... каким бы я был теперь
несчастным человеком, если бы
смолоду не приобрел известный
запас знаний и вкус к ним.
Честерфилд. Письма к сыну
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ГРАФОВ
А.А. ЗЫКОВ
А.А. ЗЫКОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Москва
«Вузовская книга»
2004
ББК 22.176
3-96
Автор:
Зыков Александр Александрович, доктор физико-математических наук,
профессор-консультант Южного научного центра НАН и МОН Украины
Зыков А.А.
3-96 Основы теории графов / А.А. Зыков. — М.: Вузовская
книга, 2004. — 664 с.: ил.
ISBN 5-9502-0057-8
Систематическое введение в теорию графов, построенное в
соответствии с внутренней логикой ее развития. Основные по-
ложения доказываются и иногда иллюстрируются примерами
прикладного характера. Многие результаты, не являющиеся не-
обходимыми для последовательного развертывания теории, при-
водятся в виде упражнений и дополнений.
Для студентов и аспирантов по специальностям «Математика»
и «Прикладная математика», а также научных работников и инже-
неров.
ББК 22.176
© Зыков А.А., 2001
ISBN 5-9502-0057-8 © ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга», 2004
ОТ АВТОРА
Хишиневсхий
сепихар
Эта книга соответствует спецкурсу по теории
графов, который я в течение ряда лет читал студен-
там факультета математики и кибернетики Кишинев-
ского государственного университета,
а появлению ее в настоящем виде '	।
способствовали в той или иной мере
все участники научно-исследователь-
по графам, гиперграфам и задачам
по дискретной
ских семинаров
дискретной оптимизации при КГУ и
математике при ЮНЦ Академии наук Украины. Особо
воодушевляли меня встречи на традиционных сентябрь- одесыий
ских циклах совместных расширенных заседаний в
сепинкр
Одессе. Всем участникам я искренне благодарен.
С любезного разрешения коллег я иногда включаю в книгу такие
их результаты, которые больше нигде не опубликованы; поэтому
первооткрыватели могут ссылаться на соответствующие места книги
как на свои оригинальные работа, не причисляя меня к соавторам.
В предыдущем издании книги (М.; Наука, 1987) были удалены без
моего ведома1 ссылки на авторов некоторых теорем и не помещен
указатель-справочник£/е^реферативн«й журнал „Математика11 книгу
не Прореферировал... В английском переводе: Alexander A.Zykov.
Fundamentals of Graph Theory. Moscow, Idaho, USA; BCS Associates,
1990 (проспект: Amer.Math.Monthly, Dec.1991 (cover); обстоятель-
ные рефераты: Math.Review [881Й05001], [91ей05003]) все ССЫЛКИ
были восстановлены и добавлен указатель-справочник (Glossary).
Хочу особенно поблагодарить переводчиков Чарлза Кристенсона и
Брайена Смита, результатами нелегкой работы которых, включая
редактирование и ссылки на Mathematical Review, я воспользовался
при подготовке данного обновленного русского издания.
1
bv the "editor—in-cheat” (из английского перевода).
От всего сердца благодарю Таисию Ефимовну Эыкову, которой
было^посвящено английское издание, - мою верную спутницу и вдол
новительницу, вложившую немалую часть своей души и в работу нал
этой книгой.
Мы глубоко признательны Якову Михайловичу Ерусалимскому и
Израилю Хаимовичу Сигалу за организационную, а Лидии Михайловн!;
Пароконной и Ивану Семеновичу Хомуту - за техническую помощь.
Большая благодарность сотрудникам библиотеки Математическог|
института им. В.А.Стеклова РАН за помощь при подготовке библц
графических материалов.
ВВЕДЕНИЕ
Хоть графы — не князья,
но тоже шишки,
И графом стать нельзя
без этой книжки.
Теория графов — важный раздел современной математики, как с
точки зрения внутренних стимулов ее развития, так и для разнооб-
разных приложений. Практическая роль графов особенно возросла
во второй половине только что прошедшего века в связи с проекти-
рованием различных АСУ и вычислительных устройств дискретно-
го действия. В теоретическом же плане, помимо давнишних связей
с комбинаторной топологией и геометрией, наметились сущест-
венные сдвиги на стыке теории графов с алгеброй, математической
логикой, лингвистикой, теорией игр, общей теорией систем и др.
Во многих университетах и других учебных заведениях читают-
ся лекции по теории графов либо в виде отдельного курса, либо как
часть более общего. Кроме того, графы нередко приходится само-
стоятельно изучать инженерам, химикам, физикам, биологам, эко-
номистам, социологам и др., сталкивающимся с этими «дворянски-
ми титулами» в процессе своей деятельности. Предлагаемая книга
служит для элементарного изучения фактического материала тео-
рии графов, не опирается существенным образом на другие разделы
высшей математики (за исключением линейной алгебры и простей-
ших сведений из топологии в главе 3) и для более глубокого овладе-
ния современной теорией графов может служить лишь необходи-
мым введением.
Что же такое граф! Начнем не с формального определения, а с
поясняющего примера.
На рис. 1 изображен граф, вершинами которого служат нумеро-
ванные кружки, а ребрами — линии (со стрелками или без), соединя-
ющие некоторые из этих кружков. Ребро а — ориентированное (на-
правленное): оно соединяет вершину Ф с вершиной ®, но не соеди-
няет ® с Ф (и вообще не соединяет никакую другую пару вершин);
6
Основы теории графов
Рис. 1
к такому типу ребер, называемых ду-
гами, относятся также e,f, g. Ребро Л —
неориентированное (ненаправленное):
оно одновременно соединяет как вер-
шину Ф с ®, так и ® с Ф; к ребрам
этого типа, называемым звеньями, от-
носятся также i и j. Наконец, каждое
из ребер Ь, с, d, к является петлей —
соединяет вершину с ней же самой;
вводить ориентацию такого ребра мы
не будем.
О ребрах a, b, e,f, g, h говорят еще, что они инцидентны вершине
Ф, а о вершине — что она инцидентна каждому из этих ребер; в от-
ношении дуг можно еще уточнить: дуги а, е и /исходят из вершины
Ф, а дуга g в нее заходит. Вершины ® и ® — изолированные: ни одно
ребро не соединяет такую вершину с другой или другую с ней; вер-
шину ® можно еще назвать голой, желая подчеркнуть, что при ней
нет даже петель.
Рассмотренный граф является конечным: множество {Ф, ®, ®,
©, ®} его вершин и множество {a, b, с, d, e,f, g, h, i,j, к} ребер оба
конечны. Бесконечные графы в книге будут встречаться лишь эпи-
зодически, и сейчас мы ограничимся тремя примерами.
1.	Вершинами графа служат натуральные числа, причем верши-
ны р и q соединены звеном в том и только том случае, если оба чис-
ла простые и |р-</|=2 (других ребер нет). Множество вершин этого
графа бесконечно (именно счетно), а является ли множество ребер
бесконечным или только конечным — неизвестно до сих пор (проб-
лема близнецов в теории чисел).
2.	Вершинами являются числа 1, 2, ..., п, а каждое действитель-
ное число х, удовлетворяющее условию i<x<i+\, служит дугой,
идущей из вершины z в вершину z + 1. Граф содержит конечное мно-
жество вершин, но бесконечное множество (именно континуум)
ребер — дуг.
3.	Вершинами служат все действительные числа, и при фиксиро-
ванном 8 > 0 вершины х и у соединены ребром (петлей или звеном) в
том и только том случае, если |х-у|<5. Каждому значению 8 отве-
чает свой граф, у которого множества вершин и ребер оба бесконеч-
ны (имеют мощность континуума).
Введение
7
Особо важную роль играют так называемые обыкновенные гра-
фы. Граф этого класса характеризуется следующими четырьмя
свойствами:
1)	он конечен;
2)	он является неориентированным, т. е. не содержит дуг;
3)	он не содержит петель;
4)	он не содержит «параллельных» («кратных») ребер, таких
как, например, i и j на рис. 1 — иначе говоря, никакие две его верши-
ны не могут соединяться более чем одним ребром (звеном). Приме-
ры обыкновенных графов приведены на рис. 2; заметим, что у пра-
вого из них, известного как граф	-
Петерсена, те точки пересечения ---------«	./ТХ.
линий (ребер), которые не пред-	/
ставлены кружками, не являются /	\	/
вершинами графа и возникли *	*	\/	\/
лишь из-за «неудачного» изобра-
жения его в виде плоского черте-	Рис. 2
жа. Заметим также, что здесь
фактически приведены не два, а три примера: весь чертеж тоже
можно считать изображением одного графа — несвязного, состоя-
щего из двух компонент1.
Остановимся на некоторых особенностях книги.
В 60-х гг. был задуман объемистый двухтомный труд «Теория
конечных графов»; к концу 1969 г. первый том увидел свет, а вто-
рой пребывал в стадии незаконченной рукописи. Дальнейший ход
событий привел к выводу о нецелесообразности издания второго
тома и переиздания первого в прежнем объеме ввиду их перегру-
женности второстепенным материалом и отягощенности излишним
стремлением к детализации даже в заведомо очевидных случаях.
К числу недостатков этого издания следует отнести и отсутствие
упражнений.	z
Книга 1987 г. включила в переработанном виде важнейший мате-
риал обоих томов и рад дальнейших результатов. Многие доказатель-
ства (в том числе некоторые «классические») удалось значительно
1 «Когда перед вашим взором — волк и овца, то вы видите на самом деле не два объ-
екта, а по крайней мере три: волка, овцу и пару, состоящую из них» (Конфуций). Рус-
ский вариант: «Ты, да я, да мы с тобой».
8
Основы теории графов
упростить. Чтобы краткость и доступность сочетались с полнотой,
для основного текста был отобран необходимый минимум, остальное
же нашло место в упражнениях и дополнениях. Поэтому, помимо
справочных функций, книга может служить учебным пособием по
элементарной теории графов — разумеется, при наличии у читателя
достаточно серьезных намерений. Она может составить основу ряда
кратких, но насыщенных спецкурсов, а также давать богатый матери-
ал для учебно-исследовательской работы студентов. По замыслу она
должна быть пригодна и для самостоятельного изучения предмета.
Все это относится и к английскому переводу 1990 г. и настоящему из-
данию.
Таким образом, упражнениям в книге отводится особая роль:
часть из них используется в дальнейшем, а многие содержат резуль-
таты, не вошедшие в основной текст. Степень сложности задач ни-
как не отмечается (в наиболее трудных случаях даны указания), и
читателю рекомендуется пробовать силы на всех упражнениях в
конце каждого параграфа, тем более что непредвзятое отношение к
результату другого автора нередко приводит к более простому вос-
произведению, а также обобщению этого результата. В то же время
неполный (и даже весьма скромный) успех в упражнениях не служит
препятствием для перехода к следующему параграфу, и лишь при
наличии в дальнейшем ссылки на то или иное упражнение к нему
надо будет вернуться.
Вперемежку с упражнениями даются дополнения к основному
тексту; их формулировка уже не содержит непосредственных «за-
даний», ибо таковые, как правило, оказались бы гораздо сложнее
«упражнений», и целесообразность попыток повторить эти ре-
зультаты без обращения к оригиналу весьма спорна. Однако до-
полнительные сведения могут стимулировать дальнейшие исследо-
вания.
Мы почти не даем описаний алгоритмов, поскольку в этих во-
просах можем ссылаться на книги:
Al. Л.Р. Форд, Д.Р. Фалкерсон. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
А2. П.С. Солтан, Д.К. Замбицкий, К.Ф. Присакару. Экстре-
мальные задачи на графах и алгоритмы их решения. Кишинев:
Штиинца, 1973.
АЗ. Р.Дж. Басакер, Т.Д. Саати. Конечные графы и сети. М.:
Мир, 1974.
Введение
9
А4. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях.
М.: Мир, 1974.
А5. Г.М. Адельсон-Вельский, Е.А. Диниц, А.В. Карзанов. По-
токовые алгоритмы. М.: Наука, 1975.
А6. П. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход.
М.: Мир, 1978.
А7. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ
вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.
А8. Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део. Комбинаторные ал-
горитмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980.
А9. М.С. Golumbic. Algorithmic graph theory and perfect graphs.
New York: Academic Press, 1980.
A10. Г.С. Плесневич, М.С. Сапаров. Алгоритмы в теории гра-
фов. Ашхабад: Ылым, 1981.
АП. Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах.
М.: Мир, 1981.
А12. М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и трудно-
решаемые задачи. М.: Мир, 1982.
А13. Д.К. Замбицкий, Д.Д. Лозовану. Алгоритмы решения оп-
тимизационных задач на сетях. Кишинев: Штиинца, 1983.
А14. М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы.
М.: Мир, 1984.
А15. В.А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основ-
ные понятия и приложения. М.: Наука, 1987.
А16. М.И. Нечепуренко, В.К. Попков, С.М. Майнагашев и др.
Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях. Новоси-
бирск: Наука, 1990.
А17. Д.Д. Лозовану. Экстремально-комбинаторные задачи и ал-
горитмы их решения. Кишинев: Штиинца, 1991.
А18. J. Bang-Jensen, G. Gutin. Digraphs: Theory, Algorithms and
Applications. London; Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong
Kong; Milan; Singapore; Tokyo: Springer, 2000.
Что же касается модной сейчас теории полиномиальной разре-
шимости и сводимости переборных задач, то, отдавая должное ее до-
стижениям, в том числе выделению и изучению классов NP-полных и
NP-трудных задач (см. [А12] или, менее подробно, книгу минчан,
упоминаемую ниже), мы в то же время не можем считать, что нали-
чие полиномиальной верхней оценки числа шагов алгоритма уже
10
Основы теории графов
делает его практически эффективным, а принципиальная возмож-
ность полиномиального сведения позволяет фактически заменить
решение одной переборной задачи решением другой или хотя бы
проясняет теоретическую взаимосвязь обеих задач1; поэтому в книге
приводятся лишь отдельные конструкции, дающие непосредствен-
ное сведение и открывающие дальнейшие возможности теоретиче-
ских исследований (наиболее яркий пример — конструкция Визинга
в § 1.5).
Еще одна особенность книги. Мы принципиально не согласны с
распространенной точкой зрения, будто всякое оперирование с тем
или иным математическим понятием допустимо лишь после полного
формального его определения (или строгого аксиоматического введе-
ния); такой взгляд вынуждает многих авторов нагнетать в начале кни-
ги массу определений, угнетая тем самым читателя. Фактически же
чисто описательного ознакомления с новым понятием и объяснения
его на примере (а иногда и одного лишь образного наименования) в
очень многих случаях достаточно для того, чтобы четко идентифици-
ровать это понятие в сознании и решать относящиеся к нему неслож-
ные задачи2 * *. Поэтому мы иногда оперируем с новым понятием, откла-
дывая его формальное определение до того момента, когда оно станет
_	_	действительно необходимым. Так, при рас-
2^? Ц/	смотрении примера графов рис. 2 употреблены
\£hr-—тг—термины «несвязный граф» и «компонента»,
/ \ /V__ определяемые лишь впоследствии, однако чи-
(®	\Ла2) татель, не зараженный микробом формализма,
сможет уже сейчас правильно ответить на во-
(7)-(4) ПрОс; является ли граф рис. 3 связным, и если
Оу	нет, то из каких компонент он состоит? В то же
рис	время мы решительно отвергаем другую край-
ность, типичную для «чересчур практически»
1 Если решение некоторой задачи для л-вершинного графа при одном алгоритме за-
нимает время (число шагов) порядка лс, а при другом — порядка л+ п\1С, где С — по-
стоянное число, то согласно «полиномиальной идеологии» первый алгоритм практи-
чески эффективен, а второй — нет, хотя, например, при С = 1О<1°10) дело обстоит как
раз наоборот.
2 Всем ясно, почему маленькой девочке трудно самой надеть платье, застегиваю-
щееся на спине, но вряд ли взрослые объяснят это так гениально просто, как сама де-
вочка: «Пуговки все сзади, а я вся спереди».
Введение
И
настроенных деятелей: будто строгих определений графа, связности и
прочих основных понятий можно вообще не давать.
Отдельно списка литературы ко всей книге нет, ссылки (в подав-
ляющем большинстве одноразовые) даются непосредственно в тек-
сте на первоисточник и реферативный журнал «Математика»
(РЖМат), а также иногда на Mathematical Review (MR) или (редко)
на Zentralblatt filr Mathematik (Zbl) (если реферат в РЖМат отсутст-
вует или есть какие-то сомнения). Обычно ссылка имеет такой вид:
Н.С. Carstens, A. Cruse // JCTh, В22 (1977), № 3,286-288 [78,1В507] -
т.е. название статьи не приводится; расшифровку сокращений типа
JCTh см. ниже. Для работ депонированных или напечатанных в ма-
лодоступных изданиях ссылка дается только на РЖМат и MR (по
возможности на оба), например: П.Б. Кикуст [73,2В320Деп], S. Haki-
mi [64, 5В276; 26#5558]. Русская транскрипция иностранных фами-
лий фигурирует главным образом в «классических» случаях: теорема
Менгера, граф Турана, дихромат Татта и т.п. Вот выходные данные
наиболее часто упоминаемых книг по теории графов:
«Книга Кёнига» — D. Konig. Theorie der endlichen und unendli-
chen Graphen. Leipzig: Akad. Verlag M.B.H., 1936; New York: Chel-
sea, 1950; Leipzig: BSB Teubner, 1986.
«Первая книга Бержа» — К. Берж. Теория графов и ее примене-
ния. М.: ИЛ, 1962 (перевод с фр.: С. Berge. Theorie des graphes et ses
applications. Paris: Dunod, 1958).
«Книга Ope» — O. Ope. Теория графов. M.: Наука, 1968, 1980
(перевод с англ.: О. Ore. Theory of graphs. Amer. Math. Soc. Colloq.
Publ., Volume XXXVIII, 1962).
«Книга Зыкова» — А.А. Зыков. Теория конечных графов. I. Но-
восибирск: Наука, 1969.
«Книга Харари» — Ф. Харари. Теория графов. М.: Мир, 1973
(перевод с англ.: F. Harary. Graph Theory. Addison-Wesley Publ. Co.,
1969).
«Книга Закса» — H. Sachs. Einfiirung in die Theorie der endlichen
Graphen. Leipzig: BSB Teubner, 1970 (Teil I), 1972 (Teil II)
[73, 8B331K, 332К].
«Вторая книга Бержа» — C. Berge. Graphes et Hypergraphes. Paris:
Dunod, 1970. Graphs and Hypergraphs. North-Holland Publ. Co., 1973.
12
Основы теории графов
«Книга Рингеля» — Г. Рингель. Теорема о раскраске карт. М.:
Мир, 1988 (перевод с англ.: G. Ringel. Map Color Theorem. Berlin;
Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1974).
«Книга минчан» — B.A. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарва-
нов, Р.И. Тышкевич. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
Названия некоторых часто цитируемых журналов и сборников
следующим образом сокращены:
ГГиДОЗ — сборник «Графы, гиперграфы и дискретные оптими-
зационные задачи» (Матем. исследования, вып. 66. Кишинев: Шти-
инца, 1982);
МИ — Математические исследования (Кишинев: Штиинца);
ПМП — сборник «Прикладная математика и программирова-
ние». Кишинев: Штиинца;
ТГр — сборник «Математические вопросы кибернетики и вычис-
лительной техники. Теория графов». Ереван, 1979;
УМН — Успехи математических наук;
AMSUH — Abhandlungen Math. Seminar Univ. Hamburg;
BGrth — Beitrage zur Graphentheorie. Leipzig, 1968;
DM — Discrete Mathematics (не путать c Discr. Appl. Math.);
JCISS — J. Combinatorics, Inform, and System. Sci.;
JCTh — J. Combinatorial Theory;
JGrTh — J. Graph Theory;
MT — Magyar Tudomanyous Akademia Matematikai Kutato
Intezetenek Kozlemenyei;
PAMS — Proc. Amer. Math. Soc.;
PK=IM — Proc. Koninkl. nederl. Acad. wet. = Indagations math.;
TAMS — Transactions Amer. Math. Soc.;
WZ — Wissenschaftliche Zeitschrift Martin-Luther-Univ. Halle —
Wittenberg, Math.—Nat. Reiche.
Нумерация параграфов книги двойная: § 2.3. означает третий
параграф второй главы. Теоремы (включая леммы) имеют тройной
номер: «Теорема 3.8.3» означает третью теорему § 3.8, а следующая
за ней лемма имеет номер 3.8.4. По тому же принципу (который не
соблюден лишь во введении, заключении, добавлениях и указателе-
справочнике) нумеруются и рисунки. Однако следствия в нумера-
цию теорем не включены, и ссылки на них выглядят так: «следст-
вие 2 теоремы 4.5.10».
Введение
13
Переходя к списку употребляемых понятий и обозначений об-
щего характера, заметим, что все они трактуются здесь чисто содер-
жательно, безотносительно к выбору систем аксиом,
хе А
хе А
АсВ
АсВ
2а
0
1Л
лив
ил
—	«элемент х принадлежит множеству Л»;
—	«элемент х не принадлежит множеству А»;
—	«А является подмножеством множества В»;
—	«А с В и Л*В» (строгое подмножество);
—	множество всех подмножеств (булеан) множества А;
—	пустое множество;
—	количество элементов (мощность) множества А;
—	объединение множеств А и В;
п
и Л
АГ\В
Пл,
объединение множеств системы {Л( } (7 — индекс-
ное множество, в частности 7={1, 2, ... л});
— пересечение множеств Л и В;
п
Пл,-
А\В
А, -пА
А&В
AvB
А=>В
АоВ
пересечение множеств системы {Л,} (7 — индекс-
ное множество, в частности 7={1, 2, ... л});
—	разность множеств Л и В (не обязательно В с Л);
—	«не А», логическое отрицание высказывания А;
—	«А и В», конъюнкция высказываний А, В;
—	«А или В», дизъюнкция высказываний А, В (нераздели-
тельная, т. е. допускающая их одновременную истин-
ность);
—	«если А, то В», логическая импликация;
—	«А равнозначно В», логическая эквивалентность;
Vxe/7A(x)
Эхе НА (х)
ЛГсЯА(А')
ЭХ с НА (X )
—	«для любого элемента х множества Н истинно вы-
сказывание А (х) об этом элементе»; равносильная
запись: Vx{xeH=> А(х)};
—	«в множестве Н есть хотя бы один такой элемент
х, о котором истинно высказывание А(х)» (или:
Зх{хеЯ&А(х)});
—	«о каждом подмножестве X множества Н истинно
высказывание А (Л)» (или: УХ{X сН=> А (Л)});
—	«по крайней мере об одном из подмножеств X с Н
истинно А (Л)» (или: ЗХ{ХеЯ&А(Х)});
Q(x) — «элемент х обладает свойством Q», одноместный предикат;
14
Основы теории графов
R (х, у) — «элемент х находится в отношении R к элементу у», дву-
местный предикат, бинарное отношение;
Р (х, у, z) — «упорядоченная тройка элементов х, у, z находится в
отношении Р», трехместный предикат, тернарное от-
ношение;
{х/ А (х)}- множество всех тех элементов х, для которых истинно
высказывание А(х);
=	— «равно по определению» (например, х2=хх);
{хе Н / А(х)}={х/хе Н &А(х)};
<=>	— «равнозначно по определению»;
ху — упорядоченная пара элементов х, у;
ху	— неупорядоченная пара элементов;
АхВ={ху/хеА&уеВ} —декартово произведение множества А
t	на множество В;
А2=А2=АкА — множество упорядоченных пар элементов А;
Л^={ху/х, уеА&х*у} — множество упорядоченных пар различ-
ных элементов А;
Л2 ={ху/х, уеА} — множество неупорядоченных пар элементов А;
ЛР1={ху/х, уеА&х*у} — множество неупорядоченных пар раз-
личных элементов А;
(R, Q, Z, N — множества всех действительных, рациональных, це-
лых, натуральных чисел;
xsy (mod р) — равенство чисел х, у е Z с точностью до слагаемого,
кратного реМ (сравнимость по модулю р);
[_xj — наибольшее целое число, не превосходящее хе К;
Гх1 - наименьшее целое число, не меньшее хе К;
г=(Г1, г2, ..., г„) — л-мерный вектор, упорядоченная система л чисел;
равенство г = г', где г' = (г{, г{, r'ni), означает, что л=л' и г,-=г-
при всех 1 = 1, 2, ..., л; вектор, размерность которого л не предпола-
гается заранее известной, называют еще кортежем',
llayllm — матрица с л строками и т столбцами;
Отдельные отступления от этих обозначений (как и от других
принятых выше соглашений) всегда оговариваются. Остальные обо-
значения вводятся в ходе изложения, с использованием в случае на-
добности знаков = и Определяемые словесные термины напеча-
таны курсивом.
ГЛАВА 1
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
§1.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ГРАФЫ
Для обыкновенного графа и связанных с ним понятий нам сразу
же понадобятся точные определения; что же касается графов обще-
го вида, которые будут иногда встречаться в примерах, то здесь для
понимания сути дела пока вполне достаточно описания, данного во
введении. Заметим предварительно, что граф мы рассматриваем
как чисто комбинаторный объект, а не как, скажем, электрическую
схему или даже геометрическую фигуру — последняя используется
только для его наглядного изображения. Процесс математической
абстракции безжалостно отбрасывает такие свойства «конкретных
графов», как природа вершин, материал, из которого изготовлены
ребра, длины ребер, расположение вершин и ребер на чертеже и
т. д. Разумеется, сами «конкретные графы» (транспортная сеть,
электрическая цепь, структурная формула химического соединения
и т. п.) тоже допускают строго математическое изучение, но в на-
шем смысле они являются уже не графами, а функциями, опреде-
ленными на вершинах и ребрах графа; чтобы успешно работать с
такими функциями, надо прежде всего знать сами графы.
В случае обыкновенного графа нет надобности причислять к его
элементам ребра, ибо их роль здесь сводится лишь к информации о
том, какие пары различных вершин соединены, а какие нет; поэто-
му для задания такого графа на данном множестве вершин X доста-
точно указать разбиение множества пар Х&1 на два класса: «ребер»
и «не ребер» («отсутствующих ребер»).
Обыкновенным графом G = (X, U) называется упорядоченная па-
ра множеств: конечного непустого X, элементы которого называют-
ся вершинами графа G, и подмножества U с X Р), элементы которого
называются ребрами этого графа. Вершины х, у е X смежны, если
ху е U, и несмежны, если ху g U. Ребро ху соединяет вершины х и у
(или, что то же, у и х), а также инцидентно каждой из них (и наобо-
рот, они обе инцидентны этому ребру); ребро можно обозначать и
16
Основы теории графов
одной буквой (м, v, w и др.), если не требуется напоминать, какие
именно вершины оно соединяет.
Из определения обыкновенного графа автоматически следуют
четыре свойства, которыми он был охарактеризован во введении:
1)	конечность множества вершин X влечет конечность множест-
ва а значит, и любого его подмножества (7; точнее, если
n(G)=|Ar| — число вершин, a n?(G)=|{7| — число ребер графа
G-(X. U), то всегда
2)	неориентированность графа G обусловлена тем, что в качест-
ве ребер фигурируют только неупорядоченные пары вершин;
3)	отсутствие у G петель следует из того, что множество ТР1 по
своему определению состоит только из пар различных вершин;
4)	отсутствие кратных ребер у G вытекает из самого смысла тео-
ретико-множественных понятий в определении обыкновенного гра-
фа: неупорядоченные пары ху и zt считаются одним и тем же эле-
ментом множества в том и только том случае, если x=z &у =1
или x=l&y=z; но тогда обе пары представляют собой один и тот
же элемент множества U, т. е. одно и то же ребро графа G.
Особо отметим два крайних случая обыкновенных л-вершинных
графов: безреберный граф Е„ с U =0 и полный граф Fn с С/=ХР1
(рис. 1.1.1 при п=5)1. Граф G=(X, U), дополнительный к графу
G = (X, U), имеет то же самое множество вершин, а множество его
ребер U = ХР1 \U состоит из всех тех неупорядоченных пар различ-
ных вершин, которые не являются ребрами исходного G. Ясно, что
G -G. Примеры взаимно дополнительных графов приведены на
рис. 1.1.1 и 1.1.2; последний можно начертить на плоскости так, что-
бы отрезки, изображающие ребра, не пересекались (рис. 1.1.3).
Пример рис. 1.1.3 мы используем, чтобы еще раз пояснить опре-
деление обыкновенного графа: в данном случае Х={1, 2, 3, 4, 5},
(/={13, 14, 24, 25, 35} (вей множество ХР1 состоит из десяти неупо-
рядоченных пар),Вплоть до § 2.7 под словом «граф» будем, если не
1 Мы обозначаем эти графы через Еп и F„ независимо от природы элементов, служа-
щих их вершинами.
Глава 1. Идентификация
17
оговорено противное, понимать обыкновенный граф, для простоты
записывая в тексте (а впоследствии, как правило, и на рисунках)
вершины без обведения кружком.
Граф G'-(X', U') называется частью графа G = (X, U), если
Х'сХ и U'C.U. Не всякая пара подмножеств У'^0)* U' вершин и
ребер графа G определяет какой-то граф — для этого необходимо (и
достаточно), чтобы у каждой пары ху, принадлежащей U', оба эле-
мента х и у входили в X': ведь ребрами графа могут служить лишь
пары его вершин’ Так, для графа рис. 1.1.3 пара подмножеств
У'={1, 3, 5}, £7'={13, 14} не определяет никакой части; напротив,
параХ"={1, 3, 5}, С/"={13} задает часть G" = (X", С/''), показанную
на рис. 1.1.4.
Рис. 1.1.4	Рис. 1.1.5	Рис. 1.1.6	Рис. 1.1.7
Особо важную роль играют следующие два типа частей графа.
Часть G' = (X', U') называется подграфом графа G = (X, £7), если
U' ={xyeU/х, уеХ'}; иными словами, при образовании подграфа
G' из графа G удаляются все вершины множества X \ X' и только те
ребра, которые инцидентны хотя бы одной удаляемой вершине. Та-
ким образом, подграф данного графа G однозначно определяется
заданием непустого подмножества вершин X' или, что равносильно,
заданием строгого подмножества Y = X\X' сХ тех вершин, кото-
рые надо удалить; в последнем случае будем кратко писать
G'=G\Y, а если Y={у} (одновершинное множество), то даже
G'=G\y. Властности, при Х'=Х имеем G' =G\0=G. Например, для
18
Основы теории графов
графа G рис. 1.1.3 подмножество А"' ={1, 3, 5} определяет подграф
G' = (A', U')=G\{2, 4} с С7'={13, 35}, показанный на рис. 1.1.5, а
подмножество {1, 3, 4, 5} — граф G\2 рис. 1.1.6.
Часть G' -(Xr, U') называется суграфом графа G = (X, U), если
Х'=Х, т. е. суграф получается из исходного графа удалением толь-
ко ребер, без удаления вершин. Так, из графа рис. 1.1.3 образуется
суграф рис. 1.1.7, если положить 67'={24, 25, 35} (т. е. удалить из G
ребра 13 и 14). Как и при образовании подграфов, будем пользо-
ваться краткой записью вида G'=G\V (в частности, G\v, если
К={у}); оба крайних случая V-U и V =0 возможны.
Ясно, что всякую часть графа можно получить, образуя сначала
некоторый подграф, а затем некоторый суграф этого подграфа.
Упражнения и дополнения
1.	Даны X ={а, b, с, d, е, f}, U={ad, ае, af, bd, be, cd, ce, cf}.
а)	Начертить граф G = (X, U) на плоскости так, чтобы его ребра изобража-
лись прямолинейными отрезками и не пересекали друг друга.
б)	Полагая Х'={а, b, с, d], найти множество ребер соответствующего
подграфа и изобразить этот подграф на плоскости.
в)	Изобразить суграф (X, {ad, bcl, al}) графа G.
г)	Выяснить, какие из следующих пар подмножеств определяют часть гра-
фа G, а какие нет: Х\ ={«, с, f}, Ui={ae, ef}', Х2={а, с, e,f}, U2-{ae, be,
af, ef}\ X$={a, c, f}, U$={qf, cf}. Какие из выявленных частей являются
подграфами (7?
2.	Для каждого из графов рис. 2 выписать множества вершин и ребер,
предварительно пронумеровав (произвольно) вершины. Записать и начертить
дополнительные графы.
3.	В графе G упражнения 1 и в обоих графах упражнения 2 выявить все без-
реберные подграфы с наибольшим числом вершин.
4.	Выяснить, какие из следующих высказываний справедливы:
а)	если G' — подграф G, то G' — подграф G;
б)	если G' — подграф G, то_б — подграф G';
в)	если G' — суграф G, то G' суграф^;
г)	если G' — суграф G, то G суграф G'.
5.	Пусть и((7)>3.
а)	Если в графе G каждые две различные вершины имеют ровно одну об-
щую смежную, то G есть /*3 или состоит из нескольких графов такого типа с од-
ной общей вершиной («граф дружбы»). Р. Erdos, A. R6nyi, V.T.—S6s // Stud. sci.
math, hung., 1 (1966), № 1-2, 215-235 [68, 5B220]; A. Kotzig // Canad. Math. Bull.,
18 (1975), № 5, 691-693 [76, 11В481].
Глава 1. Идентификация
19
б)	Если в графе G каждые р > 3 различных вершин имеют ровно q общих
смежных, то G есть Fp+q. H.G. Carstens, A. Kruse // JCTh, В22 (1977), № 3,
286-288 [78, 1В507; 56# 11850].
6.	Если л = л(6)>4и при некотором к, 2 <к <п-2, все ^-вершинные подгра-
фы графа G обладают одинаковым количеством ребер, то G есть либо Гя, либо
Е„. J. Sirin // Math, slov., 30 (1980), № 3, 267-268 [80, 12В483; 81j#05101],
7.	Граф без подграфов типа имеет не более (т/3)3/2 подграфов типа F$.
D.C. Fisher [88, 10В613].
§ 1.2. ИЗОМОРФИЗМ
Пусть даны графы G = (X, U) и G'=(X', U'); в каком случае
можно сказать, что на самом деле это один и тот же граф?
Формально равенство G=G' означает, что множества вершин и
ребер обоих графов одни и те же, т. е. состоят из одних и тех же
элементов: X=Х', U =U'. Но такой жесткий подход к идентифика-
ции графов не представляет познавательной ценности: граф, пере-
черченный из книги на доску или в тетрадь, строго говоря, уже не
совпадает с исходным, поскольку его вершины «сделаны» из друго-
го материала. Следующее четкое математическое определение из-
бавляет нас от околонаучных споров, какие графы «на самом деле
одинаковы».
Графы G и G' называются изоморфными, если между множества-
ми У и А" их вершин можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие <->, сохраняющее отношение смежности вершин, т. е. такое,
что для любых х, уеХ и соответствующих им вершин х',у'еХ'
у<->у') имеет место
xyeU <^>x'y'eU';
при этом само соответствие о называется изоморфизмом графов.
Следующий пример покажет, сколь мудро и в то же время есте-
ственно такое определение. Пусть =(Х(, U,), i=l, 2, 3, 4, где
Х!={1, 2, 3, 4}, 17|={12, 13, 23, 34},
Xi ={а, b, с, d},	U2 ={ab, ас, be, cd},
20
Основы теории графов
ДГ3={1, 2, 3, 4}, С/3={1~2, 23, 34, 1~4},
У4={1, 2, 3, 4}, С/4={1~3, 23, 14, 24}
(рис. 1.2.1). С точки зрения «абсолютного равенства» все четыре
графа различны: например, G\ *G2 потому, что А'] *Х2, а (73 *(?4
потому, что С/3 *1/4. Однако непосредственно ясно, что графы G\ и
G2 имеют одинаковую структуру, отличную от структуры графов
(?3 и (?4, различия же между G] и G2, как и между (?3 и (?4, по своему
характеру не связаны со структурой; от таких различий естественно
отвлечься, но нельзя игнорировать отличие первых двух графов от
двух последних. Именно к такому различению графов и приводит
понятие изоморфизма.
Заменяя слово «изоморфен» символом =, а слова «не изомор-
фен» — символом Ф, имеем в данном примере: G\—G2 и G3=(z4, но
Gi	G2	С3
Рис. 1.2.1
3------2
1------4
<4
G\$Gy, (7j£Cr4, G2"^Gy и G2±G$. В самом деле, изоморфное соот-
ветствие вершин графов С73 и С?2 можно установить, например, так:
1оа, 2<->Ь, Зое, 4ed;
при этом
l2eUi &abeU2, ГЗеС/] & aceU2, 1~4йС/1 &adeU2,
23eU} &bceU2, 24^UX &bdiU2, 34eUx &cdeU2,
т. e. условие x{y\eU\<^x2y2eU2 выполнено. Предлагаем читате-
лю проверить, что другое соответствие:
1о/>, 2оа, Зое, 4ог/
Глава 1. Идентификация
21
тоже является изоморфизмом графов G] и G2, а остальные 4!-2=22
соответствия вершин — не изоморфные. Изоморфизм между G3 и G4
1 2 3 4 } в графе Gj
можно установить, например, так: $ $ $ $	. В то
1 3 2 4 } в графе (74
же время никакое взаимно однозначное соответствие между верши-
нами графов Gj и (73 не является изоморфизмом; чтобы в этом убе-
диться, нет надобности перебирать все 4! = 24 соответствия: доста-
точно заметить, например, что вершина 4 в графе G] имеет только
одну смежную, вершин же с аналогичным свойством в (73 нет, из-за
чего ни при каком сопоставлении вершин этих графов отношение
смежности сохраниться не может.
Последнее соображение имеет смысл обобщить.
Степенью s(G, х) вершины х в графе G = (X, U) называется ко-
личество его вершин, смежных с х, или, что то же, число ребер, ин-
цидентных этой вершине. Символ графа в обозначении степени не-
обходим: так, если G% — подграф графа G2 рис. 1.2.1, порожденный
подмножеством вершин ={а, с, d} (и, следовательно, обладаю-
щий множеством ребер ={ас, cd}), то 5(G2, а) = 1, в то время как
5 (G2, а) = 2; упрощенные обозначения вида s (х) допускаются, когда
речь все время идет об одном и том же графе.
Ясно, что при всяком изоморфизме <-> графов G и G' =(Х', U')
соответствующие друг другу вершины должны иметь одинаковую
степень: для любой хеХ из х<->х' должно следовать s (G, х) =
=5(G', х'). В самом деле, если для какой-то вершины х и соответст-
вующей х' окажется, например, s(G, x)>s(G', х')> то среди тех
s (G, х) вершин графа G', которые отвечают смежным с х вершинам
G, хотя бы одна не будет смежна с х', т. е. соответствие <-> не будет
изоморфизмом.
Пусть G=(X, U) — и-вершинный граф (|Х|=л), а 5], 52, ..., sn —
степени его вершин, выписанные в порядке неубывания:
51 <53 <...<5„.
Упорядоченную систему (sj, 53, ..., sn) будем называть вектором
степеней графа Gu кратко обозначать s(G). Из сказанного выше
следует, что для изоморфизма графов G и G' необходимо совпаде-
ние векторов их степеней: s(G)=s(G'). Однако достаточным это
22
Основы теории графов
условие не является: на рис. 1.2.2 мы видим две пары неизоморф-
ных графов с одинаковыми s. Вместо самого вектора степеней часто
пользуются его обращением
t(G) = Gl, '2> •••> *л)>
где tj =sn_j (i=l, ..., ri) — те же степени вершин, но расположенные
в порядке невозрастания: Zj >t2 >...>!п.
s=(l, 1, 2, 3, 3, 4)	s = (l, 2, 2, 2, 2, 3)
Рис. 1.2.2
Не будучи идеальным средством распознавания изоморфизма,
вектор степеней тем не менее во многих случаях может оказать
существенную помощь: если s(G)*s ((?'), то отсюда сразу следует
G$G\ а если s(G)=s(G'), то для проверки графов на изоморфизм
требуется перебор не всех и! соответствий между вершинами, а
лишь таких, при которых сопоставляются вершины одинаковой сте-
пени. Так, в первом примере рис. 1.2.2 достаточно перебрать только
2-2=4 соответствия вместо 6! = 720, а во втором 4!=24, что все-таки
гораздо меньше 720. Однако есть случаи, когда при выяснении изо-
морфизма графов их векторы степеней совершенно бесполезны:
речь идет об однородных, или подробнее, s-однородных графах, в ко-
торых все вершины — одной и той же степени s. Например, не с пер-
вого взгляда можно убедиться в том, что из пяти 3-однородных гра-
фов рис. 1.2.3 первые четыре изоморфны друг другу, но не изоморф-
ны пятому. Противоположный случай представляют графы, опреде-
ляемые однозначно с точностью до изоморфизма своим вектором
степеней (или, что равносильно, его обращением) и называемые
униграфами в смысле (2) [УС].
За некоторыми наиболее простыми и часто встречающимися
графами (точнее, классами изоморфных графов — см. упражнение 1)
Глава 1. Идентификация
23
полезно закрепить легко воспроизводимые обозначения и образные
наименования:
Еп — безреберный п-вершинный граф, груда, п-груда; под грудой
графа понимается его безреберный подграф (не суграф);
Fn — полный п-вершинный граф, клика, п-клика;
Сп — простой п-вершинный цикл, п-уголъник (рис. 1.2.4а);
вне класса обыкновенных графов возможны случаи и = 1 (петля) и
п=2 (двуугольник); граф часто называют треугольником, а С4
квадратом;
Z/ — 1-цепь (рис. 1.2.46); 2-цепь Z2 будем также называть вилкой;
Рис. 1.2.4
И — клешня, варежка;
И — квадрат с диагональю, алмаз.
Для записи более сложных графов часто бывают полезны опера-
ции сложения и умножения: пусть 64 =(!"], Ux) и С?2 =С^2» ^2),
тогда
сумма Gx +G2 =(*1 U^2> Ux U^2 X
произведение 64 G2 =(Aj U^, Ux Uf/2	&x2 e^2l)
(рис. 1.2.5). Условие Xx =0 при сложении и умножении будем
всегда считать выполненным, даже когда оба слагаемых или сомно-
жителя одинаково обозначены, ибо в случае Хх П У2 *0 можно один
из графов Gx, G2 заменить изоморфным, не имеющим общих вершин
с другим (как при определении разделенной суммы множеств в смыс-
ле Бурбаки); например, в «равенствах» С4—£2 ^2 и €4—F2 +Г2
24
Основы теории графов
Рис. 1.2.5
(?]	С?2	(71 +С?2	^1*^2
одинаковые сомножители или слагаемые означают изоморфные гра-
фы без общих вершин.
С помощью сложения и умножения можно записать дополнение
вилки в виде F\ +/*2, клешню в виде F\ • (Fj +F2), квадрат с диаго-
налью в виде F2 • £*2 и т- п- и Дать новые определения:
Ki^Fi-Ci — 1-колесо, 1>3 (рис. 1.2.6а);
Vi=F\-Ei — 1-веер, />1 (рис. 1.2.66);
Kpq=E-Ед — полный двудольный граф.
Графы Сп при и>5 и Z/ при I >3 являются простыми в том смыс-
ле, что их невозможно представить как сумму или произведение
каких-то других графов.
1 2 ... I
К/ (л=/ + 1)
а)
Kz (и = / + 1)
б)
Рис. 1.2.6
В дальнейшем «граф данного
типа» (или «вида») будет озна-
чать любой граф, изоморфный
данному. Просим читателя уде-
лить особое внимание упражне-
ниям 1, 11 и 12, где требуется, не-
смотря на «очевидность», дать
строгие доказ’ательства. В част-
ности, соотношения д) и е) в упражнении 11 позволяют записывать
сумму и произведение более чем двух графов в любом порядке и без
скобок.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что изоморфизм графов представляет собой отношение экви-
валентности, т. е. удовлетворяет трем условиям: G-G (рефлексивность); если
G^G\ то G'-G (симметрия); если G-G' и G'-G", то G^G" (транзитивность).
Следовательно, всякое множество графов разбивается (однозначно) на попар-
но непересекающиеся классы изоморфных.
Глава 1. Идентификация	25
2.	Граф, изоморфный своему дополнению, называется самодополнитель-
ным. Доказать, что число вершин такого графа имеет вид 4k или 4&+1.
3.	Доказать, что в любом обыкновенном графе G с n(G)>2 есть по край-
ней мере две вершины одинаковой степени и что если их только две, т. е. G —
максимально неоднородный граф, то G — униграф.
4.	Пусть G=(X, U) и G' = (X, U') — два графа с общим множеством вер-
шин и одинаковыми степенями: Vxel [s(G, x) = s(G', х)]. Доказать, что G'
получается из G конечным числом 4-сдви-
гов: выбираем такую четверку различных >/,
вершин a, b, с, J, что а смежна с b и с смеж-	| х ✓ I	4 х ✓
на с d, но b не смежна с с и а не смежна с d,	lxZ44l
после чего удаляем из графа ребра ah, cd и	za £
вместо них добавляем Ьс и ad (рис. 1.2.7).
Указание: если G*G', т. е. Д(6, 6')=	р
±|(l/\C/')IJ(£/'\t/)|>0, то найдется после-	ис‘
довательность различных вершин а\,а2, a2k, к>2, такая, что ребра а^а2, а2а^,
..., а2к-\а2к> а2ка\ попеременно принадлежат то U\U', то U'\U. При к =2 приме-
нение 4-сдвига переводит G в граф G", для которого Д (<7, G") < Д (G, Gа при
к >2, можно либо опять сразу уменьшить Д, либо указать последовательность
вершин Ь[, 1>2, ...» Ък» с прежними свойствами, но с к'<к.
Проиллюстрировать этот результат на примерах рис. 1.2.2 (предваритель-
но построив для каждой пары графов пару изоморфных им, но с общим множе-
ством вершин), а также на графах G = (X, U) и G' = (Х, U') с
У = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
U={\1, 23, 27, 34, 35, 37, 45, 47, 56, 57, 67},
[/'={17,23, 25, 27, 34, 36, 37, 45, 47, 56, 57}.
5.	Граф называется полярным', если множество его вершин можно раз-
бить на два непересекающихся подмножества, одно из которых порождает кли-
ку, а другое груду (допускается случай пустоты одного из них).
а)	Выяснить, всегда ли такое разбиение единственно.
б)	Доказать, что в полярном графе нет подграфов типа С/ с />3.
6.	Выявить логические импликации между парами из трех высказываний
о графе G\ (а) он полярный, (б) это униграф; (в) к нему неприменима операция
4-сдвига, т. е. в нем нет надлежащей четверки вершин (см. упражнение 4).
Указание: для обоснования импликации (в) => (а) рассмотреть в G наиболь-
шую груду, а отсутствие некоторых других импликаций видно уже на примерах
Сд, Сд и С$.
7.	Каждый 4-однородный граф содержит 3-однородную часть; в то же вре-
мя для любого 5 > 6 существует ^-однородный граф без (у-1}-однородных частей.
1 Этот термин, введенный минчанами, впоследствии был ими заменен на «расщепля-
емый».
26
Основы теории графов
В.А. Ташкинов // ДАН СССР, 265 (1982), № 1,43-44 [82, 10В506], Матем. замет-
ки, 36 (1984), № 2, 239-259 [84, 12В696], далее [88, 5В668]. Обратную задачу о по-
строении наименьшего (по числу вершин) однородного графа, содержащего за-
данный граф как часть, рассматривают J. Akijhma, F. Нагагу // Publ. Inst, math.,
34 (1983), 3-5 [85, 2В662]. См. еще: G. Sierksma [88, 12В596].
8.	а) Если 2 < j (G, х) < 3 для каждой вершины х графа G, то в нем есть хо-
тя бы две максимальные (по включению) груды без общих вершин. F.S. Mulla,
С.М. Pareek [79, 2В475; 81с#05085];
б)	гипотеза К. Бержа о том, что такая пара груд есть и в любом однород-
ном графе, отличном от Еп, неверна. С. Payan // DM, 23 (1978), № 3, 273-277
[79,4В406].	_
9.	Начертить граф [(Fj+
10.	С помощью операций сложения и	»
умножения выразить граф рис. 1.2.8 через	JL
простые (в смысле дальнейшей неразло-
жимости ни в сумму, ни в произведение).
Единственно ли такое представление?
11.	Доказать (различая равенство и	----
изоморфизм!), что
=	Рис. 1.2.8
a)	G =G;
б)	если G^G', то G’-G,
в)	G\ +G2 =G1 -(j2, Cq ^2 =(q +(^2»
г)	еСЛИ Gj—Gj И Cz2—^2» TO Cq+G2—Cq+G2 И Cq‘C^^Cq *(/2 J
Д) G\ +С?2 =^2 +Cq, Cq ’^2 =^2
е) С1 + (б2+Сз) = (61+С2)+Сз, ^1(С2 ^з) = (61С2) Сз..
12.	Верно ли, что Cq-(С72“•“^з)=	^2)+(^1 ’^з), и получится ли верное
соотношение, если равенство заменить изоморфизмом?
13.	Граф G, очевидно, может быть изоморфен некоторому суграфу своего
дополнения лишь при условии /л (6)<|^л^^. Показать на примерах, что это
условие недостаточно. Подробнее о вложимости графа в свое дополнение
см. в [УС].
14.	Графы 6= (У, U) и G' = (X', U') называются взаиморасположимыми,
если существует такое взаимно однозначное соответствие ст: X <->Х\ что
Ух, уеХ [ху eU<?>а(х)а(у)ё U']. Каждое из следующих трех условий доста-
точно для взаиморасположимости G и G':
1)	т (G)<п-2 & т (G')< л-2, где и = и(6) = л(6');
2)	т	m (G')<(");
3)	произведение наибольших степеней вершин у G и G' меньше п. N. Sauer,
J. Spencer И JCTh, В25 (1978), № 3, 295-302 [79, 8В373; 80m#05098],
Гпава 1. Идентификация
27
15.	Клика F„ содержит «-однородный суграф в том и только том случае,
если л = (2г-1)(2/-1)+1&«=2г-1 или n-2rt + \&.s=2r при некоторых г, ZeN.
Е. KOhler // AMSUH, 41 (1974), 252-254 [75, 6В465].
16.	В графе G=(X, U) не менее 4(s+l)/3 вершин имеют степень
« = min(s(G, х)1хеХ}, а если «<«0, то вершин степени з(х)<з$ не меньше, чем
2 (s0 + l)/3. Su Jian-ji // Acta math. appl. sin., 9 (1986), № 4, 479-486 (87, 5В693].
17.	Каково наибольшее возможное число ребер такого л-вершинного гра-
фа, каждый (2р+q)-вершинный подграф которого является частью
Б.С. Стечкин [88, 11В534].
§ 1.3. ИНВАРИАНТЫ
Таким образом, слова «один и тот же граф» не более содержа-
тельны, чем «один и тот же треугольник» в геометрии; но там оковы
тавтологии разбиваются понятием конгруэнтности: две фигуры
конгруэнтны (равны), если их можно путем движения совместить
друг с другом. Два равных треугольника — не обязательно «один и
тот же треугольник», но они обладают соответственно равными
длинами сторон, величинами углов, площадями и т. п.; такого рода
числовые характеристики треугольника являются его инвариантами
относительно движения. Естественно и для графов поставить во-
прос: какие их характеристики инвариантны относительно изомор-
физма? Примеры таких инвариантов графа G=(X, U) у нас уже
есть: это число вершин л(б), число ребер m(G) и вектор степеней
s(6)=(«1, 32, .... sn), который, в частности, дает скалярные инва-
рианты
5((?)=«! =min{s(G, х)1хеХ} и s(G)=sn =max{s(G, х)/хеУ};
второй из них, часто встречающийся, называют степенью графа и
обозначают просто $((?).
Пусть f:G-*H — функция, относящая каждому графу G неко-
торый элемент f ((?) из множества Н произвольной природы (в дей-
ствительности элементами Н чаще всего служат числа и системы чи-
сел, векторы, многочлены, матрицы). Эту функцию будем называть
инвариантом, если на изоморфных графах ее значения совпадают:
VG, G'-. G^G'^>f(G)=f(G');
введем несколько наиболее важных инвариантов графа.
28
Основы теории графов
Плотность <р (G) — число вершин наибольшего полного подгра-
фа (наибольшей клики) в G, иными словами, наибольшее количест-
во попарно смежных вершин; так, плотности графов рис. 2 равны
3 и 2. Инвариантность этой характеристики следует из того, что при
изоморфном соответствии двух графов каждому подмножеству вер-
шин одного графа, порождающему клику, соответствует в другом
графе подмножество с тем же числом вершин и тоже порождающее
клику. Впредь в аналогичных случаях мы будем считать инвариант-
ность той или иной характеристики графа очевидной.
Неплотность e(G) — число вершин наибольшей груды в графе
G, т. е. наибольшее количество его попарно несмежных вершин. Не-
плотности графов рис. 2 равны 2 и 4 (см. также упражнение 3 к
§ 1.1). Очевидно, £(<7)=ф((7) и (p(p)=e(G).
Хроматическое число y(G). Пусть yeN. Правильной раскраской
вершин графа G = (X, U) в у цветов называется разбиение
множества его вершин на попарно непересекающиеся непустые под-
множества, состоящие из попарно несмежных вершин; образно, это
такая раскраска, при которой каждая вершина имеет один из цветов
1, 2, ..., у (X/ — множество вершин цвета г), все эти цвета использо-
ваны и никакие две смежные вершины не окрашены в один и тот же
цвет1. Наименьшее у, при котором граф G допускает такую раскрас-
ку, и есть по определению его хроматическое число у (G). Напри-
мер, у каждого из графов на рис. 2 и рис. 1.1.3 оно равно 3 (в чем чи-
татель может убедиться путем проб), у (Z/)=y(F/) = 2 при любом
/>1, а у(Сп) равно 2 при п четном и 3 при п нечетном.
Число компонент x(G). Граф называется связным, если множе-
ство его вершин невозможно так разбить на попарно непересекаю-
щиеся непустые подмножества, чтобы никакие две вершины из раз-
ных подмножеств не были смежны. Несвязный же граф G однознач-
но разбивается указанным образом на связные подграфы, называе-
мые компонентами, и их число ж ((7), очевидно, представляет собой
1 При несоблюдении последнего условия раскраска называется неправильной.
Глава 1. Идентификация
29
инвариант графа; если G связен, то x(G) = l. Например, х(Еп)-п,
x(Fn) = l, а у графов рис. 3, 1.1.4 и 1.1.7 х=2.
Число Хадвигера rj (G). Операция стягивания ребра xyeU в графе
G = (X, U), превращающая его в граф с числом вершин n(G)-l и с
меньшим, чем m(G), числом ребер, состоит в следующем:
а)	само ребро ху удаляется, а его концевые вершины х и у заме-
няются одной, которую мы обозначим символом {ху};
б)	эта вершина {ху} объявляется смежной со всеми теми и толь-
ко теми вершинами множества Х'=Х\{х, у}, которые в графе G
были смежны хотя бы с одной из х, у;
в)	смежности вершин множества X' друг с другом остаются
прежними. Наглядно: отрезок
[х, у] стягивается в точку, а каж-
дая пара отрезков вида [х, z],
[у, z] (если такая есть) заменяется
одним отрезком [(ху), z], дабы
полученный граф не имел крат-
ных ребер и по-прежнему был
обыкновенным (рис. 1.3.1).
Говорят, что граф G допускает стягивание на граф G', если мож-
но превратить G в граф, изоморфный G' (или в сам G'), последова-
тельными стягиваниями ребер; в частности, всякий граф допускает
тривиальное стягивание на себя (пустая последовательность опера-
ций). Так, пятиугольник С$ можно стянуть на С$, С4, Fj, F2 и F\, но
нельзя на или клешню. Числом Хадвигера г) (G) связного графа G
называется количество вершин наибольшей клики, на которую
можно стянуть G; ясно, что это — наибольшее количество попарно
непересекающихся классов Х^, У2> •••» на которые можно разбить
множество вершин графа так, чтобы каждый класс порождал связ-
ный подграф и для любых двух различных классов имелось в G реб-
ро, соединяющее вершину одного класса с вершиной другого. Для
несвязного графа (не допускающего, очевидно, стягиваний ни на ка-
кую клику) число Хадвигера определяется как наибольшее из таких
чисел всех компонент.
Например, rj(En) = l, T](Fn)=n, т){Сп}=3 (л>3) а для графов
рис. 2 это число соответственно равно 3 и 5 (в том, что граф Петер-
сена можно стянуть на F$, но нельзя уже на F^, предлагаем читате-
лю убедиться самостоятельно).
30
Основы теории графов
В качестве инварианта графа можно рассматривать не одно
число, а систему чисел, в частности вектор или кортеж; например,
можно употреблять слово «инвариант» по отношению к пятимер-
ному вектору (<р, с, у, х, г]), где <p=<p(G) и т. д. Задание кортежа
(Ль Рь Р2> •••) равносильно заданию многочлена
Р = Р(х)=£р1х/ =Р0 +Р1Х+р2х2+...
|>о
от формальной переменной х, где суммирование ведется до послед-
него отличного от нуля слагаемого. Введем несколько инвариантов
графа, имеющих такой вид.
F «?)=£/, (G)x‘ =fo (G)+J\ (G)x+f2 (G)xU...+fq>(G)x9,
i>0
где (p=(p(G), a (G) — количество z-клик (полных /-вершинных
подграфов) графа G; под 0-вершинным подграфом понимается пус-
тое множество1, в силу чего /q(G) = 1. Очевидно, /](G)=n(G),
f2 (G)(G), max {il (G)*0} =<p.
(G)*( =eQ (G)+q (G)x + e2 (G)x^+...+ee (G)x®,
/>0
где £=e(G), a e, (G) — количество г-груд ({-вершинных безребер-
ных подграфов) в G; eo(G) = l, е\ (G)=n(G), е2 (G)=(”(G^-m(G),
max {/ / е, (G) * 0} = £.
r(G)=£g, (G)x' =gz (G)xZ +gz+1 (G)x?+1+...+g„ &)x”,
где n=n(G), у =y (G), a g, (G) — количество i-раскрасок графа G, т. e.
таких правильно раскрасок всех его вершин, при которых использу-
ется ровно i цветов, причем две i-раскраски считаются различными
в том и только том случае, если в G есть пара вершин х, у, принима-
1 Точнее, пара (0, 0): см. пустой граф [УС].
Глава 1. Идентификация
31
ющих одинаковый цвет при одной раскраске и разные цвета при
другой (такие х и у, очевидно, различны и несмежны); тем самым
раскраски, различающиеся лишь наименованием цветов, рассматри-
ваются как одна и та же; g0 (G)=...=gz_i (G) = 0, g„ (G) = l,g„+1 (G) =
=g„+2 (G)=... = 0, min{i/g,- (G)*0} =y.
H(G)=£A( (G)x' =Л] (G)x+h2 (G)x2+...+An (G)x^,
i>1
где 7)= т? (G), a A, (G) — количество стягиваний связного графа G на
z-клику, причем два стягивания считаются различными, когда в G
есть пара вершин, переходящих в одну вершину при одном стягива-
нии и в разные вершины при другом; hj (G) = 1, max {z / A, (G) # 0}=т?.
Систему инвариантов графа, зависящую от двух или более пара-
метров, можно записать в виде многочлена от нескольких формаль-
ных переменных х, у, г,...; рассмотрим примеры таких инвариантов.
A(G)= ^aij{G}x‘yj ,
где ay (G) — количество тех z-вершинных подграфов графа G, кото-
рые имеют j ребер; адо (G) = l, аОу (G)=0 при j>0.
B(G)= £Ал(С)х‘г*,
z,fc>0
где (G) — количество таких z-вершинных подграфов в G, для ко-
торых число иголок — ребер, соединяющих вершины подграфа с
остальными вершинами графа G, — равно к. Оба эти инварианта
получаются из более общего
S«?)= S^(0x'y>z^,
iti,k>0
где sjjl( (G) — количество z-вершинных подграфов у G, имеющих j
ребер и к иголок: в первом случае надо положить z = l, во втором
у = 1 (для инварианта, получающегося при х = 1, специального обо-
значения мы не вводим).
Конкретные примеры, поясняющие роль всех этих многочлен-
ных инвариантов, а также способы их вычисления будут
32
Основы теории графов
рассмотрены в § 1.4. Сейчас обратимся к числовым инвариантам,
связанным с матричным заданием графа.
Пусть G = (У, U) — п-вершинный граф. Пронумеруем его верши-
ны натуральными числами 1, 2, ... п (одним из п\ способов) и соста-
вим квадратную матрицу А (G)	||й, элементы которой определя-
ются так:
а _ если *“я и ./“я вершины смежны,
lJ 10, если эти вершины не смежны.
Ясно, что все а„ =0 и что A(G) — симметричная матрица:
аМ она называется матрицей смежностей графа G с заданной
нумерацией вершин.
Матрица смежностей — не инвариант графа: при перенумерова-
нии вершин она претерпевает перестановку рядов, состоящую из
перестановки строк и точно такой же перестановки столбцов. Но
любая функция элементов а^, не меняющаяся ни при каких пере-
становках рядов матрицы А((Э}, является инвариантом графа G; к
числу таких функций относятся сумма всех ее элементов, неупоря-
доченный набор сумм элементов каждой строки или сумм элемен-
тов каждого столбца, определитель матрицы det A(G), ее характе-
ристический многочлен det (A (G)-AE) и корни последнего и др.
В теории линейных преобразований их собственные векторы и
числа имеют наглядный геометрический смысл. При переходе к об-
разам второго порядка, когда линейное преобразование формально
связывается с матрицей квадратичной формы, эта непосредствен-
ность утрачивается, но геометрический смысл собственных чисел и
там ясен. Что же касается матрицы смежностей графа, то комбина-
торный смысл ее собственных значений окутан густым туманом.
Однако инвариантность характеристического многочлена этой мат-
рицы относительно подобия1, в частности перестановки рядов,
означает, что совокупность его корней, называемая спектром гра-
фа, — инвариант; он не определяет граф с точностью до изоморфиз-
ма (см. упражнение 27), но, как и вектор степеней, играет важную
1 Напомним, что квадратные матрицы А и А' порядка п называются подобными,
если при некоторой невырожденной квадратной матрице В (того же порядка) имеет
место соотношение А' - В~х А-В.
Глава 1. Идентификация	33
вспомогательную роль. Путь изучения спектральных свойств гра-
фов без отрыва от наглядности пока окончательно не найден, но не-
льзя пройти мимо богатого фактического материала, накопленного
в этой области, частичной его систематизации и многочисленных
приложений (в химии, физике и др.); поэтому следует приветство-
вать выход монографии: D.M. Cvetkovic, М. Doob, Н. Sachs. Spectra
of Graphs. Berlin: VEB Dtsch. Verlag der Wiss., 1980 [84a#05046] и ее
перевод: Д. Цветкович, М. Дуб, X. Захс1. Спектры графов. Теория и
применение. Киев: Наукова думка, 1984 [84, 6В456К]. См. также
R.K. Chung Fan. Spectral graph theory. Providence (R.I.): Amer. Math.
Soc., 1997. XI, 207 pp. [00, 8B271] (с приложениями к теории сетей
связи, компьютерным наукам и математической физике). В нашей
книге эти вопросы не рассматриваются.
Ввиду симметричности матрицы A (G) для ее задания достаточно
выписать в определенном порядке лишь те элементы, которые рас-
положены над главной диагональю, т. е., например, задать кортеж
(«12, «13, «23» «14» а24, а34> •••, «л-1,л)
длины I . Число
«12 -2° +«1з • 21 +«23 * 2^ +«14 * 23+.. .+«л-1 п • 2^2)
(при записи которого в двоичной системе количество единиц равно
«12, количество двоек «13, количество четверок «23 и т. д.) назовем
двоичным кодом матрицы А (G). Двоичные коды матриц смежностей
одного и того же графа, отвечающих разным нумерациям его вер-
шин, конечно, не обязаны совпадать; наименьший из этих кодов
(при всевозможных п\ нумерациях вершин) будем называть мини-ко-
дом /л (G), а наибольший — макси-кодом р (G) графа G. Оба эти кода,
очевидно, — инварианты, и, более того, по любому из них и количе-
ству вершин легко восстанавливается одна из матриц смежностей
графа, а значит, и сам граф (с точностью до изоморфизма). Приве-
дем пример.
1 Более правильная транскрипция: Закс.
34
Основы теории графов
Клешня допускает 4! = 24 различных нумераций вершин
(рис. 1.3.2).
2—3 2—4 3—2 3—4 4—2 4—3 3—1 3—4 4—1 4—3 4—1 4—2
И И И ИИ И И ¥\ И И И и
Рис. 13.2
Из-за очевидной симметрии в структуре графа перестановка друг с
другом вершин степени 2 не меняет матрицу смежностей, и поэтому
различных матриц будет не 24, а только 12; для их нахождения ис-
пользуем нумерации верхнего ряда рисунка; соответствующие мат-
рицы и их коды будут
0	1	1	0	
1	0	1	0	,	1-2° +1-21 + 1-22 +0-23 +0-24 +1-25 =39;
1	1	0	1	
0	0	1	0	
0	1	0	1	
1	0	0	1	,	1-2° +0-21 +0-22 + 1-23 +1-24 +1-25 =57;
0	0	0	1	
1	1	1	0	
0 10 0
10 11
0 10 1
0 110
1-2° +0-21 + 1-22 +0-23 +1-24 +1-25=53.
Мини-код /л (И ) = 15 отвечает седьмой нумерации (и расположен-
ной под ней 19-й), макси-код /1 (И ) = 60 — восьмой (и 20-й). Наобо-
рот, если о графе известно лишь, что он имеет четыре вершины, а
двоичный код одной из его матриц смежностей равен 27, то, пред-
Глава 1. Идентификация
ставляя это число в двоичной системе (до разряда 25, так как
-1 = 5), получаем
27=1-2° + 1-21 + 0-22 + 1-23+1-24 + 0-25,
откуда находим матрицу и соответствующий граф (рис. 1.3.3).
В случае 5-вершинного графа с тем же кодом надо записать уже
27=1-2° + 1-21 + 0-22 + 1-23 + 1-24 +0-25+...+0-29
(поскольку -1 = 9), что дает матрицу и граф рис. 1.3.4; и т. д.
0 111
10 0 1
10 0 0
110 0
Рис. 1.3.3
1------------2
0 1110
10 0 10
1 0 0 0 0
110 0 0
0 0 0 0 0
Рис. 1.3.4
Количество вершин можно не сообщать, если заранее известно,
что у графа нет изолированных вершин. При задании же графа его
макси-кодом ясно, что если последний отличен от нуля, то он необ-
ходимо содержит единицу старшего разряда 2к, т. е. отвечает такой
нумерации вершин графа, при которой пара (и-1)и является реб-
ром, в силу чего число вершин п однозначно определяется из усло-
вия Г -1=&; лишь в случае /л (0=0, т. е. когда G — груда Еп, чис-
V )
ло п может быть любым.
Упражнения и дополнения
1.	Найти плотность, неплотность, хроматическое число и число Хадви-
гера каждого из графов рис. 1.2.3.
2.	Доказать, что если в n-вершинном графе степень каждой вершины не
меньше (и-1)/2, то он связен. Количество связных подграфов обыкновенного
графа с заданными степенями вершин оценивает А.М. Леонтович [88, 4В561].
36
Основы теории графов
3.	Доказать, что в связном неполном графе G = (АЛ, U) всегда есть такие
три различные вершины х, у, z, что ху ё U, xz eU и yz е U.
4.	Доказать, что любой обыкновенный n-вершинный граф можно превра-
тить в кусочно полный, все компоненты которого — клики, удалением не более
ребер, где fc = max	R.С. Entringer,
С.С. Harner // JCTh, В12 (1972), № 3, 245-251 [72, 11В318].
5.	Доказать, что (р (G) >2у (G)-n (G), причем равенство имеет место только
для G-F„. (Указание: легче начать с вывода неравенства в виде п> (р+2 fy-(p),
приняв во внимание, что при правильной раскраске все такие вершины, цвет
каждой из которых больше нигде не встречается, смежны друг с другом.) Отсю-
да и из очевидного факта, что хроматическое число графа не может быть мень-
ше его плотности, получаются точные оценки (p(G)<y (G)<L(/i (G)+<p(G))/2J.
А.З. Зеликовский (Кишиневский семинар, ноябрь 1979 г.).
5'. Если у=п-\, то (р = п-2 или G^C5+ Fn_$. М. Dhurandhar // JCTh,
В37 (1984), № 3, 210-220 [85, 9В563].
6.	Пусть функция /: G—> N U {0} от графов G=(Y, U) удовлетворяет
условиям:
а)	если f (G) = 0, то y(G) = cp(G);
б)	если f (G)>0, то найдется такая хеХ, что f (р\х)< f (G). Тогда VG:
у (G)<cp(G)+ f (G). Свойствами а) и б) обладает, например, f (G) = min{|У| IY а
&/(G\T) = <p(G\y)}, однако находить ее значения не просто. Т. King,
G.L. Nemhauser // DM, 10 (1974), № 1-2, 117-121 [75, 5В455].
7.	Доказать точные оценки fn(G)/f (G)1<y @)<n(G)-£ (G)+l.
8.	Доказать, что а) если в G нет подграфов типа Z3, то у (G) = <p(G);
б) у (G)<k тогда и только тогда, когда G является суграфом некоторого графа,
не имеющего подграфов типа Z3 и D. Seinsche // JCTh, В16 (1974), № 2,
191-193 [74, 9В421]; J.С. Arditti, D. de Werra // JCTh, B21 (1976), № 1, 90
[77, 2B481; 54#2510],
9.	Если в G нет подграфов типа F2 + F2+...+F2 (к слагаемых), то
у (G)< fk (<p(G)), где fk (<р) — многочлен степени 2 (fc-1) от (р, определяемый ре-
куррентно:
(
f\ (<Р) = 1, А+1 (ф) = 1? \fk (<?)+<? ПРИ k>V
S. Wagon // JCTh, В29(1980), № 3, 345-346 [81, 7В687].
10.	Пусть f - f (G) — какой-нибудь инвариант графа G, a f =f(G). Верх-
ние и нижние оценки для f+ f и ff через и = л (G) = n(G) называются оценками
типа Нордхауза—Гаддума. В случае хроматического числа (J =у) эти оценки
имеют вид
Глава 1. Идентификация
37
2л/л </+/<и + 1, п<у у <(и + 1)2/4.
А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2, 163—188 [MRl 1р733] (нижняя оценка
произведения); F.A. Nordhaus, J.W. Gaddum // Amer. Math. Monthly 63 (1956),
№ 3, 175—177 [58, 6, 4581] (в полном виде). Обобщения: К. Schriiger // JCTh, В16
(1974), № 1, 77-85 [74, 7В518].
10'. Для любой пары натуральных чисел у, у, таких что у 4-у <n +1 и у у > и,
существует л-вершинный граф G с у(С)=у и y(G)=y. В.М. Stewart // JCTh,
6 (1969), № 2, 217-218 [69, 10В212].
11.	Если G — s-однородный n-вершинный граф, то у (<7)>-4г . J.A. Bondy //
JCTh, 7 (1969), № 1, 96-98 [70, 2В362].
12.	Известно, что у (6)<max {min{z, rz+l}/z = l, 2, ..., и}, где (rb r2> •••» U =
= t(G) — обращенный вектор степеней (D.J.A. Welsh, M.B. Powell [68, 5B228]);
аналогичное доказательство для гиперграфов приведено в статье А.А. Зыкова
«Гиперграфы» (УМН, 29 (1974), № 6, 89—154 [75, 7В422]). Запишите ту же оцен-
ку через компоненты необращенного вектора s(G) и воспроизведите доказа-
тельство. См. далее: М.М. Syslo // DM, 74 (1989), № 1-2, 241-243 [90, 7В474].
Дальнейшие оценки хроматического числа см. в § 1.9, § 2.2 и упражнени-
ях 26—30 к нему, а также в [УС].
14.	Доказать, что (р ((7) >2т] (G)~n (6) и что для числа Хадвигера справедли-
вы оценки (p(G)<rj (G) < |_ ”—G  J. В.В. Берков (Кишиневский семинар,
ноябрь 1979 г.). Указание: сравнить с упражнением 5.
15.	Рассмотрим неравенства [n(G)/e (Gy\<T]	(С)+1.
а)	Доказать справедливость и точность верхней оценки для т)(С).
б)	Показать, что нижняя оценка для т] (G) имеет место, если справедлива гм-
потеза Хадвигера: т]((7)>у(С); не опираясь на эту гипотезу, попытаться дока-
зать нижнюю оценку хотя бы для некоторых классов графов. Более слабую
оценку (2г-1 )т]>п в общем случае получили Р. Duchet, Н. Meyniel // Graph
Theory. Amsterdam e.a., 1982, 71-74 [84, 4B473; 84h#05074].
16.	Составив матрицы смежностей клешни, отвечающие седьмой и вось-
мой нумерациям верхнего ряда на рис. 1.3.2, вычислить мини-код /л (И) и мак-
си-код /1 (И)-
17.	Начертить граф без изолированных вершин по мини-коду /л =236.
18.	Начертить граф по макси-коду /1=787.
19.	На рис. 1.3.2 первая нумерация верхнего ряда переводится в 12-ю под-
(1 2 3 4Л
3 4 2 1 7 ’ Т’ е' номеР * заменяется на 3, номер 2 — на 4 и т. д. Убе-
диться в том, что если в матрице смежностей, отвечающей первой нумерации,
проделать такую же перестановку строк (т. е. поставить первую строку на тре-
тье место и т. д.), а затем и столбцов, то получится матрица, отвечающая 12-й
нумерации. Проделать аналогичные преобразования матриц при переходе от
38
Основы теории графов
первой нумерации к седьмой, от седьмой к восьмой и от какой-нибудь нумера-
ции верхнего ряда к нумерации под ней.
20.	По виду самого правого из четырех графов рис. 1.2.2 определить такую
нумерацию его вершин, которая приводит к макси-коду, и найти этот код; то
же для остальных графов рисунка и для мини-кода.
21.	Гипотеза у (G) < rang Я (G) справедлива при у (G) = 3, 4, 5 (С. van Nuffelen
[82, 1В812; 82, 11В642; 83m#05063]), но для у = 32 построен контрпример с
rang Л =28: N. Alon, P.D. Seymour // JGrTh, 13 (1989), № 4, 523-525 [90, ЗВ450];
оценка разности: A.A. Razborov // DM, 108 (1992), № 1—3, 393—396 [93, 10В213].
См. далее: A. Kotlov, L. Lovasz // JGrTh, 23 (1996), № 2, 185-189 [97, 4В246].
Ly(G, х.) при j=i,
22.	Пусть S(G) =||^||Я, где SiJ=\ J . .	G=(X,U\
J	при
X ={jq, x2, ...» хл},||а(у|| = Л (G). Граф G связен в том и только том случае, если
rangS (G) = л-1. Raghvarao Damaraju // Util. Math., 11 (1977), 107—112 [77,
12В644].
23.	Пусть |||| = Я (G)+E, Е — единичная матрица порядка п = п (G). Тогда
п г
Е(С) = гаах^
х »=1 Ъ
у=1
где максимум берется по всем векторам х = (хь х2, ...» хп) с неотрицатель-
ными X/. Отсюда, в частности, получаются оценки
е (G)> n2l((n+2m (G))) и s(G)>n/A],
где Aj — наибольшее собственное число матрицы ||afy||. Б.Д. Гинзбург// Сооб-
щения АН ГрузССР, 85 (1977), № 2, 289-291 [77, 10В349].
24.	Зная числа w = n(G), wz = wi(G), f и e = e?(G), найти количества
u = u(G)hu=v (G) трехвершинных подграфов вида И2 и вида И2 в обыкновенном
графе G.
25.	При заданных плотности (р и неплотности £ число вершин п обык-
новенного графа не может быть произвольно большим. Известны оценки:
(Н
= max -- ,
х £
(Р. Erdos, G. Szekeres // Compos, math., 2 (1935), 463—470 [Zbl 12p270]),
Л<3-2Ф^-2
(Л.М. Лихтенбаум // Матем. сб., 23(1948), №2, 315-328 [MR10p316]),
Глава 1. Идентификация
39
и < £ (Ф7-2 2)('’+1) +	2)(/+1)
(Л.М. Лихтенбаум // Сибирский матем. ж., 3 (1962), № 4, 561—568 [63, 5А318]).
Было бы интересно сравнить эти оценки.
26.	Числом Рамсея R(p> q) называется такое наименьшее натуральное
число, что граф G содержит либо р-клику, либо «/-груду всякий раз, когда
n(G)>jR(p, q). Доказать, что
<p(Gy UG2)</?(<p(G1)+l, <р(С2)+1)-1,
где	= (Ху, Uy), (72 = (X2, U2), причем допускается Ху П Х2 * 0, а объединение
графов
GyUG2±(Xy\JX2, UyUU2).
Е.А. Nordhaus // Leet. Notes Math., 110 (1969),
245—249 [70, 8В260]. См. также: H. Mizuno,
I. Sato [88, 10В623]. В общем виде: теория
Рамсея [УС].
27.	Убедиться в том, что неизоморфные
графы каждой из четырех пар на рис. 1.3.5
коспектральны (что это значит?). C.D. Godsil,
B.D. McKay [84, 5В518] предлагают несколько
методов построения таких пар.
Рис. 1.3.5
§ 1.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ
Чтобы вычислять тот или иной инвариант графа, надо прежде
всего иметь сам граф — он должен быть как-то задан. Один из спо-
собов задания обыкновенного графа вытекает непосредственно из
его определения и состоит в том, что выписываются символы (иден-
тификаторы) его вершин и те пары символов, которые соответству-
ют ребрам. Отвлекаясь от различий между изоморфными графами
(и, следовательно, от конкретной природы его элементов), можно
считать вершинами графа сами эти символы. Роль последних проще
всего поручить натуральным числам (часто пользуются также сим-
волами %], х2> ...» хп и т. п.). Например, нумеруя вершины графа
Петерсена как показано на рис. 1.4.1, мы зададим этот граф
40
Основы теории графов
количеством вершин и = 10 (выписывать само
множество X, очевидно, излишне) и множеством
ребер U ={12,15, Гб, 23, 27,34,38, 45, 49,510, 68, 6~9,
79, 710, 8Н)}. При другой нумерации вершин по-
лучится, вообще говоря, другое множество ре-
бер; так, если от рассмотренной нумерации вер-
шин графа Петерсена перейти к новой с по-
мощью подстановки
12 3
2 3 4
4 5 6 7 8 9 ЮЛ
, то ребрами
5197 10 8 6J
будут уже элементы множества {23,21,29,34,37,45,410,51,58,16,910,
98, 78, 76, 106}, или, в иной записи (при словарном порядке пар),
{12, 15, 1~6, 23, 29, 34, 3~7, 45, 410, 5~8, 67, 610, 7~8, 8~9, 910}.
Другой способ задания графа с вершинами 1, 2, ..., п состоит в
том, что для каждой из них (в натуральном порядке) выписывается
множество тех следующих, которые с ней смежны. Так, для графа
рис. 1.4.1 этими множествами (в строго определенной последова-
тельности) будут
{2, 5, 6}, {3, 7}, {4, 8}, {5, 9}, {10}, {8, 9}, {9, 10}, {10}, 0, 0;
произведя указанную выше подстановку номеров вершин, получим
для графа Петерсена с новой нумерацией систему множеств
{2, 5, 6}, {3, 9}, {4, 7}, {5, 10}, {8}, {7, 10}, {8}, {9}, {10}, 0.
Число вершин графа при таком способе задания можно не указы-
вать, поскольку оно совпадает с количеством множеств системы.
Еще один способ состоит в том, что для каждой вершины выпи-
сываются номера следующих несмежных с ней; это равносильно за-
данию предыдущим способом графа G, дополнительного к G.
При любом из трех рассмотренных способов задания графа G не
составляет труда написать его матрицу смежностей A(G). Так, во
втором случае элементы ьго множества являются номерами тех
столбцов, на пересечении которых с ьй строкой правее главной диа-
гонали стоят единицы; часть же матрицы, находящаяся левее (ниже)
этой диагонали, восстанавливается по симметрии. Наоборот, имея
любую из этих двух «косынок», можно сразу же выписать все ребра
Глава 1. Идентификация
41
графа G или, для второго способа задания, — соответствующие по-
следовательные множества вершин. Алгебраический подход к тео-
рии графов и многие приложения (например, к расчету электриче-
ских цепей) требуют матричного задания, однако этот способ менее
экономен по сравнению с тремя предыдущими, поскольку в матри-
це смежностей информация о графе, даваемая каждой «косынкой»,
дублируется ее напарницей, а значительное число клеток матрицы
занято нулями.
Самым экономным представляется задание графа (с пронуме-
рованными вершинами) двоичным кодом его матрицы смежностей,
но и этот способ имеет свои недостатки, о чем мы будем говорить
в §1.5.
К числу способов задания графа следует отнести и визуаль-
ный ~ посредством чертежа. Этот способ вовсе не является «менее
строгим», чем предыдущие, хотя бы уже потому, что современным
устройствам вполне под силу перевести изображение графа (выпол-
ненное, разумеется, с соблюдением определенного минимума требо-
ваний к четкости) в его матрицу смежностей или другую аналитиче-
скую запись, и наоборот, начертить граф, заданный аналитически:
см., например, Т. Kamado, S. Kawai // Inf. Process Lett., 31 (1989),
№1,7-15 [89, 10B384J; В.П. Пинчук // Радюелектрошка, шформати-
ка, управлиння. Запор1жжя: ЗДГУ, 1999, № 1, 89—92. Однако пре-
имущество наглядности визуального способа быстро теряется с уве-
личением количеств вершин и ребер графа.
При каждом из рассмотренных способов задания графа G найти
его инварианты n(G), m(G) и s(G) — дело весьма простое; например,
для определения вектора степеней s (G) по макси-коду /i (G) надо
сначала восстановить матрицу смежностей, затем подсчитать коли-
чество единиц в каждой ее строке (или каждом столбце) и, наконец,
расположить найденные числа в неубывающем порядке. Это позво-
ляет нам квалифицировать инварианты п, т и s как «легко вычисли-
мые». Почти столь же просто находится число компонент х (G)1. Но
совсем иначе обстоит дело с инвариантами <р, £, у и ту, вполне заслу-
живающими репутации «трудно вычислимых». Начнем с плотности
<p(G) и других связанных с ней инвариантов.
I См. добавление 1 и книгу [А8].
42
Основы теории графов
Пусть х — вершина графа G-(X, U); через O(G, х) будем обо-
значать ее окружение — подграф, порожденный всеми смежными с
ней вершинами. (Если х — изолированная, то под O(G, х) понима-
ется не граф, а пустое множество, причем ф(0)=О.) Нетрудно пока-
зать, что
<p(G)=max{<p(G\x), <p(O(G, х)) + 1},	(1)
но мы остановимся на сходном доказательстве другого соотноше-
ния:
fi (£)=fi (G \ х)+/^ (О (G, х))	(2)
при всех г = 0, 1, 2, ..., где f] (G) — количество z-клик в G, т. е. коэф-
фициент при х1 многочлена F(G), определенного в § 1.3 (считаем
/-1 =0 для любого графа или пустого множества). В самом деле,
первое слагаемое правой части подсчитывает все те z-клики в G, ко-
торые не содержат вершину х, а второе слагаемое — все те, которые
ее содержат и поэтому взаимно однозначно соответствуют всем
(z-1)-кликам окружения O(G, х).
Зная многочлен F(G), т. е. систему инвариантов {//(G)}, без
труда находим плотность: <p(G) = max{z7 /z (G)*0}; вычислять ее ре-
куррентно, непосредственно пользуясь соотношением (1), не легче,
чем находить всю систему {/, (G)}, и мы займемся этой последней
задачей.
С целью устранения двойной рекурсии — по графу G и по индек-
су i — умножим равенство (2) на х* и просуммируем по /; это даст
соотношение
F(G)=F(G\x) + xF(O(G, х))
для функции F (G)=	(G)x1 от графа G, значениями которой слу-
жат уже не числа, а многочлены от формальной переменной х. Но
теперь рекурсия проводится только по графу: значение F от графа G
выражается через значения этой же функции от графов G\x и
О (G, х), первый из которых содержит ровно на одну, а второй — по
крайней мере на одну вершину меньше, чем исходный.
Пользуясь этим рекуррентным соотношением и начальным
условием F(0) = 1, можно вычислить многочлен F для любого гра-
фа; во избежание неопределенности при выборе вершины х на
Глава 1. Идентификация	43
каждом из промежуточных шагов, достаточно с самого начала
как-то пронумеровать вершины и в дальнейшем всегда применять
рекуррентное соотношение к вершине с наименьшим номером
(среди оставшихся).
Например, в случае клешни процесс выглядит следующим об-
разом:
fQ/?)=f(2-?) + x-F(2- 3)=fQ}+x-F(3)+x[F(3)+x-F(3)]=
=F(4)+x-F(4) + (2x+x2)F(3) = (1+x)PF(0) + x-F(0)"| +
+(2x+x2)[F(0) + x-F(0)]=(1 + x)(1 + x) + (2x + x2)(1+x) =
= l + 4x + 4x2 +x3,
откуда /0(и) = 1> /1(и)=/2(и)-4, /з(и) = 1? Л(и) = А(и) =
=...=0 и, значит, <р(И)=3.
Для нахождения неплотности г (G) можно воспользоваться ана-
логичным рекуррентным соотношением, которому удовлетворяет
инвариант E(G):
E(G)=E(G\x)+x«E(O(G, х)),
где О (G, х)=О((т, х) — подграф в G, порожденный отличными от х
и не смежными с ней вершинами; начальное условие: Е (0) = 1. Так,
Е	=Е (2 “।)+х • Е (4)=Е Q)+х • Е (4)+х [ Е (0)+х • Е (0)]=
=Е(4)+х-Е(0) + х[Е(0) + х-Е(0)]+х(1 + х)=Е(0)+х-Е(0) + х +
+х(1+х)+х(1 + х) = 1+х+х + 2х(1+х) = 1 + 4х + 2х2,
откуда е0(и) = 1, е1(и)=4, е2(и) = 2, е3(и)=...=0 и е(и) = 2. Рекур-
рентную формулу для нахождения Е (G) предлагает также J.L. Аго-
cha (Cienc. mat., 5 (1984), № 3, 103-110 [86, 12В859]).
44
Основы теории графов
Прежде чем перейти к вычислению других инвариантов, пореко-
мендуем один технический прием, позволяющий в процессе много-
кратного применения рекуррентного соотношения не переписывать
одно и то же слагаемое по нескольку раз. Если, скажем, при вычис-
лении многочлена F на некотором этапе надо применить соотноше-
ние к слагаемому вида a-F ((?'), то мы попросту вычеркиваем это
слагаемое и добавляем к сумме два новых: aF (G' \ х) и axF (О (Gf, х)).
В качестве «первоначальной суммы» берется «сумма из одного сла-
гаемого» — символ F (G), где G — данный граф. Еще одно упроще-
ние: вместо символа F (G') рисуем сам граф G', символ 0 сразу заме-
няем на 1, а символы одновершинных графов — на 14-х. Лишь после
того, как в «текущей сумме» все «графские» слагаемые окажутся вы-
черкнутыми, ставим знак равенства и пишем результат приведения
подобных членов. Например, процесс вычисления F(H) будет
выглядеть так1:
(1 + х) + х[(1 + х) + х(1 + х)]+(1 + х) +
+х(1 + х) = 1 + 4х + 4х2 4-х2.
Приступая к нахождению количеств z-раскрасок (G) и хрома-
тического числа у (G), советуем читателю еще раз осмыслить приве-
денные в предыдущем параграфе определения /-раскраски и разли-
чия двух таких раскрасок: при правильном понимании этого дол-
жно быть очевидно, что в случае клики
g' (7?л)={о
при i-n,
при i*n.
Пусть теперь G — неполный граф, а х*у — какие-нибудь его не-
смежные вершины. Обозначим через GUxy граф, полученный из G
1 Аналогичную методику можно применять и к решению совсем других математиче-
ских задач, например на дифференцирование и интегрирование; при явном преиму-
ществе краткости она обладает серьезным недостатком: в случае ошибки невозможно
отыскать «первое неверное равенство» — и приходится все начинать заново.
Глава 1. Идентификация
45
добавлением ребра ху, а через G <ху > — полученный из G отождест-
влением вершин х и у или, что равносильно, из Gljxy стягиванием
ребра ху. Множество всех различных f-раскрасок вершин графа G
можно разбить на два подмножества: таких раскрасок, при которых
вершины х и у получают разные цвета, и таких, когда эти вершины
окрашиваются одинаково. Раскраски первого типа взаимно одно-
значно соответствуют всевозможным /-раскраскам вершин графа
G\Jxy, а раскраски второго типа — z-раскраскам вершин G<xy>,
отсюда
gi (G)=gi (GUxyl+gj (G<xy>).
Умножая это равенство на х' и суммируя по i, получаем
Г (G) =Г (GUxy)+Г (G <ху >).
Заметим, что переход от чисел g, (G) к многочлену Г (G) =
= £gz (G)x’ не упрощает (хотя и не усложняет) вычислений в отли-
чие от случая многочленов F (G) и Е (G), так как формула для g, (G)
рекуррентна только по графу, но не по индексу /; однако для едино-
образия мы и тут будем пользоваться многочленной формой записи.
Полученное рекуррентное соотношение для Г (G) вместе с на-
чальными условиями
Г(Е,)=х’, i=l, 2, ...
позволяет вычислить многочлен Г от любого графа G. Опять ради
простоты можно вместо Г (G) рисовать сам граф G, а «графские»
слагаемые вида aF, заменять на ах1. Выбор очередной пары не-
смежных вершин для применения рекуррентного соотношения про-
изволен (здесь, как и при вычислении F и Е, тоже можно навести по-
рядок, хотя и немного сложнее). Например, процесс нахождения
Г (И) выглядит следующим образом:
ф + V = Ki + I/3 + V = 2х3 +Х«,
г 4	1—4	14	1—4 г 14
46
Основы теории графов
т. е. Г(И) = 2х3+х4, откуда gx (n)=g2(n) = 0, g3 (И) = 2, g4 (И) = 1,
85 (С7|)=--- = 0 и у (<7)=3. Именно, при раскраске тремя цветами вер-
шины треугольника 123 должны иметь три разных цвета (названия
этих цветов роли не играют), а для вершины 4 остаются две возмож-
ности: окрасить ее либо в тот же цвет, что и вершину 1, либо в цвет
вершины 2; раскраска же четырьмя цветами — только одна: когда
цвета всех четырех вершин различны.
Метод «текущей суммы» для упрощения записи можно приме-
нять и тут, притом с дальнейшим усовершенствованием: вместо то-
го чтобы зачеркнуть слагаемое а& и добавить aG'\Jxy + а& <ху >,
просто дорисуем ребро ху в графе G' слагаемого а&9 после чего
прибавим а& <ху > ко всей сумме; тем самым мы вообще обойдем-
ся без зачеркиваний. Предлагаем читателю осуществить эту проце-
дуру для графа С5 (номера вершин можно не указывать), а затем
сравнить свою запись с нашей (в которой сохранен знак равенства
на первом шаге, дабы не потерять из виду исходный граф):
4-Х5.
Заметим, что слагаемые вида aG' с а>1, о которых шла речь выше,
могут появляться, если приводить подобные члены до того, как ис-
пользованы все возможности применения рекуррентного соотноше-
ния; однако такое «преждевременное приведение» требует много-
кратного распознавания изоморфизма (см. § 1.5) и поэтому далеко
не всегда целесообразно. Некоторые усовершенствования рассмот-
ренного процесса предложили D.G. Corneil, В. Graham // SIAM J.
Computing, 2 (1973), № 4, 311—318 [74, 6В449].
Для многочленов В (6) и Н ((7) тоже известны рекуррентные спо-
собы вычисления, но они выводят за пределы класса обыкновенных
графов (см. упражнение 22 к § 2.7 и А.А. Зыков // Кибернетика, 1968,
№ 5, 58—62 [69, 6В282]), а для S ((7) такого рода способ к тому же
слишком громоздок. Многочлен А ((7), напротив, допускает рекур-
рентное вычисление в классе обыкновенных графов (упражнение 5).
Рассмотренные способы вычисления отличаются красотой и на-
глядностью, вообще говоря, лишь при очень малом количестве
Глава 1. Идентификация
47
вершин. Даже весьма грубая оценка показывает, что уже при
n(G) = 15 для непосредственного рекуррентного вычисления инвари-
антов типа F и Г на самой совершенной ЭВМ потребовались бы ме-
сяцы непрерывного счета и немыслимый объем памяти. А так как
эти инварианты и для теории и для приложений очень важны, то
проблема упрощения их вычисления встает во весь рост. Но она по-
ка еще далека от полного решения, и мы ограничимся примером,
иллюстрирующим нынешнее положение дел.
Предположим, что для заданного графа G = (Ar, U) требуется не
просто найти числа g, (G), а фактически указать все правильные
раскраски вершин всевозможными количествами цветов. Если
М (G) — множество всех таких раскрасок, а х, у е X — любые две
несмежные различные вершины, то, очевидно,
M(G) = M(GUx»UM(G<xy>),	(3)
причем М (GUxy)riAf ((? <ху >)=0 (см. вывод рекуррентного соот-
ношения для многочлена Г (G)). Применяя соотношение типа (3) к
тем из полученных множеств раскрасок, которые отвечают непол-
ным графам, и т. д., мы в конце концов представим M(G) в виде
объединения попарно непересекающихся множеств раскрасок вер-
шин клик.
Как и прежде, будем вместо символа М (G) рисовать сам граф G
(толкуя его как иероглиф, обозначающий множество правильных
раскрасок его же вершин), а также пользоваться методом «текущей
суммы» (в усовершенствованной форме). Для графа «дом» весь про-
цесс приводит к такой записи:
каждый шаг процедуры состоит в однократном использовании ра-
венства типа (3), что выражается в добавлении нового ребра к како-
му-то неполному графу и добавлении нового «слагаемого» ко всей
«сумме» графов, поэтому общее число шагов (при таком понимании
слова «шаг») в точности равно количеству полученных «слагаемых».
48
Основы теории графов
Но, с другой стороны, все эти «слагаемые» взаимно однозначно
соответствуют всевозможным правильным раскраскам вершин ис-
ходного графа (показать это в общем случае предложим читателю):
например, по последнему «слагаемому» сразу видим 3-раскраску,
при которой вершины 2 и 5 имеют один цвет, вершины 3 и 4 — дру-
гой, а вершина 1 — третий. Таким образом, количество шагов при
решении задачи — как раз то, которое нужно для выдачи полного
ответа на вопрос, а если оно чересчур внушительно, то виною тут не
способ решения, а сам факт наличия у графа слишком большого
количества раскрасок [УС].
В действительности «шагов» при решении задачи гораздо боль-
ше: мы ведь не учитывали различных вспомогательных операций,
да и каждый «шаг» на самом деле состоит из многих более простых.
Но и при нашем заниженном подсчете числа шагов сама постановка
задачи об уменьшении их количества может показаться бессмыслен-
ной. Спешить с категорическими выводами, однако, не стоит: для
наших далеких предков было само собой разумеющимся, что при
задании числа непременно надо выложить столько камешков или
сделать на палке столько зарубок, каково это число, — а впоследст-
вии появились позиционные системы... Здесь, правда, можно возра-
зить, что если 1.385.612 является вполне понятной компактной за-
писью не обозримого непосредственно количества камней в куче, то
сам граф G и есть весьма компактное хранилище множества М (G)
его раскрасок (и другой информации — см. добавление 2); но ведь
вопрос о нахождении еще более удобного «хранилища» не имеет по-
ка даже точной математической постановки! Феноменальная же
«вместимость» человеческого мозга, возможно, обусловлена как раз
тем, что информация хранится в нем в виде каких-то комбинатор-
ных структур, образующихся подмножествами клеток в процессе за-
поминания и качественно отличных от «строк» и «страниц».
Но вернемся к раскраскам. Пути к уменьшению числа шагов
можно искать и в упрощении постановки самой задачи — например,
добиваться не полного перечисления всех правильных раскрасок, а
лишь нахождения для каждого i какой-нибудь одной z-раскраски;
дальнейшее упрощение: найти только хроматическое число
у (G)=min{z7gz (С?)*0} (предлагаем читателю вопрос: случайно ли
мы «забыли» о промежуточной задаче — найти все такие /, для кото-
рых g, ((7)*0). Однако все известные до сих пор результаты в этой
Глава 1. Идентификация
49
области свидетельствуют о том, что даже задача нахождения одно-
го лишь инварианта у (G) в общем случае не проще выявления всех
правильных раскрасок вершин графа G. Аналогичная картина на-
блюдается и в отношении многих других инвариантов, например
F(G), <p(G), E(G), s(G), H(G), z?(G), A(G), B(G).
А как уменьшить объем памяти, требующийся при рекуррент-
ном вычислении инварианта на ЭВМ? Тем, кого это серьезно инте-
ресует, предложим следующую идею.
Применяя, например, соотношение (3), надо в памяти машины за-
менить один граф G двумя графами G\Jxy nG<xy> почти такой же
сложности, не слишком сильно отличающимися от исходного и поэ-
тому в значительной степени дублирующими информацию. Нельзя
ли вместо обоих графов записывать один «обобщенный», неизменная
часть которого такая же, как у исходного графа, а изменяющаяся
часть допускает (благодаря введению каких-то дополнительных зна-
ков) два толкования, отвечающих полученным графам. См. также:
J. Ja’Ja’, J. Simon [83, ЗВ57О].
Заметим, наконец, что для многих «трудно вычислимых» инва-
риантов известны различные алгоритмы, статистически эффектив-
ные [УС] в следующем смысле: при случайном задании графа вычис-
ленное значение инварианта почти всегда совпадает с истинным, а в
редких оставшихся случаях вероятность получить неточный резуль-
тат резко убывает с возрастанием величины ошибки. Использова-
ние подобных алгоритмов в широком масштабе заведомо право-
мерно в тех практических задачах, где ошибка может повлечь за со-
бой лишь перерасход средств, а не катастрофу, да еще с человече-
скими жертвами.
Упражнения и дополнения
1. Найти многочлены F, Е и Г для графа Петерсена (нумеровать вершины
не обязательно).
2. Обобщенная степень (или «убывающий факториал») переменной х
определяется следующим образом: х(°> =1, х<0 = х(x-l)..(x-z + l) при / = 1, 2, ...
Введем многочлен
Г(б) = Х?,(0х(')
|>0
50
Основы теории графов
от графа или пустого множества, полагая go(G) = O для любого графа Gy
go(0) = l, g,(0) = O при />0. Проверить, что
а)	Г(С) = Г(би*у)+Г(6 <ху >) для любого неполного графа G и любой
пары х*у его несмежных вершин;
б)	Г(/7) = х<0 при i=0, 1, 2, ... (Fo=0).
3.	Пусть G+ — граф, полученный из G добавлением новой изолированной
вершины, т. е. без добавления ребер. Доказать, что Г (6+) = хГ((7); отсюда и из
Г(Е0) = 1 (£о=0) вытекает
Г(£л) = хЛ, и = 0, 1, 2, ... ,
т. е. числа g, (Еп) совпадают с коэффициентами разложения одночлена хп по
обобщенным степеням х^\ Эти коэффициенты известны в комбинаторном ана-
лизе и теории приближений как числа Стирлинга второго рода S (и, f); таким
образом, вычисление последних состоит в нахождении многочлена Г(ЕП) при
различных и = 0, 1, 2, ... (или, что то же, многочленов Г(Е„), если в них группи-
ровать слагаемые по обобщенным степеням х^ переменной х).
п
4.	Обосновать следующий способ разложения многочлена £ аре', где а( —
/=0
любые действительные (или комплексные) числа, по обобщенным степеням пе-
ременной х:
а)	в данном многочлене заменяем множители х' грудами Е;;
б)	с полученной «линейной комбинацией графов» (см. также добавле-
ние 2) действуем так же, как на промежуточных этапах нахождения многочлена
Г(6), а именно при наличии слагаемого вида а& с неполным графом G' выби-
раем в последнем несмежную пару вершин х*у, переделываем слагаемое в
flG'Uxy и добавляем слагаемое aG'<xy >; так поступаем, пока в «текущей сум-
ме» не останется ни одного слагаемого с неполным графом;
в)	заменяем все Fi на х<0 и приводим подобные члены.
Разложить таким способом по обобщенным степеням переменной х мно-
гочлены х4 + 1 и х4 -6х3 + 11х2-6х.
4'. Описать «графское» решение обратной задачи: многочлен, записанный
в обобщенных степенях, привести к обычному виду; проделав это на каком-ни-
будь конкретном примере, проверить результат непосредственным раскрытием
обобщенных степеней. Коэффициенты разложения хМ по {х'} называются чис-
лами Стирлинга первого рода s(nt i).
5.	Пусть G=(X, U), U*0 и xyeU. Показать, что
«у (6) = «|<7-1 (G\xy)+[a/? (G\x)-a,t/_1 (G\x)]+[«y (G\y)-a,t/_| (G\v)]-
-[«y(G\{x,	(G\{x, y})].
Глава 1. Идентификация
51
Умножая обе части на х'у-' и суммируя по i и у, получим для многочлена A (G)
от двух формальных переменных рекуррентное соотношение
A (G) = уА (G\х>)+ (1-у) [A (G)\x)+ A (G)\y)-A (G\{х, у})].
которое вместе с начальными условиями А (Еп) = (1 + х)п, п = 0, 1, 2, ... позволяет
найти A (G) от любого графа G. При вычислении можно вместо A (G) рисовать
сам граф G и пользоваться методом «текущей суммы».
Найти таким способом многочлен A (IZI) и проверить результат непосред-
ственным подсчетом количеств atj (И).
6.	Обозначим через vу (G) число таких суграфов в G, которые имеют i не-
изолированных вершин (а также, возможно, какие-то изолированные) и j ребер;
Voo(G)=l. Доказать, что многочлен
N(G)= ZvijtGWyj
iJ>0
удовлетворяет рекуррентному соотношению
N (G) = (1+у) N (G \ху)+ (х-1)у [N (G\x)+ N (G\у)]+ (х-1)2у N (G\{x, у})
и начальным условиям N (Ел) = 1, и = 1, 2, ... Пользуясь этим, вычислить много-
член N ((ZI) и проверить его коэффициенты прямым подсчетом на клешне.
7.	По смыслу инвариантов ау- (G) и vy (G) непосредственно не ясно, выра-
жаются ли одни через другие, и если да, то как именно. То обстоятельство, что
оба многочлена A(G) и N (G) рекуррентно вычисляются посредством одной и
той же «операции разборки» (относящей графу G четверку G\xy, G\x, G\y,
G\{x, у} «более простых» графов), позволяет найти взаимосвязь между этими
многочленами и тем самым положительно ответить на поставленный вопрос.
Так как при этом понадобятся замены формальных переменных, будем для мно-
гочленов употреблять более подробные обозначения A (G; х, у) и N (G; х, у).
Показать, что
а)	функция <D(G)=<D(G; х, у) = (1-х)“л(с) N(G; х, у) удовлетворяет
рекуррентному соотношению
Ф(G) = (l+y)Ф(G\x>)-y[Ф(G\x)4-Ф(G\y)-Ф(G\{x, у})]
и начальным условиям Ф(£’л) = (1-х)”Л, и = 0, 1, 2, ...;
б)	функция XP(G)=®(G;	у-1) удовлетворяет рекуррентному соот-
ношению
4/(G) = y4z(G\xy)+(l-y)[4/(G\x)+4z(G\y)-4/(G)\{x, у})]
и начальным условиям ¥ (Ел) = (1+х)л, и = 0, 1, 2, ... Следовательно, 4х(G) =
= A(G); отсюда
A(G, х, у) = (1 + х)"<с) N(G; у-1)
52
Основы теории графов
и, наоборот,
N(G, х, y) = (l-x)"<G> A(G;	у + 1)
Г. Эргашев И Труды Самарканд, ун-та, 286 (1975), 71—75 [76, 12В576]. Прове-
рить справедливость этих соотношений на примере клешни.
8.	Назовем свободной z-раскраской графа G правильную раскраску всех
его вершин цветами 1, 2, ..., z, не обязательно с использованием всех этих цве-
тов; две такие раскраски считаются различными, если хотя бы одна вершина
при этих раскрасках принимает разные цвета (тем самым даже переименование
цветов меняет раскраску). Пусть Т (6, z) — число различных свободных z-рас-
красок графа G.
а)	Доказать, что Т (Fn, i) = Т (£л, z) = in, а при G = (У, U) неполном и
xye.U: Т (G, i') = T (G\Jxy, i)+Т (G <ху >, z); основываясь на этом, дать ре-
куррентный способ вычисления Т (G, z) и показать, что при фиксированном G
эта функция представляет собой многочлен степени az(G) от z; он называется
хроматическим многочленом графа G. G.D. Birkhoff, D. Lewis // TAMS,
60(1946), 355-451 [8#284].
R.E. Guidici, R.M. Vinke (JCISS, 5 (1980), № 4; 323-350 [82, 6B635]) приво-
дят таблицу хроматических многочленов для 208 графов с п < 6 вершинами.
б)	Найти взаимосвязь между многочленами Т (G, z) и T(G).
Ряд свойств коэффициентов в Т (G, z) устанавливают V. Chvdtal (JCTh,
9 (1970), № 1, 95-96 [70, 12В352]), G.H.J. Meredit (JCTh, B13 (1972), №1,14-17
(73, 1B539]) и S.G. Hoggar (JCTh, B16 (1974, № 3, 248-254 [49#7170]), a E.G. Far-
rell (DM, 29 (1980), № 3, 257—264 [80, 7B554]) находит точные выражения пер-
вых пяти коэффициентов в терминах количеств подграфов специального вида у
G. Многочлен Т с наименьшими коэффициентами изучают J. Rodrigues, A. Sa-
tyanariana (DM, 172 (1997), № 1—3, 115—119 [00, ЗВ277]), в случае планарных
графов: ASakaluglu, A. Satyanariana (там же, 121—130 [00, ЗВ278]).
Дальнейшие свойства и алгоритмы вычисления этого многочлена, а также
других многочленов раскрашиваний, связь которых с Т и Г тоже представляет
интерес, см. в [УС]. G.L. Chir // DM, 172 (1997), № 1-3 [00, ЗВ271] приводит
12 нерешенных задач.
9.	Если Ех, Е2, ..., Ек — максимальные груды графа G, содержащие его
вершину х, то у (G) = max<y (G\£/)/l<i;<к}; на этом основан один из алгорит-
мов нахождения хроматического числа. С. Wang Chung // J. Assoc. Comput.
Mach., 21 (1974), № 3, 385-391 [75, 10В301].
10.	Для рекуррентного вычисления многочлена Q(G)=	(G)x*~2, где
к>2
q2=2, л qk при к > 3 выражает удвоенное количество подграфов типа в гра-
фе G, Г. Эргашев (Вопросы киб. и вычислит, мат., Ташкент, 1970, вып. 36,
142-146 [71, 2В358], Труды Самарканд, ун-та, 244 (1974), 83—88) предлагает три
способа.
Глава I. Идентификация
53
§ 1.5. ПРОБЛЕМА ИЗОМОРФИЗМА
Чтобы выяснить, конгруэнтны ли два треугольника, совсем не
обязательно исходить непосредственно из определения конгруэнт-
ности и пытаться путем движения совместить эти треугольники; да
и практически такая проверка далеко не всегда осуществима (ска-
жем, если вершинами одного треугольника служат три далекие звез-
ды, а другой начерчен в книге с указанием масштаба). Проще и на-
дежнее воспользоваться одним из хорошо известных признаков и
сравнить, например, длины сторон этих треугольников.
Из бесчисленного множества величин, связанных с треугольни-
ком и инвариантных относительно движения, можно отобрать срав-
нительно простые системы, обладающие свойством полноты: совпа-
дение таких систем для треугольников уже обеспечивает их конгру-
энтность. Так, система трех чисел — длин сторон — является полным
инвариантом1, другими полными инвариантами служат системы
«две стороны и угол между ними», «сторона и два прилежащих уг-
ла», «два угла и площадь» и т. д.
В отличие от конгруэнтности треугольников, для изоморфизма
двух n-вершинных графов само его определение дает теоретически
безукоризненный способ проверки: просмотреть все п\ взаимно од-
нозначных соответствий между множествами вершин и выяснить,
совмещаются ли полностью ребра хотя бы при одном соответствии.
Однако даже грубо заниженная оценка показывает, что такое реше-
ние практически непригодно: уже при и = 20 перебор всех п\ вариан-
тов занял бы около 40 лет машинного времени. Подобная ситуация,
естественно, толкнула многих математиков на классический путь:
попытаться найти такой инвариант (число или систему чисел), кото-
рый бы, с одной стороны, легко вычислялся для заданного графа (и
по возможности имел наглядный смысл), а с другой — обладал свой-
ством полноты, т. е. определял граф изоморфно — однозначно с точ-
ностью до изоморфизма.
1 Поскольку под «инвариантом» может пониматься не только одна величина, но и
система величин, то само это слово мыв дальнейшем будем употреблять преимущест-
венно в единственном числе.
54
Основы теории графов
Предложив читателю снова заглянуть в начало § 1.3, где дано
общее определение инварианта графа, сформулируем определение
полноты: инвариант f -f (G) называется полным, если для любых G
и G'
Объединяя оба определения, можно назвать полным инвариантом
графа такую функцию f (G) (со значениями в произвольном множе-
стве), для которой f (G)=/ (G') тогда и только тогда, когда G^G'.
Из тех инвариантов, которые мы в § 1.4 отнесли к «легко вычис-
лимым», даже наиболее «богатый» — вектор степеней s (G) — не яв-
ляется полным: см. еще раз рис. 1.2.2. В процессе развития теории
графов не было нехватки в гипотезах полноты того или иного
«трудно вычислимого» инварианта, но все эти предположения,
основанные чаще всего на том, что желаемое выдается за действи-
тельное, рано или поздно опровергались конкретными примерами.
Неполнота многочленного инварианта F (G) обнаруживается уже на
графах рис. 1.5.1, а неполнота Е (G) — на графах, дополнительных к
ним. Недолго просуществовала и гипотеза полноты системы, состо-
ящей из обоих этих многочленов: графы Gj и G2 на рис. 1.5.2 заведо-
мо не изоморфны, хотя F (Gj) = F (G2) и Е (Gj) = Е (G2). Заметим, что
пример рис. 1.5.1 выявляет также неполноту инварианта T(G).
Рис. 1.5.1
Более драматические события развернулись вокруг инвариантов
A(G), B(G) и S(G). Примерно в 1973 г. несколько раз высказыва-
лось предположение о полноте A(G), а ... в 1960 г. оно было опро-
вергнуто. Нет, мы не ошиблись: в работе А.А. Зыкова (Известия
Сибирского отд. АН СССР, 1960, № 9, 17—33 [62, ЗА272]) есть при-
мер двух неизоморфных 14-вершинных графов, обладающих одним
и тем же многочленом. Правда, там речь идет о многочленах N(G),
однако мысль испытать A (G) на том же примере без сомнения воз-
никла бы при своевременном ознакомлении со статьей, независимо
Глава 1. Идентификация
55
от возможности точного выражения этих многочленов друг через
друга (реализованной в упражнениях 6 и 7 к § 1.4). Для большей убе-
дительности оставалось лишь упрос-
тить пример, что и было сделано в
1977 г. на Кишиневском семинаре
И.М. Горгосом, а затем, применитель-
но к более общему случаю, М.К. Зам-
бицким: рис. 1.5.3.
Рис. 1.5.3
Несколько больше надежд и волнений вызвала гипотеза 1976 г.
о полноте инварианта B(G). Надежды подкреплялись тем, что он
различает те конкретные пары графов, на которых была обнаруже-
на неполнота A(G). Наконец, в запасе оставался еще инвариант
S (G), несущий о графе G заведомо большую информацию, чем A (G)
и B(G) вместе взятые. Однако и этот резерв оказался недолговеч-
ным: для неизоморфных графов рис. 1.5.3 многочлен S один и тот
же. Ясно, что этот же пример опровергает, в частности, гипотезы
полноты инвариантов А и В (как по отдельности, так и в совокупно-
сти), а также формально делает излишними предыдущие примеры,
поскольку многочлены F и Е выражаются через S1.
Возможности для измышления гипотез такого сорта еще оста-
лись: почему бы, к примеру, не предположить полноту инварианта,
состоящего из S и Г (да еще, возможно, и Н впридачу)? Несколько
контрпримеров, тоже построенных участниками Кишиневского се-
минара (a D.A. Chalcraft // JGrTh, 14 (1990), № 3, 341—346 [92, 6В440]
находит подобные примеры для обширного класса инвариантов),
заставляют усомниться в перспективности такого подхода. Однако
тезис о том, что на этом пути получить полный инвариант (для
класса всех обыкновенных графов) вообще невозможно, не только
не доказан, но и не сформулирован строго математически, и поиски
в «бесперспективном» направлении продолжаются: см., например,
Г.Г. Любченко, В.С. Подлипенский [81 #05060]; Merris Russel // Cze-
chosl. Math. J., 32 (1982), № 3, 397-403 [83, ЗВ502].
Обратимся теперь к инвариантам другого типа, не связанным
непосредственно с «наглядной» структурой графа, — макси-коду
1 Запоздалое предположение о полноте В (G) принадлежит L. Borzacchini (Rend.
Acad. sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. ed arti. Napoli, 43(1977), 411—416 [77, 11B583]).
56
Основы теории графов
/л (G) и мини-коду /л (G). Каждый из них является полным инвариан-
том графа с фиксированным числом вершин п (§ 1.3). Решают ли эф-
фективно эти инварианты проблему изоморфизма? Нет, и вот поче-
му. Хотя из равенства /4 (G)=// (G') следует, что G-G', процесс вы-
числения самого инварианта ц для заданного л-вершинного графа
столь же труден, как и лобовой перебор л! соответствий вершин
двух таких графов, поскольку надо выбирать наименьший из двоич-
ных кодов всех л! матриц смежностей графа, и лишь в некоторых
частных случаях удается избежать полного перебора. Так же обсто-
ит дело и с макси-кодом.
Иными словами, в общем случае использование // или /i не
устраняет факториального перебора, а лишь передвигает его на
другое место. Это и не удивительно: оба кода не отражают (в общем
случае) структуру графа, и для изучения его при таком способе за-
дания все равно надо сперва восстановить матрицу смежностей, т. е.
фактически «сам граф», после чего приступить к его исследованию
«с азов»; кто этому не верит, пусть попробует найти /4 (G) по данно-
му И (G).
Мы не можем категорически утверждать, что всякий инвариант
графа либо не является полным, либо требует для своего вычисле-
ния практически неэффективной процедуры типа полного перебора
порядка л! или, скажем, 2”; однако до сих пор дело обстояло имен-
но так, и это заставило искать другие пути решения проблемы изо-
морфизма.
В.Г. Визинг [75, 1В529] нашел изящную конструкцию, назван-
ную им модульным произведением (близкие построения предложи-
ли позже О. Kozen//Sigact News, 10(1978), №2, 50-52 [79, 4В427];
F.A. Akiniyi, A.K. Wong [84, 8B476]). Нам удобнее ввести не само
модульное произведение, а дополнительный к нему граф.
Пусть G = (X, U)uG' = (X', U') — два графа с количествами вер-
шин п=п(G) = |XI и и'=и((7') = |А"|, причем л<л'; построим новый
граф GnG' = (y, К) следующим образом.
За множество вершин Y возьмем декартово произведение
Х*Х', т. е. вершинами будут служить упорядоченные пары хх', где
хеХ, х'еХ'; количество вершин нового графа «(GdG')=|F|=«-п'.
Для наглядности расположим вершины Y в таблицу (рис. 1.5.4),
что позволит говорить о «строках» и «столбцах» этого множества.
Глава 1. Идентификация
57
G'
|	Н	12	13	14
G 2	?1	22	23	24	У
I	—>	—>	—>	—>
3	31	32	33	34
Рис. 1.5.5
G'
GdG'
Рис. 1.5.4
Смежность вершин графа GaG', т. е. множество V его ребер,
определим так. Никакие две вершины, расположенные в одной и
той же строке или в одном и том же столбце, ребром не соединяем.
Вершины же хх' и уу' из разных строк и столбцов, т. е. такие, что
х, уеУ, х', у'еХ', хФу и х' Фу', соединяем тогда и только тогда,
когда либо ху е U SixtyeU\ либо xy£U Sixty&U', иными словами,
когда при совмещении вершин х и у графа G соответственно с вер-
шинами х' и у' графа G' отношения смежности пар ху и xty оказы-
ваются одинаковыми: либо обе пары смежны (каждая в своем гра-
фе), либо обе несмежны.
Весь граф GdG' для конкретных G и G' рисунка 1.5.4 изображен
на рис. 1.5.5 (идентификаторы вершин теперь опущены). В общем
случае ясно, что (p(GoG')<n, ибо никакая клика графа GdG' не мо-
жет содержать двух вершин из одной строки или одного столбца, а
п<п'. Оказывается, равенство (p(GQG')-n имеет место в том и
только том случае, если в графе G' есть подграф, изоморфный G. При
доказательстве можно считать без нарушения общности, что верши-
нами обоих графов служат натуральные числа: Х={1, 2, ..., и},
Х'={1, 2, ..., и, ..., п'}.
Допустим сначала, что G' содержит подграф G" = (X",U"), изо-
морфный G, и что изоморфизм порождается соответствием вершин
1	2	...	п}
$	I	I
fl	i2	...	i„}
в графе G
в графе G’
надо показать, что подграф графа порожденный п вершинами
bi, 2/2, ..., nin, является кликой. Но это почти очевидно: если kik и
58
Основы теории графов
hl — любые две различные вершины (к*1), то, поскольку соответ-
ствие <-> между вершинами G и G' — изоморфизм, либо к и I смежны
в G, a ik и смежны в G", либо к и I несмежны в G, а и // — в G";
в обоих случаях вершины kik и h / графа GdG' смежны между собой.
Наоборот, пусть в графе G&G' вершины hi, 2/2, niп порож-
дают клику. Тогда соответствие вершин, обозначенное так же, как и
выше, является изоморфизмом графа G на подграф G" графа G', по-
рожденный множеством вершин Xй ={q,	> • • •,	}> ибо, как следу-
ет из определения графаGuG\ kleU в том и только том случае, если
ikh^U'.
Итак, проблема изоморфного вхождения — выяснить, имеется ли
в G' подграф типа G — свелась к нахождению плотности
вспомогательного графа с п • п' вершинами, а точнее, лишь к выясне-
нию, равна ли эта плотность п или меньше. В частности, при п = п'
получается сведение проблемы изоморфизма к нахождению плотно-
сти вспомогательного л2-вершинного графа. Сама по себе конст-
рукция Визинга не решает эту проблему, а лишь сводит ее к другой
задаче, не менее сложной (несмотря на кажущуюся простоту); одна-
ко, как мы увидим впоследствии, в сочетании с другими идеями эта
конструкция может привести к столь эффективному способу иден-
тификации графов, что на практике проблема изоморфизма пере-
стает быть проблемой. А сейчас попробуем теоретически осмыс-
лить изложенные результаты.
Просматривая еще раз приведенное доказательство и пример на
рис. 1.5.5, нетрудно заметить, что конструкция содержит в себе го-
раздо больше, чем просто сведение проблемы изоморфного вхожде-
ния к задаче нахождения плотности: именно, все п-клики графа GoG'
взаимно однозначно соответствуют всевозможным изоморфным вло-
жениям G в качестве подграфа в G'. Так, в примере на рис. 1.5.5, где
п=3 и п' =4, в GdG' имеется четыре подграфа типа Г3, в согласии с
тем, что G' содержит два подграфа, изоморфных G, а изоморфизм G
на каждый из них ввиду очевидной симметрии этого G можно уста-
новить двумя способами. Достойная восхищения конструкция пре-
дельно четко описывает все изоморфные вложения G в G', и более
компактное описание вряд ли возможно. И вот в этой кристальной
ясности, оказывается, заключена ее противоположность ...
Чтобы ответить на вопрос, делится ли сумма двух чисел на
заданное т, не обязательно знать слагаемые — достаточно иметь
Глава 1. Идентификация
59
лишь их остатки от деления на т; то же относится и к произведению
чисел. А вот для ответа на скромный вопрос, равна ли плотность
«произведения» GqG' наименьшему из чисел вершин «сомножите-
лей», недостаточно знать обе плотности <р((7) и q>(G') или вообще
обладать какими-то наборами инвариантов этих графов, близких
по смыслу к плотности (скажем, многочленов F, Е, А): необходимо
для каждого «сомножителя» знать какой-нибудь полный инвари-
ант. Иными словами, чтобы найти для «произведения» одну-единст-
венную числовую характеристику, притом не кодового типа, а несу-
щую весьма ограниченную информацию о структуре графа в целом,
надо о «сомножителях» знать буквально всё — именно все то, что
определяет их однозначно с точностью до изоморфизма. Не знаю,
как воспринимает эту ситуацию читатель, но лично мне она до сих
пор кажется парадоксальной. «Таинственная ясность» конструкции
Визинга усугубляется тем, что для других бинарных операций типа
сложения и умножения над графами (см. упражнения 9—12) загадоч-
ных явлений подобного масштаба не наблюдалось.
Упражнения и дополнения
1.	Вычислить многочлен S от графов рис. 1.5.1, 1.5.2, 1.5.3 и убедиться,
что он одинаков для обоих графов каждой пары.
2.	Выяснить, каким образом по S находятся А, В, F, Е, и проверить вывод
прямым вычислением на одном из предыдущих примеров.
3.	С помощью конструкции Визинга проверить, что второй граф на
рис. 1.2.3 (§1.2) изоморфен четвертому, но не изоморфен пятому.
4.	Что можно сказать о графах G и G\ если <р((7с](7') = и-1, гдеи = и(б)<
<л(б')? Обобщить полученный вывод на любое возможное значение <p(GaG').
5.	Пусть и(б) = и(б') = и- Если s(G)>п~\~е (G')/(2s(G')), то G изоморфно
вкладывается в G'. Отсюда благодаря очевидной оценке е (G')<n/(s(G')+\)
можно получить достаточное условие такой вложимости, не содержащее е (G),
а затем усилить его: s(G)>(l-\/(2's(G')). Р.А. Catlin // DM, 10 (1974), № 3-4,
225-233 [75, 5В488]. ’
6.	Что нужно знать о делимом и делителе для ответа на вопрос: делится
ли частное на данное число ш?
7.	Видоизменить конструкцию Визинга так, чтобы получилось сведение
(к нахождению плотности вспомогательного графа) проблемы изоморфного
вхождения G в G' в качестве части. Во что превращается эта проблема при
n(G) = n(G')l
60
Основы теории графов
8.	Назовем гамильтоновой цепью графа последовательность, составлен-
ную из всех его вершин без повторений и такую, что каждые две ее последова-
тельные вершины смежны; при дополнительном условии, что последняя верши-
на смежна с первой, получаем гамильтонов цикл'. Каким образом с помощью
конструкции упражнения 7 выяснить, имеет ли граф гамильтонов цикл или
гамильтонову цепь?
9.	Вспомнив определения суммы и произведения графов (§ 1.2), доказать,
что
а)	х (Gj +6г2) = я? (G|)+a? (G2), х (Gj ^2) = 1;
б)	<p(G]+G2) = max{<p(Gi), <p(G2)}, (p(G\ G2) = <p(Gi)+<p(G2);
В) £(«!+<«) -.£(G|-G2) = max{£(G1)> £(G2)};
r) F(G] + G2) = F(GI)+F«G2)-1, F(G1G2) = F(G1) F(G2);
д) E(G1G2) = E(G1)E(G2), E^1+G2) = E(G1)+E(G2)-1;
"(6.) n(Gj)
e)#i(G]+G2)= £ Z	^7 (Gj)g/(G2), (-1, 2.
7=1	/=1
r(G1G2) = r(G1)r(G2);
Y (<q +G2) = max{y (Gj), / (G2)}, Y	G2)=7 (G0+/ (G2);
ж) T] (Gj +G2) = max{7? (G0,	П (GvG2)=tj (G{)+ri (G2).
9'. Можно ли, зная S(Gj) и S(G2), найти S(Gj+G2) и S(Gi G2)?
10.	Декартовым произведением G*G' графов G = (X, U)и G' = (X\ U') назы-
вается граф (У, V) с множеством вершин Y=X*X’ и множеством ребер
V = {хх'уу'/либо x=y&xry'&U'}
либо ху е С/&х'=у'};
на рис. 1.5.6 показано декартово произведение
графов G и G' рисунка 1.5.4.
а)	Доказать, что
F(GxG') = z/(G')[F(G)-l]4-n(G)[F(G')-l]-w(G)«(G')x.
б)	Показать (построением примера), что многочлен Е (GxG') не определя-
ется однозначно по Е (G) и Е (G'); более сложный пример показывает, что для
этого недостаточно даже добавить F (G) и F(G').
в)	Можно ли выразить ^>(GxG') через p(G) и <p(G'), а е (GxG') через с (G)
и £ (G')?
1 В § 2.1 даются формальные определения.
Глава 1. Идентификация	61
11.	Результат упражнения 9 можно обобщить. Выделим в графах G и G' по
одной /с-клике (если они есть) и отождествим эти клики. Такая операция сшива-
ния графов G и G' по клике Fk, очевидно, неоднозначна: в исходных графах мо-
жет быть более чем по одной /с-клике, а после выбора пары клик их отождеств-
ление возможно к\ способами. Однако независимо от того, какой из результа-
тов операции обозначен символом G(k)G\ справедлива формула
ir/TW-'r' "v* (j-ky.U-ky.
gi (G (k)G ) Д £ (i-,)!(i-/)!O+/-(-*:)! gj (^)g/ (G )•
12.	Доказать, что, несмотря на неоднозначность операции сшивания
(упражнение 11), при любом к>0
r(G@G') = max{/(G)> y(G')} и q^(fc)G')=max{q(G), r/(G')}.
См. также хроматическое число произведений графов [УС].
§1.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ
И НЕПЛОТНОСТИ
Мы видим, что драматические события, разыгравшиеся вокруг
проблемы изоморфизма, отнюдь не являются трагическими: как и
драма идей в физике, эти события знаменуют прогресс науки, а в
самой теории графов выдвинули на одну из главных ролей плот-
ность ф((7); равноценное значение имеет и неплотность, поскольку
<p(G) =£((?), а переход к дополнительному графу не составляет
большого труда — по крайней мере при тех способах задания гра-
фа, которые перечислены в начале § 1.4. Именно к этим двум инва-
риантам наиболее естественно и просто приводит ряд классических
задач, близких к проблемам изоморфизма и изоморфного вхожде-
ния (хотя столь же универсальную роль в принципе могут играть и
другие характеристики графа: см., например, упражнение 2).
Глядя на структурные формулы органических соединений
рис. 1.6.1, не так-то легко сразу сказать, разные ли это вещества. Не-
большое видоизменение конструкции Визинга сводит этот вопрос к
нахождению плотности вспомогательного графа; для иллюстрации
метода мы изберем менее громоздкий пример (рис. 1.6.2), пренебре-
гая во имя наглядности тем обстоятельством, что ответ здесь очеви-
ден и без «графских ухищрений».
62
Основы теории графов
Рис. 1.6.1. Черные кружочки — атомы углеро-	Рис. 1.6.2
да; каждый такой атом соединен еще с атома-
ми водорода (не показанными на рисунке) в
количестве, дополняющем число инцидент-
ных ребер до 4 (валентности углерода)
Будем рассматривать структурную формулу как взвешенный
граф — функцию, заданную на вершинах и ребрах этого графа. Ве-
сом вершины служит символ химического элемента (или радикала
вроде СНз и NO2 на рис. 1.6.1), а весом ребра — кратность химиче-
ской связи1. Придерживаясь способа изображения, принятого в хи-
мии, но не желая при этом выходить за пределы класса обыкновен-
ных графов (хотя и взвешенных), будем пучок из двух или трех па-
раллельных ребер заменять одним ребром веса 2 или 3. Химическая
идентичность веществ (если отвлечься, скажем, от разницы в про-
странственном расположении атомов по отношению друг к другу)
выражается изоморфизмом соответствующих взвешенных графов в
следующем смысле: два таких графа изоморфны, если между множе-
ствами их вершин можно установить взаимно однозначное соответ-
ствие, при котором соответственные вершины имеют одинаковый
вес, и ребра, соединяющие соответственные пары вершин, тоже об-
ладают одинаковым весом (или оба отсутствуют). Применяя к взве-
шенным графам конструкцию Визинга (§ 1.5), надо включать в граф
G-GnG' не всевозможные пары вершин (первая из G, вторая из G'),
а лишь пары вершин одинакового веса, и считать в G смежными
только такие вершины, которые возникают от наложения пар при
условии, что налегающие ребра имеют одинаковый вес (или оба от-
сутствуют).
Ясно, что данные взвешенные графы изоморфны тогда и толь-
ко тогда, когда (p(G) равна п — числу вершин каждого из них (по
1 В более сложных случаях можно различать также типы связей: ковалентная, ион-
ная, водородная и пр.
Глава 1. Идентификация
63
понятной причине мы счи-
таем его одинаковым в обо-
их соединениях). Для рас-
сматриваемого простого
примера построение графа
G показано на рис. 1.6.3;
здесь и = 6, (p(G) = 4, т. е. хи-
мические соединения раз-
личны. Усвоив метод, чита-
тель сможет теперь проде-
лать то же для более слож-
ного примера рис. 1.6.1.
© © © ® © ®
Рис. 1.6.3
Еще в конце позапрошлого века выдающийся немецкий алгеб-
раист Г. Фробениус поставил следующую задачу. Пусть А и А' -
квадратные матрицы одинакового размера их л с элементами произ-
вольной природы; требуется узнать, будут ли эти матрицы сильно
подобны, т. е. можно ли их перевести друг в друга перестановкой ря-
дов (§ 1.3). С чисто классической точки зрения, не принимающей во
внимание реальные физические возможности живого математика
или вычислительной машины, задача тривиально решается в конеч-
ное число шагов: надо к одной из матриц последовательно приме-
нять перестановки рядов (а всех перестановок и!) и каждый раз
сравнивать результат со второй (неизменной) матрицей. Но мы уже
знаем, сколь неэффективна такая процедура даже при не слишком
больших п.
Легко указать очевидное необходимое условие сильного подо-
бия: обе матрицы должны содержать одни и те же элементы, при-
чем одинаковые — в одинаковых количествах; то же справедливо
отдельно для главных диагоналей. Но вместо того, чтобы приво-
дить дальнейшие примеры необходимых условий, «утешим» чита-
теля: все известные легко проверяемые условия таковы, что множе-
ство пар матриц, для которых они выполняются, столь же
«необозримо», как и множество пар всех вообще их и-матриц (с эле-
ментами не менее чем двух разных типов). Тем самым и для проб-
лемы Фробениуса вопрос сведения приобретает особый интерес.
На сей раз мы не побоимся выйти за пределы класса обыкновен-
ных графов и будем рассматривать полные графы Бержа\ из каждой
вершины в каждую другую идет ровно одна дуга, а каждой вершине
64
Основы теории графов
инцидентна ровно одна петля (см. рис. 1.6.4 для и = 4). Матрице
Л =|1а1/11й (с произвольными элементами) отнесем весовую функцию,
определенную на ребрах полного графа Бержа с вершинами 1,2, ...,
п следующим образом: петле И припишем вес aih а дуге ij (zV j) — вес
ay, На рис. 1.6.5 приведен пример матрицы и соответствующего
взвешенного графа.
-------=Йг
Д к а
& Д п 1
а Д div
р 6 л V
Рис. 1.6.4
Рис. 1.6.5
Ясно, что две матрицы сильно подобны тогда и только тогда,
когда их взвешенные полные графы Бержа изоморфны: множества
вершин можно привести во взаимно однозначное соответствие, со-
храняющее веса ребер (с учетом направления дуг; именно, если вер-
шинам zV j первого графа отвечают соответственно вершины Г и jf
второго, то дуга 7/ первого графа должна иметь тот же вес, что и ду-
га г\/' второго, a — тот же вес, что и Применяя к взвешенным
графам Бержа конструкцию Визинга, надо включать в образуемый
обыкновенный граф G лишь те вершины, которые представляют па-
ры вершин с петлей одинакового веса, и не смущаться, что теперь
может отсутствовать симметрия: если в (Гвершина ij' смежна с то
не обязательно z7' смежна с kj'. Для матрицы А рис. 1.6.5 и матрицы *
А =
V	к	р	О
div	Д	а	$
а	а	Д	л-
& Д
построение графа G дано на рис. 1.6.6. Так как здесь (p(G) = 4, то
матрицы А и А' сильно подобны (и по вершинам 4-клики в G легко
найти подстановку строк и столбцов, переводящую А в А').
Глава 1. Идентификация
65
Остановимся теперь на сведении задачи нахождения хроматиче-
ского числа обыкновенного графа G к определению неплотности
вспомогательного графа. В работе В.Г. Визинга и Г.С. Плесневича
(Сибирский матем. ж., 6 (1965), № 1, 234—236 [66, 1А422]) второй
автор предложил следующий способ: образуем декартовы произве-
дения GxFj(=G), Gx/*2, наименьшее р, при котором
£(GxFp)=fl, и есть искомое /(G). Доказательство несложно и мо-
жет быть предложено читателю как полезное упражнение, а мы пе-
рейдем к конструкции В.Н. Люботы (Одесский семинар, сентябрь
1978 г.), в которой использована та же идея, но вместо последова-
тельности вспомогательных графов строится только один1.
Пусть для данного графа G = (Z, U) заранее известна какая-то
верхняя оценка у хроматического числа: на худой конец можно за у
взять число вершин n-n(G'). Построим декартово произведение
G*Fy исходного графа на у-клику, иначе говоря, нарисуем «в виде
столбцов» у экземпляров графа G и соединим между собой все раз-
личные вершины в каждой «строке». Затем для каждого экземпляра
введем добавочную вершину, соединим ее со всеми вершинами это-
го экземпляра и полученный граф (рис. 1.6.7) обозначим через G'.
Докажем, что у (G) = M+y-£(G').
1 К этому же кругу вопросов можно отнести следующий результат: S. Poljak (Com-
ment. mat. Univ, carol., 15 (1974), № 2, 307—309 [75, 1B564]) по данному G строит такой
G\ что у (G') = n(G)+m(G)-e(G).
66
Основы теории графов
Рис. 1.6.7
Сначала убедимся в справедливости
неравенства у (G) >п +у -е (G*) или, что рав-
носильно, неравенства
E(G')>n+y-у (G).
Пусть вершины графа G правильно
раскрашены наименьшим возможным ко-
личеством цветов 1, 2,	/(G); для на-
глядности расположим граф G так, чтобы
выше всех находились вершины цвета 1,
под ними — вершины цвета 2 и т. д. (см.
рис. 1.6.8, на котором ребра не изображе-
ны). Беря теперь в первом столбце графа
G' те вершины, которые отвечают (т. е.
находятся в тех же строках) вершинам
цвета 1 в G, во втором столбце — вершины, отвечающие вершинам
цвета 2 в G, и т. д. и присоединяя к ним у -у (G) вершин добавочной
строки из неиспользованных столбцов, как показано на рис. 1.6.8,
получим множество Е, вершины которого в силу определения гра-
фа G' попарно несмежны. Легко видеть при этом, что количество
элементов |£|=и+у-у (G). Мы не знаем пока, является ли груда Е
наибольшей в G', но заведомо £(G')>|E|.
Для доказательства требуемого равенства осталось показать,
что
у (G)<n+y-s(G')-
Глава L Идентификация
67
Пусть Е — наибольшая груда в G\ имеющая к тому же среди всех та-
ких груд меньше всего вершин в добавочной строке; для наглядно-
сти пусть эти вершины (если они есть) находятся под последними
экземплярами графа G, а вершины Е, принадлежащие первому, вто-
рому и т. д. экземплярам, расположены так, как на рис. 1.6.8.
Окрасим цветом 1 те вершины графа G, которые отвечают вер-
шинам Е, попавшим в первый экземпляр; цветом 2 — вершины G,
отвечающие вершинам Е из второго экземпляра; и т. д. Если бы по-
сле этого в G осталась неокрашенная вершина х, то можно было бы
удалить из Е какую-нибудь вершину у добавочной строки (случай,
когда таких у нет, мы рассмотрим отдельно), а зато пренести в Е
вершину z, находящуюся на пересечении х-строки с ^-столбцом гра-
фа G'; но Е' = (Е \ j>)U{z} — груда сп(Е')=е(О')ис меньшим, чем у Е,
количеством вершин в добавочной строке, вопреки минимальности
последнего. Таким образом, раскраска полная, а правильность ее
следует из того, что вершины Е попарно несмежны в G'. Если у —
число цветов при этой раскраске G, то в добавочной строке нахо-
дится у -у вершин множества Е, общее же число его вершин
n(E)=E(G') = n+y-у, откуда у =n+y-E(G'). А так как все вершины
G удалось правильно раскрасить у цветами, то y(G)<y.
Остался случай, когда у груды Е совсем нет вершин в добавоч-
ной строке, т. е. у =у; но тогда е (G') ~п и доказываемое неравенство
становится тривиальным.
Прием введения добавочной строки применим и к решению ряда
других задач; некоторые из них, в частности связанные с раскраской
вершин в предписанные цвета [УС], рассматривает В.Н. Любота
(ГГиДОЗ, 1982, 98—104 [82, 6В710]), а еще одной посвящено упраж-
нение 4.
Упражнения и дополнения
1.	Граф Бержа общего вида — это произвольный су-
граф полного, т. е. может содержать не все ребра; пример
четырехвершинного графа Бержа приведен на рис. 1.6.9.
Применяя конструкцию Визинга, свести проблемы изо-
морфизма и изоморфного вхождения таких графов к на-
хождению плотности вспомогательного обыкновенного
графа.
68
Основы теории графов
2.	Числом всесмежности р (G) графа G = (X, U) называется мощность наи-
меньшего такого подмножества УсХ, что каждая вершина из X\Y имеет хотя
бы одну смежную в Y. Было бы интересно свести задачу нахождения этого ин-
варианта к нахождению плотности (или неплотности) вспомогательного графа,
но пока известно лишь обратное сведение.
По заданному G построим обыкновенный граф G' = (XUIX К), вершинами
которого служат вершины и ребра исходного, а множество ребер V состоит из
пар ху с х, у е X, х * у, и из пар хи, где х е X, и е U и вершина х инцидентна
ребру и в графе G; образно: делим каждое ребро исходного графа пополам но-
вой вершиной, а все старые соединяем друг с другом.
Доказать, что £ (G) = n(G)-/3 (G'). В.Г. Визинг [72, ЗВ275].
2'. р (G)<[1+ In5 (G)]п (G)/[l+5 (G)].	В.И. Арнаутов // ПМП, 1974, 3-8
[74, 5В442].
2". /?(G)<(n-j-l)(n-5-l)/(n-l)+2. D. Marcu [88, 4В580].
2'". Доказать, что если граф G связен, то т (G)>2/3 (G)-l, и описать графы,
для которых имеет место равенство. J.A. Bondy // JCTh, В24 (1978), № 1, 51—52
[78, 7В782].
3.	Свести к нахождению неплотности вспомогательного графа задачу о
наименьшей трансверсали: для данного семейства S={H^,	Ял} непус-
тых конечных множеств найти наименьшее (по количеству элементов) множе-
ство Т, имеющее непустое пересечение с каждым Н. И.М. Горгос (Кишинев-
ский семинар, март 1978 г.).
4.	Пусть даны к семейств S1 ={М{, М12, ..., М1п} непустых конечных мно-
жеств (/ = 1,2, ...,£); количество множеств в каждом семействе считаем одним и
тем же (п), а также предполагаем, что
U м} = U л/? =... = и м*=х.
1=1	1=1	1=1
Множество {Х|, х2, ..., хл}^ X называется общей системой различных предста-
вителей (ОСРП) этих семейств, если для каждого / = 1,2,... к имеется такая пере-
становка I] (Z), 1*2 (/)>•••»(0номеров 1,2, ..., п, при которой х,еМLj = \,2,
п. Проблемы существования ОСРП и нахождения всех таких систем для задан-
ной системы семейств множеств следующим образом сводятся к нахождению не-
плотности и выявлению наибольших груд вспомогательного обыкновенного
графа.
а) Пусть сперва к = 1 и 51 = 5={М\, М2,  Мп}. Построим граф G, верши-
нами которого служат упорядоченные пары 7х, где iе{1, 2, ..., п} и хе Л/,
(удобно расположить эти вершины в таблицу, строки которой соответствуют
п
множествам семейства 5, столбцы — элементам множества X = U •, а на пере-
<=1
сечении i-й строки с х-столбцом находится вершина графа G тогда и только
тогда, когда хеMj (см. рис. 1.6.10)).
Глава 1. Идентификация
69
Вершины 7х и jy графа G считаются смежными, когда i * j&x = у или
i = j&x*y.
Рис. 1.6.10
Доказать, что £ (С)<и, причем равенство достигается в том и только том
случае, если у семейства 5 есть хотя бы одна СРП (система различных предста-
вителей — ОСРП при k = 1); более того, все такие СРП взаимно однозначно со-
ответствуют всем £ (G)-грудам графа G.
Чем отличается СРП от трансверсали (упражнение 3) того же семейства?
Выяснить, имеются ли СРП у семейства S на рис. 1.6.10, и если да, то найти
их все; то же для семейства {a, b, с, d, е}\ {с, е, /}, {с, /}, {с, Л-
б) Пусть теперь к >2. Построив для каждого семейства S1 2, ..., к)
свой граф G1 как в предыдущем пункте, расположим эти графы друг под дру-
гом так, чтобы их столбцы, отвечающие одному и тому же элементу множест-
ва X, составляли общий столбец, и добавим еще одну строку вершин, роль ко-
торых играют элементы множества X. Каждую вершину добавочной строки со-
единим ребрами со всеми вершинами своего столбца (рис. 1.6.11) и полученный
граф обозначим через G.
Доказать, что £((?)<л (&-!) +|У|, причем
равенство достигается в том и только том
случае, когда у данных к семейств есть
ОСРП, и тогда эти ОСРП взаимно однознач-
но соответствуют £ (С)-грудам графа G.
Н.Т. Божкова, А.А. Зыков // ГГиДОЗ, 1982,
21—23 [82, 6В502].
5.	Семейства S1, S2, ..., Sk имеют
ОСРП тогда и только тогда, когда существу-
ет перенумерация элементов X, при которой
Рис. 1.6.11
|/|<
и А Лф
,e/U=1
V/c{i, 2, ..., л}:
Д.З. Гафуров [83, 11В547 (препринт)].
70
Основы теории графов
Обобщению задачи о СРП, когда представителями служат не отдельные
элементы, а подмножества, посвящена работа Л.Л. Дюковой (Матем. заметки,
12(1982), № 6, 789-798 [83, ЗВ452]).
6.	Пусть Л ={%], х2,	А/, X], х2, X/} — алфавит, буквами которого слу-
жат булевы переменные и их отрицания, и пусть
/(Х|, Х2> •••> */) = (У11 vy12v...)&(y2l vj'22v---)&---&0'ml v^m2v- -)
— функция от xb х2, ..., X/ в конъюнктивной нормальной форме, где все
у у е А и никакие у у и у у (т. е. стоящие в одних и тех же скобках) не являются
отрицанием друг друга. Построим обыкновенный граф 6, вершинами которо-
го служат упорядоченные пары где / = 1, 2, т, причем вершины iyч- и
i' у , считаются смежными, когда i*i\ а у у и у^> не являются отрицаниями
друг друга.
Доказать, что (р (<7)< т и что равенство имеет место в том и только том слу-
чае, если функция f выполнима, т. е. принимает значение 1 при некоторой сис-
теме значений переменных х, е{0, 1). С.А. Кук, Р.М. Карп (отдельные статьи)
(Кибернетический сборник, новая серия, 12 (1976)).
Будут ли всевозможные системы значений аргументов, выполняющие /,
взаимно однозначно соответствовать m-кликам графа (7?
См. далее: Е.В. Трубникова [83, ЗВ582].
§ 1.7. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ, НЕПЛОТНОСТИ
И ИЗОМОРФИЗМА
Как было сказано во введении, описание алгоритмов не входит
в задачу книги. Учитывая, однако, значительную роль плотности и
неплотности, а также принципиальный характер и практическую
важность проблемы изоморфизма, мы остановимся здесь на некото-
рых алгоритмах, статистическая эффективность которых (см. конец
§ 1.4) подтверждается практикой.
Не требует никакой изобретательности следующий процесс на-
хождения плотности, точнее, выявления какой-нибудь наибольшей
клики. Пусть вершины графа G = (Х, U) пронумерованы: X={х1? х2,
..., хп}. Выберем вершину хь затем первую смежную с ней xz, потом
первую Ху, смежную с обеими (1 <z<j), и т. д. пока возможно, и
пусть р — число вершин выявленной таким образом клики. Попыта-
емся увеличить это число, рассматривая другой вариант процесса:
вместо вершины хк, добавленной к некоторой клике на последнем
Глава 1. Идентификация
71
шаге, добавляем другую вершину X/ с / > к, тоже смежную со всеми
вершинами этой клики (если такая xz есть), в надежде, что продол-
жение процесса по новой ветви окажется более успешным и даст хо-
тя бы (р + 1)-клику, а если ни одна замена вершины не приводит к
цели, возвращаемся еще на один шаг и т. д.; может случиться и так,
что мы окажемся в исходной вершине Xj — тогда повторяем весь
процесс, но уже начиная сх2; ... От общего числа шагов порядка л!
могут спасти следующие два обстоятельства.
1) Если когда-то уже была найдена р-клика, а затем на некото-
рой ветви процесса образовалась g-клика от присоединения (к ка-
кой-то другой, вообще говоря, клике) вершины ху с номером
j>n-p+q, то развивать эту ветвь не имеет смысла, ибо ни одной
клики более чем с р вершинами она все равно дать нс может.
2) Пусть из некоторой сформированной клики F мы удалили
последнюю присоединенную вершину и вместо нее собираемся
добавить х/ с I >к; но это заведомо не имеет смысла делать, если все
те вершины клики F \ х^, которые смежны с х/, смежны также с хд..
Весь процесс с учетом обоих обстоятельств представляет собой
частный случай хорошо известного метода ветвей и границ, пред-
лагался в разное время устно и письменно многими авторами, и
установить приоритет здесь затруднительно, да и вряд ли нужно.
Вариант технического воплощения этого процесса, доложенный
А.А. Зыковым на Одесском семинаре в сентябре 1974 г. (Графы, ги-
перграфы и дискретные оптимизационные задачи. Киев: Знание,
1976/77, 45—49; много опечаток!), для удобства ссылок именуется
одесским алгоритмом; приводим его исправленное описание.
Пусть граф G = (X, U) задан следующим образом: множеством
вершин служит упорядоченное X={1, 2, ..., п} и для каждого i^X
выписано подмножество Ах={j^XIj>i8cij^U}(Z.X (см. начало
§ 1.4). В работе алгоритма участвуют:
а)	постоянный список {AJi^X} и постоянные величины
n = n(G) =|Х|, k = max{ieXI Aj *0};
б)	переменные величины А (верхняя оценка разности n-(p(G),
Де{1, 2, ..., к}) и 5е{0, 1, ..., А};
в)	переменный список 5, содержащий одновременно не более к
строк вида /, 5, А, где ze{0, 1, к} — индекс строки, и переменное
множество АсХ.
72
Основы теории графов
Работа алгоритма состоит в создании и изменении множеств А9
списка 5 и чисел 8, Д по следующим правилам. Поначалу полагаем
Д:=&, образуем список S' из единственной строки
О, 0, 0
и переходим к пункту 1 (-» 1).
1.	Пусть	i, 89 А	(♦)
— последняя (с наибольшим индексом i) строка списка S; тогда
если i<k&i+leА9 то —> 1.1;
если i<k&i + lgA9 то —> 1.2;
если i=k9 то -> 1.3.
1.1.	5:=[ЭД’+1, S9 Л)]\{(*)} —> 1;
1.2.	Вычисляем <5'=|Л/+]\Л| и
если 8+8'<Д&<5'>0, то —> 1.2.1;
если 8+8' <Д&<5' =0, то —> 1.2.2;
если 8+8' >Д, то -> 1.3.
1.2.1.	A:=AUAi+l, 5:=5U0’+l, 8+8', Л)1 -> 1;
1.2.2.	Л:=лиЛ,+1> 5:=[5U(i + l, 8+8', Л)]\{(*)}-> 1.
1.3.	Если i<k, то -+ 2;
если i=k, то A:=min{5, Д}, 5:=5\{(*)} -> 2.
2.	В случае 5=0 процесс окончен и <р(б:)=л-Д, в случае же
5*0 пусть (*) — последняя строка 5, тогда
если <5>Д-1, то 5:=5\{(*)} —> 2;
если 5<Д-1, то -> 3.
3.	5:=[5U0 + l, 5+1, Л)] -+ 1.
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере графа
рис. 1.7.1; здесь Ах ={23678}2, Аг ={<?},	={< 5}, Л4 ={568}, А5 »Л6 =
=?8}, A-j={8}, Л8=0, к = 1.
Полагаем Д:=7 и образуем список 5 из единственной строки
0, 0, 0.	(1)
I С новым А.
7 Мы не разделяем запятыми элементы в множествах вершин.
Глава 1. Идентификация
73
Чтобы не переписывать весь 5 после каж-	1
дого изменения, будем нумеровать (справа в 4^7—5
скобках) строки этого списка, причем если до- |/Т\1
бавление строки не сопровождаются удалени- 7—3—6
ем никакой прежней, то номером новой стро-	8
ки считаем следующий по порядку за номером рис j 7 }
последней старой, а в противном случае — но-
мер удаляемой; таким образом, в каждый момент процесса послед-
ний из номеров справа равен количеству строк списка S в этот мо-
мент1. Небольшие пояснения по ходу процесса помещаем в квадрат-
ных скобках.
1. 0	< 7 [= к] к 1 g А [= 0]
1.2. 8'	= 5 [= |{23678}\А|] & 0 + 5 < 7
1.2.1.	1,	5,	{23678}	(2)
1. 1	< 7 & 2 е А [= {23678}]
1.1.	2,	5,	{23678}	(2)
1. 2	< 7 &. 3 е А
1.1.	3,	5,	{23678}	(2)
1. 3	< 7 Sc 4 й А
1.2. 8'	= 1 [= ]{568} \ {23678} |] & 5 + 1 < 7
1.2.1.	4,	6,	{235678} (3)
1. 4	< 7 & 5 е А [= {235678}]
1.1.	5,	6,	{235678} (3)
1. 5	< 7 & 6 е А
1.1.	6,	6,	{235678} (3)
1. 6	< 7 & 7 е А
1.1.	7,	6,	{235678} (3)
1.7=7
1.3. Д: = min {6, 7} = 6, удаляем (3)
2.	(2) , 5 > 6 - 1, удаляем	(2)
2 .	(1) , 0 < 6 - 1	
3.		1, 1, 0	(1)
1.	1<7&2£А[=0]	
1 При осуществлении процесса вручную каждая удаляемая строка вычеркивается
(на компьютере — просто стирается).
74
Основы теории графов
1.2. <5' = 1&1 + 1<6
1.2.1.			2,	2,	{8}	(2)
1.	2 <7 & 3 (Е А					
1.2.	<5' = 0& 2 + 0<6					
1.2.2.			3,	2 ,	{8}	(2)
1.	3 < 7 & 4 « А					
1.2.	8' = 2& 2+ 2<6					
1.2.1.			4,	4,	{568}	(3)
1.	4 < 7 & 5 6 А					
1.1.			5,	4,	{568}	(3)
1.	5 < 7 & 6 е А					
1.1.			6,	4,	{568}	(3)
1.	6 <7 & 7 £ А					
1.2.	<5' = 0& 4 + 0<6					
1.2.2.			7,	4,	{568}	(3)
1.	7 = 7 [= к]					
1.3.	Д: = min {6, 4} = 4,	удаляем ।		(3)		
2 .	(2) , 2 < 4 - 1					
3.			4,	3,	{8}	(2)
1.	4 < 7 & 5 «Е А					
1.2.	<5' = 1& 3+1<4					
1.2.1.			5,	4,	{78}	(3)
1.	5 < 7 & 6 е А					
1.2.	<5'=0&4 + 0<4					
1.2.2.			6,	4,	{78}	(3)
1.	6 <7 & 7 6 А					
1.1.			7,	4,	{78}	(3)
1.	7=7					
1.3 .	Д: = min {4, 4} = 4,	удаляем i		(3)		
2.	(2) , 3 >4-1, удаляем		(2)			
2.	(1) , 1 < 4 - 1					
3 .			2,	2,	0	(1)
1.	2 < 7 & 3 (Е А					
1.2.	<5'=0&2+0<4					
1.2.1.			3,	2,	0	(2)
Глава 1. Идентификация
75
1.	3 <7 & 4 £ А
1.2	. <5' = 3& 2+ 3>4
1.3	. 3 < 4
2.	(2) , 2 < 4 - 1
3-	4,	3, 0	(2)
1.	4 < 7 & 5 £ А
1.2.	<5'=2&3+2>4
1.3.	4 < 7
2.	(2) , 3 > 4 - 1, удаляем (2)
2.	(1) , 2 < 4 - 1
3-	3, 3, 0	(1)
1.3 . 3 < 7
1.	3 <7 & 4 «Е А
1.2.	8' = 3& 3+ 3>4
2.	(1) , 3 > 4 - 1, удаляем (1)
2.	S = 0, А = 4, <р (G) = 8 - 4 = 4, конец.
Мы остановились на этом алгоритме столь подробно, полагая,
что благодаря естественности и теоретической простоте он может
служить одним из эталонов при общем исследовании трудоемкости.
Многочисленные неудачные попытки создать алгоритм полиноми-
альной сложности для нахождения плотности (или неплотности)
свидетельствуют в пользу его принципиальной невозможности, а
результаты А.Д. Плотникова (A.D. Plotnikov. Polynomial-time parti-
tion of a graph into cliques // South West J. Pure and Appl. Math.,
1(1996), 16-21, <http://www.busygin.dp.ua/clipat.html>, <http://www.
geocities.com/st_busygin/call.htmp> (mirror)) еще нуждаются в тща-
тельной проверке; их безукоризненное доказательство (влекущее
ликвидацию понятия NP-полноты) явилось бы сенсацией, но и это
не адекватно практической эффективности алгоритма (см. введе-
ние). А так как сама задача очень важна, то в [УС] мы приводим
внушительный список публикаций по алгоритмам нахождения
плотности и неплотности (включая приближенные, эвристические,
статистически эффективные, а также относящиеся к специальным
классам графов).
Другой подход к нахождению плотности предложил на том
же семинаре В.Г. Дюканов (Киев); его алгоритм отличается от
76
Основы теории графов
одесского тем, что приближение к искомой величине происходит не
снизу, а сверху. Алгоритм основан на трех очевидных леммах.
(1)	Если (p(G)-p, то в графе G найдется по крайней мере р вер-
шин степени >/7-1.
(2)	Если вершина х графа принадлежит клике Fp , то по крайней
мере р-1 вершин, смежных с х, обладают степенями >/?-!.
(3)	Пусть Хр — некоторое подмножество вершин со степенями
>/7-1, каждая из которых смежна по крайней мере с р- \ верши-
нами степени >р-\ в G; если |Jfp| =р и каждая хеХр имеет р-\
смежных вершин в Хр , то это множество порождает /7-клику.
Краткая схема алгоритма: сначала полагаем /7 = s(G) + l и прове-
ряем выполнение необходимых условий (1) и (2); в случае невыпол-
нения хотя бы одного из них, а также в случае, когда они выполне-
ны, но поиск Fp (с использованием леммы (3)) не дает результата,
снижаем значение р на единицу и повторяем процедуру; и т. д. Чис-
ло шагов можно сократить, используя при переходе от гипотезы
(р—р к гипотезе ср=/7-1 некоторые результаты, полученные на пре-
дыдущих шагах.
По аналогии с методом хорд и касательных для приближенного
вычисления корней уравнения, можно ожидать, что комбинирова-
ние обоих алгоритмов несколько ускорит нахождение плотности.
Однако для чрезмерного оптимизма оснований пока нет. В своем
выступлении В.С. Рублев (Ярославль), опираясь на эксперименталь-
ные данные, утверждал, что существующими методами находить
хроматическое число предпочтительнее, чем плотность, и поэтому
целесообразно сводить вторую задачу к первой, а не наоборот; за-
метим, что при этом могут оказаться полезными оценки из упраж-
нений 5—9 и 11 к § 1.3, а также более раннее наблюдение А.П. Ершо-
ва и Г.И. Кожухина, что графы G с y(G)><p(G) + l очень редки.
Следующий способ выявления всех максимальных (по включе-
нию) клик вытекает из алгоритма нахождения ядер в ориентирован-
ных графах (§ 4.3 и упражнение 6 к нему), но независимое обоснова-
ние этого способа для обыкновенных графов несложно и уже сейчас
может быть предложено читателю.
Пусть Fmax (G) — система (множество) всех максимальных клик
графа G, a G+ получен из G добавлением новой вершины t и ребер,
Глава 1. Идентификация
77
соединяющих ее с некоторыми вершинами G. Покажем, как ностро-
ить Fmax (G+ ) по Fmax (G).
Будем просматривать по порядку все клики FeFmax(G); для
каждой из них в графе (7 + возможны два случая.
1.	Все вершины F смежны с I. Тогда включаем в «предваритель- '
ную» (избыточную) систему Fmax (G+ ) клику F • l, порожденную все-
ми вершинами F вместе с вершиной Z1.
2.	Не все вершины F смежны с I; пусть смежные с t вершины в F
образуют клику (или пустое множество) F'. Тогда
а)	включаем в Fmax (С+ ) клику F;
б)	включаем в Fmax (G+) клику F't при условии, что никакая
вершина из G\F не смежна с t и всеми вершинами F' (в случае
Г'=0 добавляемая клика — одновершинная ({/}, 0)).
Система Fmax (G+), составленная в результате просмотра всех
клик F 6 Fmax (Ст), содержит все максимальные клики графа G+. Для
получения Fmax (G+) надо из избыточной системы Fmax (G+) уда-
лить клики, являющиеся подграфами других ее клик, в частности
устранить дублирования; это можно делать и в процессе построения
избыточной системы, не дожидаясь его завершения.
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере графа
рис. 1.7.2, взяв за исходный G треугольник abc. Все клики записыва-
ем множествами их вершин (без скобок и запятых).
Процесс передан последовательностью
строк, каждая из которых соответствует опреде-
ленному графу; следующий граф получается из
предыдущего добавлением вершины, отмечен-
ной спереди знаком +. Строка состоит из клик
системы Fmax, а после вычеркиваний — из клик
системы Fmax соответствующего графа; клики,
полученные от просмотра одной и той же клики
предыдущей строки, отделяются друг от друга
запятой, а полученные из разных клик — точкой
с запятой (обратите внимание на условие в п. 26).
Смысл подчеркиваний будет раскрыт позже.
1 Обозначение F t согласуется с определением произведения графов (§ 1.3), если тол-
ковать ( как одновершинный граф.
78
Основы теории графов
Граф	abc) abc.
+d) abc, acd.
+е) abc, се; acd;
+/) abc, acf; cef; acd; dbf
+g) abcg; acfg; cefg; acd.
+h) abcgh; acfg; cefg; acd.
+i) abcgh, acghi; acfg; cefg; acd.
+j) abcgh; acghi, gij, acfg; cefg; egj; acd.
Таким образом, для всего графа рис. 1.7.1
Fmax={^gA, ac^hi, ZU’ acf& cef& egj, acd}.
Желая выявить не все максимальные клики, а только наиболь-
шие1, можно из каждой системы Fmax (для промежуточного графа в
процессе) удалять всякую такую клику, число вершин которой в
сумме с числом оставшихся ниже строк меньше количества вершин
какой-то другой клики в этой системе. Удаляемые на этом основа-
нии клики в примере подчеркнуты дважды: так, в строке +/) клика
acd, даже если бы она вместе с оставшейся вершиной (J) образовала
клику, не может соперничать с abcgh (или с acghi). По аналогичной
причине, если надо выявить только какую-нибудь наибольшую кли-
ку (в частности, найти плотность), то можно удалять и клики, под-
черкнутые один раз.
При обосновании алгоритма просим читателя обратить внима-
ние на одну тонкость. В случае 2 клика F' t не включается в
Fmax (G+), если граф G\F содержит вершину х, смежную с Z и со
всеми вершинами F'. Но тогда кажется естественным включить в
Fmax (^+) клику, порожденную вершинами F' вместе с t и х. Почему
в п. 26) это не делается и не приведет ли такое «упущение» к потере
некоторых максимальных клик заданного графа? Не мешало бы вы-
яснить также, для каких графов не все одновершинные клики, воз-
никающие на этапах типа 26) при F' =0, в дальнейшем исчезают (от
«ликвидации излишеств» Fmax —> Fmax).
1 Заметим, что и в ходе одесского алгоритма фактически фигурируют все наиболь-
шие клики, и несложное его усовершенствование (предоставим это читателю) позво-
ляет выписать их явно. Графы, в которых все максимальные клики являются наибо-
льшими, описывает И.Э. Зверович (Матем. заметки, 67 (2000), № 6, 52—56 [00, 5В287])
в терминах запрещенных частей.
Глава 1. Идентификация	79
В классе всех обыкновенных графов или любом таком его под-
классе, которому вместе с графом G принадлежит и дополнитель-
ный G, задачи нахождения неплотности и выявления груд, как мак-
симальных, так и наибольших, сразу же сводятся к уже рассмотрен-
ным (и наоборот) переходам от G к G, так что если пренебречь слу-
чаями, когда такой переход затруднителен (см. § 1.5), то к «ср-поста-
новкам» и «^-постановкам» можно относиться как к равносильным.
О возможном количестве максимальных клик и груд в графе можно
судить по результатам, приведенным в упражнении 4.
Для некоторых классов графов благодаря особенностям их стро-
ения решение задачи о плотности может значительно упрощаться;
так обстоит дело, в частности, при использовании конструкции Ви-
зинга (§1.5) для проверки на изоморфизм двух графов G = (X, U) и
G' = (Х\ U') с одинаковым числом вершин и=)Х|=|Х'|. Как мы уже
знаем из § 1.2, соответствовать друг другу при изоморфизме могут
только такие вершины xg X и х' е X', для которых s (G, x)=s(G', х');
в терминах графа GoG' это значит, что в его и-клику может войти
лишь такая вершина хх', окружение которой О (GdG', хх') устроено
следующим образом: после надлежащих пе-
рестановок строк и столбцов графа GdG' (что
отвечает независимым перенумерованиям £х'
вершин в G и в G’) вершины, смежные с хх',
образуют квадрат или пару примыкающих	• • •
друг к другу квадратов с общей диагональю	• • •
(рис. 1.7.3). (Сразу же оговоримся, что факти-	* * * • •
чески выяснять наличие этого свойства у вер-	• •
шины можно гораздо проще, чем перебором
подстановок) Выявив в GdG' все вершины, рис> 1.73
не обладающие этим свойством, сразу же
удаляем их, не повредив ни одной из и-клик. Такую «чистку» можно
продолжать и дальше, но мы опишем заново весь процесс с более
общих позиций.
Предположим, что множества вершин графов G и G' удалось
разбить на попарно непересекающиеся классы
^=^11^211..Х)Хк ,	У'=У{и^и...1Щ	(♦)
с соблюдением следующих условий:
80
Основы теории графов
(а)	число классов к одинаково для обоих графов;
(б)	|jrz| = |JT/| при каждом z = l, 2, ..., к\
(в)	ни при каком изоморфизме графов G и G' (если они изо-
морфны) вершины классов X t и X'j с i^j не могут соответствовать
друг другу.
В частности, таковы разбиения по степеням вершин:
Xi={x^Xls(G, x) = z}, X,i={x,eX,ls(Gt, x') = f};
но для однородных графов получаются тривиальные разбиения
(& = 1) и надо классифицировать вершины по каким-то другим при-
знакам.
Пусть (GoG')i — подграф графа GoG', полученный удалением
всех таких вершин хх\ для которых хеХ, &xfeXJ &i*J; в силу
условия (а) этот подграф содержит все и-клики (если они есть) ис-
ходного графа GdG'. Новый граф (GoG')i является квадратичным'.
его вершины можно посредством перестановок строк и столбцов
GoG' сгруппировать в квадрат или в несколько квадратов, примы-
кающих друг к другу вдоль общей диагонали.
Вершина хх' графа (GaG')i заведомо не принадлежит никакой
его и-клике, если хотя бы для одного i е {1, 2, ..., к} число вершин
класса Xi9 смежных с х в G, не равно числу вершин класса JT-, смеж-
ных сх' в G'; в терминах графа (GdG')i это выражается следующим
образом: вершины окружения O((GdG')i, хх'), попавшие в «квад-
рат» XjxXj, образуют в нем (после надлежащих перестановок
строк и столбцов) не квадраты, а разносторонние прямоугольники.
Отсюда следует, что если вершина хх' в графе (GdG')] не обладает
квадратичным окружением, то она не может принадлежать никакой
и-клике; удаляя одновременно все такие вершины, получим подграф
(GoG')2, и т. д. до тех пор, пока не дойдем до графа (GdG')^, в кото-
ром окружения всех вершин квадратичны и который содержит все
и-клики исходного графа GdG'.
Сам граф (GaG')^, очевидно, квадратичен (как и все его предше-
ственники (GaG')i, ...)• Если проекции его «квадратов» на множест-
ва вершин заданных графов G и G' не исчерпывают хотя бы одного
из этих множеств, то заведомо G^ G'. В противном случае проекции
образуют пару разбиений с теми же свойствами (а)—(в), что и у ис-
ходной пары (♦); это самая детальная классификация вершин, какой
вообще можно добиться без использования каких бы то ни было их
Глава 1. Идентификация
81
различий помимо тех, которые на-
шли отражение в исходной класси-
фикации (♦). Сказанное иллюстри- f ’
рует рис. 1.7.4, где ребра графов не '*
изображены, а нумерации вершин х2{’
G и G' предполагаются выбранны-
ми так, что слово «квадраты» Азг
можно писать без кавычек.	р
В идеальном случае, когда все Л4|*
квадраты, а значит, и их проекции
G'
Рис. 1.7.4
№G')q
одновершинны, граф (GnG')^ име-
ет не более п вершин, и вопрос об
изоморфизме G и G' решается тривиально; но такой случай может
представиться лишь для графов, не допускающих никаких автомор-
физмов — изоморфизмов на себя — кроме тождественного. В общем
случае группа автоморфизмов графа, действующая на множестве его
вершин, разбивает это множество на классы транзитивности таким
образом, что автоморфизм графа, переводящий одну заданную вер-
шину в другую, существует тогда и только тогда, когда обе вершины
входят в один класс (упражнение 6). Если граф задан с точностью до
изоморфизма (в частности, его вершинам не навязаны никакие
«внешние признаки» — «ярлыки»), то отличить друг от друга верши-
ны одного класса невозможно; например, неразличимы никакие две
вершины в графах Fni Еп, Сп и графе Петерсена, неотличимы друг
от друга вершины степени 1 в веере К/ с />2 и вершины степени 2 в
клешне. Ясно, что если исходные разбиения (*) обусловлены только
«внутренними признаками» вершин графов G и G', то классы, полу-
ченные проектированием квадратов графа (GoGf>)q на А" и на X', не
могут быть «мельче» классов транзитивности, а точнее, каждый
класс транзитивности графа G (&) целиком содержится в некотором
классе-проекции Х^ (Х\).
Если для графов G и G' классы-проекции совпадают с классами
транзитивности, то вопрос об изоморфизме опять решается просто:
достаточно в графе (GdG')^ выбрать п вершин, по одной из каждой
строки и каждого столбца (в остальном произвольно), и выяснить,
порождают ли они клику. Возникает вопрос: от каких разбиений (*)
надо отправляться, чтобы получить такое совпадение классов?
В общем виде пока он не решен, а если за основу брать степени
82
Основы теории графов
вершин, то совпадения может и не быть (см. упражнение 7); однако
при «степенном» подходе дело статистически обстоит так: для слу-
чайно задаваемых неоднородных графов G и G' наличие уже одной
выборки п вершин в (GdG')^, порождающей неполный подграф, по-
зволяет «почти наверняка» заключить, что G^G' (вероятность
ошибки, и без того малая, еще больше уменьшится, если произвести
более одной и-выборки).
Остался вопрос об исходных разбиениях (*) в случае однородно-
сти заданных графов. Можно, например, классифицировать верши-
ны по более тонким свойствам их окружений, нежели количества
вершин. Самый «жесткий» подход — относить вершины в один
класс лишь тогда, когда их окружения изоморфны, — не выдержива-
ет критики: пришлось бы примерно раз решать проблему изо-
морфизма, сравнимую по сложности с такой же проблемой для па-
ры исходных графов. Поэтому целесообразно ограничиваться для
окружений какими-либо неполными, но зато легко вычислимыми
инвариантами, например векторами степеней, количествами ребер
и треугольников и т. п.
Но как быть, если с самого начала все попытки «сравнительно
простой» классификации вершин терпят неудачу: графы G и G'
столь «гладкие», что «не за что ухватиться»? В этом случае мы по-
зволим себе «роскошь» в виде перебора п возможностей. Пусть
Jf={l, 2, ..., п}, Х'={аъ а2, ...» ап}. Зафиксируем в G какую-то вер-
шину, например 1, и будем по отдельности выяснять наличие изо-
морфизмов G на & , переводящих 1 в в а2, ...,вап; если заданные
графы отличны от Fn и Еп (иначе делать нечего), то вариант, когда
1 переходит в а^, естественно порождает пару разбиений
X’ ={fl/}U{-x'e X’ I ajx' eU'}\J{y' е X'\{ai}l ajy'&U'},
которую и можно взять за начальную (*) с к-3.
Подход к проблеме изоморфизма, основанный на классифика-
ции вершин по их «внутренним признакам» в графах, предлагался
многими авторами, а комбинацию этого подхода с перебором п слу-
чаев (J.P. Steen И Rev. franf. inform, et rech. oper., 3 (1969), № 3,
51—69 [70, 12B338]) далее развивали и широко применяли в Таган-
рогском радиотехническом институте.
Глава 1. Идентификация
Синтез этих идей с конструкцией Визинга осуществил И.М. Гор-
гос (Отчет по х/д теме № 7803308 от 10 мая 1979 г., Кишиневский уни-
верситет, Б762373), но на практике лучше проводить вышеизложен-
ную схему в ином порядке, избегая громоздких процессов построе-
ния всего графа GdG' и последующих серий удалений его вершин: та-
ганрожцы предлагают сначала расклассифицировать возможно де-
тальнее вершины каждого из графов G, G' по отдельности, а затем
сразу строить граф (GdG')^ с множеством вершин (Х} xZJ)U
U (Х2 х ^2)U • •где Х\ пХ{, Х2 и Х2 и т. д. — соответствующие друг
другу классы вершин графов G и G' в окончательной классификации.
И.М. Горгос указывает также на возможность дальнейшего
упрощения графа (GdG')^ путем удаления ребер; например, если
ребро ху в G и ребро х'у' в G' принадлежат разным количествам тре-
угольников, то ребра хх'ууг и ху'ух' из графа (GdG')^ можно уда-
лить (почему?). От «прополки» ребер могут возникнуть вершины
степени менее и-1, сохранять которые тоже незачем...
Так или иначе, проблема изоморфизма, когда она возникает на
практике, успешно решается, и это наводит на мысль сводить к ней
задачу нахождения плотности произвольного графа (а не наобо-
рот). К сожалению, сколько-нибудь простое сведение такого рода
пока не известно, а очевидное сведение задачи о плотности к проб-
леме изоморфного вхождения (§ 1.5) — это совсем не то. Библиогра-
фию по алгоритмам изоморфизма см. в [УС].
Упражнения и дополнения
1.	Найти плотность графа рис. 1.7.2 с помощью одесского алгоритма.
2.	Найти плотности графов рис. 1.7.1 и 1.7.2 по методу Дюканова.
3.	Выявить все максимальные клики графов рис. 1.7.2, расположив его вер-
шины в порядке «, b, c,j, А, /, d, е, g, i; то же при условии, что требуется найти
только плотность.
4.	Для наибольшего возможного количества f (п) максимальных клик в
n-вершинном графе найдены точные выражения
Зк при п = 3к,
f Д-З*-'"1 при и = 3£+1,
2-3* при л = 3£ + 2
84
Основы теории графов
и оценено наибольшее количество различных значений числа вершин макси-
мальной клики: J.W. Moon, L. Moser // Israel J. Math., 3 (1965), № 1, 23-28
[66, 6А258]. Нижние и верхние границы количеств Zc-груд в n-вершинном графе
оценивает С. Croitoru [82, 12В642; 82#05067]; уточнение: J.R. Griggs,
Ch.M. Grinstead, D.R. Guichard H DM, 68 (1988), № 2-3, 211-220 [88, 7В631].
5.	По способу последовательного образования графов (GdG')i, (GqG,)2> •••
выяснить, какие из графов Gj = (X, U,) изоморфны, а какие нет, если
У={1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}
={12,	14,	18,	28,	29,	ЗД	36,	37,	4$	46,	57,	69,	78,	79	89}.
[/2={12,	14,	18,	27,	29,	ЗД	36,	37,	45,	48,	56,	69,	78,	79	89}.
L/3={12,	15,	17,	26,	27,	34,	36,	39,	46,	48,	58,	59,	78,	79	89}.
U4 ={12,	1Д	17,	26,	27,	34,	36,	39,	45,	46,	48,	58,	78,	79	89}.
6.	Автоморфизм графа G=(X, U) с У ={1, 2, ..., п} можно определить
как подстановку
' 1	2	... п
а(1) а(2) ... а(п)
множества его вершин, удовлетворяющую условию
V/, jeX: у gU => a(i)a(J)eU;
произведением aft называется подстановка, состоящая в последовательном
выполнении подстановок а и р: аР (i)=P fc(/)), *=L 2, ..., п.
а)	Доказать, что множество всех автоморфизмов графа G образует относи-
тельно операции умножения группу (см., например, А.Г. Курош. Курс высшей
алгебры. М.: Наука, 1975); она называется группой автоморфизмов Aut (G) гра-
фа G.
б)	Доказать, что бинарное отношение R(i, j): «существует такой
a g Aut (G), что а («) = у» на множестве X — эквивалентность; классы, на которые
она разбивает X, называются классами транзитивности графа G (точнее, груп-
пы Aut (G), действующей на множестве вершин графа G).
в)	Найти Aut (G,) для каждого из четырех графов упражнения 5 и соответ-
ственно разбить множество вершин на классы транзитивности.
7.	Пусть 6=({1, 2, ..., 25}, U), где для каждой вершины i все смежные с
ней вершины j>i указаны в таблице:
Глава I. Идентификация
85
i		// j>i& Tj е U												
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	14	15	16	17	18	19	
3	4	5	6	7	20	21	22	23	24	25		
4	8	9	10	14	15	16	20	21	22			
5	8	11	12	14	17	18	20	23	25			
6	9	11	13	15	17	19	21	23	25			
7	10	12	13	16	18	19	22	24	25			
8	9	10	11	14	16	19	23	24				
9	10	12	15	17	18	22	23	25				
10	13	17	18	19	20	21	24					
11	12	13	14	15	19	21	22	24				
12	13	15	16	18	20	' 22	23					
13	14	16	17	20	21	25						
14	16	17	18	21	22	25						
15	16	17	19	20	22	24						
16	19	20	23	25								
17	18	20	24	25								
18	19	21	22	23								
19	21	23	24									
20	21	23	24									
21	22	23										
;22	24	25										
23	25											
24	25											
Показать, что для этого графа классы-проекции, полученные с помощью
графа (GdG)^, не совпадают с классами транзитивности. В.Л. Арлазаров,
А.А. Леман, М.З. Розенфельд [76, 2В505К; 58Я27590].
8.	Если вершины х и у графа G принадлежат одному и тому же классу
транзитивности, то они, очевидно, псевдоподобны: G\x - G\y', как показывает
пример рис. 1.7.5, обратное не имеет места. Пусть теперь для двух ребер и и v
86
Основы теории графов
графа G существует автоморфизм, переводящий концы и в
/ \	концы и; тогда для суграфов G\u - G\v. Верно ли обратное
®	утверждение?
S'	Далее о псевдоподобных вершинах см. [УС].
у	9. Доказать, что группа Aut (G) действует на множест-
ф	ве U ребер обыкновенного графа G =(У, U) транзитивно в
Рис 1 7 5 Т°М И только том слУчае’ ссли все графы G (Jxy, где х, у е X,
х*у и ху &U, изоморфны друг другу. D. Burns, S.F. Kapoor,
Р.А. Ostrand // Fundam. Math., 125 (1985), № 2, 125-131 [86, 5В702]. См. также
вершинно симметричный и реберно симметричный (граф) [УС].
§ 1.8. ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ И НЕПЛОТНОСТИ.
ГРАФ ТУРАНА
Для таких трудно вычислимых инвариантов, как плотность, не-
плотность, хроматическое число, число Хадвигера и др., не всегда
нужно находить точное значение: во многих задачах можно доволь-
ствоваться оценками этих инвариантов через легко вычислимые.
Предварительное знание таких оценок полезно и при точном вы-
числении, благодаря дополнительной возможности отбрасывать в
ходе процесса заведомо бесперспективные варианты.
В качестве образца, важного по своим результатам, а еще боль-
ше для овладения одним из основных методов в теории графов, рас-
смотрим задачу нахождения точных нижних и верхних оценок инва-
риантов <p(G) и s(G) через m(G) и m(G). Удобнее сначала решить
«обращенную» первую задачу: найти точную верхнюю оценку
т (п, ф) и точную нижнюю оценку т (и, ф) количества ребер
обыкновенного графа G через число его вершин n = n(G) и
плотность <p=(p(G). Нам понадобится
ЛЕММА 1.8.1. Пусть u, =xxz —ребра графа G-(X, U), инциден-
тные его вершине х (/=1, 2, ..., s=s(G, х)), а графС' = (X\J{y}, U{J
U {ухj, ух2, ..., yxs}) получен из G добавлением новой вершиныуёХ
_______и новых ребер yXj (рис. 1.8.1).
У G \ '' Тогда v(g')=<p(g)-
Рис. 1.8.1	:	Действительно, с одной сто-
\	роны <p(G')>(p(G), поскольку G
'''--''	является подграфом G'; с другой
Глава 1. Идентификация
87
стороны, если какая-то клика F графа G содержит вершину у, то F
не содержит х (ибо при построении G' эти вершины ребром не со-
единяются), и заменяя у на х, мы превратим F в изоморфную ей кли-
ку графа G, откуда <p(G)><p((?')• Операцию перехода от G к Gr назо-
вем расщеплением вершины.
Граф Gm (п, (р), обладающий наибольшим возможным количест-
вом ребер т = т (п, ф) при данном числе вершин п и данной плотно-
сти <р, называется графом Турана; исследуем его структуру. Ход ис-
следования, основанный на лемме 1.8.1, кажется нам более естест-
венным, чем доказательства окончательного результата, предло-
женные самим автором, и последующие: см. теорема Турана [УС].
Предварительно отметим очевидный факт: если n(G) = n и <р (С?) <<р,
то m(G)<m(n, <р).
С помощью леммы 1.8.1 легко устанавливаются следующие
свойства графа G=Gm (п, (р).
(А)	Несмежные вершины имеют одинаковую степень. В самом де-
ле, пусть х *у — несмежные вершины в G. Если, например, s (х) >s (у),
то удаляя из G вершину у и расщепляя затем вершину х, мы получим
rpafyG' cn(G')=n,m(G')>m(G)=m(n9 <р)и<р(Ст')<<р(С)=Ф, что невоз-
можно.
(Б) Степени любых вершин различаются не более чем на 1. Для
несмежных вершин это утверждение даже слабее (А). Если х и у —
смежные вершины G, такие что j (х) >5 (у) +1, то удаляя у и расщеп-
ляя х в полученном подграфе, образуем граф G' с n(G') = n,
m(G')>m(n, (р) и (p(Gf)<(p, что невозможно.
(В)	Отношение несмежности вершин — эквивалентность. Реф-
лексивность и симметрия этого бинарного отношения тривиальны.
В случае его нетранзитивности существовали бы такие вершины х,
у, z, что х смежна с у, но z не смежна ни с х, ни с у. По свойству (А)
5(х) =5(z) =5(у). Удаляя из G обе вершины х, у и дважды расщепляя
z, получим граф G' с n(G') = n, m(G')>m(n, ср) и cp(G')<(p, что невоз-
можно.
На основании (А), (Б) и (В) граф Gm (п, ср) определяется числами
п и ср изоморфно. Именно,в силу (В) множество вершин разбивается
на классы таким образом, что вершины каждого класса попарно не-
смежны, а всякие две вершины разных классов смежны, иначе гово-
ря, граф Турана представляет собой произведение груд. Количество
сомножителей (классов) равно (р, поскольку каждая клика, в том
88
Основы теории графов
числе наибольшая не может иметь двух вершин в одном и том
же сомножителе, а всякое подмножество вершин, взятых по одной
из разных сомножителей, порождает клику. Степени вершин в со-
множителе (вида Efc) согласно (А) одинаковы и поэтому равны
п-к9 значит, в силу (Б) количества вершин к в разных сомножите-
лях не могут различаться более чем на 1. Таким образом, если зна-
чения к суть р и р + 1 (возможно, только р), то
Gm (п, (р) — Еp+i •	•...• £^+1 • Ер • Ер •...• Ер ,
г	ф-г
где 0<г<ф и (р + 1)г +р((р-г) = п. Тем самым доказана
ТЕОРЕМА 1.8.1 (Турана). Граф Gm (п, ср) изоморфен произведе-
нию г груд типа Е р+\ и ср-r груд типа Ер, где р — частное, аг —
остаток от деления п на <р.
Искомое значение т(п9 cp) = m(Gm (п, <р)) легко находится вычи-
танием суммарного числа пар различных вершин в сомножителях
из полного количества пар несмежных различных вершин всего
графа:
т(п, (р) = । | -	- ||((р-г);
\2J к 2 )	(2 J
заменяя здесь г на п-срр, получим после преобразований
т(п, (р) = М + (р* ’1<р-рп,	(1)
\2 J к 2 )
где р=\_п!(р\.
Найти функцию т(п, (р) гораздо проще. Граф Gm (л, <р) с наи-
меньшим числом ребер т при заданных п п<р необходимо содержит
ср-клику, а кроме нее — только п-ср изолированных вершин, т. е., как
и граф Турана, определяется числами п и (р (1<<р<и) изоморфно.
Следовательно,
т(п, (р) = | |.	(2)
(2 )
Более интересен, однако, другой вариант задачи, когда ищется наи-
меньшее число ребер т-т(п, ср) связного и-вершинного графа плот-
Глава 1. Идентификация
89
ности ср (в отношении верхней оценки такой вариант не возникает,
поскольку при <р>1 граф Турана всегда связен). Здесь соответствую-
щий граф Gni (л, (р) уже не определяется изоморфно по п и (р, но яс-
но, что все такие графы (и только они) получаются следующим об-
разом: к графу Fy последовательно добавляем п-(р новых вершин,
соединяя каждую из них новым ребром с какой-нибудь вершиной
уже построенной части. Отсюда
т (п, ср) = f 4- п - (р - п + ^1^2^.	(3)
<2)	2
Итак, для числа ребер m=m(G) произвольного графа G с n = n(G)
вершинами и плотностью (p=(p(G) имеем точные оценки
т(п, (р)<т<т(п, (р),	(4)
где т(п, <р) при дополнительном условии а?((7) = 1 надо заменить на
т(л, (р). Для нахождения желаемых оценок <р (п, т) иср(п, т) плотно-
сти (р (сверху и снизу) исследуем возможность разрешения нера-
венств (4) относительно (р.
Построим координатную диаграмму, отмечая при фиксирован-
ном п те точки плоскости тО(р, которые соответствуют каким-то
графам (на рис. 1.8.2, отвечающем числу вершин л = 7, границы об-
ластей существования графов показаны ломаными линиями). Из
смысла инвариантов /и(С) и n(G) ясно, что функции (р=ф(п, т) и
Vй—•—•—•—•— х. ।—•—•—।—।—•—।—।—.—।—।—।—»
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Рис. 1.8.2
90
Основы теории графов
(р-(р(п, т) при п = const являются неубывающими от аргумента т, но
не могут увеличиваться более чем на 1, когда т возрастает на 1.
Те точки графика функции (р-(р(п, п), которые непосредственно
следуют за скачками, расположены на параболе т = <р (<р — 1) (верх-
няя штриховая линия). В пределах диаграммы функция т от (р и об-
ратная ей (р =	? рассматриваемые как функции непрерывно
меняющегося аргумента, строго монотонны, а так как скачки цело-
численной функции ф(п, т) не превышают 1, то
<р(л,	(5)
Для класса связных графов аналогичным рассуждением (соот-
ветствующая парабола изображена нижней штриховой линией) по-
лучаем
q>(n, п)=	.	(6)
Точки графика целочисленной функции ср=(р(п, т), непосредст-
венно предшествующие скачкам (и отмеченные на рисунке звездоч-
ками), составляют график функции т-т(п, (р). Разрешить это урав-
нение «в лоб» на сей раз не удается, ибо в выражение (1) для т(п, (р)
входит величина р, хитро зависящая от (р. Трудность преодолевает-
ся остроумным приемом, который предложили А.П. Ершов и
Г.И. Кожухин (ДАН СССР, 142 (1962), № 2, 270-273 [62, 9А167]) и
идея которого состоит в замене величины p=[nl(pj другой, не зави-
сящей от (р. Именно, как сейчас будет показано, если т и ср связаны
условием
(Г)
где р=[п/ср], то
/> = L"-vJ-	(7)
В самом деле, из (Г) получаем
2т - п2 -п + (р + \)р(р-2рп,
Глава 1. Идентификация
91
следовательно,
п2 - 2т = и + 2ри-(р + 1)рср = и + 2/7и-(/7 + 1)(и-г) = рп + (р + Г)г,
где г-п~р(р — остаток от деления п на ср, 0<г<(р. Отсюда
п - 2т = р +
п	п
Но 0<(p + i)r=pr+r<p(p+r = n, значит 0 < ~~ < 1 и |_и -	= р,
что и требовалось.
Разрешая теперь уравнение (Г) относительно ф, находим
ф =
2т+2рп-п (л-1)
(8)
Покажем, что при фиксированном п>2 функция
(р(т) =
2т+2р (т)п-п (л-1)
р(т) (р("1)+0
где р=р(т) дается формулой (7), но от непрерывно меняющегося
аргумента т, строго возрастает в пределах диаграммы.
В промежутках между теми значениями т, при которых 2т In
является целым числом, функция р (и) сохраняет постоянное значе-
ние, а ф(т), как видно из (8'), строго возрастает по линейному зако-
ну. Пусть т^ — любое из тех натуральных чисел, для которых
2m0 In целое; достаточно показать теперь, что<р(т0 -0)=<p(w0 +0).
Введем обозначение Ро=р(то)=п - тогда
2/Ио =и2 -про.
Кроме того, из (7) непосредственно следует
?(/и0-0)=ро, р(т0 +О)=ро-1-
Учитывая это, находим из (8'):
(w _0) = п^про+2роп-п(п-1) =
и	Ро (Ро + 1)	Ро
92
Основы теории графов
<р{т. +0) = ”2^о+2(ро-1)я-п(л-1) =
(Ро“ОРо	А)
т. е. пределы справа и слева действительно совпадают.
Из того, что функция ср(т) строго возрастает, скачки целочис-
ленной функции <р (п, т) не превышают 1, а «звездные» точки при-
надлежат графикам обеих функций, следует теперь в силу (8)
где р определяется из (7). Вывод сделан в предположении п >2, но
для одновершинного графа обе части в (9) равны 1.
Итак, в классе всех обыкновенных графов и в подклассе связных
справедливы точные оценки
ф(п, т) для всех G,
<р(п,

к(р(и, т)
для связных G,
где л=л((7), m=m(G), а функции ср, ф и ф определяются из (9), (5) и
(6). Переходя от G к дополнительному графу, можно получить точ-
ные оценки неплотности в классе всех обыкновенных графов:
£(п, m)<£(G)<£(n, т\
где
£(п, т)=ф! и,
1+7(2м-1)2-8/н
2
?<"•	12тт)=Г^Ш
Кликоидом, а точнее, (и, фукликоидом называется обыкновенный
и-вершинный граф плотности (р с транзитивным отношением не-
смежности вершин, т. е. обладающий свойством (В) и поэтому
Глава 1. Идентификация
93
раскладывающийся в произведение <р груд. (Граф Турана Gm (п, (р) —
это кликоид с наиболее равномерным распределением вершин по
сомножителям.) Кликоид S общего вида изоморфно задается неупо-
рядоченной системой натуральных чисел п2, ...»	— количеств
вершин в сомножителях (среди этих чисел могут быть и одина-
ф
ковые), (p=(p(S), ^nj=n(S). Определенный в §1.4 многочлен
F(G) =	(G)xz для кликоидов имеет вид
F (5) = (14-и1х)(1+л2х)... (1 + ИфХ) = 1 + их+...	(10)
(см. упражнение 9г к § 1.5); в частности,
F(GW (и, <p)) = (l + (/? + l)x)r (l+px)^, п—pcp+r, 0<г<ср.	(И)
Для любого (и, (рУкликоида S
i = G, 1, 2,	,	(12)
и если при каком-либо i>2 имеет место равенство, то S—G”1 (л, <р);
это следует из простого алгебраического факта: если в произведе-
нии (10) есть два сомножителя (1 + лух) и (1 + л^х) с Лу <п/с -1, то по-
сле замены их на (1 + (лу +1)х) и (1+(лд. -1)х) коэффициенты при
всех х' с />2 в полученном многочлене будут строго больше соот-
ветствующих коэффициентов в исходном.
Следующая теорема, как и теорема Турана, неоднократно пере-
открывалась (например: S. Roman // DM, 14 (1976), № 4, 365—371
[76, 9В401; 54# 155]).
ТЕОРЕМА 1.8.3 (А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2,
163—188 [MR11р733]). Неравенство (12) справедливо не только для
кликоидов S, но и для любого обыкновенного графа G с n(G) = n и
<р(G) —<р, причем если хотя бы при одном i>2 имеет место равенство,
то G—Gm (л, <р).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно для любого л-вершинного
графа G плотности ср и любого / = 2, 3, ... уметь построить такой
(л, <р)-кликоид Sj, чтобы было
/,• (G)</,- (5, ),
(13)
94
Основы теории графов
а в случае f ] (G)= (Gm (n, (p)) также
/,4 (Sf )</,_,(&).	(14)
Действительно, тогда на основании (13), (12) для S, (и тривиальных
равенств при 1 = 0, 1) будет
/,• (G) </,• (5,-) </, (Gm (п, <р)), 1=0, 1,2,...	(15)
Отсюда, во-первых, следует справедливость (12) для графа G:
fi (GXfi (Gm (п, ср)), i=Q, 1, 2, ...	(12')
Во-вторых, если при каком-то i=i0 >3 здесь имеет место равенство,
то из (15) и из установленной справедливости теоремы для кликои-
дов получаем Sio~Gm (и, (р), в частности (5,() )=Д-1 (Gm (п, (р)),
что вместе с (14) при i=i^ и (12^ при 1 = 10-1 дает
/,o_1(G) = /,o_1(G"’(n,<p))1
т. е. равенство в (12Э сохраняет силу и для 1 = гц -1; повторяя это рас-
суждение (уже с использованием кликоидов $i0-2 и т- Д-), по-
лучим, что равенство справедливо и при 1=2, а отсюда, как показа-
но построением графа Турана, следует G^Gm (п, (р).
Итак, осталось осуществить построение требуемых кликои-
дов Sj. Для любого графа G будем обозначать через (G, х) коли-
чество его 1-клик, содержащих вершину х (оно равно /|_j (O((z,x))).
Пусть теперь G — заданный граф с n(G) = n и (p(G)=<p, а 1>2 — за-
данное число.
Если в G всякие две несмежные вершины обладают общим окру-
жением, то сам G — кликоид (почему?) и для него требования,
предъявляемые к S,, выполнены (в виде равенств). Если же х и у —
две несмежные вершины с разными окружениями, причем либо
/, (G, х)>П (G, у), либо /, (G, x)=fi (G, у)&/^ (G, х)>/^ (G, у),
то удалим из G вершину у и в графе G \ у расщепим х; проделав это
по отношению не только к самой вершине у, но и ко всякой другой,
имевшей в G общее окружение с х, получим граф G', в котором пар
вершин с разными окружениями меньше, чем в G, причем
Глава 1. Идентификация	95
/,(G)</,(G').	(16)
/, (G')=/, (G) => /,_!	(G).
Ясно, что продолжение этого процесса (если G' еще не кликоид)
приведет к построению некоторого кликоида S, удовлетворяющего
условию (16) с G' = S.
Из способа построения 5 (с учетом леммы 1.8.1) видно, что
n(S) = n и <р(5)С<р; в случае равенства построенный 5 и есть иско-
мый 5,, а при строгом неравенстве «доводится» до следующей
процедурой.
Так как (p(S)<(p<n, хотя бы одна из груд, произведением кото-
рых является 5, содержит не менее двух вершин; произвольно рас-
пределяя ее вершины по двум непустым группам и соединяя ребра-
ми все вершины одной группы со всеми вершинами другой, мы
превратим 5 в кликоид S' с прежним числом вершин, но с
<p(S')=(p(S) + l, опять удовлетворяющий условию (16) (почему?). Ес-
ли все еще <р(5') <<р, то преобразуем S' аналогичным образом и т. д.
Упражнения и дополнения
1.	Показать, что наибольшее число ребер и-вершинного графа, не содер-
жащего треугольников, равно [_n2/4j.
2.	Доказать, что при любом п > 1 множество Мп точек (т, ср), координаты
каждой из которых выражают число ребер и плотность какого-то и-вершинно-
го графа, является «целочисленно выпуклым»: для любых точек А(пц, <р0,
B(ni2, (р2)^Мп все точки С (т, (р) отрезка АВ, обладающие целыми координа-
тами, тоже принадлежат Мп.
3.	Доказать, что
[	( J п 1 1
£ (G) < min < max {jISj < n- j}, max < £ si <	st- > >,
[	[ i=l	/=j+l J J
где $2, . sn) = s(G), и что эта оценка точна, причем может достигаться как
на первой, так и на второй из величин под знаком минимума. В.Н. Любота //
Графы, гиперграфы и дискретные оптимизационные задачи. Киев: Знание,
1976—77, № 6, стр. 6. Другие верхние оценки: Р. Hansen // Rev. roum. math, pures
et appl., 24 (1979), № 8, 1195-1199 [80, 5B495; 80#05040].
96
Основы теории графов
4.	Вывести равенство
Л (<?"* («, <р))=ЕП [Sn+Jr (r>+jry<p]
r=l
(z = 0, 1, ..., <р), где сумма распространяется на все J|, уЧ, •••> Л» удовлетворяющие
условию 0< /2 <...<7}<ф-1. Р. Erdos // МТ, 7 (1962), series А, № 3, 459—464
[64, 1А331; 27#1937].
5.	Если в формуле (7) пренебречь знаком целой части, то правая часть
формулы (9) перейдет в п2/(п2-2т)\. Доказать, что полученное выражение на
самом деле является нижней оценкой плотности «-вершинного графа с т ребра-
ми, которая, однако, не при всех п и т точна; получить и исследовать аналогич-
ным образом нижнюю оценку pi2 / (п2 + 2/п)~| неплотности. Р. Erdos, Т. Gallai //
МТ, 6 (1961), № 1-2, 89-96 [62, 5А296].
То же самое можно вывести из результатов упражнения 23 к § 1.3. G. Tin-
hofer. Methoden der angewandten Graphentheorie. Wien; New York: Springer, 1976
[77, 10B348K; 55Я9905].
6.	Если у G нет изолированных вершин, а £ (G)<y (G), то £(G)<«/2.
С. Berge // C.r. Acad, sci., 268 (1969), № 19, Al 118-Al 120 [69, 12В327].
7.	Доказать, что если в «-вершинном графе G есть S-вершинный подграф,
не содержащий S-клик, то /,(G)<	(«, S)) при /=2, 3 (во втором случае
предполагается еще S > 3), и построить 7-вершинный граф, для которого при
/ = 4 неравенство не выполняется. Н.Й. Мартинов // C.r. Acad. bulg. sci.,
30(1977), № 9, 1255-1257 [78, 5В465; 58#384]. См. далее [82, 6В664].
7'. Доказать, что если среди вершин графа 6, принадлежащих наибольше-
му количеству z-клик, есть такая, которая не содержится ни в одной (/+1>клике
(1 < i < ср-1), то fi (G) < fi	(«, <р)), где (р = (р (G), т = т (С), и что равенство до-
стигается только на графе Турана. Н. Хаджииванов, Н. Ненов [82, 6В593, 594;
84е#05062; 84g#05087].
8.	Наибольшее количество ребер такого «-вершинного графа, в котором
каждый р-вершинный подграф обладает неплотностью >q, равно
шах
т,к
где максимум берется по всевозможным парам натуральных чисел, удовлетво-
ряющим условиям \ <к <(/?-!)/(</-1) и т =р-\-к (у-1). Это количество дости-
гается на графе Gm (п-т, k+\)Fm (только ли?). Т.Н. Копылов // Матем. замет-
ки, 26 (1979), № 4, 593-602 [80, ЗВ649]. См. далее J. Торр [86, 9В647].
9.	Пусть в графе G есть к > 1 ребер, попарно не имеющих общих инцидент-
ных вершин, а 2 </<2& + 1 и « = «((7)>2&; тогда
т (рт (п-т, к+!))+«: (п-т) +
Глава 1. Идентификация	97
,	|/2£ + Г| ' (k\ ( k А , 1
/.•(G) = max< ,	+	(л-к)>,
1л i J V ) v“V J
и если max достигается на первой величине, то 6—T^+i + £/г-2*+1» а если на вто“
рой, то G^Fk Еп_к. R.J. Douglas // JCTh, В23 (1977), № 2-3, 258-261 [78, 7В766].
10.	Пусть G=(Y, (/), q (х)=1/(1 + 5 (х)), где хеУ, a ^(G)= £^(х). Тогда
хеХ
£(G)>?(G)2/L(G)- £[sW-i-(y)]2<7 (x)2qfy)2 
I XJ’et/
и имеется эффективный алгоритм нахождения в G груды с числом вершин, не
меньшим этой границы. J. Harant // DM, 188 (1998), № 1—3, 239—243 [00, 2В348].
Ранее были известны более точные оценки, но лишь для некоторых подклассов
графов: J.R. Griggs // JCTh, В34(1983), № 1, 22-39 [83, 10В404]; I. Gutman //
Publ. Inst, math., 34(1983), 73-79 [85, 2В655].
§	1.9. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ГРАФЫ
Примеры задач, решенных в § 1.8, являются характерными и по-
зволяют уяснить некоторые общие подходы к нахождению точных
оценок тех или иных инвариантов графа.
Пусть L — некоторый класс графов, а Ф (G) - какой-то инвари-
ант. Граф (7фбЬ называется Ф-наиболыиим в L, если
У<7б1ДФ(б)<Ф((7ф)];
граф (?ф е L называется Ф-наименыиим в L, если
УСеЦФ(<7)>Ф((7ф)];
оба эти графа называют еще Ф-оптимальными (или просто оптималь-
ными). Например, при Ф(6)=/п(б:) класс графов L„ -{Gin ((?)=«}
имеет ровно один (с точностью до изоморфизма) /^-наибольший
граф Fn и ровно один /и-наименьший Ел; в классеЬ„ ={(?/и((7) =
=n&<p(G)=<p}, который рассмотрен в § 1.8, /и-наиболыпим является
граф Турана Gm (п, <р), а все m-наименьшие Gm (п, (р) легко обозри-
мы как во всем классе Ln (p, так и в подклассе Ln v cL„ v связных
графов.
98
Основы теории графов
В ряде случаев удается по смыслу данного инварианта Ф (G) по-
строить хотя бы один из Ф-оптимальных графов и вычислить для
него значение Ф. Тогда оказывается решенным вопрос о соответст-
вующей точной оценке инварианта Ф(б) графов заданного клас-
са L: знание Ф(С?ф) для какого-нибудь Ф-наиболыпего графа
(7Ф 6 L сразу дает точную верхнюю оценку, а знание Ф (Сф) для не-
которого Ф-наименьшего бф е L — точную нижнюю, т. е.
Ф(С?ф)<Ф(С)<Ф(Сф);
именно так были получены оценки т(п, (р), т(п, (р\ т(п, (р) количе-
ства ребер графа в классах и Ln Напротив, непосредственное
нахождение ср-оптимальных графов в классах т и Ёл т оказыва-
ется затруднительным, поэтому соответствующие оценки ср(п,
ср (п, т)пф (п, т) плотности <р искались косвенным образом — путем
обращения неравенств для т.
Может показаться, что такое обращение оценок в принципе
сводится к «школьному» решению неравенств, а необходимость
каких-то дополнительных исследований вызвана лишь сложным
видом этих неравенств. Однако, как мы сейчас увидим, дело
обстоит совсем не так просто.
Пусть L — некоторый класс графов, а Ф (G) и Т (G) — два число-
вых инварианта графов GeL. Рассмотрим подклассы
Ьф=фо={СеЬ/Ф((7)-Ф0}сЬ,
Ly=4,o ={GeL/4'(G) = vP0}cL)
где Фо и Ч'о — произвольные числа, и образуем четыре функции:
Ф (Ч\)) = min {Ф ((7) / G е }
 от аргумента Ч/о,
Ф С^о)=тах {Ф (G) IG 6 L ч'=ч/0}
Т (Фо) - min {Т (G) / G e L ф=ф()}
> от аргумента Фо;
Ч' (Фо)=тах {Ч> ((7) / G <= Ьф=ф()}
Глава 1. Идентификация
99
неравенства
Ф(Чх((?))<Ф(0)<Ф(Чх(6))
выражают точные оценки инварианта Ф(<7) через T(G), а
Т (Ф (6)) < 4х (<7) < Т (Ф (G))
— точные оценки 4х (G) через Ф (G). Можно ли проследить в общем
виде взаимосвязь между функциями Ф, Ф, 4х и 4х?
Пусть L — класс кусочно полных графов (у которых каждая
компонента является кликой); положим Ф(6)=и(б), 4х(G)=m(G).
Тогда
Ln=I={£i}, L„=2 ={Е2, F2}, Ln=3={£’3, E\+F2, F2},	;
Lm=o ={£], E2, ...}, Lm=I = {F2, El +F2, E2 +F2, ...},
Lm=2 ={^2 + ^2>	+F2 + F2> •••}>
Ьт=3={/г3> E{+F2, E2+F2,	F2+F2+F2 ...};
Построим координатную диаграмму, отмечая в плоскости пОт
каждую точку, координаты которой выражают количества вершин
и ребер какого-либо графа из L (рис. 1.9.1). Функция т=т(п) = "
V J
определена при п = 1, 2, ...; точки ее графика мы соединили ломаной
линией. Функция т = т(п) равна нулю. Функция п = п(т) не сущест-
вует. График функции п-п(т) имеет замысловатый вид (штриховая
линия), и дать ее аналитическое выражение вряд ли просто. Оценки
для m(G) и «(G):
0<m(G) <	n(m(G))<n(G).
Теперь возьмем за L подкласс тех графов прежнего класса, у ко-
торых каждая компонента имеет не менее двух вершин. Новая функ-
ция w = m(n) отличается от прежней только тем, что ее область
100
Основы теории графов
определения уже не содержит точку и = 1; то же можно сказать и о
функции п = п(т). Кроме того, появилась функция п = п(гп)-2т
(сплошная линия на рис. 1.9.2) и перестала быть тривиальной
функция
ли = ди(и)=[_и/2j + (-l)'1 1+1
(штриховая линия там же). Имеем оценки
+ (-1)Л(G)-l +i<m(G) <
n(/w(G))<«(G)<2m(G).
Наконец, наложим на графы G еще одно ограничение: n(G)<8.
Тогда замысловатым будет не только график п=п(т), но и график
п=п(т) (рис. 1.9.3).
Рассмотренные примеры говорят о том, что задача установле-
ния взаимосвязи между четырьмя функциями Ф, Ф, Т и Т в общем
случае, видимо, является безнадежной и рассчитывать на ее реше-
ние можно лишь при выполнении каких-то весьма жестких
Глава 1. Идентификация
101
дополнительных условий. Так, в § 1.8 существенную роль при разре-
шении неравенств играла строгая монотонность функций, а при
«навешивании» целой части на некоторые непрерывно меняющиеся
функции использовался тот факт, что скачки искомых функций не
превышают единицы.
План прямого нахождения точных оценок, выдвинутый в нача-
ле параграфа, часто осуществляется в несколько ином порядке: сна-
чала устанавливаются некоторые свойства оптимальных графов,
позволяющие найти соответствующую оценку без полного знания
хотя бы одного такого графа, и лишь затем, если есть основания
предполагать эту оценку точной, строится пример для доказатель-
ства ее достижимости. При наиболее полном решении задачи даже
целиком описывается класс всех таких примеров; в худшем же слу-
чае, когда ни одного примера указать не удается, вопрос о точно-
сти полученной оценки должен решаться косвенным образом и не-
редко остается открытым. Иллюстрации всего сказанного будут
встречаться неоднократно (теорема Харари—Зелинки в § 2.5, верх-
ние оценки хроматического индекса в § 2.9 и др.), а сейчас рассмот-
рим важные примеры, относящиеся к хроматическому числу и чис-
лу Хадвигера (§ 1.3).
Если G — связный неполный граф, то в нем всегда можно найти
пару несмежных различных вершин, обладающих общей смежной
(см. упражнение 3 к § 1.3); отождествление вершин этой пары не на-
рушает связность графа и не понижает хроматическое число (поче-
му?), но заведомо уменьшает количество ребер. Повторяя эту опера-
цию до тех пор, пока не получится клика Fk, т. е. п-k раз (и = и(С)),
будем иметь
(
= т (Ffc ) </п (G) - (п - к),
<2 J
откуда т = m(G) > п +	. Но к>у (G)=y, а дробь в правой части
строго возрастает при к >2; поэтому
т>п +	,
102
Основы теории графов
т. е. нижняя оценка числа ребер связного графа через количество
его вершин и хроматическое число имеет такой же вид, как и в слу-
чае плотности (см. формулу (3) в § 1.8); оценка и на этот раз точна,
так как ее достижимость устанавливается на прежних примерах.
Этот результат впервые получили А.П. Ершов и Г.И. Кожухин бо-
лее сложным путем: искалась такая пара вершин (с общей смежной),
отождествление которых не меняет хроматического числа («соцвет-
ные вершины», см. упражнение 26 к § 2.2); приведенный нами про-
стой вывод принадлежит М.А. Хачатряну (ГГиДОЗ, 1982, 179—184
[82, 6В641]). Случай несвязных графов предлагаем рассмотреть чи-
тателю (упражнение 3); далее см.: А.В. Косточка [88, 6В681].
В связном неполном графе всегда найдется ребро, стягивание
которого не меняет число Хадвигера (почему?); рассуждая далее по
той же схеме, что и выше, получим оценку
точность которой подтверждается прежними примерами (см., впро-
чем, упражнение 4).
Поскольку функции у (л, т) и г] (п, т), как и функция ф (п, т), яв-
ляются неубывающими от т при фиксированном п, но с возрастани-
ем т на 1 не могут увеличиваться более чем на 1, и поскольку в про-
цессе разрешения неравенств т>т(п, <р) и т>т(п, <р) природа пере-
менной (р больше никак не учитывалась, то у (п, т)=т) (п, т) =ф (п, т)
и у (п, m)=f} (л, т)-ф(п, т) (соответствующие выражения даны фор-
мулами (6) и (5) § 1.8).
Еще проще обстоит дело с нижней оценкой у (л, т). Так как
для графа Турана Gm (п, <р) хроматическое число у равно (р, а вся-
кий л-вершинный граф с более чем т ребрами обладает плотно-
стью больше <р, а значит, и хроматическим числом больше у, то
л7-наибольшим графом в классе L„ у ={GI n(G)=n&y (G)=y} служит
тот же граф Турана Gm (л, <р) при (р=у. Следовательно, наибольшее
число ребер при заданных л и у выражается той же функцией т,
что и в формуле (4) § 1.8, но с заменой символа <р на у; отсюда
у (л, /л) =<р(п, т).
Глава 1. Идентификация	103
Напротив, нижняя оценка т/ (л, т) числа Хадвигера до сих пор в
общем случае не найдена; можно лишь утверждать, что г? (л, л?) >
><р(л, т) и что уже для графов Турана с л><р + 2 здесь имеет место
строгое неравенство. В классе кликоидов найдены выражения для
точной нижней оценки tjs (п9 т) числа Хадвигера т] через л и т и
для точной верхней оценки ms (л, 7/) числа ребер через лит?
(упражнение 5); последняя при т?<4 совпадает с оценкой тл(л, т?) в
классе всех обыкновенных графов (А.А. Зыков, упражнение 5; см.
также: Е. Gyori [82, 11В653; 84а#05060]).
Свойство оптимальности графа
нельзя путать со свойством критично- сК	р	\ I /
сти; разницу между этими понятиями \	/	\ /
мы сначала разъясним на простом \___________J
примере. Оба графа рис. 1.9.4 имеют
по л=5 вершин, плотность ср = 2 и яв-	Рис- 19-4
ляются критическими в следующем смысле: соединение новым реб-
ром любой пары несмежных различных вершин приводит к увели-
чению плотности; но только второй из них, а именно Gm (5, 2), в то
же время является /л-наибольшим.
В общем случае пусть L — какой-то класс графов, а Г — некото-
рый класс операций над графами; граф G называется (L, Г)-крити-
ческим, если GeL, но после применения к G любой операции клас-
са Г получается граф, уже не принадлежащий L. Заметим, что упо-
мянутое выше добавление ребра — это не одна операция, а класс
операций, поскольку результирующий граф зависит от того, какие
именно вершины исходного соединить новым ребром. В отличие от
класса {G™ (п, <р)} графов с наибольшим количеством ребер (при за-
данных п и <р), который на самом деле состоит из единственного (с
точностью до изоморфизма) графа Турана, класс (Ln Г)-критиче-
ских графов, где Г — всевозможные добавления одного ребра (без
добавления вершин), столь обширен, что полностью охарактеризо-
вать структуру его графов при > 2 и не слишком малых п до сих
пор не удалось1. Такое явление типично: чем шире класс опера-
ций Г (при неизменном L), тем уже класс (L, Г)-критических графов.
Ф-оптимальные графы формально можно также рассматривать
1 Впрочем, для Графов класса (Ln г, Г) дело обстоит иначе: см. упражнение 14.
104	Основы теории графов
как критические: например, Ф-наиболыиий граф класса L является
(Ь,Гф)-критическим, где каждая операция из Гф состоит в замене
данного графа G другим графом с тем же числом вершин, но с
большим количеством ребер; класс таких «операций» несравненно
богаче класса, состоящего из добавлений ребра (без переделки уже
имеющихся), и игнорирование этой разницы как раз и приводит к
смешению свойств оптимальности и критичности.
В заключение отметим еще один нюанс. Пусть Lq — класс под-
графов фиксированного графа G, обладающих некоторым задан-
ным свойством Q, а класс Г состоит из операций перехода от под-
графа G' к другому подграфу путем добавления вершины графа G,
не принадлежащей G' (и добавления ребер, соединяющих в G эту
вершину с вершинами G'). Тогда (Lg, Г)-критический подграф —
это не то же самое, что подграф G'eLq, максимальный по включе-
нию множеств вершин. Например, если Q означает «иметь нечетное
число ребер», то для 3-веера класс Lq состоит из самого И3 и
трех его двухвершинных клик; последние, будучи (Lq, Г)-критиче-
скими, не являются максимальными (со свойством Q) по включе-
нию множеств вершин. Аналогичное замечание справедливо и в от-
ношении суграфов фиксированного графа.
Упражнения и дополнения
1.	Наименьшее число ребер такого «-вершинного графа, в котором каждые
к вершин имеют общую смежную, равно
'к\
+
2 )
(при дополнительном условии	л-2) равно к (п-к) +
4-1, а наибольшее
Р. Erdos, L. Moser //
J. Austral Math. Soc., 11 (1970), № 1, 42-47 [70, 9В302].
2.	Доказать справедливость и точность оценок
п-х <т<
п-х + }
2
числа ребер графа через количества его вершин и компонент. Книга Уилсо-
на [УС].
3.	Доказать справедливость и точность оценки т > I + п-х.
Глава 1. Идентификация
105
4.	Доказать, что в классе всех обыкновенных графов справедливы точные
(у\	(л\
оценки	и )’ пРичем пеРвая достигается только на графах с
ЙЛ
w=l I, а вторая — не только на таких.
Г6/7—21 при (mod 5),
4'. Доказать, что если и>8 и п<8, то	Л	Л z , и
(6л-20 при л = 0 (mod 5),
описать все графы, для которых имеет место равенство. L.K. Jorgensen //
JGrTh, 18(1994), № 5, 431-448 [95, 5В266].	ф
5.	Пусть S = En^ •	• ... • Еп - кликоид, пх >п2	n = n(S) = '^n[.
Показать, что
7?=П(5) = -
Ф
2>+1
L=FJ
ф
при П\ >	л^-^+2,
i=2
Ф
при Л] < £ л; -(р+ 3.
/=2
Получить отсюда выражение для rf (л, т) и сделать вывод: точная верхняя
оценка mS (л, tj) числа ребер кликбида с заданными лит] достигается
на произведении F^E^^ если 1<т]<л/2;
на графе Турана Gm (л, 2т]+1-л), если т] > л/2.
Найти выражения для mS (и, г/) в обоих случаях. Б.А. Костарев, 1964
(см. А.А. Зыков // ПМП, 7 (1972), 52-55 [72, 8В399]); Н.А. Jung // Math. Nachr.,
35 (1967), № 5-6, 241-267 [68, 12В365]; Н.П. Хоменко, Н.В. Лысенко // Теория
графов. Киев, 1977, 92-99 [78, 12В1028].
6.	Задачами турановского типа называются такие, в которых надо обнару-
жить те или иные свойства графа, отправляясь от количеств его вершин и ре-
бер. В частности, сюда относятся задачи нахождения наибольшего возможного
числа ребер т (л, М£) у л-вершинного графа, не содержащего подграфов, изо-
морфных заданному графу М\ например, л:(л, <р) = л1(л, F^gt). Известно так-
же, что т (л, Сп gt) = 1 + (j и т (л, я с£ ) =	Р. Erdos // A Seminar on Graph
Theory. New York: Holt, Einehart & Winston, 1967, Ch. 8, 54-59; Ch. 9,60-64.
6.1.	Доказать, что если л =2k & т =к2 +1, то /з(С)>£ (см. §1.3): книга
Харари.
6.2.	Если т > (л2-5л+14)/2, то в G есть часть вида J.A. Bondy // DM,
1 (1974), № 2, 123-132 [74, 7В507].
6.3.	Если т >2п-2ч то в 6 есть часть вида Ск с к > 3 и не принадлежащая ей
вершина, смежная по крайней мере с тремя ее вершинами, но уже при т = 2л-3
это не так. С. Thomassen ([74, 2В451]; Arch. Math., 25 (1974), № 2, 210—215
[75, 2В488]). См. далее: F. Harary, М. Plantholt // Math, slov., 35 (1985), № 1,
83-89 [85, 8В588].
106
Основы теории графов
6.4.	Пусть т >[_«2/4j+ 1; тогда
а)	не менее |_n/2J + 2 вершин и не менее 2 |_л/2J + 1 ребер графа принадлежат
его 3-кликам — оценки точные;
б)	если к >2 & п > max {Зк (Зк4-1), 216 (ЗА:-2)}, то не менее 2 (п-к) вершин
графа принадлежат частям вида — результат асимптотически наилучший.
Р. Erdos, R.J. Faudree // DM, 101 (1992), № 1-3, 23-31 [93, 9В319].
7.	Пусть р =Р (G) — число всесмежности графа G (см. упражнение 2 к § 1.6),
п = n(G), т-т(р). Справедливы точные оценки:
a)	max {и-™, 1} <р <[п+ l-V2w-lj; ВТ. Визинг // ДАН СССР, 464 (1965),
№ 4, 729-731 [66, 2А356].
б)	p<max{[>4-2)/3J, |_2«/5J}; М.М. Бланк // ПМП, 10 (1973), 3-11
[74, 1В370].
в)	Если числа d и D удовлетворяют условию t/<^(G, x)+KD для любой
вершины х, то <^(14-logZ>); H.L. Abbot, А.С. Liu // DM, 25 (1979), № 3,
281-284 [79, 11В452].
г)	Если 3<р<п12 и в графе нет изолированных вершин, то ^+1^;
графы, для которых эта оценка достигается, охарактеризованы. A.L. Sanchis //
DM, 87 (1991), № 1, 62-75 [91, 9В442].
д)	m<^n-P)(n-p+2)l2]-s(n-p-2): J. Fulman // DM, 126 (1994), № 1-3,
403-406 [95, 2В338].
7’. Найдены следующие точные оценки, смысл которых ясен из записи:
т(п, (р, р) и т(п, Р) — Н.Г. Винниченко, М.И. Кратко // Теоретическая
кибернетика. Киев, 1971, 178—186;
т(п, е, £)-Н.Г. Винниченко//Кибернетика, 1972, №1,142-143 [72, 8В397];
т(п, (р, е, Р) и т(п, (р, £, Р) — Н.Г. Винниченко // Кибернетика, 1973, № 1,
87-91 [73, 10В321];
п (ф, с), h е)9 т (<р, е) и т (ср, е) — Н.Г. Винниченко, И.Ф. Грейджук //
Вопросы кибернетики, М., 15 (1975), 19—23 [76, ЗВ561].
7м. Наименьшая мощность максимальной системы попарно непересекаю-
щихся максимальных клик в и-вершинном графе cs-s(G) не меньше 4n/(s+2)2\
оценка точна. Наибольшая мощность такой системы клик не меньше 6и/(у4-3)2.
Р. Erdos, А.М. Hobbs, С. Payan // DM, 42 (1982), № 1, 57-61 [83, ЗВ563].
8.	D. Bauer (JCTh, B35 (1983), № 2, 193-200 [84, 8B461]) исследует, при ка-
ких п, s и к существует и-вершинный ^-однородный граф без /с-клик.
9.	Пусть граф G с n = n(G) и е =е (G) критичен в том смысле, что удаление
любого ребра увеличивает неплотность. Тогда
^(n-r)(n-£ + r)<ni(G)<(" * + 1),
где г — остаток от деления п на с, причем нижняя оценка достигается на графе
Турана Gm, а верхняя — на кликоиде Fe_\ Еп_е^. М.М. Krieger // Ann. New
York Acad. Sci., 175 (1970), № 1, 255-271 [71, 5В371].
Глава 1. Идентификация
107
10.	Пусть G — (Ь(л, <р), Г)-критический граф, где Г — добавление ребра.
а)	Доказать, что G имеет вид	если <р> л/2, и что s(G)>2 (<р-1), ес-
ли (р<п!2. A. Hajnal И Canad. J. Math., 17 (1965), № 5, 720-724 [31#3354].
б)	Доказать, что если у (G) = (p(G), то g^ (G) = l, т. е. правильная раскраска
вершин наименьшим количеством цветов единственна. Описать структуру та-
ких критических графов. А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2, 163—188
[MR11р733].
в)	Доказать, что если G обладает наименьшим возможным числом ребер,
то G^F(p_2’En_<p+\i а наибольшее количество ребер равно и достигается
только на G^F^ Р. Р. Erdos, A. Hajnal, J.W. Moon // Amer. Math. Monthly,
71 (1964), № 10, 1107-1110 [65, 8A270; 30#577].
11.	Граф называется строго ^-критическим, если он не содержит изолиро-
ванных вершин, а удаление любого ребра повышает неплотность.
Граф G обладает строго s-критическим суграфом в том и только том слу-
чае, если для каждой его груды (к = 1, 2, ...) в G существует не менее к вер-
шин, каждая из которых смежна хотя бы с одной вершиной этой Е^.
L.Suranyi // Mat. Lapok, 24 (1973), № 3-4, 341-343 [77, 12В672].
12.	Если граф G=(X, U) с п-п(G)=2s (G)+l обладает свойством
Vx, у еХ [е (G\{x, y}) = s(G)], то	гДе ^>1- В.Г. Визинг, Л.С. Мельни-
ков [72, 9В369; 46#3379]; см. далее J.-C. Fournier // Cah. Cent. etud. rech. open,
17 (1975), № 2-4, 193-195 [76, 5В522].
13.	Пусть граф G критичен в том смысле, что удаление любой вершины
понижает хроматическое число у =у (G). Тогда
a)	j(G)>/(G)-1 (очевидно);
б)	в G есть подграф типа Ciy+i, удаление всех вершин которого из G при-
водит к связному графу: U. Krusenstjema-Hafstrom, В. Toft И Monatsh. Math.,
89 (1980), № 2, 101-110 [80, 10В504; 81g#05058];
в)	если />4, л>/+2, л*2/-1, то 2т >пу + /-4: A.V. Kostochka,
M.Stiebitz // DM, 191 (1998), № 1-3, 125-137 [00, ЗВ284].
13'. Пользуясь свойством а), доказать, что для любого графа G и любого
инварианта f(G), удовлетворяющего неравенству f (G)>s(G) и условию моно-
тонности: если G' — подграф G, то f (G')<f (G) — справедлива оценка
/(G)</(G)+1. S. Szekeres, H.S. Wilf// JCTh, 4 (1968), № 1, 1-3 [30Я1356].
14.	Доказать, что в классе обыкновенных графов симплексоиды и только
они являются критическими в следующем смысле: добавление ребра всегда уве-
личивает хроматическое число.
15.	Гипотеза Ловаса о том, что если удаление из G любой пары смежных
вершин уменьшает хроматическое число на 2, то G — клика, справедлива при
/(G) <5 и сомнительна при /(G) >5. Н.Н. Можан [86, 9В587деп.; 88, 8В563];
M.Stiebitz // DM, 64 (1987), № 1, 91-93 [87, 10В667].
16.	D.P. Sumner, P. Blitch (JCTh, B34 (1983), № 1, 65-76 [83, 11B672]) изуча-
ют неполные графы, критические в том смысле, что добавление любого ребра
(без добавления вершин) уменьшает число всесмежности (см. упражнение 7).
108
Основы теории графов
§ 1.10. ПРОБЛЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Пусть f (G) — инвариант, значения которого при всевозможных
графах G принадлежат некоторому множеству М, но не обязательно
его исчерпывают. Для любого а^М можно спросить: существует ли
такой граф G, что f = и если существует, то только ли один
(с точностью до изоморфизма)? Вопрос о единственности G (при лю-
бых а, соответствующих каким-то графам) — это проблема полноты
инварианта f (§ 1.5), а вопрос существования мы не затрагивали по-
тому, что если исключить тривиальные случаи, то даже для таких
более или менее употребительных инвариантов, как F, Е и Г (§ 1.3),
пока мало что известно. Например, многочлен P = £/?zxz может
/>о
равняться F (G) для какого-то графа G лишь при соблюдении уело-
ВИЙ Ро=1>Р2<к1
>0 (i = 1, 2, ...), а теорема 1.8.3 дает еще одно
необходимое условие: при всех />0 должно быть (G™ (п9 <р)),
где п=р\, т=Р2, (р = max {iI pt * 0}, причем если для некоторого i > 2
имеет место равенство, то оно должно выполняться и при остальных
i; однако этого недостаточно: многочлен 1 + 4х + 2х2 +х3 всем пере-
численным условиям удовлетворяет, но не есть F (G) ни для како-
го G. Еще больше можно указать необходимых условий того, что Р
является многочленом Г (G) или хроматическим многочленом како-
го-то графа G, поскольку свойства таких многочленов интенсивно
изучаются: см. многочлены раскрашиваний [УС] плюс работы, упомя-
нутые в упражнении 8 к § 1.4, — вот далеко не полный список. Одна-
ко критериев существования G и здесь не найдено.
С векторами степеней дело обстоит значительно лучше (хотя то-
же не идеально). Известны удобные для проверки критерии того,
что вектор с целыми неотрицательными координатами является
вектором степеней (прямым или обращенным) некоторого графа, и
алгоритмы построения одного из таких графов (V. Havel // Casop.
pest, mat., 80 (1955), № 4, 477-480 [57, 3, 2126; 19#627]; P. Erdos,
T. Gallai // Mat. Lapok, 11 (1960), № 4, 254-274 [62, 1A295]; S. Hakimi
[64, 5B276; 26#5558]); этому вопросу посвящена глава 6 книги Хара-
ри и глава VIII книги минчан. Приводим формулировку критерия
Эрдеша—Галлаи:
Глава 1. Идентификация	109
вектор (Zj, z2, ..., tn) с целыми Z] > Z2 >...>tn >0 служит обращенным
вектором степеней некоторого графа в том и только том случае, ес-
ли сумма всех четна и для каждого целого г, 1 <r < п -1, выполняется
г	п
условие ^Z,<r(r-1)+ ]Tmin{r, Z,}.
/=1	/ = Г+1
(Более простое доказательство: S.A. Choudum // Bull. Austral. Math.
Soc., 33 (1986), № 1, 67—70 [86, 12B840]; книга минчан.) Система этих
неравенств не является независимой, наилучшая из известных ее ре-
дукций: I.E. Zverovich, V.E. Zverovich // DM, 105 (1992), № 1—3,
293-303 [93, 9В282]. G. Sierksma, H. Hoogeveen (JGrTh, 15 (1991),
№ 2, 223—231 [92, 4B366]) приводят семь критериев графичности це-
лочисленной последовательности. Имея же один граф, можно полу-
чить и все остальные G с t(G) = (Zj, z2, ..., zn) при помощи 4-сдвигов
(см. упражнение 4 к § 1.2). Последнее еще не означает полного реше-
ния проблемы обзора всех графов с заданным вектором степеней
(почему?), и исследования в этом направлении ведутся весьма ин-
тенсивно: см. графическая последовательность [УС].
Мы уже знаем, что значениями инварианта f в общем случае мо-
гут быть элементы произвольного множества М; если этими элемен-
тами служат тоже графы или системы графов, то соответствующие
проблемы существования и единственности графа G с заданным
f (GkM принято называть проблемами восстановления. Классиче-
ским примером служит следующая проблема (С.М. Улам. Нерешен-
ные математические задачи. М.: Наука, 1964).
Для и-вершинного графаС = (Аг, U), где Аг={х1, х2, ..., хп},п>2,
можно образовать набор {G \ xtJ i = 1, 2, ..., п} всех (п - 1)-вершинных
подграфов. Допустим теперь, что каждый из этих подграфов задан
независимо от остальных изоморфно; это, в частности, исключает
какую бы то ни было информацию типа: «такая-то вершина вот
этого подграфа совпадает в G с такой-то вершиной вон того». Опре-
деляется ли по набору {G\xj} исходный граф G изоморфно?
При п = 2 это заведомо не так, а для 3 < п < 9 положительный ответ
получен непосредственной проверкой. Кроме того, восстанавливае-
мость — изоморфную определяемость по набору всех (и-^вершин-
ных подграфов — удалось доказать для ряда классов графов [УС],
например несвязных или с несвязным дополнением. Для несвязных
причина восстанавливаемости ясна: удаление одной вершины
по
Основы теории графов
разрушает лишь одну из компонент, поэтому среди компонент всех
подграфов G \ Xj встречаются и все компоненты исходного графа G,
надо лишь отсортировать их от «обломков» (упражнения 5 и 6)1.
Ф. Харари выдвинул и более сильную гипотезу: при п >4 для восста-
новления дьвершинного графа G достаточно знать не все подграфы
G \ Xi, а только неизоморфные; в том, что при л=3 это неверно, пред-
лагаем читателю убедиться самостоятельно. Любопытно, что случай-
ный граф восстанавливаем с вероятностью 1: V. Muller // Comment,
math. Univ, carol., 17 (1976), № 4, 709—719 [77, 9В473]. В то же время
для бесконечных графов гипотеза Улама не справедлива: J. Fisher //
JCTh, 7 (1969), № 4, 364—365 [70, 6В372], более простой контрпример
см. в упражнении 11; не спасает положения и дополнительное ограни-
чение: количество компонент (одинаковое у обоих графов) конечно
(Th. Andreae // JCTh, ВЗЗ (1982), № 2, 178-186 [82, 9В514]).
Наряду с постепенным расширением класса тех графов, для ко-
торых гипотезу Улама удается подтвердить, довольно интенсивно
ведутся исследования в другом направлении: выявляются всё новые
и новые восстанавливаемые инварианты графа G — однозначно
определяемые по набору {бЛхД (упражнения 12—14). В то же время
незаслуженно мало внимания уделяется проблеме существования:
для произвольного набора {Gz /z = l, 2, ..., л}, состоящего из (и~1)-
вершинных графов, выяснить, есть ли хоть один такой граф
G = ({xb х2, хп}’ UY что GXx^Gi при всех z = l, 2, ..., п.
Проблема Улама естественно обобщается на случай, когда за-
дан набор {(ji, G2, Gsnx} всевозможных (л-/:)-вершинных под-
графов графа G, 1</с<и-1. При к = п-\ этот набор несет ин-
формацию только о количестве вершин G (которое и так заранее
известно), а при к = п-2 — только о количествах вершин и ребер,
так что восстанавливаемости и здесь нет. Если в другом крайнем
случае к = 1, рассмотренном выше, гипотеза Улама окажется спра-
ведливой, то возникает интересный вопрос о наибольшем значе-
нии к, при котором восстанавливаемость имеет место для всех
1 О восстанавливаемости несвязного графа по набору всех Q результатов отожде-
ствления пар вершин см.: Е. Sampathkumar, V.N. Bhave // JCISS, 9 (1984), № 4,
242-246 [87, 4В528].
Глава 1. Идентификация
111
графов; видимо, это значение не меньше п! 2, поскольку V. Nydl
[82, 5В515; 83а#05104] строит для любого п> \ пару неизоморфных
2и-вершинных графов с одним и тем же набором и-вершинных
подграфов1.
Называя первоначальную проблему Улама вершинной, естествен-
но выдвинуть и аналогичную реберную', восстанавливается ли изо-
морфно граф G = (X, {М], «2, ...» м^}) по набору {G\uj} всех своих
(/и - 1)-реберных суграфов? Вопрос этот пока тоже не решен, извест-
но лишь, что для конечных графов справедливость вершинной гипо-
тезы влечет справедливость реберной, а для бесконечных это не так
(упражнения 18—18"), и что реберная гипотеза верна при достаточно
большом конечном числе ребер (упражнение 19). См. еще обзоры:
D.L. Greenwell, R.L. Hemminger // Leet. Notes Math., 110(1969),
91-114 [70, 7B326]; F. Harary // Leet. Notes Math., 406 (1974), 18-28
[75, 7В436].
К восстановлению графов относится также проблема окружений.
Пусть Р — произвольный граф; существует ли такой граф
G = (X, U), что O(G, х)-Р для любой хе X? В отличие от проблем
восстановления графа G по вектору степеней и по набору подгра-
фов или суграфов, здесь не уделялось внимание вопросу единствен-
ности графа G, и мы лишь отметим, что решать его достаточно в
предположении связности G (почему?). Напротив, о графе Р ника-
ких предположений относительно связности в общем случае не де-
лается.
Для графов Р, указанных на рис. 1.10.1 слева, соответствующие
связные графы G изображены справа. В то же время если Р — вилка,
то искомого G не существует; это легко доказать и в более общем
случае (Л.С. Мельников — книга Зыкова), когда граф Р имеет вид,
показанный на рис. 1.10.2 слева, где Q- (У, К) — произвольный
граф, все вершины которого смежны с х. Действительно, если бы Р
был окружением O(G, z} вершины z в некотором G (рис. 1.10.2 спра-
ва), то окружение O(G, у), будучи тоже изоморфным Р, содержало
бы вершину t, отличную от х и от z и в то же время смежную с х или
с z; но тогда по крайней мере одно из окружений О (G, х), О (G, z) не
1 Как показал тот же автор [88, 5В662], для кусочно полных графов восстанавливае-
мость по набору А>вершинных подграфов всегда имеет место при п < k In (и/2), а при
к > (£+ 1)2*-1 — не всегда.
112
Основы теории графов
Рис. 1.10.2
было бы изоморфно Р (при ti Y — из-за наличия лишней вершины,
а при teY — из-за лишнего ребра). Дальнейшие примеры классов
таких графов Р, для которых G не существует, нашел Р. Hell
[79, 2В470; 81а#05112]; противоположные примеры представлены в
упражнениях 22, 23 (и упражнении 15 к §2.3). Изучению графов, в
которых окружения всех вершин изоморфны, посвящена работа
П.Б. Кикуста [73, 2В320Деп].
Как показал В.К. Булитко (Труды МИАН СССР, 133 (1973),
78—94 [74, 1В360]), в классе всех обыкновенных графов массовая
проблема «для любого Р узнать, существует ли такой G = (X,U),
что YxeX[O(G, х)-Р]» алгоритмически неразрешима; там же вы-
явлен класс графов Р, для которого алгоритм проверки существо-
вания (и построения) G имеется. Исследования в этом направлении
Глава 1. Идентификация
113
продолжают В. Zelinka (Matem. dasop., 22(1972), № 2, 164—171
[72, 10В348]) и J. Sedladek (упражнение 23). О проблеме k-окруже-
ний см. [УС].
Следующую проблему восстановления рассмотрим подробно.
Пусть G = (X, U) — граф с V *0; его графом смежности ребер назы-
вается граф L (G) = (U, JF), вершинами которого служат ребра G и в
котором две различные вершины смежны тогда и только тогда, ког-
да они как ребра графа G имеют в нем общую инцидентную верши-
ну (такие ребра тоже называются смежными). Например, для гра-
фов F3 и К3 =Р1 • £3 графы L (Р3) и £ (К3) изоморфны (рис. 1.10.3.), а
сам 3-веер К3 не является графом смежности ребер никакого G (до-
кажите!).
Рис. 1.10.3
F3	V3	L(F3)^L(y3)
Ряд известных критериев того, что заданный Р есть граф смеж-
ности ребер, т. е. P-L (G) для некоторого G, удобно объединить в
одну теорему (добавив еще один новый критерий). Предварительно
условимся треугольник (подграф типа £3) графа Р называть нечет-
ным, если в Р есть вершина, смежная с одной или тремя вершинами
этого треугольника (и называть треугольник четным, если таких
вершин в графе Р нет).
ТЕОРЕМА 1.10.1. Для произвольного графа Р = (У, W) следующие
пять высказываний равносильны:
(0) Р является графом смежности ребер;
(1)	в Р имеется такая система клик, что всякое ребро принадле-
жит ровно одной, а всякая вершина — ровно двум из этих клик
(J. Krausz // Mat.-Fiz. Lapok, 50 (1943), 75-85 [MR8p284]).
(2)	P не содержит подграфов ни одного из девяти типов Р] — Pg,
показанных на рис. 1.10.4. (L.W. Beineke [69, 6В236]; JCTh, 9 (1970),
№ 2, 129-133 [71, 2В324]; С.В. Суздаль, Р.И. Тышкевич // Весщ АН
Беларуси 1999, № 2, 106-110 [00, 4В240]);
114
Основы теории графов
(3)	Р не содержит подграфов типа Vy и у любых двух различных
нечетных треугольников с общим ребром противоположные вершины
смежны (A. van Rooij, Н. Wilf И Acta math. Acad. sci. hung.,
16(1965), № 3-4, 263-269 [66, 5A285; 33#3959]).
(4)	окружение О (P, x) = (Yx, Wx) каждой неизолированной верши-
ны xeY либо является кликой, либо допускает разбиение на две клики,
причем во втором случае ребра, соединяющие эти клики друг с другом,
обладают свойствами:
(а)	никакие два таких ребра не смежны;
(б)	никакая вершина y^Y\ (Кх (J {х}) не может быть смежна ров-
но с одним концом такого ребра.
Рис. 1.10.4
Докажем, что (0)=> (4)=> (2)=> (3)=> (|>>(0).
(0) =» (4) непосредственно следует из определения графа смежно-
сти ребер. Изолированной вершине в L(Cr) отвечает компонента
связности типа Р2 в G, а остальные возможности проиллюстрирова-
ны на рис. 1.10.5.
(4) =>(2). Свойство (4) наследственно в том смысле, что если им
обладает весь граф Р, то обладает и любой его подграф (рассматри-
ваемый как самостоятельный граф). Поэтому для доказательства
импликации достаточно в каждом из графов Pi — Р9 обнаружить
вершину х, окружение которой не удовлетворяет условию (4).
В изображении на рис. 1.10.4 роль такой вершины у графов Р] — Р8
играет нижняя (у Р8 — любая из двух), а у Р9 — центральная; разбе-
Глава 1. Идентификация
115
рем три случая, предоставив остальные читателю в качестве легко-
го, но полезного упражнения.
Ру. окружение нижней вершины состоит из двух треугольников с
общей стороной, и ни при каком его разбиении на две клики не вы-
полняется п. (а);
Ру. окружение нижней вершины допускает два разбиения на па-
ру клик; при разбиении на Р2 и F2 не выполняется п. (а), а при раз-
биении на F3 и Р] — п. (б);
Ру: окружение центральной вершины не полно и не может быть
разбито на две клики.
(2)=>(3). Предполагая, что граф Р = (У, FF) не удовлетворяет
условию (3), докажем существование в нем подграфа одного из ти-
пов Р] — Р9. Случай, когда Р содержит И3, тривиален. Пусть теперь
вершины a, b, с, de Y таковы, что ab, ас, Бс, f>d, cde W &.ad<£ W и оба
треугольника abc, abd являются нечетными в графе Р. Если послед-
ний содержит вершину х, одновременно смежную с нечетным чис-
лом из вершин а, Ь, с и с нечетным числом из вершин b, с, d, то при
всех возможных ситуациях: ха, xb, xd<£W &xceW (или ха, хс,
xdeW &xbeW) и xb, xc<£W &ха, xdeW — в Р обнаруживается под-
граф типа Р], соответственно Р2; поэтому будем предполагать, что
граф Р обладает двумя различными вершинами х и у, первая из ко-
торых смежна с одной или тремя из а, Ь, с, а вторая — с одной или
тремя из Ь, с, d. Для завершения доказательства надо лишь аккурат-
но перечислить все возможные случаи и в каждом указать, какой из
подграфов Р| — Р9 обнаруживается в Р; естественно, что из группы
116
Основы теории графов
случаев, различающихся только перестановками символов х и у, а и d9 b и с, достаточно рассматривать один.			
xb g W & ха, xc, xd (независимо от смежностей у)		P\	
ха, yd gW & xb, xc, xd, ya, yb, ус £ W		Pi, Ръ	если ху ё W если ху g W
xa, ya, ybeW & xb, xc, xd, yc,	yd*W	Pl, Pi,	если ху если ху g ИИ
xa, yb, yc, yd gW & xb, xc, xd,	ya$W	Р*	если ху ё W если ху gW
xb, xd, ya, ybeW &xa, xc, yc,	ydtW	«г сё	если ху если ху g IV
xb, xd, yb, yc, yd gW &xa, xc,	ya$W	Л> /’з.	если ху ИИ если ху g W
xa, xd gW & xb, xc (независимо от смежностей у)		Pl	
ха, xb, xc, yb, yc, yd gW & xd,	ya£W	р6, Рз>	если ху ИИ если ху g ИИ
xa, xb, xc, xd gW (независимо от смежностей у)		Рз	
(3)=>(1). Пусть граф Р = (У, W), который мы без нарушения об-
щности считаем связным, удовлетворяет условиям (3); покажем, как
найти в нем систему клик со свойствами, требуемыми в (1).
Для трех графов рис. 1.10.6, удовлетворяющих условиям (3), ис-
комые системы обозначены
штриховкой; графы, изоморф-
ные этим трем, будем называть
особыми. Можно теперь пред-
полагать, что рассматривае-
мый связный граф Р9 для кото-
рого выполнено (3), неособый;
установим следующее важное
его свойство: два различных
четных треугольника не могут
Рис. 1.10.6	обладать общей стороной.
Глава 1. Идентификация	117
Допустим противное: abc и bed — четные треугольники в Р, при-
чем a*d; тогда adtW (почему?). Если Y = {а, b, с, d}, то Р — особый
граф; поэтому У\{а, b, с, d}*0 и ввиду связности Р в нем есть вер-
шина е, смежная хотя бы с одной из вершин a, b, с, d, а четность
обоих треугольников оставляет лишь такие возможности:
be, сее IV & de, dee W;
de, be, deeW & ceiW или de, ce, deeW & be£W.
В первом случае P содержит подграф типа (рис. 1.10.7) вопреки
условию (3), так что остается второй случай, т. е. любая вершина
ее Y\{a, b, с, d} должна быть смежна либо с a, b, d, либо с а, с, d.
При этом две различные такие вершины е и е' не могут быть смежны
с одной и той же тройкой: если, скажем, de, Ь~ё, deeW&сее W&ae',
be', de' eW &сё'e W, то её' e W (почему?) и оба треугольника аее', dee'
нечетные (каждый даже по двум причинам, см. рис. 1.10.8), а это вви-
ду ade W противоречит условию (3). Таким образом, либо | Y \ {а, Ь, с,
<У}|=1, и тогда граф Р с Y={а, b, с, d, е} особый, либо Y \ {a, b, с, d} =
={е, е'}, причем е смежна только с а, b и d, а с — только с а, с и d. Но в
последнем случае её' eW — иначе треугольники abc и bed были бы не-
четными (из-за наличия вершины е'), что опять противоречит (3)
ввиду adё W, и граф Р с У={а, b, с, d, е, е'} (рис. 1.10.9) снова оказы-
вается особым.
Рассмотрим теперь систему F всех клик в Р, максимальных по
включению множеств вершин. Это еще на та система, какая требу-
ется в (1), поскольку две ее клики могут иметь более одной общей
вершины (и, значит, обладать общим ребром), а вершина графа Р
может принадлежать более чем двум кликам или, напротив, лишь
Рис. 1.10.7
Рис. 1.10.8
118
Основы теории графов
одной. Однако доказанное только что
свойство графа Р вместе с некоторыми
свойствами системы F позволяет так ее пе-
ределать (с частичной потерей «излишест-
ва» в виде максимальности клик), чтобы
неполадки устранились; для этого исследу-
ем все возможные случаи нарушения усло-
вия (1), заметив предварительно, что каж-
дая клика графа Р, в том числе любой тре-
угольник, любое ребро (с концами) и лю-
бая вершина, содержится хотя бы в одной
клике системы F.
Случай I: некоторое ребро abeW принадлежит по крайней
мере двум различным кликам F, F', ...gF. Ввиду максимальности
последних существуют вершина с в F\{a, b} и вершина с' в F'\{a, b}
такие, что с* с' &сс'£ W. Благодаря условию (3) и свойству графа Р,
из двух треугольников abc и abc' ровно один, скажем первый, явля-
ется четным; но тогда он исчерпывает весь F, ибо при наличии в F
еще хотя бы одной вершины треугольник abc был бы нечетным.
Итак, первая часть условия в (1) может нарушаться лишь для ребра,
принадлежащего такой клике системы F, которая является четным
треугольником; при этом ребро не может входить более чем в две
клики из F, ибо в их числе, согласно сказанному выше, оказались бы
два нечетных треугольника.
Случай II: некоторая вершина aeY принадлежит по крайней
мере трем различным кликам F, F', F", ...gF. Сначала предполо-
жим, что какие-то из них, например F и F', имеют другую общую
вершину Ь. Тогда, как показано в случае I, ровно одна из этих клик,
скажем F, является четным треугольником abc, а клики F", ... не со-
держат Ь. Но зато все F", ... содержат вершину с, значит, и ребро ас
(вследствие чего многоточие оказывается излишним): если бы F" не
содержала с, то мы нашли бы, как в случае I, такие две различные
вершины с' в F'\{a, b} и с" в F"\a, что cc"^W, и обнаружили в Р
подграф типа К3, поскольку вершина с не смежна ни с одной верши-
ной клик F'\{ab} и F"\a ввиду максимальности F' и F"
(рис. 1.10.10). Итак, при сделанном предположении о наличии вер-
шины b вторая часть условия в (1) может нарушаться лишь для та-
кой вершины, которая принадлежит ровно трем кликам из F, в том
Глава 1. Идентификация
119
Рис. 1.10.10
числе одному четному треугольнику.
Но сделанное предположение на
самом деле несущественно: если
никакие две из клик системы F, со-
держащие а, не имеют других об-
щих вершин, то при полном отсут-
ствии ребер, соединяющих между
собой клики F\a, F'\a, F"\a, ...
графа Р, в последнем сразу обнару-
живается И3, а наличие хотя бы од-
ного ребра возвращает нас к уже рассмотренной ситуации, посколь-
ку треугольник, образованный этим ребром и вершиной а, содер-
жится в какой-то клике из F.
Случай III, когда некоторая вершина графа Р принадлежит
только одной клике системы F, затруднений не вызовет.
В силу всего сказанного удаление из F четных треугольников
приводит в такой системе F' клик, что всякое ребро графа Р принад-
лежит не более чем одной, а всякая вершина — не более чем двум
кликам из F'; чтобы слова «не более чем» уступили место слову
«ровно», понадобится добавить к F' некоторые полные двухвер-
шинные и одновершинные подграфы (уже не максимальные). Имен-
но, если какое-то ребро графа Р ранее принадлежало только одной
клике из F, представляющей собой четный треугольник, то добавим
к системе F' это ребро (с концами) в качестве двухвершинной клики
(рис. 1.10.11). Наконец, если после всех таких добавлений останутся
вершины в Р, принадлежащие только одной клике полученной сис-
темы (случай III), то все эти вершины присоединим к системе в ка-
честве одновершинных клик. Результирующая система удовлетворя-
ет обоим условиям в (1).
(1)=> (0). Предположим, что граф Р обладает системой F клик со
свойствами, указанными в (1). Построим граф G = (F, U)9 вершина-
ми которого служат клики из F, причем ху g U в том и только том
случае, если вершины х, у g F различны и, будучи рассматриваемы
как подграфы графа Р, обладают в нем общей вершиной; эту един-
ственную вершину поставим в соответствие ребру ху графа G. Ясно,
что такое отображение ребер G на вершины Р есть изоморфизм гра-
фа L(G) на Р.
120
Основы теории графов
Теорема 1.10.1, охватывающая сразу несколько подходов к проб-
леме существования графа с заданным графом смежности ребер, пол-
ностью доказана, а дальнейшие критерии и алгоритмический подход
см. в [УС]. S.B. Rao (Util. Math., 11 (1977), 357-366 [77, 12В649] харак-
теризует векторы s, для которых все G с s(G) = s являются графами
смежности ребер, a D. Bauer (Ann. New York Acad. Sci., 328 (1979),
30—31 [82, 8B552]) устанавливает необходимое и достаточное усло-
вие, которому должны удовлетворять натуральные числа л и 5 для то-
го, чтобы л-вершинный s-однородный граф смежности ребер сущест-
вовал. В некоторых частных случаях графы смежности ребер харак-
теризует G. Balconi [73, 7В358; 74, 12В327; 49#246; 50#185].
Что же касается единственности, то случай, проиллюстрирован-
ный на рис. 1.10.3, оказывается исключительным благодаря теореме
1.10.2 (Н. Whitney // Amer. J. Math., 54 (1932), № 1, 150-168; доказа-
тельство упростил Н.А. Jung /I Math. Ann., 161 (1965), № 5, 325—326
[66, 12A144]). Для ее изложения понадобится такое определение:
реберным изоморфизмом графа G = (X, U) на граф G' = (X', U') назы-
вается взаимно однозначное соответствие между множествами U и
V, сохраняющее отношение смежности ребер; во избежание путаницы
Глава 1. Идентификация
121
будем изоморфизм в прежнем смысле, когда надо, именовать
вершинным.
Вершинный изоморфизм G на G' порождает взаимно однознач-
ное соответствие между множествами X Р1 и Х'№, сохраняющее от-
ношение смежности вершин в паре; а так как свойство пар обладать
общей вершиной тоже, очевидно, сохраняется, то всякий вершинный
изоморфизм G на G' индуцирует некоторый реберный изоморфизм
этих графов. Обратное,
вообще говоря, неверно:
реберно изоморфные гра-
фы F3 и совсем не явля-
ются вершинно изоморф-
ными, а каждая из трех
пар изоморфных графов
на рис. 1.10.12 допускает
такой реберный изомор-
физм, который не инду-
Рис. 1.10.12
цируется никаким вер-
шинным.
ТЕОРЕМА 1.10.2 (Уитни—Юнга). Пусть связный граф G = (X9 U)
не изоморфен ни одному из пяти графов: Fy Р3 и трех показанных на
рис. 1.10.12; пусть, далее, у/ — реберный изоморфизм G на граф
G' = (Х'9 U') с |y'| =|A"| =п. Тогда существует вершинный изоморфизм
G на G', в случае п>3 единственный, который индуцирует у/.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что п>5. Пусть
х — произвольная вершина графа G, а щ9 и2, где s=s(G9 х), —
инцидентные ей ребра. Наша ближайшая цель — найти в графе G'
такую вершину, которая инцидентна сразу всем ребрам w- = i//(uz),
/ = 1, 2, ..., 5.
В G' эти 5 ребер образуют веер Vs, т. е. имеют общую инцидент-
ную вершину х'; это очевидно при 5^3, а при 5=3 второе мыслимое
расположение и\, и29 и\ — в виде треугольника — отвергается следу-
ющим рассуждением: ввиду связности G и предположения п>5 в G
есть ребро и, отличное от щ9 и2, «з и смежное ровно с одним из них,
в то время как ребро w' = i//(w) в Gr не может быть смежно только с
одним из трех ребер треугольника. В случае 5 >2 искомой вершиной
будет х' и только она. В случае же 5 = 1 пусть щ =ху9 тогда 5 (G, у) >2
(почему?) и, по доказанному выше, образы ребер, инцидентных у9
122
Основы теории графов
располагаются в графе G' веером; если у' — общая их вершина, а
х' — второй конец ребра i//(iq), то обе эти вершины, и только они,
обладают требуемым свойством, и в качестве исходной мы выбира-
ем вершину х', поскольку второй вариант заведомо нарушил бы
взаимную однозначность «веерного» соответствия вершин.
Для каждой хе X положим <р(х) = х', где вершина х'е X' опреде-
ляется по х как сказано выше; при этом вершины, смежные с х, пе-
реходят в вершины, смежные с х' и, значит, отличные от нее, а каж-
дое ребро вида ху переходит в ребро <р(х)^(у) = <//(ху), ибо послед-
нее, и только оно, одновременно принадлежит (//-образам реберных
вееров вершин х и у. Осталось показать, что если xy£U и х*у, то
ср(х)*(р(у). Но при наличии в G несмежных различных вершин х и
у, обладающих в G' одним и тем же </>-образом, два ребра xz и yt
перешли бы в случае z -t в одно ребро, а в случае z */, будучи сами
несмежными, — в два смежных; ни то, ни другое несовместимо с
определением отображения у/.
Итак, при п >5 построенное отображение <p: X —> X' осуществляет
взаимно однозначное соответствие между X и X' (напомним, что
|Х'\ =|Х|), сохраняет смежность вершин и индуцирует реберный изо-
морфизм ул, т. е. является искомым вершинным изоморфизмом, при-
том единственным, ибо требование, чтобы (р индуцировал у/, необ-
ходимо приводит к такому «реберному» определению х' по х, кото-
рое описано выше. Наконец, при 4связных графов, не исключае-
мых условием теоремы, существует с точностью до изоморфизма
всего пять (рис. 1.10.13) и для них справедливость теоремы можно
проверить непосредственно.
Примечание. Легко показать, что при условиях теоремы
граф G' тоже оказывается связным. Не составляет труда так изме-
нить формулировку теоремы, чтобы она осталась справедливой и
Рис. 1.10.13
Глава 1. Идентификация
123
без предположения о связности G; при этом условие отсутствия изо-
лированных вершин (без которого, очевидно, (р определяется по у
неоднозначно) позволит исключить условие |У'|=|ЛГ|.
СЛЕДСТВИЕ. Если два графа, не содержащие компонент вида
F\, и Vy реберно изоморфны, то они вершинно изоморфны.
В дальнейшем нам будут встречаться и другие проблемы восста-
новления (см., например, упражнения 24 и 25, а также упражне-
ние 28 к § 2.5 и т. д.).
Упражнения и дополнения
1. Доказать, что графы типа пред-
ставленных на рис. 1.10.14 определяются
изоморфно своим хроматическим много-
членом. В. Loerinc // DM, 23 (1978), № 3,
313-316 [79, 4В449].
2.	Переформулировать критерий Эр-
деша—Галлаи для необращенного вектора
Рис. 1.10.14
степеней.
3. Для любого конечного непустого
множества 5 натуральных чисел существует граф G, имеющий 5 множеством
различных компонент вектора s(G). S.F. Kapoor, A.D. Poliment, С.E. Wall //
Fund. Math., 95 (1977), № 3, 189-194 [77, 12В651].
4.	Пусть существуют графы G и G' c s(G') = s(G)-(£, £,...,&), где k>0 це-
лое. Тогда среди таких пар графов G, G' есть пара, в которой G' — подграф G.
DJ.Kleitman, D.L. Wang // DM, 6 (1973), № 1, 79-88 [74, 1В373].
4'. Пусть существуют графы G и G' с s((jr') = s(G)-(£|, &2, •••> ^л), гДе
<£ + 1 для некоторого целого к>0 и всех i = 1, 2, ..., п. Тогда существуют
граф G” и его суграф G'" такие, что s(G") = s(G) и s(G"') = (fa, к2,..., кп).
S. Kundu // DM, 6 (1973), №*4, 367-376 [74, 7В535].
4". Пусть 5 = {s(G, х)/хеХ}, G=(X, U). Для любого S'qS, содержащего
s(G), существует граф6' = (А", t/')c S' = х)/хе X'}, имеющий G своим под-
графом. G. Chartrand, R.J. Gould, S.F. Kapoor // Math, slov., 30 (1980), № 2,
175-179 [80, 12B493; 81k#05088].
5.	Доказать, что граф G=(X, U) с X ={xb x2, ...» xj, n>3 связен тогда и
только тогда, когда среди всех п его подграфов GXx, связны по крайней мере
два. (Примечание: часть «только тогда» было бы интересно доказать без
использования теоремы 2.2.1 следующей главы.)
6.	Подробно реализовать и обосновать следующий план восстановления
несвязного графа G по набору всех его (л-1)-вершинных подграфов Gj = G\x{:
124
Основы теории графов
а)	из общей массы компонент всех G, выбираем какую-нибудь М с наи-
большим числом р вершин;
б)	по количествам компонент типа М в подграфах G, определяем количест-
во таких компонент в G;
в)	среди подграфов графа Л/, получаемых из него удалением одной верши-
ны, находим связный N (см. упражнение 5);
г)	по количествам компонент типа N в подграфах G, выявляем тот из них,
который получается из G удалением вершины, принадлежащей компоненте
типа М\
д)	из выявленного подграфа Gj удаляем одну компоненту типа N и вместо
нее добавляем компоненту типа М. В случае р = 1 пункт в) надо соответствую-
Рис. 1.10.15
6'. Доказать восстанавливаемость графа, обладающего несвязным допол-
нением.
7.	Доказать, что связный л-вершинный граф s-однороден тогда и только
тогда, когда среди его (л-1)-вершинных подграфов хотя бы s+2 (а значит, и
все) содержат по s вершин степени s-1 и по л-s-l вершин степени s, Л.И. Кича,
Е.И. Литвак, Я.И. Тартаковский // УМН, 30 (1975), № 1, 237—238 [75, 6В506].
7'. Доказать восстанавливаемость однородных графов с числом вершин не
менее трех. W.T. Tutte // British Polymer J., September 1977, 180—183].
Указание: удобно воспользоваться результатом упражнения 7.
8.	Граф, содержащий не более двух простых циклов, восстанавливаем.
В.Л. Миронов [80, 4В354; 85h#05094].
9.	Пусть х — некоторая вершина графа G. Если существует смежная с ней у
такая, что все вершины степени s(v)-l, отличные от х, смежны с х, то граф G
восстанавливаем. J. Siraft // Math, slov., 32 (1982), № 4, 403—404 [83, ЗВ53О].
Глава 1. Идентификация
125
10.	Найти ошибку в работе В.К. Лужина [82, 8В578; 84i#05083].
11.	Построим бесконечный граф G следующим образом: вершина х$ смеж-
на со счетным множеством вершин хь х2, ..., каждаях( (i> 1) — со счетным мно-
жеством хл, х,-2, •• и т- Д4 все указанные вершины различны, других вершин и
ребер нет. Пусть G' состоит из двух компонент, изоморфных G. Показать, что
G Ф Gхотя все подграфы, получаемые из G или из G' удалением одной верши-
ны, изоморфны между собой. J. Fisher, R.L. Craham, F. Harary // JCTh,
B12 (1972), № 2, 203-204 [72, 9В330]. См. далее Th. Andreae // JCTh, B32 (1982).
№ 3, 258—263 [83, 2В525].
12.	Вывести формулы
, n	n
fk O^Zfk ek (G)=^(G\Xi),
1=1	/=1
выражающие количества подграфов типа Fk и типа графа G через аналогич-
ные количества для подграфов набора {G\x,} (1<к< л-1, л>3). Записать эти
результаты в терминах многочленов F (6, х), F (G\xz, х) и Е (6, х), Е (G\xz, х),
а не отдельных коэффициентов. (Указание: воспользоваться оператором
формального дифференцирования по переменной х).
12'. Доказать, что т (G) однозначно определяется по набору всех попарно
неизоморфных подграфов из {G\xz}.
13.	Найти число компонент х (G) по набору чисел {а?(6\х,)}.
13'. Найти вектор s(G) по набору векторов {s(G\x,)}.
13". По набору всех подграфов {G\xz} однозначно определяются характе-
ристический многочлен det (Л-А£) матрицы смежностей А =А (G) и количест-
во гамильтоновых циклов (считаемых с точностью до выбора начала и направ-
ления обхода) графа G. F.H. Clarke // DM, 3(1972), № 4, 305-313 [74, 5В423;
47#6552]; W.T. Tutte (см. упражнение 7'); М. Pouzet // JCTh, В27 (1979), №3,
231-236 [80, 5В454; 81g#05084].
14.	Вектор s(G) определяется по набору всех (л-2)-вершинных подграфов
G\{x, у} (х*у). Ж.А. Черняк // Весщ АН БССР, сер. Ф1з.-мат. н., 1982, № 6,
44-49 [83, ЗВ529].
15.	Если «-вершинный граф G связен, то
f п -1 при п нечетном,
rang^ (L(G)) = э
(л-2 при п четном.
N. Deo, M.S. Krishnamoorthy, Ajit В. Pai//Inform, lett., 6(1977), №1, 14-17
[77, 9В460].
16.	Доказать, что если G и G' — графы смежности ребер hs(G) = s(G') =
= (уь s2,..., sn), причем sn = п-1, то G-G'. D. Bauer // JGrTh, 4(1980), № 2,
219-232 [80, 12B494]_
17.	Если L(G)-G, то сам G изоморфен либо C5, либо еще одному графу:
найдите его. М. Aigner // JCTh, 7(1969), № 3, 273-275 [70, 4В339].
126
Основы теории графов
18.	Доказать следующие теоремы:
I.	Реберная гипотеза Улама для графа G верна в том и только том случае,
если для L (G) справедлива вершинная гипотеза. R.L. Hemminger // PAMS,
20(1969), № 1, 185—187 [71, 9В367; 38#1019].
II.	Для графа G с m(G)>3 и без изолированных вершин справедливость
вершинной гипотезы влечет справедливость реберной. D.L. Greenwell // PAMS,
30(1971), № 3, 431-433 [73, 9В370].
III.	Для несвязных графов реберная гипотеза справедлива. Th. Andreae //
AMSUH, 55(1985), 229-238 [86, 8В774].
18'	. Показать, что для бесконечных графов теорема II не имеет места.
18	" (теоретическая проблема). Верно ли, что из справедливости реберной
гипотезы Улама следует справедливость вершинной?
19.	Пусть п-п(р) и m=m(G). Реберная гипотеза Улама справедлива для
графа, удовлетворяющего хотя бы одному из условий:
а)	- L. Lov&sz // JCTh, В13 (1972), № 3, 309-310 [73, 6В399];
б)	т > п log2 п - V. Muller // JCTh, В22 (1977), № 3, 281-283 [77, 12В648];
в)	количество тех вершин G, степени которых превосходят s =s (G), не мень-
ше s - П.Г. Алексанян // ТГр, 1979, 16-20 [79, 12В513]. Дальнейшие усиления:
В.Б. Мнухин [83, 11В650, 653Деп].
20.	Для каждого из графов P-Z[ с /*2 и Р-Сп (л>3) существует такой
G =(¥,[/), что УхеУ [G(G, х)^Р]. С.Я. Агакишиева // ДАН АзербССР,
26(1970), № 12, 7-10 [71, 11В523; 46#7071]. См. также B.L. Chilton, R. Gould,
A.D. Poliment // Geometria Dedicata, 3 (1974), № 3, 289-294 [75, 5В500].
21.	Показать, что для графа P-F2 + P3 существует бесконечный (со счет-
ным множеством вершин X) граф G такой, что О (G, х)^Р при всех х е X, но не
существует конечного G с этим свойством. Найти аналогичные примеры связ-
ных G. В.К. Булитко // Вопросы экономики моря и морского транспорта. Киев,
1972, 159-165.
22.	Подразделяя новыми вершинами некоторые ребра (каждое не более
чем дважды) произвольного графа Р, всегда можно превратить его в такой Р',
для которого существует граф G с окружениями вершин, изоморфными Р'.
В.К. Булитко И Труды МИАН СССР, 133(1973), 78-94 [74, 1В360].
23.	При любом п > 6 существует такой связный л-вершинный граф, в кото-
ром окружения различных вершин все неизоморфны. J. Sedladek // Leet. Notes
Math., 1018 (1983), 242—247 [84, 4В501]. Аналогичные результаты для 2-окрест-
ностей вершин: см. к-окрестностъ [УС].
24.	Сформулировать естественное определение веерного изоморфизма двух
графов и доказать, что каждый такой изоморфизм индуцируется некоторым
вершинным (без исключения каких-то пар графов, как при реберном изомор-
физме). R.L. Hemminger // Amer. Math. Monthly, 79 (1972), № 4, 374—378
[72, 10В349].
Глава 1. Идентификация
127
25.	Граф максимальных клик Ф (G) = (F, W) определяется по G = (X, U) следу-
ющим образом: вершинами служат клики графа G, максимальные по включе-
нию множеств вершин, и FF' еРР для F, F'eF тогда и только тогда, когда под-
графы F и F' в G различны и имеют хотя бы одну общую вершину.
а)	Привести пример графа Ф, для которого нет такого G, что Ф(6)— Ф.
R.C. Hamelink (книга Харари).
б)	Доказать, что для графа Ф = (У, IV) существует G=(X, U) с Ф(С)=±Ф в
том и только том случае, если в Ф имеется система {F1= (¥}, И*})} клик, удовлет-
воряющая условию [jlVj^lV и обладающая свойством Хелли: для любой ее
подсистемы из существования общей вершины у каждой пары клик этой подси-
стемы следует наличие общей вершины всех клик подсистемы. F.S. Roberts,
J. Spencer // JCTh, BIO (1971), № 2, 102—108 [71, 12B602; 44#3917].
ГЛАВА 2
СВЯЗНОСТЬ
§ 2.1.	МАРШРУТЫ
Пусть G=(X,U) — обыкновенный граф. Последовательность
вида
Xq XgXj Х| XjX2 Х2 ... Х/_] X/_7jX/ X/ ,
где Хф, X], Х2,	х/_], x/GX, а хдХ], x\Xz, x/2jx/G(7, называется
маршрутом длины / из вершины х0 в вершину х/. При Х/=х0 & />1
маршрут называется циклическим. В случае / = 0 маршрут состоит из
единственной вершины, совсем не имеет ребер и циклическим не
считается, случай / = 1 для обыкновенных графов невозможен.
Заметим, что маршрут — не просто часть графа: во-первых, су-
щественную роль играет порядок прохождения вершин и ребер, в
силу чего, например, маршрут
*	X/ xjx/_i Х/_1 ... Х2 х£Х) Xj X\Xq Хо
не совпадает с написанным выше (хотя х^х^ =xi~\X( и т. д.); во-вто-
рых, один и тот же элемент (вершина или ребро) может встречаться
в маршруте неоднократно. Для графа, обладающего хотя бы одним
ребром и=ху, уже можно составить бесконечно много различных
маршрутов: х, хиу, хиуих, хиуихиу, ... — так что длиннейшего среди
них нет.
Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью. Дли-
на цепи не может превосходить числа ребер m(G), поэтому различ-
ных цепей в данном графе G конечное число. Циклическая цепь,
т. е. с хо =х/ &/>3 (случаи / = 1 и /=2 для таких цепей в обыкновен-
ном графе, очевидно, невозможны), называется циклом. Цепь про-
стая, если все ее вершины х0, х,, х2, ..., х/_], х/ различны; в случае
же х/=х0 &/>3 при отсутствии других совпадений вершин имеем
простой цикл, который, будучи цепью, не относится, однако, к про-
Глава 2. Связность
129
стым цепям: даже если записать элементы цикла не в строку, а по
окружности, чтобы никакая вершина в записи не повторялась, то
все равно надо какую-то из вершин считать началом цепи, значит, и
концом. Длина простой цепи в графе G не может превосходить
л(6)-1, а длина простого цикла не превосходит числа вершин п (G);
в случае достижения этих границ имеем гамильтонову цепь, соот-
ветственно гамильтонов цикл (см. упражнение 8 к § 1.5).
В графе G рис. 2.1.1 (где п = 12 = 21
и т. п.) маршруты 3u2wlu>3p4z5z4z5 и
3wlu2v3p4t5t4t5 различны (хотя со-
держат одни и те же элементы в оди-
наковых количествах), не цикличе-
ские и не являются цепями. Марш-
рут 4z5r4 циклический, но не цепь и
не цикл. Маршрут 3wlw2u3p4 — цепь,
но не простая и не цикл. Маршруты
Рис. 2.1.1
3u>lw2v3p4.s6r703 и 3п2п1ш3р45бг7^3 — разные циклы, оба не про-
стые. Маршрут Iu2v3qlr6s4t5 — простая цепь, притом наибольшей
возможной длины в данном графе, и поскольку ее длина равна
6=и((7)-1, эта цепь гамильтонова. Маршрут 3qlr6s4p3 — простой
цикл наибольшей длины в G (не гамильтонов). Наконец, последова-
тельность 1ыЗи2 — вообще не маршрут.
Заметим, что при подсчете в графе количества простых циклов
последние, как правило, рассматриваются с точностью до выбора
начальной вершины и направления обхода. С этой точки зрения,
которой придерживаемся и мы, граф рис. 2.1.1 содержит два про-
стых цикла (на самом же деле — два класса таких циклов: к одному
принадлежат циклы 1к2иЗш1, 1шЗу2и1, 2i?3ip1w2, 2ulw3v2, 3wlu2v3
и Зи2м1шЗ, выписать все циклы другого класса предложим читате-
лю). Это соглашение теряет силу, если считаемые циклы не являют-
ся простыми, и тогда в каждой конкретной задаче должно быть чет-
ко указано, какие именно объекты отождествляются при подсчете.
ЛЕММА 2.1.1. Всякий маршрут (в частности, всякая цепь)
графа содержит хотя бы одну простую цепь, соединяющую ту же
пару вершин. Всякий циклический маршрут нечетной длины содер-
жит простой цикл нечетной длины. Всякий цикл содержит простой
цикл, проходящий через любое наперед заданное ребро исходного.
130
Основы теории графов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в данном маршруте
XOW1X1U2X2 ...Xi_xutxi
все вершины различны, то он сам и есть искомая простая цепь.
Пусть теперь х( — первая из вершин маршрута, имеющих в нем по-
вторения, a Xj — последнее ее повторение. Удаляя все элементы
циклической части маршрута между х, и ху, заменим его более ко-
ротким
X0W1XJW2X2 ..XiUj+XXj+1Uj+2Xj+2 -X^UlXi,
по-прежнему соединяющим х0 с X/. Если в нем есть еще повторения
вершин, то поступаем с ним так же, как с исходным маршрутом, и
т. д. до тех пор, пока не поучим маршрут из х0 в х/ без повторяю-
щихся вершин, т. е. искомую простую цепь. В случае, когда исход-
ный маршрут циклический, результирующая цепь будет состоять из
единственной вершины х0 =х/.
Пусть теперь в G есть циклический маршрут
Х0И]Х1Ы2Х2 ...x2ku2MXQ
нечетной длины. Тогда он либо сам является простым циклом,
либо содержит пару совпадающих вершин х( =ху, где 0<i<j<2k.
Во втором случае оба маршрута x0kiX]H2x2  xi^uixiuj+iXj+\...
x2fcM2fc+lxo и xiui+\xi+l •xj-\^jxi циклические и один из них име-
ет нечетную длину; применяя к нему аналогичное рассуждение, мы
в конце концов выделим циклический маршрут нечетной длины
без повторяющихся вершин (за исключением первой и последней),
т. е. простой цикл нечетной длины.
Доказательство третьего утверждения леммы предоставим чита-
телю, заметив при этом, что заменить в условии цикл произволь-
ным циклическим маршрутом нельзя.
Говорят, что вершины х и у графа G отделены, если в G нет це-
пи, которая бы их соединяла, и что эти вершины соединимы, если
хоть одна такая цепь имеется. В силу леммы 2.1.1 здесь (и в анало-
гичных случаях в дальнейшем) можно под цепью понимать простую
цепь.
Соединимость — бинарное отношение на множестве X вершин
графа (?; рефлексивность/и симметрия этого отношения очевидны,
Глава 2. Связность
131
транзитивность тоже имеет место: если в G есть цепи из х в у и из у в
z, то сочленение этих цепей в вершине у дает маршрут, соединяю-
щий х с z, а из него по лемме 2.1.1 можно выделить цепь. Поэтому
соединимость представляет собой отношение эквивалентности на X,
в силу чего это множество разбивается на классы Х\,Хг.X так,
что две вершины графа G соединимы тогда и только тогда, когда
они принадлежат одному и тому же классу. Подграфы Gt =(Х,, U,),
порождаемые множествами X, (/=1, 2, ..., ж>1), суть не что иное,
как компоненты графа G, которые в § 1.3 были определены иначе;
доказать равносильность обоих определений предоставляем читате-
лю (упражнение 3).
Свойство связности графа, т. е. х (G) = 1, характеризуется воз-
можностью соединить в нем простой цепью не только две вершины,
но и (при несущественных ограничениях) любые два ребра (упраж-
нение 4).
Следующая классическая теорема из книги Кёнига, характеризу-
ющая возможность правильной раскраски двумя цветами вершин
графа в терминах его структуры, кажется почти тривиальной, одна-
ко значение ее для теории графов и многих приложений трудно пере-
оценить (недаром она впоследствии не один раз переоткрывалась).
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Кёнига), у (G) <2 тогда и только тогда, когда
граф G не содержит циклов нечетной длины.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что вершины цикла нечетной
длины, а значит, и любого содержащего его графа нельзя правиль-
но раскрасить двумя цветами. Пусть теперь граф G = (X, 17) не со-
держит нечетных циклов; покажем, что у (G)<2. Не нарушая общно-
сти, можно считать граф G связным (почему?).
Вершины х, у е X назовем четно соединимыми, если существует
маршрут четной длины из х в у. Бинарное отношение четной соеди-
нимости на множестве X есть эквивалентность (докажите!), поэтому
Xразбивается на классы X\,Xi, ••• таким образом, что две верши-
ны графа четно соединимы тогда и только тогда, когда они принад-
лежат одному и тому же классу.
Вершины каждого класса попарно несмежны — иначе соеди-
няющее их ребро вместе с четным маршрутом образовало бы цик-
лический маршрут нечетной длины, из которого по лемме 2.1.1
можно выделить нечетный цикл вопреки предположению.
132
Основы теории графов
Количество классов не превышает двух. В противном случае
пусть x,y,z — вершины из трех различных классов. Так как х не яв-
ляется четно соединимой с у, а граф G связен, то существует марш-
рут нечетной длины из х в у, то же справедливо и для вершин у, z.
Оба маршрута вместе составляют четный маршрут из х в z, что не-
возможно, поскольку эти вершины взяты из разных классов четной,
соединимости.
Раскраска всех вершин класса Ху в цвет 1, а всех вершин Х2 в
цвет 2 является правильной для графа G, следовательно/(G)<2
(у(<?)=! в случае =0)-
Теорема доказана. А вот ее перефразировка: /(G)=2 тогда и
только тогда, когда G изоморфен некоторому суграфу произведения
кр,я=Ер'Еу где Р’ и P+q=n(G).
Другую классическую теорему, которая выражает достаточное
условие наличия в графе гамильтонова цикла (следствие 1 ниже),
принято связывать с именем Оре, хотя такое же рассуждение было
проведено на два года раньше Ньюманом и Дираком при доказате-
льстве менее сильного утверждения (следствие 2). Как потом обна-
ружили И.М. Горгос и М. Пиотровски (Кишиневский семинар,
март 1979 г.), эта же идея без малейшего усложнения применима к
выводу достаточного условия существования гамильтонова цикла,
содержащего наперед заданные ребра; последние, разумеется, нель-
зя выбирать произвольно: например, через 3-веер или простой цикл
длины менее п (G) гамильтонов цикл не провести, как бы «хорошо»
ни был устроен сам граф.
Систему	ребер назовем прогамильтоновой, если каж-
дая компонента части графа G=(Х, U), образованной ребрами Ug и
инцидентными им вершинами, представляет собой простую цепь.
В частном случае, когда цепь только одна (т. е. указанная часть
связна), нижеследующую теорему ранее доказал H.V. Kronk (JCTh,
7(1969), № 2, 104-106 [70, 1В302])1.
ТЕОРЕМА 2.1.3. Пусть 0<д<л-1 и в п-вершинном графе
G-{X, U)
VxyeXPl\C/[j(x)+5(y)>« + ^].	(1)
1 А в общем виде переоткрыл Lou Dingjun [93, 10В248].
Глава 2. Связность
133
Тогда через любую прогамилыпонову систему Uq в G проходит по
крайней мере один гамильтонов цикл.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: в некотором графе
G, удовлетворяющем условию (1), имеется прогамильтонова систе-
ма Uq, не принадлежащая никакому гамильтонову циклу. Без нару-
шения общности можно считать, что в G есть такая пара вершин
xytU, х*у, которая соединена гамильтоновой цепью Z„_], содер-
жащей все ребра Uq (т. е. граф GUxy уже обладает искомым цик-
лом): в самом деле, добавление ребер без добавления вершин не на-
рушает условие (1), а в полном графе гамильтонов цикл, содержа-
щий Uq, наверняка есть (докажите!).
Пусть ху — такая пара вершин. Достаточно теперь установить,
что среди ребер цепи Z„_] =xU]X]U2x2 хп_2ип-\У, не принадлежа-
щих Uq, найдется такое u, =х,Дх1-, для которого x^yeU &x~txeU:
тогда простой цикл
...X/-! Х^ууип_}Хп_2 UMXi X~jXX
(рис. 2.1.2) будет в G гамильтоновым, содержащим все ребра Uq
(жирные), вопреки предположению. Т. е. чтобы получить противо-
речие, надо, полагая
а, (х)=< 1
при x-xeU,
О прих^хйС/,
при хр> е U,
при XjyeU,
доказать существование ребра UjiUq, для которого
а, (х)+а,_! (у)=2.
134
Основы теории графов
Простейшее достаточное условие того, что из нескольких задан-
ных чисел хотя бы одно больше 1, выражает известный «принцип
пастухов»: сумма этих чисел должна превышать их количество; в
данном случае количество чисел есть n-\-q и условие можно запи-
сать так:
£[а( (x)+a,_i (у)]>л-9.	(2)
Оно заведомо выполнено, если
л-1
(х)+а,_! (y)]>n-q + 2q = n+q.	(3)
1=1
Преобразуя сумму в левой части и пользуясь тем, что ап_\ (х)=0 и
ао(у) = О ввиду xy&U, получим
л-1	л-1	л-1	л-2	л-2
£[•••] = Xai W+lX-i б7) =	(*)+Z“» О’)= *(х)+$(у),
1=1	i=i	i=i	i=i	i=i
и выполнение (3) теперь сразу следует из условия (1). Доказательст-
во теоремы закончено, но мы попросим читателя ответить на во-
прос: где была использована прогамильтоновость системы Uq1
Граф, обладающий хотя бы одним гамильтоновым циклом, сам
называется гамильтоновым. При q=0 из теоремы 2.1.2 получаем
СЛЕДСТВИЕ 1 (О. Ore // Amer. Math. Monthly, 67 (1960), № 1,
55 [61, 5A309]; книга Ope). Если
Х/хуе \t/[s(x)+s(y)>n],	(4)
то граф G = (X, U) гамильтонов.
СЛЕДСТВИЕ 2 (D.J. Newman // Amer. Math. Monthly, 65 (1958),
№ 8, Part 1,611 [59, 10, 9845; 20#5487]; G.A. Dirac // Acta math. Acad,
sci. hung., 10(1959), № 3-4, 357-361 [61, 1A309J). Граф G = (X, U),
удовлетворяющий условию VxeX[s(x)>nl2], гамильтонов.
A. Kotzig [66, 11A242; 30#3462] указывает операции, при помо-
щи которых можно получить все 3-однородные гамильтоновы гра-
фы, отправляясь от графа (не являющегося обыкновенным) с двумя
Глава 2. Связность
135
вершинами и тремя ребрами. Как показал В. Bollobas (Europ. J.
Comb., 4 (1983), № 2, 97—106 [83, 11B670]), в некотором смысле поч-
ти все графы гамильтоновы.
Многочисленные результаты по гамильтоновым циклам отра-
жены во второй книге Бержа, а особенно в книге: Н. Walther,
H.-Ju. VoB. Uber Kreise in Graphen. Berlin: VEB Dtsch. Verlag der
Wiss., 1974 [75, 9B317K], содержащей также ряд обобщений, в том
числе вопросы существования в графе циклов достаточно большой
длины; к сожалению, ни та, ни другая до сих пор не выпущены в
русском переводе. Некоторые более поздние результаты представ-
лены в упражнениях. Не перечисляя многочисленных работ, посвя-
щенных выводу того или иного достаточного условия гамильтоно-
вости графа (или более сильного его свойства), укажем на два воз-
можных пути усиления теоремы 2.1.3; оба вырисовываются при
анализе ее доказательства.
I. Сводя общий случай к такому, когда в графе G с заданной
прогамильтоновой системой Uq некоторая пара несмежных различ-
ных вершин соединена гамильтоновой цепью Z„_j, содержащей все
ребра Uq, мы не учитывали специфический вид условия (1) — важно
было лишь, что оно не нарушается от добавления ребер к графу.
Второй (и последний) раз это условие использовано для доказатель-
ства оценки (3), гарантирующей (через более слабую оценку (2)) су-
ществование на цепи Z„_] такого ребра utiUq, для которого
а,- (х)+а,_| (у)>1 (т. е. равно 2, поскольку оба слагаемых не превы-
шают 1). Однако требуемое ребро и, может существовать и без со-
блюдения неравенства (2), тем более (3); это открывает возможно-
сти различных модификаций и усилений теоремы путем замены
условия (1) любым другим, тоже обеспечивающим существование и(-
и сохраняющимся при добавлении ребер к графу. Отметим среди
прочих работы Хватала и Дирака (упражнение 1 Зв), где эта возмож-
ность использована в некотором смысле наилучшим образом.
II. При наличии в G цепи Z„_j гамильтонов цикл (содержащий
L[q) может возникать более хитрым образом, чем на рис. 2.1.2:
см., например, рис. 2.1.3. На идее такого рода основана теорема
2.1.4, формулировку которой мы приводим ниже. Пусть для гамиль-
тоновой цепи Z„_] (из х в у)а означает наибольшее количество та-
ких простых цепей (не обязательно гамильтоновых) из х в у, кото-
рые попарно не имеют других общих вершин и на каждой из
136
Основы теории графов
которых при движении от х к у вершины идут в том же порядке, в
каком эти же вершины встречаются (быть может, уже не рядом) при
аналогичном движении по цепи Zn_\; пусть далее а> — наибольшее
число вершин такого подграфа, который содержит обе вершины х, у
и не имеет ребер, отличных от ху.
ТЕОРЕМА 2.1.4 (A. Ainouche, N. Christofides // JCTh, В31 (1981),
№ 3, 339-343 [82, 4В579]). Если xyeU ив графе G = (X, U) есть та-
кая гамильтонова цепь Zn_\ из х в у, для которой а>а>, то су граф
G\xy гамильтонов; далее см.: J. London Math. Soc., 32 (1985), № 3,
385-391 [87, 2В658] и Disci. Appl. Math., 17 (1987), № 3, 213-221
[87, 12В753].
Обзор критериев и алгоритмов распознавания гамильтоново-
сти: N. Christofides И Appl. Comb. Nantwich, 1987, 29—49 [88, 2В657];
см. также условия Хватала—Эрдеша [УС].
Кажется правдоподобным, что без усложнения доказательства,
данного в оригинале (и даже упростив его), можно обобщить эту те-
орему в таком же смысле, в каком теорема 2.1.3 обобщает теорему
Оре (следствие 1). Но и без того теорема 2.1.4 устанавливает гамиль-
тоновость в некоторых случаях, когда признаки Бонди и Хватала,
выводимые из нее, неприменимы (упражнение 17). Дальнейшие уси-
ления: J.A. Bondy, V. Chvatal // DM, 15 (1976), №2, 111-135
[77, 2В492]; А.С. Асратян, Н.К. Хачатрян // Матем. заметки,
35(1984), №1, 55-61 [84, 4В503], ДАН АрмССР, 81(1985), № 3,
103-106 [86, 5В731]; В. Jackson [88, 4В574].
Олицетворяемая рис. 2.1.2 идея распространяется и за пределы
теории гамильтоновых циклов. Граф G называется панциклическим,
если он содержит простые циклы всех длин от 3 до n=n(G) включи-
тельно (стало быть, и гамильтонов). Оказывается, условие Оре
обеспечивает гораздо больше, чем гамильтоновость: как показал
Бонди, граф, удовлетворяющий условию (4), либо является панцик-
лическим, либо изоморфен Кп/2 (во втором случае число вершин
п автоматически оказывается четным). Предварительно заметим,
Глава 2. Связность
137
что из (2) вытекает не только гамильтоновость графа G, но и оценка
т>п2 /4 числа его ребер; доказательство в принципе не сложно и
может быть предоставлено читателю (кстати, эта оценка становится
тривиальной при замене условия Оре более жестким условием Нью-
мана-Дирака из следствия 2). Поэтому результат Бонди сразу выте-
кает из следующей его теоремы.
ТЕОРЕМА 2.1.5 (J.A. Bondy // JCTh, Bll (1971), № 1, 80-84
[72, 5В288]). Если граф G-(X, U) с n = n(G) гамильтонов и m=m(G)>
>л2/4, то G либо панцикличен, либо изоморфен графу К.пц,п12.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Сп	...x„_jU„XQ — гамиль-
тонов цикл в графе G с т>п2 14, но G не панцикличен: в нем нет
простого цикла Сг некоторой длины г (3<г<л-1). Для каждого
Uj =Xj~\Xj определим сопряженную пару (элемент множества УР1,
не обязательно ребро) следующим образом: xt~Xj при i+r-l<j<z-l
сопряжена с Xy+jXy_r+3, а при i+2<J<i+r-2 — с ху+1~ху_г+] (все ин-
дексы считаются по модулю л).
Из двух сопряженных пар не более чем одна может быть ребром
графа G: иначе существовал бы цикл вида Сг (показанный на
рис. 2.1.4 жирным в обоих случаях). Отсюда следует, что
5(х,)+л(х|+1)<л
(5)
для всех i (mod л), причем ра-
венство достигается одновре-
менно лишь тогда, когда из
каждых двух пар одна является
ребром G.
Если бы число л было не-
четным, то в силу (5) какая-то
вершина, скажем xq, обладала
степенью не больше и из (5)
следовало бы
2л1=515(х,)<^>+2Ы<^
|=о
вопреки условию т > п2 / 4. Значит, л четно, и из (5) легко получаем
/л<л2 /4, откуда следует, что т=п2 14 и равенство (5) выполняется
при всех z.
138
Основы теории графов
Поэтому
\
х,ху еС/<=>х|+1Ху_г+3йС/ при f+r-l<j<i-l,	(6)
Х|Х;- et/<=>x,+Jxy_r+1 &U при i + 2<j<i+r-2.	(7)
Допустим, что G не есть ^„/2>л/2- Поскольку всякий строгий су-
граф этого произведения, а также всякий граф Кр q с l<p<q=n-p
содержит менее чем w (AT„/2, л/2) = л2 /4 ребер, то y(G)>3, и в силу
теоремы 2.1.2 (перефразированной) в G должно быть ребро вида
х7х»+л с четным к\ покажем, что наименьшее из таких к есть 2.
Если это не так, то пусть наименьшее четное к, для которого
х,х1+^еС/, не меньше 4. Рассмотрим три случая.
1)	4<к<п-г. Тогда х|+1х/+л+г_3 й(/, ибо иначе это ребро вмес-
те с XfXf+jt и надлежащими частями цикла Сп образовало бы цикл
вида Сг. Согласно (6), xI+2'xi+^ &U вопреки минимальности к.
2)	п-г+2<к<2п-2г. Тогда x^x^^+^iйС/ по (7), откуда
х,_2х|+у+2г_4 е U на основании (6); но
i+k+r-l-(i-l)=k+r<2n-r=n-r (mod п)<к-2,
что опять противоречит минимальности к. Аналогично рассматри-
вается случай
3)	2п-2г + 2<к<п-2.
Итак, х,х(+2 eU. Но тогда xfxl+r £U (иначе в G был бы Сг) и
х|+1х(+3е17 по (6). Пройдя таким образом весь цикл С„, получим,
что все пары вида XjXl+2 являются ребрами графа G, откуда сразу
следует его панцикличность вопреки предположению.
В рассмотренных выше достаточных условиях гамильтоновости
графа (см. также упражнения 9—16 и [УС]) решающую роль играет
изобилие ребер, либо глобальное (т>п2 /4), либо локальное («спра-
ведливо распределенное» по вершинам, парам вершин и т. д.). Неу-
дивительно, что такого рода условия обеспечивают (за отдельными
исключениями) не только гамильтоновость, но и панцикличность, и
ясно также, что никакими усовершенствованиями нельзя довести
эти условия до необходимых: все они заведомо не выполняются для
простейшего гамильтонова графа С„ (при п не слишком малом),
см. метагипотеза Бонди [УС]. Поэтому особый теоретический и ме-
тодологический интерес представляют j-панциклические графы, об-
ладающие простыми циклами всех длин, кроме одной заданной j
Глава 2. Связность
139
(3<j<ri): см. V. Jaco§ // Mat. dasop., 25(1976), № 3, 281—286
[76, 1B668]; исследование таких графов (в частности, достаточных
условий принадлежности графа к одному из этих классов) требует
принципиально иного подхода. Сюда примыкает исследование
графов более широкого класса — гамильтоновых, не содержащих
подграфов типа С, заданной длины, 3<у<л-1 (но не обязательно
только этой): G.R.T. Hendry, S. Brandt // Graphs and Comb.,
11 (1995), № 3, 255-262 [96, ЗВ237].
Наряду с усилениями свойства гамильтоновости можно изучать
и многочисленные его ослабления — например, наличие пары про-
стых циклов (или пары простых цепей, цепи и цикла, тройки циклов
и т. д.) без общих вершин, охватывающей все вершины графа.
К этому кругу вопросов принадлежит
ТЕОРЕМА 2.1.6. Наименьшее число простых цепей, попарно не
имеющих общих вершин и в совокупности содержащих все вершины
графа G, не превосходит его неплотности е(р).
Она непосредственно следует из теоремы Галлаи—Милгрема (4.2.8),
относящейся к орграфам, но в случае обыкновенных графов дока-
зывается гораздо проще, что мы предлагаем читателю. Нетрудно
получить и критерий существования такой системы из к цепей в G:
граф G • Fk должен быть гамильтоновым (Z. Skupien // Colloq. math.,
30 (1974), № 2, 295-316 [75, 6В470]); см. к-покрытие графа [УС].
Упражнения и дополнения
1.	Цепь в графе G, содержащая все его ребра, называется эйлеровой; если
такая цепь циклическая, то имеем эйлеров, цикл.
а)	Выписать все эйлеровы цепи (их восемь) графа G на рис. 2.1.1.
б)	Показать, что у того же G эйлеровых циклов нет, а в подграфе б\5 их
ровно два.
Систематическую теорию эйлеровых цепей и циклов имеет смысл строить
сразу для графов с петлями и параллельными ребрами (§ 2.8), а не только для
обыкновенных.
2.	Показать, что во втором утверждении леммы 2.1.1 требование нечетно-
сти существенно: не всякий циклический маршрут четной длины содержит про-
стой цикл.
3.	Доказать равносильность трех определений компоненты б/=(У/, Uj)
графа G=(X, U):
140
Основы теории графов
а)	как подграфа со свойством, что никакая его вершина х е X, не смежна в
G ни с одной вершиной множества X \ Xи минимального (по включению мно-
жеств вершин) относительно этого свойства;
б)	как подграфа, порожденного одним из классов эквивалентности, на ко-
торые разбивается X отношением соединимости;
в)	как подграфа с попарно соединимыми вершинами, максимального в G
относительно этого свойства.
4.	Доказать, что граф G = (X, U) без изолированных вершин связен тогда
и только тогда, когда для любых его ребер u,veU существует простая цепь с
первым ребром и и последним v.
Указание. Ввиду отсутствия изолированных вершин достаточность три-
виальна. При доказательстве необходимости в неочевидном случае, когда
и=ху, v-zt и все четыре вершины х, у, z, t различны, образовать сначала про-
стую цепь XU]X]U2...U/_1W/Z и рассмотреть затем пять возможностей:
а)	все вершины хь х2,...» х/_] отличны от у и от /;
б)	х^у (1 </</-!), но все хь х2,..., х/_] отличны от Г;
в)	Xi=t (1 <i<I-1), но все xj, х2,..., x/_j отличны от у;
r) Xj=y, xj=t (К/<j</—1);
д) X/=r, Xj-y (1<i<j</-1). Первая книга Бержа.
5.	Доказать, что если G = (X, U) — связный граф, a Y а X — произвольное
подмножество, содержащее четное число 2к вершин, то всегда можно так рас-
пределить вершины Y по парам хр>|, х^2,..., х£ук, чтобы в G нашлась система
цепей 2|, Qi,...» Qk^° свойством: Qi соединяет xf с и при i* j цепи и Qj не
могут иметь более одной общей вершины (/, у = 1, 2, ..., к).
Указание. Ввиду связности G, при любом разбиении Y на к пар для каж-
дой пары xtfi найдется своя цепь Qh При заданном разбиении можно выбрать
систему цепей {Q;} с наименьшей суммой длин, а среди всех разбиении найти
такое, при котором эта сумма принимает наименьшее значение. Соответствую-
щая «дважды минимальная» система цепей — искомая, ибо если какие-то две
цепи имеют более одной общей вершины, то можно так изменить разбиение,
чтобы получить новую систему цепей с меньшей суммарной длиной.
G.A. Dirac // Canad. Math. Bull., 5(1962), № 3, 221-227 [26#753].
6.	Доказать, что если G несвязен, то G связен.
7.	Пусть в связном графе G=(Y, U) выделено некоторое подмножество
вершин Y сХ; связный подграф графа G, содержащий все вершины Y (но не
обязательно только их), называется (G, Y)-c вязкой. Особый интерес представля-
ют задачи нахождения такой связки с наименьшим числом вершин n(G, У) или
только самого этого наименьшего числа и (6, У), а также (G, У)-связки, мини-
мальной по включению множеств вершин; подходы к решению этих задач бу-
дут рассмотрены в добавлении 1, а сейчас заметим, что первая из них является в
классе переборных задач «не менее универсальной», чем задачи нахождения
плотности и неплотности, ибо последние к ней эффективно сводятся. Соответ-
ствующие сведения этих и других классических задач, выполненные В.Г. Ви-
Глава 2. Связность
141
зингом [72, ЗВ275], ниже предлагается воспроизвести читателю. Во всех случаях
заданный граф обозначен через G =(Х, U), где X ={xj,хл}, (/={«!,..., ит}.
а)	По G построим вспомогательный граф G' = (XUC4 И), в котором вер-
шины множества Xобразуют клику, вершины U — груду, а еслихеХ ииеи,то
хи eV тогда и только тогда, когда в графе G вершина х и ребро и инцидентны.
Показать, что £ (6) = л+л1-л(6', U).
б)	По G построим вспомогательный граф G' = (X\JX't V), где Х'={х{,...,
дсД}, ХР\Х' = 0, вершины X образуют груду, вершины X' — клику, ахД}е
eV <$i = jvxpcj eU. Показать, что число всесмежности Д((7)=л((7', Х)-п.
в)	Пусть U\,..., Us е£Д21 — всевозможные неупорядоченные пары различ-
ных ребер графа Gt имеющих общую инцидентную вершину; эту вершину для
пары Uk обозначим через x(L7^). Предположим, что степени всех вершин G не
меньше 2, и построим вспомогательный граф G' = (XU{£A,...» Us] V), в кото-
ром вершины X образуют груду, xj]k е И <=> х, = х ) и U^Ui eV <z>Ukf\Ui*0.
Показать, что граф G обладает гамильтоновой цепью в том и только том слу-
чае, если л (б7, X)=2п.
г)	Задача нахождения плотности (p(G) столь же легко, как и задача о не-
плотности, сводится к поиску наименьшей связки: надо лишь в п. а) строить
вспомогательный граф G ' для графа G вместо G. Благодаря конструкции Лю-
боты (§ 1.6) задача нахождения хроматического числа сводится к задаче о наи-
меньшей связке «в два этапа»; было бы интересно найти непосредственное
сведбние.
8.	Доказать теоремы турановского типа (см. упражнение 6 к § 1.9):
а)	всякий л-вершинный граф с более чем (л-1)г/2 ребрами (г >2) содержит
простой цикл длины >г,
б)	для любого л>(£+1)3/2 (£>1) каждый л-вершинный граф с более чем
. ffc+П _	w	..
пк -I I ребрами содержит простую цепь или простои цикл длины >2х, при-
чем граница для числа ребер точна. Р. Erdos, Т. Gallai // Acta math. Acad. sci.
hung., 10 (1959), № 3—4, 337-356 [61, 1A308; 22#559].
9.	Пусть G — связный л-вершинный граф без подграфов типа И3; доказать,
что
а)	в G есть гамильтонов цикл или простая цепь Z/длины />2$(С)+2;
б)	если 5(G) > (л-2)/3, то в Сесть гамильтонова цепь, но при5(С) = (л-3)/3
это не так. М.М. Mattheus, D.P. Sumner // JGrTh, 9(1985), № 2, 269-277
[86, ЗВ746].
10.	Если 5(х)4-5(у)>[’2л/^1 для любых несмежных х, у еХ в л-вершинном
графе G = (Х, U), то в нем есть простой цикл длины [л/&"|-1. Y. Egava, Т. Niya-
moto // JCTh, В46 (1989), № 3, 356-362 [91, 5В413].
142
Основы теории графов
11.	Если с — наибольшая, с — наименьшая длина простых циклов графа G,
a 5=5(G), то
с = шах {(25-3) (с-4)+ 4, (5-1) (с-2)+2};
Zhang Cun-Quan // JGrTh, 13(1989), № 4, 485-490 [90, 4В626].
12.	Пусть L"(r) — класс и-вершинных графов G =(У, U), удовлетворяющих
условию Уху е^121\С7[5(х)+5(у)>г].
а)	Всякий граф класса L" (и-1) обладает по крайней мере одной гамильто-
новой цепью. О. Оге (см. следствие I теоремы 2.1.3).
б)	Всякий граф класса Ьл (п+1) гамильтоново связен', любые два его различ-
ные вершины служат началом и концом некоторой гамильтоновой цепи:
О. Ore // J. math, pures et appl., 42(1963), № 1, 21-27 [64, 1A330; 26#4336].
в)	Если G еЬл (и+р + 1), то граф, получаемый из G удалением не более р
любых вершин, гамильтоново связен; D.R. Lick // Duke Math. J., 37 (1970), № 2,
387-392 [71, 2В346].
12'. Доказать или опровергнуть следующие высказывания.
а)	Если G eLn (л+ р-1), где 0<р <л-1, то граф, получаемый из G удалени-
ем не более р любых вершин, гамильтонов; S.F. Kapoor, К.К. Theckedath // In-
dian J. Statist., A33(1971), № 2, 211-216 [72, 7В297].
б)	Если G еЬл (и+д-1), где 0<q <п-1, то через любую прогамильтонову
систему Uq в G проходит гамильтонова цепь.
в)	Если G е Ьл (п+ q +1), где 0 < q < л-1, то для любой прогамильтоновой си-
стемы Uq и любой пары вершин zt е %№\Uq существует гамильтонова цепь из z
в /, содержащая все ребра Uq. С. Thomassen И J. reine und angew. Math., 268-269
(1974), 271—282 [75, ЗВ499].
13.	Пусть s(<7) = (5i, 52, ...» 5Я), n>3.
а)	Если	<k&s/</&k*!=>Sk + s/>n, to граф G гамильтонов. J.A. Bon-
dy // Stud. sci. math, hung., 4(1969), № 1-4, 473-475 [70, 6B355; 43#7354].
б)	Если <£+1&5/</+1&£*/=>5£+5/>л+1, to G гамильтоново связен
(упражнение 96). D.R. Lick // JCTh, 8(1970), № 4, 444-445 [70, 11В245].
в)	Если < к < nl2 => s„^ > n-k, to G гамильтонов, причем результат в сле-
дующем смысле неулучшаем: любой вектор (5Ь 52, • • •» sn) с 5j < s2 <... < snt для ко-
торого условие не соблюдено, мажорируется таким s', что существует негамиль-
тонов граф Ges (G)=s'. V. ChvAtal // JCTh, B12 (1972), № 2, 163-168 [72, 9B375];
[45#3228]; [48# 1978].
Класс гамильтоновых графов, не содержащих подграфов типа Р3, изучают
М.М. Mattheus, D.P. Sumner (JGrTh, 8(1984), № 1, 139-146 [84, 10В488]).
14.	Граф G = (Y, U) называется локально гамильтоновым, если окружение
O(G, х) любой вершины хе У представляет собой гамильтонов граф. Такой
граф, не являющийся гамильтоновым, содержит не менее 11 вершин и при
Глава 2. Связность
143
h(G) = 11 — единственный (с точностью до изоморфизма), причем z?:(G)=27.
С.М. Рагеек, Z. Skupien // J. Univ. Kuweit (Sci.), 10 (1983), № 1, 9-17 [85, 4В568].
15.	Пусть G = (У, U), n = n (G) > 3, e Каждое из следующих пяти усло-
вий достаточно для гамильтоновости графа G:
a)	G связен, 5-однороден и локально связен; последнее означает, что окру-
жение каждой вершины — связный граф. П.Б. Кикуст ([73, 4В419Деп,
8В348Деп]; Латв, матем. ежегодник, 16(1975), 33—38 [75, 10В306]).
б)	G связен, имеет хотя бы один цикл и не содержит подграфов типа И3 и
типа клешни. S. Goodman, S. Hedetniemi // JCTh, В16(1974), №ч2, 175—180
[74, 11В439].
в)	Для любого непустого Y с X в G имеется более (|У|+|У|+3) таких вер-
шин, каждая из которых смежна хотя бы с одной вершиной Y. D.R. Woodall //
JCTh, В25 (1978), № 2, 184-186 [79, 4В478].
г)	G не содержит подграфов типа К3 и локально связен. D.J. Oberly,
D.P. Sumner // JGrTh, 3(1979), № 4, 351-356 [80, 5В501; 80j#05086].
д)	s(G)>max{rt/3, £-1} и нет такого Y сУ, Y *0, что х (С\У)>|У| + 1.
A. Bigal’ke, Н.А. Jung // Monatsh. Math., 88 (1979), № 3, 195-210 [80, 6В486].
См. также: М. Пиотровски [78, 7В836]; N. Kohler // AMSUH, 51 (1981),
68-97 [82, 2В658].
16.	Если в графеG = (¥, U)c и = л(С)>11 Уху et/[s(х)+ 5(у)>и-4], то G га-
мильтонов или содержит такое У сУ, что х (С\У)>|У|+1. Н.А. Jung, С. Nara //
Arch. Math., 39(1982), № 4, 383-384 [83, 4В626].
•	17. Пусть Z„_i — гамильтонова цепь из вершины х в вершину у графа
G =(%, (7), причем х *у, ху «£ U; со то же, что и в теореме 2.1.4; со — количество
вершин G, не смежных ни с х, ни с у; ft — количество вершин, смежных одновре-
менно с х и с у. Рассмотрим два утверждения:
(А) если	то граф G гамильтонов;
(Б) если	то G гамильтонов.
17	.1. а) Показать, что (А) непосредственно следует
из теоремы 2.1.4, а (Б) — из (А).	V	А
б)	Показать, что из (Б) вытекает теорема Оре. \	/
в)	Убедиться в том, что гамильтоновость графа \
рис. 2.1.5 следует из (Б), хотя теорема Оре к этому гра-
фу непосредственно не применима.	Рис. 2.1.5
17	.2. Выяснить, какие из достаточных условий га-
мильтоновости, приведенных в книге Вальтера и Фосса, второй книге Бержа и
предыдущих упражнениях, легко следуют из (Б) или из (А).
17	.3 (методическая проблема). Доказать (А) или хотя бы (Б) непосредст-
венно, не прибегая к теореме 2.1.4.
18.	Если л = л(С)>5и $(х)+5(у)>л+2 для любой пары несмежных различ-
ных вершин, то в G есть два гамильтоновых цикла без общих ребер. Win Sein //
AMSUH, 58(1988), 175-183 [91, 5В414].
144
Основы теории графов
19.	а) 3-однородный граф имеет ровно три гамильтоновых цикла в том и
только том случае, если объединение любых двух различных гамильтоновых
циклов дает весь граф;
б) если в графе G есть р гамильтоновых циклов попарно без общих ребер,
то всего в G не менее р(2р-1) гамильтоновых циклов. J. NinCak // Comment,
math. Univ, carol., 14(1973), № 1, 135-138 [73, 8В357].
Примечание. При p =2 получаем p (2p -1) = 6; доказательство менее
сильного утверждение (N.J.A. Sloane) о существовании хотя бы трех гамильто-
новых циклов приведено во второй книге Бержа. О количестве гамильтоновых
циклов в графе и о графах с единственным гамильтоновым циклом см. [УС].
20.	Всякий s-однородный граф с числом вершин n=2s>6, не изоморфный
Ks или с m=2s+1>9 гамильтоново связен. I. Tomescu // JGrTh, 7 (1983), №4,
429-436 [84, 5В528].
21.	В каждом s-однородном графе с s >2 и n(G)<2s через любые два ребра
с общей вершиной проходит гамильтонов цикл. Число всех гамильтоновых
(s Л
циклов такого графа не меньше I I. I. Tomescu // Rev. roum. math, pures et appl.,
29(1984), № 6, 499-505 [85, 1В658].
22.	Пусть 0 и 0* — графы, изображенные на рис. 2.1.6.
а) Любой нсгамильтонов граф допу-
скает стягивание на 0 или на 0*;
б) граф негамильтонов тогда и толь-
ко тогда, когда его можно стянуть строго
(без наложения ребер) на 0. С. Hoede,
H.J. Veldman // JCTh, В25(1978), № 1,
47-53 [79, 4В484].
О числе Хадвигера гамильтоновых
графов см.: Н.П. Федорова [86, ЗВ786].
23.	Если л-вершинный граф G с т ребрами гамильтонов, но теряет это
свойство после удаления любой вершины, то
а)	п >4 => /л < л2/4;
б)	п нечетное >5=> ?л<л(л-1)/4;
в)	л>4&?и = л2/4=>С^Хл/2,л/2•
L. Lesniak-Foster И Acta math. Acad. sci. hung, 29(1977), № 3—4, 255—258
[78, 5В509].
24.	При заданном числе вершин п * 5 негамильтонов граф с наибольшим
числом ребер только один (с точностью до изоморфизма). J.A. Bondy // Canad.
Math. Bull., 15(1972), № 1, 57-62 [72, 10В372].
25.	Доказать, что если граф G гамильтонов, то его граф смежности ребер
L (<7)тоже гамильтонов, но обратное неверно. J. Sedladek [66, 11А250; 30#3468].
26.	Если после удаления из G не более р любых вершин остается гамильто-
ново связный граф (см. упражнение 126), то £ (С) обладает тем же свойством,
но с р + 1 в роли р. Р.Т. Zamfirecu // Rend. Semin, mat. Univ. Padova,
46(1971/1972), 385-389 [72, 9В335].
Глава 2. Связность
145
27.	Из двух взаимно дополнительных графов с числом вершин п>5 по
крайней мере один связен и обладает гамильтоновым графом смежности ребер.
L. Nebesky// Comment, math. Univ, carol., 14 (1973), № 1, 107-111 [73, 9В380].
28.	3-однородный граф G гамильтонов тогда и только тогда, когда в L (G)
есть по крайней мере два гамильтоновых цикла без общих ребер. Р. Martin //
Aequat. math., 14(1976), № 1-2, 37-40 [76, 12В611].
29.	Если п (G) > 4, т (G) * 0 и 5 (х) = s (у) > j ((7) для каждого ребра ху графа (7,
то L (G) гамильтонов. R.A. Brualdi, R.F. Shanny // JGrTh, 5 (1981), № 3, 307—314
[82, 2В663]; усиление: В.А. Самодивкин // Годишн. ВУЗ. Прилож. мат.,
19(1983/84), № 2, 163-170 [86, 2В739]. См. также: Zhao Lian-chang, Liu
Chun-feng, Wang Hong // Acta math. appl. sin., 9 (1986), № 1, 17-20 [86, 8В789].
30.	Если граф G-(У, U) связен и Уху €	(*)+•*(у)>2[fl/2J}, то L(G) га-
мильтонов; неравенство ослабить нельзя. L. Clark // JGrTh, 8(1984), № 2,
303-307 [84, 12В742].
31.	Если G-(X, t/), л = м(6)>5и Уху £/{5(х)+5(у)>л}, то любая пара раз-
личных вершин соединена простыми цепями всевозможных длин / = 4, 5, ...,
л-1. Cai Xiao-tao // JGrTh, 8(1984), № 1^ 109-110 [84, 10В486].
32.	В самодополнительном графе (G-G) с п > 8 есть простые циклы любой
длины / = 3, ..., л-2, а если такой граф гамильтонов, то он панцикличен.
S.B. Rao // JCTh, В22 (1977), № 1, 1-9 [77, 8В497; 56#5357].
33.	При условии упражнения 12в) на степени вершин граф G — панцикли-
ческий или двудольный. E.F. Schmeichel, S.L. Hakimi // JCTh, В17 (1974), № 1,
22—34 [75, 2В497]. Другие обобщения: G.A. Dirac // Math. Ann., 206 (1973), № 2,
139-147 [74, 2B469]; E.F. Schmeichel, S.L. Hakimi [88, 12В615].
34.	Граф L(Kpq) панцикличен, кроме случая p-q-2. В. Varma [88,
5В664].
35.	Пусть граф G (не предполагаемый конечным) содержит хотя бы одну
простую цепь Zr конечной длины и концы всякой такой цепи смежны. Тогда G
изоморфен либо Fn с п>г, либо Сг, либо К р q с р, q>r/2 (и в этом случае п чет-
но). G.A. Dirac, С. Thomassen // Math. Ann., 203 (1973), № 1, 65-75 [73, 9В368].
§2.2. БЛОКИ
Вершина х графа G называется шарни-
ром, если граф G \ х содержит больше ком-
понент, чем G: x(G\x)>x(G). Так, для гра-
фа рис. 2.2.1 вершины 3 и 7 — шарниры,
а вершины 1, 2, 4, 5, 6, 8 и 9 — нет (при уда-
лении последней число компонент даже
Рис. 2.2.1
146
Основы теории графов
уменьшается). Шарнир можно определить и как вершину х, облада-
ющую свойством: в G существуют две соединимые вершины у и г,
отличные от х и такие, что всякая связывающая их цепь неизбежно
проходит через х; равносильность обоих определений доказывается
без труда (упражнение 1).
ТЕОРЕМА 2.2.1. Граф G с n(G)>2 содержит по крайней мере две
вершины, не являющиеся шарнирами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без нарушения общности можно считать,
что данный граф G связен и т (G) >1. Выберем в G простую цепь
/>' \	2=X0M1X]... Х/^ЩХ/
~и1	__...__и'	наибольшей длины / (очевидно,
''---------------'	^0- Концевые вершины х0, х/
'	g	'	этой цепи и являются искомы-
ми: если бы, например, граф
Рис.2.2.2	G\X[ обладал более чем одной
компонентой (рис. 2.2.2), то в G
вершина х/ была бы смежна с некоторой вершиной у, не принадле-
жащей той компоненте графа G\x[, которая содержит х0. Но тогда
цепь
XqU]X[ ... X/_]U/Xj Х/у у
в графе G была бы простой и обладала длиной 1+1, что невозможно.
Различные обобщения этой теоремы см. в упражнениях 10 и 11,
а также в работе А.В. Лакеева и С.Б. Кауля [79, 2В502].
Ребро и графа G называется перешейком, если G\w содержит
больше компонент, чем G. Например, у графа рис. 2.2.1 два пере-
шейка: 37 и 78. Легко показать, что данное определение равно-
сильно каждому из двух следующих: а) и не принадлежит никако-
му циклу графа G, б) в G есть такие две вершины х и у, что вся-
кая соединяющая их цепь содержит и (упражнение 5). В противо-
положность перешейку ребро, принадлежащее хотя бы одному
циклу, будем называть цикловым.
Связный граф без шарниров называется блоком. В частности,
блоками являются все клики Fn (и при только они), простые
циклы и вообще гамильтоновы графы.
Глава 2. Связность
147
ТЕОРЕМА 2.2.2. Следующие два свойств графа Gравносильны:
(а) для любых вершин х, у (не обязательно различных) в G най-
дется содержащий их простой цикл;
(б) G — блок и n(G)>3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (а) => (б). Из условия (а) непосредственно
следует связность графа G, а также наличие в нем хотя бы одного
простого цикла (ибо можно взять х=у), откуда n(G)>3. Осталось
показать, что в G нет шарниров, т. е. что удаление из G любой вер-
шины z не нарушает соединимости никаких двух других вершин х
и у. Но это очевидно: из элементов простого цикла, проходящего
через хну, можно составить две простые цепи, соединяющие эти
вершины и не имеющие других общих вершин, а удаление z из G
способно разрушить не более одной из этих цепей.
(б) => (а). Пусть G = (X, U) — блок и и((7)>3, а х, уеХ — ка-
кие-то вершины G. Если xye.U, то ребро ху не может быть пере-
шейком графа G: иначе в силу n(G)>3 по крайней мере одна из
вершин х, у была бы шарниром. А раз ху — цикловое ребро, то
среди содержащих его циклов найдется простой (см. третье утверж-
дение леммы 2.1.1). В случае х=у достаточно взять какое-нибудь
ребро, инцидентное этой вершине, и провести через него простой
цикл. Относительную трудность представляет оставшийся случай,
когда хФу & xytU.
Обозначим через Хо множество вершин z, обладающих свой-
ством: в G существует простой цикл, содержащий х и z, — и пред-
положим, что у&Х0 (иначе больше нечего доказывать). На каж-
дой простой цепи Q, идущей из х в у, отметим последнюю (считая
от х) вершину Iq множества Xq. Все эти Iq не могут совпадать,
иначе единая вершина z была бы шарниром графа G (читателю
предоставляется обратить особое внимание на случай t=x). Поэто-
му среди цепей Q найдутся две, Q'=xuiX\  .xp^upt'up+ixp+i ...у и
2"=хУ]У1... yq-\Vqt"vq+\yq+i ...у, для которых соответствующие
вершины t'=tQ' и t"=tQ" различны.
Маршрут l'up+\xp+i ...у ...yq+}v(l+it" по лемме 2.1.1 содержит
простую цепь, соединяющую t' с Z", и длина этой цепи не меньше 2
(почему?), так что на ней есть вершина Iq, отличная от t' и г". Но,
как мы сейчас покажем, вывод о существований такой z0 влечет
противоречие; тем самым доказательство теоремы будет завершено.
148
Основы теории графов
С одной стороны, Iq й Хо, ибо какой бы из цепей Q', Q" (или обе-
им сразу) ни принадлежала t0, она расположена на этой цепи даль-
ше (считая от х) самой далекой вершины множества Хц . С другой
стороны, Iq g Xq ; чтобы это показать, достаточно построить с ис-
пользованием вершин только из Хо две простые цепи, соединяю-
щие х соответственно с t' и t" и не имеющие общих вершин поми-
мо х. Образовать такие цепи можно следующим образом.
Так как ('еУд, то существует простой цикл С, содержащий
вершины х и Г; все вершины этого цикла принадлежат множеству
Х$ (в силу определения последнего); из элементов С составим две
простые цепи Q\ и Qi, соединяющие х с t' и не имеющие других об-
щих вершин. Аналогичная пара цепей
существует и для вершины г"; из них
выберем ту цепь Qy, которая не содер-
жит а на 03 возьмем последнюю
(считая от х) вершину х0, принадлежа-
щую циклу С', и пусть, например,
хое02. Тогда за одну из искомых це-
пей (из х в Г) можно взять 01, а другую
(из х в t”) скомбинировать из отрезка
цепи 02 от х до xq и отрезка цепи 0з
от х0 до t" (рис. 2.2.3).
Рис. 2.2.3
ТЕОРЕМА 2.2.3 (L. Lovdsz // JCTh, В19(1975), № 3, 269-271
[76, 7В402; 53#211]). Пусть G = (X, U) — блок, отличный от клики
и от простого цикла. Тогда в G существует пара различных вершин
а, Ь, обладающая следующими свойствами:
1)	ab£U;
2)	3ceX(a~ceU&FceU);
3)	подграф G\{a, b} связен.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть z — вершина наибольшей степени
s=s(G, z)=s(G) в G. Из условий теоремы следует, что 5>3 и что сре-
ди смежных с z вершин найдутся две, а и Ь, не смежные друг с дру-
гом. Если подграф G \ {а, 6} связен, то эти вершины и составляют ис-
комую пару; в противном случае пусть G’, G",... — компоненты гра-
фа G \ {а, Ь}, причем вершина z находится в G'.
В силу s(G, s)>3 компонента G' содержит вершину у, отличную
от z. Эта у соединена по крайней мере с одной из вершин а, b цепью,
Глава 2. Связность
149
Рис. 2.2.4
не проходящей через z (иначе вершина z
была бы шарниром графа G); выделим из
этой цепи простую (по лемме 2.1.1), и пусть
она идет, например, из у в а, причем а' — ее
предпоследняя вершина (рис. 2.2.4). В дру-
гой компоненте G" возьмем любую верши-
ну Ь', смежную с а в G, и покажем, что пара
а', Ь' — искомая.
Свойство 1) выполняется потому, что в случае a'b'eU подгра-
фы G' и G" не были бы разными компонентами графа G\{a, b}.
Свойство 2) тривиально: роль с здесь играет вершина а.
Свойство 3). После удаления а' и из (7 любая вершина подгра-
фа G' остается соединимой в нем с z (иначе а' — шарнир G), а значит,
соединимой в графе G с а и с Ь; далее, любая вершина подграфа G"
(если в нем вообще были вершины помимо Ь1) остается соединимой
в нем с а или с b (иначе Ь' — шарнир G), т. е. соединимой в G с а (и с
Ь); наконец, соединимость любых вершин подграфов G"', ... (если
такие есть) с а (и с Ь) сохраняется. Теорема доказана.
Под блоком графа G понимается не любой его подграф G', удов-
летворяющий (если рассматривать его отдельно от G) определению
блока, а лишь максимальный по включению множеств вершин.
Иначе говоря, блок графа G — это его связный подграф G', не имею-
щий своих шарниров и не являющийся строгим подграфом никако-
го подграфа с теми же двумя свойствами в G. Подчеркнем, что G' не
должен содержать именно своих шарниров, но в нем могут быть
вершины, являющиеся шарнирами для всего G. Так, блоками графа
на рис. 2.2.1 служат подграфы, порожденные множествами вершин
{1, 2, 3, 4}, {3, 7}, {5, 6, 7}, {7, 8} и {9}.
ТЕОРЕМА 2.2.4. Два блока графа могут иметь не более одной
общей вершины, и такая вершина необходимо является шарниром гра-
фа. Два шарнира могут входить не более чем в один общий блок.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, вопреки первому утверждению те-
оремы, в графе G = (X, U) два блока G| = (Ху, Uy) и G2 =(Х2, ^г)>
* Xj, имеют по меньшей мере две общих вершины. Ввиду свойст-
ва максимальности в определении блока графа, не может быть ни
Xy<zX2, ни X2czXy; поэтому подграф G', порожденный множест-
вом вершин XiU^, содержит как Gy, так и G2 в качестве строгих
150
Основы теории графов
подграфов. В то же время G' не имеет своих шарниров, т. е. остается
связным после удаления из Ху1)Х2 любой вершины у: при
уе Х\ \ Х% или у 6 Х^ \ A'i это следует из того, что (7|, соответствен-
но G^, — блок графа G, а при у&Х^ ClX2 — из того же и из допуще-
ния l^i ПУ2|>2. Но это противоречит максимальности подграфов
(7] и G2 относительно свойства не иметь своих шарниров.
Второе утверждение теоремы непосредственно следует из пер-
вого.
ТЕОРЕМА 2.2.5. Пусть S={G$, G|, ..., Gp_\, Gp =Gq} — некото-
рая система из р >2 различных блоков графа G = (X, U), обладающая
тем свойством, что для любого i=0, 1, ..., р-1 блоки G, и Gi+\ име-
ют общую вершину. Тогда общая вершина — одна и та же для всех
блоков системы S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим общую вершину блоков Gt и
(7|+1 через Xi (г = 0, 1, ..., р-1; хр=хц) и допустим вопреки утверж-
дению теоремы, что не все вершины xq, х,, ..., хр_\ совпадают, на-
пример х0 *xj. В каждом из блоков G, при » = 1, 2, ..., р-1 соеди-
ним цепью вершину х, с x1+i (в случае х,- =xl+i можно взять в G,
цепь нулевой длины). Сочленяя
последовательно эти р-1 цепей,
получим в G цепь Q, соединяю-
щую Xj с х0 (рис. 2.2.5) и имею-
щую по крайней мере одну вер-
шину вне блока Gq, поскольку
ни у какого другого блока не
может быть с ним двух общих
вершин (теорема 2.2.4). Объеди-
Рис. 2.2.5
нение множеств вершин блока Gq и цепи Q порождает в G под-
граф, очевидно, связный и не имеющий своих шарниров, но в то
же время содержащий в качестве строгого подграфа блок Gq во-
преки максимальному свойству последнего. Теорема доказана.
Пусть z — вершина графа G = (X, U), a Gt =(Хt, U,) — та его ком-
понента, которая содержит t, и пусть(7^ =(УР> С7^)> •••> G^ =
= (Xjs\ — компоненты подграфа Gt \ t (если вершина I не явля-
ется шарниром графа Gt, то 5 = 1, а если Xz={z}, то считаем 5=0).
Подграфы графа Gt, порожденные подмножествами Х^ UW, ...,
его вершин, называются t-блоками исходного графа G.
Глава 2. Связность
151
Z-блок не обязательно является блоком, поскольку может содер-
жать шарниры графа G, отличные от t, и, в свою очередь, состоять
из нескольких блоков. Так, 3-блоками графа рис. 2.2.1 служат под-
графы с множествами вершин {1, 2, 3, 4} и {3, 5, 6, 7, 8}, причем вто-
рой из них не блок; одновершинный подграф ({9}, 0) не является
/-блоком ни для какой вершины t.
ЛЕММА 2.2.6. Если G\, G2. .... Gq — все блоки графа G, то хро-
матическое число у (G)=max{y (<70, у((72), ..., f(Gq)}.
Утверждение очевидно: раскрасим правильно наименьшим чис-
лом цветов каждый блок G, по отдельности, после чего переимену-
ем цвета в блоках так, чтобы вершины разных блоков, совпадаю-
щие в G, оказались окрашенными одинаково — это возможно благо-
даря теоремам 2.2.4 и 2.2.5. Строго оформить доказательство (на-
пример, индукцией по q) предложим читателю.
В качестве эффектного приложения теоремы 2.2.3 и леммы 2.2.6
приведем краткое доказательство классической теоремы Брукса,
найденное Ловасом (см. теорему 2.2.7).
Раскрасить правильно все вершины графа G не более чем s (G) +1
цветами труда не составляет: расположим вершины G в последова-
тельность X], х2, . ., хп, окрасим X] цветом 1, и если вершины X], ...,
х, (z<n) уже окрашены цветами из множества {1, 2, ..., i(G),
s(G) + l}, то для окраски вершины xI+i используем любой (напри-
мер, с наименьшим номером) цвет из этого множества, отсутствую-
щий в смежных с ней вершинах; такой цвет всегда есть, поскольку
s(G, xi+\)<s(G). Эта процедура проста тем, что не требует перекра-
ски вершин, уже получивших цвет, а соответствующая оценка
у (£)<$((/)+ 1 хроматического числа графа через его степень (также
вытекающая непосредственно из результата упражнения 13' к § 1.9)
точна, так как достигается на кликах. Однако после наложения на
граф G несущественных ограничений (и в результате существенных
усилий) R.L. Brooks (Proc. Cambrige Philos. Soc., 37 (1941), 194—197
[MR6p281]) сумел снизить ее на единицу. Впоследствии доказатель-
ство несколько раз упрощалось (см. упражнения 226, 23 и обзор по
теореме Брукса [УС]), а краткость излагаемого ниже варианта обу-
словлена тем, что значительная часть трудностей уже преодолена в
теореме 2.2.3 (имеющей и самостоятельный интерес).
152
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.2.7 (Брукса). Пусть s=i(G)>2 и граф G = (X, U) не
содержит компонент вида Fs+\, а при s=2 также простых циклов
нечетной длины. Тогда y(G)<s.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду того, что условиям теоремы удов-
летворяет вместе с графом и каждый его блок, и в силу леммы 2.2.6
можно без нарушения общности считать сам G блоком. Если G —
простой цикл четной длины, то у (G) = j (G)=2 и теорема доказана; в
противном случае для графа G выполнены все условия теоремы
2.2.3, значит в нем есть три различные вершины а, Ь, с такие, что ас,
FceU, abtU и подграф G\{a, b} связен.
Вершины этого подграфа можно расположить в последователь-
ность xj =с, х2, •••> хл-2 (и=л(Сг)) таким образом, чтобы каждая
следующая была смежна хотя бы с одной из предыдущих (почему?).
Окрасим теперь вершины а и b графа G цветом 1, а остальные вер-
шины будем окрашивать в порядке х„_2, х„_3, ..., х2, хь используя
для каждой тот из цветов 1,2, ..., который отсутствует в смежных с
ней вершинах; хотя бы один такой цвет всегда найдется, поскольку
степень любой вершины не превосходит 5, каждая из вершин хп_2,
х„_3, ..., х2 в момент ее окраски имеет еще не окрашенную смежную
(с меньшим индексом), а на две вершины а и b из числа смежных с
X] =с израсходован всего один цвет.
Описанная процедура не только доказывает теорему, но и дает
для графа G, удовлетворяющего ее условиям, эффективный способ
правильной раскраски вершин не более чем i (G) цветами. К сожале-
нию, до нахождения у (G) здесь еще далеко, ибо у многих графов это
число может оказаться значительно меньше j(G). Для более точной
оценки хроматического числа надо привлекать и другие инвариан-
ты графа G (см., например, упражнения 24, 28—33, а также некото-
рые упражнения к предыдущим параграфам). Большую таблицу, со-
держащую известные оценки и ряд новых, приводят F. Droesbeke,
A. De Frenne [79, 2В521; 80k#0507b]. См. также: A. Beutelspacher,
P.-R. Hering// ARS Combinatoria, 18 (1984), 201-216 [85,12В567].
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что два определения шарнира в начале параграфа равносиль-
ны друг другу, а при дополнительном требовании связности графа G также
равносильны следующему: вершина х — шарнир связного графа G, если множе-
Глава 2. Связность
153
ство вершин его подграфа G\x можно разбить на два класса так, чтобы всякая
цепь, соединяющая в G вершины разных классов, проходила через х.
2.	Доказать, что шарнир графа не может быть шарниром его дополнения.
3.	Доказать, что 3-однородный граф имеет шарнир тогда и только тогда,
когда в нем есть перешеек.
4.	Доказать, что если вершина х степени 5(6, х)=2к в графе G не является
шарниром, то существуют к простых циклов, проходящих через х и таких, что
никакие два из них не могут иметь более одной общей вершины, отличной от х.
G.A. Dirac (см. упражнение 5 к §2.1).
5.	Доказать, что три определения перешейка, данные в тексте, равносиль-
ны друг другу, а для связных графов — также следующему: ребро и — перешеек
связного графа 6, если множество вершин этого графа можно так разбить на
два класса, чтобы каждая цепь, соединяющая вершины разных классов, содер-
жала и.
6.	Существуют ли блоки: без гамильтоновых циклов? без гамильтоновых
цепей?
Указание: использовать граф Петерсена.
7.	Выяснить, какие из следующих условий характеризуют блок, а какие яв-
ляются только необходимыми или только достаточными:
а)	для любых трех различных вершин х, у, z существует простая цепь из х в
у, проходящая через z;
б)	для любых трех различных вершин х, у, z существует простая цепь из х в
у, не проходящая через z;
в)	для любых вершин х, у и любого ребра и существует простая цепь из х в
у, содержащая и\
г)	для любых вершин х, у и любого ребра и существует простая цепь из х в
у, не содержащая м;
д)	для любой вершины и любого ребра существует содержащий их простой
цикл;
е)	для любых двух ребер существует содержащий их простой цикл.
8.	Пусть , 02, • ••» ар ~ все шарниры, a 6j, 62, •,	~ все блоки графа 6,
причем шарнир а, содержится ровно в gi блоках (/ = 1, 2, ..., р), а блок Gj содер-
р
жит ровношарниров (/ = 1, 2,..., q) графа G. Доказать, что q (6)+
,=1
(F. Нагагу // Amer. Math. Monthly, 66 (1959), № 5,405-407 [60, 7, 7344; 21 #2986])
и р =х (G)+ £(lj-1) (Т. Gallai// МТ, 9 (1964), № 1-2,235-236 [66, ЗА279]).
7=1
Указание: в обоих случаях можно применить индукцию по числу
q-x(G).
9.	В л-вершинном графе с т ребрами наибольшие количества шарниров и
f	( 2_ А 1
перешейков оба равны min «4 q!q <л-3 & т < л я + q >. A. Ramachandra Rao И
154
Основы теории графов
8+к<п<
Israel J. Math., 6(1968), № 3, 261—268 [69, 5В300]; описаны экстремальные гра-
фы. Наибольшее число f (л, s) шарниров л-вершинного ^-однородного графа
исследуют К. Nirmala, A. Ramachandra Rao (Cah. Cent. dtud. rech. орёг.,
17(1975), № 2-4, 295-299 [76, 5B559]). J. Akiyama, K. Ando, H. Mizuno
[84, 4B499; 83m#05088] изучают связные графы co связным дополнением, обла-
дающие заданными количествами шарниров и висячих (степени 1) вершин.
10.	Если G — блок и s (G)> 3, то существует не менее четырех вершин х та-
ких, что G\x тоже блок. П.Н. Сырбу, Д.Д. Лозовану (Кишиневский семинар,
май 1978 г.).
11.	Всякий блок (7= (А\ U) с л((7)>4 обладает по крайней мере одним из
двух свойств:
а)	существует такое ребро xyeU, что G\x и G\y — блоки;
б)	существует пара несмежных вершин степени 2.
L. Nebesky// Casop. pest, mat., 100 (1975), № 2, 116-117 [75, 10B285; 55#2653].
12.	В л-вершинном блоке неплотности 8 с длиной наибольшего простого
цикла 7: л = 3 при 7 = 3; л = 1 при 7 > max {2с, 4}; в остальном
с(к-1)+2 при 7=2£,
8(к-1)+3 при 7=2£+1.
Н.Г. Винниченко // Тезисы докл. IV Всес. конф, по проблемам кибернетики.
Новосибирск, 1977.
13.	В л-вершинном блоке неплотности с >2 есть простой цикл длины не ме-
нее 2(л+с-2)/с. J. Fournier [87, 5В718].
14.	В блоке (7 = (У, U) имеется простой цикл длины не менее min {s (х)+
+s(y)/x, y^X&xytU}, если только само это число не превосходит л(С).
N. Linial // DM, 15(1976), № 3, 297-300 [77, 1В476].
15.	В блоке G с л (G)< 3s (G)-2 через все вершины степени s проходит про-
стой цикл. В. Jackson // JGrTh, 19 (1995), № 2, 167-168 [96, 3B235] (обобщение
результата: H.J. Broersma, J. van der Heuvel, H.A. Jung, H.J. Veldman // JGrTh,
17 (1993), № 3, 373-385 [94h#05048]).
J.A. Bondy, R.C. Entringer (Canad. J. Math., 32 (1980), № 6, 1325-1332
[81, 8B659]) находят нижние и верхние оценки функций:
/ (л, s) — наибольшее такое к, что любой л-вершинный блок степени s со-
держит простой цикл длины >к\
g (л, s) — аналогичное число для s-однородных блоков.
16.	Пусть G = (У, 17)— блок с л = л((7)>3 и 3<с<л. Для существования в G
простого цикла длины не менее с достаточно выполнение хотя бы одного из
двух условий:
а)	из каждой пары несмежных различных вершин, имеющих общую смеж-
ную, по крайней мере одна обладает степенью >с/2;
б)	для любой такой же пары вершин, принадлежащих одному и тому же из
множеств Sj={z еХ/s(z)< j} (/=2, ..., л),
Глава 2. Связность
155
j<k&, j+к <с +1 &|Sj|> 1=>15л-1|<к-1.
Fan Geng-hua//JCTh, В37 (1984), № 3, 221-227 [85, 8В538]; Feng Tian // JCTh,
B45(1988), № 3, 373-375 [89, 6В491].
17.	В негамильтоновом блоке G без подграфов типа есть простой цикл
длины не менее 2 s (G)+4 (результат неулучшаем), при s>(n-2)/2 такой блок га-
мильтонов. М.М. Matheus, D.P. Sumner (см. упражнение 96 к §2.1).
18.	п-вершинный s-однородный блок с 3<n<3s гамильтонов. В. Jackson //
JCTh, В29(1980), № 1, 27-46 [81, 1В513]; J.A. Bondy, М. Kouider [88, 8В592];
Zhu Yong-Jin, Lin Zhen Hong, Yu Zheng Gang // JSSMS, 6(1986), № 1, 36-49
[86, 8B802] и № 2, 136-145 [86, 10В451].
19.	В и-вершинном s-однородном блоке с n<3s-l через каждое такое реб-
ро, удаление которого не нарушает связность графа, проходит гамильтонов
цикл. Li Hao // DM, 82(1990), № 1, 25-34 [91, 5В411].
19'. A. Ainouche, I. Schiermeyer (JGrTh, 20 (1995), № 2, 123-135 [96, 6B250])
выражают критерий гамильтоновости блока G = (X, U) в терминах количеств
|{х еХ\Е}|, где Е — груды, имеющие с окружением О (G, х) ровно по одной об-
щей вершине.
20.	Пусть для графа G высказывание Э означает существование эйлерова
цикла (см. упражнение 1 к § 2.1), а Г — существование гамильтонова цикла. По-
строить примеры 8-вершиш4ых блоков G_ таких, что
а) Э & Г, б) Э & Г, в) Э& Г, г) Э& Г.
21.	Доказать, что всякий негамильтонов блок содержит такую часть (назы-
ваемую тэта-графом), которая сама по себе является блоком и в которой ров-
но две несмежные вершины имеют степень 3, а все остальные вершины — сте-
пень 2. Верно ли, что граф, обладающий подграфом такого типа, не может
быть гамильтоновым? Книга Харари.
22.	Блок G = (X, U) называется реберно критическим, если для любого и е U
суграф G\u уже не блок.
22.1.	Доказать, что блок является реберно критическим тогда и только тог-
да, когда в нем нет ни одной диагонали — ребра, соединяющего две вершины
простого цикла, но не принадлежащего ему. G.A. Dirac // J. reine und angew.
Math., 288(1967), 204-216 [68, 11B275; 36#70].
22.2.	Установить следующие свойства реберно критических блоков G с
л(С)>4:
а)	Ф(6)<2;
б)	n(G)<m(G)<2n(G)-4;
в)	если сам G не цикл, то после удаления из него всех вершин х степени
s(G, х)=2 остается несвязный граф. D.M. Plummer // TAMS, 134(1968), № 1,
85-94 [71, 9В385; 37#70].
22.3.	Доказать, что если G=(X, U) — реберно критический блок, то
m(G)<2n(G) — min{s(x)+s(y)/xj'
Л.А. Золотаревская (Кишиневский семинар, май 1980 г.). См. также:
М. GrOtschel // JGrTh, 3(1979), № 3, 213-219 [80, ЗВ639].
156
Основы теории графов
22.4.	Доказать, что в л-вершинном блоке с т ребрами длина наибольшего
простого цикла не меньше 2m/(т-л-2) и в случае реберной критичности блока
не превосходит 2л-т-1. Хоанг Минь Тяу (Кишиневский семинар, май 1981 г.).
22.5.	Вершинная гипотеза Улама (§1.10) справедлива для реберно критиче-
ских блоков. Н. Fleischer // ARS Combinatoria, 7 (1979), 223—254 [80, 4В356].
23.	Граф блоков В (G) для графа G определяется следующим образом: вер-
шинами служат блоки G, и две различные вершины смежны тогда и только тог-
да, когда они как блоки G имеют общую вершину. Граф шарниров С (G) имеет
своими вершинами шарниры графа G, а смежность означает принадлежность
одному и тому же блоку в G. Доказать теоремы:
а)	граф М есть граф блоков (т. е. существует такой G, что В (р)-М) в том и
только том случае, если у самого М все блоки представляют собой клики;
б)	если ни один блок графа G не является его компонентой (а почему бы не
сказать просто: «если G связен»?), то В (В (G)>C (G);
в)	М есть граф шарниров (т. е. С для некоторого G) в том и только
том случае, если все блоки самого М — клики. F. Нагагу // Canad. Math. Bull,
6(1963), № 1, 1-6 [64, 1А328]; книга Харари.
24.	Числом Визинга—Вилъфа—Секереша графа G = (X, U) называется инва-
риант
w (G)= max min s (G', x),
JTgJr xeA"
гдеС' = (Л", C/r) ~ подграф в G, порожденный подмножеством X' вершин. Граф
G называется к-вырожденным9 если wfp)<k9 т. е. всякий G' имеет вершину х
степени s(p', х)<к. Доказать, что
а)	если w(p)<k, то y(G)<£;
б)	если в произвольном графе G степени s, удовлетворяющем условию тео-
ремы 2.2.3, отождествить те две вершины а и Ь, существование которых уста-
навливается теоремой, то получим ^-вырожденный граф. Основываясь на этих
результатах, дать еще одно доказательство теоремы Брукса. О.В. Бородин [77,
7В556; 58Я16359].
25.	Среди доказательств теоремы Брукса, предшествующих изложенному в
тексте, заслуживает внимания доказательство Л.С. Мельникова и В.Г. Визинга,
удачно использующее свойства критических графов и метод перекрестки дву-
цветных цепей; предлагаем читателю воспроизвести его по схеме, приведенной
в реферате РЖМ [70, 8В262].
26.	Показать, что существование пары «соцветных» вершин (см. § 1.9) в
связном графе, впервые доказанное А.П. Ершовым и Г.И. Кожухиным (ДАН
СССР, 142 (1962), № 2, 270—273 [62, 9А167]), можно получить проще из теоремы
Брукса. Г.А. Дирак (устное сообщение, 1963).
27.	Связный неполный граф G, не изоморфный С2к+\ с к>2, обладает та-
кой правильной раскраской в s(G) цветов, при которой в каждом наиболь-
шем подграфе типа ^(G) все вершины — одинакового цвета. Р.А. Catlin
Глава 2. Связность
157
(см. J. Mitchem // DM, 21 (1973), № 2, 213-214 [78, 10В700]);далее JCTh, В27
(1979), № 1, 42-48, [80к#05054].
28.	Пусть целое t >4 таково, что в графе G вершины степени более t попар-
но несмежны, а плотность подграфа, порожденного остальными вершинами, не
превышает г-1. Тогда y(G)<r. С. Berge [62, 10А199]; книга Зыкова.
29.	а) Если ф(С)<2, то y(G)< ^5(G)+| .
б)	Если G — связный граф, отличный от простого цикла нечетной длины, а
5=i(G)>2 и fc = max{3, ф(С)}, то у (G)<5-|j^|J • O.V. Borodin, A.V. Kostoch-
ka // JCTh, B23 (1977), № 2-3, 247-250 [78, 7B802; 57#9584].
в)	Если для некоторого к > 3 граф G не содержит подграфов типа £2»то
y(G)<~j (s(G)+3); если в G нет также подграфов типа Сд, то /@r)<|s(iG)+2.
Р.A. Catlin // DM, 24(1978), № 1, 1-6 [79, 6В600].
30.	Наибольшее возможное хроматическое число у (у, ф) графа степени s и
плотности ф обладает свойствами:
Г (?! + $2 + 1, ф)<г(51, <Р)+Г^2> Ч>У< rO. ?>)<$+
J. Lawrence // DM, 21 (1978), № 1, 61-68 [78, 7В808].
31.	Пусть (G), ф=ф (G). Для того чтобы было у (G)<5-1, достаточно вы-
полнения любого из четырех следующих условий:
а)	5>6, ф<5 и G не содержит подграфов ни одного из трех видов, показан-
ных на рис. 2.2.6 (М. Dhurandhar // DM, 42 (1982), № 1, 51-56 [83,4В608]);
б)	v<3|_^lJ-2&$>10,
в) Ф<5-3&5>31,
г) »><2[_ij1J + l (Н.Н. Можан [84, 7В457Деп, 472; 35f#O5O56]).
32. Количество i>5(G)=|{5(g, x)IxgX}\ различных числовых значений ком-
понент вектора s(G) называется степенной вариацией графа G=(Y, (7); пусть
fi>(G)=[u5(G)/2J. Справедлива точная оценка у (G) <л(G)-o> (G), а если
ф(С)<л(С)+ш(С)-1, то даже
y(G)<n(G)-tt>^)-l.
6.А. Dirac // WZ, 13(1964), № 1, 59-63 [65, 3A375; 29#6482].
158
Основы теории графов
32'. Граф G называется монотонным, если его матрица смежностей
Л ЩвуНп при некоторой нумерации вершин обладает свойством:
Vi, j, к е{1, 2, ..., п} (а» = 1 & j*к =>	= 1).
Наибольшее значение vs(G) при заданных n = n(G) и	достигается на
одном из двух таких графов. Т. Snijders [82, ЗВ563].
§ 2.3. ДЕРЕВЬЯ
Инвариант
X(G)=m(G)-n(G)+z(G)
(z — количество компонент) называется цикломатическим числом
графа G. Подробно изучаться этот инвариант будет позже — для ко-
нечных неориентированных графов общего вида, которые отлича-
ются от обыкновенных тем, что могут иметь петли и параллельные
ребра (см. введение); небольшой же экскурс в область таких графов
до их формального определения (§ 2.7) не приведет к недоразумени-
ям (смысл всех величин, фигурирующих в определении Л (G), а так-
же формулировка и доказательство последующих двух лемм ясны и
на «описательном» уровне), зато позволит избежать повторений в
дальнейшем. Заметим лишь, что в неориентированном конечном
графе, не являющемся обыкновенным, всегда есть циклы: если и —
петля при вершине х, то хих — цикл длины 1, а если ребра u*v сое-
диняют одну и ту же пару вершин х*у, то хиуих — цикл длины 2
(оба цикла простые). Как и прежде, через G \ и обозначаем суграф,
полученный из графа G удалением ребра и (без удаления вершин).
ЛЕММА 2.3.1.
z (G), если и — цикловое ребро
z (G\ и) = •	(в частности, петля) в G',
z (G) +1, если и — перешеек в G;
[Л (G) -1, если и — цикловое ребро в G;
Л (G \ и) = 4
I Л (G), если и — перешеек в G.
Глава 2. Связность
159
Утверждение для х непосредственно следует из определений цикло-
вого ребра и перешейка (§ 2.2) и из очевидных соотношений
n(G\u) = n(G), m(G\u) = m(G)-l,
а для Л — из предыдущего в силу определения цикломатического
числа.
ЛЕММА 2.3.2. Я((7)>0, причем равенство имеет место в том и
только том случае, если граф G не содержит циклов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим сначала, что в G нет циклов.
Тогда последовательное удаление всех ребер (если они есть), не ме-
няя цикломатического числа по лемме 2.3.1, превратит граф в безре-
берный Еп, для которого т = 0 и x = n=n(G), т. е. Я = 0. Поэтому и
A(G)=0.
Теперь предположим, что в G есть циклы и, значит, по крайней
мере одно цикловое ребро; удалив его, мы согласно лемме 2.3.1 сни-
зим на 1 цикломатическое число. Если в оставшемся суграфе еще
есть циклы, то опять удалим из него какое-нибудь цикловое ребро и
т. д. В конце концов придем к графу без циклов, цикломатическое
число которого меньше Я (С) и, как показано выше, равно нулю;
следовательно, Я(С)>0.
СЛЕДСТВИЕ. Если Л((7)>0, то всякий суграф, полученный из G
удалением менее Л (С) ребер, содержит циклы.
Связный граф без циклов называется деревом и часто вместо G
обозначается буквой Г; как следует из замечания в начале парагра-
фа, дерево есть обыкновенный граф. Примеры деревьев можно уви-
деть ниже на рис. 2.3.1 и 2.3.2.
ТЕОРЕМА 2.3.3. Дерево Т-(Х, U) обладает следующими свой-
ствами:
(1)	*(П=1;
(2)	Я(Т)=0;
(2') каждое ребро в Т — перешеек*,
(3)	/и(Т) = л(Т)-1;
(4)	для любых вершин х, у е X может существовать не более од-
ной цепи из х в у (и такая цепь необходимо простая)',
(5)	для любого ребра ueU суграф Т\и несвязен’,
160
Основы теории графов
(6)	соединение любых вершин х, у еХ новым ребром приводит к
появлению цикла (содержащего это ребро) \
(7)	у(Т)=2 при п(Т)>2;
(8)	вершина хе! является шарниром тогда и только тогда, ког-
да ее степень з(Т, х)>1;
(9)	если п (Т) > 2, то в Т есть по крайней мере две висячие вершины.
(Напомним, что в любом обыкновенном графе висячей называется
вершина степени 1.)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) выражает связность Т, а (2) ввиду
леммы 2.3.2 равносильно отсутствию циклов, перефразировка чего
есть (2'). (3) следует из (1), (2) и определения цикломатического
числа, а (5) и (6) — оттуда же с учетом обеих лемм. (7) вытекает из
теоремы 2.1.2 и из того, что при п (Т) >2 дерево Т в силу (3) содер-
жит хотя бы одно ребро. (8) проверяется непосредственно с учетом
отсутствия в Т циклов, а (9) следует из (8) благодаря теореме 2.2.1.
Осталось доказать (4).
Предположим противное, что из некоторой х в некоторую у ве-
дут две разные цепи Qj и Q2, и пусть z — последняя (считая от х) вер-
шина, до которой начальные отрезки обеих цепей совпадают, а
ut=zt^ и и2 = zt2 — следующие (уже разные) ребра этих цепей; в слу-
чае z -у считаем, что цепь Q2 оканчивается в z, а ребро м2 отсутст-
вует. Ребро U] всегда налицо, поскольку 01 *2г-
В суграфе Т\щ вершины z и Z| соединимы, так как из Z] в у ведет
отрезок цепи Q}, а из у в z — отрезок обращенной цепи Q2. Но это
означает, что в дереве Т ребро щ цикловое, вопреки свойству (2').
Теорема доказана. По поводу свойства (6) заметим, что цикл,
возникающий от добавления нового ребра к дереву, в силу свойст-
ва (4) всегда будет простым и единственным (с точностью до выбо-
ра начальной вершины и направления обхода), а полученный граф
в случае х=у или xyeU уже не является обыкновенным.
ТЕОРЕМА 2.3.4. Каждая следующая пара свойств, установлен-
ных теоремой 2.3.3, характеризует дерево: (1)&(2), (1)&(3), (1))&(4),
(2)&(3), (2)&(6), (3)&(4), (3)&(5), (3)&(6), (4)&(6), (5)&(6).
Доказательство рекомендуем читателю как простое, но весьма
полезное упражнение. Критерий (1) & (4) можно выразить в следую-
щей форме:
Глава 2. Связность
161
ТЕОРЕМА 2.3.5. Конечный неориентированный граф является де-
ревом тогда и только тогда, когда для любых его вершин х, у сущест-
вует цепь из х в у, притом единственная (и поэтому простая); при
х=у это цепь нулевой длины.
Если все вершины дерева Т висячие, то 2т(Т) = п(Т), что вместе
со свойством (3) в теореме 2.3.3 приводит к выводу и (Г) = 2; отсюда,
из свойства (8) и тривиального утверждения, что циклы не могут
возникать от удаления вершин, вытекает
ТЕОРЕМА 2.3.6. Дерево Тс п(Т)>3 содержит как висячие, так и
невисячие вершины, и подграф, полученный из Т удалением висячих
вершин, снова является деревом.
Благодаря этой теореме, для деревьев эффективно решается
проблема изоморфизма. Во-первых, ни на каком этапе алгоритма
§ 1.7, основанного на конструкции Визинга и классификации вер-
шин, не возникает необходимость полного перебора, поскольку де-
рево более чем с двумя вершинами не может быть однородным гра-
фом. Во-вторых, известен еще более простой алгоритм Дж. Эдмонд-
са (см. книгу Р.Дж. Басакера и Т.Л. Саати [АЗ], упомянутую во вве-
дении), который мы изложим, поскольку он представляет и теорети-
ческий интерес.
Пусть Т = (Х, U) — дерево с и(Т)=|Аг|>3, а сХ — множество
всех его висячих вершин; припишем им первый уровень. Если под-
дерево Т\Х\ снова имеет не менее трех вершин, то его висячим вер-
шинам, составляющим множество Х^ сХ\Х\, припишем в Т вто-
рой уровень. И т. д. Пусть / — наименьшее, при котором множество
/-1
Xi=X\\J Х[ содержит менее трех вершин; эти вершины назовем
/=1
центрами дерева Т и припишем им /-й (высший) уровень. Y/^0
(почему?), и в случае |У/|=1 дерево Т называется центральным, в слу-
чае |Х/| =2 — бицентральным. При и(Т)<2 по определению все
вершины Т — центры и уровень / = 1.
Из определения уровней непосредственно следует, что всякая
вершина х уровня /, где 1</</, смежна ровно с одной вершиной бо-
лее высокого и по крайней мере с одной более низкого уровня (при
i=l верно только первое, при i = l — только второе) и что вершины
одинакового уровня смежны лишь в единственном случае, когда это
уровень /, а дерево бицентральное. Если х — произвольная вершина
162
Основы теории графов
уровня i в Т, где l<i</,aw — ребро, соединяющее ее с вершиной бо-
лее высокого уровня, то х-поддеревом дерева Т назовем ту из двух
компонент его суграфа Т\и, которой принадлежит х; этот же тер-
мин сохраним и в случае, когда х — один из центров бицентрально-
го дерева, а и — ребро, соединяющее оба центра. Наконец, если х —
единственный центр дерева Т, то х-поддеревом считаем само Т.
Сказанное выше обеспечивает результативность следующей проце-
дуры кортежирования, с помощью которой каждой вершине Т од-
нозначно относится кортеж — конечная последовательность нату-
ральных чисел (эти числа мы не разделяем запятыми и лишь под-
черкиваем снизу, когда они состоят из двух цифр).
1.	Всем вершинам первого уровня относим кортеж из одного
числа 1; при п (Г) <2 процесс на этом заканчиваем, а при й(Т)>3 пе-
реходим к п. 2 с i=2.
2.	Пусть все вершины уровней <i, где 1</</, уже кортежирова-
ны и пусть х — вершина f-го уровня, a х2, ..., хг — смежные с ней
вершины низших уровней, расположенные в такой последователь-
ности, что порядок отнесенных им кортежей
,-(1),(1)	,-(1)	(2)	(г) .(г)	,(г)
У2 -"4, ’ -Л 4 ••hi’ •••’ -Ч J2 "'Jkr
является словарным: одинаковые кортежи стоят рядом, а для раз-
ных кортежей	и у^...у^ неравенство p<q означает
Глава 2. Связность
163
существование такого к, 0<k<min{kp9 kq}, что	при t<k
и либо	(если ^=0» то Уже >7’1(’)), либо =j$v
но k+\=kq <кр)}. Отнесем вершине х кортеж
, + 1	,(1) ,-(2) ,-(2)	,-(2)	,-(г) (г)	-(г)
J2 "Jkx •'1 J2 '"Jk2 '•'I J2 "Jkr ’
где J = X>i(,)-
/=1
3.	Все сказанное в п. 2 проделаем для каждой вершины х уров-
ня i. После этого в случае i<l возвращаемся к началу п. 2, увеличив
значение / на 1, а в случае i=l процесс заканчиваем. Кортежи, отне-
сенные вершинам X i, называем центральными.
В примере рис. 2.3.1 дерево оказывается бицентральным, 1=5,
центральные кортежи — 87531111 и 1712541113113114321 (числа в
скобках — уровни вершин). Стянув ребро (5)(5), получим пример
центрального дерева, кортежирование которого приводит к преж-
ним значениям для вершин уровня /<4, а кортежем новоиспеченно-
го центра (5) будет 24125411131131175311114321.
Заметим, что приступая к кортежированию дерева, не обяза-
тельно заранее знать уровни его вершин — они выявляются в ходе
процесса.
ТЕОРЕМА 2.3.7. Для изоморфизма деревьев необходимо и доста-
точно, чтобы совпадали их центральные кортежи', последняя крат-
кая формулировка подразумевает, в частности, что оба дерева цент-
ральные или оба бицентральные, причем во втором случае пары их
центральных кортежей совпадают как неупорядоченные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Т^Т', то при любом изоморфизме
этих деревьев висячие вершины одного (У]) переходят в висячие
вершины другого (Х{), также соответствуют друг другу висячие вер-
шины поддеревьев Т\Х\ иТ'\Х{ и т.д., вследствие чего соответст-
венные вершины Т и Т' имеют одинаковый уровень и получают
одинаковые кортежи; в частности, совпадают (в указанном выше
смысле) центральные кортежи обоих деревьев.
1 Т. е. при сравнении кортежей разной длины недостающие числа в конце более ко-
роткого считаются нулями.
164
Основы теории графов
Обратное утверждение непосредственно следует из более обще-
го, которое мы и будем доказывать: если вершины хе.Х и х'еХ'
произвольных деревьев Т = (Х, U) и Т' = (Х', U') обладают одинако-
выми кортежами, то х-поддерево Тх дерева Т и х'-поддерево Тх' де-
рева Т', рассматриваемые как самостоятельные графы, изоморфны,
причем изоморфизм можно установить так, чтобы вершина х соот-
ветствовала вершине х'.
Из п. 2 описания процедуры кортежирования ясно (и легко до-
казывается -индукцией по числу i), что для любой вершины длина
отнесенного ей кортежа совпадает с его первым числом. Благодаря
этому по кортежу вершины х однозначно восстанавливаются корте-
жи вершин х1; х2, ..., хг, их количество г и порядок следования, а в
поддереве Тх это как раз все вершины, смежные с х; то же самое
справедливо для вершин xj, х2..х/, смежных с х' в поддереве Тх>.
Значит, если кортежи вершин х и х' одинаковы, то г =г' и при любом
Г-1, 2, ..., г кортежи для х, и х, совпадают; так как x^xh e.U и
x't~x't &U' при Г} ^t2, то соответствие х<-»х', х, <-»х'( (Z = l, 2, ..., г)
согласуется с отношением смежности в Т и Т'. Применяя к каждой
паре х,, x't невисячих вершин то же рассуждение, что и к паре х, х',
и т. д., мы в конце концов продолжим соответствие до требуемого
изоморфизма между поддеревьями Тх и Тх'.
Другой эффективный алгоритм для проверки изоморфизма дере-
вьев предлагает В.Н. Земляченко (Вопросы кибернетики. М., 1973,
54—60 [74, 1В379]). Процедуру порождения всех деревьев без повто-
рения изоморфных разработали R.W. Fry, V.K. Aatre [71, 4В402].
Справедливость вершинной гипотезы Улама (§1.10) для деревь-
ев впервые доказал P.J. Kelly (Pacif. J. Math., 7 (1957), № 1, 961—968
[58, 2, 1063; 19#442]). По проблеме восстановления для деревьев [УС]
получены даже более сильные результаты, чем просто справедли-
вость вершинной и реберной гипотез Улама. Например, как показа-
ли F. Harary, Е.М. Palmer (Canad. J. Math., 18 (1966), № 4, 803—810
[67, 3B222]), достаточно знать лишь все поддеревья, т. е. подграфы,
которые получаются из дерева удалением висячей вершины и поэто-
му связны. См. также упражнение 15.
Глава 2. Связность
165
Упражнения и дополнения
1.	Показать, что в классе всех деревьев вектор степеней не есть полный ин-
вариант; каково наименьшее число вершин у деревьев соответствующего
контрпримера?
2.	Доказать, что в дереве с п > 3 вершинами и степенью 5 число висячих вер-
n(j-2)+2
шин не превышает -Л—— и что если их ровно две, то дерево — простая цепь.
3.	Доказать, что (Zj, г2, • ••, с целыми >г2	>0 является обращен-
ным вектором степеней t (Г) какого-то дерева Т в том и только том случае,
п
если 5?f-=2Qi-l).
/=1
4.	Пусть вершины дерева Тс п(Г)>2 правильно раскрашены двумя цвета-
ми — красным и синим, причем красных вершин не меньше, чем синих. Дока-
зать, что хотя бы одна из висячих вершин красная.
5.	Доказать, что обыкновенный л-вершинный граф G является деревом
тогда и только тогда, когда его хроматический многочлен Т (G, i) имеет вид
(см. упражнение 8 к §1.4).
6.	Определим последовательность деревьев 7} = (2^, Ц-), Z = l, 2, ..., полагая
|У11 = 1,(7| = 0 и, если 7} при i > 1 уже построено, причем X, ={хь х2, ..., хл}, то
^1+1 =^и{Уц, У12, У2Ь ^22» •••>	Ул2)»
Ц+1 =^>и{хГуп, Х^, Х^У21,	<vn2},
где уц,...» уп2 — новые вершины, а Х1Уц,..., х^ул2 — новые ребра. Образно:
при переходе к T/+j каждая вершина Т; выпускает два ростка (рис. 2.3.2). Пока-
зать, что дерево Т{ обладает единственной наибольшей грудой и после удаления
всех ее вершин превращается в (i>2).
Отсюда вытекает полная несостоятельность попытки находить, хотя бы
приближенно, хроматическое число произвольного графа G следующим «жад-
ным» способом: выявим в G наибольшую груду (Ее, 0) и окрасим ее вершины
цветом 1, затем в подграфе G\E€ выявим наибольшую груду и окрасим в цвет 2
и т. д. В.Г. Визинг (книга Зыкова).
Рис. 2.3.2	71
166
Основы теории графов
Структуру и наибольшее число максимальных груд в деревьях изучает
J.Zito // JGrTh, 15(1991), № 2, 207-221 [93, 2В321].
7.	Доказать, что G изоморфен графу L (Г) смежности ребер какого-то дере-
ва Г в том и только том случае, если G связен, все его блоки — клики, а каждый
шарнир принадлежит ровно двум блокам. G. Chartrand, M.J. Stewart // Math.
Ann., 182(1969), № 3, 170-174 [70, 4B328; 43#3161].
8.	Даны графы =(Х, Ц), z = l, 2, ..., 9, где
У={а, Ь, с...5, /} (л =20),
U\ -{ad, bd, cd, de, ef, ej, Jg, Jh, Ji, jk, jq, Icl, km, mn, mo, dp, qr, rs, st},
^2 ={4Z> dg, cm, de, do, dp, dt, ej, ej, jh, Ji, jk, jq, Icl, km, mn, qr, ri},
Щ ={ab, de, ad, be, bh, cf, eq, dg, ei, ej, el, gn, hr, hs, ht, kq, mq, no, np},
={ab, af, be, cd, de, do, fg, jk, gh, hi, ij, kl, Im, mn, no, pq, qr, rs, st},
U^-{ab, ah, dq, be, bd, eg, de, df, ei, ej, et, Jk, fl, fa, go, gp, mq, np, qr},
Щ -{ab, af, be, cd, de, ej, fg, gh, hi, hm, kl, kp, Im, lq, mn, mr, no, ns, ot},
U*i ={ab, af, dq, be, bd, eg, de, dh, ei, ej, et, gp, hk, hl, hs, mq, np, op, qr},
U$ ={«/> dg, be, bf, cd, dj, ei, ej, gh, hi, hm, kl, kt, Im, lq, mn, mr, ns, dp, ot\
Ug -{ad, bd, cd, de, ei, ej, fl, gi, hi, jk, jt, kl, km, mn, mo, dp, qr, rs, st}.
Выяснить, какие из них являются деревьями и какие изоморфны друг другу.
9.	Доказать, что
а)	количество вершин и (Г) равно длине (т. е. первому числу) центрального
кортежа, если дерево Т центральное, и равно сумме длин (первых чисел) обоих
центральных кортежей, если Т бицентральное;
б)	бицентральное дерево тогда и только тогда допускает автоморфизм, пе-
реводящий один центр в другой, когда центральные кортежи одинаковы.
10.	Обозначим через р(к, у)=Рт (*, Д') длину простой цепи из вершины х в
вершину у дерева Т -{X, U).
а)	Доказать, что неотрицательная функция р является метрикой на множе-
стве X, т. е. удовлетворяет трем аксиомам Фреше:
Vx, у е X |р(х, у) = 0 <=> х =у],
Vx, у еХ \р(х, у)=р(у, х)],
Vx, у, z е X \р(х, у)+р(у, z)>p(x,z)].
Глава 2. Связность
167
б)	Доказать, что вершина х0 служит центром дерева в Т в том и только том
случае, если
VxeX
max р(х, y)>max р(х0, у)
уеХ	>’€Х
в)	Обосновать следующий способ нахождения центров дерева. Выбираем
любую висячую вершину и ищем одну из наиболее удаленных от нее х (она
тоже висячая); затем находим вершину у, наиболее удаленную от х, и строим
цепь (простую) Q из х в у. Это самая длинная цепь в Т. Если длина Q четна,
то средняя вершина на Q — единственный центр дерева, а если длина Q
нечетна, то среднее ребро этой цепи соединяет оба центра Т.
11.	Пусть Т = (У, U) — деревЪ, a Y a X — подмножество, содержащее все ви-
сячие вершины Т(но не обязательно только их). Система чисел {р(х, у)1х, у еУ}
определяет Г однозначно в следующем смысле: если Т' = (Х', У') — другое
дерево, а множества У ={у],..., и У'={у{,..., y^j^X', включающие все
висячие вершины, таковы, что
2,к} [рт (уь yj)=pr О','. ?})]>
то существует изоморфизм yr. Т-У Т\ при котором
Vfe{l, 2,	[^(у^у}].
Е.А. Смоленский // Ж. вычисл. мат. и матем. физики, 3(1962), № 2, 371—372
[63, 7В290; 32#7453].
12.	В дереве Т не может быть трех таких вершин х, у, z, которые не перево-
дятся друг в друга никакими автоморфизмами Г, но для которых Т\х^Т\у-
*T\z. D.G. Kirkpatrick, М.М. Klawe, D.G. Corneil // JCTh, B34(1983), № 3,
323-339 [84, ЗВ597].
13.	Доказать, что два дерева с общим множеством вершин и одинаковыми
степенями в каждой вершине можно преобразовать друг в друга такой последо-
вательностью 4-сдвигов (см. упражнение 4 к § 1.2), при которой все промежу-
точные графы тоже будут деревьями. Для графа с цикломатическим числом
А = 1 справедливо аналогичное утверждение. М.М. Syslo // Demonstr. math.,
15(1982), № 4, 1071-1076 [84, 1В599].
14.	Пусть вершинами графа J (Г) служат все строгие поддеревья дерева Т,
причем вершины 7\ и Г2 смежны в том и только том случае, если наименьшее
поддерево в Г, содержащее как 7|, так и Т2, не есть само Т. Граф J (Г), задан-
ный абстрактно (т. с. с точностью до изоморфизма), определяет Т однозначно
(в том же смысле). В. Zelinka // Czechosl. Mat. J., 30(1980), № 2, 332—335
[80, 11B520; 81i#05058a].
168
Основы теории графов
15.	Дерево Т = (Y, U) восстанавливается по набору {Т\х} для всех невися-
чих хе У, если таких х не менее трех. J. Lauri [83, 5B540J; В.Л. Тюрин
[88, ЗВ627], [89, 8В302-304].
16.	Для любого дерева Г, обладающего не более чем одной вершиной
степени s>3, существует такой обыкновенный граф G=(X, U), что
УхеУ [O(G, х)^Т] (см. §1.10). М. Brown, R. Connelly // DM, 11 (1975),
№ 3-4, 199-232 [76, 1В621].
17.	Произвольный граф без циклов часто называют лесом за то, что все его
компоненты — деревья. Доказать равносильность высказываний: (a) G — лес;
(б) A(G) = 0; (в) в G нет простых циклов; (г) из одной вершины G в другую не
может идти более одной цепи; (д) все цепи в G простые; (е) все ребра в G — пе-
решейки; (ж) каждый блок в G представляет собой Г2 или изолированную вер-
шину; (з) всякое непустое пересечение двух связных частей G есть связный
граф.
18.	Доказать равносильность следующих высказываний о графе G =(Х\ U):
(a) G связен и содержит единственный цикл; (б) х (6) = 1&|У|=|£/|; (в) a: (G) =
= A(G) = 1; (г) G связен и все его цикловые ребра образуют простой цикл;
(д) G связен и хотя бы для одного ие U суграф G\u — дерево. S.S. Anderson,
F. Нагагу // Math, teacher, 60(1967), 345—348. Для таких графов справедлива
вершинная гипотеза Улама: В. Manvel // Proof Techn. Graph Theory. New York-
London, 1969. 103-107 [71, 2В340].
19.	В дереве T = (X, U) есть подграф (лес) G = (У, И) с | У| >2Г(| У|+1)/3“|,
все вершины которого — нечетной степени; условие на |У| ослабить нельзя.
A.J. Radcliffe, A.D. Scott // DM, 140(1995), № 1-3, 275-279 [96, 6В221] (более
ранний результат: [94, 12В449]).
20.	Пусть Т — дерево с п>5 вершинами, G - «-вершинный граф с
m (G) = л-1. Если Г и G — не веера, то Т изоморфно некоторому суграфу графа
G. P.J. Slater, S.K. Neo, Н.Р. Yap // JGrTh, 9 (1985), № 2, 213-216 [86, ЗВ755].
См. также: гипотеза Эрдеша—Шош [УС].
§	2.4. ПАРОСЕЧЕТАНИЯ И ДВУДОЛЬНЫЕ ГРАФЫ
Паросочетанием обыкновенного графа G = (X, U) называется та-
кое подмножество W с U его ребер, в котором никакие два ребра не
имеют общей инцидентной вершины. Одной из важных задач явля-
ется нахождение в G паросочетания с наибольшим числом | FF| ребер
(или всех таких паросочетаний); max |iy| обозначается через п (G) и
представляет собой инвариант графа G. Для решения такого рода
Глава 2. Связность
169
задач очень удобен метод чередующихся цепей, идея которого про-
слеживается еще в XIX веке (у А. Кемпе и Ю. Петерсена) и который
был систематически разработан в Венгрии (Е. Egervary // Math.-Fiz.
Lapok, 38 (1931), 16—27), где в основном первое время и применялся
(Кёнигом, Галлаи и др.).
Граф G с выделенным в нем паросочетанием W будем обозна-
чать также через Gw, ребра W и инцидентные им вершины называть
жирными, а прочие ребра и вершины графа Gw — тонкими. Простая
цепь ненулевой длины в Gw, ребра которой поочередно то тонкие,
то жирные, называется чередующейся цепью (относительно паросоче-
тания И7); в частности, это W-увеличитель, если ее первая и послед-
няя вершины (а значит, также первое и последнее ребра) тонкие. На-
звание обусловлено тем, что с помощью (^-увеличителя легко пере-
делать паросочетание W графа G в другое его паросочетание W, со-
держащее на одно ребро больше: для этого достаточно в графе Gw
все тонкие ребра увеличителя сделать жирными, а жирные — тонки-
ми (рис. 2.4.1). Если граф Gw' в свою очередь имеет W'-увеличитель,
то можно улучшить результат еще на 1, и т. д. Поскольку для выяв-
ления увеличителей (или установления их отсутствия) в графе с за-
данным паросочетанием имеются достаточно эффективные алгорит-
мы, для полного решения задачи о наибольшем паросочетании нуж-
на лишь уверенность в том, что если у графа Gw нет РИ-увеличите-
лей, то его паросочетание W наибольшее; такую гарантию дает
ТЕОРЕМА 2.4.1 (С. Berge // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 43 (1957),
842-844 [60, 6, 6273; 20#1323]). Если |1К|<л (G), то в графе
Gw = (X, U) есть W-увеличитель.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в графе G =GW паросочетание W
не является наибольшим, т. е. в G имеется другое паросочетание W'
с |И''|>|И'|-
>------¥------* А	->------К
Рис. 2.4.1
MV
k—
>.... А---*
170
Основы теории графов
В суграфе графа G, порожденном множеством ребер (W \ W) U
U(WZ'\BZ), степень любой вершины не превышает 2 (почему?), сле-
довательно, каждая компонента этого суграфа представляет собой
простую цепь или простой цикл с чередованием ребер из W и из W'.
Среди этих компонент необходимо есть простая цепь нечетной дли-
ны, начинающаяся и оканчивающаяся ребрами W', ибо в против-
ном случае было бы IW^'I <|W^| вопреки предположению; эта цепь и
является искомым Ж-увеличителем в Gw.
Наличие в графе G^ по крайней мере двух тонких вершин необ-
ходимо, но отнюдь не достаточно для существования у G паросоче-
тания с более чем (И') ребрами: простейшим примером служит /-веер
с I >3 (см. также упражнение 1). Обозначим через v (G^) количество
тонких вершин в G^; очевидно,
v(Gw)=n(G)-2\W\,
и если ввести инвариант v (G)=min v (Gtv), где W пробегает всевоз-
W
можные паросочетания графа G, то v (<7)=«((?)-2л (G), откуда
я(С)=1[и((?)-у((?)].
Для нахождения инварианта v (G) W.T. Tutte (J. London Math.
Soc., 22 (1947), 107—111 [9#297]) дал способ, в общем случае практи-
чески неэффективный (из-за наличия почти полного перебора под-
множеств множества вершин), но представляющий теоретический
интерес. Схему приводимого ниже вывода теоремы Татта предло-
жил L. Lovasz (JCTh, В19 (1975), № 3, 269-271 [76, 7В402; 53#211]).
Пусть G \ Y — подграф графа G, полученный удалением строгого
подмножества вершин Y с X, a p(G\Y) — число тех компонент под-
графа, которые обладают нечетными количествами вершин.
ЛЕММА 2.4.2. Для любого паросочетания W графа G =(Х, U) и
для любого YcX
У(Сиг)>р(С\Г)-|Г|.	(1)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Среди всех p(G\Y) нечетновершинных
компонент графа G\Y пусть р0 не содержат тонких вершин графа
Глава 2. Связность
171
Gjy, а р\ содержат их хотя бы по одной. Каждая компонента перво-
го типа соединена в исходном графе Gw жирным ребром с некото-
рой вершиной множества Y (почему?), следовательно, р$ <|У|. Отсю-
да и из тривиального неравенства	получаем p(G\ У) =
=Pg+Р1 <|У|+у(<?и/), что равносильно (1).
ЛЕММА 2.4.3. Если G = (X, U) — неполный граф, то для любого
u&Xw\U («отсутствующего ребра») и любого YcX
v(GUw)<v((/) и p(G\Ju\Y)<p(G\Y).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое неравенство очевидно: при до-
бавлении к графу нового ребра мощность наибольшего паросоче-
тания может только увеличиться, а значит, наименьшее возможное
количество тонких вершин — только уменьшиться. Для доказатель-
ства второго неравенства достаточно заметить, что добавление
ребра и к графу G меняет величину р((7\У), а именно уменьшает ее
на 2, лишь в том случае, когда это новое ребро соединяет между
собой две нечетновершинные компоненты подграфа G\Y (при фик-
сированном У).
ЛЕММА 2.4.4. Существует такое Уд с X, для которого
у((7)=р«?\У0)-|У0|.	(2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 2.4.2, для паросочетания W
с |Ж| = я (<7) и для любого Y а. X
у«?)>р(С\У)-|У|.	(Г)
Добавляя в случае надобности к G новые ребра, превратим его в
граф G'=(X,U') с v (fj')=v (G), являющийся либо полным, либо
критическим в следующем смысле: для любого we X121 \ U ' имеет
место v(<z'Uw)<v(G), т. е. я (G'{Ju)>k (G). Из леммы 2.4.3 вытека-
ет, что
v(G')=v(G) и p(G'\Y)<p(G\Y)
при любом У с X. Поэтому, если мы найдем подмножество Уд с X,
для которого у(б!')<р(С'\Уд)-|Уд|, то тем более
У((?)<р(С\Уд)-|Уо1.
172
Основы теории графов
и в силу (Г) это Yq будет искомым. Значит, без нарушения общности
можно предполагать, что сам исходный граф G = (X,U) является
либо кликой, либо критическим в указанном смысле.
Вершина графа, смежная со всеми остальными, называется кони-
ческой. Обозначим через Z множество всех конических вершин гра-
фа G. Если Z=X, т. е. G — клика, то требуемое равенство (2) выпол-
няется, например, при Yq =0: тогда обе части равны 0 в случае чет-
ного n(G) и равны 1 в случае нечетного. Если же ZcX, то для на-
хождения нужного подмножества Yq предварительно докажем, что
каждая компонента подграфа G\Z представляет собой клику.
Пусть это не так, т. е. существуют три различные вершины
a, b, ceX\Z, для которых abeU, bceU, но ac<£U. Так как beZ, то
имеется и такая de X\ Z, что bdg U. Ввиду критичности графа G,
л (G U ос) = л (G U bd) = л (G) +1,
и пусть Wy, W2 — какие-то наибольшие паросочетания в графах
G U ас и G\Jbd соответственно.
Рассмотрим теперь граф G[){ac, bd}', в нем ребра множества
W\ \ W2 назовем красными, ребра W2 \ JYj — синими, а ребра, не при-
надлежащие	— бесцветными; ребра множества
(едвуцветные») не могут иметь общей инцидентной вершины ни с
красным, ни с синим ребром. Ясно, что ребро ас красное, ребро bd
синее, а оба ребра ab и Ьс бесцветные. В исходном графе G каждое из
множеств W\ \ {ас} и W2 \ {bd} образует паросочетание мощности
л (G), и для получения требуемого противоречия достаточно обна-
ружить паросочетание большей мощности в G или, что равносиль-
но, (FFj \{ас})-увеличитель в либо (fY2 \{bd})-увеличитель в
В графе G вершина а не инцидентна красному ребру, и мы по-
строим такую простую цепь Qa с началом а, на которой синие ребра
чередуются с красными и которую невозможно продолжить с сохра-
нением этого свойства; аналогичную цепь Qb построим из вершины
b (не инцидентной синему ребру). Каждая из этих цепей может, в ча-
стности, иметь нулевую длину.
Глава 2. Связность
173
Случай 1: Qa =Qb, т. е. в действительности это одна и та же
цепь (рис. 2.4.2); она не содержит вершину с (почему?). Если U, —
множество всех красных, a U2 — множество всех синих ребер этой
цепи, то (й^ \ {ас} \ U]) U U2 U {be} — паросочетание мощности п (G) +1
в графе G.
Случай 2: Qa *Qb, т. е. это две разные цепи, не имеющие, оче-
видно, общих вершин (рис. 2.4.3). Пусть Uf и — множества крас-
ных ребер, a и (7* — множества синих ребер на цепях Qa и Qb со-
ответственно; ясно, что IC/^I<|С7"| и	.
Если | С/]0| < | U°\, то цепь Qa является \{ас})-увеличителем
в графе G,....-..
г H'lVac}
Если | U%\ < | С7*|, то цепь Qb является (FF2 \{М})-увеличителем
в GFr2\{M}’
Наконец, если |С7"| =|?7"| и |С7*|=|£7*|, то множество ребер
(И2 \{bd}\	)U«7f U{а£} — паросочетание мощности п (G) +1 в G.
Итак, доказано (от противного), что в случае Z с X каждая ком-
понента подграфа GVZ. является кликой. Если теперь p((7\Z)<|Z|,
то в графе G можно построить паросочетание W, охватывающее все
вершины при п (G) четном и все, кроме одной, при нечетном
(рис. 2.4.4), и требуемое неравенство (2) выполняется при =0.
Рис. 2.4.2
Рис. 2.4.3
174
Основы теории графов
Наконец, если p(G\Z)>|Z|, то в графе G заведомо существует паро-
сочетание W, при котором v(Gw )=p(G\ Z)-|Z| (рис. 2.4.5); но тогда
тем более v(G)<p(G\Z)-\Z\ и равенство (2) выполняется при
Yq=Z. Лемма доказана.
Рис. 2.4.4
Изображены только ребра паросочетания W
Из лемм 2.4.2 и 2.4.4 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 2.4.5 (Татта). у((7) = тах{р((/\У)НУ|}.
УсХ
Совершенным паросочетанием называется такое W, которое
охватывает все вершины графа.
Глава 2. Связность
175
СЛЕДСТВИЕ. Для существования у графа G = (У, U) совершенно-
го паросочетания необходимо и достаточно, чтобы при любом Y с X
было р(6\У)<|У|.
При У=0 получаем отсюда очевидное необходимое условие:
каждая компонента графа G должна обладать четным числом вер-
шин. Известен ряд достаточных условий, более эффективных для не-
посредственной проверки, чем рассмотренное: см. совершенное паро-
сочетание [УС].
Как показали Е. Shamir, Е. Upfal (DM, 41 (1982), № 3, 281—286
[83, ЗВ580]), если для каждой из 2п фиксированных вершин выби-
рать к>6 различных смежных с ней ребер случайным образом, то
при и—> +оо почти все построенные таким путем 2и-вершинные гра-
фы обладают совершенным паросочетанием.
Остановимся на связи л (G) с некоторыми другими инварианта-
ми графа. Прежде всего,
л ((/)>!>((/)/21;	(3)
при п=и(С) <2 (база индукции) это тривиально, а переход от графов
с менее чем п вершинами к произвольному n-вершинному G (шаг
индукции) состоит в удалении из G любых двух смежных вершин, от
чего степени оставшихся не могут уменьшиться более чем на 2; пол-
ное оформление доказательства представим читателю. Оценка (3)
точна, поскольку достигается на любом веере; этот же пример гово-
рит об отсутствии нетривиальных верхних оценок для л (<7) через
j((z) и j(G). Несколько больше можно сказать о числе л ((7), если
полностью известен вектор степеней s (<7) (V. Chvatal, D. Hanson //
JCTh, В20 (1976), № 2, 128—138 [76, 10В403]), но и он не определяет
это число однозначно; так, для графов левой пары на рис. 1.2.2 име-
ем соответственно л =3 и л =2. Косвенная оценка л (G) через n(G) и
m(G) была получена ранее (Р. Erdos, Т. Gallai // Acta math. Acad. sci.
hung., 10(1959), № 3—4, 337—356 [61, 1A308]); схема краткого дока-
зательства (J. Akijama, P. Frankl // JGrTh, 9 (1985), № 1, 187—201
[86, 2B752]): если л (G)<k&n(G)>2k+2, то
w(6)<min|^2^+
О многочлене паросочетаний см. упражнение 12а и [УС].
176
Основы теории графов
Опорой графа G = (X, U) называется такое подмножество Yс!
его вершин (или порожденный им подграф), что каждое ребро we U
инцидентно хотя бы одной вершине из Y, иначе говоря, m(G\ У)=0;
опорное число 6(G) — это инвариант, равный количеству вершин
наименьшей опоры графа G. Очевидно,
n(G)<8(G).	(4)
В случае равенства говорят, что граф G обладает свойством
Кёнига—Эгервари. F. Sterboul (JCTh, В27 (1979), № 2, 228-229
[80, ЗВ658]) характеризует такие графы в терминах «запрещенных
конфигураций» (к сожалению, последние определяются не «чисто
структурно», а через некоторое наибольшее паросочетание графа):
см. также упражнение 13; В. Simeone (Anal, and Des. Algorithms
Comb. Probl. Amsterdam e.a., 1985. 281—290 [86, 3B754]) предлагает
критерий в терминах булевой алгебры. Важный частный случай бу-
дет рассмотрен ниже (теорема 2.4.7). В. Randerath, L. Volkmann
(DM, 191 (1998), № 1-3, 159-169 [00, 4В286]) характеризуют графы
G, для которых 8(G)=fi(G) — числу всесмежности.
Накрытие графа G = (X, U) — это такое подмножество U' C.U его
ребер (или порожденный им суграф (?'), что каждая неизолирован-
ная вершина G инцидентна хотя бы одному ребру U' (т. е. и в G' не
является изолированной); инвариант i (G), выражающий количество
ребер наименьшего накрытия, называется накрывающим числом гра-
фа G. Легко показать (Т. Gallai // Ann. Univ. Sci. Budapest, E6tv6s
Sect. Math., 1959, № 2, 133-138 [61, 7A326; 24ЯА1212]), что
n(G)+i(G)=n-n0,	(5)
где n=n(G), а и0 =«o (G) — количество изолированных вершин гра-
фа G. В самом деле, если U' — одно из наименьших накрытий G,
a W' — некоторое наибольшее паросочетание в суграфе G' = (Х, U'),
то I(6)=|и'|=|ИИ + (л-«0-2\fY'])=n-n0 -lfV'l>n-n0 -п (G); с дру-
гой стороны, i(G)<n-n0 -п (G), ибо, взяв в G одно из наибольших
паросочетаний и добавив для каждой не охваченной им вершины
какое-нибудь инцидентное ребро, получим накрытие графа G.
Глава 2. Связность
177
Особо важное значение (в частности, для приложений) имеет за-
дача отыскания наибольшего паросочетания в двудольном графе,
который определяется как обыкновенный граф G = (X, U) с хрома-
тическим числом у (G) < 2 и заданной правильной раскраской вер-
шин в два цвета; такой граф обозначается более подробно через
(Х\, Х2, U), где XtljX2 =Х, Х1 ПХ2 =0 и ребра U могут соединять
только вершины Х\ (цвета 1) с вершинами Х2 (цвета 2)1. В случае
у (G) = l считаем Х2 =0.
Введем обозначения Дх={уеXIxy&U} и ДУ= U Дхдля произ-
хеУ
вольного графа G = (X, U), произвольной его вершины х и произ-
вольного подмножества вершин YciX; в двудольном графе
G = (Xy, Х2, U), очевидно, всегда YcXy=>ДУсУ2
=>ДУаУг.
ТЕОРЕМА 2.4.6. (книга Кёнипг^, О. Ore // Duke Math. J.,
22 (1955), № 4, 625-639 [57, 10, 7729; MR7p394]). Если
G = (X\, X2, U) — двудольный граф, то
л (G)=|JV]|-max (|У|-|ДУ|)
(максимум берется по всем подмножествам Ya.X^, включая 0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (Уь У2, W) - часть графа G с
У]СХ], Y2cX2, WcU, образования каким-либо наибольшим
паросочетанием №(]№]=я (G)) и всеми вершинами, инцидентными
его ребрам. Для произвольного Y a Xt имеем
|У П (Х} \ У, )| <\Х, \ У]| (тривиально);
|У п У11 <|Д У| (так как все вершины из У], в частности из У ПУ],
обеспечены благодаря W разными смежными вершинами в У2);
следовательно,
|У| =|гП(Хх \У1)|+|УПУ11<|*'1 \У]|+|ДУ| =
=|А-1|-|Г1|4-|АГ|=|ЛГ1|-ж«7)+|АГ|,
I При Xj, Xi * 0 и U = {xj а'2^х1 е > х2 е имеем полный двудольный граф; так же
называют и (р+ q, 2)-кликоид Кр^ = Ep-Eq, в котором пара сомножителей рассмат-
ривается как неупорядоченная. Какое толкование термина имеется в виду — каждый
раз ясно из контекста.
178
Основы теории графов
Т. е.
Осталось указать такое Y=У0, на котором достигается равенство.
Если л (G)=|Jf1|, то можно взять Уд =0. Допустим теперь, что
п (G) <|У11, и положим
y0=(x1\yi)Uz,
где Z — множество тех вершин хе У], которые достижимы из У, \ У]
по РК-чередующимся цепям. Покажем, что Уо — искомое.
Во-первых, Д(У1 \У))с AZ: если бы имелась вершина
х2 е Д (X1 \ У1) \ AZ, то выбрав некоторую xj e Х\ \ , смежную с х2,
мы построили бы PF-увеличитель Х1Х]Х2х2 в графе G^ вопреки мак-
симальности W. Поэтому ДУ0 a AZ, а так как ZcYq, то ДУо =AZ и
|ДУ0|=|Д2|.
Во-вторых, всякая вершина из AZ соединена с некоторой верши-
ной множества Z жирным ребром. Действительно, если бы для не-
которой х2 е AZ никакое из ребер, соединяющих ее с вершинами Z,
не было жирным, то взяв за xj одну из смежных с х2 вершин множе-
ства Z и выбрав чередующуюся цепь
по которой вершина X] достигается из некоторой уоеУ]\У]
(согласно определению множества Z), мы построили бы ^У-уве-
личитель
У0и1^1у2^2 •••У l-lvlxlx\x2x2
в графе Gjy, вопреки максимальности W. Из сказанного следует
равенство |AZ|=|Z|.
Итак, |Ay0|=|AZ|=|Z|; ввиду (У1\У1)П2=0 имеем также
|Уо1=|Х1\У11+|0|. Отсюда
|Го|-|АКо|=|1о|-|г|=иГ1\Г1|=|А'1|-|Г1|=|ЛГ1|-я:«7),
что и требовалось.
Глава 2. Связность
179
СЛЕДСТВИЕ (D. Konig // Math.-Fiz. Lapok, 38 (1931), 116-119;
книга Кёнига; Ph. Hall // J. London Math. Soc., 10 (1935), 26—30). Всё
множество X\ двудольного графа (X\9 У2» можно взаимно одно-
значно отобразить в при помощи ребер U тогда и только тогда,
когда
УГсХ](|ДУ|>|Г|).
ПРИМЕР (простейший вариант задачи о назначениях). Пусть к
нам прибыло девять групп иностранных туристов, причем гости
группы Т] говорят на английском языке, гости Т2 — на француз-
ском, Т3 — на немецком, Т4 — на английском, Т5 — на французском,
Т6 — на испанском, T-j — на итальянском, — на испанском, T9 —
на португальском. Бюро обслуживания «Интурист» располагает в
это время десятью свободными переводчиками, владеющими таки-
ми иностранными языками: 77] — английским и немецким, П2 — ан-
глийским и испанским, 77 3 — английским, 774 — французским, не-
мецким и итальянским, 77 5 — английским и немецким, 77§ — англий-
ским, П-; — испанским и португальским, 77 8 — французским и пор-
тугальским, П9 — французским, испанским и итальянским, 77ю —
английским и немецким. Как прикрепить (взаимно однозначно) пе-
реводчиков к группам, чтобы в первую же очередь было обслужено
возможно большее количество групп?
Для решения задачи построим двудольный граф G=(Х\, Х2, U), в
котором роль вершин Х\ играют переводчики, роль вершин Х2 —
группы туристов, а смежность вершины П, е Xj с вершиной Ту е J72
означает владение f-го переводчика языком j-й группы (рис. 2.4.6).
Требуется найти в G паросочетание с наибольшим числом ребер n (6).
Пусть какое-то паросочетание W уже построено; начинать мож-
но и с И7=0, однако лучше взять за W «наивное» прикрепление,
легко получаемое следующим образом: прикрепляем 77] к первой из
групп Г], Г2, ..., T9, которую он может обслужить, затем прикреп-
ляем П2 к первой возможной для него и еще не занятой группе и
т. д. Построение таким образом паросочетание W имеет семь ребер
и показано на рис. 2.4.7 слева.
Путем проб (которые нетрудно вести упорядоченно, дабы избе-
жать повторений и не упустить ни одной возможности) находим
РК-увеличитель с последовательными вершинами 773, 7], 77], Т3,775,
Т4, 772, Т6, /77, Т8; переделывая тонкие ребра этого увеличителя в
180
Основы теории графов
(а, н) П)
(а, исп) П2
(а) П3
(ф, н, ит) П4
(а, н) П5
(а)П6
(исп, п) П7
(Ф. п) П8
(ф, исп, ит) П9
(а, н) П10
Рис. 2.4.6
жирные и наоборот, получим новое паросочетание W* с |fF'|=8
(рис. 2.4.7 справа) и убеждаемся (опять путем проб), что в графе GW'
уже нет РИ'-увеличителей. Последнее вытекает и из того, что для
подмножества Уо ={Z?i, П^, П$, П^,	(образованного тон-
кими вершинами и достижимыми из них по чередующимся цепям
Рис. 2.4.7
Глава 2. Связность
181
вершинами множества Х\ в Gjy ) имеем ДУ0 ={7\, Т^, Тд}, откуда
|У0|-|АК0|:=5-3 = 2 и я (С)<10-2=8 по теореме 2.4.6.
Дальнейшие примеры на применение теорем Кёнига—Оре и
Кёнига—Холла читатель найдет в упражнениях 15 и 16, а также в
§2.5 (при доказательстве теоремы Менгера).
ТЕОРЕМА 2.4.7 (D. Konig // Math.-Fiz. Lapok, 38 (1931), 116-119).
Если /((?)< 2, то 8(G) = n (G).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае у (G) = 1 граф G не имеет ребер и
для него 8(G) = x (G) = 0. Пусть теперь у (6) = 2. Выбрав правильную
раскраску вершин двумя цветами, представим граф как двудоль-
ный: G = (X\, Х2, U).
При любом YсXj множество (Aj \y)U ДУ служит опорой гра-
фа G, причем (А']\А')ПДУ=0; поэтому всегда
|У! \У|+|ДУ|=|(У1 \У)U ДУ|><?(<?)•
Отсюда по теореме 2.4.6 получаем п ((?)=|У1|-max (|У|-|ДУ|) =
= min (|У1|-|У|+|ДУ|)= min (|Aj\У|+|ДУ|) ><$((?), что вместе с (4)
Key	YcXj
приводит к требуемому равенству.
Подробному изучению паросочетаний и чередующихся цепей
как в двудольных, так и в любых обыкновенных графах посвящены
специальные главы (с обширной библиографией) обеих книг Бержа
и отдельная книга: L. Lovasz, M.D. Plummer. Matchihg theory. Buda-
pest: Acad. Kiado, 1986, 544 pp. [86,11B561K], а наибольшим (в част-
ности совершенным) паросочетаниям — статья Ле Тхук Зука
(ГГиДОЗ 1982, 84—95 [83к#05090]). Обзор наиболее эффективных
алгоритмов нахождения паросочетаний в графе дает Galil Zvi
[84, 6В517], а общий исторический обзор — M.D. Plummer (DM,
100(1992), № 1-3, 177- 219 [93, 10В250]). Далее см.: А.М. Магоме-
дов [87, 2В667Деп, 12В747]; L. Lovdsz // JCTh, В43 (1987), №2,
187-222 [88, ЗВ641]; R. Brualdi // Comb. Geom., Cambridge e.a., 1987,
53-71 [88, 3B555]; D.M. Jones, D.J. Roehm, M. Schultz// ARS Combi-
natoria, 50(1998), 65-79 [00, 9В254].
Восстановимостью двудольных графов занимается R.D. Boyle
(JCTh, B29 (1980), № 2, 272-275 [82b#05098]), a S.N. Zagaglia (JCISS
8 (1983), № 1, 5—9 [84,12B723]) по набору всех (и-1)-вершинных под-
графов и-вершинного двудольного графа G = (Х\, Х2, U) определяет
182
Основы теории графов
количества |Х]|, |ЛГ2| вершин в его долях и числа 6(G),
i(G), n(G), 8(G).
Красота и эффективность метода чередующихся цепей побудили
искать его аналоги применительно к другим задачам (упражне-
ние 18), но особенно близка к нему процедура перекраски двуцвет-
ных цепей в задаче о раскраске ребер графа (§2.9).
Упражнения и дополнения
1.	а) Непосредственно убедиться в том, что
граф рис. 2.4.8 не имеет совершенных паросоче-
таний, и найти в нем какое-нибудь наибольшее
паросочетание.
б) Найти наибольшее паросочетание в гра-
фе Петерсена.
Г. Показать, что в декартовом произведе-
нии графа Петерсена на есть совершенное па-
росочетание. W.D. Wallis // Util. Math., 20 (1981),
№ 1, 21—25 [82, 7В601].
2.	Доказать, что 3-однородный граф без пе-
решейков обладает совершенным паросочетани-
ем. Ju. Petersen // Acta Math., 15(1891), 193—220. Обобщение: G. Chartrand,
L.Nebeskf // Period, math, hung., 10(1979), № 1, 41-46 [79, 8В378].
3.	Если G — блок, n(G)=2/c и n tp)=k, то в G есть хотя бы две вершины х
со свойством: любое ребро, инцидентное х, принадлежит некоторому совер-
шенному паросочетанию. Отсюда, в частности, следует результат Л.В. Байнеке
и М.Д. Пламмера: если в блоке есть совершенные паросочетания, то не менее
двух. J. Zaks // JCTh, Bll (1971), № 2, 169-180 [72, 8В382]; Теория графов. По-
крытия, укладки, турниры. М.: Мир, 1974, 35-47.
4.	Все максимальные паросочетания являются наибольшими только в гра-
фах Fn и Кр q. Wang Shiying, Liu Yan, Zhang Zhuokui // Zhengzhai Univ. Natur.
Sci. Ed., 31 (1999), № 2, 7-10 [00, 7В239].
5.	Если G — связный n-вершинный ^-однородный граф, где s > 3 и нечетно, то
к	т- Nishizeki // DM, 37 (1981), № 1,105-114 [82,4В578].
5*. В 3-однородном графе G: п (G)>^/i(G). A.M. Hobbs, Е. Schmeichel //
DM, 42(1982), № 2-3, 317-320 [83, 5В593].
6.	Пусть W — совершенное паросочетание графа G. Доказать, что любое
другое совершенное W' можно получить из W операциями следующего типа:
находим в G^/ простой цикл четной длины, на котором жирные ребра череду-
Глава 2. Связность
183
ются с тонкими, и заменяем на нем все тонкие ребра жирными и наоборот.
Можно ли таким способом преобразовать произвольное паросочетание РК, где
|FF| < п (G), в любое другое W' с|И"| =|*И? ВТ. Визинг//ДАН СССР, 144 (1962),
№ 6, 1209-1211 [64, 1В378].
6'. Если Ид — насыщенное (максимальное по включению), а V — любое
паросочетание графа, то |И/|<2|И'0|. Р. Flach, L. Volkmann [88, 5В720].
7.	Если и (G)=2k и любые р < Зк/2 вершин графа G смежны не менее чем с
4р13 вершинами, то л-(С) = Л. J. Anderson // JCTh, BIO (1971), № 3, 183—186
[72, 6В269].
8.	а) Если связный 2р-вершинный граф (р > 1) не имеет совершенных па*
росочетаний, то для любого к, 1 <к <р, существует 2£-вершинный подграф, то-
же без таких паросочетаний. б) В связном графе G с п (G) >2 всякое паросочета-
ние можно дополнить до совершенного в том и только том случае, если G име-
ет вид F2p или Крр. D.P. Sumner // PAMS, 42(1974), № 1, 8-12 [75, 1В536],
JGrTh, 3(1979), № 2, 183-186 [79, 12В546]. Далее: M.D. Plummer // DM,
31(1980), № 2, 201-210 [81, 1В521].
9.	Пусть m (n, к) — наименьшее число ребер л-вершинного графа, облада-
ющего (&+1>паросочетанием или вершиной степени &+1. Известно (N. Sauer
[71, 11В519; 43#315]), что для к<2п:
,	[ пк + (&-1)|2л/(&-1)|/2, если к нечетно;
т (л, к) =5
I л (к+1), если к — четный делитель числа 2л.
Каковы т (п, к) в оставшихся случаях?
10.	Пусть t(G) = Oi, t2,.tn) — обращенный вектор степеней, Z„+i целое,
*л>*л+1>0. Доказать, что (л+1>вершинный граф G't для которого! (G') =
= (*ь*2>---» ^Лл+1), существует тогда и только тогда, когда/л+1 четно. R.H. John-
son // JCTh, В18(1975), № 1, 42-45 [75, 6В492; 51#2996]. (Примечание.
Часть «только тогда» тривиальна. Для построения G' при четном Гл+1 достаточ-
но обнаружить в G паросочетание с Гл+1 /2 ребрами, а его существование сразу
вытекает из оценки (3), так что незачем применять теорему Татта, как сделано
в оригинале.)
См. также L. Lovfcz // Period, math, hung, 5 (1974), № 2, 149-151 [75, 2В504].
11.	Если в л-вершинном графе С = (У, U) для любой пары ху несмежных
различных вершин s(x) + s(y)>n, а для любых двух пар ху ёU, zt £U также
j(x)+5(.y)+5(z)+ s(t)>2n +1, то каждое паросочетание в G принадлежит не-
которому простому циклу. К.А. Berman // DM, 46 (1983), № 1, 9—13 [84, 1В636].
12.	а) Показать, что количество л j(G) паросочетаний с i ребрами в графе
G=(X, U) удовлетворяют рекуррентному соотношению
л, (С) = ж/ (С\л~у) + л:/_1 (6\{х, у}),
184
Основы теории графов
где xyeU. Основываясь на этом, выразить числа 7r,(G) через {Vy(G)}
(см. упражнение 6 к § 1.4) и записать результат в многочленной форме.
б) Показать, что количества 5, (G) z-вершинных опор графа G удовлетво-
ряют рекуррентному соотношению
<5, (G) = 5M (G\x) + 5,_, (О (G, х)),
где 5=5(G, х), О (G, x)=O(G, х), хе У. И.М. Горгос (Кишиневский семинар,
май 1977 г.).
13.	Подмножество V ребер графа G называется 5-критическим, если
8 (G\K)<<5 (G), и ^-критическим, если п (G\K)<tt (G). Оказывается, 5(G) = тг (G)
тогда и только тогда, когда для множества ребер любого веера в G из 5-критич-
ности следует тг-критичность. М. Lewin // Israel J. Math., 18 (1974), № 4, 345—347
[75, 11B386]; Leet. Notes Math., 884(1981), 269-271 [82, 5В543].
14.	Для инвариантов п и i справедливы оценки типа Нордхауза—Гаддума
(см. упражнение 10 к §1.3), где n = w(G) = n(G):
а)	[л/2_|<я(С)+я(С)<2[л/2], 0<я (С)я (G)<[n/2J2.
G. Chartrand, S. Schuster // Trans. New York Acad. Sci., 36 (1974), № 2, 247-251
[74, 2В430].
б)	Если и >4, а графы G и G не содержат изолированных вершин, то
[л/2] + 2 <п (G) + я (С)<2[л/2_|<я (в)я (G)<[n/2J2,
При этом существуют такие и-вершинные графы G и G', что ни они, ни их до-
полнения не содержат изолированных вершин и t(G) = i(G)=[~~^J, t(G')+
+ t(G')=|’^‘]-2. R. Laskar, В. Auerbach // DM, 24(1978), № 2, 113—118
[79, 7В614]. См. также: S. Sivagurunathan, S.P. Mohanty // Indian J. Pure and
Appl. Math., 28(1997), № 3, 335-342 [98, 8В262].
15.	Пусть B\ и B2 — две базы конечномерного линейного пространства над
произвольным полем. Доказать, что векторы этих баз можно привести в такое
взаимно однозначное соответствие, при котором каждому вектору г 6 В\ отве-
чает в В2 вектор, входящий с ненулевым коэффициентом в разложение г по #2-
16.	Доказать, что семейство множеств 5={МЬ М2, ...» Мп} обладает систе-
мой различных представителей (см. упражнение 4 к § 1.6) в том и только том
случае, если для любого подмножества индексов /с{1, 2, ..., п} выполняется
| U М,\>\Д. Ph. Hall // J. London Math. Soc., 10(1935), 26-30.
ie/
Глава 2. Связность
185
Указание: рассмотреть вспомогательный двудольный граф (S, X, U), где
вершинами «левой доли» служат множества семейства 5, «правая доля»
п
X = U Afp а ЛГ/Х е U означает х е Mh и применить теорему Кёнига—Холла
»=1
(следствие теоремы 2.4.6). В оригинале доказательство сложнее.
17.	Для любой груды Е графа G обозначим через Д^ (£) множество всех
вершин, имеющих хотя бы по одной смежной в Е. При к >2 условие
min	необходимо и достаточно для того, чтобы G обладал таким су-
£ ни *
графом, каждая компонента которого — веер с числом вершин не более к+\.
При к = 1 такой суграф — совершенное паросочетание. К.А. Зарецкий // Кибер-
нетика, 1966, № 5, 4-11 [67, 6В203; 35#2784].
18.	Суграф (Х\, У2» Ю Двудольного графа G=(Yb Хъ U) называется его
(р, цУсочетанием, если для всякого Y сХу такого что |У| =р <q, и всякого не-
пустого ZсХ\ выполняется |ДУ| = q и |AZ| >|Z| + q-р. (1, ^-сочетание в G су-
ществует тогда и только тогда, когда	(|ДИ|>|2| + ?-1). A. Brace,
D.E. Daykin // PAMS, 42 (1974), № 1, 28-32 [75, 1В554]; Ю.А. Сушков // Вестник
Ленингр. ун-та, 1975, № 19, 50-55 [76, 6В480; 54Я2549].
19.	Пусть £ = (£, 0) — фиксированная груда в графе G =(Х\ U), а последо-
вательность из 2&+1 вершин
Xl, Уъ Х2, У2, , Хк, yk, xk+i	(6)
построена следующим образом:
(а)	X! еУ\£;
(б)	если уже образован начальный отрезок х}, у у ..., х( последовательно-
сти (6), где l<i<k, то у,-б£\{уь ..., у/_|} и yf смежна хотя бы с одной из
вершин хь ..., xf-;
(в)	если уже образован начальный отрезок xj, yj, ...» xf, yh где 1</</с, то
х/+| 6 Аг\£\{х1,..., X/}, смежна хотя бы с одной из вершин ..., ^ и не смежна
ни с одной из Х|,..., X/. Такую последовательность (6) назовем Е-увеличителем,
если она непродолжаема, т. е. не существует вершины Уь+у удовлетворяющей
условиям п. (б) с i=k + 2. Доказать, что вершины множества
Е' = (£\{уь ...» №>)U{X|.хк, х*+1)
попарно несмежны в G, причем |£'| =|£| + 1, и что |£| =£ (G) в том и только том
случае, когда граф G не имеет £-увеличителей. Вторая книга Бержа.
Дальнейшее развитие идеи: O.J. Nieminen // Nav. Res. Log. Guart., 21 (1974),
№ 3, 557—561 [75, 7B414]; И.М. Горгос // Исследование операций и программи-
рование. Кишинев: Штиинца, 1982, 37-44 [82, 8В490; 85h#05004]; МИ,
114(1990), 47-53 [91, 5В422]; чередующийся лес [УС].
186
Основы теории графов
§2.5. /-СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ
Классическая теорема, которой посвящена первая половина па-
раграфа, была сначала получена в топологических терминах:
К. Menger // Fund. Math., 10 (1927), 96—115; Kurventheorie. Leipzig-
Berlin, 1932. Последующие ее доказательства на языке теории графов
основаны на оригинальных идеях, оказавших в дальнейшем заметное
влияние на развитие всей теории, а сам первооткрыватель не отка-
зался и от «заключительного слова»: К. Menger // JGrTh, 5(1981),
№4, 341-350 [82, 8В605; 83т#О5ОО1].
Приводимое ниже доказательство из книги Зыкова навеяно ра-
ботой: Р. Elias, A. Feinstein, С.Е. Shannon [58, 3, 1901], перевод ко-
торой есть в книге: К. Шеннон. Работы по теории информации и
кибернетике. М.: ИЛ, 1963, 729—730.
Несмежные различные вершины х, у обыкновенного графа
G=(X, U) называются к-отделимыми (к>0), если из G можно так
удалить не более к вершин, отличных от х и у, чтобы последние
оказались в разных компонентах; ^-отделимость смежных вершин
х и у при к>1 определяется как их (к - 1)-отделимость в суграфе
G\xy. Ясно, что 0-отделимость — это просто отделенность (§2.1).
Определение к-неотделимости различных вершин понятно само со-
бой, а распространять все эти определения на совпадающие верши-
ны мы не будем.
Вершины х*у графа G называются l-соединимыми, если в G су-
ществуют по крайней мере / цепей, идущих из х в у и попарно не
имеющих других общих вершин, а также общих ребер (последнее
требование может показаться лишним, однако без него даже верши-
ны 2-клики формально оказались бы «бесконечно соединимыми»
вопреки очевидному содержательному смыслу). Любые две различ-
ные вершины 0-соединимы, а их 1-соединимость — то же, что и
соединимость в смысле §2.1. И здесь мы не будем рассматривать
случай совпадающих вершин.
ТЕОРЕМА 2.5.1 (Менгера). В графе G=(X, U) две различные
вершины тогда и только тогда к-неотделимы, когда они (к + ^-сое-
динимы (к>0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если вершины х*у в графе (к + ^-соеди-
нимы, то удаление любых других к (или менее) вершин может раз-
Глава 2. Связность
187
рушить не более к цепей, т. е. эти две вершины ^-неотделимы. Дока-
зательство обратного утверждения значительно сложнее; предвари-
тельно заметим, что достаточно рассмотреть случай несмежных х и
у, ибо ^-неотделимость и Z-соединимость этих вершин в случае
xyeU означают их (А:-^-неотделимость и (/-1)-соединимость в
суграфе (?\ху.
Итак, пусть G = (X,U) — произвольный обыкновенный граф с
двумя выделенными вершинами х, уеХ, где х+у и xy£U. Всякую
его вершину, отличную от х и у и не смежную ни с одной из них, бу-
дем называть внутренней (относительно х и у). Высказывание «для
любого к > 0 из ^-неотделимости х и у в G следует их (к + 1)-соедини-
мость» обозначим через A (G; х, у) и докажем его справедливость
для любого графа G с любой выделенной парой х, у индукцией по
числу q=q(G; х, у) внутренних вершин.
При q=0 граф G имеет строение, показанное на рис. 2.5.1, где
Х\, х2, .... хр — вершины, смежные одновременно с х и у, а X' и
Y' — множества вершин, смежных только с х, соответственно то-
лько с у. В случае р>к + \ искомая система fc + l цепей находится
сразу. В случае же р<к рассмотрим вспомогательный двудольный
граф G' = (Х', Y', V), полученный из G удалением вершин х, у, х\,
х2, ..., хр (вместе с инцидентными ребрами), а также ребер, соеди-
няющих вершины внутри X' и внутри Y'. Для построения искомой
системы цепей в G достаточно
j
j
найти в G' паросочетание с
к-р+1 ребрами; но оно сущест-
вует, поскольку, как мы сейчас
покажем, п (G')>к-р + 1, если
предположить ^-неотделимость
вершин х и у в G.
Допустим противное: п ((?') <
<к-р + 1. Тогда по теореме
Кёнига—Оре (2.4.6)
|Z'|-max (|Z|-|AZ|)<A:-p + l,
'У,— V 1
Рис. 2.5.1
т.е. |X'|-|Z0|+|AZ0|<A:-p+l,
или |y'\Z0| 4-|AZq| <к-р, для
188
Основы теории графов
некоторого Zo с; %'; удалив из графа G множество {х1? х2,
U(Ar,\Z0)UAZ0, содержащее не более к вершин, мы отделили бы х
от у, что невозможно. Утверждение A (G; х, у) доказано для случая
<7=0.
Предположим теперь A (G; х, у) доказанным для всех графов G
с двумя выделенными несмежными различными вершинами, таких
что q(G; х, y)<qo >0, и рассмотрим произвольный граф G = (X, U),
в котором выделенные вершины x*y (xygU) ^-неотделимы, а
q (G; х, y)=qQ. Пусть х0 — одна из его внутренних вершин. Если в
подграфе G\xq вершины х и у по-прежнему ^-неотделимы, то они
(к + 1)-соединимы в нем, значит и в G, по предположению индукции,
поскольку q (G'; х, y)<qo- Если же х и у являются ^-отделимыми в
G\xq, то в графе G имеется такое подмножество Xq ={х0, хь •••»
x/f} из к + 1 вершин, содержащее х0, что после его удаления х и у
оказываются отделенными.
Пусть в подграфе G\Xq через Хх обозначено множество вер-
шин, соединимых с х, а через Ху — множество вершин, соединимых
су. Образуем графGx =(Хх {JXO U{y'}, Ux), где у' — новая верши-
на (й X), a Ux состоит из всех ребер того подграфа в G, который по-
рожден множеством вершин Хх UA\), и из добавочных ребер х$у',
х{у', .... х£у'; аналогично образуем граф Gy = (Ху (jA^Ulx'}, Uy )
(рис. 2.5.2).
В графе Gx вершины х и у' несмежны (так как xg Аф), различны
и ^-неотделимы (иначе х и у были бы А>отделимы в G); кроме того,
Рис. 2.5.2
Глава 2. Связность
189
q(Gx; х, y')<qo, поскольку каждая внутренняя вершина в Gx явля-
ется внутренней и в G, но в то же время х0 , будучи внутренней в G,
не является таковой в Gx. По допущению индукции, вершины хи у'
в Gx можно соединить к +1 цепями, попарно не имеющими других
общих вершин; отрезки этих цепей, принадлежащие исходному гра-
фу G, соединяют в нем вершину х соответственно с xq, ху, х^.
Рассматривая граф Gy, выявим в G аналогичную систему цепей, сое-
диняющих х0, X], ..., хк су. Очевидное сочленение цепей первой си-
стемы с цепями второй дает & + 1 искомых цепей в G.
Теорема доказана. Заметим еще, что ввиду леммы 2.1.1 все те
к +1 цепей из х в у, о которых идет речь, можно считать простыми.
СЛЕДСТВИЕ (G.A. Dirac // C.r. Acad. sci. Paris, 250 (1960), № 26,
4252-4253 [62, ЗА277; 22#4643J; R. Halin, H.A. Jung // Math. Ann.,
152(1963), № 1, 75-94 [64, 8A275; 27#5249]).
(а)	Пусть k>\ u в графе G = (X, U) вершины xq, xj, .... xk все
различны и таковы, что после удаления любых отличных от них вер-
шин в количестве менее к вершина xq остается соединимой хотя бы
с одной из X], .... хк; тогда в G существует система к цепей, веду-
щих из х0 в вершины X]...хк и попарно не имеющих общих вер-
шин, кроме х0.
(б)	Пусть к>\ и в G два подмножества вершин Xq, YqC1X
таковы, что |А"о1 =|Уо|=Л, Xq ПУц =0 и при удалении из G менее к
вершин, не принадлежащих УоиУ(). хотя бы одна вершина Xq
остается соединимой хотя бы с одной вершиной Yq; тогда в G су-
ществует система к цепей, соединяющих вершины Xq с вершинами
Уо w попарно не имеющих общих вершин.
Для доказательства (а) добавим к графу G новую вершину х' и
ребра х'х, 0 = 1,..., к). В полученном графе вершины xq и х' являют-
ся (к-^неотделимыми (почему?), и по теореме Менгера существу-
ют к таких цепей, которые после удаления вершины х' образуют в
графе G искомую систему. Утверждение (б) доказывается аналогич-
но добавлением к G двух вершин х', у' (х', у'ёХ, х' ^у1) и ребер х'х,,
у'у, 0=1, •••, к).
Граф G = (X, U) с n(L)>2 называется 1-связным если в нем
всякие две различные вершины /-соединимы или, что при / > 1 рав-
носильно по теореме Менгера, (/ - 1)-неотделимы; в частности,
190
Основы теории графов
2-связный граф — всегда блок, а обратное справедливо за единст-
венным исключением: блок F2 не является 2-связным. Определим
инвариант / (<7) в случае п (G) > 2 как наибольшее I > 0, при котором
граф /-связен, а в случае и((?) = 1 положим Z(G) = O.
ТЕОРЕМА 2.5.2 (Уитни). /((?) равно наименьшему количеству
вершин, удалением которых можно превратить граф G либо в несвяз-
ный, либо в одновершинный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим это наименьшее количество
через k (G). При п (G) = 1, очевидно, I (G)=к (б)=0 (и вообще для вся-
кой клики / (Fn )=к (Fn)=п -1), так что можно предполагать п (б) > 2.
Ввиду I (б)-связности данного графа G = (X, U) любые две его
различные вершины х и у соединимы по меньшей мере / (G) различ-
ными цепями, не имеющими других общих вершин и поэтому
содержащими в совокупности не менее 1(G) вершин множества
А'\{х, у} в случае xy£U и не менее l(G)-l таких вершин в случае
ху е U. Отсюда следует, что удалением менее / (G) вершин из графа G
невозможно ни разделить какие-то две его различные вершины, ни
получить одновершинный граф, т. е. что k(G)>l(G).
Наоборот, невозможность превратить граф G в одновершинный
удалением менее k(G) вершин означает, что л(б)>£(б) + 1, т. е. что
после удаления из G не более k(G)~) вершин хотя бы две вершины
останутся. Но (к(G)-^неотделимость любой пары различных вер-
шин графа G влечет их к (б)-соединимость по теореме Менгера, от-
куда l(G)>k(G). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.5.3 (G.A. Dirac // Rend. Circolo mat. Palermo,
2(1960), № 9, 114-124 [62, 9A172; 47#4834]). В 1-связном графе с
I >2 через любые I вершин проходит простой цикл.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При 1=2 утверждение непосредственно
следует из определения /-связности (см. также теорему 2.2.2). Пусть
оно уже доказано для 1=к>2, и пусть в произвольном (к + ^-связ-
ном графе G выбраны любые к + \ вершин х0, Х|, .... хд..
Так как (к + 1)-связный граф тем более ^-связен, то в случае, ког-
да не все выбранные вершины различны, шаг индукции совершает-
ся сразу, а при различных вершинах существует, согласно индуктив-
ному предположению, простой цикл С, содержащий к вершин
хь ..., х/с. Считаем, что х0 не лежит на этом цикле (иначе больше
нечего доказывать).
Глава 2. Связность
191
Допустим сначала, что на С есть кроме Х], ..., еще хотя бы
одна вершина х^+1- Благодаря (/с + 1)-связности графа G условия
следствия (а) теоремы 2.5.1 выполнены (с к + 1 в роли к); поэтому су-
ществует система к + ] цепей Z®, ..., Z^k\ Z^k+^, идущих из xtffy,,
хк> хк+\ и попарно не имеющих общих вершин, кроме х0; в силу
леммы 2.1.1 все эти цепи можно считать простыми.
Пусть а, — первая (считая от х0) вершина цепи Z^), принадлежа-
щая циклу С (1=1, к, к+ 1). Вершины а\, ..., а^, все различ-
ны и разбивают С на к + 1 простых цепей, среди которых по крайней
мере одна Z' не содержит никакой из к вершин Х\, х^ внутри се-
бя. Удалив из цикла С все элементы цепи Z', кроме ее концевых вер-
шин, получим простую цепь, которая вместе с двумя цепями систе-
мы {Z^}, идущими из хо в эти концевые вершины, образует иско-
мый простой цикл, содержащий все Л + 1 вершин xq, хь ..., х^.
Если С=Ск, т. е. вершины х^+1 на цикле нет, то достаточно по-
строить систему {Z^} из к цепей, причем роль а\, ..., будут, оче-
видно, играть сами х1( ..., х*. (быть может, в ином порядке), и иско-
мый цикл можно образовать даже к различными способами. Теоре-
ма доказана.
А.К. Kelmans, M.V. Lomonosov (DM, 38 (1982), № 2-3, 317-322
[82, 6В689], [83, 7В572]) исследуют, через какие именно к>1 вершин
Z-связного графа можно провести простой цикл (при к < I это любые
к вершин), a N. Tsikopoulos (DM, 50(1984), № 1, 113—114
[84, 12В738]) рассматривает такие /-связные графы с />4, в которых
простой цикл проходит через любые / + 1, но не через любые 1 + 2
вершин. Об аналогичных вопросах для ребер или для заданных под-
множеств, состоящих как из вершин, так и из ребер графа, см.
упражнения 10—12.
Внимание ряда исследователей привлекают /-связные графы, од-
новременно являющиеся /-однородными (см., например, упражне-
ние 2); предположение о гамильтоновости всех таких графов (при
/>2) опровергли В. Jackson, T.D. Parsons // Bull. Austral. Math. Soc.,
24(1981), № 2, 205-220 [82, 7В537].
Обзор результатов по циклам в /-связных графах, содержащим
одно заданное подмножество его вершин и не содержащим другое,
приводит D.A. Holton И Leet. Notes. Math., 1036 (1983), 24—48
[84, 6В507); рассмотрим один из таких результатов.
192
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.5.4 (D.R. Lick // JCTh, В14 (1973), № 2, 122-124
[73, 10В327]). Граф G = (X, U) с п>1 + 1>3 вершинами l-связен тогда и
только тогда, когда для любых подмножеств Y и Z, таких что
ZcYcX & |У| = / & |Z| = 2,
(*)
в G существует простой цикл, содержащий обе вершины Z, но не со-
держащий ни одной вершины множества Y\Z.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала G является /-связным, a Y
и Z удовлетворяют условию (*). Тогда подграф G\(Y\Z), будучи
2-связным (почему?), согласно теореме 2.2.2 обладает простым цик-
лом, который и является искомым в G.
Теперь пусть простой цикл, содержащий Z и не имеющий вер-
шин в Y\Z, существует для любых множеств Y и Z, удовлетворяю-
щих условию (♦), и пусть SaX — любое подмножество с |5[ = /-2, а
Т g X \ 5 — любое двухвершинное. Полагая Y = 5 U Т, получим, что в
подграфе G \ S есть простой цикл, содержащий обе вершины Т; вви-
ду произвольности S этот подграф 2-связен по теореме 2.2.2. Зна-
чит, удаление любого множества не более чем / вершин не разбивает
граф G и не превращает его в одновершинный, т. е. / (G) > /, что и
означает /-связность G.
Теорема доказана. О других исследованиях строения 1-связных
графов см. [УС].
Справедливо очевидное неравенство
l(G)<s(G).
(**)
Задачу нахождения точной нижней оценки / (л, ш) и точной верх-
ней оценки / (л, т) инварианта / (G) через количества вершин и ре-
бер графа G, поставленную в первой книге Бержа, решили незави-
симо друг от друга F. Harary (Proc. Nat.. Acad. Sci. USA, 48 (1962),
1142-1146 [64, 9A269]) и В. Zelinka (Casop. pSstov. mat., 88(1963),
№ 4, 391-395 [65, 1A294]).
ТЕОРЕМА 2.5.5 (Харари—Зелинки).
Глава 2. Связность
193
1(п, т) =
О при т<п-2,
|_2w/nJ при т>п-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ. При удалении
из графа G одного ребра число /(С) не может уменьшиться более
чем на 1, так как для любых х, у&Х, х*у, среди /((7) различных
простых цепей, соединяющих х и у и попарно не имеющих других
общих вершин, не более чем одна может содержать удаляемое реб-
ро. Поскольку /(/"„)=«-!, а любой граф с п вершинами и т ребра-
_	( п I
ми можно получить из клики Fn надлежащим удалением - т
V /
ребер, то
п )
- т
2 )
l(G)>l(F„)~
1 I "I .	(л-1
= л-1-	\+т = т-1
12 J	I 2
Но если процесс удаления начать с ребер, инцидентных одной и
той ж^вершине х0 графа F„, то в случае ^”^-/л<л-1, т. е. при
т > I	I, каждое из удалении уменьшит степень вершины xq , а зна-
чит, в силу (*♦), и число /, ровно на 1, и для полученного суграфа G
графа Fn будет / (G) = т - " I; в случае же т < [ ” ~1 | граф G окажется
\2 /	\ 2 J
несвязным и тогда 1(G)=0. Задачу описания всех графов, на кото-
рых достигается нижняя оценка в первом случае, предложим чита-
телю; во втором случае это будут все несвязные графы с л вершина-
ми и т ребрами, и только они.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ. При т<п-\
граф G с n(G)=n>2 и m(G)=m не может быть связным, т. е. 1(G)=0;
при т=л-1 связность имеет место лишь тогда, когда G — дерево
(§ 2.3), а в этом случае 1 (G) = 1 и	= Пусть теперь т>п
и, следовательно, л>3.
194
Основы теории графов
Так как £ 5 (G, х) = 2т, то s (G) не превышает 2т / п, т. е., будучи
хеХ
числом целым, не превышает откуда /	в силу (*♦).
Остается показать, что при любых л>3 и т>п существует граф G с
n(G)=n и m(G) = m, для которого
Положим
^={*о>
|_2^J ~ 2p+i\ где р = 1, 2, ..., а r=0, 1;
U'g ={x~Xj /|i-jW (mod л)}, где q = 1, 2.р;

U'=l
p
U U'q при Г = 0,
9=1
P	-i
U U'„ kjU" при r=l.
l?=l
Как мы сейчас покажем, граф G' = (Х, U') содержит не более т ребер
и в то же время I (&)	J •
Во-первых, при г=0 степень каждой вершины в G равна 2р, сле-
довательно, m(G')=pn-±\ — I-л<|-2^-п=т; при г = 1 и четном л
степень каждой вершины равна 2р+1, откудал1(б')=^(2р+1)л=
=||_2д^л<т; при г = 1 и нечетном л степень вершины xi с индексом
f=[_yj равна 2р+2, а степени остальных вершин равны 2р +1, так
что /л((7')<|[(2р + 1)(л-1)+2р + 2]=1[(2р + 1)л+1]=1^^ + 1)л<
<1.2т. п=т, поскольку число —, не будучи целым (иначе оно было
2 п	п
бы четным вопреки г = 1), превышает свою целую часть по крайней
мере на 1/л.
Глава 2. Связность
195
Во-вторых, пусть Y с X — подмножество вершин, удаление ко-
торого из графа G' либо превращает его в одновершинный, либо на-
рушает связность. В первом случае |У|>и-1, откуда в силу т<1 ”
\2 )
имеем	В° ВТОРОМ случае суграф Gj =(У, Щ) графа G' яв-
ляется его гамильтоновым циклом, поэтому подграф этого суграфа,
порожденный подмножеством вершин Y, несвязен (иначе удаление
Y не разбивало бы G1); он состоит из двух или более простых цепей.
Среди этих цепей по крайней мере две имеют не менее чем по р вер-
шин (иначе опять удаление Y не разбивало бы граф G' ввиду нали-
чия в нем ребер множеств U'p, U'p^, • ••); поэтому |У|>2р, причем в
случае г = 1 даже |У|>2/? + 1, ибо тогда из-за наличия в G' ребер U"
связность сохранится и после удаления вершин обеих цепей. Таким
образом, в любом случае	откуда к (G') J ’
Если m(G')=m, то граф G' искомый. Если же т(р')<т, то, про-
извольно добавляя к G' недостающее количество ребер (без добав-
ления вершин), получим граф G с n(G)=n, m(G)=m и k((j)>k(G')>
котоРый будет искомым.
Теорема доказана. Для пояснения конструкции приводим четы-
ре примера (рис. 2.5.3), где жирные линии изображают ребра U{,
Рис. 2.5.3
л = 10, т = 30
196
Основы теории графов
тонкие — ребра U'q (при q = 2, ..., р), штриховые — ребра U", а в
кружке указано количество добавочных ребер (сами они не нарисо-
ваны). Задачей полного обзора графов, на которых достигается вер-
хняя оценка, мы заниматься не будем.
Ряд результатов по точным оценкам того или иного инварианта
с участием 1(G) получил Н.Г. Винниченко [75, 8В327; 81, 4В480;
58#21865]. Нижнюю оценку числа ребер и-вершинного графа G с
£((?) = 2 и !(G)<[_nl2j выводит Капап [76, ЗВ553]. Т. Jordan (JGrTh,
31 (1999), № 3, 179—193 [00, 5В270]) исследует функцию / (л, /, t) -
наименьшее количество ребер, добавлением которых к и-вершинно-
му /-связному графу можно сделать его (/+0-связным.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что 1-неотделимость любых двух несмежных вершин графа G
с n(G) > 3 равносильна отсутствию в G шарниров; опираясь на это, воспроизве-
сти некоторые результаты § 2.2. как простые следствия теоремы Менгера при
£ = 1.
2.	Как установил W.T. Tutte (J. London Math. Soc., 22(1947), 107—111
[MR9p297]), всякий ^-однородный 5-связный граф (5>1) с четным числом вер-
шин обладает совершенным паросочетанием. Верно ли, что при нечетном чис-
ле вершин в таком графе всегда есть паросочетание, охватывающее все верши-
ны, кроме одной?
3.	Если и(6)>2& и для любых различных вершин
существуют такие цепи Qb Q2,...» Qk попарно без общих вершин, что б/ идет
из Xi в у( (г = 1, 2, ..., к), то /(6)>2£-1. М.Е. Watkins // Duke Math. J., 35 (1968),
№ 2, 231-246 [69, 4В255].
3*. В любом графе G с т(G)>n(G)l есть /-связная часть. W. Mader //
AMSUH, 37(1972), № 1-2, 86-97 [72, 9В331].
4.	Для /-связности графа 6, где 1 </<п = л (6), достаточно выполнения двух
условий, ни одно из которых ослабить нельзя: (1) при каждом таком к, что
Z—1< А; < («-+-/—3)/2, количество вершин степени $<к не превосходит к+\-1-
(2) число вершин степени <(и+/-3)/2 не больше n-l. G. Chartrand, S.F. Ka-
poor, H.V. Kronk // Mathematika, 15(1968), №1, 51-52 [69, 1В255].
4'. l(G)<n(2s-2)l(s-2\ где л = л(6), 5=5(6). M.О. Albertson, D.M. Ber-
man // DM, 89(1991), № 1, 97-100 [92, 1В434].
4". n< m <[_(«—l)2/4j => s-l <[2m/nJ. He Qi-mei/Z Networks, 14(1984), №2,
337-354 [85, 1В667].
5.	Граф 6= (У, U) с n>/+1 >3 вершинами Z-связен тогда и только тогда,
когда для любого У cl, |У| = /, любого целого р, 2<р<п, и любого ZcK,
|Z| =р, в G есть простой цикл, содержащий все вершины Z, но не содержащий
Глава 2. Связность
197
вершин Y\Z. R. Halin // AMSUH, 33 (1969), 133-134 [70, 6В358; 41 #3310]. В ка-
ком отношении находится этот результат с теоремой 2.5.3?
6.	Доказать, что в любом /-связном графе есть вершина степени / или та-
кое ребро, удаление которого не нарушает /-связность графа. R. Halin // JCTh,
7(1969), № 2, 150-154 [70, 1В303].
7.	Пусть Gi =(%i, Ц) и (?2 =(¥2, U2) — два различных подграфа в (7, оба
/-связные и максимальные (по включению множеств вершин) относительно это-
го свойства. Доказать, что |У1	причем в случае равенства ни одна
вершина из У1\У2 не смежна ни с одной вершиной из X2\Jfp Как можно уси-
лить последнее утверждение, если /=2? Книга Зыкова.
8.	/-связный граф, обладающий совершенным паросочетанием, имеет их
не менее /!! (см. упражнение 3 к § 2.4).
9.	В графе G с / = /(С)>2 всегда есть вершина х, для которой/(G\x) =
= /vj(G, х)<|(3/-1). G. Chartrand, A. Kaugars, D.R. Lick // PAMS, 32(1972),
№ 1, 63-68 [72, 10В359].
10.	Доказать, что в /-связном графе, где />2, можно провести простой цикл
а) через любые вершины хь ..., х/_\ и ребро и, б) через любые вершины jq,...»
Х/-2 и ребра u, v.
Примечание. Во второй книге Бержа сначала доказываются эти утвер-
ждения, а затем с их помощью — теорема Дирака. Сейчас проще действовать в
обратном порядке.
10'. Как показал D.R. Woodall (JCTh, В22 (1977), № 3, 274-278 [77,11В619]),
в 2(£-1)-связном графе, где к >2, через любое ^-реберное паросочетание прохо-
дит простой цикл. Вывести эту теорему из результата б) упражнения 10.
10". С. Thomassen (JCTh, В22 (1977), № 3, 279-280 [77, 12В694]) установил,
что в [(3fc-l)/2J-cBB3HOM графе (t>2) через любое ^-реберное паросочетание
проходит простой цикл; нельзя ли и этот результат просто получить с помо-
щью теоремы Дирака? Вывести отсюда теорему упражнения 10'.
10'". В /-связном (/>2) графе G с h(G)>2j-/+2, где 5=i(G), через любую
простую цепь Z/_2 и не принадлежащую ей вершину проходит простой цикл
длины >2s-/+2. S.C. Locke//Combinatorica, 5 (1985), № 2,149-159 [86, 5В726].
11.	Если всякие две вершины ^-реберного паросочетания РК графа сое-
динены к 4-1 цепями попарно без общих внутренних вершин, то в нем есть про-
стой цикл, содержащий все ребра И4. R. HSggkvist, С. Thomassen [81, 4В498],
DM, 41 (1982), № 1, 29—34 [82, 11В673]. Показать, что отсюда следует теорема
упражнения 10', которая, в свою очередь, влечет справедливость гипотезы Бер-
жа (вторая книга, изд. 1973 г. на англ. яз. [75, 2В484]): в 1-связном графе G через
любую прогамильтонову систему Uq (§2.1) проходит гамильтонов цикл.
12.	A. Adam (Acta math. Acad. sci. hung., 12(1961), № 3—4, 377—397
[62, 10B219]) поставил проблему: каким должен быть граф G и как надо вы-
брать в нем ребра iq,..., и*, чтобы нашелся простой цикл, содержащий все эти
ребра? При Л = 1 ответ тривиален: ребро ц не должно быть перешейком в G.
При к =2 ответ получается на основании упражнения 7 к §2.2. Случай к = 3
198
Основы теории графов
полностью исследовал сам Адам в упомянутой работе и в Publ. math. Debrecen,
10(1963), № 3—4, 96—107 [66, 5А288]; в частности оказывается, что очевидное
необходимое (в случае любого к) условие — отсутствие в G вершины, инцидент-
ной всем выбранным ребрам, и связность суграфа G \{u),..., и*} — при к = 3 так-
же достаточно. Далее см.: R.E.L. Aldred, D.A. Holton, С. Thomassen // Graphs
and Comb., 1 (1985), № 1, 7-11 [86, 2В737].
13.	/-связный граф, утрачивающий это свойство после удаления любой вер-
шины, содержит не менее двух вершин степени 3//2-1; оценка точна.
Ya.Ou. Hamidoune // DM, 32(1980), № 3, 257-262 [81, 4В489].
13'. Пусть /-связный граф G обладает свойством: после удаления любых
р<к вершин остается (/-р)-связный граф. Тогда при \ <к<1 из G можно так
удалить / вершин, чтобы одна из компонент полученного графа имела не более
И(к+\) вершин. R.C. Entringer, P.J. Slater // PAMS, 66(1977), № 2, 372-375
[78, 7В784]; Ya.Ou. Hamidoune // DM, 41 (1982), № 3, 323-326 [83, 3B553]; далее:
W. Mader [88, 11В543].
14.	а) в 3-однородном 3-связном графе для любой простой цепи есть про-
стой цикл, содержащий не менее 2/3 ее ребер;
б) в /-связном графе (/>3) для любой простой цепи Zq есгтъ простой цикл,
содержащий не менее (2/-4)^/(3/-4) ее ребер. J.A. Bondy, S.C. Locke
[81, 7В717; 81 к#05067].
15.	Если и = и((7), / = /(£)> 3 и s=s(G)<(>i+/)/3, то в графе G заведомо есть
простой цикл длины не менее 3s-1. Ж.Г. Никогосян // ДАН АрмССР, 72 (1981),
№ 2, 82-87 [87, 12В866].
15'	. а) Если />2 и ^>(л+/)/3, то граф гамильтонов. R. HMggkvist, G.G. Ni-
koghossian // JCTh, B30(1981), № 1, 118-120 [81, 9В509].
б)	Если />3 и j(G)>max{(w+2/)/4, £ (G)}, то G гамильтонов. Ж.Г. Никого-
сян // ДАН АрмССР, 78(1984), № 1, 12-16 [84, 7В491].
в)	Если $>(и+2/)/4, то либо граф гамильтонов, либо />2, либо £>s+l.
Ж.Г. Никогосян И Труды ВЦ АН АрмССР и Ереван, ун-та, 1985, № 14, 34—54
[86, ЗВ787].
г)	Если л = и((7)>3, граф /-связен, £(С)>у— + 1 и $(С)>и-/2-1, то G
гамильтонов. К. Ota // DM, 145(1995), № 1-3, 201-210 [97, 1В285].
16.	Если неплотность /-связного графа £ =£ (G)</fc+2, то в G есть суграф
Н с s<k+\\ если к тому же лг>3 и е <l+/(fc-l)+c, где 0<с<&, то есть и суграф-
дерево Г, в котором степенью 5 (Г)=к 4-1 обладают не более с вершин. V. Neu-
mann-Lara, Е. Rivera-Campo // Combinatorica, 11 (1991), № 1, 55—61 [93, 2В272].
17.	Если / (G\x)> I (6), то множество вершин окружения О (G, х) является в
G единственным разделяющим множеством с 1(G) вершинами. J. Akiyama,
F. Boesch, Н. Era, F. На гагу, R. Tindell // Networks, 11(1981), № 1, 65-68
[82, 2В654].
Глава 2. Связность
199
18.	Пусть 0	<^2 < • ••	(si ~ Целые), а ап=^^5/; 3-связный граф G с
/=1
s(G) = (5j, 52,...» 5Л)существует в том и только том случае, если 1) вообще есть
хоть один граф с таким вектором степеней, 2) все 5, > 3, 3) 5Л~1 +sn <т-п+4 и в
случае равенства также т>2п-2. S.B. Rao, A. Ramachandra Rao // Pacif. J.
Math., 33(1970), № 1, 205-207 [70, 11В254].
19.	Граф G называется локально 1-связным (ср. с упражнением 15а к § 2.1),
если /-связно окружение каждой его вершины, где 1 </<«—2. Для локальной
/-связности G достаточно выполнение условия 5(х)+5(у)>4и/3 + 2//3-2 при
любых х*у. G. Chartrand, R.E. Pippert // Casop. pfcstov. mat., 99(1974), № 2,
158-163 [74, 11В437]. См. далее: D.W. Vanderjagt // Там же, № 4, 400-404
[75, 5B451], DM, 10(1974), № 3-4, 391-395 [75, 5В452].
20.	Пусть G - (q+2>связный граф, где 0<q <и-3, п = п (6)> 3; пусть, далее,
р<п, s(G) = (5j, 52,...» 5„) и для всех к таких, что 0<k<(p-q)/2, выполнены
условия:
-1 => sk >k+q,
sk<k+q =>	>п-к.
Тогда в G каждая простая цепь длины q принадлежит некоторому простому
циклу длины >р. М. GrOtschel [80, 11В556].
21.	Если в «-вершинном /-связном (/>2) графе G сумма степеней любых /+1
попарно несмежных вершин не меньше т =т (6), то в G есть простой цикл дли-
ны не менее min{«, 2«i/(/+l)}. J. Fournier, F. Fraisse // JCTh, В39(1985), № 1,
17-26 [86, 5В720].
22.	Если в (^+2)-связном «-вершинном графе G=(X, U) ддя любой пары
xytU выполняется условие 5 (х) + 5 (у) > р, то через всякую простую цепь длины
q проходит простой цикл длины />min{«, p-q}. Н. Enomoto // JGrTh, 8 (1984),
№ 2, 287-301 [84, 12В739].
23.	Класс I? всех 3-связных обыкновенных графов является минимальным
(по включению) со свойствами:
a)	L3 содержит все колеса К/ с />3;
б)	если G=(Y, C/)eL3 и xy£U(x, .уе У), то граф (Г, UU {ху})e L?;
в)	если G e L3, то G' e L3, где G * = (XU') получается из G следующим обра-
зом: пусть хеХ — любая вершина G степени 5=5(6, х)>4, а инцидентные ей
вершины распределены в две группы {хь ..., хк}, {x*+i,..., xs }так, что 2 <к < 5-2
(в остальном произвольно); тогда Y' = (Y\{x})U{y, z} (у, z £У), L/' = (t/\{xxi,
Рис. 2.5.4
200
Основы теории графов
...» хх,}UO'Xi,...» yXk}U^xk+\* zxs}\J\yz} (см. рис. 2.5.4 при 5 = 5, к = 3).
W.T. Tutte // РК = IM, 23 (1961), № 4, 441-455 [64, 6А273; 25#3517]; книга: Con-
nectivity in graphs. Univ. Toronto Press; London: Oxford Univ. Press, 1966.
Другое конструктивное описание класса L3: R.W. Dawes // JCTh, B40 (1986),
№ 2, 159-168 [86, 11В633].
24.	Всякий 3-однородный связный граф Gt отличный от Г4, получается из
связного 3-однородного графа G'с меньшим числом вершин одной из операций
а, б, в рис. 2.5.5, причем в случае 2-связности графов G и G' достаточно опера-
ций б и в. N. Wormald // Leet. Notes Math., 748 (1979), 199-206 [80, 6В454].
Рис. 2.5.5
24'. J. Slater (JCTh, B17 (1974), № 3, 281-298 [75, 6B489] и B24 (1978), № 3,
338—343 [79, 2B496]) распространяет теорию Татта на 4-связные графы и дает
способ построения всех /-связных графов из с помощью двух операций.
25.	В 3-связном графе, отличном от Г4 и и критическом в том смысле,
что стягивание любого цикла нарушает 3-связность, имеется хотя бы одна из
двух простых конфигураций (найдите их!); отсюда получается новый рекурсив-
ный алгоритм порождения всех 3-связных графов, отправляясь от Г4 и Г5.
D.W. Barnette // DM, 187(1998), № 1-3, 19-29 [00, 1В302].
26.	а) Подкласс L3pcL3 обыкновенных 3-связных графов, критических в
том смысле, что стягивание любого ребра нарушает 3-связность, состоит из
единственного (с точностью до изоморфизма) графа Г4;
б)	в каждом /-связном графе плотности <р=2 есть ребро, стягивание кото-
рого не нарушает /-связности; при л = л(6)>3/>6 таких ребер не меньше
и + -j /2 - 3/, а если / > 5, то G содержит в качестве подграфа такой простой цикл
С, что G\C связен;
в)	в (/ + 3>связном графе есть такой цикл, удаление которого приводит к
/-связному графу. С. Thomassen, В. Toft [82, 6В679]; С. Thomassen [82, 6В685];
Y. Egawa, Н. Enomoto, A. Saito // Combinatorica, 6(1986), №3, 269-274
[87, 5В690); Y. Egawa // JCTh, B42(1987), № 3, 371-377 [87, 9В654].
г)	В 3-связном графе с и > 7 вершинами каждая длиннейшая цепь, не являю-
щаяся циклом, содержит по крайней мере два таких ребра, стягивание каждого
из которых не нарушает 3-связность графа; отсюда следует существование двух
таких ребер и в любом длиннейшем цикле. M.N. Ellingham, R.L. Hemminger,
К.Е. Johnson // DM, 133(1994), № 1-3, 89-98 [95, 6В301].
Глава 2. Связность
201
д)	в /-связном графе G с s(G)>l + 2 есть простой цикл С такой, что граф
G\C (/-2>связен. М. Lemos, J. Oxley // JGrTh, 30 (1999), № 1, 51-66 [00, 5В223].
26'. Пусть Gq — 3-связный граф, не являющийся колесом. Связный граф G
допускает стягивание на Gq в том и только том случае, если G можно получить
из Gq добавлением ребер и «расщеплением» некоторых вершин степени > 4 на
пары смежных вершин степени > 3 (см. рис. 2.5.4 к упражнению 23). S. Negami //
JCTh, В32(1982), № 1, 65-71 [82, 7В589].
26м. Обыкновенный 4-связный граф G g L4 является критическим относите-
льно стягивания любого ребра, т. е. G g L4p, тогда и только тогда, когда он од-
нороден и каждое его ребро принадлежит хотя бы одному треугольнику. Осно-
вываясь на этом, можно полностью описать класс L4p. N.Y. Martinov // JGrTh,
6 (1982), № 3, 343-344 [82,1В836], DM, 84 (1990), № 1,105-108 [90,12В477].
27.	Граф G называется циклически k-связным, G если удалением менее
к ребер его невозможно разбить на компоненты (хотя бы две), в каждой из ко-
торых имеется цикл; пусть L£. 5 — подкласс всех ^-однородных графов в 1^.
27.1.	3-однородный граф G циклически 4-связен тогда и только тогда,
когда 4-связен его граф смежности ребер L (G). Р. Martin (см. упражне-
ние 28 к §2.1).
27.2.	L4-.^ — минимальный подкласс в L4 со свойствами:
a)	F4, Qy eL^ 3, где Qy — граф, образованный вершинами и ребрами обыч-
ного геометрического куба;
б)	если G g L^ 3, a G' получен из G делением пополам двух различных ребер
и соединением обеих новых вершин новым ребром, то 3. N.C. Wormaid
(см. упражнение 24).
Дальнейшее изучение циклически 4-связных графов, минимальных в раз-
личных смыслах, предпринял N. Robertson // TAMS, 284(1984), №2, 665—687
[85, 6В567].
27.3.	Н.Й. Мартинов [82, 9В528] охарактеризовал класс 1?с у
28.	Назовем к-пучком графа систему к различных простых цепей, соединя-
ющих одну и ту же пару различных вершин и попарно не имеющих других об-
щих вершин. Графы к-пучково изоморфны, если между их ребрами можно уста-
новить взаимно однозначное соответствие, переводящее fc-пучки в £-пучки. До-
казать, что при любом фиксированном к >2 два (к + 1)-связных графа изоморф-
ны тогда и только тогда, когда они Л-пучково изоморфны, и что всякий ^-пуч-
ковый изоморфизм индуцируется некоторым вершинным (сравнить с теоремой
1.10.2 и упражнением 24 к § 1.10). Убедиться на примерах с &=2, 3, 4, что заме-
нить требование (к + 1)-связности менее сильным требованием ^-связности в об-
щем случае нельзя. R. Halin, Н.А. Jung // J. London Math. Soc., 42 (1967), № 2,
254-256 [68, 6B287; 34Я7402]; R.L. Hemminger, H.A. Jung // JCTh, B32(1982),
№2, 103-111 [82, 10В526].
202
Основы теории графов
§	2.6. ВЗВЕШЕННЫЕ ГРАФЫ И МЕТРИКА
Задавая на вершинах и ребрах графа G = (X, U) функции
р-Х^Мр, q:U-^Mq,
где Мр и Mq — произвольные множества, получим взвешенный граф
G[p, q]=(X, U; р, q).
На множествах X и U можно задать и более чем по одной функции
(соответственно отразив это в обозначениях) или, напротив, задать
функцию, скажем, только на ребрах.
К взвешенным графам принадлежат электрические схемы,
структурные формулы химических соединений, сети коммуникаций,
информационные и логические сети, графы автоматов, сетевые гра-
фики работ и многое другое, так что вряд ли можно надеяться на
создание «единой и полной теории взвешенных графов» даже в бу-
дущем, и мы ограничимся здесь отдельными вопросами, в которых
наличие весов не выводит из круга идей чистой теории графов.
Длины ребер. Пусть G[q]=(X, U; q) — обыкновенный граф с ве-
совой функцией q, относящей каждому ребру ueU действительное
число <?(и)>0 в качестве длины; если Q — маршрут, то сумма
q(Q) = ^я(и) по всем его ребрам называется его q-длиной, а просто
ueQ
«длина» понимается в прежнем смысле как количество ребер марш-
рута1 *. Число
Р{х, y)=p4G (х, y)=min{q(Q)IQeQ(x, у)},	(1)
где Q(x, у) — множество всех простых цепей из х в у, называется
q-расстоянием между вершинами х, у<=Х взвешенного графа <?[^];
если х=у, то Q — цепь нулевой длины, ее g-длина q (0=0, а если
вершины х и у отделены в графе, то р(х, у) =+оо. Способы факти-
ческого нахождения функции р по заданной q будут рассмотрены в
следующей рубрике.
1 В обоих случаях каждое ребро графа надо считать столько раз, сколько оно встре-
чается в маршруте.
Глава 2. Связность
203
Термин «расстояние» оправдан тем, что, как легко показать,
функция р, определенная посредством (1), удовлетворяет трем аксио-
мам Фреше:
Vx, уеХ[р(х, у)=0 <=> х=у],
Vx, уеХ[р(х, у)=р(у, х)],
Vx, у, zeX[p(x, у)+р(у, z)>p(x, z)],
т. е. является метрикой на множестве X. В частном случае, когда все
q(u) = l и, значит, q-длина всякой цепи совпадает с ее обычной дли-
ной, метрика р=р}> графа G [1] называется естественной метрикой
обыкновенного графа G = (X,U).
Если все значения q (и) рациональны, то их можно сделать целы-
ми, перейдя к новой единице измерения длины. Заранее предпола-
гая числа q натуральными, подразделим каждое ребро ueU на q (и)
частей с помощью q (и) -1 новых вершин и в полученном графе G’
всем ребрам припишем единичную длину; соответствующая метри-
ка р', будучи естественной для G', совпадает с р на вершинах G.
Правда, говорить о полном сведении произвольной метрики р к ес-
тественной нельзя по крайней мере по двум причинам:
а)	если задача состоит в нахождении некоторой вершины графа
6(9], характеризуемой в терминах его метрики, то в G' требуемым
свойством может обладать не вершина исходного графа G, а какая-
то из точек деления;
б)	^-длины q (и) ребер графа (/[9] исходной задачи могут быть
иррациональными числами (в чисто прикладных вопросах это об-
стоятельство не столь важно). Но, несмотря на эти (и некоторые
другие) «мелочи», ясно, что введение для ребер весовой функции
типа длины не означает существенного выхода за рамки чистой те-
ории графов, зато может представлять технические удобства. До
конца этой и следующей рубрик будем под <7 [9]=(X, U; q) пони-
мать обыкновенный граф с заданными действительными положи-
тельными 9-длинами ребер и с метрикой P=Pq, определенной ра-
венством (1).
Вершина х$&Х графа <7(9] называется q-центральной, если
VxeX[maxp(x, y)>maxp(xn, v)],
уеХ	уеХ
204
Основы теории графов
и q-периферийной, если
Vxe X[maxp(x, y)<maxp(x0, у)].
уеХ	уеХ
В силу того, что множество X конечно, а величина +оо допуска-
ется как возможное значение функции р, вершины каждого из двух
указанных типов существуют. Величина
гЧ (G)=r (G[o]) = min maxp(x, у)
хеХ уеХ
носит название q-радиуса, а величина
d4 (G)=d{G[q]) = max р(х, у)
х,уеХ
— q-диаметра графа С?[<7]. У несвязного графа тахр(х, у)=+оо для
любой вершины х, поэтому каждая его вершина является одновре-
менно и «/-центральной, и ^-периферийной, а (/-радиус и ^-диаметр
бесконечны. В случае естественной метрики приставка «q-» во всех
терминах опускается.
Например, у графа рис. 2.6.1 с естественной метрикой р верши-
ны dnj центральные, вершины a,f, g и т периферийные, радиус ра-
вен 4, диаметр 7. Г.Н. Копылов и Е.А. Тимофеев (УМН, 32 (1977),
№ 6,226 [78, 9В612]) полностью описывают тройки п, т, с натураль-
ных чисел, для которых существуют л-вершинные графы с т ребра-
ми, имеющие в естественной метрике ровно с центральных вершин,
a F. Buckley, Z. Miller, P.J. Slater (JGrTh, 5(1981), №4, 427-434
[82, 6B687]) и F. Buckley (DM, 38 (1982), № 1, 17-21 [82, 5B489]) -
графы, изоморфно содержащие заданный как центр [УС]. Радиус и
диаметр графа в естественной метрике, очевидно, являются его ин-
вариантами, их связям с други-
ми инвариантами, соответству-
ющим свойствам графа, в част-
ности критичности, посвящены
упражнения 2—16, а не указан-
ную там литературу см. в [УС]:
диаметрально критические гра-
фы, естественная метрика гра-
фа и критические графы.
Глава 2. Связность
205
ТЕОРЕМА 2.6.1 (Жордана)1. Пусть в связном графе G[q]=
= (У, €/; q) с |Х| >2 некоторая q-центральная вершина xq такова,
что все инцидентные ей ребра являются перешейками. Тогда G[q] мо-
жет кроме xq иметь самое большее одну q-центральную вершину,
притом смежную с х0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим	>---->.
через <?( ={Х,, U( ) 0 = 1, 2, ..., к) ком-
поненты подграфа G\x0 (рис. 2.6.2).
гг»	lAj j •*’0>	•
Так как вершина хд — ^-центральная,	—z	X. •
а граф G связен, то, в силу особенно- **1
сти его структуры,	foe X^Gk
vaa.xp{xQ, у)=гЧ (G)=r<+a>	Рис. 2.6.2
уех,
хотя бы для одного jg {1, 2, ..., к}, например i=1. Учитывая еще, что
р(х0, y)=q (х^) для любой вершины у, смежной с х0, рассмотрим
три случая.
Случай 1: к = 1. Torfla|Zi| = l, ибо иначе для вершины уоеХу
смежной с х0, было бы maxp(yQ, х)=г-р(х0, Уо)<г> т- е- х0 не яв'
хеХ
лялась бы «/-центром. Граф G состоит из двух вершин xq, у$ и одно-
го ребра хоуо> и утверждение теоремы в этом случае тривиально.
Случай 2: к>2, и при каком-нибудь ie{2, 3, ..., к}
шахр(х0, у)=г;
уех,
пусть это имеет место для i=2. Тогда никакая вершина у *х0 не мо-
жет быть ^-центральной, ибо расстояние от нее до некоторой ^-пе-
риферийной вершины графа G, находящейся в том из множеств Ху
Х^, которое не содержит у, больше г.
Случай 3: к>2, и при всех /е{2, 3, ..., £}
max p(xq, у)<г.
yeXj
* С. Jordan (J. reine und angew. Math., 70 (1869), 185—190) формулировал эту теорему
иначе. В терминах теории графов для случая <7=1 см. первую книгу Бержа.
206
Основы теории графов
Пусть j/0 " вершина из Aj, смежная с х0; тогда, очевидно,
тахр(р0, у)=г-р(х0, уй)<г.
Среди чисел тахр(х0, у), где i=2, 3, к, заведомо есть не мень-
УеХ,
шее, чемг-р(х0, у0), иначе ^-радиус графа G был бы меньше г; до-
пустим, например, что max р(х0, у)>г-р(хд, уо).
уеХ2
В случае равенства вершина j'q является ^-центральной, а в слу-
чае строгого неравенства не является. В обоих случаях никакая вер-
шина zeAr\{x0, у0} не может быть ^-центральной, ибо при zeX^
расстояние от z до некоторой ^-периферийной вершины графа G,
находящейся в У2> больше г, а при zeXh где i >2, расстояние z от
^-периферийной вершины G, принадлежащей X], превышает г. Тео-
рема доказана.
Так как дерево представляет собой связный граф, все ребра ко-
торого — перешейки (§2.3), то сразу получаем
СЛЕДСТВИЕ. Взвешенное дерево T[q] обладает либо единствен-
ной центральной вершиной, либо двумя смежными.
В случае естественной метрики данное выше определение центра-
льной вершины для дерева оказывается равносильным прежнему
определению центра (§2.3 и упражнение 10 к нему), а на графы с
единственным циклом его распространяет М. Truszchynski (Math,
slov., 35 (1985), № 3,223—228 [86,2В701]). Заметим еще, что обзоры по
алгоритмам нахождения паросочетаний (Galil Zvi, § 2.4 [87, 12В739])
охватывают и q-наиболыиие паросочетания [УС] в графе G[^].
Реализация метрики с помощью графа. Как известно, метриче-
ским пространством (X, р) называется непустое множество X вместе
с заданной на нем метрикой — функцией р от пар его элементов,
принимающей неотрицательные действительные значения (+ оо тоже
допускается) и удовлетворяющей трем аксиомам Фреше. Сказанное
в предыдущей рубрике естественно приводит к двум основным вза-
имно обратным задачам:
(I) по данному взвешенному графу (?[</]=(.¥, U; q) найти метри-
ческое пространство (X, р), где P=Pq',
(II) для данного метрического пространства (X, р) построить в
качестве строгой реализации такой граф G [<?]=(X, U; q), что р£ =р.
Глава 2. Связность
207
Решение задачи (I), теоретически определяемое равенством (1)
однозначно, всегда существует ввиду конечности графа G [<?], а
практически состоит в построении такого алгоритма нахождения р
по q, который был бы существенно проще полного перебора про-
стых цепей между всеми парами вершин; подробное описание и
оценки эффективности некоторых алгоритмов (с указанием литера-
туры, содержащей исчерпывающую библиографию) имеются в упо-
мянутой во введении книге [АЗ] и в статье: N. Deo, Pang Chi-yin //
Networks, 14 (1984), № 2, 275—329 [85, 1B647], — а мы здесь рассмот-
рим один из этих алгоритмов (R.W. Floyd // Comm. ACM, 5 (1962),
№ 5, 345).
Пусть G[q]=(X,U;q) — взвешенный граф, в котором Х =
={х], х2, ..., хп}\ удобно вместе него рассматривать полный граф
Fn [?]=(^, ^^5 Для чего доопределим функцию q, полагая
^(и) = +оо при ue.X^\U. Ясно, что на искомой метрике замена
графа G[#] графом Fn [<?] не отразится. Образуем симметричную
матрицу ||^,у||=||^,у||", в которой =0 и ^y=g(xfx7) пригну
(i,>l, 2, ..., л).
Введенную Флойдом тернарную операцию, отвечающую трой-
ке чисел а, /3, уе{1, 2, ..., п}, а*0*у*а, можно обозначить как
оператор [а, Ду]; результатом применения его (справа) к некоторой
матрице R =||Гу ||" является матрица R [а, Ду], в которой оба эле-
мента гр? =г7р заменены на {гр?, гра+гау}, а остальные оставлены
без изменения. Докажем, что
||9у ||[1, 23] [1, 24] ...[1, 2л] [1, 34]...[1, Зл]...[1, (л-1)п] [2, Гз] [2, 14]...
... [2, 1л] [2, 34]... [2, Зл]... [2, (л-1)л] [3, 12] [3, 14]...
... [3, (л-1)л]... [л, 12]... [л, 1 (л-1)]... [л, (л-2)~(л-1)]=||ру||,
гдеру =рд (xit х;)=р^. (xf, х.) при всех i, уе{1, 2, ..., л}; т. е. мат-
рица Иру ||, задающая на множестве Xискомую метрику р=р£, полу-
чается из исходной матрицы ||^у || последовательным применением
лг 1 операторов вида [а, Ду], где при каждом фиксированном
208
Основы теории графов
а = 1, 2, п символ 0у пробегает все J неупорядоченных пар
различных чисел из множества {1, 2...а-1,	а + 1,	п).
Действительно, пусть таким образом получена матрица ||р'у||.
Каждой промежуточной матрице ||г(у||” этого процесса, в том числе
и окончательной, соответствует взвешенный граф Fn [г]=(А'. Х^; г)
с функцией г (х,~Xj ) =г(у, определяющей, как непосредственно ясно из
смысла тернарной операции, ту же метрику р на множестве X, что и
графы F„[g], G[g]; поэтому всегда г(у >ру, в частности р'у >р,} .
Предположим теперь вопреки доказываемому, что р'д >Ру для
какой-то пары индексов i j, и из всех р'-кратчайших цепей, соеди-
няющих вершину Xj с Xj в графе Fn [р']( выберем самую короткую в
обычном смысле; эта цепь Q не может иметь вид xix~XjXj (поче-
му?), и пусть хр, ха, Ху — три ее последовательные вершины, такие
что a*i, j. Уже в графе Fn [г] с Iky ||=||д,у|| [1, Й]~... [а, ру]ребру
хрх7 будет придана r-длина, не превышающая г (хрха)+г(х„Ху), и
она от применения к матрице ||г(у || дальнейших операторов может
лишь уменьшаться. Отсюда следует, что в графе Fn [р'] цепь, полу-
ченная из Q заменой участка хрхрхахах~Ху Ху участком
хр хрХу Ху, имеет ту же р'-длину, что и Q, но короче ее в обычном
смысле, а это противоречит выбору Q. (Вопрос читателю: в каком
месте рассуждения использовано предположение р’у>руТ)
Одним из решений задачи (П) служит полный граф Р,, [<?]=
= (Х, X₽l; q), где q(xy)=p(x, у) при всех х, уе Х\ в нем, оказывает-
ся, можно единственным образом выделить суграф	U; q),
минимизирующий решение сразу в нескольких наиболее естествен-
ных смыслах: по количеству ребер, по сумме их 9-длин и др.
Назовем ребро ху графа F„ [9] существенным, если его 9-длина
q(xy) конечна и не равна q(xz)+q(zy) ни для какой вершины
zeX\{x, у}. Суграф <?[<?], обеспечивающий на множестве X ту же
метрику р, что и сам F„ [9], необходимо содержит все его существен-
ные ребра. Действительно, если ху е X ₽) \ U, то либо q (ху)=+оо, ли-
бо в G[9], а значит, и в Fn [9]есть простая цепь Q=xxx\ х, xtx2 х2 ...
xt Х1УУ с Я (Q)=Я (ху) <+00 и t > 1; при t > 1 вместо Q можно рассмот-
реть цепь ххх2х2 ...xfx~tyy, 9-длина которой по-прежнему равна
q (ху) в силу третьей аксиомы Фреше и того, что Q является 9-крат-
чайшей цепью между х и у; и т. д., пока не выявим цепь вида Q, но с
Глава 2. Связность
209
1 = 1. В обоих случаях (q (ху) = + ж и q (ху) < + <*>) ребро ху, не принад-
лежащее суграфу (?[(/], оказывается несущественным в Fn [(/].
Покажем, что этого и достаточно: если U — множество всех су-
щественных ребер графа Fn [(/], то суграф G [(/]=(X, U; q) уже реша-
ет задачу.
Пусть х, уеХ — две вершины с (*у)< + °°, a Qxy — соединяю-
щая их простая цепь ^-длины q (ху) в Fn [д]. Если хотя бы одно реб-
ро ab этой цепи не является существенным, то q (ab)=q (ас) + q (cb)
для некоторой сеХ\{а, Ь}; заменяя участок aabb на aacccbb, мы из
Qxy получим маршрут Q'xy с q(Q'xy )-q (Qxy) и с увеличенной на 1
обычной длиной. Этот маршрут — простая цепь, иначе выделенная
из него по лемме 2.1.1 простая цепь Qxy ввиду положительности
всех q(yi) обладала бы (/-длиной q (Qxy) <q (ху), что невозможно.
Итак, при наличии на Qxy несущественных ребер эту цепь все-
гда можно заменить более длинной, тоже простой, без изменения
q-длины. Но граф с фиксированным числом вершин не может содер-
жать сколь угодно длинных простых цепей, а вершины х и у были
взяты произвольно, поэтому всякиех,у^Х обязательно соединяют-
ся такой простой цепью q-длины q(xy), которая не содержит не-
существенных ребер графа Fn [#], т. е. целиком принадлежит его
суграфу <?[(?].
Граф GP [ (/] = (?[(/], однозначно определяемый по метрике (X, р)
как сказано выше, будем называть ее существенной реализацией.
Дальнейшее уменьшение суммарной (/-длины ребер или их количе-
ства станет возможным, если отказаться от требования, чтобы реа-
лизация была строгой в подразумеваемом до сих пор смысле: мно-
жество вершин графа совпадает с множеством элементов метриче-
ского пространства.
Назовем просто реализацией метрики (X, р) взвешенный граф
<т[(/]=(У, [/; q) такой, что X^Х и метрика p=pq~, определяемая
функцией q на множестве X его вершин, совпадает с р на подмноже-
стве X. На рис. 2.6.3 для каждой из трех метрик сначала показана су-
щественная реализация, а затем нестрогая с наименьшей возможной
суммой g-длин ребер; эта сумма во всех трех случаях значительно
меньше, чем при существенной реализации (количество же ребер
оказывается меньшим лишь во втором случае).
210
Основы теории графов
р~ 2 0 2
0	2	2	2
2	0	2	2
Р~	2	2	0	2
2	2	2	0
X ={*ь х2, х3, х4}
0	2	3	3
2	0	2	5
Р~	3	2	О	3
3	5	3	0
2 2 0
X ={*ь *2» *з)
Рис. 2.6.3
0 2 2
Если множество X по-прежнему конечно, а функция р принима-
ет только целые значения, то естественной реализацией метрики
(У, р) называется обыкновенный граф G = (X9 U)9 где IcI, естест-
венная метрика которого р-р<* совпадает с р на X.
ТЕОРЕМА 2.6.2. (D.C. Kay, G. Chartrand // Canad. J. Math.,
17 (1965), № 2, 342-346 [67, 11B238; 30#5298]). Целочисленная метри-
ка (X9 p) допускает строгую естественную реализацию (Х=Х) в
том и только том случае, если
Vx9yeX{2<p(x9y)< + <x>^BzeX\{x9y}[p(x9z)+p(z9y)=p(x9y)]}. (2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия (2) очевидна: ес-
ли р=рв при некотором графе G=(X, U)9 то для любых его соеди-
нимых несмежных вершин х9 у можно в качестве z взять какую угод-
но промежуточную вершину на одной из кратчайших цепей между х
и у. Для доказательства достаточности построим по заданной мет-
рике (X, р) граф G = (X9 U)9 где U ={xyl х, уеХ&р(х9 у) = 1}9п пока-
жем, что Pg =р.
Если р(х9 у) = 0, то х=у по первой аксиоме Фреше, а так как
кратчайшая цепь из х в х имеет нулевую длину, то pG (х, _у) = 0.
Глава 2. Связность
211
Если р(х, у) = 1, то pG (х, у) = 1 непосредственно по построению
графа G.
Если 2<р(х, у)< + оо, то, применяя к=р(х, у)-1 раз условие (2),
выделим в X такую последовательность элементов z\, z^, zk,
что р(х, Z])=p(z], z2) = ...=p(z^, у)=1. По построению графа G в
нем есть цепь с последовательными вершинами х, zt, z2, ..., z^, у,
откуда pG (х, у)<р(х, у); но здесь строгое неравенство невозможно:
если бы х и у соединялись в G более короткой цепью, то ей в У отве-
чала бы последовательность zj, z2, ..., z'^ указанного вида, но с
к' <р(х, у) —1, и используя к' раз неравенство треугольника (третью
аксиому Фреше), мы пришли бы к абсурду: р(х, у)<р(х, у).
Наконец, если р(х, у) = + °о, то рс (х, у) =+оо, т. е. вершины х и у
отделены в G, ибо допущение о наличии соединяющей их цепи при-
водит к выводу о конечности р(х, у).
Из построения графа G = (X, U) в доказательстве достаточности
ясно, что этот граф в случае существования определяется однознач-
но (даже не с точностью до изоморфизма, а «жестко» — см. начало
§ 1.2). При отказе от требования строгости естественной реализации
она для целочисленной метрики всегда возможна, но, вообще гово-
ря, не единственна. Существование искомого графа G, впервые уста-
новленное Э.Д. Стоцким (Сибирский матем. ж., 5 (1964), № 5,
1203—1206 [65, 11А282]), сразу следует из решения задачи (II): снача-
ла строим существенную реализацию С[д]=(У, U; q) с р^ =р, а за-
тем, пользуясь целочисленностью функции q, подразделяем каждое
такое ребро ueU, для которого 2<^(м)<+оо, на q(u) частей, как
сказано в предыдущей рубрике. Возможность неизоморфных естест-
венных реализаций одной и той же метрики видна из примера на
рис. 2.6.4, не самого простого, но поучительного еще и в том отно-
шении, что оба графа обладают как наименьшим возможным (при
заданной метрике) количеством вершин (девять), так и наименьшим
Х={х\, х2, х3, х4}
Рис. 2.6.4
0 2 3 3
2 0 2 5
3 2 0 3
3 5 3 0
212
Основы теории графов
количеством ребер (десять). Вопрос нахождения или характериза-
ции такого подкласса обыкновенных графов, в котором каждая
метрика (X, р) с конечным X и целочисленной р имела бы единст-
венную (с точностью до изоморфизма) естественную реализацию,
пока не решен.
В классе деревьев реализуема не всякая целочисленная метрика,
но, как показал Е.А. Смоленский (см. упражнение И к §2.3), если
реализация существует, то она единственна даже в несколько более
сильном смысле, чем с точностью до изоморфизма; критерий же ре-
ализуемости нашел К.А. Зарецкий (УМН, 20 (1965), № 6, 94—96
[66, 6А267]), а затем для более общего случая J.M.S. Simoes Pereira
(JCTh, 6(1969), № 3, 303-310 [69, 11B310J). Последний результат
можно сформулировать так:
Метрическое пространство (Х9 р) с конечным множеством X и
произвольной (не обязательно целочисленной) функцией р реализуе-
мо взвешенным деревом T[q]=(X, U; q) в том и только том случае,
если такого рода реализацию допускает каждое 4-элементное под-
пространство заданного пространства. Эта формулировка охва-
тывает и метрики с |У|<3, реализуемость которых вытекает из нее
формально по принципу истинности логической импликации с
ложной посылкой. См. также: A.N. Patrinos, S.L. Hakimi // Quart.
Appl. Math., 30(1972), № 3, 255-269 [73, 6B359]; J.M.S. Simoes Pe-
reira, Ch.M. Zamfirescu // Linear algebra and Appl., 44(1982), 1—17
[82, 11В632].
Приводить здесь доказательства результатов Смоленского и За-
рецкого (объединенных в книге Зыкова в одну теорему) не имеет
смысла потому, что они (как и теорема Симонеса Перейры для слу-
чая целочисленной метрики) легко выводятся из общих теорем
В. Имриха и Э.Д. Стоцкого (ДАН СССР, 200 (1971), № 2, 279—281
[72, 2В363]; Сибирский матем. ж., 13 (1972), № 3, 558-565 [72, 9В337]),
имеющих и самостоятельный интерес. Однако на этих теоремах мы
тоже не останавливаемся по двум причинам: во-первых, хотя спра-
ведливость основной теоремы сомнений не вызывает, доказательст-
во ее даже во второй (более подробной) статье представляется нам
неполным; во-вторых, все эти результаты можно, сохраняя общую
идею обеих статей, сформулировать и доказать несколько проще,
притом без предположения о целочисленности метрики (примерный
план этой не слишком легкой работы предлагается желающим в
Глава 2. Связность
213
упражнении 18). Заметим еще, что для взвешенных деревьев резуль-
таты типа упомянутых непосредственно следуют из работы
С.В. Юшманова (Матем. заметки, 35 (1984), № 6, 877—887
[84, 10B458J), где показано, что дерево T[q]cp висячими вершинами
однозначно задается 2р-3 элементами его матрицы расстояний, и
дан соответствующий алгоритм (с числом шагов, линейно завися-
щим от количества вершин дерева).
В отношении других метрических свойств графов мы ограни-
чимся кратким обзором.
^-кратчайшие суграфы заданного типа. Из этой серии задач рас-
смотрим две, близкие по постановке, но резко различающиеся по
трудности решения.
1.	В связном обыкновенном взвешенном графе G[q]=(X, U; q) с
конечной функцией q найти связный суграф без циклов (т. е. дерево,
содержащее все вершины X) с наименьшей суммой q-длин ребер. Весь-
ма эффективный алгоритм Краскала для решения этой задачи, на-
зываемый еще «жадным», состоит в том, чтобы на каждом шаге вы-
бирать новое ребро наименьшей (/-длины, не образующее циклов
вместе с выбранными ранее. Другой — «алгоритм ближайшего сосе-
да» — предложил Прим. Подробное описание алгоритмов (с оценка-
ми эффективности) имеется, например, в упомянутой во введении
книге [А8], но обосновать первый из них мы рекомендуем читателю
самостоятельно в качестве полезного и не слишком трудного
упражнения.
2.	В графе G[q] предыдущей задачи найти цикл с наименьшей сум-
мой q-длин ребер, проходящий через все вершины. В случае клики это
задача о коммивояжере, а при любом G, но q = 1 она включает проб-
лему существования гамильтонова цикла; как показывает анализ
многочисленных работ, все основные трудности задачи коммивоя-
жера проявляются уже при нахождении гамильтонова цикла в
обыкновенном невзвешенном графе. Литература по этой задаче
столь обширна, что мы считаем разумным здесь лишь сослаться на
книги [А1, 3—8, 10, 11], упомянутые во введении; по их библиогра-
фиям можно разыскать и остальные работы.
Приведенная постановка задачи о коммивояжере называется
аддитивной', в другой постановке — минимаксной — она звучит так:
214
Основы теории графов
найти в G[<?] цикл, проходящий через все вершины и минимизирую-
щий наибольшую из 7-длин ребер цикла (см.: F. Supnik И Ann. of
Math. (2), 66(1957), № 1, 179-201 [59, 5, 2997; MR19p514]).
Геодезические графы. Связный граф G[7]=(T, U; q) с конечной
функцией q называется геодезическим, если для каждой пары вер-
шин соединяющая их ^-кратчайшая цепь единственна. Понятие это
введено в книге Оре (задача 3 к главе 4) для естественной метрики
(7 = 1) и только в этом случае пока изучалось; историю вопроса и
библиографию см. в статье: K.R. Parthasarathy, N. Srinivasan //
JCTh, ВЗЗ (1982), № 2,121-136 [83, 6В569]. Как легко показать, граф
<7 [7] является геодезическим тогда и только тогда, когда этим свой-
ством обладает каждый его блок; однако оно может нарушаться
при подразделении ребер новыми вершинами (см. упражнение 22),
что препятствует непосредственному сведению теории 7-геодезиче-
ских графов к случаю 7 = 1. Li Deiling, Мао Jingzhong (Acta Math,
sin., 19 (1999), № 1, 86—90 [00, 6B291]) рассматривают блоки, сохра-
няющие геодезичность после подразбиения ребер; но построение
общей теории 7-геодезических графов, видимо, требует принципиа-
льно иного подхода. Литературу cn. в [УС].
Т. Zamfirescu (Ann. Univ. Ferrara, 21 (1975), ser VII, 17—21
[77, 1B468]) изучает «антигеодезические» графы, в которых для каж-
дой пары вершин длиннейшая простая цепь между ними единствен-
на. Упомянем, наконец, работу «промежуточного» характера о
среднем расстоянии р (<7) = У р(х, у)/ ” , где сумма распростране-
V )
на на все неупорядоченные пары различных вершин графа G:
J.K. Doyle, J.E. Graver // DM, 17 (1977), № 3,147-154 [77,11В616].
Веса вершин. Для обыкновенного графа G[p]=(X, U; р), каждой
вершине хеХ которого приписан натуральный вес р(х), многие
проблемы можно свести к случаю невзвешенных графов. Например,
желая найти груду с наибольшим суммарным весом вершин, расще-
пим каждую х с р (х) > 1 на р (х) обычных вершин (веса 1) — см. нача-
ло § 1.8 — и в полученном обыкновенном графе будем искать наи-
большую груду Et. J. Moravek (Casop. pgstov. mat., 99(1974), № 3,
286—292 [75, 2B507]) обобщает на графы <?[р] теорему Турана.
Графами, в которых взвешены и вершины и ребра (упражне-
ние 23), мы тоже специально заниматься не будем.
Глава 2. Связность
215
Упражнения и дополнения
0. Доказать, что в связном графе G fo] всякие две ^-длиннейшие цепи име-
ют общую вершину. Всегда ли есть вершина, общая для всех таких цепей
одновременно?
2k Доказать, что в естественной метрике граф с диаметром d и длиной
кратчайшего цикла 2J+1 является однородным.
3.	Доказать, что если г((7)=2 и J(G) = 3, то r(G)=2, и J(G)<3; во всех
остальных случаях min{J(G), J(G)}<2. Метрика естественная. В.О. Васин,
Л.И. Фадеев [80, ЗВ632].
4.	Доказать, что в естественной метрике дерево обладает диаметром 2
тогда и только тогда, когда оно — веер.
5.	Рассмотрим два высказывания о графе G в естественной метрике:
a) J(G)=2, б) хотя бы один из суграфов G — веер. Верно ли, что а) => б) и что
б) => а)?
6.	Доказать, что если блок G является униграфом (§1.2), то J(G)<3 и
г((7)<2. R.H. Johnson И JCTh, В17(1974), № 2, 188-198 [75, 4В405].
7.	В естественной метрике справедлива точная верхняя оценка числа ребер
графа через количество его вершин и радиус:
т <
I I при г = 1,
[л (л-2)/2J при г =2,
(л2-4лг+4г2 + 5и-6г)/2 при г>3.
В.Г. Визинг//ДАН СССР, 173 (1967), № 6, 1245-1246 [67, 10В218; 35#1508].
7'. Доказать, что r(G)<r&s(G)<s^> n(£T)<A+rsr.
8.	Пусть л = л((7), m = m(G), d = d((j)\ тогда
2d - 3 - (d2 -d-4)/п < п -2т / п.
Вывести отсюда оценки: a) d<A+n-2&\ б) d+d<n+\, где d=d((j) и G пред-
полагается связным. J.A. Bondy И Canad. Math. Bull., 11 (1968), № 3, 499—501
[69, 7В200].
9.	Доказать, что если г (<7) = *7(С)=2, то
,~,d4 ПРИ л<с)=4>
zn(G)><
|2л((7)-5 при л(С)>5.
F. Gliviak [71, 4В421]; D. Palumbini И Rend. 1st. Lombardo Acad. sci. e lett.,
A106 (1972), № 3, 704-713 [73, 7B359]; F. Gliviak // Rend. 1st. Lombardo Acad. sci.
e lett., A110 (1976), № 1, 3-5 [78, 7В777].
1 Взято из книги Харари.
216
Основы теории графов
9'. Вывести для блока диаметра d> 5 оценку т>— 24 1 и описать все гра-
фы, на которых достигается равенство. Н. Enomoto, Y. Usami // Tokio J. Math.,
22(1999), № 1, 1 — 16 [00, 5В272].
10.	Пусть G=(X, U), n = n(G).
а)	Если сумма степеней любых к различных вершин G не меньше к\п!к\,
где 2 <h , то d (p)<3h-4, и эта оценка точна.
б)	Пусть далее/д. (x)=\{yl\<pG (х, у)<к}\, хеХ. Если VxeY(х)>
и А>2, то
'2к при h =2,
r(G)<’ Зк+1 при Л = 3,
(2А: 4-1) (Л-2)4-1 при А>4,
а если VxgX {/д. (x)>\_nlh]>2} и h>4, то г (G) < min {ЗЛ-7, j (2л 4-3-
-74и|_л/63-8л+9 )}. F. Kramer // Rev. anal, numer. §i teor. aproxim., 1 (1972),
№2, 125—131 [74, 1B367]; № 1, 31-36 [78, ЗВ484].
11.	Для любых натуральных г и d, удовлетворяющих условию r<d<2r-2,
графы G с г(С) = г и d(G)-d существуют, причем наименьшее число вершин G
равно r + d, а количество таких неизоморфных графов + Ph.A. Ost-
rand // DM, 4(1973), № 1, 71-75 [73, 5В458].
12.	Если / = /(С), s-s(p)) и d = то
l(d- 3) + 254- 2 при <У>3,
л(6)>’ 5 4-2 при J =2,
2 при d = 1.
V.G. Kane, S.P. Mohanty // PAMS, 72(1978), № 1, 211-212 [79, 9В640].
13 (Ю.Н. Нишанов // Вопросы вычислит, и прикл. матем. Ташкент,
15(1972), 89-101 [73, 6В384], Труды Самарканд, ун-та, 235(1973), 138-147
[74, 4В346]). Связный граф G = (X, U) с г = г (G)> 1 (в естественной метрике) назы-
вается радиально критическим, если соединение новым ребром любой пары не-
смежных различных вершин приводит к уменьшению радиуса.
13.1.	Радиально критический граф радиуса г обладает следующими свойст-
вами:
а)	если вершина t — шарнир, то количество Г-блоков (§ 2.2) равно двум;
б)	все центральные вершины находятся в одном блоке, а остальные блоки
(если они есть) имеют структуру, показанную на рис. 2.6.5, т. е. представляют
собой плотно-симплициальные цепи;
в)	диаметр не превышает 2г-2.
F
F
F
Рис. 2.6.5
Глава 2. Связность
217
13.2.	Верно ли, что если G имеет шарниры, то его блок с центральными
вершинами, будучи рассматриваем как самостоятельный граф, является ради-
ально критическим?
13.3	(Одесский семинар, сентябрь 1978 г.). Граф G является радиально кри-
тическим радиуса 2 в том и только том случае, если дополнение G несвязно и
каждая его компонента — веер.
14.	(Ю.Н. Нишанов [78, 7В783], Тезисы докл. IV Всес. конф, по пробл.
теор. кибернетики. Новосибирск, 1977, 148—149)» Вершины х и у графа
G=(X, U) называются подобными, если либо х=у, либо ху eU &Vz е%\{х, у)
(xz eU<=>yz е U).
14.1.	а) Отношение подобия вершин есть эквивалентность.
б)	Если G радиально критический, то сжатие любого класса подобия (т. е.
удаление из класса любого числа, но не всех вершин) не меняет радиуса и
не нарушает свойства критичности.
в)	Подграф, полученный из G полным сжатием всех классов подобия, уже
не имеет подобных различных вершин.
14.2.	Граф без подобных различных вершин называется несжимаемым.
Пусть G — несжимаемый радиально критический граф; его вершина х называ-
ется расширяемой, если замена ее 2-кликой (операция, обратная сжатию) не
меняет радиуса и не нарушает критичности графа.
а)	Замена расширяемой вершины любой кликой (не только двухвершин-
ной) тоже не меняет радиуса и не нарушает критичности графа;
б)	вершина х расширяема тогда и только тогда, когда после добавления к
G любого ребра для всякой вершины у, центральной в полученном графе G',
уже р'(х, ^)<г(6)-1.
14.3.	а) Выяснено, когда две вершины х*у несжимаемого радиально кри-
тического графа G допускают одновременное расширение (т. е. расширение од-
ной не нарушает расширяемость другой).
б)	Если в некотором множестве вершин графа G каждая пара вершин од-
новременно расширяема, то расширяемо и все множество в совокупности.
15.	F. Gliviak [77, 1В441; 52#5487] изучает графы, критические в том смыс-
ле, что удаление любой вершины уменьшает радиус, а Ю.Н. Нишанов (Вопросы
алгебры и теории чисел. Самарканд, 1980, 16—22 [81, 10В566]) показывает, что
если этому классу принадлежит не только сам G, но и его граф смежности ребер
L (G), то G радиально критический в прежнем смысле.
16.	Если Хк ={х|, х2, •••» хк}^^ такое подмножество вершин графа
G= (X, U), что
Vx, уеХ {р(х, jy)=max|p(x, х,)-р(у, х,)|}
\<i<k
(метрика р естественная), то множество столбцов матрицы расстояний
||р(х, _у)||”, соответствующих вершинам Хк, задает G изоморфно. Для наимень-
шего числа вершин такого подмножества найдены точные оценки снизу и
218
Основы теории графов
сверху через n(G) и d(G). С.В. Юшманов // ДАН СССР, 259 (1981), № 1, 49—52
[81, 12В840], Вопросы кибернетики. М., 86 (1982), 101 — 121 [82, 6В682]; далее см.
[88, 11В515].
17.	Доказать, что граф G является деревом в том и только том случае, если
a?(G) = l, <p(G)<2 и для любых вершин х, у, z, t (не обязательно различных) из
трех величин
А=А(х, у, z, l)=p(x, y)+p(z, t),
В=В(х, у, z, l)=A(x, z, у, I),
С=С(х, у, z, l)=A(x, t, z, у)
две совпадают и не меньше оставшейся (метрика P~Pg естественная). Р. Bune-
man // JCTh, В17 (1974), № 1, 48-50 [75, 2В518; 51#218].
18.	Воспроизвести в обобщенном виде результаты работ Имриха и Стой-
кого по следующей схеме.
18.1.	Бинарное отношение «р (х, у) < + оо» на множестве X метрики (X, р) —
эквивалентность; ее классы порождают подпространства (X р), / = 1, 2, ..., х,
называемые компонентами метрики; при а? = 1 метрика связна.
18.2.	Для упорядоченных четверок х, у, z, t элементов связной метрики
(X, р) определим три функции А, В, С как в упражнении 17 (только теперь их
значения не обязательно будут целыми). Множество X представимо в виде
Аг=У1и%2и...и^, |JTznJVy|<l,	(3)
с соблюдением условия: А <В -С тогда и только тогда, когда в каждой из пар
{х, и {z, Z} оба элемента принадлежат одному и тому же из подмножеств
Х(. Если дальнейшее подразбиение множеств X/ с сохранением всех этих
свойств невозможно, то представление (3) единственно (с точностью до нуме-
рации), и тогда подпространства (Xh р), / = 1, 2, ..., к, называются блоками
метрики (У, р).
18.3.	Минимальной реализацией метрики (У, р) называется граф(/=(?[^] =
= (Y, U; q) с р^ = р на X (ciX), для которого не существует аналогичного графа
G' = (X', U'; q') с
[m(G')<m(G) & w(G')<w(G) v [n(G')<«(G) & m (G')<m (G)].
Минимальная реализация связной метрики есть связный граф с конечной функ-
цией q, а в случае несвязной метрики — граф с тем же числом х компонент, каж-
дая из которых минимально реализует соответствующую компоненту метрики.
18.4.	Если G =G [?] = (А\ U; q) — минимальная реализация связной метрики
(X, р), a Gz = (Xh Of, q) — все блоки графа G (i = 1, 2,..., к), то к совпадает с коли-
чеством блоков (У„ р) метрики и при надлежащей нумерации
Глава 2. Связность
219
V/e{l, 2, к}
Для неминимальных реализаций это, вообще говоря, не так.
19.	Показать, что сформулированный в тексте результат Симонеса Перей-
ры и, следовательно, результаты Смоленского и Зарецкого в обобщенном виде
вытекают из результатов упражнения 18, а для реализации с наименьшей сум-
мой длин ребер — из: W. Imrich, J.M.S. Simoes Pereira // JCTh, B36 (1984), № 1,
1—15 [84, 12B751); характеризация соответствующих матриц ^-расстояний:
J.M.S. Simoes Pereira // DM, 65(1987), № 3, 277-287 [87, 12В709].
20.	A.B. Максименков (Кибернетика, 1974, № 5, 90—92 [75, 2B485]) решает
задачу нахождения ь Fn[q] цикла, ^r-длина которого близка к наименьшей воз-
можной, проходящего через все вершины и через заданное паросочетание.
21.	Доказать, что в графе (7, ребрам которого приписаны веса q > 0 с общей
суммой Q, имеется простая цепь, сумма весов ребер которой не меньше
2(>/л((7). A. Frieze, С. McDiarmid, В. Reed // ARS Combinatoria, 33(1992),
329-336 [93, 5В292].
22.	Проверить, что граф F3 с ребрами длины 1,1,4 является геодезическим,
но утрачивает это свойство после подразделения ребра длины 4 на четыре реб-
ра длины 1.
23.	Пусть Т -Т\р, ^] = (У, U\ р, q) — дерево, каждой вершине которого
приписан конечный «вес» р(х)>0, а каждому ребру — конечная «длина»
q(и)>0. Пусть, далее, А — фиксированное натуральное число. Тогда множество
Xq вершин Т, минимизирующих функционал
/n (*)= ZpOOIpC*.
у*х
где р=р^, состоит из одной вершины или двух смежных (ср. со следствием тео-
ремы 2.6.1). Будет ли Xq одним и тем же для разных пар функций р, ql Книга
П.С. Солтана и др. [А2], упомянутая во введении; на языке чистой теории гра-
фов: А.К. Кельманс [73, 7В394; 53Я5369].
Результат обобщается на функционалы fg (х) = (y)g (р(х, }>)), где g —
у*Х
произвольная возрастающая выпуклая функция. В.К. Сибирский // Изв.
АНМССР, сер. физ.-техн. и матем. н., 1976, № 3, 22-26 [77, 6В472], 1978, № 2,
25-29 [79, 1В636], [82, 6В671; 83к#52013], продолжение: [88, 7В617]. См. также:
Sh. Shinoda, М. Sengoku, К. Omura, I. Shirakawa // Bull. Fac. Sci. and Eng. Chuo
Univ., 26 (1983), 151-155 [84, 11B524]; P.J. Slater // Leet. Notes Math., 1073 (1984),
169-178 [85, 2В717].
220
Основы теории графов
§2.7. МУЛЬТИГРАФЫ
Вот и пришла пора дать формальное определение конечного не-
ориентированного графа общего вида. Теперь вплоть до гл. 4 мы
будем, если нет особой оговорки, понимать под графом упорядочен-
ную тройку
G = (X U, у/),
где X ^0 — множество вершин, U — множество ребер, оба конеч-
ные, а
V/: U-+X2
— отображение, относящее каждому ребру ueU неупорядоченную
пару ip(u)=xy вершин х, уеХ, называемых концами этого ребра.
В случае ул(м)=хх ребро и — петля при вершине х, т. е. инцидентная
х; если же у/ (и) -ху &х *у, то и — звено, соединяющее х с у (и у с х),
т. е. инцидентное каждой из этих вершин. Вершины х и у смежны,
когда они имеют по крайней мере одно общее инцидентное ребро;
в частности, вершина, при которой есть хотя бы одна петля, смеж-
на сама с собой. Ребра и и и называются параллельными, если
u*v&у(и) = 11г(и).
Часть графа G определяется как такой граф G' = (Х', Uf, у/), в
котором Х'с; X, V ci U и новое отображение у/ индуцируется преж-
ним. В частности, при U' U / у/(и)е (X')2} имеем подграф, при
X'-X — суграф.
Если вершины графа G пронумерованы, например просто
У={1, 2, ..., п}, то задать его можно матрицей смежностей
A (G)=|la(/ IL гДе ау ~ количество ребер, соединяющих i-ю верши-
ну су-й (/, 7 = 1, 2, ..., п); эта матрица, конечно, зависит от поряд-
ка нумерации вершин и определяет граф G, если отвлечься от
конкретной природы его элементов, с точностью до перестановок
параллельных ребер между собой (т. е. гораздо «жестче», чем с
точностью до изоморфизма). В случае необходимости полной ин-
дивидуализации всех ребер можно пользоваться матрицей инци-
денций ^(G)=||j5,7||=||j3y||", где
fl, если f-я вершина иу-е ребро инцидентны,
РУ ~ I А
[ив противном случае.
Глава 2. Связность
221
Здесь /=1» 2, и; / = 1, 2, т\ ребра тоже считаются пронумеро-
ванными, например U ={flb а2> •••, ат)-
На рис. 2.7.1 изображен граф G = (X, U, у/) с X ={1, 2, 3, 4, 5},
U ={а, Ь, с, d, е, f, g, h} и отображением у/, определенным следую-
щим образом: у/ (а) = у/ (Z>) = yz(c) = 14, y/(d) = 12, у/(в) = y/(f)=22,
y/(g) = y/(h)=35.
5
Для него
	0 1 1 2	0 0	3 0	0 0		1 0	1 0	1 0	1 0 1 1	0 1	0 0	0 0
A(G) =	0 0	0	0	2	, B(G) =	0	0	0	0 0	0	1	1
	3 0	0	0	0		1	1	1	0 0	0	0	0
	0 0	2	0	0		0	0	0	0 0	0	1	1
Два графа Gy = (Ху, Uy, i//j) и G2 = (АГ2, С/2, ^2) называются изо-
морфными, Gy^G2, если множества их вершин можно привести во
взаимно однозначное соответствие <^У2 так> чтобы соответст-
венные пары вершин соединялись в обоих графах одним и тем же
количеством ребер, иначе говоря, чтобы для любых ху, ууеХу и
х2, у2 еХ2 из Xj ох2 &у\ <->_и2 следовало l^"1 (хр>])| =|у-1 (х2у2)|,
где у/"1 и t//~1 — полные прообразы (множества ребер, имеющих об-
разом данную пару вершин). Существует и другое определение:
G]-G2, если между множествами вершин и множествами ребер этих
графов можно установить взаимно однозначное соответствие, со-
храняющее отношение инцидентности. Оба определения равносиль-
ны (упражнение 1). Матрицы смежностей изоморфных графов мож-
но перевести друг в друга перестановкой рядов (§ 1.3), а матрицы
инциденций — перестановкой строк и независимой от нее переста-
новкой столбцов.
222
Основы теории графов
Проблема изоморфизма графов рассматриваемого вида точно
так же, как было показано в § 1.6 для «химических» графов, сводит-
ся посредством конструкции Визинга к нахождению плотности
вспомогательного обыкновенного графа; в последнем достаточно
сохранить лишь те вершины, которые получаются наложением друг
на друга вершин с одинаковыми кортежами смежностей в исходных
графах: если в G при вершине х имеется р$ петель, а другие смежные
вершины У1,	•••, Уз (если они есть) соединены с ней соответст-
венно р\, Р2, ...» ps ребрами, где р\ <Р2 <...<ps, то кортеж смеж-
ностей вершины х — это вектор р(С?, х) = (ро> Р1> Р2» •••» Ау)- Так,
для графа, представленного на рис. 2.7.1, имеем p(G, 1) = (0, 1, 3),
р«7, 2)=(2, 1), p(G, 3)=(0, 2), p(G, 4)=(0, 3), p(G, 5) = (0, 2).
В частном случае, когда граф G =(X, U, у/) является обыкновен-
ным, отображение у/ инъективно (т. е. у/(м)*у/(и)), а образ
у/07)={у/(w)/u&U} множества ребер не содержит пар вида хх (т. е.
у/07)сГР1); лишь в этом случае мы позволим себе сохранить ран-
нее обозначение G = (Х, U) и отождествлять ребро и с парой вершин
ху-ц/(и). Желая же подчеркнуть, что граф G = (X, U, \у) не обяза-
тельно обыкновенный, можно наряду с записью общего вида (при
участии у/) пользоваться термином мультиграф. Если G — мульти-
граф без петель, то его граф смежности ребер L (G) при наиболее ес-
тественном определении оказывается тоже мультиграфом без пе-
тель, в котором две различные вершины могут соединяться не более
чем двумя ребрами (упражнение 19).
Маршрутом (длины />0) из вершины х0 в вершину х/ графа G
называется, как и прежде, последовательность
x0W]Xiw2X2 ...х^и/х/,
где все х( еX, все м( et7, a ^f(ui)=xi~^xi при /=1, 2, ..., I (только те-
перь нельзя писать х^х,- вместо и,)1; определения цепи и простой
цепи, циклического маршрута, цикла и простого цикла, связности
и компоненты, а также формулировка и доказательство лем-
мы 2.1.1 дословно те же, что и для обыкновенных графов. Опреде-
ления шарнира и перешейка, блока и Г-блока отличаются от преж-
них лишь тем, что каждую петлю вместе с инцидентной вершиной
1 Индексы вершин и ребер в общем обозначении маршрута не следует путать с номе-
рами этих элементов в пронумерованных множествах X и U (а так бывало!).
Глава 2. Связность
223
мы считаем отдельным блоком; сама вершина — шарнир, если то-
лько петля не является единственным инцидентным ей ребром. Те-
оремы 2.2.1 и 2.2.3 сохраняют силу с прежними доказательствами,
однако не всегда перенос результатов на мультиграфы так прост
(упражнения 5 и 6).
Обобщая сказанное в § 2.5, обозначим через U (х, у) множество
ребер графа G = (X, U, iy), соединяющих его вершины х и у, и дадим
следующие определения. Вершины х*у графа G называются к-от-
делимыми, если их соединимость можно нарушить удалением из G
не более к элементов множества (У \{х, .у})UU (х, у). Вершины х^у
называются l-соединимыми, если существует / цепей из х в у, попар-
но не имеющих ни других общих вершин, ни общих ребер. При та-
ких определениях теорема Менгера справедлива в прежней форму-
лировке:
ТЕОРЕМА 2.7.1. Две различные вершины графа G = (Х9 U, <//)
тогда и только тогда к-неотделимы, когда они (к+ V)-соединимы
(к = 0, 1, 2, ...).
Для доказательства достаточно заметить, что различные верши-
ны х и у, к-неотделимые и /-соединимые в графе G, являются
(к-/^неотделимыми и (/-/^-соединимыми в его суграфе G\U (х, у),
где p=\U (х, у)|, и наоборот, и применить к суграфу первоначальный
вариант теоремы Менгера, доказательство которой ничуть не меня-
ется от возможного наличия петель и параллельных ребер (почему?).
Гораздо более существенное изменение теоремы Менгера и
предшествующих ей определений приводит к ее «реберному вариан-
ту», который впервые установил непосредственно в терминах тео-
рии графов A. Kotzig (Suvislost’ a pravidelna suvislost’ konednych gra-
fov. Bratislava, September 1956), но который также вытекает из полу-
ченных одновременно результатов по теории транспортных сетей:
L.R. Ford jr., D.R. Fulkerson // Canad. J. Math., 8(1956), № 3,
399—404 [58, 2, 1047; MR18p56]; P. Elias и др. (см. начало § 2.5). Две
вершины х*у графа G = (X, U, у/) называются к-отрезаемыми, если
их можно разделить удалением из G не более к ребер (без удаления
вершин), и ^сплетаемыми, если существует / цепей из х в у попарно
без общих ребер (общие вершины допускаются без ограничений).
ТЕОРЕМА 2.7.2. Вершины хФу графа G тогда и только тогда
к-неотрезаемы, когда они (к + \)-сплетаемы (k = 0, 1, ...).
224
Основы теории графов
В книге Зыкова доказательство проведено по той же схеме, что и
для теоремы Менгера, однако проще, следуя В.К. Булитко (устное
сообщение, 1972 г.), свести ее к последней. Тот факт, что (£ч-1}-спле-
таемость вершин влечет их ^-неотрезаемость, почти тривиален, и
остается доказать обратную импликацию.
Пусть G = (Х, U9 у/) и х, уе Х9 х*у. Построим вспомогательный
обыкновенный граф Gxy следующим образом:
сначала строим двудольный граф (X, С/, V), в котором вершинами
«левой доли» служат вершины исходного графа, вершинами «правой
доли» — его ребра, а хие V (хе Х9 uе t/) тогда и только тогда, когда в
G вершина х и ребро и инцидентны (образно: располагаем верши-
ны G по вертикали и каждое ребро, как резиновое, оттягиваем впра-
во, закрепляя его отдельной булавкой на второй вертикали);
далее соединяем две различные вершины в U новым ребром (уже
нарушая двудольность графа) в том и только том случае, если они
имеют хотя бы одну общую смежную вершину в У\{х, у};
наконец удаляем из полученного графа все вершины множества
У\{х, у}. Процесс построения Gxy по G проиллюстрирован на
рис. 2.7.2.
Рис. 2.7.2
Доказываемое условное предложение о вершинах х и у расчле-
ним на три импликации: они fc-неотрезаемы в G => они Zr-неотдели-
мы в Gxy => они (к 4- 1>соединимы в Gxy => они (/: + 1)-сплетаемы в G.
Первая импликация трудностей не вызывает: из способа построения
графа Gxy по G непосредственно усматривается, что fc-отделимость
вершин х и у в Gxy влечет их £-отрезаемость в G. Вторая
Глава 2. Связность
225
импликация выражает прежнюю теорему Менгера для обыкновен-
ного графа Gxy. Докажем третью импликацию.
Предположим, что вершины х и у соединены в Gxy системой из
к + 1 простых цепей, попарно не имеющих других общих вершин.
Каждой такой цепи отвечает в G последовательность различных ре-
бер, у которой соседние ребра смежны (имеют общую инцидентную
вершину), причем все к +1 последовательностей попарно не имеют
общих ребер. В каждой из этих последовательностей первое ребро
инцидентно х, последнее инцидентно у, а вся она не обязательно об-
разует простую цепь между этими вершинами только потому, что в
ней более двух ребер подряд могут располагаться веером; но тогда
все ребра веера, кроме первого и последнего, мы исключим из по-
следовательности (например, цепи х х2 2 23 3 35 5 5у у в графе Gxy
рис. 2.7.2 отвечает в G последовательность ребер 2, 3, 5, сама обра-
зующая веер И3, и после исключения среднего ребра 3 получается
последовательность ребер 2, 5, которые вместе с инцидентными вер-
шинами составят простую цепь х265у)- Исключение всех таких лиш-
них ребер во всех к +1 последовательностях приводит к искомой си-
стеме цепей в графе G. Теорема доказана.
Отношение /-соединимости (или, что равносильно по теоре-
ме 2.7.1, (/-^-неотделимости) вершин х и у в графе G, очевидно,
симметрично, но не транзитивно, как видно на примере рис. 2.7.3.
Напротив, /-сплетаемость (или, что равносильно по теореме 2.7.2,
(/-1)-неотрезаемость), если для совпадающих вершин считать ее вы-
полненной по определению, есть эквивалентность: симметрия опять
тривиальна, а транзитивность имеет место потому, что если удале-
нием менее / ребер невозможно отделить ни х от у, ни у от z, то та-
кое удаление не отделит и х от z.
Как и в случае обыкновенных графов, мультиграф G = (X, U, if/)
называется /-связным, если в нем всякие две различные вершины
/-соединимы, и / (G) означает наибольшее такое /. Аналогично опре-
деляются I-сплетены ость и число
/'(G). Обозначая еще через I" ((G) /цепей	/цепей
наименьшее количество звеньев G,	\
имеющих общую инцидентную вер- J-------у	z
шину, можно записать неравенства
/(G)</'(G) </"((?); (О	Рис 27 3
226
Основы теории графов
несложный их вывод, а также построение примеров, где достигают-
ся равенства, предоставим читателю (упражнение 14; книга Хара-
ри); некоторые достаточные условия правого равенства см. в
упражнении 15, а другие работы, посвященные условиям достижи-
мости этих равенств и оценкам чисел I и Г через другие инварианты
графа, поведению I и Г при удалении элементов из графа, пробле-
мам существования мультиграфов с заданными /, Г, Г', s и др. — в
упражнениях 17, 19' и в [УС]: инварианты связности и 1-сплетенный
граф. Дальнейшие обобщения понятий отделимости, соединимости,
отрезаемости, сплетаемое™ и соответствующих теорем предлагает
В. Zelinka (Casop. pgst. mat., 96(1971), № 2, 145-150 [71, 11B530]).
G. Shaar [77, 6B450] исследует наибольшее количество таких цепей
попарно без общих ребер, которые идут из вершин заданного под-
множества в его же вершины, а Т. Hirata, К. Kubota, О. Saito (JCTh,
В36 (1984), № 1, 85-94 [85, 1В653]) и Н. Okamura (JCTh, В37 (1984),
№2, 151—172 [85, 8В589]) — системы к цепей попарно без общих ре-
бер, соединяющие вершины выделенных к пар. Вопросом существо-
вания мультиграфа с заданными Г, s и 5 занимаются F.T. Boesch,
C.L. Suffel (JGrTh, 4 (1980), № 4, 363-370 [82, 1В787]; Networks,
12(1982), № 3, 341-350 [83, 3B515J).
Операция мулыпистягивания ребра и графа G = (X, U, состоит
в удалении этого ребра и отождествлении тех вершин х, у, которые
оно соединяло, с сохранением всех остальных ребер; при этом ребра,
соединявшие х и у с одной и той же вершиной z, становятся паралле-
льными, ребра, параллельные и, — петлями (рис. 2.7.4), а мультистя-
гивание петли означает ее удаление. Числом Хадвигера Т) (G) называ-
ется количество вершин наибольшей клики F^, в которую можно
превратить G с помощью мультистягиваний ребер и удалений эле-
ментов. В частном случае, когда
граф G обыкновенный, это число
совпадает с прежним (§ 1.3), хотя
при мультистягиваниях могут
возникать параллельные ребра
(строгое доказательство этого,
как и формальное определение
мультистягивания, предоставим
читателю).
Рис. 2.7.4
Глава 2. Связность
227
Пусть, как и в § 1.3, gj(G) означает число различных f-раскрасок
(мульти)графа G = (X, U, у/). Так как правильность раскраски требу-
ет, чтобы смежные вершины имели разные цвета, то при наличии у
G хотя бы одной петли gj (G) = 0 для всех i = 1, 2, ... . Обозначая через
G<u> граф, полученный из G мультистягиванием ребра и, мы мо-
жем утверждать, что
gi(G)=gi(G\u)-gi(G<u>),	(2)
ибо если и — не петля и не имеет параллельных ребер, то равенство
следует из соотношения типа#, (G')=gi (G'\Ju)+gi (G'<u>), вывод
которого (§ 1.4), очевидно, сохраняет силу и для мультиграфов; в
случае, когда и — петля, G \ и=G <и> и gi (G)=0, а при наличии реб-
ра, параллельного и, gi (G\u)=gi (G) и gj (G<u>)=0 из-за появле-
ния петли. Умножая равенства (2) на соответствующие обобщенные
степени х(0 формальной переменной х и суммируя по i, получаем
для инварианта Г(б)=Г(б, x)==£gi: (G)x('l рекуррентное соотно-
шение	»>1
f (G)=f (G\w)-f (G<w>),	(2')
которое вместе с начальными условиями gi (E„)=S(n, I) (числа
Стирлинга второго рода), т. е. Г(Еп)=хп, позволяют вычислить
многочленный инвариант Г (G), а значит, и Г (G), от любого мульти-
графа G (ср. с упражнениями 3 и 4 к § 1.4).
Теперь пусть Pjk (G) — количество тех суграфов в G, которые об-
ладают j ребрами и числом компонент к, а
P(G)=P(G; х, у) = ^Pjk(G)xkyj
j,k>0
— многочлен от двух формальных переменных. Легко видеть, что
Pjk (G)=Pjk (G\u)+Pj_lk (G<u>)
при любом ueU и что при всех /=0, 1, 2, ...
х fl, если к-п,
Pjk -। п 7
[О, если кФп.
228
Основы теории графов
Поэтому инвариант P(G) удовлетворяет рекуррентному соотно-
шению
P(G) = P(G\w) + yP(G<w>)
и начальным условиям Р(£„)=х” (n=0, 1, 2, ...)• Сопоставляя это с
соотношением (2') и начальным условием для Г, заключаем, что
f (G; x)=P(G; х, -1),
откуда
g,(G)= £(-!)''	(3)
j>0	к>0
Этот вывод соответствует работе: А. А. Зыков // ДАН СССР, 143 (1962),
№ 6, 1264—1267 [67, 1А231], но сама формуда (3) вытекает также из го-
раздо более ранних результатов Биркгофа, Льюиса, Уитни и Татта, по-
лученных другими способами (см., например, книгу Оре). О нахожде-
нии хроматического многочлена мультиграфа см. далее: М. Borowi-
ecki, Т. Jozwiak // Demonstr. Math., 14 (1981), № 2,361-370 [82, ЗВ593].
Примечание. Формулу (3) А.А. Зыков (Кибернетика, 1981,
№ 5, 132—133 [82, 4В554]) обобщает на гиперграфы и на неполные
раскраски вершин.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать равносильность двух определений изоморфизма, приведенных
в тексте.
2.	Даны два графа G = (У, U, у) иС' = (2", U', у), где А' = Х' = {1,2, 3,4,5},
U={a, Ь, с, d, е, f, g, h}, U'=^ 0, у, 8, e, g, 17, в}; у (a)=24, у,	(c) = U
y(rf)=24, y(e) = li, y/(f) = 34, yf(g) = yf(h) = 45, y/'(x) = 12, ip'(/?)=2'3,y'(/)=3'5>
y’(5) = V''(£) = lX Y'(s) = fc, <//'(д)=21, у/'(в) = 4~5.
а)	Начертить эти графы и убедиться в том, что G - G'.
б)	Составить матрицы смежностей и инциденций этих графов и указать те
перестановки строк и столбцов, которые переводят А (6) в А (6') и В (6) в В (G').
3.	Пусть bik (G) — количество таких /-вершинных подграфов графа G = (У,
U, у/), для которых в G существует ровно к ребер, имеющих в подграфе только
по одной инцидентной вершине (это иголки — см. § 1.3, — а также петли); пусть,
далее, B(G)= ^bik — многочлен от формальных переменных х и г
i,k>0
(очевидно, инвариант).
Глава 2. Связность
229
а)	Построить два четырехвершинных мультиграфа G и G', таких что
G * G', но B(G) = B(G').
б)	Показать, что если для каждого /-элементного подмножества в X извест-
но число таких ребер, которые имеют в этом подмножестве ровно по одной ин-
цидентной вершине, то граф G этими данными определяется с точностью до пе-
рестановок параллельных ребер. О.Л. Бандман, В.П. Маркова ([80, 7В592;
81f#05126], Кибернетика, 1980, №4, 29-31 [80, 12В480]).
3'. Обыкновенные л-вершинные графы G = (Х, U)hG' = {Х', U') называют-
ся к-сходными, 2<к<п, если существует взаимно однозначное соответствие
X <-> X', при котором любой подграф в G, порожденный подмножеством вер-
шин Y <^Х с|У|=/с, и подграф в Gпорожденный подмножеством Y'сX' соот-
ветствующих вершин (УнУ', |У1=£), обладают одинаковым числом ребер.
Доказать, что для ^-сходных G и G':
если к~п, то m(G) = m(G');
если к = п-1, то Vx еX Ух'еХ' [х ч-> х' => 5 (G, х) = s (G', х')] и, следователь-
но, s(G) = s(G');
если /с=л-2, то G^G'.
В.Г. Визинг //Дискр. анализ и исслед. операций, 2 (1995), № 4, 3—12 [1996, 9В282].
Распространяются ли эти результаты на мультиграфы (без петель и общего
вида)?
4.	Даны матрицы смежностей двух графов:
	0	2	0	0	0	1		0	2	0	1	0	0
	2	0	1	0	1	0		2	0	1	0	1	0
	0	1	1	1	0	0		0	1	0	2	0	1
							, A(G') =						
	0	0	1	0	2	0		1	0	2	0	0	0
	0	1	0	2	0	1		0	1	0	0	1	1
	1	0	0	0	1	1		0	0	1	0	1	1
Составить для G и G' кортежи смежностей вершин и при помощи конструкции
Визинга (с удалением лишних вершин) выяснить, изоморфны ли эти графы.
5.	Перенести на мультиграфы теорему 2.2.2.
6.	Проделать упражнение 7 к § 2.2 для случая мультиграфов.
7.	Для мультиграфов, имеющих шарниры, вершинная гипотеза Улама
(§1.10) справедлива. J.A. Bondy // Pacif. J. Math., 31 (1969), №2, 281-288
[70, 11В233].
8.	Доказать, что для обыкновенных графов т (G)>^-^~—и оценка
точна. L.B. Shapely // RAND Report Р-2371, 1961.
9.	Доказать, что если в /-сплетенном мультиграфе G удаление ребра
uet/(x, у) не нарушает /-сплетаемости вершин х и у, то суграф G\u тоже явля-
ется /-сплетенным. А. Коциг // Casop. pSst. mat., 86(1961), №3, 288-307
[62, 2А301; 24ЯА1843].
230
Основы теории графов
10.	Мультиграф G =G (У, U, у/)	и без голых вершин явля-
ется /-сплетенным тогда и только тогда, когда для любого V czU с|И| = / и
любого И'с:Ис|И'|=2в(7 есть цикл (не обязательно простой), содержащий оба
ребра V\ но не содержащий ребер И\И'. D.R. Lick (см. теорему 2.5.4).
11.	Среди обыкновенных и-вершинных графов с вектором степеней
(.vj, ^2,...» 5Л) граф G, удовлетворяющий условию Г(G)>A>1, имеется в том и
п
только том случае, если все $j>k, а при к = 1 также ^5, >2 (п-1). J. Edmonds //
/=1
J. Res. Nat. Bur. Standards. Sect. В, Вб8(1964), № 2, 73-74 [65, 5А256].
12.	Распространить на мультиграфы определение 5-однородности и пока-
зать, что результат упражнения У к §2.4 остается в силе.
13.	В 4-однородном мультиграфе G не всегда есть 3-однородная часть, но
она появится, если к G добавить любое звено. N. Alon, S. Friedland, G. Kalai //
JCTh, B37 (1984), № 1, 92-93 [85, 7В676].
14.	Привести примеры мультиграфов и обыкновенных графов, для кото-
рых оба неравенства в (1) — строгие.
15.	Если обыкновенный и-вершинный граф G =(У, U) удовлетворяет усло-
вию Vx, уеХ [ху е U=> 5(х)+5 0>)>и-1], то l'(G) = l"(G) (=s(G)): L. Lesniak //
DM, 8 (1994), № 4, 351—354 [74, 12В345]. Другие достаточные условия равенства
/'=/": D.L. Goldsmith, R.C. Entringer // JGrTh, 3 (1979), № 3, 251-255 [80, 3B564];
В. Bollobk // DM, 28 (1979), № 3, 321-323 [80, 3B591 ]; J. Plesnik, S. Znam // Archiv
math., 25 (1989), № 1—2, 19—25 [90, 6B411] — обзор и обобщение; P. Dankelmann,
L. Volkmann // ARS Combinatoria, 40(1995), 270-278 [96, 4В318].
15'. а) В любом мультиграфе G есть пара 5 (GJ-сплетаемых вершин.
б)	Если w>(/-1)m-| и п<1, то в мультиграфе имеется /-сплетенный
подграф.	' '
в)	Если m>k(n-V)/2, то в G есть две вершины, соединимые к цепями
попарно без общих ребер, причем условие ослабить нельзя.
г)	Если G — не груда, то для любого ребра ху вершины х и у соединяются
к = min{5 (С), х),5(С, у)} цепями попарно без общих ребер (а надо ли здесь счи-
тать, что x*j?). W. Mader И Math. Ann., 191 (1971), № 1, 21-28 [71, 8В462],
Math. Z., 131 (1973), № 3, 223-231 [74, 1B340], Math. Ann., 205 (1973), № 1, 9-11
[74, 2В460].
(k\	*
д)	Если n = n(G)>k & m(G)>(k-V)n-\ I, то в мультиграфе G есть под-
граф H с Г(Н)>к9 в котором концы каждого ребра ^-неотделимы. G. Kalai //
Graphs and Comb., 1 (1985), № 1, 65-79 [86, 2В732].
16.	Пусть n = n (G), m = m (G), Г = /' (G) и мультиграф G критичен в том смыс-
ле, что удаление любого звена уменьшает /'. Тогда
(а)	л>3/'-2 => m</'-(/')2,
(б)	в каждом подграфе G' графа G есть вершина х с 5(G’, х)</' (G).
W. Mader // Math. Ann., 191 (см. предыдущее упражнение).
Глава 2. Связность
231
0<Z'(G)Z'(G)<
17.	Для обыкновенного л-вершинного графа G справедливы оценки типа
Нордхауза— Гаддума (см. упражнение 10 к §1.3):
\<l'(G)+l'(G)<n-\,
L(n - 1)/2_|-Г("- D/2] при л^О, 1, 2 (mod 4),
(л-3)(л+1)/4 при л=3 (mod 4),
причем все они достижимы; аналогичные утверждения справедливы и для инва-
рианта / вместо /'. Y. Alavi, J. Mitchem // Leet. Notes Math., 186(1971), 1—3
[71, 10В544].
18.	Даны граф G и целое / > 1; каково наименьшее число ребер, добавлением
которых к G можно получить /-сплетенный граф? Cai Guo-Ray, Sun Yu-Geng //
Networks, 19(1989), № 1, 151-172 [89, 8В305]. Обобщение: J. Bang-Jensen,
H.N. Gabow, T. Jordan, Z. Szigeti // SIAM J. Diskr. Math., 12 (1999), № 2,160-207
[00, ЗВ312].
19.	Дать определение графа смежности ребер L(G) для мультиграфа G и
исследовать возможности распространения теорем 1.10.1 и 1.10.2 в следующих
случаях:
(1)	G (а) не содержит петель, (6) содержит петли, причем петля (60 счита-
ется, (62) не считается смежной сама с собой;
(2)	при определении L (G) количество общих инцидентных вершин (1 или
2) пары смежных ребер (а) учитывается, (б) не учитывается.
19'. Утверждение, содержащееся в упражнении 8.14 книги Харари, неверно.
19". Независимо от выбора варианта (а) или (б) в пункте (2) упражнения 19,
5 (L (G))< Г (G)L(Z' (G) + 1)/2J => Z' (/ (G) < 5 (L (G)),
5(L (G))>7'(0 «/'(£) + 1)/2J => 7'(G) L(/'(G)+ 1)/2J<(/'Z(G)<5’(L (G)).
T. Zamfirescu // Math. Ann., 187(1970), № 4, 305-309 [71, 1В294].
20.	Пусть наряду с мультистягиванием допускается преобразование графа
в такой, из которого мультистягиванием звена получается исходный (эту неод-
нозначную операцию можно назвать мультирастягиванием). Назовем обобщен-
ным числом Хадвигера г] (Gy наибольшее такое к, что граф G можно превратить в
с помощью двух упомянутых операций и удалений элементов. Доказать сла-
бую гипотезу Хадвигера'. t)(G)>/(G). А.А. Зыков // ГГиДОЗ, 1982, 60—63
[82, 6В468]. См. также: Ryu Нае Dong, Bak Tia Bok // Math, and Phys., 1985, № 3,
30—33 [86, 6В737].
21.	Доказать, что многочлен Q (6) упражнения 10 к § 1.4 в случае мульти-
графов удовлетворяет соотношению
Q(G) = Q(G\x>)+x[Q(G<xy>)-Q(G\x)-Q(GV)+Q(G\{x, ^)]+^,(G)
и начальному условию Q(G0) = 0, где G<xy> — результат мультистягивания
звена ueU (х, у) в G, rxy (G) — количество звеньев, параллельных u, a Gq —
Основы теории графов
232
любой мультиграф без звеньев. Г.Э. Эргашев // Вопросы вычислит, и прикл.
матем. Ташкент, 5(1971), 42—46 [72, 1В590, 7В312], Труды Самарканд, ун-та,
244(1974), 83-88 [75, 5В519]; [46Я8903].
22.	Показать, что многочлен В (6) упражнения 3 удовлетворяет рекуррент-
ному соотношению
В (G) = В (G\и)- z [В (G\х) 4- В (G\ у)] + z2B (6 \{х, у})
(и е U, у/ (и) = ху) и начальным условиям
в(Е(5И2,...,^))=П(1+^),
1=1
где G\x (аналогично G\y) получается из G удалением вершины х и инцидент-
ных ей петель, с превращением звеньев вида xt (t *х) з петли при G\-{x, у}=
= (G\x)\y = (GVy)Vx; Е (?], ...» s^) — А:-вершинный граф без звеньев, с st пет-
лями при z-й вершине (/ = 1, 2, ..., к). Нгуен Ван Ло (Кишиневский семинар, май
1977 г.).
§	2.8. ЭЙЛЕРОВЫ ЦЕПИ И ЦИКЛЫ
Относительно любого понятия, введенного для обыкновенных
графов, можно в принципе поставить вопрос о переносе его на гра-
фы более общего вида. Однако излишняя скрупулезность здесь не
всегда полезна; например, не так уж трудно предвидеть, что попыт-
ка изложения теории гамильтоновых цепей и циклов для мульти-
графов едва ли приведет к каким-то новым открытиям1, зато навер-
няка усложнит формулировки известных результатов. Напротив,
теория эйлеровых цепей и циклов раскрывается наиболее полно
именно в классе мультиграфов.
Валентностью v (G, х) вершины х графа G = (X, U, у) называет-
ся количество инцидентных ей ребер при условии, что петли счита-
ются дважды:
v(G,x)= £ y)l + 2|t/(x, х)| = Z |l/(x,y)|+|(/(x, х)|;
;еХ\{х)	уеХ
образно: это число «усиков», которыми прикрепляются к вершине
инцидентные ребра. Ясно, что
1 Кроме результатов, относящихся к количествам гамильтоновых циклов (см., на-
пример, Я. Нинчак// Becui АН БССР, Сер. ф1з.-мат. н., 1975, № 2, 20—23 [75,9В316]).
Глава 2. Связность
233
^v{G,x)=2m{G).	(*)
хеХ
Как и прежде (см. упражнение 1 к § 2.1), эйлеровой цепью графа G
называем цепь, содержащую все его ребра, а если к тому же эта цепь
циклическая, то имеем эйлеров цикл. Широко известная из популяр-
ной и учебной литературы головоломка о прогулке по семи кёнигс-
бергским мостам формулируется теперь как задача
нахождения эйлерова цикла (по крайней мере од- / / х.
ного) в графе рис. 2.8.1, а ее отрицательное реше-
ние Л. Эйлером (Commentarii Acad. Petroletanae,	/
8(1736), 128—140; издание 1986 г. книги Кёнига),
по-видимому, можно считать первой печатной на- рис 2 g }
учной работой по не существовавшей тогда теории
графов. Как обычно бывает в подобных случаях, задачи такого рода
впоследствии стали возникать не только в связи с душеуспокоитель-
ными прогулками и занимательными головоломками на вычерчива-
ние фигур без отрыва карандаша от бумаги (упражнение 1). По
вполне понятной причине можно при изучении этих вопросов рас-
сматривать только связные графы.
ТЕОРЕМА 2.8.1 (Эйлера). Для существования в связном графе
G~(X, U, у/) с U *0 эйлерова цикла необходимо и достаточно, чтобы
валентности v (G, х) всех его вершин х были четными; в этом случае
все эйлеровы цепи графа G являются циклами. Для существования же в
G эйлеровой цепи, не являющейся циклом, необходимо и достаточно,
чтобы ровно две вершины х, у обладали нечетными валентностями; при
этом все эйлеровы цепи графа G будут иметь своими концами хи у.
Необходимость условий в обоих случаях очевидна: в каждую
вершину, отличную от х и у, эйлерова цепь должна войти столько
же раз, сколько выйти из нее, и в нециклическом случае выйти из х
на один раз больше, чем войти, а в у войти на один раз больше, чем
выйти. Известны сравнительно простые доказательства достаточно-
сти, однако мы изберем не самый легкий путь, имея целью одновре-
менно изложить изящный и практически эффективный алгоритм
Хоанг Туя (D6thihu’u hon va сас u’ng dung trong van tru hoc. Nha
Xua’t Ban Khoa Hoc, 1964. 142 ctp). При этом будем иметь в виду,
что для нахождения какой-нибудь простой цепи между двумя задан-
ными вершинами, а значит, и простого цикла, содержащего задан-
ное цикловое ребро, достаточно хорошие алгоритмы известны.
234
Основы теории графов
Итак, предполагая, что в связном G выполнено одно из условий
теоремы, опишем процедуру, которая, как будет затем доказано,
обязательно приводит к построению эйлерова цикла или эйлеровой
цепи. Удобнее начать со второго случая, когда в G имеются ровно
две вершины х и у нечетной валентности.
(0) Находим простую цепь Q из х в у и всем ее ребрам присваи-
ваем значок 0; переходим к п. (к) с fc = l.
(к) Пусть некоторым ребрам графа G уже присвоены значки
0, ..., к-\ тогда
(к)' если в G еще остались непомеченные ребра, то среди них вы-
бираем такое w, которое имеет общую инцидентную вершину хотя
бы с одним помеченным; в суграфе, образованном непомеченными
ребрами, находим простой цикл, содержащий и, и всем ребрам это-
го цикла присваиваем значок к\ переходим к п. (к), заменяя в нем
везде к на & + 1;
(к)" если в G все ребра уже помечены, то приступаем к построе-
нию цепи. За ее начальную вершину берем х. Пусть уже построе-
на цепь
x0«i*iW2x2	(I)
(/>0); в случае	процесс прекращаем, а в случае /<w(G)
среди ребер множества U\{u\, u2, •••> w/}, инцидентных вершине х/,
выбираем то, которому присвоен наибольший значок (если таких
ребер несколько, то берем любое из них), и образуем цепь
x0MiXiu2x2 ...х/_1ы/х/м/+1х/+1,
где w/+i — выбранное ребро, axi+1 такова, что Vх (м/+1) ~-х7-х/+1 (В03'
можен случай x/+i =х/, т. е. когда и/+) — петля). И т. д.
Докажем, что все этапы разметки ребер и построения цепи (/)
действительно осуществимы, а окончание процесса дает эйлерову
цепь.
В п. (0) цепь Q cyantctwjvr ввиду связности графа G.
В случае (к)' среди непомеченных ребер найдется (опять из-за
связности G) такое и, которое имеет общую инцидентную вершину с
каким-нибудь помеченным ребром. В суграфе G', образованном
непомеченными ребрами G, ребро и цикловое. Действительно, из
условия теоремы и из способа разметки следует, что все вершины
суграфа G' обладают четными валентностями; если допустить, что
Глава 2. Связность
235
и — перешеек в G', то в каждом из тех двух подграфов графа G',
которые соединяет этот перешеек, сумма валентностей вершин
будет нечетной (почему?) вопреки равенству (♦), примененному к
любому из этих подграфов.
Осталось показать, что в случае (к)" процесс построения цепи (/)
обрывается только при /=/и((7) и что тогда х/ =у. Мы докажем это
индукцией по величине к наибольшего из значков, присвоенных
ребрам графа G.
Для k=Q утверждение тривиально, ибо тогда весь G сводится к
одной простой цепи. Пусть оно уже доказано для любого графа G и
его вершин х, у, удовлетворяющих условию теоремы, если ребра G
размечены так, что наибольший значок равен к>0, и докажем его
справедливость в случае, когда наибольший значок есть к + 1.
Пусть G' — часть, полученная из G удалением ребер со значком
к + 1 и последующим удалением изолированных вершин. Граф G' со-
держит вершины х, у и связен, ибо в случае х <G') > 1 всегда можно
найти такое j<k, что ребра со значком j и ребра со значком j + 1
принадлежат разным компонентам, а это противоречит правилу
присвоения значков. Валентности вершин в G' удовлетворяют усло-
вию теоремы, поскольку оно выполнено для исходного графа G,
а удаление всех ребер простого цикла и удаление изолированных
вершин не меняют четности валентностей оставшихся вершин. Со-
гласно допущению индукции всякая цепь в размеченном графе G’,
построенная по вышеуказанным правилам, содержит все его ребра
и оканчивается в у.
Вернемся к рассмотрению цепи (/) при l=m(G) в исходном гра-
фе G. Так как к + Г>1, то ребра со значком £ + 1 образуют простой
цикл С, имеющий общую вершину с каким-нибудь ребром значка
<к. Поэтому цепь (/) в силу ее построения содержит все ребра С,
причем эти ребра при движении по цепи от х0 к х/ проходятся по-
дряд в порядке их расположения на цикле. Удаляя из (/) ребра С, по-
лучим цепь (/)', которая полностью присутствует в графе G' и по-
строена в нем с соблюдением всех правил, поэтому, как сказано вы-
ше, содержит все ребра G' и оканчивается в у. Но таким же свойст-
вом в исходном графе G обладает и цепь (/), поскольку ее можно по-
лучить из (/)' вставкой цикла С. Существование эйлеровой цепи до-
казано, а все остальные утверждения теоремы, относящиеся к этому
случаю, теперь очевидны.
236
Основы теории графов
Если в графе G валентности всех вершин четны, то в случае, ког-
да все ребра G — петли, он имеет лишь одну вершину (из-за связно-
сти), и ввиду U ^0 существование в нем эйлеровых циклов очевид-
но. Если же G обладает звеном и, то суграф G \ и и те его две верши-
ны х, у, для которых i//(u)=xy в G, удовлетворяют условию теоре-
мы для нециклического случая. Все эйлеровы цепи из х в у графа
G \ и вместе с ребром и образуют всевозможные эйлеровы циклы в G.
Теорема доказана.
«2(0)
«17(2)
Для иллюстрации алгоритма Хоанг Туя рассмотрим граф на
рис. 2.8.2, где уже указан один из вариантов разметки (значки ребер
стоят в скобках). Одной из эйлеровых цепей, соединяющих х с у,
будет
xuweuilcu5au3bu6du9yul3gui7eui4ful5fuJ6gu12du8cu7xuJau2bu4y.
Упражнения и дополнения
1. Выяснить, какие из следующих фигур можно нарисовать, не отрывая ка-
рандаша от бумаги и не проходя вторично по уже проведенной линии:
Глава 2. Связность
237
Как зависит решение от того, считаются ли вершинами графа те точки
пересечения линий, на которых не стоит кружок?
2.	В графе, который получается из графа рис. 2.8.2 добавлением ребра W|g
с 1/л (uig) = x>, найти по крайней мере два эйлеровых цикла, различающихся не
только выбором начальной вершины и направления обхода.
3.	Граф G называется произвольно вычерчиваемым из заданной его верши-
ны х0, если, выйдя из нее и соблюдая лишь одно правило: никогда не идти по
уже пройденному ребру, — мы неизбежно получим эйлеров цикл.
а)	Связный граф G произвольно вычерчиваем из х0 в том и только том слу-
чае, если валентности всех его вершин четны, а у подграфа G\xq дипломатиче-
ское число Л(6\хо) = О.
б)	Связный граф G произвольно вычерчиваем из
любой своей вершины тогда и только тогда, когда он '
имеет вид, показанный на рис. 2.8.3. О. Ore // Elem. • •	•	•
Math., 1951, № 3, 49-53 [MR12p845]; F. ВйЫег П	у j '
Math. Helv., 27 (1953), № 2, 81-100 [56, 3, 2042;
MR15p5O]; G.A. Dirac // Math, scand., 31 (1973), №2, Рис 2 8 3
319—378 [74, 1В357]. Другой критерий в а): Е. Sam-
pathkumar, V.N. Bhave // Math. Stud., 43 (1975/82), № 3-4, 428-430 [87, 5В707].
4.	T. Adelgren [95, 11B280; 96, 4B323-325] рассматривает такие эйлеровы
циклы, в которых никакие два последовательных ребра не принадлежат одно-
му треугольнику, a Cai Mao-cheng, Н. Fleischner (JGrTh, 19 (1995), № 2, 137—144
[96, 2В255]) — такие, которые проходят через выделенные ребра в заданном
порядке.
5.	Дана задача: в произвольном графе G = (Х, U, у) найти такую систему
цепей попарно без общих ребер, чтобы эти цепи в совокупности содержали все
ребра G и чтобы количество цепей в системе было наименьшим. Показать, ка-
ким образом эта задача сводится к нахождению эйлерова цикла в некотором
вспомогательном графе, построенном по G.
6.	Свести к нахождению эйлерова цикла в некотором вспомогательном
графе следующую задачу: обойти непрерывным движением все ребра данного
графа G, проходя каждое не более двух раз. Как можно минимизировать число
ребер, проходимых дважды?
7.	Пусть eul (6) — наибольшее число вершин эйлерова подграфа в графе
G=(X, U, у).
а)	Для любого натурального N существует такой связный граф G без пере-
шейков, что п (G) > Af• eul (G);
б)	eul (G\w)<eul(G) для любого ueU в том и только том случае, если G
эйлеров (быть может, с добавленной изолированной вершиной) и удаление всех
ребер любого цикла увеличивает число компонент графа. В. Zelinka // Czechosl.
Mat. J., 29(1979), № 4, 564-567 [80, 5B497; 81Ь#05076].
8.	Некоторые достаточные условия существования эйлерова суграфа в
заданном графе приводит Р. Paulraja [88, 7В626].
238
Основы теории графов
9.	Любой 2-связный мультиграф можно покрыть не более чем тремя эйле-
ровыми циклами. A. Itai, R.J. Lipton, Ch. Papadimitriou, M. Rodeh // SIAM J.
Comput., 10(1981), № 4, 746-750 [82, 4B580; 83d#68062],
10.	Все эйлеровы циклы графа получаются друг из друга изменением на-
правлений обхода входящих в них простых циклов. D.K.. Skilton // Leet. Notes
Math., 1073(1984), 228-235 [85, 2В704].
§2.9. РАСКРАСКИ РЕБЕР
Определение паросочетания как подмножества попарно несмеж-
ных ребер, данное в § 2.4 для обыкновенных графов, остается неиз-
менным и для мультиграфа без петель; распространение же его на
общий случай зависит от того, считать ли петлю смежной с самой
собой (см. упражнения 1 и 2), и мы специально заниматься этим не
будем.
Пусть G = (X, U, ф) — мультиграф без петель, который будем
также называть просто графом. Правильной раскраской ребер графа
G в q цветов называется разбиение
C/=1F1U^2U...U^,
где подмножества W] попарно не пересекаются и каждое из них об-
разует в G паросочетание. Образно говоря, W] состоит из ребер /-го
цвета, не соприкасающихся друг с другом. Наименьшее количество
цветов, при котором такая раскраска возможна, называется хрома-
тическим индексом /((7) графа G.
Раскраска ребер произвольного графа G сводится к раскраске
вершин графа £((?) специальной структуры (см. упражнение 19
к § 2.7 и теорему 1.10.1), однако проще и нагляднее вести изложение
в терминах самого G; а благодаря обстоятельству, на которое мы об-
ратим внимание в свое время, для хроматического индекса удалось
получить более точные оценки и более эффективные алгоритмы
нахождения, чем для хроматического числа. Введем следующие
обозначения:
s(x)=s(p, х) = £|С/ (х, у)| (степень вершины х),
уеХ
Глава 2. Связность
239
ввиду отсутствия в графе G = (Х9 U, у/) петель совпадает с опреде-
ленной в §2.8 валентностью v(G, х), а |С7 (х, х)| = 0, где U (х, у) —
множество ребер, соединяющих вершины х и у (§2.7);
Р(х, y)=pG (х, у) =|С/ (х, у)|,
P(x)=Pg (x)=maxp(x, у),
уеХ
p(G)=maxpG(x),
хеХ
Gp (G)=max {л (<7, х) + pG (х)} (число Гупты),
хеХ
r(x, y)=rG (х, y)=s(G, y)+pG (х, у).
Нижняя оценка хроматического индекса очевидна:
X(G)>s(G).
В отношении верхней оценки удобнее будет сначала сформулиро-
вать классические результаты Шеннона, Визинга и Гупты, а затем
доказать теорему, из которой непосредственно следуют эти резуль-
таты и могут получаться дальнейшие оценки.
ТЕОРЕМА 2.9.1 (С.Е. Shannon // J. Math, and Phys., 28(1949),
148—151 [MR10p728], также Кибернетический сборник № 1. М.: ИЛ,
1960 или: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернети-
ке. М.: ИЛ, 1963).
X(G)< p(G)
Оценка точна, так как достигается на графе w ребер
Шеннона (рис. 2.9.1), где
5=j((z) и f=[_s/2J.	t ребер\*\ (ребер
Привлечение дополнительного инварианта
/>((?) позволяет ее улучшить:	Рис. 2.9.1
240
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.9.2 (В.Г. Визинг [65, 11А285; 31#4740]).
в частности, если G — обыкновенный граф, то % (G)<s(G) + l.
Этот результат затем был переоткрыт в усиленной форме:
ТЕОРЕМА 2.9.3 (R.P. Gupta // Notices Amer. Math. Soc.,
13(1966), №6).
/(G)«W)
(для обыкновенных графов совпадает с предыдущей оценкой).
Вопрос о достижимости оценок Визинга и Гупты будет рассмот-
рен позже.
Определение правильности раскраски ребер очевидным обра-
зом распространяется и на неполные раскраски — такие, при кото-
рых не обязательно все ребра окрашены. Основным инструментом
получения всех упомянутых результатов служит перекраска дву-
цветных цепей, позволяющая от одной правильной раскраски, если
она неполная, перейти к другой, с большим количеством окрашен-
ных ребер.
Пусть некоторые ребра графа G = (X, U, у/) правильно раскра-
шены цветами из множества М={1, 2, ..., q}; раскраска может быть
неполной, и не обязательно все цвета из М использованы. Пусть да-
лее а и р — какие-то два разных цвета из М. Простая цепь в G, ребра
которой попеременно имеют цвета аир, называется (а, РУцепъю;
такая цепь максимальна, если она не содержится строго ни в какой
(а, Д)-цепи. Очевидно,
(1) никакие две различные максимальные (а, рУцепи (с одной и той
же парой цветов а, Р) не могут иметь общих вершин;
(2) перекраска на максимальной (а, РУцепи всех ребер цвета а в
цвет Р и наоборот не нарушает правильности раскраски ребер всего
графа.
Граф G называется критическим, точнее, /-критическим, если
X (G) >5 (G) и х (G \ и) < х (G) для любого и 6 U; под напряженной рас-
краской такого графа G с х (G)=q понимается правильная раскраска
q-\ цветами всех его ребер, кроме одного (любого). Если w0
Глава 2. Связность
241
неокрашенное ребро с у/(иц)=а$Ь9 то пусть {а$9	..., ак} — неко-
торое множество вершин, смежных с Ь, а {щ, ик} — некоторое
множество ребер, такое что y/(uz) = az6, причем ребро имеет цвет
а,е{1, 2,	#-1} (/ = 1, к) и
Vze{I, k}Bje{0, 1,	i-1} [a^Miaj)],	(♦)
где M (х) означает подмножество тех цветов из {1,2,	1}, кото-
рые не использованы для окраски ребер, инцидентных вершине х;
всю эту систему вершин и ребер (рис. 2.9.2) вместе с цветами {az }
назовем веером, вращающим неокрашенное ребро. Процесс «враще-
ния» состоит в следующей перекраске, не нарушающей правильно-
сти всей раскраски G: отмываем ребро ик от краски ак и перекра-
шиваем в этот цвет одно из тех ребер Uj	для которых
ак еМ (aj) согласно (*); если j>0, то в прежний цвет а у ребра Uj
перекрашиваем ребро (/ <у), для которого а}- е М (а[), и т. д., пока
не дойдем до ребра ; «перекраска» последнего — просто окраска.
Следующие три леммы относятся к критическому графу с задан-
ной напряженной раскраской, используют введенные сейчас поня-
тия и обозначения и нужны лишь для доказательства теоремы 2.9.5;
поэтому в общую нумерацию теорем мы их не включаем.
ЛЕММА A. Vzg{0, 1, ..., к} [М{а^М(Z>)=0].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: имеется цвет
Р е М (а1) П М (Ь) при некотором iе {0, 1, ..., к}. Используя веер с
k^i, вращающий неокрашенное, ребро, добьемся того, чтобы не-
окрашенным оказалось вместо и0 ребро uz, а затем окрасим послед-
нее цветом р. Получится правильная раскраска q- \ цветами всех
ребер графа G, вопреки тому, что /(G) = q.
ЛЕММА Б. Если аеМ(ак), реМ(Ь), то максимальная
(J3, аУцепъ Q, начинающаяся в ак, обязательно оканчивается в верши-
не Ь, притом по ребру цвета а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цепь Q не может окончиться в Ь ребром
цвета Р, ибо РеМ(Ь)\ поэтому достаточно привести к противо-
речию предположение о том, что Q оканчивается в некоторой
вершине с*Ь.
242	Основы теории графов	; j
Случай 1: с^{ай, аь а^}. Перекрасим на цепи Q ребра ]
цвета а в цвет /3 и наоборот; этот процесс не затронет ребер, инци-
дентных вершине Ь, и не изменит множеств М (а,) (даже если цепь Q
проходит через какие-то из вершин а,), ввиду чего веер, вращаю-
щий неокрашенное ребро, сохранит это свойство и лемма А оста-
нется в силе. Но после перекраски получим напряженную раскраску
G, при которой fie М(Ь) вопреки лемме А.
Случай 2: c=aj, где 0< j<k. Последнее ребро цепи Q имеет
цвет Р — иначе ввиду максимальности Q было бы fteM(aj ), что
вместе с реМ(Ь) противоречит лемме А. Перекрашивая на Q ребра
цвета а в цвет /3 и наоборот, получим напряженную раскраску
графа G, при которой реМ(а};)Г\М (Ь), а это невозможно по
той же причине, что и в случае 1.
ЛЕММА В. Vi, jg{0, 1, ..., к} [i*j => Af (a,)C|Af (ау )=0].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: для каких-то i * j из
множества {0, 1, ...,к} существует цвет 8еМ(а1;)ПМ(а}). Выберем
цвет р&М{Ьу. он есть, поскольку q>s(G) и вершине b инцидентно
неокрашенное ребро и0. Из леммы А следует, что /3*<5. Максималь-
ные (Р, <5)-цепи, начинающиеся в вершинах а,- и , по лемме Б окан-
чиваются обе в вершине b ребром цвета 8 и поэтому не составляют
одну цепь. Но две максимальные (Р, <5)-цепи не могут иметь общих
вершин.
Нам понадобится еще арифметическая
ЛЕММА 2.9.4. Если целые числа п\, П2, пт, т>2 таковы,
что П] >»2	>0, то |_”i+ ”2 + v.-.t.'1'»!—- +	J.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как левая часть < ^Л|+	+ 1J =
= п2 ~ + 1J’ а	= +|_Л1у-_|» то достаточно
показать, что
где т>2 и >и2 >0; предоставим это читателю.
Глава 2. Связность
243
ТЕОРЕМА 2.9.5 (М.К. Гольдберг // Тезисы докл. III Всес. конф,
по проблемам теорет. киберн., 1974, 124—125 [75, 1В530], Вычисл.
математика и вычисл. техника. Харьков, 5 (1974), 128—130 [7В426]).
Пусть у0, Ji, ..., yi — все вершины, смежные с вершиной х графа
G-(X, U, у), причем
г(х, Уо)>г(х, у})>...>г(х, yi).
Тогда
X ((z) < mini '(*>*»+г(х, у,) I
xeXl- 2 -I
(**)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Удаляя из G ребра, по-
ка это возможно без изменения хроматического
индекса, превратим данный граф G в критиче-
ский. Так как при этом правая часть доказывае-
мого неравенства может только уменьшиться, то
будем без нарушения общности предполагать
критическим сам исходный граф G. Выбрав в
нем произвольно ребро с концами а0 и Ь, рас-
смотрим какую-нибудь напряженную раскраску, при которой uq не
окрашено, и построим непродолжаемый веер, вращающий неокра-
шенное ребро «вокруг вершины Ь» (рис. 2.9.2), следующим образом.
Из того, что % (G) = q >s(G) и ребро не окрашено, легко выво-
дится существование такого ребра iq, которое соединяет вершину b
с некоторой О) и цвет которого cq g М (а0). Если ни одно ребро,
инцидентное Ь, не обладает цветом из множества М (а0) U М (tq), то
построенный веер с к = 1 искомый; в противном случае добавляем к
нему такое ребро «2, которое соединяет b с некоторой вершиной
а2 ё{яо> а\}> и полученный веер с к = 2 опять пытаемся продолжить
и т. д. пока возможно. Пусть А={а$, а15 ..., а^} — множество всех
отличных от b вершин построенного непродолжаемого веера, вра-
щающего неокрашенное ребро.
По лемме В множества М (ai) (i = 0, 1, ..., к) попарно не пересека-
к
ются, так что
к
U М (al) = £ \М (az)|. С другой стороны, в силу не-
/=0
/=0
к
продолжаемости веера, в каждый из цветов множества U M(az)
/=о
окрашено какое-нибудь ребро, соединяющее b с вершиной из Л;
244
Основы теории графов
поэтому (с учетом неокрашенное™ ребра ug)
к	к	к	к
Ъ\М(а,)\ <	а,) - 1 = £r(b, at) - £5(а() - 1,
i=0
1=0
1=0
/=0
откуда
f(|A/(a,)| +5(□,))<
1=0	1=0
Но
. 1	, ч (q-1 при i*0,
|A/(fli)| + 5(а,) = <	.
при г = 0;
следовательно,
£г(*,в,)-2
;---+ 1
к + 1
<
к
(к +1)(?-1) +1< 2,г(Ь,а{)-1. Отсюда?*
1=0
apj по лемме 2.9.4, где пг=к + 1, а вершины у0, у^ е А
соответствуют двум наибольшим значениям г (Ь, а,). Ввиду произволь-
ности выбора ребра w0, а значит и вершины Ь, имеем %(G)=q <
<min r r fe-A? (вершины y0 и у у — свои для каждой х).
хеХ I— * 2 -J
Теорема доказана.
Вывод теоремы Шеннона:
/((?)<mini
хеХ L- 2
<max| | =
хеХ L 2 J
'max. Уо)+Г(хтах> J (Уо) + Р (^тах’ Ур) + frl) + Р (^т.х> У|) J <
<-|_5(Уо) + 5О'1)+5 (^max) J <
35(G)
2
Вывод теоремы Гупты:
% (G) < шах |_г(х’ Уо)+ r^x’	= |_r (*max’ *+ г (Хтах' -И|) J <
< тахг(хтах, у) = rnax{s(y)+max{.s(>)+p(xmax, у)} <
уеХ	уеХ уеХ
< max {5 (у)+р (у)} = Gp(G).
уеХ
Гпава 2. Связность
245
Вывод теоремы Визинга:
% (G) < max {j (у)+р (у)} < max 5 (у)+max р (у) = j (G)+р (G).
уеХ	уеХ уеХ
Следующий пример (Е.Г. Ганебная — Кишиневский семинар,
март 1979 г.) показывает, что теорема 2.9.5 на самом деле сильнее
всех трех классических: для хроматического
рис. 2.9.3 теоремы 2.9.1, 2.9.2 и 2.9.3 дают верх-
ние оценки соответственно 7, 8 и 8,1 а теорема
2.9.5 — оценку 5, т. е. в данном случае точное
значение, поскольку в G есть вершина такой сте-
пени; одна из раскрасок ребер G пятью цветами
показана на рисунке. Но и оценка (**) в общем
случае не точна, как непосредственно вытекает
из нижеследующей теоремы (заодно доказываю-
щей точность нижней оценки /(G)>j(G)). Улучшенные оценки:
M.J. Plantholt, Sh. Tipnis // J. London Math. Soc., 44(1991), № 3,
393-400 [93, 1B567]; S.L. Hakimi, E.F. Schmeichel // JGrTh, 32 (1999),
№ 4, 311-326 [00, 10В273].
ТЕОРЕМА 2.9.6. Если y(G) = 2, mo %(G)=i(G).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (В.Г. Визинг // Кибернетика, 1965, № 3,
29—39 [66, 2A355]). Пусть с помощью цветов 1, 2, ..., j=i(G) прави-
льно окрашено наибольшее возможное количество ребер графа
G=(X, U, у/), и пусть аналогично предыдущему М(х)с {1, 2, ..., 5}
означает множество тех цветов, которые не использованы при окра-
ске ребер, инцидентных вершине х. Если и — неокрашенное ребро и
yi{u)=ab, то М{а) и М (Ь) не пусты (почему?). В случае
М (с) П М (Ь) *0 можно было бы окрасить ребро и в цвет, принадле-
жащий этому пересечению, вопреки максимальности числа окра-
шенных ребер; поэтому М(a)QJlf (Ь)=0. Пусть аеМ(a), fl&M(ft)
(а*Д). Вершины а и ft не могут соединяться (а, Д)-цепью, ибо по-
следняя вместе с ребром и образовала бы цикл нечетной длины, что
1 Кстати, это «не слишком типичный» случай, когда оценки Визинга и Гупты хуже
оценки Шеннона (см. упражнение 8). Противоположным примером служат обыкно-
венные графы.
246
Основы теории графов
ввиду у (G)=2 невозможно по теореме 2.1.2. Перекрасив на максима-
льной (а, /?)-цепи, начинающейся в а, ребра цвета 0 в цвет а и нао-
борот, мы сможем затем придать ребру и цвет 0 в противоречии с
максимальностью числа окрашенных ребер.
СЛЕДСТВИЕ. Если у (G) = 2, то в графе G существует паросоче-
тание, охватывающее все вершины наибольшей степени.
Алгоритмы раскраски ребер для двудольных мультиграфов
предлагают H.N. Gabow, О. Kariv (SIAM J. Comput., 11 (1982), № 1,
117—129 [82, 10B514; 83g#68098]), а приближенный алгоритм для
любых графов — О. Terada, Т. Nishizeki (Trans Inst. Electron, and Co-
mun. Eng. Jap., 65(1982), № 11 [83, 6B552]).
ТЕОРЕМА 2.9.7. В классе обыкновенных графов G с s=s(G)>2
оценка /(G)<5 + 1 точна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что при s=2k равенство дости-
гается на клике FJ+1, а при 5=2k +1 — на графе F, полученном из Fs+ ]
делением пополам одного из ребер новой вершиной.
1) Пусть s = 2k>2. Так как при правильной раскраске рёбра од-
ного цвета образуют паросочетание, а оно в графе F2k+\ не может
содержать более к ребер, то с помощью s цветов окрашивается не
более чем ks = 2k2 ребер, в то время как "1(^2Л+1) = ^2+>2&2.
2) Пусть 5=2& + 1>3. Так как и (F) =2^+3, то никакое паросоче-
тание графа F не может содержать более к + 1 ребер; поэтому с по-
мощью 5 цветов окрашивается не более чем (к +1) 5=(к +1) (2к +1)
ребер, в то время как m(F)=(2*2+2^ + l = (fc + l)(2fc + l) + l.
ТЕОРЕМА 2.9.8. Если к>1, то % (F2k) = 2k-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F2k = ({хь ...,	х2к)> U)- Под-
граф F2k-\ =F2k \х2к удовлетворяет условию s(F2k_\)=2k-2, поэ-
тому все его ребра можно правильно раскрасить цветами 1, 2, ...,
2&-1, и мы это осуществим. С одной стороны, каждая вершина х(
графа F2k_\ инцидентна ровно 2к-2его ребрам, поэтому\М(х, )| = 1;
пусть М(Х|)={«,}, (Ка, <2£-1, /=1, 2, ..., 2к-1. С другой стороны,
множество всех ребер цвета а( образует паросочетание, и в графе
^2Л-1 ввиду нечетности числа вершин заведомо найдется такая х,-,
Глава 2. Связность
247
что М (х1)={а|); значит,
26-1
U M(xj)
1=1
= 2А:-1. Отсюда и из равенств
\М(Х|)| = 1 0 = 1, 2, 2&-1) следует, что цвета cq, а2, , «26-1 все
различны. Для получения требуемой раскраски ребер исходного
графа Fzk остается окрасить каждое ребро х^х^^ в соответствую-
щий цвет cq.
Из теорем 2.9.7 и 2.9.8 непосредственно вытекают
СЛЕДСТВИЕ 1.
Х(^) =
i(Fn) = n-l
* (Л.)+1=и
при п четном,
при п нечетном
(это можно получить также из соображений, применяемых при
составлении таблиц Бергера для определения очередности игр в
турнирах) и
СЛЕДСТВИЕ 2. Если G — обыкновенный граф, то
X(G)<
n(G)-\
»(G)
при n(G) четном,
при n(G) нечетном.
Отметим, что доказательства всех рассмотренных утверждений
о раскраске ребер даже при внешнем оформлении «от противного»
носят конструктивный характер. Соответствующие алгоритмы,
основанные на нахождении степеней вершин и мощностей пучков
параллельных ребер, на поисках и перекрасках двуцветных цепей и
вращающих вееров в графе, не требуют слишком большого числа
операций и практически вполне эффективны. Основная причина —
в том, что максимальные (а, Д)-цепи не могут ветвиться (свойст-
во (1)). При раскраске же вершин, напротив, подграф графа с рас-
крашенными вершинами, порожденный вершинами двух цветов,
в общем случае имеет сложную структуру, а относительная просто-
та доказательства теоремы Брукса в упражнении 25 к § 2.2 обуслов-
лена как раз тем, что при сделанных там предположениях о графе G
и раскраске его вершин «двуцветные подграфы» оказываются про-
стыми цепями. Другой подход к доказательству теорем о раскраске
ребер, основанный главным образом на мощностных соображени-
ях, а не на перекрасках цепей, предлагают A. Ehrenfeucht, V. Faber,
248
Основы теории графов
Н.А. Kierstead И DM, 52(1984), № 2-3, 159-164 [85, 5В548]. Еще
один подход: С. Berge, J.С. Fournier // JGrTh, 15(1991), № 3,
333-336 [92, ЗВ467].
Благодаря теореме 2.9.2 для случая /? = 1, все обыкновенные
графы распределяются по двум классам: Lq = {G\ х (G)=5*(G)} и
1^2 ={G\ х (G)=s(G) + l}. Удобных критериев и алгоритмов для рас-
познавания, какому из них принадлежит граф, пока нет, получен
лишь ряд признаков: см. х~классы обыкновенных графов [УС].
В случае произвольного р > 1 сюда примыкают исследования тако-
го характера: если теорема 2.9.6 влечет существование в графе
класса Ь2 простого цикла нечетной длины, то результаты
М.К. Гольдберга (Управляемые системы. Новосибирск, 1971,
45-47 [73, 5В500]; [50#6907]; [58#27643]) говорят, в частности, о
том, что в мультиграфе с хроматическим индексом, близким к
наибольшему, есть «достаточно короткие» циклы нечетной длины.
Дальнейшие результаты по раскраске ребер критических (в разных
смыслах) графов (включая мультиграфы) см. в [УС].
Пример В.Г. Визинга в упражнении 11 выявляет немаловажное
обстоятельство, из-за которого количество различных раскрасок
ребер графа в действительности больше, чем можно было бы ожи-
дать на основании перекрасок двуцветных цепей; противополож-
ный случай графов с единственной раскраской ребер [УС] см. в
упражнении 12.
В заключение упомянем о тотальных раскрасках, при которых
окрашиваются как вершины, так и ребра, а правильность означает,
что никакие два смежных или инцидентных элемента не должны
иметь одинаковый цвет. Для наименьшего числа т (G) цветов при
такой раскраске всех элементов графа G В.Г. Визинг (УМН,
23 (1968), № 6, 117-134 [69, 7В196]) и М. Behzad [71, 9В379] выдвину-
ли гипотезу:
r(G)<j(G)+p(G) + l,
которая пока подтверждена лишь частично: см. тотальное хрома-
тическое число [УС].
Глава 2. Связность
249
Упражнения и дополнения
1.	Пусть G-{X, U, у/) — мультиграф общего вида; л (G) — наибольшее
количество ребер, попарно не имеющих инцидентных вершин, причем петля
считается несмежной сама с собой; t(G) — наименьшее число ребер такого
суграфа, все голые вершины которого являются голыми и в G; п$ (G) — число
голых вершин, (G) — число изолированных неголых вершин, и0 (G) — число
всех таких вершин, при которых есть хотя бы одна петля. Доказать, что
п (G) - Ло (G) + «о (С) < п (G)+ 1 (G)< п (G) -”0 (G) + «° (р)-
Т. Gallai (для обыкновенных графов), А.А. Зыков (в общем случае); книга Зы-
кова.
2.	Пусть G = (У, U, у) — мультиграф общего вида, причем петля не счита-
ется смежной сама с собой, а суграф G' получен из G удалением всех петель. По-
казать, что % (G) - % (&) ч-1 max {5 (G, х) - х (G') +1 s (G, х) - х (G')1}» гДе 5 (G, х) “*
2 хеХ
количество ребер, инцидентных вершине х (считая каждую петлю один раз)
в G.
3.	Если для мультиграфа G без петель х (G)=|_3s (G)/2J, то в G есть под-
граф Шеннона. В.Г. Визинг // Кибернетика, 1965, № 3, 29—39 [66, 2А355].
3'	. Пусть s-s(G) и граф G не содержит подграфов Шеннона; тогда
a)	Z (G)< 3^^JJ. FiamCik, Е. JucoviC // Archiv. Math., 21 (1970)
№4, 446-448 [71, 4B406];
б)	если с и d — целые числа, с >4, a d четно или не превосходит 2с, то
Z(G)<[JjJ -[_£]: Ju. Bos&k // Czechosl. Mat., J., 22(1972), № 2, 272-290
[72, 12В207]. Привести примеры графов, для которых оценки в а) и б) лучше
шенноновской.
4.	Найти хроматический индекс x(Kp,q) полного двудольного графа.
5.	Доказать лемму, на которую опираются первоначальные доказательства
теорем Шеннона и Визинга: пусть некоторые ребра мультиграфа G = (X, U, у)
без петель, с |Х| > 3 и |[7| >2, правильно раскрашены, причем использовано
<7 >2 цветов, а три различные вершины xb х2, Х3 и два различных цвета
а,Ре{1, 2, ..., q} таковы, что Vzg{1, 2, 3}[aeM(x/)v)3 еЛ/(х;)]. Тогда по край-
ней мере одна из вершин xb х2, Х3 не соединена (&, Д)-цепью ни с какой из двух
остальных.
6.	Воспроизвести оригинальное доказательство теоремы 2.9.1 по следую-
щей схеме. Пусть G = (Х, U, у) — мультиграф без петель и с помощью q sj
цветов, где s = s(G), правильно окрашено наибольшее возможное количество
его ребер. Допустим, что при этом некоторое ребро и су (и) = ху осталось нео-
крашенным. Тогда
250
Основы теории графов
(1)	9=UjJ-
(2)	Л/(х)ПЛ/(у) = 0.
(3)	Если М (x)={cq, а2, то вершина у инцидентна ребрам ц, и2,
и/, окрашенным соответственно в эти цвета и не инцидентным х. Пусть
V(ui)=yzi (!<<</; некоторые из z, могут совпадать друг с другом).
(4)	М(zi)ClAf(y) = 0 0 = 1, 2,	/).
(5)	| U Л/О,)|ПЛ/(х)^0.
V=1	)
(6)	Пусть ajg М 0 /) П М (х), р е М (у). Применяя к тройке вершин х, yt z j
и паре цветов ау, р лемму Шеннона из упражнения 5, можно во всех случаях
(их три) так перекрасить ребра, чтобы для G получилась правильная раскраска
q цветами с большим, чем первоначально, количеством окрашенных ребер.
7.	Воспроизводить оригинальное доказательство теоремы 2.9.2 не имеет
смысла, поскольку основные его идеи (включая понятие веера, вращающего
неокрашенное ребро) использованы в доказательствах лемм А, Б, В и теоремы
2.9.5. Зато полезно следующее упражнение.
Хотя теорема Визинга и не является непосредственным обобщением тео-
ремы Шеннона, последнюю можно вывести из нее по следующей схеме. Пусть
G=(X, U, у/) — мультиграф без петель, для которого % = % (^)>|_| 5J > гДе
5=5’ (G). Не нарушая общности, можно считать G критическим (в каком
смысле?) и Z=|_^5j + 1. Тогда:
(1)	В G есть такие вершины х *у, что р (х, д>) > 5J +1; пусть 1/ (и) = ху.
(2)	Суграф G\u допускает правильную раскраску всех ребер цвета-
ми; при этом на окраску ребер, инцидентных по крайней мере одной из вершин
х, у, уйдет меньше цветов.
(3)	вопреки предположению.
8.	Выяснить, при каких 5(G) и р (G) для мультиграфа G без петель оценки
Визинга и Гупты лучше оценки Шеннона.
9.	Если G е L] — связный 5-однородный граф с четным числом ребер, то
Z(L(G))=25-2. F. Jaeger // DM, 9(1974), № 2, 161-172 [75, 2В511].
10.	а) Если х (G)=i(G)+ р (G) и /? = p(G)>l, то мультиграф G содержит
часть F2p.
б)	Если x(G)>s(G) + k и p(G)+\<2k, то G содержит часть
в)	Если p(G)<2 и G не содержит частей типа Г4, то %(G)<5(G)+1.
Н.А. Kierstead // JCTh, В36(1984), № 2, 156-160 [85, ЗВ465].
11.	На рис. 2.9.4 даны две правильные раскраски ребер одного и того же
графа G посредством % (G) = 4 цветов. Показать, что с помощью только пере-
красок максимальных двуцветных цепей эти раскраски не переводятся друг в
друга. См. также: U. Baumann, М. Lesch [87, ЗВ461] и М. Lesch [87, 5В660].
Глава 2. Связность
251
Рис. 2.9.4
12.	а) Если ^-раскраска ребер обыкновенного графа G единственна (с точ-
ностью до переименования цветов, см. определение количеств раскрасок вер-
шин в §1.3) и к>4, то G^Vk\
6)	3-однородный граф, обладающий ровно тремя гамильтоновыми цикла-
ми, не всегда однозначно реберно раскрашиваем. A. Thomason // Adv. Graph
Theory. Amsterdam e.a., 1978, 259-268 [79, 3B589], JGrTh, 6 (1982), № 2, 219-221
[82, 12В632].
13.	Для инвариантов % и т справедливы следующие оценки типа Норд-
хауза—Гаддума.
а)	Если G — обыкновенный и-вершинный граф, то
2[_^J-1 < z(G) + z(Gj<n + 2(UJ-l),
O<Z(G) Z(G)<(«-2)(2|_^J - 1);
оценки достижимы. Y. Alavi, М. Behzad // SIAM J. Appl. Math., 20 (1971), № 2,
161-163 [71, 9В380].
6)	Для мультиграфа G с n = n(p) и p =
(n-\)p<X(G)+x(G)<(2n-\)p, 0<z(G) z(G)<(/i-l)2p2,
а при л>3 нечетном даже
np<X(G)+x(G)<(2n-3)p, 0<X(G) %(G)<(n-l)(n-2)p2.
Ю.Ш. Шарипов //Труды Самарканд, ун-та, 191 (1970), 217-219 [72, 2В365].
в)	п + 1<т (G) + т (G )<4|_fJ + 2, 2[JJ + 1<t(G)t (G)<(2|jJ +1)2;
при нечетных и все оценки достижимы. R.J. Cook // SIAM J. Appl. Math.,
27(1974), № 4, 626-628 [75, 5В518].
ГЛАВА 3
ЦИКЛОМАТИКА
§ 3.1. КАРКАСЫ И РАЗРЕЗЫ
На протяжении всей этой главы мы понимаем граф G (X, U, у/)
в смысле определения § 2.7, т. е. как мультиграф, если только не ого-
ворено противное. Всякий его суграф Т, удовлетворяющий условиям
/и(Г)=/и((г)-Л((7),	Я(Т)=0	(*)
(из которых любые два влекут оставшееся в силу равенства
и(Г)=л((7) и определения цикломатического числа Л, см. §2.3), на-
зывается каркасом графа G; термин оправдан смыслом этого сугра-
фа, вытекающим из второго и третье-
го равенств в (*): каждая компонента
у Т — дерево, соединяющее все вер-
шины соответствующей компоненты
графа G. В графе рис. 3.1.1 ребра од-
ного из каркасов изображены жирны-
ми линиями. Существование хотя бы
одного каркаса у любого графа мы
Рис. 3.1.1	докажем сразу в усиленной форме.
ТЕОРЕМА 3.1.1 (A. Kotzig//Math.-fyz. сасор., 6(1956), № 2,
68—77 [59, 2, 1306; MR18p408]). Пусть G' — произвольный суграф гра-
фа G, не имеющий циклов. Тогда у G есть по крайней мере один кар-
кас, содержащий все ребра G'.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае, когда данный граф G не содер-
жит циклов, он сам и есть искомый каркас: при Т=G или
Л(С) = 0 условия (*) выполнены тривиальным образом. Если же
A (G) > 0, то в G найдется цикловое ребро, не принадлежащее суграфу
G' (иначе последний имел бы циклы), и удаление этого ребра из G
снизит цикломатическое число Л на 1, не изменив количества
Глава 3. Цикломатика
253
компонент ж; если в полученном суграфе еще есть циклы, то опять
можно удалить цикловое ребро, не принадлежащее G', и т. д. После
A(G) таких шагов мы превратим G в искомый каркас Т.
В частности, за G' можно взять безреберный суграф. Удобный
алгоритм нахождения какого-либо каркаса графа G предложили
Г.Ф. Степанец и Г.Э. Влэдуц (Ж. вычислит, мат. и матем. физики,
3(1963), № 3, 583-586 [64, 6ВЗО2; 27#1935]), а методы порождения
всех каркасов без повторений — K.R. Krishnan, В.A. Shenoi [71,
1В313] и J. Wojciechowski // J. Franklin inst., 318 (1984), № 4, 215-231
[85, 5В564]. Как показал J. Sedlacek (Matem. casopis, 24(1974), № 4,
307—314 [54# 175]), связный граф изоморфно определяется набором
всех своих каркасов (заданных независимо друг от друга).
Пусть в графе G = (X, U, у) выделен какой-то каркас Т = (Х, К),
КсС7; заметим, что такая запись каркаса (без уг) вполне законна,
поскольку он является обыкновенным графом. Ребра множества
U \ V называются хордами каркаса Т в графе G; их количество в силу
(♦) равно Л (G). Так как каждая компонента у Т — дерево, а хорды
не могут соединять эти компоненты друг с другом (почему?), то из
теоремы 2.3.5 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 3.1.2. Каковы бы ни были каркас Т графа G и хорда и
этого каркаса, в G существует цикл, содержащий и и не содержащий
других хорд каркаса Т, причем это цикл простой и единственный.
Подмножество U' с U ребер графа G = (X, U, у/) называется его
разрезом, если ^(G\C7')>a?(G); в частности, множество всех звеньев,
инцидентных неизолированной вершине х, образует разрез, называ-
емый центральным с центром х. Разрез U' простой, если никакое его
строгое подмножество U" cz U' уже не является для G разрезом1.
Удаление простого разреза из графа G приводит к распадению ров-
но одной его компоненты, притом ровно на две (почему?). Нижесле-
дующая теорема о разрезах сходна с теоремой 3.2.1 о циклах.
1 Простой разрез, очевидно, заслуживает названия «минимальный», но с таким же
успехом можно и простой цикл именовать минимальным циклом за аналогичное
свойство: из строгого подмножества его ребер уже невозможно составить ни одного
цикла. (Другие характеризации простого цикла: Е. Sampathkumar // Math. Stud.,
61 (1992), № 1-4, 238-246 [95, ЗВ264].)
254
Основы теории графов
S’ \	s'" X ТЕОРЕМА 3.1.3. Каковы бы ни
( J f A Р \ были каркас Т графа G и ребро v
U'i I J	J этого каркаса, существует единст-
'Х'х'Ч. /	/ венный такой простой разрез графа
ус /	Т" G, который содержит v и не содер-
жит других ребер Т.
/|	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
|	Ф =(-^ь Vх) — компоненты гра-
\ fs'yy» ( Г* ) фа G, а Т( = (Х(-, И() — соответству-
~~	ющие компоненты его каркаса Т
Рис.3.1.2	0=1. 2, ..., ж=ж(б)>1). Если veVf,
то обозначим через Т-=(Х',, И/) и
Т"=(Х", V”) те два дерева, на которые распадается дерево Т( после
удаления ребра и, а через (7' — множество ребер графа G, соединяв-
ших в Gj вершины X'i с вершинами X" (рис. 3.1.2); в частности,
иеб-.
Очевидно, 17 j — простой разрез графа G. Но все другие его раз-
резы, составленные ребром и и какими-то хордами каркаса Т, дол-
жны содержать множество C7J , ибо удаление из G любых хорд кар-
каса Т не разбивает ни одну из компонент (7], (72, ..., Gx, а удале-
ние хорд вместе с ребром v может привести только к распадению
компоненты G,, причем лишь в случае, если наряду с v будут удале-
ны и все остальные ребра, соединяющие Х\ с X”, т. е. будет удалено
всё множество £/{•. Значит, это единственный разрез, обладающий
требуемыми свойствами.
ТЕОРЕМА 3.1.4. Любой цикл и любой простой разрез графа
имеют четное число (возможно, нуль) общих ребер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть U' — простой разрез, а<7,-=(Х,-,
l/f, ф) — та компонента графа G = (X, U, ф), которая после удале-
ния U' распадается на две: (Х'{, U\, ф)п(Х", U", ф). Пусть далееС —
произвольный цикл в G. Так как разрез U' простой, то пара после-
довательных вершин на С соединена ребром из U' тогда и только
тогда, когда одна из этих вершин принадлежит Х[, а другая X"; но
таких пар вершин на С четное число, ибо при полном обходе цикла
мы попадаем из Х', в X” столько же раз, сколько из Х"в X- (в част-
ности, это число пар — нуль, если хотя бы одно из множеств Х{, X"
совсем не содержит вершин цикла 0.
Глава 3. Цикломатика
255
Замечание. В теореме 3.1.4 цикл не предполагается про-
стым; напротив, требование простоты разреза существенно: в гра-
фе С4 любые три ребра образуют разрез, имеющий три общих реб-
ра с единственным (притом простым) циклом.
Системой простых циклов графа G = (Х, U, у/) называется множе-
ство C = C(G), элементами которого служат множества ребер всевоз-
можных простых циклов в G. Аналогично определяется система
простых разрезов R = R (G) графа G. Количество | С (<7)| всех простых
циклов (рассматриваемых с точностью до выбора начальной верши-
ны и направления обхода) и |R (G)| всех простых разрезов представ-
ляют собой весьма трудно вычислимые инварианты графа G, а об их
числовых значениях можно отчасти судить по работам: R. Entringer,
P.J. Slater // ARS Combinatoria, 1981, June, 289—294 [82, 2B656]; Zhou
Bing [88, 9В554]. Однако для получения многих важных результатов
относительно систем С и R знать эти числа не обязательно. Класси-
ческому подходу к изучению этих систем, основанному на линейной
алгебре, мы посвятим следующие три параграфа, а сейчас остано-
вимся на таких результатах, которые, как показал А.К. Кельманс в
докладах 1977—1980 гг. на Одесском и других семинарах, могут быть
не менее просто и наглядно воспроизведены в терминах чистой тео-
рии графов.
ТЕОРЕМА 3.1.5. Система простых циклов графа однозначно
определяет систему его простых разрезов, и наоборот.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задана система C(G), т. е. в множе-
стве U ребер некоторого графа G = (X, U, у/) выделена соответству-
ющая система подмножеств; при этом ни множество вершин X, ни
отображение у/ не предполагаются известными. По С (С?) однознач-
но строится система Uq всех непустых подмножеств V с U, удовлет-
воряющих условию
VCeC(G)(|Knq*l)	(**)
и минимальных (по включению) с этим свойством. Покажем, что
UC = R(G).
Пусть V = {v, ...}gUc. Множество К — разрез графа G, так как
иначе в суграфе <7\(И\{у}) ребро и не было бы перешейком и про-
ходящий через него по лемме 2.1.1 простой цикл имел бы в графе G
256
Основы теории графов
только это общее ребро с множеством V вопреки (**). Разрез V —
простой, иначе он строго содержал бы некоторый простой разрез
V' сК а последний в силу теоремы 3.1.4 тоже должен удовлетво-
рять условию (**), что невозможно из-за минимальности V. Итак,
UccR(G). Наоборот, пусть KgR(G); тогда V непусто и по теоре-
ме 3.1.4 удовлетворяет условию (**). Но V минимально: иначе в
нем строго содержалось бы непустое минимальное подмножество
Г'сИ, тоже удовлетворяющее (**) и по уже доказанной части
являющееся разрезом, что невозможно, поскольку V — простой
разрез. Следовательно, R(G)cUc. Тем самым установлено, что
система C(G) полностью определяет систему R(G).
Теперь, наоборот, предположим, что дана система R (G), и
построим по ней систему Ug непустых подмножеств V с С/, удов-
летворяющих условию
VJ?eR(G) (|ИА7?|^1)	(***)
и минимальных (по включению) с этим свойством; надо показать,
что
Ug=C(G).
Пусть V={v, ...}eUg. В графе G имеется цикл, все ребра кото-
рого принадлежат V: иначе v было бы перешейком в суграфе
G \ (И \ {и}) и могло быть дополнено ребрами множества U \ V до про-
стого разреза всего графа G (почему?), а этот разрез пересекается с
множеством V по единственному ребру v вопреки (**♦). Как и выше,
доказывается, что V — множество ребер некоторого простого цикла
и что, наоборот, всякое такое множество принадлежит системе
R (G): надо лишь в соответствующем рассуждении поменять ролями
циклы и разрезы и вместо (**) пользоваться условием (♦**). Теоре-
ма доказана.
Поскольку C(G) и R(G) как системы подмножеств в U, задан-
ные с точностью до перенумерования ребер всего G-(X, U, у/), то-
же являются инвариантами этого графа, то вопросы существования
и единственности графа G с заданной С или R можно отнести к
проблемам восстановления (§ 1.10). Не для всякой системы U под-
множеств заданного множества U существует такой граф
G = (X, U9 у/), что U = C(G); например, если U = {w, v, iv, ..J, то
Глава 3. Цикломатика
257
система {{u, v},{v, и>}} ввиду отсутствия в ней множества {и, ьи} не
есть С(6) ни для какого графа G с множеством ребер U. Также не
любая U есть R(G) для какого-то G (упражнение 10). Соответству-
ющие критерии существования в чисто теоретико-множественной
форме пока не найдены, а практический способ выявления всех
графов (или установления их отсутствия) с наперед заданной систе-
мой разрезов или циклов будет рассмотрен в § 3.4. Вопросы же
единственности можно решать уже сейчас.
Если в двух или более компонентах графа G выбрать по одной
вершине и затем все эти вершины отождествить (образовав тем са-
мым шарнир) или, наоборот, если при наличии в некоторой компо-
ненте графа G шарнира t заменить эту компоненту совокупностью
ее Г-блоков (§ 2.2), то на системах С(<7) и R (G) это не отразится (по-
чему?). Но есть еще одна операция, сохраняющая С и R, которая
применима к 2-связным графам (причем не нарушает это их свойст-
во), — так называемое переключение', смысл его ясен из рис. 3.1.3, а
формальное определение состоит в следующем.
Рис. 3.1.3
Пусть блок G = (X, U, у/) не является 3-связным графом, а ху, где
х,уеХ, х^у, — разделяющая пара вершин, т. е. такая, что существует
разбиение
Z\{x, y}=XlUX2, Х1ПХ2=0,
при котором всякая цепь графа G, соединяющая вершину подмно-
жества Х^ с вершиной подмножества Х2, обязательно содержит х
или у. Переключение, определяемое парой вершин ху и парой под-
множеств Х\Х2, состоит в переходе от графа G к графу G' = (X,U, у')
с теми же вершинами и ребрами, но с новой функцией у/', которая
задается так:
258
Основы теории графов
если <//(w)=xz, где	то y'(y)=yz;
если y(u)=yz, где z^X2, то у'(u)=xz-,
в остальных случаях у' (и) = у (и)
(обратите внимание на упражнение 14!). Ясно, что в результате пе-
реключения каждый простой цикл переходит в простой цикл, а про-
стой разрез — в простой разрез; однако центральный разрез может
перейти в нецентральный, и наоборот (см., например, в графах
рис. 3.1.3 разрезы, образованные ребрами р, q, d, е вместе с теми
штриховыми, которые на самом деле есть).
Как обнаружил Н. Whitney (Amer. J. Math., 55 (1933), № 2,
245—254), 3-связный граф G по каждой из систем С (G) и R (G) вос-
станавливается однозначно с точностью до изоморфизма, а 2-связ-
ный — до изоморфизма и переключений; однако в оригинале дока-
зательство второго из этих результатов изложено столь невразуми-
тельно, что в дальнейшем авторы пособий и руководств по теории
графов отваживались в лучшем случае на формулировку. Некото-
рого упрощения добились В.Я. Басеншпилер и Д.Я. Кесельман
[73, 5В506Деп], рассматривая в графе не все простые циклы, а толь-
ко не имеющие в нем диагоналей. Сравнительно простое доказа-
тельство предложил К. Truempler (JGrTh, 4(1980), № 1, 43—49
[80, 9В547]), установив при этом, что для «-вершинных графов все-
гда можно обойтись не более чем п-2 переключениями и что, с
другой стороны, при любом натуральном N существует такая пара
«-вершинных блоков с n>N, для которой необходимо проделать
все «-2 переключений. А.К. Кельманс дал вполне доступное дока-
зательство в терминах матроидов (А.К. Kelmans // JGrTh, 4 (1980),
№ 1, 13—19 [80, 10В434; 81f#05056]), переводимое без особого труда
на язык чистой теории графов, а в 1982 г. сообщил (устно) новый
вариант изложения1, которому мы и следуем ниже.
Будем предполагать, что рассматриваемые графы G = (X, U, у)
имеют не менее трех вершин и среди них нет изолированных; для
такого графа свойство быть блоком равносильно 2-связности и ха-
рактеризуется в терминах системы С (G) следующим образом: через
любые два ребра проходит простой цикл (см. упражнение 7е к
§ 2.2). Блок этого класса не имеет петель, а все его центральные
разрезы простые (почему?).
1 См. также: DM, 64(1987), № 1, 13-25 [87, 12В733].
Глава 3. Цикломатика
259
Разрез V с U графа G назовем доблочным, если суграф GW
после удаления изолированных вершин (которые могли возник-
нуть от удаления ребер) превращается либо в блок, либо в пустое
множество.
ЛЕММА 3.1.6. Всякий доблочный простой разрез графа является
центральным.
Действительно, если в графе G разрез R е R (G) не является цент-
ральным, то в каждой из компонент суграфа G \ R есть по крайней
мере две вершины и хотя бы одно ребро (иначе R не был бы про-
стым), т. е. после удаления изолированных вершин из G \ R полу-
чится граф, заведомо содержащий два таких ребра, через которые
вообще нельзя провести никакого цикла; следовательно, разрез R
в G — не доблочный.
ЛЕММА 3.1.7. Если G-(X, U, \р) — блок и его вершина х не вхо-
дит в состав никакой разделяющей пары, а V (х) — центральный раз-
рез из всех ребер, инцидентных х, то этот разрез — доблочный.
В самом деле, при условии леммы подграф G\x по-прежнему
остается блоком; но к тому же графу G \ х приводит удаление из су-
графа G \ V (х) единственной изолированной вершины х (а почему
она единственная?); следовательно, V (х) — доблочный разрез.
СЛЕДСТВИЕ. В 3-связном графе два различных ребра смежны
тогда и только тогда, когда существует содержащий их доблочный
простой разрез.
Отсюда и из теоремы 1.10.2 непосредственно вытекает, что
3-связный граф G изоморфно восстанавливается по всей системе
простых разрезов или, что равносильно, по системе простых циклов,
поскольку свойство простого разреза быть доблочным полностью
характеризуется в терминах систем R (С?) и C(G), а последние в свою
очередь однозначно определяют друг друга согласно теореме 3.1.5.
На самом деле справедливо более сильное утверждение: если
G = (X, U, у/) — 3-связный граф, G' = (X, U, у') — блок с теми же вер-
шинами и ребрами, причем R ((7) = R ((?')> то существует такая под-
становка вершин т: X —> X, что
Vue U [у/' (и)=т(у/(и))],
260
Основы теории графов
где мыслится естественное обозначение т (ху)=т (х)т (у); при этом
блок G' заранее не предполагается 3-связным. Доказывать отдельно
это утверждение нам не нужно, поскольку оно непосредственно сле-
дует из теоремы Уитни 3.1.8 о блоках. Дабы не возиться с функ-
цией т, напомним, что всякую подстановку можно осуществить ко-
нечным числом транспозиций, и будем к операциям переключения
причислять еще и такую, когда все ребра, инцидентные вершине х,
объявляются вместо этого инцидентными другой вершине у, а реб-
ра, инцидентные у, — инцидентными х (пара ху в данном случае ис-
пользуется как «отделяющая» множество Аг\{х, у} от 0 и не обяза-
тельно служит разделяющей для графа G).
ТЕОРЕМА 3.1.8. Если G = (X, U, yz) и G' = (X, U, у') - блоки с
общими вершинами и ребрами, причем К(<7)=К((г') (значит, и
C(G) = C(Gr)), то посредством переключений можно преобразовать
эти блоки друг в друга.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вершину хеХ назовем согласованной в
блоках G и Gr, если V (х) = Vr (х), т. е. центральные разрезы при этой
вершине образованы в обоих блоках одними и теми же ребрами.
Ввиду обратимости операции переключения достаточно убедиться,
что с ее помощью можно получить из G и G' такую пару блоков, в
которой согласованы все вершины, т. е. на самом деле получить
один и тот же блок; для этого, в свою очередь, надо лишь показать,
что при наличии у пары G, G' хоть одной несогласованной вершины
можно сделать ее согласованной путем таких переключений (в слу-
чае надобности — в обоих блоках), которые не затрагивают согла-
сованных вершин.
Итак, пусть х — несогласованная вершина блоков G и G', а
V (х) — центральный (и поэтому простой) разрез при ней в G; в силу
R (G) = R (G') множество ребер V (х) является также простым разре-
зом блока G'. Подграф G\x связен, но может иметь шарниры; пусть
•> Вр — все его блоки. Утверждение о возможности согла-
совать вершину х докажем индукцией по числу р.
При р = \ выполнены все условия леммы 3.1.7, ибо наличие у G
разделяющей пары вида ху означало бы, что у — шарнир блока .
В силу этой леммы разрез V (х) является доблочным в G, значит,
также в G', а по лемме 3.1.6 этот разрез и в G' центральный, т. е.
V (x) = Vf (z), где z*x ввиду несогласованности вершины х; ясно,
Глава 3. Цикломатика
261
что и z — несогласованная вершина. Переключая в G' все ребра,
инцидентные z, на вершину х, а все ребра, инцидентные х, — на z,
мы согласуем вершину х в блоках G и G', ничего при этом не рассо-
гласовав.
Допустим теперь, что утверждение уже доказано для любой
пары блоков, удовлетворяющей условию теоремы, и любой несо-
гласованной вершины х всякий раз, когда количество блоков под-
графа G\x равно р>1, и рассмотрим такую же ситуацию, но с чис-
лом блоков р + 1; пусть это блоки В\, В2, Вр, В. Из теорем 2.2.4
и 2.2.5 легко следует существование среди этих блоков хотя бы од-
ного такого, скажем В, который содержит ровно один шарнир у
графа G\x (см. также упражнение 15), и пусть v9 w, ... — ребра, сое-
диняющие х с вершинами В в G. Как мы сейчас увидим, все эти
ребра и в G' обладают общей инцидентной вершиной.
Ввиду простоты разреза V (х) суграф G'\V(x) состоит ровно из
двух компонент. Одна из них содержит все ребра блока В, посколь-
ку они, образуя блок в суграфе GW (х), должны образовывать блок
и в G( \ V (х), так как С (G) = С (G') влечет С (G \ V (х)) = С (G' \ V (х)); в
другой же компоненте все ребра v9w9 ... необходимо имеют общую
вершину z, ибо всякий простой цикл, проходящий через любые два
из этих ребер, может кроме них содержать только ребра В. Произ-
ведя при z фх переключение того же типа, что и в случае р = 1, мы
добьемся, чтобы общей вершиной ребер и, ьи, ... в G', как и в G,
была х.
Блок В', образованный ребрами В вместе с инцидентными вер-
шинами в G'\K(x), содержит ровно один шарнир t этого суграфа,
ибо при наличии хотя бы двух шарниров легко найти в G' простой
цикл, ребра которого не образуют простого цикла в G. Удаляя из
множества U ребра В и ребра v, ьи, ..., а вместо них добавляя новое
ребро и, соединяющее вершину хсуввиавС, мы получим два
графа, у которых как системы R, так и системы С по-прежнему одни
и те же, а подграфы, порожденные всеми неизолированными верши-
нами, являются блоками (рис. 3.1.4). Переключением (если надо) ре-
бер с неизолированных вершин на изолированные можно добиться
совпадения множеств вершин обоих блоков.
Полученные блоки G и G' и их вершина х удовлетворяют всем
условиям теоремы, но количество блоков подграфа G \ х теперь рав-
но р. По предположению индукции, в G и Gf можно согласовать
262
Основы теории графов
вершину х посредством переключений, не затрагивающих уже со-
гласованных вершин; эти же самые переключения, как легко видеть,
согласуют вершину х и в исходной паре G, G’. Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если не допускать таких переключений, которые
были добавлены перед формулировкой теоремы 3.1.8 и фактически
означают транспозицию наименований вершин, то при условиях тео-
ремы блоки G и G' можно преобразовать в изоморфные друг другу.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если в условиях следствия 1 граф G является
3-связным, то G^G'. Небольшая модификация: J.H. Sanders, D. San-
ders // JCTh, В22 (1977), № 2, 91-96 [77, 10В345].
Yu Xingxing (JGrTh, 15(1991), № 1, 19-27 [92, 4B397]) характе-
ризует все те связные графы G, которые определяются изоморфно
системой С((г), далее см. DM, 105(1992), № 1—3, 275—284
[93, 10В241]. В терминах систем R((z) и С (G) Т.A. McKee (DM,
51 (1984), № 3, 234—242 [85, ЗВ487]) выражает два двойственных
критерия того, что граф G эйлеров.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что обыкновенный граф G без изолированных вершин является
кликой тогда и только тогда, когда [m (G) - Л (G)]2 = т (G) + Л ((7). Книга Зыкова.
2.	Убедиться в том, что граф рис. 3.1.1 имеет 63 каркаса.
Глава 3. Цикломатика
263
3.	Для каждой из хорд (включая петли) каркаса, изображенного на
рис. 3.1.1 жирными линиями, указать тот простой цикл, существование которо-
го устанавливает теорема 3.1.2. Для каждого ребра каркаса указать простой
разрез, существующий по теореме 3.1.3.
4.	Какому условию должен удовлетворять суграф G' графа (7, чтобы в по-
следнем имелся каркас, не содержащий ребер <7'?
5.	Доказать, что граф G является блоком в том и только том случае, если
всякие два его различных ребра принадлежат некоторому простому разрезу.
Надо ли при этом предполагать, что а) и((7)>3, б) G не содержит изолирован-
ных вершин, в) G не имеет петель?
6.	Связный обыкновенный граф имеет к каркасов попарно без общих
ребер в том и только том случае, если при любом разбиении множества его
вершин на попарно непересекающиеся непустые классы количество ребер,
соединяющих вершины разных классов, не меньше k(q-1), где q — числов
классов. J.St. Nash-Williams // J. London Math. Soc., 36(1961), pt. 4 (№ 144),
445—450 [62, 12А193]. Строение графов с наибольшим числом каркасов (при
заданных параметрах): Н. Ido, N. Danjo, Т. Sasaki // Trans. Inst. Electron., Inf.
and Commun. Eng, A76(1993), № 6, 913—915 [95, 5В255].
7.	О количестве простых циклов попарно без общих ребер см.: R. HSgg-
kvist [75, 11В392].
7'. В графе G с s(G)>2 и не более чем с двумя вершинами степени 2 есть
простой цикл длины, кратной 4: N. Dean, L. Lesniak, A. Saito // DM, 121 (1993),
№ 1-3, 37-39 [95, 2В344].
8.	Пусть G = (¥, U) — связный и-вершинный обыкновенный граф. В. Zelin-
ka (Casop. pfcstov. mat, 98 (1973), № 1, 56 — 66 [73, 7B368]) нашел верхнюю оцен-
ку т (и, к) числа ребер такого G, каждый каркас которого имеет не более к ви-
сячих вершин. Дальнейшие результаты по этой тематике:
а)	Если Vx, у е X [5 (х) + 5 (у) > п - к +1], то хотя бы один каркас G имеет не
более к висячих вершин. Ж.Г. Никогосян // Уч. зап. Ереван, ун-та, естеств. н,
1976, № 3, (133), 3-6, [77, 8В467].
б)	Если G является 3-однородным, то наибольшее число к висячих вер-
шин в его каркасах удовлетворяет условию ^<к<~у С. Payan, М. Tchuente,
N.H. Xuong // DM, 49(1984), № 3, 267-273 [84, 9В512].
См. также: С.О. Barefoot // DM, 49 (1984), № 2, 109-112 [84, 9В523]; Chen
Jinghui [87, 4В509].
9.	Доказать, что подмножество ребер Ис[/ связного графа G=(X, U, у/)
есть множество всех хорд некоторого каркаса в том и только том случае, если
V не является разрезом и максимально (по включению) относительно этого
свойства.
10.	Показать, что система {{ц и},{и, и>}} не есть R (<7) ни для какого графа G
с множеством ребер {и, и, и>, ...}.
264
Основы теории графов
11.	Диагональю простого цикла называется ребро, которое соединяет две j
различные вершины этого цикла, но само ему не принадлежит. Если — мно- *
жество всех ребер простого цикла С е С= C(G) графа G = (X, U, у/), то свойство
ребраueU быть диагональю этого цикла характеризуется в терминах системы
С следующим образом: существуют такое разбиение Uc=UcUUc, Uc А
AUc = 0, и такие два цикла С', С"еС, что UcU{w} = Uc* и UcU{w} = UC".
Доказать, что подсистема Cq (G)cC(G) простых циклов графа G, не имею-
щих диагоналей, однозначно определяет систему R(G) простых разрезов, а сле-
довательно, и систему С (G) всех простых циклов.
12.	По аналогии (двойственности) с упражнением 11 ввести в терминах сис-
темы R понятие диагонали простого разреза и доказать, что подсистема
Ro(G) cR(G) простых разрезов графа G, не имеющих диагоналей, однозначно
определяет систему C(G), а значит и R(G).
13.	Стягиванием простого цикла называется последовательное мультистя-
гивание (§ 2.7) всех его ребер. Ясно, что окончательный результат не зависит от
того, в каком порядке производятся мультистягивания ребер цикла, и что по-
следнее мультистягивание есть просто удаление петли (в которую превратилось
одно из ребер цикла после мультистягиваний остальных). Простой цикл графа
G назовем доблочным, если граф, полученный из G в результате стягивания
этого цикла, является блоком. Доказать, что
а)	доблочный цикл не имеет диагоналей;
б)	граф G (с п (G) > 3 и без изолированных вершин) 3-связен тогда и только
тогда, когда для любых двух его ребер существуют по крайней мере два
доблочных цикла, каждый из которых содержит оба ребра.
14.	Дать формальное определение операции переключения для обыкновен-
ного графа в смысле § 1.1 (когда ребрами служат пары вершин).
15.	Утверждение, что всякий связный граф G с n(G)>2, не являющийся
блоком, имеет по крайней мере два таких блока, в каждом из которых присут-
ствует ровно один шарнир графа, можно доказать без использования теорем
§2.2 по следующей схеме:
а)	построим вспомогательный обыкновенный граф, вершинами которого
служат блоки и шарниры исходного, причем две вершины смежны тогда
и только тогда, когда одна представляет шарнир, а другая — содержащий
его блок;
б)	этот вспомогательный граф — дерево и по теореме 2.3.3 (п. (9)) содержит
по крайней мере две висячие вершины;
в)	каждая висячая вершина вспомогательного графа представляет блок ис-
ходного, обладающий требуемым свойством.
16.	Для каждого ребра ху графа G найдем наименьшее число ребер, удале-
ние которых из G разделяет вершины х и у, и пусть f (G) — максимум этих чи-
сел по всем ребрам ху. Доказать, что в G всегда есть вершина степени < f (G) и
то же справедливо для любого его подграфа. Производя последовательное уда-
Глава 3. Цикломатика
265
ление таких вершин, получить оценку хроматического числа y(G)</(G)+l.
В.П. Полесский И Проблемы передачи информации, 7(1971), № 1, 105—107
[71, 9В366].
17.	U. Abel, R. Bicker (IEEE Trans. Reliab., 31 (1982), № 2, 167-171
[83, 3B545]) предлагают практически эффективный способ нахождения всех
простых разрезов, разделяющих заданную пару вершин графа.
18.	Пусть FcC(G) — такая система циклов обыкновенного графа G, что их
объединение содержит все его вершины; определим два вспомогательных гра-
фа G* =(F, К)и G**=(F, IV), вершинами которых служат циклы системы F,
причем CjC2 € когда С\ и С2 имеют в G ровно одно общее ребро, а С]С2 € И',
когда эти циклы не имеют общих ребер.
ТЕОРЕМА: граф G гамильтонов в том и только том случае, если для него
существует такая система F, что оба графа G* и G** — деревья.
Т. Zamfirescu // Atti Accad. sci. Inst. Bologna, Cl. sci fis. Rend, 1 (1973—1974),
№ 2, 39-40 [75, 12В493].
§ 3.2. ПРОСТРАНСТВО СУГРАФОВ
Пусть дан граф G=(X, U, у/), множество ребер которого не-
пусто и пронумеровано: U ={щ, и2, ..., ит}. Все его суграфыС?' =
= (Х, U'9 <//) взаимно однозначно соответствуют всевозможным
подмножествам ребер U' с U, а каждое такое подмножество зада-
ется (опять-таки взаимно однозначно) вектором из нулей и единиц
a(G') = a(Z7') = (a1, а2, .... ат),
у которого
fl, если u;eU',
ai =1
[0, если и^и.
В дальнейшем термин «суграф» будем употреблять по отношению
не только к графу G', но и к подмножеству V, а также к соответст-
вующему вектору.
Над суграфами графа G определим операцию сложения
(а1; а2,.... ат)+(Р1, /32, , Рт)=&\ +Р\, «2	> ат
где все суммы а, +/3, берутся по модулю два:
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1=0.
266
Основы теории графов
В терминах соответствующих подмножеств Uy, U2qU эта опера-
ция приводит к образованию симметрической разности
Uy + U2 =(Uy\U2yj(U2\Uy) = (Uy [)U2)\(Uy ftU2),
т. е. два подмножества ребер накладываются друг на друга таким
образом, что ребро, попадая на ребро, с ним взаимно уничтожается.
Множество всех суграфов заданного графа G образует относитель-
но сложения абелеву группу, в которой нейтральным элементом
служит нуль-вектор 0 = (0, 0,	, 0), соответствующий пустому под-
множеству U' =0, а обратным элементом для любого элемента слу-
жит он сам; благодаря последнему обстоятельству всякое непустое
подмножество элементов этой группы, образующее группоид, т. е.
замкнутое относительно сложения, является подгруппой.
Введенную группу удобно рассматривать как линейное про-
странство над полем коэффициентов {0, 1} со сложением по модулю
два и обычным умножением (0-0 = 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1); это про-
странство будем обозначать через L (G) и называть пространством
суграфов графа G (с фиксированной нумерацией ребер). Линейная
зависимость системы элементов а1? а2, а^ е L(G) (&>1) означа-
ет существование такой непустой подсистемы, которая в сумме дает
нулевой элемент 0. Так как элементы
е1=(1, 0, ..., 0), е2=(0, 1, ..., 0), ..., ет =(0, 0, ..., 1)
(однореберные суграфы) линейно независимы, а любой суграф че-
рез них линейно выражается:
(аь а2, ат)=а1е1 +а2е2 +...+атеш,
то эти т суграфов образуют базу пространства L(G), в силу чего
его размерность
dim L(G) = /n = m(G).
Если два суграфа графа G таковы, что множество ребер каждого
из них образует (вместе с инцидентными вершинами) цикл, то сум-
ма их в L (G) не обязательно обладает этим свойством: для примера
достаточно взять два цикла без общих вершин или два совпадаю-
щих цикла. Желая замкнуть подмножество суграфов-циклов в L (С?)
относительно сложения, введем понятие квазицикла как такого су-
графа, все вершины которого обладают четными валентностями
Глава 3. Цикломатика
267
(см. § 2.8); так же будем называть множество ребер этого суграфа и
соответствующий вектор.
В силу теоремы Эйлера (2.8.1) суграф-квазицикл характеризует-
ся тем, что каждая его компонента, отличная от голой вершины, об-
ладает эйлеровым циклом. Это равносильно возможности предста-
вить множество ребер квазицикла в виде объединения попарно не-
пересекающихся подмножеств, каждое из которых образует
простой цикл (для доказательства использовать последнее утверж-
дение леммы 2.1.1). Из определений квазицикла и операции сложе-
ния в L(G) непосредственно следует, что сумма двух квазициклов
есть квазицикл; поэтому множество всех квазициклов образует в
L (G) подпространство, которое мы будем называть пространством
циклов графа G (с фиксированной нумерацией ребер) и обозначать
через La (G).
Пусть Т — произвольный каркас графа G (§ 3.1). Каждой хорде
этого каркаса отнесем тот единственный простой цикл, который
она образует вместе с некоторыми ребрами Т по теореме 3.1.2, и тем
самым получим систему с: LA (G) из Л (G) квазициклов; пока-
жем, что L^. — база пространства циклов.
Во-первых, система L^. линейно независима, ибо каждый ее ква-
зицикл содержит ребро, не входящее ни в один из остальных, а
именно хорду каркаса Г; это особенно отчетливо видно при такой
нумерации ребер графа, когда сначала идут все хорды, а потом уже
ребра каркаса; тогда векторы системы имеют вид
а! =(1, 0, О, а^, ...,о4)>
а2=(0, 1, .... О, «2+р ...,а2т),
аА=(0, 0, ..., I,aj+P
где Л = Л(Сг). Будем до конца доказательства предполагать нумера-
цию ребер именно такой, что, очевидно, не нарушит общности рас-
суждений.
Во-вторых, всякий квазицикл
а=(аь а2, .... ал, аА+1, ..., am)eLA (С7)
268
Основы теории графов
есть сумма квазициклов некоторого подмножества (в случае а = 0
пустого) системы L^., а именно
a=cqai 4-а2а2 + ••• +«лаЛ J
чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что все компоненты
вектора 6=»^! +а2а2 +-+аЛаЛ + а ~ нули, поскольку в простран-
стве L((?) вычитание равносильно сложению.
Для первых Л компонент это ясно, ибо они имеют вид az , а
04-0 = 14-1 = 0 (по модулю два). Но вектор Ь, будучи суммой квази-
циклов, сам есть квазицикл, а так как его первые Л компонент (соот-
ветствующие хордам каркаса Т) равны нулю, то этот суграф-квази-
цикл может содержать ребра только из Т. Однако из ребер каркаса
невозможно образовать ни одного цикла, поэтому последние m - Л
компонент вектора b — тоже нули.
Итак, — база пространства циклов ЬЛ (Ст); следовательно,
размерность последнего равна |L^.|, т. е.
dim ЬЛ (С?)=Л = Л(Ст).
Заметим, что если рассматривать пространство ЬЛ (Сг) только как
абстрактное (с точностью до изоморфизма линейных пространств),
то о графе G оно не дает никакой другой информации, кроме цик-
ломатического числа (почему?), так что существенную роль играет
внутренняя структура элементов этого пространства, т. е. располо-
жение в них нулей и единиц (с точностью до перенумерования всех
ребер графа G).
Выделим в пространстве суграфов L(C?) другое важное под-
пространство. Подмножество U' clU ребер графа G будем называть
квалиразрезом, если оно представимо в виде объединения попарно
непересекающихся простых разрезов (в частности, может быть пус-
тым); тот же термин применяем к суграфу G' = (Х, U', у/) и к соот-
ветствующему вектору а (t/') = a (G) е L (G). Приставка «квали» имеет
смыл, противоположный «квази»: если квазицикл — обобщение
цикла, то квалиразрез (за исключением нулевого) — частный случай
разреза.
Для доказательства замкнутости множества всех квалиразрезов
относительно сложения в L(G) достаточно убедиться в том, что
Глава 3. Цикломатика
269
сумму (по модулю 2) любых двух различных простых разрезов мож-
но представить как объединение попарно непересекающихся про-
стых разрезов; трудность прямого доказательства (A. Kotzig, см.
ссылку в теореме 3.1.1) удается обойти, если сначала установить
связь между квалиразрезами и квазициклами (в § 3.1 этому соответ-
ствовала бы перестановка теорем 3.1.3 и 3.1.4).
ТЕОРЕМА 3.2.1. Подмножество U' cL7 является квалиразрезом
графа G = (X, U, у/) в том и только том случае, если с любым квази-
циклом из Ьл (G) оно имеет четное число (возможно, нуль) общих
ребер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия сразу следует из
теоремы 3.1.4 благодаря тому, что каждый квазицикл (квалиразрез)
есть объединение простых циклов (простых разрезов) попарно без
общих ребер. Для доказательства достаточности предположим, что
подмножество U' clU имеет с любым квазициклом (в частности, с
любым простым циклом) графа G четное число общих ребер, и по-
кажем, что U' либо пусто, либо есть объединение попарно непересе-
кающихся простых разрезов.
Пусть U' ={м, ...}*0; тогда, прежде всего, U' — разрез. Действи-
тельно, если это не так, то ребро и не может быть перешейком в су-
графе графа G, порожденном подмножеством ребер (U\U')\J{u}',
значит, в этом суграфе есть цикл, содержащий и9 т. е. имеющий в
G ровно одно общее ребро с U' вопреки предположению. Далее из
разреза U' можно выделить простой разрез U" ciU' графа G. Если
Ur\U"*0, то к этой разности применим такое же рассуждение,
как к U\ и опять выделим простой разрез, поскольку всякий цикл
в G обладает четным числом общих ребер как с U' (по условию), так
и с U" (по теореме 3.1.4), следовательно, исС/'\С/"ит. д. В конце
концов для множества U' получится искомое представление.
СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма двух квалиразрезов есть квалиразрез.
В самом деле, если U\ и — квалиразрезы, а С — множество ре-
бер произвольного квазицикла графа G, то оба числа |С’ПС71| и
|СП(721 по теореме 3.2.1 четны; но тогда четно и |СП(С/] +С^2)1 =
= |[С А (£71 \и} п С72 Л и [С П (и2 Ш1 п <72)]1 = |С’ПС71| + |с П с/21-
-2|СПС/]ПС/21> откуда по той же теореме ввиду произвольности С
следует, что (7] +U2 — квалиразрез.
270
Основы теории графов
Благодаря этому следствию множество всех квалиразрезов обра-
зует в L (G) подпространство, которое мы будем обозначать через
Lp (G) и называть пространством разрезов графа G (с фиксирован-
ной нумерацией ребер)1.
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякий центральный разрез (§3.1) есть квали-
разрез.
Пусть Т — произвольный каркас графа G. Каждому ребру карка-
са отнесем тот единственный простой разрез, который оно образует
вместе с некоторыми хордами по теореме 3.1.3, и покажем, что по-
лученная система L^cL(G) из p=p(G) = m(G)-X(G)=n(G>)-x(G)
квалиразрезов является базой пространства Lp (Ст); инвариант p(G)
называется рангом графа G. Рассуждение аналогично тому, которое
проводилось для пространства циклов, поэтому изложим его более
сжато.
Во-первых, система квалиразрезов линейно независима, по-
скольку каждый из них содержит ребро (а именно из Т), не принад-
лежащее остальным. Во-вторых, всякий ненулевой квалиразрез
можно получить сложением некоторых векторов из L^: выбирая
последние так, чтобы их сумма совпадала с заданным квалиразре-
зом на ребрах каркаса Г, мы автоматически получим совпадение и
на остальных ребрах графа G, ибо в противном случае сложение по-
строенной суммы с заданным квалиразрезом дало бы ненулевой
квалиразрез, в котором участвуют только хорды каркаса Г, что не-
возможно, поскольку никакое подмножество хорд фиксированного
каркаса не является разрезом графа.
Итак, — база пространства разрезов, значит
dim Lp((7)=p=p(G),
и опять можно сделать замечание, что пространство разрезов, рас-
сматриваемое только как абстрактное, не несет о графе G никакой
информации, кроме его ранга.
В следующем параграфе нам понадобится легко доказываемая
теорема, двойственная 3.2.1:
1 При чтении верхний индекс в Lp (<7) следует считать греческим «ро» прописным, а
не латинским «пэ».
Глава 3. Цикломатика
271
ТЕОРЕМА 3.2.2. Подмножество U' c:U является квазициклом
графа G = (X, U, у/) тогда и только тогда, когда оно с любым квали-
разрезом имеет четное число (возможно, нуль) общих ребер.
Ввиду теоремы 3.1.4 и определения квалиразреза часть «только
тогда» очевидна. Если теперь С7' — не квазицикл, то в суграфе
G' = (X, U', у/) есть вершина х нечетной валентности. Поэтому
центральный разрез К(х), являющийся квалиразрезом по следст-
вию 2 теоремы 3.2.1, имеет с U' нечетное число общих ребер; тем
самым и часть «тогда» доказана от противного.
В заключение остановимся на взаимосвязи между пространствами
Ьл (G), Lp (G) и соответствующими системами С (G), R (Сг) из § 3.1.
Среди всех ненулевых квазициклов графа G простой цикл харак-
теризуется тем, что никакое непустое строгое подмножество его ре-
бер уже не образует квазицикла. К сожалению, это не чисто алгеб-
раическая характеристика, и построение с ее помощью системы про-
стых циклов С (G) по какой-либо базе пространства ЬЛ (G) «в лоб»
требует значительного перебора (см., например: М.М. Syslo //
Networks, 9 (1979), № 2, 123-132 [80, 2В623], Bull. Acad. pol. sci., ser.
sci. math., 27(1979), № 3—4, 241—246 [80, 3B600]); однако возмож-
ность более эффективных способов в принципе не исключена.
Решение обратной задачи может оказаться неэффективным толь-
ко из-за громоздкости самой C(G): если все простые циклы графа G
выписаны как элементы пространства ЬЛ (G) в виде векторов, то су-
ществует линейно независимая подсистема таких циклов, состоящая
из Л = Л((?) векторов (почему?), и всякая такая подсистема служит
базой пространства циклов.
Такова же взаимосвязь между системой простых разрезов R (G)
и пространством разрезов Lp (G) графа G (см. упражнения 3 и 4).
Упражнения и дополнения
1.	Доказать равносильность следующих четырех высказываний о произ-
вольном графе G:
(а)	хроматическое число /(G) <2;
(б)	каждый цикл системы C(G) обладает четной длиной;
(в)	у пространства ЬЛ (G) есть база, каждый квазицикл которой содержит
четное число ребер;
(г)	у ЬЛ (G) есть база, состоящая из простых циклов четной длины.
272	Основы теории графов
2 (Г.Ф. Степанец // УМН, 19(1964), № 2, 171-175 [64, 12А267]). Назовем
длиной квазицикла количество его ребер, а длиной базы пространства цик-
лов — сумму длин ее квазициклов.
2.1.	Доказать, что если и — две базы наименьшей длины в ЬЛ (G), то
квазициклы этих баз можно привести во взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее длины.
Указание: использовать результат упражнения 15 к § 2.4.
2.2.	Справедливо ли аналогичное утверждение а) для двух баз наибольшей
длины, б) для любых двух баз одинаковой длины в ЬЛ (6)?
2.3.	Пусть U] — произвольное цикловое ребро графа G. Среди циклов, со-
держащих «|, выберем кратчайший (значит, простой) и его ребра удалим
из G. Если оставшийся суграф еще имеет циклы, то выберем в нем цикловое
ребро «2 и кратчайший цикл Сг, содержащий «2, и опять удалим ребра этого
цикла и т. д., пока не останется суграф без циклов, т. е. выявленная система
Q, С2, ...,СЯ будет включать все цикловые ребра G. Показать, что
а)	/л <Л(6);
б)	если /л <Л (G), то систему С], С2,..., можно дополнить некоторыми
Z(G)-;i квазициклами (не обязательно простыми циклами) до одной из баз
наименьшей длины в пространстве LA (G).
3.	Сформулировать и доказать для квалиразрезов и пространства Lp (6)
утверждения, аналогичные (двойственные) результатам упражнения 2.
4.	Для высказываний (б)—(г) упражнения 1 сформулировать двойственные
и доказать их равносильность между собой; попытаться найти аналог высказы-
вания (а), когда вместо квазициклов речь идет о квалиразрезах.
5.	Хотя dimLA (G)+dimLp (G) = dimL(G), подпространства циклов и раз-
резов не для всякого графа G дополняют друг друга до L (G); выяснить причину
этого и привести соответствующий пример. Chen Wai-Kai [71, 1В314].
6.	Для каждого ребра и мультиграфа G = (X, U, у) справедливо одно и
только одно из трех:
1)	3G'gLa (G) [ueU'& G'\{u}eLp (G)],
2)	3t/'eLp (G) [ueU1 & C/r\{w}eLA (G)],
3)	3G'gLa (G)C|Lp (L) (wet/').
P. Rosenstiehl // Adv. Graph Theory. Amsterdam e.a., 1978, 195—226; R.C. Read
[79, 1В659].
§ 3.3. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ, РАЗРЕЗОВ И ЦИКЛОВ
От теоретического изучения пространств разрезов и циклов пе-
рейдем к их фактическому нахождению для заданного графа. Как
граф, так и оба пространства удобно задавать с помощью матриц.
Глава 3. Цикломатика
273
Желая указать явно, что матрица D имеет р строк и q столбцов,
будем записывать ее в виде ; таким образом, для суммы и произ-
ведения матриц можно написать
АР Л-ВР =(А +В)Р , А^С? =(А-С)Р ,
причем оба действия имеют смысл лишь при указанных совпаде-
ниях индексов в каждой из левых частей; известно также, что
где Т — оператор транспонирования матрицы. Нам понадобятся
еще две операции сочленения матриц — по горизонтали и по вер-
тикали.
Сочленение по горизонтали двух матриц А=А% и В~ВР (в ука-
занном порядке) — это простое приписывание матрицы В справа к
матрице Л, в результате чего получается матрица
А$ВР=(АВ)Р+Г,
в которой стоят сначала все столбцы А, а затем все столбцы В без
нарушения их порядка в исходных матрицах; чтобы не путать АВ с
произведением А-В, условимся в последнем никогда не опускать
точку. Аналогично сочленение по вертикали матриц А=А? и С=С^
(в указанном порядке) — это приписывание второй матрицы к пер-
вой снизу; полученную матрицу ради экономии места обозначаем с
помощью дробной черты:
АР IС’=(AIC)P+S .
Ясно, что
(АВ)Т =АТ/ВТ и (А1С)Т =АТСТ .
Из правил оперирования с блочными матрицами вытекают также
соотношения (легко доказываемые и непосредственно)
А-(ВС) = (А В)(А-С), (AIB)D = (AD)I(BD),
(AB)-(CID)=AC+BD.
274
Основы теории графов
Разумеется, все соотношения между матрицами, размеры которых
явно не указаны, имеют смысл лишь при надлежащей согласованно-
сти этих размеров.
Для заданного графа будем пользоваться матрицей инциденций,
несколько изменив ее определение, данное в § 2.7. С одной стороны,
определение квазицикла (§ 3.2) толкает на то, чтобы система столб-
цов матрицы, соответствующих ребрам квазицикла, имела в каждой
строке четное число единиц, а так как петля — тоже квазицикл, то
надо считать ру =2 в случае, когда ребро Uj является петлей при
вершине С другой стороны, все элементы матрицы В =|1Ау II, как
и координаты векторов пространства L(G), принадлежат полю
D={0, 1} вычетов целых чисел по модулю два:
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 00 = 10 = 01=0, 11 = 1,
в силу чего должно быть 2 = 0. Полученную таким образом «матри-
цу валентных инциденций по модулю два» графа G будем для крат-
кости именовать по-прежнему матрицей инциденций и обозначать
B(G) = B=B", =|1М" =11^711=11^7 №
где
Г1, если Wj — звено, инцидентное вершине ,
ij [0 в остальных случаях.
Таким образом, каждой петле графа G соответствует в матрице
B(G) столбец из нулей, и поэтому матрица не указывает, какой
именно вершине инцидентна та или иная петля, сохраняя информа-
цию об общем количестве петель; но для построения пространств
Lp (<7) и ЬЛ (G) эта потеря несущественна (для других же целей,
когда важно распределение петель по вершинам, можно, например,
на соответствующих местах в матрице В удерживать символ 2
вместо 0).
Столбцы каждой матрицы D? с элементами из поля D можно
рассматривать как векторы /(-мерного линейного пространства
(определяемого аналогично L((7)); слово «столбец» позволим упо-
Глава 3. Цикломатика
275
треблять по отношению ко всякому вертикально записанному
^-мерному вектору с компонентами из D независимо от того, при-
сутствует ли он фактически в матрице D?. Линейная зависимость
системы столбцов 5 означает существование непустой подсистемы
S' cz 5 такой, что сумма всех столбцов из S' есть нуль-столбец ||0||^.
Выясним смысл линейной зависимости между столбцами матрицы
инциденций B=B(G) графа G = (A", U, у/), где X ={хь х2, ...» хп},
и={щ, и2,ит}.
ТЕОРЕМА 3.3.1. Система S некоторых столбцов матрицы
В=В (G) линейно независима тогда и только тогда, когда суграф Gs,
порожденный множеством тех ребер графа G, которые соответст-
вуют столбцам S, не имеет циклов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала Gs обладает циклом С.
Если у С есть петля, то соответствующий столбец в 5 является
нуль-вектором и вся система 5 линейно зависима. Если же С не име-
ет петель, то каждая вершина графа G инцидентна четному числу
ребер этого цикла, поэтому подсистема S' с S тех столбцов матри-
цы В, которые соответствуют ребрам С, в сумме дает нуль-столбец,
т. е. 5 опять линейно зависима.
Теперь пусть суграф Gs не содержит циклов, aS'c S- произ-
вольная непустая подсистема столбцов из 5. Этой подсистеме отве-
чает суграф Gs без циклов, содержащий в силу 5'*0и п. (9) теоре-
мы 2.3.3 висячую вершину х^. Среди элементов матрицы В, стоя-
щих на пересечении k-й строки со столбцами S\ ровно один отли-
чен от нуля — именно тот, который соответствует единственному
инцидентному х^ ребру суграфа Gs 9 — поэтому сумма всех столб-
цов системы S' не может быть нуль-столбцом. Ввиду произвольно-
сти непустой подсистемы S'czS это означает линейную независи-
мость всей системы 5.
СЛЕДСТВИЕ 1. Ранг р(В) матрицы инциденций B-B(G) равен
рангу p(G)=H(G)-a?(G) = m(G)~ Z(G) графа G.
В самом деле, из графа G по теореме 3.1.1 всегда можно так уда-
лить т-р(G) ребер, чтобы оставшийся суграф G' не имел циклов,
т. е. чтобы p(G) ребрам этого суграфа отвечали линейно независи-
мые столбцы матрицы В, откуда p(B)>p(G). С другой стороны, по
Основы теории графов
276
следствию лемм 2.3.1 и 2.3.2 всякий суграф, получаемый из G удале-
нием менее чем /и-р((т)=Л((/) ребер, обладает циклами, значит
любая система более чем из p(G) столбцов матрицы В линейно зави-
сима, откуда р(В) <.p(G).
Из следствия 1 и определения каркаса (см. равенства (♦) в начале
§ 3.1) непосредственно вытекает
СЛЕДСТВИЕ 2. Система S из p(G) столбцов матрицы B(G) ли-
нейно независима тогда и только тогда, когда соответствующий
суграф Gs является каркасом графа G.
Займемся нахождением пространства разрезов графа G. Нахож-
дение этого подпространства Lp (G) с L (G) равносильно выявлению
какой-нибудь его базы
(Рр Рр •••’ Р™>’ •••> <Р1’ Р2>	Р&’
или, что то же, построению матрицы
Pl Р2 "• Рт
Р? Р2 Рт
Всякая матрица Р(<7) = Р=Р£, строками которой служат векторы
какой-либо базы пространства Lp ((?), называется матрицей разре-
зов графа G. Покажем, как получить одну из таких матриц путем
преобразования матрицы инциденций В((3)\ при этом попутно выя-
вится один из каркасов графа G, что тоже важно.
С матрицами над полем D будем производить операции следую-
щих трех типов:
1)	перестановку столбцов;
2)	перестановку строк;
3)	замену строки суммой ее с другой строкой.
Применение операции 1) к матрице B(G) соответствует перену-
мерованию ребер графа G, применение операции 2) — перенумеро-
ванию вершин, а операция 3) легко может перевести В (G) в такую
матрицу, которая вообще не является матрицей инциденций ни для
какого графа. Важно, однако, заметить следующее.
Глава 3. Цикломатика
277
Во-первых, операции 2) и 3) не нарушают взаимно однозначного
соответствия между столбцами матрицы и ребрами графа, а после
применения операции 1) это соответствие легко восстановить над-
лежащим перенумерованием ребер; мы будем считать, что такое пе-
ренумерование всегда производится, и под «одноименными» столб-
цами исходной и результирующей матриц понимать те, которые от-
вечают одному и тому же ребру графа (а не те, которые в матрицах
стоят на одинаковых местах).
Во-вторых, все три операции не меняют не только ранга матри-
цы, но и полной системы линейных зависимостей между ее столбца-
ми; это значит, что подсистема столбцов результирующей матрицы
зависима или независима одновременно с подсистемой одноимен-
ных столбцов исходной.
Пользуясь этими операциями, преобразуем матрицу В=B(G) =
=||6;у|| следующим образом.
Если не все by =0, то с помощью операций 1) и 2) переведем ка-
кой-либо из единичных элементов на место 6ц и затем, применяя
операцию 3), обратим в нуль все остальные элементы первого
столбца. Если в полученной матрице есть еще единичные элементы,
не принадлежащие первой строке, то перестановками остальных
строк и столбцов переведем один из таких элементов на место Z>22, а
затем с помощью операции 3) уничтожим остальные единицы во
втором столбце. Продолжая в том же духе, придадим матрице В вид
	1	0	0	,р+1	Ь\,р+2	Ь\т
	0	1	0	^2,р+1	^2, р+2	^2т
5'=	0	0	1	^р,р+1	Ь'р,р+2	Ьрт
	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0
при котором процесс формирования единичной подматрицы пре-
кращается потому, что все элементы в строках, не принадлежа-
щих уже сформированной подматрице, равны нулю. (Случай, ког-
да исходная матрица совсем не содержит единиц, не является
278
Основы теории графов
исключительным, ибо пустую подматрицу можно считать единич-
ной нулевого порядка.) Так как р(В')=р (B)=p(G) по следствию 1, то
p=p(G). Удаляя из В' последние п-р строк, получим матрицу вида
Е^С%, где к=т-р,Е^ — единичная матрица порядка р, и покажем,
что получилась некоторая (G), т. е. матрица разрезов графа G.
Всякая строка исходной матрицы В является квалиразрезом,
т. е. элементом пространства Lp (G): в самом деле, строка либо со-
стоит из одних нулей, т. е. это нулевой квалиразрез, либо имеет еди-
ницы точно в тех столбцах, которые соответствуют звеньям, инци-
дентным вершине , где к — номер строки; но такие ребра, очевид-
но, образуют разрез графа G. Так как операции 2) и 3) над вектора-
ми-строками не выводят за пределы пространства Lp (G), а опера-
ция 1) не меняет этого пространства благодаря принятому соглаше-
нию об «одноименности» столбцов (без этого соглашения Lp (G) пе-
реходило бы в изоморфное пространство, отличающееся от исход-
ного одновременным перенумерованием компонент во всех векто-
рах пространства L ((7)), то каждая строка матрицы В', а значит, и
матрицы представляет собой квалиразрез. Линейная незави-
симость всех р строк последней матрицы очевидна из-за наличия в
ней единичной подматрицы порядка р.
Итак, =Е^С^ — некоторая матрица разрезов графа G. Так
как первые ее р=р((?) столбцов линейно независимы, то соответст-
вующие им ребра графа G по следствию 2 образуют каркас.
ТЕОРЕМА 3.3.2. Если матрица разрезов графа G имеет вид Е^С^
или может быть приведена к такому виду перестановкой столбцов,
то все строки этой матрицы являются простыми разрезами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как мы уже знаем, ребра графа G, соот-
ветствующие столбцам подматрицы Efi, образуют некоторый кар-
кас Т. С другой стороны, каждая строка матрицы ЕрС1^ является
квалиразрезом, т. е. по определению
последнего допускает представление в
виде суммы некоторого количества к
попарно непересекающихся простых
разрезов. Но каждый разрез содержит
хотя бы одно ребро фиксированного
каркаса Т; а так как рассматриваемая
строка-квалиразрез имеет в столбцах,
Глава 3. Цикломатика
279
соответствующих ребрам Т (т. е. в столбцах подматрицы Е?), толь- ко одну единицу, то к=1.									
Пример. Графу рис. 3.3.1			отвечает матрица инциденций						
	1 2	3	4	5	6	7	8	9	
	1 0	1	0	0	0	0	0	0	
	1 0	0	1	1	0	0	0	0	
	0 0	0	0	0	0	0	1	0	
Е=В] =	0 0	1	1	1	0	1	0	0	>
	0 0	0	0	0	0	1	0	0	
	0 0	0	0	0	0	0	1	1	
	0 0	0	0	0	0	0	0	1	
к которой мы сверху дописали строку номеров ребер, дабы не упус-
тить из виду соответствие между столбцами матрицы и ребрами
графа при операциях типа 1) (в операциях 2) и 3) эта строка, естест-
венно, не участвует). Последовательно производя операции, типы
которых указаны над стрелками (для нескольких операций одного и
того же типа подряд промежуточные результаты не выписаны),
придадим матрице требуемый вид:
12 3 456789	132456789
3
1
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0
1
о
0 0 0 0	0	1	0	!	0
1 1 1 0	1	о	о	—>	о
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	1
о
о
о
10 0 0
10 11
0 0 0 0
10 11
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 10
0 1 о о —>
0 10 0
0 0 11
0 0 0 1
1 3 2 4 5 6 7 8 9
1 3 8 2 4 5 6 7 9
10	0	110	0
0	10	110	0
0	0	0	0 0 0	0
0	0	0	0 0 0	1
0	0	0	0 0 0	1
0	0	0	0 0 0	0
0	0	0	0 0 0	0
о о
о о
1 о
1
о о —>
о о
1 1
О 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0 0 0
001000000
000000010~>
000000010
0 0 1 0 0 0 0 0 1
000000001
280
Основы теории графов
3 3
2
Отсюда
138245679
1
0
О
О
О
О
О
О
1
О
о
о
о
о
о о
о о
1 о
о о
о о
о о
о о
1 1 о
1 1 о
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
о о
о о
о о
1 о
1 о
О 1
О 1
1	3	8	7	2	4	5	6	9
1	0	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
001000000
000100000
000000000
000000001
000000001
13 8 7
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
9	2	4	5	6
0 0 110
0 0 110
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
р=р95 =
I 3 8724569
1	0	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
001000000
000100000
000100000
000000001
000000001
13 8 7
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
9 2 4
О 0 1
О 0 1
ООО
ООО
ООО
1 о о
1 О о
5 6
1 о
1 о
о о
о о
о о
о о
о о
1	3	8	7	9	2	4	5	6
1	0	0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	0	0	0	1	1	0
001000000
000100000
000010000
000000000
000000000
1 3 8 7 9 2 4 5 6
;i	о	о	о	о;	о	1	io
;0	1	О	О	0;	О	1	10
!о	о	1	о	о;	о	о	о о
•О	О	О	1	0;	О	О	О О
!о ооо 11 оооо
<3
= В'.
Один из каркасов графа составлен ребрами wj, w3, и$, и7, w9 (жир-
ные линии на рисунке), а одна из баз пространства Lp — разрезами
{иь w4, и5}, {w3, w4, w5), {w8}, {w7}, {w9}.
Глава 3. Цикломатика
281
Всякая матрица A(G)=A = A-^, строками которой служат векто-
ры какой-нибудь базы пространства ЬЛ (G), называется матрицей
циклов (или цикломатической матрицей) графа G. Нетрудно найти
одну из таких матриц, т. е. определить пространство ЬЛ ((?), если
уже известна какая-то матрица разрезов ((7); укажем два способа.
I способ. Рассмотрим систему уравнений
P£(QIIMi”=IIO||f	(*)
над полем D, т. е. систему р сравнений по модулю два с неизвестны-
ми W], и2, •••» ит- В силу теоремы 3.2.2 вектор ||w7 ||j” =(«i, иг, ,
йт)Т удовлетворяет этой системе тогда и только тогда, когда век-
тор («1, ui,..., йт) является квазициклом, т. е. принадлежит ЬЛ (<7).
Значит, всякая фундаментальная система решений для (♦), если век-
торы-решения записать в виде строк, образуют некоторую матрицу
Л*, (G).
II способ. С помощью операций 1), 2) и 3) приводим матри-
цу Р£ (G) к виду ЕрС1^ и затем преобразуем следующим образом:
-> Cf -> Cf /	-> (СР/Е}) г = (Cf) Т (Е}) Т = (СТ )Л Е *;
такую процедуру будем называть перекройкой. Полученная матрица
и есть (G), ибо все ее Л = Л((7) строк линейно независимы (из-за
наличия подматрицы Е^) и, будучи записаны в виде столбцов,
удовлетворяют системе (♦); в самом деле, беря матрицу разрезов в
виде Е^С1?, имеем
г Л
(£PCf)[(Cr)'£»F =(£PCf)-(CP /£») =
= £P.CP+CP£j=2C₽=||0||P.
Пример. Перекройкой матрицы ₽95 предыдущего примера
получаем
1 38792456
000001000
1	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	1	0
000000001
= Л<.
282
Основы теории графов
Здесь, как и в общем случае, вспомогательная строка номеров ре-
бер заимствуется из (почему?). При прежнем каркасе Т графа на
рис. 3.3.1 ребра м2, м4> м5> М6 являются хордами, и так как в каж-
дом квазицикле-строке «хордовая» единица встречается только
один раз, то в силу теоремы 3.1.2 все строки представляют простые
циклы.
Последнее рассуждение примера носит общий характер, поэто-
му справедлива
ТЕОРЕМА 3.2.3. Если цикломатическая матрица графа G имеет
вид DpE^ или приводится к нему перестановкой столбцов, то все
строки этой матрицы представляют простые циклы.
Примечание. В столь простых примерах, как рассмотрен-
ные, можно составлять матрицы P(G) и Л (G) «визуально», без по-
мощи 5(G). Для этого достаточно выделить в графе G некоторый
каркас Т (тем самым выявив и соответствующее множество хорд) и
затем для каждого ребра из Т находить по чертежу тот единствен-
ный простой разрез, который оно образует вместе с некоторыми
хордами по теореме 3.1.3; еще легче для каждой хорды отыскивает-
ся единственный простой цикл, образуемый ею и некоторыми реб-
рами каркаса согласно теореме 3.1.2. В сложных же случаях, требу-
ющих применения ЭВМ, способы экономии времени и памяти пред-
лагает, например, К. Paton (Communs ACM, 12 (1969), № 9, 514—518
[70, 6В374]); см. также электрические методы... [УС].
В заключение заметим, что по какой-либо цикломатической
матрице нетрудно найти одну из матриц разрезов того же графа.
Для этого следует, пользуясь операциями 1), 2) и 3), привести дан-
ную матрицу Л* к виду D$E^9 после чего перекроить (в обратном
порядке) полученную матрицу в Е? (РТ)^. Таким образом, матри-
цы разрезов и циклов легко преобразуются друг в друга. Задача же
восстановления матрицы инциденций (т. е. восстановления самого
G с точностью до положения петель) по заданной Р (G) или Л (G)
значительно труднее и будет рассмотрена в следующем параграфе.
Упражнения и дополнения
1.	Дан граф G=(X, U, у/), где X ={а, Ь, с, /, ./}, [/ = {1, 2, 3,	16, 17},
у/(1) = л7>, у/(2) = й, 1//(3) = #, y/(4) = Z>g, у/(5) = Д у/ (6) = ch, у/ (7) = fit,
Глава 3. Цикломатика
283
у/(8) = ае, у/(9) = А у/(10)=£/, у/(11) = А ц/(12)=<§7, |//(13) = сй, у/(14) = ё/,
I// (15) = ed, у/(i6) = id, \y(}7) = ed.
а)	Составив матрицу инциденций В (G) и преобразуя ее, выявить один из
каркасов и найти какую-нибудь матрицу разрезов графа G. Путем иной после-
довательности преобразований^ матрицы B(G) (или вообще иным способом)
найти другой каркас и другую матрицу разрезов того же графа.
б)	Найти (разными способами) не менее двух цикломатических матриц
графа G.
в)	Непосредственно убедиться в том, что произведение каждой матрицы
разрезов (из найденных) на каждую транспонированную цикломатическую
равно нулевой матрице.
2.	Доказать, что параллельным звеньям графа G отвечают в матрице Р(6)
одинаковые столбцы и, наоборот, одинаковым ненулевым столбцам соответст-
вуют параллельные звенья.
3.	Доказать, что последовательным звеньям (общая вершина которых не
инцидентна другим звеньям) графа G отвечают в матрице А((7) одинаковые
столбцы. Верно ли обратное утверждение?
4.	Пусть в матрице Р (G) имеется строка, содержащая только одну едини-
цу — в столбце, соответствующем ребру uj графа G; что можно сказать об этом
ребре? Решить аналогичный вопрос, когда в матрице Л (G) имеется строка ров-
но с одной единицей.
А что можно сказать, если единственным ненулевым элементом обладает
некоторый столбец?
5.	В упражнении 5 к § 3.2 подпространства LA (G) и Lp (G) дополняют друг
друга до L(G) в том и только том случае, если граф G обладает нечетным
числом каркасов, а пересечение ЬЛ П Lp (G) является нулевым пространством
матрицы A(G)/P(G).
§	3.4. ГРАФЫ С ЗАДАННЫМИ РАЗРЕЗАМИ И ЦИКЛАМИ
Начнем с конкретного примера. Пусть дана матрица (над по-
лем D)
110 0 110
«Л»= ' о 1 1 1 о о
0 11110 0
0 0 0 0 0 0 1
284
Основы теории графов
Попытаемся найти такой связный граф G, для которого «Л» служи-
ла бы цикломатической матрицей.
С помощью операций 1), 2) и 3) преобразуем заданную матрицу
так, чтобы последние столбцы составили единичную подматрицу:

1
1
о
о
0 111
10 0 1
1111
0 0 0 0
10 1110 0
110 0 110
1	1	0 0	0	0	0
0	0	0 0	0	0	1
3,
0 1
4 1 1
1 1
о о
110 1
0 0 11
0 0 0 0
0 0 0 0
о о
1 о j,
о о
0 1
о
11110 0 0
110 0 110 1
0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
1
1
о
о
1	1	;Т~о“	о“"о!
о	о	!о	1	о	о;
1	о	;о	о	1	о*
0	0
Полученную матрицу перекраиваем (в обратном порядке) в
II 1	0 0	1	1	0	0II
0 10 10 10= «Р».
II0	О 1	1	О	О	ОII
Затем с помощью операции 3) стараемся сделать так, чтобы ни-
какой столбец не содержал более двух единиц; для этого в нашем
примере достаточно к третьей строке прибавить первую:
«Р»
10 0 110 0
0 10 10 10
10 10 10 0
Наконец, к полученной матрице дописываем (снизу) новую
строку, являющуюся линейной комбинацией прежних и такую, что-
бы после этого каждый ненулевой столбец содержал ровно две еди-
ницы; этими требованиями новая строка однозначно определяется
как сумма всех старых:
Глава 3. Цикломатика
285
1	0	0	1	1	0	Oil
О	1	О	1	О	1	О	—>
1	О	1	О	1	О	ОII
Матрице В отвечает граф
рис. 3.4.1 (с точностью до
местоположения петли).
Матрицу «Р» мы мог-
ли преобразовать иначе,
например прибавить ко
второй строке первую; со-
1OO11O
0 10 10 1
10 10 10
0 110 0 1
Рис. 3.4.1
о
о
о
о
вершая это и дальнейшие действия, находим
«Р» Л»
10 0 1
110 0
0 0 11
1 1 о —>
ООО
1
1
о
о
о
1
о
1
0 110 0
0 0 14 0
1 1 О О' о
10 0 10
1 о о
Этой матрице соответствует граф на рис. 3.4.2, не изоморфный пре-
дыдущему ни при каком положении петли.
Все этапы описанной процедуры алгоритмичны, кроме едко-
го — устранения избыточных единиц в столбцах матрицы «Р». Но
именно в этом пункте сфокусированы вопросы существования иско-
мого графа и обзора всех таких графов. Так, например, «матрице
разрезов»
«Р» =
1 о
о 1
о о
о о
о о
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
10 0 10
0	10	1	1
0	0	110
1 1
0 1
1 о
о о
1 о
и перекроенной из нее «цикломатической матрице»
0	111110	0	0
1	0	0 1	0 0	1	0	0
10	10	10	0	10
1	1	0 0	0 0	0	0	1
286
Основы теории графов
в действительности не соответствует никакой граф; однако предла-
гать убедиться в этом при помощи перебора всех возможных ре-
зультатов применения (и не только однократного!) операции 3) к
матрице «Р» можно разве лишь в шутку.
Теоретический критерий того, что заданная матрица служит
матрицей разрезов или циклов каких-то графов, дал W.T. Tutte
(Canad. J. Math., 16 (1964), № 1, 106—127 [64, 11A234]); доказатель-
ство затем дважды упрощал W. Maerda ([70, 11В242], Trans Electron
and Commun. Eng. Jap., A54(1971), №6, 354-360 [71, 12B619]).
Алгоритмы восстановления графа no матрице циклов или разрезов
см. в [УС]. Наиболее эффективным представляется нам метод Май-
еды, несколько упрощенный Я.Я. Дамбитом и Г.Э. Эргашевым (со-
общения на Одесском семинаре); в первоначальном виде: W. Мауе-
da // IRE Trans. Circuit Th., 7(1960), № 1, 79—81, 10(1963), №1,
128—130 [64, 2А223].	’
Пусть над полем D = {0, 1} дана матрица Р, относительно кото-
рой надо выяснить, порождают ли ее строки пространство разрезов '
какого-то графа, и если да, то найти все такие графы. Так как от-
брасывание нулевых строк и операции 2), 3), производимые над
матрицей Р(С), не меняют пространство разрезов Lp (С), а опера-
ция 1) меняет его несущественным образом, то всегда можно пред-
полагать, что исследуемая матрица Р уже приведена к виду Е$С%
(где числа р и Л характеризуют только размеры матриц и ни с каким
графом пока не связаны); допустим также, что некоторые строки
матрицы отмечены (множество таких строк может быть и пустым).
Граф G, для которого P(G)=E?C% и p(G)=p, в силу чего он связен
(и Л((7) = Л), называется Р-реализацией* матрицы Р=Е,£С^; эту реа-
лизацию считаем правильной, если отмеченным строкам матрицы
соответствуют центральные разрезы графа (неотмеченным строкам
могут соответствовать любые разрезы).
ЛЕММА 3.4.1. Для правильной Р-реализуемости матрицы
Р = Е^С%, в которой отмечены все строки, необходимо и доста-
точно, чтобы каждый ее столбец содержал не более двух единиц.
При этом P-реализация определяется однозначно с точностью до
изоморфизма и положения петель.
1 «ро»-реализация.
Глава 3. Цикломатика
287
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. У правильной P-реализации G матрицы Р
должно быть ж(б) = 1 и р((7)=п((7)-1=р(Р)=р, а всем р строкам
матрицы должны отвечать в G центральные разрезы при p(G)-l
вершинах, различных ввиду линейной независимости строк, т. е. Р
должна получаться из матрицы инциденций В (G) удалением одной
строки. Но эта строка однозначно определяется требованием, что-
бы после ее добавления к Р каждый ненулевой столбец содержал
ровно две единицы, а это требование равносильно условию, налага-
емому на матрицу Р леммой.
В реальной ситуации речь обычно идет о P-реализуемости мат-
рицы, ни одна строка которой не отмечена, но для изложения и обо-
снования метода Майеды надо рассмотреть общий случай, когда у
заданной матрицы Р=Е^С£ отмечено произвольное подмножество
строк. Основную роль здесь играют операции деления графа по раз-
резу и деления матрицы по строке.
Деление связного графа G = (X, U, у/) по простому разрезу V е R (G)
превращает G в два связных графа (?i = (Хх, U j, у/) и , Uy., у/),
определяемых следующим образом. Обозначим через G\ =(X\,U\,ip)
nG2=(X'2, U2, Y) компоненты суграфаб\К (их ровно две, поскольку
граф G связный, а разрез V простой) и положим
хх =х[U{y}, x2=x^U{y}, ux=u\uv, и2=и^у,
где у — новая вершина; отображение у/ на ребрах U{ UU2 оставим
прежним, а на ребрах V в графах G\ и G2 переопределим так, чтобы
каждое ребро we К, соединявшее в G вершину из Х'х с вершиной из
Х'2, теперь соединяло в Cq первую вершину с у, а в Gj это же ребро
соединяло у со второй вершиной (рис. 3.4.3). Если разрез V в G
Рис. 3.4.3
288
Основы теории графов
нецентральный, то и ((?])< и (G) и п (С?2) < п (G); в случае же централь-
ного разреза один из графов (q, изоморфен исходному G (более
того, почти совпадает с ним, отличаясь только идентификатором
одной вершины), а другой состоит из двух вершин, соединенных
пучком V параллельных ребер, и такое деление мы будем называть
тривиальным.
Исходный граф G однозначно восстанавливается по графам (7| и
(?2, если в них сохранены идентификаторы вершин и ребер; для вос-
становления же G с точностью до изоморфизма и положения петель
достаточно (и в общем случае необходимо) сохранить идентифика-
торы вершины у и всех ребер множества V. Пара матриц B(G]),
В (<?2), в которых отмечено по одной у-строке, а между подмножест-
вами К-столбцов указано взаимно однозначное соответствие, по-
зволяет составить матрицу В (G) с точностью до порядка строк и
столбцов, т. е. определяет сам граф G с точностью до изоморфизма
и положения петель.
Деление матрицы вида Р=Е^С^ по ее неотмеченной строке г
производится так. Сначала удалим из Р строку г и все те столбцы,
которые имели в ней единицу, и полученную подматрицу Р,. пере-
становками строк и столбцов приведем к виду
с непустой PJ.; результатом деления, соответствующим этому пред-
ставлению, будет пара Р/*\ Р® подматриц, получаемых из Р уда-
лением всех тех строк и столбцов, которые образуют в Рг (после пе-
рестановок) подматрицу Р" соответственно Р,, причем в и Р®
считаем отмеченными строку г и все строки, отмеченные в исход-
ной Р.
Для Рг всегда существует тривиальное представление (♦) с пус-
той Р”; в соответствующем результате деления Р по г одна из мат-
риц пары, скажем Р^\ отличается от Р только тем, что строка г в
ней теперь отмечена, а вторая матрица р/2^ состоит из единствен-
ной строки г (отмеченной). При наличии нетривиальных представ-
лений (♦) их может быть и несколько (какие из них на самом деле
следует считать различными, мы уточним позже); всякому нетриви-
альному представлению отвечает свой результат деления, т. е. своя
Глава 3. Цикломатика
289
пара матриц Р;Р\ р/2\ каждая из которых содержит меньше строк
и меньше неотмеченных строк, чем Р. Предлагаем читателю дока-
зать, что матрицы результирующей пары обладают такой же специ-
альной структурой, как и исходная: начинаются с единичной под-
матрицы; напомним еще, что по теореме 3.3.2 все разрезы, опреде-
ляемые строками таких матриц, простые.
Обе операции деления (графа и матрицы) сопоставляет
ЛЕММА 3.4.2. Пусть G\, G^ —результат деления связного графа
G по простому разрезу V, определяемому неотмеченной строкой г
матрицы разрезов P(G)=E^C%. Тогда среди результатов деления
матрицы P = P(G) по строке г есть такой Р,9\ Р®, что Р/1^ =P((?i)
uPr(i)=P(G2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае центрального разреза V деление
по нему графа G является тривиальным; ясно, что этому делению
соответствует тривиальное деление матрицы Р по строке г (и только
такое деление, как легко следует из соображений, связанных с коли-
чествами вершин).
Предположим теперь, что разрез И нецентральный. Тогда при
надлежащей расстановке строк и столбцов:
где Е' и Е" — единичные подматрицы порядка zi(Gj)-2 и n(G2)-2,
столбцы которых вместе с «и» соответствуют ребрам некоторого
каркаса Тграфа G, причем столбцы Е' и С отвечают ребрам из V\,
а столбцы Е” и С" — ребрам из С/2 (в тех же обозначениях, что и
при определении операции деления графа по разрезу). Подматрицы,
расположенные под С и над С”, состоят сплошь из нулей потому,
290
Основы теории графов
Рис. 3.4.4
что любая отличная от г строка матрицы Р задает в G разрез, одно
ребро v*u которого принадлежит Г, а остальные являются хорда-
ми этого каркаса и в силу простоты разреза не могут входить в то
из множеств U\9 которое не содержит и. Столбцы Е' и «и» опре-
деляют каркас 7] графа G\, состоящий из тех ребер Т, которые при-
надлежат множеству U\=U\\JV (рис. 3.4.4), а столбцы Е" и «и»
определяют аналогичный каркас Т2 графа G2. Полагая Р, =Е'С и
Р/=£"С", получим для матрицы Рг представление вида (♦) (с точ-
ностью до порядка столбцов), и соответствующим результатом де-
здесь и в дальнейшем кружком обводится идентификатор отмечен-
ной строки. Так как матрица Р^ начинается с единичной подматри-
цы и имеет п (Gj) -1 строк, а столбцы ее соответствуют ребрам графа
Gj, то для доказательства равенства Р® = Р (Gj) достаточно убедить-
ся в том, что каждой строке матрицы отвечает в G] квалиразрез.
Это очевидно для строки (г): множество ребер V образует в гра-
фе Gj центральный разрез, простота которого следует из простоты
разреза V в G. Рассмотрим теперь любую другую строку; столбцы,
содержащие в ней единицу, в силу способа получения матрицы Р^
из Р соответствуют тем ребрам, которые в графе G образуют про-
стой разрез, не пересекающийся с G2. Но те же ребра образуют про-
стой разрез и в Gi, как легко доказать непосредственно или вос-
пользовавшись тем обстоятельством, что граф Gj может быть полу-
чен из G мультистягиванием всех ребер связного подграфа G2.
Равенство Pr<2)=P(G2) доказывается точно так же.
Глава 3. Цикломатика
291
Числом компонент х(А) произвольной матрицы А называется
наибольшее число к ненулевых блоков среди всех матриц вида
л =
(**)
получаемых из А перестановками строк и столбцов. Оно, очевидно,
совпадает с числом компонент х (G (А)) вспомогательного обыкно-
венного графа G(A), вершинами которого служат ненулевые эле-
менты матрицы (точнее, их местй, поскольку одинаковые элементы,
стоящие на разных местах, считаются разными вершинами) и две
разные вершины которого смежны, когда они расположены в одной
строке или одном столбце. Два представления вида (**) с к=х(А)
одной и той же матрицы А могут различаться только перестановка-
ми между собой ненулевых блоков Л], А^, , А^ и перестановками
строк и столбцов в каждом блоке; такие представления мы будем
считать несущественно различными. В представлении же (*) матри-
цы Рг возможно х(Рг)>2 (или ж(Рг)>1 в тривиальном случае
Р/=0), поскольку каждый из блоков Р', Р'' может в свою очередь
разбиваться на блоки; два таких представления
р Jp; о II ~ = р; о |
г II о р/г г о р/l
считаем существенно различными, если невозможно преобразовать
Рг в Рг перестановками строк и столбцов в каждом блоке и переме-
ной местами самих блоков, иначе говоря, если этим представлениям
соответствуют различные разбиения множества всех компонент гра-
фа (7(РГ) на два класса (порядок самих классов безразличен).
ЛЕММА 3.4.3. Если все строки матрицы P(G) определяют про-
стые разрезы графа G, то количество его блоков равно x(P(G)).
Очевидно, поскольку ребра простого разреза не могут принад-
лежать более чем одному блоку.
292
Основы теории графов
Переходя к описанию алгоритма, условимся в примерах считать
идентификаторами столбцов матрицы (и соответствующих ребер
графа) натуральные числа, а идентификаторами строк (и соответст-
вующих разрезов, а также вершин в случае центральных разре-
зов) — буквы, сохраняя идентификаторы при образовании подмат-
риц; о двух рядах с одним и тем же идентификатором мы кратко го-
ворим как об «одном и том же ряде», хотя в разных матрицах эти
ряды могут различаться по длине и по составу.
1.	Заданную матрицу приводим к виду Р=££с£, причем нуле-
вые столбцы удаляем: ведь им соответствуют в графе петли, а при
каких именно вершинах — узнать по матрице разрезов все равно не-
возможно (если так уж приспичило знать количество петель, то за-
помним число отброшенных столбцов). Для общности можно еще
считать, что в матрице Р указанного вида некоторые строки уже от-
мечены (из каких-то «высших» соображений). Пусть, например,
Р =
1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1
0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	0	1
8 9
о о
1 о
1 о
1 о
0 1
@
ь
с .
d
е
2.	Находим аг (Р) (например, с помощью построения вспомога-
тельного графа G (Р)) и в случае аг (Р) > 1 представляем матрицу Р в
виде (♦♦) с к - аг (Р), после чего решаем задачу с начала для каждо-
го ненулевого блока отдельно. Если хотя бы один блок матрицы не
допускает P-реализаций, то нереализуема и вся матрица; в против-
ном случае находим все реализации каждого блока. Выбирая про-
извольным образом по одной реализации блоков и сочленяя их
между собой так, чтобы они оказались блоками полученного графа
(в остальном произвольно), найдем всевозможные P-реализации ис-
ходной матрицы Р, как подробно описано в следующих пунктах.
В нашем случае аг(Р) = 1, т. е. реализующий граф может быть
только блоком.
3.	Для каждой неотмеченной строки г матрицы Р находим число
аг(Рг). Строки г, для которых аг(Рг) = 1, отмечаем, поскольку деле-
ние матрицы по такой строке дает единственный результат —
Глава 3. Цикломатика
293
тривиальный, т. е. в силу леммы 3.4.2 соответствующий разрез гра-
фа может быть только центральным. Если все строки окажутся от-
меченными, то завершаем процедуру применением леммы 3.4.1; в
противном случае делим матрицу Р по одной из неотмеченных
строк г (лучше по такой, для которой число х (Рг) наименьшее).
В нашем примере ж(Р^) = 2, ж(Рс)=3, ж(Р^) = ж(Ре) = 1, и мы
будем делить матрицу
I 2
1 О
О 1
Р = о о
о о
о о
3 4 5 6
0 0 0 1
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
7 8
1 о
0 1
1 1
0 1
1 о
9
о
о
о
о
1
©
ь
с
©
по строке Ь:
в тривиальном результате деления вторую матрицу пары (для пус-
той Р'') не пишем, а первую обозначаем
р<»>.
I 2
1 о
0 1
о о
о о
о о
3 4 5	6
0 0 0 1
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
7 8	9
1 о о
0 1 о
1 1 о
О 1 о
1 0 1
С 
©
единственным нетривиальным результатом в нашем случае является
пара
294
Основы теории графов
1	2	3	5	6	7
1	0	0	0	1	1
0	10	0	10
0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	1
8	9
0 0®	2
1 0 ® р(2) = II 1
10с’ b || О
4 6 8
о 1 1||®
1 0 1||@‘
О 1 (е)
4.	Продолжаем отдельно каждую ветвь процесса. В рассматри-
ваемом примере их две: первая приводит к исследованию матрицы
а вторая — пары матриц Р^\ Р^.
Исследуем так же, как Р в п. 3:
р£>=
1
о
о
о
2 4 5
ООО
1 о о
О 1 о
О О 1
6
1
1
о
о
о @
О ® 1
о 0
1 @
1	2	6 4 5 9
1 0 11 000
О 1 1 000
О О 0 [ 1 I о о
О О О ОI 1 1|
®
0
©
(пока это представление вида (**)), поэтому кроме тривиального
представления, которому отвечает результат
рфО) =
1 2 3
1 О о
О 1 о
О О 1
ООО
ООО
4 5	6	7
0 0 11
0 0 10
0 0 0 1
10 0 0
0 10 1
8 9
о о
1 о
1 о
1 о
О 1
©
®
0,
0
©
имеется три существенно различных нетривиальных представления
вида (♦), соответствующих трем разбиениям множества столбцов
P<W: {1, 2, 4, 5, 6, 9} = {1, 2, 6} U {4, 5, 9} = {1, 2, 6, 4} U {5, 9} =
={1, 2, 6, 5, 9} U {4}. Матрица Р^°\ все строки которой отмечены,
Р-нереализуема по лемме 3.4.1, а три результата нетривиального
деления воплощены в парах
1	2	3	6	7	8
|| 1	0	0	1	1	011(a)
р^‘)= о	10	10	1 ®,
II0	0	1	0	1	1||@
3	4	5	7	8	9
|| 1	0	0	1	1	О О©
Р^1 2)=Р	10	10	1
II0	0	1	0	1	1||®
Глава 3. Цикломатика
295
8
1
р(01)= о
Ьс о
О
2 3 4 6 7
OOO11
10 0 10
0 10 0 1
0 0 10 0
1 ©’
1 @
3 5 7 8 9
р(02)1|1 О 1 1 0||©_
Ьс || о 1 10 111(5)’
О @
1 ®
1	2	3	5	6	7	8	9
1	0	0	0	1	10	0
р(01) _	0	10	0	10	10
*Ьс"	0	0	1	0	0	1	1	0
0	0	0	1	0	1	0	1
@	3	4	7	8
®	р(02) _	1	О	1	111©
©’	Ьс"	О	1	0	1||@*
Только у первой из этих пар обе матрицы P-реализуемы; прежде
чем строить соответствующие графы, рассмотрим вторую ветвь
процесса:
р<>) =
ОС
12	5	6
10 0 1
0 10 1
0 0 10
0 ® !
0 © ->
1 ©
12	6 5	9
©
©
10 1 о о
0 110 0
ООО 1 1|
Тривиальное деление по с приводит к P-нереализуемой матрице
Pbc0\ а единственное нетривиальное дает пару
1 2 3 6 7 8
10 0 110®	’ 5„ ’ ’
, о, ®.	:
О О 1 О 1 1 ©
о II©
1II©’
обе матрицы которой P-реализуемы. Матрица тоже Р-реали-
зуема.
5.	Для каждой из полученных реализуемых матриц с отмечен-
ными строками строим граф, т. е. находим его матрицу инциденций
В^.'З, обозначение которой снабжено теми же индексами, что и
Р.Н. В качестве идентификаторов добавочных строк привлекаем
буквы, не фигурирующие в матрице Р; кружочки больше не нужны.
Сами графы показаны на рис. 3.4.5.
296
Основы теории графов
в^ =
ОС
1 2 3 6 7 8
10 0 110
0 10 10 1
0 0 10 11
1110 0 0
а
d
В<™ =
ОС
3	4 5 7 8
10 0 11
0 10 0 1
0 0 110
9
0 а
О
1
b = B(G^),
1 1 1 О О 1 d
М’> =
ОС
1	2 3 6	7	8
10 0 110
0 10 10 1
0 0 10 11
1110 0 0
а
b = B(G™),
с	Ь
d
Ьс
в&=
о4
3 5
1 О
О 1
1 1
7	8	9
1 1 ОII с
1 О 1 е = 2?((7£?>),
О 1 1 II i
2	4 6	8
1
О
1
О 1 1
1 0 1
1 1 О
b
d = B(G™)-
J
Рис. 3.4.5
Глава 3. Цикломатика
297
6.	Для каждого из результативных вариантов всего процесса
последовательных делений матрицы Р производим (в обратном по-
рядке) склеивание графа G из полученных графов. Каждый шаг
склеивания состоит в исключении общей вершины двух графов и
на матрицах инциденций выглядит как сочленение по вертикали
двух матриц, из которых предварительно удалена общая строка, а
недостающие столбцы (до столбцов напарницы) заменены нулевы-
ми; при этом сочленяться должны столбцы с одинаковыми иденти-
фикаторами.
В нашем примере результативных вариантов процесса два, и со-
ответствующие схемы восстановления матрицы инциденций иско-
мого графа будут
12 3 4 5	6	7
10 0	11
0 10	10
111	0 0
0 10 о
0 0 1	1
111 о
в«» =
8	9
0	а
1	b
0
1 О d
В ((?'')
12	3 4 5	6	7	8	9
1 0	0 0 0	1	1	0	0	а
0 1 0 0 0 1 0 1 0 b
111 0 0 0 0 0 0 f = B(G\
OOOlOOOlOd
0 1 е
0 1 g
0	0	0	0 1 0	1	0
0	0	1	110	0	0
1 е
1 g
в^ =
12 3 5
1 о о
0 1 о
1 1 1
0 1
1 1
6 7 8 9
1 1 о
1 0 1
0 0 0
1 0 1
0 1 1
12 3 5 6 7
1 0 0 0 1 1
0 10 0 10
1110 0 0
0 0 0 10 1
0 0 1 10 0
8 9
0 О а
1 0 b
0 0 Л ,
0 1 е
1 1 i
а
b
h
е
298
Основы теории графов
123456	78	9
1 0 0	0	1	1	0	0	а
1 11	0	0	0	0	0	Л
ООО	1	О	1	О	1	е
0 0 1	10 0 11/
0	10	16/
1	1	1 Оу
1 2 3 4 5	6	7	8
1	0	0	0	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0
0 0 0 0 10 1 0
0	0	1	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0	1
0 10 10 10 0
;е. - в {су,
О d
О j
9
О а
о л
для самих графов те же схемы показаны на рис. 3.4.6. В данном слу-
чае G^G'\ переключение, определяемое, например, в G' разделяю-
щей парой вершин ai, дает неизоморфный граф G" (рис. 3.4.7). Так
как G' — блок, а кроме ai есть еще только одна разделяющая пара ij,
переключение по которой приводит к изоморфному графу, то по те-
ореме 3.1.8 других P-реализаций, не изоморфных G или G”, матрица
Р не допускает. P-реализация G" не является правильной, ибо в ней
отмеченной строке @ соответствует нецентральный разрез, так что
граф G" выпал из окончательных результатов вполне закономерно
(см. упражнение 1).
Рис. 3.4.6
Как могло показаться на первый взгляд, для полной гарантии,
что все неизоморфные P-реализации заданной матрицы Р будут
найдены, надо рассмотреть все (р-рр)! последовательностей деле-
ний матрицы, где р0 — число отмеченных строк в Р. Это было бы
Глава 3. Цикломатика
299
ужасно, но на самом деле достаточно одной
произвольно выбранной последовательно-
сти, как следует из описания процедуры, в
особенности из ссылок на лемму 3.4.2. Таким 1
образом, количество делений матриц по
строке равно р-р0, и весь алгоритм может в
отдельных случаях оказаться практически
неэффективным только из-за наличия ветвле-
ний, но это, видимо, неизбежное зло.
Изящный результат второй из упомянутых работ В. Майеды по-
зволяет избежать громоздкой процедуры склеивания графа G (или
его матрицы инциденций В) из более простых. Пусть множество
матриц
^={С1>	•••> бр> Ср+1),
где каждая есть какая-то в которой все строки отмечены,
возникло на одной из ветвей процесса; при этом мы каждую от-
меченную (в том числе и первоначально) строку рассматриваем
как возникшую от тривиального деления матрицы и при всяком
(а не только нетривиальном) делении пишем обе матрицы пары.
Положим
1, если матрица Qt содержит строку, стоящую
в Р нау-м месте (считая сверху),
О в противном случае.
Если все матрицы множества М являются P-реализуемыми, то для
графа (7, соответствующего данной ветви процесса,
5(G)=Z>P,
где D=||1 (напомним, что Р=Е£С^ = Р£, >и=р + Л). Например,
для матрицы Р в тексте одному из множеств P-реализуемых матриц
с отмеченными строками
268	167	48	579
1 M®d|i 1 И!®’!!1 HI®» II1 1 ’II®)
300
Основы теории графов
соответствует матрица £> =	1 0 0 1 0 0	1 0 1 0 0 0	1 1 0 0 0 0	0 1 0 0 1 0	0 1 0 0 0 1	, откуда			
	1	1	1	0	0	0	0	0	0
	0	0	1	1	1	0	0	0	1
B(G) = DP =	0	1	0	0	0	1	0	1	0
	1	0	0	0	0	1	1	0	0
	0	0	0	1	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	1	0	1	0	0
Порядок столбцов здесь такой же, как в матрице Р, а снабжать
идентификаторами строки мы не стали потому, что их расположе-
ние зависит от порядка записи матриц в множестве М. Обосновать
изложенный результат можно следующим образом.
Пусть <7Ь G2...Gp+i — графы с матрицами инциденций В},
В2,	Вр+1, полученными из Qlt Q2. ..., Qp+\- В процессе восста-
новления G все старые вершины этих графов исключаются, а все
новые становятся вершинами G, причем центральные разрезы при
новых вершинах остаются центральными с неизменным составом
ребер. Поэтому для нахождения г-й строки матрицы В (G) достаточ-
но знать центральный разрез У, при новой вершине в графе G.
Но разрез У, как элемент пространства Lp (G) есть сумма цент-
ральных разрезов графа G, при его старых вершинах (ибо сумма
разрезов при всех вершинах любого графа равна 0), а эти разрезы
по составу ребер совпадают с одноименными (в смысле идентифи-
кации строк) простыми разрезами графа G. Поэтому для получения
«-строки матрицы В (G) надо в исходной Р сложить те строки, кото-
рые соответствуют старым вершинам графа G, , т. е. сложить имен-
но те строки, которые содержатся также в матрице Q, ; но совокуп-
ность всех таких сложений равносильна умножению матрицы Р сле-
ва на матрицу £>.
Глава 3. Цикломатика
301
Упражнения и дополнения
1.	Применить алгоритм Майеды к матрице Р в тексте, но с не отмеченной
заранее строкой а.
2.	Для каждого из графов Г5 и Ку 3 («три дома и три колодца») составить по
одной цикломатической матрице и показать, что эти матрицы Р-нереализуемы.
3.	Доказать, что любая подматрица P-реализуемой матрицы ЕрС? тоже
P-реализуема. Г.Э. Эргашев (устное сообщение, 1968 г.). Остается ли это утвер-
ждение в силе а) для произвольной матрицы Р над полем D? б) для произволь-
ной Р (над D) с линейно независимыми строками?
4	(теоретическая проблема). Пусть для заданной матрицы Р (над D) и ее
неотмеченной строки г подматрица Рг представима в виде

?(1)
?(2)
0
0

с к (Fr). Для каждой Pqj образуем подматрицу Р<0 исходной матрицы Р, со-
ставленную строками ₽(,), строкой г (теперь уже отмеченной) и столбцами F^y
Ту из матриц Р(0, в которой есть отличная от г неотмеченная строка, расщепим
аналогичным образом по этой строке и т. д. до тех пор, пока не придем к систе-
ме матриц, в которых отмечены все строки. Нельзя ли разработать способ по-
строения всех неизоморфных P-реализаций исходной матрицы Р (или установ-
ления ее Р-нереализуемости) по полученной таким образом системе?
5	(методическая проблема). Нельзя ли получить новое доказательство тео-
ремы Уитни 3.1.8 путем теоретического исследования всех возможных вариан-
тов в алгоритме Майеды? На эту мысль наводит то обстоятельство, что в мето-
де Майеды эта трудная теорема обходится, тогда как многие работы предшест-
венников ее существенно используют.
§ 3.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРАФЫ
До сих пор граф рассматривался как чисто абстрактный, т. с.
нигде, за исключением отдельных примеров прикладного характера,
не имела значения природа его элементов. Теперь мы несколько
спустимся с высот абстракции и назовем топологическим графом
такой G = (X, (7, I//), вершинами которого служат некоторые
выделенные точки трехмерного евклидова пространства, а ребра-
ми — жордановы дуги, соединяющие эти точки; у звена обе
302
Основы теории графов
инцидентные вершины (концевые точки) различны, у петли
совпадают. Требуется еще, чтобы никакая внутренняя (неконцевая)
точка ребра не совпадала ни с одной вершиной графа и ни с одной
точкой другого ребра; всякое нарушение этого требования будем
кратко называть пересечением. Таким образом, изображение
абстрактного графа на рисунке само является топологическим
графом, изоморфным исходному лишь при условии, что рисунок не
содержит пересечений (и что вершины действительно изображены
точками, а не заменены буквами или другими идентификаторами,
как мы частенько делаем).
Всякий абстрактный граф (напомним, что мы имеем дело только
с конечными графами) допускает топологическое представление, т. е.
в пространстве существует изоморфный ему топологический граф.
Для обыкновенного графа можно даже всегда добиться, чтобы ребра
его представления были прямолинейными отрезками: первые три
вершины помещаем так, чтобы они не лежали на одной прямой, и ес-
ли к >3 вершин уже размещены, то проводим мысленно через тройки
этих вершин все плоскостей и помещаем (к + 1)-ю вершину вне их.
Для мультиграфов такое «прямолиней-
ное» представление, очевидно, невозмож-
$ но, но если сначала расположить в про-
ж странстве «прямолинейно» полный обык-
Д Ф новенный граф с тем же числом вершин, а
|| S затем каждый отрезок окружить доста-
а К s?	точно узкой веретенообразной областью
так, чтобы никакие два «веретена» не
имели общих внутренних точек, то в этих
Рис- 3 51	областях можно проводить сколько угод-
но звеньев, соединяющих одну и ту же пару вершин (рис. 3.5.1); ана-
логично размещаются в пространстве и все петли.
Пусть и — произвольное ребро абстрактного графа G=(X, U, у/),
а у/(м)=ху- Операция подразделения этого ребра состоит в замене
его двумя звеньями v и w, соединяющими вершины х и у с новой
вершиной z £ X (образно: делим ребро и пополам новой вершиной).
Обратная операция слияния двух ребер применима лишь тогда, ког-
да оба они — звенья и обладают общей инцидентной вершиной,
Глава 3. Цикломатика
303
не инцидентной никаким другим ребрам. Графы, переводимые друг
в друга конечным числом подразделений и слияний ребер, называ-
ются гомеоморфными, таковы, например, все три графа на рис. 3.5.2.
Очевидно, отношение гомеоморфизма есть эквивалентность и в
каждом ее классе имеется ровно один (с точностью до изоморфиз-
ма) неприводимый граф, к которому неприменима операция слия-
ния; так, неприводимым представителем того класса, который со-
держит, в частности, графы рис. 3.5.2, служит правый из них.
Рис. 3.5.2
Топологические представления гомеоморфных графов гомео-
морфны также и в том смысле, что они допускают взаимно одно-
значное непрерывное в обе стороны преобразование друг на друга;
этот последний гомеоморфизм мы будем назвать точечным в отли-
чие от определенного выше комбинаторного гомеоморфизма абст-
рактных графов. Наоборот, точечно гомеоморфные топологические
графы комбинаторно гомеоморфны как абстрактные; это легко
доказать, основываясь на том очевидном факте, что точечно гомео-
морфные простые цепи или простые циклы могут различаться толь-
ко количеством вершин. Поэтому изучение топологических (инвари-
антных относительно точечного гомеоморфизма) свойств одномер-
ных комплексов1 равносильно изучению таких свойств абстрактных
1 Речь идет именно о гомеомор-
физме, а не, скажем, об изотопии —
возможности непрерывно дефор-
мировать один комплекс в другой
без возникновения пересечений на
промежуточных этапах и без выхо-
да за пределы трехмерного про-
странства. Так, комплексы (гра-
фы), показанные здесь, гомеомор-
фны, но не изотопны.
304
Основы теории графов
графов, которые инвариантны относительно комбинаторного го-
меоморфизма. К такого рода топологическим свойствам относится
возможность расположить граф на поверхности заданного тополо-
гического типа.
Как известно из топологии1, всякая замкнутая поверхность (при
достаточно общем определении этого понятия) гомеоморфна одной
из поверхностей Ро, Pj, Р2, ••• или -^2, •••> гДе ?к получается из
сферы Pq вырезанием 2к круглых отверстий (т. е. частей, гомеомор-
фных кругу; в дальнейшем такие части поверхности называем про-
сто «кругами») и попарным соединением краев этих отверстий с по-
мощью к «ручек», каждая из которых гомеоморфна боковой повер-
хности круглого цилиндра (рис. 3.5.3), a Nk получается из Pq выре-
занием к круглых отверстий и заклеиванием каждого из них листом
Мёбиуса или, что равносильно, отождествлением диаметрально
противоположных точек (см. первые два чертежа на рис. 3.5.4; по-
следний чертеж наглядно изображает лист Мёбиуса в виде «скре-
щенного колпака», на котором отрезок ар в действительности не
есть линия самопересечения поверхности и возник только из-за не-
возможности вложить ее в трехмерное пространство). Кроме того,
доказано, что всякую замкнутую поверхность можно поместить без
самопересечений в четырехмерное евклидово пространство (для
вложимость даже в трехмерное очевидна).
1 См., например, Г. Зейферт и В. Трельфалль. Топология. М.-Л., ГТТИ, 1938);
П.С. Александров. Комбинаторная топология. М.-Л., ОГИЗ, ГТТИ, 1947); книга
Рингеля (см. введение); В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович // Математическое просве-
щение, 2(1957), 3(1958), 4(1959), 6(1961).
Глава 3. Цикломатика
305
Рис. 3.5.4
Из незамкнутых поверхностей будем рассматривать лишь такие,
которые получаются вырезанием конечного числа круглых отвер-
стий без общих граничных точек из замкнутой поверхности. На-
помним, что всякая поверхность, гомеоморфная Рк (или Рк с дыра-
ми), является ориентируемой, или двусторонней, а поверхность, го-
меоморфная Nk (или Nk с дырами), — неориентируемой, или одно-
сторонней.
Мы говорим, что абстрактный граф G расположен на поверхно-
сти S, если задано такое его топологическое представление Gs, все
точки которого принадлежат S. Заметим при этом, что в случае нео-
риентируемой поверхности ее надо, строго говоря, считать поме-
щенной в четырехмерное пространство, однако «неполноценное»
(с самопересечениями) изображение ее в трехмерном пространстве
не мешает «полноценному» (без пересечений) расположению на ней
графа G, ибо если пересечение ребер у Gs возникло только из-за то-
го, что оба они встречают линию самопересечения поверхности в
одной и той же точке, то эту беду легко устранить небольшой де-
формацией ребер на поверхности. Ясно, что возможность или не-
возможность расположить G на 5 является топологическим фактом,
306
Основы теории графов
т. е. не меняется от замены G любым гомеоморфным ему (комбина-
торно) графом и от замены S' любой гомеоморфной ей (точечно)
поверхностью. Наконец, достаточно ограничиться замкнутыми поверх-
ностями, ибо наличие конечного числа дыр, очевидно, не может ни
помочь, ни помешать расположению графа.
Пусть (75 — некоторое расположение графа G на поверхности S;
говорят, что топологический граф G$ не разбивает поверхность S,
если множество ее точек S\Gs, остающееся после удаления всех то-
чек Gs, связно в смысле теоретико-множественной топологии (т. е.
любые две его точки можно соединить жордановой дугой, целиком
ему принадлежащей). Наибольшее целое к, при котором существует
граф Gs с цикломатическим числом X(Gs)=k, лежащий на поверх-
ности S и не разбивающий ее, называется порядком связности v (S)
этой поверхности. Поскольку наше определение в сущности не
отличается от данного в упомянутой книге П.С. Александрова, мы
можем считать известными топологическими теоремами следующие
утверждения:
а) число v (S) является топологическим инвариантом поверхно-
сти, т. е. не меняется от замены S любой гомеоморфной ей поверх-
ностью;
6)v(Pk) = 2k (£ = 0,1,2,...); v(Nk) = k (£ = 1,2,...).
И вот здесь мы обратим внимание на разницу в постановке задач с
точки зрения теории поверхностей и с точки зрения теории графов
(даже ее «сугубо топологической» части).
Для характеризации самой поверхности S несущественно, вся-
кий ли граф G с цикломатическим числом Л (<7) = v (S) можно помес-
тить на ней неразбивающим образом, — важно лишь, чтобы такой
граф нашелся. Для теории же графов интересен вопрос о том, какие
именно графы G с A(C?)=v(S) допускают неразбивающее располо-
жение на поверхности S.
Оказывается, каковы бы ни были граф G и неориентируемая по-
верхность S, удовлетворяющие условию A(G)<v(S), всегда можно
так поместить G на S, чтобы G$ не разбивал S; для ориентируемых
поверхностей аналогичное высказывание неверно: из двух графов
рис. 3.5.5 с цикломатическим числом Л = 2 только первый можно по-
местить неразбивающим образом на поверхность тора Р\. Схема до-
казательства утверждения для поверхности S = Nk такова.
Глава 3. Цикломатика
307
Сначала выделим на S' какую-нибудь
часть, гомеоморфную кругу, и на этой части (	\	(	)
разместим некоторый каркас Т данного гра- ? i
фа G; это можно сделать, поскольку сама	|
выделенная часть гомеоморфна сфере с од-
ной дырой, а Л(Г) = 0 (впрочем, и так оче- f )	I	I
видно, что граф без циклов, будучи поме- Ч.	J	к )
щен на поверхность, не может ее разбить).
Множество S\?5 гомеоморфно поверхно- Рис 3 5 5
сти Nv с x = x(G) дырами, края которых то-
же удалены. Затем проведем любую из хорд и каркаса Т так, чтобы
она частично выходила за пределы выделенного участка и при этом
пересекала ровно один из листов Мёбиуса; можно показать
(рис. 3.5.6), что тогда множество S\Ts\us будет гомеоморфно по-
верхности Nv_i с х дырами (при v = 1 под Nv_i понимается Ро). Ана-
логично ценой ликвидации второго листа Мёбиуса можно провести
вторую хорду и т. д., пока не проведем, не разбив поверхность, все
Л ((7) хорд.
В случае ориентируемой поверхности S такое рассуждение не
проходит: за счет ликвидации одной ручки можно провести нераз-
бивающим образом не любую пару хорд каркаса Т, а лишь такую,
что концы обеих хорд расположены на краю одной и той же дыры в
чередующемся порядке (рис. 3.5.7). Вопрос о том, для каких именно
графов существует неразбивающее расположение на ориентируемой
поверхности с заданным порядком связности 2k, поставленный в
книге Зыкова (см. также BGrth, 1968, 227 или Colloq. math. Janos Bo-
lyai, 3 (1970)), исследовался затем в ряде работ украинских авторов:
см. статью Н.П. Хоменко и Э.Б. Яворского (топологический граф
[УС]); принципиальное решение, полученное М. Шковьерой (уп-
ражнение 9.4), хорошо дополняется в упражнениях 9.3 и 9.5.
С точки зрения характеристики самогб графа G, а не поверхно-
сти S, важен и такой вопрос: каков наименьший порядок связности
поверхности, на которую можно поместить данный граф, независи-
мо от того, разобьет ли он при этом поверхность? Тот факт, что
всякий граф допускает расположение на какой-то поверхности, при-
том ориентируемой, очевиден: заменим все ребра графа резиновы-
ми трубками и затем надуем его; можно поступить и экономнее с
точки зрения рода поверхности, помещая сначала на сферу такой
308
Основы теории графов
Рис. 3.5.7
Глава 3. Цикломатика
309
суграф данного графа, какой только возможно, и приделывая затем
нужное количество ручек для проведения оставшихся ребер. Наи-
меньший порядок связности поверхности, на которой граф G допус-
кает топологическое представление, называется порядком связности
v (G) этого графа (не путать с числами I ((7), /' ((7) и /" ((7), введенны-
ми в §§ 2.5 и 2.7 и относящимися к связности в ином смысле); наи-
меньшее же к, при котором G можно расположить на ориентируе-
мой поверхности , есть по определению род g (G) графа G. В об-
щем случае задачи нахождения инвариантов v ((7) и g (fj) заданного
графа G очень трудны и практически эффективных алгоритмов их
решения пока нет; даже для таких «простейших» графов, как клика
и полный двудольный, значения g (Fn)	ng(Kpq) =
_р(р-2И?-2)~| П0ЛуЧены ценой огромных усилий. Для более подроб-
ного ознакомления с положением дел рекомендуем книгу Рингеля,
гл. 11 книги Харари и обзоры: L.S. Mel’nikov [77, 1В469], R.D. Rin-
geisen (JGrTh, 3 (1979), № 1, 1—13 [79, 10B408J), а в упражнениях от-
ражаем лишь самую малость. См. еще регулярное вложение [УС].
Топологически можно рассматривать граф не только как одно-
мерный, но и как многомерный комплекс (в случае обыкновенного
графа — симплициальный, в случае мультиграфа — клеточный),
правда, уже в пространстве, вообще говоря, более трех измерений.
Для этого условимся, что всякий полный /-вершинный граф опреде-
ляет (1-1)-мерный симплекс, т. е. каждый треугольник F$ автомати-
чески затянут двумерной пленкой, каждый тетраэдр «залит во-
дой» и т. д. Всякий комплекс точечно гомеоморфен такому, для кото-
рого это условие соблюдается: например, вместо треугольной дыры,
которая при нашем соглашении должна немедленно «зарости», мож-
но образовать четырехугольную, как показано на рис. 3.5.8; развить
это соображение до общего рассуждения не составляет большого
труда. Поэтому класс топологических объектов, гомеоморфно пред-
ставимых симплициальными комп-
лексами, не обедняется, зато проб-
лема изучения комбинаторных то- ушпд 'wf/h ____Шл'мтк
пологических инвариантов гораздо	ЩтЬ/нюгш
легче переводится на язык чистой
теории графов.	Рис. 3.5.8
310
Основы теории графов
Именно, речь идет о таких инвариантах обыкновенного графа,
которые не меняются при любом его элементарном подразделении,
а последнее определяется так: в графе G сначала подразделяем неко-
торое ребро ху, как было определено в начале параграфа, а затем
новую вершину z соединяем со всеми теми, которые в G смежны од-
новременно с х и у. К числу комбинаторных инвариантов принадле-
Ф(С)
жит эйлерова характеристика £ (-l)z	(G); несложное доказа-
/=0
тельство ее инвариантности относительно элементарных подразде-
лений предлагаем читателю.
Можно показать, что если два графа переводятся в изоморфные
надлежащими последовательностями элементарных подразделений,
то эти графы как многомерные комплексы точечно гомеоморфны.
Вопрос о справедливости обратного утверждения долгое время
оставался открытым, пока наконец J. Milnor (Ann. Math., 74 (1961),
№ 3, 575-590 [62, 10А232; 24#А2961, 25#1242]) не опроверг эту
«основную гипотезу топологии» (Hauptvermutung), построив при-
мер двух шестимерных комплексов, точечно гомеоморфных, но не
переводимых в изоморфные никакими элементарными подразделе-
ниями. Для одномерных и двумерных комплексов гипотеза справед-
лива, а для комплексов размерности 3, 4 и 5 вопрос еще не решен;
но даже если и в этих случаях ответ окажется отрицательным, проб-
лема исследования топологического смысла комбинаторных инва-
риантов и их выражения через другие инварианты графа не потеря-
ет своего интереса.
В заключение отметим, что, как показал А.А. Марков (ДАН
СССР, 121 (1958), № 2, 218-220 [59, 4362], 123 (1958), № 6, 978-980
[59, 6529]), уже для графов размерности 3 (т. е. плотности 4) массо-
вая проблема определения, можно ли два графа перевести в изомор-
фные элементарными подразделениями, алгоритмически неразре-
шима; в таком же плане S. Foldes, R. Steinberg (JCTh, В29 (1980),
№ 3, 342—344 [81, 7В682]) исследуют алгоритмическую проблему
вложимости.
Глава 3. Цикломатика
311
Упражнения и дополнения
1.	Пусть топологический граф является реберным остовом правильного
многогранника, 5 — степень каждой вершины, I — число ребер края каждой гра-
ни; требование строгой выпуклости многогранника легко приводит к выводу,
что 5 < 5, / < 5. Не используя больше никаких геометрических соображений, до-
казать чисто комбинаторно, что существует всего пять правильных выпуклых
многогранников.
2.	Если Z(G)<2&, то всегда ли можно расположить граф G неразбиваю-
щим образом на поверхности Рк?
3.	Убедившись путем проб, что графы и ЛГ3 3 невозможно расположить
на сфере Ро (строгое доказательство см., например, в упражнении 2 к § 3.6), по-
строить их представления в проективной плоскости . На каких поверхностях
эти графы допускают неразбивающее расположение?
4.	а) Расположить граф Г6 на бутылке Клейна N2;
б) расположить F7 на торе Рр
Указание: удобно представить поверхности N2 и Pi в виде квадратов с
надлежащим образом отождествленными параллельными сторонами.
5.	Доказать (используя формулу Эйлера), что Г7 не допускает расположе-
ния на Невозможность вложения Р7 даже в N2 доказывается сложнее:
см. книгу Рингеля.
6.	Найти порядок связности и род графа Петерсена и выяснить, на каких
поверхностях его можно расположить неразбивающим образом.
к
7.	Еслиб1, G2,..., Gk — блоки графа G, то v (G) = £v (Gz); в частности, для
/=1
к
расположения на ориентируемых поверхностях g(G) = £g(Gz). J. Battle, F. На-
/=1
гагу, Yu. Kodama, J.W.T. Youngs // Bull. Amer. Math. Soc., 68(1962), № 6,
565—568 [64, 1А327]. Некоторые обобщения этих результатов на случай, когда
G^G2,..., Gk сшиваются по заданному подграфу, получил S. Stahl // TAMS,
259(1980), № 1, 129-145 [81, 2В523]. Далее см.: V. Zeleznik [86, 5В684].
7'. £ ©г) = (г-4)-2г“3 +1, где Qr — реберный остов r-мерного куба. F. На-
rary, Yu. Kodama // Fund. Math., 54 (1963), № 1, 7—13 [66, 4A216]; там же иссле-
дуется род /-связных графов.
7". Если G получен сшиванием Qp и Qq по подграфу Qr, то
g (G) = 14- (р-4)-2^~3 4- (q-4)-2<7-3-(г-4)*2г-3,
?max(G) = (p-2)-2/’-2 + (<Z-2)-2«-2-(r-2)-2r-2.
G. Pica, Т. Pisanski, A.G.S. Ventre//Gias, mat., 19 (1984), № 1, 21-26(84,12В7ОЗ].
8	(см. упражнение 20 к § 1.10). Пусть G — обыкновенный граф, окружение
каждой вершины которого изоморфно М; тогда
312
Основы теории графов
если M*Zh где /*2, то g (G)>(3/2-17/ч-22)/12;
Г \2
если М Сп (п > 3), то g (G) > I | - 2 1 .
Эти результаты С.Я. Агакишиевой отчасти объясняют причину неудач преж-
них попыток решить проблему окружений для графов М указанных двух ти-
пов: авторы неявно предполагали, что род g (6) равен нулю (или, по крайней
мере, очень мал).
Сопоставить оценки Агакишиевой с результатом L.W. Beineke, F. Нагагу //
Proc. Glasgow Math. Assoc., 7(1965), 31, 19—21 [66, 1A433]: если граф G нс
содержит циклов длины менее /, то
g	- ^w(G)-«(G) + 2
9.	Расположение обыкновенного графа G = (¥, U) на поверхности S назы-
вается регулярным, если каждая грань G$ (компонента множества S\Gs) гомео-
морфна открытому кругу. Наибольший род gmax (G) графа G — это наибольший
род такой ориентируемой поверхности, на которой G допускает регулярное
расположение.
9.1.	Любой граф G можно поместить регулярно на некоторую ориентируе-
мую поверхность, род которой для заданного G не может быть произвольно
большим, т. е. определение gmax (G) корректно. Книга Кёнига; J.H. Lindsay jr. //
Amer. Math. Monthly, 66(1959), № 2, 117-118 [60, 8, 8711].
9-2. Smax CF„)=L(h-1) (m-4)/4J. E.A. Nordhaus, B.M. Stewart, A.T. White//
JCTh, Bll (1971), №3, 258-267 [44Я3922].
9.3.	gmax (6) можно вычислить через чисто комбинаторные инварианты
графа G: см.: Nguen Huy Xuong // JCTh, B26(1979), № 2, 217-225, 226-232
[80m#05027] и упражнение 9.5.
9.4.	Связный граф G можно расположить неразбивающим образом на ори-
ентируемой поверхности S’ в том и только том случае, если Л (G)-gmax (G)<
<g(S’). М. Scoviera (Одесский семинар, сентябрь 1991 г.).
9.5.	gmax (G) = 1 (Л (G) - max Ус (И)), где Гс (Г)=6 (G \К)+ я (G \И)Н И -1, b -
количество компонент с нечетным Л L. Nebesky // Czechosl. mat. J., 31 (1981),
№4, 604—613 [82, 6В627]. См. далее: ручная декомпозиция графа [УС].
10.	Для кликоидов S'fai, и2, •••, ^) = Enj '^п2 -‘Епк:
a)	<?)) = (Р<?“2)(<?--1)/2 при p<q\ A.T. White // JCrTh, 7 (1969),
№3, 283-285 [70, 7В309].
б)	g(S(p, р, /’)) = ^/>2 ^при g(S(p, 2, 2))=g(S(p, 4))=Г(р-2)/2] при
р>2-, g(S(p, 1, 1, l)) = g(S(/>,2, l))=g(S(/>,2, 1))=Г(р-2)/41 при р>2. G. Rin-
gel II Comment, math, helv., 45(1970), № 2, 152-158 [71, 2В315].
Глава 3. Цикломатика
313
11.	Показать (неформально), что для графов плотности <р=2 проблема
комбинаторного гомеоморфизма алгоритмически разрешима. Можно ли при-
вести интуитивные соображения в пользу ее разрешимости при <р = 3?
§ 3.6. ПЛАНАРНОСТЬ
Как в теории, так и в приложениях особо важную роль играют
те топологические свойства графа, которые связаны с возможно-
стью или невозможностью поместить его в плоскость. Известно, что
евклидова плоскость гомеоморфна сфере, из которой удалена одна
точка; соответствующее отображение можно осуществить, напри-
мер, с помощью стереографического проектирования (рис. 3.6.1).
Этим же отображением топологический граф на сфере переводится
в изоморфный топологический граф
на плоскости и наоборот. Граф, допус-
кающий такие топологические пред-	/	\ X
ставления, называется планарным, a	V' j
его конкретное представление в плос-
кости — плоским графом.	/	о	/
Если (75 — топологическое пред- /у _______________
ставление графа G в плоскости S, то	’
компоненты связности множества
S\G$ называются гранями плоского	Рис. 3.6.1
графа Gs, а множество граничных то-
чек грани — ее краем; теоретико-множественное объединение краев
всех граней равно Gs, поэтому каждое ребро и каждая вершина
принадлежат краю хотя бы одной грани, и ясно также, что никакое
ребро (в отличие от вершины) не может принадлежать краям более
чем двух граней.
Ровно одна из граней плоского графа Gs является внешней (бес-
конечной), причем всегда можно так изменить его расположение в
плоскости 5 (т. е. построить изоморфный ему граф G^), чтобы напе-
ред заданная грань стала внешней: для этого достаточно сначала
отобразить стереографически G$ на сферу, затем повернуть ее так,
чтобы полюс N попал в образ облюбованной грани, и, наконец,
спроектировать граф обратно на плоскость 5.
314
Основы теории графов
Известен ряд критериев планарности абстрактного графа; мы
сформулируем четыре условия, относительно которых затем дока-
жем в виде одной теоремы, что каждое из них равносильно планар-
ности.
1.	Пусть G = (X,U, у/) — произвольный граф, a Q = (XC,U —
его часть, полученная удалением всех перешейков и петель с после-
дующим удалением голых вершин; если G не содержит циклов дли-
ны более 1, то под Gc понимается не граф, а пустое множество. Мы
скажем, что граф G удовлетворяет условию Мак-Лэйна, если либо
Gc =0, либо в пространстве циклов ЬЛ (<7С) графа Gc (§ 3.2) имеет-
ся система квазициклов
иъи2,...,и^и^ис,
A = A(GC) (=Л(<7) минус число петель графа 0, такая что
a)	U2, ..., Uх линейно независимы, т. е. образуют базу про-
странства ЬЛ (<7С);
б)	каждое ребро u^Uc принадлежит ровно двум из квазицик-
лов Щ, и2, Ux, их+1.
Л+1	Л
Из б) следует j =0, т. е. =£0. Поэтому при выполне-
/=1	/=1
нии условий а) и б) квазицикл Uне может быть нулевым (иначе
U2, ..., Uх были бы линейно зависимы).
2.	Граф (7* = (АГ*, 17*, <//*) называется двойственным для графа
G = (X, U, 0, если между их ребрами можно так установить взаимно
однозначное соответствие, чтобы некоторая матрица разрезов гра-
фа G в то же время оказалась цикломатической матрицей для G*;
при этом, очевидно, и все матрицы разрезов графа G будут цикло-
матическими для (7*. Наоборот, цикломатические матрицы графа G
служат матрицами разрезов для G*: если Р (G) = E$C% = A(G*),
то после перекройки обеих матриц получаем A(G) = P(G*) (тот
факт, что цикломатическая матрица А((7*) содержит единичную
подматрицу не в конце, а в начале, очевидно, не влияет на резуль-
тат). Поэтому отношение двойственности графов симметрично.
Два графа (7* и G*, двойственные одному и тому же G, не обяза-
тельно изоморфны (см. пример на рис. 3.6.2). Существуют графы, не
имеющие ни одного двойственного: важными примерами служат F$
и з («три дома и три колодца»), см. упражнение 2 к §3.4.
Глава 3. Цикломатика
315
G	G*	&
Рис. 3.6.2
Взаимно однозначное соответствие между ребрами двойствен-
ных графов, при котором матрицы разрезов одного являются для
другого цикломатическими, будем кратко называть двойственно-
стью между этими графами. Двойственность между G и G* изомор-
фно отображает пространство Lp (G) на Ьл ((?*) и lA (G) на
Lp (G*), а если элементами пространств суграфов L (G) и L (G*) счи-
тать двоичные векторы, то просто-напросто Lp (G) = LA (G*) и
ЬЛ (G)=LP (G*). Из того, что нуль-столбец в матрице разрезов от-
вечает петле, а в цикломатической матрице — перешейку (как ребру,
не входящему ни в один цикл), вытекает
ЛЕММА 3.6.1. При двойственности между графами G и G*
петлям G отвечают перешейки G*, а перешейкам G — петли G*.
Нам понадобятся еще две леммы.
ЛЕММА 3.6.2. Если граф G обладает двойственным, то и всякая
часть G' графа G имеет двойственный граф.
Доказательство, очевидно, достаточно провести в предположе-
нии, что G'=G\w, где и — любое ребро графа G.
Случай 1: и — перешеек^ тогда ребро и входит в каждый кар-
кас графа G. Пусть Р (G) = £*^C^ — матрица разрезов для G, начина-
ющаяся с единичной подматрицы, а нумерация ребер такова, что
ребру и отвечает р-й столбец; так как простой разрез, содержащий
перешеек, только из него и состоит, то все остальные элементы р-й
строки — нули. Удаление и из G приводит к удалению соответствую-
щего однореберного разреза из базы пространства Lp (G), так что
матрица P(G\w) получается из P(G) следующим образом:
316
Основы теории графов
Р(6)=
О	О	...	1
о	о	...	о
1	0	...	О
О	1	...	О
= P(G\u).
Если первая матрица Л-реализуема, то ее столбцу «и» отвечает в
двойственном графе G* петля (по лемме 3.6.1), а граф G*', для кото-
рого Л (<?*') = Р((?\м), получается из G*удалением этой петли.
Случай 2: и — цикловое ребро. Всегда существует каркас Т
графа G, не содержащий w: достаточно провести через ребро и ка-
кой-нибудь простой цикл и затем согласно теореме 3.1.1 найти в G
каркас, содержащий все ребра этого цикла, кроме и. Пусть матрица
Р (G)=EfiC% отвечает именно такому выбору каркаса; тогда стол-
бец «и» не находится в Е$ и удаление его не сопровождается удале-
' нием строк (ибо все строки по-прежнему будут простыми разрезами
благодаря теореме 3.3.2 и останутся линейно независимыми):
Если существует Л-реализация G* матрицы Р (G), то для построения
Л-реализации G*' матрицы Р((7\и) достаточно произвести мульти-
стягивание (см. § 2.7) звена w*, соответствующего ребру и при двой-
ственности (так как и не перешеек, то и* не может быть петлей по
лемме 3.6.1). Действительно, при этом все циклы графа G* перехо-
дят в циклы G*', цикломатическое число не меняется:
Л (G*') =m(G*')-n(G*') +x(G") =
- m(G*) -1-[л((7‘) -l]+x(G*) =A(G*)
Глава 3. Цикломатика
317
и все строки матрицы остаются линейно независимыми; поэтому
A(G*) = P(G* \и).
ЛЕММА 3.6.3. Если граф G обладает двойственным, то и любой
граф G', гомеоморфный G, имеет двойственный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что свойства графа
обладать двойственным инвариантно относительно подразделения
любого ребра и относительно слияния любых двух «последователь-
но соединенных» звеньев. Так как в дальнейшем нам понадобится
лишь второе из этих утверждений, то доказательство первого оста-
вим читателю в качестве упражнения.
Итак, пусть в графе G ребро v соединяет вершины х и z, ребро
w — вершины z и у, причем z не инцидентна никаким другим реб-
рам, и пусть Т — каркас графа G, содержащий и; ясно, что ребра v и
w либо оба являются перешейками (и тогда w тоже принадлежит 7),
либо оба цикловые.
Случай 1: v п w — перешейки (рис. 3.6.3). Так как оба они
входят в каркас Т и определяют однореберные простые разрезы, то
при надлежащей нумерации ребер
V W
1	0	...	О	О
О	1	...	О	О
О	0	...	1	О
О	0	...	О	1
Рис. 3.6.3
Р(С) =
В А-реализации G* той же матрицы две нижние строки определяют
однореберные циклы, образованные петлями и* и и?*.
Слияние ребер v и w состоит в замене их одним ребром w, соеди-
няющим х и у, и в удалении вершины z; на простые разрезы графа
G, отличные от {у} и {ьи}, эта операция никак не влияет, а посколь-
ку ранг полученного графа G' на единицу меньше ранга исходного
(почему? см. определение ранга графа в § 3.2) и матрица, оставшая-
ся после удаления из Р (С) столбца «и?» и последней сроки, по-преж-
нему начинается с единичной, то
318
Основы теории графов

Л-реализация этой матрицы получается из графа G* удалением
петли w*.
Случай 2: v и w — цикловые ребра (рис. 3.6.4; в частности,
может быть х=у). Так как x(G\iv)=x(G), то можно предполагать,
что каркас Т, содержа v, не содержит w (возьмем за Т любой каркас
суграфа G \ ш); тогда ребро v определяет простой разрез {и, ш} и при
надлежащей нумерации ребер графа G
V W
1	О	...	О	О	О
О	1	...	О	О	О
P(G) =
О	0	...	1	О	О
О	0	...	О	1	1
о	...	о
о	...	о
Рис. 3.6.4
В Л-реализации G* этой матрицы нижняя строка определяет про-
стой цикл длины 2, составленный ребрами и* и ш*.
Замена двух последовательных ребер v и w одним ребром и
(в случае х-у оно окажется петлей) ликвидирует разрез {v, iv}, не
меняя остальных простых разрезов. Матрица, получающаяся из
Р (G) удалением столбцов «р» и «ш» вместе с нижней строкой и до-
бавлением нуль-столбца «и», будет матрицей разрезов результирую-
щего графа G' (почему?), а A-реализует ее, например, суграф G* \ и>*
графа G*, что нетрудно проверить.
Будем говорить, что граф удовлетворяет условию Уитни, если он
обладает хотя бы одним двойственным графом.
3.	Условие Понтрягина—Куратовского состоит в том, что граф
не должен содержать частей, гомеоморфных или Кт* 3, т. е. частей
типа, показанных на рис. 3.6.5.
Глава 3. Цикломатика
319
Рис. 3.6.5
4.	Условие Харари—Татта означает невозможность превратить
граф в или АГ з)3 путем стягивания ребер и удаления любых эле-
ментов.
ТЕОРЕМА 3.6.4 (о планарности). Для графа G = (Х, U, <//) крите-
рием того, что он планарен (0), служит каждое из четырех условий:
Мак-Лэйна (1), Уитни (2), Понтрягина—Куратовского (3) и Харари—
Татта (4).
Докажем, что (0)=> (1)=> (2)=> (3)=> (4)=> (0).
(0)	(1). Пусть G планарен; тогда планарен и граф Gc. В случае
Gq =0 больше нечего доказывать, поэтому считаем Л(<7С)>1.
Обозначим через Gcs некоторое представление графа Gc в
плоскости 5. Как мы уже знаем из начала параграфа, ребро плоско-
го графа может принадлежать либо краю одной грани, либо краям
двух граней. Однако первый случай сейчас невозможен: так как
каждое ребро у Gc$ цикловое, то простой цикл, содержащий реб-
ро и, разобьет плоскость, ибо порядок связности последней тот же,
что и у сферы, т. е. нуль, а цикломатическое число простого цикла
равно 1 (см. § 3.5). Отсюда следует, что каждая вершина графа Gc$
инцидентна четному числу ребер края каждой грани: если для неко-
торой вершины х и некоторой грани Gr это число не нуль, то при
полном обходе вокруг вершины мы столько же раз покинем грань,
сколько вернемся в нее (рис. 3.6.6). Поэтому край каждой грани яв-
ляется квазициклом, т. е. элементом
пространства Ьл (Gcs), которое иден-
тично Ьл (Gc), если элементами про-
странств суграфов L(GC) и L((?c$)
считать двоичные векторы, номера
компонент которых совпадают с но-
мерами ребер графов Gc и Gcs при их
изоморфизме.
Рис. 3.6.6
320
Основы теории графов
Пусть )л =/л (GcS) — количество граней у Gcs^ a^i, G2,	—
квазициклы, образованные их краями. Осталось доказать, что
м = Л(G(7)4-l и что среди квазициклов-краев имеется /л- l=A(Gc)
линейно независимых; докажем это индукцией по цикломатичес-
кому числу A(GcS) = A(Gc).
При Л ((?£$•) = 1 граф Ges состоит из единственного простого
цикла, который делит плоскость S' на две грани и является краем
каждой из них, так что здесь р = 2 и утверждение очевидно.
Пусть уже доказано, что всякий раз, когда Л ((/£$)=Ло >1, количе-
ство граней р (Gqs) = Aq +1 и среди их краев имеется Л о линейно
независимых; тогда аналогичное утверждение справедливо и при
Л(Сс$) = Ац +1.
Действительно, пусть и — произвольное ребро графа Gcs, a Gr\ и
бГ2 — грани, разделяемые этим ребром. В суграфе LCs \ w обе грани
.________________у	объединены в одну Gr\ U Gr2; ес-
ли в Gqs были, кроме и, еще реб-
Ра> пРинаДлежащие краям обеих
гРаней’ то все эти ребра, и толь-
ко они’ станУт перешейками
(штриховые линии на рис. 3.6.7);
удалим эти перешейки, а также
голые вершины, и оставшуюся
часть графа GCs обозначим че-
рез G'cs.
Рис. 3.6.7	Ясно, что Л Pcs)=Pcs) ~ 1
и Ц P’cs}=V (Gcs)-\, а так как
по индуктивному предположению p(GcS)=A(G'cs)+\., то и
Р (^cs) = ^(^cs) + ^ • Далее, согласно предположению, среди квази-
циклов <71, U2,	Uпредставляющих края всех я'=М (Gcs) гРа‘
ней (включая Grl UGr2) графа G'Cs, имеется Л (L'es) линейно незави-
симых. Поскольку край грани Gr] (J Gr2 как элемент пространства
L рс) равен сумме краев граней Grl и Gr2, а оба слагаемых содержат
ребро и, не принадлежащее ни одному из квазициклов Uy,
Uи поэтому не могут быть линейными комбинациями последних,
то среди р Pcs') краев граней графа GCs заведомо есть A(GCs) ли-
нейно независимых.
(1)	=> (2). Пусть граф G удовлетворяет условию Мак-Лэйна, а
U\, U2, •••, GA,GA+I, где Л = Л(6С), — система квазициклов со
Глава 3. Цикломатика
321
свойствами а) и б) для графа Gq=(Xq,Uq, t/z). Построим граф
G*C=(X*C, Uc, у*), вершинами которого служат квазициклы ука-
занной системы, ребрами — ребра Gc, а отображение у/* определе-
но так, что ребро и в графе G^ соединяет те две вершины, которые в
качестве квазициклов графа Gc содержат это ребро.
Для каждого i=l, 2, ..., Л, Л+ 1 множество ребер U, образует цен-
тральный разрез в графе Gc, а так как п (G*c)=Л +1, то квалиразрезы
С7|, U2, •••, Uх, будучи линейно независимыми элементами про-
странства Lp (б£), составляют его базу. Поэтому цикломатическая
матрица графа Gq, строками которой служат векторы а (С7]), а(С72),
..., а(1/^), является матрицей разрезов графа G*c, т. е. последний
есть двойственный граф для (7С. Чтобы построить граф, двойствен-
ный исходному G, надо добавить к G*c столько петель, сколько у G
перешейков, и добавить столько перешейков (добавляя в случае не-
обходимости также вершины), сколько у G петель.
(2)	=> (3). Допустим, что импликация неверна: граф G имеет
двойственный и в то же время содержит часть, гомеоморфную F5
или Куу Надлежащими удалениями элементов и слияниями ребер
превратим G в один из графов или Kj 3 с сохранением свойства
обладать двойственным (в силу леммы 3.6.2 и той части лем-
мы 3.6.3, доказательство которой мы не переложили на плечи чита-
теля), а это невозможно.
(3)	=> (4). Так как стягивание графов понимается в широком
смысле, т. е. с возможным удалением элементов (в силу чего безраз-
лично, идет ли речь о мультистягивании или о стягивании с отожде-
ствлением налегающих ребер, как было определено в § 1.3 для обык-
новенных графов), то достаточно доказать, что всякий граф, допус-
кающий стягивание на F5 или Х3 3, содержит часть, гомеоморфную
одному из них. Доказательство проведем индукцией по числу вер-
шин n(G).
При n(G)<5 утверждение истинно в силу ложности посылки;
пусть оно уже доказано для всех графов с числом вершин л0 >4, и
пусть G — граф с n(G)=n0 +1, допускающий стягивание на F5 или
К3. Покажем, что у G есть часть, гомеоморфная какому-то из этих
графов. Не нарушая общности, можно считать граф G минималь-
ным в том смысле, что никакой его строгий суграф уже невозможно
стянуть ни на f5, ни на поэтому G — обыкновенный граф.
322
Основы теории графов
Можно также считать, что у G нет изолированных вершин (иначе
шаг индукции совершался бы сразу).
Если сам G не является ни одним из графов F5,	3 (иначе нече-
го больше доказывать), то пусть и=ху — первое ребро в одной из
тех серий ребер, последовательное стягивание которых превращает
G в или 3. Тогда никакая вершина z графа G не может быть
смежной сразу с х и у — иначе удаление одного из ребер xz, yz не
устранило бы возможность стянуть граф на или вопреки
минимальности G. Поэтому Ux A Uy =0, где Ux и Uy — множества
отличных от и ребер, инцидентных вершине х, соответственно у.
Так как граф G(u), полученный из G стягиванием ребра и,
по-прежнему допускает стягивание (теперь уже, возможно, триви-
альное) на F$ или Лдз, а m(G(m)) = m0, то согласно индуктивному
предположению в G(u) есть часть G', гомеоморфная F5 или
Если 5 (G', (ху)) = 2 ((ху) — вершина, возникшая в результате отожде-
ствления х с у), то требуемая часть в исходном графе G находится
без труда: оба возможных случая проиллюстрированы на рис. 3.6.8,
где ребра, принадлежащие части G', — жирные, причем изображена
не вся эта часть, а только ее фрагмент1. Если же вершина (ху) имеет
в G' степень >3, то надо рассмотреть два случая.
Рис. 3.6.9
Рис. 3.6.8
Случай 1: G' гомеоморфен Ку у Тогда при любом распреде-
лении трех ребер, инцидентных вершине (ху) в графе G', по множе-
ствам Ux и Uу легко и в G найти часть, гомеоморфную Ку з
(рис. 3.6.9).
Случай 2: & гомеоморфен Fy Если при этом из четырех ре-
бер G', инцидентных вершине (ху), все четыре или три принадлежат
1 Здесь и в последующих случаях нежирные ребра, отличные от и, на самом деле от-
сутствуют (в силу минимальности G).
Глава 3. Цикломатика
323
одному из множеств Ux, Uy, то ис-
комая часть в G, тоже гомеоморф-
ная F5, опять находится просто
(рис. 3.6.10). Наконец, если два реб-
ра из G' принадлежат Ux, а два —
Uy, то в G можно найти часть, го-
меоморфную см- Рис- 3.6.11,
где «дома» обведены квадратиком,
а «колодцы» — кружком.
Рис. 3.6.10
Рис. 3.6.11
(4) => (0). Покажем, что всякий непланарный граф G допускает
стягивание на F5 или jK3 3. Не нарушая общности, можно считать G
критическим в том смысле, что после удаления любых элементов, а
также после стягивания любого ребра он превращается в планар-
ный; ясно, что такой G — обыкновенный связный граф.
Было бы нетрудно доказать, что G является даже 3-связным
(§ 2.5), однако нам понадобится лишь более слабое свойство: удале-
ние из G любой пары смежных вершин (а тем более любой верши-
ны) не нарушает связности. В самом деле, если бы удаление ребра
ху вместе с вершинами х и у разбивало граф на G\ = (Xj, Щ) и G2 =
= (У2> U2) (не обязательно связные, так как подграф G\{x, у} априо-
ри может иметь более двух компонент), то подграфы графа G, по-
рожденные множествами вершин Х^[){х, у} и Х2 U{x, у}, были бы
планарными (ввиду критичности G), и помещая их на плоскость
так, чтобы у каждого из них
ребро ху оказалось на краю
внешней грани, мы легко по-
лучили бы плоское располо-
жение самого G (рис. 3.6.12)
Рис. 3.6.12
вопреки условию.
324
Основы теории графов
Пусть теперь х, у — произвольная пара смежных вершин G,
a G's — плоское представление графа G' =G {ху), полученного из G
стягиванием ребра ху. В силу сказанного выше о G граф G' не име-
ет шарниров.
В плоском графе G's существует простой цикл, не содержащий
вершину (ху). Действительно, в силу критичности графа G его су-
граф G\xy допускает плоское расположение (G\xy)s', при этом х и
у не могут очутиться на краю одной и той же грани (иначе в этой
грани можно было бы провести ребро ху вопреки непланарности G),
т. е. в (G \ ху)s есть цикл, разделяющий вершины х и у. В G' этот же
цикл не содержит вершину (ху), а по лемме 2.1.1 из него можно вы-
делить простой цикл. С помощью стереографического проектирова-
ния можно еще для наглядности сделать так, чтобы этот цикл окру-
жал вершину (ху).
В классе Сху всех простых циклов графа G'$, окружающих (ху),
выберем цикл С, минимальный по включению ограничиваемых об-
ластей, т. е. такой, что не существует другого С'е Сху, для которого
область плоскости S, ограниченная им и содержащая внутри точку
(ху), была бы строгой частью аналогичной области цикла С. Обо-
значим через G's часть графа G's, полученную удалением всех ребер
(но не вершин) цикла С и удалением вершины (ху), а также всех эле-
ментов, расположенных во внешней области цикла С (рис. 3.6.13).
Пусть Ус ~ множество вершин С, а =(Х\, U\),G^ = (Х2, Ui),...,
G$ = {Хк, U/с) — компоненты графа G$.
Глава 3. Цикломатика
325
Vie{1,2....к}(\Х<	ГиГс| = 1),
так как если | X, П Ус | > 2 для некоторого i, то в компоненте G‘s сущест-
вовала бы простая цепь, соединяющая две вершины из Хс (см. штри-
ховую линию на рис. 3.6.13) вопреки минимальности цикла С, а в слу-
чае У, Г1ХС=0 вершина (ху) была бы шарниром графа G'.
Определим два множества Х£, Х£а:Хс следующим образом:
вершина z е Хс принадлежит Х£ тогда и только тогда, когда среди
множеств Х\, Х2, .... Хк есть такое, которое содержит z и хотя бы
одну вершину, смежную с х в G; подмножество Х£ определяется
аналогично.
Случай 1: |У£ А^£|>3. Тог-
да исходный граф G допускает стя-
гивание на /5 (рис. 3.6.14).
Случай 2: \Х£ А2. Тог-
да G можно стянуть на К-уу, чтобы
в этом убедиться, достаточно обна-
ружить на цикле С четверку таких
различных вершин аеХ£, Ье.Х£,
сеХ£, deX^, которые при об-
ходе цикла встречаются именно в
указанном порядке (рис. 3.6.15).
Существование требуемой четвер-
ки докажем от противного: если
бы ее не было, т. е. никакая пара
вершин из Х£ и никакая пара вер-
шин из Х£ не разделяли друг дру-
га на цикле, то из G's можно было
бы получить плоское расположе-
ние G$ графа G, как показано на
Рис. 3.6.15
рис. 3.6.16; эта ссылка на чертеж станет доказательством, когда мы
покажем, что если zeX$f)X£, a G‘s =<Х(, Uj) — та компонента
G's, которая содержит вершину z, то подграф G1 графа G, порож-
денный множеством вершин JV,U{x, у}, можно расположить в
плоскости так, чтобы ребро ху вместе с вершиной z оказались на
краю одной грани (последнюю можно считать внешней). Впрочем,
надобность в таком расположении графа G‘ возникает лишь тогда,
когда оба множества X£\{z} и X£\{z} непусты: если, скажем,
326
Основы теории графов
первое из них пусто, а второе нет, то достаточно расположить G'
так, чтобы на край одной грани попали вершины у и z, а если
пусты оба множества, то от графа G‘ вообще ничего не требуется
помимо планарности.
Итак, допустим сначала, что	Тогда ис-
ходный граф G можно стянуть на такой G', который изоморфен ре-
зультату добавления к G‘ новой
вершины t и трех ребер lx, fy, iz
(рис. 3.6.17). Это нетривиальное
стягивание (иначе в обыкновен-
ном графе G вершина t была бы
соединена с z двумя ребрами),
поэтому ввиду критичности G
граф G планарен. Строя для не-
го плоское представление Gs и
удаляя затем вершину ts, мы по-
лучим нужное расположение G‘s
графа G1. Наконец, в случае
типа X£\{z}=0&X£\{z}*0 граф G допускает нетривиальное стя-
гивание на граф, изоморфный результату добавления ребра yz к G‘
и опять планарный ввиду критичности G, откуда следует возмож-
ность расположить граф д' требуемым образом.
Доказательство импликации (4) => (0), а вместе с тем и всей тео-
ремы о планарности завершено. Сделаем ряд примечаний и допол-
нений.
1.	Равносильность (0) <=> (1) доказал S. MacLane (Duke Math. J.,
3 (1937), 460-472, Fund. Math., 28 (1937), 22-32). В ходе приведен-
ного нами доказательства импликации (0) => (1) было установлено
равенство д ((?£$) = Л ((?£$)+ 1 для количества граней любого плос-
кого представления графа Gq без петель и перешейков, который в
остальном произволен. Но равносильное соотношение
Глава 3. Цикломатика
327
^(G5)=m(G)-n(G) + <r(G) + l
справедливо и для любого планарного графа G: в рассуждении по
индукции случай, когда ребро и — петля, ничем не отличается от
случая циклового звена, а если и — перешеек, то его удаление не ме-
няет ни левую, ни правую часть доказываемого равенства.
Для графа G, образованного вершинами и ребрами сферическо-
го многогранника, х (G) = 1 и равенство можно кратко записать в ви-
де хорошо известной формулы Эйлера п-т+ц =2 (которую, впро-
чем, знал еще Р. Декарт).
W.T. Tutte (Proc. London Math. Soc., 10 (1960), № 38, 304-320
[61, 7A329]) усиливает условие (1), с тем чтобы обеспечивать воз-
можность такого плоского представления графа, при котором края
всех граней являются выпуклыми многоугольниками; см. далее:
С. Thomassen // JCTh, В34(1983), № 3, 244-257 [84, ЗВ580].
2.	Утверждение (0) <=> (3) было доложено на семинаре МГУ в
1927 г. Л.С. Понтрягиным, затем его независимо получил К. Kura-
towski (Fund. Math., 15(1930), 271—283)1. Другое доказательство,
более простое и выдержанное в духе теории графов, предложили
G.A. Dirac, S. Schuster (PK=IM, 16 (1954), № 3, 343-348 [55, 6, 2595;
MR16p58]). Во всех случаях трудность представляет лишь часть
(3)	(0), ибо для доказательства обратной импликации достаточно
убедиться в непланарности самих графов и j, что можно сде-
лать и «кустарно» (упражнение 2).
Условие Понтрягина—Куратовского представляет собой крите-
рий планарности графа в терминах «запрещенных частей»: чтобы
граф обладал заданным свойством (планарность), необходимо и до-
статочно отсутствие в нем частей определенного типа; в данном
случае класс таких подграфов с точностью до гомеоморфизма со-
стоит из двух графов (F5 и 3) (сравните с п. (2) теоремы 1.10.1).
D.L. Greenwell, R.L. Hemminger (DM, 2(1972), № 1, 31-34
[72, 9ВЗЗЗ]) выражают в терминах «запрещенных частей» G крите-
рий планарности графа смежности ребер L(G); другой критерий
1 Подробный исторический анализ: F.W. Kennedy, L.V. Quintas, М.М. Syslo // Histo-
ria Math., 12 (1985), № 4, 356—368 [87e#01025] показал, что присутствие имени Пон-
трягина правомерно по отношению к формулировке условия (3), но не ко всей теоре-
ме (0) <=>(3). О. Frink, Р.А. Smith (Bull. Amer. Math. Soc., 36 (1930), 214) имеют больше
оснований претендовать на приоритет: их вторая работа, содержащая доказательст-
во, была отозвана из редакции в связи с появлением статьи Куратовского.
328
Основы теории графов
см. в упражнении 9. В более общем случае пусть Vg — такой класс
графов, что всякий обыкновенный граф G рода g(G)=g содержит
часть G'eVg \Kg+i; как показал W. Vollmerhaus ([70, 1В295] и Com-
binatorial structures and their applications. New York; London; Paris,
1970, 457—458), для каждого g = 0, 1,2, ... класс Vg состоит из конеч-
ного числа негомеоморфных графов, т. е. критерий топологической
представимости графа на ориентируемой поверхности любого за-
данного рода g принципиально можно выразить в терминах конеч-
ного числа «запрещенных частей» (с точностью до гомеоморфизма).
Эффективного способа нахождения этих частей для любого g > 1 по-
ка нет. А для вложимости в проективную плоскость различных ти-
пов «запрещенных частей» оказывается 103. Литературу по тополо-
гической вложимости графов см. в [УС].
3.	Н. Whithey (TAMS, 34(1932), 339-362, Amer. J. Math.,
54 (1932), № 1, 150-168; 55 (1933), № 2, 245-254), введя и подробно
изучив отношение двойственности графов, доказал равносильность
(0)	(2), а затем (Fund. Math., 21 (1933), reprod. 1962, 73-84
[63, ЗА259]) — равносильность (2) <=> (3); возникшее таким образом
доказательство для (0) <=> (3) уже выдержано в духе теории графов,
но все еще сложнее, чем у Дирака и Шустера. Построение плоского
графа G*s для заданного плоского Gs имеет весьма наглядный
смысл, о котором, однако, удобнее будет сказать потом (упражне-
ние 1 к § 3.8), ибо сейчас это нарушило бы принятую нами логиче-
скую схему доказательства всей теоремы о планарности.
Теорией двойственности для топологических представлений
графов на поверхностях, отличных от Ро, занимаются, в частности,
В. Richter, Н. Shank (IGrTh, 8 (1984), № 3, 365-369 [85, 6B545J).
4.	Прямые доказательства импликации (3) => (4) содержатся в
работах: R. Halin // Math. Ann., 153 (1964), № 1, 38-46 [66, 1А418];
F. Нагагу, W.T. Tutte // Bull. Amer. Math. Soc., 71 (1965), № 1, 168
[66, 1A419], Canad. Math. Bull., 8 (1965), № 1, 17-20 [66, 1A420]; при-
веденное в тексте более простое доказательство принадлежит
В.Г. Визингу (книга Зыкова). Отметим, что именно Харари и Татт
обратили внимание на большую естественность критерия (0) <=> (4)
по сравнению с (0) <=> (3): для графа Петерсена стягиваемость на F$
очевидна, однако частей, гомеоморфных F$, нет (и поэтому необхо-
Глава 3. Цикломатика
329
димо имеются гомеоморфные А73 з; одна из та-	JftL
ких частей показана на рис. 3.6.18 жирным).	X
5.	Видимо, наш вариант доказательства	/\
(4) => (0) все еще не самый простой: ведь в силу	V/’’Г
допущения о критичности графа G последний \	/
на самом деле может быть только Fy или Ку у. \ f* /
Хотелось бы найти краткое рассуждение, ис- «-------------л
пользующее все те возможности, которые таит
предположение критичности1. Упрощениями Рис. 3.6.18
доказательства теоремы Куратовского и некоторых ее модифика-
ций занимаются М. Burstein (JCTh, В24 (1978), № 2, 228—232
[80h#05023]), J.-C. Fournier [81, 4B445; 81h#05058], A.K. Kelmans
(JGrTh, 5(1981), № 3, 259-267 [82, 2B625]), H. Tverberg (Annals of
Discrete Math., 41 (1989), 417—420) и др., но решающий шаг здесь, по
нашему мнению, еще не сделан.
6.	Для фактической проверки планарности удобнее остальных,
пожалуй, условие Уитни, так как матрица инциденций графа легко
преобразуется в цикломатическую (§ 3.3), а проверка Р-реализуемо-
сти последней тоже не слишком сложна (§ 3.4).
Многие авторы, начиная с Татта (W.T. Tutte // PAMS, 11 (1960),
№ 6, 905-917 [61, 7А331], Proc. London Math. Soc., 13 (1965), № 52,
743—767 [66, 1A414]), разрабатывали практически эффективные ал-
горитмы, позволяющие для любого обыкновенного графа строить
шаг за шагом одно из плоских расположений, а после первого же
невыполнимого шага сразу заключить, что граф непланарен. Полез-
но заметить, что в обосновании этих алгоритмов существенную
роль играет критерий Понтрягина—Куратовского, как раз самый
неэффективный для непосредственного применения; обсуждение:
V. Briant // Math. Spectrum, 14 (1981-1982), № 3, 69-71 [82, 11В627];
литературу по алгоритмам планарности см. в [УС].
7.	Как показали независимо друг от друга. К. Wagner (Jahresber.
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 46(1936), № 1—4, 26—32),
I. Fary (Acta sci. mat. Szeged, 11(1948), 229-233 [MR10pl36]),
S.K. Stein (PAMS, 2(1951), 464-466 [MR12p845]), обыкновенный
планарный граф всегда можно так поместить на плоскость, чтобы
1 В этом плане интересна характеризация почти планарных графов, не опирающаяся
непосредственно на утверждение (4) <х> (0) (точнее, на —> (0) <=> —। (4)): B.S. Gubser //
Comb., Prob, and Comp., 5(1996), № 3, 227-245 [97, 5В306].
330
Основы теории графов
все ребра представлялись проямолинейными отрезками; для доказа-
тельства достаточно было бы сделать надлежащие «вкрапления» в
п. (4) => (0) теоремы о планарности, но мы не хотели отягощать и
без того длинное рассуждение. Соответствующий алгоритм предла-
гает Woo Lin И J. Franklin Inst., 287 (1969), № 3, 197-208 [71, 1В291].
Возможности более изысканных плоских представлений отражены
в упражнениях 6 и 7.
8.	Весьма нелегкими трудами (J. Battle, F. Нагагу, Yu. Koda-
ma // Bull. Amer. Math. Soc., 68(1962), № 6, 569-571 [64, 6A281];
W.T. Tutte // PK=IM, 25 (1963), № 4, 567-577 [65, 6A244]; C.F. Pi-
card [67, 12B274]) установлено, что для n-вершинного графа G и до-
полнительного G:
при и <8 хотя бы один из них планарен;
при л >8 хотя бы один из них непланарен;
при п =8 каждый из них может быть или не быть планарным.
Задачу исследования всех планарных графов, обладающих планар-
ным дополнением, полностью решили Li Deyling, Мао Jingzhong,
Lin Bolian [88, 9В560].
9.	Процессы порождения планарных графов см. в [УС].
10.	E.F. Schmeichel, S.L. Hakimi (SIAM J. Appl. Math., 32 (1977),
№ 3, 598—609 [77,12B650]) изучают последовательности чисел, пред-
ставляющие вектор степеней планарного графа.
Граф называется максимально планарным, если он планарен, но
утрачивает это свойство после соединения любой пары несмежных
различных вершин новым ребром; правильнее было бы назвать та-
кой G критическим в классе планарных n-вершинных графов отно-
сительно операции Г добавления любого звена между несмежными
вершинами (см. конец § 1.9), но в данном случае критичность равно-
сильна максимальности, поскольку никакое последующее добавле-
ние ребер не вернет граф в класс планарных. Выводу некоторых
свойств максимально планарных графов посвящены упражне-
ния 20—25.
Граф называется внешнепланарным, если он допускает такое
плоское расположение, при котором все вершины находятся на
краю одной и той же грани; ее, очевидно, можно считать внешней.
Легко доказать (предложим это читателю), что
Глава 3. Цикломатика
331
граф G внешнепланарен тогда и только тогда, когда граф G • F|
(полученный добавлением новой вершины и соединением ее но-
выми ребрами со всеми вершинами G) планарен.
Отсюда без труда выводятся все утверждения о внешпепланарных
графах, фигурирующие в книге Харари как теоремы (см. наши
упражнения 26—28); разумеется, не со всеми проблемами, относящи-
мися к внешнепланарности, можно так легко расправиться (см., на-
пример, упражнения 29—30). Важному обобщению посвящено
упражнение 35.
Две реализации G$ и G's графа G в одной и той же плоскости 5
называются изотопными, если их можно преобразовать друг в друга
непрерывной деформацией, в процессе которой не возникает пере-
сечений и не совершаются вы- А	.ук
ходы за пределы плоскости 5.	/] \\	f/ \\
Наличие неизотопных реализа- /1 V\ //	\\
ций одного и того же абстракт- Js	у
ного графа (рис. 3.6.19) связано
с неоднозначностью двойствен-	Рис* 3 619
ного графа и неоднозначной восстанавливаемостью графа по его
матрице разрезов или цикломатической матрице; не останавливаясь
здесь на сугубо топологических вопросах, упомянем результат
Н. Whitney (Amer. J. Math., 55 (1933), 231-235):
если планарный граф 3-связен, то его плоское представление един-
ственно с точностью до изотопии.
План более простого доказательства, чем в оригинале, см. в упраж-
нении 4а. Отметим в заключение работу Ф.Я. Ветухновского
[62, 9В209], посвященную укладке деревьев.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что если в плоском представлении л-вершинного графа край
каждой грани является простым циклом длины не более /, то число ребер графа
./(л-2)
т<-уу , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда все
края — длины Z.
2.	Используя результат упражнения 1, доказать непланарность графов/^
и ^з,з-
3.	Всякий непланарный обыкновенный граф без частей, гомеоморфных
Куд, можно получить из конечным числом операций, состоящих в замене
332
Основы теории графов
того или иного ребра двухполюсником (графом с двумя отмеченными вершина-
ми) любого из трех типов: (1) планарный двухполюсник, остающийся планар-
ным и после соединения полюсов новым ребром; (2) в котором две вершины
объявлены полюсами; (3) суграф предыдущего двухполюсника, полученный
удалением ребра между полюсами. К. Wagner И Deutsche Mathematik, 2 (1937),
№ 2, 280-285. См. далее: А.К. Кельманс ([82, 6В709; 84d#05075], ДАН СССР,
274(1984), № 6, 1298-1303 [84, 12В699]).
У. В любом 3-связном непланарном л-вершинном графе с п > 6 существует
простой цикл с тремя попарно скрещивающимися хордами. А.К. Kelmans //
DM, 51 (1984), № 3, 215-220 [85, ЗВ450]; С. Thomassen // JCTh, В37 (1984), № 3,
245-253 [85, 8В562].
4	(А.К. Kelmans // JGrTh, 5 (1981), № 3, 259-267 [82, 2B618]). а) Доказать,
что если G — произвольное плоское расположение 3-связного планарного гра-
фа G, то края всех граней и только они являются его доблочными простыми
циклами (см. упражнение 12 к § 3.1); непосредственно вывести отсюда теорему
Уитни о единственности, сформулированную в конце §3.1. б) Доказать, что
3-связный граф планарен тогда и только тогда, когда каждое его ребро принад-
лежит ровно двум доблочным простым циклам.
5.	Граф G планарен в том и только том случае, если изоморфный ему граф
можно получить удалением и стягиванием ребер из некоторого графа (У, Г)»
где У=Ц //, у = 1, 2, ..., N}, У^а^хН = \, 2, ..., 7V; ; = 1, 2, ..., 2V-1}U
U{fly4+ij// = l, 2,..., JV-1; j = l, 2,..., #}. H. Bergman // Elem. Math., 37(1982),
№ 2, 49-51 [82, 8В560].
6.	Каждый планарный обыкновенный граф можно представить на плоско-
сти, изображая вершины попарно непересекающимися горизонтальными от-
резками, ребра — попарно непересекающимися вертикальными отрезками так,
чтобы отрезок, представляющий ребро ху, соединял отрезки, представляющие
вершины х и у, но не пересекался ни с каким горизонтальным отрезком. Р. Du-
chet, Y. Hamidoune, M. Las Vergnas, H. Meyniel // DM, 46 (1983), № 3, 319—321
[84, ЗВ573].
7.	Орграф, полученный из планарного обыкновенного графа произволь-
ной ориентации всех ребер, т. е. заменой каждого звена ху rjvcm ху или ух
(формальное определение см. в § 4.4), всегда можно нарисовать так, чтобы дуги
изображались направленными отрезками, не пересекающимися друг с другом,
причем конец отрезка находился выше его начала. D. Kelly И DM, 63 (1987),
№2-3, 197-216 [87, 9В584].
8.	Для планарных графов G неплотность е (6)>|и(6). М.О. Albertson //
Lest. Notes Math., 406 (1974), 173-179 [75, 5B510], JCTh, B20 (1976), № 1, 84-93
[76, 6В478]. Какое интересное следствие вытекало бы из более сильной оценки
9.	Граф L (G) планарен тогда и только тогда, когда сам G планарен, л (6) < 4
и каждая вершина степени 4 в G — шарнир. J. Sedladek [66, 11А25О; 30#3468].
Гпава 3. Цикломатика
333
10.	Если в обыкновенном графе G никакие две вершины не соединены бо-
лее чем двумя простыми цепями длины более 1 и без других общих вершин, то
a) G планарен; б) т ((7)<2и((7)-3; в) если G — блок и л (6) >5, то G имеет
гамильтонов цикл, притом единственный. D.T. Tang И IEEE Trans. Circuit The-
ory, 11 (1964), № 4, 468—474 [66, ЗВ327].
11.	Всякий 2-связный 3-однородный двудоль-	/Ч
ный планарный негамильтонов граф имеет не менее
26 вершин, причем 26-вершинный — только один /	.
(с точностью до изоморфизма): рис. 3.6.20. Т. Asano, \ """"'	'z
N. Saito, G. Exoo, F. Harary // DM, 38(1982), № 1,	\	/
1-6 [82, 5В533].	X"> 7/
12.	Всякий планарный 4-связный граф гамиль-	Xf
тонов. W.T. Tutte // J. London Math. Soc., 21 (1946), рис 3 5 20
pt. 1 (№ 81), 98—101 [MR9p397]. Достаточное условие
гамильтоновости 3-связного планарного графа: В.И. Сарванов // ДАН БССР,
24(1980), № 9, 792-794 [81, 1В525].
13.	Доказать, что если у связного плоского графа Gg валентности всех вер-
шин четны, то в нем есть такая эйлерова цепь (не обязательно цикл), которая
как плоская жорданова кривая не имеет самопересечений. Дальнейшее разви-
тие этой идеи: С.Б. Белый // Мат. заметки, 34 (1983), № 4, 625—628 [84, 2В532}.
14.	У всякого 3-связного планарного графа есть такой каркас, в котором
степени всех вершин не превосходят 3. D. Barnette // Canad. J. Math., 18(1966),
№6, 731-736 [33#3951].
15.	Ж.Г. Никогосян (Кибернетика, 1982, № 4, 35—42 [83, 2В512]) находит
наименьшее число вершин, соответственно ребер и треугольников 3-связного
планарного графа, каждый каркас которого имеет более к >2 висячих вершин;
аналогичные результаты получены в предположении максимальной планар-
ности.
16.	Доказать, что множество ребер планарного обыкновенного графа G
всегда можно разбить не более чем на три попарно непересекающихся подмно-
жества, каждое из которых порождает некоторый каркас графа G.
17.	Верно ли, что база пространства циклов планарного графа G, состоящая
из краев всех внутренних граней при некотором плоском топологическом пред-
ставлении Gs, получается из какого-то каркаса в соответствии с теоремой 3.1.2?
18.	Планарный мультиграф можно представить как объединение простых
циклов четной длины попарно без общих ребер в том и только том случае, если
степени всех вершин четны и каждый блок обладает четным числом ребер. По-
казать на простом примере, что для непланарных графов это не так. P.D. Sey-
mour // JCTh, В31 (1981), № 3, 327-338 [82, 4В551].
19.	Нижние оценки инварианта л (G) из §2.4 для планарных G получили
Т. Nishizeki, I. Baybars // DM, 28 (1979), № 3, 225-267 [80, ЗВ659]; формулиров-
ки сложны (много случаев).
334
Основы теории графов
20.	Локально 3-связный граф (см. упражнение 20 к § 2.5) не может быть
планарным.
21.	Доказать, что если обыкновенный граф допускает такое плоское распо-
ложение, в котором все грани — треугольники, то он максимально планарен.
22.	Доказать, что если граф с п > 3 вершинами и т ребрами максимально
планарен, то Л1 = 3л-6 и в любом плоском топологическом представлении
этого графа все грани — треугольники.
23.	Пусть ni-nl (G) — количество вершин степени i в максимально планар-
ном графе G с л((7)>3. Доказать равенство
4л2 4- Зл^ 4- 2 Л4 4- Л5 = 12 4- Л7 4- 2 Mg 4-...
(ло = п\ = 0) и вывести отсюда, что (a) G содержит не менее трех таких вершин х,
для которых 5 (G, х) < 5; (б) любой 5-связный планарный граф имеет не менее
12 вершин; (в) планарных 6-связных графов не существует.
24.	Пусть G — максимальный планарный граф. Если в некотором его плос-
ком топологическом представлении G$ каждый цикл длины 3 служит краем ка-
кой-то грани, т. е. нет разбивающих треугольников, то это верно и для любого
другого плоского топологического представления G's, а сам G гамильтонов; по-
следнее, вообще говоря, неверно при наличии разбивающих треугольников.
Н. Whitney И TAMS, 34(1932), 339-362.
25.	S. Fanelli (Calcolo, 19(1982), № 2, 157-167 [83, ЗВ506]) изучает макси-
мально планарные графы, в которых к вершин имеют степень 5, а остальные
л - к вершин — большие степени. При некоторых условиях на степени вершин
такой граф оказывается 5-связным. О 5-однородных 3-связных планарных гра-
фах см.: S.Jendrol’ // DM, 50(1984), № 2-3, 231-237 [85, 2В657].
26.	Доказать, что граф внешнепланарен тогда и только тогда, когда внеш-
непланарен каждый его блок.
27.	Доказать, что граф, отличный от квадрата с диагональю, внешне-
планарен в том и только том случае, если у него нет частей, гомеоморфных F4
или АГ2>з.
28.	Доказать, что если внешнепланарный обыкновенный граф не имеет
о	3n(G)-4
циклов длины 3, TO Ml(G)<—.
29.	Пусть G — внешнепланарный граф с л > 3 вершинами и т ребрами, мак-
симальный (критический) в том смысле, что соединение любых несмежных раз-
личных вершин новым ребром нарушает свойство внешнепланарности. Дока-
зать, что (а) т =2 л - 3; (б) в G есть по крайней мере три вершины степени не бо-
лее 3; (в) в G есть хотя бы две вершины степени 2; (г) I (G) =2 (см. §§ 2.5. и 2.7).
30.	Если G — максимальный внешнепланарный граф, то при л=л (G) > 3 его
хроматический многочлен (см. упражнение 8 к § 1.4) зависит только от числа
вершин, а именно
п
T(G, /)= £5(л-2, к-2)ч<*)
л=з
Глава 3. Цикломатика
335
(5 — числа Стирлинга второго рода). И.Г. Дмитриев // Тезисы IV Всес. конф, по
пробл. теор. кибернетики. Новосибирск, 1977, 134—135.
31.	Доказать равносильность трех высказываний об обыкновенном гра-
фе G: (а) 5(G)< 3 и каждая вершина степени 3 — шарнир; (б) граф L (G) внешне-
планарен; (в) тотальный граф Т (G) планарен. Последний граф определяется
так: его вершинами служат вершины и ребра G, причем две различные вершины
Т (G) смежны тогда и только тогда, когда они в качестве элементов G смежны
или инцидентны (сопоставить с понятием тотальной раскраски графа в конце
§2.9). М. Behzad // Proc. Cambridge Philos. Soc., 63(1967), 679-691 [68, 6B279];
G. Chartrand, D. Geller, S. Hedetniemi//JCTh, BIO (1971), № 1, 12-41 [72,1В578].
32.	Пусть G — внешнепланарный граф, C/r C/2, ..., С/ — края всех его
я
граней, кроме внешней, причем /1 >/2 >... >/^; тогда л2 (G)>2 + £L(4”3)/2J.
Н.Й. Мартинов //Доклады Болгарской АН, 31 (1978), № 3, 265-267 [79, 2В537].
32'. При дополнительном условии /(G) >2 количество треугольных граней
г
не меньше 2л(С)-4-£(/,-2), где г — число нетреугольных граней; оценка
»=1
достижима. S.L. Hakimi, E.F. Schmeichel // Israel J. Math., 41 (1982), № 1—2,
161-180 [82, 12В652].
33.	Если л-вершинный граф G гамильтонов, m (G)<2m и каждая вершина х
принадлежит s(G, х)-1 треугольникам, то G максимально внешнепланарен.
Н.Й. Мартинов // Годишн. Софийск. ун-т, фак. мат. и мех., 71 (1976/77 (1982)),
№ 1, 114-119 [83, 11В636].
34.	Пусть s = (?!, 52,..., sn) — вектор степеней графа G.
а)	Если G внешнепланарен и п > 3, то £ s? < л2 + 7л -18,	/ \ >
/=1 / \
причем равенство имеет место только когда G изомор- /_____________\
фен Fj+Zn_j или графу, изображенному на рис. 3.6.21;
б)	если G планарен и л>4, то <2л2 4- 12л-44, при- Рис. 3.6.21
1=1
чем равенство имеет место только когда G изоморфен Г2 + Zn_2 или одному из
графов Gb G2 с л(С1) = 7 и л(С2) = 8; найдите эти графы. М. Truszczyhski //
JGrTh., 8(1984), № 1, 171-176 [84, 9В489].
35.	Вершинная гипотеза Улама (§ 1.10) для внешнепланарных графов спра-
ведлива: в случае максимальных это доказал В. Manvel // DM, 2(1972), № 3,
269-278 [73, 1В531], в общем случае W.В. Giles // JCTh, В16(1974), № 3,
215-226 [75, 1В541].
36.	Множество всех центральных вершин (§ 2.6, метрика естественная) мак-
симального внешнепланарного графа порождает подграф одного из семи ви-
дов, показанных на рис. 3.6.22. A. Proskurowski // JGrTh, 4(1980), № 1, 75—79
[80, 9В554; 81а#05071].
336
Основы теории графов
37.	Обыкновенный внешнепланарный граф при-
надлежит классу Lj (§ 2.9) тогда и только тогда, когда
он отличен от простого цикла нечетной длины. S. Fio-
rini // JCTh, В18 (1975), № 1, 35-38 [51 #2971].
38	(методическая проблема). В.Н. Некрасов
[81, 2В519Деп; 84, 11В486] предлагает критерий суще-
Рис 3 6 22 ствования и алгоритм нахождения такого плоского то-
пологического представления графа G = (У, (/), при
котором заданное подмножество Y с I его вершин оказывается на краю внеш-
ней грани; см. также: L. Oubina, R. Zucchelio II DM, 51 (1984), № 3, 243-249
[85, 5В533]. Выяснить возможности более простого получения результатов этих
работ с помощью легко доказываемой теоремы:
граф G планарен с внешним доступом к Y в том и только том случае, если
планарен граф Gy, полученный добавлением к G новой вершины и ребер, соединяю-
щих ее со всеми вершинами Y.
Еще одно обобщение внешнепланарности: J. Sedladek [88, 9В562].
§ 3.7. БОРЬБА С ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ
Электрическая схема, которую надо монтировать на плоской
плате, часто бывает очень сложной и в этих случаях, как правило,
непланарной; но тогда непосредственное использование техники пе-
чатного монтажа привело бы к непредусмотренным контактам меж-
ду проводниками, что на языке теории графов означает пересечение
ребер при попытке изобразить на плоскости граф данной схемы (см.
начало § 3.5). Изображение же графа G с пересечениями есть на са-
мом деле топологическое представление другого графа G', который
получается из G подразделением некоторых ребер с последующим
отождествлением некоторых новых вершин, в силу чего G' д&ке не
гомеоморфен G. Если граф G не допускает плоского изображения
без пересечений, то по крайней мере всегда можно малыми дефор-
мациями ребер на плоскости добиться, чтобы ни в какой точке не
пересекалось более двух ребер; в дальнейшем будем считать это
условие всегда выполненным. Но как все-таки бороться с непреду-
смотренными электрическими контактами?
Во-первых, можно в месте пересечения один из проводников
прервать, напаяв затем перекидной мостик; если первый шаг не вы-
ходит за пределы техники печатного монтажа, то второй ведет к
Глава 3. Цикломатика
337
затяжке и удорожанию всей процедуры, и вполне понятно стремле-
ние минимизировать число таких шагов, т. е. число пересечений при
изображении графа на плоскости. Наименьшее возможное их коли-
чество является инвариантом абстрактного графа G и обозначается
через 0(G); алгебраический подход к изучению этого числа пред-
принял W.T. Tutte // JCTh, 8 (1970), № 1, 45-53 [70, 10В245].
Во-вторых, можно во избежание ненужных контактов поме-
щать некоторые проводники целиком вне платы. Соответствую-
щий инвариант С, (G) означает наименьшее число ребер, удаление
которых делает граф планарным; см.: Wu Wen-Jun (критерии пла-
нарности [УС]).
В-третьих, можно располагать проводники схемы не на одной, а
на нескольких платах, сложенных в виде слоеного печенья. Образно
представляя себе вершину графа как штырь, пронизывающий сразу
все параллельные плоскости, приходим к третьему инварианту —
толщине т (G): это наименьшее число попарно непересекающихся
классов, на которые можно разбить множество ребер данного графа
G так, чтобы суграфы, порождаемые ребрами этих классов, были
планарными. Обзор работ, относящихся к этому инварианту:
Р. Mutzel, Th. Odenthal, М. Scharbrodt // Graphs and Comb., 14 (1998),
№ 1, 59-73 [98, 10В293].
Возможны и другие подходы, о которых мы упомянем позже;
перечисленные же три (см. еще упражнение 1) до некоторой степени
объединяет универсальная конструкция, начало которой положил
J. Weissman // Amer. Math. Monthly, 69(1962), №7, 608—613
[63, 8А82]. Близкие к этому исследования: F.W. Sinden // Theory of
Graphs. Int. Symp. Roma, Juillet 1966. Paris; New York, 1967 (1967),
389-393; G. Ehrlich, S. Even, R.E. Tarjan // JCTh, B21 (1976), № 1,
8-20 [77, ЗВ460].
Пусть в множестве вершин Z фиксированного графа Р = (Z,
W, %) выделены непустые попарно непересекающиеся подмножест-
ва Zj, Zj, ..., Zm (где т не есть /?i(P)=|JF|, т>1, а объединение
всех Z, не обязательно исчерпывает Z). Задача уэйсмановского типа
состоит в нахождении у Р подграфа М = (У, V, /), имеющего ровно
по одной вершине в каждом Z( и Ф-оптимального (максимального
или минимального в зависимости от конкретной задачи) относи-
тельно наперед заданного инварианта Ф (см. § 1.9). Надеяться на
практически эффективное решение такого рода задачи нельзя как в
338
Основы теории графов
общем случае, так и в плане настоящего параграфа, где мы рас-
сматриваем ее только как знамя в нелегкой борьбе с пересечениями.
Определим для каждого натурального п свой универсальный граф
пересечений Pn=(Zn, Wn, %) следующим образом.
Отметим в плоскости п различных точек, которые будем назы-
вать штырями; взаимное расположение штырей в принципе безраз-
лично, но для нас удобнее считать их размещенными в узлах квад-
ратной решетки, правый и нижний ряды которой могут оказаться
неполными (поскольку п не обязательно точный квадрат). Жорда-
нову дугу, соединяющую в плоскости два различных штыря и не
проходящую через другие штыри, назовем проводником. Два про-
водника изотопны, если они соединяют одну и ту же пару штырей и
могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией, в
процессе которой ни одна внутренняя точка проводника не совме-
щается ни с одним штырем. Отношение строгой изотопии, когда до-
пускаются лишь такие деформации проводников, которые пред-
ставляют собой точечные гомеоморфизмы (§ 3.5), есть эквивалент-
ность, и ее классы мы считаем элементами Zn; т. е. вершинами гра-
фа Рп служат всевозможные проводники, заданные с точностью до
изотопии. Если р — наименьшее число пересечений двух проводни-
ков, которого можно добиться изотопными преобразованиями этих
проводников, то соответствующие вершины соединяем пучком из р
параллельных ребер. Так, например, трем проводникам на
рис. 3.7.1а соответствуют три различные вершины графа Рп, первая
из которых свободна от петель, вторая инцидентна одной петле, а
третья — двум петлям; паре проводников на рис. 3.7.16 отвечает в
Рп пара несмежных различных вершин, паре проводников на
рис. 3.7.1в — пара различных вершин, соединенных одним ребром, а
для случая рис. 3.7.1г получаем два параллельных ребра.
/ о X ст
( 1 \
\ \ 3
( 2 (
\ о до)
а
Рис. 3.7.1
Глава 3. Цикломатика
339
Пусть теперь G = (X, U) — произвольный обыкновенный граф,
который требуется расположить на плоскости. Построим граф Рп с
л=л((7)=|У|, a Zb Z2, ..., ZmcZ" (m=m(G)) определим как под-
множества, каждое из которых образовано проводниками (с точ-
ностью до изотопии), соединяющими одну и ту же пару штырей, со-
ответствующих двум смежным вершинам графа G. Три описанных
выше способа атаки на пересечения приводят к следующим трем за-
дачам уэйсмановского типа:
а)	выбрать подграф М так, чтобы он имел как можно меньше
ребер; это наименьшее число т (М) равно 0(G);
б)	выбрать М так, чтобы неплотность е(М) оказалась наиболь-
шей; тогда £ (G)=m-E(M);
в)	выбрать М так, чтобы минимизировать хроматическое число
у (М); последнее будет равно толщине г(б:)1.
К сожалению, мощности |Z(-| не просто очень велики при боль-
ших п: как явствует из рис. 3.7.2, уже для л>3 множества Z,- беско-
нечны! Правда, их можно еде-	,—s.
лать конечными за счет наложе- 0	/'о'Ч	/ /о\ \
ния на проводники тех или иных (	)	11/1
технически оправданных ограни- I У I I J /
чений, но как снизить мощности Т \	\
до такой степени, чтобы лобовой I \	\.
перебор всех |Z]|-|Z2|-...-|Zm|	ъ	®	‘ ’
подграфов М стал практически	Рис. 3.7.2
возможным (при не очень малых л), — пока не ясно. Для облегчения
попыток решать эти вопросы и строить алгоритмы (как точные, так
и эвристические), направленные на борьбу с пересечениями, удобно
наряду с непрерывной картиной проводников рассматривать адек-
ватную ей дискретную. Кроме описываемого ниже подхода есть и
другие: Т. Kashiwabara [82, 5В483]; В.Б. Калинин ([82, 11В617], Ки-
бернетика, 1982, № 3, 122-123 [82, 12В615], [98, ЗВ255Деп],
[00, 5В282Деп]); I. Alon [82, 12В617].
К вершинам-штырям, изображающим на плоскости вершины
графа Fn (или его суграфа G), добавим вспомогательные вершины,
помещая их в центры квадратов, образованных четверками
I Приближенный алгоритм: Б.В. Семенец, Е.Г. Куник, А.И. Довнарь [85,
12В575Деп].
340
Основы теории графов
Рис. 3.7.3
соседних штырей, а также в центры непосред-
ственно примыкающих к ним квадратов (на
рис. 3.7.3 штыри изображены кружочками, а
вспомогательные вершины крестиками). Каж-
дые две соседние вспомогательные вершины
соединим прямым ребром — горизонтальным
или вертикальным отрезком, а каждый штырь
с каждой ближайшей вспомогательной вер-
шиной соединим косым ребром — половинкой
диагонали квадрата. Построенный таким
образом обыкновенный граф (с вершинами и ребрами двух типов)
будем обозначать через Нп.
Для каждого проводника в плоскости существует изотопный (не
обязательно строго) маршрут графа Нп, соединяющий те же два
штыря и такой, что все его вершины, кроме первой и последней,
вспомогательные, следовательно, первое и последнее ребра — ко-
сые, а остальные (если они есть) — прямые; это свойство будем на-
зывать первым ограничением для маршрутов. После наложения ряда
дальнейших ограничений и при условии, что маршруты рассматри-
ваются с точностью до обращения, соответствие между ними и
классами строго изотопных проводников, т. е. вершинами графа
Рп, станет взаимно однозначным.
Второе ограничение — отсутствие триангулятов — означает,
что если ху и yz — два последовательных ребра маршрута, то в Нп
не должно быть ребра xz, При наличии же такого ребра, называе-
мого триангулятором маршрута (независимо от того, встречается
оно само хоть раз в маршруте или нет), соответствующая операция
приведения заменяет ... х ху у yz z ... более коротким маршрутом
... х xz z ... ина самом деле сводится к устранению вращений вокруг
начальной и конечной вершин, ибо в силу первого ограничения все
три ребра ху, yz и xz могут принадлежать графу Нп лишь тогда,
когда либо х, либо z является штырем.
Третье ограничение — отсутствие аппендиксов — означает, что в
маршруте не должно быть последовательных ребер вида ху и ух,
т. е. одно и то же ребро не должно проходиться два раза подряд;
удаление такой пары (с сохранением вершины х) из маршрута
...ххууухх... тоже относится к операциям приведения. Заметим,
что здесь (в отличие от человеческого организма) удаление аппен-
Глава 3. Цикломатика
341
дикса может привести к появлению другого, который тоже подле-
жит удалению, и т. д. (рис. 3.7.4); к счастью, этот процесс конечный.
Четвертое ограничение вместе с предыдущими уже обеспечивает
взаимную однозначность соответствия между маршрутами в Нп
(рассматриваемыми с точностью до обращения) и вершинами тех
подмножеств Zz в Рп, которые отвечают
ребрам графа G, и состоит в том, что для
пары штырей, соседних по горизонтали,
из двух соединяющих их простых цепей
длины 2 всегда выбирается верхняя, а для
пары штырей, соседних по вертикали, —
левая (рис. 3.7.5).
Всякий маршрут в графе Нп, удовлетворяющий перечисленным
четырем ограничениям, называется приведенным. Два таких марш-
рута, соответствующих двум непересекающимся проводникам, мо-
гут иметь общие вершины и ребра (рис. 3.7.6), а два произвольных
маршрута — переплетаться самым причудливым образом. Но для
приведенных маршрутов все же удается дать адекватное определе-
ние пересечений.
Пусть ху и yz — два последовательных ребра приведенного мар-
шрута Q; тогда у — вспомогательная вершина графа Нп и ей
Рис. 3.7.6
2 ->... в eff Jk hJi ii ij j jk k kh h fif f fg g
342
Основы теории графов
Рис. 3.7.7
инцидентно восемь ребер. Если на Q ребра
ху и yz встречаются именно в указанном
порядке, то остальные шесть ребер при
вершине у естественного разделить на ле-
вые и правые (рис. 3.7.7); в силу второго и
третьего ограничений оба класса всегда
непусты.
Рассмотрим теперь два приведенных
маршрута Q, Q и предположим, что неко-
торые их отрезки
xxyyyz z ...trqqtzQ и x'xtyyyz z ..Atq'q'czQ'
ведут себя следующим образом: оба маршрута сливаются в вершине
у, далее идут вместе по ребрам yz, ... до вершины Z, в которой рас-
ходятся (рис. 3.7.8); при t=y множество {yz, ...} общих ребер этих
Q' ,
•••—х'	х-------1------
у-.-----z	q'-----
x/'Q	Q'
Рис. 3.7.8
отрезков пусто. Мы допускаем и
другую возможность, когда отре-
зок маршрута Q' имеет вид
q'q'tt...z zyyyx'x', т. е. при следо-
вании по Q' проходится в направле-
нии, противоположном предыду-
щему. Будем говорить, что отрезки
не пересекаются (между у и Z), если
ребро х'у в вершине у и ребро tq’ в
вершине t являются относительно маршрута Q либо оба левыми,
либо оба правыми, и что эти отрезки имеют одно пересечение (меж-
ду .у и I), если из указанных двух ребер одно левое, а другое правое.
Легко видеть, что хотя понятия «левое» и «правое» для ребер связа-
ны с выбором маршрута Q, сам факт наличия или отсутствия пере-
сечения рассматриваемых отрезков не зависит от того, какой из
маршрутов Q, Q' взять за основу, и не меняется от замены любого
из них обращенным; так, на рис. 3.7.8 имеет место один из случаев
пересечения.
Если у Q и Q' нет пары отрезков указанного типа с одним пере-
сечением, то и сами маршруты считаются по определению непересе-
кающимися (в частности, так будет, когда Q и Q совсем не имеют
Глава 3. Цикломатика
343
общих вспомогательных вершин). В противном случае Q и Q' обра-
зуют столько пересечений, сколько можно выделить в этих маршру-
тах различных пересекающихся пар отрезков, причем пары подсчи-
тываются как неупорядоченные, а два отрезка считаются разными
даже тогда, когда они различаются только своим положением в
маршруте (наподобие двух разных вхождений слова «кол» в слово
«колокольня»).
Пятое ограничение на приведенные маршруты — отсутствие са-
мопересечений; налагая его, надо для сохранения взаимной одно-
значности соответствия удалить из Рп все те вершины, при которых
есть петли. Исключение самопересекающихся проводников техниче-
ски вполне оправдано, а точную формулировку соответствующей
операции приведения предоставим читателю.
Шестое ограничение, которое по идее должно препятствовать
«закручиваниям» и обеспечивать тем самым конечность множеств
Zh четко выразить пока не удалось. Попытка запретить в марш-
руте ребра, проходимые более одного раза в одном и том же на-
правлении, несостоятельна, как видно из следующего примера
И.М. Горгоса: на рис. 3.7.9 маршруты Q=aaeeef f fgggdd и
Q'-blfeeef f fggghh...iieeef f fee не пересекаются, однако оче-
видное приведение второго из них
с целью устранить повторное про-
хождение ребра ef дает маршрут
Q" =bbeeef f fee, пересекающийся с
Q. Подобных неприятностей, видимо,
не будет при более слабом ограниче-
нии на приведенные маршруты: ника-
кое ребро не должно проходиться в
одном и том же направлении более
Рис. 3.7.9
двух раз.
Седьмое ограничение относится не к самим маршрутам по от-
дельности, а к их парам и легче формулируется в терминах универ-
сального графа пересечений Рп\ при построении его подграфа М
никогда не выбирать одновременно таких вершин, которые соеди-
нены более чем одним ребром. В самом деле, пару проводников,
имеющую несколько пересечений, всегда можно заменить другой
парой, пересекающейся не более одного раза, не изменив при этом
пересечений пары с прочими проводниками (рис. 3.7.10).
344
Основы теории графов
Различные операции приведе-
ния маршрутов и выявления их
пересечений можно поручать
вычислительной машине, предва-
рительно составив надлежащие
стандартные программы на языке
каждого из графов Рп или даже
одного такого графа с достаточно
большим п. Это открывает воз-
можность быстрой проверки результативности того или иного
шага, предпринятого из эвристических соображений, например при
попытке улучшить конкретный результат, полученный одним из та-
ких алгоритмов, которые сами по себе либо не обоснованы строго
(А.Н. Старостина [70, 5В321]), либо в принципе не гарантируют
точный минимум (Я.Я. Дамбит [74, 6В470; 78, 6В631; 58#376]).
Еще один поход против пересечений основан на очевидном фак-
те: любой непланарный граф G можно подразделениями ребер пре-
вратить в бипланарныщ т. е. такой G', толщина которого т(<7') = 2.
Технически это означает монтаж схемы на двусторонней плате, при-
чем вершинами G служат сквозные штыри, а пересечение двух ре-
бер-проводников избегается переводом одного из них на другую
сторону платы либо целиком, либо частично, через новое отверстие,
что равносильно введению дополнительного штыря или подразде-
лению ребра новой вершиной. Наименьшее количество со (G) под-
разделений, превращающее граф G в бипланарный, есть инвариант
(см. упражнения 13—14'); для планарного G естественно считать
co(G) = 0, Мы не знаем пока, можно ли вообще подвести нахождение
со под задачу уэйсмановского типа, как сделано для инвариантов 0, £
и т. Размещениями схем на двуслойной плате занимается Р.В. Ро-
жанковский [83, 12В625; 86к#05047], а наименьшее число пересече-
ний при расположении графа в двух плоскостях без подразделения
ребер изучали ранее F. Нагагу, A. Schwenk (Util. Math., 1 (1972),
203—209 [46&8906]). Обзор по бипланарным графам: L.W. Beineke //
Comput. and Math. Appl., 34(1997), № 11, 1-8 [98, 10В294].
P. Erdos (устное сообщение) ввел крупность^ £(G) — наибольшее
число попарно непересекающихся непустых классов, на которые
можно разбить множество ребер графа G так, чтобы каждый класс
1 Английский термин coarseness, не имеющий точного аналога в русском языке,
переводят еще как «шероховатость» или «зернистость».
Глава 3. Цикломатика
345
порождал непланарный суграф (аналогичный инвариант при до-
полнительном требовании, чтобы все эти суграфы были попарно
неизоомрфны, изучают Р. Horak, J. Siran (Math. Nachr., 108 (1982),
305—306 [83, 7В547]). Значения <^(F„) нашли R.K. Guy, L.W. Beineke
(Canad. J. Math., 20(1966), № 4, 888-894 [69, 3B200]), а ряд оценок
для $(Kpq) - L.W. Beineke, R.K. Guy (Canad. J. Math., 21(1969),
№ 5, 1086—1096 [71, 1B304J); см. также книгу Харари, упражнение 10*
и D. Michalak // Leet. Notes Math., 1018 (1983), 139-150 [84, 4B490],
далее [84, 12B704, 748], [86, 9В701].
F. Bernhart, P.C. Kainen H JCTh, B27(1979), № 3, 320-331
[81f#05065] (реферат [80, 5B479] ошибочен!), ссылаясь на двух пред-
шественников — L.T. Ollmann, C.D. Keys, изучают книжную толщи-
ну графа: если все вершины G расположить на одной прямой, а реб-
ра проводить (без пересечений) в виде криволинейных отрезков в
плоскостях, пересекающихся по этой прямой, то инвариант bt((7)
выражает наименьшее необходимое число плоскостей; доказано,
что bt (G) <2 тогда и только тогда, когда G — часть планарного га-
мильтонова графа. Для произвольных же планарных графов
М. Yannakakis (JCISS, 38 (1989), № 1, 36-67 [89, 10В387]) доказал,
что bt(G)<4; но и гипотеза bt(G)<3 (L. Heath [86, 2В709]) пока не
опровергнута. Далее см. книжное вложение [УС].
Наряду с порядком связности v (G) и родом g (G), определенны-
ми в § 3.5, каждый из инвариантов 0 (G), £ (G), т (G), со (G), Е, (G), bt (G)
и др. (см., например, упражнения 16 и 17) носит такой характер, что
чем больше его значение, тем «непланарнее» граф G, и, без сомне-
ния, между этими инвариантами непланарности должны существо-
вать отношения типа равенств или достаточно хороших оценок друг
через друга. Однако, кроме очевидной связи между g и v, в этом на-
правлении пока мало что известно, а главные усилия нацеливаются
(по нашему мнению, без достаточных оснований) на поиск точных
значений или оценок этих инвариантов по отдельности для некото-
рых наиболее простых типов графов. Так, для клик получена лишь
верхняя оценка
0(F„)<0(F„)=l|_n/2J-|_(«-l)/2J-L(/I-2)/2J-L(n-3)/2j =
_ |п ~ 2Я (л — 4) / 64 ПрИ п четном,
[(п -1)2 (п-З)2 / 64 при п нечетном,
346
Основы теории графов
точность которой весьма правдоподобна, но пока не доказана, а
для полных двудольных графов — оценки
(р-2)(д-2)<&(Кр>я )<Lp/2J-|_(p-1)/2J-^/2J-|_(9-1)/2J
(литературу см. в [УС]. Обзоры результатов, относящихся к тол-
щине: А.М. Hobbs [71, 12В634; 41#98]; Р. Mutzel, Th. Odenthal,
М. Scharbrodt // Graphs and Comb., 14 (1998), № 1, 59-73 [98,10B293];
в прикладном плане: A.H. Мелихов, Л.С. Берштейн, В.М. Курейчик,
В.В. Лисяк // Изв. АНСССР, Техн, киб., 1972, № 6, 166-170
[73, 5В538]. Проблему нахождения которой занимались Бай-
неке и Харари (см. упражнение 7), окончательно решили В.Б. Алек-
сеев и В.С. Гончаков // Матем. сб., 101 (1976), № 2, 212—230
[77, ЗВ461]; см. также внешнепланарная толщина [УС]. W. Wessel
(Leet. Notes Math., 1018(1983), 266-277 [84, 4B475]) и J. Siran,
P. Horak (DM, 64 (1987), № 2-3,263-268 [87,9B608]) изучают графы,
критические по толщине, а Р.С. Kainen (JCTh, В18 (1975), № 1, 32—34
[75, 6В509]) находит хроматическое число у (G) при некоторых усло-
виях, налагаемых на С, (G). К. Wagner (AMSUH, 53 (1983), 258—265
[84, 6В484]) исследует графы, укладывающиеся на плоскость так, что
каждое ребро пересекается не более чем с одним, а пересечениями в
графе при расположении его на поверхности заданного рода занима-
ется J. Siran (AMSUH, 53(1983), 131-133 [84, 7В463]).
Прямолинейным укладкам графа схемы посвящены работы
А.Я. Тетельбаума и Б.Л. Шрамченко [89, 6В479, 8В298, 299].
Упражнения и дополнения
1.	G. Ringel [66, 11А244; 31 #4021] доказал, что при укладке «-вершинного
графа на плоскость наибольшее количество ребер, не имеющих пересечений,
равно2л-2; наименьшее же число таких ребер (и вопрос существования проме-
жуточных значений) исследуют Н. Harborth, I. Mengersen // JCTh, В17 (1974),
№ 3, 299—311 [75, 5В477]. Предлагается представить эти вопросы как задачи
уэйсмановского типа.
2.	Показать, что число 0„=0(F„) можно находить рекуррентно:
*5 = ^=^^-. прил>6.
В.М. Курейчик, В.А. Тищенко [81, 1В501].
Глава 3. Цикломатика
347
3.	Существует бесконечное семейство 3-связных графов с заданным чис-
лом пересечений 0 > 3 и критических по удалению ребер; предполагается, что
при# =2 таких графов (сточностью до изоморфизма) — только конечное число.
J. SirAn И DM, 48(1984), № 1, 129-139 [84, 7В467].
3'. Каждое ребро графа G=(A\ U), обладающее свойством 0 (G\и) <
<0(G)v0(G\u)<l, принадлежит некоторому подграфу, гомеоморфному F5 или
Ку у В то же время для любого п > 5существует связный «-вершинный граф G с
таким ребром и, не принадлежащим ни одному из подграфов указанного типа,
что G(G\u) = n. J. SirAft // JCTh, В35 (1983), № 2, 83-92 [84, 8В463].
4.	О числе0 для 3-однородных графов см.: Д.И. Пшенов [85, 2В666 Деп].
5.	t(F9) = 3; см. п. 8 в §3.6 (более простое доказательство: W. Wessel
[87, 7В634]).
6.	Пользуясь результатом упражнения 19 к §3.6, показать, что
~ (Г'Х "ъ т№)
7.	т (FW)>L(«+1)/6J+1 и при и^9&л£4 (mod 6) имеет место равенство.
L.W. Beineke, F. Нагагу // Canad. J. Math., 17 (1965), № 6, 850-859 [66, 6А257].
Конкретное разбиение на три планарных суграфа: J. Mayer // JCTh,
В13(1972), №1,71 [47Я1679].
8.	Равенство т (Крt(J)=[pq/2 (р + q -2)] заведомо справедливо, когда pq
четно или при р <q равенство р =|j2£ (q-2)1 (q -2Zr)J не выполняется ни при ка-
ком целом к. Отсюда, в частности, следует, что т (Кр,р) = [(р + 1)/4J +1.
L.W. Beineke, F. Нагагу, J.W. Moon // Proc. Cambridge Philos. Soc., 60(1964),
№1, 1—5 [64, 10A251; 28#1611); L.W. Beineke (книга Харари).
9.	Наименьшая толщина ^-однородного графа т (у) = 1 + Г5/6"|, а для наи-
большей справедливы оценки 1 + L(s + l)/4J<r (s)<2|_(2 + 1)/4J. M. Chein // DM,
1 (1971), № 2, 147-166 [74, 6В445].
10.	Для r-мерного куба т (2г)=Г(г+ 1)/4_|. М. Kleinert // JCTh, 3 (1967), № 1,
10-15 [68, 12В366; 35#2776].
11.	К. Asano [88, 4В548] доказал импликацию g(G) = l=>r(G)=2 и выдви-
нул гипотезу, что всегда r(G)<g(G) = l, справедливость которой установил
пока при е(6)=2.
12.	[y/4J2r-3 <(Qr)<[г •2Г-2 Z7j. J. Hartman//Canad. Math. Bull., 22 (1979),
171-175 [79, 12В514].
13.	Доказать справедливость и точность оценок:
а)	ш(С)<^-- 13л+24 j для всех обыкновенных графов G с « = «(£)> 16,
б)	0)(6)</^-4(р + ?)+8 для всех двудольных G=(X^ Х2, U) с |У|| =р и
|	~Ч- Ле Тхук Зук (устное сообщение, 1982).
14.	Доказать, что щ((7)<0(6)-1 для любого графа G.
348
Основы теории графов
14'. Показать, что всякий граф можно сделать бипланарным, подразделяя
каждое ребро не более одного раза; попытаться оценить со (G) сверху через £ (С)
и, в частности, выяснить, для любого ли графа G имеет место co(G)<^ (G). См.
далее: J. Mayer // C.r. Acad. sci. ser. 1, 297(1983), №6, 311-312 [84, 6В481].
15.	Для графа 6, помещенного в плоскость
как показано на рис. 3.7.11, составить систему
маршрутов, изотопных проводникам, в графе
Я6 и показать, что приведение маршрута, изо-
топного проводнику ab, уменьшает общее число
пересечений; изобразить картину после приве-
дения.
16.	Предположим, что вершины графа
можно помещать только в узлы целочисленной
решетки на плоскости. Доказать, что G допускает такое вложение без пересече-
ний тогда и только тогда, когда он планарен и i(G)<4.
16'. Наименьшее число вложимых таким образом суграфов, на которые
можно разбить граф G, называется его решетчатой толщиной} доказать, что
для Fn это число равно [’(п-1)/4‘|, если п * 3 & п £ 1 (mod 8). Б.В. Алексеев,
М.К. Мартинова [79, 5В710]. См. далее: М.К. Мартинова [82, 8В618;
84g#05114].
17.	Еще одной мерой непланарности графа G служит число расщеплений
sp(G) — наименьшее количество отождествлений пар несмежных вершин, по-
зволяющее получить G из какого-нибудь планарного графа Gq. sp(Kpq) =
J ПрИ p^q >2. Если же исходить из графа с эйлеровой характе-
ристикой e(G0), то sp(Xp q ) = max ^0, - 2——~ - 2 4- е (Go)|. В. Jackson,
G. Ringel // Archiv. Math., 42(1984), № 2, 178-184 [84, 9В497].
18.	Проблема изоморфизма графов (§§1.5—1.7) равносильна следующей:
для любых двух клик F и F' узнать, допускают ли они такие изображения (с
пересечениями) Fs и F$ на плоскости, в которых два ребра Fs пересекаются
тогда и только тогда, когда пересекаются соответствующие ребра F$.
Ch.J. Colbourn // JCISS, 6(1981), № 2, 169-172 [83, 2В527].
19.	Эвристические алгоритмы нахождения Q (G) предлагает М. Marek-Sa-
dowska // IEEE Trans. Comput.-Aid Des. Integr. Circuits and Syst., 3 (1984), № 3,
184-190 [85, 5В542].
20.	K. Wagner (JCTh, 3 (1967), № 4, 326-365 [68, 9B211]) описывает все не-
планарные графы, становящиеся планарными после удаления любой вершины.
21.	а) В любом л-вершинном графе рода g имеется не более вершин,
удаление которых приводит к планарному графу; б) ребер с тем же свойст-
вом — не более 144^3g (п-2 + 2 g). H.D. Djidjev // Докл. Болг. АН, 37 (1984),
№9, 1183-1184 [85, 5В543].
Гпава 3. Цикломатика
349
§3.8. ГИПОТЕЗА ХАДВИГЕРА
Не известно ни одной работы по теории графов за вековой пе-
риод от задачи Эйлера (§2.8) до знаменитой проблемы четырех кра-
сок: можно ли с помощью не более четырех цветов так раскрасить
страны произвольной географической карты, чтобы никакие две
страны, граничащие друг с другом, не оказались одинакового цве-
та? Мы не знаем, кто первый над этим задумался, но есть сведения
об упоминании проблемы Мёбиусом на лекциях в 1840 году, о зна-
комстве с ней Гутри и Де Моргана. Задачей увлеклись студенты-ма-
тематики Лондона, позже за нее взялся Кэли, вынужденный, одна-
ко, в 1878 году признаться, что не может ее решить. Через год гипо-
теза была опубликована им (A. Cayley) — в Трудах Лондонского
Королевского Географического общества — и А.В. Kempe (Amer. J.
Math., 2 (1879), 193—201). Более подробные исторические свёдения о
гипотезе четырех красок см. в [УС].
Вполне разумная идеализация задачи состоит в замене геогра-
фической карты топологическим графом на плоскости (или на сфе-
ре), и тогда требуется так раскрасить грани не более чем четырьмя
цветами, чтобы никакие две грани, края которых обладают хотя бы
одним общим ребром, не оказались окрашенными одинаково.
Строя двойственный граф (упражнение 1), мы сведем задачу к рас-
краске вершин и избавимся от необходимости всегда рассматривать
конкретное расположение графа в плоскости (вместо общего пред-
положения о планарности), а гипотеза примет вид:
если G — планарный граф, то у ((?) < 4;	(*)
при этом необходимо предполагать, что G не имеет петель (кстати,
в исходном графе-карте им отвечали бы перешейки, нелепые с точ-
ки зрения географических границ), а также можно считать без нару-
шения общности, что нет и кратных ребер, т. е. G — обыкновенный
граф.
Заманчивая простота формулировки проблемы, по-видимому,
послужила причиной того, что за ее решение (как и за доказатель-
ство великой теоремы Ферма) взялись наряду с серьезными матема-
тиками целые полчища дилетантов, в том числе маньяков. Сразу
же отметим одну ошибку, характерную для многих доморощенных
350
Основы теории графов
«доказательств»: правильно усмотрев, что планарный граф G не
может содержать более четырех попарно смежных вершин, очеред-
ной неудачник пытался затем только из этого факта, без вторич-
ного использования планарности G, вывести желаемую оценку
у (G) < 4; несостоятельность таких попыток сразу вытекает из следу-
ющей теоремы:
ТЕОРЕМА 3.8.1 (А.А. Зыков // Матем. сб., 24(1949), №26
163-188 [MRllp733]; J. Mycielski // Colloq. Math., 3(1953), №2,
161—162 [56, 6,4395; MR16pl044]). Для любого целого у >2 существует
обыкновенный граф G плотности cp(G)=2 с хроматическим числом у.
Доказательство Зыкова основано на построении, весьма неэко-
номном с точки зрения количества вершин (упражнение 2), и мы
приводим конструкцию Мыцельского, интересную также в других
отношениях.
При у = 2 искомый граф есть F2. Пусть для некоторого у >2 уже
построен граф G = (X, U) с <р(С) = 2и у (G)=y, где У={х1( х2, ...,хл}.
Добавим к G «дубликаты» вершин X, т. е. новые вершины у1гУ2,
уп, соединяя каждую у, новыми ребрами со всеми вершинами
окружения О (G, х( ); затем добавим еще одну новую вершину z и со-
единим ее со всеми у(-. Покажем, что полученный (2и + 1)-вершин-
ный граф G' обладает плотностью (р (G')=2 и хроматическим числом
y(G')=y + l.
Так как <p(G) = 2, а вершина z в G' не смежна ни с одной из х(, то
никакие три вершины множества	не могут быть попарно
смежны; но и вершины у t не входят ни в один треугольник, иначе,
заменяя эти вершины соответствующими х) ; мы получили бы тре-
угольник в G. Следовательно, (p(G') = 2.
Раскрасив правильно вершины G в у цветов, придадим затем
каждой у, цвет соответствующей вершины х( , а вершину z окрасим
в новый цвет. Полученная раскраска графа G' с помощью у + 1 цве-
тов, очевидно, правильна, но если бы этот граф допускал раскраску
только у цветами, то на вершины у], у2, •••> Уп ушло бы не более
у -1 цветов (отличных от цвета z), и, перекрасив каждую х( в цвет
соответствующей вершины у,, мы получили бы правильную рас-
краску у -1 цветами вершин исходного графа G, что невозможно.
Глава 3. Цикломатика
351
На рис. 3.8.1 показаны графы Мыцельского с <р = 2 и / =2, 3, 4;
видимо, эта конструкция все еще не самая экономная по числу вер-
шин (см. упражнение 3).
Рис. 3.8.1
Разумеется, не все неудачные попытки решить проблему четы-
рех красок оказались бесполезными для дальнейшего развития тео-
рии графов. Так, ошибочное рассуждение А.В. Kempe (Nature,
21 (1880), 399—400) содержало идею, позволившую Хивуду получить
для планарных графов более слабую оценку у (G)<5; правда, теперь
эта оценка выводится проще (упражнение 4), но идущая от Кемпе
техника перекраски двуцветных цепей нашла в дальнейшем приме-
нения не только к раскраске вершин (см., например, доказательство
теоремы Брукса в упражнении 25 к § 2.2), но и к раскраске ребер
(§2.9) и послужила наводящим соображением для возникновения
метода чередующихся цепей (§ 2.4). Само понятие хроматического
числа, которое оказалось весьма важным для теории и приложений,
обязано своим возникновением проблеме четырех красок, а наибо-
лее интересному ее теоретическому порождению мы и посвящаем
всю оставшуюся часть параграфа.
Напомним, что числом Хадвигера 7] (G) называется наибольшее
к, для которого граф G допускает стягивание на , причем стяги-
вание понимается в широком смысле (включая удаление элементов),
благодаря чему фактическое стягивание одного ребра можно мыс-
лить и как мультистягивание (§ 2.7), а граф G не обязательно счи-
тать обыкновенным; но во избежание ненужных усложнений и, как
будет само собой очевидно, без потери общности мы ограничимся
классом связных обыкновенных графов. Следующая теорема по
своему содержанию могла бы занять место среди упражнений
352
Основы теории графов*
к § 3.6; ее получил О. Оре, а доказательство упростил Н. Peyton
Young // J. London Math. Soc., 3 (1971), № 4, 661-664 [72, 2В357].
ТЕОРЕМА 3.8.2. Если G — непланарный 4-связный граф, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть граф G удовлетворяет условиям
теоремы. Благодаря критерию (3) в теореме о планарности (3.6.4),
достаточно установить стягиваемость G на F5 в предположении,
что G содержит часть М, гомеоморфную Кт, 3.
Вершины графа G, имеющие в М степень 3, назовем основными,
а имеющие в М степень 2 — промежуточными. Основные вершины
образуют два класса {a, b, с}, {d, все девять М-цепей между
парами вершин разных классов не имеют друг с другом общих про-
межуточных вершин. Стягивая, если надо, в G некоторые ребра, не
инцидентные основным вершинам, добьемся, чтобы каждая М-цепь
содержала не более одной промежуточной вершины; это может на-
рушить 4-связность, однако для дальнейшего важно лишь, что полу-
ченный граф, который по-прежнему обозначаем через G, не распа-
дается от удаления любых трех основных вершин. Пусть Z — про-
стая цепь, соединяющая а с b в подграфе G\{d, е, /}.
Обозначим через х последнюю (считая от а) из тех вершин на Z,
которые принадлежат каким-либо Л/-цепям, идущим из а, а через у
первую после х вершину, принадлежащую некоторой М-цепи, иду-
щей из b или из с, скажем из Ь. Очевидно, х * у и отрезок [х, у] цепи Z
от х до у (включительно) не содержит внутри себя вершин М. Среди
вершин d, e,f есть такая, скажем /, что ни х, ни у не является проме-
жуточной вершиной ни на одной М-цепи, идущей из /.
Пусть Z' — простая цепь, соединяющая вершину fed или сев
подграфе G\{a, b, с}; примем без нарушения общности, что Z' сое-
диняет f с е, не проходя через d. Пусть z — последняя на Z' (считая
от /) вершина, принадлежащая какой-то М-цепи из f a t — следую-
щая за ней вершина, находящаяся в [х, у]U М (аналогичные краткие
обозначения с очевидным смыслом будем употреблять и дальше).
Случай 1: z ё[х, у]. Тогда z лежит на некоторой M-цепи, иду-
щей из вершины е, и стягивание отрезков [а, х], [Ь, у], [f, z], [е, /] соот-
ветствующих M-цепей (если отрезок уже не является вырожденным)
превращает G в граф, содержащий такую часть Gj, из которой в
свою очередь стягиванием рвбра|с#1и. возможно, некоторых других
(всех peSef отуеТкЭ)
Глава 3. Цикломатика
353
ребер получается F$ (см. рис. 3.8.2, где ребра, изображенные штри-
ховыми линиями, на самом деле могут вырождаться из-за совпаде-
ния концевых вершин).
Рис. 3.8.2
Случай 2: zg[x, y]&(x*av y*b); допустим для определенно-
сти, что х*а. Если t*y, то стягивание отрезков [х, Z], [у, Ь] и [z,f]
превращает G в граф, содержащий такую часть С2, которая стягива-
нием ребер ае и cd (и, возможно, других) переводится в F5
(рис. 3.8.3); при t=y ввиду b, с}-0 имеем у^Ь, ив G опять
находится часть, гомеоморфная (72.
Случай 3: ze[x, y]&x = a&y-b. Обозначим через s первую
после Z вершину цепи Z', принадлежащую какой-то M-цепи из е, и
стянем к вершине Z внутренние части отрезков [а, 6] и [z, соответ-
ствующих цепей Z и Z'. Граф, полученный таким образом из G,
содержит часть, гомеоморфную С3 на рис. 3.8.4, а граф G3 превра-
щается в F5 стягиванием ребер ad и се. Теорема доказана.
Рис. 3.8.4
354
Основы теории графов
Утверждение (*) легко вывести из гипотезы
y(G)>5 => i?(G)>5,	(**)
возникшей как естественное ослабление неверного предположения
об обязательном присутствии части в графе G с у (G)>5. В самом
деле, если бы какой-то планарный граф G обладал хроматическим
числом /(G) >4, то это имело бы место и для произвольного его
плоского топологического представления G$, а последнее в силу
(*♦) можно было бы стянуть на непланарный граф 7Д что абсурдно,
так как операция стягивания плоского графа не выводит за пределы
плоскости. Выдающийся результат Вагнера (К. Wagner // Math.
Ann., 114 (1937), № 4, 570—590), согласно которому и обратно, (♦)
влечет (*♦), казался в то время неожиданным потому, что гипотеза
(♦♦) относится ко всем обыкновенным графам, тогда как гипотеза
четырех красок — только к планарным. Без этого результата вряд
ли было бы возможно приводимое ниже краткое доказательство
Пейтона Янга, но с его появлением интерес к работам Вагнера и его
последователей Галина, Юнга, Мадера и др., посвященным более
общим вопросам стягиваемости графов (не обязательно на клики) и
ее взаимосвязи с раскрашиваемостью, незаслуженно ослабел. Систе-
матическое изложение этих исследований имеется в книге: К. Wag-
ner. Graphentheorie. Mannheim; Wien; Zurich, 1970 [72, 9В345К].
ТЕОРЕМА 3.8.3. Утверждения (♦) и (*♦) равносильны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу сказанного выше достаточно
доказать только импликацию (*)=>(♦♦).
Пусть гипотеза четырех красок верна и G — граф с /(G) >5, не
стягиваемый на Г5. Производя, если надо, некоторые стягивания
в G, мы можем без нарушения общности считать граф G критиче-
ским в том смысле, что стягивание любого ребра приводит к графу
с хроматическим числом 4. В силу теоремы 3.8.2 и формулировки
гипотезы (♦), для получения противоречия достаточно доказать
4-связность рассматриваемого графа G = (X, 17).
Допустим, что G не является 4-связным, т. е. для некоторого под-
множества YciX с |У|<3 подграф G\Y состоит из компонент
Gj=(Xif U Д где/= 1,2, ..., а? >2; будем еще считать У минимальным
по включению (или наименьшим по числу вершин) среди всех таких
Глава 3. Цикломатика
355
подмножеств, в силу чего каждая его вершина имеет в G хотя бы по
одной смежной во всех подграфах G,. Пусть G\ — подграф G, порож-
денный множеством вершин У,- ()У 0 = 1, 2, .... ж), аУосУ- наи-
большее подмножество у У, состоящее из попарно несмежных (в G)
вершин.
Вершины каждого G' можно правильно раскрасить четырьмя
(или менее) цветами так, чтобы все вершины подмножества Yq полу-
чили один и тот же цвет ah а цвета вершин У \ Уо отличались от а,.
В самом деле, выберем j * i. Так как граф G'j связен, а Уо — наиболь-
шее в указанном выше смысле, то можно в графе G произвести та-
кое стягивание ребер, при котором все вершины множества Xj U Уо
перейдут в одну вершину t, отличную от остальных вершин G и
смежную со всеми вершинами У\Уо (если они есть). Полученный
граф Gi в силу критичности G допускает правильную раскраску не
более чем четырьмя цветами, и если а, — цвет вершины I, то цвета
всех вершин У\ {/}, т. е. вершин У\Уо в G, будут отличаться от а,.
Придавая в графе GJ вершинам Уо цвет а, и сохраняя за остальными
вершинами их цвета в G,, получим требуемую раскраску.
Из сделанных предположений о графе G и множествах У, Уо лег-
ко следует, что если У\У0 *0, то все вершины этого подмножества
попарно смежны и, значит, в каждом G'j должны получить разные
цвета, отличные от цвета а( вершин Уо. Согласуя наименования
цветов в графах G\, G'z, ..., G'x, можно осуществить правильную
раскраску вершин исходного графа G не более чем четырьмя цвета-
ми, вопреки предположению у (G) >5. Теорема доказана.
Н. Hadwiger (Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zurich, 88 (1943),
133—142, Elem. Math., 13 (1958), № 26, 127—128) выдвинул гипотезу:
ri(G)>y(G)	(H)
(см. упражнение 156 к § 1.3). Через Ну будем обозначать высказыва-
ние, что эта гипотеза справедлива для всех графов G (связных обык-
новенных) с данным хроматическим числом y(G)=y>l.
Обозначим через G+ граф G F), полученный из G = (X, U) до-
бавлением новой вершины и соединяем ее со всеми вершинами X,
или, кратко, добавлением конической вершины.
ЛЕММА 3.8.4. у (G+ )=/ (G) + l и tj(G+) = r?(G) + l.
356
Основы теории графов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое равенство и неравенство г) (G+ )>
>rj(G) + l очевидны. Для доказательства обратного неравенства
обозначим через у/ отображение вершин при некотором стягивании
графа G+ на + Пусть х — коническая вершина графа G\ а
Y = {уе XI y/(y)^i//(x)}. Тогда x&Y и подграф графа Gf, порожден-
ный подмножеством вершин Y и поэтому целиком принадлежащий
G, стягивается отображением у/ на клику <g+)_ i = FT1(G+) \i//(x).
Следовательно, rj(G)>ri(G+ )-l, что и требовалось.
Из этой леммы непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 3.8.5 (К. Wagner, R. Halin // Math. Ann., 147(1962),
№ 2, 126—142 [63, 1A281; 26#756]). При любому > \ справедливость ги-
потезы Н7+| влечет справедливость Н^.
Если признать правомерным «машинное» доказательство гипо-
тезы четырех красок, о котором пойдет речь в следующем парагра-
фе, то в силу теоремы 3.8.3 надо признать верной и Н5, а отсюда по
теореме 3.8.5 следует справедливость Н4, Н3, Н2 и Hj, которая,
впрочем, ранее была установлена в усиленной форме и гораздо про-
ще (упражнение 7). Таким образом, превращение гипотезы (♦) в тео-
рему не слишком много добавляет к тем классам графов, для кото-
рых удалось подтвердить предположение Н, и пока нет оснований
считать его всегда верным. Проводимое ниже изучение воображае-
мых графов, для которых Н не имеет места (А.А. Зыков. Современ-
ные вопросы прикладной математики и программирования. Киши-
нев: Штиинца, 1979, 55—61 [79, 9В681; 81е#05074]), может оказаться
полезным как в случае справедливости этой гипотезы (для получе-
ния противоречия), так и в случае несправедливости (для облегче-
ния построения контрпримеров)1.
Обозначим через Н (у) класс у-неправильных графов — всех таких
обыкновенных связных G, для которых у (G)=y>rj(p) при данном
у>\. Гипотеза Хадвигера состоит в том, что Н = U Н(у)=0. Пред-
полагая Н^0, обозначим
/о = min{y / Н (у)*0};
1 Заметим, что при достаточно больших к гипотеза Хадвигера справедлива для поч-
ти всех л-вершинных графов с кп ребрами (А.В. Косточка [83, 9В529]).
Глава 3. Цикломатика
357
в силу теоремы 3.8.5
Н(у)/=0 ПрИ/</о’
1*0 при 7 q .
Из сказанного выше следует Н(1) = Н(2) = Н(3) = Н(4)=0, т. е.
Ур >5, а в случае справедливости гипотезы четырех красок также
Н(5) =0 и	(уже известно также, что Н(6)=0, т. е. Yq>1-
N. Robertson, P.D. Seymour, R. Thomas // Combinatorica, 13 (1993),
№ 3—4, 279—361 [94i#05037], но эти оценки (и вообще никакие сведе-
ния о числе у 0, кроме предположения его существования) нам не по-
надобятся. Для всех определена функция
n(y)=min{n(G)/GG Н(у)}.
ТЕОРЕМА_3.8.6. п (у +1) <п (у) +1, и если среди п (у + \)-вершинных
графов класса Н (у +1) хоть один обладает конической вершиной, то
имеет место равенство.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выбрав любой (7g Н (у), получим соглас-
но лемме 3.8.4, что (?+еН(у + 1), откуда и(у+ 1)<л((7+) = л(у) + 1.
Если теперь какой-то и(у+ 1)-вершинный граф G'eH(/+l) обла-
дает конической вершиной х, то в силу той же леммы G'\xeH(y),
поэтому л((7'\х)>и(у), т. е. и(у + 1)-1>и(у).
СЛЕДСТВИЕ. и(у)<п(уо)+Г-Уо-
К сожалению, этими почти тривиальными свойствами исчерпы-
ваются пока наши знания о функции nty)- Не доказано даже, что
она неубывающая, а ведь это более слабая гипотеза, чем
Vy >у0 [«О' + 1) = и(у) + 1].
В частности, неизвестно, справедливо ли и (у) > и (у 0) при всех у >у 0.
Положим
т (y)=max {т (G) / G е Н (у) & п (G)-п (у)},
Но (y)={GeH(y)/n(G)=nfy)&m(G)=m(y)}
и займемся изучением свойств графов подкласса Но (у)сН(у) при
произвольном у>Уо- Если Gi — часть графа G, то у (G])<y (G) и
77 (G]) <77 (G); если G2 получен из G стягиванием ребра, то
358
Основы теории графов
т; (Gj) <77 (G); наконец, если Gy образован из G отождествлением не-
которого множества попарно несмежных вершин, то у (G3)>/((?).
Эти очевидные свойства инвариантов у (G) и 77 (G) будем называть
монотонностью1.
ТЕОРЕМА 3.8.7. Пусть подграф G\E получен из GeH0 (у) уда-
лением некоторого множества Е попарно несмежных вершин. Тогда
a) y(G\E)=y-l;
77 (G) -1, если Е-{х}, где х — коническая верши-
б) rf(G\E) =
на графа G;
Л (G) в остальных случаях,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) В силу монотонности y(G\E)<y; в то
же время у (G\E)>y-l, ибо в случае у (G\E)<y-2 можно, раскра-
сив вершины графа G \ Е не более чем у - 2 цветами, придать затем
всем вершинам Е один и тот же новый цвет, откуда y(G)<y-l во-
преки GeH0(y). Но из двух оставшихся случаев у(G\E)=y-1 и
y(G\E)=y второй отпадает, так как иначе G\EeH0(y) (ибо
rj(G\E)<ri(G)<Y ввиду монотонности) при n(G\E)<nty), в проти-
воречии с определением числа п(у).
б) Если Е={х}, где х — коническая вершина в G, tot](G\E) =
=rj(G)-\ по лемме 3.8.4. В остальных случаях граф (G\E)+, полу-
ченный из G \ Е добавлением конической вершины, имеет либо ме-
нее п (у) вершин, либо_ровно и (у) вершин и более т (у) ребер, т. е. не
принадлежит классу Но (у). Ввиду монотонности rj(G\E)<t](G), а
предположение 77 (G \ Е) <77 (G) -1 приводит в силу леммы 3.8.4 и уже
доказанной части а) к выводу y((G\E)+)=y&77((G\E)+)<7j(G),
т.е. (G\E)+е Но (у).
ТЕОРЕМА 3.8.8. Если GeH0(y), то ?7(G)=y-l.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть GeH0 (у); тогда граф G неполный
(иначе он был бы правильным) и поэтому содержит неконическую
вершину х. Граф (G\_x) + имеет и (у) вершин и более т (у) ребер,
т. е. не принадлежит Но (у). Предположение же ?7(G)<y-2 приво-
дит в силу леммы 3.8.4 и теоремы 3.8.7 (при_Е={х}) к выводу
y((G\x)+)=y & 77((G\x)+)<y-l, т.е. (G\x)+ еН0(у).
• Аналогичными свойствами обладают <p(G), е(6) и многие другие инварианты
(см. упражнение 13' к § 1.9).
Глава 3. Цикломатика	359
ТЕОРЕМА 3.8.9. Пусть граф G(E} получен из GgH0 (у) отож-
дествлением вершин некоторого множества Е попарно несмежных
вершин, такого что |£*| >2. Тогда
а)	y(G(£))=y,
б)	77(G(£))=i7(G) + l=y.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) На основании монотонности у (G (£*))<
<у ((G\£)+ ), откуда у (G(£))<y в силу теоремы 3.8.7 и леммы 3.8.4.
С другой стороны, y(G(£))>y ввиду монотонности.
б) Во-первых, г/ (G+1, так как в случае г/ (G(£))(G)
в силу уже доказанного утверждения а) имели бы С(£)еН0(у)
при n(G(E})<n(у), что невозможно. Во-вторых, из леммы 3.8.4
и монотонности следует 7}(G(£))<t7(G) + 1. Таким образом,
r](G(E))=ri(G) + l, что равно у по теореме 3.8.8.
ТЕОРЕМА 3.8.10. Пусть граф G\Jxy получен из GeHo(y) в
результате соединения пары несмежных различных вершин х, у
новым ребром. Тогда
a)	Y(G\Jxy)=y,
б)	T](GL)xy)=-q(G) + l=y.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) Так как (GU-xy)\x=G\x, а вершина х
не является конической в G, то в силу теоремы 3.8.7, леммы 3.8.4 и
монотонности
У <у (GUxy)<y ((G\x)+ )=у (G\x) + l=y.
б) Пользуясь теоремой 3.8.9 при Е={х, у}, теоремой 3.8.8, лем-
мой 3.8.4 и монотонностью, легко выводим
/=т/(С({х, Я))(GUху)<Т]((G\х)+ )=TJ(G\х) +1	(G) +1 =/.
ТЕОРЕМА 3.8.11. Пусть граф G(xy) получен из (7еНо(у)
стягиванием ребра ху. Тогда
а) у(<7(ху))=у-1;
frj(G)-l=y-2,
б) T](G(xy)) = |
если обе вершины хи у кониче-
ские в G,
И (<?)=/-!
в остальных случаях.
360
Основы теории графов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) В силу монотонности, теоремы 3.8.7
(при Е={у}, например) и леммы 3.8.4,
У -1 <У (G(xy)) <у ((G \ {х, у})+) =у (G \ {х, у}) +1 <у,
но равенство y(G(xy))=y невозможно,_ибо тогда ввиду т? (G (ху)) <
<т] (G) (монотонность) было бы G (ху)е Hq (у) при n(G(xy}) <п(у).
б) Если обе вершины х и у конические в G, то равенства
r}(G(xy))=r](G)-l=y -2 сразу следуют из леммы 3.8.4 и теоре-
мы 3.8.8. Пусть теперь, скажем, вершина х не коническая. Как уже
известно, Т] (G (ху))	(G); но в случае г] (G (xy))<T)(G) -1 добавление
к G (ху) новой конической вершины дало бы граф (G (ху))+, для ко-
торого в силу леммы 3.8.4 и уже доказанного утверждения а) было
бы у ((G (ху))+) =у&т) ((G (ху))+ )	(G), т. е. (G (ху))+ е Но (у) при
п((G(ху))+ )-п(у)& m((G (ху))+ )>т(у), что невозможно.
ТЕОРЕМА 3.8.12. Пусть ху — любое ребро графа Ge Но (у).
Тогда
а)	у (G\xy)=y -1,
б)	rj(G\xy)=ri(G)-y-i.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) Ввиду теоремы 3.8.7, 3.8.11 и монотон-
ности
у -1 =у (G \ х) <у (G \ ху) <у (G (ху)) =у -1.
б) Допустим сначала, что обе вершины х и у конические в G;
тогда граф G\{x, у} не является полным (иначе сам G был бы пол-
ным, значит правильным). Пусть z, t — пара несмежных вершин в
G \ {х, у}, а граф G (yz) получается из G стягиванием ребра yZ. Так как
вершина z не коническая в G, то z?(G(yz))=?7(G) по теореме 3.8.11;
но граф G(yz) можно получить стягиванием ребра yz и из графа
G\xy, поэтому в силу монотонности r](G(yt))<r](G\xy)<T](G').
Следовательно, r)(G\xy)=r)(G)=y -1.
Если теперь, скажем, х не является конической вершиной в G, то
по теоремам 3.8.7 и 3.8.8 ввиду монотонности получаем опять
у -1 —т] (G)=т] (G \ х) <т) (G \ ху) <7? (G) =у -1.
Глава 3. Цикломатика
361
Утверждения теорем 3.8.7—3.8.12 объединим в таблицу
Хромати- -Число
ческое число Хадвигера
У исходного графа G е Но (у)		г	г-1
После удаления непустого множества Е попарно не- смежных вершин	Если Е - {х}, где х — коническая в G . В остальных случаях	г-1 Г-1	Г-2 /-1
После отождествления любого множества Е попарно несмежных вершин, где|Е| >2		г	Г
После добавления ребра		У	У
После стягивания ребра ху	Если обе вершины х и у конические в G . В остальных случаях	г-1 г-1	у-1 /-1
После удаления ребра		Г-1	Г-1
ТЕОРЕМА 3.8.13. Никакой граф класса Но (у0) не может иметь
конических вершин.
Ибо если х — коническая вершина какого-то <?еНо(уо), то
у (G\x)=y (G)-l и ri(G\x)=ri(G)-l по лемме 3.8.4, т.е. граф G\x
неправильный с у (G\x)<Yq, что невозможно.
Благодаря этой теореме, при у=у0 во второй и пятой графах
таблицы отпадают первые варианты, и мы получаем более простую
таблицу:
	Хромати- ческое число	Число Хадвигера
У исходного графа G е Но (у0)	Го	го-1
После удаления множества Е	го-1	Го-1
После отождествления вершин Е	го	го
После добавления ребра	го	Го
После стягивания ребра	Уо -1	Го-1
После удаления ребра	Го-1	Го-1
362
Основы теории графов
Интересно выяснить^ как ве-	м/
дут себя графы класса Но (у) по /	\
отношению к преобразованиям, /	\
не меняющим ни числа вершин, ^х  -------J x	/х----;—\
ни числа ребер. Пока это извест-	G	G
но лишь для одного типа таких	Рис g 5
преобразований, показанного на
рис. 3.8.5.
ТЕОРЕМА 3.8.14. Пусть в графе G = (X, С/)еН0 (у) три верши-
ны х, yf z таковы, что xyeU, xzeU, yz<£U, и пусть G = (X, U}, где
U \{xz}) U {yz}. Тогда ц (G) =у, у (G) =у -1 и, следовательно,
ден.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как G {yz}=G({y, z}), то на основа-
нии теоремы 3.8.10, монотонности и теоремы 3.8.9
y=n(^Uj;b)>77(G)>n(G(yz))=77(G:<{y, z}»=/,
а в силу G (xz}=G ({х, z}), G\yz =G\xz, теоремы 3.8.11 и монотон-
ности
У-1=у (G (xz))=y (G <{х, z}))>y(G)>y (G\yz)=y (G\xz)=/-1.
Одному из непосредственных обобщений числа Хадвигера по-
священо упражнение 26.
В заключение упомянем о другом направлении, которое тоже
относится к исследованию зависимости структуры графа от его
хроматических свойств. Из теоремы 3.9.1 и ряда работ П. Эрдеша и
др. явствует, что граф с большим хроматическим числом не обязан
содержать циклы малой длины. Одной из компенсаций отсутствия
таких циклов служит стягиваемость графа на клику (гипотеза Хад-
вигера) или «почти клику» (упражнение 17) с достаточно большим
количеством вершин. Другим «компенсирующим свойством» явля-
ется наличие циклов, обладающих многими хордами. С уточнени-
ем постановок задач и с наиболее интересными результатами в
этом направлении можно ознакомиться по книге Вальтера и Фосса,
упомянутой в §2.1; см. также циклы с многими хордами [УС].
Глава 3. Цикломатика
363
Рис. 3.8.6
Упражнения и дополнения
1.	Пусть(7$ =({°, °,...» °}, {—,	—}, I//) —плоский топологический граф.
Построим в плоскости S граф(7$ =({*, *,	*}, {-->----, •••,--}, i/<*)сле-
дующим образом: вершины * выбраны по одной внутри каждой грани Gs и каж-
дому ребру — графа Gs соответствует пересекающее
его ребро----, соединяющее те *, которые находят-
ся в гранях, примыкающих к этому ребру (рис. 3.8.6);
при этом перешейку графа Gs отвечает в G$ петля, а
петле — перешеек (одна из вершин которого висячая).
Доказать, что G$ является двойственным графом
для G$ в том смысле, как было определено в § 3.6.
1'. Если G — гамильтонов граф, то у (<7 *) < 4.
M.N. Vartak, Н. Narayanan // J. Indian Math. Soc.,
38(1974-1975), № 1-4, 201-205 [76, 9В416].
2.	Пусть (72 -F2, и если при у >2 уже построен обыкновенный граф G?, то
<7у+1 строится так: берем у экземпляров графа (7у, с попарно непересекающими-
ся множествами вершин, и для каждой выборки по одной вершине из всех эк-
земпляров вводим новую вершину, соединяя ее ребрами со всеми вершинами
выборки. Показать, что <p(Gy+1)=2 и у (<7z+i)=y +1. Найти и((7у) при у =2, 3,
4, 5 и сравнить их с количествами вершин графов Мыцельского при тех же у.
Далее см.: H.V. Kronk // Leet. Notes Math., 303(1972), 179-181 [73, 5В462].
3.	Обозначим через п(ср, у) наименьшее возможное количество вершин
обыкновенного графа плотности с хроматическим числом у, где у > ср > 1. Дока-
зать, что2у -ф<п (р, у) < (<р + 1)-2У“^ -1. (Указание: использовать упражнение
5 к § 1.3 и конструкцию Мыцельского, начиная ее при (р >2 с графа вместо Г2.)
4.	Пусть G =(У, U) — планарный обыкновенный граф. Индукцией по числу
вершин доказать, что у((7)<5.
Указание. Из результата упраж-
нения 22 к § 3.6. вытекает существование
в (7 вершины х степени 5 <5. Путем пе-
ределки, затрагивающей только х и
смежные с ней вершины (см. рис. 3.8.7 в
случае 5 = 5 и ас ё [/), всегда можно пре-
образовать G в планарный граф G' с
л(7')<и((7) таким образом, чтобы из
раскраски вершин G' не более чем пятью
цветами получалась раскраска (7J
Рис. 3.8.7
1 В свете того, что оценку удается доказать локальной индукцией, не удивительно
существование таких алгоритмов раскраски вершин планарного графа пятью цвета-
ми, время работы которых оценивается сверху линейной функцией от числа вершин
(G.N. Frederickson И Inf. Process. Lett., 19 (1984), № 5, 219-224 [85, 5В552]; М.Н. Willi-
ams // Comput. J., 28(1985), № 1, 78-81 [85, 8B572]).
364
Основы теории графов
5.	Пусть G' образован из плоского графа G с несмежными а и с как пока-
зано на рис. 3.8.7, причем / (б') = 4- Убедиться на конкретных примерах, что для
переделки раскраски G' в раскраску исходного графа G не более чем четырьмя
цветами требуется, вообще говоря, глобальная перекраска (затрагивающая не
только вершины a, b, c,d, е и х). Этим объясняется безуспешность многочислен-
ных попыток доказать гипотезу четырех красок с помощью «локальной индук-
ции», наподобие случая пяти красок.
6.	Обозначим через более сильную, чем Ну, гипотезу: всякий граф G с
у(Р)>у содержит часть, гомеоморфную /у. Убедиться в том, что Н| и Н2 три-
виальны, Н3 непосредственно вытекает из теоремы Кёнига (теоремы 2.1.2), а
Н4 можно доказать по следующей схеме (G.A. Dirac // J. London Math. Soc.,
27(1952), pt. 2 (№ 105), 85-92 [MR13p572]):
a)	He нарушая общности, считаем данный граф обыкновенным
G = (¥, (7), критическим в том смысле, что у (б) = 4 и у (б \х) = 3 для любой х е X.
Тогда б является 2-связным и 5(б)>3.
б)	Пусть С=С/ — самый длинный простой цикл в б; />4.
в)	В б существуют две простые цепи Z и Z^KOHueBbie вершины которых а
и Ь, соответственно а' и Ь\ все различны и расположены на цикле С в порядке
а, а\ Ь, Ь\ а остальные вершины (если они есть) не принадлежат С.
г)	Общие вершины (разумеется, не концевые) у цепей Z и Z' могут быть
или не быть; в обоих случаях часть графа б, гомеоморфная Г4, легко усматри-
вается.
7.	G. Hajos (WZ, 10 (1961), 116—117) предположил, что Ну верно при лю-
бом у > 1. Усиленную таким образом гипотезу Хадвигера опроверг для всех у > 7
Р.А. Catlin (JCTh, В26 (1979), № 2, 268-274 [80, 1В766]), но он же доказывает Н4
в усиленной форме: если у (б) >4, то в б есть часть, получаемая из Г4 таким
подразделением ребер, при котором каждый треугольник переходит в простой
цикл нечетной длины.
8.	Реферат [81, 12В829] работы В.Ф. Горькового либо ошибочен, либо го-
ворит о том, что из результатов работы вытекает справедливость гипотезы
Хадвигера. Проверить работу и уточнить ее реферат.
9.	Доказать, что если б — 3-связный граф, то т](б)>4.
10.	Доказать, что если степени всех вершин обыкновенного графа б,
кроме, быть может, одной, не меньше 3, то т](б)>4.
11.	Гипотеза В. Г. Визинга (УМН, 23(1968), № 6, 117-134 [69, 7В196])
о том, что если s(6)—>+оо, то г} (б)—> + оо, справедлива. В. Zelinka // Casop.
p£stov. mat., 100(1975), № 2, 155-159 [75, 12В487].
12.	Если у (б) = 6 и граф б можно поместить на бутылку Клейна (?/2), то
И (б) = 6. М.О. Albertson, J.P. Hutchinson // DM, 29 (1980), № 1, 1-11 [80, 5В477].
13.	Пусть обыкновенный граф б критичен в том смысле, что соединение
новым ребром любых двух несмежных различных вершин увеличивает хрома-
тическое число. Доказать, что 7](б)>у(б). К. Culik // Spisy Prirod. Fak. Univ.
Brno, 1959, № 4, 177-185 [60, 8, 8717; 25Я3860].
Глава 3. Цикломатика
365
14.	(В.В. Берков // ГГиДОЗ, 1982, 15-20 [82, 6В676]). а) Пусть 77=77(6) и
граф G критичен в том смысле, что удаление любого ребра уменьшает число
Хадвигера. Тогда (а0 т (G) = n(G) + r] (т7~3)/2; (а2) если G отличен от и
С2*+Ь а 77>3, то 77>/(6)+1.
б) Пусть G — такой граф, что удаление любых двух его ребер уменьшает
число Хадвигера; тогда 77 (G)>y (G).
15.	Функция iv (£) = min{p/VG [у (G)>p=>rj (G)>£]}, где квантор общности
распространяется на все обыкновенные графы, определена для любого нату-
рального к и удовлетворяет условию и> (к + 1) < 2и> (к)-1, причем У к > 1 [ш (к) =
= £=>Щ]. К. Wagner // Math. Ann., 153(1964), №2, 139-141 [64, 8А274].
15'. Для любого натурального к есть такое наименьшее натуральное число
w (к), что всякий связный обыкновенный граф G с у (G)>w (к) содержит часть,
гомеоморфную /%. Н.А. Jung // Math. Ann., 161 (1965), № 5, 325—326 [66, 8А305].
Какое следствие вытекает из предположения V£ > 1 [w (к) = к]?
16.	Доказать, что стягиваемость графа G на заданный Gq влечет наличие в
G части, гомеоморфной 60> в том и только том случае, если s (Go) <3. А.З. Зели-
ковский (Кишиневский семинар, март 1979 г.).
17.	Если у (G)> 5, то G можно стянуть на граф, полученный из клики F5 уда-
лением одного ребра. К. Wanger // Math. Ann., 141 (1960), № 5, 433—451
[63, 1А280]; G.A. Dirac // Math. Ann., 144 (1961), № 1, 93-96 [62, 9А171]. Другие
ослабления гипотезы Хадвигера: I.T. Jakobsen ([72, 3B286; 48#5024], Stud. sci.
math, hung., 6(1971), № 1-2, 151-160 [72, 9B365]); B. Toft // Math. Ann.,
196(1972), №2^ 129-147 [72, 10B364] и упражнение 20 к §2.7.
18.	у (6)у (G )> п (6); отсюда: для самодополнительных графов y(G)<
<(i](G)2 + l)/2. В.В. Берков [85, 5В554Деп].
18'. Гипотеза Зелинки (В. Zelinka // Math, slov., 26(1976), № 1, 23—30
[76, 7B439J) о том, что всегда 77 (G) + r] (G) < л (G) + 1, неверна, а доказательство в
конце работы, упомянутой в упражнении 14, содержит ошибку (найдите ее!).
19.	77 (G)Q.e (G)-l)>n(G); Р. Duchet, Н. Meyniel // Graph Theory. Amsterdam
e.a., 1982, 71—74 [84, 4В473]. Если G — не клика, то неравенство строгое; F. Maf-
fray, Н. Meyniel // DM, 64(1987), № 1, 39-42 [87, 9В613].
20.	Если G — не клика и не груда, то 77 (6)77 (6) >["(Зм — 5)/V2~| и равенство
достижимо при любом п = п (G); оценку можно улучшить, наложив некоторые
ограничения на min{77 (G), 77(G)}. А.В. Косточка // Комбин. анализ. Москва,
1989, № 8, 50-62 [90, 6В412].
21.	Если G критичен в том смысле, что удаление любой вершины
уменьшает число Хадвигера 77=77(6), и 77 >2, то у (G)<^^1. В.В. Берков
[85, 8В574Деп].
22.	Каждый 2-связный обыкновенный граф Ges (G)> 3, не изоморфный ко-
лесу К4, содержит простой цикл четной длины, обладающий по крайней мере
двумя хордами. H.-Ju. VoB // JCTh, В32 (1982), №3, 264-285 [83, 2В518].
366
Основы теории графов
23.	Пусть c = c(G) — количество простых циклов нечетной длины в G, по-
парно без общих вершин, у =у (G), ср = ср(р). Тогда
а)	у > max {ср, 4} => <?>[(/ + 2)/3J;
б)	<р<4 с >L2y/3J-1;
в)	(р>2 => с >[_(2у _ <P)/3J.
W.G. Brown, Н.А. Jung // Acta math. Acad. sci. hung., 20 (1969), № 1—2, 129—134
[69, 11В307].
24.	Пусть grth (G) — обхват (длина кратчайшего цикла) графа G, a s (G)> 3.
Тогда (а) существует такая функция q (к) от AgN, что grth(G)>4(? (А)-3=>
(G)>A;
(б)	если grth (G) >2 (к2 4-1)(3-2^'2+1 + к2 + 2А), то G содержит циклы всех
четных длин по mod к. С. Thomassen // JCTh, В35(1983), №2, 129—141
[84, 10В484].
(в)	если G — не граф Петерсена, т >2п-5 & п>6 & grth G <5, то он со-
держит подразбиение графа, полученного из Г5 удалением одного ребра:
W. Mader // JGrTh, 30(1999), № 4, 261-276 [00, ЗВ296].
25.	Существует такая функция f двух натуральных аргументов, что в лю-
бом графе G с 5 (G) > f (к, г) имеется часть, которую можно получить из некото-
рого графа G' с s (G') > к подразделением каждого ребра г -1 раз. С. Thomassen //
JGrTh, 8(1984),’№ 1, 23-28 [84, 11В543].
26.	Пусть fiQ (G) — наибольшая длина такой последовательности G| =
=Gb G2,...» Ght в которой G1+i =Gz\G9, где G9 — связный строгий подграф, все-
смежный в нем (каждая вершина G/+1 имеет смежную в G9), f = l, 2, ..., Л-1, а
A(G) = max Ло (G1) по всем подграфам G' графа G. Показать, что A(G)<?](G), и
привести примеры графов, для которых неравенство строгое. Многие из ниж-
них оценок числа 77(G) справедливы и для A(G). В.В. Берков [85, 5В555Деп,
8В573Деп].
27.	Гипотеза Хадвигера справедлива для связных графов смежности ребер.
J.Nincak [91, 12В341].
28	(В.В. Берков). Обобщить теорему 3.8.14, заменяя вершину z произволь-
ной грудой графа.	_
29	(теоретическая проблема). Аналогично классам Но (у) исследовать клас-
сы Но (г) г -неправильных графов с наименьшим количеством ребер при наи-
меньшем же числе вершин. Являются ли эти графы критическими относительно
добавления ребра? А справедлив ли для них какой-то аналог теоремы 3.8.14?
Глава 3. Цикломатика
367
§ 3.9. РАСКРАСКИ ПЛОСКИХ ТРИАНГУЛЯЦИЙ
Во всем это параграфе мы будем, если не оговорено противное,
под триангуляцией понимать плоскую триангуляцию, определяемую
как такой топологический граф на плоскости (см. начало § 3.6), у
которого край каждой грани представляет собой треугольник. Лег-
ко показать, что триангуляция всегда 2-связна и не имеет петель,
однако кратные ребра могут быть (рис. 3.9.1). Последнее обстоя-
тельство не позволяет употреблять для ребер обозначения вида ху.
как в обыкновенном графе, но мы условимся пользоваться сходной
записью ~ху в случае, когда из текста или чертежа ясно, какое имен-
но из ребер, соединяющих вершины х и у. имеется в виду.
Простой цикл длины 3 в триангуляции V, не являющийся краем
никакой ее грани, называется разбивающим треугольником. Удаляя
из V то вершины и ребра, расположенные строго внутри этого треу-
гольника, то элементы, находящиеся строго вне его, получим два
графа Vi и V2> каждый из которых содержит менее и(У) вершин и
снова является триангуляцией (рис. 3.9.2); такую операцию называ-
ем разрезанием по треугольнику, а аналогичным операциям разреза-
ния по простому циклу другой длины (2, 4 и т. д.) не отводим столь
важной роли потому, что результирующие графы уже не будут три-
ангуляциями (и не обязательно имеют меньше вершин по сравне-
нию с исходной) — см. рис. 3.9.1 и 3.9.3.
Пользуясь формулой Эйлера (§ 3.6) и очевидными соотноше-
ниями
«1=0,	/и-=2ти=3р,
i>2	i>2
где п=п(У), т = т(У), п^п^) — количество вершин степени i, а
p=p(V) — число граней триангуляции V, легко показать, что
368
Основы теории графов
т=3п-6, /и=2п-4,
и вывести равенство Кемпе
^(6-i)ni=n
i>2
(см. также упражнения 21—29 к § 3.6 и упражнение 1 ниже). Даль-
нейшее изучение триангуляций удобно начать с раскрасок ребер (не
обязательно правильных в смысле определения § 2.9).
ТЕОРЕМА 3.9.1 (Ju. Petersen // Acta Math., 15(1891), 193-220).
Ребра триангуляции всегда допускают такую раскраску двумя цвета-
ми а и fl, при которой край каждой грани содержит одно ребро цвета
а и два ребра цвета fl. При этом можно удовлетворить начальному
условию: два произвольно выбранных ребра имеют цвет fl.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существуют только три триангуляции с
числом вершин п<4 (рис. 3.9.4), и для них утверждение проверяется
непосредственно. Пусть оно уже доказано для всех триангуляций,
имеющих менее ng вершин, где л0 >5, и пусть V = (Х, U, \у) — произ-
вольная триангуляция с n(V)=no, в которой ребрам и и v заранее
приписан цвет fl.
Случай 1: V содержит разбивающий треугольник xyz. Раз-
резание по нему даст две триангуляции V । = (Xi, U\, у/) и
V2 =(%2’ ^2> У0 (Рис- 3.9.2), для которых теорема верна согласно
индуктивному предположению. Если оба Д-ребра и и v принадле-
жат 17] (случай и, veU2 аналогичен), то раскрасим сначала с со-
блюдением начального условия рёбра V[, затем в V2 припишем
цвет fl тем двум ребрам треугольника xyz, которые приобрели этот
цвет bV[, и наконец раскрасим V2; придавая ребрам U их цвета в
Vi и bV2, получим искомую раскраску триангуляции V. Пусть те-
перь ueUi\U2, a i?gL/2\(7i.
При раскраске V i с одним /3-ребром и всегда можно, пользуясь
свободой выбора второго /3-ребра, осуществить по меньшей мере
два из трех мыслимых вариантов распределения цветов а и fl между
ребрами треугольника xyz: если раскраска V ] с первым Д-ребром и
и как-то выбранным вторым Д-ребром даст цвет а, скажем, на сто-
роне ху, то, назначая именно эту сторону вторым Д-ребром (и со-
храняя и в качестве первого), получим новую раскраску V ] с заведо-
мо другим распределением цветов на xyz. То же справедливо и в
Глава 3. Цикломатика
369
отношении раскрасок V2 с /3-ребром v. Но раз так, то найдутся
раскраски триангуляций V] и V2, с Д-ребрами и и v соответственно,
индуцирующие один и тот же вариант раскраски треугольника xyz,
и мы опять получим требуемую раскраску всей триангуляции V.
Случай 2: V не содержит разбивающих треугольников. Пусть
abc ~ край такой грани, что u-ab,
v^bc, a bed ~ край соседней грани.
Вершины а и d несмежны и различ-
ны, ибо иначе, как нетрудно прове-
рить, триангуляция V содержала
бы разбивающий треугольник или
сводились к одной из показанных
на рис. 3.9.4, вопреки >5.
Удалим из V ребро Ьс, после че-
го отождествим вершины and,
рёбра са и cd, рёбра Ьа и bd
(рис. 3.9.5). В полученной триангу-
ляции^ первым /3-ребром считаем
и' =(ad)b, а второе /3-ребро и' выби-
раем следующим образом:
если в V было и~са или cd, то полагаем v' = c(ad};
если было v-bd, то v' в V' выбираем произвольно;
если {са, cd, bd}, то это же v объявляем вторым /3-ребром в V'.
По раскраске V' раскраска исходной триангуляции V находится
без труда: если в V' ребро с (ad} приобрело цвет а, то в V окраши-
ваем ребра са и cd цветом а, а ребра ab, Ьс и bd цветом [3 (сохраняя
неизменными цвета остальных ребер); если же ребро с (act) получи-
ло в V' цвет /3, то окрашиваем Ьс в цвет a, a ab, ас, bdn cd в цвет /3.
Теорема доказана.
Примечание. Полная форма теоремы Петерсена оказалась
важной при изучении раскрашиваемое™ планарных гиперграфов
(см., например, § 3.4 статьи А.А. Зыкова «Гиперграфы» // УМН,
29 (1974), № 6, 89—154 [75, 7В422]), в теории же графов она обычно
используется без учета возможности удовлетворить начальному
условию.
СЛЕДСТВИЕ (К. Wagner // Jahresbericht der Deutschen Mathema-
tiker-Vereinigung, 46 (1936), № 1—4, 21—22). Любую триангуляцию V
370
Основы теории графов
можно получить из какого-то плоского топологического графа G с
четырехугольными гранями, проводя по одной диагонали в каждой
грани.
Другим непосредственным следствием является возможность
разбить множество йсех граней на попарно непересекающиеся под-
множества, каждое из которых образует дорогу Петерсена — цикли-
ческую последовательность с условием, что края ее последователь-
ных граней имеют общее ребро (рис. 3.9.6). Если согласно теореме
раскрасить ребра триангуляции цветами а и Д то каждая дорога
будет огорожена ребрами цвета а (на рисунке жирные), через кото-
рые нельзя переступать; разумеется, разным раскраскам отвечают
разные системы дорог Петерсена. Эти дороги, как мы вскоре уви-
дим, тесно связаны с проблемой четырех красок.
Пусть дан произвольный планарный граф без петель. Располо-
жив его без пересечений на плоскости, получим топологический
граф, который либо является триангуляцией, либо может быть пре-
вращен в нее следующим образом: в каждую двуугольную грань по-
местим новую вершину и соединим ее с обеими вершинами края
(см. правый нижний фрагмент рис. 3.9.6), а каждую грань, край ко-
торой содержит более трех ребер (и может не быть простым цик-
лом), разобьем на треугольные добавлением новых ребер. Так как
правильная раскраска вершин графа остается правильной и после
удаления добавленных элементов, а проблема четырех красок
Глава 3. Цикломатика
371
ставится для всех планарных графов без петель, включая все триан-
гуляции, то можно, не нарушая общности, рассматривать в даль-
нейшем эту проблему только для триангуляций.
ТЕОРЕМА 3.9.2. Для произвольной триангуляции V следующие
семь высказываний равносильны:
(0) хроматическое число y(V)<4;
(1)	грани V можно распределить по дорогам Петерсена так,
чтобы каждая дорога содержала четное число граней}
(2)	ребра V можно раскрасить тремя цветами так, чтобы на
краю каждой грани присутствовали все три цвета;
(3)	можно отнести каждой грани V число 1 или 2 так, чтобы
для каждой вершины сумма чисел в примыкающих к ней гранях дели-
лась на 3;
(4)	в некоторые грани V можно добавить новую вершину, соеди-
няя ее с тремя старыми, таким образом, чтобы у полученной триан-
гуляции степени всех вершин были кратны 3;
(5)	множество ребер V можно представить в виде объединения
двух таких непересекающихся подмножеств, что порождаемые ими
суграфы не содержат циклов нечетной длины;
(6)	то же, что и (5), но с возможным пересечением подмно-
жеств.
По отдельности теорема (0) <=>(1) принадлежит Петерсену (см. ссыл-
ку в теореме 3.9.1), теорема (0) <=>(2) — Тэйту (упражнение 2), теоре-
ма (0) <з> (3) о (4) — Хивуду (P.J. Heawood // Quart. J. Math.,
24(1890), 332—338), а теорема (0)<=>(6) — A.A. Зыкову (Матем. сб.,
24(1949), №2, 163—188 [MRllp733]). Мы сейчас докажем, что
(0)=>(1)=>(2)=>(5)=>(6)=>(0);
доказательство же теоремы Хивуда (которая в дальнейшем нам не
понадобится) нетрудно провести по схеме (2) => (3) => (4) => (2) или
(2) => (4) => (3) => (2) — предлагаем это читателю.
(0)=>(1). Пусть вершины V правильно раскрашены четырьмя
(или менее) цветами 1, 2, 3, 4. Каждое ребро, соединяющее вершины
цвета 1 и 2 или вершины цвета 3 и 4, окрасим в цвет а, а остальные
ребра в цвет /3. Поскольку вершины каждого треугольника имеют
три разных цвета, то в любом случае (а этих случаев с точностью до
перестановок вершин треугольника всего четыре) нетрудно прове-
рить, что одно ребро получит цвет а, а два — цвет /3. Образуем
372
Основы теории графов
систему дорог Петерсена, огороженных ребрами цвета а, и пока-
жем, что каждая дорога состоит из четного количества граней, ина-
че говоря, при полном ее обходе (с запрещением пересекать ребра
цвета а) число всех пересеченных /3-ребер будет четным.
Допустим для определенности, что первое пересекаемое ребро
соединяет вершины цвета 1 и 3 (все возможные случаи здесь анало-
гичны); тогда следующее пересекаемое ребро соединяет либо преж-
нюю 1-вершину с 4-вершиной, либо прежнюю 3-вершину с 2-верши-
ной, т. е. пара цветов, в которые окрашены концы /3-ребра, при пе-
реходе к следующему /3-ребру преобразуется с помощью подстанов-
ки цветов
1 2 3	= (12) (34).
2 1 4 з;
Но придя после полного обхода дороги к первоначальному ребру,
мы должны получить на его концах прежние цвета 1 и 3, а это воз-
можно лишь при условии, что указанная подстановка была приме-
нена четное число раз.
(1)=>(2). Пусть грани V удалось распределить по дорогам
Петерсена так, что каждая дорога содержит четное число граней.
Придавая боковым ребрам всех дорог цвет а, а ребрам, пересекае-
мым в процессе обхода каждой дороги, — попеременно цвета /3 и у,
получим искомую раскраску триангуляции V.
(2)	=> (5). Пусть ребра V раскрашены цветами а, (3 и у с соблюде-
нием условия (2). Удаляя из V все ребра цвета а, получим плоский
суграф G, края граней которого являются простыми циклами дли-
ны 4 (см. следствие теоремы 3.9.1, если положить у~Р). Но так как
любой квазицикл, в частности любой простой цикл графа G можно
представить в виде суммы (по модулю два) каких-то из этих краев, то
и все циклы у G обладают четными длинами (см. условие Мак-Лэйна
в теореме 3.6.4 о планарности, а также упражнение 1 к § 3.2).
В свою очередь суграф триангуляции V, порожденный ребрами
цвета а, не может содержать циклов нечетной длины, ибо аналогич-
но предыдущему их нет даже в подграфе с ребрами цвета а и /3.
(5)=>(6) тривиально.
(6)=>(0). Пусть суграфы G и G\ объединение множеств ребер
которых дает V, не содержат нечетных циклов. По теореме 2.1.2
Глава 3. Цикломатика
373
(Кёнига) вершины каждого из этих подграфов можно правильно
раскрасить двумя цветами 1 и 2. Относя каждой вершине х исход-
ной триангуляции V в качестве цвета упорядоченную пару ij, где i —
цвет х в G, a j — цвет х в G' (j, j = \, 2), получим правильную рас-
краску V с помощью четырех цветов.
Кроме перечисленных в теореме высказываний можно было бы
назвать ряд других, тоже равносильных гипотезе четырех красок и
возникших при попытках ее доказательства, как и в истории с пя-
тым постулатом Евклида; некоторые эквиваленты гипотезы четы-
рех красок см. в упражнениях 4—6 и в [УС], a Th.L. Saaty (Amer.
Math. Monthly, 79 (1972), № 1, 2-43 [72, 9B364]) приводит 34 эквива-
лента (разбитых на 13 групп). Весьма обширен также круг работ,
где гипотеза доказывается для графов того или иного частного
вида. Но нам сейчас интересно другое: описание процедуры, прак-
тически позволяющей быстро находить одну из правильных рас-
красок вершин четырьмя цветами даже у весьма объемистых три-
ангуляций1; будем решать равносильную задачу о такой раскраске
ребер заданной триангуляции V тремя цветами а, Р и у, чтобы на
краю каждой грани присутствовали все три цвета (см. пункт (2)
теоремы 3.9.2 и упражнение 2).
Рассмотрим аддитивно записанную группу (Клейна) из четырех
элементов 0 (нейтральный элемент), а, Риус законом сложения:
а+а = р + р=у +у =0, а + р = р+а=у, Р+у =у 4-Р~а, у +а=а+у=р.
Легко показать, что из х + у=0 следует х = у, а из x + y+z = 0 при
х, у, z^O вытекает, что элементы х, у и z все различны.
Предположим, что все ребра V как-то раскрашены цветами
а, Р, у. Индексом грани назовем сумму цветов всех трех ребер ее
края; так как каждое ребро принадлежит краям ровно двух граней,
то сумма индексов всех граней равна 0. Раскраска правильна, если
индекс каждой грани равен 0, и чтобы от неправильной раскраски
перейти к правильной, надо так ее изменить, чтобы исчезли все не-
нулевые индексы. Процесс постепенного изменения раскраски осу-
ществляется с помощью операции движения индексов (введенной
1 М.Н. Williams (Comput. 1,27(1984), №2, 165-170 [84, 12В708]) сравнивает 10 алго-
ритмов раскраски вершин (на примерах 6000 планарных графов).
374
Основы теории графов
Ю.И. Неймарком и автором в 1943—1944 гг.): любой ненулевой ин-
декс можно переместить в соседнюю грань через ребро, цвет которо-
го не совпадает с этим индексом; в результате индекс первой грани
станет равным 0, индекс второй грани — сумме прежнего ее индекса
с перемещаемым, а новый цвет пересеченного ребра тоже будет сум-
мой старого цвета с перемещенным индексом. На рис. 3.9.7 приведе-
Рис. 3.9.7
ны три примера движения индекса путем последовательных
перемещений (нулевые индексы не пишутся); во втором и третьем
примерах происходит столкновение, уменьшающее общее количест-
во ненулевых индексов. Во избежание тривиальных зацикливаний
процесса условимся раз навсегда, что после перемещения индекса в
соседнюю грань запрещается следующим шагом делать обратное
перемещение. В результате, если, например, для индекса а первона-
чально выбрать одно из двух возможных направлений движения, то
дальнейшее движение будет совершаться однозначно по такой до-
роге, которая огорожена ребрами цвета а и на которой ребра, пере-
секаемые при движении, попеременно имеют цвета р и у; двигаясь
по такой дороге до столкновения с другим индексом, сам индекс а
остается неизменным, а на пересекаемых ребрах меняет цвет /3 на у и
у на р. Если не остановить движение искусственно, то может слу-
читься одно из двух:
а)	движущийся индекс столкнется с каким-нибудь неподвижным
ненулевым индексом;
б)	дорога движущегося индекса окажется замкнутой (рис. 3.9.8),
т. е. произойдет нетривиальное зацикливание процесса.
Глава 3. Цикломатика
375
Всё сказанное о движении индекса а можно повторить по отно-
шению к движению индекса (3 или у; вообще мы условимся в
дальнейшем вести рассмотрение с точностью до произвольной под-
становки символов а, /3, у, производимой одновременно на всей
триангуляции V.
Исследуем теперь такую раскраску V, при которой только две
грани обладают ненулевыми индексами; тогда оба эти индекса оди-
наковы (почему?), и для их уничтожения предлагается следующая
процедура.
Случай 1: раскраска такова, как на рис. 3.9.9 (выделенные
ребра цвета а могут, в частности, совпадать). Тогда двигаем один из
индексов а, скажем левый, до тех пор, пока он либо не столкнется с
правым индексом а (что приведет к правильной раскраске V), либо
не окажется в исходной грани (нетривиальное зацикливание,
рис. 3.9.10).
Рис. 3.9.9
Рис. 3.9.10
376
Основы теории графов
Случай 2: раскраска такова, как на рис. 3.9.10. Тогда левый
индекс а представляем в виде р+у, индекс р оставляем на месте, а
индекс у двигаем до тех пор, пока он не столкнется с правым индек-
сом а (легко видеть, что ничего другого произойти не может); в
результате снова получатся два ненулевых индекса, но теперь оба Д
а не а (рис. 3.9.11). После этого перемещаем индекс р в соседнюю
грань (рис. 3.9.12).
Рис. 3.9.12
Ясно, что при таких действиях в случае 1 всегда либо ненулевые
индексы уничтожатся, либо наступит случай 2, а в случае 2 обяза-
тельно наступит случай 1 (для исходных или преобразованных ин-
дексов). Перемещаемый («левый») индекс первоначально мог быть
выбран из двух а произвольно, но в дальнейшем процесс сохраняет
индивидуальность этого индекса (даже когда он преобразуется в р
или у), так что, пока оба индекса не уничтожатся, всегда можно от-
личить «левый» от «правого». Далее, выбрав с самого начала для
левого индекса а то из двух ребер, через которое начинается обход
дороги в случае 1 или происходит перемещение индекса р (преоб-
разованного а) в соседнюю грань в случае 2, мы условимся,
опять-таки во избежание тривиальных зацикливаний процесса, все
дальнейшие перемещения левого индекса совершать только в ука-
занном направлении.
Заметим, что для исходной раскраски ребер триангуляции V
принципиально возможен еще случай 3, когда хотя бы один из нену-
левых индексов находится в «клетке» с ребрами своего цвета, т. е.
на дороге длины 1 (правый фрагмент рис. 3.9.8). «Клетку» можно
разрушить путем расщепления сидящего в ней индекса на сумму
двух других, но мы не будем рассматривать этот случай, так как для
Глава 3. Цикломатика
311
тех исходных раскрасок, с которыми нам предстоит оперировать,
он никогда не имеет места, а возникнуть из случаев 1 и 2 в результа-
те описанной выше процедуры тоже не может.
Итак, предположим, что все ребра триангуляции V раскраше-
ны цветами а, /3, у так, что ровно две грани обладают ненулевым
индексом а и ни одна из них не является «а-клеткой». Будем вы-
полнять описанную процедуру до тех пор, пока не произойдет
одно из двух:
а)	либо оба ненулевых индекса уничтожатся — тогда процесс
окончен;
б)	либо движущийся индекс снова окажется в первоначальной
грани, притом не в результате одного лишь наступления случая 1
(т. е. одного лишь обхода замкнутой дороги), — тогда мы скажем,
что произошла первая остановка процесса.
После первой остановки возможны различные продолжения.
Во-первых, если результирующая раскраска отличается от исходной
(т. е. не может быть получена из нее некоторой подстановкой цветов
а, /3, у одновременно на всей V), то можно вести процесс дальше, как
будто первой остановки и не было вовсе, до тех пор, пока не прои-
зойдет вторая остановка, аналогичная первой. Во-вторых, можно
теперь начать двигать правый индекс вместо левого. Имеются и дру-
гие продолжения. Однако на практике до сих пор во всех начерчен-
ных наугад триангуляциях при различных раскрасках с двумя ненуле-
выми индексами уничтожение последних всегда происходило еще до
первой остановки процесса. Это явление не выглядит парадоксаль-
ным, поскольку в каждом из случаев 1 и 2 перекраска носит глобаль-
ный характер; триангуляция, для которой дело может дойти до
первой остановки, заслуживала бы самого тщательного изучения.
Гипотеза о том, что описанным процессом всегда можно унич-
тожить пару ненулевых индексов, влечет положительное решение
проблемы четырех красок. В самом деле,
предполагая, что у (V п) < 4 для всех три-
ангуляций Vn с п вершинами, мы можем
затем заданную (и + 1)-вершинную три-
ангуляцию V„+1 превратить в и-вершин-
ную Vп как показано на рис. 3.9.13 и,
чтобы совершить шаг индукции, т. е. из
раскраски V п получить раскраску Ул+1,
Рис. 3.9.13
378
Основы теории графов
надо лишь во втором из двух возможных случаев (рис. 3.9.14) уметь
избавиться от возникшей пары ненулевых индексов.
Рис. 3.9.14
Наряду с попытками строгого доказательства теоремы о четы-
рех красках предпринимались также шаги для статистического под-
тверждения ее правдоподобия. Машинные эксперименты и теорети-
ческие исследования в этом направлении (см., например, Н. Yama-
be, D. Pope // Math. Comput., 15 (1961), № 75, 250-253 [62, 9А177];
Н.З. Шор, Г.А. Донец [68, 12В352; 39#5419]; упражнение 5) привели
к предположению, что триангуляции, не допускающие правильных
раскрасок вершин четырьмя цветами, если и существуют, то встре-
чаются очень редко, и шансы натолкнуться на такой пример случай-
ным образом ничтожно малы. Дальнейшим подтверждением этого
предположения послужил машинный эксперимент, предпринятый
Д.Я. Кесельманом и В.Н. Подкорытовым на основе описанной вы-
ше процедуры движения и уничтожения индексов (см. А.А. Sykow,
D.Ja. Kesselman, Ju.I. Neimark, W.N. Podkorytow // Math. Nachr.,
40(1969), № 1—3, 51—59 [69, 12B332]). Программа для ЭВМ была
составлена по следующему плану1.
1.	В машину вводится некоторая и-вершинная триангуляция V,
ребра которой правильно раскрашены цветами а, Д у (первый раз
было взято п=50).
2.	С помощью датчика случайных величин выбирается ребро и
в V, после чего осуществляется поворот этого ребра (рис. 3.9.15)
с сохранением цветов всех ребер.
1 В книге Г.А. Донца и Н.З. Шора «Алгебраический подход к проблеме раскраски
плоских графов» (Киев: Наукова думка, 1982 [82, 7В530К]) ошибочно сказано, что
«этот эвристический алгоритм пока еще не реализован в виде программы для ЭВМ».
Глава 3. Цикломатика
379
3.	Если после поворота ребра рас-
краска полученной триангуляции пра-
вильна, то переходим опять к п. 2; в
противном случае применяем процеду-
рно. 3.9.15
ру движения индексов до их уничтоже-
ния или до первой остановки; при этом
3.1) если ненулевые индексы унич-
тожатся, то переходим к п. 2;
3.2) если произойдет первая оста-
новка, то процесс прекращаем и в ка-
честве результата получаем: (а) по-
следнюю триангуляцию (вместе с не-
правильной ее раскраской), (б) пред-
последнюю триангуляцию (или, что равносильно, идентификатор
последнего повернутого ребра), (в) количество всех просмотрен-
ных триангуляций, (г) наибольшее время раскраски одной триан-
гуляции.
Если случай 3.2) так и не наступит в течение отведенного
машинного времени, то процесс прекращаем, снимая в качестве
результата данные (в) и (г).
За 20 мин. было просмотрено около 90 триангуляций (правда,
среди них могли быть изоморфные), все они раскрашивались до
первой остановки, и ни одна из них не заслужила внимания в том
смысле, что отняла бы существенно больше времени по сравнению с
остальными.
В пользу «статистической представительности» этого экспери-
мента говорят следующие факты.
1) Как показал К. Wagner (Math. Ann., 112 (1936), № 2, 316—321),
из фиксированной триангуляции можно получить любую другую с
тем же числом вершин, пользуясь только поворотами ребер (упраж-
нение 8).
2) Триангуляция, полученная одним поворотом ребра, хотя ви-
зуально и «близка» к исходной, но в отношении раскрашиваемое™
может быть весьма «далека» от нее (ср. с упражнением 5 к § 3.8).
Что же касается ничтожности доли просмотренных триангуля-
ций, то это неизбежно даже при самой совершенной ЭВМ: как пока-
зал W.T. Tutte (Canad. J. Math., 14 (1962), № 1, 21—38 [62, 10A352]),
уже при и = 21 количество неизоморфных триангуляций близко
380
Основы теории графов
к 6,5-1011; с другой стороны, заниматься столь малыми п не имеет
смысла, поскольку количество вершин триангуляции V, обеспечива-
ющее оценку у (V) < 4, постепенно довели до 95.
Переходим к краткому описанию идеи «машинного» доказа-
тельства теоремы о четырех красках, завершенного Аппелем и Га-
кеном (К. Appel, W. Haken // Ill. J. Math., 21 (1977), № 4, 429-490
[79, 1B640]) и вместе с Кохом реализованного на ЭВМ: К. Appel,
W. Haken, J. Koch // Там же, 491—567 [79, 1В641]. Под правильной
раскраской триангуляции будем понимать правильную раскраску
всех ее вершин не более чем четырьмя цветами.
Конфигурацией называется часть триангуляции, состоящая из
простого цикла и всех тех вершин и ребер, которые расположены в
его внутренней области. Конфигурация называется приводящей,
если всякую содержащую ее триангуляцию можно так переделать с
уменьшением числа вершин, чтобы из правильной раскрашиваемо-
сти полученной триангуляции следовала правильная раскрашивае-
мость исходной. (Распространенный термин «приводимая» неточен,
поскольку в действительности приводима не сама конфигурация, а
содержащая ее триангуляция, тем более что процесс приведения
может затрагивать ребра и вершины, не принадлежащие этой кон-
фигурации.)
G.D. Birkhoff (Amer. J. Math., 35 (1913), № 1, 115-128) выделяет
следующий тип приведения триангуляции V, содержащей конфигу-
рацию С с ограничивающим циклом С: удалим из V все вершины и
ребра, расположенные во внутренней области С, после чего имеем
право отождествлять с внутренней стороны любые вершины цикла,
не соединенные ребром на нем или вне его, а в каждую из связных
частей плоскости, на которые разобьется при этом внутренняя об-
ласть, добавлять ребра и даже вершины; это право используем так,
чтобы получилась триангуляция (снова плоская!), содержащая ме-
нее п (V) вершин. В частности, если у V есть разбивающий треуголь-
ник С3, то из двух триангуляций Vj и V2, полученных разрезанием,
внутренняя является приводящей1, причем процесс приведения V
сводится только к удалению элементов; можно показать также
1 Но поскольку любую из них можно сделать внутренней (как?), то обе они — приво-
дящие.
Глава 3. Цикломатика
381
Рис. 3.9.16
(упражнение 11), что конфигурация С4, ограниченная простым цик-
лом длины 4, всегда дает возможность приведения биркгофовского
типа. В более общем случае конфигурация С заведомо является при-
водящей, если она содержится в V таким образом, что либо сама
позволяет осуществить приведение Биркгофа, либо обеспечивает
существование в V другой такой конфигурации (например, разби-
вающего треугольника).
На рис. 3.9.16 показаны три про-
стейшие приводящие конфигурации
вместе с соответствующими приведе-
ниями любой содержащей их триангу-
ляции V. Во всех трех случаях раскрас-
ка исходной V находится по раскраске
приведенной V' непосредственно.
К числу приводящих конфигура-
ций Кемпе ошибочно отнес и —
вершину степени 5 с окружающим
циклом С5; на самом деле ни одна
из переделок типа указанных на
рис. 3.9.17 не гарантирует, что из пра-
вильной раскраски V' всегда получит-
ся правильная раскраска V. Однако приводящие конфигурации С с
более длинными циклами С существуют: в качестве примера рас-
смотрим алмаз Биркгофа, изображенный на рис. 3.9.18 вместе с од-
ним из возможных приведений (при наличии ребра, соединяющего
Рис. 3.9.17
Рис. 3.9.18
382
Основы теории графов
вершины е и с с наружной стороны цикла С6, в V был бы разбиваю-
щий треугольник eic).
Если полученная триангуляция V' допускает правильную рас-
краску, то для вершин a, b, (ес), d, f возможны шесть распределений
цветов (с точностью до перестановки их номеров 1, 2, 3, 4), и в
исходной V раскраски вершин в порядке a, b, с, d, е,/выглядят
следующим образом:
132123, 132124, 132323, 132324, 132423, 132424.
Во всех случаях, кроме третьего, раскраска шестиугольника С6 не-
посредственно продолжается на внутренние вершины g, Л, /, j; пятый
случай проиллюстрирован на рис. 3.9.19, а в третьем (рис. 3.9.20) не-
посредственное продолжение невозможно и надо воспользоваться
методом Кемпе перекраски двуцветных цепей.
Если никакая цепь с вершинами цвета только 3 и 4 не соединяет
d ни с Ь, ни с /, то после перекраски: вершины d в цвет 4; вершин
цвета 4, смежных с d, в цвет 3; всех вершин, смежных с последними
и имеющих цвет 3, в цвет 4 и т. д., пока возможно, — мы придем к
случаю 132423 (рис. 3.9.19). Если же d соединена такой цепью, ска-
жем, с f (как на рис. 3.9.20), то произведем аналогичную перемену
цветов 1 и 2, начиная с вершины е; эта перекраска не дойдет до вер-
шин а и с (почему?), и после нее можно будет продолжить раскраску
С6 на внутренние вершины (рис. 3.9.21).
Для доказательства теоремы о четырех красках индукцией
по числу вершин достаточно установить, что всякая триангуляция V
с m(V)>«0, где «о — фиксированное число вершин, при котором
Глава 3. Цикломатика
383
(а значит, и при всех меньших и) теорема уже доказана1, содержит
по крайней мере одну приводящую конфигурацию. Вообще сущест-
вует бесконечно много типов приводящих конфигураций (упражне-
ния 1—13), но Аппелю и Гакену удалось выделить их конечное под-
множество Kq, неизбежное в том смысле, что всякая V сп(V)> со-
держит какую-то конфигурацию из К$; число элементов |А?о|, пер-
воначально равное 1979, было затем снижено до 1877 и постепенно
продолжает уменьшаться за счет более компактного выбора множе-
ства Kq. Проверку того, что каждая конфигурация из К$ является
приводящей, авторы поручили ЭВМ, выявление же самого этого
множества и доказательство его неизбежности производили вруч-
ную, опираясь на метод разрядки Хееша (Н. Heesch. Untersuchungen
zum Vierfarbenproblem. Mannhein; Wien; Zurich, 1969).
Пусть V — произвольная триангуляция c «(V)>«o; по понятной
причине можно считать, что в V нет разбивающих треугольников, а
также нет вершин степени меньшей 5, в силу чего равенство Кемпе
для нее имеет вид
”5 + Z =12;
i>7
вершину х степени ^(x)=5(V, x) = i будем кратко обозначать через
х1, вершины х5 и х6 называть низшими, а вершины х* с />7 —
высшими.
Каждой вершине х1 триангуляции V припишем начальный заряд
q$ (xl) = 6-i; для х5 он равен 4-1, для х6 — нулю, а для высших вер-
шин отрицателен. Суммарный заряд всей триангуляции равен 4-12;
попытаемся, однако, вопреки этому обстоятельству так перенести
положительные заряды с вершин х5 на высшие вершины, чтобы
«полностью разрядить» триангуляцию V, т. е. чтобы для новых зна-
чений заряда было <?(х)<0 в каждой вершине. Опираясь на резуль-
таты Хееша и других предшественников, Аппель и Гакен сумели вы-
делить конечное число типов разряда, с помощью которых всегда
можно было бы добиться неположительности заряда на всех верши-
нах, если бы этому не мешало присутствие в V какой-либо из конфи-
гураций множества Хо. Так как на самом деле «полная разрядка»
1 В свете сказанного выше можно взять, например, п$ = 95.
384
Основы теории графов
триангуляции невозможна, то — неизбежное множество. Конеч-
ность числа типов разряда была достигнута за счет того, что вы-
сшие вершины достаточно большой степени не различались между
собой, а переносы зарядов производились только вдоль цепей, дли-
ны которых не превышают 3.
После появления упомянутых результатов Аппеля и Гакена ино-
гда высказывались сомнения по поводу того, что в процессе столь
трудоемкой работы не оказался упущенным ни один случай
(D.R. Woodall // Math. Spectrum, 11 (1978-1979), № 3, 69-75
[80, 1В769]). Однако дальнейшее совершенствование машинных
программ, а также переложение на плечи ЭВМ значительно боль-
шей доли труда, включая проверку полноты списков возможных
случаев, без сомнения приведет к такому положению, когда «ма-
шинное» доказательство можно будет считать даже более надеж-
ным, чем сложное «классическое» рассуждение, в котором и спустя
десятилетия не исключена возможность обнаружить ошибку. По
крайней мере наличие для теоремы о четырех красках доказываю-
щей программы, проверяемой в целом и по частям, гарантирует ис-
тинность утверждения не в меньшей степени, чем, скажем, обеспечи-
вало справедливость теоремы Уитни 3.1.8 ее первоначальное дока-
зательство. К. Аппель и В. Гакен ([86, 9В666], Contemp. Math.,
98 (1989), IX—XV, 1—74 [90, 8В414К]) подтверждают правомерность
своего результата; N. Robertson, D. Sanders, P.D. Seymour, R. Tho-
mas (JCTh, B70 (1997), № 1, 2-44 [98c#05065]) значительно упроща-
ют техническую сторону доказательства, a D. Palumbini (Mat. obz.,
33 (1989), 45—52 [92, 4В379]) подходит к вопросу о корректности ма-
шинных доказательств с более общих позиций.
В конце § 1.5 мы столкнулись с загадочным явлением, связанным
с конструкцией Визинга. Сейчас перед нами — другое явление по-
добного рода: в случае «самой простой» поверхности — сферы (или
плоскости) задача о раскраске оказалась самой сложной, а именно,
для триангуляций любой поверхности 5 рода v (S) > 0 аналог теоре-
мы о четырех красках удалось обосновать много раньше и без обра-
щения к ЭВМ. Обозначим через (р (S') число полноты поверхности —
наибольшее п, при котором возможно топологическое представле-
ние клики Fn на 5; в общем виде теорема о раскраске выглядит так:
для любого графа G без петель и любой поверхности S из
v(G)<v(S) следует у (G)<(p(S).
Глава 3. Цикломатика
385
Само число полноты, очевидно, должно однозначно определяться
порядком связности поверхности, однако точная формула была
обоснована для всех случаев сравнительно недавно. Еще Хивуд по-
казал, что
(упражнение 13а), и поставил вопрос: всегда ли здесь на самом деле
имеет место равенство? Для ряда значений v (S) L. Heffter (Math.
Ann., 38(1891), 477—508) получил утвердительный ответ, а справед-
ливость равенства во всех случаях установлена совместными усилия-
ми Г. Рингеля, Дж.У.Т. Янгса и Ж. Мейе: см. книгу Рингеля. Методы,
которыми они пользовались, существенно усовершенствованы моло-
дой Новосибирской школой графистов, возглавляемой Л.С. Мельни-
ковым, О.В. Бородиным и А.В. Косточкой: многие задачи, прежде
решавшиеся «в розницу», теперь преодолеваются «оптом» — сразу
для широкого класса триангуляций. Не имея возможности перечис-
лить здесь все работы этой группы (у одного только Олега Веньями-
новича их более ста), укажем на обзорную статью: О.В. Бородин.
Раскраски и топологические представления графов //Дискретный
анализ и исследование операций, 3 (1996), № 4, 3—27 [97, 6В257] с по-
дробной библиографией — и позволим себе немного пофантази-
ровать.
В конце § 1.4 мы намекнули на возможность головного мозга
хранить информацию в виде каких-то комбинаторных структур. Во-
образим, что кора мозга как-то «триангулирована» и треугольника-
ми служат ее клетки, расположенные на поверхности. Каждая
правильная раскраска такой триангуляции однозначно задается
распределением индексов 1 и 2 по треугольникам (см. третий пункт
теоремы 3.9.2), т. е. тем, в каком из двух состояний находится каж-
дая клетка коры. Не всем 2N состояниям коры, где N — количество
ее клеток, отвечают правильные 4-раскраски триангуляции: надо
еще, чтобы сумма индексов в гранях, примыкающих к общей вер-
шине, делилась на 3, — но и при этом условии число различных пра-
вильных раскрасок так велико, что с их помощью можно закоди-
ровать всю информацию, хранящуюся в голове самого умного чело-
века. А задать правильную раскраску триангуляции распределением
по ее треугольникам всего двух допустимых состояний можно
386
Основы теории графов
только на сфере (см., впрочем, упражнения 19 и 20), и когда ее глад-
кой поверхности оказывается уже недостаточно, возникают изви-
лины, но топологический характер v = 0 не меняется, т. е. не появля-
ется никаких «ручек» или «листов Мёбиуса».
К чему бы ни привела разработка этой идеи, нельзя отвергать ее
с порога. Но лично я уже перешагнул 80-летний рубеж ...
Ежедневно я пью танакан,
по три порции (а не две) —
и рождается творческий план
в склеротической голове.
Но всему наступает предел,
долгой жизни уже не ждешь...
То, что сделать я сам не успел,
пусть доделает молодежь.
Упражнения и дополнения
1.	Выяснить взаимосвязь между максимально планарными графами (§ 3.6)
и плоскими триангуляциями.
2.	Показать, что теорема 3.9.1 останется в силе, если начальное условие за-
менить таким: произвольно выбранное ребро имеет цвет а.
3.	Используя группу Клейна, дать для теоремы (0)<=>(2) строгое доказа-
тельство, идею которого P.J. Tait (Proc. Royal Soc. Edinburgh, 10(1880), 729)
выразил следующим образом:
1-2
X' =а, || Р, Ху.
3—4
На основе этого дать способ фактического построения правильной раскраски
вершин плоской триангуляции по заданной раскраске ее ребер цветами а, Д, у
без ненулевых индексов в гранях к
4.	Доказать, что гипотеза четырех красок (Г) равносильна следующей (Д):
если в произвольной триангуляции V с у (V) < 4 стянуть любое ребро и, не имею-
щее параллельных, то у полученной триангуляции V(u) будет опять y(V(u))<4.
Ю.С. Долик // Тезисы докладов Семинара по дискретной математике (Одесса,
1970).
Указание. Импликация (Г) => (Д) тривиальна, а обратную можно дока-
зать по следующей схеме:
1 Другой изящный вариант строгого доказательства теоремы Тэйта принадлежит
студенту В.В. Волынскому, погибшему в 1943 г. в 20 лет на фронте Великой Отечест-
венной войны: см. Е.Б. Дынкин и В.А. Успенский. Математические беседы. М.-Л.:
ГТТИ, 1952.
Глава 3. Цикломатика
387
а)	Пусть (Д) верна, а (Г) уже доказана для всех триангуляций с числом вер-
шин менее л, и пусть л(7) = л; можно считать, что в V нет вершин степени <5
(почему?).
б)	Рассмотрим в V вершину х5, и пусть a, b, с, d, е — смежные с ней верши-
ны, а V' получена из V поворотом ребра х^а, тогда y(V')<4.
в)	Если V" получена из V'добавлением новой вершины у3 (и трех ребер) в
грань abe, то у (Vм) <4.
г)	Если существует правильная раскраска V", при которой вершины х5 и у3
получают одинаковый цвет, то у (V)<4; в противном случае для триангуляции
V'", образованной из V" поворотом ребра be, имеем у (V'")<4, откуда на осно-
вании (Д) опять y(V)<4.
Как можно ослабить формулировку гипотезы (Д), чтобы она осталась рав-
носильной (Г)?
5.	Доказать, что гипотеза четырех красок равносильна следующей: граням
любой триангуляции V можно отнести целые числа q, я2, •••» ар так» чтобы
п
произведение -ац П (w? ~1), гДе « = «(V), а и( — сумма чисел aj в гранях,
/=1
инцидентных z-вершине, не делилось на 3. В. Gaston // C.r. Acad, sci., 266 (1968),
№17, A862-A863 [69, 2В213].
6.	А вот чисто алгебраический эквивалент гипотезы четырех красок
(В.И. Очеретько — Одесский семинар, сентябрь 1975): пусть А =||~ мат“
рица из нулей и единиц, такая что 1) каждый столбец содержит ровно три еди-
ницы, а каждая строка — не менее трех; 2) скалярное произведение любых двух
строк равно 0 или 2; 3) для любых двух столбцов а и а' найдутся такие столбцы
% = а’ а,1 ’	% = а’ что % *а,’1 =а'1	=’“ = аЧ-1 =2; ТОГда сУществУет
такой 2и-мерный вектор р с компонентами 1 и 2, что все п + 2 компонент век-
тора Ар кратны 3.
7.	Не предполагая гипотезу четырех красок справедливой, доказать ее
ослабленную версию (Н. Tverberg // Math. Scand., 39(1976), № 2, 267—270
[78, 4В379]): вершины планарного графа можно раскрасить четырьмя цветами
так, чтобы ни у какой вершины не было более одной смежной того же цвета.
8.	Доказать сформулированную в тексте теорему Вагнера о преобразова-
нии триангуляций друг в друга поворотами ребер. Аналогичный результат для
тора и бутылки Клейна: S. Negami, Sh. Watanabe // Tsukuba J. Math., 14 (1990),
№ 1, 155-166 [91, 6В601].
9.	Пусть G — связный граф с л = л(6)>4, m=m^j), f и даны
четыре высказывания:
(I)	G — триангуляция;
(II)	(каждое ребро G принадлежит ровно двум треугольникам) & (множест-
во всех треугольников G невозможно разбить на два класса так, чтобы каждое
ребро G фигурировало только в одном классе) & (п- ™ + /=2);
(О G — триангуляция, и для любых ее вершин х, v, z (не обязательно раз-
личных) граф 6\{х, у, z} связен;
388
Основы теории графов
(ПЭ (окружение каждой вершины в G — простой цикл) & (п-т + / =2).
Тогда (!)<=> (II) и (1Э <=> (ПТ J.M. Aarts, J. de Groot // Nieuw. arch, wiskunde,
11 (1963), № 1, 10—18 [64, 1А325]. Другие характеризации триангуляции плоско-
сти (или сферы) предлагают М.Е. Watkins (Duke Math. J., 35(1968), № 2,
231—246 [69, 4B255]); M. Malec, Z. Skupien (Rochn. Polsk. towarz. mat. ser. I,
12 (1969), № 2, 205—209 [70, 2B364]); N. Martinov (Годишн. Софийск. унив., фак.
мат. и мех. мат., 78(1984(88)), № 1, 82-86 [89, 7В566]).
10.	Неполный граф является 4-связной триангуляцией в том и только том
случае, если множества вершин его подграфов типа С4, и только они, служат
минимальными (по включению) разбивающими. Н.Й. Мартинов // Юбил. Сб.
«100 г. от рождението на Д. Табаков», 1983.
11.	Доказать, что любая конфигурация с ограничивающим циклом С4
является приводящей.
12.	Показать, что конфигурация рис. 3.9.22 приводящая.
Указание. При наличии внешнего ребра, соединя-
ющего b с g или с с /, это либо тривиально, либо следует
d из результата упражнения 11. Предположив теперь, что
I таких ребер нет, выпотрошить С7, затем отождествить
вершину b с g и вершину с с /, ребро аБ cag нБс с Из
е семи существенно разных случаев распределения цветов
на С7 в пяти раскраска непосредственно продолжается на
внутренние вершины, а в двух требуется перекраска дву-
Рис. 3.9.22 цветных подграфов, немного более сложная, чем в случае
алмаза Биркгофа.
13.	Доказать, что конфигурация, содержащая некоторую приводящую,
сама является приводящей; отсюда следует, что множество различных приво-
дящих конфигураций в классе всех триангуляций бесконечно.
14.	а) Доказать неравенство Хивуда и проверить достижимость равенства
в простейших случаях: сфера, проективная плоскость, бутылка Клейна, тор.
б) Показать, что для ориентируемой поверхности S неравенство
/(G) <1(7+Ф+48? (S))/2j
при v(G)<2g(S) вытекает из оценки i(G)<L(5+71+48g(S) )/2_|, и доказать по-
следнюю. R.J. Cook [75, ЗВ494; 50#1950]. Дальнейшие результаты в этом направ-
лении: М.О. Albertson. J.P. Hutchinson [82, 10В510; 81с#05037]. Аналог проблемы
Хивуда: H.V. Kronk/Z J. London Math. Soc., 1 (1969),№4,750-752[71,12В607].
15	(теоретическая и методическая проблема). Упростить доказательство
Аппеля и Гакена, основываясь вместо процесса разрядки на процедуре движе-
ния и уничтожения индексов в гранях.
15'. Воспроизвести (и проверить) упрощенное доказательство теоремы о
четырех красках, предложенное Д. Коэном (УМН, 34(1979), № 5, 211
[80, 5В472]).
Глава 3. Цикломатика
389
16.	Для любой грани Gr триангуляции V с n(V)>4 существует такая пра-
вильная 5-раскраска всей V, при которой хотя бы одна из вершин края этой
грани смежна с вершинами не более чем трех разных цветов. G. Ringel
[71, 8В461; 43# 1887].
17.	Если планарный граф G не содержит треугольников, то у(6)<3.
Н. GrOtzsch И WZ, 8(1958/59), 109-120 [22#7113с].
17'. Та же оценка остается в силе, если G содержит не более трех треуголь-
ников. В. GrOnbaum // Michigan Math. J., 10(1963), № 3, 303-310 [64, 9А266].
См. также книгу Закса II и далее: L.S. Mel’nikov, R. Steinberg // DM, 20(1977),
№ 2, 203-206 [78, 7В810; 58; 5332]; V.A. Aksionov, L.S. Mel’nikov [79, 10В400].
17". Для планарных графов G без подграфов типа С/ с 4< / <9 справедливо
y(G)<3. D.P. Sanders, Y. Zhao // Graphs and Comb., 11 (1995), № 1, 91-94
[96, 4В307].
18.	Если триангуляция V произвольной поверхности имеет ровно две вер-
шины нечетной степени, причем они смежны, то y(V)>5. S. Fisk // JCTh,
В24(1978), №2, 247-248 [58#10562].
19	(теоретические вопросы), а) Почему процедура движения и уничтоже-
ния индексов непригодна для получения правильной (р (5)-раскраски триангу-
ляций на поверхностях с v (5) > 0? б) Нельзя ли и для таких поверхностей воз-
родить подобную процедуру, рассматривая вместо триангуляций такие тополо-
гические графы, «ячейками» которых служат графы типа, отличного от Г3?
20	(теоретическая проблема). Перенести процедуру движения и уничтоже-
ния индексов на трехмерное пространство, рассматривая его покрытия а) тет-
раэдрами Г4, б) графами другого типа.
21.	М. Neuberger под руководством Г. Избицкого в диссертации система-
тизировала результаты (свои и других авторов) о наименьших количествах цве-
тов (с точностью до альтернатив типа «5 или 6») одновременной раскраски вер-
шин (В), ребер (Р) и граней (Г) плоской карты при всевозможных 64 вариантах
требований правильности; дополнительное предположение о справедливости
гипотезы четырех красок оставляет альтернативу только в двух случаях; са-
ма гипотеза фигурирует во второй строке таблицы Избицкого—Нойбергер, по-
скольку она относится не к собственно триангуляции, а к двойственным им
плоским картам. Если два смежных или инцидентных элемента должны иметь
разные цвета, то в соответствующей колонке стоит 1, в противном случае 0. Ес-
ли верхняя оценка у числа цветов получена в предположении справедливости
гипотезы четырех красок, то менее сильная оценка, не опирающаяся на это
предположение, указана в скобках.
Н. Izbicki // BGrTh, 1967/68, 81-83 [69, 5В306].
390
Основы теории графов
Таблица Избицкого—Нойбергер
вв	ВР	вг	рр	РГ	гг	г	ВВ	ВР	вг	рр	РГ	гг	У
0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	4
0	0	0	0	0	1	4(5)	1	0	0	0	0	1	4(5)
0	0	0	0	1	0	2	1	0	0	0	1	0	4
0	0	0	0	1	1	4(5)	1	0	0	0	1	1	4(5)
0	0	0	1	0	0	.3(4)	1	0	0	1	0	0	4
0	0	0	1	0	1	4(5)	1	0	0	1	0	1	4(5)
0	0	0	1	1	0	4(5)	1	0	0	1	1	0	4(5)
0	0	0	1	1	1	5(6)	1	0	0	1	1	1	5(6)
0	0	1	0	0	0	2	1	0	1	0	0	0	4
0	0	1	0	0	1	4(5)	1	0	1	0	0	1	6
0	0	1	0	1	0	2	1	0	1	0	1	0	4
0	0	1	0	1	1	4(5)	1	0	1	0	1	1	6(7)
0	0	1	1	0	0	3(4)	1	0	1	1	0	0	4
0	0	1	1	0	1	4(5)	1	0	1	1	0	1	6(7)
0	0	1	1	1	0	4(5)	1	0	1	1	1	0	5
0	0	1	1	1	1	5(6)	1	0	1	1	1	1	6(7)
0	1	0	0	0	0	2	1	1	0	0	0	0	4
0	1	0	0	0	1	4(5)	1	1	0	0	0	1	4(5)
0	1	0	0	1	0	2	1	1	0	0	1	0	4
0	1	0	0	1	1	4(5)	1	1	0	0	1	1	4(5)
0	1	0	1	0	0	4	1	1	0	1	0	0	5
0	1	0	1	0	1	4(5)	1	1	0	1	0	1	5
0	1	0	1	1	0	4(5)	1	1	0	1	1	0	5v6
0	1	0	1	1	1	5(6)	1	1	0	1	1	1	5v6
0	1	1	0	0	0	2	1	1	I	0	0	0	4
0	1	1	0	0	1	4(5)	1	1	1	0	0	1	6(7)
0	1	1	0	1	0	3	1	1	1	0	1	0	5
0	1	1	0	1	1	5(6)	1	1	1	0	1	1	6(7)
0	1	1	1	0	0	4	1	1	1	1	0	0	5(6)
0	1	1	1	0	1	5(6)	1	1	1	1	0	1	6(7)
0	1	1	1	1	0	5	1	1	1	1	1	0	6
0	1	1	1	1	1	6(7)	1	1	1	1	1	1	7(8)
Глава 3. Цикломатика
391
§3.10. СОВЕРШЕННЫЕ ГРАФЫ
Как видно из предыдущих параграфов, свойства графа G, отно-
сящиеся к его раскраскам, стягиваниям и возможности поместить на
тот или иной топологический объект, в конечном счете зависят от
наличия и взаимного расположения в G циклов, но зависимости эти
весьма сложны и проследить их до конца в общем виде пока не уда-
лось. Вопросы, связанные с раскраской вершин, побудили Бержа
(С. Berge II WZ, 10 (1961), № 1, 114—115) выделить интересный класс
графов, включающий к тому же некоторые важные подклассы, кото-
рые ранее изучались по другим причинам. Обыкновенный граф
G = (У, U) называется совершенным, если для любого его подграфа G'
(в том числе самого G) имеет место у (G') =ср (G'). Классу Р совершен-
ных графов принадлежат, в частности, клики Fn и груды Еп \ удобно
отнести к нему также пустое множество =Е0 =0 (=(0, 0)).
Класс Р, очевидно, является наследственным в том смысле, что
вместе с графом содержит и все его подграфы. Другое свойство это-
го класса, уже совсем не очевидное, первоначально было выдвинуто
Бержем как гипотеза: граф, дополнительный к совершенному, тоже
является совершенным. Впоследствии выяснилось, что оно вытекает
из теории блокирующих и антиблокирующих многогранников, ко-
торую развил D.R. Fulkerson (JCTh, В12 (1972), №1, 50—71
[72, 9В385], [72, 12В238; 44#2627]), a L. Lovasz (DM, 2 (1972), № 3,
253—267 [73, 2В306]) доказал его с помощью гиперграфов. Это же
свойство непосредственно следует из другого результата Ловаса
(теорема 3.10.8 ниже), уже полностью относящегося к теории графов.
Вспомнив, что такое сумма и произведение графов без общих
вершин (§ 1.2), положим по определению G+0=G-0=G; будем так-
же считать п(0) = /и(0)=£(0)=ф(0)=у(0)=О.
ЛЕММА 3.10.1. Если G],G2eP, то 64 +G2, G\ -G2 еР.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G] и G2 — совершенные графы без
общих вершин. Так как любой подграф у G\ +G2 и у G] • G2 либо це-
ликом принадлежит одному из графов Gb G2, либо является сум-
мой, соответственно произведением каких-то их подграфов GJ и G2,
то достаточно уметь доказать справедливость равенству (Gj + G2) =
=(р (G] +(?2) и у (Gj • G2) =(р (Gj • G2), ибо то же рассуждение примени-
мо и к любым подграфам; но эти равенства следуют из легко дока-
зываемых соотношений
392
Основы теории графов
у (G] + G2)=max{у (Gj), у (G2)}, у (G} -G2)=y (G}) +y (G2),
<p(G} +G2) = max{<p(G1), (p(G2)}, <p(Gt G2)=<p(G})+<p(G2)
(см. упражнение 9 к § 1.5) и из того, что у (G1)=cp(G1), у (р2}~(Р^2^
в силу совершенства обоих графов.
Условимся писать G=MN (без точки!), если множество вершин
графа G = (X, U) разбито на два непересекающихся подмножества:
X-Хм U XN , Хм n XN =0 (М nN— подграфы G, порожденные
этими подмножествами). Запись же вида G-MNP будет означать
такое разбиение X на три попарно непересекающихся подмножест-
ва Хм, XN, Хр, что никакая вершина из Хм не смежна ни с какой
вершиной из Хр (рис. 3.10.1); в частности, если каждая y^XN
Рис. 3.10.1
смежна с каждой z^Xp, пишем
G = MN • Р (не путать с произве-
дением (MN)- Р двух графов MN
и Р). При Хр ={х} пишем просто
MNx вместо MNP и MN • х вмес-
то MN P (в графе G~MNx
подграф N является окружением
O(G, х) вершины х).
ЛЕММА 3.10.2. (р (MNP){ср (MN), (p(NP)}.
Сразу следует из того, что никакая клика графа G-MNP не мо-
жет одновременно иметь вершины в М и в Р.
ЛЕММА 3.10.3. у (MNP) > max {у (MN), у (NP)} и если G =
-MNPeP, то имеет место равенство.
y(MN)=2
y(NP)=2
y(MNP) = 3
y(MN) = 3
y(WP)=2
y(MNP)-3
Рис. 3.10.2
Соотношение в общем случае
тривиально, а равенство при
G g Р следует ввиду у (G) = ср (G),
y(MN)=(p(MN) и y(NP)=<p(NP)
из предыдущей леммы. При Gg Р
может соблюдаться как строгое
неравенство, так и равенство, что
видно на примерах рис. 3.10.2.
В частности, равенство будет
всякий раз, когда N — клика,
иначе говоря, когда G сшит из
Глава 3. Цикломатика
393
графов MN и NP по полному подграфу (см. упражнение И к § 1.5);
отсюда без труда выводится
ЛЕММА 3.10.4. Если G = MFP, где F - клика, и MF, FPeP,
то GeP.
Пусть G-MNP. Условным хроматическим числом Ymn (NP) п°д~
графа NP относительно подграфа MN называется наименьшее воз-
можное количество цветов на вершинах NP при такой правильной
раскраске всего G (не обязательно точно в у (G) цветов), когда его
подграф MN оказывается окрашенным в у (MN) цветов. Аналогич-
но определяются yMN (N), yG (NP) = Ymnp (NP) и т. п. Любое услов-
ное число, очевидно, не меньше обычного («безусловного») хрома-
тического числа того же подграфа, рассматриваемого как самостоя-
тельный граф.
ЛЕММА 3.10.5. у (MNP)<max{y (MN), yMN(NP)}.
В самом деле, раскрасим правильно вершины подграфа MN с
помощью у (MN) цветов так, чтобы раскраска N допускала продол-
жение до правильной yMN (NP)-раскраски NP; пусть при этом на
вершины N израсходовано г цветов. Так как вершины подграфа М
не смежны с вершинами подграфа Р, то для них можно использо-
вать одни и те же цвета; значит, для тех вершин G, цвета которых
отличны от цветов вершин N, доста-
точно max {у (MN)-r, yMN (NP) - г}
добавочных цветов, откуда и сле-
дует искомое неравенство. То, что
оно может оказаться строгим, видно
из примера на рис. 3.10.3.
Совсем легко доказывается	Рис. 3.10.3
y(MNP) = 3
y(MN)=2
ЛЕММА 3.10.6. Если G = MN P, то yMN (N Р) = yMN (N) +у (Р).
Условимся до конца параграфа считать, что G', М', N', Р' обо-
значают какие-то подграфы графов G, М, N, Р соответственно, при-
чем, например, M'N' — такой подграф MN, у которого М' — под-
граф М, a N' — подграф N.
ТЕОРЕМА 3.10.7. Следующие пять высказываний равносильны
друг другу:
394
Основы теории графов
(I)	MN eP &.^M'N'(y M-N’ (N')=<p(N')\,
(II)	VPeP(AfVPeP);
(III)	Vfce{0, 1, 2, ...}(MN-Ek eP);
(IV)	MV-xeP;
(V)	VAre{0, 1, 2, ...}(MNFk eP).
Докажем, что (I) => (II) => (III)	(IV) (V) => (I).
(I)=>(II). Пусть AfVeP, VMW'[yw7v-(V')=<p(V')] и PeP.
Тогда для любого подграфа вида M'N'-P' в MN  Р имеем M'N',
N', P'gP и в силу лемм 3.10.5 и 3.10.6, предположения и леммы 3.10.2
у (М'N' • Р') < max {/ (Af 'N'), yM-N- (N' • Р')} =
=max{y'(AfW'), yM-N' (N')+y (P')}=max{(p(M'N'), <p(V')+<p(P')} =
=max{<p(M'N'), <p(N' P')} =cp(M'N'- P'),
откуда y(M'N'-P')=(p(M'N'-P').
(II) => (III). Тривиально, поскольку
Et€P.
(III)=> (IV). Тривиально.
(IV)=x>(V)*. Достаточно, очевидно, в
предположении MN • х е Р доказать,
что MN - F2 е Р. Пусть х и у — верши-
ны Р2> тогда MN-F2=M(N-х)-у
(рис. 3.10.4); по причине, разъясненной при доказательстве леммы
3.10.1, надо лишь убедиться в том, что у (MN• F2)-<p(MN• F2). Вве-
дем обозначение <p=<p(MN - х)=у(MN-x).
Случай 1: (p(N х)=(р. Тогда ясно, что <p(MN  F2)=(p+1 и
у (MN  F2) =(р +1 =<р (MN • F2).
Случай 2: <p(N-x)«p. Пусть при некоторой правильной
ф-раскраске графа MN-x вершина х получила цвет а; в этот цвет
не окрашена ни одна вершина N, а множество вершин цвета а в М
мы обозначим через Y. Так как на вершинах каждой <р-клики F^
обязательно присутствуют все (р цветов, в том числе а, то плот-
ность подграфа M'N  x = (MN  x)\Y меньше <р; поэтому ввиду
M'NхеР вершины этого подграфа можно правильно раскрасить,
используя прежний набор цветов, но без а.
I Вторая книга Бержа; доказательство в тексте предложил В.И. Волошин.
Глава 3. Цикломатика
395
В MN • х вершины множества Y попарно несмежны. Поэтому в
графе MN • Fi вершины Y U{y} попарно несмежны и им всем можно
придать цвет а, сохранив за остальными вершинами те же цвета,
что и в M'N • х; тогда получим правильную раскраску вершин графа
MN-F2 не более чем (р цветами, а значит, ровно (р цветами,
поскольку cp(MN• F2)=(p.
(V)=>(I). Пусть MN -Fk gP при всех & = 0, 1, 2, в частности,
MNеР. Допустим вопреки (I), что у m'n' (N')xp(N') для некоторо-
го подграфа О' в MN. По лемме 3.10.3 имеем/(M'N' - Fk) =
=max{/(AfW'), y(N'-Fk)}. Но у (N'-Fk)=y (N') + k, a у (N')=cp(N')
и у (M'N')=cp(M'N'), поэтому у (M'N' • Fk)=max{(p(M'N'), (p(N') +
+A:} при любом k = 0, 1, 2, ... Полагая k=<p(M'N')-(p(N'), получим
у (M'N' • Fk)=(p(M'N'). Но это невозможно, так как при правиль-
ной (/j(MW')-раскраске графа M'N'-Fk его подграф M'N' потребу-
ет всех у (M'N')=<p(M'N') цветов, a N' — не менее у m'n' цветов;
значит, на вершинах N'-Fk должно будет присутствовать не менее
уm'n' (N')+k цветов, что превышает (p(N')+k=(p(M'N'). Теорема
доказана.
Определим операцию подстановки графа Р в граф G вместо вер-
шины х следующим образом* 1: для заданной х в G представление
G = MN х однозначно, поскольку N =0 (G, х), и результатом под-
становки будет граф MN • Р; при этом предполагается, что подстав-
ляемый граф Р не имеет общих вершин с MN. В частности, если
вместо одной или нескольких вершин подставляются груды, то
результирующий граф можно получить из исходного также после-
довательными расщеплениями вершин на пары несмежных: эта опе-
рация была рассмотрена в начале § 1.8 и согласно лемме 1.8.1 не
меняет плотность графа.
Из теоремы 3.10.7 непосредственно вытекает
СЛЕДСТВИЕ. Если в совершенный граф G вместо каждой верши-
ны х подставить произвольный совершенный граф Рх, то получится
совершенный граф.
ТЕОРЕМА 3.10.8 (L. Lovasz // JCTh, В13 (1972), № 2, 95—98
[73, 2В247]). Граф G является совершенным тогда и только тогда,
когда для каждого его подграфа G'
 £(G'}(p(G')>n(G'Y	(1)
1 Для случая, когда Р — клика, эта операция уже встречалась в упражнениях 14.2 и
14.3 к §2.6.
396
Основы теории графов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Импликация у (G') =<p(G')=> (1) отдельно
для каждого подграфа G' следует из того, что при правильной рас-
краске всех его вершин с помощью у (G') =<р (G') цветов никакой од-
ноцветный класс не может содержать более £ (G') вершин; поэтому
GgP влечет (1). Трудность доказательства обратного утверждения
обусловлена помимо прочего тем, что импликации e(G')(p (G') >
>n(G')=>у (G')=(p(G[) по отдельности могут не иметь места, как
видно из примера колеса К5, для которого условие £<р>п выпол-
нено, а условие у =<р — нет. С другой стороны, предполагая неравен-
ство (1) справедливым для всех подграфов G' графа G, достаточно
доказать равенство у (<7)=<р((7) только для самого G (почему?). До-
казательство проведем от противного.
Пусть (7 = (Х, U) — граф с наименьшим числом вершин, такой
что у (G)xp(G'), в то время как все его подграфы удовлетворяют
условию (1). Инварианты G будем кратко обозначать через п, £,(р
и у, а множество всех его <р-клик — через Ф.
Для каждой груды Ев G найдется клика FgФ, не имеющая сЕ
общих вершин; в самом деле, если бы некоторая Е пересекалась со
всеми Хиз Ф, то было бы (p(G\E)«p и, в силу минимальности чис-
ла п, у (G \ Е) =<р (G \ Е) «р, откуда у =<р (почему?) вопреки предполо-
жению у хр. Из этого факта и очевидной оценки |F П Е| < 1 (имеется
в виду пересечение множеств вершин) следует, что если обозначить
через h (х) количество клик из Ф, содержащих вершину хе X, то
£Л(х)= £|ГП£|<|Ф|-1	(2)
хеЕ ЕеФ
для любой груды Е в G.
Образуем граф Gq, подставляя в G вместо каждой вершины х
соответствующую груду (предполагается, что подставляемые
груды не имеют общих вершин ни друг с другом, ни с X). Тогда
п(р0)= £ Л(х)=<р|Ф|, <p(G0)=<p,
хеХ
£(б:о) =тах £Л(х)<|Ф|-1 в силу (2),
Е—% хеЕ
Глава 3. Цикломатика
397
и для получения противоречия достаточно показать, что, с другой
стороны,
£(G0)<p(G0)>h(G0).	(3)
Неравенство (3) удобнее доказывать при более общих предполо-
жениях о графе Gq : пусть он, как и прежде, получен из G подстанов-
ками груд, но количества их вершин теперь произвольны (т. е. не
обязательно равны соответствующим Л(х); напомним, что допуска-
ется и подстановка пустого множества Eq, означающая удаление
вершины х). Предположим противное, а именно что (3) не всегда
имеет место, и пусть Go — граф с наименьшим числом вершин
(полученный как сказано выше), для которого это неравенство не
выполняется.
Так как любой подграф G' графа G условию (1) удовлетворяет,
то при образовании Gq из G хотя бы одна груда Е(, подставленная,
скажем, вместо вершины у, имеет />2 вершин: ,у2, ••,yt- Ввиду
минимальности Gq,
e(Gq\y\)<P(G0 \ух)>п(р0)-1,
а так как £(G0)^(G0)<«(G0) и £(Gq)-1<£(G0 \ji)<£(G0),
<p(Go)-l<9>(Go\j;1)<<p(Go), то
«(^о)=£о<Р + 1>
где £0=£(G0\y1)=£(G0) и (p±(p(G0\y})=<p(G0)=(p(G).
Граф Go=Go\£z может быть получен из G\y подстановками
груд вместо вершин, а дополнительный граф Gq — из G\y=G\y
подстановками клик. По самому виду условия (1), если ему удовлет-
воряет некоторый граф, то удовлетворяет и дополнительный, зна-
чит, оно выполнено и для графа G\y. Последний в силу минималь-
ности числа вершин G является совершенным, а благодаря теореме
3.10.7 таков и Go, откуда/(G'o)=p(Gq)=£ (Go) <£q- Поэтому множе-
ство вершин графа Gq можно представить в виде У] U?2 U...U1^O,
где |У]|>|У21 >... >|У£о |, подмножества У, попарно не пересекаются и
порождают в Go груды; в G'q эти же подмножества порождают кли-
ки. Так как все |У,-1<(р(Gq)<<р, a n(Go)=£O(p + l-t, то должно быть
1>'11=|Г2| = ...=|Г</1=<Р. где 4>£0-1 + 1.
398
Основы теории графов
Пусть Gq — подграф Go, порожденный множеством вершин
У1иг2и...игдиЬ'1};
поскольку число этих вершин n(G'o) заведомо меньше л(С0), то
ввиду минимальности графа Gq
£(<7Ь')ф((?Ь')>«(6о).
С другой стороны,
n(G'Q)=q(p + l>(£Q -t + l)q> + l и <p(Gq)<(p.
Поэтому e(Gq)>eq -t+2, т. е.- в Gq есть груда Eq+} с д + 1>£0 -t+2
вершинами.
Так как все |У( ПEq+\|< 1, то Eq+\ необходимо содержит верши-
ну ур Отсюда следует, что подграф Eq+X U{y2> • ••, У;} в Go — безре-
берный; но число вершин этой груды g + l + (t- 1)>е0 +1, что невоз-
можно.
Теорема доказана; другие доказательства: S. Perz, S. Rolewicz
[90, 11В517]; G.S. Gasparian // Combinatorica, 16 (1996), № 3, 209-212
[97#05087]. Обобщения: К. Cameron, J. Edmonds, L. Lovasz // Period,
math, hung., 17 (1986), № 3, 173-175 [87, 5B658]; B.A. Гуревич //
УМН 48(1993), № 2, 175-178 [93, 4В340].
Как мы уже заметили, условие (1) инвариантно относительно
перехода к дополнительному графу. Поэтому из теоремы 3.10.8
непосредственно вытекает
СЛЕДСТВИЕ. Если G е Р, то G е Р.
В частности, графы, дополнительные к двудольным, совершенны
(для самих двудольных это тривиально).
Таким образом, «слабая» гипотеза Бержа, упомянутая в начале
параграфа, справедлива. Другая гипотеза Бержа о совершенных гра-
фах — «сильная» (С. Berge. Six Papers on Graph Theory // Indian Sta-
tistical Institute. Calcutta, 1953, 1—21; Automata theory. Academic
Press, 1966, 25—34) — до сих пор не доказанная и не опровергнутая,
состоит в следующем: если граф G не содержит подграфов вида
Qfc+1 и виДа Clk+l’ где £>2,’ то Ge Р. Необходимость условия оче-
видна: так как E(C2k+i)=(p(C2k+l)=k и <p(C2k+{)=s(C2k+i)=2 при
к >2, то ни сам простой цикл нечетной длины >5, ни его дополнение
не удовлетворяют неравенству (1) теоремы 3.10.8 и поэтому не
I Называемых еще дырками и антидырками.
Глава 3. Цикломатика
399
могут служить подграфами совершенного графа (см. также упраж-
нение 2). Но вопрос о том, является ли наличие такого рода подгра-
фа в графе единственной причиной его несовершенства, остается от-
крытым и вызвал к жизни многочисленные исследования, часть ко-
торых мы отразили в упражнениях; см. также ослабленные версии ги-
потезы Бержа [УС]. Е. Olaru (An. §ti Univ. Ia§i, Sec. la, 7 (1998),
33—41 [00, 2B342]) изучает класс графов, содержащий все потенциа-
льные контрпримеры к этой гипотезе. Заметим, однако, что даже
решение этого вопроса внесет весьма скромный вклад в исследова-
ние общей проблемы о влиянии циклов и их взаимного положения в
графе на его хроматическое число, в частности на «избыток» этого
числа над плотностью: узнав, что граф G с у (G)>(p(G) + l обязатель-
но содержит С2^+] или Съь+х (£>2), можно тут же спросить, а какие
подграфы неизбежно присутствуют в G, если у (G) ><?((?) +2, если
у (G) ><?((?)+3, ..., каково наименьшее количество вершин графа с
(p(G)<p & у (G)>r (1<р<г) — см. числа Зыкова [УС] -ит.д.
Совершенным графом посвящена книга М.Ч. Голумбика [А9].
Сжатый обзор с формулировкой главных результатов и гипотез в
виде 13 тезисов: V. Chvatal // London Math. Soc. Leet. Notes Ser.,
1987, № 123, 43—51 [88, 2В622]. См. также: Hsu Wen-Lian // JCTh,
B43 (1987), № 1, 70-94 [87, 11B682]; V. Chvatal [88, 5B714]; достаточ-
ные условия совершенства графа [УС], минимальные несовершенные
графы [УС] и главу 6 книги Йенсена и Тофта. Естественное расшире-
ние класса Р предложил раньше J. Korner (Studia sci. math, hung.,
8 (1973), № 3—4, 405—409 [75, 3B496]), а некоторые модификации
рассматривают С.Е. Маркосян, Г.С. Гаспарян (Кибернетика, 1990,
№ 2, 8-11 [90, 10В501]).
Важный подкласс TczP составляют триангулированные графы,
по определению не содержащие подграфов вида С/ с />3, иными
словами, такие, в которых каждый простой цикл длины больше 3
(если вообще он есть) имеет хотя бы одну диагональ. То, что все
триангулированные графы совершенны, будет доказано ниже
(теорема 3.10.10), а строгость включения классов следует из того,
что любой простой цикл четной длины сам по себе является совер-
шенным, но не триангулированным графом. Класс Т, очевидно,
наследственный в том же смысле, что и Р.
Представление G-MNP назовем минимальным, если М, и
ни при каком строгом подграфе У' графа У представление вида
400
Основы теории графов
G=QN'R с Q, R*0 уже невозможно. Так как случай N =0 не иск-
лючается, то к минимальным представлениям несвязного графа сле-
дует отнести и любое разбиение множества его компонент на два
непустых класса.
ЛЕММА 3.10.9 (A. Hajnal, J. Suranyi // Ann. Univ. sci. Budapest,
E6tv6s Sec. Math., 1 (1958), 113-121 [59, 11, 10912; 21#1944]). Если
G = (X, С/) e T и представление G = MNP минимально, mo N — клика.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение тривиально при n(N)=0
или 1, поэтому рассмотрим две* произвольные различные вершины а
и b подграфа N и покажем, что при выполнении условий леммы
abeU.
Пусть Ya — множество вершин подграфа М, соединимых с а та-
кой цепью, все остальные вершины которой принадлежат М;
Ya *0 — иначе можно было бы написать G=M(N\a) (PU{a}) во-
преки минимальности представления G=MNP. Аналогично опреде-
лим в М подмножество вершин У/, *0.
Предположение Ya *Yb приводит к возможности по крайней ме-
ре одного из двух представлений <7 = (M\yo)(A\a)(PU{<2}UEa),
G = (М \ Yb) (N \ b) (Р U {£} U Yb), опять противоречащей минимально-
сти исходного представления. Поэтому Ya=Yb и вершина а соеди-
нима с b простой цепью, остальные вершины которой принадле-
жат М. Из всех таких цепей выберем кратчайшую, и пусть х0 =а, X],
х2, •••. хР-\> xQ=b - ее последовательные вершины (считаем р>2,
так как при р = 1 больше нечего доказывать). Аналогично находится
кратчайшая цепь с вершинами zq =b, Zj, z2, ..., zq_\, zq =a (q>2),
где Zj, z2..zq_i принадлежат подграфу P. Эти две цепи вместе
составляют простой цикл С длины не менее 4 с последовательными
вершинами XQ=a = zq, Х], х2, ..., xp_j, xp=b=z0, zit z2, ..., zq_t,
zq=a=XQ, который в силу GeY должен обладать диагональю.
Hoxjxy &U при i, у = 0, 1, 2, ...,р и z^z/iU при k, I = 0, 1, 2, ..., q,
поскольку обе цепи, составляющие цикл С, кратчайшие. Далее,
x~zk &U при (=1, 2, ..., р-1 и к = 1, 2, ..., q-\, так как вершины Мне
смежны с вершинами Р. Следовательно, диагональю для С может
служить только ребро ab, т. е. вершины а и b необходимо смежны.
ТЕОРЕМА 3.10.10. (С. Berge // Publ. Inst. Statist. Univ. Paris,
9(1960),№2, 123-160 [62, 10A199; 23#A1551]). Если Ge T, moGeP.
Глава 3. Цикломатика
401
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение тривиально для клик; пусть
теорема уже доказана для всех графов с числом вершин менее п, где
п >2, и пусть G = (X, U) — неполный и-вершинный граф.
Ввиду возможности представления G=x(G\{x, у})у, где xy&U,
существует хотя бы одно минимальное представление вида G-MNP.
Если Ge Т, то по лемме 3.10.9 подграф N — клика, а так как вместе с
графом G триангулированными являются и его подграфы MN и NP,
каждый из которых имеет менее п вершин, то по предположению
индукции MN, NPeP. Но тогда и GeP согласно лемме 3.10.4.
Вершину х произвольного обыкновенного графа G назовем соб-
ственной, если ее окружение О (G, х) — клика; к собственным отно-
сятся и изолированные вершины (с окружением Fo). В полных и без-
реберных графах все вершины собственные (см. также упражне-
ние 21). Нижеследующую теорему открыли C.G. Lekkerkerker,
J.Ch. Boland (Fund. Math., 51 (1962), № 1, 45-64 [63, 2A258]), а го-
раздо более простое, чем в оригинале, ее доказательство дал
D.J. Rose (J. Math. anal. Appl., 32(1970), 597-609 [71, 10B569]).
ТЕОРЕМА 3.10.11. Всякий неполный триангулированный граф G
с n(G)>2 имеет по крайней мере две не смежные друг с другом
собственные вершины.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение тривиально при n(G) = 2;
пусть оно уже доказано для графов с числом вершин менее п, где
«>3, и пусть GeT — неполный граф с n(G) = n.
Как и в предыдущей теореме, из неполноты G следует возмож-
ность минимального представления G-MFP, F — клика соглас-
но лемме 3.10.9, поскольку GeT. Каждый из подграфов MF, FP
является триангулированным и имеет менее п вершин.
Если MF — клика, то все ее вершины собственные, в частности
есть такая вершина, не принадлежащая F, поскольку М*0. Если же
MF — неполный граф, то по индуктивному предположению он со-
держит пару несмежных собственных вершин; из них хотя бы одна
принадлежит М. В обоих случаях в М есть вершина, собственная
для графа MF; но эта же вершина будет собственной и во всем
G-MFP (почему?).
Точно так же и в Р находится вершина, собственная для всего
графа G. Обе вершины, очевидно, различны и не смежны друг
другу.
402
Основы теории графов
Эта теорема открывает возможность эффективного вычисления
для триангулированных графов G таких инвариантов, как F(G),
Г (G) и Н (G), введенных в § 1.3. В самом деле, если при рекуррентном
вычислении многочлена F (§ 1.4) на каждом шаге брать за х собст-
венную вершину, то один из двух результирующих графов заведомо
окажется полным, и дальнейшая его разборка не нужна, в силу чего
порядок общего числа шагов процесса будет не 2Л, а только п. При
вычислении же инвариантов Г и Н (а также и F) можно воспользо-
ваться результатами упражнений 11 и 12 к § 1.5. Применяя последо-
вательную разборку по собственным вершинам, В.И. Волошин ре-
шает для графов класса Т одну из проблем существования, сформу-
лированных в начале § 1.10, а именно устанавливает критерий того,
что наперед заданный многочлен Р (х) равен Г (G; х) для какого-то
триангулированного графа G (упражнение 18а); в той же работе по-
казано, что при Ge Тмногочлены F (G) и Г (G) однозначно определя-
ют друг друга (упражнение 186). См. также упражнение 19.
Напомним (см. упражнение 24 к § 2.2), что числом Визинга—
Вильфа—Секереша обыкновенного графа G = (X, U) называется
инвариант
w(G)= max min s(G', x),
x с/ хеХ'
где G' = GV', (/') — подграф G (и что из w(G) <к следует у (G) <к).
ТЕОРЕМА 3.10.12 (В.И. Волошин [82, 8В545; 83е#05056]). GgT
тогда и только тогда, когда для любого подграфа G'
(4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала GgT , a G' — произволь-
ный подграф G. Осуществим разборку G' по собственным верши-
нам, т. е. образуем последовательность подграфов
Gi =Gr, G2 —Gj \Х|, G3 —G2 \х2, •••, Gnr —Gn'_^ \хл'_|, Gn'+] =0,
где h'=h(G'), Xj — собственная вершина в Gz (z = l, 2, ..., >/); благо-
даря такому порядку выбора вершин хь Х2, хп'
S=max5(G,, xz)<<p(G')-l.	(5)
Глава 3. Цикломатика
403
Для произвольного подграфа G" = (Х", U") графа G'
min s(G", x)=s(G", xp)<s(G, xq)<s(Gq, xq)<s,
где xp — вершина, на которой достигается наименьшее значение, а
xq — первая из вершин х2, •••» хп’’ принадлежащая Х"\ отсюда
u?(G')<s и, в силу (5), u?(G')<<p(G')-l, а так как, с другой стороны,
всегда u>(G')><p(G')-l (почему?), то справедливо равенство (4).
Теперь пусть GgT. Тогда в G есть подграф С/ с />4 и для него
min 5(С/, х) = 2=ф(С/), откуда и?(С/)>ф(С/), т. е. (4) не выпол-
xeQ
няется. Теорема доказана.
Класс графов, дополнительных к триангулированным, обозна-
чим через Т. Из следствия теоремы 3.10.8 и из того, что С2^ еР\Т
при к>2, вытекает строгое включение ТсР. Специфические осо-
бенности триангулированных графов позволяют легко решать мно-
гие задачи и для графов из Т, например находить многочлен Е или
хроматическое число; последнюю задачу рассмотрим подробнее.
Правильная раскраска вершин графа G=(I, I/) в/(G) цветов
означает разбиение множества X на наименьшее число непустых по-
парно непересекающихся классов, каждый из которых порождает в
дополнительном графе G = (X, U) клику; это число у (G) для самого
G иногда называют кликоматическим. При G g Т, т. е. G g Т, в силу
совершенства графов у (G)=<p(G)=s(G), а какое-либо из s ^-раз-
биений множества X находится следующим процессом: выбираем в
графе G\=G собственную вершину jq и из нее вместе со всеми вер-
шинами окружения О (Gi, X]) составляем класс Xi, затем в подграфе
G2 =Gj \ Xi выбираем его собственную вершину х2, из которой вме-
сте с вершинами G(G2, х2) образуем класс У2 и т. д., пока не полу-
чится такой класс Х^, что G^ \Х^ =0. При этом количество клас-
сов окажется наименьшим возможным, т. е. £=s(G): действительно,
для любого разбиения G на клики, в том числе любого £ ^-разбие-
ния, вершина х2 должна попасть в какой-то класс, все остальные
вершины которого с ней смежны и поэтому принадлежат G(G,, jq);
беря на z-м шаге процесса за X/ максимально возможный класс, мы
заведомо не увеличим общее число классов по сравнению с другим
выбором (см. упражнение 20). Одно из многих приложений этой за-
дачи отражено в упражнении 26.
404
Основы теории графов
Здесь мы встретились с различными видами разборки графа по
вершинам: на каждом шаге разборки вершина может удаляться из
графа либо только сама, либо вместе со своим окружением; эта вер-
шина является собственной в самом графе или в его дополнении.
Изложенные выше результаты позволяют согласиться с мнением
В.И. Волошина о перспективности изучения в общем виде класса
обыкновенных графов G, обладающих свойством: каждый подграф
G' #0 имеет вершину, собственную для G' или для его дополнения
G' (упражнение 22).
Обыкновенный граф G = (X, U) называется графом интервалов,
если существуют линейно упорядоченное множество (М, <), некото-
рая система I непустых интервалов этого множества и взаимно од-
нозначное соответствие такие что xyeU тогда и только
тогда, когда интервалы, отвечающие вершинам х и у, различны и
обладают непустым пересечением. Класс всех графов интервалов
обозначим через I, а класс дополнительных к ним графов — через I.
Абстрактное изучение класса I начал G. Hajos (Internal. Math.
Nachrichten, 11 (1957), Sondernummer 65). Возможность плодотвор-
ного применения графов к генетике, по-видимому, первым усмотрел
S. Benzer (Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 54(1959), 1607—1620; С. Бен-
зер// Химические основы наследственности. М.: ИЛ, 1960, 56),
а тот факт, что система различных признаков живого организма,
передающихся по наследству, определяется генами, которые распо-
ложены в хромосомах линейно, привел Леккеркеркера и Боланда к
необходимости характеризации и дальнейшего подробного изуче-
ния графов интервалов. Систематическому изложению некоторых
разделов генетики на основе теории графов посвящена книга:
Б.Г. Миркин, С.Н. Родин. Графы и гены. М.: Наука, 1977; улучшен-
ный и дополненный английский перевод [84с#92032]. Из других об-
ластей применения графов интервалов следует прежде всего назвать
проектирование вычислительных машин и сред; одна из основных
идей книги: А.В. Петросян, С.Е. Маркосян, Ю.Г. Шукурян. Мате-
матические вопросы автоматизации проектирования ЭВМ. Ереван,
1977 — состоит в наложении на проектируемые схемы таких техни-
чески приемлемых ограничений, при которых задачи типа нахожде-
ния неплотности, хроматического числа и др., трудные для графов
общего вида, приходилось бы решать в основном для графов интер-
валов, где они большого труда не представляют: А.В. Петросян,
Глава 3. Цикломатика
405
С.Е. Маркосян, А.Г. Маркосян [75, 1В558]. Естественна также важ-
ная роль классов I и I в теории расписаний и задачах календарного
планирования (упражнение 26).
В свете сказанного хочется тут же, засучив рукава, взяться за по-
дробное изучение графов интервалов. Но этим важным и нелегким
делом мы займемся только в следующей главе (§§4.1 и 4.5), когда
появится возможность существенно использовать свойства ориен-
тированных графов._ А ^ейчас, забегая вперед, упомянем лишь о
включениях 1сТ и 1сТ (упражнение 23).
Упражнения и дополнения
1.	Пусть *xny-N2P — совершенные графы без общих вершин. Пока-
зать что граф MVi • УУ2Р, полученный из MN\ и N2P соединением каждой вер-
шины с каждой вершиной N2 (рис. 3.10.5), тоже является совершенным.
2.	Проверить непосредственно (не ссылаясь на теорему 3.10.8), что графы
C2^+i и С2£+1 при к>2 не являются совершенными.
3	(методическая проблема). Упростить доказательство теоремы 3.10.8,
используя следующие соображения.
а)	Для получения требуемого противоречия достаточно вместо (3) дока-
зать более слабое неравенство
^(бо)<р(бо)>л((7о)-(р(бо)+1.	(3*)
б)	Прежнее неравенство (3) вместе с предшествующими ему равенствами и
неравенствами для и (Go), <P(Gq) и £ (^о) приводят к противоречию, «раздутому
в (р раз»; но ведь и процесс построения графа Go, грубо говоря, «раздувает» ис-
ходный G примерно в (р раз (см. п. г) ниже). Нельзя ли получить «нераздутое»
противоречие на самом графе G, без построения Go?
406
Основы теории графов
в)	Под Ф можно понимать не всё множество ср-клик в 6, а любое его под-
множество, обладающее свойством: для каждой груды Е графа G найдется
такая F еФ, что £T|F = 0.
г)	При сделанных предположениях о графе G нетрудно доказать, что h (х) > (р
для любой вершины х, причем есть такая х0, в которой неравенство строгое.
4 (методическая проблема). Из теоремы 3.10.8 и наследственности класса Р
вытекает, что если граф G удовлетворяет (вместе со всеми своими подграфами)
условию (1), то граф, полученный из G расщеплением любой вершины на две
смежных (что это значит?), тоже удовлетворяет этому условию. Желательно:
а) найти простое доказательство сформулированного утверждения, не опираю-
щееся на теорему 3.10.8; б) используя это утверждение как лемму вместо тео-
ремы 3.10.7, упростить доказательство теоремы 3.10.8.
5.	В свете следствия теоремы 3.10.8 кажется правдоподобным, что форму-
лировку гипотезы Бержа можно упростить: граф без подграфов типа
Сг^+1(^>2) — совершенный. Так ли это на самом деле?
6.	Легко показать, что свойство графа G не иметь дырок и антидырок 1 на-
следственно, поэтому ввиду теоремы 3.10.8 при доказательстве справедливости
гипотезы Бержа достаточно установить выполнение условия (1) лишь для само-
го G; оно, в частности, выполняется, если max {£ (G), (p(G)}>y/n(G). Но пока не-
известно даже, существует ли такое а = const, что max {s, (р} > па (проблема Лова-
са): Р. Erdos, A. Hajnal // Discr. Appl. Math., 25 (1989), № 1,2, 37-52 [90m#05091].
7.	L(G)eP тогда и только тогда, когда в G нет подграфов типа С2к+\ с
к >2. L.E. Trotter [78, 1В506; 56#15501]; D. de Werra // Math. Progr., 15(1978),
№2, 236-238 [79, 6B585; 81m#05052].
7'. Если G планарен и у (G)<3, то L (G)eP. M.O. Albertson, K.L. Kollins П
JCTh, B36(1984), № 3, 298-309 [85, 2В710].
8.	Наибольшее количество ребер несовершенного л-вершинного графа с
п > 5 равно Q - 5, и экстремальный граф только один (с точностью до изо-
морфизма). I. Tomescu // Rev. roum. math, pures et appl., 16(1971), № 7,
1115-1126 [72, 2В354].
9.	Обыкновенный и-вершинный граф G плотности (p и неплотности е назы-
вается минимальным несовершенным, если сам G £ Р, но всякий его строгий
подграф G'eP. Вот некоторые свойства таких графов:
а)	п = Е(р+ 1;
б)	количество <р-клик в G равно п, и каждая вершина G принадлежит
ровно (р таким кликам;
в)	то же для с-груд в G;
г)	каждая «р-клика пересекает все £-груды, кроме одной, а каждая £-гру-
да — все ср-клики, кроме одной. M.W. Padberg // Math. Programming, 6(1974),
180-196 [75, 1В768; 49Я4809].
1 Такие G иногда называют графами Бержа, но этот термин мы давно уже употреб-
ляем в другом смысле.
Глава 3. Цикломатика
407
д)	Графы G\x и G\x, где х — любая вершина G, однозначно ср-раскраши-
ваемы. А.С. Tucker // DM, 44(1977), № 2, 187—194; R.G. Bland, H.-C. Huang,
L.E. Trotter // DM, 27(1979), № 1, 11—22 [80, 4В364].
9'. Свойство графа G быть минимальным несовершенным равносильно
каждому из двух следующих:
a)	G минимальный (по включению множеств вершин) в классе неполных
графов, критических в том смысле, что удаление любой вершины уменьшает
хроматическое число;
б)	G минимальный в классе графов, содержащих хотя бы одно ребро и
критических в том смысле, что удаление любой вершины понижает кликомати-
ческое число (хроматическое число дополнения). W. Wessel // BeitrSge zur Grap-
hentheorie und deren Anwendungen. Vortragen Int. Kolloq. Oberhof (DDR), 10—16
April 1977, 300—309 [82h#05033].
10.	Используя свойства минимальных несовершенных графов (упражнения
9 и 9'), а иногда и без этого, можно доказать справедливость гипотезы Бержа в
следующих случаях:
а)	В G нет подграфов типа И3 (3-вееров); K.R. Parthasarathy, G. Ravindra //
JCTh, В21 (1976), № 3, 212-223 [77, 8В457].
б)	y(G)<3; А.С. Tucker // JCTh, B23(1977), № 1, 143-149 [78, 5В475].
в)	В G нет подграфов типа квадрата с диагональю (F2 ЕъУ, K.R. Parthasa-
rathy, G. Ravindra // JCTh, В26(1979), № 1, 98-100 [79, 9В655]; исправленное
доказательство: А.С. Tucker // JCTh, В42(1987), № 3, 313-318 [87, 10В663].
г)	В G каждый подграф типа Z3 является подграфом какой-то дырки:
С.Т. Hoang // JCTh, В42(1987), № 3, 264-273 [87, 11В663].
д)	В G нет подграфов типа У («бык»): V. Chvatal, N. Sbihi // Graphs and
Comb, 3(1987), № 2, 127-139 [88, 1В612].
e)	В G нет пар различных вершин с одним и тем же окружением и нет та-
ких пар, что каждая другая вершина смежна ровно с одной из них: S. Olariu //
JCTh, В45 (1988), № 2, 255-257 [89, 7В598].
ж)	В G нет подграфов типа •—*С/ с / >4 («сковорода»): S. Olariu // JCTh,
В47 (1989), № 2, 187-191 [90, 8В412].
и) В G нет подграфов типа С4 и	(«лотос»): Xue Quinbo //
ASUIa, 4(1995), 65-71 [97, 6В274].	_
11	(теоретическая проблема). Подобно классу Hq(/) из §3.8 исследовать
воображаемый класс М таких несовершенных графов без дырок и антидырок,
с наименьшим числом вершин, которые обладают наибольшим количеством
ребер; чем обусловлена дополнительная трудность выявления свойств критич-
ности графов из М по сравнению с графами классов Н0(у)? Изучить также
класс М (по аналогии с упражнением 29 к § 3.8).
12.	Пусть — граф с п вершинами хь х2, •••» хп и ребрами х,ху, где
0 *Ф “./!<£, причем индексы берутся по модулю п. Гипотеза Бержа равно-
сильна следующей: если G — минимальный несовершенный, то в нем есть суграф
408
Основы теории графов
вида C^J). V. Chvatal // JCTh, В20(1976), № 2, 139-141 [76, 12В599; 54Я129].
См. также эквиваленты и модификации гипотезы Бержа [УС].
13.	В ряде работ доказаны те или иные ослабленные версии гипотезы Бержа
[УС]. Среди результатов отметим следующий: если в G каждый простой цикл не-
четной длины > 5 имеет хотя бы две диагонали, то G е Р.
14.	Если в графе G = (Х, U) нет простых циклов нечетной длины не менее 5
без диагоналей, а для любых х, у, z el, таких что ху, yz eU, имеют место
£ (G\xy)>£ (G) и £ (p\yz )>£ (G), то xz eU. С.Е. Маркосян // ДАН АрмССР,
60(1975), № 4, 218-223 [76, ЗВ554].
15.	Доказать, что граф, все вершины которого собственные, является
кусочно полным (см. упражнение 4 к § 1.3).
16.	а) Всякая вершина и всякое ребро /-связного триангулированного гра-
фа принадлежат некоторой его (/ + 1)-клике;
б)	каждый 2-связный граф GeT с <p(G)<3 планарен;
в)	любой 3-связный планарный триангулированный граф можно получить
из F4 последовательным делением граней;
г)	любой 2-связный планарный триангулированный граф можно получить
сшиванием по 2-кликам (см. упражнение 11 к § 1.5) из 3-связных планарных
триангулированных графов и графов п. б). G. Balconi // Bull. Unione mat. ital.,
11 (1975), № 2, 346-353 [76, ЗВ551].
д)	G e T тогда и только тогда, когда G изоморфен графу пересечений под-
деревьев некоторого дерева. G. FaniOa // JCTh, В16(1974), № 1, 47—56
[48#10868].
17.	Доказать, что если клика F графа G еТ максимальна по включению и
не содержит собственных вершин (чьих?), то G = MFP, где М, Р ^0. В.И. Воло-
шин, И.М. Горгос // ГГиДОЗ, 1982, 30-33 [82, 6В677].
18.	а) Многочлен Р (х) степени п является хроматическим многочленом
Т (G, х) некоторого графа G е Т (см. упражнение 8 к § 1.4, а также начало
§ 1.10)1 тогда и только тогда, когда корнями Р (х), возможно кратными, служат
все целые числа отрезка [0, у-1] и только они; при этом y=/(G).
б)	Пусть Л,- — кратность корня х = /е[0, у -1] хроматического многочлена
Т (G, х), GeT, а
(G)
f2 (G)
fr (О
Ао
А1
А/-1
Тогда f = М (и Л = В.И. Волошин // ГГиДОЗ, 1982, 24-29 [82, 6В609].
1 Только здесь и в следующем упражнении мы обозначаем светлыми буквами Р и Т
многочлены, чтобы не спутать их с классами графов.
Глава 3. Цикломатика
409
19.	а) Пусть G=MNPeV\ чотж Т (G, x)T(N, х) = Т(Л/, х)Т(Р, х).
Вывести отсюда соотношение между многочленами Г (G, х), Г (Af, х), Г (Р,
х) и Г (N, х), воспользовавшись взаимосвязью многочленов Г и Т (упражнение
86 к § 1.4).
6)	Пусть G= (У, {/)еТ, Ус%, 6/ = (А\, Ц) — компоненты связности под-
графа G\Y, a Gy и G, — подграфы G, порожденные множествами вершин Y и
/с
Х,иг 0 = 1, 2, .... к). Тогда Т (G, х)=ПТ(<?„ x)/T(Gr, х/*1. В.И. Волошин
[82, 8В545; 83е#05056].	1=1
20.	Известно (см. упражнение 6 к § 2.3), что если в графе G сначала найти
наибольшую груду Е1 и окрасить ее вершины цветом 1, затем в подграфе GVE1
найти наибольшую груду Е2 и окрасить ее вершины цветом 2 и т. д., то полу-
ченная таким способом раскраска вершин не обязательно будет наименьшей.
Почему там не проходит рассуждение, с помощью которого в доказательстве
теоремы 3.10.12 устанавливается, что сходный процесс разборки графа GeT
приводит к числу у (G)?
21.	Пусть К — класс обыкновенных графов G, у которых каждый подграф
G' обладает вершиной, собственной в G' или в GДоказать, что TczK, TczK
и К\Р*0.
22.	Граф, допускающий разборку по вершинам, собственным в подграфе
разборки или в его дополнении (на каждом этапе), называется квазитриангули-
рованным, а граф, каждая вершина которого принадлежит некоторому Ск и
некоторому С/ (к, />4), — решетчатым. Следующие три высказывания о про-
извольном обыкновенном графе G равносильны: (a) G — квазитриангулиро-
ванный граф; (б) G не содержит решетчатых подграфов; (в) G можно разо-
брать по вершинам, каждая из которых не принадлежит некоторому Ск или
принадлежит некоторому С/ (к, />4). И.М. Горгос [84, 11В494 Деп].
23.	Изображая линейно упорядоченное
множество (А/, <) в виде числовой оси, а ин- \	/
тервалы этого множества в виде ее отрезков,	\/	\/
убедиться в справедливости включения IcT V	7	Js.
(значит, и I сТ). Показать, что на самом де- \	X.
ле оба включения строгие, поскольку каждый V	Ч
из графов рис. 3.10.6 принадлежит ТПТ, но	Рис. 3.10.6
не принадлежит ни I, ни I.
24.	G е I & G е I тогда и только тогда, когда обыкновенный граф G
является полярным (см. упражнение 5 к § 1.2). С. Benzaken, P.L. Hammer,
D. de Werra // DM, 55(1985), № 2^ 123—127 [86, 2В700].
25.	Если Gel, п = п((3) и y=y(G) — кликоматическое число графа G, то
m (G)>^n~|y^(y -1). Ch. Maas // J. Comput and Appl. Math., 10(1984), № 1,
65-69 [85, ЗВ455].
410
Основы теории графов
26.	Выполняется параллельно несколько работ. Каждая работа разделена
на этапы, причем моменты времени, отделяющие два последовательных этапа,
могут выбираться в пределах некоторого интервала. Требуется общий срок вы-
полнения всех работ разбить на отрезки с помощью наименьшего числа точек
деления таким образом, чтобы для каждой работы границы ее этапов можно
было выбрать только из этих точек.
Для эффективного решения этой задачи М.Э. Дохтманов сводит ее к на-
хождению хроматического числа вспомогательного графа из класса I, а
В.И. Волошин — к нахождению кликоматического числа графа из Т (Кишинев-
ский семинар, февраль 1982 г.). Предлагается воспроизвести оба способа и
сравнить их друг с другом.
См. также: А.Б. Зинченко // Изв. вузов Сев.-Кавк, региона, Естеств. н.,
1999, №4, 10-12 [00, 9В257].
ГЛАВА 4
ОРИЕНТАЦИЯ
§4.1. КОНЕЧНЫЕ ГРАФЫ ОБЩЕГО ВИДА
Первым делом предложим читателю возобновить в памяти при-
мер из начала введения (рис. 0.1), поясняющий те понятия, которые
нам теперь предстоит определить формально. Граф общего вида —
это упорядоченная тройка
G = (X, U,
где X — непустое множество вершин, U — множество ребер (оба
конечные, если нет особой оговорки), а отображение
у-, и->хиui2
относит каждому ребру и элемент <//(и) одного из трех множеств:
множества ХР1 =ХР) упорядоченных пар различных вершин, мно-
жества УР1 неупорядоченных пар различных вершин, множества
X2 пар вида хх (или хх, что то же самое), где хе У; третье множест-
во находится в очевидном взаимно однозначном соответствии с X,
однако мы пишем двойку наверху, поскольку в дальнейшем X будет
обозначать совсем другое. Эти три множества попарно не пересека-
ются и в объединении дают всё U.
Ребро ueU является дугой, звеном или петлей графа в зависимо-
сти от того, какому из трех множеств принадлежит i/z (и); естествен-
но вводятся обозначения:
^={wet//^(w)e^Pl} — множество всех дуг,
U = {и е U / у/ (и) е X И} — множество всех звеньев,
о	о
U={u&V 1^(и)еХ2} — множество всех петель графа G;
m(G)=0|, ™(G)=|6i, m(G)=\U\.
Прежние обозначения п (G) =|У| и т (G) =|С/| остаются в силе; очевид-
но, m(G)=m(G) + m(G) + m(G).
412
Основы теории графов
Вершина х и ребро и инцидентны, если xei//(u), где пара i//(w)
рассматривается как множество своих элементов (двух или одного).
При этом в случае у/(и)=ху &х*у дуга и исходит из вершины х и
заходит в вершину у:
Определения части, подграфа, суграфа и изоморфизма для гра-
фов общего вида дословно заимствуются из § 2.7, а проблемы изо-
морфизма и изоморфного вхождения (в разных смыслах) без труда
сводятся посредством конструкции Визинга и ее незначительных
модификаций к нахождению плотности вспомогательного обыкно-
венного графа, как описано с достаточной общностью в § 1.6; см.
также В.М. Курейчик, А.Г. Королев [77, 2В471]. Алгоритм для изо-
морфизма орграфов, не связанный с конструкцией Визинга, предла-
гают В.О. Кохов, В.О. Лазарев, О.Ю. Шамраев [78, 10В672].
Граф G (общего вида) называется неориентированным, если
(?=0, и ориентированным, короче, орграфом, если U =0; в случае
U =0 к наименованию графа добавляются слова «без петель»1.
Графы, в которых на самом деле есть и дуги и звенья, встреча-
ются сравнительно редко, однако полностью исключать их из рас-
смотрения нельзя. Во-первых, одноколейная дорога с двухсторон-
ним движением — не то же самое, что двухколейная, поэтому весьма
употребительная замена звена парой противоположно направлен-
ных дуг не всегда сохраняет адекватность представления исходной
задачи посредством графа. Во-вторых, заметную роль в теории и
приложениях играют вопросы ориентируемости, когда требуется
каждому звену придать направление так, чтобы полученный орграф
обладал наперед заданными свойствами; часто при этом искомая
ориентация всего графа достигается не сразу, а шаг за шагом, по-
следовательным превращением звеньев в дуги, и тогда промежуточ-
ные графы нельзя отнести ни к ориентированным, ни к неориенти-
рованным. Желая подчеркнуть, что граф может оказаться и таким,
будем пользоваться термином «частично ориентированный граф».
Если в графе G = (X, U, у) звено и соединяет вершины х и у, то
операция ориентации этого звена от х к у состоит в замене G графом
G' = (X, U, у/), где у/'(и)=ху при у/(и)=ху (х*у) и у/'= цдя
1 Другой подход к описанию орграфов, основанный на обобщении бесскобочной
записи Лукасевича из математической логики, предлагает Ш.Е. Бозоян // ДАН
АрмССР, 76(1983), № 1, 22-26 [83, 8В551].
Глава 4. Ориентация
413
всех veU\{u}; при этомсГ =U U{«}, О' =U\{u}, U' -U. Обратный пе-
реход от G' к G означает дезориентацию дуги и. Орграф, полученный
из частично ориентированного графа G = (X, U, у/) каким-либо из
2т^ вариантов ориентации всех звеньев, можно обозначить через
3=(Х и, ^), а неориентированный граф, полученный из G дезори-
ентацией всех дуг (и определяемый по G однозначно), — через
G = (X, U, у/).
Определения маршрута, цепи, цикла, простой цепи и простого
цикла, а также связности, количества компонент, хроматического
числа, цикломатического числа и многие другие естественно пере-
носятся на частично ориентированный граф G с соответствующего
G. Например, последовательность	-
XOW]X1M2X2	(♦)
в случае x/=xq &/>1 является по определению простым циклом
(длины /) графа G, если та же последовательность служит простым
циклом в G. Теорема Кёнига (2.1.2) выглядит следующим образом:
если (и только если) граф G не содержит простых циклов нечетной
длины, то множество его вершин можно разбить на два непересека-
ющихся подмножества так, чтобы никакое ребро не содержало обо-
их своих концов в одном и том же подмножестве (в частности, G не
должен иметь петель). Для орграфов, кроме того, важны и специфи-
ческие понятия, учитывающие направление дуг; определения ормар-
шрута (в частности циклического), орцепи, орцикла, простой орцепи
и простого орцикла отличаются от соответствующих (без приставки
«ор») определений §§ 2.1. и 2.7 лишь тем, что теперь для последова-
тельности (♦) требуется в случае / > 1 выполнение условия ц/ (и,) =
=*|С1Х(- при всех 1 = 1, 2,..., /, т. е. если и, — дуга (х, *х(_]), то ее ори-
ентация должна быть согласована с направлением обхода всего
маршрута, диктуемым записью (*). Столь же естественно определя-
ются эйлеровы и гамильтоновы орцепи и орциклы (упражнения 3
и 8), а также панцикличность и у-панцикличность в ориентирован-
ном смысле [УС]. В тривиальном случае /=0 (xq =х/) имеем орцепь
нулевой длины, а петля вместе с инцидентной вершиной образует
орцикл длины 1. Важная лемма 2.1.1 очевидным образом переносит-
ся на ориентированный случай, даже с усилием ее второго утверж-
дения; именно, справедлива
414
Основы теории графов
ЛЕММА 4.1.1. Всякий ормаршрут содержит простую орцепъ с
теми же началом и концом. Всякий циклический ормаршрут содер-
жит простой орцикл, и если длина ормаршрута нечетна, то среди
таких орциклов есть хотя бы один нечетной длины. Всякий орцикл
содержит простой орцикл, проходящий через любую наперед выбран-
ную дугу исходного.
Вводить особую терминологию для маршрутов разных типов
(учитывающих направления дуг) в частично ориентированном гра-
фе мы не будем, а при модификации определений степени и валент-
ности вершины тоже ограничимся орграфами. Пусть для орграфа
G=(X, U, у) и его вершины хе У:
С7+ (x)=U^ (х)={иеб/Ву[у/(w)=xy]} — множество дуг, исхо-
дящих из х;
U~ (x)=Uq (x)={vel}lBz[y(v)=zx]} — множество дуг, заходя-
щих в х;
U (х) =UG (х)={u?e U/ у (w)=хх} — множество петель при х. Числа
5+ (x)=s+ (G, x)=\U+ (х)| и 5" (x)=s~ (G, х)=|(7- (х)|
называются соответственно степенью исхода и степенью захода вер-
шины х, а 5° (х)=5° (G, х)=|(/ (х)| выражает количество инцидент-
ных ей петель. При л+ (х)=0 вершина х называется тупиком, а при
(х) = 0 — почином; если к тому же 5° (х) = 0, то тупик или почин
строгий. Определим еще валентность исхода и валентность захода
вершины х в G:
v+ (x)=v+ (G, x)=S+ (x)+5° (x), v~ (x) = v~ (G, x)=s~ (x)+s° (x).
В дальнейшем понадобятся и такие обозначения: для любой хе У
Гх = Г G х={у е У / Э и е С? U U [ у (и) = ху ]},
Г"1х = Г^1х={z е У !3ve^\jU[y(v)=zx]}
(каждое из отображений Г, Г-1 относит вершине некоторое подмно-
жество вершин), а для любого У с У
ry = rGy= и Гх, Г-'У^Г^’У^ и Г4х (Г0 = Г~10=0).
xeY	xeY
Глава 4. Ориентация
415
Мы уже видели, сколь важную роль в классе неориентирован-
ных графов (мультиграфов) играет подкласс обыкновенных графов;
столь же важное место среди орграфов принадлежит графам Бержа,
характеризуемым тем, что из каждой вершины в каждую другую
может идти не более одной дуги, а при каждой вершине может быть
не более одной петли. Следуя книгам Бержа, будем записывать
такой граф в виде G = (X, Г), где X*0 — множество вершин, а
Г:Х-+2х — отображение, относящее каждой хеХ подмножество
Гхс X тех вершин, в которые из х идет дуга или петля. Это отобра-
жение совпадает с Г, определенным выше, но теперь в отличие от
общего случая задает граф (на данном множестве вершин) одно-
значно с точностью до наименования дуг и петель; для полной од-
нозначности можно в случае у е Гх саму пару ху считать дугой, если
х*у, и петлей, если х=у, поэтому допустима запись G = (X, U), где
U ={ху/х, уеХ&уе Гх}. Например, для графа G рис. 1.6.9 в упраж-
нении 1 к § 1.6
X={а, Ь, с, d}, Та={а}, ГЬ={а, Ь, с}, Гс={а, b}, rd=0,
откуда V=(ba, 6с, са, cb}, U ={аа, bb} и U =U U#.
Граф G' = (X', Г') есть часть графа Бержа G=(X, Г), если Х'с.Х
и Г'хаГхПХ' для любой хе А". При-¥'=.¥ (тогда просто Г'хсГх)
имеем суграф, а при Г'х = ГхПАг' — подграф. Определение изомор-
физма выглядит следующим образом: графы G = (X, Г) и G' = (Х', Г')
изоморфны (<7 -G'), если существует взаимно однозначное соответ-
ствие т: Х^Х' такое, что
Vx, уеА^уеГхс^т(у)еГ'т(х)].
Граф Бержа G=(X, Г) с X={x], х2, ..., х„} удобно задавать
матрицей смежностей А = А ((7) =||а(у ||£, где
fl, еслих.еГх,-,
СК •• ==<	J
,J [О, если Ху ^Гх, ;
как и в случае обыкновенных графов, матрицы смежностей изомор-
фных графов Бержа переводятся друг в друга перестановками рядов
(§ 1.3). Если все ау,- =а(у, т. е.
416
Основы теории графов
Ух, уеХ (у еГх=> хеГу),
то граф Бержа называется симметрическим, а если всегда aJt- -а у =0,
т. е.
Vx, уеХ (у е Гх=> х£ Гу),
то антисимметрическим', первое означает, что вместе с каждой
дугой в графе есть и противоположная, а второе — что никакая пара
вершин не может соединяться сразу в обоих направлениях. В
частности, антисимметрический граф не имеет петель — иначе при
у-х получили бы противоречие.
Пусть L — некоторый класс графов общего вида. Граф G = (X, U,
у/)е L называется полным (в классе L), если U состоит из всех ребер,
какие вообще может иметь граф класса L с заданным множеством
вершин X. Так, полные обыкновенные графы нам хорошо известны,
полные графы Бержа — это то же, что полные симметрические гра-
фы Бержа, и с ними мы тоже встречались (§ 1.6), а полные антисим-
метрические графы Бержа, называемые также турнирами, характе-
ризуются тем, что у них нет петель и каждая пара различных вер-
шин соединена дугой ровно в одном направлении. Класс турниров
заслуживает по меньшей мере специальной главы, но мы вынужде-
ны ограничиться лишь эпизодическими упоминаниями. Заметим,
что именно на графах этого класса получено достаточно веское
опровержение вершинной гипотезы Улама для ордеревьев [УС]. Одна-
ко известные примеры невосстанавливаемости не переносятся на
N-восстанавливаемость — изоморфную определяемость орграфа
G-(X, U) по набору троек {G\x, s+ (х), s~ (х)} для каждой хеХ
(S. Ramachandran // DM, 46 (1983), № 3, 279-294 [84, 3B60IJ). В клас-
сах графов общего вида, всех неориентированных и всех орграфов
понятие полноты не имеет смысла.
Роль графов как рабочего аппарата анализа и синтеза конечных
автоматов особо подчеркнута в статье В.К. Кабулова (Изв. АН Узб.
ССР, 1965, № 5, 17-22 [66, ЗВ 193]) и книгах: В.К. Кабулов. Лекции
по цифровым автоматам. Ташкент, 1966; А.Н. Мелихов. Ориентиро-
ванные графы и конечные автоматы. М.: Наука, 1971 ([71, 10В573]);
см. далее: A. Adam // Acta cybern., 6 (1984), № 4, 331—346 [85, 5В588].
Язык орграфов часто бывает удобен для описания различных
упорядочений множества. Напомним, что бинарное отношение < на
множестве X называется частичным порядком, если
Глава 4. Ориентация
417
(a)	VxgA" (х<х);
(б)	Vx, у9 zeX (х<у &y<z x<z);
(в)	Vx, ye X (х<у &у <х => х=у).
В частично упорядоченном множестве (Х9 <) элемент х предшеству-
ет элементу у, если х , притом строго предшествует, т. е. х <у, при
х<у&х*у; можно говорить также, что у следует (строго следует)
за х, и писать у>х (соответственно у>х). Элемент, не имеющий
строго предшествующих, называется минимальным, а не имеющий
строго следующих — максимальным. Элементы х и у9 для которых
x<j>vy<x, называются сравнимыми; очевидно, различные мини-
мальные элементы, как и различные максимальные, не сравнимы
друг с другом.
Исходя из аксиом (а), (б), (в), тривиальных истин типа х = х и
определения отношения <, нетрудно доказать, что последнее
удовлетворяет условиям
(а'в') Vx, уеХ~](х<у &у <х),
(б') Vx, у9 zeX (x<y&y<z => x<z);
наоборот, взяв за основу отношение < на множестве Х9 удовлетво-
ряющее аксиомам (а'в') и (б'), и полагая х<у <^>х<у vx=y, можно
вывести (а), (б) и (в). Оба доказательства предоставим читателю как
весьма полезное упражнение по алгебре и математической логике.
Вводя отображение Гх={уеХ/у>х} (хеХ)9 мы превращаем
частично упорядоченное множеств (У, <) в граф Бержа G = (X9 Г),
который в силу (а'в') будет антисимметрическим, а в силу (б') —
транзитивн ым:
Vx, у9 zeX (yeTx&z еГу => zgTx);	(**)
наоборот, всякий транзитивный антисимметрический граф Бержа
определит частичный порядок на множестве своих вершин, если по-
ложить х<у<=>уеГх (и, следовательно, х<у 6 Гхvy =х). Два
элемента множества (X, <) сравнимы, когда они как вершины графа
либо соединены дугой, либо совпадают, а графом сравнимости час-
тично упорядоченного множества (Х9 <) называется обыкновенный
граф с множеством вершин Х9 смежность которых означает их срав-
нимость; в упомянутом же выше графе Бержа G минимальные эле-
менты множества (Х9 <) являются починами, а максимальные — ту-
пиками. Просто граф сравнимости — это обыкновенный граф G,
418
Основы теории графов
изоморфный графу сравнимости какого-нибудь частично упорядо-
ченного множества, а граф частичного порядка — транзитивный ан-
тисимметрический граф Бержа (г, полученный из G надлежащей
ориентацией ребер. (О графах G, допускающих единственную такую
ориентацию — точнее, две, получающиеся друг из друга заменой
каждой дуги на противоположную, — см.: М. Aigner, G. Prins //
J. London Math. Soc., 3(1971), № 2, 260-266 [72, 1B581].)
Частичный порядок < называется линейным, если он удовлетво-
ряет дополнительному условию
(г)	Vx, уеХ (x<^v^<x),
т.е. если любые два элемента в (X, <) сравнимы; то же условие в
терминах отношения < выглядит следующим образом:
(г7) Vx, у^Х (х<у vx>j vx=^)J
Поэтому граф Бержа G = (X, Г), определяющий на множестве X ли-
нейный порядок, должен кроме антисимметричности и транзитив-
ности удовлетворять условию
Vx, у&Х (хе Гу Гх);
такой граф представляет собой транзитивный турнир и определяет-
ся изоморфно количеством своих вершин (см. рис. 4.1.1 для п (G) =5);
___. --доказать это в общем случае не-
трудно: G имеет единственный по-
чин хо» подграф бЛхо снова явля-
*4. -^-2-^---^ 3——“Jr 5 ется транзитивным турниром и
т. д. (J. Sedladek // Casop. p&tov.
Рис 41.1	mat., 82 (1957), № 2, 195-215
[59, 1, 186; 19#442]).
Пусть (М, <) — какое-нибудь линейно упорядоченное множество
(например числовая ось), а а, реМ. Интервалом (а, /?) называется
подмножество
(а, р)={^еМ/а<^</3}\
оно заведомо пусто при а > р. Если (а, р) =0, но а < Р, то элемент а
непосредственно предшествует элементу р (или, что то же, Р непо-
1 Точнее, система аксиом (а), (б), (в), (г) равносильна системе (а'в}, (б*), (г*); доказа-
тельство опять предлагаем читателю.
Глава 4. Ориентация
419
средственно следует за а ). Пусть далее X={х, =(az, Pi)l 1} — не-
которая система непустых интервалов множества (М, <); здесь луч-
ше говорить именно «система» (или «семейство»), а не «множество»,
поскольку для различных элементов i и j индексного множества /
интервалы и Xj на самом деле могут совпасть (если а, =ау и
Pi=Pj). Полагая
X, <xj о Pi <ajt
определим на X частичный порядок, называемый интервальным.
Ясно, что при этом два интервала, считаемые разными элементами
системы X, будут сравнимы тогда и только тогда, когда их пересе-
чение пусто.
Граф Бержа G называется графом интервального порядка, если
существуют такое линейно упорядоченное множество (М, <) и такая
система X его непустых интервалов, что граф (X, Г), определяемый
соответствующим интервальным порядком на X, изоморфен G.
Критерий принадлежности графа этому классу нашли независимо в
разной форме Б.Г. Миркин [71, 4В526] и Фишберн; нижеследую-
щая теорема отражает в терминах графов Бержа первую форму, а
второй посвящено упражнение 13; см. также: H.J. Burscheid //
Math.-phys. Semesterber., 20 (1973), № 1, 72—85 [73, 10В359] и упомя-
нутую в конце §3.10 книгу Миркина и Родина.
ТЕОРЕМА 4.1.2. Граф Бержа G = (X, Г) является графом интер-
вального порядка тогда и только тогда, когда он антисимметричен,
транзитивен и удовлетворяет условию
Чх, уеХ (ГхсГу vTycEx).	(♦♦♦)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если G — граф интервального порядка,
т. е. определяется какой-то системой X непустых интервалов некото-
рого линейно упорядоченного множества (М, <), то G антисиммет-
ричен и транзитивен (как граф частичного порядка), а выполнение
условия (***) почти очевидно: для любых х = (ах, Рх)н у = (ау, ру)
из X справедливо Рх > ру или Ру > Рх (в смысле порядка на множе-
стве (М, <)); но при всяком z=(az, Д2)сХ в первом случае имеем
Рх <az => Ру <az, т. е. z е Гх=> z е Гу, или Гх с Гу, а во втором слу-
чае ру <az => Рх <az, т. е. z е Гу => z е Гх, или Гу а Гх (поскольку z
произвольно).
420
Основы теории графов
Пусть теперь граф Бержа G = (У, Г) удовлетворяет всем услови-
ям теоремы. Выберем в качестве (М, <) действительную числовую
ось (можно ограничиться рациональными числами или даже числа-
ми вида п и «4-1/2, где п — целые неотрицательные) и покажем, как
по G построить соответствующую систему интервалов (их концами
будут служить целые неотрицательные числа).
Условие (♦♦*) означает, что множества Гх (для всех хе X) линей-
но упорядочены отношением включения с. Пусть среди этих мно-
жеств имеется ровно к различных, отвечающих вершинам, скажем,
X], х2, ..., х^, причем
Гх] оГх2 э.-.зэГх^ .	(1)
Тогда Yxk =0, ибо при хе Гхд. в силу (**♦) и того, что хй Гх (ведь
граф G антисимметрический!), должно быть Гхк зэГх вопреки ми-
нимальности множества Гхк в цепочке (1).
Множества упорядоченной системы Р={Х0, Х\,	Х^_1),где
^.ХЛГх}, Xj =Гх(- \Гх(+1 при i=l, ..., к-1,
служат классами разбиения для X. Действительно, непустота X, при
/=0 следует из того, что Х1йГх], при i = l, ..., Л-1 — из строгости
включений в (1), а то, что множества Xj попарно не пересекаются и
в объединении дают всё X, непосредственно ясно из их определения.
Другое разбиение X на непустые попарно непересекающиеся классы
представляет, очевидно, система Q={Y], У2, ..., Yk}, где
Yj ={xeX/rx = Txj}, j = i, 2, ..., к.
Для каждой вершины х е X существует единственная такая пара
~у, что хе Xi ПКу. Пользуясь правом замены графа G на изоморф-
ный, будем считать, что вершинами х служат соответствующие
интервалы (/', у) числовой оси, и покажем, что система интервалов
x={i, j)l хеХ}, где роль индексного множества I играет само X,
определит в качестве графа интервального порядка именно
G = (X, Г).
Предварительно заметим, что из определения системы Р и из
Гхк =0 следует
к
Yxi=\JXi, i=l, ..., к-1;	(2)
i'-i
Глава 4. Ориентация
421
далее
J-1
r^Ulp i = l,	fc-1, к,	(3)
i=0
ибо при наличии вершины уеХ,Г\Yj, где i>j, из определения Q
вытекало бы Гу = Гх? и, благодаря (1), Гх,- с Гу, а с другой сторо-
ны, у е Гх,- согласно определению Р, откуда у е Гу, что невозможно.
Если теперь x = (z, j)e X, то на основании (3) имеем i< j, поэтому
в силу выбора множества М все интервалы системы X непусты.
Осталось показать, что если x = (z, у) и y = (i', j') — две вершины G,
то у е Гх о i' > j. Но предполагая у е Гх, получим у е Гху, а так как
уеУ,-', то z"> j в силу (2); наоборот, предполагая z'> у, будем иметь
у е Х^ с Гху на основании (2), а так как Гху- = Гх, то у е Гх. Теорема
доказана.
П ример. Пусть дана система
интервалов Х={а, b, с, d, е, f, g, h}, а__	*	8
изображенная на рис. 4.1.2 (по понят- ____*_______ *
ной причине интервалы мы рисуем не	—£— _________L_____
на самой оси); построим соответству------------------------->
ющий граф G = (X, Г) интервального
порядка. Выявляя для каждого интер-	ис’
вала все сравнимые с ним и расположенные правее его, можно сразу
записать отображение Г:
ra={d, е, f, g, h}, ГЬ={е, g, h}, Yc-{d, e, f, g, h},
Yd={g, h}, Ye={g, h}, rf = Vg = rh=0.
Теперь, наоборот, допустим, что первоначально задан граф Бер-
жа G = (X, Г) с написанными выше X и Г. Предоставив читателю
проверку того, что G удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1.2
(упражнение 16), займемся построением соответствующей системы
интервалов на числовой прямой.
Выбрав, например, Х\=а, x2=b, x3=d, x$=f, будем иметь
Гх| id Гх2 э Гхз z> Гх4 =0, &=4; находим
Х0 = {а, b, с}, Xx = {d,J}, Х2 = {е}, X3 = {g, h},
Yj={a, с}, Y2 = {b}, Y3 = {d, e}, Y< = {f, g, h}.
422
Основы теории графов
Так как аеПУ1, то вершине а отвечает интервал (0, 1); аналогич-
но получаем b ~ (0, 2), с ~ (0, 1), d~ (1, 3), е ~ (2, 3),/~ (1, 4), g ~ (3, 4)
и h ~ (3, 4). Построенная система не совпадает с исходной, но отно-
шение интервального порядка на ней то же самое.
В заключение параграфа отметим, что определение транзитив-
ности (*♦) применимо к любому орграфу G = (X, U, у/). Из него, в
частности, следует, что если транзитивный орграф G содержит ор-
цикл, то при каждой вершине этого орцикла должна быть хотя бы
одна петля.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что в орграфе без простых циклов длины более 1 всегда есть
хотя бы один тупик и хотя бы один почин, и выяснить, в каком случае они сов-
падают. Показать, что здесь конечность графа существенна, и привести приме-
ры бесконечных орграфов, для которых утверждение неверно.
2.	Показать, что для любого орграфа G = (¥, U, I//)
2>+(х)=	(x) = m(G) и 2>+(х)= £i>-(x) = zn(G)+m(G).
хеХ хеХ	хеХ хеХ
3.	Дать определение эйлеровой орцепи и эйлерова орцикла и перенести
результаты §2.8 на орграфы.
4	(теоретическая проблема). Перенести результаты об эйлеровых цепях и
циклах на частично ориентированные графы, считая, что в любой цепи (♦)
должно быть
^(ц)=
при ц
при ц е (7,
при цеи
(/ = 1, 2, ..., /).
Указание: предварительно выяснить, в чем трудность проблемы и
почему нельзя использовать в готовом виде результаты упражнения 3 (путем
замены каждого звена парой противоположных дуг).
Частичное решение: Е.О. Басангова [85, 6В579 Деп].
5.	Пусть G=(X, U, у) и G' = (X, U, у/') — орграфы без петель, с общими
множествами вершин и дуг. Если посредством преобразований, показанных на
рис. 4.1.3, можно превратить G в G\ то, очевидно,
Глава 4. Ориентация
423
Рис. 4.1.3
Vxe У {5+ (G, х) = 5+ (G', х) & s~ (G, x) = s~ (G', х)}.
а)	Доказать обратное утверждение: если G и G' (с общими множествами X
и U) удовлетворяют написанному условию, то их можно перевести друг в друга
конечным числом преобразований указанных двух типов (и, быть может, пере-
именованием дуг); сравнить с упражнением 4 к § 1.2 и с преобразованиями
графов в § 3.1.
б)	Выяснить, в каких случаях при получении G' из G можно обойтись без
преобразований второго типа (переориентаций «ортреугольников»).
в)	Перенести эти результаты на орграфы общего вида (с петлями). Дать
соответствующие определения.
7.	Доказать, что в л-вершинном графе Бержа без орциклов длины 3 число
ребер не превышает |_zz2/2j. W.G. Brown, F. Harary // Comb. Theory and its
Appl. North-Holland Publ. Co. Math., 1 (1970), 135—138; M.R. Sridharan П J. Indi-
an Inst. Sci., 59(1977), № 10, 111-112 [78, 7В821].
8.	Перенести на орграфы определение стягиваемости и доказать, что при
(6)>2 & Г" (G)>2 орграф G можно стянуть на "fry Р. Duchet, V. Kaneti //
DM, 65(1987), № 1, 95-98 [87, 10В656].
9.	Дать определения гамильтоновой орцепи и гамильтонова орцикла в
орграфе, а также декартова произведения графов Бержа. Доказать, что такое
произведение более двух простых орциклов имеет гамильтонов орцикл. S. Cur-
ran, D. Witte // Cycles Graphes. Amsterdam e.a., 1985, 35—74 [87, 6В620].
10.	Ордерево 7 =(У, ^) без орцепей длины 2 (т. е. такое, что Vx е X [5+ (?,
x) = 0vy (7*, х) = 0]) изоморфно входит как подграф в любой л-вершинный ор-
граф без петель, имеющий не менее 4л-ш (7*) ребер. S.A. Burr // Canad. Math.
Bull., 25(1982), № 1, 119-120 [82, 9В493].
11.	Дать определение стягивания дуги орграфа и доказать, что л-вершин-
ный граф Бержа, имеющий не менее, чем 5л-8 дуг, можно посредством стягива-
ний (и удалений элементов) превратить в орграф 7м, получаемый из 4-клики
заменой каждого звена парой противоположно направленных дуг: Р. Duchet,
V. Kaneti // DM, 130(1994), № 1-3, 57-68 [95, ЗВ230].
12.	Для любого орграфа G-(X, U) без петель существует ^-однородный
орграф Gs без петель с n(ps)<s+ 1, где л’ = тах{л+ (G, х), s~ (G, х)}. F. Harary,
R. Karabed // Canad. Math. Bull., 27(1984), № 2, 129-133 [85, 5В536].
13.	Доказать, что обыкновенный граф является графом сравнимости тогда
и только тогда, когда его можно ориентацией ребер превратить в транзитивный
орграф (графам, допускающим такую ориентацию, специально посвящен § 4.5).
424
Основы теории графов
14.	М. PetkovSek [84, 8В453] охарактеризовал те G, для которых L(G)
является графом сравнимости.
15.	Доказать, что теорема 4.1.2 остается в силе, если условие (♦§ **) заменить
на Vx, у, z,t<=X (у е Гх&1 е Гг => у g Tz VZ е Гх). Р.С. Fishburn // J. Math.
Psychol., 7(1970), № 1, 144—149 [70, 9В296].
16.	Проверить непосредственно, что граф G=(X, Г) из примера в тексте
удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1.2, а также условию в упражнении 15.
На простейших примерах графов, не удовлетворяющих какому-либо из этих
условий, посмотреть, где именно дает осечку тот способ построения системы
интервалов, с помощью которого доказана теорема 4.1.2. Верна ли она для
графов с бесконечным множеством вершин?
17.	Пусть G =(У, Г) — граф интервального порядка. Доказать, что соответ-
ствующую систему интервалов числовой оси можно выбрать так, чтобы ника-
кой интервал не содержался в другом (в частности, не совпадал с ним), в том и
только том случае, если выполнено любое из двух равносильных условий:
Vx, у, z, t еХ (у е Гх&г еГу => z еП vt еГх),
Vx, у, е X (Гх с Гу v Г“!х с Г“\у).
F.S. Roberts (J. Math. Psychol., 7 (1970), № 2,243—258), В.А. Коган (книга Мирки-
на и Родина). См. далее: M.Ch. Golumbic, D. Rotem, J. Urrutia [83, 5B544;
84j#05098]; P.C. Fishbum//DM, 55 (1985), №2,135-149(85,12B557], [86,4B680K].
18.	Распространить определение транзитивности на частично ориентиро-
ванные графы.
§ 4.2. ДОСТИЖИМОСТЬ
Говорят, что в графе G вершина у достижима из вершины х,
если существует хотя бы один ормаршрут из х в у; благодаря лем-
ме 4.1.1 это равносильно наличию орцепи и даже простой орцепи
из х в у. Через D(x)=D(G9 х) обозначаем множество вершин оргра-
фа G, достижимых из его вершины х, а через D~} (x)=D~} (G, х) —
множество тех вершин, из которых достижима х. Так как триви-
альный маршрут нулевой длины тоже относится к орцепям, то все-
гда хе/)(х) (и хе/)"1 (х)), в силу чего наличие петель никак не
влияет на достижимость. С этой точки зрения безразлично также,
идет ли из х в у одна дуга или несколько параллельных. Поэтому
в вопросах достижимости можно под орграфом понимать граф
Бержа без петель; класс всех таких графов обозначим через S.
Глава 4. Ориентация
425
Мы уже видели, что отношение достижимости рефлексивно; в си-
лу леммы 4.1.1 оно тоже также транзитивно: у е D (х) & z е D (у) вле-
чет zeZ>(x). Отношение взаимодостижимости xeD(y)&yeD(x),
обладая обоими этими свойствами, еще и симметрично, т. е. пред-
ставляет собой эквивалентность, вследствие чего множество вершин
распадается на попарно непересекающиеся классы взаимодостижи-
мых; подграфы, порождаемые этими классами, называются бикомпо-
нентами орграфа G, а их количество обозначается через х = 5(G).
При x(G)=l орграф G бисвязен-, построение одного из подклассов
таких графов см. в упражнении 2, но весь класс в целом столь же
«необозрим», как и класс всех связных обыкновенных графов.
В отличие от обычных компонент (которые __________
порождаются в G множествами вершин компо-	——---------^7
нент графа G, полученного из G дезориента- /	1
цией), бикомпоненты орграфа G в общем слу-	,, у'	, >	|
чае не определяют разбиение множества его	j——---------*у
дуг, ибо последние могут соединять вершины
разных бикомпонент. На рис. 4.2.1 показан Рис. 4.2.1
орграф с тремя бикомпонентами — они порождаются классами вер-
шин {а, b, с}, {d, е} и {/}; но стоит лишь заменить дугу cf на проти-
воположную fc, как получим бисвязный орграф.
Дуга орграфа G называется орцикловой, если она принадлежит
некоторому простому орциклу в G.
ЛЕММА 4.2.1. Следующие пять высказываний о произвольных
вершинах х, у орграфа G равносильны:
(1)	хи у взаимодостижимы (принадлежат одной бикомпоненте);
(2)	D(x)=D(y);
(2') Л-’ (х)=Р-1 (у);
(3)	х и у соединены цепью, все дуги которой {если они есть, т. е.
х*у) — орцикловые;
(4)	если х*у, то существует такая последовательность
простых орциклов 51Л,...А , что ? 1 содержит х, 5 к содержит
у ив случае к > 1 при каждом i=1, 2, ... ,к -1 орциклы & и С t+1 имеют
хотя бы одну общую вершину.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) (2), так как из xeD(y)&yeD(x) в
силу транзитивности отношения достижимости следует, итоге
eD(x)=>z е D(y) и ге Л(у)=>ге Л(х) для любой z.
426
Основы теории графов
Эквивалентность (2) <=> (2') сразу получается переходом от исход-
ного G = & к орграфу переориентацией всех дуг, поскольку
D0, x) = D~' (G, х) и Р"1 0, x)=D& х).
(2)=>(3). Если D(x)=D(y), то в силу yeD(у)такжеyeD(x), т. е.
имеется орцепь (5] из х в у; по той же причине есть орцепь (52 из у
в х. Обе орцепи вместе составляют циклический ормаршрут, содер-
жащий, в частности, все дуги орцепи (5] (если они есть). Но в силу
леммы 4.1.1 каждая такая дуга принадлежит некоторому орциклу.
(3) => (4). Если Q — цепь из х в у, все дуги которой орцикловые,
то, выбирая (в случае х*у) для каждой из этих дуг содержащий ее
простой орцикл, получим искомую последовательность.
(4)=>(1) очевидно (оформление предоставим читателю).
Эта лемма дает сразу четыре критерия бисвязности орграфа,
каждый из которых состоит в том, что соответствующее условие (1),
(2), (3) или (4) должно выполняться для всех пар вершин х, у; еще
один критерий приведен в упражнении 3.
Чтобы характеризовать достижимость бикомпонент друг из
друга, Р. Hertz (Math. Ann., 87 (1922), № 3-4, 246-269) и Кёниг
относят орграфу G антисимметрический граф Бержа H(G) = (Z, Г),
вершинами которого z\, z2, ..., z-g (ж=ж(С)) служат бикомпонен-
ты исходного орграфа G, a Zj е Гг, тогда и только тогда, когда j*i
х и в G есть хотя бы одна дуга, идущая из i-й биком-
'ч /Г поненты в у-ю; будем называть Н (G) графом Герца
^2^ для Так, для орграфа рис. 4.2.1 его граф Герца
показан на рис. 4.2.2, а после переориентации у G
ис’	дуги cf граф Герца становится одновершинным.
Ни для какого G его Н (G) не может содержать орциклов (поче-
му?). Ввиду отсутствия у Н ((?) петель все его тупики и почины явля-
ются строгими. Тупиком в Н (G) служит такая бикомпонента оргра-
фа G, из которой не исходит наружу (т. е. в другую бикомпоненту)
ни одна дуга и которая за это называется тупиковой, а почином в
Н (G) служит базовая бикомпонента G, в которую не заходит извне
никакая дуга; ввиду конечности орграфа G и отсутствия орциклов в
Н (G), среди бикомпонент G всегда есть как тупиковые, так и базо-
вые (см. упражнение 1 к §4.1).
Подмножество Xq с X называется базой вершин орграфа
G = (X, U, <//), если каждая х е X достижима хотя бы из одной верши-
ны Xq, а различные вершины Xq недостижимы друг из друга. Это
Глава 4. Ориентация
427
понятие было введено П. Герцем при попытке применить орграфы
к исследованию аксиоматических теорий, и хотя сама попытка осо-
бым успехом не увенчалась, понятие базы (а в дальнейшем и раз-
личные его обобщения), как можно было ожидать уже из определе-
ния, оказалось важным и для самой теории орграфов, и для многих
ее приложений (например, к теории и задачам информационного
поиска, проектирования управляющих систем и др.). Полный обзор
всех баз вершин в заданном орграфе G дает
ТЕОРЕМА 4.2.2. Множество Xq тогда и только тогда является
базой вершин орграфа, когда оно образовано вершинами, взятыми по
одной из всех его базовых бикомпонент.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу определения базовой бикомпонен-
ты ни одна ее вершина не достижима извне, поэтому база вершин
орграфа G необходимо должна содержать вершины из каждой та-
кой бикомпоненты; выбрав ровно по одной вершине, получим мно-
жество Уо, различные вершины которого недостижимы друг из
друга. Так как каждая вершина Xq тривиально достижима из самой
себя, то остается доказать, что всякая xeXXXq достижима из ка-
кой-то Xq е Xq .
Если х принадлежит базовой бикомпоненте, то х достижима из
той ее вершины х0, которая была выбрана при построении множе-
ства Xq. Пусть теперь бикомпонента, содержащая х, не базовая,
т. е. изображающая ее вершина z в графе Герца H(G) не является по-
чином. Выбирая в H(G) какую-либо дугу z^z, заходящую в z, затем
для вершины zb если она не почин, — дугу z^zj и т. д., мы в силу от-
сутствия орциклов рано или поздно найдем такой почин zp, из ко-
торого в графе H(G) достижима вершина z; ясно, что в исходном
орграфе G вершина х достижима из той х0 е Xq, которая выбрана в
базовой бикомпоненте, изображаемой вершиной zp.
СЛЕДСТВИЕ 1. Все базы вершин одного и того же орграфа обла-
дают одинаковым количеством вершин.
СЛЕДСТВИЕ 2. (Я.М. Барздинь // Уч. зап. Латв, ун-та, 28 (1959),
33—44 [62, 5А293]). Для единственности базы вершин орграфа необхо-
димо и достаточно, чтобы все его базовые бикомпоненты были одно-
вершинными. Этим свойством, в частности, обладает всякий орграф,
не содержащий орциклов, в том числе граф Герца любого орграфа.
428
Основы теории графов
Воспользуемся понятием графа Герца для исследования воз-
можной структуры турниров (см. § 4.1); через ? -?п будем обозна-
чать любой л-вершинный турнир, и пусть Н (?) — его граф Герца.
Ввиду полноты F (в классе антисимметрических графов Бержа) его
Н (?) тоже полон, а это вместе с отсутствием орциклов влечет
транзитивность. Поэтому ? представляет собой результат подста-
новки некоторых бисвязных турниров ?\ ?2,	?^ вместо вер-
шин zb Z2, ...» в транзитивный турнир Н(?) с 1е=£(?) вер-
шинами, т. е. получается из Н (?) заменой каждой вершины zz со-
ответствующим турниром ?1, а каждой дуги y(yj совокупностью
всех дуг, идущих из вершин ?1 в вершины ? i. Поскольку структу-
ра турнира Н (?) целиком определяется числом ~х -~х (?) его вер-
шин (§4.1), проблема полного обзора турниров свелась к обзору
бисвязных.
Турнир, обладающий гамильтоновым орциклом, очевидно, би-
связен. Обратное утверждение (Р. Camion // C.r. Acad. sci. Paris,
249 (1959), № 21, 2151—2152 [62, 10A204 (реферат [61, 7A328] ошибо-
чен!); 23#A75], Cahiers Centre Etudes Rech. Oper., 1960, № 2, 5—36
[22#4645]; J.D. Foulkes [61, 12B120; 22#9456]) усилили F. Harary,
L. Moser (Amer. Math. Monthly, 73 (1966), № 3, 231-246 [67, 9B194]):
бисвязный турнир панцикличен в ориентированном смысле', точное
определение этого свойства (ср. с § 2.1) будет ясно из формулировки
следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 4.2.3. В бисвязном п-вершинном турнире имеются
простые орциклы любой длины от 3 до п включительно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G = (X,V) — бисвязный турнир,
тогда n=n(G) >3; ввиду отсутствия в нем тупиков и починов (и вви-
ду конечности) обязательно есть какой-то простой орцикл, а отсю-
да легко выводится (предоставим это читателю) существование про-
стого орцикла длины 3. Предположим теперь уже известным, что в
G имеется простой орцикл длины / >3, где / <п, и докажем сущест-
вование простого орцикла длины / + 1.
Случай 1: среди вершин G, не принадлежащих есть такая
z0, что на существуют вершины а и Ь, для которых dz^U и
z^gC?; тогда на орцикле (? легко обнаружить дугу а$Ь$ е ~U, начало
а$ и конец которой обладают тем же свойством, что и пара а, Ь.
Глава 4. Ориентация
429
Заменяя на С дугу а$Ь$ орцепью o^Zq zq ZqI>q Aq, получим op-
цикл длины / + 1.
Случай 2: таких z0 в G нет. Тогда для каждой вершины z, не
принадлежащей дуги, соединяющие ее с вершинами С? (а такая
дуга есть для каждой вершины (?, поскольку G — турнир), либо все
заходят в z, либо все исходят из z, причем ввиду бисвязности G вер-
шины обоих типов существуют и имеется дуга, идущая из какой-то
вершины Zj первого типа в вершину второго. Заменяя на (? лю-
бой участок вида ааЬЬЬсс орцепью aaz\ z\ zj[z2 z2 ?2СС, получим
орцикл длины 1 + 1.
Таким образом, теорема доказана индукцией по /. Из нее видно,
что бисвязный турнир 7^ представляет собой, говоря геометриче-
ски, ориентированный л-угольник со всеми диагоналями, как угод-
но направленными. Но проблему полного обзора турниров нельзя
еще считать до конца решенной, поскольку различные ориентации
диагоналей могут приводить к изоморфным турнирам; о связанных
с этим трудностях говорит хотя бы задача нахождения точной верх-
ней оценки ск (л) количества простых орциклов длины к (считае-
мых с точностью до выбора начальной вершины) в если
М. Kendall, В. Babington Smith (Biometrika, 31 (1940), 324—345) лег-
ко показали, что
-> ЧТ п (п2 -1) при л нечетном,
с3 (”)= 11 Z 2	/14
~ л (л2-4) при л четном,
то вывод равенств
->	тъ п (п - 3) (л2	-1)	при	л	нечетном,
с4 (”)=	1 ( 2	л\
~ л(л-3)(л2	-4)	при	л	четном
потребовал от U. Colombo (Boll. Unione mat. Ital., 19(1964), № 2,
153—170 [65, 5A257; 30#2482]) объемистого исследования, а значе-
ния ~ck (л) для к >4 неизвестны до сих пор (см. упражнение 4).
СЛЕДСТВИЕ (L. R6dei//Acta Litt. Szeged, 7 (1934), 39-43).
В каждом турнире есть хотя бы одна гамильтонова орцепь.
Более простое доказательство по сравнению с оригинальным со-
стоит в применении теоремы 4.2.3 к графу, полученному из данного
турнира G добавлением новой вершины х0 и соединением ее дугами
430
Основы теории графов
со всеми вершинами G так, чтобы из каждой тупиковой бикомпо-
ненты G в вершину Xq и из х0 в каждую базовую бикомпоненту G
шла хотя бы одна дуга (в остальном направления новых дуг произ-
вольны). Р.А. Rado (Bull. London Math. Soc., 2(1970), № 1, 66—68
[70, 12B337]) исследует, какие именно вершины могут служить нача-
лом гамильтоновой орцепи. С. Thomassen (Proc. London Math. Soc.,
45 (1982), № 1, 151-168 [82, 12B657; 83k#05075]) использует получен-
ные им достаточные условия существования гамильтоновой орцепи
(в орграфе общего вида) для описания всех таких турниров, в кото-
рых нет ни одной пары гамильтоновых орцепей без общих дуг.
Для произвольных орграфов класса 2 вопросы существования
гамильтоновых орцепей и орциклов (или орциклов достаточно
большой длины), в частности при наличии в графе достаточно
большого числа дуг или при достаточно больших степенях его
вершин, не менее интересны, чем аналогичные вопросы для обык-
новенных графов (§2.1), но специально останавливаться на этом
мы не можем; см. орциклы в орграфах [УС], обзор: J.-C. Bermond,
С. Thomassen // JGrTh, 5(1981), № 1, 1-43 [81, 4В456] и книгу
Й. Банг-Йенсена и Г. Гутина [А18] (с обширной библиографией).
Подобно тому как понятия компоненты и цикла с учетом на-
правления дуг переходят в более изысканные понятия бикомпонен-
ты и орцикла, обогащаются также определения шарнира, блока,
разреза каркаса и др. Вершина х графа GeS называется полушарни-
ром, если х (G\x)>l& (G). Бисвязный граф без полу шарниров назы-
вается библоком, а подграф в G, являющийся библоком и максималь-
ный (по включению множеств вершин) относительно этого свойст-
ва, — библоком графа G. На рис. 4.2.3 вершины b, ivij — полушарни-
ры, а подграфы, порождаемые множествами вершин {a, b, с}, {b, h},
{с, d, e,f, g}, {/}, — библоки G; дугу 7/ можно назвать «полуперешей-
ком», так как 2 ((r\7/) = 6>i? (<х)=5.
Последнее понятие в общем виде
выглядит так: подмножество V с U
дуг графа G = (X, U)=(X, Г)ell
Рис. 4.2.3
называется полуразрезом, если
a? (G \ V) > ж (G); этот полуразрез
простой, если никакое его строгое
подмножество уже не является полу-
разрезом в G.
Глава 4. Ориентация
431
Не все свойства шарниров, блоков и разрезов сохраняются в но-
вом качестве: так, у графа рис. 4.2.3 каждый из полушарниров а и Ь
принадлежит только одному библоку, общая вершина с двух библо-
ков не является полушарниром, а простой полуразрез {ij} имеет ров-
но одну общую дугу с простым орциклом /7/ jjf f jcldlhi. Однако
во многих отношениях преемственность имеет место, как видно из
упражнения 11.
Особенно обогащается при учете ориентации понятие каркаса.
Для простоты условимся обозначать через D' (х) множество D (G', х),
где G' = (X,U') — суграф графа G = (Ar, C/)Glt, порожденный под-
множеством дуг U'ciU, axel; ясно, что всегда D' (x)cD(x). Под-
множество U' называется базой дуг графа G, если
(1) VxgX[Z)'(x)=Z)(x)];
(2) VC/"czC/,3xeX[£>,(x)\Z)M(x)^0].
ЛЕММА 4.2.4. Подмножество U' C1U служит базой дуг графа
G = (X, t/)e it тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двум
условиям:
(а)	для любой xy^UW существует такая орцепь из х в у, все
дуги которой принадлежат U';
(б)	ни для какой xyeU' нет орцепи из х в у, все дуги которой
принадлежали бы U'\{xy}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ur — база дуг G. Если ху е U \ U'9 то
из тривиального соотношения^ е D (х) в силу (1) следует y^D' (х),
т. е. выполняется (а). Если же ху е U', то при наличии орцепи из х
в у, содержащей только дуги множества U" =U'\{xy}, мы вопреки
(2) имели бы DH (z)-D' (z) для любой ze Х9 ибо во всякой орцепи
суграфа G', содержащей ху, можно эту дугу заменить орцепью (5 и
из полученного ормаршрута выделить (по лемме 4.1.1) орцепь с те-
ми же началом и концом; следовательно, справедливо (б).
Наоборот, пусть U' qU — подмножество дуг G, удовлетворяю-
щее условиям (а) и (б). Тогда в любой орцепи (5 с произвольными
началом х и концом у можно дуги, не принадлежащие U', заменить
в силу (а) орцепями, составленными только из дуг £7'; поэтому ни
для каких вершин х и у достижимость у из х не нарушается при пе-
реходе от G к суграфу G', т. е. имеет место (1). Выполнение (2) сразу
следует из (б), если взять xyeU'\U".
432
Основы теории графов
Для выявления какой-нибудь базы дуг достаточно удалять, пока
возможно, дуги из заданного графа, соблюдая лишь одно правило:
дугу ху можно удалить, если в результате вершина у остается дости-
жимой из х. Всё сказанное, начиная с определения базы дуг, без тру-
да переносится на орграф общего вида (лишь бы он был конечным),
поэтому справедлива
ТЕОРЕМА 4.2.5. Всякий орграф обладает по крайней мере одной
базой дуг,
На рис. 4.2.4 жирными линиями выделены две базы дуг одного и
того же графа класса 3 — полного трехвершинного ({1, 2, 3}, {Й, ?1,
й, з1, Д й}) ; эти базы обладают разными количествами дуг. Уже
отсюда следует невозможность та-
кого идеального решения проблемы
обзора, какое было получено для
баз вершин: у заданного G=(X, U)
выделить в U семейство попарно не-
пересекающихся подмножеств, при
всевозможном выборе из которых
по одной дуге получались бы все ба-
зы; по той же «чисто количественной» причине не спасает положе-
ния уступка, состоящая в том, что множества семейства могут пере-
секаться, если требовать, чтобы базы дуг графа G совпадали с систе-
мами различных представителей этого семейства (упражнение 4 к
§ 1.6). Как показал Х.Р. Ураков [69, 6В243; 54# 139], не проходит и
следующая модификация: найти такое семейство {C/j, U2, ...} под-
множеств U, чтобы U' cU было базой дуг G в том и только том слу-
чае, когда все |С7'ПС/|| = 1; убедимся в этом на прежнем примере
полного трехвершинного графа из S, все базы дуг которого {12, 23,
И}, {21,13, 32}, {12, 21, 23, 32}, {12,13, 2*1, 31} выявляются непосредст-
венно.
Так как {12, 23, 31} — база, то хотя бы одно из множеств Uj дол-
жно содержать дугу 12, но не может при этом содержать ни 23, ни 31,
а всякое U, без 23 и 31 необходимо содержит 12. В частности, если в
Uj нет 23, 31 и 32, то есть 12; но такое Uобязательно содержит 13,
Глава 4. Ориентация
433
поскольку {13, 23, 31, 32} — база. Это Ц имеет с базой {12, 13, 21, 31}
по меньшей мере две общих дуги 12 и 13 вопреки предположению.
В известном смысле обзор баз дуг удается получить с помощью
понятия трансверсали (см. упражнение 3 к § 1.6); напомним, что
трансверсалью семейства 5={(71,{72» • • •» л} непустых множеств
называется любое множество Г, для которого T[}Ut *0 при всех
z = l, 2, ..., к. Трансверсаль минимальна, если никакое ее строгое под-
множество уже не служит трансверсалью того же семейства S (не пу-
тать с трансверсалью, наименьшей по количеству элементов, в упо-
мянутом упражнении). Так как присутствие кратных дуг принципи-
ально не обогащает задачу обзора баз и может лишь усугубить чис-
то технические трудности, мы опять ограничимся графами класса 3.
ТЕОРЕМА 4.2.6. Пусть S — семейство (множество) всех про-
стых полуразрезов графа G = (X, (7)е 3. Подмножество U' ciU явля-
ется базой дуг G тогда и только тогда, когда оно служит минималь-
ной трансверсалью семейства S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что для сохранения всех достижи-
мостей при переходе от графа G к суграфу G' -(X, U') необходимо и
достаточно, чтобы множество U\U’ удаляемых дуг не содержало
целиком ни одного полуразреза, а значит, ни одного простого полу-
разреза (поскольку в каждом полуразрезе есть простой); следова-
тельно, условие (1) в определении базы дуг равносильно требова-
нию, чтобы U' служило трансверсалью семейства S. Условие же (2),
очевидно, выражает ее минимальность.
ТЕОРЕМА 4.2.7 (книга Кёнига). Граф G = (X, (7)еЗ, не содер-
жащий орциклов, обладает единственной базой дуг.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: у G есть хотя бы
две базы дуг С7'^С7ГГ; пусть, например, xy^U'\U".
Так как U" — база, то существует орцепь
^=xw1x1w2x2 •••Х/-1И/Ь
все дуги которой принадлежат U". В свою очередь, для каждой дуги
и, =xJZ]Xl 0 = 1, 2,	/; xq =х, xi=y) существует орцепь (5, из x(_j в
х,, составленная только дугами базы UСреди всех этих / орцепей
434
Основы теории графов
какая-то обязательно содержит дугу ху — иначе ормаршрут, полу-
ченный последовательным сочленением орцепей Q2> •••» по
лемме 4.1.1 содержал бы орцепь из х в у, все дуги которой принад-
лежат U'\{xy}9 вопреки утверждению (б) леммы 4.2.4. Пусть
=х|-11'1Л yj-2vj-\x^yyvj+\yj+\ -xi
— именно эта орцепь.
Рассмотрим два циклических ормаршрута
хщххи2х2 Xi-\vxyxv2y2 ...yj-2vj-\x^
yvj+\yj+\ -xi»i+lxi+l х1-\и1У-
Хотя бы один из них содержит не менее двух различных вершин,
так как иначе дуга и,, отличная от ху, шла бы из х в у, что невоз-
можно при GeS; из этого ормаршрута можно выделить орцикл
вопреки условию теоремы.
СЛЕДСТВИЕ. Транзитивный граф класса 2 обладает единствен-
ной базой дуг.
Действительно, такой граф не может содержать ни одного ор-
цикла, ибо в вершинах последнего, как вытекает из определения
транзитивности графа, были бы петли.
Герц и Кёниг показали, что полный обзор баз дуг в произволь-
ных орграфах сводится к обзору таких баз во всех бисвязных оргра-
фах. Именно, пусть G, = (X,, Ut) (i = 1, 2,..., г?) — бикомпоненты гра-
фа G = (X, U)eS, a H(G) = (Z,V) — его граф Герца, где
Z={(?i,G2G^}. В силу свойств графа Н(G) ясно, что всякая база
дуг U' в G получается следующим образом:
1)	находим базу дуг V графа Н (G) — она единственна ввиду
теоремы 4.2.7;
2)	образуем подмножество Uq с U, выбирая по одной дуге в
каждом таком множестве дуг (Xh Xj), идущих из X, в Xj,
для которых Gt G j eV;
3)	находим по одной базе дуг (/' в каждом (?,•; тогда
U'=Uq UC7i UC/2 U-UC/g •
Глава 4. Ориентация
435
Отсюда, в частности, следует, что для единственности V необхо-
димо и достаточно, чтобы единственность имела место у каждой из
бикомпонент G, в отдельности и никакие две из них не соединялись
в G более чем одной дугой. Сами бикомпоненты здесь пока высту-
пают как «черные ящики», однако в их недра впоследствии удалось
заглянуть (см. упражнения 19 и 20); критерий единственности, сфор-
мулированный в упражнении 19, вряд ли можно назвать удобным,
но лучшего пока нет.
Орграфам, являющимся своей собственной базой, посвящены
упражнения 22 и 23; в известной мере противоположный случай
представляют такие орграфы, в которых нет «незаменимых» дуг, т. е.
для каждой дуги ху есть не содержащая ее орцепь из х в у (В. Alspach,
К.В. Reid, D.P. Rosftlle // JCTh, В17 (1974), № 1, 11—18 [75, 1В560]).
Избыточные пути в бисвязных орграфах — такие, что удаление всех
дуг пути из орграфа не нарушает его бисвязность, — изучают
C.L. Lucchesi, J.A. Ross // DM, 47 (1983), № 2-3, 267-273 [84, 5В501;
86с#05067]. Некоторые метрические свойства орграфов отражены в
упражнениях 26—28 и примечаниях к ним. К обобщениям рассмот-
ренных выше вопросов можно отнести покрытия (в разных смыслах)
орграфа системами его орцепей, ориентированных деревьев и т. п.
(L. Lovasz // JCTh, В21 (1976), № 2, 96-103 [77, 4В481; 55#174]; N. Li-
nial // DM, 23 (1978), № 3, 257-272 [79, 4B470]).
Особенно интересен перенос на орграфы теоремы 2.1.6: если под
неплотностью £ (G) понимать число вершин наибольшего подграфа,
не содержащего дуг, а под a (G) — наименьшее число простых орце-
пей, попарно не имеющих общих вершин и в объединении содержа-
щих все вершины G, то a (G) <£ (G).1 Пусть (G, Р) — такая система
из к орцепей, с множеством Р начальных вершин (например, триви-
альная Sn (G, X}, состоящая из n=|Jf| цепей нулевой длины); для
простоты мы рассматриваем только графы G-(X. t/)eS, хотя фор-
мально это ограничение нигде не нужно.
1 Равносильный результат, впервые полученный Дилуортом (R.P. Dilworth // Ann.
Math., 51 (1950), 161—166 [MR 11рЗО9]) в теории решеток, справедлив и для любых ко-
нечных частично упорядоченных множеств, но нам удобнее излагать его на языке
орграфов, а небольшое (но важное и само по себе) обобщение значительно упрощает
доказательство. Дальнейшее усиление см. в упражнении 24'.
436
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 4.2.8 (Т. Gallai, A.N. Milgram // Acta sci. mat. Szeged,
21 (1960), 181—186 [61, 7A327]; вторая книга Бержа). Для любой сис-
темы Sk (G, Р) существует система S'k' (G, Р') с к' <£ (С?)иР'сР.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по числу вершин
л(6). При л = 1 утверждение тривиально, и пусть оно уже доказано
для всех (?е it с л((7)<и, a G = (X, 17)еЗ — л-вершинный, в котором
выделена система орцепей Sj. (6, P)={Z], Z2, ..., Z^.}, rfleZ; =
=x,0xl^xJix,1x,[x,-2x,-2... (» = h •••> k) и ^={*10, *20’ , хк0}.
Можно считать /с <£ (С7) 4-1, ибо в подграфе G\ZX по предположе-
нию индукции существует система S' = Sk_x(G\Zx, Р') ск-\<
<£(G\Zj)<e(G), Р'cP, и в качестве исходной Sk (G, Р) мы можем
рассматривать систему S'U{Z]}.
В случае k<e(G) доказывать больше нечего, поэтому предполо-
жим, что k=e(G) + l и, следовательно, в подграфе графа G, порож-
денном подмножеством PczX, есть хотя бы одна дуга; пусть это
*10*20-
Если теперь Z( состоит из единственной вершины хю, то требуе-
мой системой к-1=s(G) орцепей служит
*10 *10*20 *20 *20*21’ *21> •••»	Zk •
Если же Z] имеет по крайней мере вершины хю и хц, то в подграфе
G'=G\x10 заведомо присутствует система
S'M(G\ P')={Z{, Z2, Zk+X},
где Z[ получается из Zx удалением вершины хщ и поэтому Р' с
с{*ц, х20, ..., xkq}, значит, в силу индуктивного предположения,
есть также система Sk (G\Хю, Р") с Р”с{хц, х20, хз0, ..., х^о).
При х2о е Р" искомая система Sk (G, Р) получается из Sk присо-
единением вершины хю и дуги X]qX2o к началу х2о второй цепи без
изменения остальных. Если же х2о £ Р", то | Р"| <к, т. е. сама система
Sk содержит не более к -1 цепей, и добавление к ней одновершин-
ной цепи хю дает требуемую систему Sk (G, Р).
Теорема доказана, а тот факт, что в общем случае разность
e(G)-a(G) может быть сколь угодно большой, виден на примере
графа, состоящего из а -1 изолированных вершин и простой орцепи
длины 2(е-а).
Глава 4. Ориентация
437
СЛЕДСТВИЕ. Если граф G транзитивен, то a(G)=e(G),
ибо тогда во всякий простой орцепи ненулевой длины каждая пара
различных вершин соединена по крайней мере одной дугой, значит,
никакие две вершины подграфа без дуг не могут принадлежать од-
ной и той же орцепи. Другим непосредственным следствием являет-
ся уже знакомая нам теорема Редей о существовании гамильтоно-
вой орцепи в турнире: там £ = 1. См. также упражнения 24—24".
Дальнейшее развитие вопросов достижимости связано с перено-
сом на произвольные орграфы без петель G = (X, U, ip) определений
§§ 2.5 и 2.7. Упорядоченная пара ху различных вершин G называется
к-неотделимой, если в любой части G', оставшейся после удаления
из G не более к элементов множества (Х\{х, y}Ut/ (х, у), вершина у
достижима из х; пара ху называется l-соединимой, если существует
не менее / различных орцепей из х в у, попарно не имеющих других
общих вершин. «Ориентированный вариант» теоремы Менгера
2.5.1 звучит так: пара ху тогда и только тогда к-неотделима, когда
она (к + 1)-соединима (к>0); схема доказательства § 2.5. остается в си-
ле, надо лишь считать «внутренней» (относительно х и у) такую вер-
шину z, для которой нет дуг ни из х в z, ни из z в у, а на рис. 2.5.1
(и последующих) изображать только дуги, ориентированные «слева
направо»1. Пара ху называется к-неотрезаемой, если в любом сугра-
фе G'=(Х, U',y) с |C/'|>|C/|-Zr вершина у достижима из х; пара ху
называется l-сплетаемой, если из х в у ведет не менее / простых ор-
цепей графа G попарно без общих дуг. Одна из формулировок «ори-
ентированного варианта» теоремы 2.7.2:
п(х, у)=?(х, у),
где х, у — любые две различные вершины G, со (х, у) = aG (х, у) —
наибольшее количество простых орцепей попарно без общих дуг
из х в у, а ? (х, y) = rG (х, у) — число дуг наименьшего (и поэтому
простого) полуразреза U', для которого у iD(G\U', х), — является
по сути дела перефразировкой теоремы о наибольшем потоке и
наименьшем разрезе, одной из центральных в теории транспорт-
ных сетей.
1 См. далее: L. Montejano, V. Neumann-Lara II JCTh, В36(1984), № 2, 213—217
[85, 1В654].
438
Основы теории графов
Напомним, что s+ (x)=s£ (х) и 5“ (x)=sq (х) означают степени
исхода и захода вершины х, совпадающие при условии отсутствия у
G петель с соответствующими валентностями (см. §4.1). Как пока-
зал A. Kotzig (Casop. pestov. mat., 84 (1959), № 1, 31—44 [61, 12A381],
WZ, 10 (1961), № 1, 118-125 [64, 6A272, n. 9 и 65, 2A391; 24#A52]),
если G удовлетворяет условию
Vx6JT[5+ (x)=5- (x)],
(1)
Vx, yeX[x^y => co (x, y) = a> (у, x);
(2)
приведем более простое доказательство, чем в оригинале.
Пусть х*у и со (х, у)=к, т. е. имеется к (но не более) простых ор-
цепей из х в у попарно без общих дуг (см. орцепи 1, 2, 3 для случая
к=3 на рис. 4.2.5). Множество дуг всех этих к орцепей обозначим
Рис. 4.2.5
через иш. При к>1 в силу л+(у)=5"(у)из вершины у исходит дуга
ue(J\Um; если z — вершина, в которую заходит и, то ввиду
(z)=s~ (z) из z должна исходить дуга	(J {w}) и т. д. Об-
разуя шаг за шагом орцепь, в которой каждая следующая дуга не
принадлежит ни С7Ш, ни уже построенной части, мы в силу условия
(1) и конечности графа G рано или поздно придем в вершину х. Из
полученной орцепи Г (штриховые линии на рисунке) можно выде-
лить простую с началом у и концом х.
Если к>\, то из вершины у должна исходить дуга, не принадле-
жащая ни множеству иш, ни орцепи Г; как и выше, находим вторую
Глава 4. Ориентация
439
простую орцепь из у в х. Ясно, что таким процессом удастся выя-
вить к простых орцепей попарно без общих дуг; поэтому а> (у, х) >
(х, у) при /с>1, а для к = 0 это же неравенство тривиально. Меняя
ролями вершины х и у и пользуясь симметричностью условия (1),
докажем аналогично, что (х, у)>а> (у, х). Поэтому импликация
(1)=>(2) имеет место.
Справедливость обратного утверждения (2)=>(1), выдвинутого
А. Коцигом в качестве гипотезы, доказал L. Lovasz (JCTh,
В15 (1973), № 2, 174-177 [74, 4В339]). Введем обозначения
и+ (Y)=U + (Х)=$ (У, X\У), и-(Y)=Uq (У)=^(Х\У, У)
(множества дуг, исходящих из У, соответственно заходящих в У),
где У с X (при У=0 или У=Х оба множества дуг пусты), а также
(У)=^ (У)=|С7+ (У)| и ^(У)=^(У)=Ц7"(У)|.
Легко видеть, что при любых У, ZcX
s+ (yuz)+s+ (ynz)<5+ (У)+5+ (Z),
5- (yUZ)+j- (ynz)<5- (У)+5- (Z);
для доказательства этих неравенств (а нам понадобится только вто-
рое) достаточно проследить, какие типы дуг, представленных на
рис. 4.2.6, и по скольку раз подсчитываются каждой из частей нера-
венства; предоставим это читателю.
Пусть аеХ — произвольная вер-
шина орграфа G = (X, U, у) без пе-
тель; назовем a-множеством любое
такое У с X \ {а}, в котором есть вер-
шина yeY, удовлетворяющая усло-
вию
со (a, y)=s~ (У).
Для каждой вершины у е X \ {а} най-
дется содержащее ее а-множество

ruz
Рис. 4.2.6
440
Основы теории графов
(в котором требуемому условию заведомо удовлетворяет сама у,
что, впрочем, для дальнейшего не существенно). В самом деле, если
U' — наименьший (по числу дуг) полуразрез графа G, такой что
y&D(G\U', a), a Y — множество вершин G, недостижимых из а в
суграфе G\U', то U' =V~ (У) и (а, у)=|С7'|=s~ (К), в то время как
То (а, у) =~т (а, у) по теореме 4.2.8. Отсюда получаем важный вывод:
если Y\, Y2, ..., Xjt — все максимальные (по включению) а-множест-
к
ва для заданной вершины аеХ9 то U У, = X\{а}.
ы
Для доказательства импликации (2)=>(1) достаточно убедиться
в том, что если а удовлетворяет условию
Vx е X \ {а} [Й (а, х) < со (х, а)]9	(4)
то 5+ (a)<s“ (а). Пусть У1? У2, • ••» Yk ~ все максимальные a-множе-
ства, а вершины у, eYj таковы, что со (а,	=	(У,) (/ = 1, 2,	к).
Оказывается, У/^Уу при i*j.
Действительно, допустим противное: yi^Yj для некоторых
i, уе{1, 2, ..., к}, i*j. Тогда л" (У, ПУ;)>Й(о, yi)9 а так как
з~ (У,) = w (а, у;), s~ (Yj) = со (а, у, ) и 5“ (Y, \jYj)>a> (а, у,) ввиду
У|еУ,иУ?, то в нижнем соотношении (3) при У = У, и Z = yy на
самом деле имеем равенство, откуда, в частности, следует, что
5“ (У, ШУ, )=® (а, У(), т. е. что У,-ОУ; есть a-множество, вопреки
максимальности У, и У.-.
Положим Z, =У, \ U Yj. Из только что доказанного следует
/*«
у,- eZ( при 1 = 1, 2, ..., к. Используя (4) и определение множеств У, и
Z,, получаем
j+ (Z,)> = co(cz, у,)(у,-, а)> = со(а, у,)(а, у,)=з~ СП)
(i=l, 2, ..., к); отсюда
к	к
X5+(Z,)>^5-(y,).	(5)
1=1	1=1
Но 5+(Z,)<|^(Z,-, a)| + ^|^(Z,., y7 )|<|^(Z,-, a)| + £ |^(У, \У7 , У7 )|
j^ti
Глава 4. Ориентация
441
и S-(Yj)=\l)(a, r7)| + £0Qr(\Yjt Г,)| (/, у = 1, 2,	к), откуда
i*j
к	к
2Х (Z,)<5- (о) + £ £ |t/(r,\r7> у7)|,
/=1	1=1	j*i
к	к
IX (Yj )>л+ (О)+Х	Е 0(Y{ \Yj, r7)|.
J=1	J=1	i*j
Ввиду равенства обеих двойных сумм, из последних неравенств и
из (5) следует s~ (a)>s+ (а), что и требовалось. Итак, доказана
ТЕОРЕМА 4.2.9 (Коцига—Ловаса). Для любого орграфа без пе-
тель условия (1) и (2) равносильны.
Если /-бисвязность орграфа в смысле /-соединимости или в
смысле /-сплетаемости любой пары ху его вершин при / > 1 представ-
ляют собой усиление бисвязности (/ = 1), то следующее свойство, на-
оборот, является ее ослаблением, но все еще сильнее простой связ-
ности (без учета направлений дуг): орграф G = (X, U, у) называется
квазибисвязным, если для любых х, у g X существует орцепь из х в у
или орцепь из у в х.
ТЕОРЕМА 4.2.10. В квазибисвязном орграфе есть хотя бы одна
такая вершина, из которой достижимы все остальные.
Искомой вершиной будет, например, та х0, для которой множе-
ство Р(хо) максимально по включению (в частности, когда число
|Z)(xo)|=max|Z)(x)|): если бы какая-то у$^Х не принадлежала
хеХ
Л(х0), то в силу квазибисвязности G было бы х0 gZ>(pq), значит, и
Z>(xo)U{Fo)£'£>O'o)’ т-е- jD(xo)cZ>(yo) вопреки максимальности
£(х0).
Из подробной монографии: F. Harary, R.Z. Norman, D. Cart-
wright. Structural models: an introduction to the theory of directed
graphs. J. Wiley & Sons, 1965 мы приводим следующее разбиение
класса 3 и точные оценки количества т дуг орграфа каждого под-
класса через число п вершин, полученные первым и третьим ав-
торами (D. Cartwright, F. Harary // SIAM Rev., 3(1961), 309—314
[62, 7A238]):
442
Основы теории графов
Подкласс класса 5	Оценки числа дуг
— несвязные	0<7н < (и - 1)(и-2)
1^ — связные, но не квазибисвязные	л-К/й <(и-1)(и-2)
112 — квазибисвязные, но не бисвязные	и-1<7й<(и-1)2
11 з — бисвязные	п<т < л(л-1)
Доказательства опускаем: те из них, которые не тривиальны, все
равно не слишком сложны, и читатель может попытаться сам их
воспроизвести.
Систематическому изложению теории орграфов, с многочислен-
ными приложениями и подробным анализом алгоритмов, посвяще-
на объемистая книга Й. Банг-Йенсена и Г. Гутина [А18], которую
необходимо перевести, ибо пересказ одних лишь чисто теоретиче-
ских фрагментов из нее увеличил бы объем нашей книги по мень-
шей мере в полтора раза и потребовал значительного времени.
Важным направлением, которое мы тоже здесь не освещаем, яв-
ляются транспортные сети [УС]. В первой книге Бержа теория
потоков по транспортной сети излагается на языке функций, опре-
деленных на орграфе, дугам которого приписаны пропускные
способности. Включение теории транспортных сетей в мир взвешен-
ных орграфов не только сделало ее более простой и наглядной, но и
превратило в орудие доказательства теорем и построения алгорит-
мов, относящихся к самой теории графов (в том числе неориентиро-
ванных) и другим вопросам комбинаторного характера. См. далее:
Хоанг Туй. Графы и транспортные задачи // Сибирский матем. ж.,
2(1963), № 2, 426-445 [63, 11В428].
Упражнения и дополнения
1.	В орграфе G =(У, U) без петель всегда есть такой безреберный подграф
(Е, 0), что каждая хеХ достижима из некоторой вершины множества Х\Е по
орцепи длины не более 2. V. Chvatal, L. Lovasz // Leet. Notes Math., 411 (1974),
175 [75, 4В401].
2.	Все те бисвязные орграфы класса 11, в которых каждая дуга принадлежит
ровно двум простым орциклам, получаются следующим образом: берем про-
стые орциклы б?1, (?2, ..., (S («у >2) попарно без общих вершин, затем в каж-
Глава 4. Ориентация
443
дом С' выбираем произвольно две вершины ah Ь,- и, наконец, отождествляем bt
с я/+1 0 = 1, 2, ..., q -1), а Ьп с лр В. Zelinka // Acta cybem., 4 (1979), № 2, 203—205
[79, 7В628 (реферат с опечатками!); 80g#05040].
3.	Доказать, что орграф G =(У, (/, у/) бисвязен в том и только том случае,
если в нем нет непустого строгого подмножества вершин Кс1, для которого
ГУсУ. В. Roy И Сл. Acad. sci. Paris, 247(1958), № 4, 399-401 [59, 9, 8919;
20#2727].
4.	Функция
7* («)=
(п}	('(п-1)/2'\
-Л
\Jc) V Аг-1 J
при п нечетном,
лА п
л/2А Гл/2-П
при п четном
является точной верхней оценкой количества бисвязных ^-вершинных подгра-
фов в турнире Fn. Вывести отсюда равенства для Д (л) и Д (л) в тексте, а так-
же следствие: наибольшее возможное количество бисвязных подграфов в ~£п
2 (м-1)	2(м-i)
равно 2п-п-2	+л-1 при л нечетном и равно 2"-Зл-22	+л-1 при л
четном. L.W. Beineke, F. Harary // Canad. Math. Bull., 8(1965), № 4, 491-498
[66, 6A260; 31 #5810].
5.	Практически эффективный способ выявления бикомпонент в заданном
орграфе (Л.Я. Лейфман // Кибернетика, 1966, № 5, 19—23 [67, 7В198]; книга
Зыкова) в дальнейшем неоднократно усовершенствовался: см., например,
А.Р. Белкин // Ж. вычислит, мат. и матем. физ., 22(1982), № 6, 1518—1521
[83, ЗВ556]; Г.П. Фастовец, В.И. Иванов [87, 6В617]. Удобный алгоритм выявле-
ния орциклов предлагают Ю.М. Лимонов и М.В. Черкашенко // Упр. системы
и машины, 1980, № 3, 105-107 [81, 1В505].
6.	Наибольшее количество дуг л-вершинного графа Бержа с к бикомпонен-
,	(к\
тами равно л (л-к)+1	. Ш.М. Исмаилов И ДАН АзССР, 27 (1971), № 2, 8-12
[72, 1В572; 45#3250].
6'. Верхними оценками числа дуг бисвязного л-вершинного орграфа G = (Y,
U) без орциклов длины > I (в том числе при дополнительных ограничениях на
min min{^+ (х), г" (х)}) занимаются М.-С. Heydeman, D. Sotteau // DM, 52 (1984),
хеХ
№ 2-3, 199-207 [85, 5В538].
7.	л-вершинный граф Бержа с /г-бикомпонентами, среди которых к'>2 ба-
зовых, обладает наибольшим количеством 7л дуг тогда и только тогда, когда
одна его базовая бикомпонента имеет п-к +1 вершин, а все остальные биком-
поненты одновершинные. Вывести отсюда, что
444
Основы теории графов
7п = п(п-к)+ ±(к-к')(к + к'-}).
Ш.М. Исмаилов [71, 1В315].
8.	Если для любой вершины х бисвязного орграфа G без петель
|ГхН|Г-1х|>л(С),
то G обладает гамильтоновым орциклом. A. Ghouila-Houri // С.г. Acad. sci.
Paris, 251 (1960), № 4, 495-497 [61, 5А310]; книга Зыкова.
9.	Если в бисвязном л-вершинном орграфе из степени любых двух
несмежных вершин удовлетворяют условию s(x) + s(y)>2n-1, то существует
гамильтонов орцикл. М. Meyniel // JCTh, В14 (1973), № 2, 137-147 [73, 9В379];
доказательство упростили J.A. Bondy, С. Thomassen // DM, 19(1977), №2,
195-197 [78, 6В646].
10.	Бисвязный орграф с п>к вершинами и > п-п~-3- + к дугами содержит
простой орцикл ; условие на число дуг ослабить нельзя. М.-С. Heydemann //
DM, 38(1982), № 2-3, 185-190 [82, 6В614].
10'. Пусть в бисвязном орграфе G = (¥, U) без петель
.у(х)+s(y)>2rt-2/i+1,	(♦)
где л = л (G), 1 < Л < л -1, при любой ху ё U. Тогда
а)	в G есть с
б)	если к тому же h >2, то в G есть орцепь длины не менее	J+[_“Т“ J ’
Для антисимметрических G правую часть в условии (*) можно уменьшить на 2.
В остальном условия неулучшаемы. М.-С. Heydemann // DM, 41 (1982), № 3,
241-251 [83, ЗВ51О].
10". Любой бисвязный орграф G неплотности s(G) = £((j)<2 имеет га-
мильтонову орцепь. С.С. Chen, Р. Manalastas jr. // DM, 44 (1983), № 3, 243—250
[83, 9В585].
11.	(а) Для бисвязного орграфа G = (¥, U, у/)п произвольной его вершины
хеХ равносильны высказывания:
1)	х — полушарнир;
2)	существуют такие у, z е X \{х}, что вершина х принадлежит всем про-
стым орцепям из у в z или всем простым орцепям из z в у;
3)	существует такое разбиение X\{x}=Y (J Z, Yp\Z = 0, что для любых
у е У и z е Z вершина х принадлежит всем простым орцепям из у в z или всем
простым орцепям из z в у.
(б)	Для бисвязного орграфа G=(X, V, у/) и его произвольной дуги ueU
равносильны высказывания:
Глава 4. Ориентация
445
1)	и — полуперешеек;
2)	существуют такие вершины х, у е X, что дуга и принадлежит всем про-
стым орцепям из х в у или всем простым орцепям из у в х;
3)	существует такое разбиение X = Y[JZ, Yf}Z = 0, что для любых вер-
шин у е Y и z е Z дуга и принадлежит всем простым орцепям из у в z или всем
простым орцепям из z в у.
(в)	Два библока орграфа G могут иметь не более одной общей вершины, а
два полушарнира входить не более чем в один общий библок. Я.М. Ерусалим-
ский, Г.Г. Светлов // Кибернетика, 1980, № 1, 37-39 [80, 7В558]; [81, 6В628Деп].
12.	Пусть ст = min min{j+ (х),	(х)}, ат — число дуг наименьшего полураз-
xeZ	>
реза в л-вершинном графе G=(X, t/)eB. Тогда а) если	то =сг>
б)	если G антисимметрический и	то"? =а. J.N. Ayoub, J.T. Frisch //
IEEE Trans. Circuit Theory, 17(1970), № 2, 249-250 [71, 2В312].
13.	л-вершинный орграф без орциклов содержит гамильтонову орцепь в
том и только том случае, если количество тех пар ху его вершин, для которых
у е D (х), равно . С. Dinescu, В. SSvulescu И Stud. §ci. cere. cal. §i cibem. econ.,
1971, № 3, 91-104 [72, 2В343].
14.	Если f (k, q) — наименьшее количество дуг такого орграфа, в котором
для любого подмножества из к вершин есть не пересекающая его простая ор-
цепь длины q9 то Cj < f (&, log <7, где q и c2 зависят только от к.
Р. Erd6s, R.L. Graham, Е. Szemeredi // Comput. and Math., 1 (1976), № 3—4,
365-369 [76, 12B607; 57# 16131].
15.	Пусть в связном л-вершинном графе G еЗ все (х)>к и все (х)>/г.
Тогда в G есть простая орцепь длины min {л -1, h + к}. Если п > h 4- к 4-1, а орце-
пей длины h 4- к 4-1 в G нет, то G состоит из полных симметрических (к 4- ^вер-
шинных графов класса 11, имеющих одну общую вершину. J.C. Bermond,
A. Germa, М.-С. Heydemann, D. Sotteau // Combinatorica, 1 (1981), № 4, 337—341
[82, 12В625; 81i#05073].
16.	Если в орграфе С=(У, U)eB все (G, х) и (G, х), хеХ9 не мень-
ше к >3, а л (G) <2&4- 3, то G обладает гамильтоновым орциклом. Zhang Cun-
quan // Acta math. appl. sin., 5(1982), № 4, 368—378 [83, 4В624].
17.	Для любых натуральных к >2 и п>4к + 1 существует л-вершинный
(л - 1)-однородный орграф без гамильтоновых орциклов. С.Х. Дарбинян //
ДАН АрмССР, 76(1983), № 2, 51-54 [83, 9В582].
18.	Доказать, что л-вершинный орграф обладает гамильтоновым орцик-
лом тогда и только тогда, когда он бисвязен и имеет хотя бы одну базу из л дуг.
Х.Р. Ураков [69, 6В243; 54#139].
446
Основы теории графов
19.	Граф G = (Х, t/)eS тогда и только тогда обладает единственной базой
дуг, когда в нем нет пары бисвязных подграфов G] = (УЬ Ц), G2 = (Х2, V2) без
общих вершин, удовлетворяющей условиям:
1)	|Д2|>2, где Д2 =^(Уь У2);
2)	е %! Vx2 е Х2 [х2 g D (G \ t/12, )].
Я.М. Барздинь (см. следствие теоремы 4.2.2); С.Е. Маркосян // Изв. АН .
АрмССР, сер. матем., 2(1967), № 6, 399-403 [68, 8В238; 36#5028].
20.	Доказать, что число дуг любой базы бисвязного орграфа G не превос-
ходит 2h(G)-2 и эта оценка точна: при любом натуральном п существует
и-вершинный бисвязный орграф, в котором есть база ровно с 2п-2 дугами.
М.К. Гольдберг // УМН, 22(1965), № 5, 203-205 [66, 6А261; 34#1223].
21.	Пусть Gj, 62,..., Gg — бикомпоненты орграфа G без петель, =L^ —
его пространство циклов (в прежнем смысле § 3.2, т. е. без учета ориентации).
Доказать, что среди баз этого пространства всегда есть такая, у которой
Л (G]) + Л (G2) + ... + Л (Gg) элементов (из общего числа Л (G)) являются просты-
ми орциклами, а баз с большим количеством простых орциклов нет. Первая
книга Бержа.
См. далее: E.W. Allender // Discr. Appl. Math., 10(1985), № 3, 211-225
[85, 7В673].
22.	Пусть граф G е В с п вершинами, т дугами и к бикомпонентами являет-
ся своей базой дуг; а) т <2 (fl-fc) + [_£2/4j и эта оценка точна; б) если в G нет
орциклов, то т = [_и2/4_|. R.P. Gupta И JCTh, 3 (1967), № 1, 16-24 [69, 1В257].
23.	Доказать, что граф класса 11 является своей базой дуг тогда и только
тогда, когда он не содержит ни одного такого простого цикла, который полу-
чен из орцикла изменением направления ровно одной дуги. К.М. Мосесян //
ДАН АрмССР, 54(1972), № 3, 134-135 [73, 1В524].
24.	С помощью первого следствия теоремы 4.2.8. доказать теорему Шпер-
нера: если X -п-элементное множество, S — семейство его различных подмно-
( п А
жесте, из которых ни одно не является частью другого, то	/ 2JJ
24'. Доказательство теоремы 4.2.8 на самом деле устанавливает еще более
сильный результат: существование системы (G, Р', Q'), у которой не только
Р' а Р, но и Q' clQ, где Q и Q' — множества концевых вершин орцепей в системах
и Sfc. J.A. Bondy. Basic graph theory // Handbook of combinatorics. Amsterdam:
Elsevier, 1995, Vol. 1,2, pp. 3-110.
24". Если s (G)=2, а из хеХ достижимы все остальные вершины орграфа
G = (X, U), то существуют две орцепи с началом х и без других общих вершин,
в совокупности содержащие все вершины G. Н. Ben-Arroyo [89, ЗВ5ОО].
24'". Граф сравнимости является совершенным (Вторая книга Бержа).
25.	Пусть А и В — два непересекающихся подмножества вершин орграфа
G=(X, U, I//). Следующие два высказывания равносильны:
Глава 4. Ориентация
447
а) При любом к <min{|/4|, | В|} существует система к орцепей, попарно не
имеющих общих вершин и идущих из любых к вершин множества А в любые к
вершин В;
_б) для любого Y с / существует к - min {| Y П А |, | (У \ У) П В|} дуг множест-
ва U(Y, X\Y), попарно не имеющих ни общих начал, ни общих концов.
А.М. Duguid // Pacif. J. Math., 11 (1961), № 2, 483-488 [62, 6A245; 25# 1044].
26.	Основные определения и результаты из § 2.6 почти дословно переносят-
ся на орграфы. Пусть каждой дуге uetl графа Бержа Ъ = (У, 1J) = (X, Г) без пе-
тель отнесено положительное действительное число (или + оо) q (и). Взвешенный
орграф (j [^] = (У, q) = (X, Г; q) определяет функцию
(х, у)=^ (*, ^) = min ^q (м),
we2(x,y)
где минимум берется по всем простым орцепям 2 (х, у) из вершины х в верши-
ну у. Эта функция называется орметрикой графа Ъ [^]. Докажите, что она удов-
летворяет первой и третьей из аксиом Фреше.
Задачи (I) и (II) формулируются и решаются почти так же, как и для неори-
ентированных графов. Например, алгоритм Флойда (кстати, первоначально
разработанный именно для орграфов) применяется к несимметрической матри-
Це||^, где ?(7 = 0и^(>. = ?(х^7) при i*j (i, j = l, 2, .... п; X ={хь х2,х„}),
каждый его шаг — применение оператора [а, ру] — состоит в замене элемента
~гр7 промежуточной матрицы ||'rzy||" на min{~r^z , ~rna +~гаг}, и при каждом
фиксированном а символ ру пробегает все (л-1)(л-2) упорядоченных пар чи-
сел из множества {1,2, ...,а-1,а+1, ..., п}. Дословно переносятся на орграфы
определение и способ нахождения существенной реализации орметрики, за-
данной как функция р от пар элементов конечного множества X («орметриче-
ское пространство»).
26.1.	С помощью алгоритма Флойда найти ормет-
рику графа рис. 4.2.7.
26.2.	Показать, что если в тернарной операции
разрешать р=у, а в матрице ll^ ll” считать ~qu = + оо
(вместо 0), то алгоритм Флойда позволит находить все
(/-кратчайшие орциклы, проходящие через заданную
вершину. В качестве примера можно взять прежний
граф рис. 4.2.7.
26.3.	По аналогии с § 2.6 ввести понятия сущест-
венной дуги полного взвешенного графа Бержа и суще-
ственной реализации орметрики (У, /5); построить та-
кую реализацию для орметрики, данной справа.
27.	В любом конечном орграфе (У, Г) есть
такое У()сУ, что в естественной метрике (</ = 1):
Vx, у еУ0 (“3 (х, v)>2) & УхеУ\У0Эуе
еУ0 (р (х, у)>2). А.Л. Усольцев [88, 4В543].
Рис. 4.2.7
0	4	1	5	3	2
2	0	3	1	5	4
5	3	0	4	2	1
1	5	2	0	4	3
3	1	4	2	0	5
4	2	5	3	1	0
448
Основы теории графов
28.	q-oppaduyc взвешенного графа Бержа определяется как
~f<i (G)=V (8 [я]) = min max p (x, v),
xeX yeX
a q-ордиаметр — как
~с!я ±~с1ч (8)=^ (8 [<?]) = max (x, y)\
xjeX
очевидно, V? (8)<^я (8), причем равенство достигается, например, на любом
простом орцикле.
28.1.	Доказать, что квазибисвязный взвешенный орграф 8 [<?] с конечной q
обладает конечным оррадиусом. Справедливо ли обратное?
28.2.	Пусть(7 = (X, U, у/) — орграф, р = тах|Гх|,л = п(<7), орметрика естест-
хеХ
венная (# = 1). Тогда ~? (<7) >-°-	-1. Первая книга Бержа.
28.3.	Если G — бисвязный орграф без петель, орметрика естественная, то
?(G)A(G)>n(G)-l, а при A(G)>2 также 3 (G) A(G)>2n(G)-2, гдеА(С) =
= А(3) — цикломатическое число. При этом
а)	первая оценка точна в том смысле, что для любой тройки л, Л, г целых
неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию гА=л-1, существует би-
связный орграф G с л(6) = л, А((7) = А и V(G) = r;
б)	во второй оценке уменьшить правую часть сразу для всех графов нельзя.
М.К. Гольдберг И ДАН СССР, 170(1996), № 4, 767-769 [67, 4В184].
28.4.	Пусть n-\ = qk + s, 0<5<А, и
В (л, А) =
2?
2q 4-1
.2^ + 2
при 5 = 0,
При 5 = 1,
при 5>2;
D. Bratton (Efficient communication networks // Cowles Comm. Disc. Paper, 1955)
выдвинул гипотезу, что^ (<7)>B (л((7), A ((7))-l для любого бисвязного оргра-
фа G. Показать, что при А (С)>2 ее справедливость вытекает из второго нера-
венства упражнения 28.3, а при А (<7) = 1 она неверна (например, нарушается,
если G — простой орцикл длины более 2).
28.5.	Для бисвязного графа Бержа без петель в естественной орметрике
справедлива точная верхняя оценка ордиаметра через количества л вершин и т
ребер:

л-1 при л <т	1 J“ 3,
|~л + |-^2л1-л2 -л-^J при 1^”3<л1<л(л-1).
A. Ghouila-Houri // C.r. Acad. sci. Paris, 250 (1960), № 26, 4254-4256 [61, 3A323].
Глава 4. Ориентация
449
29.	Пусть в графе Бержа п — число вершин, т — число дуг (петли к ним не
относятся), к — число бикомпонент, к' — число базовых бикомпонент, а "г и
J — оррадиус и ордиаметр в естественной орметрике:
29.1.	Доказать, что ~г =+оо тогда и только тогда, когда £'>2.
Пользуясь результатом упражнения 7, вывести отсюда, что если
т>п(п-к)+^(к-к')(к + к'-\), то “г конечен. Ш.М. Исмаилов [71, 1В315]. См.
далее: Г.М. Гутин [82, 11В668Деп].
29.2.	Доказать, что у бисвязного орграфа (& = 1) при заданных п и V
т >п-14-	,
7
и описать графы, на которых оценка достигается. Ш.М. Исмаилов [71, 9В359].
29.3.	Доказать, что при заданных п и 7)
т 2 (п~~^ ” 1)(л-”2 4-4)4-^,
и описать графы, на которых оценка достигается. Л.С. Мельников [71, 8В468].
29.4.	Доказать, что если орграф не бисвязен (к>2) и при заданных тнУ
обладает наибольшим количеством дуг ди, то&=2ил1 = л(л-’г)4-^С?2-“?-2);
описать структуру таких графов. Отсюда следует, что если л-вершинный граф
Бержа оррадиуса >2 имеет больше указанного числа дуг, то он бисвязен.
Ш.М. Исмаилов [72, 1В596 Деп]; Г.Ш. Фридман // ДАН СССР, 212 (1973), № 3,
565—568 [74, 1В369].
30.	Доказать, что в графе G е Bj не может быть такой вершины х, для кото-
рой (7\хеВз.
31.	Доказать, что всякий квазибисвязный орграф G можно превратить в
бисвязный добавлением одной дуги. D. Магси // An. §ti. Univ. Ia§i. sec. la,
24(1978), № 1, 173-174 [79, 6В611].
Указание: применить теорему 4.2.10 к самому (j=Ghk орграфу G.
32.	Если орграф G без перешейков строго квазибисвязен, т. е. любая пара
его различных вершин соединена орцепью только в одном направлении, то в
нем есть дуга, удаление которой сохраняет квазибисвязность. D. Магси // Bull.
Soc. sci. math. RSR, 28(1984), № 1, 37-38 [84, 9В492].
33.	Если в квазибисвязном полном fc-дольном орграфе (что это значит?)
есть орцикл длины к, заходящий не более чем в к -1 долей, то есть и орцикл
длины к 4-1. R. Balakrichnan, Р. Paul raja // JGrTh, 8(1984), № 3, 423—426
[85, 6В572].
34.	Пусть орграф G получен из обыкновенного 3-однородного 2&-вершин-
ного графа, состоящего из простого цикла и совершенного паросочетания, за-
меной каждого звена парой противоположных дуг. Если к четно, то G нельзя
450
Основы теории графов
разложить на три гамильтоновых орцикла. J. Aubert, В. Schneider // JCTh,
В32 (1982), № 3, 347-349 [83, 2В545].
35.	Наряду с орциклами в орграфах рассматриваются и такие простые цик-
лы, при обходе которых дуги противоположных направлений встречаются оди-
наковое число раз (К. Vidyasankar // Util. Math., 14 (1978), 287—303 [79, 6В609])
или даже строго чередуются (В. Griinbaum // JCTh, Bll (1971), № 3, 249—257
[72, 4ВЗЗ!]; М. Rosenfeld // JCTh, B12 (1972), № 1, 93-99 [72, 7B306]; V. Petrovic
[84, 8B486]). О наибольшем количестве дуг орграфа класса ll без циклов с чере-
дованием дуг см.: D. Douglas, F. Jaeger // JCrTh, 6(1982), № 2, 133—138
[82, 12В626], а об орграфах, не имеющих такого рода гамильтоновых циклов,
несмотря на достаточно большие степени исхода и захода вершин, — Cai
Mao-cheng // DM, 44(1983), № 1, 111 [83, 6В573].
36.	К. Howalla, A.N. Dabboney, R. Tout (Casop. pfcstov. mat., 107 (1982),
№ 4, 388—392 [83, 4B617]) исследуют наибольшее число ребер такого орграфа
класса 1^, в котором никакие две различные вершины не соединены более чем к
различными орцепями.
37.	В каждом сильно /-связном (что это значит?) орграфе, критическом по
удалению дуг, есть хотя бы одна такая вершина х, для которой 5+ (х) =
= Zv^(x) = /. Т. Kameda // JCTh, В17 (1974), № 1, 1-4 [75, 2В510].
§4.	3. ЯДРА
Для переноса на орграфы понятия максимальной (по включе-
нию) груды есть более интересные пути, чем простое игнорирование
ориентации. Подмножество N cz X вершин графа Бержа G = (X, Г)
называется внутренне устойчивым, если
VxgTV (ГхП А=0),	(1)
и внешне устойчивым, если
Ухе;Г\АГ(ГхПЛГ*0);	(2)
благодаря теории игр возникло понятие ядра как такого N, которое
одновременно устойчиво и внутренне и внешне.
Дело в том, что многие игры допускают представление в следу-
ющей абстрактной форме, называемой игрой на графе. Дан граф
Бержа G с выделенным подмножеством J с X «начальных» вершин.
Играют двое — А и Б. Игрок, начинающий партию, своим ходом
Глава 4. Ориентация
451
выбирает вершину X] е J, затем второй игрок выбирает вершину
еГх], после чего первый выбирает х2 еГу] и т. д.; победителем
считается тот, кому удалось выбрать строго тупиковую вершину и
тем самым лишить противника ходов. Так вот, если в какой-то
момент игры один из игроков выбрал вершину некоторого ядра N,
то он овладел беспроигрышной тактикой, т. е. может, продолжая
партию, на любые ходы противника всегда отвечать так, чтобы
лишить его возможности выбора строго тупиковой вершины.
Действительно, пусть, например, игрок А каким-то своим ходом
выбрал вершину хе N; в случае, когда х — тупик, это тупик строгий
(почему?) и Б уже проиграл, а если х не тупик, то условие (1) вынуж-
дает Б выбирать вне N, после чего А может благодаря условию (2)
выбрать вершину опять в N и т. д.; в худшем для А случае партия
теоретически будет продолжаться без конца.
Во избежание переоценки роли ядра заметим,
что выбор вершины в нем — не единственная воз- J к
можность застраховаться от проигрыша; так, при / о \
игре на графе рис. 4.3.1, совсем не имеющем ядер / , \
(в чем убедиться предоставим читателю), игрок, /	\
который все время выбирает вершину на орцикле,
никогда не проиграет (но и не может помешать °*----------
противнику поступать точно так же, а любая по- Рис. 4.3.1
пытка изменить тактику тут же будет наказана;
см. также упражнение 1). В реальном состязании игрок может сам
не знать, что он находится в ядре (если игра и соответствующий
граф достаточно сложны), либо рисковать играть непременно на
выигрыш, не довольствуясь ничьей; проигрыш возможен из-за зев-
ка, цейтнота и т. п. Во избежание бесконечных партий существуют
помимо регламента другие ограничения, например правила 50 хо-
дов и троекратного повторения позиции в шахматах.
Если отвлечься от некоторых турнирных правил, а пат расцени-
вать как мат, то шахматы в точности подойдут под сформулирован-
ное выше определение игры на графе (а в шашках к тому же отсут-
ствует затруднение, связанное с патом). Именно, здесь X — множест-
во всевозможных позиций (расстановок фигур на доске с указанием,
чей ход); уеГх означает, что из позиции х можно получить пози-
цию у одним ходом по правилам игры; J — множество всех тех пози-
ций, которые могут возникнуть после первого хода белых (|J| = 20).
452
Основы теории графов
Множество всех ядер графа G = (X, Г) необозримо велико (как и
само X), однако отдельные примеры можно привести: так, если на
доске остались одни короли, то в G заведомо есть два таких ядра,
что каждый игрок независимо от желания всегда выбирает вершину
в своем ядре (см. упражнение 2).
Понятие ядра нашло применения и за пределами теории игр.
В работе В. Marcus, Em. Vasiliu // Rev. math, pures et appl., 5 (1960),
№2, 319—340; № 3—4, 681—703 [62, 1B426] из области лингвистики
исследуется ядро, фактически существующее в графе фонем румын-
ского языка. Техника нахождения ядер орграфов, основанная на те-
ореме 4.3.5 ниже, успешно применялась уже в § 1.7 для выявления
максимальных и наибольших клик и груд в неориентированном
графе (см. также упражнение 6). Распространять определение ядра с
графов Бержа на орграфы общего вида вряд ли интересно, зато мы
для этого понятия и двойственного ему дадим определения в другой
форме, предвидя возможность физических, химических, биологиче-
ских, социологических и иных приложений.
Подмножество N с X вершин графа G = (X, Г) называется поло-
жительным ядром, если
VN = X\N,
и отрицательным ядром, если
T~xN=X\N.
Очевидно, (+)-вдро графа 1j=G = (X, Г) является (-)-ядром графа
<G=(X, Г*1), полученного из Ъ заменой всех дуг на противополож-
ные, и наоборот. Ядро в прежнем смысле есть (-)-ядро, ибо, как не-
трудно показать, для любого ^cI внутренняя устойчивость (1)
равносильна включению r~lN cX\N, а внешняя устойчи-
вость (2) — включению	Что же касается (+)-ядра, то
оно представляет собой базу вершин (§ 4.2), но не любую, а «особо
сильную» в том смысле, что каждая не принадлежащая ей вершина
достижима из нее за один шаг, т. е. по орцепи длины 1.
На рис. 4.3.2 граф G\ обладает как (+)-ядром, так и (-)-ядром
(оба одновершинные), причем ситуация не изменится, если удалить
петлю; <?2 имеет два ядра (двухвершинных), каждое из которых
Глава 4. Ориентация
453
Рис. 4.3.2
одновременно и положительное и отрицательное; у Gj только одно
ядро — положительное одновершинное, а удалив эту вершину,
получим граф без ядер.
Пусть X=Xg — множество всех тех вершин графа Бержа G, при
которых есть петля; никакое ядро не может иметь с X общих
вершин (почему?).
ТЕОРЕМА 4.3.1 (В.Н. Любота // Тезисы докл. 3-й Респ. конф,
математиков Белоруссии. Минск, 1971). Подмножество NcX вер-
шин графа Бержа G = {X, Г) является его положительным ядром тог-
да и только тогда, когда N[}Х =0 и N служит (+)-ядром су графа
G = (X, Г'), полученного из G удалением всех петель. Для (—)-ядер
справедлива аналогичная теорема.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если N есть (+)-ядро графа G, тоГА =
= X\N, откуда Nf)X=0 и T'N =TN =X\N, т. е. N есть (+)-ядро
графа G'. Наоборот, предполагая последнее и N П X =0, получаем
ГА = Г'А = X \ N, т. е. N есть (+)-ядро в G. Утверждение для (-)-ядер
доказывается аналогично или сразу получается из предыдущего
заменой графа lj=G на <G.
Эта теорема позволяет, не теряя общности, ограничиться изуче-
нием ядер в графах Бержа без петель (класс таких графов мы в § 4.2
обозначили через S). Сведёние того же рода, но основанное на уда-
лении из G петель вместе с инцидентными вершинами, ранее пред-
ложил С. Рудяну (упражнение 4а).
В графе СеЙ все тупики и почины являются строгими, их мно-
жества будем обозначать соответственно через Е~ = Eq и Е+ = Eq .
Первое из них не может быть положительным, а второе — отрица-
тельным ядром, за исключением случая Е~ =Е+ = X, т. е. когда G —
груда (почему?).
454
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 4.3.2 (S. Rudeanu // Rev. franc. rech. operat.,
8(1964), № 33, 345—352 [66, 3A267]). Подмножество NcX тогда
и только тогда является (+)-ядром графа G = (X, Г)е^, когда
выполнены три условия:
(1)	Е+ ctf;
(2)	АГ)Г£,+ =0;
(3)	если X'—Х\(Е + иГЕ+)*0, то множество N\E+ служит
(+)-ядром подграфа G' = (X', Г') (где Г'х = Гх П X' при хе X'). Для
(-)-ядер справедлива двойственная теорема, получаемая заменой Е+
на Е~ и Г на Г-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть N — подмножество X, удовлетворя-
ющее условиям (1) и (2), a N' = N\E+. Ясно (рис. 4.3.3), что
rN = r'N'\jrE+ , Г'А' = ГА\ГЕ+, (X\N)\TE+=X'\N'.
Рис. 4.3.3
Если N удовлетворяет также
условию (3) за счет того, что
Х'=0, т.е. Е+ U ГЕ+ =Х, то
N =Е+ и равенство TN=X\N
очевидно, а если X' * 0 и N' есть
(+)-ядровб', т. е. r'N'=X'\N',то
rN = r'N'\JEE+ =(X'\N') U ГЕ+ =X\N;
в обоих случаях N является (+)-ядром графа G. Наоборот, если по-
следнее верно, то условия (1) и (2) выполняются (почему?), причем
в случае N'^=0
ГП' = ГП\ГЕ+ = (X\N)\TE + =X'\N',
т.е. N' есть (+)-ядро вG'. Теорема доказана.
При Е+ = 0 эта теорема (для (+)-ядер) вырождается в тавтоло-
гию, но в случае Е+ * 0 может оказаться весьма полезной, как
и двойственная теорема для (-)-ядер в случае Е~*0.
Пример. Найти все ядра графа G, изображенного на
рис. 4.3.4.
Глава 4. Ориентация
455
Начнем с положительных ядер. Прежде всего,
£+={/}, TE*={d}.
В подграфе G'=G\{d9 i} имеем
Е*,={а,е}, ГЕ*.={Ь,/}.
Удаляя в свою очередь из G' вершины а, е, b, f, получаем подграф
G", у которого
Е*..={с}, Г'£+,={А}-
Наконец, в подграфе G"'=G"\{c, h}=G\{a, b, с, d, е, f, h, i}
(рис. 4.3.5), не содержащем починов (Е*,,, =0), находим визуально
два (+)-ядра: {к} и {g, j}. Согласно теореме 4.3.2, (+)-ядрами G"
являются {с, к} и {с, g,j}, (+)-ядрами G' — {а, с, е, к} и {а, с, е, g,j},
а (+)-ядрами исходного графа G — множества N* ={а, с, е, i, к}
и N* = {а, с, е, g, i, j}.
Для (-)-ядер имеем
Ec={h}, T-lE~G={c,g,l}-,
в подграфе G' =G\{h, с, g, 1}
E~.={b}, {V)-XE~.={a,e,f}
и т. д. Окончательно получаем единственное (-)-ядро в G-.
N~ ={b, d, h, j}.
456
Основы теории графов
Замечание. Процесс постепенного удаления починов вместе
с их Г-образами, основанный на теореме 4.3.2 и проиллюстрирован-
ный примером, при любом исходном графе Ge В приводит либо к
нахождению всех его (+)-ядер, либо к некоторому подграфу Gq, уже
не имеющему починов; в последнем случае сам G обладает (+)-ядра-
ми тогда и только тогда, когда ими обладает Gq . Точно так же про-
цесс удаления тупиков вместе с их Г-1-образами приводит либо к
нахождению всех (-)-ядер у G, либо к подграфу G~ без тупиков, от
которого зависит наличие или отсутствие (-)-ядер в G.
Общих критериев существования ядра в орграфе пока нет.
М. Richardson (Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), № 2, 113-116
[55, 5681, 5682; MR7p235]) нашел достаточное условие — отсутствие
орциклов нечетной длины, а В.Н. Любота [76, 2В710] усилил этот
результат, одновременно упростив доказательство (см. также
D. Магси // An. Univ. Bucure$ti, ser. mat., 27 (1978), 41—43 [79, 4B469]
и упражнение 8).
ТЕОРЕМА 4.3.3. Граф G = (X, Г)ell, не содержащий простых
орциклов нечетной длины, при отсутствии починов обладает по край-
ней мере двумя (+)-ядрами, а при отсутствии тупиков — по крайней
мере двумя (-)-ядрами.
Доказательство проведем индукцией по числу k(G)=k(G) про-
стых циклов (не орциклов!) нечетной длины в G. Рассмотрим случай
£ + =0.
При k (G)=0 вершины X можно по теореме Кёнига 2.1.2 разбить
на два непересекающихся подмножества Xj и Х2 таким образом,
чтобы никакие две вершины одного и того же подмножества не
были смежны в G и, значит, не соединялись дугой в G. Отсюда
TXj и ГА'г <^Xj, а ввиду Е + = 0 оба множества Xj, Х2 непус-
ты и служат (+)-ядрами графа G.
Предположим, что при k(G)<k>\ теорема уже доказана, и
пусть теперь G — граф, удовлетворяющий ее условию (случай
Е + = 0), с k(G)=k. Так как у G нет петель, а к>1, то имеется про-
стой цикл С нечетной длины не менее 3; на С можно найти множест-
во V таких дуг, одновременная переориентация которых преврати-
ла бы С в орцикл. Ввиду отсутствия у G простых орциклов нечетной
длины заведомо И * 0.
Глава 4. Ориентация
457
Существует такая дуга хуеУ, что xe£)(G, у). Действительно, в
случае хе D(G, у) простая орцепь, идущая из у в х, имеет нечетную
длину — иначе она вместе с дугой ху составила бы простой орцикл
нечетной длины; если бы для всех ху е V было xg D (G, у), то замена
каждой дуги ху е V соответствующей орцепью превратила бы С в
ормаршрут нечетной длины, содержащий по лемме 4.1.1 простой
орцикл нечетной длины.
Зафиксируем некоторую дугу хуеК, для которой xgZ)(G, у), и
образуем подграф G' = (Х', Г') графа G, где 2"=Z>-1 (G, х). Так как
у G нет починов, а в G' не заходит извне ни одна дуга, то и G' в
качестве самостоятельного графа не имеет починов; нет у G' также
простых орциклов нечетной длины. Но при этом заведомо
k{G')=k(G')<k(G}=k(G)=k, ибо С не принадлежит G'. Согласно
допущению индукции, в G' есть по крайней мере два (+)-ядра 7Vj
и N2. Положим X, = Х\(Х' U ГАГ/)(г = 1, 2) и покажем, что каждый
из двух подграфов G, ={Xif Г, ) графа G имеет (+)-ядро.
Из-за возможного наличия починов в графе G, применить к
нему непосредственно индуктивное предположение нельзя, да и на
самом деле двух (+)-ядер в нем может не оказаться. Однако процесс
удаления починов вместе с их образами, основанный на тео-
реме 4.3.2 (см. пример и замечание к ней), приведет либо к выявле-
нию хотя бы одного (+)-ядра в G,, либо к подграфу G*o без починов,
а к последнему уже можно применить индуктивное предположение
и тем самым по теореме 4.3.2 найти в G, даже два (+)-ядра.
(+)-ядро TV* графа G] и (+)-ядро графа G2 могут и совпасть
друг с другом в G, но так как *N2, a (N\ иА2)Г)(А'11 UA7j)=0,
то множества А) =А] U А^1 и N2 =N2 UA^ различны; осталось до-
казать, что каждое N, (i=1,2) является (+)-ядром исходного графа G.
Имеем (рис. 4.3.6)
YNi =Y(N'i{jNii)=YN'i\jYNii =Г AJ- (ДГА' \X')Ur,^/ U
U (ГАГ / \ YjN') =[X\ (А^ • U N> )]U (Г^/ \ Г,АГ /)=X\Nit
поскольку из X \ X' в X' дуги не идут, a YNi ПДГ' =0 — иначе было
бы ГjN! П Af! ?ь0 (ведь G( =(Х,-, Г,) — подграф G, содержащий N,),
что невозможно. Итак, N\ и N2 суть (+)-ядра графа G.
458
Основы теории графов
Рис. 4.3.6
В случае =0 сущест-
* вование у G двух (-)-ядер до-
казывается аналогично или
получается из предыдущего
Х\Х' результата переходом от гра-
фа <т=(т к G.
СЛЕДСТВИЕ. Граф Gel
без орциклов нечетной длины,
не содержащий ни тупиков, ни починов, обладает по крайней мере
двумя положительными и двумя отрицательными ядрами. При этом
возможны совпадения некоторых (+)-ядер с некоторыми (-)-ядрами.
Одно из достаточных условий единственности ядер выражает
ТЕОРЕМА 4.3.4 (S. Rudeanu, см. теорему 4.3.2). Граф СеЗ , не
содержащий орциклов, может иметь не более одного положитель-
ного и не более одного отрицательного ядра.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, N и N' — два различ-
ных (+)-ядра графа G = (X, Г) е 3. Так как не может быть ни А а А',
ни N'c.N (почему?), то N\N'*0 и N'\N*0.
Выберем произвольно вершину X] eN\N'. Поскольку N' — по-
ложительное ядро, найдется такая y^eN', что^еГ^; при этом
y\^N, ибо N есть (+)-ядро; следовательно, yyeN'\N. Точно так
же найдется вершина х^ 6 N \N', такая что у] е Гх2, затем вершина
у2 eN'\N, для которой х2 еГу2, и т. д. Ввиду конечности графа G
вершины xb yj, х2, у2, ... не могут быть все различны, а отсюда
следует существование орцикла в G вопреки условию теоремы.
Другому достаточному условию единственности ядра посвяще-
но упражнение 46. Оценками количества ядер в общем случае зани-
мается Р.Г. Нигматуллин (Уч. зап. Казан, ун-та, 130(1970), № 3,
75-82 [71, 2В326]).
Переходя к фактическому нахождению ядер (или установлению
их отсутствия) в графах класса 5, изложим алгоритм Гутникова—
Люботы, позволяющий путем составления, переделки и отбора
некоторых подмножеств вершин графа G выявить все его ядра1.
1 Систематический обзор ядер, основанный на булевой алгебре (см. добавление 1),
практически неэффективен.
Глава 4. Ориентация
459
Обозначим через N = N((7)=N-1 (G) систему (множество) всех
отрицательных ядер N графа G = (X, Г)е 3, называемых здесь про-
сто ядрами; их можно характеризовать как конъюнкцией (1) & (2)
условий внутренней и внешней устойчивости, так и равенством
Г-1А = Х\ А. Зафиксируем произвольную вершину хе X и для каж-
дой пары вершин у, z, такой что хеГу & уеГг & z £ Гу, добавим к
графу дугу yl; после всех этих добавлений удалим вершину х. Полу-
ченный граф Сх=(А'\{х}, Гх), очевидно, принадлежит классу В;
пусть Nx = N (Gx) — система всех ядер этого графа.
ТЕОРЕМА 4.3.5 (Е.В. Гутников, В.Н. Любота // ПМП, 14 (1975),
62—71 [56#8031]). Если система Nx с 2х подмножеств вершин графа
G = (X, 17)еЗ состоит из всех таких AeNx, для которых
ГхГ)А*0, и всех множеств вида (A\F-1x)U{x}, где AgNx, то
NcNx.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть AeN; покажем, что AeNx.
Случай xgN. Тогда NсУ\{х}, и из определения графа Gx
легко следует, что при переходе к нему от G ни внутренняя, ни
внешняя устойчивость множества N не нарушается. Но так как N —
ядро G, то ГхП N *0 (внешняя устойчивость) и N е Nx в силу опре-
деления системы Nx.
Случай хе А. Обозначим через GT подграф графа Gx, по-
рожденный подмножеством вершин
Т={ГеГ-1х/ГхгПА={х}},
если оно не пусто. GT — симметрический граф класса S (почему?).
Ядра такого графа — это максимальные (по включению) груды,
значит, в GT есть хотя бы одно ядро NT; при Т=0 полагаем
А у = 0. Покажем, что множество
Ax=(A\{x})UATr
служит ядром графа Gx.
Vye А\{х} [Гху А(А\{х})=0], ибо никакие две вершины из
А не соединены дугой в G, а значит, и в Gx (согласно построению
этого графа);
VyeA\{x} (ГхуПАт-=0), поскольку VzeА7'(ГхгГ)(А={х});
460
Основы теории графов
Vye NT [Гху n(N\{x})=0] по той же причине;
'iye.Nf (Txy(}NT =0), так как NT — ядро графа GT.
Следовательно, множество Nx внутренне устойчиво в Gx. Пусть
теперь г е	тогда
если хе Гг, то Гхг ПЛу *0, поскольку NT — ядро графа G-j-;
если хйГг, то Гхг Г'1(ЛГ \{x})=Tz P1N *0, ибо N — ядро G.
Таким образом, Nx внешне устойчиво в Gx.
Из #ус:Г_,х, N ПГ~’х=0 и A^gN.,. следует, что
N = (Nx \ NT) U {х} = (Nx \ Г"1 х) U W,
т.е. NеNx в силу определения системы Nx.
Эта теорема позволяет на практике обходить трудность, обу-
словленную отсутствием простой зависимости между системами N и
Nx. Для построения N по известной Nx мы сначала образуем
«избыточную» систему Nx, а затем удаляем из нее те множества N,
которые не удовлетворяют условию T~N = X\N. Всю процедуру
выявления ядер разъясним на конкретном примере графа рис. 4.3.7.
Полагая х = 1, образуем граф Gx =Gf, затем, беря €7] за G и пола-
гая х = 4, образуем граф G]x =(?14 и т. д. до тех пор, пока не придем
к безреберному графу G\^%. Заметим, что менее удачный выбор
последовательности удаляемых вершин может привести лишь к
незначительному удлинению всего процесса (упражнение 5).
Ясно, что
N14628: {3, 5, 7}
Глава 4. Ориентация
461
(для простоты записи используем двоеточие вместо внешних фигур-
ных скобок). Так как граф <-?i4628 получен из <^1462 удалением вер-
шины 8, а Г1462= {5} и {5} П {3, 5, 7} *0, то система N)462g содер-
жит оба множества {3, 5, 7} и ({3, 5, 7}\{5, 7}U{8} = {3, 8}, где
{5, 7} = Г1462’'8.
Г?462 <3’ 5’ 7} = {8) = {3, 5, 7, 8}\{3, 5, 7}
И
Г-4'62 {3, 8} = {5, 7} = {3, 5, 7, 8}\{3, 8};
поэтому
Ni462: {3, 5, 7}, {3, 8).
Далее Г1462= {5}, {5} П {3, 5, 7} *0, {5} П {3, 8} =0, Г-’2={5},
откуда
N1462: {3, 5, 7}, {3, 5, 7}\{5})U{2} = {2, 3, 7),
{3, 8}\{5})U{2} = {2, 3, 8};
Г[4’6 {3, 5, 7} = {2, 8} = {2, 3, 5, 7, 8}\{3, 5, 7},
Г’16 {2, 3, 7} = {5} *{2, 3, 5, 7, 8}\{2, 3, 7},
Г^6 {2, 3, 8} = {5, 7} = {2, 3, 5, 7, 8}\{2, 3, 8};
N146: {3, 5, 7}, {2, 3, 8}.
Продолжая в том же духе, получаем наконец
Ni: {3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8};
Г1={2}, {2}П{3, 5, 7} =0, {2} П {2, 4, 6, 8} =0, Г-Ч = {3},
Ni: ({3, 5, 7}\{3})U {1} = {1, 5, 7}, {2, 4, 6, 8},
{2, 4, 6, 8}\{3})U {1} ={1, 2, 4, 6, 8};
Г"1 {1, 5, 7} = {2, 3, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\{1, 5, 7},
Г-1 {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7} ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\{2, 4, 6, 8},
462	Основы теории графов
Г"1 {1, 2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7} * {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\{ 1, 2, 4, 6, 8};
N: {1, 5, 7}, {2, 4, 6, 8} — оба (-)-ядра графа G.
Для нахождения всех (+)-ядер достаточно применить описанную
процедуру к графу G вместо 7j=G.
Упражнения и дополнения
1. Построить пример игры на графе, иллюстрирующий такую возмож-
ность: игрок А находится в ядре, а игрок Б хоть и не может выбрать вершину
ни в каком ядре, но тоже владеет беспроигрышной тактикой.
2. Приведенное в тексте высказывание о ядрах графа
3 игры в шахматы, связанных с таким положением, когда на
доске остались только короли, доказывать было бы черес-
2 чур долго по чисто техническим причинам, и мы предлага-
ем читателю рассмотреть следующий весьма упрощенный
1 вариант. На доске 3x3 в начальном положении рис. 4.3.8
ход белых. Правила обычные, но допустим еще, что белые
решили придерживаться следующей системы:
а)	из al ходить на 61, а если это невозможно, то на а2;
б) из 61 и из а2 ходить только на al.
(Формально можно причислить а) и б) к правилам игры, сделав ее «несиммет-
ричной» для игроков, наподобие известной игры «волк и овцы»). Предлагается
построить граф этой игры (он 17-вершинный) и показать, что в нем ровно два
(-)-ядра, причем белые каждым ходом выбирают вершину в своем ядре, а чер-
ные — в своем.
При наличии времени и терпения можно проделать то же, сняв ограниче-
ния а) и б) на тактику белых.
3 (любая из двух книг Бержа). а) Доказать, что всякое (-)-ядро графа
Бержа является максимальным (по включению) внутренне устойчивым под-
множеством вершин. Для каких графов справедливо обратное? Имеют ли место
сходные утверждения для (+)-ядер?
б)	Доказать, что подмножество вершин N с X графа Бержа G = (У, Г)
является его (-)-ядром тогда и только тогда, когда характеристическая функция
этого множества
Z/V (*) =
1 при a gN,
О при хё?/
удовлетворяет условию: для любой х е X
Глава 4. Ориентация
463
Xn (х) =
О при Гх = 0,
1 - max Хдг (у) ПРИ Гх * 0.
4.	а) Доказать, что подмножество N <zX\X является (+)-ядром графа
Бержа G =(У,Г) в том и только том случае, если X с FN и У служит (+)-ядром
подграфа G\X, и что для (-)-ядер справедливо двойственное утверждение.
б)	Доказать, что если VxeAr\£+ (Е+ Г) Г-1х*0), то множество починов
Е* является единственным (+)-ядром, а если VxeX\E~ (Е~ П Гх*0), то мно-
жество тупиков Е~ — единственное (-)-ядро в G.
5.	а) Найти (-)-ядро графа G рис. 4.3.7 описанным в тексте процессом, если
выбрана «неудобная» последовательность удаляемых вершин: 1, 2, 3,4, 5, 6, 7.
б)	Найти все (+)-ядра того же графа G.
6.	Упростить алгоритм Гутникова—Люботы для нахождения ядер приме-
нительно к симметрическим графам класса it; получить отсюда алгоритмы
выявления максимальных груд и клик (§ 1.7).
7.	а) Граф G=(X, U)eB с n(G)>2, не имеющий орциклов нечетной
длины, обладает по крайней мере двумя такими (-)-ядрами N] и что
=0 и Nx{JN2=X\
б)	бисвязный орграф, содержащий только один простой цикл нечетной
длины, но не совпадающий с ним, обладает (-)-ядром. М. Anclaux-Mundeleer,
Р. Hansen // Networks, 7(1977), № 3, 263-266 [78, 5В502].
8.	Если в орграфе каждый орцикл ... х{и^х^и{+2Х1+2^зхМ ••• нечетной
длины имеет две хорды вида xfxi+2 и х^х^з, то существует ядро. Р. Duchet,
Н. Meyniel И DM, 43 (1983), № 1, 21-27 [83, 6В538]. Ослабить условие, требуя
существования у каждого нечетного орцикла двух хорд не обязательно указан-
ного вида, нельзя. Н. Galeana-Sanchez // DM, 41 (1982), № 1, 105—107
[83, ЗВ509]. См. далее: М. Kwasnik [83, 11В634].
9.	Если в орграфе для любых вершин х*у длины всех простых орцепей из
х в у — одинаковой четности, то существует ядро. М. Blidia // Combinatorica,
6(1986), № 1, 23-27 [87, 1В573].
10.	Если G — двудольный граф (§ 2.4), то исходный орграф G, из которого
он получен дезориентацией, имеет как (+)-ядро, так и (-)-ядро. D. Магси // Bui.
Inst, politechn. Ia§i, sec. 1, 25(1979), № 1-2, 35-37 [80, 9B572]; J. Topp // De-
monstr. math., 13 (1980), § 4, 835—838 [81, 12В805]. Могут ли эти ядра совпадать?
464
Основы теории графов
§ 4.4. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
Для неориентированного графа G = (Ar, С/, у/) нередко возникает
задача следующего типа: ориентировать все звенья (т. е. переделать
их в дуги, см. §4.1) таким образом, чтобы полученный орграф
(г= (У, U, у/) обладал наперед заданными свойствами. Если исход-
ный граф G уже как-то ориентирован, то речь иде^переориентации,
которая не всегда сводится к полной дезориентации с последующей
нужной ориентацией графа G: например, иногда требуется получить
искомый орграф непосредственно из G, переориентируя как можно
меньше дуг. Наконец, если G — частично ориентированный граф, то
имеют смысл задачи доориентации, в которых разрешено только
ориентировать звенья, не трогая дуг. Рассмотрим ряд результатов,
относящихся к первым двум типам задач.
ТЕОРЕМА 4.4.1 (Н.Е. Robbins // Amer. Math. Monthly, 46 (1939),
281—283). Неориентированный граф G = (X, U, i/z) тогда и только
тогда можно надлежащей ориентацией звеньев превратить в бисвяз-
ный орграф, когда G связен и не имеет перешейков.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия очевидна. Для
доказательства достаточности надо лишь показать, что если Ъ —
произвольный связный орграф без перешейков, с числом бикомпо-
нент 5 ((z)>2 (и поэтому заведомо содержащий хотя бы одну дугу),
то всегда можно переориентацией некоторых дуг уменьшить число
его бикомпонент.
Если какие-то две бикомпоненты Ъ соединены более чем одной
дугой, то все начала этих дуг принадлежат одной, а все концы — дру-
гой бикомпоненте (почему?), и для уменьшения 5 достаточно пере-
ориентировать одну из этих дуг. Если же в (г никакие две бикомпо-
ненты не соединены более чем одной дугой, то, ввиду связности гра-
фа (г, наличия в нем дуг и отсутствия перешейков, граф Герца Н ((?)
(см. § 4.2) содержит хотя бы один цикл; переориентировав дуги меж-
ду бикомпонентами Ъ с таким расчетом, чтобы этот цикл стал ор-
циклом, мы опять уменьшим общее число бикомпонент графа.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть G — произвольный неориентированный
граф, a G' — его суграф, полученный удалением всех перешейков. Наи-
меньшее количество бикомпонент, которого можно добиться при
всевозможных ориентациях G, равно X (О').
Глава 4. Ориентация
465
Задача о бисвязной ориентации графа может возникнуть, напри-
мер, при введении в городе одностороннего движения по улицам.
Некоторым образом противоположна ей задача ликвидации орцик-
лов — когда предварительный вариант машинной программы, сете-
вого графика работ, схемы информационного поиска и т. п. необхо-
димо переделать во избежание зацикливаний. Так как от орцикла
длины 1 — петли — можно избавиться лишь ее удалением, то имеет
смысл рассматривать орграфы без петель.
Пусть G = {X, U, у/) — заданный орграф без петель, имеющий
орциклы, a Ki, ..., Vk — множества дуг всевозможных его простых
орциклов. Ясно, что суграф G'=G\W не содержит ни одного ор-
цикла в том и только том случае, если множество U' удаленных дуг
является трансверсалью (см. §4.2) семейства 5={ИЬ ..., Vk}. Если
Т = Т (G) — класс всех минимальных (по включению) трансверса-
лей этого семейства, то можно сказать, что G' не имеет орциклов
тогда и только тогда, когда в U' есть подмножество из класса Т.
Обозначим далее через Т" = Тп (G) класс минимальных подмно-
жеств U "с. U, обладающих тем свойством, что переориентация
всех дуг U" приводит к полной ликвидации орциклов в G. Вообще
второй путь борьбы с зацикливанием кажется менее надежным,
поскольку переориентация дуги орцикла хотя и разрушает его, но
может породить новые орциклы; тем не менее справедлива
ТЕОРЕМА 4.4.2 (Э.Я. Гринберг и Я.Я. Дамбит // Латв, матем.
ежегодник, 2(1966), 65—69 [67, 10В221]). Для любого орграфа
G = (X, U, I//) без петель
Г (G)=T"(G\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно,
УС/"еГ'ЗС/'еГ(С/'сС/''),	(1)
ибо если подмножество дуг U" ciU таково, что их переориентация
уничтожает орциклы, то удаление U" из G тем более даст такой
эффект, а в U" всегда можно выделить минимальное подмножество
U' с тем же свойством. Покажем теперь, что
VU'e T'BU"e Т" (U" с (/').	(2)
466
Основы теории графов
Пусть t/'e Т' hG'=G\U', a Xq=Eg, — множество тупиков
в G' (все они строгие, так как у G' нет петель); через Xt (z = l, 2, ...)
обозначим множество вершин х в G' , обладающих тем свойством,
что самая длинная простая орцепь из х в Xq имеет длину i. Ясно,
что Xj А X; =0 при zV j и что X = U X;.
i>0
В G' никакая орцепь не ведет из вершины множества X; в отлич-
ную от нее вершину множества Xj с J>i: если бы такая орцепь име-
лась, то она содержала бы простую орцепь (5 длины р > 1 из некото-
рой х0 е Xj в некоторую хр е Xj, где i ; эта (5 не может ни с какой
из длиннейших простых орцепей, идущих из хр в Xq, пересечься в
вершине, отличной от хр (иначе в G' был бы орцикл), но это значит,
что из в Xq ведет простая орцепь длины j+p>i вопреки опреде-
лению Х^. Поэтому добавление к G' дуги, направленной из Xj в Xz,
не может породить орцикла. Отсюда следует, что в исходном оргра-
фе G каждая дуга множества U' ввиду минимальности последнего
идет из некоторого Xs в некоторое Xt с t>s и что переориента-
ция дуг Ur не приводит к появлению орциклов; в множестве же U'
всегда есть минимальное подмножество U"с тем же свойством.
Из (1) и (2) следует справедливость теоремы. Действительно,
пусть U'e Т‘. Согласно (2) всегда можно найти такое С/” е Т", что
U" cz £/'; в свою очередь, ввиду (1) можно найти такое U’"e Т', что
U'" cz U". Из минимальности Ur следует теперь V=U", т. е. U'e Т".
Точно так же доказывается, что U"е U"е Т‘.
СЛЕДСТВИЕ (I. Fidrich // Acta math. Acad. sci. hung., 16 (1965),
№ 1—2, 1-7 [66, 1A429]; A. Adam // Там же, 9-11 [66, 1A430]). Для
ликвидации в орграфе G {без петель) всех орциклов достаточно пере-
ориентировать не более |S| дуг, где S — семейство {множество) мно-
жеств дуг всех простых орциклов в G.
Вопрос о наименьшем числе дуг, переориентация которых уме-
ньшает число орциклов, пока остается открытым. Гипотезу Адама о
том, что это число равно 1, опровергли J. Jirasek (Comment, math.
Univ, carol., 28 (1987), № 1, 185-189 [87, 10B657]) и Э.Я. Гринберг
(Латв, матем. ежегодник, 3 (1988), 128—138 [88, 7В583]), построив
бесконечные семейства таких мультиграфов, в которых переориен-
Гпава 4. Ориентация
467
тация любой дуги даже увеличивает количество орциклов1; для ор-
графов без кратных дуг гипотезу опроверг И.И. Труб (Одесский
семинар, сентябрь 1995); в то же время J. Jirasek (DM, 108(1992),
№ 1—3, 327—338 [93, 10В238]) изучает классы адамовых графов, для
которых гипотеза справедлива.
Обе задачи — о превращении орграфа в бисвязный и о ликвида-
ции орциклов — с более общих позиций рассматривает С. Berge //
Leet. Notes Math., 1073(1984), 31—34 [85, ЗВ453].
Исследование возможности ориентировать определенным обра-
зом граф иногда выступает как средство вычисления или оценки
того или иного «трудного» инварианта; остановимся на двух
результатах, связанных с хроматическим числом y(G).
I. Пусть G = (X, U) — обыкновенный граф, ~t (G) — наибольшее
из таких целых /, что после любой ориентации полученный орграф
5 = (X, Г) содержит по крайней мере один ормаршрут длины /.
Нижеследующую теорему получил Л.М. Витавер (ДАН, 147 (1962),
№ 4, 758—759 [63, 8А230; 26#3040]), а более простое доказательство
второй части мы позаимствовали из второй книги Бержа.
ТЕОРЕМА 4.4.3 у ((/)=?((/) +1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть у =у (G), a g: Х-> {1, 2, ..., у} - одна
из правильных раскрасок вершин G в у цветов. Полагая
^={xy/xyee(7&g(x)>g(j)} (х, уеХ),
получим орграф (5 = {X, Г), не содержащий ормаршрутов длины у
(значит, и более длинных), откуда / ((/)</-! и
z«/)>7«/)=i.	(з)
Наоборот, допустим, что данный граф G = (X, U) превращен в
орграф (5 = (У, Г), не содержащий ормаршрутов длины более / ((?).
Относя каждой хе! в качестве «цвета» длину / (х) максимальной
орцепи, начинающейся в х, получим раскраску вершин G элемента-
ми множества {0, 1, ..., / (Сг) — 1}, причем смежные вершины полу-
чат разные цвета: если xyeU и в G, например, уеГх, ахиу-
1 Сюда тематически примыкает следующий результат: Я. Нешетрил и Я.Я. Дамбит
[88, 12В608] построили орграф, переориентация любой дуги которого увеличивает
число полуразрезов (§4.1).
468
Основы теории графов
одного цвета, то х служит началом не только орцепи длины / (G),
но и другой орцепи ххуу... длины / (G) + l, вопреки выбору цвета
вершины х. Отсюда
у ((?)</(0 + 1,	(4)
что вместе с (3) завершает доказательство теоремы. Небольшое уси-
ление этого результата: J.A. Bondy // J. London Math. Soc., 14 (1976),
№ 2, 277-282 [77, 7В572].
II. Пусть б=хом1х1м2х2 •Xi-iU/Xt — произвольный маршрут в
антисимметрическом графе Бержа (см. §4.1), р+ (Q) — количество
тех дуг маршрута, которые ориентированы в направлении его обхо-
да, а р~ (0 — количество дуг, ориентированных против обхода.
Каждому маршруту Q и натуральному числу к отнесем функцию
<Рк (Q)=P+ (Q)-(k-l)p~ (0,
выражающую, образно говоря, прибыль от путешествия по марш-
руту Q при условии, что за прохождение дуги в направлении ее ори-
ентации путешественник награждается долларом, а за прохождение
дуги против ориентации платит к -1 долларов штрафа. Эта функция
аддитивна в следующем смысле: если
<2 = Х0И1Х1И2Х2 •••*/-1 «!*/«/+1*/+1 xs-\Usxs,
Ql =*0Ml*l"2x2 xl_lulxt, Q2 =xtut+]Xi+x ...xs_iUsxs,
то (pk (0 =(pk (Qi)+(pk (0).
ТЕОРЕМА 4.4.4. (G.J. Minty // Amer. Math. Monthly, 69 (1962),
№7, 623—624 [64, 6A282]). Обыкновенный граф G = (X, U) обладает
хроматическим числом y(G)<k (A:>1) тогда и только тогда, когда
его можно так ориентировать, чтобы в полученном орграфе
Г) для любого циклического маршрута Q выполнялось условие
<Рк (0<О-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала допустим, что y(G)<k>I и
g: JV—>{1, 2, ..., y(L)} — какая-либо правильная раскраска вершин
графа G. Ориентируем каждое звено xyeU в направлении возраста-
ния g(x), т.е. положим для любых х, уеХ
уеГх <±> xyeU&g(x)<g(^).
Глава 4. Ориентация
469
В полученном антисимметрическом графе Бержа G = (X, Г) рассмот-
рим произвольный циклический маршрут Q=xqU]X]U2X2 ...х^щх^
где X[=xq. Так как
О <|g (x,-i )-g (х,- )| </ (G) < к,
т. е.
l<lgU,-l)-g(x1)l<fc-l 0=1, 2,	/),
то
<Pk(Q)=P+(Q)-(k-i)p~(Q)< ZfgCx.Wx/-!)]- £ [g(x,-i)-
х,еГх,_1	Х'-^еГх;
- Е [g(xl-i)-g(x/)] = ^[g(x,)-g(xJ_1)] = g(x/)-g(xo) = O.
х^бГх,	/=1
Наоборот, пусть граф G удалось ориентировать так, чтобы не-
равенство (р^ (0 < 0 соблюдалось для всех циклических маршрутов.
Выбрав произвольно вершину хоеХ, положим f (x)=max<p^ (0,
где максимум берется по всем маршрутам из х0 в х. Функция f (х)
определена для всех хе У: в самом деле, замена маршрута Q
простой цепью посредством отбрасывания циклических участков
(лемма 2.1.1) не может уменьшить значение функции ср^ ввиду ее
неположительности на циклических маршрутах и свойства аддитив-
ности, поэтому при нахождении максимума достаточно в каче-
стве Q брать только простые цепи, соединяющие х0 с х, а таких
цепей конечное число. Если хуе(7, то
0< |/(х)-/(у)|<Л,	(5)
ибо в случае f (x)-f (у)&у е Гх маршрут из xq в у через х мог бы
принести доход =/(х) +1 > f (у), а в случаях f (х)>/(у)+к&уе
g Гх и f (х)(у) +к &хе Гу тот же маршрут дал бы прибыль (р^ =
=/ (х) +1 >/ (у) + к + 1 > f (у), соответственно <Pk=f (х) - (к -1) >
(у)+£_ (£“!)>/(у) вопреки определению функции f. Из (5) вы-
текает, что
функция g (х)=f (х) -|_^J
+ 1 (на 1 большая остатка
от деления f (х) на к) представляет собой полную правильную рас-
краску вершин графа G не более чем к цветами. Теорема доказана.
Еще один критерий правильной А:-раскрашиваемости в терми-
нах ориентации ребер, связанный с логико-алгебраическим подхо-
дом к проблеме, предлагает Ю.В. Матиясевич [75, 6В526].
470
Основы теории графов
Орграф называется базовым, если базой его дуг служит множест-
во всех ребер. Он характеризуется отсутствием петель и таких про-
стых циклов, на которых все дуги, кроме ровно одной, ориентиро-
ваны в направлении обхода (см. упражнение 23 к § 4.2); отсюда сле-
дует, что если орграф 1j базовый, то противоположный орграф <G,
полученный из него переориентацией всех дуг, тоже базовый. Нео-
риентированный граф называется базируемым, если надлежащей
ориентацией ребер его можно превратить в базовый орграф.
Как мы знаем из § 4.2, граф частичного порядка обладает един-
ственной базой дуг (см. следствие теоремы 4.2.7). Подграф, порож-
денный этой базой, не содержит орциклов и является критическим в
том смысле, что удаление любой его дуги ху нарушает достижи-
мость вершины у из х;1 всякий орграф с этими двумя свойствами бу-
дем называть трансбазовым, поскольку его можно (притом единст-
венным образом) дополнить дугами до графа частичного порядка,
т. е. транзитивного орграфа, с тем же отношением достижимости
вершин. Трансбазовый орграф характеризуется как базовый, не со-
держащий орциклов; оба эти свойства, очевидно, сохраняются при
переходе к противоположному орграфу. Наконец, неориентирован-
ный граф, который можно превратить в трансбазовый орграф ори-
ентацией ребер, назовем трансбазируемым. Проблемы характе-
ризации базируемое™ и трансбазируемости, поставленные в книге
Оре, пока не получили полного решения даже для обыкновенных
графов, однако и некоторые частичные результаты в этом направ-
лении достаточно интересны — см. упражнения 3—7.
A. Frank (DM, 39 (1982), 39, № 1, 103-104 [82, 7В550]) усиливает
определение бисвязности таким образом, что два орграфа с этим
свойством, полученные ориентациями одного и того же обыкновен-
ного графа, можно преобразовать друг в друга переориентациями
простых цепей и орциклов. Подсчетом и оценками количеств ори-
ентаций графа, удовлетворяющих тем или иным заданным услови-
ям, занимается C.R. Procesi (Rend. mat. е appl., 3 (1983), № 4,
681-685 [85, 2В659], Mitt. math. Seminar Giessen, 164 (1984), 51-57
[84, 10B462]).
* В данном случае критичность совпадает с минимальностью (см. конец § 1.9), по-
скольку дальнейшее удаление дуг не может восстановить нарушенную достижимость.
Глава 4. Ориентация
471
Упражнения и дополнения
1.	Если обыкновенный граф G с п(6) >2 допускает бисвязную ориентацию
и при любой такой ориентации полученный орграф имеет гамильтонов
орцикл, то G изоморфен Fn или Сп. М. Grotschel, F. Harary // JGrTh, 3(1979),
№ 3, 221-223 [80, ЗВ661; 81а#05086].
2.	Доказать, что все неадамовы графы с наименьшим числом вершин
бисвязны.
3.	Доказать, что среди обыкновенных графов плотности
(р <2 граф Мыцельского (уже знакомый нам из § 3.8) — единствен-
ный (с точностью до изоморфизма) нетрансбазируемый и единст- I
венный небазируемый, обладающий а) наименьшим числом V /\/\/| /
ребер, б) наименьшим числом вершин. К.М. Мосесян // ДАН
АрмССР, 54(1972), № 1, 8-12 [72, 10В356].
4.	Если G = (¥, U) — трансбазируемый обыкновенный граф, ае X, be eU и
с* а, то среди трансбазирующих ориентаций всегда есть
а)	такая, при которой все ребра вида ах переходят в дуги ах, а ребро Ьс — в
Дугу Ьс,
б)	такая, при которой все ребра ах переходят в дуги ха, а ребро Ьс — в дугу
сЬ. К.М. Мосесян // ДАН АрмССР, 55(1972), № 3, 134-135 [73, 1В524].
5.	Пусть К„ — класс нетрансбазируемых и-вершинных обыкновенных
графов, критических в том смысле, что удаление любого ребра приводит к
трансбазируемому графу. Тогда
K1=K2=K4=... = K1O = 0, K3={F3}, Vn>ll (К„*0).
К.М. Мосесян // ДАН АрмССР, 55(1972), №2, 83-86 [73, 8ВЗЗЗ].
6.	Доказать, что обыкновенный граф трансбазируем тогда и только тогда,
когда он базируем и его плотность не превышает 2. К.М. Мосесян // ДАН
АрмССР, 57(1973), №5, 264-270 [74, 10В379].
7	(теоретическая проблема). В классе обыкновенных и-вершинных графов
плотности 2 найти все графы с наибольшим числом ребер: а) небазируемые,
б) нетрансбазируемые. Книга Оре.
Примечание. Можно поставить и более скромную задачу: найти соот-
ветствующие верхние оценки количества ребер.
8.	Доказать, что обыкновенный граф G является графом интервалов
(G el — см. § 3.10) тогда и только тогда, когда дополнительный граф G можно
путем ориентации превратить в граф интервального порядка (§4.1).
9.	Числом т' (G) принудительной односторонней ориентации обыкновенно-
го графа называется наименьшее количество его ребер, произвольную ориента-
цию которых можно единственным образом продолжить до квазибисвязной
ориентации всего G. Если G вообще допускает такую ориентацию, то
m'(G)>m (G)-n(G)+2, а при /'(G) = l имеет место равенство; все графы с
w'(С) = 3 описаны: D. Pascovici И DM, 187 (1998), № 1-3, 171-183 [00, ЗВ266].
472
Основы теории графов
§ 4.5. ТРАНЗИТИРУЕМОСТЬ
Большой познавательный интерес и многочисленные приложе-
ния, как теоретические, так и практические, имеет свойство транзи-
тивной ориентируемости графа G (которое удобно выражать одним
словом), т. е. возможность путем ориентации всех звеньев превра-
тить G = (X, U) в такой ~(5 = (Х, Г)=(Х, С?), который удовлетворяет
условию (**) §4.1.
4	Для примера предложим читателю непосредст-
I	венно убедиться в том, что граф рис. 4.5.1 сам не
I	обладает свойством транзитируемости, но все
его строгие суграфы можно транзитировать (см.
/	\ также упражнение 1). Напомнив, что транзита-
2	5 ция обыкновенного графа превращает его в граф
1	6 частичного порядка, займемся сначала вопросом
Рис 4 5 1 транзитируемости обыкновенных графов, а в
конце параграфа — и графов общего вида.
Обыкновенный граф G = (X, U) называется транзитируемым,
если его ребра можно так ориентировать, чтобы получился граф
частичного порядка, т. е. антисимметрический граф Бержа G =
= (Х, Г) = (А',^)> удовлетворяющий условию транзитивности
Vx, у, z е X (y^Yx&zEiTy^ z е Гх),	(1)
или, в другой форме,
Vx, у z еX (ху^$ &yzel) => xz et^).	(Г)
Транзитируемый граф G наряду с каждой своей транзитацией
(транзитивной ориентацией) G допускает и противоположную G;
для безреберного графа обе они тривиальным образом существуют
и совпадают.
Наличие и взаимосвязь различных транзитаций графа регули-
руются его частями и маршрутами специального вида, напоминаю-
щими по своей роли нервные клетки, что дает нам повод
воспользоваться соответствующей терминологией. Так как в обык-
новенном графе G = (X, U) маршрут Q однозначно определяется по-
следовательностью своих вершин, то будем употреблять краткую
запись вида
2 = Х0Х1Х2 ...х/_]%/.
(2)
Гпава 4. Ориентация
473
Маршрут (2) назовем аксоном, если его длина />2
при z = 0, 1,	/-2, а в случае х/=х0 (циклический аксон) также
£U.
Если для ребер ab и qr в графе G существует аксон abc ... pqr, то
маршруты babe ... pqr, abc ... pqrq и babe ... pqrq тоже являются аксо-
нами, так что аксонная соединимость ребер друг с другом не зависит
от порядка записи концевых вершин каждого ребра и представляет
собой бинарное отношение на множестве U. Без труда доказывается,
что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е.
является эквивалентностью; ребра каждого из классов этой эквива-
лентности образуют вместе с инцидентными вершинами часть графа
G, называемую нейроном. Считая каждую изолированную вершину
отдельным нейроном (или ограничиваясь графами без таких
вершин, что в вопросах ориентируемости вполне естественно), мы
можем однозначно представить обыкновенный граф G в виде объе-
динения всех своих нейронов; они попарно не имеют общих ребер,
но могут иметь общие вершины. Количество нейронов графа G,
отличных от изолированной вершины, обозначим через nr(G).
ЛЕММА 4.5.1. Пусть обыкновенный граф G = (X, U) без изолиро-
ванных вершин сам является нейроном, т. е. nr(G}=\. Тогда
а)	если в G есть хоть один циклический аксон нечетной длины, то
G нетранзитируем;
б)	если в G нет циклических аксонов нечетной длины, то G допус-
кает ровно две транзитации (противоположные друг другу}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отметим в первую очередь роль аксо-
нов: при соблюдении условия транзитивности (1) они однозначно
передают ориентацию с любого своего ребра на остальные. На-
пример, если ребро x]xi+\ графа G, принадлежащее аксону (2),
превращено в дугу то ребро х/71^,+2 (при z</-2) можно
превратить только в	а Ребро х^^ (при z>l) — только в
иначе ввиду x7xz+2>	нарушилась бы транзитив-
ность, и т. д. Следовательно, и для всего нейрона транзитация если
существует, то однозначно определяется ориентацией произвольно
выбранного ребра, т. е. транзитаций ровно две (взаимно противо-
положных). Предположение о транзитируемости нейрона, содер-
жащего циклический аксон нечетной длины, приводит к противо-
речию: такой аксон передал бы с любого своего ребра на то же
ребро ориентацию, противоположную исходной (например, граф
474
Основы теории графов
рис. 4.5.1 нетранзитируем потому, что 1234356521 — циклический
аксон длины 9). Итак, доказаны (а) и часть (б), и остается лишь
показать, что нетранзитируемый нейрон G обязательно содержит
циклический аксон нечетной длины.
Зафиксируем в G произвольное ребро ab, придадим ему ориента-
цию ab и будем передавать ее на другие ребра по аксонам. Если в
какой-то момент процесса на одно и то же ребро qr окажутся пере-
данными две противоположные ориентации, то это будет означать
наличие в G двух аксонов вида abc ... pqr и abc' ... p'qr с длинами
разной четности, а тогда маршрут abc ... pqrqp' ... с'ba — цикличе-
ский аксон нечетной длины.
Допустим теперь, что ориентировать все звенья графа G и тем
самым превратить его в антисимметрический граф Бержа (т = (X, Г)
удалось до наступления описанной выше коллизии. Так как исход-
ный граф G предполагается нетранзитируемым, то должны найтись
такие три вершины х, у, zel, что уеГх и zeTy, но zgTx. Для
отсутствия в Ъ дуги xz принципиально возможны следующие два
объяснения:
1) в G совсем нет ребра xz;
2) такое ребро есть, но в 5 оно получило ориентацию zx. Слу-
чай 1) приводит к уже рассмотренной ситуации, ибо если ab ... ху —
аксон, передавший на ребро ху ориентацию ху, то маршрут ab ...
xyz, будучи тоже аксоном, передаст на ребро yz ориентацию zy,
противоположную исходной yz. Поэтому предположим, что налицо
случай 2):
—У!---У
ye Tx&z е Гу&хе Tz,	(3)
притом не только для фиксированной тройки вершин х, у, z, но и
для всякой другой, на которой в Ст нарушается условие транзитив-
ности.
Пусть abxi... Х2к-\Х2кху и
aby^... У21-\У21Уг ““ аксоны, по
которым с ab переданы ориента-
ции ху и yz (рис. 4.5.2). Так как
y2iZ^U, то не может быть ни
xy2i £ U (иначе для тройки х, у, у21
в качестве х, у, z нарушалось бы
условие (1) без выполнения (3)),
а*
а Х1
Рис. 4.5.2
Глава 4. Ориентация
475
ни У21 е Гх (тогда условия (1) и (3) были бы нарушены для тройки z,
х, У21У, поэтому хеГу2/- Таким же рассуждением получаем шаг за
шагом У21-1 е Гх, хе Гу2/-2, • •• > У1 е Гх], хе ГЬ, ае Гх, хе ГЬ, X] е Гх
(штриховые стрелки на рисунке), ... , х2д._]бГх, что невозможно,
поскольку первый из упомянутых аксонов налагает на граф G усло-
вие Х2к-\х(.и. Таким образом, при сделанных предположениях слу-
чай 2) вообще не может осуществляться. Лемма доказана.
При переходе от «однонейронных» графов к общему случаю
нам понадобятся наряду со свойствами транзитивности и транзити-
руемости также следующие их ослабления. Граф Бержа (X, Г) назы-
вается квазитранзитивным, если
Vx, у, zeX (уеГх&геГу => zeTxvxeTx); (4)
определение квазитранзитируемости обыкновенного графа G =
= (Х, U) возникает отсюда естественным образом.
ЛЕММА 4.5.2. Если обыкновенный граф G = (X, U) квазитранзи-
тирован, то на каждом его нейроне, рассматриваемом как отдель-
ный граф, эта ориентация ребер является транзитивной.
Действительно, если для полученного орграфа (х = (Х, Г) соблю-
дено условие (4), то в каждом нейроне передача ориентации с одних
ребер на другие по аксонам происходит точно так же, как и при
более жестком условии (1): всякий раз, когда ху, yzeU, но xzeU,
ориентация ху влечет zy, а ориентация ух влечет yz. В частности,
при nr (G) = 1 квазитранзитируемость графа G равносильна транзи-
тируемости.
ТЕОРЕМА 4.5.3. Если все нейроны обыкновенного графа G по
отдельности транзитируемы, то любая из 2пг^ независимых их
транзитаций превращает G в квазитранзитивный орграф, причем
таким образом получаются все квазитранзитации графа G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть все нейроны графа G = (X, U) тран-
зитируемы и в результате выбора одной из двух возможных транзи-
таций каждого нейрона, отличного от изолированной вершины, по-
лучен антисимметрический граф Бержа (j=(X, Г). Если допустить,
что уеГх&геГу&хгеи для какой-то тройки вершин х, у, zeX,
то на этой тройке будет нарушено условие (1) в (/, а с другой
Основы теории графов
476
стороны, ребра ху и yz в G, будучи соединены аксоном xyz, принад-
лежат одному нейрону, который в (? транзитирован. Поэтому для
любой тройки вершин изуеГхигеГу следует xz е U, а это равно-
сильно условию (4). Тот факт, что указанным образом можно полу-
чить любую квазитранзитацию графа G, вытекает теперь сразу
из леммы 4.5.2.
Благодаря этой теореме задачу полного обзора квазитранзи-
таций обыкновенного графа можно считать решенной, поскольку
выявление нейронов и проверка их транзитируемости труда не
представляют (см. упражнение 5). Мы увидим далее, что среди ква-
зитранзитаций всегда есть и транзитации (теорема 4.5.8 и ее следст-
вие 1); тот же результат получается при обосновании алгоритма
Гилмора—Гоффмана, представленного в упражнениях 6 и 7. Одна-
ко наличие удобного алгоритма, позволяющего для любого обык-
новенного графа либо установить его нетранзитируемость, либо
найти одну из транзитаций, а также принципиальная возможность
отобрать все транзитации из квазитранзитаций не дают еще удов-
летворительного решения проблемы полного обзора транзитаций:
последние на самом деле регулируются не только нейронами. Не-
которое представление о причинах трудности проблемы дает уже
простейший пример полного трехвершинного графа F-i = {{a, Ь, с},
{ab, ас, Ьс}), в котором каждое ребро является нейроном (т. е.
nr(F$)=3): если, скажем, ребрам ab и Ьс придать ориентации ab и
Ьс, то для ребра ас ^останется единственная возможность ас, а если
задать ориентации аЬ, cZ> или Ьа, Ьс, то сохранятся обе возможности
ас и са. Решение проблемы, представленное ниже в основном лем-
мами 4.5.4 и 4.5.5 и теоремой 4.5.6, было получено Л.Н. Шевриным
и Н.Д. Филипповым (Сибирский матем. ж., 11 (1970), № 3, 648—667
[71, 1В318]) в более алгебраических терминах.
Подмножество вершин X' а X и порожденный им подграф
С' = (У', С/') обыкновенного графа G = (X, U) называются в нем
стабильными, если любая yeХ\X' либо смежна со всеми вершина-
ми X', либо не смежна ни с одной из них. Пустое множество X' =0,
все одновершинные подграфы и сам G тривиальным образом ста-
бильны в G. Рискуя продолжать аналогию с нервной системой,
назовем синапсом связный стабильный подграф G', удовлетворяю-
щий условию l<n(G')<n(G).
Глава 4. Ориентация
477
ЛЕММА 4.5.4. Пусть abeU — произвольное ребро обыкновенного
графа G = (X9 U). Множество S(ab) тех вершин хеХ, для которых
существует аксон ab ... х, порождает либо синапс, либо весь граф G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Связность подграфа G', порожденного в
G подмножеством вершин S(ab)c:X9 непосредственно следует из
определения этого подмножества, а условие п ((?') > 1 гарантировано
тем, что a, beS(ab). Осталось показать, что если S(ab)aX и
у е X \ S (ab)9 то вершина у либо смежна со всеми вершинами множе-
ства S(ab)9 либо не смежна ни с одной из них.
Допустим противное: в S(ab) есть такая вершина f *а9 что у
либо смежна с /, но не смежна с а, либо наоборот.
Если уа£U &yf U, то пусть ab ...f — какой-нибудь из аксонов,
обусловивших принадлежность f eS(ab)9 z — последняя не смежная
с у вершина этого аксона, a t — следующая за ней (рис. 4.5.3 слева);
тогда ab ... zty — аксон, откуда у g S’ (ab), вопреки выбору вершины у.
Если же уае U &yf £ U9 то пусть z — последняя смежная с у, a t —
следующая за ней вершины на аксоне ab ...f (рис. 4.5.3. справа); но
тогда ab ... ztzy — аксон, откуда опять получаем противоречие:
yeS(ab).
ЛЕММА 4.5.5. Если а, Ь, с — попарно смежные вершины обыкно-
венного графа G = (X9 U), такие что S (ab) = S (ас) = S (Ьс), то все три
ребра ab9 ас и Ьс принадлежат одному и тому же нейрону.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия следует существование аксона
abx\ ... xqc9 пусть хг — первая его вершина, не смежная с с. Если
г нечетно, то abxx ... xrxr_\cxr_iic...x\cbc — аксон, а если г четно,
то abx\ ... хгхг_\схг_т>с...х\сас — аксон. Поэтому, если обозначить
через N (и9 v) высказывание «рёбра и и v принадлежат одному
478
Основы теории графов
нейрону», то будет истинна дизъюнкция N (ab, be) vN (ab, ас)
(напомним, что порядок вершин в записи ребра можно менять).
Отсюда и из того, что N — отношение эквивалентности, благодаря
чему конъюнкция вида N (и, u)&N (и, w) всегда влечет N (w, ш), по
правилам логики высказываний получаем в качестве следствия
конъюнкцию
N (ab, ac)&N (ab, 5с) &N (ас, Бс),
что и требовалось1.
ТЕОРЕМА 4.5.6. Обыкновенный граф G = (X, U) с U ^0 не содер-
жит синапсов тогда и только тогда, когда у него нет изолированных
вершин, a nr(G)-\.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала допустим, что в графе G нет
синапсов, и рассмотрим два его произвольных ребра ab, pqeU.
Согласно лемме 4.5.4, S(u)=X для любого ребра ueU, откуда, в
частности, следует существование аксона ab ... р. Если предпос-
ледняя вершина t этого аксона не смежна с q, то ab ... tpq — тоже
аксон, а если tq е U, то вершины t, р, q попарно смежны, откуда вви-
ду 5(ip) = 5 (pq) = S(iq)=X и леммы 4.5.5 получаем, что ребра ab и pq
принадлежат одному нейрону, т. е. в силу произвольности этих
ребер nr(G) = l. Отсутствие у G изолированных вершин сразу следу-
ет из того очевидного факта, что в несвязном графе каждая неодно-
вершинная компонента представляет собой синапс.
Доказанная только что часть теоремы содержится (без три-
виальных случаев) в упомянутой работе Шеврина и Филиппова;
обратное же утверждение там не сформулировано, но его обосно-
вание косвенно присутствует в доказательстве леммы 14. Именно,
пусть G не имеет изолированных вершин, U *0 и nr(G) = \. Тогда
для любого ребра xyeU и любой вершины zg! можно найти
ребро zt^U и, ввиду nr(G) = \, аксон ху ... zt, а значит, и аксон
ху ... z, откуда zeS(xy). Так как вершина z взята произвольно,
то S(xy)=X для любого xyeU.
Предположим теперь вопреки доказываемому утверждению, что
в G есть синапс G' = (X', Ur); тогда X' cz X и U' *0 (почему?).
1 Тот же результат можно получить непосредственным перебором случаев без фор-
мально-логических преобразований.
Глава 4. Ориентация
479
Возьмем ребро xyeU' и покажем, что S(xy)^X'; это противоречие
с выводом, сделанным в предыдущем абзаце, завершит доказатель-
ство теоремы.
Пусть zeS(xy). В случае Z&X' на аксонеху ... z нашлась бы
первая вершина Z, не принадлежащая Х\ и для предшествующей ей
вершины t' имели бы /'6X'	а для вершины Iй, предшествую-
щей f, было быг"е X' £U (согласно определению аксона), что
противоречит стабильности синапса G'. Таким образом, из z е 5 (ху)
всегда следует zeX', что и требовалось.
Прежде чем двигаться дальше, предложим читателю освежить в
памяти смысл обозначений G = MNP, MN • Р, MNx и MN • х, введен-
ных в начале §3.10. Напомним также, что переход от МХх к
MN • Р называется подстановкой графа Р вместо вершины х в граф
MN -х. Об обратной операции полного сжатия подграфа Р в графе
MNP будем говорить, что она переводит граф G=MN Р в фак-
тор-граф Gl P=MN х (по подграфу Р).
ЛЕММА 4.5.7. Если в квазитранзитируемом обыкновенном гра-
фе G есть синапс Р, то фактор-графGl Ртоже квазитранзитируем.
Действительно, ввиду стабильности Р фактор-граф G! Р изомор-
фен подграфу, получаемому из G удалением всех вершин Р, кроме
одной. А свойство квазитранзитивности (как и транзитивности)
антисимметрического графа Бержа наследственно в том смысле, что
сохраняется при переходе к любому подграфу (см., однако,
упражнение 8!).
ТЕОРЕМА 4.5.8. (A. Ghouila-Houri // C.r. Acad. sci. Paris,
254 (1962), № 8, 1370-1371 [62, 10А202; 30#2495]). Всякий квазитран-
зитируемый обыкновенный граф транзитируем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для графов с малым числом вершин (ска-
жем, менее 3) утверждение тривиально. Пусть оно уже установлено
для всех обыкновенных графов с числом вершин менее п (где и>3),
и пусть G = (Ar, U) — произвольный квазитранзитируемый обыкно-
венный л-вершинный граф; докажем его транзитируемость.
Это заведомо верно в случае nr(G) = l, ибо для нейрона квази-
транзитация равносильна транзитации. Если же иг((г)>1, то в силу
теоремы 4.5.6 граф G содержит по крайней мере один синапс Р. По
лемме 4.5.7 фактор-граф Gl Р квазитранзитируем, а так как п(Р) >2,
480
Основы теории графов
то n(G/ Р)<п и G/ Р транзитируем согласно индуктивному предпо-
ложению; по той же причине транзитируем и Р, ибо он является
подграфом квазитранзитируемого графа G, а п(Р)<п. Придав тран-
зитами графам Р и G / P-MN • х, мы затем в графе G-MNP
сохраним направления всех дуг, расположенных внутри подграфов
MN и Р, а каждому ребру yt, соединяющему вершину у из N с вер-
шиной t из Р, придадим то же направление (отNxP или наоборот),
какое имело в G/ Р ребро ух. Предоставим читателю убедиться
в том, что построенная таким образом ориентация и-вершинного
графа G будет транзитивной.
Из теорем 4.5.3 и 4.5.8 непосредственно вытекает
СЛЕДСТВИЕ 1. Если все нейроны обыкновенного графа как само-
стоятельные графы транзитируемы, то транзитируем и весь граф.
Принимая же во внимание лемму 4.5.1, получаем
СЛЕДСТВИЕ 2. Обыкновенный граф (квази)транзитируем тогда
и только тогда, когда в нем нет циклических аксонов нечетной длины.
Все сказанное приводит к выводу, что если сам факт транзити-
руемости графа G зависит только от свойств его нейронов по отде-
льности, то ответственность за многообразие его транзитаций несут
и синапсы, осуществляющие стыковку нейронов. Основываясь на
изложенных выше результатах, Л.Н. Шеврин и Н.Д. Филиппов
дали полный обзор транзитаций обыкновенного графа, однако
соответствующие формулировки пока слишком громоздки; жела-
тельно их упростить и выразить на чистом языке теории графов.
См. также: В.П. Козырев // Вопросы кибернетики, 15. М., 1975,
44-60 [76, ЗВ596].
Остановимся теперь на некоторых приложениях понятия тран-
зитируемости.
Как мы уже знаем (упражнение 11 к § 4.1), класс транзитируемых
обыкновенных графов совпадает с классом графов сравнимости; но
последние являются совершенными (упражнение 24'" к § 4.2), поэто-
му все транзитируемые графы совершенны; пример же, опровергаю-
щий обратное утверждение, красуется в начале этого параграфа.
Приступая к выполнению обещания, данного в конце §3.10,
охарактеризуем сначала обыкновенные графы класса I, т. е. допол-
Глава 4. Ориентация
481
нительные к графам интервалов. Напомним (§ 1.10), что два ребра
называются смежными, если они различны и имеют общую инци-
дентную вершину, и под перемычкой двух несмежных различных
ребер будем понимать ребро, смежное им обоим. Кроме того, пред-
ложим читателю освежить в памяти все сказанное в § 4.1 об интер-
вальных порядках и соответствующих орграфах. Обыкновенный
граф назовем интервально транзитируемым, если путем ориентации
его можно превратить в граф интервального порядка.
ТЕОРЕМА 4.5.9. Для обыкновенного графа G = (X, U) следующие
три высказывания равносильны:
(0) (тб1;
(1) G транзитируем и каждая пара его несмежных различных
ребер обладает хотя бы одной перемычкой;
(2) G интервально транзитируем.
При этом импликация (1) => (2) справедлива в усиленной форме:
если выполнено условие, то любая транзитация графа G превращает
его в граф интервального порядка.
Докажем, что (0) =>_(1) => (2) => (0).
(0)=>(1). Пусть Gel, т.е. Gel; это означает существование
такого линейно упорядоченного множества (Л/, <) и такой системы
X' его непустых интервалов, что можно установить взаимно одно-
значное соответствие Х<г+Х\ при котором для любых х, уеХ и
соответствующих им х', у'еХ'
xyeU О х,Пу,=0.
(5)
Придавая ребру ху ориентацию ху или ух в зависимости от того,
предшествуют ли все элементы интервала х' всем элементам интер-
вала у' или, наоборот, следуют за ними, мы превратим G в антисим-
метрический граф Бержа (j = (X9 Г), транзитивность которого
очевидна. Покажем, что в исходном графе G всякие два несмежных
различных ребра обладают перемычкой.
Этот факт весьма нагляден, если за (Л/, <) взята числовая ось:
для несмежных ребер ab9 cdeU, ab^cd, а,
интервалы а! и Ъ\ отвечающие вершинам	м
а и Ь9 не пересекаются, значит один из
них, скажем Ь', расположен правее дру- d' с' ~d'
того (рис. 4.5.4); аналогично
Рис. 4.5.4
482
Основы теории графов
Но так как ac&U и bc&U9 то а'Ас'*0, 6'Ас'*0, и при любом
расположении интервала d' он окажется либо правее а', либо левее Ь'9
откуда ad^U vbdeU. Формальный вывод этого утверждения
предложим читателю как весьма полезное упражнение по алгебре.
(1)=> (2) в усиленной форме. Пусть граф G, удовлетворяющий
условию (1), как-то транзитирован, но транзитация не является
интервальной; это значит на основании теоремы 4.1.2, что в полу-
ченном орграфе Сг = (У, Г) есть пара вершин х, у е X, для которой
Гх\Гу*0 & Гу\Гх*0;
выберем геГх\Гу и ГеГу\Гх.
Если xt£ U &yz £ U, то в графе G должна быть перемычка ху е U
или zteU; но любая ориентация такой перемычки несовместима с
транзитивностью графа (/. Если xteU, то из 1&Гх следует хеП,
откуда в силу транзитивности (5 получим хеГу&геГу вопреки
выбору вершины z. К аналогичному противоречию приводит и
допущение yz^U.
(2) => (0). Пусть граф G ориентаций ребер превращен в граф
интервального порядка	Г); тогда для системы X' интер-
валов некоторого линейно упорядоченного множества (Л/, <),
отвечающих вершинам X, будет х'Оу'=0 <=> уеГхчхеГу, что
равносильно (5), или, в другой форме,
xy£U О х' Оу' *0.
Но последняя эквивалентность как раз и означает, что дополнение к
G есть граф интервалов, т. е. Gel, или Gel. Теорема доказана.
Если в обыкновенном графе G пара несмежных различных ребер
ab, cd не обладает перемычками, то в G четверка вершин a, dy b, с
порождает простой цикл длины 4 без диагоналей, т. е. подграф вида
С4, и наоборот. Поэтому из критерия (0)<=>(1) переходом к
дополнительному графу сразу получается
СЛЕДСТВИЕ 1 (Р.С. Gilmor, A.J. Hoffman // Canad. J. Math.,
16(1964), № 3, 539—548 [66, 1A421; 31#87]). Gel тогда и только
тогда, когда сам обыкновенный граф G не содержит подграфов вида
С4, а дополнительный граф G транзитируем.
Глава 4. Ориентация
483
Привлекая же класс Т триангулированных графов (§3.10),
получаем
СЛЕДСТВИЕ 2. Gel тогда и только тогда, когда GeT, a G —
транзитируемый граф.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как триангулированный граф по
определению не содержит подграфов вида С/ с />3, в частности С4,
то достаточно показать, что в обыкновенном графе G с транзитиру-
емым дополнением G и без подграфов вида С4 не может быть также
подграфов С/ с />4. Но если бы такой G содержал подграф вида С/
с последовательными вершинами хь х2, ..., х/, Xj (/>4), то у графа
G в случае / = 2Аг + 1, где к >2, маршрут
х]Хк+2х2хк+3х3 • •Хкх2к+Ххк+Ххх,
а в случае 1=2к, где £>3, маршрут
х\хк+\х2хк+2х3 ...хкх2кхк+ххх
был бы циклическим аксоном нечетной длины, что невозможно по
следствию теоремы 4.5.8.
СЛЕДСТВИЕ 3. 1с Т
Строгость включения классов вытекает из примеров, показан-
ных на рис. 3.10.6; обобщение этих примеров приводит к характери-
зации класса I, представленной в упражнении 9 (в частности, крите-
рию принадлежности Gel, полностью выраженному в терминах
«запрещенных подграфов», посвящено упражнение 96). Наконец,
для приложений к генетике важен критерий, связанный с приведе-
нием матрицы смежностей графа G к специальному виду (упражне-
ние 10).
В заключение обратимся к графам G = (X, U, у) общего вида.
Скелетом такого графа называется обыкновенный граф G = (X, О')
с теми же вершинами, в котором ху е 0 тогда и только тогда, когда
в G вершины х и у соединены по крайней мере одним звеном или
дугой безразлично какого направления. Напомним, что для
орграфа G общего вида свойство транзитивности выражается в
прежней форме (1) (но не (Г)! почему?); очевидно, и квазитран-
зитивность можно записать в прежнем виде (4). Однако сейчас нам
понадобятся другие формы:
484
Основы теории графов
Ух, у, z eX{BueU[y/(u) = xy]&3veU[i//(v)=yz] =>
=> BweU[iy(u>)=xz]} а	(Г)
для транзитивности и
Vx, у, z eX{BueU[i//(u) = xy]&HveU[ii/(v)=yz]=>
=> 3 we U [у/ (w)=xz v iy (w)=zx]}	(4')
для квазитранзитивности. Определения транзитируемости и квази-
транзитируемости дословно остаются прежними.
ТЕОРЕМА 4.5.10. Для неориентированного графа G = (X, U, iy)
общего вида следующие три высказывания равносильны:
(a)	G транзитируем;
(б)	G квазитранзитируем;
(в)	G транзитируем.
Докажем, что (а) => (б) => (в) => (а).
(а)=>(б) тривиально.
(б)=> (в). Пусть <5 = (Х, U, у/) — орграф, полученный из G неко-
торой квазитранзитацией; тогда для любых х, у, zeX
BueU[iy (u)=xy]&BveU[iy (u)=yz] =>
=> 3 we U [7y (w)=xz v у/ (w) =zx].	(4")
Прежде всего заметим, что если из некоторой вершины орграфа
(г в другую вершину идет несколько дуг, то, сохраняя из этих дуг
лишь одну и удаляя остальные, мы не нарушим свойство квази-
транзитивности; это обусловлено тем, что в импликациях (4") все
дуги связаны кванторами существования. Далее, если из двух про-
тивоположно направленных дуг сохранить только одну (любую),
то в некоторых импликациях посылки станут ложными, а из следст-
вий ни одно не изменит значения истинности и условие (4") опять
не нарушится. Пользуясь обеими возможностями выбрасывания
дуг, мы в конце концов получим квазитранзитивный орграф,
отличающийся от результата ориентации скелета G графа G лишь
возможным наличием петель. Теперь (но не раньше!) петли можно
удалить, ибо во всех тех импликациях (4"), где z =х, посылка будет
ложной, поскольку вершины х и у не могут соединяться двумя
разными дугами. Следовательно, скелет G квазитранзитируем, а
значит и транзитируем по теореме 4.5.8.
Глава 4. Ориентация
485
(в)=> (а). Пусть скелет G графа G удалось транзитировать. Каж-
дому звену ueU\U суграфа, полученного из G удалением петель,
придадим такое же направление, какое имеет дуга ху в ориентиро-
ванном скелете, где \i/(u)=xy. Эта ориентация суграфа, очевидно,
будет транзитивной, т. е. для любых х, у, z е X
3 we(7\(7[i//(w)=xy]&3uGt7\{7[i//(u)=yz] =>
=> BweU\U[y/(w)=xz].	(4'")
Восстановление петель графа G означает замену в (4"') кванторов
по множеству U\U кванторами по множеству U, а это не нарушит
транзитивности, ибо каждая из импликаций в (4'") как при х=у, так
и при y = z превращается в тавтологию. Следовательно, граф G
транзитируем.
Непосредственно доказать импликацию (а) => (в), минуя теорему
4.5.8, видимо, было бы трудно.
Упражнения и дополнения
1.	Транзитивным замыканием орграфа G = (Х, U, у/) называется минималь-
ный (по включению множеств ребер) транзитивный орграф с теми же верши-
нами, содержащий G в качестве суграфа.
а)	Показать, что транзитивным замыканием простого орцикла Сп длины
служит полный п-вершинный граф Бержа.
б)	Доказать, что всякий орграф обладает единственным (с точностью до
изоморфизма) транзитивным замыканием.
Алгоритмы транзитивного замыкания см. в [УС]. J.-C. Arditti [79, 5В702]
характеризует обыкновенные графы, получаемые дезориентацией транзитив-
ного замыкания ордерева.
2.	Введя для орграфа естественным образом понятие квазитранзитивного
замыкания, исследовать вопросы его существования и единственности.
3.	Указать нетранзитируемые обыкновенные графы G а) с наименьшим
n(G), б) с наименьшим m(G), в) с наибольшим m(G) при заданном n(G).
4.	Антисимметрический граф Бержа (X, Г) называется сильно транзитив-
ным, если он транзитивен и не содержит таких троек различных вершин х, у,
z еХ, для которых z еГх&з еГу&хёГу&уёГх.
а)	Доказать, что обыкновенный граф G = (X, U) сильно транзитируем тог-
да и только тогда, когда для любой четверки попарно различных его вершин
х, у, z, t: xytU&yz eU&z~teU=>yteU. E.S. Wolk // PAMS, 13(1962), № 5,
789-795 [63, 8A232; 30#2493].
486
Основы теории графов
Указание (В.Г. Визинг): (1) можно считать G связным; (2) выбрать в G
вершину а наибольшей степени и доказать, что она смежна со всеми осталь-
ными вершинами (7; (3) всем ребрам вида ах придать ориентацию ях; (4) с
подграфом G\a поступать так же, как с исходным графом G.
б)	Дать полный обзор сильно транзитируемых обыкновенных графов.
в)	Охарактеризовать частичный порядок на множестве X, определяемый
сильно транзитивным орграфом (X, Г).
5.	Графом Гуйя-Ури обыкновенного графа G=(X, U) называется обыкно-
венный граф (7Я((7) = (У, И), у которого
Y ={ху/х, у еХ &x~yeU},
т. е. вершинами служат упорядоченные пары смежных вершин графа G, а
V ={ху yz Ixy eU &yz eU&xz £ С/},
т. e. вершина ху смежна с вершиной ух (это соответствует случаю z =x) и co
всеми теми yz, для которых х и z не смежны в G. Пример построения графа
Гуйя-Ури показан на рис. 4.5.5.
2-----3	12	13---34----Й
1/1	ill-	Рис. 4.5.5
1	4	21	31---43---32
G	GH(G)
а)	Построить GH (G) для графа G рис. 4.5.1.
б)	Выявить связь между компонентами графа GH (G) и нейронами исход-
ного графа G и доказать, что G транзитируем в том и только том случае, если
у (GH (G))<2. A. Ghouila-Houri (см. теорему 4.5.8).
6.	Обосновать описываемую ниже процедуру Гилмора—Гоффмана для
нахождения одной из транзитаций обыкновенного графа G = (X, U), сам факт
транзитируемости которого заранее известен.
1) Выбираем любое звено wel/, придаем ему произвольное направление и
транзитируем весь нейрон, содержащий и (кстати, это можно сделать, не пред-
полагая сам нейрон заранее выявленным).
2) Пусть нейроныCq, (72> •••> в (7, где \<k<nr(G), ужетранзитированы:
—i	—>	—>. к —>
Gi = (%,, и,г) (i = 1, 2, ..., к), и пусть иК = U Ц • Могут представиться два случая.
»=1
Случай 1: в частично ориентированном графе Gk, полученном из G тран-
зитацией всех Gif есть такое звено ху eU\Uk, что xz, zy eUk. Тогда придаем
этому звену ориентацию ху и транзитируем весь содержащий его нейрон Gk^ :
<7£+1 =(Xk+]t Uk+\). Полученный в результате из Gk частично ориентирован-
ный граф с множеством дуг = Uk U Uk+\ обозначим через G*+1.
Глава 4. Ориентация
487
Случай 2: в Gk нет такого звена. Тогда выбираем любое звено, придаем
ему произвольное направление и транзитируем содержащий его нейрон С^+].
Если в Gk совсем нет звеньев, то процесс окончен.
7.	а) Оформить процедуру Гилмора-Гоффмана в виде алгоритма, предпо-
лагая ребра графа G пронумерованными.
б)	Применить этот алгоритм к графу рис. 4.5.6 (предвари-
тельно пронумеровав его ребра).	jk
в)	Исследовать возможность удобного применения алго- уч уу
ритма к графу, факт транзитируемости которого заранее не \	/
известен.	\ ’ ’ /
Другие алгоритмы транзитации см. в [УС].	\	/
8.	Доказать, что транзитируемость и квазитранзитируе- \/
мость графа сохраняются при удалении вершин, и выяснить,
имеет ли место такая наследственность: а) при удалении ^ис- 4.5.6
ребер, б) при стягивании ребер.
9.	a) G е I тогда и только тогда, когда G е Т и в графе G нет трех различ-
ных вершин %], х2, х3 и тРех Цепей бь 62» бз таких, что 2/ соединяет с
и ни одна вершина этой цепи не смежна с х,- (/, у, к = \, 2, 3; i*j*k*i).
б)	G е I тогда и только тогда, когда G не содержит подграфов ни одного из
типов, показанных на рис. 4.5.7. C.G. Lekkerkerker, J. Ch. Boland (см. § 3.10).
Рис. 4.5.7
в) Критическими по удалению ребра нетранзитируемыми обыкновенными
графами являются (с точностью до изоморфизма) только С*2^4-1 с & >2 и оба гра-
фа на рис. 4.5.8. М. Aigner // Monatsh. Math., 73 (1969), № 5, 385-396 [70, 7В329].
10.	а) Пусть F1, F2,..., FP — все мак-
симальные (по включению) клики обыкно-
венного графа (7=({хь Х2,. «,	а
матрица Q (G)=||\\р определяется следу-
ющим образом:
[ 1, если х. g F1;
Ча = i	.
[О, если X/gFA
Рис. 4.5.8
488	Основы теории графов
Gel тогда и только тогда, когда матрицу Q (G) можно независимыми переста-
новками строк и столбцов привести к такому виду, чтобы в каждом столбце все
единицы шли подряд. D.R. Fulkerson, О.A. Gross ([66, 1А444К], Pacif. J. Math.,
15(1965), № 3, 835-855 [68, 1B274; 32Я3881]).
6)	Gel в том и только том случае, если перестановками рядов матрицы
смежностей A(G), т. е. надлежащим выбором нумерации вершин графа G
(§ 1.3), можно добиться, чтобы в каждой строке все единицы, расположенные
правее главной диагонали (а значит, и в каждом столбце все единицы ниже
главной диагонали), шли подряд. Книга Миркина и Родина (см. §3.10).
в)	Пусть G =({х], х'2> • хр\ О'!» Уъ •••> Уц}> U)двудольный обыкновен-
ный граф (§2.4), R (G) =|| |£ — его упрощенная .матрица смежностей:
1 при х^у, е U,
О при х~у; & U.
G е I в том и только том случае, если перестановкой строк матрицы R (G)mow-
но добиться, чтобы в каждом столбце все единицы шли подряд. A. Tucker //
JCTh, В12 (1972), № 2, 153-162 [72, 11В290; 445Я4999].
11.	Пусть G — обыкновенный граф с у (G) = 2. Доказать, что Gel тогда и
только тогда, когда каждая компонента графа G — дерево, притом либо двух-
вершинное (F2), либо превращающееся в простую цепь после одновременного
удаления всех висячих вершин (см. гусеница [УС]). A. Kotzig // Casop. pSstov.
mat., 88(1963), № 2, 236-240 [63, 12A309; 27#2871].
12	(теоретическая проблема). При доказательстве импликации (в)=>(а) в
теореме 4.5.11 транзитация мультиграфа G получалась из транзитации его ске-
лета G таким образом, что все параллельные ребра ориентировались в одном и
том же направлении. На самом деле G может допускать и такие транзитации,
при которых возникают пары противоположно направленных дуг. Дать обзор
всех транзитаций мультиграфа G=(X, U, с транзитируемым скелетом.
13	(теоретическая проблема). Исследовать, в каких случаях частично ори-
ентированный граф можно транзитировать доориентацией звеньев (без измене-
ния направлений дуг).
См. еще транзитивное сокращение орграфа [УС].
Матричная характеризация транзитивных графов: О. Kessler, A. Berman
[86, 9В650] (со ссылкой на [73, 8А318]).
ДОБАВЛЕНИЯ
1. Булевы методы в теории графов
Мы уже неоднократно намекали на возможность применения
булевой алгебры высказываний для теоретически полного решения
некоторых задач теории графов. Рассматривая здесь наиболее
типичные приемы, основанные на преобразованиях формул логики
высказываний, мы не будем придерживаться того именно порядка,
в котором соответствующие задачи упоминались ранее, а также
позволим себе во избежание громоздкой записи проводить общие
рассуждения на конкретных примерах.
Задача о трансверсалях, к которой сводятся, в частности, многие
задачи на графы, наиболее удобна для разъяснения основных прин-
ципов применения булевой алгебры и весьма употребительного
приема «превращения элементов (или множеств) в высказывания».
Пусть 5={Sj, S2, Sfr} — конечное семейство непустых конечных
множеств, а Т(S)={7\,	Г/} — семейство (множество) всех его
минимальных трансверсалей (т. е. минимальных по включению
множеств, имеющих непустое пересечение с каждым S\). Заметим,
что стремиться к обзору всех вообще трансверсалей, а не только ми-
нимальных, не имеет смысла: вместе с Т пересекает все S, и любое
Т', для которого Гс Г'; в то же время всякая трансверсаль содержит
по крайней мере одну минимальную. Ясно, что если Те Т(5), то
к
Тс U 5,; зная же семейство Т(S), можно из его множеств получать
/=1
любые другие трансверсали для S добавлением произвольных эле-
ментов (в том числе и не принадлежащих множествам семейства 5).
Рассмотрим конкретный пример:
5] ={а, b, d, е, f}, S2 ={а, b, е, g},
53 ={Ь, с, е}, 54 -{b, d, g, h}, S5 ={e, f, h}.
490
Основы теории графов
5
Высказывание о том, что некоторое множество Т с U 5/ есть транс-
/=1
версаль семейства 5 = {5b S2> S3, 54, 55}, выглядит следующим
образом:
{aeT v beTv deT v ее Tv f еТ)&(аеТ v be Tv eeT v geT}&
&...&(eeT v f eT v he T);
однако с самого начала эту запись можно упростить.
Во-первых, вместо высказывания типа «яеТ» будем писать сам
символ а, понимая его как булеву переменную, значение которой
равно 1 («истина»), если элемент а принадлежит множеству Т, и рав-
но 0 («ложь») в противном случае. Во-вторых, дизъюнкцию будем
обозначать как сложение, а конъюнкцию — как умножение. Тогда
высказывание «Т есть трансверсаль для 5» запишется в виде
(a + Z> + rf + e+/)(a + £ + e+g)(Z> + c+e)(Z> + 6Z+g+A)(e+f 4-й) = 1, (1)
и этому уравнению удовлетворяют все те и только те системы значе-
ний переменных a, b, ...,h9 при которых высказывание истинно.
Чтобы найти эти системы значений, приводим левую часть (1) к
минимальной ДНФ (дизъюнктивной нормальной форме), раскры-
вая скобки и пользуясь законом поглощения; такая форма единст-
венна ввиду отсутствия логических отрицаний. На практике удоб-
нее использовать поглощения не после полного раскрытия скобок,
а в процессе их постепенного перемножения. В данном случае про-
изведение первой скобки на вторую даст
a + b + e + dg+fg,
при умножении этой суммы на третью скобку получится
b + e + ac+cdg + cfg
и т. д. Окончательно уравнение (1) примет вид
acdf +ach + be + bf + bh + cdgh + cfg+de + eg+eh =1.	(F)
Первое слагаемое acdf указывает систему значений а = с=б/=/ = 1,
при которой уравнение (Г) удовлетворяется независимо от значений
остальных переменных (й, е, g, h); следовательно, {а, с, d, f} —
трансверсаль семейства 5. Эта трансверсаль минимальна: если бы
Добавления
491
какое-то строгое ее подмножество, скажем {а, с, d}, тоже было
трансверсалью для S, то уравнение (Г), согласно своему смыслу, при
a = c-d = l, f = 0 превратилось бы в тождество, что возможно лишь
при наличии в левой части (1) слагаемого, не содержащего множи-
телей, отличных от а, с и d\ но такое слагаемое поглощает acdf;
значит, последнее на самом деле не могло присутствовать в (Г).
То же рассуждение применимо к любому слагаемому, поэтому
T(S)={7\, Тг, Т3, Т4, Т5, Т6, Тъ 7g, Г9, Гю),
где 71 = {а, с, d, f}, Т2 = {а, с, h}, Т3 = {b, е}, Т4 = {b, J}, Т5 = {b, h},
Т6 = {с, d, g, h}, Т7 = {с, f, g}, 7g = {d, e}, T9 = {e, g} и TiQ = {e, h}. В
качестве упражнения рекомендуем читателю найти семейство всех
минимальных трансверсалей для T(S) и убедиться в том, что оно
совпадает с 5. Последнее обстоятельство не случайно, как показывает
ТЕОРЕМА. Если в семействе S никакое множество не является
подмножеством другого, то Т (Т(5)) = 5*.
Доказательство без труда получается из закона двойственности
в логике высказываний и из того, что если семейство 5 удовлетво-
ряет условию теоремы, то левая часть соответствующего уравне-
ния типа (1) представляет собой минимальную конъюнктивную
нормальную форму, которая, как и дизъюнктивная, единственна
ввиду отсутствия отрицаний. Желающие могут доказать теорему и
чисто теоретико-множественным рассуждением. Одно из ее приме-
нений см. в упражнении 1.
Максимальные груды. Задача выявления всех таких подграфов
сводится к предыдущей. Напомним (см. конец § 2.4), что опора
обыкновенного графа (7 = (X, U) — это такое подмножество его вер-
шин, удаление которого превращает G в
безреберный граф; следовательно, это
трансверсаль семейства {{х, у} / ху е U}
двухэлементных подмножеств в X, образую-
щих ребра G. Множества вершин максима-
льных груд в (7, очевидно, служат вершин-
ными дополнениями (до X) минимальных
опор.
Для графа G рис. Д.1 левая часть урав-
нения, играющего роль (1), будет
Рис. Д.1
492
Основы теории графов
(1 + 2) (1+3) (1 + 4) (1+5) (1 + 7) (2+3) (2 + 4) (2 + 6) (2 + 7)... (8 + 9).
В общем случае Х={х], х2, •> хп} такое произведение можно с са-
мого начала записать в виде (xj +/?i) (х2 +/>2)  •  (хл-1 + Рп-л )> гДе Pi
произведение тех Ху, для которых J > i&x~x j g U (если таких ху нет,
то Pi =1 и множитель х, + Pi =1 опускается). Поступая таким образом
в нашем примере и приводя произведение к минимальной ДНФ,
получим
(1 + 23457) (2+3467) (3+ 5689) (4 + 789) (5 + 89) (6 + 79) (7+89) (8 + 9) =
= 1234689 + 123789 + 1245689 +1256789 +1345678 +1345679 +
+1346789 + 2345678 + 234579;
т. е. минимальными опорами G служат множества {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},
{1, 2, 3, 7, 8, 9}, ..., {2, 3, 4, 5, 7, 9}, а максимальными множествами
попарно несмежных вершин — дополнения этих множеств
{1, 6, 8}, {1, 9}, {2, 5}, {2, 8}, {2, 9}, {3, 4}, {4, 5, 6}, {5, 7},	(2)
выписанные здесь (ради сохранения словарного порядка) в последо-
вательности, обратной процессу получения.
Наоборот, если известны все максимальные груды, то дополне-
ния множеств их вершин образуют семейство 5 всех минимальных
опор графа G, а по теореме получим T(S)=U. Кстати, указанием
всех максимальных груд иногда пользуются как одним из способов
задания графа, что можно записать в виде матрицы, имеющей в										
нашем примере вид										
	А	в	с	D	Е	F	G	н	I	
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	
2	0	0	1	1	1	0	0	0	0	
3	0	0	0	0	0	1	1	0	0	
4	0	0	0	0	0	1	0	1	0	
5	0	0	1	0	0	0	0	1	1	(3)
6	1	0	0	0	0	0	0	1	0	
7	0	0	0	0	0	0	1	0	1	
8	1	0	0	1	0	0	0	0	0	
9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	
где через А, В, ..., I обозначены множества (2) в том же порядке.
Добавления
493
Максимальные клики обыкновенного графа (X, U) порождают-
ся теми подмножествами вершин, которые в дополнительном графе
(X, U) образуют максимальные груды, так что дальнейшие подроб-
ности излишни (см. упражнение 2). Матрицей максимальных клик
тоже можно пользоваться для задания самого графа (упражнение
10а* к §4.5). См. также: D. Епе // Stud. $i cere, mat., 23 (1971), № 7,
1017—1023 [72, 2В344].
Хроматйческое число. Рассмотрим общую задачу о нахождении
всех у-раскрасок (т. е. правильных раскрасок всех вершин наимень-
шим количеством цветов) обыкновенного графа (У, U). Способ ее
решения, который предложил Kh. Maghout (С.г. Acad. Sci. Paris,
248(1959), № 25, 3522-3523 [61, 5А312]), будет ясен из прежнего
примера графа рис. Д.1, а обоснование с использованием приема
«превращения множеств в высказывания» предоставим читателю.
Каждой вершине графа отнесем сумму (формальную) множеств
вершин тех максимальных груд, которые эту вершину содержат, и
составим произведение сумм:
(А + 5)(С + D+E)(F + G)(F + Я)(С+Н + /)(Л + H)(G + 7)(Л + D)(B + Е).
Минимальной ДНФ этого произведения будет
A BCFG+ABCFI + A BCGH +ABDFI+A CEFG +AEFI +
+AEGH+BDFHI+BDGH.	(4)
Слагаемым полученной суммы отвечают покрытия множества
вершин подмножествами попарно несмежных:
^U5UCU7?UG = ^UBUCUFU/ = ... = BUZ>UGUH = ^;
каждое из этих покрытий минимально в том смысле, что если взять
не все покрывающие множества, то объединение уже не даст X. Все
такие минимальные покрытия представлены в (4), и мы выберем те,
которые образованы наименьшим количеством множеств, — в дан-
ном случае это AEFI, AEGH и BDGH, откуда следует, что у (Я) = 4.
Так как покрытие AEFI образовано множествами {1, 6, 8},
{2, 9}, {3, 4} и {5, 7}, попарно не имеющими общих вершин, то ему
отвечает ровно одна 4-раскраска. Покрытие AEGH образуют мно-
жества {1, 6, 8}, {2, 9}, {3, 7} и {4, 5, 6}, и для получения
494
Основы теории графов
соответствующих раскрасок надо всеми возможными способами
устранять дублирование вершин; в данном случае это относится
только к вершине 6 (общий случай представлен в упражнении 3), и
ее удаление то из Л, то из Н даст две 4-раскраски. Еще одну 4-рас-
краску получаем из покрытия BDGH.
Задачи уэйсмановского типа. Следуя работе Дж. Уэйсмана, упо-
мянутой в § 3.7, рассмотрим одну из таких задач. Пусть G = (У, U) —
обыкновенный граф, а У], У2, •••, У к ~~ некоторая система непустых
попарно непересекающихся подмножеств его вершин. Требуется
найти такую правильную (не обязательно полную) раскраску вер-
шин G наименьшим количеством цветов, чтобы в каждом У, была
ровно одна окрашенная вершина. В частном случае, когда все|У/| = 1
к
и U Yi=X, это обычная задача о у (С)-раскраске.
i=l
Сначала предположим, что уже найдена какая-то система
Zb Z2, ZpGJf подмножеств X, удовлетворяющая условию
Vze{l, 2, ..., к}
р
и Zj
7=1
ПУ/*0
(5)
с наименьшим возможным р; заметим, что наложение на подмноже-
ства Z, дополнительного условия максимальности не приводит к
увеличению числа р, ибо соотношение (5) сохранится после замены
любого подмножества Z, содержащим его максимальным. Обра-
зуем множество Z={z], Z2,	}, выбирая по одной вершине
( р 1
из каждого U Zs А У,-, и положим
V=1	)
Xt= Zt\ и Zj Az, 1 = 1, 2, p.
I 7=1 )
Так как I,cZ/, то все подмножества Xj состоят из попарно
несмежных вершин; из определения Z и Xj следует далее, что
Р )
U X,
/=1 7
ПУ/
С
Z/MJZ/ AZ
>ЯУ,-
Добавления
495
' Р ( М
и Z/\ и Zj
/=1(	7=1
ПУ,- nz
(р )
Uzz
V=> )
ПГ,
nz =1
при всех z = l, 2..к, т. е. система У], Х2, , Хр представляет
искомую раскраску. Все сказанное поясним примером, из которого
будет видно, как искать систему {Zj} в общем случае.
Пусть (X, U) — прежний граф рис. Д.1, а к=3 и
Г1={1, 3}, У2 ={5}, Гз={7, 8, 9}.
Из матрицы (3) образуем новую матрицу
	А	В	с	D	Е	F	G	н	I	
1+3	1	1	0	0	0	1	1	0	0	
5	0	0	1	0	0	0	0	1	1	(6)
7+8+9	1	1	0	1	1	0	1	0	1	
строки которой соответствуют множествам У, и получаются буле-
вым сложением надлежащих строк из (3); по матрице (6) составляем
произведение, аналогичное (4) до приведения, и приводим его к
минимальной ДНФ:
(A+B+F +G)(C+Н+I)(A+B+D + E+G+I)=AC+АН+AI+ ВС +
+ BH+BI+CDF+ CEF + DFH+EFH+FI.
Наименьшее количество множителей в слагаемом — два, т. е.
требуемую раскраску можно осуществить двумя цветами. Для на-
хождения одной из раскрасок возьмем, например, третье слагаемое
AI — ему отвечает система множеств Z\ =Л={1, 6, 8}, Z2 =/={5, 7}
(р = 2), объединение которых Z] UZ2 ={1, 5, 6, 7, 8} пересекается с
каждым У(; эти три пересечения будут {1}, {5} и {7, 8). Одна из
двух возможных выборок Z = {1, 5, 7} дает Х\ =Z\ ClZ= {1},
У2 = (Z2\Zi)AZ= {5, 7}, т. е. окраска вершины 1 в розовый цвет,
а вершин 5 и 7 в голубой представляет решение (далеко не единст-
венное) исходной задачи.
Маршруты. Пусть G = {X, U, у/) — мультиграф (неориентирован-
ный граф общего вида), X={хь х2, ..., х„}, t7={ub м2, ..., ит}, а
496
Основы теории графов
A (G)=||azy И"—его матрица смежностей (§2.7). Требуется узнать,
сколько различных маршрутов заданной длины />1 ведет из вер-
шины xz в вершину Xj. Покажем, что искомое число равно эле-
менту матрицы [ J (G)]z =||а^||" .
Утверждение тривиально при / = 1. Если уже доказано, что
есть количество маршрутов длины / из х, в х^, то для числа марш-
рутов длины / + 1 из х, в х. с фиксированной предпоследней всрши-
-	J (I)
нои х^ получаем выражение -а^-, а для полного количества та-
ких маршрутов без фиксации предпоследней вершины — выражение
равное согласно
к=\
Так, для графа G рис. Д.2
правилу умножения матриц.
	0	3	0	0	0
	3	0	2	1	0
A=A(G) =	0	2	0	1	0
	0	1	1	1	0
	0	0	0	0	2
3	О
3	О
3	О
3	О
О	4
	0	42	3	9	0
	42	5	31	18	0
Л3 =	3	31	5	9	0
	9	18	9	9	0
	0	0	0	0	8
например, из вершины а в вершину d идут три маршрута длины 2
(a\bid. a2b8d, a3b8d) и девять маршрутов длины 3 (alb4c6d, a\b5c6d,
a2Mc6d, a2b5c6d, a3b4c6d, a3b5c6d, albSdld, a2b8dld, a3b8dld), из e
в e — четыре маршрута длины 2 (е9е9е, е9е10е, е10е9е, е10еЮе)и т. п.
1 b	Способ фактического выявления всех маршрутов
Q/j заданной длины мы во избежание громоздкости
разъясним на совсем простом' примере графа G
3	рис. Д.З. Составим усовершенствованную матрицу
Рис. Д.З	смежностей
Добавления
497
а b О
Au{G)=AW)=\\aiJ (t/)||" =
b
О
c+d
О
О
c + d
в которой элемент а,у (С7) представляет собой формальную сумму
ребер, соединяющих i-ю и у-ю вершины; символы ребер графа
(в данном случае a, b, с, d) рассматриваем как образующие неком-
мутативного (но ассоциативного и дистрибутивного) полукольца.
Последовательно образуем степени матрицы A(U):
[A(U)f =
ab
ba	b^ + ^ + dl + cd+dc
cb+db	0
cd
0
c^ + d?- + cd+ de
	a^+tP-a+ab^	a2-b+bl+b(?- + + bcd+bdc+bd2	abc+abd
	bcP--^b^+(?’b+ + d?-c+ edb+deb	bab	c$+d2-c+ cdc+ + dc^+b^d+a^d+ + d$+cd'2‘ + dcd
	cba	cb2 + db2 + c3+d2c+ + cdc+dc^ + c^d+ + d^+cd^ + dcd	0
Мы видим, и это нетрудно доказать в общем случае, что элемент
(17) матрицы [Ay (G)]z равен сумме таких произведений, сомно-
жителями каждого из которых служат последовательные ребра не-
которого маршрута длины / из вершины i в вершину у, причем ни
один маршрут не пропускается и не дублируется; например, элемент
а2\	+ b3 +c2b + d2b + cdb + dcb матрицы [А (С/)]3 однозначно
выявляет все шесть маршрутов длины 3 из вершины 2 в вершину 1:
2Мл1я1, 2b\b2bl, 2c3c2bl, Id3d2bl, 2c3d2bl, 2d3c2b\.
Сложность элементов в матрицах резко возрастает с ростом числа Z,
но виною здесь не способ, а сам факт наличия колоссального, вооб-
ще говоря, количества маршрутов.
498
Основы теории графов
Если интересоваться не самими маршрутами и даже не их коли-
чествами, а лишь возможностью попасть из xz в х; ровно / шагами,
то можно наложить на полукольцо целых неотрицательных чисел
булево соотношение 2 = 1 (или, в менее вычурной записи, 1 + 1 = 1);
тогда элемент aW (U) матрицы [A (t/)]z будет равен 1 или 0, смотря
по тому, ведет или нет из х,- в х; хоть один маршрут длины /. Так,
для графа рис. Д.2
О
1
о
о
о
10 0 0
0 110
10 10
1110
0 0 0 1
10 110
0 1110
11110
11110
0 0 0 0 1
11110
11110
11110
11110
0 0 0 0 1
(см., однако, упражнение 4!). Наконец, для выявления возможностей
попасть из вершины в вершину не более чем / (а не обязательно ров-
но /) шагами надо вместо А оперировать с матрицей Е+А, где
£*=£" — единичная матрица порядка п, т. е. в данном примере
Ясно, что таким способом выявляются и все компоненты графа;
однако для этого есть гораздо более эффективные алгоритмы: см.
алгоритму выявления компонент графа [УС].
Простые цепи. Львиная доля маршрутов в графе обусловлена
не особенностями его строения, а неограниченной возможностью
банальных «хождений взад-вперед», и можно ожидать, что переход
Добавления
499
к задаче выявления лишь тех маршрутов, которые являются прос-
тыми цепями, приведет к значительному упрощению элементов в
матрицах [Аи (G)]z.
Сразу ясно, что произведения, содержащие хотя бы одно ребро
более одного раза, можно отбрасывать (тем самым мы избавимся от
маршрутов, не являющихся цепями). Но чтобы сохранить только
простые цепи, надо отбрасывать и такие произведения, которые
определяют цепи с повторяющимися вершинами. Не желая затем-
нять суть дела громоздкими обозначениями, будем считать исход-
ный граф G = (Ar, U) обыкновенным, и пусть Х = {1, 2, ..., п}.
Составим усовершенствованную матрицу смежностей
А = Аи (G)=\\aij: (t/)||”, где
aiy(t/)= У, если ijeU,
fc0, если ij&U,
пару ij считаем упорядоченной (это необходимо в связи с направле-
нием обхода цепи), но стрелку над ней не ставим, чтобы не принять
звено за дугу. Далее образуем шаг за шагом матрицы
л(2)=л.л, Л(3)=Л(2).Л,...,
элементами которых служат конечные последовательности чисел-
вершин (нуль означает пустую последовательность), образуемые
при умножении матриц по следующему правилу:
&...и)-/т=Ру' ,Ит’ mef';y............к,1}' т
[О, если me{i, j, к, /}.
Одинаковые последовательности складываются как в булевой
алгебре:
ij ...k + ij ...k = ij ...к.
Ясно, что элемент а (J7) матрицы А^) будет формальной суммой
последовательностей вершин всевозможных простых цепей длины /
из вершины i в вершину j.
500
Основы теории графов
Например, для графа G рис. Д.4
	0	12	13	0		0	132
А =	21	0	23	0	, Ж2) =	231	0
	31	32	0	34		321	312
	0	0	43	0		431	432
	0	0	0	1234
	0	0	0	2134
	0	0	0	0
	4321	4312	0	0
	0 0	0 0
А<М=А&=...=	0 0	0 0
	0 0	0 0
	0 0	0 0
Можно добиться, чтобы простые цепи всевозможных длин были
представлены в одной и той же матрице, если за исходную вместо
А у (G) взять матрицу А у (G)=l|a(j (СОН", в которой а,у (и)=ау (U)
при zV j и а у (U) = i (символ одновершинной последовательности),
считая, что правило (7) остается в силе:
i‘i=i, i- ij = ij, (ij ...к)-k = ij ...к,
а при сложении символ i поглощает любую последовательность с
началом и концом i:
i + ij... ki=i.
Тогда, очевидно, [Ay (G)]^ =[Ay (G)]</o+1> =..., где /0 — длина
самой длинной простой цепи в G, и элемент (U) будет выра-
жать (в виде формальной суммы последовательностей вершин) все
простые цепи графа G, идущие из вершины i в вершину j.
Кратчайшие цепи подчиняются принципу динамического
программирования: каждый отрезок такой цепи есть кратчайшая
из цепей, соединяющих его концы в графе. Поэтому если при обра-
зовании матрицы [Ау (<7)](/+I) из [Ay (G)]^ в каждой сумме сохра-
нять лишь самые короткие последовательности, отбрасывая осталь-
ные, то установившаяся матрица [Ау (Сг)]^0^ =[Ау ((7)]^о+1^ даст
все кратчайшие цепи между всевозможными парами различных
вершин. Так, для графа G рис. Д.4
Добавления
501
A=AC/(G) =
1 12 13 0
21 2 23 О
31 32 3 34
О 0 43 4
Л(2)=Л(3) =
1	12	13	134
21	2	23	234
31	32	3	34
431	432	43	4
(/о =2).
Каркасы. Подмножество U 'с; U ребер графа G = (X, U, у/)
порождает его каркас (§3.1) в том и только том случае, если для
любой пары различных вершин G хотя бы одна простая цепь, соеди-
няющая эти вершины, состоит только из ребер U', причем С/' мини-
мально (по включению) относительно этого свойства. Поэтому
для выявления всех каркасов графа достаточно образовать матрицу
(G)№ простых цепей, записать ее ненулевые элементы, стоя-
щие выше главной диагонали, в виде сумм последовательностей
ребер (а не вершин) цепей и, наконец, произведение всех этих
элементов привести к минимальной дизъюнктивной нормальной
форме. Этот способ, вначале предложенный Х.Р. Ураковым
применительно к орграфам (см. ниже), разъясним на прежнем
простейшем примере графа G рис. Д.4.
Установившаяся матрица
[Лу (G)]3 =	1 21+231 31+321 431+4321	12+132 2 32+312 432+4312	13+123 23+213 3 43	134+1234 234+2134 34 4
	| a+cb	c + ab	cd + abd	
=		Ь+ас	bd+acd	у
	не нужны		1 “	
откуда
(а + cb) (с + ab) (Ь + ас) (cd + abd) (bd+acd) d - abd + acd + bed
(здесь умножение коммутативно), т. е. G имеет три каркаса с множе-
ствами ребер {a, b, d}, {а, с, d} и {b, с, d}.
502
Основы теории графов
Такое же произведение сумм простых цепей положительной
длины (в терминах ребер) надо составлять и для мультиграфа
G = (Ar, U, [//); разница лишь в том, что для получения матрицы
простых цепей уже нельзя так же просто, как в случае обыкновен-
ного графа, оперировать с последовательностями вершин
(см. упражнение 6).
Наименьшие связки. Напомним (см. упражнение 7 к §2.1), что
если Y cz X — непустое подмножество вершин связного обыкновен-
ного графа G = (X, U), то ((?, У)-связкой называется его связный
подграф, содержащий все вершины У, и что представляет интерес
задача нахождения такой связки (или всех таких связок) с наимень-
шим числом вершин.
Сразу же упростим задачу. Пусть = (У/, ИД где /=1,2, ..., к, —
компоненты подграфа, порожденного в G множеством вершин У, а
граф G' получен из G стягиванием каждого подграфа Д в одну вер-
шину у^9 при этом ребра множеств И/ удаляются, а все ребра вида
y'iZ, yj'z,... , где у-, у/, ...е Yh z£ Yh переходят в одно ребро УД да-
бы G' снова был обыкновенным графом. Ясно, что все (G, У)-связки
исходного графа G взаимно однозначно соответствуют всем
((?', {у], у2, _}Д)-связкам G', причем вторые получаются из пер-
вых стягиванием подграфов Gj в вершины у,; если (Д, у2> ••• У к }U
UZ, Ж) — связка в (?', то соответствующей связкой в G будет под-
граф с множеством вершин y1Uy2U...UyfcUZ=yUZ. Поэтому
можно с самого начала считать, что в исходном графе G задан-
ное подмножество У состоит из попарно несмежных вершин
У1>У2>
Пусть Т — произвольный каркас графа G; так как G связен, то
Т — дерево. Удалим из Т все висячие вершины, не принадлежащие
У, с полученным поддеревом поступим так же, и т. д. до тех пор,
пока не останется дерево t = (ХТ, UT), в котором висячими могут
быть только вершины из У. Подграф графа G, порожденный мно-
жеством вершин У U АД является (G, У)-связкой, но, к сожалению,
не обязательно минимальной (по включению множеств вершин),
тем более наименьшей (по числу вершин). Однако если из каждого
каркаса Т образовать свое дерево Т, то в числе всех подграфов в G
с множествами вершин Y\JXT заведомо будут все минимальные
(G, У)-связки (почему?), в частности все наименьшие. А перебор
каркасов (с последующей чисткой от висячих вершин не из У) по
Добавления
503
крайней мере выглядит проще перебора всех подмножеств множе-
ства X\Y (см. упражнение 6), и описанный процесс, по-видимому,
допускает дальнейшие усовершенствования. Этот способ предло-
жил Х.Р. Ураков (Одесский семинар, сентябрь 1972 г.); есть и дру-
гой подход: А.Ю. Левин ([71, 8В459; 71 10В543]; ДАН СССР,
200 (1971), № 4, 773-776 [72, ЗВ278]). E.V. Krichnamurthy (Leet. No-
tes Math., 885 (1981), 153—164 [82, 7B532]) вводит усовершенствован-
ную матрицу инциденций Bg=B(G\ щ, и2, ..., umf заменяя в обыч-
ной B(G) (см. § 2.7) все единицы формальными переменными, обо-
значающими ребра. Если многочлен р(щ, и2, ит) равен det BG
для какого-то графа G, то сам граф сравнительно просто восста-
навливается по этому многочлену.
Простые орцепи и базы дуг. Все сказанное выше о маршрутах,
цепях и каркасах почти дословно переносится на орграфы, и мы
сразу рассмотрим на примере, как решается задача выявления баз
дуг (§4.2). Пусть G — орграф рис. Д.5; его усовершенствованная
матрица смежностей, сложенная с единичной,
1
d
b а
1 с
е 1
f о
g о
0 h
0 0 0 1 i
0 0 0 0 1
При образовании степеней ... не будем переходить к записи
дуг в виде 6 = 12 и т. п., но те произведения последовательных дуг,
которые определяют не простую орцепь (из-за повторения вер-
шин), отбрасываем. Тогда
			1	b+ae	a+ be f+ bg		
А (2)		=	d ed	1 e	da+c df+g 1	eg	ch+gi h	>
			0	0	0	1	i	
			0	0	0	0	1	
	1	b+ae		a+bc	f+bg + aeg	ah+bch+ fi+bgi	
А^ =	d ed		1 e	da+c 1	df+g edf+ eg	dah+ ch+ dfi+gi h+egi	
	0		0	0	1	i	
	0		0	0	0	1	
504
Основы теории графов
	1 d	b+ae 1	а+Ъс da+c	f+bg + aeg df+g	ah+bch+fi+bgi+aegi dah + ch + dfi+gi
	ed	е	1	edf + eg	h+edji+egi
	0	0	0	1	i
	0	0	0	0	1
Мы получили матрицу простых орцепей. Для выявления всех
баз дуг орграфа G надо составить (и привести затем к минимальной
ДНФ) произведение всех ненулевых недиагональных элементов
(а не только расположенных выше главной диагонали, как было в
задаче нахождения каркасов неориентированного графа); имеем
(b + ae)(a + bc)(f + bg+aeg)(ah + bch+fi + bgi + aegi) d(da + c)(df +g)x
x (dah + ch + dfi+gi) ed • e (edf 4- eg) (h 4- edfi+egi) i =
= adefi + adegi 4- bcdefi 4- bcdegi,
т. e. найдены все четыре базы дуг. Метод принадлежит Х.Р. Ура-
кову. С помощью булевых матриц S.B. Karmakar (J. Austral Math.
Soc., 1982, № 2, 234—242 [83, ЗВ557]) находит некоторые необходи-
мые условия существования гамильтонова орцикла; задачами пере-
числения таких орциклов в заданном орграфе занимается Kim Jong
Pal [84, ЗВ617; 85а#05036].
Ядра. Рассмотрим граф Бержа G = (X, Г) (рис. 4.3.7), ядра (отри-
цательные) которого были найдены в § 4.3 другим путем. У него
У = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Г1 = {2}, Г2 = {5}, Г3 = {1, 6},
Г4 = {3, 7}, Г5 = {4}, Г6={7}, Г7 = {8}, Г8 = {5}.
Пусть х — произвольная вершина графа, 5 — некоторое его
(—)-ядро, а Гх ={у 1, у'2, ...» у к}. Если хе S, то никакая у; не принад-
лежит 5 в силу его внутренней устойчивости, а если x£S, то хотя
бы одна из вершин yi должна принадлежать 5 в силу внешней
устойчивости. Толкуя символ вершины как высказывание о принад-
лежности ее ядру S, получим конъюнкцию двух импликаций
(х=>7]72-У к )[*=> (л +У1 + ••• +Л)]>
или, что равносильно,
Добавления
505
^1^2•У к +*<У1 +у2 +...+ук),
где черта сверху обозначает логическое отрицание. Составим
теперь конъюнкцию таких выражений для всех хе X и приведем ее
к совершенной ДНФ; в нашем примере
(12+Т2)(25 + 25)[31б + 3(1 + 6)][43 7 + 4(3 + 7)](54 + 54)х
х (67+ 67) (78+ 78) (85+ 85) = 12 345678 +12345678,
т.е. у 6 два (-)-ядра: {1, 5, 7} и {2, 4, 6, 8}.
Ориентируемость. Пусть G-{X, U) — обыкновенный граф, ска-
жем изображенный на рис. Д.4. Его усовершенствованную матрицу
смежностей на этот раз запишем в виде
о
A(U) =
0
а с 0
0 b 0
b 0 d
0 d 0
рассматривая символы ребер как булевы переменные, принимаю-
щие значения в {0, 1}; всевозможным системам значений отвечают
матрицы смежностей всех тех антисимметрических графов Бержа,
которые можно получить из G ориентаций ребер. Если требуется,
чтобы результирующий орграф 5 обладал наперед заданным свой-
ством, то иногда это свойство удается записать в терминах булевой
алгебры и тем самым получить полный обзор искомых ориентаций.
Потребуем, например, чтобы 3 не имел тупиков; это значит, что
в каждой строке его матрицы смежностей должна присутствовать
хотя бы одна единица, т. е. в нашем случае значения переменных
а, Ь, с, d должны удовлетворять уравнению
(а + с) (я+ &)(c + Z> + d)d = l.
Приведя левую часть к совершенной дизъюнктивной нормальной
форме, получим равносильное уравнение
abed + п b cd = 1,
которое удовлетворяется при а = Ь = 1,
c=d = 0 или a = b = d = 0, с=1; соответст-
вующие две ориентации G, не дающие
тупиков, показаны на рис. Д.6.
506
Основы теории графов
Рассмотрим другое требование: Ъ должен быть транзитивным.
Это значит, что для любых двух вершин х*у орграфа из наличия
орцепи длины 2 с началом х и концом у должно следовать наличие
орцепи длины 1 (т. е. дуги) с теми же началом и концом, т. е. дол-
жны быть истинны все импликации
(U) => ау (U) (i*j),
что равносильно уравнению
П[<42)	(t/)]=l.
«*/
В нашем случае
	0	cb	ab	cd
А (2) (U) =	be	0	ac	bd
	ba	0	0	0
	de	db	0	0
и уравнение принимает вид
(cb + a) (ab+с) cd (be + а) (ас+b) (bd (ba + с) (1+b) (1+d) dedb (1+d) = 1.
Учитывая, что 1+/>=1+й? = 1+</ = 1, cb-b+c ит. д., и приводя левую
часть к совершенной ДНФ, получаем уравнение
abed+abed +abcd +abcd=l,
из которого следует наличие у G четырех транзитаций; изобразить
их на чертеже предоставим читателю.
Заметим в заключение, что теоретическим достоинством мето-
дов рассмотренного типа является полнота обзора результатов; она
обусловлена тем, что уравнение, к которому приводит решение той
или иной задачи, фактически представляет собой запись ее условия
на языке логики высказываний. Практически же соответствующие
алгоритмы, как правило, неэффективны, хотя в некоторых задачах
может наблюдаться статистическая эффективность в том смысле,
как было сказано в конце § 1.4. Для более полного ознакомления с
вопросами эффективности можно, кроме упоминавшейся во введе-
нии книги [А8], рекомендовать подробную статью Р.Э. Тарьяна
Добавления
507
(Кибернетический сборник, № 17 (1980), 60—113 [81, 4В506]) и моно-
графию: Р.Г. Нигматуллин. Сложность булевых функций. Казань:
изд-во Казанского ун-та, 1983 [83, 10В433К]; М.: Наука, 1991. На
этой основе Р. Pudlak, V. Rodl, Р. Savicky [89, 1В611] исследуют
сложность графов.
Упражнения и дополнения
1.	Пусть C=C(G) — система простых циклов, a R = R(G) — система про-
стых разрезов (§3.1) мультиграфа С=(У, U, у). Выяснить смысл семейств
Т(С),	T({[AC7C€Q), Т ({t/\KIV еТ (С)}), Т (R), Т ({U\RIReR}),
T({U\wlw еТ (R)}) и найти связь между ними.
2.	Найти все максимальные клики графа G рис. Д. 1 без предварительного
перехода к G, соответственно переделав изложенный в тексте способ нахожде-
ния максимальных груд. Проверить результат другим способом — переходом к
дополнению.
3.	Основываясь на методе Магу, дать систематический способ нахождения
всех у (С)-раскрасок графа G.
4.	В каждом из классов: (1) обыкновенные графы, (2) мультиграфы без
петель, (3) произвольные мультиграфы, (4) орграфы без петель, (5) произволь-
ные орграфы — выяснить, для каких графов G матрица смежностей А = A (G)
а)	идемпотентна (Ак =Ак^ =... при некотором k=k(G)),
б)	нильпотентна (Аг — нулевая матрица при некотором r = r(G)).
M.W. Liebeck // JGrTh, 6(1982), № 2, 215-218 [82, 12В633; 83f#05049].
5.	Как найти все простые цепи мультиграфа G, зная все простые цепи его
скелета G (см. конец § 4.5)?
6.	На примере рис. Д.З проиллюстрировать изложенный в тексте способ
выявления каркасов применительно к мультиграфам.
7.	Найти все наименьшие связки графа на рис. Д.7.
Рис. Д.7
508
Основы теории графов
8.	Переформулировать и выполнить упражнение 1 для случая орграфов,
предварительно введя понятия системы ((7) простых орциклов и системы
простых полуразрезов.
9.	Пусть Р — матрица достижимостей орграфа (7, но с диагональными
элементами 1 вместо 0. Доказать, что /-я вершина принадлежит той же биком-
поненте, которой принадлежит ья, в том и только том случае, если у матрицы
Р2=||/Л2)|| имеет место /А2)=/Л2\ D. Магси // An. §ti. Univ. Iasi, sec. la,
25(1979), № 2, 417-418 [80, 7B563; 81е#68083].
10.	Основываясь на булевой алгебре, дать по отдельности способы нахож-
дения внутренне устойчивых и внешне устойчивых подмножеств вершин графа
Бержа.
11.	Описанный в тексте способ нахождения (-)-ядер графа Бержа приспо-
собить к задаче выявления (+)-ядер.
12.	С помощью булевой алгебры дать способы нахождения следующих
инвариантов графа G\
а)	числа / (<7) в теореме 4.4.3;
б)	наименьшего к, при котором выполнено условие теоремы 4.4.4.
2. Пространство графов и его факторизации1
Одним из мощных стимулов человеческого прогресса является
лень. Замечая, что в равенствах «две мухи и три мухи — это пять
мух» и «два слона и три слона — это пять слонов» количественный
результат не зависит от природы считаемых объектов, и ленясь каж-
дый раз повторять их названия, мы говорим и пишем просто:
«2+3=5». Так возникает абстрактное понятие числа и устанавлива-
ются арифметические законы в общем виде.
Пусть M(G) — множество всех правильных раскрасок вершин
обыкновенного графа G = (X,U). Как мы знаем из § 1.4, для любой
пары х, у несмежных различных вершин
M(G)=M(G\Jxy)\jM(G<xy>) (M(GUxy)AM(G<xy>)=0),
1 Alexander A. Zykov. The Space of Graphs and its Factorizations // Fourth chechosl.
Symp. on Combinatorial, Graphs and Complexity. J. NeSetfil and M. Fiedler (Editors)
© 1992 Elsevier Science Publ. В. V. В русском переводе текст статьи значительно сокра-
щен благодаря возможности сослаться на §§1.3 и 1.4 книги.
Добавления
509
и применяя это рекуррентное соотношение до тех пор, пока не
исчезнут все неполные графы, мы получим перечень правильных
раскрасок G всевозможными количествами цветов, без пропусков
и повторений; например,
а) \a-dj \ а )	\ a j \ ad j \bdj
где левая часть выражает условие задачи, а правая — полное
решение.
Не желая, однако, писать каждый раз «обрамление» М () и
предпочитая знаку U привычный с детства +, придадим этому же
равенству вид
Ь—с
I L
a d
ас bd —с
>—с ас
\Х +Л’
ad bd
(1)
а
и в качестве положительного результата нашей лени возникает
мысль рассматривать здесь «+» как символ алгебраической опера-
ции сложения самих графов. Движимые этой идеей, введем про-
странство графов — абелеву группу
S={A1(71 +...+XkGk /A.-eZ (i=l, ..., к)-, +}
формальных линейных комбинаций (с целочисленными коэффици-
ентами) обыкновенных графов относительно естественной опера-
ции сложения этих комбинаций. Группа, порожденная всеми эле-
ментами (?(=1-(7), поначалу свободна, но система определяющих
соотношений
G=G\Jxy +G<xy>	(2)
(для всех неполных G и каждой пары несмежных различных вершин
в них) превращает S в фактор-пространство (фактор-группу) S/(2),
каждый элемент которого представляется однозначно (с точностью
до перестановок слагаемых) в виде линейной комбинации клик.
Дальнейшая факторизация по отношению изоморфизма графов
дает пространство (SI (2)) / , в котором равенство (1) принимает вид
п=г4+зг3+г2
510
Основы теории графов
где коэффициенты г4=1, г3=3, г2=1 (остальные rz =0) выражают
количества rz ([”[) различных f-раскрасок вершин данного графа.
Пространство (5/(2))/- изоморфно аддитивной группе кольца
многочленов 22[х]от одной формальной переменной, если положить
Fn <-» х п.
Многочлен раскрасок можно также получить из абелевой груп-
пы Sx, порожденной формальными произведениями хт G с
meNIJ{0}; очевидно, S = SX /(х = 1). Факторизация пространства Sx
по системе соотношений
G-G U ху + х G <ху >
(3)
приводит к фактор-пространству Sx/(3), в котором, например,
Ь — с
। ь
а а
+ х-
Ь—ас
\/ +Х-
а
bd—c
\/ + х’
а
Ь—с	ас
\/ + х2> I >
аа	bd
(4)
где числовые пометки ребер отвечают порядку, в котором операция
типа (3) применялась к парам несмежных вершин. Дальнейшая фак-
торизация по системе равенств Fm = 1 дает пространство, в котором
0 = -х-Ьгл_2 -X2 +...+гу -х" / ,
где и = и(С),	(С?) и rz =rz (G) (1=г„ ((?)).
Слагаемые в (4), не содержащие клик с помеченными ребрами,
соответствуют (взаимно однозначно) таким раскраскам G, при ко-
торых для каждой пары различных цветов имеется пара смежных
вершин, окрашенных в эти цвета. Сохраняя символ Fm только для
ди-клик без помеченных ребер и обозначая через F'm остальные
ди-клики, получим в результате факторизации пространства Sx /(3)
по системе равенств F^=0 фактор-пространство, в котором
Ь — с	bd — c	Ь — с
ас
id’
2 .
т. е. данный граф имеет две ахроматические [УС] 3-раскраски и одну
ахроматическую 2-раскраску. Последующая факторизация по соот-
ношениям Fm = 1 приводит к ахроматическому многочлену:
П = 2х+х2.
Добавления
511
Если факторизовать Sx по отношениям
G = (G\x)+x-O(G;x), FO(=0) = 1,
где хеХ, то получим фактор-пространство, в котором
G=Xfk(G)^k
к>0
(см. §3.1). Аналогично, факторизация Sx по системе равенств
G = (G\x) + x-O(G; х), FQ=1
приводит к фактор-пространству, в котором
к>0
Тематически близкие работы: А.А. Зыков. Алгебры комплексов //
Матем. сб., 41 (1957), № 2, 159—176 [60, 9, 10084]; алгебраические при-
ближения к гипотезе Хадвигера и равномерно обобщенный граф [УС].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложив на элементарно-комбинаторном уровне основной
материал по графам, без знания которого вообще немыслимо пост-
роение какой бы то ни было серьезной их теории, остановимся
кратко на тех направлениях дальнейшего развития, которые знаме-
нуют выход за рамки элементарности.
1.	Логическая теория графов. Если к узкому исчислению преди-
катов добавить индивидуальное двуместное отношение, по смыслу
означающее несмежность вершин обыкновенного графа, и попол-
нить аксиомы самого исчисления двумя, выражающими рефлексив-
ность и симметрию этого отношения, то в полученной теории пер-
вой ступени множество всех истинных формул окажется рекурсивно
неотделимым от множества всех конечно опровержимых (И.А. Лав-
ров // Алгебра и логика. Труды семинара Ин-та математики Сибир-
ского отд. АН СССР, 2 (1963), № 1, 5—18 [64, 1А112]); отсюда следу-
ет невозможность единого способа решения всех задач теории ко-
нечных графов (не говоря уже о бесконечных). Об алгоритмической
неразрешимости некоторых конкретных массовых проблем мы уже
говорили ⧧1.10и3.5. Накладывая на предикат несмежности (или,
например, трехместный предикат, называемый инцидентором (1)
[УС] и задающий граф общего вида) те или иные дополнительные
условия, можно аксиоматически определять различные классы гра-
фов и исследовать их свойства по характеру аксиом; в частности,
квазимногообразия (см. А.И. Мальцев. Алгебраические системы. М.:
Наука, 1970) графов изучают уральские алгебраисты ЛИ. Шеврин,
И.Е. Бененсон и др.
К этой же рубрике можно отнести классификацию мер, исследо-
вание в общем виде индуктивных, наследственных, неуловимых и др.
свойств графов [УС].
2.	Алгебраическая теория графов. Каждый конечный граф G об-
ладает конечной группой автоморфизмов Aut (G) (см. упражнение 6
к § 1.7). Как показал R. Frucht (Compositio math., 6 (1938), 239—250),
справедливо и обратное: для любой конечной группы можно по-
строить обыкновенный граф G, группа Aut ( G) которого, как
Заключение
513
абстрактная, изоморфна заданной. Проблему Кёнига о характери-
зации таких групп подстановок конечного множества X, которые
являются группами автоморфизмов каких-то графов G с множест-
вом вершин X, в известном смысле решил Ле Тхук Зук (Кишинев-
ский семинар, май 1982; [84, 4А208Деп; 83к#05083]). Обзор тех ра-
бот по автоморфизмам графов, которые теперь можно уже считать
классическими, имеется, например, в книгах Зыкова, Оре и Харари.
Для заданной конечной группы всегда существует бесконечное
(и, как правило, «необозримое») множество обыкновенных графов G
с группой Aut ((?), изоморфной заданной, т. е. группа автоморфиз-
мов как абстрактная довольно-таки слабо характеризует граф. Со-
всем иначе обстоит дело с полугруппой эндоморфизмов End (G) [УС]:
при весьма слабых ограничениях на графы Бержа изЕпб(б])^
= End (&2) следует, что G\ и (z2 либо изоморфны, либо антиизомор-
фны (получаются друг из друга переориентацией всех дуг). Основ-
ные результаты этого направления, принадлежащие Л.М. Глускину,
Б.В. Попову и др., тоже освещены в книге Зыкова, а их перенос на
неориентированные графы особого труда не представляет. Даль-
нейшее развитие этих идей привело к общему определению жестко-
сти алгебраических систем, в частности графов — см., например:
Ю.М. Важенин// Матем. заметки, 16 (1974),№2, 317-323 [75,2В494].
Как показали А.З. Зеликовский и Ле Тхук Зук (ГГиДОЗ, 1982,
56—59 [82, 6В647]), категория стягиваний обыкновенного графа,
заданная абстрактно, определяет его однозначно с точностью до
изоморфизма; далее см.: А.З. Зелинский // МИ, 76 (1984), 24—29
[84, 8В472], [88, 1В595Деп]. Ряд других алгебраических систем,
связанных с графом и столь же сильно его характеризующих,
исследует В.А. Молчанов.
Попытки представить всю теорию графов как алгебраическую
до сих пор были безуспешными, но недавние работы Р.И. Тышке-
вич, В.Б. Мнухина и др. заложили основу положительного решения
этой проблемы; см. также: N.L. Biggs // Algebraic graph theory
[75, 11B384K; 50#151]; R. Biernacki [76, 1В639].
3.	Матроиды. Это понятие ввел Н. Whitney (Amer. J. Math.
57 (1935), 509—533); согласно одному из эквивалентных определе-
ний, матроидом называется конечное множество 5*0 вместе с сис-
темой Мс25 его непустых подмножеств, удовлетворяющей услови-
ям: (1) если У*0, YcM и Л/еМ, то УйМ; (2) если se MPlМ', где
514
Основы теории графов
М, М'е М и М*М', то есть такое ЛГ'еМ, что М"
Далее теорию матроидов систематически развивали W.T. Tutte
(TAMS, 90 (1959), 527-552 [21#337], PAMS, 11(1960), 905-917
[22#7956], J. res. National Bureau Standards В — Math, and Mathem.
Physics, 69B (1965), 1-48 [31#4023]), G. Minty (J. Math, and Meeh.,
15 (1966), № 15, 485-520 [0 141.21601]), D.J.A. Welsh (Matroid Theo-
ry. London; New York; San Francisco: Acad. Press, 1976), она затраги-
вается в книге Харари, книге Уилсона, второй книге Бержа, более
подробно в книге минчан. Если S — конечная система векторов не-
которого линейного пространства, то с множеством всех своих мак-
симальных линейно независимых подсистем она образует вектор-
ный матроид. Если же 5 — множество U ребер графа G, то с систе-
мой всех его каркасов или всех простых циклов оно составляет со-
ответственно матроид циклов или матроид разрезов графа, поэтому
многие результаты для графов непосредственно вытекают из общей
теории матроидов. Так как, однако, не всякий матроид отвечает ка-
кому-то G, то применительно к теории графов рассматриваются
матроиды специального вида: графоид (книга Харари), гаммоид
(V.W. Bryant // Fund. Math., 120 (1984), № 1, 1-5 [84, 11В557]) и др.
Дальнейшие матроиды, связанные с графами, см. у М. Conforti,
M.R. Rao [88, 5В595] и М.А. Хачатряна // МИ, 66 (1982) [82, 6В641].
4.	Рекуррентные свойства графов. Способы рекуррентного
вычисления инвариантов графа, рассмотренные в § 1.4 (и кое-где
дальше), естественно приводят к постановке общей проблемы.
Пусть дана операция разборки
G~+{Gl> G2, ..., G^},
относящая каждому графу G некоторого класса L упорядоченную
систему графов Gz eL (/=1, 2, ..., к; число фиксировано для
заданной операции разборки), каждый из которых «проще» G;
отношение «проще» — некоторый частичный порядок на L, удовлет-
воряющий условию: всякая последовательность графов, в которой
каждый следующий «проще» предыдущего, оканчивается каким-либо
из «простейших», к которому операция разборки неприменима.
Пусть даны также произвольное непустое множество М и функция /:
-> М. Для того чтобы функция от графов
Ф: G^M,
Заключение
515
определяемая рекуррентным соотношением
Ф«7)= /(Ф((71), Ф(<72), •• > Ф(^))
и начальным условием: известны значения Ф (<7р) от всех «простей-
ших» графов Gq, — была инвариантом, функция f и начальные
значения для Ф должны удовлетворять некоторым условиям одно-
значности. А.А. Зыков (Изв. Сибирского отд. АН СССР, 1959, № 5,
3-19; 1960, № 9, 17-35; 1960, № 12, 13-27 [62, ЗА270-272])
разработал общую методику решения следующих вопросов:
а)	найти условия однозначности;
б)	с помощью этих условий привести общее выражение для
Ф (б) к каноническому виду.
Для некоторых конкретных операций разборки, например
G—>{G\x, O(G, х), O(G, х)}, G->{GUxy, G(<ху>),
при некоторых естественных начальных условиях эти вопросы уда-
лось решить до конца. Если М — кольцо, заданное системой образу-
ющих, а функция f линейна, то условия однозначности превращают
М, поначалу свободное, в фактор-кольцо, в котором каноническое
выражение для Ф ((7) является многочленом с натуральными коэф-
фициентами. В упомянутых случаях удалось выяснить структурный
смысл этих коэффициентов как количеств частей графа G, обладаю-
щих специальными свойствами, и тем самым выделить систему
структурных инвариантов, через которую выражается любая рекур-
рентная функция от графа, определяемая заданной операцией раз-
борки. Для других разборок (например, применяемых при вычисле-
нии многочлена Н (G)) столь простая расшифровка структурного
смысла коэффициентов канонического выражения Ф (б1) оказалась
невозможной, и В.В. Матюшков (Кибернетика, 1965, № 5, 90—94
[67, 8В202]; Сибирский матем. ж., 11 (1970), № 4, 822-842 [71,1В305])
предложил общий подход, систематически осуществленный затем в
Самаркандском университете Г. Эргашевым ([74, 5В402]; Труды Са-
марканд. ун-та, 296 (1976), 158-163 [77, 12В664; 58#21843]; Методы
прикладной математики. Самарканд, 1981, 67—72 [83, 2В508] — со-
вместно с К. Шахриевым). Особо отметим книгу: М. Сапаров. Ре-
куррентные теоретико-графовые функции и алгоритмы их вычисле-
ния. Ашхабад: Ылым, 1987 [87, 6В558К].
516
Основы теории графов
Исследования по рекуррентным функциям от графов продолжа-
ются: S. Negami // TAMS, 299(1987), № 2, 601-622 [87, 9В620];
J.G. Oxley // DM, 76 (1989), № 3, 279-281 [90, 1B482]; Г.Э. Эргашев
[87, 5B730], [97, 5В326]. Однако нам кажется, что развивать эту тео-
рию только для графов теперь уже не имеет смысла, поскольку она
без осложнений строится сразу для более общих комбинаторных
объектов, таких, например, как гиперграфы. По той же причине мы
не включили в теорию графов замечательную теорему Редфилда—
Пойя, которую вместе с многочисленными приложениями читатель
может найти в книге: Ф. Харари, Э. Палмер. Перечисление графов.
М.: Мир, 1977 (перевод с англ. [75, 10В294К; 50#9682]).
5. Вероятностные графы. Задачи вероятностного содержания
на графы, а также применения вероятностных методов к решению
детерминированных задач1 тоже не дают особых оснований как-то
выделять графы среди других комбинаторных объектов. Отметим
книгу: П. Эрдеш, Дж. Спенсер. Вероятностные методы в комбина-
торике. М.: Мир, 1976 (перевод с англ. [52#2895]); подробный обзор
В.Е. Степанова по случайным графам (в сб. Вопросы кибернетики.
М., 1973, 164-185 [74, 2В478]); обзоры: W. Kordecki [77, 10В340];
К. Weber [83, 12В667]; статью А.Д. Коршунова об основных свойст-
вах случайных графов с большим числом вершин и ребер (УМН,
40(1985), № 1, 107-173 [85, 5В597]); ряд работ А.К. Кельманса,
М.С. Сапарова, Г.Н. Багаева. Дальнейшие результаты см. в рабо-
тах: Z. Palka // JGrTh, 8 (1984), № 1, 167-170 [84, 10В501] - о числе
вершин заданной степени в случайном графе; X. Кестен. Теория
просачивания [86, 7В612К]; Вероятностные методы в дискретной
математике (тезисы докладов) [88, 11В558К]; V. Ajtai, J. Komlds,
Е. Szemeredi // Cycles Graphs. Amsterdam e.a., 1985, 173—178 [87,
5B697]; B. Bollobas. Random graphs [93, 8B386]; Случайные графы и
комбинаторные структуры (тезисы докладов) [00, 2В278].
6. Бесконечные графы. В книгах Кёнига, Бержа и Оре с самого
начала граф не предлагается конечным, и лишь в дальнейшем такое
условие накладывается по отдельности. Более общей теории беско-
нечных графов не существует (она была бы сложнее общей теории
любых бесконечных множеств); в этой связи упомянем, что извест-
ная гипотеза Суслина из дескриптивной теории множеств, казалось
1 Причина того, что вероятностные подходы могут давать точные результаты, объ-
яснена несколько наивно в книге Зыкова.
Заключение
517
бы не имеющая никакого отношения к графам, на самом деле рав-
носильна следующей: всякий бесконечный обыкновенный граф без
подграфов типа Z3 содержит счетную груду (A. Hajnal, J. Suranyi,
см. § 3.10; Е.С. Wolk, см. упражнение 4 к § 4.5). Имеются обзоры по
бесконечным графам: C.St.J.A. Nash-Williams // TGrR (1967),
263-265 [68, 4В258], JCTh, 3(1967), № 5, 286-301 [68, 8B228];
К. Steffens // Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 87(1985), № 3, 127-137
[85, 12В553]. Теорема Кёнига (из главы 6 его книги; исторические
сведения: М. Francella [98, 2В263]) и ее обобщение — теорема Радо
(см. русский перевод первой книги Бержа; во французском оригина-
ле ошибка!) позволяют переносить многие свойства конечных гра-
фов на локально конечные [УС]; вот одно из интересных следствий:
если в счетном обыкновенном графе G степени всех вершин конечны, а
у каждого конечного подграфа G' хроматическое число у ((?')<&eN,
то у (G)<k\ Добавим сюда книгу: R. Diestel. Graph decompositions.
A study in infibite graph theory. Oxford: Clarendon press, 1990, 223 pp.
Нерешенные задачи, приложения и реферативные обзоры
см. в [УС].
* ♦ ♦
Завершим книгу торжественно — Гимном графистов.
Текст Гимна, сочиненный Богданом Зелинкой, был затем пере-
веден с чешского на немецкий, английский и даже некоторые афри-
канские языки. Русский перевод осуществили в 1998 году И.И. По-
тоцкий и А.А. Зыков; при этом прежние девять куплетов удалось за-
менить пятью без ущерба для содержания. Мелодию сочинил Зде-
нек Рыячек, а А.А. Зыков изменил в ней 3-й и 4-й такты (которые
повторяли первые два) и присоединил аккомпанемент. Предусмат-
ривается исполнение куплетов хором, а припева — солистом.
I Другое доказательство: Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М.:
Наука, 1971.
518
Основы теории графов
ГИМН ТЕОРИИ ГРАФОВ
Вступление
1.	Семь мостов шагнули через Прегель —
Много больше, чем их ожидалось.
Кёнигсбержцам не скучать на бреге:
О таких мостах и не мечталось!
2.	Но на них прогулки и проказы
Трудную задачу породили:
Как, пройдя все семь мостов по разу,
Оказаться, где вначале были?
Проигрыш
3.	Над задачей многие корпели,
С пользой не потративши ни эрга.
Муки их прервал великий Эйлер,
Живший в самом центре Кёнигсберга.
Припев: Графы мостов должны быть такими:
Степень чётная в любой вершине.
Ваши условия ... невыполнимы
По математической причине.
Проигрыш
4.	Семь мостов разрушены войною,
Но законы у природы вечны.
Граф нельзя ни сжечь, ни смыть водою,
Хоть графисты сами быстротечны.
5.	Так поднимем полные мы чаши,
Эйлеровы графы прославляя:
Ведь от них и вся наука наша
Мир прошла от края и до края.
Припев (с замедленным повторением хором последней
строки, сопровождаемым октавным удвоением
баса в аккомпанементе).
Заключение
519
I Для окончания - повторить хором замедленно
520
Основы теории графов
эпилог
Итак, позади второе тысячелетие, двадцатый век и почти
вся моя жизнь. Уже не выезжаю на съезды, симпозиумы,
коллоквиумы, с коллегами общаюсь в основном по Интер-
нету (E-mail: aldrt@zykov.odessa.ua) и во время традиционных
сентябрьских встреч у Черного моря. Одновременно с книгой
выходит первый номер сборника «Доклады Одесского Семи-
нара по дискретной математике», собирается материал для
второго номера, так что и без меня за теорией графов в Одес-
се — будущее.
Книга, которую вы прочли, — более ретроспективна, чем
перспективна, хотя в ней и намечены некоторые ростки. Ос-
новной материал относится ко второй половине XX века. Чи-
тателю самому решать, что следует двигать дальше, а с чем
достаточно (но и необходимо) лишь ознакомиться. В карете
прошлого далеко не уедешь, а без нее вообще не сдвинешься
с места.
Идея запечатлеть в книге лики творцов и продолжателей
теории графов возникла у автора поздно. Покопавшись в сво-
ем архиве, я нашел немало фотографий, как групповых, так и
индивидуальных, относящихся к разным периодам времени.
Несколько снимков было прислано по моей просьбе, а часть
пришлось скопировать из разных источников. К сожалению,
в данном издании отсутствуют портреты таких выдающихся
графистов, как Т. Галлаи, Г. Хайош, А. Хай нал, О. Оре, А. Гуйя-
Ури, Г. Меньель, Дж.А. Бонди, В. Хватал, Б. Зелинка, Л. Ло-
вас, Б. Тофт, К. Томассен, Г. Чартренд, Е. Олару, Д. Марку,
И. Томеску, С.Е. Маркосян, Г.С. Гаспарян, Ж.Г. Никогосян и
др.; совсем не удалось связаться со специалистами Индии и
Китая. В следующем издании постараюсь хотя бы частично
восполнить этот пробел.
А. Зыков
Эпилог
521
Д. Кёниг	Ю. Петерсен
X. Уитни	Г.Д. Биркгоф	Г Дирак
К. Берж
У. Татт
П. Туран
522
Основы теории графов
Г. Грёцш	Г. Рингель	К. Вагнер
X. Закс, Ф. Харари, А.А. Зыков, А. Коциг, Ю. Босак
П. Эрдеш
Х.-А. Юнг
Р. Галин
Эпилог
523
Й. Седлачек
tin
Р. Гай
Л Байнеке
Г. Избицкий
В Имрих
А. Роса
Б. Вессель
Х.-Ю. Фосс
С Вальтер
524
Основы теории графов
А.К. Кельманс
И.Э. Зверович	Р.И. Тышкевич
К.М. Мосесян, Л.С. Мельников, А.А. Зыков,
В.Г. Визинг, М.К. Гольдберг
А. В. Косточка
О.В. Бородин
Эпилог
525
X. Ураков	Г Эргашев	Ю. Нишанов
В.И. Волошин, М.А. Хачатрян, В.В. Берков,
О.И. Топалэ, К.Ф. Присакару
И.М. Горгос
В.Н. Любота
УКАЗАТЕЛЬ-СПРАВОЧНИК
Это нечто среднее между предметным указателем и небольшой эн-
циклопедией. Для терминов, определяемых в книге, указывается толь-
ко номер того параграфа (или упражнения к нему), где термин фигури-
рует впервые, а также тех, где он как-то изменяется или уточняется.
Приводятся синонимы многих понятий, представленных в книге одним
термином. Понятия, совсем не встречающиеся в тексте, но играющие
заметную роль в теории графов, даются с пояснениями (кроме случаев,
когда это потребовало бы слишком пространного изложения) и снаб-
жены ссылками на источники; при наличии ссылки на текст книги
(включая упражнения) источники, указанные там, в [УС] вторично не
упоминаются. Русские термины, как правило, снабжены английским
(иногда и другим — фр., нем., ит.) переводом, а математические симво-
лы, фигурирующие в оригинале и реферате, заменены нашими: напри-
мер, вместо л-связности (графа) и л-мерности (пространства, куба и
т.п.) мы говорим об /-связности и r-мерности, ибо у нас п означает
число вершин графа; в редких случаях возможной путаницы дается
примечание.
К сокращениям названий источников в основном тексте (см. введе-
ние) мы здесь добавим следующие.
ВБелУ — Вестник Белорусского университета.
ВКиб — Вопросы кибернетики (Труды II Всесоюзного семинара
по дискретной математике, М.).
ВЛУ — Вестник Ленинградского университета.
ВМГУ — Вестник Московского университета; математика, механика.
ГСУ — Годишн. Софийского ун-та, фак. матем. и мех.
ДАИО — Дискретный анализ и исследование операций (Сборник
трудов Института математики Сибирского отделения
АН СССР).
ДАН, ДАНАз, ДАНБе, ДАНУ — Доклады Академии наук (СССР, Рос-
сии), ДАН Азербайджана, Армении, Белоруссии, Украины.
ДАСиб — Дискретный анализ (Сиб. отд. АН СССР, РАН).
ДБАН — Доклады Болгарской Академии наук.
ЖВММФ — Журнал вычислительной математики и математической
физики.
Указатель-справочник
527
ИАНАз — Известия АН Азербайджана, серия физ.-тех. и мат. наук.
ИАНАр — Известия АН Армении, математика.
ИАНБе — Известия (Весщ) АН БССР (Беларуси), серия физ.-мат. наук.
ИАНМ — Известия АН МССР (Молдовы), серия физ.-мат. и тех. наук.
ИАНТК — Известия АН (СССР, России), техническая кибернетика.
ИАНФМ — Известия АН (СССР, России), серия физ.-мат. наук.
ИОП — Исследование операций и программирование (сборник
Кишиневского университета).
ИПМИК — Исследования по прикладной математике и информатике,
математические науки (Кишинев).
ИСОАН	—	Известия Сибирского отд. АН СССР.
Киб	—	Кибернетика.
КСб	—	Кибернетический сборник.
ЛМЕ	—	Латвийский математический ежегодник.
МДА	—	Методы дискретного анализа в решении комбинаторных
задач (сборник трудов Института математики Сибирско-
го отделения АН СССР).
М3	—	Математические заметки.
ПКиб	—	Проблемы кибернетики.
ПМЕр	—	Прикладная математика	(Ереван).
ПМП	—	Прикладная математика	и	программирование (сборник
АН МССР, Кишинев).
СБМС — Сердика Болг. мат. списание.
СибМЖ — Сибирский математический журнал.
СНТИМ — Сборник научных трудов Института математики Сибир-
ского отделения АН СССР, РАН.
ТВЦЕр — Труды ВЦ АН АрмССР и Ереванского университета.
ТКиб — Теоретическая кибернетика (сборник АН УССР).
ТМИС — Труды Математического института им. В.А. Стеклова
АН СССР.
ТСамУ — Труды Самаркандского университета.
УЗЕрУ — Ученые записки Ереванского университета.
УЗЛУ — Ученые записки Латвийского университета.
АСРАш — Anal, and Des. Algoritms Comb. Prob. Amsterdam e.a.
AFNUM — Acta Fac. rerum natur. Univ, comen., Math.
AJM — Amer. J. Math.
AMASH — Acta mathematica Academiae scientiarum hungaricae.
AMM	— American Mathematical Monthly.
AMUC — Acta math. Univ, comen.
528
Основы теории графов
AnnDM — Annals of Discrete Mathematics (North-Holland P. Co.).
AnUBc — Ann. Univ. Bucure§ti.
ANYAS — Ann. New York Acad. Sci.
ArsC — ARS Combinatoria (Waterloo, Canada).
ASMSz — Acta sci. Math. Szeged.
AsUIa — An. §ti. Univ. Ia§i. Sec. la.
AUSBd — Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando-
Edtvos-nominatrae, sectio Mathematica.
BAMS — Bui. Amer. Math. Soc.
BAuMS — Bull. Austral. Math. Soc.
BIPBc — Bui. Inst, politehn. Bucure§ti, ser. Mat.
BLMS — Bulletin of London Mathematical Society.
BMSR — Bull. math. soc. sci. math. RS Roum.
BUMIt — Boll. Unione mat. ital.
CGrAm — Cycles Graphs, Amsterdam e.a.
CJM	— Canadian Journal of Mathematics.
ClqM	— Colloquium Mathematicum.
CmbAm — Combinatorics, Amsterdam e.a.
CMB — Canad. Math. Bull.
CMSJB — Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai.
CMUC — Commentatianes Mathematicae Universitatis Carolinae.
CPCmp — Comb., Prob, and Comp.
CPM — Casop pSstov. mat.
CzMJ — Czechosl. Math. J.
DApM — Discrete Appl. Math.
DMJ — Duke Math. J.
DsMZG — Discuss. Math. WSI Zielonej Gorze.
DsMGr - Discuss. Math. Graph Tneory (бывш. Diskuss. Math.).
EIKyb — Elektron. Informationsverarb. und Kybem.
GrThN — Graph Theory Newsletters.
IETCS — IEEE Trans. Circuit and Syst.
IETCT - IEEE (или IRE) Trans. Circuit Theory.
IJPAM — Indian J. Pure and. Appl. Math.
IntJM — Internal. J. Math, and Math. Sci.
JACpM — Journal Assoc. Comp. Math.
JAuMS — J. Austral. Math. Soc.
JbDMV — Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung;
JCISS — J. Comb., Inform, and Syst. Sci.
JCpSS — J. Comput. and Syst. Sci.
Указатель-справочник
529
JCPrC JIPC JLMS JMPAp JRAM JRNBS	—	J. Comb., Prob, and Comp. —	J. Inform. Proc, and Cyb. —	J. London Math. Soc. —	J. Math. Pure et Appl. —	J. reine und angew. Math. —	J. of research of the National Bureau of Standards B: Mathe- matics and Mathematical Physics.
JSApM JSSMS LMSLN LNCpS LNM LNPAM MC MFC MhM MN NAMS NASL PCPhS PEdMS PIASM PISUP PNASA PJM RMUSt RRMPA RSMUP SOAW	-	J. SIAM Appl. Math. —	J. System. Sci. and Math. Sci. —	London Math. Soc. Leet. Notes. —	Leet. Notes Comput. Sci. —	Leet. Notes Math. —	Leet. Notes Pure and Appl. Math. —	Matem. dasop. —	Mat.-Fiz. dasop. —	Monatshefte ftir Mathematik. —	Mathematische Nachrichten. —	Notices Amer. Math. Soc. —	Nat. Acad. Sci. Lett. —	Proc. Cambridge Philosoph. Soc. —	Proc. Edinbourgh Math. Soc. —	Proc. Ind. Acad. Sci. Math. Sci. —	Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. —	Proc. Nat. Acad. Sci. USA. —	Pacific J. Math. —	Repts Dep. Math. Univ. Stockholm. —	Rev. Roum. math, pures et appl. —	Rend. Semin, mat. Univ. Padova. —	Sitzungsberichten der 6sterreichischen Akademie der Wissen- schaften, math.-naturwiss. Klasse.
TIECJ TGrR TGrSm	—	Trans. Inst. Electron. And Commun. Eng. Jap. —	Theory of Graphs. Int. Symp. Rome, Juillet 1966. —	Theory of Graphs and its Applications. Symposium Smoleni- ce June 1963 (Prague, 1964).
TNYAS WZTHI	— Trans. New York Acad. Sci. — Wissenschaftliche Zeitschrift Techn. Hochschule (Universitat) Ilmenau.
ZAngM	— Zeitschrift angew. Math, und Meeh.
530
Основы теории графов
Недавно изданная книга [ТС] (В.А. Евстигнеев, В.Н. Касьянов. Тол-
ковый словарь по теории графов. Новосибирск: Наука, 1999) — весьма
полезное дополнение к нашему [УС]. Отметим недочет редакционного
характера: в ссылках на книгу Зыкова 1987 года последняя везде оши-
бочно датируется 1984 годом, а многие возможные ссылки на нее заме-
нены ссылками на книгу 1969 года, ставшую еще большей библиогра-
фической редкостью; следовало бы указывать обе книги.
J.W. Moon, L. Moser, A.A. Zykov. BIBLIOGRAPHY (TGrSm, 1963,
171—234) содержит около 1350 наименований — почти исчерпывающий
список работ до 1962 года; более современную библиографию можно
извлечь из книг, цитируемых в основном тексте и указателе-справочни-
ке: одна лишь книга Йенсена и Тофта, посвященная проблемам раскра-
ски графов, содержит более тысячи названий (точный подсчет затруд-
нителен из-за повторяющихся ссылок); см. также книгу Босака.
А
абсолютно планарный ретракт: см. ретракция и эквиваленты гипотезы
четырех красок.
абсолютный центр (absolute center) графа: Р.А. Cunighame-Green //
DApM, 7 (1984), № 3, 275-283 [84, 10В499].
автоморфизм (authomorphism) графа: § 1.7; заключение.
адамарово произведение (Hadamard product) — поэлементное произведе-
ние.
адамов граф — для которого справедлива гипотеза Адама'. §4.4.
аддитивная постановка задачи коммивояжера: § 2.6.
аддитивно-наследственное (additive-hereditary) свойство — такое, что ес-
ли им обладает каждая компонента графа, то обладает и весь граф:
Р. Mihok [86, 10В455]; М. Borowiecki, I. Broere, М. Frick, Р. Mihdk,
G. SemaniSin // DsMGr, 17 (1997), № 1, 5-50 [00, 9B252] - с обзором.
аксиоматические теории графов: заключение; L. Nebesky // CzMJ,
50(2000), № 1, 3—14, 121—133 [00, 12В251] — аксиоматический под-
ход к метрическим свойствам связных графов.
аксиомы Фреше: упр. 10 к §2.3; §2.6; упр. 26 к §4.2.
аксон (axon, ахопе): §4.5.
алгебра идей — математический язык, используемый, в частности, для
формального представления понятий теории графов: М.Ю. Дюка-
рев, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко, Н.В. Шаронова, Э.М. Бузницкая
[93, ЗВ370Деп, 7В286Деп].
Указатель-справочник
531
алгебраическая теория графов: заключение.
--раскрасок графов: W.T. Tutte И JCTh, 1 (1966), № 1, 15—50
[33#2573]; Н. Bergman // JRAM, 247(1971), №1, 87-91
[71, 12В609]; книга Донца и Шора', упр-я 5 и 6 к §3.9.
— — факторизации графов: A. Vince И DM, 46(1983), № 2, 211—213
[84, 2В511].
алгебраические приближения к гипотезе Хадвигера: А.А. Зыков И
ДАН, 187 (1964), № 6, 1235-1238 [70, 3B283]; А.А. Zykov И CMSJB,
3(1970), 1043-1049 [70, 12В354].
алгоритм Бекишева для быстрой раскраски ребер графа: Г.А. Бекишев
[98, 1В263].
-	выявления максимального планарного суграфа: Т. Thulasiraman,
R.Jayakumar, M.N.S. Swamy // IETCS, 33(1986), №8, 843-844
[87, 2В623].
—	Гилмора—Гоффмана: упр. 6 и 7 к § 4.5.
—	Гутникова—Люботы: § 4.3.
-	Дюканова: § 1.7.
—	Краскала: §2.6.
-	Мохара: см. вложение графа в поверхность.
-	Флойда: §2.6; упр. 26 к §4.2.
—	Хоанг Туя: § 2.8.
-	Хортона (полиномиальной сложности) для нахождения базы про-
странства циклов: J.D. Horton // SIAM J. Comp., 16(1987), №2,
358-366 [87, 12В728].
—	Эдмондса: § 2.3; вариант для нахождения наибольшего паросочета-
ния в графе: D.J.M. Gutierrez [84, 8В482].
-	Юшманова: §2.6.
алгоритмическая неразрешимость проблемы окружений: § 1.10; некото-
рые случаи разрешимости: упр. 20 и 22 к §1.10, упр. 15 к §2.3,
G.M. Weetman // JLMS, 50 (1994), № 1, 68—86 — для окружений с об-
хватом 6.
-	комбинаторного гомеоморфизма: § 3.5. (в упр. 11 — некоторые слу-
чаи разрешимости).
алгоритмы восстановления графа по матрице циклов или разрезов:
§ 3.4; L. Lofgren // КСб, 5 (1962), 60-101 [60, 12, 13656]; R. Gould //
J. Math, and Phys., 37(1958), № 3, 193-214 [61, 6A337], Ann. Comp.
Lab. Harvard Univ., 29(1959), 244-292 [62, 3B263]; L. Auslander,
H.M. Trent // J. Math, and Meeh., 8 (1959), № 5, 827-835 [61, 7A330],
J. Acoust. Soc. America, 33(1961), № 9, 1183-1192 [62, 7B208];
532
Основы теории графов
С.С. Halkias, W.H. Kim // IRE Intern. Convent. Res., 10(1962), №2,
8-15 [65, 1B221]; S.R. Parker, H.Ju. Lohse // IETCT, 16(1969), №2,
221-223 [70, 3B319]; Y. Kajitani П J. Franklin Inst., 290(1970), №4,
355-363 [71, 10В564].
— выявления компонент графа: книга [А8].
----бикомпонент орграфа: упр. 5 к § 4.2; Э.И. Цимбалист, Е.Н. Руза-
ев, А.И. Канунов И Информ, листок № 18-78 Томского межот-
раслевого центра научно-техн, информации, 1978.
— изоморфизма деревьев: §2.3.
----и изоморфного вхождения графов: § 1.7; W. Mayeda, К. Sano,
J. Numata [86, 3B763]; Ю.М. Лакс // КСб, 22(1985), 72-101
[86, 4В719]; Н.В. Mittal // Inform. Proces Lett., 29(1988), № 2,
105-110 [89, 5B444]; N.S. Chaudhary, D.B. Phatak [92, 6B437];
K. Schiff // Elektrotechnika (Польша), 17(1998), № 2, 61—78
[00, 5B294] — анализ эвристических и приближенных алг-в.
— кратчайшего пути: G.B. Dantzig И TGrR (1967), 91—92; С. Pair //
TGrR (1967), 271—300; Deo Narsingh, Pang Chi-yin // Networks,
14(1984), №2, 275—329 [85, 1B647] — классификационная схема.
— на графах и сетях: книги [Al—А18], упомянутые во введении.
— нахождения плотности, неплотности, наибольших и максимальных
клик и груд в графе: § 1.7; S.L. Hakimi, Н. Frank И JMPAp, 25 (1969),
№ 2, 296—308; В.И. Островский, Ю.В. Поттосин И Автоматика и выч.
тех., 1970, № 2, 19-26 [70, 11В265]; И.Г. Илзиня, А.Ю. Толмачева,
Г.Ф. Фрицнович И Автоматика и выч. тех., 1970, № 3, 93—96
[70, 11В528]; Б.А. Гладких [71, 9В370]; Н. Burlaga [73, 8В340] (ошибоч-
ная работа, идея которой тем не менее заслуживает внимания);
С. Bron, J. Kerbosch [А10]; М. Schneider И Rev. fran?. automat., in-
form., rech. open, 7(1973), № V-3, 21-23 [74, 5B407]; J.E. Hopcroft,
R.E. Tarjan П JACpM, 21 (1974), № 7, 549-568; Ю.Г. Антастасян И Те-
ория оптимальных решений. Киев, 1974, 43—48 [75, 1В524]; А.С. По-
ляков // Вычислит, техн, в машиностр., Минск, 1 (32) (1974), 9—16
[75, 6В507]; С.М. Старобинец И Киб, 1975, № 2, 61-63 [75, 10В291];
R.E. Tarjan, А.Е. Trojanovski И SIAM J. Comp., 6(1977), № 3,
537-546; V. Chvatal И SIAM J. Comp., 6(1977), № 4, 643-662
[78, 8B507]; S.R. Das, L. Cheng, Z. Chen // Comp, and Elec. Eng.,
5(1978), № 4, 365-368 [79, 11B508]; L. Gerhards, W. Lindenberg //
Computing, 21 (1979), № 4, 295-322 [79, 11В507]; B.M. Курейчик,
В.А. Литвиненко И Изв. Сев.-Кавк. научн. ц. высш, шк., техн, н.,
1979, № 2, 13-16 [80, 4В393]; В.В. Носков // ПКиб, 36(1979). 33-54
Указатель-справочник
533
[80, 1В563]; Г.С. Плесневич и М.С. Сапаров [А10]; С.Н. Трушин И
Киб, 1982, № 2, 14-24 [82, 6В691 ]; Ш.Т. Березин [83, ЗВ559]; М.С. Са-
паров // ИАНТК, 1982, № 6, 191-200 [83, 4В631]; В.Е. Майстренко
[83, 10В428]; С.Ю. Лузин И Методы и программы решения оптимиза-
ционных задач на графах и сетях. II. Новосибирск, 1984, 80—81;
С.Н. Трушин, В.В. Яцкевич И Киб, 1985, №2, 111-113 [85, 10В722];
П.П. Кожич, О.И. Мельников, А.А. Черняк [85,11В672Деп] — нахож-
дение наибольшей груды в планарном графе за полиномиальное вре-
мя; P.L. Hammer, Р. Kikust // ЛРС, EIK, 22(1986), №4, 157-166;
P.L. Hammer, N.V. Mahadev, D. de Werra // Combinatorica, 5 (1985),
№ 2, 141-147 [86, 6B720]; P. Kikust // EIKyb, 22 (1986), № 4, 157-166
[86, 11B663]; Н.Ф. Николаева [87, 1B625]; E. Balas, Yu Cheng Sung //
SIAM J. Comp., 15(1986), №4, 1954-1068 [87, 7B621]; D. Marcu //
BIPBc, 1988, 21-27 [90, 5B540]; C. Friden, A. Hertz, D. de Werra //
Computing, 42 (1989), № 1, 35-44 [90, 8B427]; R. Carraghan, P.M. Par-
dalos И Oper. Res. Lett., 9 (1990), № 6, 375-382 [91, 9B463]; L. Babel //
Computing, 46(1991), №4, 321-341 [92,6B460]; В.П. Пинчук
[96, 9В305Деп]; В.Е. Алексеев II ДАНО, сер. 1, 6 (1999), №4, 3-19
[00, 4В289]; X. Liu, A. Sakamoto, Т. Shimamoto И J. Harbin Inst.
Techn., 6 (1999), № 2, 5—10 [00,11В258]. См. также трудные графы.
— паросочетаний, обзор: Galil Zvi // Comp. Survey ACM, 18 (1986), № 1,
23—38 [87, 6B645]; см. также алгоритм Эдмондса (Гутьеррес).
— планарности: § 3.6; к работам, перечисленным в книге Зыкова, доба-
вим: U. Klemm И Computing, 3 (1968), № 3, 194-204 [69, ЗВ215]; № 4,
245-257 [69, 8В188]; Я.Я. Дамбит И ЛМЕ, 6 (1969), 41-63 [70, 4В325];
J. Bruno, Е. Steiglitz, L. Weinberg // IETCT, 17 (1970), № 2, 197-206
[71, 2В320]; S.H. Chung, P.H. Roe [71, 4B434]; Ja.Ja. Dambit //WZTHI,
17(1971), №3, 63-70 [72, 5B309]; В.Г. Семагин, В.В. Соловьев
[73, 2B309]; A.H. Мелихов, B.M. Курейчик, В.В. Селянкин [73, 9B418];
В. Knauer И ZAngM, 53 (1975), № 4, Т215-Т216 [51 #2967]; J.E. Hopc-
roft, R.E. Tarjan // JACpM, 21 (1974), № 4, 549-568 [50#l 1841]; F. Ru-
bin // IETC, 24 (1975), № 2, 113-121 [50#l 1841]; T. Chiba, I. Nichioka,
I. Shirakawa [80, 10B496]; A.B. Карзанов [84, 6B470]; В.В. Володина,
Б.В. Черкасский И Киб, 1986, №1, 120 [86, 7В661].
— построения деревьев без повторений: A. Jovanovic, D. Danilovic И
Computing, 32(1984), № 3, 187-198 [84, 11В514]; G. Tinhofer,
H. Schreck // Computing, 33(1984), № 3-4, 211-215 [85, 5В562].
— раскраски вершин: § 1.4; добавление 1; книги [Al—Al8]; М.В. Горба-
това [85, 2В676]; М. Kubale [96, 12В303] - обзор.
534
Основы теории графов
---ребер: §2.9; книги [А8, АП]; алгоритм Бекишева.
—	транзитации: алгоритм Гилмора—Гоффмана-, A. Pnuely, A. Lempel,
S. Even [71, ЗВ296]; CJM, 23(1971), № 1, 160—175 [71, 11В498].
—	транзитивного замыкания: В.Л. Арлазаров, Е.А. Диниц, М.А. Крон-
род, И.А. Фараджев // ДАН, 194(1970), № 3, 487-488 [71, 2В317];
М.Е. Фурман И там же, 524 [71, 2В318]; О.И. Мельников, А.А. Рад-
чук, В.Я. Радчук И ИАНБе, 1996, № 3, 87-88 [00, 9В233].
—	эффективные по памяти (для некоторых задач теории графов): J. Ja'
Ja', J. Simon [83, ЗВ570].
алмаз Биркгофа: § 3.9.
алмазный орграф — такой (X, Г), в котором для любых х, у еХ множе-
ства Гх и Гу либо не пересекаются, либо одно из них содержится в
другом; Р. Marchioro, A. Morgana, R. Petreschi, В. Simeone
[88, 9В557].
алчный = жадный (алгоритм).
альтернирующая = чередующаяся (цепь).
аналитические средства решения экстремальных задач о графах:
А.Ф. Сидоренко [87, 1В585].
аннигиляторы в графах: J. Nieminen [88, 7В621].
антигеодезический граф: §2.6.
антидырка — подграф типа Ск с нечетным к>5\ §3.10.
антиориентированные (antidirected) циклы: упр. 35 к §4.2.
антиподальный граф для G=(X, U) — граф (X, V), в котором
ху е V о Pg (х, у) = d (G) (в естественной метрике); В. Nair,
V.A. Radhakrishnan И IJPAM, 28 (1997), № 5, 641-645 [00, 6В280].
антирамсеевский граф G — для которого существует граф М, обладаю-
щий такой раскраской ребер в г цветов, что в каждом его подграфе,
изоморфном G, цвета всех ребер различны: S.A. Burr, Р. Erdds,
R.L. Graham, V.T.-S6s И JGrTh, 13 (1989), № 3, 263-282 [90, 4В601] -
вычисление наименьшего г по данным п (G) и т (G) в ряде частных
случаев (Fn, Cik+\, двудольные графы, суммы графов).
антирефлексивный (antireflexive) граф — не имеющий петель.
антисвязные орграфы: G. Chartrand, Н. Gavlas, М. Schultz, С.Е. Wall //
Util. Math., 51 (1997), 41-54 [98, 6В325].
антисимметрический граф Бержа: §4.1.
антитупик (в книге Зыкова) = почин.
аппроксимационная сложность графа. L-аппроксимация обыкновенного
графа G = (X, U) — построение на том же множестве вершин X дру-
гого графа G = (X,U), принадлежащего заданному классу L и
Указатель-справочник
535
минимизирующего число Д((7, G) =|(U \U) U(U \С7)| несовпадений
ребер (упр. 4 к § 1.2). Число ZL =nun{A (G, G)/GeL} в случае, когда
L — класс всех кусочно полных графов, обозначается просто через
t(G) и называется аппроксимационной сложностью графа G; при до-
полнительном требовании &(G)<k (еН) или x(G) = k получаем
определение tk{G\ соответственно t'k(G). Г.Ш. Фридман И Киб,
1974, № 3; Методы моделирования и обработки информации. Ново-
сибирск: Наука, 1976, показал, что z(n)max{z(G)/ n(G) = n}=
=1(и-1)2 /4_]. То же значение имеют аналогично определяемые фун-
кции tk(n) при 2<k<n (I. Tomescu И Mat. et sci. humain, 11 (1973),
№42; DM, 10(1974), № 1-2, 173-179 [51#247] и fk(n) при
n>5(k-X)8i £>2« Ъ.П. Ильев, Г.Ш. Фридман // ДАН, 264(1982),
№ 3, 533—538 [82, 10В484]). Во всех трех случаях описаны графы G,
для которых t (G) =z (л), соответственно t (G)-tk (п) и t (G)-tk (п).
артикулятор (point of articulation) = шарнир.
асимметрический хроматический индекс графа — наименьшее число
цветов такой пары правильных раскрасок ребер, что пары цветов
разных ребер различны: M.F. Forreger И DM, 49 (1984), № 1, 27—39
[84, 9В501].
асимптотическое свойство графов — такое, что отношение количества
тех «-вершинных графов (задаваемых с точностью до изоморфиз-
ма), которые обладают этим свойством, к количеству всех «-вер-
шинных стремится к 1 при и-юо; см., например, Z. Ryjadek, В. Zelin-
ka И Math, slov., 37(1987), № 2, 195-198 [87, 8В669].
атомарные и молекулярные свойства графов: в этих терминах G. Ехоо,
F. Harary (IJPAM, 13 (1982), № 3, 309-312 [82, 10В502]) характеризу-
ют всевозможные 16 случаев наличия или отсутствия у графа каж-
дого из четырех свойств 2-связности, планарности, двудольности,
гамильтоновости.
ахроматический индекс — аналог ахроматического числа для раскраски
ребер (см., например: М. Ногйак И ArsC, 45(1997), 271—275
[98, 5В294]).
ахроматическое число — наибольшее возможное количество цветов та-
кой правильной раскраски всех вершин графа, что для любой пары
различных использованных цветов есть пара смежных вершин,
окрашенных именно в эти цвета; без требования правильности рас-
краски получаем определение псевдохроматического числа. Добав-
ление 2; книга Харари; F. Harary, S.T. Hedetniemi, G. Prins // Portug.
math., 26 (1967), № 3-4, 453-462 [70, 6B348]; R.P. Gupta [71, 12B631];
536
Основы теории графов
Е. JucoviC, F. Oleinik И СРМ, 99(1974), №2, 123-130 [74, 11B453J;
D. Geller, Н. Kronk И Fund. Math., 85(1974), № 3, 285-290
[75, 5В512]; Е. Sampathkumar, V.N. Bhave // DM, 16(1976), № 1,
57-60 [77, 4B477]; J. Akiyama, F. Harary, Ph. Ostrand // PJM,
104(1983), №1, 15-27 [83, 8B560]; N. Cairnie, K. Edwards // DM,
188(1998), № 1—3, 87—97 [00, 3B279] — для деревьев. Также см.
реберное ахроматическое число.
ациклическая раскраска вершин — при которой в графе нет двуцвет-
ных чередующихся циклов: О.В. Бородин, А.В. Косточка // JGrTh,
30(1999), № 4, 37-50; Р. Boiron, Е. Sopena, L. Vignal // JGrTh,
32(1999), № 1, 97-107 [00, 5В265]; O.V. Borodin, A.V. Kostochka,
D.R. Woodall // JLMS, 60 (1999), № 2, 344-352 [00, 10B266]; О.В. Бо-
родин, А.В. Косточка, А. Распо, Э. Сопена И М3, 67(2000), № 1,
36-45 [00, 4В252].
ациклический (acyclic) граф = лес — не содержащий циклов.
— орграф G — не имеющий орциклов; при отсутствии также петель и
кратных дуг наибольшее количество орцепей в G независимо от
и((?) равно 2F(k — 1) при m(G)=2k и равно F(k + \) при m(G)=2k + i,
где F(l) = l, F(2)=2, F(k)=F(k-l) + F(k-2) при k>3: К. Zikan,
Е. Schmeichel И Fibonacci Quart., 23(1985), № 1, 3-6 [86, 2В698].
ациклическое ребро: (1) перешеек неориентированного графа; (2) дуга
орграфа, не принадлежащая никакому орциклу.
Б
база вершин (vertex basis): §4.2.
— гомоморфизма: см. класс гомоморфизмов.
— дуг (arc basis): § 4.2.
— ребер (частично ориентированного графа): Х.Р. Ураков [69, 11В322].
базируемый (basable) граф: §4.2.
базисный (basis) граф — суграф, порожденный базой дуг орграфа.
базовая (basis) бикомпонента: §4.2.
базовый орграф (basis digraph) — базой дуг которого служит множество
всех его дуг: упр. 22 и 23 к §4.2; §4.4.
безреберное (edgeless) подмножество = груда графа.
безреберный граф = груда.
бензольные цепи в графах: I. Gutman, E.J. Farrell, S.A. Wahid П JCISS,
8(1983), №2, 159-168 [84, 11В512].
Указатель-справочник
537
бесконечная грань = внешняя грань.
бесконечные графы: введение; § 1.10 и упр-я 11, 18', 21 к нему; упр. 35 к
§2.1; упр. 1 к §4.1; заключение.
бесконечный обыкновенный граф — как в § 1.1, но без требования ко-
нечности множеств вершин и ребер.
бесконтурный (circuitless) граф = ациклический орграф.
беспристрастная (equitable) раскраска ребер — при которой количества
ребер одинакового цвета различаются не более чем на 1: M.N. Ellin-
gham, У. Саго П ArsC, 22(1986), 59-71 [87, 7B639]; A.J.W. Hilton,
D. de Werra П DM, 128(1994), № 1-3, 179-201 [95, ЗВ237].
библок (biblock), библок орграфа: §4.2.
бикомпонента (bicomponent): §4.2.
бикубический граф — двудольный 3-однородный обыкновенный.
бинарные операции над графами — сложение и умножение (сумма и
произведение): § 1.2; см. также произведения графов и J. Nieminen И
BMSR, 28(1984), № 1, 55-62 [84, 12В728].
бипанциклические графы: D. Amar // DM, 102(1992), № 3, 221—227
[93, 8В371].
бипланарный граф: § 3.7.
бирегулярный (biregular) двудольный граф — в каждой доле которого
все вершины — одинаковой степени.
—	мультиграф — степени вершин которого различаются не более чем
на 1: S. Sridharan И DM, 65(1987), № 2, 213-214 [87, 11В653].
бисвязная (biconnected) ориентация графа: § 4.4; F.S. Roberts, Xu Yong-
hua // DApM, 49 (1994), № 1-3, 331—356 [95, 2B343] - с приложени-
ем к организации движения городского транспорта.
бисвязный орграф: §4.2.
бихроматический граф — граф общего вида без петель, скелет которого
обладает хроматическим числом у <2.
бицентра л ьное дерево: §2.3.
блок, блок графа, /-блок: § 2.2; § 2.7; H.-Jii. VoB [83, 8В584].
—	метрики: упр. 18.2 к §2.6.
блокирующий (block-making) разрез, цикл (в предыдущих изданиях
книги) = доблочный р., ц.
блочно замкнутый подграф: В. Zelinka [86, 10В456; 89, 5В459].
—	-пороговые (box-treshold) графы — см. пороговые графы.
блочно-шарнирный (block-cutpoint) граф: упр. 15 к §3.1.
538
Основы теории графов
булево (boolean) расстояние между вершинами графа: R.A. Melter,
I. Tomescu И ASUIa, 27(1981), sec. la, № 2, 407-410 [82, 3B590,
7B587], RRMPA, 29(1984), № 5, 407-415 [85, 1В666].
булевы методы в теории графов: добавление 1.
В
валентность вершины графа: § 2.8.
— захода (outer valency), — исхода (inner valency) вершины орграфа:
§4.1.
( взвешенный (labeled) граф: §1.6; §2.6; упр-я 26—27.2 к §4.2.
веер (fan), /-веер: § 1.2.
—, вращающий неокрашенное ребро: § 2.7.
веерное сочетание (fanning) в графе: упр. 17 к § 2.4.
веерный изоморфизм (fan-isomorphism) графов: упр. 24 к §1.10.
вектор степеней: § 1.2; графическая последовательность. Для компонент
вектора степеней s(G) графа G имеет место аналог неравенства
Минковского: L.A. Szekely, L.H. Clark, R.C. Entringer H DM,
103 (1992), № 3, 293—300 [93, 11B217], а сумма их квадратов не пре-
восходит	+и((?)-2^: D. de Caen // DM, 185(1998),
№ 1-3, 245-248 [99, 2В264].
венгерский метод — метод чередующихся цепей и его обобщения,
вероятностные графы: заключение.
— методы в теории графов: заключение (п. 5); книга Эрдеша и Спенсера.
вершина (vertex) графа: введение; §1.1; §2.7; §4.1.
вершинная гипотеза Улама: § 1.10; восстановление графов\ D. CvetkoviC,
Р. Rowlinson [93, 2В304] — общие соображения. Подтверждение для
некоторых классов графов: упр-я 6, 6', 7', 8, 9 к § 1.10; W. DOrfler,
W. Imrich // Gias, mat., 7 (1972), № 2, 159-165 [73, 6B378]; V. Nydl //
Rend. circ. mat. Palermo, 33 (1984), № 6, suppl., 243—246 [85, 7B699],
[88, 5B662]; A.A. Тимофеев [86, 1В786Деп; 87, 2В645Деп; 88,
ЗВ647Деп]; В.Л. Тюрин И ИАНБе, 1987, №3, 16-20 [87, 11В680].
Ослабленная версия — гипотеза о подобном восстановлении. Опро-
вержение для бесконечных графов: упр. 11 к §1.10.
------для деревьев: § 2.3 и упр. 15 к нему; В. Manvel И CJM, 22 (1970),
№ 1, 55-60 [70, 12В339]; J. NeSetfil И PJM, 37(1971), № 3,
771—*778 [72, 2В360], [74, 9В458]; A. Koslinski И LNM,
1018(1983), 111 — 113 [84, 4В462]); см. также восстанавливае-
мость графа и гипотезы Улама.
Указатель-справочник
539
---------орграфов: §4.1. Опровержение в общем случае: F. Harary,
Е.М. Palmer // MhM, 71 (1967), № 1, 14-23 [67, 12В258];
L.W. Beineke, E.T. Parker // JCTh, 9(1970), №4, 324-326
[71,5B379]; W.L. Kocay H JCISS, 9(1984), № 1, 25-33
[86, 3B762], JGrTh, 9 (1985), № 4, 473-476 [86, 11B610]; S. Ra-
machandran П IJPAM, 20(1989), № 8, 782-785 [90, 12В463].
Справедливость для некоторых классов турниров: С. Gnav-
no, Р. П1е [89, 4В554].
— древесность (point arboricity) графа — наименьшее число классов, на
которые можно так разбить множество вершин, чтобы подграфы,
порожденные этими классами, не имели циклов. C.St.J.A. Nach-Wil-
liams (см. упр. 6 к § 3.1); L.W. Beineke // МТ, 9 (1964), № 3, 589-594
[66, 5А291]; J. Mitchem И JLMS, 4(1971), № 2, 333-336 [72, 5В273];
A. Frank [82, 1В795]. Для орграфов: см. ордревесность.
вершинно критический (point critical) граф с данным свойством — утра-
чивающий это свойство после удаления любой вершины.
— определяемый (point determining) граф — в котором никакие две раз-
личные вершины не обладают общим окружением. D.P. Sumner //
DM, 5(1973), № 2, 179-187 [73, 12В405], JCTh, В16 (1974), № 1,
35-41 [74, 6В443]; Chia Gek-Ling, Lim Chong-Keang [82, 12В663].
вершинна отделяющая (point-separating) раскраска ребер — правильная,
при которой неупорядоченные наборы цветов ребер, инцидентных
одной вершине, различны для разных вершин: S.N. Zagaglia // Riv.
Mat. Univ. Parma, 15 (1989), № 4, 143-148 [91, 5B387]; О. Favaron, Li
Hao, R.H. Schelp // DM, 159(1996), № 1-3, 103-109 [98, ЗВ263].
—	панциклический (point pancyclic) граф — через каждую вершину
которого проходят простые циклы всевозможных длин: R.J. Go-
uld, M.S. Jacobson И JGrTh, 8(1984), № 1, 147-154 [84, 9В528];
A. Yeo // JGrTh, 32(1999), №2, 137-152 [00, 7В216].
— симметричный (point-symmetric), или в.-транзитивный (point-tran-
sitive) граф — группа автоморфизмов которого действует на мно-
жестве вершин транзитивно (т. е. класс транзитивности — только
один): §1.7.
—	уникальный (point uncial) граф G — такой, что G\x Ф G\y ни для ка-
ких вершин х*у\ D.W. Bange, А.Е. Barkauskas, P.J. Slater // JCTh,
В38(1985), №1, 31-40 [85, 10В718].
вершинное покрытие (point cover) = опора'. § 2.4.
—	число независимости (point independence number) = неплотность.
540
Основы теории графов
вершинный изоморфизм = изоморфизм графов (в отличие от реберного
изоморфизма).
вес (label) вершины или ребра: см. взвешенный граф.
ветвь (branch): см. х-поддерево.
— (twig) в книге Харари = хорда каркаса.
взаимодостижимость (muchual reachability) вершин: § 4.2.
взаиморасположимые (mutually placeable) графы: упр. 14 к § 1.2.
взвешенный (labeled) граф: § 1.6; §2.6; упр. 26 к §4.2.
вилка (fork): § 1.2.
висячая вершина (endpoint): упр. 9 к §2.2; §2.3 (теорема 2.3.3).
висяче-вершинно эквивалентные (endpoint equivalent) графы — такие G
и G', что между их висячими вершинами можно установить взаимно
однозначное соответствие <->, при котором G\x =* G'\x' ддя любых
висячих хох: J.A. Bondy // PJM, 31(1969), №2, 281-288
[70, 11В233]. При каждом fceN существуют висяче-вершинно экви-
валентные графы с к висячими вершинами: R.M. Bryant И JCTh,
В11 (1971), №2, 139-141 [72, 6В263].
висячее (pendent) ребро — инцидентное висячей вершине в обыкновен-
ном графе.
вложение (embedding, imbedding) графа в поверхность = расположение
графа на поверхности'. § 3.5; В. Mohar, С. Thomassen, Graphs and
Surfaces. Baltimore: J. Hopkins Univ. Press, 2001; алгоритм, линейный
по времени: В. Mohar [00, 1В290].
вложимость графа в двумерное многообразие: книга Рингеля, обзоры
Мельникова и Рингайзена (§ 3.5); Ri Chun Hui, Ryu Hae Dong // Bull.
Acad. Sci. DPR Korea, Math, and Phys., 1999, № 1, 16-18 [00, 6В294].
------плоскость = планарность (§ 3.6).
------плоскую целочисленную решетку: упр. 16 к § 3.7.
------проективную плоскость: S. Negami // JGrTh, 9(1985), №2,
235-243 [86, ЗВ751]; В. Perunidid, Z. Durid [87, 11В648].
------псевдоповерхность: O.B. Бородин [87, 7В642].
------свое дополнение: упр. 13 к § 1.2; D. Burns, S. Schuster // Israel
J. Math., 30(1978), №4, 313-320 [79, 2B529]; R.J. Faudree,
C.C. Rousseau, R.H. Schelp, S. Schuster H CzMJ, 31 (1981), № 1,
53-62 [82e#05105]; M. Wo±niak // DApM, 51 (1994), №1-2,
233-241 [95, 2B330]; J.-L. Fouquet, A.P. Wojda H DM,
121 (1993), № 1-3, 85-92 [95, 4B268] - для двудольных графов.
См. также упаковка графов.
Указатель-справочник
541
внешнепланарный (outerplanar) граф: § 3.6 и упр-я 26—27 к нему;
W. Wessel, R. Poschel [87, 5В621]. Ослабление: минимальный невнеш-
непланарный граф.
Л-внешнепланарный граф G — допускающий такое плоское расположе-
ние, при котором заданное количество к вершин (0 < Хс < м (<7)) инци-
дентно внешней грани. Характеризация: М.М. Syslo И DM,
26(1979), № 1, 47—53 [80, 2В636]. Модификация — планарность с
внешним доступом', упр. 38 к § 3.6.
внешняя грань (exterior face): § 3.6.
—	устойчивость (outer stability): §4.3; в случае неориентированного
графа = всесмежность.
внутренне устойчивое множество (stable set) вершин: § 4.3; в случае нео-
риентированного графа — максимальная (по включению) его груда.
внутренняя грань (interior face) — грань плоского графа, не являющаяся
внешней.
—	устойчивость (inner stability): § 4.3.
восстанавливаемое (reconstructable) свойство графа G — определимое
(изоморфно) по набору его (n(G)— 1)-вершинных подграфов: § 1.10;
S.N. Zagaglia И JCISS, 8(1983), № 1, 5-9 [84, 12В723].
восстанавливаемость (reconstructibility) графа — его изоморфная опре-
деляемость по известному результату той или иной операции над
ним: см. гипотеза ; Улама, проблема окружений, проблема Стэнли',
S. Kundu, Е. Sampathkumar, V.N. Bhave И JCTh, В20(1976), №2,
117-123 [54#5025]; I. Krasikov, Y. Roditti И Archiv Math., 48(1987),
№ 5, 458—464 [87, 11В676]; для деревьев: § 2.3 и упр. 15 к нему: проб-
лема восстановления для деревьев. Из-за невосстанавливаемости гра-
фа по системе графов, получаемых из него операцией разборки (см.
заключение, п. 4), соответствующие рекуррентно вычисляемые ин-
варианты страдают хронической неполнотой.
-	турнира: С. Gnavno, Р. П1е [89, 4В554].
TV-восстанавливаемость орграфа: §4.1.
восстановление достижимости вершин орграфа, утраченной из-за удале-
ния дуги, путем переориентации оставшихся дуг: Shi Weigeng,
R.J. Juels // Networks, 19 (1989), № 2, 235-246 [89, 11B568]; приложе-
ние к организации движения городского транспорта напрашивается
само собой.
-	связного графа по его каркасам: J. Sedladek // МС, 24(1974), №4,
307-314 [54#175].
вполне несвязный (totally disconnected) граф = груда.
542
Основы теории графов
всесмежное (dominating) подмножество, всесмежный подграф — такое
подмножество YcX вершин графа G-(X, U), соответственно под-
граф, порожденный в G этим подмножеством, что всякая вершина
из X\Y смежна хотя бы с одной вершиной из Y; обзор: R. Laskar,
Н.В. Walikar // LNM, 885 (1981), 308-320 [82, 6В706]; см. еще обнару-
живающее множество, справочное число и число всесмежности.
вторая книга Бержа: введение.
— матрица инциденций = цикломатическая матрица (= матрица цик-
лов).
выпуклая функция в графе G[q] = (X,U, q) — такая f X->IR, что
Vx, у, zeX[q{x,y) = q{y, z) + q(z, x)=> f	O') + 7(H)X
x/(x)]: В.Д. Чепой [86, 8В759Деп].
выпукло простой граф — не имеющий собственных выпуклых подгра-
фов более чем с тремя вершинами: С.Г. Катаранчук, В.Д. Чепой //
МИ, 96(1987), 64-68 [87, 9В602].
выпуклое (convex), ^-выпуклое множество — такое подмножество вер-
шин графа (при q*\ — с взвешенными ребрами), которое вместе с
любыми двумя своими вершинами х, у содержит и все вершины
каждой (^-кратчайшей цепи из х в у: книга [А2]; F. Harary, Ju. Nie-
minen // J. Diff. Geom., 16 (1981), № 3, 535-537 [82, 6B688]; В.П. Сол-
тан // ДАН, 272(1983), № 3, 535-537 [84, 2B499]; В.П. Солтан,
В.Д. Чепой // ИАНМ, 1984, № 2, 19-23 [84, 11В546]; J. Nieminen //
BMSR, 27(1983), № 4, 343-351 [84, 12В750]; M.G. Everett, S. Seid-
man П DM, 57 (1985), № 3, 217-223 [86, 6B766]; Y. Egava [86, 9B689];
В.Д. Чепой // МИ, 87(1986), 164-177 [86, 10B444]; К.Ф. Присакару,
А.В. Присакарь // МИ, 96 (1987), 114-118 [87, 9В603]; А.И. Сокирка,
В.П. Солтан И Труды Тбилисского Матем. ин-та АН Грузии,
85(1987), 40-51 [88, 2В659]; С.Г. Катаранчук, В.Д. Чепой // МИ,
96(1987), 64—68 [87, 9В602]; Исслед. по прикл. матем. и информати-
ке. Кишинев, 1990 [90, 9В410—412]. Ряд идей и понятий теории вы-
пуклых множеств и тел (см., например, книги: В.Г. Болтянский,
П.С. Солтан. Комбинаторная геометрия различных классов выпук-
лых множеств // Кишинев: Штиинца 1978; Т. Bonnesen, W. Fenchel.
Theory of convex bodies // Moscow; Idaho: BCG Ass., USA, 1987) име-
ют аналоги в теории графов; о связи между числами Радона, Хелли и
числом Хадвигера графа см. Л.Ф. Герман, О.И. Топалэ ([84, 10В491];
Киб, 1987, № 2, 1—5 [87, 9В601]). Непосредственная связь между вы-
пуклостью многогранника и графа, образованного его вершинами и
Указатель-справочник
543
ребрами: С.Р. Vanden // Archiv Math., 43(1984), №1, 84-88
[85, 1В627].
выпуклый подграф: см. Y. Egava {выпуклое множество).
вырожденный (degenerated) граф — мультиграф, ребрами которого мо-
гут быть только петли (т. е. все вершины изолированные).
^-вырожденный граф: упр. 24 к §2.2; В.Г. Визинг // МДА, 5(1965),
9-17; G. Szekeres, H.S. Wilf // AMASH, 17(1968), №1, 1-3;
D.R. Lick, A.T. White // CJM, 22 (1970), 1082-1096; J.M.S. Simoes Pe-
reira // GrThN, 5(6), July 1976, 1—7 [55# 199] — обзор. Свойства мак-
симальных ^-вырожденных графов: J. Mitchem // Util. Math.,
11 (1977), 101-106 [78, 3B480]; Z. Fil^kova, P. Michok, G. SemaniSin //
Math, slov., 47 (1997), № 5, 489-498 [98, 11В293]. Наименьшее число
ребер графа с данным количеством вершин наибольшего fc-вырож-
денного подграфа: N. Alon, J. Kahn, P.D. Seymour П Graphs and
Comb., 3 (1987), № 3, 203—211 [88, 1В580]. См. также число вершинно-
го разбиения.
высоко иррегулярный (high irregular) граф — у которого в окружении
каждой вершины степени всех вершин различны; если степень 5 та-
кого G не меньше 2, то его тотальное хроматическое число равно
5+1. Zhang Xiandi [98, 11В300].
высота графа: см. нумерация графов.
вязкий (tough) граф: см. прочность графа.
Г
гамильтонов (hamiltonian) граф: §2.1; достаточные условия гамильто-
новости.
— индекс графа G — наименьшее г, при котором итерированный граф
смежности ребер Lr {G) гамильтонов: A.M. Ghirlanda // BUMIt,
18(1963), № 3, 281-284 [65, 5А254]; V.V. Menon // CMB, 8(1965),
№1, 7-15 [66, 1A411], TGrR, 66(1967), 245-248; R. Balakrishnan,
P.Paulraja [84, 11B535]; S.M. Lovredid // DM, 122(1993), №1-3,
373-376 [96, 5В260].
—	орграф — обладающий хотя бы одним гамильтоновым орциклом.
—	орцикл — простой, проходящий через все вершины орграфа: §4.2;
Y. Manoussakis, D. Amar // DM, 105(1992), № 1-3, 157-172
[96, 2В250].
—	центр — вершина графа, из которой в любую другую идет гамильто-
нова цепь.
544
Основы теории графов
—	цикл (1) как последовательность вершин: упр. 8 к § 1.5; (2) как про-
стой цикл: §2.1.
Аг-гамильтонов граф — такой л-вершинный, который остается гамиль-
тоновым после удаления любых к < п - 3 вершин: G. Chartrand,
S.F. Kapoor, D.R. Lick // JCTh, 9(1970), № 3, 308-312 [71, 5B401];
V.N. Bhat, S.F. Kapoor // J. Indian Math. Soc., 37(1973), № 1-4,
277-284 [75, 10В287].
гамильтонова орцепь — простая, содержащая все вершины орграфа:
§4.2.
—	последовательность степеней — такой вектор s, что всякий обыкно-
венный граф G с s(G)=s гамильтонов.
—	цепь (1) как последовательность вершин: упр. 8 к § 1.5; (2) как про-
стая цепь: §2.1.
—	экспонента: A. Marczyk, G. Schaar // Tatra Mount Math. Publ.,
18(1997), 23-34 [00, 12В234].
гамильтоново доступные и г-во недоступные графы (из данной верши-
ны): G.R. Hendry [84, 6В512].
гамильтоново связные графы: упр. 126 к §2.1; С. Thomassen // JGrTh,
7 (1983), № 2, 169-176 [84, 1В603]; A. Benhocine, А.Р. Wojda // JCTh,
В42 (1987), № 2, 167-180 [87, 8В673]; Wei Bing // DM, 121 (1993),
№ 1-3, 223-228 [96, 2B251]); Wu Zhengsheng // Acta Math. Appl. Sin.,
11 (1995), № 1, 44-50 [96, 2B248]; Lou Dingjun // Math, appl., 8 (1995),
№ 2, 158—160 [96, 2В246]. Граф однозначно (уникально) гамильтоново
связен в вершине х, если из этой вершины в любую другую ведет
единственная гамильтонова цепь: G.R.T. Hendry // DM, 61 (1986),
№ 1, 57-60 [86, 12В876]; G.R.T. Hendry, C.J. Knickerbrocker,
P.F. Lock, F. Patti, M. Scheard // DM, 187(1998), № 1-3, 281-290
[00, ЗВЗО5].
гамильтоновость графа смежности ребер: упр. 29, 30 к § 2.1; Р. Paulraja //
JCISS, 10(1985), № 1-2, 33-35 [87, 8В672]; H.J. Veldman // DM,
124(1994), № 1-3, 229-239 [96, 1В388].
—	двудольных графов: G. Hurlbert II DM, 128(1994), № 1—3, 237—245
[95, 1В319].
—	степеней графа: L. Nebesky, Е. Wistova // СРМ, НО (1985), № 3,
294-301 [86, 2В740].
гамильтоновы идеалы: V. Chv&tal (см. упр. 13в к §2.1')-
—	свойства графов в терминах запрещенных подграфов: R.J. Gould,
M.S. Jacobson [83, 5В580].
-	униграфы: Ж.А. Черняк И ИАНБе, 1981, № 1, 23-29 [81, 6В674].
Указатель-справочник
545
— циклы без запрещенных проходов: Т. Hellgren И RMUSt, 1987, № 7,
1-13 [87, 10В692].
----в 4- и 5-связных плоских триангуляциях: Th. Bohme, J. Harant И
DM, 191 (1998), № 1-3, 25-30 [00, 1В306].
гаммоид: см. матроид.
гармоническая раскраска — такая правильная раскраска вершин графа,
при которой пары (неупорядоченные) цветов различных смежных
пар вершин различны.
гармонический граф — обыкновенный, допускающий гармоническую
нумерацию.
гармоническое хроматическое число графа — наименьшее количество
цветов гармонической раскраски’. J. Mitchem // DM, 74 (1989), № 1—2,
151-157 [89, 12B544J; Lu Zhikang // JGrTh, 15(1991), № 4, 345-347
[92, 4B378]; C. McDiarmid, Luo Xinhua // JGrTh, 15(1991), № 6,
629-636 [92, 11B371]; I. Krasikov, Y. Roditti // JGrTh, 18 (1994), № 2,
205-209 [95, 2B329]; K. Edwards // CPCmp, 5(1996), № 1, 15-28
[97, 5B317], JLMS, 55(1997), № 3, 435-447 [98, 5B295]; Lu Zhikang //
DM, 172(1997), № 1-3, 93-101 [00, 8В263].
гафниан (hafnian) — функция элементов матицы Ня/, ||™, отличающаяся
от пфаффиана знаками при произведениях, подобно тому как перма-
нент отличается от определителя, и тоже применяемая при исследо-
вании совершенных паросочетаний графа: книга Минка (раздел 8.2).
геодезическая (geodetic) — кратчайшая (в естественной метрике) цепь,
соединяющая данные две вершины графа: § 2.6.
геодезические графы: §2.6; J. Bosak // CMSJB, 18(1978), 151—172;
J. Plesnik // Math, slov., 27 (1977), № 1, 65-71 [77, 9B485]; В. Zelinka И
там же, 129-132; J.G. Stemple // ANYAS, 319 (1979), 512-517
[82, 8В607]; J. Plesnik // AFNUM, 36 (1980), 47-60 [82, 1B788],
[82, 12B627], [82, 12B628]; K.R. Parthasarathy, N. Srinivasan // Combi-
natorica, 4 (1984), № 2-3, 197-206 [85, 5B579], ArsC, 20 (1985), 49-59
[86, 8B786]; P. Hie // Math, slov., 35(1985), № 3, 251-261 [86, 2B702],
36 (1986), № 3, 329-333 [87, 1B607]; R. Scapellato H JCTh, B41 (1986),
№2, 218-229 [87, 2B627]; Liu Bolian // J. Cent. China Norm. Univ.,
20(1986), № 1, 16-20 [87, 3B467]; N. Srinivasan // J. Math, and Phys.
Sci., 21 (1987), № 2, 143-146 [87, 9B605]; A. Blokhuis, A.E. Brouwer
[88, 6B668] (обзор по г. г-м диаметра 2): см. также критические геоде-
зические графы. Литературу по г. г-м собрал проф. Т.Н. Востров
(каф. прикл. матем. Одесского политехи, ун-та).
546
Основы теории графов
- ориентации полных /с-дольных графов: L.D. Gassman, R.C. Entrin-
ger, J.R. Gilbert, S.A. Lonz, W. Vucenic // JCTh, B19(1975), № 3,
214—238; 321 (1976), № 3, 285 (errata) [52#13470; 54Я7823].
- подграфы: L.M. Batten // JGrTh, 7 (1983), № 2, 159-163 [84, 1В635].
геодезический блок — 2-связный геодезический граф или 2-клика.
/-геодезический граф — связный G = (Ar, U) такой, что при данном /е N
(/< d ((?)) никакие х, у <= X не могут соединяться более чем одной це-
пью длины </; при l=d(G) граф G — (строго) геодезический (в есте-
ственной метрике # = 1): [ТС].
геодезическое множество вершин — такое Y cz X в графе G=(X, U), что
всякая хеХ принадлежит некоторой кратчайшей цепи с концами в
У: G. Chartrand, Zhang Ping II DsMGr, 19(1999), № 1, 45-58
[00, 4В250].
гимн графистов (The Graph Theory Hymn): заключение.
гиперграф (hypergraph): вторая книга Бержа; G. Schrage // Mathemati-
kunterricht, 19 (1973), № 2, 57—68 [73, 8B338]; статья А.А. Зыкова (см.
упр. 12 к § 1.3); С. Berge. Hypergraphs (North-Holland, 1989).
гипогамильтонов (hypohamiltonian) граф — негамильтонов, становя-
щийся гамильтоновым после удаления любой вершины: J.-C. Herz,
J.-J. Duby, F. Vigue // TGrR (1967), 153-159; C. Thomassen
[74, 6B460], DM, 9(1974), №1, 91-96 [75, 1B532], DM, 10(1974),
№ 3-4, 383-390 [75, 5B504], LNM, 642 (1978), 557-571 [78, 12В1056].
гипопаросочетаемый (hypomatchable) граф — с нечетным числом вер-
шин, такой что граф, полученный из него удалением любой верши-
ны, имеет совершенное паросочетание: G. Cornudjols, D. Hartvig-
sen И JCTh, В40(1986), № 3, 285-296 [86, 11В652].
гипотеза Адама: §4.4.
— Асано: упр. 11 к §3.7.
— Бержа о совершенных графах («сильная»): § 3.10, подтверждение для
некоторых классов графов — упр-я 9—14; см. также эквиваленты и
модификации гипотезы Бержа (в частности гипотеза Бержа—Дюше)
и минимальные несовершенные графы.
-------гамильтоновых циклах и ее подтверждение: упр. 11 к §2.5.
-------графах пересечений: всякий конечный граф изоморфен графу
пересечений некоторой системы выпуклых множеств про-
странства R3; подтверждение: Б.В. Калинин ([82, 5В493Деп],
М3, 34(1983), №1, 131-133 [83, 11В623]).
БерЯФ-Дюше: граф G — совершенный тогда и только тогда, когда он квази-
совершенный (quasiperfect, nearly perfect, solvable), т. e. его можно так
ориентировать, чтобы в полученном G каждый подграф, вершины
Указатель-справочник
547
которого попарно смежны (порождают в исходном G клику), имел
ядро (отрицательное и, само собой, одновершинное). Постановка:
С. Berge, Р. Duchet // Bull. Inst. Math. Sci. Sin., 16(1988), 263-274,
DM, 86 (1990), № 1, 27—31; часть «только тогда» доказали Е. Boras,
V. Gurvich // DM, 159(1996), № 1-3, 35—55 [98, 5B300]; более по-
дробно: книга Йенсена и Тофта (рубрика 8.12).
—	Брэттона и ее подтверждение: упр. 28.3 и 28.4 к §4.2.
—	Визинга о числе всесмежности: fl(G*G')> fl(G)0(G'); подтвержде-
ние в частных случаях: Л.Ф. Герман [71, 10В549]; А.М. Барцалкин,
Л.Ф. Герман И ИАНМ, 1979, № 1, 5-8 [79, 10В375]; M.S. Jacobson,
L.F. Kinch П ArsC, 18(1984), 33-44 [85, 11В644].
—	Визинга*—Бехзада о тотальной раскраске: § 2.9; D.P. Sanders, Zhao
Yue // JGrTh, 31 (1999), № 1, 67-73 [00, 5B260] - справедливость для
планарных и проективно планарных графов G степени s (G) = 6, 7.
—	Гартмана (A. Hartman) и ее подтверждение: Q.Z. Liu, Н.Р. Yap //
JGrTh, 30(1999), №1, 7-17 [00, 2В325].
—	Кайнена—Саати: см. относительная раскраска ребер.
—	Каккетта—Хэггквиста: см. обхват графа.
—	Клейтмана и ее опровержение: R. Ahiswede, Cai Ning И CPCmp,
8(1999), № 4, 301-305 [00, ЗВЗОО] - со ссылкой на [79, 6В570].
—	Кнезера: см. графы подмножеств.
Х£Иегами (1987 г.): Р. ННпёпу // JGrTh, 32(1999), № 3, 234-240
[00, 9В234].
I — Литтла о критерии непланарности графа — наличии «максимально-
) го строгого кольца циклов» (D.A. Holton [81, 2В513]): С.Н. Little
I [78,7В699]. Обоснование: А.А. Черняк [80, 8В388]; С.Н. Little,
D.A. Holton // JCTh, В33(1982), № 1, 1-6 [83, 4В622]; усиление ре-
зультата: JCTh, В38 (1985), № 2, 139-142 [85, 12В563].
—	о двойном цикловом покрытии: в графе без перешейков существует
I такая система циклов С, что каждое ребро графа принадлежит ров-
но двум циклам из С: F. Jaeger // CGrAm, 1984, 204 [87, 5В717] - об-
зор; L. Goddyn // CGrAm, 1985, 13—16 [87, 6В629] — подтверждение
для графов G с обхватом girth G<6.
--подобном восстановлении — ослабленная версия вершинной гипо-
тезы Улама, тоже пока не доказанная: R. Taylor // JCTh,
В41 (1986), №2, 235-245 [87, 1В592].
—	Томассена—Тофта (1981) о существовании такой постоянной с, что
для всякого 2-связного графа G без доблочных циклов
n(G) + s (G)>c/(G), справедлива для планарных G (с с = 1/5), но в
548
Основы теории графов
общем случае неверна: М. Kriesell // JGrTh, 32 (1999), № 2, 118-122
[00, 4В241].
—	Турана: число ребер 3-однородного графа G неплотности £ (G) <3
(2/c-l) (к-\)к
m{G)>\{2k-\)k2
(2к + Х)к2
при п = 3к,
при п-Зк +1,
при п = Зк +2.
Д.Г. фон-дер Флаас [89, 2В698] (со ссылкой на А.В. Косточку) строит
бесконечную серию графов, для которых гипотеза справедлива.
—	Хадвигера: упр. 15 к § 1.3; § 3.8; М. Las Vergnas, Н. Meyniel // JCTh,
В31 (1981), № 1, 95—104 [82, 1В808]; Ryu Hae Dong, Bak Tia Bok //
Bull. Acad. Sci. DPR Korea, Math, and Phys., 1985, № 3, 30-33
[86, 6B737]; J. Mayer H DM, 101 (1992), № 1-3, 213-222 [93, 10В206].
Подтверждение в частных случаях: упр-я 7, 9, 10, 12, 13, 146, 27 к
§ 3.8. Модификации и обобщения: упр. 20 к § 2.7. А.А. Зыков, Ги-
перграфы (см. упр. 12 к § 1.3); § 3.8 и упр. 26 к нему; D.R. Woodall //
ArsC, 32(1991), 289-292 [92, 10В296].
—	Хайоша: упр. 8 к § 3.8.
—	Харари = реберная гипотеза Улама.
—	Хартнелла (B.L. Hartnell): если в графе G наибольшее количество
простых циклов попарно без общих вершин равно к >2, то сущест-
вует не менее к +1 попарно неизоморфных каркасов — справедлива:
В. Zelinka // Math, slov., 28(1978), №4, 385-388 [79, 8В411].
—	Хоанга: см. крыло.
—	Чартренда, доказанная ранее для гамильтоновых графов, о том что
G изоморфен графу с тем же множеством вершин, смежность кото-
рых означает соединимость гамильтоновой цепью в G, - справедли-
ва и для негамильтоновых G: Ye Youpei // Adv. Math. Sin., 16 (1987),
№1, 111-112 [87, 9В657].
—	четырех красок: §§ 3.8. и 3.9. (с упр-ми); К.О. Мау // Isis, 56(1965),
345—348; О. Ore. The four colour problem // Acad. Press New York,
1967, XV [69, 6B203K, 10B211K]; D.A. Holton, S. Purcell // Austral.
Math. Soc. Gaz., 6(1979), №1, 11-14 [60, 1B767]; D.R. Woodall //
Math. Spectrum, 11 (1978-79), № 3, 69-75 [80, 1B769]; J. Mitchem //
Two-Year Coll. Math. J., 12(1981), №2, 108-117 [81, 10B563];
Н.З. Шор, Г.А. Донец // Математика сегодня. Киев, 1983, 33—54
[84, ЗВ585]; Р.М. Нижегородцев [89, 4В535Деп], [91, 1В534Деп]; R. Ro-
bertson, D. Sanders, P.D. Seymour, R. Thomas //JCTh, B70 (1997), № 1,
2—44 [97# 10]; см. также эквиваленты гипотезы четырех красок.
Указатель-справочник
549
и (СП
2 )
— Шварца: в бисвязном графе Бержа G без петель, с
+ Ю	> есть такая вершина х, что G\x бисвязен,
— подтверждена при n(G) = 3, 4, 5: В. Schwarz // Linear Algebra and
Appl., 286(1999), 197-208 [00, 8В287].
- Эрдеша-Шош (P. Erdos, V.T.-S6s [66, 11A239]): если T — ^-вершинное
дерево, G — и-вершинный граф c m{G)>^~n ребрами, то в G есть
часть, изоморфная Г, — справедлива при k-n\ Zhou Bing // Acta
Math. Sci. Sin, 4(1984), № 3, 287-289 [85, 6B536], при s(G)>k-4\
O. Barr [97, 2B304], при к <7: О. Barr [98, 8B250], в ряде других част-
ных случаев: М. Wozniak // JGrTh, 21 (1996), № 2, 229—234
[97,6В239]; Wang Min, Li Guojun, Liu Aide // ArsC, 55(2000),
123-127 [00, 12В257]. Модификация: О. Barr [98, 7В220].
—	Якобсена: см. /-классы обыкновенных графов.
гипотезы Улама: см. вершинная гипотеза Улама, восстанавливаемость и
реберная гипотеза Улама. Частичные решения обеих г-з У.:
W. DOrfler, W. Imrich // Gias, mat., 7 (1972), № 2, 159-165 [73, 6B378];
B.D. Thatte П JGrTh, 19 (1995), № 4, 549-561 [96, 2B236]; В.Ф. Горь-
ковой [96, 8В291Деп].
голая вершина: введение.
гомеоморфизм (комбинаторный и точечный): § 3.6.
гомоморфизм: (1) в книге Зыкова — отображение графа (общего вида)
в граф, сохраняющее инцидентность элементов; (2) в книге Хара-
ри — отождествление несмежных вершин; (3) в книге Оре и книге
Вагнера — стягивание ребер; см. класс гомоморфизма.
гомоморфные структуры классов графов: J. NeSetfil // CPCmp, 8(1999),
№ 1-2, 177-184 [00, ЗВ292].
грань (face) топологического представления графа: § 3.6.
—	триангуляции: § 3.9.
граф: введение; §2.7; §4.1.
—	у-антисоседства (j-antineighbourhood graph) G — для которого суще-
ствует такой граф Н с выделенной вершиной х, в котором подграф,
порожденный вершинами на расстоянии более j от х, изоморфен G:
J. Topp, L. Volkmann // Math, slov., 42(1992), № 2, 153-171
[93, 1В558].
-	без петель (loopless graph): §2.7; §4.1.
—	Бержа: (1) § 1.6 и упр. 1 к нему; § 4.1. (2) упр. 6 к § 3.10 (сноска).
-	блоков (block graph): упр. 23 к § 2.2.
550
Основы теории графов
—	— и шарниров = блочно-шарнирный граф.
—	воспроизведения (reproduction graph) — ациклический орграф, степень
захода каждой вершины которого не превосходит 2: книга Оре.
—	Галина — плоский TUC, где Т — дерево си(Т)>Зи без вершин сте-
пени 3, а С — простой цикл, проходящий через все висячие вершины
Т в круговом порядке их расположения на плоскости. В этом графе
есть циклы С/ всех длин, 3</<л(Г), кроме, быть может, одной чет-
ной, а если в Т нет также вершин степени 3, то DJC — паницикли-
ческий; J.A. Bondy, L. Lovasz // JGrTh, 9(1985), № 3, 397-410
[86, 5В730]. TUC гамильтоново связен'. Lou Dingjun // Math. Appl.,
8(1995), №2, 158-160 [96, 2В246].
—	гамильтоновых цепей графа G = (X, U) — такой (X, V), что xyeV
тогда и только тогда, когда в G есть гамильтонова цепь с концами х
и у: G. Hendry И Util. Math., 36(1989), Nnov, 33-44 [91, 1В555].
—	Герца: §4.2.
—	Гуйя-Ури: упр. 5 к §4.5.
—	Давида: F3+F3.
—	Дезарга D — обыкновенный, вершинами которого служат точки
конфигурации Дезарга из 10 точек и 10 прямых (играющей важную
роль в проективной геометрии), а смежность вершин означает, что
они различны и инцидентны одной из этих прямых; дополнитель-
ный граф D изоморфен графу Петерсена.
—	Ar-достижимости Sk (G) — обыкновенный, с тем же множеством вер-
шин, что и G, а смежность двух вершин означает наличие соединяю-
щей их простой цепи длины к в G; модификация — граф к-расстоя-
ний. Для орграфов — см. орграф к-достижимостей.
—	Джонсона: см. графы подмножеств.
—	дружбы (friendship graph): упр. 5а к § 1.1; обобщения: упр. 56 (там
же); J.A. Bondy // CGrAm, 1985, 351—366 [87, 6В576]; см. также тео-
рема дружбы.
—	замен — обыкновенный, вершинами которого служат прямоугольные
матрицы фиксированных размеров, с элементами 0 и 1, а смежность
двух различных матриц означает возможность преобразовать одну
fl 0^1	<0 П „ д
из них в другую заменой подматрицы I I на I I. R.A. Brualdi,
Li Quav // Combinatorica, 1 (1981), № 1, 25-42 [83, 2В464].
—	зацеплений (overlap graph) — такой суграф графа интервалов, в кото-
ром смежность вершин-интервалов Ц и /2 означает, что Ц \Z2 *0 и
Указатель-справочник
551
И.А. Карапетян И ДАНАр, 70(1980), № 5, 306—311
[81, 4В462]; A. Gyarfas // DM, 55 (1985), № 2, 161-166 [85, 12В569].
—	интервалов (interval graph): § 3.10: упр. 8 к § 4.4; обзор: M.Ch. Golum-
bic // DM, 55(1985), № 2, 113-121 [85, 12B556]; характеризации:
C. Smadici // ASUIa, sec. la, 33 (1987), № 4, 289-297 [89, 6B475]; Shao-
han Ma, W.D. Wallis // JAuMS, A45 (1988), № 2, 227-232 [89, 5В463].
Частные случаи: граф зацеплений; однозначно представимый (uniquely
representable) г.и. — который отвечает ровно двум (двойственным)
интервальным порядкам: Р.С. Fishbum // DApM, 12 (1985), № 2,
191—194 [86, 6В708] — характеризация; однородно представимый г.и.
G = (У, U) — имеющий для любой хеХ представление таким семейст-
вом интервалов, в котором этой вершине соответствует концевой
интервал: D. Skrien, J. Gimbel // DM, 35(1985), № 2, 213—216
[86, 1В763] — критерий в терминах запрещенных частей. Обобщение:
F. Harary, J.A. KabelL F.R. McMorris [83, 5В534].
—	интервального порядка: §4.1.
—	исключения (exclusion graph) = запрещенная часть.
—	Кёнига: в книге Зыкова = двудольный граф.
—	Кнезера: см. графы подмножеств.
—	Кокстера1: книга Харари; N. Biggs // CJM, 25(1973), №2, 397—411
[74, 1В341]; R.H. Jeurissen [89, 1В622].
—	крыльев (wing graph): см. крыло.
—	Леви: см. группы и графы.
—	Мак-Джи: см. группы и графы.
—	максимальных клик: упр-я 25 к § 1.10 и 10а к §4.5.
—	Мыцельского: рис. 3.8.4 для у = 4 (§3.8); упр. 3 к §4.4.
—	нитей (string graph): граф пересечений некоторого конечного семей-
ства кривых евклидовой плоскости (или цепей планарного графа),
дополнение которого планарно: J. Kratochvil, М. Goljan, Р. Киёега //
Rospr. CSAV, 96 (1986), № 3 [87, 2В617].
—	Паппа Fy + Fy+Fy. книга Оре.
—	Паскаля: N. Deo, M.J. Quinn // Fibonacci Quart., 21 (1983), №3,
203-214 [84, 1B607]; Bh.P. Sinha, C. Ghose, Bh.B. Rhattacharya,
P.K. Srimany // Fibonacci Quart., 24 (1986), № 3, 251-257 [87, 2В625].
—	пересечения (intersection graph) системы {Mt Hel} непустых мно-
жеств — обыкновенный, вершинами которого служат множества
' H.S.M. Coxeter; в русском переводе книги Харари — неправильная транскрипция
«Коксетер».
552
Основы теории графов
системна смежность М, с Mj (i*j) означает, что М, ^0:
книги Зыкова и Харари: обзор: В. Zelinka [82, 11В613]; связь с мно-
жественными структурами: Т.A. McKee И Util. Math., 40(1991),
77—86 [93, 1В548], ссылка на I. Krausz И Mat.-Fis. Lapok, 50(1943),
75—85. Частные случаи: г.п. дуг окружности: A. Teng, A. Tucker //
DM, 55(1985), №2, 233-243 [85, 12В570] - с обзором; г.п. хорд
окружности: В. Zelinka И Mat.-Fis. Casop Slov. AV, 15(1965), №4,
273-279 [66, 5A290]; J.-Cl. Fournier П C.r. Acad. sci. Paris, A811-813
[78, 11B743]; W. Naji // DM, 54(1985), № 3, 329-337 [85, 12B534] -
алгоритм полиномиальной сложности для распознавания; А. Вои-
chet ([87, 11В644] — обзор характеризаций; DM, 66(1987), №1—2,
203—208 [87, 12В725] — унимодулярная ориентируемость; W. Wes-
sel // Zastos. Math., 19(1987), № 3-4, 619-627 [89, 5В426] - новое
средство задания обыкновенных графов. Если G — г. п. диагоналей
правильного «-угольника, то y(G)<\ji/2]: С.Г. Волченков
[82, 1В820]. См. также графы пересечения цепей дерева.
----кривых на плоскости: G. Ehrlich, S. Even, R.E. Tarjan // JCTh,
B21 (1976), №1, 3-20 [77, 2В460].
—	перестановок (permutation graph) — обыкновенный G = (X €7), в ко-
тором xy e U означает существование таких двух перестановок мно-
жества X, что одна из вершин х, у предшествует другой в обеих пе-
рестановках: G. Pica, Т. Pisanski, J. Shawe-Taylor, A.G.S. Vendre
[84, 9B493]; г. п. является графом сравнимости, но обратное неверно:
J. Spinrad // SIAM J. Comp., 14(1985), № 3, 658-670 [86, 4В697].
—	Петерсена: введение; § 1.4; R.H. Jeurissen [86, 4B692] (связь с конеч-
ными геометриями и группами); G. Chartrand, Н. Hevia, R.J. Wilson
//DM, 100(1992), № 1-3, 303-311 [93, 10В183]. Обобщение: R. Nede-
la, M. Skoviera H JGrTh, 19(1995), №1, 1-11 [96, 1В337].
—	поддеревьев: J (T) в упр. 14 к §2.3.
—	Ar-расстояний для заданных G = (X, t/) и fce N — с тем же X, в кото-
ром смежность различных вершин означает, что их расстояние (в ес-
тественной метрике) не больше k: F. Harary, С. Hoede, D. Kadlecek //
JCISS, 7(1982), № 3, 231-245 [86, 10В445]. Правильная раскраска
г-фа к — р-й означает такую раскраску вершин исходного G, при
которой вершины на расстоянии не более к имеют разные цвета:
М. Gionfriddo, S. Milici, Zs. Tuza П BUMIt, A8(1994), № 2, 283-286
[95, 3B233]. См. также граф к-достижимости и О(П}-граф.
—	, регулярный по расстоянию: В. Curtin И DM, 187 (1998), №1—3,
39-70 [00, ЗВЗО1].
Указатель-справочник
553
— с единственной раскраской вершин: см. однозначно раскрашиваемый
граф.
---------ребер: § 2.9 и упр. 11 к нему.
— с единственным гамильтоновым циклом: J. Sheehan И JGrTh,
1 (1977), № 1, 37—43 [78, ЗВ491]; К. Barefoot, R.C. Entringer // JGrTh,
4(1980), № 1, 93-100 [80, 9В588].
---— гомоморфизмом на нечетные циклы: Lai Hong-Jian // Util.
Math., 31 (1987), 199-208 [88, 2В632].
— смежности ребер (line graph): §1.10; L. Nebesky [76, 12B570];
L. Soltes // Math. Slov., 42 (1992), № 4, 427-436 [93, 5B283]; упр-я
25-30 к § 2.1; 7 к § 2.3.; 19—19" к § 2.7; 27 к § 3.8; 7 и 7 к § 3.10. Для
орграфов: F. Нагагу, R.Z. Norman // Rend, circolo math. Palermo,
9(1961), 161-168; книга Харари (упр-я 16.5—16.12 и 16.15 к главе
16); книга [А 18].
— сравнимости (graph of comparison): § 4.1 и упр. 13 к нему; M.Ch. Go-
lumbic, D. Rotem, J. Urrutia [83, 5B544]; J. Topp [88, 7B607, 10B596] -
характеризации графов, чьи графы смежности ребер, тотальные и
средние являются г-ми с. Класс этих графов совпадает с классом
транзитируемых графов.
— сумм (integral sum graph) G=(Ar, U) — в котором X<zJL и
xy eUc>x+y е X: F. Нагагу (1988); Liaw Sheng-Chyang, D. Kuo,
G.J. Chang // ArsC, 54(2000), 259-268 [01, 1В224]. Обобщение:
N. Alon, E.R. Scheinerman // Graphs and Comb., 8 (1992), № 1, 23—29
[93, 5B282]; Lu Yongjie // J. Fushun Petrol. Inst., 19 (1999), № 3, 83-85
[00, 2В306].
— толерантности — взвешенный G = (I,U; t), вершинами хе/ которого
служат отрезки Ix действительной оси, t: Z->R — положительная
функция, а ху е U означает, что длина отрезка 1Х П 1у больше, чем
min {r(x), г(^)}; в частности если t(х) = const, то G — граф интерва-
лов: M.Ch. Golumbic, CLL. Momma, W.T. Trotter jr. // DApM,
9(1984), №2, 157-170 [85, ЗВ496].
—	Турана: § 1.8.
—	Уайтхеда — одно из вспомогательных средств при выяснении гра-
ниц применимости конструктивно-алгоритмических методов описа-
ния и классификации гладких топологических многообразий:
А.И. Володин, В.Е. Кузнецов, А.Т. Фоменко И УМН, 29 (1974), № 5,
71-168 [75, 4А596].
—	Хватала — см.: Cui Guangheng, Yao Tianxing, Zhao E. H Nanjing
Univ. Math. Biquarterly, 12(1995), № 1, 37-40 [96, 5В250].
554
Основы теории графов
—	Хивуда: книги Харари (глава 14).
—	хорд (chordal graph): см. граф пересечения хорд окружности.
—	цветения сливы: см. нумерации графов.
—	циклов: С.С. Lindner, С.A. Rodger, D.R. Stinson [93, 2В318]; поправ-
ка: ArsC, 33(1992), 319; Y. Egava, M. Kano, E.L. Tan // ArsC,
32(1991), 97-113 [93, 5B288]; Le Van Bang, E. Prisner H Graphs and
Comp., 8(1992), №2, 155-164 [93, 5В290].
—	частичного порядка: § 4.4.
—	чередующейся композиции (alternating composition graph) — декарто-
во произведение орграфа на противоположный: книга Оре.
—	шарниров (cutpoint graph): упр. 23 к § 2.2.
—	Шеннона (Shannon graph): § 2.9.
(rf, с, /л)-граф: см. сильно регулярные графы.
С(1>)-граф для DcN — обыкновенный G = (N, U), где xyeU означает,
что \x-y\eD: A. Kemnitz, Н. Kolberg // DM, 191 (1998), №1-3,
113-123 [00, 3B283]) - с обзором.
Ar-граф Марку — суграф, каждая компонента которого — А:-вершинная:
D. Магси // BIPBc, Ser. electrotehn., 41-47 (1984-85), 15-18
[87, ЗВ477].
—	Оре — обыкновенный и-вершинный <7 = (А\ U), такой что Чху^и [
.у(х)+$(у)>2и + /с]: Liu Zhenhong [88, 5В721].
(р, ф)-граф в книге Харари — обыкновенный Gen (<7) = р и m(G) = q.
графическая последовательность (graphical sequence) — система
<s2 <•••<«*л Целых неотрицательных чисел, для которой существу-
ет и-вершинный обыкновенный граф G с вектором степеней
s(C) = (5i, $2,...» зп): §1.10 и упр-я 2—4" к нему; книга минчан;
T.Ch. Malleswara Rao // JCTh, B17 (1974), № 1, 19-21; B.H. Johnson //
JCTh, B18(1975), № 1, 42-45; V. Chungphaisan // DM, 7(1974),
№ 1-2, 31-39 [74, 7B505]; Chen Wai-Kai [75, 8B301]; А.А. Миронов
[77, 6B444], [80, 4B362], [82, 7B531]; Р.И. Тышкевич // ДАНБе,
24(1980), № 8, 677-679 [80, 12B482]; Р.И. Тышкевич, О.И. Мельни-
ков, В.М. Котов // Киб, 1981, №6, 5-8 [82, 5В484]; А.А. Черняк,
Ж.А. Черняк // ДАНБе, 25 (1981), № 7, 594-597 [82, 12В796]. Обзоры
и общие соображения: Р.И. Тышкевич, А.А. Черняк, Ж.А. Черняк //
Кибернетика, 1987, №6, 12-19 [88, 4В545, 8В579], [89, 2В676] - об-
зор; И.Э. Зверович [88, 6В672Деп]. Единственно реализуемые (уни-
графические) г-е п-ти: Chuo-Yen R. Li // JCTh, В19 (1975), № 1,42—68;
И.Э. Зверович [87, 6В582Деп]; Сильно наследственные г-е п-сти:
И.Э. Зверович // ИАНБе, 1999, №4, 132-137 [00, 9В229]; униграф.
Указатель-справочник
555
г. п., реализуемая графом большой плотности <р: D. Mubayi И JGrTh,
34(2000), № 1, 20—29 [01, 1В223]. Для мультиграфов: D. Billington
[82, 5В518]; А.А. Миронов // ДАН, 333(1993), №4, 437-439
[95, 1ВЗОЗ]. Для орграфов: К. Wayland И СМВ, 26(1983), № 3,
273—279 [84, 4В469]. См. также частотная последовательность.
----пар степеней смежных вершин (степеней ребер): Ж. А. Черняк,
А.А. Черняк // ДАНБе, 25(1981), №7, 594-597 [81, 12В796];
Ж.А. Черняк [82, 10В507], ДАНБе, 27 (1983), №3, 204-207
[83, 8В552], ИАНБе, 1983, №4, 109 [ВИНИТИ 30.12.82, per.
№ 6651-82Деп], М3, 39 (1986), № 6, 918-933 [86, 10В443]; Z. Cher-
nyak, A. Chernyak [89, 7В575] — унифицированный подход. Мо-
дификация для турниров: K.S. Bagga, L.W. Beineke // CzMJ,
37(1987), №2, 323-333 [88, 2В620].
P-графические последовательности (s\, S2, , sn): потенциальная (po-
tential) — такая графическая, для которой существует граф G с векто-
ром степеней s(G) = (jj, $2,..., s„), обладающий данным свойством
Р, — в частности, вынуждающая (forcing), если это свойство присуще
всем G с заданным s (G). Для широких классов свойств Р: J.A. Bon-
dy // Studia sci. math hung., 4 (1969), № 1-4, 473-475 [70, 6B355],
[80, 12B483], [85, 7B722]; Р.И. Тышкевич, A.A. Черняк, Ж.А. Черняк//
ДАНБе, 29(1985), №8, 677-680 [86, 2В692]; А.А. Chernyak,
Zh.A. Chernyak, R.I. Tyshkevich // DM, 64(1987), №2-3, 111-128
[87, 10В664]. Для отдельных свойств P: упр-я 32 и 32' к § 2.2; S.B. Rao,
A. Ramachandra Rao [70, 11В284] — 3-связность; L. Lovasz // Period,
math, hung., 5 (1974), № 2,149-151 [75, 2B504] и V. Chvatal, D. Hanson
//JCTh, B20 (1976), № 2,128-138 [76,10B403] - паросочетабельность;
C.R.J. Clapham, D.J. Kleitman // JCTh, B20(1976), №1, 67-74
[76, 7B420]; C.R.J. Clapham // Там же, 75-79 [76, 8B493]) и T. Gango-
padhyay [82, 6В595] — самодополнительность; V. Changfeisen (книга
минчан), Мао Jing-zhong // Acta math. appl. sin., 9(1986), № 1, 128
[86, 8B760]), И.Э. Зверович // ИАНБе, 1986, № 4, 32-37 [87, 1B609],
А.А. Черняк [88, 5В71О] — гамильтоновость; S.B. Rao // Util. Math.,
11 (1977), 357—366 [77, 12В649] — граф смежности ребер; Б.Ш. Клей-
ман [82, 5В491]; A. Ramachandra Rao [82, 6В595] — кактусы’ G. Ехоо,
F. Harary [82, 7В540] — сильная древесность и сильная унициклич-
ность; A.J. Goldman, R.H. Byrd // JRNBS, 87 (1982), № 1, 75-78
[83, 2В515] — minimal-loop-realization; Ж.А. Черняк // ДАНБе,
27 (1983), № 3, 204—207 [83, 8В552]) — 2-сплетаемость; G. Chartrand,
R.J. Gould, S.F. Kapoor [82, 11B613] и А.А. Черняк [88, 8В588] -
556
Основы теории графов
заданный обхват', R. Gould, D.R. Lick // ClqM, 48 (1984), №2,
269—277 [85, 3B490] и И.Э. Зверович [88, 7В590] — связь с факторизуе-
мостью\ Р. Marchioro, A. Morgana, R. Petreschi, В. Simeone // DM,
51 (1984), №1, 47—61 [85, 2В664] — матрогенностъ', И.Э. Зверович
[87, 7В632Деп] и О. Живкова, Д. Живков, И.Э. Зверович // ДАНБе,
31 (1987), № 10, 881-883 [88, 2В619] - планарность; G.B. Hatwalne //
JCISS, 9(1984), №4, 233-238 [87,4В518] — 2-квазисовершенство;
И.Э. Зверович // ВБелУ, сер. 1, 1987, № 3, 55-58 [88, 1В569] - харак-
теризация пар (s, и), изоморфно определяющих дерево Тс п=п(Т) и
s = s(T); И.Э. Зверович [88,4В552, 553Деп] — 3-хроматичность;
В.Э. Зверович, И.Э. Зверович, А. Силла [88, 7В599Деп] — и-раскра-
шиваемость и /-цикличность; В.А. Липницкая [93, 6В293] — двудоль-
ность. См. также переключательно полное свойство.
графическое и кографическое пространства = пространство циклов и
пространство разрезов графа; не путать с пространством графов в
смысле добавления 2; также линейное пространство, изоморфное
C(G), соответственно R(G), для какого-нибудь графа G: J. Jaeger И
Europ. J. Comb., 4(1983), №4, 319-327 [84, 12В675].
графическое разбиение (graphical partition) — представление четного
числа в виде суммы п слагаемых, являющихся компонентами векто-
ра степеней хотя бы одного и-вершинного обыкновенного графа,
т. е. членами некоторой графической последовательности', книга
Харари.
графоид (фр. semi-graph) в первой книге Бержа — неориентированный
граф.
—	(graphoid) в книге Харари: см. матроид.
—	графоидальные покрытия графа: B.D. Acharia, Е. Sampathkumar
[88, 5В715].
графы без 3-вееров (claw-free graphs), их гамильтоновость и близкие
свойства: М.М. Mattheus, D.P. Sumner // JGrTh, 9(1985), №2,
269-277 [86, 3B346]; R.J. Faudree, R.J. Good, M.S. Jacobson,
L.M. Lesniak, T.E. Linquester [93, 1B590]; A.S. Asratian // Res. Repts
Univ. Umea Dpt. Math., 1994, №11, 1-2 [96, 1B366], JGrTh,
23(1996), №2, 191-201 [97, 4B263]; Chen Guantao, R.H. Schelp //
JGrTh 20 (1995), №4, 423-439 [97, 3B3O1]; Yin Zhixiang [98, 1B287];
Li Hao // JGrTh, 20(1995), №4, 447-457 [98, 9B305]; Zhan Ming-qu-
an, Xu Xinping [98, 9B307]; Li Ming Chu // Graphs and Comb.,
14(1998), № 1, 45-58 [98, 11B321]; Shen Ruqun // ArsC, 47(1997),
307—314 [98, 11B322]; связь с гипотезой Бержа о совершенных
Указатель-справочник
557
графах: упр. 10а к § 3.10; цикловые покрытия: Z. Ryjadek, A. Saito,
R.H. Schelp // JGrTh, 32(1999), №2, 109—117 [00, 6В317].
графы Де-Брёйна—Гуда: Zhang Fuji, Lin Guoning // Acta Math. Sin.,
30 (1987), № 2, 195-205 [87, 9B622] - обзор; Xu Jumming, Lu Chang-
hong, Zhang Kemin // Ann. Math. Sin., B21 (2000), №1, 39-42
[00, 9В230].
—	и гены: книга Миркина и Родина (§4.1).
—	и группы: см. группы и графы.
—	и линейная алгебра: М. Fiedler // TGrR, (1967), 131—134).
—	Мура (Moore graphs). Обыкновенный г. М. типа (5, d) — такой s-од-
нородный диаметра d, на котором достигается верхняя оценка чис-
ла вершин: rt<l+s + s(s-l)+...+s(s--l)“1; такие графы очень редки:
A.J. Hoffman, R.R. Singleton // IBM J., 4 (1960), 497-504; E. Bannai,
T. Ito // J. Fac. Sci. Tokio Univ., 20(1973), 191-208 [74, 4B314];
R.M. Damerell // PCPhS, 74(1973), № 2, 227-236 [74, ЗВ319]. Ор-
графы Мура типа (s, d) (в обозначениях оригинала — типа (d, k)):
W.G. Bridges, S.J. Toueg // JCTh, B29 (1980), № 3, 339-341 [81, 7B671]
— с обзором результатов по обыкновенным г-м М.; М.А. Fiol,
J.L.A. Yebra, I.A.I. de Miquel // lETCm, 33 (1984), №4, 400-403
[85, 1В625].
—	, не вложимые в тор: R. Bodendiek, К. Wagner // JGrTh, 9 (1985), № 3,
411—417 [86, 5В691] — база и пять порождающих операций // Europ.
J. Comb., 6(1985), №2, 115-127 [86, 6В729].
— окружения ребер: см. окружение ребра.
— пересечений (crossing graphs): см. графы подмножеств', Т.В. Moohou-
se, D.G. Corneil // DM, 190(1998), № 1-3, 277-286 [00, 2В345].
— пересечения множеств интервалов: J. Balogh, A. Pluhar [00, 6В277].
---цепей дерева Т или ордерева 7* (в частности, укорененного) —
обыкновенные, у которых вершинами служат цепи Т (орцепи 7*),
а смежность может означать наличие общей вершины или нали-
чие общего ребра. Единообразная характеризация таких графов
и унификация алгоритмов распознавания: С1.С. Momma,
V.K. Wei // JCTh, В41 (1986), №2, 141-181 [87, 2В618].
— подмножеств (subset graphs) — обыкновенные {X, U), вершинами ко-
торых служат подмножества х, у, ... cN = {1, 2, ..., л} с заданным
ле N, а смежность ху eU обычно определяется мощностью пересече-
ния хПу. При x=2N & xyeUОхПу=0 это графы Кнезера,
обобщение — граф K(n,k,t) с X = {xe2N l\x\=k&U={xyeU/x,ye
е Y&|x Г)у|</: книга Йенсена и Тофта; справедливость предположе-
558
Основы теории графов
ния о том, что хроматическое число у (К (и, к, l)) = n-2k+2 (М. Kne-
ser И JbDMV, 58(1955), №2) доказали L. Lovasz и (короче)
I. ВаМпу // JCTh, А25(1978), № 3, 319—324 и 325—326 [79, 6В573];
при том же X, но U = {xyeU / х,уеХ&|х = 1 — графы Джонсо-
на'. Р. Terwilliger [86, 9В670].
— преобразований: М. Yoeli // TGrR (1967), 403—414 — обобщенное
прямое разложение.
— Фибоначчи. Определение и связь с многочленами паросочетаний'.
Sh. El-Basil, Р. Kfivka, N. Trinajstid // J. Math, and Phys., 26(1985),
№9, 2396-2398 [86, 6B718]; J. Abrahams // Fibonacci Quart.,
38 (2000), №2, 127—135 [01, 1B192] — деревья Ф. и некоторые их
обобщения.
— циклов (cycle graphs): С.С. Lindner, С.A. Rodger, D.R. Stinson
[93, 2В318], ArsC, 33(1992), 319; Y. Egawa, M. Kano, E.L. Tan И
ArsC, 32 (1991), 97-113 [93, 5B288]; Le Van Bang, E. Prisner // GrCmp,
8(1992), №2, 155-164 [93, 5В290].
грациозный (graceful) граф — допускающий грациозную нумерацию.
Каждый полный двудольный граф грациозен, поэтому и-клика со-
держит г. суграф G с m(G)>\_n(G)2 /4_|: S.W. Golomb // АММ,
81 (1974), № 5, 499-501 [75, 2В487]. Г-е деревья: К.М. Koh, D.G. Ro-
gera, T. Tan // JAuMS, A31 (1981), № 2, 226-235 [82, 5B494]; G.S. Blo-
om // ANYAS, 328(1979), 32-51 [83, 2В510]. Некоторые классы г-х
графов: Li Shu-huan [93, 2B292] — граф цветения сливы; Dai Hongtu,
Sheng Fugen // Math. Appl. Sin., 7(1994), № 3, 368-369 [95, 4B253,
5B261] — графы всех пяти платоновых тел (правильных многогран-
ников, см. упр. 1 к § 3.5); S. Jirimutu, J. Chen // Chin. J. Eng. Math., 16
(1999), №2, 131-134 [00, 2B317] - г-е орграфы (модификация), со-
стоящие из четного числа компонент типа или типа ; G. Set-
huraman, S. Kishore, M. Pitchai // IJPAM, 30(1999), №8, 801-808
[00, 5B247]; Liang Zhi-he // DM, 191(1998), №1-3, 149-158
[00, 6B311] — графы типа СД + Zn (§ 1.2) c n=2k, 2fc+l, 2k +3, 2k +4,
3k; Dong Jun-chue, Ma Mei-jie // J. Hebei Norm. Univ., 24 (2000), № 1,
25—26 [00, 9В247]. См. также нумерация графа.
гридоид (greedoid) — специальный тип матроида, допускающего исполь-
зование жадных алгоритмов при решении оптимизационных задач:
В. Korte, L. Lovasz // Bonn. Institut fur okonometrik und operations Re-
search, Rep. № 81189 - OR, 1981; В.В. Грицак // Программное обеспе-
чение экстремальных задач и пакеты прикладных программ. Киев:
Указатель-справочник
559
Инет. Киб. АН УССР, 1982, 25-31; [82, ЗВ492]); W. Schmidt
[89, 2В716].
груда (heap): § 1.2; не путать с грудой (flock) в теории алгебраических
систем.
группа (автоморфизмов) графа (group, point group): упр. 6 к § 1.7; за-
ключение; L. Babai // LMSLN, 1981, № 1, 1—40; группы и графы.
— Клейна: § 3.9 и упр. 3 к нему.
группы и графы: книги Оре, Зыкова, Харари, минчан; Chao Chong-Yun
// TAMS, 118 (1965), № 6, 488-497 [67, 12В243]; W. Voss [79, 2B490],
[84, 12А226].
гусеница (caterpillar) — дерево, полученное из простой цепи добавлени-
ем висячих вершин; в более общем случае добавляемые «волоски»
могут обладать длинами более 1 (но не ветвиться — иначе получаем
дерево общего вида).
д
дважды взвешенные орграфы: E.G. Lauer // TGrR (1967), 209—213).
двоичный код матрицы смежностей графа: § 1.3.
двойственность в теории графов, обзор понятий: Т.А. McKee
[88, 7В594].
двойственный граф: § 3.6; упр. 1 к § 3.8.
двудольный граф (bipartite graph, bigraph): § 2.3.
двуслойное вложение (bilayer embedding) — размещение графа на дву-
слойной или двусторонней плате: § 3.7.
двусторонняя связность (bilateral connectivity) = бисвязность: §4.2.
двухполюсник (bipole): упр. 3 к § 3.6.
двухцветная цепь (bicolored path) в графе с раскрашенными вершинами
или ребрами — простая цепь, элементы которой правильно окраше-
ны с помощью двух цветов: упр. 25 к § 2.2; § 2.9.
дезориентация (disorientation) графа: §4.1.
декартова сумма (cartesian sum) графов G=(Ar, U) и G' = (Х', U') — граф
G+G'±(X* X', V), в котором смежность вершин хх и уу' означает
Ху gU V Ху' GU'.
декартово произведение (cartesian product) графов: упр. 10 к § 1.5; моди-
фикация: слабое (weak) д.п.: D.J. Miller // ClqM, 21 (1970), № 1,
55-74 [70, 10В224]; W. Imrich // JCTh, Bll (1971), № 1, 1-16. Связ-
ность и сплетаемость д-ва п-я графов: Chue Wen-Sz, Shich
Bih-Sheue // Appl. Math, and Comp., 102(1999), №2-3, 129-137
[00, 12В246].
560
Основы теории графов
------Бержа G = (X Г) и G' = (X', U') - граф G*G'±(X*X', Г"), где
Г"хх' = Гхх Г'х' для любых хеХ и х'еХ'; упр. 9 к § 1.4.
декомпозиция, демонтаж = разборка графа.
деление графа (по разрезу) и матрицы (по строке): § 3.4.
дерево: §2.3.
— графа: (1) каркас связного графа, (2) часть графа, являющаяся дере-
вом; максимальные деревья Т с ограничениями на степени своих
вершин в графе: Aung Min, Kyaw Aung П Graphs and Comb.,
14 (1998), №3, 209-221, [00, 1В307].
— с висячим корнем — укорененное дерево, корнем которого служит
висячая вершина.
— Хусими (Husimi tree) — граф, все блоки которого — простые циклы.
А-дерево — обыкновенный граф, определяемый индуктивно: (1) Fk+^ —
простейшее А?дерево (AeN); (2) если G — A-дерево и Fk — какая-ни-
будь его А-клика, то граф, получаемый сшиванием G и графа типа Fk+1
по этой Fk, — тоже к-дерево: A. Proskurowski // DM, 49(1984), № 3,
275—285 [85, 5В525]. Хроматический многочлен «-вершинного А-дерева
равен х(х-1)...(х-А + 1)(х-А)л“*: И.Г. Дмитриев [83, 9В508], запоз-
далый частный случай при к =2: Е.С. Whitehead jr. // JGrTh, 9 (1985),
№ 2, 279—284 [86, ЗВ741]. При к = 1 — просто дерево, но \-деревом назы-
вают также связный граф с единственным циклом: упр. 18 к § 2.3. Дру-
гие свойства и характеризации к-дерева: Н.Р. Patil [89,8B290J; М. Вого-
wiecki, Н.Р. Patil [89, 8В291 ]; R. Froberg // DM, 104 (1992), № 3, 307-309
[93, 8В336].
A-дефектная (A-defective) раскраска вершин графа — при которой ника-
кая вершина не может иметь более к смежных того же цвета:
М. Frick, М.А. Henning//DM, 126 (1994), № 1-3,151-158 [95, ЗВ235].
дефицит (deficiency) графа G-{X, U) — инвариант max{|K|—| А К|}, где
ДУ= U {уеХ/xyeU}. Для двудольных графов: книги Бержа; в об-
xeY
щем случае (включая гиперграфы): М.А. Хачатрян // ГГиДОЗ, 1982,
173-178 [83g#05057].
дефицитная (deficient) = тонкая (вершина): § 2.4.
диагональ графа: упр. 22.1 к §2.2.
— простого разреза: упр. 11 к §3.1.
----цикла: упр. 10 к §3.1.
диаметр (diameter, elongation diameter), ^-диаметр графа: § 2.6.
диаметрально критические графы: Н.П. Хоменко, Н.А. Островерхий
[71, ЗВЗО8); J. Plesnik И AFNUM, 30 (1975), 71-93 [75, 12В492];
Указатель-справочник
561
F. Gliviak // MC, 25(1975), №3, 249-263 [76, 3B558], Archiv Math.,
11 (1975/76), №3, 131-137 [77, 1B442], AMASH, 27(1976), №3-4,
255-262 [77, 5B341], [77, 7B525]; P. Ky§ // AMUC, 37(1980) 71-84
[82, 6B589], 38(1981), 63-85 [82, 6B589, 590].
диграф = орграф: §4.1.
дирегулярный орграф степени 5 — в котором все (x) = s“ (x) = s:
Е.Т. Baskoro, М. Miller, J. Plesnik, S. Znam П JGrTh, 20(1995),
339—349; первые три автора П GrCmb, 14(1998), №2, 109—199
[00, 1В288], со ссылкой на [81, 7В671]; М. Miller, I. Fris // LNPAM,
39(1992), 269-278.
дистанционно наследственный (distance-hereditary) граф — такой
G=(Ar, (/), что для любых вершин х, у, принадлежащих некоторому
связному подграфу Я, в естественной метрике рн (х,.у)=р(х,^)=
=pG(x,y); критерий д-й н-сти: при любых х, у, z, teX из трех вели-
чин р(х, y) + p(z, t), р(х, z)+p(y, t)9 р(х, t)+p(y9 z) две равны и
не меньше третьей. В.Д. Чепой // МИ, 1985, №6, 918—933;
H.-Ju. Bandelt, H.W. Mulder П JCTh, B41 (1986), №2, 182-208
[87, 2B626] — с упоминанием о других характеризациях: [78, 7В785];
[82, ЗВ567]; см. также выпуклое множество.
дистанционно регулярный граф G = (X, U) — обладающий свойством:
если расстояние р(х, у) = к(х, у е X), то количество тех вершин
zeX, для которых р(х, z) = i & р(у, z) = J, зависит только от трой-
ки (/,/, к) чисел: А.Е. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier. Distance-re-
gular graphs (Berlin, Springer, 1989, XVII, 495 pp. [90, 8B403K]); далее:
В. Curtin // Graphs and Comb., 15 (1999), № 2, 143-158 [00, 7B224]; и
№4, 377—391 [00, 10B263] — двудольные; A. Hiraki // Graphs and
Comb., №4, 417-428 [00, 8В260].
дистанционные графы (distance graphs). (1) см. графы расстояний', (2) —
более глубокое определение и связанные с ним проблемы раскраски
(главным образом для кубоидов) — см. книгу Йенсена и Тофта (раз-
дел 9.7); (3): L.S. Moss // DM, 102 (1992), № 3, 287-305 [93, 9В308].
дистанция графа — сумма расстояний (в естественной метрике) между
всеми парами вершин: I. Tomescu // JGrTh, 18(1994), № 1, 83-102
[95, 4В238] — связь с хроматическим числом.
дистрибутивная раскраска: см. соцветные подмножества вершин.
дисциплинарное число графа: V. Chv^tal, W. Cook // DM, 86(1990),
№ 1-3, 191-198 [93, 2В319].
дифактор — модификация фактора для орграфов: M.V.S. Ramanath //
JGrTh, 9(1985), №1, 161-175 [86, ЗВ761].
562
Основы теории графов
дихотомический орграф - такой G = (X, Г)е ll (граф Бержа без петель),
что VxeAr[j+(х) = 5“(х)=2]: А.В. Князев//Дискр. Матем., 2(1990),
№ 3, 56-64 [91, 5В377] (со ссылкой на [73, 8В334]), М3, 50(1991),
№ 1, 46-55 [91, 12ВЗЗЗ].
дихотомия графа по половому признаку вершин — разбиение
X = Умуж UА"жен (^муж А^жен =0) множества вершин графа
G = (X, Г)е11 с соблюдением	условия VxgX(|ГлгПА"муж|< 1 &
& |ГхАУжен|<1; критерий существования такого разбиения у задан-
ного G: УхеУ(|Гх<2, сам G — ациклический, а его граф чередую-
щейся композиции 7j*<G — двудольный: книга Оре.
дихромат (dichromat): см. многочлены раскрашиваний.
дихроматическое число (dichromatic number) орграфа — наименьшее ко-
личество цветов такой раскраски вершин, при которой каждый одно-
цветный класс порождает ациклический орграф: V. Neuman-Lara //
JCTh, ВЗЗ (1982), № 3, 265-270 [83, 7В549], [84i#0507], [87#ЗВ458].
длина маршрута, цепи, цикла: §2.1.
— ормаршрута, орцепи, орцикла: §4.1.
^-длина: § 2.6.
доблочный (block-making) цикл, разрез: §3.1 и упр. 12 к нему,
^-дольный (fc-partite) граф — суграф произведения к груд.
дом: § 1.4.
доматически (domatic) полные и д-ски критические графы: В. Zelinka //
DM, 86 (1990), № 1-3, 71-79 [91, 9В439]; D.F. Rail // там же, 81-87
[91, 9В440].
Лг-доматические числа — различные обобщения и модификации числа
всесмежности и доматического числа графа: В. Zelinka // Rostock,
math. Kolloq., 21 (1982), 69-72 [84, 1B619, 6B485] - введение и об-
зор; Math, slov., 34 (1984), № 3, 313-318 [85, 1В661]; СРМ, НО (1985),
№2, 113—115 [85, 12В566] — для двудольных графов; [88, 6В700];
D. Rautenbach, L. Volkmann // DM, 187(1998), №1-3, 185-193
[00, 2В343] — для блок-кактусовых графов. См. также к-доминирую-
щее множество.
Аг-доматическое разбиение графа — представление множества его вер-
шин в виде объединения попарно непересекающихся к-кратно доми-
нантных подмножеств.
доматическое число графа — наибольшее количество попарно непересе-
кающихся всесмежных подмножеств, на которые можно разбить
множество вершин графа: В. Zelinka [78, 11В747]; [81, 1В480] —
Указатель-справочник
563
критические графы; Math, slov., 36 (1986), № 1, 49—54 [86, 10В459] —
идоматическое число, связь с реберной древесностью.
доминантно совершенный граф G — у каждого подграфа G' которого
число всесмежности f}(G') совпадает с накрывающим числом i(Gf):
В.Э. Зверович // М3, 48 (1990), № 3, 66—69 [91, 5В380] - характериза-
ция в терминах запрещенных подграфов.
доминирование (dominance) в графе — всесмежность (подмножества
вершин, подграфа, цикла и т. п.); библиография 399 работ: S.T. Не-
detniemi, R.C. Laskar И DM, 86(1990), № 1-3, 257-277 [91, 7В526].
При дополнительных условиях на доминирующее множество:
F. Harary, T.W. Haynes И Util. Math., 48 (1995), 179-192 [96, 7В243].
Обобщения: L.W. Beineke, A.M. Henning // ArsC, 37 (1994), 223—233
[96, 1B349]; D.W. Bange, A.E. Barkauskas, L.H. Host, P.J. Slater
[98, 1B289J; E. Sampathkumar, L. Pushpa Latha // DM, 159 (1996),
№1-3, 1-11 [98, 1B290] и 161(1996), № 1-3, 235-242 [98, 1В290].
Графы с заданными параметрами доминирования’. S. Arumugam,
S. Velammal // ArsC, 52(1999), 221-227 [00, 7В235]. См. также мно-
жественное доминирование.
----орграфе = внешняя устойчивость.
—, независимость и избыточность в графах: J. Торр И Diss. Math.
(Rozpr. mat.), №432 (1995), 1-99 [96, 5В230].
доминирующая функция на графе G = (X, U) — такая /: Х->[0, 1], что
УхеУ[ £/(у)>1]: B.D. Acharia // Math. Stud., 64(1995), №1-4,
xyeU
170-174 [00, 7В230].
Ar-доминирующее множество графа G = (X, U) — такое YcX, что каждая
xeX\Y смежна не менее чем с к вершинами Y: В. Zelinka // Math,
slov., 34(1984), №3, 313-318 [85, 1В661]; О. Favaron // JCTh,
B39(1985), № 1, 101—102 [86, 3B791] — связь с к-независимыми мно-
жествами. См. также числа к-независимости и к-доминирования.
доминирующие клики в триангулированных графах: D. Kratasch,
Р. Damaschke, A. Lubiw // DM, 128(1994), № 1-3, 269-275
[95, 1В323].
доминирующий цикл графа — простой, множество вершин которого в
заданном графе G всесмежно; достаточное условие существования в
л-вершинном /-связном G~(X, U): для каждого подграфа типа £/+1
сумма степеней s(G,x) вершин этой груды не меньше п-21
(J.A. Bondy, G. Fan // DM, 67(1987), №2, 205-208 [88, 4В578]); в
564
Основы теории графов
3-связном 4-однородном графе G с n(G)<4k при к >63 все длинней-
шие простые циклы — доминирующие, и есть предположение, что
такой G на самом деле гамильтонов: В. Jackon, Li Hao, Zhu Jong-
jin // DM, 102(1992), №2, 163-176 [96, 2В249].
доориентация (extending of orientation) графа: § 4.4.
дорога Петерсена (Petersen way): § 3.9.
достаточные условия гамильтоновости графа, основанные на «изоби-
лии» ребер: § 2.1 и упр-я 9—15 к нему; упр-я 17—19 к § 2.2; упр. 15'а к
§ 2.5; D. Bauer, H.J. Broersma, H.J. Veldman, Rao Li I I JCTh,
B47 (1989), №2, 237-243 [90, 6B436]; Zhu Chuanzhong [89, 8B318J;
R.J. Faudree, R.J. Gould, M.S. Jacobson, R.H. Schelp // JCTh,
B47 (1989), №1, 1-9 [90, 4B623]; D. Bauer, E. Schmeichel H JCTh,
B48 (1990), № 1, 111-116 [90, 9B444]; A.S. Hasratian, N.K. Khachatri-
an // JCTh, B49(1990), №2, 287-294 [91, 8B480]; Chen Guantao //
JGrTh, 14(1990), №4, 501-508 [91, 8B483]; А.С. Асратян, O.A. Ам-
барцумян, Г.В. Саркисян И ДАНАр, 91 (1990), № 1, 19—22
[91, 10В309]; Е. Flandrin, Н.А. Jung, Н. Li [91, 11В490]; Shi Rong-Hua
[91, 12B375]; R.J. Faudree, R.J. Gould, • M.S. Jacobson, L. Lesniak //
ArsC, 31(1991), 139-148 [92, 6B483]; A. Ainouche // DM, 89(1991),
№ 2, 195-200 [92, 6B485]; Song Zengmin, Qin Yusheng [92, 6B491];
D. Amar, E. Flandrin, J. Fournier, A. Germa // DM, 89 (1991), № 2,
111-131 [92, 6B497]); LU Quingzhe, Song Zengmin [93, 7B281]; H.J. Bro-
ersma, J. van den Heuvel, H.J. Veldman И DM, 122(1993), № 1-3,
37-49 [96, 5B258]; T. Mickewich [96, 6B262]; I. Policky // Math, slov.,
45(1995), №2, 115-119 [96, 8B315]; S. Yamashita, M. Horie
[97, 1B287]; Song Zeng Min, Zhang Ke Min // ArsC, 43 (1996), 97-105
[97, 4B256]; A.S. Asratian, H.J. Broersma, J. van den Heuvel, H.J. Veld-
man // JGrTh, 21 (1996), № 1, 1-10 [97, 4B257]; A. Ainouche // JGrTh,
22(1996), № 1, 83-87 [97, 6B276]; A.S. Asratian// ArsC, 41 (1995),
97—106 [98, 6B329]; H.J. Broersma, J. van den Heuvel // JGrTh,
22 (1996), № 2, 105-124 [98, 6B330]; F. Faudree, A. Gyarfas // DsMGr,
19 (1999), № 1, 13-29 [00, 4B280]; Ma Meijie, Dong Junchao // J. Yantai
Univ. Natur. Sci. and Eng., 12 (1999), № 4, 243-244 (00, 10В293]. В дву-
дольных графах: Dang Kai-Qian [89, 10B417, 418]; Liu Yiping, Wu
Zhengsheng, Zhang Xuerong [97, ЗВЗО5]. В графах без подграфов-вее-
ров V, с /=3: М.М. Mathews, D.P. Sumner // JGrTh, 9(1985), №2,
269—277 [86, ЗВ746] и Yin Zhixiang [98, 1B287]; при различных /: Chen
Guantao, R.H. Schelp // JGrTh, 20(1995), №4, 423-439 [97, 3B301];
Li Hao // там же, 447—457 [98, 9B305]; Zhan Mingquan, Xu Xinping
Указатель-справочник
565
[98, 9В307]; Li Ming Chu // Graphs and Comb., 14 (1998), № 1, 45-58
[98, 11B321]; Shen Ruqun // ArsC, 47(1997), 307-314 [98, 11В322].
Z. RyjaCcek, I. Shchiermeyer // DM, 191 (1998), №1-3, 171-177
[00, 5В283]. См. также условия Кикуста—Хендри, условия Хватала—
Эрдеша и Т. Mickewich [96, 6В262]. Другие д.у.г.: R. Faudree,
A. GyarfAs И DsMGr, 19 (1999), № 1, 13-29 [00, 4В280] - в терминах
запрещенных пар. Для орграфов: G.J. Chang, F.K. Hwang, Li-Da
Tong // JGrTh, 31 (1999), № 1, 1-6 [00, 6B285]; книга Йенсена и Тоф-
та. Для некоторых обобщений свойства гамильтоновости: J.A. Bon-
dy, V.A. Chvatal И DM, 15(1976), №2, 111-135 [77, 2В492].
----совершенства графа G: § 3.10 и упр-я 7, 10 к нему; G — планарный:
A. Tucker И CJM, 25(1973), № 1, 103-114 [73, 9В376]; G - граф
пересечения дуг окружности: A. Tucker И SIAM J. Appl. Math.,
23(1975), № 3, 493—502 [76, 8В512]; G топологически вложим в
тор: М.С. Grinstead И Ph. D. thesis, UCLA, 1978; JCTh, B30 (1981),
№ 1, 70-74; <p(G)=3: A. Tucker // JCTh, B43 (1987), № 2, 151-172
[88, 2B652] — алгоритмическое доказательство при <p=3; в G нет
подграфов типа Z5, С5 и результата сшивания К-^з по ребру:
В. Jamison, S. Olariu // Stud. Appl. Math., 81 (1989),’№ 1, 33-39
[90, 4B600]; ни сам G, ни его граф циклов не содержат дырок: Le
Van Bang // JGrTh, 23(1996), №4, 351-353 [98, 5ВЗО1].
достижимость (reachibility): §4.2.
драматические события, связанные с проблемой изоморфизма: §§1.5,
1.6.
древесная декомпозиция (tree-decomposition) графа: книга Дистеля; Shi
Minyong, Li Yanjum П DM, 189(1998), № 1-3, 221-232 [00, 2B344];
разборки графов.
древесность графа: см. вершинная древесность, реберная древесность и
ордревесность.
дробная раскраска (fractional coloring) — функция f: Е-» [0, 1] с К, опре-
деленная на множестве Е всех груд графа G=(X,U) и такая, что
VxeY[ £/(£) = !]; величина inf (£) по всем д-м р-м f графа G
ЕеЕ	/ ЕеЕ
называется его дробным хроматическим числом: М. Larsen, J. Ргорр,
D. Ullman // JGrTh, 19 (1995), № 3, 411-416 [96, ЗВ206]; К. Kilakos,
О. Marcotte // Math. Progr., A76 (1997), № 2, 333-347 [99, 2B274]; [ТС],
дуга (arc): введение; § 1.6; §4.1.
дуговые графы: A. Tucker // LNM, 642(1978), 580-589 [79, 2В501].
566
Основы теории графов
— орграфы (line digraphs): Liu Xinming, D.B. West // DM, 188(1998),
№ 1-3, 269-277 [00, 2В314].
дырка (hole), Аг-дырка — подграф типа Ck с нечетным к >5.
евклидовы графы — плоские, ребрами которых служат прямолинейные
отрезки: примечание 7 в § 3.6. Опровержение ряда гипотез для таких
графов: S.G. Akl // JCISS, 8(1983), № 3, 169-174 [85, 12В564].
единственно независимый граф — имеющий только одну наибольшую
груду: G. Hopkins, W. Staton // DM, 57(1985), № 3, 245-251
[86, 7В653].
—	раскрашиваемый = однозначно раскрашиваемый граф.
естественная метрика графа: упр. 10 к § 2.3; § 2.6 и упр-я 2—18 к нему.
Соотношения между радиусом и диаметром, их оценки через п, т, s,
s и другие инварианты графа, свойства оптимальности: F. Gliviak
[78, 7В525]; Rend. Jst. lombardo Acad. sci. e lett., АП0 (1976), № 1,
3-5 [78, 7B777], G. Memmi, Y. Raillard // IEEE Trans. Comp.,
31 (1982), № 8, 784-791 [83, 3B532] - с обзором; I. Vrt’o, §. Znam //
Studia sci. math, humg., 17(1982), № 1-4, 283-290 [85, 5B578];
Ch. Delorme, G. Farhi // IEEE Trans. Comp., 33 (1984), № 9, 857-860
[85, 4B547]; §. Znam // Studia sci. math, humg., 19 (1984), № 2—4,
187-191 [87, 5B644]; P. Erd6s, J. Pach, R. Pollak, Zs. Tuza // JCTh,
B47 (1989), № 1, 73-79 [90, 4B619]; F. Gliviak, P. KyS И Math, bohem.
(бывш. CPM), 120 (1995), № 2, 203-207 [96, 7В231]. Различные моди-
фикации естественной метрики графа: М. Johnson // CzMJ, 37 (1987),
№ 1, 75-85 [87, 9В583].
—	орметрика — «у-орметрика с q=\: упр. 27.2—28.4 к §4.2.
—	реализация метрики: §2.6 и упр. 18—19 к нему.
---орметрики: упр. 27 к § 4.2.
Ё
ёмкость = информационная ёмкость (графа).
Ж
жадный (greedy) алгоритм — оптимизационная процедура, на каждом
этапе которой оптимизируется промежуточный результат; напри-
мер, алгоритм Краскала (§ 2.6), алгоритм выявления кратчайших це-
пей (добавление 1). В задачах, не подчиняющихся принципу дина-
мического программирования, может приводить к результатам,
сколь угодно далеким от оптимальных: см., например, упр. 6 к § 2.3
Указатель-справочник
567
и S. McGuinness // JGrTh, 18 (1994), № 4, 427-430 [95, 4В293] - для
разложения графа на клики.
жесткие графы (как алгебраические системы): заключение.
жесткий (rigid circuit) = триангулированный (граф).
жесткое представление графа — при котором ребрами служат твердые
стержни, а невисячими вершинами — шарнирные соединения; ж.п.
графа G в и-мерном евклидовом пространстве возможно тогда и
(п+П	г г
только тогда, когда у G есть I I каркасов попарно без общих ре-
бер: Тау Tiong-Seng // JCTh, В36 (1984), № 1, 95-112 [84, 11В500].
животное (animal) — связный граф специального вида, содержащий за-
данные количества подграфов типа F3, С4 или С6: книга Харари;
E.J. Farrell // JCISS, 7(1982), №2, 143-154 [84, 1В643]; G. Ехоо,
F. Нагагу // NASL, 10(1987), №2, 67-69 (88, 2В617]; R.C. Brigham,
R.D. Dutton, J.R. Carrington, F. Нагагу // Bull. Malays. Math. Soc.,
17(1994), №2, 75-80 [96, 2В243].
живучесть (vitability) и уязвимость (vulnerability) графов и сетей — наи-
меньшее количество вершин {вершинная ж.) или ребер (реберная ж.),
удаление которых увеличивает диаметр графа или нарушает
его связность: L. Caccetta // Networks, 14(1984), №1, 141—146
[84, 10В497]; С. Peyrat // DApM, 9 (1984), № 3, 245-250 [85, 5В577];
Б.И. Плисс, Е.Е. Токарева [89, 7В628]; Ю.Е. Малашенко, В.С. Рого-
жин [89, 8ВЗЗО].
жирная (thick) вершина, жирное ребро: § 2.4.
3
задача Гамильтона о кругосветном путешествии (W.R. Hamilton, 1859):
W.W.R. Ball, H.S.M. Coxeter // Math, recreations and essays (New
York, 1947); книги Бержа; книга Харари; гамильтонов цикл.
— китайского почтальона (Chinese postman’s problem) — в графе G[^]
найти маршрут, содержащий все ребра графа и обладающий наи-
меньшей (/-длиной: книга [А6]; для планарных графов равносильна
нахождению системы циклов наименьшей суммарной длины, со-
держащей все ребра: Д.Я. Кесельман // Киб, 1987, №3, 16—22
[87, 10В703]; для частично ориентированных графов: Т. Jeworrek,
G. Schulz [88, 8В591].
—	коммивояжера (Traveling Salesman Problem): § 2.6.
568
Основы теории графов
—	ликвидации (elimination) орциклов: § 4.4; Wang Ching Chy, E.L. Llo-
yd, M.L. Soffa // JACpM, 32(1985), №2, 296—313 [86, 1B804];
Б.Я. Штейнберг [87, 1В626].
— & браке (marriade problem) — условия существования и способы на-
хождения совершенного паросочетания в двудольном графе:
§2.4.
----бродячем торговце = задача коммивояжера.
----движении транспорта: см. бисвязная ориентация графа.
----кёнигсбергских мостах: § 2.6; гимн графистов (заключение).
----кратчайшем пути: § 2.6.
----минимальной связке: упр. 7 к §2.1; добавление 1.
----минимальных трансверсалях: добавление 1.
----назначениях. Простейший вариант: § 2.4, для (/-графов: § 2.6.
Обобщения: А.А. Зыков И ИОП, 1982, 59-77 [82, 8В495];
В.А. Кропанов, В.С. Рублев // Моделирование и анализ информ,
систем. Ярославль, 7 (2000), 3-12; DM, 13 (2001), № 4, 144-156.
----наименьшей связке: упр. 7 к §2.1; добавление 1.
------трансверсали: упр. 3 к § 1.6.
----телефонных сплетницах: R. Labahn // EIKyb, 22 (1986), №9,
475—485 [87, ЗВ441] — решение для деревьев.
----трансверсалях: добавление 1.
----шахматном коне — найти гамильтонов цикл в графе, вершинами
которого служат клетки шахматной доски, а смежность означает
возможность попасть из одной клетки в другую одним ходом ко-
ня; решение см., например, в книгах Бержа.
----почтальоне = задача китайского почтальона.
— Рамсея — доказать, что среди любых шести человек найдутся три
попарно знакомых или три попарно незнакомых; решение см., на-
пример, в книге Харари. Обобщение: теорема Рамсея; см. также те-
ория Рамсея и числа Рамсея.
— Штейнера для графа G[q] = (X,U; q) — найти вершину х, сумма
(/-расстояний которой до вершин данного подмножества У с У —
наименьшая: книги [А2, 6]; R.L. Foulds, Р.В. Gibbons, M.L. Shore
([83, ЗВ569], JCISS, 6(1981), №3, 215-219 [83, 4B635]); J.A. Bease-
ley// Neworks, 14 (1984), № 1, 147-155 [84, 9B510]; N. Maculan
[88, 8В556].
задачи о восьми и о пяти ферзях — найти наибольшие груды, соответ-
ственно наименьшие всесмежные подграфы в графе, вершинами ко-
торого служат клетки шахматной доски, а смежность означает
Указатель-справочник
569
возможность попасть из одной клетки в другую одним ходом ферзя;
здесь £ = 8, Р = 5. Решения см., например, в книгах Бержа.
— турановского типа: упр-я 6 к § 1.9, 8 к § 2.1 и 15д к § 2.7; М. Simono-
vits [84, 2В515]; Rho Yoomi П DM, 187(1998), № 1-3, 195-209
[00, 4B268]; для орграфов: W.G. Brown, P. Erdos, M. Simonovits //
JCTh, B15 (1973), № 1, 77-93 [52#7952]. Решение с помощью квадра-
тичных форм: А.Ф. Сидоренко И ВМГУ, 1982, № 1, 3—6 [82, 5В528].
- уэйсмановского типа: §3.7; добавление 1.
зажатый (strangulated) граф: см. триангулированный граф.
замкнутая окрестность (closing neighbourhood) вершины: в книге Хара-
ри — множество, состоящее из данной вершины графа и в^х смеж-
ных с ней.
замкнутый (closed) = циклический (маршрут, ормаршрут).
Я-замкнутый (Я-closed) граф G — обладающий тем свойством, что ес-
ли в G подграф G' изоморфен выделенному подграфу Я, то есть и-
подграф, изоморфный Я и содержащий G' в качестве подграфа:
Р. Tomasta, Е. Tomov£ [89, 2В690].
замыкание (closure) графа: J.A. Bondy, V.A. Chvatal, DM, 15 (1976),
№2, 111—135 [77, 2В482]; обобщение: Zhu Yong-jin, Tian Feng //
JCTh, B35(1983), №3, 247-255 [84, 8В485].
запрещенные и неустранимые подграфы: D. Gemert // ArsC, 27 (1989),
165-175 [90, 1B580] - обзор.
— (forbidden) части — типы графов, отсутствие которых (в качестве ча-
сти, подграфа или суграфа) у заданного графа необходимо и/или
достаточно для того, чтобы он обладал заданным свойством: см.,
например, пп. (2) и (3) теоремы 1.10.1 (§ 1.10); примечание 2 в § 3.6;
пп. а) и б) упр-я к §3.10; упр. 23 к §4.2; упр-я 7а, б к §4.5.
заходящая (adjacent to) дуга: введение; §4.1.
звезда (star) = веер: § 1.2.
звездное подмножество вершин графа G=(Y, U) — такое Y с X, что для
некоторой хе У вершины всех кратчайших цепей, идущих из х в
другие вершины У, тоже принадлежат У: О.И. Топалэ [84, 10В491].
звездный изоморфизм (star isomorphism) = веерный изоморфизм.
звено (link): введение; §2.7; §4.1.
зернитость = крупность.
знаковый аналог графа смежности дуг: F. Harary, М. Plantholt // Expos.
Math., 1 (1983), №4, 343-347 [84, 10В467].
знаковый (signed) граф — обыкновенный, ребрам которого приписаны
знаки +, -, а степень вершины понимается как «алгебраическая»,
570
Основы теории графов
т.е. разность между количествами (-ь)-ребер и (-)-ребер, инцидент-
ных этой вершине; C.St.J.A. Nash-Williams // Recent Progr. Combin.
New York/London (1969), 133—149 [71, 12B624]; необходимые и доста-
точные условия знаковой графичности последовательности чисел
S2,sn g 7L\ G. Chartrand, H. Gavlas, F. Нагагу, M. Schultz //
CzMJ, 44(1994), №4, 677-690 [96, 1В335]. Далее: M. Conforti,
G. Cornuejos, A. Kapoor, K. VuSkovic // JGrTh, 30(1999), №4,
289-308 [00, 8В290].
золотое сечение (golgen ratio), золотой корень (golden root): G. Berman,
W.Tutte II JCTh, 6 (1969), № 3, 301-302; W.T. Tutte // ANYAS,
175 (1970), July, 391—402 [71, 5B406]; см. также хроматический много-
член графа.
И
иголка (needle): § 1.3; упр. 3 к §2.7.
игра на графе: §4.3; книги Бержа.
идемпотентный граф — орграф с идемпотентной матрицей смежностей:
упр. 4а к добавлению 1.
идентификация графов — широкий круг вопросов, включающий в качест-
ве исходных моментов определения совпадения и изоморфизма гра-
фов (§ 1.2), основные инварианты графа (§ 1.3) и проблему изоморфиз-
ма (§ 1.5), а в более общем плане — вопрос о наличии и выявлении об-
щих свойств графов, задания которых чем-то различаются: глава I.
идоматическое число графа — доматическое число при дополнительном
условии, что множества разбиения — груды (максимальные по вклю-
чению ввиду всесмежности): В. Zelinka (см. доматическое число).
иерархическое = наследственное свойство графа.
избыточное (superfluous) множество Y cz X вершин в графе G = (X, U) —
такое, что для всякой хеХ теоретико-множественная разность
ЛГ[К]\ЛГ[У\{х}] замкнутых окрестностей множеств Y и У\{х} не-
пуста: G. Gutin, V.E. Zverovich // DM, 190(1998), №1-3, 95-105
[00, 4В284].
избыточный путь в бисвязном орграфе: §4.2.
излишнее (superfluous) ребро — дуга орграфа, не являющаяся незамени-
мой (§ 4.2).
изобилие ребер — достаточное большое их количество в графе, столь
равномерно распределенное по вершинам и парам вершин, чтобы
обеспечить гамильтоновость (и, как правило, панцикличность) гра-
фа: конец §2.1; достаточные условия гамильтоновости.
Указатель-справочник
571
изолированная вершина: введение.
изометрическое вхождение (isometric inclusion) графа G' в G = (X, U) —
наличие у G подграфа G" = (Х", U"), изоморфного G' и такого, что
Vx, X"[pQ (х, у) = pG" (х, j>)]: G. Chartrand, M.J. Stewart // LNM,
186(1971), 63-67 [71, 12B586]; P. Winkler // LMSLN, 123(1987),
197—221 [88, 2B626] — co ссылками на [84, 6B478] и [85, 7B679]; и. в. в
декартово произведение клик: F. Aurenhammer, М. Formann.
R.M. Idurg, А.А. Schaffer, F. Wagner // DApM, 52 (1994), № 1, 17-28
[95, ЗВ271].
изоморфизм, изоморфные графы: §1.2; §2.7; §4.1.
л-изоморфизм: R.W. Myers jr. И DM, 57 (1985), № 1-2, 67-88 [86, 5В703 -
невразумительный реферат].
изоморфное вхождение (isomorph inclusion) графа G в G в качестве час-
ти (подграфа, суграфа) — наличие в G части, изоморфной G: § 1.5.
—, изоморфическое (isomorphic) свойство графа — определяющее его од-
нозначно с точностью до изоморфизма, например фиксированное
значение какого-то полного инварианта: § 1.5; изоморфность свой-
ства — предикат одноместный, в отличие от двуместного изомор-
физма графов.
изопериметрическое число графа G=(X, U) — величина
min{|tZ (У, Z)|/min{|r|, |Z|}},
где внешний минимум берется по всевозможным разбиениям
X=Y\JZ, Yf\Z=0, a U (Y, Z)={yz/yeY & zgZ}: В. Mohar //
JCTh, B47 (1989), № 3, 274-291 [90, 12В484].
изотопия одномерных топологических комплексов: § 3.5.
—	плоских реализаций графа: § 3.6.
—	проводников: § 3.7.
изящный (refined) = грациозный (граф).
империя (empire) — несвязная страна в задаче раскраски карт; при пра-
вильной раскраске вершин графа отвечает совокупности груд, вер-
шины которых согласно дополнительному требованию должны быть
одного цвета; обобщенная теорема Хивуда: В. Jackson, G. Ringel //
JRAM, 347(1984), 146-153 [84, 12В711], JCTh, B38 (1985), №2,
168—178 [86, 1B772]: краткое решение проблемы империй Хивуда на
плоскости: W. Wessel//DM, 191 (1998), № 1-3, 241-245 [00, ЗВ285].
инвариант (invariant) графа: § 1.3; синтетический обзор соотношений
между инвариантами: Xu Shaoji // DM, 89(1991), №1, 65—88
[91, 12В337].
572
Основы теории графов
инварианты изменения и неизменности (changing and unchanging invari-
ants) для графов: F. Harary // Bull. Malays Math. Soc., 5 (1982), № 2,
75-78 [83, 10B405; 84g#05127],
— непланарности графа: § 3.7; F. Harary, A. Hill // PEdMS, 13 (1963),
№4, 333-338 [65, 5A261; 29#602]; Th.L. Saaty // PNASA, 52(1964),
№3, 688-691 [65, 9A297]; R.K. Guy // LNM, 186(1971), 143-156
[71, 12B588] - обзор по проблеме; Т.Л. Саати // ИАНТК, 1971,
№6, 151-154 [72, 3B290]; D. Kleitman (книга Закса II, стр. 93);
R.K. Guy, A. Hill // DM, 5 (1973), № 4, 335-344 [74, 1B384]; P.C. Kai-
nen // AMSUH, 39(1973), 88-95 [74, 4B349]; Ryu Hae Dong
[81, ЗВ559].
— связности (connectivity invariants) графа: § 2.5 и упр-я 4—6 к нему;
§ 2.7. Существование и свойства графов с заданными и-ми с.: упр. 13
к §2.7; H.V. Kronk, D.R. Lick // ClqM, 21(1970), №2, 273-277
[71, 4B429]; F. Gliviak // MC, 25(1975), №2, 99-103 [75, 12B483];
F.T. Boesch, C.L. Suffel // JGrTh, 4(1980), №4, 363-370 [82, 1B787],
Networks, 12(1982), №3, 341—350 [83, ЗВ515]. Оценки (прямые и
косвенные) 1 и Г через другие инварианты графа: упр-я 17 и 19" к
§2.7; А.Н. Esfahanian // JGrTh, 9(1985), №4, 503-511 [86, 10В448];
Sun Huiquam // Chin. Ann. Math., A7(1986), №5, 602-605
[87, 5B692]; T. Soneoka, H. Nakada, M. Imase, Cl. Peyrat // DM,
63(1987), № 1, 53—66 [87, 6В618]. Условия равенства /' = /": упр. 15 к
§ 2.7. Изменение и-в с. при удалении из графа элементов (в том чис-
ла вершин и ребер одновременно): S.S. Yau // J. Franklin Inst.,
273 (1962), № 1, 31-48 [64, 5В277]; F.T. Boesch, LT. Frisch // IETCT,
15(1968), №3, 286-288 [69, 5B304]; G.A. Dirac // PK=IM, 35(1973),
№ 1, 49-62 [73, 7B385]; D.R. Goldsmith, B. Manvel, V. Faber // JGrTh,
4(1980), №2, 213—218 [81, 1B490] — наименьшее количество ребер,
от удаления которых число компонент повышается на заданную
величину; W. Mader // MN, 93(1979), 187-204 [81, 1В493] - метод
редукции В. Bollobas, D.L. Goldsmith, D.R. Woodall // JCTh,
B30(1981), № 3, 263—275 [81, 12B863] — удаления, не меняющие
и-в с. См. также критические графы.
индекс Винера: см. химические приложения графов.
— грани триангуляции: § 3.9.
индексация (indexing) графа G = (X, U) — функция ср: X -> {0, 1,...,
m(G)}, все n(G) значений которой различны; если и т чисел
|<р(х)-<р(.у)1 Для ребер xyeU все различны, то индексация (р — гра-
циозная. Далее см. грациозный граф.
Указатель-справочник
573
индуктивные классы графов — определяемые заданием базы «простей-
ших» графов и системы операций, позволяющей получать все графы
класса (и только их) из базовых, например: A. Kotzig [66, 11А242]
(см. § 2.1); упр-я 24—25, 26" и 27а к § 2.5; упр. 3 к § 3.6; V. Batagelj //
Ргерг. Ser. Dep. Math. Univ. Ljubljani, 19 (1981(82)), 111-116
[82, 8B585] — для планарных графов, [87, 11В652] — общий обзор;
М.А. Иорданский // ДАИО, 3 (1996), №4, 35-63 [97, 6В269] - опе-
рация склейки; классы гомоморфизма.
индуктивный граф — бесконечный орграф, в котором для любой орце-
пи 2 (вообще говоря, бесконечной в обе стороны) существует вер-
шина, достижимая (по конечным орцепям) из всех вершин первая
книга Бержа.
интервальная /-раскраска графа G — такая правильная раскраска ребер
цветами 1,2,..., t>s(G), что для любой вершины х цвета инцидент-
ных ей ребер образуют (в любом порядке) целочисленный интервал
[z, z+^-1], где s~s(G, х), z = z(x), l<z</-s + 1: А.С. Асратян,
Р.Р. Камалян // ПМЕр, 1987, №5, 25-34 [88, ЗВ640]; М. Kubale
[89, 1В629] - для гусениц, DM, 74(1989), №1-2, 125-136
[89, 12В543]; С.В. Севастьянов // Методы дискр. оптимиз., 50 (1990),
61-72; D. Hanson, С.О.М. Loten, В. Toft // ArsC, 50(1998), 23-32
[00, 6В299] — для бирегулярных двудольных графов.
—	толщина (interval thickness) графа — наименьшее количество вершин
его максимальной (по включению) клики: L.M. Kirousis, Ch.H. Ра-
padimitriou // DM, 55(1985), №2, 181-184 [85, 12В558].
интервально представимые орграфы: В.К. Sanial, М.К. Sen // JGrTh,
22(1996), №4, 297—303 [98, 1В257] — новые характеризации.
—	транзитируемый (intervally transitable) граф: §4.5.
интервальный граф = граф интервалов.
информационная емкость (capacity) графа — инвариант
sup(<7<л>) = lim tfe (G^), где G^ = G®G®...®G(n сомножите-
ле	Л-оо
лей) — произведение Шеннона: книга Шеннона, первая книга Бержа.
Е. Bidamon, Н. Meyniel (Europ. J. Comb., 6(1985), №4, 289—290
[86, 8B799]) нашли ее значения для графов С5 (V5) и С* (4), долго
остававшиеся неизвестными.
информационные графы. Пусть множество X вершин орграфа G без пе-
тель разбито на попарно непересекающиеся подмножества Х^, Х^,...,
Х^, где l<k<n(G), и независимо от этого в X выделены вершины
УъУ2*--->Ук- Этот граф называется информационным, если в нем есть
574
Основы теории графов
такая система S орцепей, что а) для любой у j и любой х g Xi (при
том же 0 в 5 имеется ровно одна орцепь из у z в х, б) при i Ф j никакие
цепи из у j в Х{ и из yj в Xj, принадлежащие S, не имеют общих дуг.
Ю.Г. Решетняк (книга Зыкова); М.И. Кратко [70, 4В331], СибМЖ,
18(1977), №5, 1192-1193 [78, 5В5ОО]; М.И. Кратко, М.Г. Притула
[82, ЗВ599 (препринт)]; Г. Бурош, В.К. Леонтьев, А.С. Маркосян
[88, 8В606]. См. также задача о телефонных сплетницах.
инцидентность (incidency): введение; §1.1; §2.7; §4.1.
инцидентор (1) в книге Зыкова — трехместный предикт Р (х, и, у), озна-
чающий, что ребро и графа соединяет его вершину х с вершиной у;
если и — звено, то истинно также Р (у, и, х). Тот же термин можно
употреблять для отображения у/ в определении графа общего вида
(§2.7 и §4.1). (2) — дуга орграфа вместе с одной из инцидентных
вершин: А.В. Пяткин // ДАИО, 2 (1995), №4, 74-79 [96, НПЗ],
Задачи раскраски инциденторов и их приложения (Дисс. ... канд.
ф.-м. н. Новосибирск, 1999); В.Г. Визинг // ДАИО, сер. 1, 7(2000),
№ 1, 32—39 [00, 11В225] — раскраски инциденторов в предписанные
цвета.
искаженность (scewness) графа £(G) — один из инвариантов непланарно-
сти: § 3.7 и упр. 12 к нему.
исходящая (adjacent from) дуга: введение; §4.1.
итерированные (iterated) графы — получаемые многократным примене-
нием некоторой операции / которая каждому графу G заданного
класса К относит однозначно (с точностью до изоморфизма) граф
f (G)gK. Если, в частности,/есть L — операция перехода к графу
смежности ребер, то L^(G) = G, L^^(G) = L(L^(G)) — индуктив-
ное определение итерированных графов смежности ребер (см. га-
мильтонов индекс графа). Если / — операция К перехода к графу
клик (определяемому аналогично графу максимальных клик), то для
диаметров справедливы оценки
rf(G)-l<rf(K(G))<rf(G) + l
и, следовательно, d(G)-i<d(K(G^))<d(G) + i: В. Hedman II
Hadronic J., 9(1986), №6, 273-276 [88, ЗВ623].
К
кактус (cactus) — связный граф, каждый блок которого — простой
цикл или 2-клика: D. Geller, В. Manvel // CJM, 21 (1969), №6,
Указатель-справочник
575
1354—1360 [70, 11В234] — справедливость вершинной гипотезы Ула-
ма); Б.Ш. Клейман [82, 5В491 ] — критерий и алгоритм (линейный по
времени) распознавания; A. Ramachandra Rao // LNM, 885(1981),
410—416 [82, 6В602] — характеризация вектора степеней.
канонические матрицы инциденций графов: M.L. Overton, A. Prosku-
rovski // Сборник BIT, 19(1979), №2, 271-271 [80, 4В340].
каркас (framework) графа: §3.1.
карта (тар) — связный мультиграф без перешейков, топологически
расположенный на некоторой поверхности; наиболее интенсивно
изучаются плоские карты.
каталогизация графов — систематический перебор всех неизоморфных
графов с заданным числом п вершин, основанный на каком-либо
принципе; для и =10: R.D. Cameron, С.J. Colbourn, R.C. Read,
N.C.Wornald // JGrTh, 9(1985), №4, 551-562 [86, 9В677]. Весьма
правдоподобна гипотеза (пока без точной математической форму-
лировки): какой бы принцип ни был положен в основу каталогиза-
ции n-вершинных графов, найдется такое N >п, что к А-вершинным
графам этот принцип неприменим.
категории и графы: заключение (п. 2); М.Т. Miller [69, 9В200] — с обзо-
ром; Р. Hell // ANYAS, 28 (1979), 120-136 [82, 9В519]; J.K. Luedeman
[89, 4B534]; Д.Д. Урастаев [89, 4В548Деп].
категория связности = тип связности орграфа: §4.2.
категорное произведение (categorical product) = тензорное произведение
графов.
квадрат - граф С4: § 1.2.
- графа£:>-такой	A(G') ~ (си. Добавление j).
квадрат с диагональю: § 1.2.
квазибисвязный (unilateral) орграф: § 4.2 (согласно таблице в конце —
граф из ^2 С11^з).
квазигамильтонов (quasihamiltonian) цикл графа — простой, после уда-
ления которого остается груда: Vu Dinh Hoa // MN, 128(1986),
151-160 [87, ЗВ438].
квазидоматическое (semidomatic) число орграфа: В. Zelinka // Math,
slov., 34(1984), №4, 371-374 [85, 2В660].
квазимногообразия (qusimanifolds) графов: заключение (п. 2); С.В. Си-
зый // СибМЖ, 35(1994), №4, 879-892 [95, 2В310].
квазисовершенный (quasiperfect) граф (1) = максимально неоднородный
граф; (2) — см. гипотеза Бержа—Дюше.
квазитранзитивное замыкание графа: упр. 2 к § 4.5.
576
Основы теории графов
квазитранзитивный орграф: § 4.5; J. Bang-Jensen, Huang Jing П JGrTh,
20(1995), №2, 141—161 [96, 6В227].
квазитранзитируемый (quasitransitable) граф: § 4.5.
квазитриангулированный (quasitriangulated) граф: упр. 22 к §3.10.
квазиядро (quasikernel): см. ядро (kernel).
квалиразрез (qualicut): § 3.2.
кирпич (brick) — 3-связный граф, каждое ребро которого принадлежит
некоторому совершенному паросочетанию: L. Lovasz И JCTh,
В43 (1987), № 2, 187—222 [88, ЗВ641]; от количества кирпичей в гра-
фе G, изоморфных графу Петерсена, существенно зависит строение
решетки всех паросочетаний G.
класс гомоморфизма — множество графов, не стягиваемых на заданный
G и критических в том смысле, что граф, полученный соединением
новым ребром двух любых несмежных вершин, уже допускает такое
стягивание; минимальное подмножество графов этого класса, из ко-
торых можно получить все остальные сшиванием по кликам, назы-
вается базой гомоморфизма. Книга Вагнера.
классификация графов с помощью метрических треугольников:
В.Д. Чепой И СНТИМ, 49(1989), 75-93 [91, 5В407].
— мер: см. меры тонкости графа.
/-классы обыкновенных графов: § 2.9< Признаки принадлежности гра-
фа классу L] или L2, свойства: L. Vigneron // TGrR (1967), 399—400 —
планарные 3-однородные 3-хроматические графы; S. Fiorini, R.J. Wil-
son // LMSLN, 13 (1974), № 3, 37-51 [75, 6B467 (текст реферата оши-
бочно помещен в 466)] — графы класса L2, критические относительно
удаления ребра; Kitamura Saburo [82, 6В632]; A.G. Chetwind,
A.J.W. Hilton // Proc. London Math. Soc., 50(1985), №2, 193-206
[85, 11B668], Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100 (1986), №2,
303-317 [87, 3B460], DApM, 16 (1987), № 2,125-134 [87, 7B673], JCTh,
B46(1989), № 1, 37-45 [89, 10B391]; A.J.W. Hilton // DM, 64(1987),
№ 2-3, 303-307 [87, 12B721]; D.G. Hoffman, C.A. Rodger [89, 4B533];
M. Dhurandhar // JCTh, B46(1989), №1, 1-6 [89, 12B539J; Zhao
Cheng // Acta Math. Appl. Sin., 12 (1989), № 3, 349-354 [90, 4B607]; Li
Xiaodong [91, 7B548]; Th. Niessen, L. Volkmann // JGrTh, 14(1990),
№2, 225-246 [91, 8B432]; T. Hoffman, J. Mitchem, E. Schmeichel H
ArsC, 33(1992), 119-128 [93, 4B369]; Chen Bor-Liang, Fu Hung-Lin //
Graphs and Comb., 8 (1992), № 2, 119-123 [93, 4B370]; A.J.W. Hilton //
DM, 101 (1992), № 1-3, 135-147 [93, 10B203]; D.G. Hoffman //JGrTh
20 (1995), № 3, 397-402 [96, 6B235]; S. Grunewald, E. Steffen // JGrTh,
Указатель-справочник
577
30 (1999), № 1, 27—36 [00, 5В263]; L.S. Mel’nikov, V.G. Vizing // JGrTh,
31 (1999), № 4, 267-273 [00, 8B269]; D. Haile // ArsC, 53 (1999), 85-96
[00, 10В276]. См. также критические графы и снарк.
классы-проекции (projection classes) и классы транзитивности (transitivi-
ty classes) вершин графа: § 1.7 и упр-я 6 б-в, 7 к нему.
клетка (cage): § 3.9.
клетчатый граф: см. совершенные графы.
клешня (nipper): § 1.2.
клика (clique), л-клика: § 1.2; в книге Харари — только максимальная
клика.
клико-графовые уравнения (clique-graph equations): см. уравнения отно-
сительно графов.
клико критический (clique-critical) граф G — такой, что для любой его
вершины х подграф G\x и сам G обладают изоморфными графами
клик: F. Escalante, В. Toft // JCTh, В17 (1974), №2, 170-172
[51#5408].
кликоид (cliquoid, нем. simplexartige Graph), (л, <р)-кликоид: §1.8.
кликоматическое число (cliquomatic number): §3.10.
книга Банг-Йенсена и Гутина: [А18] (введение).
—	Босака: J. BosAk. Rozklady graphov. Slov. akad. Vied. Bratislava, 1986.
-	Вагнера: § 3.8.
—	Вальтера: H. Walther. Anwendungen der Graphentheorie. Berlin: VEB
Dtsch. Verlag der Wiss., 1979.
—	Вальтера и Фосса: §2.1.
—	Голумбика: [А9] (введение).
—	Гэри и Джонсона: [А12] (введение).
—	Дистеля: Reinhard Diestel. Graph Decompositions (a study in infinite
graph theory). Oxford: Clarendon press, 1990.
—	Донца и Шора: § 3.9 (сноска).
—	Закса: введение.
—	Зыкова: введение.
—	Йенсена и Тофта: T.R. Jensen, В. Toft. Graph coloring problems. New
York; Chichester; Brisbane; Toronto; Singapore: John Wiley & Sons
Publ., 1995 — формулировка более 200 проблем, относящихся к рас-
краскам (в разных смыслах) графов, с подробным обзором гипотез
и известных результатов; библ, более 1000.
—	Кёнига: введение.
—	Минка: X. Минк. Перманенты. М.: Мир, 1982 (перевод с англ.:
Н. Mine. Permanents. Addison-Wisley Publ. Co., 1978).
578
Основы теории графов
—	минчан: введение.
—	Миркина и Родина: §3.10.
—	Оре (по теории графов): введение.
		по проблеме четырех красок: § 3.8.
—	Петросяна, Маркосяна и Шукуряна: §3.10.
—	Рин геля: введение.
—	Татта: У. Татт. Теория графов. М.: Мир, 1988 (перевод с англ.:
W.T. Tutte. Graph Theory. Addison-Weslley Publ. Co., 1984).
---по связности в графах: упр. 23 к § 2.5.
—	Уилсона: Р. Уилсон. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977 (пе-
ревод с англ.: Robin J. Wilson. Infroduction to Graph Theory. Edinb-
urgh: Oliver & Boyd, 1972).
—	Фишберна: P.C. Fishbum. Interval orders and interval graphs: a study
of partially ordered sets. New York: John Wiley and Sons, 1985.
— Харари: введение.
---и Палмера: заключение (п. 3).
---, Нормана и Картрайта: § 4.2.
—	Цветковича, Дуба и Закса: § 1.3.
—	Чунг Фана: § 1.3.
—	Шеннона: § 2.5.
—	Эрдеша и Спенсера: заключение (п. 4).
книги Бержа (первая и вторая): введение.
—	по алгоритмам на графах и сетях: [А 1—18] (введение).
книжная толщина (book thickness) и книжное вложение (book embed-
ding) графа: § 3.7; L. Heath [86, 2В709] — обзор; R. Kannan // Inform,
and Contr., 66 (1985), № 1-2, 1-5, [86, 5B661]; Sh. Moran, Ya. Wolfs-
tahl // SIAM J. Discr. Math., 3(1990), №6, 376-395 [91,6B598],
[92, 3B462]; P. Erdds, R. Faudree, E. Gydry // Studia sci. math, hung.,
30(1995), № 1-2, 25-46 [97, 2B324]; H. Enomoto, M.Sh. Miyauchi //
SIAM J. Discr. Math., 12(1999), № 3, 337-341 [00, 10В270].
коготь (claw) = 3-веер: § 1.2.	,
кографическое пространство: см. графическое пространство.
кограница (coboundary) — множество иголок подграфа в графе.
кографы (cographs) — графы, получаемые из F] при помощи операций
объединения и дополнения: D.G. Corneil, Y. Perl, L.K. Steward //
SIAM J. Comp., 14(1985), №4, 926-934 [86, 6B755]; Le Vah Bang //
JGrTh, 30(1999), №4, 309-318 [00, 4В287].
кодерево (cotree) — суграф связного графа, образованный всеми хорда-
ми какого-либо его каркаса.
Указатель-справочник
579
колесо (wheel), 7-колесо: § 1.2.
количество гамильтоновых орциклов в орграфе: V. Muller, J. Pelant И
JCTh, В24 (1978), №2, 223-227 [78, 8В546].
---циклов в графе: упр. 19 к § 2.1; С. Thomassen // CPCmp, 5 (1996),
№4, 437—442 [98, 6ВЗЗЗ] — в двудольных графах.
—	очков (score) вершины в турнире — ее степень исхода: книга Харари.
—	раскрасок вершин графа: § 1.4; I. Tomescu И С.г. Acad, sci., 272 (1971),
№20, А1301-А1303 [71, 12В591], Comb. Progr. Meeh, and Appl.
Dordrecht; Boston, 1975, 327-336 [76, 6B457]; H.B. Лысенко // Тео-
рия графов. Киев, 1977, 213-214 [78, 11В736]; С. McDiarmid // SIAM
J. Comp., 8 (1979), № 1, 1-14 [80, 5B473]; D. Marcu // CzMJ, 45 (1995),
№2, 231-233 [96, 2В230].
—	треугольников в графе: упр. 6.1. к § 1.9; В.С. Никифоров, Н.Г. Хад-
жииванов И ДБАН, 34 (1981), № 7, 369-370 [82, 2В648]; Н.Г. Хаджи-
иванов // Плиска Бълг. матем. студия, 1981, №2, 131—142
[83, 9В506]; Н.Г. Хаджииванов, Р. Райчинов // Физ.-мат. списание,
26(1984), № 1, 23-26 [84, 12В734].
колючий (thorny) граф — получаемый из чертополоха присоединением
к каждой вершине произвольного числа висячих ребер.
композиция = лексикографическое произведение графов.
компонента квазибисвязности (unilateral component) — максимальный
(по включению) квазибисвязный подграф заданного графа.
—	связности = компонента,
/-компонента — максимальная (по включению) /-связная часть графа,
компоненты графа: введение; §1.3: §2.1.
—	метрики: упр. 18.1 к §2.6.
конденсат (condensation) орграфа = граф Герца,
конец дуги — вершина орграфа, в которую заходит эта дуга.
конечный (finite) граф: введение.
коническая вершина — смежная со всеми остальными вершинами графа,
конструирование, восстановление и укладка графов: А.К. Кельманс //
ГГиДОЗ, 1982, 79-88 [82, 6В709], [88, 2В675 (препринт)].
конструкция Визинга: § 1.5 и упр. 3 к нему; § 1.6; § 1.7; §4.1.
-	Декарта: A.V. Kostochka, J. NeSetfil И CPCmp, 8 (1999), № 5, 467-472
[00, 6В297].
—	Зыкова: упр. 2 к § 3.8.
—	Люботы: § 1.6.
—	Мыцельского (графы Мыцельского): см. доказательство теоремы
3.8.1. и упр. 3 к § 3.8.
580
Основы теории графов
— Хайоша — результат применения
операции, показанной на рисунке;
вместе с добавлением ребер и вер-
шин и отождествлением несмеж-
ных вершин позволяет получить
любой граф G с y(G)>Ar из (А:+1)-клик: G. Hajos // WZ, А10 (1961),
116—117; вторая книга Бержа; A. Urquhart (Эрхарт) // JGrTh,
26(1997), №4, 211-215 [98к#05071].
контур (circuit) = орцикл.
конфигурация: (1) часть триангуляции, определенная в § 3.9; (2) объ-
ект подсчета в теореме Редфилда—Пойа: заключение (п. 4).
концевая вершина (endpoint) = висячая вершина.
----дуги = конец дуги.
----звена — каждая из двух инцидентных ему вершин графа.
концевое = висячее (ребро графа).
кополярный (copolar) граф — в котором для любых двух несмежных
вершин существует такая содержащая их груда Е, что всякая верши-
на графа либо смежна со всеми вершинами £, либо не смежна ни с
одной: J.I. Hall // JCISS, 6 (1981), №4, 332-334 [83, 4В601].
кораскраска — разбиение множества вершин графа на попарно непере-
секающиеся подмножества, каждое из которых порождает клику
или груду: I. Broere, М. Burger // Graphs and Comb., 2 (1986), № 3,
201-208 [87,3B459], JGrTh, 13(1989), № 1, 23-28 [89, 11B548];
J. Gimbel // Rostock math. Kolloq., 30(1986), 73-78 [87, 7В640].
корень Ar-й степени (fc-root) из обыкновенного графа G — такой G', что
Е + А = (Е + А)к, где А=A (G) и А = А ((?') — булевы матрицы дости-
жимости, Е — единичная матрица порядка п = п (G) = n(Gr): добавле-
ние 1 (рубрика «маршруты»). При к =2 (squire root) критерии суще-
ствования: A. Mukhopadhyay // JCTh, 2(1967), № 3, 290—295
[35#1502], D.P. Geller // JCTh, 5(1968), №2, 320-321 [38#80]; алго-
ритм нахождения: Е.О. Басангова // ГГиДОЗ, 1982, 3—6 [82, 6В669].
Критерий существования при заданном ZcgN: F. Escalante, L. Mon-
tejano, T. Rojano // JCTh, B16(1974), № 3, 282-289 [75, 1В556].
корневое дерево = укорененное дерево.
корона (corona) — подстановка одного орграфа в другой: очевидный
перенос на орграфы операции подстановки графа в граф.
кортеж смежностей (adjacency cortege) вершины мультиграфа: § 2.7.
кортежирование (corteging) дерева: § 2.3.
Указатель-справочник
581
коспектральные (cospectral) графы: упр. 27 к § 1.3; книги по спектрам
графов, упомянутые в § 1.3.
- орграфы: F. Harary, С. King, R.C. Read (книга Харари).
коцикл (cocycle) = простой разрез.
коциклический ранг (cocycle rank) = ранг графа'. § 3.2.
край (boundary) грани: § 3.6.
Ar-кратно доминантное подмножество вершин графа: В. Zelinka // Math,
slov., 34(1984), №3, 313—318 [85, 1В661].
кратные (multiple) = параллельные (ребра): введение; § 2.7.
^-кратчайший суграф: § 2.6.
критерии планарности графа: теорема 3.6.4 и упр. 5 к § 3.6; Wu
Wen-Jun, JSSMS 5 (1985), №4, 290-302 [86, 5B674] - в терминах
целочисленной разрешимости системы линейных уравнений над
полем D (0, 1); Th. Bohme, J. Harant, A. Pruchnewski, I. Schiermeyer //
DM, 191 (1998), №1-3, 31—43 [00, 1B285] - для двудольных
3-однородных графов.
критерий гамильтоновости блока: A. Ainouche, I. Schiermeyer И JGrTh,
20(1995), №2, 123—135 [96, 6В250]; формулировка сложна, посколь-
ку это именно критерий (а не только достаточное условие), не мо-
жет основываться на изобилии ребер и требует более тонкого анали-
за структуры графа: конец § 2.1; см. также j-панциклические графы.
— Эрдеша—Галлаи: § 1.10.
критические (в разных смыслах) графы: L. Caccetta [96, 7В225] — обзор,
систематизация нерешенных задач и гипотез. Общее определение
(L, Г)-критического графа GgL относительно набора операций Г
дано в конце § 1.9; рассмотрим некоторые конкретизации L и Г.
L = {G/(p(G)=(p}, Г — добавление ребра: § 1.9; для (р = 2: Z. Fiiredi, A. Se-
ress // JGrTh, 18(1994), №1, 11—24 [95, ЗВ254]; Р. Erdos, R. Holz-
man // JGrTh, 18(1994), №6, 585-594 [95, 4В294].
L = {GI (J(G) = (J}, Г — добавление ребра: D.P. Sumner, P.J. Blitch //
JCTh, B34(1983), № 1, 65-76 [83, 11В672].
L — класс графов с заданным доматическим числом, Г — удаление реб-
ра: см. доматическое число.
L = {G/r (G) = r), Г - добавление ребра: упр-я 13—14.3 к § 2.6; Г — уда-
ление вершины: упр. 15 к §2.6.
L = {G7d(G) = d} — см. диаметрально критические графы.
L — класс гамильтоновых графов, Г — удаление вершины: упр. 23 к
§2.1.
582
Основы теории графов
L — класс геодезических графов, Г — удаление или добавление ребра:
Р. Hik // Math, slov., 36 (1986), № 3, 329-333 [87, 1В607]; N. Sriniva-
san, V.S. Alagar [88, 10В644].
L={(z/t((z) = t} {толщина), Г — удаление ребра: W. Wessel // LNM,
1018(1983), 266-277 [84, 4В475].
L={G//(G) =/}, при четырех определениях Г: Sun Huicheng, Ni Jin
Chen Guandi [83, 6B550]; Г — удаление ребра: H.P. Yap // JGrTh,
5(1981), №2, 159-163 [82, 1B814], Bull. Malays Math. Soc., 6(1983),
№ 2, 45-46 [85, 6B546]; M. Plantholt // JGrTh, 9 (1985), № 3, 371-379
[86, 5B692]; Г — удаление ребра или вершины: A.J.W. Hilton,
P.D. Johnson 11 Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102 (1987), № 2,
211-221 [88, 2B639]; A.G. Chetwynd, A.J.W. Hilton, D.G. Hoffman //
JCTh, B46 (1989), № 2, 240—245 [90,4B596]; см. также %-классы графов.
L={G//(G)>/}, при разных Г: F. Gliviak И Math, slov., 26(1976), № 1,
53-56 [76, 7В455]; W. Mader [86, 9В690].
L={GI I' {G)>1}, при разных Г: Ting Sungkang // Chin. Ann. Math.,
A6(1985), №4, 447-453 [86, 3B782]; W. Mader // JCTh, B40(1986),
№2, 152-158 [86, 11B636], CPCmp, 4(1995), № 1, 81-95 [96, 1B357];
Xu Junming [88, 7B620], [90, 6B434]; J. Plesnik, §. Zn&n // Archiv
Math., 25(1989), №1-2, 19-25 [90, 6B411]; см. также F.T. Boesch,
J.A. McHugh, H.-T. Lai // JGrTh, 14(1990), 181-197; Lai Hong-Jian,
Zhang Cun-Quan // JGrTh, 18 (1994), № 3, 227-240 [95,4В272].
L={G/y{G)=y}, Г — удаление ребра: M. Stiebitz [87,7В637]; H.L. Abbott,
В. Zhou II Studia sci. math, hung., 28(1993), №3-4, 349-358
[96, 11B310]; Chao Chong-Yun // DM, 172(1997), №1-3, 3-7
[00, 3B269] - при у = 4; T.R. Jensen, G.F. Royle//JGrTh, 30 (1999), № 1,
37—50 [00, 5B253] — построение с помощью конструкции Хайоша.
L — класс неоднозначно ^-раскрашиваемых обыкновенных графов,
Г — добавление ребра: см. почти однозначно k-раскрашивамый граф.
L={G/5 (<?)=£} {опорное число), Г — удаление ребра: L. Caccetta, Jia
Rui Zhong // DM, 190(1998), № 1-3, 241-245 [00, ЗВ281].
L — класс гамильтоновых графов, Г — удаление ребра: упр. 24 к § 2.1.
L — класс непланарных графов, Г — удаление или стягивание ребра:
см. почти планарный граф (сноска в § 3.6).
L — класс внешнепланарных графов, Г — добавление ребра: упр. 29 к
§ 3.6; A. Asratian, N. Oksimets [97, 1В258].
L={G, Hft} (см. упр. 6 к § 1.9), Г — добавление ребра: Р. Erdos, A. Haj-
nal, J. Moon [65, 8A270]; C.A. Barefoot, L.H. Clark, R.C. Entringer,
Указатель-справочник
583
T.D. Porter, L.A. Szekely, Zs. Tuza // DM, 150(1996), № 1-3, 31-48
[98, 5ВЗО7].
L = H0 (у), Г — удаление вершины или ребра, отождествление несмеж-
ных вершин, стягивание ребра, добавление ребра: § 3.8.
L — класс несовершенных графов, Г — удаление ребра: Н. Meyniel,
S. Olariu И JCTh, В47(1989), №2, 244-247 [90, 8В413]; Chinh
Т. Hoang И DM, 160(1996), № 1-3, 165-175 [98, 1В266]: G. Bacso,
E. Boros, V. Gurvich, F. Maffray, M. Preissmann I I JGrTh, 29 (1998),
№4, 209-225 [00, 4В262].
L — класс совершенных графов без изолированных вершин, Г — удале-
ние ребра: A. Wagler // JGrTh, 32 (1999), № 4, 394-404 [00, 10В295] -
характеризация графов из L, являющихся графами смежности ребер
или дополнениями таких графов.
L={G/bindG = 6}, Г — удаление ребра: см. связывающее число.
Ь=Вз (см. таблицу в конце §4.2), Г — удаление дуги: упр. 37 к §4.2;
D.P. Geller И PEdMS, 17 (1970), № 1, 5-22 [71, ЗВЗО4]; R.A. Brualdi,
R. Manber [89, 2B657]; W. Mader П JGrTh, 13(1989), №4, 513-522
[90, 5В499]. См. также клико-критический граф и фактор-критиче-
ские графы.
критические графы с кохроматическим числом 3: L.K. Jorgensen //
Graphs and Comb., 11 (1995), №3, 263-266 [96, 5В246].
----относительно раскрасок: В. Toft. Some contributions to the theory
of colour-critical graphs // Var. Publ. Series Math. Inst. Aarhus
Univ., № 14 (1970).
критический (7, 7)-связный граф G = (Jf, U) — такой, что l(G)=l (G) = l
и VxeY[/(G\x) = /-lv/(3\x) = /-l]: К. Ando, Y. Usamo // DM,
66(1987), №1-2, 15-20 [87, 12В749].
S-критические и я-критические подмножества вершин в графе: упр. 13 к
§2.4.
кронекерово произведение (Kroneker product) графов и их матриц
смежностей = тензорное произведение.
крупность (coarseness) графа G - инвариант £(G), введенный П. Эрде-
шем: § 3.7; книга Харари; D. Michalak [86, 9В701] (ссылка на
[73, 11В466]).
крыло (wing) — ребро графа С=(У, U), концевое для какого-нибудь
подграфа типа Z4; граф крыльев данного G — такой W (G) = (Y, К), в
котором Y — подмножество всех крыльев в 6, а смежность означает
принадлежность общему Z4: S. Olariu И DM, 80 (1990), № 3, 281—296
[90, 11В564]; S. Hougardy // JGrTh, 31 (1999), № 1, 51-66 [00, 5B246]
584
Основы теории графов
характеризует все G, для которых W (G) — простой цикл, и доказыва-
ет (кроме одного случая) справедливость гипотезы Хоанга.
r-куб Qr — декартово произведение г клик F2: упр-я 7 и 7' к § 3.5, 11 и 13
к § 3.7; В. Zelinka // С₽М, 108 (1983), № 3, 239-240 [84, 1В634] - оцен-
ка наибольшей длины подграфа С/; I. Havel // СРМ, 109 (1984), № 2,
135—152, 204 [84, 11В536] — гамильтоновы циклы в gr; Ф.И. Соловь-
ев // СНТИМ, 45 (1987), 71-76 [88, ЗВ662); О.Ф. Черепов (Одесский
семинар, сентябрь 1977 г.) — характеризация в терминах блок-схем,
I.J. Deiter// DM, 124 (1994), № 1-3, 55-66 [95, 1В318] - обзор по сим-
метрическим подграфам в б7; Р.М. Weichsel // JGrTh, 18 (1994), № 5,
479—488 [95, ЗВ279] — всесмежные подмножества S вершин Qr, такие
что каждая вершина не из S имеет в S ровно одну смежную; У. Сан-
жимятов (Улан-Батор 46, п/я 296). Одно из изоморфных представле-
ний: Qrzz Qr (М) - (2м, U), где М — произвольное г-элементное
множество, а смежность вершин (подмножеств М) х, у е 2м означа-
ет, что |(x\y)UU(y\х)|=1.
кубоид (cube-like graph) Qlr — граф, полученный из r-куба соединением
новыми ребрами всех таких пар несмежных различных вершин, рас-
стояние между которыми (в естественной метрике) не превосходит I.
кубический (cubic) граф = 3-однородный граф,
кусочно-полный (pieswise) граф: упр. 4 к § 1.3.
Л
лабиринты и графы: книга Кёнига: О. Ore // Math. Teacher, 52(1959),
№ 5, 367-370; книга Оре; К. Thalwitzer // BGrth, 1968, 157-161
[69, 7В218].
лапа (clow) = 3-веер К3: § 1.2; см. также графы без 3-вееров.
легкие графы — для которых в задаче о наибольшей клике существует
полиномиальный алгоритм решения или преобразования данного
графа в полиномиальное количество графов, допускающих такое
решение; список свойств исходного графа, теряемых в последнем
случае, проясняет структуру трудных графов: С. Hoede // DM,
72(1988), № 1-3, 175-179 [89,4В590, 7В623].
легко вычислимые инварианты графа: § 1.4.
лексикографическое произведение графов б = (У, U) и G’ = (X',U') —
граф G[ G'] (или G о G') = (ХхX', К), вершины которого хх и уу' сме-
жны тогда и только тогда, когда ху или х=у	W. Imrich
// Archiv Math., 20 (1969), № 3, 228-234; A. Ah АН, Gh.T. Marougi //
Указатель -справочник
585
ArsC, 36 (1993), 271—283 [95, 1В304); для орграфов: W. Dorfler, W. Im-
rich // MhM, 76(1972), № 1, 21—30 [72,11В308].
лень (laziness), как стимул факторизации: добавление 2.
лес (forest): упр. 17 к §2.3.
линейная древесность = реберная древесность (графа).
линейно критический = реберно критический (блок).
линейное размещение = нумерация (графа).
линейный граф (line graph) = граф смежности ребер.
—	подграф (linear subgraph) графа — суграф, каждая компонента кото-
рого — простой цикл или 2-клика.
----орграфа — суграф, в котором степени исхода и захода каждой вер-
шины равны 1.
линия (line) графа = ребро.
—	матрицы = ряд (строка или столбец).
локальная А-раскраска ребер графа — при которой для каждой верши-
ны рёбра, инцидентные ей, окрашены не более чем к цветами:
A. Gydrfas, J. Lehel, J. NeSetril, V. Rodl, R.H. Schelp, Zs. Tuza И JCTh,
B43(1987), №2, 127-139 [88, 2B637}.
локальное свойство (local property) графа G — такое, которым обладает
окружение O = O(G, х) каждой его вершины х: книга Зыкова. В ча-
стности, л-ая гамильтоновость: упр. 14 к § 2.1; л-ая древесность, или
л-я древовидность (все О — деревья): В. Zelinka И СРМ 108 (1983),
№ 3, 230—238 [84, 1В613], Е. Kowalska [89, 1В624]; л-я змееобразность
(все О — простые цепи): В. Zelinka [88, 6В665]; л-я конечность; за-
ключение (п. 5); л-я линейность (все О состоят из компонент вида
F2): D. FronCek // Math, slov., 39 (1989), № 1, 3-6 [89, 5B452]; л-я не-
связность и л-я цикличность: В. Zelinka [88, 9В588]; л-я однозначная
раскрашиваемость: И.Г. Дмитриев [88, 8В567]; л-я планарность и л-я
раскрашиваемость: В.Х. Мамедов // ИАНАз, 1982, № 1, 87—93
[82, 11В637]; л-я Z-связность: упр. 19 к §2.5; G. Chartrand, R.E. Pip-
pert // СРМ, 99 (1974), № 2, 158-163 [74, 11В437]; D.W. Vanderjagt //
там же, №4, 400-404 [75, 5В451], DM, 10(1974), №3-4, 391-395
[75, 5В452]; Ю.Л. Орлович // ИАНБе, 1999, № 3, 97-100 [00, 5В276];
л-е совершенство: М. Preissmann // JCTh, В50(1990), №1, 22—40
[91, 10В298].
локальные раскраски графов: М. Truszchynski [88, 1В587], JCTh,
В54 (1992), № 2, 178-188 [93, 10В201] - обобщения.
586
Основы теории графов
М
магический (magic) граф — обыкновенный G, ребрам которого можно
отнести m(G) различных неотрицательных чисел так, чтобы для
всех вершин сумма чисел, отнесенных инцидентным ребрам, была
одной и той же. Понятие ввел Й. Седлачек (1963); J. Sedladek И
Math, slov., 26(1976), №4, 329—335 [77, 8В450]; история вопроса и
библиография: М. Doob И JCTh, В25 (1978), № 1, 94-104 [58#21840].
Далее: М. Borowiecki, L.V. Quintas [84, 6В505], [89, 7В567] — для орг-
рафов; М. Ваёа [91, 2В497]; F. GObel, С. Hoede И ArsC, 51 (1999),
3—19 [00, ЗВ298]. Модификация: Т. Nakamigawa, G. Ringel И SUT J.
Math., 34(1998), №2, 105-109 [00, ЗВ299].
макси-код (maxi-code) графа: §3.1.
максимальная (maximal) клика графа — полный подграф, максималь-
ный по включению множеств вершин.
максимально неоднородный (maximally irregular) граф: упр. 3 к § 1.2;
L. Nebesky // СРМ, 98 (1973), № 3, 305-306 [73, 12В421]; J. Sedlatek И
СРМ, 100(1975), №2, 135-141 [75, 10В297]; А.О. Кац И УЗЛУ,
242(1975), 128-131 [76, 7В467]; A. Kotzig.
—	планарный (maximally planar) граф: § 3.6.
максимальный род графа в терминах запрещенных подграфов: Ryu
Нае Dong, Li Chong II П Bull. Acad. Sci. DPR Korea, 1986, № 3,
13-16 [87, 9В612].
------диаметра 2: M. Skoviera П DM, 87(1990), №2, 179—180
[91, 11В480].
Л-малое множество вершин графа С=(У, U) — такое X' ciX, что степе-
ни вершин s (G', у) подграфа G' = (Х\ U'), порожденного этим X1, не
превосходят к: G. Hopkins, W. Staton // ArsC, 22(1986), 19—24
[87, 6В592].
маршрут (walk): §2.1; §2.7.
массовые проблемы в теории графов: § 1.10; § 3.5 и упражнение 11 к не-
му; заключение (п. 1).
матрица достижимостей (reachability matrix): добавление 1.
—	инциденций: § 2.7; § 3.3; выявление некоторых свойств графа по его
м-це и-й: У. Takenaka // Inform, and Contr., 17 (1970), № 2, 113—121
[71, 2В335]. См. также обобщенные матрицы инциденций.
—	коциклов (cocycle matrix) = матрица разрезов.
—	Лапласа (полных проводимостей) графа G — м-ца D(G) — A(G), где
D — диагональная м-ца степеней вершин, А — м-ца смежностей:
Указатель-справочник
587
R.B. Bapat П Math. Studia, 65(1996), № 1—4, 214-223 [00, 4B258] -
обзор.
—	максимальных груд: добавление 1.
---клик: добавление 1.
—	обходов (detour matrix) орграфа — такая || г у ||", в которой г у — длина
(в естественной орметрике) наибольшей простой орцепи из z-й вер-
шины в j-ю (в случае недостижимости г у = + оо).
—	разрезов (cutset matrix) графа: § 3.3.
— расстояний (distance matrix) — такая \\dy ||", в которой dy — длина (в
естественной метрике) кратчайшей цепи из /-й вершины в j-ю (в слу-
чае недостижимости <7zy= + oo).
- смежностей (adjacency matrix) графа: § 1.3; §2.7; §4.1.
— степеней (degree matrix) в книге Зыкова = матрица Лапласа, применя-
ется для подсчета и полного выявления каркасов графа.
— циклов - цикломатическая матрица.
матрицы полуинциденций (semi-incidence matrices) орграфа Ge В с п
вершинами и т дугами:	(G)=||?nt ||^, где mt =1, если у-я дуга
заходит в ью вершину, и mt =0 в противном случае;
М~ (G)=\\my ||" , где ту =1, если у-я дуга исходит из ьй вершины, и
ту =0 в противном случае: Е. Dedo, L. Porcu И DM, 51 (1984), № 1,
1-11 [85, 12В580].
— слоев (layer matrices) графа: А.А. Добрынин [88, 4В558, 559].
— соседства (neighbourhood matrices) вершин и ребер: Л.М. Лихтенба-
ум (книга Зыкова).
матрогенические, матрогенные, матроидные и пороговые графы:
R.I. Tyshkevich // DM, 51 (1984), № 1, 91—100 [85, 1В629]; Р. Marchio-
ro, A. Morgana, R. Petreschi, В. Simeone // DM, 54 (1984), № 1, 47—61
[85, 2B664]; книга минчан; пороговые графы.
матроид (matroid) заключение (п. 3); C.St.J.A. Nash-Williams // TGrR,
(1967), 263—265; М. Conforti, M.R. Rao [88, 5B595] — некоторые но-
вые матроиды на графах. Литературу по матроидам собрал проф.
Г.Н. Востров (каф. прикл. матем. Одесского политех, ун-та).
машинное решение проблемы четырех красок: § 3.9.
мера тонкости (нем. FeinheitmaB) графа G относительно стягиваемости —
функция f.G->7L, удовлетворяющая условиям: (1) если G можно стя-
нуть на G', то /(G)>/(G'); (2) /(GF1)=/(G) + 1; (3)/(G1+G2) =
= тах{/ (Gj), f (G2)}; меняя п. (1), получаем определения меры тон-
кости относительно других свойств графа (например, наличия части,
изоморфной результату подразделения ребер у G'): R. Halin // Math.
588
Основы теории графов
Ann., 172 (1967), № 1, 46-78 [68, 4В246]; Д.Я. Кесельман И Труды Ир-
кутск. ун-та, сер. матем., 74(1970), №6, 180-189 [72, 11В316];
В.В. Берков [85, 5В555Деп, 8В573Деп].
r-мерный куб = г-куб.
метагипотеза Бонди — «почти все нетривиальные достаточные условия
гамильтоновости графа обеспечивают его панцикличность»:
A. Bondy [76, 1В655]; С.Х. Дарбинян // Studia sci. math, hung.,
20 (1985), № 1-4, 95-117 [87, 8B674]; D. Amar, E. Flandrin, J. Fourni-
er, A. Germa // DM, 89 (1991), № 2, 111-131 [92, 6B497] - несколько
иначе высказана в конце §2.1. Говорить об эквивалентности обеих
формулировок не имеет смысла ввиду их нестрогости.
метла (broom) — граф типа ------------
метод Майеды: § 3.4.
—	текущей суммы: § 1.4.
—	Хееша: § 3.9; R.B. Mallion, D.H. Rouvray И Studia sci. math, hung.,
13 (1978 (1981)), № 1-2, 229-243 [82, 2B604]; Hind Hugh, Zhao Yue //
DM, 190(1998), №1-3, 107-114 [00, 2В324].
—	чередующихся цепей: § 2.4.
----последовательностей вершин: упр. 19 к § 2.4.
методы (у, к)- и (z, j, /^-размещений — одно из средств для выяснения
структурного смысла коэффициентов в каноническом выражении
рекуррентной функции от графов: В.В. Матюшков, Г.Э. Эргашев
(заключение, п. 4).
метрика графа: упр. 10 к § 2.3; § 2.6; естественная метрика. Аксиомати-
ческий подход к метрическим свойствам графов: L. Nebesky //
CzMJ, 50(2000), №1, 3-14 и 121-133 [00, 12В250, 251].
метрический базис графа G = (X, U) — такое подмножество FcY, что
Vx, у g X 3z е Y[р (х, z)	(у, z)] (в естественной метрике): С.В. Юш-
манов // ВМГУ, 1987, № 1, 68-70 [87, 5В650].
метрическое пространство: §2.6.
мини-код (mini-code) графа: § 1.3.
минимаксная постановка задачи коммивояжера'. § 2.6.
минимальная реализация метрики: §2.6 и упр. 18.3 к нему.
минимальные невложимые (minimal unembeddable) графы — типы гра-
фов, играющие роль и 3 (и их подразбиений) из теоремы Кура-
товского при исследовании вложимости графов в поверхности S, от-
личные от плоскости (и в другие топологические многообразия). На-
пример, при S=P\ (тор) м-но н-й. граф с точностью до изоморфизма
только один — Х3 7, при 5= («крендель») — Х3 и: Е. Joachim //
Указатель-справочник
589
Math. Phys. Semesterber., 26(1979), №2, 205—215 [80, 3B629]; приме-
чание 2 в § 3.6.
— несовершенные графы: упр-я 9—10 к § 3.10; R.G. Bland, Н.-С. Huang,
L.E. Trotter jr. // DM, 27 (1979), № 1, 11—22 [80, 4B364]; A.C. Tucker //
JCTh, B32(1977), № 1, 143—149 [78, 5B475], ANYAS, 319(1979),
530—535 [82, 9B478]; Ch.T. Hoang // JCTh, B42 (1987), № 3, 264-279
[87, 11B665], DM, 160(1996), № 1-3, 165-175 [98, 1B266]; S. Olariu //
JCTh, B45(1988), №2, 255—257 [89, 7B598]; см. также критические
графы.
— /-сплетаемые графы: D.R. Lick И JRAM, 252(1972), 178—182
[72, 7В296].
минимальный граф в смысле Фелькера — такой G, что никакой его
строгий подграф нельзя получить из него стягиваниями; неулучшае-
мый достаточный признак: cp(G)<n(G)/2 и отсутствие конических
вершин. W.D. Felner // Theor. Comp. Sci., 17(1981), №1, 103—110
[82, 4В567].
— невнешнепланарный граф — допускающий такое плоское представле-
ние, при котором только одна вершина не принадлежит внешней
грани: Н.Р. Patil, V.R. Kulli [86, 9В658].
— подграф или суграф — часть с заданным свойством в графе, минималь-
ная по включению множеств вершин, соответственно множеств ребер.
— разрез = простой разрез'. §3.1.
— цикл = простой цикл.
минор (minor) графа G — граф, получаемый из G стягиваниями ребер и
удалениями элементов; вопрос, во всякой ли бесконечной последо-
вательности (?!, G2, ... попарно неизоморфных графов есть такие (7/
и Gj, что Gj изоморфен некоторому минору графа G,: N. Robertson,
P.D. Seymour // LMSLN, 103(1985), 153-171 [86, 2В725] - обзор,
JCTh, В41 (1986), №1, 92-114 [87, 2В664], [87, 4В527] - обзоры,
[89, 2В678], [91, 4В623]1, R. Diestel, D. Kiihn // JGrTh, 32 (1999), № 2,
191-206 [00, 4В242].
многообразие (variety) задач теории графов: Л.С. Мельников [73, 6В375].
многообразия (manifolds) графов: A. Haviar, R. Nedela // DsMGr,
18(1998), №2, 209-223 [00, 9В243].
ст-многочлен: см. многочлены раскрашиваний.
многочленные инварианты графа: § 1.3; обзор: E.J. Farrell [90, 12В458].
1 Положительное решение — в 20 статьях (около 500 стр.). См. также теорема Кура-
товского.
590
Основы теории графов
многочлены гомоморфизма графов: Н(С) в § 1.3; R.A. Bari И JCISS,
7(1982), № 1, 56-64 [83, 8В567]; D.R. Girse И JCISS, 10(1985),
№ 1-2, 62-68 [87, 9В624]; R.A. Gillman // JnUM, 18(1995), №4,
653—658 [97, ЗВ287] — связь с су-многочленами и хроматическими
многочленами.
— на графах. Пусть Р — многочлен от квадратных матриц, A = A(G) —
матрица смежностей графа G; если есть такой граф Н, что
Л(Я)=Р(Л), то Я=Р(С): Р.М. Weicksel [88, 4В557].
— Негами: см. рекуррентные функции от графов.
— паросочетаний (matching polynomials) в различных близких смыслах:
(О Xni(G)xi - УПР- 12а к §2.4; (2) “ E.J. Farrell И JCTh,
/>0
В27 (1979), № 1, 75-86 [80, 3B643]; (3) ^(-\)кп k(G)xn^G'>~2k -
к>0
G.D. Godsil, I. Gutman [82, 2В627], JGrTh, 5(1981), №2, 137-144
[82, 4В583); случаи, когда равенство мн-в п-й двух графов влечет их
изоморфизм: Li Gaiyang [93, 5В284]; аналогия с характеристическим
многочленом'. I. Gutman [83, 9В551]. См. также графы Фибоначчи.
— раскрашиваний (coloring polynomials): Г((7) и Г((?) в § 1.4 и упр-ях
1—4', 86 к нему; § 2.7. В разных смыслах: G.D. Birkhoff (книга Оре);
G.D. Birkhoff, D. Lewis // TAMS, 60(1946), 355-451 [MR8p284];
A.A. Зыков И МСб, 24 (1949), № 2, 163-188 [MR8p733] - распредели-
тельный многочлен-, W.T. Tutte И CJM, 6(1954), №1, 80—91
[55, 11, 5683] - дихромат-, R.C. Read // JCTh, 4(1958), № 1, 52-71
[37#104], книга Харари; В. Eisenberg И LNM, 186(1971), 85-94
[71, 11В497; 43#6133]; G.H.J. Meredith // JCTh, В13(1972), № 1,
14-17 [73, 1В539; 46#8886]; W.T. Tutte И LMSLN, 13 (1974), 161-167
[75, 4В402]; К. Korfhage // JCTh, В24(1978), №2, 137-153
[78, 12В1022] - а-многочлен-, G. Berman И JCTh, В25(1978), №2,
151-165 [78, 10В684]; R.A. Bari И ANYAS, 328(1979), 21-29
[82,9В500]; В.Х. Мамедов И Матем. киб. и прикл. матем., Баку,
1981, № 5, 35-40 [82, 5В503]; N. Linial // DM, 58(1986), № 1, 97-98
[86, 7В629]; I. Tomescu // DM, 66(1987), №3, 315-318 [87, 12B720J;
см. также хроматический многочлен. Все эти многочлены легко под-
водятся под частные случаи V-функции, введенной Таттом
(W.T. Tutte // Proc. Cambridge Phil. Soc., 43(1947), №1, 26-40
[MR8p284]) и подробно изложенной в главе IX его книги.
Указатель-справочник
591
В-множества (В-sets): S.K. Stein H BAMS, 76(1970), №4, 805-806
[71, 4B427] — определение и связь с раскрасками графа.
множественное доминирование (set domibation) в связном графе
G!=(Ar, U) — такое Ус/, что VZс/НКЭЗсУ {Z\JS порождает
связный подграф в 6): Е. Sampathkumar, L. Pushpa Latha И JGrTh,
18(1994), №5, 489-493 [95, ЗВ263].
множество обратной связи (feedback set) — трансверсаль семейства мно-
жеств вершин или дуг всех орциклов, т. е. такое множество элемен-
тов, удаление которого из орграфа делает его ациклическим.
— слежения (trace set). Пусть орграф (X, Г) с 11 имеет «начало» х0 и «ко-
нец» z — такие вершины, что Гхд = Y\{x0} и T-1z = X\{z}. М.с. — это
подмножество Гс/, содержащее х0, z и обладающее свойством: для
любой пары вершин х, у е X из х в у может идти не более одной ор-
цепи, не содержащей других вершин Т. Нахождение и минимизация
м.с.: V. Joskova, A. Moravek И Scr. fac. sci. natur. ШЕР, 16(1986),
№ 10, 495-503 [87, 7В659].
моделирование нервной системы орграфами: § 4.5; М. Shimbo, S. Yoshi-
zava, J. Toyama H Tensor, 52(1993), № 1, 103-106 [95, 2В350].
— работы мозга раскрасками графов: § 1.4, § 3.9.
модификации определителя, применяемые в теории графов и комбина-
торном анализе: гафниан, перманент, пфаффиан.
модульное произведение (modular product) графов: § 1.5; А.А. Тимофеев
[79, 9В730] — ряд очевидных свойств; В.В. Матюшков // ГГиДОЗ,
1982, 105—112 [82, 6В649] — более глубокое изучение.
монотонные инварианты графа: § 3.8; для таких инвариантов критичность
графа совпадает с минимальностью по удалению элементов: § 1.9.
монотонный граф: упр. 32' к § 2.2.
монстр (monster) — минимальный несовершенный граф G с заданными
<p(G)>3 и s(G)>3.
мост (bridge) - неудачное название перегиейка\ так, из семи кёнигсберг-
ских мостов (см. гимн графистов), ни один не является перешейком
«графа мостов» (рис. 2.8.1).
моток (skein) — граф рис. 2.8.3.
мрачные (murky) графы: R.В. Hayward // JCTh, В49(1990), №2,
200-235 [92, 6В480].
мультиграф: § 2.7; в книге Харари — то же, но только без петель,
мультираскраски (multicolorings) графов: С. Berge // Math. Program.
Study, 8(1978), 226-234 [79, 6В599].
мультистягивание (multicontraction) графа, ребра: § 2.7.
592
Основы теории графов
Н
надграф в книге Зыкова — граф, содержащий данный в качестве под-
графа.
наибольший (maximum), наименьший (minimum) подграф или суграф -
часть с заданным свойством в графе, обладающая среди всех таких
частей наибольшим, соответственно наименьшим количеством вер-
шин или ребер (не путать с максимальной (maximal) и минимальной
(minimal) частями по включению множеств соответствующих эле-
ментов): конец § 1.9.
— род графа: упр. 9 к § 3.5.
Ф-наибольший, Ф-наименыпий графы: § 1.9.
накрытие (line cover), накрывающее число (line covering number) графа:
§2.4.
направленное ребро (directed line) = дуга', введение, §4.1.
направленный (directed) граф = орграф'. § 1.4.
напряженная (utmost) раскраска ребер графа: § 2.9.
наследственное (hereditary) свойство целого — сохраняющееся и для его
частей. Например, свойство графа быть совершенным (§ 3.10) имеет
место и для любого его подграфа, рассматриваемого как самостоя-
тельный граф; более общее изучение н-х. св-в графов: S.T. Hedetnie-
mi // JCTh, В14 (1973), № 1, 94-99 [73, 6В379]; книга Харари; обзоры
и обсуждение результатов: В. Bollobas // Proc. Int. Congr. Math. Ber-
lin, August 1998, 18-27; Bielefeld, 1988, 333-342 [00, 1B296J; M. Boro-
wiecki, I. Broere, M. Frick, P. Mihok, G. SemaniSin // DsMGr,
17(1997), №1, 5-50 [00, 9В252].
насыщенная (saturated) = жирная (вершина графа): § 2.4.
/-насыщенная (фактором G') вершина графа G=(Jf, U) — такая хеХ, в
которой 5г(х)=/(х): см. фактор (f-фактор) графа.
насыщенное паросочетание — максимальное по включению: Р. Flach,
L. Volkman [88, 5В720].
насыщенный граф — базируемый, становящийся бисвязным при любой
такой ориентации, которая делает его базовым: К.М. Мосесян //
ДАНАр, 56(1973), № 5, 257-262 [74, 4В332].
Н-насыщенный граф — не содержащий частей типа Н и критический
относительно добавления ребер.
неадамов (non-adamian) граф — орграф без петель, для которого невер-
на гипотеза Адама (в работе Э.Я. Гринберга - см. § 4.4 - так назва-
ны мультиграфы более узкого класса — когда переориентация
Указатель-справочник
593
любой дуги увеличивает число орциклов). См. также С. Thomas-
sen // JCTh, В42(1987), № 1, 128—130 [87, 6В573].
невосстанавливаемые графы — для которых неверна вершинная гипоте-
за Улама; гипотеза о несуществовании нев-х обыкновенных графов
пока не доказана, для орграфов неверна (§4.1).
невразумительные рефераты — из которых нельзя понять результаты
реферируемой работы, например [87, 12В714], [88, 2В623], [89, 2В689]
(порочный круг), [91, 1В534Деп], [00, 8B286J; см. также упр. 8 к § 3.8.
негамильтоновы (non-hamiltonian) графы — не имеющие гамильтоно-
вых циклов; особенности структуры таких графов: R. Haggkvist И
СРСшр, 1 (1992), № 1, 27-34 [93, 9В327]; М. Wozniak И Demonstr.
Math., 25 (1992), № 3, 447—456 [93, 9В328]. Часто — примеры графов
(или классов графов), опровергающие предположение о достаточно-
сти того или иного условия для гамильтоновости, например:
Н. Sachs // TGrR (1967), 373-382.
— планарные 3-, 4- и 5-однородные графы наибольшей связности:
R.E.L. Aldred, S. Bau, D.A. Holton, B.D. McKay // SIAM J. Discr.
Math., 13(2000), № 1, 25-32 [00, 10B265]; P.J. Owens // Tatra Mont.
Math. Publ., 18(1997), 89-103 [00, 12В232].
независимое множество (independent set) графа — состоящее из попарно
несмежных его вершин (груда, безреберное подмножество) или ре-
бер (паросочетание).
^-независимое множество вершин графа G=(X,U) — (1) такое YciX,
никакая вершина которого не может иметь в нем более к -1 смеж-
ных: см. к-доминирующее множество; (2) безреберное £сУ, содер-
жащее все те груды графа, мощность которых превышает |Е|-к\
W. Siemes, J. Topp, L. Volkmann // DM, 131 (1994), № 1-3, 279-285
[96, 1В385].
независимые = несмежные (вершины или ребра графа).
незаменимая (indispensable) дуга: §4.2.
неизбежное (unavoidable) множество конфигураций: § 3.9.
----типов граней: см. тип грани топологического графа и плоская карта.
нейрон (neuron): §4.5.
ненаправленное (undirected) ребро = звено', введение, § 4.1; иногда удоб-
но причислять к таким ребрам и петли.
ненаправленный (undirected) = неориентированный (граф),
ненасыщенная (unsaturated) = тонкая (вершина): § 2.4.
неориентированный (nonoriented, undirected) граф — общего вида, не
содержащий дуг (§ 4.1) = мультиграф (§ 2.7). Во второй книге Бержа
594
Основы теории графов
всякий граф считается ориентированным, понятие же н.г. возникает
посредством абстракции отождествления всех 2т орграфов с ~т
дугами на заданном множестве вершин, различающихся только
направлениями дуг.
неориентируемый род (nonoriented genus) графа — наибольший род од-
носторонней поверхности, на которой можно топологически пред-
ставить данный граф: § 3.5; н.р. п-куба: М. Jungerman // PJM,
76(1978), №2, 443—451 [79, 2В528].
^-неотделимость (^-inseparability) вершин графа: § 2.5; § 2.7.
—	упорядоченной пары вершин в орграфе: § 4.2.
Ar-неотрезаемость (fc-inseverability) вершин графа: § 2.7.
—	упорядоченной пары вершин в орграфе: § 4.2.
непетля в книге Зыкова = звено или дуга.
неплотность (nondensity) графа: § 1.3.
— орграфа: §4.2 и упр. 24м к нему.
неполная раскраска (incomplete coloring) вершин графа: § 2.7 (примеча-
ние в конце); С. Berge // DM, 74 (1989), № 1-2, 3-14 [89, 12В540] -
минимизация числа неокрашенных вершин.
---ребер графа: § 2.9.
неполный (incomplete) граф — обыкновенный, содержащий хотя бы од-
ну пару несмежных различных вершин.
неправильная (invalid) раскраска вершин: § 3.1 (сноска); упр. 7 к § 3.9;
R. Skrekovski // CPCmp, 8(1999), № 3, 293-299 [00, ЗВ286].
---ребер: §2.9 (сноска).
/-неправильный (/-peculiar) граф: § 3.8.
неразбивающее (nonseparating) расположение графа на поверхности:
§3.5.
неразделяющий цикл = доблочный простой цикл.
переконструируемые турниры (unreconstructable tournaments) — такие
полные антисимметрические графы Бержа, для которых неверна
вершинная гипотеза Улама: §4.1.
нерешенные задачи в теории графов. Кроме открытых вопросов, упо-
мянутых в тексте, списки: М. Stojakovic // Mat. bibliot., 1963, №25,
51-62 [65, 5А262]; В.Г. Визинг И УМН, 23(1969), №6, 117-134
[69, 7В196] (в определении мультиграфа опечатка!); Unsolved prob-
lems И Southend-on-Sea, 1972, 351-363 [75, 4В437]; Л.С. Мельников
[73, 6В375]; F. Harary. Recent Advances in Graph Theory // Proc. Sym-
pos. Praha, June 1974 (Acad. Praha 1975), 249-256 - четыре трудных
проблемы; P. Erdos [75, 2B505] (за решение некоторых проблем
Указатель-справочник
595
предложено вознаграждение от 100 до 10 000 долларов, смотря
по трудности1); Research Problems // AnnDM, 2(1978), 239—243;
С. Berge [81, 7В635]; Unsolved Problems // LNM, 1073 (1984), 324-335
[85, 1B620]; E. Hexel, P. John // WZTHI, 33(1987), №1, 41-48
[87, 9B582] (10 задач); P. Erdos // Comtemp. Math., 65 (1987), 223-228
[87, 12B707] (обзор нерешенных проблем); A. Gyarfas [89, 2B683] —
ряд проблем, относящихся к совершенным графам; J. Bang-Jensen,
В. Toft // DM, 101 (1992), № 1—3, 351-360 [93, 9В275] - 27 задач;
книга Йенсена и Тофта.
несвязный (disconnected) граф: введение; §1.3; §2.1; §2.7.
несжимаемый (incompressable) граф: упр. 14.2. к §2.6.
несмежность (nonadjacency) вершин: §1.1; §2.7.
—	ребер — отсутствие общих инцидентных вершин: §1.10.
несовершенные графы: S. Olariu // JCTh, В45 (1988), №2, 255—257
[89, 7В598]; см. также критические и минимальные несовершенные
графы.
несравнимые (incomparable) вершины орграфа — ни одна из которых не
достижима из другой: §4.2.
нетрадиционное введение в теорию графов: С. Thomassen // Normat.,
32(1984), №3, 111-124 [85, ЗВ443].
неуловимое (evasive) свойство графа G — такое, наличие (или отсутствие)
которого невозможно установить, если матрица смежностей A (G) из-
вестна не полностью: J. Kahn, М. Sak;s, D. Sturtevant [84, 9В496].
нечеткий = расплывчатый граф.
—	кратчайший путь в сети: См. расплывчатый граф.
нить (thread) графа — простая цепь, концевые вершины которой имеют
в графе степени более 2, а промежуточные (если они есть) — степень
2: А.К. Кельманс // ГГиДОЗ, 1982, 79-88 [84d#05075].
коматическое число (nomatic number) графа — наибольшее число клас-
сов такого разбиения множества вершин, при котором каждый
класс вместе с окружениями всех его вершин порождает весь граф:
S.R.Jayaram // NASL, 10(1987), № 1, 23-25 [88, 2В667].
нормальный (normal) граф — обыкновенный, обладающий такими по-
крытиями всех вершин системой {/} клик и системой {Б1} груд, что
i The Clay Mathematical Institute <http://www.claymath.org/prise_problems>,
<http://wwwlO.nytimes.eom/aponline/i/Ap-Million-Dollar-Math.html> сулит аж милли-
он долларов решившему любую из семи проблем, одна из которых, относящаяся
к графам, состоит в ответе на вопрос: являются ли NP-полные задачи на самом деле
полиномиально разрешимыми? (См. работу А.Д. Плотникова, упомянутую в § 1.7.).
596
Основы теории графов
любая F с любой Е имеет общую вершину; всякий совершенный
граф нормален, но не наоборот: J. Korner // Studia sci. math, hung.,
8(1973), № 3-4, 405-409 [75, ЗВ496].
нулевой граф, нуль-граф (null graph, «Граф Нулин»). (1) — пустое мно-
жество, причисляемое к графам: § 1.3, § 3.10; это может приводить к
парадоксам (связен «граф» 0 или нет?): F. Harary, R.C. Read //
LNM, 406(1974), 37-44 [75, 4В431]. (2) в книге Зыкова = груда.
нумерация (indexing) = индексеция (графа).
нумерация (numbering) графа G=(X,U) — биекция <р: Z-»{1, 2,...,
n = n(G}}. При заданной <р: (p-длинаребра — это \(р(х)-(р(у)|, ширина
интервала [ i, i +1] - w(i, <p)=]xyeU/(p(x)<i & <p(j)>/+l| (/=1,2, ...,
и-l), (p-высота графа H(G, (p)=xnax{\(p(x)-(p(y)\lxye(7}, ср-ширина
и (p-узость графа — соответственно W (G,(p)±maxw(i,(p) и
i
S(G, (p)=minw(i, (p), а минимумы последних трех величин по все-
z
возможным <р — просто высота H(G), ширина W (G) и узость S(G)
графа G: Д.Я. Кесельман [75, 1В544]: L. Niepel, Р. Tomasta И CzMJ,
31 (1981), № 3, 475-483 [82, 2В610]; И.А. Клипкер // Тез. докл. II Все-
союзн. совещания по методам решения оптимиз. задач на графах и
сетях, ч. 2 — Улан-Удэ, 24—26 авг. 1982; С. Huang, A. Kotzig, A. Ro-
sa// Util. Math., С21 (1982), May, 31-48 [83, 3B504] - для деревьев;
Д.О. Мурадян // ТВЦЕр, 1985, № 14, 79-86 [86, 2В722]; N. Grttnwald
[88, 1В607 (препринт)]; К. Heinrich, Р. Hell // Graphs and Comb.,
3 (1987), 279-284 [88, 2B654]; J.A. GaUian // DApM, 49 (1994), № 1-3,
213-229 [95, 1B305] - обзор (библ. 74); G.S. Bloom, S. Ruiz // DApM,
49(1994), № 1-3, 61-75 [95, 2B311]; S. Jirimutu, J. Chen // Chin. J.
Eng. Math., 16(1999), №2, 131-134 [00, 2B317]; Dong Jun-Chao // J.
Hebei Norm. Univ., 24(2000), № 1, 25-26 [00, 9В247]. H. называется
грациозной (или изящной, элегантной), если все m=m(G) чисел
|<p(x)-<p(j)| различны: см. грациозные графы и Р. Das, Т. Gango-
padhyay [84, 2В524]. Модификации — гармоническая нумерация <р:
XUT->{0, 1, ..., т-l}, такая что Vxyet/[<p(xy) = <p(x)+<p(y)], и
кардиальная нумерация <р: XljY—>{0, 1}, при которой количества
Хф (0), x^ (1), как и Ид, (0), «ф (1) различаются не более чем на 1; на-
пример, всякое дерево допускает кордиальную н-ю: I. Cahit // ArsC,
23(1987), 201—207 [88, 2В624]. Простую н-ю, при которой номера
смежных вершин взаимно просты, допускают, например, все дере-
вья: Fu Hung-Lin, Huang Kuo-Ching // DM, 127 (1994), № 1—3,
181-186 [95, 1В299].
Указатель-справочник
597
О
обобщения реберных, средних и тотальных графов: М.М. Syslo,
Z. Торр // JCISS, 10(1985), № 1-2, 69-78 [87, 9В607].
обобщенная связность графа: Е. Sampathkumar // JCISS, 9 (1984), №2,
71-78 [86, 5В723].
—	степень: упр. 2 к § 1.4.
обобщенное число Хадвигера: упр. 20 к § 2.7.
обобщенные матрицы инциденций (для пар вершин, циклов и карка-
сов): J. Ponstein И TGrR (1967), 315-332.
—	степени вершин: S. Antonucci [88, 5В674].
—	характеристики графов (покрытия, накрытия, паросочетания, разде-
ляющее множество, связность, род): Е.А. Nordhaus // LNM,
642(1978), 420-425 [79, 1В614].
-	числа раскрасок: Н. Izbicki [69, 5В306]; S. Stahl // JCTh, В20(1976),
№2, 185—203 [53#10636]; также количества цветов при мулыпираск-
расках и раскрасках вершин графа в предписанные цвета.
обобщенный род поверхности (в связи с топологическим вложением
графа): G.L. Miller // JCTh, В43 (1987), № 1, 25-47 [87, 11В657].
обратное доминирующее (converse dominating) = внешне устойчивое
(множество вершин в орграфе).
обратный граф = противоположный орграф.
обращение (conversion) оценок: § 1.9.
обхват (girth) графа — длина его кратчайшего простого цикла: упр. 24
к § 3.8; нижняя оценка через прочность'. Н.А. Jung, Р. Wittmann //
JGrTh, 31 (1999), № 2, 107-127 [00, 5В285]. Пара о&-в (girth pair) гра-
фа G — такая g^, в которой g < h — длины кратчайших циклов, удов-
летворяющих условию нечетности g+й: D. Hanson, Wang Ping,
G. MacGillivray // JGrTh, 18(1994), №4, 325-327 [95, 4В273].
обход (bypass), Л-обход дуги ху орграфа — орцепь (длины к) из х в у, не
содержащая эту дугу: В. Alspach, К.В. Reid, D.F. Roselle // JCTh,
В17(1974), №1, 11—18 [75, 1В560] изучают орграфы с 2-обходом
каждой дуги.
обходы графа — маршруты, содержащие все вершины графа и удовлет-
воряющие некоторому условию: гамильтоновы цепи и циклы, эйлеро-
вы цепи и циклы и др.
общий фрагмент графов Gj и G2 — граф G, изоморфный некоторой час-
ти в G] и некоторой части в G2; в частности, общий суграф с наи-
большим числом ребер: G. Chartrand. М. Johnson, O.R. Oellerman //
Aequat. Math., 31 (1986), №2-3, 213-222 [87, 4B540]; G. Chartrand,
598
Основы теории графов
F. Sabo, Zou, Hung-Bin // СРМ, 112(1987), № 1, 80—88 [87, 7В656].
Поиск о-х ф-в обыкновенных графов, мультиграфов и орграфов,
взвешенных графов, химических соединений и т. п. с помощью кон-
струкции Визинга сводится к выявлению клик вспомогательного
обыкновенного графа: §§1.5 и 1.6.
объемлющий граф (supergraph) — граф, частью которого является дан-
ный.
обыкновенный (ordinary, нем schlicht, в книгах Бержа simple) граф: вве-
дение; § 1.1.
—	орграф — суграф турнира или, что равносильно, орграф, получаемый
из обыкновенного графа произвольной ориентацией всех ребер.
/-ограниченный (/-restricted) класс Ь=Ь(Я) графов без подграфов типа
Н — для которого существует функция /: L—> N, такая что
VGeL{y(G)</(<p(G))}: A. Gyarfas // CMSJB, 10 (1975), 801-816,
Zastos. mat., 19(1987), 413-441 [89, 2В683]; A. Gyarfds, Е. Szemerddi,
Z. Tuza // DM, 30(1990), 235-244; N.W. Sauer // Combinatorica,
1 (1993), 361—377 [94j#05095]; H.A. Kierstead, S.G. Penrice // JGrTh,
18 (1994), № 2, 119—129 [95, 2В328]. В частности, установлена у-о-сть
Ь(Я), когда Н — лес или метла.
одесский алгоритм (Odessa algorithm): § 1.7.
однозначно панциклический (uniquely pancyclic) граф G — имеющий
ровно по одному простому циклу каждой длины / (3 < / < п (G)); изве-
стно пока семь таких графов: Shi Yongbing // DM, 59 (1986), № 1—2,
167—180 [86, 11В574].
—	приводимый (uniquely reducible) граф — у которого все суграфы, по-
лучаемые удалением одного ребра, изоморфны: D. Merriell // JCTh,
В21 (1976), № 3, 282-284 [55#7851].
—	разложимые планарные графы: М. Borowiecki, Р. Mihdk, Zs. Tuza,
М. Voigt И DsMGr, 19(1999), №2, 159-166 [00, 12В233].
—	раскрашиваемый (uniquely colorable) граф G — обладающий единст-
венной у (G)-раскраской вершин, т.е. для которого gy(G) = l: § 1.4;
упр. 106 к § 1.9. Необходимое условие т (G) > (у -1) п (G) - - неулуч-
L 2_
шаемо: Xu Shaoji // JCTh, В50(1990), №2, 319-320 [91, 9В394]; при
<р (G) =2 необходимо п (G)>у2 +у-1: Chung С. Wang, Е. Artzy // JCTh,
В15 (1973),	№2,	204-206	[48#152]; достаточное условие
$(G)>-|^|h(G), улучшаемое только при дополнительных требова-
ниях к графу G: В. Bollobas//JCTh, В25(1978),№ 1,54-61 [58# 16358];
Указатель-справочник
599
дальнейшие свойства и признаки: L.J. Osterweil // DM, 8 (1974), № 1,
59-69 [48#8290j; J. Nieminen // Gias. Mat, 9(1974), №2, 193-195
[75, 5В478]. Планарные о. p-e /-хроматические графы при у = 3 содер-
жат не менее двух треугольников, при у = 4 максимально планарны, а
при у = 5 не существуют1): G. Chartrand, D.P. Geller // JCTh, 6 (1969),
№ 3, 271—278 [39#2661]. О. р-е графы без коротких циклов:
J.NeSetfil // СРМ, А98(1973), №2, 122-125 [73, 10В324]; Н. Sachs,
М. Schauble // MN, 63 (1974), 387-391 [75, 7B424J; сколь угодно боль-
шого обхвата. В. Bollobas, N. Sauer // CJM, 28 (1976), № 6, 1340-1344
[77, 6В467]; Chao Chong-Yun, Chen Zhilo // DM, 189(1998), № 1-3,
259—265 [00, ЗВ280]. Совершенные о. p-e графы: A. Tucker // DM,
44(1983), №2, 187—194 [83, 8В562]. Нижняя оценка степени о. р-го
графа G с наименьшим m(G) при данном n(G): И.Г. Дмитриев
[83, 12В628].
—	реберно раскрашиваемые графы: см. граф с единственной раскраской
ребер.
однородно проходимый (regularly passable) граф — в котором каждая
вершина служит началом некоторой гамильтоновой цепи: Z. Sku-
pieh // Demonstr. math., 17(1984), №4, 1051-1067 [86, ЗВ785].
/^-однородность — нетривиальное обобщение однородности графа:
В.И. Левченко [85, 11В646].
однородные (homogeneous) вложения цикла в граф: W. Goddard,
М.А. Henning, Н. Maharaj // Graphs and Comp., 5(1999), №2,
159-173 [00, 7В218].
однородный (regular), 5-однородный граф: §2.1; процесс быстрого по-
рождения: М. Meringer // JGrTh, 30 (1999), № 2, 137-146 [00, 6В309].
односторонний (unilateral) = квазибисвязный (орграф): § 4.2.
односторонняя компонента = компонента квазибисвязности.
—	поверхность: § 3.5.
одноциклический = унициклический (граф).
окрестность (neighbourhood) вершины х: (1) подграф, порожденный
этой вершиной и всеми смежными с ней в графе; (2) в книге Хара-
ри — множество вершин графа, смежных с х.
A-окрестность вершины х — множество всех тех вершин графа, расстоя-
ние которых (в естественной метрике) от х не превосходит к.
окружение (encirclement) вершины в графе: § 1.10.
окружение (circumference) графа = обхват.
1 Последнее тривиально в силу теоремы о четырех красках, в то время еще не дока-
занной.
600
Основы теории графов
—	множества вершин Y cz X (или подграфа, порожденного У) в графе
G = (jy, С7) — множество О(У)=О(б:, У)с1\У всех вершин y^X\Y,
имеющих хотя бы одну смежную в У; D(Z)=0.
—	ребра ху eU графа G = (X, U) — подмножество его вершин, отличных
от х и у, но смежных хотя бы с одной из них; соответствующие ана-
логи проблемы окружений'. В. Zelinka [86, 9В652].
^-окружение вершины х графа — подграф, порожденный теми его вер-
шинами, расстояние которых (в естественной метрике) от х равно к;
проблема к-окружений: L. Szamkolowicz // LNM, 1018(1983),
257—259 [84, 4В500] — обобщение проблемы окружений.
окружения исхода и захода вершины орграфа: A. Blass, G. Exoo, F. На-
гагу // Riv. mat. Univ. Раппа, 11 (1985), 181-186 [86, 12В830] - ана-
лог проблемы окружений.
опора (support), опорное число графа: § 2.4; В. Randerath, L. Volk-
mann И DM, 190 (1988), № 1-3, 158-169 [00, 4В286] (см. также число
к-доминирования).
оптимальная ориентация графа G — превращающая его в бисвязный
с наименьшим ордиаметром'. К.М. Koh, E.G. Тау // DM, 190 (1998),
№1-3, 115-136 [00, 4В265].
орграф (digraph) - ориентированный (directed) граф: §4.1.
—	Коцига — такой и-вершинный, все (п - 1)-вершинные подграфы кото-
рого изоморфны: Li Jiong-sheng // Math. Appl. Sin., 14(1991), № 3,
384—390 [92, 10B293] — реализуемость степенной последовательно-
сти таким орграфом.
—	Мура (Moore digraph) — см. графы Мура.
орграфы с ребрами двух цветов: G. Gutin, В. Sudakov, А. Yeo И DM,
191 (1998) № 1-3, 101-107 [00, ЗВ267].
ордиаметр (didiameter) — q-ордиаметр (упр. 28 к § 4.2) в естественной
орметрике (# = 1).
ордревесность (diarboressency) — наименьшее число суграфов-ярлесяв,
дающих в объединении весь орграф: З.А. Кареян И ТГрЕр, 1979,
59-63 [79, 11В490]; С.Е. Маркосян, Г.С. Гаспарян // СНТИМ,
43(1986), 75-86 [87, 7В678].
ориентация (orientation) графа: § 4.4. A. Frank, A. Gy^rfas // Combinato-
rics: Amsterdam е.а., 1 (1978), 353-364 [79, 9В688].
—	звена: §4.1.
ориентированное ребро = дуга', введение; §4.1.
ориентированный вариант теоремы Менгера: §4.2.
—	граф = орграф'. § 1.4.
ориентируемая (orientable) поверхность: § 3.5.
Указатель-справочник
601
ориентируемость (orientability) графа: §4.1; §4.4; О. Pretzel И Contemp.
Math., 57 (1986), 103-125 [87, ЗВ446] - обзор диаграмм упорядоче-
ний множества.
ормаршрут (directed walk): §4.1.
орметрика (dimetric), орметрическое пространство: упр. 26 к § 4.2;
V. Chvatal, С. Thomassen // JCTh, В24 (1978), № 1, 61-75 [78, 7В778].
оррадиус (diradius) — q-оррадиус (упр. 27 к § 4.4) в естественной ормет-
рике (# = 1).
орскелет (diskeleton) — граф Бержа, полученный из данного орграфа
заменой каждого пучка параллельных дуг одной (того же направле-
ния) и нескольких петель при вершине — одной петлей.
орцепь (dichain), орцикл (dicycle, circuit): §4.1.
орциклически замкнутый (circuit closed) граф — такой подграф G' орг-
рафа G, что всякий орцикл G, имеющий хотя бы одну вершину в G',
целиком принадлежит G': книга Оре.
ослабленная (relaxed) гипотеза Хадвигера и ее справедливость: упр. 20 к
§2.7.
----четырех красок: упр. 7 к § 3.9.
ослабленное хроматическое число графа G: при заданном классе L гра-
фов — наименьшее количество классов такого разбиения множества
вершин G, что все подграфы, порожденные этими классами, при-
надлежат L: M.L. Weaver, D.B. West // Graphs and Comb., 10 (1994),
№ 1, 75-93 [95, 4В237].
ослабленные версии гипотезы Бержа, справедливость которых удалось
доказать: упр. 13 к § 3.10; Е. Olaru [74, 6В463], ASUIa, 19 (1973), № 2,
477-486 [74, 9В437], [74, 11В442], JCTh, В23(1977), №1, 94-105
[58#5411]; Н. Meyniel // DM, 16(1976), №4, 339-342 [77, 10B344J;
С.Е. Маркосян, И.А. Карапетян // ДАНАр, 63(1976), № 5, 252-256
[77, 11В573]; D. Greenwell // LNM, 648 (1978), 191-193 [78, 11В676].
основная гипотеза топологии (нем. Hauptvermutung): § 3.5.
особое свойство (singular property). Свойство ? орграфа имеет свойство
Р графа своим особым, если Р (G) для неориентированного G справед-
ливо тогда и только тогда, когда граф С допускает такую ориентацию
Ъ, для которой справедливо ((/); например, свойство бисвязности
имеет своим особым свойство 2-сплетенности: Т.А. McKee И Net-
works, 16 (1986), № 2, 175—180 [87, 7В630] — взаимосвязь ? иР в об-
щем виде, опровержение некоторых гипотез относительно орграфов.
остов графа = каркас'. §3.1.
— многогранника = скелет многогранника = 1-скелет.
602
Основы теории графов
остовное дерево (spanning tree) — каркас связного графа; подсчет о-х
д-в графа: D. Магси // Riv. mat. Univ. Раппа, 11 (1985), 131 — 134
[87, 1В569].
остовный подграф (неудачный перевод англ, термина spanning sub-
graph книги Харари) - суграф'. § 1.1; §2.7; §4.1.
отделенность (separity) вершин графа: §2.1; §2.7.
Ar-отделимость (separability) вершин в графе: §2.5, §2.7.
—	упорядоченной пары вершин в орграфе: § 4.2.
отклонение (deviation) вершины у от вершины х в орграфе — длина
кратчайшей орцепи из х в у.
открытый (open) = незамкнутый (маршрут в графе) — не являющийся
циклическим.
относительная (relative) раскраска ребер — правильная для всего графа
G и сохраняющая фиксированную раскраску его суграфа G*.
относительное = условное (хроматическое число графа): §3.10.
относительный хроматический индекс %(G,G') — наименьшее число
новых цветов, необходимое для любой относительной раскраски
ребер графа G при всевозможных раскрасках ребер его суграфа G';
гипотеза Кайнена—Саати о том, что для любого планарного G и
любого его связного суграфа G' всегда %(G, G')<3, равносильна
гипотезе четырех красок: R.B. Levow И АММ, 81 (1974), № 5,
491-492 [75, 1В572].
Ar-отрезаемость (fc-severability) вершин графа: § 2.7.
—	упорядоченной пары вершин орграфа: § 4.2.
отрицательное ядро (negative kernel), (—)-ядро орграфа: §4.3.
отсутствующее ребро (absent edge) обыкновенного графа G=(X, U) —
элемент множества Х^ IU, т.е. ребро дополнительного графа G:
§1.1.
охват (scope) графа — длина его наибольшего простого цикла. Не сме-
шивать с обхватом.
оценки типа Нордхауза—Гаддума для хроматического числа у: упр. 10 к
§ 1.3; для числа всесмежности (J: С. Payan // Cah. Cent. 6tud. rech. орёг.,
17 (1975), 307—317 [76, 6B485]; для мощности п наибольшего паросо-
четания и накрывающего числа i: упр. 14 к § 2.4; для сплетенности f
мультиграфа: упр. 17 к § 2.7; для хроматического индекса % и тоталь-
ного хроматического числа т: упр. 13 к § 2.9; для наименьшего числа
клик, покрывающих все ребра, и клик, разбивающих граф: D. Delaen,
Р. Erdos, N.J. Pullmann, N.C. Wormaid // Combinatorica, 6 (1986), № 4,
309-314 [87, 6B630]; L. Piber // там же, 393-398 [87, 6B631]; для
Указатель-справочник
603
диаметра d, обхвата girth, окружения графа, опорного числа <5 и неко-
торых других инвариантов: Xu Shao-ji И DM, 65 (1987), № 2, 197—207
[87, 11В691]. Обзоры, проблемы и обобщения: Г. Чартренд, Д. Мит-
чем // Теория графов. Покрытия, укладки, турниры. М.: Мир, 1974,
204-211; М. Borowiecki, М. Kwasnik, М. Stencel [83, 7В553]; Р. Flach,
L. Volkmann // DM, 80 (1990), № 2, 145-151 [91, ЗВ561]; A. Kundrik
[93, 2В320] — для наследственных свойств; М. Stieblitz // DM,
101 (1992),№ 1-3, 307-317 [93,10В199] - длячислаХадвигерат].
очень нерегулярные графы — связные, в которых для каждой вершины
все смежные с ней имеют разные степени: F. Buckley, М. Chamulo,
S. Fuiz [89, 4В528].
П
пангамильтонов (panhamiltonian) граф — орграф, из каждой вершины
которого в каждую другую идет хотя бы одна гамильтонова орцепь:
М. Lewin // JCTh, В18 (1975), №2, 175-179 [75, 8В317].
пансвязный (panconnected) граф G — в котором любая пара различных
вершин соединена простыми цепями всевозможных длин от
Рс(х, у) Д° л (С)-1 включительно: S.V. Kanetkar, P.R. Rao И
JGrTh, 8(1984), № 3, 347-353 [85, 6В568]; H.J. Broersma, H.J. Veld-
man, Yin Zhi-Xiang // JSSMS, 15(1995), № 3, 286-288 [96, 3B231];
A.S. Asratian, R.HSggkvist, G.V. Sarkisian // Univ. Umea Dep. Math.,
1994, №5, 1-11, №6, 1-14 [96, 6B255, 256].
панциклический (pancyclic) граф: § 2.1 и упр-я 32—34 к нему; метагипо-
теза Бонди, D. Amar, Е. Flandrin, J. Fournier, A. Germa И DM,
89(1991), №2, 111-131 [92, 6В497]; R.E.L. Aldred, D.A. Holton, Min
Zhang Ke П DM, 127 (1994), № 1-3, 23-29 [96, 6B258]; Yin Zhixiang
[98, 1B287] (без 3-вееров); панцикличность графа смежности ребер:
A. Benhocine, J.-L. Fouquet // DM, 66(1987), №1-2, 21-26
[87, 12В754]; упр. 35 к §2.1. Небольшое ослабление — наличие га-
мильтоновой цепи и циклов всех длин от 3 до h(G)-1: F. Faudree,
О. Favaron, Е. Flandrin, Li Hao II DsMGr, 16(1996), №1, 27-40
[98, 1В285]. Усиления: вершинно панциклический граф, через каждую
вершину которого проходят простые циклы всевозможных длин:
A. Yeo // JGrTh, 32 (1999), № 2, 137-152 [00, 7В216]; однозначно пан-
циклический граф.
/-панциклический граф: §2.1.
604
Основы теории графов
панциклический орграф G — обладающий простыми орциклами любой
длины от 3 до и(С): §4.2; R. Haggkvist, С. Thomassen // JCTh,
В20(1976), № 1, 20-40 [52#10481]; М. Overbeck-Larisch // JCTh,
В23(1997), №2-3, 168-173 [57#2976]; С.Х. Дарбинян [84g#05066],
ТВЦЕр, 14(1985), 55-74 [86, 2В743], ДАНАр, 83(1986), №3, 99-101
[87, 6В628]; Song Zeng Min // JGrTh, 18 (1994), № 5,461-468 [96,1В365].
Усиление — вершинно панциклический орграф, через каждую вершину
которого проходят простые орциклы всевозможных длин:
J. Bang-Jensen, Y. Guo // JGrTh, 31 (1999), № 4, 313-318 [00, 6В286].
/-панциклический орграф: V. Jaco§ [75, 1B525], MC, 25(1975), № 3,
281—286 [76, 11B668], [77, 7В753].
пара связностей (connectivity pair) графа G — такая pq с целыми неотри-
цательными р и q, что удаление некоторого множества из р вершин
и q ребер нарушает связность графа, а удаление любых р -1 вершин
и q ребер или р вершин и q-1 ребер не нарушает; таковы, в частно-
сти, пары /(G)b и О/^G); так как для каждого ре{0, 1,..., 1(G)} су-
ществует единственная п. с-й рс], то определена функция связностей
q = qG (р) графа G: L.W. Beineke, F. Нагагу // Mathematika, 14 (1967),
№ 2, 197-202 [68, 7В254]; книга Харари.
параллельно-последовательный = последовательно-параллельный (граф),
параллельные ребра = кратные ребра', введение; §2.7; §4.1.
параметры графа = инвариант графа.
— сжатия (shortness parameters). Введем обозначения	и
(^)^log^(§j’ где	охват гРаФа & (n(G)>3, h(G)>l); ясно,
что оба отношения не превосходят 1 и равны 1 для гамильтоновых G.
Чем меньше эти инварианты, тем «более негамильтонов» граф. Для
систематического построения контрпримеров к различным гипоте-
зам о гамильтоновости, т. е. для исследования существования графов
возможно малого охвата, но обладающих рядом таких свойств, кото-
рые, казалось бы, должны обеспечивать гамильтоновость, удобно
следующим образом определить коэффициент сжатия (shortness co-
efficient) и показатель сжатия (shortness exponent) семейства S гра-
фов: p(5)=lim{p(G')/G'eS}, a (S)=lim{cr (G')/G'gS}; в частности,
беря за 5 множество всех подграфов графа б(си>3ий>1)и заменяя
lim на min, получаем определения инвариантов p(G) и a (G). Систе-
матический обзор результатов имеется в книге Вальтера и Фосса,
Указатель-справочник
605
перечислим основные оригинальные работы. Для скелетов полиэд-
ров: В. Grunbaum, T.S. Motzkin // JLMS, 37 (1962), 152—160; СМВ,
9 (1966), 285-290; J.W. Moon, L. Moser // PJM, 13 (1963), 629-631).
Для двудольных графов: J.W. Moon, L. Moser // Israel J. Math.,
1 (1963), 163—165. Для произвольного семейства S: В. Grunbaum,
H. Walther // JGrTh, 14 (1973), № 3, 364-385 [73, 11В472]. Дальнейшие
результаты: P.J. Owens // DM, 55(1985), № 1, 101-106 [85, 11B665],
JGrTh, 9(1985), № 3, 381-395 [86, 5B729], DM, 59(1986), №1-2,
107-114 [86, 11B571]; J. Harant, H. Walther H CPM, 112(1987), №2,
114-122 [87, 11B696, 697], DApM, 51(1994), №1-2, 103-105
[95, 1В317].
паросочетание (matching, фр. couplage, русский перевод термина пред-
ложила Т.Е. Зыкова): § 2.4; А.М. Магомедов [87, 2В667Деп] — непе-
ресекающиеся паросочетания в графе; Т.М. Выврот (Одесский семи-
нар, сентябрь 1977 г.); R.E. Jamison // DM, 67 (1987), №2, 177—189
[88, ЗВ625] — в деревьях; Wang Hong // JGrTh, 31 (1999), №4,
333-373 [00, ЗВЗО2]; Н. Lundow // Univ. Umea Dep. Math., 1999, № 5,
1—9 [00, 6B307] — перечисление. См. также книгу Татта и чередую-
щиеся суммы Уитни и паросочетания деревьев.
первая книга Бержа: введение.
переключательно полное (switch-complete) свойство — такое, что графы
С = (У, U) и G' = (Х, U') с s(G) = s(G'), обладающие этим свойством,
сохраняют его на каждом шаге хотя бы одной последовательности
4-сдвигов, переводящей G в G': А.А. Черняк // ИАНБе, 1985, №1,
29-35 [85, 7В722].
переключение (switching): §3.1.
перекраска двуцветной цепи в графе с раскрашенными вершинами —
замена на цепи, последовательные вершины которой имеют попере-
менно цвета ап р, а на /7 и наоборот, с сохранением цветов
всех остальных вершин.
------------------ребрами: §2.9; A. Kotzig // JCTh, В22 (1977), № 1,
26-30 [77, 9В496].
перекройка (recarving) матрицы: §3.3.
перемычка (jumper): § 4.5.
переориентация (reorientation) графа: § 4.4.
пересечение (crossing)1 маршрутов: § 3.7.
—	ребер графа: § 3.5.
перестановка рядов (line permutation) матрицы: §3.1.
I В отличие от пересечения (intersection) множеств.
606
Основы теории графов
перечисление графов (graph enumeration): заключение.
—	груд и паросочетаний в графе: Н. Lundow // Univ. Umea Dep. Math.,
1999, №5, 1—9, [00, 6В307].
периметр (perimeter) = охват графа.
периодические орграфы — ребра которых порождаются посредством
циклической подстановки множества вершин: В.А. Павленко
[88, 2В651, 11В516], Киб, 1989, § 1, 41-44, 133 [89, 7В580] - необхо-
димые и достаточные условия того, что заданный граф является
подграфом периодического; Е. Cohen, N. Megiddo [92, 6В402].
периферийная (peripheral), ^-периферийная вершина: § 2.6; модифика-
ция: Н. Bielak, М.М. Syslo // Studia sci. math, hung., 18 (1983), № 2—4,
269-275 [85, 12В541].
перманент матрицы ||a,y||* (w<«) - функция Zala(l)a2a(2)
a
ее элементов, где суммирование распространяется на все инъекции
a: {1, 2,..., т} —>{1, 2,..., п}. Книга Минка.
петля (loop): введение, §2.3; §2.7; §4.1.
пи-граф — граф Z3 (§ 1.2).
планарность с внешним доступом (planarity with outer access): упр. 38 к
§3.6.
планарный (planar) граф: § 3.6; в случае 3-связности: I. Fabrici, S. Jend-
roF // DM, 191 (1998), № 1-3, 83-90 [00, 2B310]; P. Mihok, J. Bucko,
M. Voigt // там же, 149—158 [00, 2B311]; P. Smuty, M. Tkad // там же,
197-206 [00, 2B312]; H. Huck П Graphs and Comb., 15(1999), № 1,
29—77 [00, 2B320] — также при 4-связности; в общем случае £-связно-
сти: Н. Enomoto, К. Ota И JGrTh, 30(1999), №3, 191-203
[00, 4В275]. См. также критерии планарности графа. Процессы по-
рождения планарных графов: D. Barnette // DM, 7(1974), №3,
199-208 [74, 8В341]; Р. Manca // JGrTh, 3(1979), №4, 357-364
[80, 5В469]; Т.Р. Уолш [81, ЗВ528]; V. Batagelj (см. индуктивные клас-
сы графов); в первой и четвертой работах образуются все планарные
графы, во второй — 4-однородные, в третьей — неизоморфные кар-
ты (с помощью ЭВМ).
—	геодезический граф: М.Е. Watkins // JCTh, 2(1967), №1, 102—103
[34#4166] — характеризация.
плоская карта (plane map) — связный граф без перешейков, топологиче-
ски расположенный на плоскости (в частности, плоская триангуля-
ция): Н. Lebesgue // JMPAp, 19 (1940), № 1, 19—43; цикл из 16 статей
Герберта Грёцша (Н. Gr6tzsch. Zur Theorie der diskreten Gebilde. Mit-
teilungen 1-16 // WZ, 5 (1956), №№4-11 (1962), №6, [61, 1A295-64,
Указатель-справочник
607
10А258]); книга Рингеля, О.В. Бородин // Дискр. Матем., 3(1991),
№ 4, 24—27 [92, 4В355] — совместное обобщение теорем Лебега и Ко-
цига; О. Borodin // DM, 128 (1994), № 1-3, 21-33 [95, 5В259] - одно-
временная раскраска ребер и граней; М. Horak, S. Jendrol // DsMGr,
16 (1966), № 2, 123-141 [98, 1В254]; О.В. Бородин, Д.Р. Уудолл // М3,
6 (1998), № 5, 648—657 — вес граней в п-х к-х. Раскраски вершин, ре-
бер и граней наименьшим числом цветов при всевозможных 64 вари-
антах требований правильности: упр. 21 к § 3.9.
— триангуляция: § 3.9.
плоский граф: § 3.6; характеризация в терминах (^-преобразований (см.
топологический граф)’. В.И. Петренюк [86, 1В755Деп].
плотно-симплициальная (dense simplicial) цепь: упр. 13.1 к §2.6.
плотность (density) обыкновенного графа: § 1.3; для мультиграфа — наи-
большее количество попарно смежных различных вершин (но не
число к вершин наибольшего подграфа типа Fk!).
плотный (dense) граф. (1) В книге Зыкова — граф общего вида, в кото-
ром всякие две различные вершины соединены по крайней мере од-
ним ребром (звеном или дугой произвольного направления); (2) та-
кой G, что<р(С)>л(С)/2: В. Hedman//DM, 54(1985), №2, 161-166
[85, 11В659].
поворот ребра — операция, определенная в конце § 3.8 (рис. 3.8.5); см.
также расстояние между графами (1).
подвешенная (suspended) цепь = нить (в графе).
подграф (subgraph): § 1.1; § 2.7; § 4.1; в книге Харари (и некоторых дру-
гих) — часть графа.
поддерево (subtree) - связный подграф дерева.
х-поддерево (branch at a point х): § 2.3.
подобные (similar) вершины графа (1) — принадлежащие одному классу
транзитивности’, (2): упр. 14 к §2.6.
подразбиение, подразделение (subdivision) ребра: § 3.5.
—, — графа G — граф, полученный из G подразбиениями ребер.
подсвязность (subconnectivity) графа G — наибольшее Z(G') для всех
подграфов G'; если и = п(Сг)>4 и подсвязность графа G равна 2, то
w(G)=|_^-5j: F.T. Boesch, J.А.М. McHugh [88, 4В573].
подстановка (substitution) графа в граф: § 3.10; частные случаи: расщеп-
ление вершины графа на две смежных или несмежных.
подсчет - перечисление (графов и их частей); для более общих конфигу-
раций: заключение (п. 4).
608
Основы теории графов
показатель сжатия: см. параметры сжатия.
покрывающее дерево (spanning tree) — каркас связного графа.
покрывающий маршрут (spanning walk) — маршрут или ормаршрут, со-
держащий все вершины графа (орграфа).
покрытие (covering, cover) графа G — совокупность S его подграфов
(вершинное п.) или суграфов (реберное п., накрытие), обладающих
заданным свойством,  в объединении дающая весь G. Обычно за-
дача о покрытии состоит в минимизации |5|, а задача упаковки — в
максимизации |5| при дополнительном условии, что в S подграфы
(суграфы) не имеют общих вершин (ребер): книга Харари; статьи
общего и обзорного характера: M.D. Plummer // JCTh, 8 (1970), № 1,
91-98 [70, 9В300], F. Нагагу И ANYAS, 175(1979), № 1, 198-205
[71, 2В325]; п-я и упаковки кликами: N.J. Pullman [84, 6В515] — сфор-
мулировано 11 проблем; всякий граф с п вершинами, т ребрами и
без перешейков допускает реберное покрытие циклами с суммой
длин £<ли+^(и-1), а если нет вершин, не принадлежащих ни од-
ному циклу, то с X<|jj(rt-1): Р. Fraisse // JCTh, В39 (1985), №2,
146—152 [86, 4В739]; коциклические п-я (каркасами): F. Jaeger,
A. Khelladi, М. Mollard // JCTh, В39 (1985), № 2, 153-163 [86, 4В740];
п-я кратчайшими цепями: С.В. Юшманов [87, 10В700]; п-я вершин
циклами предписанной длины: D. Amar, J. Fournier, A. Germa //
JGrTh, 13 (1989), № 3, 323-330 [90, 4В633]; короткие п-я 3-однород-
ных графов циклами, накрывающее число мультиграфа: В.Е. Тара-
канов // М3, 46(1989), №4, 66—75 [90, 4В638]; теоремы Шеннона и
Визинга (§ 2.9) в терминах покрытия кликами: W. Klotz // JCTh,
В46 (1989), № 3, 338—345 [90, 6В407]. Покрытия бисвязного орграфа
наименьшим числом орциклов: М.С. Heydemann И CGrAm, 1985,
287-296 [87, 4В545].
полином (polynomial) = многочлен.
полиномиальная разрешимость и сводимость переборных задач: введе-
ние; § 1.4; § 1.7; нерешенные задачи. См. также полиномиальный алго-
ритм и NP-дюлные задачи.
полиномиальный (polynomial) алгоритм решения той или иной массо-
вой проблемы в некотором классе L графов (например, обыкновен-
ных) — такой, число шагов работы которого можно оценить сверху
величиной п\ где n = n(G), а показатель Л>0 (Ле R) одинаков для
всех GeL: см. § 1.7 и упр. 4 к нему.
полная трансверсаль: см. устойчивая трансверсаль (графа).
Указатель-справочник
609
полное сжатие (total contraction) графа: § 4.5.
NP-полные (NP-complete) задачи: введение; NP-n. з., связанные с удале-
нием вершин графа: M.S. Krishnamoorty, N. Deo // SIAM J. Comp.,
8(1979), №4, 619—625 [80, 5В437].
полный гомоморфизм порядка k: в книге Харари = k-раскраска графа.
— (complete) граф - клика'. § 1.1.
----Бержа: § 1.6; § 4.1.
----общего вида: §4.1.
—	двудольный (complete bipartite) граф: § 1.2; §2.4; новая характериза-
ция: W.J. Cortez-Morales [98, ЗВ256].
—	Ar-дольный граф — произведение к груд.
—	инвариант, — набор инвариантов графа: § 1.5.
половой признак (sex) в графах: см. граф воспроизведения.
положительное ядро (positive kernel) орграфа: §4.3.
полугруппа эндоморфизмов (endomorphism semi-group) графа: заключе-
ние (п. 2).
полуперешеек (semi-isthmus), полуразрез (semi-cut), полушарнир (semi-
cutpoint) орграфа: § 4.2.
полуполный многодольный орграф, обзор по орциклам и орцепям:
G. Gutin // JGrTh, 19(1995), №4, 481—505 [96, 2В241].
полусильная (semistrong) гипотеза Бержа о том, что биекция вершин
совершенного графа G, сохраняющая подграфы типа Z3, переводит
G в совершенный граф, — справедлива: В. Reed // DM, 54(1985),
№ 1, 111—112 [85, 12В548]; Ann. Discr. Math., 1984, 21 [88, 5В666].
полусильное хроматическое число: Е. Sampathkumar, L. Pushpa Latha П
IJPAM, 26(1995), № 1, 35-40 [96, 4В308].
полустепени в книгах Бержа, Зыкова и Харари = степени захода и ис-
хода вершины орграфа.
полуцикл (semi-cycle) — циклическая последовательность четного числа
вершин обыкновенного графа, в которой соседние вершины попере-
менно то смежны, то несмежны; сдвиг полуцикла — преобразование
множества ребер графа, переводящее на выделенном его полуцикле
смежные пары соседних вершин в несмежные и наоборот (без изме-
нения остальных ребер графа): упр. 5 к § 2.4; важный частный слу-
чай — 4-сдвиг\ упр. 4 к § 1.2.
полуядро (semikernel) — такая груда Е в графе Бержа G- (X, Г), что для
любой вершины хеХ\Е, в которую идет дуга из Е, есть также дуга
из х в Е: Н. Galeana-Sanchez, V. Neumann-Lara // DM, 48 (1984), № 1,
67-76 [84, 6В473].
610
Основы теории графов
полярный (dipolar) граф (1): упр. 5 к § 1.2; упр. 24 к § 3.10; Р.И. Тышке-
вич, О.И. Мельников, В.М. Котов [82, 5В484] — степени вершин;
П.П. Кожич, О.И. Мельников, А.А. Черняк [85, 11В672Деп] — поли-
номиальный алгоритм выявления наибольшей груды; R. Tyshkevich
[87, 6В635] — обзор; в книге минчан п.г. назван расщепляемым. (2):
В. Zelinka И CzMJ, 26 (1976), № 3, 339—364 [77, 6В463—465].
пороговые графы: см. матрогенические графы', U.N. Peled, В. Simeone //
JGrTh, 8 (1984), № 2, 331—345 [85, 1В652] — блочно-пороговые графы;
A. Sterbini, Th. Raschle [00, 6В320]; графы с наибольшей суммой
квадратов степеней вершин — пороговые: U.N. Peled, R. Petrechi,
A. Sterbini II JGrTh, 31 (1999), №4, 283-295 [00, 5В271].
порожденный подграф (induced subgraph) в книге Харари = подграф.
порядковая функция (фр. fonction ordinale) на графе Бержа С = (У, Г),
вообще говоря бесконечном. Пусть
Х(О)={хеХ/Гх=0};
Х(а)={хеX ITxqX (а-1)}, если а — непредельный трансфинит;
Х(а)= U Х(0), если а — предельный трансфинит.
р<а
Порядок (фр. ordre) вершины хеХ — это такой трансфинит а=а(х),
что хеХ(а) и хёХ(Р) при 0<а. П.ф. а на графе G, относящая каж-
дой хеХ некоторый трансфинит х(а), существует тогда и только тог-
да, когда граф прогрессивно конечен, т. е. для любой его вершины х су-
ществует такое натуральное число, что длины всех простых орцепей,
начинающихся в х, не превосходят этого числа; в частности, для ко-
нечного G п.ф. всегда существует: первая книга Бержа.
порядок (order) графа G — число вершин n(G).
—	связности (degree of connectivity) графа G — инвариант / (G): § 2.5.
----поверхности: § 3.5.
последовательно-параллельный (series-parallel) граф — мультиграф, полу-
чаемый из двухполюсников типа F2 при помощи операций последова-
тельного и параллельного соединения (и тоже считаемый двухполюс-
ником): см., например, статьи А.В. Кузнецова и Б.А. Трахтенброта
(ТМИС, 51 (1958)) и A. Adam // AMASH, 12 (1961), № 3-4, 377-397
[62, 10В219], Publ. math. Debrecen, 10 (1963), № 3-4,96-107 [66, 5A288;
30#574]. Двухполюсник является п.-п-м графом тогда и только тогда,
когда в нем нет подграфов-двухполюсников, гомеоморфных	, с по-
люсами степени 3: Т. Nishizeki, N. Saito // Trans. Inst. Electron, and
Comm. Eng. Jap., A57(1974), № 1, 70-72 [74, 8B328]; T. Nishizeki,
K. Takamizawa, N. Saito // Trans. Inst. Electron, and Comm. Eng. Jap.,
Указатель-справочник
611
А59(1976), № 3, 253-260 [76, 12В565]; К. Takamizawa, Т. Nishizeki,
N. Saito // LNCpS, 108(1981), 79-94 [82, 4В543]; Т.А. McKee //
JGrTh, 7(1983), №2, 177-181 [84, 1В615].
поток (flow) по графу G-(X, U) — присвоение каждому ребру ueU ори-
ентации и целочисленного веса q (и) с соблюдением баланса в каждой
вершине хеУ; ненулевой k-поток — когда Vuet7[0< |^(и)|</с]. Если
/'(G)>2, и = и(С)>19и аи((7)>(л~17^ + 34, то G допускает ненулевой
4-поток или стягивается на граф Петерсена: Lai Hong-Jian // JGrTh,
19(1995), № 3, 385—395 [96, 1В351]. Антисимметрические потоки и
сильные раскраски графов'. J. NeSetfil, A. Raspaud // Ann. Inst. Fourier,
49(1999), №3, 1037—1056 [00, 10В267]. См. также ток (current).
—	по транспортной сети: см. транспортная сеть.
потоковые графы (flow graphs): A. Gyarfas И ZAngM, 56(1976), № 3,
Sondemummer, 330—331 [76, 9В466].
почин (sourse): §4.1.
почти однозначно Ar-раскрашиваемый граф — допускающий более од-
ной правильной раскраски вершин к цветами и критический в том
смысле, что после добавления ребра становится однозначно fc-pac-
крашиваемым или с хроматическим числом более к\ М. Wentzlau И
ЛРС, 23(1987), № 7, 331-338 [88, 2В636], [88, 10В597].
почти однородный (almost regular) граф — степени вершин которого
различаются не более чем на 1; например, граф Турана. Для турни-
ров'. A. Moukouelle // C.r. Acad, sci., ser. 1, 227 (1998), № 1, 913—916
[00, 1В287].
-	планарный граф — становящийся планарным после удаления или
стягивания любого ребра: см. сноску в § 3.6.
—	сбалансированный (almost balanced) мультиграф: Cheng Ching-Shui,
J.C.Masaro, Wong Chi Song // JGrTh, 8(1985), №3, 342-345
[86, 6В721].
—	совершенное подмножества вершин графа G = (X, U) — такое Y cl X, что
никакая вершина из X \ Y не имеет более одной смежной в Y: J.E. Dun-
bar, F.C. Harris jr., S.M. Hedetniemi, S.T. Hedetniemi, A.A. McRae,
R.C. Laskar // DM, 138(1995), № 1-3, 229-246 [96, 1В371].
поэлементное (elementarwise) произведение матриц Л=|| ay ||"	и
~ матРиДа Ц’Мт ; если G = и G' = (Ar, I/'), to
матрица смежностей графа (X, Uf\U') есть п.п. матриц A(G) и
A (G').
612
Основы теории графов
правильная (valid) раскраска вершин графа: § 1.3.
---ребер графа: § 2.9.
— P-реализация (rho-realization) матрицы: § 3.4.
прадерево (неудачный перевод фр. термина arborescance первой книги
Бержа) = растущее ордер ев о.
предписанная раскраска: см. раскраски в предписанные цвета.
представление и восстановление графов: З.М. Асельдеров, Г.А. Донец
[92, 4В351К].
^-преобразования графов, кванторизация, сцепления, инварианты изо-
морфизма: К.М. Малов // Киб, 1982, №4, 11—14 [83, 2В524].
^-преобразования графов: см. топологические графы.
приближенные алгоритмы — способы решения массовых проблем, не
гарантирующие точное нахождение искомой величины, но дающие
значение, в каком-то смысле близкое к ней; такой характер приоб-
ретают многие точные алгоритмы для плотности, неплотности и др.
(но не изоморфизма!), если не дожидаться окончания их работы.
См. также статистически эффективные алгоритмы.
приведенный (reduced) маршрут: § 3.7.
приводимые (reducible) свойства графов: Р. Mihok, G. SemaniSin
[96, 4В298].
приводящая (reducing) конфигурация: § 3.9.
приложения теории графов. Здесь мы ограничимся дифференцирован-
ным списком литературы, не претендующим на полноту.
1)	В общем плане, после первой книги Бержа, реферативного обзора
[65, 2А387] и заключения книги Зыкова:
С. Цой и С.М. Цхай. Прикладная теория графов. Алма-Ата: Наука,
1971 [72, 6В289К]).
В.Н. Бурков, И.А. Горгидзе, С.Е. Ловецкий. Прикладные задачи те-
ории графов. Тбилиси, 1974 [75, 6В531К].
Н. Walther. Anwendungen der Graphentheorie. Berlin: VEB Dtsch. Ver-
lag der Wiss., 1979 [81k#90035].
T.M. Магрупов. Графы, сети, алгоритмы и их приложения. Таш-
кент: Фан, 1990 [91, 5В365К].
Теория графов и ее применения // Вычислительные системы, 1996,
№ 155, 1—102 [96, 12В297].
2)	В теории электрических цепей:
Л.Д. Кудрявцев. О некоторых математических вопросах теории
электрических цепей И УМН, 3(1948), №4, 80—118 [MR10p344j.
V.E. Bene§. Algebraic and topological properties of connecting net-
works // Bell System Techn. J., 41 (1962), № 4, 1249-1274 [64, 7В317].
Указатель-справочник
613
V. Dolezal, J. Prokop, Z. Vorel. Uhola teorie grafu pfi reseni elektrickych
siti // Applicace mat., 7(1962), № 5, 331-343 [63, 4В301].
Л.П.А. Робишо, M. Буавер, Ж. Робер. Направленные графы и их
приложения к электрическим цепям и машинам. М.-Л.: Энергия,
1964 [65, 10В185К] — перевод с фр.: L.P.A. Robichaud, М. Boisvert,
G. Robert. Graphesde fluence. Applications a 1’electrotechnique et a
1’electronique. Calculateurs digiteux. Press de 1’Universite Laval (Que-
bec), Canada, 1961.
С. Сешу, М.Б. Рид. Линейные графы и электрические цепи. М.: Выс-
шая школа, 1971 [62, 9В216К] — перевод с англ.: S. Seshu, М.В. Reed.
Linear Graphs and Electrical Networks. Addison-Wesley Publ. Co., 1961.
I. Vago. Graph Yheory. Applications to the calculation of electrical net-
works. Transl. Budapest: Akad. Kiado, 1985, ISBN 9630534118
[85, 10В733К].
Н.Г. Максимович. Теория графов и электрические цепи. Льв1в: Ви-
ща школа, 1987 [88, 1В628К].
3)	В физике и химии:
P.W. Kastelein. Graph theory and crystal physics // Proc. 1964 NATO
Summer School on Graph theory and theoretical physics.
E.A. Смоленский. Применение теории графов к расчету структур-
но-аддитивных свойств углеводородов // Ж. физ. химии, 38(1964),
№5, 1288-1291 [65, 4В186].
Н.М. Trent. On the connection between the properties of oriented linear
graphs and analyses of lumped physical systems // JRNBS, B69(1965),
№ 1-2, 79-84 [66, ЗВ230].
H.N.V. Temperley // TGrR (1967), 396—198 — к статистической физике.
В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов. Теория графов (с физиче-
скими приложениями). М.: Высшая школа, 1976 [77, 2В476К]. Che-
mical Applications of Graph Theory / Ed. A.T. Balaban. N.Y.: Acade-
mic Press, 1976.
Химические приложения топологии и теории графов / Под ред.
Р. Кинга. М.: Мир, 1978.
J.	Gutman, F. Zhang // DApM, 15(1986), № 1, 25-33 [87, 1В589] -
упорядочение графов в соответствии с их числами паросочетаний, с
приложением к теоретической химии.
В.А. Скоробогатов, А.А. Добрынин [87, 10В701, 702].
Применение теории графов в химии / Под ред. Н.С. Зефирова и
С.И. Кучанова. Новосибирск: Наука, 1988 [88, 5В656К].
614
Основы теории графов
Г.С. Яблонский, В.А. Евстигнеев, В.И. Быков. Обзор применений
графов в химической кинетике [88, 6В712].
Е.В. Мжельская, В.А. Скоробогатов. Применении теории графов в
химии полициклических бензоидных углеводородов [88, 7В650].
С.И. Кучанов, С.В. Королёв, С.В. Панюков. Применение теории
графов в химии. Новосибирск, 1988, 144-299 [88, 7В651].
И.В. Станкевич. Графы в структурной химии [88, 8В605].
Н. Hosoya [88, 10В672] — применение в теоретической химии раз-
личных полиномиальных инвариантов графов.
J.W. Kennedy, L.V. Quintas [88, 11В559] — применение графов в хи-
мии и физике.
N. Trinajstic // J. Math. Chem., 2 (1988), № 3, 197-215 [89, 10В438] -
обзор по химическим графам.
S.	Bacci, N. Parga И J. Phys., А22 (1989), № 15, 3023-3032 [90, 4В602] -
физические приложения некоторых задач о раскраске вершин графа.
D.	Bonchev, V. Komenska, О. Mekenyan // JMCh, 5(1990), № 1,
43—72 [92, 5В436, повторно 649] — применение графов в исследова-
нии влияния химической структуры вещества на его свойства1.
O.N. Temkin, D.G. Bonchev [93, 5В299] — применение теории графов
в химической кинетике.
А.А. Добрынин. Метрические инварианты графов и их применение
для характеризации молекулярных структур [00, 1В300Деп].
4)	В теоретической механике:
Н. Мартинов, Бл. Сендов // ДБАН, 15(1962), №2, 111-113 - гра-
фы, связанные с теорией механизмов.
В.Я. Хасилев. Элементы теории гидравлических цепей // Изв. АН,
Энергетика и транспорт, 1964, № 1, 69—88 [65, ЗВ129]; автореферат
докт. дисс., Новосибирск, 1966.
Ю.А. Сушков // Киб, 1969, № 2, 68—72 — синтез схемы планетарной
коробки передач.
К. Gustafson, F. Harary // Math. Modell., 6(1985), №2, 145-155
[86, 1B818] — анализ некоторых понятий гидродинамики с помощью
теории графов.
J. Rooney, R.J. Wilson // LNM, 1073(1984), 135-149 [85, 6В608] -
подвижность графов и теория механизмов.
См. также жесткое представление графа.
1 Этой же тематикой занимается группа ученых Одесского физико-химического
института им. А.В. Богатского НАН Украины, возглавляемая В.Е. Кузьминым.
Указатель-справочник
615
5)	В программировании:
А.П. Ершов. Сведение задачи распределения памяти при составле-
нии программы к задаче раскраски вершин графов И ДАН,
142(1962), №4, 785—787 [62, 11В249].
A. Solwicki. On a certain theorem of gfaph theory and its application to
automatic programming // Algoritmy, 2 (1965), № 4, 69—83 [66, 2В254].
D.G. Cooper II TGrR (1967), 57-68.
G.J. Chaitin [82, 12В631].
B.A. Евстигнеев. Применение теории графов в программировании.
М.: Наука, 1985 [85, 10В682К].
6)	Другие приложения:
К. Culik // TGrR (1967), 69-76 и М. Nivat // TGrR (1967), 267-270 -
к лингвистике.
G.B. Dantzig, W.O. Blattner, M.R. Rao П TGrR (1967), 77-90 - к ор-
ганизации морских перевозок.
J.B. Ellis // TGrR (1967), 113 — к социально-экономическим моделям.
G. Sabidussi И TGrR (1967), 369 — 372 — индекс центральности гра-
фа, с приложениями к психологии и социологии.
D. Skrien // DApM, 8 (1984), № 1, 69-83 [84, 11В477] - упорядочение
графов интервалов, с приложением к археологии.
L. BaiSutS // Ann. Univ. Bucure§ti Georg. 22 (1973), 223—228
[74, 9B470] и A. Cliff, P. Haggett [88, 5B731] - в географии.
C.B. Юшманов [88, 7В652]; Матем. вопросы кибернетики, 1991, № 3,
51—76 [91, 12В406] — в эволюции.
F.S. Roberts // Proc. Workshop 1987-88 IMA Program. Appl. Comb.,
New York, 1989, 1—37 [92, 6B383] — приложения комбинаторики и
теории графов к биологическим и социальным наукам: семь фунда-
ментальных идей.
D. Dominger И DApM, 50 (1994), № 2, 159-168 [96, 6В254] - в гене-
тике; см. также конец §3.10 и книгу Миркина и Родина.
R.C. Read // Comp, and Math. Appl., 34(1997), №11, 121-127
[98, 9B316] — в любительской криптографии.
Ряд других приложений упоминается в тексте книги, а те, которые от-
носятся к кибернетике и математической экономике, столь много-
численны, что мы просто сошлемся на двухтомную Энциклопедию
кибернетики (Киев, 1973 - укр., 1975 - рус.) и на [ТС].
примитивный (primitive) орграф — в котором длины всех простых ор-
циклов взаимно просты; критерий: в некоторой степени матрицы
616
Основы теории графов
смежностей все элементы положительны [ТС]. П-ность некоторых
произведений орграфов: М. Kwasnik // DM, 121 (1993), № 1—3,
145—150 [95, 4В269].
принцип ориентированной двойственности (principle of directed duality)
для орграфов — возможность получения из теорем двойственных им
переходом от графа G=7j к противоположному <G: книга Харари.
проблема восстановления для деревьев: § 2.3 и упр. 16 к нему; В. Man-
vel И CJM, 22(1970), № 1, 55—60 [70, 12В339]; J. NeSetfil // PJM,
37 (1971), № 3, 771—778 [72, 2В360], [74, 9В458; 50#4360]; S. Kundu,
Е. Sampathkumar, V.N. Bhave // JCTh, В20 (1976), №2, 117—123
[54#5023]; A. Kolinski // LNM, 1018(1983), 111—113 [84, 4В462].
—	Заранкевича: см. число Заранкевича.
—	изоморфизма (isomorphism problem): § 1.5; к обширной библиографии
R.C. Read, D.G. Corneil // JGrTh, 1 (1977), № 4, 339—363 [58#5412] и
G. Gati // JGrTh, 3 (1979), № 2, 95-109 [80, 3B571] следует добавить:
Masuyama Motosaburo [74, 6B438], TRU Math., 9(1973), 69-84 [75,
2B501J; А.А. Боровиков [75, 5B501]; В.П. Карелин, B.H. Миронов //
ИАНТК, 1975, №2, 145-148 [75, 9В335]; книга [А8]; L. Babai //
LNCnfS, 117 (1981), 34-50 [82, ЗВ595]; В.Н. Землянченко, Н.М. Кор-
неенко, Р.И. Тышкевич [82, 7В573] — обзор; В.М. Lucks // JCpSS,
25(1982), № 1, 42-65 [83, 4В614]; М.К. Goldberg II DApM, 6(1983),
№ 3, 224-236 [84, 5В522].
- изоморфного вхождения в качестве подграфа: § 1.5.
-----------суграфа, части: упр. 7 к § 1.5.
— окружений: §1.10; Н. Izbicki И TGrR (1967), 177—182 — машинное
порождение графов с заданным типом окружений вершин;
G.M. Weetman // JLMS, 50 (1994), № 1, 68-86 [95, 4В256] - положи-
тельное решение при окружении обхвата >6. Для орграфов: В. Ze-
linka // Archiv Math., 23(1987), №2, 69-70 [88, 2В621].
— Аг-окружений: см. /с-окружение.
— Стэнли. Пусть G = (X U) — обыкновенный л-вершинный граф, S —
семейство п графов {(У, Ux )lxeX}, где Ux ==(U\{xy/xyeU}\J
U{xz Ixz &U & z *x}; если каждый (У, Ux) задан с точностью до изо-
морфизма, п £ 0 (mod 4), ответ положительный, при п = 4 — отрица-
тельный, а для остальных п вопрос остается открытым: R.P. Stan-
ley // JCTh, В38 (1985), № 2, 132-133 [86, ЗВ764]; I. Krasikov, Y. Ro-
ditti // Archiv Math., 48 (1987), № 5, 458-464 [87, 11B676J; M.N. Elling-
ham // JGrTh, 16(1992).
Указатель-справочник
617
— трех красок — см., например, книгу Закса (I) и обзоры: V.A. Aksio-
nov, L.S. Mel’nikov П CmbAm, 1 (1978), 23-34 [79, 10B400]: R. Stein-
berg H Graph Theory Notes XXV, New York, 1993, 9—12.
— Улама: см. проблемы восстановления.
— Фробениуса (F.G. Frobenius): § 1.6.
— Хадвигера — см. гипотеза Хадвигера.
— Хивуда (Heewood problem): § 3.9; история и связь с другими областя-
ми математики: S. Stahl // Math. Magaz., 58(1985), №3, 131—145
[86, 4В703] — популярная статья.
— четырех красок — см, гипотеза четырех красок.
проблемы восстановления (reconstruction problems) в разных смыслах:
§ 1.10; вершинная и реберная гипотезы Улама; восстанавливаемость
графа; проблема восстановления для деревьев; проблема Стэнли; за-
ключение (п. 2: изоморфная определяемое^ графа его категорией
стягиваний, орграфа его полугруппой эндоморфизмов).
проводник (conductor): § 3.7.
прогамильтонова (prehamiltonian) система ребер в графе: §2.1.
прогрессивно конечный (фр. progressivement fini) граф: см. порядковая
функция.
проективный граф: см. инъективные и проективные графы.
произведение (join) графов в смысле Зыкова: § 1.2; книга Харари.
— Шеннона: см. информационная емкость графа.
произведения (products) графов G = (X, U) и G' = (X', U'), обладающие
множеством вершин Х*Х': G. Sabidussi // DMJ, 26(1959), 693—696,
MZ, 72(1960), № 5, 446-457 [60, 8, 8718]; W. Dorfler // SOAW II,
179(1970), 177—192; Н. Izbicky — систематизация; ассоциативные
п-я. W. Imrich И SOAW II, 180(1971), 203-239. В частности: декар-
тово п-е; конструкция Визинга; лексикографическое п-е; сильное п-е;
тензорное (категорное, кронекерово) п-е; книга Цветковича, Дуба и
Закса; для орграфов: М. Sonntag // EIKyb, 21 (1985), № 6, 275—282
[86, ЗВ784].
производный (derivated) граф - граф смежности ребер\ § 1.10.
произвольно вычерчиваемый (arbitrary traversable) граф: упр. 3 к § 2.8.
— /(-циклический орграф — в котором всякая орцепь длины к принад-
лежит какому-нибудь С? к: Y. Egawa, Т. Miyamoto, S. Ruiz И Graphs
and Comb., 3(1987), № 3, 227-238 [88, 1В617].
— гамильтонов (randomly hamiltonian ) граф — в котором гамильтонов
цикл выявляется последовательным выбором вершин с соблюдени-
ем единственного правила: на каждом шаге выбирать вершину,
618
Основы теории графов
смежную с предыдущей и не выбранную ранее; если такой процесс
всегда приводит к гамильтоновой цепи (не обязательно циклу), то
граф — произвольно проходимый (randomly traceable): G. Chartrand,
H.V. Kromk (книга Харари).
простая орцепь (simple dichain): §4.1.
—	цепь (simple chain, path): §2.1; §2.7; §4.1.
простой (simple) граф (1) в книгах Бержа — двудольный, (2) в книге Ха-
рари — обыкновенный.
—	орцикл: §4.1.
—	полуразрез: §4.2.
—	разрез: §3.1.
-	цикл: §1.2; §2.1; §2.7; §3.1; §4.1.
пространства разрезов, суграфов и циклов графа: § 3.2.
пространство коциклов = пространство разрезов (графа),
противоположный (converse) граф Ъ для орграфа G=G\ §4.1.
протяженность (elongation) графа — длина наибольшей простой цепи:
книга Оре; связь с радиусом и диаметром: В. Zelinka // Math, slov.,
32(1982), № 3, 291—296 [82, 12В529].
Ar-проходимый (k-traceable) граф — в котором есть простая цепь Zk и
всякая такая цепь является частью некоторой гамильтоновой:
G. Schaar [87, 7В667]; М. Sonntag // ЛРС, 23 (1987), № 4-5, 181-193
[87, 12В755].
процедуры порождения графов: R.C. Read [82, 6В656] — обзор результа-
тов за 10 лет; особо выделены работы И.А. Фараджева.
прочность (toughness), /-прочность графа — наименьшее такое действи-
тельное число t > 0, что после удаления любых к вершин граф распа-
дается не более чем на kit компонент: R.E. Pippert // LNM,
303(1972), 225—233 [73, 7В374]; гамильтонов граф является 1-проч-
ным: V. Chvatal // DM, 5 (1973), № 3, 215-228 [74, ЗВ348]. Общие ис-
следования, в связи с наличием к-фактора\ Н. Enomoto, В. Jackson,
Р. Katerinis, A. Saito // JGrTh, 9(1985), № 1, 87-95 [86, 2В736];
Н. Enomoto // Graphs and Comb., 2 (1986), № 1, 37-42 [86, 10B 447];
P. Katerinis I I DM, 80 (1990), № 1, 81-92 [90, 12B478]; Liu Gui-zhen //
Acta Math. Appl. Sin., 15(1992), № 3, 397-402 [93, 5B296]; Chen Ci-
ping П Graphs and Comb., 10 (1994), № 2, 97-100 [96, 1B386]; H. Eno-
moto // DM, 189 (1998), № 1—3, 277-282 [00, 4B274]). См. также
реберно жесткий граф.
псевдобулевы функции и устойчивость графов: Б.Д. Гинзбург
[77, 10В349]; Ch. Ebenegger, P.L. Hammer, D. de Werra [87, 1В584].
Указатель-справочник
619
псевдограф (pseudograph) в книге Харари = мулыпиграф.
псевдоинтервальные графы: Е.О. Brauner, R.A. Brualdi E.S.N. Sneyd //
JGrTh, 20(1995), № 3, 309—318 [96, 5В231].
псевдопаросочетание — см. (p, ц)-сочетание.
псевдоподобные (pseudosimilar) вершины в графе: упр. 8 к § 1.7;
G.D. Godsil, W.L. Косау // JCTh, В32 (1982), №2, 146—155
[82, 10В519]; W.L. Косау // JAuMS, А36(1984), №1, 53—58
[84, 8В479]; J. Lauri // ArsC, 46(1997), 77-95 [98, 2В277].
псевдохроматическое число — см. ахроматическое число (графа).
пустой (empty) граф в книге Зыкова = безреберный граф (§ 1.2); в насто-
ящей книге термин «п. г.» в общем виде не вводится, а пустое мно-
жество причисляется к графам лишь иногда, с оговорками: §4.1;
§ 1.10;	см. также нулевой граф.
пути, связность и паросочетания в графах и орграфах: D. Магси И
AnUBc, 1986, №35, 37-43 [87, ЗВ476] - 11 теорем.
путь (directed walk) — в книге Харари = простая орцепь (в орграфе).
Ar-пучок (fc-bunch, fc-skein), Ar-пучковый изоморфизм графов: упр. 28 к
§2.5.
пфаффиан (pfaffian) — функция элементов матрицы четного по-
рядка, введенная Таттом (1947) при алгебраического подходе к изу-
чению совершенных паросочетаний графа; как выяснилось впослед-
ствии, те же результаты можно получить более просто методами
«чистой» теории графов: книга Татта (раздел VII. 10.3); книга Минка.
Р
рабское (slave) число b(G) графа G=(X, U) — наименьшее количество
ребер, одновременное удаление которых из графа увеличивает его
число всесмежности; если G связен и n = n(G)>2, то b(G)<n-l:
J.F. Fink, M.S. Jacobson, L.F. Kinch, J. Roberts // DM, 86(1990),
№ 1-3, 47-57 [91, 9В438].
равенство (eguality) графов: § 1.2.
—	Кемпе: § 3.9.
равновесие (balance) орграфа в разных смыслах: книга Харари, Нормана
и Картрайта, глава 13.
равновесная (balanced) вершина в орграфе — у которой степени исхода
и захода одинаковы.
равновесное ребро графа G = (X, U) — такое xyeU, что для любой вер-
шины zeX либо xzeU&yzeU, либо xzgU&yz£U: книга [Al8]
(рубрика 8.1.3).
620
Основы теории графов
равновесный граф (isograph) — орграф, все вершины которого равно-
весны.
равномерно обобщенный граф — линейная комбинация униграфов (в
смысле (1), § 1.2): А.А. Миронов И ДАН, 351 (1996), №4, 465-468
[98, 1В258].
радиально критический (radially critical) граф (1) в смысле Гливяка:
упр. 15 к §2.6; (2) в смысле Нишанова: упр. 13 к §2.6.
----орграф: Г.Ш. Фридман И ДАН, 212(1973), № 3, 565-568
[74, 1В369].
радиус, 0-радиус графа: §2.6.
—	, — орграфа: упр. 27 к § 4.2.
разбивающее (break) множество графа — такое подмножество его эле-
ментов (вершин и ребер), удаление которого увеличивает число
компонент графа.
разбивающий треугольник: § 3.9.
—	цикл — простой, удаление всех вершин и ребер которого из связного
графа нарушает его связность; полное описание графов, не содержа-
щих таких циклов: С. Thomassen // DM, 22(1978), №1, 57—73
[78, 12В1021].
разбиение (partition) графа — см. графическое разбиение,
к
s-разбиение графа <7=(JT, U) — представление G = U (2Г, C7J, где все су-
/=1
графы (X, Uj) связны и попарно не имеют общих ребер, a l<|C7z|<s,
причем правое равенство достигается при всех i= 1, 2, ..., к-1. Связ-
ный граф обладает 2-разбиением, но не обязательно 3-разбиением;
2-сплетенный — 3-разбиением, но не обязательно 4-разбиением;
3-сплетенный граф обладает 4-разбиением, а 4-сплетенный — лю-
бым s-разбиением с s<m(G): М. Jiinger, G. Reinelt, W.R. Pulleg-
blank // JGrTh, 9(1985), №4, 539-549 [86, 11В650].
разборка (decomposition) графа: § 1.4 и упр. 7 к нему; упр-я 21 и 22 к
§ 2.7; заключение (п. 4); В.Е. Баховский // СибМЖ, 9 (1968), № 2,
255—266; книга Дистеля.
разделяющая пара (separating pair) — разбивающее множество графа,
состоящее из двух вершин: §3.1.
различающие раскраски: вершинно отделяющая раскраска ребер и реберно
отделяющая раскраска вершин, в принципе возможны и другие
модификации.
размерность (dimension) графа G — инвариант (р (G) -1, равный размер-
ности топологического комплекса, в котором каждая f-клика графа
считается (/-1)-мерным симплексом: §3.5.
Указатель-справочник
621
— пространств суграфов, циклов, разрезов: § 3.2.
разреженные (sparse) графы — обладающие малой плотностью, боль-
шим обхватом и другими свойствами, на первый взгляд мешающи-
ми графу иметь, например, большое хроматическое число; такого
рода препятствия, однако, в принципе преодолимы за счет доста-
точно большого количества вершин графа: теорема 3.8.1 и упр. 24 к
§ 3.8; R. HSggkvist И RMUSt, 30 (1982), 611 [83, ЗВ547] - непересека-
ющиеся циклы в р-х г-х; книга Йенсена и Тофта (глава 7).
разрез (cut, cutset) графа: §3.1.
разрезание триангуляции по треугольнику: § 3.9.
рамка (frame) графа G = (X, U) — такой Я=(У, К) с наименьшим и(Я),
что для любых хЕХнуеУ существует изоморфизм <-> всего G на
некоторый подграф графа Н, содержащий у, при котором хну:
М.А. Henning, Н. Maharaj // IJPAM, 28(1997), №5, 647-660
[00, 5В269].
рамсеевские свойства графов — см. теория Рамсея; связь с локальными
свойствами: С.Г. Сальников [88, 4В567].
ранг (rank) графа: § 3.2.
раскраска (coloring) вершин графа: § 1.3; § 2.7; с условием, что расстоя-
ния между одинаково окрашенными вершинами не меньше заданно-
го: Chen Guantao, A. Gyarfts, R.H. Schelp // DM, 191 (1998), № 1-3,
65-82 [00, ЗВ282].
— графа расстояний: см. граф k-расстояний.
— дуг (arc colorings) орграфа: С.С. Harner, R.C. Entringer // JCTh,
В13 (1972), № 3, 219—225 [47# 1656]; см. также хроматический индекс
частично ориентированного мультиграфа.
- ребер (edge coloring, line coloring) графа: § 2.9; A.J.W. Hilton // DM,
64(1987), №2-3, 303-307 [87, 12B721] - итог работы автора, Чету-
инд и Джонсона, 7 гипотез.
---триангуляции: § 3.9.
раскраски в предписанные цвета (prescribed colorings).
(1)	- для вершин. Пусть С = (У, U) с У = {хь х2, •••> хп} и M=(Y, К) с
Y={Уь У2> •••> Ур} ~~ обыкновенные графы; отображение М: X->2Y
называется предписанием на раскраску вершин графа G вершинами
графа М (цветами), а раскраской G вершинами М (т. е. в предписан-
ные цвета) — отображение/: Х-+ У, такое что для любых х, х', х" е X и
у\ у"&Y а) /(х)еЛ/(х), б) х1х2еС/=>/(х1)^/(х2), в) у{у2^
еУ=> f~x (^]) = 0v /-1 (j?2) = 0. Условия существования/при V = 0:
В.Г. Визинг [77, 8В478]; D. de Werra // JCTh, В32 (1982), № 3, 326-335
622
Основы теории графов
[83, 2В520]; D.M. Berman // CMUC, 23 (1982), № 3, 537-540 [83, ЗВ525];
R.W. Irving // DApM, 5 (1983), №1,111-117 [83, 4В605]; A. Chetwind,
R. Haggkvist // RMUSt, 1986, № 17, 1-8 [87, 7B641], JGrTh, 13(1989),
№ 1, 87-95 [89, 12B538], Univ. Umea Dep. Math., 1990, №5, 1-16
[91, 7B541] — обзор; T. Fadgyas [88, 1B589 (препринт)] — приложение к
задаче составления расписания; J.I. Brown, D. Kelly, J. Schonheim,
R.E. Woodrow // DM, 80 (1990), № 2, 123-143 [90, 12B457]; O.B. Боро-
дин // М3,48 (1990), № 6, 22—28 [91, 12B344] — для планарных графов;
N. Alon // LMSLN, 187 (1993) - обзор; В. Reede // JGrTh, 31 (1999),
№ 2, 149—153 [00, 5B262] — существование такого c<2w(G), что пред-
писанное хроматическое число не превышает cs (G); R. Skrekowski И
СРСтр, 8 (1999), № 5,493—507 [00, 6В298] — теорема типа Грёцша для
предписанных раскрасок с некорректностью 1, DM, 190(1998),
№ 1-3, 223-226 [00, 8В264]; М. Juvan, В. Mohar, R. Skrekowski //
JGrTh, 32 (1999), № 3, 250-264 [00, 10В272]); G.G. Chappell // JGrTh,
32 (1999), № 4,390-393 [00,10B274]; В.Г. Визинг (см. ниже, п. (2)). При
любом V: В.Н. Любота // ГГиДОЗ, 1982, 98-104 [82, 6В710]; Zhu Xu-
ding // JGrTh, 30(1999), № 1, 1—6 [00, 8B268]; см. также списочная
(к, (1)-раскраска.
(2)	— для ребер графа G, которым предписаны множества допустимых
цветов: A.V. Kostochka//DM, 101 (1992), № 1-3,189-201 [93, 10В204];
при дополнительном условии связности суграфов одного цвета:
С.П. Стеценко // Дискр. матем., 9 (1997), № 4, 92—93 [98, 6В302] — для
лесов; В.Г. Визинг // ДАИО, сер. 1, 6 (1999), № 4, 36-43 [00, 4В253] -
для мультиграфов (включая раскраски вершин); см. также списочная
реберная раскраска и интервальная t-раскраска.
(3)	— тотальные раскраски в предписанные цвета для вершин и ребер:
М. Juvan, В. Mohar, R. Skrekowski И СРСтр, 7 (1998), № 2, 181—188
[99, 6В283].
—	графов в разных смыслах: книга Йенсена и Тофта.
—	инциденторов графа — см. инцидентор (2).
i-раскраски (i-colorinds) графа: § 1.3.
расплывчатый (fuzzy) граф — заданный нечётко (расплывчато) в смысле
Заде (Zadeh)1: М. Takeda // Technol. Repts Osaka Univ., 23 (1973),
343—352 [74, 6B436] — связность; А.И. Орлов // ВКиб, 50 (1979),
35—43 [80, 1В800] — общие вопросы; Б.М. Кайрйкбаев // Вестник АН
1 L.A. Zadeh // Inform, and Contr., 8 (1965), № 3, 219—225; далее см. книгу: Нечеткие
множества и теория возможностей / Под ред. Р.Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986.
Указатель-справочник
623
КазССР, 1985, № 11, 87—89 [86, ЗВ781] — поиск оптимальных путей;
Ja. Woliszin // Zesz. nauk AGH Elektrotechn., 4(1985), №4, 467-477
[86, 7B664] — расстояния; Luo Chongshu // Fuzzy Sets and Syst.,
42 (1991), № 2, 237-243 [93, 1B544]; C.M. Klein // Fuzzy Sets and Syst.,
39 (1991), № 1, 27—41 [93, 1B615] — нечеткий кратчайший путь в сети;
Юй Чжонхуа [95, 2В349Деп] — пути в нечетком орграфе; A. Alaoui //
Fuzzy Sets and Syst., 101 (1999), № 3, 363-389 [00, 5В296].
распознаваемый (recognizable) класс графов — такой К, что любая
реконструкция графа GgK принадлежит К; совершенные графы,
графы сравнимости, графы интервалов и униграфы (1) распознава-
емы: М. von Rimscha // DM, 47 (1983), № 2-3, 283-291 [84, 4В487].
расположение графа на поверхности: § 3.5.
распределительный (distributive) многочлен графа: см. многочлены рас-
крашиваний.
расстояние (distance), ^-расстояние вершин графа: § 2.6.
------в орграфе = отклонение', см. орметрика.
— между графами G и G' — величина <7(G, G')=m(G) + w(G')-w+
+|п(G)-n(G')|, где т — наибольшее число ребер общей части гра-
фов G и G': V. ВаШ, Ja. Коба, W. Kwasnidka, М. Sekanina // СРМ,
111 (1986), №4, 431-433 [87, 4В507]; В. Zelinka // СРМ, 112(1987),
№ 3, 233-237 [87, 11В695].
----классами изоморфных графов. (1) — наименьшее число операций
типа показанного на рис. 3.8.5, которыми можно преобразовать
два данных графа в изоморфные: G. Chartrand, F. Saba, Zou
Hung-Bin И CPM, 110 (1985), № 1, 87-91, 102 [85, 9В580]. (2) - ве-
личина d (G, G')=n - n, где n = n (G) = n (G'), a n — наибольшее чис-
ло вершин графа, изоморфно входящего как подграф в G и в G':
В. Zelinka // СРМ, 110(1985), №3, 289-293, 315 [86, 1В781].
растущее дерево (growing tree) — укорененное дерево, все дуги которого
ориентированы в направлении от корня.
расширяемая (exendable) вершина графа: упр. 14.2 к § 2.6.
^-расширяемый граф — в котором всякое паросочетание с к ребрами
содержится в некотором совершенном: упр. 86 к § 2.4; п-расширяе-
мый граф — такой G, который является ^-расширяемым при любом
к, \<k<m(G)'. Nishimura Tsuyoshi // SUT J. Math., 30 (1994), №2,
129-135 [96, 6В264]. См. также: M. Kia we [82, 11В644].
расщепление (splitting) вершины графа (1) на две несмежных: § 1.8;
(2) на две смежных: упр. 14.2 к § 2.6 — частные случаи подстановки
графа в граф.
624
Основы теории графов
— графов и обобщенные эйлеровы цепи: C.St.J.A. Nash-Williams
[87, 7В677] — большой обзор о состоянии теории.
расщепляемый граф = полярный граф.
реализация (realization) вектора степеней — построение графа G с за-
данным s(G): §1.10; графическая последовательность.
—	графа = топологическое представление графа.
—	метрики: § 2.6.
—	орметрики: упр. 26 к §4.2.
—	последовательности степеней ребер: Ж.А. Черняк, А.А. Черняк //
ДАНБе, 25(1981), №7, 594-597 [81, 12В796]; N. Achuthan И LNM,
885(1981), 153-164 [82, 7B533J; Ж.А. Черняк // ИАНБе, 1982, № 3,
43-47 [82, 10В507].
P-реализация (rho-realization) матрицы: § 3.4.
реализуемость (realizability) матрицы разрезов или циклов: § 3.4.
A-реализуемость графа Р — существование такого (7, к-окрестность
каждой вершины которого изоморфна Р; при А = 1 равносильна
проблеме окружений, при А =2: Р. Bugata, М. Hornak, S. Jendrol //
ОРМ, 114(1989), №2, 146-154 [89, 9В380].
реберная гипотеза Улама: § 1.10; справедливость в частных случаях:
S. Fiorini, J. Lauri, [82, 9В513] — для 4-связных планарных графов,
[82, 11В649] — для 3-связной триангуляции любой поверхности:
B.D. Thatte И DM, 124(1994), №1-3, 193-216 [95, ЗВ248].
—	древесность (line arboricity) графа: J. Akiyama // LNCmS, 108(1981),
33-44 [82, 2В611] - обзор; Н.Р. Patil // Bull. Malays. Math. Soc.,
7(1984), №2, 57-59 [85, 10В716].
—	связность (line connectivity) графа G — инвариант l\G)\ §2.7.
—	целостность (edge-integrity) графа G = (X, U) — минимум суммы |У|+А
по всем Ус1, где к — число вершин наибольшей компоненты в
подграфе G\Y: R. Laskar, S. Stueckle, В. Piazza H DM, 122(1993),
№ 1-3, 245-253 [95, ЗВ260].
реберно доматическое число орграфа: В. Zelinka // CzMJ, 45 (1995), № 3,
449-455 [96, 8В319].
—	жесткий (edge-tough) граф: G.Y. Katona И Graphs and Comb.,
15(1999), № 3, 315-325 [00, 5В284].
—	критический (line-critical) блок: упр. 22 к § 2.2.
—	отделяющая раскраска вершин — такая правильная, при которой не-
упорядоченные пары цветов на концах различных ребер различны:
F. Harary, М. Plantholt [84, 2В507].
Указатель-справочник
625
реберно регулярный (line-regular) граф — в котором степени ребер все
одинаковы: книга Харари.
реберно симметрический (line’-symmetric), или р. транзитивный (line-
transitive) граф — обыкновенный, группа автоморфизмов которого
действует на множестве его ребер транзитивно. Критерий того, что
вершинно симметричный граф является р. с-м: упр. 9 к § 1.7; случаи
справедливости обратной импликации (для однородных графов):
J. Folkman // JCTh, 3 (1967), № 3, 215—232. Р. с. орграф: J.L. Szwarc-
fiter // DM, 141 (1995), № 1-3, 227-235 [96, 12В293].
реберно уникальный (line unical) граф — такой G=(X, U), что ни при
каких w, veU (u*v) суграфы G\u и G\u не изоморфны (сравнить с
вершинно уникальным графом),
реберное ахроматическое число: R.E. Jamison // DM, 74(1989), № 1—2,
99-115 [89, 9В397] - для клик.
—	доминирующее множество в графе G = (A", U) — такое SaU, что лю-
бое ребро из U\ S смежно с некоторым ребром из 5: S.R. Jayaram //
Graphs and Comb., 3(1987), №4, 357-363 [88, ЗВ666].
—	покрытие = накрытие (графа).
—	хроматическое число = хроматический индекс (графа).
—	число независимости (line independence number) графа G — инвариант
*(G): §2.4.
---Рамсея (line Ramsey number): книга Харари.
реберные графы (line graphs) в разных смыслах, характеризации: А. Маг-
czyk, Z. Skupieh [83, 5В605]; граф смежности ребер; книга [А18].
реберный вариант теоремы Менгера — теорема 2.7.2 (§ 2.7).
—	граф = граф смежности ребер'. § 1.10.
—	орграф: Keyi Ouyang, Kezhi Ouyang // J. London Univ., 23(1987),
№ 3, 6—9 [88, 3B648] — критерий изоморфности р.о-в двух заданных
орграфов.
-	подграф в работах А.А. Зыкова // ИСОАН, 1960, №9, 17—33
[62, ЗА271] и др. — часть графа, остающаяся от суграфа после удале-
ния голых вершин.
ребро (edge) графа: введение; §1.1; §2.7; §4.1.
регулярное вложение (regular embedding) графа G — такое его топологи-
ческое представление Gs на поверхности S, при котором все грани
(компоненты множества S\G$ в топологическом смысле) гомео-
морфны открытому кругу: § 3.5. Каждый связный граф допускает
р.в. в некоторую поверхность: книга Кёнига; J.H. Lindsay jr. II
АММ, 66(1959), №2, 117-118 [60, 8, 8711]; книга Рингеля.
626
Основы теории графов
регулярный = однородный (граф): §1.2.
- орграф: D. Магси // RSMUP, 73(1985), 95-98 [85, 10В694].
реконструируемость (reconstructibility) = восстанавливаемость (графа),
рекуррентное вычисление инвариантов графа: § 1.4; заключение (п. 4).
рекуррентные функции от графов: упр-я 6, 7, 10 к § 1.4; упр. 12а к § 2.4;
конец §2.7 и упр-я 21, 22 к нему; заключение (п. 4).
ретракция (retraction) — отображение (в частности, стягивание) графа
на его подграф, оставляющее неизменным этот подграф (ретракт).
Понятие p-и для топологических пространств: К. Куратовский. То-
пология. М.: Мир, 1966-1969), том 1, стр. 112 и том 2, гл. 7. Для гра-
фов: H.J. Bandelt // JGrTh, 8 (1984), № 4, 501-510 [85, 7В728]; A. Qil-
liot // DM, 54(1985), №1, 61—71 [85,9B590]; N. Polat // JGrTh,
19(1995), № 1, 25—44 [96, 1B345]; см. также эквиваленты гипотезы
четырех красок (Р. Hell).
реферативные обзоры по теории графов: А. А. Зыков И Итоги науки. Ал-
гебра. Топология. 1962. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1963, 188-233;
F. Turner, W.N. Kautz. A survey of progress in graph theory in the So-
viet Union. Sandford Research Inst., 1968; В.П. Козырев, C.B. Юшма-
нов // Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математиче-
ская статистика. Теоретическая кибернетика. 1973—1984. М.:
ВИНИТИ АН СССР, 23(1985), 68-117 [85, 11В637].
решетчатая толщина (lattice thickness) графа: упр. 14 к § 3.7.
род (genus) графа: § 3.5; Huang Yuangqiu, Liu Yanpei // Chin. Ann.
Math., B21 (2000), № 1, 77—82 [00, 9В238]. Модификация - реберный
род: Ryu Hae Dong П Bull. Acad. Sci. DPR Korea, Math, and Phys.,
1984, №4, 16-18 [85, 2В673].
розетка (rosette) — связный обыкновенный граф, все вершины которо-
го, кроме одной, — степени 2.
ряд (line) матрицы — строка или столбец.
С
самодополнительный (self-complementary) граф: упр. 2 к § 1.2; Н. Sachs //
Publ. Math. Debrecen, 9 (1962), № 3-4, 270-288 [65, 5A259]; G. Ringel//
Archiv Math., 14 (1963), № 4-5, 354-358 [65, 9A258]; C.R.J. Clapham //
JCTh, B15(1973), № 1, 74-76 [48#1975] - количество 3-клик;
R.A. Gibbs // JCTh, B16 (1974), № 2, 106-123 [74, 11B443] - новый ал-
горитм построения, свойства матрицы смежностей; C.R.J. Clapham,
D.J. Cleitman // JCTh, В20(1976), № 1, 67-74 [54#7314] - вектор
Указатель-справочник
627
степеней; R.J. Clapham // там же, 75—79 [54&7315] — потенциальная
P-графическая последовательность для свойства Р «быть самодопол-
нительным»; S.B. Rao // JCTh, В22 (1977), № 1, 1-9 [56#5357]; Gi. Pin-
to // Riv. mat. Univ. Parma, 7 (1981), 387-403 [82, 10B517] - критерий.
Обобщение: T. Gangopadhyay // ArsC, 38 (1994), 251—267 [96, 1В339].
- орграф: H. Sachs // WZTHI, 11 (1965), №3, 161-162 [68, 2B248];
Gi. Pinto // Riv. mat. Univ. Parma, 8(1982), 107-113 [83, 9B514];
A. Benhocine, A.P. Wojda // JGrTh, 9 (1985), № 3, 335-341 [86, 5B690];
B. Zelinka [88, 4B566] — естественные биекции между ориентирован-
ными и неориентированными самодополнительными графами.
саморасположимый (self-placeable) граф — обыкновенный, изоморфный
некоторому суграфу своего дополнения: см. взаиморасположимые
графы и упаковка графов.
сбалансированный = уравновешенный (граф).
сверхграф в книге Зыкова — граф, суграфом которого является дан-
ный.
сверхкомпактный (supercompact) граф G — в котором окружения раз-
ных вершин всегда различны: Chia Gek-Ling, Lim Chong-Keang //
Bull. Malays Math. Soc., 8(1985), № 1, 27-34 [86, ЗВ749].
сверхломкий граф: см. совершенно упорядочиваемые графы.
сверхреберная (superline) связность (сверхсплетаемостъ) графа: Wang
Ying-gian, Li Qiao // Shanghai Jiaotong Univ., 33 (1999), № 6, 646—649
[00, 2ВЗЗЗ].
сверхсовершенный (pluperfect) граф — такой G = {X, U), что если его
вершинам произвольно приписать целые неотрицательные веса
р(х) и (рр (G) как наибольшую сумму весов вершин клики, а
Ур (G) — как наименьшее количество груд (с возможными повторе-
ниями), таких что каждая хеХ входит по крайней мер в р(х) из
них, то для самого G и всех его подграфов будет ур =(рр (неравенст-
во ур >срр очевидно); в частности, если все р(х)е{0,1}, то G — со-
вершенный. В книге Голумбика [А9] поставлен вопрос: верно ли,
что если G — триангулированный или дополнительный к такому
графу, т.е. Ge TUT, то G является графом интервалов в том и толь-
ко том случае, когда G с-с-й? Как показал Th. Andreae (JGrTh,
9(1985), №4, 523—532 [86, 11В576]), это верно для GeT и неверно
для GgT.
свободная (free) /-раскраска графа: упр. 8 к § 1.4.
свойство Хелли системы S множеств — существование пересечения всех
множеств любой такой подсистемы S' с S, множества которой
628
Основы теории графов
пересекаются попарно: вторая книга Бержа. Для клик графа: упр.
256 к § 1.10; A. Quilliot // JCTh, А40 (1985), № 1, 186—193 [86, 5В704];
для орциклов: Z. Ёз!к [88, 10В643].
(6, У)-связка в графе: упр. 7 к §2.1.
связная компонента (connected component) = компонента (графа): вве-
дение; § 1.3; § 4.1.
— метрика: упр. 18.1 к §2.6.
связность (connectivity) графа в разных смыслах: книга Татта по связно-
сти в графах; В. Peroche // DM, 46 (1983), № 3, 257—277 [84, 5В540] -
6 типов связности; Л.А. Тюляндина [91, 5В409Деп], [92, ЗВ486Деп].
----по связным разрезам: О.Е. Oellerman [88, 11В541].
— декартова произведения графов: Chue Wen-Sz, Shich Bih-Sheue И
Appl. Math, and Comput., 102 (1999), № 2-3, 129-137 [00, 12В246].
— орграфа — мощность наименьшего такого подмножества вершин
орграфа, удаление которого нарушает его бисвязность1: Ya.Ou. Ha-
midoune // Europ. J. Comb., 5(1985), №4, 309-312 [85, 10B717]; мо-
дификация с целью приближения к свойству надежности: D.P. Day,
O.R. Oellermann, Н.С. Swart // DM, 127(1994), №1-3, 95-104
[95, 1В313].
— по к соседям (Zr-neighbour-conectivity) — свойство связного неполно-
го графа оставаться таким же после удаления менее к вершин вместе
с их окружениями: G. Gunther // DApM, 11 (1985), № 3, 233—243
[85, 12В594].
/-связность графа: § 2.5; N. Linial, L. Lovasz, A. Wigderson [87, 10В688] —
физические и топологические интерпретации (новый взгляд).
Р-связность графа G = (Y, U) — наименьшее число вершин такого
YаX, что подграф G\Y несвязен и каждая его компонента обладает
данным свойством Р: F. Harary [84, 2В550].
связный (connected) граф: введение; §1.3; §4.1.
----со связным дополнением: Ando Kiyoshi, Mizuno Hirobumi
[82, 11B667] — характеризация в терминах обязательных и запре-
щенных подграфов.
/-связный (/-connected) граф, исследование структуры: G.A. Dirac //
JLMS, 38(1963), №2, 148-161 [64, ЗА247]; D.M. Mesner, М.Е. Wat-
kins // J. Math, and Meeh., 16(1996), 321-326 [34#94]); A.C. Green //
JCTh, B24 (1978), № 3, 267-285 [80j#05076]; E. Gybri // Combinatorica,
1 (1981), № 3, 263-273; W. Mader [86, 9B690]; A. Idzik // Zastos. Math.,
* Для небисвязного орграфа это число, естественно, равно 0.
Указатель-справочник
629
19 (1987), № 3—4, 443—448 [89, 5В458]; Y. Egawa, A. Saito // Combima-
torica, 11 (1991), № 4, 389-392 [92, 7B541]; Zhou Hongwei // Math. Appl.
Sin., 8(1995), №2, 127-134 [96, 2B244], co ссылкой на [83, 6B563] -
число вершин, некритических в том смысле, что удаление любой из
них не нарушает /-связность графа; М. Kriesell // Graphs and Comb.,
15 (1999), № 4, 429—439 [00, 10B290] — существование пар несмежных
вершин, отождествление которых не нарушает /-связность графа.
Pi-связный граф: (1) — в котором всякие две различные вершины сое-
динены по крайней мере одной простой цепью длины /: Н. Enomoto,
Y. Usami // Util. Math., 20(1981), 117-148 [82, 6B674]; Y. Usami //
Util. Math., 26 (1984), 109-169 [85, 10В720]. (2) - в котором для лю-
бого разбиения Аг = Аг1иАг2,Аг1Г1Аг2=0 множества вершин сущест-
вует цепь Z|-, содержащая вершины как из Х[, так и из У2: L. Ba-
bel // DM, 191 (1998), № 1-3, 13-23 [00, 2В336] - характеризация в
терминах запрещенных подграфов (при /=4).
связующее множество (binding set) вершин графа — после удаления ко-
торого остается лес: Li Deming, Liu Yanpei // Acta Math. Sci. Sin.,
19(1999), 375-381 [00, 11В255].
— число (binding number) графа G = (X,U) — величина b (G)=bindG=
=min^jyp, где А (К) — окружение множества Y сX, а минимум
взят по всем таким непустым Y, что А (У) с: Х\ W.R. Woodall //
JCTh, А14 (1973), № 1, 187-200, В15 (1975), № 3, 225-255 [74, 5B398J;
V.G. Kane, S.P. Mohanty, R.S. Hales [82, 2B641]; M. Kwasnik, D. Mic-
halak [86, 11B634, 635]; P. Katerinis, D.R. Woodall // Quart. J. Math.,
38(1987), № 150, 221-228 [88, 1B621]; Wang Jianfang, Tian Songlin,
Liu Juiqiang [88, 5B705]; В.Э. Зверович [89, 5B460]; M. Kwasnik [89,
7B576] — критерий критичности; В.Э. Зверович, И.Э. Зверович //
ВБелУ Сер. 1, 1990, № 1, 52-55 [90, 6В443]; М. Skowzohska // DApM,
22(1988-89), № 1, 93-97 [90, 7В486] - для графов Галина; W. God-
dart, Н.С. Swart // ArsC, 34 (1992), 119-128 [93, 11В215] - для декар-
това произведения; D.M. Michlak // DM, 131 (1994), № 1—3, 363—366
[96, 1B342J; Chen Ciping // ArsC, 41(1995), 217-224 [96, 10B230];
U. Teschner // ArsC, 46 (1997), 25—32 [98, 2B283] — для блоков графа.
сдвиг (shift), 4-сдвиг: см. полуцикл и упр. 4 к § 1.2.
сжимаемость = стягиваемость (одного графа на другой): R. Ham-
mack // JGrTh, 32(1999), №2, 160-170 [00, ЗВЗО4].
630
Основы теории графов
сигма-полином: см. многочлены гомоморфизма и многочлены раскраши-
ваний.
силовое размещение (force placing) планарного графа с учетом ряда до-
полнительных требований: А.Я. Тетельбаум [88, 10В604].
сильная (strong) гипотеза Бержа = гипотеза Бержа о совершенных гра-
фах’. §3.10.
—	раскраска ребер графа — когда ребра одного цвета порождают (вме-
сте с инцидентными вершинами) подграф: R.A. Brualdi, J.J.Q. Mas-
sey // DM, 122(1993), №1-3, 51-58 [95, 2В320].
—	связность = бисвязностъ (орграфа): § 4.2.
сильно независимая (strongly independent) груда графа G — такая Е, что
подграф G\E связен: J.A. Bondy, G. Hopkins, W. Staton // CMB,
30 (1987), № 2, 193—199 [88, 3B628] — условие существования в одно-
родном графе.
—	подобные матрицы: § 1.6.
— регулярные (strongly regular) графы — однородные с дополнительны-
ми условиями типа: каждая несмежная пара вершин входит в одно и
то же число вилок, а каждая смежная — в одно и то же число треу-
гольников; широко применяются, например, в комбинаторном ана-
лизе (блок-схемы): I.S.o. Aliev, Е. Seiden // JCTh, 6 (1969), № 1, 33—39
[38#4362]; J.J. Seidel И LMSLN, 38(1979), 157-180 [80, 7В533];
К. Петров // ГСУ, 71 (1976-77/1986), № 2, 75-78 [87, 1В577]; R. Ма-
thon, A. Rosa И JCTh, А38 (1985), № 1, 84-86 [86, 6В719); D. Wagner
И CGrAm, 1985, 215-218 [87,5В646]; S. Antonucci // BUMIt,
D4(1985), № 1, 137-143 [88, 1B588]; К. Юбо [88, 4B570] - обзор.
—	связный граф = бисвязный орграф’. § 4.2.
—	совершенный (strongly perfect) граф G — в каждом подграфе G' кото-
рого есть груда, пересекающая все наибольшие клики G': М. Preiss-
mann // DM, 54(1985), №1, 117-120 [85, 10В708]; D. Basavayya,
G. Ravindra // J. Math, and Phys. Sci., 21 (1987), №4, 391-398
[88, 2B643]; S. Olariu // JGrTh, 13 (1989), № 3, 308-311 [90, 3B496] -
ссылки на [77, 10B344] и [86, 6В740].
—	транзитивный орграф: упр. 4 к §4.5.
—	транзитируемый граф — неориентированный, который можно путем
ориентации превратить в сильно транзитивный орграф.
сильное произведение графов: W. Dorfler, W. Imrich // SOAW II,
178(1971), №4-7, 247-262 [71, 5В334].
симметрический граф Бержа: §4.1.
Указатель-справочник
631
симплекс размерности п в теории графов — (п + 1)-клика: §3.5.
симплексоид (нем. simplexartiger Graph) = кликоид'. § 1.8.
синапс (synapse): §4.5.
система баз циклов (BKS): W. Schone [82, 10В501].
— различных представителей (system of distinct representatives): упр. 4 к
§ 1.6; упр. 16 к § 2.4.
системы простых циклов и простых разрезов графа: §3.1.
скелет (skeleton) мультиграфа: §4.5.
— орграфа: см. орскелет.
1-скелет — граф, образованный вершинами и ребрами многогранника,
слабая (weak) гипотеза Бержа и ее подтверждение: §3.10.
слабая (weak) компонента орграфа G — его подграф, порожденный
множеством вершин компоненты дезориентированного графа G.
слабо связный (weakly connected), слабо упорядоченный, слабый граф —
орграф G класса U^2 UB3 (§4.2), т.е. такой, что G связен.
— Z-связный (мульти)граф — в котором для любых / пар вершин
(х/? У существует система {Zz} простых цепей попарно без общих
ребер, такая что Z* соединяет х, су, (/=1,2, ...,/); критерий и пе-
ренос результата упр. 3 к § 2.5 на /-сплетаемость: Т. Hirata, К. Kubo-
ta, О. Saito // JCTh, В36 (1984), № 1, 85-94 [85, 1В653]; Н. Okamura,
JCTh В37 (1984), №2, 151-172 [85, 8В589].
— триангулированный, с.хордовый граф G — такой, что ни он сам, ни
его дополнение G не содержат подграфов типа Ск с к >5 (в частно-
сти, таковы триангулированные графы и их дополнения); все с.т-е
графы совершенны: R.B. Hayward // JCTh, В35 (1985), № 3, 206—208
[86, 5В721].
слияние (junction) ребер графа: § 3.5.
сложность (complecity) свойства Р графа G — наименьшее количество
элементов матрицы Л (С), знание которых достаточно для ответа на
вопрос: P(G) или Р(С)? J. Kahn, М. Saks, D. Sturtevant [84, 9В496].
случайные (random) графы: заключение (п. 5).
смежность (adjacency) вершин графа: §1.1; §2.7.
— ребер графа — наличие общей вершины: § 1.10; упр. 19 к §2.7.
смежные грани (топологического представления графа на поверхности)
— имеющие общее ребро (не только общую вершину!).
смешанная достижимость в частично ориентированном графе:
Я.М. Ерусалимский, Е.О. Басангова [85, 12В561].
смешанное число Рамсея: R.J. Gould, M.S. Jacobson // JCISS, 8(1983),
№3, 181-184 [85, 12В574].
632
Основы теории графов
снарк (snark) — связный 3-однородный граф класса L2 (см. х-классы
графов)’. R. Isaaks // АММ, 82 (1975), № 3, 221—239 [75, 12В506];
G. Szekeres // LNM, 452 (1975), 227-233 [75, 2В507]; М. Gardner И Sci.
Amer., 234(1976), April, 126-130, 235(1976), September, 210-211;
J.J. Watkins П ANYAS, 576(1989), 606-612 - обзор; A. Cavicchioli,
M. Meschiari, B. Ruini, F. Spaggiari П JGrTh, 28(1998), №2, 57-86
[98, 12B320] - обзор; E. Steffen // DM, 188(1998), № 1-3, 183-203
[00, 1B291], Graphs and Comb., 15(1999), №4, 473-480 [00, 10В275].
Предположение о непланарности всех снарков — эквивалент гипоте-
зы четырех красок.
собственная (eigen) вершина графа: §3.10.
' собственные числа (eigenvalues) графа: § 1.3.
совершенно ориентируемый (perfectly orientable) граф G — вершины ко-
торого можно расположить в таком порядке, чтобы при последова-
тельной их окраске первым из допустимых цветов 1, 2, ... получа-
лась /((?) раскраска: Н. Bielak [91, 2В498].
— упорядочиваемый (perfectly orderable) граф — множество вершин ко-
торого можно так упорядочить ( > ), чтобы ни в какой простой це-
пи с последовательными вершинами х, у, z, t не было х>у & z>t;
хорошего алгоритма распознавания графов этого класса пока нет,
некоторые его подклассы (сверхломкие, максимально ломкие и др.
графы) характеризуются в терминах запрещенных частей: М. Preis-
sman, D. de Werra, N.V.R. Mahodev П DM, 61 (1986), №2-3,
259-267 [87, 3B474]; M. Cochand, D. de Werra H DApM, 15(1986),
№2-3, 213-220 [87, 4В513].
совершенное (perfect) паросочетание (= \-фактор) графа: § 2.4; Ju. Peter-
sen // Acta Math., 15(1981), № 2, 193—200; достаточные условия су-
ществования: I. Anderson // JCTh, B10 (1971), №3, 183—186
[72, 6B269], PEdMS 18 (1972), № 2, 129-136 [73, 7B383]; W. Mader //
Math. Ann., 201 (1973), №4, 269-282 [73, 8B335J; P.J. McCarthy //
BAuMS, 9(1973), №1, 141-143 [74, 4B340]; A.B. Козина // ВКиб,
26(1980), 145-155 [80, 11B541]; L. Nebesky // CPM, 106(1981), № 3,
223—230, 316 [82, 2B662]; Li Zuo-an // Sichuan Norm. Univ. Natur.
Sci., 22(1999), №6, 681—685 [00, 6B319] — в самодополнительном
графе.
совершенный граф: §3.10.
соединение (conjunction) = тензорное произведение (графов).
— (join) графов (обозначенное в книге Харари как сумма) - произведе-
ние (в смысле Зыкова).
Указатель-справочник
633
соединимость (connectibility) вершин графа: §2.1.
—	ребер графа: упр. 4 к §2.1.
/-соединимость вершин графа: § 2.5; § 2.7.
—	упорядоченной пары вершин орграфа: § 4.2.
соприкасающиеся (touching) графы — имеющие хотя бы одну общую
вершину, но не имеющие общих ребер.
соседние (neighbour) элементы графа — смежные (две вершины, два
ребра) или инцидентные (вершина и ребро).
соседство (в ранних работах Л.М. Лихтенбаума) = смежность вершин
графа.
сохранное отображение (invariant mapping) — однозначное отображение
в себя множества вершин графа, сохраняющее свойство пар вершин
быть несмежными различными; не меняет неплотность графа: пер-
вая книга Бержа; А.Г. Маркосян; J. NeSetril, Е. Sopena, L. Vignal //
CMUC, 38(1997), № 1, 125-136 [98, 1В272].
соцветные (cocolorable) вершины графа: §1.9; упр. 26 к §2.2.
(р, ^-сочетание в графе: упр. 18 к §2.4.
сочленение матриц: § 1.3.
сочленения и расчленения графов — разбиение множества вершин гра-
фа на классы и отождествление вершин каждого класса:
C.St.J.A. Nash-Williams [88, 4В577].
спектр (spectrum) графа: §3.1.
списочная (к, </)-раскраска (list improper coloring) графа — неправиль-
ная (вообще говоря) раскраска вершин, при которой каждая верши-
на смежна не более чем с d вершинами того же цвета, а количества
допустимых цветов в каждой вершине (см. раскраски графа в предпи-
санные цвета (1)) не превышают k: R. Skrekovski // CPCmp, 8 (1999),
№ 3, 293-299 [00, ЗВ286].
—	реберная раскраска (list edge-coloring) графа: М. Juvan, В. Mohar,
R. Skrekovski // DM, 187(1998), № 1-3, 137-149 [00, 5В255].
/-сплетаемость (/-interlaceability) вершин в графе: § 2.7.
—	упорядоченной пары вершин орграфа: § 4.2.
/-сплетенный (/-interlaced) граф: § 2.7; Zhu Biwen, Su Jianji // Adv. Math.
Sin., 16 (1987), №2, 113-119 [87, 9B646] - обзор; H. Okamura //
JCTh, B45 (1988), № 3, 345-355 [89, 11B569]; Cai Mao-cheng // DM,
104(1992), № 3, 221-226 [93, 9В332].
сравнимые (comparable) вершины орграфа — такие x и у, что
x€D(y)vyeD(x): §4.2.
634
Основы теории графов
( А"1
среднее расстояние в графе G = (Ar, U) — число = И	’£р(х> J7) (по
всем xyeU): Р. Dankelmann // DApM, 51 (1994), №1-2, 75-83
[95, 2В335] — уточнение оценки (в зависимости от n = n(G)).
— хроматическое число графа: М. Anthony // DM, 125(1994), №1—3,
11-14 [95, 2В322].
средние помечивания графов — одно из средств характеризации:
М. Harming // DsMGr, 17(1997), № 1, 133-136 [00, 9В248].
средняя степень (mean degree) обыкновенного графа — отношение удво-
енного числа ребер к числу вершин.
стабильно доминируемый (stable dominated) граф — в котором каждый
минимальный всесмежный подграф является грудой: М.А. Benedetti,
F.M. Mason И Ann. Univ. Ferrara, 27(1981), 1-11 [82, 7В599].
стабильное (stable) подмножество вершин, стабильный подграф: §4.5.
/^-стабильность (//-stability) графа G — наименьшее количество вершин,
удаление которого меняет заданный инвариант р (G) графа; анало-
гичное понятие связано с удалением ребер: D. Bauer, F. Harary,
Ju. Nieminen, Ch.L. Suffel // DM, 47(1983), №2-3, 153-161
[84, 4В488].
статистическая эффективность алгоритмов: § 1.4; Э.Х. Гимади, В.А. Пе-
репелица И ВКиб, 15(1975), 23-30 [76, 2В492]; L. Babai [82, ЗВ595];
R.M. Karp // LNCmS, 71 (1979), 338-339 [80, 1В737].
степень захода (indegree), — исхода (outdegree) вершины орграфа: § 4.1.
степенная вариация (valency-variety) графа: упр-я 32 и 32' к § 2.2.
— последовательность = графическая последовательность.
степень (degree) вершины графа: § 1.2; §2.7; §2.9; §4.1; обобщение —
i-степень: И.Э. Зверович // ИАНБе, 1987, № 1, 30-34 [87, 7В631].
—	гомоморфизма (нем. Homomorphiegrad) графа = число Хадвигера.
—	графа: § 1.3; в книге Харари вводится только для однородных гра-
фов.
—	нерегулярности (irregularity strength) графа G — наименьшее zeN,
при котором ребра графа можно снабдить весами из {1, 2, ..., t} так,
чтобы суммы весов инцидентных ребер у всех вершин были различ-
ны: D. Amar, О. Togni // DM, 190 (1998), № 1-3, 15-38 [00, 2В308].
—	ребра — неупорядоченная пара степеней вершин, соединяемых этим
ребром в графе.
сток (sink) = тупик: §4.1.
строгая изотопия проводников: § 3.7.
Указатель-справочник
635
—	реализация метрики: § 2.6.
строгий (strict) подграф, суграф — отличный от всего графа,
строго квазибисвязный (strictly unilateral) орграф: упр. 31 к §4.2.
—	^-критический граф: упр. И к § 1.9.
—	слабый диграф (strictly weak digraph) — орграф класса 11 з (§ 4.2).
строго совершенный граф — каждый подграф которого содержит груду,
пересекающую все клики этого подграфа: Н. Meyniel И DM,
16 (1977), № 4, 339-342 [77, 10В344]; М. Preissmann // DM, 54 (1985),
№ 1, 117-120 [85, 10В708]; М. Preissmann, D. de Werra // Math. Pro-
gramm., 31 (1985), № 3, 321-326 [86, 2B712]; C. Berge // DApM,
15(1986), №2—3, 145—154 [87, 5В642]. Усиление («очень строго со-
вершенный граф»): С.Т. Hoang И JCTh, В42(1987), №3, 302-312
[87, 9В632]. Далее см.: D. Basavayya, G. Ravindra И JMPhS, 21 (1987),
№ 4, 391-398 [88, 2В643]; С. Berge, Р. Duchet И Bull. Inst. Math. Acad.
Sci. Sin., 16(1988), 263-274, DM, 86(1990), №1, 27-31; S. Olariu,
JGrTh, 13 (1989), № 3, 308-311 [90, 3B496] (co ссылками на
[77, 10B344] и [86, 6B740]).
строго (strongly) хордальный граф G — в котором у каждого простого
цикла С/ с 7>6есть пара вершин на нечетном расстоянии (по цик-
лу), смежных в G: Е. Dahlhaus, P.D. Manuel, М. Mirka И DM,
187(1998), № 1-3, 269-271 [00, 1В303].
строгое стягивание — преобразование графа посредством только стяги-
ваний ребер, без удаления элементов (кроме отождествления налега-
ющих ребер).
---ребра — стягивание такого ребра графа, концы которого не
имеют общих смежных вершин: см. доказательство импликации
(3)=>(4) в теореме о планарности (§3.6).
структурные (lattice) константы графов: Н.Н. Chen, F. Lee И J. Phys. А:
Math, and Gen., 17(1984), № 11, 2225-2232 [85, ЗВ446].
структурные (structural) числа и графы: J. Rajkow-Krzywicki // De-
monstr. Math., 14(1981), №2, 483-500 [82, ЗВ562].
стягиваемость (contractibility) — возможность превратить заданный
граф в изоморфный другому данному при помощи строгого стяги-
вания.
стягивание (contraction) графа: §3.1; §3.8.
—	простого цикла в графе: упр. 13 к §3.1.
-	ребра: § 1.3.
субпанциклический (subpancyclic) граф — имеющий простые циклы
всех длин от 3 до sc(G) — охвата G — включительно: Xiong Liming //
DM, 188(1998), № 1-3, 225-235 [00, 4В282].
636
Основы теории графов
суграф (partial, partial graph, фр. graphe partiel): §1.1; §2.7; §4.1.
сукомпонента в книге Зыкова = нейрон.
сумма (sum) графов: § 1.2.
—	Зыкова (нем. Zykovsumme) = произведение (графов): § 1.2.
существенная (essential) груда в графе — имеющая вершины, расстояние
между которыми (в естественной метрике) равно 2: Liu Xin // Graphs
and Comb., 11 (1995), № 3, 267-273 [96, ЗВ238].
—	дуга = незаменимая дуга: § 4.2.
—	реализация метрики: § 2.6.
существенно различные триангуляции поверхности: С. А. Лавренченко //
[88, 2В630Деп], Укр. геом. сб., 31 (1988), 76-90 [88, 11В522].
существование графа с заданными длинами циклов: W. McCuaig // DM,
78(1989), № 1-2, 124-133 [90, 7В469].
Ar-сходные (Ar-similar) вершины графа: упр. 3' к § 2.7.
сшивание графов по полному подграфу (F-sewing of graphs): упр. 11 к
§ 1.5; книги Вагнера и Дистеля.
Т
таблица Избицкого—-Нойбергер: упр. 21 к § 3.9.
тензорное произведение (tensor product) графов G = (X, U) и G' = (Х', U')
— граф(т®(7'=(АгхX',{xx yy'IxygU & x'y'eU'}): D.J. Miller//CJM,
20(1968), 1511-1521 [38#73]; W. Dorfler П Gias, mat., 6(1971), №2,
217-229 [72,7B281]; P.K. Iha, S. KlavZar, B. Zmazek П DsMGr,
17 (1997), № 2,301—309 [00,9В244]. Матрица смежностей A(G® G') по-
лучается из матриц A (G) и A (G') тензорным умножением (см., напри-
мер: В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Нау-
ка, 1984). Раскраски ребер т.п-я графов: В. Mohar, Т. Pisanski, J. Sha-
we-Taylor [82, 9В503], В. Mohar [82, 9В504]. Для орграфов: F. Harary,
С.А. Trauthjr. // J. SIAM Appl. Math., 14 (1966), 250-254 [36#5027].
теорема Брукса: § 2.2 и упр-я 246, 25 к нему; Р.А. Catlin И DM,
24(1978), №1, 1-6 [79, 6В600]; ANYAS, 328(1979), 95-99
[82с#05047] — обзор; S.L. Hakimi, J. Mitchem, E.F. Schmeichel //
JGrTh, 20(1995), №2, 177-194 [96, 8B285]; V. Bryant // DM,
158(1996), № 1-3, 279-281 [98, 1В282].
— Вагнера о равносильности гипотезы Хадвигера при у=5 и гипотезы
четырех красок: § 3.8.
---— триангуляциях: упр. 5 к § 3.9.
Указатель-справочник
637
—	Визинга: § 2.9 (теорема 2.9.2).
—	Гольдберга: § 2.9 (теорема 2.9.5).
—	Гупты: §2.9 (теорема 2.9.3).
— Дилуорса (Дилворта): §4.2 (первое следствие теоремы 4.2.8).
— дружбы (friendship theorem): если в конечном графе G каждые две
различные вершины соединяет ровно одна простая цепь длины 2, то
G состоит из блоков типа F$, соединенных общим шарниром (граф
дружбы); Обобщения теоремы; любые к вершин графа G имеют
ровно Л общих смежных; любые две различные вершины соединены
ровно Л простыми цепями длины 2; гипотеза Коцига (A. Kotzig,
1977) о несуществовании таких графов с Л = 1 и к>3 подтверждена
лишь частично: J.A. Bondy // CGrAm, 1985, 351—366 [87, 6В576].
— Жордана о кривых — три теоретико-графовых аналога: A. Vince,
С.Н.С. Little // JCTh, В47(1989), №3, 251-261 [90, 9В413].
------центральных вершинах графа: §2.6 (теорема 2.6.1).
—	Заранкевича: см. число Заранкевича.
—	Кёнига о наименьшей опоре и наибольшем паросочетаний: § 2.4 (тео-
рема 2.4.7).
------бихроматических графах: §2.1 (теорема 2.1.2).
—	Кёнига—Оре: § 2.4 (теорема 2.4.6).
— Кёнига—Холла — следствие теоремы Кёнига—Оре; обобщение:
Д.Я. Кесельман // Киб, 1981, №2, 139 [81, 8В648].
— Куратовского: § 3.6 (часть (0) <=>(3) теоремы 3.6.4); аналог — сущест-
вование для любого g g N такого конечного множества графов Sg,
что G не вложим 2-клеточно в поверхность рода g тогда и только
тогда, когда какой-нибудь его минор изоморфен некоторому графу
из ; краткое изложение результатов Робертсона и Сеймура:
H.S. Wilf И АММ, 94 (1987), № 3, 267-271 [87, 9В610].
— Менгера: §2.5, §2.7. Доказательства на языке теории графов:
Н. Whitney // AJM, 54(1932), № 1, 150-168; Gy. Hajos // AMASH,
7(1934), 44-47; T. Grilnwald (= T. Gallai) П JLMS, 13(1938) pt 2,
№45, 188-192 [Zbll9#237]; R. Hahn // Math. Ann, 157(1964), № 1,
34-41 [65, 12A342]; книга Зыкова; J.S. Pym // MhM, 73(1969), № 1,
81-83 [69, 10B214]; L. Lovasz // AMASH, 21 (1970), № 3-4, 365-368
[71, 9B386] — с помощью алгебры цепей; J.St. Nash-Williams,
W.T. Tutte П JGrTh, 1 (1977), № 1, 13-17 [78, 6В599]. Модификации
и обобщения: реберный вариант (A. Kotzig); L’. Niepel, D. Safari-
kova // AMUC, 1983 (1984), №42-43, 275-284 [85, 8B594]; J. Topp,
638
Основы теории графов
L. Volkmann И JCISS, 14(1989), №4, 249-250 [93, 1В587] - для де-
ревьев; R.J. Faudree [97, 1В284] — с обзором (библ. 71).
—	о планарности: § 3.6.
---четырех красках: см. гипотеза четырех красок.
—	для поверхностей рода g: К.А. Berman, J.L. Paul II PAMS
105(1989), №2, 513-522 [90, 1В497].
—	Петерсена: §3.9 (теорема 3.9.1).
—	Рамсея: см. теория Рамсея и числа Рамсея.
—	Рубина — о существовании простого цикла четной длины, не более
чем с одной хордой, в любом блоке, отличном от клики и от про-
стого цикла нечетной длины; краткое доказательство: R.C. Entrin-
ger И CGrAm, 1985, 367-368 [87, 6В615].
—	Сеймура о Г-соединениях: P.D. Seymour И PLMS, 42(1981), № 1,
178—192 [81, 7В709]. Краткое доказательство: A. SebO И DM,
64(1987), №1, 101-103 [87, 9В638].
—	Татта о паросочетаниях: § 2.4 (теорема 2.4.5); другие доказательства:
I. Anderson (см. совершенное паросочетание), J. Plesnik // МС,
25(1975), №2, 185-188 [75, 10В299].
—	Турана: § 1.8 (теорема 1.8.2) и ее усиление (теорема 1.8.6); упр-я 7—9
к §1.8; Р. Turin И Mat.-Fis. Lapok, 48(1941), 436-452, ClqM,
3(1954), № 1, 19-30 [55, 7, 3119]; книга Оре; В.А. Andrasfai И МТ,
7(1962), № 1-2, 193-196 [63, 8А229]; J. Moon, L. Moser // МТ,
7А(1962), № 3, 283-285 [63, 12А115]; T.S. Motzkin, E.G. Straus //
CJM, 17 (1965), № 4, 533-540 [67, 12В244]; Н.Й. Мартинов И ДБАН,
30 (1977), 479—481; Н.Г. Хаджииванов. Теорема на Туран за графите
(Народна просвета, 1980). Следствия (в том числе тривиальные)
обеих теорем: В.С. Никифоров, Н.Г. Хаджииванов [82,2В648];
Н.Г. Хаджииванов, Н.Д. Ненов // Физ.-мат. списание, 27 (1985), №4,
314-318 [86, 7В639]; В.С. Никифоров И ГСУ, 71 (1976-77/1986), №2,
157-160 [86, 12В839]; В. Hedman И DM, 65(1987), №2, 173-176
[88, 1В601]; Н.Г. Хаджииванов, Н.Д. Ненов, И.Ж. Пашов // СБМС,
13 (1987), № 3, 199-209 [88, 1В622]. Обобщения и усиления: Г.Н. Ко-
пылов И М3, 26 (1979), № 4, 593-602 [80, 3B649J; Н.Г. Хаджииванов,
Н.Д. Ненов [88, 11В554]. Равносильная формулировка
VAtgN |ф(С)<А:=>т((7)<^^^|:
М. Aigner // АММ, 102 (1995), № 9, 808-816 [96, 6В245]. Окрестност-
ный аналог: D.J. Knislev И JGrTh, 18 (1994), № 1, 59-71 [95, 2В327].
Обобщение на взвешенные графы: J. Moravec [75, 2В507].
Указатель-справочник
639
—	Уитни о переключениях в блоках: §3.1 (теорема 3.1.8)
---об /-связности графа: § 2.5 (теорема 2.5.2).
—	Уитни-Юнга: § 1.10 (теорема 1.10.2); аналог для орграфов: С. Tho-
massen И AJM, 55(1933), 245-254, JCTh, В46 (1989), № 3, 257-291
[92, 5В401] — применительно к турнирам.
—	Флейшнера о гамильтоновости квадрата блока: Н. Fleischner //
JCTh, В16 (1974), № 1, 29-34; S. Riha П JCTh, B52(1991), № 1,
117-123 [95, 1В320].
—	Хивуда: § 3.9 (часть теоремы 3.9.2); обобщение: см. империя.
—	Эйлера: §2.8 (теорема 2.8.1).
теоремы компактности (Кёнига, Радо и др.): заключение (п. 6).
теория Рамсея — систематическое изложение с общих позиций ряда во-
просов комбинаторного характера, включающих теорему Рамсея
(см. числа Рамсея): Н.М. Mulder // Math. Centre Tracts, 106(1979),
107—117 [81a#05081]; R.L. Graham, B.L. Rothscild, J.H. Spenser. Ram-
sey theory (New York: Wiley, 1980, 1990); P. Грэхем. Начала теории
Рамсея. М.: Мир, 1984 — перевод с англ.: Ronald L. Graham. Rudi-
ments of Ramsey Theory (Providence, Rhode Island, 1981); J. Spencer I I
JGrTh, 7 (1983), № 1, 15-23 [83, 9B535] - обзор; J.L. Brown, V. Rodl //
JCTh, B52 (1991), № 1, 45—52 [95, 1B310] — задачи рамсеевского типа
о раскраске вершин графа; S.A. Burr, M.S. Jacobson, Р. Mihok, G. Se-
maniSin // DsMGr, 19 (1999), № 2, 199-217 [00, 12B249] - обобщенная
теорема Рамсея и разложимые (decomposable) свойства графов. См.
также числа Зыкова и антирамсеевский граф.
-	Татта 3-связных графов: упр. 22 к § 2.5.
терм-граф (term graph) матрицы ||л//||£ — двудольный граф (X, Y, U) с
| Y]=p, |У|=# и упрощенной матрицей смежностей || Гд ||£, где Гд =1
при ад ^0 и Гд =0 при ад =0: книга Оре.
тернарная операция (ternary operation): § 2.6; упр. 26 к § 4.2.
тип грани топологического графа на ориентируемой поверхности —
последовательность степеней вершин на краю этой грани в порядке
ее обхода: книга Рингеля\ см. также плоская карта.
—	связности (kind of connectedness) орграфа — принадлежность его к
одному из классов ll / или получаемых из них с помощью объедине-
ния и теоретико-множественного вычитания: § 4.2.
толщина (thickness) графа: § 3.7.
тонкая (thin) вершина, тонкое ребро: § 2.4.
топологический граф, топологическое представление графа: § 3.5; сбор-
ники «Топологические аспекты теории графов» (ИМ АН УССР,
640
Основы теории графов
Киев, 1971 [72, 6В275К]) и «(^-претворения граф!в» (там же, 1973
[74, 10В380К]); Н.П. Хоменко, Н.А. Островерхий. Минимальные
вложения графов (препринт ИМ-72-2, Киев. 1972).
тороидальная толщина графа: I. Andersen // JCTh, В33(1982), № 1,
57-59 [83, ЗВ5.18],
тотальная раскраска (total coloring), тотальное хроматическое число
(total number) графа: §2.9 и упр. 1 Зв к нему; Н.Р. Yap И BLMS,
21 (1989), № 2, 159-163 [90, 1В506]; Н.Р. Yap, Wang Jian-Fang, Zhang
Zhongfu П JAuMS, B31 (1990), № 3, 445-457 [91, 1B528]; A. Chetwind,
R. HSggkvist П Univ. Umea Dep. Math., 1990, № 5, 1-16 [91, 7B541] -
обзор (библ. 38); H.R. Hind // Graphs and Comb., 6(1990), №2,
153-159 [91, 9B392]; A.G. Chetwind, A.J.W. Hilton, Zhao Cheng //
JLMS, 44(1991), №2, 193-202 [93, 1B566J; A.J.W. Hilton // JCTh,
B52(1991), №1, 9—19 [95,2B326] — для двудольных графов;
Н.Р. Yap, К.Н. Chew // JAuMS, A53 (1992), № 2, 219-228 [93, 5B276];
A. Sanchez-Arroyo // DM, 138(1995), № 1-3, 375-377 [96, 4B305];
A. Chetwind, R. Haggkwist // CPCmp, 5(1996), №2, 99-104
[97, 5B319]; Zhang Xiandi [98, 11B300]; D.P. Sanders, Zhao Yue //
JGrTh, 31 (1999), № 1, 67-73 [00, 5B260]: Zhao Yue // JLMS,
60(1999), №2, 333—343 [00, 9B237] — для графов, вложенных в по-
верхность заданного топологического типа.
тотальное паросочетание (total matching) графа — такое множество его
вершин и ребер, элементы которого попарно не смежны и не инци-
дентны: J. Gimbel, P.D. Vestergaard И ArsC, 39(1995), 109—119
[96, ЗВ242].
—	хроматическое число т((7): §2.9 и упр. 13в к нему;
тотальные мультиграфы и мультиорграфы (взаимосвязь): R.A. Chiappa,
A. Maccari, A. Ziliani И Rend. mat. е appl., 12(1992), №1, 1—11
[93, ЗВ376].
тотальный граф: упр. 29 к § 3.6; М. Behzad, G. Chartrand // TGrR (1967),
31—33, PEdMS (1966 или позже); М. Behzad // PAMS, 26 (1970), № 3,
383—389 [71, 7В523] — характеризация.
—	орграф: G. Chartrend, M.J. Stewart // CMB (1966 или позже).
точечно различающий (pointwise distingwishing) хроматический индекс
графа: см. различающие раскраски.
точечный гомоморфизм (pointwise homomorphism): § 3.5.
точка (point) = вершина (графа).
точка сочленения (point of articulation, cutpoint) = шарнир (графа),
транзитация (translation) = транзитивная ориентация (графа): §4.5.
Указатель-справочник
641
транзитивное замыкание (transitive closure) орграфа: упр. 1 к §4.5.
— сокращение (transitive reduction) орграфа G — минимальный суграф,
обладающий тем же транзитивным замыканием, что и весь G:
G. Haggard // ANYAS, 328(1979), 105-119 [82, 11В360]; D. Gries,
A.J. Martin, J.L.A. van de Snepscheut, J.T. Udding [88, 1B573] — два
алгоритма нахождения.
транзитивный граф — такой, группа автоморфизмов которого действует
транзитивно на множестве вершин: § 1.7; О. Kessler, A. Berman
[86, 9В650] (со ссылкой на [73, 8А318]) — характеризация.
— орграф: §4.1; обобщение: A. Gyarfas, М. Jacobson, L.F. Kinch
[88, 9В555].
транзитируемый (transitable) граф: § 4.5 (класс т-х г-в совпадает с клас-
сом графов сравнимости.
трансбазируемый (transbasable) граф, трансбазовый (transbasis) орграф:
§4.4.
трансверсаль (transversal) семейства множеств: упр. 3 к § 1.6; добавле-
ние 1. Устойчивая т. графа G=(X,U) — подмножество вершин
KcY, имеющее с каждой максимальной кликой точно одну общую
вершину, а полная т. — то же для максимальных груд: Е. Olaru,
Е. Mindrescu [88, 5В711, 712].
треугольник (trianhle) = 3-клика F3: § 1.2.
треугольное вложение (triangle embedding) — такое топологическое
представление графа на поверхности, при котором края всех граней
изоморфны F3: А.Г. Ванцян И МСб, 116(1981), №4, 515-526
[82, 4В553] — для однородных графов.
три дома и три колодца — граф К33 (§ 1.2).
триангулированный (triangulated, chordal, rigid circuit) граф: §3.10;
В.В. Усанов [80, 8В321] — представление и распознавание;
M.R. Sridharan, К. Balaji // NASL, 20(1977), №11-12, 157-163
[98, 9В277], DM, 188 (1998), № 1-3, 279-283 [00, 1В304] - для само-
дополнительных графов. Обобщение: зажатый граф. Усиление для
мультиграфов: F. Нагагу, Т.А. McKee И DM, 128(1994), №1—3,
165-172 [95, 5В253].
триангулятор (triangulator) маршрута: § 3.7.
триангуляция (triangulation): § 3.9.
тривиальный (trivial) граф — одновершинный без ребер; в первой книге
Бержа к деревьям не причисляется.
трудно вычислимые (hardly calculable) инварианты графа: §4.1.
трудные графы — не являющиеся легкими.
642
Основы теории графов
тупик (sink): §4.1.
тупиковая бикомпонента (sinkal bicomponent) орграфа: § 4.2.
турнир (tournament) — полный антисимметрический граф Бержа (§ 4.1):
J. Moon. Topics on Tournaments. New York: Holt, Rinehart & Wilson,
1968 [41#1674)]; книга Закса (I); Теория графов. Покрытия, укладки,
турниры. М.: Мир, 1974; L.W. Beineke, R.J. Wilson // Praha, Acade-
mia, q975, 31—48 [76, 12B602] — обзор; обобщения (обзор): J. Bang-
Jensen, G. Gutin // JGrTh, 28(1998), №4, 171-208 [99, 5В316].
— Коцига — такой л-вершинный, в котором все (п - 1)-вершинные под-
графы изоморфны: Lin Yucai, Huang Guoxun, Li Jiongsheng // JCTh,
B42(1987), № 3, 328-336 [87, 11В651].
тэта-граф (theta-graph): ynp. 21 к §2.2.
У
Е-увеличитель (E-augmentor): упр. 19 к §2.4.
FP-увеличитель: § 2.4.
л-угольник (л-gon): § 1.2.
уграф = управляющий граф.
удаленность (фр. ecartement) = эксцентриситет (вершины графа).
удачные (lucky) графы: Lee Sin Min, Е. Schmeichel, S.C. Shee // DM,
93(1991), №2-3, 201-209 [92, 11В361].
удвоение (doubling, ит. raddoppio) графа — декартово произведение его
на 2-клику: L. Porcu И Rend. 1st. Lombardo Acad. sci. e lett.,
A110 (1976), №2, 453-480 [79, ЗВ549].
узел (node, нем. Knotenpunkt) = вершина (графа): введение; § 1.1; § 2.7;
§4.1.
укладка (embedding) графа — топологическое представление его на по-
верхности: § 3.5; у. планарного графа на проективную плоскость об-
ладает весьма специфической структурой: В. Mohar, N. Robertson,
R.P. Vitray // DM, 149(1996), №1-3, 141-157 [98, 2В269].
укорененное дерево (rooted tree) — с выделенной вершиной (корнем).
ультраблок — максимальный /-связный подграф, не содержащий
(Z+1)-связных подграфов: D.W. Matula // JCTh, В24(1978), № 1,
1-13 [78, 7В780].
универсальный (universal) граф, Н-универсальный для данного класса
Н графов — такой G (как правило, бесконечный и не обязательно из
Н), что любой СеН имеет изоморфный подграф в G: V. Rodl //
ArsC, 1981, June, 225-229 [82, 2В609] - оценка лл((7); В. Bollobas,
Указатель-справочник
643
A. Thomason И Europ. J. Comb., 2(1981), № 1, 13-15 [82, 2B628] -
оценки n(G) Для класса Н всех и-вершинных деревьев: Yang
Wan-Ian // Acta Math. Appl. Sin., 8(1985), № 3, 284-292 [86, 3B745],
№4, 398—411 [86, 4B691]; J. Friedman, N. Pippenger // Combinatorica,
7 (1987), № 1, 1—76 [88, 1B579]; для планарных графов: O.V. Borodin,
A.V. Kostochka, J. NeSetfil, A. Raspaud, E. Sopena // DM, 188 (1998),
№ 1—3, 73—85 [00, 2В313]. Модификации: (1) наложение на граф G
добавочных условий, (2) вместо подграфа, изоморфного G, — нали-
чие у G минора, изоморфного G. Так, для класса Н всех конечных
планарных графов универсальный планарный граф, очевидно, не
может быть конечным, но, как показал J. Pach (Europ. J. Comb.,
2 (1981), 357—361 [84h#05041]), нет и бесконечного G; последний, од-
нако, существует, если универсальность понимать в «минорном»
смысле: R. Diestel, D. Kuhn // JGrTh, 32(1999), №2, 191-206
[00, 4В242].
----пересечений (universal crossing graph): § 3.7.
униграф (unigraph). (1): в книге Зыкова — граф общего вида, в котором
две различные вершины не могут соединяться более чем одним реб-
ром (звеном или дугой) и при вершине не может быть более одной
петли. (2): §1.2; R. Li Shuo-Yen // JCTh, В19 (1975), №1, 42-68
[52#13510]; М. Koren // JCTh, В21 (1976), № 3, 224-234 [56#2876а] -
двудольный, там же, 235—244 [56#2876Ь] — обыкновенный; Р.И. Тыш-
кевич, А.А. Черняк // ИАНБе, 1978, № 5, 5-11, 1979, №1,5-12, № 2,
5-11 [79, 4В418, 10В379, 12В530]; Р.И. Тышкевич, Ж.А. Черняк //
ДАНБе, 23 (1979), № 4, 307-310 [79, 7В622] - каталог планарных у-в;
R.H. Johnson // DM, 31(1980), №2, 185-192 [81, 4В437] - обзор;
Ж.А. Черняк // ИАНБе, 1981, № 1, 23—29 [81, 6В674] — гамильтоновы
униграфы.
униграфическая (unigraphic) последовательность — вектор степеней
(или его обращение) некоторого униграфа (2): D.J. Kleitman,
S.-Y. Li // Stud. Appl. Math., 54(1975), №4, 283-287 [76, 10B393];
Р-унигр-я п-сть — изоморфно определяющая граф с заданным свой-
ством Р: И.Э. Зверович, А. Силла // ВБелУ, сер. 1, 1991, № 1, 41—44
[91, 7В528].
уникально гамильтоново связный граф в данной вершине х — такой,
что для любой другой у существует единственная гамильтонова
цепь из у в х: G.R.T. Hendry, C.J. Knickerbocker, P.F. Lock, F. Patti,
M. Scheard // DM, 187(1998), № 1-3, 281-290 [00, ЗВЗО5].
644
Основы теории графов
уникальный (unique) подграф — не изоморфный никакому другому в
данном графе: R.C. Entringer, Р. Erdos И JCTh, В13(1972), №2,
112—115 [47&6539]; M.G. Deshpande // JCTh, В17 (1974), № 1, 35—38
[75, 1В562]; А.Е. Brower И JCTh, В18 (1975), № 2, 184-185 [54#5039].
унициклический (unicyclic) граф — определяемый любым из шести рав-
носильных условий упр-я 19 к §2.3.
упаковка (packing) и-вершинных графов Gj, G^, --,Gk в и-вершинный
H-(X,U) — представление некоторого его суграфа в виде
к
U (X Gz), i* j=>Uf QUj =0, где (X, Ui) G- Y. Egawa, M. Urabe,
/=!
T. Fukuda, S. Nagoya [86, 9B697]; D. de Werra // Math. Progr.,
37(1987), №1, 41-50 [87, 10B695]; А.С. Азаренок // ИАНБе, 1987,
№ 3, 9-16 [87, 11B700J; A.M. Hobbs, B.A. Bourgeois, J. Kasiraj // DM,
67 (1987), № 1, 27-42 [88, 2B618]; H.P. Yap // DM, 72 (1988), № 1-3,
395—404 [89, 6B493] — обзор; D.G. Corneil, Sh. Masuyama, S.L. Haki-
mi // DApM, 50 (1994), № 2, 135-148 [95, 2В345]. См. также вложи-
мостъ графа в свое дополнение.
упорядоченная (ordered) раскраска графа — такая раскраска его вер-
шин или ребер линейно упорядоченным множеством цветов, при
которой всякая простая цепь, соединяющая две вершины (два реб-
ра) одного цвета, содержит внутреннюю вершину (внутреннее реб-
ро) большего цвета. (В частности, всякая упорядоченная раскраска
является правильной.) Упорядоченное хроматическое число (уп-й
хр-й индекс) графа — наименьшее количество цветов соответствую-
щей у-й p-и: [ТС].
Ar-упорядоченный (/c-ordered) гамильтонов граф G — в котором через
каждую последовательность из к различных вершин (2<fc<n(G))
проходит гамильтонов цикл в ее порядке: Н.А. Kierstead,
G.N. Sdrk6zy, S.M. Selkow // JGrTh, 32 (1999), № 1, 17-25 [00, ЗВЗОЗ].
управляющий граф (control graph, control flow graph) — орграф, в кото-
ром выделены почин и непустое множество тупиков {zj,
обычно рассматривают правильные у. г. — когда всякая вершина
принадлежит хотя бы одной орцепи, идущей из х0 в какую-нибудь
zz [ТС].
упрощенная (simplified) матрица смежностей двудольного графа: упр.
10в к §4.5.
уравнения относительно графов (graph equations) — равенства в смысле
изоморфизма, содержащие искомый граф и результаты некоторых
Указатель-справочник
645
операций над ним, таких как переход к дополнению или квадрату,
графу клик или циклов, графу смежности ребер или тотальному и
т.д. Ввиду обилия и разнохарактерности типов операций вряд ли
можно надеяться на создание общей теории графовых уравнений.
Отдельные результаты: Sato Iwoo И TRU Math., 14(1978), №2,
31—36 [80, 3B563] — граф клик; S.K. Simic // Publ. Inst. Math.,
33 (1982/1983), 203-216 [84, 3B583], 44 (1986), 35-40 [89, 9B413] - гра-
фы циклов и смежности ребер; V.N. Bhat-Nayak, R.N. Naik // DM,
47(1983), №2-3, 153-161 [84, 4В489], D.V.S. Sastry, B.S.P. Raju //
DM, 48 (1984), № 1, 113-119 [84, 7B474] и V.R. Kulli, H.P. Patil // De-
monstr. Math., 19(1986), № 1, 37—44 [87, 6B613] — графы блоков,
смежности ребер и тотальные; Н.Р. Patil // JCISS, 10 (1985), № 1—2,
36—40 [87, 9В587] — удвоенный граф смежности ребер и усредненный
граф; M.F. Capobianco, К. Lost, В. Riley [91, 4В630] - уравнение
G2=G; М.М. Miller, R.C. Brigham, R.D. Dutton И ArsC, 52(1999),
33—50 [00, 6В305] — графы окрестностей и графы смежности ребер.
уравновешенная (balanced) = равновесная (вершина графа),
уравновешенное = равновесное (ребро графа).
уравновешенный орграф — все вершины которого равновесны.
условия Кикуста—Хендри — достаточные для гамильтоновости графа:
упр. 15а к §2.1; G.R. Hendry [84, 6В512], JGrTh, 13(1989), №2,
257-260 [90, 10B512J; Ю.Л. Орлович // Труды Ин-та Мат. АНБел.,
3(1999), 149-156 [00, 6В316].
— Мак-Лэйна, Понтрягина—Куратовского, Уитни, Харари—Татта —
критерий планарности графа: § 3.6.
— Хватала—Эрдеша — достаточные для гамильтоновости графа: упр.
13в к §2.1.; V. Chvatal, Р. ErdSs // DM, 2(1972), №2, 111-113
[72,9В376]. Модификации и обобщения; В. Jackson [88,4В574];
В. Jackson, О. Ordaz // DM, 84 (1990), № 3, 241-254 [91, 7В577] - 35
теорем, 25 проблем и гипотез; A. Ainouche // DM, 142 (1995), № 1—3,
1—19 [96, 9В300] — единое обобщение.
----для орграфов: В. Jackson, О. Ordaz [89, 1B643J; Р. Fraisse, О. Ordaz
[89, ЗВ507]; С. Guia, О. Ordaz И ArsC, 43(1996), 272-286
[97, 4В238].
условная (relative) связность = V-связность (графа); наследственность
этого свойства: O.R. Oellermann И Networks, 21 (1991), № 2, 245—255
[91, 12В370].
- сплетаемость графа: А.-Н. Esfahanian- S. Hakimi [88, 11В539].
646
Основы теории графов
условное хроматическое число в общем случае — наименьшее количест-
во цветов правильной раскраски вершин графа, удовлетворяющей
тому или иному дополнительному условию; важный частный слу-
чай: §3.10.
условный хроматический многочлен: В.И. Волошин // ИПМИК, 1990,
16-19 [90, 9В426]; V. Voloshin И Glasgow Math. J., 36(1994), № 3,
265-267 [98, 9В288].
усовершенствованные (detailed, improved) матрицы инциденций и смеж-
ностей: добавление 1.
устойчивая (stable) раскраска вершин графа — правильная, при которой
все Подграфы, порожденные множеством вершин двух цветов, связ-
ны: М. Wentzlau [90, 1В510].
— трансверсаль графа: см. трансверсаль семейства множеств.
P-устойчивый (P-stable) граф G = (X U) — такой, что для любых его
подграфов (?i =(^1, Ui) и <?2 =(2^2, U2) с Х\ с12 из Р(^1) сле-
дует Р(62): Б.Е. Торосян // ТВЦЕр, 1985, № 14, 75-78 [86, 2В744] -
необходимые и достаточные условия по отношению к свойствам Р
связности, гамильтоновости и наличия гамильтоновой цепи (по-
следнее также для орграфов).
устранимые (removable) циклы в графах и матроидах: М. Lemos, J. Ox-
ley // JGrTh, 30 (1999), № 1, 51-66 [00, 5В223] - обобщение (и пере-
нос на матроиды) свойства /-связного графа G с s (G) >1+2 иметь та-
кой простой цикл С, удаление которого не нарушает /-связность
графа.
уязвимость (vulnerability): см. живучесть и уязвимость графов и сетей.
Ф
фактор (factor) графа G = (X, U) — суграф G' = (X,U'), на степени
s' (x)=s (Gr, х) вершин которого накладываются те или иные ограни-
чения. Если VxGjf[5r (х) = /cg N, то Gf — к-фактор\ при к = 1 это совер-
шенное паросочетание, при к =2 — система попарно непересекающих-
ся простых циклов, охватывающая все вершины G (в частности, га-
мильтонов цикл, в силу чего наличие 2-фактора в графе — одно из
необходимых условий его гамильтоновости): вторая книга Бержа;
W.T. Tutte // DM, 1 (1974), № 2, 203-208 [74, 6В442] - для 3-однород-
ных двудольных графов; D. Магси // Rocz РТМ, 27 (1987), ser. 1, № 1,
141 — 142 [88, 2В648] — существование в графе G2 при s(G)>2; Wang
Hong // JGrTh, 31 (1999), №2, 101-106 [00, 3B309] *- теорема и
Указатель-справочник
647
гипотеза о наличии /с-компонентного 2-фактора в двудольном графе.
Достаточные условия существования при заданном ke. N: Т. Gallai //
AMASH, 1 (1950), 133-153; В. Bollobas, A. Saito, N.C. Wormaid //
JGrTh, 9 (1988), № 1, 97-103 [86, 5В732], Nishamura Tsuyoshi //JGrTh,
13 (1989), № 1, 63—69 [89, 11В567]. Единственность: G.R.T. Hendry //
JCTh, B37 (1984), № 1, 53—63 [85, 7В726]. Если в каждой x<=X задана
f (x)=s' (x) <s (x), то суграф G' -f-фактор: K. Wagner // Math. Ann.,
141 (1960), № 1, 49-67 [62, 4A276]>; L. Lovasz // JCTh, 8(1970), №4,
391—416 [70, 11B244J; вторая книга Бержа; книга Татта; Lan Jialong,
Chen Wai-Kai // J. Franklin Inst., 320 (1985), № 2, 55-62 [86, 4B737];
P. Katerinis [86,9В695]. В общем случае задаются функции g и f, такие
что VxeY[0<g(x)</(x)<j(x)], и исследуются (g, /)-факторы —
суграфы G', удовлетворяющие условию
VxeY[g(x)<5'(x)</(x)]:
М. Kano И LNM, 1073(1984), 161-168 [85, 6В580]; Yan Gui-Ying
[92, 2В529], JSSMS, 15(1995), №2, 114-121 [96, ЗВ244], МАр,
9(1996), №1, 117-120 [96, 10В234]; Ma Runnian, Gao Hangshan //
Appl. Math, and Meeh., Engl, ed., 18(1997), №4, 407-410
[98, 10В315]. Частный случай g(x)=0 подробно изучается в книге
Татта. При g и f постоянных: вторая книга Бержа; J. Akiyama,
М. Капо // JGrTh, 9(1985), № 1, 123-128 [86, ЗВ790] - когда
/=g + l, т. е. G' — почти регулярный фактор-, М. Капо // там же,
129—146 [86, ЗВ794] — при любых g, /eN, g<f. Факторы мульти-
графов: Ch.J. Colbourn, M.J. Colbourn, A. Rosa // JAuMS, A39 (1985),
№3, 334-343 [86, 9B696]; P. Fraisse, P. Hell, D.G. Kirkpatrik
[86, 9B699]; Y. Egawa, E. Enomoto, A. Saito [88, 7В630]. Обзор no
факторам и факторизациям графов: J. Akiyama, M. Kano // JGrTh,
9(1985), №1, 1-42 [86, 2В745]. Модификации: Zhang Guo-Hui //
DM, 128 (1994), № 1-3, 371-384 [95, 1B324]; M. Kobayashi, G. Naka-
mura II Graphs and Comb., 10(1994), № 1, 53-59 [95, 1B325]; Wang
Hong // JGrTh, 18(1994), №2, 161-167 [95, 1В327].
(p, <?)-фактор орграфа G=(X, Г) — суграф G', удовлетворяющий условию
VxeХ[s~ (G', x)=p & s+ (G', x) = <?] (p, q& fM U{0}); при p = q=\:
W.T. Tutte И PAMS, 4 (1953), № , 922-931 [55, 11, 5683]; B. Jackson,
O. Ordaz // DM, 57(1985), № 1-2, 199-201 [86, 5В727].
' Обозначения в оригинале: функция Г (х) и Г-фактор.
648
Основы теории графов
фактор-граф по подграфу (factor graph by the subgraph): §4.5.
факторизация (factorization) графа G = (X, U) — представление его в ви-
де объединения суграфов попарно без общих ребер. Обзоры:
Е. Mendelsohn, A. Rosa // JGrTh, 9 (1985), № 1, 43-65 [86, 2В746] -
разложение G на /-факторы; F. Harary, R.W. Robinson // там же,
67-86 [86, 2В747]. Далее: R.J. Cook // Period, math, hung., 15(1984),
№ 2, 104-120 [85, 2B681J; R. Gould, D.R. Lick // ClqM, 48 (1984), № 2,
269-277 [85, 3B490]; B. Zelinka // JGrTh, 8(1984), №2, 325-330
[85, 3B492]; L. Nebesky // CzMJ, 34 (1984), № 3, 432-438 [85, 7B727];
И.Э. Зверович [88, 7B590]; E. Tomova // Math, slov., 36(1986), №2,
211—214 [86, 11B654] — разложение полного симметрического графа
Бержа без петель на 2-факторы заданного оррадиуса; M.J. Plantholt,
Sh. Tipnis // JLMS, 44 (1991), № 3, 393-400 [93, 1B567] - 1-факторизу-
емость мультиграфа G большой степени s(G); Wang Hong // DM,
126 (1994), № 1—3, 359—364 [95, 2B334] — ф-я двудольных графов;
S. El-Zanati, E.Ch. Vanden II Graphs and Comb., 15 (1999), № 3,
267—293 [00, 6B318] — разложение полного двудольного графа на не-
сколько суграфов, изоморфных каркасу, и еще один суграф; Li
Zuo-an // J. Sichuan Norm. Univ. Natur. Sci., 22 (1999), № 6, 681-685
[00, 6B319] — ф-я самодополнительных графов.
фактор-критические графы: Cai Mao-cheng, О. Favaron, Li Hao //
Graphs and Comb., 15(1999), №2, 137-142 [00, 8В294].
формальные произведения и обобщенные матрицы смежностей графов:
М. Lepovid // Bull. Cl. Sci. math. Acad. Serbe sci. et arts, 1999, № 24,
51-66 [00, 10В283].
формулы Биркогфа и Уитни для многочленов раскрашиваний: конец
§ 2.7; книга Оре.
функциональный (functional) граф — орграф, в котором степень исхода
каждой вершины равна 1.
----семейства функций: М. PetrovSek, Т. Pisanski [87, 11В654].
функция Грацди (Grundy function) на графе Бержа без петель (X, Г) —
такая g: У—> N, что в каждой хеХ значение g(x) — наименьшее не
принадлежащее множеству {g (у)Iу е Гх}; введена в связи с изучени-
ем игры Ним: Р.М. Grundy // Eurika, 2 (1939), 6—8; С. Berge,
М.Р. Schiitzenberger // C.r. Acad, sci., 242 (1956), 1672; первая и вто-
рая книги Бержа.
— неплотности p(q, G) графа G — наименьшее целое p>q>2, при кото-
ром £(G')>q у всякого р-вершинного подграфа G'; если y(G)>k,
то p(q, G)<k(q-V) + 1, а у двудольного графа p(q, <7)<2<?+1:
О.П. Полякова [98, 9В289].
Указатель-справочник
649
— связности: см. пара связностей.
U-функция: G. Berman (см. многочлены раскрашиваний}.
V-функция V: К—> R, где К — класс всех неориентированных мультигра-
фов, включая пустой, a R — коммутативное кольцо с единицей, опре-
деляемая так: Г(0) = 1, K(GUG') = K(G) K(G') при любых G, С'еК
без общих элементов, V (G) = V (G\u) + V (G< и>) ддя любого звена
графа Ge К. Книга Татта; см. также многочлены раскрашиваний.
X
хадвигерова система (Hadwiger system) графа — совокупность классов
Xi в определении числа Хадвигера'. § 1.3.
хиральность (chirality) топологического представления графа — нали-
чие нетривиальных автоморфизмов, отличных от зеркального ото-
бражения: книга под ред. Кинга (см. приложения теории графов в
физике и химии); Е. Flapan, N.Weaver // PAMS, 115(1992), № 1,
233-236 [93, 8В345].
хорда (chord) каркаса графа: §3.1.
— простого цикла = диагональ простого цикла.
хордальный (chordal) = триангулированный (граф): §3.10.
хорошо покрытый (well-covered) граф G — в котором все максимальные
груды имеют одинаковое число вершин: N. Dean, J. Zito // DM,
126(1994), № 1-3, 67-80 [95, 5В273]; если это число п (<5) /2, то G -
очень хорошо покрытый. R.S. Sankaranarayana // ArsC, 47(1997),
263-277 [98, 6В337].
хроматическая декомпозиция (chromatic decomposition) графа: Y. Саго //
ArsC, 21 (1986), June, 29-32 [87, 1В611].
хроматически единственный (chromatically unique) граф — определяе-
мый изоморфно своим хроматическим многочленом'. R.C. Read //
JCTh, 4(1968), № 1, 52-71 - обзор; E.G. Whitehead jr., Zhao Lian-
Chang // JGrTh, 8(1984), №3, 355-364 [85, 6B547]; Р.И. Тышкевич,
А.А. Черняк // Киб, 1985, № 2, 67-74 [86, 1В799]; Han Bo-tang // Acta
Math. Appl. Sin., 9(1986), №1, 101-112 [86, 8B761]; R.C. Read //
ArsC, 23(1987), 209-218 [88, 2B635]; G.L. Chia // ArsC, A26(1988),
65—72 [89, 11B550] — см. также хроматический многочлен; К.М. Koh,
В.Н. Goh // DM, 82(1990), №1, 13-24 [91, 1B529]; К.М. Koh,
K.L. Teo // Graphs and Comb., 6(1990), № 3, 259-285 [91, 8B430] -
обзор за 13 лет (55 работ, 31 теорема, 19 нерешенных задач), DM,
650
Основы теории графов
172 (1997), № 1-3, 59-78 [00, 6В296]; Li Nian-Zu, E.G. Whitehead
jr. // DM, 122 (1993), № 1-3, 365-372 [95, 2B321]; Y.H. Peng //
JAuMS, A55(1993), №3, 403-410 [95, 2B325]; Liu Ru-Ying // Math.
Appl. Sin., 7 (1994), № 2, 200-205 [95, 4B240]; C.P. Teo, K.M. Koh //
DM, 128(1994), № 1-3, 327-335 [95, 5B260J; Zang Yunhua, Yuan
Bing-cheng // J. Northeast Norm. Univ., 1998, № 3, 46—48 [00, 2B327];
Guo Zhi-Yi // DM, 172 (1997), № 1-3, 45-51 [00, 3B272]; Guo Zhi-Yi,
E.G. Whitehead // там же, 53—58 [00, 3B273] — для семейств графов;
Liu Ru-Ying // там же, 85—92 [00, ЗВ274]; Chao Chong-Yun, Chen Zhi-
bo // DM, 189(1998), № 1-3, 259-265 [00, ЗВ280]. K.M. Koh,
K.L. Teo // DM, 127 (1994), № 1-3, 243-258 [95, 2В324].
—	эквивалентные графы — с одним и тем же хроматическим много-
членом'. М. Borowiecki, Е. Drgas-Burchardt // DM, 121 (1993), № 1—3,
11-18 [95, 4В235].
хроматические окрестностные множества (chromatic neighbourhood sets)
графа: М. Molloy И JGrTh, 31(1999), №4, 301-311 [00, 8В270].
хроматический индекс (chromatic index) графа: § 2.9: для ориентирован-
ных и частично ориентированных мультиграфов: L.S. Mel’nikov,
V.G. Vizing И JGrTh, 31 (1999), № 4, 267-273 [00, 8В269]. Обобщение:
Е. Sampathkumar, G.D. Kamath // DM, 124(1994) №1-3, 173-177
[95, ЗВ234].
—	класс = хроматический индекс (графа).
—	многочлен (chromatic polynomial) графа: упр. 8' к § 1.4; R.A. Bari
[84, 6В487] — для графа смежности ребер; Chao Chong-Yun, Zhao Li-
an-Chang // Archiv Math., 43(1984), №2, 187-192 [85, 2B679] - для
связных графов; R.D. Girse [88, 5B673] — связь с обхватом; R.J. Bax-
ter [88, 7В596]; Xu Shaoji // ArsC, 32(1991), 315-318 [93,1B565];
N. Ray, W. Schmitt // DM, 125 (1994), № 1-3, 329-341 [95, 2B323];
I. Tomescu // JGrTh, 18 (1994), № 4, 329-336 [95, 3B238] - для 2-связ-
ных графов; К. Dohmen // ArsC, 52(1999), 125—127 [00, 7B221];
G.L. Chia // DM, 172 (1997), 1-3, 175-191 [00, 11B231] - библиогра-
фия (472 названия, но русские и китайские работы представлены не-
достаточно полно). См. также k-дерево, многочлены раскрашиваний,
золотое сечение и золотой корень.
----без повторений, обусловленных автоморфизмами графа: Р. Han-
lon // JCTh, В38(1985), №3, 226-239 [85, 12В568].
хроматическое разбиение, хр-е разложение (chromatic decomposition)
множества вершин = правильная раскраска вершин графа-. § 1.3.
Указатель-справочник
651
— число (chromatic number) графа: § 3.1; для графа с взвешенными вер-
шинами: Р.А. Catlin [79, 12В570], В.А. Аксёнов [86, 5В694]; далее:
Wang Shaowen // J. Beijing Inst. Mach., 13(1998), №4, 22-26,
14(1999), №2, 15-20 [00, 11В229].
----поверхности — наибольшее /((7), при котором граф G можно то-
пологически расположить на данной поверхности: § 3.9.
----произведений (в разных смыслах) графов: упр-я 9, 11и12к§1.5;
D. Duffas, В. Sands, R.E. Woodrow // JGrTh, 9(1985), №4,
487—495 [86, 9В664] — обзор по произведению вида (X xX'fUx U')
графов (У, U) и (JT, U'); V. Ри§ // CMUC, 29 (1988), № 3, 457-463
[89, 5B446J; S. Klaviar // Aeq. mat., 45(1993), №2-3, 153-162
[95, 2В319] — также для плотности и неплотности, DM, 155 (1996),
№ 1-3, 135-145 [98, 1В275].
----псевдоповерхности: О.В. Бородин, Л.С. Мельников [75, 2В521].
----Рамсея у R ((7) — наименьшее ke N, при котором существует граф
H=(Y, V) с = такой что при любом представлении
Н=НХ ия2, где Нх =(К, UX),H2 = (Г, U2), Ux {]U2 =0, по край-
ней мере один из этих двух суграфов содержит подграф, изомор-
фный G. Для числа AT(y)=min (G)/G(G) = n} известно, что
АГ (5) = 17, 26<АГ(6)<41, АГ (7) <102: Zhu Xuding // DM, 190 (1998),
№ 1-3, 215-222 [00, 4В256].
^-хроматическое число — наименьшее количество цветов такой раскра-
ски вершин графа, при которой вершины на расстоянии (в естест-
венной метрике) не более к друг от друга имеют разные цвета:
М.С. Marino, L. Puccio // Riv. mat. Univ. Parma, 9(1983), 9—13
[85, 1B636] — планарные графы; модификация для орграфов: F. Mi-
lazzo, V. Vacirca // BUMIt, АЗ (1984), № 1, 151-157 [85, 1B637] - тур-
ниры; F. Milazzo // Mathematiche, 37 (1984), № 2, 233—238
[86, 11B591] — полные графы Бержа без петель.
хромиал (chromial): W.T. Tutte // LNM, 411 (1974), 243-266 [75, 7В454].
ц
цветное разбиение (color partition) = хроматическое разбиение (множе-
ства вершин графа).
целочисленно выпуклое (integrally convex) множество: упр. 2 к § 1.8.
центр (centre, center), ^-центр — множество всех q-центральных вершин
графа в естественной (# = 1) или произвольной метрике: §2.6;
652
Основы теории графов
М. Knor, L. Niepel, L. Soltes // Math, slov., 43(1993), №1, 11—20
[95, 2B317] — центры графа смежности ребер.
—	дерева: § 2.3; § 2.6.
—	массы (mass center) дерева: книга Оре.
центральная, ^-центральная вершина графа: § 2.6.
центральное дерево: §2.3.
центральный разрез графа: §3.1.
центроид (centroid), центроидальная вершина (centroid point) графа:
книга Харари.
А-цепная проходимость (fc-chain passability) графа — наличие в нем про-
стой fc-цепи и возможность дополнить каждую такую цепь до гамиль-
тоновой: G. Schaar [89, 1В644].
(Л, р)-цепная связность графа G = (A", U) — существование для каждого
АсХ такой системы {Zz //=1,2, ..., р} цепей ненулевой длины, по-
парно без общих ребер, что для любых i ф j множеством общих вер-
шин Zz и Zj служит А. Оценки инварианта пк (G) = max{p/G обла-
дает {к, р)-Мг<мл св-ю}: М. Hager // DM, 59(1986), №1—2, 53—59
[86, 11В639].
цепь (chain), /-цепь в графе: §2.1; §2.7; §4.1.
циклически сбалансированный (circuit-balanctd) граф — орграф, на каж-
дом цикле которого количества дуг, ориентированных в направле-
нии обхода и в противоположном, одинаковы; трансверсаль Т сис-
темы множеств дуг всех орциклов такого графа минимальна в том и
только том случае, если никакой цикл не имеет в Т более половины
своих ребер: К. Vidyasankar (см. упр. 34 к § 3.2).
—	связанные вершины орграфа — удовлетворяющие условию (4) в лем-
ме 4.2.1 (§4.2).
—	^-связный граф: упр. 27 к § 2.5.
циклический изоморфизм (cyclic isomorphism) графов G=(Z, U) и
G' = (Х', U') — биекция U <-+U', сохраняющая принадлежность под-
множества ребер одному циклу: §3.1.
—	маршрут, ормаршрут (cyclic walk): §2.1; §2.7; §4.1.
—	ранг (cyclic rank) графа = цикломатическое число: § 2.3.
A-циклический орграф G — в котором через любые к вершин
(1</c<h(G)) проходит орцикл: М.С. Hedetniemi, D. Sotteau // JCTh,
В38(1985), № 3, 261—278 [86, 1В794] - для к =2.
циклическое покрытие (cycle covering) графа — система F в упр. 16 к
§3.1; A.V. Kostochka // JGrTh, 19(1995), № 1, 65-67 [96, 1В373];
Указатель-справочник
653
Zhang Cun-Quan [96, 1B383] — обзор; Wang Hong // JGrTh, 20 (1995),
№2, 203—211 [96, 6В266].
цикличность (cyclicity) графа — наименьшее количество циклов, в сово-
купности содержащих все ребра графа: М.К. Мартинова // Годишн.
ВУЗ Прилож. мат., 19(1983/84), №2, 145—152 [86, 1В801]; D.A. Hol-
ton, M.D. Plummer // ArsC, 23(1987), 37—55 [88, 2В661] - верхняя
оценка.
цикловое ребро (cyclic edge) графа: § 2.2.
цикломатика (cyclomatic) — совокупность свойств графа, обусловлен-
ных наличием и взаимным расположением его циклов: глава 3.
цикломатическая матрица = матрица циклов графа: § 3.3.
цикломатическое число (cyclomatic number) графа: § 2.3.
циклы с многими хордами в графе: § 3.8 (конец) и упр. 22 к нему;
H.-Jti. VoB // EIKyb, 16 (1980), № 1—3, 77-86 [81, 4В496], 21 (1985),
№ 4-5, 201-208 [86, 2В735]; R.P. Gupta, J. Kahn, N. Robinson // DM,
32(1980), № 1, 37-43 [81, 2B539]; Х.-Ю. Фосс И ГГиДОЗ, 1982,
160-172 [82, 6В672].
циркулярный (circular) граф G=({xq, xj, xn_[}, U) — в котором
x^xj eUoj-ieS (mod л), где 5с{1, 2,..., л-1} и ieS<z>n~ieS.
Самодополнительный л-вершинный ц.г. существует в том и только
том случае, если каждый простой множитель р числа л сравним с 1
по mod 4: В. Alspach, J. Morris, V. Vilfred // ArsC, 53 (1999), 187—191
[00, 10В264].
частично ориентированный (partially directed) геодезический граф:
Р. Hie // Math, slov., 32(1982), № 3, 255-262 [82, 12В628].
---граф: §4.1.
частичное дополнение графа G = (X,U) относительно подмножества
УсУ - граф GY=(X,V) с V={xyeUlx,yeX\Y}U{xy£U/(x,
yeY)v(xeY &yeX\Y)}: G. Chartrand, S.F. Kapoor, D.R. Lick,
S. Schuster // Period, math, hung., 16 (1985), № 2, 83-95 [86, 4В711].
частичный граф (фр. grape partiel) в книгах Бержа = суграф.
—	подграф (фр. sous-graphe partiel) в книгах Бержа = часть графа.
частотная последовательность (frequency sequence) графа G — кортеж из
количеств одинаковых компонент вектора степеней s(G:); для любо-
го разбиения числа ле М, кроме л=1 + 1 + ...+1, существует 2-связный
граф 6 с ч. п-ю, составленной слагаемыми этого разбиения: Т. Ма-
654
Основы теории графов
hadeva Rao // JCTh, В17 (1974), № 1, 19—21 [51#5355]; существование
связных графов с данной ч. п-ю установил раньше P.Z. Chin. См.
также графическая последовательность.
часть графа (partial graph): §1.1; §2.7; §4.1.
чередующаяся последовательность (alternating sequemce) относительно
подмножества УсX (Y*0) вершин графа G = (X, U) — в общем слу-
чае такаяхь х2, чтох/ еУ при iчетном их, gX\Yпри iнечет-
ном (или наоборот); в частности, Е-увеличитель\ упр. 19 к § 2.4.
—	цепь, в частности ч-щийся цикл: § 2.4. и упр. 6 к нему; J. Bang-Jensen,
G. Gutin // DM, 188(1998), № 1-3, 61-72 [00, ЗВ317].
----в орграфе: книга Оре.
чередующиеся суммы Уитни: см. паросочетания.
чередующийся лес — естественное обобщение чередующейся последова-
тельности'. S.L. Hakimi, Н. Frank // J. Math. Analysis and Appl.,
25 (1969), № 2, 296-308 [69, 10B224]; вторая книга Бержа; U.J. Niemi-
nen (см. упр. 19 к §2.4).
—	цикл — ч-щаяся цепь четной длины: упр. 6 к § 2.4; ср. с полуциклом.
чертополох (thistle) — граф, полученный из произвольного G одновре-
менным присоединением к каждой вершине новой висячей1:
E.J. Farrell [88, 7В584]. Обобщение: колючий граф.
четный (even) граф = дихроматический граф.
—	цикл — простой цикл четной длины.
числа ^-доминирования и ^-независимости — обобщение чисел /3 (<?) и
е (G) при замене всесмежных подграфов и наибольших груд соответ-
ственно k-доминирующими и к-независимыми подмножествами вер-
шин графа G'. В. Zelinka // Math, slov., 34(1984), №3, 313—318
[85, 1В661]; О. Favaron // JCTh, B39 (1985), № 1, 101-102 [86, ЗВ791].
— Зыкова Z (p, r) — наименьшее количество вершин графа плотности
не более р, хроматическое число которого не меньше г. Н.Д. Не-
нов // Сердика, 91 (1983), № 2, 161—167 [84, 4В495] - оценки в част-
ных случаях, ГСУ, 74(1980(1986)), 29—50 [86, 11В601] — применение
в теории Рамсея.
—	полноты (completeness numbers) графа и поверхности: § 3.9.
—	Радона и Хелли: см. выпуклое подмножество.
—	Рамсея (Ramsey numbers): упр. 26 к § 1.3; обзор: J.S. Graver, J. Ya-
ckel // JCTh, 4(1968), №2, 125-175 [37#1278]; теория Рамсея.
1 Деревья, «выращенные из одного семечка» в упр. 6 к § 2.3, можно отнести к «2-чер-
тополохам».
Указатель-справочник
655
ВЛ. Дольников // ДАН, 232(1977), №6, 1241—1244 [77, 7В512] -
обобщение теоремы Рамсея о существовании ч-л Р.; A. Bialostocki,
Р. Dierker // JGrTh, 18 (1994), № 2, 143—151 [95, 1В334]; E.J. Cockay-
ne, C.M. Mynhardt H DsMGr, 19 (1999), № 1, 93—110 [00, 4B254] - не-
зависимые ч. Р. для графов; A. Schelten, I. Schirmeier // DM,
191 (1998), № 1-3, 191-196 [00, 4В269]; You Zhi-shu, Su Weng-long,
Luo Hai-peng // J. Changsha Commun. Univ., 15(1999), №3, 7—10
[00, 6В310].
— Стирлинга (Stirling numbers): упр-я 3—4' к §1.4.
— Турана (Turan numbers). Пусть /— инвариант графов, монотонный в
том смысле, что если G' — подграф G, то f ((?') < f ((?); для любых к,
meN, к<т, число Турана относительно f, обозначаемое f (т, к), —
наименьшее такое, что f(G)>k для каждого G cm(G) = m&
& /(С)=/(/и, к): D.R. Lick, С.Е. Wall И Math. Jap., 28 (1983), № 1,
37—41 [83, 8В58О]. Обобщение — граф Кнезера', см. графы подмно-
жеств.
— Фибоначчи (Fibonacci numbers) F (п) определяются рекуррентно:
(l) = fJ2) = l,F(rt+2) = F(rt + l) + F(rt); см. литературу по комбина-
торному анализу.
----для графов: С.Б. Белый, Е.А. Ровенский [89, 4В547].
— Фолкмана — модификация чисел Фибоначчи: J. Folkmann И JCTh,
3 (1967), № 3, 215-232 [70, 11B238J; К. Piwakowski, S.R. Radziszowski,
S. Urbanski // JGrTh, 32 (1999), № 1, 41-49 [00, 7B222] - вычисление.
число бикомпонент орграфа: § 4.2.
— вершинного покрытия (point covering number) = опорное число: § 2.3.
----разбиения (point-decomposition number) графа — наименьшее ко-
личество цветов такой раскраски (не обязательно правильной)
вершин, при которой вершины одного цвета порождают к-вы-
рожденный подграф: D.R. Lick, А.Т. White // JLMS, 4 (1972), № 4,
577-583 [72, 10В378]; О.В. Бородин // МДА, 28(1976), 3-11
[77, 7В556]; Р. Mih6k [82, ЗВ564].
— вершинной независимости (point independence number) графа = не-
плотность: § 1.3.
— Визинга—Вильфа—Секерша: упр. 24 к §2.2; §3.10.
— внешней устойчивости (outer stability number) обыкновенного графа =
число всесмежности.
------орграфа — количество вершин наименьшего внешне устойчи-
вого подмножества: § 4.3.
656
Основы теории графов
— внутренней устойчивости (inner stability number) неориентированного
графа без петель = неплотность.
------орграфа — количество вершин наибольшего внутренне устой-
чивого подмножества: §4.3.
— восстановления (reconstruction number) и-вершинного графа — наи-
меньшее количество изоморфно определяющих его (п - 1)-вершин-
ных подграфов, для и = 3, 5, 7 равно 3: F. Нагагу, М. Plantholt //
JGrTh, 9 (1985), № 4, 451—454 [86, 10В422]; для максимально планар-
ных графов оно равно 1 или 2: F. Нагагу, J. Lauri И Graphs and
Comb., 3(1987), № 1, 45—53 [87, 8В654].
— всесмежности, или число доминирования (dominating number) графа:
упр. 2 к §1.6; оценки типа Нордхауза—Гаддума: Р. Payan // Cah.
Cent, etud rech. орёг., 17 (1975), № 2-4, 307—317 [76, 6B485], обобще-
ние: P. Flach, L. Volkmann // DM, 80 (1990), № 2, 145-151 [91, 3B561J;
оценки через другие инварианты графа: упр-я 2'—2'" к §1.6;
R.C. Brigham, R.D. Dutton II Quart. J. Math., Oxford, Second Ser.,
41 (1990), № 163, 269-275 [91, 7B527]; L. Volkmann // ArsC, 41 (1995),
45—56 [96, 7B237] — графы c /? = я; S. Arumugam, S. Velammal // ArsC,
52 (1999), 221—227 [00, 7B235] — графы с заданными числами домини-
рования. См. также число сцепленности.
— Грахама—Спенсера N (р, q) — наименьшее количество вершин тако-
го графа G плотности cp(G)<q, при любой раскраске (неправиль-
ной) ребер которого р -1 цветами хотя бы в одной клике все ребра
будут одного цвета; изучался пока только случай р = 3: Р. Erdds,
A. Hajnal // JCTh, 2 (1967), № 1, 104—105 - постановка; R. Graham,
J. Spencer // LNM, 186(1971), 137-141 [71, 12B579]; R. Graham //
JCTh,.4(1968), №3, 300; M. Schauble // WZTHI, 15(1969), №2,
59-63 [70,6B349]; Lin Shen // JCTh, B12(1972), №1, 82-92
[72, 8B393]; Н.Д. Ненов, Н.Г. Хаджииванов // ДБАН, 32 (1979), № 2,
155-158, Сердика 5 (1979), 303-305; Н.Д. Ненов // Сердика, 6 (1980),
373-383 - оценка V(3,5)>11.
— Гупты: § 2.9.
— Заранкевича kab (т, п) — наименьшее такое A:gN, что каждая
т хп-матрица, в которой к единиц, а остальные тп-к элементов —
нули, содержит ах 6-подматрицу сплошь из единиц: К. Zarankie-
wicz // ClqM, 2 (1951), № 2, 301; приложения к теории графов и час-
тичные решения проблемы нахождения ч-л 3.: W. Sierpinski // Ann.
Soc. Polon. Math., 24(1951), № 1, 145-157, Problems in the theory of
numbers. Pergamon, 1964, p. 16; T. Kovari, V.T.-S6s, P. Turan // ClqM,
Указатель-справочник
657
3(1954), № 1, 50—57; S. Hartmann, J. Mycielski, C. Ryll-Nardzewski //
там же, 84—85; К. Culik // Ann. Soc. Polon. Math., 3 (1956), 165—168;
M.K. Fort jr., G.A. Hedlund // PJM, 8 (1958), 709-719; C. Hylten-Ca-
vallius // ClqM, 6(1958), № 1, 59-65; I. Reiman // AMASH, 9(1958),
269-279; H. Hanani // CJM, 12(1960), 145-157; P. Erdds // TGrSm
(1964), 29-36; S. Znam // ClqM, 11 (1963), №1, 81-84; H. Hanani,
J. SchOnheim П Israel J. Math., 2(1964), № 1, 139-142; R.K. Guy //
TGrR (1967), 139—142; книга Ope (гл. 13, в русском переводе невер-
ная транскрипция «Царанкевич»); I. Tomescu // Stud. §ci. cere, mat.,
31 (1979), № 3, 353-358 [80, 5B499]; Н.Г. Винниченко // Анал. мето-
ды в вероятн. задачах. Киев, 1988, 18—24 [89, 5В455].
—	компонент графа: введение; §1.3; §2.1.
---матрицы: § 3.4.
—	^-кратного доминирования (Аг-play domatic number) графа — наиболь-
шее количество классов разбиения множества его вершин на
k-кратно доминантные.
—	независимого доминирования: В.Э. Зверович И М3, 48(1990), № 3,
66-69 [91, 5В380]; N.I. Glebov, A.V. Kostochka // DM, 188(1998),
№ 1-3, 261-266 [00, 2В335].
—	пересечений (crossing number): § 3.7: M. К1е§ё // Tatra Mount. Math.
Publ., 18(1999), 63-68 [00, 12В238].
—	пересечения (intersection number) графа G — наименьшая мощность
множества, обладающего такой системой подмножеств, граф пересе-
чения которой изоморфен G: Р. Erdos, A.W. Goodman, L. Posa //
CJM, 18(1966), № 1, 106-112 [68, 1B258; 32#4034] - точная верхняя
оценка этого числа 1и2 (G) / 4J; М. Мау, К. Szkatula [89, 2В680] — для
двудольных графов.
—	покрытия орграфа орциклами: Liang Zhine И Chin. J. Eng. Math.,
16(1999), №2, 119-122 [00, 2В316].
-	принудительной односторонней ориентации (forced unilateral orienta-
tion number) графа: упр. 9 к §4.4.
-	протяженности (elongation number) вершины — длина наибольшей
идущей из нее простой цепи в графе: книга Оре.
—	разбиения (decomposition number), точнее, ч. Р-разбиения графа G —
наименьшее количество классов такого разбиения множества его
вершин, что все подграфы, порожденные этими классами, обладают
свойством Р: D.R. Lick, A.T. White — для свойства k-вырожденно-
сти; М. Borowiecki, Р. Mihok [87, 5В649] — в общем случае; М. Boro-
658
Основы теории графов
wiecki // ОРМ, 112(1987), №2, 173-176 [87, 10В689] - для свойств
критичности, связности, гамильтоновости и др.
—	реберного покрытия (line covering number) = накрывающее число'.
§2.4.
—	реберной независимости (line independenct number) графа — инвари-
ант n(G): §2.4.
—	связанности bind (G) графа = связующее число.
—	Секереша—Вильфа = число Визинга—Вильфа—Секереша.
— скрещиваний = число пересечений: § 3.7.
— сцепленности (bondage number) графа — наименьшее количество ре-
бер, одновременное удаление которых из графа G увеличивает его
число всесмежности /3: B.R. Hartnell, D.F. Rail // DM, 128(1994),
№ 1—3, 173—177 [94m#05102] — верхняя оценка числа с. и контрпри-
мер к гипотезе о том, что оно не превосходит j((?) + l.
— Хадвигера (Hadwiger number) графа: § 1.3; § 2.7; J. IvanCo [88, 11В552]
— вычисление для некоторых графов; модификации: упр. 20 к § 2.7 и
упр. 26 к § 3.8.
числовая колода (numerical pack) и-вершинного графа — набор п коли-
честв компонент его (п - 1)-вершинных подграфов; алгоритм зада-
ния всех л-вершинных деревьев с данной ч.к. и условия изоморфной
определяемое™ I. Krasikov, J. Sch6nheim // DM, 53(1985), № 1,
135-145 [85, 9В592].
Ш
шарнир (cutpoint): §2.2; §2.7; §4.2.
шероховатость (coarseness) = крупность (графа).
ширина (width) графа: см. нумерации вершин.
штырь (vertex-pin): § 3.7.
Э
эвристические (heuristic) алгоритмы — способы решения оптимизацион-
ных задач, основанные на разумном приближении к искомой вели-
чине, но не гарантирующие точного значения: см. книгу Гэри и
Джонсона [А 12] и приближенные алгоритмы. Теоретический анализ
э-х a-в: D.G. Corneil, D.G. Kirkpatrik // SIAM J. Comp., 9(1980),
№2, 281—297 [81, 1B484] — для изоморфизма графов; R.D. Dutton,
R.C. Brigham // Comput. J., 24(1981), № 1, 85-86 [82, 5B504] и
Указатель-справочник
659
А.А. Шнейдер // Киб, 1984, №4, 15—22 [85, 1В635] - для раскраски
вершин.
эйлеров (eulerian) граф — мультиграф, имеющий эйлеров цикл'. § 2.8.
— орграф — имеющий эйлеров орцикл'. упр-я 3 и 4 к §4.1; Zhang Fu-ji,
Guo Xiao-feng // DM, 64(1987), №2-3, 289-298 [87, 10В693].
— орцикл: упр. 3 к §4.1.
— род поверхности — небольшая модификация рода поверхности'.
R.B. Richter // JCTh, В43 (1987), № 1, 60-69 [87, 11В659].
—	цикл: упр. 1 к §2.1; §2.8.
эйлерова орцепь в орграфе: упр. 3 к §4.1.
—	характеристика графа: § 3.5.
—	цепь в графе: упр. 1 к §2.1; §2.8.
эквиваленты гипотезы четырех красок: § 3.9 (теорема 3.9.2 и далее; уп-я
3—7); еще три э-та формулирует с помощью понятия абсолютно пла-
нарного ретракта Р. Hell // JCTh, В17 (1974), № 1, 5-10 [51#10149];
см. также относительный хроматический индекс и снарк.
—	и модификации гипотезы Бержа и совершенных графах. Экв-ты: упр.
12 к § 3.10; А.С. Маркосян // УЗЕрУ, 1985, № 1, 33-37 [85, 12В562]; к
м-ям относятся главным образом ослабленные версии.
экспонента орграфа — наименьшее такое ke N, что из любой вершины
в любую другую существует ормаршрут длины к: Shen Jian, S. Neu-
feld // Linear Algebra and Appl., 208(1998), 117-129 [00, 10B269] -
для примитивных орграфов.
экстремальный (extremum) = оптимальный (граф): § 1.9.
(к, ^экстремальный граф — двудольный G с наибольшим числом ре-
бер при заданной степени s и с n{G)<k\ R.J. Faudree, A. Gy&rfis,
R.H. Schelp, Zs.Tuza // DM, 78(1989), № 1-2, 83-87 [90, 4В617].
эксцентриситет (eccentrisity), j-эк-т e(x) вершины графа — наибольшее
(<?-)-расстояние от нее до других вершин; наименьшим эк-м (равным
радиусу графа) обладают все центральные вершины, наибольшим
(равным диаметру — некоторые периферийные; связь между э-ми
вершин графа и его суграфа-дерева: R. Nandakumar, K.R. Parthasa-
raty // J. Math, and Phys. Sci., 24(1990), № 1, 33-36 [93, 2В278].
элегантный (elegant) = грациозный (граф).
электрические методы решения задач теории графов — с использовани-
ем эл-х моделирующих устройств. Например, если ребра графа —
проводники, соединяющие вершины-контакты, то для выяснения,
является ли ребро ху цикловым, достаточно проверить, сохраняется
ли проводимость между х и у после размыкания этого ребра; э-й м.
£60	Основы теории графов
нахождения числа каркасов: R. Onodera, К. Sato, Y. Fukuda, Е. Sai-
shu // Matrix and Tensor Quart., 31 (1981), № 4. 109—115 [82, 4В550].
элемент графа — вершина или ребро, у триангуляции также грань,
элементарный гомоморфизм в книге Харари — отождествление двух не-
смежных вершин графа.
- граф G — допускающий такую нумерацию вершин числами 1, 2, ...,
n(G), при которой номера смежных вершин взаимно просты: Lee
Sin Min, Wui Indra, Yeh Jerland // Bull. Malays Math. Soc., 11 (1988),
№2, 59-67 [90, 4В615].
эндоморфизм (endomorphism) графа: заключение (п. 2); книга Зыкова,
энтропия (entropy) графа: G. Simonyi [97, 1В272] — обзор.
Я
ядерно-разрешимый, я.-совершенный граф: см. гипотеза Бержа—Дюше.
ядерно-совершенный (kernel-perfect) орграф — каждый подграф которо-
го имеет ядро (отрицательное): Н. Galeana-Sanchez // DM, 59 (1986),
№1-2, 35-41 [86, 11В651]; F. Maffray // DM, 61 (1986), №2-3,
247-251 [87, 3B447]; O.V. Borodin, A.V. Kostochka, D R Woodall //
DM, 191(1998), №1-3, 51-56 [00, 1В315].
ядро (core): см. вершинное ядро и реберное ядро; книга Харари (гл. 10).
— (kernel) (1) В неориентированном графе — максимальная (по
включению) груда. (2) В орграфе: §4.1; модификации: полуядро
(Н. Galeana-Sdnchez, V. Neumann-Lara // DM, 59(1986), № 3,
257—265 [87, 1В572]), квазиядро (Р. Duchet, Ya.Ou. Hamidoune,
H. Meyniel П DM, 65(1987), № 3, 231-235 [88, 2B668J).
(-)-ядро = отрицательное ядро, (+)-ядро = положительное ядро оргра-
фа: §4.3.
ячеечное, 2-ячеечное вложение (2-cell embedding) ~ регулярное вложение
(графа в поверхность).
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора.............................................. ?
ВВЕДЕНИЕ. ............................................. 5
ГЛАВА 1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ
§1.1	Обыкновенные графы......................... 15
§ 1.2	Изоморфизм.................................. 19
§ 1.3.	Инварианты . ............................... 27
§ 1.4.	Вычисление инвариантов...................... 39
§1.5.	Проблема изоморфизма........................ 53
§ 1.6.	Некоторые применения плотности и неплотности.61
§ 1.7.	Алгоритмы для плотности, неплотности и изоморфизма 70
§ 1.8	Оценки плотности и неплотности. Граф Турана.. 86
§ 1.9.	Оптимальные и критические графы............. 97
§ 1.10.	Проблемы восстановления....................108
ГЛАВА 2. СВЯЗНОСТЬ
§2.1.	Маршруты...................................128
§ 2.2.	Блоки.......................................145
§2.3.	Деревья.....................................158
§2.4.	Паросочетания и двудольные графы............168
§2.5.	7-связные графы.............................186
§ 2.6	Взвешенные графы и метрика..................202
§2.7.	Мультиграфы.................................220
§ 2.8.	Эйлеровы цепи и циклы.......................232
§ 2.9.	Раскраски ребер...........................  238
ГЛАВА Г ЦИКЛОМАТИКА
§3.1.	Каркасы и разрезы..........................252
§ 3.2.	Пространство суграфов.......................265
§3.3.	Матрицы инциденций, разрезов и циклов.......272
§ 3.4.	Графы с заданными разрезами и циклами.......283
§ 3.5.	Топологические графы........................301
§3.6.	Планарность.................................313
§ 3.7.	Борьба с пересечениями......................336
§3.8	Гипотеза Хадвигера..........................349
662
§ 3.9.	Раскраски плоских триангуляций.......367
§3.10.	Совершенные графы....................391
ГЛАВА 4. ОРИЕНТАЦИЯ
§4.1. Конечные графы общего вида............ 411
§4.2.	Достижимость.........................424
§ 4.3.	Ядра.................................450
§4.4.	Ориентируемость......................464
§ 4.5.	Транзитируемость.....................472
ДОБАВЛЕНИЕ 1. БУЛЕВЫ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ГРАФОВ... 489
ДОБАВЛЕНИЕ 2. ПРОСТРАНСТВО ГРАФОВ И ЕГО
ФАКТОРИЗАЦИИ...................................508
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................512
ЭПИЛОГ.........................................520
УКАЗАТЕЛЬ-СПРАВОЧНИК...........................526
Зыков Александр Александрович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Книга издана в авторской редакции
Компьютерная верстка И. И. Шильштейна
Подписано в печать 01.07.2004.
Печать офсетная. Формат 60 х 84/16.
Усл. печ. л. 38,59. Тираж 500 экз.
ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга»
125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.
МАИ, Главный административный корпус, к. 301а.
Т/ф 158-02-35
E-mail: vbook@mai. ru