/
Автор: Радченко В.И. Рябухин О.В.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика ядерная физика учебное пособие
ISBN: 978-5-321-01055-6
Год: 2007
Текст
Федеральное агентство по образованию
Уральский государственный технический университет -- УПИ
В.И. Радченко О.В. Рябухин
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Часть I
Научный редактор доц., канд. хим. наук В.Л. Петров
Печатается по решению редакционно-издательского совета
УГТУ--УПИ от 18.01.2007 г.
Екатеринбург
УГТУ--УПИ
2007
2
УДК 539.17(075.8)
ББК 22.38 я73
Р15
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного университета путей
сообщения (зав. кафедрой проф., д-р физ.-мат. наук В.К. Першин);
зав. кафедрой информатики филиала Южно-уральского государственного
университета в г. Озерске канд. техн. наук С.Е. Мосунов.
Радченко В.И.
Р15 Ядерная физика: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. I / В.И. Радченко,
О.В. Рябухин. Екатеринбург : УГТУ -- УПИ, 2007. 106 с.
ISBN 978--5--321--01055--6
Пособие предназначено для студентов, специализирующихся в
области экспериментальной физики, в частности для студентов
специальностей 140306 -- Электроника и автоматика физических
установок, 140307 -- Радиационная безопасность человека и
окружающей среды и 200402 -- Инженерное дело в медико-
биологической практике.
Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 54.
УДК 539.17(075.8)
ББК 22.38 я73
ISBN 978--5--321--01055--6
© Уральский государственный
технический университет -- УПИ, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .........................................................................................................4
1. СВОЙСТВА ЯДЕР.........................................................................................6
1.1. ЗАРЯД, МАССА И ЭНЕРГИЯ ЯДЕР ..................................................................6
1.2. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЯДЕР ...................................................12
1.2.1. Энергия связи ядра относительно составных частей ................17
1.2.2. Нуклоностабильные ядра ................................................................17
1.3. РАДИУС ЯДРА.............................................................................................20
1.3.1. Анализ формулы Вейцзеккера ..........................................................21
1.3.2. Рассеяние быстрых нейтронов на ядрах .......................................22
1.3.3. Мюонные атомы...............................................................................27
1.3.4. Рассеяние быстрых электронов на ядрах .....................................29
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИНА И МАГНИТНОГО МОМЕНТА ЯДЕР ...31
2.1. СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЯДЕР .........................................................31
2.2. ЭФФЕКТЫ ПАШЕНА-БАКА И ЗЕЕМАНА .....................................................41
2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИНА ЯДРА МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ ............45
2.4. МЕТОД МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА РАБИ ...................................................48
3. МОДЕЛИ ЯДЕР ...........................................................................................57
3.1. КАПЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА ........................................................................57
3.2. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК ...................................................................61
3.3. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА .....................................................................69
4. РАДИОАКТИВНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЯДЕР......................................72
4.1. α -РАСПАД .................................................................................................75
4.2. β -РАСПАД .................................................................................................84
Понятие о теории β-распада ....................................................................90
4.3. γ-ИЗЛУЧЕНИЕ ЯДЕР ..................................................................................101
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................105
4
ВВЕДЕНИЕ
История ядерной физики берет свое начало с конца девятнадцатого и
начала двадцатого веков. В этот период произошли открытия, связанные со
строением и свойствами атомов и ядер. Открытие радиоактивности
(1896 г., Беккерель), атомного ядра и первой ядерной реакции (1911 г.,
1919 г., Резерфорд), а также первой элементарной частицы (1897 г.,
Томпсон), законов фотоэффекта (1904 г., Эйнштейн), развитие теории
эквивалентности массы и энергии (1905 г., Эйнштейн) дали толчок
бурному развитию экспериментальной и теоретической физики ядра и
частиц. С появлением мощной квантовой теории и первых ускорителей
заряженных частиц стало возможным стремительно развивать и
экспериментально подтверждать фундаментальные представления о
строении, свойствах и радиоактивных превращениях ядер и элементарных
частиц.
В дальнейшем ядерная физика обрела необычайно широкое
прикладное значение. Сейчас уже невозможно представить современную
энергетику без использования ядерной реакции деления, а в будущем
вероятно использование для этих целей термоядерного синтеза.
Уникальные ускорительные установки позволяют с помощью
высокоэнергетичных заряженных частиц модифицировать такие важные
свойства материалов, как механическая, химическая и радиационная
устойчивость. В производстве современной элементной и
микропроцессорной базы
электроники,
информационных
и
вычислительных систем широко используется ионная имплантация.
Казалось бы ничем не связанная с ядерной физикой медицина тем не менее
широко применяет на практике радиофармпрепараты, диагностическое и
лечебное оборудование, основанные на физических свойствах ядер и
элементарных частиц.
5
Наконец, физика элементарных частиц (другое название -- физика
высоких энергий) касается основы основ существующего мира -- теории
Вселенной, включая ее происхождение и дальнейшую эволюцию.
Формирование звезд, галактик, их движение, образование космического
излучения и т.д. -- все это обусловлено миром элементарных частиц, их
удивительными свойствами, законами превращений и взаимодействий,
порой подрывающих суть наших представлений о реальном мире.
Несмотря на огромные знания, накопленные за прошлый век в
ядерной физике, эта наука, тем не менее, успешно развивается, особенно
физика элементарных частиц. Идет кропотливая работа над созданием
новых химических элементов с целью достижения «острова»
стабильности, экспериментально регистрируются, подтверждая тем самым
теорию, новые элементарные частицы. Активным образом используются
знания ядерной физики и в прикладном аспекте.
Данное учебное пособие представляет собой материал лекций по
курсу «Ядерная физика», читаемых на кафедре экспериментальной физики
УГТУ -- УПИ. За основу взяты учебники «Экспериментальная ядерная
физика» К.Н. Мухина и «Введение в физику ядра и частиц»
И.М. Капитонова. Материал изложен в виде шести глав, включающих
описание свойств ядер, моделей ядер, ядерных превращений и
взаимодействий, а также некоторые представления о физике элементарных
частиц. Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями,
предъявляемыми к уровню знаний студентов, и с учетом будущей
специализации выпускников. Представленный материал предназначен для
студентов, обучающихся по направлению 651000 -- Ядерные физика и
технологии.
Авторы благодарны
профессорам А.П. Оконечникову,
И.И. Мильману, А.В. Кружалову и доценту В.Л. Петрову за помощь в
работе над пособием и редактирование материала.
6
1. СВОЙСТВА ЯДЕР
1.1. Заряд, масса и энергия ядер
Атомные ядра могут находиться в двух различных энергетических
состояниях: основном (состояние с наименьшей энергией E0), остающемся
неизменным неограниченно долго, и возбужденном (состояние с энергией
0
E
E>
′ ), в котором ядра по истечении определенного промежутка времени
могут испытывать самопроизвольные превращения.
Основные характеристики ядра:
Z -- заряд, (М, А) -- масса и массовое число, ΔW -- энергия связи, R -- радиус,
I -- спин, μ -- магнитный момент, Q -- квадрупольный момент, P -- четность
волновой функции, Т -- изотопический спин.
В возбужденном состоянии при радиоактивном распаде к перечисленным
добавляются:
Т1/2 -- период полураспада, Е -- энергия испускаемых частиц, тип
радиоактивного превращения.
Значения указанных характеристик для основного и возбужденного
состояний могут быть различны (кроме А и Z). Для обозначения атомных
ядер принята следующая форма: X
A
Z , где Х -- химический элемент;
например, ядро углерода -- C
12
6.
Заряд ядра Z определяется количеством протонов в ядре. Но заряд
ядра не равен сумме зарядов Zi всех протонов, из-за поляризации вакуума
он всегда немного меньше: ∑=
≤Z
ii
ядZ
Z1
. Первые, наиболее точные
эксперименты по определению зарядов ядер были проведены Мозли в
1913 г. по частоте характеристического рентгеновского излучения ядер и в
1920 г. Чедвиком в экспериментах по рассеянию α-частиц на фольгах из
металла.
Разнообразные эксперименты показали, что электрический заряд ядер
7
сохраняется для данного химического элемента и от одного элемента к
другому меняется дискретным образом. Электрический заряд сохраняется
во всех известных видах ядерных превращений и взаимодействий
(например, если при распаде ядра с зарядом Z образуется два дочерних
ядра, то сумма зарядов дочерних ядер всегда будет равна заряду Z
первоначального ядра). Заряд является интегральной характеристикой и не
дает представления о распределении заряда по объему ядра.
Поскольку заряд ядра в единицах элементарного заряда численно
равен количеству протонов в ядре, а массовое число А -- общему
количеству нуклонов (т.е. протонов и нейтронов вместе), то число
N = A -- Z есть количество содержащихся в ядре нейтронов. Ядра с
одинаковыми А -- изобары, с одинаковыми Z -- изотопы, с одинаковыми
N -- изотоны.
Одной из важнейших характеристик атомного ядра является его масса
M. В ядерной физике масса измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.).
За 1 а.е.м. принимается 1/12 часть массы атома углерода 12С
(
кг
м
е
а
27
10
66
,
1
.
.
.
1
-
⋅
=
). Этот изотоп выбран в качестве эталона потому, что
именно он используется для измерения масс в ядерной физике методом
масс-спектрометрических дублетов, образуя гораздо больше удобных на
практике химических соединений, чем кислород или другие химические
элементы.
Согласно соотношению Эйнштейна из специальной теории
относительности (СТО) для покоящейся как целое системы частиц
,
c
M
E
2
0
0
⋅
=
(1.1)
т.е. масса системы М0 и ее полная энергия Е0 эквивалентны. Если
кинетическая энергия частицы или системы частиц с неизмененным
внутренним состоянием равна Т, то (1.1) следует записать в виде
8
,
12
2
2
0
c
V
β
,
βc
M
U
T
c
M
E
r
r
=
-
⋅
=
+
+
⋅
=
(1.2)
где, Vr
-- скорость движения системы частиц как целого, М0 -- масса
системы взятых по отдельности частиц, U -- потенциальная энергия
взаимодействия частиц в системе. Очевидно, что при наличии
взаимодействия (U ≠ 0) M ≠ M0, а при его отсутствии (U = 0) всегда
М = М0. В релятивистской механике импульс частиц определяется
выражением (система частиц движется как целое):
.
1
1
2
2βc
β
M
βV
M
p
-
⋅
⋅
=
-
⋅
=
r
r
(1.3)
Возводя (1.3) в квадрат и сравнивая с квадратом правой части (1.2),
найдем:
,
2
2
4
2
0
c
p
c
M
E
⋅
+
⋅
=
(1.4)
а также:
2
2
2
0
c
p
T)
c
M
(2
T
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
--
(1.5)
формулы (1.4), (1.5) для одной частицы с массой М0.
Атомное ядро -- сложная система нуклонов. Его энергия покоя зависит
от состояния внутреннего движения этих нуклонов. Пусть основному
состоянию ядра отвечает энергия покоя согласно уравнению (1.1)
Величины Е0 и М0 являются минимальными для данного нуклида.
Энергия
покоя
ядра,
находящегося в возбужденном
состоянии, обозначается через
E′ (рис. 1.1). Величина
0
E
E
W-
′
=
называется энергией
возбуждения ядра. Масса ядра в
Рис. 1.1
E′
0
E
2
0c
M⋅
2
c
M⋅
W
9
возбужденном состоянии равна
.
c
W
M
M
2
0+
=
(1.7)
Необходимо отметить, что масса ядра изменяется лишь в том случае,
когда внешнее воздействие приводит к изменению внутреннего состояния
ядра.
В замкнутых системах частиц полная энергия Е сохраняется. Это в
полной мере относится и к ядерным реакциям. Пусть, например, в
результате ядерного взаимодействия двух частиц А и В образуются
частицы С и D:
.
D
C
B
A
+
→
+
(1.8)
В силу закона сохранения энергии должно выполняться уравнение
баланса:
D
C
2
D
C
B
A
2
B
A
T
T
c
)
M
(M
T
T
c
)
M
(M
+
+
⋅
+
=
+
+
⋅
+
(1.9)
или
const,
T
E
T
E
E
2
2
1
1
=
+
=
+
=
(1.10)
где Е1 =(МА+МВ)⋅с2 и Т1 =ТА+ТВ -- энергия покоя и кинетическая
энергия сталкивающихся частиц, а Е2 = (МС + МD)⋅ с2 и Т2 = ТС + ТD --
энергия покоя и кинетическая энергия частиц продуктов реакции. Разность
1
2
2
1
T
T
E
E
Q
-
=
-
=
(1.11)
называется энергией реакции. Если Q = 0, то суммарные массы частиц до и
после столкновения остаются неизменными. Если Q > 0, то ядерная
реакция идет с выделением энергии за счет преобразования части энергии
покоя в кинетическую энергию и называется экзоэнергетической. При
Q < 0 реакция идет с преобразованием части кинетической энергии
частиц в энергию покоя и называется эндоэнергетической.
10
В ядерной физике наиболее используемой единицей измерения
энергии является электронвольт (эВ). Эта единица измерения вводится
следующим образом: электрическое поле может совершить работу над
заряженной частицей, поэтому частица с электрическим зарядом Z ⋅ e (где
е -- элементарный заряд) в точке с радиус-вектором rr имеет
потенциальную энергию U(r). Потенциальная энергия частицы в
электрическом поле пропорциональна ее электрическому заряду Z ⋅ e,
поэтому для описания поля удобно ввести величину, равную отношению
,
e
Z)
r
U(
)
r
V(⋅
=
r
r
(1.12)
называемую потенциалом электрического поля. Потенциал, как известно,
измеряется в СИ в вольтах: 1 В = 1 Дж/1 Кл (см. (1.12).
Работа, совершенная электрическим полем над зарядом Z ⋅ e, равна
∫
∫
∫⋅
⋅
⋅
-
=
⋅
-
=
-
=
=
⋅
=
.
r
d
r
d)
r
dV(
e
Z
r
d
r
d
dU
)
r
gradU(
F
r
d
F
A
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(1.13)
Если под действием электрического поля частица перемещается из
точки А в точку В, интеграл (1.13) равен
,)
V
(V
e
Z
A
B
A-
⋅
⋅
=
(1.14)
где VA и VB -- потенциал электрического поля в точках А и В.
В ядерной физике и ускорительной технике заряды рассматриваемых
частиц имеют по абсолютной величине порядок элементарного заряда, т.е.
заряда электрона, а разность потенциалов в ускорителях прямого действия
традиционно измеряется в вольтах. Поэтому с учетом (1.14) в качестве
естественной единицы измерения энергии удобно принять энергию,
которую приобретает частица с зарядом, равным элементарному, после
прохождения разности потенциалов в 1 вольт:
Дж.
10
1,6
В
1
Кл
10
1,6
эВ
1
19
19
-
-
⋅
=
⋅
⋅
=
(1.15)
11
В силу эквивалентности массы и энергии (см. (1.1) массу частиц также
принято обозначать в эВ/с2 или чаще в МэВ/с2 (или просто в МэВ, опуская
1/с2), а импульс частиц -- в единицах МэВ/с (с -- скорость света).
12
1.2. Энергия связи и устойчивость ядер
Масса ядра всегда меньше суммы масс всех его протонов и нейтронов.
Это утверждение для систем связанных частиц непосредственно следует из
релятивистского вывода об эквивалентности массы и энергии. Если масса
ядра равна М(A, Z), то величина
2
N
P
c
Z))
M(A,
m
Z)
(A
m
(Z
ΔW
⋅
-
⋅
-
+
⋅
=
(1.16)
называется энергией связи ядра относительно всех составляющих его
протонов и нейтронов. Ее значение равно энергии, которую необходимо
затратить, чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны (либо ее можно
интерпретировать как энергию, которая выделится при соединении
нуклонов в ядро), при этом силы электростатического взаимодействия в
первом приближении можно не учитывать из-за их малости по сравнению
с ядерными. Например, энергия связи ядра углерода C
12
6 равна
МэВ
c
)
с
МэВ
с
МэВ
с
МэВ
(
ΔW
90
931
12
939
6
938
6
2
2
2
2
=
⋅
⋅
-
⋅
+
⋅
=
, что составляет
примерно 1 % от энергии покоя ядра. Аналогичное соотношение энергии
связи и энергии покоя наблюдается и для других ядер.
Обычно в таблицах масс химических элементов приводятся значения
масс атомов, а не ядер (поскольку вся масс-спектрометрическая
аппаратура работает не с ядрами, а с атомами). Поэтому формулу (1.16)
записывают в виде (с точностью до энергии связи электронов)
.
c
Z))
(A,
M
m
N
H)
(
M
(Z
ΔW
2
АТ
N
АТ
⋅
-
⋅
+
⋅
≅
1
1
(1.17)
Энергия связи, отнесенная к массовому числу А, называется удельной
энергией связи:
.
A
Z)
ΔW(A,
ε=
(1.18)
Таким образом, ε является функцией А и Z. Зависимость ε (A, Z) показана
на рис. 1.2 (часто говорят, что она имеет вид «хребта»).
13
Естественно предположить, что
из всех существующих видов
радиоактивности: α-распад, β-распад,
γ-излучение, спонтанное деление
тяжелых ядер, испускание запаздыва-
ющих нейтронов и протонов --
β-радиоактивность является одним из
наиболее распространенных ее типов.
Действительно, из перечисленных частиц, появляющихся в результате
радиоактивности или участвующих в радиоактивных превращениях,
позитроны и электроны являются наиболее легкими, т.е. имеют
минимальную энергию покоя, что и облегчает их появление. Поэтому
стабильность ядер определяется вероятностью их распада с испусканием
β-частицы. Ядра с максимальным значением ε являются устойчивыми по
отношению к β-распаду, а следовательно, и к другим типам распада.
Расположение β-стабильных ядер на плоскости (А, Z) (имеющее условное
название «дорожки β-стабильности») задается формулой
,
3
2
A
0.015
1.98
A
Z
⋅
+
=
(1.19)
что соответствует максимальным значениям ΔW вдоль «хребта». Если
подставить (1.19) в формулу (1.18) для
ε (A, Z) вместо Z, то получим зависимость
ε (А) вдоль
вершинной части
распределения ε (A, Z) (рис. 1.3). С ростом
А удельная энергия связи возрастает от 0
приА=1до εмах =8,8МэВпри А≈60 и
постепенно уменьшается до ε ≈ 7,6 эВ.
Среднее значение ε ≈ 8 МэВ. В первом
Рис. 1.3
Рис.1.2
14
приближении энергию связи ядер можно выразить примерным
соотношением
а.е.м.
A,
МэВ
A,
ε
A
ΔW
⋅
=
⋅
=
⋅
≈
0085
,
0
8
(1.20)
Анализ ε (A, Z) позволяет сделать следующие выводы:
1. Поскольку ε > 0, то ядерные силы имеют характер притяжения.
2. Из большого среднего значения ε следует, что интенсивность
ядерного взаимодействия существенно превосходит интенсивность
электромагнитного
взаимодействия (ядерное
взаимодействие
компенсирует кулоновское отталкивание протонов).
3. Вследствие короткодействия ядерных сил для больших А имеет
место пропорциональность ΔW ∝ А. Отсюда следует свойство насыщения
ядерных сил, т.е. нуклон не взаимодействует со всеми остальными (А -- 1)
нуклонами, иначе наблюдалась бы зависимость ΔW ∝ А · (А -- 1).
4. Из ΔW << М (A, Z) следует, что Мяд ≈ А, а.е.м.
5. Анализ показывает, что удельная энергия связи ε особенно велика
у четно-четных ядер (Z и N четные), среди которых выделяются
α-частичные ядра, т.е. такие, которые можно представить состоящими из
α-частиц. Нечетно-нечетные ядра, как правило, β-радиоактивны и
обладают наименьшими значениями ε.
6. Среди всех четно-четных и α-частичных ядер максимально
высоким ε обладают ядерные конфигурации с числом протонов и/или
нейтронов, равным одному из следующих чисел: 2, 8, 20, (28), 50, 82, 126.
Эти числа и соответствующие ядра называются магическими. Им
соответствуют пики на кривой ε (A, Z). Ядра, в которых число протонов и
число нейтронов являются магическими, называются дважды
магическими.
7. Ядра, отличающиеся друг от друга заменой всех протонов на
нейтроны и наоборот, называются зеркальными. Энергии связи зеркальных
15
ядер совпадают с точностью до поправки на добавочную энергию
кулоновского взаимодействия ядра с избыточным числом протонов.
(Z1,N1)и(Z2,N2)-- зеркальны, еслиZ1 =N2 иZ2 =N1.
8. Для тяжелых ядер энергетически выгоден процесс α-распада:
He.
2)
4,Z
(A
(A,Z)
4
2
+
-
-
→
(1.21)
Действительно, рассмотрим величину энергии α-распада (необходимо
доказать, что α
Q > 0 и реакция действительно возможна):
.
dA
dA
dε
A
)
ε
(ε
)
ε
(ε
A
)
ε
(ε
ε
A
He)
ε(
ε
)
(A
Z)
ΔW(A,
He)
ΔW(
)
Z
,
ΔW(A
c
)
m
)
Z
,
M(A
Z)
(M(A,
Q
A
He
A
A
A
He
A
A
α
α
⋅
⋅
+
-
⋅
≈
≈
-
⋅
+
-
⋅
=
=
⋅
-
⋅
+
⋅
-
=
=
-
+
-
-
=
=
⋅
-
-
-
-
=
-
-
-
-
4
4
4
4
2
4
4
2
2
4
2
4
2
4
4
4
4
2
4
2
4
(1.22)
Значения величин, входящих в
(1.22) для массового числа А,
принадлежащих интервалу [200; 240],
таковы: ε ( He
4
2 )=7,1МэВ;
ε (220) ≈ 7,7 МэВ (рис 1.4).
Подставляя эти значения в (1.22), получим оценку (при dε/dA = -- 1/120 и
dA= --4)Qα ≈5МэВ.
Для легких ядер α-распад невозможен, т.к. в области А < 60 имеем
0.
Q
т.е.
0,
]
ε
He)
(
[
0;
dA
dε
α
4
A
4
2
<
<
-
>
-
ε
(1.23)
9. Для тяжелых ядер (A, Z) энергетически выгоден процесс деления
на осколки, т.е. на два близких по массе ядра (A1, Z1) и (A2, Z2); здесь
А = А1 + А2. Для легких ядер, расположенных левее максимума кривой
εмах (А), энергетически выгоден процесс синтеза в одно более тяжелое ядро
(рис. 1.5):
Рис. 1.4
16
.)
Z
Z
,
A
(A
)
Z
,
(A
)
Z
,
(A
2
1
2
1
2
2
1
1
+
+
→
+
(1.24)
Запишем выражение для масс этих трех ядер, участвующих как в
процессе деления, так и в процессе синтеза, пользуясь введенным
понятием о средней удельной энергии связи нуклонов в ядре (с2 можно
опустить в зависимости от используемых единиц измерения):
.
A
ε
m
N
m
Z
M
,
A
ε
m
N
m
Z
M
A,
ε
m
N
m
Z
M
2
2
N
2
P
2
2
1
1
N
1
P
1
1
N
P
⋅
-
⋅
+
⋅
=
⋅
-
⋅
+
⋅
=
⋅
-
⋅
+
⋅
=
(1.25)
Для случая деления тяжелых ядер придем к следующему выражению
для энергии реакции:
,
ε)
ε
(
A
A
ε
)
A
ε
A
(ε
c
)
M
M
(M
Q
2
2
1
1
2
2
1
дел
-
⋅
=
⋅
-
⋅
+
⋅
=
⋅
-
-
=
(1.26)
где
A
A
ε
A
ε
ε
2
2
1
1
⋅
+
⋅
=
-- среднее значение удельной энергии связи для ядер
)
Z
,
(A
)
Z
,
(A
2
2
1
1
и
.Для тяжелых ядер ε >ε, т.е.Qдел >0.
Для синтеза легких ядер получим аналогичное выражение:
,
2
2
1
)
ε
(ε
A
c
)
M
M
M
(
Qсинт
-
⋅
=
⋅
+
+
-
=
(1.27)
причем ε
ε> ,т.е.Qсинт>0.
Рис. 1.5
17
1.2.1. Энергия связи ядра относительно составных частей
Можно представить себе, что ядро (A, Z) образовано из нескольких
ядер (Ai, Zi):
∑∑
∑
=
=
=
=
=
→
n
1
i
n
1
i
i
i
n
1
i
i
i
.
Z
Z
,
A
A
)
,Z
(A
(A,Z)
где
,
(1.28)
Энергия связи ядра (A, Z) относительно ядер (Ai, Zi) определяется
выражением
Z)]
M(A,
)
Z
,
M(A
[
c
Z)
(A,
ΔW
n
1
i
i
i
2
)
Z
,
(Ai
i
-
⋅
=∑=
(1.29)
и представляет собой энергию, которую надо затратить, чтобы разделить
ядро (А, Z) на составные ядра (Ai, Zi). Ясно, что энергия связи (1.29), взятая
со знаком минус, является энергией деления ядра на фрагменты (Ai, Zi), т.е.
энергией, которая выделяется в результате акта такого деления:
.
Z)
(A,
ΔW
Q
)
Z
,
(A
дел
i
i
-
=
(1.30)
Для энергий связи нуклонов и α-частиц используют символы εр, εn, εα.
Нетрудно заметить, что:
.
α
-
-
-
-
=
⋅
-
-
-
+
=
-
-
=
⋅
-
-
+
=
-
-
-
=
⋅
-
-
-
+
=
ΔW
2)
Z
4,
ΔW(A
Z)
ΔW(A,
c
Z)]
M(A,
2)
Z
4,
M(A
[m
ε
Z),
1,
ΔW(A
Z)
ΔW(A,
c
Z)]
M(A,
Z)
1,
M(A
[m
ε
1),
Z
1,
ΔW(A
Z)
ΔW(A,
c
Z)]
M(A,
1)
Z
1,
M(A
[m
ε
2
α
α
2
n
n
2
p
p
(1.31)
1.2.2. Нуклоностабильные ядра
Рассмотрим
ядра
с
А=Z+N=const, анализируя их
свойства в зависимости от
положения относительно до-
рожки β-стабильности (рис. 1.6).
По мере увеличения или
уменьшения числа Z (если
Рис. 1.6
18
принять за исходное положение нуклиды, расположенные на дорожке
β-стабильности) удельная энергия связи ε (A, Z) уменьшается, т.е. растет
полная энергия ядер (находящихся в основном состоянии). Ясно, что
энергетически выгодны, а значит, будут осуществляться процессы,
сопровождающиеся уменьшением полной энергии ядер и приближением
числа Z при А = const к дорожке β-стабильности.
При избытке (недостатке) числа протонов такими процессами
являются β+- и β-
-радиоактивные распады, т.к. среди заряженных частиц
электроны (позитроны) имеют минимальную энергию покоя.
β-радиоактивные ядра, так же как и β-стабильные, имеют ε > 0, εр > 0 и
εn > 0, т.е. являются связанной системой нуклонов -- нуклоностабильные
ядра (НСЯ). Область существования НСЯ простирается до границы
протонной устойчивости εр = 0 со стороны β+-радиоактивных ядер и до
границы нейтронной устойчивости εn = 0 со стороны β-
-радиоактивных
ядер.
Положение границ нуклоностабильности ядер пока точно не известно.
По мере приближения к этим границам или по мере удаления от дорожки
β-стабильности энергия испускаемых β-частиц возрастает (если εр или
εn → 0, то Еβ увеличивается). Поиск границ нуклоностабильности ведется
методами эмпирической экстраполяции и теоретических исследований.
Ряд закономерностей (в том числе зависимость ε (A, Z)) объясняются с
помощью капельной модели ядра, в которой вводится полуэмпирическая
формула Вейцзеккера для энергии связи ядра:
,
A
δ
A
Z)
2
A
(
ς
A
Z
γ
A
β
A
α
Z)
ΔW(A,
4
3
2
3
1
2
3
2
-
⋅
+
-
⋅
-
⋅
-
⋅
-
⋅
=
(1.32)
где α, β, γ, ζ, δ -- коэффициенты.
Капельная модель ядра как раз и используется для определения
границ нуклоностабильности.
19
Третье слагаемое в (1.32) отвечает за уменьшение энергии связи ядра
в результате кулоновского отталкивания протонов. Оно понадобится нам
чуть позже для определения радиуса R ядра в виде (без вывода)
.
R
5
e
Z
3
A
Z
γ
2
2
3
1
2
⋅
⋅
⋅
=
⋅
(1.33)
Формула (1.32) справедлива с относительной погрешностью до 10-4. В
последующем комбинация капельной и оболочечной моделей ядра (модели
ядер будут рассмотрены нами в третьей главе) позволила уменьшить
относительную погрешность в определении ΔW на порядок и оценивать
значения энергий связи εр, εn.
Пользуясь формулой (1.32), можно сделать следующие оценки:
1. Кроме известных НСЯ ( ≈ 3000) в природе должно существовать
еще по крайней мере столько же Н СЯ с ε > 0. Предсказываемое положение
границ нуклонной стабильности показано на рис. 1.6.
2. Ядра вблизи границы εn = 0 должны быть β-
-радиоактивными,
иметь малый период полураспада Т1/2 и большую энергию Еβ β-частиц. Они
могут испускать запаздывающие нейтроны, иметь аномально большие
размеры и повышенный выход реакции (повышенная вероятность данной
реакции) с вылетом двух или большего числа нейтронов. Для этих ядер
ε2n < εn.
3. Ядра вблизи границы εр = 0 протонной стабильности должны быть
β+-радиоактивными, могут обладать протонной радиоактивностью (εр < 0)
или двухпротонной радиоактивностью (если εр > 0, ε2p < 0).
4. В трансурановой области возможно существование островков
стабильности, т.е. групп ядер с относительно малыми вероятностями α-,
β-распада и спонтанного деления. Эти островки должны располагаться
вблизи новых предсказываемых магических чисел Z = 114, 164 и N = 184.
5. Ядра, расположенные за пределами нуклонной стабильности,
являются нуклононестабильными и могут существовать в течение
20
короткого времени τяд ≈ 10-22 секунд. Эти ядра можно охарактеризовать,
как и обычные, массой, зарядом, спином и т.д.
На примере изотопов 6С (N = 4 ÷ 10) показаны β+- и β-
-изотопы ядра 6С
и изотоны (рис. 1.7, а), зависимость ε от четности или нечетности числа N
(ε (A) -- срез «хребта») (рис. 1.7, б), уменьшение энергии отделения
нейтронов εn(A) с ростом их количества (рис. 1.7, в) и соответственно,
увеличение энергии отделения протонов εp (A) (рис. 1.7, г).
1.3. Радиус ядра
Прежде всего нужно договориться о том, что следует понимать под
размерами ядра. Размеры ядра определяются: во-первых, функцией
распределения нуклонов в этом ядре, во-
вторых,
особенностями
поведения
потенциального поля сил
ядерного
взаимодействия, создаваемого данным ядром
(рис. 1.8). Вокруг ядра существует оболочка
поля ядерных сил, и, таким образом, исходя
из зависимости U(r) характерный размер
области взаимодействия нуклона с ядром
(если нуклон находится вне ядра) можно
принять как радиус ядра.
а
б
в
г
Рис. 1.7
U(r)
r
R
Рис. 1.8
21
Размеры ядра были впервые оценены из результатов опытов
Резерфорда по рассеянию α-частиц на ядрах. Результаты экспериментов,
согласованные с теорией, показали, что примерный радиус ядра составляет
порядка 10-12 см. В дальнейшем использовались и другие методы.
Рассмотрим некоторые из них, но прежде заметим, что в опытах по
изучению радиуса ядра была обнаружена пропорциональная зависимость
радиуса ядра корню кубическому из А:
,
3
1
0A
r
R⋅
=
(1.34)
где r0 -- постоянная, подлежащая определению.
1.3.1. Анализ формулы Вейцзеккера
Соотношение (1.33) в формуле Вейцзеккера (1.32) есть выражение для
потенциальной энергии кулоновского отталкивания протонов в ядре. С
учетом (1.34) из соотношения (1.33) получим:
.
γ
5
e
3
r
r
5
e
3
γ
2
0
0
2
⋅
⋅
=
⇒
⋅
⋅
=
(1.35)
Чтобы воспользоваться формулой (1.32) для определения r0,
рассмотрим ядро (A, Z), которое в результате β+-распада
(A, Z)→ (A,Z -- 1)+е++ν переходит в зеркальное ядро (A, Z -- 1). Выбор ядра
(A, Z) не случаен, а определяется тем, что продукт его β+-распада должен
быть зеркальным по отношению к ядру (A, Z). В этом случае число
нейтронов первого ядра должно быть равно числу протонов второго:
1.
Z
2
A
1
Z
Z
A
-
⋅
=
⇒
-
=
-
(1.36)
Значит, число А может быть только нечетным, а для таких зеркальных
ядер коэффициент δ в формуле (1.32) равен нулю. Поэтому разность
энергий связи ядер (A, Z -- 1) и (A, Z) равна
22
.
A
r
e
A
γ
A
A
γ
A
Z
γ
A)
(Z
Z
γ
ΔW(A,Z)
)
ΔW(A,Z
ΔE
3
2
0
2
3
2
3
1
3
1
3
1
2
2
5
3
1
2
1
1
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
-
⋅
⋅
=
-
-
⋅
=
-
-
=
(1.37)
Первым в формуле (1.37) стоит выражение для энергии связи
дочернего ядра, т.к. из-за меньшего количества протонов энергия связи его
нуклонов больше, чем в материнском ядре, вследствие меньшего
кулоновского расталкивания. Данное уравнение записано в системе СГС,
где энергия имеет такую же размерность, что и е2/r0.
Значение ΔЕ можно получить из значений масс ядер, раскрывая
выражения для энергии ΔW в (1.37) в соответствии с определением (1.16):
,
m
m
1)
Z
M(A,
Z)
M(A,
ΔE
p
n-
+
-
-
=
(1.38)
или из максимальной энергии β+-частиц:
.
p
n
e
β
m
m
m
E
ΔE
-
+
+
=
(1.39)
В результате найдено, что
см.
10
1,3)
(1,2
r
13
0
-
⋅
-
=
(1.40)
По смыслу здесь R = r0 ⋅ A1/3 есть радиус действия ядерных
сил, на котором нуклон, находящийся вне ядра, будет им
захвачен (рис. 1.9).
1.3.2. Рассеяние быстрых нейтронов на ядрах
Изучение процесса рассеяния быстрых нейтронов на ядрах позволяет
достаточно точно определять радиусы ядер. Чтобы понять процедуру
такого определения, напомним, что взаимодействие сталкивающихся
частиц описывается дифференциальным сечением рассеяния dσ(Θ)/d ,
которое определяет вероятность рассеяния нейтрона на угол Θ и в
телесный угол d . Дифференциальное сечение, проинтегрированное по ,
дает сечение процесса рассеяния
d
d
dσ
σ∫=
, имеющее смысл вероятности
R
Рис.1.9
23
рассматриваемого процесса взаимодействия. Нам потребуется
использовать здесь именно полное сечение рассеяния σ. Эта величина
вводится следующим образом. Пусть пучок частиц проходит через сколь
угодно тонкую мишень с плотностью n ядер на см3 и толщиной dx
(рис. 1.10). После прохождения мишени часть частиц пучка испытает
рассеяние в изучаемом процессе, а другая часть пройдет мишень без
взаимодействия. Если N0 -- число частиц, падающих на мишень, то число
частиц dN, рассеянных в изучаемом процессе взаимодействия в слое dx,
будет пропорционально N(x), концентрации n и толщине dx мишени, а
также сечению σ, характеризующему процесс взаимодействия:
.
dx
n
σ
N(x)
dN
⋅
⋅
⋅
-
=
(1.41)
В формуле (1.41) N(x) -- это число
частиц пучка, дошедшего до
глубины x мишени (из-за
взаимодействия
меняется
их
состояние и/или направление
движения -- рассеяние), dN(x) --
убыль N(x) в слое [x, x + dx].
Поскольку dN имеет физический смысл убыли падающих N(x) частиц в
слое dx, то в правой части формулы (1.41) стоит знак минус
(dN = dN(x, x + dx) -- dN(x) < 0). Чем больше N(x), n, dx, тем будет больше
число провзаимодействовавших частиц. Решая дифференциальное
уравнение (1.41), найдем, что:
,
e
N
N(x)
x,
n
σ
N
N
ln
,
dx
n
σ
N
dN
x
n
σ
0
0
⋅
⋅
-
⋅
=
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
-
=∫
∫
(1.42)
где N0 = N(x = 0) -- первичное число частиц.
Рис. 1.10
dx
24
В эксперименте величины N0, n, x задаются, а величина N(x)
измеряется, что позволяет вычислить сечение:
.
N(x)
N
ln
x
n
1
σ
0
⋅
⋅
=
(1.43)
Заметим, что величину t = n · x (число ядер мишени (рассеивателей),
приходящееся на единицу поверхности мишени без взаимного затенения --
наложения поперечных сечений, рис. 1.11) принято называть толщиной
мишени.
Вернемся теперь к формуле (1.41). Величина
--dN/N = dP(x, x + dx) (минус должен стоять именно в
числителе, т.к. обозначает убыль частиц)
представляет собой вероятность взаимодействия,
следовательно,
произведение
σ⋅dt--тоже
вероятность
взаимодействия,
т.е.
величина
безразмерная. Толщина мишени имеет размерность,
обратную площади [t] = см-2, значит, размерность сечения [σ] = см2.
В ряде физических задач по рассеянию частиц можно считать, что
взаимодействие
определяется
геометрическими размерами
сталкивающихся частиц. В частности, иногда можно полагать, что
налетающая частица является точечной, а
рассеяние определяется только размерами
частиц мишени. К таким задачам и относится
задача о рассеянии быстрых нейтронов на
ядрах: нейтрон рассеется, только если попадет
в область действия ядерных сил ядра мишени,
имея дебройлевскую длину волны λ << R.
Поэтому в данных опытах под радиусом ядра
понимается эффективный радиус, на котором
«включается» ядерное взаимодействие сталкивающихся частиц (рис. 1.12).
Рис.1.11
R
Sяд=σ
Рис. 1.12
25
Если вероятность взаимодействия определяется
только размерами ядер, то она будет равна
отношению площади dS, перекрываемой ядрами, к
площади S0 мишени, на которой эти ядра находятся
(рис. 1.13). Причем dS = Sяд · К0, где Sяд -- площадь,
занимаемая ядром, К0 -- число ядер, находящихся на
площади S0 мишени (считается, что ядра мишени не затеняют друг друга),
поэтому вероятность взаимодействия равна
dt.
σ
S
K
S
S
dS
0
0
яд
0
⋅
=
⋅
=
(1.44)
Но dt = K0/S0, поэтому сечение взаимодействия нейтрона с полем
ядерных сил в рассматриваемых задачах равно площади проекции ядра
(см. рис. 1.13):
.
R
π
S
σ
2
яд
⋅
=
=
(1.45)
Необходимо отметить, что зондирующий нейтрон может как
столкнуться и быть захваченным ядром, так и не провзаимодействовать. В
ядре нейтрон также может провзаимодействовать с нуклонами ядра, а
может и не провзаимодействовать. С классической точки зрения ядро
состоит из нуклонов и полей ядерных сил и зондирующий нуклон так или
иначе должен провзаимодействовать в любом случае, однако с квантово-
механической точки зрения процесс взаимодействия зондирующего
нейтрона с нуклонами ядра имеет вероятностный характер, несмотря на то
что свободного пространства в ядре нет. Поэтому при прочих равных
условиях есть вероятность взаимодействия (Рв) и вероятность
невзаимодействия (Рн/в), при этом Рв + Рн/в = 1. Рн/в с квантово-
механической точки зрения как бы уменьшает σ. С другой стороны,
нейтрон может двигаться и вне полей ядерных сил (см. рис. 1.13), однако с
Sяд
S0
Рис. 1.13
26
квантово-механической точки зрения есть вероятность Рв и он все равно
может провзаимодействовать с ядром.
Заметим, что с классической точки зрения
сечение взаимодействия вообще может быть
величиной бесконечной (σ = ∞). В самом деле,
какое бы расстояние между нейтральным
атомом и электроном ни было, атом в поле
электрона поляризуется и его всегда можно
представить в виде электрического диполя (рис. 1.14). Однако с квантово-
механической точки зрения σ всегда конечная величина.
Следует еще заметить, что рассеяние нейтронов на ядрах связано не
только с наличием ядерных сил, но и с волновыми свойствами частиц.
Налетающий нейтрон следует рассматривать и как волну де Бройля, с
длиной λ = h/p, которая будет упруго рассеиваться ядром. Можно показать,
что сечение такого упругого рассеяния равно
.
πR
R
λ
λ)
(R
π
σ
2
2
упр
=
<<
=
+
⋅
≅
(1.46)
Поскольку для быстрых нейтронов λ много меньше R, полное сечение
рассеяния быстрых нейтронов на ядрах будет равно с учетом действия
ядерных сил
.
2
R
π
2
σ
⋅
⋅
≅
(1.47)
По результатам опытов с быстрыми нейтронами найдено:
см.
10
1,4)
(1,3
r
13
0
-
⋅
-
=
(1.48)
e-
Σq=0
+
-
Рис. 1.14
27
1.3.3. Мюонные атомы
В 1937 г. Неддермайер и Андерсен открыли в составе космических
лучей новые элементарные частицы, которые были названы мюонами (μ).
Они обладают элементарным электрическим зарядом, могут быть
положительными и отрицательными, имеют массу 207 · me и
Т1/2 = 2·10-6 секунды. Мюон, как показали
исследования, ведет себя аналогично электрону. В
частности, затормозившись в веществе, он может
быть захвачен на одну из боровских орбит ядра и
аналогично электрону может образовать,
например, 1S орбиталь (рис. 1.15), и обе орбитали,
электронная и мюонная, сосуществуют вместе. При этом мюон
компенсирует электрическое поле ядра на величину элементарного заряда.
Атомы с мюонами вместо электронов получили название μ-атомов.
Если построить зависимость квадрата волновой функции мюона
Ψ 2(r) от расстояния r до центра ядра
μ-атомов, то окажется, что наибольшая
плотность вероятности нахождения
мюона в атоме свинца находится на
расстоянии r порядка 10-13см, тогда как
радиус ядра свинца из (1.34) равен
7⋅10-13см. Из этого следует вывод, что
мюон большую часть времени своего
существования проводит внутри ядра
(рис. 1.16).
Поскольку процесс получения мюонов штучный, а время его жизни
мало, то на практике ядро вещества захватывает обычно лишь один мюон,
μ-
Pb
μ-
Рис. 1.15
r
|Ψ(r) |2
r
Рис. 1.16
28
образуя оболочку с радиусом, например, для К-оболочки (оценка по
обычной боровской формуле для водородоподобных атомов):
см,
10
3
e
m
Z
)
(r
13
2
μ
2
μ
K
-
⋅
≅
⋅
⋅
=
-
h
(1.49)
где численная оценка относится к μ-атому свинца.
Энергия μ-
-мюона на оболочке с квантовым числом n, казалось бы, могла
быть оценена для водородоподобных μ-атомов по формуле для обычных
атомов с одним электроном:
.
2
2
2
0
2
4
μ
n
n
h
ε
8
Z
e
m
E
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
-
=
(1.50)
Однако из-за малости радиуса (1.49) энергия (1.50) мюона на оболочке
сильно зависит от размеров ядра, т.к. взаимодействие при столь малых
расстояниях будет в существенной мере определяться размерами и формой
ядра, а также возможностью пребывания мюона внутри ядра.
Теоретические модели позволяют связать энергию мюона на оболочке
μ-атома с размерами его ядра. Таким образом, по экспериментальному
значению энергии излучения μ-атомов можно определить радиус ядра.
Очевидно, чем больше Z, тем более высока чувствительность энергии
излучения μ-атомов к радиусу ядра. Расчет показал, что при изменении R
от 0 до 1,3·10-13·А1/3 см энергия К-излучения μ-атомов свинца меняется от
16 до 5,5 МэВ. Измерения энергии К-излучения μ-атомов Pb показали, что
RPb = 1,17·10-13·А1/3 см.
29
1.3.4. Рассеяние быстрых электронов на ядрах
Длина волны де Бройля релятивистских электронов:
,
T
см
10
1.24
T
c
h
λ
10
-
⋅
=
⋅
≅
(1.51)
где Т -- кинетическая энергия электронов в МэВ (Т >> mc2). С учетом
только кулоновского взаимодействия релятивистских электронов с ядрами,
а также их дифракционного рассеяния на ядрах можно получить
выражение для дифференциального сечения Ω
Θ
dR
d)
,
(
σ рассеяния электронов
в зависимости от радиуса ядра (рис. 1.17).
Такая методика измерения радиуса дает значение постоянной:
.
см
10
1,3)
(1,2
r
13
0
-
⋅
-
=
(1.52)
Более поздние и совершенные опыты по рассеянию электронов на
ядрах позволили кроме радиуса ядра определить и распределение
плотности заряда в ядре, которое лучше всего согласуется с моделью
Ферми:
,
e
1
ρ
ρ
δ
)
R
(r0
0
-
+
=
(1.53)
ΘdΩ
Пучок быстрых
электронов
Рис. 1.17
Детектор
электронов
Ядра мишени
30
где δ ≈ 0,55·10-13 см-1 -- убывание
плотности заряда с расстоянием r от
центра, причем d = 4,4 · δ -- спад
плотности заряда по уровням 0,1 и 0,9
(рис. 1.18).
Поскольку рассеяние электронов
идет за счет электромагнитного
взаимодействия с ядром, то измерение
дифференциального сечения при рассеянии электронов на ядрах дает
наиболее точное значение средних размеров области, занимаемой
протонами, или, как говорят иногда, «электронного» радиуса ядра.
Рис.1.18
31
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИНА И МАГНИТНОГО МОМЕНТА ЯДЕР
2.1. Спин и магнитный момент ядер
На самых начальных этапах становления ядерной физики уже
существовали оптические спектрометры высокого разрешения и было
известно о тонкой и сверхтонкой структуре спектральных линий излучения
атомов.
Если поместить небольшое намагниченное тело (магнитный диполь) в
магнитное поле, то он займет в нем такое положение, что его магнитный
момент будет сонаправлен с линиями
индукции основного магнитного поля. Это
положение характеризуется минимальной
потенциальной энергией тела во внешнем
магнитном поле. Если магнит развернуть на
любой угол (рис 2.1), то это приведет к
увеличению его потенциальной энергии и он обязательно вернется в
исходное положение с выделением ровно такой же энергии, которая была
затрачена. Наибольшей энергией магнит будет обладать в положении,
когда линии магнитной индукции магнитного поля и магнитного момента
магнита будут противоположно направлены.
Тонкая структура оптических спектров объясняется квантово-
механическим взаимодействием спинового магнитного момента
валентного электрона μs c магнитным полем Bl, создаваемым орбитальным
движением электронов в атоме. Величина энергии такого взаимодействия
определяется скалярным произведением:
.
l
sB
μ
U
r
r
⋅
-
=
(2.1)
Из квантовой механики известно, что спиновый (собственный)
магнитный момент s
μr может располагаться относительно вектора l
Br лишь
несколькими способами, причем так, что величина проекции s
μrнаl
Br
B
Магнит
Рис. 2.1
32
остается постоянной. Число таких ориентаций равно 2s + 1 и определяется
величиной спина sr
. Но величиной спина определяется и значение s
μr
.
Действительно, если рассмотреть сначала связь механического
момента l
Pr
и орбитального магнитного момента l
μr электрона, то найдем
соотношение
.
P
m
2
e
μ
l
e
l
r
r
⋅
⋅
-
=
(2.2)
В самом деле, будем считать, что электрон движется по круговой
орбите радиуса rr со скоростью Vr (рис. 2.2), тогда момент количества
движения:
[].
V
m
r
P
e
l
r
r
r
⋅
×
=
(2.3)
Орбитальный магнитный момент определяется
известной формулой из электродинамики:
,
1n
S
I
c
l
r
r
⋅
⋅
⋅
=
μ
(2.4)
где I -- электрический ток, связанный с движением
электрона по орбите, S -- площадь плоского контура, ограниченного током
I,n
r
-- единичный вектор нормали к контуру S (направление n
r задается
правилом буравчика), с -- скорость света. Формула (2.4) полностью
аналогична классической формуле для рамки с
током (рис. 2.3).
Ток в выражении (2.4) можно рассчитать по
обычной формуле I = dQ/dt. Заряд dQ за время dt,
который будет перенесен через площадку,
расположенную перпендикулярно его движению,
равен
,
dt
e
dQ⋅
⋅
-
=ν
(2.5)
l
μr
l
Pr
Vr
rr
Рис. 2.2
I
S
n
Рис. 2.3
33
где ν -- частота вращения электрона; здесь ν ⋅ dt -- число оборотов электрона
за время dt (равно числу прохождений через поперечную площадку). Так
как ν = 1/τ = V/2πr, где τ = 2πr/V -- период обращения, то:
.
r
2π
V
e
τ
e
ν
e
I
⋅
-
=
-
=
⋅
-
=
(2.6)
Поскольку S = π ⋅ r2, то для магнитного момента получим:
,
l
e
l
P
c
m
2
e
n
c
2
r
V
e
μ
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
⋅
⋅
-
=
(2.7)
где последнее равенство справедливо, если синус угла между rr и Vr в (2.3)
равен единице. Таким образом, орбитальный магнитный момент электрона
в соответствии с (2.7) пропорционален моменту количества движения l
Pr
,
но направлен в противоположную сторону.
Следует заметить, что механический момент l
Pr имеет размерность
действия [ћ] = [ l
P ], как и постоянная Планка, поэтому для квантово-
механических объектов удобно измерять механический момент в единицах
ћ. В связи с этим и вводится безразмерная величина механического
момента
.
h
r
r
l
P
l=
(2.8)
С учетом (2.8) запишем формулу (2.7) в виде
,
2
2
l
M
l
c
m
e
P
c
m
e
B
e
e
l
r
r
h
r
h
h
r
⋅
-
=
⋅
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
-
=
μ
(2.9)
где величина MB = 9,27·10-21 эрг/Гс называется магнетоном Бора.
Напомним, что в квантовой механике доказывается следующее
соотношение:
,
)
1
(n
l
l
l
⋅
+
⋅
=
(2.10)
34
а значит,
,
1
2
)
(l
l
l
+
⋅
=
r
(2.11)
где l -- орбитальное квантовое число момента количества движения -- целое
число.
Вектор lr имеет конечное число проекций
z
z
e
l
l
r
⋅
⋅
=
α
cos
на направление Zr
, физически
выделенное в пространстве внутренним или
внешним силовым полем; здесь
z
er
--
единичный вектор в направлении Zr (рис. 2.4).
Проекция вектора lr на выделенное
направление Zr (направление Zr задается в
нашем случае магнитным полем) принимает
значения ml =l,l--1,..., --l, т.е. всего 2l+1
различных значений (
l
ll
m
α
cos
⋅
=
-- магнитное квантовое число).
Итак, орбитальный момент количества движения электрона и его
проекция на ось Zr
, образованную перемещением правого винта в
положительном направлении, равны: ( ) ,
;
)
1
(
z
l
z
l
l
e
m
P
n
l
l
P
r
h
r
r
h
r
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
=
(2.12)
а орбитальный магнитный момент и его проекция на ось Zr
антипараллельны соответственно орбитальному моменту количества
движения и его проекции на ось Zr : ( )
.
z
B
l
z
l
B
l
e
M
m
μ
;
n
M
1)
(l
l
μ
r
r
r
r
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
+
⋅
=
(2.13)
С квантово-механической точки зрения уравнения (2.12), (2.13)
должны выполняться для физических объектов любой природы, в том
числе когда речь идет и о спине электрона либо другой частицы.
α
z
l
l
Z
r
z
e
Рис. 2.4
35
Если говорить о ядре и элементарных частицах, то их внутреннее
строение является достаточно сложным и известно не во всех деталях.
Однако известны некоторые принципиально важные свойства этих частиц:
внутри них происходит движение электрического заряда и, следовательно,
движение массы, так как все известные электрически заряженные частицы
обладают массой (что может быть принято в качестве базового постулата).
Движение заряда приводит к возникновению магнитного поля, а движение
несущей этот заряд массы -- к возникновению того или иного
механического момента. Разумно предположить, что при одном и том же
типе внутреннего механического движения любых частиц, обладающих
массой, возникающий магнитный момент должен быть пропорционален
моменту количества движения (но не обязательно определяться формулой
(2.13). То же самое выполняется и для величин проекций на ось Zr
. В итоге
для собственного магнитного момента электрона можно записать:
,
)
1
(
S
g
M
n
g
M
S
S
B
B
s
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
-
=
r
r
μ
(2.14)
где g -- гиромагнитное отношение, определяющее физическое различие
микрообъектов. Вектор Sr
-- момент вращения. Формула (2.14) справедлива
для любых квантово-механических объектов с вращательным квантовым
числом S (с точностью до знака) и, очевидно, носит даже более общий
характер, чем те рассуждения, которые были приведены в этом абзаце.
Проекция момента количества движения, описываемого квантовым числом
s, принимает значения ms = s, s -- 1,..., -- s, т.е. всего 2s + 1 значений.
«Физика» внутреннего механического движения зарядов, происходящего в
частице, определяет величину гиромагнитного отношения и направление
результирующего магнитного момента частицы (вдоль механического
момента или против). Поэтому в формуле (2.14) принято направление
магнитного момента определять относительно направления механического
36
момента знаком (+ или -) гиромагнитного отношения (знак «+» при
sr
r↑↑
μ
и «-» при
sr
r↑↓
μ).
Гиромагнитное отношение g отражает внутреннюю природу
физических объектов, их устройство, вследствие которого и
устанавливается определенное соотношение между магнитным моментом
физического объекта и моментом количества движения (момент
количества движения связан с движением заряда, что и порождает
магнитный момент). Механический вращательный момент для двух частиц
может оставаться одним и тем же, и они могут быть неотличимы по ряду
других свойств, однако различие во внутренней структуре частиц приведет
к различию магнитных моментов (например, атом -- антиатом, атом в
различных возбужденных состояниях).
Аналогично (2.14) записывается и выражение для проекции
магнитного момента на выделенное направление:
.
)
(
g
e
M
m
z
B
s
z
s
⋅
⋅
⋅
-
=
μr
(2.15)
Эксперимент подтверждает соотношение (2.13), давая для орбитального
движения электрона гиромагнитное соотношение ge = 1, а для спинового
движения электрона согласие с экспериментом достигается, если в (2.14)
принятьs=1/2,ags =2.
Орбитальный и спиновый моменты движения
электрона складываются в полный момент
количества движения (рис. 2.5):
.
s
l
jr
r
r
+
=
(2.16)
Для простоты будем использовать безразмерные
моменты. Аналогично для полного момента атома:
,
S
L
J
r
r
r+
=
(2.17)
Я
lr
sr
Рис. 2.5
•
37
гдеLrиSr
-- безразмерные полные орбитальный и спиновый моменты
количества движения электронов в атоме. Рассматриваются два подхода к
определению суммарного момента электронной оболочки, обусловленного
орбитальным и вращательным движениями. Оба подхода имеют право на
существование и могут быть применимы к одному и тому же атому.
Однако при различных условиях тот или иной вариант может быть
предпочтительнее. Первый вариант заключается в подсчете ∑=
=
Z
iil
L1
r
r
,
∑=
=
Z
ii
s
S1
r
r
и сложении Lr
иSr
. Второй вариант заключается в подсчете jr для
каждого из атомов и вычислении ∑=
=
Z
iij
J1
r
r
.
Магнитный момент, соответствующий суммарным моментам Lr и Sr
,
равен
,
S
L
J
μ
μ
μ
r
r
r
+
=
(2.18)
где L
μr
-- магнитный момент, соответствующий суммарному орбитальному
движению электронов, а S
μr
-- магнитный момент, соответствующий
суммарному спиновому движению электронов в атоме.
Взаимодействие магнитных моментов S
μrи
L
μr приводит к
возникновению прецессии суммарного
вектора J
μr вокруг вектора момента
количества движения Jr (рис. 2.6).
Среднее значение перпендикулярной к
Jr составляющей вектора J
μr равно
нулю, поэтому среднее значение J
μr
совпадает со значением его проекции на
ось, образованную вектором Jr
.
Рис. 2.6
38
Следовательно, среднее магнитное поле, создаваемое орбитальным и
спиновым движением электронов, можно выразить как
,
J
J
a
Be
r
r
r
⋅
-
=
(2.19)
где a -- постоянная, определяющая абсолютную величину поля и
вычисляемая методом квантовой механики.
Магнитный момент атомного ядра яд
μr можно записать аналогично
формуле (2.19), выразив магнитный момент через спин ядра Ir
. При этом
необходимо учитывать, что размеры ядра (≈10-12 см) значительно меньше
размеров атома, определяемых электронной оболочкой (10-9÷10-8 см), и
электронная оболочка является ответственной за создание однородного
магнитного поля за счет орбитального и спинового движений электронов
(рис. 2.7).
,
I
I
яд
r
r
r
⋅
=μ
μ
(2.20)
где μ -- абсолютная величина магнитного момента.
С помощью (2.19), (2.20) для энергии
взаимодействия магнитного момента ядра с
магнитным полем электронов получим:
.
I
J
I
J
a
B
U
e
яд
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
-
=
μ
μ
(2.21)
Если ядро имеет спин I = 0, то яд
μr
=0и полная
энергия системы Е определяется энергией
электронной оболочки. Если I ≠ 0, то полная
энергия системы (без учета энергии ядра) Е = ЕJ + U, где U из (2.21).
Суммарный момент количества движения ядра и электронной оболочки:
.
)
1
(
)
(
,
n
F
F
F
I
J
F
Z
⋅
⋅
+
⋅
=
+
=
h
r
r
r
r
(2.22)
∼10-9÷-8 см
∼10-12 см
e
Br
Рис. 2.7
39
Откуда
,
2
)
(
2
2
2
2
I
J
I
J
I
J
F
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
+
+
=
+
=
(2.23)
.
)]
1
(
)
1
(
)
1
(
[
2
1
+
⋅
-
+
⋅
-
+
⋅
⋅
=
⋅
I
I
J
J
F
F
I
Jr
r
(2.24)
Поскольку
,)
1
(
)
1
(
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
I
I
J
J
I
Jr
r
(2.25)
то для энергии взаимодействия (2.21) найдем следующее выражение:
,
)
1
(
)
1
(
2
)]
1
(
)
1
(
)
1
(
[
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
-
+
⋅
-
+
⋅
⋅
⋅
=
I
I
J
J
I
I
J
J
F
F
a
Uμ
(2.26)
где квантовое число суммарного момента количества движения атома F
может принимать значения J+I, J+I--1, ...,│J--I│, т.е. k=2I+1
значений, если I ≤ J, и k = 2J + 1 значений, если J ≥ I. Сколько же значений
имеет энергия взаимодействия U (2.26) при фиксированном J? Спин ядра I
остается постоянным при любом J. Анализ формулы (2.26) позволяет
указать три способа определения спина ядра:
1. Если J ≥ I, то число линий сверхтонкого расщепления равно 2I + 1,
значит, спин ядра можно определить подсчетом числа линий в спектре
сверхтонкого расщепления (рис. 2.8).
I=0
I≠0
F2=J2
F1=J1 }2I+1
}2I+1
1)
(1
F
m2)
(1
F
m3)
(1
F
m4)
(1
F
m
Рис. 2.8
40
При I = 0 расщепления термов основного (F1 = J1) и возбужденного
(F2 = J2) состояний нет. При «включении» спина ядра I ≠ 0 появляется
расщепление термов на одинаковое число компонентов сверхтонкой
структуры.
2. Если J < I, k = 2J + 1 значений дает информацию о спине электронной
оболочки. В этом случае можно использовать правило интервалов Ланде,
согласно которому энергетический интервал между соседними линиями F
и F -- 1 сверхтонкого расщепления равен
.
)
1
(
)
1
(
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
Δ
I
I
J
J
F
a
Uμ
(2.27)
Эта формула следует из (2.26) с учетом, что I и J -- const. Из (2.27)
вытекает, что интервалы между соседними уровнями сверхтонкой
структуры (рис. 2.9) соотносятся как
.
...
)
2
(
)
1
(
)
(
...
)
2
(
)
1
(
÷
-
+
÷
-
+
÷
+
=
÷
-
÷
-
÷
I
J
I
J
I
J
F
F
F
(2.28)
Соотношение (2.28) и используется для нахождения спина ядра.
3. Если нельзя использовать ни тот, ни
другой способ, то I находят из
сравнения
интенсивностей линий
сверхтонкого расщепления. Интен-
сивность спектральной линии пропорциональна числу компонентов 2F + 1,
на которые расщепляется терм в магнитном поле. То есть для термов с
квантовыми числами F1 и F2 отношение интенсивностей спектральных
линий равно
.
1
2
1
2
2
1
+
⋅
+
⋅
F
F
(2.29)
Заметим, что постоянная a в (2.19) имеет для атомов порядок величины
10-100 Тл, что соответствует магнитному полю напряженностью
105-106 эрстед.
Рис. 2.9
J
ΔUF
ΔUF-1
41
Необходимо отметить, что отличие от нуля магнитного момента ядра
может существенно изменить физические свойства атома. Так, например,
атому водорода в состоянии с минимальной энергией отвечает 1S
состояние электронной оболочки. Если бы среднее значение магнитного
момента ядра атома водорода (протона) было равно нулю ( 0
=
H
μ ),то
атому водорода с электронной оболочкой в 1S состоянии соответствовал
бы только один уровень энергии. Однако реально
0
≠
H
μ (спин протона
2
/
1
=
p
I ), поэтому атому с электронной оболочкой в 1S состоянии
соответствуют два уровня энергии с одинаково и противоположно
направленными проекциями магнитного момента протона (на ось Zr ). Это
и есть сверхтонкое расщепление основного состояния атома водорода.
Расстояние между этими уровнями соответствует излучению или
поглощению кванта энергии с длиной волны 21 см, с энергией фотона
порядка 10-5 эВ. Уже при нескольких сотых градуса Кельвина более
высоколежащее из этих состояний может возбуждаться и тем самым
обнаруживать присутствие атомарного водорода за счет излучения
(поглощения) фотонов с длиной волны 21 см. Это явление используется в
астрофизике для изучения межзвездного водорода.
2.2. Эффекты Пашена-Бака и Зеемана
Эффекты Пашена-Бака и Зеемана связаны с взаимодействием атома с
внешним, постоянным во времени, однородным магнитным полем. При
наличии внешнего поля Br энергия взаимодействия магнитного момента
ядра с магнитным полем запишется в виде
,)
(B
B
U
e
яд
r
r
r
+
⋅
-
=μ
(2.30)
где
e
Br
-- эффективное магнитное поле, создаваемое электронной
оболочкой атома.
42
Необходимо отметить, что спин и магнитный момент ядра малы в
сравнении с магнитным моментом электронной оболочкой. Величина
сверхтонкого расщепления примерно в 1000 раз меньше тонкого.
В 1928 г. Паули высказал гипотезу, что в ядре как квантово-
механической системе с классической точки зрения движение нуклонов
организовано так, что их вращательные моменты компенсируют друг
друга и суммарный спин ядра равен нулю или нескомпенсированному
спину одного протона, и поэтому предложил ввести магнитный момент
протона, равный одному ядерному магнетону Бора μВ:
эрг/Гс.
10
05
5
2
24
-
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
.
M
m
m
c
m
e
μ
B
p
e
p
p
B
h
r
μ
(2.31)
Измерения энергии взаимодействия из (2.26), направленные на
доказательство данной гипотезы, подтвердили порядок величины
магнитного момента ядер, оцениваемый формулой (2.30).
Если внешнее поле Br однородно, то различают случаи сильного и
слабого поля, а также промежуточный случай. Поле Br
называется
сильным, если энергия его взаимодействия с магнитным моментом J
μr
электронных оболочек по абсолютной величине много больше энергии
взаимодействия электронных оболочек с магнитным моментом ядра:
.
e
яд
J
B
μ
B
μ
r
r
r
r
⋅
>>
⋅
(2.32)
При выполнении обратного неравенства поле считается слабым.
Учитывая, что μяд/μJ ≈ 0,001 и Ве ≈ 10÷100 Тл, получим следующую оценку
величины сильного магнитного поля:
.
101
2Тл
B
μ
μ
B
e
J
яд
-
÷
-
≅
⋅
>
(2.33)
Для сравнения: индукция магнитного поля циклотрона Р-7 составляет
величину порядка 1,4 Тл.
43
В случае сильного поля удобно считать, что электронная оболочка и
ядро ориентируются относительно внешнего поля Br независимо друг от
друга в соответствии с величинами собственных моментов Jr
иIr
(рис. 2.10).
Векторы Jr
и Ir приобретают во внешнем поле 2J+1 и 2I+1
различных ориентаций, которые характеризуются различными проекциями
указанных векторов на направление внешнего магнитного поля. Для JZ: J,
J--1,J--2, ..., --J, т.е. всего2J+1значений;дляIZ:I,I--1,I--2, ..., --I,
т.е. всего 2I+1 значений.
Каждой проекции соответствует определенное значение энергии
взаимодействия, т.к. магнитные моменты J
μrи I
μr взаимодействуют с
полем Br
иe
Br отдельно:
(
).
,
cos
,
cos
.
,
0
Z
e
I
e
I
e
I
I
Z
J
Z
J
e
J
J
I
I
B
B
I
I
B
U
J
J
B
J
J
B
J
B
J
B
J
J
вектор
ед
J
J
g
B
U
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
-
=
⋅
-
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
⋅
+
=
-
<
=
⋅
-
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
μ
μ
μ
μ
α
α
μ
μ
(2.34)
Ir
Jr
Zr
z
Jr
z
Ir
Br
S
L
J
r
r
r+
=
Ir
Рис. 2.10
44
Разность энергий между уровнями для состояний с соседними
значениями проекций Z
Jr
иZ
Ir
в силу условия (2.32) подчиняется
неравенству
.
I
B
μ
ΔU
J
B
μ
ΔU
e
I
I
J
J
r
r
⋅
=
>>
⋅
=
(2.35)
Энергетическая схема состояний атома в поле Br будет выглядеть так,
как показано на рис. 2.11. Стоит отметить, что формулы записываются в
приближенном виде, т.к. на самом деле в (2.34) должны использоваться
величины не Br и e
Br
,а(Br+ яд
Br)и(e
Br + Br ). Но поскольку в случае
сильного поля величины Br >> яд
Br
и
e
Br
>> Br
,тояд
Br
иBrв
соответствующих выражениях не учитываются. Каждому значению J
отвечает в сильном поле 2I + 1 подуровень сверхтонкого расщепления. По
числу подуровней 2I + 1 можно определить спин ядра. Сверхтонкое
расщепление в сильном поле называется эффектом Пашена-Бака.
Рис. 2.11
B≠0
J≠0
I=0
B≠0
J≠0
I≠0
J
}2I+1
}2I+1
}2I+1
B=0
J≠0
I≠0
B=0
J=0
I=0
1)
(z
Jr
2)
(z
Jr
3)
(z
Jr
J
U
Δ
I
U
Δ
(2J+1)·(2I+1)
45
При уменьшении внешнего поля Br
промежутки
J
U
Δ будут
уменьшаться, тогда как значение
I
U
Δ будет оставаться неизменным.
Произойдет перемешивание уровней сверхтонкой структуры,
соответствующих различным величинам проекции Z
Jr
. По этой причине
взаимодействие магнитных моментов электронов и ядер со слабым
внешним полем удобно рассматривать с точки зрения ориентации
суммарного момента количества движения
I
J
F
r
r
r+
=
. Момент Fr имеет
2F + 1 значений проекции для каждого из возможных значений F. Как
известно, возможные значения квантового числа F = J+I, J+I -- 1, ...,
│J -- I│. Полное же число всех возможных состояний для всех F, очевидно,
равно (2J + 1)·(2I + 1). Масштаб расщепления определяется величиной
μF ≈ μJ. Действительно,
.
F
B
μ
F
B
μ
ΔU
,
F
F
B
μ
B
F
F
μ
B
μ
U
J
F
F
Z
F
F
F
F
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
≅
⋅
=
⋅
⋅
-
=
⋅
⋅
-
=
⋅
-
=
(2.36)
Зная J, можно по числу уровней (2J + 1)·(2I + 1), известных из
эксперимента, учитывая, что I и J -- const, найти спин I ядра. Сверхтонкое
расщепление в слабом поле называется эффектом Зеемана.
2.3. Определение спина ядра методом молекулярных пучков
Согласно классическому подходу, на магнитный момент μr в
неоднородном магнитном поле Br действует сила
.
)
(
z
B
k
y
B
j
x
B
i
z
B
y
B
x
B
B
f
Z
Z
Y
Y
X
X
Z
Z
Y
Y
X
X
∂
∂
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
=
=
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
=
⋅
∇
=
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(2.37)
46
Если поле Br и его градиент направлены по оси Zr
,то
.)
B
,
μ
cos(
z
B
μ
k
z
B
μ
fZ
r
r
r
r
r
∠
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
⋅
=
(2.38)
Если пучок частиц с магнитным моментом, величина которого
задается квантовым числом момента количества движения I, пропустить
через сильное, резко неоднородное магнитное поле (рис. 2.12), проекции
магнитного момента частиц на ось Zr будут иметь 2I + 1 значение, причем
каждой из них будет соответствовать различное значение отклоняющей
силы
Z
B
g
m
f
B
J
∂∂
⋅
⋅
⋅
=
μ , где g -- гиромагнитное отношение, B
μ -- ядерный
магнетон. В итоге частицы с различными ориентациями μr будут
испытывать различное отклонение в магнитном поле.
Схема опыта по изучению спина ядра изображена на рис. 2.13 (левая
часть -- магнит Штерна-Герлаха -- М в поперечном разрезе; правая часть --
нагреватель с щелью -- Н, коллиматор и детектор -- Д). Специальная форма
полюсных наконечников обеспечивает неоднородность магнитного поля
до 20 -- 50 Тл/см.
Br
яд
μr
z
яд)
(μr
fr
яд
μr
z
яд)
(μr
(2I+1)
Br
Рис. 2.12
Рис. 2.13
47
При прохождении молекулами исследуемого вещества щели
нагревателя и коллиматора формируется узкий пучок, поступающий в
магнит Штерна-Герлаха. На входе в магнитное поле магнитные моменты
распределены равновероятно. Под воздействием магнитного поля на
компоненты с одинаковым магнитным моментом будет действовать
одинаковая отклоняющая сила, поэтому на выходе из магнита пучок
разделится по вертикали вдоль линий магнитной индукции на несколько
компонентов.
Для устранения эффекта отклонения частиц за счет наличия у них
магнитного момента, связанного с орбитальным и спиновым движением
электронов, брали не атомы, а молекулы с взаимно скомпенсированными
моментами электронов (например, Н2, Н2О).
Измерения показали, что отклонение (расщепление) пучка мало
( ≈ 0,04 мм) и сравнимо с уширением линий вследствие максвелловского
распределения частиц по скоростям. Другая трудность связана с тем, что
ядерные моменты атомов молекул могут быть различным образом
ориентированы по отношению друг к другу, что сильно осложняет анализ
результатов (рис. 2.14).
Тем не менее Штерну с сотрудниками удалось измерить величину
магнитного момента протона, который оказался равным 2,5μВ. Это
значение сильно отличается от гипотезы Паули, согласно которой μp ≈ μВ,
40 мкм
Рис. 2.14
Интенсивность
48
из чего следует, что использование классической теории для вычисления
магнитного момента для протона является некорректным. Тем не менее
этим способом удалось определить спины ядер K, Ca, Ce и ряда других.
2.4. Метод магнитного резонанса Раби
Более точным относительно представленных методов является метод
магнитного резонанса, предложенный Раби. Идея метода пояснена на
рис. 2.15. Здесь 1
Br
,2
Br
,3
Br
-- три постоянных (во времени) магнитных поля.
Поля 1
Br
,3
Br резко неоднородны, поле 2
Br
-- однородно. Поля 1
Br
,3
Br
одинаковы по величине, но их градиенты ориентированы противоположно:
z
B
z
B
1
3∂
∂
-
=
∂
∂
(2.39)
Узкий пучок атомов проходит из нагревателя в детектор, двигаясь в
указанных полях. Взаимодействуя с полем 1
Br
, ядра с различными
проекциями магнитных моментов аналогично предыдущему эксперименту
отклоняются в поле магнита на различные углы. Во втором
коллиматоре формируется пучок ядер с одинаковым магнитным моментом
Рис. 2.15
49
Z
μr
.Вполе 3
Br пучок отклонится на тот же угол, что и в поле 1
Br
,нов
противоположном направлении. Взаимодействие полей 1
Br
,2
Br
,3
Brс
магнитными моментами электронных оболочек и ядер ориентирует
магнитные моменты относительно векторов индукции магнитных полей в
соответствии с возможными значениями проекций Z
Jr
иZ
Ir векторов
моментов количества движения Jr
иIr
. Каждой проекции Z
Ir
спина ядра Ir
отвечает свое значение энергии взаимодействия магнитного момента ядра
I
μr с магнитным полем 2
Br
:
.
I
I
B
μ
B
μ
U
Z
2
I
2
I
r
r
r
⋅
⋅
-
=
⋅
-
=
(2.40)
Спиновое квантовое число I для исследуемых ядер сохраняется,
поэтому энергия перехода между соседними уровнями, для которых
ΔIZ = ±1, равна
.
I
B
μ
ΔU
2
Ir
⋅
±
=
(2.41)
Таким образом, для переориентации спина ядра необходимо передать
ядру энергию ΔU (рис. 2.16). В методе
Раби
эта
энергия
передается
электромагнитным высокочастотным
полем
4
Br
, являющимся взаимно
перпендикулярным полю
2
Br
. При
совпадении частоты поля ν с величиной
ΔU/h должна наблюдаться переориента-
ция спина ядра I:
.
рез
рез
ω
ν
h
ΔU
⋅
=
⋅
=
h
(2.42)
Zr
B2
U3
U2
U1
1)
(z
μr
2)
(z
μr
ΔU
ΔU
Рис. 2.16
50
При резонансе частота высокочастотного поля совпадает с частотой
ларморовской прецессии магнитного момента. В результате поглощения
высокочастотной энергии поля часть ядер окажется переориентированной
по величине проекции магнитного момента на выходе из области
высокочастотного поля (за счет переходов ядер на соседние
энергетические уровни при поглощении либо испускании фотона с
энергией ΔU, чему способствует высокочастотное поле, совпадающее по
частоте с частотой испускаемого или поглощаемого фотона (условие
резонанса). Приравняв (2.41) и (2.42), получим:
.
h
h
r
2
B
2
I
рез
B
μ
γ
I
B
μ
ω
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
(2.43)
Из (2.43) видно, что условие резонанса можно реализовать меняя либо
частоту высокочастотного поля, либо величину магнитного поля 2
Br
(вместе с полем 2
Br
изменяется частота ларморовской прецессии). Таким
образом, из (2.43), измеряя ωрез и 2
Br
, находим γ (гиромагнитный фактор).
В установке Раби длина первого и третьего магнитов составляла
50 см, зазор между полюсными наконечниками 1 мм. При этом
В1 = В3 = 10 Тл, ∂В1/∂z = -∂В3/∂z = 80 Тл/см.
Общая длина пути пучка частиц в установке около 1,5 м, так что
отклонение между соседними компонентами составило около 0,05 мм.
Поэтому исследовались узкие пучки частиц с поперечными размерами в
области детектора около 0,01 мм и плотностью потока
1010÷1011 частиц/(см2·с). При отключенном поле 4
Br будем наблюдать след
пучка в некоторой области детектора Д; этот след соответствует
выделенному в первом магните Штерна-Герлаха компоненту пучка с
некоторым значением проекции
z
яд)
μ
(r
. С включением поля 4
Br
происходит уменьшение интенсивности исходного следа и увеличение
51
интенсивностей компонентов пучка, состоящих из атомов с
изменившимися проекциями магнитных моментов, по отношению к
первоначальной проекции.
Поле 2
Br должно обладать высокой степенью однородности, чтобы не
смещать частицы в плоскости, перпендикулярной вектору 2
Br
.
Данный метод является наиболее точным, так как фиксируется не
величина смещения, а условия резонанса. Методом Раби было впервые
определено точное значение магнитного момента протона:
,
B
p 2,792845 μ
μ=
(2.44)
а также точные значения магнитных моментов атомных ядер.
Относительно равенства (2.44) необходимо сделать следующее
замечание. Напомним, что вектор μr магнитного момента некоторого
физического объекта определяется вектором момента количества
движения Ir и величиной гиромагнитного отношения g:
,
B
μ
I
g
μ
⋅
⋅
=
r
r
(2.45)
где g характеризует физические свойства объекта и имеет знак «плюс»,
если векторы μr и Ir коллинеарные, и знак «минус» в противоположном
случае.
Сохраняющейся величиной является проекция μr (и Ir ) на физически
заданное направление (ось Zr ):
,
I
)
(I
I;
...,
1,
I
I,
I
,
μ
I
γ
)
μ
(
μ
max
Z
Z
B
Z
Z
=
+
-
-
=
⋅
⋅
=
=
r
(2.46)
здесь I -- квантовое число момента количества движения. Величину
проекции (2.46) и принято называть магнитным моментом физического
объекта. Поэтому формула (2.44) для магнитного момента протона
представляет собой именно значение проекции вектора его магнитного
52
момента на ось Zr
, т.е. величину (2.46). Следовательно, для
гиромагнитного отношения протона получим:
,
585
5
p
,
=
γ
(2.47)
т.к. спин протона равен ½. Спин протона определяется по числу
компонентов, на которые разделяется пучок в неоднородном магнитном
поле.
Метод Раби позволяет определить не только величину, но и знак γ.
Для этого вместо полей 2
Br
и4
Br
создают слабое продольное магнитное
поле Br
≈ 1 Тл. Это поле создается с помощью соленоида. В магните
Штерна-Герлаха формируется пучок частиц с преимущественно
выделенной ориентацией магнитного момента. В соответствии с принятой
терминологией далее будем говорить не о проекции магнитного момента, а
просто о магнитном моменте частицы, на что обращалось внимание в
формулах (2.44), (2.46). Под действием этого поля возникает медленная
прецессия магнитного момента, которая приводит к повороту направления
поляризации по мере прохождения соленоида на небольшой угол φ.
Второй магнит имеет возможность вращаться вокруг оси Xr
. Выбрав Br
так, чтобы φ < π, можно поворотом анализирующего поля 3
Br установить
направление прецессии и, следовательно, знак γ. Для наглядности
представим, что магнитный момент частицы образован контуром с током.
В поле Br на контур с током будет действовать сила подобно действию
внешней силы на гироскоп в классической механике (рис. 2.17).
Выражение для механического момента в классической механике
записывается следующим образом:
.]
P
r
[
M
r
r
r
×
=
(2.48)
53
Следовательно:
[][],
0
,
K
f
r
P
V
P
V
V
dt
r
d
dt
P
d
r
P
dt
r
d
dt
M
d
r
r
r
=
×
=
=
×
⇒
↑↑
=
=
×
+
×
=
(2.49)
где Kr
-- момент силы. Приращение M
d всегда перпендикулярно M ,
поэтому не изменяет величины момента M . Формула (2.49) позволяет
определять скорость и направление вращения. Из (2.49) следует, что
вектор магнитного момента в поле Br
начнет прецессировать. Нетрудно
заметить, что при расположении магнитного момента и спина ядра
противоположно друг другу (γ < 0) под действием поля Br
вектор спина
будет отклоняться по часовой стрелке, если смотреть вдоль оси Xr
,и
против часовой стрелки, если спин и магнитный момент сонаправлены
(γ > 0) (рис. 2.18).
Далее с помощью второго
магнита Штерна-Герлаха (анализатор
в данном эксперименте), который
имеет
возможность
вращаться,
определяется направление прецессии
и, следовательно, знак γ. Для протона
опыт дал положительный знак γ.
μr
Ir
Fr
Kr
Рис. 2.17
μr
μr
Ir
μr
Ir
γ>0
γ<0
Br
Рис. 2.18
54
Таким же образом был измерен магнитный момент нейтрона, для
которого:
,
μ
1,913042
μ
B
n
⋅
-
=
(2.50)
а значит,
82,
3
n
,
-
=
γ
(2.51)
т.к. спин нейтрона, как и у протона, равен ½.
Методом Раби были измерены магнитные моменты и спины
различных атомных ядер и некоторых элементарных частиц. Анализируя
эти результаты можно сделать выводы:
1. Большинство ядер и элементарных частиц обладают не равными
нулю спином и магнитным моментом. Имеется принципиальное отличие
между спином элементарных частиц и классическим гироскопом.
Вращение последнего можно ускорить, замедлить или остановить. Спин
элементарной частицы можно изменить только по направлению, но не по
величине. В частности, спиновое движение нельзя остановить.
2. Природа спиновых свойств элементарных частиц во многом
остается загадочной. Прежде всего, элементарные частицы можно
рассматривать как вещество в низшем энергетическом состоянии, а
существование у них ненулевого момента количества движения с
классической точки зрения кажется странным. Еще более загадочным
является существование полуцелых спинов у элементарных частиц, т.к.
согласно квантовой механике все моменты орбитального типа должны
быть целыми.
3. Вызывает удивление существование магнитного момента у не
имеющего электрического заряда нейтрона, а также аномально высокое
значение магнитного момента протона. Что касается нейтрона, то
исследования его структуры позволяют считать нейтрон состоящим из
55
протона и вращающегося вокруг него облака виртуальных отрицательных
π -- мезонов. Отметим, что такое представление о нейтроне отчасти
подтверждается его распадом в свободном состоянии на протон и электрон
с Т1/2 ≈ 12 минут. Аналогично, введя в рассмотрение достаточно большой
положительный заряд, вращающийся на периферии элементарной
частицы, можно объяснить аномальное значение магнитного момента
протона.
4. Спин является единственной величиной, характеризующей
ориентацию частицы. Это утверждение строго доказывается в квантовой
теории. Говорить об ориентации частицы с нулевым спином
бессмысленно. Из данного утверждения следует, что любая векторная или
тензорная характеристика ядра должна выражаться через вектор спина Ir
.
Так, любая векторная величина Ar
, характеризующая частицу, должна быть
пропорциональна I:
,
I
a
Ar
r
⋅
=
(2.52)
где a -- константа, полностью характеризующая вектор Ar
. Из этой
формулы следует, что векторы Ar могут быть только аксиальными
(псевдовекторами), т.к. Ir
-- псевдовектор (аксиальный вектор -- вектор у
которого при переходе от правой системы координат к левой изменяется
направление). Поэтому ядра и элементарные частицы могут иметь
магнитные дипольные моменты, но не могут иметь электрических
дипольных моментов (полярных векторов).
5. При четном массовом числе А спины ядер всегда целые, при
нечетном -- всегда полуцелые. Этот факт заставил отказаться от протон-
электронной модели ядра, согласно которой, например, ядро азота состоит
из 14 протонов и 7 электронов, а значит, в основном состоянии должно
иметь полуцелый спин. Опыт дает для I (147N) = 1. Об этом же говорит и
порядок магнитных моментов ядер.
56
6. Магнитный момент ядер примерно в 1000 раз меньше собственного
магнитного момента электрона.
7. Анализ значений спинов и магнитных моментов ядер приводит к
выводу, что нейтроны и протоны располагаются в ядре таким образом, что
их спины и магнитные моменты почти полностью компенсируются.
Действительно, спины всех известных стабильных ядер не превышают 9/2,
тогда как максимальное значение спина ядра при параллельной
ориентации нуклонов должно достигать А/2. Спины всех четно-четных
ядер в основном состоянии равны нулю.
8. Дейтон 21Н является простейшим составным ядром. Его спин равен
1, а магнитный момент -- 0,86 · μВ. Его спин и магнитный момент
получаются в результате сложения спинов и магнитных моментов
нейтрона и протона:
.
88
0
913
1
793
2
μ
μ
H)
μ(
1,
2
1
2
1
S
S
H)
I(
n
p
n
p
,
,
,
2
1
2
1
=
-
=
+
=
=
+
=
+
=
(2.53)
Спины p и n в дейтоне не компенсируются, а складываются.
Устойчивого дейтона с противоположно направленными спинами не
существует. Это указывает на спиновую зависимость ядерных сил.
9. Обнаружено, что некоторые ядра характеризуются отрицательным
гиромагнитным соотношением. Объяснение этому явлению можно дать,
если предположить, что нуклоны в ядре участвуют в орбитальном
движении, благодаря чему возникают дополнительные механический и
магнитный моменты. На основе этого объяснения была развита квантово-
механическая модель ядерных оболочек.
57
3. МОДЕЛИ ЯДЕР
3.1. Капельная модель ядра
При измерении различных параметров ядер было отмечено, что ядра
во многом напоминают каплю несжимаемой жидкости. Нуклоны ведут
себя так, что среднее расстояние между ними сохраняется, следовательно,
плотность и концентрация нуклонов в ядре остаются практически
одинаковыми для всех ядер. В самом деле, объем ядра пропорционален
числу нуклонов А, т.е. ядра имеют одинаковые концентрацию нуклонов,
плотность и среднее расстояние между протонами:
см,
10
2
;
см
г
10
;
см
нуклон
10
13
3
14
3
38
-
⋅
≈
≅
≅
r
ρ
n
(3.1)
т.е. ядерное вещество можно рассматривать как несжимаемую жидкость.
Кроме того, энергия связи ΔW ∝ А; энергию связи можно уподобить
энергии Q испарения жидкости, а величину А -- массе жидкости. Как
известно, между энергией испарения и массой жидкости существует прямо
пропорциональная связь.
Основу капельной модели ядра (КМЯ) составляет выражение для
энергии связи нуклонов в ядре в зависимости от его основных
характеристик -- формула Вейцзеккера:
,
A
δ
A
Z)
A
(
ζ
A
Z
γ
A
β
A
α
ΔW
4
3
2
3
1
2
3
2
2
-
⋅
+
-
⋅
-
⋅
-
⋅
-
⋅
=
(3.2)
где первое слагаемое отражает основное свойство жидкости, согласно
которому энергия испарения капли ядерного вещества пропорциональна
массе ядра, α -- коэффициент пропорциональности. Однако эта
закономерность лишь грубо описывает жидкость, поскольку
поверхностные нуклоны ядерной капли притягиваются только с одной
внутренней стороны. Поэтому энергия связи будет меньше α ⋅ А на
58
величину, пропорциональную поверхности капли R2∝ А2/3, что
описывается вторым слагаемым.
Ядерная капля является электрически заряженной. Кулоновское
отталкивание протонов приводит к снижению энергии связи нуклонов ΔW.
Этот факт учитывается третьим слагаемым (3.2), которое пропорционально
Z · (Z -- 1) ≈ Z2, т.к. каждый из протонов ядра взаимодействует со всеми
остальными без насыщения взаимодействия, и обратно пропорционально
эффективному расстоянию между протонами, которое в свою очередь
определяется величиной А1/3.
Спиновая зависимость ядерных сил с учетом парного взаимодействия
и симметрии четно-четных ядер приводит к тому, что наибольшей
устойчивостью должны были бы обладать ядра с одинаковым числом
протонов и нейтронов, т.к. при парном
взаимодействии нуклоны стремятся образовать
пары с суммарным спином, равным 0 (взаимная
компенсация спинов). Заметим, что ядра,
состоящие из двух протонов или двух нейтронов
(рис. 3.1) не существуют при любом взаимном направлении спинов. Таким
образом, отклонение от равенства Z = A/2 в любую сторону ведет к
уменьшению энергии связи, чему соответствует четвертое слагаемое (3.2).
Поскольку энергия связи должна уменьшаться при отклонении от
равенства Z = A/2 как в ту, так и в другую сторону, то берут либо
А/2 -- Z , либо (А/2 -- Z)2; практика показала, что к более точным
результатам приводит использование отношения (А/2 -- Z)2/А. В этом
проявляется симметрия в строении атомных ядер.
При изучении зависимости ΔW(A,Z) было обнаружено еще одно
проявление симметрии в строении ядер, согласно которому ΔW для четно-
четных ядер выше, чем для ядер с нечетным А (четно-нечетные и нечетно-
четные ядра), а ΔW последних больше, чем для нечетно-нечетных ядер
n
n
n
n
Ir Ir
Ir
Ir
Рис. 3.1
59
(ΔWчч > ΔWчн, нч > ΔWнн). С этим связано появление в (3.2) пятого
слагаемого. Это слагаемое не находит наглядного объяснения в КМЯ и
связано с существованием у нуклонов парного взаимодействия.
Для коэффициентов из формулы Вейцзеккера найдены следующие
значения:
=
+
-
=
=
=
=
=
МэВ
где
ядер
чет
чет
для
ядер
нечет
нечет
для
А
нечет
для
МэВ
МэВ
МэВ
МэВ
34
,
.
-
.
,
.
-
.
,
.
,
0
,
8
,
94
,
71
,
0
,
8
,
17
,
75
,
15
δ
δ
δ
δ
ζ
γ
β
α
(3.3)
Формула Вейцзеккера позволяет с относительной точностью 10-4
вычислять энергию связи ΔW и массу ядер, а энергию связи нейтрона εn и
протона εp в ядре и другие разностные характеристики -- с погрешностью
10-20 %.
Рассматривая ядро как каплю, можно предположить, что
коллективный характер движения нуклонов в ядре должен приводить к
колебаниям формы капли при возбуждении ядра без изменения объема.
Простейшим типом колебаний являются квадрупольные и октупольные:
при первых капля приобретает эллипсоидную форму, при вторых -- форму
груши. Мультипольные колебания определяются спином и четностью
ядра.
Капельная модель ядра позволяет с хорошей точностью вычислять
энергию связи ядра относительно всех нуклонов, энергию связи одного
или нескольких нуклонов, предсказывать тип радиоактивности изотопов.
На основе капельной модели ядра построена полуэмпирическая теория
деления тяжелых ядер. С помощью КМЯ можно найти формулу для
«дорожки» β-стабильности ядер. Действительно, наиболее устойчивыми
ядрами будут те, которые обладают при фиксированном А наибольшей
энергией связи ΔW или наименьшей массой. Дифференцируя формулу (3.2)
60
по Z при постоянном массовом числе А и приравнивая производную к
нулю, найдем:
.
A
,
,
A
Z
3
2
015
0
98
1
⋅
+
=
(3.4)
Условие А = const, использованное выше при дифференцировании,
является характеристикой процесса β-распада, что и обусловило название
зависимости (3.4) «дорожкой» β-стабильности.
Если А нечетно и постоянно, то функция Mяд(Z) однозначна, т.к. δ = 0,
а значит, каждому А отвечает только одно значение Z0, соответствующее
β-устойчивому изобару. Для четного А функция Mяд(Z) двузначна, т.к.
δ = ±│δ│ (рис. 3.2). Нижняя парабола отвечает более устойчивым четно-
четным ядрам. Благодаря тому что ядро с зарядом Z0 обладает наименьшей
массой в сравнении со всеми остальными и для каждого ядра,
расположенного на верхней параболе, есть ядро с меньшей массой,
отличающееся по Z на ±1, все нечетно-нечетные ядра должны быть
нестабильными. Из рис. 3.2, а видно, что для четно-четных ядер возможно
существование до трех устойчивых изобар, т.к. двойной β-распад
запрещен. Исключение составляют четыре ядра (
N
B
Li
H
14
7
10
5
6
3
2
1
,
,
,
) для
которых ядра-изобары имеют большую массу, чем они сами (рис. 3.2, б).
Рис. 3.2
а
61
Таким образом, в формуле Вейцзеккера, определяющей КМЯ, нельзя
обойтись первыми тремя слагаемыми (основывающимися на классических
представлениях), приходится вводить дополнительные слагаемые,
описывающие квантово-механическую природу ядра. КМЯ не дает
представлений о возбужденных состояниях ядра, не описывает некоторых
важных характеристик ядер в основном и возбужденных состояниях (спин,
магнитный момент, четность и др.), особенностей α-, β-распадов,
распределения ядер в природе.
3.2. Модель ядерных оболочек
В 30-е гг. появились первые идеи о самосогласованных силовых полях
систем взаимодействующих частиц. С течением времени величина поля в
той или иной точке пространства, вообще говоря, меняется. В
приближение самосогласованного поля считают, что частица движется в
некотором постоянном эффективном поле, создаваемом остальными
частицами.
Ядерный потенциал взаимодействия, как это следует из эмпирических
закономерностей, должен быть близок к однородному, т.е. мало
изменяться внутри ядра и быстро спадать к нулю на его границе (из-за
короткодействия ядерных сил). Полагая, что ядро сферически
симметрично, можно считать и потенциал сферически симметричным.
В соответствии с квантовой механикой нуклоны, обладая спином ½ и
двигаясь в поле с центральной симметрией, будут находиться в различных
состояниях, описываемых наборами квантовых чисел. Основному
состоянию ядра отвечает заполнение всех нижних энергетических уровней.
Орбитальный момент количества движения нуклона lr
является
согласно квантовой механике интегралом движения. В силу сферической
симметрии потенциала всем 2l + 1 ориентациям вектора lr
соответствует
62
одно и то же значение энергии нуклона. По принципу Паули на этом
энергетическом уровне будут располагаться 2 ⋅ (2l + 1) нуклонов (2
появляется из-за двух возможных ориентаций спина). Тем самым
становится возможным построить модель ядра, в которой нуклоны в
определенном количестве заполняют энергетические оболочки,
занимающие определенное пространственное положение.
Простейшим вариантом модели ядерных оболочек (МЯО) является
одночастичная (однонуклонная) модель для ядер с нечетным А, в которой
полагается, что все нуклоны, кроме нечетного, образуют сферически
симметричный остов с нулевым механическим и магнитным моментами, а
все свойства ядра, в том числе и спин, определяются последним нечетным
нуклоном. Однако данная модель многого не объясняла.
Протоны и нейтроны являются различными частицами, поэтому,
находясь в одном и том же ядре (в одном и том же поле ядерных сил),
протоны и нейтроны имеют свою собственную квантово-механическую
оболочечную структуру. То есть состояние протона и состояние нейтрона
в ядре могут характеризоваться одними и теми же квантовыми числами
одновременно. Построение модели ядерных оболочек связано в первую
очередь с подбором самосогласованного ядерного потенциала, который
различен для протонов и нейтронов. Подбор потенциала проводится
полуэмпирически, с учетом того, что он должен иметь примерно ту же
зависимость от радиуса r, что и плотность ядерного вещества. То есть для
средних и тяжелых ядер он примерно постоянен внутри ядра, а на границе
быстро спадает практически до нуля. Кроме того, потенциал
взаимодействия, как это следует из эксперимента, зависит от взаимной
ориентации спинового и орбитального моментов количества движения
нуклона: нуклон притягивается к ядру сильнее, когда его спин направлен в
ту же сторону, что и орбитальный момент ( s
lr
r ↑↑ ). Это взаимодействие
называется ядерным спин-орбитальным взаимодействием.
63
Прежде чем ввести эмпирическую модель потенциала, необходимо
выяснить, что же такое потенциал и потенциальная энергия ядерного
взаимодействия. Потенциал -- это потенциальная энергия «единичного
заряда» в этом поле (потенциальная энергия, деленная на заряд).
Потенциальная энергия частицы, обладающей некоторым «зарядом» и
находящейся в точке 0
rr
, -- это энергия, необходимая для переноса этой
частицы из точки 0
rr в бесконечность. За нулевую энергию берется энергия
частицы в бесконечности. Потенциалом ядерного взаимодействия является
потенциальная энергия «единичного ядерного заряда». С точки зрения
ядерного взаимодействия протон и нейтрон идентичны, поэтому принято,
что у протона и нейтрона «ядерный заряд» равен единице и это величина
безразмерная. Поэтому потенциал поля
ядерных
сил
тождественно равен
потенциальной энергии, которую нужно
затратить, чтобы перенести нуклон из
данной точки поля в бесконечность,
преодолевая только лишь силы ядерного
притяжения (рис. 3.3, кривая 1). Некоторые
ядра устроены так, что плотность нуклонов в
середине несколько меньше, чем в остальной
области, и потенциал поля ядра выглядит по
другому (рис. 3.3, кривая 2).
Удовлетворяющее перечисленным требованиям выражение для
энергии потенциального взаимодействия нуклона с самосогласованным
полем ядра было впервые предложено Гепперт-Майером и Иенсеном в
1949 г.:
,
)
(
)
(
l
s
r
U
r
V
H
r
r
⋅
⋅
+
=
(3.5)
Рис. 3.3
64
где потенциальная энергия V(r) взаимодействия нуклона с полем имеет
примерно то же радиальное распределение, что и плотность нуклонов,
которая дается сферически симметричной зависимостью Саксона-Вудса:
,
-
+
-
=
a
R
r
exp
1
V
V(r)
0
(3.6)
здесь
s
lr
r
,
-- орбитальный момент и спин нуклона, r -- расстояние от
центра масс ядра до точки, в которой надо определить потенциал,
R = 1,28⋅10-13⋅ А1/3 см -- радиус ядра, V0, a -- постоянная. Нельзя путать
потенциал, который часто обозначают через Н, с гамильтонианом,
поскольку это лишь его часть, описывающая потенциальное
взаимодействие, а для полного гамильтониана не хватает оператора,
описывающего кинетическую энергию нуклонов в ядре. V(r) и U(r) имеют
размерность энергии. U(r) -- центрально-симметричный потенциал, более
слабый, чем V(r). Обычно полагают, что
,
)
(
)
(
r
r
V
rb
r
U
∂
∂
⋅
=
(3.7)
где b -- постоянная спин-орбитального взаимодействия; b < 0 (если
s
lr
r↑↑ ,
сила притяжения больше).
Потенциал V0 из (3.6) для протонов и нейтронов различен:
,)
63
,
0
1
(
,)
63
,
0
1
(
0
0
0
0
A
Z
N
V
V
A
Z
N
V
V
n
p
-
⋅
-
⋅
=
-
⋅
+
⋅
=
(3.8)
где
см
A
R
МэВ
V
13
3
1
0
10
28
,
1
,
53
-
⋅
⋅
=
=
. Различие величин V0p и V0n в (3.8)
возникает из-за того, что энергия притяжения между протоном и
нейтроном в среднем больше энергии взаимодействия n с n или p с p, а в
ядрах с N > Z протон взаимодействует с большим числом нейтронов, чем
отдельно взятый нейтрон.
65
Ядро -- замкнутая система, и стационарное состояние определяется
волновым уравнением
Ψ
⋅
=
Ψ
⋅E
H)
, решению которого удовлетворяет
гамильтониан вида
H
T
H+
=
)
, где
m
P
T
2
/
2
)
=
. Протон и нейтрон --
различные частицы, поэтому в модели ядерных оболочек они образуют
самостоятельные, отдельно заполняемые системы состояний нуклонов в
ядре и описываются разными потенциалами поля. При нахождении
протонных уровней к гамильтониану (3.5) необходимо добавить
кулоновскую энергию отталкивания протонов:
.
кул.взаим
протон
нейтрон
U
l
s
U(r)
V(r)
H
,
l
s
U(r)
V(r)
H
+
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
r
r
r
r
.
(3.9)
Обычно ее выбирают в виде энергии взаимодействия точечного
протона (размеры которого много меньше радиуса ядра) с равномерно
заряженным шаром радиуса R, несущим общий заряд (Z -- 1)⋅ e:
>
⋅
-
<
⋅
-
⋅
⋅
-
=
R
r
R
e
Z
R
r
R
r
R
e
Z
r
U кул
,
)
1
(
,
2
1
2
3
)
1
(
)
(
2
2
2
.
(3.10)
Второе слагаемое в (3.5) описывает спин-орбитальную связь.
Потенциальная энергия взаимодействия по модулю больше
(потенциальная яма в данной точке r глубже), если параллельны lr
иsr
,
потенциальная яма мельче при антипараллельных lr
иsr
.
Спиновый и орбитальный моменты количества движения
складываются в полный момент нуклона:
.
s
l
jr
r
r+
=
(3.11)
При параллельных lr и sr квантовое число полного момента j = l + 1/2,
при антипараллельных j = l -- 1/2. Проекция момента j обозначается через
mj и может пробегать 2j + 1 значений mj = -- j, -- j+1,..., j. При
66
классификации нуклонных уровней ядра используются те же обозначения,
что и в атомной физике, т.к. решением уравнения Шредингера для нуклона
в ядре с потенциалом взаимодействия выбранного типа являются волновые
функции, характеризующиеся четырьмя квантовыми числами -- n, l, j, mj.
Состояние нуклона в ядре принято обозначать квантовыми числами n, l, j,
записывая их следующим образом: n lj. Квантовое число mj обычно не
указывается, т.к. уровни с различными mj в центрально-симметричном
поле вырождены по энергии (имеют одинаковую энергию). Четность
уровня определяется квантовым числом l.
Чем больше n, тем выше уровень. Число n определяет число нулей
волновой функции нуклона. При увеличении n растет среднее расстояние
нуклона от ядра. Уровень nll+1/2 лежит всегда ниже уровня nll-1/2. Величина
этого расщепления пропорциональна l.
Важно отметить, что главное квантовое число n, используемое в
ядерной физике, отличается от главного квантового числа, применяемого в
атомной физике. В ядерной физике главное квантовое число вводят
следующим образом: фиксируют значение l и располагают собственные
значения энергии с данным l в порядке возрастания Е, причем наиболее
низкому уровню приписывается номер n = 1. Главное квантовое число n,
определенное таким образом, называют еще радиальным квантовым
числом, имеющим смысл нуля волновой функции (рис. 3.4).
В атомной физике принято использовать главное квантовое число
nАТ = n + l, т.к. в самосогласованном кулоновском поле состояния
бесспиновых электронов вырождены по l при фиксированном nАТ, а
|Ψ(r) |
r
n=2
Рис. 3.4
67
главное квантовое число может принимать лишь следующие значения:
l=0,1, ...,nАТ--1.
При построении МЯО и распределении нуклонов по оболочкам
делаются следующие предположения, подтверждающиеся опытом:
1. Суммарный момент количества движения четно-четного ядра (его
спин) равен нулю.
2. Спин I ядра с нечетным А определяется моментом j = s + l непарного
нуклона. Заполнение оболочек идет так, что спины парных нуклонов
противоположно направлены и компенсируют друг друга.
3. Спин нечетно-нечетного ядра, непарные нуклоны которого находятся в
одинаковых состояниях, равен удвоенному моменту нуклона.
4. Энергия уровня с данным n растет с увеличением l.
5. Энергия спин-орбитального взаимодействия больше при коллинеарных
lr
иsr
.
Правильность отнесения ядра к тому или иному состоянию
контролируется вычислением магнитного момента и сопоставлением его с
экспериментальным значением. Полный магнитный момент нуклона
,
s
γ
l
γ
μ
s
l
r
r
r
⋅
+
⋅
=
(3.12)
где γl и γs -- орбитальное и спиновое гиромагнитные отношения нуклона.
По этой формуле вычисляется магнитный момент ядра, имеющего один
нуклон сверх заполненных оболочек. Спин и магнитный момент ядра
определяются всеми внешними нуклонами, не входящими в состав
замкнутых оболочек. Магнитный момент ядра определяется как проекция
векторной суммы магнитных моментов всех внешних нуклонов на
направление спина ядра. Пример заполнения ядерных подоболочек в МЯО
указан на рис. 3.5, при этом в силу кулоновского расталкивания
энергетические уровни протонов лежат несколько выше по отношению к
нейтронам.
68
МЯО имеет два следствия, одно из которых объясняет явление
ядерной изомерии. Изомерами по отношению к ядрам (A,Z), находящимся
в основном состоянии, называются ядра, имеющие метастабильные, т.е.
относительно долгоживущие, энергетические уровни. Изомерия
проявляется в значительном увеличении времени полураспада исходного
ядра и связана с наличием у ядер слабо возбужденного состояния, сильно
отличающегося от основного по величине спина ядра (ΔI > 4). Из рис. 3.5
видно, что изомером, например, по отношению к ядру в основном
состоянии с квантовыми числами 2р1/2 может быть это же ядро в
возбужденном состоянии -- 1g9/2.
Таким образом, основным и наиболее важным достоинством МЯО
является прекрасное описание квантово-механических свойств и
характеристик ядра в основном состоянии при условии, что ядро имеет
сферическую форму. К недостаткам можно отнести весьма ограниченную
область применения этой модели. Проявление сильного взаимодействия
Sнукл=0
Sнукл≠0
=1/2
р
n
2
/
1
1S
2
/
1
1S
2
/
3
2P
2
/
3
2P2
/
1
2P
2
/
1
2P
8,37 МэВ
20882Pb
7,73 МэВ
Рис. 3.5
69
между нуклонами и несферичность ядерного потенциала взаимодействия
приводит к разногласиям МЯО и эксперимента.
3.3. Обобщенная модель ядра
В обобщенной модели ядра (ОМЯ) самосогласованный потенциал
может иметь несферическую форму, хотя обычно форма предполагается
аксиально-симметричной. Несферичность потенциала приводит к тому,
что плотность нуклонов в ядре также оказывается сферически
асимметричной, а у ядра появляется вращательная степень свободы.
В несферическом поле 2j + 1 кратное вырождение уровня нуклона
снимается, т.к. появляется осевая симметрия поля относительно оси Z
r
(рис. 3.6). Однако при осевой симметрии поля двум проекциям вектора jr
,
отличающимся знаком ( zjr
и -- zjr ), будет соответствовать один уровень
энергии, т.е. уровень с данным j расщепится на (2j + 1)/2 подуровней с
двукратным вырождением.
Одним из первых и наиболее часто применяемых несферических
потенциалов является потенциал Нильссона:
()
[
]
,
2
)
(
2
2
2
2
2
2
l
D
s
l
C
z
y
x
M
r
V
z
r
r
r
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
+
⋅
⋅
=
ω
ω
(3.13)
jr
jr
zjr
zjr
z
Рис. 3.6
70
где
const
,
,
);
3
4
1
(
);
3
2
1
(
0
2
0
2
2
0
2
-
⋅
-
⋅
=
⋅
+
⋅
=
ω
δ
ω
ω
δ
ω
ω
D
C
z
. δ -- параметр
деформации, М -- масса нуклона. Первое слагаемое -- осцилляторный
потенциал, второе учитывает коллинеарность векторов lr
иsr
,а
следовательно, и силу взаимодействия, третье определяет момент
вращения при фиксированном lr
.
В ядерной физике проекцию полного момента Σj движения нуклонов
на ось симметрии ядра принято обозначать через Kr (см. рис. 3.6). Если
ядро вращается (вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии), причем
момент вращения равен r
, то полный спин ядра
.
K
I
r
r
r
+
=
(3.14)
Вращение вокруг оси симметрии ядра учитывается значением вектора
Kr
. Легко доказать, что энергия вращательного состояния
,
2
2
эфф
вращ J
P
E
Ω
=
r
(3.15)
где Ω
Pr
-- размерный вращательный момент:
].
2
[
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
K
I
K
I
K
I
P
r
r
r
r
h
r
r
h
r
h
r
⋅
-
+
=
-
⋅
=
Ω
⋅
=
Ω
Из рис. 3.6 видно, что
)
1
(
2
+
⋅
=
=
⋅
K
K
K
K
I
r
r
r
,
)
1
(
2
+
⋅
=I
I
Ir
,
)
1
(
2
+
⋅
=K
K
Kr
. Поэтому
[
],
)
1
(
)
1
(
2
2
+
⋅
-
+
⋅
⋅
⋅
=
K
K
I
I
J
E
эфф
вращ h
(3.16)
где
δ
=
Δ
Δ
⋅
≅
R
R
R
R
J
J эфф
,
2
0
, R -- средний радиус ядра (т.е. средний радиус
эллипсоиды ядра), R = (5/3‹r2›)1/2, ΔR -- разность большой и малой полуосей
ядерного эллипсоида, J0 -- момент инерции ядра. Для основного состояния
ядра K = I0, где I0 -- спин основного состояния ядра. Поэтому энергия
первого вращательного состояния Е0 = 0 (ядро не вращается).
71
Если ядро является четно-четным, то I0 = K = 0 и
длянего(I=0,2,4, ...)
...
,
10
,
3
,
0
2
2
2
1
0
эфф
эфф
J
E
J
E
E
h
h
⋅
=
⋅
=
=
(3.17)
Расположение энергетических уровней и очередность
их заполнения нуклонами при этом существенно
изменяются (рис. 3.7).
В ОМЯ можно получить лучшее соответствие
между теоретическими и экспериментальными
значениями магнитных моментов, если их вычислить
по формуле
γ
K
γ
μ
k
r
r
r
⋅
+
⋅
=
.
(3.18)
В обобщенной модели ядра:
1) получены правильные значения спинов и магнитных моментов для
некоторых ядер;
2) объяснены вращательные уровни энергии у несферических ядер;
3) объяснены колебательные уровни и гигантские резонансы;
4) объяснены большие значения квадрупольных электрических моментов.
Подводя итог этой главы, необходимо отметить, что каждая из
рассмотренных моделей ядра построена исходя из различных
предпосылок, поэтому представленные модели описывают свойства ядер
лишь частично. Области применения рассмотренных моделей в связи с
этим некоторым образом ограничены. Основной моделью ядра при
некоторых допущениях можно считать модель ядерных оболочек (модель
независимых частиц). Рассмотрение данной модели в совокупности с
дополнительными взаимодействиями нуклонов сверх заполненных
оболочек приводит к различным вариациям МЯО.
E
Рис. 3.7
72
4. РАДИОАКТИВНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЯДЕР
Открытие Беккерелем в 1896 г. радиоактивности (р/а) привело к
интенсивному изучению данного явления. Радиоактивными являются
ядра, подверженные самопроизвольному превращению, в результате
которого происходит изменение структуры ядра и (или) его
энергетического состояния. В 1902 г. Резерфордом был открыт
радиоактивный газ радон ( Rn
222
86 ), появляющийся в результате распада ядра
радия Ra
226
88 . Количество ядер данного элемента уменьшалось вдвое каждые
3,8 суток. Величина, характеризующая изменение числа ядер (распад ядер)
в единицу времени, называется активностью и обозначается как А, а время,
за которое число ядер уменьшается вдвое, -- периодом полураспада 2
/
1
T.
Таким образом, активность радона менялась по закону
,
2
)
(
,
...
,
2
)
2
(
,
2
)
(
0
2
/
1
20
2
/
1
0
2
/
1
n
A
T
n
A
A
T
A
A
T
A
=
⋅
=
=
(4.1)
т.е. могла бы быть определена как активность за любой промежуток
времени t, при этом
2
/
1
/T
t
n=
:
.
2
)
(2
/
1
/0
T
tA
t
A=
(4.2)
Таким образом, радиоактивность есть свойство определенного
состояния атомного ядра, и если состояние ядра не изменяется извне, то
распад ядер, а следовательно, и изменение активности происходит по
определенному закону, именуемому законом радиоактивного распада. При
этом число актов радиоактивного распада dN за единицу времени
dt определяется только числом радиоактивных ядер )
(t
N в данный момент
времени t :
,
)
(dt
t
N
dN
⋅
⋅
-
=λ
(4.3)
где λ -- величина, называемая постоянной распада и характеризующая
вероятность распада в единицу времени.
73
Решение уравнения приводит к следующей форме записи закона
радиоактивного распада:
.
)
(0t
e
N
t
N
⋅
-
=
λ
(4.4)
По соответствующему закону изменяется и активность радиоактивного
вещества:
.
)
(0t
e
A
t
A
⋅
-
=
λ
(4.5)
При протекании радиоактивного распада материнское ядро испускает
различные частицы и преобразуется в дочернее ядро. Энергия покоя
материнского ядра всегда больше, чем суммарная энергия покоя частиц,
появляющихся в результате распада. Радиоактивное ядро характеризуется
средним временем жизни τ . Из квантовой механики известно, что любое
возбужденное состояние описывается волновой функцией, которая
убывает по закону
.
)
0
(
)
(
/
2
2
τ
ψ
ψ
t
e
t
-
⋅
=
(4.6)
Таким образом, число радиоактивных ядер также будет изменяться по
закону
,
)
(
/
0τ
t
e
N
t
N
-
=
(4.7)
откуда, учитывая (4.4), видно, что среднее время жизни и постоянная
распада связаны как
.
1λ
τ=
(4.8)
Если в закон радиоактивного распада (4.4) подставить вместо времени
t период полураспада 2
/
1
T , то получится соотношение для λ и 2
/
1
T:
.
693
,
0
2
ln
2
/
1
2
/
1T
T=
=
λ
(4.9)
74
Известны следующие виды радиоактивности:
• α-распад;
• β-распад;
• γ-излучение;
• спонтанное деление;
• испускание нуклонов (одного протона или нейтрона, двух протонов);
• испускание кластеров.
Радиоактивные элементы, встречающиеся в природе, можно
расположить в виде трех последовательных цепочек, называемых
радиоактивными семействами или рядами. Первое семейство -- это
семейство урана, второе -- актиноурана, третье -- тория.
Семейство урана начинается с α-радиоактивного изотопа U
238
92:
.
206
82
234
92
7
,
6
234
91
24
234
90
10
5
,
4
238
92
9
Pb
...
U
Pa
Th
U
β
часа
β
дня
α
лет
→
→
→
→
→
-
-
⋅
Семейство актиноурана:
.
Pb
...
Ac
Pa
Th
U
207
82
227
89
α
лет
10
3,4
231
91
β
часа
25,64
231
90
α
лет
10
7
235
92
4
8
→
→
→
→
→
⋅
⋅
-
Семейство тория:
.
Pb
...
Ac
Ra
Th
U
208
82
228
89
β
лет
10
3,4
228
88
α
лет
10
1,4
232
90
α
лет
10
2,4
236
92
4
10
7
→
→
→
→
→
-
⋅
⋅
⋅
Все ядра семейств испытывают либо α -, либо β-распад. При α-распаде
массовое число дочернего нуклида оказывается на 4 единицы меньше
материнского, а при β-распаде массовое число не меняется. Поэтому при
движении вдоль р/а цепочки нуклидов число А либо уменьшается на 4,
либо не изменяется. Следовательно, массовые числа нуклидов всех р/а
семейств можно выразить формулой
,
4C
n
A+
⋅
=
(4.10)
75
где n -- целое число, С -- константа семейства.
Длясемействауранаn≥51,C=2;актиноурана--n ≥51,C=3;
тория--n≥52,C=0.
Видно, что отсутствует семейство, для которого С = 1. Такое
семейство, однако, существует, но состоит из нуклидов, не встречающихся
в природе. Речь идет о семействе нептуния:
Bi
Th
U
Pa
Np
лет
дней
лет
209
83
229
90
10
6
,
1
233
92
27
233
91
10
2
,
2
237
93
...
5
6
→
→
→
→
→
⋅
⋅
-
α
β
α
.
Данное семейство является искусственным.
4.1. α-распад
Альфа-распад ядер есть процесс самопроизвольного превращения
ядра (A, Z) в ядро (A -- 4, Z -- 2) под действием ядерных сил с испусканием
α
4
2 -частицы. Уравнение распада
записывается
в
виде
(A,Z)→(A--4,Z--2)+ α
4
2 . Основными характеристиками α-радиоактивных
ядер являются период полураспада Т1/2, кинетическая энергия Тα и пробег
Rα испускаемых α-частиц. Измерения этих величин привели к
установлению следующих закономерностей:
1. Для всех радиоактивных нуклидов первых трех радиоактивных семейств
выполняется соотношение Гейгера-Нетолла (1911 г.):
,
B
lgR
A
lgλ
α+
⋅
=
(4.11)
где величина А одинакова для всех трех р/а семейств, а В отличается
примерно на 5 процентов, λ = ln2/ Т1/2 ≈ 0,69/ Т1/2.
2. Энергия испускаемых α-частиц заключена в узком диапазоне
4 МэВ ≤ Тα ≤ 9 МэВ, тогда как период полураспада 1010 лет ≥ Т1/2 ≥ 10-7 с.
76
3. Наблюдается резкое разграничение всех нуклидов на две группы: α-р/а и
α-стабильные. Как правило, α-радиоактивностью обладают ядра с Z > 82
(тяжелее свинца), причем Тα растет с увеличением Z.
4. Средняя энергия, освобождающаяся при α-распаде изотопа, закономерно
уменьшается с ростом массового числа А для этого изотопа.
5. Обычно α-радиоактивные нуклиды испускают α-частицы нескольких
энергий. При уменьшении Тα уменьшается, как правило, интенсивность
процесса α-распада.
6. Изотопы полония Po
212
84
иPo
214
84
наряду с основной группой α-частиц
испускают так называемые длиннопробежные α-частицы с большой
энергией.
7. Спектр альфа-излучения обладает тонкой структурой, т.е. несет
информацию об энергетических уровнях ядра (рис. 4.1, на примере ядра
Pu
239
94 ).
Из законов сохранения момента количества движения и четности
следует, что между моментами и четностями начального и конечного ядер
должны выполняться соотношения:
()
,
1
⋅
-
=
+
≤
≤
-
к
l
н
к
н
к
н
P
P
I
I
l
I
I
α
α
(4.12)
5,10 5,15 5,20
Nα
Tα, МэВ
Pu
239
94
U
235
92
+
2
1
+
2
1
+
2
3
+
2
5 12%
15%
73%
α
Рис. 4.1
77
где lα -- орбитальный момент α-частицы.
Альфа-распад возможен для ядер, имеющих отрицательную энергию связи
α-частиц:
[
]
.
)
2
,
4
(
)
,
(
,
0
)
,
(
)
2
,
4
(
2
α
α
α
ε
M
Z
A
M
Z
A
M
Z
A
M
M
Z
A
M
c
+
-
-
>
<
-
+
-
-
⋅
=
(4.13)
Энергия, выделившаяся при α-распаде, равна
,
яд
T
T
E
+
=
-
=
α
α
αε
(4.14)
где Тα ,Тяд -- кинетическая энергия продуктов α-распада.
Из закона сохранения импульса
яд
P
P
Z
A
P
r
r
r
+
=α
)
,
(
следует, что если
исходное ядро покоится )
,
(Z
A
Pr
= 0, то для нерелятивистских скоростей из
равенства │Рα│ = │Ряд│вытекает:
яд
ядM
M
T
T
α
α⋅
=
(4.15)
или (из (4.14)
,
,
1
α
α
α
α
α
α
М
M
M
E
T
M
M
T
E
яд
яд
яд
+
⋅
=
+
⋅
=
(4.16)
таким образом, подавляющая часть энергии α-распада уносится
α-частицей.
Рассмотрим α-распад с позиции квантовой механики. Сначала
необходимо представить себе энергетическую схему α-распада. На левой
части рис. 4.2 изображена зависимость полной энергии частиц при
α-распаде от расстояния r между α-частицей и дочерним ядром. За нуль
полной энергии (Е = 0) выбрана сумма энергий покоя α-частицы и
дочернего ядра (при равной нулю кинетической энергии частиц и нулевой
потенциальной энергии взаимодействия этих частиц, т.е. на бесконечно
большом расстоянии между ними).
На правой части рисунка показана зависимость потенциальной
энергии взаимодействия α-частицы и дочернего ядра от расстояния между
78
ними (естественно, для случая, когда центр масс частиц покоится).
Потенциальная энергия U складывается из потенциальных энергий
ядерного и кулоновского взаимодействия частиц.
Потенциальная энергия α-частицы вне дочернего ядра описывается
кулоновской функцией 2Ze2/r, где Z -- заряд дочернего ядра. Кулоновская
потенциальная энергия при r = R называется кулоновским потенциальным
барьером (так как потенциальная энергия ядерного взаимодействия
выбрана в виде прямоугольной -- при r = R -- ямы).
Левая часть рисунка позволяет понять, что полная энергия
взаимодействующих α-частицы и дочернего ядра равна
яд
T
T
U
E
′
+
′
+
=
α
α
,
(штрихом отмечены кинетические энергии частиц в области ядерного
и/или кулоновского взаимодействия). Используя закон сохранения
импульса, для величин Тα и Тяд получим выражения, аналогичные (4.6),
(4.7), с той лишь разницей, что в них вместо α
E будет стоять разность
U
E-
α
. Ясно, что при r < R, где U < 0, будут выполняться неравенства
α
T′> α
Tияд
T ′ >Тяд.
В силу выражения (4.6) яд
T′<< α
T′ , т.к.
яд
M>>α
M . Если устремить
яд
M→∞,тояд
T ′ →0. Тогда центр масс системы частиц будет всегда
Рис. 4.2
E
r
U
r
яд
T
T+
α
Eα
α
T′
яд
T′
α
T
яд
T
r=∞
79
совпадать с центром масс бесконечно массивного материнского ядра, а
полная энергия E α-частицы будет равна энергии α
E α-распада:
α
α
T
U
E
E
′
+
=
=
. Это значение энергии и используется при записи
уравнения Шредингера.
Оценим высоту барьера для тяжелого ядра, взяв R = 10-12 см, Z = 100,
тогда
.
МэВ
МэВ
30
3
1
2
A
z
Z
R
e
Z
2
U
⋅
≅
≅
⋅
⋅
=
(4.17)
С классической точки зрения α-частица не может преодолеть
потенциальный барьер, так что α-распад невозможен. Однако, как показал
Гамов (в 1928 г.), возможен туннельный (подбарьерный) переход
квантовой частицы из одной разрешенной
области в другую.
Для простоты рассмотрим одномерное
движение с барьером прямоугольной формы
высотой U0 и шириной d. На барьер падают
частицы с энергией Е (рис. 4.3).
Состояние
частиц
описывается
стационарным уравнением Шредингера:
[]0.
Ψ
U(r)
E
dr
Ψ
d
m
2
2
2
2
=
⋅
-
+
⋅
⋅h
(4.18)
В области r < 0 уравнение (4.18) запишется следующим образом:
0.
Ψ
E
m
2
dr
Ψ
d
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
+h
(4.19)
Вобласти0<r<d:
()0.
Ψ
U
E
m
2
dr
Ψ
d
0
2
2
2
=
⋅
-
⋅
⋅
+h
(4.20)
В области r > d -- снова в виде (4.19).
d
α
0
U
U0
r
Рис. 4.3
80
Решение уравнения (4.19) ищут подстановкой функции еikr вместо
искомой Ψ, тогда после подстановки найдем:
k.
E
m
2
k
0
E
m
2
k
1,2
2
2
±
=
⋅
⋅
±
=
=
⋅
⋅
+
-
h
h
откуда
,
Решение уравнения второго порядка складывается по принципу
суперпозиции из двух линейно независимых решений exp(ik1r) и exp(ik2r):
,
e
b
e
a
Ψ
ikr
ikr
1
-
⋅
+
⋅
=
(4.21)
где a, b -- константы, зависящие от условий задачи. Напомним, что
временной сомножитель имеет вид e-iωt, где ω = E/ħ, следовательно, в
общем случае
)
(
)
(
)
,
(
t
kr
i
t
ie
e
r
t
r
ω
ω
-
-
=
⋅
Ψ
=
Ψ
r
r
, если
r
k
i
e
r
r
r
r
-
=
Ψ)
(
. Выражение
(k rr
-- ωt), как известно, называется фазой бегущей волны. Рассмотрим
движение точки волны с постоянной фазой (k rr
-ωt) = const. Вычисляя
производную от данного выражения по времени
0
=
-
′ω
r
kr
, получаем
k
V/
ω
±
=
, где V есть проекция скорости r ′
r движения данной точки волны
с постоянной фазой на волновой вектор kr
. Заметим также, что
направление вектора kr
по определению выбирается так, чтобы r
k′
⋅
r
r >0.В
формуле (4.21) векторы 1
krи2
kr имеют противоположное направление.
Поэтому первое слагаемое (4.21) отвечает падающей, а второе --
отраженной волне от границы r = 0. В области r > d общее решение имеет
вид (4.21), но b = 0, т.к. частица, преодолев барьер, может лишь удаляться
от него вдоль оси rr
.
Делая подстановку Ψ = е-ikr для второй области, где U0 > Е, найдем:
,)
(
20
2
,
1
E
U
m
i
k
-
⋅
⋅
⋅
±
=h
здесь
2
,
1
k -- величины комплексные, поэтому
волновая функция для второй области будет выглядеть следующим
образом:
.
где
,
E)
(U
m
2
1
σ
e
β
e
α
Ψ
0
r
σ
r
σ
2
-
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
-
⋅
h
(4.22)
81
В итоге волновую функцию можно записать в виде (рис. 4.4):
⋅
=
Ψ
>
⋅
+
⋅
=
Ψ
<
<
⋅
+
⋅
=
Ψ
<
-
-
.
:
:
0
:
0
3
2
1
ikr
r
r
ikr
ikr
e
c
d
r
e
e
d
r
e
b
e
a
r
σ
σβ
α
(4.23)
Коэффициент прозрачности D представляет собой долю частиц,
прошедших через него, т.е. равен отношению плотностей потоков
вероятностей для прошедшей и падающей волн:
,
2
2
2
1
1
2
3
3
a
c
Ψ
V
Ψ
V
D
=
⋅
⋅
=
(4.24)
где V1 и V3 -- скорости падающих и прошедших через барьер частиц. В
нашей задаче V1 = V3, а падающая волна описывается первым слагаемым
волновой функции Ψ1. Величина
2
a из (4.24) представляет собой
плотность частиц в падающей на барьер волне, поэтому в задаче
коэффициент а может быть выбран произвольно. Удобно считать а = 1, т.е.
D = c2. Таким образом, в (4.23) имеется четыре неизвестных: b, c, α, β. Их
находят из условий равенства волновых функций (4.23) и их производных
на границах r = 0, d, что приводит к следующим уравнениям:
⋅
⋅
⋅
=
⋅
-
⋅
⋅
-
⋅
=
-
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
+
=
+
⋅
⋅
⋅
-
⋅
⋅
⋅
⋅
-
⋅
.
)
(
,)
(
)
1
(
,
,
1
d
k
i
d
d
d
k
i
d
d
e
c
k
i
e
e
b
k
i
e
c
e
e
b
σ
σ
σ
σ
β
α
σ
β
α
σ
β
α
β
α
(4.25)
d
α
0
U
U0
r
d
0
r
)
(rr
Ψ
Рис. 4.4
82
Решая (4.25), найдем:
()
.
2
,
2
1
1
0
2
2
0
2
2
2
0
U
m
k
d
sh
kk
D
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
h
σ
σ
(4.26)
Обычно σ ⋅ d >> 1, поэтому
,
)
(
2
2
exp
16
16
4
0
2
2
2
4
0
2
2
⋅
-
⋅
⋅
⋅
-
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
∫
⋅
⋅
-
К
Н
r
r
d
dr
E
U
m
kk
e
kk
D
h
σ
σ
σ
(4.27)
где U(r) -- потенциальная энергия частицы произвольного вида; rн, rк --
точки, определяемые условием E = U(r). Правая часть формулы (4.27)
справедлива для барьера произвольной формы, т.к. барьер любой формы
можно разбить на ряд прямоугольных барьеров.
Рассмотрим теперь роль центробежного барьера. При α-распаде
α-частица может испускаться ядром не только вдоль линии, исходящей из
центра масс ядра, но и вдоль линии, проходящей в стороне от центра масс
с параметром удара ρ (рис. 4.5). Вследствие этого
испускание α-частицы изменит вращательный
момент количества движения ядра на величину
,)
1
(+
⋅
⋅
=
⋅
=
l
l
p
l
h
rρ
(4.28)
и можно считать что α-частица обладает в ядре
центробежной энергией:
.
2)
1
(2
2
r
ml
l
Uцб
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=h
(4.29)
Центробежная сила направлена так же, как и сила кулоновского
отталкивания, и противоположна силе ядерного притяжения, поэтому
центробежная энергия (4.29) увеличивает потенциальный барьер, т.е.
.
2)
1
(2
2
2
r
m
l
l
r
e
z
Z
U
U
U
цб
кул
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
+
=
h
(4.30)
Именно потенциальная энергия (4.30) входит в формулу (4.27).
R
α
ρ
Рис. 4.5
83
Формула (4.28) позволяет оценить максимальные значения l.
Действительно, при данном импульсе Р максимальный момент количества
движения может быть получен только лишь при ρ = R, т.е. l < R ⋅ p/ħ.
Подставляя сюда значение импульса р α-частицы, соответствующее
средней энергии порядка 6 МэВ, и значение радиуса
α-радиоактивных ядер, находим l < 10.
Искажение формы барьера за счет центробежного потенциала,
казалось бы, невелико, т.к. он быстро, как r--2, спадает с увеличением r, а
его высота составляет
.
5
20)
1
(
2)
1
(2
2
МэВ
l
l
R
m
l
l
Bцб
≤
+
⋅
≈
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=h
(4.31)
Тем не менее влияние центробежного потенциала приводит к
увеличению времени жизни ядер относительно α-распада, выходящему за
пределы неопределенности теории. Особенно при больших значениях l.
Теперь мы в состоянии уточнить соотношение Гейгера-Нетолла.
Постоянная распада λ равна
,
const
=
=
-
=
dt
dP
dt
dN/N
λ
(4.32)
т.е. представляет собой вероятность распада в единицу времени. Поэтому
ее можно представить в виде
,
D
W⋅
⋅
=υ
λ
(4.33)
где W -- вероятность формирования α-частицы в материнском ядре;
υ -- частота соударений α-частицы со стенками ядра;
D -- коэффициент прозрачности барьера.
Определение величины W -- до сих пор не решенная задача. Частота
соударений определяется скоростью V α-частицы и радиусом R ядра:
.
2
1
2
1
m
T
R
R
V
⋅
⋅
=
⋅
=
=
α
τ
υ
(4.34)
84
В итоге λ записывают так: ( )
[]
(),
T
lnk
lnλ
,
T
exp
k
λ
α
α
φ
+
=
φ
⋅
=
(4.36)
здесь k принимается согласно оценке Ландау равным частоте осциллятора
k = δ/2πħ, где δ -- среднее расстояние между уровнями ядра, т.е. k не
зависит от Tα. Поэтому из (4.36) следует:
,
lg
B
T
A+
⋅
=
α
λ
(4.37)
где А и В -- некоторые константы, слабо зависящие от Z.
Анализ выражения (4.36) позволяет оценить радиус альфа-
радиоактивных ядер. Поскольку в выражение для вероятности α-распада
входит величина R -- радиус ядра -- при определении энергии кулоновского
барьера, который преодолевает α-частица, то, зная период полураспада
α-радиоактивных ядер и кинетическую энергию α-частиц, теоретически
можно оценить и радиус распадающегося ядра. Такие оценки приводят к
хорошему подтверждению зависимости (1.34), где r0 для α-радиоактивных
ядер составляет величину (1,45÷1,55)⋅10-13 см.
Анализ соотношения (4.37) показывает, что малому изменению
кинетической энергии α
T соответствует значительное изменение
постоянной распада λ . Такая зависимость обосновывает наличие нижней
границы для кинетической энергии альфа-частиц. Для α
T <2МэВпериод
полураспада становится настолько большим, что обнаружить
экспериментально α-активность не удается.
4.2. β-распад
Бета-распадом называется процесс самопроизвольного превращения
ядра в ядро-изобар с зарядом, отличным на ΔΖ = ±1, в результате
испускания электрона или позитрона или захвата электрона с одной из
85
оболочек атома (е-захват). Период полураспада β-радиоактивных ядер
составляет 10-2 c < T1/2 < 2 · 1015 лет, энергия β-распада заключена в
пределах 18 кэВ < Eβ < 16,6 МэВ.
Для β-распада должны выполняться энергетические условия:
>
+
⋅
+
+
<
-
⋅
+
>
+
⋅
+
+
>
+
+
>
⋅
+
+
>
+
-
).
,
(
)
1
,
(
,
,
)
1
,
(
)
,
(
:
,
2
)
,
(
)
1
,
(
,
)
1
(
,
)
,
(
)
1
,
(
:
,)
1
,
(
)
,
(
,
,
)
1
,
(
)
,
(
:
Z
A
M
Z
A
M
m
Z
добавляя
m
Z
A
M
Z
A
M
захват
e
m
Z
A
M
Z
A
M
m
Z
добавляя
m
Z
A
M
Z
A
M
Z
A
M
Z
A
M
m
Z
добавляя
m
Z
A
M
Z
A
M
ат
ат
e
e
e
ат
ат
e
e
ат
ат
e
e
β
β
(4.38)
Из (4.38) следует:
1. При выполнении второй пары неравенств (4.38) автоматически
выполняется и третья, поэтому такие ядра могут испытывать как β+-распад,
так и е-захват:
2. Для некоторых ядер одновременно
выполняются первые два условия (4.38). В этом
случае ядро может участвовать во всех трех видах
β-распада (рис. 4.6).
3. Если последовательность β-распадов (A,Z -- 1)→(A,Z)→(A,Z + 1)
запрещена энергетически на первом или втором этапе, но выполняется
условие Mат(A,Z -- 1)>Mат(A,Z+1), то возможен двойной β-распад, при
котором ядро одновременно испускает 2 электрона.
4. При β-
-, (β+)-распаде ядра с большим избытком (или недостатком)
нейтронов конечное ядро может образоваться в возбужденном состоянии с
5225Mn β+(35 %)
е-з.(65 %) 5224Cr.
6429Cuиспытывает β-(40 %)
β+(20 %)
е-з.(40 %)
Рис. 4.6
86
энергией возбуждения, превышающей энергию отделения нейтрона (или
протона). В этом случае ядро испускает запаздывающий на время
β-распада нейтрон (рис. 4.7, а) или протон (рис. 4.7, б).
На рис. 4.8 показано типичное энергетическое распределение
электронов при β-распаде. Максимальное значение энергии электронов
(или позитронов) вплотную приближается к разности энергетических
состояний исходного и конечного атомов:
[
].
)
1
,
(
)
,
(
2
max
+
-
⋅
=
≅-
Z
A
M
Z
A
M
c
E
T
ат
ат
e
β
(4.39)
Значение
энергии
электронов
e
T ≈Tmax
e/3 соответствует максимуму
энергетического распределения и для
большинства естественных радиоактив-
ных элементов находится в пределах
e
T = 0,25-0,45 МэВ. Форма спектра около
значения энергии электронов, равного
нулю, имеет некоторые особенности и будет рассмотрена нами чуть позже.
При β-распаде материнское и дочернее ядра имеют вполне
определенное энергетическое состояние. Поэтому, казалось бы,
энергетическое распределение β-частиц должно быть дискретным, а не
T
dT
dN
max
e
T
e
T
Рис. 4.8
а
б
Рис. 4.7
87
таким, как показано на рисунке. Для объяснения этого факта были
выдвинуты четыре гипотезы:
1. При β-распаде происходит переход на большое число
возбужденных состояний дочернего ядра. Однако спектр γ-квантов,
сопровождающих β-распад, имеет дискретный характер, а в некоторых
случаях β-распад вовсе не сопровождается γ-излучением.
2. β-частицы теряют энергию, тормозясь в среде, в которой покоятся
β-радиоактивные ядра. Однако проведенные калориметрические
измерения (Эллис и Вудстер, 1927 г.) сразу же показали, что
выделяющаяся в калориметре энергия равна средней энергии β-распада, а
не полной, как это ожидалось.
3. Калориметрические измерения привели к предположению о
невыполнении при β-распаде закона сохранения энергии.
4. В процессе β-распада вместе с электроном испускается еще одна
частица -- нейтрино ν, которая уносит энергию Eν = Еβ -- Те. Эта гипотеза
была высказана Паули в 1931 г.
Если принять четвертую гипотезу, то особенности процесса β-распада
позволяют предсказать некоторые свойства нейтрино:
1. Из эксперимента следует, что нейтрино обладает чрезвычайно
высокой проникающей способностью и не ионизирует атомы среды.
Следовательно, заряд частицы должен быть равен 0, а магнитный момент --
весьма мал.
2. Поскольку большая часть энергии β-распада уносится нейтрино,
масса нейтрино должна быть чрезвычайно мала или равна нулю.
3. Спин нейтрино должен быть равен ½, т.к. при β-распаде изменение
спина ΔI = │IН -- IК│представляет собой целое число, тогда как спин
испускаемого электрона равен ½.
С развитием физики элементарных частиц было установлено, что
каждая частица имеет свою античастицу. Это в полной мере относится и к
88
нейтрино, имеющему в качестве античастицы антинейтрино ν~
. С учетом
того, что в процессе β-распада дополнительно образуется нейтрино,
уравнения (схемы), характеризующие данный процесс, записываются для
ядра в целом и отдельно для нуклона, испытывающего превращение в ядре
для β+-распада:
.
,
)
1
,
(
)
,
(
ν
ν
β
β
+
+
→
+
+
-
→
+
+
+
+
e
n
p
e
Z
A
Z
A
(4.40)
Для β-
-распада:
.
~
,
~
)
1
,
(
)
,
(
ν
ν
β
β
+
+
→
+
+
+
→
-
-
-
-
e
p
n
e
Z
A
Z
A
(4.41)
Перенося в (4.40) символ позитрона из правой части схемы в левую, в
соответствии с алгеброй частиц и античастиц получим схему e-захвата:
.
,
)
1
,
(
)
,
(
.
.
.
.
ν
ν
+
→
+
+
-
→
+
-
-
n
e
p
Z
A
e
Z
A
з
e
з
e
(4.42)
В 1962 г. было показано, что распад π±-мезонов сопровождается
появлением мюонных нейтрино:
,
~
+
→
+
→
-
-
+
+
μ
μ
ν
μ
π
ν
μ
π
(4.43)
обладающих иными свойствами, нежели электронные нейтрино.
Существовали две теории: Дирака, согласно которой ν не
тождественно ν~ , и Майорана, по которой ν тождественно ν~
. В опытах
Коуэна и Рейнеса (1953 г.) было измерено сечение так называемого
процесса обратного β-распада нейтрона:
,
~
+
+
→
+
e
n
p
ν
(4.44)
существование этого процесса следует из алгебры частиц и схемы (4.41).
Антинейтрино образуется после β-распада осколков деления в ядерных
реакторах (осколки деления перегружены нейтронами). Если ν
89
тождественно ν~ , то с их участием должен идти как процесс (4.44), так и
процесс
.
~
-
+
→
+
e
p
n
ν
(4.45)
Если ν не тождественно ν~ , то процесс (4.45) невозможен, но должен
наблюдаться процесс
.
-
+
→
+
e
p
n
ν
(4.46)
Измерения сечения процесса (4.44) показали, что
,
10
1
,
1
2
43 см
-
⋅
=
ν
σ
(4.47)
в экспериментах в качестве мишени использовалась вода.
Оценка сечения захвата антинейтрино нейтроном по схеме (4.45) была
сделана в опытах Девиса в 1955-1959 годах при регистрации оже --
электронов изотопа аргона Ar
37
18 , образующегося по предположению в
реакции (4.45) на нейтронах, входящих в состав ядер Cl
37
17:
.
~
37
18
37
17
-
+
→
+
e
Ar
Cl
ν
(4.48)
Оценка сечения процесса (4.48) дает:
,
10
25
,
0
2
45 см
-
⋅
≤
σ
(4.49)
что примерно в 400 раз меньше (4.47), т.е. ν не тождественно ν~
.
Для развития современной физики элементарных частиц важное
значение имеет вопрос о массе нейтрино. Ее оценивают исходя из
энергетического баланса β-распада:
,
2
c
m
T
T
T
E
яд
e
⋅
+
+
+
=
ν
ν
β
(4.50)
где Еβ -- энергия, выделяющаяся при β-распаде; Те, Тν, Тяд -- кинетическая
энергия электрона, нейтрино и ядра отдачи; mν -- масса нейтрино. Из (4.50)
вытекает, что
,
max
2
яд
eT
T
E
c
m
-
-
=
⋅
β
ν
(4.51)
90
т.к. приТе =Tе
max энергия Тν = 0, а Тяд = Теme/Mяд. Из выражения (4.51)
видно, что для определения энергии покоя наиболее важно точное
измерение Tе
max. Чем меньше Tе
max и точнее известно Еβ, тем лучше удастся
определить
2
c
mν
. Наилучшие измерения
2
c
mν
выполнены в
экспериментах, основанных на изучении β-
-распада трития:
.
~
3
2
3
1
ν
+
+
→
-
e
He
H
(4.52)
В 1980 г. Любимов с сотрудниками (Институт теоретической и
экспериментальной физики) в этих опытах показали, что
.
46
14
эВ
m≤
≤ν
(4.53)
Проведенные эксперименты по определению массы нейтрино
обнаружили, что эта частица очень слабо взаимодействует с веществом и
«ускользает» от наблюдателя. Пробег нейтрино в твердой среде составляет
порядка 1015 км, а сечение взаимодействия σ составляет величину порядка
10-19 барн.
Понятие о теории ββββ-распада
Процесс β-распада принципиально отличен от других видов
радиоактивного распада тем, что β-частица и нейтрино, являющиеся
продуктом распада, возникают на его заключительной стадии, но
отсутствуют до распада. Здесь есть аналогия с электромагнитным
излучением, в котором фотон возникает в самый момент излучения. Таким
образом, при β-распаде нейтрон (протон) переходит в протон (нейтрон) и
появляются частицы (
ν
ν~
,
,
,+
-e
e
), которых изначально нет в составе
исходного ядра. Это означает, что взаимодействие частиц при β-распаде
является взаимодействием нового типа. Практическое отсутствие
взаимодействия между β-частицами и нуклонами говорит о чрезвычайной
91
его слабости. Это и послужило поводом назвать данное взаимодействие
«слабым».
Энергетическая слабость взаимодействия, ответственного за β-распад,
позволяет применить теорию возмущений, согласно которой вероятность
перехода в единицу времени из начального состояния в конечное:
,
dE
dn
dτ
Ψ
H
Ψ
2π
dt
dP
2
i
'
*f
∫⋅
⋅
⋅
⋅
=h
(4.54)
где Ψi, Ψf -- начальные и конечные волновые функции (ВФ) системы, Н′ --
оператор возмущения, dn/dE -- плотность конечных состояний,
ν
β
τ
dV
dV
dV
dV
d
f
i
N
N
⋅
⋅
⋅
=
-- элемент конфигурационного пространства, где
dV = 4 πr2dr.
В нашем случае Ψi совпадает с начальной волновой функцией нуклона
в ядре ΨNi, а функция
,
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
ν
e
N
f
f
⋅
⋅
=
(4.55)
где f
N
Ψ -- ВФ конечного состояния нуклона, Ψе -- ВФ β-частицы, Ψν -- ВФ
нейтрино или антинейтрино. Все частицы, участвующие в β-распаде, --
фермионы, поэтому каждая из них должна описываться
четырехкомпонентной ВФ -- биспинором
()
( )
-
-
E
E
4
3
2
1
2
1
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
. Два компонента
описывают спин частицы, а еще два -- возможные значения полной энергии
Е=
2
2
4
2
c
p
c
m
⋅
+
⋅
±
. Оператор Н′ в свою очередь является сложной
комбинацией этих биспиноров и четырех γ-матриц, описывающих спин и
изоспин.
Вообще говоря, из 4 биспиноров можно построить 256 линейно
независимых типов взаимодействия. Но требование лоренц-
92
инвариантности сокращает их до 5, при этом оператор Н′ записывается в
форме
,
5
1∑=
′
⋅
=
′
i
i
iH
C
H
(4.56)
где коэффициенты Сi в силу предположения об инвариантности слабых
процессов относительно обращения времени являются действительными.
Сравнение теории и эксперимента позволило оставить в (4.56) только
два слагаемых. Первое соответствует так называемому векторному
взаимодействию и описывается коэффициентом CV, а второе -- аксиально-
векторному с коэффициентом CА:
.
5
1
A
A
V
V
i
i
i
H
C
H
C
H
C
H
′
⋅
+
′
⋅
=
′
⋅
=
′∑=
(4.57)
Первое слагаемое было единственным в теории β-распада, созданной
Ферми в 1934 г. и являющейся исторически первой. Ему соответствуют
переходы с сохранением четности и спина материнского и дочернего ядер,
называемые фермиевскими:
0
0
=
-
=
Δ
=
-
=
Δ
Д
M
Д
M
I
I
I
P
P
P}
Второе слагаемое и отвечающие ему β-переходы называются гамов-
теллеровскими; это слагаемое было введено в теории β-распада Гамова-
Теллера. Переходы второго типа осуществляются с сохранением четности,
а изменение спина ядра ΔI = 0, ±1:
1
,
0
0
±
=
-
=
Δ
=
-
=
Δ
Д
M
Д
M
I
I
I
P
P
P}
Операторы наблюдаемых физических величин согласно общим
представлениям квантовой механики должны удовлетворять требованию, в
соответствии с которым они равны своим эрмитово-сопряженным
операторам:
*
~f
f
f
)
)
)
=
=+
, где операция комплексного сопряжения
93
обозначена звездочкой (∗), а операция транспонирования оператора --
тильдой (∼) над символом оператора. Оператор f~
) называется
транспонированным по отношению к оператору f)
, если
dq
Φ)
f
Ψ(
dq
Ψ)
f
Φ(∫
∫
⋅
=
⋅
)
)
, где Φ и Ψ -- некоторые функции. То есть оператор
физической величины должен быть эрмитов. Из любого оператора f)
можно сконструировать эрмитов оператор по правилу
(),
2
1
+
+
=
f
f
Q
)
)
)
(4.58)
действительно, ( ) ( ) .
2
1
2
1
Q
f
f
f
f
Q
)
)
)
)
)
)
=
+
=
+
=
+
+
+
+
(4.59)
С учетом сделанных замечаний оператор возмущения Н′ следует
записать в виде
(
),
.
.
2
1
с
э
H
C
H
C
H
A
A
V
V
+
′
⋅
+
′
⋅
=
′
(4.60)
где СV соответствует векторному, а СА -- аксиально-векторному слабому
взаимодействию; э.с. означает оператор, эрмитово-сопряженный первым
двум слагаемым.
Операторы Н′V и Н′А строятся каждый через свою константу
взаимодействия и содержат операторы уничтожения и рождения нуклонов,
так что (4.50) можно записать в виде
(
),
.
.
2
с
э
Q
Q
G
H
A
V
V
+
⋅
+
=
′
)
)λ
(4.61)
где λ = GA/GV. Здесь GA и GV -- константы слабого взаимодействия,
подлежащие экспериментальному определению. Оператор V
Q) не
действует ни на пространственные, ни на спиновые переменные нуклонов.
Поэтому он не изменяет ни четности, ни спина ядра. Оператор A
Q)
не
94
может изменить четности ядра, но может изменить спин на единицу или не
изменить его. Операторы V
Q)иA
Q) удобно вводить в форме безразмерных
величин, а константе GV приписывать размерность эрг⋅см3, поскольку
плотность состояний можно рассматривать не только как плотность
состояний по энергии, но и как плотность состояний в пространстве.
Действительно, состояние частицы определяется ее положением в
конфигурационном пространстве, т.е. ее положением в трехмерном
геометрическом пространстве и трехмерном пространстве импульсов.
Пусть рассматриваемая частица находится в объеме V трехмерного
геометрического пространства и может иметь импульс произвольного
направления, но равный по абсолютной величине импульсу из интервала
[]
dp
p
p+
,
. Частица с такими значениями импульса может находиться в
объеме
dp
p⋅
2
4π
трехмерного импульсного пространства. В итоге объем
конфигурационного пространства, в котором находится частица, равен
dp
p
V⋅
⋅
⋅
2
4π
.
Предположим теперь, что объем V имеет кубическую форму, т.е.
V = L3, где L -- длина ребра куба. Волновая функция частицы, находящейся
в замкнутом объеме, должна быть решением уравнения Шредингера для
частицы с постоянной энергией и должна удовлетворять условию
периодичности на границе объема:
,
2
i
i
n
L
k
⋅
=
⋅
±
π
(4.62)
где
hi
iP
k=
±
; i = x, y, z; ni = 1, 2, ... -- квантовое число. Перепишем (4.62) в
виде
,
2i
i
n
L
p
⋅
⋅
=
⋅
h
π
(4.63)
95
откуда видно, что объем конфигурационного пространства частицы,
находящейся в объеме V с импульсом, компоненты которого принимают
значения из интервалов (0, рх), (0, рy), (0, рz), равен
.
)
2
(3
z
y
x
z
y
x
n
n
n
V
p
p
p
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
h
π
(4.64)
Произведение
z
y
x
n
n
n
⋅
⋅
есть число состояний частицы в данном
конфигурационном объеме. Следовательно, каждому состоянию отвечает
определенный объем конфигурационного пространства, равный
3)
2
(h
⋅
π
.
Таким образом, если частица находится в конфигурационном объеме
dp
p
V⋅
⋅
⋅
2
4π
, то число состояний, соответствующее этому объему, равно
,
)
2
(
4
3
2
h
⋅
⋅
⋅
⋅
=
π
π
ν
dp
p
V
d
(4.65)
а значит, плотность состояний
.
)
2
(
4
3
2
h
⋅
⋅
⋅
=
=
π
π
ν
dp
p
V
d
dn
(4.66)
В β-распаде рассматривается появление двух частиц -- β-частицы и
нейтрино, поэтому общая плотность состояний будет
.
46
4
2
2
h
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
π
ν
ν
ν
β
dp
p
dp
p
dn
dn
dn
e
e
(4.67)
Чтобы перейти от дифференциалов по импульсам к дифференциалам
по энергии частиц, вспомним, что полная энергия связана с импульсом
соотношением (1.4), дифференцируя которое, найдем:
.
2
2dp
p
c
dE
E
⋅
⋅
=
⋅
(4.68)
Используем (4.68) для преобразования (4.67):
.
4
4
6
4
cdE
p
E
dE
p
E
dn
e
e
e
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
h
π
ν
ν
ν
(4.69)
Здесь Ее -- полная энергия β-частицы (не путать с энергией β-распада).
96
В формуле (4.54) для вероятности процесса энергии частиц,
участвующих в процессе, связаны между собой законом сохранения
энергии, поэтому для β-распада в качестве плотности состояний dn/dE
можно взять соотношение
e
e
e
dE
c
p
E
p
E
dE
dn
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
4
6
4
4h
π
ν
ν
ν
(4.70)
с размерностью
⋅6
1
см
эрг
.
Подставляя (4.70) в (4.54), найдем функцию, которая определяет
форму энергетического спектра β-частиц:
,
2
4
7
3
2
2
ν
ν
π
p
E
p
E
c
M
dE
dt
P
d
e
e
e
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
h
(4.71)
где∫⋅
Ψ
⋅
⋅
Ψ
=
τ
d
H
M
i
f'
*
-- матричный элемент процесса β-распада;
e
e
e
E
c
m
c
m
T
T
c
m
E
-
+
+
=
+
=
2
2
max
2
ν
ν
ν
ν
(здесь предполагается, что
кинетическая
энергия
дочернего
ядра равна
нулю);
4
2
2
1
c
m
E
c
p
⋅
-
=
ν
ν
ν
; max
e
T -- максимальная кинетическая энергия β-частиц.
Интегрируя (4.71) по e
dE с учетом того, что матричный элемент
2
M
слабо зависит от e
E , найдем:
).
(
2)
(
)
(
)
(1
2
)
(
)
(
)
(
2
2
ln
1
max
7
3
5
2
2
5
2
6
7
3
5
2
2
6
7
3
2
2
2
/
1
max
2
max
2
max
2
e
e
E
c
m
e
e
e
e
e
E
c
m
e
e
e
E
c
m
e
e
E
F
c
c
m
M
dE
c
p
p
E
E
c
m
c
c
m
M
dE
c
p
c
p
E
E
c
M
dE
dE
dt
P
d
T
e
e
e
e
e
e
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
∫
∫
∫
h
h
h
π
π
π
τ
λ
ν
ν
ν
ν
(4.72)
Функция )
( max
e
E
F
безразмерна. Ее произведение на время жизни ядра
λ
τ/
1
=
относительно β-распада постоянно для данного ядра и равно
.
)
(
2
)
(
5
2
7
3
max
c
m
M
c
E
F
e
e
⋅
⋅
⋅
=
⋅
h
π
τ
(4.73)
97
Правая часть (4.73) не зависит от времени жизни ядра τ и слабо
зависит от энергии β-частиц Ее, т.е. для β-распадов ядер с приблизительно
одинаковым модулем матричного элемента М произведение (4.73) является
одинаковым, несмотря на то что различие по τ может быть колоссальным
(например, 10 порядков величины).
Бета-переходы для различных β-радиоактивных нуклидов делятся на
разрешенные и запрещенные. В каждой из этих групп есть подгруппы (см.
таблицу), которые определяются величиной lg(F ⋅ τ).
Группы
Разрешенные (l = 0)
Запрещенные (l ≥ 1)
Подгруппы
сверх
нормально 1-го порядка 2-го порядка 3-го порядка
Среднее
значение
lg(F⋅τ)в
подгруппе
3,5
5
9
15
18
Разделение переходов на запрещенные и разрешенные производится
по суммарному орбитальному моменту l, уносимому парой частиц β--ν.
Переход называется разрешенным, если l = 0. Переход называется
запрещенным 1-го порядка при l = 1, 2-го порядка при l = 2 и так далее.
Действительно, оценим максимальное значение параметра удара, с
которым электрон или нейтрино покидают ядро, пользуясь соотношением
)
1
(+
⋅
=
⋅
=
l
l
p
l
h
rρ
(4.74)
и полагая энергию этих частиц релятивистской, т.е. р = Е/с. Тогда из (4.74)
получаем:
.
см
,
)
МэВ
(10
2
)
МэВ
(
)
эрг
(
10
6
.
1
)
с
/
см
(
10
3
)
с
эрг
(
10
054
.
1
11
6
10
27
1)
(l
l
Е
1)
(l
l
Е
1)
(l
l
E
c
ρ
+
⋅
⋅
⋅
=
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
=
-
-
-
h
(4.75)
Из (4.74) видим, что для выполнения условия ρ < R надо положить
l = 0, т.к. даже для максимальной энергии электрона в β-распаде,
98
наблюдающейся в процессе
O
N
12
7
12
8
→ иравнойЕ=16,6МэВ,иl=1имеем
ρ = 1,7⋅10-12 см, что существенно больше радиусов наиболее крупных ядер
R≅1⋅10-12 см.
Таким образом, испускание электронов и нейтрино должно
происходить симметрично относительно центра масс ядра -- по линии,
являющейся продолжением диаметра, т.е. с l = 0. Переходы с l ≥ 1
маловероятны и относятся к запрещенным.
Однако спин ядра, образовавшегося в ходе β-распада, может все-таки
отличаться от спина материнского ядра даже для процесса с le = lν = 0.
Имеется две возможности:
1. Электрон и нейтрино испускаются с противоположно направленными
спинами. Тогда полный момент, уносимый обеими частицами, равен
0.
l
l
S
S
ν
e
ν
e
=
+
+
+
(4.76)
0
2
1
2
1
=
±m
Ориентация спина у преобразовавшегося нуклона сохраняется.
Следовательно, момент ядра не изменится: ΔI = 0. Эти переходы
соответствуют гамильтониану Ферми (первое слагаемое в (4.60) и (4.61),
т.е. векторному типу взаимодействия.
2. Электрон и нейтрино испускаются с одинаково направленными
спинами:
1.
l
l
S
S
ν
e
ν
e
=
+
+
+
(4.77)
0
2
1
2
1
=
±
±
Ориентация спина нуклона меняется на обратную. Возможные изменения
спина ядра ΔI = 0, ±1. Если спин исходного ядра I = 0, то ΔI = 1, т.е.
переходы типа (0-0) невозможны. Переходы, протекающие согласно (4.77),
99
соответствуют гамильтониану Гамова-Теллера (второе слагаемое в
формулах в (4.60) и (4.61), т.е. аксиально-векторному взаимодействию.
В (4.71) остается нераскрытым квадрат модуля матричного элемента
М 2. Для его нахождения подставим гамильтониан возмущения (4.61) в
выражение для М 2. Результат такой подстановки с учетом волновой
функции начального и конечного состояний может быть представлен в
виде
{}),
,
(
1
2
2
2
2
2
2
e
V
p
Z
C
G
M
⋅
⋅
+
⋅
=
σ
λ
(4.78)
где введены часто используемые обозначения: <1> -- для матричного
элемента Ферми, содержащего векторный оператор V
Q)
, и <σ>--для
матричного элемента Гамова-Теллера, содержащего A
Q)
. Соответственно
первое слагаемое в (4.78) отвечает переходам Ферми, второе -- переходам
Гамова-Теллера. Функция )
,
(e
p
Z
C
иногда называется функцией Ферми и
учитывает искажение волновой функции электрона или позитрона в
электростатическом поле ядра и атомных электронов. Для β+-распада С < 1
(электростатическое
поле
ядра
выталкивает позитрон наружу). Для
β-
-распада С > 1 (электростатическое
поле втягивает электрон внутрь). Для
малых Z С ≅ 1 в широком интервале
энергий Ее. При этом форма
энергетического распределения около
нуля несколько изменяется в зависимости
от типа испускаемых частиц (рис. 4.9).
Подставляя (4.78) в (4.71), найдем:
{}
ν
ν
σ
λ
π
p
E
p
E
p
Z
C
c
G
dE
dP
dE
dt
P
d
e
e
e
V
e
e
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
)
,
(
1
4
2
2
2
4
7
3
2
2
h
. (4.79)
Рис. 4.9
Te
dT
dN
max
e
T
e
T
β-
β+
100
В этой формуле часто полагают mν = 0, тогда
.
)
(
1
)
(
1
2
max
2
2
max
2
e
e
e
e
e
T
T
c
E
c
m
T
c
c
E
p
E
-
=
-
+
⋅
=
=
⋅
ν
ν
ν
(4.80)
Для переходов типа (0+ -- 0+) -- типа:
,
0
,
2
1
=
σ
=
(4.81)
что позволяет по экспериментальным данным для (4.78) найти константу
слабого взаимодействия:
3
49
10
)
0011
,
0
4150
,
1
(
см
эрг
GV
⋅
⋅
±
=
-
. (4.82)
Изучение -
β -распада нейтрона позволило определить λ = 1,26±0,02 с-1.
Если энергию и импульс электрона измерять в единицах me⋅ c2 или
me⋅ c, то, введя обозначения:
2
e
2
e
max
e
0
e
e
2
2
e
e
c
m
c
m
T
ε
,
c
m
p
1
ε
,
c
m
E
ε
+
=
=
-
=
(4.83)
и используя (4.80), получим
{}
,
)
(
1
)
,
(
1
2
2
0
2
2
2
2
3
2
2
2
ε
ε
ε
ε
σ
λ
π
ε
-
⋅
-
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
e
e
p
Z
C
g
c
m
d
dtdP
h
(4.84)
где вводится безразмерная константа слабого взаимодействия
,
10
)
002
,
0
082
,
2
(
12
3
-
-
⋅
±
=
⋅
=
c
m
c
m
2
G
g
e
2
e
Vh
(4.85)
здесь c
me
h -- комптоновская длина волны электрона.
Как известно, в электромагнитном взаимодействии аналогичную роль
играет постоянная
.
137
1
c
e2
=
h
(4.86)
Сравнение констант (4.85) и (4.86) как раз позволяет говорить, что
слабое взаимодействие на десять порядков величины меньше
электромагнитного.
101
4.3. γγγγ-излучение ядер
Большинство атомных ядер, возникающих в результате α- или
β-распада либо в ядерных реакциях, находятся в возбужденных
состояниях. Время пребывания в таком энергетическом состоянии
определяется средним временем жизни ядра τ. Переход ядра из
возбужденного состояния в основное или состояние с меньшей энергией
может проходить путем испускания γ-излучения. Гамма-излучение ядер
есть самопроизвольное испускание ядром γ-квантов. При этом ядро
переходит из возбужденного состояния в состояние с меньшей энергией
без изменения А и Z. По своей природе γ-кванты представляют собой
коротковолновое электромагнитное излучение ядерного происхождения,
обусловленное взаимодействием отдельных нуклонов с электромагнитным
полем. Энергетический диапазон γ-квантов составляет
МэВ
5
01
,
0
≤
≤γ
E
(или по длине волны
см
8
11 10
10
2
-
-≤
≤
⋅
λ
). В большинстве случаев гамма-
излучение является сопутствующим при радиоактивных превращениях
ядер.
При гамма-излучении выполняются законы сохранения энергии,
импульса, момента количества движения и четности. Энергия γ-излучения
равна
.
яд
γT
E
E+
=
(4.87)
Из закона сохранения импульса
яд
γP
Pr
r
=
(4.88)
получаем, что
.
2
яд
2
γ
яд
с
M
2
E
T
⋅
⋅
=
(4.89)
102
Для ядер с А = 100 при испускании γ-квантов с характерными энергиями
0,1--1,0 МэВ яд
T составляет порядка 0,1--10,0 эВ, поэтому можно считать,
что большая часть энергии уносится гамма-квантом ( E
E≈
γ)ис
точностью до незначительной энергии равна разности энергетических
уровней, между которыми осуществляется гамма-переход. Поэтому
энергетический спектр γ-излучения дискретен.
Ввиду малости постоянной электромагнитного взаимодействия, что
много меньше единицы, вероятность испускания γ-излучения можно
рассчитать методами теории возмущения, зависящими от времени.
Вероятность γ-излучения в единицу времени описывается уравнением
,
dE
dn
M
2π
dt
dP
2⋅
⋅
=h
(4.90)
где
dτ
ψ
Н
ψ
M
н
*
к
⋅
⋅
′
⋅
= ∫ -- матричный элемент, Ψк, Ψн -- конечная и
начальная ВФ-системы, Н′ -- оператор возмущения, dn/dE -- плотность
конечных состояний, dτ -- элемент конфигурационного пространства. Для
того чтобы матричный элемент был отличен от нуля и гамма-переход
оказался возможен, необходимо, чтобы волновые функции начального и
конечного состояния системы удовлетворяли определенным условиям.
Выполнение законов сохранения момента количества движения и четности
в данном процессе также требует соблюдения так называемых правил
отбора для испускаемого фотона.
Если ядро имеет два состояния с определенными значениями момента
количества движения и четности --
н
Р
н
Jи
к
Р
к
J , между которыми
осуществляется гамма-переход (рис. 4.10), то момент количества движения
и четность γ-кванта определяются условиями
к
н
γ
к
н
J
J
J
J
J
+
≤
≤
-
или
,
γ
н
к
J
J
J+
=
(4.91)
γ
н
кР
Р
P⋅
=
или
.
н
к
γР
P
Р⋅
=
(4.92)
103
При гамма-распаде фотоны могут уносить
различный момент количества движения J
(кроме J = 0, поскольку гамма-квант есть
поперечная волна). Гамма-излучение с J = 1
называется
дипольным,
с J=2--
квадрупольным, с J = 3 -- октупольным и т.д. В
зависимости от перераспределения электрического заряда или спинов и
магнитных моментов нуклонов при взаимодействии отдельных нуклонов
ядра с электромагнитным полем испускаемое гамма-излучение делится на
два типа -- электрическое (обозначается как Е1, Е2 и т.д.) и магнитное (М1,
М2 и т.д.) соответственно.
С учетом того, что полный момент фотона есть сумма его
орбитального момента и спина
,
γ
γ
γ
S
L
J+
=
для фиксированного J фотона
его орбитальный момент L = J ± 1, J. Внутренняя четность γ-кванта
отрицательна (фотон -- квант векторного поля), поэтому полная четность
фотона равна
.
1)
(
1)
(
π
P
1
L
L
γ
γ
+
-
=
-
⋅
=
(4.93)
Тогда для фотонов с определенным J имеем разные L и, следовательно,
разные четности:
1
J
1)
(
P
J,
L
+
-
=
=
-- магнитные фотоны;
J
1)
(
P
1,
J
L
-
=
±
=
-- электрические фотоны.
Таким образом, правила отбора по четности приобретают следующий вид:
J
н
к
1)
(
Р
P
-
=
⋅
(4.95)
для электрических фотонов и
1
J
н
к
1)
(
Р
P
+
-
=
⋅
(4.96)
для магнитных. Примеры некоторых гамма-переходов показаны на
рис. 4.11.
E
E'
н
Р
н
J
к
Р
к
J
γ
P
γ
J
Рис. 4.10
104
Кроме правил отбора по моменту и четности гамма-переходы должны
удовлетворять правилам отбора по изотопическому спину ядра. Они
заключаются в следующем: при испускании гамма-кванта ядром
изменение изотопического спина ядра должно быть равно
1
,
0±
=
ΔT
,а
проекция
изотопического
спина --
0
=
ξ
ΔT . Существующие
экспериментальные данные на сегодняшний день не противоречат
установленным правилами отбора. В некоторых случаях возможно
каскадное излучение гамма-квантов с изменением изотопического спина
ядра, равного
2
=
ΔT , из состояния с Т=2 в состояние Т=0 через
состояние с Т = 1.
В конце отметим некоторые обобщающие закономерности
γ- переходов:
1. Вероятность γ-перехода уменьшается с ростом значения J фотона.
2. При J = const вероятность излучения магнитных γ-квантов меньше,
чем электрических.
3. Гамма-переходы протекают с соблюдением правил отбора по
моменту количества движения, четности и изотопическому спину.
4. Из-за сильной зависимости вероятности γ-излучения от J один из
двух главных переходов значительно преобладает над другим.
Экспериментальное изучение гамма-излучения проводится по
характеристикам вторичного излучения, возникающего в результате
взаимодействия фотонов с веществом (фотоэффект, Комптон-эффект,
эффект образования пар и др.) и позволяющего судить об энергии и
угловом распределении γ-излучения.
Е1
-
1
+
0
M1
+
1
+
0
E2
+
2
+
0
M2
-
2
+
0
Рис. 4.11
105
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. В 2 кн. Кн. 1 Физика
атомного ядра / К.Н. Мухин. М. : Энергоатомиздат, 1993. 316 с.
2. Капитонов И.М. Введение в физику ядра и частиц : учеб. пособие /
И.М. Капитонов М. : Едиториал УРСС, 2002. 384 с.
3. Изотопы: свойства, получение и применение : в 2 т. / под ред.
В.Ю. Баранова. М. : Физматлит, 2005. 1440 с.
4. Широков Ю.М. Ядерная физика / Ю.М. Широков, Н.П. Юдин. М. :
Наука, 1980. 727 с.
5. Власов Н.А. Нейтроны / Н.А. Власов. М. : Наука, 1971. 550 с.
6. Алукер Э.Д. Воздействие ионизирующих излучений на вещество : учеб.
пособие. В 2 ч. Ч.1. Основы ядерной физики и теории столкновения
частиц / Э.Д. Алукер, И.М. Ободовский. Кемерово : КОЦМИ, 2000. 195 с.
106
Учебное издание
Радченко Валерий Иванович
Рябухин Олег Владимирович
Ядерная физика
Часть I
Редактор Е.А. Ишунина
Компьютерная верстка авторская
ИД No 06263 от 12.11.2001 г.
Подписано в печать
Бумага писчая
Уч.-изд. л. 5,2
Плоская печать
Тираж 70
Формат 60х84 1/16
Усл. печ. л. 6,28
Редакционно-издательский отдел УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, Мира, 19
rio@mail.ustu.ru