), то Лгеа1 имеет порождающую матрипу U V W X К U -X W W X U -V -X —W V U G5) Примеры. Если Л = ?сС, то Area]—это квадратная решетка Z2; если Л = ^Г, то Лгеа]— гексагональная решетка (рис. 1.3а); если Л = Ж, то Лгеа, = ?>4 (см. разд. 7.2 гл. 4). Плотнейшая шестимерная решетка Ее легко описывается как эйзенштей- нова решетка. Если в качестве Л взять ?Г-решетку в С3 с порождающей мат- матрицей 9 0 0 G6) где 8 = и — и = V~3, то Л . = Е6. ') Через 2G обозначается прямая сумма двух групп, изоморфных G. — При '. перев.
§ 3. Квантизаторы 81 Аналогично, плотнейшая восьмимерная решетка ?а легко описывается как гурвицова решетка. Если в качестве Л взять ЭК-решетку в И2 с поро- порождающей матрицей Решетку Лича можно построить всеми тремя способами, как S-, Ж- или 3*?-решетку, см. § 1 гл. 6 и пример 12 гл. 7. Обсудим, наконец, вкратце существование четных комплексных решеток. Норма решетки Л, обозначаемая Jf(A), — это погдруппа группы веществен- вещественных чисел, порожденная числами {N(x): хеЛ). Мы уже видели, что для вещественных самодвойственных решеток Л?(Л) равна либо Z, либо 2Z [О'Ме 1, р. 227, 324]. То же доказательство показывает, что этот результат также верен для комплексных решеток. Решетки с A"(A) = 2Z называются чеп.ы.ки. Четные самодвойственные !?-решетки в С™ существуют тогда и только тогда, когда п делится на 4; четных самодвойственных ё?-решеток не существует [Ger 5, th. 3.6]. Имеются, однако, четные самодвойственные ре- решетки над другими кольцами целых, см., например, § 4 гл. 8. § 3. Квантизаторы 3.1. Квантизация, аналого-цифровое преобразование и сжа- сжатие изображений. Как уже говорилось в разд. 1.4 гл. 1, хотя в основном эта книга посвящена геометрическим задачам, мно- многие из этих задач находят непосредственное применение в дру- других областях науки. В этом разделе и в § 1 гл. 3 мы опишем два основных приложения: к векторным квантизаторам и к про- проектированию сигналов для передачи по каналу с шумом. Реальный мир полон отвратительных чисел типа 0,79134989 ..., мир же компьютеров и устройств цифровой передачи данных имеет дело с милыми числами типа 0 и 1. Квантизатор, или аналого-цифровой преобразователь, — это устройство для пре- превращения отвратительных чисел в милые числа. Квантизаторы применяются в цифровых измерительных приборах, в записы- записывающих устройствах, в системах цифровой связи (включая боль- большинство телефонных сетей средней и большой дальности, на- например те, которые используют пульсирующую кодовую моду- модуляцию, см. разд. 1.1 гл. 3). Мы должны, однако, добавить, что большинство существующих квантизаторов одномерны; описы- описываемые здесь n-мерные квантизаторы пока еще широко не ис- используются. На рис. 2.7 изображен гипотетический двумерный кванти- квантизатор. Одиннадцать точек-представителей Рь ..., Рц выбраны заранее. Входом в квантизатор является пара вещественных чи- чисел {х\,х2), рассматриваемая как точка х на плоскости, а вы- выходом— ближайшая к х точка из {Pi, ..., Рп}. Любая точка на плоскости, таким образом, заменяется на ближайшую точку Р. (или округляется до Р,). Этот процесс называется также
82 /*.*. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы сжатием изображения; с тем же успехом можно считать, что выход — это номер / ближайшей точки Р,. МНОГОГРАННИК ВОРОНОГО ТОЧКИ Р4 Рис. 2.7. Пример (гипотетический) двумерного квантизатора. Одиннадцать точек-представителей Р\ Рп выбираются заранее. Любая точка х иа пло- плоскости «округляется», нли квантизуется, до ближайшей точки Pt. Рисунок также показывает многогранники Вороного точек Pi. Например, любая точка х, попадающая в многогранннк Вороного точкн Pt (заштрихованная область), округляется до /V Формальное определение n-мерного квантизатора таково (см. рис. 2.8). В пространстве R" выбирается М точек Рь ... ..., Рм- Вход х — это произвольная точка из R"; выход — бли- ближайшая к х точка Pi. Если ближайшая точка Р,- не единственна, ВЫХОД - ЭТО ТОЧКА Pi, БЛИЖАЙШАЯ К X Рис. 2.8. n-мериын квантизатор. то случайным образом выбирается любая из ближайших точек. Действие квантизатора можно также описать, говоря, что пространство :Rra разбито на многогранники Вороного (см. разд. 1.2) V(P\), V(P2), ¦¦¦ точек Р(; если на вход подается элемент из F(A), то выход равен Р,- (см. рис. 2.7).
§ 3. Квантизаторы 83 Процесс квантизации вносит ошибки, величина ошибки из- измеряется евклидовым расстоянием от х до ближайшей точки Pi. Поэтому Pi следует выбирать в соответствии с вероятно- вероятностным распределением х, так чтобы Pt были представитель- представительными или «типичными» точками. Точнее говоря, мы попытаемся выбрать Pi так, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку (обозначаемую также m. s. е.), т. е. среднее значение N(x—Pi(x)), где Pi(x) обозначает ближайшую к х точку Pt. Если х имеет функцию плотности вероятности р(х), то сред- среднеквадратичная ошибка на размерность определяется как Е = \ \ N(x-Pi{x))p(x)dx, G8) которая с учетом разбиения на многогранники Вороного мо- может быть записана так: м ?==-7гЕ \ N(x-Pi)p(x)dx. G9) Замечания, (i) В формулах G8) и G9) предполагается, что вероятность попадания входного значения х на границы много- многогранников Вороного пренебрежимо мала. (П) Множитель 1/я вводится для того, чтобы «честно» сравнивать квантизаторы разных размерностей, (in) Критерий среднеквадратичной ошиб- ошибки — это лишь один из многих возможных способов измерить искажение; его преимущества состоят в широкой употреби- употребительности и математической простоте. При применениях к об- обработке речи и изображения правильный выбор меры искаже- искажения является трудной задачей. См., например, [Ata 1] — [Ata3], [Flal], [SchlO]. Основная теорема в этой области принадлежит Задору, ко- который в 1963 г. показал (см. [Zad I], [Zad2]), что среднеква- среднеквадратичную ошибку на размерность можно уменьшать, используя многомерные квантизаторы. Другими словами, выгоднее подо- подождать появления на входе квантизатора нескольких чисел и за- затем обработать их все сразу, рассматривая их как координаты точки в некотором пространстве высокой размерности. Промед- Промедление оказывается выгодным. К сожалению, результат Задора, как и некоторые другие уже упоминавшиеся результаты, неконструктивен, и проблема явной конструкции хороших квантизаторов все еще остается открытой. Но решетки из табл. 1.1, как мы вскоре увидим, ведут себя очень хорошо, если входная величина х распределена рав- равномерно.
84 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы Приведем теперь более точное описание результата Задора. Для заданной размерности п, числа точек М и функции плот- плотности вероятности р(х) на входе мы хотим найти точную ниж- нижнюю грань по всем множествам Р\, ..., Рм е R" Е(п, М, р) = ШЕ, (80) ip} т. е. наименьшую достижимую ошибку. Задор ([Zad I], [Zad2]; см. также [Вис 2], [ВисЗ], [Ger2], [Yam 1]) показал, что при довольно общих предположениях о р (х) lim M2lnE(n, M, p) = Gn(\ p(xf{n+2)dx\n+2)ln, (81) \& ) где Gn зависит только от п. Он показал также, что Для больших п верхняя и нижняя границы в (82) согласуются: Gn-> -2^7 = 0.058550 ... при п->оо. (83) Поскольку функция плотности вероятности р(х) появляется только в последнем члене (81), для нахождения Gn можно вы- выбрать любую удобную р(х). Простейший выбор, представляю- представляющий к тому же значительный интерес сам по себе, сводится к предположению о равномерном распределении х по большой области "?" (скажем, по большому шару). При равномерно рас- распределенном входе среднеквадратичная ошибка минимизируется, если каждая точка Р, лежит в центре тяжести своего многогран- многогранника Вороного V(Pt) (см. [Ger 2]). Нам особенно интересен слу- случай, когда число точек М очень велико. Это позволяет пренебречь граничными эффектами и приводит к более простым ответам. При равномерно распределенном входе формулы G9) и (81) превращаются в м 1 т~* С Е = jp* , (84) Z S* '-• v(pi) ^уы ¦ (85) iZ S <•)
§ 3. Квантизаторы 85> где Е(п, М, р) = inf E. Равенства (84) и (85) можно описать, говоря, что при равномерно распределенном входе для опти- оптимальной квантизации, использующей большое число точек, ве- величина Gn — это среднее значение среднеквадратичной ошибки на размерность при выборе шкалы, превращающей его в безраз- безразмерную величину (т. е. не зависящее от выбора масштаба для точек Pi). 3.2. Проблема квантизатора. Впредь мы считаем, что вход х имеет равномерное распределение в большом шаре в Rn и что- М — число точек Р,-— велико. Проблема квантизатора заклю- заключается в таком выборе точек Pi, ..., Рм в R", который мини- минимизирует величину м (86) где V(Pi) — многогранник Вороного точки Р,. По формулам (84) и (85) Gn равно пределу точной нижней грани величины (86) по всем выборам Р, при М-+со. Как было объяснено в преды- предыдущем разделе, решение проблемы квантизатора дает как опти- оптимальный квантизатор для равномерно распределенного входа, так и (по формуле (81)) вероятность ошибки оптимального квантизатора для входа с произвольной функцией плотности ве- вероятности р(х). Если все многогранники Вороного V(P,) конгруэнтны (как в случае, когда Р/ образуют решетку), выражение (86) можно упростить. Пусть все многогранники Вороного конгруэнтны П. Если1 поместить начало координат в центр тяжести П, то (86) превращается в М v l+2/n -Ч х ¦ х dx п = С(П), (87) т. е. в нормализованный второй момент многогранника П, оп- определенный в разд. 1.2. Если точки Р, образуют решетку А (точнее говоря, большой фрагмент решетки Л), многогранники Вороного которой конгруэнтны П, мы пишем G(A)=G(H). Проблема решетчатого квантизатора заключается в поиске и-мерной решетки Л, для которой G (Л) минимально.
86 Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы 3.3. Проблема квантизатора — сводка результатов. Нетрудно показать, что решение одномерной проблемы квантизатора дается равномерным расположением точек Р, на вещественной прямой, образующим целочисленную решетку Z (ее большой фрагмент). Многогранники Вороного — это интервалы длины 1; положим П равным интервалу [—1/2, 1/2]. Формула (87) дает 1/2 \ x2dx О, = -^ = 72 = °-083333 .... (88) -1/2 Это привычный результат в теории квантизации: если равно- равномерно распределенные числа квантизируются по одному, то среднеквадратичная ошибка равна 1/12. Теорема Задора пока- показывает что, используя многомерные квантизаторы, эту ошибку можно уменьшить. Для двумерной проблемы Фейеш Тот ([Fej8]; см. также [Fej 10], [Ger2], [New 1]) показал, что точки должны образо- образовывать гексагональную решетку; в этом случае G2 = G (правильного шестиугольника) = j=r = 0.0801875 ... (89) (см. разд. 2.1 гл. 21). Как обычно, в больших размерностях проблема не решена. Решение проблемы решетчатого квантизатора известно в раз- размерности три [Ваг 16]: наилучшим решетчатым квантизатором является bcc-решетка, для нее ¦G (bcc) = G (усеченного октаэдра) = пд- = 0.078543 .... (90) В работе [Ваг 16] показано также, что bcc-решетка — это един- единственная решетка, на которой G(II) достигает локального ми- минимума. Для сравнения G (fee) = <3 (ромбододекаэдра) =2~u/3 = 0.078745 ... (91) (см. формулу B6) гл. 21), но эту величину можно уменьшить малым возмущением решетки. В больших размерностях неиз- неизвестны даже наилучшие решетчатые квантизаторы. В табл. 1.1, 2.3 и на рис. 2.9 показаны наилучшие известные квантизаторы в размерностях п ^ 24. Для некоторых из этих решеток G(A) можно вычислить точно, как показано в гл. 21.
§ 3. Квантизаторы 87 Однако для ?*, ?*, /С12, Л16 и Л24 величина G(A) была оценена в [Con 38] методом Монте-Карло, используя алгоритмы поиска точки решетки, ближайшей к произвольной точке из R" (см. разд. 1.4 и гл. 20I). Таблица 2.3. Границы для Gn, среднеквадратичной ошибки оптимального я-мерного квантизатора. В последнем столбце приведены значения нашей гипотетической нижней границы (92) я 0 I 2 3 4 5 6 7 8 12 16 24 Наименование квантизатора Ло Z А\ = Аг A'3=D'} АЪ*ОЪ D\=Dt а; At Dl Os As As El Et e; El El~Eb Dl D» A\ %At Kiz s Kiz Л*6 = Л16 Аи = Л24 Среднеквадратичная ошибка Gn 0 0.083333 0.080188 0.078543 0.078745 0.076603 0.077559 О.О78О2О 0.075625 0.075786 0.076922 0.077647 0.074244 0.074347 0.073116 0.073231 0.071682 0.074735 0.075914 0.075972 0.077391 0.070100 ± 0.000024 0.068299 ± 0.000027 0.065771 ± 0.000074 Нижняя граница (92) 0 0.083333 0.080188 0.077875 0 07609 0.07465 0.07347 0.07248 0.07163 0.06918 0.06759 0.06561 В табл. 2.3 и на рис. 2.9 показаны также границы Задора (82). Нижняя граница для Gn в (82)—это нормализованный второй момент n-мерной сферы (см. формулу (8) гл. 21). В работе [Con 39] мы предположили, что имеется новая нижняя граница для Gn, которая значительно сильнее нижней границы Задора. Предположение состоит в том, что Gn не ') Уорли [Wor I], [Wor 2] нашел с тех пор точные значения для ?6 и ?7„ см. разд. 3.D гл. 21.
Гл. 2. Покрытия, решетки и квантизаторы 0.082! ш 0.080 2 0.078 2 0.076 О ш 0.074 3 0.072 0.070- 0.068 - Л" \ -^\ - ГРАНИЦА СФЕРЫ4 _ ГИПОТЕТИЧЕСКАЯ НИЖНЯЯ ГРАНИЦА , 1 ,' 1 , 1 , | :8 S. / (92) ,.. 1 -.— — \ 0 —з>«" Aft С Ч \. , i = ¦ •*= ГРАНИЦА ЗАДОРА ,1,1,1,1.1 S 0.066 о. S 0.064 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 РАЗМЕРНОСТЬ П Рис. 2.9. Наилучшие известные квантизаторы в размерностях до 24. меньше чем п + 3 — 2Н (t + 2 {(п + 1) (я!L Я„ (| arccos ~) }"", 4л(п+1) lv* ' vvv',,^21 " nJ) ' ^ где Нт = I-1 -f 2-1 -f- ... +/n-' (при m=l, 2, ...)—гармо- ...)—гармоническая сумма, a Fn(a) определяется равенством F4) гл. 1. Эта граница также приведена в табл. 2.3 и на рис. 2.9. Хотя точного доказательства не найдено, имеются веские геометри- геометрические причины верить в справедливость этой границы. Эта предполагаемая граница аналогична границе Роджерса для проблемы упаковки шаров (формула C9) гл. 1), границе Кокстера — Фью — Роджерса A6) для проблемы покрытия и границе Кокстера — Бёрёцки для сферических кодов (формула F3) гл. 1). Стоит отметить, что наилучшие известные сегодня п-мерные квантизаторы всегда двойственны к наилучшим известным упа- упаковкам. Однако мы не думаем, что это будет всегда так. Хоте- Хотелось бы иметь больше фактической информации. Каково G(A) для четырехмерных решеток Диксона, упомянутых в разд. 1.3, или для решеток Барнса — Тренерри, упомянутых там же? Дальнейшая информация о квантизаторах содержится в ра- работах [Adol], [Ber 1] —[ВегЗ], [Вис 1]—[Вис 3], [Dav4], [Dun 10], [Eli I], [Gal2], [Ger 1] — [Ger3], [Gis 1], [Gra7], [Jayl], [Lin 2], [Maxl], [Zivl], [Ziv2].
Глава 3 Коды, *-схемы и группы Дж. Конвей, Н. Слоэн Это последняя из трех вводных глав. Мы начнем с описания второго важнейшего приложения упаковок шаров — к проекти- проектированию сигналов для систем передачи и хранения данных. Остальные параграфы посвящены темам, которые хотя и не яв- являются основными для этой книги, все же постоянно имеются в виду: это коды, исправляющие ошибки, системы Штейнера, f-схемы и конечные группы. § 1. Проблема кодирования для канала 1.1. Теорема об отсчетах. Вторым важнейшим приложением является проектирование сигналов для систем передачи и хра- хранения данных. Типичная система изображена на рис. 3.1. Со- Сообщения возникают из некоторого источника информации, та- такого, как говорящий человек, оркестр или компьютер. Кодер источника преобразует сообщения в цифровую форму. В этом процессе часто участвует квантизация или аналого-цифровое преобразование, как это описывалось в предыдущей главе. Со- Сообщения надо передать получателю по каналу, который может быть каналом передачи данных, как, например, медный теле- телефонный кабель, микроволновая радиосвязь или оптический ка- кабель, или же устройством хранения данных, таким, как магнит- магнитный или оптический диск. В канале присутствует шум, вслед- вследствие чего полученная (или считанная) информация может слегка отличаться от переданной (или помещенной на хране- хранение). Источник порождает сообщения с определенной скоростью, и мы хотим передавать их получателю надежно, эффективно и дешево. Система связи, изображенная на рис. 3.1, осуществ- осуществляет это с помощью выбора множества специальных сигналов, называемого кодом, элементы которого устроены так, чтобы их можно было легко отличить друг от друга, несмотря на нали- наличие шума. В канале используются только сигналы из кода. Кодер канала получает на вход выходной сигнал кодера ис- источника и заменяет его одним из сигналов кода, который затем
Гл. 3. Коды, t-схемы и группы и передается по каналу (или хранится в записывающем устрой- устройстве). Декодер канала обращает этот процесс, преобразуя по- получаемый (или считанный) сигнал в (предположительно пра- правильный) сигнал из кода; декодер источника затем превращает этот сигнал в первоначальное сообщение. Начиная с этого места, мы будем говорить о проблеме пере- передачи данных, все время имея в виду, что те же самые резуль- результаты справедливы и для систем хранения данных. Теорема об отсчетах играет ключевую роль во многих систе- системах связи. Эта теорема (см. рис. 3.2) утверждает, что если источник ИНФОРМАЦИИ СООБЩЕНИЕ КОДЕР ИСТОЧНИКА ШУМ КОДЕР КАНАЛА КАНАЛ ПРИЕМНИК ДЕКОДГ" ИСТОЧНИКА Hi КАНАЛА J Рис. 3.1. Блок-схема системы передачи или хранения данных. f(t) — сигнал (т. е. функция от времени), не содержащий ком- компонент с частотой, превышающей W циклов в секунду, то f{t) полностью определяется набором своих значений (отсчетов) 2W 2W 2W ) A) взятых через каждые \/{2W) секунд (см. [Dyml], [Higl], [Jerl], [Lanl], [LeeO], [Pet2], [Sha2], [Stel], [Wozl]). Ha самом деле имеется явная формула — гармонический ряд, вы- выражающий f(t) через набор ее значений: '»- k \ sm2nW(t~kl2W) it - k/2W) B) Поскольку sin 2nW (t — k:/2W) sin 2nW (t — 1/2W) .. 2я1Р (t ~ k/2W) 2nW(t~l/2W) равен 0 при k ф I и равен l/BW) при k = I, энергия сигнала f(t) задается формулой C)
§ 1. Проблема кодирования для канала 91 Теорема об отсчетах важна для систем цифровой связи как в практическом, так и в теоретическом аспекте. Ее легко при- применять на практике, поскольку из формулы B) следует, что сигнал f(t) можно восстановить по набору его значений (отсче- (отсчетов), вводя их в простую электрическую сеть (пороговый фильтр). Более того, восстановление стабильно в том смысле, (a) к 1 2W I I I I (с) (d) Рис. 3.2. Теорема об отсчетах является основой многих систем цифровой связи, (а) Не слишком быстро меняющаяся функция f(t), например функция, не содержащая компонент с частотой, большей, чем W циклов в секунду, измеряется через каждые 1/BW) секунд. (Ь) Набор значений /@), f(lj{2W)), fB/BlF)), ... передается по каналу. Теорема утверждает, что f(t) может быть точно восстановлена по этим значениям. Этот принцип лежит в основе нм- пульсно-кодовой модуляции (РСМ), (с) За t секунд выбирается п = 2TW значений. Эти значения (/СО), f(\/{2W)), ..., f((п — \)/{2W)) суть коорди- координаты точки в /г-мерном пространстве, (а) Таким образом, сложная функция f(t) представлена одной точкой в /г-мерном пространстве. что малые ошибки в значениях из набора отсчетов порождают соответственно малые ошибки в восстановленном сигнале. Так, например, эта теорема лежит в основе системы цифро- цифровой передачи данных, известной под названием импульсно-кодо- вая модуляция, или РСМ (см. [Bel I], [Ben4], [ОН 1]). Чита- Читателю, без сомнения, хорошо знакомы амплитудная (AM) и ча- частотная (FM) модуляции. РСМ менее известна, но столь же важна, поскольку она используется в телефонной связи сред- средней дальности. Голос говорящего замеряется с определенной
""92 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы частотой (обычно 8000 раз в секунду), и каждое значение округ- округляется, или квантизуется, до одного из 256 уровней и затем выражается 8-битовым двоичным числом. Двоичные числа пере- передаются по каналу, а на приемном конце голос говорящего ре- реконструируется по принятым значениям. Благодаря справедли- справедливости теоремы об отсчетах слушатель не замечает всего проис- происшедшего с сигналом. Эта теорема имеет также и теоретические следствия. Ьсли сигнал f(t) продолжается Т секунд1), как показано на рис. 3.2, то имеется набор из n = 2TW отсчетов, например ) D) Но D) — это координаты точки в л-мерном пространстве. По- Поэтому теорема об отсчетах позволяет представить сложную функцию f{t) единственной точкой (•) в n-мерном пространстве. Вот демонстрация силы математических обозначений! Более того, если F s= >Чп обозначает точку с координатами D), то по формуле C) ее норма пропорциональна энергии f(t): = пР, E) о где г F) — средняя мощность сигнала. Если G представляет другой сиг- сигнал g(t), то т о т (8) 1.2. Теорема Шеннона. Наблюдение, что сигналы с ограни- ограниченной полосой частот могут быть Представлены точками евкли- евклидова пространства, — ключевой ингредиент исследований, пред- предпринятых Клодом Е. Шенноном между 1940 и 1960 гг. Эти ис- 1) Строго говоря, функция не может одновременно иметь ограниченную полосу частот и быть отличной от нуля лишь в ограниченном интервале 0 ^ t ^ Г. Чтобы точно выразить нашу мысль, следует рассматривать сиг- сигналы с ограниченной полосой, паяти вся энергия которых сосредоточена в диапазоне 0 s? t s? Г. См. [Dym П. [Lan 3], [Lan 4], [Sle 6], [Sle 7].
§ 1. Проблема кодирования для канала 93 следования заложили фундамент теории связи [Sha 1] — [Sha 8]. Как говорит Дэвид Слепян [Sle 5], «вероятно, ни одна работа этого века не изменила понимание человечеством того, что же такое связь, столь глубоко, как работа Шеннона A948 г. „Ма- „Математическая теория связи"». Прежде чем переходить к описанию некоторых результатов Шеннона, упомянем две наиболее важные идеализированные модели канала, изображенного на рис. 3.1. Одна — это двоич- двоичный симметричный канал, в котором передаются и получаются только последовательности из нулей и единиц. В этом случае код называется двоичным кодом, исправляющим ошибки; такие коды обсуждаются ниже в § 2. Другой — это канал с белым гауссовским шумом (или гауссовский канал); проблема кон- конструирования кодов для этого канала связана с проблемой упаковки шаров в евклидовом пространстве. По каналу с белым гауссовским шумом передаются непре- непрерывные сигналы. Все частоты, превышающие предельную ча- частоту W циклов в секунду (называемую шириной полосы ка- канала), полностью затухают; частоты, меньшие W, проходят без затухания. При прохождении сигнала канал добавляет к нему белый гауссовский шум. У этого канала имеется простое описание, основанное на теореме об отсчетах. Передаваемый сигнал f(t) представляется точкой F =(fi, ..., fn) в n-мерном евклидовом пространстве. При передаче эта точка возмущается, к ней прибавляется век- вектор шума К = (г/1, .... уп), компоненты которого суть незави- независимые гауссовские случайные величины с математическим ожи- ожиданием 0 и дисперсией о2. (Таким образом, о2 — это средняя мощность шума.) Получаемый сигнал представляется вектором F+Y. Код для этого канала — это множество точек в 'Чп. Если в коде имеется М точек, каждая из которых представляет сиг- сигнал с шириной полосы W и продолжительностью Т секунд, то скорость кода определяется как Я = -j- log2 M бит/сек. (9) Декодер находит точку кода, ближайшую к принятому вектору, и по ней восстанавливает сигнал. Если шум достаточно мал, то ближайшая кодовая точка совпадет с передаваемой точкой и сигнал f(t) будет правильно восстановлен. Если же шум ве- велик, то принимаемый вектор может оказаться ближе к какой- либо другой точке кода и декодирование будет неправильным; эта ситуация называется ошибкой декодирования.
94 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы Итак, мы можем снизить влияние шума, располагая точки кода возможно дальше друг от друга. Но, с другой стороны, вследствие формулы E) тогда потребуются сигналы больших энергий, что увеличит стоимость. Одна из основных теорем Шеннона устанавливает удивительный факт, что можно достичь практически безошибочной передачи по этому каналу, используя сигналы ограниченной мощности, но лишь при условии, что скорость кода не превосходит некоторого порогового значения, называемого пропускной способностью канала. Имеются анало- аналогичные результаты для многих других каналов, в том числе и для двоичного симметричного канала. Точная формулировка теоремы Шеннона для гауссовского канала такова. Для любой скорости R, меньшей пропускной способности (Ю) и для достаточно больших Т (и, следовательно, достаточно больших n — 2WT) можно найти код со скоростью R (см. (9)) и средней мощностью не более Р (см. F)), для которого ве- вероятность ошибки декодирования сколь угодио мала. Напротив, при скоростях R^s С таких кодов не существует. Мы дадим набросок доказательства более слабого резуль- результата, чтобы продемонстрировать связь с упаковками шаров; строгое доказательство теоремы во всей ее полноте см. в рабо- работах [Gall], [McEl], [Sha2], [Sha6], [Sle5], [Wol3], [Wyn3] —[Wyn5]. Поскольку средняя мощность сигналов F не превышает Р, вследствие E) они лежат внутри шара радиуса л/пР с центром в начале координат. Делая п достаточно большим, можно счи- считать, что для вектора шума Y, имеющего п компонент с дис- дисперсиями а2, его норма N(Y) не превосходит п(сг2+е), где е сколь угодно мало. Иными словами, принятый вектор F+Y с большой вероятностью лежит в маленьком шаре радиуса 5^{л(сг2 + е)}1'2 с центром в F. Средняя мощность принимае- принимаемого вектора ^Я + сг2 + е, в частности F-\-Y лежит в шаре радиуса {п(Р + о2 + е)}1/2 с центром в нуле. Таким образом, если мы возьмем центры некоторой плотной упаковки шаров радиуса {п(о2-\- е)}1/2, лежащие в большом шаре радиуса {п(Р -\- а2 + е)}1/2, то получим код, в котором передаваемый вектор правильно декодируется с вероятностью, близкой к 1. Число точек кода по формуле A0) гл. 1 равно (И)
§ 1. Проблема кодирования для канала где Д равно плотности этой упаковки шаров. Если п достаточно велико, то М можно сделать сколь угодно близким к A1). По формулам (9) и A1) скорость этого кода равна Поэтому, делая Тип достаточно большими и используя упа- упаковки шаров с плотностью, удовлетворяющей неравенству A/n) (log2 Д)^—1 (такие существуют по формуле D6) гл. 1), можно достичь практически безошибочной передачи при любой скорости () A2) Для доказательства того, что все скорости, меньшие про- пропускной способности A0), могут, а никакая большая не может быть достигнута без ошибок, требуются более изощренные аргу- аргументы, см. приведенные выше ссылки. Аргумент Шеннона, ис- использующий метод усреднения, — это один из самых известных примеров неявных доказательств в теории кодирования. (См. также замечания в разд. 1.5 гл. 1.) Доказательство показывает, что для достижения скоростей, близких к A0), п и Т должны быть велики. Более точные ва- варианты этой теоремы исследуют, как вероятность Ре ошибки декодирования уменьшается с ростом размерности п при задан- заданной скорости R. Слепян [Sle 1] изучил взаимоотношения ме- между всеми семью параметрами W, Т, п, R, Р, о2 и Ре. Строгое доказательство теоремы Шеннона (см. A0)) также показывает, что для малых значений сг поиск оптимального кода с максимальной мощностью Р тесно связан с поиском плотнейшей упаковки шаров в 1R", как мы уже видели в нашем эвристическом выводе соотношения A2). Де Буда и Кассем ([Bud 2], [Bud3], [Kas2]) показали, что для всех значений сг коды, получаемые из решетчатых упаковок шаров, практически столь же хороши, как и любые коды. Вторая, очень похожая, проблема — это вопрос о наилучшем коде, в котором все сигналы имеют одну и ту же энергию (код постоянной энергии). Для малых значений сг решение этой про- проблемы тесно связано с проблемой упаковки сферических шапо- шапочек на n-мерной сфере Qn, т. е. с проблемой конструирования сферических кодов (см. разд. 2.3 гл. 1). 1.3. Вероятность ошибки. Проблему кодирования для канала можно сформулировать точнее, давая выражение для вероят- вероятности ошибки Ре. Предположим, что код состоит из М точек С\ См в Rn, и пусть V(Ck) — многогранник Вороного точки
96 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы Ск. Если передается точка Си, то декодер принимает правиль- правильное решение тогда и только тогда, когда вектор шума Y лежит в V{Ck); вероятность этого события равна e-'-Wdx. A3) В предположении, что все точки кода используются с равной вероятностью, вероятность ошибки для этого кода равна м Если все многогранники Вороного конгруэнтны некоторому мно- многограннику П, то эта формула упрощается: Поэтому одна из формулировок проблемы кодирования для гауссовского канала такова. При заданных размерности п и числе кодовых точек М и при ограничении мощности N(Ck)^nP, k=l,...,M, A6) найти код Си ¦¦¦, СмеК", удовлетворяющий A6) и такой, что вероятность ошибки Ре, даваемая формулой A4), мини- минимальна. Проблема кода постоянной энергии получается заме- заменой A6) иа условие N(Ck) = nP для всех k, или, что то же са- самое, Ck e Qn. Решетчатый вариант проблемы кодирования для гауссов- гауссовского канала таков: для заданного значения о найти л-мерную унимодулярную решетку, минимизирующую значение A5), где П — многогранник Вороного решетки (его объем равен 1). Теперь ясна разница между четырьмя основными пробле- проблемами для решеток. Пусть Л— решетка с многогранником Во- Вороного П единичного объема. В проблеме упаковки (см. § 1 гл. 1) мы минимизируем вписанный радиус многогранника П, в проблеме покрытия (см. § 1 гл. 2) мы минимизируем описан- описанный радиус, в проблеме квантизатора (см. § 3 гл. 2) мы мини- минимизируем второй момент <3(П), а в проблеме кодирования для канала мы минимизируем Ре (задаваемое формулой A5)). Ответы в проблеме кодирования для канала, вообще говоря, зависят от а. К сожалению, в отличие от выражения для ошиб- ошибки квантизатора, задаваемого формулой (87) гл. 2, интегралы в A4) и A5) не удается точно посчитать даже в простых слу- случаях (кроме случаев размерности 1 и 2 или же когда П — куб;
§ 1. Проблема кодирования для канала 97 в этой ситуации Ре может быть выражено в терминах функции ошибки A8)). Из-за трудностей в вычислении интеграла боль- большинство исследователей заменяют A4) на более простое вы- выражение. Видимо, наиболее полезной оценкой является следующая граница объединения (см. [Wei7], [Wozl]). Рассмотрим мно- многогранник Вороного V(Ck) k-v\. точки кода Ck. Допустим, что его грани определяются г точками кода Ck\, ¦¦¦, Ckr (т. е. это релевантные точки для Ck в терминологии разд. 1.2 гл. 2). До- Дополнение к V(Ck) содержится в объединении соответствующих полупространств. Поэтому в предположении, что передается точка Ck, вероятность ошибки Р<*> ограничена следующей ве- величиной: е «—'СГ V23t 1-1 Р/ где py = (I/2)||Cfc — СА/||. Перепишем это в виде П*> < У ~ erf с (—%=¦}, A7) ^2 V а V2 У где оо M -pdt A8) — функция ошибки [Abr 1]. Верхняя граница для выражения A8) получается подсчетом вклада полупространств, соответ- соответствующих всем точкам С =?= Ck. Усредняя по k, мы получим Ре<±У У ±erfc^=P-. A9) При 0-vO правая часть A9) приближается к Ре. Это случай, когда Р ^> а, т. е. случай большого отношения сигнал/шум. Пусть р =minp; равно половине минимального расстояния ме- между точками кода, и пусть t — среднее число точек кода на расстоянии 2р от данной точки кода. (Это не то же самое, что среднее контактное число1).) Тогда для малых сг решение про- проблемы кодирования получается минимизацией выражения — t erf с Г—р-т=Л. B0) 2 VorV2 / ') Среднее контактное число определяется как усреднение числа точек, находящихся на минимальном для данной точки расстоянии от нее, которое, вообще говоря, больше минимального расстояния кода.—Прим. перев.
98 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы Таким образом, даже при малых сг не совсем верно было бы говорить, что проблема кодирования совпадает с проблемой упаковки шаров, поскольку последняя максимизирует р, но не обращает внимания на т. На противоположном конце, при боль- больших а, можно аппроксимировать ехр {—хх/Bа2)} в A4) с по- помощью 1—х-х/Bа2)-\- ..., и тогда проблема кодирования сов- совпадет с проблемой квантизации. 1.4. Решетчатые коды для гауссовского канала. Рассмотрим теперь более подробно решетчатую проблему кодирования для канала. В одно- и двумерном случаях оптимальная решетка не зависит от сг. (В размерности один имеется лишь одна решетка, а оптимальность двумерной гексагональной решетки для всех а получается подстановкой f (х) = (сг д/2п) ехр{— х2/2о2} в тео- теорему на с. 133 книги [Fej 10].) Предположим, что а мало. По формуле B0) вероятность ошибки Ре приближается числом Пусть код состоит из всех точек решетки С с N(C)^. пР. Число его точек М задается равенством М ¦ Vn ¦ р" = А • Va (nP)nn (I + о A)), B2) (где оA)-»-0 при М-*- с»), так что B3) Средняя норма точек кода равна B4) (см. [Са17, Ш. 4]). Для проводимого нами анализа лучше оп- определить скорость кода формулой R= — log2.M бит/размерность B5) (а не формулой (9)). Тогда p = ^?f A1/n(l+0(l)). B6) Определим также нормализованное отношение сигнал/шум кода равенством s==~?!Qr==l№- B7)
§ 1. Проблема кодирования для канала 99 i i i I I i t i i I i i i i Г I I r.-t 5 10 15 20 ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ S Ряс. 3.3. Наименьшей известная вероятность ошибки Ре (формула B8)} для любой «-мерной решетки как функция нормализованного отношения сиг- сигнал/шум 5 (формула B7)) для различных размерностей п sg; 48. Собирая воедино B1), B6) и B7), мы получим итоговую' оценку для вероятности ошибки кода для гауссовского канала с нормализованным отношением сигнал/шум 5, получаемого из n-мерной решетки с плотностью А и контактным числом т: B8> Эта оценка становится точнее с ростом 5. Для больших зна- значений х erfc (x) следовательно, log P"e ~ const - (у иА2/га log e) S. B9> C0> Используя формулу B8), мы вычислили вероятность ошибки для различных решеток. На рис. 3.3 показаны решетки в размерностях 2, 4, 8, 24 и 48 с наименьшими известными значениями Р" для Р" < 10~3. В этом диапазоне наилучшие
100 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы известные сейчас решетчатые коды совпадают с плотнейшими известными решетчатыми упаковками шаров. Кроме того, в этом диапазоне lg Ре является линейной функцией от S, наклон ко- которой задается формулой C0). Из формул B8) — C0) видно, что пока все плотнейшие ре- решетчатые упаковки шаров в iR" имеют одно и то же контакт- контактное число, при а-»-0 (или S->-oo) решетчатая проблема коди- кодирования совпадает с решетчатой проблемой упаковки шаров. Если же имеются две или более решетки равной плотности с различными контактными числами, то следует предпочесть решетку с наименьшим контактным числом. Мы также вычислили Ре для различных решеток малой раз- размерности «точно» по формуле A5), используя метод Монте- Карло. Результаты (до сих пор не опубликованные) согла- согласуются со значениями, получающимися из B8). Более грубая мера эффективности кода дается величиной \х/Е, где [I — квадрат минимального расстояния между точками кода, а Е — их средняя норма (или энергия). Назовем (номи- (номинальным) кодовым выигрышем кода с параметрами \ii и ?i по сравнению с другим кодом с параметрами цг и Е2 величину Например, беря код, состоящий из точек С решетки Л с нор- нормой, не превышающей пР, из формул B3) и B4) получаем о + 'О»- <32> Для сравнения используем примерно равное число точек, рас- расположенных n-мерным кубическим массивом с центром в на- начале координат (т. е. практически одномерный код). Для этого кода Номинальный кодовый выигрыш, полученный с помощью ре- решетки Л, таким образом, равен (n + 2)A2/"}. C4) Кодовые выигрыши различных решеток в размерности до 128 приведены в табл. 3.1. Эта таблица также указывает для каж- каждой решетки значение у = 4б2/га (где 8 = A/Vn). Величина у яв- является нижней границей для постоянной Эрмита (задаваемой формулой D7) гл. 1) ив свете соотношений B8) — C4) пред- представляет собой другую меру кодового выигрыша решетки.
§ 1. Проблема кодирования для канала 101 Как указал Форни [Forl], оценку A9) для Ре можно свя- связать с тэта-рядом решетки. Поскольку (см. [Mit 6, р. 291]) получаем C5) где q = e~1/<aa2\ причем правая часть стремится к Ре при а-»-0. Велти [Wei 6] и Велти и Ли [Wei 7] использовали формулу B0) для оценки Ре в случае других четырехмерных кодов, по- Таблица 3.1. Номинальный кодовый выигрыш (формула C4)) для различных решеток из табл. 1.2 и 1.3, значения центральной плотности б, а также у = 4б2/", нижней границы постоянной Эрмита ft 2 4 б 8 12 16 24 48 64 80 128 Решетка Лг D4 Ее Еь К\г Л16 Л24 Рщ Рб*с П(Е,) S 1/C2V3). 1/8 . 1/(8л/3) 1/16 1/27 1/16 1 C/2)и 222 288 выигрыш 0.825 1.961 2.832 3.739 4,514 5.491 7.1N 9.037 9.397 10.070 11.557 У 1.155 1.414 1.665 2 2.309 2,828 4 6 6.442 7.464 10,375 лученных из решеток. Другие приближенные формулы для ве- вероятности ошибки для решетчатых кодов использованы в [Bia 3] (см. также [Slo 11]) ив [Bud 2]. Проблемы кодирования для канала, описанные в этом па- параграфе,— зто идеализированные математические проблемы. На практике ситуация оказывается сложнее, и следует учиты- учитывать многие дополнительные факторы. Теорема Шеннона пред- предполагает, что Г (продолжительность сигналов) и п (размер- (размерность) должны расти для уменьшения вероятности ошибки, но и то, и другое приводит к задержке процессов кодирования и декодирования и усложняет их. Для используемых на прак- практике кодов должны существовать эффективные алгоритмы
102 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы кодирования и декодирования. Далее, кроме гауссовского шума должны учитываться и другие типы искажения сигналов (на- (например, взаимовлияние символов и шум, возникающий вспыш- вспышками). Было предложено много других конструкций кодов для ка- канала с целью использования на практике: например, переста- перестановочные коды [Bil2], [Sle2], «групповые коды» (см. разд. 4.2) и коды, описанные в работах [Cam 4], [Ein 1], [Ein2], [Fos 1], [Fos2], [Gaol], [Ger 4], [Gill], [GinlJ, [Kanl], [Ker 2], [Kril], [Lazl], [Sayl], [Zetl], [Zet2]. См. также ссылки по поводу конструкций сферических кодов, приведенные в разд. 2.3 гл. 1. В последние годы геометрические коды для канала описан- описанного в этом параграфе типа комбинировались с кодами, исправ- исправляющими ошибки (см. § 2), особенно со сверточными кодами, с целью получить так называемые схемы с решетчатой кодовой модуляцией (ТСМ). Эти коды, имеющие на самом деле очень большую размерность, обладают тем не менее практически при- применимыми алгоритмами кодирования и декодирования. См. [Andl], [Cal2] — [Cal8], [Fall], [For 2]—[For 3], fUngl], [Weil], [WiI20]. § 2. Коды, исправляющие ошибки 2.1. Проблема кодов, исправляющих ошибки. Другая идеали- идеализированная модель канала, изображенного на рис. 3.1, — это двоичный симметричный канал. Для этого канала входными и выходными символами являются 0 и 1, и имеется некоторая фиксированная ненулевая вероятность р<1/2 того, что при передаче одного символа @ или 1) будет получен другой сим- символ; с вероятностью 1—р>1/2 будет получен правильный символ. Двоичный код1) С длины п — это множество двоич- двоичных векторов (называемых кодовыми словами), имеющих п ко- координат, т. е., другими словами, подмножество из F*, где F2 = = {0, 1} — конечное поле (поле Галуа) из двух элементов. Аналогично, q-ичный код — это подмножество в F", где Fq — конечное поле из q элементов; q является степенью про- ') Строго говоря, это — блоковый код. Важное конкурирующее семей- семейство составляют сверточные коды (см., например, [Lin 0], [Vit 1]). Хотя свер- точные коды и важны для многих практических применений, они не связаны прямо с геометрическими задачами, обсуждаемыми в этой книге. [Все рассматриваемые здесь коды (как блоковые, так и сверточные) называются кодами, исправляющими ошибки, или корректирующими кода- кодами. — Перев)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 103 стого числа. Кроме Гг особый интерес представляют поля из трех или четырех элементов: f3 — {0, 1, —1), [F4 == {0, 1, со, ш2}, где со2 = ю = ш + 1, (й3 = 1. Эти коды используются в q-ичном симметричном канале, где символы, используемые на входе и выходе, занумерованы элементами из fq. Как и в разд. 1.2, мы хотим выбирать кодовые слова так, чтобы их можно было легко отличать друг от друга даже при наличии ошибок. Чтобы сформулировать это точно, определим расстояние Хэмминга между двумя векторами и = (щ, ..., ип), v=(vi, ..., vn), Ut, vt e fq, как число координат, в которых они различаются: d(u, v) = \{i: ut ф vt}\. Весом (Хэмминга) wt(«) вектора и называется число ненулевых координат и,; та- таким образом, d(u, o) = wt(« — v). C6) Минимальное расстояние d кода определяется как min{d(и, v): и, эеС, и ф о}. C7) Если минимальное расстояние кода равно d, то «шары Хэм- Хэмминга» радиуса [41 C8) с центрами в кодовых словах не пересекаются (так что р яв- является радиусом упаковки этого кода, см. формулу B2) гл. 2) и, следовательно, код может исправить р ошибок. Код длины п, состоящий из М слов и имеющий минимальное расстояние d, называется (п, М, d) -кодом. Линейный код С — это линейное подпространство в F": множество кодовых слов замкнуто относительно сложения век- векторов и покоординатного умножения на элементы из fq. Раз- Размерность k (иногда записываемая как dim С) равна размерно- размерности этого подпространства, код С содержит qk слов. Скорость кода — это R = — log2 M = — log2 q бит/символ '). C9) Линейный код длины п, размерности k и с минимальным рас- расстоянием d называется [п, k, d] -кодом (иногда также [п, k] - кодом). Минимальное расстояние линейного кода равно мини- минимальному ненулевому весу его кодовых слов: d = min{wt(«): кеС, иФ 0}. D0) *) Часто скоростью (или скоростью передачи) q-пчного кода называется другое число R = kin, понимаемое как безразмерная величина.— Прим. перев.
104 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы В хорошем коде п мало (чтобы уменьшить задержку), М ве- велико (для того чтобы канал использовался эффективно) и d велико (чтобы исправлять много ошибок). Естественно, эти цели несовместимы. Проблема корректирующих кодов такова: при заданных п и d найти А(п, d), равное максимальному числу кодовых слов в (п, М, с?)-коде. Для линейных кодов имеется аналогичная проблема. Эти проблемы, как правило, не решены. Однако найдено много верхних и нижних границ для A(n,d), и известно большое количество конструкций кодов. Таблица значений А(п, d) при д ^ 24 приводится ниже (табл. 9.1 гл. 9). Другие таблицы можно найти в работах [Bes 3], [Che 1], [Gra 2], [Hel 7], [Mac 6], [Pet 3], [Pro 1], [Slo 13], [Ver 1], (Zin 2], [Zin 4]. В гл. 5 и 7 мы увидим, что между кодами и упаковками шаров, а также между линейными кодами и решетчатыми упа- упаковками имеются сильные связи. Это и не удивительно, так как проблема корректирующих кодов также является проблемой упаковки, только не в R", а в F" или F™. Равновесным кодом называется код, все слова которого имеют один и тот же вес. Двоичные равновесные коды являются дискретным аналогом сферических кодов, описанных в разд. 2.3 гл. 1. Поскольку коды подробно описаны в книге [Мае 6], а также имеется много других доступных работ ([Ass4], [Вег4], [Вегб], [Bla2], [Bla5], [Bla9], [LinO], [Lin И], [Pet3], [Vitl]), в этой главе мы ограничимся лишь кратким обсуждением. В сле- следующем разделе мы введем некоторые дополнительные обозна- обозначения и приведем ряд примеров. Проблема покрытия, обсуждавшаяся в гл. 2, также имеет двоичный аналог: мы хотим найти наименьшее число перекры- перекрывающихся шаров Хэмминга, покрывающих F". Эквивалентным образом определим радиус покрытия кода С как maxmind(x, с) (^еГ*,сеС). D1) X С Кодовый вариант проблемы покрытия таков: для заданной длины и заданного радиуса покрытия найти наименьшее воз- возможное число кодовых слов. Мы не обсуждаем в этой книге такие покрывающие коды, отсылая читателя к [Coh 3], [Coh 4], [Dow 4], [Gra 4], [Kill], [Kil 2], [Slo 15], [Slo 16]. Гораздо меньше известно по поводу двоичного аналога проблемы кван- квантизатора. 2.2. Дальнейшие определения из теории кодирования. Мно- Многие из приводимых определений аналогичны соответствующим
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 105 определениям для упаковок шаров. Пусть В— мономиальная матрица размера п X п, т. е. матрица, содержащая в точности один ненулевой элемент из fq в каждой строке и в каждом столбце. Множество таких матриц образует полную мономиаль- ную группу над fq порядка (q—\)пп\. Матрица В переводит код С над fq в эквивалентный код С'=СЙ = {«Я: кеС}. D2) Если С — тот же самый код С, то матрица В принадлежит к группе автоморфизмов Aut (С) кода С (соответствующее по- понятие для упаковок шаров определено в § 3). Тогда число ко- кодов, эквивалентных коду С, равно | Aut (С) | • Линейный [п, k] -код С может быть задан порождающей матрицей. Это матрица М размера k X п, такая, что С состоит из всех линейных комбинаций (с коэффициентами из fq) строк М. Всегда можно найти эквивалентный С код с порож- порождающей матрицей вида G = [Ik\A], D4) где 1ц обозначает единичную матрицу размера k X k, a A — не- некоторая &Х(« — k) -матрица. Сопряжение в поле fq, где q = ра, р — простое число, опре- определяется как х-*-х = хр для х е fq1)- Похожее понятие исполь- используется для векторов: п = (пи ..., пп), матриц и т. д. Двойствен- Двойственный, или дуальный, код2) определяется как C' = {xsF;; х ¦ п = 0 для всех неС} D5) (см. формулу B4) гл. 1 и формулу F5) гл. 2); dimC* = = n — dim С. Код называется самодвойственным (или авто- автодуальным), если С= С*; длина такого кода п четна, и dim С= = п/2. Если порождающая матрица кода С задается формулой D4), то С* имеет порождающую матрицу l~AT\In-k} D6) и код С самодвойствен тогда и только тогда, когда D7) ') Если q = р2е, то иногда удобно считать сопряжением отображение х -> хр . — Прим. перев. 2) Иногда двойственный код определяется как {х е F": х-и = 0 для всех и е С}. — Прим. перев.
106 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы Среди самодвойственных кодов имеются четыре особенно интересных семейства, состоящие из кодов, все веса слов кото- которых кратны некоторой константе с > 1. Веса слов двоичного самодвойственного кода всегда четны. Некоторые двоичные са- самодвойственные коды обладают тем свойством, что веса всех кодовых слов делятся на 4; такие коды называются кодами типа II (или второго типа, или дважды четными), а все осталь- остальные двоичные самодвойственные коды — кодами типа I (или первого типа). Веса всех слов троичных самодвойственных ко- кодов делятся на 3; такие коды называют кодами типа III (треть- (третьего типа). Наконец, все веса самодвойственных кодов над F4 четны; это — коды типа IV (четвертого типа). Глисон и Пирс показали, что эти коды исчерпывают список возможностей: два доказательства этой теоремы даны в книге [Slo 10, § 6.1]. Коды типов I, II, III и IV существуют тогда и только тогда, когда длина п делится соответственно на 2, 8, 4 и 2 (см. гл. 7). Похожие результаты для решеток приведены в разд. 2.4 и 2.6 гл. 2. В гл. 7 мы расскажем, что известно о перечислении таких кодов. Пусть С есть (n,M,d)-кол, над Fq. Через Ai(c) обозначим число кодовых слов, находящихся на расстоянии Хэмминга i от слова с^С. Набор чисел {At(c)} называется весовым спектром кода С по отношению к слову с. Естественно, Л0(с) = 1, Av(c)^ ^0 и ^ At(c) = M. Числа Л,-(с) удовлетворяют также некото- некоторым менее очевидным неравенствам, обнаруженным Дельсар- том, которые играют ключевую роль в теории. Эти неравенства обсуждаются в гл. 9. Для линейных (и некоторых нелинейных) кодов числа At(c) не зависят от с и обозначаются Ai. Весовым энумератором. (Хэмминга) линейного кода С называется многочлен Wc (x, y)= Z х- wt («yvt «о = D8) г=0 D9) Это однородный многочлен, степень которого равна длине кода; ои очень напоминает тэта-ряд решетки (см. формулы C1) и C2) гл. 2). Тождества Мак-Вильяме [Мае 2], [Мае 6, гл. 5] выражают весовой энумератор двойственного кода С*: WC'(x,y) = -JlrWc(x + {q-\)y,x-y) E0)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 107 — сравните их с формулой D3) гл. 2. Имеется обобщение на нелинейные коды (см. [Мае 6, § 5 гл. 5], [Мае 7]). Весовой энумератор Хэмминга классифицирует кодовые слова по числу ненулевых координат. Более подробную инфор- информацию предоставляет полный весовой энумератор (или п. в. э., мы обозначаем его символом ewe), задающий число кодовых слов с данным набором букв. Например, п. в. э. троичного «ода С равен cwec(*, у, 2)= ? sV-y'V-™, E1) ие=С где nt (и)— число вхождений ie f3 в слово и. Имеется вариант тождеств Мак-Вильяме и для п. в. э. Для кодов, как и для решеток (см. формулу D7) гл. 2), имеются масс-формулы, задающие явные константы а0, такие, что где сумма берется по всем неэквивалентным кодам определен- определенного типа (например, типа II и длины п), см. [Мае 6], [Slo 10]. Чуть более общий вариант дает явную формулу для выражения E3) Aut(C)| ' с (n, M,d)-mji над Г, можно удлинить до (п-\- \,M,df)-код,а, добавляя проверку на четность сп = -1,с; E4) 1=0 к каждому кодовому слову СоС] ... сп-\. Если q = 2 и d нечетно, то удлиненный код имеет rf' = d -f- 1. 2.3. Коды с повторением, код с нулевой суммой и другие простые коды. Начнем с некоторых простых примеров кодов. B.3.1) Нулевой [п, 0, п]-код длины п содержит только одно кодовое слово 00 ... 0. B.3.2) Полный (или универсальный) [п, п, 1]-код F" двойст- двойствен коду B.3.1). B.3.3) [п, 1,п]-код с повторением состоит из всех слов вида ¦аа ... а, а е Тя. B.3.4) [п, п—1,2]-код с нулевой суммой состоит из всех векторов, удовлетворяющих условию X с{ — 0; он двойствен коду B.3.3). При q = 2 он еще называется кодом с проверкой на четность, поскольку состоит из всех двоичных векторов,
108 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы содержащих четное число единиц; иногда этот код обозна- обозначается <§п- 2.4. Циклические коды. Код называется циклическим, если для каждого кодового слова с$с\ ... сп-\ слово сп~\сйс\ ... сп~2 также кодовое. Если не оговорено противное, то предполагается, что циклический код линеен. Пусть q = ра, где р— простое число, и пусть С — цикличе- циклический [n,k,d]-код над F,. Удобно представлять слово с = = CqCi . . . Сп-\ S С МНОГОЧЛеНОМ с(х) = Со + С\Х -|- • • . + Сп-\Хп~Х в кольце Rn(x) многочленов с коэффициентами из ffq по мо- модулю хп— 1. Тогда циклический сдвиг слова с представляется многочленом хс(х) и линейный циклический код представляется идеалом в кольце Rn{x) (см. [Мае 6, гл. 7]). Этот идеал по- порожден одним многочленом g(x), который называется порож- порождающим многочленом кода. Легко видеть, что g(x) делит х"—1 над fq и что размерность С равна k = п — degg(x). Примеры. Для полного кода g(x)= 1, для кода с нулевой суммой g(x)=x— 1, а для кода с повторением g(x)= 1 + + х+ ... +х"--'. B.4.1) [7, 4,3]-код Хэмминга 2в7 — это двоичный код дли- длины 7 с порождающим многочленом g (х) = 1 -\- х + хг; его по- порождающая матрица равна 1 10 10 0 0 0 110 10 0 о о 1 1 о 1 о '¦ E5) 0 0 0 110 1 где строки соответствуют g(x), xg(x) и т. д. Код <5#7 имеет ве- весовой спектр Ай — 1, А3 = Ai = 7, A7=l, что мы сокращенно записываем в виде Группа автоморфизмов AutE^7)—это группа Клейна порядка 168. Двойственный код Ж*7 — это [7, 3,4]-код с весовым спек- спектром 0'47; его кодовые слова являются вершинами правильного симплекса. B.4.2) Расширенный [8, 4, 4] -код Хэмминга Ж& получается добавлением к 5^? проверки на четность. Если обозначить ко- координаты в матрице E5) цифрами 0, 1, 2, ..., 6, а добавлен- добавленную проверочную координату — символом оо, то код 36% содер-
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 109 жит 14 кодовых слов веса 4: слова веса 4 с 1 в координатах оо 124, оо235, оо346, оо 450, oo561, оо 602, оо 013 E6) и их дополнения. Другая его порождающая матрица — это 1° 0 Vi 0 0 1 1 Весовой спектр кода Ж равен и Aut(<?^8)—аффинная 0 1 0 1 0 1 1 1 8 равен группа 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 :)¦ 1 ) 0'41481, его весовой порядка 8 • 7•6•4 = E7) энумератор : 1344. Этот важный код имеет много общих свойств с решеткой Ев- На- Например, Ж%—наименьший нетривиальный пример самодвой- самодвойственного кода типа II. Вернемся к общей теории. Пусть п взаимно просто с q, и пусть а — примитивный корень п-и степени из единицы; тогда ff () Если мультипликативный порядок числа q по модулю п равен т, то ае Fq', где q' = qm. Кроме того, Я(*)=П (*-«') E8) для некоторого множества К^{0, 1, ..., п—1}, и поскольку g(x) делит хп—1 над (F?, если te/C, то qi^K [Mac 6, гл. 7]. Корни а} для ie К называются нулями кода. Имеются хорошие нижние границы для минимального расстояния циклического кода в терминах его нулей, см. работу Ван Линта и Уилсона [Lin 13]. B.4.3) Например, двоичный код Хэмминга Збп с парамет- параметрами п — 2т—1, k~n — т, d=3 получается при /С={1, 2, 4, ..., 2т~'}, так что g(x)—минимальный многочлен элемента а. B.4.4) Добавляя проверку на четность, мы получим рас- расширенный код Хэмминга Ж$п с параметрами [2т, 2т — т — -1,4]. 2.5. БЧХ-коды и коды Рида — Соломона. Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема, или ЪЧХ-коды, длины п с конструк- конструктивным расстоянием d над полем fq — это циклические коды,
ПО Гл. 3. Коды, t-схемы и группы корнями порождающих многочленов которых являются в точ- точности а, а2, а3, ..., ай~х и все с ними сопряженные ([Вег 4], [Lin 11], [Mac 6, гл. 7—9], [Pet3]). Истинное минимальное рас- расстояние между словами этих кодов не меньше конструктивного расстояния и, вообще говоря, может превышать его. БЧХ-коды длины п = qm—1 называются примитивными. Например, примитивные двоичные длины п — 2т — 1 с конструк- конструктивным расстоянием 3 — это коды Хэмминга. БЧХ-коды над fq длины n = q—1 обычно называются ко- кодами Рида — Соломона; они были открыты первыми и очень важны как в практическом, так и в теоретическом аспектах, см. [В1а2], [Мае 6, гл. 10], [Reel]. Минимальное расстояние кода Рида — Соломона равно его конструктивному расстоянию. Итак, код Рида — Соломона над IF? с параметрами [п — q—1, k, d = п — k + 1] имеет порождающий многочлен вида g(х) = (х — аь)(х — ab+l) ... (х — ab+d~2), E9) где а — примитивный элемент в fq. Обычно полагают 6 = 0 или 1. Такие коды существуют для всех q и 1 ^ k ^ п. Код Рида — Соломона можно расширить, добавляя одну, две или три дополнительные координаты, см. [Мае 6, гл. 10, 11]. Для любых q и k существуют расширенные [q,k,q — k-\-\}- и [q+l, k, q — &-|-2]-коды Рида — Соломона над Tq; кроме того, существуют трижды расширенные [2т -\- 2,3,2т] - и \2т + 2, 2т—1,4]-коды Рида — Соломона над fq при q = 2m. Для любого линейного кода d^.n — k + 1 {граница Сингл- гона [Мае 6, гл. 1]). Коды с d==n — k-\-l называются разде- разделимыми кодами с максимальным расстоянием (или МДР-кода- ми); таковы коды, приведенные в B.3.2) — B.3.4). Мы приведем два особенно интересных примера МДР-кодов; они также являются расширенными кодами Рида — Соломона, кроме того, они самодвойственны. B.5.1) Троичный [4, 2, 3] -тетракод ^ задается порождаю- порождающей матрицей (о I J !)• <бо> его весовой энумератор равен г|з4 = л:4 + 8лгг/3, F1) а полный весовой энумератор равен л^з^ + гK}. F2) Группа автоморфизмов кода ^ есть 2.S4, где Sn — симметри- симметрическая группа порядка п\.
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 111 B.5.2) [6,3,4]-гексакод Фв над р4 задается порождающей матрицей •001 О 1 О 1 со й I. F3) Следующая матрица задает эквивалентный код: 1 0 0 1 а «\ О 1 0 со 1 со I. F4) ,0 0 1 со а 1 / Используя определение F3), можно получить 64 кодовых слова гексакода из пяти слов 01 01 сой coco coco coco 00 11 11 F5) 11 coco сой 00 00 00 произвольным образом переставляя три пары, обращая порядок в любом четном числе пар и умножая на любую степень эле- элемента со. Эти пять слов имеют соответственно 36, 12, 9, 6, 1 об- образов. Весовой энумератор Хэмминга кода ?f6 равен х6 + 45х2у4+ Щ6 F6) и Aut(??6) = 3-Аб, где Ап — знакопеременная группа порядка п\/2. (Используя автоморфизм поля, переставляющий шиш, получаем чуть большую группу 3.S6.) Этот код лежит в основе MOG-конструкции решетки Лича, см. § 11 гл. 4 и гл. 11. 2.6. Коды Юстесена. Для больших п БЧХ-коды довольно пло- плохи: при фиксированной скорости R отношение d/n стремится к 0 при п-*-оо. Напротив, коды Юстесена — это задаваемое явно семейство двоичных линейных кодов, для которых и R, и d/n не стремятся к нулю с ростом п. Мы приведем набросок их конструкции, подробности можно найти в [Jusl], [Mac 6, гл. 10]. Начнем с кода Рида — Соломона С над \fq, q — 2m, длины N = 2т—¦ 1, размерности К и с минимальным расстоя- расстоянием D = N—К-\-\. Пусть а — примитивный элемент из fq. Для произвольного кодового слова с = (сас\ ... Ov-i), с, е Fk,
112 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы из кода С положим с' = (с0, с0, с,, ас, Слг_,, а"-1^..,); F7) это вектор длины 2N над fg. Поле F? (для g = 2т) является m-мерным линейным про- пространством над рг, так что имеется взаимно однозначное соот- соответствие между Tq и F™. Пусть с" получается из с' заменой каждой компоненты на соответствующую двоичную т-щ. Тогда с" — двоичный вектор длины n—2mN; множество всех векто- векторов вида с", соответствующих с е С, образует код Юстесена. Его двоичная размерность равна k = mK, а скорость равна R = k/n= K/2N < 1/2. Поскольку С — код Рида — Соломона, многие из чисел с,- от- отличны от нуля. Так как каждое с, умножается на свою степень а, двоичные 2т-км, соответствующие ненулевым парам (с,, а'с,), различны. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что значи- значительная часть компонент вектора с" отлична от нуля; можно по- показать (см. приведенные выше ссылки), что минимальное рас- расстояние d кода Юстесена удовлетворяет неравенству 4^0.110A-2/?) F8) при 0 <С R < 1/2. Коды Юстесена с большей скоростью могут быть получены удалением подходящего числа координат из с". Конструкция Юстесена обобщена Уэлдоном [Well], а так- также Сугиямой с соаторами [Sug 1] — [Sug3], что позволяет по- получать коды с большими скоростями и минимальными рас- расстояниями. 2.7. Коды Рида — Маллера. Двоичным весом W(i) неотри- неотрицательного целого числа i назовем число единиц в его двоич- двоичном разложении. Для 1 ^Z r ^ т — 2 двоичный выколотый код Рида — Маллера порядка г длины п = 2т — 1 — это цикличе- циклический код, нулями порождающего многочлена которого являются такие а1, что 1 < i^2m —2 и 1 < W(i)^ m — r—l. Код Рида — Маллера (РМ-код) порядка г длины 2т полу- получается добавлением проверки на четность к выколотому коду Рида — Маллера порядка г при 1 ^ г ^ т — 2. РМ-код по- порядка г имеет параметры [-*¦• *-§(?)¦ '-*"-']• F9) РМ-коды порядков 0, т — 1 и т суть соответственно код с по- повторением, код с проверкой на четность и полный код. РМ-коды
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 113 порядка т — 2 — это расширенные коды Кэмминга. РМ-коды по- порядков г и т — г—1 двойственны друг другу (для любого г). В частности, Ж% — это код Рида — Маллера первого порядка. Коды Рида — Маллера можно также определить в терминах булевых функций, см., например, [Мае 6, гл. 13]. О весовых спектрах РМ-кодов известно довольно много; например, число кодовых слов минимального веса d = 2m~r равно т — т—\ Пппг-t _ . а'-,-,.1,. G0) (=0 см. [Мае 6, гл. 13—15]. Из определений видно, что БЧХ-коды и РМ-коды образуют вложенные семейства. Точнее говоря, БЧХ-код с конструктив- конструктивным расстоянием d содержится в БЧХ-коде с конструктивным расстоянием d—1, а РМ-код порядка г содержится в РМ-коде порядка г -f-1, РМ-код порядка г является подкодом кода, по- полученного добавлением проверки на четность к БЧХ-коду с кон- конструктивным расстоянием 2m~r— 1. 2.8. Квадратично-вычетные коды. Пусть р и п — простые числа, причем р является квадратом по модулю п. В наиболее важном случае р = 2 это означает, что п — простое число вида 8т ± 1. Квадратично-вычетный код длины п над fp — это цик- циклический код, корни порождающего многочлена которого суть {а>: i—ненулевой квадрат по модулю п) (см. [Lin 11], [Mac6, гл. 16], а также [Leo 5], [Leo 6]). Иными словами, корни рав- равны а', где i — квадратичный вычет по модулю п. Размерность этого кода равна (п-\-\)/2. Расширенный квадратично-вычет- квадратично-вычетный код получается добавлением проверки на четность. Если п имеет вид Аа — 1, то расширенный код самодвойствен. В част- частности, расширенные двоичные квадратично-вычетные коды дли- длины Ъпг являются самодвойственными кодами типа II. Например, при q — 2, п = 7 мы снова получаем коды Хэм- минга Ж^ и Зё&. B.8.1) Двоичный [23, 12, 7]-код Голея ^23 — это квадратич- но-вычетный код длины 23. B.8.2) Расширенный [24, 12,8] -код Голея ^24 получается добавлением к ^з проверки на четность. Одна из многих воз- возможных порождающих матриц изображена на рис. 3.4. Код *&2\ имеет весовой спектр О1 8759 122576 16759 241 G1)
114 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы и (что эквивалентно) весовой энумератор х24 + 759* V + 2576*'y2 + 759х8у16 + У ,24 G2) Группа автоморфизмов ^24 — это группа Матье Мы (см. гл. 10). Как мы увидим ниже, код ^24 имеет много общих свойств с решеткой Лича. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 О 1 \ О 1 1 i О О О i О 1 1 О 1 1 О 1 1 1 О О О 1 1 2 1 О 1 О 1 1 О О О 3 О 1 О 1 О 1 1 1 О О i 4 О О 1 О 1 1 О 1 1 1 О i 5 О О О i О 1 1 О 1 1 6 1 О О О i О 1 О 1 1 7 1 1 О О О 1 О 1 1 О 1 1 8 1 1 О О О 1 О 1 1 О i 9 0 1 1 О О О 1 О 1 1 1 10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 i о" Рис. 3.4. Порождающая матрица двоичного кода Голея S?24- В пустых местах должны стоять нули. Конфигурация нулей и единиц в правой половине опре- определяется квадратичными вычетами по модулю 11. B.8.3) При <7 = 2, п = 47 мы получаем [47,24,11]- и [48,24, 12]-коды. B.8.4) Троичный [11, 6, 5]-код Голея 9и — это квадратично- вычетный код длины 11 над Рз- B.8.5) Расширенный троичный [12, 6, 6] -код Голея <&\2 полу- получается добавлением проверки на четность к фц. Вот одна из многих возможных порождающих матриц этого кода: G3) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 —1 —1 1 —1 —1 1 0 1 J J 1 1 1 0 1 J 1 1 —1 1 0 1 -1 1 —1 -1 1 0 1 1 1 -1 -1 1 0 Его весовой энумератор равен х12 + 264х6г/6 + 440гУ + 24г/12, G4)
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 115 а полный весовой энумератор (в предположении наличия слова, состоящего из всех единиц) — f 12 = х12 + у12 + г12 + 22 (*Y + tfz6 + z6x6) + + 220 (x^z3 + л;3г/623 + x3y3z6). G5) Группа автоморфизмов #i2 равна 2.Afi2. Коды Голея более подробно изучены в гл. 10 и 11. (См. также [Gol I], [Gol2], [Mac 6, гл. 20].) B.8.6) При <7 = 3, п = 23 и 47 получаем [24,12,9]- и [48,24, 15]-коды. Полный весовой энумератор последнего равен Е Aljkxlytzk, & где Aljk при i^zj^zk приведены в табл. 3.2. По поводу [24, 12, 9]-кода см. [Mai 2]. Заметим для дальнейших нужд, что кодовые слова максимального веса в этих троичных [12,6,6]-, [24,12,9]- и [48,24, 15]-кодах — это в точности строки мат- матрицы Адамара, возможно умноженные на —1 (см. разд. 2.13). Таблица 3.2. Полный весовой энумератор для троичного квадратично-вычетного [48, 24, 15]-кода и [48, 24, 15]-кода Плесе 1 17296 190256 190256 4280760 11225104 951280 38621968 209281600 94 2092816 138220984 1343397616 2777932180 210423136 3333094864 1236207385.6 20145351688 36133419520 i 48 33 33 30 30 30 27 27 27 24 24 24 24 24 21 21 21 18 18 j 0 12 9 15 12 9 18 15 12 24 21 18 15 12 21 18 15 18 15 k 0 3 6 3 6 9 3 6 9 0 3 6 9 12 6 9 12 12 15 Число членов 3 6 6 6 6 3 6 6 6 3 6 6 6 3 3 6 6 3 3
116 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы 2.9. Совершенные коды. Совершенный код определяется условием равенства радиуса покрытия и радиуса упаковки. Ра- Радиус упаковки (n,M,d)-кода С над Fg равен p = [(d—1)/2], и код С совершенен тогда и только тогда, когда шары Хэм- минга радиуса р с центрами в кодовых словах образуют одно- одновременно и упаковку, и покрытие для р?. (Здесь нет никакой связи с понятием совершенной квадратичной формы [Cas3].) Совершенные коды были практически полностью раскласси- расклассифицированы Тиэтявяйненом и Ван Линтом (см. [Lin 11], [Mac 6, гл. 6]). Список таков: (i) Некоторые тривиальные коды (код из одного слова, пол- полный код и двоичный код с повторением нечетной длины). (И) Коды Хэмминга, т. е. линейные коды с р = 1 над любым полем Fq с параметрами n = (qm—1)/(<7—1). k = n — т, й = Ъ при т ^ 2. (ш) Нелинейные коды с теми же параметрами, что и коды Хэмминга (эти коды не были полностью перечислены). (iv) Двоичный [23, 12,7]-код Голея ?2з и троичный [11, 6, 5] -код Голея 2.10. Дважды циркулянтные коды Плесе. Плесе (см. [Pie 9], [Pie 11], [Bla7], [Bla8], [Itol], [Mac 6, гл. 16], [Mai 2]) по- построила троичный [2р + 2, р + 1]-код S2p+2 при простых р з= =з—I(mod6). Пусть B = (bij)—матрица размера (р+1)Х Х(р + 1), строки и столбцы которой занумерованы символами оо, 0, 1, ..., р — 1, где боссе = 0, ЬЫ=\, Ь„ = 0, btoo=l, если p^=l(mod4), bloo ——1, если р==—I(mod4), Ьц=1, если / — i является квадратом modp (i ф j), Ьц = —1, если / — i не является квадратом mod p {i ф /'). Рассмотрим код 52р+2 с порождающей матрицей [/ В]. Напри- Например, при р = 5 порождающая матрица есть G3) и Su совпадает с кодом Голея ^Pi2. Следующие пять примеров — это [24, 12,9]-, [36,18,12]-, [48,24,15]-, [60,30,18]- и [84,42, ^21]-коды. Полный весовой энумератор кода S^ приведен в табл. 3.2, а для S24, 53s и 5бо — в [Mai 2]. Коды S24 и S48 имеют те же п. в. э., что и соответствующие квадратично-вычетные коды, но другие группы автоморфизмов. Ниже нам понадобятся следующие свойства этих кодов, (i) Код S2p+2 самодвойствен (типа III) и содержит вектор, со- состоящий из всех единиц, (ii) Числа минус единиц, нулей и
§ 2. Коды, исправляющие ошибки 11Г плюс единиц в каждом кодовом слове кратны 3. (Ш) Среди кодовых слов максимального веса содержатся все строки мат- матрицы Адамара и эти строки, умноженные на —1 (см. разд. 2.13), причем 5i2, S24 и ^48 не содержат никаких других кодовых слов максимального веса, (iv) Кодовые слова кодов 5i2, S24 и ^48. состоящие только из нулей и плюс единиц, имеют тип 0", 1" или /2/2 2.11. Коды Гоппы и коды из алгебраических кривых. В по- последние годы было показано, что очень хорошие коды могут быть получены из алгебраических кривых, однако в этой книге мы их не используем. См., например, [Gop 1] — [Gop5], [Hir2], [Ihal], [Kat2], [Lacl], [Len2], [Lit 4], [Man 1], [Мог 7], [Ser3], [Tsfl], [Tsf2], [Via 1] —[Via 3], [Zin3]'). 2.12. Нелинейные коды. Известно много нелинейных кодов, содержащих больше кодовых слов, чем наилучшие линейные коды той же длины и с тем же минимальным расстоянием. Вот некоторые примеры: (i) Коды, получаемые из матриц Адамара (см. разд. 2.13) и из конференц-матриц (см. [Мае 6, с. 63, 64], [Slo 18]). (И) Нелинейные коды, исправляющие одну ошибку, напри- например (9, 20,4)-код Голея, A0, 40,4)-код Беста, A2, 144,4)-код Джулина. Об этих и других кодах, исправляющих одну ошибку, см. гл. 5, [Besl], [Gol2], [Jull], [Kat 1], [Lit 1], [Mac 6, гл. 2], [Rom 1], [Slo20]. (iii) A6, 256, 6)-код Нордстрома — Робинсона (см. [Mac 6, с. 81, 82], [Nor 1], [Sem 1]) и коды Кердока и Препараты и их обобщения (см. [Кап 4], [Kerl], [Mac 6, гл. 15], [Prel]). 2.13. Матрица Адамара. Матрица Адамара Н порядка п — это матрица размера п~Х.п, состоящая из +1 и —1, с условием ННТ = nl. G6) Умножение любой строки или столбца на —1 переводит Н в другую матрицу Адамара. Этим способом мы можем добиться, чтобы первая строка и первый столбец в Н состояли из +1. Такая матрица Адамара называется нормализованной. Если существует матрица Адамара порядка п, то либо п равно 1 или 2, либо п кратно 4. Обратно, все верят, что для любого порядка п, кратного 4, существуют матрицы Адамара, хотя это и не доказано. Известно множество конструкций матриц Адамара; ') В этом году выходит также монография [Tsf 3*], целиком посвящен- посвященная алгебро-геометрическим кодам. — Прим. перев.
118 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы наименьший порядок, для которого матрица Адамара пока (на 1987 г.) не сконструирована, равен 428. Связи с теорией коди- кодирования описаны в книге [Мае 6, § 3 гл. 2]. Для целей теории кодирования матрицу Н зачастую превращают в двоичную, за- заменяя -f-1 на 0. а —1 на 1. Дальнейшая информация содер- содержится в работах [Hal I] —[Hal 3], [Наг 8], [Hedl], [Ito2], [Leol], [Levl], [Lin 10], [Lon 1], [Lon2], [Mac 6], [Sawl], [Ton I], [Tur 1], [Wai 2]. § 3. f-схемы, системы Штейнера и сферические f-схемы 3.1. f-схемы и системы Штейнера. ^-схемы — это равновесные коды, удовлетворяющие некоторым условиям, похожим на ус- условия, справедливые для совершенных кодов (но несколько бо- более слабым). Пусть X есть о-множество (т. е. множество из и элементов; его элементы мы называем точками; t-схема — это набор различных й-подмножеств множества X (называе- (называемых блоками), такой, что любое ^-подмножество из X содер- содержится в точности в К блоках. Такой набор называют также t- (v, k, К) -схемой. Если А,= 1, то ^-схема называется системой Штейнера S{t,k,u). Истоки этой области лежат в применении таких схем в сельскохозяйственных экспериментах, но сейчас они используются во всех областях науки [Dia 3]. Если Х= {1, 2, ..., и}, то каждый блок В^Х может быть представлен своим характеристическим вектором (cit ..., cv), где Ci = 1, если feB, и С; = 0, если 1фВ. Таким образом, ^-схема превращается в двоичный код длины и, каждое слово которого имеет вес k. Обычно не имеет смысла различать блок и его характеристический вектор. Параметры ^-схемы должны удовлетворять определенным арифметическим условиям. Пусть Pi, ..., Pt^.X—различные точки. При l^Ci^C^ число блоков, содержащих Р\, ..., Pi, равно -J/i*-J G7) а общее число блоков равно Ж) <78> Каждая точка принадлежит г = Х\ блокам, где bk = vr, G9) l(v — l) = r(k—l) при ^>2. (80)
§ 3. t-схемы, системы Штейнера и сферические t-схемы 119 При данных t, k и и мы хотим найти схему с наименьшим X, т. е. с наименьшим числом блоков. Конечно, необходимым усло- условием существования схемы является целочисленность правых частей формул G7) и G8). В некоторых случаях эти условия также и достаточны (например, для систем Штейнера 5B, 3, v) y 5B, 4, v), 5 B, 5, v) и 5 C, 4, v)), но это не всегда так. В общем случае точные условия существования t-схем неизвестны. Даль- Дальнейшая информация о ^-схемах содержится в [Ass 2] —[Ass 4], [Cam 2], [На13], [Hani], [Han 2], [Hug 2], [Hug3], [Jacl], [Lan5], [Lin3], [Mac 6, гл.2], [Ragl], [Ton 4], [Wil 18], [Wil 19]. Многие ^-схемы могут быть построены так: в качестве бло- блоков возьмем кодовые слова определенного веса (как правило, минимального) в хорошем двоичном коде, исправляющем ошибки (см. в особенности теорему Ассмуса — Мэттсона, т. е. теорему 22 гл. 7). Обратно, хорошие коды можно иногда по- построить как линейные пространства, натянутые на блоки неко- некоторых t-схем. Можно также получать ^-схемы из недвоичных кодов, беря в качестве блоков характеристические функции не- ненулевых компонент кодовых слов определенного веса Хэмминга; т. е. блоки — это различные носители кодовых слов заданного веса. В недвоичном случае гораздо труднее восстановить код по схеме. Примеры, (i) Семь кодовых слов веса 3 в коде Хэмминга 3>ё7 образуют систему Штейнера 5B,3,7), а 14 кодовых слов веса 4 в Жъ— систему 5 C, 4, 8). (и) В большей общности, кодовые слова веса 3 в коде Хэм- Хэмминга Жп, n = 2m—1, образуют 5B, 3, 2т—1), а кодовые слова веса 4 в расширенном коде Хэмминга длины 2т образуют 5C, 4, 2т). (iii) Носители кодовых слов веса 5 в троичном коде Голея Фи образуют 5D,5, 11), а носители слов веса 6 в ^?i2 образуют 5E,6,12); 132 блока этой схемы называются гексадами (см. гл. 11). (iv) Кодовые слова веса 7 в двоичном коде Голея ^з обра- образуют 5D,7,23), а слова веса 8 в 9*24 образуют 5E,8,24). Эти 759 блоков (и соответствующие им кодовые слова) называются октадами (см. гл. 11). Много других примеров содержится в цитированных выше работах. Вплоть до недавнего времени значение t = 5 было наи- наибольшим, при котором были известны ^-схемы (см. [Ass3], [Denl], [Mil 4], [Wit 2], [Wit3]), но в 1983 г. Магливерас и Леавитт построили 6-схемы [Magi], [Mag 2], а Теирлинк [Tel 1] недавно доказал, что ^-схемы существуют для любого t.
120 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы 3.2. Сферические tf-схемы. Так же как ^-схемы образуют под- подкласс класса равновесных кодов, сферические t-схемы образуют подкласс класса сферических кодов (см. разд. 2.3 гл. 1). Пер- Первоначальный толчок к изучению этих объектов дала задача вычисления многомерных интегралов. Интеграл по сфере Й„ от многочлена можно приблизить его средним значением в точках кода; если код является сферической ^-схемой, то для много- многочленов степени ^С? это приближение является точным. Фор- Формально говоря, сферическая t-схема Х — это конечное подмно- подмножество в Й„, такое, что равенство » ?(*) (81) выполнено для всех многочленов / степени ^^, где ю(|)—мера Лебега на сфере, нормированная так, чтобы мера сферы Й« равнялась 1. (Потребовалось бы слишком большое отступление, чтобы объяснить, почему такие коды называются ^-схемами; см. [Del 11], [Del 16].) Много примеров сферических tf-схем можно найти, беря векторы определенной длины (как правило, векторы минималь- минимальной нормы) в хорошей решетчатой упаковке. Например, 240 ми- минимальных векторов решетки Е8 (нормированных так, чтобы они лежали на Q&) образуют сферическую 7-схему, а 196560 ми- минимальных векторов решетки Лича образуют сферическую 11-схему. Подходящее значение t для таких схем можно найти, используя теорему Соболева (см. разд. 4.2) или Венкова (см. §7 гл. 7). При заданных п и t мы хотим найти сферическую ^-схему с наименьшим числом точек. Дельсарт, Гёталс и Зейдель [Del 16] показали, что это число удовлетворяет неравенствам + s~ 1\ {n + s — 2\ п-1 ) + { я-1 J ДЛЯ ' = 2S> (82) n + s— 1\ п__х J для / = 2s + l. (83) Если в (82) или (83) имеет место равенство, мы говорим, что сферическая ^-схема точна. Существует лишь очень немного точных ?-схем, в частности Баннаи и Дамерелл [Ban 7], [Ban8j показали, что при п^З не может быть точных Bs)-схем при 2s ^ 6 и точных Bs -f 1)-схем при 2s -j- I ^ 9, за исключением только что упомянутой 11-схемы, получаемой из решетки Лича. «(Известно, что последняя единственна, см. гл. 14.) Обобщения
§ 4. Связи с теорией групп 121 этих результатов на другие пространства содержатся в гл. 9 и работах [Ban9], [Ban 10], [Hog 1] — [Hog3], [Neu2]. С другой стороны, Сеймор и Заславский [Sey 1] показали, что (неточные) сферические ^-схемы в Qn существуют при лю- любых значениях nut. Дальнейшая информация о сферических ^-схемах содержится в работах [Ban 1] — [Ban 13] [Del 11], [Del 15], [Del 16], [Dun 5], [Goe5], [Goe6], [Hon 1], [Sob 2], [Sob3]. § 4. Связи с теорией групп 4.1. Группа автоморфизмов решетки. Прежде всего, с ре- решетками связаны группы их симметрии. Группа автоморфизмов (или группа симметрии) Aut(A) решетки Л — это множество сохраняющих расстояние преобразований (изометрий) про- пространства, оставляющих на месте начало координат и переводя- переводящих решетку Л в себя. Для решетки в евклидовом пространстве группа Aut(A) конечна и преобразования из Aut(A) пред- представляются ортогональными матрицами. Пусть М — порождаю- порождающая матрица решетки А. Ортогональная матрица В тогда и только тогда лежит в Aut(A), когда существует целочисленная матрица U с детерминантом ±1, такая, что UM = MB (84> (см. формулу B2) гл. 1). Из этого следует равенство U — = МВМТА~\ где А — матрица Грама. С другой стороны, мно- множество целочисленных матриц U, для которых имеется ортого- ортогональная матрица В, удовлетворяющая равенству (84), образует целочисленное представление группы Aut(A). Например, группа автоморфизмов гексагональной решетки, изображенной на рис. 1.3а, — это диэдральная группа порядка 12, порожденная вращением на 60° и отражением относительно прямой, соединяющей центры двух шаров. Группа автоморфиз- автоморфизмов простейшей трехмерной кубической решетки состоит из всех перестановок и перемен знаков трех координат, ее порядок ра- равен 23-3! = 48. Решетка, двойственная к данной, имеет ту же группу автоморфизмов, что и сама решетка. #В некоторых случаях мы рассматриваем бесконечную группу всех изометрий (аффинных автоморфизмов) объемлющего про- пространства, переводящих решетку в себя. Эта группа получается присоединением к группе Aut(A) всех сдвигов на векторы решетки. Группы автоморфизмов решеток из таблицы 1.1 в размер- размерностях до 8 представляют особый интерес: они содержат под- гоуппы небольшого индекса, порожденные отражениями (группы
122 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы Кокстера), см. § 2 гл. 4. В более высоких размерностях появляются другие замечательные группы. Например, группа автоморфизмов 24-мерной решетки Лича — это группа Со0 (или •0) порядка 8315553613086720000, которая будет довольно де- детально изучена в гл. 10 и 11. Соответствующая бесконечная группа (получаемая присоединением сдвигов на векторы ре- решетки) обозначается Со^ (или -оо). Группа Со0 интересна по многим причинам помимо ее величины — группа автоморфизмов 24-мерной решетки ?>24 гораздо больше, ее порядок равен 224 • 24! = 10409396852733332453861621760000. Группа Со0 интересна с точки зрения классификации конечных групп. Любую конечную группу можно построить из некоторых специальных групп, называемых простыми, а классификация простых конечных групп — это работа, завершенная в 1982 г. и потребовавшая усилий очень большого числа математиков на протяжении пятидесяти лет (см., например, [Gor 2] — [Gor5]). Когда в 1968 г. была открыта группа Со0, она породила еще три новые группы (Соь Со2 и Со3; см. [Con 2], [Con 3] и гл. 10). Более того, самая большая из «спорадических» простых групп1) (и одна из найденных последними), так называемый Друже- Дружественный гигант или Монстр Грисса — Фишера, имеющая по- порядок 808017424794512875886459904961710757005754368000000000, была построена Гриссом в 1981 г. с использованием решетки Лича (см. [Gri 4], [Gri5]). Упрощенная конструкция содер- содержится в гл. 29. Группа автоморфизмов решетки в гиперболическом про- пространстве обычно бесконечна, это широко известно, например, для решетки II2s,i (см. гл. 26—28). Удивительно, но и на эти группы пролило свет изучение решетки Лича. Группы получаются также из корректирующих кодов (§ 2) и ^-схем (§ 3). Группа автоморфизмов кода была определена в разд. 2.2; аналогичным образом группа автоморфизмов ^-схе- мы — это множество всех перестановок точек, переводящих мно- множество блоков в себя. Мы следуем ATLAS-соглашениям (см. [Con 16, р. хх]) и употребляем символ А X В для прямого произведения, символ А.В или АВ — для группы, нормальная подгруппа которой изо- изоморфна А, а соответствующая факторгруппа изоморфна В, сим- ') Простые конечные группы образуют несколько естественных бесконеч- бесконечных серий. Имеется однако 26 групп, не входящих ни в одну из этих серий. Такие группы назыпаются спорадическими. — Прим. перев.
§ 4. Связи с теорией групп 123 вол А: В — для случая, когда А.В— расщепимое расширение или полупрямое произведение, и символ А-В — для случая,, когда расширение А.В не расщепимо. В качестве общих ссылок по поводу групп упомянем работы [Cohl], [Coh2], [Con 16], [Сох 20], [Сох 21], [Сох 28], lGor2] —[Gor4], [Hupl], [She 2]. 4.2. Построение решеток и кодов по группам. Мы можем так- также встать на противоположную точку зрения, начиная с конеч- конечной группы G и пытаясь построить различные объекты, для ко- которых группа G является группой автоморфизмов. Из наиболее- важных конструкций мы разберем три: (i) Построение решеток из целочисленных представлений. Если задано представление группы G целочисленными матри- матрицами U, то следующим образом можно построить решетку, ин- инвариантную относительно G. Пусть группа действует на квадра- квадратичной форме /(?)= |Л|Г, переводя А в UAUT, a /(?)—в f(W) (т. е. действует на порождающей матрице решетки умножением на U слева, как в формуле B2) гл. 1 и формуле (84)). Тогда, если /(?) — произвольная положительно определенная квадра- квадратичная форма, то квадратичная форма инвариантна относительно G и соответствующая решетка также инвариантна. Например, группа порядка 3, порожденная мат- матрицей (° j )> переставляет три квадратичные формы ?2 _|_ 62 62 _|_ о? ? 4- 962 9s2 -4- 9s ? I 62 и, следовательно, оставляет неподвижной их сумму 4 (Щ -+-1^2+ + ^1), которая является квадратичной формой гексагональной решетки (см. формулу B5) гл. 2). В этом примере полу- получающаяся решетка на самом деле инвариантна относительно большей группы, чем та, с которой мы начали (полная группа, как мы видели в предыдущем разделе, имеет порядок 12). Изучение целочисленных представлений заданной группы G в- значительной степени сводится к изучению решеток, инвариант- инвариантных относительно этой группы. (См. [Вго 10] — [Вго 13], [Bui l]v [Con 42], [Cral], [Cra2], [Dadl], [Feil], [Gudl], [Gusl], [Heml], [Pie 1] — [Pie 5], [Rei 2] —[Rei 4], [Rog 10], [Shul], [Shu 2], [Tho3].) (ii) Построение кодов из представлений перестановками. Ана- Аналогично, если задано представление элементов группы пере- перестановками, мы можем работать по модулю 2 и получить
124 Гл. 3. Коды, t-схемы и группы представление группы G в векторном пространстве V над полем из двух элементов. Инвариантные подпространства (т. е. подпро- подпространства в V, переводимые в себя каждым элементом группы) совпадают с двоичными кодами С, для которых G является подгруппой в Aut(C). Аналогичными методами можно получить коды над произвольным полем. Эта техника использовалась в [ВгоО] —[Bro2], [Cal9], [Knal], [Par 1]. Важную инфор- информацию об этих кодах дает теория модулярных представлений групп. Калдербанк и Вэйлз [Cal 9] использовали эту идею для построения двоичного кода длины 176 и размерности 22, груп- группой автоморфизмов которого является группа Хигмана — Симса. Брук [ВгоО]—[Вго2] нашел все двоичные коды, получаемые таким образом из примитивных представлений перестановками многих интересных групп. См. также [Knal], [Phe 1]. (iii) Построение сферических кодов и t-схем из ортогональ- ортогональных представлений. Пусть задано представление элементов группы G ортогональными матрицами В размера п X гг. Тогда мы можем построить сферический код XczQn, выбирая началь- начальную точку хо е Q,t и полагая Х = {х0В: Bs=G), (85) т. е. X— орбита точки Xq. Эти коды иногда называются груп- групповыми кодами, они изучались в [Bill], [ВИЗ], [В1а4], [В1аб], [Bla9], [Dow I] — [Dow 3], [Inglj, [КагЗ], [Sle3], [Sle4]. Имеется красивая связь между этими кодами и теорией ин- инвариантов, открытая Соболевым. Пусть G — конечная группа, состоящая из вещественных или комплексных («Х«)-матриц В. Элементы из G действуют на многочленах f(x)=f(xu ... ..., хп) так: В °f(x) = f(BxT). Многочлены, для которых f(x) — = f(BxT) для всех B^G, называются инвариантными; множе- множество всех инвариантных многочленов является кольцом Ra. Пусть теперь G — некоторая группа, состоящая из веще- вещественных ортогональных матриц. Естественно, что квадрат дли- длины ф (х) = х\ + ... + х2п инвариантен относительно G. Соболев показал, что если степень первого инварианта, не являющегося многочленом от ср(л:), равна ?+1, то любая орбита группы G является сферической ^-схемой (см. [Sob 2] и другие работы по сферическим /-схемам, цитированные в конце разд. 3.2). Примеры. Группа автоморфизмов решетки Es — группа Вей- ля типа Е8 — это группа, порожденная отражениями (см. § 2 гл. 4). Кольцо инвариантов R0 обладает базисом из однородных многочленов степеней 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, (86)
§ 4. Связи с теорией групп 125 причем инвариант степени 2— это ф (х) = х\ -\- ... -\- х\ (см. [Сох 28, табл. 10]). Из теоремы Соболева следует, что каждая орбита этой группы является сферической 7-схемой. В частности, множество из 240 минимальных векторов решетки Ь& является сферической 7-схемой, как мы уже отмечали в разд. 3.2. Кольцо инвариантов группы автоморфизмов решетки Лича изучалось в работе [Huf 5], где показано, что первый инва- инвариант, не являющийся многочленом от ф, имеет степень 12. По- Поэтому каждая орбита этой группы (например, множество из 196560 минимальных векторов) является 11-схемой. Эти при- примеры изучаются далее в гл. 13 и 14. Теорема Венкова (см. § 7 гл. 7) обобщает эти примеры. Другие применения теории инва- инвариантов мы встретим в гл. 7.
Глава 4 Некоторые важные решетки и их свойства Дж. Конвей, Н. Слоэн В этой главе описываются свойства ряда важных решеток, в том числе кубической решетки /", решеток корней А„, Dn, Еб, Е7, Е8, решетки Кокстера — Тодда Км, решетки Барнса — Уолла Л|6, решетки Лича Л24 и двойственных к ним. Среди прочего мы указываем их минимальные векторы, плотности, ра- радиусы покрытия, векторы склейки, группы автоморфизмов, вы- выражения для тэта-рядов, таблицы числа точек в первых пя- пятидесяти оболочках. Мы включили сюда также краткое обсуж- обсуждение групп отражений и техники склейки решеток. § 1. Введение В этой главе мы вводим ряд важных решеток, которые бу- будут далее использоваться во всей книге. Это Zn (п^1), Ап (n^l), Dn (га^З), Е6, Е7, Е8, К\2, А\6, Л24 и двойственные к ним решетки. Мы приводим список основных свойств этих решеток. Доказательства большинства результатов будут даны в последующих главах. Некоторые причины, придающие такую важность этим решеткам, можно почерпнуть из табл. 1.1 гл. 1: среди них встречается много наилучших упаковок, покрытий и квантизаторов, а также решеток с наибольшим контактным числом в размерностях до 24. Кроме того, они являются хоро- хорошими кандидатами на решение других проблем в этих размер- размерностях, которые могут возникнуть у читателя. Сначала (в § 5—8) разбираются «решетки корней» ^", Ап, Dn, En. Терминология связана с тем, что эти решетки порож- порождаются системами корней определенных алгебр Ли, хотя об этой связи мы говорить почти не будем (см. [Bou I], [Hum 1]). Эти решетки также тесно связаны с группами, порожденными отра- отражениями; мы обсуждаем это в § 2. Другая причина, по которой многие исследования начинаются с решеток Z", An, Dn, En, со- состоит в том, что любая целочисленная решетка, порожденная векторами с нормой 1 и 2, является прямой суммой этих реше- решеток (теорема Витта, см. § 3). Для больших норм соответствую- соответствующей теоремы нет. «Теория склейки» (см. § 3) описывает, как
§ 2 Группы отражений и решетки корней 127 можно получать решетки в более высоких размерностях, ком- комбинируя решетки-компоненты. Остальные обсуждаемые в этой главе решетки /Ci2, Ли и Л24 (см. § 9—11) являются подрешетками решетки Лича Л24. На самом деле Zs*Au А2, А3 = ?>з, D4, D5, Е6, Е7, Еь, А16 и Л24 — это слоистые решетки (см. формулу B5) гл. 1 и гл. 6), так что все они содержатся в Л24. Две важные решетки, не попавшие в эту главу, — это 48-мер- 48-мерные самодвойственные решетки PiSp и PiSq- Краткое перечисле- перечисление их свойств содержится в примере 9 гл. 7. Тэта-ряд решетки (см. разд. 2.3 гл. 2) показывает, сколько точек решетки находится на заданном расстоянии от начала координат, т. е. сколько точек содержится в каждой сфериче- сферической оболочке. Тэта-ряды решеток, встречающихся в этой книге, могут быть выражены через более простые функции, такие, как тэта-функции Якоби 92, 0з и 04. Они определяются в § 4 вместе с различными другими функциями. Мы включили в эту главу таблицы первых 50 коэффициен- коэффициентов тэта-рядов для большей части перечисленных решеток. Та- Такие таблицы полезны для изучения самих решеток, для иссле- исследования связей с теорией чисел (см. разд. 2.3 гл. 2) и в связи с тем, что конфигурации точек решеток часто являются пре- прекрасными сферическими кодами (см. разд. 2.3 гл. 1 и § 1 гл. 3). Отдельные оболочки образуют сферические коды или коды с по- постоянной энергией, а множества точек решетки, лежащих вну- внутри или же на оболочке, образуют коды с ограниченной энер- энергией или сферические кластеры. Мы также кратко описываем многогранники Вороного точек решетки (см. разд. 1.2 гл. 2); дальнейшая информация содер- содержится в гл. 21. Хотя большая часть материала этой главы имеется в литературе (см., например, [Boul], [Con 27], [Con 28], [Con 37], [Сох 20], [Intl], [Nie 2], [Slo 12], [Slo 19], [Teo 2], [ТеоЗ]), некоторые тэта-ряды и таблицы публикуются здесь впервые. (Ряд связанных с ними таблиц приведен в [Fral], [Mit5], [New 2], [Pryl].) Дальнейшая информация об упаковках в размерностях два и три (в том числе и более подробные таблицы как для упаковок, разбираемых здесь, так и для других, а также таблицы векторов нескольких первых слоев) содержится в [Slo 17], [Slo 19], [Teo 2], [ТеоЗ]. § 2. Группы отражений и решетки корней На рис. 4.1 изображен калейдоскоп, три зеркала (стенки) которого высекают на сфере сферический треугольник с углами я/2, я/3 и я/5. Отражения от этих стенок порождают группу
128 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства порядка 120, называемую [3, 5]-группой отражений. Вся поверх- поверхность сферы разделяется на 120 треугольников, по одному на каждый элемент группы. Это пример конечной, или сферической, группы отражений. (Группы отражений часто также называют группами Коксте- ра ).) В общем случае такая группа (если она неприводима) Рис. 4.1. Калейдоскоп, пересекающий сферу по сферическому треугольнику. Вся поверхность сферы разбивается на 120 экземпляров этого треугольника. порождается отражениями от стенок сферического симплекса, все плоские углы которого являются делителями п. (Приводи- (Приводимые группы отражений получаются как прямые суммы непри- неприводимых.) Бесконечный конус, ограниченный отражающими стенками или гиперплоскостями (т. е. сам калейдоскоп), яв- является фундаментальной областью для группы отражений. Эта группа может быть компактно описана с помощью диаграммы Кокстера — Дынкина — отмеченного графа, каждая вершина ко- которого соответствует стенке и две вершины соединены ребром с отметкой р, если угол между соответствующими стенками ра- равен п/р. Для ребер с малыми значениями р обычно употреб- употребляются определенные сокращения, см. рис. 4.2. На рис. 4.3 по- показана диаграмма, соответствующая описанному примеру. Если обозначить отражение от i-й стенки фундаментальной области через Rit то диаграмма задает список определяющих соотношений (или копредставление) группы: Ri-(RiRj) /==1 (/, / = 1, . . . , П), A) ') Употребляется также термин группа, порожденная отражениями Прим. перев.
§ 2. Группы отражений и решетки корней 129 ОТРЕЗКИ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ СОКРАЩЕНИЯМИ ДЛЯ 2 5 4 6 Рис. 4.2. Соглашения для диаграмм Кокстера — Дынкина. (См. также гл. 27.) В 5 -о \ ABC 2 ^С Рис. 4.3. Диаграмма для [3, 5]-группы отражений. где угол между t'-й и /-й стенками равен л/р(/. Знаменитая тео- теорема Кокстера ([Сох 4], [Сох 28, § 9.3]) утверждает, что каж- каждая конечная группа, представимая в таком виде, является груп- группой отражений. Классификация конечных групп отражений имеет сложную историю [Кап 3]. Элегантное полное перечисление конечных групп отражений в терминах диаграмм принадлежит Кокстеру [Сох 2], [СохЗ], [Сох 20]. Однако Митчелл [Mit 1] — [Mit 4J ранее решил существенно более трудную задачу. Мы сосредо- сосредоточимся на рассмотрении кристаллографических групп отраже- отражений, для которых р принимает значения только 2, 3, 4, 6, так как лишь эти группы связаны с решетками. Они приводятся в четвертом столбце табл. 4.1. Полный список неразложимых некристаллографических групп отражений приведен на рис. 4.4. Р 5 5 (р 3*2,3,4,6) порядок 120 .порядок порядок 2р Рис. 4.4. Неразложимые некристаллографические группы отражений. Каждая отражающая гиперплоскость определяется перпен- перпендикулярным к ней вектором, называемым корневым вектором (или просто корнем). Корневые векторы, перпендикулярные к стенкам фундаментальной области, называются фундамен- фундаментальными корнями, а все множество корней называется систе- системой корней. Вся система корней получается как образ фунда- фундаментальных корней при действии группы. Решетка, порожденная
130 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства Таблица 4.1. Неразложимые конечные системы корней, или, что то же самое, неразложимые кристаллографические конечные группы отражений Система Решетка det коррей Конечная группа Бесконечная группа An Вп 1" E8 системой корней, называется решеткой корней, фундаментальные корни образуют ее целочисленный базис. Обратно, если задана-1 решетка Л, определим ее корень (кор- (корневой вектор) как вектор геЛ, для которого отражение B) п Х- Г ¦х — 2 г является симметрией решетки Л. Группа Н, порожденная отра- отражениями относительно корней, называется подгруппой отраже- отражений в Aut(A). Если решетка Л целочисленна и унимодулярна, то корни суть в точности векторы решетки нормы 1 и 2, они называются соответственно короткими и длинными корнями решетки. Отражающие гиперплоскости, соответствующие всем корням решетки Л, разбивают пространство на фундаменталь- фундаментальные области относительно действия группы Н. Корни, соответ-
§ 2. Группы отражений и решетки корней 131 ствующие стенкам одной фундаментальной области, образуют множество фундаментальных корней решетки Л (и группы Н). Если Л не является решеткой корней, то, вообще говоря, фун- фундаментальные корни не образуют ее базиса. Все неразложимые конечные системы корней, а следова- следовательно, и все неразложимые конечные кристаллографические группы отражений описаны в табл. 4.1. В первом столбце таб- таблицы приводится обычное название системы корней, во вто- втором — наше название решетки корней, порожденной корнями этой системы, а в третьем — детерминант d этой решетки. Чет- Четвертый столбец описывает фундаментальные корни, отражения относительно этих корней порождают соответствующую конеч- конечную группу отражений. Крайние правые корни в четвертом столбце имеют норму 2. Длины других корней определяются соглашением, что й-кратное ребро, стрелка на котором (если она есть) направлена от г к s, задает условие N(r)= kN(s). Заметим, что из соглашения, показанного на рис. 4.2, сле- следует, что если корни г и s соединены ^-кратным ребром, то угол 0 между ними задается условиями 4cos20 = & и cos0=^0, т. е. А: 0 1 2 3 9: 90° 120° 135° 150° Последний столбец таблицы описывает соответствующие (бесконечные) евклидовы группы отражений, иногда называе- называемые аффинными группами Вейля, получаемые присоединением всех сдвигов на корневые векторы. Это также группа отраже- отражений, диаграмма которой получается добавлением еще одной вершины (называемой расширяющей вершиной) к диаграмме для конечной группы. Если мы начнем с диаграммы для бес- бесконечной группы, то имеется ровно d = det Л корней, называе- называемых концами или специальными корнями, удаление одного из которых приводит к диаграмме для соответствующей конеч- конечной группы. Концы отмечены на диаграмме двойными кружками. Произведение всех порождающих отражений называется элементом Кокстера, все элементы Кокстера имеют равный по- порядок h, называемый числом Кокстера. Числа Кокстера имеют много других интерпретаций. Так, например, общее число кор- корней равно nh. Таким образом, для решеток А„, Dn и Еп (когда все корни имеют одну и ту же длину) nh равно контактному числу. Замечание о Вп, Сп, G2 и Ft. Объясним, почему только А„, Dn и Еп (но не Вп, Сп, G2 и Fa) фигурируют в остальной части
132 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства книги. В качестве фундаментальной системы корней для алгебр Ли Вп и Сп можно взять 1 000... 2 000... -1 1 0 0 ... —1 10 0... 0 -1 1 0 ... 0—110... Поскольку они различаются лишь на скалярные множители, соответствующие конечные группы отражений совпадают. Од- Однако решетки корней, порожденные этими корнями (равные со- соответственно Z" и ?>„), различаются, как различаются и беско- бесконечные группы, получаемые присоединением к конечным груп- группам сдвигов на элементы этих решеток. Похожий феномен имеет место и в случаях <3г и Ft. Можно заметить, что каждая решетка корней порождена кратчайшими корнями. Таким об- образом, наш список решеток ограничивается решетками Ап, Dn и Еп, т. е. решетками, все векторы которых имеют равную длину, и не включает Вп, Сп, G2 и F4- На самом деле система корней для G2 состоит из всех векторов двух первых норм B и 6) в решетке корней Л2. Аналогично, система корней для FA состоит из двух первых оболочек (с нормами 2 и 4) в решетке корней Di. Дальнейшие сведения о группах отражений, кристаллогра- кристаллографических группах (в том числе теоремы Бибербаха) и связан- связанные с этим вопросы содержатся в [Ausl], [Biel], [Boul], [Busl], [Сох 20], [Сох 28], [Del 7], {Fri 2], [Gro3], [Hazl], [Hil 3], [Huml], [OH 2], [Vin 1] —[Vin 15], [Zas 1]. § 3. Теория склейки Теория склейки — это способ описывать произвольную я-мерную целочисленную решетку L, содержащую в качестве подрешетки прямую сумму А©12© ... @Lk данных целочисленных решеток L\, ..., L& суммарной размер- размерности п. Общий вектор решетки L можно записать в виде У = У\ + Уг + • • • + Ун, C) где каждая компонента yt лежит в подпространстве, порожден- порожденном Li, но не обязательно в самой решетке Li. Какими могут быть у\, ..., yk1
§ 3. Теория склейки 133 Скалярное произведение вектора yi на любой вектор решетки Ц — целое число, так как это произведение равно произведе- произведению у на тот же вектор. Следовательно, вектор yi должен при- принадлежать двойственной решетке L*. Конечно, любую компоненту г/, можно изменить, прибавляя вектор из L:, поэтому можно предположить, что г/, принадле- принадлежит какой-либо фиксированной системе представителей смеж- смежных классов решетки L] по Li. Эти представители называются векторами склейки для Li. Обычно в качестве векторов склейки берут векторы минимальной длины в своих смежных классах. Факторгруппа L'JLl называется дуальным фактором или груп- группой склейки для решетки Li. Как уже отмечалось в разд. 2.4 гл. 2, ее порядок равен detL,-. Итак, любая возможная решетка L порождена L\ Ф ... ... @Lk и некоторыми векторами вида C), причем каждый yi— вектор склейки для Li, и надо лишь проверить, что скалярное произведение векторов вида C) целочисленно и их множество замкнуто относительно сложения по модулю решетки L\ © ... ... © Lk. Неформально мы описываем такую решетку L, говоря, что компоненты L\, ..., Lk склеены с помощью векторов склейки C). Может оказаться, что один из векторов склейкн у вида C) имеет лишь одну ненулевую компоненту ус, в этом случае мы говорим, что компонента Ц имеет самосклейку и что у — самосклеивающий вектор. Например, решетка Dn самосклеи- самосклеивается, давая решетку Dn. Вот — важный частный случай. Теорема 1. Если унимодулярная решетка L получается склейкой двух решеток L{ и L2, причем самосклейки не проис- происходит, т. е. L, = (L, ®R)flL, L2 = (L2 ®R)fU, то дуальные факторы L*/Ll и L*/L2 изоморфны друг другу. Изоморфизм задается отображением у\ -\- L\-*-y2 + L2, где у — j/i -}- у2 является вектором склейки. Для каждой решетки корней детерминанта d имеется стан- стандартный выбор векторов склейки [0], [1], ..., [d—1], и мы употребляем сокращение [а\ ... a.k\ для такого вектора склейки вида C), что у\ = [й\] для Lb y2 == [а2] для L2, .... (Мы вы- выбираем в качестве векторов склейки концы расширенных диа- диаграмм.) В наших приложениях теории склейки обычно легко видно, что все автоморфизмы решетки L переставляют решетки
134 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства L\, ..., Lh ') (зачастую это происходит из-за того, что L\ ® ... ... Ф Lk будет частью решетки L, порожденной векторами с нормой 1 и 2). В этих условиях группа G(L) автоморфизмов решетки L допускает простое описание. Группу перестановок решеток Li, возникающих из действия автоморфизмов из группы G{L), обозначим G2(L). Она изо- изоморфна факторгруппе G(L)/Goi, где Goi состоит из автомор- автоморфизмов, порождающих тривиальную перестановку. Через Gq(L) обозначим нормальную подгруппу группы GOi> состоящую из автоморфизмов, которые для каждого i переводят каждый вектор склейки у, в вектор из того же смежного класса у, + Li, т. е. которые оставляют векторы склейки неподвижными по модулю компонент. Группа GOi/Go(L) изоморфна группе пе- перестановок векторов склейки, принадлежащих одной из компо- компонент (любой); обозначим эту группу перестановок G\{L). Та- Таким образом, вся группа G(L) составлена из групп Go(L)r G\(L) и GziL); ее порядок равен g(L) = go(L)gl(L)g2(L), D) где gi(L)—порядок Gi(L). Кроме того, группа G0(L) является прямой суммой групп G0(Li). Однако группа Gi(L), вообще го- говоря, является лишь подгруппой прямой суммы групп Gi(L,), и, следовательно, ее надо каждый раз вычислять непосред- непосредственно. Например, существует единственная 17-мерная унимодуляр- ная решетка, не имеющая векторов длины 1 (см. гл. 16). Она получается из Лцф?6 присоединением вектора склейки который получается из векторов склейки у\ = [2] для Ли и г/2 = [1] для Е6- Для этой решетки группа Go является произ- произведением групп Вейля Go(Au) и G0(EB), порядок Gi равен 2 (мы можем одновременно поставить минус при у\ и у2), а группа G% конечно же, тривиальна (автоморфизм не может переставлять Ли и ?6). Теорема Витта [Wit 5], [Кпе 5] утверждает, что для любой целочисленной решетки L подрешетка, порожденная векторами с нормой 1 и 2, является прямой суммой решеток корней. Та- Таким образом, решетки корней особенно хороши в качестве Li. Для решетки корней Хп группа Go — это группа Вейля (под- (подгруппа, порожденная отражениями относительно минимальных ') Имеется в виду, что любой автоморфизм L переводит решетку L, в одну из решеток Li, ..., Lk — Прим. перев.
§ 4. Обозначения; тэта-функции 135 корней решетки Хп), a G\— это группа симметрии (обычной) диаграммы Кокстера — Дынкина (так называемая группа ав- автоморфизмов графа). Группа симметрии расширенной диаграм- диаграммы Кокстера — Дынкина имеет порядок g\d. Выдающимся применением теории склейки является список Нимейера всех четных унимодулярных 24-мерных решеток, см. § 3 гл. 16. Много других примеров имеется в гл. 16 и 17. Теория склейки оказалась также полезной в теории кодирова- кодирования ([Con 21], [Con 24], [Leo 7], [Leo 8], [Pie 18]). § 4. Обозначения; тэта-функции В следующих параграфах индекс п при обозначении ре- решетки L обычно означает размерность, М — порождающую мат- матрицу решетки, А — ММТ — ее матрицу Грама, det — детерми- детерминант (квадрат объема многогранника Вороного), т — контакт- контактное число, h — число Кокстера (см. § 2), р — радиус упаковки, R — радиус покрытия, А = Fapn/Vdet — плотность упаковки, б = A/Vn — центральную плотность, в = VnRn/-\/det — плот- плотность покрытия; здесь Vn = пп/2/ (п/2)! — объем шара радиуса 1 (см. гл. 1). Ломаные скобки иногда употребляются для указа- указания порождающих векторов решетки, как в записи А2 = = <A,—1,0), @,1, —1)>. Символ © означает прямую сумму. Группа склейки — это L*/L, ее порядок равен detL, а век- векторы склейки (представители смежных классов группы L* по L) обозначаются квадратными скобками [i]. Группа автомор- автоморфизмов G(L) имеет порядок g = gogu где g0 и g{ — порядки групп G0(L) и Gi(L) (см. § 2). Для компонент векторов мы используем очевидные обозна- обозначения. Например, вектор склейки для решетки Е7 М 1 1 ± 1 4'4'4'4'4'4' сокращенно записывается как Норма вектора х — это квадрат его длины х-х. Минимальная норма решетки L — это min{x-x: xei, x=^0}, она равна 4р2. Тэта-ряд решетки L равен =I>(mW\ q*=#b, ImB)>0, E) let где N{m) (иногда обозначаемое Nm) — это число векторов в L с нормой m (см. разд. 2.3 гл. 2). Таким образом, коэффициенты
136 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства разложения ®l(z) по степеням q дают числа векторов в после- последовательных оболочках решетки L с центром в начале коорди- координат. Мы используем равенство E) и для определения тэта-ряда нерешетчатой упаковки L (например, для сдвига решетки). 4.1. Тэта-функции Якоби. Тэта-ряды решеток, встречающихся в этой книге, будут записываться в терминах тэта-функций Якоби 6 3(|| 2) = Im(z)>0. F) (Ссылки на литературу приводятся в конце раздела.) Для мно- многих целей достаточно работать с более простыми тэта-функ- тэта-функциями Ь[(г), %(z), %(z), Q4(z), задаваемыми формулами = 2?1'4 - 6?9/4 + Ю?25/4 - 1V9/4 + ¦ ¦ • = - З?2 G) 2<79/4 (8) = 1 + 2? где q = еШг. Другие полезные функции задаются формулой (И)
§ 4. Обозначения; тэта-функции 137 при k = ± 1, ±2, ... и формулами ФоB)=е2 B2) е2 Fz) + е3 Bг) е3 Fz) = = Vs {в3 (г/2) 93 (Зг/2) + в4 (г/2) 64 (Зг/2)} = = 1 + 6<?2 + б?6 + б?8 + 12?м + .. . , A2) ф1 (г) = 92' Bz) 63 Fг) + 63 Bг) Э2 Fг) = • • • • A3) Эти функции связаны между собой целым лабиринтом тож- тождеств. Наиболее глубокое из них принадлежит Пуассону A827 г.) и Якоби A828 г.), см. [Wht I], [Bel 2, p. 4]: 93 (|! z) = (- izY1/2 еР/^з A1 - 1) A4) (здесь имеется в виду главное значение квадратного корня). Отсюда следуют формулы A5) A6) A7) A8) и формула Якоби для тэта-ряда двойственной решетки: 6А. (г) = (detAI/2(//2)"/2eA (-1/2). A9) Можно рассматривать тождества A4) — A9), равно как и тож- тождество Мак-Вильяме для весовых энумераторов кодов (формула E0) гл. 3), как следствия общей формулы суммирования Пуас- Пуассона, утверждающей, что сумма значений функции по линей- линейному пространству равна сумме значений ее преобразования Фурье по двойственному пространству [Dym I, ch. 2, § 11.3], [Igu 1, p. 44], [Loo 1, p. 153], [Ser 1, гл. VIII, § 6]. Вот несколько других полезных равенств, расположенных более или менее в порядке возрастания степени и так, чтобы были видны симметрии') между Q2, 93 и 84: е2(г+1) = л'Те2B), е3B + 1) = е4(г), e4(z+ i) = e3(z), B0) е2 (-1/2) = (z/0'/2 04 (г), 83 (-1/2) = (г/о1/2 е3 (г), ') Формулы B0) и B1) показывают, что подстановки г—*¦ г + 1 и г—*-—1/z переставляют бг, 6з и в4 с точностью до тривиальных множи- множителей.
138 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства B2) г) + е4(г) = 2езDг), 83 (z) - 84 (z) = 262 Dг), B3) г) 83 (г) =A/2) 82 (г/2J, 83 (г) 84 (г) = 84 Bzf, B4) 2, B5) , B6) e2 B) e2 C2) - e3 B) 83 C2) + e4 B) e4 C2) = o, B7) 82 (z) 63 (З2) + 83 B) 82 (З2) = A/2) 82 B/4) 62 C2/4), B8) e2B)e2C2)+83C)83C2)=(i/2){e3B/4)e3C2/4)+e4B/4)e4C2/4)},B9) ^2 (Z) ~\~®i(Z) ==6зBГL- C1) Эти функции разлагаются также в бесконечные произведения (тождества Якоби с тройными произведениями): со т=1 со 1 т-1 со 82 B) = 2дЧ* Д A ~ Я2т) A + Фт)\ C4) со 04B)= ПО- Я2т)A - <72т-!J. C6) Другое важное произведение — это со А Л2 | I /1 л2т\24 . /О'тЧ ^*24 === Ч J.X \ ^ ""** Ч ) — № * / = {A/2) 62 B) 83 B) 84 B)}8 = {A/2) б! B)}8 = C8) со = Ц, х(т) q2m = q2 — 24q* + 252^6 - 1472^8 + . . . . C9) m=0
§ 5. п-мерная кубическая решетка Z" 139 Коэффициенты т(т) называются числами Рамануджана. (Пер- (Первые триста коэффициентов приведены в [Leh 2]. См. также тео- теорему 19 гл. 7.) Некоторые значения функции ^k(z) (формула A1)) можно также выразить через другие функции: *-* (г) = Цк (г). D2) Дальнейшая информация содержится в работах [Bel 2], [Gro 2], [Наг 4], [Igul], [КгаЗ], [Muml], [Radl], [Ran 6], [Raul], [Rau2], [Tanl], [Wht 1]. Перенормировка. Часто бывает необходимо перенормировать решетку, заменяя Л на Л' = сЛ = {сх: хеЛ} с какой-то кон- константой ceR. Параметры решеток Ли Л' связаны следующим образом: М' = сМ, А' = с2А, det' = с2" det, (минимальная нор- норма)' = с2(минимальная норма), р' = ср, R' = cR; контактное число т, плотности упаковки Д и б и плотность покрытия в не из- изменяются; (Л') * = с-1 А*, и вл'(г) = вЛ(с2г). D3) § 5. n-мерная кубическая решетка Z" Обозначим через Z множество целых чисел ..., —2, —1, О, 1, 2, 3, ...; решетка = {(*,, .... хп): Z" называется гс-мерной кубической решеткой или решеткой целых. (Z2 лучше называть квадратной решеткой, как видно на обыч- обычной клетчатой бумаге.) В качестве порождающей матрицы Af можно взять единичную матрицу. Тогда детерминант равен 1, минимальная норма также равна 1, контактное число т = 2п, минимальные векторы суть @, ..., ±1, ..., 0). Радиус упа- упаковки р= 1/2, радиус покрытия R = -^/n/2 = p-\/n, плотность Д = Vn2-n и центральная плотность б = 2~". Таким образом, решетка Z имеет плотность А = 1, а плотности решеток Z2, Z3 и Z4 равны соответственно всего лишь я/4 = 0.785..., я/6 = = 0.524... и я2/32 = 0.308... . Типичная глубокая дыра — это A/2, 1/2, ..., 1/2), а многогранники Вороного — это кубы. Ре- Решетка Z" самодвойственна. Ее группа автоморфизмов состоит
140 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства из всех перестановок и перемен знака координат, ее порядок равен 2пп\ (Это — группа Вейля решетки Вп.) Тэта-ряд решетки Z" равен 83B)", а тэта-ряды ее сдвигов Z" + @a(l/2)"-a) равны 82B)"~a93B)a D4) (см. разд. 2.3 гл. 2). Числа точек в первых 50 оболочках реше- решеток Z2, Z3 и их сдвигов приведены в табл. 4.2 и 4.3. В табл. 4.2 Таблица 4.2. Число точек в первых оболочках квадратной решетки Z2 по отношению к различным выборам начала координат. Объяснение см. в тексте т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 JV«> 1 4 4 0 4 8 0 0 4 4 8 0 0 S 0 0 4 N<» 2 4 2 4 4 0 6 4 0 4 4 4 2 4 0 4 8 NB) 4 8 4 8 8 0 12 8 0 8 8 8 4 8 0 8 16 т 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Л-ffl) g 4 0 g 0 0 0 0 12 8 0 0 8 0 0 4 0 Nu> 0 4 0 2 8 4 0 4 4 0 4 4 4 2 8 0 0 NB) 0 8 0 4 16 S 0 8 8 0 8 8 8 4 16 0 0 m 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 8 0 4 8 0 0 8 8 0 0 0 8 0 0 0 4 12 4 0 8 4 4 4 0 0 6 4 0 4 8 0 4 4 0 g 0 16 8 8 8 0 0 12 8 0 8 16 0 8 8 0 в столбцах, озаглавленных 7V@), JVA) и JV<2>, приводятся соответ- соответственно числа точек с нормами m, т+1/4 и 2т +1/2 в ре- решетке Z2 с началом координат в точке решетки, в середине ребра и в середине квадрата, т. е., иными словами, соответ- соответственно коэффициенты при qm, qm+1/* и q2m+1^2 в разложении функций 83(zJ, 83(z)82(z), 82(zJ. D5) В табл. 4.3 в столбцах, озаглавленных JV<°>, JV<'>, 7VB), tVC), при- приводятся соответственно числа точек с нормами m, m+1/4, m+ 1/2 и 2m + 3/4 в Z3 с началом координат соответственно в точке решетки, середине ребра, грани и куба, иными сло- словами, коэффициенты при qm, qm+l/4, qm+l'2 и (?2m+3/* в разложе- разложении функций 83(zK, 83(zJe2B), Э3(г)92(гJ, 92 (гK. D6)
§ 5. п-мерная кубическая решетка Zn 141 Таблица 4.3. Число точек в первых оболочках кубической решетки 2s по отношению к различным выборам начала координат m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 б 12 8 6 24 24 0 12 30 24 24 8 24 48 0 6 48 36 24 24 48 24 0 24 30 NW 2 8 10 8 16 16 10 24 16 8 32 24 18 24 16 24 32 32 16 32 34 16 48 16 16 56 NG> 4 8 8 16 12 8 24 16 16 24 16 16 28 32 8 32 32 16 40 16 16 40 40 32 36 16 N& 8 24 24 32 48 24 48 72 24 56 72 48 72 72 48 48 120 72 56 96 24 120 120 48 96 96 m 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 -43 44 45 46 47 48 49 50 51 72 32 0 72 48 0 12 48 48 48 30 24 72 0 24 96 48 24 24 72 48 0 8 54 84 48 NU) 32 24 32 40 26 48 48 16 32 32 32 56 48 24 64 32 26 56 16 40 64 64 16 40 48 32 Nv> 24 48 32 24 40 48 16 56 32 16 64 40 32 32 36 40 48 48 32 48 48 16 80 40 24 80 .jV<3) 72 96 120 48 104 168 96 48 120 72 96 192 72 144 96 72 144 120 96 104 192 72 120 192 48 144 В разложении zB(z)=esB)n=S rn(m)q ra=0 D7) коэффициент rn(m) задает число способов записи т в виде суммы п квадратов. В частности, при т > О г 2 {т) = 46 (т), D8) где 6(т) определяется как разность между числами делителей т вида 4а + 1 и 4а + 3, а 8 ? d при нечетном т, O^mV А D9) 24 /., а при четном т, d\m, d\ m E0)
142 Гл 4 Некоторые важные решетки и их свойства Много похожих, хотя и более сложных, формул известно для других значений п. Дальнейшая информация содержится в ра- работах [Bat 1], [Cas3], [Die 2], [Fril], [Gla 1] —[Gla 6], [Gro2], [НагЗ] — [Наг 5], [Mai 6], [Мог 2], [Radl], [Ran 6], [Smi5], [Val l] — [Val3]. Положим r'4(m) = r4(m)/8; функция r'4(m) мультипликативна, т. е. удовлетворяет условию = г'4A)г[(т), если / и т. взаимно просты. E1) Это свойство облегчает вычисление г'4(т), так как достаточно знать значения этой функции в степенях простых чисел т = ра. Они равны г'4(ра) = 1+р + р2+ ... +ра где р — нечетное простое число. Похожее свойство мультипли- мультипликативности выполняется и для тэта-функций некоторых других решеток. Бейтман [Gro 2, р. 131] показал, что функция гп(т)/2п мультипликативна тогда и только тогда, когда п равно 1, 2, 4 или 8. (Это является отражением теорем о единственности раз- разложения на простые сомножители в подходящих кольцах целых в полях вещественных и комплексных чисел, в теле кватер- кватернионов и в алгебре чисел Кэли.) § 6. я-мерные решетки Ап и А*п 6.1. Решетки Ап. При п Г^ 1 положим где мы используем п + 1 координат для определения п-мерной решетки: Ап лежит в гиперплоскости ?хг= 0 в R"+1. Стандарт- Стандартный целочисленный базис отмечен на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.5. Расширяющая вершина в этом базисе — это A, 0, 0, ..., О, —1), а расширенная диаграмма приведена в последнем столбце табл. 4.1. По рис. 4.5 легко определяется порождающая матрица М = -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0 ... 0 ... 1 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... -1 1 E2)
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п 143 Две возможные матрицы Грама таковы: 2 — 1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 ... -1 ... 2 ... 0 ... 0 ... 0 0 0 2 1 0 0 0 -1 2. > 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 2 E3) (Первая из них соответствует порождающей матрице E2).) Для этой решетки детерминант равен п+ 1, минимальная нор- @,-1,1,0, ,0) @,0,0, .-1.1 > (-1,1,0, ,0) @,0,-1,1,0, ,0) Рис. 4.5. Диаграмма для А„, изображающая целочисленный базис решетки корней ма равна 2, контактное число т = л(га+ 1), минимальные век- векторы являются перестановками вектора A, —1, 0, ..., 0), число Кокстера h = n-\-\, радиус упаковки р = l/д/2 , центральная плотность б = 2~п/2(п + 1)~1/2, радиус покрытия , _ , f 2flt (Я + 1 - Q) n+1 } ' E4) где а равно целой части (п + 1)/2, типичная глубокая дыра — это вектор склейки [а]. Многогранник Вороного описан в гл. 21. Векторы склейки: i— __ zJ_ га + 1 ra+l'ra+1 E5) где / = n+l — i компонент равны i/(n-\-l), a i компонент равны —//(n+1), 0 ^ i ^ п. Норма вектора [i] равна ij/{n-\- 1). Группа склейки — это циклическая группа Сп+\ с за- законом сложения [/] + [&] = [/ + ?]• Группа автоморфизмов: группа Go равна группе Вейля системы Ап, т. е. симметриче- симметрической группе Sn+i перестановок координат, a G\—это группа порядка 2, порожденная изменением знака у всех координат сразу (которая переставляет [i] и [п + 1 — г]), за исключением
144 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства случая п = 1, когда G\ = 1. Тэта-ряды: л- I где ^==2лг/" E «.D •)" —, E6) E7) 6.2. Гексагональная решетка. Несколько первых случаев мы опишем более подробно. Естественно, Ai^Z. Решетка Л2 эк- эквивалентна (или подобна, см. разд. 1.4 гл. 1) хорошо иам зна- знакомой гексагональной решетке, изображенной на рис. 1.3а гл. 1, которая называется так в связи с тем, что ее многогранники Вороного являются шестиугольниками. Гексагональная решетка порождается векторами A,0) и (—1/2, д/з/2), так что другая, нежели E2), порождающая матрица равна / 1 0 \ М=\ 1 уз" • E8) Ч 2" ~2~/ В этой форме детерминант равен 3/4, минимальная норма равна 1, т = 6, минимальные векторы суть (±1,0) и (±1/2, ±Уз/2), h = 3, р = 1/2, плотность упаковки А = я/У12 = = 0.9069..., 6=1/УТ2 , /?=2р/Уз", типичные глубокие дыры — это точки (± 1/2, ± 1/2 У 3 ) (см. рис. 1.3d), плотность покры- покрытия в = 2л;/зУз = 1.2092.... Векторы склейки: Группа склейки равна С3. Группа автоморфизмов: g0 = 3!, g, = 2, ^=12. Квадратичная форма, связанная с E8), — это х*-ху + у2, E9) а тэта-ряд, следовательно, равен X,
§ 6. п-мерные решетки А„ и А*п 145 Члены с четным у дают вклад (полагаем г — х — у/2, s = у/2) Г, i=-oo а с нечетным у дают вклад (полагаем г = х — (у—1)/2, s = A)/2) » = е2 B) е2 (Зг). Г, S— -00 Следовательно, ehex (г) = е3 (г) е3 C«) + е2 B) e2 Cz) = Фо B/2) F0) (см. A2)). Ряд начинается с ehex(z)=l+6? + 6<?3 + 6<?4+12<77+ ...f F1) первые 50 ненулевых членов приведены в табл. 4.4. Если сдви- сдвинуть начало координат в середину между двумя точками решетки Таблица 4.4. Тэта-ряд плоской гексагональной решетки m 0 1 3 4 7 9 12 13 16 19 21 25 27 N(m) 1 6 6 б 12 б 6 12 6 12 12 6 6 m 28 31 36 37 39 43 4S 49 52 57 61 63 64 ЛГОя) 12 12 б 12 12 12 б IS 12 12 12 12 6 m 67 73 75 76 79 81 84 91 93 97 100 103 108 N{m) 12 12 6 12 12 6 12 24 12 12 6 12 6 m 109 111 112 117 121 124 127 129 133 139 144 147 148 N(m) 12 V2 12 12 6 12 12 12 24 12 6 18 12 (т. е. в середину ребра, если соединить каждую точку ребрами с ее шестью соседями), то тэта-ряд равен вйех (edge) (z) =^% B/4) 82 Cz/4) = ф, (z/2) = = 2^;/4 _j_ 2qzl4 + 4^7/4 + 2<79/4 + • • • • F2) Если сдвинуть начало координат в глубокую дыру, то тэта-ряд в[1ех + [1] I таков: ) = е, (г) ф6 (Зг) + е3 B) ф3 C2) = = Зд^ + 3q«3 + б?7'3 + 6q13'3 + ... F3)
146 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства оо (см. [Slol9], [ТеоЗ]). Если положить впех(z) = ? N(m)qm, то N (m) равно числу представлений пг квадратичной формой E9) и функция N'{m) = N(m)/6 мультипликативна (см. определе- определение E1)). Таким образом, N(m) определяется значениями Л/'(За)=1 при всех а>0, N' (ра) = а + 1 при р зз 1 (mod 3), 0 при ps=2 (mod 3) и нечетном а, 1 при р = 2 (mod3) и четном а, где простое р отлично от 3. Мы будем использовать обозначение А2 только для формы этой решетки с минимальной нормой 2. Из F0) получается ра- равенство = 1 + б?2 + 6дъ + F4) 6.3. Гранецентрированная кубическая решетка. Как А3, так и D3 (см. § 7) эквивалентны гранецентрированной кубической решетке (или fcc-решетке), изображаемой в каждом учебнике по химии. Эту решетку мы встречаем также в витрицах магази- магазинов «Овощи — фрукты», глядя на пирамиду, сложенную из апельсинов (см. рис. 1.1). Фруктовые пирамиды обычно имеют в основании квадрат, но пирамиды с треугольным рснованием приводят к геометрически эквивалентным упаковкам. Самое простое определение дает решетка D3: fcc-решетка состоит из точек (x,y,z), где х, у и z — целые числа, сумма которых четна. Порождающая матрица— /-1 -1 04 М = 1-1 0 , F5) V 0 1 -1/ детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, т = 12, минимальные векторы суть перестановки векторов (±1,±1,0), они являются двенадцатью вершинами правильного кубоокта- эдра; h = 4, радиус упаковки р = 1/д/2 , плотность А=п/л/18 = = 0.7405..., б = 2/2, радиус покрытия R = p<\/~2=\. Многогранник Вороного — ромбододекаэдр (см. рис. 2.2а и гл. 21). fcc-решетка имеет два типа дыр, соответствующие двум типам вершин многогранника Вороного: глубокие, или октаэд- октаэдральные, дыры, такие, как @,0,1), окруженные шестью точ- точками решетки, и мелкие, или тетраэдральные, дыры, такие, как
§ 6. п-мерные решетки Л„ и Л* 147 A/2, 1/2, 1/2), окруженные четырьмя точками решетки. Век- Векторы склейки: [0] = @, 0, 0), [1]:—A/2, 1/2, 1/2), [2] = @, 0, 1), [3] = A/2, 1/2,-1/2). Группа склейки равна С4. Группа автоморфизмов: go = 24, gx = 2, g = 48. fcc-решетка — это единственная решетка с та- Таблица 4.5. Тэта-ряд гранецентрированной кубической решетки. Таблица дает значения N(т) для т = 10r + s ¦\0r\s 0+ 20+ 40+ 60+ 80+ 100+ 0 1 24 24 0 24 30 2 12 24 48 96 48 48 4 6 24 24 6 48 72 6 24 72 48 96 120 72 8 12 0 8 48 24 32 10 24 48 84 48 120 144 12 8 12 24 36 0 0 14 48 48 96 120 96 96 16 6 30 48 24 24 72 18 36 72 24 48 108 72 кой плотностью упаковки, однако имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 6.5). Тэта-ряд: (г) = ± (в3 = 63 DzK + З93 Dг) 92 DгJ = + ... . F6) Имеется громоздкая явная формула для его коэффициентов [Die 2, vol. II, p. 263], [Gro2]. Первые 50 коэффициентов при- приведены в табл. 4.5. Тэта-ряды сдвигов таковы: Ofcc+iu B) = у 92 (zf = 4<73/< + 1Ч1/4 + 12<719'4 + .. •, F7) = б? + 8<73 + 24^ + 30^9 + • • • • F8) 6.4. Тетраэдральная, или алмазная, упаковка. Тэтраэдраль- ная упаковка, встречаемая в алмазе (самом твердом из извест- известных минералов), состоит из точек объединения fcc-решетка (J ([1] + fcc-решетка). F9) Она изображена, например, в книге [Kit 4, р. 25]. Это упаковка Dt (см. разд. 7.3), не являющаяся решеткой. Все ее точки эк- эквивалентны, объем многогранника Вороного вокруг любой из них равен 1, минимальная норма равна 3/4, контактное число т = 4, минимальные векторы суть A/2,1/2,1/2), A/2,—1/2,
148 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства — 1/2), (—1/2,1/2,-1/2), (—1/2,-1/2,1/2). Таким образом, четыре соседа каждой _точки образуют правильный тэтраэдр. Радиус упаковки p = V3/4, плотность Л= пV3/l6 = 0.3401... (см. формулу A4) гл. 1), б = 2-633/2, радиус покрытия R = = 2р — Уз/2, все дыры тэтраэдральные, такие, как A/2,1/2, — 1/2). Тэта-ряд (см. [Slo 17]): Osmond B) = у @2 (*K + 63 (zf - 64 (zK) = = 1 + 4<?3'< + 12^2 + 12?"'* + б?4.... G0) Если сдвинуть начало координат в дыру, то тэта-ряд таков: ed.amond (hole, (z) =\ (82 {zf + 93 (zK - 84 (zf) = 69 + 12?11/4 + 8^3 + G1) 6.5. Плотная гексагональная упаковка. Как было отмечено в гл. 1, решетки А\, А2 и А3 дают наилучшие известные упа- упаковки в размерностях 1, 2 и 3 (и наилучшие возможные ре- решетчатые упаковки в этих размерностях). Однако в размерно- размерности три имеется бесконечно много нерешетчатых упаковок с той же плотностью и тем же контактным числом, что и у icc-pe- шетки. Простейшая из них — это плотная гексагональная упа- упаковка или hep-упаковка (см. разд. 1.3 гл. 1), представляющая значительный интерес для химии. Не будучи сама решеткой, hep-упаковка может быть задана как объединение решетки L, натянутой на векторы A, 0^0), JJ./2, д/з/2, 0) и @, 0, л/Щ), с ее сдвигом L + (l/2, l/Vl2, V2/3). Иначе она представляется как объединение решетки, порожденной векторами 2^1/2A, 1, 0), 2/2A,0,1), 2^1/2(-4/3, -4/3, -4/3), с ее сдвигом на 2-'/2@, 1, 1). Третье определение: hep-упаковка состоит из точек 1) ±(б» + 1,6/+1, 6Й-2, 2УЗD/-1)), G2) где i, j, k, I — целые числа с i +; + k = 0 [Slo 19]. При первом определении объем многогранников Вороного равен 1/д/2, ми- минимальная норма равна 1, т = 12, минимальные векторы суть (± U), 0),J± 1/2, ± д/3/2,0), ±@, -1/V3", У273") и ±(±1/2, 1/V12, л/2/3), р=1/2, Д=л/3д/^=0.7405... и i?=pV2 = l/V2 • Имеются два типа дыр: глубокие, или октаэдральные, дыры, ') Это определение задает hep-упаковку не в R3, а в гиперплоскости R, определяемой условием Х\ + х2 + Хз = 0. —Прим. перев.
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п 149 Таблица 4.6. Тэта-ряд трехмерной плотной гексагональной упаковки. Таблица дает значения N(m) для m = A0r + s)/3 10r\.i 0+ 10+ 20+ 30+ 40+ 50+ 0 1 0 12 12 0 0 1 0 12 24 12 12 24 2 0 6 6 2 0 0 3 12 0 0 12 6 24 4 0 0 0 6 24 18 5 0 12 12 24 12 12 6 6 0 0 6 12 12 7 0 12 12 12 24 24 8 ¦-> 6 0 0 6 0 9 IS 6 24 24 12 12 такие, как (О, l/л/З, l/л/б), и мелкие, или тэтраэдральные, дыры, такие, как A/2, 1/л/Т2, \/л/Ы). Тэта-ряд: G3) (см. табл. 4.6). 1хли сдвинуть начало координат в глубокую дыру, то тэта-ряд равен ehcp(hole) B) = 62 B2/3) {62 B) г|N C2) + бз B) Фз C«)} = G4) Дальнейшая информация о трехмерных решетках содержится в гл. 1 и в работах [Ball], [Сох 18], [Сох 20], [Fej8a] — [FejlO], (IntlJ, [Kit 4], [Smal], [Wei 2] — [Wei 4], [Wycl], [Wye 2]. 6.6. Двойственные решетки А"п. Решетка, двойственная кАп, равна п А'п= (J ([i] + An); G5) вот ее порождающая матрица: G6) 1 1 1 1 п 1 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... -1 1 0 0 0 0 1 п + 1 «4- 1 п+1 п+\
150 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства Эквивалентное определение использует матрицу Грама л —1 -1 ... -1\ ~\ .п ~\:'.~.1 G7) -1 —1 -1 ... п) {см. формулу D9) гл. 8), det А = (п + I)", или связанную с ней квадратичную форму п п п Z-i xi — Zj xixp {•") часто называемую главной формой Вороного первого типа ([Rys 12], [Rys 13]). Используя определение G6), мы видим, что детерминант равен \/{п + 1), минимальная норма равна п/(п+1), т = 2 при п=\ ит = 2п-)-2 при п ^ 2. „«/2 ,+ 1)(а-1)/8. G9) ПЙТГ. (80) типичная глубокая дыра — ^(-л, -л + 2, -л + 4, .... л-2, л), (81) плотность покрытия равна многогранник Вороного является пермутоэдром (см. гл. 21), его вершины суть перестановки вектора (81). А" = Л, ^ Z, Л*^Л2) Л* — это объемноцентрированная кубическая решетка (см. разд. 6.7). Решетка А*п дает наилучшее покрытие для R" при л = 2, наилучшее решетчатое покрытие при п<5 и наилучшее известное покрытие при п ^ 23, см. [Ват 1] — [ВатЗ], [Del 4], [Fewl], [Garni], [Gam2], [Rys 7], [Rys 12], [Rys 13] »). Типичная промежуточная решетка между Лга и А*п — это Л,,^], где s — какой-либо делитель я+1. Кокстер [Сох 10] обозначает ее через Агп, где rs — п-\- 1. Ее тэта-ряд получается суммированием рядов вида E7) для / = 0, s, 2s, ..., п -j- I —s. *) См., однако, примечание на с. 58.
§ 6. п-мерные решетки Ап и А*п 151 6.7. Объемноцентрированная кубическая решетка. Как А*3, так и ?>* (см. § 7) эквивалентны объемноцентрированной куби- кубической решетке (или Ъсс-решетке), также привычной для хими- химиков. Простейшее определение получается из D\: bcc-решетка состоит из всех целочисленных точек (х, у, z), где х, у и z одно- Таблица 4.7. Тэта-ряд объемноцентрированной кубической решетки да 0 3 4 8 11 12 16 19 20 24 27 ¦ 32 35 N(m) 1 8 6 12 24 8 ¦ 6 24 24 24 .' '32 - 12 48 m 36 40 43 44 48 51 52 56 59 64 67 68 72 N(m) 30 24 24 24 8 48 24 48 72 6 24 48 36 m 75 76 80 83 84 88 91 96 99 100 104 107 108 N(m) 56 24 24 72 48 24 48 24 72 30 72 72 32 m 115 116 120 123 128 131 132 136 139 140 144 147 148 N(m) 48 72 48 48 12 120 48 48 72 48 30 56 24 временно четны или же одновременно нечетны. Порождающая матрица-— /2 0 0\ М = 0 2 0 , (83> М 1 1/ детерминант равен 16, минимальная норма равна 3, т == 8, минимальные векторы суть (±1,±1,±1), р —д/3/2, плотность упаковки Д=л; Уз/8—0.6802..., 6=3 V^/32, /?=p л/Щ= л/5/2. Единственный тип дыр в bcc-решетке — это тэтраэдральные дыры, такие, как @, 1/2, 1), окруженные четырьмя точками решетки. Далее, := 1.4635..., многогранники Вороного — усеченные октаэдры (см. рис. 2.2t> гл. 21). Тэта-ряд: ьсс B) = 92 DzK + e3 DzK = (84>
152 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства (см. табл. 4.7). При сдвиге начала координат в дыру тэта-ряд равен 8<72I/4 (85) Дальнейшая информация содержится в работах, список кото- которых приведен в конце разд. 6.5. § 7. л-мерные решетки Dn и Dn 7.1. Решетка Z)n. При п ^ 3 положим А. = {(* , хп) е= Z": jc, + • • • + *л четно}. Иными словами, Dn получается, если раскрасить точки из Z" попеременно в шахматном порядке в красный и белый цвет (-1,-1,0 О) (О 0,1,-1) A,-1,0, ...0) Рис. 4.6. Диаграмма для Dn, изображающая целочисленный базис решетки корней. и взять красные точки. Поэтому Dn иногда называется шахмат- шахматной решеткой. Стандартный целочисленный базис отмечен на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.6. Расширяющая вершина в этом базисе равна @, ..., О, 1, 1), расширенная диа- диаграмма приведена в последнем столбце табл. 4.1. Из рис. 4.6 мы получаем порождающую матрицу — 1 —1 0 ... О О 1-1 0 ... О О О 1 -1 ... О О о о о 1 -1 (86) Детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, контакт- контактное число т — 2п(п—1), минимальные векторы суть все пере- перестановки вектора (±1, ±1, 0, ..., 0), /г = 2п + 2, радиус упа- упаковки p = l/V2, центральная плотность б = 2~(п+2)/2, радиус
§ 7. п-мерные решетки Dn и D*n 153- покрытия R = py2 при п = 3 и R — pyn/2 при п ^ 4. Имеются два типа дыр: глубокие дыры, такие, как векторы склейки [2] при п^4 или векторы склейки [1] при га ^ 4, и мелкие дыры, такие, как векторы склейки [1] при п^4 и [2] при п ^ 4. При п = 4 имеется только один тип дыр. Мно- Многогранники Вороного описаны в гл. 21, а области Делоне в разд. 4.2 гл. 5. Векторы склейки: [0] = @, 0, ..., 0), его норма равна 0, [1] = A/2, 1/2, ..., 1/2), его норма равна га/4, [2] = @, 0, ..., 1), его норма равна 1, [3] == A/2, 1/2 —1/2), его норма равна га/4. Группа склейки при четных га равна группе Клейна Vi ([i] + -|_[/] = 0), а при нечетных га циклической группе С4 ([1] + + [2] = [3]). Группа автоморфизмов: « = 4: ?0 = 23-4!, gi = 3! (все перестановки [1], [2], [3]), га =^=4: go = 2n~1 • п\, g[ = 2 (перестановка [1] и [3]). Группа Go порождена всеми перестановками и переменами зна- знаков у четного числа координат, G[ порождена переменой знака у последней координаты и еще (только при п = 4) матрицей Адамара 1 1 ,, 1 -. 1-1 -1 -1 -1 1 Тэта-ряд (см. формулу C7) гл. 2): ой /71=0 и в обозначениях D7): %а \п-%(г)п). (89) При п = 3 ZK = ^4з — гранецентрированная кубическая решетка (см. разд. 6.3). Решетки D3, D4 и D5 дают наилучшие возмож- возможные решетчатые упаковки в размерностях 3, 4 и 5, а также наи- наилучшие известные упаковки в этих размерностях, однако при п = 3 и 5 имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 6.5 и гл. 5).
154 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства 7.2. Четырехмерная решетка D4. Описанная в разд. 1.4 гл. 1 решетка D4 — одна из двух наиболее полезных четырехмерных решеток (другая — это Л*). Она определяется матрицей (86) или же, эквивалентно, порождающей матрицей О О 0 - . \ (90) 1/2 1/2 Матрица (91) переводит первое определение во второе (матрица (90) опре- определяет также двойственную решетку и4, см. § 7.4, откуда сле- следует, что Z)*^ZL), Используя определение (86), получаем: детерминант равен 4, минимальная норма равна 2, т = 24, минимальные векторы суть все перестановки (±1, ±1,_0, 0), h= 10, p=l/V2\ Д = я2/16 = 0.6169..., 6=1/8, Я = рл/2"=1, типичные глубокие дыры суть (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) и @, 0,0 ± 1), в = я2/4 = 2.4674.... Многогранник Вороного — это правильный четырехмерный многогранник, известный как 24- ячейка или {3,4,3} (см. гл. 21 и [Сох 20, § 8.2]). Три нетри- нетривиальных смежных класса D4 + [i], i=l, 2, 3, эквивалентны. Тэта-ряд <=Ч (г) = \ F3 {zf + 94 (zf) = 62 BгL + е8 {2zf (92) (см. формулу (89) гл. 7). Решетка ZL — единственная решетка с такой плотностью. Используя второе определение, (90), мы видим, что D4 со- состоит из векторов (a,b,c,d), таких, что а, Ь, с, d все лежат в Z или же все лежат в Z -f- 1/2. Следовательно, можно рас- рассматривать ZL как решетку целых кватернионов Гурвица (см. [Сох 8], [Сох 18, р. 25], [Наг 5, § 20.6], [Hurl]). Таким обра- образом, на точках решетки вводится структура подкольца в теле. Как и решетка Эйзенштейна, решетка ZL порождена B,0) и A,0). Первые 50 коэффициентов тэта-ряда для D4 (в первом опре- определении, (86)) приведены в табл. 4.8. Эти коэффициенты явно
§ 7. п-мерные решетки Dn и D*n 155 задаются равенством NBm) = r4Bm), использующим вторую формулу из D9). Число N Bпг)— это число целых кватернио- кватернионов с нормой т, функция iVBm)/24 мультипликативна. В обо- обозначениях Шлефли и Кокстера ?>4 — это правильный улей {3,3, 4,3} (см. [Сох 20, § 7.8]). Таблица 4.8. Тэта-ряд четырехмерной решетки D*. Таблица дает значения N(m) для т = 10r + s r\s 0 2 4 6 8 10 0 1 144 144 576 144 744 2 24 288 768 768 1008 1728 4 24 96 288 24 768 336 6 96 336 576 1152 1056 1296 8 24 192 96 432 288 960 10 144 576 744 1152 1872 1728 12 96 24 336 312 576 192 14 192 432 960 912 1152 1920 16 24 312 192 480 96 720 18 312 480 720 1344 1368 1440 7.3. Упаковка Dt. Радиус покрытия решетки Dn растет с рос- ростом п, и при п = 8 ои становится равен минимальному рас- расстоянию между точками решетки. Поэтому при «>8 мы мо- можем втиснуть второй экземпляр Dn между точками из Dn, вдвое увеличивая число точек (и плотность) без уменьшения расстоя- расстояния между ними! Дадим формальное определение: -Dn). (93> Упаковка Dt является решеткой тогда и только тогда, когда п четно. Dt — это тэтраэдральная, или алмазная, упаковка (см. разд. 6.4), Dt ^ Z4. Эта конструкция особенно важна при. п = 8, решетка Dt известна в обозначении Е8 (см. разд. 8.1). Объем многогранника Вороного Dt равен 1, минимальная! норма равна п/4 при п<8и2 при п ^ 8, центральная плот- плотность б = (У/Г/4)" при п<8и8 = 2~п'2 при п > 8, контактное число т = 2п~[ при п^7, х = 240 при п==8 и х = 2п(п—1> при п ^ 9, тэта-ряд равен (94> 7.4. Двойственная решетка Z)* D*n^Dn U (Ш + Dn) U ([2] + Dn) U A3] + Dn).
156 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства Порождающая матрица м — равна 1 0 0 1/2 0 .. 1 .. 0 .. 1/2 . . 0 . 0 . 1 • 1/2 0 0 0 1/2 (95) детерминант равен 1/4, минимальная норма равна 3/4 при га = 3 и 1 при п ^ 4^ т = 8 при п = 3, т = 24 при я=4 ит = 2л при п > 5, р = лЛГ/4, б = 3К52-5 при п = 3_? б = 2-е-1) при га > 4, /?=p«1/2/V2 при четном га, # = pV5/3 при га = 3 и # = = рB—1I/2/2 при нечетном га ^ 5, многогранник Вороного описан в гл. 21. Тэта-ряд равен e2(z)" + e3(zr. (96) Решетка D*3 — это объемно центрированная кубическая решет- решетка (см. разд. 6.7), и Z)* = D4. § 8. Решетки Е6, Е7 и ?8 8.1. Восьмимерная решетка Ев. Существование четной уни- модулярной 8-мерной формы сначало было установлено некон- неконструктивно в [Smi 6, р. 521], явная конструкция была дана в [Ког 1] —[КогЗ] и в [MinO]. В 1900 г. Госсет [Gos 1] был, по-видимому, первым, кто начал изучать саму решетку Eg. Ре- Решетка Es = Ds является частным случаем семейства упаковок, построенного в разд. 7.3, поэтому ее можно назвать 8-мерной алмазной решеткой. В четной системе координат решетка Е& состоит из точек {(лг, xs): все ^eZ или все xt e Z + 1/2, X х{ з= 0 (mod 2)}. (97) Нечетная система координат получается переменой знака у лю- любой координаты: точки решетки ?8 суть {(хи ..., xs): все xt e Z или все xt e Z + 1/2, ?** 3*2*8 (mod 2)}. (98) Стандартный целочисленный базис (в нечетной системе коор- координат) указан на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.7. Расширяющая вершина равна A/2, (—1/2O), расширенная диаграмма приведена в последнем столбце табл. 4.1. Порож-
§ 8. Решетки Ев, Е7 и ?8 157 дающая матрица (в четной системе координат) равна 20000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 м = 1 о о о о о 1/2 1 1 О о о о 1/2 1 -1 О о о 1/2 1 — 1 О о 1/2 1 -1 О 1/2 О 1 — 1 О О О О 1 о о о о о 1/2 1/2 1/2 (99) детерминант равен 1, минимальная норма равна 2, контактное число т = 240, минимальные векторы суть ((±1J,06), а также I 5 | 3 — -— ) @,-1,1,0*) (-1.1,0е) (О2,-1,1,04) (О6,-1,1) Рис. 4.7. Диаграмма для ?8> изображающая целочисленный базис решетки корней в нечетной системе координат. Базис в четной системе координат по- получается изменением знаков при любом нечетном числе координат (например, при последних трех). векторы ((±1/2)8), имеющие четное число минусов в четной системе координат (или нечетное число минусов в нечетной си- системе координат). Число Кокстера h = 30, радиус упаковки p=l/V2, плотность упаковки А = я4/384 = 0,2537..., 6 = = 1/16, радиус покрытия R = p^2 = l, плотность покрытия в = я4/24 = 4.0587..., многогранник Вороного двойствен к мно- многограннику 42i (см. гл. 21 и [Сох 20, § 11.8]). Решетка Е& имеет два типа дыр: глубокие дыры, такие, как (О7, 1) (половинки векторов с нормой 4), окруженные 16 точками решетки, и мел- мелкие дыры, такие, как (A/6O, 5/6), окруженные 8 точками ре- решетки (см. рис. 21.8). Е*8~Е8, поэтому склейки нет (точнее го- говоря, единственный вектор склейки [0] =@8)). Е& — это единственная решетка с такой плотностью и мини- минимальной нормой [Vet 2]. Группа автоморфизмов: go = 21435527= = 696729600, gi = \. Группа Go — группа Вейля W(E8), по- порожденная (в четной системе координат) всеми перестанов- перестановками восьми координат, всеми четными заменами знаков и
158 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства матрицей diag [ff«, ff«] A00) (см. разд. 7.1). См. также [Сох 20], [Сох 28], [Edg3]. Решетка Е& получается применением конструкции А к коду Хэмминга 5^8 (см. разд. 2.5 гл. 5 и пример 5 гл. 7). Минималь- Минимальные векторы (после перенормировки) суть 24-14 = 224 вектора вида ((±1/2L,04), где ненулевые координаты расположены в носителе кодового слова минимального веса в 36%, вместе с 16 векторами (±1,07). Это определение лучше всего подходит для отождествления Е8 с целыми числами Кэли или октавами, ([ВП5], [ВН6], [Con 16, р. 85], [Сох 9], [Сох 17], [Сох 18, ch. 2]). Пусть координаты обозначены оо, 0, 1, 2, ..., 6, как в п. 2.4.2 гл. 3. Вещественная алгебра Кэли порождена «чис- «числами» too = 1, to, t"i, ..., /в, удовлетворяющими условию, что для четверок {а, Ь, с, d} — {oo, 1, 2, 4}, ..., {оо, 0,1,3} из списка E6) гл. 3 (соответствующих минимальным векторам кода Ж%, содер- содержащим оо) множества {ia, 1ь, U, id} = {1, /, /, k} порождают иод- алгебру кватернионов. Таким образом, iii$ = U, Ы\ = —ц> iih = io и так далее. Целые числа Кэли — это элементы подре- шетки в Е8, порожденной векторами вида ((±1/2L,04), для которых выделенные множества из четырех координат полу- получаются из списка E6) гл. 3 заменой оо на 0 и наоборот, а так- также взятием дополнений. Минимальные векторы переходят при этом в 240 обратимых элементов (с нормой 1) в алгебре Кэли. С другой стороны, Ея можно отождествить с кольцом ико- сианов, что описывается в § 2 гл. 8. В табл. 8.1 приводятся названия икосианов, соответствующих 240 минимальным векто- векторам. Кватернионная конструкция для Ег дается матрицей G7) гл. 2. Тэта-ряд: в?8 {г) = \ (Э2 {zf + 93 (zf + 64 (zf) = = 92 Bг)8 + 14в2 Bzf 93 BгL + 93 Bг)8 = = X NmQm = 1 + 240<72 + 2160^4 + ..., A01) A02) где <уг (т) = ? dr A03) d \m (см. табл. 4.9). Число Nm равно числу целых чисел Кэли с нор- нормой т/2, функция ЛГт/2/240 мультипликативна. Если сдвинуть
§ 8. Решетки Ее, Е7 и ?а 159 Таблица 4.9. Тэта-ряды решеток Госсета ?6, Е7 и m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 14 36 3S 40 42 44 46 4S 50 л/-„,и?6) 1 72 270 720 936 2160 2214 3600 ,4590 6552 5184 10800 9360 12240 13500 17712 14760 25920 19710 26064 28080 36000 25920 47520 37638 43272 JVm(?7) 1 126 756 2072 4158 7560 11592 16704 24948 31878 39816 55944 66584 76104 99792 116928 133182 160272 177660 205128 249480 265104 281736 350784 382536 390726 iVm(?8) I 240 2160 6720 17520 30240 60480 82560 140400 181680 272160 319680 490560 527520 743040 846720 1123440 1179360 I635I20 1646400 2207520 2311680 2877120 2920320 3931200 3780240 m 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 JVM(?6) 45900 59040 46800 75600 51840 69264 73710 88560 62208 108000 85176 98640 97740 122400 88128 151200 110700 133200 140400 157680 114048 198720 147600 176472 162270 JVm(E7) 470232 505568 532800 615384 640080 701568 799092 809424 853776 1006992 IO5I974 1031688 1195992 1286208 1313928 1469664 1474704 1547784 1797768 1776600 1809360 2104704 2130968 2123982 2382156 Nm (?8) 4747680 4905600 6026880 5853600 7620480 7150080 8987760 8951040 10614240 10402560 13262640 12156960 14817600 14770560 17690400 16541280 20805120 19O8I92O 23336640 22891680 26282880 24917760 31456320 28318320 34022160 начало координат в глубокую дыру, то тэта-ряд будет равен со ©Я. (hole) (*> = Т № (*)8 + 9з (Z)8 ~ % (*?) = ^ V = A04) A05) Ю24?4 <=16{a8(m)-a8(/n/2)}, причем считается, что стз(х) = 0, если х не целое. В табл. 4.10 приводятся координаты типичных векторов в первых восьми оболочках решетки Es. Полный список векто- векторов получается применением к векторам этой таблицы произ- произвольных перестановок и перемен знаков с условием, что для векторов, перед которыми стоит символ Е (соответственно D), требуется четное (соответственно нечетное) число минусов (в четной системе координат). Группа Go транзитивно действует на множествах векторов с нормами 2, 4, 6, 10 и 12 (и имеет
160 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства две орбиты при действии на векторах с нормой 8: такой вектор может быть удвоенным вектором решетки, а может и не быть; векторы из второй орбиты суть утроенные мелкие дыры). Таблица 4.10. Первые 8 оболочек решетки ?$ Норма 0 2 4 6 S Ю 12 14 16 Количество 1 240 2160 6720 17520 30240 60480 82560 140400 Векторы О8. 1206,?A/2)8. 207, 1404,/>C/2)A/2O. 2120s, 1602,?C/2JA/2N. 2206, 21403, I8, ?>C/2K(l/2)s, ?E/2)A/2O. 3106, 221204, 2160. ОE/2)C/2)A/2N, ?C/2LA/2L. 31304, 2305, 221402, ?E/2)C/2JA/2M, DC/2)s(l/2K 3210s, 315О2,231203, 2216, DG/2)(l/2O, Е E/2JA/2N, D E/2)C/2K(l/2L, Е C/2NA/2J. 407, 3213О3, 317, 2404, 2314О, ЕG/2) C/2) A/2N, D E/2J C/2) A/2M, Е E/2) C/2L A/2K, D C/2OA/2). Дальнейшая информация о Е6, Е7 и Eg содержится в после- последующих главах и в работах [Boul], [Сох 10], [Сох 18], [Сох 20], [Сох 28], [Haz 1]. 8.2. Семимерные решетки Е7 и Е*. Векторы в Eg, перпенди- перпендикулярные к произвольному фиксированному минимальному век- вектору v e Es, образуют решетку Е7: ?7 = {*е= ?8: х- v = 0}. A06) Имеется несколько возможных систем координат. Используя четную систему координат для Eg и полагая у = (A/2)8), полу- получим выражение = {(хи ..., х8) е Еъ: = 0}; A07) используя нечетную систему координат и d = (A/2O,—1/2), получим Е7 = {(х„ ..., х8) s Es: E xt = 2x8}, A08) а выбор (в любой системе координат) вектора у = (О6, 1,—1) приводит к выражению ...,*8)е=?8: х7 = х8}. A09) Стандартный целочисленный базис (в определении A07)) отме- отмечен на диаграмме Кокстера — Дынкина на рис. 4.8. Расширяю- Расширяющая вершина " равна (О6,—1,1). Порождающая матрица ре-
§ 8. Решетки ?е, Ег и ?s 161 шетки Е7, определяемой формулой A07), равна М = 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 —1 0 0 0 0 0 1 —1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 (ПО) 1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 —1/2 Еще одно определение (см. разд. 2.5 гл. 5) приводит к порож- порождающей матрице 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1110 10 0 0 1110 10 A11) 0 0 1110 1 Для определений A07) и (ПО) детерминант равен 2, мини- минимальная норма равна 2, т = 126, минимальные векторы суть (-1,1,0е) о— (o3,-i,i,o3) to5, -1,1,0)" Рис. 4.8. Диаграмма для Ет, изображающая целочисленный базис решетки корней в системе координат A07). 56 векторов вида A,-1, О6) и 70 вида (A/2L, (-1/2У), Л=18, р=1/У2, Д = зх3/105 = 0.2953..., 6= 1/16, # = рУз = Уз/2 ' типичная глубокая дыра — это вектор склейки [1], многогран- многогранник Вороного описывается в гл. 21. Векторы склейки: [0] = @, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), его норма равна 0, [1] = A/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, -3/4, -3/4), его норма равна 3/2.
162 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойстеа Группа склейки равна Сч. Группа автоморфизмов: <20 — это группа Вейля W(E7), ее порядок go = 2I0-34-5-7 = 2903040, Gi = 1. Е7 — единственная решетка с этой плотностью [Vet 2], но имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 4.2 гл. 5). Тэта-ряды (см. табл. 4.9): вв, (г) = в3 BzO + 763 BzK 62 BzL = = 1 + 126g2 + 756<74 + 2072<76 + .... A12) вЕ,+1,] (г) = 62-BzO + 762 {2zf 63 Bz)« = + 576<77'2 + 1Б12?11'8 + 4032д15/2 + / + .... A13) Другие конструкции появятся в гл. 5. Двойственная решетка имеет порождающую матрицу М = 1 0 0 0 0 0 -3/4 1 1 0 0 0 0 -3/4 0 1 —1 0 0 0, 1/4 0 0 1 -1 0 ,0, 1/4 0 0 0 1 -1 , о, ;1/4: 0 0 0 0 1 -1 1/4 0 0 0 0 0 1 1/4'. 0 0 0 0 0 0 1/4 A15) детерминант равен 1/2, минимальная норма равна 3/2, г = 56, минимальные векторы суть ±(A/4N, (—3/4J), p = V3/8» ^ = р д/7/3 = V7/8 . типичная глубокая дыра — это G/8, (—1/8O), ее образы — это вершины многогранника Вороного (см. [Wor2]). Тэта-ряд является суммой рядов A12) и (ИЗ). 8.3. Шестимерные решетки Е6 и 2?J. Векторы из Es, перпен- перпендикулярные к любой подрешетке V типа А2, образуют ре- решетку Е6: E6 = {x<=Es- x-v = 0 для всех v<=V}. (П6) Опять имеется несколько возможных систем координат. Ис- Используя для Е8 четные координаты и полагая V= <A, О6, 1), A/2)8>, получаем выражение ?6 = {(*,, •.., хь)(=Еь: х, + *8 = *2+ •¦• +х7 = 0}, (Н7)
§ 8. Решетки Ее, Е7 и Es 163 а выбор (в любой системе координат) У=<@5, 1,—1,0), (О6, 1,—1)> приводит к выражению Стандартный целочисленный базис (в определении A17)) по- показан на диаграмме Кокстера — Дынкина иа рис. 4.9. Расши- (-L\-J-4> @,-1,1.0») -о. Рис. 4.9. Диаграмма для Ее, изображающая целочисленный базис решетки корней в системе координат A17). ряющая вершина равна (—1;06;1). Из рис. 4.9 мы получаем порождающую матрицу М = 0 0 0 0 0 1/2 — 1 0 0 0 0 1/2 1 -1 0 0 0 1/2 0 1 -1 0 0 1/2 0 0 1 —1 0 -1/2 0 0 0 1 — 1 -1/2 0 0 0 0 1 -1/2 0 0 0 0 0 —1 A19) Решетка Е6 может быть легко построена как трехмерная комплексная решетка — решетка над целыми числами Эйзен- Эйзенштейна (см. разд. 2.6 гл. 2). Порождающая матрица для этой конструкции равна е о о\ о е о I, A20) ill/ где 9 = ю — co = V—3. Используя определения A17) и A19), получаем, что детер- детерминант равен 3, минимальная норма равна 2, г = 72, мини- минимальные векторы суть 30 векторов вида @;1,-—1, О4; 0), 40 — вида ±A/2; A/2)8, (—1/2K;—1/2) и 2 —вида ±A;^6;—1), h = 12,_?= 1/д/2", А = ^/48V3 =0.3729..., 6=l/8V3, R = = pV8/3, типичная глубокая дыра — это вектор склейки [1]5
164 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства многогранник Вороного приводится в гл. 21. Векторы склейки: [0] = @; 0, 0, 0, 0, 0, 0; 0), его норма равна 0, [1] = @; —2/3, —2/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3; 0), его норма равна 4/3, [2] = —[1], его норма также равна 4/3. Группа склейки равна С3. Группа автоморфизмов: Go — это группа Вейля W(E6), ее порядок go — 27-34-5 = 51840, <?i = = С2 (порождена обращением знака). (См. [Coxl], [Сох 7], [Сох 13].) ?6 — единственная решетка с такой плотностью ([Ваг7], [Vet2]), но имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 4.2 гл. 5). Тэта-ряды (см. табл. 4.9): в*6 B) ¦= Ф0 BK + Т {Фо B/3) - Фо (Z)}3 = = 1+72<72 + 270<74 + 720<76+..., A21) вв. B) = -|- [ф0 (г/3)8 + ± {Зф0 B) - ф0 B/3)f] = + 432910/3 + 270<?4 + 720<76 + 2160922/3 + ..., A22) 459<716/3. A23) (Формула A21) следует из определения A20), что показано в гл. 7, а A22) выводится из A21) посредством A8).) Двойственная решетка Е,) A24) имеет X Ж м = порождающую 0 0 0 0 0 1/2 -1 0 0 0 2/3 1/2 1 -1 0 0 2/3 1/2 матрицу 0 1 -1 0 -1/3 1/2 0 0 1 -1 -1/3 -1/2 0 0 0 1 -1/3 -1/2 0 0 0 0 -1/3 -1/2 0 0 0 0 0 —1 A25) Как трехмерная комплексная решетка El порождается матри- матрицей •9 0 0\ М' = \ 1-1 0 . A26)
§ 9. Двенадцатимерная решетка Кокстера—Тодда Ки 165 Используя определение A25), получаем, что детерминант равен 1/3, минимальная норма равна 4/3, т = 54, минимальные векторы суть 30 векторов вида ± @; (—2/3J, A/3L; 0) и 24 ви- вида ±(±1/2; (—1/6M, 5/6; =Fl/2), р=1/Уз, радиус покрытия .# = рV2 = V2/3 соответствует глубокой дыре @; 1,1,1,-1, — 1, —1; 0)/3, образы которой суть вершины многогранника Во- Вороного (см. [Wor 1]). Тэта-ряд задается формулой A22). § 9. Двенадцатимерная решетка Кокстера — Тодда Кп Все упоминавшиеся до сих пор решетки были известны в девятнадцатом столетии; теперь мы переходим в двадцатый век. Группа автоморфизмов решетки К\2 была открыта Мит- Митчеллом в 1914 г. [Mit3], а сама решетка была впервые явно описана Кокстером и Тоддом в 1954 г. [Сох 29]. Подобно Е6, решетка /Ci2 обладает простым комплексным описанием. /Ci2 — это вещественная форма 6-мерной комплексной решетки над числами Эйзенштейна, порожденной векторами (±е, A27) где 8 = 0 — co = V—3 может стоять на любом месте и число минусов четно. Другое определение (см. пример 10а гл. 7) ис- использует гексакод (см. п. 2.5.2 гл. 3 в варианте, задаваемом матрицей F4)), что соответствует порождающей матрице A28) (См. также пример 11с гл. 7.) В определении A27) решетку К\2 можно рассматривать как множество векторов решетки Лича вида A29) 2 0 0 1 ш со 0 2 0 ш 1 со 0 0 2 ш ш 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 «1 »1 fl  «2 ... V2 ... Vt ... tJ ... «6 V6 Щ
166 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства (см. гл. 6). Матрица A29) соответствует вектору 0 Х\ У\ Z\ 0 .. х2 .. 2/2.. г%.. . 0 . хв ¦ Ув • «в решетки Кц- Например, вектор решетки Лича с Vi = «2 = • • • ... = и6 = 2, щ = v2 = ... =ие = 0 соответствует @,15)/У2. Решетку /Ci2 можно также получить как множество векторов решетки Лича вида A30) где xi + t)i + Zi = 0, i = 1, ..., 6 (см. рис. 6.3). Используя опре- определение A27) получаем, что детерминант равен 729, минималь- минимальная норма равна 4, контактное число г = 756^ минимальные векторы суть 576 векторов BHflaa>v(±8, 1S)/V2, v = 0, 1, 2, с четным числом минусов и 180 — вида ov(±22, 04)/V2~> ра- радиус упаковки р = 1, плотность Д_= л6/19440 = 0.04945..., S = = 1/27, радиус покрытия i? = p У8/3, типичная глубокая дыра имеет вид D/9, 05)/У2. Многогранник Вороного имеет 4788 гра- граней, из них 756 соответствуют минимальным векторам, а 4032 — векторам следующей оболочки [Con 38, th. 3]. Как комплекс- комплексная решетка над числами Эйзенштейна решетка Ki2 целочис- ленна и унимодулярна, поэтому (как вещественные решетки) K*i2^Ki2- Ее группа автоморфизмов как вещественной решетки имеет порядок 210-37-5-7 = 78382080. Ее автоморфизмы, сохра- сохраняющие комплексную структуру, образуют комплексную груп- группу отражений Митчелла вдвое меньшего порядка (эта группа изоморфна группам 6-РЙГC)-2 и 6-PSU(b) -2). Группа Мит- Митчелла обозначается еще 6-[/4C)-2, 6-ЯОD,32)-2 [Die 1], [21; З]2 (см. [Shel]), [3 2 I]3 (см. [ВепО]) и W{K6) [Cohl]. Она имеет номер 34 в списке Шефарда и Тодда [She 2]. См. так- также [Edg I], [Edg2]. Тэта-ряд: B) = 45Фо BгJ Ф| Bг)« + 18q>, Bzf = + 4032<76 + 20412q8 + • • • A31) (см. табл. 4.11). Дальнейшая информация содержится в после- последующих главах и в работах [Con 37], [Con 38], [Fei2], [Ham 1]> [Наг 6], [Наг 7], [Lin 6], [Lin 7], [Todl], [Tod 2].
§ 10. Шестнадцатимерная решетка Барнса—Уолла 167 Таблица 4.11. Тэта-ряд 12-мерной решетки Кокстера — Тодда Кп m 0 4 6 К 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Mm) 1 0 756 4032 20412 60480 139860 326592 652428. 1020096 2000376' 3132864 4445532 7185024 10747296 13148352 21003948 27506304 35724404 m 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 Mm) 48009024 64049832 70709184 102958128 124782336 142254252 189423360 237588120 248250240 344391264 397510848 433936440 554879808 671393772 677557440 908374824 1018507392 1079894844 § 10. Шестнадцатимерная решетка Барнса — Уолла Ai6 Эта решетка, по-видимому, была впервые опубликована Барнсом и Уоллом [Ваг 18] в 1959 г. и с тех пор переоткрыва- переоткрывалась многими авторами. Имеется несколько конструкций. Кон- Конструкция В из гл. 5, примененная к коду Рида — Маллера пер- первого порядка длины 16, приводит к порождающей матрице, изо- изображенной на рис. 4.10, для которой детерминант равен 256, минимальная норма равна 4, контактное число т = 4320, минимальные векторы суть 480 векторов вида 2~1/2(±22,014) и 3840 — вида 2~1/2(±18, О8), где ±1 расположены в носителях одного из 30 кодовых слов веса 8 кода Рида — Маллера пер- первого порядка и число минусов четно. Радиус упаковки р= 1, плотность А = я8/16-8! = 0.01471..., 6=1/16, радиус покры- покрытия # = рд/3, типичная глубокая дыра — это 2-1/2A6,010), где шесть единиц расположены в глубокой дыре кода Рида — Мал- Маллера первого порядка (они соответствуют «максимально нели- нелинейным» функциям от четырех переменных [Мае 6, гл. 14]), ¦см. § 5 гл. 6. Тэта-ряд (см. табл. 4.12): ©л,. B) = y {&, BгI6 + 93 BгI6 + 94 BгI6 + 30 92 Bг)8 93 Bг)8} = = 1 -f 4320<74 + 61440<76 + A32)
168 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства 1 л 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 t t 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 t 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 0 i i 2 0 0 1 1 0 1 0 2 0 0 1 t 1 1 0 ! 0 0 1 I 0 0 t _ 11A1 Рис. 4.10. Порождающая матрица 16-мериой решетки Барнса—Уолла A[6. Последние пять строк задают порождающую матрицу для кода Рида—Мал- лера первого порядка длины 16. Таблица 4.12. Тэта-ряд 16-мерной решетки Барнса — Уолла Aie m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 1 0 4320 61440 522720 2211840 8960640 23224320 67.154400 135168000 319809600 550195200 1147643520 1771683840 3371915520 4826603520 m 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 8593797600 11585617920 19590534240 25239859200 40979580480 50877235200 79783021440 96134307840 146902369920 172337725440 256900127040 295487692800 431969276160 487058227200 699846624000 776820326400 Решетка Ai6 может быть построена исходя из решетки Лича Л24. Имеются инволютивные симметрии Л24, инвариантное под- подпространство которых 16-мерно, часть Л24, попадающая в это
§ 11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича Лм 16© подпространство, и есть экземпляр Aig. Группа автоморфизмов решетки Ли является централизатором такой инволюции в группе автоморфизмов решетки Л24 по модулю этой инволюции. Порядок g этой группы равен 221-35-52-7 = 89181388800, а структура есть 21+8-О^B), где О^ B) — простая группа по- порядка 212-35-52-7 = 174182400. Решетка Л]6 может быть получена применением конструк- конструкции С (или D) к последовательности двоичных кодов [16, 1, 16], [16,11,4], [16,16,1] или же к последовательности [16,5,8], [16, 15,2] (см. разд. 3.4 гл. 5, пример 7 гл. 7 и разд. 8.2 гл. 8). Другие конструкции содержатся в § 4 гл. 6 и в § 4 гл. 8, где Ai6 появляется как самодвойственная решетка над Х[1/Ц Из последней конструкции ясно, что §11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича А; 24 Эта решетка была открыта Личем [Lee 5] в 1965 г. В этой книге мы приведем несколько конструкций. Следующее опре- определение, вероятно, самое простое. Мы сформулируем его в трех эквивалентных формах. (i) Решетка Лича А24 порождена векторами вида ^ТЗ, ±1»), A33) где +3 может стоять в любой позиции, верхние знаки берутся в некотором «^-множестве» позиций, т. е. в множестве коор- координат, где у некоторого кодового слова двоичного кода Голея Ф24 СТОИТ 1. (и) Эквивалентно, обозначим координаты символами оо, 0, 1, ..., 22, и пусть Q — множество ненулевых квадратичных вы- вычетов по модулю 23. Решетка A2i порождается векторами аB12, О12), 23 вектора с носителями на сдвигах {{0}(JQ} + i, а(—3, I23), единственный вектор, а (± 42, О22), 2-24-23 векторов, где a=l/V8 (см. разд. 3.2 гл. 10). (ш) Эквивалентно, А24 состоит из векторов a@ + 2c + 4*), A35) аA+2с + 4у), A36) гдеа=1/У8~, 0 = @24), 1=A24), с е ?24 (мы сейчас рассматри- рассматриваем компоненты с как вещественные нули и единицы, а не как
170 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства элементы из F2) и элементы х, у е Z24 удовлетворяют условиям X Xi = 0 (mod 2), X ?/< = I(mod2). Векторы вида A35) назы- называются четными, а вида A36) — нечетными. (См. разд. 4.4 гл. 5.) Другие конструкции решетки Лича приводятся в разд. 5.7 гл. 5 (с помощью квадратично-вычетного [24, 12,9]-кода или кода Плесе над Рз), в § 6 гл. 6 (как слоистой решетки), в при- примере 12 гл. 7 и в разд. 3.6 гл. 10 (как 12-мерной комплексной решетки с использованием [12, 6, 6]-кода Голея над Рз)> в § 2 гл. 8 (как трехмерной решетки над икосианами, аналог кон- конструкции Турина кода $?24)> в § 3 гл. 8 (с помощью конструк- конструкции А/ — обобщения конструкции А), в § 5 гл. 8 (конструкция Маккея по матрице Адамара порядка 12), в разд. 7.3Ь гл. 8 (конструкция Крэйга как идеала в круговом поле Q(e23t'/39))t в разд. 7.5 гл. 8 (конструкция Томпсона по круговому полю Q(е2зТ(/23)), в гл. 11 (MOG-определение, см. ниже); в гл. 17 (формула G), по D2i), в гл. 17 и в § 5 гл. 18 (как решетки, со- соседней с Л2<); в гл. 24 (двадцать три конструкции, по одной для каждой решетки Нимейера!), в теоремах 1, 2 и 3 гл. 26 (три конструкции решетки Лича как гиперболической решетки) и в теореме 1 гл. 27 (как диаграммы Кокстера группы авто- автоморфизмов гиперболической решетки II25,i)- В известном смысле конструкция, приводимая в § 6 гл. 6, проще всех прочих, так как она утверждает, что решетка Лича может быть построена «индуктивно»: начнем с 1-мерной ре- решетки целых и будем каждый раз продолжать уже построен- построенную решетку до плотнейшей решетки в следующей размерно- размерности. Построенные таким образом решетки изображены на рис. 6.1; в размерности 24 получается решетка Лича. Это кон- конструкция «с пустым входом»! Другая такая конструкция дает- дается в гл. 27. Однако для вычислений с решеткой Лича удобнее всего ис- использовать MOG-координаты (координаты «чудесного генера- генератора октад»), которые устроены в виде прямоугольника 4X6. MOG-координаты для ^-множеств получаются из кодовых слов гексакода (см. п. 2.5.2 гл. 3) заменой каждого символа на столбец длины 4, как показано на рис. 4.11. ^-множества полу- получаются либо с помощью нечетной интерпретации каждого сим- символа любым способом, при котором верхний ряд содержит не- нечетное количество точек, либо с помощью четной интерпрета- интерпретации любым способом, при котором верхний ряд содержит четное число точек. Решетка Лича порождается векторами (±2В, О16), носитель которых является ^-множеством и число минусов в которых четно, и вектором (—3, I23). MOG-массивы подробно изучаются в гл. 11.
§ 11. Двадцатичетырехмерная решетка Лича 171 Порождающая матрица для Л24, приведенная на рис. 4.12, совместима с MOG-координатами. Для Л24 детерминант ра- равен 1, минимальная норма равна 4, контактное число т = = 196560, минимальные векторы суть 27-759 = 97152 векторов * * к * * * * * X X 1 ш НЕЧЕТНЫЕ 1 ш ЧЕТНЫЕ Рис. 4.11. Два нечетных представления цифры — это множества слева и их дополнения. Аналогично, два четных представления — это множества справа и их дополнения. вида 8-1/2(±28,016), где ±2 стоят на местах, соответствующих одному из 759 кодовых слов веса 8 в <&м, и имеется четное число минусов, 24-212 == 98304 векторов вида A33) и 2-24- •23= 1104 вида 8~1/2(±42, О22). Векторы в первых трех оболоч- оболочках приведены в табл. 4.13, без указания знаков (см. также разд. 3.2 гл. 10). Первые пятнадцать описаны иа с. 181 книги 8 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 -3 0 4 00 0 04 0 0 0 0 2 0 0 0 2 С 2 0 0 0 0 0 4 00 00 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 2 0 4 0 2 0 00 0 0 0 0 00 2 2 2 2 0 00 00 0 0 00 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 2 00 00 2 2 2 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 ! 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 00 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 00 4 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 0 4 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 00 00 0 0 0 0 0 0 4 2 2 2 00 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 000 00 00 00 0 2 0 0 00 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 00 00 0 2 0 I 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ооо 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 4 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 00 0 2 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 000 0 0 0 00 00 00 000 0 00 000 0 0 0 0 00 00 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0.0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 00 00 0 0 00 0 0 00 2 0 1 1 Рис. 4.12. Порождающая матрица 24-мерной решетки Лича Л24 в стаидартных MOG-координатах (строки матрицы разбиты на блоки по 4, соответствую- соответствующие столбцам MOG, читаемым сверху вниз).
172 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства Таблица 4.13. Векторы в первых трех оболочках решетки Лича. Л(п), — это векторы Лича нормы In (или типа п) и вида i; знаки не изображены Класс А@), АBJ VBK А BL АО) 2 ЛC)з АCL AC)s Вид (О24) B8О16) C123) D2О22) B12О12) C3121) <42«О15) E123) Количество 27 ¦ 759 212 • 24 22 2П-2576 з| 28 • 759 • 16 212-24 Класс АDJ+ ЛDJ- АDK А DL АDL+ АDL_ АDM АDN АD)8 Вид B1608) B1608) (Э»1»> D4020) D228014) D2120и) E32121) F27016) (8 О23) Количество 2п-759 211 • 759 • *t?J 29 ¦ 759 • 212 • 2576 • 2'2 И" 27 ¦ 759 • 21 -24 15 г] 12 3 8 [Con 16]. Радиус упаковки р = 1, плотность упаковки А = = я'712! = 0.001930..., 6=1, радиус покрытия Я = -л/2р = = д/2, имеется 23 типа глубоких дыр (см. гл. 23), один из которых — это в-1''2D,023) («октаэдральная» дыра, окруженная 48 точками решетки), и 284 типа мелких дыр (см. гл. 25). Плотность покрытия 0 = BяI2/12! = 7.9035... . Многогранник Вороного имеет 16969680 граней, из них 196560 соответствуют минимальным векторам и 16773120 — векторам следующей обо- оболочки (см. [Con 38] или теорему 10 гл. 21). Л24 — единствен- единственная целочисленная решетка с детерминантом 1 и минимальной нормой 4 (см. гл. 12). Ее группа автоморфизмов Со0 (или -0) имеет порядок 222 • З9 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 = 8315553613086720000 A37) (см. гл. 10 и 11). Тэта-ряд: 2)= A38) = 1 {82 (г)8 + 83 (z)8 + 84 B)8}3 - i| {82 (z) 83 (z) 84 (г)}8 = A39) ~\24 i_ о c~\24\ "" fa t~\ a /~\ Q /-,\\8 Z) ~\- o4 \Z) ) rjr \D2 \Z) 03 \Z) D4. \Z)f — A40) = ? N(m)qm = 1 + 196560<74 + 16773120?6 + ..., A41) m=0
§11. Двадцатичетырехмврная решетка Лича Л24 173 где (см. формулу E3) гл. 2) A42) функции А24B) и х(п) определены формулой C9), а Сц(/г) — формулой A03). Первые 50 коэффициентов N(m) приведены в табл. 4.14. Разложения первых 20 из них на простые множи- Таблица 4.14. Тэта-ряд 24-мерной решетки Лича m N(m) 0 1 2 0 4 196S60 6 16773120 8 398034000 10 4629381120 12 34417656000 14 187489935360 16 814879774800 18 2975551488000 20 9486551299680 22 27052945920000 24 70486236999360 26 169931095326720 28 384163586352000 30 820166620815360 32 1668890090322000 34 3249631112232960 36 6096882661243920 38 11045500816896000 40 19428439855275360 42 33213186220032000 44 55431591273414720 46 90344564568760320 48 144355739339448000 50 226066364540190720 m N{m) 52 348188700764268000 54 527108117540659200 56 786767288036446080 58 1156841376897024000 60 1680521645295642240 62 2409208986562560000 64 3417887115322439760 66 4792384230947389440 68 6658492791534948000 70 9154704673132-162080 72 12486419179545402000 74 16869989277755228160 76 22632233269428619200 78 30102943984468992000 80 39789443408903042400 82 52181704975196160000 84 68053817735463006720 86 88114798569141227520 88 113523923563982568000 90 145290076878792867840 92 185116016465911440000 94 234407918373703925760 96 295640558277712240320 98 37072572^086681600000 100 463209975930723119280 тели содержатся в [SI08, table X]. Коэффициенты быстро рас- растут; имеется хорошее приближение N(m)~^on(m/2) A43) (см. формулы E4), E6) гл. 2). Если сдвинуть начало коорди- координат в глубокую дыру октаэдрального типа (типа А2*), то
174 Гл. 4. Некоторые важные решетки и их свойства тэта-ряд равен -g- (92 И8 + 83 (zf - 84(z)8}3 + 4" {82 B) 83 (z) 84 (г)}8 = A44) оо = Ц N'qm = 48q2 + 4096?3 + 97152о4 + .. ., A45) m=2 где мы полагаем ац(х) и т(х) равными 0, если х не целое. Дру- Другие ссылки по поводу решетки Лича: [Bay 1], [Вго 4], [Lep 2], [Lin 6], [Lin 8], [Mill], [Tit 6], [Tit 7], [Vos 1]. «Нечетная ре- решетка Лича» С?24 (см. приложение к гл. 6) была открыта О'Крн- нором и Роллом [О'Со 1] в 1944 г.
Глава 5 Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Дж. Лич, Н. Слоэн Коды, исправляющие ошибки, используются здесь для по- построения плотных упаковок шаров в n-мерном евклидовом про- пространстве R", многие другие упаковки получаются из них взя- взятием сечений или послойной конструкцией. Этим способом мы строим плотнейшие известные упаковки во всех размерностях л ^ 29 и в некоторых больших размерностях, а также ряд дру- других интересных упаковок. § 1. Введение В этой главе мы систематически используем коды, исправ- исправляющие ошибки, для построения плотных упаковок шаров. Рассматривая их сечения, мы затем получаем упаковки в про- пространствах меньшей размерности. Упаковки, построенные в этой главе, включают плотнейшие из известных в настоящее время во всех размерностях до 29, а также ряд других интересных упаковок. Результаты подытожены в табл. 1.2, 1.3 и рис. 1.5 гл. 1. В разд. 1.1 мы начинаем с определения координатного мас- массива точки, затем в § 2 дается описание конструкции А, кото- которая приводит к наилучшим результатам в размерностях до 15. В § 3 описывается конструкция В; оиа хороша в размерностях от 8 до 24. В § 4 мы делаем отступление, определяя упаковки, построенные послойно, а в § 5 приводим некоторые частные конструкции для размерностей 36, 40, 48 и 60. Конструкция С, обобщающая конструкции А и В и особенно эффективная в раз- размерностях, равных степеням 2, описывается в § 6. Во всех кон- конструкциях используются сведения о кодах, исправляющих ошибки, приведенные в § 2 гл. 3. Послойная конструкция упаковок рассматривается далее в гл. 6, а в гл. 7 и 8 мы приводим дополнительные свойства и обобщения конструкций А, В и С. Эта глава является перера^ ботанным и обновленным вариантом работы [Lee 10]. 1.1. Координатный массив точки. Координатный массив не- некоторой точки х = (х\, ..., х„) с целочисленными координатами
175 Гл 5 Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки получается, если записать двоичные представления координат Хг в столбцах, начиная с единичного разряда [Lee 5, § 1.42]. Для отрицательных чисел используется двоичная дополнитель- дополнительная запись (пример приводится ниже). Первая, вторая, третья, ... строки координатного массива называются соответ- соответственно 1-, 2-, 4-строками. 1-строка массива содержит единич- единичные разряды координат, в ней соответственно стоит 0 для чет- четных и 1 для нечетных координат. Аналогично 2-, 4-, 8-, ... стро- строки содержат значения соответствующих разрядов в двоичном разложении координат1). Например, координатный массив точ- точки D, 3, 2, 1, 0, —1, —2, —3) таков: О 1 0 1 0 1 О Г 0 110 0 110 10 0 0 0 111 0 0 0 0 0 1 1 1 1-строка 2-строка 4-строка (О 8-строка Количество строк массива потенциально бесконечно, но все строки после нескольких начальных одинаковы. § 2, Конструкция А 2.1. Конструкция. Пусть С — двоичный (п, М, at)-код. Сле- Следующая конструкция определяет множество центров шаров упа- упаковки в R". Конструкция А. Точка х = {х\ хп) является центром тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 2 с ко- кодовым словом из С. Таким образом, точка х с целыми координатами является центром тогда и только тогда, когда 1-строка координатного массива точки х принадлежит С. Решетчатая упаковка полу- получается тогда и только тогда, когда С — линейный код. Кон- Конструкция А — это обобщение конструкции решетки Л4, приве- приведенной к работе [Lee 4, § 1.1]; ее дальнейшее изучение прово- проводится в гл. 7 и 8, где изложены некоторые ее обобщения. ') Иными словами, неотрицательное число а=*У a V2Y, где a v = 0 /to 2Y 2Y или 1, заменяется на столбец (a^ a2, a4, .... а2т, 0, 0, ...), а число 6<0 — т на столбец (Ь^ Ъ^ b <( ..., Ь^, 1, 1, ...), где 1+6 = - ? A-6,,/)-2', b / = 0 или 1. — Прим. перев.
§ 2. Конструкция А 177 2.2. Центральная плотность. В пределах единичного куба {0<х(< 1: г=1 п) центрами являются точно М кодовых слов. Все остальные центры получаются добавлением четных чисел к любым коор- координатам кодового слова. Это соответствует сдвигам на двойку единичного куба в любом направлении. Таким образом, все центры могут быть получены повторением строительного блока, состоящего из 2 X 2 X ¦ • • X 2-куба с кодовыми словами, отме- отмеченными на вершинах IX IX ••• X 1-куба, расположенного в одном из углов исходного куба. Каждый экземпляр 2Х2Х ¦•• X2-куба вносит вклад из М шаров некоторого радиуса р, поэтому центральная плотность упаковки, получаемой конструкцией А, равна б = Мрп2-п. B) Если два различных центра сравнимы с одним и тем же ко- кодовым словом, они находятся на расстоянии, не меньшем 2. Если они сравнимы с различными кодовыми словами, то раз- различаются по меньшей мере на 1 в не менее, чем d, координа- координатах и, следовательно, находятся на расстоянии, не меньшем Vd. Таким образом, мы можем выбрать радиус шаров, равный p = (l/2)min{2, л/d). (З) 2.3. Контактное число. Пусть S — шар с центром х, где век- вектор х сравним с кодовым словом с. Кандидатами в ближайшие к х центры являются следующие векторы, (а) Имеется 2п цент- центров типа х + ((±2H"-') на расстоянии 2 от х. (Ь) Пусть {А,(с)}—весовой спектр кода С по отношению к с (разд. 2.2 гл. 3). Так как Ad (с) кодовых слов находятся на расстоянии d от с, имеется 2dAa{c) центров типа х + (± 1)d0n~d) на расстоя- расстоянии Vd от х. Поэтому количество шаров, касающихся S, т. е. контактное число шара S, равно {2dAd (с), если d < 4, 2л+16А,(с), если d = 4, D) 2л, если d > 4. 2.4. Размерности от 3 до 6. Пусть С — линейный [п, п—1, 2] -код, состоящий из всех кодовых слов четного веса (см. п. 2.3.4 гл. 3). Число слов веса 2 равно {1/2)п(п—1), и, при- применяя конструкцию А, мы получаем шахматную решетку Dn в R" (разд. 7.1 гл. 4) с р = 1/д/2. б = 2-<rt+2>/2 и контактным
178 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки числом т==2/г(л—1). Точками решетки являются чередую- чередующиеся вершины кубической решетки Z". В разд. 1.5 гл. 1 мы упоминали, что для п = 3, 4, 5 Dn яв- является плотнейшей возможной решетчатой упаковкой в R" и обозначается /„, так как она также является слоистой решет- решеткой (см. следующую главу). В пространствах R3 и R5 имеются столь же плотные нерешетчатые упаковки (см. разд. 4.2 ниже, разд. 6.5 гл. 4, [Lee 6]). Плотнейшая шестимерная решетка Е6 ^ Л6 не получается из этого варианта конструкции А прямым образом, но будет получена в разд. 4.2 добавлением слоев из Л5, а также как се- сечение решетки Л7 в разд. 4.5 и из обобщения конструкции А в разд. 8 гл. 7. 2.5. Размерности 7 и 8. Теперь мы применим конструкцию А к кодам с минимальным расстоянием d — 4. Получаемая упа- упаковка состоит из шаров единичного радиуса и имеет централь- центральную плотность б = Шгп и контактное число т= 2л+16Л4(с). Пусть Нп обозначает двоичную матрицу, полученную из п X n-матрицы Адамара (см. разд. 2.13 гл. 3) заменой +1 на О и —1 на 1. Мы считаем, что Нп нормализована так, что пер- первые строка и столбец полностью нулевые. С точностью до оче- очевидных преобразований1) имеется единственная матрица Н%, и если из нее удалить первый столбец, то ее строки образуют [7,3,4]-код Ж-i с Д4 = 7 (см. п. 2.4.1 гл. 3). Применяя кон- конструкцию А, мы получим ?7^Л7 — плотнейшую решетчатую упаковку в R7 с б = 2~4 и т= 2-7+ 16-7 = 126 (см. разд. 8.2 гл. 4). Строки #8 и их дополнения образуют [8,4,4] -код Хэм- минга Ж& с А4 = 14 (см. п. 2.4.2 гл. 3). Он также является ко- кодом Рида — Маллера (или РМ-кодом) первого порядка. Из этого кода мы получаем ?8 = Л8— плотнейшую решетчатую упаковку в R8 с 6 = 2-* и % = 2-8 + 14-16 = 240 (см. разд. 8.1 гл. 4). 2.6. Размерности от 9 до 12. Матрица Адамара Н12 также единственна с точностью до эквивалентности. Пусть D — мат- матрица размера 11X11, состоящая из вектора 11011100010 (еди- (единицы в нулевой координате и координатах, номер которых яв- является квадратичным вычетом по модулю 11) и его цикличе- циклических сдвигов. Тогда Нц может быть представлена в виде ГО ОМ L0 D\ E) ') Имеются в виду перестановки строк и столбцов н их умножение на —1. — Прим. перев.
§ 2. Конструкция Л 179 Суммы пар строк матрицы Hi2 по модулю два и дополнения этих сумм образуют 132 вектора системы Штейнера 5 E, 6, 12) (см., например, [Lee 4]). Так как никакие два из этих векторов не могут совпадать в более чем четырех позициях, содержа- содержащих 1, они образуют A2, 132,4)-код, все кодовые слова кото- которого имеют вес шесть. Этот код может быть расширен до нели- нелинейного A2, 144, 4)-кода добавлением шести кодовых слов типа 01012 и шести слов типа 02110, таких, что шесть I2 и шесть О2 являются непересекающимися множествами. Имеется несколько различных вариантов этого кода в зависимости от взаимного расположения позиций единиц в 12 «свободных» кодовых словах и в векторах системы Штейнера. Укорочением A2, 144,4)-кода мы получаем A1,72,4)-, A0,38,4)- и (9, 20, 4)-коды. Коды, эквивалентные четырем при- приведенным, впервые построили Голей [Gol 2] и Джулин [Jull], другие конструкции и обобщения приводятся в [Litl], [Mac 6], [Rom 1], [Slo 18], [Slo20]. Применяя конструкцию А к различным вариантам A2, 144, 4)-кода, мы получаем нерешетчатые упаковки в R12 с централь- центральной плотностью б = 144-2~12 = 2~8-32 « 0.03516, что меньше, чем у /Ci2 (см. § 9 гл. 4), но зато в наиболее удачных случаях некоторые шары этих упаковок касаются, как мы сейчас пока- покажем, 840 других шаров. Пусть с — кодовое слово веса 6. Любой вектор веса 4 и длины 12 содержится точно в 8 векторах веса 5 и, следовательно, точно в 4 кодовых словах веса 6 (так как любой вектор веса 5 содержится в единственном слове веса 6). Таким образом, количество кодовых слов веса 6, находящихся на расстоянии 4 от с, равно 3 ( \ ) = 45. Если 12 свободных кодовых слов выбраны так, что имеется три слова 01012, единицы которых совпадают с парами единиц слова с, и три слова 02110, нули которых совпадают с парами нулей слова с, то имеются дополнительные 6 кодовых слов на расстоянии 4 от с и Ац(с) = 45 + 6 = 51. Из этих кодов мы получаем упаковки в R12 с максимальным контактным числом 2-12+ 16-51 =840, достигающимся для тех шаров, центры ко- которых сравнимы с с. Существует несколько неэквивалентных вариантов этих упа- упаковок, зависящих от выбора остальных свободных кодовых слов, но все они имеют то же самое максимальное контакт- контактное число 840, и все обозначены Р\ъа в табл. 1.2. Другой выбор 12 кодовых слов приводит к различным упа- упаковкам с максимальным контактным числом 824 или 808. Можно показать, что независимо от выбора 12 свободных кодо- кодовых слов получаемое среднее контактное число равно 7702/з.
180 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки (Это справедливо даже для тех упаковок, максимальное кон- контактное число которых меньше чем 840.) Для R11 мы полагаем х\г = 1 в Риа и находим, что макси- максимальное контактное число равно 566 в наиболее удачных слу- случаях, вместе обозначаемых через Рца, но в других случаях оно может быть равным всего лишь 550 или 534 (если 0101 заме- заменено на О11). За исключением этого последнего случая, среднее значение равно 5197/э. (Подробнее Рцо изучается в [Vet 1].) Для R10, полагая, x11=*12= 1 в Р12а, где хп и xi2 — пред- предпоследняя и последняя позиции из 01012 и 11002, мы получим упаковки Piob с 6 = 2~8-32 и максимальным контактным чис- числом 500. Если вместо этого положим х\2 = 1, *ю = 0, где хю и х\2 не соответствуют паре одинаковых символов в свободных кодовых словах, то получим упаковки с б = 2~9-19. В наиболее удачных случаях, обозначаемых Рюа, максимальное контактное число равно 372. Среднее контактное число равно 3539/i9 для Рш и340'/з Для Рюь. Для R9 мы полагаем хю = 0, хц = хц — 1 в Р\ча и полу- получаем упаковки Рэа с б = 2~7-5 и максимальным контактным числом 306; среднее контактное число равно 2353Д- Можно привести иной способ получения Рю». Тетрады си- системы Штейнера SC,4, 10) (см. разд. 3.1 гл. 3) образуют 30 кодовых слов длины 10 и веса 4, находящихся на расстоя- расстоянии Хэмминга, не меньшем 4. В качестве примера можно рас- рассмотреть тетрады, являющиеся циклическими перестановками векторов 1110001000, 1101100000, 1010100100. Добавляя нулевое слово и пять кодовых слов веса 8, можно получить несколько различных A0, 36, 4)-кодов. Конструкция А, примененная к этим кодам, приводит к упаковке Рюь. Аналогичным образом, упаковки РЭа, Рюа, Р\\а могут быть получены применением конструкции А к (9,20,4)-, A0,38,4)- и A1,72,4) -кодам. Все они являются нерешетчатыми упа- упаковками. Бест [Bes 1] построил A0, 40,4)-код, состоящий из цикли- циклических перестановок векторов 1010000001, 1100101100,0001010111 и 0111111010. Несмотря на нелинейность, весовой спектр отно- относительно любого слова равно 0'42261285. Применяя к этому коду конструкцию А, мы получим 10-мерную нерешетчатую упа- упаковку Pi ос с 6 = 2~7-5, в которой каждый шар касается 2-10 + + 16-22=372 других. Бест [Besl], [Bes 3] нашел также одиннадцать различных равновесных кодов, состоящих каждый из 35 слов длины 11 и веса 4 с расстоянием 4; один из этих кодов приведен на рис. 5.1. Применяя конструкцию А к любому из этих кодов, получим 11-мерное расположение шаров, в котором некоторые
§ 3. Конструкция В 181 шары касаются 2-11 + 16-35 = 582 других. Все они обозна- обозначены через Pj к в табл. 1.2. Плотности этих упаковок довольно малы. 11111111111100000000000000000000000 11100000000011111111100000000000000 00011100000011100000011111100000000 0001001 1000010011100011000011110000 00001000110010000011100110011101000 10000100101000010010010101010010110 01000 1100001000010010010 10110001110 00100001100101001000100011001010101 00100010011000100110010000101001101 1001000001010 10 00101000100100110011 01001001001000110000101001000101011 Рис. 5.1. Столбцы образуют код постоянного веса, найденный Бсстом, содер- содержащий 35 слов длины 11, веса 4 и с минимальным расстоянием 4. 2.7. Сравнение решетчатых и нерешетчатых упаковок. Суще- Существует ли в некоторой размерности нерешетчатая упаковка с плотностью, превосходящей плотность плотнейшей решетча- решетчатой упаковки, до сих пор не известно. Известно, однако, что нерешетчатые упаковки Рш, РИа и Pi3a из разд. 4.3 имеют плот- плотность, большую, чем у плотнейших известных упаковок- В разд. 2.2 гл. 1 уже упоминалось, что из работы Ватсона [Wat 7] следует, что Р9а имеет большее контактное число, чем это возможно для любой 9-мерной решетки. § 3. Конструкция В 3.1. Конструкция. Пусть С-—двоичный (n,M,d)-коя, такой, что вес любого кодового слова четен. Зададим упаковку шаров в R" следующим образом: Конструкция В. Точка х = (х\, ..., хп) является центром шара тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 2 п с кодовым словом из С и J] xi делится на 4. г-1 Таким образом, точка х с целочисленными координатами является центром тогда и только тогда, когда 1-строка коор- координатного массива х является кодовым словом сеСи 2-строка
182 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки имеет четный вес, если вес с делится на 4, и нечетный вес, если он делится на 2, но не на 4. Решетчатая упаковка получается, если С является линейным кодом (и только в этом случае). Конструкция В — это обобщение конструкции решетки Л8, при- приведенной в работе [Lee 4, § 1.1]. Она будет подробнее изу- изучена в гл. 7. 3.2. Центральная плотность и контактное число. Число цент- центров шаров составляет половину от числа центров конструкции А, так что б = Мрп2~п-К Пусть S — шар с центром х, где вектор х сравним с кодо- кодовым словом с. Кандидатами в ближайшие к х центры являются: (а) 2п(п— 1) центров типа х + (±2J0"-2) и (b) 2"-1Ad(c) центров, сравнимых с ближайшими к с кодовыми словами. По- Поэтому контактное число для шара S равно Г2^Ч(), <, х (S) = < 2fi (п — 1) + 128Л8 (с), если d = 8, F) I 2fi(re—1), если d>8, ¦а радиус шара S равен p = (l/2)min{y^> 3.3. Размерность 8, 9 и 12. В R8 мы можем применить конст- конструкцию В к коду с повторением {О8, I8}; снова получим упа- упаковку Es. В R9 код {О9, 180} приводит к решетчатой упаковке Л9 с р = д/2", 6 = 2~4'5 и т = 272. В R12 мы используем A2, 24, 6)-код, образованный строками матрицы #12 и их дополнениями; получается нерешетчатая упа- упаковка Ln (см. [Lee 4]) с 6 = 2~16-37 и т = 704. Взяв [12,2,8]- код {О12,0418, 140414, 1804}, мы получим решетчатую упаковку Гх с 6 = 2^5 и т = 648. 3.4. Размерности от 15 до 24. В R16 использование [16, 5, •8] -РМ-кода первого порядка приводит к решетчатой упаковке Лцз, имеющей б = 2~4 и т = 4320 (см. § 10 гл. 4). Укорачивая этот код, приравняв одну из координат к нулю, мы получим симплексный [15, 4,8]-код, приводящий к решетчатой упаковке Л15 в R15, имеющей б = 2-4-5 и т = 2340. Пусть Ct, i = 0, 1, 2, ..., 5, обозначает укороченный код, полученный из [24, 12,8]-кода Голея ^ приравниваем i коор- координат к нулю, и пусть а; — число кодовых слов веса 8 в Ci. Тогда ао = 759, а, = 506, а2 = 330, а3 = 210, а4 = 130 и а5 = = 78 (см. табл. 10.1 гл. 10).
§ 4. Послойные конструкции упаковок 183. Последовательность полученных из С,- решетчатых упаковок в R2*-', / = 0, 1 5, имеет б; = 2-('+2>/2 [Lee 4, § 2.4]. В R19,. R20, R21— это Л19, Лго, Л21, плотнейшие известные упаковки, но в пространствах R22, R23 и R24 они могут быть улучшены (это. будет показано в разд. 4.4, 4.5). Полученную выше 24-мерную- решетку мы обозначим /1Л24; она состоит из половины точек конструируемой в разд. 4.4 решетки Л24, т. е. является «четной частью» этой решетки. Замечание. Конструкции А и В не годятся для больших п. Для примера рассмотрим применение конструкции В к коду с d = 8. Легко показать, что log2 б ^ п/2 — 3 log2 n + о (log2 n) при fi-voo и, значит, в силу A8) гл. 1 log2A^(—1/2)п- •Iog2(n/ne). Но существуют гораздо более плотные упаковки,. см. разд. 1.5 гл. 1. Кроме того, -<48^(g) и, следовательно, са- самое большее, т = O(ns), в то время как известны гораздо боль- большие значения т, см. разд. 2.2 гл. 1 или разд. 6.5 ниже. § 4. Послойные конструкции упаковок 4.1. Упаковка слоями. Основная идея очень проста (см. [Lee6]_ [Lee7]). Пусть Л — решетчатая упаковка шаров в R" с конеч- конечным значением радиуса покрытия R (равенство C) главы 2)„ и пусть D(A)—множество глубоких дыр в Л. (Заметим, что приводимая ниже конструкция может быть также применена и к подходящим нерешетчатым упаковкам.) Слоем шаров в R"+1 называется множество шаров, центры которых лежат в некоторой гиперплоскости, причем упаковка А получается как пересечение рассматриваемого множества ша- шаров с этой гиперплоскостью. В этой гиперплоскости имеются два выделенных множества точек-—множество центров С и множе- множество глубоких дыр D. Попытаемся построить плотную упаковку шаров в Rn+l, раз- размещая такие слои столь близко, насколько это возможно. Дла этого расположим соседние слои так, чтобы множество С одного слоя находилось против некоторого подмножества или всего множества D следующего слоя. Так как сечения слоев, являются решетчатыми упаковками, то если одна точка из С противолежит точке из D, это же выполняется и для всех то- точек из С. Может оказаться, что мощность множества D превосходит мощность С; тогда этот метод может привести к нескольким, неэквивалентным упаковкам в R"+1. Эти упаковки могут ока- оказаться как решетчатыми, так и нерешетчатыми. Примеры при- приводятся ниже и в следующих параграфах. (Хотя нам и не-
184 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки удалось найти примера, в котором приведенным способом невоз- невозможно получить решетчатую упаковку, это представляется воз- возможным. На самом деле должны существовать также случаи, когда расположение глубоких дыр приводит либо только к ре- решетчатым, либо только к нерешетчатым упаковкам.) Выберем для примера в качестве Л квадратную решетку Z2 в R2. Тогда С состоит из вершин квадратов, a D — из их центров. Расположим слои так, чтобы вершины квадратов каж- каждого слоя противолежали центрам квадратов следующего слоя. Из равномощности множеств С и D следует единственность та- такого расположения, и мы получаем гранецентрированную ку- кубическую решетчатую упаковку Лз в R3 (§ 6.3 главы 4). Ситуация получится иной, если в качестве Л выбирается гексагональная решетка Лг с R2. В этом случае мощность мно- множества D, состоящего из точек, обозначенных Ь или с на рис. 1.3Ь, в два раза больше мощности множества С (точки а). Шары исходного слоя могут быть расположены против точек типа b или точек типа с соседнего слоя. Как уже говорилось в разд. 1.3 гл. 1, в случае такого расположения слоев, когда шары в двух слоях, соседних с любым фиксированным слоем, противолежат точкам, отмеченным различными буквами, полу- получается решетка Л3. Если же шары по обе стороны от каждого слоя противолежат точкам, отмеченным одной и той же буквой, получается нерешетчатая гексагональная упаковка (см. разд. 6.5 гл. 4), имеющая такую же плотность, как и Л3. Если нам тре- требуются регулярные упаковки, то, так как все слои должны быть заполнены единым образом, возможности исчерпаны, и эта кон- конструкция приводит только к двум описанным упаковкам. В общем случае мы располагаем слои на таком расстоянии, чтобы наименьшее расстояние между центрами из соседних слоев равнялось минимальному расстоянию между центрами одного слоя. Возможны четыре случая. Шары одного слоя могут (i) не достигать, (ii) касаться или (ш) пересекать центральную гиперплоскость соседнего слоя, а также (iv) может оказаться возможным заполнение шарами одного слоя пространства между шарами соседнего слоя и, таким образом, совмещение двух слоев в одной гиперплоскости. Примерами случая (i) являются п = 2 (см. выше) и п — 3, 4, 5 (в § 4.2). В случае (ii) может наблюдаться увеличение числа касаний, в связи с тем, что касаются друг друга шары, находящиеся по разные стороны одного слоя. Примерами такой ситуации могут служить случай п — 6 в разд. 4.2 и упаковка Р13а из § 4.3. В случае (ш) во избежание пересечений слои с обеих сторон от исходного слоя необходимо сдвинуть. Приме- Примером являются конструкции решетки ?8 из слоев решетки D7,
§ 4. Послойные конструкции упаковок 185 как это сделано в [Lee 7], и локальные расположения шаров Риь, Р\ьа из разд. 4.3. Случай (iv) удваивает плотность исход- исходной упаковки. Примеры такой ситуации в R8, R12, R24 и R48 приводятся в разд. 4.4 и разд. 5.6. Иногда выгодно добавлять слои, не являющиеся решетками. В качестве примеров можно привести локальные расположения шаров в R11, R14 и R15, а также нерешетчатую упаковку Pi3c в R13, которая будет описана в разд. 4.3. Дальнейшее исследование послойной конструкции прово- проводится в следующей главе. 4.2. Размерности от 4 до 7. Рассмотрим упаковки в Rn+I, по- полученные соединением слоев решетки Dn при п ^ 3. В этом случае области Делонэ (см. разд. 1.2 гл. 2) могут быть двух типов: каждая пропущенная вершина из Z" (как, например, вектор склейки из разд. 7.1 гл. 4) является центром октаэдраль- октаэдральной области р«, а центр каждого куба из Z" (как, например, векторы склейки [1] и [3]) является центром «полукуба» hyn [Сох 20, р. 155]. Областей второго типа в два раза больше, чем первого, и мы будем считать, что области окрашены попере- попеременно в черный и белый цвет. Для п = 3 октаэдральные области р3 больше, чем тетраэд- тетраэдральные области /173, и поэтому мы располагаем шары каждого слоя против октаэдров соседнего слоя. Так как число октаэдров и шаров одинаково, мы приходим единственным образом к ре- решетчатой упаковке D4 ^ Л4. Для п = 4 области р4 и hy4 подобны, и решетка ZL является регулярными сотами типа {3,3,4,3} [Сох 20, р. 136]. Таким образом, имеются три варианта расположения каждого слоя: шары каждого слоя могут быть помещены напротив пропущен- пропущенных вершин, черных областей или белых областей. В этом случае мы получаем либо решетчатую упаковку Dz ^ Л5, либо три различные регулярные нерешетчатые упаковки, имеющие одинаковую плотность и то же контактное число [Lee 6]. Для п > 4 области hyn больше, чем области р«, поэтому для достижения максимальной плотности в Rn+! мы добавляем слои с шарами, расположенными напротив кубов соседних слоев. На каждом этапе шары могут быть помещены либо на- напротив черных, либо напротив белых кубов. Для п — 5 или 6 мы получаем две регулярные упаковки — решетчатую упаковку Лл+1 и нерешетчатую упаковку с той же плотностью. Для п = 5 обе упаковки имеют одинаковое контактное число. Для п = 6 каждый шар решетчатой упаковки ?7^Л7 касается в два раза большего числа шаров по сравнению с нерешетчатой упаковкой, так как шары этой упаковки касаются шаров, находящихся
186 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки в следующем за соседним слое. Это пример описанного выше случая (и). Для п = 7 получается только решетчатая упаковка ?8 = А8. Это пример случая (ш), когда соседние слои должны быть сдвинуты во избежание пересечений. 4.3. Размерности 11 и от 13 до 15. В R11 мы строим локальное расположение Рць 580 шаров, касающихся одного шара (худ- (худшее по сравнению с Рис из § 2.6), соединением трех частичных слоев. Центральный слой состоит из 500 центров шаров упа- упаковки Рюь, касающихся одного шара, с одиннадцатью нуле- нулевыми координатами. Два других слоя состоят из всех точек вида (с„ ...,с10, 0) —A/2 1/2, ±A/2)Уб), где (си ..., сю) пробегает A0, 10, 4)-код и состоит из 80 точек. Не представляется возможным расширить это локальное расположение до плотной упаковки всего про- пространства. В R13 мы берем любую из упаковок Рца и ее сдвиги на кратные вектора (A/2I2, ±1) и получаем семейство нерешет- нерешетчатых упаковок; каждая из них обозначается Р\ъа- Любая из этих упаковок имеет б = 2~8-32 и максимальное контактное чис- число 840 + 2-144 + 2 = 1130. Последнее число 2 возникает за счет шара, касающегося шаров, удаленных на два слоя. Среднее кон- контактное число равно 10602/з. Тетрады системы Штейнера SC,4, 14) (см. [Hani]) обра- образуют 91 кодовое слово длины 14, веса 4 и с расстоянием Хэм- минга не меньше 4. Например, если 14 координат помечены символами 12 3 4 5 6 7 и V 2' 3' 4' 5' 6' Т, то в качестве тетрад можно взять 12 3 6, 2' 5' 6' 7', 1 2 4 2', 6 4' 6' 7', 271' 6', 2' 4 4' 6', 5 7 Г 3', 15 3' Т, 1 4 4' 7', 4 7 Г 4', 6 7 Г 2', 5 6 2' 3', 4 5 3" 4' и их образы при перестановке A 2 34 567) (Г2'3'4'5'6' Т).Конструк- Т).Конструкция А тогда дает локальное расположение Рца 1484 шаров, ка- касающихся одного шара. Однако его можно улучшить, оставляя тринадцать координат и повторяя построение. Наилучшее сече- сечение системы 5C,4,14) в R13 состоит из 65 кодовых слов, даю- дающих локальное расположение Р^ь с 26 + 16-65= 1066 касания- касаниями худшее, чем Pi за. Теперь мы образуем локальное расположение Р15а из пяти частичных слоев. Центральным слоем является Р\зь- Соседние слои-это (с,0)-(A/2I3, A/2) УЗ) и (с', 0) - (A/2I3, (-1/2) Уз), где с пробегает укороченный [13, 8, 4]-код Хэмминга, с' обозна- обозначает с-|-A2, 0"), приведенное по модулю 2. Два внешних слоя содержат в точности по 2 шара каждый: (± 1, О12, ± УЮ- Та-
§ 4. Послойные конструкции упаковок 187 ким образом, центральный шар касается 1066 + 2-256 + 2-2 = = 1582 других. Аналогично, в R15 мы образуем локальное расположение Рхьа из пяти частичных слоев. Центральным слоем служит Рца. Соседние слои —это (с, 0) —(A/2)и, A/2) У!) и (с', 0)— — (A/2I4, (—1/2) д/2), где с пробегает укороченный [14,9,4]- код Хэмминга и с' равно с —{- (I2,012), приведенному по модулю 2. Внешние слои суть (хи ..., хи, ±У2), где хи ..., хи все равны нулю, за исключением одной пары x2t-u x2i, которые равны ±1 во всех четырех комбинациях. Центральный шар ка- касается 1484 + 2 • 512 + 2 • 28 = 2564 других. 4.4. Удвоение плотности и решетка Лича Л24- В R8 можно объединить без пересечения два экземпляра D8, чтобы образо- образовать решетчатую упаковку Es ^ Л8, причем второй экземпляр — это сдвиг первого на (A/2)8). В [Lee 5, § 2.31] показано, что в R24 два экземпляра 24-мер- 24-мерной упаковки, полученной в разд. 3.4 из кода Голея Фц, можно объединить без пересечения, чтобы образовать упаковку А.ц (теперь обычно называемую решеткой Лича) с б = 1 и т = = 196560. Второй экземпляр — это сдвиг первого на (—1'/2, Уг23), и решетка Л24 приобретает вид, заданный формулами A33) — A36) гл. 4, но с другим масштабом. 4.5. Сечения решетки Л24- Все плотнейшие из известных ре- решетчатых упаковок в размерностях меньше 24 возникают как сечения решетки Л24. Имеются две главные последовательности сечений, Л» и Ki, i = 0, 1, ..., 24, где индексы указывают раз- размерность и Л; s* Kt для (^6 и / ^ 18. В силу симметричности Л24 имеется несколько различных путей описания некоторых из этих сечений. Последовательность решетчатых упаковок Л, определяется следующим образом ([Lee 4, § 2.4], [Lee 5, § 2.4]). Л23, Л22 и Л21 получаются из Л24 приравниванием друг к другу любых двух, трех или четырех координат. Л21 (еще раз), Л2о и Лш получаются приравниванием трех, четырех или пяти координат нулю. Напомним (см. разд. 3.1 гл. 3), что кодовые слова веса 8 в ^24 образуют октады системы Штеинера SE,8,24). В силу того, что эта система Штеинера пятикратно транзитивна, выбор координат при образовании Л19, ..., Л2з произволен. Ai9 (еще раз), Ai8, Ai7 и Ai6 получаются приравниванием к нулю сум- суммы восьми координат, образующих октаду Штеинера, а также сумм любых четырех, пяти, шести или семи из них.
188 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки [16, 5,8]-РМ-код возникает как подкод в ^24, и мы сопо- сопоставляем оставшиеся 16 координат координатным позициям этого подкода. Любые две пересекающиеся октады [16,5,8]- кода разделяют координаты на четыре тетрады. Ais, Аи, Ai3 и Ai2 получаются приравниванием к нулю суммы координат, образующих тетраду, и, кроме того, соответственно ни одной, любой одной, любых двух из них или каждой из них. Ли, Лю и Л9 получаются из Аи приравниванием друг к другу любых двух, любых трех или всех четырех координат в одной из оставшихся тетрад. Л9 (еще раз) и Л8 получается прирав- приравниванием к нулю любых трех или всех четырех координат в тетраде. Л7 Л4 получаются как сечения решетки Л8 таким же образом, как Ли, ..., Л8 получаются из Ai2, причем любые че- четыре координаты из восьми объявляются тетрадой. Наконец, Лз, ..., Ai получаются из Л4 (четыре координаты объявляются тетрадой) таким образом, как Ai5, ..., Л]3 получились из Ai6. Последовательность Ai, ..., Л24 включает в себя наиболее плотные известные упаковки из R1, ..., R10 и R14, ..., R24. Но в размерностях с 11 по 13 решетки /Си, Кп, К\з из последова- последовательности Кп плотнее, чем Л„ ([Lee5], [Lee 10]). Это будет описано в следующей главе. Ki2 — решетка Кокстера — Тодда (§ 9 гл. 4) с б = 3~3 и т = 756. /См, /Ci2 и К\з — это плотней- шие известные решетчатые упаковки в этих размерностях, хотя Рпа и Риа — более плотные нерешетчатые упаковки. Кроме того, нерешетчатые упаковки Рта, Р\ос плотнее, чем А:о. Заметим, что имеется близкая аналогия между упаковками Оъ, ..., D8 из разд.2.4 и упаковками в !R19, ..., R24 из разд.3.4, среди которых первые три — плотнейшие из известных, у по- последней может быть удвоена плотность и плотнейшие проме- промежуточные упаковки можно получить или как сечение сдвоен- сдвоенной упаковки или как слоистые упаковки. § 5. Другие кодовые конструкции упаковок 5.1. Код длины 40. Мы построим двоичный код длины 40, ко- который будет использован в разд. 5.2 для получения упаковки шаров. Через С\ обозначим [16, 11,4]-код Хэмминга; 140 его кодовых слов веса 4 образуют блоки системы Штеинера SC, 4, 16). Через ^24 обозначим [24, 12, 8]-код Голея с коор- координатами, упорядоченными таким образом, чтобы 18016 было кодовым словом. В этом коде имеется 759 кодовых слов веса 8, образующих октады системы Штеинера SE, 8, 24). Пусть С — код длины 40, состоящий из всех кодовых слов вида (х,у, z), где j/eC,, zsC, и (х,у + )9
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок 189 Теорема 1. С — линейный [40, 23, 8] -код. Доказательство. Заметим, что если из всех кодовых слов кода ^24 удалить восемь координат, соответствующих октаде, то усеченные кодовые слова образуют два экземпляра кода С\ (см. [Вег 5] или гл. 11). В коде С слова у и z могут быть вы- выбраны 2й способами каждое, и в силу предыдущего замечания существуют два выбора х так, что (х, у + z) e ^24. Таким об- образом, код С состоит из 223 кодовых слов. Так как (х, у, z) — = (х> У + 2,0) + @, z, z), то в силу конструкции wt (л:, у, z) ^ ^ wt(x,у -j-2,0):5s 8, и, таким образом, минимальный вес равен 8. Теорема 2. Число кодовых слов минимального веса в коде С равно 2077. Доказательство. Пусть (х, у, z) — (х, у + z, 0) + @, z, z) — ко- кодовое слово веса 8. Возможны пять случаев. A) Если у = z = = 0, то х=\ъ. B) Если уф0, z = 0, то есть 758 слов вида (л:, у) е ^24, уФО. C) Если у = 0, z ф 0, опять имеется 758 воз- возможностей. D) Если у = гф0, то wt(t/) = 4, х = 0 и имеется 140 вариантов выбора у. E) Если уФО, гфО, у-\-гф0, то х = 0, wt(z/ + 2) = 8 = wt(t/) + wtB). Поэтому г/ и г имеют не- непересекающиеся множества единиц. Вектор у можно выбрать 140 способами, и для каждого из них имеются 3 вектора 2, та- таких, что @, у + 2) е <5Й24, что дает 420 кодовых слов. Случаи A) — E) вместе дают 2077 кодовых слов. Замечание. Если @, у, z) е С, то @, у + z) e <g'24 и, таким об- образом, у -f 2 содержится в [16, 5, 8]-РМ-коде первого порядка, и, следовательно, вектор (у, z) принадлежит [32, 16, 8]-РМ-коду второго порядка. 5.2. Решетчатая упаковка в R40. Решетчатая упаковка в R40 может быть получена из кода С, построенного в разд. 5.1, сле- следующим образом. Разделим 40 координат на 8+16+16 в со- соответствии с разбиением кодовых слов из С. Тогда X = (х, у, z) является центром, если и только если его 2-строка принадлежит С, 1-строка либо полиостью нулевая, либо нулевая на позициях одного из указанных выше множеств координат и единичная на позициях двух других, а 4-строка имеет четный вес, если множество из 8 позиций четно, и нечет- нечетный вес, если множество из 8 позиций нечетно. Ближайшие к началу координат центры приводятся в табл. 5.1. (Центры, описываемые первой строкой таблицы, имеют 1-строку 08132, 2-строку, равную любому кодовому слову @,у,г)еС, а 4-строка выбирается так, чтобы сделать вое
190 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Таблица 5.1. Минимальные векторы (х, у, г) в Л4о. В строках, отмеченных (J), одни нз элементов ±1 должен быть заменен на =РЗ х у z нуль нечет. нечет. нечет. нуль нечет. нечет. нечет. нуль чет. чет. чет. чет. чет. чет. Вид 08(±1K2 (±1)8016(±1I6(*) (±1)8(±1I6016(*) 032(±2)8 038(±4J Количество 216 24-211 24-212 27-2077 40-39-2 531120 ненулевые координаты равными ±1, и в соответствии с замеча- замечанием в конце разд. 5.1 число таких центров равно 216. Для дру- других типов центров результаты могут быть получены простыми вычислениями.) Таким образом, мы получаем решетчатую упа- упаковку Л40 с р = 2 V2, б = 24 и т = 531120. 5.3. Сечения решетки Л«. Решетка А24 содержится как сече- сечение в Л40, а для 1 ^ п ^ 16 решетка Л4о имеет сечение Лад-* в R40-" с плотностью, в 16 раз большей, чем у Л24-л- Например, в R36 имеется сечение Л36 с 6 = 2 и т = 234456. Решетка Л3в получается из Л40, если приравнять к нулю четыре координаты из тетрады, содержащейся в одном из множеств из 16 позиций. Л32 мы получаем, приравнивая к нулю все координаты из окта- ды, содержащейся в одном из множеств из 16 позиций, эта упа- упаковка имеет б = 1 и т = 208320. 5.4. Упаковки на основе троичных кодов. Пусть С — троич- троичный (n,M,d)-код,1). По аналогии с конструкцией на основе двоичных кодов мы получаем упаковки шаров в R" из следую- следующих конструкций. Конструкция А3. Точка х = (хи ..., хп) является центром тогда и только тогда, когда вектор х сравним по модулю 3 с кодовым словом кода С. п Конструкция В3. Кроме того, X xi делится на 2. i — \ Из конструкции Аз мы получаем упаковку шаров, для ко- которой _ р = min {3/2, A/2) д/d}, б = Мр-П, G) ') Элементы поля Гз отождествляются с {—1, 0, 1} —Прим. перев.
§ 5. Другие кодовые конструкции упаковок 191 а из конструкции В3 — для которой Г min{3/V2", A/2) V^}> если d четно, Р~ min{3/V2, (l/2)(d + 3I/2}, если d нечетно, б = Мр-13-". (9) Другие конструкции на основе троичных кодов описываются в § 8 гл. 7. 5.5. Упаковки, полученные из кодов Плесе. Применением кон- конструкции Вз к дважды циркулянтным кодам Плесе (см. Таблица 5.2. Решетки, полученные применением конструкции В3 к кодам Плесе п 12 24 36 48 60 Код [12,6,6] [24, 12, 9] [36, 18, 12] [48, 24, 15] [60, 30, 18] Радиус 2-1/2 31/2 31/2 31/2 2/2 3 2/2 3 S г-1 2-1 2 2-25 324 2-31 3З9 Наимен. Dl2 h A 24 Ръьр hP*sp РбОр разд. 2.10 гл. 3) мы получаем решетчатые упаковки, представ- представленные в табл. 5.2. Применяя конструкцию А3 к_[_12, 6, 6]-коду Голея ffu, мы получим решетку D\2 с р = V3/2 и б = 2~ . Известно, что можно удвоить плотность D\2 и получить Di2, а также учетве- учетверить плотность и получить Л]2 [Lee 4, § 2.1]. В разд. 5.7 мы покажем, что также можно удвоить плот- плотность упаковок в R24 и R48, при этом получаются решетки Л24 и Р48р- С другой стороны, нам не удалось найти удвоений для упаковок Рзвр и РбоР, техника разд. 5.7 оказывается здесь не- неприменимой из-за существования кодовых слов максимального веса с нечетным числом вхождений каждого знака [Mai 2] (см. постскриптум в конце этой главы). В упаковке Р36Р ближайшие к началу координат центры имеют вид ((±1I2024) и соответствуют кодовым словам мини- минимального веса; таким образом, т = А\ъ = 42840. В упаковке Р60р контактное число т = Л!8 + 2-60-59 = 3908160. 5.6. Упаковки, получаемые из квадратнчно-вычетных кодов. Как отмечалось в разд. 2.8, 2.10 гл. 3, существуют троичные квадратично-вычетные [24,12,9]- и [48,24, 15]-коды с тем же весовым спектром, что и у соответствующих кодов Плесе.
192 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Применяя конструкцию В3, мы получаем упаковки ЛЛ24 и m Мы покажем, что эти упаковки могут быть удвоены, при этом получатся Л24 в R24 и еще одна 48-мерная решетка Р«<?- 5.7. Удвоение плотности в RM и R48. Плотность каждой из решеток /1Л24, hP^p и hPi&q может быть удвоена добавлением еще одной копии, являющейся сдвигом первой на (—2'/г, Для того чтобы показать это, мы должны проверить, что все точки исходной решетки расположены дальше от точки Таблица 5.3. Минимальные векторы в P Л Координаты (±3J046 (+2)(±1I4033 (±1I8ОЗО (+2'Л) (±УгУ (±1'/2K(±'/2L5 Количество 2-48-47 15-415104 20167136 48-96 4 6503296 (—27г, С/г)"), чем начало координат. Любая точка исходной решетки отличается от этой точки минимум на Уг в каждой ко- координате. Если некоторые координаты сравнимы с —1 по мо- модулю 3, то, как следует из разд. 2.10(ii) гл. 3, таких координат не менее трех и, таким образом, минимум три координаты от- отличаются на 1Уг. С другой стороны, если все координаты срав- сравнимы с 0 либо 1 по модулю 3, то в соответствии с разд. 2.10 (iv) они сравнимы с одним из кодовых слов типа 0л, \п или 0п/21п/2. Так как сумма координат четна, по меньшей мере одна коор- координата отличается на 2г/г- В пространстве R24 удвоенная упаковка имеет центральную плотность, равную 1, и поэтому должна быть решеткой Л24 (независимо от происхождения из кода Плесе или квадратич- квадратично-вычетного кода), так как эта решетка единственна (см. гл. 12). В R48 из [48, 24, 15]-кода Плесе получается решетка, кото- которую мы обозначаем Р48р. а из квадратично-вычетного [48,24, 15]-кода — решетка, которую мы обозначаем Pwq; как Р&р, так и P48<? имеют б = 2~24-32*. Контактные числа для P^q и PiSo вычисляются, исходя из весового спектра, приведенного в табл. 3.2. Ближайшие к началу координат центры приведены в табл. 5.3; их общее количество равно т = 52416000 (что соот- соответствует значению, даваемому формулой E7) гл. 4). Сечения решетки Р48р исследуются в § 2 гл. 6. Решетка P^q была впер-
§ 6. Конструкция С 193 вые обнаружена Томпсоном [Tho 7] с помощью конструкции разд. 7.5 гл. 8. Мы возвращаемся к этим решеткам в примере 9 гл .7, где определяем их детерминанты, тэта-ряды и т. п. § 6. Конструкция С 6.1. Конструкция. Пусть d = (n, Mi, di), i= 0, 1, ... .... а, — семейство кодов с di = y4"-\ где у= 1 или 2. Упа- Упаковку шаров в R" можно построить следующим образом. Конструкция С. Точка х с целыми координатами является центром тогда и только тогда, когда 2'-строка ее координатного массива принадлежит С, для i = 0, 1, ..., а. Эта конструкция — обобщение конструкций упаковок в R", п== 2т, приведенных в [Lee 4, § 1.6]. В конструкции С дальней- дальнейшее развитие получает используемая в конструкциях А и В идея удачного выбора ограничений на строки координатного массива. В общем случае получаемая упаковка не является решетчатой. С помощью приведенной в § 8 гл. 8 модификации этой конструкции (конструкция D) всегда получаются решет- решетчатые упаковки, однако требуется, чтобы коды С,- были линей- линейными и вложенными, т. е. d ^ С+ь 6.2. Расстояние между центрами. Если первой строкой, в ко- которой различаются два центра, является 2/-строка, то (i) если i > а, то расстояние между ними равняется по меньшей мере 2а+1, и (ii) если 0 ^ i ^ а, то они отличаются минимум на 2' как минимум в di координатах, т. е. расстояние между ними больше либо равно (dj4')'$ = Vy • 2°. Таким образом, мы мо- можем взять шары радиуса р = Vy • 2е. 6.3. Центральная плотность. Сколько точек х с целочислен- целочисленными координатами удовлетворяют условиям конструкции С? Доля х с 1-строкой из Со составляет Мо-2~п, с 2-строкой из С] — М[-2~п и т. д. Таким образом, доля взятых в качестве центров целочисленных точек равна МйМ\ ... Ма-2~(-а+1)п и центральная плотность равна соответственно б = М,М, ... Ма-2~ (а+1)'п • р" = М0Мг ... Мауп12 ¦ 2~2п. A0) Если коды линейны и dim С,- = ki, то а log2б = X k{ — In при Y=l. (Ha) i — Щ- при y = 2. (lib)
194 Га. 5 Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Для больших п мы имеем (из формулы A8) гл. 1) а log2 А = ? *< -- Т log2 (8п/ле) + О (log2 n). A2) Например, мы можем получить 64-мерную нерешетчатую упа- упаковку, используя следующие коды из таблицы 5.4: ' Со: [64, 1, 64], С,: [64, 28, 16], С2: [64, 57, 4], С3: [64, 64, 1] A3) (здесь у = 1, а = 3). По (На) центральная плотность рав- равняется б = 222. В разд. 8.2е гл. 8 мы построим решетчатую упа- упаковку с той же плотностью. 6.4. Контактное число. Подсчитаем число шаров, касающихся шара с центром в начале координат. Для этого, как видно из обсуждения в разд. 6.2, мы должны найти число центров типа (± 2r)dr 0n~dr для каждого г = 0, 1 а. Координата, равная +2Г, соответствует столбцу с одной единицей в 2г-строке коор- координатного массива, в то время как координата, равная —2Г, имеет единицы в 2'-строках для всех i ^ л Единицы в 2г-стро- ке образуют некоторое кодовое слово, скажем с, из Сп а отри- отрицательные знаки должны быть в позициях единиц в некотором кодовом слове из Сг+\ П Сг+2 П • • • П Са. 2г-строка может быть выбрана Ad способами, причем для каждого способа число возможных выборов знаков равно числу кодовых слов в Сг+\ ["] [\ Сг+2 П • ¦. П Са, содержащихся в кодовом слове с из Сг. Обо- Обозначим последнее число через Nr(c). Тогда число центров требуемого типа равно 2 Nr(c) и t=EEiVr(c), A4) где ? означает суммирование по всем с<=Сг. Если величина а Nr (с) = Nr не зависит от с, то получается т = ? Ad MT. 6.5. Упаковки, получаемые из кодов Рида-Маллера. Выберем в качестве кодов С, РМ-коды Bг)-го порядка длины п = 2т и применим конструкцию С; в результате получится упаковка Рпг в R". Эти и подобные упаковки были построены в [Lee 4]. Если т четно, то у = 1 и а = т/2, если же т нечетно, то 7 = 2 и а=(т—1)/2; в обоих случаях радиус равен 2(т~2>/2. Так как РМ-коды вложены друг в друга, Nr(c) равно числу ко-
§ 6. Конструкция С 195 довых слов в РМ-коде Bг + 2)-го порядка длины 2т, содер- содержащихся в кодовых словах минимального веса в РМ-коде Bг) -го порядка, а это то же самое, что число кодовых слов в РМ-коде второго порядка длины 2т~2г. Таким образом, ( т — 2r\ fm — 2r\ log2iVr(c)=l + ( ! ) + [ 2 J. A5) Используя приведенные в разд. 2.7 гл. 3 свойства РМ-кодов, находим центральную плотность и максимальное контактное число = 2 ¦ п , A6) т = B + 2) B + 22) ... B + 2т) ~ 4.768 . .. 2т (т+т. A7) Подробности содержатся в [Lee 4]. (Соотношения между опре- определенной в [Lee 4] k-четностью вектора и РМ-кодами таково: двоичный вектор длины 2т является ^-четным тогда и только тогда, когда он принадлежит РМ-коду (т — &)-го порядка.) Упаковка Рпг в R", п = 2т, является решеткой тогда и толь- только тогда, когда п =^ 64. Решетчатая упаковка Бариса — Уолла BWn (разд. 8.2f гл. 8) в размерностях п = 2т совпадает с Рпг при п ^ 32 и имеет ту же плотность и то же максимальное контактное число для всех п. 6.6. Упаковки, получаемые из БЧХ-кодов и других кодов. РМ-коды очень низких и очень высоких порядков содержат максимально возможное число кодовых слов, но РМ-коды про- промежуточных порядков не очень хороши. Для п ^ 64 существуют БЧХ-коды с большим числом кодовых слов, но и про них из- известно, что они не оптимальны. Для длины 64 известны расши- расширенные циклические коды, которые лучше, чем БЧХ-коды. К сожалению, циклические коды, не являющиеся БЧХ-кодами, подробно не изучались для длин, больших 99. Таблица цикли- циклических кодов длины п ^ 63 приведена в [Chel], [Pet 3, при- приложение D], а Промхауз и Таварес [Pro 1] расширили эту таблицу до п = 99. Хорошо было бы иметь список лучших циклических кодов длины 127. В табл. 5.4 мы приводим выбо- выборочный список наилучших известных в настоящее время кодов длины п = 2т E ^ т ^ 8) с минимальным расстоянием d = 2'. Коды Гёталса нелинейны (см. [Goel], [Goe2], [Mac 6t гл. 15, § 7]); другие приводимые коды являются линейными. Тривиальные [п, п, 1]-, [п,п—1,2]-, [п, 1,п]-коды в таблице опущены.
196 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Таблица п 1 32 64 128 256 5.4. og«A 26 16 17 6 57 45 46 47 24 28 7 120 106 78 43 8 247 231 233 199 139 55 9 Наилучшие I d 4 8 8 16 4 8 8 8 16 16 32 4 8 16 32 64 4 8 8 16 32 64 128 известные коды длины 2 Наименование Хэммннга РМ второго порядка Чена — Слоэна [Che 3] РМ первого порядка Хэмминга БЧХ расширенный цикличес- циклический Гёталса БЧХ расширенный цикличес- циклический РМ первого порядка Хэмминга БЧХ БЧХ БЧХ РМ первого порядка Хэммиига БЧХ Гёталса БЧХ БЧХ БЧХ РМ первого порядка Для полноты заметим, что [64,46,8] -код в табл. 5.4 по- получен добавлением проверки на четность к циклическому [63, 46, 7]-коду с порождающим многочленом g (х) = Мм(х) МE> (х) М™ (х) М{™ (х). A8) где АИ'Цх)—минимальный многочлен для а1, а а — примитив- примитивный элемент поля Гб4 (см. разд. 2.4 гл. 3). Аналогично, [64,28, 16]-код получается из циклического [63, 28, 15]-кода с порож- порождающим многочленом 5 с) A9) U [Pet 3, приложение D]. Так как центральная плотность в конструкции С пропор- пропорциональна числу кодовых слов, используя лучшие коды из этой таблицы, мы получим значительные улучшения по сравнению
§ 6. Конструкция С 197 с упаковками предыдущего раздела. Например, как мы видели в разд. 6.3, в R64 мы получаем нерешетчатую упаковку с б = = 222. Для m ^ 7 мы используем расширенные БЧХ-коды для получения бесконечного семейства нерешетчатых упаковок Рпь в R", п = 2. Для пг = 7, 8, 9 они имеют б = 285, 2250, 2вм соот- соответственно, что улучшает значение центральной плотности упа- упаковок BWn и Рпг в 221, 258, 2186 раз соответственно. Решетки с такой же, как у Рпь, плотностью будут получены в разд. 8.2g гл. 8 с помощью конструкции D. Для размерностей п ^ 256 ре- решетки Крэйга (см. § 6 гл. 8) все же более плотны; см. обсуж- обсуждение в разд. 1.5 гл. 1. Плотность Рпъ для всех m оценивается в следующем раз- разделе. Используя вместо БЧХ-кодов коды Геталса с d = 8, можно увеличить плотность упаковки Р„ь в четыре раза для п = 2m ^ ^ 256 при четных т. Тем не менее это не сказывается на даль- дальнейшем анализе. БЧХ-коды вложены друг в друга, и то же можно сказать о расширенных циклических кодах длины 64 из табл. 5.4. Вы- Вычисление контактного числа этих упаковок требует поэтому знания числа кодовых слов минимального веса d в каждом используемом коде, а также знания числа кодовых слов в коде с минимальным расстоянием d/4, полностью содержащихся в этих словах минимального веса. Это представляется сложной проблемой. 6.7. Плотность БЧХ-упаковок. Этот раздел содержит ниж- нижнюю и верхнюю границы, а также асимптотическое выражение (теорема 3) для центральной плотности упаковок в R", полу- полученных использованием расширенных БЧХ-кодов в конструк- конструкции С. Далее «код» означает «расширенный БЧХ-код длины я = 2т». Рассматриваются два класса упаковок. Упаковка (а) использует коды с (истинным) расстоянием Хэмминга 1, 4, 16, ...,4[т/2\ а упаковка (Ь) использует коды с (истинным) расстоянием Хэмминга 2, 8,32, ..., 2 • 4I(m)/21. Пусть РпЬ обо- обозначает более плотную из этих двух упаковок. Как следует из замечания в конце разд. 2.7 гл. 3, код с кон- конструктивным расстоянием 2х имеет истинное минимальное рас- расстояние 2\ Пусть размерность этого кода равна k\. Может, однако, оказаться, что есть коды с конструктивным расстоя- расстоянием, меньшим чем 2\ имеющие истинное минимальное рас- расстояние 2\ Пусть К\ — наибольшая размерность такого кода Тогда ki ^ Кк < &J.-1- Известно, например, что коды длины 128 имеют k5 = 36, К5 = 43, 1ц = 78 [Kas 1].
198 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Если обозначить центральные плотности этих двух упаковок через 6а и Ьь, то из A1а) и A1Ь) [т/21 Кт-1)/2] Iog26a= ? K,2i — 2n, Iog26b= 2 /C2/+i —3n/2. f0 j 0 Алгоритм вычисления k% приводится в [Вег4, § 12.3]. Мож- Можно следующим образом описать действие этого алгоритма. Пусть числа а»,/ определены выражениями altj = 2'— 1, для at!, = alil_l + alil_i+l+ ... +а{<1_и для 1<л</. Тогда ku — n,km=\ и kx = m + ат-к, т при 0 < I < т. Пусть Л- (*) = 2/=iai, Iх'• Из определения а?>/ ,3 ,л х + 2х*+...+1х1 Л1 \х) — ~ ; г • 1 — X — X2 — . . . — X* Пусть 1 — х — х2— ... — хг = ГЦ=1 (! — Л>*)- ТогДа Лг(л) можно представить в виде разложения в простейшие дроби At {х) = 2] j_/vX . и, таким образом, Многочлен G{y) = yi+l—2г/'+1 =(у— Щу1 — У1~1 — ¦¦¦ —у—Ц имеет корни 1, t\ U. Исследование G(y) показывает, что один корень, скажем tu близок к 2. В действительности для t> 1 имеет место GB — 21-') < ° и GB — 2-') > 0, так что 2 — 21~t<tl<2-2~t, i>\. Вычисляя число слов БЧХ-кодов 2т—1с расстояниями 2К к 2^+1, Манн [Man2] показал, что |?у|< 1 для v = 2, 3, ..., /. Таким образом, Суммируя эти результаты, мы находим соответственно ниж- нижнюю и верхнюю границы для log2 ба: [т/31 2т Z A-22'-Т-2т + О(т2), [т/2] 2т Е A - 2п-т~Т - 2т + О W).
§ 6. Конструкция С 199 Сумма в нижней границе может быть записана как Im/21 — с log tn [m/2] — d log tn lm/2] Z + Z + Z =Z. + Z.i + Zm, i = 0 i«=[nt/21 — с log m t = lm/2| —d login где с > 1 и d < 1 являются константами, а логарифмы берутся по основанию 4. Тогда \т\}\ — с log га (l-m4'-2-m)>f -log4m+O(l), так как с может быть выбрано произвольно близким к 1. Кроме того, 52п = о (log4 яг), так как cad могут быть сколь угодно близки. И наконец, поскольку d< 1, О < Zhi < 0 - т-*Г (d ¦ log4 га) + 1 = о A). Поэтому = A/2)пlog2я. — A/2)п log2 log2n + o{nlog2log2n), так как п = 2т. Подобные рассуждения применим также к верхней границе и к границам для Iog2 6&. Это доказывает следующую теорему. Теорема 3. Пусть б — центральная плотность любой из двух упаковок в R", п = 2"\ полученной использованием, расширен- расширенных БЧХ-кодов в конструкции С. Тогда Iog26 ~ A/2) n log2 п — A/2) я log2 log2n, n-*oo. B0) Как следует из равенства A8) гл. 1, истинная плотность Д = = Vn6 этих упаковок удовлетворяет соотношению log2 Л (l/2)ralog2log2n. B1) 6.8. Упаковки, полученные из кодов Юстесена. Большая по сравнению с B1) плотность может быть достигнута заменой не- некоторых БЧХ-кодов кодами Юстесена (см. разд. 2.6 гл. 3). Предположим, что n = m-2m = 22a, и возьмем ? = 1. Для 0 ^ / ^ 5 пусть С,- состоит только из нулевого кодового слова, для 6 ^ i ^ E/8)log2Ba) пусть d — код Юстесена с минималь- минимальным расстоянием 4а~', укороченный до длины п, и для E/8)log2Ba) < i ^ а пусть С,- — расширенный БЧХ-код, та- такой же, как и в разд. 6.7, с минимальным расстоянием 4а~'. Тогда можно показать [Slo 1], что конструкция С дает нере- нерешетчатую упаковку с ^-log2A^-6. B2)
200 Гл. 5. Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки Замечание. Если бы мы использовали в конструкции С коды, лежащие на границе Гилберта (см. соотношение C) гл. 9), по- получили бы нерешетчатые упаковки с -^-log2 A ^-1,2919... B3) (к сожалению, хотя такие коды и существуют, неизвестно, как их строить). С другой стороны, из границы линейного програм- программирования (см. соотношение A) гл. 9) следует, что плотность любой упаковки, полученной из конструкции С, ограничена сверху выражением -^ log2 A < -0,9042... B4) Сравните формулы B3) и B4) с формулой D6) гл. 1. Постскриптум: регулярная конструкция экстремальных ре- решеток типа II в размерностях 24, 32, 40, 48, 56, 64. Озеки [«Кон- [«Конструкция четных унимодулярных решеток на основе троичных кодов», препринт) утверждает, что следующий метод может быть использован для удвоения плотности решеток, полученных применением конструкции Вз к троичным самодвойственным кодам С длины п для всех п = 24, 32, 40, ..., 64, точно так же, как это мы делали для п = 24 и 48 в разд. 5.7. К решетке при- присоединяется вектор v вида ((±1/2)"-1 (+5/2)), ((±l/2)"~2, (—3/2J) или ((±1/2)"-1, —3/2) в зависимости от п = 0, 8 или 16 (mod 24), причем знаки выбираются так, чтобы 2у при- принадлежало недублированной решетке. Он показал, что если С имеет минимальное расстояние 9 для п = 24, 32, 40 или же рас- расстояние 15 для п = 48, 56, 64, то получающаяся решетка после соответствующего изменения масштаба является экстремальной решеткой типа II (см. гл. 7, § 7). Требуемые коды кратко описа- описаны в § 10 гл. 7. Заметим, что такие коды длин 32 и 56 могут быть получены «вычитанием» [Con 24, § VII] тетракода W* (см. гл. 3, B.5.1)) из дважды циркулянтных кодов Su и S6o (гл. 3, разд. 2.10).
Глава 6 Слоистые решетки Дж. Конвей, Н. Слоэн Мы изучаем здесь плотнейшие решетчатые упаковки, кото- которые можно построить послойно. Начнем с 1-мерной решетки Ai четных целых точек; на n-м шаге совместим слои подходящих (п—1)-мерных решеток Ля-ь сохраняя ту же минимальную норму, так плотно, как только возможно; в результате получим слоистую решетку Л,г. В этой главе определяется плотность решетки Ап для п =^ 48, найдены все возможные Л„ для п ^ 25 и найдена по крайней мере одна Ля для каждого п в интервале 26 ^/: ^ 48. Решетка Л24 единственна — это решетка Лича. В размерностях п ^ 30 теперь известны решетки более плот- плотные, чем An- § 1. Введение Известен следующий естественный способ построения ре- решетчатых упаковок в n-мерном евклидовом пространстве R". Начиная с одномерной решетки 2Z, состоящей из четных целых точек, мы получаем двумерную упаковку, рисуя ряд кругов ра- радиуса 1 с центрами в четных целых точках на оси, затем по- подобный ему следующий ряд, расположенный насколько воз- возможно близко, далее — на таком же расстоянии — другой ряд и т. д. Эта процедура приводит к гексагональной решетчатой упаковке Л2. Чтобы перейти в размерность 3, мы расположим слой биллиардных шаров в гексагональной решетчатой упа- упаковке, затем расположим такой же слой рядом, насколько воз- возможно близко, далее — другой слой на том же расстоянии и т. д.; в результате получим гранецентрированную кубическую решетчатую упаковку А3 —?>з- На каждом шаге, переходя от размерности / к размерности /+1, мы располагаем слои, со- состоящие из копий подходящей t-мерной решетки А,-, насколько возможно близко. Получающуюся решетку (или решетки, так как в некоторых больших размерностях этим способом может быть получена более чем одна решетка) мы называем слоистой решеткой (более точное определение дается в § 2). Типичная я-мерная слоистая решетка будет обозначаться через А„.
202 Гл. 6. Слоистые решетки В этой главе мы определяем плотность решетки Ап для п ^ 48 (см. рис. 1.5 гл. 1 и табл. 6.1), находим все Л„ для п ^ 25 (см. рис. 6.1) и по крайней мере одну Ап в каждой размерности в интервале 26 ^ п =g: 48. Мы увидим, что слоис- слоистые решетки являются плотнейшими известными упаковками в размерностях п ^ 29, кроме п = 10, 11, 12 и 13. Таблица 6.1. Слоистые решетки Ап имеют минималь- минимальную норму 4, детерминант Хп и центральную плотность 6 = Я,га '2. Расстояние между слоями Лга в Л^+1 равно л~ ' , и наибольший радиус подпокрытия любой решетки Ап равен hn. Заметим, что nn = 4 — h2n и ^я = яге-1^/!-1- Кроме того, Лга меньше или равен гп (наибольшему радиусу покрытия любой решетки Ло) с равенством, если А„ < V3" либо тп < V3" я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 К 1 4 12 32 64 128 192 256 256 512 768 1024 1024 1024 768 512 256 256 192 128 64 32 12 4 1 4 3 8/3 2 2 3/2 4/3 1 2 3/2 4/3 1 1 3/4 2/3 1/2 1 3/4 2/3 1/2 1/2 3/8 1/3 1/4 2 hi 0 1 4/3 2 2 5/2 8/3 3 2 5/2 8/3 3 3 13/4 10/3 7/2 3 13/4 10/3 7/2 7/2 29/8 11/3 15/4 2 п 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 К 1 2 3 4 4 4 3 2 1 1 3/4 1/2 1/4 1/8 3-2 2-6 2-8 2-9 3.2-12 2-12 2-й 9 — 16 3-2-20 2-21 2-24 2 3/2 4/3 1 1 3/4 2/3 1/2 1 3/4 2/3 1/2 1/2 3/8 1/3 1/4 1/2 3/8 1/3 1/4 1/4 3/16 1/6 1/8 hi 2 5/2 8/3 3 3 13/4 10/3 112 3 13/4 10/3 111 111 29/8 11/3 15/4 111 29/8 11/3 15/4 15/4 61/16 23/6 31/8 1
§ 1. Введение 203 Л(У*РЕШЕТКА ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ Лх*ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ РЕШЕТКА < Л,= РЕШЕТКА'ЦЕЛЫХЧИСЕЛ ГРАНЕЦЕНТРИРОВАННАЯ КУБИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА t A Го, Рис. 6.1. Вложение слоистых решеток Л„. Показаны все Л„ для л ^ 24, существует 23 решетки Л25 и, вероятно, большое число решеток Л26- По мень- меньшей мере одна Л„ известна для 26 SS п. ^ 48. История. Подробное рассмотрение процесса добавления слоев в размерностях до восьми (а также описание нерешетча- нерешетчатых упаковок, которые могут быть сконструированы таким же образом) было проведено в [Lee 7] (см. также § 4 гл. 5), где было показано, что решетки Ль ..., Лв единственны и сов- совпадают с шютнейшими (в соответствующих размерностях) ре- решетчатыми упаковками A^Z, А2, Л3 = ?>з, Diy D5, Е6, Е7, Es (см. разд. 1.5 гл. 1). В 1946 г. Чонди [Cha 4] открыл слоистые решетки Лд и Лю, но не показал, что они являются плотней- шими возможными решетками в размерностях 9 и 10 (это до
204 Гл. 6. Слоистые решетки во о о о о о о о о о о п° Uo о о п° 1° Uo о о Хо X О X О X о Хо Хо X О XX Хо ХО ХО XX X* *Т X * о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о 'о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ¦о о о о о о о о о о о о 1ТО XX X* X* X * о о о о о о о о о о о о о о о о XX * X X* X* о о о о о о о о о о о о о о о о XX X X XX X X о о о о о о о о о о о о о о о о X X X X X X X X X О о о о о о о о о о о о о о о XX XX XX X X X о * о о о о о о о о о XX X X X X X X Хо X о t° * о о о о о о о о о X* XX X X XX Х- о *-о X о X О о о о о о о о о .шах л12 XX XX X X XX ¦Хо Хо Хо ХО о о о о о о о о X X X X XX X X X о X О xU о о о о о о О 0 XX X X X X X X X О й о о о о О 0 о о X X X X X X X X X о X X X X X X о о о о о о о о X X X X X X X X X X XX XX X X о о о о о о о о X X X X X X X X XX XX X X XX о о о о U о XX X X X X X X XX XX X X XX о о п° Уо XX XX X X X X х-х *х XX XX о о h XX XX XX X X X X X X XX XX о о ХО ХО X о XX XX XX XX XX X X XX X X X О ХО X о X О XX X X X X X X X X X X X X X X XX X О X о X О XX XX X X X X X X X X XX X X XX X * X* X* XX XX X X X X X X X X X X Х.Х XX XX 1% XX ¦XX XX XX XX X X XX X X XX XX XX- X X 123 !124 Рис. 6.2. MOG-коордииаты для Ло, .. . ,"<ЛП, рассматриваемых как сечеиия Л24. На рисунке показаны Ло, AjsZs^!, Л2 =ё А2, A3^A3^D3, Ats?Dt, Л5 at D5, Л6 - ?6> А7 - Е7, А& а Е&, Л9, А10, Л»« Л™\ Atf", Ам,.... Маленький кружок показывает нулевую координату, пустой контур — это множество координат, дающих в сумме нуль, звездочка — свободная коорди- координата, а звездочки, соединенные линией, — множество равных координат. сих пор не доказано). Барнс (Barnes E. S.) сообщил нал», что в неопубликованной работе Чонди нашел также некоторые Ап в нескольких следующих размерностях. Мы увидим, что слоистые решетки Л15 и Л16 единственны и в действительности изоморфны решеткам, открытым Барнсом и Уоллом [Ваг 18] в 1959 г. Единственная решетка А2* яв-
§ 1. Введение 205 ляется решеткой Лича, и «главная последовательность» ее се- сечений ал л лтах а тах л шах А . . ,,. Ло, Ль ..., Лю, Ли , Л12 , Л13 , Ли, Л15, ..., Л24 A) была описана в [Lee 4] — [Lee 7] и в предыдущей главе, хотя там и не доказано, что эти решетки дают плотнейшие слоистые упаковки для п > 8. Элементы этой последовательности отли- отличаются тем, что они имеют наибольшее контактное число среди Таблица 6.2. Детерминанты и„ решеток Кп п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 «« 1 4 12 32 64 128 192 384 576 л 8 9 10 11 12 13 14 15 16 я« 576 864 972 972 729 972 972 864 576 л 16 17 18 19 20 21 22 23 24 «в 576 384 192 128 64 32 12 4 - 1 л 24 25 26 27 28 29 30 31 32 1 2 3 4 4 4 3 3 9/4 п 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Kit 9/4 33-2 ' 35.2-8 35.2-9 3« 2-12 35-2~" 35.2-12 3з.2-10 32-2~10 Я 40 41 42 43 44 45 46 47 48 i 32.2-Ш 3.2-!0 3-2-'2 2-12 2-н 2~1б 3-2-20 2-81 2-24 An (см. табл. 6.3 далее). На рис. 6.2 мы приводим исключитель- исключительно простую координатную запись для этих решеток как сечений решетки Лича (см. [Lee 5]), используя MOG-обозначения § 11 гл. 4. Их детерминанты приводятся в табл. 6.1. Решетка Ai2ax является решеткой Чонди/i2 (см. [Сох 29]). В [Lee 4], [Lee 5], [Lee 10] было показано, что имеется вто- вторая важная последовательность сечений решетки Л24, обозна- обозначаемая Ко, Ki /<24- Эти решетки совпадают с Ап для п =g: 6 и 18 ^ п ^ 24, но для п = 7, ..., 17 они не являются слоистыми решетками. Решетка /С12 была открыта Кокстером и Тоддом ([Сох 29]; см. также § 4 гл. 4), решетка Кп была открыта Барнсом [Ваг9], а решетка Ki3 — Личем (не опубликовано). На рис. 6.3 приводятся координаты для Кп как сечений ре- решетки Л24, а табл. 6.2 содержит их детерминанты. Некоторые из решеток А„ при п ^ 16 и Кп при п^ 13 были переоткрыты Скубенко [Sku 1], который, по-видимому, не был знаком с бо- более ранними работами в этой области. Определенные решетки
206 Гл. 6. Слоистые решетки о о о о о о о о о о о о о о о о 0 О о о о о о о о о о о оо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оо о о о nz о о о о, о о ' о о О 0 о о оо о о о о о о о X о о о о о о XX о о о о о о о о о о о о о о X X о о о о о о X X 0 О о о о о о о о о * о о о * о о о ¦к о о о о о о * о о 0 о X ч ° т ° * о X о о о X о о о XX 0 о о 0 о 0 о X ? ° т ° * о XX о о О 0 о о X* о о о о о о XX X о * о * о X X о о о о о о XX о о о о о о X X н XX о о о о о о XX о о 0 0 о о X X ii XX * о io XX о о о о оо к 10 X X ii X X ?т" ii XX ь** К12 Чз о о У II о о II О О п п II О О ПИ II оо 11 о о п о о у II о о flfr II о о 11A 1У1 О О и 11 о о п* 1х о о X X XX XX о о 11 1! II о о X X XX X X о о XX X X X X О О и* 1х о о X X X X X X о о XX X X XX X о п * 1х о о X X X X X X о о X X XX X X К 21 ^23 *о 1; о о XX X X XX о о XX XX XX Хо XX XX XX- о о ¦XX XX «X о о XX XX XX XX XX XX XX о о XX XX XX о о XX XX XX XX XX XX XX X о X X X X X X о о XX XX XX XX X X X X XX X X- X X X X X X -*-х X X X X X X XX XX XX XX X X XX X X X X ¦*-*¦ X X XX X X XX X X XX X X X X X X X X X X X X X X X X X X Рис. 6.3. MOG-коордииаты для решеток Ко, ¦.., Кч> рассматриваемых как сечения решетки Лича. Обозначения те же, что на рис. 6.2. Л25, ..., Л4о также описаны в предыдущей главе. Лич показал, что при п <; 21 слои могут быть добавлены таким образом, чтобы получались нерешетчатые упаковки, столь же плотные, сколь иА»и Кп, за исключением Ль Л2, М, Л8, Ки и /Ci2. Дополнения к этой главе. Эта работа была нами обобщена в двух направлениях в [Con 36] рассмотрением (а) слоистых комплексных и кватернионных решеток (см. разд. 2.6, гл. 2) и (Ь) целочисленных слоистых решеток, т. е. при дополни- дополнительном требовании, чтобы Ап была целочисленной (веществен-
§ 1. Введение 207 ной, комплексной или кватернионной) решеткой с заданной минимальной нормой. Временно обозначим через Л^ некото- некоторые построенные ниже в § 7 слоистые решетки в размерностях от 25 до 48. В [Con 36] мы показали, что решетки Ло, Л4, Л8, Л™ах, Л16, Л20, Л24, ЛИ', Лзг', ..-, A\V можно снабдить структурой кватернионных решеток (над целыми числами Гур- вица), а также что эти решетки являются слоистыми кватер- нионными решетками. Более того, они также имеют структуру гауссовых и зйзенштейновых решеток (см. разд. 2.6 гл. 2) и, та- таким образом, также являются слоистыми решетками. Целочис- Целочисленные слоистые решетки с минимальной нормой М над кольцом целых / определяются аналогично обычным слоистым решеткам с дополнительным требованием, чтобы слои образовы- образовывали целочисленную решетку, т. е. такую решетку, в которой все скалярные произведения u-v принадлежат /. Вещественные целочисленные слоистые решетки исследовались и на компью- компьютере Плескеном и Постом [Pie 6], [Роп2],и теоремы в [Соп 36] объясняют некоторые их результаты. Для полноты мы вклю- включили в качестве приложения к этой главе таблицу из [Con 36], в этой таблице приводятся плотнейшие известные на данный момент целочисленные решетки с минимальными нормами 2, 3 и 4 в размерностях до 24. Некоторые другие решетки также канонически получаются как целочисленные слоистые решетки. Например, решетка Кок- стера— Тодда Ki2 — единственная 6-мерная целочисленная слоистая эйзенштейнова решетка с минимальной нормой 2 [Con 36, §4.2]. Метод, используемый для доказательства теоремы 10 работы [Con 36], может быть легко расширен для получения до- доказательства теоремы о том, что решетки корней Ло, Аи А2, Аъ s D3, Dit D5, Е6, E7, Es (см. теорему 2 ниже) совпадают с единственными слоистыми решетками Ло Л8. Единствен- Единственный требуемый для доказательства дополнительный шаг со- состоит в том, чтобы показать, что глубокие дыры в Ло, ..., Е7 принадлежат двойственным решеткам Ло, ..., Е7. Это может быть сделано с помощью техники Нортона (см. гл. 22 и § 5 ниже). В настоящей главе мы выводим эту теорему из резуль- результатов Блихфельдта и Ветчинкина. Другое доказательство сде- сделало бы наше определение решетки Ап для п ^ 48 независимым от работы Блихфельдта и Ветчинкина (индуктивное рассужде- рассуждение можно было бы провести с шагом единица, а не с шагом восемь). Конечно, теорема 3 ниже все равно бы зависела от результатов из [ВН 4] и [Vet 2].
208 Гл. 6. Слоистые решетки Лексикографические коды, являющиеся кодовым аналогом слоистых решеток, изучаются в [Con 41]. Содержание главы. Материал в остальной части этой главы расположен следующим образом. В нескольких ближайших аб- абзацах вводятся некоторые обозначения, и в § 2 формулируются основные результаты. В § 3 мы устанавливаем некоторые ис- используемые в этой главе свойства решеток Л[, ..., As, а § 4—7 посвящены доказательству теоремы 1. Обозначения. Так же как и в разд. 1.4 гл. 1, если две ре- решетки L и М различаются только вращением, масштабным множителем и, возможно, отражением, то мы говорим, что они эквивалентны и пишем L ^ М. Мы будем использовать три различные нормы для решеток. Слоистые решетки Ап всегда будут иметь минимальную норму 4, для того чтобы соответство- соответствовать упаковке единичных шаров. Решетки корней А„, Dn и Еп могут в зависимости от используемых координат иметь норму 2 или 4. Наконец в случае MOG-обозначений (см. § 11 гл. 4) ми- минимальная норма равна 32. Если минимальная норма решетки равна ц, ее центральная плотность (в этой главе прилагательное «центральная], как правило, опускается) равняется /2, B) что превращается в б = (det LI/2 для слоистой решетки. Дыра (см. разд. 1.2 гл. 2) решетки LbSR" — это точка в R", в кото- которой расстояние до Ln достигает локального максимума. Наи- Наибольшее расстояние от дыр до Ln называется радиусом по- покрытия Ln (формула C) гл. 2), а дыра, находящаяся на этом расстоянии, называется глубокой дырой. Под ^-мерным сече- сечением решетки Ln мы подразумеваем й-мерную решетку Mk = ? !^k?R", такую, что Mk — Lnf\Rk. Двойственная решетка — это L* = {х е R": х • у eZ для всех у е Ln} (формула B4) гл. 1). Если V является подпространством в Rn, то ортогональ- ортогональным ему подпространством называется Vх = {хе R": х-у = 0 для всех jeF}. § 2. Основные результаты Определение слоистой решетки Ап- Пусть Ло — решетка, со- состоящая из одной точки. Для п ^ 1 мы перебираем все гс-мер- ные решетки с минимальной нормой 4, имеющие хотя бы одну подрешетку Ля-ь и выбираем из них решетку с минимальным детерминантом. Любая такая решетка является слоистой решет- решеткой Ап В случае необходимости мы используем верхние индексы (например, Л?2ах, Лй'п) для того, чтобы различать разные ре- решетки Ап.
§ 2. Основные результаты 209 Нам пригодятся следующие геометрические понятия. Проек- Проекцией данной слоистой решетки Л„ на 1-мерное подпространство (RAn-iI, где An-i—одна из подрешеток в Лп, является одно- одномерная решетка с некоторой минимальной нормой, которую мы обозначим через яп-\- Тогда можно рассматривать Ап как объ- объединение сдвигов решетки Л„_1, таких, что Лп-i имеет в (RAn-iI коор- координату i V^n-i • Наименьшая норма s вектора в Лп' не мень- меньше 4 (и, как окажется, во всех используемых случаях s в дей- действительности равна 4). Если v — вектор в Лл-i с нормой s и расстояние от и до Л(в-1 равно пп_ь то JTn_i = s-/iLi>4-/>2n_i C) Тогда hn-u которое мы будем называть радиусом подпокрытия, является нижней границей для радиуса покрытия гп-\ решетки Лл-ь Несложно видеть, что hn-\ и гп-\ равны, если любое из этих чисел ^д/З- (Представляется правдоподобным, что hn-i всегда равно гп-и хотя мы и не можем этого доказать.) Если детерминант решетки Ап обозначить через Яп, мы получим K = nn-iK-i- D) Плотность решетки Л„ равна Яп1/2. Из определения ясно, что все Лп имеют один и тот же детерминант, но только Ап с мак- максимальным радиусом подпокрытия (пп) могут быть расширены до решеток Л„+[. Наш основной результат состоит в следующем. Теорема 1. Плотность Хп любой слоистой решетки А„ для п^.48 совпадает с указанной в табл. 6.1 (см. также рис. 1.5 гл. 1). Наибольший радиус подпокрытия hn для решеток Ап при п ^ 47 также приведен в табл. 6.1. Если hn ^ 3, то пп также является наибольшим радиусом покрытия для решеток Л„. Все Ап при п ^ 25 показаны на рис. 6.1. По меньшей мере одна решетка Ап известна при 26 ^ п ^ 48. Оказывается, что число неэквивалентных Л„ в размерно- размерностях 26 и выше очень велико (см. § 7). Из рис. 6.1 мы видим, что при п ^ 24 только одна слоистая решетка Л^!<1 не содер- содержится в Л„+[. Тем не менее Плескен (частное сообщение) пока- показал, что Ллз* является подрешеткой в Л24. В масштабе, делающем минимальную норму равной 4, Л„ является целочисленной решеткой тогда и только тогда, когда
210 Гл. 6. Слоистые решетки п sg; 24. (При п ^ 25 решетка Ап содержит самодвойственную решетку Л24, но Л24 не выделяется в ней как прямое слагаемое, и поэтому решетка Ап не является целочисленной.) Квадратич- Квадратичная форма, ассоциированная с любой слоистой решеткой, яв- является совершенной (это непосредственно следует из [Ваг 9, th. II, part 2.1]). Доказательство теоремы 1 в значительной степени опирается на следующие две теоремы, первая из которых является свод- сводкой известных результатов: Теорема 2. Для п — 0, 1 8 плотнейшие решетчатые упа- упаковки в R" изоморфны, соответственно Ло, A{^Z, А2, Л3 = ?>3, Dit D5, Ев, Е7, Еъ. Слоистые решетки Ло, Ль ..., Л8 единственны и изоморфны перечисленным решеткам. Их детерминанты и ра- радиусы покрытия приведены в табл. 6.1. Доказательство. Для доказательства первого утверждения см. [ВН4], [Vet2], второго —см. [Lee 7] (и предыдущую главу), по поводу радиуса покрытия см. гл. 21, [Con 28], [Сох 20]. Теорема 2 содержит результаты теоремы 1 для п ^ 8, хотя, конечно, утверждения теоремы 2 намного сильнее. Теорема 3. Пусть Lm+r (m ^ 0, 0 ^ г ^ 8) — любая решетка в ^bm+r c минимальной нормой ^4 и сечением ASm, имеющим радиус покрытия r%m- Тогда (^^) E) Если в E) имеет место равенство, то существует аддитивное отображение 9, «склеивающее» отображение, из Л2 в КЛ8т, такое, что векторы из Lsm+r имеют вид u+ve + cv, где иеЛ8„, и + u9 e= RA8m, ие=Лг F) и c = ^_*nj t G) и такое, что N {и + Уе) > 4 - с2// (у) (8) для всея « е Л8т, « е Лг, (и, v) ф @, 0). Другими словами, Lsm+r получается подклейкой экземпляра Аг (в нужном мас- масштабе) к решетке Asm- Более того, Lsm+r является слоистой ре- решеткой ASm+r U / Л ,2 \ г О) Доказательство. Типичный вектор из Lsm+r может быть за- записан как Vi-\-v2, где «1<=КЛ8т, v2<^(RAm)-L. Векторы v2
§ 2. Основные результаты 211 порождают r-мерную решетку Lr, которая изоморфна /,8т+г/Л8т- Таким образом, detL8OT+r = det Л8т• det Lr. Добавлением вектора из Л8т мы можем довести норму vi 2 максимум до r8m. Но 4^.N(v{ + v2) — N(vx) + N(v2), и, таким образом, минимальная норма в Lr по меньшей мере равна г\ 4 — г\,п. Отсюда по теореме 2 получаем что доказывает E). Если в E) выполняется равенство, то Lr = cAr с с, опреде- определяемым формулой G), и существует склеивающее отображение 6, описываемое этой теоремой. Если 0 ^ s ^ г, решетка Аг имеет сечение Л* (это следует из теоремы 2), и, ограничивая в F) v до Л5, мы получаем сечение L&m+s решетки Lsm+r- Это показывает, что Lsm+, является слоистой решеткой, и завершает доказательство. Последовательность К„. Мы не будем подробно обсуждать конкурирующую последовательность сечений Кп решетки Лича. До п = 6 Кп = Лп; решетки Кп — Кю имеют меньшую плот- плотность, чем Л7 — Лю, однако Ки, К\2 и ^[3 имеют большую плот- плотность, чем Лц — Ai3. Для п от 18 до 24 снова Кп = Ап. Существует аналогичная последовательность {Кп} сечений решетки Л48, полученных склеиванием Кп (для 0 ^ п ^ 24) с глубокими дырами в Л24- Детерминанты %п решеток Кп при- приводятся в табл. 6.2 и на рис. 1.5 гл. 1, а MOG-координаты для п ^ 24 приведены на рис. 6.3. Соотношения между плотностями. Последовательности де- детерминантов {%п} и {хп} обладают рядом удивительных палин- дромических') свойств (см. табл. 6.1, 6.2), а именно " <р « 1 = ^=1 @</г<24), A1) %п ^ 6 2), A2), A3) V-==44-'1 @<n<8), -^==82-n @<n<4). A4), A5) J) Палиндром — слово, фраза или стих, одинаково читающееся слева направо и справа налево, «перевертыш».—Прим. перев.
212 Гл. 6. Слоистые решетки Это приводит к полезным соотношениям ^ р A6) Эти равенства частично объясняются следующей теоремой. Теорема 4. Пусть Ln — решетка (не обязательно целочислен- целочисленная) в R", и пусть Е = Ln П 5 — ее k-мерное сечение, где S есть k-мерное подпространство в Rn. Пусть F==Ln(]S1' есть (п — k)- мерное сечение решетки L*n. Тогда В частности, если detLn= 1, то det/7 = det?1. A8) Доказательство. Пусть е\ е„ — ортонормированный ба- базис в R", выбранный таким образом, чтобы е\ ek образо- образовывали базис в S, a ek+u ..., еп—базис в S-Ч Так как Е яв- является сечением решетки Ln, мы можем найти целочисленный базис v\, ..., vn Для Ln, такой, чтобы V\, ..., Vk образовывали целочисленный базис для Е. Пусть w\, ..., wn — двойственный к vi, ..., vn базис, т. е. такой, что и,до/= б,;. Тогда W\ wn является целочисленным базисом для F. Существует матрица с обратной матрицей Г д^ !_, J, такая, что Теперь вычисляем детерминанты (см. формулу E) гл. 1): detZ.n = (detAJ(detCJ, det? = (detЛJ, detF = (detC), от- откуда следует A7). Следствие 5. Пусть Ln — либо (i) целочисленная унимоду- лярная решетка, либо (и) решетка, эквивалентная своей двой- двойственной, такая, что ее детерминант равен 1. Тогда наименьший детерминант любого k-мерного сечения решетки Ln равен наи- наименьшему детерминанту любого (и — k)-мерного сечения для Доказательство. В случае (i) Ln = Ln, а в случае (п) при соответствующем выборе масштаба решетка Ln конгруэнтна L*n (см. разд. 1.4 гл. 1). В обоих случаях detLrt= 1, и, таким обра- образом, в A7) detE = det/7.
§ 2. Основные результаты 213 Следствие 6 [Lee 10, th. 4.5.1]. Пусть Ln — одна из решеток Da, Еъ, K12, Ai6, Л24, Раьр или РЮц, причем масштаб выбран так, что ее детерминант равен 1. Каждому k-мерному сечению решет- решетки Ln соответствует (п — k)-мерное сечение с тем же детерми- детерминантом. Аналогичный результат верен и для одной из решеток Л48, построенной в § 7. Доказательство. Все указанные решетки удовлетворяют пред- предположениям следствия 5. Следствие 7 (ср. [Lee 10, th. 4.5.2]). (а) Решетки Ло, ..., Л8, Ai6, ..., Л2з имеют наименьший детерминант среди сечений ре- решетки Лича соответствующих размерностей. (Ь) Для n ^ 23 Лп имеет наименьший детерминант среди n-мерных сечений ре- решетки Л/,+1. (с) Для п ==^ 23 Кп имеет наименьший детерминант среди n-мерных сечений решетки К,г+\, содержащих К\2 или со- содержащихся в К\2. Доказательство, (а) Ло, ..., Л8 — плотнейшие возможные решетки в соответствующих размерностях (теорема 2), что до- доказывает первое утверждение, второе утверждение вытекает из следствия 6. (Ь) Из следствия 6 также вытекает, что Ад, ..., Ai5 имеют наименьший детерминант среди сечений решетки Ai6. (с) Аналогично /С7, ..., Кп имеют наименьший детерминант среди сечений решетки Кп, а К\г Км имеют наименьший детерминант среди сечений решетки Л24, содержащих Кп- Для 0 < п ^ 6 и 18 < п < 24 Кп — An- Замечание. Мы не можем исключить возможность существо- существования в размерностях от 9 до 15 сечений решетки Л24 с мень- меньшими по сравнению с последовательностями Ап и Кп детерми- детерминантами (и, следовательно, большими плотностями). Неравенство Морделла также является следствием теоре- теоремы 4. Это неравенство утверждает, что если 6„ обозначает наи- наибольшую возможную центральную плотность решетки в R", то выполняется неравенство ([Cas 2, ch. X, th. IV], [Мог 4], [Opp 1 ]). Доказательство. Пусть S(L) и \i(L) обозначают соответ- соответственно центральную плотность и минимальную норму решетки L. Пусть Ln — плотнейшая решетка с detLn=l. Тогда detL* = 1, и, таким образом, 6(L*n) <6(Ln), n(L;)<n(Ln), a ц (L*\ равно детерминанту плотнейшего 1-мерного сечения
14 Гл. 6. Слоистые решетки решетки L*, что равно детерминанту плотнейшего (п — 1)-мер- гного сечения решетки Ln, который не превосходит \i(Ln), так что применима формула B). В формуле A9) для п = 1, 2, 4, 8 имеет место равенство. Если, как мы думаем, Кп, А16, Л24 и PiSp являются плотней- .шими решетками в соответствующих размерностях, равенство имеет место также для п = 12, 16, 24 и 48. Некоторые сечения решетки Р&р описываются в таком следствии: Следствие 8. В размерности 48 — п решетка PiSP имеет се- сечение плотности 6 = C48-2n/248-nD)I/2, где D приводится в сле- следующей таблице: п = 0 1234567 8 9 10 /)==1 2344444 32/9 28/9 24/9 Кроме того, в размерностях 43 и выше эти решетки имеют наи- наименьший детерминант среди любых сечений всех четных уни- модулярных 48-мерных решеток с минимальной нормой 6. Доказательство. Из табл. 5.3 следует, что координаты для Pise могут быть выбраны таким образом, чтобы среди мини- минимальных векторов были все векторы о*,,±/ = (±32, О46) B0) и некоторый вектор о* = (-2,114, О33). B1) Таким образом, эта решетка содержит взятые в соответствую- соответствующем масштабе копии Dn (все v±i,±i, содержащие ненулевые значения в первых п координатах), Ап (часть упомянутой выше решетки Dn+i с нулевой суммой координат) и решетки, которые мы будем обозначать Sn (порождаемые о* вместе с вышеупо- вышеупомянутой Dn-i). При масштабе, в котором решетка РюР является унимодулярной, ее сечения, ортогональные решеткам Ао, Аи А2, A3s*D3, Dit D5, D6, D7 или S7, S8, S9> S,o, имеют те же плотности, что и решетки из следствия 5; первое утверждение теперь можно получить, меняя масштаб. Второе утверждение следствия вытекает из оптимальности Ао, • • •, -Ds (теорема 2). § 3. Свойства решеток Ао, • • •. А8 Решетки Ао, . • •, As (которые были определены в теореме 2) могут рассматриваться как сечения решетки Лича, показанные сна рис. 6.2. Например, диаграмма для А2 показывает, что А2
§ 3. Свойства решеток Ло, ..., 215- может быть определена как множество точек решетки Лича, для которых сумма первых трех координат нулевая, а осталь- остальные координаты равны нулю. Эта решетка порождается векто- векторами D,—4, О22) и D,0,—4,021) и, очевидно, является взятым в соответствующем масштабе вариантом решетки А2. Заметим (это понадобится нам в следующем параграфе), что для любого г факторгруппа ЛГ/2ЛГ является элементарной о-и -но Рис. 6.4. Представители классов D3/2D3. Три класса, соединенные линией, дают в сумме нуль. абелевой группой порядка 2Г. Обычные координаты для Dn и Еп в большей степени подходят для описания классов из ЛГ/2ЛГ. Прежде всего заметим, что ненулевые классы из D3/2D3 имеют, как это показано на рис. 6.4, структуру проективной плоскости порядка 2. В качестве представителей шестнадцати классов Dt/2Di можно взять 0000 2000 ПИ ТТЛ ООП ООП ПОО 1100 оюГ oioi Тою loio ОНО ОНО Т001 1001 где черта над числами обозначает минус и имеется автоморфизм решетки Di, переставляющий по кругу последние три столбца. Классы из D5/2D5 и их типичные представители суть (i) 1 класс @0000); (И) 20 классов (±12, О3) (минимальные векторы); (ш) 1 класс (±2, О4); (iv) 5 классов (±14,0)ЧёТН; (v) 5 КЛаССОВ (±14,0)„ечётн,.
-216 Гл. 6. Слоистые решетки Элементы из Е6 описываются как элементы из Es, в которых последние три координаты равны. Классы и представители из ?6/2?6 суть 1 класс (О8); 16 классов ((±1/2M; (±1/2K) (минимальные векторы); 20 классов (±12, О3; О3) (минимальные векторы); 1 класс (±2, О4; О3); 16 классов (ТЗ/2, (±1/2)*; (±1/2K); 10 классов ( + 14, 0;03). Каждый из последних 27 классов представляется десятью век- векторами нормы 4, образующими 5-мерный координатный ёж (в этих координатах минимальные векторы имеют норму 2). Аналогично классы из Е7/2Е7 суть 1 класс, представленный (О8); 63 класса, представленные парой минимальных (нормы 2) век- векторов; 63 класса, представленные 12 векторами нормы 4, образую- образующими 6-мерную систему координат; 1 класс, представленный 56 векторами нормы 6, т. е. (±16, О2) с нечетным числом минусов и ±(±2\05; I2). Наконец, Е8/2Е8 содержит: 1 класс, представленный (О8); 120 классов, представленные парой минимальных векторов; 135 классов, представленные 16 векторами удвоенной мини- минимальной нормы, образующими 8-мерный координатный ёж. Каждая глубокая дыра в Е8 является элементом из A/2)?8, сравнимым (по модулю Es) с 16 векторами, являющимися по- половинами координатных векторов одного из этих координатных ежей (см. гл. 21). В MOG-обозначениях (в которых минимальная норма решетки Е8 равняется 32) эти 135 типов глубоких дыр имеют следующий вид: 1 ёж /0, состоящий из 16 векторов вида 0 ±4 0 0 0 0 0 0
$ 4. Размерности от 9 до 16 21Т 35 положительных тетрад-ежей fZbcdtefgh, состоящих из всех векторов типа ±2 ±2 ±2 0 0 0 0 ±2 носитель которых есть а, Ь, с d или е, f, g, h и произведение ненулевых элементов положительно, 35 отрицательных тетрад-ежей fubcd\efgh> определяемых анало- аналогично, и 64 нечетных ежей, состоящих из векторов типа ±1 ±1 =F3 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1 В следующем параграфе мы ссылаемся на эти 135 типов как на ежи в Е8 (или в Л8). § 4. Размерности от 9 до 16 В этом параграфе мы доказываем утверждения теоремы 1 для 9^ п <; 16. Пусть Л8+г A^/"<;8) — любая слоистая ре- решетка в Rs+r. По определению Л8+г содержит Л8^?8. Из тео- теоремы 3 следует существование склеивающего отображения в: Аг-*- КЛ8, такого, что Лв+r состоит из векторов u + ve + cv, ueA8, oeAr, c2= 1/2. Если »еЛг имеет минимальную ненулевую норму, равную 4, то из F) следует, что N(ve)^2. Но самая глубокая дыра в Л8 имеет норму 2, из чего мы делаем заключение, что минималь- минимальные векторы в Лг должны быть склеены с глубокими ды- дырами в Л8. В предыдущем параграфе мы видели, что глубокие дыры в Л8 являются векторами в (l/2)Ag; для нас представляет интерес только значение Vе по модулю Л8. Минимальные век- векторы Лг также порождают Аг, и, таким образом, 2ЛГ отобра- отображается в Л8. Поэтому 0 индуцирует корректно определенное ото- отображение в: А^2Л,->A/2)Ла/А,. B2)
218 Гл. 6. Слоистые решетки Классы из Лг/2Лг, которые представляются минимальными век- векторами решетки Лг, должны переходить при отображении 0 в ежи в Л8 (см. предыдущий параграф). Предложение 9. Для 1 ^ г ^ 8 любой класс из ЛГ/2ЛГ, не представленный минимальным вектором из Лг, переходит при отображении G либо в О, либо в ёж (но не в класс, представлен- представленный половиной минимального вектора решетки Лв). Доказательство. Для г ^ 2 доказываемое утверждение три- тривиально. Для г ^ 3, г ф 7, мы сводим все к случаю г = 3, заме- Рис. 6.5. Образ рис. 6.4 под действием ©. тив, что любой класс из ЛГ/2ЛГ содержится в подгруппе Л3/2Л3. Случай г = 3. Предположим, что ненулевые классы из D3/2D3, показанные на рис. 6.4, переводятся отображением G в элементы А, ..., G факторгруппы A/2)Л8/Л8, показаные на рис. 6.5, причем А, ..., F являются ежами. Без потери общ- общности можно считать, что А — это ёж f0. В не может быть не- нечетным ежом, представленным, скажем, (—3, I7), так как тогда С = В -f- А должно быть представлено (I8), не являющимся глубокой дырой. Таким образом, В и, аналогично, С, D, Е яв- являются тетрадами-ежами и поэтому элемент G представлен вектором с четными координатами. Если G представлен полови- половиной минимального вектора, мы можем полжить, что он равен B2, О6). Но тогда F = А —- G представлен вектором B, —2, О6), который не является глубокой дырой. Случай г = 7. Аргументация предыдущего случая должна быть изменена, потому что имеется один класс в Л7/2Л7, пред-
§ 4. Размерности от 9 до 16 219» ставленный векторами нормы 6. Тем не менее мы можем вы- выбрать базис Pi, ..., v7 для Л7/2Л7 так, чтобы все и, и »; + v,- были представлены векторами нормы 2 или 4. Из предыдущих рассуждений следует, что ни vf, ни (vt ± vf)B не могут быть, представлены половиной минимального вектора. Существует квадратичная форма Q, определенная на A/2)Л8/Л8, которая принимает значение 0 на 0-м классе и на ежах и значение 1 на остальных 120 классах. Тогда квадратичная форма G«Q' отображает и, и vidtVj в нуль и поэтому равна нулю на Л7/2Л7. Следовательно, класс из Л7/2Л7, представленный век- векторами нормы 6, также переводится отображением G в 0 или в ёж. Предложение 10. Если vi, ..., vt — минимальные векторы решетки Лг, независимые по модулю (кет G, 2ЛГ), то можно- считать что vf, ..., vf представлены начальным сегментом по- последовательности 4 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 t 2 0 2 0 2 0 2 0 B3)' и поэтому t s?: 4. Таким образом, возможные склеивающие ото- отображения G полностью определяются t и ker G. Доказательство. Без ограничения общности oi отображается в ёж /0. Как и в доказательстве предложения 9, никакой мини- минимальный вектор не может быть отображен в нечетный ёж, таким образом, без потери общности of представляется вторым элементом из B3) и т. д., что завершает доказа- доказательство. Теперь мы можем определить все возможные слоистые ре- решетки от Л9 до Ale. Выберем ядро отображения G в ЛГ/2ЛГ размерности k ^ г — 4 таким образом, чтобы ни один класс в ядре не был представлен минимальными векторами из Лг. Пусть ui, ..., vr — базис для ЛГ/2ЛГ, такой, что 0i, ..., vk — базис для kerG и vk+u ¦¦¦, vr представлены минимальными век- векторами. Тогда мы отображаем t = r — k векторов Vk+i, ..., vr в начальный сегмент из B3). (Л9) Здесь г = t = 1, k = 0 и Q отображает i>i в ёж f0. Та- Таким образом, существует единственная решетка Ла, которая-.
220 Гл. 6. Слоистые решетки может быть описана в MOG-координатах как порождаемая А8: * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Это приводит к определению Л9, данному на рис. 6.2. Кроме того, как указывается в табл. 6.1, N{cvi) = 2 = л8 и Я9 = А 51 (Лю) Здесь г = t = 2, k = 0 и G отображает v\ и ог в пер- первые два элемента из B3). Таким образом, существует един- единственная решетка Л1а, порождаемая Л9 и вектором И = ! 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {см. рис. 6.2). Проекцией v на КЛ9 является 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 которая поэтому является типичной глубокой дырой в Л9, имею- имеющей норму Щ = 5/2, а проекция на (КЛд)-1- — это 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
§ 4. Размерности от 9 до 16 221 имеющая норму яэ = 3/2. Из формул D) или (9) также по- получаем km = 768. (Лц) Имеются две возможности, зависящие от того, при- принадлежит или нет центральный класс на рис. 6.4 ядру в: (a) * = 2, 6=1, кегв = <B00)> приводит к Л™* (см. рис. 6.2); (b) / = 3, k = 0, 9 отображает v\, vi, v3 в первые три эле- элемента B3), что приводит к Лп'п. В конце этого параграфа мы увидим, что эти две решетки различны, так же как и решетки Ai2 и Ai3, конструируемые ниже. (Л[2) Ядро в является подгруппой первой строки таблицы классов из Di/2Di (см. § 3), и имеется единственная подгруппа каждого класса порядков 1, 2 и 4. Таким образом, существуют (максимум) три возможности для Л12: Л™ах (когда k — 2), по- показанная на рис. 6.2, A?2d (когда &= 1) и Л™ (когда k — 0). (Л13) Ядро должно быть подгруппой классов (i), (Hi), (iv), (v) факторгруппы D5/2D5 и иметь размерность ^1. Однако два класса из (iv) и (v) с различными носителями имеют разность типа (ii) и не могут одновременно принадлежать ядру. Таким образом, ядро содержит максимум три ненулевых класса. Имеется (максимум) три возможности: (a) k = 2, ker 0 = = {@0000), B0000), (НПО), (—11110)}, что приводит к ЛГз". как показано на рис. 6.2. (b) k—1, ker G = < B0000)), что при- приводит к Ai3ld; (с) k — l, ker © = <A1110)>, что приводит к A mln Л13 . (Лм) Аналогичные рассуждения показывают, что имеется единственная решетка Лм с ker в = < B0000; 000), A1110; 000) >. (Л[5) Имеется единственная решетка Л^ с ker 6 = < B00000; 00), A11100; 00), A10011; 00)>. (Ai6) Имеется единственная решетка Ai6 с ker 6 = = (B0000000), A1110000), A1001100), A0101010)). Ее радиус покрытия будет определен в следующем параграфе. Для того чтобы увидеть, что эти решетки различны, мы вы- вычислим их контактные числа т. Минимальные векторы попа- попадают в три класса: лежащие в Л8 (их 240), склеивающие Л8 с сЛ.г (их 16т(Лг)) и лежащие в сЛг (их столько, сколько представлений элементов из ker0 векторами нормы 4). На- Например, т (Л5"зах) = 240 + 16 • 40 + A0 + 8 + 8) = 906. B4) Результаты приведены в табл. 6.3, а вложенность решеток со- соседних размерностей отражена на рис. 6.1. Если «^ 15, суще- существует очень мало «-мерных сечении решетки Л„+ь содержащих Лв, поэтому все такие вложения легко выписываются.
222 Гл. 6. Слоистые решетки Таблица 6.3. Контактные числа слоистых решеток Ао 0 Ag 240 АИ" 888 А» 10668 Ai 2 А, 272 АЙа 890 17400 А2 6 Лю 336 АГз" 906 А2. 27720 Аз 12 432 Л,4 1422 Л22 49896 л4 24 438 Л15 2340 А2з 93150 л5 40 АИ" 624 Л,6 4320 A2i 196560 А« 72 Л ftid 632 Лп 5346 А7 126 Aft" 648 Al8 7398 Л25 196610-196656 § 5. Глубокие дыры в Доказав, что ЛN единственна, переходим к следующему- шагу— поиску глубоких дыр в этой решетке; это мы делаем методом Симона Нортона (см. гл. 22). Сначала мы перечислим классы смежности из (l/2)Aie/Ai6. Предложение 11. 216 классов из (l/2)Ai6/Ai6 суть (ij нулевой класс; (и) 2160 классов, каждый представлен парой векторов (±1/2) v, где v e Ai6 имеет норму 4; (Ш) 30 720 классов, каждый представлен парой векторов (±1/2) v, где v e Ai6 имеет норму 6, (iv) 135 классов, каждый представлен 32 векторами ±A/2)уь ..., (±1/2)^26, где vt — взаимно ортогональные век- векторы нормы 8 {всего 4320 векторов нормы 8). (v) 32 400 классов, каждый представлен 16 векторами ±{\J2)v\, ..., (±1/2)^8, sde vi — векторы нормы 8 {по поводу остальных 518400 векторов нормы 8 см. табл. 4.12 гл. 4), и, на- наконец, (vi) 120 классов, каждый представлен половинами опреде- определенного множества иг 512 векторов решетки ЛN нормы 12. Эти представители обладают тем свойством, что могут быть рас- расширены до минимальных векторов решетки Лича дополнением их (домноженными на масштабный множитель) минимальными векторами для Л8. Типичные представители показаны на рис. 6.6, где дополняющие векторы ограничены прерывистой линией. На рис. 6.6а 512 представителей образуются симметричными раз- разностями любой строки и любого столбца с четным числом от-
§ 5. Глубокие дыры в 223 рицательных знаков, а на рис. 6.6Ь —3 может быть в любой из 16 позиций и имеется 25 возможных комбинаций знаков. Доказательство этого предложения очевидно, и мы его опускаем. Теорема 12. Радиус покрытия решетки Ai6 равен Уз, и глу- глубокие дыры в Ли — это векторы из (l/2)Ai6, сравнимые по модулю Ai6 с одним из классов типа (vi) в предложении 11. 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2| о о; О Oi о о! -3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i! i 11 (а) Рис 6.6. Типичные глубокие дыры в Л^. Прерывистая линия окружает соот- соответствующий минимальный вектор решетки Лз (или его скалярное кратное). Таким образом, с точностью до перестановок и замены знаков глубокие дыры сравнимы по модулю Лш либо с вектором рис. 6.6а, либо с вектором рис. 6.6Ь. Имеется взаимно однозначное соот- соответствие между классами смежности глубоких дыр и парами ±и минимальных векторов решетки Ag. Доказательство. Пусть радиус покрытия решетки Aj6 равен -\/' d. Тогда существует точка х, находящаяся на расстоянии л/d от 0 и на расстоянии ^л/d от всех других точек из Л16. Су- Существование векторов, приведенных на рис. 6.6, показывает, что d IS: 3. Радиус покрытия решетки (l/2)Ai6 равен A/2)л/d, и поэтому мы можем записать х = и + х, где «e(l/2)Ai6 и N(x)^. d/4. Из предложения 11 следует, что и принадлежит к одному из классов (i) — (vi). В действительности и должен быть в классе (vi), так как если х = A/2)иг-\-х, где о,еЛ]6 имеет норму г, то N{x ± (l/2)yr)^ d и, таким образом, r) + N{x)^^-, B5) откуда вытекает г ^ 9, и поэтому из предложения 11 следует г^г12. Значит, x = {\/2)Vi2 + x, где y^^Aie, ЛГ(у12)=12, )/ Перенесем начало координат в точку (l/2)yi2. Из предложе- предложения 11 следует, что имеется 512 точек <pi, ..., Ф512 в (l/2)Ai6, окружающих новое начало координат, таких, что Л^(ф,) = 3, и без потери общности можно считать, что это точка, изобра-
224 Гл. 6. Слоистые решетки женная на рис. 6.6а, и 511 других точек, полученных нз нее перестановками и сменами знаков. Определим отображение 512 T(y)=Z(%-y)<p{. B6) Тогда 512 T(y)-y=Z(<Pt-yJ B7) является квадратичным инвариантом ортогональной группы, фиксирующей начало координат и переводящей Ai6 в себя. Так как это неприводимая группа, Т(у)-у должно быть кратным квадратичной формы у -у: y). B8) (Этот результат является частным случаем теоремы Хадвигера и выражает тот факт, что ф,- образуют эвтектическую1) звезду [Сох 20, § 13.7], [Had 1].) Выбирая у с одной ненулевой коор- координатой, находим, что k = 96. Далее, используя у = х, по- получаем 512 ? хJ = 96ЛГ (х) < 24i. B9) i-l Из B9) следует существование некоторой точки ф?, скажем ф, с <зо> Запишем d = 3 + 6, б^гО и N(x) = a2, a^s 0. Так как х — глу- глубокая дыра, Л^(ф — i)^3 + 6. Отсюда и из C0) мы получаем а2 — а л/з/2 — б ^ 0, и, таким образом, либо либо ^{{Щ«} C2) Если выполняется C1), то из а^О следует а = 0, 6 = 0, х== A/2) v 12 и d = 3, что и требуется. Мы завершим доказа- доказательство теоремы тем, что покажем, что C2) приводит к про- противоречию. Из C2) и а2^C + б)/4 следует, что 6 = 0, d = 2> и a = N(x) = л/З/2. Тогда для всех i выполняется |ф«-х|=^ 3/8 ') Эвтектика — тонкая смесь твердых веществ, выкристаллизовывающаяся из расплава при температуре ниже точки плавления этих веществ. — Прим. перее.
§ 6. Размерности от 17 до 24 225 и в силу B9) ф»-3с = ±3/8. Теперь можно прямым образом ис- использовать значения координат ср, для того, чтобы показать не- невозможность этого случая. § 6- Размерности от 17 до 24 Далее мы установим утверждения теоремы 1 для 17^л^; =^24. Если Ai6+r (l^r^8) является некоторой слоистой ре- решеткой, то, рассуждая, как в § 4, мы получаем существование склеивающего отображения О: ЛГ/2ЛГ^A/2)Л16/Л16. C3) Образами минимальных векторов в Аг при действии в являются классы смежности глубоких дыр по модулю Л16. Из § 5 следует существование вложения Ф: Л8/2Л8-*A/2)Л16/Л16) C4) связывающего пары минимальных векторов в Л8 с классами глубоких дыр в Л Лемма 13. Если а, р, у— классы смежности из Л8/2Л8, пред- представленные ±а, ±Ь, ±с, где а, Ъ, с — минимальные векторы решетки Л8 и а -\- р = у, то знаки могут быть выбраны, таким, образом, чтобы а -\-Ь = с. Доказательство. Без потери общности а и b могут быть выбраны так, чтобы а-b ^ 0. Тогда N(a-\- b) ^ 2N(a), и поэтому N(a-\- b)= N(a) или 2N(a). В последнем случае из § 3 следует, что минимальными представителями а -\- b являются 16 векторов нормы 2N(a), что противоречит существованию с. Таким обра- образом, а + b является минимальным вектором, который мы обозна- обозначаем через с. Это завершает доказательство. Заметим, что Лг A^г^;8) имеет сильное порождающее множество. Под этим мы подразумеваем такое множество S минимальных векторов v\, ..., vr, что если мы возьмем замы- замыкание S по следующим операциям: (i) добавления —и, если ceS, и (И) добавления v -\- v', если h,»'eShb + »' является минимальным вектором, то мы получим все минимальные век- векторы решетки Лг. Теперь рассмотрим образы \w{\, ..., [wr] классов [vi], ... ..., [vr] при отображении в, где v\, ..., vr — сильное порож- порождающее множество для Лг, а квадратные скобки означают «класс смежности, содержащий...», и пусть \xi\ является обра- образом [wi] под действием Ф-1. Если мы добавляем вектор v + v' к S для того, чтобы получить другой минимальный вектор
226 Гл. 6. Слоистые решетки решетки Лг, то, как следует из леммы 13, один из соответствую- соответствующих векторов ±х±х' в Л8 является минимальным вектором. Действуя таким образом, мы, получив замыкание сильного по- порождающего множества в Лг, получим такое же число мини- минимальных векторов в Л8. Так как эти векторы принадлежат це- целочисленным линейным комбинациям векторов х\, ..., хг, то множество этих комбинаций должно быть экземпляром ре- решетки Лг. Таким образом, мы доказали, что то, с чем решетка Лг склеивается в Лш посредством в, является образом относи- относительно Ф подрешетки (х\, ..., хг} решетки Л8, являющейся экземпляром Лг. Так как группа Аи1;(Л8) транзитивна на под- решетках Лг, мы делаем заключение, что An, ..., Л24 един- единственны (и, в частности, Л24 — решетка Лича). Их детерми- детерминанты задаются формулой (9), а их радиусы подпокрытия (кроме Л24)— формулами C) и D). Наконец, радиус покрытия решетки Л24 известен из гл. 23 (^ [Con 20]). § 7. Размерности от 25 до 48 В этом параграфе мы устанавливаем оставшиеся утвержде- утверждения теоремы 1. Сначала мы конструируем последовательность Рис. 6.7. Элемент I группы Aut (Аи). В первом столбце меняются местами 1-я и 3-я, 2-я и 4-я компоненты, после чего знаки 2-й н 3-й компонент заме- заменяются на обратные. Аналогично в других столбцах. решеток L25 s L2e s ... s L48) содержащих Л24, а затем дока- доказываем, что они являются слоистыми решетками. Пусть i обозначает элемент из АиЦЛ24), изображенный на рис. 6.7, удовлетворяющий условию i2 = —1. Тогда A —|- i) /2 является преобразованием подобия на R24, уменьшающим вдвое нормы векторов. Решетка L24+s (l^s^24) состоит из векто- векторов u-\-ve + cv, где kgA24, deAs, 8 = A+0/2 nc=l/V2- Детерминант решетки Lii+S соответствует значению Kn+S, приве- приведенному в'табл. 6.1.
§ 7. Размерности от 25 до 48 227 Мы утверждаем, что Lu+S является слоистой решеткой A24+s. Для 1 ^ s ^ 8 это следует непосредственно из теоремы 3, так как все L24+s содержат Л24. Для 9 ^ s ^ 16 сначала рассмотрим любую решетку М32+г A ^ г ^ 8), содержащую любую Л32. Тогда Л24 ^ Л32 ^ М32+г- Проектируя на (КЛг^-1-, мы получаем 0^сЛ8^М8+г или 0е S Л8 s c~lMs+r, где c=l/-\/2 и Л48+г = Мз2+г/А24. Применяя теорему 3 к c~lMs+r, заключаем, что det(c^1M8+r) ^ Kskr-2-rr det7H32+r = det Л24 ¦ det Af 8+r ^ Xr-2~2r. Из табл. 6.1 следует, что решетки L32+r достигают этой границы и поэтому являются слоистыми решетками, так как никакая решетка, содержащая Л32, не может иметь меньший детерминант. Для 17 =^ s ^ 24 аналогичные рассуждения показывают, что любая решетка Mi0+r, содержащая любую решетку Л4о, имеет детерминант det M4o+r ^ К • 2~8-3г, и, так как Ью+r достигает границы, это Л40+г. Решетки А2$. Мы утверждаем, что имеется точно двадцать три решетки Л25, по одной для каждого типа глубоких дыр в Л24 (см. гл. 23). Из определения слоистой решетки следует, что имеется максимум один тип Л25 для каждого типа глубоких дыр в Л24, контактное число решетки Л25 равно 196560 + 2V, где V — число вершин вокруг дыры данного типа (см. табл. 16.1 гл. 16). Это уже показывает, что имеется по меньшей мере де- девять различных решеток Л25, для которых наибольшее контакт- контактное число равняется 196560 + 96 и достигается для Л25, по- построенной по дыре типа Af. Для того чтобы показать, что все 23 дыры приводят к раз- различным решеткам Л25, достаточно доказать, что имеется един- единственная решетка Л24 внутри Л25. В действительности несложно показать, что в каждой решетке Л25 решетка Л24 характери- характеризуется следующим свойством: она порождается всеми мини- минимальными векторами из Л25, которые ортогональны по меньшей мере 93150 другим минимальным векторам. Заметим, что группа автоморфизмов решетки Л25, соответствующая глубоким дырам типа D24, имеет порядок 4 (тогда как | Aut (Л„) | >> 1000 для 4<я==? 24). Решетки Л26. Наконец, мы кратко опишем эвристическое рассуждение, показывающее, что число различных решеток Л26 очень велико. Любая решетка Л26 получается склеиванием Л2 с Л24. Пусть а, Ъ, с—минимальные векторы в Л2, такие, что а + Ь + с = 0, и рассмотрим специальный класс решеток Л26„ в котором все а6, Ьв и с6 являются глубокими дырами в Л24 гипа A2l2, причем а9 + b9 -f с9 == 0.
228 Гл. 6. Слоистые решетки Подгруппа группы Aut(A24), оставляющая на месте дыру типа A\v имеет порядок 52 (табл. 16.1), значит, число троек а, р, у Дыр типа А212 (по модулю Л24) равно (g/52K, где g = = | Aut (Л24) [ - Сумма a-f-p-fY лежит в решетке A/13)Л24, в которой Л24 является подгруппой индекса 1324, следовательно, эта сумма будет нулевой примерно для (^/52K/1324 троек, по- попадающих по меньшей мере в ^2/E23-1324) орбит группы Aut(A24). Принимая во внимание тот факт, что —а, —р, —у и любая перестановка а, р, у приводят к той же решетке Л26, мы можем ожидать существования около g2/(l2-523-1324) > > 75000 различных Л26 этого специального типа. Некоторые вычисления Симона Нортона, касающиеся удваи- удваивающих норму эндоморфизмов решетки Л24, позволяют пред- предположить, что число различных Л48 может также быть боль- большим, и мы полагаем, что имеется большое количество различ- различных Л„ для всех п = 26, ..., 48. Благодарности. Мы признательны Симону Нортону за то, что он ознакомил нас со своими вычислениями и определил радиус покрытия решетки Л16, а также Е. С. Барнсу и Джону Личу за их замечания. Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки Таблица 6.4, почерпнутая из [Con 36] с учетом результатов Плескена и Поста [Pie 6], [Poh 2], содержит плотнейшие из- известные в настоящее время целочисленные решетки с мини- минимальными нормами [I = 2, 3 и 4. Для минимальной нормы ц, = 2 наименьший возможный детерминант известен для всех п (см. второй столбец таб- таблицы). Он равен 1 во всех размерностях п^ 14. Третий стол- столбец содержит взятые из гл. 16 примеры решеток, имеющих эти детерминанты. Решетки определяются их компонентами (см. § 3 гл. 4), причем знак + показывает наличие дополнительных векторов склейки с нормой, большей 2. Для минимальных норм 3 и 4 элементы таблицы в общем случае дают только верхние границы на наименьший возмож- возможный детерминант. Целочисленная слоистая решетка Л„{3} с ми- минимальной нормой 3 состоит из проекций на и1 векторов из Л„+1, имеющих четное скалярное произведение с и, где v e еЛп+1 — подходящий вектор нормы 4. Кп{3} определяется ана- аналогично. Л„{3}1, /(„{З}1 обозначают решетки, ортогональные к указанным в А2з{3}. Единственная решетка Л23{3}—это укороченная решетка Лича О2\. Это единственная 23-мерная унимодулярная решет-
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки 229 Таблица 6.4. Наименьший детерминант любой из извест- известных в настоящее время целочисленных решеток с ми- минимальной нормой \i = 2, 3 или 4 и примеры типич- типичных решеток с такими детерминантами л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Д-2 dct 1 2 3 4 4 4 3 2 1 .2 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Решетка Ло Ах А2 Аз 1>4 D5 Еь Еп Е% Е%АХ Е%А2 Df2 (Лб?7)+ eV А1ь El <-АиЕ6)+ aV (л?л5)+ Еф\2 aV Е*Е]+ E»Af5 El n det 1 3 8 16 32 48 64 64 128 192 243 256 256 243 192 128 64 64 48 32 16 8 3 1 1 - 3 Решетка Ло{3) A,{3) A2{3) Лз!3) Л4{3) Л5C} Л6{3) Л7{3} Л8{3} Л9{3) /С,о{3) Ац(з} Л12{3} /С,0C]х А,{3}^ Л8{3}^ Л.71З/ Л g 13/ ЛзИ1 А4{3)х Л з 13} A2l3| A^F О23 О24 д det 1 4 12 32 64 128 192 256 256 512 768 972 729 972 768 512 256 256 192 128 64 32 12 4 1 -4 Решетка Ло А! л2 Аз А4 А5 А6 Лу А, А, Л ш *„ Км Кп Ли А15 А,6 А,7 Л,8 А19 А 20 А 21 А22 Ли А24
230 Гл. 6. Слоистые решетки ка с минимальной нормой 3 (см. гл. 16, 19), она состоит из тех векторов решетки Л24, которые имеют четное скалярное произведение с фиксированным минимальным вектором веЛи, спроектированным на Vх. Тэта-ряды этой решетки задаются формулой G) гл. 19. Мы уже объяснили все решетки табл. 6.4, за исключением 024, которая называется нечетной решеткой Лича. Это един- единственная 24-мерная унимодулярная решетка с минимальной нормой 3 (см. гл. 17), и она может быть определена следующим образом. Пусть /гЛ24— решетка, конструируемая в разд. 3.4 гл. 5. Тогда + ЛЛ24, C5). в то время как сама решетка Лича (см. разд. 4.4 гл. 5) опре- определяется как + ЛЛм. C6> Решетка О24 была впервые найдена О'Коннором и Поллом в 1944 г. [О'Со 1].
Глава 7 Дальнейшие результаты о связях между кодами и упаковками Н. Слоэн Эта глава содержит дальнейшие исследования связей между кодами и упаковками шаров. Конструкции А и В гл. 5 по- подробно анализируются и обобщаются на случай комплексных решеток. Кроме того, мы изучаем самодвойственные коды и решетки, их весовой спектр и тэта-ряды. § 1. Введение В гл. 5 мы уже видели, что коды и упаковки шаров связаны между собой. В этой главе мы тщательно проанализируем кон- конструкции А и В гл. 5 и обобщим их на случай комплексных ре- решеток. (Дальнейшая информация о конструкциях А и С содер- содержится в следующей главе.) Мы также изучим тэта-ряды упа- упаковок, полученных с помощью этих конструкций. Мы увидим, что связи между кодами и упаковками стано- становятся еще сильнее, если мы рассматриваем самодвойствен- самодвойственные линейные коды и самодвойственные решетчатые упаковки (см. § 3, 4), и уж совсем тесная связь обнаруживается при сравнении самодвойственных кодов, веса кодовых слов которых кратны 4, с самодвойственными решетками с четной нормой всех векторов (см. § 6, 7). В последнем случае имеются парал- параллельные теоремы, дающие верхнюю и нижнюю границы для лучших кодов и решеток (следствие 21 и теоремы 24, 25), и па- параллельные теоремы, характеризующие весовой энумератор кода и тэта-ряд решетки (теоремы 16, 17). Весовой энумератор самодвойственного кода и тэта-ряд самодвойственной решетки очень сильно ограничены, так как первый должен быть инвариантен относительно довольно боль- большой группы преобразований, а второй должен быть модуляр- модулярной формой относительно достаточно большой подгруппы SL2(R). Следовательно, эти весовые энумераторы и тэта-ряды должны лежать в определенных просто описываемых кольцах, зачастую являющихся свободными кольцами с малым числом порождающих элементов (см. теоремы 6, 7, 16, 17, 28—33). Экстремальные коды и решетки имеют наибольшее мини- минимальное расстояние или норму, разрешенные упомянутыми
232 Гл. 7. Дальнейшие результаты теоремами (точное определение дается в § 4). Мы описываем известные результаты о классификации самодвойственных кодов и решеток, в частности экстремальных кодов и решеток. В об- общем случае существует конечное число экстремальных кодов и решеток, и в ряде случаев они все известны (теоремы 11—13, 20, 34, 36). Экстремальные весовые спектры и тэта-ряды могут быть (по меньшей мере в принципе) определены явным обра- образом. Это позволяет показать, что некоторые коэффициенты на самом деле не обращаются в нуль (теоремы 9, 20, 34), а это приводит к верхним границам на минимальное расстояние или норму (следствия 10, 21, 35), и, кроме того, что другие коэффи- коэффициенты отрицательны, а это показывает, что для достаточно больших п не существует экстремальных кодов и решеток (экстремальные решетки не связаны с экстремальными фор- формами (см. разд. 2.2 гл. 2)). В § 2—7 рассматриваются двоичные коды и вещественные решетки, а в § 8—10 — недвоичные коды и комплексные ре- решетки. Эта глава основана на работах [Slo6] — [Slo 10]. Бруэ и Ангейар [Вго5] — [Вго7] также заметили многочисленные па- параллели между кодами и решетками (см. также [Mah 1] — [Mah3], [Tas 1]). Обозначения. Мы используем обозначения для кодов, вве- введенные в § 2 гл. 3, и тэта-функции, определенные в разд. 4.1 гл. 4. В частности, напомним, что в гл. 3 кодами типов I, II, III и IV соответственно названы самодвойственные коды над L %, F2, L з, 1м, веса кодовых слов которых кратны 2, 4, 3, 2 .Так же как и в разд. 2.4 гл. 2, решетками типа I и II называются ве- вещественные самодвойственные (т. е. целочисленные унимоду- лярные) решетки, в которых норма любого вектора кратна соответственно 1 и 2. Если f\, f2, ... — алгебраически независи- независимые многочлены или степенные ряды, то С [f\, /г, •••] обозна- обозначает кольцо многочленов от f\, /2, ••• с комплексными коэффи- коэффициентами (свободное кольцо). § 2. Конструкция А Мы повторяем конструкцию из § 2 гл. 5, внося небольшие изменения, позволяющие прояснить параллели между кодами и упаковками. Конструкция А. Пусть С — двоичный (п, М, с?)-код. Мы счи- считаем, что нулевое кодовое слово 0 принадлежит С. Упаковка шаров Л (С) в Чп получается, если в качестве центров взять все х = (хи ..., х„) в R", такие, что V2 х (mod 2) е= С. A)
§ 2. Конструкция А 233 Таким образом, все центры совпадают с векторами, которые могут быть получены из кодовых слов кода С добавлением произвольных четных _чисел к их компонентам и последующим делением их на V2. Начало координат всегда является центром. Пример 1. Гранецентрированная кубическая решетка D3. Пусть С= {000, 011, 101, 110} с га = 3, d = 2. Некоторые из центров, ближайших к началу координат, суть 2-1/2(±1, ±1,0), 2-i/2(_j_2,0,0) Это гранецентрированная кубическая ре- решетка D3 — плотнейшая решетчатая упаковка шаров в R3 (см. разд. 6.3 гл. 4). В общем случае, если d < 4, ближайшими к началу коор- координат центрами являются 2<Md@) векторов вида 2-1/2(±l)d0"-d, полученных из кодовых слов веса d. Для таких центров квад- квадрат расстояния от начала координат составляет d/2. Если d > 4, то ближайшими к началу координат являются 2га цент- центров типа (± V2I0"~1, квадрат расстояния от которых до на- начала координат равняется 2. Наконец, если d = 4, оба множе- множества центров находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Поэтому в качестве радиуса шаров можно взять р=2 3/V/2, если d<4, или 2~'/2, если d>4, B) а число шаров, касающихся шара с центром в нуле, равно Г 2% @), если d<4, х=< 2n+lQAd(Q), если rf = 4, C) I 2га, если d > 4 (см. формулы C), D) гл. 5). Центральная плотность Л (С) (см. формулу B) гл. 5) равна 6 = Л1рп2""/2. D) (Внешнее отличие этой формулы от выражения в гл. 5 объяс- объясняется присутствием л]2 в A).) Теорема 1. Упаковка Л (С) является решетчатой тогда и только тогда, когда С — линейный код. Доказательство элементарно. Теорема 2. Пусть С — линейный код размерности k. Тогда (i) detA(C) = 2"-2*; (ii) Л(С*) = Л(С)*;
234 Гл. 7. Дальнейшие результаты (ш) Л (С) целочисленна тогда и только тогда, когда Cs SC*; (iv) Л (С) — решетка типа I тогда и только тогда, когда С — код типа I; (v) Л (С) — решетка типа II тогда и только тогда, когда С — код типа II; (vi) Aut(A(C)) содержит подгруппу 2".Aut(С). Доказательство. Без потери общности можно считать, что С задается порождающей матрицей (/ В). Тогда -LI B 1 л/2 L О 2/J E) является порождающей матрицей для А (С) и (i) — (v) полу- получаются легко, (vi) Aut(A(C)) заведомо содержит все переста- перестановки координат из Aut(C), все перемены знаков х, —»—х, и„ возможно, другие симметрии. Замечания. Сравните с теоремой 1 гл. 8. Если в A) опу- опустить д/2> то конструкция А всегда дает целочисленную ре- решетку. Теорема 3 ([Вег7], [Вгоб]). Предположим, что С — линей- линейный код с весовым энумератором Wc(x,y). Тогда тэта-ряд ре- решетки Л (С) определяется выражением вЛ(С)B) = ЯМ93Bг), e2Bz)), F) где 02(г), 03 (г)—тэта-функции Якоби, определенные в разд. 4.1 гл. 4. Доказательство. Рассмотрим кодовое слово и = (щ, ..., ип) из С. Соответствующие ему центры в Л (С) состоят из мно- множества Л(и) = {(*/„ ..., уп): yr^-j=ur Из формулы D4) гл. 4 следует равенство Ov-Z (г) = 6Z Bz) = 03 Bz), 61/V- + vrte (z) = 02 Bz). Поэтому л (о (z) = Z вл (u) (г) = We @з Bz), 62 Bz)). C
§ 2. Конструкция А 235 Пример 2. Кубическая решетка Zn. Полный код Ft имеет d = 1, W(x, у) = (х -(-у)п. Конструкция дает решетку {\j^2)Zn, имеющую тэта-ряд 03(A/2)г)", откуда получается равенство (см. формулу B2) гл. 4). 92Bz) = 93((l/2)z). G) Пример 3. Квадратная решетка Z2. Код ^2 = {00, 11} имеет весовой энумератор Ъ2 = х2 + у2 (8) и Л(^2) = Z2, что дает равенство (см. формулу B5) гл. 4) 2 + 92BzJ = 93(zJ. (9) Пример 4. Шахматная решетка Dn. Как уже было замечено в разд. 2.4 гл. 4, если С есть [п, п—1,2] -код с четными весами кодовых слов, мы получаем решетку Dn. В стандартном ва- варианте Dn минимальная норма равна 2, и в этом случае мы опускаем д/2 в A). Весовой энумератор кода С равен Wc(x,y) = ±{(x + y)n + (x-yn, A0) таким образом, в силу F) тэта-ряды Dn (в новом масштабе) •суть @Dn(z) = Wc(e3Dz), 92Dz)) = i A1) = \ {(93 Dz) + 92 Dг))п + (93 Dz) - 9 D))"} ^мы использовали формулу B2) гл. 4). В этом масштабе тео- теорема 2(i) дает det Л (С) = 22"*, A3) таким образом, detDn = 4 (см. разд. 7.1 гл. 4). Пример 5. Решетка Госсета Е8. Пусть Жй есть [8,4, 4] -код Хэмминга и ^8 — его весовой энумератор (см. п. 2.4.2 гл. 3). Как мы видели в разд. 2.5 гл. 5, применение конструкции А к Ж% дает решетку Е8. Из формул B) —D) и теоремы 2 мы получаем, что Е8 имеет р = 1/д/2, т = 240, б = 2~4, det=l и является уни- модулярной решеткой типа II. Ее тэта-ряд (по формуле F))
236 Гл. 7. Дальнейшие результаты равен вя8 B) = 93 Bz)8 + 1493 BzL 92 BzL + 92 Bz)8 = A4) = 1 [{93 BzJ + 92 BzJ}4 + {93 BzJ - 92 BzJ}4 + + 1693BzL62BzL] = A5) = ^{92(z)8 + 93(z)8 + 94(z)8} A6) в соответствии с выражением D0) гл. 2 (для перехода от A5) к A6) мы используем формулы B4) и B5) гл. 4). Решетка Е7 может быть получена таким же образом из кода Хэмминга Mi (см. разд. 2.5 гл. 5). Пример 6. 10-мерная нерешетчатая упаковка Беста Р1ОС- A0, 40, 4)-код Беста приводит к нерешетчатой упаковке Я!0„ с б = 2-7-5 (см. разд. 2.6 гл. 5). Используя приведенный в гл. 5 весовой спектр, мы находим, что эта упаковка инвариантна отно- относительно расстояния и имеет тэта-ряд 03 BzI0 + 2293 BzN 92 BzL + 1293 BzL 92 BzN + 593 BzJ 92 Bz)8 = = 1 + 372q°- + 768<73 + 568V + 614V + . . .; A7) это еще раз доказывает, что ее контактное число равно 372. Обобщенная формула Якоби для периодических упаковок, при- приведенная в [Odl 6] (заменяющая z на —1/z и умножающая на подходящую константу), преобразует A7) в li4 . 516 „ . 2048 г,о , 1728 •, . /1QV 1 +-5"<7 +-у 92 +-g-<75/- + -5-<?3+ •••• A8) Вопрос. Существует ли упаковка, формально «двойственная» к упаковке Беста, т. е. нерешетчатая упаковка с усредненным тэта-рядом, равным A8)? Мы даже не знаем, имеет ли гексагональная плотная упа- упаковка (см. разд. 6.5 гл. 4) «двойственную» в этом смысле. Если ответ положителен, то усредненный тэта-ряд в соответствии с G3) гл. 4 (см. [Odl 6]) должен быть равен 1 + 4 <74/3 + 2<73'2 + V4 + З?17'6 + б?4 + V13'24 + ... . A9) § 3. Самодвойственные (или типа I) коды и решетки В этом параграфе С обозначает код типа I, а Л — решетку типа I. Мы увидим, что весовой энумератор Wc(x,y) и тэта-ряд ©л (т) сильно ограничены, причем сходным образом.
§ 3. Самодвойственные (или типа I) коды. и. решетки 237 В действительности из тождества Мак-Вильяме для кодов (формула E0) гл. 3) и формулы Якоби для решеток (формула A9) гл .4) мы получаем следующие результаты: Теорема 4. We = (y (x + У), ^ (х ~ У)) = Wc (*> У), B0) Wc(x,-y) = Wc(x,y). B1) Теорема 5. вл(-1/2) = (гАГ/2влB), B2) вл(г + 2) = вл(т). B3) Пусть G — произвольная конечная (мультипликативная) группа комплексных матриц размера m~Xm. Мы говорим, что многочлен f{x) — f(x\, ..., xm) инвариантен под действием G, если f(BxT) = f(x) для всех BeG (см. разд. 4.2 гл. 3). Из тео- теоремы 4 следует, что Wc(x, у) инвариантен под действием груп- группы G\, порождаемой матрицами , Г 1 11 Г1 01 ku -Л- и -Л B4) Легко видеть, что группа d изоморфна группе диэдра порядка 16 (это группа отражений; см. § 2 гл. 4). Теперь можно идти несколькими путями: нам больше всего нравится путь, исполь- использующий теорию инвариантов (см. [Blil], [Fla 2] — [Fla6], [Huf 2], [Mil 2], [Sta3]); он достаточно подробно описан в [Slo7] и [Мае 6, гл. 19] (см. также [Вег7], [Вгоб], [Gle 1], [МасЗ], [Tol 1]). Каким бы методом ни действовать, в резуль- результате получится Теорема 6 (Глисон). Если С — двоичный самодвойственный код, то Wc(x, */)eCM>2, |8], B5) где ij32 задается формулой (8) и ls = x>y2(x2-y2f. B6) То есть (словами) Wc(x,y) может быть однозначно представ- представлен как многочлен от ty2 и 5в или, что эквивалентно, как много- многочлен весовых энумераторов кодов <&12 и Шъ. Обобщения приводятся ниже в этой главе и в [Вег7], [Hufl], [Leo 7], [МасЗ], [Mac 4], [Mai 2], [Mai 4], [Mai 5], [Que 6].
238 Гл. 7. Дальнейшие результаты С другой стороны, пусть G — произвольная подгруппа ко- конечного индекса в SL2(R), и пусть %—мультипликативный ха- характер G. Комплекснозначную функцию f(z) называют моду- модулярной формой веса w относительно G с характером %, если (i) f(z) «голоморфна» для Im(z)> 0. для каждого <* = [" <*]е<^ и (iii) f(z) «голоморфна» для каждой параболической точки группы G. (По модулярным формам см. [Cas2], [Gun 1], 1Наг4], [Heel], [Нес 2], [Kit 3], [Knol], [Lan9], [Lewi], [Man 1] — [Mah3], [Modi], [Oggl], [Pet 4], [Radl], [Ran 6], lSch6], [Sch7], [Serl], [Shil], [Sie 1] —[Sie3].) Так как в литературе имеется множество различных определений веса, стоит сказать, что в наших обозначениях форма A2i(z), которая задает числа Рамануджана, имеет вид A-<72тJ4, где q = e^ B8) (см. формулу C7) гл. 4); это модулярная форма веса 12 отно- относительно 5L2(Z) с тривиальным характером % — 1. Из теоремы 5 следует, что вл (z)—модулярная форма веса {1/2)п относительно группы, порождаемой О -1 с характером %(U)= I, %(S)=i. Пусть Jtn — комплексное век- векторное пространство, равное линейной оболочке всех модуляр- ных форм веса A/2)п с характером х> и пусть Тогда М является градуированным кольцом. Теорема 7 (Гекке). (a) dimc Жп = 1 + [га/8]. (Ь) Если А — самодвойственная решетка, то п=0 C1)
§ 3. Самодвойственные (или типа I) коды и решетки 239 где A8(z)—форма вида 9-8й р2_+_П8 = z Н2[—2—J == 1A __(?4"г)}8= C3) f ... . C4) Доказательство. Утверждение (а) следует из [Ogg 1, th. 4, p. 1—41], поскольку из предположений вытекает, что в обозна- обозначениях [Ogg I, p. xiv] вл (z)e JtB, 1/2/г, 1]. (b) Так как ряд Пуанкаре для М имеет вид можно надеяться отыскать базис для Ж, состоящий из двух алгебраически независимых модулярных форм, одной из М\ и другой из Jf8. Из формулы A7) гл. 4 нам уже известно, что Q3(z)<^J(\. Для формы из Л& можно использовать либо вд,(г) из A6), либо более простую форму = {93 Bzf + 92 Bzff - {93 Bz)8 + 1493 Bzf 92 {2zf + 92 Bz)8} = (в силу (9), A4)) - 493 BzJ 92 {2zf {93 BzJ - 92 BzJ}2 = 92 (г)* 94 (z)*— 92 8 (в силу B4), B5) гл. 4) m=I в силу C4) гл. 4. Остается показать, что ряд Пуанкаре для С [03(z), A8(z)] равен C5). Для этого достаточно доказать, что для любой размерности n = 8a + v, 0 ^ v ^ 7, все сс+1 про- произведений %(z)n-&rA8(z)r @ являются линейно независимыми. Но это очевидно, так как r-е произведение начинается с qr + ... .
240 Га 7. Дальнейшие результаты Замечание. Из доказательства теоремы 7, в частности из равенства C5), мы видим, что тэта-ряд n-мерной решетки типа I может быть записан следующим образом: т-0 C6) если п = 8а + v, О =SC v =sC 7, где а,- — целые. Таким образом, 6л (z) является многочленом специального вида (изобарический многочлен) от В3 и А8 или, что эквивалентно, от тэта-рядов решеток Z и ?8. Пример 5 (продолжение). Хорошо известно (см., например, [Ogg 1]), что ряд Эйзенштейна оо Et (г) — 1 + 240 Е 03 (т) а"-т C7) принадлежит Ла. Из того, что оба ряда начинаются с 1 + + 240<72 -f-..., следует, что E4(z) равен тэта-ряду решетки Е%. Теорема 8 [Slo 10]. Если записать А8(т)= Е агЦт ¦> то коэф- коэффициенты аг оказываются знакопеременными и мультиплика- мультипликативными в том смысле, что |ar|-|as|= E d3\arsid'\. C8) d | (г, s\ d нечётно (Ср. с теоремой 21 ниже.) Классификация. Коды типа I были классифицированы для длин п ^ 30 в работах [Pie 10], [Pie 12], [Pie 17] (см. исправ- исправление в [Con 24']), а решетки типа I для размерностей п ^ 25 классифицируются в разд. 2.4 гл. 2 и в гл. 16, 17. § 4. Экстремальные коды и решетки типа I Из теоремы 6 следует, что если п = 2/ = 8a + 2v, где 0 =^ =$: v ^ 3, то для однозначно определенных целых ао, . ¦ ¦, аа. Допустим, что нам удалось так подобрать а;, что правая часть C9) приняла вид - .... D0) т. е. что она не содержит степеней у между 0 и 2а -f- 2. Мы на- называем D0) экстремальным весовым энумератором W*(x,y)
§ 4. Экстремальные коды и решетки типа I 241 длины п, а код, имеющий такой весовой энумератор (если тако- таковой есть) — экстремальным кодом ') типа I. Если такой код существует, его минимальное расстояние равно 4а-(-4, за исключением случая, когда A'ia+i^=0 и d мо- может быть больше, чем 4а -(- 4. Но теорема 9 показывает, что такие «инциденты» не происходят. Таким образом, экстремаль- экстремальный код (если такой код существует) имеет наибольшее мини- минимальное расстояние среди всех кодов типа I. Аналогично обстоит дело для решеток: пусть п = 8а -f- v, где 0 ^ v =sC 7; записываем вд(г) в виде C6) и выбираем ао, •. •, аа так, чтобы правая часть C6) приняла вид экстре- экстремального тэта-ряда в размерности п: в-(г)=1 + А'а+^+1+ .... D1) Решетка с таким тэта-рядом называется экстремальной решет- решеткой ') типа I. Теорема 9 ([Mall], [Mal3], [Sie3]). В экстремальном ве- весовом энумераторе (соответственно в экстремальном тэта-ряде) главный коэффициент А*2а+2 ^соответственно А*а+]) положителен. Доказательство (теоремы 9, а также теорем 19 и 34) дает явную формулу для экстремальных весовых энумераторов и тэта-рядов; см. [Mai I], [Mal3]. Следствие 10. Минимальное расстояние самодвойственного двоичного кода удовлетворяет неравенству d < 2 [/г/8] + 2. D2) Минимальная норма самодвойственной решетки удовлетворяет неравенству ц<[я/8]+1. D3) Для экстремальных кодов и решеток в формулах D2) и D3) имеет место равенство. Из неравенства D3) следует верхняя граница для плотности (см., например, формулу B) гл. 6). Для больших значений п граница линейного программирования (см. [МсЕ 4] и формулу B) гл. 9) приводит к более сильному утверждению о том, что любой код размерности k — п/2 имеет ~< 0.182490 ..., D4) ') Код или решетка, являющиеся «экстремальными типа I», случайно мо- могут иметь и тип II!
242 Гл. 7. Дальнейшие результаты а из границы Кабатянского — Левенштейна (формула D5) гл. 1) следует, что -?¦< 0.102 .... D5> Более строгие границы для минимального расстояния самодвой- самодвойственных кодов и минимальной нормы унимодулярных решеток были недавно даны в [Са 10], [Con 43а] — [Con 43d]. Из рассмотрения неравенств D4) и D5) естественно полу- получается Теорема 11 [Mall]. Следующий коэффициент A*2a+i( соответ- соответственно А*а+2) в экстремальном весовом энумераторе (со- (соответственно в тэта-ряде) отрицателен для всех достаточно больших п. Следовательно, соответствующих экстремальных ко- кодов и решеток не существует. В обоих случаях первый отрицательный коэффициент по- появляется, когда п — 32; например, экстремальный тэта-ряд для п = 32 — это О* B) = 1 + 4700160<?5 - 8094720?6 + .. . . Теорема 12. ([Ма13], [Pie 10], [Pie 17], [War 2]). Экстре- Экстремальные самодвойственные коды типа I существуют тогда и только тогда, когда п = 2, 4, 6, 8, 12, 14, 22 или 24. Теорема 13 (см. гл. 19). Экстремальные самодвойственные решетки типа I существуют тогда и только тогда, когда п = = 1—8, 12, 14, 15, 23 или 24. Код Нордстрома — Робинсона. Экстремальный весовой эну- мератор для длины 16 имеет вид х16 + 112х10у6 + 30 А8 + 112*У ° + У16, D6) хотя линейного кода с таким весовым энумератором и не суще- существует. Однако имеется нелинейный код с этим весовым энуме- энумератором, а именно A6, 256, 6)-код Нордстрома — Робинсона (см. разд. 2.12 гл. 3). Аналогично экстремальный тэта-ряд в размерности 16 имеет вид в* (т) = 1 + 7680?3 + 4320?4 + 276480?5 + 61440?6 + . .. . D7) Если бы соответствующая упаковка существовала, то были бы установлены новые рекорды для плотности и контактного числа в размерности 16. Такой решетки не существует (гл. 19), и мы предполагаем, что не существует и такой нерешетчатой упа- упаковки. Изучение формулы D7) позволяет предположить, что такая упаковка могла бы быть объединением А\в и 15 сдвигов.
§ 5. Конструкция В 243 этой решетки. К сожалению, это невозможно, так как мы мо- можем доказать следующую теорему. Теорема 14. Предположим, что Р является упаковкой в IR16 с минимальной нормой 3, состоящей из объединения t сдвигов Л]6. Тогда t ^ 9 и 9 может быть достигнуто. Доказательство опускается. Вопрос. Имеются ли упаковки, аналогичные нелинейным кодам Кердока и Препараты (см. разд. 2.12 гл. 3)? (Аналогичных кодов и решеток типа II, как мы увидим в § 7, не существует.) § 5. Конструкция В Мы снова повторим конструкцию из § 3 гл. 5 с некоторыми изменениями. Конструкция В. Пусть С — двоичный линейный [n,k,d = 8]- код, в котором вес каждого кодового слова кратен 4. Упаковка шаров 3?(С) получается в R", если взять в качестве центров все х = (х\, ..., хп) в R", для которых (i) У2* (mod2)<=C и D8) 00 4|л/2Ех,-. D9) (Такую конструкцию можно применить и к более общему классу кодов, но приведенный вариант охватывает наиболее важные случаи.) Теорема 15. Упаковка 3? (С) является целочисленной решет- решеткой со следующими значениями минимальной нормы, контакт- контактного числа, центральной плотности, детерминанта и тэта-ряда: ц=4 E0) E1) 2n+2~2k, E3) в B) = у Wc @3 B2), Э2 B2)) + у М2г)". E4) Пример 5 (продолжение). [8, 1,8]-код с повторением вновь дает решетку Ев. В этом случае мы получим тэта-ряд прямым образом в виде A6). Пример 7. Решетка Барнса — Уолла Л16. [16, 5, 8]-код Ри- Рида— Маллера первого порядка дает решетку Ai6 (см. § 10 гл. 4
244 Гл. 7. Дальнейшие результаты и разд. 3.4 гл. 5) с \i = 4, т = 2-16-15 + 128-30 = 4320, б = 2~\ det = 256, и мы получаем тэта-ряд (см. формулу A32) гл. 4) из равенства E4). Пример 8. Код Голея Я1?и с параметрами 24, 12, 8 дает цело- целочисленную решетку /гЛ24 (см. разд. 3.4 гл. 5), для которой ц = 4, т = 98256, б = 2-1, det = 4. § 6. Коды и решетки типа II Мы продолжаем начатое в § 4 изучение самодвойственных кодов и решеток. В этом параграфе С-—код типа II, а Л — ре- решетка типа II. Именно здесь мы обнаружим наиболее сильные аналогии между кодами и решетками. В нашем случае формулы B1) и B3) можно заменить на Wc (x, iy) = Wc (х, у), E5) eA(z+l) = eA(z). E6) Следовательно, Wc(x, у) инвариантен относительно большей группы G2, порождаемой ¦—=¦ Г ' П и Г1 °1. Это — комплекс- комплексная группа отражений 4 [6] 2 порядка 192 (см. [She 2]), и мы получаем (см. [Slo 7]): Теорема 16 (Глисон). Если С — код типа II, то Гс(м)еС[ф8,У, E7) где ф8— весовой энумератор кода Ж% (см. п. 2.4.2 гл. 3), 124 = *У(*4-г/4L, E8) или, что эквивалентно, Wc(x, у) может быть записан как много- многочлен от весовых энумераторов Ж& и "??24- Аналогично вл(г) является модулярной формой веса A/2) п относительно полной модулярной группы SL^i^), порожденной S (см. формулу C0)) и Т: z-+z-\-l с характером хG")=1, x(S) = i. Пусть Мп и М такие же, как в § 3. Теорема 17 (Гекке). Если Л — решетка типа II, то (a) dime Jtn — 1 + \^Л > если 8 | л, « dimc^n = 0, если 8 -Г п; (Ь)вдB)еС[?4(г), ДмB)], E9) где ?4B)—тэта-ряд решетки Е8, определенный в A4), A6) или C7), а Л24(г) задается формулой B8) (см. также C7) —C9) гл. 4). Или, что эквивалентно, в л (г) может быть записан как. изобарический многочлен от тэта-рядов решеток Es и Л24.
§ 6 Коды и решетки типа II 245 Доказательство. Утверждение (а) следует из [Ogg I, th. 3, p. 1—23]. (b) Ряды Пуанкаре имеют вид (dime Jtn) ln = о-яв/а-я»*) ' F0) «¦=0 и мы рассчитываем найти базис для Ж, состоящий из двух алгебраически независимых модулярных форм, одной из Л8, другой из Л?24. Из A6) мы знаем, что Е^{г)^Ж&, а A24(z) = = 2-8{е2B)е3B)е4B)}8 (см. формулу C8) гл. 4)е= Жи. Осталь- Остальная часть доказательства следует соответствующим рассужде- рассуждениям в доказательстве теоремы 7. Замечание. Доказательство теоремы 16 показывает, что тэта- ряд решетки типа II является (i) изобарическим многочленом от ?4 и А24 и (и) симметрической функцией от 02(г)8, 63(г)8 И 64 B) 8. Следствие 18. Код или решетка типа II существует тогда и только тогда, когда п кратно 8. Пример 8 (продолжение). Решетка Лича Л24. Решетка Лича Л24 получается объединением решетки /гЛ24 и ее сдвига на (—IV2, A/2J3) (см. разд. 4.4 гл. 5). Эта операция удваивает плотность (не изменяя минимальной нормы), таким образом, Л24 имеет ц = 4, 6= 1, det = 1 и, следовательно, является ре- решеткой типа II. Мы можем выписать ее тэта-ряд непосред- непосредственно в соответствии с теоремой 16. Так как в решетке Л21 нет векторов с нормой 2, тэта-ряд имеет вид E4(z)z — 720A24U) (см. формулы A38) —A41) гл. 4). Теорема 19 (Рамануджан [Raml]; см. также [Mori], 00 [Oggl]). В представлении А24B)=Х x(tn)q2m коэффициенты х(пг) являются функцией Рамануджана, мультипликативной в том смысле, что x(r)x(s)= ? dux(rs!d2). F1) d I (r, s) Мы уже упоминали оценки значений х(т) в разд. 2.5 гл. 2. Сравнивая формулы E7) и E9), замечаем, что С [tps, ?24] и С \E4(z), А24(г)] изоморфны как градуированные кольца- ряды Пуанкаре обоих равны F). В действительности изомор- изоморфизм между ними задается формулой F), переводящей ,Q2Bz)). F2)
246 Гл. 7. Дальнейшие результаты К сожалению, это не дает нам способа нахождения решетки с заданным тэта-рядом, даже когда известен аналогичный код. В действительности F2) даже не дает отображения весового энумератора кода Голея на тэта-ряд решетки Лича. Бруэ и Ан- гейар [Вго 6] приводят интересное обсуждение изоморфизма между этими кольцами. Классификация. Коды типа II были классифицированы для длин л<32 [Con 21], [Pie 10], [Pie 12], а решетки типа II, как уже обсуждалось в разд. 2.4 гл. 2 (см. гл. 16), — для раз- размерностей п ^ 24. § 7. Экстремальные коды и решетки типа II Результаты этого параграфа очень похожи на результаты § 4, так что детали мы опускаем. Пусть п = 8/ = 24а + 8v, 0 ^ v ^ 2. Для кодов выберем а0, ..., аа так, чтобы Z rfi%4 4а+4 F3) Это так называемый экстремальный весовой энумератор, а код с таким энумератором называется экстремальным кодом типа II длины п. Аналогично для решеток: выберем а0, ..., аа так, чтобы ЕЛ(Г24( ;а+2^ F4) г=0 Это экстремальный тэта-ряд, а соответствующая ему рошетка — это экстремальная решетка типа II в размерности п. Экстре- Экстремальный тэта-ряд в размерности 48 был приведен в формуле E7) гл. 2 (см. ниже пример 9). Теорема 20 ([Mai 1], [Mai 3], [Sie 3]). В экстремальном ве- весовом энумераторе F3) Л4а+4 > 0 для всех п, но А\а+% < 0 для всех достаточно больших п. В экстремальном тэта-ряде F4) А'2а+2 > 0 для всех п, но Л*а+4 < 0 для всех достаточно боль- больших п. Указанные коэффициенты впервые становятся отрицатель- отрицательными приблизительно при п — 3720 для кодов и при п — 41 000 для решеток. Например, не существует экстремального кода длины 3720, так как экстремальный весовой энумератор для этой длины имеет вид г* (х, у)=х3720 + л;24хзюу24 + л;28хзюу28 + • • •, хде л;24=1.16- ... • 107, Л;28 = -5.84- ... • 10170 [Ма13].
§ 7. Экстремальные коды и решетки типа II 247 Следствие 21, Минимальное расстояние кодов типа II удов- удовлетворяет неравенству d<4[n/24] + 4. F5) Минимальная норма решетки типа II удовлетворяет нера- неравенству р. < 2 [ц/24] + 2. F6) В [Mai 1] показано, что для произвольной константы b -g--6, d(A)<!-^-b F7> для всех достаточно больших п. Заметим, что F5) и F6) сильнее, чем D4) и D5). Для экстремальных кодов и решеток в формулах F5) и F6) выполняется равенство. Известны экстремальные коды типа II следующих длин: 8(один код Ж& [Pie 10]), 16 (два кода, на- например Жъ®2ё8 [Pie 10]), 24 (один код <8U [Del 13], [Mac 6, гл. 20], [Pie 8], [Pie 17]), 32 (пять кодов [Con 21], [КосЗ]), 40 (по меньшей мере девять кодов [Iorl], [Oze 3], [Oze 4], [Ton 2]) и 48, 56, 64, 80, 88, 104, 136 (по меньшей мере один код — см. [Мае 6, рис. 19.2], [МооЗ], [Huf3]). Большинство кодов длины ^48— это квадратично-вычетные или дважды циркулянтные коды. Первый неясный случай — это п = 72 (см. [Con 22], [Huf4], [Pie 13], [Pie 14], [Pie 19], [Slo3]). Экстре- Экстремальные весовые энумераторы для п ^ 200 выписаны в [Ма13]. Известны экстремальные решетки типа II в размерностях 8 [Е8 [Wit 4]), 16 (две решетки Е8®Е8 и D+ [Wit 4]), 24 (одна решетка Л24 ([Соп4]^гл. 12, [Lee 5], [Nie2])), 32 {BW32 ([Bar 18] и разд. 8.2f гл. 8) и по меньшей мере одна отличная от указанной решетка ([Bayl], [Bro7], [Che 4], [Ozel], [Ven3], [Ven 6]) (хотя решетка Л32 из предыдущей главы и имеет в стандартном масштабе детерминант, равный 1, она не является целочисленной)), 40 (Af4o ([McK2] и § 5 гл. 8) и по меньшей мере две другие решетки [Bayl], [Oze3], [Oze 4]), 48 (по меньшей мере две решетки Р^р и Р48<7, см. ниже пример 9, а также [Oze 2], [Pet 1]), 56 (по меньшей мере одна ре- решетка [Hsi 6а]) и 64 (по меньшей мере одна решетка Q64, см. [Que 5] и разд. 2с гл. 8). См. также постскриптум к гл. 5. Экстремальные тэта-ряды для п = 48, 56, 64 и 72 (первый не- неясный случай) соответственно имеют вид: 1 + 52416000?6 + 39007332000?8 + . . ., 1 + 15590400?6 + 36957286800?8 + . .., 1 +2611200?6+ 19524758400?8+ ..., 1 + 6218175600^* + 15281788354560?10 + . . .. F8>
248 Гл. 7. Дальнейшие результаты Пример 9. Решетки P4sP и Pi&q. В этом примере мы сумми- суммируем свойства этих двух очень похожих решеток. Обе решетки являются четными унимодулярными экстремальными решет- решетками (типа II), они были определены в разд. 5.7 гл. 5. Решетка P^q получается применением конструкции В3 (разд. 5.4 гл. 5) к троичному квадратично-вычетному [48, 24, 15] -коду и после- последующим удвоением плотности добавлением сдвига на (—5/2, A/2L7). Решетка Р48р получается таким же образом из [48, 24, 15]-кода Плесе. Так как оба кода имеют одинаковый полный весовой энумератор (см. табл. 3.2), векторы в Pi&q и Pi&p имеют одинаковый вид. Тем не менее эти решетки не эквивалентны, так как они имеют различные группы автоморфизмов. Пометим для Р48? координатные позиции числами оо, 0, 1, ..., 46, и пусть Q обозначает множество ненулевых квадратичных вычетов по модулю 47. Тогда Р481? порождается векторами сB24, О24), 47 векторов с носителем на сдвигах {{0}UQ} + *\ 0</<46, с(—5, I47), единственный вектор и F9) с (±62, О46), 2-48-47 векторов, где с = 1/д/12. Для Р48р мы помечаем координатные позиции числами сю, 0, ..., 22, оо', ..., 22', и пусть Q обозначает мно- множество ненулевых квадратичных вычетов по модулю 23, а N — множество невычетов. Тогда Р^р порождается векторами: сB12, (—2I2, О24), 23 вектора с 2 в позициях i и {Q + i}' и —2 в оо' и {N + i}', 0<t<22, с(—5, I47), единственный вектор и G0) с (±62, О46), 2-48-47 векторов. Решетки Pi&q и Р48р имеют det = 1, минимальную норму 6, т = 52416000; минимальные векторы в этих решетках описы- описываются в табл. 5.3, р = д/з/2, Д = 0.00000002318... (б = = C/2J4 = 16834.112...); радиус покрытия R этих решеток неизвестен, но из существования предполагаемых глубоких дыр сB12,036) следует R > 2. Мы имеем Aut(P48<7) = 22-L2D7) и Aut(P48P)::= 2-L2B3)X S3 [Tho7]. (Мы знаем, что эти решетки неэквивалентны, так как нет подходящей группы, содержащей и L2B3), и L2D7). По поводу тэта-рядов см. формулы F8) и E7) гл. 2 и табл. 7.1. Сечения описываются в следствии 8 гл. 6. Представляется естественным вопрос о существовании не- нелинейных экстремальных кодов типа II и нерешетчатых экс- экстремальных упаковок типа II (аналогичных коду Нордстрома —
§ 7 Экстремальные коды и решетки типа II 249 Таблица 7.1. Тэта-функции 48-мерных решеток Р ° m N(m) Делители N (m) О 6 8 10 12 1 52416000 39007332000 6609020221440 437824977408000 1 2>325J7-I3 2537537313 285-7-13-23-47 21233537-13-31 ¦ 103-109 Робинсона). В действительности таких кодов и упаковок, как заметил Гёталс (частное сообщение), не существует. Так как код или упаковка должны быть инвариантными относительно расстояния, то рассуждение в [Del 13] (или [Мае 6]) показы- показывает, что они должны быть линейными. Экстремальные коды длины, кратной 24, особенно важны, так как имеет место Теорема 22 (Ассмус, Мэттсон [Ass 3], [Mac 6, гл. 6]). Если С — экстремальный код типа Пип кратно 24, то кодовые слова любого ненулевого веса образуют 5-схему (см. разд. 3.1 гл. 3). Параметры этих схем могут быть определены из [Ма13]. Например, кодовые слова минимального ненулевого веса об- образуют 5-схему с v = п = 24/л, k = Am -+- 4 и % = (J;^"j2). Для решеток имеется похожий результат. Теорема 23 (Венков [Ven7]). Если Л — экстремальная ре- решетка типа Пип кратно 24, то векторы любой ненулевой нор- мы образуют сферическую \\-схему (см. разд. 3.2 гл. 3). Число минимальных векторов в экстремальной решетке типа II в размерности п = 24а может быть найдено из фор- формулы G) в [Mai 1], оно равняется 65 520 691 a + G1) /•¦=0 где р<?+1) — коэффициент при qm в g-ичном разложении числа Числа А*2а+2 для п = 24, 48 216 и их разложения на про- простые множители приводятся в табл. 1 из [Slo8].
250 Гл. 7. Дальнейшие результаты Следствия 10 и 21 дают верхние оценки для самодвойствен- самодвойственных кодов и решеток. Имеются соответствующие нижние оцен- оценки, которые показывают, что для больших п самодвойственные коды лежат на границе Варшамова — Гилберта (см. [Мае 6, гл. 17]), а самодвойственные решетки удовлетворяют границе Минковского (см. формулу B9) гл. 1). Следующие теоремы доказываются в [Мае 6, гл. 19], [Мае 8], [Mil 7, pp. 46—47], [Thol]. Мы приводим только результат, касающийся кодов типа II. Теорема 24. Пусть 6(п) — наибольшее кратное 4 число, та- такое, что Тогда существует код типа II длины п с минимальным рас- расстоянием d^b(n). Для больших п существуют коды типа II с где Н2(х) = -х \og2x -A-х) Iog2(l - x) G2) — двоичная функция энтропии. Теорема 25. Пусть ш(п) обозначает ближайшее целое к ±{>{*+¦}}"*• <73> Тогда существует п-мерная решетка типа I с минимальной нор- нормой ц^ ш(п). Для больших п существуют решетки с log2 ~>- log2Bяе) = -4.09 . . . G4) или, что эквивалентно, ^log2A>-l. G5) Если положить т(п) равным ближайшему к G3) четному числу, то такие же утверждения выполняются для решеток типа II. Доказательства используют масс-формулу Минковского — Зигеля для решеток и ее аналоги для кодов (см. гл. 16). § 8. Конструкции А и В для комплексных решеток Рассмотрим теперь, используя обозначения разд. 2.6 гл. 2, недвоичные коды и комплексные решетки. В § 8—10 / обозна- обозначает либо эйзенштейновы целые <%, либо гауссовы целые *§\
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток 251' в § 4 гл. 8 обсуждается случай / = Z[E], E = (l +/)/д/2- Опи- Описываемые конструкции могут также применяться к другим кольцам. Пусть я—простое в / (—<§Г или ^) нормы ля = q, так что //я/ э* FV Тогда существует отображение cr: J-+J/nJ-+fq (го- (гомоморфизм колец), такое, что а(а)^ fg для всех не/. Опре- Определим действие сг на «-последовательностях следующим обра- образом: <т(а) = а(аи ..., ап)= (a(ai), ..., а(а„)). Конструкция Ас. Пусть С есть [л, k] -код длины п над fV Тогда /-решетка Л(С) состоит из точек я~1/2сН (С) в С™. Иначе говоря, если мы допустим вольность в обозначениях и рассмотрим F, как подмножество в /, to Л (С) состоит из то- точек я~|/2(С + ях) для всех сеСи всех х е /". Если порождаю- порождающая матрица кода С имеет вид [Ik В], то Л (С) имеет порож- порождающую матрицу Ik В detA(C) = |detG|2 = Ur 2k = q{n 2k)'2. G7) Соответствующая 2«-мерная вещественная решетка A(C)reai (разд. 2.6 гл. 2) имеет детерминант detA(C)real = 4"d"<r2*. G8) Минимальная квадратичная норма ji решетки Л (С) или Л (С) reai, радиус упаковки р и контактное число т решетки Л (С) reai определяются кодовыми словами минимальной евкли- евклидовой нормы в коде С. Центральная плотность решетки A(C)reai равняется 6 = 2"p2"a"re/V^. G9) Тэта-ряд для Л (С) (или, эквивалентно, для A(C)reai) опреде- определяется полным весовым энумератором кода С а в некоторых случаях — весовым энумератором Хэмминга. Конструкция Вс. Упаковка А'(С) состоит из точек я"~'/2(с + + пх) для всех Сеси всех х е /", таких, что X xt ^ 0 (mod я). (Для того чтобы Л'(С) была решеткой, код С должен удовле- удовлетворять некоторым очевидным условиям.) Тогда detA'(C) = _ gn/2-k+i и Л'(С) reai имеет центральную плотность 6 = 2np2nd~nl2qk"-\ (80) Пример 10. Случай, когда J — эйзенштейновы целые, я = 2. Пусть / = 8, я = 2, так что яя = 4, <§Г/2*? зё (р4. Мы разбиваем
252 Гл. 7. Дальнейшие результаты %> на 2<ЁГ, 1 + 2<§Г, со + 2*?> со + 2<%', и идентифицируем р4 с {О, 1, со, со} а <8 (см. рис. 7.1). Конструкция Ас позволяет по- построить ^"-решетку из кода С над ] Теорема 26 [Slo9]. Если С есть [n,k,d]-Kod, то Л (С) имеет минимальную норму fi = min{2, A/2) df} и del Л = 2n~2k. Кроме того, Л(С)геа1 имеет p = (l/2)Vi*. 6 = 3 n/24*p2rt « тэта-ряд ^с(Фо(г). <Pi(z)), (81) где Wc(x, г/) — весовой энумератор Хэмминга кода С, а фо(г) « 9i(z) задаются формулами A2) « A3) гл. 4. ?а/ш С является Рис. 7.1. Эйзенштейновы целые <§? представляются маленькими кружками а 2<§? — двойными кружками. Показывается, как $I1<S s F4 = {0, 1, ЭД. ш}. самодвойственным кодом типа IV, то Л является самодвой- самодвойственной <§ -решеткой. Пример 10а. Решетка Кокстера — Тодда К\2 Если С есть [6, 3, 4]-гексакод W6 (см. п. 2.5.2 гл. 3), то Л(^6) —это 6-мер- 6-мерная самодвойственная ^"-решетка, для которой Л(^6)геа1 = К\2 (см. § 9 гл. 4). Тэта-ряд задается формулой A31) гл. 4, что следует из теоремы 26. (Это «2-базис» для /С12 в обозначениях [Соп37]. В A28) гл. 4 приведен «4-базис».) Пример 11. Случай, когда J — эйзенштейновы целые, п = = V—3 . Вместо 2 мы можем использовать простое9 = -\/—3 = = со — со в &", причем (?Г/(Ж ^ [Г3. Мы разбиваем Ж на Q<o, 1+9#, —1+6^ и отождествляем |Гз с {0, 1, —1} cr: JT (см. рис. 7.2). Конструкция Ас позволяет построить ^"-решетку Л (С) из кода С над рз- Теорема 27 [SlolO]. Если С есть [n,_k,d]-Kod, то Л (С) имеет минимальную норму М- = min {д/3> d/-\/s} и det Л (С) =
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток 253 ,rt/2-ft = ЪЩА~ \ Тогда Л (С)геа1 имеет det = 3 n-lk 3re/2p2"> т = 3dЛй, если d < 2, т = 6n + 27Л3, если d = 3, т = бгг, если d ^ 4, тэта-ряд (82) (83) (84) (85) B/ -I Рис. 7.2. Двойные кружки представляют 6#\ где 8 = у—3. Показывается, как &I§<S = Ft = {0, 1, —1}. Пример Па. Решетка Госсета Е6. Если С—код с повторе- повторением {@00), A11), B22)}, то Л(С)геа1 —это Е6 (см. формулу A20) гл. 4), Пример lib. Снова Es. [4,2,3]-тетракод ^ (см. п. 2.5.1 гл. 3) приводит к Е$. Пример Пс. Снова К\2. Применением конструкции Вс к коду с повторением длины 6 мы получаем К\2- (Это «3-базис» для К\2 в обозначениях [Con 37].) Пример 12. Комплексная решетка Лича. Решетка Лича Л24 может быть построена как комплексная 12-мерная ^"-решетка из троичного [12,6,6]-кода Голея "g^ (см. п. 2.8.5 гл. 3). Мы начинаем с того, что применяем конструкцию Вс к ^12. Решетка \/д А' (^12) состоит из точек с + 9*, где с е <ЁГ12, х е <%12 и ^х, = 0 (mod 9). Комплексная решетка Лича состоит из объ- объединения этой решетки с двумя ее сдвигами. Таким образом,
254 Гл. 7. Дальнейшие результаты (после умножения на 8) мы определяем, что комплексная ре- решетка Лича состоит из векторов О + Вс + Зх, 1+вс + Зу, — 1+9с + Зг, (86) где 0 = удовлетворяют условиям Z*, = 0, Z^-l. Zz, = -1 (mode). Легко проверяется, что определенная выше решетка является ^"-решеткой. Минимальная норма этой решетки равна 18, а 196560 минимальных векторов приведены в табл. 7.2. В этой Таблица 7.2. Минимальные векторы комплексной решетки Лича Координаты 9 (а6, О6) = 9с + Зх (В, а") = 1 + 9с + Зу или —1 -\- 9с -\- 3z (BаJ, а10) = 1 + 9с + Зу или —1 + 9с + 3z ((ЗаJ, 010) = 3* Количество 264 • З6 = 2 • З6 - 12-2 З6 • 66 • 2 = 66 • 2 • З2 Всего = 64152 = 34992 = 96228 = 1188 196560 таблице символ а используется для обозначения (возможно, различных) чисел нормы 1, т. е. ±1, +ш, ±ш2, а р — чисел нормы 7, т. е. одного из чисел вида ± A + Зш), ± A + Зш2), ... . Центры, описываемые в первой строке таблицы, получаются выбором одного из 264 кодовых слов веса 6 в ^г, например с = @, 1, 0, 0, 0, 0, —1, 0, 1, —1, —1, 1), и выбором х, таким, что Qc + 3x = @, 9сйа, 0, 0, 0, 0, — 9соь, 0, 9сос, — 9cud, — 9ше, 9©f). причем а, Ь, с, ... е {0,1,2} и Z xi = 0 (mod 9ef). Имеются три варианта выбора для каждой из пяти первых ненулевых ком- компонент х, после чего х однозначно определен, и, таким образом, имеется 264-З5 таких центров. Типичный центр \-\-Qc-\-3y во второй строке имеет вид A + 0@ + 3@ =A 1 1 со2 со2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 со со 1 0 0 1 1 1 со2 со2 1 -1 со со 1 1 со со 1) + 1) + -1) = 2со - 1)
§ 8. Конструкции А и В для комплексных решеток 255 Первый вектор может быть 1 или —\, с может быть любым кодовым словом из ^12 и у может быть выбран 12-2 способами: элемент нормы 7 может появиться в любой из 12 позиций и мо- может быть выбран двумя способами. Таким образом, число центров этого типа равно 2-З6¦ 12-2. Другие центры могут быть перечислены аналогичным образом. Соответствующая вещественная решетка, умноженная на V2/3, — это решетка Лича Л24 — ср. с выражениями A35), A36) Таблица 7.3. Аналогии между вещественной н комплексной решетками Лнча Вещественная решетка Лича Двоичный код Голея %2* 2 (+1. -1} Система Штейнера SE, 8, 24) Группа Матье M2i Группа автоморфизмов содержит diag ((—l)Cl, ..., (—l)Czt) для любого с е 92-ц Комплексная решетка Лича Троичный код Голея W\ е=-з {1, со, со2} Система Штейнера SE, Группа Матье М^ Группа автоморфизмов diag(o>Cl coCl2) для любого с е Ч?\2 г 6, 12) содержит гл. 4. Табл. 7.3 демонстрирует некоторые параллели между этими двумя решетками. Группа автоморфизмов комплексной решетки Лича будет обсуждена в гл. 10. См. также [Wil3], [Yos 1]. Естественно задать вопрос о существовании аналогичной конструкции для Л24 как 6-мерной кватернионной решетки, по- построенной на основе гексакода "g'e над F4. Подробно описывае- описываемая в гл. 11 MOG-конструкция Л24 по существу является таким аналогом, хотя эта конструкция не совсем совпадает с тем, что можно было бы ожидать из сравнения вещественной и ком- комплексной конструкций. В § 2 гл. 8 описывается конструкция, использующая икосианы. Пример 13. Случай, когда J — гауссовы целые, я = 1 +1. Пусть / = $, я = 1 + i- Тогда яй = 2, $?/я& ^ ^2- Конструкции Ас и Вс позволяют получать из двоичных кодов гауссовы ре- решетки. Для этих решеток лучше опускать множитель я~1/2. Тогда конструкция Ас приводит к решетке с тэта-рядом №(93B.гJ, 92BzJ), где W(x, у) — весовой энумератор кода. Детерминант вещественной решетки Лгеаь соответствующей гауссовой ре- решетке А, равен dt (dtJ (87)
256 Гл. 7. Дальнейшие результаты Пример 13а. Снова D*. Примененная к ^2= {00,11} кон- конструкция Ас позволяет построить двумерную гауссову решетку <Ю2 с порождающей матрицей и матрицей Грама следующего вида: Двадцать четыре минимальных вектора имеют вид (±1,±1), (±1,±«)> (±t, ±t), @, ±l±i). Соответствующая вещественная решетка совпадает с D$; в этом представлении тэта-ряд имеет вид (ср. с (92) гл. 4) во, (z) = 02 BzL + 93 BzL = 1 + 2 V + 24</« + Щ6 + .. .. (89) Пример 13Ь. Снова ?8. Применение к коду {0000, 1111} кон- конструкции Вс дает гауссовский вариант решетки ?8> состоящий из всех векторов х = (хи х2, х3, А'4)е &4, удовлетворяющих усло- условиям л; (mod 1 + i) == 0000 или 1111 и ^ xi ^ 0 (mod 2). Соот- Соответствующая вещественная решетка совпадает с вариантом решетки Es, полученной из кода Хэмминга (см. разд. 8.1 гл. 4). § 9. Самодвойственные недвоичные коды и комплексные решетки Имеются результаты, аналогичные теоремам 6 и 7. Теорема 28 (Глисон). Если С — код типа III, то Wc(x, у) инвариантен относительно группы, Gz порядка 48 и принадле- принадлежит С[г|з4, ?12], где ^4 — весовой энумератор для "^ (см- фор- формулу F1) гл. 3), а \\г = У3 (*3 - У3K- (90) Эквивалентно, Wc(x,y) может быть записан как многочлен от весовых энумераторов ^4 и ЯЯхъ. Для описания полных весовых энумераторов определим сна- сначала некоторые используемые далее многочлены. Пусть а = хъ + у* + г\ р = Ъхуг, (91) Ь = х3у3 + уъ<? + z3x3, (92) p6 = а2 - 126 = хв + у6 + z6 — 10 (х3у3 + у3г> + z3x3), (93) % = (х3 - у3) (у3 - г3) (г3 - х3), (94) C) F) C) C) а12 = а {а3 + 8р3) = ? х12 + 4 Z л:9У3 + 6 Z л:6У6 + 228 ? х6г/3г3. (95)
§ 9. Самодвойственные недвоичные коды и комплексные решетки 257 Теорема 29 [Mai 15]. Если С — код типа III, содержащий вектор из всех единиц, то полный весовой энумератор инвариан- инвариантен относительно группы G* порядка 2592 и принадлежит R © fi6n2R, (96) где а — "о [р6, а,2, n9j. [yi) Другими словами, полный весовой энумератор может быть од- однозначно записан как многочлен от pg, а12 и л*, к которому до- добавлен другой такой многочлен, умноженный на Р6л?. Теорема 30. Если С — код типа IV, то Wc(x,y) инвариан- инвариантен относительно группы Gs порядка 12 и принадлежит С [г|?2, |g], где ^'2 = х2-\- Зу2 — весовой энумератор кода <%'2 = = {00, 11, coco, coco}, a h = y2(x2-y2J. (98) Эквивалентно, We (x, у) может быть записан как многочлен от весовых энумераторов кодов Я<?'2 и Ф^ Теорема 31 [Мае 4]. Если С — код типа IV, содержащий вектор из всех единиц, то полный весовой энумератор инва- инвариантен относительно группы G6 порядка 1152 и принадлежит С [/г,/б>/в./12], где {используются стандартные обозначения для симметричных функций от до, х, у, г) h = F) + 15 B22) = до6 + ... +15 (ЛУ + ...), A00) f8 = (8) + 14 D4) + 168 B222), A01) f12 = A2) + 22 F6) + 330 F222) + 165D44) + 330;D422). A02) Здесь /г — полный весовой энумератор Ч?\, f6— полный весо- весовой энумератор гексакода в варианте, определенном формулой F4) гл. 3, /в — полный весовой энумератор кода, натянутого на <Э#8 над F4, a f!2 получено из весового энумератора некото- некоторого кода длины 12 (см. [Мае 4]). Доказательства и обобщения см. в работах [Ber7], [Glel], [Leo 7], [МасЗ], [Mac 4], [Mac 6, гл. 19], [Mai 2], [Mai 4], [Mai 5], [Slo6], [Slo7]. Группа Gs порождается -тг-МтППгтП и является группой отражений V3 ^ 1JLU WJ типа 3 [6] 2. Группа G4 порождается всеми перестановками, diag{l, 1,©} и
258 Гл. 7. Дальнейшие результаты имеет центр Z(Gi) порядка 12, и Gi/Z(Gi)—группа гессианов порядка 216 [Сох28]. Группа Gs порождается -^[J _^], [q _J] и является диэдральной группой. Группа G6 порождается всеми мономиальными матрицами размера 4X4 и матрицей Я4 из разд. 7.1 гл. 4 и является группой отражений типа [3,4,3]. Теорема 32 [Slo9]. .Если Л — самодвойственная ^-решетка, то вл (г) ее С [ф0 (г/2), Дв (z) ], д - A03) = q П A-Л6A-^3Т = m = 1 = q - б?2 + V + 4?4 + б?5 - 54<7б - 40?7 + . .. . A04) Эквивалентно, вл(г) может быть записан как изобарический многочлен от тэта-рядов кольца <S и комплексного варианта ре- решетки Кп {как &-решетки). Если мы запишем Дв (г) = X am4m> то коэффициенты ат мультипликативны и в действительности удовлетворяют соотношениям атап= П d5amn/di. A05) З-Г d, d\(m, n) Теорема 33. Если Л — самодвойственная 9-решетка, то Од(г)еС[0з(гJ,А8(г)]. Эквивалентно, 0Л (z) может быть за- записан как изобарический многочлен от тэта-рядов кольца 9 и комплексного варианта решетки Е& (как З-решетки). Доказательство. Из формулы F7) гл. 2 следует, что det(Areai) = (detAJ = 1, откуда следует, что Areai является ре- решеткой четной размерности типа I. Решетки А и Areai имеют одинаковые тэта-ряды, и результат следует из теоремы 7. Классификация. Коды типа III были расклассифицированы для длин п < 24 [Con 24], [Leo 8], [Mai 2], [Pie 18], коды типа IV —для длин п ^ 16 [Con 24], [Mac 4], а самодвой- самодвойственные коды над Рб — для длин п^ 12 [Leo 7]. Самодвой- Самодвойственные ^"-решетки были расклассифицированы для размер- размерностей п^12 [Fei2], а самодвойственные ^-решетки — для п ^ 7 [Iya 1] (можно было бы расширить последнюю класси- классификацию, используя результаты гл. 16). См. также [Hsi6a], [Pie 20]. Для того чтобы проиллюстрировать то, как быстро растет число таких кодов с ростом п, в табл. 7.4 сведены значе- значения Nt(n)—общего числа различных кодов типа IV длины п,
§ 10. Экстремальные недвоичные коды и комплексные решетки 259 Таблица 7.4. Число кодов типа IV п 2 4 6 8 10 12 14 16 24 N,in) 3 27 891 114939 58963707 120816635643 989850695823099 32436417451427131131 ~4 1043 Ne(n) 1 1 2 3 5 10 21 55 >108 1 0 1 1 2 4 10 31 а также Ne(p)—числа неэквивалентных кодов и Nt(n)— числа неэквивалентных неразложимых кодов. § 10. Экстремальные недвоичные коды и комплексные решетки Для исследуемого случая экстремальные весовые энумера- торы, коды, тэта-ряды и решетки могут быть определены из теорем 28, 30 (с использованием лишь энумераторов Хэм- минга), 32 и 33 в точности так же, как и в § 4 и 7. Имеются аналоги теоремы 9 и следствия 10. Теорема 34. В экстремальных весовых энумераторах типа III и IV и в экстремальных тэта-рядах <§- и 9-решеток первый ко- коэффициент, который по определению ненулевой, строго положи- положителен, а для всех достаточно больших п следующий коэффи- коэффициент отрицателен. Следствие 35. Минимальное расстояние кода типа III удов- удовлетворяет неравенству d<3[n/12] + 3, A06) а для кодов типа IV выполняется неравенство ^<2[гг/6] + 2. A07) Минимальная норма самодвойственной S-решетки удовлетво- удовлетворяет неравенству jx< [л/6] + 1, A08) а для 'З-решетки выполняется неравенство A09)
260 Гл. 7. Дальнейшие результаты. Для экстремального кода или решетки в A06) — A09) имеет место равенство. Экстремальные коды типа III суще- существуют для п = 4 (Ч?4), 8 (?4е?4), 12 (#i2), 16, 20, 24, 32, 36, 40, 44, 48, 56, 60 и 64 и не существуют для п = 72, 96, 120, 144, ..., а для других размерностей вопрос об их существова- существовании открыт (см. [Beel], [Dawl], [Mac 6], {Mai 2], [Mal3], [Pie 18] и постскриптум к гл. 5). Экстремальные коды типа IV существуют для п = 2 (<Г2), 4(^ф^), 6(Ув), 8, 10, 14, 16, 18, 20, 22, 28, 30 и не существуют для п— 12, 102, 108, 114, 120, 122, 126, 128 Для других значений п вопрос открыт [Con 24], [Mac 4]. Так как существуют [24, 12, 8]-код типа II и [24, 12, 9]-код типа III, было бы хорошо знать, существует ли экстремальный [24, 12, 10]-код типа IV ([Соп22], [Соп23], [Мае 4]). Экстремальные ^-решетки существуют для л от 1 до 5 (Жп), б {Кп), от 8 до 11, но не существуют при п = 7, 12 и доста- достаточно больших п [Fei 2]. Теорема 36. Экстремальные 8-решетки существуют тогда и только тогда, когда п = 1—4, 6, 7 или 12. Доказательство. Это следует из теоремы 12. Благодарности. Мы благодарим Э. Баннаи (который неза- независимо установил теорему 23) за то, что он обратил наше вни- внимание на статью Б. Б. Венкова [Ven 7], и Дж.-М. Гёталса и К. Мэллоуса за полезные замечания.
Глава 8 Алгебраические конструкции решеток Дж. Конвей, Н. Слоэн В этой главе мы строим плотные решетчатые упаковки в размерностях 32, 36, 40, 48, 64, 96, ..., 65536, ..., используя различные методы. Основными используемыми конструкциями являются конструкции Af (более абстрактный вариант кон- конструкции A), D (конструкция, использующая вложенные семей- семейства кодов) и Е (мощная общая конструкция, которую можно применять рекурсивно). Кроме того, плотные решетки полу- получаются из идеалов в полях алгебраических чисел. Мы также строим Es и решетку Лича, используя икосианы. § 1. Введение В этой главе используется множество конструкций, в общем случае технически более сложных по сравнению с предыдущими главами. Их объединяет, в частности, использование более сложных, чем Z, колец, что требует несколько большего зна- знания алгебры. В числе построенных решеток есть ?8 (см. § 2), решетка Лича (см. § 2, 3, 5, разд. 7.3, 7.5), решетки Квеббе- манна Q32 и Q64 (см. § 3 и 4), решетки Сзг (см. разд. 8.2h) и бзб (см. разд. 8.2d), решетка Маккея Mw (см. § 5), решетки PibQ (см. разд. 7.5) и Р64с (см. разд. 8.2е), решетки Барнса — Уолла BWn, п = 2т (см. разд. 8.2f), решетки Вп, п = 2т, полу- получаемые из БЧХ-кодов (см. разд. 8.2g), решетки Крэйга А^ (см. § 6, разд. 7.3) и бесконечные деревья решеток г|(Л), по- получаемые из конструкции Е (см. § 10). Последний случай дает довольно плотные решетки в размерностях до Ю10000 (см. § 10h, табл. 8.7 и табл. 1.3 и 1.4 гл. 1), хотя в конечном счете их плотность не очень велика. Используемые конструкции включают два общих варианта конструкции А (см. § 3 и 4), вариант конструкции С, всегда приводящий к решеткам (конструкция D, см. § 8), и мощное обобщение большей части предыдущих конструкций (конструк- (конструкция Е, см. § 9 и 10), которое может применяться рекурсивно. Параграф 7 содержит ряд конструкций, использующих идеалы в полях алгебраических чисел. Одним из наиболее интересных
262 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток в этом направлении результатов является уже упомянутый в разд. 1.5 гл. 1 факт, что башни Голода и Шафаревича полей алге- алгебраических чисел соответствуют бесконечным последовательно- последовательностям очень плотных решеток (см. разд. 7.4)'). Все упоминаемые в главе упаковки являются решетками. Иногда мы будем придерживаться более общей точки зрения, упомянутой в разд. 2.2 гл. 2, и рассматривать решетку Л как дискретную подгруппу вещественного векторного пространства V, в котором нормы и скалярные произведения определяются с помощью симметричной билинейной формы f: VX.V-+R. Норма х задается формулой f(x)= f(x, x), и мы имеем где предполагается, что f (x)— положительно определенная квад- квадратичная форма. Мы начинаем (в § 2) с введения некоторых кватернионов, называемых икосианами, которые эквивалентны решетке Е8, снабженной мультипликативной структурой. Это приводит к простой конструкции решетки Лича как трехмерной икосиан- ной решетки (см. разд. 2.2)—прямому аналогу конструкции Турина кода Голея. § 2. Икосианы и решетка Лича 2.1. Группа икосианов. Группа икосианов — это мультипли- мультипликативная группа порядка 120, состоящая из кватернионов 4-(±2,О, 0, 0)а, ±(±1, ±1, ±1, ±1)А. у@, ±1, iff, ±т)\ где (а, Р, у, б) означает а + $i + у] + 8k, верхний индекс А означает, что разрешены все четные пере- перестановки координат. Мы используем обозначения 1, 1), /я = у Имеется гомоморфизм из этой группы в знакопеременную' группу А5, действующую на пяти буквах {G, H, I, J, К} и опре- ') См. также примечание на с. 37—38. — Прим. перев.
§ 2. Икосианы и решетка Лича 263 деляющуюся соотношениями 1 = 1@,2,0,0) -*(Я,/)(/, /С), / = 1@,0,2,0) -*(H,J)(K,l), ft = 1@, 0,0, 2) -(Я, *)(/,/), <в=4-(—1,1,1, i)-(/,/, к), *я=-т@, 1, а, т) -*(G, /)(/, К), ядром которого является {±1}. Приводимая ниже табл. 8.1 дает значительно больше информации об этом гомоморфизме. Формально говоря, группа икосианов есть совершенное двой- двойное накрытие группой 2.А5 группы А5 и иногда называется бинарной икосаэдральной группой. Кольцо икосианов & — это множество всех конечных сумм Ц\ + ••• d- Цп, где каждое qt лежит в группе икосианов. Эле- Элементы кольца икосианов называются просто икосианами ([Con 16], [Dul], [Wil9]). Типичный икосиан q имеет вид q = a -f- Pi + у} + 6ft, где координаты а, р, у, б принадлежат полю золотого сечения Q(t) и поэтому имеют вид а-\-Ь^/5, где a, 6eQ. Сопряжен- Сопряженный икосиан (см. разд. 2.6 гл. 2) —это q = а — pi — yj — 8k и ЧЦ = а2 + р2 + у2 + б2. Мы будем работать с векторами «==(<7ь ^2> •••). элементами которых являются икосианы. Типичным скалярным кратным вектора v является %v = (%qu Xq2, ...) со скалярами (тоже икосианами) слева. Соответственно сравнение q ss r(modЯ,), где q, г и Я, — кватернионы, означает, что q — г = Xs для неко- некоторого икосиана s. Два вектора v и да = (п, г2, ...) имеют ква- тернионное скалярное произведение (и, w) = qir1 +q2f2 + Мы будем использовать две различные нормы для таких век- векторов: кватернионную норму QN (v) = (v, v), B) являющуюся числом вида а^-Ь<\/5 с a, JgQ, и евклидову норму EN(v) = a + b C)
264 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток Таблица 8.1. Икосиаиы и соответствующие элементы из st-ь и I-тожд. I.i,->(HIXJK) j-J.-^HJ) IKI) k-l 2 2 2-+ 000-+ 000-+ 000 -.+ 000+- 2 2 2-+ 090-+ 0 00+- 000+- 000+- 222-+ 000- + .0 00+- 000-+ 000+- 222- + -1- +_l-_ + __i__ + _ _i__ + _ 1 + + -+ 1 + + -+-I + -1 + - 1 +' + - + -1 - - - + -1 - - + _ l + + _ + -1 - - 2-2 -1--00-1--00 -1--00 -1--00-1--00 1++00 1 + +-2 2 -1. --00 1 + +-2 2-1--00 1 + +00 -1--00 1 + +00 1++-2 2 -1--00 ) О 0 0 - + 000-4- 000- + 00000 00000 0 0 0 0 0 102-+ Г20-- «00++ 12000 -г-2 0 0 2 -» О О 0-2 »004-4- 102-4- :20-- -»00 0-2 12 0 0 0 -т-2 0 0 2 i20-- »00++ 102-+ -1-2 0 0 2 -в О О 0-2 1 2 00 0 04-r00 04--00 0+-00 0- + -+ 0 - + - + 0- + -4- 1 + 4-00 Г++-2 0-1Г4-- 0-2 1+ + -+ -«-- + + • - + + 4- -с + - 0-2 1 + + 0 0 t++-2 0 »- + +¦+ 1 + + -+-I— - + + I + 4- -2 О -<г + - 0-2 14-4-00 -1--4-4- » - 4- 4- + I+ + - + -1--00-I--00-I--00 -I 0-2 + - -i 0-2 + - -I 0-2 + - 0+-00 » - + 0 2 Г++-2.0 0O0- + -»00-- t 2 0 - - t + +-2 o'o+-OO »-+.O2 т 2 0 - - 000- + -»00-~ «-+02 T++-2 0 0+-00 -» 0 0 - - Г20-- 000- + _l__ + _ _!__ + _ _] _ _ +1 _ -1-2 0 0 0 -1-2 0 0 0 -1-2 0 0 « 0- + - + -»+----t-- + + 00000 »-2 002 -r 0002 -f_- + + 0- + -+ -»+ — — - -r-2 002 00002 «0000 _0+___-t_- + + 0- + -+ »00O2-t0000 0-2 0 0 2 lK,-iKGIHJ) I -r-2 0 0 2 -r-2 0 0 2 -r-2 0 0 2 -r 2 0 + + -r-2 0 + + -r-2 0 + + 00000 12000 » 0 0 0 2 000-+-I 0-2 + - » 0 0 + + • 0002 00000 12000 »00++ 0 0 0-+-rl02+- 12000 »0002 00000 -I0-2+- »00++ 000- + („-(/СНКЛ Г,„-.УСН/К) l,H-.iKGHJl) lu^KCJIH) I,t-{IGKJH) I, _t__20-r--20-t-- 20 -t-- + +_t-- + +-t-- + + 0+- о 0 -1 - - 00-»+- 0-2 0+ +- 1 + + -+-»+--- _„ + _ o-2 0+-00-I--00 -» 4 ¦ - - 0+-+- 1 + +- + _1 _ _ 0 0-»+- 0-2 0+-00 1 + + - + -»+--- 0+- + - i,,-i«;iirti * -» 00---» 00---» 00-- -» + - - - _#+__-_«+-.__ О о 0 - + -t-2 0++ I02-+ 0-+-+ Г++-- |++_+ 10-+ 000-+ -r-2 0++ 1 + + -+ 0- + -+ t + + - - -t-2 0++ 102-+ 00-0-+ t+ + -- 1 + + -+ 0- + - + b,-(JGKIH) S,,~\KGIHJ) Sji—ilGJKH) SW—{HGIKJ) Sin-iHGJIK) s,,—{HGKJI) _„ + _ 0-2 -» + - 0-2 -» + - 0-2 -» 0 0 0-2 -» 0 0 0-2 -» 0 0 0-2 0 - + 0 0 r + +-2 0-1 --00 00000 -t-2 0 0 2 -1-2 0 0 0 _-] _ _ 0 0 0-+00 Г++-2 0 -1-2 000 00000 -t-2 0 0 2 t++-2 0-l--00 0-+00 -t-2 002-1-2 000 00000
§ 2. Икосианы и решетка Лича 265 (легко показать, что EN(и)^0). Икосианы с кватернионной нормой 1 образуют группу икосианов. По отношению к кватернионной норме икосианы принадле- принадлежат четырехмерному пространству надС(д/5), по отношению к евклидовой норме они лежат в восьмимерном пространстве. В действительности в евклидовой норме кольцо икосианов У изоморфно решетке Е8 в этом пространстве. Таблица 8.1 (взя- (взятая из [Wil 9]) демонстрирует используемый в дальнейшем изоморфизм. Таблица 8.1 имеет 60 элементов, по одному для каждой пары элементов ±q группы икосианов. Типичным элементом этой таблицы является -1 0 0 -1 0 0 1 + + -2 2 1 + + 0 0 который нужно читать следующим образом. Верхняя строка содержит наименование (наименования) для q (в этом случае со' = со/о = A/2) (—1 — ? + / + *)) и указывает соответствую- соответствующую четную перестановку {G, Н, I, J, К). Четыре кватернион- ные координаты 2q появляются в первом столбце, в следующих двух столбцах находятся векторы Е&, представляющие 2q и 2aq. Как обычно, знак «—» используется для —1, а «+» для +1. Формулы, даваемые формулой G4) гл. 2, удобны для работы с этими кватернионами. Система обозначений для q = A/2) (а, р, у, 6) следующая. Буквы i, /, k указывают, что а = 0, со указывает, что а = —1, 5 — что а = —a, t — что а = —т, а нижние индексы указы- указывают знаки а, р, у, б: знаки 0 (+ 0 0) - +++ - н— г- + 0 4-4-4- индекс G GH HG GI IG Н знаки 04- -0 4-4- Q -0 4— -0-+ инде / HI IH JK К! Например, соХг соответствует перестановке (Z,T,U), где X, Y, Z, T, U — четная перестановка G, H, I, J, К- Тройка {ix, jx, kx),
266 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток где X — любой из G, H, I, J, К, образует систему единичных кватернионов (с i\=-—1, ixh==^x и т- д-)* Двести сорок минимальных векторов этого варианта Е& имеют евклидову норму 1 и кватернионную норму либо 1, либо а2. Они состоят из элементов q и aq, где q — произвольный эле- элемент группы икосианов. Используя отображение табл. 8.1, можно отождествить век- вектор v = (qu ..., qn) с п икосианными координатами с векто- вектором, имеющим 8л рациональных координат. 2.2. Икосианная конструкция и конструкция туриновского типа решетки Лича. Пусть L — трехмерная решетка над ико- сианами, состоящая из всех векторов (х, у, г), х, у, zeJ, удов- удовлетворяющих условиям х = у=зг (mod h), D) x + i/ + 2 = 0 (mod A), E) и h — кватернион, A = <B + ff = y(-V5", I, 1, 0. с hh = 2. Тогда евклидова норма (формула C)) преобразует L в копию решетки Лича. Это будет доказано в примере (с) § 3. (Это также установлено в [Wil I], [Wil 9].) Пусть G — группа автоморфизмов решетки L (рассматри- (рассматриваемой как трехмерная икосианная решетка). Группа G есть двойное накрытие 2/2 группы Холла — Янко /2 = HJ [Con 16, р. 42], [Wil 9]. В действительности из определения L следует, что G содержит подгруппу S (порядка 27-3-3!), порождаемую всеми перестановками х, у и г и правым умножением (х, у, z) на диагональные матрицы {1, i, i}, {i,j,k}, {со, со, со}. Минималь- Минимальная евклидова норма решетки L равна 4. По модулю скаляр- скалярного умножения (слева) на элементы группы икосианов для векторов из L кватернионной нормы 4 имеются четыре орбиты, а именно B, 0, 0), @, h, h), (h, 1, 1), A, то, огб), F) с 3, 24, 192 и 96 образами соответственно, общее их количество равно 315. Если г — один из этих 315 «корневых» векторов и ogL, то (и,г)е23' [Wil 9, р. 163] и, таким образом, отра- отражение относительно г, 2 (v, r) r сохраняет L (как и в G) и сохраняет кватернионные нормы и скалярные произведения. Этн 315 кватернионных отражений порождают 2/2.
§ 3. Общий подход к конструкции А 267 Минимальные векторы в этом варианте решетки Лича — это элементы из L, имеющие кватернионную норму 4, 4а2 или 2 + 2<т2. Имеется 120-315 = 37800 векторов вида qr (где q — элемент группы икосианов и г — корень) с кватернионной нор- нормой 4, такое же количество векторов вида bqr с нормой 4сг2 и 120-1008= 120960 вида qt с нормой 2 + 2ст2, где t — один из образов векторов (h, сгсо/г, 0), A, 1, сгю/г), (оа, am, h) или A, аи, <тсо' + со*) при действии S. (Они имеют 48, 192, 192 и 576 об- образов соответственно.) Для дальнейших сведений об этой ре- решетке и ее группе см. [Wil 9]. Заметим, что существует простая и хорошо известная кон- конструкция решетки Лича из Е8, аналогичная конструкции Турина кода Голея из кода Хэмминга, приводимой в § 12 гл. 11. В обычных MOG-обозначениях векторы v, для которых A) V V 0 B) V V V принадлежат Л24, образуют две решетки Е% в одном простран- пространстве, скажем Е8]) и Е{?\ Мы теперь можем определить Л24 как решетку, порождаемую векторами (а, Ь, с), а + Ь + с = 0, а, Ь, с <= Es\ (Ж', X, Х]у X Gi .С8 - Икосианная конструкция для Л24 — это просто конструкция туриновского типа, снабженная дополнительной структурой (см. также [Coh2], [Cosl], [Lep2], [Tit 6], [Tit 7]). § 3. Общий подход к конструкции А и 64-мерная решетка Квеббеманна Следующий, довольно общий, вариант конструкции А будет использован в нескольких примерах. (Он не заменяет в полной мере варианты, описанные в гл. 5 и 7, так как приложим только к линейным кодам и вещественным решеткам. Конструкция Е из § 9 является даже более общим вариантом.) Пусть L — решетка в R", с которой ассоциирована симмет- симметричная билинейная форма f. Пусть р — простое число, не деля- делящее detL, и положим I = L/pL. Мы обозначаем образ элемента /е! в Г через l = l-\-pL. Далее, L индуцирует билинейную и квадратичную формы, кото- которые задаются соотношениями f (I) = f(l)mod p, f{'t, m) =
268 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток = f(l, m)_modp. (Заметим, что если р = 2, то аналога формулы A) для f нет.) Пусть С — подпространство в L. (Подпространство С иг- играет в этой конструкции роль «кода».) Конструкция Af. Мы определяем новую решетку Л (С) в R" следующим образом: A(C)+{/e=L: /" е= С}. G) Она снабжена билинейной формой f'(l,m)=p~1f(l,m). Очевидно, что pZ,EA(C)EL. Двойственная решетка Л (С)* задается соотношением ±f(x, A(C))sZ). (8) Пространство С*, двойственное С в L, определяется с по- помощью f: C' = {^eZ: f(x, C) = 0}. Теперь мы непосредственно получаем (9) Как обычно, решетка, двойственная к L, определяется с по- помощью исходной формы f: L' = {x<=Rn: f(x, L)<=Z}. A0) Пренебрегая строгостью записи, мы можем рассматривать С* 1С как подгруппу группы Л(С*)/Л(С) = А(С)*/Л(С). Теорема 1. Если С? С*, го ( Отсюда следует, что A2) Если L — унимодулярная решетка и С = С*, то Л (С) тоже уни- модулярна. Доказательство. Для с, с'^С имеет место f(c, с') = 0, по- поэтому f(l,l')<^pZ для /, /'еЛ(С). Следовательно, A(C) ?Л(С)'. Аналогично, A(C)*sL*, откуда Л(С)?А (С)* s /Л Мы определяем гомоморфизм 8: A(Cy/A(C)-»L'/L
§ 3. Общий подход к конструкции А Й69 соотношением 8(у + Л(С)) = v -\-L. Легко проверяется, что 8 корректно определен и (используя, что p-fdetZ,) что 6 сюръ- ективен. Кроме того, ker9= {v + A(C): u + pLeC*}. Так как (A(C)/pL)f\ С* = С, получаем кегб ^С*/С, что завершает до- доказательство. Примеры, (а) Выбирая L = Z", р = 2, мы получаем линей- линейный вариант конструкции А (см. гл. 7, § 2). (Ь) Ортогональные геометрии. Пусть AlgR* — решетка с симметричной билинейной формой f, пусть р — простое число, не делящее detM, и пусть М = М/рМ. Предположим, что М имеет структуру ортогональной геометрии, в частности что где V и V'— подпространства в М, такие, что f(y) = /(V)=0 и V = V*, V = V* (относительно f). Пусть L = МП1= Кы с билинейной формой f (I, ш) = f ((/, /„), (т„ ..., т„)) = Z f (It, "it). Мы строим самодвойственный «код» С следующим образом. Пусть В — произвольное подпространство в Vй, и положим В' = V Л В± = {v е (V)*: f (v, В) = 0}, С = В © В'. Тогда С = С* (относительно f). Из теоремы 1 следует, что Л (С) (с формой р/) целочисленна и Л (СOД (О s* (М'/М)п. A3) (с) Решетка Лича. Конструкция туриновского типа решетки Лича, приведенная в разд. 2.2, получается, если положить М = Es, f—обычное евклидово скалярное произведение на Е8 и р = 2. Тогда М = М/2М есть 4-мерное пространство над F2, которое может быть записано как V® V, где (в икосианной записи) V=(h, ih, jh, (oft), V' = (h, ih, jh, сой). Мы применяем конструкцию А/ с п = 3, выбирая в качестве В код с повторением, состоящий из всех (х, х, х), ie V, а в каче- качестве В' — код, состоящий из всех (х, у, z)e(V'K с х-\-у-\- + z = 0. Тогда Л (С)—это решетка L, определенная условиями D) и E). Можно теперь прямой проверкой убедиться, что эта решетка соответствует четной унимодулярной 24-мерной решетке с минимальной нормой 4 (ср. с доказательством
270 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток теоремы 1) и потому, как это следует из результатов гл. 12, яв- является решеткой Лича. (d) Решетка Q64- Квеббеманн [Que5] использовал кон- конструкцию А/ для получения важных решеток в размерностях 32 и 64. Мы отложим рассмотрение 32-мерной решетки до § 4. Решетка в размерности 64 получается, если в качестве М взято (в примере (b)) ?8, k = 8, р = 3 и п = 8. Тогда M = ES/3E8 может быть разложено в сумму V®V, где V = <еь е2, е%, б4>, V = <fb f2, /з, fd и а и /г приведены в табл. 8.2. Координаты Таблица 8.2. Базис для Et/3ES, 8-мерное векторное пространство для поля F (Т означает —1) V е, ег «3 К' /, /2 /з /¦ 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 1 1 0 0 оо 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 0 5 0 0 1 1 0 0 1 1 6 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 в табл. 8.2 помечены таким образом, чтобы их можно было сопоставить с вариантом ?8, связанным с кодом Хэмминга (см. разд. 8.1 гл. 4). Смежные классы ei + 3Es и /г + 3?8 (?= 1, ..., 4) имеют минимальную норму 6 (в таком масштабе, чтобы минимальная норма ?8 равнялась 2). Каждая пара {ei,e2}, •-., {h,fi} порождает копию тетракода ^4 (см. гл. 3, п. 2.5.1). Группа Aut^) содержит элементы порядка 8, и по- поэтому имеются автоморфизмы решетки ?8/3?8 порядка 8, та- такие, как я = {A2 оо 4) C506), потом добавить минус к 2 и 5} (с координатами, помеченными, как в табл. 8.2). Пусть В — подпространство в Vs, порожденное векторами (х, х, х, х, х, х,х,х), х<= V, и (у, яу, п2у п7у), y^V. Из A1) следует, что В' состоит из векторов (г0, z\, ..., z?)^(V'I8, удовлетворяющих условиям 20 + 2, + ••• + 27 = О, A4) A5)
§ 4. Решетки над Z [еЛ1^] и 32-мерная решетка Квеббеманна 271 Возьмем С = В ф В', и пусть Q6i = А(С). Таким образом, Q64 порождается векторами C/, О7), где / пробегает базис Es, A6) (я8), xefa, ea, fi, Ы, A7) (у, пу, ..., л7у), у е= {еи е2, fu f2), A8) (z0, г„ ..., z7), z^efe, е4, /з, W, удовлетворяющие A4), A5). A9) Теорема 2 [Que 5]. Решетка Q64 — экстремальная четная унимодулярная 64-мерная решетка с минимальной нормой 6, контактным числом 2611200 и центральной плотностью 6 = = C/2J4. Доказательство. Из A3) следует, что detQ64=l и по кон- конструкции решетка является четной. Предположим, что имеется вектор v=(v0, ...± »7)eQf4 с A/3)/(и, и)< 4, т. е. f(v,v)^ < 12. Пусть о = (оо, •••, v7), где йг = д; + РГУ + zr, x, уе V, Zr^-V. Так как f(vi,v,-) четна, имеются по меньшей мере две координаты i и /, для которых vi = и,- = 0 (в противном слу- случае f(v, v) ^14). Поэтому л'у = л!у, откуда у == 0, д; = 0 и vr = zr. Так как zr^-V, норма любого элемента из zr-{-3Es делится на 6. Поэтому не более двух из zr являются ненуле- ненулевыми. Теперь из A4) и A5) следует, что все zr = 0 и ws3?|. Так как ЪЕ\ имеет минимальную норму 18, мы заключаем, что v = 0 и минимальная норма Qe4 равняется 6. Контактное число теперь определяется теоремой 17 гл. 7. Конструкция Квеббеманна несколько отличается от приве- приведенной здесь, и, вероятно, существует несколько неэквивалент- неэквивалентных решеток с такими параметрами. Существование по меньшей мере одной такой решетки было установлено в [Que3]. § 4. Решетки над Z [e"'/4l и 32-мерная решетка Квеббеманна В § 8—10 гл. 7 описываются решетки над эйзенштейновыми и гауссовыми целыми и их связь с кодами над полями р2, Рз и р4- Квеббеманн [Que 6] развил аналогичную теорию, свя- связывающую решетки над кольцом циклотомических целых Z [?], где ? = e"'/4 = (l + 0/V2, с кодами над Рэ- Тем не менее ре- результаты не совсем параллельны результатам гл. 7, и пред- представляется, что этот случай лучше рассмотреть отдельно. Наи- Наиболее интересным примером является 8-мерная Z [?] -решетка, которая дает 32-мерную решетку Q32. Эта решетка получается
272 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток из комплексного аналога конструкции А; заменой симметрич- симметричной билинейной формы / на эрмитову форму. Сама решетка Z [?]. Сначала мы покажем, что Z [?] мо- может рассматриваться как вариант двумерной гауссовой решетки 2>2 (см. пример 13а гл. 7) или четырехмерной вещественной решетки ZL- Представляется вероятным, что Z [?,] соответствует четырехмерной решетке, так как соответствующее поле Q[?] является расширением поля рациональных чисел степени 4 с ба- базисом _ _ 1, /, V2", 'У2"- B0) Корень из единицы ? = enili удовлетворяет ?2 = »', ?4 = —1, ?8=1 и имеет минимальный многочлен X* + 1 (над Z). Эле- Элементы из Z [?] могут быть записаны либо как ? Р, YeZ[«], B1) либо как а = ао + а1? + а2?2 + а3?3, а0, щ, а2, o3eZ. B2) Для того чтобы отождествить Z [?] с 3!>2, мы рассматриваем Z [?] как двумерную решетку над Z [t] с базисом 1, ?, и легко определить эрмитово скалярное произведение ф на Z (^) ука- указанием на то, что матрица Грама этого базиса равна I+i 2 У <23> Поэтому, если а = р + yt,, а' = р' + у%, где р, р', у. У'е Z [t], то Ф (а, а') = рр'ф A,1)+ Ру' ф A, Е) + УР'Ф (Б, 1) + YV'«P (Б. 5). B*) где фA, 1)=ф(?,С) = 2, фA,5)=ф(С, 1)=1 —»• Мы опреде- определяем норму в Z [^] соотношением ./V(a)= ф(а, а). Так как B3) совпадает с формулой (88) гл. 7, кольцо Z [?] со скалярным произведением является решеткой Ж>г- Мини- Минимальная норма равняется 2, а 24 элемента нормы 2 — это ?\ Sv(l-S) и?A -V2")=EV A — ? -h ё3) для v = 0, 1 7 (образуют три орбиты по 8 элементов под действием умноже- умножения на ?). Хотя это представление и не так просто получить, как известное представление минимальных векторов в D± (пе- (перестановки (±1, ±1,0,0)), это множество из 24 точек обра- образует приятную симметричную конфигурацию в комплексной
§ 4. Решетки над Z [enil*\ и 32-мерная решетка Квеббеманна 273 плоскости (см. рис. 8.1). Для того чтобы перевести это в знако- знакомые нам координаты, мы отображаем в Z [5] в Z [I]2 в Z* в 1 1 1 i i i i -1 или 110 0 0 110 0 0 11 — 10 0 1 Скалярное произведение в Z4— это вещественная часть ска- скалярного произведения в Z [?] или Z[i]2. Умножение на ^ в 1-5- *"•*! -1 Рис, 8.1. Проекция многогранника {3, 4, 3}, вершинами которого являются 24 минимальных вектора в D*, представленных как элементы из Z [?]. Z [g] соответствует перестановке двух координат в Z[i]2 и умножению второй координаты на i и операции «@123), по- потом добавить минус к 3» в Z4. Векторы нормы 4 в Z[t,] полу- получаются умножением векторов нормы 2 на g + g = д/2 . Тэта- ряд решетки Z [?] приведен в формуле (89) гл. 7. Мы можем записать ф другим образом. Отображение следа Тг из Q(?) в Q(i) переводит а+ 6/ +с л/2 +di-y/2 (с а, ft, с,
274 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток deQ) в 2а + 2Ы. Для ct = p + YteQ(?), Р, veQ(j), опре- определим отображение из Q(?) в Q(i) p + ( + i)Y- B5) Тогда Ф(о, а') = Г(а-а'), N(а) = Т(а-а). B6) Яоле Рэ- Несколько пренебрегая строгостью записи, мы мо- можем рассматривать корни восьмой степени из единицы ?v как элементы поля порядка 9. Более точно, пусть р9 состоит из элементов 0, 1, ?, ?2=1-?, С* = —1 — С, V = -1. ?5 = -?, ?6 = -1 + ?, ?7=1 + ?, где S2 + S-l=0, ?8=1 [Мае 6]. Теперь Z[i]/3Z[i] отождествляется с р9, а Z[?]/3Z[?;] — с F9XF9. Гомоморфизм a: Z[?]-»-Z [?]/3Z [g]^ FgX F9 за- задается соотношением о (Е) = (Е,-0 B7) или, используя представление B2), соотношением a (a) = (a0 + a,? + ^ + a3S3, ец, - a^ + a?2 - a3^). B8) Следующая конструкция является аналогом конструкции Af. Конструкция Аф. Если В и С — коды длины п над Рэ с С s s В*, то определим Л (В, C) = {CgZ И": a(v)^BXC} B9) с эрмитовым скалярным произведением 1(ф(о„ ш,)+ ... +<р(о„, wj). C0) Соответствующая вещественная решетка Л (В, C)reai полу- получается рассмотрением А(В,С) как подрешетки в iZ)? s C2ra и выписыванием вещественных и мнимых частей (см. формулу F6) гл. 2). Тогда det Л (В, С)геа1 = 4" (det Л (В, С)L. C1) Далее мы соотнесем нормы в А (В, С) с весами кодовых слов в В и С. Отображение Т, задаваемое формулой B5), ин- индуцирует отображение t: F9X Рэ->- Гэ", оно определяется соот- соотношением t(b, c) = t,b + ?3с для Ь, cgF9 (см. табл. 8.3). Существует соответствующая «норма» N: РэХ X Рэ->-Рз, определенная аналогично B6). Для а = (&, с)е ^ РэХ Рэ пусть а = (с3, Ь3). Покомпонентное произведение
§ 4. Решетки над Z [ел''4] и 32-мерная решетка Квеббеманна 275 аа — это (be3, cb3), и мы определяем норму а формулой N (a) = t (аи) = ?&с3 + (&<?)*, C2) (норма принимает значения в Рз = {0, 1,—1}). Теорема 3 [Que 6]. Гомоморфизм о взаимно однозначно отображает элементы кольца Z [?] нормы 2 в элементы нормы Таблица 8.3. t(b, с) для b, ceF« Ь\с 0 1 f Г2 f3 г4 fs г6 г7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 1 1 0 1 -1 f 0 1 1 0 ] -1 -1 0 -] f2 0 1 -1 -1 0 -1 1 1 0 f3 0 0 -1 1 ] 0 1 -] -1 f4 0 1 0 1 -1 -I 0 -1 1 f5 0 -1 -1 0 -] 1 1 0 1 0 -1 1 1 0 1 -1 -1 0 f7 0 0 1 -1 -1 0 1 1 1 — 1 из РэХ Гэ; элементы нормы 4 взаимно однозначно отобра- отображаются в элементы нормы 1, а элементы нормы 6 отображают- отображаются (трехкратно) на ненулевые элементы нормы 0. Набросок доказательства. Это получается из того факта, что D4/3D* состоит из 81 смежного класса: нулевого класса, 24 классов, представленных единственными векторами нормы 2, 24 классов, представленных единственными векторами нормы 4, и 32 классов, каждый из которых содержит в точности три век- вектора нормы 6. Векторы из Z[^]^ZL ненулевой нормы (mod3) отображаются в векторы ненулевой нормы из РэХРэ- Теорема 3 дает возможность найти минимальную норму ре- решетки А(В,С). Мы видим, что для каждой пары кодовых слов b = (b\, ..., 6n)eB, c = (ci, ..., с„)еС мы должны опреде- определить число координат i с (bi, с^-ф @, 0), для которых N(b,,d) принимает значения —1, 1 и 0: пусть эти числа равны соответ- соответственно pi(b,c), p2(b,c) и p3(b, с). Пусть ро(Ь, с)—число ин- индексов i, для которых (bi, ct) = @, 0), так что > = la Pv I v=0 Если и« ремы 3 Ь, с). C3) Z[t,]n таков, что a(v) = (b, с) ф @, 0), то в силу тео- N (v) > 2Pl (b, с) + 4p2 (b, с) + 6р3 (ft, с) C4)
276 Гл. 8. Алгебраические конструкции решеток и число тех v, для которых выполняется равенство в C4), равно ЗРз(*. с)^ мы называем четверку (ро(Ь, с), pi(b,c), p2(b, с), Ръ{Ь,с)) типом пары (Ь, с) и полагаем р (ft, с) = 2р, (ft, с) + 4р2 (ft, с) + 6р3 (ft, с). C5) Кроме того, можно показать (как в доказательстве теоре- теоремы 1), что если ftiei -f- ... + ЬпСп = 0, то p(b,c) кратно 3, что оправдывает деление на 3 в C0) и доказывает, что Л (В, С) является целочисленной Z[t]-решеткой. Так как, очевидно, р{Ь,с) четно, решетка Л (В, С) в действительности является четной целочисленной Z [?] -решеткой. Кроме того, А(В,С)* = = Л(С*, В*); поэтому если С = В*, то Л — четная унимодуляр- ная Z [g]-решетка. Элементы ceZ^]", такие, что а(и) = @,0), принадлежат 3Z[?]n—подрешетке решетки А(В, С) с минимальной нормой 6 (в силу C0)). Поэтому (по формуле C4)) минимальная норма для Л (В, С) равняется min {d/3, 6}, C6) где d = min {p (ft, с): ft <= В, с <= С, (ft, с) Ф @, 0)} C7) — нечто вроде минимального расстояния для пары кодов (В, С). Суммируя предыдущие результаты, получаем: Теорема 4 [Que6]. Решетка А(В,С)—четная целочислен- целочисленная Z [?] -решетка, являющаяся унимодулярной, если С = В*. Минимальная норма задается формулами C6) и C7). Кон- Контактное число задается выражением T = ?3piFlC), если rf< 18, C8) где суммирование ведется по всем ft e В, с=С с p(b,c)=d, или выражением т = 24л, если 4 > 18, C9) или суммой этих двух выражений, если d— 18. Квеббеманн также приводит аналогичный теореме 3 гл. 7 результат о тэта-ряде решетки Л (В, С). Пример. Снова решетка Барнса — Уолла А16. Пусть В — это [4, 1, 4]-код с повторением над Рэ, и пусть С = В* есть [4, 3, 2]- код с нулевой суммой компонент кодовых слов. Если Ь Ф 0, то Ь имеет 4 ненулевые компоненты и (см. табл. 8.3) р(Ь, с)Гзг 8. Если b = 0, с Ф 0, то р(Ъ, с)^ 18. Так как 6|p(ft, с), то мы приходим к заключению, что d, минимальное значение р(Ь, с) для (Ь,с)Ф =?Ц0, 0), равняется 12. Поэтому Л(В, C)reai является 16-мерной решеткой с минимальной нормой 12/3 = 4 и детерминантом 44 (по фо