/
Автор: Выгодский М.Я.
Теги: фундаментальные и общие проблемы математики математика справочник высшая математика
Год: 1977
Текст
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
СПРАВОЧНИК
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
0
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА'1 УРЫ
МОСКВА 1977
517 (083)
В 92
УДК 510 (083)
В
20203—002
--------- Б 3-77
053 (02)-77
ОГЛАВЛЕНИЕ
Что можно найтй в справочнике ............,............... 15
Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии .......
Ч 2. Координаты .......................................
§ 3. Прямоугольная система координат .................
§ 4. Прямоугольные координагы .....................,.....
§ 5. Координатные углы ...............................
| 6. Косоугольная система координат...................
§ 7. Уравнение линии .................................
Ч 8. Взаимное расположение линии к точки ..............
5 9. Взаимное расположение двух линий .................
§ 10. Расстояние между двумя точками ,.................
§11. Деление отрезка в данном отношении................
И|а. Деление отрезка пополам...........................
J 12. Определитель второго порядка ....................
§ 13. Площадь треугольника ............................
§ 14. Прямая линия, уравнение, разрешенное относительно орди-
наты («с угловым коэффициентом») .......................
§ 15. Прямая, параллельная оси ........................
§ 16. Общее уравнение прямой...........................
§17. Построение прямой по ее уравнению................
§ 18. Условие параллельности прямых ...................
§ 19. Пересечение прямых ...............................
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых ..........
§21. Угол между двумя прямыми.........................
§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
§ 23 Уравнение прямой, проходящей через две точки.....
§ 24. Пучок прямых.....................................
§ 25 Уравнение прямей, проходящей через данную точку парал-
лельно данной прямой....................................
5 26 , Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпен-
дикулярно к данной прямой ..............................
§27. Взаимное расположение прямой и пары точек........
§ 28 Расстояние от точки до прямой....................
s 29 Полярные параметры прямой ........................
§ 30. Нормальное уравнение прямой......................
§ 31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду...
§ 32. Отрезки на осях .................................
§ 33. Уравнение прямой в отрезках.................,....
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса)....
§ 35. Перенос начала координат ........................
§ 36. Поворот осей ....................................
§ 37. Алгебраические линии и их порядок ...............
§ 38. Окружность .....................................
26
28
29
30
30
32
33
34
37
37
39
40
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 39 Разыскание центра и радиуса окружности ...........
§ 40 Эллипс как сжатая окружность......................
5 41 Другое определение эллипса .......................
§ 42. Построение эллипса по его осям...................
§ 43. Гипербола........................................
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси ..................
§ 45 построение гиперболы по ее осям ..................
8 46 Асимптоты гиперболы ..............................
§ 47 Сопряженные гиперболы ............................
8 48 Парабола .........................................
8 49 Построение параболы по данному параметру р .........
8 50. Парабола как график уравнения у » й№+6х+с ., .......
8 51 Директрисы эллипса и гиперболы....................
$ 52 Общее определение эллипса, гиперболы и параболы...
§ 53 Конические сечения .................................
§ 54 Диаметры конического сечения........................
8 55. диаметры эллипса ................................
§ 56. Диаметры гиперболы...............................
5 57 . Диаметры параболы .............................
§ 58. Линии второго порядка ...........................
§ 59 Запись общего уравнения второй степени.........
§ 60. Упрощение уравнения второй степени общие замечания
§ 61 Предварительное преобразование у равнения второй степени
§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй сте-
пени ....................... ...........•..............
§ 64. Признак распадения линий второго порядка ........
§ 65. Разыскание прямых, составляющих распадающуюся линию
второго порядка .. ...............................
§ 66 Инварианты у равнения второй степени .............
§ 67. Три типа линий второго порядка............
§ 68 Центральные и нецентральные линии второго порядка . .
§ 69 Разыскание центра централ! ной линии второго порядка ..
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка
§ 71. равносторонняя гипербола как график уравнения У* — .,
54
56
58
60
61
63
64
64
65
66
67
67
70
71
74
75
76
77
79
80
81
82
82
85
91
92
93
Об
98
101
102
103
105
§ 72, равносторонняя гипербола как график уравнения у «- + 106
§73 Полярные координаты............................ 108
§ 74 Связь между полярными координатами и прямоугольными 110
£75 Архимедова спираль ........................... 113
£76 Полярное уравнение прямой...................... .. 114
§ 77. Почяпное уравнение конического сечения.......... 115
аналитическая геометрия в пространстве
£ 78. Понятие о векторах и скалярах ........................ 116
§ 79 Вектор в геометрии ............................. 116
§80 Векторная алгебра ................................. 117
£81 Коллинеарные векторы........................... ... 117
£82 Нуль-вектор.................................... 118
£83 Равенство векторов................................ П8
£ 84 Приведение векторов к общему началу............... 119
£85 Противоположные векторы........................ 119
§86 Сложение векторов .............................. П9
£ 87 Сумма нескольких векторов...................... 121
§ 88. Вычитание векторов............................ 122
§ 89. Умножение и деление вектора на число ................ 123
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
1
1
I
*
J
>
I
§ 90 Взшмная связь коллинеарных векторов ( шление вы тора
мт ве «тор)
§ 91 Проекция ючки на ось
§ 92 Проекция вектор 1 на ось
§ 9? Основные теоремы о проекциях век!ора
§ 94 Прямоугольная система коор (ина! в пространстве
§ 95 Координаты точки .... .........
§ 96 Координат! г вег торт
97 Выражения вектора через компоненты и через координаты
5 98 Дейшвия изд векторами, зз данными своими координатами
§ 99 Выражение вектор i через радиусы Векторы его начала и
КОНЮ ...
§100 Длина вектора Расстояние между двумя точками
3 101 Угол между ос! ю координат и ве! тором
102 Признак коллинеарности (параллельности) векторов
3 03 Деление отрезка в данном отношении
S; 104 Скалярное произведение двух векторов
§ 104а Физический смысл скалярною произведения
§ 105 Свойства скалярного произведения
§ 106 Скалярньг- произведения основных векторов
§107 Выражение скалярнсм о произведения через координаты
сомножителей ................... . . .
5 108 Условие перпсндякулярпссти векторов
§109 Угол между векторами
§110 Пр тая и левая системы трех векторов
§111 Векторное произведение двух векторов
§ 112 Свойства векторного произведения
§ 113 Векторные произведения основные векторов
S 114 Выражение векторного произведения через коор (инаты
сомножителей .
§ 115 Компланарные векторы ... . ..
s 116 Смешанное г роизве 1ение
§ 117 Свойства смешанного произведения
§ 118 Определитель третьего порядка
§119 Выражение смешанного произведения через координаты
сомножителей ... . .
§ 120 Признак компланарности в координатной форме
§ 121 Объем параллелепипеда
§122 Двойное векторное произведение . ,
§ 123 Уравнение плоскости
§ 124 Особые случаи положения Плоскости относительно си-
стемы координат .... . , . , , ,
§ 125 Условие параллельности плоскостей
§ 126 Условие перпендикулт рносги плоскостей ,.
§127 Угол между Двумя плоскостями
§ 128 Плоскость, проходящая через данную точку параллельно
данной плоскости
§ 129 •Плоскость проходящая через три точки .
§ ПО От резки нт осях ..
§ *81 Уравнение плост оС"И в отрезках
§ 132 Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно
к Данной плоскости
§ 133 Плоскость прохоляшзя через дшпяэ точку repnen щ-
КУЛЯРНО К ЛВС м плоскостям . . ....
§ 134 Точка пересечения трех плоскостей
§135 Взаимное расположение плоскости и пары точек .... . .
§ 136 ’Расстояние от точки до плоскости
§ 137 Полярные параметры плоскости . ....
§ 1ч8 Нормальное уравнение плоскости .
§ 139 Приведение уравнения плоскости к нормальному виду
124
124
125
127
129
130
131
132
132
133
133
134
135
135
136
137
138
139
140
141
141
142
143
145
146
147
149
149
150
151
154
154
155
156
156
157
158
159
159
160
160
161
161
162
163
163
165
165
166
167
163
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
g 140. Уравнения прямой в пространстве..................
| 141. Условие, при которой два уравнения первой степени
представляют прямую ...................................
g 142. Пересечение прямой с плоскостью .................
§ 143. Направляющий вектор .............................
§ 144. Углы между прямой и осями координат..............
145. Угол между двумя прямыми ........................
§ 146. Угол между прямой и плоскостью ..................
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой
и плоскости ...........................................
§ 148. Пучок плоскостей...............................
| 149. Проекции прямой па координатные плоскости .........
§ 150. Симметричные уравнения прямой ...................
§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду .,,
§ 152. Параметрические уравнения прямой.................
g 153 Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически
& 151. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки .
g 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой '....................
g 156. Уравнение прямой, проходящей через данную точку пер-
пендикулярно к данной плоскости .......................
g 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и
данную прямую........................................
J 158, Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и
параллельной двум данным прямым .......................
§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой ...................
§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости..................
§ 161, Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную прямую ......................................
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на
данную прямую..........................................
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат
в одной плоскости .....................................
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным пря-
мым ............................................... 192
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми .........
§ 165а . Правые и левые пары прямых......................
§ 166. Преобразование координат .......................
£ 167. У равнение поверхности ....................
g 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие па-
раллельны одной из осей координат .....................
§ 160. Уравнения линии ................................
§ 170. Проекция линии на координатную плоскость .......
g 171. Алгебраические поверхности и их порядок ........
§ 172, Сфера ..........................................
| 173. Эллипсоид ......................................
§ 174. Однополостпый гиперболоид ......................
£ 175. Двуполостный гиперболоид .. ....................
g 176. Конус второго порядку...........................
£ 177. Эллиптический параболоид .......................
£ 178. Гиперболический параболоид .................
g 179. Перечень поверхностей второго порядка ..........
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго по-
рядка .................................................
£ 181. Поверхности вращения............................
§ 182. Определители второго и третьего порядка .............
£ 183. Определители высщих порядков....................
£.184. Свойства определителей ........... *............
170
171
172
174
175
175
176
177
177
179
180
182
183
184
185
185
185
186
187
187
188
188
190
191
194
195
197
198
198
200
201
203
204
204
208
210
211
213
214
216
219
220
221
224
226
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 185. Практический прием вычисления определителей...... 229
§ 186. Применение определителей к исследованию и решению си-
стемы уравнений......................................... 231
J 187 Два уравнения с двумя неизвестными.................232
$ 188. Два уравнения с гремя неизвестными................233
§ 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными 235
$ 190. Три уравнения с тремя неизвестными................237
§ 190а . Система п уравнений с п неизвестными ......... 240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
243
244
244
246
246
247
249
251
253
254
255
256
257
259
260
261
261
262
6
$
$
&
§
§
$
5
$
191. Вводные замечания .......................
192, Рациональные числа ............................. !
193. Действительные (вещественные) числа ............ :
194, Числовая ось.....................................
195. Переменные и постоянные величины.................
196. Функция............................... .........
197. Способы задания функции .........................
198. Область определения функции .....................
199, Промежуток.......................................
, 200. Классификация функций .........................
S 201, Основные элементарные функции..................
$ 202. Обозначение функции ...........................
§ 203. Предел последовательности..................... :
$ 204, Предел функции.................................:
£ 205. Определение предела функции ................ ;
§ 206. Предел постоянной величины .................. !
§ 207. Бесконечно малая величина ................... :
$ 208. Бесконечно большая величина ...................
§ 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
величинами ............................................
§ 210. Ограниченные величины .........................
$211. Расширение понятия предела .....................
$ 212. Основные свойства бесконечно малых величин ....
$213. Основные теоремы о пределах ....................
§214, Число е ........................................
263
263
264
265
266
268
§ 215. Предел ~~~ при х-> О ........................ 269
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины ........269
S 217. Сравнение бесконечно малых величин............ 271
§ 217а. Приращение переменной величины ............ 273
§ 218. Непрерывное! ь функции в точке ............... 273
| 219. Свойства функций, непрерывных в точке.......... 274
$ 219а.* Односторонний предел; скачок функции..........275
$ 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке .... 276
$ 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом проме-
жутке ............................................... 276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания ........................... 279
§ 223. Скорость...................................... 280
§ 224. Определение производной функции..................281
I 225 Касательная......................................282
$226 Производные некоторых простейших функций ..........284
$ 227. Свойства производной.............................2S5
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 228. Дифференциал ...................................
§ 229. Механическое истолкование дифференциала .... *..
§ 230. Геометрическое истолкование дифференциала.......
g 231. Дифференцируемые функции.......................
§ 232. Дифференциалы некоторых простейших функций .....
§ 233. Свойства дифференциала ........................
§ 234. Инвариантность выражения f' (х) dx.............
g 235. Выражение производной через дифференциалы .....
§ 236. Функция от функции (сложная функция)...........
& 237. Дифференциал сложной функции...................
§ 238. Производная сложной функции.....................
§ 239. Дифференцирование произведения..................
§ 240. Дифференцирование частного (дроби).............
| 241. Обратная функция ..............................
§ 242. Натуральные логарифмы ..........................
§ 243. Дифференцирование логарифмической функции ......
§ 244. Логарифмическое дифференцирование .............
§ 245. Дифференцирование показательной функции........
§ 246. Дифференцирование тригонометрических функций ..
£ 247. Дифференцирование обратных тригонометрических
функций ...............................................
§ 247а . Некоторые поучительные примеры ..............
§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях .......
§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул
§ 250. Дифференцирование неявных функций .............
§ 251. Параметрическое задание линии..................
5 252. Параметрическое задание функции ...............
g 253. Циклоида ......................................
§ 25 4, Уравнение касательной к плоской линии ........
§ 25 4а. Касательные к кривым второго порядка ........
g 255. Уравнение нормали...........................
g 256, Производные высших порядков ...................
$ 257. Механический смысл второй производной .........
£ 258. Дифференциалы высших порядков..................
§ 259. Выражение высших производных через дифференциалы .
§ 260. Высшие производные от функций, заданных параметри-
чески .................................................
§ 261. Высшие производные неявных функций ........* -..
§ 262. Правило Лейбница ..............................
g 263. Теорема Ролля .................................
§ 264. Теорема Лагранжа о среднем значении ...........
g 265. Формула конечных приращений.............. •
§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши)...
О
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида ~.............
286
287
287
288
290
291
291
292
293
293
294
295
296
297
298
300
301
302
303
304
305
307
309
311
313
315
316
318
319
320
321
322
322
325
326
326
328
329
330
333
334
336
§ 268. Раскрытие неопределенности вида —............... 339
g 269. Неопределенные выражения других видов .......... 340
§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора . ..... 342
§ '271. Формула Тейлора................................ 346
§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений
функции .............................................. 348
§ 273. Возрастание и убывание функции ................. 346
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке .... 357
8 274а. Признаки возрастания и Убывания функции в проме-
жутке ............................................ 358
§ 275. Максимум и минимум ........................... 359
§ 276. Необходимое условие максимума и минимума ....... 360
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
я 277. Первое лопаточное условие максимума и минимума .... 361
g 278, Правило разыскания максимумов и минимумов ...... 362
§ 279. Второе достаточное условие максимума и минимума.. 365
§ 280. Разыскание наибольших и наименьших значений функции 368
§ 281. Выпуклость плоских кривых, точка перегиба....... 374
§ 282. Сторона вогнутости ............................. 375
§ 283. Правило для разыскания ючек перегиба............ 376
§ 284. Асимптоты .................................... 377
§ 283. Разыскание аеимпгот, параллельных координатным осям 378
§ 286. Разыскание асимптот, не параллельных оси ординат .... 380
§ 287. Приемы построения графикой ..................... 383
§ 288 Решение уравнений Общие ламечаиия .............. 386
§ 289 Решение уравнений. Способ хорд ................. 388
. 290. Решение уравнений Способ касательных............ 390
s 291. Комбинированный метод хорд и касательных ....... 392
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 29 2, Вводные замечания ................................
§ 293. Первообразная функция ............................
§ 294 Неопределенный интеграл ...........................
§ 295 Геометрическое истолкование интегрирования ........
§ 29G. Вычисление постоянной интегрирования по начальным
данным ..................................................
§ 297. Свойства неопределенного интеграла ...............
§ 298. Таблица интегралов................................
8 299. Непосредственное интегрирование ..................
§ 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогатель-
ную переменную) .........................................
§ 301. Интегрирование по частям..........................
§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выра-
жений ...................................................
§ 303. Т ригономстрические подстановки...................
§ 304. Рациональные функции .............................
§ 30 4а Исключение целой части .. .....................
§ 305 О приемах интегрирования рациональных дробей .......
§ 306. Интегрирование простейших рациональных дробей ....
§ 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) . .
§ 308, О разложении мпсп очлепа на множители ............
§ 309. Об интегрируемости в элементарных функциях .......
§ 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.......
§311. Интеграл от биномиального дифференциала . ........
§ 312. Интегралы вида J" 7? (х, У”<1х24 bx-f е) tlx .......
§313. Интегралы вида J R (ыи х, cos х) с/х .............
§314 Определенный интеграл .............................
§315, Свойства определенного интеграла ...................
§ 316. Геометричс-с кое истолкование определенного интеграла . .
§ 317. Механическое истолкоп„ние определенного интеграла .. .
§ 318 Оценка определенного интеграла.....................
§ 318а Неравенство Буняковского..........................
§ 319. Теорема о среднем интегрально; о исчисления ......
§ 320 Определенный интеграл как функция верхнего предела . .
§321. Дифференциал интеграла............,................
§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона—Лейбница
§ 323, Вычисление определенного интеграла с помощью неопре-
деленного ...................... ,, , г, ................
395
397
398
400
403
404
405
407
408
412
415
418
420
420
421
422
426
433
434
435
436
438
440
441
445
447
448
450
451
451
453
455
457
459
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 324. Определенное интегрирование по чистим ...........
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле .....
§ 326. О несобственных интегралах.......................
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами ..............
§ 328. Интеграл от функции, имеющей разрыв .............
§ 329. О приближенном вычислении интеграла .............
$ 330. Формулы прямоугольников .........................
§ 331. Формула трапеций.................................
§ 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) ......
§ 333. Плоццщи фигур, отнесенных к прямоугольным координатам
§ 334. Схема применения определенного интеграла.........
S 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . ..
§ 336. Объем тела по поперечным сечениям ...............
$ 337. Объем тела вращения .............................
§ 338. Длина дуги плоской линии ........................
§ 339. Дифференциал дуги ...............................
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах
§ 341. Площадь поверхности вращения ....................
461
462
466
467
472
475
478
480
481
483
485
487
489
490
491
493
494
496
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ линиях
§ 342. Кривизна ........................................
§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии .....
§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плос-
кой линии . ........................................ .
g 345. Эволюта плоской линии .....‘................ . . .
§ 346. Свойства эволюты плоской линии . ..... . ......
§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии .........
§ 348. Параметрическое задание пространственной линии...
§ 349. Винтовая линия ..................................
§ 350. Длина дуги пространственной линии ...............
§ 351. Касательная к пространственной линии ........
§ 352. Нормальная плоскость .........................
§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента .............
§ 354. Предел вектор-функции .................. ......
§ 355. Производная вектор-функция ......................
§ 356. Дифференциал вектор-функции ....................
§ 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции
§ 358. Соприкасающаяся плоскость .......................
§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник.... ,.
g 360. Взаимное расположение линии и плоскости .........
§ 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника.....
§ 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии .
§ 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны про-
странственной линии ....................................
§ 364. О знаке кривизны.................................
§ 365, Кручение ...................................
498
499
500
504
505
506
507
509
510
511
513
514
516
517
518
520
522
523
524
525
526
528
529
РЯДЫ
5 366, Вводные замечания ............ ................ 532
S 367. Определение ряда................................ 532
я 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды.................. 533
з 369. Необходимое условие сходимости ряда........... 535
§ 370. Остаток ряда.... ,н,537
ОГЛАВЛЕНИЕ
11
§ 371. Простейшие действия над рядами ................ 5 39
§ 372. Положительные ряды ........................... 540
§ 373. Сравнение положительных рядов................. 541
§ 374, Признак Даламбера для положительного ряда .... 543
§ 375. Интегральный признак сходимости ............. 545
§ 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница ........ 547
§ 377. Абсолютная и условная сходимость.............. 548
§ 373. Признак Даламбера для произвольного ряда...... 550
§ 379. Перестановка членов ряда ..................... 550
§ 380. Группировка членов ряда ...................... 551
§ 381. Умножение рядов............................. 553
§ 382. Деление рядов .............................. 556
§ 383. Функциональный ряд ......................... 557
§ 384. Область сходимости функционального ряда .... 558
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости ..... 560
§ 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости 562
§ 387. Геометрическое истолкование равномерной и неравномер-
ной сходимости ....................................... 563
§ 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды ....
§ 389. Непрерывность суммы ряда..........................
§ 390. Интегрирование рядов .............................
§ 391. Дифференцирование рядов...........................
§ 392. Степенной ряд.....................................
§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда....
§ 394. Разыскание радиуса сходимости.....................
§ 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням
X—Хо ..................................................
§ 396. Теорема Абеля ....................................
§ 397. Действия со степенными рядами ....................
§ 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
§ 399. Ряд Тейлора ......................................
§ 400, Разложение функции в степенной ряд ...............
§ 401, Разложение элементарных фу[шций в степенные ряды , ..
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов..........
5 40 3. Гиперболические функции .........................
§ 404. Обратные гиперболические функции .................
§ 405. Происхождение наименований гиперболических функций
§ 406. О комплексных числах ...........................
§ 407. Комплексная функция действительного аргумента ....
§ 408. Производная комплексной функции ..................
§ 409. Возведение положительного числа в комплексную сте-
пень ..................................................
§ 410. Формула Эйлера ................................
§ 41 1,Тригонометрический ряд ...........................
§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах ....
§ 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin мх .<.
§ 414. Формулы Эйлера—Фурье..............................
S 415. Ряд Фурье ........................................
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции ................
й 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции...........
§ 418, Ряд Фурье для разрывной функции ..................
564
565
566
570
571
572
573
576
576
579
581
582
585
589
591
594
596
597
598
600
601
602
603
604
605
607
609
610
614
618
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЕЙ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 419. Функция двух аргументов ..................... 622
§ 420. Функцйя трех и большего числа аргументов.......... 623
§421, Способы задания функций нескольких аргументов ..... 624
12
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 422. Предел функции нескольких аргументов ........... 627
§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов .... 628
§ 424, Непрерывность функции нескольких аргументов..... 630
§ 425. Частные производные ............................ 631
§ 426. Геометрическое истолкование частных производных для
случая двух аргументов ................................. 632
§ 427. Полное и частное приращение..................... 632
S 428. Частный дифференциал .......................... 633
§ 429. О выражении частной производной через дифферен-
циал ................................................... 634
§ 430. Полный дифференциал ............................ 635
§ 431. Геометрическое истолкование полного дифференциала
(случай двух аргументов)............................... 636
§ 432. Инвариантность выражения f'xdx-i-f^dy+f^dz полного
дифференциала .......................................... 637
§ 433. Техника дифференцирования....................... 638
§ 434. Дифференцируемые функции........................ 639
§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .. 640
§ 436. Уравнение касательной плоскости................. 641
§ 437. Уравнения нормали............................... 642
§ 438. Дифференцирование сложной функции .............. 643
§ 439. Замена прямоугольных координат полярными........ 644
§ 440. Формулы для производных сложной функции ........ 644
S 441. Полная производная ............................. 645
§ 442. Дифференцирование неявной функции нескольких пере-
менных ................................................. 646
§ 443. Частные производные высших порядков............. 649
§ 444. Полные дифференциалы высших порядков ........... 651
§ 445. Техника повторного дифференцирования............ 653
§ 446. Условное обозначение дифференциалов ............ 653
§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов 654
§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких
аргументов ............................................. 656
§ 449. Правило разыскания экстремума................... 657
§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргумен-
тов) ................................................... 659
§ 451. Двойной интеграл .............................. 660
§ 452. Геометрическое истолкование двойного интеграла . 661
§ 453. Свойства двойного интеграла .................... 662
§ 454. Оценка двойного интеграла ...................... 663
§ 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай). ,.. 663
§ 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай).... 667
§ 457. Функция точки .................................. 670
§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные коорди-
наты ................................................... 671
§ 459. Площадь куска поверхности ...................... 675
§ 460. Тройной интеграл................................ 677
§ 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) . .. 678
§ 462, Вычисление1 тройного интеграла (общий случай)... 679
§ 463. Цилиндрические координаты ...................... 681
§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические ко-
ординаты ............................................... 681
§ 465. Сферические координаты . J...................... В82
§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические коор-
динаты ................................................. 682
§ 467. Схема применения двойного и тройного интеграла... 684
§ 468. Момент инерции ..........................•...... 685
§ 469. Выражение некоторых, физических и геометрических вели-
чии через двойные интегралы .......................... 687
ОГЛАВЛЕНИЕ 13
§ 470. Выражение некоторых физических и геометрических вели-
чин через тройные интегралы ..................... 689
§ 471. Криволинейный интеграл...................... 691
§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла.. 69'5
§ 473. Вычисление криволинейного интеграла ........ 693
§ 474. Формула Грина............................... 695
§ 475. Условие, при котором криволинеФтый интеграл не зави-
сит от пути...................................... 696
§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа 698
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 477. Основные понятия .............................. 701
§ 478. Уравнение первого порядка..................... 703
§ 479. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка 703
§ 480. Изоклины....................................... 706
§ 481. Частное и общее решение уравнения первого порядка ... 707
§ 482. Уравнения с разделенными переменными .......... 708
§ 483. Разделение переменных. Особое решение ....... 710
§ 484. Уравнение в полных дифференциалах.............. 711
§ 484а. Интегрирующий множитель ...................... 712
§ 485. Однородное уравнение .......................... 713
§ 486. Линейное уравнение первого порядка............. 715
§ 487. Уравнение Клеро ............................... 718
§ 488. Огибающая...................................... 719
§ 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений . 721
§ 490. Приближенное интегрирование уравнений первого поряд-
ка по метолу Эйлера ................................... 721
§ 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
§ 492. О составлении дифференциальных уравнений....... 725
§ 493. Уравнение второго порядка...................... 729
§ 494. Уравнение п-го порядка......................... 731
§ 495. Случаи понижения порядка....................... 732
§ 496. Линейное уравнение второго порядка............. 733
§ 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами ........................................ 735
498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами без правой части ................ 736
g 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 ............. 739
§ 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами с правой частью.......................... 740
§ 500. Линейные уравнения любого порядка.............. 746
§ 501. Метод вариации постоянных .....................• 748
§ 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы 749
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
§ 503. Строфоида . ............... ,...................
8 504. Циссоида Диокла .................................
§ 505. Декартов лист.....'..............................
§ 506. Верзьера /Аньези.................................
§ 507. Конхоида Никомеда.....'..........................
§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида .......................
751
753
755
758
760
765
14
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 509. Линия Кассини................................ 770
§ 510. Лемниската Бернулли ............................ 770
§ 511. Архимедова спираль ........................... 777
§ 512. Эвольвента (развертка) круга...................7в1
§ 513. Логарифмическая спираль.......... ...........764
§514. Циклоиды................................... 791
§515, Эпициклоиды и гипоциклоиды 805
§ 516. Трактриса................................ 822
§517. Цепная линия 829
ТАБЛИЦЫ
I, Натуральные логарифмы ..................... 834
II. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к деся-
тичным ,...................................... 838
TIT, Таблица для перехода- от десятичных логарифмов к нату-
ральным ..................................... 838
IV. Показательная функция cz...................... 839
V. Таблица неопределенных интегралов ............. 841
Алфавитный указатель........................ 852
ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
Эта кнш а составляет продолжение Справочника по эле-
ментарной математике того же автора и включает весь мате-
риал, входящий в программу основного курса математики
высших технических Учебных заведений (механико-маши-
ностроительных, строительных, авиационных, транспорт-
ных, электротехнических*, энергетических и горнометал-
лургических).
Книга имеет двоякое назначение.
Во-первых, она дает фактическую справку: что такое
векторное произведение, как найти поверхность тела вра-
щения, как разложить функцию в тригонометрический ряд
и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и
формулы, сопровождаемые примерами я практическими
указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная
рубрикация и подробный алфавитный указатель.
Во-вторых, книга предназначена для систематического
чтения. Опа не претендует на роль учебника, и потому
доказательства проводятся здесь полностью лишь в исклю-
чительных случаях. Однако опа может служить пособием
для первого ознакомления с предметом. С этой целью
здесь подробно разъясняются основные понятия, как-то*,
понятие скалярного произведения (§ 104), предела (§§ 203-
206), дифференциала (§§ 228-235), бесконечного ряда
(§§ 270, 366 — 370). С этол же целью все правила иллюстри-
руются большим числом примеров, которые составляют в
этой книге органическую ее часть (см. §§ 50 — 62, 134, 149,
264—266, 369, 422, 498 и др.). Они уясняют, как надо при-
менять правила, когда правило теряет силу, каких ошибок
надо избегать (§§ 290, 339, 340, 379 и др.).
Теоремы и правила сопровождаются также различного
рода пояснениями. Иногда имеется в виду наглядно вы-
явить содержание теоремы, чтобы учащийся мог по-настоя-
щемУ усвоить доказательство. Иногда пояснение сопрово-
ждает частный пример и содержит такое рассуждение,
16
ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
которое явится полным доказательством теоремы, если его
применить к общему случаю (см, §§ 148, 149, 369, 374).
Иногда пояснение ограничивается указанием тех парагра-
фов, на которых основывается доказательство. Мелким
шрифтом выделен тот материал, который можно опустить
при первом чтении, что вовсе не всегда означает его мало-
важность.
Сознательное усвоение математических идей чрезвычайно
облегчается при ознакомлении с обстоятельствами их за-
рождения и развития. Вот почему большое внимание уде-
лено здесь историческим сведениям. Так, §§ 270, 366 в
связи с §§ 271, 383, 399, 400, надеюсь, позволят уяснить
теорию ряда Тейлора лучше, чем при обычном формаль-
ном изложении. Наряду с историческими сведениями даны
биографические справки об ученых, имена которых связаны
с излагаемым материалом,
Других методических особенно стен книги пет смысла
касаться: учащийся будет судить о них по степени доход-
чивости, преподавателю же достаточно указания на ряд
характерных параграфов: 28,60-62,92,184-190,203-206,
228-234, 237, 258-260, 271, 343-347, 430-438, 459.
Настоящее издание печатается без существенных
изменений по сравнению с предыдущим изданием.
Исправлены лишь замеченные опечатки,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии
В школьной (элементарной) геометрии изучаются свой-
ства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль
играют построения, вычисления же, хотя практическое зна-
чение их и велико, в теории играют подчиненную роль.
Выбор того или иного построения обычно требует изо-
бретательности. Это и составляет главную трудность при
решении задач методами элементарной геометрии.
Аналитическая геометрия возникла из потребности
создать единообразные средства для решения
геометрических задач с тем, чтобы применить их к изуче-
нию важных для практики кривых линий различной
формы.
Эта цель была достигнута созданием координатного
метода (см. ниже §§ 2-4). В нем ведущую роль играют
вычисления, построения же имеют вспомогательное значе-
ние. Вследствие этого решение задач методом аналитиче-
ской геометрии требует гораздо меньшей изобретатель-
ности.
Создание координатного метода было подготовлено
трудами древнегреческих математиков, в особенности
Аполлония .(3 — 2 в. до и. э.). Систематическое развитие
координатный метод получил в первой половине 17 века
в работах Ферма1) и Декарта2). Они, однако,
О Пьер Ф е р м а (1601 -1655)- знаменитый французский мате-
матик, один ия предшественников Ньютона и Лейбница в разработке
дифференциального исчисления; внес большой вклад в теорию чисел.
Большинство работ Ч’ерма (в том лиспе по аналитической геометрии)
не публиковалось при жизни автора.
s)Penfi Декарт (1596 —1650)-знаменитый французский фило-
соф п математик. Опубликование его «Геометрии* (одно из приложе-
ний к философскому трактату «Рассуждение о методе*) в 1637 г. счита-
ется (условно) датой рождения аналитической геометрии.
2 М. Д, Выгодский
18 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
рассматривали только плоские линии. К систематическому
изучению пространственных линий и поверхностей коорди-
натный метод был применен впервые Л. Эйлером1).
§ 2. Координаты
Координатами точки называются такие величины, кото-
рые определяют положение этой точки (в пространстве, на
плоской или на кривой поверхности, на прямой или кри-
, вой линии). Так, если, например, точ-
q м ка ЛТ должна лежать где-иибудь иа
-----1------1—% прямой линии Х'Х (черт. 1), то ее
положение можно определить одним
Черт. I числом, например, следующим обра-
зом: выбрав на Х’Х какую-либо на-
чальную точку О, измерим отрезок ОМ, скажем, в сантимет-
рах. Мы получим число х, положительное или отрицатель-
ное, смотря ио тому, куда направлен отрезок ОМ (вправо
или влево, если прямая горизонтальна). Число х есть ко-
ордината точки М.
Значение координаты х зависит от выбора начальной
точки О, от выбора положительного направления на пря-
мой и от того, какой отрезок принят за единицу масштаба.
§ 3. Прямоугольная система координат
Положение точки на плоскости определяется двумя
координатами. Простейший способ таков.
Проводятся дыщзаимно перпендикулярные прямые Х'Х,
YrY (черт. 2). называются реялш ксюрбпяпт. Одна
из них Х'Х (обычно ее проводят горизонтально) назы-
вается осью абсцисс, другая У’У — осью ординат. Точка О
их пересечения называется началом координат, или,
короче, началом. Для измерения отрезков иа осях коорди-
нат выбирается некоторая единица масштаба, произволь-
ная, но одна и та же для обеих осей.
На каждой оси выбирается положительное направление
(обозначаемое стрелкой). На черт. 2 луч ОХ даст поло-
жительное направление на оси абсцисс, а луч ОУ — на
оси ординат.
О Леонард Эйлер (1707 — 1783) родился в Швейцарии.
В J727 г. прибыл в Россию; работал сначала в качестве адъюнкта
(научного сотрудника) Петербургской академии наук, а затем (с 1733 г.)
в качестве ее академика. Написал свыше 800 работ. Во всех физико-
математических науках сделал важнейшие открытия. Много содейство-
вал развитию русской науки.
§ 4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 19
Принято выбирать положительные направления так,
чтобы (черт. 3) положительный луч ОХ после поворота
на 90° против часовой стрелки совмещался с положитель-
ным лучом OY
А' О
X
Г'
Черт. 2.
If
Черт. 3.
Оси координат Х'Х, У' У (с установленными положи-
тельными направлениями н выбранным масштабом) обра-
зуют прямоугольную систему координат.
§ 4. Прямоугольные координаты
Положение точки М иа плоскости в прямоугольной
системе координат (§ 3) определяется следующим образо'м.
Проводим А4Р||К'Г до пересечения с осью Х'Х в точке Р
(черт. 4) и MQIIX'X до пере-
сечения с осью У' У в точке Q. Чис-
ла х и у, измеряющие отрезки
ОР и OQ в избранном масштабе
(а иногда и сами эти отрезки),
называются прямоугольными
координатами (короче, коор-
динатами) точки М. Эти числа
берем положительными или от-
рицательными в зависимости от
направления отрезков OP, OQ.
Число х называется абсциссой точ-
ки М, число у —ее ординатой.
На черт. 4 точка М имеет абсциссу х--2 и ординату
у = 3 (при единице масштаба 0,4 см). Это записывается
так: М (2; 3). Вообще запись М (а; Ь) означает, что точка М
имеет абсциссу
х — а
и ординату
у = Ь.
2*
20 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример ы. Отмеченные на черт. 5 точки регистри-
руются так: Ах(+2; д-4), А,(-2; 4), Д3(-р2; -4),
А (-2; ^4), Вг( + 5; 0), В.. (0;‘-6), 0(0; 0).
Замечание. Координаты данной точки М будут
иными в иной прямоугольной системе координат.
§ 5. Координатные углы
Четыре Угла, образованные осями координат, носят
название координатных углов. Они нумеруются, как
показано на черт. 6. Следующая таблица показывает,
какие знаки имеют координаты точки в различных коор-
динатных углах:
ор ди 11 ат! [ы е ^глы Координаты I II III IV
Абсцисса + - - +
Ордината + +
На черт. 5 точка Д лежит в первом координатном
углу, точка А-во втором, точка А4-в третьем и точка
А3 — в четвертом.
Если точка лежит На оси абсцисс (например, точка
на черт. 5), то ее ордината у равна нулю. Если точка
лежит на оси ординат (например, точка В2 на черт. 5), то
ее абсцисса равна нулю.
§ 7. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
21
§ 6. Косоугольная система координат
Кроме прямоугольной системы координат, употребля-
ются и другие системы. Косоугольная система (она наиболее
сходна с прямоугольной) строится так: проводятся (черт. 7)
две нсперпендикулярпые прямые Х'Х
и Y'Y (оси координат) и дальше по- уу
ступают так же, как при построении / м
прямоугольной системы (§ 3). Коор- / 7
дпнаты х ~ ОР (абсцисса) иу - РМ / /у
(ордината) определяются так же, как ——-7~"Х ‘---*-
объяснено в § 4. х /° р х
Прямоугольная и косоугольная у/
системы объединяются под назва-
нием декартовой системы коор- Черт. 7.
динагт
Наряду с декартовой применяются и другие системы
координат (наиболее Употребительна полярная система;
см. § 73).
§ 7. Уравнение линии
Рассмотрим уравнение х + у = 3, связывающее абсцис-
су х и ординату у. Ему удовлетворяет множество пар
значений х, у, например, х = 1 п у - 2, х = 2 и у = 1,
х=Зиу=0,х~4иу = -1 и т. д. Каждой паре коор-
динат (в данной системе координат) соответствует одна
точка (§ 4). На черт. 8, а изображены точки At (1; 2),
As (2; 1), Л3(3; 0), Д4 (4; -1). Они лежат на одной пря-
мой UV. На той же прямой лежит всякая другая точка,
координаты которой удовлетворяют уравнению х+у = 3.
Обратно, у любой точки, лежащей на прямой UV, коор-
динаты х, у удовлетворяют уравнению х+у = 3.
22 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Сообразно с этим говорят: уравнение х-)-у = 3 есть
уравнение прямой линии UV. Говорят также: уравнение
х+у ~ 3 представляет прямую UV. В аналогичном
смысле надо понимать вы-
ражения: «уравнение пря-
мой линии SТ(черт. 8, б) есть
у = 2х», уравнение х2+уа =
= 49 представляет окруж-
ность (черт. 9), радиус кото-
рой содержит 7 масштабных
единиц, а центр совмещается
с началом координат
(см. § 38).
Вообще уравнение, свя-
зывающее координаты х, у,
называется уравнением ли-
нии L, если соблюдены два
условия: 1) координаты х, у
всякой точки М линии L
удовлетворяют этому урав-
нению, 2) координаты х, у всякой точки, не лежащей
На линии L, не удовлетворяют этому уравнению.
Координаты точки М, взятой на линии L произвольным
образом, называют текущимикоординатами, так как линия L
может быть образована перемещением («течением»)точки М.
Пусть Allt Л1г, Л13,„. (черт. 10) — последовательные положения
точки Л1 на линии L. Построим ряд перпендикуляров М^Р,, M2Pt,
Л1яРя, ... к оси ОХ. Получим идущие друг
за"другом отрезки FiMlt Р.М:, P3MS1... На
оси ОХ отсекания при этом отрезки OPt,
ОРц ОР31... С^Лудут абсциссами. С этим
связано происхождение терминов «абсцисса»
и «ордината». Латинское слово «абсцисса*
(abscissa) в переводе означает «отсеченная»;
слово «ордината» есть сокращение термина
«ординатим дукта» (ordlnatim ducta), что оз-
начает «подряд проведенная».
Представляя каждую точку плоскости ее
координатами, а каждую линию—уравне-
нием, связывающим текущие координаты, мы сводим геометричес-
кую задачу к «аналитической» (т. е. вычислительной). Отсюда наз-
вание ^аналитическая геометриям
о
P1P2P3P4PS А
Черт. 10.
§ 8. Взаимное расположение линии и точки
Чтобы ответить па вопрос, лежит ли точка М на неко-
торой линии L, достаточно знать координаты точки AI и
уравнение линии L. Если координаты точки М удовлетво-
ряют уравнению липин L, то М лежит на L; в противном
случае не лежит.
§ 10. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 23
При м е р. Лежит ли точка М (5; 5) на окружности
х2 + у2 = 49 (§ 7)?
Р е in е п и е. Подставим значения х =- 5, у = 5 в уравне-
ние №+у2 = 49. Так как уравнение ие удовлетворяется,
то точка М нс лежит на рассматриваемой окружности.
§ 9, Взаимное расположение двух линий
Чтобы ответить иа вопрос, есть ли у двух линий общие
точки и если да, то сколько, достаточно знать уравнения
этих линий. Если уравнения совместны, то общие точки
есть, в противном случае их нет. Число общих точек равно
числу решений системы уравнений.
Пример 1. Прямая линия х + у — 3 (§ 7) и окруж-
ность х2 + у3 = 49 имеют две общие точки, ибо система
х + у = 3, х2 + у“” = 49
имеет два решения:
Х1 = Ц® .. 6,22, у1 = Ц2» = _3,22
И
X, = 5s® * —3,22, у, _ -3±® „ 6,22.
Пример 2, Прямая линия х+у = 3 и окружность
х2 + у2 = 4 не имеют общих точек, так как система
х + у — 3, х2 + у2 — 4
ис имеет решений (действительных).
§ 10. Расстояние между двумя точками
Расстояние d между точками AL (xL; yj и Аг (хг; уг)
выражается формулой
= fe-xO2 + (y2-yO2. (1)
Пример. Расстояние между точками М (- 2,3; 4,0)
и N (8,5; 0,7) составляет
d = ^(875 + 2,3)3 + (0,7~^Тр - fl0,82+%32‘ 11,3
(масштабных единиц).
Замечание 1. Порядок точек М и N не играет
роли; можно N считать первой, а М- второй.
Замечание 2. Расстояние d считается положитель-
ным; поэтому в формуле (1) корень берется с одним зни-
ком (плюс).
24 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§11. Деление отрезка в данном отношении
Даны точки Д (хр yj, Ди (хг; уг) (черт. И). Требуется
найти координаты х, у точки К,
делящей отрезок АгА2 в отношении
AjK. :KAl = ml: mv
Решение дается формулами
m-Xi + mjx2
mi + П12 ’
тгу, + m,ya
mj + m2 '
(1)
Если отношение : т2 обозначить буквой X, то фор-
мулы (1) примут несимметричный вид
3*1 +
~Т+"х ‘ *
У --
П-римср 1. Даны точка В (б;-4) и точка О, совпа-
дающая с началом координат. Найти точку К, делящую ВО
в отношении 2 : 3.
Решение. В формулы (1) надо подставить:
= 2, mz = 3, A'i = б, J'j - -4, х3 = 0, уй = О.
ПолучаефВ
18 ~ й 12 „ .
х = -V- = 3,6, у = = - 2,4.
5 ' ' 5 ’
Это — координаты искомой точки К.
Замечание 1. Выражение «точка К делит отре-
зок АДг в отношении : т.у> означает, что отношение
в?!: тг равно отношению отрезков Aj{.:KA2, взятых
именно в зтом (а не в обратном) порядке. В примере 1
точка К (3,6; -2,4) делит отрезок ВО в отношении 2:3,
а отрезок О В - в отношении 3 : 2.
Замечание 2. Пусть точка К делит отрезок AtAs
внешним образом, т. е. лежит на продолжении отрезка
Д1Д,; тогда формулы (1) и (2) сохраняют силу, если вели-
чине гл1: т2 -= X приписать отрицательный знак.
Пример 2, Даны точки’ Аг (1; 2) и А2 (3; 3). Найги
на продолжении отрезка А1А2 точку, отстоящую от А1
вдвое дальше, чем от Аг.
§ 13. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
25
Р е in е п и е. Имеем X = тг: т2 = -2 (так что можно
положить т1 = -2, т., = 1 или гщ — 2, тг - - 1). По
формулам (1) находим:
т _ _ к v _ ь2+(-2)-з _ .
Х “ -2+1 “°’ У - —2 + 1 ' —
§ 11а. Деление отрезка пополам
Координаты середины отрезка АгА2 равны полусуммам
соответственных координат его концов:
_ Xt+Xa _ Ъ'=_
Л - 2 , у - 2 -
Эти формулы получаются из формул (1) и (2) § 11, если
положить тг = пи = 1 или X - 1.
обозначает то же, что ad - be.
§ 12. Определитель второго порядка ’)
ri I а b
Запись
I с d
Примеры.
12 7
!3 5
-4
2
а Ь\
' называется определителем второго
= 2-5-3-7 - - 11;
3
6
- 3-2-6- (-4) = 30.
Выражение
порядка.
§
Пусть точки
шины треугольника, тогда его площадь выражается фор-
мулой
13. Площадь треугольника
Л (-vf; л), Аа (хв; у.,), А.г (х3; у3) - вер-
i Xx-Xg И-Уз I
2 |х2-х3 Уг-у3|
в правой части стоит определитель второго порядка (§ 12).
Площадь треугольника мы считаем положительной. По-
этому перед определителем берем знак плюс, если значе-
ние определителя положительно, и минус, если оно отри-
цательно.
(П
Подробнее об определителях см. 182 —185.
26 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример, Найти площадь треугольника с вершинами
А (1; 3), В (2; -5) и С (-8; 4).
Решение, Принимая А за первую вершину, В за
вторую, С за третью, находим:
*1“Хз У1-Уз _ 1 + 8 3-4
Хо-Хз уг-у3 ~~ 2 + 8 —5-4 ~
9 -II
-|10 _9[=-81Н0=-7>.
В формуле (1) ладо взять знак минус; получаем:
S = -±(-71) = 35,5.
1
Если же счшать первой вершиной А, второй С и
третьей В, то
х^^Хз У1~ Уз | 1—2 8+51 — — 1 8
х2-х3 Ул-Уз I -8 — 2 4+51 - -10 9 ~
В формуле (1) теперь нужно взять знак плюс; получим
снова S = 35,5.
Замечание. Если вершина А3 совпадает с началом
координат, то площадь треугольника представляется фор-
мулой
(2)
| -^2 J 2 |
(частный случай формулы (1) при хя - уа — 0).
§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное
относительно ординаты («с угловым коэффициентом»)
Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно
представить уравнением вида
у == «х+&; (1)
здесь а есть тангенс угла а (черт. 12), образованного
прямой с положительным направлением оси абсцисс *)
г) Начальным лучом угла а считается луч ОХ. На прямой SS'
можно взятьлюбой Из лучей J.S, LS'. Угол XLS считается положитель-
ным, если поворот, совмещающий луч LX с лучом LS, совершается н
том же направлении, что поворот на 90° оси ОХ, совмещающий ее с
осью ОУ (т. е. при обычном расположении — против часовой стрелки).
g 14. ПРЯМАЯ; СРАВНЕНИЕ СУГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 27
(а - tg а = tg^ XLS), а число b по абсолютному значению
равно длине отрезка ОК, отсекаемого прямой на осн
ординат; число b положительно или отрицательно в зави-
симости от направления отрезка ОК- Если прямая прохо-
дит через начало, то b = О.
Величину а называют угловым коэффициентом, вели-
чину Ь —начальной ординатой.
Пример 1. Написать уравнение прямой (черт. 13),
образующей с осью ОХ угол а = -45° и отсекающей на-
чальную ординату b = — 3.
Решение. Угловой коэффициент а = f g (- 45°) — - 1.
Искомое уравнение есть у = -х-3.
Пример 2. Какую линию представляет уравнение
Зх --- /3 у?
Решение. Разрешив уравнение относительно у, на-
ходим у = У'з'х. По угловому коэффициенту а = р'З най-
дем угол а: так как tg а = ^3, то а == 60° (или а — 240°).
Начальная ордината b ~ 0; поэтому данное уравнение
представляет прямую UV (черт. 14), проходящую через
начало и образующую с осью ОХ угол 60° (или 240°).
Замечание!, В отличие от дрУ1 нх видов уравнения
прямой (см. ниже §§ 30, 33) уравнение (1) называется
разрешенным относительно ординаты или уравнением
с угловым коэффициентом1).
Первое название предпочтительно, так как уравнение вида
х — а'у+b' (разрешенное относительно абсциссы) тоже представляет
прямую (не параллельную осн абсцисс); так как координаты х, у равно-
правны, то число а’ можно было бы назвать угловым коэффициентом
с тем же правом, что и число а.
28 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание 2, Прямую, параллельную оси ординат,
нельзя представить уравнением, разрешенным относи-
тельно ординаты. Ср. § 15.
§ 15. Прямая, параллельная оси
Прямая, параллельная оси абсцисс (черт. 15), предста-
вляется уравнением1)
1У У = Ь, (1)
. где величина b по абсолютному значению
£ равна расстоянию от оси абсцисс до
у прямой. Если Ъ > 0, то прямая лежит
—«над» осью абсцисс (см. черт. 15); если
b < 0, — то «под» ней. Сама ось абсцисс
черт. 15. представляется уравнением
У = 0. (1а)
Прямая, параллельная оси ординат (черт. 16), пред-
ставляется уравнением2)
x = f. (2)
Абсолютное значение / дает расстояние от оси ординат
до прямой. Если / э- 0, прямая лежит «справа» от оси
ординат (см. черт. 16); если /< 0, - «слева» от нее. Сама
ось ординат представляется уравнением
х - 0. (2а)
Пример 1. Написать уравнение прямой, отсекающей
начальную ординату t -- 3 и параллельной оси ОХ
(черт. 17).
О т в е т. у = 3.
J) Уравнение (1) есть частный вид уравнения + разре-
шенного относительно ординаты (§ 14). Угловой коэффициент а =0-
Уравнение (2) есть частный вид уравнения х —а'у+ b't разре-
шенного относительно абсциссы (см. § 14, сноска). Угловой коэффи-
циент а1 = 0.
§ 16. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 29
Пример 2. Кацу го линию представляет уравнение
3x4-5 == О?
Решение. Разрешая данное уравнение относи-
тельно х, получаем х = - —. Уравнение представляет
прямую, параллельную оси OY н лежащую «слева» от нее
на расстоянии (черт. 18). Величину f = -^ можно
назвать «начальной абсциссой».
§ 16. Общее уравнение прямой
Уравнение
Ах+Ву+С = О (1)
(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы ко-
эффициенты А, В не были нулями оба сразу х)) предста-
вляет прямую линию (ср. §§ 14, 15). Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида. Поэтому его назы-
вают общим уравнением прямой.
Если А = 0, т, е. уравнение (1) не содержит х, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси ОХ (§ 15).
Если В — 0, т. е. уравнение (1) нс содержит у, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси ОУ.
Когда В не равно нулю, уравнение (1) можно разре-
шить относительно ординаты у; тогда о ио преобразуется
к ВИДУ
у = ах+&(где а = (2)
Так, уравнение 2х-4у4-5 — О (А = 2, В = -4, С = 5)
преобразуется к виду
у = 0,5х-М,25
~ од ~ = 1,25), разрешенному относи-
тельно ординаты (начальная ордината Ь = 1,25, угловой
коэффициент й — 0,5, так что а 26°34'; см. § 14).
1) При AsB=0 получается либо тождество 0=0 (если С=0),
либо бессмыслица вроде 5=0 (при С т* *0).
*) К прямым, параллельным оси ОХ, причисляется и сама эта ось.
Точно так же к прямым, параллельным оси OY, причисляется сама
ось ОУ.
30 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналогично, при А * 0 уравнение (1) можно разре-
шить относительно х.
Если С = 0, т, е. уравнение (1)не содержит свободного
члена, то оно представляет прямую, проходящую через
начало (§ 8). ,
§ 17. Построение прямой по ее уравнению
Для построения прямой достаточно отметить две ее
точки. Например, можно взять точки пересечения с осями
(если прямая не параллельна нн одной оси и нс проходит
через начало; в случае, когда пря-
мая параллельна одной из осей
или проходит через начало, мы
имеем только одну точку пересе-
чения). Для большей точности
лучше найти еще одну-две кон-
трольные точки.
Пример. Построить прямую
4х +Зу = 1. Положив у = 0, най-
дем (черт. 19) точку пересечения
прямой с осью абсцисс: А(4> о)»
Положив х = 0, найдем точку
пересечения с
Эти точки слишком
близки друг к другу. —
два значения, например
осью
ординат:
Поэтому
. X = -з
и х — +3. Найдем точки А(~3;~), А4(3; Про-
водим прямую А4А1А2А3.
§ 18. Условие параллельности прямых
Условием параллельности двух прямых, заданных Урав-
нениями
у = «1X4-(1)
y=a2x+b2f (2)
служит равенство угловых коэффициентов
«1 = «2»
(3)
$ 18. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ 31
т. е. прямые (1) и (2) параллельны, если угловые коэффи-
циенты равны, и не параллельны, если угловые коэффици-
енты ие равны1).
Пример 1, Прямые у = Зх-5 и у - Зх+4 парал-
лельны, так как у ннх угловые коэффициенты равны
(Hj ~ аг = 3),
Пример 2, Прямые у - Зх-5 и у = 6х-8 ие па-
раллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны
fa = 3, а2 6).
Пример 3. Прямые 2у = Зх-5 и 4у — 6х-8 парал-
лельны, так как у них угловые коэффициенты равны
/„ з 6 3\
V*1 “ 2 J а2 — 4 — 2) •
Замечание 1. Если уравнение одной из двух пря-
мых не содержит ординаты (т. е, прямая параллельна оси
О У), то эта прямая параллельна другой прямой при условии,
что уравнение последней также ие содержит у, Напри-
мер, прямые 3 — О и х = 5 параллельны, а прямые
х-3 = О и х-у = О не параллельны.
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
нениями
Д1Х + Biy+Ci = О,
Д2х+ В^у-J- Сг = О, /
то условие их параллельности есть
Д1Вг-Д,В1 = 0 (5)
или в другом обозначении (§ 12)
Д1
= 0.
Д2 В2
Пр и м е р 4. Прямые
2х-7у+12 = О
и
X - 3,5у+10 = О
!) Две совпадающие прямые здесь, как и всюду в дальнейшем, счи-
таются параллельными.
32 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
параллельны, так как
| Дх BJ 2-7 1
к В.Г 1 _з,5| = 2 (-эд-1-(-7) = 0-
П р и м е р 5. Прямые
2х—7у+12 = О
и
Зх+2у-6 - о
ие параллельны, так как
Замечание 3. Равенство (5) можно записать в виде
т. е. условием параллельности прямых (4) является про"
порциональность коэффициентов при текущих коорди"
патах1). Ср. примеры 4 и 5. Если сверх того н свободные
члены пропорциональны, т. е. если
•А1 _ __ Et
Аа " -Вд ” Сц’ V/
то прямые (4) ис только параллельны, но н совпадают.
Так, уравнения
Зх4-2у-6 ~ О
и
6х+4у-12 ss О
представляют одну и ту же прямую.
§ 19. Пересечение прямых
Для разыскания точки пересечения прямых
0 (1)
и
Д2х+ Вау+С2 « 0 (2)
*) Может оказаться, что одна на величин Ад, В» (но не обе вместе;
см. § 16) равна нулю. Тогда пропорцию (б) 1гужпо понимать в том смыс-
ле, что соответствующий числитель тоже равен нулю. Тот же смысл
имеет пропорция (1) при Сй~0.
§ so. условие перпендикулярности двух прямых 33
надо решить смете,му уравнений (1) и (2). Эта система,
как правило, даст единственное решение, н мы получим
искомую точку (§ 9). Исключение возможно лишь при ра-
Х Дт Пт
венстве отношений -.-и , т. е. в случае параллельно-
сти данных* прямых (см. § 18, замечания 2 и 3).
Замечание. Если данные прямые параллельны и нс
совпадают, то система (1) —(2) не имеет решений, а если
совпадают, то решений бесконечно много.
Пример 1. Найти точки пересечения прямых
у - 2х-3 и у = -Зх+2. Решая систему уравнений, на-
ходим х— 1, у= -1. Прямые пересекаются в точке
2х-7у+12=0, х-3,5у+ 10 = О
параллельны н не совпадают, так как отношения 2; 1 и
( — 7): (—3,5) равны между собой, но не равны отноше-
нию 12 : 10 (ср. пример 4 § 18). Данная система уравнений
не имеет решения.
Пример 3. Прямые ЗхЧ-2у-6 = 0, бх+4у-12 = О
совпадают, так как отношения 3:6, 2:4 н ( —6): ( — 12)
равны друг другу. Второе уравнение получается из пер-
вого умножением на 2. Данная система имеет бесчислен-
ное множество решений.
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых
Условием перпендикулярности двух прямых, заданных
уравнениями
у - (1)
y=asx+bz, (2)
служит соотношение
aLaS ~ ~~ Ъ (3)
т, е. две прямые перпендикулярны, если произведение нх
угловых коэффициентов равно — 1, и нс перпендикулярны,
если оно не равно —1,
3 М. д. Выгодский
34 аналитическая геометрия на плоскости
Пример 1. Прямые у = Зх и у = -у х перпендику-
лярны, так как = 3 (- у) = -1
П р и м е р 2. Прямые у = Зх и у = — х не перпендику-
лярны, так как 'с^а, = 3 • у - 1.
Замечание 1, Если уравнение одной из двух пря-
мых ие содержит ординаты (т. ,е. прямая параллельна ।
осн ОУ), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой
при условии, что уравнение последней не содержит абсцис-
сы (тогда вторая прямая параллельна оси абсцисс). В про-
тивном случаепрямые не перпендикулярны. Например, пря-
мые х = 5 и Зу + 2 = 0 перпендикулярны, а прямые х = 5
И у — 2х не перпендикулярны. I
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
нениями
Ах+ Л11' + С1 ~ °. А2х4-В2у+С2 = О, (4) I
то условие их перпендикулярности есть
А1А2+В1В2 = 0. (5)
Пример 3. Прямые 2х+5у = 8 и 5х-2у = 3 пер-
пендикулярны; действительно, здесь = 2, Л2 = 5, Bi = 5,
Вг = —2, значит, АХА2+ В2В2 = 10-10 = О.
Пример 4. Прямые у х-у у = 0 и 2х-3у = 0 нс
перпендикулярны, так как здесь « 2,
§ 21. Угол между двумя прямыми
Пусть две иеперпенднкулярные прямые Llt 12 (взятые
в данном порядке) представляются уравнениями
у = «1х + &1, (1)
у = й3х-Нг. (2)
Тогда формула ’) <
^в = т^ (3> '
------------- 1
1) О применимости ее в случае, когда прямые перпендикг- 1
лярны, см. ниже замечание 1,
§ 21. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
35
прямая у -
+ 45° около
2х-3
ТОЧКИ
дает угол, на который надо повернуть первую прямую,
чтобы она стала параллельной второй.
Пример 1. Найти угол между прямыми у = 2х-3 и
у = -Зх + 2 (черт. 20).
Здесь ~ 2, — - 3. По формуле (3) находим;
9 = у“2; („з)' = Ь
отсюда 0 = +45°. Это значит, что
(АВ на черт. 20), повернутая на угол
пересечения М(1; -1) данных пря-
мых (пример 1 § 10), совместится с
прямой у = -Зх+ 2 (CD на черт. 20).
Можно взять также 0 = 180о-р45° =
« 225°, 0 = - 180° + 45п = -135 =
и т. д. (Эти углы обозначены Ох, Ог
на черт. 20.)
Пример 2. Найти угол между
прямыми у = - Зх + 2 и у 2х - 3.
Прямые здесь-те же, что в
примере 1, но теперь прямая CD
(см. черт. 20)-первая, а прямая
АВ — вторая. Формула (3) дает
tg 0 — — 1, т. е 0 = -45° (или
6 - 135°, или 0 - -225° и т. д.).
На этот угол надо повернуть пря-
мую CD до совмещения с АВ.
ПримерЗ, Найти прямую, проходящую через начало
координат и пересекающую прямую
у = 2х-3 под углом 45°.
Решение. Искомая прямая пред-
ставляется уравнением у = ах (§ 14).
Угловой коэффициент а можно найти
из (3), взяв вместо угловой коэффи-
циент дайной прямой (т. е. положив
ау = 2); вместо а2 возьмем угловой коэф-
фициент а искомой прямой, а вместо
0-угол +45° или
а-2
два* решения: у —
Черт. 21.
-45°. Получаем:
= ± 1.
-Зх (прямая АВ
Задача имеет
па черт. 21) и у » -‘-х (прямая CD).
Замечание 1. Если прямые (1) и (2) перпендику-
лярны (0 = ±90°), то выражение Х + стоящее в
3*
36 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
знаменателе (3), обращается в нуль (§ 20) и частное ~~~
перестает существовать *). Одновременно перестает суще-
ствовать («обращается в бесконечностью) tg 0. Формула (3),
понимаемая буквально, теряет смысл; но в этом случае ее
нужно понимать условно. Именно, всякий раз, как в зна-
менателе (3) появляется нуль, угол 0 надо .считать равным
± 90° (как поворот на +90°, так и поворот на —90° сов-
мещает любую из перпендикулярных прямых с другой).
П р и ме р 4. Найти угол между прямыми у — 2х-3 н
у = = 2, д2 = —у)> Если предварительно
поставить вопрос: перпендикулярны ян этн прямые, то по
признаку (3) § 20 получим утвердительный ответ, так что
и без формулы (3) получаем 0 = ± 90°. То же дает и фор-
мула (3). Мы получаем:
В соответствии с замечанием 1 это равенство нужно по-
нимать в том смысле, что 0 = ± 90°.
Замечание 2. Если хотя бы одна из прямых Ls, Ls
(или обе) параллельна оси OY; то формула (3) вовсе
неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя
представить (§ 15) уравнением вида (1). В этом случае
угол 0 определяется следующим образом:
а) когда прямая Л2 параллельна оси ОУ, a Li не парал-
лельна, применяем формулу
tge=.-O;
б) когда прямая Ц параллельна осн OY, a £2 ие парал-
лельна, применяем формулу
tgo= -i;
в) когда обе прямые параллельны оси OY, они парал-
лельны и между собой, так что tg 9 = 0.
Замечание 3. Угол между прямыми, заданными
уравнениями
-BiX+Ci = 0 (4)
И
~ 0, (5)
’) Числитель сгиЩ не равен нулю, так как только у параллель-
ных прямых угловые коэффициенты равны 18).
§ 23.УРАВ. ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ 37
можно найти по форл1Уле
+сг о -• Ана — ZgH,
ь и “ Л,Л. I- 7?»
(6)
При АуЛ^-\- BiI3z ~ 0 формула (6), понимаемая услов-
но (см. замечание 1), дает 0 - ± 90°. Ср. § 20, фор-
мула (5).
§ 22. Условие, при котором три точки
лежат на одной прямой
Три точки Ах (хъ* уу}, A„ (х2; у3), А3 (х3; уэ) лежат на
одной прямой в том и только в том случае, когда *)
1 хп — х. у 2—у,
" 1 Уг п = 0. (1)
1*з- -Ч Уэ-У1
Эта формула выражает также (§ 13), что площадь «тре-
угольника» Д2Д3Д равна нулю.
Пример 1. Точки At (- 2; 5), А, (4; 3), Аэ (16; -1)
лежат на одной прямой, так как
*2 *— *i Уз “У1 I 4-}-2 3-51
Уз-У1 ” I 16 + 2 — 1 —5|
| б -21
« L _ «6-(-б)-(-2)>18«0.
] 10 ** и |
Пример 2. Точки At (- 2; 6), As (2; 5), А3 (5; 3) не
лежат на одной прямой, так как
*з-Ла У2~У1 |2+2 5-6J 4 -1 __
Уз~У1 J 5 + 2 3 — б| 7 —3
§ 23. Уравнение прямой, проходящей
через две точки
Прямая, проходящая через две точки Ад (ху, у±у н
А3 (х2; у2), представляется уравнением1)
Х3-Х1
х -Xj
М=,о.
У “У11
(1>
О Левая часть равенства
(см. § 12).
(1) записана в гиде определителя
Уравнение (1)
о
fl Я V
Черт. 22.
38 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Ойо выражает, что данные точки Ar, Az и «текущая»
точка А (х; у) лежат на одной прямой (§ 22).
Уравнение (1) можно представить (см. ниже замечание)
в виде
х -*1 = у-у< .
хз-ат Tz-vi ‘ v 7
Это уравнение выражает пропор-
циональность катетов в прямоуголь-
ных треугольниках и
изображенных иа черт. 22, где
хх = OPlt х2 = ОР2> х = ОР,
х-х, = AtR, X2-Xi =
У1 = РтЛ> Уч = PtAz, у = РА,
У"У1 = RA, у3 = SA
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей
через точки (1; 5) и (3; 9).
Решение. Формула (1) дает:
3-1 0-5 л 124
= О, т. е.
х-1 у-5 {х—1 у-5
т. е. 2 (у-5)-4 (х- 1) = О или 2х-.у + 3 -- О.
Формула (2) дает —Отсюда снова
дим 2х-у + 3 = 0.
Замечание. В случае, когда ха = хх (или у2
один из знаменателей равенства (2) "равен нулю;
уравнение (2) надо понимать в том смысле, что соответ-
ствующий числитель равен нулю. См. ниже пример 2 (а так-
же сноску на стр. 32).
П р и м е р 2. Составить уравнение прямой, проходящей
через точки Ад (4; -2) и Да (4; 5). Уравнение (1) дает;
О
х-4 у+2
т. е. О (у+ 2)-1 (х-4) 0, т. с. х-4 - 0.
Уравнение (2) запишется в виде
Х-4 У + 2 .
О “ 7 ’
- О,
нахо-
= У1),
тогда
7
(3)
= О,
(4)
здесь знаменатель левой части равен нулю. Понимая урав-
нение (4) в вышеуказанном смысле, полагаем числитель
левой части равным нулю, Получаем прежний результат
х-4 = 0.
§ 24. ПУЧОК ПРЯМЫХ 39
§ 24. Пучок прямых
от одной прямой
Через одну точку Аг (хь* ух) (черт. 23) проходит множе-
ство прямых, именуемое центральным пучком (или про-
сто пучком). Точка А{ называется
центром пучка. Каждую из пря-
мых пучка (кроме той, которая
параллельна оси ординат; см. за-
мечание 1) можно представить
уравнением
у-ух = Л (х-хА). (1)
Здесь к— угловой коэффициент
рассматриваемой прямой (k = tg а).
Уравненне (1) называют уравне-
нием пучка. Величина к (па-
раметр пучка) характеризует
направление прямой; она меняется
пучка к другой.
Значение параметра к можно иайти, если дано еще
какое-либо условие, которое (вместе с условием принадлеж-
ности прямой данному пучку) определит положение пря-
мой; см. пример 2.
Пример 1. Составить уравнение пучка с центром
в точке Д (-4; -8).
Р е щей ие. Согласно (1) имеем:
у+8 ~ А(х+4).
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку Дх(1; 4) и перпендикулярной к прямой.
Зх-2у =12.
t Решение. Искомая прямая принадлежит пучку с цен-
тром (1; 4). Уравнение этого пучка у-4 = &(х-1).
Чтобы найтн значение параметра к, учтем, что искомая
прямая перпендикулярна к прямой Зх-2у = 12; угловой
коэффициент последней есть у. Имеем (§ 20) к = -1,
т. е. к - —I. Искомая прямая представляется уравнением
у —4 = -у (х-1) или у — *4-4-|.
Замечание!, Прямая, принадлежащая пучку с цен-
тром в .Ai (Xi; J'j) и параллельная оси OY, представляется
уравнением х-хл = 0; это уравнение не получается
40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
из (1) ни при каком значении ft. В с е безисключения
прямые пучка можно представить уравнением
. 1(У-У1) « т(х-хд), (2)
где I и т~ произвольные числа (не равные нулю одно-
временно). Когда I * О, мы можем разделить уравнение (2)
на I, Тогда, обозначив ™~ через ft, получим (1). Если же по-
ложить I = 0, то уравнение (2) принимает вид = 0.
Замечание 2. Уравнение пучка, в состав которого входят две
пересекающиеся прямые £1( Ь2, заданные уравнениями
AjX + С, = 0, А2х + Вуу -pCj =0,
имеет вид
m,(AiX -р + Ci) 4- т2(А2х 4" В2у + С2) ®0. (3)
В нем mi, m3 —произвольные числа (не равные нулю одновременно).
В частности,"при гщ «О получаем прямую Д2, яри т« ^0 —прямую
Вместо (3) молено написать уравнение
А,х + Biy -f- Cj + X (Л2^- Ч" ВгУ "Г С2) =0, (4)
в котором всевозможные значения даются только одной букве X, но из
(4) нельзя получить уравнение прямой Ь2,
Уравнение (1) есть частный вид уравнения (4), когда приямые L, и
L2 даны уравнениями, у=у2, х=х2 (тогда они параллельны осям
координат).
Пример 3. Составить уравне1ше прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х — Зу — Г=О, Зх— у— 2=0 и перпенди-
кулярной к прямой у =х.
Решение. Искомая прямая (она заведомо не совпадает с пря-
мой Зх-у-2=0) принадлежит пучку
2х — Зу -1 +х (Зх- у- 2) =0. (5)
ЗХ+2
Угловой коэффициент прямой (5) есть к = • Так как искомая
прямая перпендикулярна к прямой у =х, то (§ 20)/с = —I, Следова-
3? 4-2 5 5
дельно, я- = т. е. X = —г . Подставляя X « - в (5), находим
X + 3 4 **
после упрощений:
7х+7у-б = 0.
Замечание 3. Если прямые Ь2 параллельны (но не со-
впадают), то уравнение (3) при всевозможных значениях mb т2 пред-
ставляет все прямые, параллельные двум данным. Множество пря-
мых, параллельных между собой, именуется параллельным пучком.
Таким образом, уравнение (3) представляет либо центральный, либо
параллельный пучок.
§ 25. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку параллельно данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку (xj гу) н парал-
лельная прямой у == ax + ft, представляется уравнением
У“И = uO-xJ. (1)
Ср. § 24.
§ 26. УРАВ. ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ДАННОЙ 41
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (-2; 5) и параллельной прямой
5х—7у-4 = О.
Р е шени с. Данную прямую можно представить урав-
нением у = у х-у (здесь Уравнение искомой
прямой есть у-5 = у[х-(“2)], т. с. 7(у-5) ~ 5(х+2)
нлн 5х—7у + 45 = О.
2. Прямая, проходящая через точку (xj у,) и парал-
лельная прямой ЛхС — о, представляется урав-
нением
А (х -хх) + В (у -у,) = 0. (2)
Пример 2, Решив пример 1 (Д = 5, — ~7) по
формуле (2), найдем 5(х-[-2)-7 (у-5) = 0.
ПримерЗ. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (-2; 5) и параллельной прямой 7х+10 = 0.
Решение. Здесь Д = 7, В = 0. Формула (2) даст
7(хц-2) = 0, т. е. х-р2 = 0. Формула (1) неприменима,
так как данное уравнение нельзя разрешить относительно у
(данная прямая параллельна оси ординат, ср. § 15).
§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку перпендикулярно к данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку Mi (хх; у,) н перпен-
дикулярная к прямой у = ах+b, представляется Уравне-
нием
У-У1 -^-(x~Xi). (1)
Ср. § 24, пример 2.
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (2; -1) и перпендикулярной к прямой
4х-9у « 3.
Решение. Данную прямую можно представить урав-
нением У = 4 У (а = к) ’ УРавпеШ1е искомой прямой
сеть у+1 = —| (х-2), т. е. 9х + 4у-14 « 0.
2. Прямая, проходящая через точку Ml (х^ у,) и пер-
пендикулярная к прямой Дх+Ву + С = 0, представляется
уравнением
Л (у-у^- в (х-xi) « 0. (2)
42 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
П р и м е р 2. Решая пример 1 (А ™ 4, В — — 9) по фор-
муле (2), найдем 4(у+1)+9(х-2) - О, т. е. 9х+4у-
-14 « О.
ПримерЗ, Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (-3; -2) перпендикулярно к прямой
2у+1 = О.
Решение. Здесь А = О, В ~ 2. Формула (2) дает
-2(х+3) = О, т. е. х + 3 = 0. Формула (1) неприменима,
нбо а = О (ср. § 20, замечание 1).
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек
Взаимное расположение точек Л(,(х,; у,), Л+(хг; у2) и прямой
Ах+Ву+С = 0 (1)
можно определить по следующим признакам:
а) точки Л-f, и М2 лежат по одну сторону от прямой (1), когда
числа Ах, + Ву, +Clf Ах2 + Ву2 +Сг имеют одинаковые знаки;
б) Мг и М2 лежат по разные стороны от прямой (1), когда эти
числа имеют противоположные знаки;
в) одна из точек Л1„ М2 (или обе) лежит на прямой (1), если одно
из этих чисел (или оба) равно пулю.
Пример 1. Точки (2; —6), ( —4; —2) лежат по одну сторону от
прямой
Зх + 5у-1 =0,
так как числа 3>2+5.(-6)- 1 = — 25 и 3'(—4)+5»( — 2)—Is»
= — 23 оба отрицательны.
Пример 2. Начало координат (0; 0) и точка (5-г 5) лежат по раз-
ные стороны от прямой х + у —8=0, так как числа 0 + 0— 8 = -8
и 5 +5-8 = + 2 имеют разные знаки.
§ 28. Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки Мх (хх, ух) до прямой (1)
Ах+Ву + С ~ 0
равно абсолютному значению величины
т, е,* 1) g Ах, + By, + С Уда + Вг * (2)
d = 181 = + +.<?.]. 1 M2 + ^2 1 (3)
Пример, Найти расстояние от точки (-1; +1) до
прямой
Зх-4у+5 - 0.
1) Формула (3) обычно выводится с помощью искусственного по-
строения; ниже (см. замечание 2) указан чисто аналитический вывод,
§ 29. ПОЛЯРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРЯМОЙ 43
Решение,
§ _ 4ул + 5 _ 3-( —!)—4.1Д5 _ __2
Уз* + 4а УзПлз 5 ’
<? = lsl = |-f | = i-
Замечание I. Пусть прямая (1) не проходит через начало О и,
значит, С (§ 16). Если при этом знаки В и С одинаковы, то точки
Afi и О лежат по одну сторону от прямой (1); если противоположны, —
то по разные стороны (ср. § 27); если же 6=0 (что возможно лишь
при Атл + ВУх +с =°)> то Mi лежит на данной прямой (§ 8).
Величина 8 называется ориентированным расстояние л( от
точки Alj до прямой (1). В рассмотренном примере ориентированное
' ~ " противоположны; зна-
расстояние S равно — а/5, а С =5. Знаки 5 и С
ч ит, точки AIj (— 1; +1) и О лежат по разные
стороны от прямой Зх — 4у +5 =0.
Замечание 2. Формула(3)выводится
проще всего следующим образом.
Пусть A12(xz; J'j) (черт. 24) — основание
перпендикуляра, опущенного из точки Mj
(Xj; Ул) на прямую (1). Тогда
d = /(х8~^)2 + (Уа-У1)г- (4)
Координаты хг, У» найдем как решение си-
стемы
АхдПу + С^О, (1)
А (у-Ул)-В (х-х3) =0, (3)
где второе уравнение представляет прямую МХМ2 (§ 2G). Для облегче-
ния выкладок преобразуем первое уравнение системы к виду
А (х —Хл) + В (у -Ул) + Ахл + Вул + С = 0.
Решая (5) и (6) относительно (х-Хл), (у -ул), находим:
= “д^ш(Ах1 + ВУ1 + С),
У-У1 = “лИЬ^(Лл'1 + ВУ1+С)’
Подставив (7) и (8) в (4)? найдем:
d = I АХл + ВУл+С ! .
I /Аа + т | *
(6)
(?)
(8)
§ 29. Полярные параметры прямой1)
Положенне прямой на плоскости можно задать двумя
числами; такие числа называются параметрами прямой.
Так, числа b (начальная ордината) н а (угловой коэффи-
циент) являются (ср. § 14) параметрами прямой. Но пара-
метры Ь н а пригодны не для всех прямых; прямую, па-
раллельную OY, нельзя имн задать (§ 15). В противопо-
ложность этому полярными параметрами (см. ниже) можно
задать положение всякой прямой.
») Этот параграф является вводным для §§ 30 к 31,
44 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Полярным расстоянием прямой UV (черт. 25) на-
зывается длина р перпендикуляра ОК, проведенного
к прямой нз начала О. Полярное рас-
х Н стояние положительно или равно ну-
лю (р 0).
X. ‘ Полярным углом прямой UV на-
Х(( зывается угол <х = -с ХОК между
/>/\ лучами ОХ и ОК (взятыми в дан-
X I X. ном порядке; ср. § 21). Если прямая
---------X/UV не проходит через начало (как
4 И на черт. 25), то направление вто-
ч 2Г-----рого луча ВпОЛНС определено (от О
ерт‘ л к. К); если же UV проходит через
О (тогда О и К совпадают), то луч,
перпендикулярный к UV, проводится в любом из двух
возможных направлений.
Полярное расстояние п полярный угол называются по-
лярными параметрами прямой.
Если прямая UV представляется уравнением
Дх+ By-i-C = О,
то ее полярное расстояние определяется по формуле
” = 73ВД?’ <*>
а полярный угол а-по формулам
cos а = т - __ у Sin а “ , (2)
где верхние знаки берутся, когда С > 0, а ннжнпе — когда
С •< 0; если же С = 0, то по произволу берутся либо
только верхние, либо только нижние знаки *).
1) Формула (1) получается из (3) § 23 (при =0), Формулы
(2) получаются так: из черт. 25
0L х . LK у
COS « К 77.- = — , Sin Й = -7777- => —
ОК Р ок р
Согласно (7), (8) § 28 (при =0) имеем:
АС ВС
' У “ -
(3)
(4)
Из (1), (3) и (4) следует:
С А СВ
COS « » * ;т , 51Л « И - —— --=7—г (Я)
KI М! + -н! ici
С с
Формулы (5) совпадают с (2) ибо 7777 +1 при С ?>0 и 7777 » — 1
I с I
приС<0.
4
$ 30. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 45
Пример!. НаЙтн полярные параметры прямой
Зх-4у-Р Ю = 0.
Решение. Формула (1) дает р = = 2- Фор-
мулы (2), где нужно взять верхние знаки (ибо С — 4-10),
дают
cos а = sin а = — = +4-
/34 + 4» 5 } 3S -Ь 42 °
Следовательно, а 127° (или « 487° н т. д.).
Пример 2. Найти полярные параметры прямой
Зх-4у = 0.
Формула (1) дает р~О; в формулах (2) можно взять либо
только верхние знаки, либо только нижние. В первом
случае cos а = sin а =4 и. значит, а 127°; во вто-
ром случае cos а =» у, sin а =.• —и, значит, а — 53°.
§ 30. Нормальное уравнение прямой
Прямая с полярным' расстоянием р (§ 29) и полярным
(черт. 26) и пусть луч ОК составляет
с лучом ОХ угол а=225°. Тогда нормальное уравнение
прямой UV есть
х cos 225° + у sin 225°- ^2 = О,
т. с.
46 аналитическая геометрия нА плоскости
Помножив на ~)^2, получим уравнение прямой UV в
виде х + у+2 — 0, но это уравнение уже не является 4
нормальным.
Вывод уравнения (1). Обозначим координаты точки К
(черт, 27) через х2, Уч. Тогда у,-OL^p cos а, у2 = LK —р sin а.
Прямая ОК, проходящая через точки О (0; 0) и К (хг; .У2), предста-
вляется (§ 23) уравнением j 1 = 0, т. е, (sinac) X — (cos а) у =0.
Прямая UV проходит через К (х2; уг) и перпендикулярна к прямой
ОК- Значит (§ 26, п. 2), она представляется у равнением sin a (у-Уп) —
—(— cos ы) (х — xs) =0. Подставляя сюда
х2 = р cos а и у» = р sin а, получаем
.j х COS sin а— р=0.
§ 31. Приведение
уравнения прямой
# к нормальному виду
Чтобы найти нормальное ура-
„ „ вненне прямой, заданной уравне-
рт' 1 пнем Лх4-Лу+С = 0, доста-
____________________ точно разделить данное уравне-
ние на +УД2+вг, причем верхний знак берется, когда
С > 0, и нижний • когда С < 0; если же С = 0, то можно
взять любой знак. Получим уравнение
М* + ^г Ms + H* 7 ^Да-i-B*
Оно будет нормальным1).
Пример 1. Привести уравнение Зх-4у+10 = О
к нормальному виду.
Здесь Д=3, В--4 и С-10 0. Поэтому делим на
— Уз2 + 4г = — 5. Получаем
-|х-|-4у-2 = О.
Это - уравнение вида х cos а+у sin а-р = 0, Именно
р - 2, cos а - — , sin а — + —- (значит, а « 127°).
Пример 2. Привести уравнение Зх-4у = 0 к нор-
мальному виду.
1) Ибо коэффициенты при х, у соответственно равны cos «, sin а
В силу (2) Ji 29, а свободный член равен ( —р) н силу (J) § 29.
47
§ 32. ОТРЕЗКИ НА ОСЯХ
Так как здесь С=0, то можно разделить либо на 5,
либо на — 5. В первом случае получаем
3 4 _
х--г-у = О
5 5 z
(р = 0, а 307°), во втором случае имеем
= О
(р = 0, а « 127°). Двум значениям а соответствуют два
способа выбора положительного направления на луче ОК
(См. §29).
28), отсекаемого
уравнении пря-
относнтельно х.
§ 32. Отрезки на осях
Для разыскания отрезка OL-a (черт,
прямой UV на оси абсцисс, достаточно в
мой положить у = О н решить уравнение
Аналогично ищется отрезок
ON=b на оси ординат. Значе-
ния ап b дюгут быть как положи-
тельными, так и отрицательны-
ми, Если прямая параллельна
одной из осей, то соответствую-
щий отрезок не существует
(«обращается в бесконечность*).
Если прямая проходит через на-
чало, то каждый отрезок вы-
рождается в точку (а= b = 0).
Пример 1. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые прямой
Зх —2рд-12 = 0 на осях.
Решение. Полагаем у — 0 и из уравнения Зх + 12 = О
находим х—-4. Полагая х=0, из уравнения
— 2у+12 = 0 находим у = 6. Итак, а = -4, 6 = 6.
Пример 2. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые на осях
прямой
15 = 0.
Решение. Эта прямая параллельна оси абсцисс (§ 15).
Отрезок а нс существует (положив у = О, получим про-
тиворечивое соотношение 15 = 0). Отрезок b равен —3.
Пример 3. Найти отрезки а, Ъг отсекаемые на осях
прямой
Зу-2х = 0.
Решение. По изложенному способу найдем а=0,
0 — 0. Конец каждого из «’отрезков* совпадает с его на-
чалом, т. е. отрезок вырождается в точку. Прямая прохо-
дит через начало (ср. § 14).
48 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 33. Уравнение прямой в отрезках
Если прямая отсекает на осях отрезки а, b (не равные
пулю), то ее можно представить уравнением
‘ v+T=l- <»
Обратно, уравнение (1) представляет прямую, отсекаю-
щую на осях (считая от начала О) отрезки а, Ь.
Уравнение (1) называется уравнением прямой в от-
резках.
Пример. Найти уравнение прямой
Зх-2у+12 = 0 (2)
в отрезках.
Решение. Находим (§ 32, пример 1) п= -4, 6-6.
Уравнение в отрезках есть
”4+|=1. (3)
Оно равносильно уравнению (2).
Замечание 1. Прямую, отсекающую на осях отрез-
ки, равные пулю (т. е. проходящую через начало; см. при-
мер 3 § 32), нельзя представить уравнением в отрезках.
3 а м е ч а я и е 2, Прямую, параллельную оси ОХ (§ 32, пример 2),
можно представить уравнением= 1, где & —отрезок на оси ОУ,
Аналогично, прямую, параллельную оси ОУ, можно представить
уравнением «1. Считать ли эти уравнения (уравнениями в отрезках*
или нет—дело соглашения (общепринятого соглашения в литературе
нет) ’).
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса)
Одна н та же линия представляется различными урав-
нениями в разных системах координат. Часто требуется,
вная уравнение некоторой линии в одной системе коор-
динат («старой»), найти уравнение топ же линии в дру-
гой системе («новой»). Этой цели служат формулы преоб-
разования координат. Они устанавливают связь между
старыми и новыми координатами какой-либо точки М.
дтил—-
1) Существенно то, что уравнение — = 1 или -& = 1 можно по-
дучить из уравнения = 1, ио нс как частный его случай, а с
помощью предельного перехода (при бесконечно большом b или о)<
s 35. ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ
49
Любую новую систему прямоугольных координат Х'О' Y'
можно получить из любой старой системы XOY (черт. 29)
с помощью двух движений: 1) сначала совмещаем начало О
с точкой О', сохраняя неизменными направления осей; по-
лучаем ‘вспомогательную систему ХО' Y (обозначенную
пунктиром); 2) затем поворачиваем вспомогательную
систему около точки О' до совмещения с новой си-
стемой Х'О'У'.
Эти же два движения можно выполнить и в обратном
порядке (сначала поворот около О, дающий вспомогатель-
пую систсхму XOY, затем перенос начала в точку О', дающий новую си- стему Х'О' Y'; черт, 30). В соответствии с этим достаточно знать формулы преобразования коор- динат при переносе начала (§ 35) н при повороте осей (§ 36). г У' i 1 1
Q‘ Г; Г f > —-
§ 35. Перепое начала координат I
Черт. 31.
Обозначения (черт, 31):
старые координаты точки Л4: х~ОР, у~РМ\
новые координаты точки М: х’ = О'Р', у'^Р'М;
координаты нового начала О' в старой системе XOY:
х^ — Ор, у0~рО'.
Формулы переноса:
*=--.v + x0, у=у'+у0, (1)
нли
х' = х~х0, г = У “Ул (2).
4 М. Я. Выгодский
50 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Словами: старая координата равна новой, сложенной с
коорднновюй нового начала (в старой системе)1 2).
Пример 1. Начало координат перенесено в точку
(2; -5). Найти новые координаты точки М( - 3; 4).
Решение. Имеем:
Х0 = 2, )'о=-5; х=-3, у,= 4.
По формулам (2) находим:
Х'=-3-2=-5, у = 4+5 = 9.
Пример 2. Уравнение некоторой линии есть
ха+уг-4х+6у = 36.
Каково будет уравнение той же линии после переноса
начала координат в точку О' (2; - 3)?
Решение. Согласно формулам (1) имеем:
х = х' + 2 и у = у - 3.
Подставим эти выражения в данное уравнение. Получим:
(х’ + 2)Ч(Г-3)3-4(х' + 2) + 6(у'-3) = 36,
нли после упрощений
х'г+у(3 = 49.
Это - новое уравнение нашей линии. Из него видно,
что эта лннип есть (§ 38) окружность радиуса R=7 с цент-
ром в точке О'.
§ 36. Поворот осей
Обозначения (черт. 32);
старые координаты точки М:х = ОР, у=РМ;
новые координаты точки М: л' = ОР', у' = Р'М;
угол попорота осей г) а = ХОХ.' = х. YOY'.
Формулы поворота 3):
X = х' cos ct-y’ sin а, )
с (*/
у = х' sin « + у' cos а, )
i) Для запоминания правила не чшайте слов н скобках; они суще-
ственны, но легко восстанавливаются по смыслу,
2) О знаке угла а см. § 14, подстрочное примечание.
3) Для запоминания формул (1) заметьте, что в выражении для х
имеем <полный беспорядок» (косинус стоит раньше синуса, между чле-
нами правой части—знак минус). Напротив, в выражении для умы
имеем .полный порядок» (сначала синус, потом косинус, а между чле-
нами <“31 taK плюс).
Формулы (2) получаются из (1), если заменить «иа-« и поменять
обозначения х, у на у' ,у\ и наоборот.
§ 36. ПОВОРОТ ОСЕЙ 51
Или
х' = х cos а+у Sin а,
У — -xsin а+у cos a. J ' }
Пример 1. Уравнение 2ху = 49 представляет линию,
состоящую из двух ветвей LAN И L'A'N' (черт. 33) (она
называется равнобочной гиперболой). Найти уравнение
этой линии после поворота осей на угол 45°.
Решен» е. Формулы (1) при а-45° принимают внд
У~2 , Уг
X ~ X у 2 ,
У'2 УТ
у = Х'-^ + у'-^-.
Подставим этн выражения в данное уравнение. Получим:
2^--'3(х'-у)0' + /) = 49,
или после упрощений
х,2~у2 ~ 49.
П р и м е р 2. До поворота осей на угол —20е точка М
имела абсциссу х—б н ординату у = 0. Найти коорди-
наты точки М после поворота осей.
Решение. Новые координаты х1, у точки М найдутся
по формулам (2), где надо положить х-6, у = 0, а = -20°.
Получим;
х' -- 6 cos (-20°) * 5t64,
У' ~ -6sin(“20°) ~ 2,05,
4*
52 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 37. Алгебраические линии и их порядок
Уравнение вида
Ах+Ву + С О, (1)
где по крайней мере одна из величин А, В нс равна пулю,
есть алгебраическое уравнение первой, степени (с двумя
неизвестными х, у). Оно всегда представляет прямую
линию.
Алгебраическим уравнением второй степени называется
всякое уравнение вида
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + JF - О, (2)
где по крайней мере одна из величин А, В, С не равна
ПУЛЮ.
Уравнение, равносильное уравнению (2), также назы-
вают алгебраическим.
Пример 1. Уравнение y = 5xs, равносильное уравне-
нию 5х2-у = 0, - алгебраическое уравнение второй сте-
пени (А = 5, В.О, С = О, D — O, Е = -1, F—O).
Пример 2. Уравнение ху=1, равносильное уравне-
нию ху — 1 = 0, есть алгебраическое уравнение второй
степени (А-0, В-1, С = 0, D = Q, E — Q, F = —1).
Пример 3. Уравнение (x+y-i-2)2-(x+y + 1)й = О
есть уравнение первой степени, так как оно равносильно
уравнению 2х-]-2у+3 = О,
Аналогично определяются алгебраические уравнения
третьей, четвертой, пятой и т. д. степенен. Величины А,
В, С, D и т. д, (в том числе свободный член) называются
коэффициентами алгебраического уравнения.
Если некоторая линия L представляется в какой-либо
одной декартовой системе координат алгебраическим урав-
нением п-й степени, то и во всякой другой декартовой
системе она представится алгебраическим уравнением той
же степени. При этом, однако, коэффициенты уравнения
(все или некоторые) изменят свои значения; в частности»
некоторые могут обратиться п нуль.
Линия L, представляемая (в декартовой системе) урав-
ненном п-П степени, называется алгебраической линией
п-го порядка.
Пример 4. Прямая линия представляется в прямо-
угольной системе координат алгебраическим уравнением
первой степени вида Ах+Ву + С — О (§ 16). Поэтому пря-
мая есть алгебраическая линия первого порядка. Для одной
§ 38. ОКРУЖНОСТЬ
55
и той же прямой коэффициенты Л, В, С имеют различные
значения в различных системах координат. Так, пусть
в «старой» системе прямая представляется уравнением
2х + 3у —5 = 0 (Д=2, В = 3, С = —5). Если повернуть
осп па угол 45°, то (§ 36) в «новой» системе та же прямая
представится уравнением
т. е.
4^л-'+<Дг-5 = о (д = ф-, с = -5).
Примерб. Если начало координат совпадает с цент-
ром окружности радиуса /?=3, то окружность представ-
ляется уравнением (§ 38) хи+у2-9 = 0. Это — алгебраи-
ческое уравнение второй степени (А= 1, В = 0, С = 1, D = 0,
Е = О, F = —9). Значит, окружность есть линия
второго порядка. Если начало координат перенести в точку
( — 5; —2), то в повои системе та же окружность предста-
вится (§35) уравнением (х'—5)2-|-(у' —2)2-9 - О, т. е.
х/2 + у,г-10xz — 4y' + 20 = 0. Это уравнение тоже второй
степени; коэффициенты Л, В и С остались прежними,
но D, Е и F изменились.
П р и м с р 6. Линия, представляемая уравнением
у ~ sin х (синусоида), - не алгебраическая.
§ 38, Окружность
Окружность радиуса В с центром в начале координат
представляется уравнением
Х2 + У2 = 7?2.
Оно выражает, что квадрат расстоя-
ния ОД (см. черт. 9 на стр. 22) от на-
чала координат до любой точки Л,
лежащей на окружности, равен /?2.
Окружность радиуса R с цен-
тро.м в точке С (о; Ь) представляется
уравнением
(Х-п)2 + (у-6)2 = (1)
Оно выражает, что квадрат расстояния МС (черт. 34)
между точками Л4 (х; у) н С (а; Ь) (§ 10) равен В2.
Уравнение (1) можно переписать в виде
' хг+у2-2ах~26у + й2+Ь2-7?2 = 0. (2)
54 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение (2) можно помножить па любое число А;
тогда оно примет вид
Ах2-у Ау2-2Аах — 2АЬу-{- A (а-b2 - R2) = 0. (3)
Пример 1. Окружность радиуса 7? = 7 с центром
С (4; — 6) представляется уравнением
(х - 4)г + (у б)2 = 49 или хи + у2 - 8х -Ь 12у -р 3 = О
или (после умножения на 3)
3№ ; 3у2 — 24х-|-Збу ; 9 = 0.
Замечание. Окружность есть линия второго порядка
(§ 37), так как представляется уравнением второй степени.
Однако уравнение второй степени представляет окружность
далеко не всегда. Для этого необходимо:
1) чтобы в нем не было члена с произведением ху;
2) чтобы коэффициенты при х2 и у2 были равны (ср.
уравнение (3)).
Но эти условия не вполне достаточны (ель § 39).
П р и м с р 2. Уравнение второй степених2 + 3ху-гу- = 1
не представляет окружность: в нем есть член Зху.
Пример 3. Уравнение второй степени 9х- + 4уа = 49
не представляет окружность: коэффициенты при х-' и при
у2 не равны.
П р и м е р 4. Уравнение
5№ — 1 Ох -|- 5у- + 20у - 20 = О
удовлетворяет условиям 1) и 2). В § 39 показано, что оно
представляет окружность.
§ 39. Разыскание центра и радиуса окружности
Уравнение
Дх2+Вх+Дуг + Су+И = 0 (1)
(оно удовлетворяет условиям 1 и 2 § 38) представляет
окружность при условии, что коэффициенты А, В, С, D
удовлетворяют неравенству
ЯК! c2-4AD 0. (2)
Тогда центр (д; Ь) и радиус 7? окружности можно найти
по формулам х)
в
а ~ “ 2А ’
ь= <3>
i) Нет нужды их запоминать; ср. пример 1 (второй способ),
§ 39. РАЗЫСКАНИЕ ЦЕНТРА И РАДИУСА ОКРУЖНОСТИ 55
Замечание, Неравенство (2) выражает, что квадрат
радиуса должен быть положительным числом; ср. послед-
нюю формулу (3). Если неравенство (2) не выполняется,
то уравнение (1) пе представляет никакой линии (см. ниже
пример 2).
Пример 1, Уравнение
5х2 - 1Ох + 5у! -1- 20у - 20 = О (4)
- подходит под вид (1); здесь
А ~ 5, В = — IO, С => 20, D = - 20.
Неравенство (2) выполняется. Значит, уравнение (4) пред-
ставляет окружность. По формулам (3) находим:
а = 1, b = -2, У?2 - 9,
т. е. центр есть (1; -2), а радиус R = 3.
Друх'ой способ. Разделив уравнение (4) па коэф-
фициент при членах второй степени, т, е. па 5, получим:
х2 — 2x+i+ + 4v*-4 = 0.
Дополним суммы х2-2х и у2 + 4у до квадратов. Для
этого прибавим к первой сумме 1, а ко второй 4. Для
компенсации прибавим те же числа к правой части урав-
нения. Получим:
(х2 - 2х + 1) Н- (у3 + 4у 14) - 4 = 1 + 4,
(х-1)'-’+(у + 2)2 = 9.
Пример 2, Уравнение
№ — 2х Ру2+2 = О (5)
подходит под вид (1), но неравенство (2) не выполняется.
Значит, уравнение (5) не представляет никакой линии.
К этому выводу можно придти и так (ср. пример 1):
Дополним сумму х2~2х до квадрата, прибавив к ней 1.
Для компенсации прибавим 1 также и к правой части.
Получим (х— I)3 |-у2+ 2 = 1, т. е. (х-1)2+уа= —1.
Но сумма квадратов (действительных) чисел не может
равняться отрицательному числу. Поэтому нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяли бы данному
уравнению.
56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 40. Эллипс как сжатая окружность
Через центр О окружности радиуса а (черт. 35) прове-
дем взаимно перпендикулярные диаметры Л'A, 0'0. На
радиусах 00, ,00' отложим от точки О равные отрезки
О В, OB' длиной b (меньшей, чем а).
Из каждой точки N окруж-
ности опустим перпендикуляр NP
на диаметр А' А и на этом перпен-
дикуляре отложим от его осно-
вания Р отрезок РМ так, чтобы
PM-.f>N = b*,a. (1)
Эго построение преобразует
каждую точку
соответственную
лежащую на
пендикулярс
АГ
в
X
Я
Черт. 35.
ii ДРУГУЮ
ТОЧКУ AI,
же
ей
том
Д’Р, причем Р~М
получается из PN уменьшением
nep-
в одном н том же отношении к = Такое преобразо-
вание называется равномерным сжатием. Прямая А'А
называется осью сжатия.
Линия АВ А'В', в которую преобразуется окружность
после равномерного сжатия, называется эллипсом1}.
Отрезок А'А = 2а (а часто к прямая А'А, т. е. ось
сжатия) называется большой осью эллипса.
Отрезок В'В — 2Ь (а часто и прямая В'В} называется
малой осью эллипса (по построению 2а > 2Ь}. Точка О
называется центром эллипса. Точки А, А', В, В' назы-
ваются вершинами эллипса.
Отношение к = b : а называется коэффициентом сжа-
тия эллипса. Величина (т. е. отношение
ВО ; 00} называется сжатием эллипса. Она обозначается
буквой а.
Эллипс симметричен относительно большой и малой
осей, а значит, и относительно центра.
Окружность можно рассматривать как эллипс с коэф-
фициентом сжатия к — 1.
Каноническое уравнение эллипса. Если
оси эллипса принять за оси координат, то эллипс
Другое определение эллипса см- и § 4L
§ 40. ЭЛЛИПС КАК СЖАТАЯ ОКРУЖНОСТЬ 57
представляется уравнением1)
= 1- (2)
Оно называется каноническим.уравнением эллипса.
Пример 1. Окружность радиуса а = 10 см подверг-
нута равномерному сжатию с коэффициентом сжатия 3 : 5.
После преобразования получится эллипс с большой осью
2д = 20 см и малой осью
2Ь 12 см (полуосн а = 10 см,
b =з 6 см). Сжатие этого эл-
липса а = 1 — к = = 0,4.
Каноническое уравнение его
есть
JfL+J2_ = 1.
П р и м е р 2. При проекти-
ровании окружности на какую-
нибудь плоскость Р диаметр
AiAt (черт. 36), параллельный
ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ, проектируется Черт. 36.
в натуральную величину, а все
хорды, перпендикулярные к диаметру, сокращаются в
отношении, равном cos <р, где ср—угол между плоскостью
окружности Pi и плоскостью Р. Поэтому проекция окруж-
ности есть эллипс с большой осью 2а » А'А и коэффици-
ентом сжатия к = cos ф.
Мы имеем!
№+Р№= О№= а>. (3)
В силу (1) имеем: PN »= ~ РМ. & (4)
Подставляя в (3), находим: Орг .^РЛ4г^««, (5)
т, е, х2+^--уг = а1. (6)
Разделив на а?, получим равносильное уравнение (2). Итак, если
Л4(х, у) лежит на эллипсе АВА'В', то х, у удовлетворяют уравнению
(2). Если же Л1 не лежит на этом эллипсе, то равенства (4J, а
значит, и уравнение (6) не удовлетворяются (ср. § 7).
2) От греческого слова «канон»—образец. Таким образом, назва-
ние «каноническое» равнозначно названию «типовое».
58 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 3. Земной меридиан точнее принять не за
окружность, а за эллипс. Земная ось есть малая ось этого
эллипса. Длина ее (округленно) 12 712 км. Длина большой
осн равна (округленно) 12 754 км. Найти коэффициент
сжатия Л н сжатие а этого эллипса.
Решение.
а-Ъ _ 2а—2Ь __ 12 754- 12 712 n
“ “ а ~ 2а 12 754 * и>иил>
У' k = 1 -а « 0,997.
§ 41. Другое определение эллипса
Определение. Эллипс есть геометрическое место
точек (Л4), сумма расстоянии которых до двух данных
точек F', F (черт. 37) имеет одно и то же значение 2п:
F'M+FM-2a. (1)
Точки F' н F называются фокусами1) эллипса, а расстоя-
ние F'F -фокусным расстоянием; оно обозначается 2с:
F’F = 2с. (2)
Так как F'F < F'M+FM, то 2с -с 2п, т. е.
с *; а. (3)
Определение настоящего параграфа равнозначно с опре-
делением § 40 [ср, уравнение (7) с уравнением (2) § 40J.
Черт. 37.
Черт. 38.
Каноническое уравнение эллипса. При-
мем прямую F'F (черт. 38) за ось абсцисс и середину О отрез-
ка F'F-за начало координат. Согласно опредслениюэллип-
са и (1) § 10 имеем F' (- с> 0), F (с, 0). Согласно § 10
У(х-рс)3+у2 + F(x-c)2+ya’ = 2а, (4)
») Фокус — латинское слово; означает <очаг>. Если в точке F
(или F') поместить источник света, то после отражения от эллипса все
лучи соберутся в точке F' (или F) и помещенное там воспламеняющее-
ся вещество загорится. Это зрелище поражало зрителей; поэтому сло-
во <фокус> получило тот смысл, в котором его употребляют ныне
р обиходе,
$ 41. ДРУГОЕ определение эллипса 59
Освободившись от радикалов1), получим равносильное
уравнение
(а2 — с®)х®+ агу2 — а2(а2—с2) (5)
или
*3 , У3 „ 1 /Й\
дг + Д1 „ сг — 1
Вследствие (3) величина а2 - с3 положительна. Поэтому
(6) можно написать в виде
(7)
гДе У/
Ь2~а2-сК (8) V -X
\ г* п F
Уравнение (7) совпадает с (2) § 40. X. С/
Значит, линия, названная в на-
стоящем параграфе эллипсом, дей-
ствительно тождественна с линией, ЧеРт- 39*
названной эллипсом в § 40. При
этом оказывается, что центр О эллипса (черт. 39) совпадает
с серединой отрезка F'F, т. е. OF = с. Большая ось 2а — А'А
эллипса, согласно равенству (1), оказывается равной неиз-
менной сумме расстояний F'M+FM (черт. 38). Малая
полуось Ь = О В (черт. 39) и отрезок с = OF являются
катетами прямоугольного треугольника BOF; гипотенуза BF
этого треугольника равна а. Это видно из равенства (8),
а также из того, что равные отрезки F'B И FB составляют
в сумме 2а (по определению эллипса). Таким образом,
расстояние от фокуса до конца малой оси равно длине
большой ПОЛУОСИ.
Отношение фокусного расстояния к большой оси,
т. е. величина называется эксцентриситетом эллипса.
Эксцентриситет обозначается греческой буквой в («эпси-
лон»):
s = |. (9)
Вследствие (3) эксцентриситет эллипса меньше единицы.
Эксцентриситет е и коэффициент сжатия к эллипса (§ 40)
в силу (8) связаны соотношением
/c3=l-s2. (10)
1) Один из радикалов переносим п правую часть и возводим урав-
нение в квадрат; в новом уравнении будет только один радикал.
Уединив его, снова возведем в квадрат. После упрощений получим (5),
60 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример. Пусть фокусное расстояние эллипса 2с=8 сл/,
а сумма расстоянии произвольной его точки до фокусов
составляет 10 см. Тогда большая ось 2а 10 см, эксцентри-
ситет s — •“ = ОД Коэффициент сжатия к = ^1 - еа ~ 0,6.
Малая ось 2Ь = 2afc = 2 ]/аг—£а ~ 6 см. Каноническое
уравнение эллипса есть
Замечание. Если окружность рассматривать как
частный вид эллипса Ь ~ а, то с = 0, т. е. фокусы ¥ н F
нужно считать совпавшими, Эксцентриситет окружности
равен нулю,
§ 42. Построение эллипса по его осям
Первый способ. На перпендикулярных прямых
Х'Х и Y' ¥ (черт. 40) откладываем отрезки О Д' « О А =з а и
OB' ~ ОВ = Ь [половины данных осей 2а, 2b (а > b)j.
Точки А'} А, В', В будут вершинами эллипса.
Из точки В радиусом а описываем дугу uv; она пере-
сечет отрезок Л'Л в точках F', F; это будут фокусы эллипса
[согласно (8) § 41]. Разделим отрезок А'А = 2а произвольно
на две части: А'К ~ г' и КА = г, так что r'4-r = 2а.
Из точки F описываем окружность радиуса г, а из
F' - окружность радиуса г. Эти окружности пересекутся
в двух точках М и М', причем по построению F'M+FM =
= 2а н F'M'+FM' = 2а. Согласно определению § 41 точки
МиМ1 лежат на эллипсе. Меняя г, будем получать новые
точки эллипса.
Второй способ. Проводим две концентрические
окружности радиуса О А = а и OB = b (черт. 41). Через
центр О проводим произвольный луч ОК. Через точки К и
§ 43. ГИПЕРБОЛА
61
Mt, в которых CW встречает две окружности, проводим пря-
мые, соответственно параллельные осям Х'Х, У' У. Эти пря-
мые пересекутся в точке М. Ее ордината PM (~ I<D) короче
ординаты РХ^ точки лежащей на окружности радиуса at
причем PM: PMt = b : а. Значит (§ 40), точка М лежит
на искомом эллипсе. Меняя направление луча CW, получим
новые точки эллипса.
§ 43. Гипербола
Определение. Гипербола (черт. 42) есть геометри-
ческое место точек (М), разность расстояний которых до
двух данных точек F't F имеет одно и то же абсолютное
значение (ср. определение эллипса § 41);
|Е'М—ЕМ] =* 2а. (1)
Точки F* и F называются фокусамит) гиперболы, рас-
стояние F'F-фокусным расстоянием; оио обозначается
через 2с:
F'F =* 2с. (2)
Так как F'F > | F'M-fM |, то [ср. формулу (3) § 41]
с > а, (3)
Если М ближе к Фокусу F', чем к Фокусу F, т. е. если
F'M * FM (черт. 43), то вместо (1) можно написать:
FM-F'M 2а. (1а)
Если же М ближе к F, чем к Р'г т. е. Р'М > ЕМ (черт. 42),
то мы имеем:
F'M-FM~2a. (16)
Если в одном из фокусов поместить источник света, то после
отражения от гиперболы лучи образуют расходящийся пучок с цент-
ром в другом фокусе. Ср. сноску па стр. S8,
62 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Черт, 44.
Те точки, для которых F<M — FM — 2а, образуют одну
ветвь гиперболы (при обычном расположении чертежа -
«правую»); тс точки, для которых FM - F'M = 2а, обра-
зуют другую ветвь («левую»).
Каноническое уравнение гиперболы.
За ось ОХ принимаем (черт. 44) прямую F'F, за начало ко-
ординат-середину О отрезка F'F. Согласно (2) имеем
F(c; О), F'( — с; О). Правая ветвь
согласно (16) и § 10 представ-
ляется Уравнением
/(х+с)г+уг-
- ^(х-'с)8+у*« 2а. (4а)
Для левой же ветви согласно
(1а) и § 10 имеем уравнение
У(х-с)Ч-У2-
“ /(х+<)*+/* = 2а. (46)
получим в обоих случаях:
Освобождаясь от
радикалов,
или
(a2 — с"')х-~а'у- = ав(а3 —св)
2^.^ _ = j.
аз ‘ й2 - сз 4
(5)
(6)
Это уравнение равносильно паре уравнений (4а), (46) и
представляет обе ветви гиперболы сразу1).
Уравнение (6) имеет тот же внешний вид, что уравне-
ние эллипса [ср. (6) § 41], ио это сходство обманчиво, так
как теперь вследствие (3) величина а2-сг отрицательна,
так что Уа3-сг-мнимая величина. Поэтому обозначим
через b величину + ]/сг-ав, так что ~)
6В = сй —а3. (7)
Тогда нз (б) получаем каноническиеа) уравнение гиперболы
х2___
а® Ы
1) Две ветви гиперболы можно было бы считать ле за одну линию,
а за две. Но тогда ни одна из этих линий в отдельности не представ-
лялась бы алгебраическим уравнением второй степени.
г) О геометрическом смысле величины b см. § 46.
3) См. сноску нй стр, 67.
§ 44. ФОРМА ГИПЕРБОЛЫ; ВЕРШИНЫ Й ОСИ 63
Пример. Если разность расстояний F'M - FM по
абсолютной величине равна 2а -- 20 см, а фокусное рас-
стояние 2с = 25 см, то Ь = Ус2-а* = -^ (см). Канони-
ческое уравнение гиперболы сеть 1.
” 4
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси
Гипербола симметрична относительно точки О-сере-
дины отрезка F'F (черт. 45); она симметрична относительно
прямой F'F и относительно прямой Y'Y, проведенной
через О перпендикулярно к F'F. Точка О называется
центром гиперболы. Прямая F'F
пересекает гиперболу в двух точках
А( + «; 0) и А1 (-а; 0). Эти точки
называются, вершинами гиперболы.
Отрезок А'А — 2а (а часто и прямая
А'А) называется действительной
осью гиперболы.
Прямая У'У не пересекает гипер-
болу. Тем не менее принято откла-
дывать на ней отрезки В'О = О В ~ 6
и называть отрезок В'В = 2b (а так-
же и прямую Y'Y) мнимой осью ги-
перболы.
Так как АВ2 = О А2 + 0 В2 =
» а2+Ь2, то из (7) § 43 следует,
что АВ = с, т. е. расстояние от вершины гиперболы до
конца мнимой оси равно полуфокусиому расстоянию.
s Iх а
Черт, 46. Черт. 47,
Мнимая ось 2Ь может быть больше (черт. 45), меньше
(черт. 46) или равна (черт. 47) действительной оси 2а. Если
64 АНАЛИТИЧЁСКАЙ ГЕОМЕТРИЙ НА ПЛОСКОСТИ
действительная и мнимая оси равны (а ~ Ь), то гипербола
называется равносторонней (или равнобочной).
Отношение ~ фокусного расстояния к действи-
тельной оси называется эксцентриситетом гиперболы и
обозначается s [ср. (9) § 41]. Вследствие (3) § 43 эксцен-
триситет гиперболы больше едшшцы, Эксцентриситет рав-
носторонней гиперболы равен /2.
Гипербола лежит целиком вие полосы, ограниченной
прямыми PQ и /?S, параллельными У'У и отстоящими от
У' У иа расстояние О А - А'О = а (черт. 45,46,47). Вправо
и влево от этой полосы гипербола простирается неогра-
ниченно.
§ 45. Построение гиперболы по ее осям
На перпендикулярных прямых Х'Х и У*У (черт. 48)
откладываем отрезки О А = О А’ = а иОВ — О В' = b (дей-
ствительные и мнимые полуоси).
Затем откладываем отрезки OF
м OF', равные АВ. Точки F' и
F-фокусы (согласно (7) § 43).
На продолжении отрезка А' А за
точку А берем произвольно точ-
ку К. Из точки F радиусом г = АК
описываемокружность. Из точки F'
описываем окружность радиусом
г' = А'К = 2а+г. Эти окружно-
сти пересекутся в двух точках М,
М', причем по построению F'M-
— FM » 2а и F'M'—FM' ~ 2а.
Согласно определению (§ 43) точки
М и М' лежат на гиперболе. Меняя
г, получим новые точки «правой
ветви. Аналогично строятся точки
«левой» ветви.
§ 46. Асимптоты гиперболы
Прямая у = кх (она проходит
через центр гиперболы О) при
с ~ пересекает гиперболу в двух точках D’, D
ь
(черт. 49), симметричных относительно О. Если же
§ 47. СОПРЯЖЕННЫЕ ГИПЕРБОЛЫ 65
[ Л ! у > прямая у = кх (Е'Е иа черт. 50) ие имеет
общих точек с гиперболой.
Прямые у = х и у = х (U'U и V' V на черт. 51),
для которых [ к | = ~, обладают следующим (только им
присущим) свойством: при неограниченном продолже-
нии каждая из них неограниченно сближается с гипер-
болой.
Точнее: если прямую QQ, параллельную оси ординат,
неограниченно удалять от центра О (вправо или влево),
то отрезки QS, QS' между гиперболой и каждой из
прямых U U, V’V неограниченно уменьшаются.
Прямые у = -^х и у= х называются асимпто-
тами гиперболы *).
Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно пер-
пендикулярны.
Геометрический смысл мнимой оси. Че-
рез вершину Л гиперболы (черт. 51) проведем прямую L'L,
перпендикулярную к действительной оси. Тогда отрезок
L'L этой прямой, заключенный между асимптотами гипер-
болы, равен мнимой осп гиперболы В'В = 2Ь.
§ 47. Сопряженные гиперболы
Две гиперболы называются сопряженными (черт. 52),
если они имеют общий центр О и общие осп, но действи-
тельная ось одной из них является мнимой осью другой.
< Асимптота» —греческое слово; означает <не попадающая»
5 М. Я. Выгодский
66 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
На черт. 52 А' А - действительная ось гиперболы I и
мнимая ось гиперболы II, В'В-дсйа витальная ось
Черт. 52.
гиперсолы II и мнимая ось
гиперболы /.
Если
№ _ у2 _ .
есть уравнение одной из сопря-
женных гипербол, то другая
представляется уравнением
у3 = „1
й2 62
Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты (U'U
и V'V на черт. 52).
§ 48. Парабола
Определение. Парабола (черт. 53) есть геометри-
ческое место точек (М), равноудаленных отданной точки F
и данной прямой PQ:
FM = КМ. (1)
Точка F называется фокусом *), а
прямая PQ - директрисой параболы.
Расстояние FC = р от фокуса до дирек-
трисы называется параметром параболы.
Примем за начало координат сере-
дину О отрезка FC, так что
СО = OF = f. (2)
За ось абсцисс примем прямую CF;
положительным направлением будем
считать направление от О к F.
Тогда имеем: F о), КМ = KD + DM = -~-4-хи(§10)
FM = х)г+у3. Вследствие (1) имеем:
|/(у~*У+У3 = £+*• (3)
Освободившись от радикала, получим равносильное урав-
нение
у2 = 2рх. (4)
I) Параллельный пучок лучей, перпендикулярных к директрисе,
после отражения от параболы обратится в центральный пучок с
центром в фокусе. Ср. сноску на стр. 58.
§ 50. ПАРАБОЛА 67
Это — каноническое1) уравнение параболы.
Уравнение директрисы PQ (в той же системе координат)
есть х = 0.
Парабола симметрична относительно прямой FC (ось
абсцисс при пашем выборе системы координат). Эта прямая
называется осью параболы. Парабола проходит через се-
редину О отрезка FC. Точка О называется вершиной
параболы (ее мы приняли за начало
координат).
Парабола лежит целиком по одну
сторону от прямой Y'Y (касательная в
вершине) и простирается в эту сторону
неограниченно.
Черт. 54.
§ 49. Построение параболы
во данному параметру р
Проведем (черт. 54) прямую PQ (ди-
ректрису параболы) и на данном расстоя-
нии р = CF от нес возьмем точку F
(фокус). Середина О отрезка CF будет
вершиной, а прямая CF-осью параболы. На луче OF
возьмем произвольную точку R и через нее проведем
прямую RS, перпендикулярную к осп. Из фокуса F, как нз
центра, опишем окружность радиусом, равным СР. Она
пересечет FS в двух точках М, М\ Точки М и М' при-
надлежат искомой параболе, так как ио построению
FM ~ CR = КМ (см. определение, § 48). Меняя положение
точки R, будем находить новые точки параболы.
§ 50. Парабола как график уравнения y~ar~rbxre
Уравнение
хг = т2ру (1)
представляет ту же параболу, что и уравнение у2 = 2рх
(ср. § 48), только теперь ось параболы совпадает с осью
ординат; начало координат по-прежнему совпадает с вер-
шиной параболы (черт. 55). Фокус находится в точке
F (О; . Директриса PQ представляется Уравнением
y+f ~ 0.
J) См. сноску г) на стр. 57.
5*
68 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
-Если за положительное направление на оси ординат
принять не направление OF, а направление FO (черт. 56),
то уравнение параболы будет:
"X2 = 2ру (2)
(см. черт. 56, где осям координат приданы обычные на-
правления). Сообразно с
этим графиками функций
у — нх2 (3)
служат параболы, обра-
щенные ВОГНУТОСТЬЮ
вверх, когда а =- 0, и
вниз, когда а -- 0. Чем
меньше абсолютное зна-
чение а (на черт. 57 име-
ем п = 2, а = ± 1, а ~
= ± = у), тем бли-
же фокус от вершины,
тем больше «раствор»
параболы.
Всякое уравнение
у = axs + bx + c (4)
графически изображает-
ся той же параболой,
что и уравнение у = ах3
(для обеих парабол рас-
стояние от вершины до фокуса равно • Обе об-
ращены вогнутостью в одном и том же направлении. Но
§ 50. ПАРАБОЛА 69
вершина параболы (4) лежит ие в начале, а в точке Л
(черт. 58) с координатами
xA-0P="~, у^РА = ^г. (5)
Пример. Уравнение
1 ч , з 1 ,л .
у*-?х-+тх-7 (4а)
параболу, что и уравнение у = - ~ х2. Вершина лежит в
точке А с координатами
Хл ~ 2а “ 2 » Ул ~ 4а 16 ’
Фокус находится снизу от вершины на расстоянии
р = _L.. = (
3 |4а|
Следовательно, координаты фокуса суть
_ _3 _ 1 1 _ 15
Xf ~ 2 ’ ~~ 16 1 ~ “ 16
Замечание 1. Нет нужды запоминать формулы (5).
Для вычисления xAt уА можно применить следующий
прием. Уравнение (4а) перепишем в виде
---- у+|= -|(х>-3х). (6)
70 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Дополним выражение в скобках до полного квадрата, при-
бавив -4. Для компенсации прибавим -д-'-д = к
левой части. Получим:
1У = ю
Уравнение (7) примет вид
--Д--------- у' = (8)
Лг 4
7 ~~\г—-----7 если выполнить преобразование псре-
0 носа осей (§ 35):
, I , 3 /п\
Г“У-Тб> х=х"2- <9)
Черт. 60. .
Вершина параболы (т. е. точка
х' = 0, у' = 0) имеет координаты х = “, у = .
Замечание 2. Общие формулы (5) можно вывести из (4) тем
же приемом, какой был применен в замечании I к уравнению (4а).
Замечание 3. Уравнение
х = ay" + by + с
f\ac — 6г b \
представляет параболу (черт. 60) с вершиной а точке (—
Ось ее параллельна оси абсцисс; вогнутость обращена «вправо», если
а ^0, и «влево», если а -<0.
§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы
а) Директрисы эллипса. Пусть дан эллипс
(черт, 61) с большой осью А'А = 2а и эксцентриситетом
(§41) = е. Пусть в и О
(т. е. эллипс не является окруж-
ностью). Отложим от центра
О эллипса на его большой оси
отрезки 00 = OD', равные
4 (т. е. OD : О А --- О А : OF).
Прямые PQ, P'Q', проходящие
соответственно через D, D' и
параллельные малой оси, назы-
ваются директрисами эллипса.
Каждой из директрис поставим в соответствие тот фо-
кус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра,
т. е. директрисе PQ-фокус F, а директрисе P'Q'-фокус
$ 52. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 71
F'. Тогда для любой точки М эллипса отношение ее рас-
стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей
директрисы равно эксцентриситету е, т. е.
MF; МК = MF': МК' = е. (I)
Так как для эллипса е -« 1, то всякая точка эллипса ближе
к фокусу, чем к соответствующей директрисе.
Если большая осьэллипса остается неизменной, а эксцен-
триситет стремится к нулю (т. е. эллипс все меньше отли-
чается от окружности), то ди-
ректрисы ueoi раниченно удаля-
ются от центра.
У окружности директрис иет.
б) Д и р е к т р и с ы гипер-
болы. Пусть А'А (черт. 62) есть
действительная ось гиперболы, а
ОН с
е — — ---ее эксцентриситет
(§ 44). Откладываем
OD = OD' = -
£
Черт. 62.
(т. е. OI)-.OA-OA:OF). Пря-
мые PQ, P'Q', проходящие соответственно через D,
D' и параллельные мнимой оси, называются директрисами
гиперболы. Для любой точки М гиперболы отношение
ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-
вующей директрисы [см. пункт а)] равно эксцентриситету
е, т. е.
MF : МК = MF'; МК' = а. (2)
Так как для гиперболы е >• 1, то всякая точка гиперболы
ближе к директрисе, чем к соответствующему Фокусу.
§ 52. Общее овределение эллипса, гиперболы
и параболы
Все эллипсы i)> гиперболы и цараболы обладают следующим свой-
ством: для каждой из этих линий остается неизменным отношение
(черт. 63)
FM : AIK, (I)
где FM — расстояние произвольной ее точки М до данной точки F (фо-
куса), а МК-расстояние точки М до данной прямой PQ (директрисы).
1) Кроме окружности.
72 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Для эллипса (черт. 64) это отношение меньше единицы (оно равно
эксцентриситету эллипса ср. 41, 51). Для гиперболы (черт. 65)
£
оно больше единицы (оно равно эксцентриситету гиперболы ~ ;
ср, §§ 43, 51); для параболы (черт. 66) оно равно I (§ 48).
Обратно, всякая линия, обладающая указанным свойством, есть
либо эллипс (если FM : A1J< -= I), либо гипербола (если FM : ЛП< >1),
либо парабола (если FM : ЛТК = 1). Поэтому упомянутое свойство
можно принять эа общее определение эллипса, гиперболы и параболы,
а неизменное отношение ЁЛ1 : Л1/< = е назвать эксцентриситетом.
Эксцентриситет е параболы равен единице, для эллипса е-Н, для ги-
перболы Е>1.
Заданием эксцентриситета с и расстояния FC — d от фокуса до ди-
ректрисы полностью определяются величина и форма эллипса, гипер-
болы и параболы. Если при данном
е изменять rf, то все получаемые кри-
вые будут подобны друг другу.
Харда RR'эллипса, гиперболы или параболы (черт. 64,65,66), про-
ходящая через фокус F и перпендикулярная к оси FC, называйся фо-
кальной хордой и обозначается 2р:
RR' = 2р. (2)
Величина р = -FR1 (т. е. длина фокальной полухорды) называется
параметром эллипса, гиперболы или параболы. Она связана с d соотно-
шением
р ~ de, (3)
так что для параболы (s =1)
р « d- (За)
§ 52. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
73
Вершины эллипса, гиперболы и параболы (А на черт. 64, 65, 66)
делят отрезок FC в отношении FA : АС = е. Вторая вершина эллипса
и гиперболы (Д'на черт. 64,65) делитFCn том же отношении внешним
образом (§ 11).
В соответствии с новым определением эллипс, гипербола и пара-
бола представляются единым уравнением. Если за начало принять
вершину А (черт. 67) и ось направить по лучу AF, то это уравнение
будет:
ye«2jsx-(l (4)
здесь р —параметр, а е—эксцентриситет.
Вблизи от вершины парабола и по форме мало отличается от эл-
липсов и гипербол, имеющих эксцентриситет, близкий к 1. На черт. 68
изображены эллипс с эксцентриситетом s ^0,9, гипербола ’) с эксцен-
триситетом е=1,1 и парабола (е = 1), имеющие общий фокус F и об-
щую вершину А.
Полуоси а, b и полуфокусное расстояние с эллипса и гиперболы
выражаются через s следующим образом:
Эллипс «-т£г /1 - «« £ с = а е — р
Гипербола Кеа - 1 е-ЦЕ е,_|
Расстояние 8 =AF от фокуса F до вершины А во всех трех слу-
чаях выражается формулой
s _£1_
1 + s 1 + Е
1) Вторая вершина эллипсам гиперболы (а вместе с тем и вся вторая
ветвь гиперболы) тем дальше от первой вершины, чем е ближе к 1.
74 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 53. Конические сечения
Эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями t
так как их можно получить на поверхности круглого ’) конуса в пере-
сечении с плоскостью F, не проходя-
щей через вершину конуса. При
этом поверхность конуса мыслится
неограниченно продолженной в обе
стороны от вершины,
Если плоскость Р не параллельна ни одной образующей конуса
(черт. 69), то коническое сечение есть эллипс !).
Если плоскость Р параллельна только одной из образующих ко-
НУса (КК' на черт. 70), то коническое сечение есть парабола.
Если плоскость Р параллельна двум образующим конуса (КА" и
I.L' на черт. 71), то коническое сечение есть гипербола.
Если плоскость Р проходит через вершину конуса, то вмесю эл-
липса мы получим точку, вместо гиперболы — пару пересекающихся
прямых (черт. 72), а вместо параболы —прямую касания плоскости Р
с конусом (черт. 73). Эту прямую можно рассматривать как две слив-
шиеся в ОДНУ.
!) А также на поверхности некруглого кругового конуса.
г) В частности, эллипс может быть окружностью. На круглом ко-
нусе круговые сечения образуются только плоскостями, параллель-
ными основанию; некруглый же конус имеет еще одно семейство кру-
говых сечений.
§ 54, ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
75
§ 54. Диаметры конического сечения
Середины параллельных хорд всякого конического сечения лежат
на одной прямой; эта прямая называется диаметром конического
сечения. Каждому направлению параллельных хорд соответствует
свой диаметр (^сопряженный» с данным направлением). На черт. 74
Черт. 74.
изображен один из диаметров U'U эллипса. На нем лежат середины
параллельных хорд AfjMj, ... Геометрическое место
этих середин есть отрезок L L диаметра L/'L/.
На черт. 75 изображен диаметр U'U гиперболы, соответствующий
параллельным хордам MjAl', A1SA1J и т, д. На нем лежат середины
76 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
этих хорд. Геометрическое место точек К(, К»,... есть пара
лучей L'U' и LU.
Замечание. В элементарной геометрии диаметром окружности
называется отрезок (наибольшая хорда). В аналитической гео-
метрии слово «диаметр» иногда тоже употребляется для обозначения
отрезка LL' (черт. 74, 75). Но чаще этим словом называют всю
прямую LL'.
§ 55. Диаметры эллипса
Все диаметры эллипса проходят через его центр.
Диаметр, соответствующий хордам, параллельным малой оси, есть
большая ось (черт. 7В). Лиаме ip, соответствующий хордам, параллель-
ным большой оси, есть малая ось.
Хордам с угловым коэффициентом к (А-иО) отвечает диаметр ув/^х,
где определяется из соотношения
/.^=^-1, (1)
т. е,
£2
= (U)
Пример I. диаметр U'U эллипса . v
*г . У1 ,
g
(черт. 77), отвечающий хордам с угловым коэффициентом к => — -g- ,
представляется уравнением у = Л±х; значение кх определяется из соот-
ношения — -д- Ад i= —д-, так что уравнение диаметра U'U есть
I
У = 2 х*
Пример 2. Диаметр V'V (черт, 77)того же эллипса, соответ-
ствующий хордам с угловым коэффициентом к = представляет-
8 2
ся уравнением у = — -^-х.
Если диаметр U'U эллипса делит пополам хорды, параллельные
диаметру V'V, то диаметр v'V всегда де лит пополам хорды, параллель-
ные диаметру U'U
£ 56. ДИАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛЫ 77
8 № уз
Пример 3. Диаметр у = - g-х эллипса —~ 1 (СР- при-
меры 1 и 2) делит пополам хорды, параллельные диаметру у — Л х.
В свою очередь диаметр у = х делит пополам хорды, параллельные
8
диаметру у = - — х.
Диаметры, из которых каждый делит пополам хорды, параллель-
ные другому, называются взаимно сопряженными.
Два диаметра, сопряженных друг с другом и вместе с тем взаимно
перпендикулярных, называются главными диаметрами. У окруж-
ности всякий диаметр —главный. У эллипса, отличного от окружнос-
ти, есть лишь одна пара главных диаметров—большая и малая оси.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений
имеют согласно (1а) противоположные знаки, г. е. два сопря-
женных диаметра эллипса принадлежат раз-
личным парам вертикальных углов, образуе-
мых осями (на черт. 7 7 диаметр V' V лежи г до II и IV четвер i н,
a U'U -а I и III четверти). При вращении диаметра U'U сопряжен-
ный диаметр V'V врашаеюя в ту же сторону, чго и U'U.
§ 56. Диаметры гиперболы
Все диаметры гиперболы проходят через ее центр.
Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси
(черт, 78), есть действительная ось (геометрическое место середин хорд
есть пара лучен А'Х' и АА); диаметр, соответствующий хордам, па-
раллельным действительной оси (черт. 79), есть мнимая ось (середины
хорд заполняют ось У'У целиком).
Для гиперболы, как и для эллипса, угловой коэффициент к парал-
лельных хорд (А^О) и угловой коэффициент At соответствующего
диаметра связаны соотношением
kkt « s*-l. (1)
Но соотношение (1а) § 55 заменяется соотношением
ъг
кк, » + — (16)
78 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
х1 v!
Пример!. Диаметр U'U гиперболы -у = 1 (черт. 80), соот<
*! 7 10
ветствующий хордам с угловым коэффициентом к =-д*> представляется
уравнением y=Aix; значение Ад
определяется из соотношения
4
ккк = 77, так что уравнение
у . 2
диаметра U U есть у = -g- X.
Пример 2. Диаметр V'V
(черт. 80) той же гиперболы,
соответствующий хордам с угло-
, , ,2
вым коэффициентом к=— , пред-
J 10
отделяется уравнением у= ~q-x.
Если диаметр U'U делит по-
полам хорды, параллельные диа-
метру V'V, то диаметр V'V всегда делит пополам хорды, параллельные
диаметру U 'U.Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
У всякой гиперболы есть лишь одна пара главных (т. е. соп-
ряженных и вместе с тем взаимно перпендикулярных) диаметров —
действительная и мнимая оси.
Если угловой коэффициент параллельных хорд по абсолютному
значению больше, чем угловой коэффициент асимптоты, т. е.
[Л| >-
1 1 а
/ , Ь 2\
1см, пример 1, где -- = - J , то геометрическое место середин хорд
есть пара лучей (f.'CJ' и LU), Если же
1 ’ а
(см. пример 2), то середины хорд заполняют диаметр (V'V па черт. 80)
целиком. Из двух сопряженных диаметров один всегда принадлежит
к первому типу, другой—ко второму.
Замечание I. Угловой коэффициент параллельных хорд не
может по абсолютному значению равняться —, ибо прямые у я
Ъ ®
« ± — х (асимптоты) не пересекают гиперболы, а прямые, параллель-
ные асимптоте, пересекают гиперболу лишь в одной точке.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений име-
ют согласно (16) одинаковые знаки, т. е. два сопряженных диа-
метра гиперболы принадлежат одной и той же
паре верти к а ль и ыхугло в, образованных осями.
Напротив, по отношению к асимптотам два сопряженных диа-
метра принадлежат различным парам вертикальных углов.
Замечание 2. При вращении диаметра U'U гиперболы сопря-
женный диаметр V'V вращается в противоположную сторону. При
этом, когда U'U неограниченно приближается к одной из асимптот,
V'V неограниченно приближается « той же асимптоте. Поэтому об
асимптоте говорят, что она является диаметром, сопряженным самому
себе. Это выражение условно, ибо асимптота не является диаметром
(ср. замечание 1). Кроме асимптот, всякая другая прямая, проходя-
щая через центр гиперболы, является одним из ее диаметров.
§ 57. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ 79
§ 57. Диаметры параболы
Все диаметры параболы параллельны се оси; см. черт. 81 и 82 (гео-
метрическое место середин параллельных хорд параболы есть луч LU).
Диаметр, соответствующийхордам, перпендикулярными оси пара-
болы, есть сама ось (черт. 83).
Диаметр параболы уг=2дх, соответствующий хордам с угловым
коэффициентом Л (ft ?s0), представляется уравнением
у к
(чем больше наклон хорды к оси, тем диаметр дальше от оси О)-
Пример. Диаметр параболы у! =2рх, соответствующий хордам,
наклоненным к оси под углом d 45° (ft = I), представляется урав-
нением у г=р, т. е. его расстояние от оси АХ (черт. 84) равно фокаль-
ной полухорде FR (§ 52). Значит, диаметр пересекает параболу в точ-
ке R, лежащей над фокусом F.
Все прямые, параллельные какому-либо диаметру параболы, пере-
секают параболу только в одной точке. Поэтому взаимно сопряжен-
ных диаметров у параболы нет.
1) Угловой коэффициент всякого диаметра параболы равен нулю,
т. е. удовлетворяет уравнению ftfti = е2 —I, которое имеет место
(§§ 55, 56) для эллипса и гиперболы (для парабоды е = 1).
80 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 58. Линии второго порядка
Эллипс (в частности, окружность), гипербола и пара-
бола являются линиями второго порядка, т. е, во всякой
системе декартовых координат представляются уравне-
ниями второй степени. Но нс всякое уравнение второй
степени представляет одну из упомянутых линий. Может,
например, случиться, что уравнение второй степени пред-
ставляет пару прямых.
Пример 1. Уравнение
4х*-9у3 = 0, (1)
распадающееся на два уравнения 2х-3у - 0 и 2х+3у = О,
представляет пару прямых, пересекающихся в начале коор-
динат.
Примерз. Уравнение
х2-2ху+у3-9 =з 0, (2)
распадающееся на уравнения х-у + 3 -Ои х-у-3 = о,
представляет пару параллельных прямых.
П р и м е р 3. Уравнение
х2-2ху+у2 = 0, (3)
т. е. (х-у)3 = О, представляет одну прямую х-у = 0;
ио ввиду того, что в левую часть (3) двучлен х-у вхо-
дит множителем дважды, принято считать, что (3) пред-
ставляет две слившиеся прямые.
Может случиться, что уравнение второй степени пред-
ставляет только одну точку.
П р и м е р 4. Уравнение
хг+|ув-0 (4)
имеет только одно действительное решение, именно х = О,
у = 0. Оно представляет точку (0; 0). Впрочем, (4) распа-
дается на два уравнения х+-|- iy = 0, х-у iy = 0 с мни-
мыми коэффициентами. Поэтому говорят, что (4) пред-
ставляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в дей-
ствительной точке».
Наконец, может оказаться, что уравнение второй сте-
пени не представляет никакого геометрического места.
П р и м е р 5. Уравнение
^+-^6- = 1 <5>
§ 59. ЗАПИСЬ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 81
не представляет ни линии, ни даже точки, так как вели-
чина ие может иметь положительного значения.
— У -1о
Однако ввиду внешнего сходства уравнения (5) с уравне-
нием эллипса говорят, что уравнение (5) представляет
«мнимый эллипс».
ПримерО. Уравнение
хи —2ху+уя + 9 = 0 (6)
тоже ие представляет ни линии, ни даже точки. Но так
как оно распадается на уравнения x-y+3z = 0 и х-у-
-3t = 0, то говорят (ср. пример 2), что (6) представляет
«пару мнимых параллельных прямых».
Коническими сечениями и парами прямых исчерпыва-
ются все линии, которые могут представляться уравнением
второй степени в декартовой системе координат. Иными сло-
вами, имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо
эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара пря-
мых (пересекающихся, параллельных или совпавших).
План доказательства. С помошыо преобразо-
вания координат данное уравнение второй степени приво-
дится к более простому виду, и тогда мы либо получаем
одно из канонических уравнений
•^г+т-г = ± 1 (эллипс, действительный или мнимый),
~ ± 1 (гипербола), у- = 2рх (парабола),
либо обнаруживаем, что уравнение второй степени разла-
гается иа два уравнения первой степени. Вместе с тем мы
находим размеры линии второго порядка и расположение
ее относительно первоначальной системы координат (на-
пример, для эллипса —длины осей, их уравнения, положе-
ние центра и т. п,).
В §§ G1-G2 упомянутые преобразования проведены
полностью.
§ 59. Запись общего уравнения второй степени
Общее уравнение второй степени обычно пишут в виде
Axc + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Fy+F = 0. (1)
Обозначения 2В, 2D, 2Е (а ие В, D, Е) введены потому,
что во многие формулы входят половины коэффициентов
при ху, при х и при у, Пользуясь обозначениями 2В, 2D,
2Е, мы устраняем дробные выражения.
б М, Я. Вьп одский
82 аналитическая геометрия на плоскости
Пример!. Для уравнения
№ + ху~2у2 + 2х4-4у + 4 = О
имеем:
А = 1, В = ~, С = — 2, D Е = 2, F = 4.
Примера Для уравнения 2ху+х+5 = 0 имеем:
Д = О, В = 1, С = О, D = 4, В = О, F =5.
Замечание. Величины А, В, С, D, Е, F могут иметь
любые значения, лишь бы величины Д, В, С ие были равны
нулю все вместе, ибо тогда (1) есть уравнение первой
степени.
§ 60. Упрощение уравнения второй степени;
общие замечания
Преобразование уравнения второй степени
Ахг + 2Вху pCy2+2Dx+2Ey+F = 0 (1)
к одному из простейших видов (см. § 58) мы выполним по
следующему плану* 1).
а) Предварительное преобразование.
С его помощью мы освободимся от члена, содержащего
произведение координат (это достигается поворотом осей;
см. § 61).
б) Завершающее преобразование. С его
помощью мы затем освободимся от членов, содержащих
первые степени координат (это достигается переносом на-
чала; см. § 62).
§ 61. Предварительное преобразование
уравнения второй степени
(Если В = 0, то это преобразование становится не-
нужным.)
Поворачиваем оси координат на угол а, удовлетворяю-
щий условию *)
‘В2“ = ^с- (2)
1) Излагаемый здесь способ—не самый быстрый, но он не требует
никаких вспомогательных теорем. Другой способ, ведущий к цели
быстрее, объяснен в §§ 69, 70.
(2£ ч
величина д _ «обращается в бесконечность»),
то 21, замечание) 2» = ± 90е, т. е. а « ± 45е.
§ 61. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 83
Формулы преобразования будут (§ 36):
х ~ х' cos а ~ у' sin а, у = х' sin а + у' cos а. (3)
Члены с х'у' взаимно уничтожатся *), и новое уравнение
будет иметь вид
А'х'1 + С'у'2 * * + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. (4)
Пример 1. Дано уравнение
2х2 - 4ху + 5ys - х+5у - 4 = 0. (1а)
Здесь Д = 2, В = — 2, С = 5, D = -1, Е = F = -4.
Из условия (2) находим:
tg 2а = - 4 - (2а)
Если угол 2а взять в первой четверти (2а « 53°8',
а - 26°34'), то получим:
COS 2а =
sin а =
1 _ 3
/1 +tgi'25 5" ’
ч/~1 —cos 2а
Г 2
cos а =
1 +COS 2а
' 2 '
1
= j/y-
2
Формулы (3) принимают вид
2,1,1
X = -= X' - = у
/5 /5 л’
У == X’ 4- -= у’,
л /5 f5 л
Подставляя в (1а), находим новое уравнение
о 11
Х'Ч6у'1 + ^Х' + ~:у'-4 « О,
Г б Гб
(За)
(4а)
где
з
2/5 2/5 ’
!) Коэффициент при х'у' имеет вид
2 В' = (С —А) 2 sin a COS а +2В (cos* а -sin1 а) в
= (С —A) Sin 2а + 2 В COS 2а.
В силу (2) этот коэффициент равен нулю,
6*
84 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Если взять угол 2а в третьей четверти (2а r; 233°8',
116°34*), то аналогично получим уравнение
6х'ЧгЧ-“Х'~-|=г-4 = О,
/5 /5
где
А' ^6, В' = О, С' = 1,D' = Е' = —/•' = -4.
2f5 2/ЁГ
Пример 2. Дано уравнение
№ + 2xy+ys + 2x + y --- 0. (16)
Здесь
Д=1, В = 1, С = 1, D=l, Е=|, F = 0.
Так как Д = С, то (см. сноску 2) на стр. 82) можно взять
а = 45°. Подставив в (16) выражения
х = X' cos 45° -у sin 45° ~= (х'-у'),
у = х' sin 45° + р' cos 45° = “ (х' + у')>
(36)
находим:
2гЧ-^-ткг = о.
/У /2
(46)
Здесь
А' =2, В' = О, С' - О, D' Е' =----F' 0.
’ ' ’ 2/2 2/2
Если взять а = —45°, то получим:
2г*+^х-+ЛГ = 0. (46')
Здесь
А' = 0, В1 = О, С' = 2, D' ~^=, Е' = F' = 0.
* ’ 2/2 2/2
ПримерЗ. Даио уравнение
2№-4лу+2у2+8х-8у-17 = 0.
(1B)
§ 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 85
Так как А= С, то можно взять а = 45°. Подставив в (1в)
выражения (36), найдем:
4у'2-8^2Г"17 = 0. (4в)
Взяв а — -45°, получим:
4х'2 + 8 р'2'.Г-17 = 0. (4в')
§ 62. Завершающее преобразование
уравнения второй степени
Здесь нужно различать два случая:
1) пи один из коэффициентов А', С' в уравнении
А'х'2 + Суг+2О’х’ + 2Еу + Г> = 0 (4)
не равен нулю (так было в примере 1);
2) один из коэффициентов А', С' равен нулю (так было
в примерах 2 и 3)х).
Случай 1. Уравнение
A'x’2 + Cy2 + 2D'x’ + 2Ey + F' = 0 (4)
преобразуем так. Сумму A'x,s+2D'x' = Af
дополняем членом получаем Д' (х'+^У Сумму
Су2 + 2Еу дополняем членом получаем С'(у'
К правой части (4) для компенсации прибавляем
Получаем уравнение вида
А' б' + л’)= + с' б' + = к’’ <5>
Переносим начало в точку (-^7; т- е* преобра-
зуем координаты (§ 35) по формулам
у' = у-~. (6)
1) Коэффициенты А' и С' не могут оба вместе равняться нулю
(иначе уравнение (4) будет первой степени).
86 аналитическая геометрия на плоскости
Получаем уравнение
Ате + Су2 = К' (А' # О, С'* 0). (7)
Если К' / 0, то разделим это уравнение на К'. Получим:
= 1. (8)
А' С'
а) Если обе величины-^, положительны, то имеем
эллипс,
б) Если обе величины ~г отрицательны, то имеем
мнимый эллипс (ср. пример 5 § 58).
в) Если одна из этих величин (все равно какая) поло-
жительна, а другая отрицательна, то имеем гиперболу.
Если же К' —О, то уравнение (7) имеет вид
А'х*+С'>* = О. (7')
Возможны два случая:
г) Если А' и С' имеют различные знаки, то А'х‘ + Су*
разлагается на множители первой степени, как разность
квадратов. В обоих множителях коэффициенты действи-
тельны, и мы имеем пару пересекающихся прямых (ср.
пример 1 § 58).
д) Если А' и С' имеют одинаковые знаки, то A'x2+C'j*
тоже разлагается иа множители первой степени, ио оба
множителя содержат члены с мнимыми коэффициентами,
и мы имеем пару мнимых пересекающихся прямых, т. е.
одну действительную точку (ср. § 58, пример 4).
Пример 1. Уравнение (1а) примера 1 § 61 после пово-
рота осей преобразовалось к виду
x.I + 6r> + ^X4-j7=y'-4 = O. (4а)
Это уравнение запишем в виде
<5а>
т. е.
g 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 87
Переходя к новой системе с началом координат в точке
“тЙг) т формулам
х' = х—у = у (6а) 2Гб 12^5 '
получаем: = -Щ- (7а)
или -та;+т|г = 1- <*> 24 144
Исследуемое
уравнение представляет эллипс с полуосями
2,3, Ь = * 1>°* На ЧСРТ- 85 <где 0Е
а
единица масштаба) а ~ О'A, Ь = О'В.
Центр эллипса находится в
х = О, у = О. С помощью
формул (6а) найде.м коорди-
наты центра в промежуточ-
ной системе XOY’;
з
2/Г № “°’7,
п
12/г ** “"ОД
На черт, 85
х' = ОР', у' = Р’О’.
точке О' с координатами
X' =
По формулам (За) § 61 найдем координаты центра в перво-
начальной системе XOY:
На черт. 85 хц = ОР, уц = РО\
Найдем уравнеиияносей эллипса в первоначальной си-
стеме. 13 системе XO'Y большая ось представляется урав-
88 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ненцем у = 0, в системе X'OYj та же ось в силу второго
уравнения (6а) представляется уравнением / =
Решив систему (За) относительно X', у', найдем: ‘
Нам нужно только второе из этих уравнений; положив в
нем у' = > получим уравнение большой оси в си-
стеме XOY; именно
2 г .. 11
-= у - -=. X -----~
Уь 7 Уэ 12/5
ИЛИ
12х—24у—И = 0.
Тем же способом найдем уравнение малой оси
4х-у2у4-3 = 0.
С л у ч а й 2, Один из коэффициентов Д', С' равен нулю.
Уравнение (4) имеет вид
А'х'» + 2D'x' + 2Еу + F' = 0 (9)
или
C'y'2 + 2D'x' + 2Е'у> + F' = 0. (9')
Рассмотрим уравнение вида (9) (для уравнения вида (9')
вычисления те же, только х' и у' меняются ролями].
а) Если Е'нО, то уравнение (9) можно разрешить
относительно у‘; получим:
У' ~ ~ 2£г’)С/2“Ё7Х/““2£7* (10)
Имеем параболу. Координаты вершины определяются фор-
мулами (5) § 50 при
А' . D' F'
а ~ 2Е' > ® Е' > с ~ 2Е'
б) Если Е' = 0, то уравнение (9) примет вид
A'X's+2D'x' + F' « 0. (И)
§ 62. завершающее преобразование 89
Разложив левую часть (11) на множители первой степени,
получим
А' (х, _ (х,+=! о. (12)
Уравнение (12) [а значит, и (11)] при D's- A'F' О пред-
ставляет пару параллельных прямых, приР'2 — A'F' -- О —
пару мнимых параллельных прямых, при О'2 — A'F' ~ О —
две слившиеся прямые (§ 58, примеры 2, 6 и 3).
Пример 2. Уравнение (16) примера 2 § 61 после по-
ворота осей иа угол 45° преобразовалось к виду
, . 2х'2 + -Д= х'-4= у - О. (46)
/2 /2 7 ' '
Разрешив относительно у, получим:
у = 2/Тх'ЧЗх'. (106)
-0,5,
-0,8.
Уравнение (106) [а значит, и (16)] представляет параболу
(черт. 86); координаты хг, у
ее вершины А находим по
формулам (5) § 50:
х, _________~
Л j —-
4/2
, 9
У А 8/2
Координаты
можно найти и без помощи
формул (5) § 50 (см. § 50,
замечание 1).
По формулам (36) § 61 находим координаты вершины
в первоначальной системе:
/Т. , .
Ха = (*' ~ У) =
вершины
А я о 2,
16 > ’
/Т. , . /2 / 3 О \ 15 n п
Уа- 2 {X +у) - 2 ( 4/2 8/27 16 * ’ •
„ /О'«- A'F' -D' -/B'S - A'F~-D'
J) Величины ’----------и --------—-------суть корни
уравнения (11).
90 аналитическая геометрия на плоскости
Найдем уравнение оси AU параболы. В новой системе эта
ось представляется уравнением
Х' = *
4^2
Разрешив уравнения (36) относительно X', уг, найдем:
X' = ^(х+у),
г = ¥о-х).
или
Подставив в первое из этих уравнений (второе нам не
нужно) х' = получим:
=~(х+у)
4f2 2 ' 77
4х+4у+3 ~ 0.
Это - уравнение оси параболы в
первоначальной системе.
Пример 3. Уравнение (1в)
примера 3 § 61 после поворота
осей на угол “4.5° преобразова-
лось к ВИДУ
4г«+8/2х'-17 = 0. (4в')
Разложив левую часть уравнения (4в') на множители, по-
лучим: _
4 (г- (х,+ »±|£2.) = о, (12в)
т. е. имеем пару параллельных прямых (UV и V'V1 на
черт. 87): _
Н^рдем уравнения этих прямых в системе XOY. Так как
система XOY получается из X'OY* поворотом на +45°,
то
х' = ~ (х- у), у1 (Х+у). (14)
J 63. О ПРИЕМАХ УПРОЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 91
Подставляя в первое из этих уравнений сначала одно, а
потом другое значение (13), находим:
_=±2Д = !у(х_у)
ИЛЛ _ __
/2х-^2у-5 + 2 )2 = О,
1'2х-/2у + 5 + 2^= О,
Это - уравнения прямых VV, U'V' в первоначальной си-
стеме.
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение
уравнения второй степени
Способ упрощения уравнения второй степени, изложен-
ный в §§ 61-62, имеет перед другими способами два пре-
имущества: 1) он дает полную классификацию линий вто-
рого порядка (теорема § 58); 2) он единообразен и прост
по идее. Однако этот способ требует довольно утомитель-
ных выкладок.
Во многих случаях выкладки можно облегчить,
1. Для линий второго порядка, распадающихся на пару
прямых (§ 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко иайти
уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию
координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно
(§ 64) дается признак распадения.
2. Нсраспадающаяся линия второго порядка может
быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс
н гипербола имеют центр, а парабола ие имеет. Поэтому
упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать
с переноса начала в центр. Можно заранее узнать, к ка-
кому нз этих трех типов принадлежит линия второго по-
рядка. Соответствующий признак дай в § 67, в § 68 уточ-
няется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти
координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения
уравнений эллипса и гиперболы.
3. Что касается параболы, то для нее способ упро-
щения, изложенный в § 61, остается наилучшим. Впрочем,
размеры параболы (т, е. величину параметра р) можно
легко найти при помощи так называемых инвариантов.
О них сказано в § 66.
92 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 64. Признак распадения линий второго порядка
Если линия второго порядка
Ах2 + 2Вху-\Су--i2Dx-\-2ky-\F = О (1)
распадается на две (различные или совпадающие) прямые
(оии могу г быть и мнимыми), то определитель третьего
Л В D
ВСЕ
D Е F
(«большой дискриминант» *)) обращается в нуль. Обратно,
если Д=0, то линия (1) распадается на две прямые.
Доказательство см. в § 65 (замечание 2).
Пример 1. В § 61 (пример 3) была рассмотрена ли-
ния второго порядка
2х3-4ху+2у2+8х-8у- 17 = О
(Д-2, В = -2, С 2, D = 4, Ь = -4, F = -17).
В § 62 (пример 3) было установлено, что эта линия рас-
падается на две параллельные прямые:
^2х-/2>-5+2/2 = о
^2х~ f2y+ 5+ 2 /2 = 0. (4)
В соответствии с этим большой дискриминант Д равен
нулю. Действительно,
порядка (§ 118)
Д «
и
Д =
2 -2
-2
4 -4
2
-2-4
4 — 17
-2
4
4
- 4 =
-17
-4 -17 |-
= 2-(-50)+2-S0+0 = 0.
П р и м е р 2. Линия второго порядка
2№-4ху+5уг-х+5у-4 - 0
не распадается, так как большой дискриминант
-2 -
5
5
2
Д =
2
-2
2
2_
2
Д
2
-4
_ 131
4
(2)
(3)
1) Дискриминант —латинский термин, дословно < различите ль*.
Дискриминант Д называется большим в отличие от малого, о котором
См. § 66,
§ 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 93
ие равен нулю. В §§ 61, 62 (пример 1) было показано, что
эта линия - эллипс.
Правило для запоминания выраже-
ния (2). В первой строке выписываются подряд те буквы,за
которыми следует х в уравнении (1), во второй — те, за
которыми (непосредственно или после х) следует у, в
третьей — три последние буквы.
§ 65. Разыскание прямых, составляющих
распадающуюся линию второго порядка к
Чтобы найти уравнения двух прямых, вместе составляю-
щих распадающуюся линию второго порядка
Дха + 2Вху + <уЧ2Рх + 2Еу+ F = 0 (1)
(условие распадения см. § 64), достаточно разложить ле-
вую часть (1) на множители первой степени. Когда хотя
бы один из коэффициентов А, С не равен нулю, лучше
всего прямо решить уравнение (1) относительно той из букв
х, у, которая входит туда во второй степени. Два решения
(оии могут и совпадать) представят две искомые прямые.
Пример 1. Линия второго порядка
2х3 - 4ху + 2у3 + 8х - 8у - 17 = О (2)
является распадающейся, так как большой дискриминант
Д »
2-2 4
-2 2 -4
4 -4 -17
равен нулю. Уравнение (2) можно решать относительно
любой из букв х, у (обе входят во второй степени). Пред-
ставив (2) в виде
у2-2(х+2)у+(х3+4х--~) = О,
решаем его относительно у; получаем:
Т. О-
у = х+2± (х+ 2)3-(x2 + 4x“y)>
У = Х+2±-^.
94 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Одна из прямых представляется уравнением у = х+2+
другая - уравнением у=х+2-^. Эти пря-
мые параллельны (ср. пример 3 §§ 61-62).
Пример 2. Линия второго порядка
2х2-1- 7ху- 15у2- 10х4-54у-48 = 0 (3)
распадается, так как
2 7 ~2 -5
д = 7 2 -15 27 0.
-5 27 -48
Представив (3) в виде
15у3-(7х + 54)у-(2х2-10х —48) = О,
находим:
_ 7x+K4±f(7x + M)*+4.15 (2x»-10x-48)"f
У ~ 30
Подкоренное выражение равно 169x2-f-156х;-36—
= (13х+6)г. Следовательно, у = Одна из
прямых представляется уравнением у = другая -
уравнением у = ~*5+8 . Эти прямые пересекаются в точке
/6^ 22\
I 13’ 13/’
ПримерЗ, Линия
Юху-14x4-15у-21 = 0 (4)
распадается, так как
0 5-7
,, „ 15
Д = 5 0 -2- = 0.
-7 -у -21
В уравнение (4) как х, так и у входят только в первой
степени. Поэтому разлагаем левую часть (4) на множи-
тели, группируя члены. Получаем:
Юху- 14x4- 15у —21 = 2х(5у-7) + 3(5у-7) =
= (2х+3)(5у-7).
Линия (4) распадается на прямые: 2x4-3 = Оибу-7 = 0.
5 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 95
Замечание 1, В случае А = С = 0 можно тоже ре-
шать данное уравнение относительно х или у; так, в при-
мере 3 получим (1Ох+ 15)у = 14х+21, но дальше делить
обе части на 10х+ 15 можно лишь в том случае, когда
Юх+15 ие равно нулю. Тогда получаем у = =
= 5^2х+3) ~ Т ’ и Уравнение одной из прямых есть у = —,
т. е, 5у-7 = 0. В случае, когда 10х+15 = 0, т. е.
х= уравнение (10х+15)у= 14х+21 удовлетво-
ряется при любом значении у; таким образом, получаем
другую прямую х = т. е. 2х + 3 = 0.
Замечание 2. Вычисления, проделанные в приме-
рах 1 и 2, можно выполнить для любого уравнения вида (1),
если только С#0. Проделав эти выкладки в общем виде,
получим под радикалом квадратный трехчлен
(В2 - АС) х2 + 2 (BE - CD) х + Е2 - С F. (5)
Он будет полным квадратом в том и только в том случае,
если
{BE — CD)^-(B2 — AC) (Е3 —CF) = 0. (6)
После простых преобразований увидим, что левая часть
равенства (6) равна СД, где Д-большой дискриминант.
Так как, по предположению, С -/ 0, то признак распадения
есть Д = О, В случае, когда С = 0, но А # 0, мы прихо-
дим к тому же выводу, поменяв ролями х и у. Так дока-
зывается признак § 64 для общего случая. В исключитель-
ном же случае, когда А = С — О (и, стало быть, В 0),
левая часть уравнения (1) принимает вид
2Bxy + 2Dx + 2Ey+F.
Представим этот многочлен в виде 2х (By + D) -1-
+ (2Ey+F). Это выражение разлагается на множители
первой степени только в том случае, когда у двучленов
By+D и 2Ey+F соответственные коэффициенты равны
или пропорциональны (см. пример 3), т. е. когда 2DE—
— BF = 0. Но в рассматриваемом случае большой дискри-
0 В D
мииант Д имеет
2DE-BF - 4-
О
вид ВОЕ
D Е F
а отсюда следует, что
Так доказывается признак § 64 в исклю-
чительном случае.
06 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия на ПЛОСКОСТИ
§ 66. Инварианты уравнения второй степени
При переходе от одной системы прямоугольных коор-
динат к другой мы заменяем уравнение
Axs + 2Bxy+Cy3 + 2Dx + 2Ey+ F - О (1)
линии второго порядка другим уравнением
А'х'2 + 2В'х'у' + С'у'3+2О'х'+2Е'у'+Р' = 0, (2)
которое получается из (1) с помощью формул преобразо-
вания координат (см, примеры §§ G1 и 62). При этом зна-
чения Af, В', С', D', Е', Г' (все илн некоторые) отличаются
от значений одноименных величин Д В, С, D, Е, F.
Однако три нижеприведенных выражения, составлен-
ных из величин А’, В', С', Df, Е', F', всегда остаются
равными одноименным выражениям, составленным из
величин А, В, С, D, Е, F. Эти три выражения называются
инвариантами *) уравнения второй степени.
а) Первый инвариант А + С.
б) Второй инвариант 8 = £ (малый дискриминант),
в) Третий инвариант
А В D
А = ВСЕ
D Е F
(большой дискриминант).
Пример 1, Уравнение
2х3-4ху+5у3-х+5у-4 = 0
(А = 2, -2, С = 5, D = —Е - 4- F = “4)
мы преобразовали в § 61 (пример 1) к виду
х'3+6у'3 + ~х' + ~у'-4 = О
' /5 /5 '
(А' = 1, В' = 0, С' = 6, D' = -4=, Е' = -Цз:, -4^
\ 2/5 2f5 /
соответственно повороту осей иа угол arcsin ~= 26°34\
а) Выражение А + С в старой системе равнялось
2+5=7, в новой системе одноименное выражение
А' + С' равняется 1 + 6 = 7, так что
А+С = А' + С'. 1
1) Инвариант-латинский термин, в переводе-(неизменный».
J вб. ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 97
б) Малый дискриминант в старой системе был равен
S= 1-2 "si = 2'5-(-2) (-2) = б,
в новой системе имеем:
я, _ 11 ОI _ «
6 ~ 10 б | “ Ь’
так что
S = S'.
в) Большой дискриминант в старой системе был равен
2 -2 -~
д = — 2 5-5- ~ 131
2 4
1 5 .
— — — 4
2 2^
в новой системе
2^5 2/5
так что
Д = Д'.
П р и м е р 2. Уравнение
х'3+6у'2+~ х' + т^Г“4 = о
/б /У
мы затем преобразовали в § 62 'см. пример 1) к виду
л24-6_у2-~ = 0 соответственно переносу начала в точку
3 х' - -==, у’ = ~ 2/5 будет: Д = т. е. И т ——. Болыи 12/У 1 О 0 Об О О 0 24 ой дискриминант тепер! - -I3! “ 4 ’
Д = Д' = д.
7 М. я. Выгодский
98 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Два других инварианта, очевидно,тоже сохранили преж-
ние значения.
Для доказательства неизменности каждой из величин
а). б), в) достаточно составить выражения величин Д', В',
С',... через А, В, С, ... (эти выражения будут содержать
также угол поворота я и координаты нового начала). Под-
ставив их, например, в выражение Д' + С', мы после упро-
щений найдем А-’-С н т. д. Однако эти выкладки очень
громоздких).
Замечание. Если обе части уравнения (1) помно-
жить (или разделить) иа какое-нибудь число к, то новое
уравнение представляет ту же линию второго порядка.
Однако теперь величины а), б), в) изменяются: первая по-
множится на к, вторая на кг, третья на А8. Вот почему вели-
чины а), б), в) называются инвариантами уравнения вто-
рой степени, а не инвариантами линии второго порядка.
§ 67. Три типа линий второго порядка
Малый дискриминант 8 (§ 66) для эллипса положителен
(см. пример 1 § 66), для гиперболы отрицателен, для пара-
болы равен нулю.
Доказательство. Эллипс представляется уравне-
нием = О. У этого уравнения малый дискрими-
нант 8 » > 0. При преобразовании координат 8
сохраняет свою величину, а при умножении обеих частей
уравнения иа какое-либо число к дискриминант умножается
на ks (§ 66, замечание). Следовательно, дискриминант эл-
липса положителен в любой системе координат. В случае
гиперболы и в случае параболы доказательство анало-
гично.
Сообразно с этим различают три типа линий второго
порядка (и уравнений второй степени):
а) Эллиптический тип, характеризующийся условием
8 « АС-В1 2 > 0.
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также
мнимый эллипс (§ 58, пример 5) н пара мнимых прямых,
пересекающихся в действительной точке (§ 58, пример 4).
1) Существуют искусственные приемы, облегчающие доказа-
тельство.
§ 67. ТРИ ТИПА ЛИНИЙ ВТОРОГО порядка 90
б) Гиперболический тип, характеризующийся условием
8^ АС-62 < О.
К нему относи гея; кроме гиперболы, пара действитель-
ных пересекающихся прямых (§ 58, пример 1).
в) Параболический тип, характеризующийся условием
8 = АС - В* ---- О.
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных
(действительных или мнимых) прямых (они могут сов-
падать).
Пример 1. Уравнение
Х! + 2Ху + у2 + 2х + у ай 0 (1)
принадлежит к параболическому типу, нбо
8 ж АС-В* r= 1-1-1*~ 0.
Так как большой дискриминант
1
1
1
2
А »
1
1
у 1
з “ 7
0
не равен нулю, то уравнение (1) представляет нераспада-
ющуюся линию, т. е. параболу (ср, §§ 61-62, пример 2).
П р и м е р 2. Уравнение
8х- + 24ху+у2 - 56х+ 18у - 55 = О (2)
принадлежит к гиперболическому тину, нбо
так как
Ь АС-В< » 84~12« л -136 < 0;
8 12
12 1
-28 9
-28
9
-55
-О,
Д =
то уравнение (2) представляет пару пересекающихся пря-
мых. Их уравнения можно найти по способу § 65,
Пример 3, Уравнение
2rV~4ху+ 5у* -я-f- бу-4 « О
7*
100 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
принадлежит к эллиптическому типу, ибо
8 = ДС-В2 - 5-2-2= б>0.
Так как
А =
7* О,
то линия ие распадается и, значит, является эллипсом.
Замечание. Однотипные
|У линии геометрически связаны
так: пара пересекающихся мни-
мых прямых (т. е. одна дей-
ствительная точка) есть прс-
^дельиый случай эллипса, «стя-
гивающегося в точку» (черт. 88);
пара лересскаюшихся действи-
тельных прямых - предельный
случай гиперболы, приближаю-
щейся к своим асимптотам
(черт. 89); пара параллельных
прямых-предельный случай параболы, у которой ось и
одна пара точек Al, М', симметричных относительно осн
(черт. 90), неподвижны, а вершина удаляется в бесконеч-
ность.
§ 68. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ 101
§ 68. Центральные и нецентральные линии
второго порядка
Определение. Точки А и В (черт. 91) называются
симметричными относительно точки С, если С делит по-
полам отрезок АВ. Точка С называется центром симмет-
рии (короче, центром) фигуры, если у фигуры наряду
с каждой ее точкой М имеется
также точка JV, симметричная с $ $ #
Л1 относительно С.
Точка, названная нами (§ 40) Черт. 91.
центром эллипса, а также точка,
названная (§ 44) цеитром гиперболы, очевидно, подходят
под определение настоящего параграфа. Центром линии
второго порядка, распадающейся на две пересекающиеся
прямые (§ 58), является, согласно определению настоя-
щего параграфа, точка пересечения этих прямых (L на
черт. 92).
Каждая из рассмотренных выше линий второго по-
рядка обладает единственным центром. Если же линия
второго порядка состоит из двух параллельных прямых
{АВ и CD на черт. 93), то под определение центра подхо-
дит любая точка прямой MN, равноотстоящей от АВ
и CD.
Парабола вовсе не имеет центра.
Линии второго порядка, имеющие единственный центр
(эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых), назы-
ваются центральными; линии второго порядка, имеющие
множество центров или вовсе их ие имеющие (парабола,
пара параллельных прямых), называются нецентральными.
Замечание. Мнимые эллипсы и пары мнимых пря-
мых, пересекающихся н действительной точке (см. § 58),
102 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
причисляются к центральным линиям. По отношению к
мнимому эллипсу это причисление условно, фигура же,
состоящая из одной действительной точки, подходит под
определение центральной «линии» (эта точка сама является
центром). Пары мнимых параллельных прямых (§ 58) при-
числяются к нецентральным линиям.
Таким образом, линии второго порядка, принадлежа-
щие к эллиптическому и гиперболическому типам (для них
АС—В2 -z 0; см. § 67), —центральные; линии параболиче-
ского типа (АС-В2 = 0)-нецентральные.
§ 69. Разыскание центра центральной линии
второго порядка
Чтобы найти координаты х0, р0 центра центральной
линии
Ах2-р2Влу-ЬСу2Н-2Вх+2£у-рГ ₽= 0, (1)
надо решить систему уравнений
Ахц-рВуц+П = 0, 1 /2.
Sx0-bCyu+ Е = 0. / ' }
Эта система сов.местиа и имеет единственное решение
(§ 187)
О в A DI
Е С В в
Хи ~ А В ’ ~ —АвЬ
В С В С I
так как | в с | 0 (это-условие центральности; § 68).
Пример 1. Центр линии (пример 2 § 67)
8x2 + 24xy-by3-56x-bl8y-55 ±= 0 (4)
найдем, решив систему
8^+12у0-28 ==; О,
12х0+уа + 9 ~ 0.
Получим:
I -28 121 | 8 —281
х „ I 9 И 112 9|
0 I 8 121 ~ -’’И»-----18 121 ~ 3’
12 1 12 1
№. упрощение уравнения центральной линии 10$
Так как (4) есть распадающаяся линия гиперболического
типа, то точка (-1; 3) есть точка пересечения прямых,
составляющих линию (4).
П р и м е р 2. Центр линии (пример 1 § 61)
2х2-4ху4'5у3-х4'5у-4 — 0 (5)
найдем, решив систему
2xft—2у0" 2" = 0,
—2x04'Sy0-f',7j' ~ 0.
Получим:
х _ V - „2
•Ч — 12 » Го — з •
Линия (5) есть эллипс (так как 8 > О и Д 0).
Вывод уравнений (2). Если перенести начало в
искомый центр С(х0; у0), то уравнение (1) с помощью
формул переноса
Х = + у-Уо+у' (б)
преобразуется к виду
Ax's+2Вх'у'+Су,г -V 2 (Ах0+ Ву0+D)x'+
+2(В^+Суа+В)уЧ^₽ 0, (7)
где для краткости положено
Ff ™ AxJ,+2Вл^Уо+Су| 2Dxq 4- 2Еу0 + F,
Если Хо, у0 будут удовлетворять уравиеииям (2), то (7)
примет вид
Ах'2+2Вх'у’+Су'3+F « 0. (8)
Это уравнение можно переписать в виде
A(-x')2 + 2B(-x')(^y')4-C(»y')3+F = 0.
Поэтому наряду с каждой точкой М (хг; у'), принадлежа-
щей линии (8), эта линия содержит и точку N (—х'; -у'),
симметричную с М относительно нового начала С. Сле-
довательно (§ 68), С есть центр линии (8),
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии
второго порядка
Преобразование уравнения центральной линии к про-
стейшему виду можно выполнить быстрее, чем по общему
способу § 60, если сначала совершить перенос начала в
центр (вследствие чего исчезнут члены первой степени;
104 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
см. § 69), а затем поворот осей (вследствие чего исчезнет
член, содержащий ху). Угол а этого поворота заранее
известен (§ 61); оп определяется из уравнения
Замечание, Этот способ применим ко всякой цен-
тральной линии второго порядка, но для распадающейся
линии лучше применить способ § 65.
Пример. Даио уравнение (пример 1 §§ 61 - 62)
2№-4ху4-5уЕ-х-1-5у-4 = 0. (2)
Переносим начало в центр х0= у0 = -у (§ 69,
пример 2).
С помощью формул переноса
х = х0+х'. у = уо+Г (3)
получаем [ср. (8) § 69]:
2х'* - 4х'у' + 5у'г —== О. (4)
4
Из (1) находим tg 2а = , и если взять 'Угол а в первой
четверти (ср. § 61), получаем формулы поворота
(5)
(6)
(7)
Подставляя в (4), находим:
, „„ 131
или
JEL.L.5.L. _ 1
131 131 "" *
24 144
Данная линия есть эллипс с полуосями а = « 2,3
и & — « 1,0. в первоначальной системе его центр
§ 71. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 105
имеет координаты уи = -у, бол'ГпЙя ось
(она является осью абсцисс в системе х, у) представляется
уравнением = tg а (х-х0) или У + 4=4(х+4')’
т, е. 12х-24у-11 = О (ср. § 62, пример 1),
Замечание. Размеры эллипса можно найти и ие
выполняя преобразования координат. Мы знаем заранее,
что в результате преобразования должно получиться урав-
нение вида Ах2 + Су2 4- F — О. Величины А, С и F
можно найти с помощью инвариантов (§ 66). В первона-
чальном уравнении они равны
А + С ~ 2+5 = 7. 5 = АС-В1 = 2-5-(-2)2 = 6.
А В D
ВСЕ
DEF
131
4
Те же значения они должны иметь в Упрощенном урав-
нении. Следовательно,
А+С - 7, АС = 6,
А О О
ОСО
О О Г
= AC F = - —.
4
откуда
А = 1, С = б, F =
и мы снова получаем уравнение (6).
§ 71. Равносторонняя гипербола как график
ь
уравнения у = —
Уравнение
(к * О) представляет равностороннюю гиперболу (§ 44);
ее асимптоты совпадают с осями координат. Полуоси ее
а = & = /2|Т|. (2)
1CS АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Если к 0, то ветви гиперболы расположены одна в
первой, другая в трехьлй четверти; еслтг же а •< О, — то
во второй и четвертой (черт. 94), В первом случае дей-
ствительная ось гиперболы co-
ставляет с осью абсцисс угол
45°, во втором—угол —45°.
Вее это выводится по спо-
собу § 61, если уравнение (1)
записать в виде
ху = к. (3)
Замечание. В случае, когда
/с=О, уравнение (3) представляет
пару прямых у = 0 (ось абсцисс) к
х=О (ось ординат). Когда j к | неог-
раниченно уменьшается, гиперболы
(3) все теснее примыкают к этим пря-
мым (так что пару перпендикуляр-
ных прямых можно рассматривать
ir
Черт. 94.
как вырожденную равностороннюю
гиперболу).
Уравнение (1) при А =0 представляет только одну прямую у=0
(ось абсцисс) и притом не всю целиком, а без начала координат, ибо
при й=0 и х=О выражение у =— становится неопределенным.
Если же этой неопределенной величине давать всевозможные значе-
ния, то мы и получим тропа в шу ю> ось ординат.
8 72.
Равносторонняя гипербола как график
уравнения =
mac-frn
Рассмотрим уравнение
тх + н
(1)
при р 0 (при р - 0 имеем прямую у = у х Ру)
Если определитель
т п
Р Ч
= тд-пр
не равен нулю, то уравнение (1) представляет ту же
равностороннюю гиперболу, что и уравнение (1) § 71:
где к = —-г, с той лишь разницей, что центр смещается
§ 72. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 16?
из начала координат в точку с (up пт оа>
Значит (§ 71), полуоси равны л — /> — |/^.
В случае, когда D 0 (тогда к =- О), действительная
ось составляет с осью абсцисс угол +45° (черт. 95),
если же D > 0, - то угол - 45° (черт. 96).
Пример 1. Уравнение
_ 4х—9
> “ 2х~6
Ось А'А образует с ОХ угол 45°, так как D < 0. Коорди-
наты вершины А будут;
Хл « Хо+« cos 45° ~ 3+ J^3 « 4,2,
Vo*
Ул ~ Уе+а sin 45° «а 2+ КЗ *g- ~ 3,2.
Так же найдем:
хх. 1Д Ул’ «2- |^Г^«ОД
П р и м е р 2. Уравнение
108 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(здесь т=1, п~ -1, р=1, <7~1, 0=2) представляет
равностороннюю гиперболу (черт. 96) с центром С (-1; 1)
и с полуосями а = Ь = ~ 2» Ось А'А составляет
с ОХ угол — 45°, так как D > 0.
I т п [
Замечание 1. Если определитель D = ранен нулю, то
I Р ?1
/т л\
величины т, пир, ? пропорциональны (— = — ), так что тх + л де-
fzj — _ J * »
лнтся на частное равно —. Уравнение (I) представляет в этом
m 9/9
случае прямую у = —, лишенную точки х = (при х
выражение (1) неопределенно; см. § 71, заме-
чание).
г» — Зх 4- 6 / о
Например, уравнение у= *(m=3,
V
и’
Гу 2
Черт. 97.
и
л =6, р = 1, 9=2, D = | 2 J = пред-
ставляет прямую у=3. лишенную точки
х = —2. Если неопределенной величине у
давать всевозможные значения, то, кроме
прямой у =3, получим еще прямую х = —2.
Замечание 2. <Выпадение» точки
х = —2 из прямой у=3 можно наглядно
представить себе следующим образом. Рас-
Зх +
смотрим уравнение у = х + % ’ 3"'есь
D= = 6(1— ₽), так что при мы имеем гиперболу с
I 1 2 |
асимптотами х = -2 и у=3. Но когда величина р близка к 1, эта
гипербола (черт. 97, где р = 1,1) очень тесно примыкает к своим асимп-
тотам U'U и V'V, пересекающимся в точке К ( —2; 3), Можно было бы
ожидать, что при р = 1 мы получим пару прямых U’U (у=3) и
V'V (х = —2). Однако прямая V'V выпадает, так как она параллель-
на оси ОК и,значит (§ 14, замечание 2), ее нельзя представить уравне-
нием, разрешенным относительно ординаты. Вместе с прямой V'V
выпадает и лежащая на ней точка 7<.
§ 73. Полярные координаты
Возьмем на плоскости (черт. 98) произвольную точку О
(полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). Примем
какой-либо отрезок О А за единицу длины и какой-либо
угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов.
Тогда положение любой точки М на плоскости можно за-
дать двумя числами: 1) положительным числом р, выра-
жающим длину отрезка ОМ (полярный радиус), 2) чис-
лом ср, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).
Числа р и ср называются полярными координатами точки М.
§ 73. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
109
Пример 1. Полярные координаты р = 3, ф = -~
определяют точку N (черт. 98), полярные координаты
р—3, ф = 4^ - ту же точку /V, полярные координаты
р=1, tp = O (а также р=1, ср = 2тт или р=1, ср= —2я
и г. д.) - точку А.
Г--Ц
b J
Черт. 99.
Каждой паре значений р. ф отвечает только одна точка,
ио одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество
значений полярного Угла, отличающихся друг от друга
на число, кратное 2~ (ср. пример 1). Если же точка М
совпадает с полюсом, то значение полярного Угла остается
совершенно произвольным.
Можно условиться выделять только одно из значений
полярного угла, например брать ср в пределах
-7Г -<ф=£ п. (1)
Такое значение полярного угла называется главным.
Пример 2. Точке N (черт. 98) соответствуют поляр-
ные координаты р = 3, ср = -у4-24‘тг; главное значение
полярного угла есть - — .
Точке L отвечают полярные координаты р = 2, ф=*
= 7T4-2fc7r; главное значение ф согласно условию (1) есть я
(а не -я).
При введении главных зиачсиий каждой точке (кроме
полюса) отвечает одна пара полярных координат. Для по-
люса же р = 0, а ср остается произвольным.
Замечание 1. Когда точка Л1, описывая окружность с цент-
ром в полюсе О (черт. 99). пересекает в точке К продолжение поляр-
ной осн, главное значение полярного угла изменяется скачком (в точке
JMj оно близко к л, в точке Л1г—к —л). Поэтому во многих случаях
нецелесообразно ограничиваться только главными значениями 9.
110 аналитическая геометрия на плоскости
Замечание 2. Когда точка М, описывая прямую PQ (черт. 100),
проходит через полюс О, значение <? изменяется сКачком. Напри-
мер,если Л ХОР=~,'го для точки Л1, (па луче ОР) ф=~ + 2/ск, а для
й 4
точки Ма (на луче OQ) = -^+2нп (?с и п-целые числа). Во из-
бежание этого можно приписать всем точкам прямой PQ одно и то же
О
И
Черт. 100.
QA X
с
Черт. 101.
значение ч1, например ХОР, а полярные радиусы считать поло-
жительными на луче ОР и отрицательными на луче OQ. Например,
полярные координаты
определят точку Mt, а полярные координаты
-точку
Те же точки можно задать координатами
3 1
(точка Л/,) и
?a.3f> -JL
(точка Л-/,). При этом мы приписываем всем точкам прямой PQ значе-
ние = z XOQ, так что е положительно на луче OQ и отрицательно
на ОР.
Пример 3. Построить точку М о полярными координатами
й =; - 3,
Полярному углу <?=?-—• отвечает луч ОС (черт. 101). На его про-
должении OD откладываем ОМ =3 ОД. Получаем искомую точку ЛГ.
Той же точке соответствуют полярные координаты е = 3, ?' у •
$ 74. Связь между полярными координатами
и прямоугольными
Пусть полюс О (черт. 102) полярной системы совпадает
с началом прямоугольной* системы и полярная ось ОХ
совпадает с положительно направленной осью абсцисс.
g 74. ПОЛЯРНЫЕ И ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 111
Пусть М - произвольная точка плоскости, х и у - ее пря-
моугольные координаты, а р, <р - полярные, Тогда
х = р cos ср, y = psin<p. (1)
Обратно1),
Р = F'tf+T; (2)
cos ш = sin о = (3)
н
tg Ф = ~ • (4)
Но одной формулы (4) [а также только одной из формул (3)]
недостаточно для определения Угла ф (см,
пример 1).
Пример 1. Прямоугольные коорди-
наты точки равны х = 2, у = -2. Найти
ее полярные координаты (при Указанном
выше взаимном расположении обеих си-
стем).
Решение. По формуле (2)
р = /22-ь(-2)2 = 2
по формуле (4) tg -1. Значит, либо ф= --^+2Ьг,
либо ф = “+2Лтг. Так как точка лежит в четвертой чет-
верти, то лишь первое значение правильно. Главное зна-
чение ф есть - —.
Если воспользоваться формулой cos ф =ь ухг~^~,
2 /2*
получим cos ф = . Следовательно, либо ф =
то
— j + 2/m, либо ф = -^-+2Лт:. Только второе значение
правильно.
1) В формулах (2) и (3) предполагается, что полярный радиус р
всегда положителен. Если рассматривать и отрицательные значения g
(§ 73, замечание 2), то вместо (2) и (3) нужно написать е = ±1'хт+у’,
cos ф = —* . Sine - —(зиаки либо все верхние,
±/x*+№ ±Fxi+yi
либо все нижние). Формулы (1) и (4) остаются неизменными,
112 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примерз. В прямоугольной системе XOY окруж-
ность, изображенная на черт. 103, представляется Урав-
нением (§ 38) (х -R}2 I у» - R2. Формулы (1) и (2)
позволяют найти се уравнение в полярной системе
(О - полюс, ОХ - полярная ось). Получаем р! — 27?р cos ip - О.
Это уравнение распадайся на два: I) ? = 0,2) р - 2R cos ср = 0.
Первое представляет (при любом значении ср) полюс О.
Черт. 103. Черт. 104.
Второе дает все точки
окружности, в том числе
полюс (при ср = 4 и
ср - -у)* Поэтому пер-
вое уравнение можно
отбросить; получаем:
р = 27? cos ср. (5)
Это уравнение получается непосредственно из треуголь-
ника ОМК с прямым углом при вершине М (ОК = 27?,
0М=?;^ КОМ-?).
Замечание. Если нс вводить отрицательных значений о, то в
уравнении (5) угол 9 можно брать в четвертой и первой четвертях,
а во второй и третьей-нельзя. Так, при <р = —^уравнение (5) дает
е = —/?/2? Действительно, луч O/V (черт. 103), кроме полюса, не
имеет точек, общих с окружностью. Если же ввести отрицательные
г~ 3
значения у (§ 73, замечание 2), то координаты q = — /? Y 2 , ? =-j те
дают точку L на продолжении прямой ON.
Пример 3. Определить, какую линию представляет
уравнение
р = 2н sin 9. (6)
Решени с. Переходя к прямоугольной системе, на-
ходим:
№ + уг- 2ау = О
хг+(у-а)г = а2.
Уравнение (6) представляет окружность радиуса а
(черт. 104), проходящую через полюс О и касающуюся
полярной оси ОХ.
ИЗ
§ 75, АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ
§ 75. Архимедова спираль1)
1. Определение. Пусть прямая UV (черт, 105),
исходя из начального положения А’’Х, равномерно враща-
ется около неподвижной точки О, а точка А1, исходя из
начального положения О, равномерно движется вдоль UV.
Линия, описываемая точкой А-1, называется архимедовой
спиралью — в честь великого древнегреческого ученого
А р х и м е д а (3 в. до н. з.), впервые изучившего эту линию.
Замечание. Входящие в определение кинематиче-
ские понятия можно устранить, заменив их условием, чтобы
расстояние р = ОМ было пропорционально углу поворота
прямой 1/V.
Повороту прямой ПУ из любого ее положения на дан-
ный угол соответствует одно и то же приращение
Черт. 106.
расстояния р. В частности, полному обороту соответствует
одно н то же смешение ММ1^=а. Отрезок а называется
шагом архимедовой спирали.
Данному шагу а соответствуют две архимедовы спирали,
различающиеся друг от друга направлением вращения пря-
мой UV. При вращении против часовой стрелки получает-
ся правая спираль (черт. 106, жирная линия); при враще-
нии по часовой стрелке — левая (черт. 106, пунктирная
линия).
Правую и левую спирали с одним и тем же шагом
можно совместить, но для этого надо у одной из иих лице-
вую сторону сделать оборотной.
Как видно из черт. 106, правую и левую спирали одного
и того же шага можно рассматривать как две ветви линии,
9 Более подробные сведения об архимедовой спирали см. на
стр.777.
8 М. Я. Выгодский
114 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
описываемой точкой М, когда последняя пробегает всю
прямую UV, проходя точку О попутно.
2.По л яркое уравнение (О - полюс; направле-
ние полярной оси ОХ совпадает с направлением движения
точки М, когда опа проходит через точку О; а - шаг
спирали):
Положительным значениям <р соответствует правая
ветвь; отрицательным значениял! — левая.
Уравнение (1) можно записать в виде
Р= Л?,
где к {параметр архимедовой спирали) есть смещение
точки М по прямой U V при повороте последней на угол
в один радиан.
§ 76. Полярное уравнение прямой
Прямая АВ (черт. 107), не проходящая через полюс,
представляется в полярных координатах уравнением
о
‘ СОЬ (ф —а) '
(’)
где р = ОК н а Х ХОК - полярные параметры прямой
АВ (§ 29).
Уравнение (I) получается из треугольника ОКМ (где
ОМ ди z КОМ - ср — ос).
Черт. 107.
Прямую CD (черт. 108), проходяшую через полюс,
нельзя представить уравнением вида (1) [для такой пря-
мой р = 0 и ф-а .== i-g-, так что ссз (ф-а/ = 0]. Ее
i 77. полярное Уравнение конического сечения 115
луч OD представляется уравнением ф = tp0 (где ?0— Л XOD),
а луч ОС ~ уравнением ф=фх (где ф^х: хЬс). Каждое
из этих уравнений может представить всю прямую, если
ввести отрицательные значения р (§ 73, замечание 2).
§ 77. Полярное уравнение конического сечения
Поместим полюс в фокусе F (черт. 109) конического
сечения (эллипса, гиперболы или параболы), а полярную
ось совместим с осью Ь'Х конического
вив се в сторону, противоположную той,
где лежит соответствующая директриса
PQ. Тогда коническое сечение предста-
вится уравнением
сечеиия, иапра-
Черт. 109,
р
1 — е соз <р ’
(I)
где р - параметр, as- эксцентриситет
конического сечения (§ 52).
Замечание. Если рассматривать
только положительные значения р, то в
случае гиперболы (s ==- 1) уравнение (1)
представляет лишь одну ветвь - ту,
внутри которой лежит фокус. При этом для ф должно вы-
полняться неравенство 1-е cos <р =- О. Если же рассмат-
ривать и отрицательные значения р, то ф может иметь
любое значение, и при 1-еС05ф * О получаем вторую
ветвь.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 78. Понятие о векторах и скалярах
Векторной величиной, или вектором (в широком смысле),
называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной, или скаляром, называется величина,
ие обладающая направлением.
Пример 1. Сила, действующая на материальную точ-
ку, есть вектор, так как она обладает направлением. Ско-
рость материальной точки - тоже вектор.
Пример 2. Температура тела есть скаляр, так как
с этой величиной ие связано никакое направление. Масса
тела и плотность его — тоже скаляры.
Если отвлечься от направления векторной величины,
то ее, как и скалярную величину, можно измерить, выбрав
соответствующую единицу измерения. Но число, получен-
. вое после измерения, характеризует скаляр-
А иую величину полностью, а векторную —
частично.
gjr Векторную величину можно полностью
охарактеризовать направленным о т -
м l*i N резком, предварительно задав линейный
1 масштаб.
черт. по. Примерз. Направленный отрезок АВ
иа черт. ПО при масштабе ММ изобра-
жающем единицу силы (1 кГ), характеризует силу в
3,5 кГ, направление которой совпадает с направлением
отрезка АВ (указанным стрелкой).
$ 79. Вектор н геометрии
В геометрии вектором (в узком смысле) называется
всякий направленный отрезок.
Вектор, началом которого служит точка А, а концом —
точка В, обозначается АВ (черт. 110).
S 81. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Н7
Вектор обозначается также одной буквой, как показано
на черт. Щ. Эту букву печатают жирным шрифтом (а),
а в письме ставят над буквой черту (а).
Длина вектора называется также его моду- у
мм. Модуль есть скалярная величина. а /
Модуль вектора обозначается двумя верти- /
ка льны ми чертами — слева и справа: | АВ |, или *
или |«|. Черт. 111.
При двуоуквснном обозначении вектора
его модуль иногда обозначается теми же ._______„
буквами, но без стрелки (A£J - модуль вектора А^), при
однобуквенном обозначении — той же буквой, напечатан-
ной светлым шрифтом (&~ модуль вектора (*).
§ 80. Векторная алгебра
Над векторами производят действия, называемые сло-
жением, вычитанием и умножением векторов (см. ниже).
Эти действия имеют много обших свойств с алгебраиче-
скими действиями сложения, вычитания и умножения.
Поэтому учение о действиях над векторами называется
векторной алгеброй.
§ 81. Коллинеарные векторы
Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на
одной и тон же прямой), называются коллинеарными.
Векторы а, Ь, с па черт. 112 коллинеарны. Векторы
AC, BD и СВ на черт. 113 коллинеарны.
Черт. 112.
Черт. 113.
Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же
направление {равнонаправленные векторы) или противопо-
ложные, Так, векторы а и с (черт. 112) равнонаправлены,
векторы а и b (а также Ь и с) противоположно направ-
лены, Векторы АС и BD иа черт. ИЗ равнонаправлены,
векторы АС нСВ противоположно направлены,
11Й АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 6 ПРОСТРАНСТВЕ
§ 82. Нуль-вектор
Если начало Л и конец J3 отрезка АВ совпадают, то
отрезок, АВ обращается в точку и теряет направление.
Но для общности правил векторной алгебры пару совпа-
дающих точек надо тоже причислить к векторам. Этот
особый вектор называется нуль-вектором и считается
коллинеарным с любым вектором.
Нуль-вс кто р обозначается так же, как число нуль
(знаком 0).
§ 83. Равенство векторов
Определение. Два (ненулевых) вектора а и Ъ раВ'
ны, если они равнонаправлеиы и имеют один и тот же мо-
дуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех
остальных случаях векторы не равны.
Пример 1. Векторы АВ и CD (черт. 114) равны.
Пример 2. Векторы ОМ и ON (черт. 115) не равны
(хотя у них длины и одинаковы), ибо их направления раз-
личны. Векторы ON и КВ тоже
/V ие равны, а векторы ОМ н КВ
В В S''* м равны.
уг Предостережение.
-fL Нельзя смешивать понятие «ра-
о венство векторов» с понятием
к «равенство отрезков». Говоря:
„ ,,, ...... «отрезки ON и КВ равны», мы
черт. 114. черт. п.>. утверждаем, что один из них
можно совместить с другим.
Но для этого может понадобиться поворот совмещаемого
отрезка (как в расположении черт. 115). В таком случае
согласно определению векторы ON и КВ не равны. Два
вектора будут равны лишь в том случае, когда нх можно
совместить без поворота.
Обозначения. Запись а=ь выражает, что век-
торы а и & равны. Запись а^Ь выражает, что векторы
а и Ъ не равны. Запись |а| = |Ь| выражает, что модули
(длины) векторов а и Ь равны; при этом сами векторы а
и Ъ могут равняться, а могут и не равняться друг другу.
___П р и м е р 3, Ав= СР (черт. 114), ON**КВ (черт. 115),
|ON| = |KL| (черт, 115), ОМ = КВ (черт. 115).
§ 86. сложение ВЕКТОРОВ 119
§ 84. Приведение векторов к общему началу
Всякие векторы (в любом числе)
общему началу», т. е. построить век-
торы, соответственно равные дан-
ным и имеющие общее начало в не-
которой точке О. Такое приведение
показано иа черт. 116.
§ 85. Противоположные
векторы
Определение. Два вектора,
имеющие равные модели и противо-
положно направленные, называются
противоположными.
Вектор, противоположный векто-
ру а, обозначается - а.
Пример 1. Векторы LM и NK
на черт. 117 - противоположные.^^
Пример 2. Если вектор LM_
(черт. 117) обозначить буквой а, то NK — -a, ML = - а,
KN = в.
Из определения следует: -(-а) ±= а, [-a|«=Ja|.
§ 86» Сложение векторов
Определение. Суммой векторов а и Ъ называется
третий вектор с, получаемый следующим построением:
из произвольного начала О
ч (черт. 118) строим вектор 02^
/ ' равный в (§ 83); из точки L, как
из начала, строим вектор LM,
равный Ь. Вектор е=0М есть
сумма векторов а и Ъ («пра»
черт. по. вил0 треугольника»).
— Запись: а+b - с.
Предостережение. Нельзя смешивать понятие
«сумма отрезков» с понятием «сумма векторов». Сумма
отрезков 0L и LM получается следующим построением:
продолжив прямую 0L (черт. 119), откладываем отрезок
LN, равный отрезку LM. Отрезок ON есть сумма отрез-
ков 0L и LM. Сумма векторов 0L и LM строится иначе
(см. определение).
можно «привести к
Черт ,116
Черт. II?.
М
О
Черт. 118.
120 аналитическая геометрия в пространстве
При сложении векторов имеют место неравенства
] а+Ь | а ]+ | Ь [, (1)
|а+Ь> | « |-1 Ь | L (2)
выражающие, что сторона ОМ треугольника 0ML (черт. 118)
меньше суммы и больше разности двух других сто-
рон. В формуле (1) знак равенства имеет место только
Черт. 120.
Черт. 121.
для равноиаправленных векторов (черт. 120), в формуле
(2) — только для противоположно направленных векторов
(черт. 121).
Сумма противоположных векто ров. Из
определения следует, что сумма противоположных век-
торов равна нулъ-вектору:
а+(-а) = 0.
Свойство переместительности. От пере-
становки слагаемых сумма векторов не меняется:
а+ Ь = Ь + а.
Правило параллелограмма. Если слагае-
мые а и Ь не коллинеарны, то сумму а+Ь можно найти
следующим построением; из любого начала О (черт. 122)
строим векторы 0А = а и ОВ = Ь; иа отрезках ОА, OR
строим параллелограмм ОАСВ, Вектор диагонали ОС *'
есть сумма векторов а и Ь (так. как ДС - О В = b и
ОС = ОД+^С).
К коллинеарны,м векторам (черт. 120 и 121) это постро-
ение неприменимо.
Замечание. Определение сложения векторов уста-
новлено в соответствии с физическими законами сложения
векторных величин (например, сил, приложенных к мате-
риальной точке).
§ 87. СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ
121
§ 87* Сумма нескольких векторов
Определение. Суммой векторов alf а2, а3, .., , ап
называется вектор, получающийся после ряда последо-
вательных сложений:
к вектору ах прибав-
ляется вектор о2, к
полученному вектору
прибавляется вектор
оа и т. д.
Из определения
вытекает такое по- 2
строение {правило О
многоугольника или
правило цепи).
__Из произвольного начала О (черт. 123) строим вектор
О A, = ап из точки А, как из начала, строим вектор
AxAa = из точки А2 строим вектор Д2Д3 = аа и т. д.
Вектор ОАЛ (на черт. 123 п = 4) есть сумма векторов а1г
а2г • • • >
Сумма векторов as, а3, а4 обозначается Ot+at+
+ «3 + а4-
Свойство сочетательности. Слагаемые век-
торы можно группировать как угодно. Так, если найти
сначала сумму векторов ag+a3-j-aa (оиа равна век-
тору А1А1, нс изображенному па черт. 123) и к ней
прибавить вектор at ( = QAX), то получим тот же вектор
a1-j-a2-i-a3 + aa ( = (MJ:
®i + (®г *Ь ®з 4" ®*) = ®i +аа +®з'Ьа<*
Правило параллелепипеда. Если три век-
тора а, Ь, с после приведения к общему началу (§ 84) не ле-
жат в одной плоскости, то сумму ац-Ь + с можно иайти
таким построением. Из любого начала О (черт. 124) строим
векторы ОЛ ~ а, ОВ = Ь, ОС = с. На отрезках О А, ОВ,
ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диа-
гонали О О есть сумма векторов а, Ь н е (так как СМ-- а,
АК = О~В - Ь, КО -- ОС = е н ОО ^О А + АК + KD).
К векторам, которые (после приведения к общему
началу) лежат в одной плоскости, это построение непри-
менимо.
122 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 88. Вычитание векторов
Определение. Вычесть вектор аА (вычитаемое) из
вектора аа (уменьшаемое) значит иайти новый вектор х
(разность), который в сумме с вектором ах дает век-
тор а2.
Короче: вычитание векторов есть действие, обратное
сложению.
Обозначение: а2 -а,.
Из определения вытекает такое построение: из произ-
вольного начала О (черт. 125, 126) строим векторы
ОАг = Ор ОА2 = а.,. Вектор ДХД2 (проведенный из конца
вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть раз-
ность а,-ах:
АуАг ~ OAi-OA^
Действительно, сумма OAt+ ДХД2 равна ОА2.
Замечание. Модуль разности (длина вектора AjAj) может
быть меньше модуля «уменьшаемого», но может быть и больше и равен
ему. Эти три случая показаны на черт. 125, 126, 127,
Другое построение. Чтобы построить разность
«2- а1 векторов а2 и .можно взять сумму векторов
а2 и — а1г т. е.
®2 ~ ~ 4" ( — ®1)>
Пример. Пусть требуется иайти разность
(черт. 128). Согласно первому построению а.,-аг = AtA2.
Построим теперь вектор AZL = -аА и сложим векторы
ОД; д= аа и Д2Ь = -at. Получим (§ 86, определение) век-
тор OL. Из Чертежа видно, что OL —
§ 89. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 123
§ 89. Умножение и деление вектора на число
Определение 1. Умножить вектор « (множимое)
на число х (множитель) значит построить новый вектор
(произведение), модуль которого получается умножением
модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а
направление совпадает с направлением вектора а или
противоположно ему, смотря по тому, положительно
число х или отрицательно. Если же х = О, то произведе-
ние есть нуль-вектор.
Обозначе и и е: ах или ха,
__П ример ы. ОВ = О А-4 или ОВ — 40 А (черт. 129),
ОС = 3-^ О A, OD « -20 А, ОЕ = - 1,50А (черт. 130).
О
Черт. 129.
Черт, 130.
Определение 2. Разделить вектор а иа число х
значит найти такой вектор, который, будучи умножен
на число х, даст в произведении вектор а.
Обозначение: а: х или
Вместо деления “ можно выполнить умножение
Умножение вектора иа число подчиняется тем же за-
конам, что и умножение
1- (*+У) а = ха-ууа
2. х(а-)-Ь) ±= ха+хЬ
3. х(уа) = (ху)а
чисел:
(свойство распределительности
по отношению к числовому
множителю),
(свойство распределительности
по отношению к векторному
миожителю),
(свойство сочетательности).
В силу этих свойств можно составлять векторные
выражения, имеющие тот же внешний вид, что и много-
члены первой степени в алгебре; эти выражения можно
п ре б р азо вывать так же, как преобразуются соответствую-
щие алгебраические выражения (приводить подобные члены,
раскрывать скобки, выносить эа скобки, переносить члены
124 аналитическая геометрия в пространстве
из одной части равенства в другую с обратным знаком
и т. д.).
Примеры. 2а+3а = 5а (в силу свойства 1),
2(а-)-Ь) = 2а-)-2Ь (в силу свойства 2),
5-12с = бОе (в силу свойства 3);
4(2а-ЗЬ) == 4[2a-j-( —36)] = 4[2а+(-3)Ь] =
= 4‘2а + 4(-3)Ь = 8а-)-(—12)6 = 8а-126,
2(3а-46 + с)-3(2а+6 —Зе) = ба-86-} 2с-ба-3б + 0с =
= -116+Цс = 11(с —6).
§ 90. Взаимная связь коллинеарных векторов
(деление вектора на вектор)
Если вектор а - не нулевой, то всякий вектор Ь,
коллинеарный с ним, можно представить в виде ха,
где х~число, получаемое так: оно имеет абсолютное
Черт. 131.
Черт. 132.
значение | Ъ |: | а ] (отношение модулсй);\)ио положительно,
если вектор 6 разнонаправлен с вектором а, отрицательно,
если 6 и а противоположно направлены, и равно нулю,
если 6 - иуль-вектор.
Примеры. Для векторов а и 6 на черт. 131 имеем
b = 2а (х — 2), иа черт. 132 имеем 6 — — 2а.
Замечание. Разыскание числа х называют делением
вектора 6 на вектор а. Неколлинеарные векторы делить
друг на друга нельзя.
§ 91. Проекция точки иа ось
Осью называется всякая прямая, иа которой выделено
одно из двух ее направлений (все равно какое). Это
направление называется положительным (на чертеже оно
обозначается стрелкой); противоположное направление
называется отрицательным.
§ 92. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА ПА ОСЬ
125
Каждую ось можно задать любым вектором, лежащим
па ней и имеющим то же направление. Так, ось черт. 133
можно задать вектором АН или АС (но ие вектором В А).
Пусть дана ось ОХ (черт. 134) и некоторая точка М
(вне оси или на ней). Проведем через М плоскость, пер-
пендикулярную к оси; она пересечет ось в некоторой
точке М'. Точка М’ называется проекцией точки М на
Черт. 133.
Черт. 134,
ось ОХ (если точка М лежит на оси, то она сама является
своей проекцией).
Замечание. Иными словами, проекция точки М на
ось ОХ есть основание перпендикуляра, проведенного из
точки М к оси ОХ. Данное выше определение подчерки-
вает, что построение выполняется в пространстве.
§ 92. Проекция вектора на ось
Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» упо-
требляется в двух разных смыслах: геометрическом и
алгебраическом (арифметическом).
1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ
называется вектор А'В' (черт. 135),
начало которого А' есть проекция У
начала А на ось ОХ. а конец В’- //\ /
проекция конца В на ту же ось. -—
О б о з и ач с н и е: Про^ДВ или, /
короче, Пр АВ.
Если ось ОХ задана вектором с, черт. 135.
то вектор А'В' называется также
проекцией вектора АВ на направление вектора е и обо-
значается Прс АВ.
Геометрическая проекция вектора на ось ОХ называется
также компонентой вектора по оси ОХ. ______
2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ
(или на направление вектора с) называется длина вектора
126 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
А'В', взятая со знаком + или смотря но тому, имеет
ли вектор А1 В' то же направление, что ось ОХ (вектор в),
или противоположное.
Обозначение:
пр0ЛДВ или прсДВ.
Замечание. Геометрическая проекция (компонента)
вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора
есть число.
Пример 1. Геометрическая проекция-вектора ОК = а.
(черт. 136) на ось ОХ есть вектор OL. Его направ-
ление противоположно направлению осн, а длина (при
единице масштаба ОЕ) равна 2. Значит,
\ алгебраическая проекция вектора ОК
>\- на ось ОХ есть отрицательное чис-
J \ л о - 2:
2 1 ОЕ У Пр О к = OL, пр Ок = -2.
Черт, 136. Если векторы АВ и СО (черт. 137)
равны, то нх алгебраические проекции
но одной и той же оси тоже равны (пр А В = пр СО =» -<) -
То же для геометрических проекций.
Черт. 137.
Черт. 13S,
Алгебраические проекции одного и того же вектора на
две равнонаправленные оси (О^ и О2Хг на черт. 138)
равны *) (npot^NM = npo2x2NM - - 2). То же для гео-
метрических проекций.
О Если оси параллельны, -но противоположно направлены, то
алгебраические проекции не равны; они отличаются знаком,
§ S3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ ВЕКТОРА 12?
3. Связь между компонентой (геометриче-
ской проекцией)и алгебраической проекцией
вектора. Пусть Cj есть вектор, равноиаправлеипый с
осью ОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проек-
ция (компонента) какого-либо вектора а по оси ОХ равна
произведению вектора ct на алгебраическую проекцию
вектора а по той же оси:
Про = пр а* Ср ~
Пример 2. При обозначениях чсрт\ 136 имеемс^ОЕ.
Геометрическая проекция вектора ОК = а иа ось ОХ
есть вектор OL, алгебраическая проекция того же вск-
тора есть число-2 (см. пример 1). Имеём OL — — 2ОЕ.
§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора
Теорема!. Проекция суммы векторов па какую-либо
ось равна сумме проекций слагаемых векторов па ту же ось,
Теорема справедлива при обоих
Формула (1) вытекает из определения сложения векторов, форму-
ла (2) - из правила сложения положительных и отрицательных чисел,
Приме р 1. Вектор АС (черт. 139) есть сумма векто-
ров АВ и ВС. Геометрическая проекция вектора АС на
ось ОХ есть вектор ДС', а геометрические проекции век-
торов АВ и ВС суть АВ' и В'С'. При ЭТОМ
А& = ДВЧ-В'С',
так что
Пр (ДВ+ВС) = Пр ДВ-рПр ВС.
Пример 2. Пусть ОЕ (черт. 139) есть единица мас-
штаба; тогда алгебраическая проекция вектора ДВ на ось
128
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОХ равна 4 (длина АВ', взятая со знаком плюс), т. е.
пр АВ = 4. Далее пр ВС = -2 (длина B'Cf, взятая со
знаком минус) и пр АС » -’-2 (длина АС', взятая со зна-
ком плюс). Имеем
пр AB-J-пр ВС == 4-2 = 2;
с другой стороны,
пр(АВ-ЬВС) = пр АС = 2,
так что
пр (АВ+ВС) = пр АВц-пр ВС.
Теорема 2, Алгебраическая проекция вектора на
какую-либо ось равна произведению длины вектора на
косинус угла между осью и вектором:
праЬ = I Ь I COS (oft*)- (3)
Пример 3. Вектор Ь = MN (черт. 140) образует с
осью ОХ (она задана вектором а) угол в 60°. Если ОЕ
есть единица масштаба, то | Ь | = 4, так что
прйЬ = 4 cos 60° = 4 • ~ = 2.
Действительно, длина вектора M'N' (геометрической проекции
вектора Ь) равна 2, а направление совпадает с направлением осн ОХ
Чср. § 92, п. 2).
Черт. 140.
0£ Г I/ *
Черт. 141.
Пример 4. Вектор Ь = UV на черт. 141 образует
с осью ОХ (с вектором я) угол (а, Ь) = 120°. Длина | b |
вектора Ь равна 4. Поэтому пр„Ь - 4-cos 120° = -2.
Действительно, длина вектора UV равна 2, а направление проти-
воположно направлению оси.
§ 94. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 129
§ 94. Прямоугольная система координат
в пространстве
Черт, 142. Черт. 143.
Основные векторы. Три взаимно перпендику-
лярные оси OX, OY, OZ (черт. 142), проходящие через неко-
торую точку О, образуют прямоугольную систему коор-
динат. Точка О на-
зывается началом ко-
ординат, прямые ОХ,
OY, OZ — осями ко-
ординат (ОХ - ось
абсцисс ОУ-ось
ординат, OZ-ось
апликат *)), а пло-
скости XOY, YOZ,
ZOX — координатны-
ми плоскостями. На-
кой-либо отрезок UV
принимается за единицу масштаба для всех
трех осей.
Отложив на осях OX, OY, OZ в положительном на-
правлении отрезки О А, ОВ, ОС, равные единице масштаба,
а получим три вектора О А,
Tytz ZV Ч ОВ, ОС. Они называются
Z IL Л основными векторами и
kJ обозначаются соответствен-
но i,j, к.
* у у X Положительные направ-
ления на осях принято выбн-
Черт. 144. черт. 145. рать так, чтобы поворот на
90°, совмещающий положи-
тельный луч ОХ с лучом OY (черт. 142), казался происходя-
щим против часовой стрелки, если наблюдать его со сто-
роны луча OZ. Такая система координат называется правой.
Иногда пользуются и левой системой координат. В ней
упомянутый поворот совершается по часовой стрелке
(черт. 143).
Замечание 1. Трехгранные углы, образованные лучами ОХ,
ОУ, OZ в правой и левой системе, нельзя совместить так, чтобы совпали
соответственные оси.
Замечание 2. Названия «правая» и «левая» происходят от
того, что большой, указательный н средний пальцы правой руки, если
их расположить наподобие осей OX, OY, OZ (черт. 144), образуютпра-
вую систему. На левой же руке (черт. 145) получаем левую систему.
!) О происхождении термина «апликата» см. § 95.
9 М. Я. Выгодский
130 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВ^
§ 95. Координаты точки
Положение любой точки М в пространстве можно опре-
делить тремя координатами следующим образом. Через М
проводил! плоскости MP, MQ, MR (черт. 146), соот-
ветственно параллельные плоскостям YOZ, ZOX, XOY.
Черт. 146,
В пересечении с осями по-
лучаем точки Р, Q, R.
Числа х (абсцисса), у (орди-
ната), z (апликата) ’), изме-
ряющие отрезки OP, OQ, OR
в избранном масштабе, на-
зываются (прямоугольными)
координатами точки М,
Они берутся положитель-
ными или отрицательными,
смотря по тому, имеют ли
векторы OP, OQ, OR соот-
ветственно те же направле-
ния, что и основные векто-
ры i, j, It, или противопо-
ложные.
Пример. Координаты точки М на черт. 146 суть:
абсцисса
х = 2,
ордината
У = -з,
апликата
z = 2.
Запись:
М (2; -3; 2).
Вектор ОМ, идущий от начала О к некоторой точке М,
называется радиусом-вектором точки М и обозначается
буквой г; чтобы отличать друг от друга радиусы-векторы
разных точек, при букве г ставят значки: так, радиус-вектор
точки М обозначается гм, Радиусы-вс кто ры точек Д,
Ая, ..., Д, обозначаются
9 Латинское слово «апликата» (applicate) в переводе означает «при-
ложенная» (точку М можно построить так: сначала взять на плоскости
.ХОУ точку Lc координатами х=ОР, у—PL, а затем «приложить»
ртрезок LM~z, перпендикулярный к плоскости XOY).
131
§ 90. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
§ 96. Координаты вектора
Определение. Прямоугольными координатами
вектора т называются алгебраические проекции (§ 92)
вектора т иа оси координат. Координаты вектора обозна-
чаются большими буквами X. Y, Z (координаты точки -
малыми).
3 а и и с ы
m{X, V, Z} или ш « {X, У, Z}.
Вместо того чтобы проектировать вектор т на осн
OX, OY, OZ, можно проектировать его на оси Л^Д, МкВ,
МХС (черт. 147), проведенные че-
рез начало вектора т и равно-
направленные с осями координат
(§ 92, п. 2).
Приме р 1. Найти коорди-
наты вектора MXMS (черт. 147) от-
носительно системы координат
OXYZ.
Через точку Мх проводим оси
MtA, МХВ, МХС, соответственно
равнопаправленные с осями ОХ
OY,OZ.
Через точку М2 проводим
плоскости М2Р, M.,Q, MsR, па-
раллельные координатным пло-
скостям. Плоскости МйР, M„Q,
Mzp пересекут оси Л14 Л“ М1В~ С соответственно в точ-
ках Р, Q, R. Абсцисса X вектора есть длина вектора
Л^Р, взятая со знаком минус (§ 92, и. 2); ордината Y вектора
т есть длина вектора MXQ, взятая со знаком минус; апли-
ката Z ~ длина вектора MjR, взятая со знаком плюс.
При масштабе черт, 147 X = —4, Y =
Запись:
MtMH-4; -3; 2}
ИЛИ'
: Zj - Z.
MtMe =- {—4; -3; 2).
Если два вектора и ms равны, то их координаты
соответственно равны
(ср. § 92, и. 2),
9*
132 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора не меняются при парал-
лельном перенесении системы координат. Напротив, ко-
ординаты точки при параллельном перенесении системы
координат меняются (см. ниже § 166, п. 1).
Если начальная точка О вектора ОМ совпадает с на-
чалом координат, то координаты вектора ОМ соответ-
ственно равны координатам конечной его точки М (§ 95).
Пример 2. У вектора ОМ на черт. 146 абсцисса
Х=2, ордината У = -3, апликата Z—2. Те же коорди-
наты имеет точка М.
Запись: ОМ {2; -3; 2} или ОМ = {2; -3; 2}.
§ 97. Выражения вектора через компоненты
и через координаты
1. Каждый вектор равен сумме его компонент (геоме-
трических проекций) по трем осям координат:
m = Прмт-|-Пр0гт-;-Пр02т, (1)
Пример 1. При обозначениях черт. 147 имеем:
M1P+XQ+ ~М&
2. Каждый вектор тп равен сумме произведений трех
основных векторов на соответствующие координаты век-
тора т:
т = Xi+ Yj+Zk. (2)
Пример 2. При обозначениях черт. 147 имеем:
MxMj = -4»-3j + 2fc.
§ 98. Действия над векторами, заданными
своими координатами
1. При сложении векторов их координаты склады-
ваются, т. е. если а = то X « Хх+Ха, У = Fi+ Уг>
Z ~ Zi+Zf.
2. Аналогичное правило для вычитания векторов: если
а = ъ-ъ, то X = Х,-Хъ У = Vz- Yt, Z = Z^-Zl
3. При умножении вектора на число все координа-
ты множатся на то же число, т. е, если ш, = ХШ]. то
X, = ХХп У, - XFp Zt = XZ,.
$ 100. ДЛИНА ВЕКТОРА 133
4. Аналогичное правило для деления вектора на число:
если = -у1, то Хг = у1, У2 = у-, Z, =
§ 99. Выражение вектора через радиусы-векторы
его начала и конца
Следует заметить важную формулу
____ Ai4s*!-n. (1)
где rt= О At (черт. 148) есть радиус-вектор (§ 95) начала Аг
вектора AtAs, а гг~ О As - радиус-
вектор его конца А,.
Из (1) в силу § 98, п. 2 вытекают
формулы
(2)
X = хг-хь У = Уг-я,
Z = Z2-Zx.
Здесь X, ,У, Z - координаты век-
тора AtAs, xlt ylf zt - координа-
ты точки Aj (они соответственно
равны координатам радиуса-вектора
ri=OAl) и х31 уг, zs - координаты точки Аг (онн сорт- .
встственно равны координатам радиуса-вектора г2=ОАг).
Словами: чтобы найти абсциссу вектора, надо из
абсциссы конца вычесть абсциссу начала вектора.
Аналогичные правила для ординаты и апликаты.
Пример. Найти координаты вектора А1А2, если
А,(1; —2; 5) и Аг( -2; 4; 0).
Решение. X = -2-1 = - 3, У = 4 - (- 2) = б,
7 = 0-5 = -5, так что Аг Аа = {— 3, 6, — 5}.
§ 100. Длина вектора, <
Расстояние между двумя точками
Длина вектора a {X, У, Z} выражается через его ко-
ординаты формулой
|а] = /Хг+У«4-2«, (1)
Пример 1, Длина вектора a {-4, -3, 2} равна
(ср, черт. 147)
134 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия в пространстве
Расстояние d между точками At (.х\; yL; zj, Д2 (х2; уг; ге)
представляется формуле»
d fe-V + (>'г-У1)2+(го-^ (2)
Она получается из (1) в силу формул (2) § 99 (ср. § 10).
Пример 2. Расстояние между точками Д; (8, - 3; ,8).
А. (6; -1; 9) есть rf ₽= Г''(б -8)£-;(“ 1 + 3)«+~(9-8)’ 3.
§ 101. Угол между осью координат
и вектором
Углы у, р, у (черт. 149), образуемые положительными
направлениями OX, OY, OZ с век-
тором а {X, К, Z}, можно найти по
формулам ‘)
СОТ1"7^Й*(=Лт)' (1>
cos Р = —X—( = ХА (2)
УЛЧЮЧ/* \ Iя!/
черт. 148. «)5 у = (= (3)
Если вектор а имеет длину, равную единице масштаба,
т. е, если | a J= I, то
ccsa=X, ccs{3= У, ccsy = Z.
Из (1), (2), (3) следует:
cos2 а + ccs2 3 + ccs2 у = 1. (4)
Пример. Найти углы, образуемые осями координат
с вектором {2, —2, - 1}.
2 2 9
Решение, cos а = -— —--- = , cos В » — ,
/2*+(-2)2 + 1 3 14
cos у = — откуда а эд 48°И', {3 эд 131О49', у Ю9°28'
О Из прямоугольного треугольника О MR имеем:
О/?_____Z Z
(ом| “Iе! и fx«+r»+zi*
cos y »
Аналогично получаются формулы (1) и (2)<
£ ibi ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
§ 102. Признак коллинеарности (параллельности)
векторов
Если векторы {Хь Уъ 2J, а,, {Х2, У2, Z2} кол-
линеарны, то их соответственные координатьГпропорцио-
нальпы
X2:Xj = К>: У1 = Z. :Z1 (1)
и обратно.
Если коэффициент пропорциональности X — =
положителен, то векторы аг и а., равнонаправлены;
если отрицателен — противоположно направлены. Абсо-
лютное значение X выражает отношение длин | «> | ; | |.
Замечание. Если одна из координат вектора
равна нулю, то пропорцию (1) надо понимать в том смысле,
что соответствующая координата вектора а2 тоже равна
НУЛЮ.
Пример 1. Векторы {-2, 1, 3} и {4, -2, -0}
коллинеарны и противоположно направлены (X = —2).
Второй вектор вдвое длиннее первого.
Пример 2. Векторы {4, 0, 10} и { 6, 0, 15 } колли-
неарны и равнонаправлены (х =- 4) • Второй век гор в пол-
тора раза длиннее первого.
Пример 3. Векторы {2, 0, 4} и {4, 0, 2} не кол-
линеарны.
§ 103. Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор г точки А, делящей отрезок АхД в отно-
шении AtA : АА2 — mt: т2, определяется формулой
г = /<\
пд+лц * '
где rt и г., - радиусы-векторы точек Ad и А2.
Координаты точки А находятся по формулам
х — тг*1 +mi*2 v = * т‘У* - _ (7\
п?! + т? • ' — /nt+m2 ' '
(ср. § П).
В частности, координаты середины отрезка AtAs суть
Х “ 2 » ' - 2 “ W
136 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Замечание. Точка А может быть взята и иа про-
должении отрезка AtAs в ту или, другую сторону, тогда
одно из чисел тг иужио взять со знаком минус.
Пример. Найти координаты точки А, делящей отре-
зок в отношении А.А : AAS = 2:3, если Д (2; 4; - 1),
Аг(-3; — 1; 6).
По формулам (2) находим:
3-2+2-(-3) _ п v _ 3-4 + 2-(-1) _
£+3 - У - 2+3 “
_ - 3-(-1)+2-6 9^
~ ' 2+3 5
§ 104. Скалярное произведение двух векторов
Определение. Скалярным произведением вектора
а иа вектор Ь называется произведение их модулей иа
косинус угла между ними.
Обозначение: а Ь или аЬ.
Согласно определению
аЬ = [ а | • [ Ъ ] cos (а, Ь). (1)
В силу теоремы 2 § 93
I t> j COS (а, Ъ) = пр„Ь, / - -
так что вместо (1) можно написать:
аЬ = | а | првЬ. (2)
Аналогично
аЪ = [ Ь ( пр4а.
Словами: скалярное произведение двух векторов равно
модулю одного из них, помноженному на алгебраическую
проекцию другого вектора на направление первого.
Если угол между векторами а и Ь острый, то аЬ > О;
если тупой, то аЬ 0; если прямой, то аЬ — 0.
Вытекает из формулы (1).
Пример. Длины векторов а н Ъ соответственно равны
2 м и 1 м, а угол между ними 120°. Найти скалярное про-
изведение аЬ.
По формуле (1) аЪ = 2-1 • cos 120° » -1 (м-).
§ 104а. ФИЗИЧ. СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 137
Вычислим ту же величину ио формуле (2). Алгебраи-
ческая проекция вектора b (черт. 150) на направление
вектора а равна | О В ( cos 120° = - ~ (длине вектора OB',
взятой со знаком минус). Имеем;
аЬ | а ] првЬ = 2- (-у) = - 1 Й*).
Замечание 1. В термине «скаляр-
ное произведение» первое слово ука-
зывает на то, что результат действия
есть скаляр, а не вектор (в противоположность вектор-
ному произведению; см. ниже § 111). Второе слово под-
черкивает, что для рассматриваемого действия имеют силу
основные свойства обычного умножения (§ 105).
3 а м с ч а и и е 2. Скалярное умножение нельзя распро-
странить на случай трех сомножителей.
Действительно, скалярное произведение двух векторов
а и Ь есть число; если это число помножить иа вектор е
(§ 89), то в произведении получим вектор
(аЬ) с = | а | • ] b [ cos (of"Ь) с,
коллинеарный с вектором с.
§ 104а. Физический смысл скалярного произведения
Если вектор а = ОЛ (черт, 151) изображает смещение
лтатериальной точки, а вектор F-.QF — силу, действую-
щую на эту точку, то скалярное произведе-
Г* пне aF численно равно работе силы F,
«. J \ Действительно, работу совершает только ком-
F I й “—*
I j/'P'' понента OF', Значит, работа по абсолютному зна-
чеиию равна произведению длин векторов а и OF'.
О При этом она считается положительной, если век-
Черт. 151. торы OF' и а равнонаправлены, и отрицательной в
противном случае, Стало быть, работа равна мо-
дулю вектора «, помноженному на алгебраическую
проекцию вектора F по направлению вектора в, т. е. работа равна ска-
лярному произведению aF,
Пример. Вектор силы F имеет модуль, равный 5 кг.
Длина вектора смещения а равна 4 м. Пусть сила F дей-
ствует под углом а = 45° к смещению а. Тогда работа
силы F есть
Fa - | F | ] а | cos а = 5 4 • Ц- = Ю 14,1 (кГл).
138 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 105. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение аЪ обращается в нуль, если
одни из сомножителей есть нуль-вектор или если векюры
а и b перпендикулярны,
Вытекает из (1) § 104.
П р им е р. Зг-2/ ~ С, так как основные векторы i, j,
а значит, и векторы 3/, 2j перпендикулярны.
Замечание. В обычной алгебре из равенства ab = О
следует, что либо о=0, либо Ь~0. Для скалярного про-
изведения это свойство не имеет силы.
2. аЪ~Ьа (свойство переместительности).
Вытекает из (I) § 104.
3. (а^-раа) Ъ = a^b-t-a^b (свойство распределитель-
ности).
Это свойство имеет место для любого числа слагаемых;
например, при трех слагаемых
(«i-j- aa-l-tfo) b « «ib-j-agb-j-азЬ,
Вытекает из (2) § 104 и из (3) § 93.
4, (ma) b ж m (аь) (свойство сочетательности относи-
тельно скалярного множителя) *)<
Примеры.
(2a)b = 2аЬ, ( — 3a)b == — ЗаЪ, « — 6pgr,
Свойство 4 выводится из (1) § 104 (удобно рассмотреть отдельно
случаи ш э- О и m -< О),
4а. (ma) (nb) = (mn) ab.
Примеры.
(2a) (~ЗЬ) = -Gab, (~5р) a) =
Свойство 4а вытекает из предыдущего свойства.
Свойства 2, 3, 4а позволяют применять к скалярным
произведениям те же преобразования, какие выполняются
в алгебре над произведениями многочленов.
I) Относительно векторного множителя свойство сочетательности
не имеет места: выражение (сЬ) а есть вектор, коллинеарный с а (§ 104,
замечание 2), а с (1>а) есть вектор, коллинеарный с о, так что
(сЪ) а ? с (Ьа).
§ 106. СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 139
Пример 1.
2аЬ + Зас = а (2b Зс)
(в силу свойств 3 и 4).
Пример 2.
(2а —ЗЬ) (c-j-5d) к 2ac*J-lOatZ —ЗЬс—15b(t
(в силу свойств 3 и 4a).
Пример 3. Вычислить выражение (i-j-Ze) (j-fc), где
i,j, к — основные векторы.
Решение. Так как векторы г, у, к взаимно перпен-
дикулярны, то ij = ik-jk=O; кроме того,
кк » ] к 11 к ] cos (Zeffc) =< 1 fc р cos О = 1
(модуль основного вектора равен единице). Поэтому
(<+ад-ft) = ij-ik+kj-kk = -1.
5. Если векторы а и Ь коллинеарны, то аЬ « ± ] a j [ b ];
(знак +, если af Ь имеют одно и то же направление,
знак —, если противоположное),
5а. В частности, аа = ( а |*.
Скалярное произведение аа обозначается а2 (скалярный
квадрат вектора а), так что
а» = J а |» (1)
(скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля).
Замечание!. Скалярного куба (и тем более высших
степеней) в векторной алгебре нет (ср. § 104, замечание 2).
Замечание 2. а3 есть положительное число (квадрат
длины вектора); из него можно извлечь _корень любой
степени, в частности, квадратный корень /а3 (длина век-
тора а). Однако нельзя вместо /а3 писать а,
так как а - вектор, a - число, Правильный результат
будет;
/а* = | а |. (2)
106, Скалярные произведения основных векторов
Из окределения § 104 вытекает, что
fi=i2=l, УУ=УЯ^=1, Zifc = Ze8=l,
V=Jf=O, Jfc=AJ=O, ki=ik~ О
ср, § 105, пример 3).
140 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Эти соотношения можно представить в виде «таблицы
скалярного умножения»:
Множимое Множитель 3 к
< 1 0 0
i 0 X 0
к 0 0 1
§ 107* Выражение скалярного произведения
через координаты сомножителей
Если <гх = {#!, У1( и ай « {Х3, У3, ZJ, то ’)
ака2 = А^А’цЧ- УХУ3+ 2^. (1)
В частности, если m ~ {X, У, Z}, то
Х3+У3+23, (2)
откуда ______
/ш8 = {m { « l^+WZ8 (2а)
(ср. § 105, замечание 2 и § 100).
Пример 1, Найти длины векторов «,{3, 2, 1},
а3{2, —3, 0} и скалярное произведение этих векторов.
Решение. Искомые длины суть
/ё^ = /3®72ЧТ3 « /14,
/af = ^2Ч(-3)2102 = /13.
Скалярное произведение
аха3 = 3 -2+2(-3}+1 *0 = 0.
Значит (§ 105, п. 1), векторы и as перпендикулярны.
*) Имеем Oj о + yj + ZJc, я2 = ХЛл YJ+Z^. Перемно
жаем, учитывая свойства 3, 4 § 105 и таблицу § 106.
§ 109. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ 141
। П р и м е р 2. Найти угол между векторами
ах{-2, 1, 2} и аг{-2, -2, 1}.
, Решение. Длины векторов суть
, I «! I - /(-2)*+Р + 2г~ 3,
| аг | = ft-2)3+(-2)3+P = 3.
Скалярное произведение ака2 ~ (-2)(-2)+1(-2}+
+ 24 = 4. Так как ар. ~ [ eq 11 а31 cos (а1? а2), то
cos(C«,)= =
. т. е.
* 63°37
} § 108. Условие перпендикулярности векторов
Если векторы a, {Xlt Уа, Zj), а. {Хг, Уг, Ze} взаимно
перпендикулярны, то
1 AiA"2+ У1У<>+Z^Z3 == 0.
Обратно, если AjXs + Y1YS + Z1ZS = 0, то векторы а,
и «2 перпендикулярны или один нз них (например, ар
есть нуль-вс кторх} (тогда А\ = Уа = 2j = 0).
Выводится из п. 1 § 105 и (1) § 107.
I § 109. Угол между векторами
Угол $ между векторами a, {Xlt Yv Z^, a, {X2, Уг, Zt}
можно найти по формуле (ср, пример 2 § 107)
1 COS ср *>' '———* 55 । <1 и ' . в ( i)
! yxF+Tj+zriCx« + r»i-zj v
'А а А г * ч £
Выводится из (1) и (2а) § 107.
’ Пример!. Найти угол между секторами {1. 1, 1} и
(2, 0, 3).
Р с ш е п и с.
cos (? ~ = —у- « 0,8006,
откуда ф ~ 36°50'.
1) Нуль-вектор можно считать перпендикулярным к любому век-
тору; ср,§ 82,
142 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 2. Вершины треугольника АВС суть
Л (1; 2; -3); В(0; 1; 2); С (2; 1; 1}.
Найти длины сторон АВ и ДС н угол Л.
Решение,
АВ = «0-1), (1-2), (2+3)} « {-1, -1, 5},
jAC « {(2-1), (1-2), (1+3)} = {1, -1, 4},
| АВ\ = }'(- 1)а + (- 1)2+5S = 3 /3,
| ДС I ~ /P + (-ij3+4® = 3
РЛС Д ™ 'лв^'АС _ (-!)•!+(-!).(-1У+5-4 _ 20
IABI-1ACI 9уТ
Замечание. Фор.мулы (1)-(3) § 101 являются ча-
стными случаями формулы (1) настоящего параграфа.
§ 110, Правая и левая системы трех векторов
Пусть а, Ь, е-три (ненулевые) вектора, пе парал-
лельные одной плоскости и взятые в указанном порядке
(т. с. а-первый вектор, b-второй и с —третий.) При-
ведя их к общему началу О
|С кС (черт. 152), получим трн вец-
Iе jr В \с тора О A, ОВ, ОС, не лежа-
Lzt’"S> А щие в одной плоскости.
tSJ zCXl* Система трех векторов
вХ л д' а> ь> с называется правой
ХД Вг • л (черт. 152), если поворот
Черт. 152. Черт. 153. вектора О А, совмещающий
его по кратчайшему пути с
вектором ОВ, совершается против часовой стрелки для
наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой
стрелке (черт. 153), то система трех векторов а, Ъ, с на-
зывается левой1).
Пример 1. Основные векторы i, j, к в правой си-
стеме координат (§ 94) образуют правую систему. Си-
стема же j, t, к (векторы те же, но порядок нх другой) -
левая.
Если имеем две системы трех векторов и каждая из
них правая или каждая левая, то говорят, что эти системы
О О происхождении названий «правая» и «левая» см. § 94, заме-
чание 2,
§ 111. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 143
имеют одинаковую ориентацию; если же одна система
правая, а другая левая, то говорят, что системы имеют
противоположную ориентацию.
При однократной перестановке двух векторов система
меняет ориентацию (ср. пример 1).
Система сохраняет ориентацию при круговой переста-
новке векторов, показанной на черт. 154 (второй вектор
становится первым, третий — вторым, а первый — третьим,
т. е. вместо системы а, Ь, с получаем систему Ь, с, а).
Пример 2. Из правой системы f, j, к круговой пе-
рестановкой получаем правую систему j, kt i, из послед-
ней-правую систему kt i,j.
Пример 3. Если векторы а, Ь, с
образуют правую систему, то следующие
три системы-правые:
«, Ь, с, Ь, с, в, с, а, Ь,
остальные же три системы
Ь, а, с, а, с, Ъ, с, Ь, <г,
составленные из тех же векторов,—левые.
Правую систему трех векторов нельзя
с какой левой.
При зеркальном изображении правая система становится
левой и наоборот.
Черт. 154.
совместить ии
§ 111. Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением вектора
а (множимое) на не коллинеарный с ним вектор Ь (мно-
житель) называется третий век-
тор с (произведение), который
строится следующим образом:
1) его модуль численно равен
плошади параллелограмма (AOBL
на черт. 155), построенного на
векторах а и ЬТ т. е. он равен
| a J • | Ь | sin (а, Ь);
2) его направление перпенди-
кулярно к плоскости УПОМЯНУТОГО
параллелограмма:
3)-при этом направление вектора с выбирается (из двух
возможных) так, чтобы векторы a, Ь, с составляли пря-
ную систему (§ 110),
144 аналитическая геометрия в пространстве
Обозначение: с = вхЬ или с = [аб].
Дополнение к определению. Если векторы а
и Ь коллинеарны, то фигуре AOBL, считая ее (условно)
параллелограммом, естественно приписать нулевую пло-
щадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных век-
торов считается равным нуль-вектору.
Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление,
это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.
Замечание 1. В термине «векторное произведение»
первое слово указывает на то, что результат действия есть
1У вектор (в противоположность скаляр-
ному произведению; ср. § 104, замеча-
, ние 1).
Пример 1. Найти векторное про-
изведение i х j, где i, j — основные
векторы правой системы координат
(черт. 156).
Ре ш е ние. I) Так как длины основ-
черт. 156. иых векторов равны единице масштаба,
то площадь параллелограмма (квадрата)
AOBL численно равна единице. Значит, модуль вектор-
ного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости AOBL есть
ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор,
коллинеарный с вектором к; а так как оба они имеют
модуль 1, то искомое векторное произведение равно
либо fc, либо ~к.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать
первый, так как векторы i, j, к образуют правую систему
(а векторы i, j, — к - левую).
Итак,
i X j ~ к.
Пример 2. Найти векторное произведение j х i.
Решение. Как в примере 1, заключаем, что вектор
j х i равен либо fc, либо — fc. Но теперь надо выбрать
— fc, ибо векторы j, i, ~к образуют правую систему
(а векторы j, f, fc-левую).
Итак,
j X г = —к.
Пример 3. Векторы а и Ь имеют длины, соответ-
ственно равные 80 см и 50 см, и образуют угол в 30°.
Прннян за единицу длины метр, иайти длину векторного
произведения а х Ь.
$ 112. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 145
Решение. Площадь параллелограмма, построенного
на векторах а н Ъ, равна 80-50 sin 30° = 2000 (см*), т. е.
0,2 м*. Длина искомого векторного произведения равна0,2 я.
Пример 4. Найти длину векторного произведения
тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.
Решение. Так как площадь параллелограмма, по-
строенного на векторах а и Ь, равна 2000 см*, то длина
векторного произведения равна 2000 см, т. е. 20 л.
Из сравнения примеров 3 н 4 видно, что длина вектора
а х Ъ зависит нс только от длин сомножителей а и Ъ, но
также и от выбора единицы длины.
Физический смысл векторного проиэведе-
н и я. Из многочисленных физических величин, изображаемых вектор-
ным произведением, рассмотрим только момент силы.
Пусть А есть точка приложения силы F. Моментом силы Р отно-
сительно точки Оказывается векторное произведение О А X Р Так как
модуль этого векторного произведения численно ра-
вен площади параллелограмма AFLO (черт. 157),
то модуль момента равняется произведению осно-
вания AF иа высоту ОК, т. е. силе, помноженнойна
расстояние от точки о до прямой, вдоль которой
действует сила.
Б механике доказывается, что для равновесия
твердого тела необходимо, чтобы равнялась нулю
не только сумма векторов F,, F,, Р8, .,,, представ-
ляющих силы, приложенные к телу, но также н
сумма моментов сил. В том случае, когда все силы
параллельны одной плоскости, сложение векторов,
Черт. 157.
представляющих моменты, можно заменить сложе-
нием и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях
сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное про-
изведение определяется именно как вектор, а не как число.
§ 112. Свойства векторного произведения
1, Векторное произведение о х Ь обращается в нуль
лишь тогда, когда векторы а и Ъ коллинеарны (в частно-
сти, если один из них или оба — нуль-некторы).
Вытекает из первого пункта определения § 111.
1а. а х а = 0.
Равенство а х а = 0 исключает необходимость вводить
понятие «векторного квадрата» (ср. § 105, п. 5а),
2. При перестановке сомножителей векторное произве-
дение умножается на -1 («меняет знак на обратный»):
Ъ х а = -(а х Ь)
(ср. примеры 1 и 2 § 111).
Таким образом, векторное произведение не обладает
свойством переместительности (ср. § 105, п. 2).
10 м. я. Выгодский
146 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3. (а+Ь) х I = а х l + Ь х I (свойство распредели-
тельности).
Это свойство имеет место для любого чиелд слагаемых;
например, при трех слагаемых имеем:
(а + Ь + с) х I = а х 1+Ь X l+c х I.
4, (та) х Ь ~ т (а х Ь) (свойство сочетательности от-
носительно скалярною мно-
жителя).
4а. (та) х (лб) = тп (а х б).
Примеры: 1) -За X b ~ -3 (а х б).
2) 0,3а X 4б = 1,2 (а х Ь).
3) (2а-36) х (c-p5rf) =
» 2 (а X с)4-10 (а X <?)-3 (б X с) - 15 (Ь х d) s=
= 2 (а х с)+10 (а х d)4-3 (с х б) + 15 (d х б) =
= 2 (а х с)- 10 (d х а) + 3 (с х б) +15 (d х б).
4) (а4-Ь)х(а-Ь) = аха-ахб4-6ха-бхб.
Первое и четвертое слагаемые равны нулю (п, 1). Кроме
ТОГО, б х а = -а х Ь (п. 2). Значит,
(а ;-0) х (я-б) " -2 (а X 6) ~ 2(6 х я).
Стало быть, площадь OCK.D (черт. 158) вдвое больше
площади О АС В.
§ ИЗ. Векторные произведения основных векторов
Из определения §111 вытекает, что
г х г = 0, i X j = ft,
3 X i — - It, j xj = 0,
ft X i - j, к x j -
i X Ь = -j;
3 X ft = f,
ft x ft = 0,
§ 114. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ 147
Черт, 159.
(2i —3J+6ft) X
Чтобы не ошибаться в знаках, полезно держать в уме
следующую схему (черт. 159), Пользоваться сю надо так:
Если направление кратчайшего пути от первого век-
тора (множимого) ко второму (множителю) совпадает
с направлением стрелки, то произведение равно третьему
вектору; если не совпадает, то третий век-
тор берется со знаком минус.
Пример L Найти А х г*. На схеме
направление кратчайшего пути от It к £
совпадает с направлением стрелки. Поэто-
му к х I = j.
Пример 2, Найти к х j. Теперь на-
правление кратчайшего пути противопо-
ложно направлению стрелки. Поэтому
к х j = —£.
Пример 3. Упростить выражение
х (41-6J+12А1). Раскрывая скобки и пользуясь таблицей
или схемой, находим;
(2i —3j4-6k) X (4£-6J+12fc) =8(1x1)-
-12 (i х j) + 24(i х к)- 12(j х i) 4-18 (j X j)-
-36 (j X fc) h24(/s x £)“36(fc x j)+72(/; x k) =
= ~ 12ft — 24j ’r 12fe- 36i+24j+3Gi « 0.
Так как векторное произведение обращается в нуль
только в случае коллинеарности сомножителей (§ 112,
п. 1), то векторы 2i-3j+6k и 4i — Gj-hl2fc коллинеар-
ны. Это показывает и признак § 102.
§ 114. Выражение векторного произведения
через координаты сомножителей
Если «л = {Xn Ух, ZJ и«2 = {Х2, У2, то1)
И Л [2л Xi
в, X «, = ,
1 2 У2 z2[’ [zs хя
|Хл Vi h
к л!г
(о
Выражения, окаймленные вертикальными чертами, —
определители второго порядка (§ 12),
>) Находим секторное произведение Ytj + Z^) х(Х2< +
+ Уг1 пользуясь таблицей § ИЗ и свойствами 2, 3, 4 § 112 (ср.
пример 3 § 113),
10*
(2)
148 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Практическое правило. Чтобы получить ко-
ординаты вектора «1 х а2, составим таблицу
Хг Vi Zx
Хг V, Z2 ’
Закрыв в ней первый столбец, находим первую коор-
динату
Z,
vsz/
Закрыв второй столбец н взяо оставшийся определи-
тель с обрати ым знаком
Zi
нли, что то же,
*1^
хг zs
, находим вторую координату.
J
Закрыв третий столбец (оставшийся определитель бе-
рется снова со своим знаком), находим третью координату.
Пример 1. Найти векторное произведение векторов
Й1 {3, -4,-8} и а2 { — 5, 2,-1}.
Решение. Составляем-таблицу
3 -4 -8
-5 2 -1
= ( — 4) • ( - I)-2-(-8) — 20,
Закрыв первый столбец, получаем первую координату
1-4 -8
2 -1
Закрыв второй столбец, находим определитель
3 -8
-5 -1 *
Переставляя в нем столбцы (при этом знак меняется на
обратный), получаем вторую координату
Закрыв третий столбец, получаем третью координату
= -14.
3 -4
-5 2t
Итак/а, х«(= {20, 43, - 14},
$ 116. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 149
Замечание. Чтобы нс ошибиться в знаке при вы-
числении второй координаты, можно вместо таблицы (2)
пользоваться таблицей
хх Л zt X. Л
Х2 У2 Z2 Xs У2’ 1 '
получаемой из (2) приписыванием первых двух столбцов.
Закрыв в (3) первый столбец, берем подряд следующие
два. Затем, закрыв еще и второй столбец, берем подряд
следующие два. Наконец, закрыв н третий столбец, берем
последние два. Ни в одном нз трех полученных опреде-
лителей не надо переставлять столбцы.
Пример 2. Найти площадь S треугольника, задан-
ного вершинами А, (3; 4; -1), А4(2; 0; 4), Аа(-3; 5; 4).
Решение. Искомая площадь равна половине пло-
щади параллелограмма, построенного на векторах АдАа и
ДА3. Находим (§ 99) f А^А, = ((2-3), (0-4), (4+!)} ~
= {-1, -4, 5} и ААч == (-6, 1, 5}, Площадь парал-
лелограмма, равна модулю векторного произведения
AjAj х AjAg, а последнее равно {-25, -25, -25}. Сле-
довательно,
S = 11 АХ X ЛХ | ~ ~ Г(-25)Ч(-25Г+(^25К*
== ~ /1875 « 21,7.
§ 115. Компланарные векторы
Три вектора (или большее число) называются компла-
нарными, если они, будучи приведены к общему началу,
лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов - нулевой, то трн
нектора тоже считаются компланарными.
Признак компланарности см, в §§ 116, 120.
§ 116. Смешанное произведение
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением
трех векторов а, Ъ, с (взятых в указанном порядке) назы-
вается скалярное произведение вектора а на векторное
произведение b х е, т. е. число а (Ь х с), нли, что то же,
(Ь х с) а.
Обозначение: абс.
150 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЙРОС^РЛНСТВЁ
Признак компланарности. Если система в,
Ь, г-правая, то аЪс > 0; если левая, то abc 0.
Если же векторы а, Ъ, с компланарны (§ 115), то afre = 0.
Иными словами, обращение в нуль
смешанного произведения abc
есть признак компланарности
векторов а, Ь, с.
Геометрическое ис-
толкование смешанного
произведения. Смешанное
произведение abc трех некомпла-
нарных векторов a, bt с равно объ-
ему параллелепипеда, построен-
ного иа векторах а, Ъг с, взятому со
знаком плюс, если система а, Ь,
r-правая, и со знаком минус,
если эта система левая.
Пояснение. Построим (черт. 160,
161) вектор
OD~ = аХЬ. (1)
Тогда площадь основания О АКБ равна
S=jOP[.__^ (2)
Высота Н (длина вектора ОМ}, взятая со
знаком плюс или минус, есть (§ 92, п. 2)
алгебраическая проекция вектора с по
направлению OD, т. е.
Я = ± пр—*-е. (3)
Знак плюс берется, когда ОМ и OD равнонапраэлены (черт. 160),
а это будет в случае правой системы о, Ь, с. Знак минус отвечает
левой системе (черт. 161). Из (2) и (3) получаем;
V «• SH = ± ] OCJ | пр-^-
но | OD | пр-^*с есть скалярное произведение OD-c (§ 104), т, е.
(«Хь) с. Значит,
V - ± (ахЬ)«.
§ 117. Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке (§ 110) сомножителей
смешанное произведение не меняется, при перестановке
двух сомножителей-меняет знак на обратный:
abe = boa = еаЪ = — (bar) — -(eba) = — («ей).
Вытекает из геометрического истолкования (§ 116) и из § 110.
$ 118. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 151
2. («+ Ь) cd = acd+ bed (свойство распределитель-
ности).
Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения и § 112, п. 3.
3. (та) Ъс = т (аЪс) (свойство сочетательности отно-
сительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения и § 112, п. 4.
Эти свойства позволяют применять к сметанным про-
изведениям преобразования, отличающиеся от обычных
алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножи-
телей можно только с учетом знака произведения (п. 1).
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два рав-
ных сомножителя, равно нулю:
aab = 0.
Пример 1.
ab (За + 2b — 5с) «в ЗаЬа+ 2аЬЪ - 5аЪс з= — 5«Ьс.
Пример 2,
(а + Ь) (t>+c) (с + «) а
= (а X Ь + а х с? b х Ь-Ь х с) (с + а) ~
= (а х Ъ-уа х с + Ъ х с) (с !- а) =з
= аЬс4-асс + аса+аЬа+Ьсс+Ьса.
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того,
bca « abe (свойство 1). Поэтому
(а+&) (b-f-c) (с + а) = 2аЬс.
§ 118. Определитель третьего порядка1)
Во многих случаях, в частности при вычислении сме-
шанного произведения, удобно пользоваться записью вида
bi
Сд
J Ь3 с3
(О
Она представляет сокращенное обозначение выражения
1) Подробнее об определителях см. 182-155,
(2)
152 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Выражение (1) называется определи тел ем третьего
порядка.
Определители второго порядка, входящие в (2), со-
ставлены следующим образом. Вычеркнем нз таблицы (1)
ту строку и тот столбец, где стоит я,. как показан*» на
схеме:
91—Ъг--С1
I
^3 С3
Остающийся определитель входит в (2) множителем при
вычеркнутой букве at. Аналогично получаются два других
определителя формулы (2):
аг-фг--С,
О2 Сг и а? Ъз
1 1
а3 1>з сз аз Ьз
Надо помнить: средний член в формуле (2) снабжен
знаком минус!
Пример 1. Вычислить определитель
-2 -1 -3
-1 4 6
Имеем:
5 9
I й2 с2
Замечание 1. Так как
I п3 с3
сг а2
«з «з
то оп-
ределитель третьего порядка можно представить еще так:
«1 *1 О
О’ С2
п3 е3
=
&2 С3
С3
(3)
5 113. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 153
Здесь все определители второго порядка снабжены зна-
ком плюс.
Замечание 2. Вычисление по формуле (3) можно механизиро-
вать следующим образом. Припишем к таблице (1) два первых ее
столбца; получим таблицу
П1 bt <j «! b,
flj b% а* b^
О) by Cg (Z3 Ьд
(4)
Берем из первой строки букву о, и спускаемся от нее по диаго-
нали направо, как показано стрелкой на таблице (5):
Ьг
bs
Гз
«г
«з
by
*>!
(5)
Определитель второго порядка, на который указывает стрелка, мно-
„ I *з с» I
жится на я,. Получаем ях
( ba св I
Затем закрываем первый столбец, берем из первой строки букву Ьг
(первую из оставшихся) и поступаем аналогично, как показано на
таблице (6):
bi С| я, 6,
bt I сз «з I bt (G)
t>a I Св Os I Ьд
Получаем: b, I
I ct д» I
Наконец, закрываем второй столбец и получаем: q
Примера, Вычислить определитель
I
D - - 1
2
Составляем таблицу (4)
1 2 3
-13 4
\ 2 5 2
и находим:
2 3
3 4
5 2
I 2
-1 3
2 5
О = Ь
3 4 [
+ 2
5 2 j
-14+20-33
! 2
-27.
4
2
2
:i
liU АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 119. Выражение смешанного произведения
через координаты сомножителей
Если векторы &!, аг, а3 даны нх координатами
«1 — {Хц К1» 2д}, аз ~ (Xj, Y2, Z2}t й8 — {Х3, V8, Z3),
то смешанное произведение а1а,а3 вычисляется по фор-
муле
Xt Уд zt
а^йз = xt Y2 zt (1)
X3 Уд Z3
Вытекает из формул (1) § 107 и (1) § 114.
Пример 1. Смешанное произведение a^ag векто-
ров { - 2, -1, - 3}, а, ( -1, 4, б}, й3 {1, 5, 9} равно
(ср. § 118, пример 1). Значит (§ 116), векторы а, Ъ, с ком-
планарны.
П р н м е р 2. Векторы {1, 2, 3}, { -1, 3, 4}, {2, 5, 2}
образуют левую систему, ибо нх смешанное произведение
(§ 118, пример 2)
1 2 3
-13 4 = — 27
2 5 2
отрицательно (см. § 116).
§ 120. Признак компланарности
в координатной форме
Условие (необходимое и достаточное) компланарности
векторов «j {Хд, YZt}, йг (Х3, Y2r Z^f й3 (Хя, У3, 23)
есть (см, § 119, пример 1)
X,
X,
Ха
Л
А
Л
Zt
А
2а
= 0.
Вытекает из § 116.
$ 121. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
155
§ 121. Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
«л {Х1Я аа {Х2, У„ Z2), а3 {Х3, Уэ, Z3},
равен
V — ± ха
У1
у3
ys
Z1
%2
z.
*8
где знак плюс берется, когда определитель третьего по-
рядка положителен, и минус — если определитель отрица-
телен (ср. § 13).
Вытекает из §§ 116, 119.
Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построен-
ного на векторах { 1, 2, 3 }, { - 1, 3, 4 }, { 2, 5, 2 }.
Ре ш е н ие. Имеем;
V = ±
2
3
5
3
4
2
1
-1
2
- ± (-27).
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак
минус. Находим V = 27.
Пример 2. Найти объем V треугольной пирамиды
ABCD с вершинами А(2; -1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; -1),
Р (4; 1; 3).
Решение. Находим (§ 99):
АВ = {(5-2), (5-1-1), (4- 1)} « {3, 6, 3}.
Таким же образом АС — {1, 3, -2}, AD & {2, 2, 2}. Ис-
комый объем равен -g- объема параллелепипеда, построен-
ного на ребрах Ав, AC, AD, Поэтому
3 6 3
1 3 -2
2 2 2
Отсюда получаем V - 3.
156 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 122. Двойное векторное произведение
Двойным векторным произведением называется выра-
жение вида
ах(Ь хе).
Двойное векторное произведение есть вектор, компла-
нарный с векторами Ь н с; оно выражается через векторы
Ь нс следующим образом:
«х(Ьхс)= Ъ (ас)-с (ab). (1)
(1)
(2)
§ 123. Уравнение плоскости
А. Плоскость (черт. 162), проходящая через точку
Ми(ху; у0; z0) н перпендикулярная к вектору А7{А, В, С},
представляется уравнением первой
степених)
А(х-^)+В(у-у0)+
+ C(z-z0) = О,
или
Ax+By+Cz+D = О,
где через D обозначена величина
- ( AXq + Bj'oi-CzJ.
Вектор А {А, В, С) называется нор-
мальным вектором плоскости Р.
1. Выражение «плоскость Р представ-
Замечание , ...
ляется уравнением (1)» означает, что: 1) координаты х, у, z
всякой точки М плоскости Р удовлетворяют уравнению (1);
2) координаты х, у, z всякой точки, не лежащей иа пло-
скости Р, ие удовлетворяют этому уравнению (ср. § 8).
Б. Всякое уравнение первой степени Ax+By + Cz+
4-D « О (А, В и С ие равны нулю все сразу) представляет
плоскость.
Уравнения (1) и (2) в векторной форме имеют вид
N(r-n) = O, (la)
Nr+D = O (2а)
(т0 и г - радиусы-векторы точек Мо и М; D = -А'г0).
1) Уравнение (1) есть условие перпендикулярности векторов
А’ • {Л В, С} и 4-feAf» {х-ху, y-х,, z-Zq}, См. §§ 108 и 99.
$ 124. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 157
Пр нмер. Плоскость, проходящая через точку (2; 1; — 1)
и перпендикулярная к вектору {-2, 4, 3}, представ-
ляется уравнением
- 2 (х-2)+4 (у- 1) + 3 (z+ 1) = О,
или
-2х+4у + 3£4-3 ~ 0.
Замечание 2. Одну и ту же плоскость можно представить мно-
жеством уравнений, у которых все коэффициенты и свободный член
соответственно пропорциональны (см. ниже § 125, замечание).
§ 124. Особые случаи положения плоскости
относительно системы координат
1. Уравнение Дх+Ву f-Cz = 0 (свободный член D = 0)
представляет плоскость, проходя-
щую через начало.
2. Уравнение Дх+By+D - 0
(коэффициент С = 0) представляет
плоскость, параллельную оси OZ,
уравнение Дх + С/4-D = О - пло-
скость, параллельную оси OY, урав-
нение By+Cz + D = О — плоскость,
параллельную оси ОХ.
Полезно запомнить: если в урав-
нении нет буквы z, то плоскость
параллельна оси OZ и т. п.
Пример. Уравнение
х+у—1=О
представляет плоскость Р (черт. 163), параллельную оси OZ.
Замечание. В аналитической геометрии на плоскости уравне-
ние х+у-1=0 изображает прямую (KL, на черт. 163). Разъясним,
почему в пространстве то же уравнение представляет плоскость.
Возьмем на прямой KL, какую-либо точку М. Так как М лежит на
плоскости ХО У, то для нее Z =0. Пусть в системе XOY точка М имеет
координаты х=-^, у (они удовлетворяют уравнению х +у — 1 "0).
Тогда в пространственной системе OXYZ координаты точки М будут
х*°~2 ’ г==0- Эти координаты удовлетворяют уравне-
нию х + у — 1 =0 (для большей ясности запишем его в виде 1х+ 1у +
+ 0.2-1 =0).
Рассмотрим теперь точки, для которых Х=4-, у = но 2^0,
* л
например, точки М, (1; 1; --)• (4 ? | ’ 4)’ (4 5 4’ ’)
158 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия в пространстве
и т. и. (см. черт. 163). Координаты их тоже удовлетворяют уравнению
х+у + О-? — 1 =0. Эти точки заполняют «вертикальную» прямую'UV,
проходящую через М, Такие же вертикальные прямые можно постро-
ить для всех точек прямой KL. В совокупности они заполнят плос-
кость В.
О том, как представить в пространственной системе координат пря-
мую KL, сказано ниже (§ 140, пример 4).
3. Уравнение A\ ;-D = 0 (В=О, С=0) представляет
плоскость, параллельную как оси О Y, так и оси OZ (см. п. 2),
т. с. параллельную координатной плоскости YOZ.
Аналогично уравнение Ву+П = 0 представляет пло-
скость, параллельную плоскости XOZ, а уравнение Cz +
-1-0 = 0- плоскость, параллельную XOY (ср. § 15).
4. Уравнения Х = 0, У -0, 2=0 представляют соот-
ветственно плоскости YOZ, XOZ. XOY.
§ 125. Условие параллельности плоскостей
Если ПЛОСКОСТИ
Дх+B^+CjZ+Djl - О и A2x4-J32y4-Ca?4-D2 = О
параллельны, то нормальные векторы А’( {Alt Blt С/} и
Л’а (А2, В2, CJ коллинеарны (и обратно). Поэтому (§ 102)
условие параллельности (необходимое и достаточное) есть
А - - £*
~ В, - Ct ‘
П р н м е р 1. Плоскости
2x-3y-4z+ll =з 0 и -4х+6^4-824-36 = О
-4 6 8
параллельны, так как-g- = — ’-А *
Пример 2. Плоскости 2x-3z-12 = 0 (А = 2,
Bt=0, Ct = -3) и 4x4-4y-6z+7 = О (Д.= 4, В2—4,
С2 = -6) не параллельны, так как /^=0, а В2^0 (§ 102,
замечание).
Замечание. Если не только коэффициенты при
координатах, но и сверх того и свободные члены пропор-
циональны, т. е. если
Д» _ Й1 _ £* „
Ад Bt Ci“D?
ТО плоскости совпадают. Так, уравнения
3x4-7y-5?4-4 = О И 6x4-Uy-1024-8 « О
представляют одну и ту же плоскость, Ср. § 18, замечание 3,
1^7. УГОЛ МЕЖДУ ДЙУМД плоскостями 159
§ 126. Условие перпендикулярности плоскостей
Если плоскости
Дх+Bjy-l-CiZ+Dt = 0 и Д2х+ B2y+C2z+D£ = О
перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные
векторы ^{Д, &1, С\}, ЛГ3{Д2, J3,, С2} (и обратно).
Поэтому 108) условие перпендикулярности (необходимое
и достаточное) есть
B|/Jtj-pCjC2 —• 0.
П р и м е р 1. Плоскости
Зх--2у-2г4-7 — О и 2х+2у-1гг-у4 = О
перпендикулярны, так как 3-2 2)-2-;-(-2)-1 - о.
П р и м е р 2, Плоскости
Зх-2у = 0 (Л '-З, BL=. -2, С1 = 0)
и
2-4 (А>=0, В2 = 0, Сй-1)
перпендикулярны.
§ 127. Угол между двумя плоскостями
Две плоскости
&1У+Cxzi Dj.~ 0 (1)
и
Айх 4* В2у4*CgZ 4* Hg « 0 (2)
образуют четыре двугранных угла, равных попарно.
Один из них равен углу между нормальными векторами
МГА, вь cj и ^2{а2, в2, с2}. Обозначая любой из
двугранных углов через ф, имеем:
cos о -- + -.....АА+В.В^ЙС, «ч
У А + Bi + q + в»+с«
Выбирая верхний знак, получаем cos (Л\7лтг), выбирая пиж-
ннй, - получаем cos [180' —(Л\, Л’2)],
160 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Угол между плоскостями
x-y+/2z+2 = 0 и х + у+У2з-3 = 0
определится из равенства
COS? = ± . 1-+<-)• l-H'gjgL- = ± 1
У1+1+(^2)а rl+l+O^)1
Получаем <р = 6О° или <р=120°
Если вектор образует с осями OX, OY, OZ угли ах
Рр ух, а вектор 1У8 - углы аа, 08, у2, то
COS ф = ± (cos ах COS «г+ COS рх COS р2+ cos ух cos у2) (4)
Вытекает из (3) и формул (1) - (3) § 101
§ 128. Плоскость, проходящая через данную точку
параллельно данной плоскости
Плоскость, проходящая через точку Мх у1} zx) и
параллельная плоскости Ах-у By+Cz+D = О. предста-
вляется уравнением
Atx-x^+Bfy-yO + Ctz-zJ = О
Вытекает из §§ 123 я 125.
Пример. Плоскость, проходящая через точку
(2; -1; 6) н параллельная плоскости x+y-2z+5 = О,
представляется уравнением (х - 2)-;(у-;1) - 2 (г - 6) = о.
т. е. x+y-2z-f-11 = 0.
§ 129. Плоскость, проходящая через три точки
Если точки Мо (х„: у0; z0), Мх (хх; ух; zx), М (хг; у2; г8)
не лежат на одной прямой, то проходящая через ннх пло-
скость (черт. 164) представляется
уравнением
х-х0 у-уй z-zu
Черт. 164.
хя ”хо Уг“ Уо
Оно выражает компланарность векторов М0М, M0Mlt (см.
§§ 120 и 99).
§ 131 УЙАВНЁНИЕ ПЛОСКОСТИ 6 ОТРЕЗКАХ 161
Пример. Точки Л4о (1; 2; 3), Мг (2; 1; 2),*Мг (3; 3; 1) не
лежат на одной прямой, так как векторы { 1, -1, -1 }
и jviyAl, { 2, 1, -2} не коллинеарны. Плоскость М0МхМ2
представляется уравнением
х- 1 у-2 Z-3 1 -1 -1 2 1 -2 = 0,
т. е. x+z-4 = 0.
Замечание, Если точки Л40, Aflt Мй лежат на одной
прямой, то уравнение (1) становится тождеством.
§ 130. Отрезки на осях
Если плоскость Ах+ By+Cz+D - 0 ни параллельна
оси ОХ (т. если А/О; § 124), то она отсекает на этой
оси отрезок а = — Аналогично, отрезки на осях ОУ,
OZ будут Ь= (если В 5*0) и с- -•-- (сели С^О)
(ср. §32).
Пример. Плоскость 3x+5y-4z~3 = 0 отсекает на
осях отрезки а — -|- = 1, b = —, с =
§ 131. Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость отсекает на осях отрезки а, Ь, с (не
равные нулю), то ее можно представить уравнением
+ V + W
которое называется «уравнением плоскости в отрезках».
Уравненне(1)можно получитькакуравненне плоскости, проходя-
щей через три точки (а; 0; 0), (0; Ь; 0) и (0; 0; с) (см. § 129).
Пример. Написать уравнение плоскости
3x-6y + 2z-12 = О
в отрезках.
11 .М. Я. Выгодский.
162 АНАЛЙТИЧЕсКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Находим (§ 130) а-4} Ь — -2} с-6. Уравнение в от-
резках есть
Замечание 1. Плоскость, проходящую через начало коорди-
нат, нельзя представить уравнением в отрезках (ср. § 33, замечание 1),
Замечание 2. Плоскость, параллельную оси ОХ, но не парал-
у , z ,
лельную двум другим осям, можно представить уравнением -^-+—= 1»
где бис--отрезки на осях ОУ и OZ. Плоскость, параллельную оси
абсцисс и оси ординат, можно представить уравнением ~ — 1. Анало-
гично представляются плоскости, параллельные другим осям, одной
или двум (ср. § 33, замечание 2),
§ 132. Плоскость, проходящая через две точки
перпендикулярно к данной плоскости
Плоскость Р (черт. 165) проходящая через две точки
И (хоТ ?о) и Mi (хх; zj перпендикулярно К ПЛОСКОСТИ
Q, заданной уравнением Ах-р Ву+ Cz4- D — 0, представ-
ляется Уравнением
Х-Хо Z-Zg
“ ^0 У1 ~~ 10 ~
АВС
(1)
Оно выражает (§ 120) компланарность
векторов МаМ, МоМ, и Ат{д, В, С) = Л10К.
ГТ р н м е р. Плоскость, проходящая через две точки
Л40(1; 2; 3) и Mt(2; 1; 1) перпендикулярно к плоскости
3x+4y + z-6 0, представляется уравнением
х—1 у-2 z-31
2-1 1-2 1-3 = О,
3 4 1
т. е. х-у+ 2-2 = 0.
Замечание, В случае, когда прямая М„М! перпен-
дикулярна к плоскости Q, плоскость Р неопределенна.
В соответствии с этим уравнение (1) обращается в тож-
дество.
§ 134. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 163
§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку
перпендикулярно к двум плоскостям
Плоскость Р, проходящая через точку (х0; у0; z0) н
перпендикулярная к двум (непараллельным) плоскостям
Qi, Q>'.
Дх ! BjV Ч- CiZ + = О,
11 рсдставляется уравнением
.Д2х4-/^у-р Da — О,
х-х0 У^Уо Z“?0
4 4 4 = 0
Лг 4 4
О)
Оно выражает (черт. 166) компланарность векторов
ЛГ0Л1, Л’1{А1, С^, A’S(A», Сг} О-
П ример, Плоскость, проходящая через точку (1; 3; 2)
и перпендикулярная к плоскостям x^2y + z-4 = О и
2x+y + 3z-p5 = О, представляется
5x-y-3z-p4 = 0. Чсрт> 166‘
3 а м с ч а и и е. В случае параллельности плоскостей Q1(
Q2 плоскость Р неопределенна; в соответствии с этим
уравнение (I) обращается в тождество.
§ 134. Точка пересечения трех плоскостей
Три плоскости могут не иметь пи одной общей точки
(если по крайней мере две из них параллельны, а также
если прямые их пересечения параллельны), могут иметь
бесчисленное множество общих точек (если все они про-
!) Векторное произведение Аг, х Лт2 (черт. 166) служит нормальным
вектором плоскости Р. Значит[§ 123, (1а)], уравнение плоскоыи'Р есть
(Л, ХЛ’2) (г - тр) =0, что снова даст уравнение (1),
И*
164 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ходят через одну прямую) или иметь только одну общую
точку В первом случае система уравнений
Дре + Вуу + Ctz + Dj = О,
Д2Х 4- В%у 4- C2z 4- Dn ~ О,
ДдХ + ВзУ Д’ -р Оа = О
не имеет решений, во втором имеет бесчисленное множе-
ство решений, в третьем — только одно решение. Для
исследования удобнее всего применить определители (§ 183,
190), но можно обойтись н средствами элементарной алгебры.
Пр и мер 1. Плоскости
7х— Зу + 2 — 6 = О, (1)
14х —6y+2z—5 = О, (2)
х Py-5z - О (3)
не имеют обшнх точек, так как плоскости (1) и (2) парал-
лельны (§ 125), Система уравнений несовместна [уравне-
ния (1) и (2) противоречат друг другу].
Пример 2. Исследовать, есть ли общие точки У трех
плоскостей
х-руЧ-2 --= 1, _ (4)
X - 2у - 3z = 5, (5)
2х-у —2г = 8. (6)
Ищем решение системы (4)-(6). Исключив z из (4) и
(5), получаем 4х4-у = 8; исключив z из (4) и (6), получаем
4х4-у = 10. Эти два уравнения несовместны. Значит, три
плоскости не имеют общих точек. Так как среди них ист
параллельных плоскостей, то три прямые, по которым
плоскости попарно пересекаются, параллельны.
Примерз. Исследовать, есть ли общие точки у пло-
скостей
x+y + z = 1, x-2y-3z = 5, 2x~y-2z = 6.
Поступая, как в примере 2, получим оба раза 4хч
4-у = 8, т. е. фактически пе два, а одно уравнение. Оно
имеет бесчисленное множество решений. Значит, три пло-
скости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е.
проходят через одну прямую.
П рнме р 4, Плоскости
- х-у + 2 = О, х [ 2у- 1 = 0, x[-y~z+2 = 0
имеют одну общую точку (-1; 1; 2), ибо система уравне-
ний имеет единственное решение х «= -1, у>= 1, 2 = 2.
§ 136. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 165
§ 135. Взаимное расположение плоскости
и пары точек
Взаимное расположение точек (х^, j\; z^), ЛК (х2; У2; г2) и пло-
скости
Ах 4" By 4- Cz т D — 0 (1)
можно определить по следующим признакам (ср. § 27):
а) Точки Mt и Afj. лежат по одну сторону от плоскости (1), когда
ч исл а А хх 4- Еу1 +Czt+D и А х2 4- Еуг +Cz2 + D имеют одинаковые
знаки,
б) Д<1 и Л13 лежат по разные стороны от плоскости (1), когда эти
числа имеют прочиноположпые знаки.
в) Одна из точек Д1ь М2 (или обе) лежит на плоскости, если одно
из этих чисел (или оба) разно нулю.
Пример I, Точки (2; 3; 3) и (1; 2; — 1) лежат по одну сторону от
плоскости 6х4-3у 4-2? — 6 =0, ибо числа 6*2 4-3*3 4-2*3—6 =21
И 6-1 4-3*24-2 ( —1)—6—-4 оба положи! ельпы,
ПримерЗ, Начало координат (0; 0; 0) и точка (2; 1; 1) лежат по
разные стороны от плоскости 5х 4-Зу -2z— 5 =0, так как числа
5 • 0 4-3 • 0—2 О— 5 = -5 и 5*24-3*1 — 2*1— 5=6 имеют про-
тивоположные знаки.
§ 136. Расстояние от точки до плоскости ♦
Расстояние d от точки (хр, у}‘, zx) до плоскости
Ах-i-By + Cz+D 0 (1)
равно (ср, § 28) абсолютному значению величины
g _ Ах, 4- Ву\ 4-С?1 4~ Д
~ У дй +вг+С2 ’ ' '
т, е,
(I = I 5 I = J 4yt+jb + CzL4-nj /3)
1 /А*4-В2+Сг
Пример. Найти расстояние от точки (3; 9; 1) до пло-
скости х- 2у + 2з- 3 — 0.
Решение,
8 - *1 -2^4-2^ -3 _ I .3-2*94-2*1 -3____^_1_
” F~ * з - з ’
<i=|S| = 4
Замечание 1, По знаку величины 8 можно судить о взаим-
ном расположении точки и начала О относительно плоскости (1)
(ср. § 28, замечание 1).
Замечание 2. Формулу (3) можно вывести аналитически, рас-
суждая, как в замечании 2 § 28. Уравнения прямой, проходящей через
точку Alt перпендикулярно к плоскости (1), удобно взять в параметри-
ческой форме (см, 153, 156),
166 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 137. Полярные параметры плоскости1)
Полярным расстоянием плоскости UVW (черт. 167)
называется длина р перпендикуляра ОК, проведенного
к плоскости из начала О. Полярное расстояние положи-
тельно или равно нулю.
Если плоскость UVW не проходит через начало, то на
перпендикуляре ОК за положительное направление прини-
мается направление вектора ОК. Если же UVW проходит
через начало, то положительное направление на перпенди-
куляре выбирается по произволу.
Полярными углами плоскости
UVW называются углы
а = Л ХОК, 0 = YOK,
у— ZOK
между положительным направле-
нием прямой ОК и осями коорди-
нат (эти углы считаются поло-
жительными н ис превосходящими
ISO0)- Углы а, 0, у связаны (§ 101)
соотношением
cos® а 4- cos® 0+ cos® у = 1.
Полярное расстояние р н полярные углы а, 0, у назы-
ваются полярными параметрами плоскости UVW.
Если плоскость UVW дана уравнением Азс+Ву-р
+ Cz-pD==O, то ее полярные параметры определяются
формулами
“ J/Aa + B»4-C« '
COS Ct — 'р \ - •- —~ >
У да + £2+С® ’
COS В = т 7”' Й— — ,
cos у = Т ,
(1)
(2)
где верхние знаки берутся, когда D > 0, и нижние, когда
Г; < 0. Если же D - 0, то по произволу берутся только
верхние илн только нижние знаки,
ср. § 20,
§ 138. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ 167
Пример 1. Найти полярные параметры плоскости
X-2y + 2z-3=0 (.4=1, В = -2, С = 2, D = -3).
Решение, Формула (1) дает
_ I -з I „ 1 = j
yp'+(-2)s +2» 3
Формулы (2), где нужно взять нижние знаки (ибо D =
- — 3 0), дают;
1 1
COS « = - — " ,
УР+(-2)5+2* 3 ’
„ -2 2
COS В = л= .~~~— = — .
г у 13-1 ( —2)г4-2з 3
2 2
COS Y = ---- = — ,
УI2 4-(-2)г+ 23 3
Следовательно,
а«70°32', р « 131°49', у 48°11'.
Пример 2, Найти полярные параметры плоскости
x-2y + 2z = О.
Формула (1) дает р = О (плоскость проходит через на-
чало); в формулах (2) можно взять либо только верхние
знаки, либо только нижние. В первом случае
12 2
cos а - - у , cos р = + у, cos у ~ - у ,
следовательно,
а * 109°28', Р « 48°11', у ~ 13149',
во втором случае
а « 70°32', р « 13Г49', у 48°11'.
§ 138. Нормальное уравнение плоскости
Плоскость с полярным расстоянием р (§ 137) и поляр-
ными углами а, р, у (cos2a-f-cosJ(3 + cosay = 1; § 101)
представляется уравнением
х cos a + y cos р. f-z cos у-p - 0. (1)
Оно называется нормальным уравнением плоскости,
16& АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВ^
Пример 1. Составить нормальное уравнение пло-
„ i
скости, у которой полярное расстояние равно а все
полярные углы — тупые и равны между собой.
Решение, Прн а р = у условие cos2a+cossp +
-р cos2 у = 1 даст cos а = cos (3 — cos у — ±а так как
уз
углы а, В, у-тупые, то надо взять знак минус. Искомое
уравнение есть ---у-х--~у - 0.
г Уз Узл /з Уз
3 а м е я а н и е. Та же плоскость представляется урав-
нением
Х+У + 2+1 = 0
(обе части предыдущего уравнения помножены на — у'З),
но это уравнение - нс нормальное, ибо коэффициенты
при координатах не являются косинусами полярных углов
(сумма их квадратов нс равна 1) и к тому же свободный
члеи положителен.
Пример 2. Уравнение = 0 - не
нормальное, так как хотя (у)2 + (4) + (-тУ ” 110
свободный член положителен,
Пример 3. Уравнение -уХ+^-у-уг-5 - 0-нор*
мальное; cos« = cos р - 4> cos Y “ р ~ 5 (а «
Я 109°28', 0 я 48°11', у я 13149').
Вывод уравнения (1). Рассматриваемая плоскость (UVW
па черт. 167) проходит через i очку К (р cos а, р cos ₽, р cos у) перпепри~
кулярио к вектору ОК, Вместо ОК можно взять вектор о того же
направления с длиной, равной единице масштаба, Координгп ы вектора
а суть cos <х, cos р, cos у (§ 101). Применив уравнение (1) 101,
получаем нормальное уравнение (1).
§ 139. Приведение уравнения плоскости
К нормальному виду
Чтобы найти нормальное уравнение плоскости, задан-
ной уравнением Дх+1/y-pCz-pD = 0, достаточно раз-
делить обе части данного уравнения иа у\43-’ ВЧ-('2,
причем верхний знак берется, когда Г) > и, и нижний,
когда D < 0; если же D = 0, то люжно взять любой знак.
§ 130. приведение уравнения плоскости 169
Получаем уравнение
А - X i- - — В—-ут --С________Z —
УА»фВ2+С2 УАа4-На+С* УД»+Н»+С“
—г—| |; _ = о.
УАг + Вг + С*
Оно нормально, ибо коэффициенты при х, у, z п силу (2) § 137 соот-
ветственно равны cps a, cos р, cosy, а свободный член в силу (I) § 137
равен —р.
Пример 1. Привести к нормальному виду уравнение
х - 2у ;2'-6 ~ 0. (1)
Делим обе части уравнения на + /13+( —2)а-р2г = 3
(перед радикалом-плюс, так как свободный член -6
отрицателен). Получаем;
|x-|y-|-fz-2 = 0.
1 2 2
Следовательно, р = 2, cos « = у, cos 3--у, cos у =
(а ~ 70°32', р 131=49', у ~ 4841').
Пример 2, Привести к нормальному виду уравнение
X--2yi2z-?6 0. (2)
Свободный член положителен. Поэтому делим на
— F12t( —2)3-}-22 = —3. Получаем:
“ з’х + ЦУ~ з’г“^
12 2
Следовательно, р — 2, cos а = — -g, cos ₽ - -3, cosy = - 3-
(а ~ 109'28', ₽ * 4841', у ~ 131=49').
Пример 3. Привести к нормальному виду уравнение
х - 2у + 2г = 0.
Так как 9 = 0 (плоскость проходит через начало), то
можно разделить либо па + 3, либо на —3. Получаем
либо Лх-уу+-|-г = 0, либо “ух+уУ-у£ = 0.
В обоих случаях р = 0, Величины а, (3, у в первом слу-
час-те же, что в примере 1, во втором-те же, что в
примере 2.
Замечание, Если в уравнении Дх-' By+Cz-p D = О
свободный член отрицателен и Д3+Й24-С2 = 1, то это
уравнение нормальное (§ 138, пример 3) и преобразовы-
вать его не надо,
170 аналитическая геометрия в пространстве
§ 140. Уравнения прямой в пространстве
Всякая прямая линия UV (черт. 168) представляется
системой двух уравнений;
-AjX + В1У + C]Z + D-l = 0, (1)
j4jX -j- В2у Ч_ Ся2 — 0, (2)
представляющих (если их рассматривать по отдельности)
какие-либо две (различные) плоскости Pt и Р.,, проходя-
щие через UV. Уравнения (1) и (2) (взятые в совокупности)
называются уравнениями прямой UV.
Замена н и с. Выражение «прямая UV представляется
системой (1) —(2)-> означает, что 1) координаты х, у, z
всякой точки А4 прямой UV удовлетворяют обоим урав-
нениям (1) и (2); 2) координаты всякой точки, нс лежащей
на UV, не удовлетворяют сразу обоим уравнениям (1), (2),
хотя могут удовлетворять ОДНОМУ ИЗ ПИХ,
Пример!. Написать уравнения прямой ОК (черт. 169),
проходящей через начало О и точку К (4; 3; 2).
Р е щ е н и е. Прямая ОК есть пересечение плоскостей
KOZ и КОХ. Взяв на оси OZ какую-либо точку, напри-
мер L (0; 0; 1), составляем уравнение плоскости KOZ (как
проходящей через три точки О, К, Ь; § 129). Получаем:
X у
4 3
О О
2
2
1
= 0, т, е. Зх — 4у = О.
(3)
§ 14f. ДЙА УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 171
Таким же образом найдем уравнение
2y-3z = О (4)
плоскости КОХ. Прямая ОК представляется системой
уравнении (3)-(4).
Действительно, всякая точка М прямой ОК лежит и в плоскости
К 02 и в плоскости КОХ; значит, ее координаты удовлетворяют сразу
обоим уравнениям (3) и (4). С другой стороны, точка К, не лежащая
на ОК, не может принадлежать сразу обеим плоскостям KOZ и К ОХ;
значит, ее координаты не могут удовлетворять сразу обоим уравне-
ниям (3) “(4).
Пример 2. Прямую ОК примера 1 можно предста-
вить также системой уравнений
/Зх-4у=О, (3)
\ 2x-4z = 0. (5)
Первое из них представляет плоскость KOZ, второе -
плоскость KOY.
Ту же прямую ОК можно представить системой
2y-3z - 0, 2х-4г = 0.
Пример 3. Определить, лежат ли точки Мх (2; 2; 3),
Л1Д-4; -3; -3), МД-8; -6; -4) на прямой ОК, рас-
смотренной в примере 1.
Координаты точки Мх не удовлетворяют ни уравне-
нию (3), ни уравнению(4);точка Л1Х не лежит на прямой UV.
Координаты точки М3 удовлетворяют (3), но не удовле-
творяют (4); точка Л1, лежит в плоскости KOZ, по не ле-
жит в плоскости КОХ; значит, М2 не лежит па ОК- /
Точка Л43 лежит на ОКГ ибо удовлетворяются оба уравне-
ния (3) и (4).
Пример! Уравнение 2 = 0 представляет плоскость
A’OY. Уравнение х+у—1 = 0 представляет плоскость Р,
параллельную оси OZ (§ 124, пример). Прямая, по которой
пересекаются плоскости ХОУ и Р (КК на черт. 163), пред-
ставляется системой
х+у-1 я 0, г - 0.
§ 141. Условие, при котором два уравнения
первой степени представляют прямую
Система
/ Ахх+ Вху+СХ2+Dx ~ О, (1)
j4*x + В2у+С-2+ D3 = 0 (2)
представляет прямую линию, если коэффициенты Alf Blf Ct
172 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
не пропорциональны коэффициентам A2r Bs, С2 [в этом
случае плоскости (1) н (2) не параллельны (§ 125)].
Если коэффициенты Blt С\ пропорциональны коэф-
фициентам Аг, В2> Вй, но свободные члены не подчинены
той же пропорции
А2: Ах — В2; Bi = С2: Cj D%: ,
то система несовместна и но представляет никакого гео-
метрического образа [плоскости (1) и (2) параллельны и
не совпадают].
Если все четыре величины Аъ В2, Си Dt пропорцио-
нальны величинам Ай, В2, С2, D2:
А: 4 = В2: Bf = С,; Сх = О2: Di,
то одно п.т уравнений (I), (2) есть следствие другого и
система представляет плоскость [плоскости (1) и (2) сов-
падают].
Пример 1. Система
2х~7у+12z-4 = 0, 4x-14y + 36z-8 = О
представляет прямую линию (во втором уравнении коэф-
фициенты А и В вдвое больше, чем в первом, а коэффи-
циент С —втрое).
Пример 2. Система
2х-7у + 12z —4 = 0, 4х—14у+ 24Z-8 — О
представляет плоскость (все четыре величины А, В, С, D
пропорциональны).
При м е р.З. Система
2x-7y+12z-4 = 0, 4х-14y-p24z-12 = О
не представляет никакого геометрического образа (вели-
чины А, В, С пропорциональны, a D не подчинена той же
пропорции; система несовместна).
§ 142. Пересечение прямой с плоскостью
Прямая L
( A1x \ B1y + C1z^Di = O, (1)
1 Ах 4- Вгу C2z -] D2 О (2)
н плоскость Р
Ахф By-pCz+D - 0 (3)
§ 142. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ 173
могут нс иметь ни одной общей точки (если L || Р), могут
иметь бесчисленное множество общих точек (если L ле-
жит на Р) или иметь только одну общую точку. Вопрос
сводится1) к разысканию общих точек трех плоскостей
(1), (2), (3) (см. § 134).
Пример 1. Прямая
x+y-}-z- 1 -’О, х— 2у — Зс - 5 — О
не имеет общих точек с плоскостью
2x—y — 2z — 8 = О
(они параллельны) (см. пример 2 § 134).
Приме р 2. 11рямая
x-2y-3z-5 = О, 2х—у—2г = 6
лежит в плоскости х-ру-1 2 = 1 (см. пример 3 § 134).
Пример 3. Прямая x + y-z+2 — О, х-у+2О
пересекается с плоскостью х+2у—1 =0 в точке
(-1; 1; 2) (см. пример 4 § 134).
Приме р 4, Определить координаты какой-либо точки
на прямой L;
( 2х - Зу - z + 3 = О,
\ 5х - у + z - 8 = 0.
Дадим координате х какое-либо значение, например
х = 3. Получим систему — 3y-z + 9 - 0, -y+z+7 — 0.
Решив ее, найдем; у = 4, z = -3. Точка (3; 4; —3) лежит
на прямой L (в пересечении ее с плоскостью х = 3, парал-
лельной YOZ). Таким же образом, взяв х = 0, найдем
точку (Ь; — у; в пересечении L с плоскостью YOZ
и т. д. Можно также давать различные значения коорди-
нате у пли z.
П р и м е р 5. Определить координаты какой-либо точки
иа прямой L:
( 5x-3y-j-2z-4 = О,
\ 8x-6y+4z-3 — О,
В противоположность предыдущему примеру коорди-
нате х здесь нельзя дать произвольного значения. Так, прн
’) Выкладки облегчаются, когда уравнения прямой взяты в пара-
метрической форме 152 И замечание в § 153у
174 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
х = 0 получаем несовместную систему ~3y + 2z~4 _ О,
-6>'-f-4z-3 = О, Прямая L параллельна плоскости ZOY.
Координате у (пли z) можно давать произвольные значе-
ния; например, положив z=0, получим точку (у; о) .
Для х будет получаться всегда одно и то же значение
х - у, так что прямая L лежит в плоскости х = у, парал-
лельной ZOY.
§ 143. Направляющий вектор
А. Всякий (ненулевой) вектор a {/, т, п}, лежащий на
прямой UV (или параллельный ей), называется направляю-
щим вектором этой прямой. Координаты /, и?, п напра-
вляющего вектора называются направляющими коэффици-
ентами прямой.
Замсчание. Помножив направляющие коэффициен-
ты I, т, п па одно и то же число 1с (не равное нулю),
получим числа Ik, mk, nk, которые тоже будут на прав л я-
у ющпми коэффициентами (это ко-
дч/СХ—ординаты вектора «к, коллннсар-
него с ”)
Vi х /^7 Б- За направляющий вектор
\| / 7 прямой UV
Ъ J = О, (1)
Черт, 170. 1 АаХ+В^у+С2?+Ра = 0 (2)
можно Припять векторное произведение х Лг2, где
= {А, #х, СД и Л'2 = {А2, В2, С2} — нормальные
векторы плоскостей Рг и Р2 (черт, 170), представляемых ура-
внениями (1) и (2). Действительно, прямая UV перпендику-
лярна к нормальным векторам Л\, N2.
При м е р. Найти направляющие коэффициенты прямой
2x-2y-z [-8 = 0, x+2y-2z+l=0.
Решение, Имеем « {2, ~ 2, - 1}, Л'2 _ {1,2, - 2),
Примем а = х за направляющий вектор данной пря-
мой. Находим:
Направляющие коэффициенты будут I « 6, tn = 3, п ~ 6.
§ 145. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 175
Замечание. Помножив эти числа на -Ь, найдем на-
правляющие коэффициенты V— 2, т'= 1, п' —2. За на-
правляющие коэффициенты можно также принять числа
— 2; -1; -2 ИТ. Д.
§ 144. Углы между прямой и осями координат
Углы а, 3, у, образуемые прямой L (в одном из двух се
направлений) с осями координат, находятся из соотношений
i
cos а - • . - г,
Па + + п3
cos В = -г_____
г П!+т’+п3
п
COS Y = - , ~f
№ + т3 + п?
где l,m, п - направляющие коэффициенты прямой L.
Вытекает из § 101.
Величины cos a, cos 0, cos у называются направляющими
коитусами прямой L.
Пример. Найти углы, образуемые прямой
2x — 2y — z-y8 s= 0, х+2у-2г+1=0
с осями координат.
Решение. За направляющие коэффициенты данной
прямой (§ 143, пример) можно принять /=2, т—1, п-2.
2 2 1 2
Значит, cos а — --— — = - cos В = —, cos у = —; от-
У2* + 13+22 3 3 3
сюда а « 48°1Р, 0 * 70°32', у * 48° 11'.
§ 145. Угол между двумя прямыми
Угол ф между прямыми L и L' (точнее, одни из углов
между ними) находится но формуле
лл„ IP + тт‘ + пп'
COS ф — 777777, • -7. -—7-7, (1)
} /- + т’ + И» 4- т'2 + п'3 '
где I, т, п и I', тг, пг - направляющие коэффициенты пря-
мых L и L', или по формуле
cos ф = cos a cos а'+ cos 0 cos 0'фсоз у cos (2)
Вытекает из § I0G.
176 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Найти угол между прямыми
J 2x-2y-z+8 = 0, ( 4x + y+3z-21 - О,
1 x+2y-2z-M = О, I 2x + 2y-3z+15 - О.
Решение. Направляющие коэффициенты первой пря-
мой (§ 143, пример) равны /2, т=1, п=2. Если за
направляющий вектор второй прямой принять векторное
произведение {4, 1, 3}х{2, 2, -3}, то направляющие
коэффициенты ее равны -9, 18, 6. Помножив их (чтобы
иметь дело с меньшими числами) на у (§ 143, замечание),
получим I = ~3, /Л —6, п- 2. Имеем:
егк п - 2-("3) + 1-6+2.2 _ 4
/2» 4- 1« +23 }'( -3)г +6» +2* 21
отсюда 9 79°0Г.
§ 146. Угол между прямой и плоскостью
Угол ф между прямой L (с направляющими коэффи-
циентами I, т, п) и плоскостью Дх+By+Cz + D — 0 на-
ходится по формуле
Sin ф = - ------------
/Д» + BS +с=
Вытекает из § 145 (если <р есть угол между прямой L и нормальным
вектором {А, В, С), то ? = 90° ± у).
Пример, Найти угол между прямой
Зх— 2у — 24, Зх —z = —4
н плоскостью 6x+15y-10z-p31 = 0. Имеем 1 = 2 т = 3, ;
п = 6 (§ 143). Находим: |
I
Sin <р = [ 6 >2 + 15.3+ ( — 10) > 6 | _3_
/б« + 15» +"( - 10)2 /22 + 32+62 ’ 133 Г
откуда ? м 1°1§',
g 148. ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ Ш
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости
Условие параллельности прямой с на-
правляющими коэффициентамит, п и плоскости
Ах-р В1'-' С2 | £) = О есть
А1+ Вт+Сп = 0. (1)
Оно выражает перпендикулярность прямой и
нормального вектора {А, В, С}.
Условие перпен дику ляриос ти прямой и
плоскости (обозначения те же) есть
i _ у» „ _2
А~ в ~ с ' №
Оно выражает параллельность прямой и нормаль-
ного вектора.
§ 148. Пучок плоскостей *)
Множество всех плоскостей, проходящих через одну
и ту же прямую U V, называется лучком плоскостей. Пря-
мая UV называется осью пучка.
Если известны уравнения двух различных плоскостей
и Р2
А1Х+CiZ-j-Di = 0, (1)
jAojc -р В2у -р C2z -р D% — О, (2)
принадлежащих пучку (т, е, уравнения оси пучка; см. § 140),
то каждую плоскость пучка можно представить уравне-
нием вида
/щ ( j4jX + Вху++ Dj) +
-р т2 (Ах-р Вйу + Сах+ D2) = 0. (3)
Обратно, уравнение (3) при любых значениях тъ т2
(не равных нулю одновременно) представляет плоскость,
принадлежащую пучку с осью UV2). В частности, при
гщ-0 получаем плоскость Р3> а при т2 — 0 — плос-
кость Pv Уравнение (3) называется уравнением пучка
плоскостей ’).
Когда Ш1 и 0, мы можем разделить уравнение (3) на тх.
Обозначив т3: тх через А, получим уравнение
AjX-P -р С1?4- Dj-p А (Ах-р В2у + C3z-p D3) = 0. (4)
») Ср. § 24~
*) См. ниже пояснение к примеру 1.
а) Если плоскости (1) и (2) параллельны (но не совпадают), то урав-
нение (3) при всевозможных значениях nil, ms представляет все пло-
скости, параллельные двум данным (параллельный пупок плоскостей),
13 М. Я- Выгодский
178 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь всевозможные значения даются только одной букве
X; но из (4) нельзя получить уравнения плоскости Р2.
Пример 1, Пусть даны уравнения
5х-3у - О, (5)
3z-4x = 0 (6)
двух плоскостей пучка, т, е. уравнения оси пучка. Урав-
нение пучка есть
mx(5x-3y) + m2(3z-4x) - 0. (7)
Например, взяв nij —2, т2 = -3, будем иметь:
2(5x-3y) + (-3)(3z-4x) = 0. (8)
Уравнение (8) нли
22х-бу—9z -- 0 (8а) J
представляет одну из плоскостей пучка.
Пояснение. Возьмем на прямой UV какую угодно точку
М(х; у; z). Ее координаты х, у, г удовлетворяют уравнениям (5) и (6),
а следовательно, и уравнению (8). Значит, плоскость (8) проходит
через всякую точку М прямой U V, т. е. принадлежит пучку.
Пр п м е р 2. Найти уравнение плоскости, проходящей
через прямую U V примера 1 и через точку (1; 0; 0).
Решение. Искомая плоскость представляется уравне-
нием вида (7). Последнее должно удовлетворяться при
х— 1, у = 0, z = 0. Подставляя эти значения в (7), находим i
5т1-4ш2 = 0, т. с. тг: т2 = 4 : 5. По-
лучаем уравнение
а [ 4 (5х - Зу) + 5 (Зг - 4х) - О,
/ /I к т. е,
/ 5z-4y - о. ;
V / \/ Пример 3. Найти уравнения про-
N. q/k екции прямой L:
2х+Зу + 4г+5 0, 1 .
х-бу-рЗг-7 = о/ ।
, , на плоскость Р
Черт. 171.
2x+2y + z+ 15 = 0. (10)
Решение. Искомая проекция L' (черт. 171) есть
прямая, по которой плоскость Р пересекается с пло-
скостью Q (проведенной через L перпендикулярно к Р).
Плоскость Q принадлежит пучку с осью L и представ-
ляется уравнением вида
(2х+Зу + 4?+5) 4* ?>(х — бу+3z — 7) = 0, GO
§ 140. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 170
Чтобы найти X, представим (11) в виде
(2 + Х) х + (3-6Х)у + (4-рЗХ)2-р5 — 7Х = 0 (Па)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей (10)
и (11а):
2 (2+X) + 2 (3 — бХ)+1 • (4-i ЗХ) 0.
Отсюда Х=2, Подставляя в (Па), получим уравнение пло-
скости Q. Искомая проекция представляется уравнениями
f 4x-9y+10z-9 = О,
I 2x + 2y + z+ 15 = 0.
§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости
Пусть прямая представляется уравнениями
/ Ax+Bjy+CiZ [ Di = 0, (1)
I AoX+ B2y + C2z+ Dz = 0, (2)
где Ct и C2 не равны нулю одновременно (случай ^ =
= Сг = 0 рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найти
проекцию прямой на плоскость XOY, достаточно исклю-
чить z из уравнений (1) —(2). Полученное уравнение (вме-
сте с уравнением 2 — 0) будет представлять искомую про-
екцию 1). Аналогично находятся проекции на плоскости
YOZ н ZOX.
Пример 1. Найти проекцию прямой L
( 2х-р4у —32—12 = 0, (3)
\ x-2y + 4z-10 = 0 (4)
на плоскость XOY.
Решение, Чтобы исключить z, помножим первое из
данных уравнений на 4, а второе - на 3 н сложим. Полу-
чим:
4 (2х + 4у-32- 12) + 3 (х— 2y+4z- 10) = 0, (5)
тле.
11х+ 10у - 78 = 0. (6)
Это уравнение вместе с уравнением
z = 0 (7)
представляет проекцию L' прямой L на плоскость ХО V.
*) См. ниже пояснение к примеру 1.
12*
180 аналитическая геометрия в пространстве
» П о я с н е л и е. Плоскость (5) проходит через прямую L (§ 148).
С другой стороны, как видно из (R) (где не содержится z), эта пло-
скость (§ 124, п. 2) перпендикулярна к плоскости XOY. Значит, пря-
мая, по которой плоскость (6) пересекается с плоскостью (7), есть
проекция прямой L на плоскость (7) (ср. § 148, пример 3).
П р и м е р 2. Проекция прямой L
I Зх-бу-1 4z- 12 = О, (8}
'I 2х - 5у - 4 - О ’ (9)
на плоскость
координат А’О У) :
не требуется, так
2 = 0 представляется (в плоской системе
уравнением (9). Исключать координату z
в уравнении (9) она уже ие содер-
жится. Плоскость (9) перпендику-
лярна к плоскости XOY; она
проектирует прямую L па ХОУР.
И р имер 3. Найти проекции
прямой L
/ 2х —Зу = 0,
\ х 4- у - 4 = 0
на координатные плоскости.
Реше и и е. В обоих уравне-
ниях z отсутствует, так что обе
как
(Ю)
(И)
плоскости Рх п Р2 (черт. 172) пер-
пендикулярны к плоскости АО У’. Прямая L перпендику-
лярна к XOY и проектируется на плоскость XOY в т о ч-
ку N с координатой гл. = 0. Из сисюмы (10) — (11) нахо-
12 8
дим = — , у.,. ... -5-.
Уравнение проекции L' па плоскость YOZ можно найти
по общему способу, исключая х из (10 и (11). Получим
у—~, т. е. то же равенство, которое выше найдено
для у if (из чертежа видно, что прямая L' отстоит от OZ
на расстояние О В, равное vv=/W). Уравнение проек-
* ]2
ции L‘f на плоскость XOZ есть х = -5-.
§ 150. Симметричные уравнения прямой
Прямая L, проходящая через точку Мо (xn; i’o; z0) и
имеющая направляющий вектор а {I, т, п} (§ 143), пред-
ставляется уравнениями
_ У~Уо _ Z-Zo m
I " 'т ~ п > Ki)
§ 150. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. 181
Они называются
Черт. 173.
выражающими коллинеарность векторов а {I, т, и} и
Л^М{х-х0, у-у0, z-ze} (черт. 173).
симметричными (или каноническими)
уравнениями прямой.
Замечание 1. Так как за
точку Ма можно взять любую из то-
чек прямой L, а направляющий век-
тор а можно заменить направляющим
вектором ka (§ 143), то каждой из ве-
личин х0, у0, z0, /, т, и по отдельности
можно дать произвольное значение.
Пример 1. Написать симметрич-
ные уравнения прямой, проходя-
щей через точки А (5; -3; 2) и /J(3; 1; — 2). В ка-
честве Мо можно взять точку А, за вектор а можно при-
нять АВ = { — 2, 4, —4). Симметричные уравнения будут:
у + 3_ 2-2
4 ' — 4 ‘
-2
(2)
Если же в качестве Л40 взять В, а за « принять вектор
- *- АВ = {1, -2, 2}, то симметричные уравнения будут:
_ у — 1 _ 2 + 2 ....
I ~ —2 ~ 2 * W
Замечание 2. Из трех уравнений
х —5 _ у+3 х~5 _ z — 2 у + 3 _ z —2
-24’’ -2" ' "4“ “ -4 ’
содержащихся в (2), только два (какие угодно) независимы, а третье
является их следствием; например, вычтя из первого уравнения вто-
рое, найдем третье. Каждое из уравнений (4) представляет плоскость,
проходящую через прямую А В перпендикулярно к одной из координат-
ных плоскостей; вместе с тем оно представляет проекцию прямой АВ
иа соответствующую координатную плоскость (§ 149).
П р и м е р 2. Симметричные уравнения прямой, прохо-
дящей через точки Мо (5; 0; 1), Ms (5; 6; 5), будут:
X — 5 _ у—0 __ 2 — 1
"(Г “ 6 ~ ~4~ ’
Выражение ~~ условно; оно означает (§ 102, замечание),
что х-5 = 0, так что вместо (5) надо написать систему
* = 5, £ = • (6)
Прямая M(iM1 перпендикулярна к оси ОХ (так как 1= 0)-
182 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПримерЗ. Симметричные уравнения прямой, прохо-
дящей через точки А (2; 4; 3) и В (2; 4; 5), будут:
У-2 _ у - 4 _ г — 3
О ~ ' (Г' ~ 2
Эта запись означает, что х=2 и у 4.
Величина г принимает различные (любые) значения для
различных точек прямой АВ. Прямая АВ параллельна оси
OZ (так как 1=т—0).
§ 151. Приведение уравнений прямой
К симметричному виду
Для того чтобы привести уравнения прямой
АхХ+ ВхУ + CiZ+Di = О,
А^х 4" 4 СnZ Da = О
(1)
(2)
к симметричному виду (§ 150), надо определить координаты
Уо> какой-либо точки, лежащей па прямой (примеры
4 и 5 § 142) и направляющие коэффициенты I, mf п (§ 143).
П р им с р 1. Привести уравнения прямой
2x-3y-z+3 — О, 5x-y + z-8 = О
к симметричному виду.
Решение. Как в § 142 (пример 4), найдем на дайной
прямой точку М0(3; 4; -3), хв.~3. у0 = 4, z0 = -3. Вы-
числив направляющие коэффициенты
получаем симметричные уравнения
у —з _ у-4 _ z+з
-4 “ -7 " 13
П р и м е р 2. Привести к симметричному виду уравнения
x+2y-3z-2 = 0, ~3x+4y-6z-p21 = 0.
Зададим координате у или z какое-либо значение (ко-
ординате х произвольное значение задать нельзя; ср. § 142,
пример 5); например, положим у = 0. Получим точку
s 152. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 183
Л10 (5; 0; 1). Направляющие коэффициенты будут 1=0,
т=15, п-10 или (помножая иа у) 1=0, т = 3, п = 2.
Получаем симметричные уравнения
у-5 _ у __ z-1
О “ 3 “ 2
(ср. § 150, пример 2).
Пример 3. То же для прямой
х+у-6 = 0, х-у + 2 = 0. (3)
Значения х0 и у0 вполне определяются уравнениями (3):
х0 = 2, у0 = 4. Координате г0 можно дать любое значение,
например z0 = 3. Далее находим направляющие коэффици-
енты 1=0, т=0, п = 2. Получаем симметричные уравнения
(ср. § 150, пример 3):
X-2 у— 4 __ z-3
1 0 “ 2 ’
§ 152. Параметрические уравнения прямой
Каждое из отношений (§ 150) равно
частному (§ 90) от деления вектора
М0М(х-х0, у-у0, z-z0}
на (коллинеарный) вектор а {I, т, п}. Обозначим это
частное через t. Тогда
х = x0 + li,
У = Уь + mt,
z^=z0 + nt.
(1)
Эти уравнения называются параметрическими уравне-
ниями прямой; когда величина I (параметр) принимает
различные значения, точка М(х; у; г) движется по прямой.
При 1 = 0 она совпадает с Мо; положительным н отрица-
тельным значениям t отвечают точки, расположенные на
прямой по разные стороны от
В векторной форме трн уравнения (1) заменяются
одним:
г = r0+<rt
(2)
184 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 153. Пересечение плоскости с прямой,
заданной параметрически
Общая точка (если таковая существует) плоскости Р
Лх I Вуч Сз+О = 0 (1)
и прямой L
X = х0 f ltf у = Уо+tnt, 2 = z^ynt (2)
находится по формулам (2), если туда подставить значе-
ние t, определяемое из уравнения х)
(/V+ BmyCn)t-\ Дх0-р By0+Cz04-D - 0. (3)
Последнее получается, если выражения (2) подставит ьв (1),
Пример 1. Найти точку пересечения плоскости
2x + 3y+3z-8 - О
с прямой
г + 3
з “1 2 ‘
Р е ш е н п е. Параметрические уравнения прямой будут:
х — -5 + 3/, у == 3-/, 2 = —3 + 2L (4)
Подставив в уравнение 2x+3y+3z-8- 0, получим
9/-18 = 0, откуда / = 2. Подставляя ото значение в (4),
получаем х= 1, у= 1, г=1. Искомая точка есть (1; 1; 1).
II р и м е р 2. Найти точку пересечения плоскости Зх +
+ у —4z —7 = 0 с прямой примера 1.
Реше н и е. Таким же образом получаем 0-/ —7 =- 0;
это уравнение не имеет решения. Точки пересечения нет
(прямая параллельна плоскости).
При ме р 3. Найти точку пересечения плоскости Зх+
+ y-4z - 0 с прямой примера 1.
Решение. Таким же образом получаем О Т + 0 = 0;
это уравнение имеет бесчисленное множество решений
(прямая лежит в плоскости).
Замечание. Воспользовавшись параметрическими
уравнениями (4), мы ввели четвертое неизвестное t и по-
лучили четыре уравнения (вместо данных трех). Это услож-
нение окупается большей легкостью решения системы.
О Уравнение (3) в исключительных случаях может не иметь реше-
ния (см. ниже пример 2) нли иметь бесчисленное множество решения
(см, ниже пример 3),
s 156. ПРЯМАЯ, ПРбхдДЯШЛЯ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ 1&)
§ 154. Уравнения прямой,
проходящей через две данные точки
Прямая, проходящая через точки Мг (хх; ух; zx) и
M2(x2‘f УУ> представляется уравнениями
х-х, _ У-У1 = г-?, /<ч
*!!“*! У* — Vt '
Примеры см. в § 150.
§ 155. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой
Плоскость, проходящая через точку Мо (х0; у0; zn) и
перпендикулярная к прямой
х--ч = к--.ч _ ~-'i_
/1 т, п, ’
имеет нормальный вектор {^, т1} л,} и, значит, предста-
вляется уравнением
/1(х~х0) + т1(у-у0) + Л1(£~г<>) - О
или в векторной форме
«if»*- П) = О-
Пример. Плоскость, проходящая через точку
(— 1; —5; 8) и перпендикулярная к прямой -§• = у = ,
представляется уравнением 2 (у + 5)4-5 (г-8) = 0, т. е.
2y + 5z-30 - 0.
§ 156. Уравнения прямой,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной плоскости
Прямая, проходящая через точку Мп (х0; у0; г0) и перпен-
дикулярная к плоскости Дх+By + Cz+D = О, имеет
направляющий вектор {Д, В, С} и, значит, представляется
симметричными (§ 150) уравнениями
Х-х0 _ У-Уо = г-Zp
’ д - а с ‘
(О
186 аналитическая геометрия в пространстве
Пример. Прямая, проходящая через начало коорди-
нат и перпендикулярная к плоскости 3x + 5z-5 = O,
представляется симметричными уравнениями ~ = —
йли параметрическими (§ 152) уравнениями х = 3t, у = О,
2-5/.
§ 157. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку н данную прямую
Плоскость, проходящая через точку Л4о (х0; у0; z0) и
через прямую L
_ У-У1 _ г-г, m
I т п > ' '
не проходящую через Мъ, представляется уравнением
Черт. 174.
X ~ *о У ~ У о Z ?о
У1-Уо Zi-Zu
I т п
= О
или в векторной форме
(г - Го) (гх - г0) а = 0. (2а)
Уравнение (2) или (2d) выражает компланарность векторов
(черт. 174) Af0Af, AfoAlj, и а { (, т, п ).
Пример. Плоскость, проходящая через точку
Мо (5; 2; 3) и прямую
£+_1 _ У +1 _ Z-5
2 1 ” 3 ’
представляется уравнением
*
Г
Х-5 у-2
-G -3
2 1
2-3
2
3
О,
т. е.
х-2у- 1 = 0.
3 а м е ч а и и е. Если прямая (1) проходит через точку
Мо, то уравнение (2) становится тождеством и задача
имеет бесчисленное множество решений (подучаем пучок
плоскостей с осью L; § 148).
§ 159. ПЛОСКОСТЬ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ
187
§ 158. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
и параллельной двум данным прямым
Плоскость, проходящая через точку Мо (х„; z0) и
параллельная данным (непараллельным между собой)
прямым Lj н L3 (или векторам «х и а3), представляется
уравнением
х-хо у~у0 2-20
= о,
(О
4
4
Ф1 Hi
m2 л3 ’
где /1, тх, и /3, тг, п,-направляющие коэффициенты
данных прямых (или координаты данных векторов). В век-
торной форме
= О.
(1а)
Уравнение (I) или (1а) выражает компланарность векторов МйМ,
«1> «1 (Af—произвольная точка искомой плоскости).
Замечание. Если прямые Ц и Ь2 параллельны, Т. е.
«! и коллинеарны, то уравнение (1) становится тожде-
ством, и задача имеет бесчисленное множество решений
(получаем пучок плоскостей с осью, проходящей через
точку параллельно данным прямым).
§ 159. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой
Пусть Li и Lt-непараллельные прямые. Тогда пло-
скость, проходящая через прямую Lr и параллельная пря-
мой L2 представляется уравнением
X-Xi у-Ух 2-Zi
4 Шх Пх
13 Л3
= О,
(1)
где Хх, Ух, 2х-координаты какой-либо точки ЛЛ прямой Lv
Здесь имеем частный случай § 158 (роль точки играет Afj),
Замечание К § 158 тоже остается в силе.
188 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 160. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости
Плоскость Р, проходящая через данную прямую
= У-У1 _ г-Zt
h т1 л,
и перпендикулярная к дайной плоскости Q
Дх-f-By+Cz-l-D = О (2)
(не перпендикулярной к представляется уравнением
х-Хл
к
А
У-Л
"Ч
в
Z-Z1
nL
с
= 0.
В векторной форме
(r — Ti) «1АТ = 0.
(3)
(За)
Пояснение. Плоскость р проходит через прямую и парал-
лельна нормали N{ А, В, С } плоскости Q (ср. § 159).
Замечание. Если плоскость (2) перпендикулярна
к прямой (1), то уравнение (3) становится тождеством и
задача имеет бесчисленное множество решений (см. § 158,
замечание).
Проекция прямой на любую плоскость.
Плоскость (3) проектирует прямую иа плоскость Q.
Стало быть, прямая I/, являющаяся проекцией прямой Lr
на плоскость Q, представляется системой уравнений
(2)-(3) (ср. § 149).
§ 161. Уравнения перпендикуляра,
опущенного нз данной точки на данную прямую
Перпендикуляр, опущенный из точки (х0; yu; z0) иа
прямую Li
не проходящую через М0)г представляется уравнениями
к (х - -Ч) 4- "Ч (У - Уи) + Л1 (z - z0) - О,
х-х0 у-у0
Х1“Х0 У1-Уо
к
*~Z|)
ТЧ
О.
(2)
(3)
I
§161, УР-НИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НАПРЯМУЮ 189
или в векторной форме уравнениями
( «1 (г-го) = 0, (2а)
i (i*-«'o) 04 -’•«)«! = °- (За)
Взятое отдельно, уравнение (2) представляет плоскость
Q (черт. 175), проведенную через Мо перпендикулярно
к 1Ч (§ 155), а уравнение (3) —плоскость /?, проведенную
через точку Л40 и прямую (§ 157),
3 а м е ч а н и е. Если прямая Lj про-
ходит через точку Л1ц, то уравнение (3)
обращается (§ 120) в тождество (через
точку, взятую па прямой можно про-
вести бесчисленное множество перпен-
дикуляров кЕ]).
Приме р. Найти уравнение перпен-
дикуляра, опущенного из точки (1; 0; 1)
на прямую
х = Зг+2, у = 2?. (1а)
Черт. 175.
Найти также основание перпендикуляра.
Решение. Уравнения (1а) можно записать в симме-
тричном виде (§ 151) так:
(16)
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
3 (х-1)4-2 (y-O)-f-l (z-1) - О,
X—1 у 2-1
21 0 0-1
3 2 1
или после упрощений
3x4-2}’ -J-Z-4 = О,
х- 2у-}-г- 2=0.
(26)
(36)
(2в)
(Зв)
у
2
1
= О
Координаты основания К перпендикуляра найдем, решив
систему трех уравнений (16), (2в). Уравнение (Зв) должно
удовлетворяться само собой. Подучаем К -у)*
Замечание. Система трех уравнений (16), (Зв) имеет бесчислен-
ное множество решений (ибо плоскость R прхоодит через прямую Z.Jt
а не пересекает ее).
190 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 162, Длина перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную прямую
Даны течка Мй (хи> у0, ?0) и прямая Llf представлен-
ная уравнением (1) § 161. Требуется найти расстояние от
точки Мо до прямой Lp т. е, длину перпендикуляра М0К
(черт. 175), опущенного из точки Мо на прямую
Можно сначала найти основание К перпендикуляра
(§ 161, пример), затем длину отрезка Л10К. Проще приме-
нить формулу (при обозначениях § 161)
т. е. в векторной форме
(la)
Числитель выражения (1а) есть (§ 111) площадь параллелограмма
МгМ0ВА (черт. 176, где AfxA= «,), а знаменатель -длина основания
AfxA. Следовательно, дробь равна высоте Л10К параллелограмма.
Пример. Найти длину перпендикуляра, опущенного
из точки Мо(1; 0; 1) иа прямую х = 3? + 2, у = 2г.
Решение. В примере § 161 мы
нашли
Значит,
d = | мок j =
Черт. 176.
2 , _
“ 7 >
= 2]/|.
Применим теперь формулу (1). Согласно (16) § 161 имеем
хх = 2, ух = О, ?! = 0, /х = 3, mx = 2, лг — I, так что
|Уо"У1 1 I _ 2 I " 2i хи“х1| =
[ т1 пх | j 2 1 | ’ I Л1 G |
- 1-1 -Д |x«~xi Уо~У1 _ -1 °j_
1 3 “ *’ I 3 21 ’
§163.ДВЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ 101
Получаем:
d ~ 1\-2)а-И2-К-2р
УЗ»+2»+П
= 2/|.
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются
или лежат в одной плоскости
Если прямы е _ У-У1 = g-Zi lt mi п1 ’ Х-Ха _ У "Уд _ Z_-Z2 /2 ~ т2 ~ п2 (D (2)
лежат в одной i тлоскости, то “ Л1 У 2 ~ У1 %2 ~ 2i т1 пг =0 (3)
или в векторно! ТПд ТЫ 1 форме
= о.
(За)
Обратно, если выполняется условие (3), то прямые лежат
в одной плоскости.
Пояспепи е. Если прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости,
то в последней лежит прямая М1Л13(черт. 177), т, е. векторы AfjAfs,
alt «2 компланарны (и обратно). Это и выражает уравнение (3)
(см. § 120).
Замечание. Если ~ = — — — [при этом (3) обяза-
h тг пг L 1 ' 7
тельно удовлетворяется], то прямые параллельны. В про-
тивном случае прямые, удовлетворя-
ющие условию (3), пересекаются.
При м е р. Определить, пересека-
ются ли прямые
Т = % = 0)
х +1 _ у — 1 _ z +1 /пх
2 ~ 1 ~ ~~4~ ’ W
И если да, то в какой точке.
Решение. Прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости,
-1 1 -1
так как определитель (3), равный
1 2
2 1
Черт. 177,
, обра-
3
4
102 аналитическая ГёОмЕтрия В Пространстве
щается в нуль. Эти прямые ие параллельны (направляющие
коэффициенты не пропорциональны). Чтобы найти точку
пересечения, надо решить систему четырех уравнений (1),
(2) с тремя неизвестными. Как правило, подобная система
не имеет решений, но в данном случае [вследствие выпол-
нения условия (3)] решение есть. Ретив систему каких-
либо трех уравнений, получим х = 1, у = 2, z — 3. Четвер-
тое уравнение удовлетворяется. Точка пересечения есть
(1; 2; 3).
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра
к двум данным прямым
Прямая U V, пересекающая две непараллельные прямые
(Lj и L, на черт, 178)
Х-Х1 _ У“У1 _ 2-Z1
/1 mt щ ’
_ У~У^ _ Z-Zt
/д ГПз /?«»
и перпендикулярная к ним, пред-
сгавляется (в векторной форме)
уравнениями
(r-t'j) ща = О,
(г-г2) а.а = О,
где «1 = {lu mx, М. а2 = {h, т2> ”2} и а - atxa2.
Взятое в отдельности, уравнение (1) представляет пло-
скость Рь проведенную через прямую Lf параллельно
вектору а = t^xa^ (§ 159). Аналогично (2) представляет
плоскость Р2, проведенную через Ь2 параллельно а.
Точка Klt где UV пересекает Llt найдется в пересе-
чении с плоскостью Р2. Аналогично найдется точка К2,
после чего можно найти длину общего перпендику-
ляра KiK2.
Замечание. В случае параллельности Ц и 12 (тогда
а = 0 иуравиения (1), (2) становятся тождествами) имеется
беечнелеииое множество прямых UV. Чтобы получить
уравнение одной из них, берем на Lt (черт, 179) произ-
вольную точку Ki и составляем уравнение прямой, про-
ходящей через Ki по направлению вектора а^хЪ, где
6 = х (r.-rj.
§ 164. ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДВУМ ПРЯМЫМ 193
Пример 1- Найти уравнения общего перпендикуляра
К прямым
Я = 2+2/, у = 1 + 4/, 2 = -1-/, (3)
X = — 31 + 3/', у = 6 + 2/', z = 3 + 6/'. (4)
Решение, Имеем «^ = { 2, 4, -1 }, аг = { 3, 2, 6 },
а = а* х о2 = { 26, —15, —8}.
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
х-2 у-1 г+1 I
2 4 -1=0,
26 -15 -8 [
х+31 у-6 2 — 3
3 2 6 =0,
26 -15 -8
или после упрощений
47х+ 1 Оу+1342+ 30 — 0, (5)
• 74х + 180у - 97х +1505 = О, (6)
Точку Ki пересечения общего перпендикуляра с прямой (3)
найдем из системы (3)-(6). Получим Ki (-2; -7; 1).
Аналогично получим Кй(-28; 8; 9), длина d общего пер-
пендикуляра равна
d = 2+28)2+(-7-8)г+(1“9)2 = V%5.
Пример2. Найти уравнения общего перпендикуляра
к прямым
х= 2+2/, у = 34 2/, 2 = /, (7)
х « 5+2/', у = 4+2/', 2 = 1+/'. (8)
Прямые параллельны: = «3 = {2, 2, 1}, г-—г г =
— {3, 1, 1}, Ь = аг х (Та-»*,) = {1, 1, -4}. Направляю-
щий вектор общего перпендикуляра а, х b = {-9, 9, 0}
или, помножая на {-1,1, 0). За начальную точку при-
мем произвольную точку Ki(2 + 2t; 3 + 2/; /) прямой (7).
Получим уравнение общего перпендикуляра
x-(2+2f) _ у-(3+20
-1 ~ *"П
13 М. Я. Выгодский
(9)
194 аналитическая геометрия в пространстве
где /-произвольное число. Чтобы найти точку К2 пере-
сечения общего перпендикуляра (9) с прямой (8), надо
подставить выражения (8) в уравнение (9), Получим;
3+2(1’—f) 1 -i-2(f - О _ 1+0'-О
-1 1 о *
Любое из содержащихся здесь уравнений дает Г » /-1;
подставляя в (8), находим К2 (3 + 2/; 2-1-2/; /), так что
Л = 1ВД1 =
= /[(з+^-са+ая’+ца+г+сз+алчр-Т^ Уг.
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
Кратчайшее расстояние между прямыми Lx н Ь2 есть
длина d их общего перпендикуляра. Ее можно найти, со-
ставив уравнения общего перпендикуляра (§ 164, при-
меры 1 и 2). Но проще найти d непосредственно.
1) Если прямые L± н Х2 не параллельны (черт. 180), то
(*11 *2-радиусы-векторы точек М1? М2; а1? а2-Напра-
вляющие векторы
п Прямых Li} L2).
Числитель дроби
(1) есть (§ 121) объем
параллелепипеда, по-
строенного на вендо-
рах MtMz, а1( «2. Зна-
менатель — площадь
его основания (§ 111).
_ Следовательно, вся
Черт, 180. Черт. 181, дробь есть высота
КгК2=</.
Для пересекающихся прямых (векторы KtKi, в] > я2 компланарны)
формула (I) дает d=0, Для параллельных прямых (векторы щ, о2 кол-
линеарны) оианепригодна ^дает-^.
2) Если прямые Ll, L2 параллельны (черт. 181), то
d — I fra-^xaj = УкЧ -♦’») х
IM
(вместо «х можно взять «а).
(2)
§ 165а. ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ ПАРЫ ПРЯМЫХ 195
Числитель дроби (2) есть площадь параллелограмма MjMzDC, зна-
менатель-длина основания AfxC. Бея дробь есть высота
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между пря-
мыми примера I § 164 [1\ ~ {2, 1, - Ik r3 = { — 31, 6, 3},
ах = {2, 4, -1}, а3 = {3, 2, 6}].
Решение, Данные прямые не параллельны. Имеем:
v -Л4 "Л М 2) I 2 4)
«1Ха2 -^|2 е|, | б 3[, |3 2|j-
= {26, - 15, -8},
(т2 — т2) аха2 = -33-26 + 5-(-15)+4-(—8) —- —965.
Формула (1) дает:
d = - 965 -----
У26« + (-15)»+Г-8у« ^965
П р и м е р 2. Найти кратчайшее расстояние между пря-
мыми примера 2 § 164 [ох = а2 = {2, 2, 1}, r2-s*i о
Р с ш е^н и е. Прямые параллельны; формула (2) дает:
i/~l 1 2, 1 з 2 3 1 а
Г 2 1 * 1 2 *22
/2« +22 +1
Замечание. Кратчайшему расстоянию между пря-
мыми (если они ие перпендикулярны н не параллельны)
можно приписать знак (см. § 165а).
§ 165а. Правые и левые пары прямых
Определение. Пара скрещивающихся неперпенди-
КУЛярных прямых L2 (черт. 180) называется правой,
если для наблюдателя, помещающегося на продолжении
какой-либо секущей KiK2 за прямую L3, кратчайший по-
ворот прямой Lj в положение, параллельное Lif совер-
шается против часовой стрелки. В противном случае пара
Li, L2 называется левой.
Замечание 1. Правая пара остается правой, а ле-
вая-левой вне зависимости не только от выбора точек
jKi, Кг на прямых Lj, L2, но также и от обозначения этих
прямых (первую можно назвать +2, а вторую Lx). Дей-
ствительно, хотя При этом вращение будет происходить
13*
196 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
в обратном направлении, по наблюдатель поместится те-
перь иа продолжении секущей за прямую так что для
него направление вращения остается прежним.
Заме ч аиие 2. Для прямых Li, L3, лежащих в одной
плоскости, а также для перпендикулярных прямых поня-
тия правой н левой пары теряют смысл.
Пример. Если при ввинчивании или вывинчивании
штопора его ручка поворачивается на угол 60°, то началь-
ное и конечное положения оси ручки образуют правую
пару прямых (если за прямую принять ось ручки в ее
верхнем положении, то наблюдатель, о котором говорится
в определении, должен смотреть снизу; в противном слу-
чае-сверху). При повороте ручкн штопора иа угол 120°
начальное и конечное положения ее оси образуют левую пару.
Признак п р а в и з н ы и левизны. Пусть а2 —
какие-либо (ненулевые) векторы, коллинеарные с пря-
мыми Llt L.,. Если смешанное произведение имеет
тот же знак, что и скалярное произведение то пара
Li, L2~ правая; если знаки противоположны, то-левая.
Когда KiKtfhPi = 0, прямые Lb L2 лежат в одной
плоскости; когда = 0, прямые Lif L2 перпендикулярны.
В обоих этих случаях пара £lf L2 не является ни правой,
ни левой (см. замечание 2).
Знак кратчайшего расстояния между
двумя прямыми. Кратчайшему расстоянию между
скрещивающимися неперпендикулярными прямыми можно
приписать знак, считая это расстояние положительным,
если пара-правая, и отрицательным, если оиа —левая.
Обозначая буквой 8 кратчайшее расстояние между
прямыми с учетом его знака, имеем вместо (1) § 165 сле-
дующую формулу:
I 1 [ «1 X «2 ( * ' }
Она пригодна также для пересекаюшихся (но не перпен-
дикулярных) прямых и дает в этом случае 8=0. Для
перпендикулярных прямых формула (1) непригодна, так
как первый сомножитель -”1Ягг становится неопределен-
1 °1а2 I
нйм, принимая внд у (если прямые не перпендикулярны,
то первый сомножитель равен либо 4-1, либо — 1).
Для параллельных прямых формула (1) также непригодна,
так как второй сомножитель становится неопределенным,
См, замечание 2.
§ 166, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 197
§ 166. Преобразование координат
I. Перенос начала координат. При замене системы
координат ОХ Умновой системой O'X'Y'Z' с равнонаправленными ося-
ми старые координаты (х; у; г) тачки выражаются через новые(х'; у'; z')
формулами
х=а + х', у=$+у', z-c+z', • (1)
где а, Ь, с—координаты нового начала О' в старой системе (ср. § 35).
Координаты всякого вектора при этой замене остаются неизмен-
ными.
2. Поворот осей. При замене системы OX YZ новой системой
O’X'Y'Z'с тем же началом старые координаты точки выражаются
через новые формулами
х = х' cos (О) +У' cos 4-2' cos
у = x' cos (rj) +y' cos +z' cos (ftSJ),
z=x' cos (f?fc) + y' COS Cf?fc) COS (fc\fc),
(2)
где (4', i) есть угол между векторами i' и I, т. е. между новой и ста-
рой осью абсцисс, О', 4) -угол между новой осЬю ординат и старой
осью абсцисс и т. д,) *).
Координаты всякого вектора при этой замене преобразуются по
тем же формулам.
Замечание, Из девяти величин cos (4', 4), cos (J', J) и т. д.
любые три можно задать произвольно, остальные шесть удовлетво-
ряют соотношениям
cos* (4,4') + cos1 (4, Г) + cos® (4, fc') » 1,
cos® (/<')+cos2 (JJ') +cos2 (£fc') = I,
cos2 (/O’) + cos2 (kJ') +cos2 (fc?fc9 == 1
и
cos (4, i') COS (j, 4') + COS (4ДЭ COS (/',/) I- COS (4, fc') COS (J, fc') 0,
COS (4, 4') cos (fc^4') + COS (O') COS (&J') + COS (O') COS (fc?fc') = 0,
cos (J, 4') cos (fc?4') + cos(£/') cos (fc^J') + cos (J?fc') cos (k^fcQ = 0..
Соотношения (3) вытекают из (4) § 101, соотношения (4)—из (2)
§ 145,
т) Каждый из коэффициентов при новых координатах есть коси-
нус угла между соответствующей новой осью и той старой осью, кото-
рой отвечает координата, записанная в девой части,
198 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
, $ 167. Уравнение поверхности
Уравнение, связывающее координаты х, у, г, назы-
вается уравнением поверхности S, если соблюдены сле-
дующие два условия: I) координаты х, у, г всякой точки
поверхности 5 удовлетворяют этому уравнению, 2) коор-
динаты х, у, z всякой точки, ие лежащей иа поверхности S,
не удовлеизоряют этому уравнению (ср. § 7).
Замечание. Если изменить систему координат, из-
менится и уравнение поверхности (новое уравнение полу-
чится из старого с помощью формул преобразования
координат, § 166).
Пример 1. Уравнение x+y+z—l » О есть уравне-
ние плоской поверхности. Ту же поверхность при надле-
жащем выборе прямоугольной системы координат можно
представить любым другим уравнением первой степени.
Пример 2. Поверхность шара (сфера) радиуса 7? с
центром в начале координат представляется уравнением
x2+ya4-z2 = jR2, (1)
ибо 1) если точка М(х, у, лежит на этой поверхности,
то расстояние ОМ — /х3+у2+г3 равно радиусу /?, стало
быть, уравнение (I) удовлетворяется; 2) если М не лежит на
поверхности, то ОМ R, и уравнение (1) не удовлетворяется.
Пример 3. Сфера радиуса ₽ с центром в точке
С (а; Ь; с) представляется уравнением
(х- fl)‘+(y- &)2+ (2- С)1 ~ (2)
Уравнение, связывающее координаты х, у, г, может представлять
не поверхность, а другие геометрические образы, или не представлять
никакого геометрического образа (ср. § 58).
Пример 4, Уравнение x3+j^+zs +1 =0 ие представляет ни-
какого геометрического образа, ибо она не имеет (действительных) ре-
шений.
Пример 5. Уравнение x!+yI+z*=O, имеющее единственное
действительное решение х=О, у=О, 2=0, представляет одну точку.
Пример 6. Уравнение (х — y)1+(z-y)3=O удовлетворяется
лишь тогда, когда одновременно х-у = 0 и z — у = 0; оно предста-
вляет прямую линию х =у =х.
§ 168. Цилиндрические поверхности, у которых
образующие параллельны одной из осей координат
Поверхность, порождаемая движением прямой ли-
нии (образующей), параллельной неподвижной прямой,
называется цилиндрической. Всякая линия, которую обра-
зующая пересекает в любом своем положении, называется
направляющей.
£ les. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 1&)
Всякое уравнение, ие содержащее координаты z и пред-
ставляющее на плоскости XOY некоторую линию L,
представляет в пространстве ци-
линдрическую поверхность, у
коюрой образую!! ая параллельна оси OZ, а направляющей
служит линия L.
Пример 1, Уравнение
а» “ а* *
(1)
представляет на плоскости XOY эллипс АВ А'В4 (черт. 182)
с полуосями а-О Л, Ь=ОВ. В про-
странстве оио представляет цилиндри-
ческую поверхность S, у которой обра-
зующие параллельны оси OZ, а направ-
ляющей служит эллипс АВ А'В' (эллип-
тический цилиндр).
Пример 2. Уравнение = 1
представляет цилиндрическую поверх-
ность (черт. 183), у коюрой образующие
параллельны оси OZ, а направляющей
служит гипербола CDC'D' (гиперболи-
ческий цилиндр).
Пример 3. Уравнение у2=2рх.
представляет параболический цилиндр черт. 184.
(черт. 184).
Уравнение, не содержащее координаты х (или у), пред-
ставляет цилиндрическую поверхность, у которой обра-
зующая параллельна сси ОХ (или ОУ).
200 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 4. Уравнение y~ = 2pz представляет параболи-
ческий цилиндр, расположенный, как показано на черт. 185.
Замечание. Если направляющая — прямая линия,
то цилиндрическая поверхность - плоская. В соответствии
с этим уравнение A\+Bv + O = 0 представляет в про-
' страпстве плоскость, парал-
лельную оси OZ (ср. § 124,
замечание).
§ 169. Уравнения линии
Линию можно рассматри-
вать как пересечение двух по-
верхностей и соответственно с
этим представлять системой
двух уравнений.
Два (взятых вместе) урав-
нения, связывающие коорди-
уравнениями линии L, если со-
условия: 1) координаты всякой
Черт. 186.
угол VOZ). Взя-
наты х, у, z, называются
блгодены следующие два
точки М линии L удовлетворяют обоим уравнениям;
2) координаты всякой точки, не лежащей на линии L, не
удовлетворяют обоим уравнениям
сразу (хотя могут Удовлетворить
одному из них; ср. § 140).
Пример 1. Два уравнения
у — z - О, х—z = 0 представляют
прямую линию как пересечение двух
плоскостей (ср. пример 1 § 140).
П р и м е р 2. Два уравнения
x2+y2+z- = а2, у-г
представляют в отдельности: пер-
вое - сферу радиуса а (черт. 186) с
центром в точке О, второе — пло-
скость LOX (прямая OL делит пополам
тые вместе, эти уравнения представляют окружность боль-
шого круга ALK.
Замечание 1. Одна и та же линия может предста-
вляться различными (равносильными друг другу) систе-
мами уравнений, ибо ее можно получить как пересечение
различных пар поверхностей.
Замечание 2. Система двух уравнений может представлять не
только линию, но и другие геометрические образы; она может также
не представлять никакого геометрического образа,
§170- ПРОЕКЦИЯ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТЬ 201
Пример 3* Система уравнений ts 25, 5 пред-
ставляет точку (0; 0; 5), в которой плоскость z = 5 касается сферы
лг+У2+2® =s 25.
ftp и м е р 4. Система уравнений хг+уг+х* = О, x+y+z = 1
не представляет никакого геометрического образа, ибо первому урав-
нению удовлетворяют только значения О, у я 0, а они не
удовлетворяют второму уравнению.
§ 170. Проекция линии иа координатную плоскость
1. Пусть линия L представляется двумя уравнениями,
из которых одно содержит z, а другое не содержит 1).
Тогда второе представляет «вертикальную» цилиндриче-
скую поверхность, а на плоскости ХОУ — направляю-
щую этой поверхности (§ 168); проекция линии L на
плоскость ХОУ лежит на линии L? (покрывая ее всю или
частично).
Пример 1. Уравнения
1
-представляют (черт. 187) линию ABAtBt (эллипс), по ко-
торой пересекаются плоскость (плоскость Р на
черт. 187) и круглая цилиндрическая поверхность = 1.
На,плоскости ХОУ уравнение х2+у3 = 1 представляет
окружность A'B'AiB'v Проекция липин совпадает
с линией A’B'A'jJBi,
J) Если оба уравнения не содержат z, то линия Е—вертикальная
прямая (или несколько такнхпрямых);онапроектирУетсяйаЛОУ точ-
кой (ср, § 149, пример 3).
202 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПР О СТР ЛИСТВЕ
П р и м е р 2. Уравнения
I- я8+у2+28 -л2, у — тх
представляют (черт. 188) большой круг («меридиан») ЛР А'Р*
сферы О как пересечение этой сферы с плоскостью у—тх
(плоскость 7? на черт. 188). Уравнение у — тх представ-
ляет на плоскости XOY прямую UV. Проекция мери-
диана АРА'Р' на плоскость
XOY лежит на прямой UV, но
покрывает лишь ее часть,
именно отрезок АА'.
2. Пусть оба уравнения,
представляющие линию L, со-
держат г; тогда для разыскания
проекции линии L на плоскость
XOY надо исключить z из
данных уравнений *). Уравне-
ние, полученное в результате
исключения, представляет на
>Z
Черт, 188.
плоскости XOY линию
проекция (покрывая ее
L', на которой лежит искомая
всю или частично). Аналогично
находятся проекции линии на плоскости XOZ и YOZ,
Вытекает из п. 1.
Пример 3. Рассмотрим окружность (ALK на
черт., 189), представляемую (ср. § 169, пример 2) уравне-
ниями
Х24-у24-22 = а®, (1)
______________ У “ (2)
з) Исключить г из двух уравнений—значит найти третье урапие,
ние, не содержащее z и удовлетворяющееся при всех тех значениях х
у, которые удовлетворяют системе двух данных уравнений.
$ 171, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 203
Для разыскания ее проекции на плоскость XOY исклю-
чим г из (1) и (2), Получим уравнение
хй+2у2 и а-, (3)
Оно представляет иа плоскости XOY эллипс AL'K.' с по-
луосями О А = а} OL' = Проекция окружности ALK
покрывает эллипс AJ/K' целиком.
Для разыскания проекции окружности ALK на пло-
скость XOZ надо из (1) и (2) исключить у. Получим урав-
нение
х2+2г2=о2, (4)
представляющее на плоскости XOZ эллипс тех же раз-
меров, что AL’K'. Проекция окружности покрывает этот
эллипс целиком.
Для разыскания проекции окружности ALK на пло-
скость YOZ нет иужды выполнять исключение х, нбо
одно из данных уравнений (т=2) и без того не содер-
жит х. Уравнение y=z представляет на плоскости YOZ
всю прямую UV, но искомая проекция покрывает лишь
ее отрезок (XL).
-
§ 171. Алгебраические поверхности и их порядок
Алгебраическим уравнением второй степени (с тремя
неизвестными х, у, 2) называется всякое уравнение вида
Ах? + By3+Cz2+Dxy+Eyz + Fzx+ Hy+
+ K2+L « 0,
где по крайней мере одна из шести величин А, В, С, В,
Е, F не равна нулю. Аналогично определяется алгебраи-
ческое уравнение любой степени (ср. § 37).
Если некоторая поверхность S представляется в какой-
либо прямоугольной системе координат уравнением л-й
степени, то и во всякой другой прямоугольной системе она
представится уравнением той же степени (ср. § 37).
Поверхность, представляемая уравнением л-й степени,
называется алгебраической поверхностью п-го порядка.
Всякая поверхность первого порядка есть плоскость. По-
верхности второго порядка рассмотрены в нижеследующих
параграфах.
204 аналитическая геометрия в пространстве
§ 172. Сфера
Уравнение второй степени
хЧуЧ-z2 ~ Я2 (1)
представляет (§ 167, пример 2) сферу радиуса 7? с цент-
ром в начале координат. Если начало нс совпадает с цент-
ром сферы, то последняя представится тоже уравнением
второй степени, именно
(х- а)2 + (у~ Ь)2 4 (z - с)« ~ R2, (2)
где а, Ь, с — координаты центра сферы (ср. § 38).
Уравнение второй степени
Ах2 + Вуг 4- Cz~ Dxy + Eyz + Fzx 4- Gx +
+ * *= 0 (3)
представляет сферу только при условиях
А = В С, (4)
D О, Е = О, F = О, (5)
G4tf3 + №~4AL > О (6)
(ср. § 39), При этих условиях имеем:
G . и „ к D2 G2 !-Я?,'.К2-4ЛД
«=-2А. 6=-2А> С=~2А< R ='-------------4Л<------•<?)
Пример. Уравнение
x2+y2 + z3-2x-4y~4 = О
(Д = В = С ~ 1, Е^ F-Of 0^-2, Н -4,
К = О, L=-4)
Представляет сферу, Дополнив выражения хг—2х и
у2-4у до полных квадратов и прибавив для компенсации
числа Iй, 2г к правой части, получим уравнение
(х-1)2+(у-2)й+гг- 9,
т. е. а = 1, b ~ 2} с — О, Z? = 3.
То же найдем по формулам (7).
§ 173. Эллипсоид
Поверхность, представляемая уравнением *)
= 1 (1)
. да ' &г 1 ei ’ \ /
*) Здесь и в дальнейшем буквами а, Ъ, с обозначены длины иеко-
торых отрезков, так что числа af с положительны.
§ 173. ЭЛЛИПСОИД 205
называется эллипсоидомJ) (черт, 190). Линия пересечения
АВА'В'эллипсоида (1) с плоскостью XOY представляется
(§ 169) системой
**^+*1^ 1
О-1 сг л
Г -- 0.
Оиа равносильна системе
*2 - Xi _ 1
Я3 ' ьа — 1
2 = 0,
так что АВА'В1 есть эллипс с полуосями ОА~а, ОВ = Ь.
Сечеиия эллипсоида (1) плоскостями FOZ, ХОХ суть
эллипсы М'СМВ с полуосями й)
ОВ = Ь, ОС~с и L'CLA с
луосями ОА-а, ОС = с.
Сечение эллипсоида j
скостью 2=Л (LML'M'
черт. 190) представляется
стомой
X2 у2 _ 1 _ Л2
йг + ~ 1 <$’
z-h.
Однако если | h | =- с, то tlepT‘ 1“0,
уравнение (2) не представляет
никакого геометрического места («мнимый эллиптический
цилиндр»; ср, § 58, пример 5). В этом случае плоскость
не пересекает эллипсоида. При | h ] =с уравнение (2)
представляет ось ОХ(х=О, у = 0; ср. § 58, пример 4).
Значит, плоскость z=c имеет с эллипсоидом одну общую
точку С (0; 0; с) (точка касания); таким же образом пло-
скость z = ~с касается эллипсоида в точке С' (0; 0; -с)
(на чертеже не показана).
О Греческое слово «эллипсоид* означает «эллипсовидный». Оно
мало подходит для называния поверхности, но очень укорени-
лось. Древнегреческие геометры именовали эллипсоиды вращения
(других они не рассматривали) сфероидами (т, е. «сферовидными»). Это
наименование употребляется и ныне.
2) Прежде (§_41) буквой с обозначалась половина фокусного рас-
стояния [с я« так что с < а]. Здесь с имеет иной смысл и
может иметь любое значение.
206 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если же 1 h 1 < с, то искомое сечение есть эллипс с
ПОЛУОСЯМИ
Kt = afl-£, (4)
пропорциональными а и Ь.
По мере удаления от плоскости XOY размеры сечений
уменьшаются (причем все они подобны).
Та же картина для сечений, параллельных плоскостям
YOZ, ZOX.
Точка О есть центр симметрии эллипсоида (1). Плоско-
сти XOY, YOZ, XOZ - плоскости симметрии, осн OX, OY,
OZ " оси симметрииг).
Трехосный эллипсоид. Если все три величины
в, Ъ, с различны (т. е. ни один нз эллипсов А'СА, В'СВ,
АВА' не обращается в окружность), то эллипсоид (1) на-
зывается трехосным. Эллипсы А'СА, В'СВ, А'В А назы-
ваются глазными; нх вершины ГД(в; 0; 0), А'(~а! О; О),
В(О; Ь; О), В'(О; ~Ъ; О), С (О; 0; с), С'(0; 0; -с)] на-
зываются вершинами трехосного эллипсоида. Отрезки
A A', ВВ', СС' (оси главных эллипсов), а также их длины
Черт. 191.
Эллипсоид вращения. Если какие-либо две из
величин а, Ь, с, например а И Ъ, равны между собой, то
соответствующий главный эллипс А'ВА и все параллель-
ные ему сечения обращаются в окружности. Любое сечение
CZ?S, проходящее через ось OZ, можно получить поворо-
J) О центре симметрии и плоскости симметрии см. «Справочник по
элементарной математике», IV» В, § 16. _
§ 173. ЭЛЛИПСОИД
том эллипса CLA около оси OZ, т. е. эллипсоид есть по*
верхность вращения (эллипсы CLA, CRS, СМВ н т. д. —
меридианы, окружность А'В А — экватор). Такой эллип-
соид называется эллипсоидом вращения. Его уравнение
имеет внд
£+£+£=>• w
Если а * с, то эллипсоид вращения называется ежа-*
тыле (черт. 191, а), если в •< с, го вытянутым (черт. 19b б).
У эллипсоида вращения положение двух его осей неопре-
деленно.
Если а~Ъ~с, эллипсоид обращается в сферу, и
положение всех трех осей становится неопределенным.
Замечание 1. Эллипсоид вращения можно определить как по-
верхность, получаемую равномерным сжатием сферы к ее экватору
(ср. § 40). Сжатый эллипсоид вращения получается, когда коэффици-
ент сжатияЛ -г I,вытянутый—когдай г- 1.
Трехосный эллипсоид можно определить как поверхность, полу-
чаемую равномерным сжатием эллипсоида вращения к его меридиану.
Замечание 2. Эллипсоид представляется уравнением (1), если
оси координат совпадают с осями эллипсоида, В других случаяхэллин-
соид представляется иными уравнениями.
Пример 1. Определить, какую поверхность пред-
ставляет Уравнение
16№+3y2+16z®“48 « 0.
Решение. Данное уравнение приводится ,К виду
** . У3 < 2* „ 1
3 *16 з ”
Оно представляет вытянутый эллипсоид вращения с полу-
осями а=с==уз^ 5=4, Осью вращения служит Оу,
Пример 2. Определить, какую поверхность представляет
уравнение X»-6х+4ya + 9za + 362-99 =0.
Решение, Приведем данное уравнение К вид/
(X-3)s + 4ys+9(z+2)s - 144.
Перенесем начало координат в точку (3; 0: —2); тогда (§ 166) полу-
чим уравнение x'3+4y'«+9z'a « Ж или
х'з , уч г'» .
144+86*16 ’я1*
Данное уравнение представляет трехосный эллипсоид с полуося-
ми а =12, & «=б, с =4; центр его лежит в точке (3; 0: —2), оси парал-
лсльнц.осям координат.
208 аналитическая геометрия в пространстве
§ 174. Однополостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
аз + $3 сз 1» х-М
называется однополостным гиперболоидом (черт. 192).
Наименование «гиперболоид»г) происходит от того, что
среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Таковы,
в частности, сечения плоскостями х=0 (MNN'M' на
черт, 192) и у—О (KLJ/К'). Эти сечеиня представляются
(в своих плоскостях) уравнениями
(2)
bi с2 ' 47
X2 Z2 I уОХ
Название «однополостный» подчер-
кивает, что поверхность (I) в противо-
положность поверхности двуполостного
гиперболоида (см, § 175) нс разорвана
на две «полости», а представляет сплош-
ную бесконечную трубку, вытянутую
вдоль оси ОХ.
Плоскость
z = h (4)
при любом зиачеиии ft (ср.
§ 173) дает в сечении с поверхностью (I)
эллипс3)
черт.т £ + £=! + £ (5)
с полуосями а У 1+-—, Все эллипсы (5) по-
добны, вершины их лежат на гиперболах (2) и (3); раз-
меры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения
от плоскости XOY, Сечение плоскостью XOY есть эллипс
. у3 - i
оа + - х
(S')
(горловой эллипс АВ Д'В').
Д) То есть «гнперболовидный*. См. сноску j) на стр. 205,
з) Здесь предполагается, что а^-Ъ. В случае a =t> эллипсы (5)
обращаются я окружности^ см. ниже уравнение (6). *
§ 174. ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
209
Гиперболы (2) и (3), а также эллипс (5') называются
главными сечениями, их вершины А (а; О; 0), Д' ( — а; О; 0),
В (0; Ь; 0), В' (0; —Ъ; 0) — вершинами однополостного ги-
перболоида. Отрезки А А' = 2а, В В' = 2Ъ (действительные
оси главных гипербол), а часто и прямые АА', В В' назы-
ваются поперечными осями. Отрезок СС' = 2ОС = 2с, от-
кладываемый иа оси OZ (мнимая ось каждой из главных
гипербол), называется продольной осью одиополостного
гиперболоида.
Точка О есть центр симметрии одиополостного гипер-
болоида (1), плоскости XOY, YOZ, ZOX — плоскости сим-
метрии, оси OX, OY, OZ—оси симметрии.
Однополостный гиперболоид враще-
ния. Если а = Ь, то уравнение (1) принимает вид
+ = 1,
а* т ей W
Горловой эллипс АВ А'В' обращается в горловую окруж-
ность радиуса а. Все сечения, параллельные ЛОГ,— тоже
окружности. Сечения KLL'K/ и MNN'M' (и вообще все
сечения через продольную ось) становятся равными гипер-
болами, и поверхность (б) можно образовать вращением
гиперболы NLL'K' около продольной оси. Поверхность (б)
называется однополостным гиперболоидом вращения. По-
ложение двух ее (поперечных) осей становится неопреде-
ленным, третья (продольная) ось совпадает с мнимой осью
вращающейся гиперболы. В отлнчие от гиперболоида вра-
щения (а = &) однополостный гиперболоид (1) при а г Ь
называется трехосным.
Замечание. Однополостный гиперболоид вращения можно оп-
ределить как поверхность, порожденную вращением гиперболы около
ее мнимой оси, трехосный однополостный гиперболоид—как поверх-
ность, получаемую равномерным сжатием одиополостного гипербо-
лоида вращения к плоскости какого-либо меридиана.
Пример. Определить вид поверхности
xa-4y2-4z3+16 = 0.
Решение. Данное уравнение приводится к виду
„ 1
43 т 23 + 23
Ойо представляет однополостный гиперболоид вращения
с центром в точке (0; 0; 0), осью врашення служит ОХ
(так как отрицательный коэффициент стоит при ха). Ра-
диус горлового круга г = 2, продольная полуось равна 4.
14 М. Я- Выгодский
210 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия в пространстве
§ 175. Двуполостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
X3 у»
цЗ "* £3 г сЗ
(О
называется двуполостным гиперболоидом (черт. 193).
Сечения плоскостями XOZ и YOZ представляются Урав-
нениями
Z3 X3 , .
сз “ аз ~ *>
Z* у» . 4
са " &а — *•
(2)
(3)
Это-гиперболы (KK'L'L и MM'N'N на черт. 193). Для
каждой нз них ось OZ является дей-
ствительной осью (ср. § 174).
Плоскости z = h не встречаются
с гиперболоидом (1) при | Л | -е с (ср.
§ 174). Прн ft - они касаются
гиперболоида в точках С (0; 0; с) и
С' (0; 0; -с). При ] h I а» с в сечеини
получаются эллипсы
г + О)
подобные друг другу (КМК'М',
LNL'N' и др.). Размеры их увеличи-
ваются по мере удаления от пло-
скости XOY.
Таким образом, поверхность (1)
состоит из двух разобщенных поло-
стей, откуда и название д в у п о-
лостный гиперболоид.
Гиперболы (2) н (3) называются главными сечениями,
их общие вершины С и С' - вершинами двуполостного
гиперболоида, нх действительная ось СС' — продольной
осью двуполостного, гиперболоида, мнимые осн ДА' ~ 2а
н В В' и 2&-поперечными осями симметрии,
Двуполостшлй гиперболоид имеет центр О, оси симмет-
рии OX, OY, OZ и плоскости симметрии XOY, YOZf
См, подстрочное примечание иа стр, 208.
$ 1?6. КбнУС ВТОРОГО ПОРЯДКА S1!
ZOX. Две полости гиперболоида симметричны друг другу
относительно плоскости XOY.
Двуполостный гиперболоид нращеиня.
Уравнение (1) при а = Ъ принимает вид
2^4-^-^= -1
дз ~ а? с*
и представляет поверхность, порождаемую вращением
гиперболы около ее действительной оси. Она называется
двуполостным гиперболоидом вращения. Двуполостный
гиперболоид с неравными поперечными полуосями а и b
называется трехосным. w
Пример 1, Определить вид поверхности i
Зх2—5ya-2z2 —30 = 0.
Решение. Данное уравнение преобразуем к виду
Й 4. 28 _ А8___1
6 + 15 10 “ Ь
Имеем двуполостный гиперболоид (трехосный). Продоль-
ная ось равна /16 и_ совпадает с осью ОХ, одна попе-
речная ось равна /6 н направлена по осн 0Y, другая
равна /15 и направлена по осн 0Z.
Пример 2. Уравнение
x2-y8-zs — -1
представляет однополостный (а не двуполостный) гипер-
болоид (хотя в правой части стоит — 1, а ие 4-1, но в
левой части два отрицательных слагаемых). Представив
данное уравнение в виде у24-28—х2 = 1, видим, что ги-
перболоид порожден вращением равносторонней гиперболы
около ее мнимой оси (совпадающей с осью ОХ).
§ 176. Конус второго порядка
Конической поверхностью называется всякая поверх-
ность, порождаемая движением прямой линии (образующей),
проходящей через неподвижную точку (вершина кониче-
ской поверхности). Всякая (не проходящая через вершину)
линия, которая пересекает образующую в любом положе-
нии последней, называется направляющей.
Поверхность
£.^-‘2=0. (1)
14*
212 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
которая, как показано ниже, является конической, назы-
вается конусом второго порядка (черт. 194).
Сеченне ее плоскостью XOZ (у = 0) представляется
уравнением
/
- - г4 = о,
й8 ft »
т. е.
(2)
Это-пара прямых
Черт, 194,
(KL и K'L'), проходящих через начало
(§ 58). В сечеиии плоскостью YOZ
получаем пару прямых (МХн M'N'):
(f + °- <3)
Сечеиие всякой другой плоскостью
у = кх, проходящей через ось OZ,
представляется (§ 169) системой
У = * + *£’-^0. (4)
Это-тоже пара прямых:
У-кх, + (5)
И
у = кх’ = (°)
проходящих через начало. Значит, поверхность (1)-кони-
ческая; точка О-ее вершина.
Сечение конуса (1) всякой плоскостью z = h (при h 0)
есть эллипс
£ + (7)
с3 ~ &3 С3 »
он обращается в точку О (0; 0; О) при h — О. Все эллипсы
(7) подобны, вершины нх лежат на сечениях (2) и (3).
При а = b эллипсы (7) обращаются в окружности и
конус второго порядка-в круглый конус
_ 51 = о. (8)
а» а» сз ' }
§ 177. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД 213
Коиус второго порядка можно определить как поверх-
ность, полученную равномерным сжатием круглого конуса
К плоскости осевого сечения.
Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными пло-
скости XOZ (или плоскости VOZ), суть гиперболы.
Замечание, Сечения всякого конуса второго порядка плоско-
сти чи, нс проходящими через вершину, являются окружностями i),
эллипсами, гиперболами и параболами. Каждая из этих линий может
быть принята за направляющую. Ввиду этого целесообразно называть
конус второго порядка «эллиптическим*.
Пример!. Уравнение .№' у2 = zz представляет круг-
лый конус; сечение плоскостью XOZ есть пара прямых
х = ±z. Образующие составляют с осью угол 45°.
Пример 2. Уравнение - х3 + 9у2 + 3z2 = 0 предста-
вляет (иекруглый) конус второго порядка. Сеченне всякой
плоскостью z = есть гипербола х3-9у- = '3№‘,
при h -= 0 опа обращается в пару образующих. Та же
картина для сечений у =1. Сече-
ния х = d (d 0)-эллипсы.
§ 177. Эллиптический
параболоид
Поверхность, представляе-
мая Уравнением
£ 2р + 2q
(р > 0, q 0), называется эл-
липтическим параболоидом
(черт. 195).
Сечения плоскостями XOZ
и YOZ (главные сечения) —
параболы (АОЛ', BOB ')
х3 = 2pz, (2)
У2 = 2qz; (3)
обе/обращены вогнутостью в одну сторону («вверх»).
Плоскость z = 0 касается параболоида в точке О, пло-
скости z = h при h >• 0 пересекают параболоид по подоб-
ным между собой эллипсам
(4)
2р 2<] П
1) У круглого конуса - одна система параллельных круговых сече-
ний, У некруглого -две,
214 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
с полуосями l/2ph, V2qh, При h < 0 зтн плоскости не
встречают параболоида.
Эллиптический параболоид не имеет центра симметрии;
он симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ и
относительно оси OZ. Прямая OZ называется осью эллип-
тического параболоида, точка О-его вершиной, величины
р н q—параметрами.
При р = q параболы (2) и (3) становятся равными, эл-
липсы (4) обращаются в окружности и параболоид (1) ста-
новится поверхностью, порождаемой вращением параболы
около ее оси (параболоид вращения)1).
Эллиптический параболоид можно определить как по-
верхность, получаемую равномерным сжатием параболоида
вращения к одному из его меридианов.
Пример. Поверхность z ® есть параболоид
вращения, образованный вращением параболы z — № около
ее оси (ось OZ). Поверхность х = у--г22 есть тот же
параболоид, иначе расположенный (ось вращения совпа-
дает с ОХ).
Замечание. В сечении эллиптического параболоида
плоскостью у = / получаем линию z = (CDC');
это-парабола, равная (§ 50) параболе АО A'
ось ее тоже направлена «вверх», а вершиной является
точка D (О; /; . Координаты точки D удовлетворяют
уравнениям х = 0, у2 — 2qz, т. е. D лежит иа пара-
боле ВОВ'. Значит, эллиптический параболоид есть по-
верхность, порождаемая параллельным перенесением пара-
болы (АОД')» при котором ее вершина движется по другой
параболе (BOB'). При этом плоскости подвижной и не-
подвижной парабол перпендикулярны, а оси равнона-
правлеиы.
(1)
§ 178. Гиперболический параболоид
Поверхность, представляемая уравнением
_ у8
£ ~ 2р “ 2g
(р >-0, q >• 0), называется гиперболическим параболоидом
(черт. 196).
>) Форму параболоида вращения имеют зеркала рефлекторов (они
обращают пучок лучей, исходящих из фокуса, в параллельный пучок).
§ 178. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД 215
Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сеченая)
суть параболы (АОА', ВОВ')
хг = 2pz, (2)
y‘=-2p. (3)
В противоположность главным сечениям эллиптического
параболоида (§ 177) параболы (2) и (3) обращены вогну-
тостью в противоположные
бола АО Д' - «вверх», пара-
бола ВОВ' — «вниз*). По-
верхность (1) имеет седло-
образный вид.
Сечение гиперболическо-
го параболоида (1) пло-
скостью ХО Y (z = 0) пред-
ставляется уравнением
2р 2д и* I '
Это -пара прямых1)
OD, ОС (§ 58, пример 1).
Плоскости z = й, параллельные XOY, пересекают ги-
перболический параболоид по гиперболам
" ’Й’ = л’ 2 " fc-
стороны (пара-
(5)
При h 0 действительная ось у этих гипербол (на-
пример, у гиперболы UVV'U') параллельна оси ОХ; при
h -= 0 (гипербола LNN'L') действительная ось парал-
лельна OY. Все гиперболы (5), лежащие по одну сторону
от плоскости XOY, подобны друг другу; они попарно со-
пряжены (§ 47) с гиперболами (5), лежащими по другую
сторону от XOY.
Гиперболический параболоид не имеет центра; ои сим-
метричен относительно плоскостей XOZ и YOZ н отно-
сительно осн OZ. Прямая OZ называется осью гиперболи-
ческого параболоида, точка О —его вершиной, величины
р и q-параметрами.
Замечание!. Ни при каких значениях р и q гипер-
болический параболоид (в отличие от вышерассмотренных
I) На гиперболическом параболоиде имеется бесчисленное мно-
жество прямых линий; см. § 180.
216 аналитическая геометрия в пространстве
поверхностей второго порядка) нс является поверхностью
вращения.
Замечание 2. Гиперболический параболоид, как и
эллиптический, можно образовать параллельным перене-
сением одного главного сечения (например, БОВ ) вдоль
другого (ЛОА'). Но теперь подвижная и неподвижная
параболы обравдены вогнутостями в противоположные
стороны.
Пример. Поверхность z = x2-y‘J есть гиперболиче-
ский параболоид; оба главных сечения суть параболы,
равные между собой, но обращенные в противоположные
стороны. Поверхность можно образовать параллельным
смещением одной из этих парабол вдоль другой. Сечение
плоскостью z = ft (й 0) - равносторонняя гипербола с
полуосями а = У| й |, & — й |. При й = О она обра-
щается в пару перпендикулярных прямых (х+у = О,
х-у = 0). Если эти прямые принять за координатные оси
ОЛ', ОУ', то рассматриваемый гиперболический параболоид
представится (§ 36) уравнением z = 2х'у'.
Вообще уравнение z = ~ представляет тот же гипер-
болическии параболоид, что и уравнение z = — •--- ,
только в первом случае оси ()Xt OY совпадают с прямо-
линейными образующими (§ 180), проходящими через вер-
шину.
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка
Всякое уравнение второй степени
Ах2 + By2 + Cz- + Dxy + Eyz -I- Fzx + Ox+
+ Hy -f- Kz + L = 0
можно с помощью формул преобразования координат
(§ 166) преобразовать в одно из нижеперечисленных
17 уравнений, называемых каноническими. При этом урав-
нение “ + — = 0 (№ 14) представляет не поверхность, а
прямую линию (х — 0, у = 0). Однако говорят, что оно
представляет пару мнимых плоскостей (пересекающихся
по действительной прямой) (ср. § 58, пример 4). Уравне-
ние ~ = О (ла 13) представляет только одну
точку (0; 0; 0). Однако (по сходству с уравнением № 4)
§ 179. ПЕРЕЧЕНЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 217
№ п/п 1 Каноническое уравнение Схематическое! изображение Название поверхности Пара- граф
1 У1 , , + т с® Эллипсоид(в частности,эл- липсоид враще- ния и сфера) 173
2 .№ у* zn- _ j «г + Ь* " С* “ Одпополостный гиперболоид 174
3 х3 у2 гг _ j «s + “ Т2" “ Двуполостный гиперболоид 175
4 О II N | У 1 -4- X 1« Конус второго порядка 176
“) X2 . У Z = J- X— 2р 2tj Эллиптический параболоид 177
6 = у~ _ у!_ Z 2р 2ц Гиперболический параболоид 178
7 ! [----. Эллиптический цилиндр 168
8 1 h °\12> 1 Гиперболический ЦИЛИНДР 168
аналитическая ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
Продолжение
№ п/п Каноническое уравнение Схематическое изображение Название поверхности Пара- граф
9 у® = 2рх Параболический цилиндр 168
10 £ 2? - о "" й» 4 <• Пара пересекаю- щихся плоско- стей
И I В|И 1 1 I - 1 « Пара параллель- ных плоскостей
12 х3=0 j ""j Пара совпадаю- щих плоскостей
13 «г Л'-' + С« Мнимый КОНУС второго поряд- ка с действитель- ной вершиной (0; 0; 0)
14 о 1 я 1 I + ! Пара мнимых плоскостей (пе- ресекающихся по действитель- ной прямой)
13 ^ + ^ + 1г._1 а»+ Ь» + е® Мнимый эллип- соид
16 1 1 П + SIS Мнимый эллип- тический ци- линдр
17 х1 1 Пара мнимых параллельных плоскостей
§ 180. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 219
говорят, что уравнение М 13 представляет мнимый конус
второго порядка (с действительной вершиной).
Уравнения М 15, 16, 17 не представляют никакого
геометрического образа. Однако говорят, что онн пред-
ставляют соответственно мнимый эллипсоид (ср. М 1),
мнимый эллиптический цилиндр (ср, № 7) н пару мни-
мых параллельных плоскостей (ср. № И).
Пользуясь этой условной терминологией, можно ска-*
затъ, что всякая поверхность второго порядка является
одной из 17 перечисленных иа стр. 217-218 поверхностей.
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядка
Поверхность называется линейчатой^ если ее можно
образовать движением прямой линии (образующей). Из
поверхностей второго порядка линейчатыми являются ци-
линдры и конус второго порядка и, сверх того, однопо-
лостный гиперболоид и гипербо-
2 лнческий параболоид.
Черт. 197. Черт. 198,
гиперболическом параболоиде (черт, 198) через каждую
точку проходят две прямолинейные образующие. Так, на
черт. 197 через точку А проходят образующие UU' и VV',
через точку У-образующие у А и У В.
У эллипсоида, двуполостного гиперболоида н эллипти-
ческого параболоида прямолинейных образующих (дей-
ствительных) нет.
Пример, Сечеине одиополостного гиперболоида
220 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Черт, 199.
плоскостью х = а (плоскость Р на черт. 197) Предста-
ла V2 22 1
влястся уравнением + ^ - ’с./ : 1, т. с.
Й - 4 = 0- (2)
t?2 v '
Это-пара прямых (UU' и VV'). Они проходят через
вершину А (а; 0; 0) горлового эллипса. Точно так же через
вершину В (0; &; 0) проходит пара прямолинейных обра-
зующих
§ ~ 4 = °> у =<3>
Однополостнын гиперболоид вращения (а = Ь) можно
образовать'1) вращением прямой UU' (или
VV') около оси OZ.
Занеч авие, Лииейчатость одиополостцого
гиперболоида использована инженером!В. Г. Шухо-
вым для строительной конструкции, называемой
«башней Шухова^. Ола строится из железных полос,
располагающихся по прямолинейным образующим
однополостного гиперболоида, Полосы склепыва-
ются в местах пересечения двух систем образую-
щих. При малой затрате материала конструкция
В, Г. Шухова обладает большой прочностью.
§ 181» Поверхности вращения
Пусть L есть линия, лежащая в плоско-
сти XOZ. Тогда уравнение поверхности,
порождаемой вращением линии L около
оси OZ, получается из уравнения линии L
заменой х на ?х*~+ У2.
Пример 1. Пусть прямая z = 2х, лежащая в плоско-
сти у = 0 (прямая РР' па черт, 199), вращается около OZ,
Тогда уравнение конической поверхности, порождаемой
вращением прямой РР’, имеет вид z = 2 /x'+yS т. е.
х’ + У2-~ = 0 (ср,§ 176).
Аналогичные правила имеют место, когда линия L ле-
жит в другой координатной плоскости н осью вращения
Является другая ось координат.
П р и м е р 2. Найти уравнение поверхности, порождае-
мой вращением параболы у3 — 2рх (LOL' на черт. 200)
около оси ОХ.
Ч Если проколоть булавкой две спички, не лежащие в одной пло-
скости, и, взяв одну из спичек за ее конец, быстро вращать около нее
всю модель, то другая спичка явственно начертит однополостями ги-
перболоид.
§ 182. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 221
Решение. Заменяя у на /y2 + za, т. е. у3 на ya + zaf
получаем y2 + z3 = 2рх (параболоид вращения с осью ОХ).
Примерз. Найти уравнение поверхности, порождае-
мой вращением параболы г2 -2рх (КОК1 на черт. 201)
около оси Z.
Решение. Заменяя х на /х2 + уа, получаем урав-
нение 2г — 2р Ухг + у3 нлн = 4/>3 (х1+У2) (поверх-
ность четвертого порядка).
§ 182. Определители второго и третьего порядка
. . I п, |
Определителем второго порядка I * называется
(§ 12) выражение
Определителем третьего порядка
Ь2
1 йз Ь3
о
^2
^3
называется (§ 118) выражение
Hi&gCg й^&зСа -У &1^-2^з — ^х^з^й ^х^а^з G^B^a?
или, что то же,
п 1 ^2 С2 I t I Д2 ^2 I , г 1а2 Ьй|
j &3 сз! I «3 сз I !аз &31
(1)
(2)
(3)
А -
222 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Буквы q, а2, Ь2, с.,, ай) &3> с3 называются эле-
ментами определителя.
нс I ^2 Сл I I ^2 1 I 02 ^2 I
Миноры, Определители . ‘ ,
! &з сз Г I аз сз! I аз М
входящие в формулу (3), называются минорами х) эле-
ментов аъ bb q.
Вообще минором какого-либо элемента называется
определитель, получаемый из данного определителя вы-
черкиванием той строки и того столбца, на пересечении
которых стоит элемент.
П р нм е р ы. Мииор элемента Ь2 определителя (1) есть
определитель I , схема:
cq с3
, мииор элемента с3
Минор элемента есть
есть I 01 М
&J-
Замечание. В определителе второго порядка
(fli б. I ,
. минором элемента а, является элемент Ь2', его
а2 о21
можно считать «определителем первого порядка». Элемент
&3 получится нз определителя второго порядка вычерки-
ванием верхней строки и левого столбца. Аналогично ми-
нором элемента а3 является элемент Ь( н т. д.
Алгебраическое дополнение. В формуле (3)
1^л
&3
I а2 б** I л
+1 . Этн выражения называются
дополнениями элементов alf blt q.
Вообще алгебраическим дополнением
вается его минор, взятый со своим илн с противополож-
ным знаком согласно следующему правилу;
Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении
которых стоит элемент, есть число четное, то минор бе-
рется со своим знаком, если нечетное, — то с противопо-
ложным.
алгебраическими
элемента назы-
х) От латинского слова minor-меньший,
§ 18$. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 223
Алгебраические дополнения элементов «п blt сь аг
н т. д. будем обозначать соответственно Au Blt Clt А*
и т. д.
Пример 1. Элемент bt определителя (1) стоит па
пересечении первой строки и второго столбца. Так как
14-2=3 есть нечетное число, то В. = - .
I аз £3 I
Пример 2. Найти алгебраическое дополнение эле-
мента с2.
Решение. Вычеркивая вторую строку и третий стол-
бец, находим мииор 01 элемента сг. Номер строки
(аз Оз I
этого элемента есть 2, номер столбца -3. Сумма 24-3 -
нечетное число. Поэтому С* = - 01 .
„ 8 |«з М
Примерз. В определителе (1) алгебраическое допол-
нение В2 элемента &3 есть 4-101 (2-1-2- четное
i а3 с31
число).
Теорема 1. Определитель (1) равен сумме произведе-
ний элементов какой-либо строки на их алгебраические до-
полнения, т. е.
Д = dtiAi-i- ЬгВ1 + сгС1, (4)
Д = о2 Aj-|- Ь,В2 4- с2С3, (5)
Д — йз A3-I-&зВз4-СзС3. (6)
Формула (4) тождественна с (3), формулы (5) и (6) про-
веряются непосредственным вычислением.
Теорема 2. Определитель (1) равен сумме произведе-
ний элементов какого-либо столбца на их алгебраические
дополнения, т. е.
~ flj Al 4- flg Аг + ДдАз, (7)
= &1S1++ &3В3, (8)
= <\Ci +с«С2 -J- С3С3. (9)
облегчают вычисление определителя,
J д
д
Эти две теоремы
когда среди элементов есть нули.
П р и м е р 4. Для вычисления определителя
д =
2
3
1
удобно применить (5) или (9),
5
8
3
-2
О
5
224 аналитическая геометрия в пространстве
Формула (5) даст:
Д = "3)з + ~б|= -3-31+8-12 = 3.
Формула (9) дает:
д = -2|! 1|+5|з 11= -2-'+5-' = з-
П р и м е р 5. Для вычисленияЪпределителя
4—3 2
- - > - д = 6 11 1
0 3 0
лучше всего применить (6)
1 4 91
д = -з ; 7 = -з- - 8-24.
|6 1 |
§ 183. Определители высших порядков
Определителем четвертого порядка *-
«1 bi fi
Ь% С2 (fS
A — \Л)
«3 i>3 C3 </j
b4 dt
называется выражение
Д — Ад 4* f^L 4*(2)
6 3 0 3
4 4 2 1
0 4 4 2
7 7 8 5
§ 183, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 225
Решение.
(так как с j =0, то С\ вычислять не надо), Д = 6-8 + 3 ( —16)+3 ( —72) = -216.
Для определителя четвертого порядка остаются в силе теоремы 1
и 2 § 182, Их объединяет следующая теорема.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов
какой-либо строки (или какого-либо столбца) иа их алгебраические
дополнения, т. е.
Д = Mi 4-biBx -MjDb I Д — CfiC i I > (4) Д di2 4*Аз +Я4Д4r I Д = -Bf 4* £*2 ^2 4" 4* £*4 B4 t I
Первая из формул (4) совпадает с формулой (2), принятой за опре-
деление, Остальные можно проверить непосредственным вычислени-
ем, хотя оно и громоздко. Есть н более короткие выводы.
П р и м е р 2. Вычислим определитель примера 1, разлагая его по
элементам второго столбца. Имеем:
Д = 3Bi+4Bt + 4Bs+7Bo
где
4 2 1 6 0 3
BI = - 0 4 2 = -16, B. = 0 4 2 - -60
7 8 5 7 8 5
6 0 3 6 0 3
B8 = - 4 2 1 = -66, Bt = 4 2 1 и 48,
7 8 5 0 4 2
так что Д = 3-( -16)+4.(-60)+4-(-66)+ 7.48 = -216.
Пример 3, Вычислим тот же определитель, разлагая его по
элементам третьей строки:
Д = 0> Лд 4- -j- 4C& + 21Эз =
6 0 3 =-4 421 6 3 3 +4441 — 2 6 3 0 4 4 2 = -216
7 8 5 7 7 5 7 7 8
15 М. Я. Выгодский
226 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВ^
Определителем пятого порядка rfi ' 6^1 (5)
Д = «1 «3 at <*t t>i ba ba bt Cl Ct Ci Ct Cs
di rfs th de Ci e» ct CB
называется выражение Д 4" 4* £i.Ci 4* 4’ (6)
Где At, Bi, Clr Dj, Е,—алгебраические дополнения элементов о(, blt
Ci, <G> ег, эти алгебраические дополнения сами являются определи-
телями четвертого порядка.
Аналогично определяется определитель шестого порядка через
определитель пятого порядка и т. д.
Теорема настоящего параграфа остается в силе для опреде-
лителя любого порядка, ,
§ 184, Свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
Пример 1.
. М = |й1 а21
I flj Ьг | | bi Ь21
П р и м е р 2.
Й1 61 Og о3
Og ^2 *"2 = &1 ^2 *3 •
Оз Ь3 С3 Cj Cg С3
2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-
либо двух столбцов абсолютное значение определителя
остается прежним, а знак меняется на обратный.
Пример 3.
«1 bi Ci «1 bi Cl (переставлены вто-
Cg = — Ьз C3 рая и третья стро-
a3 Ьз cs «2 Ь2 6s ки; ср. § 117, и. 1).
Пример 4.
2 1 5 5 1 2 (переставлены пер-
3 6 0 0 6 3 вый и третий столб-
-4 2 1 I 2 -4 цы).
§ 164, СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
:227
3, Определитель, у которого элементы одной строки
(илн столбца) соответственно пропорциональны элементам
другой строки (столбца), равен нулю. В частности, опре-
делитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)
равен нулю. '
П р и м е р 5.
2 2 2
к ч - - п (второй и третий столбцы
~и одинаковы).
О -1 -1
Пример 6.
а а’ а" (элементы третьей строки
& &' &” = о пРопоРЦИоиальиы элемен-
000 и там первой строки; ср.
За За' За" § 117, пп. 1, 3, 4).
4. Общий множитель всех элементов одной строки (или
одного столбца) можно вынести за знак определителя.
Пример 7.
та та' та" = т а а' & Ь’ (ср. § 117, п. 3)
b Ь' Ь"
с с С" с с' с"
5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки)
есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме
двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит
только первое слагаемое, в другом — только второе
(остальные элементы в обоих определителях те же, что
в данном).
Пример 8.
«1 bi <4 а1 ci
Й3 &з+Сд t/2 аг &з da + Gg ^2 ^2
^3 &3 + ^3 ^8 а3 &з (1з О3 Cg t/g
(ср. § 117, п. 2).
6. Если ко всем элементам какого-либо столбца приба-
вить слагаемые, пропорциональные соответствующим эле-
ментам другого столбца, то новый определитель равен
старому. То же для строк.
Вытекает из пп. 5 и 3.
15*
228 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия в пространстве
2-1 3
Пример 9. Определитель
1 -3
О 2
равен 12.
Прибавим к элементам первой строки элементы второй,
с Г\ Г\
Получим 4 1 — 3 . Этот определитель тоже равен 12,
5 0 2
но вычисляется проще (в разложении по элементам первой
строки два слагаемых равны нулю).
Пример 10. Для вычисления определителя
4 2 3
-1 3 5
6 3 -1
прибавим к элементам первого столбца
помноженные иа -2. Получим -7
элементы второго,
2 "
3
3
. Этот оп-
ределитель легко вычисляется разложением по элементам
первого столбца 182, формула (7)]. Получаем;
3|
-11
-77.
4
5
6
о
о
7
О
3
Пример 11. Для вычисления определителя
6 3 0 3
4 4 2 1
0 4 4 2
7 7 8 5
вычтем из элементов второго столбца элементы третьего. Получим:
6 3 0 3
4 2 2 1
О 0 4 2
7-185
j 185. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 229
Теперь вычтем из элементов третье! о столбца элементы четвертого
умноженные на 2. Получим: 6 3-6 3 *
4 2 0 1 0 0 0 2
7-1-2 5
Разлагая по элементам третьей строки, получаем (как в примере 1
183):
б 3 -б
-2 4 2 0 = -216.
- 7 -1 -2
§ 185. Практический прием вычисления
определителей
Нижеописанный прием особенно Удобен, когда элементы
определителя - целые числа.
Намечаем строку 1), по элементам которой будем вести
разложение. Желательно, чтобы там был нуль. Прием имеет
целью создать в избранной строке новые иулн. Для этого
применяется свойство 6 § 184.
П р и м е р 1. Вычислить определитель
12 5 3
Д= 0 6 2
7 3-1
Разложим его по элементам второй строки (в ней есть
нуль). Создадим там (иа месте элемента 6) еше одни нуль.
Для этого вычтем из элементов второго столбца утроен-
ные элементы третьего. Получим:
Д =
О 0 2 = -2
= -80.
Будем теперь вести разложение по элементам первого
столбца, где уже есть один нуль. Создадим в этом столбце
(на месте элемента 7) еще один нуль. Для этого вычтем
Или столбец,
230 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
из элементов третьей строки элементы первой, помножеи-
7 «
иые на tj-. Получим:
2 5 3
д = 0 6 2
29 23
и
2 2
2 5
О 6
О 29
3
2
23
29
2
23
= -80.
6
Замечание. Можно было предвидеть, что первый способ удоб-
нее: во второй строке элемент б есть кратное элемента 2, тогда как
в первом столбце элемент 7 не кратен элементу 2. Желательно, чтобы
в избираемой строке (или столбце) по возможности все элементы были
кратны одному. Если один из элементов равен 1 или —1, то следует
избрать ту строку или тот столбец, где стоит этот элемент.
Примерз, вычислить определитель
-1-2 41
, 2 3 0 6
Д = ,
2-214
3 1-2-1
Избираем третий столбец (там есть и нуль и единица). Чтобы
создать нуль на месте элемента 4, вычтем учетверенные элементы
третьей строки (там находится элемент 1 избранного столбца) из эле-
ментов первой строки. Первая строка примет вид
- 9 6 0 - 15.
Чтобы создать в третьем столбце нуль на месте элемента —2, при-
бавим удвоенные элементы третьей строки к элементам четвертой. По-
следняя примет вид
7 - 30 7.
Теперь, разлагая по элементам третьего столбца, имеем:
А =
-9 6
2 3
2 -2
7 -3
О -151
О 6
1 4
О 7
-9 6 -15
2 3 6
7-3 7
В определителе третьего порядка все элементы второго столбца
кратны элементу —3. Поэтому прибавляем элементы третьей строки
(где стоит элемент—3) к элементам второй, а затем, предварительно
удвоив их, — к элементам первой строки. Получим:
О
О
-3
-1
13
7
5
9
А =
7
15 — 1 [
( —3)= 222,
|9 13 J 1 ’
§ 186, применение определителей 231
Пример 3. Вычислить определитель
3 7—24
д_ -3 -2 6-4
6 5-3 2 *
2 6-53
Здесь иет нулей, но во второй строке легко создать сразу два нуля;
к элементам ее надо прибавить элементы первой строки. Получим!
3 7-24
0 5 4 0
5 5-32
2 6-53
Теперь во второй строке можно создать еще один нуль, вычтя из эле-
4
ментов третьего столбца элементы второго, помноженные на —. Но
удобнее предварительно создать во второй строке единицу. Для этого
достаточно вычесть из элементов второго столбца элементы третьего.
Получим:
3 9 -2 4 3 9 -38 4
0 1 4 0 0 1 0 0
д >=
5 8 -3 2 5 8 -35 2
2 11 -5 3 2 И -49 3
(мы вычли из элементов третьего столбца Учетверенные элементы вто-
рого). Теперь имеем;
| 3
Д е I 5
2
-38
-35
-49
4
2
3
= -303.
§ 186, Применение определителей к исследованию
и решению системы уравнений
Определители впервые были введены для решения си-
стемы уравнений первой степени. В 1750 г, швейцарский
математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие
неизвестные через определители, составленные из коэф-
фициентов системы. Примерно через сто лет теория опре-
делителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала при-
меняться во всех математических науках.
В нижеследующих параграфах даны основные сведения
об исследовании н решении систем уравнений первой сте-
пени; для большей наглядности всюду указывается связь
с геометрическими фактами. _ ______——
232 аналитическая геометрия в пространстве
§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
+ byy = hlf (1)
+ b2y ~ h2 (2)
(каждое из них представляет прямую на плоскости XOF;
ср. § 19).
Введем обозначения
Д = Г1 (определитель системы), (3)
|Й2 &2
д. = |*16‘ |л, ь, tig /ij . (4)
Определитель А, получается из А заменой элементов
первого столбца свободными членами системы; аналогично
получается As.
Возможны три случая.
Случай 1. Определитель системы ие равен нулю:
Д О.
Тогда система имеет единственное решение
Д, Ду
X = у = -Л
A Т z А
(5)
[прямые (1) и (2) пересекаются, формулы (5) дают коор-
динаты точки пересечения].
Случай 2. Определитель системы равен нулю: Д=О
(т, е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны).
Пусть при этом один из определителей Дг, Ду не равен
нулю (т. е. свободные члены не пропорциональны коэффи-
циентам при неизвестных).
В этом случае система не имеет решений [прямые (1)
и (2) параллельны, но не совпадают].
Случай 3. Д = О, Д1=О, А„=О (т. е. и коэффи-
циенты и свободные члены пропорциональны).
Тогда одно из уравнений (1), (2) есть следствие другого;
система сводится к одному уравнению с двумя неизве-
стными и имеет бесчисленное множество решений [пря-
мые (1) и (2) совпадают].
$ 188. ДВА УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 233
Пример 1.
2х + 3у = 8, 7х-5у = -3.
Здесь
. |2 3| . 83
Д = |7 _5|=-31, а.=- _з _5 --3>,
I2 8
Д,= |7_3 =--62.
Система имеет единственное решение
Л л
X = ^=.l, v = |-2.
Пример
Здесь Д =
Коэффициенты
= 0. При этом Д* =
8 3
= 18#0.
10 6
2,
2х+3у --8, 4х+бу = 10.
2 3
4 6
пропорциональны, а свободные члены не
подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.
Пример 3.
2х+3у = 8,
Здесь
2
4
8
16
4х+6у = 16.
= о, д„
8
16
(например,
Одно из уравнений есть следствие другого
второе получается из первого Умножением йа 2). Си-
стема сводится к одному уравнению и имеет бесчислен-
ное множество решений, содержащихся в формуле
Д =
3
6
= 0, Дя
3
6
2
4
= 0.
y=^|x+ J (или х=-|у + 4).
$ 188. Два уравнения с тремя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
01* + &1У + С12 = Ль (1)
п2х + Ъ2у + с2г = h2 (2)
(каждое представляет плоскость в пространстве; ср. § 141).
Возможны три случая.
Случай 1. Из трех определителей
&х
pi сх сх ах
I bz с2 сл
234 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
хотя бы один не равен нулю, т. е. коэффициенты при не-
известных не пропорциональны. Тогда система имеет бес-
численное множество решений, причем одному нз неиз-
вестных можно дать любое значение. Например, если
|Й1
I а3 ^3
ние; неизвестные х, у определятся единственным образом
(§ 187, п. 1) из системы
= IIl-CiZ,
a2x+b2y = h2-c2z
[плоскости (1) н (2) не параллельны, система представляет
прямую, величины (3) — направляющие коэффициенты
(§ 143)].
Случай 2. Все определители (3) равны нулю, но один
нз определителей
Й! hi
1 >
п2
# 0, то неизвестному z можно дать любое значе-
к
&1 hi
&2 ^2
С1
С2 ^3
(4)
ие равен нулю, т. е. коэффициенты при неизвестных про-
порциональны, но свободные члены ие подчинены той же
пропорции. В этом случае система ие имеет решений [пло-
скости (1) и (2) параллельны, но не совпадают].
Случай 3. Все определители (3) н (4) равны нулю,
т. е. н коэффициенты и свободные члены пропорциональны.
Тогда система сводится К одному уравнению и имеет бес-
численное множество решений, причем любые значения
можно дать двум неизвестным. Например, если <j^O, то
любые значения можно дать неизвестным х, у [плоскости
(1) и (2) совпадают].
Пример 1. Решить систему
2x-4y + 2z = 2.
x-'2y-z = 15,
Здесь
п2 &2
1
2
-2
-4
с, а2
С1
&g Cj
-1 1
2 2
2-I|=-s.
4 21
= О,
= —4.
Среди этих определителей есть нс равные нулю. Значит,
система имеет бесчисленное множество решений. Любое
§ 189. ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 23!)
Ci «1
Сг й2
s- 0. Неиз-
значение можно дать одному неизвестному х или одному '
I &1 Cj I _
неизвестному у, так как , 0 и
| Сй I » »
вестному Z любого значения дать нельзя (ср. § 142,
пример 5).
Решим систему относительно у н z. Имеем:
-2y-z = 15~х, -4y+2z ~ 2-2х.
Отсюда
] 15-х -11
y=J----=8—z =
-2 15-Х
-4 2 —2х
-8
= -7.
(Система представляет прямую, перпендикулярную к оси
0Z.)
П р и м е р 2. Система
7x-4y+z — 5, 21x-12y+3z s= 12
не имеет решений, так как все определители (3) равны
нулю (коэффициенты при неизвестных пропорциональны),
а определитель
аа Ла 21 12
иые члены не пропорциональны коэффициентам).
(Плоскости параллельны, но не совпадают.)
«1 Й1
а8 йа
7 5
21 12
не равен нулю (свобод-
Пример 3. Решить систему
7x-4y+z- 5, 21x-12y+3z= 15.
Здесь и коэффициенты и свободные члены пропорцио-
нальны. Система сводится к одному уравнению. Любой
паре неизвестных (скажем, х и у) можно дать произволь-
ные значения (тогда z эд 5-7х+4у).
(Плоскости совпадают.)
§ 189. Однородная система двух уравнений
с тремя неизвестными
Система уравнений первой степени называется одно-
родной, если в каждом уравнении свободный член равен
НУЛЮ.
Рассмотрим однородную систему
«ix+^y+ciz = 0, (1)
х +&&+czz - О. (2)
236 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
Это-частный случай системы § 188, Особенность
состоит в том, что случай 2 не может иметь места
[определители (4) § 188 всегда равны нулю]. Система (1)-
(2) всегда имеет бесчисленное множество решений.
[Плоскости (1) и (2) проходят через начало координат и,
значит, либо пересекаются, либо совпадают.]
Случай 1. Коэффициенты не пропорциональны, т. е.
хотя бы один из трех определителей (3) § 188 не равен
нулю, Тогда решение можно записать в симметричном
виде
Ci
Ь% с%
t,
у
С1
са
!
Д2
Z =
Qi
й2
ь\‘
&2 [
(3)
(параметр (-произвольное число; ср, § 152). [Параметри-
ческие уравнения (3) представляют прямую пересечения
плоскостей (1) и (2),]
Случай 2. Коэффициенты пропорциональны, т. е.
все определители
Ь1 М
&2 С2 I
И at
а2
Й1 &1
&а
равны нулю.
Система сводится к одному Уравнению (плоскости сов-
падают).
Пример 1, Решить систему
Здесь
2х-5у'|-8г = О,
x+4y-3z = О.
<?!
с2
Согласно
(3)
-5 8
4 -3
01 &1
«з &2
имеем:
х = - 17(, у
= -17,
2
1
I са
-5
4
«1
йг
= 13.
« 14(,
8 2I 1Л
«х 14.
-3 1
z =я 13(.
В этом примере произвольное значение можно дать одному
(любому) неизвестному. Например, положив z = 39, найдем
( ~ 3; значит, х — —51, у = 42,
Пример 2. Решить систему
Здесь
bl C1
Ьг сг
x-2y-z = 0, 2х-4у+2г = О.
— 2 -1
-4 2
= -8,
<т Sil
Cj Og I
01
йа
bi
b2
и О.
§ 190. ТРИ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 237
Значит,
х = - 8f, у = - 4f, 2 = 0.
Произвольное значение можно дать одному из неизвест-
ных х или у, но не неизвестному z. Последнее может рав-
няться только нулю (прямая лежит в плоскости ХОУ).
Примерз. Система
7x~4y + z = 0, 21х — 12y + 3z = О
сводится к одному уравнению. Произвольные значения
можно дать любой паре неизвестных.
§ 190. Три уравнения с тремя неизвестными
Рассмотрим систему
fliX+&jy + CjZ = Лх, (О
аах+&гу + са2 = hs, (2)
a3x+&3y + c3z = й3. (3)
Введем обозначения
«1 &х сх
Д = &а с2 (определитель системы) (4)
&з сз
Л1 bt «1 а1 bi
А» = с2 itj &2 II 2 . (5)
Лз &з СЭ «3 ^3 сз а3 &э /гэ
Определитель Дж получается из Д заменой элементов
первого столбца свободными членами. Аналогично полу-
чаются Ду н Д2.
Если бы оказалось, что в определителе Д соответствен-
ные элементы каких-либо двух строк, скажем первой и
второй, пропорциональны, то уравнения (1) и (2) либо
были бы несовместны (§ 188, п. 2), либо сводились
к одному уравиеиию (§ 188, п. 3). В первом случае данная
система не имеет решений, во втором - вместо данной
системы получаем систему двух уравнений (1) и (3)
(оиа в свою очередь может свестись к одному уравнению).
Так как все это уже рассмотрено в § 188, то можно огра-
ничиться предположением, что в определителе Д нет ни
одной пары строк с пропорциональными элементами
238 АНАЛИТИЧЕСКАЯ геометрия в пространстве
[среди трех плоскостей (1), (2), (3) нет нн одной пары
параллельных].
В этом предположении возможны три случая.
Случаи 1. Определитель системы не равен нулю:
Д 5* 0.
Система имеет единственное решение:
х=т- У=Т> * = % (6)
(Три плоскости пересекаются в одной точке.)
С л у ч а Й 2. Определитель системы равен нулю: Д = 0;
при этом один нз определителей Д^, Д„, Д„ ие равен нулю,
тогда и два других определителя не равны нулю1):
Дд. О, Дг * О, Д, н 0.
В этом случае система не имеет решений.
[Равенство Д = 0 означает, что нормальные векторы
плоскостей (1), (2), (3) компланарны, значит, все три
плоскости параллельны одной прямой. В рассматриваемом
случае трн плоскости образуют призматическую поверх-
ность (черт. 202).]
Черт. 202. Черт. 203.
С л у ч а й 3. Д = О, Дя = О, Д„ = О, Д, = О. В этом
случае одно нз трех уравнений (любое) является следст-
вием двух других. Система сводится к двум уравнениям
с тремя неизвестными и имеет бесчисленное множество
решений (§ 188, случай 1; случаи 2 и 3 не могут предста-
виться в силу сделанного выше предположения).
(Три плоскости, как и в предыдущем случае, парал-
лельны одной прямой, но теперь они образуют пучок;
черт. 203.)
Ч Если в двух строках определителя Д соответственные элементы
пропорциональны (этот случай мы исключили из рассмотрения), то
может оказаться, что нз трех определителей Дл, Дг, Дй только один
или только два равны нулю.
§ 190. ТРИ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 239
Пример 1. Решить систему
3x+4y4-2z = 5, 5x-6y-4z = -3, -4x+5y+3z = 1.
Здесь
3 4 2 5 4 2
д = 5 -6 -4 — 12, Дл — -3 -6 —4 = 12,
-4 5 3 1 5 3
3 5 2 3 4 5
д# = 5- 3 -4 я -24, Да я 5 -6 -3 = 60.
-4 1 3 -4 5 1
Система имеет единственное решение:
Ад* 4 x = -f = 1 ,У = ^=-2, й = £ = 5.
П р и м е р 2. Решить систему
x+y+z - 5, Здесь X-y + Z S 1 1 1 al, X+Z =2.
Д = 1 -1 1 = 0.
При этом 1 0 1 5 1 1
- Дх — 1 -1 1 2 0 1 = -2
(определители Ду и Дг нет иужды вычислять1)). Система
не имеет решений. Это видно и непосредственно: сложив
почленно первые два уравнения, получим 2x+2z = 6,
т. е. x + z = 3, что противоречит третьему уравнению.
Пример 3. Решить систему
x4-y+z = 5,
Здесь
Д =
x-y+z ~ 1, x+z = 3.
1 1 1
1 -1 1
1 0 1
я 0.
1) Строки определителя Д попарно нс пропорциональны; см. пре-
дыдущую СНОСКУ.
240 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
При ЭТОМ
5 1 1
1 -1 1
3 0 1
= 0.
Определители Дг и А, заведомо равны нулю г).
Данная система сводится к системе двух уравнений
(любая пара из трех данных, третье является следствием)
и имеет бесчисленное множество решений. Произвольное
значение можно дать одному неизвестному х или одному
неизвестному z (но ие у; см, § 188, п. 1).
Возьмем первое и третье уравнения и решим их отно-
сительно х и z. Имеем:
х+у — 5-z, х — 3-z.
Отсюда
х ~ З-z, у = 2.
Замечание. Если система трех уравнений с тремя неизвест-
ными однородна (fti « Аг = Ла = 0), то второй случай невозможен. В пер-
вом случае единственное решение будет х = О, у = О, z = О (плоскости
пересекаются в начале координат). Е третьем случае, взяв любые два
Уравнения системы, скажем (1) и (2), находим все решения данной
системы по формулам (3) § 189 (три плоскости образуют пучок, ось
которого проходит через начало координат).
Примера Решить систему
x+y+z = O, Зх->' + 2т = О, х —Зу = О.
1 1 1
Здесь Д = 3—12 =0.
1 -3 О
Одно из уравнений есть следствие двух других. Произвольное
значение можно дать одному из неизвестных (любому). Взяв первое и
третье уравнения, находим по формулам (3) § 189:
/, z « Р 11 *= -4Л
I 1 .
§ 190а. Система п уравнений с п неизвестными
Исчерпывающий перечень возможных случаев слишком сложен.
Поэтому ограничимся следующими сведениями,
Пусть дана система п уравнений с п неизвестными
ЙРС+ + .. +/1U = Ль )
GjX + + ... + fill = Ла, I ...
+ +Аи»Лл,
О Строки определителя Л попарно не пропорциональны; см. снос-
ку на стр. 238,
§ 190а. СИСТЕМА п УРАВНЕНИЙ С ft НЕИЗВЕСТНЫМИ 241
1. Если определитель п-го порядка
• Л
di bx Ci
ай о2 с2
(определитель системы)
. Л
Д =
ся . . • /п
ие равен нулю, то система имеет единственное решение
Л* А, д«
х = _1 ц = _,
(2)
(3)
где Д* —определитель, полученный из Д заменой элементова3, ...,лм
соответствующими свободными членами Л2,.,., й„; аналогично
получаются определители Ду| Дг>..., Да.
2. Если Д =0, а среди определителей Д2, Д₽,..., Ди есть не рав-
ные нулю, то система не имеет решений.
3. Пусть теперь А =д.х = &v ... =0, причем один из мино-
ров (п — 1)-го порядка определителя Д (например, минор, получаемый
вычеркиванием второй строки и третьего столбца) не равен нулю.
Тогда система сводится к п — 1 уравнениям; одно из уравнений (вто-
рое—соответственно номеру строки) есть следствие остальных. Одному
из неизвестных (неизвестному z —соответственно номеру столбца)
можно дать произвольное значение. Остальные п — 1 неизвестные
определяются единственным образом из системы n — I уравнений.
Замечание. В случае, когда все определители (n-l)-ro
порядка, являющиеся минорами определителя Л, равны нулю, система
может не иметь решений, а может сводиться к л—2 уравнениям
или меньшему их числу.
Пример 1. Решить систему
Зх 4- — 2г 4- 4я = 3,
—Зх — 2у + 6г — 4и = 11,
5х + бу - Зг + 2и = 6,
2х + бу - 52 + Зи = О.
Определитель системы А (см. § 135, пример 3) равен—303. Поль-
зуясь приемами, объясненными в § 185, найдем:
Дд.= -303, Д#«-606, Д»=-303, Ди*= 909,
Согласно формулам (3) имеем:
х-1, у=2, г= 1, us= —3.
Пример 2. Решить систему
х— у + 2z — и. = 1,
х + У+ г + и = 4,
2х 4- Зу — 5и = О,
5х + Зу 4- 5z — бы = о.
Здесь
1-1 2-1
* 1 1 1 1
Д « а О»
2 3 0—5
5X5-6
16 'Мч Я. Выгодский
242 Аналитическая геометрия В пространстве
Между тем
’Дл =
1
4
О
О
1
1
3
2
2
1
О
5
-1
1
-5
-6
1-1 2-1
0 5-75
0 3 0 -5
0 2 5 -6
«144 ?*0.
Поэтому система не имеет решений (если первое уравнение почлен-
но помножить на 2и полученное уравнение почленно сложить со вто-
рым и третьим, то получим 5х + 2у+5г~би««6, что противоречит чет-
вертому уравнению).
Примерз. Решить систему
Здесь
6.
х - у + 2г — «« 1,
х + у + х + и-4,
2х + Зу — би — О,
5х + 2у + бг — бц
Д ея Дл = Д„ = Д, = Да fes 0.
Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор
1
1
2
2
1 e=t — 3pS0,
3 О
Система сводится к трем уравнениям:
х - у + 2г — и= 1, 1
X + у + X + и «а 4, У (4)
2х + Зу - 5U - 0. J
Четвертое уравнение есть их следствие (ср. пример 2), Неизвестно-
му и можно дать любое значение. Из (4) находим:
-24и+21 л Ни— 14 „ 16U-19
х ’ ,,г'г-з ’ У"' «з , •
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
§ 191. Вводные замечания
Математическим анализом называют систему дисциплин,
объединенных следующими характерными чертами.
Предметом их изучения являются количественные соот-
ношения действительного мира (в отличие от геометриче-
ских дисциплин, занимающихся пространственными его
свойствами). Эти соотношения выражаются с помощью
числовых величии, как н в арифметике. Но в арифметике
(и в алгебре) рассматриваются преимущественно постоян-
ные величины (они характеризуют состояния), в анализе
же - переменные величины (характеризующие процессы;
§ 195). В основу изучения зависимости между перемен-
ными величинами кладутся понятия функции (§ 196) и
предела (§§ 203-206).
В этой кинге рассматриваются следующие разделы
анализа: дифференциальное исчисление, интегральное
исчисление, теория рядов и теория дифференциальных
уравнений. О предмете каждого раздела сказано в своем
месте.
Зачатки методов математического анализа были у древ-
негреческих математиков (Архимед). Систематическое раз-
витие эти методы получили в 17-м веке. На рубеже 17 и
18-го вв. Ньютон1) и Лейбниц2) в общем и целом завер-
шили создание дифференциального и интегрального ис-
числения, а также положили основу учения о рядах и о
1)ИсаакНьютон (1642 —1727) —нелиний английский мате-
матик и физик. Открыл закон всемирного тяготения, сформулировал
основные законы механики и применил их к изучению движения зем-
ных и небесных тел, исследовал экспериментально и теоретически за-
коны оптики.
*)Готфрид Вильгельм Лейбниц (1640-1716)-зна-
менитый немецкий философ и математик.
1G*
244 ОСНОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
дифференциальных уравнениях. В 18-м веке Эйлер разра-
ботал последние два раздела и заложил основу других дис-
циплин математического анализа.
К концу 18-го в. накопился огромный фактический
материал, ио ои был недостаточно разработан в логиче-
ском отношении. Этот недостаток был устранен усилиями
крупнейших ученых 19-го в., таких, как Коши во Франции,
Н. И. Лобачевский в России, Абель в Норвегии, Риман
в Германии и др.
§ 192. Рациональные числа
Первые представления о числе возникли из счета пред-
метов. Результатом счета являются числа 1, 2, 3 и т. д.
Они теперь называются натуральными. Впоследствии
возникло понятие о дробях; источник его есть измерение
непрерывных величин (длины, веса и др.). Отрицательные
числа и вместе с ними число нуль вошли в математику1)
в связи с развитием алгебры.
Целые числа (т. е. натуральные числа 1, 2, 3 и т. д.,
отрицательные числа —1, —2, —3, и т. д. и нуль) н дроби
называются рациональными числами (в противоположность
иррациональным; § 193). Всякое рациональное число можно
записать в виде ~ (где р и q-целые числа).
§ 193. Действительные (вещественные) числа
Измерение осуществляется на практике с помощью
какого-либо инструмента. Результат измерения выражается
некоторым рациональным числом (напрнмер, толщина
металлического волоска, измеренная микрометром, выра-
зится в миллиметрах, скажем, числом 0,023). Всякий
инструмент обладает ограниченной точностью. Поэтому
для практической деятельности запас рациональных чисел
не только достаточен, но даже избыточен. Одиако в мате-
матической теории, где измерения предполагаются абсо-
лютно точными, одними только рациональными числами
обойтись нельзя. Так, никаким рациональным числом
нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если
его сторону принять за единицу измерения; рациональным
1) В Китае около 2000 лет назад и в Индии около 1500 лет назад.
В Европе отрицательные числа завоевали право гражданства лишь
В 17-м в. См. М. я. Выгодский, Справочник по элементарной
математике, изд. 8-е, 1955,111, 2 (стр. 127 —128).
§ 193. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 245
числом нельзя точно выразить синус угла 60% косинус
угла 22°, тангенс угла 17°, отношение окружности к диа-
метру и' т. д. Вообще отношение несоизмеримых отрезков
нельзя точно выразить рациональным числом.
Чтобы точно выразить отношение несоизмеримых
отрезков, надо ввести новые числа—иррациональные1).
Иррациональное число выражает длину отрезка, несоиз-
меримого с единицей масштаба. Рациональные и ирра-
циональные числа, взятые в совокупности, называются
действительными или вещественными (в противополож-
ность мнимым числам; см. замечание 2). С помощью
действительных чисел можно точно выразить длину любого
отрезка.
Иррациональное число не может точно равняться рацио-
нальному. Но для всякого иррационального числа можно
найти рациональные (в частности, десятичные) числа,
приближенно равные ему (с избытком и с недостатком),
при этом погрешность можно сделать сколь угодно
малой.
Пример. Для числа 1g 3 (оно иррационально) можно
найти приближенные значения 0,4771 (недостаточное) и
0,4772 (избыточное); они разнятся на 0,0001, так что
погрешность каждого из них по абсолютной величине ие
превосходит 0,0001. Если требуется, чтобы погрешность
не превышала 0,00001, то можно найти значения 0,47712
(недостаточное) и 0,47713 (избыточное). О способах вычи-
сления логарифмов см, § 272, а также § 242.
Замечание!. Рациональные числа тоже приходится
выражать приближенно. Так, вместо дроби у часто берут
ее недостаточные значения 0,33, 0,333 и т. д. (смотря пр
требуемой степени точности) или избыточные значения
0,34, 0,334 и т. д.
Замечание 2. Мнимое число имеет вид Ы, где
&-действительное число, а /-«мнимая единица», опре-
деляемая равенством i2 ~ -1 (этому равенству не
Отношение соизмеримых отрезков можно выразить отношением
целых чисел, несоизмеримых —нельзя, в древнегреческой математике
первоначально рассматривались отношения лишь целых чисел. По-
этому, когда были открыты несоизмеримые величины, их стали назы-
вать иррациональными, т. е. «не имеющими отношения» (латинский
термин «иррациональный» есть перевод греческого слова «алогос»).
Позднее (в 4 в. до и. о.) греческие математики (Евдокс и вслед за ним
Евклид) стали рассматривать и отношения несоизмеримых величин.
Когда для выражения этик отношений были введены новые числа, их
тоже стали называть иррациональными.
246 ОСНОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Удовлетворяет ии одно действительное Число). Выражение
вида ац-bi называется комплексным числом. Комплекс-
ные числа введены в алгебру в середине 16-го в. в связи
с решением кубического уравнения1). С конца 17-го в.
они применяются и в анализе.
В этой кииге всюду, где ие оговорено противного,
все числа предполагаются действительными.
§ 194. Числовая ось
На прямой Х'Х (черт. 204) выберем начало О, еди-
ницу масштаба ОД и положительное направление (ска-
жем, от X1 к X). Тогда каждому
---1‘. г -ь- действительному числу х соответ-
*' о а н х ствует определенная точка М,
абсцисса которой равна х.
черт. 204. g анализе (для наглядности)
числа изображаются указанным
образом точками. Прямая Х'Х, на которой берутся эти
точки, называется числовой осью.
§ 195. Переменные н постоянные величины
Переменная величина-это такая величина, которая
в условиях данного вопроса может принимать различные
значения. В противоположность переменной постоянная
величина —зто такая, которая в условиях данного во-
проса сохраняет одно и то же значение. Одна и та же
величина в одном, вопросе может быть постоянной, в дру-
гом - переменной.
Пример 1. Температура Т кипения воды в боль-
шинстве физических вопросов есть величина постоянная.
Но там, где надо считаться с изменением атмосферного
давления, Т есть величина переменная.
Пример 2. В уравнении параболы у2 = 2рх коор-
динаты х, у-переменные величины. Параметр р есть
величина постоянная, если мы рассматриваем только одну
параболу. Если же рассматривается множество парабол
с общей осью ОХ и общей вершниой О, то параметр р
является переменной величиной.
Переменные величины обычно обозначаются послед-
ними буквами латинского алфавита (х, у, и, v, w), а
постоянные-первыми*, а, б, с, ...
) «Справочник по элементарной математике*, Ш, 2 (стр. 125 -128).
§ 196. функция 247
§ 196, Функция
Определение 1. Величина у называется функцией
переменной, величины х, если каждому из тех значений,
которые может принимать х, соответствует одно или не-
сколько определенных значений у. При этом переменная
величина х называется аргументом.
Говорят также: величина у зависит от величины х;
сообразно с этим аргумент называют независимой пере-
менной, а функцию — зависимой.
Пример 1. Пусть Т — температура кипения воды, а
р — атмосферное давлевие. Наблюдением установлено, что
каждому значению, которое может принимать р, соответ-
ствует всегда одно и то же значение Т. Стало быть,
Г есть функция аргумента р.
Зависимость Т от р позволяет, наблюдая температуру
кипения воды, без барометра определить давление по
таблице (приводится в сокращенном виде):
Таблица 1
Г °C 70 75 80 85 90 95 100
рмм 234 289 355 434 526 634 760
В свою очередь р есть функция аргумента Г; зависи-
мость р от Т позволяет, наблюдая давление, без термо-
метра определить температуру кипения воды по той же
таблице 1, Но удобнее пользоваться таблицей такого типа:
Таблица 2
рмм 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Т °C 75,8 79,6 33,0 85,9 83,7 91,2 93,5 95,7 97,7
Здесь аргумент р растет через равные промежутки
(как аргумент Г в таблице 1).
Замечание!. Таблицу 1 можно пополнить другими
значениями аргумента Т, скажем 65’, 73’, 104°. Но есть
значения, которых температура кипения не может прини-
мать; так, она не может быть меньше «абсолютного нуля»
(-273°). Невозможному значению Т « -300°, конечно»
248 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
не соответствует никакое значение р. Вот почему в опре-
делении 1 сказано: «каждому из значений, которые может
принимать х...» (а не «каждому значению х...»).
Пример 2, Тело брошено кверху; $ - высота
его над землей, t — время, протекшее с момента бро-
сания.
Величина s есть функция аргумента /, ибо в каждый
момент полета тело имеет определенную высоту. В свою
очередь t есть функция аргумента д, ибо каждой высоте,
иа которой тело может находиться, соответствуют два
определенных значения t (одно при поднятии, другое при
спуске).
Определение 2. Если каждому значению аргу-
мента отвечает одно значение функции, то функция назы-
вается однозначной-, если два или больше, - то много-
значной. (двузначной, трехзначной и т, д.).
Во втором примере s - однозначная функция аргу-
мента t, а величина t — двузначная функция аргумента 5.
Если особо не оговорено, что функции многозначна,
подразумевается, что она однозначна.
Пример 3. Сумма (s) углов многоугольника-функ-
ция числа (л) сторон. Аргумент п может принимать только
целые значения, не меньше чем 3. Зависимость s от п
выражается формулой
s = л (л-2)
(за единицу измерения углов принят радиан). В свою оче-
редь л-функция аргумента s; зависимость л от $ выра-
жается формулой
п = А+2.
Аргумент s может принимать только значения, кратные п
(г, 2г, Зг и т. д.).
Пример_4. Сторона х квадрата-функция его пло-
щади S(x=|/S). Аргумент может принимать любые по-
ложительные значения.
Замечание 2. Аргумент — всегда переменная вели-
чина. Функция, как правило, —тоже переменная величина.
Но не исключена возможность ее постоянства. Так, рас-
стояние движущейся точки от неподвижной есть функция
времени пребывания в пути и, как правило, меняется. Но
при движении точки по окружности расстояние от центра
постоянно,
§ 197. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 249
В случае, когда функция является постоянной вели-
чиной, аргумент и функцию нельзя менять ролями (в на-
шем примере продолжительность движения по окруж-
ности не является функцией расстояния от центра).
§ 197. Способы задания функции
Функция считается данной (известной), если для каж-
дого значения аргумента (из числа возможных) можно
узнать соответствующее значение функции. Наиболее упо-
требительны три способа задания функции: а) табличный,
б) графический, в) аналитический.
а) Табличный способ общеизвестен (таблицы логариф-
мов, квадратных корней и т. д.; см. также пример 1 § 196).
Он сразу дает числовое значение функции. В этом —его
преимущество перед другими способами.
Недостатки: J) таблица трудно обозрима в целом; 2) она
часто ие содержит всех нужи
б) Графический способ
состоит в проведении ли-
нии (графика), у которой
абсциссы изображают зна-
чения аргумента, а ордина-
ты — соответствующие зна-
чения функции. Для удоб-
ства изображения масштабы
на осях часто берутся раз-
ными.
Пример 1. На черт,
205 графически изображена
зависимость модуля упру-
гости Е кованого железа
(в т/см2) от температуры t
железа. Масштабы абсцисс
(Z) и ординат (Е) обозначены числовыми пометками. Начало
координат н ось абсцисс не начерчены для экономии места.
По графику можно прочесть, например, что при (=170°
модуль упругости Е * 20,75 т/см2.
Преимущества графического способа — легкость обо-
зрения в целом и непрерывность изменения аргумента;
недостатки: ограниченная степень точности и утомитель-
ность прочитывания значений функции с максимально воз-
можной точностью.
в) Аналитический способ состоит в задании функции,
одной или несколькими формулами.
250 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Функциональная зависимость между ра-
диусом г окружности и се длиной s выражается формулой
s = 2тгГ. (1)
Пример 3. Функциональная зависимость между обко-
мом у (м3) н давлением р (т/м2) 1 кг воздуха при тем-
пературе 0° выражается формулой
pV « 8,000. (2)
Если зависимость между х и у выражена уравнением,
разрешенным относительно у, то величина у называется
явной функцией аргумента х, в противном случае — нс-
явной. В примере 2 величина $-явная функция аргу-
мента г, а г—неявная функция аргумента s. В примере 3
величина р - неявная функция
аргумента V и величина V - неяв-
ная функция аргумента р. Если
с уравнение (2) написать в виде
3,000
* Р = “, (3)
о
то р станет явной функцией ар-
гумента V.
П р н м е р 4. Функцию, задан-
ную графически (черт, 206) ло-
маной линией АВС, можно пред-
ставить двумя формулами. Именно, при х < 2 (т, е. для
участка В А) берем формулу
у-%*>
а при х 2 (т. о, для участка ВС) - формулу
При х—2 обе формулы даюту=1 (точка В).
Примере, Расстояние (по шоссе) между пунктами А
и В составляет 90 км. Автомашина прошла первую по-
ловину пути от А до В со скоростью 0,6 км/ман, вто-
рую-со скоростью 0,9 км/мин. Пусть s (км) —расстоя-
ние машины от пункта А. Время t (мил.) пребывания
§ 198. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 251
в пути ость функция аргумента $. Ее можно задать двумя
формулами:
/ = -yg прн 0 s < 45,
I - 75+ при 45 --^ s -- 90.
§ 198. Область определения функции
1. Совокупность всех значений, которые может прини-
мать (в условиях вопроса) аргумент х функции /(х), на-
зывается областью определения этой функции.
Замечание. Значению х, ие входящему в упомяну-
тую совокупность, ие соответствует никакое значение
функции.
Пример 1.В условиях примера 5 § 197 область опре-
деления функции t = /(s) есть множество всех чисел от О
до 90 (включая границы 0 и 90):
О < s •< 90.
Действительно, каждому расстоянию от 0 до 90 км соот-
ветствует определенное время t пребывания машины
в пути, а* расстояниям s < 0 и s > 90 нс соответствует
никакое значение t.
II р н м е р 2. Сумма членов арифметической прогрессии
s = 1 +3 + 5+ ... +(2л—1)
есть функция числа членов л; опа выражается формулой
s — л3.
Сама по себе эта формула имеет смысл для любого п.
Но в данном вопросе п может принимать лишь значения
1, 2, 3, 4,... Область определения есть множество всех
натуральных чисел (значениям п — ", п — - 5, п = Уз"
и т. п. не соответствуют никакие значения функции),
2. Часто функция задается формулой без указания
области определения; тогда подразумевается, что область
определения есть множество всех значений аргумента,
при которых формула имеет смысл.
ПримерЗ. Функция s дана формулой s = п3 (без ука-
зания области определения). Подразумевается, что область
определения есть множество всех действительных чисел
(ср. пример 2). ____.
252 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 4. Функция у дана формулой
у = fx^2 +
которая имеет смысл только при 2 «ё х =s 7. Область опре-
деления есть множество всех чисел от 2 до 7 (включая
границы). График (черт. 207)
располагается лишь над от-
резком Л'В',
.4’].........;д'г
Щ 12 3 4 5 S 7 X
Черт, 207.
Пример 5. Функция у задана формулой у = у.
Область определения —множество всех чисел, кроме
нуля. При значении х=0 у гра-
' Y фика (черт. 208) нет точки.
* Пример б. Область определе-
ния функции у=Ух есть совокуп-
ит\ ность положительных чисел и нуля
оН------------7 (черт- 209).
ц „п 3. Когда область определения
ерт. z з. функции есть совокупность нату-
ральных чисел, функция называется
целочисленной} о значениях целочисленной функции го-
ворят, что опн образуют последовательность илн являются
членами последовательности.
Пример 7. Функция /„= 1 • 2 З...п-целочислеи-
иая. Значения 4=1, 4 =1-2 =2, t3 = 1 • 2-3 = 6,...
образуют последовательность.
Произведение 1-2-3...п обозначается л! (читается
«эн факториал»), так что данную функцию можно пред-
ставить формулой
(д = п!
§ 199. ПРОМЕЖУТОК
253
П р ц м е р 8. Функция и ~ , где л принимает значе-
ния 1, 2, 3, ..., -целочисленная. Значения п/ -
ц2= -i-, ц3= ... (члены геометрической прогрессии) об-
разуют последовательность.
Пример 9. Функция s = + — 4- ... + ~
(сумма л членов геометрической прогрессии) — целочислен-
ная. Значения $1= у, s2=|, •%-><> ... образуют по-
следовательность.
§ 199. Промежуток
Областью определения функций, рассматриваемых в ана-
лизе, часто является один или несколько «промежутков».
Промежутком (или интервалом) (п, Ь) называется со-
вокупность чисел х, заключенных между числами а и ft;
в записи (я, ft) первая буква обычно
обозначает меньшее число, а вто-
рая-большее, так что
Числа а и ft называются концами
промежутка. Часто к совокупности
точек промежутка присоединяются
концы а и ft или один из концов.
Промежуток, к которому присоединены оба конца, назы-
вают замкнутым промежутком (или отрезком).
Промежутком (л, со) называется совокупность всех чи-
сел, ббльших л; Промежутком ( — со, а) —совокупность всех
чисел, меньших а; промежутком (-со, ^-совокупность
всех действительных чисел.
П р и м е р 1. В условиях примера 5 § 197 область опре-
деления функции t есть замкнутый промежуток (0, 90), т, е.
аргумент s может принимать все значения, удовлетво-
ряющие неравенству
О =£ s =е 90.
П р и м е р 2. Область определения функции у = }1 -х2
есть замкнутый промежуток (-1, 1). График (полуокруж-
ность) располагается над этим промежутком (черт. 210).
254 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПримерЗ. Область определения функции
1
У =
z У2—х*
есть промежуток (-/if, У%) (незамкнутый). На концах
промежутка функция ие определена («обращается в беско-
нечность»), График (черт. 211) располагается над внутрен-
ними точками промежутка.
Над концами промежутка и вне
его у графика нет точек;
-«7-f О ! £ А
Черт. 211.
П р и м е р 4. Область определения функции
у =
есть пара промежутков (—<*>, — 1) н (1, +«®) с присоеди-
ненными концами-1 и 1. График (инжняя половина ги-
перболы х2~уг — 1, черт. 212) располагается под этйми
промежутками.
§ 200. Классификация функций
а) Функции подразделяются на однозначные и много-
значные (§ 196, определение 2).
б) Функции, представленные формулами, подразделя-
ются па явные н неявные (§ 197).
в) Функции подразделяются на элементарные н неэле-
ментарные ч.
Перечень так называемых основных элементарных
функций дан в § 201; каждая нз них представляет неко-
торое «действие» над аргументом (возведение в квадрат,
извлечение кубического корня, логарифмирование, отыска-
ние сниуса и т. д.). Путем повторного выполнения этих
действий, а также четырех действий арифметики (в огра-
1) Последнее подразделение носит скорее исторический, чем мате-
матический характер.
J 201. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИЙ 255
Иичеияом числе) получаются новые функции; они также
причисляются к элементарным.
Пример!. Функции у = , y=lg sin /1-3 sinx,
3__..
у = Ig Ig (З + 2 Vsin x) - элементарные.
Функции, которые нельзя выразить указанным спосо-
бом, считаются неэлементарными.
Пример 2, Функция s = 14-2+3+...4-п-эле-
ментарная, ибо ее можно выразить формулой s = - ,
содержащей ограниченное число элементарных действий.
Пример 3. Функция $ = 1 • 2-3 ... п-пеэлемеи-
тарная, ибо ее нельзя выразить ограниченным числом эле-
ментарных действий (чем больше п; тем больше умножений
надо выполнить, а преобразовать выражение 1* *2*3... п
к элементарному виду невозможно).
Замечание. Мы сознательно воздерживаемся здесь от подраз-
деления функций на алгебраические и трансцендентные, так как точ-
ное определение алгебраической функции можно дать лишь на основе
более тонких понятий (непрерывности или дифференцируемости).
Сверх того, различать алгебраические и трансцендентные функции
в рамках данной книги излишне.
§ 201. Основные элементарные функции
1) Степенная функция у=х* (п-постоянное дей-
ствительное число).
При п = 0 степенная функция есть постоянная вели-
чина (у — 1) (ср. § 196, замечание 2).
2) Показательная функция у—(Т, где а-положи-
тельное число ]) (основание степени).
3) Логарифмическая функция y=logax, где а-поло-
жительное число, не равное единице а) (основание лога-
рифмов).
4) Тригонометрические функции у=sinx, y=cosx,
у=tg х, у=etg х, у=sc х, у = esc х.
5) Круговые (обратные тригонометрические) функции
у » arcsln х, у — arccos х, у = aretgx,
у = arcctg х, у = arese х, у = arccsc х.
Определения и графики элементарных функций см.
«Справочник по элементарной математике», раздел VI
(стр. 382—394).
О Некоторые авторы исключают случай а = 1 (в этом случае
у есть постоянная величина).
*) При основании а = 1 ни одно число, кроме единицы, не имеет
логарифма.
256 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 202. Обозначение функции
Знак / (х) (читается «эф от икс») есть сокращенная
запись словесного выражения «функция от х».
Если рассматриваются две или несколько функций от х,
которые могут быть различны между собой, то наряду
с записью / (х) используются другие, например, (х),
/я (х), F (х), ? (х), Ф (х).
Запись
у=/(х) (1)
выражает, что величина у равна какой-то функции от х,
т. е. что у есть функция аргумента х.
Знак /(х) может употребляться для обозначения как
неизвестной, так и известной функций.
Примеры. 1) Запись / (х) = 1g х выражает, что функ-
ция / (х) — логарифмическая.
2) Запись <р(х) = х“ выражает, что функция <?(х)~
степенная.
3) Запись F(x) = (р (х)+/(х) означает, что функция
F (х) есть сумма функций ср (х) и /(х). Если f(x) = lgx
и ? (х) = хп, то I- (х) = lgx + x“.
4) Запись Д(х) = /2(х) означает, что функции Д (\>
и /2 (х) равны (либо тождественно, либо лишь при неко-
торых значениях х).
5) Запись ц = ;р («) означает, что величина н есть неко-
торая функция аргумента г?.
Буква / (или F, ? и т. д.), употребляемая в этих запи-
сях, называется характеристикой функции.
Если надо выразить, что у находится в той же самой
зависимости от х, в какой и находится от то при за-
писи этих зависимостей пользуются одной и той же харак-
теристикой, т. е. пишут:
и - ? О') и у = ср (х) (2)
или
и = F (v) и у =* F (х) (3)
и т. д.
Так, если зависимость и от « выражается формулой
и = №, то зависимость у от х в силу (2) выразится фор-
мулой у-гх2. Если же и = то у = и т. д.
Примеры. 6) Если /(х) = /1 + хг, то / (/) =
= ут+г.
§ 203. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 257
7) Если F (а) — 1 - tg2a, то F ({3) = 1 - tg3j3, F (у) =
= 1 -tg2Y и т..д.
8) Если /(х) = 4 (т. е. при всех значениях аргумента
функция имеет одно и то же значение; ср. § 196, замеча-
ние 2),, то /(у) = 4, f(z) = 4 и т. д.
Записи /(1), /(/3), /(а) и т. д. выражают, что бе-
рутся значения функции / (х) при х = 1, яри х^ /3,
при х = а и т. д. или значения функции / (у) при у ~ 1,
у = / 3, у = а п т. д.
Примеры. 9) Если f (х) = Ух2 М, то
/(1) = /2, /(ГЗ) 2, f (a) = VtFM.
10) Если <?(«) = —то <р(0)=1, ф(£) = |,
?(*)= i, ф(т)= f •
§ 203. Предел последовательности
Числе/ b называется пределом последовательности
(§ 198, п. 3) у,, уг, . ,., уп, .... если но .мере возрастания
номера п член у„ неограниченно приближается к Ь.
Точный смысл выражения «неограниченно прибли-
жается» объяснен ниже (вслед за примером 1).
Запись *):
lim ун = b
или подробнее
Нт у„ = Ь.
п—> ОС
Значок п -* со подчеркивает, что иомер п неограниченно
возрастает («стремится к бесконечности»).
Пример 1. Рассмотрим последовательность
' уг ~ 0,3, уг - 0,33, у3 = 0,333, ... (1)
Член уп неограниченно приближается к у (десятичные
дроби 0,3, 0,33,... дают все более точные выражения
дроби Стало быть, есть предел последователь-
ности (1)
lim у, = 4.
J) Обозначение lim—сокращение латинского слова limes (<ли-
мес*—предел) и равнозначного французского limite (лимит).
17 М. Я. Выгодский
258 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание. Разностьуп~ последовательно равна
_ 1 _ i_ _ _ 1 1 __1 ( .
У1~ ~~ 30’ -1'- з ~ 300’ -1'3 3 ~ 3000’
т. е.
У»~'з= “з’-70"‘ (3)
Неограниченность приближения уа к лыражается в том, что аб-
солютная величина разности (3), начиная с некоторого номера А,
остается меньше любого (заранее данного) положительного числа г.
Так, если задать е =0,01, то А = 2, т. е,, начиная со второго номера,
абсолютная величина | yft—g-1 остается меньшей 0,01- Если задать
е = 0,005 "256^ ’ т0 п0'пРем<нему 77=2. Если £=0,00], то А = 3; если
е =0,00001, то А =5 и т. д.
Теперь будет понятна следующая точная формулировка опре-
деления, приведенного и начале параграфа.
Определение. Число Ь называется пределом последователь-
ности уъ у8, ... , уп.если абсолютная величина разности уп~Ь,
начиная с некоторого номера А’, остается меньшей любого заранее
данного положительного числа е:
I У» ~ Ь ) -= г при п > N
(номер А зависит от величины е).
Пример 2. В последовательности уп = 2 + ~п~'
(т. е. у]_ = 1, уг = 2у , у3 = 1 у, у4 == 2-1, . .. ) член у„ по
мере возрастания номера п стремится к 2. Стало быть,
2 есть предел последовательности.
В самом деле, имеем | уп — 2 | = ; а величина ~ , начиная с не-
которого номера, остается меньшей любого заранее данного положи-
тельного числа е (если г =2, то начиная с первого номера; если е =0,02,
то с 51-го и т, д.).
Пример 2 показывает, что члены последовательности
могут быть то больше, то меньше предела. Они могут и
равняться пределу (см. пример 3).
Пример 3. Последовательность
Уг = 0, у2 = 1, у3 - 0, у4 -- у, у5 = О, ув = ,
заданная формулой У» | ’ имеет пРеДел 6 = 0.
и (— I )л I
Действительно, величина |ун — 0| = — д. —, начиная с не-
которого номера, остается меньше любого заранее данного положи-
§ 204. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 259
тельного числа е (если Е = А-, то начиная с седьмого номера; если
? и 0,01, то с 201-го и т, д.).
Пример 4. Последовательность уа = (— 1)" ие имеет
предела: члены = - I, у2 = 1, у3 = — 1, ул = 1 и т. д.
не стремятся ни к какому числу.
§ 204. Предел функции
Число b называется пределом функции /(х) при х->а
(читается: «при х, стремящемся к о»), если, по мере того
как х приближается к а—будь то справа или слева,—
значение / (х) неограниченно приближается *) («стремит-
ся») к Ь.
Запись:
lim f (х) = Ь.
Замечание 1. Предполагается, что функция / (х)
определена внутри некоторого промежутка, содержащего
точку х = а (во всех точках справа и слева от а); я са-
мой же точке х = а функция / (х) либо определена, либо
нет (последний случай не меиее важен, чем первый).
Пример 1. Рассмотрим функцию / (х) = (она
определена во всех точках, кроме х = • Возьмем х = б.
Тогда f (х) -2~;6~ =13- По мере приближения х к б
(справа или слева) числитель 4х2-1 стремится к 143,
а знаменатель - к 11. Вся дробь стремится к ~~ - 13.
Число 13 (равное значению функции при х — 6) есть вместе
с тем предел функции при х 6:
Пример2. Рассмотрим ту же функцию / (х) = ,
ио возьмем х = ~, Функция / (х) здесь не определена
з) Математический смысл выражения «неограниченно приближа-
ется» разъясняется в § 205. Однако настоящее определение (с уче-
том замечания 1) вполне достаточно для понимания дальнейшего
материала.
17*
260 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
(формула дает неопределенное выражение ^). Но предел
функции при х существует. Он равен 2.
Действительно, выражение ~~ неопределенно толь-
ко при х, равном , но при приближении к оно впол-
не определено и всегда равно 2х+1, А последнее выра-
жение стремится к числу 2. Значит,
1|П,1 2^1 = 2‘
Замечание 2. График функции у = есть
прямая 17 V (черт. 213), лишенная точки А (у, 2) . График
функции у = 2,\-1-1 есть та же прямая UV, взятая целиком.
Черт. 213.
Черт. 214.
Пример 3. Функция / (х) = cos ~ (оиа определена
во всех точках, кроме х = 0) не имеет предела при х -> 0.
Это видно на графике (черт. 214): когда абсцисса стремится
к нулю, ордината ни к чему не стремится (точка графика
совершает бесчисленные колебания с постоянным размахом).
§ 205. Определение предела функции
Неограниченность приближения переменной величины к посто-
янной снизывается (ср, § 203) в том, что их разность с некоторого мо-
мента будет оставаться по абсолютному значению меньшей любого
заранее данного положительного числа. В соответствии с этим опре-
делению § 204 можно дать следующую точную формулировку.
§ 207. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 261
Определение. Число Ь называется пределом функцииДх) при
х—>«, если абсолютное значение рдзности/(х) — & остается меньшим
любого заранее данного положительного, числа е всякий раз, как абсо-
лютное значение разности х — а при х, не равном а, меньше некоторого
положительного числа ’) 8 (зависящего от 0.
Короче (но менее точно): число Ь есть предел функции/(х) при
х~>а, если величина |/(х)— ft | сколь угодно мала при достаточной
малости величины !х — а|.
4x2-1 1
Пример. Число 2 есть предел функции /(х) = —р при х —у ~
(ср. § 204, пример 2).
Действительно, потребуем, чтобы величина
I 4хз -1 I
| 2х — 1 2 J
^при х Z была меньше г. Получим неравенство
| 2х -1 | -= с.
Оно равносильно неравенству
* 1 1 I Е
Г~ 2 R 2 ’
Z 4ха -1
Значит, абсолютное значение разности _ у- — 2 осюется мень-
шим любого заранее данного положительного числа е всякий раз,
_ 1 s л
как абсолютное значение разности х — — меньше, чем - - . В данном
Л А
£
примере § — — t
§ 206. Предел постоянной величины
Определение. Пределом постоянной величины &
называется сама величина Ь.
Это определение вводится для того, чтобы основные
теоремы о пределах (§ 213) были верны во всех случаях
без исключения. Оно согласуется с определениями § 203
и 205 (величина | & -& [ = 0 меньше любого положитель-
ного числа е).
§ 207. Бесконечно малая величина
Бесконечно малой величиной называется величина, пре-
дел которой равен нулю.
Пример 1. Функция х2—4 есть бесконечно малая
величина при х -> 2 и при х - > - 2. При х -> 1 та же функ-
ция ие является бесконечно малой.
J) 8 -греческая буква «дельта» (малая),
262 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
П р и и е р 2. Функция 1 - cos а есть бесконечно малая
величина при а->0, ибо lim (1-cos а) = 0.
а-^-0
Говорят также: «величина I - cos а бесконечно мала при
бесконечно малом а».
4х$ — 1 1
Пример 3. Величина -0—при х-> -% не является
бесконечно малой, ибо ее предел равен 2 (§ 204, пример 2),
Пример 4. Целочисленная функция у = — (§ 198,
пример 7) есть бесконечно малая величина, ибо предел
1 1 1
последовательности у, з > • - • Равен нулю.
Замечание 1. Утверждения «число Ъ есть предел
величины у» и «разность у-b есть бесконечно малая
величина» равнозначны.
Дуй J
Пример 5, Имеем lim = 2. Тот же факт вы-
3 Д у2 ~ 1
ражается фразой «величина бесконечно мала».
Замечание 2, Из постоянных величин лишь нуль
является бесконечно малой величиной (ср, § 206).
$ 208. Бесконечно большая величина
Бесконечно большой величиной называется переменная
величина, абсолютное значение которой неограниченно
возрастает.
Точный смысл выражения «неограниченно возрастает»
разъясняется в конце параграфа.
Пример 1. Целочисленная функция у - п! есть бес-
конечно большая величина, ибо члены последовательности
I, 1-2, 1-2-3, ... неограниченно возрастают.
Пример 2. Функция есть бесконечно большая ве-
личина при бесконечно малом х, ибо по мере приближе-
ния х к нулю абсолютное значение величины ~ неограни-
ченно возрастает.
Пример 3. Функция tg х есть бесконечно большая
величина при х -> J.
Никакая постоянная величина не является бесконечно
большой.
§ 210. ОГРАНИЧЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 263
Замечание. Выражение «абсолютное значение величины у
неограниченно возрастает* означает, что [ у | с некоторого момента
остается большим любого заранее данного положительного числа.
В соответствии с этим понятие бесконечно большой величины точно
определяется следующим образом:
Определение I. Целочисленная функция у есть бесконечно
большая величина, если абсолютное значение у„, начиная с некоторого
номера N, остается ббльшим любого заранее данного положительного
числа Ai (ср. § 203),
Определение 2. Функция /(х) есть бесконечно большая вели-
чина при х~>а, если абсолютное значение /(х) остается большим лю-
бого заранее данного положительного числа М, всякий раз как абсо-
лютное значение разности х—а меньше некоторого положительного
числа S (зависящего от М) (ср, § 205).
§ 209. Связь между бесконечно большими
и бесконечно малыми величинами
Если у-бесконечно большая величина, то --беско-
нечно малая; если у-бесконечно малая величина, то
бесконечно большая.
Пример 1. Величина “2~ бесконечно большая при
х->2. Обратная дробь 1^5) при х'->2 бес-
конечно мала.
П р и м е р 2. Велнчива tg х бесконечно мала при х 0,
величина ™ = ctg х бесконечно велика при х - > 0.
tg X
§ 210. Ограниченные величины
некоторого (постояя-
Величнна называется ограниченной, если абсолют-
ное ее значение нс превосходит
ного) положительного числа М.
Пример 1. Функция sin х есть
ограниченная величина на всей
ЧИСЛОВОЙ ОСИ, Ибо I sin X I 1,
Пример 2. Функция -—
ограничена в промежутке (3, 5),
но не ограничена в промежутке
(2, 5), ибо аргумент х, оставаясь
в промежутке (2, 5), может стре-
миться к 2, а тогда функция
бесконечно велика (черт. 215).
Всякая постоянная величина является ограниченной^
Всякая бесконечно большая величина не ограничена.
264 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание. Неограниченная величина может не быть бес-
конечно большой. Так, целочисленная функция я -ь( — 1 )п п не явля-
ется бесконечно большой величиной, ибо при нечетных п она всегда
равна нулю; по она и не ограничена, ибо при четных п, начиная
с некоторого номера, остае!ся больше любого положительного
числа М.
§ 211. Расширение понятия предела
Если переменная величина з бесконечно велика, то
(условно) говорят, что з «стремится к бесконечности» млн
«имеет бесконечный предел».
Запись:
5~>оо ИЛН !im 3 = со. (1)
Если бесконечно большая величина sc некоторого мо-
мента1) остается положительной, то говорят, что оиа
«стремится к плюс бесконечности» и пишут:
s -> г- оо или lim s -- 4-со. (2)
Если бесконечно большая величина с некоторого мо-
мента остается отрицательной, то говорят, что она «стре-
мится к минус бесконечности» и пишут:
s-> - сю или Jims = - «>. (3)
Вместо записи (1) для большей выразительности иногда
пишут:
з~> £ оо или lim s ± со. (4)
Пример 1. Функция etgx при х->0 имеет беско-
нечный предел;
lim etgx = -о.
2—> о
Чтобы подчеркнуть, что функция сtg х прн х -> 0 может
принимать как положительные значения (при х =* 0), так
и отрицательные (прн х 0), пишут:
!im etg х = ± со.
П р и м с р 2. Запись Нт = 0 означает, что когда
Л—> ос *
абсолютное значение х неш раничешю возрастает,
функция •- стремится к нулю.
i) Выражение <с некоторого момента» уточняется таким же обра-
зом, как в § 208 (определения 1 и 2).
§ 212. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 265
ПрнмерЗ. Можно написать:
Нт 2* = + <»
® —> -р00
или
' lim 2* = «=.
х—> Ц-оо
Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции 2*. Но
нельзя в левых частях вместо х—> + о= написать х~>™. Последняя
запись включала бы и тот случай, когда х—> —=», а тогда функция 2“
стремится не к бесконечности, а к нулю, т, е.
lim 2’ = 0.
Замечание. Бесконечно большая величина не имеет
предела в ранее установленном смысле (§§ 203-205), ибо
никак нельзя сказать, например, что «разность между / (х)
и остается меньшей заранее данного положительного
числа». Таким образом, введение бесконечного предела
расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного
нредсла'прсдсл, определенный ранее, называется конечным.
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин
Здесь предполагается,, что рассматриваемые величины
являются функциями одного и того же аргумента.
Теорема I. Сумма двух, трех и вообще любого неиз-
менного числа бесконечно малых величин есть величина
бесконечно малая*.
Замечание 1.‘Если число слагаемых ие остается
неизменным, а меняется вместе с изменением аргумента, то
теорема I может потерять силу. Так, если имеем л слагаемых,
по отдельности равных , то при п каждое слагае-
мое бесконечно мало, но сумма ... +“ =
равна 1,
Замечание 2. Разность двух бесконечно малых ве-
личин есть величина бесконечно малая (частный случай
теоремы I).
Теорема II. Произведение ограниченной величины
(§ 210) на величину бесконечно малую есть бесконечно
малая величина.
В частности, произведение постоянной величины на вели-
чину бесконечно малую, а также произведение двух бес-
конечно малых величин есть бесконечно малая величина.
266 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Теорема Ш, Частное от деления бесконечно малой
величины на переменную величину, стремящуюся к пре-
делу, не равному нулю, есть бесконечно малая величина.
Замечание 3. Если предел делителя равен нулю,
т. е. если и делимое и делитель бесконечно 1иалы, то
частное может и ие быть бесконечно малым. Так, вели-
чины х! и х3 бесконечно малы при х -> 0. Частное х3: Xs = х
тоже бесконечно мало, а частное х3: х3 = бесконечно
велико. Величины 6х3 + х3 и 2х3 бесконечно малы при
х-> 0, а предел частного (6х3+х3): 2х3 равен 3.
§ 213, Основные теоремы о пределах
Здесь предполагается, что все данные величины (сла-
гаемые, сомножители, делимое и делитель) зависят от одно-
го и того же аргумента х и обладают конечными пределами
(при х -> а или при х -> 03).
Теорема I. Предел суммы двух, трех и вообще лю-
бого неизменного числа слагаемых равен сумме пределов
отдельных слагаемых (ср. § 212, замечание 1).
Короче: предел суммы равен сумме пределов
Jim (п1 + п1+ .+п*) = lim их + iim пй + ... + Hm u*. (1)
Здесь при всех знаках Пт подразумевается значок х -> а
(или х «>).
Теорема 1а (частный случай теоремы I):
lim (ux-u2) lim Um пй, (2)
Теорема И. Предел произведения двух, трех н
вообще любого неизменного числа сомножителей равен
произведению их пределов:
lim (uLu2... ut) = iim lim us.., lim ut. (3)
Теорема Па. Постоянный миожитель можно вынести
за знак предела:
lim си - с Пт и, (4)
Тео рем’а 1П. Предел частного равен частному пре-
делов, если предел делителя ие равен нулю:
М = К (НтвиО). (5)
§ 213. основные теоремы о Пределах
26?
Пример 1.
Iim ^77 = Iim (х+4): Iim (х-2) = 9:3 = 3.
*—>SX 4 г—>5
Если предел делителя равен нулю, а предел делимого
не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел.
Пример 2.
здесь
lim (х-2) = 0, a lim(x+4) = 6^0,
г—> 2 3
Замечание 1. Если и делимое и делитель стремятся
к нулю, то частное может иметь как бесконечный, так и
конечный предел (§ 212, замечание 3). Оно может и ие
иметь предела.
Так, lim х2 cos " = 0 и Нтх2 = 0, но частное х! cos —: х1 ®= cos —
2>О х т..>0 к »
не имееУ предела при х~>0 (§ 204, пример 3).
Замечание. 2. В случае, когда lim л =0, но 11m u^t 0, теорема III
останется верной, если ее истолковать в более широком смысле. Имен-
с
но надо понимать запись lim /(х) = -д- (с—число, не равное нулю)
г—> а Ч
в том смысле, что lim/(x) •= <»
ж —> а
Примерз. Найти lim .
х—> Й X 2
Предел делителя равен нулю, а предел делимого равен 6. Понимая
6
запись -т- в указанном смысле, получаем:
S.JT2 - 0 "
(ср. пример 2).
Замена ниеЗ. В случае, когда lim и = 0 и lim и = О, теорема III
О г.
неприменима, так как выражение неопределенно. Но неверного ре-
зультата теорема III не может дать и в этом случае. Пусть, напри-
мер, надо найти
«_ 4х’-1
Пт ------г- •
! 2x^1
Применив (формально) теорему Ш, получаем . Это неопределенное
выражение служит сигналом, закрывающим прямой путь и заставля-
ющим искать обходный (см. § 204, пример 2). .
«Сокращать» на нуль и писать 1 вместо , конечно, нельзя.
268 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 2М, Число е
Целочисленная функция и„ = (* 1 2 * * + —)” ПРП воз-
растает, но остается ограниченной1). А всякая возрастаю-
щая, но ограниченная величина имеет предел (конечный).
Предел, к которому стремится (1 + ^)*, ПРП обо-
значается е:
= е.
(!)
Число е (оно иррационально) с точностью до шестой
значащей цифры равно
е =-. 2,71828.
Число е во многих случаях выгодно брать за основание
логарифмов (ср. § 242).
Функция (1+-)*’ имеет пределом число е не только
при целочисленных значениях и, но и тогда, когда п стре-
мится к бесконечности, пробегая числовую прямую не-
прерывно, Более того, аргумент л .может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, лишь бы и
неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы
’) Может показаться, что неограниченное возрастание показа-
теля степени должно повлечь неограниченное возрастание функции
Но рост показателя компенсируется тем, что основание
I -f- — стремится к 1, Полезно проверить это на опыте; с помощью таб-
лицы пятизначных логарифмов найдем, например, что
(1 \5 / 1 S10 / 1 \50 z j чюо
l+Tf) - 2.48, (н-И) -2.5О,(1+6о) -W (1 + 1ЯГ) -2J1.
/ 1 Xй
Доказать ограниченность НГ-,1 можно с помощью формулы
бинома. Первый ее член есть I, второй—тоже 1, третий, равный
п(л-1) 1 1
—т~——при всяком п меньше чем — , четвертый всегда меньше
—~ пятый—меньше 7— и т. д. Поэтому всякое значение w„ меньше чем
2s
1+ Ч-(2+ ' )’
т. е, меньше чем 3.
§ 216. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ 269
оттенить это обстоятельство, заменим букву п буквой х
н напишем:
lim
± "о
(2)
= е
(см, § 211) или короче:
lim (1+~У = ^- (3)
ж__> <ю 4 л z
§ 215. Предел —при sc -> О
Еслнх есть радианная мера угла, то
lim
« —> о
х
SjB X
< sin х <
_ 1 и lim —z— = 1
г->0 х
(1)
Пояснение. Примем радиус О А (черт. 216) за единицу длины.
/ ____
Тогда х= ДВ, sirtx=BZ). Имеем: xtsinx—
f= 'аВч BD=B'AB: В'В, Дуга В'АВ боль-
ше хорды В'В, Поэтому х : sin х> I. С дру-
гой стороны, дуга В’АВ меньше, чем
ВС 4-В'С = 2ВС, т. е. 'ав < ВС. Стало
быть, х : sfnx < ВС: BD = sc х (из треуголь-
ника ВВС),
X
Значит, отношение —заключено ме-
sm х
жду единицей и sex. Но при х~> О величина sex сама стремится к
х
единице, а значит, $— и подавно.
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины
Определение. Две бесконечно лталые величины на-
зываются эквивалентными1), если предел нх отношения
равен единице.
Пример 1. Величины х и sin х, бесконечно малые при
х->0, эквивалентны, ибо (§ 215) lim = 1. Величины
а?—>0 *
2х и sin 2х эквивалентны, Величины х3 н sin3 х тоже эк-
вивалентны.
Латинский термин (эквивалентный» означает (равноценный».
270 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Бесконечно малые величины а2 + 3а3 и
а2 - 4а3 (а -> 0) эквивалентны, ибо
.. а3 -Г За3 < 1 + За .
lim -х—л-? = lim = 1.
Эквивалентность бесконечно малых величин обозна-
чается тем же злаком что и приближенное равенство.
Таким образом,
sin х ~ х, sin 2х ~ 2х, sin2x^x-, а2 + 3а3 » ай~4а3.
Замечание. Эквивалентные величины и в самом деле прибли-
женно равны (равенство тем точнее, чем ближе к нулю эквивален) пые
величины).Так, при а=0,01 величина аЗц-ЗяЗ равна 0,000103, а а-’—4а:|=
~ 0,000096. Разность составляет 0,000007, т. е. около 7% одной из экви-
валентных величин. Чем они ближе к нулю, тем меньше этот процент.
Теорема. Предел частного (отношения) двух беско-
нечно малых величии не изменится, если одну из них
(или обе) заменить эквивалентной величиной,
Пример 3. Найти 11m .
sc —> 0 х
Заменяя sin 2х эквивалентной величиной 2х, получаем.
Нт = Пт 51 = 2.
Пример 4.
.. sin 2х .. 2х 2
hm — — lim
^оипбх а_>05х 5
П р и м е р 5, Найти
ltm _Ь£51£
Я__П *
Решение. Имеем:
1 “COSX = 2 SIU3 тг
а так как
811)3 7
то
2 (4)*
lim = lim -Х?2_ = о.
И - у- П X _ь. Л **
§ 217. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 271
§ 217. Сравнение бесконечно малых величин
Определение 1. Если отношение -- двух беско-
нечно малых величин само бесконечно мало [т. е. если
lim-£-=O, а значит (§ 209), lim-*-— то р называется
величиной высшего порядка малости относительно а; при
этом а называется величиной низшего порядка малости
относительно р.
Определенно 2. Если отношение — двух бесконеч-
но малых величин стремится к конечному пределу, не
равному нулю, то а и р называются бесконечно малыми
одного и того же порядка малостиг).
Замечание. Эквивалентные бесконечно малые вели-
чины всегда имеют один и тот же порядока).
Пример!. При х—> О величина х3 имеет высший поря-
док малости относительно х3, нбо Пт ~ = О, Наоборот,
х—>0 х
х9 имеет низший порядок относительно Xs, ибо lim
Пример 2. Прн х~>0 величины sinx и 2х имеют
один и тот же порядок малости, ибо (§ 215)
2 ж_>о х
1
Пример 3. При х->0 величина 1 — cos х имеет выс-
ший порядок малости относительно sinx, ибо (§ 216,
пример 5)
_ В _ а _
1) Вместо отношения — можно взять и обратное , нбо оно тоже
а р
будет иметь конечный предел, не равный нулю ^если lim у = т, то
S* mJ
Е) Обратное предложение не верно. Так, величины 2х и Зх при
/ 2х 2 \
О имеют одинаковый порядок ( Um =— = — 1, но не экви-
валентны*
272 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
При а->0 каждая из величин а, а2, а3, а1, а3,... имеет
низший порядок относительно любой следующей за ней.
Поэтому в основу дальнейшей классификации бесконечно
малых величии кладется следующее определение.
Определение 3. Бесконечно мала;! величина 3
имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой
а, если р имеет тот же порядок малости, что а™, т. е.
(см, определение 2) если отношение ~ имеет конечный
предел, не равный нулю.
Пример 4. При х->0 бесконечно малая у х* имеет
третий порядок относительно х, ибо lim .- х3) — ,
бесконечно малая у х2- второй порядок, бесконечно малая
Кх-порядок у .
Пример 5. Бесконечно малая 1-cos а. (а->0) имеет
второй порядок относительно а, ибо (см. замечание к опре-
делению 2)
1-cosa = 2sin2~ « 2(у)Е.
Пример 6. Бесконечно малая у а3 +1000 а1 (а->0)
имеет третий порядок малости, т. е. тот же, что и слагае-
мое |а3, порядок которого ниже порядка другого слагае-
мого. Так будет с каждой суммой двух нли нескольких
, слагаемых.
I П р н м е р 7. Бесконечно малая величинах3 sin2x (х- > 0)
имеет 5-й порядок малости относительно х (число 5 есть
сумма порядков сомножителей; так будет с каждым произ-
| ведением двух или нескольких сомножителей).
| Теорема 1. Разность «—р двух эквивалентных бесконечно
J малых а и р имеет высший порядок как относительно а, так и относи-
тельно р.
Пример 8. При х,~-> 0 имеем х sin зс. Поэтому х —sin х имеет
высший порядок относительно х (а также относительно sin х).
Теорема 2 (обратная). Если разность бесконечно малых
величин ос и р имеет высший порядок относительно одной из них
(тогда она имеет высший порядок и относительно другой) то р.
с. ПримерЭ, Бесконечно малые а® + За’ и а® (а -> 0) разнятся на
I За3; это —величина высшего порядка относительно а2. Поэтому
I,
i а® + За3 tv а®.
I
£
' § 218. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 273
§ 217а. Приращение переменной величины
Определение. Если переменная z принимает сна-
чала значение z=zit а затем z=z2, то разность z^-Xt назы-
вается приращением величины х. Приращение может быть
положительным, отрицательным и равным нулю. Слово
«приращение» обозначается Д г), запись Az (читается
«дельта зет») обозначает «приращение величины х», так что
Az = z2-zlt
Приращение постоянной величины равно пулю.
Пример. Начальное значение аргумента х-3, прира-
щение аргумента Дх = -2. Найти соответствующее при-
ращение Ду функции Г"Х“.
Решение. Так как хх = 3 и х2= -2, то ха= 1.
Функция у=хг принимает сначала значение у1=32 = 9,
а затем у2 — 1а= 1.
Приращение функции есть Ду = Уа-yj = 1-9 = -8.
§ 218. Непрерывность функции в точке
Определение. Функция /(х) называется непрерыв-
ной в точке х=а, если соблюдаются следующие два
условия:
1. При х-а функция /(х) имеет определенное значе-
ние Ь,
2. При х--> а функция имеет предел, тоже равный Ь,
При нарушении хотя бы одного из этих условий функ-
ция называется разрывной в
точке х = ц.
Пример 1. Функция
f(x) = -j-^з непрерывна в точ-
ке х—5 (М на черт, 217), ибо
1) при х=5 она имеет опре-
деленное значение / (5) - ~;
2) при х—> 5 опа имеет предел,
тоже равный у. Функция раз-
рывна в точке х=3; здесь не
выполнено первое условие (функция не имеет опреде-
ленного значения). Второе условие тоже не выполнено.
») Д - греческая буква «дельта» (прописная).
18 М. Я* Выгодский
274 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Зададим функцию <р (х) следующим
образом:
Ф (х) = v=3 ПРИ х 3,
Ф (х) = 2 при х = 3.
Эта функция (ее график получается из графика при-
мера 1 присоединением точки N; см. черт. 217) тоже раз-
рывна в точке х=3. Первое усло-
вие теперь выполнено, но вто-
рое - нет: при х -> 3 функция ф (х)
имеет бесконечный предел.
Пример 3. Количество Q
тепла, сообщаемого телу, есть
функция температуры Т тела. На
черт. 218 показан график этой
функции. Линия RB соответствует
твердому состоянию (^ — началь-
ная температура, Т2 - температура
плавления), линия СЕ —жидкому
(7"3-температура газообразова-
ния), линия FS- газообразному. Функция Q разрывна прн
Т=Т2 и Т=Т3; в этих точках она не имеет определенного
значения. Так, температуре плавления Т2 соответствуют
всевозможные значения количества тепла от Q= АВ
до Q = ДС.
§ 219. Свойства функций, непрерывных в точке
Свойство 1. Сумма, разность н произведение двух
функций, непрерывных в точке х-а, непрерывны в этой
точке. Частное двух функций, непрерывных в точке
х=а, непрерывно, если делитель v не обращается в нуль
прн х—а.
Свойство 21). Если функция /(х) непрерывна при
некотором значении х, то приращение функции бесконечно
мало при бесконечно малом приращении аргумента.
Пример. Функция / (х) = непрерывна в точке
х=5, причем /(5) = ~ (§ 218, пример 1). При х - 5 + Дх
1) Свойство 2 можно принять за определение непрерывности функ-
ции в точке (равносильное определению § 218).
§ 219а. ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ; СКАЧОК ФУНКЦИИ 275
функция получает значение
/ (5 + Дх) = 2+Дэс •
Приращение функции равно
/(5+АХ)-/(5)=-^йг
Оно бесконечно мало при бесконечно малом Дх.
§ 219а. Односторонний предел; скачок функции
Если значение функции /(х) стремится к числу bj по мере стрем-
ления х к а со стороны меньших значений, то число Ьг называют
левосторонним пределом функции/ (х) в точке х = а и пишут:
lim /(х) = 6х. (1)
х—>я—О
Если /(х) стремится к Ь2 по мере стремления х к а со стороны
ббльших значений, то Ь2 называют правосторонним пределом функции
/ (х) при х-> а и пишут:
lim
«-> я+0 (2)
Величина J ба-bj называется скачком или разрывом.
Левосторонний и правосторонний пределы объединяютсянаимено-
ванпсм .односторонний предел..
П р и м е р 1. Функция Q, изображенная па черт. 218, имеет в точ-
ке 7\ левосторонний предел АВ и правосторонний предел АС, Скачок
изображается отрезком ВС АС —АВ.
Пример 2.. Функция /(х) «• (чеРт- 219) в точке xf= О
имеет правосторонний предел 62=0 и левосторонний предел 6j, = L
Скачок равен единице.
Черт. 219.
Два односторонних предела функции / (х) в точке х = а могут
быть равными. Если при этом функция определена в самой точке «=«,
то она непрерывна в этой точке.
. 4
ПримерЗ. У функции/(х) =. °®а односторонних пре-
дела в точке х = 2 равны 4, Но в самой точке х = 2 функция не опре-
делена и потому разрывна. График (черт. 220) есть прямая у=х+2,
18*
276 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
лишенная точки Af (2; 4). Если же добавочно условиться, что
7(2) »4, то функция/(х) станет непрерывной. График пополнится
точкой М.
Если с помощью добавочного условия, определяющего функцию
f (х) в точке а, можно разрывную функцию превратитьв непрерывную,
то разрыв называется устранимым. В примере 3 разрыв устраним,
в примерах 1 —2 неустраним.
§ 220. Непрерывность функции
на замкнутом промежутке
Определение, Функция называется непрерывной
на замкнутом промежутке, если она непрерывна в каж-
дой точке этого промежутка,
включая оба конца.
Аналогично определяется
непрерывность функции в не-
замкнутых промежутках.
Пример. Рассмотрим функ-
цию гГ(х~Т) (чеРт- 221>- Опа
непрерывна на замкнутом про-
межутке 2), но разрывна
на замкнутом промежутке
(О, 1), ибо оба концах=Оих =
I - точки разрыва. Она раз-
рывна и на замкнутом проме-
жутке (1, 2), ибо один конец
х=1-точка разрыва. Она раз-
рывна также на замкнутом промежутке 2), ибо внутри
промежутка лежит точка разрыва (х= I).
§ 221. Свойства функций, непрерывных
на замкнутом промежутке
Пусть функция / (х) непрерывна на замкнутом проме-
жутке (а, 6). Тогда она обладает следующими свойствами.
1. Среди значений, которые функция принимает в точ-
ках данного промежутка, имеется самое большое и самое
малое.
Замечание 1. Среди значений, которые принимает
функция / (х) в точках незамкнутого промежутка (а, Ь),
может не быть самого большого или самого малого.
§ 221. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 277
Так, в незамкнутом промежутке (1, 3) функция 2х
нс обладает пи наименьшим значением, ни наибольшим
(она мота бы принять эти значения на концах х—1
и х=3, но из незамкнутого промежутка концы исклю-
чены).
2. Если т есть значение функции / (х) при X - б/ и
л-значение / (х) при х=Ъ, то функция / (х) принимает
внутри промежутка (а, Ь) по крайней мере по одному
разу всякое значение р, заключенное между т и п.
Геометрически; всякая прямая, проведенная
параллельно осп абсцисс выше точки А, но ниже точки В
(черт. 222), встретит по крайней мере Один раз график АВ
(на черт. 222 —три раза).
Замечание 2. Разрывная функция может не обла-
дать свойством 2 (см. черт. 2!8 и 219).
2а. В частности, если на одном конце промежутка функ-
ция имеет положительное, а на другом —отрицательное
значение, то внутри промежутка она по крайней мере один
раз обращается в нуль.
Геометрически; если одна из точек А, В
(черт. 223) лежит выше оси OXt а другая ниже, то
jy
Черт. 223.
график АВ по крайней мере один раз встречает ОХ (на
черт. 223-два раза).
3. Если переменные х и х' изменяются так, что раз-
ность х-х' бесконечно мала, то разность /(x)-f(x')
тоже бесконечно мала.
278 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание 3. Если х' есть постоянная величина с,
то разность /(х)-/(с) является бесконечно малой
по свойству 2 § 219. В силу свойства 3 настоящего пара-
графа прн бесконечной малости х-х' разность f(x)-f(x')
бесконечно мала не только тогда, когда х' постоянна,
но и тогда, когда х' переменна.
Замечание 4. При непрерывности функции в незам-
кнутом промежутке свойство 3 может не иметь места.
Так, функция ~ непрерывна в промежутке (0, 1), лишен-
ном конца х=О. Пусть х и х' изменяются так, что
х' = 2х и х->0. Тогда разность х—х' бесконечно мала,
но разность /(х)-/(х') = бесконечно велика.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания
Источником дифференциального исчисления были два
вопроса:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
(§225),
2) о разыскании скорости при произвольном законе
движения (§ 223).
Оба они привели к одной и той же вычислительной
задаче, которая и легла в основу дифференциального ис-
числения. Эта задача состоит в том, чтобы по дан-
ной функции / (I) отыскать другую функцию f (/), полу-
чившую позднее название производной и представляю-
щую скорость изменения функции / (t) относительно
изменения аргумента (точное определение производной
см. § 224).
В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном
н в сходной форме Лейбницем в 70-х и 80-х годах 17-го в.
Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие
ученые фактически дали правила для разыскания производ-
ных для многих функций.
Ньютон и Лейбниц завершили это развитие; они ввели
общие понятия производнойг) и дифференциала г), а также
обозначения, очень облегчавшие вычисления; онн развили
аппарат дифференциального исчисления до максимальных
пределов и применили дифференциальное исчисление
к решению многих задач геометрии и механики. Недоста-
ток логической строгости был восполнен только в 19-м в.
(см. § 191).
1) По Ньютону «флюксия». Термин «производная» введен (Арбога-
стом) в конце 18-го в.
2) Термин «дифференциал» (от лат. differentia) введен Лейбницем.
280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 223. Скорость1)
Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на
каком километре пути он находился в момент t-tlt
а затем в момент # = /2. Пусть это будут расстояния
и s=s2. Приращение (§ 217а) пути As = Sa-Sj мы
делим на приращение времени А/ - Частное
даст среднюю скорость поезда за промежуток (G, 6). При
неравномерном движении средняя скорость недостаточно
характеризует быстроту движения в момент t — fv Но чем
меньше А/, тем точнее характеризуется эта быстрота.
Поэтому скоростью в момент называют предел,
к которому стремится отношение при А/ ->0:
As
v= lim -др ' (2)
Д(—>о
Пример. Свободное падение тела. Имеем:
s=|tf8. . . (3)
Так как G = Ь+Ы, то
As = Sa_S1 = lg(ft i My-
Значит,
Вычислив предел, найдем:
(5)
Обозначение 4 мы ввели, чтобы оттенить постоян-
ство t при вычислении предела. Так как G есть произволь-
ное значение времени, значок 1 лучше отбросить; тогда
из формулы
v-gt (ба)
видно, что скорость я, как н путь s, есть функция вре-
мени. Вид функции v всецело зависит от вида функции s,
так что функция s как бы «производит» функцию v. Отсюда
название «производная функция».
1) Этот параграф служит введением к § 224.
§ 224. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ 281
§ 224. Определение производной функции г)
Пусть у~[ (х) есть непрерывная функция ар1Умснта х,
определенная в промежутке («, Ь), и пусть х - какая-либо
точка этого промежутка. Дадим аргументу х приращение
Дх (положительное или отрицательное). Функция у = /(х)
получит приращение Ду, равное
Ду = / (хуДх)-/(х). (I)
При бесконечно малом Дх приращение Ду тоже бесконечно
.мало (§219).
т-г 1 ДУ
Предел, к которому стремится отношение -д* при
Дх-> О, т. е.
.. 7(х + Дх)-/(х)
hm --------------, (2)
А*—> о
сам является функцией от аргумента х (ср. § 223). Эта
функция называется производной от функции /(х) и обо-
значается /' (х) или у'.
Короче: производной функцией называется предел г),
к которому стремится отношение бесконечно малого
приращения функции к соответствующему бесконечно
малому приращению аргумента.
Замечание. В процессе разыскания предела (2)
величина х рассматривается как постоянная.
Пример 1. Найти значение производной от функции
у~х2 при х=7.
Решение. При х ~ 7 имеем у = 7- = 49. Дадим
аргументу х приращение Дх. Аргумент станет равным
7 + Дх, а функция получит значение (7ф Дх)2.
Приращение Ду функции равно
Ду = (7+Дх)-’-72 = 14Дх+Д№.
Отношение этого приращения к приращению Дх есть
Находим предел, к которому стремится д| при Дх->0:
Ду
Пт д- = lim (14+Дх) - 14.
Д ».О о
Рекомендуется сначала прочесть § 223.
£) О случаях, когда этот предел не существует, см. § 231-
282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Искомое значение производной равно 14.
Пример 2. Найти производную от функции у = х2
(нрн произвольпо.м значении х). Даем гцнументу прираще-
ние Дх. Аргумент получает значение х ! Дх. Приращение
Ду функции есть (х + Дх)2-х2 = 2хДх | Дх2. Отношение
равно ~-+й^~~у2 “ 2хд-Дх. Производная функция
есть предел этого отношения при Дх—0:
у' = lim ~ lim (2х-|-Дх) = 2х.
Да: -> tl Да- -> О
Искомая производная у' = 2х. При х-7 получаем
у'=14 (ср. пример 1).
Пример 3. Найти производную от функции у —sin х
(аргумент выражается в радианной мерс).
Решени е. Даем аргументу приращение Дх. Прира-
щение функции есть
Ду = sin (х-р Дх)- sin х = 2 cos (*+4г) -sin .
Отношение равно
Предел этого отношения при Дх >0 (§§ 213, 215) равен
„ Дх
.. ду г г . ДЛ .. 2 Е1П 2
Lim = lim cos (х-г lim • — = cos х.
Дх->0 7 Д-tH-O ах
Стало быть, у'= cos х.
§ 225. Касательная
Касательной к линии L в точке М (черт. 224) назы-
вается прямая Г'ЛГГ, с которой стремится совпасть секу-
щая ’) ММ', когда точка М', оставаясь на L, стремится
к М —будь то справа нли слева.
Замечание. Из черт. 225 видно, что касательная
может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие
точки.
1) Выражение «стремится совпасть» означает, что острый угол
между неподвижной прямой Т'МТ и вращающейся прямой AI.-VT стре-
мится к; нулю,
§ 225. КАСАТЕЛЬНАЯ 283
Если линия L есть график функции у = / (х), то угло-
вой коэффициент касательной равен значению производной
функции в соответствующей точке1).
Черт. 225,
Это видно нз черт. 226. Угловой коэффициент к секу-
щей равен к = Если М." стремится к М, то к
имеет пределом угловой коэффициент т касательной.
Значит, т = lim , т. е. (§ 224) т = f (х).
Пример 1. Найти угловой коэффициент и уравнение
касательной к параболе у = х2 в точке М (1; 1) (черт. 227).
Решени е. Имеем / = 2х (§ 224, пример 2). При х = 1
получаем у' = 2. Искомый угловой коэффициент касатель-
ной т - 2. Уравнение касательной будет у-1 = т(х-1),
т. е. у = 2х- 1.
Пример 2. Найти уравнение касательной к линии
у = sin х (синусоида, черт. 228) в точке О (О, 0).
1) Если график не имеет касательной, функция / (х) ие имеет
производной и наоборот.
284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Реше икс, Имеем у' = cos х (§ 224, пример 3), При
х = 0 получаем у ~ 1. Уравнение касательной есть у = х.
Отметим, что синусоида располагается по обе стороны
от касательной Т'ОТ.
Пример 3. Угловой коэффициент прямой линии
у=ох+д (он равен й) есть производная от функции
у = ах+b (касательная к прямой линии есть опа сама),
§ 226. Производные некоторых простейших функций
1. Производная постоянной величины равна пулю
(°)' - 0. (1)
Физический смысл (§ 223): скорость неподвижной точки
равна нулю.
Геометрический смысл: угловой коэффициент прямой
у = a{UV на черт. 229) равен нулю (ср. § 225, пример 3).
Замена п л е. При некоторых значениях х функция
может иметь нулсвую производную и не будучи постояи*
ной. Так, производная (sin х)' = cos х (§ 224, пример 3)
равна нулю при х у, х = — ™ и Т. д.
Но если производная f (к) равна ну-
лю тождественно, то функция / (х) обя-
зательно постоянна (§ 265, теорема 1).
2. Производная независимой пере-
менной равна единице:
(х)' =1. (2)
Геометрический смысл: угловой коэффициент прямой
у = х равен единице.
Физический смысл; если путь, пройденный телом, чи-
сленно равен времени пребывания в движении, то ско-
рость численно равна единице.
3. Производная линейной функции у = ax-yb есть
постоянная величина а:
(ах+Ь)’ = а, (3)
4. Производная степенной функции равна произведению
показателя степени на степенную функцию, у которой
показатель на единицу меньше:
, (х“)' == лх*"1. (4)
Черт. 229.
§ 228. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
285
Примеры.
1) (х3)' - 2х.
2) (х3)' Зх2.
3) (|КУ = (хт) = ~х~ = — '
4)(i)'=C*-'X“ -2*-3- -г.-
§ 227. Свойства производной
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
[я/ (х)]' = а/' (х).
Пример ы.
1) (Зх2)' “ 3(х3)' = 3 2х = ОХ.
2)G)'=5G)' = 44)=-^-
3) (^'=/2(^'=Х| = ^.
2. Производная от алгебраической суммы нескольких
функций (взятых в пспз.менном числе) равна алгебраической
сумме их производных
[/1 (х) + h (х) - /3 (X)]' « £ (х) + /' (х) - /' (х).
Примеры.
4) (О,3ха — 2х + О,8)' = (О,3х2)' - (2х)' 4- (0,8)' = 0,6х-2
(производная последнего слагаемого равна нулю; § 226,
п. 1).
5) СУ - 6/T)'= (I)'- 6KD' = - ?, -
г-н,
* § 228, Дифференциал
Определение. Пусть приращение (§ 217а) функции
у ±= / (х) разбито на сумму двух членов;
Ду = А Дх+а, (1)
где А не зависит от Дх (т. е. постоянно при данном зна-
чении аргумента х) и а имеет высший порядок (§ 217)
относительно Дх(при Дх->0).
286
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тогда первый («главный») член, пропорциональный Дх,
называется дифференциалом функции / (х) и обозначается
dy или d/(x) (читается; «дэ игрек», «дэ эф от икс»).
Пример 1. Возьмем функцию у = х3. Тогда1)
Ду = Зх3 Дх + (Зх Дх3 + Дх3). (2)
Здесь коэффициент А = Зх2 не зависит от Дх, так что
первый член пропорционален Дх, другой же член
ос = Зх Дх-’ -' Дх3 имеет высший (второй) порядок относи-
тельно Дх. Стало быть, член Зх3Дх есть дифференциал
функции х3;
dy — Зх2 Дх или d (х3) = Зх2 Дх. (3)
Теорема!. Коэффициент А равен производной /' (х);
иными словами, дифференциал функции равен произведе-
нию производной на приращение аргумента’.
dy ~ у' Дх (4)
или
rf/(x) zr /'(х) Дх. (4а)
Прнмер2.В пргшере 1 мы нашли, что d (Xs) - Зх3Дх-
Коэффициент Зх2 есть производная функции х3.
Пример 3. Еслиу=“, то у' = (§ 226, п. 4).
„ J дх
Поэтому dy -
Проверим это, Имеем Ду г-т- Если разбить
v v ' (х + Дх) х х(х + ^х)
это выражение на два члена, из которых первый есть г*> то
второй будет
рядок относительно Дх 2).
Второй член имеет высший (второй) по-
Теорема 2. Если производная ле равна нулю, то
дифференциал функции и ее приращение эквивалентны
(при Дх -> 0); если производная равна нулю (тогда и диф-
ференциал равен нулю), то не эквивалентны.
Пример 4. Если у х~. то Ду = 2хДх-|-Дхг, а
dy - 2хДх. При х = 3 величины Ду = бДхуДх2 и
dy = 6Дх эквивалентны, при х = О величины Ду = Дх2 и
dy ~ 0 не эквивалентны.
1) Запись Дх2 обозначает то же, что (Ах)2 (скобки опускаются)
Если же нужно обозначить приращение функции хг, то пишут А (х2).
^Предполагается, что х^О (при х=0 сама функция не.
определена).
§230. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 287
Эквивалентность дифференциала п приращения часто
используется в приближенных вычислениях (как правило,
вычислить дифференциал легче, чем производную).
Пример 5. Имеем металлический куО с ребром
х = 10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на
Дх = 0,01 см. Насколько увеличился объем V цуба?
Решение. Имеем V х3, так что dV ~ Зх2Дх —
= 3-102'0,01 3 (ot3). Увеличение объема Дк эквива-
лентно дифференциалу dV, так что ДУ 3 см3. Полное
вычисление дало бы ДУ =- 10,OP— 103 = 3,003001. Но
в этом результате все цифры, кроме первой, ненадежны;
значит, все равно надо округлить до 3 сж3.
Другие примеры применения дифференциала в прибли-
женных вычислениях см. § 243 (пример 4) н § 248.
§ 229. Механическое истолкование дифференциала
Пусть s - / (^ — расстояние прямолинейно движущейся
точки от начального положения (/ — время пребывания в
пути). Приращение As-это путь, пройденный точкой за
промежуток времени Д/, а дифференциал ds ~ f'(t) At (§ 228,
теорема 1) —это путь, который точка прошла бы за то же
время Д/, если бы она сохранила скорость /' (/), достигну-
тую к моменту Е При бесконечно малом Д/ воображаемый
путь ds отличается от истинного As на бесконечно малую
высшего порядка относительно Де
Если скорость н .момент t нс равна
нулю, то ds даст приближенную ве-
личину малого смещения точки
(ср, § 228, теорема 2).
§ 230. Геометрическое
истолкование дифференциала
Пусть линия L (черт. 230) есть
график функции у = /(х). Тогда
Дх = MQ, Ay = QM'.
Касательная MN разбивает отрезок Ду па две части,
QN и УАГ. Первая пропорциональна Дх и равна
Q.X = MQ -tg X QMN « Дх/'(х) (см. § 225), т. е. Q\r есть
дифференциал dy.
Вторая NM' даст разность Ду—dy; она имеет высший
порядок относительно Дх. В данном случае, когда /' (х) О
(касательная не параллельна ОХ), отрезкй QM' и Qy
288
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
эквивалентны (§ 228, теорема 2); иными словами, NM' имеет
высший порядок также относительно Ду = QM'. Это видно
на чертеже (с приближением М' к Л1 отрезок соста-
вляет все меньший процент отрезка QAl')-
Итак, дифференциал функции графически изображается
приращением ординаты, касательной.
§231. Дифференцируемые функции
Непрерывная функция, имеющая (в данной точке) диф-
ференциал, называется дифференцируемой (в рассматри-
ваемой точке).
Разрывная функция не может иметь в точке разрыва
ни производной, ни дифференциала (график не имеет каса-
тельной; см. черт. 214 на стр. 260 и черт. 219 на стр. 275).
Функция, непрерывная в данной точке, может не иметь
дифференциала воюй точке. Ниже рассмотрены три харак-
терных случая.
Случай 1. Функция
у =f(x) имеет в рассматриваемой точке
бесконечную проимиОиую, т. е.
или
lim
Дх-^- о
lim
Дх—> О
Ду
—— =4-00
Дх т
(т. е. Ду имеет низший порядок относи-
тельно Дх). График имеет вертикальную
касательную.
Запись (условная):
р (X) со.
3_
Пример 1. Функция f (х) = 1'х (черт. 231) не дифференцируема
В точке х =0, Величина
Ду _ /О+Дх - /О
Дх ~ Дх
имеет при Дх-> О бесконечный предел 4 со.
Касательная в точке х —О совпадает с осью ОУ.
Замечание 1. Функция, имеющая (в данной точке) конечную
производную, дифференцируема. Обратно, дифференцируемая функ-
ция имеет конечную производную.
Случай 2. Отношение не имеет предела при Дх—>0
Дх
(т. е. функция у =/ (х) ие имеет производной), но имеет правосторон-
ний предел (при Дх—>4-0, § 219а) и левосторонний (при Дх-> —0).
Первый называется правосторонней производной и обозначается
'(*'1 0), второй - левосторонней и обозначаетсяр (х —0).
§ 231. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
289
В рассматриваемой точке (М на черт. 232) у графика нет касатель-
ной, но есть правосторонняя касательнаяМТг и левосторонняя каса-
тельная МТг, т. е. секущая 7ИЛ1' стремился к совпадению с М1\,
когда Л!' стремится к Л1 справа, и с МТг, когда М' стремится к Л(
Черт. 233.
Пример 2, Функция /(х)=1-| 1-х| (черт. 233) не дифферен-
цируемая в точке х =1. линия К'ЛЖ не имеет касательной в точке
Л1(1; J). Правосторонняя производная /'(1+0)=—1, левосторонняя
производная /'(I — 0) = 1.
Случай 3. У функции уЧ(х) нет правосторонней или лево-
сторонней производной (или нет ни той, ни другой). График не имеет
соответствующей односторонней касательной.
Пример 3, Функция, заданная формулой /(x)=rxsnj~
X
(черт. 234), При дополнительном/(0)«О fвыражение sin — не имеет-
\ х
смысла при х ~ 0) непрерывна в точке х = 0.
19. М. Я. Выгодский
290 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Однако, когда М' стремится к О справа (или слепа), секущая ОМ'
колеблется между прямыми LFV(y=a) и U'V'(y——x) и не
стремится ни к какой прямой. График не имеет в точке О пи право-
сторонней, ни левосторонней касательной, а функция/ (х)~ни право-
сторонней, ни левосторонней производной.
Замечание 2. Можно придумать даже такие непрерывные
функции, которые ни в одной точке не имеют производной i). Значит,
существование производной не вытекает логически из непрерывности
функций. Это было впервые указано великим русским математиком
Н. И. Лобачевским 2).
§ 232, Дифференциалы некоторых простейших
функций
1, Дифференциал постоянной величины равен нулю:
da = 0. (1)
2. Дифференциал независимой переменной равен ее
приращению;
dx = Дх. (2)
3. Вообще дифференциал линейной функции равен се
приращению:
d (ах + Ь) = Д (ах + Ь) = а Дх. (3)
Для остальных функций дифференциал и приращение
не равны. (Но они разнятся на величину высшего порядка
малости относительно Дх; § 228).
4. Дифференциал степенной функции хп равен пх"-г Дх
[ср. (4) § 233]:
dxn - пхп 1 Дх. (4)
!) Линию, графически изображающую такую функцию, мы не
можем ни построить, ни даже вообразить; ведь представление о линии
мы получаем, отвлекаясь от свойств реальных предметов, и оно оказы-
вается неразрывно связанным с понятием о направлении. Уже в при-
мере 3 <линия> у — х sin — лишена направления в точке х -= 0.
Но здесь нашему воображению помогает то, что в любой близости
от точки О график имеет определенное направление.
г) Ни кол ай Иванович Лобачевский (1792 — J Я 56)
обессмертил свое имя созданием неевклидовой геометрии. В области ал-
гебры и анализа ему принадлежат выдающиеся работы. Мировоззрение
Н. И. Лобачевского носит ярко выраженный материалистический ха-
рактер. Велики заслуги Н. И, Лобачевского как передового общест-
венного деятеля, педагогаи организатора народного просвещения. Вся
жизнь великого ученого связана с Казанским университетом, где он
воспитывался сам и где лотом был профессором и ректором.
§ 234. ИНВАРИАНТНОСТЬ ВЫРАЖЕНИЯ Г (if) dx 291
§ 233. Свойства дифференциала
1. Постоянный множитель можно вынести за знак диф-
ференциала:
<ф/(х)]^ arf/(x). (1)
2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких
функций (взятых в неизменном числе) равен алгебраиче-
ской сумме их дифференциалов:
d 1/1 (*) + /а (*) - /з (х)1 = rf/i (х) + <//г (х) - £//□ (х). (2)
3. Дифференциал функции равен произведению произ-
водной на дифференциал аргумента:
(//(X) = /' (x)rfx. (3)
Вытекает из £ 228 (теорема 1) и § 232, и. 2.
В частности (ср. § 232, П. 4),
d (хп) = их”"1 dx. (4)
§ 234. Инвариантность выражения f (ж) dx
Выражение /' (х)Дх представляет (§ 228, теорема 1)
дифференциал с//(х), когда х рассматривается как аргу-
мент. Если же сама величина х рассматривается как функ-
ция некоторого аргумента t, то выражение /' (х) Дх, как
правило, не представляет дифференциала (см. ниже при-
мер 1); исключение составляет лишь случай линейной за-
висимости х = at+b.
Напротив, формула (3) § 233
(// (х) = /' (х) dx (1)
верна как в том случае, когда х есть аргумент (тогда
dx = Дх), так н в случае, когда х есть функция от t
(см. ниже пример 2).
Это свойство выражения /' (х) dx называется его ин-
вариантностью (неизменностью).
Пример 1. Выражение 2х Дх представляет дифферен-
циал функции у = х3, когда х есть аргумент.
Положим теперь
х = (2 (2)
и будем считать t аргументом. Тогда
у - х2 = t*. (3)
19*
292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из (2) находим:
Дх = 2/Д/+ДР. (4)
Значит,
2х Дх = 2/2 (2/Д/-р Д/2). (5)
Это выражение нс пропорционально Д/ п потому
теперь 2хДх не является дифференциалом. Дифферен-
циал функции у находим из (3):
dy = 4/з д/. (6)
Сопоставляя (5) и (S), видим, что 2х Дх и dy разнятся на величину
2Р Д/г, имеющую второй порядок; относительно if.
Пр н м е р 2. Выражение 2х dx представляет дифферен-
циал функции у = х2 при любом аргументе /. Пусть, на-
пример, х = Я Тогда
dx - 2/ Д/.
Значит,
2xdx~ 2t^2t Д/ = 4/з Д/.
Сравнив с (6), видим, что
dy = 2х dx.
§ 235. Выражение производной
через дифференциалы
Производная от функции у по аргументу х равна отно-
шению дифференциала переменной у к дифференциалу пе-
ременной х:
Значок х при символе у' подчеркивает, что при отыска-
нии производной аргументом является х. Дифференциалы
же dy и dx можно брать по любому аргументу
Удобнейшим обозначением производной часто являются
выражение ~ и ему подобные, как-то:
(производная от функции / (х) по х),
(производная от функции у (/) по /),
§ 237. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 293
Употребляются также условные записи
£ /(*)> ^(3X’ + 2X+1) Н Т. К;
особенно удобные, когда берется производная от сложного
выражения.
§ 236, Функция от функции (сложная функция)
Величина у называется функцией от функции (или
сложной функцией), если она рассматривается как функ-
ция от некоторой (вспомогательной) переменной и, кото-
рая в свою очередь зависит от аргумента х:
y=f(u), н = ?(х). (1)
Тем самым у оказывается функцией от х, что можно
записать так:
У = /[?(*)]. (2)
Если /(«) и (х)~ непрерывные функции, то функция
/[? (х)1 также непрерывна.
Пример. Если у - и3 и и - iух3, то у есть слож-
ная функция от х, что можно записать так:
у = (1+х2)3.
§ 237. Дифференциал сложной функции
Разыскание дифференциала сложной функции не требует
особых правил (вследствие инвариантности выражения
Г (к) dx; § 234).
Пример 1. Найти дифференциал функции у = (1 + х2)3.
Решение. Рассматривая у как сложную функцию
(у я и3, и = 1+х2), имеем;
dy — За3 da, da — 2х dx.
Отсюда
dy = 3 (! +№)2 • 2x бх — (бх+ 12x3 + 6x5) dx.
Тот же результат получим непосредственно:
dy — d (1 + Зх2 + Зх1 + Xе) « (бх -j- 12x3 + бх5) dx.
Замечание. На практике не вводят особого обозна-
чения для вспомогательной переменной и, В примере 1
действуют так:
d(l+x2)3« 3(l+x2)2’d(l+x') - 3(l+*)s2x<fr.
294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Найти d }' л'-'—х-.
Решение.
1
= (/(«--№)2 =
§ 238. Производная сложной функции
Производная функции от функции равна производной
функции по вспомогательной переменной, помноженной
на производную этой переменной по аргументу;
dy __ dy du z । <
dx ~ ~du 1 dx ' '
Пример 1. Найти производную от функции
у =]/й2-х2
(по аргументу х).
Полагая
1
у — и~, и — a~-x2t
имеем:
I
tfy 1 и~^ 1 _ ^Н.==_2х.
du 2 2/а2— х2 ’ dx
По формуле (1) получаем:
dy 1 х
-- = — 2х) ™ " —
dx 2/ий-№ 4 Уи*-*!
Замечание. При пользовании обозначением (Уа^-х1)' на-
чинающие часто допускают ошибку. Зная, что (fx)' « > они пи-
2 У X
шут результат в виде —забывая помножить на (а--х-)'
2 уд2 “Xs
= —2х. Ошибка связана с несовершенством обозначения (не видно, по
какому переменному берется производная). Поэтому на первых порах
лучше вести запись так:
d 1 d 1
dx 2 /оЛ7хг ах = 2 /а^ха ("2х)‘
При достаточном навыке промежуточное преобразование выполняет-
ся в уме.
§ 239. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 295
Наилучшую гарантию от сшибки дает предварительное вычисление
дифференциала Получив (S 237, пример 2) —т==~—,
Уа'-х*
берем коэффициент при dx (т. е. делим на dx) и находим для произ-
—х
водной выражение ,1 1 .
Уай— хг
П р и м е р 2. Найти производную от функции у — sin32x.
Решение. Здесь имеем цепочку трех зависимостей;
у = и", и — sin t?, t? = 2х.
Аналогично с (1) имеем: Учитывая, что
Я ~ ~ cos 224, пример 3), находим:
5V— 2а. cost’ • 2 — 4 sin 2х cos 2х = 2 sin 4х.
dx
Во избежание ошибки лучше действовать так;
d sina 2х—2 sin 2X‘d sin 2x=+_sin.2xcos 2x>d (2x)=s
t=4sin 2x-cos 2x>dx.
Деля на dx, получаем;
dsina2x . . „ „
—-z--« 4 sin 2x cos 2x.
dx
§ 239. Дифференцирование произведения
Правило. Дифференциал произведения Двух функций
равен сумме произведений каждой из функций на диффе-
ренциал другой:
d (uv) = и dt>+ v du. (!)
Для трех сомножителей имеем:
d (uvw) = vw • du + uw dv + uv • dw (2)
и аналогично для большего числа сомножителей.
Производная произведения вычисляется по тому же
правилу (слово «дифференциал») оба раза заменяется словом
«производная»);
(до)' = uv'+vu’ (la)
(am')' = vwu'+ uwv'+uvw'. (2a)
Пример 1. Найти дифференциал и пронзводвую от
функции (2ха + 3х) (v/-2).
Решение.
d[(2x2 + 3x)(x3 —2)] =
« (2хз + Зх) d (х3- 2) + (х3-2) d (2№ + 3х) «
« (2х2 + Зх) Зха dx ч- (х3 - 2) (4х + 3) dx =
= (10х4+ 12х3-8х-6) dx.
296 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Коэффициент Юг1^ 12№~8х-б есть производная.
По формуле (1а) мы пашли бы:
(2х3+Зх)(х3-2)]' «
= (2.x2+Зх) (х3 - 2)' 4- (х3 - 2) (2№ + Зх)'
и т. д.
Пример 2.
d(x sin -j) ~ xd sin ^-4- sin ™-tfx -
1
1 /1 \ i cos" i
= x cos ~d(“)+ sin 4dx - —rfx-f- sin— dx =
pC \ PC j P*
« f--1 cos 4 + sin -i') dx.
\ X X xj
Отсюда
~ (x sin*-) «, -1 Cos I4- sin I. (3)
Замечание. Предполагается, что x ^0. При x =0 функция
x sin -i- ие определена. Нодаже, если ее доопроделить(§ 231,пример 3),
сна при хиО не дифференцируема (при х->0 производная (3) не стре-
мится ни к какому пределу; см. черт. 234).
§ 240. Дифференцирование частного (дроби)
Правило. Дифференциал дроби равен произведению
знаменателя иа дифференциал числителя минус произведе-
ние числителя на дифференциал знаменателя, все делен-
ное на квадрат знаменателя:
- и vdu-udv /1Ч
---?----“
То же правило для производной дроби (слово «диффе-
ренциал» все трн раза заменяется словом «производная»)
(1а)
Пример 1. Найти у', если у =х .
Имеем:
1/„ (х2+1)(2х + 1)'-(2х + 1)(хг + 1)' „
_ (xs + l)2-(2x + l)2x
" (Xs 1)® 1
т. е<
ПК _
~ (X» 1)5
§ 241. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 297
П р и м е р 2. Найти d .
Сначала рассматриваем данное выражение как сложную
функцию (у = F’n; и =» :
__ 1 1Г1 -х (1—х) rfx + (l +х) dx
“ 2[ 1+х " (1-х)*
После упрощений получим:
я1/1+£=_______а*_____.
Г 1-Х (1~х)К1-х!
§ 241, Обратная функция
Если из соотношения у = /(х) вытекает соотношение
х=ф(у), то функция ф (у) называется обратной [относи-
тельно функции / (х)].
Пример 1. Для функции^ у=хг обратной является
(двузначная) функциях — ± 1/у.
Пример 2. Для функции y = sin х обратной является
(бесконечно многозначная) функция x=Arcsin у (опреде-
ленная для всех значений у, меньших единицы по абсо-
лютному значению).
Замечание. Обратная функция, как правило, многозначна1).
От многозначности можно освободиться, если сузить область измене-
ния аргумента для исходной функции. Так, в примере 1 можно устра-
нить отрицательные значения аргументах, и тогда обратная функция
х=4-|у будет однозначной.
Если сохранить прежние обозначения переменных, то
график функции у=/(х) служит одновременно графиком
обратной функции х=<р (у).
Но обычно обозначения переменных меняют ролями и
аргумент обратной функции обозначают буквой х, как и
аргумент прямой функции.
Пример 3. Для функции у=№ обратной (однознач-
ной) функцией является для функции у=2г
обратной функцией является y=Iog2x.
*) Исключение составляют только те случаи, когда по мере увели-
чения аргумента значение прямой функции либо непрестанно увеличи-
вается, либо непрестанно уменьшается (такие функции называются
монотонными).
298
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При этих обозначениях графики исходной и обратной
функций симметричны относительно прямой у=х (черт. 235).
Г &
Производ-
ная обрати ой
функции. Про-
изводная обратной
функции равна еди-
нице, деленной на
производную ис-
ходной функции1):
•—> * *= 1 (1)
dy dx у '
черт. 235. Черт, 236. Пример 4.
Рассмотрим функ-
цию у = при положительных значениях х, Обратная
функция (черт. 236) есть х=]/у. Имеем:
rfy „ 2х - 1 1 1
’dx > dy 2х 2 fy ‘
§ 242. Натуральные логарифмы
Формула дифференцирования логарифмической функ-
ции (§ 243) имеет простейший вид, когда основанием служит
число
<? = Вт (14-1)* « 2,71828
(§ 214). Тогда логарифм называется натуральным и обо-
значается In 3).
1) Если производная обращается в нуль, то формулу (1) надо
понимать н том смысле, что обратная функция имеет в рассматризае-
Дх
мой точке бесконечную производную, т. е. litn -т— = оо (см. § 231,
• Ду—>о &У
случай 1; ср. § 213, замечание 2).
=) Начальные буквы латинских слов logarlthmus (логарифм) natu-
ralls (натуральный). Число с иррационально; более того, оно транс-
цендентно, т, е. не может быть корнем никакого алгебраического
Уравнения с рациональными коэффициентами. Трансцендентны также
натуральные логарифмы всех целых чисел, а также и десятичные
логарифмы всех целых чисел (кроме 1, 10, 100, 1000 и т. д.). Транс-
цендентнось числа е доказана в 1871 г. французским математиком
Эрмитом, трансцендентность логарифмов — советским математиком
А. О. Гельфондом в 1S34 г.
§ 242, НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 299
Чтобы перевести натуральный логарифм в логарифм по
любому основанию а, надо помножить его на «модуль пе-
рехода», равный logfl е:
log,, х = logfl е In х. (1)
Обратно, для перевода логарифма по основанию а н
натуральный, надо помножить его на In а (т. е, на logger)х):
In х = In a logfl х. (2)
Мнемоническое правило. Записав формулу (1) в полном
виде, получим logfl X = loga е log, х. Если отбросить знаки log, а из
X £* Л!
остающихся Букв составить «дроби» то первая есть произ-
ведение двух последних. Аналогично для формулы (2).
Модуль перехода от натуральных к десятичным ло-
гарифмам обозначается М:
М = 1g е= 0,43429 (3)
(легко запоминаются первые четыре знака М = 0,4343).
Формулы (1), (2) принимают вид г)
1g х = М In х, (4)
In Х ' х> (5>
где
4г « In 10 * 2,3026. (6)
Для умножения на М и — можно пользоваться спе-
циальными таблицами (стр. 838).
Пример 1. Найти In 100.
По формуле (5) находим In х 2,3026 -2 w 4,605.
П р и м е р 2. Вычислить е3 с помощью таблиц десятич-
ных логарифмов.
Имеем: lg(e3) = 31ge = ЗМ = 1,3029, отсюда е3 « 20,09.
Можно воспользоваться таблицей натуральных лога-
рифмов (стр. 834-837). Имеем: In (е3) = 3; для разыскания
четырех знаков числа е3 надо выполнить интерполяцию.
Пример 3. Десятичный логарифм некоторого числа
равен 0,5041; найти его натуральный логарифм.
о Величины Jogfl е и log;, а взаимно обратны (log,, е • log„ а = 1).
2) Чтобы не спутать, когда надо множить на ЛТ, а когда на ,
полезно учесть, что десятичный логарифм всякого числа меньше нату-
рального (например, In Ю ~ 2,3, alg 10 ~ 1).
300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Имеем:
In х * 2,303-0,5041 « 1,161.
Это произведение можно найти с помощью таблицы на
стр. 838; именно
— 0,50 « 1,1513
Лх л 7
4- -0,0041 0,0094
AJ J___________’
~ 0,5041 « 1,161
м ’ л
§ 243. Дифференцирование логарифмической функции
Дифференциал и производная натурального логарифма
(§ 242) выражаются формулами
d In х (1)
<2>
Если основание логарифма-пронзвольное число, то *)
dlog„x ~ lo&e-^-, (3)
4xlogax-- log.*4- (4)
В частносги, для десятичных логарифмов
<iIg* = ~S (За)
^•lgx = М~. (4а)
Здесь ЛГ & 0,4343 — модуль перехода от натуральных ло-
гарифмов к десятичным (§ 242).
Пример!.
Примерз.
<Лп4г7= dln(l+x)-dln (1-х)=~+Д = т^г.
1) Формулу (3) можно получить из (1) с учетом формулы (I) § 242.
244. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 301
Пример 3. Найти значение производной от 1g х при
х=1ОО.
Формула (4а) дает (Ig х)' = « °'14д43 « 0,0043.
Пример 4. Найти без таблиц Ig 101.
Приращение Д Igx приближенно равно дифференциалу
tflgx = -^—•. При х=100 и Дх=1 получаем: AIgx~
ж ~°’'Voo'~~ ** 0,0043. Следовательно,
Ig 101 = Ig 100+Д Ig 100 № 2+0,0043 = 2,0043,
что совпадает с табличным значением.
§ 244. Логарифмическое дифференцирование
При дифференцировании выражений, имеющих вид,
удобный для логарифмирования, можно предварительно
выполнить логарифмирование.
Пример 1. Продифференцировать функцию у-хе~я’.
1) Логарифмируя по основанию е, находим:
In у = In х-х-. (1)
2) Теперь дифференцируем обе части равенства (1):
3) Подставляя вместо у выражение хе~я1, находим:
dy = хе~я* 2х) dx = е~х* (1 - 2х3) dx.
Пример 2. Продифференцировать функцию у=хг.
Последовательно получаем:
1) 1пу=х1п х,
2) — = х (1п х)'+1п х = 1 +1п х,
3) у = у (1 + In х) = у? (1 + In х).
Пример 3. Продифференцировать функцию
(ср. § 240, пример 2).
ДИФФЕРЁНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1) In у — J In (14- X) -In (1 - х),
2) 1 _। 1 __L_
'у 2 1+х '21-х 1 —х2 ’
3) У = /
П р и м е р 4. Продифференцировать функцию
v = (Х + 1)3
У (х+2)3 (х+3)1 •
1) Шу = 21п(х+1)-31п (х--2)-4 In (х + 3),
У7 _ 2______3___
'у х1-1 х+2 х+3 ’
3) V' = (*+Ог /_2____3_____4—\ =
(X+2)J (х+3)1 \х+1 Х+2 хч3/
_ (х+1)(5хг+14х+5)
(х+2)4 (х+ 3)5
Изложенный способ называется логарифмическим диф-
ференцированием, а производная от логарифма функции
У = /(*)
Пп ,д> у' _ г (*)
С"У) = у- 7-(i)-
- логарифмической производной от функции / (х).
§ 245. Дифференцирование показательной функции
Дифференциал и производная показательной функции
с* [где е — lim (1 + * 2,71828] выражаются форму-
лами1)
de* = e*dx, ~е* = е* (О
(производная функции с* равна самой функции). При про-
извольном основании а имеем:
dax = о* In a dx, ~ах — ах In а. (2)
’ах '
В частности,
d КУ = 10*-/г с/х, -/• 10* = 10*-л1,. (2а)
. М ’ dx М '
Здесь -Jj- = In 10 к 2,3026.
») Формулы (1) и (2) можно получить логарифмическим дифферен-
цированием (§ 244) или рассматривая показательную функцию как
обратную для лсгарифмической (§ 241).
§ 246. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОН. ФУНКЦИЙ 303
Пример 1. (е3х) = е3г (Зх) = ЗеЧ
Пример 2.
d (хе-1') = х de~xtA е~х* dx =
= хе xi d(-x-):. e~rt dx = с-*а(1 -2х2) dx.
Пример 3.
, е1—е~1 __ pjf4-e-<) d(el- е~')-(е'—е^1) d(et4-e~t) _
a~ii+e-i ~ “ (е*+е-')г ~
_ _ 4dt
, “ (еЧё~ О1 01 — (е'+е-*)* ‘
П р и м е р 4. d 7‘г = 7‘* In 7 d (f2) - 2/ 7f* In 7 dt.
§ 246. Дифференцирование
тригонометрических функций 2)
Дифференциалы Производные
I. d sin x = cos x dx, d ~r- sin X = COS X, dx
II. d cos x — -sin x dx, d -J- COS X = -sin X, dx
III. d tg x -- dx cos2 x ’ d , 1 dx tg X “ cos2 x ’
IV. d ctg x = dx sin2 X 1 etgx = “THiSa-
Эти формулы надо знать на память. Следующие две нет
надобности запоминать’
V. d sc х = tg х sc x dx, sc x = tg x • sc x,
VI. d esc x ~ -ctg x • esc x dx; J*, esc x = -ctgx-cscx.
Пример 1. d sin 2x - cos 2x d (2x) = 2 cos 2x dx.
Пример2.
£ = - £ In sin 2x = — s • £ sin 2x = ctg 2x.
ПримерЗ.
d . , Id, , 1 2
In tg 9 - Yg - tg Ф - Ctg <P 'co’s2‘~ •
i) Вывод формулы I см. § 224, пример 3; формула II выводится
аналогично. Формулы III и IV —с помощью соотношений
sin X . COS X
tg X =---, ctg X S3 —,- .
5 ppgx b sin r
304 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4. ^ха1па = Xa:n;c(cosx In
Получается логарифмическим дифференцированием
(§ 244). Полагая у = х,П1-г, находим In у = sin х In х, от-
1 а ___________ . , sinx
куда = cosxlnx + -~.
§ 247. Дифференцирование
обратных тригонометрических функций ')
Дифференциалы Производные
. , . . их
I. d arcsin х = ,
I 1— Xе
П, dx
. £farccosx= - ,
fl-Xi
III. d arctgx - ,
IV. d arcctg X - - - ;
Эти формулы надо знать на
надобности запоминать:
V. d arcsc х = —dx ,
xfxE-l
VI. d arccsc x —---—
xfxE-l
Пример 1. d arcsin ~ ==
Пример 2. d arctg ~ =
Пример 3.
a . . i
— arcsin x — ,
dx fl-Xi
~ arccos x — —-- L_- ,
dx fl-х2
^arctgx = 4^,
arcctg x= -My.
память. Следующие две нет
а 1
--- arcsc х == - -,
ах xf№-l
d I
: — arccsc x =-------~ -
dx xfx*-!
\aJ _ dx
yj_0.y f^--x^‘
d(~ )
\a / _ _ ddx /o’!
4arctg_3!;A = ^m:[l + (3«y] =
„ 3 4 _ G
“ 2 ' 9x2+30x+29 — ЭхЕ + 30х+29 '
i) Формулы I —VI ВЫВОДЯТСЯ ИЗ СООТВЕТСТВУЮЩИХ формул § 246
см. § 241).
§ 247а. НЕКОТОРЫЕ ПОУЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ 305
Пример 4.
d arccos = d f 1 - (^)' =
_ _ 3- 4-dx . _ У(4х -1)8-9' _ _________6 dx
~ (4х-1)« ‘ | 4х — 1 | “ | 4х -1 ] У 4i»--2x^2 '
3
Замечание. Функция arccos —- определена только при
I 3 I 1
——j- < I, 7. е. либо при х > 1, либо при х < — . В промежут-
ке —у, 1^ она не определена. Если формально подставить какое-
либо неподходящее значение (например, х = 0) в выражение диффе-
ренциала, то последнее окажется мнимым.
§ 247а. Некоторые поучительные примеры
Нижеприводимые примеры служат для уяснения более тонких во-
просов, возникающих при дифференцировании обратных тригоно-
метрических функций.
П р и м е р 1. d arctg ~—L-. d (—,
X . I \Х/ 1+хЗ
£ --_
X3
Полученное выражение совпадает с дифференциалом функции
arcctg х. Однако только для положительных х имеет место равенство
arctg= arcctgx. _ (1)
Для отрицательных х имеем ’)=
arctg i- - arcctg х = —л. (2)
’) Формулу (2) легко проверить для точки х = — 1, для которой
имеем:
. Зтг .1 к
arcctg х = - -- , arctg — = —г .
4 х 4
С другой стороны, разность arctg---arcctgx при отрицательных
значениях х постоянна, ибо ее производная при
\1 + xs 1 +х" /
всех х-с О равна нулю (см. § 226, п. 1). Значит, формула (2) справед-
лива для всех отражательных значений х; положив и
рассуждая так же, убедимся, что для всех положительных значений х
справедлива формула (1). При х^О функция arctg — не определена
и, значит, нй имеет производной. Вот почему нельзя утверждать, что
функция arctg — — arcctg х постоянна на всей числовой прямой
(ср. § 265, теорема 1).
20 М. Я* Выгодский
306 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При х =0 функция arctg — (черт. 237) разрывна (ее предел слева
равен - ~ , а справа + ; ср. § 218) и, значит, педифференцируема,
тогда как функция arcctg х (черт. 238) непрерывна н производная ее
при х =0 равна — 1. Правая ветвь графика у = arctg — совпадает спра-
вой половиной графика у—arcctg х, а левая ветвь—с левой половиной
пунктирной линии черт. 238 (последняя дает неглавное значение мно-
гозначной функции у —Arcctg х).
Пример 2.
d . 1 +х /1 +х\ г. / t+x\«l
dxarctg 1 -X dx\1~х) ‘ 11+\ 1-х/J
2 ф (l-x)s___________1
” (1-Х)Е ’ (1-Х)2+(1 +Х)1 1 ух2 ‘
Полученное выражение совпадает с производной от функции
arctg х.
При х-< 1 эта функция связана с данной соотношением ’)
х 1 у х п
arctg = arctg х +-^ (3)
черт. 239), а при х>-1—соотношением
х 1 У* х Зя ,
arctg -j—— = arctg х—. (4)
При х = 1 функция arctg имеет разрыв АВ = ки не обла-
дает производной.
Пример 3.
d , ,. 1 d . cos х
--- arcsln (sin X) « — :—— SHI X = —--.
“x sin* x dx | cos x |
г) Доказательство — такое же, как в предыдущем подстрочном при-
мечании.
§ 248. ДИФФ. В ПРЙПЛиЖЕНЙЫХ вычислениях Зо7
Эта производная равна +1, когда cos х > О, и —1, когда
cos х < 0. При х — (2п + 1)-^-, когда cos х — 0, производная нс
существует.
Замечание. В промежутке — х имеем: arcs in (sin х) =
я Зтг
~х, в промежутке ~ < х — имеем: arcsin (sin х) = к —х, в про-
Зя , 5л . .
межутке — ч- х < ~ имеем: arcsm (sin х) — х -2л и т. д.
у^ОК^Х
Л
___! 9Л _
у-
Черт. 239.
(черт. 240). Поэтому внутри первого промежутка производная равна 1,
внутри второго — I и т. д. В точках х = (2k 4 I) тр производная имеет
разрыв; в каждой из этих точек существуют односторонние производ-
ные (ср. § 231, пример 2).
§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях
Час ю бывает, что функцию / (х) и ее производную
/'(х) ли ко вычислить при х = а, а для значений х, близ-
ких к о, непосредственное вычисление функции затрудни-
тельно. Тогда пользуются приближенной формулой
/(« + й) « f(a) + f'(a)h' (1)
Она выражает, что приращение / (а + Л) - / (а) функции
/ (х) при малых значениях h приближенно равно 1) диффе-
ренциалу /' (a) h (ср. § 228, теорема 2).
Ниже (§ 265) указан способ оценки погрешности 5) фор-
мулы (I), но часто оценка связана с громоздкими подсче-
тами, При грубых вычислениях часто довольствуются фор-
мулой (1).
*) Если f' (а) —0, то формула (I) выражает, что приращение функ-
ции мало ио сравнению с й; тогда для достаточно малых значений й
практически межно считать, что/(и +й) =/(«).
2) См. также §271, замечание.
20*
308 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример!. Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции / (х) = /х
при х = 3654. Легко вычисляются значения / (х) и
/'(х) = —при х ~ 3600. Формула (1) при а - 3600,
2 Ух
Л = 54 дает: ^3654 « 60 Ь 2^q'54 - 60,45. Здесь все
знаки верны.
П р н м е р 2. Найти I08'1.
Решение. Полагаем / (х) = IO*, так что (§ 245)
/ (х) = АГСи 2>3026) • Формула (I) при а - 2,
Й = 0,1 дает:
10*-* 100+^--100-0,1 * 123,0.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой
значащей цифры 10гл = 125,9).
Если таким же образом вычислить ГО'--01 (теперь Л = 0,01),
получим 102,3. Здесь все знаки верны.
ПримерЗ. Найти без таблиц tg 46®.
Решение. Полагаем / (х) = tg х, а = 45°, h = 1® =
= 0,0175 радиана; тогда имеем: f (а) = " 2- Зна-
чит, tg46° * 1+2-0,0175 = 1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем
tg 46° = 1,0355.
Полезно заметить следующие приближенные формулыг)
(а - малая величина):
1 + а 1-а, 1-к " 1 + а; (2)
1 Н+а)1 1-2а, 1 _ (1-«У ~ 1 + 2«; (3)
уТ+^ 1 + ~2 й> / Г~ а 1 (4)
I 1~—а, 1 (5)
+ * 2 /1 —а 2
1) Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы
(1 + а)» « 1 + на;
последняя получается из (1), если положить /(х) ™ Xя, а = 1, Л = а.
J 249. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
309
3 ^1 +а 1+ 3 а, У1 — а ~ (6)
In (1+а) * а, In (1 -а) ~ -а; (7)
е“ * 14 а, 10“ ~ (»)
sin а ~ а, cos я 1-^-а®, tgа « ас. (9)
§ 249. Применение дифференциала
к оценке погрешности формул
Данные, получаемые измерением, содержат ошибку,
проистекающую из неточности измерительных инструмен-
тов. Положительное число, заведомо превышающее эту
ошибку по абсолютному значению (или в худшем случае
равное этом ошибке), называется предельной абсолютной
погрешностью, нли, короче, предельной погрешностью.
Отношение предельной погрешности к абсолютному зна-
чению измеряемой величины называется предельной отно-
сительной погрешностью.
Пример I, Длина карандаша измерена линейкой
с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см.
Ошибка неизвестна, но она заведомо меньше чем 0,1 см.
Поэтому можп9 принять 0,1 см за предельную погреш-
ность. Относительная предельная погрешность равна
Округляя в сторону увеличения, иаходнм 0,6%.
Разыскание предельной погрешности.
Пусть функция у вычисляется по точной формуле у = /(х),
но значение х получается измерением и потому содержит
ошибку. Тогда предельная абсолютная погрешность | Ду |
функции находится по формуле
|Ду! ~ | dy | = |/'(х) | [ Дх ], (1)
где | Дх ( есть предельная погрешность аргумента. Вели-
чина | Ду [ округляется в сторону увеличения (ввиду не-
точности самой формулы).
Пример 2. Сторона квадрата, найденная измерением,
оказалась равной 46 я. Предельная погрешность равна 0,1 м.
Найти предельную погрешность для площади квадрата.
Решение. Имеем: у = № (х-сторона квадрата,
у-площадь). Отсюда | Ду | 21х| | ДхI. В нашем при-
мере х = 46 и ] Дх] = 0,1. Значит, ] Ду | ~ 2-46-0,1 = 9,2.
350 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предельная абсолютная погрешность равна (округлен-
но) 10 м-. Предельная относительная погрешность ран-
на . 0,5%.
Предельную относительную погрешность 1^1 можно
найти также с помощью логарифмического дифференциро-
вания (§ 244) по формуле
|у| * Jrflny |.
В частности, при у = хп (тогда it In у = имеем:
(2)
(3)
т. с. предельная относительная погрешность степени хн
равна п-кратной предельной относительной погрешности
аргумента.
Пример 3. При условиях примера 2 предельная отно-
сительная погрешность площади равна 2-“ 0,5%.
Пример 4. Измерение ребра х куба дало х- 12,4 см.
Предельная погрешность 0,05 см. Какова предельная отно-
сительная погрешность для объема куба?
Решение. Предельная относительная погрешность
для х равна 0,004; для х3 опа равна 3-0,004 =
= 0,012.
Правило 1, Предельная относительная погрешность
произведения двух или нескольких сомножителей равна
сумме предельных относительных погрешностей сомно-
жителей.
II р а в и л о 2. Предельная относительная погрешность
дроби равна сумме предельных относительных погрешно-
стей числителя и знаменателя.
Эти правила вытекают из §§ 239, 240 х).
,, И du dv
') Формула din — — ----— дает предельную относительную
! du I I dv I I du dv I _ du
погрешность — + — . а не —---------------, ибо величины —
I и I I » Г I « «1 w
do
и могут иметь разные знаки.
§ 250. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 311
Пример 5. Для разыскания удельного веса тела
найден его вес р = 20 г и вес вытесненной им воды
v — 40 ?. Предельная абсолютная погрешность для р
равна 0,5 г, для ® она равна 1 г. Определить предельную
относительную погрешность для удельного веса.
Решение. Удельный вес у равен . Имеем:
1.^.1 =
I у I I р Г I с 1
4-+^ = °-°5.
П р н м е р 6, Высота h и радиус основания г цилиндра
измерены с точностью до 1% каждая. Найти предельную
относительную погрешность 1) для боковой поверхности S,
2) для объема V цилиндра,
Решение. Имеем: S = 2r.rh. Множитель 2те —точное
число; погрешность его равна нулю. Относительная по-
грешность для S есть |^s-| = + = 2%> а Для
V = пгЧ1 она равна 21 ~ j+1 ~ | = 3%.
§ 250. Дифференцирование неявных функций
производной-~
Черт. 241,
Пусть уравнение, связывающее х н у и удовлетворяю-
щееся значениями х = х0 и у = у0, определяет у как
неявную функцию от х. Для разыскания
в точке х = х0, у = уа нет нужды
искать явное выражение функции. До-
статочно приравнять дифференциалы
обеих частей уравнения и из получен-
ного равенства найти отношение dy : dx.
Замечание. Уравнение, связы-
вающее х и у, может определять у как
многозначную функцию F (х) от х. Но
задание пары значений х = х0 и у = у0
выделяет из многих значений функции
одно.
Геометрически: прямая, па-
раллельная OY (черт. 241), может пере-
секать линию L в нескольких точ-
ках ЛД, Mlt М2, ..., ио задание точки выделяет про-
ходящую через' нес дугу ЛМоВ, которая представляет
однозначную функцию.
312
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 1. Найти производную от неявной функции,
заданной уравнением х--- у2 * =- 25, в точке х - 4, у = — 3.
Первый способ. Решив уравнение, получим:
у = — }'25 — х2 (выбираем знак минус, ибо при х = 4
должны иметь у = -3). Теперь находим:
dy _ _х____ _ 4
dx ~ ~ 3 ’
Второй способ. Приравнивая дифференциалы пра-
вой и левой части, находим: •
2х dx + 2у dy - О,
откуда
- -х --4- (1)
dx ~ у 3 ’
Мы нашли угловой коэффициент касательной МаТ к ок-
ружности ха4-у2 — 25 (черт. 242) в точке Л10 (4; -3).
з
Угловой коэффициент радиуса ОА1о есть . Произведе-
ние угловых коэффициентов равно —1, т. е. ОМ0 ± М0Т.
П р н м е р 2. Найти производную ~ неявной функции,
заданной уравнениемJ)
£+£=!• (2)
Дифференцируя, находим:
^L+^y=0
й* +
1) Уравнение (2) определяет у как двузначную функцию от х, но
коль скоро будут известны значения обеих переменных, из двух значе-
ний функции выделяется одно (ср. пример 1).
$ 251. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНИИ 313
отсюда
dy _ b’- х
dx ~ ' а2 у
(3)
Уравнение (2) представляет эллипс. В силу (3) угловой коэффици-
ДО X
ент касательной МТ (черт. 243) есть — - - —. Угловой коэффициент
диаметра ММ' есть . Произведение угловых коэффициентов равно
г,
— . Значит (§ 55), направления МТ и M1W —сопряженные, т. е.
диаметр ММ' делит пополам хорды, параллельные МТ.
Тем же свойством обладают диаметры гиперболы и параболы.
§ 251. Параметрическое задание линии
Всякую переменную величину i, определяющую поло-
жение течки на некоторой линии, называют параметромг),
В механике в качестве параметра рас-
сматривается чаще всего время.
Координаты точки, лежащей на ли-
нии L, являются функциями параметра:
х=/(0, (1)
У = <Р (0- (2)
Уравнения (1)-(2) называются пара-
метрическими уравнениями линии L
(ср. § 152).
Если желательно иайти уравнение,
связывающее координаты х, у линии L,
надо исключить t из уравнений (1)-
1 и 2).
Черт. 244.
(2) (см. примеры
Может, однако, случиться, что уравнение, полученное после иск-
лючения /, представляет такую линию, которую линия L покрывает
юлько частично (см. пример 3)L
Пример 1. Пусть О (черт. 244) есть наивысшее поло-
жение материальной точки, брошенной под углом к гори-
зонту, а /-время, отсчитываемое от момента наивысшего
подъема. Положение точки М на траектории АО В опреде-
ляется величиной так что t есть параметр. Параметри-
1) Термин «параметр» употребляется еще и в другом смысле, обо-
значая величину, которая для данной линии неизменна, но меняется
при переходе от одной из линий рассматриваемого типа к другой. Так,
величина р в уравнении параболы у~ = 2рх постоянна для данной
параболы, но меняется при переходе к другой.
354 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ческне уравнения траектории, отнесенной к системе Х'ОУ,
будут:
• х = ОР = , (3)
y = PM=~Lgt^ (4)
Они выражают, что по горизонтальному направлению
точка М движется равномерно со скоростью va, а по вер-
тикальному - равномерно-ускоренно (g — ускорение зем-
ного тяготения).
Исключив t} найдем уравнение
У--/,*. (5)
2v0
показывающее, что движение происходит но параболе.
Пример 2. Положение точки Ad на окружности АВ А'В'
радиуса R (черт. 245) определяется величиной угла
<р =; Л АО.М, так что <р есть параметр. Расположив оси,
как на черт. 245, имеем параметрические уравнения
окружности
X = Rcos ф, (6)
у = R sin ф. (7)
Чтобы исключить у, возведем (6) и (7) в квадрат и сложим;
получим:
== /?3. (8)
Пример 3. Рассмотрим линию, представляемую параметри-
ческими уравнениями
x=fT, У = ~t. (9)
Исключая t, получаем уравнение у = ~ представляющее параболу
ДОН (черт. 246). Линия (9) есть половина этой параболы (ОВ), отве-
чающая положительным значениям х.
§ 252. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ 315
§ 252. Параметрическое задание функции
Пусть даны две функции аргумента
X = /(/), У — 9 (О* (1)
Тогда одна из них, например у, есть функция другой1).
Задание этой функции с пбмощыо равенств (1) называется
параметрическим, вспомогательная величина t называется
параметром.
Чтобы получить явное выражение у в функции х, надо
решить уравнение х = / (0 относительно t (это не всегда
удается) и подставить найденное выражение в уравнение
У = 9 (0.
Часто, наоборот, удобнее переходить от нспараметриче-
ского задания к параметрическому. Пользуясь произволом
выбора одной из функций / (0, <р (0, стараются обеспечить
однозначность и, но возможности, простоту обеих функций.
Производная выражается через параметр t формулой
dy _ rf? (О = ф' (0
dx df(ty f'(t) W
При параметрическом представлении обе переменные х, у
ставятся в равноправное положение (ср. § 251).
Пример 1. Даны две функции:
х = R cos t, y-R sin t. (3)
Они параметрически задают у как двузначную функцию х
(и наоборот). Из первого уравнения находим: cos / = ,
так что sin i = ±|/"1-^. Подставляя во второе урав-
нение, получаем:
у = ±v7^~x2. (4)
Это - уравнение окружности (ср, § 251, пример 2),
Параметр t есть уюл ХОМ (см. черт. 245). Производная
dy
выраженная через параметр t, равна
dy d (Р sin О _
dx d(Rcosl) ~ 1
Это-угловой коэффициент касательной МТ.
1) Как правило, она многозначна даже при однозначности /(()
И Ф (9-
316
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Уравнение
X* у*
аг f fe*
(6)
представляющее эллипс, задает двузначную
У = Fu2 — х*. Для параметрического ее
функцию
задания
можно но произволу выразить одну из переменных, на-
Черт, 247.
пример х, в функции t. Положив £ =
= cos t, найдем ~ = ± sin t. Знак
можно выбрать по произволу* Возь-
мем плюс. Получаем параметрическое
задание
х = a cos t, у = b sin t. (7)
Г еометри ческий смысл параметра
усматривается из черт. 247, где
ANA' - окружность радиуса а и
N — точка, взятая иа одной верти-
М эллипса по ту же сторону1) от оси А А'.
выражается через t
калн с точкой
Имеем t = Л AON. Производная
формулой
rfy „ (Ь sin 0 __ _ _6 . .
dx d (a cos t) a ®
Это-угловой коэффициент касательной МТ.
Замечание. Обычное задание функции y=f(x) можно рас-
сматривать как частный случай параметрического, именно можно за-
писать его в виде
у=/(/).
§ 253. Циклоида
Циклоидой называется линия, описываемая точкой М
окружности, когда последняя катится без скольжения по
прямой лниин (направляющей). Катящаяся окружность на-
зывается производящей.
На черт. 248 направляющей является прямая ОХ; про-
изводящая окружность дана в двух положениях: в «на-
1) Если взять ~ = —sin t, то N- надо взять по другую сторону.
§ 253. ЦИКЛОИДА 317
чальном» (QDB), когда точка Af попадает иа направляю-
щую ОХ, и в «промежуточном» (ХМЕ),
Замечание. Выражение «катится без скольжения»
означает, что точка касания X отстоит от ее начального
положения О на расстояние, равное дуге ХМ;
ON = NM, (1)
Параметрические уравнения циклоиды.
Если оси координат расположить, как на черт. 248, и взять
в качестве параметра угол t = -X МСХ, то получим сле-
дующие параметрические уравненияг) циклоиды:
х = а (/ — sin t), (2)
у = а (I - cos t), (3)
где а -радиус производящей окружности.
Если решить (3) относительно t н подставить в (2) получим х
как бесконечно многозначную функцию от у:
х = 2акп ± arccos^— — /у ~(2а-у) ) , (4)
где к — любое целое число *).
Ордината у есть однозначная, но ие элементарная
функция от х (см. черт, 248).
*) Значение угла t может быть положительным и отрицательным и
иметь любую абсолютную величину; при 0 < I < Л уравнения (2)—(3)
легко прочитываются из черт. 248:
X = OP = ON-PN = NM -MQ = at-a Sint,
у = PM = NC-QC = a—a cos t.
!) На черт. 248 точкам М, Mi и т. д. соответствует знак Плюс
перед скобкой, точкам Мг, Mi и т. д, —знак минус,
318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Угловой коэффициент к касательной равен
_ dy __ a bin I
~ dx ~~ а (1 —соь /) ’
а угловой коэффициент к' прямой NM равен
ji' ~ у~уу. = а и-юь О
x—x^f —a siti t
Следовательно, кк' _ - 1, т. е. МТ ± MX. Звачш, для по-
строения касательной к циклоиде досiэтично соединить М
с наивысшей точкой производящей окружности (угол
NME-прямой, как вписанный, опирающийся на диамечр),
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии
Пусть МТ (черт, 249) - касательная к линии L в точке
Л1 (х; у)- Обозначим текущие координаты точки Л', лежа-
щей па касательной, через X, У.
При любом задании линии L (явном, неявном или па-
раметрическом) уравнение касательной можно записать
в следующей симметричной форме:
dx dy ' '
Если линия I, задана уравнением у = / (х), то из (1)
Г получае.м *); У--у = f (х)(Х-х). (2) Если линия L задана параметрически, то получаем:
<Я ' л Черт. 249. х-_1 = У~У (3) х' у' ’ v ' где х', у'-производные по параметру.
При неявном задании линии L приравниваем^ дифферен-
циалы обеих частей уравнения (ср. § 250) и в полученном
равенстве заменяем dx, dy пропорциональными величинами
Х-х, У-у.
1) Предполагается, что производная/' (х) в точке М конечна, Если
же /' (х) —==(§ 231, случай 1), то вместе? (2) имеем уравнение
Х—х = О
(касательная параллельна оси ординат).
§ 254а. КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 319
Пример 1. Найта уравнение касательной к параболе
у - х3-Зх+2 в точке (О; 2).
Имеем: у' — 2х —3 = —3. Согласно (2) искомое урав-
нение есть У- 2 = — ЗХ.
.Пример 2. Найти уравнение касательной к эллипсу^
х = 5 ^2 cos/, у = 3 |^2sin/ (4)
в точке М (-5; 3) (ср. § 252, пример 2).
Решение, Данной точке соответствует значение
t = . Из (4) иаходнм:
х' = - 5 /2 sin t = - 5, у' = 3 fTcos t = - 3.
Согласно (3) уравнение касательной есть
Х + 5 у-з
-5 ~ -3 ’
т. е.
ЗХ —5/4-30 = 0.
П р н м е р 3. Найти уравнение касательной к равносто-
ронней гиперболе ху = т3 н точке ; 2m) .
Р е ш е и и е. Приравнивая дифференциалы обеих частей
уравнения, получаем:
xdy + y dx = 0.
Заменяя dx, dy величинами Х—х, У-у, находим:
х(У~у)+у(Х-х) = 0. (5)
Так как ху ~ т\ то (5) можно переписать в виде
хУ + уХ = 2m2. (6)
Подставляя х = ~, у = 2m в (5) или в (6), находим:
У + 4Х = 4m.
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка
Уравнение линии Уравнение касательной
Эллипс х-Х , уУ _ 1 а* + ’
Гипербола У. - 1 дг b* хХ уУ _ . а» 6*
Парабола у2 = 2рх, уУ = />(Х —х).
320 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 255. Уравнение нормали
Нормалью в точке М линии L (черт. 250) называется
перпендикуляр MN к касательной МТ.
Соответственно уравнению (1) § 254 уравнение нормали
имеет вид
(Х-х) dx+(F-y) dy - 0. (1)
Соответственно уравнениям (2) и (3) § 254 получаем
уравнение нормали в следующих фор-
"г (У/ мх:
. /S У-У = -^0 (*"*)’ (2)
(Х-х)х-+(У-н/ = 0. (3)
_________\ х При неявном задании линии L при-
0 кV л равииваем дифференциалы обеих частей
черт. 250, уравнения и исключаем dx и dy с по-
мощью (1).
Пример 1, Найги уравнение нормали к параболе
у = ух! в точке (— 2; 2).
Имеем: у' = х ~ — 2; согласно (2) искомое уравнение
есть
F —2 = |(Х + 2).
П р и м е р 2. Уравнение нормали к циклоиде
х = о (/-sin/), y = n(l-ccs/) (4)
(§ 253) согласно (3) имеет вид
(X-x)(l-ccs/) + (F-y)siii/= О (5)
или, используя (4),
X (1 - cos /)q-F sin t-at (1 - cos t) = 0. (6)
Это уравнение удовлетворяется при X = at, ¥ => 0; значит,
нормаль проходит (см. черт. 248) через точку опоры
N (at; 0) производящей окружности.
Пример 3. Найти уравнение нормали к эллипсу
*1, У2 - 1
аз "г ьа- ~
Дифференцируя, находим:
= о (7)
Исключая дифференциалы из (7) и (1), находим:
(Х-х)у _ (У-у)х
6г Й2
§ 256. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 321
§ 256. Производные высших порядков
Пусть /' (х) есть производная от функции / (х), тогда
производная от функции /' (х) называется второй произ-
водной от функции / (х) и обозначается /" (х).
Вторая производная называется ’1акже производной
второго порядка. В отличие от нес функцию /'(х) назы-
вают производной первого порядка, или первой производной.
Производная от второй производной называется треть-
ей производной функции / (х) (или производной третьего
порядка)', оиа обозначается f" (х).
Таким же образом определяются производные четверто-
го порядка /IV (х), пятого порядка /v (х) и т. д. (цифровые
обозначения вместо штрихов употребляются для кратко-
сти, римские цифры-для отличия от показателей степени)
Производная л-го порядка обозначается /*п) (х).
Если функция обозначается одной буквой, например у,
то ее последовательные производные обозначаются:
y't У"> У>п> У1¥, yv,.., yw.
Пример 1. Найти последовательные производные от
функции /(х) = х\
Решение. /' (х) = 4х3, /" (х) = (4х3)' = 12хг;
(х) = 24х, /lv (х) - 24, f (х) = 0.
Дальнейшие производные тоже равны нулю.
Пример 2. Если у — sin х, то
yf cos х sin (х+J), у" - sin х = sin (х + тг),
у'" = - cos х = sin (х+, . . •, у<"> = sin ^х+ п у).
Значения производных при данном значении аргумента
х - а обозначаются /' (a), f” (a), f'" (а) и т, д. В приме-
ре 1 имеем: /' (2) = 32, f" (2) = 48 н т. д.
Пример 3. Если / (х) = In (1 -i-х), то
/ (Х) = 1 ££ ’ / (х) ~ “(1+х)»’ / =(1 +х)3 ’
pv(x} = _ L±_3 . . fW(x)
1 W (1 + х)‘ ’ ’ ' W (1 +х)п
Значит, / (0) = 0, f' (0) - 1, f" (0) = - 1, f"' (0) - 21,
/iv(о) = -31, ... , /<"> (0) (-I)"!* (П- 1)1
21 М. Я. ВыгодскиП
322
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 257. Механический емысл второй производной
Пусть точка движется прямолинейно и, пройдя путь s
за время t, приобретает скорость v. Пусть эта скорость
меняется и за промежуток времени (t, t + St) получает
приращение Ду. Тогда отношение дает изменение ско-
рости, приходящееся (в среднем) на единицу времени, и
называется средним ускорением. Это отношение характе-
ризует быстроту изменения скорости в момент t тем точ-
нее, чем меньше Де Поэтому ускорением (в момент г)
называют предел отношения — при Д/ -> 0, т. е. про-
du ,, ds
изводную . Но сама скорость v есть производная .
Поэтому ускорение есть вторая производная пути по
времени.
Пример. Движение незатухающего колебания мем-
браны представляется уравнением
s = a sin ~т~
(1)
(Т- период колебания, а — амплитуда колебания, s-
отклоиение точки мембраны от положения покоя).
Скорость движения равна
Ускорение равно
Сравнивая (1) и (3), видим, что
т. е. упругая сила колебания (она пропорциональна ускорению по
второму закону Ньютона) пропорциональна отклонению и имеет про-
тивоположное направление.
§ 258. Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим ряд равноотстоящих значений аргумента
х,х-ьДх, х-ь2Дх, х + ЗДх,...
и соответствующие значения функции
У = f(x), У1 = /(х + Дх), уг = /(х 2 Дх),
Уз = / (х+3 Дх),.. -
§ 258. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 323
Введем обозначения
Ду = /(х+Дх)-/(х),
Д11 - /(х i 2 Дх)-/(х1-Дх),
Ду., = / (х 4 3 Дх) - / (х + 2 Дх)
и т. д Величины Ду, Дур Ду2,. . . называются первыми
разностями функции / (х). Вторыми разностями назы-
ваются величины Дт^-Ду, Ду2 —Ду2 и т. д. Они обозна-
чаются Д-’у (читается: «дельта два пгрэк»), Д^ п т. д.:
Д2у = Дуг-Ду,
Д3ух = Ду2 — Дуг
Аналогично определяются третьи разности Д3у = Дгу1 — Дгу
и т. д.
Пример 1. Пусть / (х) = х3 и х —2. Первые разности
будут:
Ду - (2 [ Дх)3-23 12Дхч 6Дх24 Дт3,
Дух - (2 f 2Дх)3 — (2 [ Дх)3 = 12Дх [ 18 Дхг-| 7Дх3,
Дуг = (2 у 3 Дх)3-(2 [ 2Дх)3 = 12Дхч 30 Дхг+Ю Дх3.
Вторые разносш:
Д-у - Ду!-Ду = 12ДхЧ бДх3,
Д3ух = Ду2-Ду! = 12 Дх2+12 Дх3,
Третьи разности:
1 Д3у _ Дгуг — Дгу = 6Дх3,
При бесконечно малом Дх первая разность имеет, как
правило, первый порядок относительно Дх, вторая раз-
ность — второй порядок, третья — третий и т. д.
Главный член первой разности (12 Дх в примере 1) мы
назвали (§ 228) дифференциалом функции. Теперь будем
называть его первым дифференциалом. Вторым диффе-
ренциалом мы назовем тавный член второй разности,
пропорциональный Дх3 (12 Дх3 в примере 1), третьим диф-
ференциалом -главный член третьей разности, пропор-
циональный Дх3 (6Дх3 в примере 1), п т. д. Сформули-
руем это точно.
Определение. Пусть вторая разность Дгу функции
у=/(х) разбита на сумму двух члецрв:
Д3у -= В Дх3 + р,
21*
324
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где В не зависит от Дх и член £ имеет высший порядок
малости относительно Дх2. Тогда член В Дх3 называется
вторым дифференциалом функции у и обозначается (Fy
нли ds *f(x). Аналогично определяются дифференциалы
высших порядков.
Теорема 1. Коэффициент В при Дх3 в выражении
второго дифференциала равен второй производной /"(х).
Коэффициент С при Дх3 в выражении третьего дифферен-
циала С Дх3 равен третьей производной f'"(x) и т. д.
Пример 2. Если /(х) = х3, то /"(х) = 6х. В соответ-
ствии с этим йг(х3) = 6х Дх2. При х = 2 имеем; d2(x3) =
= 12Дх2 (ср. пример 1). Далее Г"(х) = 6 (при любом
значении х); в соответствии с этим d3 (х3) = б Дх3.
Теорему 1 можно иначе сформулировать так:
Теорема 1а. Дифференциал rt-го порядка равен про-
изведению п-Й производной иа л-ю степень приращения I
независимого переменного: i
dnf (х) = /<"> (х) Дхя. (1)
Так как для независимого переменного имеем;
Дх dx,
то
d"/(x) = /w(x)dx’*i). (2)
ПримерЗ. d (х*) = 4ха dx, d2 (х‘) = 12х3 dx2; d3 (х*) =
= 24х dx3, d4(x4) = 24 dx*, d5 (x4) = 0, de(x*) = d7 (x4) = ...
. .. = 0 (cp. § 256, пример 1). |
П p и м e p 4. dn (sin x) — sin (-v ~ n 4) dx* (cp, § 256,1
пример 2).
Теорема 2. Если считать дифференциал dx аргумента х вели-
чиной, независящей отх, то второй дифференциал функции f (х) равен
дифференциалу от первого ее дифференциала:
d(d/(x)) =d3/(x). (3)
При Том же условии третий дифференциал есть дифференциал второго
И т. д.
х) Если х не является независимым переменным, то формула (1),
как правило, не верна ни при каком значении п, даже при n = I (ср.
5 234). Но для дифференциалов высшего порядка (п=2, 3, как
правило, не верна в этом случае и формула (2), которая при л=1
всегда справедлива. Иными словами, выражения/" (x)dxa,/"' (x)dx3,...
не инвариантны.
Так, если / (х) = х3, то выражение 6xdx ^представляет dJ (х3),
когда х есть независимое переменное. Если же положить х*==П и при-
нять за независимое переменное не х, а (, то f (х) =1®, и мы получим:
fix dx3 = 24Z4 dt1, тогда как d2/ (х) »= ЗОР df3.
§ 259. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 325
П р и м е р 5. Пусть/(х) =№. Имеем. df(x) =4xJ dx. Если считать
dx не зависящим от х, то при дифференцировании его нужно рассма-
тривать как постоянную. Значит, d(4xJdx) = d (4xJ) dx = 12x! dx\
А это —второй дифференциал от функции х4 (пример 3). Далее
d [<7®(х3)] =-д (12хг dx* 2) — d (12x!) dx3 — 24x dx3, а это —третий диффе-
ренциал от х1 и т. д.
Второй дифференциал от линейной функции независи-
мого переменного равен пулю:
d*(ax + b) = 0.
В частности, второй дифференциал независимого пере-
менного равен пулю: Ц2х--О.
Третий дифференциал от квадратичной функции равен
нулю;
с/3 (ах2'; Ьх — с) = 0.
Вообще, (п + 1)-й дифференциал от многочлена п-й
степени равен нулю. ,
§ 259. Выражение высших производных
через дифференциалы
Выражение второй производной через дифференциалы ’)
имеет вид
v" — dxdty-dyd3x
У dx3 ‘
Оно пригодно при любом выборе аргумента.
Если за аргумент принять х (тогда tPx = 0), то
y" = S- (2)
Это выражение вытекает также из (2) § 258 (при п — 2).
Из той же формулы вытекают выражения
у dx3* dx1* ‘ У dxri ' '
при условии, что х есть независимое переменное. Общие
их выражения сложны2).
,. ,. ,, dy' dy
’) Имеем: у" = - ; сюда подставляем у' = при дифферен-
цировании применяем теорему 2 § 258.
2) Имеем: у'" = ; сюда подставляем пыр 1женис (1). Результат
удобнее всего представить в виде
[[ dx dy I \dx dy 1т
dx j — 3 d2x | I : dx\ (4)
I d-!x d3y\ |d2x d2y|J
Дальнейшие выражения еще сложнее.
326 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Производная л-iо порядка часто обо-
<1пУ г-
значается безотносительно к тому, какая величина
ахп ’
принята за аргумент. Но в это выражение нельзя под-
ставлять выражения переменных у н х через какой-
либо параметр.
§ 260. Высшие производные от функций,
заданных параметрически
Пусть у есть функция от х, заданная уравнениями
№<р(0, (1)
Производные первого и второго порядков находятся по
формуламх)
,,О „ (О/" (0-/' (Оф" (О
> - iF(oP
Выражения последующих производных сложны2), когда
функции /(Г) и <р (/) даны, вычисление проще выполнять
шаг за шагом, как в нижеследующем примере.
Пример. Пусть
х = a cos t, у = b sin t.
Тогда (ср. § 252, пример 2)
у' - d (b sin f): d (a cos f) — - ~ .ctg f.
Далее
у" =11 (-4 c(s <) о ™s о -
у'" = d(—t Л : d (a cos t) = —
7 \ a* bin1 f/ ' 7 a* sin’;
H T. Д.
§ 261. Высшие производные неявных функций
Чтобы найги последовательные производные от функ-
ции у аргумента х, заданной неявно каким-либо уравне-
нием, надо последовательно дифференцировать эго урав-
1) Формула (3) выводится, как формула (1) § 250, и может быть
получена из последней заменой дифференциалов соответствующими
производными ио параметру.
О См. вторую сноску § 259.
§ 2GI. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 327
исние, т. е. приравнивать диффереиицалы (или производ-
ные) правой и левой частей. Получим ряд равены в; из
первою равенства найдем выражение у' через х и у, вто-
рое (с учетом найденного выражения у') даст выражение
у" через х и у, третье (с учетом найденных выражений
у', у") даст у"г и I. д. В частных случаях возможны упро-
щения.
Пример. Панги производные до третье!о порядка от
функции у ~ /(х), заданной уравнением
х® + у2 = 25, # ' О)
и определить значения этих производных в точке (3; 4),
Решение. Приравнивая дифференциалы, получаем:
xdx+ydy = O, (2)
откуда
х-1 уу' = 0. (2а)
Приравнивая дифференциалы обеих частей (2а), находим
dx+y'dy+yy" dx = О, (3)
откуда
1+у'2чуу" = о. (Зж)
Дифференцируем еще раз
2у' dy'+y'' dy-yyy'" dx = О, (4)
откуда
Зу'у" + уу"' = О. (4а)
Из (2а) находим:
У'=-^. (5)
Из (За) находим: у"= — —; учитывая (5), получаем'
(6)
Из (4а), учит ывая (5) и (б), находим:
(7)
Подставляя х ~ 3, у = 4 в (5), (6) и (7), находим:
, з ,, 25 ... . 225
У - 4 » У ~ 64 ’ У ~ 1024
328 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 1. В данном случае можно упростить вычисление.
25
В силу уравнения х2 f у1 •= 25 формула (В) принимает вид у" =-- .
, d /2>\ 75 7эх
Отсюда у" « - — (—г) = —, у - — -т- •
dx \у‘/ у1 у5
Замен а н и е 2. Нет необходимости выводить (За) из (3), (4а) шг
(4) и т д. Можно сразу брать производные. Но предварительное вычи-
сление дифференциалов страхует от неьо юрых ошибок, свойывенных
начинающим (для производной от у'“ пишут 2у вместо 2у'у" и т. п.,
ср. § 238, замечание).
§ 262. Правило Лейбница
Чтобы составить выражение производной п-ю порядка
от произведения uv (по любому аргументу), надо разло-
жить (u+v)n по формуле бинома Ныоюна и в полученном
разложении заменить все степени производными соответ-
ствующего порядка, причем нулевые степени (u° = 4!°—1),
подразумеваемые в крайних членах разложения, заменить
самими функциями.
По этому правилу получаем:
(uv)' = ll'v+uv', (1)
(ни)'' = u"v+2u'v'-] uv", (2)
(uv)"'~ u'”v + 3u"v'+3u'v"+liv"', (3)
(Uuyn>= Ul”>v + v' + "'(у-' Щя-2> v" + . . ,
. t+ u(n-4i>(4 h • • + ni^). (4)
Этожравило, подмеченное Лейбницем, доказывается мето-
дом полной математической индукции.
Пример 1. Найш десятую производную от функ-
ции е'х2.
Решение. По формуле (4) (при и-ех, v- х2, п -10)
имеем:
(е*№)х = (е”)хх-’+ 10(e*)TV(x2)'4 45 (t*)VIII(x2)" +..
Следующие слао аемые иет иужды выписывать, так как про-
изводные от х2 третьего и высших порядков равны нулю
Учитывая, чю все производные oi е* равны ег, получаем
(£гх2)х = ег(х2 ь20х + 90).
Пример 2. Найти значения всех производных от
/ (х) = arctg х при х = 0.
§ 263. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
329
Реше и и е. Имеем.
/'«“ТТ5?. (5)
так что
/ (0) = 0, /'(0)=1. (6)
Непосредственное вычисление высших производных
1 очень громоздко. Но если представить (5) в виде
/'(х)(1+х^1 s *'
и примени 1Ь правило Лейбница (и — /' (х), г 1 + х2),
то получим;
/<"+’> (х)(1 + х2)н п/(п’ (х) 2х + п (и - (х) 0.
। При х = 0 имеем:
I /<»и>(0) ЬЛ (л- 1) /(»-!) (0) = 0. (7)
Так как /(0> (0)~/(0)-0, ю значения всех производ-
ных четного порядка равны нулю:
Г(0) = Г(0)=г/у1(0)=.., = 0. (8)
Так как f(0)=l,To нз (7) находим последовательно:
! /"'(0) = -1-2/'(0)= -(21),
Л(0)= -3-4/"'(0)= +(4J),
Л“(0)= -5-6Г(0)=-(61),
/<»*+!) (0) -- — (2ft— 1) 2/с/<2*—’> (0) = ( - О* (2ft!).
§ 263. Теорема Ролля *)
Теорема. Пусть функция / (х), дифференцируемая
в замкнутом промежутке (л, Ь), обращается в нуль на кон-
цах промежутка. Тогда производная /'(х) по меньшей мере
один раз обращается в нуль внутри промежутка.
!) М, Ролль (1652 —1719), современник Ньютона и Лейбница,
считал дифференциальное исчисление логически противоречивым и,
естественно, не мог высказать .теоремы Ролля.. Роллю принадлежит
одна алгебраическая теорема, из которой вытекает такое следствие:
если «,и Ь —корни уравнения х« 4*PiX""1 + + ... + р„_,х + ри=0,
то между а и b лежит корень уравнения их»-1+ (п - 1)р1хп’~2 + ...
...+рп_1=0. Это предложение есть частный случай .теоремы
Ролля, (левая часть второго уравнения есть производная левой части
первого уравнения). Отсюда название (исторически неточное) «теоре-
ма Ролля».
330
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
На черт. 251 между точками х=а и х-b, где график
функции / (х) пересекает ось ОХ, есть три точки L, М,
X, где касательная параллельна оси ОХ (т. е. /'(х) = 0).
На черт. 252 между х=я и х = & нее ни одной точки с Горизон-
тальной касательной. Причина в том, «го в точке С у графика нет
касательной, т. е. функция f (х) не дифференцируема в точке х-с
[здесь есть две односторонние производные (§ 231)].
Замечание 1. Если дифференцируемая функция f(x) имеет
при х =а и х =6 одинаковые значения, хотя бы и не равные нулю, го
производная/' (х) равным образом обращается в нуль внутри проме-
жутка (и, Ь)- !
Замечание2. Теорема Ролля остается в силе и в том случае,
когда / (х) дифференцируема лишь во внутренних точках промежутка
(я, Ь), на концах же функция/(х) может быть и не дифференцируе-
мой, а только непрерывной.
Обычно теорема Ролля высказываеюя при этих наиболее общих
условиях, что усложняет ее формулировку и затрудняет усвоение вс.
ноеного ее содержания. В дальнейшем (§ 264, 266, 283) мы формулируй
ем условия ряда теорем также не в самых общих предположениях,
последние приводятся во вторую очередь в виде замечаний.
§ 264. Теорема Лагранжа J) о среднем значении
Формулировка теоремы. Если функция / (х)
дифференцируема в замкнутом промежутке (а, Ь), то от-
ношение —Ь^а^ Равн0 значению производной /'(х|
в некоторой точке х=£ 1 2), лежащей внутри промежутю
(щ Ь\.
= /' (5)- (I
1) Ж о з е ф Луи Л а г р а н ж (1736 —1813)—великий француз
ский ученый, создатель аналитической механики, один из творца
вариационного исчисления.
-') Греческая буква 5 (ней) — стандартное обозначение для <ср&
него значения* аргумента (т. е. значения, содержащегося внутри даз
иого промежутка).
J 264. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 331
Геометрическое истолкование. Отноше- -
ние —(черт. 253) есть угловой коэффициент
хорды Л В, а /' (£)—угловой коэффициент касательной NT,
Теорема Лагранжа утверждает, что между А и В иа дуге
АВ найдется но меньшей мере одна точка N, где каса-
тельная параллельна хорде А В при условии, что е каждой
точке дуги АВ существует касательная.
Черт. 254.
Из черт. 254 видно, что при несоблюдении этого условия теорема
может быть неверной. В точке С нет касательной (существуют лишь
односторонние касательные —правая и левая). Функция/ (х), изобра-
жаемая графиком -АС.В, недифференцируема при х=с, и теорема
Лагранжа оказывается неверной: ни при каком промежуточном значе-
„ .., к ‘ /(Ь) — По)
нии 5 производная /' (х) не равна отношению ,
Механическое истолкование. Пусть / (г) -
расстояние точки в момент t от начального положения.
Тогда / (Ь)-/(п) есть путь, пройденный с момента t~a
по момент t ~ Ь, отношение — средняя ско-
рость за этот промежуток времени, теорема Лагранжа
утверждает, что в какой-то промежуточный момент ско-
рость точки равна средней скорости движения при усло-
вии, что в каждый момент точка обладает определенной
скоростью.
Теорема может оказаться неверной при невыполнении этого усло-
вия. Так, если точка движется первый час со скоростью 20 м/чде, а
второй —со скоростью 30 м!часу то средняя скорость движения равна
25 м1час; такой скорости точка не имела ни разу в течение двух часов.
Причина нарушения теоремы — в том, что в конце первого часа точка
не обладала определенной скоростью >).
!) На самом деле переход от скорости 20 м/час к скорости 30 м1час
обычно происходит не мгновенно, а постепенно в течение незаметного
промежутка времени, и тогда есть такой момент, когда скорость равна
25 .«’час.
332 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Другая формулировка теоремы Лагран-
жа. Уравнение
(при выполнении условия теоремы) имеет по меиыией
мере один корень х = £ внутри промежутка (а, Ь).
Положение этого
функции /(х). Если
корня (или корней) зависит от вида
она —квадратичная (график-пара-
бола; черт. 255), получаем уравнение
первой степени; его корень лежит в
точности на середине (о, &), т. е.
г __ ft +Я
* ~ 2 *
Для остальных функций это свойство
осуществляется приблизжельно; именно,
если а имеет постоянное значение, а 1>
стремится к л, то один из корней, как
правило х), стреми юя к середине отрезка
(a, ft),T. е. lint ~ у ПРИ &-><»•
Пример 1. Пусть /(х)=хв. Тогда/'(£) = 2!-. Фор-
мула (1) принимает вид
- 25,
о — а
откуда
г _ а-Н
Ч “ 2 ’
т. е. 5 лежит в точности на середине промежутка (а, Ь).
Пример 2. Пусть f(x) = x3, тогда /'(х) = 3№. Возь-
мем й=10, й = 12. Имеем:
/(jlrZ.W 364.
b — а
Согласно теореме Лагранжа уравнение 3v“ --364 должно
иметь корень, лежащий между 10 и 12. Действительно,
его положительный корень х — |А121 у « 11,015 лежит
па отрезке (10, 12) и притом близко к середине.
Замечание. Теорема Лагранжа остается в силе ив том случае,
когда функция f (X) дифференцируема лишь во внутренних точках
промежутка (л, Ь) (на концах же не дифференцируема, а только непре-
рывна).
*) Исключение составляют лишь случаи, когда вторая производ-
ная f"(a) равна нулю или не существует.
§ 265. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ 333
§ 265. Формула конечных приращений
Формулу (1) § 264 можно переписать в виде
/(&)-/(«) = /'(?) (Ь-а) (1)
или прн иных обозначениях
/(« + й)-/(п) = /'(^)Л. (2)
Это - формула конечных приращений; ее пишут также
в виде
/(П + й)= /(«) (3)
Применение к приближен и ы м в ы ч н с-
л е н и я м. В § 248 мы применили для вычисления / (а+й)
приближенную формулу
f(a + h) -/(«) + /'(«) й. (4)
Точная формула (3) (хотя значение % неизвестно) позво-
ляет оценить погрешность формулы (4). Если же в фор-
муле (3) положить 5 = то хотя оиа и перестает
быть точной, но дает, как правило (ср. § 264), гораздо
лучшее приближение, чем (4).
Пример. Найти без таблиц 1g 101.
Полагая / (х) = 1g х, имеем f' (х) — — (М = 0,43429).
При а = 100 и й = 1 формула (4) дает;
1g 101 ~ lg 100+At-i^-l = 2,0043429, (5)
Для оценки погрешности применим точную формулу (3);
получим:
1g 101 = IglOO + M.-'l. (6)
Здесь £ лежит между 100 и 101, так что >• По-
грешность формулы (5) составляет Л1| , а эта ве-
личина заведомо меньше, чем (пйг~!'от)’ т. е. меньше,
чем 0,00004. Такова предельная погрешность формулы (5)
(истинная погрешность вдвое меньше).
Если же в формуле (6) положить % = (100-р 101) =
= 100,5, то получим:
1g 101 ~ 1g 100 +ЛЬ 0,00995025-1 = 2,0043213. (7)
334 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь неверна лишь последняя цифра; истинное ее значе-
ние на единицу больше.
Следствия из формулы (1). Из определения
производной непосредственно следует, что производная по-
стоянной величины равна нулю. Из формулы (1) вытекает
следующая обратная теорема.
Теорема 1. Если производная /' (х) в промежутке
(т, п) всюду равна нулю, то в этом промежутке функция
/(х) есть постоянная величина [г. е. для любых значений
(а, Ь) в этом промежутке1 2) значения функции / (х) оди-
наковы].
Пояснение. Функция f (х) по условию дифференцируема в
промежутке (гп, л) и тем более в промежутке (а, 1>). Значит, к ней мож-
но (§ 264) применить формулу (1). В последней по условию надо поло-
жить у (£) = 0. Получим/(Ь) = /(а).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает
Теорема 2. Если производные двух функций / (х),
Ф (х) в промежутке (т, п) всюду равны, то в этом про'
межутке значения обеих функций разнятся на постоянную
величину.
§ 266. Обобщенная теорема
ц о среднем значении (Коши)
Теорема Коши*). Пусть производные f '(f) и (/) двух функ- I
ций/(О и ? (р, дифференцируемых в замкнутом промежутке (а, 1>), ие
обращаю 1ся одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка. |
Пусть при этом одна из функции/(/), <р (f) имеет неравные значения ।
на кднцах интервала [например, у (а) ? (Л)]. Тогда приращения I
/(&) -/(а) и 9 (6) — ф (а) данных функций относятся как их производ-
ные в некоторой точке /=т3 * *)| лежащей внутри промежутка (н, Ь); (
Ш-Ла) = Г(т) .п ।
9 (6) “<?(«) ?'(т)’ ,
Формула Лагранжа (формула (1) § 264) есть частный случай фор*
мулы (!) при <р (?) = А
*) Функция/(х) по условию определена во всем промежутке (т, л),
иначе опа не всюду имела бы производную. Если, вопреки условию,
функция/ (х) будет определена во всех точках промежутка (т, н), кро-
ме, скажем, двух точек х =/. их-' (fc < Д то может оказаться, что
функция является постоянной лишь в каждом из (незамкнутых) проме- ;
жуткой (m, А), (Л-, 1) и (I, л) пр отдельности, но при переходе от одного ,
из них к другому меняет свое значение (см. примеры 1 и 2 § 247а),
2) Огюсте 11 (по другому чтению Ав г устин) Кош и (1789 —
1857)—знаменитый французский математики физик. Коши поставил
задачу построить матема гическии анализ на строгом логическом осно-
вании и в основном разрешил згу задачу.
з) т-греческая буква (*тау>), соответствующая русской букве <т>
н латинской А
§ 268. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 335
I 1меем:
у=/(0.
Геометрическое истолкование — такое же, как тео-
ремы Лагранжа. Только линия АСИ (черт. 256) представляется пара-
метрическими уравнениями
ОА' = $(а), ОЙ**?(6);
A A' =f (а), ВВ'~/(Ь).
Отношение — угловой коэффи-
<?(*)-?(«)
циент хорды АВ, отношение~ — угло-
вой коэффициент касательной W 7*.
На черт. 256 касательная NT параллельна хорде АВ, точка N ле-
жит па дуге Ап (но ее проекция N' на ось ОХ не лежит на отрезке
А'В'; то же для проекции на ось ОУ).
Замечание 1. Если, вопреки условию теоремы, мы имели бы
/(а) =/(Ь) и <? (а) =<₽ (6), то левая часть (1) была бы неопределенна.
Замечание 2,В условии теоремы Цоши требуется, чтобы/' (!)
и <f’ (I) ие обращались одновременно в пуль внутри промежутка (щ Ь),
по иа о,дном из концов (или па обоих) они могут одновременно обра-
щайся в нуль (и даже нс существовать—лишь бы/(х) и <р (у) были
непрерывны в обоих концах).
Пример I. Рассмотрим функции
f(l) и ?(!) = И
В промежутке (0, 2). На конце / — 0 производные
/' (f) = ЗР и 9' (0 = 2t
обращаются в нуль, но внутри промежутка обе отличны от нуля.
Каждая из функций /(!),<?(!) имеет неравные значения на концах ! = 0
и 1=2, Условия теоремы Коши выполнены. Значит, отношение
/(2)-/(О) = 23 я 2
? (&) - Ф 0) ф (2) ~ Ф (°) 2а
должно равняться отношению
/' (0 _ 5Р _ 3,
Г (1) ~ 21 2 1
в некоторой точке лежащей между о=0 и 0=2. Действительно,
уравнение
|1»2 I
4
имеет корень I = лежащий внутри промежутка (0, 2).
Пример 2. Рассмотрим тс же функции /(f) =!3 и р (!) = Р
в промежутке — 1 —•, 2^ . При а = — 1 , б — 2 имеем:
/(0)-/(а) б3-а3 в 6»+йЬ+о8 = 13
ф\&)-<? (а) ~ 02-а2 #+« 2 ’
Уравнение
3 , 13
2 1 =Т
336 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
имеет единственный корень ( = 4-^-, но он лежит вне промежутки
Черт. 257.
1-^-, 2^. Теорема Коши оказалась неприменимой
по той причине, что точка ( = 0, где обе производ-
ные f' (/), ф'(0 равны нулю, лежит теперь внутри
промежутка (в, 0). Геоме :ричеткая картина такова;
параметрические уравнениях = у f3 представля-
ют полукубичсскую параболу АОВ (черт. 257);
значениям а — —К/г, 1> ~ 2 соответсюуют точки
A(2*/d;—33/а)и В (4; 8). На дуге АОВ дипии№ К,
y=fa (полу кубическая парабола) нет точек, где каса-
тельная была бы параллельна хорде АВ (такая
точка есть за пределами дут и А В выше точки В).
Механическое истолкование. Пусть
(-время, а
8р=/(0
И
(f)
— расстояния двух прямолинейно движущихся тел
Р и Q от их начальных положений. Тогда/'(О н
Ф7 Ц) суть скорости Uj- и V(j тел Р и Q. По условию
теоремы Косии vj> и не равны нулю одновременно.
Теорема утверждает, что нуги, пройденные телами
в промежуток времени (a, Ь), относятся, как скоро-
сти в какой-то промежуточный момент1) (один и тот же для обоих тел).
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида ~
Если какая-либо функция пе определена в точке х = а,
но обладает пределом при х -> а, то разыскание этого
предела называется раскрытием неопределенности. В ча-
стности, раскрытием неопределенности вида называют
разыскание предела отношения , где функции / (х),
Ф (х) бесконечно малы при х а.
J) Поясним это наглядно. Пусть за промежуток времени (л, Ь)
тело Р прошло вдвое больший путь, чем Q (sP = 2s@). Если оба движе-
ния равномерны, то в любой промежуточный момент имеем; vp = 2i;q.
Пусть теперь одно из движений (или оба) неравномерно. Невозможно,
чтобы всегда было г-д =- 2vq (ибо тогда путь тела р превосходил бы
путь тела Q более чем вдвое). Невозможно также, чтобы всегда было
t>j> -- 2r(j. Поэтому, если сначала vP превосходит 2vg, то потом &р
меньше, чем 2vq (и наоборот). Значит, в какой-то промежуточный мо-
мент должно быть vP—2vq. В этот момент имеем: др : vg = sp‘,sq,
ибо по условию случай, когда Vp = vq = 0, исключается (в этом слу-
чае отношение т>р ; ?д было бы неопределенным).
§ 267. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВИДА — 337
Правило Л о п и т а л я1}. Для разыскания предела
отношения двух функций, бесконечно малых при
х -> а (или при х -> °°), можно рассматривать отношение
их производных ^7™. Если оио стремится к пределу (ко-
нечному или бесконечному), то к тому же пределу стре-
мится и отношение й).
9 (х) ’
Пример 1. Найти lim
X —> I
V- 1
№- 1
Функции / (х) = №-1 н <р (х) = х3—1 бесконечно
малы при х-> 1. Рассмотрим отношение Оно
стремится при .х->1 к пределу Согласно правилу Ло-
шггаля к тому же пределу стремится . Действи-
тельно,
lim 4 = 11m
х -> 1 ж’ 1 X -J- 1
(Х-l) (У + 1)
(*-1) (Х2+Х + 1)
= lim
te~> 1
х+1 2
х2+х + 1 3 ’
Если не только функции / (х), ф (х), по и их производ-
ные /’(х), ф' (х) бесконечно малы при х->п, то для
f' Ort
разыскания предела =4-^ можно повторно применить
правило Лопиталя.
Пример 2. Найти Jim .
Числитель и знаменатель бесконечно малы. По пра-
вилу Лопиталя
221. J211 з№—2х—
1)Лопиталь (1661 —1704) 1-автор первого печатного руковод-
ства по дифференциальному исчислению (1696 г.), где и сформулиро-
вано правило (в менее точной форме, чем здесь приведенное). При
составлении атого руководства Лопиталь пользовался рукописью сво-
его учителя Ивана Бернулли. В рукописи содержалось и упомянутое
правило. Поэтому название «правило Лопиталя» исторически неточно.
*) В формулировку правила обычно включается требование,
чтобы производная ф' (х) не равнялась нулю в некоторой окрестности
точки х=«. Это требование излишне так как в правиле уже сказано, что
/' (X)
отношение имеет предел при х->й, а в силу определения
предела (§ 205) это возможно лишь тогда, когда <?' (х) #0 вблизи х=д.
22 М, Я» Выгодский
338
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь числитель и знаменатель снова бесконечно малы.
Применяем правило Лопиталя повторно:
lim
1
6х _ 3
6х —2 — 2 '
Пример 3. Найти lim
*->О JC-S111X
Последовательно применяя правило Лопиталя, мы
дважды получим отношение бесконечно малых величии
f'(x) , с*д<?-*— 2 (х) __ е*- g"д
9' (х) — 1 — cos X ’ 9” (х) ~~ —51П х"” *
В третий раз получим отношение
f" (х) е*+е-*
9'" (X) cos х *
При х-> О оно имеет предел 2. Значит,
,. е3 - е~3 — 2х о
н m ——-- — ~ 2.
Замечание 1. Теоретически не исключена возможности, чго
все производные обеих функции/(х), 9 (х) будут бесконечно маты
На практике такие случаи не встречаются.
Применение правила Лопиталя бывает полезно комби-
нировать с преобразованиями, облегчающими разыскание
предела.
Пример 4. Найти lim .
Следуя правилу Лопиталя, Ищем предел отношения
(х) СО$а X cosx
9' (X) ~~ 'з Sins X COS X
при X -> 0.
Здесь /' (х) н <р' (х) бесконечно малы, но искать lim
нецелесообразно Лучше преобразовать к виду
Ts^x^o^x и» заметив1 что lim (cos’x) = 1, искать
lim По правилу Лопиталя этот предел равен
п О Sin1 X
.. 3COS2 x.slnx
•^п 6 sin x-cosx
= lim соз X — ~
§ 268. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА ~ 339
Можно с самого начала заменить sin3 х эквивалентной
бесконечно малой х3. Тыда
siiVx ж3
= lim -1=L£^ = lim
, . „ Stf-cos. и ... Зх‘
Повторное применение правила Лопиталя дает:
11m
*->о
3 cos® x-sln X
f'M
Замечание 2. Может случиться, что отношение ~~ при
9 (*)
х-> а (или х-> «) не стремится ни к какому пределу. В таких слу-
чаях отношение — — может тоже не иметь предела, но может и
иметь. Так, если /(x)=x + Sinx и <р (х) = X, то отношение
Г (х)
Ф' (X)
+со8хприх —> со не имеет предела. Однако отношение
f(x) _ х + sin v . sin х
9 (х) “ " X ~ +~ X
при л оо стремится к единице.
§ 268. Раскрытие неопределенности вида
Правило Лопиталя (§ 267) имеет силу также и для
отношения двух функций, бесконечно больших при
х -> а (или прн х -> ©о).
Пример 1. НаЙтн lim .
Функции / (х) = 1п х и ф (х)^ х* бесконечно велики
прих->®з. Отношение 44^? = при х->о® стремится
к пределу 0. К тому же пределу стремится
Замечание. Если f(x) и <р (х) имеют бесконечные пределы
при х—у л, го пределы f (х) и ф'(х) (если они существуют) тоже
бесконечны, и правило Лопиталя приносит пользу лишь тогда, когда
/ (Д’)
выражение - < удается преобразовать к более удобному виду
? W ...
легче, чем выражение
22*
340 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Найги Пт
тс х
> -------------------
2
3 1
Функции tg Зх и tg х, а также их производные и
CDS® Ол COS* Jt
бесконечно велики при х->у. Представив отношение производных
, ищем Нт -—(теперь числитель и знаме-
*r COS vOC
„ „ о ( cos X V
в виде 3 (----„ -) ,
\cos Зх/
“ 3
2
нагель бесконечно малы). Применив правило § 267, получим
cos х .. — sitt х 1 „
Im -—-7Г- = lim —— = —.г • Следовательно,
cos Зх я - 3 sin Зх 3
X —> X —> —'
2 2
Iiin
я tgx
X—> —-*
2
Но исходное выражение еще проще преобразуется к удобному
,, tg Зх etg х
виду. Именно —— = -v~ -з— > так что
tg х etg Зх
„ tg Зх etg х lim sins Зх 1
1Imre-tg^= 11тяЕ^’=я^-з^=з*
2
§ 269. Неопределенные выражения других видов
I. Неопределенность в н д а 0 • «>, т.е.произве-
дение / (х) 9 (х), где / (х) -> 0 и ф (х) -> <*>. Это выражение
о »
можно привести к виду — нли —:
/ W ч> W = / W: ^5 = ф (*)
и затем применить правило Лопиталя.
Пример 1. Найти lim х etg ~.
х->о
Преобразуем х etg = х : tg — и находим:
lim х etg*?- = lim Г1:-=
at-> О »->0] 2 COS2I
Пример 2. Найти lim х4 In х.
ж-> О
Имеем:
Пт х1 In х = lim [in x : -Al ~ Hin [-^ : -^1 » 0.
e-s.o x->0 L A J / >oLx J
§ 269. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДРУГИХ ВИДОВ 341
11. Неопределенность вида оо —оо, т. е.
г разность двух функций, каждая из которых имеет предел
| +оо (нли каждая имеет предел -оо). Это выражение
о
также приводится к виду или
Пример 3. Найти lim Г-1--
2 -
х(е» +1) J ’
Приводим дроби к общему знаменателю; искомая ве-
личина есть lim , т. е. имеем неопределенность
х—>0 Х + И
вида Так как lira (с*+ 1) = 2, то
I.. Г 1 2 -I 1 .. er ~ I I .. е* 1
lim I----= тт hm-------- ~ lim -г = -к-.
Ш. Неопределенности в и д а 0°, <х>°, 1***, т. е.
функции вида где lim /(х) Он lim ср (х) = 0 или
lim / (х) = оо, lim ср (х) = О или lim / (х) — 1, lim ср (х) = ©о.
Здесь сначала ищем предел логарифма данной функции.
Во всех трех случаях получаем неопределенность вида
О • оо.
Пример 4. Найти lim у? (неопределенность 0°).
at—> О
Полагая у = х?, имеем In у = х In х. Далее,
Отсюда
lim у = 1.
' №> О
£
Пример 5. Найти lim (l-pSx)* (неопределен-
ность оо°).
1
Полагаем у (1 + 2х)* ; имеем: 1п у = — In (1 f 2х).
Далее,
lim In у = lim 111 ^-+2х) - lim = 0.
аг —сю зс —> сю я —г- оо '
Значит, Jim у — i.
342
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 6.
Найти lim (tg x)ig 21
(не on ре де л ен-
ность 1°°).
Имее.м:
lim 1п у =
lim tg 2х In tg х iim
lit tg X _
ctg2x —
Значит,
4
— IjlH ( Sjn x CO9 x •
—2—'I - - 1.
sin* 2x7
lim (tgx)tg2l =
e1
§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора ’)
I. Бесконечные ряды у Ньютона. Для
отыскания производной от данной функции и главным обра-
зом для решения обратной задачи Ньютон заменял данную
функцию бесконечным степенным рядом, т. е. выражением
’Ь ЯрС + + ЙзХ3 + • • • + йпхп + • • * (1)
с неограниченно растущим числом членов. Коэффициенты
ай, «ь «2> • • • брались так, чтобы выражение (1) по мере
роста числа членов давало все более точные значения
функции. Так, функцию у-у^. Ньютон заменял выраже-
нием 1-х+№-х3+...+(-1)" х”+ ... н писал2):
i-Ь = 1-л-+х2-х34- ... (2)
J) Настоящий параграф служит введением к g 271 и 272; последний
Можно читать и независимо.
а) Разложение (2) получается, если к частному 1; (1 +х) применить
правило деления многочленов, расположенных по возрастающим сте-
пеням. До Ньютона формула (2) была применена Николаем Мерка-
тором (в 1665 г.) в связи с вычислением логарифмов ^производная от
In (1 +х) равна . У Меркатора разложение в бесконечный ряд
ограничилось этим единичным случаем. У Ньютона оно стало об-
щим методом.
$ 270. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА 343
Если | х | ~= 1, то члены 1, -х, х1, . . . образуют беско-
нечную убывающую геометрическую прщрессию, и сумма
ее равна Если же | х | > 1, то сумма 1-х +
_]-Х2-xJ4- . . . + (—l)''xu при п -> оо не стремится
к Учитывая эю обстоятельство, Ньютон всегда огра-
ничивался достаточно малыми значениями х.
Для разложения функций в бесконечные ряды Ньютон
пользуется разнообразными приемами. Так, формулу
(1+х)’" =
= 1-НКХ+ — Ь2?3------L
(3)
установленную ранее Паскалем1) для целых положитель-
ных т, Ныотои применяет к дробным и отрицательным
значениям щ. Тогда число членов неограниченно возра-
стает. При т = - I получается формула (2), при т = -2
получаема 2):
(TTIjT = 1-2х ; Зх1 —4х3 + ... (4)
Чтобы найгн производную от Ньютон диффе-
ренцирует почленно 3) выражение (2), Сопоставление с (4)
показывает, что
[г+х] = “(1 +”xF’
2. Ряд Тейлора. В 1715 г. Тейлор 4) сложным и
крайне иестрогп.м способом нашел общин вид выражения
(1) для данной функции / (х). В нынешних обозначениях
результат имеет вид
I (х) = / + х»+ ... (6)
1) Б л е з Паскаль (1623 —1662) —знаменитый французский
философ, математик и физик.
s) Сознавая, что ею выводы нс строги, Ньютом проверял их на
примерах, Так. выполнял почленное умножение (I — х + №—xJ + ...) X
Х(1 - х + х3 —xJ + ...), он находил 1 — 2х + 3.№ ~4х'+ ... и зтим
проверял формулу (4).
J) Ньютон ие знал, что теорема о производной суммы может
оказаться неверной для неограниченно растущего числа слагаемых.
Впрочем, для рядов вида (1) эта теорема (при достаточно малых зна-
чениях х) справедлива, 1ак чго ошибок не получалось.
4) Б р у к Тейлор (1685 —1731) - английский математик, уче-
ник Ньютона.
344 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 К — I V* п!
Так, если /(х) = п^, то /<»> (х) = (у^,)-й+1. Зпа-
чит, / (0) — 1 и п1к } = (- 1)", так что формула (6) дает
разложение (2). Если / (х) = - * получим разложе-
\ 1 “Г
ннс (4).
3. В ы в о д Макл орена’. Через 30 лет Маклорснг)
дал следующий простой вывод формулы Тейлора. Он
рассматривает равенство
/ (х) = а0 + йхх {- а2х” 4 л3х3 4- «4х4 4- ... (7)
и, желая определить коэффициенты й1|} щ, а2, . . . , после-
довательным дифференцированием находит:
/' (х) - щ |2li2X4-Зtl3x^4-4(71x34- . . . ,
/" (х) _= 2а24’2-3а3х4-3-4аах2 + . . . ,
/"' (х) 2 -За3 + 2 -3 -4а4х 4- . .. ,
Подставляя в (7) и (8) х = 0, он последовательно полу-
чает г):
я» = /(0), Щ = /' (0), а2 = а3 = и т. д. (9)
4. Ряд Тейлора в общем виде. Таким же обра-
зом выводится формула
/(х) = /(а)+^(Х-«)+^(х~«)2+ <10>
дающая разложение функции по степеням (х— а). Эта
формула тоже была известна Тейлору; по существу она
не дает ничего нового в сравнении с (6).
>) Колин Маклорсн (1698 - 1746) - английский математик;
степенной ряд (6) ныне называют (без досгаючцого основания) рядом
Маклорена.
!) Если доказать законность почленного дифференцирования ряда
(7), то вывод Маклорена безукоризненно доказывает такую теорему;
если f (х) разлагается в ряд (7), то коэффициенты л0, alt аг>... выра-
жаются формулами (9). Однако есть функции, которые не разлагаются
в ряд (7) [хотя их производные f! (0), f" (0),... существуют]. Пример
такой функции дан в последнем подстрочном примечании настоящего
параграфа.
§ 270. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА 345
Так, для функции/ (х) = In х при а = 1 формула (10) дает:
1пх _ (11)
Если же взять функцию / (х) =1п (1 +.х), то по формуле (6) найдем:
(12)
(13)
' У- 1п(1+х)=х-^-+з— т+...
Положив 1+Х=2, ПОЛУЧИМ формулу
1П , = (2-1)»,(2-1)« ^„1)4,
1 2 3 4 +
коюрая отличается от (11) только обозначениями,
5. Остаток ряда Тейлора. Функции, которые
были известны в 18-м веке, допускают разложение в ряд
Тейлора (10) (при любых значениях а, кроме тех, прн
которых функция или одна из ее производных обращается
в бесконечность). Основываясь на своем ограниченном
опыте, математики 18-го века не сомневались в том, что вся-
кая непрерывная функция разлагается в ряд Тейлора. Одна-
ко ощущалась потребность в точной оценке погрешности,
которую дает формула (10), если ее оборвать на члене,
В 1799 г. Лагранж вывел для «остатка ряда Тейлора»,
т. е. для разности /?„
К» = /(*)- [/(а)+ ... +^^-(х-а)-],
следующее выражение:
Здесь —некоторое число, лежащее между а и х.
Доказательство Лагранжа предполагало разложимость
функции / (х) в ряд Тейлора ’). Четверть века спустя Коши
доказал формулу (15), не опираясь на это предположение;
он также дал другое выражение остатка. По выражению
остатка стало возможным судить и о разложимости функции
в ряд Тейлора: если lim — 0, то функция / (х) разла-
Н -Ч*- СО
гается в ряд Тейлора, в противном случае не разлагается.
(14)
(15)
*) Лагранж даже доказывая, что такое разложение возможно для
всякой непрерывной функции, но доказательство было неудовлетвори-
тельно.
346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Коши дал первый пример функции1 2), которая хотя и
обладает в точке х ~ а всеми производными, но не раз-
лагается в ряд (10) по степеням х-а (практического
значения такие функции не имеют).
§ 271. Формула Тейлора3)
Теорема. Если функция / (х) обладает в замкнутом
промежутке («, Ь) производными до (n-f-l)-ro порядка
включительно 3), то
(1)
где 5-некоторое число, лежащее между а и Ь.
Формулу (1) называют формулой Тейлора.
Хп+1)
Последнее слагаемое-;—(b - а)(п+1), называемое
остаточным членом в форме Лагранжа4), дает точное
выражение разности /?„ между / (&) и выражением
/(Q)+ZTT(^-«) F-2yQ(6-o)3+ ... +/-^М(б-«Г
(«многочлен Тейлора»):
/(&)-[/(«) 4- ... +/-^(б-й)"]^
1
jpS
9 Эта функция задается формулой / (х) — е при добавочном
условииДО) =0 (при х = О формула теряет смысл). Функция f (х)
имеет в точке 0 производные любого порядка, Все они равны
пулю в этой точке, так что правая часть формулы (10) тождественно
равна нулю. Однако / (х) нигде, кроме точки х=0, не обращается
в НУЛЬ.
2) Рекомендуется предварительно прочесть § 270,
:i) На концах промежутка (п+ 1)-я производная может не суще-
ствовать, лить бы n-я производная была непрерывна не только внут-
ри, но и на концах Промежуша.
4) В отличие от других форм остаточного члена.
g 271. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 347
Формула Тейлора устанавливает, что уравнение (1),
в котором за неизвестное принимается имеет по меньшей
мерс одно решение1), лежащее между а и b (ср. § 264).
Когда а рассматривается как постоянная, а Ъ как пере-
менная величина, вместо b пишут х\
/ (х) - / («) Е (х - а) 4- ... + (х - а)* +
: ; +т^О-«)-+1- (3)
При а = 0 получаем так называемую 2 *) «формулу Макле-
рская
/w = /(0)+qox+... +т^>.х-+/д'2.«>х.+1, (4)
Пример. Применим формулу (4) при п = 2 к функции
./ (х) - 1~ • Имеем:
/'(х) ~ /" (х) (Т+ ху> ’ !" (Г+ ’
Значит,
/ гт - 1 f~{0) - -1 r(G) - +1 - - 1
/бл- Ь и - 1, 2! ~ +1’ ’ 3!’ “ (1+5)1'
Формула (4) принимает вид
<5>
Здесь лежит между нуле.м и х. Важно отмстить, что
формула верпа только при х > — 1. В этом случае условие
теоремы выполнено: функция у--- в замкнутом про.межут-
ке (0, х) обладает всеми производными.
Решая (5) относительно £, //аходнм:
Ъ = |Т-Ж 1, Ъ = - ТТГТ- 1. (6)
Легко проверить, что прн х =- -1 первый корень
действительно лежит между нулем и х.
1) При неизменных значениях а и b величина 5, как правилен ме-
няется с изменением п,
р Ср. § 270, и. 3.
348
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если же х -< ~ 1, то условие теоремы не выполняется,
ибо функция не имеет производных в точке - 1, a 3ta
точка либо оказывается внутри промежутка (0, х) (если
х -= — 1), либо совпадает с его концом (если х — — 1).
Формула (5) становится неверной: при х = — 1 левая
часть теряет смысл, при х « — 1 уравнение (5) имеет
мнимые корни.
Замечание. При п = 0 формула Тейлора (2) [в ко-
торой вместо /(0) (в) надо написать /(а)] дает формулу
конечных приращений (§ 265)
г У /(&)-/(«) = /'(О О-а). (7)
/у При п = 1 получаем:
/(Ь)-/(а)-/'(й)(Ь-а) -
(Я)
у !________] или при других обозначениях:
01 ’• Т [f (х + Дх) - / (х)] - /' (х) Дх =
Черт. 250. - . . = Г®4хе. ((!а)
Эта формула даст выражение разности между приращением
функции н ее дифференциалом (отрезок СВ на черт. 258).
Если вторая производная/" (х) непрерывна при рассматриваемом
значении х, то разность между приращением функции и ее дифферен-
циалом имеет второй порядок относительно Дх [когда/" (х)^0] или
более высокий [когда /" (х) =0]. Ср. § 230-
§ 272. Применение формулы Тейлора
К вычислению значений функции
Формула Тейлора часто позволяет вычислять значения
функции с любой точностью.
Пусть известны значения
f(a), Г (а), /"(а), /"», •••
функции / (х) и ее последовательных производных в «на-
чальной» точке х = а. Требуется же найти значение функ-
ции / (х) при ином значении х.
Во многих случаях для этого достаточно вычислить
значение многочлена Тейлора
I (а)+Г(р (х-й) I- .. .
§ 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 349
взяв здесь два, три нлн больше членов в зависимости от
требуемой степени точности. Конечно, мы допускаем при
этом некоторую ошибку /?„; она равна
R. = f W - + (х-я) + тр (*-<!? + • •
- f , <2)
Но часто оказывается, что ошибка R„ неограниченно
уменьшается (по абсолютному значению) с увеличением
числа членов (т. е. lim /?„ - О). Тогда многочлен Тейлора
Я —> cso
может дать искомое значение / (х) с любой степенью точ-
ности.
Число членов, обеспечивающее требуемую степень точ-
ности, существенно зависит от того, как велико расстояние
|х-aj от начальной точки а до точки х. Чем больше
|х —а |, тем больше членов приходится брать (см. при-
мер 1). Нередко случается и так, что стремление /?„ к нулю
не только замедляется с ростом расстояния | х — а |, но при
дальнейшем росте и вовсе прекращается (см. пример 2).
Тогда многочлен (1) пригоден для вычисления / (х) лишь
на ограниченном расстоянии от начальной точки.
Значит, надо уметь ответить на следующие вопросы:
приюден ли многочлен (1) для вычисления / (х) на данном
расстоянии | х— д[ от начальной точки а и если да, то
сколько членов надо взять для достижения требуемой
точности? Важно также знать, для всякого лн расстояния
|х~д | ошибка Rn стремится к нулю с ростом числа чле-
нов, а если не для всякого, то где его граница.
Для решения этих вопросов применяются различные
приемы. Один из них1) основывается иа теореме § 271,
позволяющей представить ошибку Rn в следующем виде а);
<3>
Число § здесь неизвестно; мы знаем лишь то, что 5 лежит
между а и х. Но и этого бывает достаточно, чтобы оценить
ошибку R* и ответить на поставленные выше вопросы.
1) Этот прием не является наилучшим; иной раз он и вовсе не до-
стигает цели. Другие приемы указаны ниже (§ 401).
*) Предполагается, что функция/ (х) удовлетворяет условиям тео-
ремы § 271; во множестве практически важных случаев так и бывает.
350 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример L Пусть / (х) = ег. Все производные этой
функции равны е*. Нам известно значение е* в точке х = 0
(именно е°= 1). Эту точку мы и примем за начальную.
Условия теоремы § 271 соблюдены при всех значениях х.
В многочлене Тейлора (1) надо положить:
«-0, /(«) = Л(й)=. *- = /0,> («)= L - (4)
и он принимает такой вид:
Х4 ^х* ; , . . + ' (5)
Заменив значение е* значением многочлена (5), мы до-
пустим некоторую ошибку /?„; она равна
к. = ^-['-^+я+---+й]- (в)
Так как /<я+1)(х) = то ошибку /?„ согласно фор-
муле (3) можно представить в таком виде;
7? = - --— VA ' (7)
(n + I)l
Чело % лежит где-то между нулем и х (оно зависит и
от х и от п). Значит, лежит между е°=1 и ет. Этого
достаточно, чтобы оценить ошибку.
Пусть, например, надо вычислить значение е* при
х=~, т. е. извлечь квадратный корень из числа е. Тах
2 1 /
как число е заключено между 2 и 3, то е 12 меньше чем 2,
2/1 V’4 1
а и подавно. Из (7) следует, что | /?„ | с (Л+Т)1\2") ’
т. е.
I 1 (^77)127 •
С росто.м п величина (предельная погреш-
ность) стремится к нулю, а ошибка /?„ и подавно. Значит,
многочлен (5), который теперь принимает значение
12 1 1
*+Т12 +2!2г+3!2з~^ * ' п!2* ’
пригоден для вычисления с любой точностью.
Определим теперь, сколько членов должна иметь сумма
(9), чтобы обеспечить точность, скажем, до четвертого
десятичного знака (т. е. до ±0,5-10 ~4). Для этого вычи-
§ 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 351
слясм предельную погрешность при я а 1Д 3
ит. д.1):
“ Т »
1______1 . _ 1
3! 2* ~ 21 2 ' 0 " 24 >
1______1 . о „ 1
412» ~ 312а • ° — 192»
m _ UL_
512а 412» ' J ~ 1920 1
_2________L. • 12 -
61 25 5! 2» * * 23 040 *
Здесь можно остановиться, так как 23040 °»5 'Ю~4.
Итак, для обеспечения точности 0,5*10“4 достаточно,
чтобы сумма (9) имела шесть членов. Находим2):
1 1,00000,
“ 0/50000,
2Г2Г = 112 : “ 0,12500,
' 3! 23 = 21 2’' * 6 “ 0,02083,
*412‘_ ™ 3) 2» • 8 = 0,00260,
-51У" 4^:10^0,00026
1,64869
В итоге получаем:
УГ= 1,6487,
Таким же образом найдем, что для обеспечения точно-
сти до ±0,5-10’8 сумма (9) должна иметь 10 членов, ибо
1) Начиная со второй строки нижеследующей выкладки, мы прибе-
гаем к последовательному делению на четные числа 6, 8, 10,..., осно-
вываясь на тождестве
1 1__________________
" “ (« + 1)12’» 2(п+1) ’ л! 2»-1 *
Каждый член вычисляем до пятого десятичного знака во избежа-
ние накопления погрешностей. _____ _____
352 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вычисление дает:
1Т- 1 + тГ2+2ГЯ+-• •+ 91*2? = 1,64872127.
Взяв 15 членов, можно вычислить е1^ с точностью до
0,5-10~16 и т. д. Точность результата быстро возрастает
с ростом числа членов.
Точность возрастает медленнее, если вычислять е° при
ббльшихзначениях | х например прн х= 1 или при х - — 1.
Положим х~1. Тогда многочлен (5), принимающий вид
(Ю)
даст приближеннее значение числа е. Ошибка 7?п согласно
(7) равна
'(л+Т)!'- (П)
Число £ теперь заключено между е° и т. е, между
1 и е, а гак как с -- 3, то
’ О?)
Ошибка по-прежнему стремится к нулю с ростом п.
Но теперь для обеспечения точности до 0,5-10-4 надо
взять девять членов (вместо шести), ибо предельная по-
грешность лишь при л = 8 становится меньше
0,5 Вычисление дает:
е ~ 1+ 17+2!+зГ + • ’ • + 8! = 2Д*83.
Если надо обеспечить точность до 0,5*10~8, придется
взять 13 членов (вместо 10); вычисление даст:
е « 1+п+я+я+- • •+ ЗЗГ = 2,71828183.
Взяв 15 членов, можно вычислить е лишь с точностью до
0,5 -10“10 (а не до 0,5 -10“гв, как при вычислении Уё).
Положим теперь х=-1. Тогда многочлен (5), прини-
мающий ВИД
i-ir'4-s+ •••+(-
§ 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
353
даст приближенное значение числа с-1
Re согласно (7) равна
Rn= (-1)«+х
(т. е. —). Ошибка
Л
(л+1)1 *
Число § заключено между минус единицей и нулем; значит,
е Тф е. С’ у Следовательно,
I I (п41)1 ’
Предельная погрешность здесь втрое меньше, чем в пре
дыдущем случае. Благодаря этому число членов, обеспе
чивающее требуемую
точность, может сни-
зиться, ио не более чем
иа единицу. Так, точность
до 0,5-10~10 обеспечи-
вается теперь не 15 чле-
нами, а 14, что дня вычи-
слительной практики не
имеет существенного
значения.
Если вместо Х -Ц
мы будем брать значения
х, еще большие по абсо-
лютной величине, то
ошибка приближенного
равенства
+S+---+S (13>
будет стремиться к нулю еще медленнее. Однако, исполь-
зуя формулу (7) н рассуждая, как выше, мы убедимся,
что ошибка /<, будет стремиться к нулю при всяком
значении х.
На черт. 259 изображены график АС В функции у=^
н графики сс многочленов Тейлора
У~1, У-1+Х, y=l + x+J, у=1 + х+?+2р
Пример 2. Пусть
/(х) = 1п (1 + х).
Как в примере 1, примем точку х=0 за начальную. Усло-
23 М. Я. Выгодский
354 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вня теоремы § 271 соблюдаются лишь прн х =--1 [при
функция 1п(1 + х) теряет смысл]. Последова-
тельные производные выражаются следующим образом:
= » 1" М ~ “ (1 +хр » W ~ Ц Т*)’ ’
/"'Ю=-<п^ /<•>« =
так что (§ 256, пример 3) будем иметь:
/(0) = о, ^.= 1, ^=-1,
/"'(0) » /*’(0) , !>-1 »
3! 3’ Л1 ' л '
Многочлен Тейлора (1) даст приближенное равенство
1п(1+х)йх-|х2+|х3-...+Цр1Л (14)
Так Как [1п(1 + х)] == •(1,~ * т0 погрешность /?„
равенства (14) согласно формуле (3) можно представить
в виде
я. = Й?(ттО’”’ “3)
где 5 лежит где-то между нулем н х.
Вычислим, например, значение in (1 + х) при х^-0,1.
Получаем приближенное равенство
In 0,9 -0,1-|-0,Р —(16)
Его погрешность равна
R =____!_(_W_Y+1
п+1 \1-Н/
Так как 5 лежит между нулем и -0,1, то 1 + 5 * 0,9.
Значит, | К, | «т. е.
п+1
(17)
§ 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 355
Предельная погрешность, очевидно, стремится к нулю
с ростом п, т. е. формула (16) способна дать 1п 0,9 с любой
точностью. Так, для обеспечения точности до 0,5-10-4
надо взять л=4,имы получим:
in 0,9 w - [ОД +-.0,01+^*0,001+4-°»0001] «—0,1054.
Таким же образом убедимся, что формула (14) пригодна
всякий раэ, как —-^х-^11). Но при увеличении |х|
стремление ошибки Rn к нулю замедляется. Слабее всего
это стремление при х= 1. Тогда формула (14) дает:
Чтобы обеспечить, например, точность до 0,5*10~S
надо взять 19 999 членов.
Когда же х хотя бы немного превосходит единицу
ошибка вовсе не стремится к нулю,* напротив | неогра
ниченно возрастает с ростом п,
На черт. 260 изображены графики функции у = In (1 + х)
(линия АСВ) н трех первых многочленов Тейлора.
1
1) Она пригодна и для всех у, лежащих между —1 и - —, но вы-
ражение (15) не позволяет в этом убедиться.
23*
если в достаточ
Черт, 261.
*356 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 273. Возрастание и убывание функции
Определение 1. Функция / (х) навивается возра-.
стающей в точке х = а, если в д о с таточ н ой бли-
зости от этой '[Очки значениям х, бблыпим а, соответст-
вуют значения /(х), бблыиие /(<?), а меньшим—меньшие.
функция / (х) называется убывающей в точке х = а,
ной близости от этой точки зна-
чениям х, большим а, соответствуют
значения / (х), меньшне / (а), а мень-
шим—бблыпие.
Пример 1. Функция, изобра-
женная на черт. 261, возрастает в
точке х = а, ибо вправо от А точки
графика лежат выше, чем А, а вле-
во — ниже. При этом рассматриваются
лишь те точки графика, ординаты
которых достаточно близки к орди-
нате а А; в данном примере — это те
точки, которые не выходят за пре-
делы дуги KL. За пределами последней указанное соотно-
шение нарушается; так, точка С лежит правее точки А,
но ниже се, точка U — левее, но выше.
Та же функция убывает в точке x = d, ибо в достаточной
близости от D точки графика справа лежат ниже, чем
D, а слева —выше.
Рассматриваемая функция убывает также в точке х=с,
В точках х = Ь, х — е, х = т функция не является
нн возрастающей, ни убывающей (в точке х— & она имеет
максимум, а в точках х=е и х = т-.минимум; § 275).
Определение 2. Функция называется возрастаю-
щей в промежутке (а, &), если она возрастает в каждой точ-
ке внутри промежутка (на концах она может нс возрастать).
Аналогично определяется функция, убывающая в про-
межутке (а, &).
Пример 2. Функция, изображенная па черт. 261, убы-
вает в промежутке (Z, d), ибо она убывает в каждой точке
внутри промежутка (и на его концах). В промежутке (Ь, е)
данная функция также убывает, ибо она убывает в каждой
точке внутри промежутка (на концах b и е функция не
убывает). В промежутке (т, Ь) функция возрастает, в про-
межутке (a, d) она не является пи возрастающей, ни убы-
вающей. Если же этот промежуток разбить на два: (а, &)
и (&, d), то в первом функция возрастает, во втором —
убывает.
§ 274. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 357
Если функция возрастает в промежутке (а, &), то в этом
промежутке большему значению аргумента соответствует
всегда большее значение функции; обратно, если в проме-
жутке (а, &) болыие.му значению аргумента соответствует
всегда большее значение функции, то функция возрастает
в промежутке (а, Ь)1).
Если функция Убывает ц промежутке (а, &), то большему
значению аргумента соответствует всегда меньшее значе-
ние функции, и обратно.
Геометрически: в тех промежутках, где функция
возрастает, ее график (прн движении направо) подымается,
в промежутках, где функция убывает, график опускается
(ср. пример 2).
Определение^ Как возрастающая, так и убывающая (в дан-
ном промежутке) функция называется монотонной (в рассматрива-
емом промежутке).
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции
в точке
Достаточный признак. Если производная /'(х)
положительная в точке ха, то функция /(х) в этой
точке возрастает, если отрицательная, то убывает.
Геометрнче с к и: если угловой коэффициент каса-
тельной МТ (черт. 262) положителен, то вблизи от М
график лежит выше точки М справа и ниже —слева; если
угловой коэффициент отрицателен (черт. 263), то вблизи
от М график лежит ниже М справа и выше - слева.
’) Это свойство часто принимается за определение функции, воз-
растающей в промежутке. Аналогично определяют функцию, убы-
вающую в промежутке.
35S ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Если /' (а) = 0, то при х-а функция
может быть возрастающей (точка N иа черт. 262); она
может быть н Убывающей (точка L на черт. 263). Но, как
правило, функция не будет при х=а ни убывающей, ин
возрастающей (точки В и С на черт. 264). Способы разли-
чения этих случаев указаны в §§ 278 и 279.
01 Jf
Черт. 264. Черт. 265. Черт. 266.
у' = 1-х=1 >0. Та же функция Убывает в точке х=2,
где у = — 1 < 0. В точке х=1, где / = 0, функция не
убывает и не возрастает.
Необходимый признак. Если функция /(х)
не убывает в точке х = а, то ее производная *) в этой
точке положительная (как в точке М на черт. 262) нли
равна нулю (как в точке N на черт. 262):
/'(«) 0.
Аналогично для убывающей функции; ее производная
отрицательна нлн равна нулю в точке х=а:
/'(а)^0.
Пример 2. Функция у~х3 (черт. 266) возрастает
во всякой точке. Ее производная у' = 3х2 положительна
всюду, кроме точки х—0, где у' = 0.
§ 274а. Признаки возрастания и убывания функции
в промежутке
Достаточный признак. Если производная функция
f'(x) в промежутке (а, &) всюду положительна, то функция f(x) в
этом промежутке возрастает; если/' (х) всюду отрицательна, то/(х)
убывает (ср. § 274).
а) Предполагается, что / (х) дифференцируема в этой точке.
§ 275. МАКСИМУМ И МИНИМУМ
359
Замечание. Признак остается в силе и тогда, когда производ-
ная принимает в промежутке (а, Ь) и нулевые значения, лишь бы/(х)
ие обращалась тождественно в нуль во всем промежутке (а, 6) или
в каком-либо промежутке (а', 5'), составляющем часть (а, &) (на таком
промежутке функция f (х) была бы постоянной величиной).
Пример. Функция у = х ха (черт. 265) возрастает в про-
межутке (0, 1), ибо производная у' = 1 — х принимает нулевое значе-
ние только в точке х = 1, в остальных же точках промежутка (0, 1)
положительна. Та же функция убывает в промежутке (1, 2), ибо
здесь производная у' всюду отрицательна, кроме точки х = 1, где у—О.
Необходимый признак. Если функция/ (х) возрастает в
промежутке (а, Ъ), то производная * *)f (х) в этом промежутке положи-
тельна или равна нулю:
(х) 5= 0 при а х Ъ.
Аналогично для убывающей функции
f (х) 0 при а х Ъ.
§ 275. Максимум и минимум
Определение. Говорят, что функция /(х) имеет
максимум в точке х~ а, если в достаточной бли-
зости от этой точки всем значениям х (как ббль-
шим, так и меныцнм й) соответствуют значения /(х),
меныпис, чем / (а).
Функция / (х) имеет минимум в точке х = а, если
в достаточной близости
значениям х соответствуют зна-
чения / (х), ббльшне, чем / (а).
Короче: функция /(х) имеет
максимум (минимум) в точке
х = а, если значение j (а) больше
(меньше) всех соседних значений.
Максимум н минимум объеди-
няются наименованием экстре-
мум2).
Пример. Функция f(x) - х3-хг + -|> (черт. 267)
имеет максимум в точке х = 0 [точка A (О; выше
всех соседних] н минимум в точке X = 2 [точка (2; — 1)
ниже всех соседних].
I) Предполагается, что функция дифференцируема в промежут-
ке (а, Ь).
*) Латияскре слово «экстремум» означает «крайнее».
360
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3 а м е ч а н и е. В обыденной речи выражения «макси-
мум» и «наибольшая величина» равнозначны. В анализе
термин «максимум» имеет более узкий смысл. Именно
максимум функции может и ис быть ее наибольшим зна-
чением. Так, функция / (х) = х3- х3 (см. черт. 267),
рассматриваемая, скажем, в промежутке (—1; 4), имеет в
точке х = 0 максимум, ибо вблизи от этой точки
[а именно в промежутке (-1; 3)] всем значениям х соот-
ветствуют значения f (х), меньшие, чем / (0), т. е. чем у
(в указанном промежутке график расположен ниже точ-
ки А). Тем ие менее максимум / (0) не является наиболь-
шим значением функции в промежутке (-1; 4), нбо при
х ?- 3 имеем;
/ (х) з
(справа от С график расположен выше точки А). Однако ра-
зыскание наибольшего значения функции в данном проме-
жутке тесно связано с разысканисмее максимумов (см, § 280).
Аналогичное замечание для минимума.
§ 276. Необходимое условие максимума
и минимума
Теорема. Если функция / (х) имеет экстремум (т. е.
максимум илн минимум) в точке х - и, то в этой точке
производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не
существует.
Геометрически: если график имеет в точке А
максимальную ординату, то в этой точке касательная либо
Черт. 269.
Черт. 270.
Черт. 268.
горизонтальна (черт. 267), либо вертикальна (черт. 268),
либо нс существует (черт. 269). То же для минимальной
ординаты (точка В на черт. 267, точка А на черт. 270,
точки В и С иа черт. 269).
§ 277. ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ МАКСИМУМА 361
Замечание. Условие экстремума, высказанное в
теореме, необходимо, по не достаточно, т. е. производная
в точке х = а может обращаться в нуль (черт. 271), в
Черт. 273.
бесконечность (черт. 272) илн не существовать (черт. 273)
без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
§ 277. Первое достаточное условие
максимума и минимума
Теорема. Если в достаточной близости от точки
х — а производная /' (х) положительна слева от а н отри-
цательна справа от а (черт. 274), то в самой точке х = а
функция / (х) имеет максимум прн условии, что функция
/ (х) здесь непрерывнах).
Черт. 274.
Если, наоборот, слева от а производная /' (х) отрица-
тельна, а справа положительна (черт. 275), то / (х) имеет
в точке а минимум при условии, что она здесь непре-
рывна * 2).
Теорема выражает тот факт, что / (х) прн переходе от
возрастания к убыванию имеет максимум, а прн переходе
от убывания к возрастанию —минимум.
*> Однако f (х) может и не быть дифференцируемой прн х = а
(см. черт. 268).
2) Однако f (х) может и не быть дифференцируемой при х *» в
(см, черт. 270).
362
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Согласно теореме признаком экстре-
мума функции / (х) является перемена знака производной
/' (х) при прохождении аргумента через рассматриваемое
значение х = а.
Если же при прохождении через х = а производная
сохраняет знак, то /(х) возрастает в точке х = а, когда
производная положительна как справа, так и слева от х = а
(черт, 271, 272, 273), и убывает, когда производная отри-
цательна (черт. 276). [Снова предпо-
г лагастся, что /(х) непрерывна при
Lx = о.]
§ 278. Правило разыскания
максимумов и минимумов
о а * х Пусть функция /(х) днфференци-
' руема в промежутке (п, Ь). Чтобы
Черт. 276. найти все ее максимумы и миниму-
мы в этом промежутке, надо;
1) Решить уравнение /' (х) = О (корпи этого уравнения
называются критическими значениями аргумента; среди
них надо будет искать значения х, дающие экстремум
функции / (х); см. § 276).
2) Для каждого критического значения х ~ а иссле-
довать, меняет ли знак производная /' (х) при переходе
аргумента через это значение. Если /' (х) переходит от
положительных значений к отрицательным (при пере-
ходе от а- < а к х > а), то имеем максимум (§ 277), если от
отрицательных значений к положительным, то минимум.
Если же /' (х) сохраняет знак, то нет ни максимума
ни минимума: при /' (х) > 0 функция / (х) в точке а воз-
растает, при /' (х) 0 убывает (§ 277, замечание).
Знак производной Вид графика близ точки а
при а при х а
+ — Д максимум
+ М/ МИНИМУМ
+ + возрастание
- — убывание
§278. ПРАВИЛО РАЗЫСКАНИЯ МАКСИМУМОВ 363
Замечание 1. Если функция /(х) непрерывна п
промежутке (a, t), но в отдельных его точках не диффе-
ренцируема, то эти точки надо причислить к критическим
и произвести аналогичное исследование.
Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерыв-
ной функции следуют друг за другом, чередуясь.
Пример 1. Найтн все максимумы и минимумы функ-
ции / (х) — х - х3.
Решение. Данная функция всюду дифференцируема
(т. с. всюду имеет конечную производную) /' (х) = 1-х.
1) Решаем уравнение 1-х — 0. Оно имеет единствен-
ный корень х = 1.
2) Производная /' (х) = 1 -х меняет знак при переходе
аргумента через значение х = 1. Именно, при х 1 про-
изводная положительна, при х > 1 — отрицательна. Значит,
критическое значение х = 1 даст максимум. Других экст-
ремумов у функции нет (см. черт. 265 на стр. 358).
Пример 2. Найтн все максимумы н минимумы функции
/(х) = (х-1)3 (х4-1)3. (1)
Р е ш е и и е. Данная функция всюду дифференцируема.
Имеем:
Г (х) = 2 (х-1) (х+ 1)з+3 (х- I)2 (х+ I)3 =
= (х-1) (Х+1)3 (5х-1).
1) Решаем уравнение /' (х) = 0. Его корни (располо-
женные в порядке возрастания) будут:
х2 = 4> Хз=1. (2)
2) Представив производную в виде
Г(х) = 5(х+1)«(х-1)(х-1), (3)
исследуем каждое из критических значений,
а) При х — 1 все трн двучлена формулы (3) отрица-
тельны, так что слева от х ~ — 1 имеем:
г (х) = 5 (-)= (-) (-) = +. (4)
Пусть аргумент перешел через значение хд = -1, но ие
дошел до следующего критического значения х2 =
Тогда двучлен х-!-1 стал положителен, а два других дву.
члена формулы (3) остаются отрицательными, и мы имеем-
/'(х) = 5( + )3 (-)(-)= +. (5)*
364
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Сравнив (4) и (5), видим, что при переходе через кри-
тическое значение xt = — 1 производная не ме-
няет знака, оставаяеь положительной. Значит, в точке
х~ — I экстремума нет; здесь функция / (х) возрастает
(черт. 277).
б) Исследуем ближайшее большее критическое значе-
ние ль = у. В достаточной близости слона (т. с. между
= -1 и х, = производная
в силу (5) положительна. В до-
статочной близости справа (между
кд -- у и х» -- (-1) второй сомно-
житель положителен, п мы имеем:
/'(*) = 5( + )'^ (-1 ) (-) = (6)
Сравнив (5) и (6), видим, что знак производной прн
переходе через х2 = ~ меняется с плюса па минус [функ-
ция /(х) or возрастания переходит к Убыванию]. Значит,
в точке х функция имеет максимальное значение;
оно равно
/(4) = (4-*)Ч4+‘)3-
в) Исследуем последнее критическое значение х3 = 1.
В достаточной близости слева производная в силу (6) от-
рицательна. Справа ог х = 1 имеем:
/'(х) = |( + )2 (4 ) ( + ) = 4 .
(7)
При переходе через х =- 1 производная меняет знак с ми-
нуса на плюс [функция / (х) переходит от убывания к
возрастанию]. Значит, при х = 1 функция имеет минималь-
ное значение; оно равно
/(I) = (1 - I)2 (1 + 1)3 = 0.
Пример 3. Найти все экстремумы функции
/(X) = (x-l)fe
§ 279, второе достаточное условие экстремума 3G5
Решение. Данная функция дифференцируема прн
всех положительных и отрицательных значениях х, и мы
имеем:
_ 2
/О) tA::7.
З/х /х
В точке же х - 0 функция / (х) не дифференцируема
(се производная бесконечна). Поэтому (см. замечание 1)
2
имеем два критических значения: хх = 0 и хг = —.
Прн х -< 0 имеем;
f' (*) = 4 = +
г-
При О с х с имеем;
гт 2
При х---_ имеем:
/-«- -з- *Д-= +•
V+
3______________________
Значит, в точке х —О функция /(х) = (х—1)/х2
имеет максимальное значение
/ (0) - О,
2
а в точке х - . - .минимальное значение
э
Сб) “ “‘5 /25 И ~°’33,
§ 279. Второе достаточное условие
максимума и минимума
Когда знак производной вблизи критических точек (§ 278)
распознается с трудом, можно пользоваться следующим
достаточным условием экстремума.
Теорема 1, Пусть в точке х ~ а первая производ-
ная /'(х) обращается в нуль; если при этом вторая про-
изводная /"(а) отрицательна, то функция / (х) имеет в
точке х = а максимум, если положительна, то — минимум.
О случае /" («) = 0 см. теорему 2.
366 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Второе условие следующим образом связано с первым. Будем
рассматривать J” (х) как производную от /' (х). Соотношение
/" (а) -с О означает (§ 274), что /' (х) убывает в точке х ~ а.
А так как /' (о) = О, то f (х) положительна при х -х. а и отрица-
тельна при х а. Значит (§ 277), / (х) имеет максимум при х '= а.
Аналогично для случая f" («) > 0.
П ример 1. Найти максимумы и минимумы функции
/(х) ~ х4-х1 2+ 1.
Решение. Решив уравнение
f (х) = 2хэ — 2х = О,
получаем критические значения
Хд = -1, ха - 0, х3 — 1.
Подставив их в выражение второй производной
/" (х) - 6х2 —2 = 2 (Зх2— 1),
находим, что
Г(-1) > 0, /"(0) - °, /" (О'* 0.
Значит, при х = -1 и х = 1 имеем минимум, при
х = 0—максимум (черт. 278).
Может случиться, что вместе с первой производной обращается в
иуль и вторая; может обратиться в нуль и ряд последующих произ-
водных. Тогда можно воспользоваться следую-
у щим обобщением теоремы 1.
Ш Теорема 2. Если в точке х = а, где пер-
вая производная равна нулю, ближайшая не
равная нулю производная имеет четный порядок
то функция / (х) имеет при х = а максимум,
когда/(а) с(1,и минимум, когда /гЛ) (л) > О-
Если же ближайшая нс равная нулю произ-
водная имеет нечетный порядок 2/с +1, то функ-
ция f (х) в точке а не имеет экстремума; она
возрастает, когда > 0, и убывает,
-i -f J f Г/ когда /2fc+x) («) -с 0.
Замечание. Теоретически не нсключе-
Черт. 278. но, что у функции/ (х) (не являющейся постоян-
ной величиной) все производные в точке
х « а бу дут равняться пулю *). Однако практического значения этот
случай не имеет.
Пример 2. Найти максимумы и минимумы функции
f(x) ~ sin Зх—3 sin х.
1) Такова, например, функция, рассмотренная в последнем под-
строчном примечании к § 270 (стр. 346).
§ 279. ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА 367
Решение, Имеем:
J' (х) = 3 cos Зх -3 cos х.
Решая уравнение
3 cos 3 х -3 cos х — О,
найдем:
- 1[>
х =*2
где k —любое целое число.
Так как данная функция имеет период 2гг, то достаточно исследо-
вать четыре корпя:
л тс Зтг
*1=0, х» = у, *з в = ~2 •
Берем вторую производную
f" (х) = —9 sin Зх +3 sin х.
Подставляя критические значения xlf х2, х3, xt, находим:
f" (0) = О, Г -- 12,
/"(") =0, /"(у) - -12.
В точке х2 = — ближайшая не равная нулю производная имеет
второй (четный) порядок, причем /"^—) > 0. Значит, при х = -~
. Зте
имеем минимум. Аналогично заключаем, что при х — имеем ма-
ксимум £ибо f" •< oj
Экстремальные значения будут;
/^-^ = sin 3-3 sin= -1 -3 = -4 (минимум),
/ = sin ^-3 sin ~ = 1 - (-3) = 4 (максимум).
Чтобы исследовать критические значения х2 = 0 и х3 = тг, найдем
третью производную
Имеем:
(х) = —27 cos 3x4-3 cos х.
/"'(0) = -24, (л) = +24.
i
В точке х = 0 ближайшая не равная нулю производная имеет тре-
тий (нечетный) порядок, причем/'" (0) -= О. Значит, при х = 0 экстре-
мума нет. Здесь функция/(х) убывает. Аналогично заключаем, что
и при х = тс экстремума нет; но здесь функция f(x) возрастает [ибо
Г" (я) > 0].
368 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 280. Разыскание наибольших и наименьших значений
функции
1. Пусть по условию вопроса аргумент непрерывной функ-
ции f (х) изменяется в бесконечном промежутке, например
в промежутке (а, ; по). Тогда может случиться, что среди
значений функции / (х) нет наибольшего; см. черг. 279, а),
где /(х) неограниченно возрастает при х-> ч- •». Если же
функция / (х) обладает наибольшим значением, то последнее
непременно является одним из экстремумов функеии; см.
черт. 279, б), где наибольшее значение функции есп. / (с).
Пусть теперь но условию вопроса аргумент х изменяется
в замкнутом промежутке (а, Ь). Тогда / (х) непременно
принимает наибольшее значение (§ 221). Однако последнее
может не принадлежать к экстремумам, а достигаться на
одном из концов промежутка (в точке х — б1) на черт. 279, е)).
Аналогично для наименьшего значсния.
2. Пусть требуется разыскать наибольшее (или наимень-
шее) значение геометрической или физической величины,
подчиненной определенным условиям (см. ниже при,меры).
Тогда надо представить эту величину, как функцию ка-
кого-либо аргумента. Из условия задачи определяем про-
межуток изменения аргумента. Затем находим все крити-
ческие значения аргумента, лежащие в этом промежутке,
и вычисляем соответствующие значения функции, а также
значения функции на концах промежутка. Из найденных
значений выбираем наибольшее (наименьшее).
Замечание 1. Часто аргумент можно выбирать
по-разному; удачный выбор может упростить решение.
Учет особенностей задачи тоже может упростить решение.
*) Если исключить из рассмотрения конец х — Ь, то на остав-
шемся незамкнутом промежутке функция /(х) наибольшего
значения не будет иметь.
§ 280. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 369
Так, если внутри данного промежутка имеется лишь
Мерг. 280.
одно критическое значение ар!Умента и оно, на основании
того или иного признака (см. §§ 277, 279) должно давать
максимум (минимум), то и без сравнения с граничными
значениями функции мы вправе заключить, чао этот макси-
мум (минимум) является искомым
наиболы11им(наимсньшим)значенисм.
Пример 1. Отрезок АП = а де-
лится на две части точкой С; па от-
резках АС и СВ (черт. 280), как сторо-
нах, строится прямоугольник ACBD.
Определить наибольшее значение
его площади S.
Решение. Примем за аргумент х длину АС; тогда
СВ = а х и S = х(а-х).
Аргумент х непрерывной функции S изменяется в проме-
жутке (0, а).
Из уравнения
= а -2х =- О
<1х
находим (единственное) критическое значение х = . Оно
принадлежит данному промежутку (О, а). Вычисляем зна-
чение S ~ и граничные, значения / (0)^0, / (а)-0.
Сопоставляя эти три значения, заключаем, что искомым на-
а2
ибольшим значением является .
В этом сопоставлении не будет необходимости, если
заметить, что в единственной критической точке х = —
вторая производная функции S (х) отрицательна, т. е, (§ 279)
функция S (х) имеет здесь максимум.
Переменный прямоугольник ACBD всегда имеет один
и тот же периметр (2а). Значит, из всех прямоугольников
данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.
Заме чание2. Удобнее всего принять за api у мент расстояние z
точки С от середины О отрезка АВ (см. черт. 280). Тогда
АС = АО+ОС = y + Z, СВ - О В-ОС = ~-х
И
s_(4+z)(|-,) = (!)=_,..
24 М. Я. Выгодский
370 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теперь нет нужды искать экстремум, ибо ~-2!, очевидно, не пре-
восходит 1^-1 .
Пр имер2. При условиях примера 1 найти наименьшее значение
площади S.
Решение. Примем за аргумент х = АС. Сравниваем единствен-
ный экстремум функции S = х (а —х) с ее значением (S = О) на
концах промежутка х « 0 и х — а. Находим, что нуль есть наимень-
шее значение S[e замкнутом промежутке (0, а)1.
Однако при х = О и х => а мы не имеем прямоугольника в собст-
венном смысле (он превращается в отрезок АВ). Если рассматривать
только «настоящие» прямоугольники, то концы промежутка (0, о) надо
исключить из рассмотрения, и тогда S не имеет наименьшего значения
[в незамкнутом промежутке (0, а)].
Пример 3. Найти наименьшую и наибольшую вели-
чвныполупериметрарпрямоугольникасдаяпойплошадыоЗ
Решение. Обозначим стороны пря*моугольника че-
рез X, у. По УСЛОВИЮ
ху = S (1)
(х н у-положительные величины). Требуется найти на-
именьшее и наибольшее значения величины
Р = Х+У» (2)
Примем за аргумент х; тогда
Р = х+-|. (3)
Аргумент х изменяется в бесконечном промежутке (0, + »)
(в него нс входит конец х—0). В этом промежутке функ-
ция р (х) непрерывна п пмеет производную
Из уравнения
1-^=0 (5)
находим единственное (в данном промежутке) критическое
значение _
х =
Из (4) видно, что при 0 < х < /S производная
отрицательна, а прн х > /S - положительна. Значит (§ 277),
имеем минимум. Будучи единственным, он является (см,
§280. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ ЗН АЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 371
замечание 1) наименьшим значением полупсримстра г):
Рнпим = = 2 I'S. (6)
F *5
т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наи-
меньший полупериметр имеет квадрат (x=Vs, y=VS).
Наибольшего значения величина р не имеет [данный
промежуток (О, -j- оо )-незамкнутый].
Пример 4. Найти наименьшее количество жести, из
которого можно изготовить цилиндрическую консервную
банку вместимостью У=2л (запас на швы не учитывать).
Решение; Пусть поверхность банки S, радиус осно-
вания г, высота ft. Требуется найти наименьшее значение
величины
S = 2кгЛ + 2№ (7)
при УСЛОВИИ, что
7ГГ71 - V. (8)
За аргумент удобно принять г. Из (7) и (8) находим:
S = (9)
где аргумент изменяется в промежутке (0, °°). По смыслу
задачи ясно, что величина S достигает наименьшего зна-
чения где-то внутри этого промежутка. Поэтому доста-
точно рассмотреть значения функции в критических точках.
Решаем уравнение
"_2(-£+2кг)-0. (10)
Единственный его корень
соответствует наименьшему значению S. Из (8) и (11) нахо-
3______________________
дим: й = l/-4-v- — 2г, т. е. высота банки должна
пг3 г я ’
1) Задачу можно решить и без разыскания экстремума. Равенства
(2) и (1) дают: р* 2 =(х+у)2 =(х-у)в+4ху =(х-у)! 4-43. Так как
48 — постоянная величина, а наименьшее значение (х — у)2 есть нуль
(при х=у), то наименьшее значение р3 есть 4S; значит, наимень-
шее значение р есть 2 /8.
Этот способ проще (в том смысле, что не требует высшей матема-
тики) и короче. Но он основывается на догадке, и в этом смысле труд-
нее наложенного общего способа.
24*
372
дифференциальное исчисление
равняться диаметру основания. Наименьшее количество
жеши, потребное для из! отовлепия банки, равно
Зиаим = 2я(г/1 + Н) - б7гга = 3 / 2-V2 ~ 879 см2.
Пример 5 (парадокс Декарт а). В 1638 г Декарт по-
лучил (через М. Мерсенна) пис ьмо Ферма, где последний сообщил без
доказательства открытое им правило разыскания экстремума. В пере-
воде па современный язык правило Ферма
сводится к разысканию значениях, обращаю-
щет о в пуль производную/' (х) исследи емой
функции / (х)
В ответном письме Декарт привел ниже-
следующий пример, доказывающий, как он
полагал, ложность правила Ферма.
Пусть дана окружность
Х2+у2=Г2 (12)
(черт 281) и точка А ( — а, 0), отличная от
цешра (т. е. а 0). Требуется найти на ок-
ружности (12) точку, ближайшую к А.
Квадрат расстояния произвольной точки
Л1(х, у) от точки А выражается так:
АМ! =(x+a)1+yi. (I3)
Если же И лежит на окружности (I2), то
J.2 = г!-Х8,
так что
АМг -= (х + «)’ +г= -ха.
Чтобы найти значениех,дающее минимум ве-
личине AM1, Декарт следует правилу Ферма и получает нелепое ра-
венство 2а =0.
Между тем теометрически ясно, что искомая точка существует и
совпадает с точкой Р( —г; 0) Из этого Декарт заключает, что признак
минимума неверен. На самом деле точка Р (х = —г) ие обнаруживается
по другой причине- соответствующее ей наименьшее значение АЛ52
не является минимумом Действительно, х изменяется только в про-
межутке ( —г, + г). Рассматриваемая функция принимает наименьшее
значение на конце промежутка
Примерь Группа соревнующихся пловцов направляется с лод-
ки А (мер 1.282) в расположенный на берегу пункт В. Условия сорев-
нования разрешают часть пути сделать по суше Лодка стоит против
пристани О на расстоянии О А —а =360 л, пункт назначения В о । стоит
от пристани па расстоянии ОВ —Ь = 420 и Какой паилучший резуль-
тат может показать участник соревнования, если он будет покрывать
90 м it минуту вплавь и 150 м в минуту бегом?
Решение. Пусть пзовец выходит на берег в точке М, находя-
щейся па расстоянии ОЛ1=х от пристани. Достаточно рассмотреть
изменение х в промежутке (0, b) i).
’) Подплывать к берегу за пределами участка ОБ пловцу нет
смысла: до точки Б' плыть дольше, чем до Б, к тому же придется
пробежать путь Б'в.
§280.РАЗЫСКАНИИ наибольшихзначенийфунцции373
Время i (в минутах), затрачиваемое на путь АЛ4Б, равно
/а3 + хг 1 b —х
90 + 150’ *
(14)
Здесь « = 360, Ь =420. Требуется найти наименьшее значение функции I
в промежутке (0, 6).
Имеем:
dt х 1
— = - — _ ---------- . (15)
fix 90|/«®+№ 150
Решив уравнение
¥ 1
------------------------------— -О, (16)
ОО^дЗ+хЗ 150
3
найдем единственное критическое значение х = —«=270 м Эюзна-
чение лежит в рассматриваемом промежутке (О, Ь). Так как вторая
производная
d2t _ 1 d / х \ _ «г
dx* 90 90/(а*+х*р
3
в точке х — ~ а (как и во всех других точках) положительна, то (§ 279,
теорема 1) в этой точке имеем минимум. Будучи едины пенным, этот
минииу мдает(см.замечание 1) искомое наименьшее значение функ-
ции /:
|/^+^a)2 6_2. а
(наим = ~9Q- ' + [go - 6 («ин.).
Путь пловца показан на черт. 282 пунктирной линией
Пример ба. Решить ,у JKe задачу, что и н примере 6, изменив
В условии значение !/ —4'20 м на Ь =225 м (черт. 283).
Р ешение. Достаточно рассмотреть изменение х в проме-
жутке (0, 225). Так как корень х =270 уравнения (16) падает за пре-
делы этого промежу тка, ту функция t lenepb не имеет минимума внут-
ри промежутка, Наименьшее значение она принимает на конце х =6 =
=225. Здесь
t = — = 4 мин. 43 сек.
Пловец должен плыть прямо к финишу.
3 а м е ч а п и е 3 При решении послед-
ней задачи мы, руководствуясь здравым
смыслом, рассмотрели изменение аргумента
х функции
3C0
2М
i/l
а
w га; хю w да
О
Черт 283
* 90 + 150
(где а =360, &=225) лишь в промежутке
(О, 225).
Но мы могли бы и расширить область изменения аргумента и рас-
смотреть, скажем, промежуток (0, 325). Тогда, рассуждая, как в при-
мере 6, мы нашли бы, что функция (14) имеет минимум в точке х =270
(ибо эта Точка лежит в рассматриваемом промежутке, является единст-
венным критическим значением функции (14) и дает минимум для
этой функции).
374
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Г
<х*к
Отсюда, казалось бы, можно заключить, что пловцу надо плыть к
пункту JD, более далекому, чем финиш В, что явно нелепо.
Ошибка в том, что функция (14) выра-
жает зависимость f от х ли шь на участке
О В, на участке же ВС зависимость выра-
жается формулой ____
t = (14Э
90 150 U >
(см. схематический график на черт. 284).
При х~Ь обе формулы (14), (14') дают
одно и то же значение, так что функция t (х)
непрерывна при х=Й, во производная —
при х = Ь не существует. Поэтому точка х=Й
является теперь критической для функции /(х)(ср, § 278, замечание 1).
Других критических точек в промежутке (0, 325) нет,
§ 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба
Плоская линия L называется выпуклой в точке М
(черт. 285), если в достаточном близости от М линия L
лежит по одну сторону от касательной МТ (сторона вогну-
тости линии L). Противоположная сторона
стороной выпуклости.
5
....
КО ДО ДО W Ш*
О
Черт. 284.
называется
Если же линия L
вблизи точки М лежит
роны от касательной МТ (черт. 286), то М
точкой перегиба линии L.
но обе С1О-
называется
Черт. 288.
Черт. 289.
Черт. 290.
Черт. 287.
При переходе через точку перегиба сторона выпуклости
становится стороной вогнутости и наоборот.
§ 282. СТОРОНА ВОГНУТОСТИ
375
Пусть линия L представляется уравнением
Если производная /'(х) возрастает в точке х=а, то ли-
ния L обращена здесь вогнутостью вверх (черт. 287), если
убывает, то вниз (черт. 288). Если же производная /' (х)
имеет экстремум в точке х=а (черт. 289, 290), то ли-
ния L имеет здесь точку перегиба.
§ 282. Сторона иогиутости 1
1. Если вторая производная /" (х) в точке х=а поло-
жительна, то линия У = 1(х) обращена здесь вогнутостью
кверху, если отрицательна, то кинзу (схематический чер-
теж 291).
Пояснение. Если f" (а) ^0, то /' (х) возрастает в точке х
(§ 274); значит (§ 281), вогнутость обращена кверху. Аналогичное рас-
суждение для случая/"'(a)-sO.
Черт. 291.
Черт. 292.
2. Пусть вторая производная /" (х) в точке х=а
равна нулю, бесконечна или вовсе не существует.
Тогда, если при переходе через х=а вторая произ-
водная х) меняет знак, то линия у = /(х) имеет здесь
точку перегиба (черт, 292). Если же f" (х) сохраняет знак,
то линия у = /(х) обращена во-
1 нутостыо в соответствующую сто-
рону (см. п. 1) (ср. §§ 277 и 281),
Пример 1. Линия
у = Зх*-4х3
(черт, 293) в точке
обращена вогнутостью кверху, а
в точке В книзу, ибо
вторая производная
У" = 36хг —24х = 12х(Зх-2)
положительна прн х = —~ [оба множителя 12хи (Зх—2)
отрицательны] н отрицательна при х = --.
1) Предполагается, что она существует вблизи точки а,
376
дифференциальное исчисление
В точке О (0; 0), где у" - 0, имеем перегиб, ибо при
переходе через х. О вторая производная меняет знак
с плюса (при х 0) на минус (при х 0). Слева от О
линия обращена вогнутостью вверх, справа - вниз.
Пример 2. Линия ух4 (черт. 294) в точке О (0; 0),
где у" = (), обращена вогнутостью кверху, ибо при про-
хождении через х = 0 функция у"= 12х2 сохраняет знак
’ 1
Пример 3. Линия у- -х3 (черт. 295) в точке
О (0; 0), где вторая производная бесконечна, имеет пере-
гиб, ибо при переходе через х = 0 вторая производная
__
у" = -kg-х 3 меняет знак с минуса на плюс. Слева от О
линия обращена вогнутостью вниз, справа - вверх.
§ 283. Правило для разыскания точек перегиба
Чтобы найти вес точки перщиба линии у = /(х), надо
испытать все те значения х, для которых вторая произ-
водная /" (х) равна нулю, бесконечна или не существует
(только в таких точках перегиб возможен; § 282).
Если при переходе через одно из этих значений вто-
рая производная меняет знак, то линия имеет в этой
точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет
(§ 282, п. 2).
Пример!. Найти точки перегиба линии у = Зх4 - 4х3,
Решение. Имеем:
у" = ЗСх2 —24х = 12х(3х-2).
§ 284. АСИМПТОТЫ
377
Черт. 296.
Вторая производная существует всюду и всюду конечна;
г 2
она обращается в пуль в двух точках х = и х = 0. Рас-
2
смотрим точку х = 3- • Если х несколь-
ко меньше, чем (а именно, если
О х -- -|-) , то
Г = 12(+)(-)-
если х несколько болг.пс, чем -g-
(в даннохМ случае за х можно 1 с; ть лю-
X? г- 2 X
бое число, большее у 1, то
у" 12(+)(+)= +.
2
При переходе через х -- вторая производная меняет
знак; значит, в соответствующей точке графика (точка С
па черт. 293) имеем перегиб. При д-О-т.’кжс перегиб
(§ 282, пример 1).
И р и м е р 2. Найти точки neper ;;Гд линки
у -= х+2х*.
Решение. Имеем: у— 24№.
Вторая производная всюду конечна н обращается в
нуль лишь при х = О- При переходе через х-() вторая
производная сохраняет, как и всюду, знак плюс. Значит,
ни здесь, пи в других точках перегиба нет. Лини г обращена
вогнутостью вверх (черт. 296).
§ 284. Асимптоты
Пусть точка М, исходя из положения Af0, движется
вдоль линии L в одном направлении. Если при этом рас-
стояние МЬМ (считаемое по прямой) неограниченно воз-
растает, то г оворят, что точка М удаляется в бесконеч-
ность.
Определение.! 1рямая АВ называется асимптотой
линии L, если расстояние МК (черт. 297) от точки М ли-
нии L до прямой АВ стремится к нулю при удалении точки
М в бесконечность.
378 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 1. Расстояние от М до АВ можно изме-
рять не только по перпендикуляру, но и но любому по-
стоянному направлению МК', ибо если Л1К->0, то также
МК' -> 0 и наоборот.
Черт. 297.
Замечание 2. Содержащееся в § 46 определение
асимптот гиперболы (U'U и V'V на черт. 298) подходит
под данное здесь общее определение.
Замечание 3. Не всякая линия, вдоль которой точка
может удаляться в бесконечность, обладает асимптотой.
Так, у параболы и у архимедовой спирали асимптот пет.
§ 285. Разыскание асимптот,
параллельных координатным осям
1. Асимптоты, параллельные оси абсцисс. Для разы-
скания горизонтальных асимптот линии y=f (х) ищем
пределы / (х) при х-> + «> и при х — о=.
Если Игл / (х) -6, то прямая у — b — асимптота (при
бесконечном удалении вправо; черт. 299).
Если lim /(х) = б'д то прямая у - 6'-асимптота
(при бесконечном удалении влево; черт. 300).
§ 285. АСИМПТОТЫ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСЯМ 379
Если f(x) не имеет конечного предела ни при х-> + ^,
ни при х-*-^, то у линин у-/(х) нет асимптот,
параллельных оси ОХ.
Пример 1. Найти тс асимптоты линии у = Ц-е",
которые параллельны оси ОХ,
Решение. Прн X —> 4- со функция 14-е® ие имеет
конечного предела [lim (1 | е’) = + «>], а при х->-=»
Черт. 302.
стремится к единице. Поэтому прямая у = 1 есть асимп-
тота при удалении влево (черт. 301).
Пример 2. Найти горизонтальные
y = arctgx.
Решение. Имеем:
lim aretgx-.y, lim arctgx = .
Прямые y-y, у = ~ асимптоты
(черт. 302).
2. Асимптоты, параллельные оси
ординат. Для разыскания вертикальных
асимптот линии y=f (х) надо найти
те значения хп х2| х3, ... аргумента х, где / (х) имеет
бесконечный предел (односторонний нли двусторонний).
Прямые х=хь х — х.,, х=х3, ... будут асимптотами.
Если f (х) пн при одном значении х не имеет бесконеч-
ного предела, то вертикальных асимптот иет.
Пример 3. Рассмотрим линию у = 1пх (черт. 303).
Функция In х имеет правосторонний бесконечный предел
при х->0 (Inn In х — — со ). Прямая х = 0 (ось ординат)
я—> + о
служит асимптотой при бесконечном удалении вниз.
380 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4. Найти вертикальные асимптоты линии
2х
У = зс*"—4 *
2х
Решение. Функция -2 имеет
бесконечный предел при х->2 и
х-> -2.
Значит, прямые
х = 2 и х = -2
(АВ и А'В' на черт, 304)-асимп-
тоты. Прямая АВ служит асимптотой
для двух ветвей, UV и KL. Вдоль
первой бесконечное удаление направ-
лено вверх, вдоль второй-вниз (ибо
и lim = -- оо). Аналогич-
но для прямой А'В',
Заметим, что прямая х = 0 служит горизонтальной
асимптотой (для ветвей U V и U' V') (ср. п. 1).
§ 286. Разыскание асимптот, ие параллельных
оси ординат ’)
Для разыскания асимптот линии у=/ (х), ие параллель-
ных оси OY, надо сначала искать lim—^ при х-> + <>= и
при’х->-оо. Если в обоих случаях нет конечного пре-
дела, то нет и искомых асимптот.
Если же lim — с, то надо затем искать
аг___________>4-00
lim [/(х)-сх]. Если этот предел равеп d, то прямая
х—>4"
у — cx+d есть асимптота при бесконечном удалении впра-
во. Аналогично, если lim ^=си lim [/(x)-rx] = d',
£—>-«> Х Ж—«
то прямая у = rx+d' есть асимптота при удалении влево.
Если величина / (х) — сх [или / (х) - с'х] ие имеет
конечного предела при х->-|со [при х->то соот-
ветствующей асимптоты нет.
’) Нижеизложенный способ обнаруживает, в частности, горизон-
тальные асимптоты, если они есть. Но если нас интересуют только гори-
зонтальные асимптоты, то проще применить способ § 285, п. 1. Верти-
кальных асимптот нижеизложенный способ не обнаруживает.
§ Ж. АСИМПТОТЫ, НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСИ ОРДИНАТ 381
Выражение / (х) — (cx+d) дает вертикальное отклонение LM
(черт. 305) данной линии от ее асимптоты АВ, уравнение которой
y~cx+d.
Если это выражение при х-> +™ с некоторого момента сохраняет
знак плюс, то точка М приближается к асимптоте АВ сверху
(черт. 305, а), если минус—снизу (черт, 305, (7). Если знак не сохра-
няемся, го точка Л1 колебле-кя около асимптоты (черт. 305, в).
Аналогично для асимптоты у =с'х -f-d'.
Пример 1. Найти асимптот гиперболы
0)
Решение. Уравнению (1)
соответствуют две однозначные
функции
У = 4 Ух^Л) (2)
и
(3)
Рассмотрим первую (ей отвечают бесконечные ветви AN
п А'К' черт. 306). Имеем:
х2 _ 5* ,
9 4 ~
Далее,
lim ~
х—> ОО ТС
lim (у-сх) =
> |- «з
lim (4 Vx2-9-4*) = 0 ( = <?)•
Х-> + со 4 d 15 Z
9
Стало быть, прямая у = уХ есть асимптота ветви AN.
2 . 2
Выражение у— (cx+d) = 3-— 9 —— х сохраняет при
х->4.™ знак минус. Поэтому ветвь AN приближается к асимптоте
снизу.
382 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее находим:
Пт £= (=<='),
lim (у-сх) — Пт С2., /№-9+4*) — 0 (= d'Y
я—> —CW>° ° /
n
Стало быть, прямая у» - у х~асимптота ветви А'К/.
Выражение -7,/х2 ~9х сохраняет при х->~» знак минус.
0 О
Поэтому и ветвь Д'К' приближается к асимптоте снизу.
Исследуя таким же образом
функцию у = “-| }'№-9 (ей
отвечают ветви А К и A'N')t най-
дем, что прямая У -у х есть
асимптота ветви АК, а прямая
у --1х~асимптота ветви A'N'.
Каждая из ветвей ЛК, A'N' прибли-
жается к своей асимптоте сверху.
Пример 2. Найти все асимптоты линии
у =« х
ех-е~*
Функция / (х) - х^~—„ ни при каком значении х
не имеет бесконечного предела. Значит, асимптот, парал-
лельных OY, нет. Чтобы найти асимптоты, не параллель-
ные ОУ, ищем сначала
Пт ifeU lim £== lim
ф_>4.е« 5е #_>4ooe +v
и затем
lim [/(х)-и]= lim ^^-=- lim = О
(=d).
Следовательно, прямая у — х есть асимптота правой бес-
конечной ветви. Вычисляя те же пределы при х-> — =»,
найдем с' « -1, el' « 0, т. е. левая бесконечная ветвь
имеет асимптоту у « —х (черт, 307),
§ 287. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 383
§ 287. Приемы построения графиков
График функции, заданной формулой у = / (х), строится
по точкам, которые затем соединяются плавной линией.
Но если брать точки, как попало, то можно допустить
грубую ошибку1).
Чтобы вычертить график с большой точностью при
небольшом числе точек, полезно предварительно выяснить
его характерные особенности. Для этого надо:
1. Установить, в какой области функция f(x) опреде-
лена и пет ли у нее разрывов. Для каждого бесконечного
разрыва учесть знак / (х) справа и слева; получим верти-
кальные асимптоты графика (§ 285).
2. Найти первую и вторую производные /' (х), /" (х),
а также определить, нет ли точек, где /' (х) нли )" (х) ие
существует.
3. Найти все экстремумы функции / (х) (§§ 278 и 279);
получим наивысшие точки горбов и наииизшие точки
впаднн.
4. Найти все точки перегиба (§ 283) и наклон каса-
тельной в этих точках.
5. Если рассматриваемая область изменения аргумента
бесконечна, то установить, нет ли горизонтальных и на-
клонных асимптот (§ 286).
Найденные результаты по мере их получения полезно
заносить в таблицу (см. примеры). Перенеся их иа коор-
динатную сотку, получим общую картину графика. Доба-
вив немногие промежуточные точки, начертим график
с достаточной точностью.
Пример 1. Построить график функции2)
1. Функция определена и непрерывна всюду, верти-
кальных асимптот нет.
2. Находим:
Г(х) = 1(х+2)(х-1)«(&+4),
1"(х) = (х-1)(10х!+16*+1).
Обе производные всюду существуют и конечны,
!) Так, если 1рафик функции у = Ч. (х+2)3 (х —I)3 (см. ниже
черт. 308) строить по точкам F, В, L, К (соответствующим значениям
аргумента —2,5; —0,8; 0; 1,5), то на участке FB график пойдет совер-
шенно неверно.
s) Рекомендуется, читая примеры, попутно составлять таблицу,
384 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Для разысканья экстремумов решаем уравнение
/'(х) = 0. Находим кршпческие значения
= — 2, х2 = “0,8, х3 = 1,
Заносим в таблицу эти значения, а также соответст-
вующие значения функции
/(*i) = 0, Цх2)к -4,20, / (х3) = 0.
В графе у' ставим нули.
Для исследования иа экстремум здесь удобно приме-
нить вторую производную, поэтому откладываем исследо-
вание до и. 4,
4. Для разыскания точек перегиба решае,м уравнение
/" (х) = 0. Получим найденное прежде значение ха = 1 и,
кроме того,
х4= -1,5, х3 -0,07.
Заносим в таблицу эти значения, а также соответствующие
значения функции и ее первой производной:
/(х4)= -2,0, /(х5) = — 2,3;
= -5,5, /'(х3)-4,0.
В графе у" ставим пули.
Определяем знак /" (х) до и после перехода через
каждое из значений
х = х2, х = Xi, х = xs
и вносим пометки в соответствующие клетки таблицы.
Так, в третьей строке графы у" пометки —0 + означают,
чю /" (х) меняет знак с минуса на плюс при переходе
чер( з х = х3 слева направо. Так как в каждой пз точек
х3’ I, х5 вторая производная меняет знак, то во всех
трех точках имеем перегиб.
Теперь оиределяе.м знаки /" (х) в критических точках
Xj_ -2 и ж = —0,8:
/"(-2)^0, 7"(-0,8)>0.
В первой стр.г;с графы у" ставим минус, во второй —плюс.
При х = хх плюем максимум, при X “ х2 —минимум.
5. Горизонтальных и наклонных асимптот пет, ибо
П’.л — —
X
$ 587. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 385
Наносим (черт. 308) найденные точки (А, В, С, D, В)
на сетку л намечаем направления касательных. Добавив
еще три точки —• -2,5, х7 = 0, х8 = 1,5 (F, L, К),
получаем довольно точный график функции.
Номер точки X У У' У" Экстремум, перегиб Обозначе- ния точек
I . -О 0 0 максимум А
2 -0,8 -4,2 0 ч- МИНИМУМ В
3 1 0 0 -0 + перегиб С
4 — 1 ,г> -2,0 -5,5 ^0 4- перегиб D
fx -0,07 -2,3 4,0 +0- перегиб а
в -2,5 -5,4 26 г
7 0 -2 4 L
8 1,5 0,8 5 К
П р и м е р 2. Построить график функции у — ~ *
1. Функция определена н непрерывна всюду, крохметочки
х == — 1, где она имеет бесконечный разрыв. Как справа,
так и слева от точки разрыва функция имеет знак минус
(в графу у заносим — оо). Получаем асимптоту х ~ -1.
Обе бесконечные ветви направлены вниз (черт. 300).
2. Находим:
1 (х " 1 у (х + S) f । л X 1 в
у 2 (x+lja ’ у ~ (х+1)»
Обе производные, существуют всюду, кроме точки разрыва;
25 М. Я, Выгодский
38& ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Уравнение /' (х) = 0 имеет два корня:
Xl - -5, х2 — 1,
Соответствующие значения у;
У1 — -6,75, у2 = О.
По знаку /' (х) вблизи критических точек .(см. ниже таб-
лицу) видим, что в точке х = — 5 - максимум, а в точке
х — 1 нет экстремума.
4. Уравнение у" (х) = 0 имеет единственный корень
х2 = 1; по знаку второй производной (см. таблицу) можно
видеть, что здесь - перегиб.
5. Ищем наклонные асимптоты; как при х -> + так
и при х -> — оо имеем:
Значит, прямая у = служит асимптотой для
двух бесконечных ветвей.
Правая ветвь лежит выше, левая—ниже асимптоты, ибо-выраже-
ние _v— (тт*—4г) при + сохраняет знак плюс, а при
минус. Впрочем, ато обнаружится и из чертежа, когда будут отме-
чены точки С, £>, Е, F, К, L.
Номер ТОЧКИ X У У У' Экстремум, перегиб, разрывы Обозначе- ния точек
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -5 1 -9 -3 -0,5 0 3 9 — OQ -6,75 0 -7,81 -8,00 -6,75 -0,50 0,25 2,56 + 0 — + 0 + -о+ разрыв максимум перегиб А В с р л F К Ь
> §.288, Решение уравнений. Общие замечания
Алгебраические уравнения первой и второй степени
решаются по формулам, известным из алгебры. Для ура-
внений третьей и четвертой степени формулы сложны,
а общее уравнение пятой или более высокой степени ие-
$ 288. решение уравнений, общие замечания 38?
разрешимо в радикалах. Однако как алгебраическое, так
и неалгебраическае уравнение можно решить с требуемой
точностью, если предварительно найти грубые приближе-
ния. Последние затем постепенно уточняются.
Грубое решение можно найти графически по одному
из следующих способов.
Первый способ. Для решения уравнения / (х) = О
строим график у = /(х) (см. § 287) и прочитываем абсциссы
тех точек, где график пересекает ось ОХ.
Пример 1. Решить уравнение х3 —9ха + 24х—18 — 0.
Строим (черт. 310) график у -- х3-9х3 + 24х-18;
прочитываем абсциссы Xj = 1,3, х3 = 3, х3 = 4,7. Подста-
новка покажет, что второй
корень—точный, первый .И
третий - приближенные.
Черт. 311.
Второй способ. Уравнение / (х) — 0 можно пред-
ставить в виде (х) = /3 (х), причем одна из функций А (х),
/2 (х) произвольна. Произвол используется так, чтобы гра-
фики у — Д (х) и у — fs (х) строились возможно легче.
Находим точки пересечения графиков. Прочитав их абс-
циссы, получаем приближенно корни уравнения / (х) = 0.
Пример 2. Решить уравнение Зх-cos х — 1 = 0.
Представим данное уравнение в виде
Зх-1 = cos х.
Строим (черт. 311) графики функций у — Зх -1 и у cos х.
Они пересекаются в одной точке. Прочитав ее абсциссу,
получаем, приближенный корень хх — 0,6.
В 289 —291 изложены три способа уточнения корней. Они тре-
буют, чтобы искомый корень х был отделен, т. е. чтобы был известен
некоторый промежуток (а, Ь) (промежуток изоляции), где содержится
х и где нет других корней данного уравнения. Концы а, b сами явля-
ются приближенными значениями корня (недостаточным и избыточ-
ным). Их можно найти графически по одному из вышеуказанных
способов, Чем короче промежуток (а, Ь), тем лучше,
25*
388 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 3. Отделить иорпи уравнения х3—9№ +24х — 18 =0*
По графику (черт. 310), если он сделан грубо, прочитываем для
наименьшего корня промежуток изоляции (1; 1,5); при более точном
построении получим более короткий промежуток, например (1,2; 1,4).
Для наибольшего корня получим промежуток (4,6; 4,8). Корень х =3
ле нуждается в отделении; он —точный.
3 а м е ч а и и е. Для алгебраических уравнений существуют спе-
циальные методы решения. Из них заслуживает особого упоминания
метод Н. И. Лобачевского; он позволяет с помощью алгебраических
действий над коэффициентами уравнения найти с любой степенью
точности все корни, в том числе и мнимые.
Метод Лобачевского не требует отделения корней.
§ 289. Решение уравнений. Способ хорд
Пусть на концах промежутка (я, Ь) функция / (х) имеет
противоположные знаки (черт. 312). Если при этом /' (х)
сохраняетв промежутке (п, 6) нсизменныйзнак *), то внутри
промежутка лежит одпн-единственный кореш, х уравне-
ния /(х) = 0 (если /'(х) не сохраняет знака, то корень
тоже есть, но он может быть не единственным).
Черт. 313.
Черт. 312,
За первое приближение корня х принимаем точку х —
где хорда АВ (черт. 313) пересекает ось ОХ;
или, что то же2),
V - ~
v - A (b~df(b)
1
О)
(2)
линия графика идет всюду вверх или
Н° ф0рМУЛ1,1 W И (2)
>) To есть на участке АВ
всюду вниз.
2) В симметричном виде
удобнее для вычислений.
§ 289. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. СПОСОБ ХОРД 389
Затем вычисляем / (хх) и берем тот из промежутков
(a, Xj), (Xj, b), на концах которого / (х) имеет противопо-
ложи],ie знаки [промежуток (х1( Ь) на черт. 313]. Искомый
корень лежит в этом промежутке. Применив формулу,
аналогичную (1), получаем второе приближение х3. Про-
должая процесс, найдем последовательность xIt х2, ...
,.., х„, ...; она имеет пределом искомый корень х.
Степень приближения на практике можно определить
следующем образом. Пусть требуется точность до 0,01.
Тогда останавливаемся на том приближении х„, которое
разнится от предшествующего меньше чем на 0,01. Впро-
чем, не исключено (хотя и мало вероятно), что точность
окажется недостаточной. Гарантия будет полной, если
убедиться, что знаки / (х„) и / (х„ ± 0,01) противоположны..
Пример. Функция / (х) = х3 —2хг~4х~7 иа кон-
цах промежутка (3, 4) имеет противоположные знаки:
/ (3) “ -10 -с 0, / (4) = 9^0.
Производная /'(х) = Зх2~4х-4 сохраняет в проме-
жутке (3, 4) знак плюс. Значит, внутри промежутка (3, 4)
лежит один корень уравнения
х3-2х3-4х —7 — 0.
Найдем его с точностью до 0,01. Формула (1) дает:
х ~ 3 М-Ю) о , ю о go
Теперь вычисляем:
/(3,53) « -2,05.
Из двух промежутков (3; 3,53), (3,53; 4) выбираем вто-
рой, ибо на его концах знаки / (х) противоположны.
Находим второе приближение;
г - 3 53 0,47-7(3,53) ~ , s3 0,47-2,05 _ 3 f)2
Хз J (4)-7(3,53) '' : 11,05 ~ d,D *
Значение
/(3,62) ~ -0,24
отрицательно, поэтому берем промежуток (3,62; 4). На-
ходим:
о ло । 0,38'* 0,24 л
х3 * 3,62+^^- « 3,63
И / (3,63) « -0,04
390 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
По ходу выкладки надо ждать, что х4 будет отличаться
от х3 менее чем иа 0,01 и что х3 дает искомое приближе-
ние. Поскольку для полной гарантии мы все равно будем
вычислять / (3,64), нс станем определять х4, а сразу найдем:
/(3,64) = 0,17.
Знаки / (3,63) и / (3,64) противоположны. Значит, х3 есть
искомое приближение.
Замечание, Способ хорд, как и все способы последователь-
ных приближений, «не боится ошибок»: ошибка в промежуточной
выкладке автоматически исправится при следующем шаге. Но окон-
чательную выкладку надо выполнить со всей тщательностью. Чтобы
лев озникл а ошибка от округлений, полезно с охранять запасные цифры
§ 290, Решение уравнений. Способ касательных
Пусть на концах промежутка (а, Ь) функция / (х) имеет
противоположные знаки (черт. 314 и 315), а производные
/' (*)> /" (х) сохраняют в промежутке (а, Ь) неизменный
знак1). Для разыскания корня х, лежащего в промежутке
(а, &) (§ 289), поступаем так.
В том конце дуги АВ, где знаки / (х) и f" (х) одина-
ковы2), проводим касательную (ВК на черт. 314, AL иа
черт. 315). За первое приближение искомого кория при-
нимаем точку х — х£3), где касательная пересекает ось ОХ
*) То есть ла участке АВ линия графика идет всюду вверх или
всюду вниз И обращена вогнутостью всюду вверх или всюду вниз.
2) То есть в верхнем, если АВ обращена вогнутостью кверху, и
в нижнем, если книзу.
з) Обозначения х', х',.., отличают приближения по метода’ кара-
тельных от приближений Xi» Хд. •». по методу хорд.
§ 590. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. СПОСОБ КАСАТЕЛЬНЫХ 391
Если касательная взята в точке х = Ь, то
если же - в точке х — а, то
<2)
В обоих случаях второе приближение находится по фор-
муле
*2 ~ Х1 j' • (3)
Продолжая процесс, найдем последо-
вательность xj, х2, х'э, ... (черт. 316).
Она имеет пределом искомый корень х.
Степень приближения можно определить
так же, как в способе хорд.
Замечание 1. Если касательную
провести в том конце дуги, где / (х)
и /" (х) имеют противоположные знаки, то xj может выйти
за пределы промежутка (а, Ь) и ухудшить приближения
(черт. 317, а).
Замечание 2. Если /" (х) ие сохраняет знака в про-
межутке (а, Ь), то касательные в обоих концах дуги могут
пересечь ОХ да пределами промежутка (черт. 317, б).
Пример. Вычислить с точностью до 0,01 корень
уравнения
/(х) - х3—2х2—4х—7 » О,
содержащийся (см. пример § 289) в промежутке (3; 4).
Решение. Имеем:
/(3)= -Ю;/(4)«9;
/' (х) = Зх3 -4х-4; i" (х) - 6х-4.
392 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Обе производные сохраняют в промежутке (3; 4) знак
плюс. Поэтому Псрслг тот конец данного промежутка, где
/(х) -- О, т, е. конец I) - 4. По формуле (1) находим пер-
вое приближение:
V — 4 ~ - 4____ 3 68
Ч ~ 4 /Ц4) 28 Л’и '
Далее находим:
/(3,68) 1,03, /' (3,68) =. 21,9
и по формуле (3) получаем второе приближение
х'2 3’68~7'<W ~ 3,68-0,047 = 3,633
(с избытком).
Последующие приближения будут все меньше и меньше,
причем по ходу выкладки можно предвидеть, что дальней-
шие уточнения корня не повлияют на цифру сотен. Поэтому
ir
А
с
8
Черт, 338.
подсчитаем только / (3,633) и / (3,630).
Вычисление дает:
/(3,633) =- 0,020, /(3,630) - -0,042,
так что (с точностью, втрое больше
требуемой) х = 3,63.
§ 291. Комбинированный метод
хорд и касательных
При выполнении условий § 290 при-
ближения хп (по методу хорд) и при-
мете ду касательных) подходят к корню
ближения х' (по
х с противоположных сторон (первые" — со стороны вогну-
тости, вторые —со стороны выпуклости графика; см.
черт. 318). Сов,местное применение обоих методов дает
сразу избыточное и недостаточное приближения, и степень
точности оценивается непосредственно.
Пусть а есть тот конец промежутка (а, Ь), где знаки
f(x) и /" (х) одинаковы. Тогда по формулам (1) § 289 и
(2) § 290 находимг):
г - <7 (b-a)f(a)
1
Ля)
0)
1) Для случая, когда знаки f (х) и /" (х) одинаковы на конце Ъ,
вторая формула заменяется формулой х/ «и ’
§ 291. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД 393
Искомый корень заключен между xL и х[. Прн этом
/(хх) имеет тот же знак, что (см. черт. 318). Сле-
довательно, мы можем снова применить формулы (1)
настоящего параграфа, заменив в них а иа х{, а & на хх.
X*
Получаем вторые приближения
(Xi-xD/(xD
f'fx'i) ‘
Для вычисления х3 применяем
те же формулы, заменив в них
и .’q па х2 и и т. д. Продол-
жая процесс, найдем х с требуе-
мой точностью.
При .я с р. Решить уравнение
2х = 4х.
Следуя второму способу § 288,
строим 1 рафики у = 2х и у = 4х
(черт. 319). Помимо точки А, .дающей точный корень
х -- 4, получаем только одну точку пересечения В.
Ее абсцисса х лежит между а = 0 н & - 0,5.
Вычислим х с точностью до 0,0001. Имеем:
/(х) = 2с —4х, /'(х) = 2Чп2-4, /" (х) = 2х 1п3 2,
f(0) = 1, /(0,5) = -0,586.
Первая производная сохраняет в промежутке (0; 0,5)
знак минус1), вторая-знак плюс. Для вычисления хх
надо взять конец а = 0, ибо там знаки / (х) и /" (х) оди-
наковы. Находим:
Хх =± «“ = 0,5864-1 ~ 0,316 (С ИЗбЫТКОм),
« а~у^0 - “in 2-4 ~ “ 0,69315—4
(с недостатком).
С помощью пятизначных таблиц логарифмов получим:
/(0,302) = 0,0249, f (0,302) = -3,14544,
/(0,316) = -0,0191.
i) Из чертежа видно, что в промежутке (О; 0,5) у графика у
наклон меньше, чем у графика у = 4х,
394 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это дает вторые приближения:
*, = °-302- 0-302 + 0,0079 = 0,3099
(с избытком),
х; = 0,302 = 0,302 + 0,0079 « 0,3099
(с недостатком).
Искомый корень х лежит в промежутке (х£, ха) и по-
этому х = 0,3099 по мснывей мерс с точностью до
0,5-10“4. На самом деле точность еще больше (пользуясь
семизначными таблицами логарифмов, мы при тех же зна-
чениях xlt x't получим для х границы 0,30990 и 0,30991).
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 292. Вводные замечания
1. Исторические сведения. Интегральное
исчисление возникло из потребности создать общий метод
разыскания площадей, объемов и центров тяжести.
В зародышевой форме такой метод применялся еще
Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м
веке в работах Кавальерн1), Торричелли1), Ферма,
Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу 2)
установил связь между задачей о разыскании площади и
задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц
в 70-х годах 17-го нека отвлекли эту связь от упомянутых
частныхгеометрическихзадач. Тем самым была установлена
связь между интегральным и дифференциальным исчисле-
нием (ем. ниже п. 3).
Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и
их учениками для развития техники интегрирования.
Своего нынешнего состояния методы интегрирования
в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды
М. В. Остроградского 3) и П. Л. Чебышева* *)
завершили развитие этих методов.
2. Понятие об интеграле. Пусть линия MN
(черт. 320) дана уравнением
у=/(х),
и надо найти площадь F «криволинейной трапециш аЛВЬ,
*) Б он а в е и т у р а Кавальер» (1591—1647) и Еванге-
листа Торричелли (1608— 1647)—итальянские ученые, уче-
ники Галилея.
») Исаак Барроу (1630 —1677) — английский математик, учи-
тель Ньютона.
з)Академик Михаил Васильевич Остроград-
ский (1801—1861) —выдающийся русский математик.
*)Академик Пафнутий Львович Чебышев (1821 —
1894)-великий русский математик, проложивший новые пути во
многих областях науки. _
396
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Разделил! отрезок ab иа п частей од,
(равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру,
показанную штриховкой на черт. 320. Ее площадь
равна
Гп “ Уо(*1“й)+И(*3~\)+ (О
Если ввести обозначения
xt~a с= dxb, x.—Xj-dx,,..- t/Xn-i, (2)
то формула (1) примет вид
Pn « -J y«-id-x„_x. (3)
Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно
большом и. Лейбниц ввел для этш о предела обозначение
Черт. 320.
J* У dxr (4)
в котором j* (курсивное $)- началь-
ная буква слова summa (сумма), а вы-
ражение у dx указывает типичную
форму отдельных слагаемыхх).
Выражение J у dx Лейбниц стал
называть интегралом — от патин-
ского слова integralis - целостный2).
Фурье3) усовершенствовал обозначение Лейбница, при-
дав ему вид
ь
J У dx. (5)
о
Здесь явно указаны начальное и конечное значения х.
3. Связь между интегрированием и ди ф-
фереицированием. Будем считать а постоянной,
а b — переменной величиной. В соответствии с этим
Ц Понятие предела тогда еще не сформировалось, и Лейбниц гово-
рил о сумме бесконечного числа слагаемых.
г) Это название было предложено учеником Лейбница Иваном
Бернулли, чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых* ст
обычной СУММЫ.
з)Жан Баптист Фурье (1768-1830)-французский ма-
тематик и физик, основатель математической теории тепла.
$ 263. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
изменим обозначение Ъ на х. Тогда интеграл
397
х
J/(x)dx
а
(т. е. площадь аАВЪ при неподвижной ординате аА и
подвижной ЬВ) будет функцией от х.
Оказывается) что ди ффсрен циа л о то й
функции равен / (х) dxг)
х
dj/(x)dx = j(x)dx. (6)
а
4. Основная задача инте-
грального исчисления. Таким
образом, вычисление интеграла (5) сводится к разыска-
нию функции по данному выражению ее дифференциала.
Отыскание такой функции и составляет основную задачу
интегрального исчисления.
§ 293. Первообразная функция
Определение. Пусть функция / (х) есть производ-
ная от функции F(x), т. е. j(x)dx есть дифференциал
функции F(x):
/ (х) dx~dF(x).
Тогда функция F (х) называется первообразной для функ-
ции / (х.)
Пример 1. Функция 3№ есть производная от х3,
т. е. Зх2 dx есть дифференциал функции х3;
Зх3 dx= d (х3).
По определению функция х3 является первообразной для
функции Зх’.
Пример 2. Выражение Зх3 dx есть дифференциал
функции х3+7:
Зх~dx = d(x3+7).
’) Это видно из черт. 321. Приращение ДЕ площади аАВЬ есть
площадь ЬВСс. Последнюю можно представить в виде суммы
пл. ЬВОс+пл. ВОС. Здесь первый член равен ЬВ’Ьс — f (х) Д», а вто-
рой имеет высший порядок относительно Дх (он меньше, чем
пл. ВОСК = Дх*Ду). Значит (§ 228),/(х) Дх есть дифференциал пло-
щади F,
398 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Стало быть, функция х3+7 (как и функция х3) - перво-
образная для функции Зх3.
Любая непрерывная функция / (х) имеет бесчислен-
ное множество первообразных. Если F (х) есть одна из
них, то всякая другая представляется..' выражением
Е(х) + С, где С —постоянная величина. Последнюю можно
задать произвольно.
Пример 3. Функция Зх2 имеет бесчисленное мно-
жество первообразных. Одна из них (см. пример 1)
есть х3, всякая другая представляется выражением
х3-1-С, где С-постоянная величина. При С=7 получаем
первообразную хэ + 7 (пример 2), при С = 0 получим
снова первообразную х3.
Пример 4. Одна из первообразных функций Зх2 есть
х3+7. Всякая другая представляется выражением хэ+
Ч-7 + С.ПриС = —7 получаем первообразнуюх3.
Предостережение. Всякую первообразную от
функции Зх2 можно представить как в виде хэ + С, так
й в виде х3+7 + С. Но эти выражения нельзя приравнять,
ибо постоянные С в них неодинаковы. Так, первое выра-
жение дает первообразную х3+10 при С =10, а второе-
прн 0=3.
Если, вопреки предостережению, мы приравняем х3+С
и х3-1-7+С, то получим нелепое равенство 0=7'. Однако
можно написать:
х2-|.(’ = х3 + 7 + С1,
где С и Cj —постоянные. Они связаны соотношением
С = Сх+7.
§ 294, Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом данного выражения
/ (х) dx [или данной функции / (х)] называется наиболее
общий вид его первообразной функции.
Неопределенный интеграл выражения / (х) dx обозна-
чается
J / (х) dx.
Постоянное слагаемое подразумевается включенным в это
обозначение.
Происхождение знака J и наименования «интеграл»
объяснено в § 292, пп. 2 и 3. Слово «неопределенный»
подчеркивает, что в общее выражение первообразной
§ 294. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 399
функции входит постоянное слагаемое, которое можно
ВЗЯТЬ по произволух).
Выражение / (х) dx называется подынтегральным выра-
жением, функция / (х) - подынтегральной функцией, пере-
менная х — переменной интегрирования. Разыскание не-
определенного интеграла данной функции называется
интегрированием * 2).
Пример 1. Наиболее общий вид первообразной
функции для выражения 2xdx есть х2 + С. Эта функция
является неопределенным интегралом, выражения 2х dx:
J 2у </х — х- ;-С. (1)
Можно также написать:
j*2xdx = (2)
Различие в обозначениях постоянных (С и подчерки-
вает, что они неодинаковы (С = Cj~5; ср. § 293, пре-
достережение).
Пример 2. Найти неопределенный интеграл выра-
жения cos х dx.
Р е in е и и с. Функция cos х является производной от
sin х. Поэтому
J cos х dx - sin х+С.
Примерз. Найти неопределенный интеграл выраже-
ния-^-.
Решение. Функция ~ разрывна прн х=0. Будем
рассматривать сначала положительные значения х. Так как
j 1 rfx „„
d In х == —. то
х ’
j'^=lnx + C. (3)
Так как d In Зх = то можно также написать:
]’^-= ШЗх+Ci. (4)
*) В противоположность неопределенному интегралу предел сум-
мы у0 dx0 |-V, ...4-Уя^! dXn—i 292, п. 2) называется определен-
ным интегралом. Неопределенный интеграл есть функция. Опреде-
ленный интеграл есть число.
2) Интегрированием называют также разыскание определенного
интеграла.
400 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Постоянные С и С\ связаны соотношением
С In 3 + Сх,
Аналогично можно написать:
(5)
и т. д. Для отрицательных значений х функция 1п х ие
определена, и формулы (3), (4) и (5) непригодны. Зато
функция In ( — х) определена: ос дифференциал тоже равен
dx ...
—. 1 еперь имеем:
= 1п (— х ) | С (0)
и аналогично:
/-’М-гхПЧ, f^ = ln(-|)+cI
и т. д. Формулы (3) и (6) можно объединить:
J4’-= 1П 1Ч + С. (7)
Формула (7) пригодна для любых значений х, кроме х = 0
(ср. § 295, пример 3).
§ 295. Геометрическое истолкование интегрирования
Пусть /(х)-даниая непрерывная функция, a F(х) -
какая-либо ее первообразная. Если построить график PQ
функции р = К(х) (черт. 322), то
угловой коэффициент касательной
МТ будет выражаться дайной функ-
цией / (х).
Пусть F, (х) — другая первообраз-
ная той же функции / (х). Тогда угло-
вые коэффициенты касательных МТ
и Л4Х7\ (точки касания Mt имеют
одну и ту же абсциссу х) одина-
ковы, т. е. МТ |[ .М/Г,.
Г рафик первообразной функции
F (х) называется интегральной ли-
[или уравнения dy=f(x)dx]. Каса-
нией функции / (х)
тельные к двум интегральным линиям в соответственных
§ 295. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 401
постоянное
имея одну
1У
Черт. 323.
точках параллельны. Вместе с тем две интегральные линии
отстоят друг от друга (по вертикали) на
расстояние С (AfAlj иа черт. 322), так что,
интегральную линию, легко построить
другие.
Через каждую точку проходит одна-
сдннствеппая интегральная линия.
Интегральные линии строятся (при-
ближенно) следующим образом. Из не-
скольких десятков точек (см., например,
черт. 323), густо покрывающих какую-
либо часть плоскости, проводим короткие
отрезки (или стрелки), указывающие
направление касательной.
Получаем «поле направлений». Затем
проводим иа глаз плавную линию так,
чтобы она в ряде своих точек касалась стрелок. Полу-
чим одну интегральную линию. Таким же образом построим
и ряд других.
Пример 1. Нанти интегральные линии уравнения
dy = dx.
Черт. 324.
Данная функция /(х) п рассматриваемом примере есть
постоянная величина 1. Угловой коэффициент всех стре-
лок равен единице, т. е; наклон касательной всюду 45°.
Интегральные липни (черт. 323)-параллельные прямые.
Уравнение каждой из них есть у — J dx, т. е. у = Х+С.
Величина С, постоянная для каждой
прямой, меняется от одной прямой
к’ДРУГОЙ.
П р и м е р 2. Найти интегральные
линии для функции ~-х (т. е. для
уравнения dy = ~ х dx) .
Вдоль оси ОУ (х=0) берем гори-
зонтальные стрелки ^х=0), вдоль
ординаты х = 1 берем стрелки с угло-
вым коэффициентом ~х — у и т, д.
Проведя на глаз интегральные линии, получаем «параллель-
ные» параболы (у = J - х dx - -•х’Чс; черт. 324).
[ 26 М. Я. Выгодский __
402 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ПримерЗ. На черт. 325 показаны интегральные липни
функции — . Ни одна из них нс пересекает ось OY,
так как при х=0 первообразные функции нс определены
(функция — разрывна при х-О) . Вследствие этого лишь
те интегральные линии отстоят друг от друга на равные
расстояния, которые лежат по одну сторону от оси
ординат. Лежащие справа представляются уравнением
у Inx+С, слева - уравнением у ~ In (-х)-]-С. Не-
u г dx
определенный интеграл I —выражается
i (для всех х> кроме х=0) формулой
f V ~ 1п Iх 1+с*
о a b т к
и 49R Замечание. Другое геометриче-
черт, 326. ск;ое истолкование интегрирования по-
лучится, если начертить график K.L
(черт, 326) данной функции / (х). Пусть дуга KL целиком
лежит выше оси ОХ. Проведем две ординаты аД и тМ.
Левую ординату а А будем считать неподвижной, а пра-
вую тМ- подвижной. Площадь аАМт будет одной из
первообразных для функции /(х) аргумента х=0т
(ср. § 292, п. 2), Взяв вместо аА неподвижную орди-
нату ЬВ, получим другую первообразную —площадь ЬВМт.
Эти две первообразные разнятся на постоянную величину
С=пл.
| 29в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 403
§ 296. Вычисление постоянной интегрирования
по начальным данным
Из множества первообразных данной функции /(х)
только одна может принимать данное значение b при дан-
ном значении аргумента х=я. Если известен неопределен-
ный интеграл
J/(x)dx« F(x)+C, i
то соответствующее значение постоянной С находится из
соотношения
Ь = Е(а)+С.
Пример 1. Найти ту первообразную от функции
-х, которая принимает значение 3 при х=2.
Решение. Имеем: ’
8 flx&=|x!+C. (1)
Постоянную С находим из соотношения Зя-1.2’-{-С.
Получаем С==2, Подставляя в (1), находим искомую
первообразную функцию
у = Ах'+2. (2)
Геометрически задачу можно сформулировать так: найти
ту интегральную линию функции ~ х, которая проходит
через точку (2, 3). Искомая линия есть парабола UV
(черт. 324).
Пример 2, Найти ту первообразную от функции
~ , которая принимает значение — при х = — 1.
Решение. При отрицательных х неопределенный
интеграл функции - (§ 294, пример 3) имеет вид
f£ = ln(-x)+C. (3)
По условию имеем:
4=inl+C, (4)
X 26*
404 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
откуда
С — —
U - 2 *
Искомая функция есть 1п(-х)+-|-. Ей соответствует
интегральная линия PQ на черт. 325,
§ 297. Свойства неопределенного интеграла
1. Знак дифференциала перед знаком интеграла уничто-
жает последний:
d J / (х) dx - / (х) dx ^(1)
(по определению неопределенного интеграла).
Иначе: производная неопределенного интеграла равна
подинтегральной функции
/Wdx-fCx). (2)
Пример.
d j 2хdx = d (х24-С) = 2хdx, (1а)
2xtfx= 2х.
Знак интеграла перед знаком дифференциала уничто-
жает последний, но при этом вводится произвольное
постоянное слагаемое.
Пример.
j dsin х = slnx-pC. (3)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
J а / (х) dx = a j / (х) dx. (4)
Пример.
j Gxdx = 6f xdx = б(|х2 + с) « Зх-Ч-GC « 3xs+Clf
где Сг=6С.
§ 298. ТЛЕЛИ! (Л ИНТЕГРАЛОВ 405
4. Интеграл алгебраической суммы равен сумме интегра-
лов от каждого слагаемого в отдельности, Для трех сла-
гаемых
f IA (*)+/2 («)—/з (*)] dx =
- j* /1 (х) dx J /2 (х) dx - j /з (х) dx; (5)
аналогично для всякого другого (неизменного) числа сла-
гаемых.
Пример.
J (5x2~2x+4) tfx = J 5x3rfx-J 2xdx-{-J 4rfx =
== (|х3'С,)-(х3:-С2)-:-(4х4С3) =
= x3 “ x2 -f- 4x -I- C,
где
C= Ci-Ca+Ca.
Замечание. Нет нужды выписывать при промежу-
точных вычислениях для каждого интеграла свое посто-
янное слагаемое; достаточно приписать его по выполне-
нии всех интегрирований.
§ 298. Таблица интегралов
Из каждой формулы дифференцирования, если ее обра-
тить, получается соответствующая формула интегрирова-
ния. Так, из формулы
a m(x+ffi+tf) =-3=(1)
получается формула1)
f j^=I"(x+req^)+c. (2>
Из десяти нижеследующих формул первые девять полу-
чаются обращением основных формул дифференцирования
Величина х+Уда+х* положительна при любом х, поэтому
в (2) не пишем In | х ч 1.
406 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
десятая совпадает с (2). Вывод ее дан н примере 1 § 312.
I. (ИИ-1),
П. f£ = ln|x|+C>),
III. J e*dx и е*+С,
Ша. И' = £+С,
IV. J sin х с/х » -cosx-FC,
j V. j* cosxrfx == sinx+C,
v4-s^i=-ct«x+c-
vn.f—r=tgx+c, :i
V1IL f = arcsin x+C,
Villa, f= arcsin ~+C,
J уа» -x» a
IX. frFSi-=arc‘Kx+c-
IXa- f Л1Чаге‘»1+с>
’ XJ^§=lnI’=+»^±?l+c-
Эти формулы надо знать па память (в каждой из трех
пар формул III, VIII, IX достаточно запомнить одну-
лучше ту, что обозначена литерой да).
В формуле 1Ха в отличие от Villa перед знаком аге стоит множи-
тель i. Это связано с размерностью выражения : в числи-
теле стоит первая степень величины dx, в знаменателе—вторые
степени а и х. Размерность равна — 1; ту же размерность имеет
правая часть благодаря множителю —.
») Ср. § 294, пример 3.
§ 299. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 407
Выражение в формуле Villa имеет нулевую размерность,
_хг
так же как правая часть.
Замечание 1. Формулы I — X лучше заучивать по-
степенно, по мере их закрепления упражнениями. В даль-
нейшем полезно заучить еще следующие пять формул
у XL J tgxtfx- —In j cosxJ+C,
XII. j ctg.Vf/x - In | sinx j-i-C,
xl"- I =111 ‘e||+c-
xiv. is^=ln *8«+т)|+с>
xv. J^._^ln|ga|+c.
Замечание 2. Интегралы XIII и XIV можно выразить также
следующим образом:
ХШа. f » hi I esex—etgx 14-С,
J sin X
XlVa. f —“ In [ sc x -tgx [ +C.
J COS X 1
В этой форме их взаимная связь виднее, но для вычислений удобнее
формулы, данные в тексте.
§ 299. Непосредственное интегрирование
Используя свойства 3 и 4 § 297, можно в ряде случаев
свести интегрирование к табличным формулам § 298,
Пример I.
1
J (3 }гх-4х)</х = 3 J хг rfx-4 Jxz/x =
3.^--4*2-+С = 2х /х-2хЧС.
2*
При первом преобразовании использованы свойства
§ 297, при втором—табличная формула I. Постоянная С
появляется с того момента, когда исчезают знаки
интеграла.
1) Все они, равно как формулы, помещенные в приложении
(стр. 841 —851), выводятся из формул I —X по правилам, изложенным
в §§ 300 - 302,
j (2 sin / — 3 cos t)
\ cos t dt =
408 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2.
dt = 2 Jsin/t// —3
= -2 cos /-3 sin Z+C
(использованы формулы IV и V).
ПримерЗ.
= J’5in5,d5,+ J-bff7= -COST-Ctg<p + C
(использованы формулы IV и VI).
Пример 4,
I J (х*’ + I)4 хи dx - J (хн + 4№ + бх7 + 4xs + x3) dx =
§ 300. Способ подстановки
(интегрирование через вспомогательную переменную)
В подинтстральное выражение / (х) dx можно ввести
вместо х вспомогательную переменную z, связанную с х
некоторой зависимостью !). Пусть преобразованное выра-
жение сеть Д (г) dz 3); тот да J / (х) dx - J Д (г) dz. Если
интеграл j Д (z) dz принадлежит к табличным или сводится
к иим дегче, чем исходный, то преобразование достигает
цели.
На вопрос: как выбрать удачную подстановку, общего
ответа нельзя дать (ср. § 309); правила для важных част-
ных случаев даны ниже в связи с примерами.
Пример 1. J /2х~1т/х.
Среди табличных интегралов подходящего нет, ио по
формуле I можно вычислить интеграл | /х dx, сходный
с данным. Поэтому пробуе.и ввести вспомогательную пере-
менную 2, связанную с х зависимостью
2х—1 - z. (1)
Предполагается, что функция х = <p (г), выражающая эту зависи-
мость, имеет непрерывную производную.
-) Имеем: Д (г) dz = Д9 (z)I 9' (2) dz.
§ 300. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 409
Дифференцируя (1), получаем:
2 dx = dz, (2)
Подиитегральнос выражение }2х— idx преобразует-
ся с помощью (1) и (2) к виду У г ~ , и мы получаем:
f fix-Trfx = f Й-Ц‘~К’4г’/!+<'. (3)
J 4ч j(4 О
'2
Возвращаясь к переменной х, находим:
J /2x^1 dx = |(2х-1)3^+С.
Проверяя дифференцированием, получаем:
а П- (гх-^+е! = ^-(2х-1)^2Д(2х-1) = /2х^Т dx,
L 3 J 3
Здесь функция 2х —1 снова использована как вспомогательная
(ср. § 237).
Замечание 1. В простых случаях нет нужды вво-
дить новую букву. Так, в примере 1, где взята вспомога-
тельная функция 2х-1, находн.м в уме ее дифференциал
d (2х- 1) = 2 dx. Вводим в подиптегралыюе выражение
перед dx множитель 2; для компенсации ставим i перед
интегралом. Получаем:
U ^2^1 2 dx =-. Y f (2x-l)'^d(2x-l) =
_ 1 (2х-1)3/2 р
— 2“ - _“з—— + u.
2*
Правило 1. Если подинтегральная функция (как
в примере 1) имеет вид / (ах+Ъ), то может оказаться
полезной подстановка ах \-b ~ z.
Пример 2. j (8_3х>г.
Вводим вспомогательную функцию 8-3x = z; отсюда
dx — —Находим:
Jdx Г ( р 1
(8—Зх)а “ J З^" “ Зг + С 3(8—Зх)
410 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 3.7^.
Берем 6х-7 в качестве вспомогательной функции. Не
вводя для нее буквенного обозначения (см. замечание 1),
находим (с помощью II):
f = 1 ( « 1 Г d<GX-T) Л j । g у । с
J бх—7 6 J 6х-7 6J 0х-7 6 1 I UX +
Пример 4. J е3* dx (вспомогательная функция Зх).
j c^dx » ~ J ^(ЦЗх) « -~£3*+С.
Пример 5. 4 V
J cos^dx 3 Jcos^d(^) = 3sln^l + c.
Правило 2. Пусть подинтегральиое выражение раз-
бито на два сомножителя и п одном из них легко распо-
знать дифференциал некоторой функции <р (х). Может ока-
заться, что после подстановки <р (х) ~ г второй сомно-
житель превратится в такую функцию от z, которую мы
умеем интегрировать, Тогда подстановка будет полезной.
Пример 6.
Разобьем подинтегральное выражение на сомножители
и 2х dx. Сомножитель 2х dx оказывается дифферен-
циалом функции 1+х3, стоящей в знаменателе другого
сомножителя.'После подстановки i+x! = z сомножитель
примет вид . Эту функцию мы умеем интегриро-
вать, Вычисление можно вести так:
Замечание 2. Внешнее сходство данного интеграла
с табличным f обманчиво. Наличие в числителе
J 1 фХ*
миожителя 2х существенно меняет вид первообразной
функции.
Пример 7. j sin х cos3 х dx.
Разбиваем подннтегральнос выражение на сомножи-
тели cos3x и slnxdx= -dcosx, Подстановка cosx = z
| 300. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 411
преобразует cos’x и функцию z3, которую мы умеем ин-
тегрировать. Вычисление ведется так:
J sin х cos3 xdx = -J cos’ xd cos x = - co^x+C.
„ „ о f x^x 1
Примере. .— .
Сходство с табли^ым интегралом Villa обманчиво.
Вводим вспомогательную функцию а2-х~ ~ z. Имеем
-2xdx = dz, т. е. xdx- Интеграл принимает
вид
Вычисление ведется так:
f _ .__L Г — 2xtfx _ __ 1 Г d (g* -хг) _
j fa2”-*:: ~ 2 J /«2 -x2 ~ 2 J ~
- №~x?+C.
П p и M e p 9. f 75*~.
J Уа*~x*
Вспомогательная функция x'. Имеем:
f 5x _ 5 f ixdx _ 5 Г d (xl) =
J /и* -x< ~ 2 J Уа»-х« ~ 2 J У(йг>-(>?)»
= |arcsin-^+C.
Пример 10. 1“^= f In3xdlnx - -|lnax+C.
He всегда легко отличить удачную подстановку от не-
удачной. Это видно из примеров 11 и 12.
Пример И. J (x’ + l)4 x3dx.
Здесь хороша подстановка x2+l = z. Подингеграль-
ное выражение разбиваем иа сомножители xdx = ~dz
и (х2+1)*х* = z*(z-l). Получаем:
| (х’+1)4 х3 dx = — j z4 (z— 1) az =
= 4 f г« f z* Л = X (x’+1)«~^ (x*+ 1)-+C
(ср. пример 4 § 299, где тот же интеграл был найдеи без
подстановки).
412
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П р и м е р 12. J (хЧ-1)1 х~ dx.
Здесь подстановка х2 I-1 = z нехороша; она даег ин-
теграл 4, J fz - 1 dz, более трудный, чем исходный.
Данный интеграл лучше всего вычислять непосредственно,
как в примере 4 § 299. Получим: — х11 + ~х9 + -у х7 +
4 1 '
+1 х»+4х’ + С.
Пример 13. j (1+41,ctgx = 1,11 arct8 x I +C <BCn0’
могательная функция arctg x).
Пример 14. J = у arcsin y3 -f- С (вспомогатель-
ная функция У3).
Пример 15. I “3dl!- = fl-H« + C (вспомога-
J u1 2
тельная функция 1-u1).
Пример 16. j dx = In (<>-F (вспомо-
гательная функция
Пример 17. J ^пцуДу = ^-2 —+(? (вспомогательная
функция cos х).
Пример 18. J- ~tg4x+C (вспомогатель-
ная функция tgx; подиптегральное выражение равно
tg3 х
COS1 X / ’
§ 301. Интегрирование по частям
Всякое подинтегральное выражение можно бесчислен-
ными способами представить в виде и rfe (ц н «—функции
переменной интегрирования).
Интегрированием по частям называется сведёние
даииого интеграла J и d« к интегралу J v du с помощью
формулы
J udv = vdu. (1)
§ 301. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 413
Этот прием ведет к цели, если J v du находится легче,
чем | и do (примеры 1-4) или если одни из этих инте-
гралов выражается через другой (пример 5).
Пример 1. J ех х dx.
Представляем подинтс тральное выражение в виде
х(ех dx) = xde.x. Здесь роль и играет х, роль v-функ-
ция ех. Применяем формулу (1):
J х de* = хех - j ех dx.
Интеграл | ех dx- табличный. Вычисление ведется
так:
j ех х dx — J х dex — хех - J ех dx — хех — ех + С.
Замечание 1. Если подинтсгральное выражение
представить в виде exd (у х2), т. е. взять и = ех,
v =~х2, то ио формуле (I) получим:
J а (| *2) = | - J 2 dx-
Интеграл j ~х2 exdx не легче исходного.
Выражение еххс!х можно представить в виде и di) бесчисленными
способами, беря за о какую угодно функцию. Гак, если взять v =xJ.
то dv=>4x^dx, Тогда e^xdx =dx), т. e. п =. Но фор-
мула (1) снова приведет к интегралу, который труднее исходного.
Прежде чем интегрировать по частям, надо в уме при-
кинуть, что может дать тот или иной выбор функции г.
Пример 2. | х In х dx.
Здесь хорошо представить подннтегральнУЮ функцию
в виде In х d х2) . Формула (1) (при и = In х, v = ~ х2)
дает;
J In х d (— х2) = In х (% х2) — J у х2 d In x =
= |x-lnx-f
J x2/cos x dx = j
414 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интеграл J ~х2^ = ~Jx dx равен ~х2+С',так что
’ j х Inxdx = -Ьх2 In х--*-х2‘-С.
Пример 3. jxsinxdx.
Имеем:
J х sin x dx = J x d (- cos x) =
== - x cos x- J (-cos x) dx = "xcosx+slnx+c.
Пример 4. Jx2cosxdx.
Имеем:
x2 d sin x — x2 sin x—2 J xsin x dx.
К полученному интегралу вновь применяем интегрнро-
вание по частям (см. пример 3). Окончательно получаем:
J x2cosxdx = x2sinx+2xcosx-2sinx+C.
Пример 5. jcz cos xdx.
Представим подинтегральное выражение в виде
ех d sin х:
J e^cosxdx = e^sinx-J sin хе*dx+Cj. (2)
Полученный интеграл ие проще исходного, по его
можно выразить через исходный. Для этого снова инте-
грируем по частям:
- j sin х & dx = J е d cos x =
= e®cos x - j* cos xe*dx+Cz. (3)
Подставляя (3) в (2), получаем уравнение
j е cos х dx -
= e^slnx+e* cos x~ J ex cos xdx+Ct-FCv (4)
из которого находим неизвестное J e»cosxdx:
J e* cos x dx = -j- e” (sin x + cos x) 4- C,
где С обозначает C1^Cl,
5
g 30Q. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМ. ВЫРАЖЕНИЙ 415
3 а м е ч а н и е 2. Можно представить подннтегральное
выражение в виде cos х dex. Тогда и при втором интегри-
ровании надо будет повое выражение е2 sin х dx предста-
вить в виде sin х dex (а не в виде ег d cos х), иначе урав-
нение для определения f е2 cos х dx обратится в тождество.
§ 302. Интегрирование
некоторых тригонометрических выражений
Правило 1. Для вычисления интегралов вида
J cos2n+lxdx, j sin2”'1'1 х dx (1)
(n- целое положительное число) удобно ввести вспомо-
гательную функцию sin х в первом случае и cos х-во
втором.
Пример 1.
| cos5 х dx " J (1 - sin2 x) d sin x —
— sin x sin3 х'4-С.
П p и м e p 2.
J sin5xdx = J sin4 x sin xdx = — J (1 —cos2x)3 d'cos x —
== - J (1 — 2 cos2 x+ cos4 x) d cos x —
2 1
= - COS X 4-5- COS2 X-—COS5 X-l-C.
'3 5
Для четных степеней sin x или cos x правило 1 не
дет к цели (см. правило 2).
Правило 2. Для вычисления интегралов вида
J cos2* х dx, J sin2n x dx
удобно пользоваться формулами
„ l |-cos2x
COS2 X =---2--->
. , „ 1 —cos 2x
Sin2 X = ------
и вводить пспомогательную функцию cos 2х.
ПримерЗ.
J sin3 х dx - - J -1 ~c°s2x dX = 2. x -1 sin 2x4- C.
ве-
(2)
(3)
0)
416 интегральное исчисление
Пример 4.
' f cos*xtfx = =
= j rfx+y J cos 2x dx-i-~ j cos2 2x dx.
Первые два интеграла вычислим сразу, к третьему по-
втори^ применим формулу (3), переписав ее в виде
„__, n 1 +cos 4х
COS3 2.Х ~--5—
л
Получаем:
J cos4 xdx- -^-x+-|-sin 2х+~ J (I + cos 4х) dx -
= -^x+~sin 2х+-|-х+™sin 4х+С.
Остается привести подобные члены.
Правило 3. Для вычисления интегралов вида
J с osM х sin” х dx, (5)
где по крайней мере одно из чисел т, п~ нечетное,
удобно ввести вспомогательную функцию cos х (если т
нечетно) или sin х (если л нечетно) и поступать, как в
примерах 1, 2.
Пример 5. J cos® х sin5 х dx.
Здесь имеем нечетную степень синуса. Представляем
подинтегральное выражение в виде
cos® х sin* х d (— cos x) — - cos6 x (1 — cos2 x)2 d cos x.
Получаем:
J cos® x sin5 x dx =
= - J cos® x d cos x + 2 J cos8 x d cos x~ J cos10 x d cos x =
= - у COS7 X+“C0S9 X-~'COSUX + C.
Когда оба числа m, п~ четные, правило 3 нс приводит
к цели (см. правило 4).
g 302. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМ. ВЫРАЖЕНИЙ 417
Правило 4. Для вычисления интегралов вида (5), где
т и л-четные числа, удобно пользоваться формулами
___, „ t+cos2x
COS3 X = -2----, (3)
sin X COS X = . (6)
Пример 6. J cos4 x sin2 x dx.
Представляя подиитегральное выражение в виде
(cos х sin х)3 cos3 x dx
и применив (б) и (3), получим:
| cos4 хsin2 х dx = J sin2 2x (1 Ч-cos 2x) dx ==
= J sin2 2x dx+-g-f Sl*n3 2* Cos 2х
Первое слагаемое преобразуем по формуле (4), пере-
писав ее в виде
Sin’2z = ’““I*.
Второе вычисляем через вспомогательную функцию sin 2х.
Получаем:
f cos* х sin3 х dx = sin 4x+-^-sin3 2x + C.
J lb b4 4o
Правило 5. Для вычисления интегралов вида
J sin mx cos nx dx, (7)
j sin mx sin nx dx, (8)
J cos mx cos nx dx (9)
удобно пользоваться преобразованиями
sin mx cos nx - ^-[sin (m —n) x+sin (m + n) x], (7')
sin mx sin nx = -j-[cos (m-л) x- cos (m+n) x], (8')
cos mx cos nx = ~[cos(m-n) x-i-cus (m+n)xj. (9')
27 M. Я, Выгодский
418 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример?.
J sin 5х cos Зх dx ~ ~ J [sin (5-3) x+sin (5 + 3) х] dx =
- cos 2х-^т cos 8x+ C.
Правило 6. Для вычисления интегралов вида
j tg" х dx, j etg" x dx
(и-целое число, большее 1) удобно выделить множитель
tg® х (или etg2 х).
Пример 8. J tgs х dx.
Выделяя множитель tg2x = scax-l = —t 1, по-
лучаем
f tgsxrfx= У tg®Х^х-У ttfxdx.
Первый интеграл равен ~ tg4 х. Второй вычисляется тем
же приемом:
У tg3xdx = У tg х^-У tgxdx - у tg2x (-ln [ cos х 1-
Окончательно;
У tg8 х dx - — tg4 х - tg2 х - In | cos x ] + C.
§ 303. Тригонометрические подстановки
Для подинтегральных выражений, содержащих ради-
калы
^д2—х3, Гхг+«3, Ух2 — аа
(а также квадраты этих радикалов а2—х2, х'-±а2), часто
уррбны следующие подстановки:
для случая /п2-х2 подстановка х = a sin f,
» > Ух2 + а2 » x-atgt,
» » ух2 — а2 » х = a sc L
§ 503. ТРИГОЙОМЕТРИЧЕСкИЕ ПОДСТАНОВКИ 41S
Пример!. J Ki?—х2 dx.
Полагая x=asin /, получаемх):
/й2-.\-- := a cos tf dx — a cos t dt. (1)
Следовательно,
j y\?-x2 dx -n2 J cos2/Л- ^(/ i ysin 2/) (-C (2)
cm. (3) § 302). Возвращаясь к переменной x, находим:
t = arcsin —, i sin 2t — sin t cos t = * . (3)
Окончательно:
J У a3’- x2 dx = ~ arcsin ~ j- ~ У'а^х- + C.
II p и м e p 2. J ^2+аг^' *
Полагая x = atgt, получаем:
x’+a’ = a>(tg’(+l) = j^7, Л=-^Ь.
Следовательно,
f (Hhv - f cos‘ ‘,lt = ?(z+lsin 2()+c-
Возвращаясь к переменной x, находим:
/-arctg-}, Isin2/= sin/cos/.
Окончательно;
j* 2a3 (arctg a'+^+^) + C*
Прим’еp3; --f .
J —a1
Полагая x = a sc t, получаемx):
]/х® -й2 = a tg t, dx == a tg t sc t dt.
J) Знак радикала взят в предположении, что - — С t < —«
27*
420 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следовательно,
Г _— = 1 Г at = ~t + C = larcsc- + С =
J xfx2~aa a J a a a
= — arccos <Z;C.
a x
§ 304. Рациональные функции
Целой, рациональной функцией аргумента х называется
функция, представляемая многочленом
nox”-f-1 + ... + ак—1Х + ап . (1)
Дробной рациональной функцией называется отноше-
ние целых рациональных функций
* + ... + X ~Ь Ьт
U(An+ШХя-11-... +ип_1Л Н7л * I
Если степень числителя меньше степени знаменателя,
дробь (2) называется правильной, в противном случае -
неправильной.
Примеры. Функция 0,3ха_ целая рацио-
т 3
иальная. Функции ^2^ > - дробные рациональ-
ные. Первая дробь-правильная, вторая-неправильная.
2 Тх "
Функция нерациональная.
§ 304а- Исключение целой части
Из неправильной дроби можно с помощью деления с
остатком исключить целую часть, т. е. неправильную
дробь можно представить в виде суммы целой рациональ-
ной функции и правильной дроби. Может оказаться, что
деление выполняется без остатка; тогда неправильная
дробь есть целая функция.
Пример 1. Неправильная дробь после ис-
15 j х
ключения целой части принимает нид х -
§ 305. О ПРИЕМАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
421
(Л-х—частное, — 15 ^х есть остаток от деления числи-
мо - о
теля иа знаменатель).
Пример 2. Цг^~ = х5+1~-
Этот результат получается делением — хе+х5Н-1 на
-х+1, или, короче, следующим образом:
1 +Х5 -Хв _ 1_, Х5(1 -У) = 1 .
1 — X 1 — Х^ 1 —X 1—х
Пример 3. Исключая целую часть из дроби Ху71~,
получаем целую рациональную функцию х2 (деление вы-
полняется без остатка).
§ 305. О приемах интегрирования
рациональных дробей
При, интегрировании неправильной рациональной дроби
сначала исключаем из нее целую часть (§ 304а).
Пример 1.
f * - f (х’+гУ Л = ?- in 11 1 + 0)
(ср. § 304а, пример 2).
Так как целая часть интегрируется непосредственно,
то интегрирование всякой дробной рациональной функции
сводится к интегрированию правильной дроби. Для этого
существует общин метод (§ 307). Но он часто связан с
длительными вычислениями. Поэтому полезно, где воз-
можно, использовать частные особенности подиитсграль-
ного выражения.
Так, если числитель подинтегрального выражения
равен дифференциалу знаменателя (илы отличается от
него постоянным миожителем), то знаменатель надо при-
нять за вспомогательную функцию.
Пример 2.
Г (2х^ + 6хг + 7х+3) ах _ J f а (X* + 4x3 + + 6х + 2) _
J х*+4.Х'7х2+6х+2: ~ 2 J х< 4-4ха 4-7х2 4-бх 4-2 "
= v Irt (х4 + 4х3+7х3 + 6х+2)+С.
J) Можно было бы применить подстановку I — х = z и не исключая
предварительно целой части, но вычисление было бы длиннее.
452 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ '
Аналогичный прием, когда в числителе -- дифферен-
циал некоторого многочлена, а в знаменателе — степень
того же многочлена.
При мер 3.
е (Зх24-1) dx _ f d(x3 + x) _ 1 r
J х2(х*4-1)8 — J (х34-х)8 "" х'||-х' С’
Если числитель и знаменатель имеют общий множи-
тель, бывает полезно произвести сокращение.
Пример 4. f (?7х~2)^.
Г 1 J х3 4-х2 4-х 4-1
Здесь дробь сокращается на хи-1. Получаем:
f (\; + Г = 11" (хЕ+ 1) - 2 arctgх+С.
Замечание 1. Иной раз сокращать дробь иет смысла.
Так, в примере 2 можно представить дробь в виде
(х + 1) (2х2 4-4x4-3)
(Х4-1)* (ха + 2х4-2)
и сократить на х+ 1. Но интеграл
(* (2х2 4-4Х4-3) dx
t J (Х4-1) (Х» + 2x4-2)
вычислить труднее, чем исходный, не говоря о том, что
разложение иа множители представляет немалую труд-
ность.
Замечание 2. Общий метод интегрирования рацио-
нальных дробей состоит в разложении данной дроби на
сумму так называемых простейших дробей. В § 306
объяснено, что это за дроби и как их интегрировать. В
§ 307 указано, как разложить данную дробь на простейшие.
§ 306. Интегрирование
1 ' простейших рациональных дробей
Простейшими рациональными дробями называются
дроби, приводящиеся к следующим двум типам:
I. (х -Д)п (п- натуральное число),
П. (п-натуральное число),
§ 306. ИНТЕГРИРОВАНИЙ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОЕЕЙ 423
где х2 }-рх+7 ие разлагается на действительные
множители первой степени [т. е. <7-(4)" > о] если
же x2 + px+tf разлагается на действительные множите-
ли первой степени [т. е. 9~(4)2 > то Дробь II не
считается простейшей.
Дроби - простейшие первого типа,
дроби - — - -7х ~ * —простейшие второго типа,
х3 + 1 ’ Л!+2 ’ №+У 3
1 Зх —2
Дроби——^---не простейшие, ибо выражения
х2-1, х2- ]3 разлагаются на действительные множи-
тели первой степени.
з
Дробь --^—простейшая, так как ее можно привести
_з
к виду Дробь - простейшая, ибо она
х“’2
вида II.
А) Простейшие дроби первого типа интегрируются по
формулам
J<^ = -^(^+c (о
JA£= Л1п|х-я||-С. (2).
Б) Простейшие дроби второго типа в случае п = 1
интегрируются до копра подстановкой
=
приводящей знаменатель
х2 + рх-Н= fc+^y+Wf)2
к виду z~ + k2 [где/с2 = £-(-~)2] .
424 ИНТЕГРАЛЬНОЕ исчисление
Пример 1.
f * [р = -8, ? 25; ?-(£)= = 9] .
Подстановка
х-4 = z
преобразует интеграл к виду
f3£±7d2_ 3
J /-Ч9 d J z* + 9+ ' J z3 + 9
- A In (гг + 9) + -А arctg A+ c.
Возвращаясь к аргументу x, получаем:
f х.Уц&Т1'* - f,n (x‘~Sx l 25) H’-arctg’-p+C.
Формула (запоминать ее не надо) имеет вид
JAta -f- W ,
—- -—dx^
x^+px + q
M ‘2N —Mp 2x+p
= —In (x8+px+q) + — - arctg •_,__ + C.
2 УФу-рз y^q-pz
В) Простейшие дроби второго типа в случае
интегрируются той же подстановкой
x + f = 2.
Она преобразует интеграл J tfx к виду
Р)
(ГДеС = Ы^, /^ =«-(£)>
Первое слагаемое J интегрируется сразу через
вспомогательную функцию z2+k-
( Mzdz = 1 _____ д. С (4)
J (Z3+A2)» 2 (n-l)(2H’fc»)n-1 т V ’
Второе слагаемое L J вычисляется тригоно-
метрической подстановкой (§ 303, пример 2) или по
§ 306, ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 425
формуле приведения ’)
г dz _
J (Z*+fOn “
“ ’2(n^i)_^ ["(хЧГлг)» -i + *'2/I ”f (z» I-11 (5)
(се можно проверить дифференцированием). Она сводит
Jdz
, к интегралу того же типа, ио показа-
Ц2 J /С2)’1
тель п в знаменателе уменьшается на единицу. Повторяя
процесс, придем в конце концов к интегралу
J га + к* ~ к arct£ V +
Подстановка х-1 =z приводит интеграл к виду
f "; 3 f (iuV f • (О
Первый член равен
2 f d +2> _ _ 3 п\
2 J (z2+2)s 4(z“+2)2 ’ '
Постоянное С опускаем, относя его ко второму члену,
который вычислим по формуле (5) (полагая в ней /с2 — 2,
п = 3}-,
f
dz = I г 3 j* dz
(z2 + 2)» = 8 (zs+2)^”8J (z2+2)3 ’
(8)
Применяем повторно формулу (5), полагая к2 -2,
п--2:
f ± _*_+£ f dz =
J (г2+2)з 4 z2+2^4 J zs + 2
= | - \ l- ' arctg^-. i-C. (9)
4 Z» + 2 4/2 \ /2
J) Так именуется всякая формула, поражающая какую-либо вели-
чину, зависящую от числа н нашем случае J чср“
ту же величину при меньшем абсолютном значении п. Формулы при-
ведения называются также рекуррентными (т. с. возвратными).
426 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ
Из формул (6) - (9) находим:
J (z*+2)3“z “
3 , 1 г , 3 г , 3 z .
— —----------к" ————---------1——“ 3fCtg——
4(га+2)г 8 (2*4-2)* 32 z? +2 32/2 У2
= 3£L+9 10*~244. 3_ arctg -Д+с. 4
32(2*4-2)* 32 f2 12 1
Возвращаясь к переменной х, получаем:
С (Зх-2)Лс
J (х* -2х + 3)3
Зхз-9№ 4-1 Эх-37 з „ , х-1 , ,,
f ---------------к == а гctg —— + С.
’ . 32 (№ — 2x4-3)* 32f2 У'2
§ 307. Интегрирование рациональных функций !
(общий метод)
Рациональные функции интегрируются по общему ме-
тоду следующим образом:
1. Из данной функции исключаем, целую часть; оиа ин-
тегрируется непосредственно (§ 305, пример 1).
2. Знаменатель остающейся правильной дроби разлагаем
на действительные множители типа х-а и x2 + px+q,
причем множители второго типа должны быть неразложи-
мыми на действительные множители первой степени1).
Разложение имеет вид
аох'* + а1Хя-1+ ... =
, = а0(х—а)(х-&) ... (х2+рхн-(?) (№ + гх+S) ... (1)
Такое разложение всегда существует й);оио единственно. I
3. Числитель правильной дроби пробуем делить на ,
каждый множитель выражения (1). Если деление выпол-
няется без остатка, сокращаем дробь на соответствующий
множитель (§ 305, пример- 4).
4. Разлагаем полученную дробь на сумму простейших
дробей и интегрируем слагаемые по отдельности (§ 306). |
9 Если получился множитель хЦрх + q, разложимый на дей-
ствительные множители х—т и х — п, то его заменяем двумя этими
множителями.
г) В простейших случаях оно выполняется группировкой членов
и другими приемами, известными из алгебры. Об общин случае
§ 3071 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 427
Замеча п и е 1. Всякая правильная дробь разлагается
единственным образом на сумму простейших. Способ раз-
ложения объяснен ниже. Для лучшего его понимания
рассмотрены 4 случая, исчерпывающие все возможности.
Случай 1. В разложение знаменателя входят только
множители первой степени и ии один из иих ие повто-
ряется.
Тогда правильная дробь разлагается на простейшие по
формуле
а0(х —а) (х — &)... (х ~Г) x~a^x-b^ Х—1 * ' ‘
где постоянные Л, В, .. ,,L находятся (по методу неопре-
деленных коэффициентов) следующим образом.
а) Освобождаемся в равенстве (2) от знаменателей.
б) Приравниваем коэффициенты при одинаковых степе-
нях х в правой и левой части (может случиться, что
в левой часш нет соответствующего члена; тогда под-
разумеваем его с коэффициентом О). Получаем для неиз-
вестных А, В, ..L систему уравнений первой степени.
в) Решаем систему (опа всегда имеет единственное
решение).
Пример 1. Найти J ^*Г_6х'с1х’
Р е ш е п и е. Данная дробь - правильная. Разлагаем
знаменатель на множители:
х3+х2-6х = х (х - 2) (х+3). (3)
Числитель не делится ни на один из этих множителей, так
что дробь не сокращается. Все множители-первой сте-
пени и ни один не повторяется.
Согласно формуле (2)
Тх — 5___А В С ✓..
х (х-2) (хЧ-З) — х“^х-2^х + 3* * )
Для разыскания постоянных А, В, С освобождаемся
от знаменателей. Получаем:
7х—5 = А (х-2) (х+3)+ В (х+3) х+С (х-2) х, (5)
или
7х—5 (А+ В + С)х2 + (Д+ЗВ-2С)х-6А (б)
Приравниваем коэффициенты при Одинаковых степенях х
428
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(в левой части подразумеваем член 0 *ха). Получаем систему
А + в+ с = 0, )
Д ;-3/?-2С--7, > (7)
— 6А — --5. J
Решив ее, находим
П О 26 *
A = В^> С=-?5- (8>
и из (4) получаем следующее разложение данной дроби -
на простейшие:
____7х- 5____J I. 9 1 _26 1
х (х— 2) (х + 3) — 1> х + 10 х —2 15x4-3’
Интегрируя почленно, находим искомый интеграл
f g %.'-<>? Лх = ||п|х| + ^1.1|х-2|~^1п|х+ЗЦС.
Замечание 2. Постоянные А, В, С можно иайти
еще так: берем три любых значения х и подставляем их
в (5). Получим систему трех уравнений, из которой снова
найдем те же значения (8).
Это замечание относится и к случаям 2, 3 и 4. Но в слу-
чае 1 указанный прием можно еще упростить, взяв такие
значения х, которые обращают в нуль знаменатели простей-
ших дробей; в данном примере—значения х-~0, х=2,
№ -3. Тогда получаем систему -5= — 6А, 9-10/3,
— 26=15С, из которой сразу получаем значения А, В, С.
Случай 2. В разложение знаменателя входят лишь мно-
жители первой степени и некоторые из них повторяются.
Пусть множитель х — а повторяется к раз. Тогда в
разложении (2) надо заменить соответствующие к одина-
ковых членов суммой простейших дробей вида
И
Аналогично для других повторяющихся миожителей.
Простейшие дроби, отвечающие исповторяющнмся мно-
жителям, остаются прежними. Постоянные, входящие в
разложение, определяются как в случае 1.
Пример 2, Найти J
Решение. Разложение знаменателя имеет вид
х*-3х3+3х2-х = х (х-1)3.
§ 307. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 429
Все множители-первой степени. Множитель х нс по-
вторяется, множитель х— 1 повторяется трижды. Непо-
вторяющемуся множителю соответствует, как в примере 1,
простейшая дробь вида , повторяющемуся множителю
(х-1)-сумма трех простейших дробей вида
(х-1)'* ' (X - 1)<'х - 1 ’
Разложение данной дроби имеет вид
„х3 + 1 _ = д в С Р
Х(Х~-1)3 (х-Цз'Г (х-ly Цс~1
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
X3-1-1 « А(х- 1)8 + ВхфСх(х- l)-t-Dx(x~l)2 (10)
или
= (А+О)х3+(-ЗД + С-2О)хЧ-
+ (3A+B-C+D)x- А. (II)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х;
получаем;
А|-Л = 1, ]
-3A + C-2D=0, I
ЗД |. В-С I-D : - 0, f
- А — 1, J
Решив эту систему, находим:
Л = - 1, В = 2, С = 1, D 2.
Получаем разложение данной дроби
х» + 1 _ 12 1_____2
Х(Х-1)® X (X ~ 1)3 (X - 1)2 "^Х-1 ’
Интегрируя почленно, находим:
Г (х-з-|-1) г/х __
J х1—3№+3х“—х —
= -In Iх | 2In j x-1 |ч-С =
= . У j, ]п (у. j. г
(x-l? + |x[ C'
Другой вариант. Если положить в (10) сначала
х=0, затем х=1 (см. замечание 2), то получим сразу
А=-1, В = 2. Подставив в (10) еще два значения, на-
пример х=2 и х=-1, и учитывая найденные значения
А и В, получим систему 2С ; 2П —6, 2С — 40 = -6, из
которой найдем С= 1, D = 2.
430
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Этот способ особенно удобен, когда в разложении зна-
менателя много неповторяющихся множителей, а крат-
ность повторяющихся членов невелика.
Случай 3. В разложение знаменателя входят множители
второй степени (не разложимые иа действительные мно-
жители первой степени), и ни один из них не повторяется.
Тогда в разложении дроби каждому множителю
х2+рх+ q соответствует простейшая дробь
(типа П). Множителям первой степени (если они есть)
по-прежиему соответствуют простейшие дроби типа I.
Пример 3. Найти
Решение. Разлагаем знаменатель на множители:
х4;-4х3|-4х2 — 9 = (х3 + 2х)3-33 =
= (х2+2х+3) (Xs+ 2х-3).
Получили два множителя вида х? + px+q, но из них лишь
первый не разлагается на действительные множители пер-
вой степени
(«-(<)* = 3-Р=2»0].
Второй же
-3-К =-4-о]
разлагается:
х3+2х-3 == (х-1) (х+3).
Поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид *)
______7х34-26х—9 _ А В Сх+Д
(№ + 2х + 3) (х -1) (х + 3) х -1 + х + 3 + х2+ 2х + 3 ’ ' '
*) Не будет ошибки, если искать разложение вида
А'х + В' ] Cx + D
х2 + 2x-3+xs +2х + 3 ’
в данном примере вычисление даже упростится: мы получим А' =2,
В' =2 и найдем:
В общем случае все равно пришлось бы разлагать
Д Д
на сумму простейших - - : - *
X “ 1 X + о
А'.г-В'
'1Р°6Ь^Ч2ТРЗ
§ 307. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 431
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
7х2+ 26х- 9 = (х2 + 2х+3) [А (х + 3)+ В (х- 1)] +
+ (Сх+D) (х—1) (х + 3). (14)
Приравниваем коэффициенты одинаковых степеней х;
А + В+ С = О,
5А+ В+ 2С+ В> . 7,
9А+ В 3C-2D = 26,
9A-3B3D = -9.
(15)
Решая систему (15), находим
А - 1, В1, С — —2, D - 5,
так что
7№4-26х-9 J J -2x4-5
(х*+2х + 3)(х-1)(х+3) — xl~x|-3: х2+2х+3 ’
Интегрируя (см. § 306, случай Б), находим:
f = |„ | х-11+In |х+31-
J х1 + 4x3 + 4xs -9 1 1 ' 1 1
-In (х2+2х+3)+ ^Larctg^L1 ч С =
У 2 у 2
= ш | xa+2<zl k т arctg I±L+c.
j x=+2x + 3 |/2 /2
Д p у i о rt вариант. Для определения А н В пола-
гаем в (14) сначала х— 1, затем х= —3 (см. замечание 2),
Получаем простые уравнения 24 = 24А, — 24= — 24В и
находим:
А — 1, В = 1.
Полагая в (14) х = 0, получаем —9 = 9А — ЗВ — 3D, от-
куда D3. Полагая х= - I, находим С= - 2.
Случай 4. В разложение знаменателя входят множи-
тели второй степени (неразложимые на действительные
множители первой степени) и некоторые из них повто-
ряклся.
Тогда в разложении дроби каждому множителю №+
+рх+Я, повторяющемуся к раз, соответствует сумма
простейших дробей вида
_Л1 tT+Nfc . Mt—1X4-Na—1 Мх +Nt (t fi \
(-№4-Jpx4-<7)i + (xJ4-pX4-?)*-1 ^ * * * '’x»4-£X4-r{ ’ I '
432 ИНТЕГРАЛЬНОЕ исчисление
п Р И м е Р 4. Найти f .
Решение^ Разлагаем знаменатель на множители:
х5 + 2х3 + х =- х (х4 + 2х* 4-1) = х (х--|- l)s.
Множитель х~ +1 не разлат ается на дейс гвительныс
множители первой степени; он повторяется дважды. По-
этому разложение дроби имеет вид
Зх + 5 А Вх+С Dx + E
X (х2 Е I)2 ” х + (X2 +1 у т* + j
Освобождаемся от знаменателей.
Зх + 5 = A (V+ 1)J Ь (Вх ] С) х [ (Dx + E) х (х2 i I).
Приравниваем коэффициенты одинаковых степеней х,
Л f D - О, Е - О, 2 A — B + D = О,
С | Е -- 3, А + £ = 5.
Решая систему, получаем:
А = 5, В - - 5, С = 3, D - - 5, Е = О,
так что
(* (Зх + 5) dx г I* dx Г ( — Зх + 3) dx _ к f х dx
J xs+2xJ+x ~ 0 J x' j (x= + l)s ° J x2 + l
Вычислив средний интш рал, как объяснено в § 306
(случай В), найдем.
f (3x_+5)_rfx к , . Г____5_ _ _ Зх__
J хз + 2хэ+х 1ХИ[2(х2 + 1) 1 2(х2 + 1) +
4-arctg х] -^-1н (ха+ 1)4-0 =
= 5 In-UL: +ь-arctg х+С
у № + 1 2 (х2 + 1) 2
Замечание 3. Интеграл всякой рациональной функции теоре-
тически выражается (ср. примеры 1 —4) череа логарифмы рациональ-
ных функций, аркфункции и «алгебраическую часть» (т. е. рациональ-
ную функцию). Но множители вида х —а, х2+рх + ^(на которые разла-
гается знаменатель всякой рациональной функции), как правило,
можно найти лишь прибтиженно (см § 308)
Впрочем, по способу, открытому М В. Остроградским, алгебраиче-
скую часть можно всегда выразить точно, ибо для разыскания ее нет
нужды разлагать знаменатель.
§ 308 О РАЗЛОЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ 433
§ 308. О разложении многочлена на множители
Разложение многочлена
i- ... 4-й,t, (««НО. (1)
на множители сводится к решению уравнения
о0х'!+яли~1+ * +aJt = 0. (2)
Действительно, если известен какой-либо корень х, уравнения (2), то
мноючлен (1) разделится без остатка на х — хъ и мы получим разло-
жение вида
HoX’i + OjX” '1 I . F -
= «о (х -Xj) (А» -14 61х«--г+ ... 4-^-,). (3)
Поспособам, изла!аемым и высшей алгебре, всада можно пайги
(приближенно, но с любой точностью) один из корней всякого число-
вого алгебраического уравнения 1) Однако корень хд может быть и
мнимым
Получив разложение (3), мы можем далее найти корень х2 уравне-
ния хм-1+Ь1хн-с+ — О Число х2 будет вместе с тем корнем
уравнения (2) Для мнш очлсна (1) пп'ичиня такое разложение*
ЯОХ'Ч WpJ' -i-T . +«,; =
- д0 (х-Vj) (х-х2) (х^-2+С1х»-Ч ... Jc„_.) (4)
и т.д В конце концов получим разложение па п (действительных или
мнимых) множителей первой степени.
«оХ'!+«Л!г-14 ,.•+<*,!-Ду (х-хД (х-xj .. (х -х„), (5)
такое разложение е (инственпо Числа Xj, х2, . , хп —корни уравне-
ния (2) Эти числа называют также корнями многочлена (1) Не исклю-
чена возможность, что некоторые корни равны между собой. Но и
в этом случае считают, что уравнение (2) имеет п корней, только
каждый из корней надо считать да один, за два, за три и т д , смотря
по тому, сколько раз повторяв ген соответствующий множитель н раз-
ложении (5)
Если все коэффициенты мши оч ле на (1) действительны, то всякому
комплексному корню я + ₽< отвечает дру т ой комплексный корень а — pi
{сопряженные корни) Если один из сопряженных корней повторяет-
ся, го столько же раз повторяется другой
Два сопряженных комплексных мпожи1еля х—(“ + 30 и х —(а—₽()
дают в произведении действительный многочлен вида
X2 +px+q.
’) При делении многочлена (1) па двуч.тен х —х', где х' -при-
ближенное значение корня, получится в ос ытке некоторое чи-
сло д (равное значению многочлена при х =х/) По мере приближения
х‘ к Xj остаток д будет стремиться к нулю.
28 М. Я. Выгодский
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
434
Здесь
р = -2«, q = = £г> U.
Значит, всякий многочлен (с дейс тигельными коэффициентами)
разлагается на действительные множители типа х—х% и x2+px+q
(множители второго типа не разложимы на действительные множите-
ли первой степени).
Замечание. Хотя числа xk, р, qt входящие в множители вида
х-хд, х2 + рх +q, действительны, но, как правило, они являются ир-
рациональными. Еолес того, в том случае, когда многочлен (1) имеет
пятую или более высокую степень, эти числа, как правило, нельзя точ-
но выразить даже с помощью радикалов. Поэтому далеко не всегда
возможно т о ч и о разложить рациональную функцию на простейшие
дроби.
§ 309. Об интегрируемости
в элементарных функциях
Интеграл рациональной функции, как правило, не явля-
ется рациональной функцией (например, _ In х + с) .
Подобным же образом интеграл элементарной (нерацио-
нальной) функции, как правило, не является элементар-
ной функцией.
Так, инте] ралы , г ,
Jx dx_ Г dx С dx rxdx
)'l x;i’ Jy'l—Jinx’ Jinx
ие выражаются элементарными функциями1), хотя сходны^
на вид интегралы j
Ж- Ж’ ^Inx<Zl 1
являются элементарными функциями. j
По правилам дифференциального исчисления можно для*
любой элементарной функции найти ее производную (также
элементарную). В интегральном исчислении подобные
правила для разыскания первообразной принципиально не-
возможны.
Но для некоторых классов элементарных функций ин-
теграл всегда является функцией элементарной (хотя под-
час имеет сложное выражение). В § 307 был изучен один
такой класс (рациональных функций). В §§ 310-313 рас-
1) Тем не менее для всякой непрерывной функции неопределенный
^цтеграл существует (и притом является непрерывной функцией).
§ 310, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ РАДИКАЛОВ 435
смотрены другие важные классы и указаны общие правила
для вычисления их интегралов. Впрочем, во многих слу-
чаях предпочтительны частные приемы. Они подсказы-
ваются навыком.
§ 310. Некоторые интегралы, 4
зависящие от радикалов
Символ R(x, у) здесь и в дальнейшем обозначает дробь,
числитель и знаменатель которой —многочлены относи-
тельно букв х, у. Такая дробь называется рациональной
функцией двух переменных х, у (ср. § 304). Если знамена-
тель - постоянная величина (многочлен нулевой степени),
рациональная функция называется целой.
Аналогично определяется рациональная функция трех
переменных R (х, у, z), четырех и т. д.
Интеграл вида1)
'-№(££)• & <»
где а, рациональные числа, а р, q, г, з-постоянные
величины (числовые или буквенные), приводится к ин-
тегралу рациональной функции и, значит, выражается
вэлементарных функциях. Этой цели служит подстановка 2)
— t”, где л —общий знаменатель дробей а, р, .,«
В частности, интеграл
I - J/? [х, х«, х₽, ...] dx (2)
вычисляется подстановкой х- Г-.
Замечание. Приведение данного интеграла к инте-
гралу рациональной функции называют рационализацией
Пример 1. 1= .
J
Здесь р = q = s = 1, г = 0, а = , р = у . Общий зна-
менатель л=6. Интеграл рационализируется подстановкой
1 + х = ta, dx — 6tsdt.
*) Буква I здесь и в дальнейшем —сокращенное обозначение инте-
грала.
“) Предполагаемся, что - в случае — = -— дробь
е s’ г s rx+s
сводится к постоянной, и тогда не требуется никакой подстановки
28*
436 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Получаем:
1 = = - 6 f (<“ + <’ + (' + ls+(* + I’) dt =
= -
в_____
где t = П + х.
А
Пример 2. I = Jx 2(хз + 1) Vv.
Это-интеграл вида (2). Полагаем х = /в. Получаем:
; = А<П^ = -г}',.ч-3 arete/+С,
п _
где / .-= ]/ х.
§ 311. Интеграл от биномиального дифференциала
Биномиальным дифференциалом1) называется выраже-
ние
x“(a+6xs)^t/x,
где т, п, р~ рациональные числа, а, b - постоянные, не
равные нулю. Интеграл
I = Jxm (а + bxr)p dx (1)
выражается через элементарные функции в следующих
трех случаях.
Случай 1. р-целое число. Тогда интеграл подходит
под тип § 310.
См. пример 2 § ЗЮ, где m = — у , п-у, р — 2.
Случай 2. р-дробь ^р = у), но целое число.
Тогда интеграл рационализируется подстановкой
а + Ьхп - 2*
(s-знаменатель дроби р).
i) Некоторые авторы употребляют термин «дифференциальный
бином».
§ 311. БИНОМИАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 437
Пример 1.
I = j хт (з~2х^)-^ ах. (2)
Здесь т = п = = 2-целое число. Пола-
гаем
з
3-2x5 = z2. (3)
Можно выразить х через z и подставить в (2). Но про-
ще продифференцировать (3):
х 5 dx = - f’- z dz (4)
и преобразовать I с помощью (3) и (4) следующим обра-
зом:
I 1: J (з-2х»)“х> (х~тdx) =
= f = -|f (3-2=)* =
— — -5- z + - □ z3 FC,
Л 1“
где? = (з- 2x5)T.
Случай 3. Оба числа р = у и ~~— дробные, но их
m+1
сумма —+ р — целое число.
Тогда интеграл рационализируется подстановкой
ax~n + b = z*
(s-знаменатель дроби р).
Пример 2.
2
I = Jx-e(l + 2x3)3 dxt
Здесь Щ--6, л-3, р =-|- (дробь), ~-= -у (дробь),
~~п~ +Р — ~ 1 (Целое число).
Полагаем
х-3 + 2 = z3, x”4dx = -z’dz.
438 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Представив 1-1 2л? в виде x3(x-J+2), подучаем;
I - J .у-’ (х 3 |-2)dx J <* 2 (-2"tlz) -|г+с -
= ~’-x-5(l+2x3)“3+C.
Рассмотренные три случая были указаны еще Ньюто-
ном. Эйлер, которого никто из когда-либо живших мате-
матиков не превзошел в искусстве преобразований, без-
успешно искал новые случаи umei рируемостц биномиаль-
ного дифференциала. Он пришел к убеждению, что эти
три случая единственные. Но лишь II. Л. Чебышев в 1853 г.
доказал утверждение Эйлера. Д. Д. Мордухай-Болтовской
в 1926 г. доказал соответствующую теорему для интеграла
вида (1) при иррациональных показателях т, р, р.
§ 312. Интегралы вида J У«а-3 +
Интегралы этою вида’) рационализируются одной из
подстановок Эйлера.
Первая подстановка Эйлера применима
при а--О. Полагаем а)
'/а^ + бх+с+х^а ~ t. (1)
Тогда _
лх2+ &хч-с = G — х /а)2.
Члены, содержащие х2, взаимно уничтожаются, и х (а
значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив
это выражение в (1), найдем рациональное выражение и
для радикала /ох3+ &х + с.
Пример 1.
Полагаем
У7с2 + х2 = t-x.
1) Можно считать, что а ^0, ибо при а >=0 получаем случай §310.
2) С тем же успехом можно положить
/ах*+ = (.
g 312. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА j* 7? (х, /^+fcc+c) rfx 439
Отсюда
_ '2-*2 ,к-_. <.t4-&)dt
л — 2/ ’ 21* ’
ffc’ + F = i - х -_- .
Следовательно,
, = J^M:±^ = J« = In|d+Cj
I = in (x+ f*®+F)+c.
Третья подстановка Эйлера (о второй см.
ниже замечание) применима всякий раз, как трехчлен
ох! + &х + с имеет действительные корни, и, в частности,
при Ч '-0 ’).
Петь корни будут xlt Хп. Тогда полагаем
= t. P)
Г X Х$
откуда находим рациональное выражение х через t:
Рациональное выражение радикала находим так:
¥ах2 + Ьх+с -- Ко (х х2) (х-х3) =
= y24^(x~^)2 = *lx~x2h (4)
Пример 2. / - f - -/;х —-.
J (х-1)У~х*+Зх-2
Трехчлен х2 - Зх - 2 имеет корни кд 2, х2 - 2:
-х2 + Зх-2= -(х-2) (х- 1).
Подкоренное выражение положительно при 1-=х-=2
(при х= 1 и X—2 подинтегральная функция обращается
в бесконечность).
9 При а -=: 0 трехчлен ах'^ + Ьх+с м<я* бы иметь и комплексные
корни (если 4ас — № > 0), но тогда в силу тождества + 6х + с =
= -^--[(2ах 4- Ь)2+(4лс— 6й)] трехчлен имел бы всегда отрицательные
значения, так что корень /ах2 + дх + с был бы мнимым при всяком
значении х.
440 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полагаем х)
= <5)
Отсюда
2/2 4-1 . 2tdi
Х Л’<-1 ’ dx (/г4-1)2’
у_{х„2) (х-1) = ]/ { Х-2 J =
- t \х — 2 | = — Цх—2)
(в силу неравенства 1 --v - 2 величина х — 2 отрица-
тельна). Подставляя в правую часть выражение х через t,
находим:
f-(x-2)(x-lj = (7)
В силу (б) и (7) имеем:
Г dx _ Г 2 di __ _ 2 _
J (х— I) у —(х—2) (х— 1) J i
=
Замечали е. Первая и третья подстановки Эйлера
достаточны, чтобы вычислить любой интеграл рассматри-
ваемого вида. Для полноты приведем и вторую под-
становку Эйлера
fax! + 6x+c = tx+fc. (8)
Оиа применима при с -О. Возводя в квадрат и деля на х,
получаем рациональное выражение х через t; затем (8)
даст рациональное выражение радикала.
откуда
§ 313. Интегралы вида J Л (sin т, cos x)dx
Интегралы этого вида рационализируются подстановкой
tg-J = Z, (1)
2z „ l-Zt sinx =5^, cosx = i?7!, (2)
itX=^ l-bx3' (3)
J) Можно положить Xj =2, х2 = 1. Тогда третья подстановка
Эйлера видоизменяется ^надо будет положить j/""
§ 314. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
441
Пример. / - Г •
* 1 J 3+5cosx
С помощью (2) и (3) получаем:
Подставляя сюда z — tg , находим:
§ 314. Определенный интеграл')
Пусть функция / (х) непрерывна внутри промежутка
(а, Ь) и на его концах. Внутри промежутка возьмем п по-
следовательных точек ХрХо,
Хз, Х|, .... х, (черт. 327,
где л-0); для единообра-
зия обозначим а через Хо, а
b через хй+1. Промежуток
(а, &) разобьется иа п + 1
частичных промежутков
(Хо, xj, (х,. xs), (х„, Х3),. . .
• •> (хп_1, (х„,
В каждом из частичных
промежутков (внутри или на
одном из концов) возьмем по точке [точка 51 в про-
межутке (xOt Xj), промежутке (хъ х3) и т. д.].
Составим сумму
= / (51) (*1 - *о) + / (£3) (х3 - хО -f- . . .
• 4*/ (5»+i) (Хд+i —xn). (1)
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
числа промежутков (x0> xj, (хь х2),. .. наибольшая из их
длин стремится к нулю, то сумма S„ стремится к некоторо-
му пределу 8. Число 8-одно и то же при любом способе
образования частичных промежутков и при любом выборе
точек U....
J) Рекомендуется предварительно прочесть § 292, п. 2.
442 интеГрАльнЕе Исчисление
Наглядное пояснение теоремы дает черт. 328. Сумма
численно равпа площади заштрихованной ступенчатой фи-
гуры [основание левой ступеньки равно хг — х0, высота
ее = значит, площадь равна /(§,) (хг — х0) и т. д.].
Че муже ступеньки, тем бли-
же площадь ступенчатой
фигуры к площади «криволи-
нейной трапеции» х0АВхп+ъ
так что предел $ суммы
численно равен площади
фигуры х0АВхп+1.
Сумму (1) часто обозначают
сокращенно
Sjf(W(Xi“3q-i). (2)
Здесь знак X (прописная греческая буква «сигма», соответствую-
щая русской букве «С») указывает, что выражение (2) есть сумма одно-
типных членов. Выражение f ($,-) (xf — x,_i) указывает закон образо-
вания членов: при i= 1 получается первый член, при i =2 -второй и
т. д. Употребляется также более подробная запись
Е+ У(5г) (x.-x.-i). (2а)
(к1
Здесь отмечено, что первый член соответствует значению i =1, а по-
следний —значению i = п +1.
Определение. Предел, к которому стремится
сумма (1), когда наибольшая из длин всех частичных про-
межутков стремится к нулю, называется определенным
интегралом функции /(х). Концы а, b данного проме-
жутка (промежутка интегрирования) называются преде-
лами интеграла — нижним (а) и верхним (&).
Определенный интеграл обозначается
ь
$t(x)dx. (3)
Эта запись читается: интеграл от а до b зф от икс
дз икс.
Значение определенного интеграла зависит от вида
функции / (х) и от значений верхнего и нижнего преде-
лов. Аргумент функции можно обозначить любой буквой,
§ 514. Onpi-ДИ-ППННЫЙ ИНТЕГРАЛ 443
Например у, так что выражение
ь
J f(y)dy (4)
а
представляет то же число, что (3).
Замечание. Верхний предел b может быть больше
пли меньше нижнего а. В первом случае
(5)
Во втором случае
а^х^х^ ... ^xM_r^xM^&. (6)
Д о по л нс пие к определению. В определении
предполагается, что а^Ъ. Но понятие определенного ин-
теграла распространяют и на случай п=&; именно инте-
грал с равными пределами считается
равным нулю:
а
f/(x)dx = O (7)
а
[□то соглашение оправдано тем, что
интеграл (3) стремится к нулю при сбли-
жении а и Ь, ср. черт. 327].
ъ
Пример. НаЙги J 2xdx, Здесь
Черт. 329.
i (х) - 2х. (8)
Решение. Разобьем промежуток (а, Ь) на равные
части (черт. 329); тогда абсциссы
Xq Д, Xi, Xg, . . . , Xn, XnJ|_| = b
образуют арифметическую прогрессию с разностью
Х,-ХО = Xg-X, = ... = (9)
За точки §2» • • • примем правые концых) последе-
То есть ступеньки прилегают справа к ординатам прямойу =2х.
444 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
нательных промежутков (a, xj, (xi( х3), ... , так что
Si ” Х1, = Х3, * *, Sn = Sn+1 = Ь,
/(Si) = 2хь /(Sa) = 2х., /(?.) = 2xw, /(5м+1) = 2&- (10)
В силу (8) и (10) сумма (1) принимает вид
S„ = 2%! (хх - х0) + 2х3 (х3— xj + ... + 2хл (хк -%„,.!) +
4-2х„+1(х„+1 — х„) — 2 j (х\ + ха4- ... 4-хя+1).
Суммируя арифметическую прогрессию, находим:
S. = 2 й=т = (6-a)(x1 + t). (11)
При неограниченном увеличении числа равных проме-
жутков длины их стремятся к нулю; при этом хг стре-
мится к а. Поэтому
lim S„ = (b — а) (Д4- Ь) = Ь- — а2;
стало быть,
* J 2xdx = Ьг~а\ (12)
а
Точно так же
J 2ydy = b3-a2,
Т ®
\2tdt = b‘2~a2
Черт. 330. “
и т. д.
Величина Ь2 — а2 есть площадь S трапеции А'АВ В'
(черт. 329); действительно,
$ = | (Д'4+ В'В)А'В' = у (2а4-26) (b-a) ~ bs~a2.
Второй способ. Разобьем промежуток (а, Ь) на
неравные части так, чтобы точки х0, хъ хг,хя>
образовали геометрическую прогрессиюг) (черт. 330)
х0 = a, Xi = а?,..., хй = aqn, xrt+1 = b = agn+1. (13)
Это возможно, если оба предела а, Ъ имеют одинаковый знак
(ни один из них не должен равняться нулю). В предыдущем способе
числа а и & могут быть любыми.
§ 315. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 445
Из последнего равенства находим:
<Г+1 = 4- (14)
За точки примем левые концы1) последова-
тельных промежутков (а, xj (хъ х2),так что
51 = а, = хя_п &,+1 = х„.
Сумма (1) примет вид
$„ = 2х0(х1-х0)+2х1(хг-х1)+ ...+ 2х„(х(,+1-х„) =
= 2а2 (q- 1)[1 + 9г+ q*+ ... + ?2я].
В квадратных скобках — геометрическая прогрессия со
знаменателем </2. Суммируя ее, находим:
\q 1) ~ 9+ j
или в силу (14)
s 2а* [(т) -I] _ 2(^-~«2)
S”'" g+i ~ д+1 • <15)
При неограниченном увеличении числа п знаменатель qr
как явствует из (14), стремится к единице:
lim q = 1. (16)
Длины всех частичных промежутков стремятся к нулю.
В силу (15) и (16) имеем;
lim Sn = b2 — а2,
т. е.
ь
J 2х dx = Ь2- а2.
§ 315. Свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов определенный интеграл
сохраняет абсолютное значение, по меняет знак на обрат-
ный:
ь а
j* /(x)dx = -J f(x)dx. (1)
a »
J) To есть ступеньки прилегают слева к ординатам прямой у=2х.
446 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вытекает из сопоставления сумм Sn, соответствующих < обеим
интегралам,
к е Ъ
2. J / (х) dx = J / (х) dx+ J I (x) dx. (2)
ft a c
Это свойство поясняется черт. 331 (пл. аАВ&=пл. аАСс+
+ пл. cCBb), но оно имеет место и тогда, когда точка с
лежит вне промежутка (а, £»).
2а. Вместо одной добавочной точки с можно взять
несколько; так, при трех точках к, I, т имеем:
Ъ к I т Ъ
J / (х) dx = [ / (х) dx+ J / (х) dx+J / (х) dx+ J f (х) dx.
в а к I tn
Порядок точек безразличен; практически важен случай,
когда а, к, I, т, b взяты в порядке возрастания (черт. 332)
или убывания.
3.,Интеграл алгебраической суммы неизменного числа
слагаемых равен алгебраической сумме интегралов отдель-
ных слагаемых; так, при трех слагаемых
ь
J [/i(x)+/3(x)~ /3(х)1 dx =
ъ ъ ъ
= J /1 (X) dx + J /г (х) dx - J /3 (х) dx. (3)
4 4 а
4, Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
» ъ
J mf(x)dx= т J / (х) dx.
§ 31б. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 447
§ 316. Геометрическое истолкование
определенного интеграла
Рассмотрим интеграл
5
J/(x)dx, (1)
v которого нижний предел меньше верхнего (п-=Ь)г).
Если при этом функция / (х) положительна внутри
промежутка (а, (?) (черт. 333), то интеграл численно равен
(§ 314) площади, покрываемой ординатами графикау=/(х)
(aADEBb на черт. 333).
Если функция / <х) отрицательна внутри (а, Ь)
(черт. 334), то интеграл по абсолютному значению равен
площади, покрываемой ординатами, ио имеет отрицатель-
ное значение.
Пусть теперь /(х) один или несколько раз меняет знак
в промежутке (а, b) (черт. 335). Тогда интеграл равен
Черт. 335.
разности двух чисел, одно из которых (уменьшаемое) вы-
ражает площадь, покрытую положительными ординатами,
а другое (вычитаемое) — площадь, покрытую отрицатель-
Ч Случай а>6 сводится к рассматриваемому в силу § 315, п. 1.
Черт. 336.
448 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ными ординатами (ср. § 315, и. 2а).Так, для случая, изо-
браженного на черт. 335,
f f(X)dX = ($!+$;, |-S5) - (S24 $<).
a
1
Пример. Интеграл J 2xdx равен (§ 314, пример)
— 2
l2-( —2)2=-3. Это число равно разности площадей
(черт. 336)
ОЬВ ^~ОЬ ЬВ = 1
11 J
ОаА = ~аО-.Аа -- 4.
§ 317- Механическое истолкование
определенного интеграла
1. П у т ь материальной точки.
Пусть материальная точка движется в
одном направлении со скоростью
[f~ продолжительность движения]. Требуется найти путь s,
пройденный точкой с момента /—7\ по момент t=Ts.
Если скорость постоянна, то
s^iT^T,).
Если же скорость меняется, то для разыскания s надо
разбить промежуток времени на частичные промежутки
(Т„М,G),
Пусть Tj-какой-либо момент промежутка (Tj, fj, т3-
какой-либо момент промежутка (flt /3) и т. д.
Величина / (тг) есть скорость в момент rt; произведе-
ние / (т,) (1Л -1\) выражает приближенно путь, пройден-
ный за первый промежуток времени. Точно так же
/(т2) (tz—А) приближенно выражает путь за второй про-
межуток и т. д. Сумма
5п = / (Г1) (fj“ T’J-f-/ (Та) • • • +/ (Тп ц) G
$ 317. МЁХАНИЯЁСКОЁ ИСТОЛКОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА 449
выражает путь s тем точнее, чем меньше частичные про-
межутки. Предел суммы s„, т. е. интеграл
3'2
J tftdl,
3'1
дает точное значение пути
Пример. Скорость материальной точки растет про-
порционально времени, протекшему отначалыюго-момента:
v = mt.
Найти путь, пройденный от начального момента до мо-
мента Т,
Решение. Искомый путь выражается интегралом
функции mf; нижний предел равен нулю, верхний равен Т
у
s = J mt dt = m J tdt
Q
b
(§ 315, n. 4). Мы знаем (§ 314, пример), что J 2tdt =
Ь 4
= Ь2-аг. Значит (§ 315, n. 4), J tdt = При a=0,
a
b = T имеем:
j1
s = m J t dt ~ ~ mP.
О
2. Pa б о та силы. Если постоянная силаР действует
на материальную точку, движущуюся по направлению силы,
то работа А силы на участке (st, s3) находится по формуле
А = Pfo-Sj).
Если же сила Р сохраняет направление движения, ио
величина ее меняется в зависимости от пути $,.т. е.
P=f(s), то работа находится по формуле
*2
А = J f(s) ds.
29 М. Я. Выгодский
450
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 318. Оценка определенного интеграла
Теорема 1. Если т есть наименьшее, а М — наи-
большее значение
функции / (х) в промежутке (а, ь), то
значение интеграла J /(x)dx заклю-
чено между т (Ь-и) и М (Ь - а).
При а -= b имеем:
ь
т (b — a) J / (х) dx = М (b - а). (1)
Геометр
черт. 337, по
меньше abLR.
При а > b знаки неравенства заме-
няются противоположными.
е с к и: фигура, заштрихованная на
и ч
площади больше* прямоугольника abl/c и
в
Пример. Оценить интеграл J 2х dx.
Решение. Наименьшее значение функции 2х в
промежутке (4, 6) есть т = 2.4 =- 8, наибольшее зна-
чение М = 2-6 = 12. Наконец, b-а = 6-4 = 2. Значит,
интеграл содержится между 8-2= 16 и 12-2 = 24;
Геометрически (черт. 338) пл. а А БЬ пл. aCDb < пл. аЕРЬ.
Теорема I есть частный случай теоремы 2(ф(х)=т, 9(х)=Л1).
Замечание. Теорема 2 утверждает, что неравенства можно
интегрировать. Дифференцировать же неравенства нельзя.
§ 319. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
451
§ 318а. Неравенство Буняковского
Оценка интеграла по формуле (I) § 318 обычно очень груба. Суще-
ствует ряд формул для более точной оценки; среди них важную роль
играет неравенство Буняковского ’)
ъ ъ ъ
[j* /(X) <р (х) dx]3 < j* г/(X)]2 dx- j [? (х)]= dx.
а а а
1
Пример. Оцепить интеграл 1 = J /1 + ха dx.
о
Представим подинтегральмую функцию в виде bfl + №, так что
/(х) = 1, ф (X) 3= /1 d хг. Неравенство Буняковского дает:
1 1 I
/г < j* 1« dx- [ (fl + №)s dx « J (I I х») <fx = у ,
OO 0
откуда
I 1.155.
fa
Формула (Г) § 318 дала бы (М =/й); / </2-= 1,415. Истинное
значение интеграла (найденное по способу § 323) есть
I - J ~ 1л (х + ^^грГ) | J =
= 4 f2+yMi +К2) » 1.147...
§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления
Определенный интеграл 2) равен произведению длины
промежутка интегрирования (а, Ь) на значение подиптег-
ралъной функции в некоторой точке £ промежутка (а, Ь):
ъ
jf(x)dx = (b-a)f№ (a^l^b). (i)
i) Академик Виктор Яковлевич Буняковский
(1804 -1889) -выдающийся русский математик, работавший пре-
имущественно в области теории вероятностей и теории чисел.
а) При распространении понятия интеграла на случай разрывной
функции (§ 328) теорема о среднем теряет силу,
29*
452
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пояснение. Будем смещать прямую KL (черт. 339)
от положения CD к положению EF. В начале движения
вующэя точке
ь
площадь AK.LB меньше чем | / (х) dx
(ср. § 318, теорема 1), в конце —боль-
ше. В некоторый промежуточный мо-
мент должно иметь место равенство
ъ
пл. AKLB — J f(x)dx. Основанием пря-
моугольника AKLB служит АВ = Ь-а,
а высотой — ордината NM, соответст-,
N (EJ промежутка АВ. Стало быть
а
(Ь - й) / (£) = J / (х) dx.
Замечание 1. Теорема о среднем устанавливает,
что уравнение (1), где $ рассматривается как неизвестное,
имеет по меньшей мере один корень, заключенный между
а и Ь.
Пример. При / (х) = 2х формула (1) принимает вид
ъ
f 2xdx ~ (Ь~а)2$. (2)
Теорема утверждает, что § лежит между
а и Ь. Действительно, интеграл равен
63 - а2, н формула (2) дает:
Р _ Ь2 — аг а + Ь
’ “ 2 (6-а) “ 2 *
т. е. £ — среднее арифметическое ’) ме-
жду а и Ь.
Замечание 2. Теорема о среднем днф- Черт. 340.
ференциальнсго исчисления (§ 264) отличается
от теоремы настоящего Параграфа по существу только обозначе-
ниями. Обозначим подинтегральную функцию формулы (1) через/' (х).
О Геометрическая формула (2) выражает известную теорему о пло-
щади трапеции (АСЕВна черт. 340; АВ -а есть высота, NM «25-
средняя линия).
§ 320. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ 453
Формула (1) примет вид
»
J f'(x)<ix = (6 -a)f' (5).
0
Здесь левая часть равна /(&) — f (а) (см. ниже § 322), и мы полу-
чаем формулу Лагранжа
Г(6)~Л«) =
[в применении к функции J (х), обладающей непрерывной производ-
ной].
§ 320. Определенный интеграл как функция
верхнего предела
j
При неизменных пределах а, b интеграл J / (х) dx от
данной функции /(х) имеет определенное числовое значе-
ние. Если же верхний (или нижний) предел способен при-
нимать различные значения, то интеграл становится функ-
цией от верхнего (или ннжнего) предела. Вид се зависит
от вида подинтегральной функции / (х) (а также от зна-
чения постоянного нижнего предела). О характере зави-
симости см, § 321, теорема 2.
t
Пример 1. Интеграл J 2f di имеет числовое значе-
0
г з
ние 1, интеграл J 2/ di - значение 4, интеграл J 21 dt-
о о
значение 9 и т. д, Стало быть, J 2t dt есть функция от х;
о
она выражается формулой
j2M^xa. (1)
о
Замечание. В формуле (1) переменное интеграции
и переменный верхний предел обозначены разными бук-
вами (i и х), ибо эти переменные играют разную роль
454
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в процессе интегрирования. Именно, сначала мы вы-
числяем (§ 314) предел суммы
Sn = 2tj (tA — 0) + 2т2 (t2 — tj) + -• + 2тл+1 (x —1№),
где tu tt) , t„. взяты между 0 и х, а числа rlt т2, ...
принадлежат промежуткам (0, ^), (tlt В этом про-
цессе х остается постоянным.
Затем х подвергается изменению, и теперь мы уже не
имеем дела с переменной L
Если вместо (1) написать:
J 2х dx = х3, (2)
о
то упомянутое различие затушевывается-
Тем не менее часто пользуются записью (2) и вообще
пишут:
J / (х) dx (3)
I 3
[а также J / (/) dt, J / (s) ds и т. п.]. Дело в том, что после
< Л
выполнения интегрирования переменный предел имеет
тот же смысл (геометрический, механический и т. д.),
что и переменная интеграции (см. примеры 2 и 3).
Пример 2. Площадь S треуголь-
ника ОРМ (черт. 341) выражается инте-
гралом J xdx:
о
S = J х dx = ~. (4)
о
Пусть ордината РМ подвижна: тогда интеграл (4) есть
функция верхнего предела; в соответствии с этим напи-
шем t вместо а:
S - J х dx = ~.
о
(5)
§ 321. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ИНТЕГРАЛА 455
Запись (5) безупречна, но неудобна, ибо в формуле
S = ~ буква t представляет абсциссу, а последнюю мы
обозначили через х. Поэтому часто предпочитают ие
вполне точную запись
S = | х (/X = у. (6)
о
Пример 3. Скорость v свободно падающего тела
выражается формулой
v=gt. (7)
Путь s, пройденный падающим телом за промежуток вре-
г
мепи (О, Т), равен (§ 317, п. 1) интегралу J gtdt:
о
т
8 = $gl<H = ±gT*. (8)
о
Запись (8) безупречна, но в формулах (7) и (8) аргу-
менты имеют различные обозначения, тщда как их физи-
ческий смысл — один и тот же. Поэтому вместо (8) пишут:
s - J gt dt = gt2.
о
§ 321. Дифференциал интеграла
Теорема 1. Дифференциал интеграла с переменным
верхним пределом х) совпадает с подинтегральным выра-
жением
d J / (х) dx = / (х) dx. (1)
а
х
‘ Формулу (I) точнее записать d J/(O dl -f (x) dx (cm. § 320).
a
j) Интеграл с переменным верхним пределом x всегда является
дифференцируемой функцией от х.
456
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример.
d J 2х dx = 2х dx.
о
(1а)
Проверим это равенство. Мы имеем (§ 320):
г J
J 2х dx ~ Xs.
U с И
Дифференцируя, получаем (1а).
3 а м е ч а и и е. Из (1) получаем: - ’
£ f Нх) <ix = / (х), (2)
пределу
совпа-
дает
с
т. е. производная интеграла по верхнему
подинтегральной функцией. Эю предложение
можно высказать еще в такой форме.
Теорема 2. Иитег рал с пере-
менным верхним пределом есть одна
нз первообразных (§ 293) под инте-
гральной функции.
Пояснение формулы (1).
Площадь ALMP (черт. 342) выра-
жается интегралом J / (х) dx. Когда х
возрастает на dx=PQ, площадь ALMP получит приращение
PMNQ. Это приращение разбивается на прямоугольник
PMKQ и криволинейный треугольник MNP. Площадь
прямоугольника равна PM-PQ = /(х) dx; она пропор-
циональна dx, а площадь треугольника MNP имеет высший
порядок относительно dx (на черт. 342 оиа меньше чем
MP PN = dx Ду). Значит (§ 230), подинте! ральпое выра-
жение / (х) dx есть дифференциал интеграла J f (х) dx.
Пояснение формулы (2). Если / (t) - скорость
Г
точки в момент I, то f / (t) dt есть (§ 317, п. 1) путь s,
§ 322. ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА 457
пройденный точкой за время, отделяющее момент t от
начального момента а.
t
s = f / (0 dt. (3)
а
t
Производная J / (t)dt есть скорость точки (§ 223).
а
t - .
Стало быть, ~ J / (/) dt = / (/).
§ 322. Интеграл дифференциала.
Формула Ньютона—Лейбница
Нижеследующая теорема сводит вычисление определен-
ного интеграла к разысканию неопределенного интеграла
(ср § 323).
Теорема. Интеграл от дифференциала функции F (х)
равен приращению функции F (х) на промежутке инте-
грирования:
5
JtfFW = F(»)-F(a). (1)
а
Иными словами: если F(x) есть какая-либо первооб-
разная иодинтегральной функции / (х), то
i
fFW-Ffo). (2)
Формулу (2) у нас часто называют формулой Ньютона —
Лейбница х).
Пример 1. Имеем (§ 314):
ъ
J 2xdx = 63~а3. (3)
*) Название справедливо лишь постольку, поскольку Ньютон и
Лейбниц первые использовали связь дифференцирования с интегриро-
ванием для разыскания интегралов. Но формулы (2) у них нет (ни
в буквенном, ни в словесном выражении). В геометрической форме
теорема настоящего параграфа (равно как теорема I § 321) была уста-
новлена Барроу, учителем Ньютона.
458 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Подиитегральное выражение есть дифференциал функ-
ции х2 (dx- = 2xdx). При переходе от х -- а к х - b
функция х2 получает приращение ь2 — а3. Формула (3)
выражает, что интеграл равен атому приращению.
&
Пример 2. Найти интеграл J 3xz dx.
Решение, Заметив, что подынтегральное выражение
есть дифференциал функции х3, получаем по формуле (2);
I
i *
J Зха dx = J d (xs) = b3-a3. (4)
Пояснение. Интеграл J Зх2 dx равен (§314) пределу суммы
А
Зх0 (Xj “ Xq) + 3xj (х2 —Xi) + ... + Зхп_1(хп — хя_i) +
+ Зх'н (X'rt 4-1 — хв) - (5)
Первое слагаемое есть дифференциал функции х3 для промежутка
(х0, Xj), второе — для промежутка (xlt х2) и т. д. Заменим каждый
дифференциал соответствующим приращением. Получим сумму
(^?"^)+(^aa-^) + - + (xn-^_i) + (xn+i-^) <6>
Раскроем скобки. Все члены, кроме х’=аа и х® । г=&3, уничто-
жатся, так что сумма (6) в точности равна &3 —а3.
При переходе от (5) к (6) допущен ряд погрешностей, но каждая
из них имеет высший порядок относительно соответствующего прира-
щения аргумента. Поэтому, несмотря на накопление погрешностей,
сумма последних бесконечно мала. Значит, выражение (5) при неогра-
ниченном возрастании числа его членов разнится от Ь3 — «3 па бес-
конечно малую величину. Иными словами, Ь3 —а3 есть предел суммы
(5), т. е.
, ь
J Зх2 Дх = Ь3 - а3.
d
Таким же образом выводится общая формула (1).
Механическое истолкование. Пусть точка
движется в одном направлении и пусть F (t) - расстояние
§ 323. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 459
гочки от начального положения в момент t. Производ-
ная = / (0 есть (§ 223) скорость. Значит, инте-
грая J / (f) dt выражает (§ *317) путь s, пройденный с мо-
мента t = a по момент t=b:
ъ
s=jl(t)dt. (7)
Но в момент t = a расстояние от начального пункта есть
F (а), в момент t = b оно равно F (Ь). Значит,
s= F(b) — F(a). (8)
Сопоставляя (7) и (8), получаем:
//(ОШ = F(b) — F(a).
§ 323. Вычисление определенного интеграла
с помощью неопределенного
Правило. Чтобы вычислить определенный инте-
и
грал J / (х) dx, достаточно найти неопределенный интеграл
J / (х) dx, подставить в найденное выражение вместо х
сначала верхний предел, затем нижний и вычесть вторую
величину из первой.
Это правило основано иа теореме § 322.
Замечание. Постоянное слагаемое неопределенного
интеграла можно ие выписывать: оно все равно уничто-
жится при вычитании.
s
Пример 1. Найти j 3x2dx.
-2
Решение. Находим неопределенный интеграл
J Зх2 dx == хНС.
460
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Подставив х = 3, находим 27+С; при х= -2 получаем
-8 ,: С. Вычитая вторую величину из первой, находим:
3
f 3x»dx.= (27+C)-(~8+C)== 27-(-8)==35. (1)
-2
Постоянное слагаемое С при вычитании уничтожилось.
ТС
Пример 2. Найти J sin х dx.
о
Решение. Имеем: J sin х dx = - cos х (постоянное
слагаемое опускаем). Следовательно,
ТС
J sin х dx - - [cos тс - cos 0] = 2. (2)
*
Обозначение подстановки. Запись
Г(х)
ь
или [Г (х)]
(3)
(читается: «F (х) с двойной подстановкой от а до Н
обозначает то же, что F (&) - F (а). Напрнмер, вме-
сто - [cos ТС - COS 0] ПИШУТ - COS X
ИЛИ [ - COS X] .
о о
Пример 3. Найти J ~~.
о
Решение.
J STS-. = [4 агс‘е4К - 4arctg 1 - 4 аге‘е 0 = £
о
Пример 4.
f ___________1_|» _ _J_ JI, _2
J (x - 2)« ~ x - 2 |з 3 1 ~ 3 ’
§ 324. ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 461
§ 324. Определенное интегрирование по частям
Интегрирование по частям (§ 301) можно применять
непосредственно к определенному интегралу, пользуясь
формулой
«8 *8
J и 4ft> = uv Г - J du. (1)
Применение формулы (1) выгоднее, чем предварительное вычислен
ние неопределенного интеграла, особенно, когда интегрирование по
частям выполняется повторно.
КТ-
Пример 1. Z =
Полагая
U =: X,
находим:
Л*
“ (1 +*2)2 " **[“ 2 (1 +X»)J >
Г? dx
1 ~ J XaL~ 2(1+#)] = "“2 (1 +#>’ 1Г+ J 2 (1+#)
о 0
=> -^+1 arctg Уз => « 0,307,
V
Пример2. I = J xsin xdx.
о
Имеем;
Tt TC
2 5. 2
I - J xd (-cosx) = “Xcosxl* + J cosxdx.
О о
Первое слагаемое обращается в нуль; получаем;
к
I => Sin X [0 — 1s
462
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле
*2
Правило. Для вычисления интеграла J/(x) dx можно
ввести вспомогательную переменную z, связанную с х
некоторой зависимостью. Подинтегральное выражение пре-
образуется, как при неопределенном интегрировании (§ 300),
к виду Д (z) dz. Сверх того, надо заменить пределы х„
х2 новыми пределами гг, z2 с таким расчетом, чтобы этим
значениям переменной г соответствовали данные значе-
ния х1( х2 переменной х. Если это возможно, то имеем х):
J / (х) dx = j Д (z) dz. . - (1)
«1 «1
Пример 1. Найти
J f2x^Tdx.
б
Решение. Введем вспомогательную переменную z,
связанную с х зависимостью
z=2x-l. (2i
Выражая х через z, получаем:
х = (3)
Подинтегральное выражение /2х~ 1 dx преобразуется
к ВИДУ
Пределы х\=5, х2=13 надо заменить новыми zlt z2 по
формуле (2):
= 2;<j - 1 -- 9, z2 = 2х, — 1 = 25.
9 Предполагается: 1) что зависимость между х и Z можно выра-
зить формулой х = ф (г), где функция ср (г) имеет непрерывную произ-
водную в промежутке (zlt х%); 2) что функция / (х) непрерывна для
всех значений, которые принимав г х, когда z изменяется в промежутке
(*1> ягж>.
§ 325. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 463
Согласно (1) имеем:
13 25 j
f = {гЧ]” = 32|.
5 S
Пример 2. Найти J ) а2- № dx.
Решение. Подстановка
х = a sin t (4)
приводит (§ 303, пример 1) подинтегральное выражение к
ВИДУ ______
аг fl -sin2? cos t dt = ± a2cos2ft#. (5)
Верхний знак берется, если t принадлежит первой илц
четвертой четверти, нижний - если второй или третьей.
Новые пределы tlt /, надо выбрать так, чтобы
— а = a sin flt а = a sin ?3.
Это возможно, н притом двояким образом. Можно взять:
/ - _Л t - Л
*1 2 > ‘2 2 *
Тогда t изменяется в пределах четвертой и первой
четвертей, поэтому в (5) берем верхний знак; получаем:
+«
| Уа2-№ dx =
л
= й2 J cq&2 tdt = ^-(t +~sin 2?) 2 =^.
7Г Л
* 3 * " 2
Можно также взять:
<1 — 2 * - ~ 2 ’
, ио тогда в (5) берем нижний знак; получаем;
л
+ л 2
j* /a8-*8 dx = - a3 J cos31 dt = —.
— a Sjc
464 интегральное исчисление
Если взять в (5) верхний знак, получим неверный ре-
па'
зультат —
Замечание. Способ подстановки может привести
к ошибке, если не соблюдено условие, высказанное в пра-
виле, а именно, если нет таких значений zJt z3, которым
соответствовали бы данные значения хг пределов инте-
грирования. С подобными ошибками мы встретимся в при-
мере 3.
Примерз. Вычислить интегралы
+ 1 ___
Ji = J F'f^T dx
(они отличаются друг от друга только значениями верхнего предела.)
Попробуем ввести вспомогательную функцию
X2 -- Z. (6)
При преобразовании подинтегрального выражения У1—х2 dx со-
множитель /I —Xе заменяется выражением Чтобы преобразо-
вать сомножитель dx, выразим х через 2; получим:
х--±}7,
Казалось бы, проще всего взять подстановку
х = + |Т '
СО
<8)
Однако тогда невозможно заменить в интегралах Jt и/2 нижний пре-
дел Xj = —1 новым пределом которому соответствовало бы по
формуле (8) значение х = -1. Возьмем поэтому подстановку
х - - /Т
(9)
и попробуем применить ее сначала к интегралу Теперь значения
пределов xj= —1, ха = —— соответствуют значениям = 1,
&
Из (9) мы находим:
dx я —
dz
2jT
и по формуле (1) получаем:
1 1
~Й 4 ____.
1 1
(11)
§ 325. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
465
или, переставляя пределы,
(12)
4
Вводим новую вспомогательную функцию
(13)
дающую новые пределы
Соответствующая подстановка будет;
(14)
и мы получаем:
о ут
г 1 f t Г 2td{ I Г iidt
Л *" з J L (1 + p)«J & J (1 + f=)a ’
yT о
Как в примере 1 § 324, найдем:
Л^~+~^0,307.
Если вместо (9) применить подстановку (8), не обратив внимания на
нарушение условия, высказанного в правиле, то вместо (12) получим:
J dz и Аля найдем неверное значение ( -0,307). 1
t
4
Что касдется интеграла /г, то для него непригодны ми подстанов-
ка (8), ни подстановка (9), ибо первая не дает нижнего предела, а вто-
рая -верхнего. Если по ошибке применить, скажем, подстановку (8),
Кй 1 Гт/~1 — z
I то для 12 получится: — I I/ -----rfz, т. е. нуль, Это нелепо, так
» 2 J f Z
как подийтегральная функция К1 - х2 во всем промежутке интег-
рирования положительна.
30 М. Д, Выгодский
466
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Для вычисления интеграла 1г можно его разбить на два слагаемых
так:
о 1
h - 11^1 -Xs J ]/1 — № dx.
— I о
К первому слагаемому применим подстановку (9), а ко второму -
подстановку (8). Каждое из двух слагаемых примет вид
так что
о
Этот интеграл —несобственный (§ 328), так как подиптегральная
функция имеет разрыв в точке z=O. Однако и теперь можно приме-
нить подстановку (14) (ибо функция z = монотонна; см. § 328,
замечание 3).
Найдем, что
dt
(I + '
Этот интеграл тоже несобственный (§ 327), Несмотря на это к нему
можно применить (§327, замечание 1) интегрирование по частям, так
что, поступая, как в примере 1 § 324, найдем
4- ОС
I -- f |+°° , f dt
2 2 (1 +Р) |0 J 2 (1 +/*> '
Первое слагаемое равно нулю, и окончательно получим:
'•“If гЬ = 1аг'ЧГ = Т “°-785-
о
$ 326. О несобственных интегралах
Понятие определенного интеграла было введено (§ 314)
для конечного промежутка (а, &) н для непрерывной функ-
ции / (х). Ряд конкретных задач (см, примеры §§ 327 и 328)
приводит к расширению понятия интеграла на случаи бес-
t 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 467
конечных промежутков и разрывных функций. Для этою
сверх предельного перехода § 314 выполняется еше один.
Ин[е1ралы, получаемые двукрасным переходом к пределу,
называются несобственными; в противоположность несоб-
ciBCHHMM интегралы, введенные в § 314, называются соб-
ипвеннымн. В 327 рассмотрены несобственные интегралы
первого типа (с одним или двумя бесконечными преде-
лами), в ij 328- простейшие несобственные интегралы вто-
рого типа (от разрывной функции).
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами
Определение 1. Если интеграл
J/(x)<7x (1)
«
при х' - > : оо имеет конечный предел, то этот предел на
зывается интегралом функции / (х) от а до бесконеч-
ности и обозначается
: f /(*)*• (2)
а
Итак, по определению
f /(x)cfx = lim f i(x)dx. (3)
* > + оо J
Если интеграл (1) при ->+о» имеет бесконечный предел1)
или вовсе нс имеет предела, то говорят, что несобствен-
1) Когда интеграл J f (х) dx имеет при х'-> -|- <» бесконечный
Ц- о©
предел, говорят (условно), что несобственный интеграл J f(x)dx
4-ос
имеет бесконечное значение, и пишут: J f (х) dx=*°°,
«
30*
468 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ный ннте?рал (2) расходится. При наличии конечного
предела интщрала (2) говорят, что несобственный инте-
грал (2) сходится.
со
Пример 1. Найти интеграл J 2~ж dx.
о
Решение. Имеем;
J 2 r dx 1П 2 ( 2 *) [0 - щ 2 0 2»') ’
О
При х'-> + ©о это выражение имеет пределом—
Значит,
Черт. 343. = ПГ2 * Ь*.
Геометрическое истолкование. Интеграл
У
J2~*dx изображается площадью OBB'D (черт. 343) подли-
0
нией у=2~г. По мерс удаления ординаты ВВ' площадь
OBB'D возрастает, но не безгранично. Она стремится к^.
Говорят, что площадь бесконечной полосы под линией у - 2~*
РавнапЬ-
Пояснение. Рассмотрим ступенчатую фигуру черт,
343. Ее первая ступень OACD имеет площадь OD-OA =
= 1-1 = 1, вторая-площадь ДК-ДЛ/= ~ • 1 = •-,
третья - площадь и т, д. С возрастанием числа ступе-
ней общая их площадь стремится к 2 (сумма бесконечно ।
убывающей прогрессии). Число 2 естественно считать ме-
рой площади бесконечной ступенчатой полосы. Пло-
щадь бесконечной криволинейной полосы еще
Меньше.
§ 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 469
Пример 2. Найти | .
1
Решение. Интеграл J — = In х' имеет бесконечный
1
предел при х' -> + °0- Искомый несобственный интеграл
расходится *).
Геометрически: площадь полосы Л А'В'В
V
(черт.
В'
А ВХ
Черт. 344.
344) под гиперболой у = неограни-
ченно возрастает (бесконечная криво-
линейная полоса имеет бесконечную
площадь).
ПримерЗ. На плоской поверх-
ности закреплены два наэлектризо-
ванных шарика с положительными
зарядами с2 электростатических
единиц. Расстояние между цен-
трами Ft см. Шарик с зарядом е3 освобожден и удаляется
от под действием силы отталкивания F = (г - пере-
менное расстояние между центрами в сантиметрах, F—
величина силы в дниах).
Работа силы F иа участке (R, г) выражается (в эргах)
интегралом (§ 317):
с
£
Несобственный интеграл
^2 J = Hm 7')] “ тг
Л оо
выражает полный запас работы рассматриваемой системы.
В физике эта величина называется потенциалом.
При этом ом имеет бесконечное значение J
г
См. сноску иа стр, 467.
470
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 2. Интегралом функции j (х) от
а
- оо до а называется предел интеграла J /(x)rfx при
х"
х"-> - оо;
а а
f / (х) dx = lim f / (х) dx. (4)
“ СО /,
Сходимость и расходимость несобственного интеграла
J / (х) dx понимаются, как в определении 1.
— во
Определение 3. Интегралом функции / (х) от
— оо до + оо;
f / (х) dx (5)
*—во
называется сумма - - *
J / (х) dx J / (х) dx. (б)
Она ие зависит от выбора а. Предполагается, что оба не-
собственных интеграла (б) сходятся.
Черт. 3345.
Интеграл (5) выражает площадь полосы под линией
у = I (х), бесконечно простирающейся в обе стороны (ли-
ния VAU иа черт. 345).
Пример 4. Найти площадь бесконечной полосы под
линией у = ga^8 (верзьера Аньези, черт, 345; см. § 506),
§ 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 471
Решение. Искомая площадь представляется инте-
гралом
4-00 О +*о
JaPdx _ Г dx . г аз dx
аг 4-ха ~ J n2+x3'' J яа+ха* ' '
— ос —ос О
Я?
Так как f ~~~~ « a3 arctg^, то
о
Аналогично вычисляется первое слагаемое, и получаем:
•-f- о©
/и3 dx « /оч
агйз = "«’ (в)
— 0Q
Замечание!, Основная формула
ь
jf(x)dx^F(b)-F(a)
в применении к сходящемуся интегралу J f(x)dx имеет вид
Jf(X)dx -F(~)-F(a).
Я
Ciimboji F (=o) обозначает lint F (x*).
। Аналогично применяется формула интегрирования по частям,
во
Для вычисления несобственного интеграла J / (х) dx можно прн-
а
менять и способ подстановки, ио при условии, что функция х~ ?(z)
монотонна,
1 Замечание 2. Иной раз собственный интеграл выгодно Пре-
образовать в несобственный. Так, для вычисления интеграла
я
2
fsina х cosa х dx „
(sin3 x + cos3 x)s ' '
472 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
лучше всего ввести вспомогательную функцию
tgx«z. (10)
Получим:
Г _____________1____I* e 1, (И)
J (l+z^ 3(Х+г->) [о 3*
Преобразуя интеграл (9) к виду (II), мы данный интеграл рассма-
триваем как предел интеграла
е
Jslna X COS8 X rfx п_
(Slip XvCOSy .\)а P x 2
§* 328. Интеграл от функции, имеющей разрыв
Определение!. Пусть функция / (х) имеет разрыв
в точке х — Ь, а в остальных точках промежутка (а, Ь)
непрерывна.
Если интеграл
f/W<U ” (1)
0
имеет конечный предел, когда х' стремится к Ь (оставаясь
меньше Ь), то этот предел называется несобственным инте-
гралом от а до Ъ от функции f (х) и обозначается так же,
как одноименный собственный интеграл;
f f (х) dx » Пт { / (х) dx. (2)
Формула (2) для собственных интегралов доказывается;
для несобственных она принимается за определение.
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда
/(х) имеет разрыв только на конце х == а промежутка
(а, &).
Сходимость и расходимость несобственного интеграла
понимаются, как в § 327.
Определение 2. Если /(х) имеет разрыв только
во внутренней точке с промежутка (а, &), то
ъ в ъ
]' / (х) dx 8 J / (х) dx+ J / (х) dx. (3)
в в «
g 328. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩЕЙ РАЗРЫВ 473
Предполагается, что в правой части оба несобственных
интеграла сходятся.
Формула (3) для собственных интегралов до казн-
в а е т с я; здесь же она служит определением нссоб-
ъ
ственного интеграла J /(x)dx.
а
Замечание 1. Определение 2 распространяется на
случай, когда внутри промежутка (а, Ь) есть две, три и т. д.
точки разрыва. Так, для двух точек с', с" имеем;
ь с' с" ъ
f / (х) р (х) dx-p f / (х) rfx+ J f (x) dx. (3a)
a « s' e"
Пример 1. Найти
a
I Г Д* rfy
f J
Данный интеграл-несобственный, ибо подиптеграль-
иая функция разрывна (обращается в бесконечность) при
X - а. Интеграл сходится, ибо функция
f-5^ = a’arcsin (4)
стремится к пределу при х' а.
Стало быть,
Ja1 dx , ,Г\
~ 2 *
Черт. 346.
Геометрически: площадь бесконечной полосы
KAOBL1) (т. е. предел площади LSOB при стремлении
точки S к А; черт. 346) равна площади полукруга ВОВ'А;
зцачит, заштрихованная фигура, уходящая в бесконечность,
равновелика сектору АО В'.
1) Радиус а окружности О есть средняя пропорциональная между
ординатой линии L'BL, и соответствующей ординатой полуокружнос-
ти А'ВА; это позволяет легко построить линию L'BL.
474
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
+» 3
/ — / q3
а I/ dx.
Интеграл-несобственный, ибо подинтегральиая функ-
ция внутри промежутка (-а, +а) обращается в беско-
нечность при х ~ 0. Согласно определению 2 имеем:
4,4 3 50 2 5 я 2
j а | dx ~ a3 J х 3 dx |-а3 | х 8 dx. (6)
— я —в в.
По определению 1
о ___а я/____2 ,2 JL
f х 3 dx = lim f x 3 dx - lim 3 (a8 4-x'3) = 3a3.
J .j 0 J я1 “> 0
-я —«
Аналогично для второго
слагаемого формулы (6), Окон-
чательно получаем;
dx ~ 6a2.
Геометрически: пло-
щадь бесконечной полосы
ADLL'D'A' (черт. 347) втрое
больше площади прямоуголь-
ника A'ADD' (так что «беско-
нечный шпиль» DLL'D' равно-
велик квадрату, построенному
на DD').
+1
Пример з. В выражении [ -у подинтегральная функция раз-
J X*
о
<* Лс
рывна в точке х=0. При этом несобственные интегралы I и
—х
1 х' 1
/» 1 i* rfl* 1
—- расходятся (ибо интегралы J « - 1 - - и J !
О -1 «"
§ 329. О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА 475
имеют бесконечные пределы при х' >-0 и -; 0). Стало быть
данное выражение не представляет никакого несобственного интег-
рала (в смысле определения 2). Бесконечная полоса ADLL'D'A' (черт,
348) под линией у •« — имеет бесконеч-
X*
ную площадь.
Замечание 2. Применив основ-
ную формулу интегрального исчисле-
ния
&
p(x)dX-F0)~F(a) (7)
4
1
Jdx ~
, МЫ ПОЛУЧИЛИ бы
-1
отрицательное число —2; этот нелепый
результат (подинтегральная функция
~ всюду положительна!) получается потому, что выражение J
-1
не имеет смысла. Если же несобственные интегралы
с »
J/(x)tfx,
t
входящие в (3), сходятся, то для несобственного интеграла J / (X) dx
формула (7) всегда верна.
Замечание 3. Относительно интегрирования по частям и спо-
соба подстановки можно повторить сказанное в замечании 1 § 327.
§ 329. О приближенном вычислении интеграла
На практике часто встречаются интегралы, которые ие
выражаются через элементарные функции (§ 309) или вы-
ражаются очень сложно. Нередко подинтегральная функ-
ция задается таблицей или графиком, В этих случаях инте-
гралы находят приближенными методами.
Исторически первым был разработанный Ньютоном
метод бесконечных рядов (см. § 270). Он применяется и
поныне (на более строгой основе; см. ниже § 402),
476 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Другой метод, называемый часто методом, механиче-
ских квадратур1), состоит в замене подинтегральной функ-
ции у = ] (х) таким многочленом n-й степени
Р (х) «= . -ра^х-рй», (1)
который при данных значениях х = х0, х « х^ ..., х = х»
(число их равно n-pl) имеет те же значения, что и функ-
ция /(х).
Геометрически: лнння у = /(х) заменяется «па-
раболой
у
n-й степени» у — . +а„, прохо-
дящей через п +1 точек данной
линии.
Приближенное вычисление зна-
чений функции /(х) по нескольким
данным ее значениям /(х0), /(хх), ...
..., / (х„) называется интерполя-
цией2), а многочлен (\)~интерпо-
ляционпым многочленом.
Интегрируя интерполяционный
многочлен, получаем приближенно
интеграл функции / (х).
Пример 1. Прн одном данном значении Уо = /(х0)
получаем интерполяционный многочлен нулевой степени
р (х) ~ у0. (2)
Линия у = f (х) заменяется горизонтальной прямой UV
(черт- 349), проходящей через данную точку Мо (х0, у0).
Приближенное значение интеграла
, л л
4га+— <Ч)т—
J / (х) dx w J у0 dx « yji
я я.
дает площадь прямоугольника AUVB (вместо площади
криволинейной трапеции АА'В'В).
Пример 2. При двух данных значениях у0 — / (Хо),
Ух = /(Хц+й) получаем интерполяционный многочлен пер-
вой степени
Р(х) = у9+П=35>(х-^).
& аь-й X
Черт. 349.
Ill'll
(3)
(4)
Ч Он основан тоже на идеях Ньютона и бьиГвпервые развит Тей-
лором, Симпсоном и др. Новейшие работы принадлежат советским
ученым (В. П. Ветчинкину и Ф. М. Коган).
*) Этот латинский термин означает наставление внутрь».
$ 329. О ПРИБЛИ/I'J'.HOM ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА 4??
Он представляет прямую (черт. 350), проходящую
через точки Mw(ru, у0), M^Xv+h; ух). Соответствующее
Приближенное значение интеграла
j j(x)dx* J Р (х) dx = A (ft+yj ft (5)
дает площадь прямолинейной трапеции ХоА^М^,
Пример 3. При трех данных значениях
Уо = Ж), У1 /(х0+Л); у2 = / (\Н 2й)
получаем интерполяционный многочлен второй стспеин
Р (х)— (х--х0)-р г » - • -
(х-х0)[х-(х0-|,Й)], (6)
В справедливости формулы (6) убедимся, подставив
Последовательно
х = ха> х = хц-Рй, х = х0-р2й.
Получим:
Р (*о) « Ус» Р (Хи+Л) “ Уч Р (*о -1- 2Л) = у2.
Если расположить Р (х) по степеням х, формула усложнится.
Выражения у1“У0(=Ду0) и Уз-Зух-ГУоС» Д’уо) суть первая и
вторая разности (§ 258) функции/ (х).
Черт. 351.
Многочлен (б) представляет параболу с вертикальной
осью (черт, 351), проходящую через три точки: Мо(хо» Уо)»
All (x6+ft; yj, M2(x0-t2/i; y3).
478 иИтеГрАЛьНОе исчисление
Приближенное значениеJ)
д-04-2Л sr0-p2S
j /(x)cfx^ j P(x)dx = у (.^-1-4)14 }•;)// (7)
яо «О
дает площадь параболической трапеции
(вместо площади криволинейной трапеции А^М^М^ЪМ^А^.
Формулы (4), (6) обобщаются на произвольное число равноотстоя-
щих значений х. Для четырех значений имеем:
Р О) « Уо + (х - Хо) +'-а ~2^з~ <х “Хо> [* “ (*о +Л)] +
+У<-Зу2 + 3}\-уь _Xoj [х _ + лу] j-x „ (jfo +2ЛД)
или сокращенно:
г (X) = Уо + ~ (X - Х„)+(X -Хо) (X -Xi) +
£ ' * +’§ГдГй<х ” х°>"Х1) (х"Хг>-
Соответствующая общая формула называется интерполяционной фор-
мулой Ньютона. Нестрогим способом Тейлор получил из нее разложе-
ние функции / (х) в степенной ряд (он положил X! =х0, Ха »х0 и т.д.
и заменил разности Дх0, Дуо, Д2у0 и т. д. дифференциалами </Хо(^Уо.
(12Уо и т. д.) (ср. § 270).
§ 330. Формулы прям оу г о льни кон
х2, ..., (черт. 352, 353) иа п равных частей; длина
каждой
а ь~а
____________ h~~-
^o + 2ft
i) Вычисление интеграла J Р(х) dx облегчается, если ввести
вспомогательную переменную х-(Хо+Л) = х.
§ 330, ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ 479
Для единообразия полагаем а = х0) b = хп. Через х1/а,
х3/г> хеуа, ,., (черт. 354) обозначаем середины участков
(х0, хД (хп хг), (х2, х3), .., Полагаем
/(х0) = Уо, /(Х1) = Уь /(Х2) = у2,
/ (Х1/8) - / (Ха/1) - Уз/в, / (хе/а) « у5/а, . . .
Формулами прямоугольников называются следующие
приближенные равенства:
J / (х) dx « [у0+ух+ ... 4-jVi],
Л
Ъ
J / (х) dx [У1+У2+ • • • +УЛ
Я
Ъ
J /(х) dx к-[У]/3+Уз/г+ • • • +У2я-1].
№ 2
(1)
(2)
(3)
Выражения (1), (2), (3) дают площади ступенчатых фи-
гур черт. 352, 353, 354 (ср. § 329, пример 1),
В большинстве случаев при данном л формула (3) точ-
нее, чем (1) и (2). С увеличением п точность формул (1),
(2), (3) неограниченно возрастает,
•Замечание, Предельная погрешность формулы (3) составляет:
<4>
где М»-наибольшее значение I в промежутке (я, Ь). Для
эмпирических функций вместо Af3 берут наибольшее значение вели-
IA*V I
Дх1 |
480 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример. Вычислим по формуле (3) на 10 ординат
(п « 10) приближенное значение интеграла
'=Ш(=Т = 0-785398'--)-
о
Xj/2 = 0,05 У1/3 = 0,9975
Ха/г = 0,15 , . Ущ = 0,9780
Хб/2 = 0,25 >5/з ~ 0,9412
Х7/2 = 0,35 f = 0,8909
х9/а 0,45 ' У^2 = 0,8316
XU/2 = °>55 е ь Ул/2 = 0,7678
Х13/3 = 0,65 У13/2 = 0,7029
Х]Е/з = 0,75 у15/2 = 0,6400
Х17/з = 0,85 У^12 = 0,5806
Х1Э/г = 0,95 У1э/2 = 0,5256
сумма = 7,8561
I * X у = °,785в1.
Погрешность составляет примерно 0,0002,
Имеем: J"(x) = 2^-^-""-^. Наибольшее значение (х) 1
в промежутке (0, 1) равно 2 (оно достигается при х=0). Подставляя
в (4) п=10, М2=2, найдем предельную погрешность 0,00085. Значит,
лет смысла вычислять yi^, уз^ н т. д. больше чем на четыре знака.
По формулам (1) и (2) (значения у0> Уъ Уг> • • • приве-
дены в § 331) мы получим: / ~ 0,8099 и / - 0,7599/ Т. е,
погрешность примерно в 50 раз больше.
§ 331. Формула трапеций
При обозначениях § 330 имеем:
/ / (х) ах * . +№teJ], (1)
g 332. ФОРМУЛА СИМПСОНА
481
Это-формула трапеций. Она дает общую площадь
трапеций, показанных иа черт. 355 (ср, § 329, пример 2).
Замечание. Предельная погрешность формулы (1) составляет
12^*" где ^8 ~ наибольшее
значение | /" (х) [ в промежутке
(а, Ь) (ср. § 330, замечание).
Пример. Вычислим инте-
1
грал I = /та-(-= 0,785398...)
о 4
по формуле трапеций на И
черт. 355.
ординат (п - 10). Имеем:
хх = 0,1
Хг 0,2
Хз >= 0,3
Х4 ~ 0,4
х$ = 0,5
Хв = 0,6
х7 = 0,7
xs = 0,8
xs — 0,9
Уг = 0,9901
у z = 0,9615
Уз = 0,9174
у4 = 0,8621
у5 = 0,8000
у6 0,7353
Уч = 0,6711
у8 = 0,6098
у6 = 0,5525
Л‘о ~ 0,0 у0 =; 1,0000
Хд0 “ 1,0 yJ0 г 0,5000
Уо + Уто =* 1,5000
I « ^(Ц^+7,0998) = 0,78498.
i=S
сумма S yt t= 7,0998.
f=i
Погрешность составляет примерно 0,0004, как и по
формуле (3) § 330. Но там мы нашли избыточное, а здесь -
недостаточное приближение.
§ 332. Формула Симпсона
(параболических трапеций)
При обозначениях § 330 имеем:
[2Ц».+
1-(У1+у!+ ... +У,-1)+2 (Уч,+УЧ,+ ... +?._/,)]. (0
31 М. Я-ВыгодскиИ
482 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это — формула Симпсона. Она дает общую площадь
криволинейных трапеций х^У^М^М^, х^М^М^х*, ,..
(черт. 356), у которых вместо дуг .
данной линии у = / (х)
взяты одноименные
дУ1и парабол с вер-
тикал иными осями.
На черт. 356 показа-
на лишь парабола
M(,M./sAG (ср. § 329,
пример 3).
При одном и том
же числе ординат фор-
мула Симпсона в боль-
шинстве случаев мно-
го точнее, чем форму-
лы прямоугольников
(§ 330) и трапеций
(§ 331).
Замечание. Предельная погрешность формулы (1) составляет
iOTW"‘' <2>
Здесь Mt -наибольшее значение |/IV(x) | в промежутке (a, fi).
П р и мер. Вычислим интеграл
/ = 0,785398...)
о
по формуле Симпсона на пять ординат
(п = 2, - ХА ' зп ~~ в)'
хо = 0 ~уа = 0,50000
Xi/, = 0,25 2уц, ~ 1,88235
xl = 0,50 ух = 0,80000
Х‘/, = 0,75 2y»fl - 1,28000
х2 = 1,00 Хуг = 0,25000 сумма 4,71235
7 « 1.4,71235 = 0,78539.
О —
§333. ПЛОЩАДИ ФИГУР В ПРЯМОУГ. КООРДИНАТАХ 483
Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е.
в 40 раз меньше, чем н примерах §§ 330, 331, хотя там
число ординат было вдвое больше.
Полезно сопоставить формулу Симпсона с формулой трапеций.
В первой имеется лишнее слагаемое 2 (Т1/2+Уз/2+...), которое при-
мерно вдвое больше, чем сумма остальных членов. Значит, выражение
в квадратных скобках формулы Симпсона примерно втрое больше,
чем соответствующее выражение в формуле трапеций. Сообразно с
Ь—а Ь—а
этим множитель —-— втрое меньше множителя--,
Зп п
§ 333. Площади фигур, отнесенных
К прямоугольным координатам
Черт. 357.
Площадь криволинейной трапеции (аАВЬ иа черт. 357),
расположенной над осью ОХ, выра-
жается (§ 316) интегралом
5
$ = f / (х)(/х. (1)
а
Для трапеции, лежащей под осью ОХ,
ъ
s = - f / W чх. (I')
Л
Фигуры другой формы разбивают иа
трапеции (или дополняют до трапе-
ции) и находят площадь, как сумму
(или разность) площадей трапеций.
Вычисление облегчается подходящим
выбором прямоугольной системы.
Пример 1. Найти площадь
параболического сегмента АОВ
(черт. 358) по основанию АВ~2а и
высоте KO = h.
Выберем оси, как на черт. 358. Разобьем сегмент АОВ
на равные криволинейные трапеции ОК В н ОКА:
ь
пл. О КВ — J ydx. (2)
о
Координаты х, у связаны уравнением
>'2 = 2р*. (3)
Черт. 353.
31*
484 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Параметр р определяется из условия, что парабола
проходит через точку В (Л; а):
«3 = 2рЛ. (4)
Из (3) н (4) находим:
У - 7J (5)
Подставляя в (2), получаем:
А
пл, О К. В - ( j/x dx - 4 ah,
/л J d
и
пл. АОВ = 2 пл. окв - | (2а) й,
т. е. площадь параболического сегмента составляет
площади, прямоугольника АВВ'А', имеющего то же
основание и ту же высоту.
Другой способ. Дополняем сегмент АОВ до пря-
моугольника АА'В'В. Площадь дополняющей трапеции
равна
1Y $ f х dy или в силу (5)
' +,
jir If Уг‘1у = ^.2аи.
р] Z д Значит,
черт. 359. ПЛ( Лов = 2ah-~^ah ~ ~-2ah.
V J
Пример 2. Найти площадь S фигуры, заключенной
между параболами у3=2рх и №=2ру (черт. 359).
Площадь S есть разность площадей ONAL и ORAL.
Параболы пересекаются в точках О (0; 0) и А (2р; 2р).
Имеем:
Йр 3j?
5 = / f ^dx = ^p* =
о 0
t. e. S составляет треть площади квадрата1) OLAR.
i) Опираясь на результат примера 1, можно найти S элементар-
ным путем,
§ 334. СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕН, ИНТЕГРАЛА 485
Пример 3. Площадь эллипса —+^=1:
+°
S — 2 J ~ Цг — х2' dx ~ izab.
— it
Пример 4. Гипербола - 1 (черт. 360):
пл.
АМР = J ~ dx ~
а
х+ Ух2—а2
а
Пример 5. Циклоида (черт. 361):
* x=«(Z-stn/), у = a(l~cos/),
пл. ON AL0 — J у dx = аг J (1 - cos t)~ dt — 3~а~,
о о
т. с. площадь циклоиды втрое больше площади произво-
дящего круга.
,1
। § 334. Схема применения определенного интеграла
Определенным интегралом можно выразить многооб-
разные геометрические и физические величины (см.
§§ 335-338), при этом применяется следующая едино-
образная схема. j
486 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1) Искомая величина U ставится в соответствие с про-
межутком (a, Ь) изменения некоторого аргумента.
Так, чтобы выразить интегралом площадь аАВЪ под
линией АВ (черт. 362), мы ставим ее в соответствие с про-
межутком (а, Ь) изменения абсциссы х.
2) Промежуток (а, ь) разбивается па участки (а, х,),
(х1т х2), ..., (х„, Ь) (в дальнейшем число участков будет
стремиться к бесконечности, а длины их- -к нулю).
Пусть искомая величина U распадается на части Ц„
Vi, VZt ... (черт. 362), в сумме дающие U.
Черт. 362.
Черт. 363.
Величины, обладающие этим свойством, называются аддитивным».
Бывают и пеаддитивпые величины. Так, угол между образующими ко-
нической поверхности —не аддитивная величина. Угол АОВ (черт.
363) можно поставить в соответствие с промежутком (а, Л>, где a-j?A
и Ь =RB —дуги направляющей, отсчитываемые от какой-либо началь-
ной точки R. Flo если разбить (а, Ь) на участки (а, с) и (с, 6), то соот-
ветствующие углы АОС и СОВ в сумме не дают угла АОВ.
Аддитивную величину можно выразить интегралом, нсаддигив-
ную —нельзя.
3) В качестве типичного представителя частей Uj,...
берется /»дна из них [/,; она выражается (исходя из усло-
вий вопроса) приближенной формулой вида
/ (х,) (х(+ ( - xf), (1)
причем погрешность должна иметь высший порядок отно-
сительно X(+t-X,-.
Выражение / (х() (х(+1-х<) или сокращенно
/ (х) Дх (2)
называется элементом величины U.
Элементом площади аАВЬ (черт. 364) является пло-
щадь прямоугольника x(KQxi+i; погрешность формулы (1)
есть площадь треугольника KQL, заштрихованного на
g 335. ПЛОЩАДИ ФШУР В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 487
чертеже; она имеет высший порядок относительно
x;+i~xf = Дх,- (площадь KQL меньше площади KNLQ =
= /\Q-KN Дх, Ду,-, а последняя
имеет высший порядок относитель-
но Дх,).
4) Из приближенного равенства
(1) вытекает точное равенство
5
и - J / (X) dx. (3)
а
Пояснение. С увеличением числа п погрешность
СУММЫ
/ (х®) (Х1 - Хи) + / (*1) (*2 " *1) + • • • + / (хя) (х„+г - х„) (4)
(несмотря на накопление ошибок) стремится к нулю, так
как погрешности отдельных слагаемых убывают быстрее,
чем возрастает число слагаемых. Поэтому U есть предел
суммы (4), т. с.
/\ U == f / (х) dx.
/ § 335. Площади фигур, отнесенных
// т/Л-Ь к полярным координатам
Площадь S сектора АОВ, ограничен*
пого линией АВ н лучами ОА н ОВ
(черт. 365), выражается формулой
Черт. 365. (1)
Ф1
где г-полярный радиус переменной точки М линии АВ,
<р —ее полярный Угол.
Пояснение. Схема § 334 применяется здесь сле-
дующим образом.
1) Площадь АОВ ставили в соответствие с промежут-
ком (tpj, <р2) изменения полярного Угла.
2) Промежуток (<pi, <р2) разбиваем на части, при этом
сектор АОВ распадается на секторы вида A(?A4lf МХОМЪ
и т. д.; нх площади в сумме дают площадь АОВ.
488
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) Б качестве типичного представителя секторов АОМЬ
МгОМ3 и т. д. берем один из них (ALOM3 на черт. 365).
Заменяем его круговым сектором AlaOQ; площадь по-
следнего
- ^r-r А? - ~г- др
есть элемент площади АОВ. Погрешность приближенной
формулы
пл. ЛГ2ОЛГ3 Др (2)
имеет высший порядок отно-
сительно Др.
Погрешность равна площади кри-
волинейного треугольника .VI2QjW3>
а последняя меньше пл. -
= j (рМга-ОМ&Ц ягДгДу .
4) Из приближенного равен-
ства (2) вытекает формула (1).
Пример. Найти площадь
фигуры ОСО А (черт. 366),
ограниченной первым завитком архимедовой спирали (§ 75)
и отрезком О А—а (шаг спирали').
Выбрав полярную систему, как на черт. 366, имеем:
Началу завитка О и концу Л соответствуют значения
рх=0, р4=2п.
По формуле (1)
2rt 2л
$ = 1 р2 j Г - 1згаЛ’
О о
т. е. площадь первого завитка втрое меньше площади
круга, имеющего радиусом шаг спирали. Этот результат
найден Архимедом *).
1) Хотя Архимед в явной форме не вводил пи понятия интеграла,
пи понятия предела, но его метод по существу совпадает с методом
Интегрального исчисления.
§ 336. ОБЪЕМ ТЕЛА ПО ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЯМ 4ЗД
§ 336. Объем тела по поперечным сечениям
Рассмотрим, тело произвольной формы (черт. 367).
Пусть известны площади F (х) всех его сечений, парал-
лельных плоскости /? (х—расстояние сечения от плоско-
сти /?). Тогда объем тела
*2
V ~ J Г (х) dx. (1)
Пояснение, Разобьем тело на параллельные слон;
тело NMKQmP—типичный представитель этих слоев.
Черт. 367. Черт. 368.
Строим цилиндр NMRntnk. Его объем, равный F(x) Дх,
есть элемент объема V. Отсюда вытекает формула (1)
(ср. § 334 и § 335, пояснение).
Пример 1. Найти объем V пирамиды UABCDE
(черт. 368) по площади основания S и высоте UO IE
Решение. Площадь F (х) сечения на-
ходим из пропорции
F (х): S = UOI; ПО2 й= х2; /р.
Согласно формуле (1)
JZ JT
V = / F (х) dx = ~ J х2 dx = ~SH. (2)
с о
Эта формула известна из элементарной геометрии, но там
вывод много сложнее.
П р и м е р 2. Найти объем эллиисонда (§ 173) с осями
2а, 2b, 2с.
490
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Решение, СечениС KLK'L' (черт. 369), параллельное
главному эллипсу ВСВ'С' и отстоящее от него иа расстоя-
ние li OM, есть (§ 173) эллипс с полуосями
6' = AfK = 6fl-~, и = ML = с/1-£.
Площадь Г (It) сечения равна (§ 333, пример 3)
F0) = Мус' ~ кЬс(1-^).
По формуле (1)
V ₽= J F(h)dh ₽= 2$ ==* ~аЬс. (3)
— в о
Конус с эллиптическим
основанием ВСВ'С' и высотой
ОА=а имеет объем
Vi « -J- Sa
(выводится, как в при-
мере 1), т. е. Уг = — mibc.
Значит, эллипсоид по объ-
ему вчетверо больше кону-
са, имеющего основанием
одно из главных сечений, а
вершиной — противополож-
ную вершину эллипсоиеа.
Этот результат найден Ар-
химедом (для эллипсоида
вращения).
Когда эллипсоид становится шаром (а—Ь = с)} получаем
известную формулу V =
§ 337- Объем тела вращения
Объем V тела (черт. 370), ограниченного поверхностью
вращения и двумя плоскостями Ри Р2, перпендикуляр-
ными к осн вращения ОХ, выражается формулой
«г
V = к J у2 dx, (1)
-и
где у—f (х) - ордината меридиана Ав,
§ 338, ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 491
Замечание. Величина ку2 есть площадь попереч-
ного (кругового) сечения (ср. § 336).
Черт. 370,
npiiAiep. Найти объем сегмента параболоида враще-
ния (черт. 371) по радиусу основания Attr и высоте
OA=h.
Решение. Как в § 333 (пример 1), находим, что ме-
ридиан (парабола) представляется уравнением
По формуле (1)
h
О
т. е. сегмент параболоида составляет но объему ноло~
вину цилиндра с тем же основанием и той же высотой.
Этот результат найден Архимедо.м,
§ 338. Длина дуги плоской линии
Длина д дуги АВ плоской линии выражается (в прямо-
угольных координатах) формулой
$ = f (1)
ti
где t - какой-либо параме гр, через который выражены
текущие координаты xt у (tt * /х).
492
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если параметр еще не выбран, то формулу (I) удобнее
записать так;
<Л)
S = J y 4~ tlyL’.
Обозначения (4), (В) указывают, что в качестве пределов
интегрирования должны оыть
взяты такие значения пара-
метра, которые соответствуют
концам дуги АВ.
В частности, за параметр
часто удобно принять абсцис-
су х. Тогда имеем;
*2
8 - J + (3)
Х1
Пояснение. Бесконечно малая дуга MN эквива
лентна хорде MN (черт. 372). С другой стороны.
MN = y'MQ* + = У Д№ + Ду* }fdx2 + dy2,
Стало быть,
MN ~ .
Значит, выражение tfdxs+dy2 (оно пропорционально
приращению Д/ аргумента i) есть элемент (дифференциал)
дуги АВ. Согласно п. 4 схемы § 334 мы получаем фор-
мулу (2).
Разыскание длины дуги называют спрямлением дуги.
Пример. Найти длину дуги одной ветви циклоиды
(§ 253) х = а (/ — sin /), у~ а (1 — cos /),
Решение.
= a pz2 (I - cos"t) 2а । sin 4 |, (4)
5 = J 2а sin 4 dt - 8a. (5)
§ 339. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ
493
Длина одной ветви циклоиды равна учетверенному
диаметру производящего круга.
Если вычислить общую длину двух ветвей циклоиды по формуле
s — j 2а sin ~ dl, получим нуль. Ошибка вызвана тем, что в проме-
о
жутке 4тг) имеем:
| sin j = -sin — не + sin—.
Замечание. Когда мы промеряем длину кривой тро-
пинки шагами или длину нанесенной на карту извилистой
реки с помощью масштаба, мы по существу исходим нз
Убеждения об эквивалентности дуги и хорды. Таким обра-
зом, это свойство подсказывается повседневным опытом.
Но если мы не хотим принимать это свойство за аксиому,
а желаем доказать математически, то нам надо исходить
из какого-либо определения длины дуги. Это понятие
обычно определяют так.
Определение. Длина дуги плоской или простран-
ственной линии есть предел, к которому стремится
периметр ломаной линии, вписанной в дугу, когда число
звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины
звеньев стремятся к нулю.
Исходя из этого определения, можно доказать, что MN MN,
Из него же непосредственно выводится и формула (1), так что схема
§ 334 как будто вонсе не используется. Но по существу эта схема
^спрятана» в самом определении.
Длину дуги можно определять и пиане, —например как
предел описаний й ломаной
линии. Это определение равносиль-
но предыдущему.
§ 339. Дифференциал дуги
Дифференциал длины дуги (ко-
роче: дифференциал дуги) выра-
жается (§ 338, пояснение) формулой
Черт. 373.
ds = Vdx^-l-dy2.
(1)
Дели за аргумент принять х, то (черт. 373)
dx = MQ, dy - QP,
ds = F.VfQ2 ! QP2 = MP,
tn. e. дифференциал дуги выражает длину отрезка каса-
тельной от точки касания до пересечения с приращен-
ной ординатой,
494
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При м е р. Дифференциал дуги циклоиды равен (ср.
пример § 338)
ds = /d№ + dy2 = а /2(1 - cost)dt =
= 2а sin ~ dt (0 Z 2jt).
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал
в полярных координатах
Длина дуги Ай (черт. 374) выражается через полярный
координаты г, ф интегралом
(В) _
s = J /dP-j r2d<p2. (1)
И)
Дифференциал душ выражается формулой
ds = /dr4-7!d^2. (2)
Пояснение. Из точки О, как из центра, проведем
(черт. 374) окружность радиуса ОМ ~ г. Ес дуга МК( = гДф),
отрезок KN( = Дг) и дуга MN (=Ду) линии АВ составляют
криволинейный треугольник с прямыми угло.м при вер-
шине К- Хотя для такого треуюлыгика теорема Пифа-
гора не соблюдается в точности, однако прн бесконечной
В. малости дуги MN квадрат «гипоте-
зу нузы» эквивалентен суммс квадра-
тов «катетов»:
/А/ 1'—
AHV У /<-v- км*,
т. е -
х ~ /Дг* + г3Д<р2 ~
Черт, 374. ~ /dr2 + r2d<p2.
Стало быть, выражение /dr2 + r2d^ есть элемент (диф-
ференциал) ДУГИ s.
Замена н и е. Формулу (2) настояще! о параграфа
можно получить из (2) § 338 подстановкой
dx = d (г cos ф) = cos <р dr - г sin <р d<j>,
dy = d (r sin ф) = sin <p dr + r cos ф dtp.
§ 340. ДЛИНА ДУГИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 495
Пример. Из точки О на окружности радиуса а про-
водится луч ОК (черт. 375), из точки L, где прямая ОК
вторично встречает окружность, откладывается отрезок
LM-2a по направлению луча ОК1). Линия, описываемая
точкой М прн вращении л Уча, называется кардиоидой 2).
Найтн сс длину.
Черт, 375.
Решени е. Выберем полярную систему, как на
черт. 375. Имеем.
OL = О A cos о — 2а cos <р, 1
г --= OL + LM = 2а (cos <р-Ь 1). J W
Ко|да <р пробегает промежуток +п), кардиоида
описывается полностью. Длина ее согласно (1) есть
-^-77
s = J /4а2 (1 + cos <р)2 -t-4a3 sin3 <р rf<p —
+ rr +7?
= 2а [ ^2+ 2 cos <р t/ф - 4а J cos 4 (/? = Юа. (4)
Замечание. Кардиоиду можно получить как траек-
торию точки окружности Opq (черт. 375), катящейся без
'скольжения по окружности OK AL тиго же радиуса.
Р Когда прямая касается окружности в точке О, то отрезки, рав~
пые 2<г, откладываются от О п обе стороны (ОМА =ОМ: =2а).
г) В переводе «сердцеобразная». Подробнее см. § 508,
496
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из (4) видно, что длина кардиоиды равна восьмикратному
диаметру производящего круга.
Кардиоиду можно описать, изменяя <р от нуля до 2тг. Но, если
вычислить ее длину по формуле s = Ла j* cos ~ </<?, получим нуль-
о
Источник ошибки указан в § 338 (мелкий шрифт).
§341. Площадь поверхности вращения
Площадь S поверхности, образованной вращением дуги
АВ около оси ОХ, выражается
интегралом
(В)
8 = j 2-у (Is, (1)
(А)
где у-ордината меридиана АВ,
ds—Уdx2 + dy2 — дифференциал
его дуги (§ 339), (А) и (В)-
крайнне значения параметра,
через который выражены ко-
ординаты.
Пояснение. Разбиваем поверхность АВВ'А' (черт.
376) на параллельные пояса и каждый пояс MNN'M' заме-
няем боковой поверхностью усеченного конуса с теми же
основаниями. Площади этнх поверхностей эквивалентны.
Поэтому
ПЛ, MNN'M' * n(PM + QN)MN. (2)
Так как PM+QN = 2у у dy, MN ъ MN = Ду, to
пл. MNN'M' « тг(2у+ Ду) As 2ny As. (3)
Отсюда вытекает формула (1).
Пример. Найти площадь поверхности, образованной
вращением циклоиды около ее основания.
§ 341. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 497
Решени е. Имеем (§§ 338, 339):
d$ = 2а sin ~ dt (0 t 2л),
27Г
8 ] 2л<1 (I - cos t) • 2а sin ~ dt =
О
= 8ка2 J sirt3^-rfZ = ~ тг2.
О
Для сравнения возьмем площадь осевого сечения (т. е.
двойную площадь циклоиды) 6лаа (§ 333). Плошадь по-
3 5
у раза.
Замечание. Чтобы доказать эквивалентность пло-
щади пояса MNN'M' и площади боковой поверхности усе-
ченного конуса, надо определить понятие «площадь ’кри-
вой поверхности». Такое определение дано в § 459. Ввиду
его сложности часто вводится следующее частное опре-
деление (согласующееся с общим).
Площадь поверхности вращения есть предел, к кото-
рому стремится площадь поверхности, образованной вра-
щением ломаной линии, вписанной в меридиан, koi да число
звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев
стремятся к нулю.
Из этого определения можно непосредственно вывести
формулу (1) (ср. § 338, замечание 1).
32 М. Я. Выгодский
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
§ 342. Кривизна
Пусть при переходе от точки Л1 линии I, к точке ДК
(черт, 377) касательная, направленная в сторону движе-
ния, переходя из положения МТ в положение М'7\ пово-
рачивается на угол w *). Отношение
Л1ЛГ
угла w к длине дуги Л1ЛГ характеризует
искривленность линии /, на участке ММ'
и называете я с реднейкривизной дуги ММ\
Уг ел со приня го измерять в радианах.
Средпяя кривизна любого от резка
черт. 377. прямой линии (ее касательная совпадает
с самой прямой) равна нулю, сред-
няя кривизна любой дуги окружности радиуса 7? равна — .
Размерность средней кривизны о <5 рати а размерности
длины, т. е. при изменении масштаба числовая мера кри-
визны ме'няется обратно пропорционально числовой мере
длины отрезков.
Определение. Кривизной линии L в точке М назы-
вается предел, к которому стремится средняя кривизна
дуги ММ', когда точка АР стремится к М. Кривизна обо-
значается буквой К:
К- lim (1)
>0 7ИЛ1'
Кривизна характеризует искривленность линии в рас-
сматриваемой точке. Кривизна прямой всюду равна пулю,
w —греческая буква «омега» (строчная).
§ 341 ЦЕНТР И РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 499
кривизна окружности радиуса /? всюду равна . Для вся-
кой иной линии кривизна меняется от точки к точке.
В отдельных точках оиа может равняться нулю; такие
точки называются точками спрямления. Вблизи точки
спрямления кривая походит на прямую.
Замечание. Кривизну (если она не равна нулю) мы
считаем величиной положительной. Кривизне плоской ли-
нии можно приписать знак, пространственной-нельзя
(см. § 364).
§ 343. Центр, радиус и круг кривизны
плоской линии
Пусть точка М' (черт. 378), двигаясь по плоской ли-
нии L, стремится к неподвижной точке М, где кривизна К
не равна нулю. Тогда точка С', i де неподвижная нор-
маль Af.V пересекается с нормалью M'N', стремится
к точке С, отстоящей от М на расстояние Л1С г).
При этом луч МС направлен в сто- г
рону вогнутости линии L. Т1
Отрезок МС называется радиусом
кривизны, точка С — центром кри-
визиы линии L (для точки М). / \
Радиус кривизны обозначается R \
или греческой буквой р («ро»), Вели- \
чины R и К взаимно обратны, т, е. \
* - К 0) с\с’
И 1 Л
К = я • (2) Черт. 378.
Радиус кривизны окружности равен ее радиусу, центр кри-
визны совпадает- с ее центром.
*) В треугольнике АТС'АТ' (черт. 378) угол С' ранен углу <,_> (углы
со взаимно перпендикулярными сторонами), X C'Al'AT =90° — X, где
угол X — AIM'D бесконечно мал (он меньше, чем и). По теореме
sin (90°-X) .... Л-Т Л-Т' _
синусов МСГ = —Ь].-—— МАГ = cos X . Переходим к пределу,
учитывая, что ЛТЛН ~ Л1ЛТ', sin м а- ои cos X-> 1. Получаем:
МС - Iim t ; щп
w >—s
ММ'
- 1 : Д',
32
500 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Окружность, описанная из центра кривизны С (черт. 379)
радиусом /? = МС, называется соприкасающейся окруж-
ностью или кругом кривизны линии L (для точки М).
В направлении возрастания радиуса кривизны (на
черт. 379 —вправо от Л4) линия L располагается вне круга
кривизны, в направлении убывания (па черт. 379-влево
от М)-внутри круга кривизны. Поэтому, как правило,
Черт. 379.
круг кривизны, касаясь линии L, в то же время пересе-
кает ее.
В исключительных случаях, когда радиус кривизны
в точке М имеет экстремум, линия L по обе стороны
точки М располагается внутри круга кривизны (при ма-
ксимуме, черт. 380) или вне его (при минимуме, черт. 381).
Первый случай имеет место, например, для конца малой
осн эллипса, второй-для конца большой его оси.
Замечание, Если в точке М кривизна линии L равна нулю,
то точка пересечения нормалей MN и М'К' неограниченно удаляется
от Л-1, когда точка № стремится к М. В соответствии с эшм говорят,
что в точке спрямления радиус кривизны бесконечен, и пишут /? = <».
§ 344. Формулы для кривизны,
радиуса и центра кривизны плоской линии )
Кривизна линии у = / (х) вычисляется по формуле
(I + y'2ffS ’
(1)
!) Соответствующие формулы для пространственной линии даны
§ 344. ФОРМУЛЫ для кривизны плоской линии 501
радиус кривизны - по формуле
(2)
координаты центра кривизны С— по формулам
хс = х-У(1уУ3> , ус y+J4?‘'
Если у" ~ 0, то кривизна равна нулю, радиус кривизны
бесконечен п центра кривизны нет. Так всегда бывает,
ианример, в точках перегиба (ср. § 283).
Формулы (1) — (3) заменяются симметричными форму-
лами, если линию задать параметрическими уравнениями
х = /1 (0. У ~ fz (0- Тогда
1 (I)
J? — /Т|\
/? - fxy'-y'x"! ’ <п'
Хо = X" +у'^7Г, Ус ~ у+ х\ (III)
с х'у" —у'Х" X > St' /I хуг> —у'х" 4 7
Штрихи обозначают дифференцирование по параметру t.
Формулы (1) —(3) получаются из (I) —(III), если поло-
жить х =’t (тогда X' - ; 1 и х" ~ 0). Если же положить
у ~ t (тогда у' = 1, у" ~ 0), т. е. если уравнение линии
взять в виде х — / (у), то вместо (1)-(3) получим сле-
дующие формулы:
4 (1+Х'*)3/2 ’
R = , (2а)
*0 = х+Ц^, Уг, = у-2Ц±2а. (За)
’ Существование производных х', у', х", v,r в точке А данной линии
обеспечивает существование кривизны в этой точке. Обратное предло-
жение неверно: бывает и так, что при наличии кривизны в точке А
производные х',у, х", у" (одна или несколько) не существуют. Тогда
формулы (1)-(Ш) непригодны, и ©то свидетельствует о неудачном
выборе параметра. См. пример 1 (мелкий шрифт),
502 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Пример 1. Намги кривизну, радиус и центр кри-
визны С в вершине А(0; 0) параболы ),а _ 2рх (черт, 381).
Решсние. Проще всего принять за аргумент орди-
нату у; из данного уравнения находим
х - , х’ = —, х" = —. (4)
Зр ’ р р v '
В вершине параболы имеем , •
х' = 0. х" = . (5)
По формулам (1а)-(За) находим
К = р R Р, х? = р, Ус = 0. (б)
Радиус кривизны в вершине параболы равен ее пара-
метру, tn. е. фокус F делит пополам отрезок АС.
Если принять за ар1Умснт абсциссу х параболы у*=2рх, то вме-
сто (4) получим (см. § 250)
В вершине параболы (х-0, у=0) производные у', у" ие суще-
ствуют, так что формулы (1)—(3) использовать непосредственно
нельзя. Однако для всех остальных
точек параболы формулы (1) —(3) го-
дятся, и после подстановки (7) они пре-
образуются так;
(уй4;Р)3/г ’
(у2 + р2^/Д
Р2
ха « х + ~ + Р(= ЗхЧ р),
(8)
Если сюда подставить х =0, у =0, то
енола получим значения (6). Смысл этой
выкладки состоит в том, что мы нашли
пределы, к которым стремятся величины К, Д, хр, у?, когда точка
параболы стремиюя к вершине последней.
11 р и м е р 2. Найти радиус и центр кривизны в верши-
нах эллипса с полуосями at b (черт. 382),
§ 344. ФОРМУЛЫ Для КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ линии 503
Решение. Проще всего воспользоваться параметри-
ческими уравнениями эллипса (§ 252)
х = a cos f, у = b sin t.
Из них находим:
х' = -a sin t, у -- b cos t;
х" — — a cost, у" ~ - b sin t.
По формулам (II) и (III) получаем:
р _ (a* sing f 4- соьг03/а
К — ’ all
(а2 — 62) cos31
AY/---------~~
f „ (о2—i»-) sin3 /
---------•
В вершине А (а; 0), где t — О, имеем:
(Ю)
(И)
(12)
В вершине В (0; Ь), где t = 4 , имеем:
р а’ -у — Г) V — а?—№
К» — ь - Ад — U, Ур —
Замечание. Составив уравнение касательной к эл-
липсу (§ 252)
b cos I • X J- a sin t • У - ab — О,
найдем, что расстояние ее от центра (§ 28) равно
<1 = .,—---------
У a2 sin21 + l>a cos2 t
Сопоставив с (10), находим:
n _
К ~ ti* ’
tf. е. радиус кривизны эллипса обратно пропорционален
кубу расстояния от центра до касательной в соответ-
ствующей точке, В частности, из (12) и (13) находим:
= Ь2:и\
504 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
§ 345. Эволюта плоской линии
Геометрическое место L' центров кривизны плоской
линии L называют эволютой L) линии L. Формулы (111), (3) и
(За) § 344, дающие координаты х0, ус центра кривизны,
вместе с тем являются параметрическими уравнениями
эволюты [в формулах (3) и (За) роль параметра играют со-
ответственно х и у]. Исключив параметр, получим уравне-
ние, связывающее координаты эво-
люты.
Пример!. Найти эволюту пара-
болы
(1)
у2 = 2рх.
Решение. Примем за параметр
ординату у. Подставив в формулы (За)
§ 344 выражения х' , х" = ^ ,
получим
С " 2р + р 2 р+Р’
(2)
(3)
Это - параметрические уравнения эволюты (роль пара-
метра играет у). Чтобы исключить у, представим систему
(2) — (3) в виде
уР(^”Р) = У2, Р*Ус = “Г1.
Обе части первого уравнения возведем в куб, а второго -
в квадрат. Приравняв левые части, получим уравнение
эволюты
27ру* = 8(хо-р)\
Эволюта есть прлукубическай парабола (черт. 383).
Пример 2. Найти эволюту циклоиды.
Решение. Из параметрических уравнений циклоиды
(§ 253)
x = fl(Z-sinf), y = a(l-cos0 (4)
находим по формулам (1П)§ 344:
хс = a(/ + sin/), Ус = -a(l~cos0. (5)
1) «Эволюта* означает «развернутая*. Происхождение названия 1
рыясняется в § 347.
§ 346, СВОЙСТВА ЭВОЛЮТЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИЙ 505
Сходство уравнений (4) и (5) не случайно; если ввести
новый параметр С с помощью соотношения
t — t' + w, (5)
то уравнения (5) преобразуются к виду
— -2a+a(l-cost)’ J
Значит, зволюта L' циклоиды L (черт. 384) есть ци-
клоида, конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль
основания ОВ на половину основания
основание на расстояние КСЬ рав-
ное высоте,.
Из (6) видно, что попороты производя-
щих кругов в соответственных точках об-
щих циклоид разнятся на 180°; в частности,
вершине одной из циклоид соответствует
точка смыкания ветвей у другой.
§ 346. Свойства эволюты
плоской линии
Свойство 1. Нормаль линии L
касается ее эволюты L' в соответст-
и опущенная под
Черт.385.
вующе.м центре кривизны.
Пример 1. Нормаль М3С‘3 циклоиды L (черт, 384)
касается циклоиды L' в центре кривизны С3 первой цик-
лоиды.
Пояснение, На нормалях РР', QQf линии L (черт. 385) возь-
мем центры кривизны р, q. Пусть точка Р неподвижна, а Q к ней
стремится. Тогда точка q описывает дугу qp эволюты L* и стремится
к р, Точка а, где неподвижная нормаль пересекается с подвижной,
тоже стремится к р (в силу определения центра кривизны), в тре-
угольнике pqa угол р меньше внешнего угла = ы и потому
506 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ линии
бесконечно мал. Значит, секущая qp стремится к совпадению с РР',
т, с. РР' —касательная к эволюте; точка касания — центр нривизпы р,
соответствующий точке Р.
Свойство 2. Пусть радиус кривизны 7? линии L
возрастает при движении от точки Р к точке U (черт. 385).
Тогда длина дуги ри эволюты L' равна приращению ра-
диуса кривизны линии L:
рй = Rv~Rf-
Пример 2, У циклоиды L (черт. 384) радиус кри-
визны в точке О равен пулю; он возрастает па дуге ОМ4
л в точке М4 равен М4С4 = 4а (см. пример 1). По свой-
ству 2, длина дуги ОС\ циклоиды L' равна 4п-0 = 4«
(ср. § 345, пример 2).
Пояснение. Разобьем дугу ри эволюты IP на части pq, </,
И т, Д.; число их будет потом стремиться к бесконечности. Положим-
что все дуги pqf ^...—одинакового порядка малости. Того же по-
рядка будут соответствующие дуги PQ, QT,... линии L, Разности же
Ра — Qti, Tb — Q6 и т. д. будут высшего порядка. Так как
pa+aq а (Ра -Рд) +(Q$-Qa) = Qq -Pp+(Pa~Qa)
и аналогично для ломаных qbt, tcи, , то периметр ломаной jiqlu
отличается от величины
(Q7-Pp)+(Tf-Q9)4 (UU ~Tt) + ... = Ult-Pp
на бесконечно малую величину (получающуюся от накопления беско-
нечно малых высшего порядка).
Значит, длина дуги ри эволюты, являющаяся пределом длины опи-
санной ломаной, равна Uu -Рр.
Замечание. Если между концами дуги линии L есть
точки с экстремальным радиусом кривизны, то свойст-
во 2 нарушается. Так, в точках и М5 (черт. 384) ци-
клоиды L радиусы кривизны одинаковы, тогда как длина
дуги С3С*С3, конечно, не равна нулю. Свойство 2 нару-
шено потому, что в точке М4 радиус кривизны имеет мак-
симум. Дуга С3С4 равна Af4C4-Af3Cs, дуга С4С5 тоже рав-
на Л14С4 — ATjCs (а нс Л43Сз Л14С4).
§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии
Плоскую линию L можно получить из ее эволюты L'
следующим механическим построением.
Натянем на эволюту L' гибкую и нерастяжимую нить,
которая, сходя с эволюты в точке р (черт, 385), имела бы
свободный конец в точке Р линии L. Если теперь сматы-
вать нить с эволюты, то свободный конец опишет линию L.
Черт. 386.
§ 348, ПАрАМЕТРИЧ. ЗАДАНИЕ ПРОСТРАНСТВ, линии 507
Пояснение. Натянутая пить все время остается касательной
к L'. 1<огда она будет сходить с Ьволюгы в точке д, ее свободная часть
возрастет на Длину дуги /ту, т, е, (§ 346, свойство 2) на Qg—Pp,
Свободная часть станет равной Pp + (Qg—Pp)—Qq и конец нити
совпадет с точкой Q,
Это построение приводит к следующему геометриче-
скому определению.
Определение. На данной линии L' (черт. 385) выбира-
ем направление возрастания дуг (любое из двух возможных,
например отн к р); поэтому направле-
нию откладываем на касательных от-
резки (uU, tT, Qq,., .), длины которых
убывают настолько же, насколько воз-
растает длина дуги. Геометрическое
место L концов этих отрезков назы-
вается разверткой (эвольвентой)
данной .тинии.
Всякая плоская линия I/ имеет бес-
численное множество разверток (PSt
PiSt, P2S2 на черт. 386). Для каждой
из них линия является эволютой.
Развертки липин I/ являются ортогональными траек-
ториями ее касательных (т. с. пересекаю]' все касатель-
ные под прямым углом; ср. § 346, свойство 1),
О развертке пространственной линии см. § 362, заме-
чание 2.
§ 348. Параметрическое задание пространственной
линии
Линия в пространстве, рассматриваемая как пересече-
ние поверхностей, представляется системой двух уравне-
ний, связывающих х, у, z (см. § 170).
Линия в пространстве, рассматриваемая как след дви-
жущейся точки, представляется системой трех уравнений;
Х = /(О, у = ф(0, г = ф(О, (1)
выражающих координаты точки через параметр t (в ме-
ханике за параметр часто принимают время). Уравнения
(1) называются параметрическими ^'равнениями простран-
огвенней линии (ср. § 251).
За параметр часто принимают одну из координат, напри-
мер х. Тогда уравнения линии имеют внд
У = Ф (х), Z — ф (х) (2^
(первое из уравнений (1) обращается в тождество х = х).
508 плоские и пространственные линии
У равнениями (2) нельзя представить линию, лежащую в плотности,
перпендикулярной к оси ОХ (у такбй линии все точки имеют одну и
ту же абсциссу).
Если уравнение какой-либо поверхности после подста-
новки выражений (1) обращается в тождество, то линия
(1) лежит па этой поверхности.
Всякую линию можно представить параметрически бес-
численными способами. Если известна одна система пара-
метрических уравнений, то любую другую получим, заме-
нив t некоторой функцией нового параметра г.
Проекция линии (1) на плоскость г = с (в частности,
на координатную плоскость XOY) представляется уравне-
ниями
я - /(0, у ~= ф (0. z = с- (3)
Уравнение z = с часто опускают, подразумевая его. Ана-
логично для проекций на плоскости х = а и у = Ь.
Пример. Параметрические уравнения f
х=-2 + /, у = 3 + 2/, 2=1-2/ (1а) *'
представляют прямую линию. jj
Если за параметр принять х, то та же прямая пред- Л
ставится уравнениями Я
х - 2х+ 7, z = — 2х — 3. (2а) Я
Прямая (1а) лежит на поверхности
(гиперболический параболоид), ибо равенство (4) станет
тождеством, когда в него подставим выражения (1а).
Прямая (1а) лежи г также иа плоскости
y + z-4 = О. (5)
Значит, прямая (1а) принадлежит пересечению поверхно-
стей (4) и (5).
Отсюда не следует, что поверхности (4) и (5) пересекаются
только в точках прямой (1а). Плоскость (5) пересекает параболоид
(4) по двум прямолинейным образующим (§ ISO), одна из них есть
прямая (1а).
Взяв выражение / = 2 + -*-/' параметра / через новый
параметр г, получим другие параметрические уравнения
той же прямой:
х = ’-/', у - 7 + /', 2 = -3-Г. (16)
§ 349. ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
509
Проекция прямой (1а) иа плоскость ХОУ представляется
параметрическими уравнениями
х = -2+t, у = 3 + 2/ (За)
(подразумевается уравнение z — 0). Уравнение той же
проекции получим из (16) в виде
х =- -~t', у = 7+Г (36)
и т. д. Исключив параметр, получим в обоих случаях
у = 2х + 7.
§ 349. Винтовая линия
Пусть точка М (черт. 387) равномерно движется по
образующей Q/? круглого цилиндра, а сама образующая
равномерно вращается по поверхности цилиндра. Тогда
точка М описывает кривую АМС, называемую винтовой
линией. Радиусом винтовой линии называют радиус а ци-
, Если наблюдать движение точки М со стороны основа-
ния, к которому она движется, то вращение образующей
будет либо положительным (против стрелки часов), либо
отрицательным (по стрелке)1). В первом случае винтовая
линия называется привой (черт. 388, а), во втором — ле-
вой (черт, 388, 6).
’) Если точка Л1 будет двигаться по винтовой линии в обратном
направлении, то и наблюдать ее мы будем со стороны другого осно-
вания, но и образующая будет вращаться в обратную сторону. Стало
быть, положительное вращение останется положительным, а отрица-
тельное —отрицательным.
510 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Прямолинейный путь АС - h (черт. 387), проходимый
точкой М по образующей за время полного оборота по-
следней, называется шагом винтовой линии. Шаг правой
винтовой линии считается положительным, левой-отри-
цательным.
Правую и левую винтовые линии (одного и того же
радиуса и с одним и тем же абсолютным значением шага)
совместить нельзя. Они зеркально симметричны.
Замечание. Если развернуть цилиндрическую по-
верхность на плоскость, то окружность AQB (черт. 387)
превратится в прямую линию, перпеидикуляр-
п ную к образующим. Так как отрезок QM
пропорционален дуге AQ:
QM : AQ = Л : 2пп, (1)
Черт. 389. т0 винтовая линия превратится в прямую (АЛТ
на черт. 389). Угол у ее наклона к образую-
щим определяется по формуле
tg Y = = £ (2)
s * q/и ь ’ v !
. 11
где
Параметрические уравнения винтовой
линии. Ось цилиндра примем за ось OZ (черт. 387), ось ОХ
направим в произвольно выбранную точку А винтовой ли-
нии. За параметр t примем угол поворота плоскости осевою
сечения OQMfi? из начальною положения О АС. Тогда
х = OP = a cos t, у = PQ — a sin t, z = QM = tit. (3)
Два уравнения у — a sin t, z — ft представляют проек-
цию винтовой линии на плоскость YOZ. Эта проекция
есть синусоида. Проекция иа плоскость ХОХ-тоже сину-
соида, на плоскость ХОУ- окружность.
§ 350. Длина дуги пространственной линии
Длина дуги АВ пространственной линии выражается
интегралом
s = J /dk«-Hty8 + (tes. (2)
§ 351. КАСАТЕЛЬНАЯ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЛИНИИ 511
Дифференциал ДУ) и ранен (ср, § 339)
ds - /<7х2-f- dy" + dz~ = /х'2-| у'2 + z'-ilt. (3)
Пример 1. Найти длину одного шика винтовой
линии.
Р е ш е н ие. Формула (2) с учетом формул (3) § 349
даст;
St = J lid (a cos f)]2 + [(f (u sin f)]2 -|- [d (Й)Р =
21Г
= J /а2 sin'21 I ff- cos2 f b'1 dt 2тт /а2 |- Ьг, (4)
О
т. e. длина одного витка винтовой линии равна гипоте-
нузе треугольника, один катет которого (2^н)’ равен
окружности основания, а другой (2r.b) — шагу винтовой
линии (ср. § 349, замечание).
Если начальная точка дуги неподвижна, а конечная ме-
няется, то длина дуги есть функция параметра t и, значит
(§ 348), сама может быть принята за параметр,
П р и м е р 2. Написать уравнения винтовой линии, при-
няв за параметр длину дуги, отсчитываемую от начальной
точки / = 0.
Решение, Как в примере 1, находим;
I
s — J fa2 sin2i + и2 cos2 f-p b" di ~ У a2 ]- b-1. (5)
a
Выражая t через s и подставляя в (3) § 349, получаем:
x ~ a cos 7--^= , у = a sin -7=^ , z = 7= sr (6)
/аг + Ь* M
§ 351. Касательная к пространственной линии
( Касательная к линии (L) в точке М (х; у; z) есть пря-
мая МТ, к которой стремится секущая ММ', когда точка
М' стремится к М (ср, § 225).
Если линия (Е) задана параметрическими уравнениями
y = z = (1)
512 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ линии
то за направляющий вектор (§ 143) касательной можно
принять вектор ’)
Г'
рх
dy
или коллинеарный с ним вектор
fdx, dy dz 1
I ds ’ ds ’ ds }
Модуль его равен единице 2), Поэтому вектор f называется
единичным вектором касательной.
Координаты вектора f суть направляющие косинусы
(§ 144) касательной
eos а - rf.- , cos fJ = ^ , cos у — л- (4)
ds 3 ‘ ds ‘ds 7
(на черт. 390 a = x: AMT, £ — Л BMT, у =
Пояснение. За направляющий вею ор секущей можно при-
нять вектор ЛШ!= (Ах, Лу, М), а значит, и коллинеарные с мим векторы
ММ' (Дх Ду Az) ММ' /Дх Ду Д? 1 « ,
М (Д? М Д/ J Д4Д4' (Д« Д5 Дз J '
(3) получаются предельным j
Из черт. 390 имеем cos
ММ-
переходом.
; СММ' = 'А > Предельный пере-
ММ' As
dz .
ход дает cos у = —, Аналогично no-
ds
лучаем две другие формулы (4).
Симметричные уравнения
касательной (§ 150) имеют вид
x’
z'
(5)
Штрихи обозначают производ-
ные по любому параметру.
Пример. Рассмотрим винтовую линию (§ 349)
х = a cos t, ‘ у = a sin t, z = bt. (la)
p Вектор г' есть производная or радиуса-векгора т {х, у, г}
(см. теорему § 355).
, Л/г\г 4-dy! +Дг= ds* .
> W U9 ----------dst~~~ ’ ~ ~ds* = h
1352. Нормальная плоскость 513
Вектор
г' = { — a sin/, «cos/, Ь) ~ {—у, х, Ь] (2а)
есть направляющий вектор касательной. Из уравнений (6)
§ 350 находим единичный вектор касательной:
t =
{ а . s a s b 1
= { SIH —~ COS 7== , 7:—-У ,
I fa2 + i>= fflS + fc'4 + Ум-+г>2 Уа2+г>а)
(За)
так что
а . s а . . '
COS a = — 5Ш -у= - =-------SIH t,
Уа~+1>- У а2 № Уа2 + № .
(4а)
л if ' 7
COS 8 = ; - : COS t, COS Y —---.
Уа2 + № Уа2 + Ь2
Последняя формула дает: tg у <= ~ (ср. § 349).
Уравнения касательной имеют вид
X — a cos ! У~~а sin / 7, —Ы .г .
— » bin t a cos t ~~ Ь ' '
ИЛИ
—yxb ' z
В параметрическом виде
X = х-уи, ¥=у-ухи, Z = z-ybu, (б)
В начальной точке (/ = 0, х^=а, у = 0, 2=^0) касатель-
ная представляется уравнениями Х^а, Y^au, Z=bu.
§ 352. Нормальная плоскость
Черт. 391.
Плоскость Р (черт. 391), проходящая через точку 2И
линии L перпендикулярно к касатель-
ной /ИТ, называется нормальной плос-
костью линии L,
Направляющий вектор касательной
(§ 351) г' = {х', уг, г1} является нормаль-
ным вектором плоскости Р. Уравнение
нормальной плоскости имеет вид (§ 123)
(X-x)xH(V-y)y' + (Z-2)2' = О
или в векторной форме
f (к — г) г' = 0.
П р и м е р. Уравнение нормальной плоскости к пинто-
вой линии
х - a cost, у = a sin l, z = bt
33 М, я. Выгодский
Ь14 плоские и пространственные линий
имеет вид
(Х-а cos /) (-asin /)}- (У — <z sin t) (a cos /)+
+ (Z-bt)b~O
или
-yX-\-xY-'rbZ-bz = О.
Нормальная плоскость в начальной точке (а; 0; 0) пред-
ставляется уравнением
аУ + ЬИ = О. *
Всякая прямая, проходящая через точку М простран-
ственной линии L и перпендикулярная к касательной МТ,
называется нормалью линии L (в точке М). Пространст-
венная линия имеет бесчисленное множество нормалей.
Все оии лежат в нормальной плоскости.
Если линия L лежит в одной плоскости, из множества
нормалей выделяется одна (главная нормаль), лежащая
в этой плоскости. У иеплоской линии тоже можно выде-
лить главную нормаль (§ 359).
§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента
Определение. Вектор р называется векторной
функцией (вектор-фу акцией) скалярного аргумента и,
если каждому "численному значению, которое может при-
нимать и, отвечает определенное значение вектора р (т. е.
определенный модуль и определенное
направление этого вектора).
В противоположное! ь векторной
функции скалярная величина, зави-
сящая от и, называется скалярной
функцией.
Пример 1. Точка М движется
по линии L (черт. 392). Скорость v
(рассматриваемая как вектор) есть
вектор-функция скалярного ар-
гумента i (времени, отсчитываемого
от начального момента), ибо в каждый
момент вектор v имеет определенный модуль и спреде-
ленное направление (он коллинеарен с касательной к ли-
нии L), Вектор v можно также рассматривать как функцию
(скалярного) аргумента s (длины дуги М0М). Модуль
скорости есть скалярная функция аргумента t (или s).
Пример 2, Радиус-вектор (§ 95) ОЛ4 точки М, опи-
сывающей линию L (черт. 392), есть вектор-функция
§ 354. ПРЕДЕЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
515
длины дуги s = MQM. Координаты х, у, z вектора ОМ (г. е.
координаты точки Л1) суть скалярные функции от s
(ср. § 350, пример 2).
Замечание. Если начальная точка вектора р по-
движна (как в примере 1), то можно выбрать какую-либо
неподвижную точку О (черт» 393) и принять
ее за начало вектора ОР, равного вектору j
р. Геометрическое место конца Р (каю
правило, это-линия) называется годогра- £1 /
фом вектор-функцин р. чС/ ,
Обознач енне вектор-функцни.
означает, что р есть вектор-функция скалярного аргу-
мента и.
§ 354. Предел кецтор-функции
Определение. Постоянный вектор Ъ называется
пределом вектор-функции р (и) при и-> а (или при «-><»),
если модуль разности векторов р (и) и Ъ бесконечно мал
при и-> а (при U со).
Запись:
lim р(и) аз Ь.
(1)
Пояснение. Отнесем переменный вектор р (п) к не-
подвижному началу О (черт. 393), Если при и-+а по-
движный конец Р стремится к совпадению с неподвижной
точкой В, то вектор ОВ-Ъ есть предел вектора р (а).
Разность р(и) — Ь есть вектор ВР, а модуль последнего
бесконечно мал.
Замечание 1. Если модуль вектор-фуикции р (I)
бесконечно мал, то и сам вектор р называется бесконечно
малым. Порядком малости вектора называется порядок
малости его модуля.
Замечание 2, Непрерывностьвектор-фуикцниопре-
деляется так же, как для скалярной функции (§ 218.) На-
глядно непрерывность вектор-функции выражается в том,
что ее годографом является сплошная линия. Если век-
тор р есть непрерывная функция аргумента t, то коор-
динаты его-тоже непрерывные (скалярные) функций от t
и обратно.
33*
516 ПЛОСКИЕ и пространственные линии
Замечание 3. Теоремы о пределе суммы и произ-
ведения распространяются и на всктор-фупкцип, причем
можно рассматривать всевозможные произведения (ска-
лярной функции на векторную, скалярное произведение
двух вектор-функции, векторное их произведение и сме-
шанное произведение трех всктор-фупкцпй). Теорема
о пределе частного применяется к единственному виду
деления, рассматриваемою в векторной алгебре (деление
вектор-функции на скалярную).
§ 355. Производная вектор-функция
Определение. Производной от вектор-функции
р (и) называется вектор
Р = lim >-><“> . (I)
д«->1>
Вектор р' сам является всктор-функцией аргумента и.
Отсюда название производит вектор-функция и обозна-
чение р'(и).
Геометрическое истолкование, Пусть по-
движный конец вектора ОМ=г(и) (черт. 394) описывает
линию L (t одограф вектор-функции т(ц)].
Тогда векюр т'(п) направлен по касатель-
ной МТ в сторону возрастания параметра
п; его длина |»*'(и)| равна |~| (см. при-
мер 1). Если за аргумент принять $, то
длина производной вектор-функции равна
единице (см. пример 2).
Пояснение. При переходе от точки Af(u) к
точке ЛГ(и+Д1Л вектор г (и) получает приращение
Черт. 394.
Дг — г (п f-Au)-~r(u) = ОМ'—ОМ = ММ'.
Вектор = направлен по секущей ММ'; длина его равна
MM' ММ' I As 1
——г я? , = т~ . При А и 0 секущая М М' стремится к совпа-
ди! 1А»| |ДМ| щ
As ds
дению с касательной, а отношение — стремится к пределу —.
Координаты производной р'(и) вектора р(и) соответ-
ственно равны производным от координат вектора р(й),
т. е,
[x(w)i + y (H)J + z(u)fc]' = х' (u)i+y' (u)j + z' (иЖ (2)
$ 356. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОР-ФУНЦЦИИ 517
пли у других обозначениях
{х, у, z}' -= {х', у, z'}. (3)
Пример 1. При обозначениях § 349 радиус-векгор ч*
винтовой липни выражается через параметр t следующим
образом;
г — {« cos t, a sin t, bt}.
В силу (3)
г' = {-a sin t, a cos t, b}.
Ведтор г' направлен по касательной к винтовой линии
[ср, § 351, формула (2а)]; его длина ib2 равна
[ср. (5) § 350].
Пример 2. Если за аргумент радиуса-вектора т вин-
товой линии принять дугу 5, то (§ 350, пример 2)
г = f a cus ——-, a sin , - b-~ s 1,
t Ya2 + b2 УсГ- + Ь* № + & }
, Г —« . s a s b 1
Г'= <7= —SHI—, — cos - , 1 .
WflSbfri fa^ + b2 № + & ja"+b3 № + &*)
Модуль вектора г' равен
а2 . я . «з „ s , Ъ" л
----Sin2 - ...cosa ------- 4---- = 1.
а^ + б2 /«а ГЬ* aa-i-fca /а*+ 6а «а + 62
Производные высшего порядка. Они опре-
деляются так же, как для скалярных функций!, и обозна-
чаются р"(н), р"'(и) и т. д. Выражения производных через
дифференциалы даны в § 356.
Механическое истолкование производ-
ных. Пусть т(/) есть вектор-функция, выражающая
радиус-вектор движущейся точки через время t. Тогда
v (t) есть вектор скорости точки М, а »"'(/)-вектор ее
ускорения.
F § 356. Дифференциал вектор-функции
Дифференциал вектор-фуикцип р(н) определяется так
же, как для скалярной функции (§ 228), и обозначается dp.
Дифференциал вектор-функции р (и) есть вектор; ои
равен произведению производной вектор-функции р'(и) на
приращение аргумента:
dp = р' (и) Дн (1)
или
dp р' (и) du, (2)
О
Черт. 395.
518 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Геометрнческ о ей столковаиие. Дифферен-
циал dr (и) есть вектор MN (черт. 395), направленный по
касательно й МТ; координаты вектора dr суть дифферен-
циалы координат х, у, z точки М:
dr — {dx, dy, dz}t (3)
Длина вектора dr равна дифферен-
циалу дуги s => М0М:
[ dr | = ds, (4)
т. е.
drs = dss. (5)
Если дуга s является аргументом
вектор-фуикции г (s), то [ dr | —
а» ММ1. В общем же случае ] Дт ] разнится от дуги ММ'
(равно как от хорды ММ') на величину высшего по-
рядка малости относительно Ди.
Инвариантность выражения (2). Формула (2)
верна и в том случае, когда и рассматривается как функ-
ция какого-либо аргумента. Формула (1) не обладает этим
свойством (ср. § 234).
Дифференциалы высшего порядка. Они
определяются так же, как для скалярных функций (§ 258),
и обозначаются d2p, d3p и т. д.
Выражения производных через диффе-
ренциалы:
Р'Ы=%, (6)
₽"(«)=^, >'"(«)-££>••• со
В формуле (6) и может быть как независимой, так и зави-
симой переменной; формулы (7) верны, когда «-незави-
симая переменная; в противном случае оии, как правило,
неверны (ср. § 259).
§ 357. Свойства производной и дифференциала
вектор-функции
1. Производная постоянного вектора а равна нулю,
дифференциал тоже равен нулю:
^ = 0, da = O. (1)
Обратно, если производная вектора тождественно равна
нулю, то вектор-постоянный. ___________
§ 357, СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА 516
Замечание, Постоянный вектор имеет не только
постоянную длину, но и неизменное направление. Произ-
водная переменного вектора р постоянной не равна
нулю (она перпендикулярна к вектору р; см. свойство 6).
2, Дифференциал суммы нескольких векторов равен
сумме их дифференциалов. Аналогичное свойство для
производных:
d[p («)+9 (и) - * (и)] = dp (и) dq (и) - dr (п), (2)
(2а)
3. Для всех видов умножения векторов имеют место
формулы дифференцирования, аналогичные формулам § 239,
с тем отличием, что в векторных и сметанных произ-
ведениях соблюдается надлежащий порядок сомножите-
лей (ср. | 112, п. 2, § 117, п, 1):
d (тр) ~ т dp Ч-ju dm, (3)
d(p xq) = p xdq+dp xq, (4)
d(pq) =p dq + qdp, (5)
d (P*P‘) — dp qr+p dqr+pq dr, (6)
Соответствующие формулы для производных:
= (За)
Ж<рх«) = (4а)
£(р«) =*£+«£, (5а)
^(Pqr) = 4,,+f*,+M*. (ба)
4. В качестве частного случая формул (5) и (5а) имеем:
<f(p9=2pdp, ^-(р=) = ?Р^-. (7)
5. Постоянный множитель (скалярный или векторный)
можно вынести за знак дифференциала (производной):
d (ар) = a dp (a = const), (36)
d (axq) = axdq (a = const), (46)
d («q) — a dq (« = const), (56)
d (aqr) = a d (q X r) (a = const). (66)
Вытекает из свойств 1 и 3.
6. Если вектор р(и) сохраняет постоянную длину, то
он перпендикулярен к вектору pf (и), а также к сектору
520 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИЙ
rfp (и), т. е. сели
р2 ~ const, (8)
то (ср. н. 4)
VP' = 0, р dp ~ О, (9)
Вытекает из (7).
Геометр нч с ски: годограф вектора р (ц) — сфери-
ческая линия; ее касательная перпендикулярна к радиусу
сферы.
§ 358. Соприкасающаяся плоскость
Определение. Соприкасающейся плоскостью кри-
вой L (в точке М) называется плоскость Р, к совпадению
с которой стремится плоскость КМ К' (черт. 396), когда
две (не совпадающие друг с дру-
гом) точки К и К', оставаясь на
линии L, стремятся к точке М,
Замечание 1. Для кривой
линии L, лежащей в одной плоско-
сти Q, соприкасающаяся плоскость
совпадает с плоскостью Q. Для
прямой! линии соприкасающаяся
плоскость остается неопределен-
ной.
Пояснение. На проволоч-
кой модели линии L отметим три
точки М, К, К\ Если оии не
слитком далеки друг от друга,
i / то дуга КМК' практически уло-
! / житеяв плоскости КМК'(хотя дуга
i будет значительно уклоняться от
»—.. прямолинейной формы). Сопри-
черт. 396. касающаяся плоскость есть отвле-
ченный образ плоскости КМК'*
Если на модель положить листок бумаги так, чтобы ок
практически совпал с соприкасающейся плоскостью, то он,
несмотря на некоторый наклон, сохранит равновесие (за
счет трения па участке КМ К'). Во всех же иных поло-
жениях листок не удержится на модели.
Уравнение соприкасающейся плос-
кости. «Вектор плоскости» *'(«) и «вектор ускорения» »*"(а)
оба лежат в соприкасающейся плоскости. Если они не колли-
неарны, то векторное произведение
JB S3 Г'ХГ"
(1)
§ 358, СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 521
есть нормальный вектор соприкасающейся плоскости ’)
и уравнение последней есть
(К-г)г'г"-0 (2)
или в координатной форме
Х-х X' У-у У Z-2 2' = 0. (3)
X' У” Z>f
Пример. Найти соприкасающуюся плоскость винто-
вой линии
* = {acosn, о sin и, Ьи}.
Решение. Находим:
(и) = {~ a sin и, a cos и, Z?},
г" (ц) .= [~а cos и, - a sin и, 0},
г'(и)хг"(«) — {abshiti, — abccsu, а2} =
== a {b sin и, — b cos и, «}.
В силу (3) уравнение соприкасающейся плоскости есть
(X — «cos a) b sin и~ (Y — a sin и) b cos и-'- (Z—bu) а = О,
или
b sin иХ- b cos uY-yaZ = abti.
Угол р, образуемый соприкасающейся плоскостью с
осью винтовой линии, находится (§ 146) из формулы
ош 11 — ........... = z .
}b~ sina и + Ь2 cos2 и + а2 yaa + fcs
Отсюда tg р = , т. с. соприкасающаяся плоскость обра-
зует с осью винтовой линии тот же постоянный УГОЛ,
что и касательная (§ 351, пример).
Соприкасающаяся плоскость обладает следующими
свойства.ми,
1) Плоскость ТМХ (черт. 396), проходящая через каса-
тельную Х1Т и точку /< линии L, стре.мптся к совладению
с ’соприкасающейся плоскостью Р, когда точка К стре-
мится К М.
!) Если г' и г" коллинеарны и если т№ - первый из производных
векторов, ие коллинеарных с то за нормальный вектор соприка-
сающейся плоскости можно принять г' х
522 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ линии
2) Плоскость Р' (черт. 396), проходящая через каса-
тельную МТ и параллельная касательной KS, тоже стре-
мится к совпадению с плоскостью Р, когда точка К. стре-
мится к М.
Замечание. Каждое из этих свойств можно принять
за определение соприкасающейся плоскости.
§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник
Нормаль MN линии L (черт. 396), лежащая в сопри-
касающейся плоскости Р, называется главной нормалью;
нормаль МВ, перпендикулярная к соприкасающейся пло-
скости, -бинормалью. Плоскость ТМВ, проходящая через
касательную и бинормаль, называется спрямляющей пло-
скостью. 1
Три взаимно перпендикулярные плоскости TMN (сопри-
касающаяся), NMB (нормальная) и В МТ (спрямляющая)
образуют сопутствующий трехгранник, три взаимно пер-
пендикулярные прямые МТ, MN, МВ (ребра сопутствую-
щего трехгранника) часто принимают за оси координат
(касательную МТ-за ось абсцисс, главную нормаль MN-
за ось ординат, бинормаль МВ-за ось апликат). О выборе
положительных направлений см. § 361.
Направляющие векторы ребер в общем случае удобно i
вычислять в следующем порядке:
Т = г' (вектор касательной; см, § 351), (1)
J5 = г' хг" (вектор бинормали; см. § 358), (2)
N « J9 хТ — (т' хг") хг' (вектор главной норма л н]. (3)
Выражение (3) вектора -V упрощается, когда за пара-
метр принята дуга s линии L. Именно
(4) ,
Пример. Найти сопутствующи й трехграипик винто- *
вой линии
г = {a cos и, a sin п, Ьп}.
1) С помощью формулы двойного векторного произведения (§ 122)
получаем:
N = (г' X*1") Хг' — *" (г'й) — г' (»'?"); j
так как в данном случае г’2 = 1 и г'г" = 0, то Ат » г". j
d:r
Геометрически: вектор ускорения лежит в сопри-
касающейся плоскости и перпендикулярен к вектору касательной
. Значит? он направлен по главной нормали,
1Збб. ВЗАИМНОЕ расположение ЛИНИИ и плоскости 523
Решение. Вектор касательной (§ 355, пример 1)
есть
Т = «•* = {-д sin и, a cos и, Ь}.
Вектор бинормали (§ 358, пример) есть
В = г' х *" == {ab sin и, - ab cos и, о4}.
Вектор главной нормали есть
А7 - {-a(o5+Z>E)cos п, ~fl(«2+&a)sin и, О},
Уравнения главной нормали имеют вид
X-g cos и _ У-ti sin и Z—bu
F cos и ~ sin a ~~ 0 *
Из них видно,, что главная нормаль перпендикулярна
к оси винтовой линии н пересекает эту ось в точке
(0; 0; Ьи). Значит, главная нормаль идет вдоль радиуса
цилиндра, несущего винтовую линию. Спрямляющая пло-
скость совпадает с касательной плоскостью цилиндра.
’ § 360. Взаимное расположение линии
И ПЛОСКОСТИ
1. Если плоскость Q, проходящая через точку М, ие
проходит через касательную МТ линии L, то эта линия
вблизи точки М располагается по обе стороны плоскости.
В частности, нормальная плоскость всегда рассекает
линию L.
Расстояние d от соседней точки М' линии L до пло-
скости Q в рассматриваемом случае имеет тот же порядок
малости, что и дуга М М'.
2. Если плоскость Q проходит через касательную МТ,
но не является соприкасающейся, то линия L вблизи точки
М располагается, как правило, по одну сторону от плос-
кости (сторона вогнутости линии А). Исключение возможно
лишь при коллинеарности векторов ж, г".
В частности, линия L располагается, как правило, по
одну сторону от спрямляющей плоскости.
Расстояние d имеет в рассматриваемом общем случае
второй порядок относительно дети ММ'.
3. Если плоскость Q-соприкасающаяся, то линия L
вблизи точки М располагается, как правило, по обе
524
ПЛОСКИЕ II ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
стороны от плоскости. Исключение возможно лишь при ком-
планарности векторов г', г", г'".
Расстояние d имеет в рассматриваемом случае, как
правило, третий порядок относительно ММ'. Лишь в упо*
минутом исключительном случае порядок d выше третьего.
§ 361. Основные векторы
сопутствующего трехгранника
За положительные направления па ребрах сопутствую'
щего трехгранника принимают направления следующих
единичных векторов (играющих роль векторов ?, j, J<
в прямоугольной системе координат)
1. Основной вектор касательной t. Он направлен но
касательной в сторону возрастания параметра;
т Г’(и)
Y?* ~ Y^2 (н) '
(D
Если за параметр принята дуыа $ линии L, то
t =--
2. Основной вектор главной нормали ». Он направлен
по главной нормали в сторону вогнутости линии L:
„ = Л_ <г'хг,,,) , (2) p'jv3 }z(r' Xr")2
Если за параметр принята дуга то это выражение
значительно упрощается:
efir
г н - (2а) ту
3. Основной бинормали так, вой: вектор бинормали Ь. Он направлен по чтобы тройка векторов t, п, Ь была пра- Ъ ~ t хи — 1_Хг . (3) Нг'х*")*
При параметре s имеем:
dr /13г ,,=5Zg.. (ч чГсРг
rfs3
§ 365. центй кривйзны пространственной линии 523
Замечание. Направление основного вектора главной
нормали ие зависит от выбора парахметра, т. е. имеет объек-
тивный геометрический смысл. Основной вектор касатель-
ной может иметь любое из двух противоположных направ-
лений в зависимости от нар а метризации, В частности, если
за параметр принять время, то направление вектора! сов-
падает с направленпе.м движения точки М по линии L. Если
параметром служит дуга, то направление вектора t
совпадает с направлением отсчета положительных дуг.
Таким образом, объективного геометрического смысла на-
правление вектора t не имеет. Когда направление вектора t
установлено, направленно вектора Ъ вполне определено.
§ 362. Центр, ось и радиус кривизны
пространственной линии
Пусть точка М' (черт. 397), двигаясь по пространствен-
ной линии L, стремится к неподвижной точке М, где кри-
визна 1\ не равна нулю. Тогда прямая А'В1, по которой
неподвижная нормальная плоскость Q пересекается с под-
вижной нормальной плоскостью
()', стремится совпасть с прямой АВ,
перпендикулярной к соприкаса-
ющейся плоскости В и отстоящей
отточки М на расстояние МС= .
При атом луч МС направлен в
сторону вогнутости линии L.
Прямая АВ называется осью
кривизны, точка С, где АВ пере-
секает соприкасающуюся пло-
скость В, называется центром
кривизны, отрезок МС~ радиу-
сом кривизны.
Радиус кривизны обозначается
р, величины р и /< взаимно об-
ратны, т. е.
Черт. 307.
Р=4> К=А. (1)
Для плоской кривой (ее плоскость является соприка-
сающейся) центр и радиус кривизны можно получить по-
строением, Указанным в § 343‘
Окружность, описанная из центра кривизны С радиусом
СМ=р, называется соприкасающейся окружностью или
кругом кривизны линии L (для точки М).
526 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Замечание 1, Если кривизна линии L в точке М
равна нулю, то говорят, что радиус кривизны бесконечен,
и пишут р—оэ (ср. § 343, замечание)
Замечание 2. Определение развертки, данное в
§ 347, относится не только к плоским, но и к иеллоским ли-
ниям. Неплоская линия L’ тоже имеет бесчисленное мно-
жество разверток (все они - неплоские). Но в противополож-
ность случаю плоской линии (ср. § 347) центр кривизны
каждой из разверток L описывает линию, не совпадающую
е £'♦ Поэтому геометрическому месту центров кривизны
иеплоской линии не присваивается наименование эволюты.
!-
► § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра
• кривизны пространственной линии
Кривизна К выражается формулой
В координатной форме
_ у (y'j'-zy'j? У(ху"~у'х'. £2)
Г ’ /(.У8-гУ2-гг'2)3 * *
Если за параметр принята дуга, формулы (I) и (2) упро-
щаются:
К = (>а)
В соответствии с формулой (1а) вектор ^—называется
вектором кривизны. Этот вектор равнонаправлен с век-
тором ведущим от точки М линии L к центру кри-
визны С.
Радиус кривизны р находится по формуле
(3)
Сюда надо подставить одно из выражений (1), (2), (1а), (2а).
Радиус-вектор центра кривизны равен
-Гд — «‘Ч-пр (4)
§ 363. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВ. ЛИНИИ 527
и выражается [в силу (2) § 361] следующей формулой:
’V- = К*'хг'^ Хг^ (5)
В соответствии с этим координаты х0, уа, za центра крю
визны выражаются формулами
хе = Х+\.^^(Вг--Су),
Ус = У+йЙ^(Сх' - Аг')>
где для краткости введены следующие обозначения:
A s= y'z"—£'y", B = z'x"-x'2", С = ху'-ух".
Если за параметр принять дугу, то формулы (5) и
после упрощений примут вид
J?
4Чг
ds^ л
W/
cFx
ds-
(б)
(7)
(6)
j
(5а)
Xff = Х-;~ -дзд.у /й2у>а /(;^\а ~ Х+Р“ db! >
\d^) +UsU
dsy
dsi „ d3y
Ур — У'г/йглх* , fd2y\x , /d2z\z У + Р
i
(ба)
a*z
У _ » <______________цд~____________ _ у , л2 d"Z
*<7 — г~т /rf2xx- /<**з\* — z*rP ast *
kdss/ * ) ‘Yds* J
Замечание. Формулы для кривизны, радиуса и
центра кривизны плоской линии (§ 344) получаются отсюда,
’еСЛИ ПОЛОЖИТЬ 2 —2'=2"~0.
Пример, Найти кривизну, радиус и центр кривизны
ринтовой линии L:
Г - { a cos t, a sin t, Ы}. (8)
528
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНС1 ВЕННЫЕ ЛИНИИ
Решение, Приняв за парамор длину душ, имеем
(§ 350);
т = J acos ; S7--, a sin
I fo4J! Уаг + Ьг
6s 1
+ № J
Дифференцируя дважды, находим:
f cos ~-Д_—
I a! + Ьг Vas + tP
---- olU ----- *
Уа^+Ь*
Формулы (2a) и (3) дани:
т. е, кривизна и радиус кривизны носюяпиы. Формулы (6а)
дают;
* Ь* . s ГА
Ус = - — Sjn --------------- у,
а Уаг+Ь* а®
(Ю)
Из (10) видно, чти для построения ценз pa кривизны надо
радиус цилиндра, несущею винтовую линию, продолжить
за ось цилиндра на носюянное рассюяние — . Значит,
центр кривизны винтовой линии L опишет винтовую ли-
нию Ly с тем же шагом Д-=2к£, нанесенную на цилиндр
радиуса аг = — (с той же осью). Симметрия соотношения
аа^Ъ- показывает, что линии L и Lr взаимны, т, с, центр
КРИВИЗНЫ ЛИНИИ Lt ОПИШС! линию L.
§ 364. О знаке кривизны
Кринизпе плоских линий, лежащих в одной и той нса п юскости,
можно следующим образом приписать знак Если при движении точки
М в сторону возрастания параметра и вращение вектора касательной
происходит против часовом стрелки, то кривизна считается положи-
тельной, если по часовой ст рейке, — отрииа тельной.
Знак кривизны меняется па противоположный, если параметр и
заменить д рут им параметром и', Убывающим, когда и возрастает. Когда
да параметр принимается абсцисса; возрастанию параметра соответ-
§ 365 КРУЧЬПИЬ
529
cinveT смешение ючки Л1 «вправо» В этом случае кривизна положи
телино, когда липин обращена вогнутостью вверх, и отрицательна
когда вниз (§ 282)
Формулы (I) и (I) § 344 заменяются следующими:
(х+/г)3''“
хУ'-У'*"
(х'*+у'=)’^
(1)
(D
П р пмер Кривизна окружности
х — a cos u, v — a sin и,
вычисленная по формуле (I), равна — (возрастанию параметра соот-
вектвует обход против часовой стрелки, в ту же сторону вращается
вектор касате imioh) Если ту же окружность представить уравнени-
ями
х = а cos и', у = —a sin и',
то форму ла (1) дае /С = — ~ .
Рели отружносаь задать уравнением
х2 I у2 = а2
и применить формулу (1), то для верхней полуокружности получим
К-—— (обход будет соверши 11 ся против стрелки часов, вогнутость
1
обращена книзу), для нижней полуокружноыи получим К = - .
Этот пример показывает, ч к> сам по себе знак кривизны пе имеет
геометрического смысла, имеет значение лишь изменение знака при
переходе через некоторую точку (точка перетба) пли, напротив,
сохранение знака на некотором участке.
Кривизне проса ранственпых линий (в том числе и плоских) совсем
нельзя приписать знака, ибо в пространстве пег ни вращения по часо-
вой стречке, ни вращения протии часовой стрелки Для линий, лежа-
щих в одной плоскости, эти два поправления различаются потому, что,
выбрав на плоскости «лицевую» ее сторону, мы имеем в виду наблюда-
теля, созерцающе! о именно эту с iорону. Если же мы по какому либо
признаку станем различать лицевую и оборотную стороны на сопри-
касающихся плоскостях произвольной кривой в пространстве, по ни с
какой позиции наблюдатель нс сможет созерцать все плоскости с
лицевой стороны
§ 365. Кручение
Кручение пространственной липни характеризует сте-
пень отд юнсния линии от плоской формы (подобно ТОМУ
как кривизна характеризует степень о членения oi прямо-
линейной формы).
, Определение. Кручением липин L в точке назы-
вается величина, определяемая следующим образом по
абсолютному значению она равна пределу, к которому
стремится отношение угла со', составленною бинормалями
МВ и М'В’, к дуге ММ', koi да точка М', осгаваясь па
34 м. я, Вьп одский
530
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
линии L, стремится к М. Знак кручения (а также знак
угла.ш') считается положительным, когда пара бинормалей
МВ, М'В'-правая (см. § 165а), и отрицательным, когда
эта пара—левая. Кручение обозначается о;
«I <|>*
о = hm .
А1ЛГ
Замечание, Бинормаль плоской линии сохраняет
постоянное направление, так что кручение плоской липин
всюду равно нулю. Обратно, если кручение линии всюду
равно нулю, то линия плоская. У ней о с кой линии круче-
ние может равняться нулю лишь в отдельных точках
(точки сплочения).
Радиус кручения. Величина т = -р обратная
кручению, называется радиусом кручения по аналогии
с радиусом кривизны р — Но эта аналогия - неполная:
процесс, аналогичный построению центра кривизны, не дает
никакого «центра кручения».
Кручение выражается формулой
или в координатной форме
х' у У
х" у"
У" z"’
° “ (г'х''-.х'2")2т (х'у" -Ух"Р *
Если за параметр принять дугу s, то формулы (1) н (2)
несколько упрошаются:
dг а?-г
___'ds' ds1” ds3 „1/d9r\
\а ~ P“Vcte“<fo» ds3)*
Xds2)
или в координатной форме ~ ч ’
dx dy dz
ds ds ds
_ d*x d3y d3z , |7’<Fx\8, /<PvV,
G~ ds3 ds3 ds3 • LWsJ TU-) J ‘
d3x d3y d3z
d$3 4$з 4S3
(la)
(2a)
§ 368. КРУЧЕНИЙ 531
Пример. Найти кручеиие винтовой линии
x = acosu, y = nsinn, z~bu.
Решение. Имеем:
-a sin и a cos и Ъ - а cos н - a sin и 0 а sin и - а cos и 0 =; а?Ь,
хг")2 = ай J»2).
По формуле (1) находим:
— ь
° " Й» + Ь8 *
Отсюда видно, что кручение правой винтовой линии
(& > 0) положительно, левой-отрицательно,
34*
РЯДЫ
§ 366. Вводные замечания
Для преодоления трудиоиея, связанных с интегриро-
ванием, Ньютон и Лейбниц выражали подынтегральную
функцию в виде мши о члена с бесконечным числом членов
(СМ- § 270). Применяя к гаки и выражениям ибычиыс пра-
вила ал1 ебры, математики 18-го века сделали множеств
замечательных открытий. Одпако обнаружилось, что если
безоговорочно применять правила алгебры к бесконечным
суммам, то можно прийти к ошибкам. Стало необходимым
точно сформулировать основные понятия и строго дока-
зать свойства бесконечных рядов. Эга задача была решена
математиками 19-го века, имена которых мы встретим в
последующих параграфах.
§ 367. Определение ряда
Пусть дана последовательность чисел
Пр п3, и.Л' .... и„, ...
Будем складывать эти числа в данном их
чим новую последовательность % ул,
5г s= J- U.,r
$3 - Hj + U,-} 11л,
Sn = ... + U„,
§ 358. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДяЩИЁСЯ РЯДЫ 533
Процесс ее составления сокращенно обозначается выра-
жением
н2 +//-)•[- .., + (3)
которое называется бесконечным рядом или, короче, ря-
дом. Числа п1( и., »3, ... называются членами ряда. Сумма
i'n = Hj + Wj-J- ... + ип
называется чйслшчяой (или чпстной) суммой ряда (sj =
— щ-первая частичная сумма, s, ~ щ + п2 - вторая
частичная сумма, з3 - Щ+«, +н3-третья и т. д.).
II ример I. Выражение
Ц-(-1)+1 + (-1) + ... -|-(-))”+1 ; .... (4)
или, как обычно пишут,
I - 1 -I 1 - 1 + , (4а)
является рядом, Смысл выражения (4) состоит в том, что
на членов
1,- 1, +1, - 1, .,
составляются частичные с\м,мы
s, - 1, s, ^ } -1 — О, sa — 1 -1 + 1 = 1, ...
.... 5„= 1-14- ... -I ( 1)"н. - 'ЩДЖ... (5)
II р и м с р 2. Выражение
,+>+1.,- + ...,(.")-‘+... (6)
является рядом. Оно означает, что из членов
с 1...., аул...
составляются частичные суммы
= 1, 1|......................... О)
§ 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды
Определение. Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм имеет конечный
предел, Этот предел называется суммой сходящегося
ряда.
534 ряды
Если последовательность частичных сумм ие ймёе?
конечного предела, то ряд называется расходящимся.
Расходящийся ряд ие имеет суммы1).
Пример!. Ряд
14-24-34-4+ ... +л+ ... (!)
-расходящийся, ибо последовательность его частичных
СУММ
4«|, s! = 3, s3 = 6, .... ,. = ^<^2.,.., (2)
имеет бесконечный предел.
Пример 2. Ряд
1-1+1-1+ ... +(-l)"+i+ ... (3)
- расходящийся, нбо последовательность его частичных
СУММ
s, = l, s, = o, »,-1, ,.= №>!!1!„„ (4)
ср. § 367, пример 1) не имеет никакого предела.
Замечание 1. Когда последовательность s2, s3,...
не имеет никакого предела, расходящийся ряд называется
неопределенным.
Пример 3. Ряд
1+^+4'+1+ ••• +(т)я *+ •••
—сходящийся, ибо последовательность
51 = 1, = 1^; 8Я — 2 — , . • (6)
имеет предел, равный 2:
» lim = 2.
П—> 05
Число 2 есть сумма ряда (5).
Замечание 2. Запись
П1+ и2 + ... +п„+ ... = S (7)
означает, что ряд йг + п2+ ... +п„+ ...-сходящийся
1) Слово «сумма» понимается в смысле, установленном определе-
нием. Понятие суммы ряда можно расширить, и тогда некоторые рас-
ходящиеся ряды будут тоже обладать суммами (в расширенном
смысле).
§ 369. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА 535
и сумма его равна S, т. е. запись (7) равнозначна с за-
писью
lim ... -f-nM) = S.
Ж—> OS
Пример 4. Запись
I-M--.+(-!)•-*+••= I
означает, что последовательность частичных сумм
S1=1, ».=+ ‘зЧ.......’.Ч[Ч-1П-
я 2
имеет предел, равный -3-, т. е. что
Д”[14+-+(4Г11=1-
§ 369. Необходимое условие сходимости ряда
Ряд
«1+И2+ 3*. +«»+ ... П)
может сходиться лишь в том случае, когда член ип
(общий член ряда) стремится к нулю:
lim и„ = 0. (о}
t ОО ' '
Иначе говоря: если общий член и„ не стремится к нулю,
то ряд расходится.
Пример 1. Ряд
0,4+ 0,44+0,444 + 0,4444 + ... (3)
заведомо расходится, нбо общий член (ои имеет преде-
лом ие стремится к нулю.
Пример 2. Ряд
1-1 + 1-1+ ... (4)
заведомо расходится, нбо общий член не стремится к
Нулю (и вообще не имеет предела).
Предостережение. Условие (2) недостаточно
для сходимости ряда: ряд, у которого общий член стре-
мится к нулю, может сходиться, а может и расходиться
(см. примеры 3 и 4). . ...
^36
РЯДЫ
Г) р и м е р 3. Так называемый гармонический 1) ряд
1 ‘^”2’^ з ' ‘Т+ *' *
расходи гея, хотя его общий член орсмится к нулю
Чтобы убедиться в расходимости ряда, рассмотрим час при
ныс СУММЫ
Мы видим,. что часшчная сумма неограниченно возра-
стает, т. с. ряд (5) расходится.
Пример 4. Ряд
получаемы!! из i армоиическою переменой знака у членов
с четными номерами, сходится. Чтобы убедиться в этом.
5/ ЗУ % 5 ^5 Д J,
I I" 1 I I I 1 I 1 » >*'! I
О 0,1 0,2 0,3 0,4 Q5 0,0 Д7 0,8 09 ]
Черт 398.
отметим на числовой осн (черт, 398) ючки, прсдс1авляю-
щие частичные суммы =1, s, — -зд, —
47 37 тг о ~
s5= б0, sG — -ад. Каждая из «нечетных» точек slf s3, ss.
окажется левее предыдущей, а каждая из «четных» точек*
s2, s4> s6-правее предыдущей, т. е. четные и исчс1ные
точки движущя навстречу друг дрУ1У. Можно доказать/
*) Название связано с тем, что струна при делении ее на 2, 3, 4, ...
равные части дает звуки, гармонирующие с основным тоном,
§ 37t>. ОСТАтбК РЯДА
53?
чю подмеченный закон верен *) и что точки к2л, s2,(ll
сближаются неограниченно 2). Значит, как четные, так и
нечетные точки стремятся к некоторой точке S(нечет-
ные -справа, четные —слева). Сшло быть, последо-
вательность частичных сумм ряда (6) имеет пределом
число S, т. е. ряд (6) сходикя и S - ei о сумма.
Частичные суммы slf 6, дают избыточные прибли-
жения для S, a s2, s4, s0 — недостаточные. Подсчитав
у9 = 0,745 и sin-0,645", получим для 5 один верный знак:
5 = 0,7. Вычислив 5ЭВЭ и з1000, мы нашли бы S = 0,693 с
]ремя верными знаками. Точное значение S есть In 2-
1-|+|~1+=1п2. СО
Формула (7) получается из разложения
№ дт х1
тп (IДх) = х-—- I "4
приз-! (ср §27О,п 4 и § 272, пример 2).
§ 370. Остаток ряда
Если опросить первые пт членов ряда
Н] + н2 -| ... 4- ит + пП1 j 4 f п,„ ^-2 4- ..., (1)
ТО ПОЛУЧИМ ряд
um+l + Mm+2+ (2)
который сходится (или расходится), если сходится (или
расходится) ряд (1). Поэтому при исследовании сходи-
мости ряда можно оставить без внимания несколько
начальных членов.
*) Разность.
Si»+i-Ss» = 2n^i~2n+2 положительна.
1
= стремится к нулю при я —> <».
5ЭЙ ^ядь!
В случае, когда ряд(1) сходится, сумма -> -
Рр» — + (З)
ряда (2) называется остатком (нли остаточным членом)
первого ряда (/?х = п2 + п3+ ... -первый остаток, J?2=
= «з+и4+...-второй и т. д.). Остаток /?м есть по-
грешность, совершаемая при замене суммы S ряда (1)
частичной суммой $т. Сумма ряда S и остаток /?» связаны
соотношением
S = (4)
При m-х» остаток ряда стремится к нулю. Практически
важно, чтобы это стремление было «достаточно быстрым»,
т. е. чтобы остаток стал меньше допустимой погреш-
ности прн не слишком большом т. Тогда говорят, что
ряд (1) сходится быстро, в противном случае говорят,
что ряд сходится медленно.. Разумеется, быстрота илн
медленность сходимости - понятие относительное.
Пример 1. Ряд
1-4+I-4+... ' <5)
сходится крайне медленно. Просуммировав двадцать
его членов, мы получаем значение суммы ряда лишь с точ-
ностью до 0,5 40’1; чтобы достичь точности до 0,5 ДО-4,
надо взять ие менее чем 19 999 членов (см. пример 4 § 369).
Пример 2. Ряд
(геометрическая прогрессия) сходится гораздо быстрее
ряда (5); уже пятнадцатый остаток его
по абсолютной величине меньше чем (y)ls<
-=0,5-10~*, так что точность до 0,5 ‘10-4 обеспечивается
пятнадцатью членами.
П р и м ер 3. Ряд .
h I
(сумма его равна е; ср. § 272, пример 1) сходится еще
быстрее: точность до 0,5-10-4 обеспечивается восемью
членами ряда. _____________________
§ 371. ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 539
§ 371* Простейшие действия над рядами
1. Почленное умножение и а число. Если
ряд
Wi+«2+ ... + «Л+ ... (1)
сходится и сумма его есть S, то ряд
wn1+ww2+ ... , (2)
полученный почленным умножением ряда (1) иа одно и
то же число W} тоже сходится, и сумма его равна wS, т, е.
wH1+WHJt+ . , +wna+ ... =
= w(t4+a2+ ... +нй+ ...). (3)
Пример 1. Ряд
1 ^_’2,+у“4‘+’б_’е+•••
сходится и сумма его равна 0,693..,-In 2 (§ 369, при-
мер 4), Стало быть, ряд
2 4^6 8 Г10 12' *•* W
сходится и сумма его равна 0,346... = ~1п 2.
2. Почленное сложение и вычитание.
Если ряды
+ ... + пя+ ...» (6)
^+08+... + »„+... (7)
сходятся и суммы их соответственно равны U и V, то ряд
fa i 02) +(#8 ± «ъ) + ... + ± Ц,) + ..., («)
полученный почленным сложением (илн вычитанием), тоже
сходится и сумма его равна U+ V (или U - V), т. е.
(«!±Wi)+(«a±«Ъ)+ ... -
= («1+ «2+ . •.) ± («>1+г?2+ .. •)• (9)
Пример 2. Ряд
t 0,11+0,0101 + 0,001001+...
'сходится и сумма его равна §|. Действительно, этот ряд
получается почленным сложением сходящихся рядов
0,1+0,1=+0,18+ ... и 0,01+0,013+0,018+..., а суммы
последних соответственно равны -- и .
540
РЯДЫ
Предостережение. Не все свойства конечных
сумм остаются в сале для сходящихся рядов. Так, от
перестановки членов Сходящийся ряд может приобрести
иную сумму и даже стать расходящимся. Переставим,
например, члены сходящегося ряда
1 " *2 + "3 “’4 + б'“ 6^ Т“'У+ 9’~Тб+ ’ ’ * ~
= 0,693... (10)
так, чтобы за двумя положительными шел одни отрица-
тельный (порядок положительных членов остается преж-
ним; то же для отрицательных), Получим ряд
1 + “з “ 2”+ У + Т ~ Т + 9” п “ "6
13 + l5“ 8”*' ‘ ‘
Он сходится, но сумма его в полтора раза больше преж-
ней. Действительно, мы имеем (см. пример 1):
0-+4 + 0“^+°+^+0—|-+°+тб+ =
= ™ >0,693 (12)
(вставление нулей не изменяет суммы ряда!). Сложив
почленно ряды (10) и (12) (п. 2), получим:
I + O+-3-у+у+О+у-f + 8-+0+ ... =
= |>0,693...
Сократив дроби и отбросив пули, получим слева ряд (11).
§ 372. Положительные ряды
Положительный ряд (т. с. ряд, все члены которого
положительны) не может быть неопределенный! (§ 368,
замечание 1). Его частичные суммы всегда имеют предел-
конечный или бесконечный. В первом случае ряд схо-
дится, во втором-расходится.
Положительный сходящийся ряд прн перестановке
членов остается сходящимся н сушш его не изменяется
(ср. § 371, предостережение), расходящийся положитель-
ный ряд остается расходящимся.
§ 373. СРАВНЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 541
§ 373. Сравнение положительных рядов
Для исследования сходимощи данного положительного
ряда
Hy+Hi+Uj-I- ... (1)
его часто сравнивают с другим положительным рядом
М «’j+^+ (2)
о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд (2) сходится и сумма его равна V, а члены
данного ряда нс превосходят соответствующих членов
ряда (2), то данный ряд сходится, и сумма его не пре-
восходит V. При этом и остаток данного ряда не превос-
ходит остатка ряда (2).
Если ряд (2) расходится, а члены дапно! о ряда нс
меньше соответствующих членов ряда (2), то данный ряд
расходится,
Пример. 1. Исследовать сходимость ряда
КЙ 1 + + ••• (3)
и, если он сходится, найти четыре значащие цифры его
суммы S.
Решение. Сравним данный ряд с геометрической
прогрессией .
1 + -8 + ~&+ * •• +5^+ • *•
Ряд (4) сходится; сумма его равна 1,25. Члены данного
ряда не превосходят соответствующих членов ряда (4).
Значит, данный ряд сходится, и $ с 1,25. Остаток
= (ЯП) 5*’ + (л + 2) + (м + 3) б«4 г+ **' (5)
ряда (3) меньше л-го остатка ряда (4), т. е.
oij._L._L_. 1
5« ' 5п+1"г ба-гв"1- • » • — 4,бп—1 *
> Для лучшей оценки сравним остаток (5) с рядом
1 1 1 _
(n + l)5»+(n + l) 5«+1 + (« + 1) 5»+з+ ~
(7)
542 РЯДЫ
Рассуждая, как выше, получим неравенство
р ________________________I______
4(л + 1)5»-1 ’
Полагая последовательно л=1, 2, 3,найдем, что вы-
ражение 4('n + i)5n-i' станет меньше 0,0005 при л = 4.
Суммируем четыре члена данного ряда. Получаем недо-
статочное (с точностью до 0,5 40-3) приближение
S и 1+275+3^+4^ =
Пример 2. Для исследования сходимости ряда
1 , 1 , 1 , 1
(8)
(9)
сравним его с гармоническим рядом
1+4+4+4+
Последний расходится (§ 369, пример 3), а члены данного
ряда ие меньше соответствующих членов ряда (9). Значит,
ряд (8) расходится.
Пример 3. Для исследования сходимости ряда
сравним его с рядом
1+П2+27з+з74+ •••
члены которого, начиная со второго, больше соответ-
ствующих членов ряда (10). Ряд (11) сходится и сумма его
равна $-2, ибо л-ю частичную сумму можно предста-
вить в виде
(Ю)
(И)
1
n-1 "
=1+1-1.
~ п
Ряд (10) и подавно сходится и сумма его меньше чем 2<
Остаток ряда (11) равен (§ 370)
/?я = S — ,
(12)
j Й74. ПРИЗНАК ДЛЛАМБЁРЛ ДИД ПОЛОЖИТ. РЯДА &43
Остаток ряда (10) лишь немногим меньше, так что
ряд (10) сходится медленно: чтобы найти четыре знача-
щие цифры суммы, надо сложить около 2000 членов.
Точное значение суммы ряда (10) равно — (см. ниже § 417,
пример 3),
§ 374. Признак Даламиера для положительного ряда
Теорема. Пусть в положительном ряде
«1+и3+ ... + «»+ ... (1)
отношение ~~— последующего члена к предыдущему при
/!-> оо имеет предел q. Возможны три случая:
Случай 1. q < 1. Тогда ряд сходится.
Случай 2. q >• 1. Тогда ряд расходится О*
Случай 3. q = 1. Тогда ряд может сходиться, а мо-
жет и расходиться.
Эту теорему называют признаком Даламбера2).
Пример 1. Рассмотрим положительный ряд
2-0,8-ьЗ-0,8г + 4‘0,83+ ... + (п +1) • 0,8*+ ...
Вначале наблюдается возрастание членовэ) = 1,6,
ag = 1,92, а3 = 2,048, ...). Однако ряд сходится, ибо
«п-н’ = 0>8(1+~р), а предел этого отношения ра-
вен 0,8, т. е. меньше чем 1.
Пояснение. Пусть для некоторого положительного
ряда д1+йа+п3+ ... +ап+ ... предел отношения
щ+1:п» равен 0,8. Тогда с некоторого иомера отноше-
ние пя+1: ип разнится от 0,8 менее, чем иа ± 0,1. Значит,
оно будет оставаться меньшим, чем 0,9, так что
Ця-ы 0,9Пд>
Идч-з -= О,95Пд-,
ил+з 0,9Нд-+ 2 -г 0,9эЦу
(2)
О Сюда включается и случай, когда lim цм+1: ия = <*>.
Название основано на недоразумении. Теорему впервые выска-
зал и доказал Коши.
3) Ойо потом сменяется убыванием. .
544
ты
и т. д. Сравнение ряда Пу+1+пл.+34-Пу+3-)-... с ря-
дом 0,9uJf + 0,9au^ + 0J9:injV + • (убывающая геометри-
ческая прогрессия) показывает (§ 373), что данный ряд
сходится.
Вместо 0,9 можно взять любое число, лежащее между
0,8 и 1. (Если взять единицу или большее число, рассу-
ждение потеряет силу.)
По тому же плану ведется общее доказательство тео-
ремы для случая q < 1.
Пример 2. Рассмотрим положительный ряд
М + -^4--з~4- +— Р (3)
Начальные члены убывают, но ряд расходится, ибо предел
отношения
J 1,1" + 1 . 1,1» /, 1 X . 1
п+1 . п 1Д
равен 1,1, т. е, больше чем 1.
Пояснение. Так как lim (п„+1: ип) = 1,1, то с неко-
торого номера Я отношение п„+1: ип больше чем 1,09.
Сравнивая ряд • •• с расходя-
щимся рядом l,09ujV-f- 1,09ипДг+ 1,093Пу+ ♦,, и рассу-
ждая, как в предыдущем пояснении, мы докажем (§ 373),
что данный ряд расходится.
Вместо 1,09 можно взять любое число между 1,1 и 1
(ио не единицу).
По тому же плану ведется общее доказательство тео-
ремы для случая q =- 1.
П р и м с р 3. Рассмотрим ряды
. *4+4 •+-?+•••• №
13-^ + з£+ • • • • (л)
Для обоих имеем
q = Ит (ня^: п„) = 1.
Но ряд (4) расходится (§ 369), а (5) сходится (§ 373).
Замечание. В случае 1 (q ' 1) сходимость тем бы-
стрее, чем меньше q. В случае 2 (q 1) расходимость тем
быстрее, чем больше q. В случае 3 (q — 1) ряд, если схо-
дится, то медленно, и потому мало пригоден для вычис-
лений.
§ 3t5. ЙНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗЙАк СХОДИМОСТИ 545
§ 375. Интегральный признак сходимости
Если каждый член положительного ряда
IM-IM- (1)
меньше предшествующего, то для исследования сходимости
можно рассмотреть несобственный интеграл
)/(л)<Й, (2)
1
где / (н) - непрерывная убывающая функция от л, прини-
мающая при п = 1, 2, 3. ... значения щ, п2, н3, ...
Ряд (1) сходится или расходится, смотря по тому, схо-
дится или расходится несобственный интеграл (2). В слу-
чае сходимости остаток Z?u ряда (1) удовлетворяет нера-
венствам
J / (п) dn < R„ < [ / (n) dn. (3)
«й-1 я
Замечали е. Интегральный признак удобен в тех
случаях, когда член ип задан выражением, имеющим смысл
не только для целых значений п, но и для всех п, боль-
ших единицы.
Пример 1. Исследуем сходимость гармонического
ряда
Ьь-ж4-у4- ... +-+ ... (4)
Этот ряд — положительный; каждый его член меньше пред-
шествующего, и общий член щ, задан выражением —,
имеготцПхИ смысл для всех значении п (кроме пуля). Функ-
ция / (и) — ~ в промежутке (1, &->) непрерывна и Убывает,
«. у
Рассмотрим несобственный интеграл J Он расходится,
j
ибо имеет бесконечное значение: ?
й
lim f — — lim In х — оо.'
Значит, расходится и ряд (4) (ср. § 369, пример 3).
35 М. Я. Выгодский
546
Пример 2. Исследуем сходндюсть ряда «обратных
квадратов!)
^‘22 + 3?+ •** (5)
Здесь / (п) — . Соответствующий несобственный ин-
теграл
найдем 8^ « 1,5498. Остаток удовлетворяет неравенству
11 10
Значит, погрешность приближенного равенства
1+^+^+ -• « 1,5498
не превышает 0,1.
Пояснение. График черт. 399 изображает функцию / (л); чле-
ны wlt н2, ... изображаются ординатами Р^М,, Р^М^ ..., последние
численно равны площадям ступенек PiM^N^P^, Р^М^^Р^, ...
со
Расходимость интеграла j* /(n) t/л означает, что площадь полосы
1
под линией ЛТ1ЛГгЛТ3 ... бесконечно велика. Площадь описанной сту-
пенчатой фигуры и подавно бесконечна, т. е, ряд 1Д-) н2-|- ... рас-
ходится.
S 376. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА 547
Если ясе интеграл .J f(ri)dn сходится, то площадь полосы под
1
. конечна. Площадь вписанной фигуры, заштрихованной,
на черт. 400, и подавно конечна, т. е. ряд u3+ua4-... сходится. Зна-
чит, сходится и ряд щ + u3 + «з ...
Неравенство (3) поясним на частном примере н=2. Остаток
Ка = Кз + и4+ численно равен площади описанной фигуры
Сю
. (черт. 399); значит, К2 >• J / (л) rfn (по УСЛОВИЮ
3
этот интеграл сходится). Тот же остаток равен площади фигуры
ХР2/<3.'ИзК3.'И(| ... (черт. 400); Значит,
ОФ
*2 < J 7(n)
§ 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница .
Ряд называется знакопеременным, если его члены по-
очередно положительны и отрицательны. Ряд
«1-«3+к3- ... - • •, (О
где буквы ии иг, u3t ... обозначают положительные чис-
ла,-знакопеременный.
Признак Лейбница. Знакопеременный ряд схо-
дится, если члены его стремятся к нулю, все время Убывая
по абсолютному значению1). Остаток такого ряда имеет
тот же знак, что и первый отбрасываемый член, н меньше
его по абсолютному значению.
Рассуждения, на которых основано доказательство при-
знака, проведены для частного случая в примере 4 § 369.
Пример. Знакопеременный ряд
1 -4’4-4+ и
Р Члены знакопеременного ряда могут стремиться к нулю, ио убы-
вать не все время. Тогда нет гарантии, что ряд сходится. Так, ряд
‘ -I4.I-I4.I £ 2 £ £
2 + 2 3 + 3 “ 4 + 4 5*5 *”•
члены которого стремятся к нулю, но убывают не все время, расхо-
дится. Действительно, группируя члены попарно, найдем, что =
" ' - +тг » так что (S 369, пример 3) Пт в1я
° п я—> <w . — -
35* ~ ~ ~
548 " ряды
сходится, нбо члены его стремятся к нулю, все время Убы-
вая по абсолютному значению. Пятнадцатый остаток
Р -„2.1^1.
«15 — 10Т 17 18t • • •
отрицателен, так что частичная сумма $1S дает для суммы
ряда (2) приближение с избытком. По абсолютному значе-
нию остаток мсныпе чем .
§ 377. Абсолютная и условная сходимость *
Теорема. Ряд . Л
Hj+«2+... ч «„+... * (1)
заведомо сходится, если сходная положительный ряд
] ] Ч- ] и2 j + ... + j| un [ + ..., (2)
составленный из абсолютных значений членов данного
ряда.
Остаток данного ряда по абсолютному значению не
превосходит соответствующего остатка ряда (2)1 *),
Сумма S данного ряда по абсолютному значению не
превосходит суммы S' ряда (2)
[ S J S'. i
Равенство имеет место только тогда, когда все члены
ряда (1)-одного знака.
Замечание 1. Ряд (1) может сходиться н тогда,
когда ряд (2) расходится.
Пример 1. Ряд
“* » (3)
члены которого через два иа третий отрицательны, схо-
дится, ибо сходится (§ 373, пример 3) ряд
1 + » (4)
составленный из абсолютных значений членов данного
ряда. Сумма S ряда (3) меньше суммы S' ряда (4)г).
1) Ход доказательства указан ниже (см. пояснение).
!) В данном случае 5= — 5г(см. пояснение).
§ 377. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ 549
П р и и е р 2. Знакопеременный ряд
сходится (§ 369, пример 4), несмотря на то, что ряд, со-
ставленный из абсолютных значений членов данного ряда,
расходится (§ 369, пример 3).
Определение 1. Ряд называется абсолютно схо-
дящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных
значений его членов (в.зюм случае сходится и данный
ряд; ср. пример 1).
Определение 2. Ряд называется условно сходя-
щимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсо-
лютных значений его членов, расходится (ср. пример 2).
Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все
члены положительны пли все члены отрицательны,— абсо-
лютно сходящийся.
Пояснение к примеру!. Сохраним в ряде (3) положи-
тельные члены, а отрицательные заменим нулями. Получим сходящий-
ся положительный ряд
J+2i+0+i4+0+y=+i+0+ и <5>
(сходимость его следует из сравнения с рядом (10) § 373), Заменим
теперь нулями положительные члены ряда (3), а отрицательные возь-
мем с обратным знаком. Получим сходящийся положительный ряд
O+O+^+O+O+gj+0+04'gj+ > .. » V. (6)
Вычтем почленно ряд (6) из ряда (5). Подучим ряд (3). * СИЛУ § 371
(и. 2) он сходится и сумма его S равна, J4W00B Я
S- U—V, dTRR8ET3(S]
Каждое из положительных чисел U, V меньше (8 з73)/чем СУМмД^
ряда (4). Поэтому П Г< .< а
S S'.
a .nuToqneH
Буквально так же доказывается общая TeopeMSpH^RR ЯЯЙОНБТЗ
3 а м е ч а н и е. Сложив (5) и (б), находим: ЗОМНДОХЭ 9ЖБД И
sf = u-j-v. 1 дэмпдП(в)
В данном же примере имеем сверх того (§ 371,
‘ 111 1/ll^k '
v - + - “ s (‘ +55+35+ "^=
Из (7), (8) и (9) вытекает, что • £Д1<Г1
550 РЯДЫ
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда
Положим, что в ряде ;
«1+«а+ ...+«Л+... (1)
наряду с положительными членами есть и отрицательные
(или все члены отрицательны). Пусть абсолютное значение
отношения 1Ц+1: ия имеет предел д:
lim [ н„+1: ип j = q.
Тогда при q -= 1 ряд сходится, при q >• 1 расходится,
при q = 1 он может сходиться и расходиться.
Это следует из §§ 374, 377.
Пример. Ряд
+ 11 21 ЗГ 41^51 61 71 'SI1’ » W
где за каждыми двумя положительными членами следуют
два отрицательных, а за ними снова два положительных,
сходится, ибо [ ия+1: ип | = 1; значит,
q = lim | цл+1: [ = 0, т. с. q < 1.
§ 379. Перестановка членов ряда 1
В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно пе-
реставлять члены; при этом абсолютная сходимость не
нарушается и сумма не меняется (в частности, сумма схо-
дящегося положительного ряда не зависит от порядка
членов).
Напротив, в условно сходящемся ряде не всякая пере-
становка членов допустима, ибо сумма может измениться
и даже сходимость может нарушиться.
Пример 1. Ряд
получаемый перестановкой членов абсолютно сходящегося
ряда
§ 380. ГРУППИРОВКА ЧЛЕНОВ РЯДА 551
1оже сходится и имеет ту же сумму S, что и геометриче-
ская прогрессия (2), Стало быть,
1
5 = = (3)
1 + 2
Формулу (3) можно проверить, рассматривая частичную сумму
ряда (1) как сумму членов геометрической прогрессии с первым
Г 1 \Е 1 1 /1\2 1
членом ( — - — = —т и со знаменателем ( „ 1 =—.
\2/ 2 4 \2/ 4
Пример 2. Ряд
1 2 + 3 4 ' о 6‘7 8 + * ’ * V*?
сходится условно (§ 377). Ряд
7~~ T+ir+Ti
полученный перестановкой членов ряда (4), сходится, но
сумма его в полтора раза больше суммы данного ряда
(§ 371, предостережение).
Замечание. В каждом условно сходящемся ряде можно так
переставить члены, чтобы новый ряд имел суммой любое на-
перед заданное число (можно также заставить ряд рас-
ходиться).
§ 380. Группировка членов ряда
В противоположность переместительному свойству (которое имеет
месго лишь для абсолютно сходящихся рядов; ср. § 379) сочетатель-
ным свойством обладает всякий сходящийся ряд.
Именно во всяком сходящемся ряде можно, не Л'еняя порядка чле-
нов, объединять их в какие уюдно группы. Сложив члены внутри
всех групп, получаем новый ряд. Он тоже сходится и сумма его — пре-
жняя.
Пример 1. В сходящемся (по признаку Лейбница) ряде
1 1 -L-1 1 1 с
1~3 + 5 7 + 9 И b "•
(О
Можно сгруппировать члены следующим образом:
(-М1ЖЬ. <*>
Сложив члены внутри групп, получим:
2,2,2
2!-1 + б*-1 + 1Q9-1
(3)
552 ‘ РЯДЫ
Этот знакоположительный ряд имеет ту же сумму 1), что и знакопере-
менный ряд (1).
П.римср 2. В ряде (1) можно сгруппировать второй член с
третьим, четвертый с пятым и т. д. Получим сходящийся ряд
1 42-i 8s—1 12®—1
имеющий ту же сумму.
Замечание, Обратное действие (раскрытие скобок) безуслов-
но допустимо лишь в том случае, если после раскрытия скобок полу-
чается сходящийся ряд (тогда данный ряд —заведомо сходящийся).
Однако возможен случай, когда данный ряд сходится, а после раскры-
тия скобок получается расходящийся ряд.
ПримерЗ. Ряд
(1 —0,9)4-(1 -0,99)4(1 -0,999) + . .. (5)
(геометрическая прогрессия 0,1 | 0,01 +0,001 + .,.) сходится и имеет
СУММУ 4-,
9 <
Если открыть скобки, ПОЛУЧИМ ряд
1-0,9 + 1-0,99 + 1-0,999 + ,.., (5')
он расходится, ибо частичные суммы с четными номерами имеют преж-
ний предел i ас нечетными номерами—предел 1 —.
Пример 4. Рассмотрим ряд
Ь24ТГз+ЗТ4+47й+ ‘
Его можно представить в виде
Здесь скобки открыть можно, ибо полученный ряд
—сходящийся. Действительно, всякая частичная сумма s2n„j равна
единице, а частичная сумма
стремится к единице. Сумма S -1 ряда (8) является также суммой
ряда (6):
ТТ2+2^3+3^4+57б+ • * • в ]’
Она равна см. § 398, пример 3.
§ 381. УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ 553
, § 381. Умножение рядов
Теорема. Два абсолютно сходящихся ряда
- i/1+i/a+«d+... = I/, (1)
«1+»а+«з+ V (2)
можно перемножить; как многочлены. Каждый член ряда
(I) помножается на каждый член ряда (2) и произведения
складываются в любом порядке. Получим абсолютно схо-
дящийся ряд, сумма которого равна UV'. ,
5-ttaVi+n1«3+u3ea+u3«1+ ... ~ UV. (3)
Замечание 1. Чтобы в ряде (3) ни одни член не
был повторен дважды пли опущен, рекомендуется группи-
ровать члены ulvk с одной и той же суммой Указателей
I, к (зту сумму называют весом члена и^к). Тогда ряд по-
лучает вид
Wj + Wjj + W;,-}- .. ., (4)
где
wL ~ ukvlt
w2 = wa»i4-«i®g, (5)
Ws =
= U^+U^v., } пл_2?М- • 4-«xvft.
Эта группировка соответствует умножению по схеме:
t?i + и2 ч- иа -f- ил + ...
tlgCj 4- UjUi-p Uj®ji + . . <
Щ^’Ч- ^2^2 Ч" Ч" • • • (б)
Их»з+ •
________________• - -
Ч- W3 ч- w3 + Wi + .. . j
Пример 1. Рассмотрим два абсолютно сходящихся
Ряда:
1+1+1+1+•••+’^5+•••, О)
1-1+14+ - +4^+ - (»)
554
РЯДЫ
Перемножая нх по схеме (6), находим:
1 J___
2 “ 4 8 ~ 16
'4 + 8" + 1б'+ ”•
______1__
8 16
- l+0+4+0+“iV+ ...
(9)
Закон составления полученного ряда выражается фор-
мулами *)
1 ~ 2г«~2' ’ ^2* “ О’
Опуская нули, получаем абсолютно сходящийся ряд
l+4+“iV+ +4^г+
Его сумма есть произведение сумм рядов (7) и (8). Это
легко проверить, ибо сумма прогрессии (7) равна 2, сумма
прогрессии (8) есть а сумма прогрессии (10) есть у.
Пример 2. Ряд *
+т^+ (п)
абсолютно сходится (по признаку Даламбера). Найти его
СУММУ.
Решение. Искомая сумма есть произведение сумм
двух одинаковых абсолютно сходящихся рядов
1+у+^+ ... +т~а+ ... <12)
1+4+^+ • *• +тГ^+ * *• = Т* (13)
х) В каждом столбце схемы (9) слагаемые имеют одно и то же
абсолютное значение, а по знаку чередуются. Столбец четного номера
(где число слагаемых четное) дает нуль. В столбце нечетного номера
2rt“ 1 первое слагаемое есть а остальные взаимно уничто-
жаются,
§ 38t. УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ
Действительно, по схеме (6) получаем:
555
I”!- q 4* 7^*1” 7®"^* * * *
7 + 7s^" 73+ * ‘ •
7^4" 73^* • • *
d I Л О . * f
1+*7'+та > 73+ • •
Значит, сумма ряда (11) равна
7 7 49
G * 6 “ 36
Замечание 2. Если один из рядов (1); (2) сходится абсо-
лютно, а другой—условно, то ряд (4), найденный по схеме (6), —
сходящийся, и сумма его по-прежнему равна UV. Но он может
оказаться условно сходящимся; тогда не всякая перестановка членов
допустима (§ 379).
Если оба ряда (1), (2) сходятся условно, то ряд (4) может
оказаться расходящимся *). Но если он сходится, то его сумма
равна t/V.
Ч Ряд
(U)
сходящийся (по признаку Лейбница, § 376), но он сходится условно,
т. е, положительный ряд
расходится (§ 373, пример 2). Если применить формулы (4), (5) к двум
рядам, каждый из которых совпадает с (U), то получим ряд
Юд+ю8+1Да4-...»
(W)
у которого каждый член по абсолютному значению больше единицы,
Действительно, формула (5) дает:
| шм ] » I—+-—+.,, +т£=.
fl.n /2(П“1)
Здесь каждое из п слагаемых больше чем Стало быть,
/и*п п
не стремится к нулю, и ряд (W) расходится (§ 369).
S56
ряды
§ 382. Деление рядов
Теорема. Пусть имеем два сходящихся ряда:
Н1 + и2 + . • . 4- Un Ч- , . . = U, (1)
^с+Щ 1" • • Ь + • • • = V' (^)
Применив к ним схему деления многочлена Ui+u2+ ...
... + ип на мноючлен ^4-^2 + ,.. 4 vn, получим ряд
«’i+w2+ .. .,+'^n+ • (3)
Если ряд (3) ~ сходящийся х), то его сумма IV равна U : V.
Пример. Применим к сходящимся рядам
^+^+i+ +^+ = и' <1а)
т~^+тз~ +f'4« + (2а)
схему деления мноючлсна па многочлен. Имеем:
1, . * 1 „
2 т 22 ' 2J ' 21 ‘ 2° •’* 2 22 ‘ 23 21‘25
• • 1+ 1+T+i+ * *
4 У+ ° F ‘ ”
,L_ /
9 2“ т Дз 21 ‘ 2s " * *
2* 23'2> 2s ~ * * *
5з+0+~+ ...
11 - 23 2‘ *S
Оч- ...
1) Он может оказаться расходящимся даже при абсолютной сходи-
мости рядов (1), (2). Так, если разделить по упомянутой схеме ряд
1+0 + 0 + 0+ ... (все члены, кроме первого, —нули) иа ряд
1 + 1+O+O4-O4-... (все члены, кроме двух первых,-нули), по-
лучим расходящийся ряд 1 — 1 4-1 — 1 4-...
§ 383. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД 557
В данном примере члены ряда (3) образуются по такому
закону,-
«Ъ = 1, W2 =
~ 22> • • • > wn = ’ * *
(П 2)
Действительно, второй остаток получается почленным
умножением первого остатка на 1/а. следовательно, третий
член ряда (3) получается из второго члена умножением
на f/8. При третьем вычитании как в уменьшаемом, так
и в вычитаемом все соответственные члены вдвое меньше,
чем прн втором вычитании. Следовательно, третий остаток
получается из второго умножением на 1/2. Значит, четвер-
тый член ряда (3) получается из третьего умножением на
х/г и т. д.
Итак, члены ряда (3), начиная со второго, образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 1/г. Значит,
ряд (3) сходится. Сумма его W равпа U: V.
В самом деле, мы имеем: '
u=i, v = ~ w= i+—Ц- = з,
8 >4
так* чю ♦
U : V = W. ' *
§ 383. Функциональный ряд
Функциональным рядом называется выражение
«1 (х) + (х) + ... +п„(х)+ ..., (1)
где Hi(x), н2(х), ... (члены ряда) суть функции одною
и того же аргумента х, определенные в некотором про-
межутке (а, 1>),
Смысл выражения (I) разъяснен в § 367. Только теперь
члены ряда являются функциям и, тогда как в § 367
рассматривался ряд, члены которого— числа; такой ряд
в отличие от функционального называется числовым.
'Частичные суммы функционального ряда определяются
так же, как для числового.
Если в ряде (1) аргументу х дать какое-либо значение
[принадлежащее промежутку (а, 6)], то из функциональ-
ного ряда получаеюя числовой.
558 РЯДЫ
§ 384. Область сходимости функционального ряда
Может случиться, что при любом значении х, взятом
в промежутке (а, 6), функциональный ряд сходится. Может
случиться и так, что при любом значении х ряд расходится.
В типичном же случае функциональный ряд сходится при
одних зиачеинях х и расходится при других. Совокупность
значений х, прн которых ряд сходится, называется об-
ластью сходимости функционального ряда.
В области сходимости каждому значению х соответст-
вует определенная сумма ряда, так что последняя есть
функция аргумента х, определенная в области сходимости.
Вие этой области функциональный ряд ие имеет суммы.
Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд
1.х+1-2ха+Ь2.3х3+ ... +1.2... ... (1)
Члены его суть функции
(х) = х, и2 (х) = 2хя, и3 (х) - бх3, .,., (2)
определенные в промежутке (-©©, + ©©). Но лишь при
х = О ряд (1) сходится, а при любом другом значении х
ряд расходится. Действительно, дадим аргументу х какое-
либо значение х0, не равное нулю. Получим числовой ряд
1 • х0 +1 2х3 + ... +1 • 2... лх3 + ... (3)
Отношение
I «п+i: «» f = I (л +1)1 *o+1: | - (л +1) [ x0 [
имеет бесконечный предел при л °©. Стало быть (§ 378),
ряд (3) при х О расходится. Область сходимости состоит
из одной точки х = О.
Пример 2. .Функциональный ряд
1+n+lf+ + + •••
[члены его суть функции, определенные в промежутке
(-□о, + оо)] сходится при любом значении х = х0. Дей-
ствительно, отношение
1“.+1:и.1 =-^Г
стремится к нулю при л -> ©© (§ 378). Областью сходимости
является весь промежуток (-°©, +©©). Сумма ряда (4)
есть функция, определенная в этом промежутке (эта функ-
ция равна е*; ср. § 272, пример 1).
величн-
§ 384. ОБЛАСТЬ сходимости 559
Пример 3. Найти область сходимости и выражение
суммы для ряда
2+^-х(1-х)+
+|х2(1-х)-Р ... (5)
Решение. Запишем частичную сумму ряда (5) в виде
srt = 2f •••
... + 2 + (6)
Если | х | >-1, то s„ при не имеет конечного пре-
дела (слагаемое -—Xй есть бесконечно большая
па), т. е. ряд (5) расхо-
дится. При х= —1 ряд
тоже расходится, ибо
тогда
-3 . (-1)№+1
“ 2 + 2
Отсюда видно, что по-
переменно принимает
значения 2 и 1.
При остальных зна-
чениях х (т. е. при
- 1 < 1) ряд (5)
сходится. Действительно,
если х=1, то все члены
ряда (5>, кроме первого,
обращаются в нуль, и
мы имеем
5(1) —2. (7)
Если же | х j 1, то в формуле (6) слагаемое -^х*
при и прн неизменном х стремится к нулю, так что
5(х) = lim (2+ix-ix*)«24-ix. (8)
Область сходимости ряда (5) есть промежуток (-1, +1),
из которого исключен конец х = — 1 (иа черт. 401 отре-
зок ab без точки а), В втой области сумма 5 ряда (5)
560
РЯДЫ
есть функция от х, определяемая следующими равенст-
вами:
S (х) = 2 р при - 1 х 1, |
t S (х) = 2 при х = 1. J
Функция S (х) разрывна при х-1 и непрерывна в осталь-
ных точках области сходимости. Вне области—1 х-<1
функция S (х) вовсе не определена. График ее представляет
(черт. 401) отрезок АВ, из которого удалены концы А и В
и к которому (взамен точки В) добавлена точка С.
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости 9
Пусть функциональный ряд
* й1(х)+1ы(х)+ ... -I н„(х)+ ... (1)
сходится в каждой точке (замкнутого пли незамкнутого)
промежутка (а, Ь)“) и пусть требуется приближенно найти
сумму S ряда (1) с точностью до е (т. е. остаток пи
абсолготно.му значению не должен превышать положи тель-
ного числа е). Для каждого определенного значения х это
требование удовлетворяется, начиная с некоторого номера
л=Аг. Величина N, как правило, зависит от х, и может
случиться, что ни один номер п не обеспечивает требуемой
точности для всех х сразу. Тогда говорят, что ряд (1)
сходится в промежутке (а, Ь) неравномерно. Если же тре-
буемую степень точности всегда можно обеспечить сразу
для всех х, начиная с одного и того же номера .V, го
говорят, что ряд (1) сходится в промежутке (а, Ь) равно-
мерно.
Пример 1. Функциональный ряд
2+ух(1-х)-!-уХ:(1-х)+ ... ”• (* 2)
(см. § 384, пример 3) сходится в каждой точке замкнутого
промежутка (О, 1). Покажем, что в этом промежутке он
сходится неравномерно.
Потребуем, чтобы частичная сумма
sn = (3)
Определение см. в § 386.
2) Ряд может сходиться и в т очках вне промежутка (л, Ь), по такие
TQWJ» мы оставляем бее внимания.
g 385. О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 561
давала сумму ряда (2) с точностью до -,<-0,1. При х -= 1,
а также при х=0 этому требованию удовлетворяют все
частичные суммы (получается точное значение 5 = 2). При
остальных значениях х сумма ряда равна
Л2ф, (4)
так что остаток ряда равен
Rn = $ - вп = 4 х“-
При х=0,1, пли при х=0,2, или
точность обеспечивается, начиная
с номера N = 2; например, при
х=0,3 имеем:
i /?»I = 4’°-з2 4-ол
-1 “ I J J
Но при х=0,4 двух членов мало;
надо взять по меньшей мере три.
Тогда
|Я3| = -2--°Л3 ~ 4-0,06 -з *0,1.
Дальнейшие пробы покажут,
что при х=О,5 требуемая точ-
ность обеспечивается, начиная
лишь с номера N=4t при х=
=0,6-начиная с номера N=5,
а при х= 0,8 придется взять
N=ll'. По мере приближения х
к 1 числи Дг неограниченно возра-
стает, так что для всех значений
(5)
при х=0,3 требуемая
х сразу никакой помер N не может обеспечить точность
до 0,1 (а большую точность и подавно). Стало быть, ряд (2)
в промежутке (0, 1) сходится неравномерно.
На черт. 402 изображены графики частичных сумм
$х (х) = 2, 52 (х) = 2 + 4х“4 -Л
уДх) - МЦ- Мх) -
Остаток изображается при х и 1 отрезками ординат
между соответствующим графиком и прямой у^=2 + 4х
36 М- Я- Выгодский
562
ряды
[представляющей сумму ряда (2) для всех значений х,
кроме х— 1],
Сходимость ряда (2) проявляется в том, что графики
частичных сумм все теснее прилегают к прямой РБ на
все большем ее протяжении. Неравномерность сходимости
сказывается в том, что вблизи от В каждый из графиков
sn отходит от прямой DB. Но по мере роста и заметный
отход совершается на вес меньшем участке.
Пример 2. Покажем, что тот же ряд (2) сходится в
промежутке (0; 0,5) равномерно.
Потребуем точность до 4*°Д- ПРИ х=0?5 эта точ-
ность обеспечивается, начиная с номера N=4, ибо
= 4*0,0625 < 4*0,1.
Для всякого другого значения х в промежутке (0; 0,5)
требуемая точность и подавно обеспечивается, начиная
с номера 4.
Потребуем точность до 4 *0,01; тогда при х-0,5 до-
статочно взять N=7, ибо
I#,!» 4*0,5’ * 4,()’0078 I-0»01*
Для всякого другого значения х в промежутке (0; 0,5)
семи членов и подавно достаточно. Вообще, тот номер дт,
который обеспечивает точность до е при х=0,5, всегда
обеспечивает ту же точность сразу для всех значений х
в промежутке (0; 0,5). Стало быть, в этом промежутке
ряд (2) сходится равномерно.
На черт. 402 равномерность сходимости проявляется в
том, что в промежутке (0; 0,5) наибольшее отклонение гра-
фика от прямой DB стремится к нулю по мере роста п.
В промежутке (0, 1) этого не происходит.
§ 366* Определение равномерной и неравномерной
сходимости
Функциональный ряд
Щ О) + иг (X) +... 4- н„ (х) 4-... » (1)
сходящийся в (замкнутом или незамкнутом) промежутке (а, &), назы-
вается равномерно сходящимся в этом промежутке, если остаток (х)*
начиная с некоторого номера N, одного и того оке для всех рассма-
1) Рекомендуется предварительно прочесть § 385.
§ 387, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ СХОДИМОСТИ 563
триваемых значений х, остается по абсолютному значению меньшим
любого заранее данного положительного числа е:
И»(х) I -= С при rt >N(е) (2)
(номер N зависит только от s).
Если же для некоторого е условию (2) нельзя удовлетворить (для
всех х сразу) ни при каком значении Л/, то говорят, что ряд (1)
в промежутке (а, 6) сходится неравномерно.
Примеры см. в § 385,
§ 387, Геометрическое истолкование
равномерной и неравномерной сходимости
Пусть АВ (черт. 403) есть график суммы S (х) ряда, схо-
дящегося в промежутке (а, Ь), а линии АпВП) Ая+1Вя+1, ...
-графики частичных сумм sn (х), $пц(х), ... Заклю-
чим АВ в полосу А' А" В" В',
у которой каждая из границ
Черт. 403.
А’В' и А" В’1 отстоит от АВ (по вертикали) на постоянное
расстояние е. При равномерной сходимости ряда все линии
АЛВЯ, начиная с некоторого номера N(e), помещаются
(в пределах рассматриваемого промежутка) целиком
внутри полосы.
Этого не будет при неравномерной сходимости. Нагляд-
ным пояснением может служить черт. 404; здесь у всех
трафиков зп (х) есть по два «языка», выбивающихся из
полосы А'А"В"В' (они по мере роста л придвигаются к
точке С). Между тем над каждой отдельной точкой Ь
участка ab графики $„ (х) неограниченно приближаются к
графику S(x) (после того как язык миновал точку И).
36*
564
РЯДЫ
§ 388. Признак равномерной сходимости;
правильные ряды
Если каждый член ип (х) функционального ряда
«1 (х) 4- «2 (X) t.. + и„ (х) + . z (1)
при любом х, взятом в промежутке (а, &), ио абсолютному
значению нс превосходит положительного числа Ап и
если числовой ряд
А1+ ^2"!“ + Ля-|- (2)
сходится, то функциональный ряд (1) в этом промежутке
равномерно сходится.
Пояснение. Сходимость ряда (1) вытекает из §§ 377 и 373.
Остаюк ряда (1) по абсолютной величине не превосходит остатка
ряда (2). Начиная с того номера N, коюрый обеспечивает точность
до е для ряда (2), и подавно обеспечивается точность до е для ряда (1)
для всех х сразу.
Пример. Функциональный ряд
cos х cos 2х cos Зх , . 14„cosnx ,
—Г<’ + ~2*----з?-+ •. + (-... (3)
равно.мерно сходится в промежутке (-<», +“), ибо его
члены при любом х не превосходят по абсолютному зна-
чению соответственных членов положительного числового
ряда
+ ... (4)
Последний же сходится (§ 373, пример 3). Точность до ОД
обеспечивается для ряда (4), начиная с номера п = J0.
Для ряда (3) та же точность н подавно обеспечивается,
начиная с десятой частичной суммы.
В замкнутом промежутке ( — л, и) сумма ряда (3) равна $
!(”-£)•
При х = ± тг функциональный ряд (3) обращается в числовой ряд (4);
Л2
сумма последнего равна — (см. § 417, пример 3).
Замечание. Функциональный ряд, подходящий под
признак настоящего параграфа, называется правильным.
Всякий правильный ряд сходится равномерно. Неправиль-
ные же ряды сходятся в одних случаях равномерно, в
других-неравномерно.
§ 389. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ РЯДА 565
§ 389. Непрерывность суммы ряда
Теорема. Если все члены функционального ряда
1/1(х) + «й(х)+... + п„ (х)+(1)
равномерно сходящегося в промежутке {а, Ь), являются
(в этом промежутке) непрерывными функциями, то и сумма
ряда {1) есть непрерывная функция в промежутке (а, Ь).
Пример 1. Все члены ряда
cos х tos 2х cos Зх , 1V(cosnx
[я 22 З2 " О п-
равномерно сходящегося в промежутке (-<=<=, -!-то) (§388),
являются непрерывными функциями. Стало, быть, сумма
ряда (2) есть функция, непрерывная при всяком значении х.
Замечание. Сумма неравномерно сходящегося ряда
непрерывных функции в одних случаях непрерывна, в дру-
гих разрывна.
Пример 2. Все члены ряда
2+4х(1-х)+4^(1~х)+... + -~хи-1(1-х)+ (3)
сходящегося в замкнутом промежутке (0, 1) неравномерно
(§ 385), являются непрерывными функциями. Но сумма
ряда есть функция, разрывная при ж-1 (см. § 384, при-
мер 3).
ПримсрЗ. Ряд
(х - х2) + [(№ - X4) - (х - X2)] +
+[(х3 - Xе) - (х2 - х4)] + ... (4)
с общим членом
п„ (х) = (х* —х2") —(xw“'1 —х2п-а) (5)
сходится в замкнутом промежутке (0, 1) неравномерно,
но имеет непрерывную сумму S (х), тождественно равную
ПУЛЮ.
, Действительно, мы имеем (х) = х”-х2”, и для каж-
дого отдельного значения х промежутка (0, 1) это выра-
жение стремится к нулю, так что ряд сходится и имеет
сумму $ (х) = 0.
Но остаток ряда /?„ (х) - S (х) -s„ (х)=х” -ха" нельзя
сделать меиыпим чем сразу для всех рассматриваемых
ш
ряды
значений х, ибо, каково бы ни было л, остаток ра-
0
вен у при х - у у.
Стало быть (§ 385), сходимость ряда (^-неравномер-
ная. Между тем сумма его
5 (х) = 0 есть непрерывная
функция.
Геометрически: гра-
фики всех частичных сумм зя
(черт. 405) имеют «горбы» иа
прямой у = у, так что ни
один график не помещается
целиком внутри полосы между прямыми у = ± у. Это
не мешает сумме ряда (изображаемой жирным отрезком
оси ОХ) быть непрерывной функцией,
Черт. 405.
§ 390, Интегрирование рядов
Теорема. Если сходящийся ряд -
«1(ШМ+ ...+М*)+ - = $(*), С)
составленный из функций, непрерывных в промежутке (а, &)(
сходится в этом промежутке равномерно, то его можно
интегрировать почленно. Ряд
J Ui (х) dx+J «2 (х) dx + ... + J ип (х) dx-ь ... (2)
Ла а
равномерно сходится в промежутке (а, &), и сумма его
я?
равна интегралу J S (х) dx от суммы ряда (1):
а
4 « к
f «1 (х) dx-ьJ п2 (х) dx+ ...4- f ип (х) dx+ ... =
= j S (х) dx. (3)
§ 390. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 567
Пояснение, Частичная сумма (х) ряда (2) есть интеграл
частичной суммы sn (х) ряда (1)
ж
- J srt(x)cfx
и изображается площадью аАпСйх
X
(черт, 406). Интеграл J 5 (х) dx
суммы S (х) ряда (1) изображается
площадью аАСх.
Теорема утверждает, во-первых,
что ряд (2) сходится и сумма его
равна | S (х) dx.
а
Геометрически: площадь аАСх (черт. 406) есть предел пло-
щади аАЛСйх при п-*<».
Действительно, при равномерной сходимости ряда (1) график
АпС№ помещается внутри полосы А'А"С"С' (5 387). Значит, пло-
щадь аАпСпх заключена между площадями аА'С'х и аА"С"х. Л обе
они имеют пределом площадь аАСх.
Теорема утверждает, во-вторых, что ряд (2) сходится равномерно.
Геометрически: сразу для всех положений ординаты хС"
величину
| пл. аАСх—пл. аАпСпх (4)
начиная с некоторого номера п, можно сделать меньше любой заранее
данной площади Е. Действительно, полосу А'А"В"В' можно сузить-
настолько, чтобы ее площадь быламеньше Е. Тогда площадь А' А’'С" С*
и подавно меньше Е, а величина (4) еще меньше.
Пример 1. Ряд
1 + 2х!-ьЗхг-Ь + ... (5)
в промежутке (0, <?), где q - правильная дробь, сходится
равномерно (по признаку § 388), ибо его члены ие пре-
восходят соответствующих членов сходящегося (§ 374)
положительного ряда
1 + 2д+3?3-Ь ... (6)
При этомг)
, S (х) = 1 + 2х+ ...= (7)
*) Формулу (7) можно получить почленным умножением ряда
1+х+««+...-гЬ
pa самого себя (ср. § 381, пример 2).
568
РЯДЫ
Согласно теореме настоящего параграфа ряд
£
z я я;
J dx+ | 2х<7х[- ... + J nxw“Jdx+ ... (8)
0 0 о
равномерно сходится в промежутке (0, q) и сумма его
равна
X х
/8(х)Л= = (9)
О о
Это легко проверить, ибо ряд (8) есть прогрессия
х + х2-!-х3 + ...
Замечание. Если ряд (1) сходится неравно.мерно,
то почленное интегрирование в одних случаях допустимо,
в других нет (см. примеры 2 и 3).
Пример2. Неравномерно сходящийся в промежутке (О, 1) ряд
(х -Jc’) +[(хз-хр -{х -№)] +
+((х3-Xе)-(xs -х«)] + ... =0 (10)
(см. § 389, пример 3) можно интегрировать почленно в пределах от
О до 1:
11 1
J (х-Xs) dx + j" [(х2--х')-(x-x2)]<Zx + ... = J 0-rfx - 0. (И)
оо о
Действительно, частичная сумма sn ряда (11) равна
1
e« “ J (xn dx ~ (ТПЖаТнЗ) ’ (12)
о
Она с!ремится к нулю при п—
Геометрически: площадь, ограниченная графиком sn(х)
(черт. 405) и отрезком (О, 1), стремится к нулю, несмотря на наличие
«горба*. (Но мере pocia и <горб* неограниченно суживается, а высота
его остается постоянной.)
ПримерЗ. Ряд
(х-хг)+[2(хя-х^)-(х-хг)] + г «
+[3 (хз -х») —2 (х= -х’)] + (13)
С общим членом
рй(х) = л^»-х5«)-(л-1)(Х""1-хг«^) (14)
§ 390. ИНТЕГРИРОВАНЙЕ РЯДОВ 5Ь9
сходится в промежутке (О, I) и имее) непрерывную сумму S(x) — О
[доказывается гак же, как для ряда (10)]. Следовательно,
1
J S(x)dx=O. (15)
о
Между Тем почленное интегрирование в пределах от 0 до 1 дает не
1 «
нуль, а . Деиовнтелыю, получаем ряд
111
J (х - №) dx 4- ^2 J (х2 - х*) dx - J (X — x2) </xj + ...
0 0-0
1 i > 1
.... 4-pi J(x« -.V'')<'A:— (n-J)j' (,v=--J- X-”"—E) A'j 4-... (16)
0 V
с частичной СУММОЙ
<г' = л J (х* -х1*) dx
и
на
(n + t) (2n + l) ’
(17)
Следовательно, сумма его S' равна
S' = lim sn
4 • С18)
Несогласие между (15) и (18) вы-
звано неравномерной сходимостью
ряда (13) (неравномерность доказы-
вав! ся, как в примере 3 | 389).
Геометрически: график sn
(черт. 407) стремится к слиянию
с осью абсцисс над любым куском
отрезка (О, 1), не содержащим точки
х = 1, Но вблизи этой точки обра-
зуется юрб. Он неограниченно при-
ближается к концу хи1. При этом он суживается по горизонтали, но
одновременно растет вверх х). В результате компенсации _ _
между и отрезком (0, 1) стремится не к нулю, а к у .
площадь
х) Графики черт. 407 получаются из одноименных графиков
черт 405 растяжением по вертикали в отношении п : 1.
S7G РЯДЫ
Замечание. Если видоизменить ряд (13), взяв ряд с общим
членом
цп(х)=пг -1)' (х"-1 -х2’1"2), (14а)
то по-прежнему будем иметь:
I
р(х)(&=0, j • (16а
но после почленного интегрирования получим ряд с частичной суммой
, п3
5ft к (п +1) (2п +ту * (18а>
Он будет расходящимся, ибо 11m sn = (рост горба вверх будет
П->=о |
более быстрым, чем сужение по горизонтали).
§ 391. Дифференцирование рядов
Даже при равномерной сходимости ряда почленное
его дифференцирование не всегда допустимо. Нижеследую-
щая теорема дает признак, обеспечивающий возможность
почленно! о дифференцирования.
Тсор ем а. Если функциональный ряд
«1 (х) + Мх)+ ...4-»„ (х) г ... (1)
сходится в промежутке (я, й) и производные его членов
непрерывны в этом промежутке, то ряд (1) можно почленно
дифференцировать при условии, что полученный ряд
u'i (х) |-«2 (х)4- < (х)+ ... .(2)
будет равномерно сходящимся в данном промежутке.
Сумма ряда (2) будет производной от суммы ряда (1).
Доказателсыво основано на взаимной обратности дифференцирова-
ния и инте) рироваиия и опирается на теорему § 390.
Пример. Ряд
х+№+ ...4-*”+ ... (3)
сходится в промежутке (0, q), где ^ — правильная дробь.
При этом
ха-х24- Xя ь...-- 1 *л: (0 X q). (4)
Производные членов непрерывны в промежутке (0, q). л
составленный из них ряд
14-2x4-... + лх*-х+ ... (5)
§ 392. СТЕПЕННОЙ РЯД
571
равномерно сходится в этом промежутке (§ 300, пример 1).
Стало быть, сумма ряда (5) есть производная от суммы
ряда (3):
»+2»+”-+n*-1+-=s(i=r) = ibS5r- <6>
Замечание 1. В теореме не высказано требование, чтобы ряд
(1) сходился равномерно. При условиях теоремы это требование само
собой выполняется (в силу теоремы § 390).
Замечание 2. Даже при равномерной сходимости ряда (1) и
непрерывности производных ип (х) ряд (2) может оказаться неравно-
мерно сходящимся и тогда сумма его иногда равна, а иногда не равна
производной от суммы ряда (1). Более того, ряд (2) может оказаться
расходящимся. Так, ряд
, sin 2<х sin я’х .
slnx+-^-+ ... +• nf--4-... (7)
сходится равномерно на всей числовой прямой (ср. пример § 388),
тогда как ряд производных
cos х + 2г cos 21 * + ... + п! соз лЪс+ ... (8)
расходится при х*0 (а также для бесчисленного множества значе-
ний х).
§ 392. Степенной ряд
Важнейшие для практики функциональные ряды-это
степенные (об их происхождении см. § 270). Степенным
рядом называется ряд вида
й0 + + пгхй 4- ,,.-}-ймхп4- ..., (1)
а также ряд более общего вида
<^+«1(Х-Хо) + в2(Х“.Хо)’ + ... + M*-V+ (2)
где х0—постоянная величина. О ряде (1) говорят, что ои
расположен по степеням х, о ряде (2) —что он располо-
жен по степеням х-х0.
Постоянные а0, alt..., ап,... называются коэффициента-
ми степенного ряда.
Если обозначить х-х0 через г, то ряд (2) окажется
.расположенным по степеням г, т. е. примет вид (1).
Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степен-
ным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда
сходится при х=0. Относительно сходимости его в дру-
гих точках могут представиться три случая, рассмотрен-
572
РЯДЫ
§ 393. Промежуток и радиус сходимости
степенного ряда
1. Может случиться, что степенной ряд расходится во
всех точках, кроме х=О. Таков, например, ряд
1гх+22х3+Зэх3+ ZiW-J.
у которого общий член п,!х” = (лх)ге hcoi раниченно уве-
личивается по абсолютному значению, начиная с мо.мента,
когда их становится больше единицы. Такие степенные
ряды практического значения не имеют.
2. Степенной ряд может сходиться во всех точках.
Таков, например, ряд
f , , Xs , К3 ,
1-F 4-
сумма которого прн всяком значении х равна еЕ (§ 272,
пример 1).
3. В типичном случае степенной ряд сходится в одних
точках и расходится в других.
Пример 1. Геометрическая npoi рос сия
14-х4-х34- ...4-х" + ... (1)
сходится при [ х j < 1 и расходится прн ] х [ > I.
Здесь областью сходимости (§ 384) является нро.ме жуток
(—1, 4-1), из которого исключены оба конца х — 4-1
и х= — 1. Сумма ряда (1) (в области сходимости) есть
1
Т-х
Пример 2. Степенной ряд
+йг+ (2)
сходится при I х ] -z 1 и расходится при | х | > 1 (ср. § 374,
пример 2). Область сходимости —промежуток (—1, 4-l)j
в который включены оба конца х= +1 и х= — 1. Су.мма
ряда (2) нс выражается через олеме!парные функции.
Пример 3. Степенной ряд
•+(- 1)и+1?+- О)
сходится при ] х [ -г 1 и расходится при | X ] > 1. При
л=-1 он так>кс расходится (§ 369, при.мер 3), при
х=1 —сходится (§ 369, пример 4). Область сходимости —
промежуток (-1, 4-1), включая точку х= 1; точка х = -1
исключается. ___
§ 394. РАЗЫСКАНИЕ радиуса сходимости 573
Сумма ряда (3) (в области сходимости) есть In (1^х)
(5 272, пример 2). Ряд (3) получается почленным интегри-
рованием ряда
Теорема. Область сходимости степенного ряда
я04-с1х+о,х3-|- ... + п„хя+ ... (4)
есть некоторый промежуток (-/?, R), симметричный отно-
сительно точки х=О. Иногда в пего надо включить оба
конца x^R и х~ - R, иногда только один, а иногда
надо оба конца исключить.
Промежуток (“/?, Л’) называется промежутком
сводимости, положи тельное число R - радиусом сходи-
мости степенного ряда. Если степенной ряд сходится
только в точке х=0, то У? —О. В примерах 1—3 радиус
сходимости равен единице. Если ряд сходится во всех
точках, то говорят, что радиус сходимости равен беско-
нечности (/?=«=).
§ 394* Разыскание радиуса сходимости
Теорема. Радиус сходимости R степенного ряда
Ь , ао + О1Х+«2х3+ ... + с„хп+... (1)
равен пределу отношения [ а„ ] : | nrt+11 при условии, что
этот предел (конечный или бесконечный) существует:
R = lim | ап ; [. (2)
п
Пример 1. Найти радиус и область сходимости ряда
О,1х О,01ха ,0,001x3 (—0,1)”*’* , /ох
*1-----а—+ —з------...----й—+ *•’ (3)
Решение. Здесь = -—° —. Имеем:
1 „ 1 < г 0,1« 0.1Ш и + 1
|<?.|:|Ч.,«| = = 10~ •
R = Пт | «„ : йп+1 | = 10. (4)
я —
Радиус сходимости равен 10, промежуток сходимости
есть (-10,10). Внутри этого промежутка ряд (3) сходится.
574 РЯДЫ
вне его - расходится. При х = 10 ряд (3) принимает вид
--------------------------- +...
Этот ряд сходится (§ 369, пример 4). При х ~ -10 полу-
чаем расходящийся (§ 369, пример 3) ряд
1111
1 2 “ 3 “ 4 “
Стало быть, область сходимости есть промежуток
(-10, +10), в который включается конец х = +10; другой
конец исключается.
Пояснение. Будем рассматривать к как данное число И при-
меним к ряду (3) признак Даламбера (§ 378). Имеем;
„ _ (-O.i)W»
Wft------п ’
?• lim [ия4.1;пп|~ Нт 6 х | • 0,1 —J-А = ] х |. 0,1.
Л—><х> Н—« Т 1/
По признаку Даламбера ряд (3) сходится, когда |х[.0,1 •<!, т.а.
когда [ х ] -* 10, и расходится, когда | х | *0,1 >-1, т. е. когда | х | > 10,
Буквально повторяя это рассуждение применительно к ряду (1),
Получим формулу (2).
Замечание1. Сумма ряда (3) (в области сходимости)
равна in (1 + 0,1 х) (ср. § 393, пример 3).
Пример 2. Найти радиус сходимости ряда
* 1 ^2! з|+'"+( п| + (6)
Решение. Здесь ая = . По формуле (2) имеем:
Я = [я: (STiji] =„>1“ (»+ >) = ”• (Л
Ряд (6) сходится во всех точках. Сумма его равна е~*
(ср. § 272, пример 1).
Замечание 2. Если ряд (1) содержит бесчисленное
множество коэффициентов, равных нулю, то отношение
[ ал j: | о„+1 [ ие имеет предела, н формулу (2) применять
нельзя, даже если выкинуть нулевые коэффициенты Иваново
занумеровать остальные по порядку.
ПримерЗ. Найти радиус сходимости ряда
' 0*1 3* 0,01 z< , 0,0012»
-----------------------2- + —з----(8)
рол у чающегося из ряда (3) подстановкой x=zs.
£ §95. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДА НО СТ ЕПЕНДМ х—х0 575
Решение. Так как ряд (3) сходшся при j х | < 10 и
расходится при | х | > 10, то ряд (8) сходится при | z [ 1^10
и расходится при ] z [ =- f'lo. Значит, радиус сходимости
ряда (8) сети /10. Формула (2) неприменима: если учи-
тывать нулевые коэффициенты при почетных степенях z, то
отношение | а„ | : |яид х | не имеет смысла прн четных п;
если лее выкинуть нулевые коэффициенты и заномеровать
остальные по порядку, то предел отношения | о,( | : | «и+1 [
будет равен 10 и нс даст радиуса сходимости.
Сумма ряда (8) (в области сходимости) есть In (1-j-z2).
§ 395. Область сходимости ряда,
расположенного по степеням »'—.с0
Область сходимости степенною ряда
o0+«i(x-x0)4 аг(х-хаУ+ ...4-<7я(х-хи)«+ ... (1)
есть некоторый промежуток (х0 —7?, х0 + Я), симметрич-
ный относительно точки х0. Иногда в пего надо включить
оба конца, иногда один, а иногда па до оба конца исключить.
Промежуток (х0-7?, х0+Я) называется промежут-
ком сходимости, положительное число R—радиусом схо-
димости ряда (1). Если ряд сходится во всех точках, то
радиус сходимости —бесконечный (#=оо).
Если отношение | ап [: [ пя+11 имеет предел (конечный
пли бесконечный), то радиус сходимости находится по
формуле
К = Иш | ая : i [. (2)
Я —> оо
Пример. Найти радиус и область сходимости ряда
Е х +0.2 (х +0,2)2 (х + о,2)»
К —j—4- 2 + - +----п---+
Здесь х0 = -0,2, ая = ~. По формуле (2) находим:
(3)
= 1.
Область сходимости есть промежуток (—1,2; 0,8), из
которою исключен один конец х = 0,8. Сумма ряда (3)
(в области сходимости) есть — infl — (x+0,2)J = bi^1—?.
Й76 ‘ 4>ЯДЫ
§ 396. Теорема Абеля О
Теорема. Если степенной ряд
До Ч~ ЩхЧ* ПаХ-ч* ...4-ойхм+ ... (1)
Сходится (абсолютно или условно) в какой-либо точке х0,
то он сходится абсолютно и равномерно во всяком замк-
нутом промежутке (а, Ь), лежаще.м внутри промежутка
(- I 1, 4- | х0 [).
Замечание 1. Слово «внутри» понимается в узком
смысле, т. е. по условию теоремы ни один из концов
отрезка (а, Ь) не совпадает ни с точкой | Хц j, ни с точ-
кой - | х0 [.
Пример. Ряд
т+т+ -+?+- (2)
Сходится (условно) в точке х = — 1, обращаясь в ряд
(§ 369, пример 4)
12 3 Т 4
По теореме Абеля ряд (2) сходится абсолютно и равно-
мерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри
промежутка (-1, 1), например в замкнутом промежут-
ке (-0,99; 0,99).
Если в качестве левого конца отрезка (а, Ь) взять точку
х0 = —1, то нарушится абсолютная сходимость (в самой
точке—1). Если в качестве правого конца (а, Ь) взять
точку х() = 1, то ряд (2) станет расходящимся.
Замечание 2. Если в качестве одного из концов замкнутого
промежутка {а, t>) взять х0, то сходимость л таком промежутке оста-
ется равномерной. То же относится и к точке—Хо, если в ней ряд (1)
сходится.
§ 397. Действия со степенными рядами ;
Пусть даны два степенных ряда:
«(>+ ахх+ щх2+ ... + йях"-|- ... = £>i(x), (1)
&о 4- &iX-f- &^х2 4- ••• 4-. бЛх^ 4- ... = §2 (х). (2)
!) Н, Абель (1802—1829) — норвежский математик. Он прожил
только 27 лет, по создал работы первостепенной важности. Утверж-
дение о равномерной сходимости ряда (1) представляет позд-
нейшее добавление (различение равномерной и неравномерной схо-
димости введено Вейерштраы ом в конце 40-х годов 19-го в,).
§ 367. ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 577
Пусть А-радиус сходимости ряда (1) и B-радиус схо-
димости ряда (2). Обозначим через г меиьший из них
(если они равны, то г-общее их значение).
Если ряды (1), (2) почленно сложить, вычесть
или перемножить (по схеме умножения многочлена
на многочлен; ср. § 381), то получим новые стспсииые
ряды. Их радиусы сходимости в худшем случае равны г,
а могут и превосходить г. Их суммы соответственно равны
Sx(x)lS2(x), 6\(x)-S8(x), Sx(x)S3(x) (ср. §§371,
381, 396).
Почленное деление ряда (1)наряд(2)выпол-
нимо по схеме § 382 при условии, что btl а 0. Если г * О,
то радиус сходимости г, полученного ряда отличен от
нуля, но не превосходит А; может даже случиться, что гх
меньше каждого из радиусов А, В [см. пример 4 н заме-
чание к формуле (4) § 401). Сумма нового ряда (в про-
межутке его сходимости) равна (х): Ss (х).
Если то почленное деление вовсе невозможно приа^О
(ибо частное S, (х) : (х) бесконечно велико при х О и его нельзя
представить рядом, расположенным по степеням х). Если же Ъп — 0
и а» = 0, го пичленное деление невозможно, когда низшая степень
делимогр меньше низшей степени делителя (по той же причине). В про-
тивном же случае деление возможно, и новый ряд в промежутке
(-Г1, гх) имеет сумму Sx (х) : 5Й (х) ’).
Пример 1. В промежутке (-1, +1) имеем:
1+Х + Х2 + Л3Ч- ... = (3)
1-х + х2-?с3+... = —. (4)
Складывая почленно, находим:
2 + 2х* + 2х‘+... = 13*5. (5)
Вычитая почленно (4) из (3), получаем:
2х+2х3 + 2х5+ ... = . (6)
Перемножая почленно (ср. § 381, пример 1), имеем:
1+х2 + х*+ ... «7^5. (7)
’) Для х = 0 эта сумма (т. е. свободный член нового ряда) есть
предел частного St (х): Л'» (к) при х > 0. t
37 М. Я- Выгодский "
578 РЯДЫ
Разделив почленно ряд (3) на ряд (4) (ср. § 382, при-
мер), находим:
1 + 2х+2х2 + 2х3 + ... = (8)
Ряды (5)-(8) имеют'по теореме § 394 радиус сходи-
мости /?-!, как н ряды (3) и (4). Формулы (5)-(8) легко
проверить: их левые части — геометрические прогрессии
[в (8), начиная со второго члена].
Пример 2. В промежутке (-₽=, -1 -о°) имеем [§ 272,
пример 1)
!+ТГ+1т+-зГ-- (0)
Заменяя хна -х, получаем:
<10>
Так как «*.£-*» 1, то при почленном умножении все
члены, кроме свободного, должны взаимно уничтожиться,
что и происходит на самом деле.
Пример 3. При почленном делении ряда (9) па ряд (10)
получаем ряд
1 + 2х[-2х2+у х3+-|-х1 + ... (11)
Закон следования коэффициентов ие усматривается сразу,
ио, зиая, что ряд (И) сходится в некотором промежутке
и имеет там сумму ех; е х = с2а, можно представить
ряд (И) в виде
1 + 4х-^хг+С хэ4 Г х*+ ... + ^х" + ... (12)
Ряд (12), как и ряды (9), (10), имеет .по теореме § 394
бесконечный радиус сходимости.
Пример 4. Будем рассматривать двучлены 1 + х и
1-х как степенные ряды, у которых коэффициенты всех
членов, кроме двух первых, равны нулю. Радиусы сходи-
мости Л и В этих рядов бесконечны. Прн почленном де-
лении 1-ьх па 1-х получится степенной ряд
1 + 2х+2х® + 2х*+2х4+ ... (13)
Члены его, начиная со второго, образуют геометрическую
прогрессию со знаменателе.^ х. Су.мма ряда (13) в проме-
жутке его сходимости равна (1+х): (1-х), но радиус
сходимости не бесконечен; од равен единице.
§ 398. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА 570
§ 398. Дифференцирование и интегрирование
степенного ряда
Теорема 1. Если степенной ряд имеет радиус сходи-
мости 7? и сумму S (х):
«0 + ахх+п3х3+ ... +«„х,‘+ ... = S (х), (1)
то ряд, полученный его почленным дифференцированием,
имеет тот же радиус сходимости 7? и сумма его есть
производная функция от S (х):
о1+2агх+Зц3№+ ... + ло.1х’’-^1 + = S' (х). (2)
Стало Сыть, сумма степенного ряда есть дифференцируемая
функция; притом она имеет производные любого порядка [ибо к ря-
ду (2) снова можно применить теорему 1 и т. д.].
За йена ние, 1. Если ряд (1) расходится на каком-
либо конце промежутка (-7?, 7?), то на этом конце ряд (2)
тоже расходится. Сходимость же ряда (1) на конце про-
межутка (-/?, 7?) может сохраниться в ряде (2), но может
и нарушит!,ся.
3 а м е ч а и и е 2. Сходимость ряда (2) несколько хуже,
чем ряда (1) (ибо пап по абсолютному значению больше,
чем ап).
Пример 1. Последовательно дифференцируя ряд
1+х+х’+... +Х,1+... •< X -= 4-1), (3)
у которого 7?~1, получаем ряды с тем же радиусом схо-
димости. Их суммы суть последовательные производные
0ТГ5:
1+2х4-Зх2+4х3+ +пх*'-1+ ... - (4)
2-ьбх+12х2+...+п(п~1)х«~2+... - (5)
6 + 24х+ ... Фл (л-1) (л-2) х^+ ... « (6)
, Ряд (3) расходится на обоих концах промежутка схо-
димости, ряды (4) - (6) - тоже.
Пример 2. Ряд (3) получается дифференцированием
ряда
aW — ряды
Ряд (7) расходится при х= 1 и сходится при х - -1, но
после дифференцирования сходимость на конце х ~ -1
нарушается.
Т е о р с м а 2. Ряд, полученный почленным интегриро-
ванием ряда (1) в пределах от нуля до х, имеет тот же
X
радиус сходимости и сумма его равна J S (х) dx:
о
<VC+%*?+% х’+ ... *•+«+ ... = j S (х) <1х. (8)
о
' 3 а м.е ч а н и е 3. Если ряд (1) сходится на одном из
концов промежутка (-7?, 7?),- то на этом конце ряд (8)
тоже сходится, н формула (8) остается в силе, Расходи-
мость же ряда (1) на конце промежутка (-7?, 7?) может
сохраниться в ряде (8), Но может и нарушиться. Сходи-
мость ряда (8) несколько лучше, чем ряда (1).
Пример 3. Радиус сходимости геометрической про-
грессии
1-Х! + Д*_Хв+ |>( +(_1)п Х2п+ ... « (9)
равеи единице, Интегрируя почленно, получаем (при J х |< 1):
X3 Xs Xr t №n + 1
*—3+T-J-+ -+(-»" 2Й+Г+- -
’ “/таг = агс‘8х- 0°)
G
Радиус сходимости ряда (10) тоже равен единице. На кон-
це х= 1 ряд (9) расходится, а ряд (10) сходится (по признаку
Лейбница), и мы имеем 1):
1-4+I-4+ •+<-О- srn + - = = т-
На конце х- -1 ряд (10), как и (9), расходится (по
интегральному признаку).
Этот результат найден Лейбницем*
§ 309. РЯД ТЕЙЛОРА 581
Пример 4. Интегрируя почленно ряд
.. (“)
(§ 272, пример 2), для которого /?= <*>, получаем:
= fsblXd*= 1-COSX, •
„ ’ а
где х-любое число. Отсюда находим разложение функ?
дни cos х:
cos х = 1-4+£_£+.„ - . (12)
Здесь тоже 7?- оо. , ' ’
, • § 399. Ряд Тейлора») '
Определение. Рядом Тейлора (расположенным по
степеням х-х0) для функции j (х) называется степенной
РЯД
- ...+^^-(Х-Х0)"+... (1)
ПриЯо ~ 0 ряд Тейлора (расположенный по степеням х)
имеет вид
. (2)
Пример 1. Составить для функции / (х) = ряд
Тейлора, расположенный по степеням х-2.
Решение. Вычислим значения функции / (х) и се
последовательных производных при х=2. Получаем:
/ (2) - 3 , /' (2) _ ^5_x-j2 ]ew8 — 3J t
’ — I —
” (5 -x)n+1 “ 3*+* ’
(3)
i) Настоятельно рекомендуется предварительна прочесть § 270.
582 ' ряды
Искомый ряд есть
••• Ч (’с-2)"+ - 0)
о о2 о4 о
Пример 2. Для той же функции составить ряд Тейло-
ра, расположенный но степеням х.
Решена с. Как в примере 1, находим:
/ (0) = { , !’ (0) - а , /- (0) = f, /<”> (0)'= ,...
„ , . • (S)
Искомый ряд имеет вид
Х+±х+± хЧ +—тЧЧ - (б)
5 52 53 5 4-1 ' ’
П р н м е р 3. У функции —~ не11 Рида Тейлора, распо-
ложенного по сюпеиям х -5, нбо функция в точке х-5
не определена (обращается в бесконечность).
з
Пример 4. У функции / (х) = }хх нет ряда Тейлора,
расположенною по степеням х, ибо производная /' (0)
бесконечна. Но у нее есть ряд Тейлора, расположенный по
степеням х — 1. Он имеет вид
1 19 1 9* «
§ 400. Разложение функции в степенной ряд
Разложить функцию / (х) в степенной ряд, располо-
женный во степеням х—х0,-значит составить ряд вида
па+ ах (х-х0) + аг (х-х0)3-у ... + «« (X-Хо)” + ..., (1)
у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма
тождественно равна данной функции всюду внутри про-
межутка сходимости.
Теорема. Если функция / (х) разлагается в степенной
ряд (1), то разложение единственно, и ряд (1) совпадает
с рядом Тейлора, расположенным по степеням х-х0.
Пояснение. Пб* условию в промежутке сходимости имеем
тождественно:
/(х)= Дп2(х-^)2-j-.., +aw(x-x0)’,T... (2)
§ 400. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯЙ 583
Значит (§ 398, теорема 1), функция /(х) обладает производными
любого порядка, и во всех точках Промежутка сходимости мы имеем:
f'(x) = + 2at (х - хе) + 3at (х -х0)Ч- 4д4 (х -Хо)з + ...,
f'(x) - 2<za ч-2.3«3 (х ~х0) +3- 4at (х -~х0)= + Z (3)
2-За3 +2.3.4flt(x-x0)+... J
и т, д, При х =х0 формулы ^2) и (3) дают:
во-/(лъ), Й1 ** Г (*6), да „ ... , (4)
о*
т. е, разложение (2) единственно и совпадает с рядом Тейлора для
функции Дх).
Пример 1. Найти значение пятой производной от
функции f (х) = при х=О.
Непосредственное вычисление утомительно. Но функцию
/(х) легко разложить в ряд, расположенный по степе-
ням х, выполняя деление х ;(!—№) (§ 397). Получается
разложение
= х+хЧх’+х’+.о (5)
в промежутке (-1, +1). Но ряд (5) есть ряд Тейлора
функции f(x), расположенный по степеням х. Значит,
коэффициент а5=1 дает значение , т. е. /v (0) =
« 51= 120. Так же найдем:
у(2пч 1) (о) = (2н -f-1)!, /(м (0) = 0. (6)
Определение. Функция / (х), разлагающаяся в ряд,
расположенный но степеням х-х0, называется аналити-
ческой в точке Xq. \
з х
Пример 2. Функция не аналитическая в точ-
ке х=0 (§ 399, пример 4); та же функция-аналитическая
в точке х= 1 (н в любой точке Xq 0).
Замечание, Функция /(х), определенная в 'точке х₽-х0,
может быть неаналитической в этой точке по одной из трех причин:
1) Она может не иметь при х₽х0 конечной производной какого-
--
либо порядка; так, функция Ух—не аналитическая в точке х=0,
так как здесь первая производная бесконечна,
2) Ряд Тейлора функции f (х), обладая ненулевым радиусом сходи-
мости, может иметь сумму, не равную/(х).
5S4
РЯДЫ
3) Радикс сходимости ряда Тейлора функции /(г) может рай-
пяться нулю.
Пракшческое значение имеет лишь первый тип, В примере 3 рас-
смотрена функция вюрого типа.
Известные в настоящее время примеры функций третьего типа
слишком сложны.
Пуриме рЗ. Определим функцию ?(х) (черт. 408)формулой <р(х)-
а* (при х^О). При х=О положим ?(0)=0. У этой функции
все производные в точке х=0 равны нулю *). Значит, у функций
/Ы~е’ + <?(х) все производные /'(0), /"(0), ,.., (0), ...-бутУТ
иметь те же значения, что и соотведствующие производные от сЕ, т. е,
ряд Тейлора для функции f (х) будет;
1+^к+^=сН....+^У+
Этот ряд обладает ненулевым радиусом сходимости (/?=»), но его
сумма (она составляет ех) не равна f(x).
*) При х^О имеем
,. . 2 "&•
?'(х) « —е
При X =0 это выражение непригодно, здесь
тЧ0)з> 1}м
Т ' } А->0 Л
litii
Л->0
1
" л»
£___
Л
(по правилу Лопнталя). Далее,
Ф"(0>« utn
v z Л->О Л
1
2 ’"л^
г« П'т -гт е м 0 и т. д.
л->о л*
§ 401, РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 585
§ 401. Разложение элементарных функций
в степенные ряды
Предварительные замечания, Для разло-
жения функции / (х) в ряд, расположенный по степеням
х~хп, можно искать последовательные производные
/'(хя), /"(х0),..., /{й’ (хо)>--- Если они существуют и ко-
нечны, получаем ряд Тейлора
/ »+^ (Х-Х,)+£^ (Х-Х,)!+...
I -Х«)«+...
Ввиду сказанного в § 400 надо еще доказать, что этот
ряд имеет ненулевой радиус сходимости и дает в сумме
именно /(х), а нс другую функцию. Ииохда удается
оценшь «остаточный член» Rn = /(x) —sra (х) и доказать,
что lim /?п = 0. С этой целью 7?п представляют в форме
Лагранжа (§ 272, примеры 1 и 2) нли в других видах.
В большинстве случаев такая оценка трудна или не
выполнима на практике. Тогда можно получить разложе-
ние иными способами, минуя вычисление производных / (х0),
/' (х0),.,. (последние сами собой получаются из найденного
разложения, как в примере 1 § 400).
Ниже даны разложения простейших функций ио сте-
пеням х. Общий член, koi да его вид легко усмотреть,
опускается.
Показательные функции.
«’’1+ТТ+5г+1г+- (R О)
1 <г’=1--*-+;£-£|....(Я = ~). (la)
Оба разложения можно получить оценкой остаточного
члена (§ 272, пример 1). Формула (1а) получается нз (1)
заменой х на-х.
Тригонометрические функции.
+...«=»), (2)
co,x=X-^-^+... (Я=~). (3)
586
ряды
Оба разложения можно получить оценкой остаточного
члена (§ 272, пример 2). Одно из них можно получить из
другого почленным дифференцированием (или интегриро-
ванием).
Почленным деленне.м (2) на (3) получаем:
tg X = X-f-^- + 315 2835' хЭ+ --.(/?= j) • (4)
Закон следования коэффициентов не выражается элемен-
тарной формулой и потому разыскать радиус сходимости
по теореме § 394 затруднительно. Но ясно, что не пре-
восходитведь уже при х = ±~ряд (4) расходится,
поскольку tg (±£) ~ |
Замечание. Радиус сходимости ряда (4) оказывается меньшим,
чем каждый из радиусов сходимости рядов (2), (3), из которых ряд (4)
получается почленным делением. Ср. § 397, пример 4.
Функция ctgхне разлагается по степеням х (ибо
ctg 0 = оо). - ' - '
1 Гиперболические функцииг).
=:‘1Г+ЗГ+5Г+7Г+ "* <2а>
(гиперболический синус; обозначение: sh х),
0? = ~) (За)
(гиперболический косинус; обозначение: ch х),
&+£-* “
с (R “ v) w
(гиперболический тангенс; обозначение: th х).
Разложения (2а) н (За) получаются вычитанием н сло-
жением (1) н (1а), разложение (4а)-почленном деле-
нием (2а) на (За). Ср. замечание к формуле (4).
Разложения гиперболических функций отличаются от
разложений одноименных тригонометрических функций
только знаками.
х) О гиперболических функциях см. § 403.
§ 401. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 587
Логарифмические функции.
ln(l-J х) = у-(^=П, (5)
1п(1_^Ч-4-т-4“ - м- <6>
Формулы (5), (6) получаются почленным интегрирова-
нием разложений = 1 + хч-х2тх3 + ... Почленным
вычитанием находим: ~
lnr^=4v+4+v|4'••] <*=1>' (о
С но.мопцяо ряда (7) удобно вычислять логарифмы
целых чисел. Hanpmicp, при х ~ ~ получаем быстро схо-
дящийся ряд для In 2. - - ,
Биномиальные ряды. . / Ч. >
(!+л-)« -. 1 t-mx |--2Ц^Л-х>+
+ ... (8)
При целом положительном т ряд обрывается на члене
m-п степени (последующие коэффициенты-нули). Полу-
чаемая формула называется биномом Ньютона1). Разложе-
ние (8) справедливо прн любом действительном т.
Т-Г 1
Прн для доказательства можно исполь-
зовать остаточный член Лагранжа. Другими средствами 2)
можно доказать справедливость формулы (8) для всего про-
межутка (—1,1).
А Это наименование следовало бы отнести к общей формуле (8)
(Ср. Ь 270. п. 1).
Для функции /(х) =(1 + х)™ имеем тождественно: ш/(х) =
»(1 +х)/' (х). Непосредственная проверка (почленное дифференциро-
вание иум5?ожсние) показывает, что для суммы У (х) ряда (8) справед-
ливо такое же соотношение: т$ (х) =(1 дх) S' (х), Значит,
Так как функции 1 и .8 (х) и 1 и / (х) имеют одинаковые производные и
равные винчения при х=0, то они равны. Значит, 5 (х)=/(х), что и
требовалось доказать, t
РЯДЫ
588
Частными случаями (8) являются следующие разло-
жения:
(14 х)-1 = 1-х-ь х3-х3 +
(1 ! х)~2 ~ ^4;-.. = 1-Эх+Зх^-ДхЧ-бх4- ...,
(1 -Ьл)
(1-^3^<Т^ =
1-^3 х+^^-Ц^х’-Н..,
0+х2)-1 = - l^+x’-xM-x8- ...,
' * 1 Т A*
(I 1 х)2 = fT+x = '
1.1 1 9 , b з , 1 3 5 . ,
• ~ 1 г 2 Х 2 • 4 Х + 2 - 4-6 Х “2-4.6-S Х ’
<1+<т=й =
1 1,1-3 1-3-5 - . 1-3-5-7 .
(1гр = -~=~
х г /1-х«
1 1 - 1-3 л Ь 35 e , 1 - 35 - 7 - ,
— 1 1 2Х“+2.4Х -|“2,4.цх + 2.4-6-8 Х + "
(9)
(10)
(11) I
(12) |
(13)
(15)
।
Обратные тригонометрические функции. <
arCSinx = x+-’4+^^ + ^f^+... (R= 1), (16)
arctgx = x-^+^-4+^-... (17)
Разложения (16) и (17) получаются соответственно из (15)
и (12) почленным интегрированием в пределах от нуля до х.
Разложения
arccosx = - arcsin х и arcctgx = v" arctg х
Л А
получаются из (16) и (17).
§ 402. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ 589
Обратные гиперболические функции1).
1п(х+Лчи) = х4^+2^4:-
-2^-т+- « = » (16а)
(гиперболический арсасинус; обозначение: Arsh х).
1 Г„ 1 +Х .. . X3-, X5 , *Т /п 14
2" n = + *• (^ = 1) (17а)
(гиперболический ареатакгенс; обозначение: Arth х).
Функции
In (х + |6с3 — 1) = Arch х
(гиперболический ареакосинус) н
4- In = Arcth х
2 а — 1
(гиперболический ареакотангенс) не разлагаются в ряд
по степеням х [они не определены ни в Одной точке про-
межутка ( — 1; 1), в частности в точке х—0].
Разложения (16а) и (17а) отличаются от разложений
(16) и (17) только знаками.
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов г)
Л1но1ие инте!ралы, не выражающиеся через элементар-
ные функции в конечном виде, представляются быстро
сходящимися бесконечными рядами. Есть смысл разлагать
в ряды даже такие интегралы, которые можно представить
конечными выражениями (если эти выражения сложны).
Ведь погрешность возникает и при пользовании «точными»
выражениями, нбо значения последних находятся, как
правило, с помощью таблиц.
АЗ
Пример 1. Инта рал | ё~*'dx нельзя выразить в
о
конечном виде через элементарные функции. Воспользо-
вавшись рядом
= 1 -ТГ+-2Г-+ (- 1);^г+ • О)
б Об обратных гиперболических функциях см. § 404.
г) Бесконечные ряды исторически возникли в связи с задачей инте-
грирования (ср. § 270),
590 ряды
сходящимся в промежутке (~°°t + ©©), получим:
р ,Т v3 1 т® . 1 I"1
Jе-^cdx = Х“~п -у* 2Г Т"' " *)* йГ 2л+Т+ "* (2)
41 **'• ± I
Промежуток сходимости здесь тоже (-о®, +«>) (§ 398),
Пример 2. Вычислить J C‘2iix с точностью до
0,5 -10~<.
Решени е. Подставляя в (2) значение х= 1, получаем:
х 7 , .. - .
f е т! dx -
J * а
V
~ 3"^ 10 ~ 42+2Гб~Т32б”^9360 “75 600^
Член и последующие отбрасываем, так как воз-
никающая при этом по!решность много меньше чем
(),5-10~4 [ряд (3)-знакопеременный с убывающими члена-
ми; § 376] Вычисления ведем на пять-шесть знаков.
Получаем:
1
J е~х* dx — 0,7468.
О
2
Пример 3. Вычисли ы> интеграл J dx с точ-
о
ностью до 0,5 ЧО-3.
Решение. Неопределенный hhtci рал J dx ие бе-
рется в конечном виде. Разлагая sin х в ряди деля по-
членно на х, получаем ряд
sin х 1 , -X'J хв
V ~ 1 ~ зТ * бГ ~ 71
сходящийся при любом значении х (по теореме § 394)
§ 403, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 591
Инннрируя, имеем’
f SHI V . - 1 /-t\’ , 1 /”V 1
J ~i~dX 2“ 18\z) 4 600 G) 152S0 (2) л’ "’
IJ
1 / "" \ $
Первый снброшишый член НИ (uo груоому под-
счету) много меньше, чем 0,5-10“’ Находим
! у = 1,5708 Л @'=0,2153
»(£>* ° 0,015» ' зЛо-G)’ ° 0.0007
1,5867~ 0,2160
?t "i * ' с
j 1,5867-0,2160 « 1,371.
О
*. и
§ 403. Гиперболические функции
Степенные ряды
’ х+£Чт^ + ог+-” (О
*4+ (* = -) (2)
сходные е разложениями sin х, cosx, имеют суммы, соот-
ветственно равные — t Эти функции назы-
ваются; первая — гиперболическим синусом1') (sh), вто-
рая -гиперболическим косинусом (ch)’
sh x=s t (3)
. chx=C^Z. (4)
7) Обозначение sh — сокращение латинских слон sinus hyperbolic us
(синус гиперболический), ch —cosinus hyperboheus.
592
РЯДЫ
Гиперболическим тангенсом (th) и гиперболическим
котангенсом (cth) называются функции
. „ —е~х
111 Х
„j k л- л C- 't-е -
(5)
(6)
Функции sh x, ch x, th x, cth x именую ich гиперболиче-
скими функциями1). Графики даны иа черт. 409-412.
Гиперболические функции имеют о пределе иные значе-
ния для всех значений х (кроме cth х при х=0, где эта
функция обращается в бесконечное гь).
Функция sh х принимает всевозможные значения,
ch х—только не меньшие единицы (ch 0= 1), значе-
ния функции thx содержатся между -1 и 4-1, зна-
чения cth х больше 1 при х > 0 и меньше — 1 при х •< 0.
Прямые у= 4-1 и у= — 1 служат аси.мптотами для
обеих линий у = th х, у = cth х.
Гиперболические функции связаныс оотношеииями
ch2 x-sh2 х = 1,
thx-cth x = 1,
,, bh x .. ch x
cthx = lKT
(7)
(8)
(9)
i) Связь с 1иперболой выясняется в § 405,
§ 403. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 593
и дру! ими, аиалО! очными тригонометрическим. Так,
sh (х+у) — sh х ch у । ch х sh у, (10)
ch (х+у) = ch х ch y + sh x sh y, (11)
‘»(му)=.таШ- . <,2>
Все они вытекают из формул (3) —(6).
Вообще каждой зрш оиомсхричсской формуле, не содер-
жащеи постоянных вели-
чии под знаками триго-
нометрических функ-
ций)1, соответствует ана-
ло1 ичное соо гношеиие
между гиперболическими
функциями. Последнее по-
г лучастся, если заменить
к всюду cos а па ch a, a sin ж
Черт. 411. у =th х,
иа i sh a (i-мнимая единица); мнимости устранятся
сами собой/
Пример 1. Из тригонометрической формулы
sin (х + у) = sin х cos у + cos xsin у
с помощью Указанной замены получаем:
i sh (х+у)= I sh х ch y+ch х i sh у.
Разделив обе части равенства иа i, получаем (10).
Пример 2. Из формулы
cos3 x+sin2 х = 1
получаем:
ch2 x+i3sh2 х = 1.
Цолагая i2- -1, получаем (7).
Эта оговорка существенна. Так, формулу sin —а) = cos 9
нельзя преобразовать по указанному здесь правилу,
38 М. Я- Выгодский
594
РЯДЫ
Формулы дифференцирования
и иитегрирова п И Я
d sh х ch x dx, J ch x dx - sh x PC; (13)
d ch x — sh x dx, J sh x dx ch x+C; (14)
(/ th x . . dx [ dx = th x + C; (15)
cll; X ’ J chJ x
d cth x - dx sha x ’ г dx j sh^ x = - cth x4 C. (16)
Эти формулы получаются из соответствующих тригонометрии ег
них, если произнести указанную выше замену и сверх того написась
i dx вместо dx.
§ 404. Обратные гиперболические функции
Для гиперболических функций sh х, ch х, th х, cth х
существуют обратные функции-
Arsh х (гиперболический ареасинус; черт. 413),
Arch х (гиперболический ареакосинус; черт, 414),
Arth х (гиперболический ареатангепс; черт. 415),
Arcth х (гиперболический ареакотангенс; черт. 416).
Ср, графики гиперболических функций ла черт. 409-412,
Латинское слово «ареа» (area) означает площадь. Основание для
такого наименования выясняется в § 405,
функция Arsh х однозначно определена иа всей число-
вой осп. Функция Arch х определена лишь на отрезке
(1, «) и здесь двузначна (значения ее равны ио абсолют-
ной величине и отличаются знаком). Обычно рассматри-
ваются лишь положительные значения; соответствующая
ветвь графика (главная ветвь) обозначена па черт, 414
§ 404. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 595
сплошной линией. При этом условии функция Arch х ста-
новится однозначной.
Функции Arth хи Arcthx однозначны; первая опреде-
лена лишь в (исзамкнуюм) промежутке (-1, 1), вторая
лишь вис промежутка (-1, 1), Прямые х~ ±1 служат
асимп ютами для обеих линий у —Arth х, y = Arcth х.
Обратные гиперболические функции выражаются через
основные элементарные следующим образом:
Arshx- 1п(х+/хл+1), _ (1)
Arch х - In (х± |/х2~ 1) =
«= ±Ш(х+^сЛ) (ха* 1); (2)
верхние знаки в формуле (2) соответствуют главному зна-
чению Arch х;
Arthх (jx|* О, (3)
Arcthx = 4 In (jxf- О- (4)
Формулы дифференцирования
и интегрирования1)
d Arsh х = -7^=-; (5)
/х*+1
d Arch х = Сх =- I); (6)
9 Под Arch х разумеется положительное значение этой функции
38*
596
РЯДЫ
d Arth х = i); (?)
d Arcth x = i); (8)
Г dx J Ух24-а2 Arsh * f C; a (5а)
f ^X- — J “ Arch — 4-C a (X- a); (6а)
r dx __ J aa-xi — — Arth —+ a a c ( И - a), (7а)
" f dx _ J ~ — Arcth —4 a a C ( 'M >- a). (За)
§ 405. Происхождение наименований
гиперболических функций
Рассмотрим равностороннюю гиперболу (черт 417)
fl)
Обозначим через площадь гиперболического сектора АОМ и при-
пишем величине а (т е площади двойного сектора M0N) тот знак,
который имеет угол поворота от ОХ к О2И. Toipa отношения напра-
вленных отрезков PM, OP, АК (построенных для точки А1 гиперболы
аналогично линиям синуса, косинуса и тангенса; ср, черт. 418) к
§ 406. О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ
597
полуоси а выражаются через s следующим образом1):
ГЛТ , s OP , $ АК .. s
--- = sh ~ , — = ch - -, --- = th - .
а а~ а а2 а а*
(2)
Возьмем теперь вместо гиперболы (1) окружное ib (черт 418)
ру! = а-.
Если сохранить пре жние обозначения, i о взятая с надлежащим зна-
ком величина — (s—площадь кругового сектора Л10(7А) даст ъ гол
AGM, так что вместо (2) придется написать.
РМ ч OP s АК , s
-—- = SIH--, --= COS — , --- = tg — .
л а? а аг а а"
(2а)
Сравнение формул (2) и (2а) объясняет наименования гипс/ болический
синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс.
§ 406. О комплексных числах
Комплексные числа -) получили права гражданства в математике
вследствие того, чго с их помощью облетается разыскание многих
связей между действительными величинами.
Пример 1 Последовательно умножая комплексное число
cos f-н sm ? само иа себя, получаем формулу Муавра
(COS <? + ( Sin <?)л = (COS НфЧ i sin л?) (1)
для целого положительного 3) л. Применяем к левой части формулу
!) Имеем (§ 333, пример 4)
л . z- ., . Хт у
s = 2 пл. АОД1 = а- 1л —-
а
Решая Эю уравнение совместно с (1), находим
у _ е * -е
а 2
- = shA
а-
Из подобия треугольников ОАК, ОРМ имеем-
АК а= РМ = у ,
а “ ОР = к “а1
г) Действия над комплексными числами и геометрическое истолко-
вание этих действий см. «Справочник но элементарной математике>,
34—48 раздела Ш
3) Отрицательную степень комплексного числа можно определить
уак же. как для действительного числа, и тогда формула (1) распро-
странится и на отрицательные*показатели Для дробных и иррацио-
нальных показателей формулу (1) можно принять в качестве опреде-
ления. При этом результат получается многозначным (ввиду того, что
угол ? определяется многозначно- ? = <?0 +2Атг, где А—любое целое
число). Правила действий со степенями остаются те же, что при дей-
ствительном основании.
598 РЯДЫ
бинома и приравниваем соответственные координаты обеих частей
(у двух равных комплексных чисел абсциссы и ординаты соответст-
венно равны). Получаем выражения cos n<f и sin п<? через степени
cos <р и sin <р, Например, при п~4 имеем:
cos 4<p = cos1 ф — б cos® ф sin2 ф-f-sifl1 ф, (2)
sin 4<р = 4 coss ф sin ф—4 cos ф sin3 ф. (3)
Сюда входят только действительные величины,
П р име р2, Пользуясь формулой суммы геометрической прогрес-
сии, находим:
1 +(cos ф +1' sin ф) 4 (cos ф +i sin ф)2 4- - • • +(cos <р -И sin <р)« =
, _ 1— (cos ф 4-if sin ф)п41
“ 1—(cos <f+i sin ф) '
Применим к обеим частям (4) формулу (1) и выполним в правой части
деление. Получим две формулы.
(2/74-1) ф , ф
sin2—-зЬ1-^
cos ® 4-cos 2ф 4-cos Зф + ... tcosnp =------------, (5)
2s!11i
COS —cos ¥
sin ф 4-sin 2ф 4-sin Зф -f- .,. 4- sin n? =---------. (6)
2 sin
Введя в рассмотрение комплексные пере менные велпчанм и опре-
делив для них понятия функции, предела, производной и т.д ,мынахо-
дим много новых связей между действительными переменными вели-
чинами.
В §§ 407 —410 в отступление от обшего плана книги рассматрива-
ются комплексные функции йейспышг, ель него аргумента', функций
комплексного аргумента мы не касаемся вовсе.
§ 407. Комплексная функция действительного аргумента
Комплексная величина
л = х + г‘у (1)
(х, у-действительные числа) называется функцией действительного
аргумента I, если каждому из значений f (в рассматриваемой области)
соответствует определенное значение z (т с определенное значение х
и определенное значение у).
При -этом каждая из координат х, -у является (действительной)
функцией аргумента /,
Запись:
£=/(') + '? (О , (2)
равносильна следующим двум-
х«7(1), у=ф(0- G1)
Если изображать комплексное число x + iy точкой (х; р) плоско-
сти XOY} то функция z изобразится множеством точек, обособленных
§ 407. КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ 599
или заполняющих линию [эта линия параметрически представляется
уравнениями (3)]
Понятия предела и бесконечно малок величины для комплексных
функций определяются так же. как дтя действительных (за абсолют-
ное значение комплексного числа х-fry принимают его модуль
1 х । iy 1 ~ У хг+У!) Точки, изображающие значения функции
неограниченно приближаются к точке, изображающей предел,
когда аргумент t стремится к данному значению (или к бесконеч-
ности) Чтобы найти предел с комплексной функции т, достаточно
найти пределы1а и 6 ее координат х, у 1 огда с = д + bi.
Пример 1 Последовательность
I 1 1 „1 2 1 n-t .
«1, = v ту I, *3 = 3-4-3 h ..., zn - -+-~ 1,(4)
изображается (черт. 419) множеством обособленных точек (хп; у„):
Они лежат на прямой х+у = 1 Имеем:
lira хп = 0, Ига ум - 1, (6)
п—>00 rt—>оо
Нт хя ж Нт (Xn+t'yn) = О Mr » г. (7)
И“>оо «—
Соотношение (7) означает, что модуль [ 11 разности z^-i неогра-
ниченно уменьшается при п->оо.
Геометрически: точки неограниченно приближаются к
точке С (0; 1).
Пример2, Комплексная функция
2 « е~о,п (cos t+i sin f) (8)
аргумента f изображается (черт. 420) линией
х « «—cos t, у >“ sin t <Й)
600
ряды
{логарифмическая спираль), Имеем:
lim х = Оу lim у — 0;
I—> ОО ОО
Пт z = Пт (т+гу) = 0.
(-> ео I —> оо
При f--S.&O переменная точка комплексной плоскости, двшаясь
вдоль спирали по направлению стрелки, неограниченно приближа-
ется К течке О, изображающей предел функции.
§ 408. Производная комплексной функции
. Определение, Производная F' (0 комплексной функция
Ftf) + (1)
iF (0
действительного аргумента / ес i ь предел отношения -—при Л/->0.
Координаты производной являются производивши координат/ (/),
9 (/) дайной функции:
*'(0-Г(О+'?'(0. ’ (2)
Вектор, изображающий Г' (/), есть ве'ктср касательной в соснвет-
ствующей точке графика
х = /(0, уЕ?(1). (3)
Если f — время, то модуль производной ранен абсолютному значе-
нию скорости движения ючки вдоль графика (3).
Дифференциал комплексной функции определяется так же, как
для действительной, и обладает теми же свойствами.
Если комплексная функция F (?) представляется многочленом
F (0 *= йо+^г+аг-гЧ ... +anz«. (4)
где 2 —комплексная функция действительною ар1Умента 1, то
F' (/) = (ох+2д22 + .., + na}lzn-i) 2> (г), (5)
Формулы пропав од и ой произведения и частно-
го—те же, что и для действительных функций.
Пример 1. Производная от функции
F(t) = a (cos 21Г-А +f sin (6)
равна
F'(0 = (-з1112л y+f cos 2-. (7)
X
421
Функция (6) изображается множеством точек окружности (черт. 421)
радиуса а:
X •« а €08 21V X, у ъ a sin 2- . (8)
4 4
'§ 409. ВОЗВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНУЮ СТЕПЕНЬ 601
Производная (7) изображается вектором касательной АЖ с координа-
тами
, 2тгя , t , 2ют „ t
х' =---sfn у > У = —cos 2я у (9)
Модуль производной (выражающий скорость, если f—время)
равен
1 ЕЧО ] - Fx'3^'1 а . - (10)
Стало быть, скорость движения точки по окружности постоянна,
Так что I Р' (?) [ есть дуга окружности, проходимая в единицу вре-
мени. Значит, Т есть период полного оборота окружности.
Из (6) и (7) следует, что
F'(t) = О1)
Геометрически; вектор ЛЯС получается из вектора ОЛ1 уд-
2к
линением(укорочснием)в —— раз и поворотом на 90° (умножение на i
равносильно Повороту на 90°).
Пример 2. Производная от функции
Г (0 = (х + /у)“ (12)
где х и у—функции от I, равна
F'(t) = 2 (jc + fy) (V+ЁН') = 2 Сст'-УУ') 1-21 (ху'+У*'). (13)
Тот же результат получим, если предварительно представим (12)
в виде
F (1) « (№ -уч) -]-2хуР (14)
§ 409. Возведение положительного числа
в комплексную степень
Ряд
и»
711
(1)
при всех действительных значениях и сходится всюду и имеет
суммой <?«.
При любом комплексном значении и ряд (1) тоже сходится, т. е,
его частичные суммы sz! (которые теперь являются комплексными чи-
слами) стремятся к конечному пределу (который также является ком-
плексным числом).
Назтомвсновано следующее определение нового действия — боз-
ведения поло укительного числа в комплексную степень т).
Определение. Возвести число а (основание натуральных ло-
гарифмов) в комплексную степень и = х-н’У —значит взять сумму
ряда (1). За комплексную степень и всякого другого положительного
числа а принимается величина с»1пв (при действительном значении и
она тождественна с «“).
г) О возведении комплексного числа в действительную степень ска-
зано в § 406 (сноска з) на стр. 597). Можно определить и возведение
комплексного числа в комплексную степень, но это сложнее.
боа ряды
Замечание. На комплексные степени положительных чисел
распространяются все правила действия со степенями. Но их надо до-
казать особо.
Пример 1. Возвести е в степень ш.
Решение. По определению
-/ , П1 ТС2/3 , к3/3 7Г*П It®!®
‘‘ - , +ТГ+- 2Г+ТГ+-4Г+-5Г+ — -
TCI П1 ТС3/ Я* ТСЕ1 П® Я1!
“ 1+"П“2Г 31 +4!+51 ~6f 7Г+ “*
Абсцисса суммы равна
ТС1 ТС^ П®
1“2Т+'4Г~бГ
= COS Й-1
ср, g 272), Ордината суммы равна
ТС ТС3 ТС3 Tt’ , п
ц^1^Ть'‘=51'ии,1)'
Значит,
= „1.
В данном случае получилось действительное число.
П р и м е р 2, Вычислить 10*.
Решение. По определению
Ю1' — е1 W
где ~ « 2,302В (см. § 242);
- 111
101 ” 1+ТПЙ Z~2!A1“_3I AP
,11,_______________________________1 1
+ 41Д4* +5!Л1« ‘ 6|Л1«“71Л1Т1+ '
_______________l~+,.v
V 21Л43^41Л4* 6|Л1«^ V
+ Ц1!Л1 3!Л13+51Л1» 71ЛР+'**/‘
“ cos 4т + i sin ~ - cos 2,3026 + i sin 2,3026 ж
м м
a; cos J31 °56' + 7sin J31°56' «« -0,6680 + 1-0,7440.
Примерз. Вычислить Ю1+1.
Решение. Имеем (ср. пример 2):
Ю3+ < = JO3-10* ~ -66,80 + 74,40/.
§ 410. Формула Эйлера
Соотношение
eft* = cos <р + / silty (1)
называется формулой Эйлера. Оно является следствием определения
§ 409 (выводится, как в примере 1 § 409).
5 411. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
603
Если определить cos ?, sin ? при комплексном ? с помощью тех же
рядов, суммы которых по доказанному дают cos <р, sin ф для дей-
ствительных ф, го формула (1) будет справедливой при любом
комплексном ф.
Из формулы (1) получаем:
е—1Ф „ со§ ? Ё|п (2)
а из (1) и (2) находим:
cos ? =----3L.---, sin ф = —. (3>
Эти формулы очень сходны с выражениями гиперболических функций
Из (1) вытекает также формула
ex+i‘y = с* (cos y+i sin у) (4)
(ср, 409; замечание).
Если хи у в формуле (4) суть функции аргумента t, то формулу (4)
можно дифференцировать так же, как если бы i было действительное
постоянное число:
Ф'т1У (х' +/у') =. xrer' (cos y + i sin у) + у'ех (—sin у + i cos у). (5)
Справедливость формулы (5) проверяется непосредственно.
Пример. Найти производную от функции
F (t) = е<М< (cos2/-f-r sin 2f).
Решение. Представим F (f) в виде
F(t) = е(од+Я)г.
Получаем:
F' (/) = (0,1 +20 е(о,1+г<Д =
= (0,1 +2/) е°>Ц (cos 2t + i sin 21) =
= е°ЛД(0,1 cos 2t -2 sin 2f) H' (0,1 sin 2f f-2 cos 2/)].
§ 411, Тригонометрический ряд
Тригонометрическим рядом называется ряд вида
^+a1cosx+&1sinx+a2cos 2x+&asln2x+ ...
... +a„ cos nx-f-&nsln лх+ (1)
Здесь a„, alt a2,&b &2,... —постоянные, называемые
коэффициентами*ряда >
Замечание 1. Свободный член (его можно записать в виде
~ cos 0 х) обозначается через (а не через п0) с той целыр, чтобы
формулы для коэффициентов (ср, § 414) были единообразными.
ряды
Замечание 2. Все члены ряда (1) являются перио-
дическими функциями с периодом 2~. Это значит, что
когда ар1Умент х возрастает на величину, кратную 2тт, все
члены сохраняют своп значения.
Замс ч а и и е 3. Тригонометрическим рядом называют
также более общее выражение
^+ах cos ^+Ь, sin-^ + а3 cos 2-^- + b2 sin 2-y-f- ,..
... + Пи cos n —y~ + bn sin 72-~+ • (2)
где /—положительная постоянная, называемая пояупе-
риодом. [все члены ряда (2) - периодические функции
с периодом 21; ср. замечание 2]. Ряд (1) есть частный слу-
чай ряда (2), когда полупериод Z-тт,
' .., § 412. Исторические сведения
о тригонометрических рядах
Тригонометрические ряды были введены Д. Бернулли1 *)
в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны. Возник-
ший при этом вопрос о возможности разложения данной
„ функции в тригонометрический ряд породил горячие споры
между первоклассными математиками того времени (Эйлер,
Даламбер, Лагранж). Разногласия порождались тем, что
понятие функции в то время не было отчетливо устано-
влено. Упомянутые споры содействовали уточнению поня-
тия функции.
Формулы, выражаюшие коэффициенты ряда (1) через
данную функцию (§ 414), были даны Клерог) в 1757 г., но
не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти
формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти
Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье
в 1823 г. Развивая идею Фурье,'Дирихле3) в 1829 г. уста-
новил и строго доказал достаточный признак разложи-
мости функции в тригонометрический ряд (§ 418).
1) Даниил Есрнулл и (1700 — 1782), швейцарец, выдающий-
ся математик и механик, один из основоположников гидродинамики,
С 1725 по 1733 г. работал в Петербургской академии наук, впослед-
ствии состоял се почетным членом.
Алексис-Клод Кл е р о (J713 1765) —выдающийся
французский математик, астроном и геофизик. В возрасте 16 лет был
избран членом Парижской академии наук.
а) Петер Густов Л еже н -Дирихле (1805-1859)-
выдающийся немецкий математик.
• § 415. СИСТЕМА ФУНКЦИЙ cos пх, sin нх 605
Впоследствии были установлены другие достаточные
условия п исследованы функции, нс удовлетворяющие
упомянутым условиям. В разработку теории тригонометри-
ческих рядов н их практических приложений важный вклад
внесли Мисте русские и советские ученые: Н. И. Лоба-
чевский, А. Н. Крылов (1863-1945), С. Н. Бернштейн
(род, 1880), Н. Н. Лузин (1883-1950), Д. Е. Меньшов
(род. 1892), Н. К. Бари (1901-1961), А. II. Колмогоров
(род. 1903) и др.
4 г /
§ 413. Ортогональность системы функций
cos и®, sin пх
Определение 1. Две функции ф (х), ф (х) назы-
ваются ортогональными в промежутке (а, 4»), если инте-
грал произведения <р (х)ф (х), взятый в пределах от а
до Ь, равен нулю.
Пример 1. Функции
ф (х) = sin 5х
и
ф (х) == cos 2х
ортогональны в промежутке (-тт, тт), ибо
я я
J sin 5х cos 2х dx — у J (sin 7xH-sin Зх) (/х =
—Я — ГС
~ -Tv cos 7х-~ cos 3x'iTC — 0.
П р и и е р 2. Функции
Ф (х) = sin 4х
и
ф (х) = sin 2х
ортогональны в промежутке (~п, п), ибо
J sin 4xsin 2х dx — у j* (cos 2х - cos бх) dx = 0. •
' —ГС —ГС
Теорема, Любые две различные функции, взятые из
системы функций
1, cosx, cos 2х, cos Зх, .,sin х, sin 2х, sin Зх,.,(1)
606
РЯДЫ
ортогональны в Промежутке ( — я, к), т. е.
я к
J 1 - cos mx dx = 0 (т * 0), J 1 sin mx dx = 0, (2)
—Я —Я
К к
J cos mx cos nx dx — 0, J sin mx sin nx dx = 0 (3)
-я
(при m * ri),
j* sin mx cos nx dx = 0 (4)
— TC
(m, и-любые натуральные числа).
Доказательство—по образцу примеров 1, 2.
Замечание 1. Если вместо двух различных функций
системы (1) взять две одинаковые, то интетрал в пределах
от —тг до к равен я для всех функций (1), кроме первой,
для которой он вдвое больше:
J 1. f dx ~ 2к, (5)
К я
J cos® nx dx — z, J sin2 лх с/х = 7t (п = 1, 2, 3, ,(6)
—я —я
Формулы (6) получаются с помощью преобразований
COS3 ПХ = -^-(1 + СОЗ 2ПХ), Sin2 ПХ " v (1 “COS 2пх).
Замечание 2. Формулы (2)-(6) сохраняют силу
для любого интервала длиной 2п. Например,
J sin 4xsin 2х dx — J sin 4xsin2xdx — 0.
Я О
Т
«
о * *
J cos!3xdx=i J cos1 Зх dx ~ п.
—31Г я
2
§ 414. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-ФУРЬЕ 607
Определение 2. Если в какой-либо системе функ-
ций каждые две функции ортогональны, то и сама система
называется ортогональной. В силу теоремы настоящего
параграфа система (1) ортогональна в промежутке (~м)
(а также в любом промежутке длиной 2п).
§ 414. Формулы Эйлера—Фурье
Теорема. Пусть тригонометрический ряд
cos x-b&j. sin cos2x+&2sin 2x+ ...
... + cos nx+b» sin nx+ ... (1)
сходится для всех значений х к некоторой функции / (х)
(эта функция-периодическая, с периодом 2л). .Если для
этой функции (опа может быть и разрывной) существует
ТС
интеграл J }/(х) [ dx (собственный или несобственный),
— ТС
то для коэффициентов ряда (1) имеют место следующие
формулы Эйлера-Фурье (см. § 411):
ТС
«О tt^dx, ;
—тс
,ТС * 5^ К
а1 = ~ j*/(x)cosxrfx, bx = A- J/(xjsinxtfx,
—тс —тс
тс тс
as = “ j* /(*) cos2xdx, b2 ss ~ J / (x) sin 2xdx,
— TC —ft
TC TC
аз = ~ j* / (*) cos 3x dx, b3 — J /(x) sin 3x t/x,
—TC —TC
и вообще
TC
< аЛ — ~ J / (x) cos nx dx,
—TC
TC
p(x)sinnxrfx. (2)
—TC
Замечание, Выражение для «о получается из общей формулы
для ап, если в последней положить п=0. Это единообразие нару-
шается, если через а0 обозначить свободный член ряда (1), а не его
удвоенную величину. Ср. § 4П, замечание 1.
608 РЯДЫ
Пояснение, Мы имеем:
/(х) = ~4-ctjCos x + ^sin х + ... 4 «„cos rtx-f-tnsin их4- ;.. (3)
Проинтегрируем это равенство в пределах от —тг до тс. Предпо-
лагая, что данный ряд допускает почленное интегрирование* 1),
подучаем:
п я и: тс
J /(х) dx - J ~ dx+ai J cos х dx + bL J sin x dx 4- ..- (4)
-тс —it —тс > —re
Все интегралы правой части, кроме первого, равны нулю в силу (2)
§ 413, и мы находим:
я
j* f(x) dx « лао, t. e.
—re
<*o = ~~ J dx'
—re
Мы получили первую из формул (2) для случая м=О, остальные
формулы получатся тем же способом, если предварительно помно-
жить равенство (3) на cos нх или на sin нх.
Так, помножая (3) на cos 2х и интегрируя почленно, по-
дучаем;
тс я тс
j* /(х) cos 2xdx V J cos 2х ЛН J cos х cos %х
—тс —тс —тс
ТС ТС тс
4-/д J sinx cos 2xcfx+a3 J cos1 2xrfx+b2 J sin 2x cos 2x dx-l- ..< (5)
—re —re —re
Справа все интегралы, кроме четвертого, равны чгулю в си-
лу (2), (3) и (4) § 413. Четвертый равен п в силу (6) § 413. Следо-
вательно,
тс
— — J / (х) cos 2х dx.
—тс
тс
1) При сходимости интеграла J | / (х) J dx тригонометрический
—тс
ряд (1), сходящийся к функции/(х), допу'скает почленное интегриро-
вание.
. g 415. ряд фурьё 609
Тригонометрический ряд с произволь-
ным периодо м. Пусть тригонометрический ряд с пе-
риодом 2/;
4-4-<7х cos ** | Ь< sin cos 2 | b, sin 2 ...
... Н-47Л cos n ^f+bn sin n ... (6)
сходится для всех значений х к некоторой функции / (х)
(эта функция тоже имеет период 21). Если существует ин-
теграл J J / (х) ] dx (собственный или несобственный), то
для коэффициентов ряда (6) имеют место следующие фор-
мулы Эйлера-Фурье;
щ -= “ J / (х) cos п ~~ dx (п - О, 1, 2, 3, ...), |
(7)
= у J / (х) sin п dx (и =1,2,3, ...), j
-I '
Формулы (2) получаются из (7) при 1-к.
§ 415. Ряд Фурье
В § 414 рассматривалась сумма /(х) данного сходяще-
гося тригонометрического ряда. На практике важна сле-
дующая обратная задача: дана функция / (х) с перио-
дом 2т;1); требуется найги всюду сходящийся тригономе-
трический ряд
и
“2° 4 at cos Хф bt sin хф- ... ф- <rft cos пхф
+ bnsin Их--..., (1)
имеющий сумму f(x).
Если эта задача имеет решение, то оно единственно,
и коэффициенты искомого ряда (1) находятся по форму-
лам Эйлера-Фурье (§ 414):
Л г
= “ f / (х) COS ПХ dx, Ьц =3 J / (х) sin пх dx. (2)
Э Предполагается, что для этой функции существует (собствен-
ный или несобственный) интеграл J [ / dx.
39 м. Я< Выгодский
610 РЯДЫ.
Полученный ряд называется рядом Фуръе для функ-
ции Дх).
Нс исключено,, что поставленная здесь задача не имеет
решения-, ряд Фурье [даже при непрерывности функции
Дх)] может оказаться расходящимся в бесчисленном
множестве точек на про^межуткс ( — л; л). Поэтому связь
между функцией Дх) и ее рядом Фурье обозначают так:
/ (х) ч- Hi cos х -I- sin Х'+ ав cos 2x4-
sin 2х-Р ..., (3)
избегая знака равенства.
Однако для всех практически важных непрерывных
функций задача имеет решение, т. е. ряд Фурье непре-
рывной периодической функции Дх) на практике оказы-
вается всюду сходящимся и сумма его равна данной функ-
ции, а не какой-либо иной. Это видно нз § 416, где дано
досрочное условие разложимости непрерывной функции
в ряд Фурье.
Более того, разрывные периодические функции, имею-
щие практическое значение, тоже разлагаются в ряд Фурье,
но с одной оговоркой: в точках разрыва функции / (х) ее
ряд Фурье может иметь сумму, отличную от cootbci-
ствующего значения самой функции (см. § 418).
3 а м е ч а и и е. Непериодические функции, определен-
ные в промежутке (~л, л), тоже можно разлагать в ряд
Фурье, но со следующей оговоркой: за пределами проме-
жутка (- л, л) п иа его концах ряд Фурье функции / (х)
будет иметь сумму, которая, как правило, будет отличаться
от соответствующего значения самой функции [ню и естест-
венно, поскольку сумма тригонометрического ряда есть
периодическая функция (см. § 417, пример 2)]. Но это
несущественно, поскольку нас интересуют значения функ-
ции лишь внутри промежутка (-л, л).
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции
Теорема. Пусть функция / (х) непрерывна в замкну-
том промежутке ( — л, л) и либо не имеет здесь экстрему-
мов, либо имеет их конечное число1). Тогда ряд Фурье
1) Примером непрерывной функции, имеющей на конечном проме-
жутке бесконечное множество максимумов и минимумов, может слу-
жить/(х) = х sin , рассматриваемая в любом промежутке, охваты-
вающем точку к ~0 (в этой точке функции приписывается значение 0;
ср. § 231).
§ 416, РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 611
для этой функции сходится всюду. Сумма его равна / (х)
для всякого значения х внутри промежутка (-тг,к). На
обоих же концах сумма равна
| [/(-*) I /0)1-
т. е. среднему арифметическому между /(--) и
/ (+71)*
Пример. Рассмотрим функцию f(x) — x; она непре-
рывна в замкнутом промежутке (-г, -) и не имеет
экстремумов. Коэффициенты а0, а1г а<., ... ее ряда
Фурье-нули. Действительно,
ТС
ая == “ J х cos пх dx ~
—ТС
с тс
= i J х cosnxtfx-p— J х cos пх dx. (I)
<-77 Q
Первое слагаемое после подстановки х = -х' пре-
1 г
образуется в — j х' cos nx' dx' и в сумме со вторым дает
ТС
нуль:
ап = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...). (2)
Коэффициенты Ья находятся интегрированием по частям:
ТС
bn = A. J х sin nx dx =
—ТС
тс
==—-xcosnxr fcosnxrfx — (3)
гП 1—я ' кп J ' г
—7V
= -?г^2 = 2(-1)»+' Д. (4)
Ряд Фурье для функции х имеет вид
2[-’• sin х—- sin 2х+— sin Зх--^ sin 4х-р ...
, ... sin пх+ ...] . (5)
39*
612 - ряды
Согласно теореме ряд (5) всюду сходится; при
его сумма равна
(-жх*я). (6)
При х= ± тг сумма равна
~Я + я] ~ О
Это очевидно, ибо все члены ряда обращаются в нуль.
При х - j формула (6) дает ряд Лейбница (§ 398)
J -LlJ—Lj. . (7)
13 5 7 4 \ '
Черт. 422, где изображен график 5-й частичной суммы
ряда Фурье для функции /(х)=х
2/sttt х sin 2х , sin Зх sin 4х , sin 5х\ /сь
Н-----—+ ~з-----4-+~5~Ь
дает представление -о степени близости между частичной
суммой ряда (5) внутри промежутка (-я, я) и самой
функцией f(x). График y=ss(x) колеблется около пря-
мой у~х; для одних значений х получаются недостаточ-
ные значения, для других-избыточные.
§ Ш. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 613
Линия У — «5(х) проходит через точки ( — к, 0), (тт, 0) и
поэтому вблизи этих точек резко отрывается от, прямой
у~х.
Картина остается той же и для последующих частич-
ных сумм д„. Только размер промежутка, где наблюдается
резкий отрыв, неограниченно уменьшается с ростом п. На
концах промежутка ( — я, т) все частичные суммы равны
нулю и, значит, не приближаются к значениям функции
/(х)==х в точках х — ±тг. Во всяком же внутреннем
промежутке, концы которого не совпадают с течками
х=±к, ряд (5) сходится, и притом равномерно, к функ-
ции j(x) = x. Но сходимость--плохая; так, взяв значение
х = у , получим ряд (7), который (по признаку Лейбница;
§ 376) сходится крайне медленно.
Замечание 1. Функция /(х)-х определена и вне
промежутка ( — я, тг), но так как она-не периодическая,
то при х~:---~ и при х«е—г сумма ряда (5) не равняется -х
(ср, § 4(6, замечание). График суммы ряда (5) состоит
(черт. 423) из множества отрезков, полученных горизон-
тальным смещением отрезка АВ па ±2к~ (fc=O, 1, 2, 3,.,.).
Все отрезки А_ГВ._Ъ АВ, AJ^, лишены концов и вместо
последних взяты точки С_т, Сх Сг,делящие пополам
отрезки В_гА, BAlt Bt As и т. д.
Замечание 2, Рассмотрим периодическую функцию
Д(х) = 2 arctg (tg-*); период се равен 2~. Внутри проме-
жутка (-г, г) она совпадает с функцией /(х) = х
(черт, 423). В точках ± ~ эта функция не определена и
имеет разрыв. Ряд Фурье для Д(х) совпадает с рядом
Фурье для / (х), н теперь сумма ряда Фурье равна Д (х)
ие только внутри промежутка (—к, я), но и всюду за исклю-
чением, конечно, точек разрыва х=±я, х=±3тг и т. д,
В этих последних она равна нулю,
614 ряды
§ 417. Ряд Фурье1 для четной и мечетной функции
, Определение. Пусть функция / (х) определена
в промежутке ( — а, а). Она называется четной, если при
изменении знака аргумента значение функции не меняется:
= (1)
Такова четная степень х2”1 (откуда и термин «четная
функция»), таковы функции cos пх, х3 sin пх и др,
Функция называется нечетной, если при изменении
знака аргумента меняется только знак функции, а абсо-
лютное значение остается тем же:
f(-x)=-/(x). (2)
Такова нечетная степень х2«~1, таковы функции sin пх,
х cos ПХ, tg X н др.
График четной, функции симметричен относительно
оси OY, нечетной-относительно начала О,
О я
Замечание 1. Интегралы J/(x)dx и J f(x)dx
~-а О
для четной функции равны между собой, для нечетной -
разнятся знаками. Поэтому для четной функции- имеем:
0 в
$f(x)tlx = 2fl(x)dx, (3)
— в о
а для нечетной
jl(x)dx = o. (4)
— ft
Замечание 2. Ряд Фурье для четной функции не
содержит синусов; коэффициенты Фурье равны
ап = Я J f (х) cos пх dx, Ья = 0 (5)
(ср. замечание 1). Ряд Фурье для нечетной функции не
содержит косинусов и свободного члена; коэффициенты
§l411. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ 615
Фурье равны
Г
ап = 0, bH « — J / (х) sin пх dx. (6)
Пример 1. Функция / (х) = х, рассмотренная в при-
мере § 416, —нечетная. Ее ряд Фурье не содержит коси-
нусов и свободного члена. Коэффициенты Ьп равны
= —• J xsin пхdx — 2(-l)*t1<i-.
и
Пример 2. Функция / (х)=) х [ - четная; значит, ее
ряд Фурье не будет содержать синусов. Коэффициент
равен
я» = vf xdx= <7)
О о
При л#0 получаем:
ап = “ [ х cos их dx =
о
г
2' sin пх I* 2 г . „ . „cosnre—1 ,йч
= ~ х—ут- -— sin ПХ dX - 2 -7—-, (8)
Л rt |о ПК J ГЬП х z
о
т. е.
«!t = 0, я.м = (t = 1, 2, 3, ...). (9)
Стало быть, ряд Фурье для функции/(х)=|х| будет
W 4 /cos?; , cos Зх , , cos(2/t~J)x , ч /1П.
2--^—+ +—(1°)
Функция /(х) = |х| удовлетворяет условию теоремы
1416. Значит, ряд (10) сходится всюду. Сумма его равна
х^ для всякого значения х внутри промежутка ( — п, тт).
>олее того, поскольку функция /(х)—|х( —четная, сумма
ее ряда Фурье равна /(х) также и на концах проме-
жутка (-тс, к). Действительно, для четной функции имеем
Ц-п)=/(г.), так что среднее арифметическое между
616
РЯДЫ
значениями и /(тт) совпадает с каждым 1й orii-'t
значений. Таким образом, имеем:
W44CW4 (W
В частности, подставляя в (10а) одно из значений х-
Или х=0, найдем, что
4+<и)
Ряд (11) и вообще ряд (Юа) сходится плохо, хотя и лучше,
чем ряд (5) § 416 (ср. графики черт. 422 н 424).
На черт. 424 дан график частичной суммы s., ряда (10)
_ w 4 fees х , cos Зх , cos 5к\
**“ 2 ~ -Д 1’ + 3s + 5« )
в промежутке (—п, я). Ломаная линия, около которой ко-
леблется линия У—-’Дх), есть график суммы ^(х) ряда (10).
Черт, 425.
На черт. 425 изображен график суммы Л(х) в промежут-
ке (-Зт:, Зтг). Там же изображен (двумя лучами, исходящи-
ми нз точки О) график функции /(х)=|х[. В замкнутом
промежутке (-п, т?) функции /(х) ц /х(х) совпадают,
§ 417. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ 617
Замечание 3. Функцию Д(х) можно представить
формулой
Д(х) — arccos (cosx).
Примерз. Разложить в ряд Фурье функцию / (х)=хг
(черт. 426).
Черт. 426.
Решение. Данная функция четная; поэтому имеем:
п
2 Г о
а
Для вычисления ап при п / О дважды интегрируем по
частям:
п» “ f Л3 cos nxdx ~ Г““ f X Sin nxdx ~
rt J к и jo пк J
О О
сю
0
В промежутке (~т:} л), включая концы (ср. пример 2),
имеем:
"2 л ГС()ь х cos 2х , Cos Зх' cos 4* , 1
•V = T^4L’P------2^ + "^-------4T-+...J. (13)
При х=я и х-0 получаем соответственно:
' -р + ;^+За+'^+ I (И)
+<rJ>r:U -
12 22 ‘ 32 ; ns Т - — 12 •
Почленно складывая (14) п (15), снрвд получим (11).
618
РЯДЫ
§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции j
Теорема § 416 допускает следующее обобщение. ।
Теорема Дирихле. Пусть функция / (х) непре-
рывна во всех точках промежутка (-те, те), кроме точек J
*1, х2, х5,, хА (в конечном числе), где она имеет скачки i
(§ 219а). Если при этом в промежутке (— тг, те) имеется
лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет), то I
ряд Фурье для функции / (х) сходится всюду. При этом1):
I) на обоих концах -те, те сумма ряда равна
0)
§ 418. РЯД ФУРЬЕ для РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 619
Эта, функция разрывна при х=О, где у нее-скачок.
Действительно, имеем [см. черт. 427, где изображена
Черт.' 427.
функция /(х), периодически продолженная за пределы
промежутка (-те, те)]:
2) в каждой точке разрыва х=х£ сумма ряда равна
Tl/ft-O)-! /(х, I 0)J, (2)
где символ /(х£-0) обозначает предел, к которому стре-
мится / (х), когда х стремится К х£ слева, а /(х4 + 0)-
предсл / (х) при x->xf справа;
3) в остальных точках промежутка (-те, те) сумма ряда
равна / (х).
Замечание!. Интегралы
/(+О)
Находим коэффициенты Фурье [функция / (х) - нечетная]:
~ О,
(4)
J / (х) cos fix dx,
J / (x) sin nx dx,
Стало быть,
Q
24-
1, 2, 3, ...).
(5)
входящие в коэффициенты Фурье, в рассматриваемом слу-
чае - несобственные (§ 328).
Пример. Рассмотрим функцию /(х), определенную
в промежутке (-те, те) следующим образом:
О
о всех внутренних точках промежутка (-те, те), кроме
точки разрыва х = 0, сумма ряда Фурье равна /(х),
при —те-=х-<0 имеем:
cm v.±.sin Зх , sin 5х , sin (2Л-1)Х ,
smx^-r-+~T- + ... +—
а при (1-х-= те имеем;
8{nx+!L«^+?1п5_?+ ...
0Н1л*г 3 -Г 5 те ... г- 2л--1 т4.
В точке разрыва х - 0 сумма ряда Фурье равна
4 ’
(6)
t. e.
(7)
f(x) ~ при
/ (х) = -J при
- те - х --- О,
(3)
(S)
О Дальнейший текст допускает
(см. замечание 2).
более короткую формулировку
(все члены ряда-нули). На концах промежутка (-
сумма тоже равна
*)
0.
§ 418. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 621
620 РЯДЫ
На черт. 428 видно, как частичные суммы (х), s2 (х), .
s3 (х), s4 (х) постепенно подходят к / (х). В первой (сверху) ;
полосе дан график (х); во второй полосе сплошной ли-
нией изображен график s2 (х):
/ \ \ , sin Зх
Sa(x) = 8Дх) + —3—.
sin Зх
Здесь же дан (штриховым пунктиром) график—, а так- ,
воспроизведен (точечным пунктиром) график (х). ,
же
непрерывности, то оба предела — левый/(х —0) и правый/(х + 0) рав-
ны/(х), так что
“г[/(х~0)+/(х+0)] «/(х). (9)
Таким образом, теорему Дирихле мбжно сформулировать короче
так:
Пусть периодическая функция /(х) непрерывна во всех
точках промежутка (—к, п), кроме точек х1( Хи, Хз,..., х* (в конечном
числе), где она имеет скачки. Если при этом в промежутке ( —тг, к)
имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет),
то ряд Фурье для функции /(х) сходится всюду, и сумма его всюду
равна
^[/(х_0)+/(х + °)].
Ниже следует график Sj (х), причем пунктиром изображены
s.,(x) л . Аналогично построен последний график,
3 а м е ч а и и е 2. В теореме Дирихле пункты 1 и 3 по существу
являются частными случаями пункта 2. Действительно, если/( -п)#
#/(т), то концы промежутка являются точками разрыва периода
чески продолженной функции/ (х). Если же х есть внутренняя точка
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 419. Функция двух аргументов
Определение. Величина 2 называется функцией
двух переменных величин х, у, если каждой паре чисел,
которые могут (по условию вопроса) быть значениями пе-
ременных х, у, соответствует одно или несколько опреде-
ленных значений величины z. При этом переменные
величины х, у называются аргументами (ср. § 196, опре-
деление 1).
Однозначные и многозначные функции различаются,
как в определении 2 § 196.
Пример 1. Высота h пункта на земной поверхности
(над уровнем моря) есть функция географических коорди-
нат—шнро ня <р и долготы ф. Широта может меняться
в пределах от —90’ до + 90°, долгота —от—180° до+180'.
Пример 2. Произведение сомножителей х, у есть
функция двух аргументов х и у. Значения аргументов х
и у могут быть произвольными.
Числовая плоскость. Для наглядности пара
значений х, у изображается геометрически точкой М (х; у),
отнесенной к прямоугольной системе координат XOY,
Плоскость, на которой взята эта система, называется
числовой плоскостью.
Выражение «точка Л/ (х; у)» равнозначно с выражением
«пара значений аргументов х и у.>. Например, выражение
«точка Л4(1;~Зу> означает то же, что и выражение «пара
значений х--1, у~—3». В соответствии с этим функция
двух переменных называется функцией точки (им. § 457).
Часто значение функции и ио своему физическому смыслу
определяется выбором точки на плоскости или на кривой
поверхности (ср. пример 1).
Область определения функции. Пары тех
чисел, которые (ио условию вопроса) могут быть значе*
§ 420. ФУНКЦИЯ ТРЕХ АРГУЛ1ЕНТОВ 623
ниями аргументов х, у функции / (х, у), в совокупности
составляют область определения этой функции.
Геометрически область определения изображается не-
которой совокупностью точек плоскости XOY.
В примере 1 область определения функции h аргумен-
тов «риф есть множество точек числовой плоскости, ле-
жащих внутри и па границе некоторого прямоугольника.
Последний имеет 360 масштабных единиц в длину и 180 в
ширину; стороны его параллельны осям координат, а центр
совпадает с началом координат. В примере 2 область опре-
деления функции есть вся числовая плоскость.
О б о з и а ч с н и я, Запись
2= Ж У)
(читается: «г равно эф от х, у>>) означает, что z есть функ-
ция двух переменных х, у. Запись /(3, 5) означает, что
рассматривается значение функции /(х, у) в точке М (3; 5),
т. е. то значение функции, которое соответствует значе-
ниям аргументов х = 3, у=5 (см. § 202). Вместо / Упо-
требляют и другие бУКВЫ.
Иногда в качестве характеристики функции употребляют
ту же букву, которой обозначается сама функция, т. е.
пишут: z-z(x, у), w~—w (и, v) и т. д.
3 а м е ч а п и с. Не исключено, что значение функции
/(х, у) меняется в зависимости, от х, но остается одним
и тем же при изменении аргумента у. Тогда функцию двух
аргументов можно рассматривать как функцию одного
аргумента (х). Если же значение / (х, у) остается одним и
тем же при любых значениях обоих аргументов, то функ-
ция двух аргументов оказывается постоянной величиной.
Пример 3. Суточное количество осадков (Л мм) на
территории Aloe ко вс кой области есть функция широты <р
и долготы ф места наблюдения. Однако не исключено, что
суточное количество осадков в направлении'с юга на се-
вер остается неизменным и меняется только в направлении
с востока на запад. Тогда h можно рассматривать как
функцию одного аргумента ф.
Если в течение суток ио всей области осадки не вы-
падали, то h — постоянная величина (равная нулю).
, § 420. Функция трех и большего числа аргументов
Понятия* функции трех, четырех и т. д. аргументов и
области ее определения вводятся так же, как в случае
двух аргументов (§ 419).
624
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ. АРГУМЕНТОВ
Область определения функции трех аргументов изобра-
жается некоторой совокупностью точек в пространстве.
R соответствии’с этим функция трех (а по аналогии-и
большего числа) переменных называется функцией точки.
Запись
ц = / (X, у, Z) 4Л
означает, что и есть функция трех аргументов х, -у, z.
Замечание. Не исключена возможность, что значе-
ние функции f (х, у, z) меняется в зависимости от х и у,
а при изменении z остается одним и тем же. Тогда функция
трех переменных / (х, у, z) вместе с тем есть функция
двух переменных х, у. Функция / (х, у, z) может оказаться
также функцией одной переменной и даже постоянной ве-
личиной (ср. § 419, замечание).
Вообще функция п переменных может оказаться функ-
цией меньшего их числа.
§ 421. Способы задания функций нескольких
аргументов
1. Функцию двух или большего числа api уменгов можно
задать формулой (или несколькими формулами). Функ-
ция, заданная формулой, может быть явной или неявной
(ср. § 197, п. «в»).
Пример 1. Формула
pv = А (273,2 | Q, (1)
где А=0,02927, выражает зависимость между объемом v
одного килограмма воздуха (в л3), его давлением р (в-^)
и температурой t (по Цельсию). Каждая из переменных
р,'», t есть неявная функция от двух других.
Формула
v = А <273>2+0 (2)
задает v как явную функцию двух аргументов р н t.
Область определения этой функции есть совокупность фи-
зически возможных значений давления и температуры
(f может принимать липдь значения, превышающие -273’,
р — лишь положительные значения).
3аме ча и ие. Часто функция нескольких аргументов
задается формулой без указания физического смысла вхо-
§ 421, способы Задания функций 625
дящих в нее величии. Если при этом не сделано никаких
указаний относительно области определения функции, то
подразу.мевается, что область определения охватывает все
те точки, для которых формула имеет смысл.
Пример 2. Пусть функция двух аргументов х, у за-
дана формулой
z = Р'/?—(,^-Гг’)' (3)
без указания области определения функции. Формула (3)
имеет смысл лишь тогда, когда х3+у2=£/?3. Стало быть,
область определения есть совокупность всех точек, лежа-
щих внутри и на границе круга радиуса /? с центром в на-
чале координат. _____________
Пример 3. Формула и = Уаг-(х3+у2 + 23) задает
функцию трех переменных. Формула имеет смысл лишь
при условии, что Л'3+у3 + 23 «с й‘~; область определения
сеть совокупность всех точек, лежащих внутри и на по-
верхности шара радиуса а с центром в начале координат.
2. Функцию двух или большего числа аргументов можно
задать таблицей. 1 Три двух аргументах таблицу удобно
располагать в виде прямоугольника. В верхней строке
проставляют значения одного нз аргументов, в левом
столбце-значения другого. В пересечении соответствую-
щих строки и столбца записывают значение функции
(таблица с двойным входом).
Пример 4. Нижеследующая таблица дает объем I кг
воздуха как функцию давления и температуры (см.
пример 1): .
И -20 -10 0 10 20
10,0 0,7411 0,7704 0,7997 0,8289 0,8582
10,1 0,7338 0,7628 0.7918 0,8207 0,8497
10,2 0,7266 0,7553 0,7840 0,8126 0,8414
10,3 0,7195 0,7480 0,7764 0,8048 0,8332
10,4 0,7126 0,7408 0,7689 0,7970 0,8252
10,5 0,7058 0,7337 0,7616 0,7894 0,8173
3. Функцию двух аргументов можно представить про-
странственно# моделью (пространственным графиком).
Пространственная модель функции / (х, у) есть некоторая
поверхность S, отнесенная к прямоугольной системе
40 м, я. ВыГод^кнЙ
626
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
координат OXYZ; проекция точки М поверхности S на
плоскость ХОУ служит изображением пары значений аргу-
ментов х, у, апликата z точки М изображает соответствую-
щее значение функции / (х, у).
Для функции трех и большего числа аргументов этот
способ неприменим,
Пример 5. Функция, заданная формулой
г =
представляется полусферой (чорт, 429; ср, пример 2).
4. Функцию двух переменных можно представить па плоскости го
способу пометок, Пара значений х, у изображается точкой М (х; j),
а значение z — числовой пометкой. (Этот способ применяется в карто-
графии для обозначения высоты пункта.) Точки, для которых z имеет
одно и то же значение, соединяют линией (линия уровня); при ней
ставится соответствующая числовая пометка. Когда точка (х; у) ле-
жит на одной из линий уровня, то значение функции прочитывается
непосредственно; если не лежит, то берем ближайшие две линии
уровня, между которыми лежит точка (х; у), и выполняем интер-
поляцию (на глаз).
Пример 6. На черт. 430 изображены линии уровня функции
z = У а2 —№ —у2 , соответствующие нарастанию функции на 0,2а
(ОВ = а). Значение z в точке А1 (0; —0,8о) прочитывается по пометке:-
0,6а. Чтобы найти значение z в точке N а; ~ а), прочитываем по-
метки 0,6а и 0,8а при ближайших линиях уровня. Так как W находится
примерно па равном расстоянии от обеих этих линий, то z я-,0,1а.
Замечание. Если пересечь поверхность z —f (х, у) плоскостью
z = Л и спроектировать сечение па плоскость ХОУ, то получим линию
уровня с пометкой к. Так, если пересечь полусферу z=/aa — х2— yi
плоскостью;: =0,8а, то получим сечение А'Ы'С' (черт. 429). Его проек-
ция А"В"С" (черт. 429 и 430) на плоскость XOY есть линия уровня
С пометкой 0,8а,
§ 422. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
627
Функцию трех переменных и = /(х, J-, z) можно аналогично пред-
ставить по способу пометок в пространстве. Роль линий уровня игра-
ют поверхности уровня.
§ 422. Предел функции нескольких аргументов
Понятие предела функции нескольких аргументов уста-
навливается так же, как для функции одного аргумента.
Для определенности рассмотрим случай функции двух
аргументов.
Число I называется пределом функции z = / (х, у) в
точке Л40 (и; 6), если z неограниченно приближается к I
всякий раз, как точка М (х; у) неограниченно приближается
к Мп (ср. § 204).
Запись: „ •
firn / (х, у) = I
или
lim / (х, у) = I.
Л—>43
у—>6
Замечание 1. Предполагается, что внутри некоторо-
го icpyia, охватывающего точку Л1о, функция / (х, у) опреде-
лена во всех точках, не совпадающих с Мо; в самой же
точке Мо функция / (х, у) либо определена, либо нет
(ср. § 204, замечание I).
Замечание 2. Математический смысл выражения
«неограниченно приближается» выясняется нз нижесле-
дующего точного определения.
Определение. Число I называется пределом функ-
ции / (х, у) в точке мо(и; Ь), если абсолютное значение
разности /(х, у)—/ остается меньшим любого заранее
данного положительного числа г всякий раз, как расстояние
М(|М = у'(х-а)“ (у - Ь\2 от точки Мо (а; Ь) до точки
М (х; у) (не совпадающей с А4Д меньше некоторого поло-
жительного числа 8 (зависящего от е).
Геометрический смысл. Аиликата поверх-
ности z — / (х, у) отличается от / меньше чем на е всякий раз,
как проекция точки, лежащей на поверхности, попадает
внутрь окружности радиуса 8 с центром в точке Мп (и; Ь).
3 аме чан и е 3. Для случая функции трех аргументов
/ (х, у, 2) расстояние Mt,M представится выражением
У(х-а)Ч-(у-t>)2 + (z-c)T Для случая четырех аргу-
ментов, когда геометрическое истолкование выраже-
ния |'(х - «)а д-(у - ftp-}-(z- cyr-y{u~d)- .становится нсвоз-
40* - - -
628
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
мощным, оно по аналогии все же называется расстоянием
между точками М (х; у; г; п) и М(( (а; Ъ', с; сГ).
Понятие бесконечно малой и бесконечно большой ве-
личины устанавливается так же, как для функции одного
аргумента (§§ 207, 208). О порядке малости см. § 423.
Расширение понятия предела осуществляется, как в § 211,
> г § 423. О порядке малости
функции нескольких аргументов
При сравнении двух бесконечно малых функций а и 0
от одного аргумента мы различали (§ 217) следующие
случаи:
1) отношение у имеет конечный предел, отличный от
нуля, тогда бесконечно малые величины а и £ имеют оди-
наковый порядок;
2) lim у = 0, тогда а имеет высший порядок отно-
сительно Р;
3) lim у = оо, тогда а имеет низший порядок отно-
сительно fi;
4) отношение ~ нс имеет предела, тогда « и 0 не-
сравнимы.
Случай 4 при изучении элементарных функций одно-
го аргумента является исключительным. Для функций
двух и большего числа аргументов исключительным
является случай 1, а практическую важность имеют слу-
чаи 2, 3, 4.
Таким образом, отношение двух бесконечно малых
функций нескольких аргументов в типичном случае не
имеет предела (см. пример 1). В иных случаях одна из
двух бесконечно малых функций (например, а) имеет выс-
ший порядок относительно другой (см. примеры 2 п 3).
Тогда вторая имеет низший порядок относительно первой.
Пример 1. При х->0, у->0 величины 2.\-и
хг+уг бесконечно малы, но их отношение нс имеет'пре-
дела.
Действительно, точка М (х; у) может стремиться к Мо(О; 0)
по линии, касающейся в точке Мо прямой у = (линия
ВМ6 на черт. 431), или прямой у = 3х, или прямой у~х
П т, д. В первом случае отношение £ стремится к ~ , во
§ 423, О ПОРЯДКЕ МАЛОСТИ ФУНКЦИИ
вторОхМ-к 3, в третьем -к 1. Значит, отношение
629
9 II
в первом случае стремится к , во втором—к , в тре-
3
тьелг- к и т. д.
3 амечаи и с. Бесконечно малая величина хг4-у2
есть квадрат расстояния МаМ от точки Л40 до точки М,
стремящейся к ЛТЙ (0, 0). Вообще, случай, когда одна из
сравниваемых бесконечно малых является какой-либо сте-
пенью расстояния между точкой М и ее пределом М0)
имеет особенно важное значение (ср. §§ 430, 444).
Иример2. Функция 2хг-у2 имеет при М-> Д, (0; 0)
высший порядок малости относительно расстояния
ММ0 = Ухг-|-у2.
Действительно, отношение (2х--у2): Ух2 + у2 пре-
образуется так:
(I)
гх! + у2 Г Xs + у* г*! + у2
Каждая из величин — -=, — по абсолютно-
го +у2 Г<2+у=
му значению не превосходит единицы (см. черт. 432), а
каждая из величии 2х, у стремится к нулю. Следовательно,
оба члена в правой части (1) стремятся к нулю. Значит,
стремится к нулю н отношение (2x2-ys): ^х'г+у2.
Пример 3. Функция / (х, у) = (х-х0)2 (у -у0) имеет
высший порядок относительно квадрата расстояния ММ0,
630 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
т. е. относительно (х —х0)г 1 (у —у0)г. Действительно,
J'(x, у) = (х-х ) Х"у°__________У—У»
jWjMJ ° ]/(х-хоу + (у-уоу Цх-хоу ’
Первый сомножитель стремится к нулю, а каждый из
двух друг их нс превосходит единицы (ср. пример 2).
§ 424. Непрерывность функции
нескольких аргументов
Определение 1. Функция /(х, у) называется не-
прерывной в точке Ма (хв; уп), если соблюдаются следую-
щие два условия:
1) в точке Мо функция / (х, у) имеет определенное
значение I,
2) в точке Ма эта функция имеет предел, тоже рав-
ный I.
При нарушении хотя бы одного из этих условий функция
называется разрывной в точке Мо.
Аналогично для случая трех и большего числа apiv-
ментов.
Определение 2. Функция / (х, у) называется не-
прерывной в некоторой области, если она непрерывна
в каждой точке этой области.
Пример 1, Функция / (х, у), заданная формулами
/ (0, 0) = О,
= (xUy= 0),
pc* +yi
непрерывна в точке Л40 (0; 0). Действительно, она имеет
в точке Мо значение пуль; кроме того, она имеет здесь
предел, тоже равный нулю (ср. пример 2 § 423), Во всех
остальных точках числовой плоскости функция / (х, у)
тоже непрерывна. Поэтому она непрерывна в любой,
области.
Пример 2. функция 9 (х, у), заданная формулами:
9 (0, 0) = О,
ф(х- У) = (*3 + У! * °)-
разрывпа в точке Мо (0; 0). Первое условие определения 1
здесь выполнено, а второе нет: функция <р (х, у) не имеет
предела при М Мо (см., пример 1 § 423).
§-425. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 631
§ 425. Частные производные
Определение. Частной производной функции
и = f (х, у, z) по аргументу х называется предел отноше-
ния
+Ах, у ;)-/(». y.z) д
Дх 1
Обозначения:
ГЛ*, у, О, 3“, О)
О значении символов ди, дх см. § 429.
Замечание 1. Аргументы х, у, z в процессе оты-
скания предела считаются постоянными; полученная ча-
стная производная есть функция GT х, у, z (ср. § 224).
Частные производные по аргументам у и z определяются
и обозначаются аналогично, например
и» - - К (х, у, Z) =
д^о АГ v 7
Замечание 2. Для отыскания частной производной
и'х достаточно найти обыкновенную производную перемен-
ной и, считая последнюю функцией одного аргумента х.
Если надо найти все три частные производные, то прак-
тичнее применять способ § 438.
При м е р. Найти значения частных производных от
функции
п — / (х, у, z) — 2х2 у-- 3z~ — Зху - 2xz (3)
в точке Мо (0; 0; 1).
Решение. Считая и функцией одного аргумента х.
находим, что ее производная ~ равна 4х-3у-2д. В
точке (0; 0; 1) значение этой производной равно —2.
Запись:
£(О; 0; 1) = 4х —Зу —2zl = -2,
|х = 0, р = 0, т = 1
/ИО; о; 1) = 2у—3x1 = о,
|х=0, у=О, 1 = 1
/ДО; 0; 1) = -6,
632
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 426. Геометрическое истолкование частных
производных для случая двух аргументов
Черт. 433.
Пусть точке Л40 (х0; у0) (черт. 433) отвечает точка /Vo
поверхности z = / (х, у) (§ 421). Проведем через пло-
скость Nf)M0Ut параллельную плоскости XOZ. В сечении
получим линию LPV0, вдоль которой у остается постоян-
ным (у = у0). Апликата г ли-
нии LiNa есть функция одно-
го аргумента х. Частная про-
изводная Гх (х0, у0) численно
равна угловому коэффициен-
ту касательной U7V0, т. е.
тангенсу угла M0UN(it обра-
зованного касательной US
с координатной плоскостью
ХОУ.
Проведя плоскость
NUMUV, параллельную YOZ,
получим сечение L2N0. Част-
ная производная у0)
равна тангенсу угла M0V/V(„
образованного касательной
VT с плоскостью XOY.
§ 427. Полное и частное
приращение
Возьмем какие-либо зна-
чения х0, у0, х0 аргументов
х, у, z и дадим нм любые приращения Дх, Ду, Дх. Функция
и = / (х, у, г) получит полное приращение
Дн = Д/ (х, у, z) =
= / (хо + Дх, у„ у Ду, z0 -|- Дх) - / (х0, уц, х0).
Может случиться, что нрнращення Ду, Дх равны нулю,
т. е. у ц z остаются неизменными; тогда функция / (х, у, х)
получает частное приращение
Дга = Дг/ (х, у, х). = / (х,и Дх, у0, х0) - / (х0, у0, х„).
Аналогично получаются частные приращения
/
\и = (X, у, X) = / (Хо, у0+ Ду, х0)-/ (х0, у0, х0),
&ги - AJ (X, у, Z) = / (х0, й, Zo-h Дх) -1 (х0, у0, 2о).
I 428. ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 633
Замечание. Для случая двух аргументов полное
йрнращепие функции геометрически изображается прира-
щением апликаты MaN0 (черт. 433) при любом смещении
точки /Vo по поверхности z - / (х, у). Частное прираще-
ние Дх/ (х, у) получается при смещении точки цдолк
сечения LlN0, частное приращение Д?/(х, у)-при смеще-
нии вдоль L2Na.
При м е р. Полное приращение функции
и = 2х2-у2-г
равно
Да = Д (2х2 -.уг - z) =
= 2(Х + Дх)2 —(у+’Ду)2 —(2 + Д?)-2x4-У2+ 2 =
й=. 4х Дх-2у Ду-Дг + 2Дх2-Ду2.
Частные приращения равны
Д^ц ~ 4хДх+2Дх2, Aj,k = -2у Ду-Ду2, Д,н = - Дг.
§ 428. Частный дифференциал
Определение. Если частное приращение Ахи (§ 427)
функции и — / (х, у, 2) можно разбить на сумму двух
членов:
Д,Ц = А Дх4-«, (1)
где А не зависит от Дх, а а имеет высший порядок отно-
сительно Дх, то первый член' А Дх называется частным
дифференциалом функции / (х, у, z) по аргументу х и
обозначается dxf (х, у, 2) или dxtr.
dxii = dxf (х, у, z) - А Дх. (2)
Иначе говоря, частный дифференциал-это дифференциал
(§ 228) функции / (х, у, 2); взятый в предположении, что
величины у и z не изменяются (Ду = Дг = О). В этом пред-
положении х есть единственный аргумент, и потому вместо
Дх можно писать dx (ср. § 234), так что
d,u = dxf (х, у, z) = A dx.
Аналогично определяются частные дифференциалы
dj (*, У,. 2), dj (х, у, z) по аргументам у, z.
Коэффициент А ранен частной производной их, т. е.
частный дифференциал функции равен произведению со-
ответствующей частной производной на приращение аргу-
мента (§ 228, теорема 1)
dxu = ц' dx. (3)
634 функции Нескольких аргументов
Аналогично
d„u = u'vdy, (4)
йги - u' dz. (5)
Пример. Найти частные дифференциалы функции
и = х2у + угх.
Решение. Считая сначала у, а затем х постоянным,
находим:
dxu = (2ху + yz) dx,
dvu--(х2+2ху) dy. '
§ 429. О выражении частной производной
через дифференциал
Частная производная их функции и = / (х, у, z) равна
отношению частною дифференциала dxu к дифференциалу
dx:
г dxu
U — —-
* dx '
(1)
Вытекает из § 428 (ср. § 235).
В обозначении символ Эн нецелесообразно понимать
как частный дифференциал d^u по аргументу х, ибо в
обозначении тот же символ Эи надо было бы пони-
мать как частный дифференциал dffu, а в обозначении
^“-как dxu.
Поэтому выражение надо рассматривать как нераз-
дельный символ частной производной (а не как отноше-
ние дифференциалов).
Пример. Пусть zi = ху; тогда х = ~ и у = £.
Имеем:
ди _ _ и 9у_______£
дх ~ ду ~ ~ у* ’ ди ~ X *
Отсюда находим:
ди дх _ду_ _ / _ н \ £ = _ и _ _ 1
дх ’ ду ди У’\ У2/ х ху
Рассматривая знаки Эи, Эх, Эу как самостоятельные
величины, мы получили бы вместо —1 ошибочный ре-
зультат + 1.
§ 430. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 633
§ 430. Полный дифференциал
Определение. Пусть полное приращение Д/(х, у, г)
(§ 427) функции / (х, yr z) можно разбить на сумму двух
членов:
Д/ (х, У, 2) = (А Дх+ В Ду + С Дг) + е, (1)
где нн один из коэффициентов А, В, С не зависит нн от
Дх, ни от Ду, ни от Дг, а величина е (рассматриваемая как
функция от Дх, Ду, Дг) имеет высший порядок (§ 423)
относительно расстояния р= ^Дх2+ Дуа-|- Дг2.
Toi да первый член
А Ах + В Ду + С Az (2)
называется полным дифференциалом функции / (х, у, z)
(или просто дифференциалом) и обозначается dj (х, у, z)
(ср. 228, 428).
Il'p и м е р 1. Возьмем функцию
/ (х> У, *) - 2x2 ~ у2 - 2- (3)
Мы имеем (§ 427, пример):
Д/(х, у, г) - (4х Дх-2у Ду-Дг) + (2Дх2-Ду2).
Коэффициенты А = 4х, В - - 2у, С = — 1 не зависят ни
от Дх, ни от Ду, ни от Az, величина е = 2Дх2 —Дуг имеет
высший порядок относительно Дх3 + Ду2-у Дг2 (ср. § 423,
пример 2).'Стало быть, выражение 4х Дх —2у Ду-Дг есть
полный дифференциал функции 2х3-у2-г:
d (2х2 - у3 - z) = 4х Дх - 2у Ду - Дг. (4)
Теорема. Коэффициенты А, В, С соответственно
равны частным производным функции / (х, у, г):
А /; (X, у, z), В -- В (х, у, г), С 1'2 (х, у, г). (5)
Иначе говоря, полный дифференциал равен сумме част-
ных дифференциалов (§ 428):
4/ (х, у, z) =
= (/,/ (х, у, z) + dyf (х, у, z) + dj (х, у, z) (6)
или
rf/ (X, у, Z) =
= I* (*, У, 2) Ax-yfe (х, у, г) Ду + /; (х, у, z) Дг. (7)
Пример 2. В формуле (4) коэффициенты Л -4х,
В = --2у, С -- -1 суть частные производные от функции
636 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
2№-у2-z по аргументам х, у, z: .
4х - ^(2х2~У2~^’ 1
~2у=£(2х>-у=-г), У (8)
_1=^(2х=-Г-4 I
Замечай» е 1. В силу формулы (7) полные диффе-
ренциалы dx, (iy, dz аргументов х, у, z соответственно
равны Дх, Ду, Дг. Поэтому имеем:
dj (х, у, z) =
= /Их, у, z)dx+fv(x, у, z)dyyft(x, у, z)dz. (0)
Например (ср. пример 1),
(I (2ха - у- - z) - 4х dx - 2у dy - dz. (10)
Формула (9) инвариантна (см. § 432) и потому предпоч-
тительна перед (7).
Замечание 2. Если и есть функция одного аргу-
мента, то полный дифференциал обращается в обыкновен-
ный, а единственная частная производная-в обыкновенную.
§ 431. Геометрическое истолкование полного
дифференциала (случай двух аргументов)
Пусть плоскость Р касается (§ 435) в точке М (х; у; z)
поверхности S, изображающей функцию г = / (х, у) (п. 3
§ 421). Сместим проекцию М0(х; у; 0) точки М в поло-
жение МДх+Дх; у+Ду; 0). Тогда апликата касатель-
ной плоскости получит приращение, равное полному диф-
ференциалу;
rfz - fx (х, у) Дху/' (х, у) Ду. (1)
Соответствующее приращение апликаты поверхности
S равно полному приращению1 Д? функции z = f(x, у).
Стало быть (§ 430, определение), расстояние между
поверхностью S и касательной плоскостью Р (считаемое
по направлению оси апликат) имеет высший порядок
малости относительно расстояния
р = М(1М] -- /ДхЧ Ду-’
(ср. §230).
§ 432. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 637
§ 432. Инвариантность выражения
fx dx dy-: f dz полного дифференциала
Выражение /'Дх+/£, Ду + f'Дг представляет (§ 430)
полный дифференциал функции и = }(х, у, z), если х, у, 2
рассматриваются как аргументы J). Если же переменные х,
у, г сами являются функциями одного, двух или большего
числа аргументов, то написанное выражение, как правило,
не представляет дифференциала. Напротив, выражение
f* *dx+f'v dyyfcdz
всегда ’) представляет полный дифференциал функции
/(X, у, z) (ср. § 234).
Пример 1, Рассмотрим функцию и~ху аргументов
х, у. Имеем:
du = u'j. dx+ufv dy = у dx-yxdy. (1)
Эта формула верпа и в том случае, когда х, у суть функ-
ции аргументов t, s, заданные формулами
X = 1*-\ $а, y = t2-s\ (2)
Действительно, в этом случае имеем:
н (3)
du = ц'( dt+u'№ ds - 4t3 dt-4s3 ds. (4)
Тот же результат получим ио формуле (1), 'если в нее
вместо х, у'подставить выражения (2), а вместо dx, dy~
выражения
dx -= 21 dt-y 2s ds, dy - 2tdl-2s ds, (5)
найденные с помощью формул (2). Если же вместо (1)
взять формулу
= у Дх + х Ду, (6)
то она будет неверна при аргументах t, s.
Пример 2. Формула (1) верна и в чом случае, когда
X и у-функции одного аргумента.
Пример 3. Формула d arctg х — остается вер-
ной, если положить x = rst:
</агс‘8г« = Г$Й’-
*) Предп слагается, что полный дифференциал существует. О
функциях, обладающих частными производными, но не имеющих пол-
ного дифференциала, см, § 434.
G38 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 433. Техника дифференцирования
Для
случаев
разыскания частных производных в большинстве
удобно предварительно найти полный дифферен-
циал. Последний вычислялся по тем же правилам,
дифференциал функции от одного аргумента (ср. §
§ 430, замечание 2).
что и
432 и
Пример 1. Найти частные производные от функции
и - arctgу.
Решен» е. Вычисляем полный дифференциал по пра.
вилам § § 247 и 240. Получаем.
_ хаУ~У_^_ /V
Коэффициенты при dx, dy
Р-.Поэюму
дх ’ ду
ди __________________у
дх ~~ Л2+Уг ’
СУТЬ
5а
ду
частные производные
х2+у2 '
(2)
Непосредственное вычисление производных потребовало
бы больше труда и внимания.
Пример 2. Найтн частные производные от функции
и = In Д^ + у2.
Решение.
din = Д d In (х= 4-У3) - *-*г++у?У-, W
ди = х да = у
дх Хй+У'г ’ ду Х2+Уа ’ v J
Иной раз при дифференцировании функции одного
аргумента удобно воспользоваться полным дифференциа-
лом функции двух, трех и т. д. аргументов.
Пример 3. Найти дифференциал функции и = х*.
Решение. Ищем dy* (у и z - независимые перемен-
ные), для чего предварительно находим частные производ-
ные. Затем полагаем у = х, z = x:
dy* = ~ dy+~dz - zy*'1 dy+y* In у dz, (5)
dx* = xx5-1 dx+xx In x dx = хг(1 + ln x)dx. (6)
При некотором навыке запись ограничивается форму-
лой (6), остальное делается в уме.
§ 434. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 434. Дифференцируемые функции
Функция u—f(xt у, z), имеющая в точке Мо полный дифферен-
циал, называется дифференцируемой в этой точке.
Дифференцируемая функция всегда обладает конечными част-
ей ди ди ,
Нымя производными -т—, -г—, -Z— и частными дифференциалами
vX ду
, За . , ди . , да .
“ дх Лх’ rf?K = ~3у &У’ d* ” dz
сумма последних дзет полный дифференциал (§ 430).
Но существование частных дифференциалов (или конечных част-
ных производных) ие обеспечивает существования полного диффе-
ренциала.
Пример, рассмотрим функцию f {х, у), определяемую в точке
Afo (О; 0) формулой
/(О, О)--4, (1)
а в остальных точках—формулой
/(х,у) = 4|-2х+у+-х-^-г. (2)
Эта функции непрерывна в точке Ма (0, 0) и имеет здесь частные
производные
Л (0,0)= Jim
Дг->-0
Пт.
Дг-^О
2Дх
Дх
2,
/у (О, 0) = Вт « 1.
Ду—> о
Но выражение Л (О, 0) Дхч-Л(0, 0) Ду=2Дх-рДу не является
полным дифференциалом, Деищвительло, полное приращение имеет
вид
д/(0, 0) =/ (Дх, Ду) - 4 = (2Дх + Ду) + •
Первый член ие является полным дифференциалом, так ’ орой
Дх<з Ду
член е = не имеет вы сто его порядка относительно
р = /Дхг +Д}>’-,
т. е. отношение г: р ие стремится к нулю при Д4 (Дх, Ду)—>0. Так,
если М стремится к Мо по лучу у~31> х=4/, то s: р сохраняет зпа-
36
чение --- .
I <5
Другой пример недифференцируемой функции рассмотрен в
§ 442 (пример 2).
Замечание 1. Если все частные производные непрерывны в
рассматриваемой точке, то функция дифференцируема в этой точке.
В предыдущем примере обе частные производные были разрывны
в точке Мо(О; 0).
Замеч аьи е2, Элементарные функции, как правило, дифферен-
цируемы, Дифференцируемость нарушается лишь в отдельных точках
нли вдоль отдельных линий.
640
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
$ 435. Касательная плоскость н нормаль
к поверхности
Определение 1. Через точку М поверхности S
(черт. 434) будем проводить на поверхности линии ЛА',
В В', С (У, имеющие в точ-
ке М касательные Т'Г, QQ',
SS , ... Плоскость Р, в которой
лежат всевозможные касатель-
ные. называется касательной
плоскостью к поверхности S
в точке М (точка касания).
Пример 1. Пусть прямая
М Т—касательная к какой-ли-
бо сферической линии. Тогда
МТ перпендикулярна к радиу-
су, т. с. лежит в плоскости Р,
проходящей через точку М
перпендикулярно к радиусу. Стало быть, Р-касательная
плоскость сферы.
Пример 2. Коническая поверхность не имеет каса-
тельной плоскости в вершине /<. Действительно, если
через К проводить всевозможные линии, то их касатель-
ные в точке К не будут лежать в одной плоскости.
Замечание, Поверхность z *=/ (х, у) не имеет касательной
плоскости в точке М в том и только в том случае, когда функция
У(х> У) нс дифференцируема в рассматриваемой точке. Поверхности,
реализуемые физически, могу т лишаться касательной плоскости лишь
в отдельных точках, (конические точки) или вдоль отдельных линий
(рёбра) (ср, § 434, замечание 2),
Пример 3, Функция f(x, у) +2х +4, доопре-
деленная условием /(О, 0) = 4, не дифференцируема в точке Х-0,
у «О (§ 434, пример). В соответствии с этим поверхность
г^г2^4
(О
лишена касательной плоскости в точке А (0; 0; 4)
!) Эта поверхность-конус (не круглый) с вершиной А. Действи-
тельно, всякая прямая
У~ах, г“ (т^г+й+2)х + 4
(а-постоянное число) проходит через А и лежит на поверхности (1),
в чем убеждаемся, подставляя выражения (2) в уравнение (1). Мно;
жество прямых (2) образует коническую поверхность.
§ 43G. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 641
Определение 2. Нормалью к поверхности S
в точке М называется нормаль к касательной плоскости,
проведенной через точку М.
Пр име р 4. Нормаль сферической поверхности в каж-
дой ее точке проходит через центр сферы,
§ 436. Уравнение касательной плоскости
1. Касательная плоскость к поверхности z — / (х, у)
представляется уравнением
Z-z - 7?(Х-х) + ?(^~у), (1)
где X, Y, Z — текущие координаты, х, у, z — координаты
точки касания, р, д- соответствующие значения частных
производных •
Пояснели с. Плоскость (1) проходит через прямую
Z - 2 — р (X —.у), У - у = О, (А)
в чем убеждаемся подстаж пкей в уравнение (1). Пря-
мая (А) - касательная к сечению, проведенном^ через
точку (х; у; z) параллельно плоскости XOZ (§ 42G). Так
же убеждаемся, что плоскоечь (1) проходит через каса-
тельную к сечсншо, параллельному ZOY. Значит (§ 435),
нлсскссть (1) совпадает с касательной плосксотыо (если
последняя существует; ср. § 435, замечание).
Пример 1. Найти уравнение касательной плоско-
сти гиперболического параболоида z = в точке
(2«;
Реше н и е. Имеем: ?* = — = 2, ~ ~ = — 1.
Зх « ’ ду а
Уравнение искомой касательной плоскости есть
а - 2 (А* - 2а) ~ (Y - а),
или Z = 2Х- Y — ~ а.
2. Если поверхность представляется уравнением вида
1-' (х, у. z) — 0, то касательная плоскость представится
Сравнением
F:(X-x)+f;(y-y)+Fl(Z-z^ = 0. (2)
Уравнение (1)-частный вид уравнения (2).
41 М. Я, Выгодский
642 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 2. Нам ги уравнение касательной плоскости
рллипсоида
§+^-1 = 0 (3)
в точке М (х; у; z).
Р е щ е ни е. Имеем: ~ Ис-
комое уравнение есть
*(Х-^(Г-,н|(г-гМ (4)
или, сокращая на 2 и учитывая уравнение эллипсоида,
я: т у т £ц 1 - •
Замечание. Уравнение касательной плоскости про-
ще всего получается из уравнения данной поверхности сле-
дующим образом; данное уравнение дифференцируем и
вмесю dx, dy, dz пишем Х — х, У— у, Z-z. Так, диф-
ференцируя уравнение (3), получаем:
2xdx 2ydy 2zdz „
-^- + ^-+-7! - - 0.
Заменив дифференциалы dx, dy, dz разностями X~x\
У—у, Z—Z, получаем уравнение (4).
§ 437, Уравнения нормали
Нормаль к поверхности F (х, у, z) = 0 в точке
М (х; у; z) представляется уравнениями
Х-х _ У—у __ Z-z
К' F' ~~ F'
* Я * у Я
(ср. §§ 436 и 156). В частности, если поверхность дана
уравнением г — / (х, у), то уравнения нормали при обо-
значениях § 436 имеют вид
x-х _ У-у Z-z
~~ q " -1 •
Пример. Уравнения нормали к эллипсоиду
+§• ~ 1 (ср. § 436, пример 2) суть
Qj(X-x) ЬЦУ-у) _ (Z-2)
х у г
§ 438. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛО ЖНОЙ ФУНКЦИИ 643
§ 438. Дифференцирование сложной функции
Величина w называется сложной функцией, если она
рассматривается как функция от (вспомогательных) пере-
менных х, у, .... которые в свою очередь зависят от од-
ного или нескольких аргументов п, vt ... (ср, § 236).
Разыскание полного дифференциала сложной функции
ие требует особых правил (вследствие инвариантности вы-
ражения дифференциала; § 432). После того как найден
полный дифференциал, выражения частных производных
получаются автоматически (§ 433). Общий вид этих выра-
жений дай в § 440.
Пример. Найти полный дифференциал и частные
производные функции
w ~ e’^sin (u-yv). (1)
Если представить w в виде & sin у, где x—uv и
у = и 4 v, то w будет сложной функцией от аргументов
и, v. Полный дифференциал находится так же, как если
бы х и у были независимыми переменными:
dw — (f'sinydx+e^cosy dy = e*(siny dx-pcosy dy).
Подставляя сюда x=uv, y—u-\-vt находим:
die = ew [sin (a + v) (v du 4- и dv) + cos (a + v) (du 4- Л’)ф (2)
Это-полный дифференциал данной функции; ее частные
производные суть коэффициенты при du, dv. Именно:
— — [г? sin (« + 04- cos (и +0], (3)
[мsin («+04-cos («4-4’)]. (4)
Замечание. На практике не вводят особых обозна-
чений для вспомогательных переменных. В примере 1 дей-
ствуют так:
div = d[e«” sin («40] «
, = sin (u+v) dem+evv <Zsin («4-0 »
= sin («4-0 euv d («04-еие cos («4-0 d («4-0.
Если раскрыть выражения d(tir), d(«+0, получится ра-
венство (2),
41*
644 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 439. Замена прямоугольных координат полярными
Пусть z = / (х, у) есть функция прямоугольных коор-
динат х, у и пусть известны значения частных производ-
ных /' в точке М. Тогда частные производные
dz ,
по полярным координатам находятся по формулам
&CO8T + /;sincp, Ц= Г (£ СОЗ ф-/>"<?)• (1)
Пояснение. Так как х — г cos ф, у = г sin $ (§ 73),
то z есть сложная функция от г, ф. По способу § 438 на-
ходим:
dz = dx+ /' dy = /’ cl (г ccs <p)+/; d (г sin ф) =
=« (cos ф dr-r sin ф d<p)+fs (sin ф dr±r cos ? d<?)
Производные суть коэффициенты при dr, d$.
П p и м e p. По данным значениям
f* (3, 4) = 7, /; (3, 4) = 2
иайти значения f-, точке (3:4).
ЯГ _
Решение. В данной точке имеем: г = }'32 + 42 = 5,
cos ф — |, sin ф = — . По формулам (1) находим:
-=^1- 4 + 2-4 = 5,8; 5(2-4"7 • 4) = “22-
&г 5 1 о * * #9 \ о о/
§ 440. Формулы для производных сложной функции
Пусть w есть сложная функция любого числа аргумен-
тов a, v, ...,/(§ 438), заданная через посредство вспо-
могательных переменных х, у, ... , г (в любом числе).
-Тогда
Зю _ aw aw ay 3w 3z
au “ dx au r dy dll' ’ • т dz du*
aw _ aw ax dw dy aw dz
a« ~ ax du "г ay dv'' * ‘ ‘ ' dz av ’
(1)
aw _ aw jbc,£w ay . aw dz
dt “ lx dt+ dy dt+ + dz dt» j
5 441. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 645
т. е. частная производная по какому-либо архументу равна
сумме произведений частных производных по всем вено-
мох аюльным переменным на производные этих перемен-
ных по соответствующему аргументу.
Пояснение. Формулы (1) получатся из выражения
полного дифференциала
С2)
если сюда подставить
(3)
и аналогичные выражения для dy, , dz (ср. § 438).
§ 441, Полная производная
Пусть w рассматривается как функция переменных х,
У, , z:
w = /(х, у, ..., z), (1)
причем х служит аргументом, а остальные переменные
зависят от х1). Производная от w по аргументу х, взятая
с учетом этой зависимости, называется полной производ-
ной и обозначается в отличие от частной производной
(§ 425). Полная производная выражается формулой
du) _ Siu dy Ди dz
dx ~~ dx dy dx ’ *1 "T 3z dx * ' '
Она получается из выражения полного дифференциала dw
(делением иа dx).
Пример 1. Найти полную производную от функции
w=x3evs, где у есть некоторая функция от х.
Решение.
dw « &>z d(x3) + x3rfe»! = Зе^х3 dx + x’e*'3 d(у®)'—
= Зе*2 xa <7х-|-2х3€Уг у dy,
• S = Зе’*х3 + •
J) Это—частный вид сложной функции (§ 438) одного аргумента и
(переменные у,зависят от и как угодно, а переменная х свя-
зана с н равенством х = н)
646 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 2. Найти полную производную о г функции
w=xy'.
Решение. Роль переменной у играет здесь произ-
водная у' - “. По формуле (2) находим:
dm _ Лш Sw dy* _ , (Ру
dx дх+ 9У dx ~ У +Xd№ ’
To же выражение получим, разделив почленно па dx ра-
венство
d>r = y'dx+xdy' = у' dx + xy” dx.
§ 442. Дифференцирование неявной функции
нескольких переменных
Правило 1. Уравнение
к(х, у, ?) - о (1)
при известных условиях1) задает переменную z как неяв-
ную функцию аргументов х, у. Чтобы иайти полный диф-
ференциал этой функции, надо продифференцировать урав-
нение (1), т. е. приравнять нулю полный дифференциал
его левой части. Полученное равенство надо разрешить
относительно dz, и мы найдем полный дифференциал функ-
ции г. Коэффициенты при dx, dy дадут соответствуюцпе
частные производные.
Таким же образом поступаем при любом числе аргу-
ментов.
Пример 1. Найти полный дифференциал и частные
производные неявной функции z аргументов х, у, задан-
ной уравнением
хз + у2 + 2а = 9 (2)
в точке х= 1, у= -2, z= -2.
Решение. Дифференцируя, находим:
2xdx+2y dy-\-2z dz = О.
Разрешив это равенство отиоентельио dz, получаем пол-
ный дифференциал функции z (в произвольной точке)
dz = ~}dx^~-dy. (3)
’) См. ниже замечание 1.
s 442.,ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 647
В дайной точке (1; ~2; — 2) имеем:
dz^^dx-dy. (4)
Коэффициенты при dxt dy дают значения частных произ-
водных в данной точке:
Проверка Решив уравнение (2) относительно z, по-
лучим:
z = (6)
(перед радикалом берем знак мивус, ибо при х = 1,
у = -2 должны иметь z = —2), Из (б) находим:
dz______у &z_______у j
дх /9 -х- —у2 ’ Зу у9 -х2 - V2
Подставляя сюда значения х=1, у——2, снова нахо-
дим (5).
Замечание 1. В правиле 1 предполагается, что функция
F (х, у, г) дифференцируема в некоторой точке ЛТ0 (х0; У»: *о)> удовлет-
воряющей уравнению (1), и в достаточной близости от нее (т. е. во
всех точках некоторого шара с центром в точке ЛТ0). Кроме того, пред-
полагается, что уравнение, полученное дифференцированием, одно-
значно разрешимо относительно dz (т. е. что коэффициент при dz отли-
чен от нудя), При этих условиях можно Утверждать:
1) что уравнение (1) действительно задает г как неявную функцию
аргументов х, у, она определена в некотором круге с центром
(х0, Уо) и принимает значение z0 при х =ха, у =уу,
2) чтэ функция z дифференцируема в упомянутом круге и, в част-
ности, в точке (х0; у0).
В примера 1 вышеперечисленные условия выполнялись, В сле-
дующем примере рассмотрен один йз разнообразных случаев их нару-
шения.
Ириме р 2, Уравнение
хз + 8уз--гз - о (7)
задает г как неявную функцию аргументов х, у. Явное ее выражение
таково:
з_______
2=}6;3 + 8уЗ, (8)
Пытаясь применить правило 1 к разысканию полного дифференциала
функции z в точке х=0, у=0, z-О, мы получили бы из (7) равен-
ство
3№ dx 4-24уЗ dy -3zB dz — 0, (9)
В точке х=0, у-О, z = 0 это равенство не допускает однозначного
решения относительно dz, ибо оно обращается в тождество 0=0.
Таким образом, правило 1 не дает возможности найти ни полного диф-
ференциала, иц частных производных функции z в рассматриваемой
648
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
точке. Дополнительное исследование, показывает, что в этой точке
функция z недифференцируема 434), ио имеет частные производные
Правило 2. Система двух уравнений
Л (*> У} К) ®) = 0» ^2 (*, У> и> ®) “ 0 (10)
при известных условиях 2) задаст две переменные п, v как
неявные функции аргументов х, у, z. Чтобы найти полные
дифференциалы этих функций, надо продифференцировать
уравнения (10). Полученную систему равенств надо разре-
шить относительно du, dv, и мы найдем полные диффе-
ренциалы функций и, V. Коэффициенты при dx, dy, dz
дадут соответствующие частные производные.
Таким же образом поступаем, когда число уравнений в
системе больше двух (при любом числе аргументов).
Пример 3. Найти полные дифференциалы н частные
производные неявных функций и, v, заданных системой
уравнений
x+y+«+®=a, x2 + v2+-iz2 + «-’2 = b2- (И)
Решение. Дифференцируя, находим:
dx+dy+du + dv “ О,
х dx+y dy+ и du 1- v dv = 0. (12)
Разрешив систему (12) относительно du, dv, получаем
полные дифференциалы функций и, vi
du = (v-x)dx+(v-y)dy dv = (u-*)dx+(u-y)dy
a u-v * u ’
3___
t) Действительно, полагая y=0, получаем: г= Уяа = х, так. что
з_________________________________________
_0«1; полагая х = 0, получаем: > У8у^ = 2у, так что
(^)х=о = 21 выражение Дхф 2 Ду не является полным дифферен-
те
циалом, ибо разность
Дг-(Дх+2Ду) •» е
не имеет высшего порядка относительно р » Уд№-|-Дуа. Так, если
точка (х; у) стремится к точке (0; 0), скажем, по биссектрисе первого
координатного угла, то отношение ~ имеет значение
3________ р 3_
е _ УДхЭ+8Ду»-(Дх-ь2Ду) У 9 -3
Р УДхафДуЗ У2" ’
т, е. к нулю не стремится.
®) См. ниже замечание 2.
§ 443. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 649
Коэффициенты при dx, dy дают частные производные
3i£ _ _ г-у ду_ и- х Эу __ и-у
i)x — u-v’ ду ~ u-v 5 дх ~ v~u ’ ду “ v—и ' ' ‘
Замечание 2. В правиле 2 предполагается, что функции
(х, У, 2. к, г>) = 0, (х, у, Z, и, и) — 0 дифференцируемы в неко-
торой точке AJ0 (х0; у(1; х0; 'и0; е0) и в достаточной близости от нее.
Кроме того, предполагается, чт о система уравнений, полученная диф-
ференцированием, однозначно разрешима относительно du, dv (т. с.
что определитель, составленный из коэффициентов при du, do, отли-
чен от нуля). При этих условиях можно утверждать:
1) что система (10) действительно задает и, в как неявные функции
аргументов х, у, г;эти функции определены в некотором шаре с цент-
ром (хц; уи; £ц) и принимают значения пи, ги при х=хи, у=у0,
г=г0;
2) что функции и, и дифференцируемы в упомянутом шаре и,
в частности, в точке (ху, уу, '0).
§ 443. Частные производные высших порядков
Определение 1. Частными производными второго
порядка (или вторыми частными производными) от функ-
ции у) называются частные производные от
функций
< = /'.(*, Я- > = №.у). (1)
Общее число вторых частных производных—четыре.
Частная производная от по аргументу х обозначается
или или /*(х,у). Аналогично обозначают-
с я остальные, так что имеем:
<2>
(3)
= = (5)
Вторые производные (2) и (5) называются чистыми, вто-
рые производные (3) и (4) - смешанными.
Теорема 1.Сметанныс производные второго порядка
(они отличаются друг от друга порядком дифференцирова-
ния) равны между собой (при условии их непрерывности
в рассматриваемой точке),
650 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМР н I ОВ
Пример 1. Найдем вторые частые производные oi
функции z = л?у2 + 2х2у - 6. Имеем:
= Зх2уЧ 4ху,
—J = 6x.v2 + 4v,
“ &Т+4х,
%-- 2Л + 2х-’,
~~ = 6х^+4х,
= 2V.
Зуа
Смешанные производные и равны между собой.
1 с# у <? х а х &у
Замечание 1. Четыре частных производных шо-
рого порядка в сипу теоремы 1 сводятся к трем: ^г,
дх ду ’ ду-
Определи н и е 2. Частные производные от частных
производных второю порядка называются частными ripe-
извсдными третьего порядка (или третьими частными
Производными) и обозначаются f"x, (чистые произ-
водные), /'" > fiyS и т- Л- (смешанные производные)
„ ir д'х d*z d*z д*г
дх* > 1у* ’ »х* ду ’ дх ду дх И ‘ Я'
Теорема 2. Смешанные производные третьего по-
рядка, отличающиеся друг от друта лишь порядком диф-
ференцирования, равны между собой (про условия их
непрерывности в рассматриваемо/! точке).
и, д 'Z а ’г
Например, - дХ()удх-
Пример 2. Частные производные третьего порядка
от функции z= Vy3 6 (ср. пример 1) суть:
d^z _ д / ~ д / tHzx 0
"дх* ~ дх \дх*) ~ ду< "ду \дуг/
^-^(S=4(8:x-)-w+4,
_ д^ д / д^ \ д/ ^z\ 6 а
дхду^ дуХдхду) дх\дуъ) ‘
Замена н п е 2. Восемь частных производных грепято
порядка в силу теоремы 2 приводятся к четырем.
a^z дъ a<z d*z
дх* * дх-' ду ’ дхду2*
§ 444 ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 65 1
Замечание 3. Аналогично определяются и обозиа-
чаклся частные производные четвсрюю и высших поряд-
ков от функции / (х,)), а также ш функций трех и боль-
шею числа ар1УмеН1ъв. Для всех случаев имеют место
теоремы, аналотпчные теоремам 1 и 2.
§ 444. Полные дифференциалы высших порядков
Образуем полное приращение (§ 427) Az функции
z=/(x, т), затем, сохраняя те же значения Дх, Ду,
сбразуем полное приращение Д(Д?) величины Дг (рассма-
ipiiBan ее как функцию от х, у). Получим втору ю разность
A2z функции z.
Пусть Д2г распадается на сумму двух членов:
A2z = (г AxJ+ 2s Дх Ду 4 t Ду2) у а, (1)
1 де г, s, I не зависят пи ит Дх, нн от Ду, а а имеем высшшт
порядок лиосшельно g2 —Д\2-г Ду2. 1огда первый член
называйся вторым (полным) дифференциалом функции z
и обозначается d2z.
Пример 1. Рассмсырнм функцию z=x3y2. Находим:
Az =- (х-г Дх)3 (у-г Ду)2 -х3Ук
Д2? = (х -ь 2 Дх)' (у + 2 Ду)3 - 2 (хт Дх)3 (у + Ау)2+
4- Х3у2 = (б.ху- Дх--у 12х2у Дх Ду + 2х2 Ду2) 4- а, (2)
где а имеет высший порядок относительно г/. Первый же
член суммы (2) имеш вид гДх2— 2зД\Ду । ТДу2, причем
величины r = bu2, s=6x-y, Z = 2\J нс зависят иц от Дх,
ни от Ду. Стало быть, первый член есть шорой днффс-
репцпа г функции z—хйу3:
43z = 6ху3Ах24-12\2]'Дх Ду4-2.х3 А}2. (3)
Теорема 1. Величины г, s, t в формуле (1) равны
еоошетствуювщм вторым частным производным функции Z1
И р и я е р 2. В предыдущем примере мы имели:
, > <>iz „ г - i)2Z
Г - бху- = -Т- , S - бх2у — , t 2х3 = .
2 ’ > ах ’ Зу-
Выражение второго дифференциала.
В силу ншремы 1 имеем:
= (4)
652 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание. Так как
Дх = dx, Ду - dy
(§ 430, замечание 1), то вместо (4) можно написать:
В противоположность соответствующему выражению первого
дифференциала (ср. § 432) формула (5), как правило, пе верна, если
х и у нс являются аргументами (ср. сноску в § 258).
Теорема 2. Если считать дифференциалы dx, dy не
зависящими ип от х, ни от у, то второй дифференциал
d-z равен дифференциалу от первого дифференциала dz
(ср. § 258, теорема 2):
d\df(x, у)] = d^(x, у). (б)
Пример 3. Пусть z= хауг. Имеем:
dz = Зх-’ уа dx + 2х3у dy.
Дифференцируем еще раз, считая dx, dy постоянными,
Получим:
d (dz) = d (3x2y2) dx-I d (2xJy) dy =
~ Gxy’ dx" + 12№y dx dy 4- 2x3 dy1,
А это-второй полный дифференциал функции
(см. пример 1).
Полные дифференциалы третье! о, четвертого и т. д.
порядков (dJz, dlz и т. д.) определяются аналогично и
выражаются следующими формулами;
л = £ (!х»+з <*ау+з^ МуЧ^<1у>, (7)
</Ь— 0-, ^х‘ + ^^з9у dxaily +
(»)
Числовые множители равны соответствующим биномиаль-
ным коэффициентам.
Формулы (7), (8) и т. к., как правило, не верны, если >- и у ле
являюкя аргументами,
Все вышесказанное распространяется на функции трех
и большего числа переменных.
§ 446. УСЛОВНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 653
§ 445. Техника повторного дифференцирования
Для разыскания частных производных высшего порядка
удобно предварительно найти полный дифференциал соот-
ветствующего порядка.
Пример. Найти частные производные от функции
z=x3y2 до третьего порядка включительно.
Р е ш е п и е. Находим сначала первый дифференциал dz*.
dz — 3xays dx+2x^y dy, (1)
затем второй, для чего дифференцируем (1), считая dx, dy
постоянными;
d2z 6xy2dX4- 12xsy dx dy+2xstfy3 (2)
(ep. § 444, пример 3). Дифференцируя (2), снова считая
dx, dy постоянными, получаем;
(/sz ~ (бу2 dx2 + 12ху dx2 dy) 4-
+ (24x'y dx~dy + 12x2 dx dy2) + 6x2 dx dy2}
или
d*7 = 6y2 dx3 + 3 • 12xy dx'- dy + 3 fix2 dxdy2. (3)
По коэффициентам выражений (1), (2), (3), учитывая фор-
мулы (5) и (7) § 444, находим;
~ - Зх2у3, =-- 2х2у;
<)Х ' ду ’
d2z _ Aw2 — 6y2v — 2x3‘
dx* bxy , t)X у, 9yt 2X ,
$3z — Rv2 _ i 2yi' &3z = fix3 &9z = О
ахз ~ - 1 ax® »y ~ 1 dx »y- { X f ay3 u'
§ 446. Условное обозначение дифференциалов
Выражения дифференциалов усложняются по мере роста
порядка. Для упрощения вводят следующее условное обо-
значение дифференциала к-ro порядка от функции г —
=/(*, у):
О)
Его надо понимать так: сначала «возводим в А-ю стс“
пень» двучлен 4--~-dy так, как если бы символы <)х,
ду, д обозначали самостоятельные алгебраические вели-
чины. Затем «открываем скобки», приписывая к каждому
654 /-ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
символу б* множитель z. После этого вкладываем во все
символы их истинный смысл.
Пример. Запись d3z = dx+^dy^ z расшифро-
вывается так: «возведя в куо», получаем:
3 3Ихду* (^х ^У3) Ъ
«открыв скобки», находим:
Л = g-Л’+З «V+3-Дг Чх ЧуЧ-^Чу’
(ср. (7) § 444).
Замечание. Для трех, четырех и т. Д. аргументов
условные записи те же; например, запись
(^ах+~^ау+~^^Уи
\ &Х &у &Z S
означает, что
+ 2 т + 2 №1+ 2 dz Чх.
§ 447. Формула Тейлора
для функции нескольких аргументов
Для функции одного аргумента формулу Тейлора (§ 271)
можно записать в виде
/ (х+ Дх) = / (x) + TV /'(*) /"(*)
... + -^/w(*W! + (/7W/<m+1)(x+G Лх>,+1’ <1)
где 9 — некоторое положительное число, меньшее еди-
ницы *):
(2)
Здесь выражения /' (х)Дх, /" (х)Д№,... суть дифферен-
циалы первого, второго и т. д, порядков.
1) Число входящее в (I) § 271; лежит между х и х ^Дх; поэтому
разность § — х имеет юг же знак, чго и Дх, а по абсолютному значе-
нию меньше, чем Дх. .Значит, частное — х); Дх есть некоторое поло-
жительное число 0, меньшее, чем единица. Из равенства (ij — х): Дх=е
находим: £=х+0Дх.
§ 447, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
655
Формула Тейлора для функции нескольких перемен-
ных *) строится аналогично, только дифференциалы берутся
полные. Так, для двух аргументов при п = 2 имеем:
/(х+Дх, у+Ду) =
- t (х, У)+у У) Дх + Ж У) Ду] +
+1 [/Ж у) Дх3 + 2/Ж у) Дх Ду + /; (х, у) Ду*] +
+ 57 [/2х(х I 9 Дх, у + 0 Ду) Дх3 +
Ч-3/;"(х + 9 Дх, у 1 0 Ду) Дх3 Ду-г-
-1- 3/"'9(х + 9Дх, у + О Ду) Дх Ду3 +
+ ГЛ'ЛХ + 0 Дх, у + 9 Ду)Ду3], (3)
где 9 удовлетворяет неравенству (2).
Выражения в квадратных скобках суть (§ 444) полные
дифференциалы. В последнем члене частные производные
взяты при промежуточных значениях аргументов3).
Формула Тейлора с любым числом членов обозрима
(даже для двух аргументов) лини, при условных обозна-
чениях § 446. Тогда она имеет вид
а/ (X, У) = Ti (-£ Лх+-£ iy) / (X, у)+
+Д(ах •••
• • • +й (ъ-Лх+ /у Д)')"/ <Х' Н +
+\«+1,|'(’й'Дх, Л’ Л)’)"+1/(14 0Дх.У+9ДЯ (4>
или
д/ (х> у) = ц- (х, у) 3- я <*7 (*, у) + • • • + rf’7 (*, У) +
+ du+1/ + о Дх, У + 9 Ду) (5)
и аналогично для большего числа аргументов.
*) Условие, при котором формула верна, дано ниже в замечании.
*) Точка А1(х + 0Ах; удВДу) лежит на отрезке, соединяющем
точки Л1 (эс; у) и М1 (эсдДх; у + Лу)- Число 0 даст отношение
ЛШ; AfAfx.
656 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание, формула Тейлора верна прн условии,
что функция / (х, у) обладает полным дифференциалом
(и+1)-го порядка во всех точках отрезка, соединяющего
точки М (х; у) и (х + Дх; у + Ду).
Пример. Проверим формулу (3) на примере функции
/(х, у) = ху3
при х=у= 1, Дх--0,1, Ду=0,2. Будем иметь:
(ху- Дх) (у + Ду)3 = ху3+[у3 Дх + 2ху Ду] +
+ [4(у + ° Ду) Дх Ду + 2 (х у- О Дх)Ду3].
Подставив данные значения, получим уравнение 0,004 =
= 0,0120, откуда 0 = Д, Т. е. О действительно содержится
между нулем п единицей.
§ 448, Экстремум (максимум и минимум)
функции нескольких аргументов
Определение. Функция / (х, у) имеет максимум
(минимум) в точке Ри(п, Ь), если во всех точках, до-
статочно близких к Piit значение
/ (X, у) меньше (больше), чеч
значение / (а, Ь) (ср. § 275).
Г е о м е т р и ч с с к и: над точ-
кой (черт. 435) новерхпомь
z = /(x, у) имеет точку Ма, лежа-
щую выше (ниже) всех соседних,
Необходимое у с л о в п«
экстремума. Если функция
/ (х, у) имеет экстремум в точке
Ру (а; Ь), то в этой точке полный дифференциал либо то-
ждественно равен нулю, либо по существует.
Замечание 1. Условие б/(х, у) = 0 равносильно
системе двух равенств:
у) = О, /;(х, у) = 0.
Равенство ТУ (х, у)-0, взятое в отдельности, есть необходимое
условие экстремума при неизменности у 276). Геометрически оно
означает, что сечение поверхности, параллельное плоскости XOZ,
имеет в точке Л?о касательную, параллельную оси ОХ (ср. § 426),
Аналогичный смысл имеет равенство/' (х, у) =0.
§ 449. ПРАВИЛО РАЗЫСКАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 657
Гео м етри чески: в точке Мо, лежащей выше (ни-
же) всех соседних, поверхность г = / (х, у) либо имеет х ори-
зонтальлую касательную плоскость (как иа черт. 435), либо
нс имеет никакой касательной плоскости (как па черт. 436).
Замечание 2. Определение экстремума и необхо-
димое условие остаются теми же для
любого числа аргументов.
§ 449. Правило разыскания
экстремума
Пусть функция j (х, г) дифферен-
цируема я некоторой области ее
задания. Чтобы найти все ее экстре-
му .мы в hi ой области, надо:
1) Решить систему уравнений
Л О:, у)-О, /£(х, у) = 0. (1)
Решение даст критические точки.
2) Для каждой кршнчесцой точки (щ Ь) иссле-
довать, остается л/r неизменным знак разности
/(М’)-/М) (-)
для всех точек (х; г), достаточно близких к Ро. Если раз-
ность (2) сохраняет положительный знак, то в точке Ро
имеем минимум, если отрицательный, —то максимум. Если
разность (2) не сохраняет знака, то в точке Ро пет экстре-
мума.
Аналогично находим экстремумы функции при большем
числе аргументов.
Замечание. При двух ар/ ументах исследование
иногда облегчается применением достаточного условия
§450. При большем числе аргументов это условие услож-
няется. Поэтому па практике стараются использовать част-
ные свойства данной функции.
Пример. Нахпи экстремумы функции
/ (х, у) = х’+уэ-3ху р 1.
Реш с ние. 1) Приравнивая нулю частные производные
/i = 3xs-3y, fe Зу2 — Зх, получаем систему уравнений
х2-у = 0, у2-х = 0. (3)
Она имеет два решения:
= У1 = 0* х2 = у-, = 1. (4)
42 М. Я. Выгодский
658 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Исследуем знак разности (2) для каждой из двух кри-
тических точек Pj (0; 0), Рй(1; 1)-
2а) Для точки Рх (0; 0) имеем:
/ (х, у) - / (0, 0) = х3+у3 - Зху. (5)
Разность (5) не сохраняет знака, т.-е. в любой бли-
зости от Рх есть точки двух тниов: для одних разность (5)
положительна, для других —отрицательна. Так, если точку
Р(х;у) взять на прямой у = х, то разность (5) равна
2.x3-Зх2 = х2 (2х-3). Вблизи от Рх (при -''•''-у) 0|а
разность отрицательна. Если же точку Р (х; у) взять на
прямой у— -х, то разность (5) равна Зх2, а эта вели-
чина всегда положительна.
Поскольку разность (5) не сохраняет знака, в точке
Рх (О; 0) экстремума нет. Поверхность
z х3-ру3-3ху-р 1
в точке (0; О; 1) имеет вид седла (наподобие гиперболиче-
ского параболоида).
26) Для точки Р2 (1; 1) имеем:
/(х,?)-/(!; 1)-х3 + у3-Зху-| 1. (6)
Докажем, что эта разность в достаточной близости от
точки (1; 1) сохраняет положительный знак. Положим:
.№ 1 + «, У = 1 + Р- (7)
Разность (6) преобразуется к виду
3(а2-<хр-1 02)+(«3 + Р3). (В)
Первый член ври всех ненулевых значениях a, ft поло-
жителен и притом больше чем* 1) у (а2 + р2). Второй член
может быть и отрицательным, но при достаточной малости
| a j и | р j он но абсолютному -значению меньше чем3)
аа + р< Значит, разность (8) положительна.
Стало быть, в точке (1; 1) данная функция имеет ми-
нимум.
3 3
1) Имеем тождество 3 (а2 -а₽ + р2) = у (а2 Д PO + y (« — ₽)*
Величина (к — [Я2 положительна или равна нулю.
При [ а ] <1, | ₽ ] <1 имеем: | ая j <а=, | р3 ] <р®.
§ 450. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 659
§ 450. Достаточные условия экстремума
(случай двух аргументов)
Теорема 1. Пусть
Adxa+'2Bdxdy + C dy- (1)
есть второй дифференциал функции / (х, у) в критической
(§ 449) се точке Ро (а; Ь) (так что числа А, В, С даю г
значения вторых производных f'x, в точке Ро).
Если при этом имеет место неравенство
АС-ЕР > 0, (2)
то функция / (х, у) плюет в точке Ро экстремум: .максимум,
когда >4 (или С) отрицательно, мини пум-если А (или С)
положительно.
3 а м е ч анис 1. Числа Д и С при условии (2) -всегда
имеют одинаковые знаки.
'Георема 1 дает достаточное условие существования
зкотремума.
Пример 1. Функция /(х, у) = х:,-|-у3-Зху+1 (ср.
пример § 449) имеет в точке (1; 1) экстремум, иГю первые
производные в этой точке равны нулю, а вторые произ-
водные = бх, — -3, 4-4 = бу имеют значения
иХ- дх дУ ду2 '
Д~6, В~ — 3, С = 6, так что неравенство (2) удовлетво-
рено. Эксг,ремум является минимумом, ибо Д и С положи-
тельны.
'Г е о р и м а 2. Если в критической точке (щ Ь) имеет
мести (при обозначениях теоремы 1) неравенство
ДОБ2< 0, (3)
то функция / (х, у) вс имеет экстремума в точке Ро,
Теорема 2 даст достаточное условие отсутствия
лсстремулии
Пример 2. Функция / (х, у) = х3-’-у3-Зху +1 (ср.
пример § 449) в точке (0; 0) не имеет экстремума: хотя
первые производные и обращаются здесь в пуль, но теперь
имеелк
А - О, В - -3, С = О,
так что
ДС - В" ~ - 9 0.
421-
660 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание 2. Если в критической точке имеет
место равенство
ДС-В^О, (4)
то функция может иметь здесь экстремум (максимум или
минимум), а может и не иметь. Этот случай требует допол-
нительного исследования.
§ 451. Двойной интеграл1 *)
Пусть функция / (х, у) непрерывна внутри некоторой
области Z? (черт. 437) и на ее храницс. Разобьем область Z)
на п частичных областей D], D>, ..., Dn; площади пх
Черт. 437. Черт. 438.
обозначим через Дщ, Да»,..., Да„ -). Наибольшую хорду
каждой из областей назовем ее диаметром.
В каждой частичной области (внутри или на границе)
возьмем по точке [точка уг) в области Dt, точка
Р2(х8; Уа) в области D-2 и т. д.]. Составим сумму
= /(xD уО Да1 + /(х2, у,) Да3 + ... +/(х)(, у„) Дап. (1)
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
числа областей D1} D2,.... ... наибольший из их диамет-
ров стремится к нулю*3), то сумма 8„ стремится к некоторому
I) Понятие двойного интеграла есть расширение понятия опреде-
ленного интеграла на случай двух аргументов. Поэтому рекоменду-
ется предварительно прочесть § 314.
*) По образцу обозначений Дхп Дх3, ... , Дхп (§ 314) для длин
частичных промежутков. Но аналогия —только внешняя, ибо Aoj,
Ля», ...не являются прирашениями аргумента. Величины Двь, Да2, ...
всегда положительны, тогда как &xlt Дхг, ... могут быть и отрица-
тельными (если верхний предел меньше ния-снего).
з) При атом площади всех частичных областей неограниченно
уменьшаются. Однако площадь фигуры может неограниченно умень-
шаться без того, чтобы диаметр ее стремился к нулю (ширина стре-
мится к нулю, а длина— неi; ср. черт. 438). При таком образовании
частичных областей теорема потеряла бы силу.
£452. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 661
пределу; последний нс зависит пи от способа образования
частичных областей, ни от выбора точек Plf Р2> , Н,(,
Определение. Предел, к которому стремится су,м-
ма (1), когда наибольший из диаметров частичных областей
стремится к нулю, называется двойным интегралом от
функции I (х, у) по области D.
Обозначение:
И /О, у) Л. (2)
в
Читается: (двойной) интеграл пи области D эф от икс
игрэкфэ сигма.
Другое обозначение:
П f(x,y)dxdy. (3)
Оно проистекает нз разбиения области D (черт. 439) сетью
прямых, параллельных осям координат (dx — длина частич-
ного прямоугольника, dy—ширина).
Черт, 439,
Обозначение двойного интеграла по прямоугольной
области см. § 455,
Термины, Область D называется областью инте-
грирования, функция / (х, у) — подинтегральной функцией,
выражение da-элементом площади, выражение dxdy
в обозначении (3) — элементом площади в прямоугольных
координатах.
§ 452. Геометрическое истолкование
двойного интеграла
Пусть функция / (х, у) принимает в области D только
положительные значения. Тогда двойной интеграл
J J / (X, у) da
в
662
ФУНКЦИИ нискольких АРГУМЕНТОВ
численно равен объему V вер нивального цилиндрического
тела (черт. 440), построение! о на основании D и ое раипчен-
но1 и сверху соо гвстствукицим
куском поверхности z=f (х, у).
Пояснение. Разобьем ци-
линдрические тело на вертикаль-
ные столбики, как на черт. 440.
Столбик с основанием
Дот = Л ВС В
ио объему приближенно равен
призматическому столбику с
гем жц основанием Дсц и с высотой
= /(-Ш
Стало быть, первое слагаемое
/(-Vi, У1)До! суммы (§ 451)
приближенно выражает объем вертикально! о столбика, а
вся сумма — весь объем V, Степень точности возра-
стает при измельчении частичных областей. Предел суммы
5„, т.с. интеграл J J (х, у) f&r, даст точное значение
и
объема V.
§ 453. Свойства двойного интеграла
Свинство 1. Если область U разбить на две части DL
и IZ, го
J J / (х, у) J ]' / (х. у) <Za + J J / (X, У) ila
в J>i_ лг
(ср. § 315, и. 2). Аналогично при разбиении области D на
трн части, на четыре и т. д.
Свойство 2. Двойной интеграл алгебраической сум-
мы неизменного числа функций равен ал1 ебраичсской сум-
ме двойных интегралов, взятых для каждое о слагаемого (ср.
§ 315, п. 3); так, дли трех слагаемых
J f [/ (х, У) I Ф (х, У) - Ф (х,)')] =
I)
= f J f(X, <p (x, У) rfa -
JJ ф (x, y) rfo.
J> о и
§ 435. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 663
Свойство 3. Постоянный множитель можно вынести
за знак интеграла (ср. § 315, н. 4):
J J inf (х, у) da in J J / (х, у) da (т - постоянная).
2) 2>
§ 454. Оценка двойного интеграла
Пусть ш есть наименьшее, А1 —наибольшее значение
функции f(x,y) в области D и пусть S есть площадь
области О. Тогда
m3 J J / (х, у) t/ст «г MS.
д
Г соме т рически: объем цилиндрического тела
заключен между объемами двух цилиндров, имеющих то
же основание; первый имеет высотой наименьшую апли-
кату, второй — наибольшую (ср. § 318, теорема 1).
§ 455. Вычисление двойного интеграла
(простейший случай)
Пусть облапь I) задана неравенствами
а х -'Л Ь, с у (Ц
(1)
т. е. изображается прямоугольником KLMN (черт. 441).
Тогда двойной интш рал вычисляется но
одной из формул
(! ь
J f / (X, у) dx dy=jdyjf (x, у) dx, (2)
2* се
К d
f J / (x, у) dx dy = J dx J f (x, y) dy. (3)
О u c
Выражения, стоящие в правых ча- Черт 441
стях, называются повторными инте-
гралами.
Замечание. В формуле (2) сначала вычисляется опре-
деленный интеграл J f (х, у) dx. В процессе этого инте-
a
грированая у рассматривается как постоянная величина.
664 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Но результат интегрирования рассматривается как функ-
ция от у, и второе интегрирование (в пределах от с до d)
выполняется но аргументу у. В формуле (3) порядок дей-
ствий обратный.
П о я с н е н и е. Двойной интеграл |* J / (х, у) tlx dy
выражает объем V призматического тела КМ' (черт. 442)
с основанием KLMN:
У = j J / (*, >’) dx dy. (4)
2)
Тот же объем получается из переменноп площади F про-
дольного сечения PQRS (она зависит от ординаты у = Ои)
по формуле (§ 336)
V -- J F (у) dy. (5)
о
Площадь PQRS выражается формулой
» ь
F (у) = J г dx = / f (х, у) dx. (6)
Сопоставляя (4), (5) и (6), получаем (2). Аналогично полу-
чаем (3).
О б о з н а ч с и и я. Двойной интеграл J J / (х, у) dx dy,
и
взятый по прямоугольнику, стороны которого параллельны
§ 455. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 665
осям ОХ, О Г, обозначается
<1 л
с а
ИЛИ
ъ а
I I* Ж У) dydx
(?)
(внешние знаки интеграла соответствуют внешним диффе-
ренциалам).
2 4
Пример 1. Вычислить двойной интеграл f j" •
i з
Решение. Область интегрирования определяется не-
равенствами
3 х < 4, 1 у 2
и представляет прямоугольник со сторонами, параллель-
ными осям OX, OY. Сначала вычисляем определенный
4
Г dx
интеграл | f где у рассматривается как постоянная
величина:
dx 1 1
(х+У)5 “ У + 3“у + 4 ’
Теперь по формуле (2) получаем:
а 4 2
. If <^=/из-Й4)^=1пй -°.°408.
13 1
П р и м е р 2. Вычислить двойной интеграл
3 5
I ~ J J (5№у - 2у3) dx dy.
1 ‘2
Реше н и е. По формуле (3) находим:
3 5 3
I J dy J (5№у - 2у3) dx — [ (1951’ - бу3) dy — 660.
12 i
Черт. 443.
ббб функции нескольких аргументов
Пример 3. Прямоугольный параллелепипед КМ|
(черт. 443) срезан сверху параболоидом вращения с па ра-
мс i ром р. Вершина параболоида совпадает с центром С
верхнего основания, ось вертикальна. Определи it объем V
образовавшегося тела, если стороны ш о основания
KL « KN = Ъ,
а высота
ОС = ft.
Р е щ с и и е. Выбираем систему
координат OX\'Z, как на черт. 443.'
Уравнение параболоида будет;
(«)
Искомый объем равен двойному ин-
тегралу JJ 2 dx dy по прям ОУ гол ь-
ной области KLMN, т. е.
а Ъ
v= /, (°)
I? ъ
2 2
Вместо этого интеграла можно взять учетверенный инте-
грал по области О AM В (вследствие симметрии тела отно-
сительно плоскостей AOZ, POZ), т. е.
а Ъ
о а
Находим последовательно;
V , 4 Г bv-i у- Д1 Чх = 4 ( £) чх
j L • 2р ' Ьр Jo J \ 2 4р 4Кд7
« О
? 450. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДПОГШОГО ИНТЕГРАЛА 667
§ 456. Вычисление дв Иного интеграла
(общий случай)
1. Если кыыур облает D нсгрсчаегся со всякой пере-
секающей его вертикальной прямой нс более чем
л двух точках (Mt, ЛЕ па черт. 444), то область D задается
неравенствами
а^.х^Ь, срх (х) -- v <р2(х) (1)
[к, Ь~ крайние абсциссы области, ср*, (х) и ф,(х)-функ-
ции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных
линий AMjBj, ЛМ2В2].
В этом случае двойной интеграл вычисляется по фор-
муле
ь <х)
f J Ж У) da f dx f / (*, J') dy. (2)
Л я ф, (г)
, 2. Если контур области встречается не более чем в двух
точках со всякой пересекающей его горизонтальной
прямой, имеем аналогично (при обозначениях черт. 445):
d Фг tv}
f J / (X, у) da f dy f t (x, у) dx. (3)
Г> e Ф1 (SO
Замена н и е. Если контур не подходит ни под пер-
вый, ни под второй случай, то область D разбивают на
несколько частей (Dlt D2i па чорт. 446) так, чтобы
к каждой части была применима формула (2) или (3).
668 функции Нескольких аргументов
Прн м ер I. Найти интеграл I — J J (у2ч- х) dx dy, если
-У
облает D ограничена нараболахМИ у~х-, у’=х (черт. 447;
контур подходит под оба случая 1 и 2),
Первое решение. Применим формулу (2); в ней
надо положить а — О, b = 1, (х) = хг, <ра (х) = ]/х^
Получаем:
1 Г7
JJ (y3 + x)dxd; = J dx J (y4-x)dy.
J) О Xs
/Г
Вычисляем интеграл J (у3+х) dy, считая х постоянным:
£С“
j (/+х)^ = К+ху]’;’7 =
й* *
3 3
= (ХХ2+Х2)_^Хв + Хз).
Найденное выражение интегрируем по х; получаем:
'=/ (4xT-4*'-*’)iw'=-n5-
О
Второе решение. Применим фор.мулу (3); в ней
надо положить с = 0, d = 1, Ф1 (у) — у2, фа (У) = Vy.
По лу чаем последов ате л ьн о;
' = / rf/f (y3+x)tfx = / dy[xy--^^ =
О г/2 о
=/(Ан-»^=^-
о
П р и м е р 2. Найти объем V «цилиндрического копыта»,
т. е. тела ACDB (черт. 448), отсеченного от полуцилиндра
плоскостью АВС, проведенной через диаметр АС основа-
ния. Даны радиус основания R~ОА н высота копыта
§ 456. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 660
Решение. Выберем систему координат, как на черт.
448 (тогда контур подходит под иба случая 1 и 2). Уравнение
плоскости ABC будет у. Имеем: V = J J у dx dy.
(ADC}
Черт. 447. Черт. 44й,
Первый способ. В формуле (2) полагаем (черт*
448):
b = R, <Pi(x) = O, ф2(х)= КС).
Получаем;
+в рЛ’-х1
v= J dx J ^У^-
. —я о
Выполним интегрирование по у; иаходнм:
f &‘у-
о
Это выражение дает площадь F сечения KLM (р'- ~ \ KL х
xLM, где KL = У/?2 — х2, a LM находится из подобия
треугольников KLM, ODB). Окончательно имеем:
V-- S ^(R2-^)dx = ^n
> ~я
т, е, цилиндрическое копыто по объему вдвое больше
пирамиды BACD1).
*) Этот результат был найден Архимедо м.
670 функции нескольких аргументов
Второй способ. В формуле (3) полагаем (черт.
449): с= 0, d - /?, фх(у) = - /Я3(= W Ф2 О’)-
( = JVP), Получаем:
R fid-V*
. V=Jdy J ±уЧх.
Первое интегрирование дает:
Черт, 449. — )' л!—№
Это выражение представляет площадь 5 сечения PLMR.
Окончательно имеем:
R
V = f 2 А у (1у - 4 7?2Л.
О
§ 457. Функция точки
Пусть дано некоторое множество течек (например,
множество точек данного отрезка, данного куска поверх-
ности, данного тела). Если каждой точке Р этого мно-
жества поставлено в соответствие определеннее значение
величины z (скалярной или векторной), то последняя
называется функцией точки Р. Данисе множество точек
называется областью задания функции*
Обозначение. г=/(Р).
Пример 1. Температура газа, заполняющего некото-
рый сосуд, есть функция точки, область задания функции-
множество точек, лежащих внутри сосуда.
П р и м е р 2. Годовое количество осадков есть функция
точки на поверхности земного шара.
Если данное множество точек отнесено к некоторой
системе координат, .то функция точки становится функцией
координат. Вид последней зависит от выбора системы
координат.
Пример 3. Расстояние точки Р от фиксированной
точки О есть функция / (Р) точки Р. Если взять прямо-
§ 458. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ G71
уюльную. систему координат с началом в О, то /(Р) =
- + ys4 г-'. Если же начало выбрать в иной точке,
io /(Р) _ /(x-u)B4-(y-b)-’ I (z-cj“, 1Де «, b, с~
координаты точки О.
Пример 4. Подинтегра льиая функция /(х, у) двой-
iioi'o интеграла JJ f(x,y)dv есть функция точки Р (х; у),
п
полги,му интеграл J J /(х,у) ^записывают в виде j j f(P)d<r.
j> л
§ 458. Выражение двойного интеграла
через полярные координаты
Двойной интеграл J J / (Р) do выражается через поляр-
I)
ные координаты точки Р формулой
J f f(P)dc~ у J F (r, ф)r dr dy. (1)
Здесь F(r, 9)-та функция
представляет данную функцию
/(Р) точки Р. Выражение г dr d<p
называется элементом пло-
щади в полярных координа-
тах. Ойо эквивалентно пло-
шади четырехугольника ARCD
координат г, ф, которая
о
(черт. 450, где AD^OASy —
= r dy и AR-DC- dr).
Интеграл (1) выражается
через повторений (§ 455) так,
как если бы г и ф были пря-
моу1 ольными координатами
[при подинтегральнон функции
2-(Г, ф)Г]. Черт. 450.
Если полюс лежит вне кон-
тура п каждый полярный луч, пересекающий
встречает его не более двух раз (черт. 450), то
контур,
f f F (Г> ф)г (1<9 “У dy у F (г, ф) г dr.
° ¥1 ?i
(2)
672 ФУНКЦИИ ПЕСКОПЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Здесь <рг=<рг = ^ХОЕ, а г, и г2-функции от ср,
представляющие граничные душ F(jK, FIIF. В частости,
эти функции (одна или обе) могут быть постоянными
(черт. 451).
Если полюс лежит внутри контура (черт. 452) и каж-
дый полярный луч встречает контур однократно, то
/у— О, 3, <р2—
то 15 = 0, ф1=^Х0?1,
в формуле (2) можно положить
если же полюс лежит на контуре,
ХОВ (черт. 453).
Если каждая окружность с центром в полюсе, пересе-
кающая контур, встречает последний не более двух раз
(черт. 450), то
JJ F (г, $)r dr d$ = J rdr j F(r, <p)d<p.
Л rj 9,
(3)
§45$. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В П0Л#РЙЬ1Х кООРДИНАТАХ 673
Здесь i\ = OG, г,—ОН, a cplt ф8- функции от г, пред-
ставляющие граничные дуги QEH, QFH.
Пример 1. Найти двойной интеграл
/ = J J г sin <р da, (4)
D
если область D-полукруг диаметра а, изображенный иа
черт. 454,
Решение. Для точек М полуокружности АКО имеем
(§ 74, пример 2): r = a cos ф. Применяем формулу (2),
полагая = 0, гг = a cos <р, = 0, ф2 = ~ :
it w
2 a cos <р 2 а сов ф
j J г sir цр da J" d<p J г2 sin <р dr = j*sin ф t/ф J r2dr —
I> 0 0 0 0
IF
T
J. . д'1 cos3 ф a3
sin ф do —3— = .
0
Замечание 1. Чтобы выразить интеграл (4) в прямо-
угольных координатах, надо положить:
г sin ср = у, da = dx dy.
Учитывая, что уравнение полуокружности АкО есть
у1=ах~х2, получим:
« Уах—х3
I = J J У dx dy - J dx J у dy - ~ .
2> 0 0
Замечание 2. Интеграл (4) дает объем цилиндри-
ческого копыта (ср. § 456, пример 2), у которого высота
равна радиусу основания.
Пример 2. Вычислить интеграл
+ /а3-х3
1= J J Уа^-х2~у2 dxdy.
-Я _ /аг _ Xх
43 М. Я. Выгодский
674 ФУНКЦИИ ЙЕСКбЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Решение. Область П —круг радиуса а с центром
в точке (0; О) (интеграл I выражает объем полушария
радиуса а). Вычисление в прямоугольных координатах
громоздко. Перейдем кполярпым. За полюс примем теперь
центр круга, т. е. начало координат. Подиитеч ральная
функция нрнлютвид У/2—г-. Получим:
I = J j ^«л-г9 tfe = /и- ~r- г dr dtp.
J> r>
Применив (2), найдем:
2л а 2я
I - f dtp f fd^r2 г dr -= f -J d? = у го3,
оо о
Пример 3. Найти объем У тела, вырезанного из
полушария радиуса а (черт. 455) цилиндрической поверх-
ностью, у которой диаметр равен радиусу шара, а одна
из образующих совпадает с осью полушария (тело Ви-
вааниу).
Решение. Расположим оси, как на черт. 455. Иско-
мый объем выражается интегралом
I ~ J f z йст = J j /о- - № - у2 dx dy.
3 Р
^Винченцо Вивиан и (1622 —1703) — ученик Галилея, ма-
тематик и архитектор. Контур верхнего основания Вивиаии использо-
вал для окна в сферическом куполе:
§ 43Й. ПЛОЩАДЬ 1<УСКА ПОВЕРХНОСТИ 675
Вычисление н пряхмоугольных координатах громоздко.
Переходя к полярным с полюсом в центре О полушария
(ср. примеры 1, 2), получаем;
+
2 a cos 7 -
I f <ir J fittrdr „2у.^Ц’,лЛЕ,гф-
тс 0 О
=4«’(M)-
§ 459. Площадь куска поверхности
Пусть некоторый кусок K'L'M' (черт. 456) поверхно-
сти S проектируется на область р плоскости XOY (KLM
ня чсря, 456), причем в каждую точку N области D про-
ектируется только одна точка
А" рассматриваемого куска.
То ] -да j i л о ща дь Р куска
JPL‘M' выражается1) двойным
шггет ралом:
основанном элемент Да
от плоскости Р кусок
где 1Ч=¥,
П о я с н с н и е. Пусто у -
угол между касательной пло-
скостью Р в точке А" и пло-
скостью XOY. Тогда (§§ 127, 436)
COS у - 7—* . 11иЛИН-
^1 + р- + //г
дричесцая поверхность, имеющая
(ABCD па черт. 45б), отрезает
Л'В CD'. Площадь последнего равна *= /Т+ рг+^2До'.
Площадь того элемента abed поверхности S, который про-
ектируется на элемент A BCD, приближенно равна площади
куска A’B'C'D', так что сумма площадей кусков A'B'C'D'
’) Предполагается, что поверхность имеет касательную плоскость
в каждой точке рассматриваемого куска, а также что касательная
плоскость изменяется непрерывно (г. е. угол между двумя касатель-
ными плоскостями бесконечно мал вместе с расстоянием ме^ду точ-
ками касания).
43*
$76 ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
в пределе дает *) F:
F - lim (O -I Pi + Дщ+ ... + О + pf+ Ao„). (2)
Отсюда (§ 451) получается формула (1),
Пример. Найти площадь верхнего основания тела
Внвиани (§ 458, пример 3).
Решение, Имеем;
’ = € = “ТзНку ,/|+г‘+г = р^=г
Искомая площадь равна
D 1> '
Область D ограничена окружностью
х2 + У2 - ах = 0.
Выражая двойной интеграл через полярные координаты
(§ 45Й), получаем:
2 л спя 2 ст соз ф
р- И J ^ = 4^ 1 <ж
Л о ' о о '
Выполняя интегрирование, находим:
F,2(,= g-1).
Замечание 1. Мы приняли, что сумма площадей
А'В’С'й' в пределе дает площадь 7‘. Это свойство (оно
согласуется с наглядными представлениями, порожденными
опытом) часто принимают за определение. Последнее
формулируется так.
Определение. Рассматриваемый кусок поверхно-
сти разбиваем на части abed; в каждой части выбираем
по точке N'. Через точки Аг' проводим касательные пло-
скости и проектируем abed на соответствующую касатель-
ную плоскость Р прямыми, параллельными 0Z. Площадь
2) См. ниже замечание 1.
g 460. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 677
куска есть предел, к которому стремится сумма площадей
проекций при неограниченном измельчении частей.
Условия, указанные в сноске на cip. 675, обеспечивают существо-
вание этого предела.
Замен а нис2. При такчкм определении надо не только
установить наличие предела, ио и доказать независимость
его от выбора системы координат. Последняя задача
отпадает, если изменить определение, а именно проекти-
ровать abed на плоскость Р по направлению, перпендику-
лярному к Р. Но тогда усложняется вывод формулы (I).
§ 460. Тройной интеграл
Определение .х). Пусть функция / (х, у, г) точки
Р(х; у; z) непрерывна внутри пространственной области D
и на ее ’границе. Разобъем D на п частей; пусть Дг?1т
Д«г, ..., Д«я-их объемы. В каждой части возьмем по
точке и составим сумму:
S» = / (»1г Уп Zj) Д^ + / (х3, уг, z2) Дг»2 + ...
- + Ж, У*> U Дг’„- (1)
Предел, к которому стремится Sn, когда наибольший из
диаметров частичных областей стремится к нулю 2), назы-
вается тройным интегралом от функции / (х, у, z) по
области D.
Обозначения:
пли ПР<р) civ, или
Л л л
Выражение dx dy dz в последнем обозначении называется
элементом объема в прямоугольных координатах.
Физическое истолкование. Пусть Л —про-
странство, занимаемое физическим телом, и / (Р) —плот-
ность тела в точке Р (х; у; г). Тогда сумма (1) дает при-
ближенное значение массы М тела D, а тройной интеграл
J J J / (Р) dv ~ точное се значение.
о
Свойства тройного интеграла— те же, что
н’двойного (§ 453).
’) Оно аналогично определению двойного интеграла (§ 451).
г) Имеет место теорема, аналогичная теореме §451.
678 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 461. Вычисление тройного интеграла
(простейший случай)
Пусть пространственная область D задана неравен-
ствами
а -< х --5 Ь, с --; у d, с-'-- /, (1)
т. с. изображается параллелепипедом, ребра которого парал-
лельны осям координат. Тогда тройной интеграл вычис-
ляется по формуле
f <? ь
j J J / (х, у, z) dx dy dz = j* dz J dy J / (x, y, z) dx (2)
1> era
или по одной ил аналО! ичпых (аргументы х, у, г могут
меняться ролями) (ср, § 455).
Выражение, стоящее в правой части (2), называется
повторным интегралом.
Тройной иптечрал, взятый по параллелепипеду, ребра
которого параллельны осям координат, обозначается
также
f d Ь b d f
( J J / (x, У, ?) dx dy dz, J J J / (x, y, z) dz dy dx
e с п а в в
и т> д, (внешний знак интеграла соответствует внсии ечУ
дифференциалу, внутренний - внутреннему).
П ример. Найти интеграл
14 3
I = J J J (х+у + z) dx dy dz.
ого
Реше и и с.
1 4 3
I = | dz j" dy J (х+у I- г) dx =
о i о
- / dz / dy [£ + (У + 2)*]*;; = / dz / (|+3y+3z)tf).
0 2 0 1
Дальше вычисляем, как в § 455. Получаем /-- 30.
§ 462. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 679
§ 462. Вычисление тройного интеграла
(общий случай)
Данную прост ране гвсниу ю облас i ь разбиваем, если надо,
на части (ср. § 456)_с таким расчетом, чтобы «горизон-
тальная» проекция D (черт. 457) каждой части D была
плоской областью простейте; о типа (§ 456, пи, 1 и 2) и
чтобы каждая «вертикальная» пря-
мая, встречающая границу области
D, имела с ней нс более двух- общих
точек (Afi, М2 на черт. 457).
Тройной "интеграл, взятый по
каждой частичной области D, при-
водится к двойному по формуле
J J J / (х, у, х) dx dy dz =
У)
‘ =JJdxdy у /(X, у, z)dz, (I) Черт. 457.
Л V)
где функции Zi (х, у) н z2 (х, у) представляют апликаты
и QMt. В процессе вычисления интеграла
«2
У / (х, у, z) dz
величины х, у являются постоянными. Результат вычисле-
ния рассматривается как функция ар1Умснгов х, у.
После то; о как интегрированно по переменному z вы-
полнено, правая часть (1) превращается в двойной инте-
грал. А последний вычисляется, как в § 456. Поэтому
в итоге тройной интеграл сводится к повторному:
У У [ / (х, у, 2) dx dy dz =
В
* tfaCO V)
= J dx У dy У / (x, у, z) dz. (2)
e !/,(/) v}
Здесь функции yx (x) и y2 (x) представляют ординаты PNb
680 функции нескольких аргументов
Пример. Найти интеграл I - j j j z dv, распрострапен-
d
ный на полушарие радиуса R,
изображенное на черт. 458.
Интеграл I выражает статический
момент полушария относительно плос-
кости основания (плотность д полушария
принимаемся за единицу).
Решение. Разбивать данную
область не надо. Областью $
является круг
-----_____ =/?, У,(Х)=-//?^, J’2(X)-
= Алликаты нижней и верхней границ полуша-
рия суть zt(x; у) = 0, гг(х, у) = Ур2~х2~у‘\ По фор-
муле (2) паходим:
I = J dx J dy J zdz =
-it - se2 О
Л
. Jdx £_Л=-=рУ„у.
-R —/л2 —я2
Дальше вычисление идет, как в примерах § 456. Получаем
I =-
_уД2„^
Я 3 3
= lf (^-х2)Тбх =4-[1х(/?2-х2)т+
— Л
+AR-x(R2-х2)2 + |/?4 arcsin А]**
Замечание. Масса полушария (при д = 1) численно равна его
2 2 3
оВъему--тггч. Частное f :itRS „ — # есть высота центра тяже-
3 3 о
стн над плоскостью основания. Значит, це:ртп тяжести делит высоту
полушария в отношении 5:3.
S 464. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ G8I
§ 463. Цилиндрические координаты
Положение точки Р (черт, 459)
определить ее апликатой
z-QP
и полярными координатами
г =OQ, р XOQ
ее проекции Q на плоскость
XOY. Величины г, ср, z называ-
ются цилиндрическими илн полу-
полярными координатами точ-
ки Р. Прямоугольные и цилиндри-
ческие координаты точки Р (при
совпадении начала О с полю-
в пространстве можно
Черт. 459.
К
сом н оси ОХ с полярной осью) связаны соотношениями
X = Г СОВ ср, у - Г sin 9
(аиликаты в обеих системах одинаковы).
§ 464. Выражение тройного интеграла
через цилиндрические координаты
Тронной пптс! рал J J J / (F) dv выражайся через цилнн-
2>
дрпческпи координаты точки Р формулой
Ш/(р)«»= J J J F (г, ср, г) г dr dtp dz. (I)
1Л jy
Здесь F (г, <p, 2)-та функция цилиндрических коорди-
нат, догорая представляет функцию / (Р) точки Р. Выра-
жение г dr dp dz называется элементом объема в цилинд-
рических координатах. Оно эквивалентно объему тела
PS (черт. 459), у которого PA-dz, PB = dr, PC = г dp.
Интеграл (1) выражается через повторный так, как
если бы г, z были прямоугольными координатами при
подинтегральиой функции F (г, 9, z) г.
(П р и м е р. Вычислим с помощью цилиндрических коор-
динат интеграл, найденный в примере § 462, Имеем;
л ИК
/ = f f f zr dr dp dz = J dz J dr J zr dp. (2)
D О О V
682 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Последовательно получаем;
' = 2крг J 2Г,1Г - 2nf zdz^-]
° » ° t
^к{(Д“-г-)г</г-"^. (3)
I о
§ 465. Сферические координаты
Положение точки Р в пространстве (черт. 460) можно
на дении основных
соотношениями
определить следующими тремя вели-
чинами: расстоянием
Р-ОР
от '[очки О, углом 0=^ ZOP между
лучами OZ н ОР, углом
9 •- -г XON
между полуплоскостями ZOX и ZOP.
Величины о, 0, ср называются сфера-
ческими или полярными коорди-
натами точки Р. Прямоугольные и
сферические координаты (при сов-
плоскостей обеих систем) связаны
х = р sin 0 cos 9, у - р sin 0 sin 9, 2 р cos 0.
§ 466. Выражение тройного интеграла
через сферические координаты
Тройной интеграл J J J7 (Р) dv выражается через сфе-
D
рические координаты точки Р формулой
j J J /(Р) do = J J J* F (р, 0, 9) рг (/р sin fl rf6 (/9. (1)
Л 1)
Здесь Г (q, 0, 9)-та функция сферических координат, ко- I
торая представляет функцию / (Р) точки Р. Выражение j
q2 dQ sin 0 H0 tf(p называется элементом объема в сфериче* (
§ 466. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 683
ских координатах. Они эквивалентно ииъс.му тела1) PS
(черт. 461), у которого
ВЛ = dp, РВ = ОР dO - р (/о, PC = ЕР d<p = р Siu О Ц<р.
Множитель р2 * sin 0 dO dtp (.^ PC РВ)а выражении элемента
ilv эквивалентен площади сферической фжуры PCD В.
Множитель sin 0 ЦО d<p эквивалентен телесному углу, иод
которым четырехугольник PCDB виден из центра 2).
Пример. Найти интеграл 1 = J J J rs di>, где функция
/ (Р) - г- точки Р есть квадрат ее расстояния от оси OZ
Чсрь 462.
(КР на черт. 462), а область D есть тело, щ раниченнос
снизу конусом (у него высота ОС равна радиусу основа-
ния СА^р), а сверху-полусферой радиуса /?,
Интеграл J выражает момент инерции тела 1) оиюынелыю оси
OZ (§ 408).
Решение. Введем сферические координаты р— Ор,
0 -- z. ВОР, <р = ЛСХ = LKP. Так как г = КР -
— р sin 0, то искомы и интеграл имеет вид
I = J J J р2 si и2 0 du ~ J* J* J* Р4 51113 0 dtp-
______ п о
’) Это тело ограничено дпумя сферическими поверхностями (с ра-
диусами г и r + df), двумя плоскостями, проходящими через ось OZ,
двумя коническими поверхностями, осн которых совпадают с осью OZ.
г) Телесный угол есть часть пространства, заключенная внутри
одной полости некоторой конической поверх ноет (с замкнутой напра-
вляющей). За меру телесного угла принимают отношение площади,
вырезываемой телесным углом на сфере (с центром в вершине телес-
ного угла), к квадрату радиуса сферы.
684
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Сначала интегрируем ио аргументу <р (пределы интегри-
рования будут нуль и 2я), затем но аргументу р (пре-
делы будут Pi - 0 и р, = OP = ОЕ cos 0) и, наконец, по
аргументу 0 (пределы будут 0^0 и 02 - ЕОА — -0.
11олучасм:
TV TV
4 2Я сое 0 4
I - 2п J JO J р1 sin3 0 dp2n J sin3 0 60-^-^-^ -
0 0 о
- (Ил к 5 J cog5 q ц _ C0S2 0) (/ ( - COS 0) = ™ г: IP.
и
§ 467. Схема применения двойного и тройного
интеграла
Многообразные i сометрическис и физические величины
выражаются двойным или тройным интегралом-смотря
ио тому, относятся ли они к поверхности (плоской или
кривой) или к пространственному телу *), Схема-та же,
что и для величин, выражаемых с помощью обыкновен-
ного (однократного) интеграла, а именно (ср. § 334):
I) Искомая величина О’ ставится в соответствие с не-
которой областью D (поверхности или пространства).
2) Область D разбивается на части Дст* (или Дт*); число
их в дальнейшем будет стремиться к бесконечности, а диа-
метры - К НУЛЮ.
Пусть при этом искомая величина U распадается на
части щ, ut, ип, в сумме дающие U*).
3) В качестве типичного представителя частей nlf «2, ...
рассматривается одна из них; она выражается приближен-
ной формулой вида
и* « / (Л)
[или ик ъ / (Рк)
J) Соответствующие величины, относящиеся к линии, выражаются
обыкновенным интегралом.
s) Величины, обладающие этим свойством, называются аддитив-
ными (ср. мелкий шрифт на стр. 486).
s 468. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 685
причем погрешность должна иметь высший порядок отно-
сительно (или относительно Д?\),
4) Из приближенного равенства получается точное:
U = П f(P)da
В
[или U —
О !
Примером может служить вычисление момента инерции
(§ 468).
§ 468. Момент инерции
Кинетическая эпершя Т тела, вращающегося около
оси ЛЯ, пропорциональна (при данном расположении осп
ошошислыю тела) квадрату угловой скорости <о:
Т = } (1)
Удвоенный коэффициент пропорциональности, т. е. ве-
личина /, называется моментом инерции тела относительно
оси АВ. Если тело состоит из п материальных точек с
массами ojIf т,, тп, отстоящих от оси иа расстояниях
ri>ri> > r>i> то момент инерции выражается формулой
/ ~ /п/“ + /п2г| } ... ! /п„г*. (2)
Выражение момента инерции сплошною тела полу-
чается из (2) применением схемы § 467. Именно:
< I) момент инерции Z ставится в соответствие с обла-
стью D, занимаемой телом;
2) область D разбивается на части D}) Пг, ..., Dn.
При этом I распадается на части Ц, 12> в сумме
дающие I.
3) Примем, что в частице Dk плотность u.ft всюду такая
же, как в одной пз ее точек Р*. Получим приближенное
равенство
ть * (3)
и момент инерции Ц выразится приближенной формулой
<4)
686 ФУНКЦИИ НИСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
4) Из приближенного равенства (4) получас сея точное
равенство
; <5>
2*
Пример см. в § 466.
Если ось АВ принять за ось аплпкат, то (5) прини-
мает вид
/ ~ JJ J pi (х, у, г) (х2 р у-) dx dy dz. (6)
Если данное тело есю пластинка, плоскость которой
перпендикулярна к оси АВ, то вместо тройною интеграла
(6) получим двойной интеграл:
1 = П И (v, Г) (х“ ьу=) dxdy, (7)
2>
где pi(x, у) — поверхностная плотность пластинки.
Если данное тело есть прямолинейный стержень, пе-
ресекающий ось АВ под прямым углом, то, совместив его
с осью ОХ (при этом будем иметь г^О), получим имеет
тройного интеграла (6) обыкновенный нити рал
ь
I — J j* (х) х- dx, (8)
d
где ц (х)-линейная плотность стержня.
Замечание. Моментом инерции геометрическою
тела называется момент инерции .материального тела, зани-
мающего то же пространство и имеющего всюду плотность,
равную единице.
Формулы (6), (7), (8) принимают вид
/ = J f J (х* i- ,V2) dx dy dz, D (6a)
I = J J (xM- y2) dx dy, I) (7a)
(8d)
§ 469.ФИЗИЧЕСКИ Е ВЕЛИЧИНЫ И ДВОЙНЫ Е ИНТЕГРАЛЫ 687
Предо 1жение
Наименование величины Общее выражение В прямоугольных координатах В полярных координатах
| J (x- pyE)dxdy
Момент инерции
плоской фигуры1)
относительно оси
OZ *)
Момент инерции
плоскойфшуры1)
относительно оси
ОХ
Координаты
центра тяжести
однородной s
пластинки -)
It
1 = JJ y=d<T
/)
/
= • s —
Иyd”
J [ y- dxdy
о
03
Совмещенной с плоскостью ХОУ.
2) Или, что то же, относительно центра G.
§ 470. Выражение некоторых физнчесннх и геометрических величин
через тройные интегралы о
М. я. I Наименование величины Оищее выражение Б прямоугольных координатах В цилиндрических координатах В сферических координатах X Ш s £ rn
Выгодский Объем тела Момент инерции геометрического тела относитель- но оси OZ Масса физическо- го тела *) I) Через ц 00031 /.= JJJrfe х> тачена плотность (с Ш л J [ [ ;л dx dydz >ункция точки), J ( [ г dr dcp dz Iff г» dr do* JJJ цг dr do dz J J f sin 0 dp do dd J J J p4 sin3 6 dp do dO J | J pip2 sin 0 dp dy dO СКИЬ ВЕЛИЧИНЫ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 689
690
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
П родолжение
§ 471. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 471, Криволинейный интеграл
691
Пусть дана функция Р(х, у), непрерывная в некоторой
области числовой плоскости XOY. Возьмем в зтон обла-
сти какую-либо линию1) с началом в точке А (черт. 463,
464) и концом в точке В (конец может совпадать с нача-
лом).
Разобьем АВ (черт. 463) на п частичных дуг AAlt
Ац^Ви для единообразия присвоим точкам А, В
Черт. 463,
Черт. 404.
обозначения А(|, А„. На каждой частичной дуге А(Д(+1
возьмем но точке А4г(х„ у() и составим сумму:
= р G\i, и) Д*1+
+ Р(хг, Уэ) ДАг+ ... + Р(хп,у№) Ахн, (I)
где Дх( есть приращение абсциссы, соответствующее пере-
ходу от точки Д(_г к точке Л^).
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
числа п наибольшая из величин | Дх,- [ стремится к нулю,
то, сумма (I) стремится к пределу, не зависящему ни от
способа образования участков А,-АН1, пи от выбора про-
межуточных точек Mt.
О и р е д е л с н п с. 11редел, к которому стремится сумма
«£„, когда наибольшая из величин [ Дх£ [ стремится к нулю,
называется криволинейным интегралом выражения
Р(х, у) </х, взятым по пути А В.
’ ’) Предполагается, что линия АВ обладает непрерывно меняющейся
касательной, но допускается исключение для отдельных точек (в ко-
пенни;* числе}, где касательная может изменяться скачком, как в точ-
ках S, Тиа черт. 464.
б Эю приращение может быть и положительным (как на участке
AAJ и о |ри дательным (как на участке <45).
441
692 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Обозначение.
J Р (х> У) dx. (2)
АВ
Аналогично определяется криволинейный интеграл вы-
ражения Q (х, у) dy, обозначаемый
J Q (х, у) dy, (3)
АВ
а также криволинейный интеграл выражения Р(х, y)dx+
+ Q (х, у) dy, обозначаемый
J Р (х, у) dx г Q (х, v) dy. (4)
лл
Интегралы (2) и (3) суть частные виды интеграла (4) (при
Q = 0 и при Р = 0).
Таким же образом определяется криволинейный ин-
теграл
J Р (х, у, z)dx+Q (х, у, z)dy + R (х, у, z) dz (5)
АВ
вдоль пространственной линии АВ.
Замечание 1. Если, сохранив линию АВ, изменить
направление нуги на противоположное, то криволинейный
интшрал, сохраняя абсолютное значение, меняет знак.
Когда точки А и В различны, направление путн отмечается
порядком букв А, В в записях (2) - (5), и мы имеем-
J Pdx+Qdy ₽ - J Pdx+Qdy,
BA AH
J P dx+Qdy + R dz = - J P dx+Qdy + R dz.
BA AB
Когда точки А и В совпадают, направление пути можно
задать указанием промежуточных точек в соответствую-
щем порядке.
Такого указания можно не делать в случае, когда путь
представляет контур К плоской области. В этом случае
запись J Pdx+Qdy обозначает, что обход области со-
+х
вершается против стрелки часов (прн обычном расположе-
§ 473. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 693
нии осей). Если же область обходится в потивоположиом
направлении, то криволинейный интеграл обозначается
J Pdx+Qdy.
Замечание 2. Криволинейный интеграл является
обобщением обыкновенного интеграла1) и обладает всеми
его свойствами (§ 315).
§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла
Пусть материальная точка М с массой т движется по
пути АВ в силовом поле. Пусть X (х, у, z), Y (х, у, z),
Z (х, у, z) - координаты вектора напряжения в точке
М (х; у; z), т, е. силы F, действующей в точке (х; у; z) на еди-
ницу массы. Тогда работа, совершаемая силой, действую-
щей иа точку М, выражается криволинейным интегралом
j т (Xdx+ Y dy+Z dz). (1)
АВ
Пояснение. Пусть А,А(+1-малый участок пути
АВ. Работа иа этом участке приближенно выражается2) ска-
лярным произведением (§ 104а) т FtAiAi+1, тде Р(-векгор
напряжения в точке Д. В координатной форме получаем
(§ 107) выражение т [Х,Дх(+ У, Ду, kZ,AzJ. Суммируя, на-
ходим приближенное значение работы вдоль пути АВ.
Предел суммы, т. е. криволинейный интеграл (1), дает
точное значение работы.
§ 473. Вычисление криволинейного интеграла •
Чтобы вычислить криволинейный интеграл
J Р (х, у) dx + Q (х, у) dy, (I)
АВ
’) Если путь интегрирования АВ есть отрезок (я, Ь) оси абсцисс,
то криволинейный интеграл J Р (х, у) dx +Q (х, y)dy обращается
лв
ь
в обыкновенный интеграл J Р (х, 0) dx.
г) Мы заменяем криволинейный участок A, At хордой А, Аа+, и
принимаем, что вдоль этой хорды напряжение поля остается неизмен-
ным.
694 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
надо представить линию АВ параметрическими уравне-
ниями
х = <р (О, У - Ф (0 (2)
п подставить выражение (2) в иодинтегралыюе выраже-
ние. Обыкновенный интеграл
f {нт ф(oi?'torm Ф(о1 Ф'(3)
о
равен криволинейному интегралу (1).
Замечание. Одну из функций <р (/), £ (/) можно выбрать произ-
вольно, лишь бы обе функции <р (/), ф (р обладали Непрерывными про-
изводными на веем промежутке (tA, за исключением точек, где
касательная меняется скачком, как в точках S, Т на черт. 464. При
наличии таких ючек интеграл (3)—несобственный (£ 328).
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл, взя-
тый вдоль пространственной линии.
Пример I. Вычислить криволинейный интеграл
1Г / $ - у dx : х dy (4)
j/*'**""-
/ вдоль верхней части полуокружности
[_____। х2 + у2 = а2 (черт. 465).
jj —ax' Решение. Представим дугу АВ
параметрическими уравнениями
Черт. 465. . .
х = a cos t, у — и sm t (5)
(здесь t есть угол BOM, так что = л, = 0). Подстав-
ляя (5) в (4), находим:
О 0
I - J - a sin t d {a cos I) + a cos t d (a sin t) ~ a*Jdt - na*. (6)
я я
Можно принять за параметр абсциссу х, т. с. взять
уравнение полуокружности в, виде у = /а2 —х2. Тогда
хА = — а, хв — а, и получаем:
/ — J — У<1г — х2 (Zx+x d I'a3 — xz
— 0
=« — а2 [ = — паг.
—я
§ 474. ФОРМУЛА ГРИНА
695
Чтобы принять за параметр ординату у, надо предвари-
тельно разбить дугу АВ на части, иначе х нс будет одно-
значной функцией ординаты.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
1 = J (x-ya)Jx+2xy dy (7)
ОАЛО
вдоль периметра треугольника ОАВ /
(черт. 466), /
Решение. Разбиваем замкнутый *
путь ОАВО па три участка ОА, АВ, ° 1 х
ВО. На участке О А принимаем за пара- Черт. 466.
метр абсциссу (при этом у = 0, tfy=O),
па участке АВ-ординату (при этом х=1, бхО), на
участке ВО-абсциссу (при этом у = х, dy — dx). Имеем:
1
h = j (х-у2)бх | Zxydy = j xdx ~ 2 ,
I.. - j* (x - y~) dx 4- 2xy dy = J* 2y dy 1,
Ai - J dxA'Zxy fl’i" : J (x-f-x2) dx — -j’-;
§ 474. Формула Грина
Пусть D — плоская область, ограниченная контуром К
(черт. 467), и пусть всюду в этой области функции Р(х, у),
Q(x, у) непрерывны вместе с их частными производными
lx"’ 77' Тогда имеет место следующая формула Грина1):
J Р (х,у) dx±Q(x,y) dy = JJ (^~^)dxdy. (1)
^Джордж Грин (1793 —1841)—английский математик и фи-
зик, внесший крупный вклад в математическую теорию электричества
и магнетизма.
696 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 1 =
- j* * * § (х-ук) dx + 2xy dy вдоль периметра треугольника
О АВ (черт. 466) (ср. § 473, пример 2).
Y Решение. По формуле (1), пола-
Г*\. тая Р^х-у*, Ц--'2ху, находим;
---У /-И [^(24-)—
Хч_/ >*/ а
* - f f 4у dx dy.
4epi. 467. V
Здесь область D есть треугольник ОЛВ; вычислив двойной
интеграл, найдем:
1 ж 1
7 ~ J dx J 4у dy = J 2х2 dx = .
0 0 о
Чери 468.
§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл
не зависит от пути
Пус1Ь функции Р (х, у), Q (х, у), а также их частные
dQ ЭР
производные —, — непрерывны в
области D (черт. 468), ограниченной не-
которой непрерывной замкнутой линией
(не пересекающей себя). Возьмем в
области D две фиксированные точки
А(х0; у0), В'(хг; yj и будем рассматри-
вать всевозможные пути интшрирова-
иия, ведущие нз А в В и расположен-
ные целико.м в области D (гаковы пути
ALBt AN В иа черт. 468). Возможны два
случая.
Случай 1 (исключительный). В области D тождест-
венно удовлетворяется равенство
Э<? ЭР = ()
дх ду '
Тогда криволинейный интеграл
I - J Р dx-\- Q dy
(1)
(2)
не зависит от выбора пути, н соответственно с этим
§ 475. УСЛОВИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 607
обозначается:
в
J Р dx\-Qdy.
Случай 2 (общин). Равенство (1) ие является тожде-
ством. Тогда криволинейный интеграл (2) зависит от вы-
бора ПУТИ.
Пояснение. Р.^зность /j — J, криволинейных интегралов
= J Р dx+Q dy, 1й= J Pdx + Qdy равен сумме /i+f-Jj),
ALB ABB
t. e. (§ 471, замечание 1) сумме J Prfx + Qrfy-j- J Pdx + Qdy. По-
ALB BXA
следняя дает интеграл по контуру Al.BN А, а ом равен (§ 474) двой-
ному интегралу 73= J J ло области A LBN А. Если ра-
венство (1) есть тождество, то Л — 0, значит, Zt~/2, т. е. криволи-
нейные интегралы вдоль путей ALB, AN В одинаковы. Если же ра-
венство (1) не является тождеством, то можно
подобрать пути ALB и ANB так, чтобы 73 ^0, и
то1да Ц к 72.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
I = j у dx+x dy. (3)
АВ
Функции Р (х, у) - у, Q (х, г) ~ х,
—1, ду" ~ всюду непрерывны,
и равенство (I) удовлетворяется то-
ждественно. Значит, при фиксированных точках А, В инте-
грал (3) не зависит от пути. Возьмем, например, точки
Д(0; 0) и B(f; 1) (черт. 469) и вычислим интеграл I вдоль
прямолинейного пути ALB(y ~ х). Получим
1
?alb = J х dx+x dx = 1.
О
Если в качестве пути взять дугу параболы AN В(х=у2),
то получим снова 1АУ11 — J у d(y-) + ysdy = 3 J у2 dy = 1.
о и
То же значение получим, идя вдоль ломаной АС В. Вдоль
698 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
1
звена АС имеем: у — О, tty — 0, так что 1АС = | О-с/х = О; j
I
вдоль СВ имеем: х = 1, dx = О, так что I(.s = J 1 -dy ~ 1.
о I
Значит, Jлея = = !•
-В(1; 1) |
Завис ь: I =~ J у dx f- х dy = I. (
Л(1). О)
Пример 2. Сохранив точки А (О; О), 7?(1; 1), рас-
смотрим интеграл у" rfx + x2 dy. Равенство (1) ири-
Л11
нимаст вид х-у~О, т. о. не является тождеством. 'Ин-
теграл 7 теперь зависит от пути. Так, вдоль пути ALB
г 2
(черт. 469) имеем: Z -- | №</x4x2tfx - , я вдоль пути
« 1
AN В интеграл имеет иное значение ,
1 1
7 « J 1-У4 rfv = f (2у3 ЬУ4) dy = .
и I) ।
)
То же значение 7 До получим вдоль дуги параболы у=№. И
вообще в случае 2 всегда можно специально подобрать два пути, вдоль
которых ннгеграл имеет одинаковые значения.
§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа
Теорема 1(призиакполного д ффереи-
ц иа л а). Если равенство
ас _ йр _ 0
to 'Ну
(1)
удовлетворяется тождественно в области D, то для каж-
дой точки этой области выражение Pdx+Qdy является
полным дифференциалом некоторой функции Г(х, у). Если
же равенство (1) не является тождеством, то выражение
§ 476. ДРУГАЯ ФОРМА УСЛОВИЯ § 475 609
Р dx I Q dy не является полным дифференциалом ни для
какой функции.
Пример 1. Для выражения у ilx !*xdy (здесь Р-=у,
— -V) равенство (I) удовлетворяется тождесчпенно во
всяком области. Поэтому ydx+xdy есть полный диффе-
ренциал некоторой функции F (х, у). В данном случае
можно взять F(x, у) = ху или ху+3 и вообще xy-f-C.
П'р и м е р 2. Выражение y2dx+x3 dy нс может быть
полным дифференциалом пи для какой функции, ибо ра-
венство (I), принимающее вид 2х~2у = 0, не является
тождеством.
Пояснение. Допустим, что уМх-)-х2Пу есть дифференциал
некоторой функции F (х, у). Тогда мы имели бы: = уз, = №,
дх оу
тг _ d f dF \ д / dF \
Но это невозможно, ибо смешанные производные J и--- \ta /
(очи непрерывны) должны быть равны (g 443), т. е, должно тождествен-
но удовлетворяться равенство (№) —~ (ys) = 0, а этого нет.
В силу теоремы 1 условие §475 принимает следующий вид.
Случай 1 (исключительный). Выражение Р </х-|- Q dy
является (в данной области) полньш дифференциалом нс-,
которой функции F (х, у) (она называется первообразной).
Тогда криволинейный интеграл JPdx+QcZy нс зависит
дл
от выбора пути (пролегающего в данной области).
С л у ч а й 2 (общий). Выражение Р dx-yQ dy не
является полным дифференциалом. Тогда криволинейный
интеграл зависит от выбора пути.
В первом случае, зиая первообразную, можно вычислить
значение интеграла, опираясь на следующую теорему.
’ Теорема?. Если подинтеграл иное выражение Р dx-P
-rQdy есть полный дифференциал функции F(x,y), то
л
криволинейный интеграл j Р (х, у) dx+Q (х, у) dy равен
разности между значениями функции в точках 3 и А:
Жат: Ус) ЛСя,: ур
J Р dx+ Q dy = J dF (x, у) =
= F (*i, У1) ~ F (х0, у0). (2)
700 ФУНКЦИИ ИЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 3. Интеграл I = f 2ху dx+x2 dy при фик-
АЛ
сированных точках А(1; 3), В (2; 4) ие зависит от выбора
пути [ибо - ^)_a(2xy) & 01. требуется найти
L Ух ду дх ду J г
значение I.
Реше п и е. Выражение 2ху dxyx2 dy есть полный
дифференциал функции х2у. По теореме 2 имеем:
8(3, «
7= j* d (х'у) = 22-4-F-3 = 13.
Ж1; з)
Замечай и е. Разыскать первообразную в общем слу-
чае столь же трудно, как непосредственно вычислить кри-
волинейный интеграл.
Но во многих случаях разыскание первообразной облег-
чается. Так, если каждая из функций Р (х, у), Q (х, у) есть
сумма членов вида Axmy“ (А- постоянная, т и п-лю-
бые действительные числа), то первообразную находим
следующим образом. Вычисляем неопределенные интегралы
j* Р(х, y)dx, JQ(x, y)dy, считая постоянной-у в первом
интеграле и х-во втором. Полученные два выражения
объединяем, причем каждый из членов, входящих в оба
выражения, берем лишь по разу. Произвольные постоян-
ные, появляющиеся прн интегрировании, можно опустить,
так как достаточно иметь одну первообразную.
Пример 4. Найти криволинейный интеграл
ВЦ; 1)
I г= J х (1 + 2у3) с/х+Зу3 (х2 -1) dy
Л(О; W
[условие (1) выполнено].
Решение. Находим: J х (1 + 2уэ) dx = ~+х®у3
(у считаем постоянным), J 3ys(xs-l)rfy=xsy3-y3 (х счи-
таем постоянным).
Объединяем эти выражения, причем член х2у3 берем
один раз. Получаем первообразную F (х,у) = --уэ+
4-х-у3. Формула (2) дает: I - F (1, 1) - F (0,0)=1/з-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 477. Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
содержащее производные неизвестной функции (или не-
скольких неизвестных функций). Вместо производных мо-
гут входить дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента,
то дифференциальное уравнение называется обыкновенным,
если от нескольких, то уравнение называется дифферен-
циальным уравнением с частными производными. Здесь
рассматриваются только обыкновенные дифференциальные
уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной не-
известной функцией таков:
Ф (%> У', у", , yfn)) “ о. (1)
Порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей из производных, входящих в это урав-
нение.
Пример ы. Уравнение у' = ~ есть дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, дифференциальное уравне-
ние у" + у = о — второго порядка, уравнение у'2=хо-
лерного порядка.
Функция у = <р (х) называется решением дифференциаль-
ного уравнения, если последнее обращается в тождество
после подстановки у = ф(х).
Основной задачей теории дифференциальных уравнений
является разыскание всех решений данного дифференциаль-
ного уравнения. В простейших случаях эта задача сводится
к>вычислснию интеграла. Поэтому решение дифференциаль-
ного уравнения называют также его интегралом, а процесс
разыскания всех решений - интегрированием дифферен-
циального уравнения.
*702 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАЁНЕНИД
Вообще интегралом данного дифференциального ypad-
нения называют всякое уравнение, не содержащее про-
изводных, нз которого данное дифференциальное уравне-
ние вытекает как следствие.
Пример 1. Функция y--sinx есть решение (инте-
грал) дифференциальны о уравнения второго порядка
У"+У - о, (2)
ибо после Подстановки у =sin х равенство (2) принимает вид
(sin х)'Ч sin х == О, (3)
т. е. становится тождеством.
Функции у= sin х, y=cos х, у—3 cos х—тоже ре-
шения уравнения (2), функция y=sinxy ~ис является
решением.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка
ху' + у = 0. (4)
Функция
У = (5)
есть решение уравнения (4), ибо последнее после под-
становки (5) обращается в тождество
Вместе с тем уравнение (5) есть интеграл дифферен-
циального уравнения (4).
Уравнение
ху = 0,2 (6)
тоже является интегралом дифференциального уравнения
(4). Действительно, из (6) следует, что (ху)' —О, а отсюда
(если применить формулу производной произведения) сле-
дует (4). Из интеграла (6), разрешив его относительно у,
ПОЛУЧИМ
У==^- (?)
Функция (7) есть решение дифференциального уравнения
(4). Вместе с тем уравнение (7) является интегралом урав-
нения (4).
Уравнения ху = )Гз, ху = - 2, ху - л н т. д. являют-
ся интегралами дифференциального уравнения (4), а функ-
Уз^ 2 IV
цниу = —у = “—, у ~ ит, д, - решениями.
Л Л т pt
§ 479. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 703
Пример 3. Найти все решения дифференциального
уравнения первого порядка
у = COS X. (8)
Реше н и с. Неизвестная функция у = ср (х) есть перво-
образная для функции cosx, Наиболее общий вид такой
функции есть неопределенный интеграл J cos xdx. Стало
быть, все решения содержатся в формуле
y = slnx-lC. (9)
Функция y=sinx+C, содержащая произвольную по-
стоянную С, есть общее решение1) уравнения (8), функ-
ция у-sin х (а также y=sinx+~, y=-sinx-l и т.д.)
есть частное решение.
§ 478. Уравнение первого порядка
Общий вид дифференциальною уравнения первого по-
рядка таков:
Ф(х, у, у')~О. (О
Уравнение, разрешенное относительно у', имеет вид
У' = / (-У У)- (2)
Предполагается, что функция / (х, у) однозначно опреде-
лена и непрерывна в некоторой области; ищутся инте-
гралы, принадлежащие этой области,
§ 479. Геометрическое истолкование уравнения
первого порядка
Линия L (черт. 470), изображающая какой-либо инте-
грал дифференциально! о уравнения
У' = 1 (х, у), (1) Г
называется интегральной линией этого
уравнения.
Производная у’ есть угловой коэф- . . . г
фициент касательной Т‘ Т к интегральноii 01 *
линии. Еще до того, как найдена ните- черт. 470.
тральная линия, проходящая через дан-
ную точку М(х; у), мы можем из уравнения (1) иайти у'
и провести через М прямую Т' Т. Последняя у кажет направ-
П Определение общего и частного решения дифференциального
уравнения см. в § 481 (для уравнения первого порядка) и в §§ 493,
494 (для уравнений вусшего порядка).
704 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
леиие искомой интегральной линии. Множество прямых
Т'Т, соответствующих всевозможным точкам рассматривае-
мой области, называется полем направлений уравнения (1).
Задача интегрирования уравнения (1) геометрически
формулируется так: найти линии, у которых направле-
ние касательной всюду совпадает с направлением поля.
Если поле направлений изобразить короткими и густо
расположенными черточками (черт. 471,472), то интеграль-
ные кривые можно построить
(приближенно) иа глаз.
Пример 1. На черт. 471
изображено поле направлений
уравнения
(2)
dx у ' W
Уравнение (2) выражает, что
направление поля в точке
М (х, у) перпендикулярно к
прямой ОМ (угловой коэф-
фициент направления поля
есть , а угловой коэффициент
прямой ОМ есть . Легко усмотреть, что интегральные
линии суть окружности с центром в точке О. Стало быть,
интегралы уравнения (2) имеют вид
х*+уг =
(3)
где а2 - постоянная, которая может принимать любое
положительнее зиачеине. Функции
у -- а2—х2, у — — }н2 —х2 (4)
являются решениями уравнения (2), что легко проверить.
Замечание. Согласно § 478, точки оси ОХ надо
исключить из рассмотрения, ибо функция /(х, у) = -у
в этих точках не определена. Одиако мы и в этих точках изо-
бражаем направление поля (вертикальными черточками).
Тем самым мы расширяем смысл уравнения (2) (в согла-
сии с его геометрическим истолкованием).
Именно запись (2) мы понимаем как совокупность двух
уравнений:
* = /2а)
dx у 1 dy х Л '
| 476. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 705
Во втором уравнении х рассматривается как функция аргу-
мента у. В соответствии с этим мы считаем решениями
не только интегралы (4), но также и пнтетралы
х = Уа2 — у2} х — — }'a2-yJ. (4а)
Уравнения (2а) равнозначны во всех точках, не лежа-
щих на осяхОЛ, OY. Второе из уравнений (2а) заменяет пер-
вое во всех точках оси ОХ (кроме точки О). Точка О
все 'же остается исключенной. Это и естественно: через
нее не проходит ни одна интегральная линия (окружность
хг | у2 = а- вырождается в точку).
Уравнение (2), рассматриваем о с в расширенном смысле,
предпочтительно записывать и виде
xdx~ydy = Q. (5)
Здесь подчеркнуто равноправие переменных х, у. Уравне-
ние (5). можно преобразовать к виду d (х2 + у2) = О. Зна-
чит, xZj-y2 есть постоянная,
и мы снова получаем инте-
грал (3).
Пример 2. На черт. 472
изображено ноле направлений
уравнения
Черт. 472.
Интегральные липни — прямые
у = Сх. Понимая уравнение
(6) в расширенном смысле (см.
выше замечание), мы можем
изобразить поле направлений
также и в любой точке оси OY
(кроме точки О). Получаем вертикальные черточки, распо-
ложенные вдоль вертикальной прямой. Значит, эта прямая
(х — 0) присоединяется к интегральным линиям у = С.х.
В точке О направление поля остается неопределенным:
здесь скопляются интегральные линии всевозможных на-
правлений.
, Функции
у = Сх (С —постоянная), (7)
а также функции
х = С\у (Сх-Постоянная) (7а)
45 М, Я. Выгодский
706 дифференциальные УРАВНЕНИЯ
являются решениями (интегралами) уравнения (6). Инте-
гралами являются также уравнения
х = с> 1 = е, £ = с, (8)
И т. д.
Уравнение (6) записывается в виде
xdy-y dx - 0. (9)
Если разделить (9) па х3, получим: = 0, т. с.
d(£) = 0. Отсюда получаем интеграл= С. Разделив (9)
на у2, получим: у = Сх (здесь Сх = —.
Примерз. Поле направлений Уравнения вида у'=/ (х)
рассматривалось в § 295 (примеры 1—3). Интегральные
линии у — J / (х) dx отстоят друг от друга иа равном рас-
стоянии (по направлению оси ОУ).
§ 480. Изоклины
Построение поля направлений уравнения y' = f(x, у)
облегчается, если предварительно начертить линии рав-
Черт. 473.
ного наклона (изоклины)]
это —такие линии, вдоль
которых функция / (х, у>
имеет постоянное значение.
Во всех точках какой-либо
изоклины направление по-
ля — одно и то же.
Пр и м е р. Изоклины
уравнения у' — х=+у2 суть
окружности х'2+у2 д-
(черт, 473). Во всех точках
окружности х3 + у2=1 (ра-
диус ОС принят за еди-
ницу масштаба) угловой ко-
эффициент у' направления
поля равен единице, во
всех точках окружности
х3+у2 - 2 (радиуса OD = /2) имеем у' ~ 2 и т. д. Инте-
гральные линии изображены жирными кривыми,
$ 481. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ 707
Замечание. На практике при пользовании изокли-
нами иет нужды изображать поле направлений черточками.
Достаточно снабдить каждую изоклину числовой пометкой,
дающей зиачеине углового коэффициента. На чертеже, где
нанесены изоклины; изображается, кроме того, густой пучок
лучей и при каждом луче помечается его угловой коэффи-
циент, Решение получается построением черточек, парал-
лельных соответствующим лучам.
§ 481. Частное и общее решение уравнения
первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
Г = /(х,у) (1)
имеет бесчисленное множество решений (см. примеры
§ 479). Как правило, через данную точку рассматриваемой
области (§ 478) проходит одiia-единственная интеграль-
ная линия1). Соответствующее решение уравнения (1) на-
зывается частным решением, совокупность всех частных
решений называется общим решением. Общее решение
дифференциального уравнения (1) стараются представить
в виде некоторой функции
у ~ ф (х, С) (С-постоянная), (2)
которая дала бы любое частное решение (при надлежаще
Выбранном значении С). Такое представление иногда не-
возможно даже теоретически, а на практике удается лишь
для немногих (по важных) классов уравнений (§§ 482 - 486).
Частное же решение, проходящее через данную точку
(х0; у о) можно всегда найти, если не в виде точного вы-
ражения через элементарные функции, то приближенно
(с любой точностью; §§ 490, 491). Числа х0, у0 называются
начальными значениями.
Интеграл дифференциального уравнения (1) называется
общим, если он равносилен общему решению, и частным,
если он равносилен одному частному решению Или не-
скольким.
Пример!. Найдем частное решение уравнения
х dx+y dy = 0 . (3)
Ц Исключение возможно лишь для точек, где частная производная
J9 (х, » разрывна или не существует,
45*
70В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(§ 479, пример 1) при начальных значениях х0=4, у0= «3.
Интегральные линии уравнения (3) суть окружности с цен-
тром (0; 0). Через точку Л1О(4;-3) проходит интегральная
линия ха + у3 = 25. Это уравнение есть частный интеграл
уравнения (3), Он равносилен двум частным решениям;
у = У25-х3,
у = - У 25-х2.
Второе является искомым (первое нс проходит через Л10).
Пример 2. Частное решение уравнения (3), прохо-
дящее через точку (х0; у0), имеет вид j
У = Кто+7'о-^ если у0 > 0; (4) |
У = - ^+у2-х3, если у0 < 0. (5)
В случаях, когда у0 = О, т. е. когда точка (х0; у0) лежит
на оси ОХ, частное решение (согласно замечанию К при-
меру 1 § 479) имеет вид
х = Ух§-у2, если х0 > 0; (6)
х = - Vxg-y3, если х0 •< 0. (7)
В точке хо=О, уо=О (начала координат) частного реше-
ния иет.
Совокупность частных решений (4), (5), (б), (7) обра-
зует общее решение дифференциального уравнения (3).
Если обозначить постоянную величину xg + yg через С3,
то общее решение можно записать в виде
у — ± (8)
Уравнение * “S
х3+у2 = С2, (9)
равносильное общему решению (8), есть общий интеграл
уравнения (3).
§ 482. Уравнения с разделенными переменными
Если дифференциальное уравнение имеет вид
Р (х) t/x-y Q (у) dy - 0 (1)
(коэффициент Р зависит только от х, коэффициент Q-
только от ,у); то говорят, что переменные разделены (или
отделены).
g 482. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 709
Общий интеграл уравнения с разделенными перемен-
ными представляется уравнением')
j Р (х) dx-[1 Q (у) dy - С (С - постоянная). (2)
Чтобы иайти частный интеграл при начальных значе-
ниях х0, у0, можно поступить так: подставив х0, у0 в (2),
находим соответствующее зиачеине С = С0. Искомый ча-
стный интеграл будет J PfxWxrJ Q(y)dy = Со. Когда
общее решение нас не интересует, частное решение лучше
находить непосредственно по формуле
j Р (х) cfx 4- j Q (у) dy = 0. (3)
Пример. Найти частное решение уравнения
sinxdx+^=O (4)
гУ
при начальных данных х0 = у, у0 — 3.
Решение. Общий интеграл уравнения (4) есть
j sinxdx + j ~~ — С или -cosx+2 /у~= С- (5)
Полагая здесь х = у, у = 3, получаем С = 2 /з”; искомое
частное решение есть
У - (ЗКзЧсоехР . (в)
Егр можно прямо получить по формуле
‘ fsinx^+f^O.
7Т 3 ' S
т
3) Здесь и в дальнейшем символ j обозначает какую-либо одну
первообразную функцию, т. е. произвольное постоянное слагаемое не
учитывается. Впрочем, не будет ошибки, если в интеграл J Р (х) dx
включить постоянное слагаемое Сг, а в интеграл J Q (у) tfy—слагае-
мое С'г. Но решение без нужды примет более сложный вид.
710
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 483. Разделение переменных.
Особое решение
Уравнение вида dx 4- X} У, dy = 0, где функции Хг
и Xs зависят только от г1), а функции Ylt У2 — только
от у, приводится к виду (1) § 482 делением иа У1Ха. Про-
цесс приведения называется разделением переменных.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
у rfx-xrfy » 0. (1)
Разделив иа ху, получаем уравнение
f-^-0, (2)
где переменные разделены. Интегрируя, находим:
-- (3)
т. е.
In | х j - In | у | = С, (4)
или
4 = - (4а)
Если ввести новую постоянную Съ связанную с С зави-
симостью С = In Clf то вместо (4а) можно написать:
7 = ^1 (46)
(ср, пример 2 § 479).
Замечание.1. Пусть значение у - к служит корнем уравнения
У1=0. Тогда функция у = к (сводящаяся к постоянной величине ф
служит одним из решений дифференциального уравнения .Х1У1 dx-F
+ Д'гУг dy « 0 (ибо при у=*к имеем Ду=О и по условию 4'1=0). Это
решение может утеряться при делении на VjXj. Точно так же может
утеряться решение вида х —где / -корень уравнения Х2 =0. Так, в
примере 1, получив решение (4), мы утеряли частное решение у=0
дифференциального уравнения (1), а также частное решение х=0.
Ведь равенство (4) лишено смысла как при у —0, так и при к =0 (число
нуль нс имеет логарифма).
Освободившись в равенстве (4а) от логарифмов, мы снова ввели
решение х=0 (при С\=0).
II р и м е р 2. Найти все решения уравнения
/T^ystfx-y dy 0. (5)
Решение. В пределах полосы, ограниченной парой
прямых у +1, по меньшей мерс одна из функций
ур=^‘(=*^) однозначно определена и
') Одна из них или обе могуч быть постоянными; то же для функ-
ций Yu Уй.
§ 484. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 711
непрерывна. За пределами этой полосы пи одна из упомя-
нутых функций нс определена. Значит (§ 478), все инте-
гралы уравнения (5) лежат в полосе, ограниченной пря-
мыми у - ± 1.
Делим уравнение (5) иа /1— уа. Получаем уравнение
Черт. 474.
где переменные разделены. Интегрируя, находим
х- /Г-у* = С
или
х-с = (6)
Это уравнение представляет семейство полуокружно-
стей, изображенное иа черт. 474. Но оно содержит не все
интегральные липни уравнения
(5)j_разделив последнее на
/1-у2, мы утеряли решения
у=1 и у = —1 (прямые uv,
u'v' иа черт. 474).
Замечание 2. Утерянные
здесь решения tie Являются част-
ными (в противоположность реше-
ниям, утерянным в примере 1). Ведь
частным решением мы назвали (§ 481)
такое, которое единственно при не-
которых начальных значениях. Между тем через каждую точку реше-
ния у = 1 проходит по два решения; например, через точку А1о (0; 1)
(черт. 474), кроме прямой .у = 1, проходит полуокружность х = /1 —у2,
которая изображает еше одно решение уравнения (5); это решение
получается из (6) при С =0,
Уравнение (6), хотя оно ие охватывает всех решений,
содержит все частные решения (полуокружности), и пото-
му, является общим интегралом уравнения (5). Решения
у='1, у = — 1 называются особыми.
Вообще интеграл дифференциального уравнения пер-
вого порядка называется особым, если через каждую его
точку проходит по крайней мере еще один интеграл.
§ 484. Уравнение в полных дифференциалах
Если коэффициенты Р (х, у), Q (х, у) в уравнении
Р (У У) Q (у у) dy = о
удовлетворяют условию
йР = dQ
ау дх > 1
&
(1)
(2)
'712 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то левая часть (1) есть полный дифференциал некоторой
функции ?’ (х, у) (первообразная функция выражения
Pdx+Qdy; см. § 476). Общий интеграл уравнения (1)
будет:
F (х, у) = С. (3)
При м е р. Найти частный интеграл уравнения
^-dx+^dy-0 (4) .
при начальных данных х0- 1, у„ -1.
Решение. Условие (2) выполняется. При этом функ-
ции Р (х, у) ~ 1--^-, Q = 1 разлагаются на члены 1
вида Лх^у". Поэтому первообразную функцию находим (
(§ 476, замечание) так.
Выполняем интегрирование
J (1-^-) = х + х (ПРИ постоянном у), t
f 0+у) = У+ х (Прн постоянном х). j
Объединяем эти выражения, сохраняя член только
один раз. Функция х+у+— есть первообразная. Общий i
интеграл будет:
x+y+J = С. (5)
Подставляя начальные данные х=1, у= 1, находил! С=3.
Искомый частный интеграл есть х + у+~ = 3.
§ 484а. Интегрирующий множитель *
Если коэффициенты Р (х, у), Q (х, у) в уравнений
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0 (1)
Не удовлетворяют условию 1
8Р „ &Q <
ду ~ 1>х ’
то левая часть (1) ие является полным дифференциалом.
Но иногда удается подобрать такой миожитель Л1 (х, у),
чтобы выражение М (Р dx+Qdy) стало полным диффе-
§ 485. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 713
репциалом некоторой функции Ft (х, у). Тогда общий ин-
теграл есть
-f‘1 (X, у) = С.
Функция М (х, у) называется интегрирующим множи-
телем.
Пример. Левая часть уравнения 2у dx + х dy = О
не является полным дифференциалом. Но по умножении
иа х подучается:
х (2у dx-i-x dy) = d (х2у).
Общий интеграл данного уравнения есть
хгу =? С.
3 а м с ч а н и е. Всякое дифференциальное уравнение
имеет интегрирующие множители (и даже бесчисленное
множество их). Но общих приемов для их отыскания нет
§ 485. Однородное уравнение
Дифференциальное уравнение
Mdx+Kdy = 0 . (1)
называется однородным, если отношение можно пред-
ставить как функцию отношения ~. Это отношение мы
будем обозначать буквой f:
* = (2)
Так, уравнение
(у+ Ухг+у2) dx-xdy = 0 (3)
-однородное, нбо
= -/-fl+K (4)
С помощью подстановки
у = tx (откуда dy = t dx + xdt) (5)
всякое однородное уравнение приводится к уравнению
с разделяющимися переменными,
714
дифференциальные УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Проинтегрировать уравнение (3) при на-
чальных УСЛОВИЯХ Хо = 3, Уг, = 4.
Решение. После подстановки (5) уравнение (3) при-
нимает вид ___
№+x¥dx-x2dl -= 0 (6)
или ____
| х | +Z2 dx-xs dt = 0. (7)
Переменные разделяются. Получаем
’ (в)
]х) У1-Ы*
При разделении переменных мы утеряли решение х = 0.
Однако оно заведомо ие удовлетворяет начальным условиям,
Так как интегрировать надо при начальных условиях
х0 = 3, t0= --- у, то абсцисса х положительна (см. ни-
же замечание), и надо положить
I х | = х. (9)
Получаем
- со
3 </з' +
откуда _____
1пх —1пЗ = In 0 + П + /2)-In 3. (И)
Заменяя t на — и потенцируя, получаем частный интеграл:
* = £*•/*+§• С2)
Соответствующее частное решение есть
Xs-1
у- —
(13)
Замечание. Левая часть формулы (10) нс имеет смысла, когда
верхний предел равен нулю или принимает отрицательные значения.
Поэтому мы должны были при разыскании решения ограничиться по-
ложительными значениями х. Дает ли функция (13) решение урав-
нения (3) также и при х < 0, это надо дополнительно исследовать.
Подстановка выражения (13) в левую часть (3) показывает, что фунК-
№ — 1
ция у = :— дает решение для всех значений х.
П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение (3) при на-
чальных условиях х0 « “ 3, т0- 4.
§ 4S6. ЛИНЕЙНОЕ УЕАВНЁНИЕ ПЕРЙОГО ПОРЯДКА 715
Решение. Последовательность действий та же, что
в примере 1. Однако вместо (9) надо положить
] х | = - х, (9а)
так что вместо (10) получаем
00а)
-з -4/з Г
откуда
-1п |х] +-1ПЗ = In 0+ /1+Р)-1Пу. (Па)
Вместо (12) получаем
4г=у+1/‘<? (,2а>
ИЛИ
(знак минус перед последней дробью появился потому,
что при х 0 имеем ^х2 = — х). Из (126) получаем иско-
мое частное решение
х-г-1
у = —.
Оно совпадает с решением примера 1 (ср. замечание к
примеру 1).
Если, не обратив внимания иа (9а), мы вместо (10а)
воспользовались бы формулой (10), то получили бы оши-
бочный результат.
§ 486. Линейное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
М dx-|-Ar dy = 0 (1)
„ л v А1
называется линейным, если отношение — содержит у
лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение
• принято записывать в виде
У' + Р (х)у = Q (х); (2)
здесь Р (х) и Q (х) - какие угодно (непрерывные) функции
ОТ х.
716 Дифференциальные уравнения
Если, в частности, Q (х) _ О, ю уравнение (2) НЭзьР
вастся линейным уравнением без правой части х), В этом
случае переменные разделяются, и общее решение имеет
вид
y = Ce~$Pdx. (3)
Пр имер 1. Найти общее решение линейною уравне-
ния без правой части
>"“! °- О)
Решение, Разделяя переменные, получаем:
dy „ xdx /рл
. у I +xs > W
откуда
in |у| = ~ in (i + *1 2)+c • (6)
нли
у = сх |ТП^, (6а)
где С1 = ес'. Тот же результат мы получили бы по фор-
муле (3) (при Р = -г^г) :
-f-ЛД- 4-in(i+«a) ,----
у = Се J 1+х* = Се~ = С Н+х2.
Замечание 1, Частное решение у = 0, получаемое
из (6а) при Сх —О, нельзя получить из (6); это решение
утерялось при делении уравнения (4) на у. Освободившись
от логарифмов, входящих в (6), мы снова ввели решение
у=0. Ср. § 484, пример 1.
Замечание 2. На практике применение готовой
формулы (3) не дает существенного преимущества перед
последовательными преобразованиями, показанными в при-
мере 1.
Линейное уравнение с правой частью [в нем ф(х)^О]
интегрируется следующим образом: находим общее реше-
ние (3) соответствующего уравнения без правой части;
1) Линейное уравнение без правой части называют также однород-
ным. Но это наименование имеет еще другой смысл 485).
§ 48б. Линейное уравнение перйого порядка 717
в этом решении заменяем постоянную С неизвестной
функцией и. Полученное выражение подставляем в (2).
После у прошений переменные ц, % разделяются, и, инте-
грируя, мы найдем выражение и через х. Функция
у = ue~^Pdx будет обшим решением х) уравнения (2).
Пример 2. Найти общее решение уравнения
<7)
Реше ине. Обшее решение соответствующего уравне-
ния без правой части есть (см. пример 1) у = С ^1 + х^.
Заменяя постоянную С неизвестной функцией и, полу-
чаем:
у — и fl+xt, (8)
откуда
Г = (9)
dx yl+x* 2
Подставляем (8) и (9) в (7). После упрощений находим:
du _ х
dx }' i -;-х2"
Отсюда получаем выражение и через х:
«= f^-iT+^+c,. (Ю)
J fl 4-х2
В силу (8) и (10) общее решение данного уравнения бу-
дет:
у = (УТ+^+С1)УТ+^!). (И)
]) Это общее решение выражается формулой
У = [j dx Q (х) Р(х} *’+ С,] е~^ Pllx (А)
2) Тот же результат £при Р = —, Q «= xj получим по
формуле(А);
Др Г я: dx
- I f X dx —L^+c/l ]/Г+3^ = (/ГнЕч-со /ГнЕ»,
U yi+x2 J
718 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАЙНЕНИЯ
Замечание. Аналогично интегрируется уравнение
-0-lPWx-Q(y), (12)
получаемое из (2), если поменять ролями х и у.
§ 487. Уравнение Клеро
У равнением Клеро называется уравнение вида
у = + ?(/). (1)
Его общий интеграл есть
у = хСф<р(С). (2)
Кроме того, уравнение Клеро имеет особый интеграл
(§ 483); последний получается исключением параметра t
нз уравнений
х=-<р'(0, у = -й/ (04-(р (0. (3)
Общий интеграл (2) изображается совокупностью прямых
линий, касающихся некоторой кривой L. Особый инте-
грал изображается са-
мой кривой L [уравнения
(3) представляют ее в па-
раметрическом виде].
П р и м ер. Уравнение
у—ху' — у'~ (1а)
Черт. 475.
есть уравнение Клеро.
Общий его интеграл
у^Сх~Сг (2а)
изображается совокуп-
ностью прямых (черт.
475), касающихся пара-
болы
у=|х=. (4)
Уравнение (4) есть особый интеграл. Он получается
следующим образом. В данном примере имеем <р (0 = -Is,
(0 = - 20 и уравнения (3) принимают вид
х = 20 у = Г-. (За)
Исключив 0 получаем (4).
§ 488. ОГИБАЮЩАЯ
719
Пояснение. Покажем иа примере уравнения (1а),
как получается уравнение особого интеграла.
Кривая L, касающаяся интегральных линий (2а), сама
тоже будет интегральной линией (ибо направление ее всюду
совпадает с направлением поля). Чтобы разыскать кри-
вую L, учтем, что она должна иметь с каждой из прямых
у - Сх-С3 (5)
по одной общей точке N (х; у). Величина С, будучи по-
стоянной для каждой прямой (5), меняется от одной пря-
мой к другой, так что координаты х, у суть функции от
С. Найдем эти функции. Так как точка W (х; у) лежит
на прямой (5), то мы должны иметь тождество
у = Сх~С2. (6)
Так как в точке W направления линии L и прямой (5)
совпадают, то дифференциалы dy, dx должны иметь то
же отношение, что и дифференциалы dx, dy координат
прямой (5), т. е. должно быть:
dy = С dx. (7)
Вместе с тем дифференциалы dx, dy должны удовлетво-
рять равенству
dy - С dx+х dC ~ 2С dC, (8)
полученному дифференцированием тождества (6). Сравни-
вая (7) с (8), получаем: (x—2C)dC - 0, т. е.
х = 2С. (9)
Таково выражение функции х. Подставляя это в (6), на-
ходим:
у = С3. (10)
Уравнения (9), (10) отличаются от (За) лишь обозначе-
ниями.
§ 488. Огибающая
Определение 1. Множество линий называется се-
мейством (однопараметрическим), если каждой линии
можно поставить в соответствие определенное число С
(параметр семейства) таким образом, чтобы непрерыв-
ному изменению параметра С соответствовало непрерыв-
ное видоизменение j/ииии. Уравнение вида
/(х,у,С) = О, (1)
720 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где / (х, у, С) - непрерывная функция трех аргументов х, у,
С, представляет семейство линий па п!поскости. Отдельные
линии семейства соответствуют отдельным значениям С\
Уравнение (1) называется уравнением семейства.
Пример 1. Уравнение
у =- Сх- Cs
представляет семейство прямых линий, изображенное на
черт. 475. За параметр семейства принят угловой коэф-
фициент прямой.
Пример 2. Уравнение
(х-С)Чу’ = 1
представляет семейство окружностей радиуса 1 с цент-
рами на оси ОХ (черт. 474 на стр, 711). За параметр при-
нята абсцисса центра.
Пример 3. Уравнение
ха4-у2 = С2
представляет се.мейство окружностей с центром в О (0, 0).
За параметр принят радиус.
Определение 2. Огибающей данного семейства
называется такая линия, которая в каждой своей точке
касается одной из линий семейства.
В примере 1 огибающая сеть парабола у = — Xs
(ср. § 487), в примере 2 огибающая есть пара прямых у = ± 1,
в примере 3 огибающей нет.
Теорема. Огибаюшая семейства (1) принадлежит так
называемой дискриминантной линии, т. е. геометриче-
скому месту точек, удовлетворяющих уравнениям
/(х, у, С) = 0, Гс (*, У. 0 = 0 (2)
при всевозможных значениях С. Если исключить С из
уравнений (2), получим уравнение дискриминантной линии.
Замечание 1. Не исключено, что дискриминантная
линия лишь частично покрывается огибающей, а может
даже случиться, что дискриминантная линия существует,
но v семейства (1) всвсе нет огибающей.
Пример 4. Дискриминантная линия семейства пря-
мых у — Сх-Св представляется системой
у = Сх-С2, х-2С = 0.
Исключив С, получаем уравнение у = д-х2. Дискри-
минантная линия есть парабола, совпадающая с огибаю-
щей семейства (ср. пример § 487).
§ 490. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 721
Пример 5. Дискриминантная линия семейства ок-
ружностей
(А'~С)г+у3 = 1
представляется системой
(х -С)----уг --- 1, -2 (х-С) = 0.
Исключив С, получаем уравнение у3 = 1. Дискрими-
нантная линия (пара прямых у~ — + 1) совпадает с оги-
бающей (ср. § 483, пример 2).
Пример 6. Дискриминантная линия /
семейства полукубичсских парабол /
(у-С)2 := № (черт. 476) есть прямая х = 0, //
но у данного семейства нет oi ибаюшей. / /
Замечание 2. Если семейство (1) / /
изображает общий интеграл некоторого / /
дифференциального уравнения, то огибаю- / /
щая представляет особый интеграл. Если /
нет огибающей, нет и особого интеграла. /у _г
р х
§ 489. Об мнтегрируеиости Х\\
дифференциальных уравнений \\
В §§ 482 — 487 были рассмотрены важ- \\'
нейшие типы уравнений первого порядка, \ \
решение которых сводится к разысканию \ \
интегралов от известных функций1). Отаких \
уравнениях говорят, что они привадятся \
к квадратурам. \
В практике встречаются и такие урав- черт. 47б.
нения первого порядка, которые не при-
водимы к квадратурам. При решении уравнений высших
порядков такие случаи встречаются еще чаше. Для реше-
ния уравнений, не приводящихся к квадратурам, пользуют-
ся приближенными методами. О них см. ниже §§ 490-492.
§ 490. Приближенное интегрирование уравнений
первого порядка по методу Эйлера
Пусть дано уравнение
У' = / (х, У) (О
при начальных условиях х = х0, у = у0. Требуется найтн
его решение в некотором промежутке (х0, х). Делим этот
промежуток на п частей (равных или неравных) последо-
вательными точками хь х2, ..., x^! (черт. 477).
^1) Эти^интегралы могут не выражаться через элементарные функ-
46 М. Я. Выгодский
722
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На участке (х„, хг) полагаем:
У - Уо 1-/(х0, Уо) (х-х0), (2)
т. е. вместо искомой интегральной линии МЪКО берем ее
касательную МпМх.
В точке х = хх получаем приближенное значение иско-
мого решения
У1 = Уо + /(хо, Уо) (Xi-Xo) = Уо-Ь/СХо, у0) Дх0. (3)
На участке (хп х2) полагаем:
У = У1+/ (Х1, У1) (х -хД
т. е. вместо искомой интегральной линии Л10/<0 берем ка-
сательную А^ЛН к интегральной линии (при этом
возникает двойная погрешность: касательная М|М2 откло-
няется от линии MjKt, а послед-
няя не совпадает с искомой ли-
нией М0К0). Продолжая процесс,
получаем последовательные при-
ближенные значения
у2 = У1 + /(Х1, Ух) Ахь 1
Уз = У3Ч-/(х2, у3) Дх,,
Ун - У»-х + / (х„-1, уп-х) Дхя_р
(4)
При достаточном измельчении данного промежутка до-
стигнем любой требуемой точности, но ценой большого
труда. Поэтому способ Эйлера применяется лишь для
грубых приближений. Чаще всего выгодно делить проме-
жуток (х0, х) иа равные части.
Пример. Найти приближенное решение уравнения
у' = ~ху
в промежутке (0, 1) прн начальных данных х0 = 0, у, = 1
[здесь / (х, у) t= 4-ху].
Решение. Делим промежуток (0, 1) на 10 равных
частей, так что
Дх0 = Дх^ =...=; Дх, = 0,1,
§ 491. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 723
По формулам (3) н (4) находим последовательно:
У1 “ Уо + 2" x(J'o Ах0 = 1 + 2* * 0 1 • ОД = 1,
У2 — У1_1'2"^1У1 ~ 1 Ч'2-,ОД • 1'0,1 = 1,005
и т. д. Вычисления располагаются по следующей схеме:
X У . 1 Ду = ~ ХУ Дх Истинное значе- ние у
0 1 0 I
од 1 0,005 1,0025
0,2 1,005 0,0101 1,0100
0,3 1,0151 0,0152 1,0227
0,4 1,0303 0,0200 1,0408
0,5 1,0509 0,0263 1,0645
0,6 1,0772 0,0323 1,09.42
0,7 1,1095 0,0392 1,13бЗ
о,я 1,1487 0,0459 1,1735
0,0 1,194(5 0,0338 1,2244
1,0 1,2484 1,2840
Из норных двух столбцов составляется таблица прибли-
женною решения. Данное уравнение допускает и точное
V * —ягЕ
решение по формуле J -™ = J ~ х dx, откуда у = е1 ,
1 ' о
Соответствующие значения у даны в последнем столбце.
Сравнение с первым столбцом показывает, что погрешность
последовательно возрастает и при х= 1 достигает 2,9%.
§491, Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью рядов
Решение уравнения
У = / (х, У)
(1)
при начальных условиях х ~ Хд, у = у0 можно искать в
виде ряда, расположенного по степеням х — х0, т. е. в виде
У = Уо + сДх-хД + сДх-Хо)2-? ...
... + Сп(Х-Х0)”-|- ... (2)
Множители с1т с2, ..., ся, ... находятся по методу неоп-
ределенных коэффициентов (§ 307) или другими способами.
46*
724 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Метод рядов в применении к дифференциальным урав-
нениям систематически применялся Ньютоном (§ 292).
В противоположность методу Эйлера, даюшему решение
в виде таблицы (§ 490), здесь решение получается н виде
формулы. Но последняя не пригодна вне промежутка сходи-
мости ряда. Теоретически возможны и такие случаи, когда
решение не представимо рядом (ср. § 400). Теоретическое
исследование вопроса было выполнено О. Коши. С. В. Ко-
валевская *) исследовала аналогичный вопрос для уравне-
ний с частными производными.
Несмотря на вышеуказанные ограничения, метод рядов
имеет важное практическое значение.
Пример. Найти решение уравнения
У' = Г W (3)
при начальных условиях Хо = 0, у0 = 1.
Решение. Согласно формуле (2) полагаем:
у = 1-Ч'С1х+с2х2 + с3х3 |-с4х14' ••• (4)
Коэффициенты q, с., с,, ... пока не известны. Диффе-
ренцируя (4), находим:
у' = q-!-2cax-;-3qx2-;-4г4х3-;- ... (5)
Подставив (4) и (5) в (3), получаем:
с14'2с3Х4-Зсах24-4сдх3+ ... =
= 2" Х-f- ~2 ^1-^г + ~2 + • • • (6)
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых сте-
пенях буквы х. Получаем соотношения
q = 0, 2са — Зс3 = q, 4q = ~2си • - • (7)
Из них последовательно находим коэффициенты
q = 0, q = са = 0, q = ~ с5 = 0, ... (8)
Искомое решение имеет вид
У = 1 xl‘!‘ з§4 ” (9)
Э С о ф ь я Васильевна Ковалевская (1850-1891)-
знаменитый русский ученый. Ей принадлежат важные результаты в
области математики, механики и теоретической физики, а также ряд
Публицистических и художественных произведений.
§ 492. о Составлений уравнений 725
При х = 1 получаем: у « 1,2839 (ср. таблицу § 490).
Разложение (9) совпадает с разложением функции е1:
^=’+?4(?)Ч (?)’+•.• 0°)
Другое решение. Дифференцируя последова-
тельно равенство (3), находим;
У " = у(хУУ =уУ+^хУ'> С11)
У "' - (J УР-^АУ)' = у' + ^ху", (12)
У 1¥ = (Г +^ХУ"У = |у"+-2'хУ" (13)
и т. д. Подставляя в (3) начальные значения х0 = 0, у0 = 1,
находим Уд = 0, затем из (И) получаем:
Уо = |у<> + 2'Уо = |-
Таким >це образом находим :
Я" = о, яу = т
и т. д. Подставляя найденные значения в ряд Тейлора
У = Уо + Уо*+^**+-3г*3+^р *4+ •••>
снова получаем ряд (9).
§ 492. О составлении дифференциальных уравнений
. Процесс составления дифференциального уравнения по
условию задачи (геометрической, физической или техни-
ческой) состоит в том, что мы выражаем на математиче-
ском языке связь между переменными величинами и их
бесконечно малыми приращениями. Иногда дифферен-
циальное уравнение получается без рассмотрения прира-
щений-за счет того, что они учтены зарацее. Так, пред-
Яс
ставляя скорость выражением v — мы не привлекаем
приращений As, At, но они фактически учтены, ибо
726 дифференциальные уравнения
При составлении дифференциальных уравнений первого
порядка бесконечно малые приращения сразу же заме-
няются соответствующими дифференциалами. Погрешность,
совершаемая прн этом, автоматически устраняется при
переходе к пределу *)- Вообще всякую бесконечно малую
величину можно заменить ей эквивалентной, например
бесконечно малую дугу соответствующей хордой или на-
оборот.
Исчерпывающих правил для составления дифферен-
циальных уравнений дать нельзя. Как и при составлении
алгебраических уравнений, здесь часто требуется изобре-
тательность. Многое зависит от навыков, приобретаемых
упражнением.
Пример 1. В резервуаре имеется 100 л рассола, со-
держащего 10 кг растворенной соли. Каждую минуту 2 л
рассола вытекает из резервуара, а 3 л пресной воды при-
текает в него. Перемешивание сохраняет одинаковую кон-
центрацию соли во всем резервуаре. Сколько соли оста-
нется в резервуаре через час?
Реше н и е. Обозначим через х количество соли в ре-
зервуаре (в кг), через / — время, отсчитываемое от на-
чального момента (в минутах).
За промежуток времени dt из резервуара уходит
(-dx) кг соли [ведь х-убывающая функция времени, зна-
чит, dx- отрицательная величина, a (-dx)-положи-
тельная].
Чтобы составить уравнение, вычислим убыль соли иным
путем. В момент t в резервуаре находится (100 ; /) л
жидкости (притекло 3/ л и утекло 2/ л); в пей растворено
х кг соли. Значит, в одном лнтре рассола содержится
10^7 кг С0Л1Г* За время dt из резервуара вытекает 2d/ л
рассола; значит, количество солн уменьшится па
Too ‘ М
Получаем дифференциальное уравнение
Разделяя переменные и учитывая начальные условия
1) Как это происходит, показано в замечании.
§ 492. О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ 727
/и - 0, х0 = 10, получаем:
аг Г (Ге J - х “ 10 1 Г 2dt ~ J 100 + i ’ 0 (2)
т. е.
, 10 In — = X о mJ00+2 100 (3)
или
MOO +f\2 . 100 ) • (За)
Подставляя t =- 60 и (За), найдем нско*мое количество
соли х 3,91 (кг).
При менее округленных данных лучше взять формулу (3) Умно-
жив об?1 ее части на модуль М (§ 242), перейдем от натуральных ло-
гарифмов к десятичным.
Замечание. При составлении уравнения (1) мы
дважды допустили погрешность: во-первых, мы взяли dx
и dt вместо Дх и St, во-вторых, мы приняли, что за вре-
мя dt убыль соли составила 2(ftкг, т. е. что кон-
1 ии + г
центрация рассола равна в течение всего проме-
жутка (/, t-\-dt). На самом деле она равна лишь в
начале промежутка, а затем уменьшается. Но эти две по-
грешности автоматически компенсируются.
Действительно, в течение малого промежутка времени
(/,/Ц-Д/) концентрация рассола незначительно отличается
от ~Г7^; значит, за это время количество соли умень-
шйтся хотя и ие в точности на -j л, но примерно на
такое количество. Стало быть, имеем приближенное равен-
Дх __ 2х
дГ ТОО-Н"
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше St;
2 х у
иными словами, — есть предел отношения-^- при
728
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Д?->0. А этот предел есть производная Следова-
тельно, производная в точности равна
dx _ 2х
dt 100+Г
Это точное равенство равносильно уравнению (1).
Пример 2. Для моста строится каменный бык высо-
той н 12 л£ с круговыми горизонтальными сечениями. Бык
рассчитан на нагрузку Р = 90 т (помимо собственного
веса). Плотность материала у = 2,5—. Допустимое давле-
ние составляет к - 300^-. Найти площади верхнего л
нижнего оснований, а также форму осевого сечения быка
(при наиболее экономном расходе
строй мате риала).
Решение. Площадь s0 верх-
него основания при ДОПУСТИМОЙ!
давлении к — 300 может вы-
держать нагрузку Ics^, а по усло-
вию ksQ = Р. Следовательно,
Площадь s горизонтального
сечения возрастает с понижением
уровня, ибо, помимо нагрузки Р,
на площадь 5 давит вышележа-
щая часть быка.
Обозначим через х расстояние
сечения s (MN на черт. 478) от
верхнего основания. Выделим
бесконечно малый горизонтальный слой MNnm. Плошадь
его нижнего основания тп превышает площадь верхнего
основания MN на cfs. Поэтому у нижнего основания
предельная нагрузка на к ds больше, чем у верхнего.
С другой стороны, нагрузка пт больше, чем нагрузка
сечения MN на величину, равную весу слоя MNnm, т. е.
на ys dx1). Получает дифференциальное уравнение
к ds = ys dx.
Р)
’) Л!ы принимаем, что слой MNnm —цилиндрический (погрешность
имеет высший порядок относительно dx).
§ 493. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 729
Разделяя переменные и интегрируя при начальных
условиях х = О, х = $0, получаем:
йчМ <»)
*0 О
откуда
'44* (7)
Чтобы найти площадь Г| нижнего основания, надо под-
ставить х к 12 (при 0,3, у = 2,5, к = 300). Переходя
к десятичным логарифмам (§ 242), получим:
^ = ^^12, (8)
откуда = 0,33 (м2).
Форма осевого сечения характеризуется уравнением,
мернднана BD. Обозначим радиус сечения MN через у',
тогда — = , и равенство (7) дает:
2 = i х> иди у = у°е2Л * <9)
Таково уравнение меридиана. Линия (9) называется
логарифмикой,
§ 493. Уравнение второго порядка
Общий вид дифференциального уравнения второго по-
рядка таков:
Ф У, У’> У") = О- (О
Уравнение, разрешенное относительно у", имеет вид
У” = f (х, у, у'). (2)
Предполагается, что функция / (х, у, у') трех аргументов
X, у, у' однозначно определена и непрерывна в некоторой
области изменения этих аргументов.
Как правилох), заданно начальных значений х = х{),
У = Ув, У' = Уо (принадлежащих рассматриваемой области)
определяет одно-единственное решение уравнения (2).
1) Исключение возможно только в случае, когда хотя бы одна из
производных Ур(х,у,у'), у, у') разрывна или не существует,
730 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Геометрически: через данную точку М (хп; у0)
в данном направлении проходит одна-единствен-
ная интегральная линия.
Соответствующее решение уравнения (2) называется
частным. Совокупность всех частных решений называется
общим решением. Общее решение стараются представить
в виде некоторой функции
у = ф (х, Cn С,) (С\ и постоянные), (3)
которая дала бы любое частное решение (при надлежаще
выбранных значениях С1г Сг).
Замечание. Через данную точку М (х0; у0) прохо-
дит бесчисленное множество интегральных линий-в каж-
дом из возможных направлений по одной.
Пример. При начальных значениях х0 = 1, = 1,
у а — 2 найтн частное решение уравнения
у" = х. (4)
dyf s= J х dx,
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
£ = * О)
Уг я:
Учитывая начальные условия, имеем:
х2 3
т. е. у = 2+2'- Снова учитывая начальные условия, по-
лучаем: J dy = J ^х- Искомое частное решение
1 1
есть
Другой с п о с о б. Из (5) находим:
У' = 2"4'С1, (7)
а отсюда
у = ^+С1х + С2. (8)
Функция (8) представляет общее решение, ибо при
Надлежаще взятых значениях С1( С8 она дает любое ча-
§ 404, УРАВНЕНИЕ Я-ГО ПОРЯДКА 731
стпое решение. Так, подставив в (7) и (8) данные началь-
ные значения, будем иметь:
2-у-Ю, 1 =1+С1+Са, (9)
откуда найдем:
Подставив эти значения в (8), снова получим частное ре-
шение (6).
Предостережение. Далеко не всякое решение,
содержащее две произвольные постоянные, является
общим. Например, функция
у = ^+С3х-С1(х-Л) (10)
есть решение уравнения (4), но содержит не все частные
решения; так, из (10) пи при каких значениях С3, С4 ие
получается решение (6). Стало быть, решение (10)—не
общее. Это видно уже из того, что две постоянные С3, С4
«ие являются существенными», т. е. их можно заменить
одной. В самом деле, формулу (10) можно записать в виде
У ~ "е + (^’з'“ ^1) х+ 1.
Обозначив С3-Сд через Ср получим:
У = ^‘+С1х+ 1;
это решение получается из общего решения (8) при С3 = 1.
§ 494. Уравнение n-го порядка
k Уравнение л-го порядка, разрешенное относительно
у(») „ у у, у!, ytr, , , , yOi-D),
при данных начальных значениях х0, у0, у£, ..., Уо,!~п
имеет, как правило (ср, § 493), одпо-единствениое реше-
ние. Такое решение называется частным. Совокупность
всех частных решений называется общим решением. Общее
решение стараются представить в виде
у = ? (х, Сь С2, ..., Сп).
Не всякое решение, содержащее п постоянных, является
общим (ср. § 493, предостережение),
732
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 495. Случаи понижения порядка
Иногда дифференциальное уравнение второго или более
высокого порядка допускает понижение порядка. Важней-
шими являются следующие два случая.
Случай 1. Уравнение не содержит у. Тогда в каче-
стве неизвестной функции берегся величина у'.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение второго по-
рядка
(1 + х)у" Ьу'= 0. (1)
Решение. Принимая у' за неизвестную функцию, пе-
репишем (1) в виде
(1+*)<+У' = О. (2)
Это - уравнение первого порядка (с неизвестной функ-
цией у')- Помножив на dx, получим уравнение в полных
дифференциалах (§ 484), так что общий интеграл уравне-
ния (2) есть
(1+х)/= Cv (3)
Теперь вернемся к прежней неизвестной функции у и
запишем уравнение (3) так:
(1+х)^ = С,.
Интегрируя уравнение (За), находим:
у — С^ In (1 +x)+C;ji
Это-общее решение уравнения (1).
Случай 2. Уравнение не содержит х. Тогда в каче-
стве неизвестной функции опять берется у', но за аргу-
мент (вместо х) принимаем у. При этом производные вто-
рого и высших порядков преобразуем по формулам
dy> __ dy' 4 dy _ dy'
' dx dy * dx dy ? ’
У dx dyxdy У ) dx dy\dy?/f
(За)
(4)
(5)
(6)
И T. Д.
П p и м e p 2. Проинтегрировать уравнение второго по-
рядка
Г+у = 0. (7)
Решение. Применив формулу (5), преобразуем (7)
К виду
у' dy'+ydy = 0. - (8)
§ 496. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 733
Это - уравнение первого порядка (переменные у и у').
Общий интеграл уравнения (8) есть
У'3 |-у2 - С{. (9)
Возвращаясь к прежним переменным х, у, записываем (9)
в виде
Интегрируя, находим:
arcsin ~ = ± (х+С3),
откуда
у == Ci sin (х4-С3)
(знак ± включен в постоянную CJ.
Это--общее решение уравнения (8); его можно пре-
образовать к ВИДУ
у = С3 sin х-р С4 COS X,
где I
С3 = С\ cos С2, Сл = CL sin С2.
§ 496. Линейное уравнение второго порядка
Линейным уравнением второго порядка называется
Уравнение вида
• у" + Р (х) у' + Q (х) у = Р (х), (1)
где функции Р (х), Q (х), Р (х) ие зависят от у.
Если р(х)--; 0, то уравнение (1) называется уравнением
без правой части1), если же Р (х)^0, го—уравнением с
правой частью.
.Уравнение без правой части
‘ у" + Р(х)у' + 3(х)у = 0 (2)
обладает следующими свойствами.
Теорема 1. Если функция <pt (х) есть решение урав-
нения (2), то функция Ci?L (х) ((?!-постоянная)-также
решение.
Теорема 2. Если функции срг (х) и <р2 (х) суть два
решения уравнения (2), то функция ог (х) + <?'3 (х)- также
решение.
О Линейное уравнение без правой частя называют также однород-
ным Ср. сноску 9 иа стр. 716.
734 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Следствие. Если (х), ?2(х) суть два решения
уравнения (2), то (х)+Сг<р2 (х) (('^ и С2 - постоян-
ные)-тоже решение.
Пример 1. Рассмотрим линейное уравнение без пра-
вой части
= (3)
Убедившись проверкой, что функции хи — являются ре-
шениями, заключаем, что функция
; у = CjX-j-Cs^
также есть решение уравнения (3).
Замечание I. Решение у = С\о1 (х)4-С2(рг (х) не
всегда будет общим. Так, функции <рх (х) « Зх и <ра (х) =
= 5х суть решения уравнений (3), функция у ~ Cj#t (х)+
+ С3уг (х) = (ЗС!-р5Сг)х-также решение, но ие общее
(две постоянные С\, С2 не существенны; ср. § 493, предо-
стережение).
Замечание 2. Решение у = (х) С3<ра (х) не
будет общим, если функции <Pi(x), ?2(х) линейна зави-
симы, т. е. если нх можно связать соотношением
Mi (x)-f-a3<p2 (х) « 0, (4)
где хотя бы одна нз постоянных alt а2 отлична от нуля.
Если же решения <р. (х), р2 (х) линейно независимы,
т. е. если соотношение (4) возможно лишь тогда, когда
обе постоянные щ, аг равны нулю, то функция
У *= (х) (%)
дает общее решение.
Пример 2. Решения <Pi (х) = Зх и <р2 (х) = 5х урав-
нения (3) линейно зависимы, ибо при щ=5, аг = -3, или
при ^-.-10, а2 == —6, или при щ=15, а2 = —9 и т. д.
получаем (х) + аг<ра (х) = 0.
Решения ^(х) = Зх и <р2 (х) ~ линейно независи-
мы, ибо соотношение (4) возможно лишь при
В соответствии с этим решение у = ЗС^х-рбС'зХ-не
общее, а решение у = ЗСр;-—-- общее.
Все вышесказанное относится только к линейному уравнению без
правой части.
-§ 497. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФ. 735
Уравнение с правой частью
У"+Р (*) У’ + Q (X) у = R (X) (5)
обладает следующим свойством.
Теорема 3. Если функция /(х) является одним из
решений уравнения (5), то общее его решение есть
У = (х) + Саср2 (х) / (х), (6)
где срх (х) и о2(х) — диа линейно независимых решения
уравнения (2), т. е. соответствующего уравнения без пра-
вой части.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
= Зх. (7)
Убедившись проверкой, что функция / (х) = х3 яв-
ляется его решением, заключаем, что общее решение
уравнения (7) есть (ср. пример 1)
у = CiX+CjJ+X3.
Теорему 3 можно сформулировать еще так: общее ре-
шение линейного уравнения с правой частью есть сумма
какого-либо частного его решения и общего решения
соответствующего уравнения без правой части.
Замечание 3. Линейное уравнение второго порядка
(как с правой частью, так и без нее) приводится к квадра-
турам лишь в специальных случаях. Но к числу последних
прииадлежит'особеино важный для практики случай, когда
коэффициенты Р (х) н О (х) оба постоянны (см. ниже
§§ 497-469).
§ 497. Линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами
Уравнение
У'-ypy' + qy = R(x), (I)
где р и q-постоянные, a R (х) зависит только от х
(или является постоянной величиной), называется линей-
ным уравнением второго порядка с постоянными коэф-
фициентами. Уравнение (1) всегда приводится к квадра-
турам. А в случае, когда А’(х) -0 (уравнение без праной
части), решение не только приводится к квадратурам, но
и всегда выражается в элементарных функциях (см. § 498).
736 Дифференциальные уравнений
§ 498. Линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами без правой части
Рассмотрим уравнение
y"+py'+qy = 0, (1)
где р, д— постоянные. Будем искать решение вида ’
у-сгЛ (2)
Подставляя (2) в (1), найдем, что число г должно удовле
творять уравнению
г2 4- pr f q = 0. (3)
Последнее называется характеристическим уравнением
Могут представиться три случая. *
Случай I. -д >• 0. Характеристическое уран1
нение (3) имеет два неравных дсйствите зьных корня г}1 г
(^ = -2р±ПТ)’г0-
В этом случае имеем дна линейно независимых (§ 496,
замечание 2) решения: Общее решение
будет;
у = C^iC^v.
Пример 1. НаГпи общее решение уравнения
8у" | 2у'-3у — О,
а также частное решение при начальных условиях
Уо -= -6, Уо-7.
Решение. Характеристическое уравнение
8г2ч-2г-3 = О
имеет два неравных действительных корня:
(4)
(5)
хо^0,
(6)
з_
~ 4 '
дают два линейно независи-
Функций у -е2 , у -е
мых решения. Общее решение уравнения (5) есть
у = €\е 2
(7)
§ 498. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ 737
Для разыскания частного решения вычисляем произ-
водную у':
1 „ 3
1 ® о — д;
Г -yCiC3 ~~Сге * . (7а)
Подставляя в (7) и (7а) начальные данные, получаем
систему
-6 = C.+C„ Т = 4с1-|с„
Из нее находим: С1- '2; С2 = -8. Искомое частное ре-
шение есть
1 а
у = 2еа Х-8е й *.
К Случай 2. (J)3-g = O. Характеристическое урав-
нение имеет два равных корня = г2 = •
В этом случае решения y-eW, у—е^* линейно за-
висимы (они совпадают). Но теперь наряду с решением
V _ Р „
у=е s есть динеино независимое решение у = хе " .
Общее решение будет;
у = (С1 + С2х)е " (8)
Пример 2, Найти общее решение уравнения
у"+4у'-у4у-0 (9)
и частное решение при начальных условиях хо=О,5, у0~
-0.5, уа = -4.
„ Решение. Характеристическое уравнение
ги + 4г-{-4 - О
имеет равные корни — гй = —2. Функции у =
—хе-2* дают линейно независимые решения. Общее ре-
шение уравнения (9) есть
у~(С1+Сгх)е-Ч (10)
Дифференцируя, находим:
у' « [ - 2Ct+Cs (1 - 2х)] е-г*. (10а)
47 М. я Выгодский
738 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставив н (10) и (10а) начальные данные, получим
систему
0,5 = (0,4- 0,5С.) в-*, - 4 - 2С^-\
Отсюда находим: С,-2с, Са = -Зе. Искомое частное
решение есхь
у = (2е-3ех) е~йх
или
у — (2-Зх)е1~Ч
Случай 3. (у)8-? < О* Характеристическое урав-
нение имеет пару комплексных корней:
гы - -|±₽Л (11)
где _______
В этом случае выражения
&*, е’у» (12)
ие имеют действительных значений пи при каком действи-
тельном значении х, кроме хО, Но теперь можно ис-
пользовать функции
р X v X
у = е 3 cos рх, у = е 3 sin рх. (13)
Подставляя их в уравнение (1), убеждаемся, что каждая
1из функций (13) является решением уравнения (1).
В § 493а показано, как выводятся решения (13) из комплексны*
решений вида (12).
Решения (13) линейно независимы, и потому общее ре-
шение будет;
у е 8 ’ (С, cos Зх ; С2 sin 0х), (14)
пли в ином виде
у = С3е 3 sin (Cj + px) (14а)
«(где С3 sin С4 - С„ С3 cos С, = Сг).
ПримерЗ. Найти общее решение уравнения
р'+у'+у ~ 0, (15)
§ 498а. СНЯЗЬ МЕЖДУ СЛУЧАЯМИ I И 3 739
Решение. Характеристическое уравнение
гг+г+1- 0 (16)
I Кз <
имеет мнимые корни г1ш г ~ --g-Функции
1/- 1 Г—
Кз ~тх • /з
у- --е 2 cos^x н у~е sib—х
дают линейно независимые решения. Общее решение урав-
нения (1) есть
у - е 3 (с\cos^х+С3sin(17)
илн
у =- с3е ‘ Sin(c4+?x). (17а)
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у" + у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение тг+1 = О
имеет мнихмые корпи г1л г = ±/(здесь Р ;1, -^ = о).
Общее решение есть (ср. § 495, пример 2)
у = С’х cos х-р Сг sin х.
$ 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498
Частные решения вида
Ф1 (х) = е'1*, ¥2 (х) = еГ1Х j = - j/"(“У-4] . (1)
которые были использованы в § 498 для случая 1, можно использовать
и для случая 3, если цвести в рассмотрение комплексные числа и опре-
делить комплексную степень числа е, как вто было сделано в § 409.
Формулы (1) запишутся теперь так:
¥1(*) *= е > Фг (х) = « . (2)
где р £ = "J/Cy-(—^ j и — действительные числа. Выражения
(2) представляют пару комплексных функций действительного аргу-
мента х. Так как эти функции дифференцируются по обычным пра-
вилам (§ 40^), то они являются решениями урарнения у” + ру' л-tfv =0
также и в случае 3. Эти решения не удовлетворяют нас,таккаконине
являются действительными. Но из них можно вывести и действи-
тельные решения. В ежмом деле, применив формулу Эйлера (§410), мы
можем представить решения (2) в виде
Ф! (х) = е“г (cos fix +< ein fix), (3)
?г (х) s (cos px -f sin ^х).
47*
740 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция СДт/х) +C2ps(x) является решением при любых по*
стоянных значениях С1( Cs (§ 496), Положив сначала Сх-= — , Cs = ,
& &
а в другой раз Cj ~ , Са = - , мы получим два действительных
л
решения:
еах cos рх и ехх sin fix.
Они и были использованы в случае 3 § 498.
§ 499. Линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами с правой частью
Общее решение уравнения с правой частью
y" + py' + qy = R(x) (1)
получается с помощью квадратур из общего решения со-
ответствующего уравнения без правой части
у" + РУ + qy = 0 (2)
по общему методу, изложенному ниже в § 501. Но во мно-
гих практически важных случаях цель достигается проще
следующим образом.
Надо сначала подыскать какое-либо частное, решение
/ (х) данного уравнения (1), затем надо прибавить f (х)
к общему решению соответствующего уравнения (2) без
правой части. В сумме получится (§ 496, теорема 3) об-
щее решение данного уравнения.
Для подыскания функции / (х) пользуются следующими
тремя правилами.
Правило 1. Если правая часть R (х) уравнения (1)
имеет внд
R (х) = Р (х) е* (3)
где Р (х) —какой-либо многочлен степени т, и если число
к не является корнем характеристического уравнения
г3 4 pr+q = о, (4)
то уравнение (1) имеет частное решение вида
у* = <2 (х) s’1*, (5)
где Q (х) - некоторый многочлен той же степени т [звез-
дочка при у поставлена для отличия частного решения
у*=/(х) уравнения (1) от общего его решения].
$ 499* ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 741
Коэффициенты и свободный член многочлена Q (х)
можно найти по методу неопределенных коэффициентов.
Замечание 1. Если множитель Р (х) есть постоян-
ная величина (многочлен нулевой степени), то ф(х)-тоже
постоянная.
Замечание 2. Правило распространяется и на слу-
чай, когда R (х) — многочлен (т. е. к=0). Тогда реше-
ние (5) —тоже многочлен.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
= Зег *. (6)
Решение. Характеристическое уравнение
г!Ч''-1“0 р)
нмест корни Г!=г1, г3 = -у, так что общее решение
соответствующего уравнения без правой части есть
_±*
у = С1е*+С4ев (8)
[черточка над у поставлена для отличия общего решения
уравнения (2) от общего решения у уравнения (1)].
Остается иайти какое-либо частное решение у* уравне-
ния (б). Правая часть последнего имеет вид (3), причем
Р (х) ~ 3 (многочлен нулевой степени) и число к - ~
не является корнем характеристического уравнения (7).
По правилу 1 уравнение (б) имеет решение вида
i
у* — Де* (А —постоянная). (9)
Подставляя (9) в (б), находим:
(4.л_|.1л_1Д)Д' = зЛ'. ио»
1
— ®
Приравнивая коэффициенты при е3 , получаем:
А = -6. (И)
Искомое решение у* есть
у* = -6?’\ (12)
I
742 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
Общее решение уравнения (6) есть *
у = у + у* = + С2е 2 — бе
Пример 2. Найти общее решение уравнения
у" — Зу' + 2у = Хг + Зх,
Характеристическое уравнение
имеет корни г,-!, г.=2, так что (при обозначениях
примера!) у = c^ + CZ'. (15)
ь уравнения (14) имеет внд (3), причем Р (х)=
число к=0 нс является корнем характсри-
(16)
Правая часть
= Y2 _L Зх и 1__
стического уравнения. Ищем решение вида
у* = ДхгЧ'13х + С.
Подставляя в (14), получаем равенство
2Ах2 + (2В — 6А) х + 2С — ЗВ+ 2А - х- + 3х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
нях х, получаем систему
2Л=1, 2В — 6А = 3, 2С — ЗВ + 2А — О,
из которой находим: А = А, В = 3, С = 4, так что
у* = 1ха+Зх+4.
Общее решение уравнения (14) есть
У = у + у* = С1^ + Сае=х + ^-х2 + Зх+ 4.
(13)
(14)
(17)
стспе-
(18)
(19)
(20)
Замечание 3. Для уравнения У"~3У' =
поиски частного решения видаi (16) выли
ибо число к = 0 теперь является корнем характеристи
СКОРО уравнения (г’-Зг = О). Условия правила 1 пару-
шены, и надо применить правило 2.
1) Оно решено ниже в примере 3. „тае отыскать решение
[ У = -i^-raX’-^x.
Прир.»иягЬкоэФФици7и™пТ«Х;к^™ Общсе Решгние Уравнения (24) есть
рыжа'ока^ажк ь несостоятельной, но к ошибке н? привела. । у + С3 - А х3 - ” хя - -1 х
Е 9 18 27л'
§ 499. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 743
хме"Рви° ИЛ° 2 ПУСТЬ ”₽аюя часть *P«lm (1)
Я (х) = р (х) (21)
где Р (х) - многочлен степени т, и пусть число к является
корнем характеристического уравнения г2 + рг+о = о
Если этот корень - однократный (т. е. один из непавиыу
корней), то уравнение (1) имеет частное решение вида
У* = xQ (х) £**, (22)
где Q (х) - многочлен степени т, если же к - лвукпятиыв
няп^НЬ хаРакТ?РИСТИЧССК0Г0 уравнения (т. е. одни из двух
равных корней), то уравнение (1) имеет решение вида Д У
У* = x2Q (х) (23)
Замечания 1 и 2 остаются в силе.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
У"-3>" = х2 + 3х, (24)
а также частное решение при начальных условиях
х0 = 0, уи у' = з_
г2 - Зг = О
(г1=--3, г! = 0). Уравнение (24) имеет частное
У* ~ х (Ахг + Рх + С) = Дх3 ь Bxs + Сх.
Поступая, как в примере 2, получим систему
-9А=1, -6В-1-6А = 3, -ЗС-ь2В =
из которой находим: А = — А п ~ _11 р _
ЧТО 8 18 ’ —
решение вида
(25)
0.
и
-27, так
(26)
(27)
?44 дифференциальный уйаэИеннЯ
Дифференцируя, получаем:
У' ~ 3(\е*> - х» - % х ~ '4. (27а)
Подставляя в (27) и (27а) начальные значения, получаем
систему
1 =(?! + (?,, 3 = 3^-11.
* Z i
02 11
Она дает: Ci=§r> Са = —гт,’ искомое частное решение
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у"-2у' + у = хе*. (28)
Здесь Р(х)~х и число /с-1 есть двукратный корень
характеристического уравнения гй~2г-(-1 = 0. Уравне-
ние (28) имеет частное решение вида
у* = х2 (Ах + В) — (Ах3+ Вха) е\ (29)
Подставим (29) в (28); члены, содержащие х3 и сами
собой устранятся, и мы получим равенство
(6Ах + 2В)е* = хе*. (30) ।
Приравняв коэффициенты при членах с одинаковыми;
степенями х, получим систему 6А=1, 2В-0, так что
у* =
Общее решение уравнения (28) (см. § 498, случай 2) есть
у = (С1 + Сгх)^ + 4хЭеГ‘ (31)
Правило 3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид
R (х) = е“яг[Р1 (х) cos px + Pj (х) sfn рх], (32)
Где Pt(x) и Р2(х) —многочлены степени тх и тг.
Возможны два случая;
1) комплексные числа а±₽/ не являются корнями характерис-
тического уравнения г® + рг + д =0, I
2) числа z±pi являются корнями этого уравнения *) I
’) Случай, когда лишь одно из чисел а ± является корнем ура-
внения г2 +pr +q — Q, невозможен (при действительных значения
коэффициентов р, д).
§ 499. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 745
В первом случае уравнение (I) имеет решение вида
у* = eajr [QL (х) соь (Зх 4- <?. (х) sin 0х], (33)
где (х), Q* (х)—многочлены, степени которых не превышают стар-
шей из степеней mn тг.
Во втором случае уравнение (1) имеет решение лида
V* = (х) соя 0х +(х) sin рд], (34)
Пример 5. Найти общее решение уравнения
у"+у = 10е* sin 2х. (35)
Здесь Pt (х) «= О, Р3 (х) — 10 (т, е, Pt (х) и Р3 (х) —многочлены
нулевой степени), ач=1, 0=2. Комплексные числа «±0/ = 1 ±2т не
являются корнями характеристического уравнения г® + 1 —0. Уравне-
ние (35) имеет частное решение вида
j.*=e^(A cos 2х + В sin 2х), (36)
Подставляя (36) в (35), приходим к равенству
( -2А + 4S) cos 2х + ( -4А -2В) sin 2х]е* = 10ех sin 2х (37)
и получаем систему
- 2А+4В=0, -4А-2В=10.
Ола даст; А = — 2, В = — 1, так что
у* = —ех (2 cos 2х +sin 2х).
Общее решение уравнения (35) есть
у = Cj cos X 4 С» sin х — ех (2 cos 2х 4 sin 2х). (38)
Пример 6, Найти общее решение уравнения
У" +У = 4х sin х. (39)
Здесь Pj (х)=0, Р2 (х)=4х [старшая степень многочленов Pj (х)
и Рг (х) —первая], « =7>, 0 = 1. Комплексные числа «±0/ = ±i явля-
ются корнями характеристического уравнения г®+1=0. Уравнение
(39) имеет частное решение вида
у* = X [(AjX + Bj) cos х 4 ( А2х + В£) sin x] =
= (Aj№ + BjX) cos X4 (А2х2 + BjX) sin x). (40)
Подставляя (40) в (39), приходим к равенству
[4A2x + (2Bs +2А0] cos х +[-4Atx +( -2В, + 2AS)] sin x =
= 4x sin x (41)
и получаем систему
4Аг = 0, 2вг+2А! = 0, -4Ai=4, -2В(+2А,= 0.
Она дает: А, = - i, = 0, Аг=0, В2 = 1,такчто
J,* = - X2 COS X + X sin X.
Общее решение уравнения (39) есть
у = Ct cos х +Сг sin х + х ( -х cos х + sin х). (42)
3 а м е ч а н и е. 4. Если в правой части уравнения (I) стоит сумма,
где каждое слагаемое имеет вид (21) или (32), то уравнение (1) имеет
частное решение, представляющее сумму выражений вида (5), (22),
(23), (33), (34). Коэффициенты отыскиваются, как в примерах 1-6.
746 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 500. Линейные уравнения любого порядка
Линейным уравнением порядка п называется уравнение вила
у(п) + Р1(х)У("-1)+ - +Р»(х)У=Н(х). (1)
Если /?(х)=0, то (1) называется уравнением без правой части
(или однородным), если 7? (х)^ О, то—уравнением с правой частью
(или неоднородным).
Свойства линейных уравнений второго порядка (§§ 496 -499)
следующим образом распространяются на линейные уравнения выс-
ших порядков.
Если <pt (х), фг (х),... , (х)-решения уравнения без правой
части
У(П)+Р1(Х)/Я“1)+... +Р»(Х)У=О, (2)
то функция
у= Ci<?i (Х)+Слфг (Х)+ ... + Сп?„(х) (3)
тоже является решением. Последнее не будет общим, если решения
Vi (х), фг(х),... , <р„(х) линейно зависимы, т, е. связаны соотношением
(*)+ae?s(x) + - +^пФп(х) = 0, (4)
где из постоянных a,, ai;..., «„ хотя бы одна отлична от нуля.
Если же решения ф, (х), ?а (х),... , ?„ (х) линейно независимы,
т. е. если равенство (4) возможно лишь тогда, когда все постоянные
аь «а,... , «„равны нулю, то (3) есть общее решение уравнения (2).
Общее решение уравнения (I) получается из какого-либо частного
его решения прибавлением общего решения уравнения (2).
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами без правой
части
у'п} + иу'*"1’ + + - +№0 (5)
решается с помощью характеристического уравнения
г” + р1г”~1 +Р1Г1 8 4-... +рп = 0. (6)
I. Если все корни г1( г2.г» характеристического уравнения
действительны и однократны, то общее решение уравнения (б) есть
у ~ С1ег^ + С^х + ... + С„еТ< (7)
II. Если какой-либо действительный корень г имеет кратность к
(г, н гг = ... = /-j), то в формуле (7) соответствующие к членов за
меняются слагаемым
(С, -Cjx + . . . +С^~ х) еп. (8)
HI. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных
сопряженных комплексных корней (гы =-« ± ?0> то соответствующая
пара членов в формуле (7) заменяется'слагаемым
f** (Ct cos рх+Ся sin рх). (9)
§ SOO. ЛИНЕЙНЫЕ У^авйеййЙ ЛЮБОГО ПОрядца 747
IV. Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней
имеет кратность Л, то соответствующие к пар членов в формуле (7)
заменяются слагаемым
^[(Ci+CaX-l- ,. . +Сьх*~1)еО5 3эс+
+ {Dl+Dix+ .., + £>AxE_I)sin Зх]. (10)
Пример, Рассмотрим уравнение
У¥+у1Г+2у'"+2у"+У+У = 0. (11)
Его характеристическое уравнение
Лв+Н+2т®+2лг+г+1 «. О (>»)
имеет однократный действительный корень г = — 1 и пару двукратных
сопряженных мнимых корней г » ±/. Общее решение уравнения (11)
есть
у = Cje-* +(C<> + Csx) cos Х + (Ci-C-Л) sin х. (13)
Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами с пра-
вой пастью
У{п)+р1У(к~1}+ -ЬЛУ~Я(х> (Н)
общее решение получается с помощью квадратур из общего решения
соответствующего уравнения без правой части по методу, обьяснен-
ному в § 501. Но если правая часть Д (х) имеет вид Р (х) е*х
[Р(х)-многочлен], или более общий вид
[Pi (х) cos рх + Р3 (х) sin 0х],
или представляет сумму членов подобного вида, то решение упроща-
ется.
I. Пусть
Р (х) = Р (х) (15)
где Р (х) —многочлен степени т, Тогда уравнение (14) имеет частное
решение вида
v’=Q(x)t':I, (16)
,гдс Q (х) —многочлен степени т —при условии, что число А нс является
'корнем характеристического уравнения (6). В противном случае
уравнение (14) имеет чаЬтное решение вида
у* = х'<? (х) е**, (17)
где Z—кратность, с какой к входит в число корней характеристиче-
ского уравнения (ср § 499, правила I, 2 и примеры 1 —4),
И. Пусть
R (х) = еа’[Р, (х) cos £х 1-Рг (х) sin Зх], (18)
где Р, (х) и Рг (х) —многочлены степени ггц и шг. Тогда уравнение (14)
имеет частное решение вида
У* = е*х [Qj (х) cos 3x + Qs (х) sin 3*1 (19)
гдеф, (x), Q: (x) суть многочлены, степень которых не превышает стар-
шей из степеней тг и т2 — при условии, что комплексные числа я ± {Д'
W& ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
не являются корнями характеристического уравнения (6). В противом
случае уравнение имеет частное решение вида
у* « хг (х) cos рх 4- Q2 (х) sin рх], (20)
где /—кратность, с какой пара корней «±р/ входит в число корней
характеристического уравнения (ср. § 499, правило 3 н примеры 5,6).
§ 501. Метод вариации постоянных
Общее решение линейного уравнения с правой частью
получается из общего решения соответствующего уравне-
ния без правой части с помощью квадратур. Для этого
можно применить следующий прием.
В общем решении уравнения без правой части заменяем
все произвольные постоянные неизвестными функциями.
Полученное выражение дифференцируем и попутно под-
чиняем неизвестные функции добавочным условиям, упро-
щающим вид последовательных производных. Подставляя
выражение производных у', у", у'" и т, д. в данное уравне-
ние, получаем еще одно условие, налагаемое на неизвестные
функции. Тогда оказывается возможным найти первые
производные всех неизвестных функций и остается выпол-
нить квадратуры.
Этот метод применим к линейным уравнениям любого
порядка как с постоянными, так и с переменными коэф-
фициентами. В § 486 он был применен к линейному ура-
внению первого порядка. Здесь рассмотрим уравнение
второго порядка
у" 4- Р (х) у' + Q (х) у « 7? (х). (1)
Пусть общее решение соответствующего уравнения без
правой части есть
У = Qi9*(x)+C2y2(x). (2)
Ищем общее решение уравнения (1) в виде (2), считая
теперь и С3 неизвестными функциями от х.
Дифференцируя (2), находим:
У' = с1?х (А') + с2ф2 (х) + Cjfpj (х)+С2'ф3 (х). (3)
Вводим добавочное условие
с1?1 (*) + Сз<р2 (X) ₽= 0. (4)
Тогда вид первой производной упрощается, и мы имеем:
У’ - с1?1 (х)+С£ф2 (х). (5)
Дифференцируя еще раз, имеем:
У' — (х)4-Сйфй (х)-ЬС£ф1 (х) -рСдфд (х). (6)
§ 502. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАЙНЕНИЙ 749
После подстановки выражений (2), (5) и (6) в уравнение (1)
все члены, соде ржаные Сп взаимно уничтожатся (ибо
функция У ’ 9) (-у) есть решение уравнения у'Ч-Ру' +
+ Qy — 0); точно так же взаимно уничтожатся все члены,
содержащие Са, и мы получим еще одно условие
(х)+С'3<рз (х) -- R (х). (7)
Условия (4) и (7) позволяют найти выражения производ-
ных С[, С’з, и остается выполнить квадратуры.
Пример. Рассмотрим уравнение
y" + y = tgx. (la)
Общее решение соответствующего уравнения без правой
части есть
у — С\ cos х+ С2 sin х, (2а)
где Ci и Сг - произвольные постоянные. Ищем решение
уравнения (1а) в виде (2а), считая теперь С\ и Сг неизве-
стными функциями.
Условия (4) и (7) принимают вид
Ci cos х + С'2 sin х = 0, -Ci sib х +CJ cos x = tg x. (3a)
Отсюда находим:
Ci = -tg x sin x, Ci = sin x;
Cj ~ J — tg xsin x dx + C3, Сг = J sin x dx+C4
(C3, -постоянные). В данном случае интегрирование
выполнимо в элементарных функциях. Подставляя в (2а),
получаем- общее решение
У = 0п 1+ sin X + C3)cos х+ (-cos x + cj sin X =
= cos x in + C3 cos x + C4 sin x.
- § 502. Системы дифференциальных уравнений.
Линейные системы
Системой дифференциальных уравнений называется
совокупность уравнений, содержащих несколько неизве-
стных функций и их производные, причем в каждое из
уравнений входит хотя бы одна производная. На практике
имеют дело с такими системами, где число уравнений равно
числу неизвестных.
Система называется линейной, если неизвестные функции
и их производные входят в каждое из Уравнений только
в первой степени. Линейная система имеет нормальный
вид, когда она решена относительно всех производных,
750 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Система дифференциальных уравнении
(/зс 3 jtf / 4 <
(1)
&= -4х-2у+4/+1 (2)
— линейная; она имеет нормальный вид.
В этом примере мы имеем лилейную систему с по-
стоянными коэффициентами (коэффициенты при неизве-
стных функциях’и их производных постоянны).
Из линейной системы (присоединяя к ней уравнения,
выведенные дифференцированием) можно исключить все
неизвестные (и их производные), кро.мс одной. Полученное
уравнение будет содержать одну неизвестную функцию и
се производную первого и более высоких порядков. Это
уравнение тоже будет линейным, а если исходная система
была системой с постоянными коэффициентами, то и най-
денное уравнение высшего порядка будет jweib постоян-
ные коэффициенты.
Разыскав неизвестную функцию этого уравнения, под-
ставляем ее выражение в данные уравнения и находим
остальные неизвестные функции.
Пример 2. Решить линейную систему примера 1.
Решение. Чтобы исключить у и ~, продифферен-
цируем (1). Пслучим:
(ПХ CfX Cty
df2 ~ dt dt +
Из уравнения (1) находим выражение у через /, х п~;
подставляя в (2), найдем выражение через те же ве-
личины. Подставляя это выражение в (3), получил! линей-
ное уравнение второго порядка
^ + £-бх = 3^-/-1. (4)
По способу § 499 находим его общее решение
х = + (5)
Это выражение подставляем в уравнение (1) н находим
вторую неизвестную функцию
у = _*L+x+j.Za == -С1е«+4С2е-«+^+Л (6)
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
§ 503. Строфоида
Прямая
так:
CD
(.Определение и построение.
строфоида1), нли просто строфоида, определяется
берем взаимно-перпендикулярные прямые АВ,
(черт, 479) и на одной из
них точку А; через нее про-
водим произвольную пря-
мую AL, пересекающую CD
в точке Р, На AL откладываем отрезки PMlt РМг, равные
ОР(О~точка пересечения АВ и CD). Строфоида (прямая)
есть геометрическое место точек Mt, Mg.
Косая строфоида (черт. 480) строится аналогично с той
разницей, что АВ и CD пересекаются косоугольно.
*) От греческого «строфй» (crrpyij) - поворот.
752 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ро-
бсрвалем1) в 1645 г. под именем птероиды 2). Нынешнее
название введено Миди в 184() г.
2. С т е р с о м е т р и ч с с к о'е образование.
Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD
(черт. 479) и радиусов АО, Через точку А приведем пер-
пендикулярную к плоскости чертежа произвольную плос-
кость /< (прямая ДЛ-след этой плоскости). В сечении
получим эллипс; его фокусы Mlf Ms описывают прямую
строфоиду.
Косая строфоида строится аналогично с тон разницей,
что цилиндрическая поверхность заменяется конической:
ось конуса (OS на черт. 480) проходит через О перпенди-
кулярно к АВ; прямая UV, проходящая через В парал-
лельно CD, — одна из образующих. Точки , Л1а — фо-
кусы соответствующего конического сечения; косая стро-
фоида расположена на обеих полостях конической поверх-
ности и проходит через вершину S последней.
3. Уравнение в декартовой системе
(О-начало; ось ОХ направлена по лучу О В; АО = а,
z. AOD ~ я; когда строфоида-косая, система коорди-
нат—косоугольная, ось OY направлена по лучу ОГУ):
у2 (х-а)-2х2у cos я-рх3 (а-|-х) = 0. (1)
Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду
(2)
Уравнение в полярной системе (О —полюс,
ОХ —полярная ось);
a cos 2d
k cos ?
Рациональное параметрическое представление
(н - tg <р):
/К1 - 1\ /ц2 - 1\
х = й(эТ1)’ y = au(w+i)-
4. Особенности формы. Точка О - узловая 3);
касательные к двум ветвям, проходящим через О, взаимно-
ЧРобервал ь — псевдоним французского учёного Г. Персонье
(1602 — 1675) родом из деревни Роберваль. Один из основоположников
метода бесконечно малых, изобретатель весов, носящих его имя.
2) От греческого <птербн> (г.тгрбч) —крыло.
3) Узловой точкой некоторой линии называется такая ее точка, че-
рез которую эта линия проходит дважды (или более двух раз), имея
здесь отличные друг от друга направления,
§ 504. ЦИССОИДА ДИОКЛА 753
перпендикулярны (как для прямой, так и для косой стро-
фоиды). Для косой строфоиды (черт. 480) прямая UV слу-
жит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме
того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноот-
стоящей от А и В.
У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бес-
конечность» (при удаления вверх), так что прямая UV
(черт. 479) служит асимптотой для обеих ветвей.
5. Радиус кривизны в узловой точке прямой
строфоиды
- а J2 ON (черт. 479).
6. Площади и о б т, е м ы для прямой строфоиды.
Площадь петли A0Mt:
= 2az — у -ка2.
Объем Vi тела, произведенного вращением петли около
оси СХ‘.
= тж3 (21п 2--д ) ~ 0,166 а3.
Площадь Sa между ветвями OU', 0V' и асимптотой (эта
площадь простирается в бесконечность, ио имеет конеч-
ную величину)
S2 = 2а2+1яа*.
Объем тела, произведенного вращением фигуры
U'OVVU около оси ОХ, имеет бесконечную величину.
§ 504. Циссоида Диокла
1. Определение и построение. На отрезке
О А = 2а, как на диаметре, строим окружность С (черт. 481)
и проводим через А касательную UV. Через О проводим
произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F;
эта прямая пересечет (вторично) окружность С в точке Е.
На прямой OF от точки F по направлению к О отклады-
ваем отоезок FM, равный хорде ОЕ. Линия, описываемая
точкой М при вращении OF около О, называется циссои-
дой Диокла —ио имени греческого ученого II века до н. э.,
который ввел эту линию для графического решения задачи
об удвоении куба1).
В этой задаче требуется по данному ребру куба построить ребро
другого куба, вдвое большего по объему. , ’ ’ "
48 М. Я- Выготский
754
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
2. Исторические сведения. Диокл определял
циссоиду с помощью иного построения. Он проводил диа-
метр BD, перпендикулярный к О А; точка М получалась
в пересечении хорды ОЕ с прямой GG' 11BD, проведен-
ной через точку G, симметричную с Е относительно BD.
Поэтому линия Диокла распила! алась целиком в и у т р и
круга С. Она состояла из дуг
ОВ и OD. Если замкнуть линию
BOD полуокружностью BAD,
описанною точкой Е, получает-
ся фигура, напоминающая лист
плюща. Отсюда название
«циссоида»г).
Примерно в 1640 г. Робер-
валь, а позднее Слюз2) заме-
тили, что циссоида неограни-
ченно продолжается И за пре-
делы окружности, если точка
Е описывает и дру1ую полу-
окружность BOD; тогда М ле-
жит на продолжении
хорды ОЕ. Одиако наимено-
вание «циссоида Слюза», пред-
ложенное Гюйгенсом, не ут-
вердилось в литературе.
3. Уравнение в пря-
моугольной системе
(О —начало, ОХ —ось абсцисс):
2^*
В полярной системе (О-полюс, ОХ —поляр-
ная ось):
_ 2TSfn* ip
“ ~~ соз 9 *
Рациональное параметрическое представление
(и = tg ?):
_ 2а _ 2а
Х ~ 1 4 «з ’ У ~ и (1 +us) '
4. Особенности формы. Циссоида симметрична
относительно О А, проходит через точки В, D и имеет
!) По-гречески <киссоида> — от «киссос» (хкгайс) — плющ.
Е) Р. де Слюз (1622-1685)—нидерландскийученый,последова-
тель Декарта.
§ 505. ДЬКЛРТОВ ЛИСТ
755
асимптоту UV (х = 2а); О-точка возврата1) (радиьс кри-
визны = О).
Построение касательной. Чтобы построить
касательную к циссоиде в се точке М, приводим Мр 1 ОМ.
Пусть Р, Q- точки пересечения МР с прямыми OX, OY.
От точки Р на продолжении отрезка QP откладываем от-
резок РК = PQ. Строим KN |j МО и ON [| QP. Точку N
пересечения KN и ON соединяем с Л1. Прямая М-
нормаль к циссоиде. Искомая касательная Л1Г перпенди-
кулярна к MN.
5. Площадь S полосы, заключенной между циссои-
дой и се асимшотой (ата полоса простирается в бесконеч-
ность), конечна; она втрое больше площади производящего
Круза С;
S — Зда2.
6. Объем У юла вращения вышеупомянутой полосы
около асимпто i ы U V равен объему V тела вращения
круга (' около тон же оси (С л юз):
V V' = 2~V.
При вращении той же полосы около оси симметрии
получается тело бесконечного объема.
7. Центр тяжести II полосы между циссоидой
и се асимптотой UV делит отрезок О А в отноше-
нии ОН: НА ~ 5 : 1 (Гюйгенс).
8. Связь с параболой. Геометрическое место
оснований перпендикуляров, опущенных из вершины па-
раболы (уа х- 2рх) на ее касательные, есть циссоида
§ 505. Декартов лист
(.Исторические сведения. В 1638 г. Декарт,
чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило Ферма
для разыскания касательных, предложил Ферма найти
касательную к линии хэ + у3 = пху. При обычном для
нас толковании отрицательных координат эта линия, кото-
рую в XVIII веке стали называть декартовым листом, со-
стоит из петли О В АС (черт. 482) и двух бесконечных
i) Определение точки возврата см. § 507, п. 4.
48*
756 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ветвей (01, OL). Но в таком виде ее представил впервые
Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию №-;>3 =- пху пред-
ставляли в виде четырех лепестков (один из них О В АС),
симметрично расположенных в четырех координатных
углах. Поэтому ее называли «цвет-
ком жасмина».
2. Уравнение декартова
листа обычно записывают в виде
х3+у3 = Заху. (1)
Коэффициент За выражает диаго-
наль квадрата, сторона которого
равна наибольшей хорде О А петли,
так что
Черт. 482.
ОА
= 3‘-
/2 '
(2)
Уравнение в полярной системе (О —полюс, ОХ-
полярная ось):
За cos у sin у
Р = '”cos;i<p+sin39 '
Рациональное параметрическое представление
(« - tg ?):
х = _?««_ v = . (4)
А I 4- н3 ’ У 1 + и3 ’ ™
Особенности формы. Точка О — узловая. Каса-
тельные, проходящие через О, совпадают с осями коорди-
нат. Прямая ОА(у = х) есть ось симметрии. Точка
Д(-у-» -у-)» наиболее удаленная от узловой точки, назы-
вается верти ной. Прямая U V (х+у + а = О) — асимптота
обеих бесконечных ветвей.
3. Уравнение относительно оси симмет-
рии. Если ось симметрии О А принять за ось абсцисс,
направив последнюю от узла О (начала координат) к асимп-
тоте UV (черт. 483), то декартов лист представится урав-
нением
где; = — = О А.
(5)
$ 805, ДЕКАРТОВ ЛИСТ 75?
Соответствующее уравнение в полярной системе:
— *(5|'ПЯ Ф ~-с^5Д ?)
Р “ 3 51Т1Фф 4-COS3 ф
Рациональное параметрическое представление
(u=tg9):
«г-1
Х * Эи® + 1 ’ У 1 Зцг +1 '
4. Р а д и у с кривизны: в вершине /?л = —~ =
8 г 2
/ м *-* Зд /
= -г-; в узловой точке /?0 .
в J у2
5. Площадь Sx петли и площадь S2 (бесконечной)
полосы между бесконечными ветвями н асимптотой равны
ме'жду собой и выражаются формулой
8, = 5. = =
6. Наибольший поперечник петли:
ВС = ~ /2 3 « 0,448I.
Его расстояние от узла;
DO = 4 /3 ~ 0.577/.
V
7б$ НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИЁЫЁ
7. Построение, Чтобы построить декартов лист
с диаметром петли I, проведс.м окружность А радиуса
АО = 1 и какую-либо прямую ОН, параллельную АО. Далее
проведем прямые АЛ' и ОЕ, перпендикулярные к АО, и
отметим точки Л', Е их пересечения с ОН. Наконец, от-
ложим на луче О А отрезок OF 3OA и проведем пря-
мую FE. Теперь искомая линия строится по точкам сле-
дующим образом.
Через О проводим любую прямую ON и через точку N,
где эта прямая пересекает (вторично) окружность, прово-
дим NQI] АД'). Точку Q, где NQ пересекает прямую OF,
соединяем с А и отмечаем точку К, где QA' пересекает
FE. Проводим прямую ЛК до пересечения с прямой ОН
в точке Q', Наконец, откладываем па прямой ОД отре-
зок ОР, равный и равнонаправлениый с отрезком A'Q'.
Прямая МуМ.^, проведенная через Р параллельно АД', пе-
ресечет прямую ON в точке Мг, Эта точка (а также точ-
ка ЛГ2, симметричная с ней относительно АО), принадле-
жит искомой линии.
Когда точка N, исходя из О, описывает окружность А
против часовой стрелки, точка Мг описывает траекторию
LOCABOL
§ 506. Верзьера Аньези
1. Определение, Пусть иа отрезке ОА=а
(черт. 484), как на диаметре, построена окружность и пусть
пол у хорд а ВС продолжена до точки М, определяемой из
пропорции
ВМ:ВС = ОА:ОВ.
Когда точка С описывает окружность OCjCt, точка М
описывает линию, называемую верзьерой Аньези — по имени
S 506. ВЕРЗЬЕРА АНЬЕЗИ
750
итальянского ученого Марии-Гаэтаны Аньези
(1718— 1799), которая расс.матривала эту линию в руковод-
стве по высшей математике (1748), пользовавшемся в свое
время широкИхМ распространением.
2. П о с т р о е н и е. М. Аньези указала следующее про-
стое построение верзьеры. Пусть L-точка пересечения
прямой ОС с прямой UV, касающейся данной окружности
в точке А (вершина верзьеры). Проводим прямые LM|| АО
п СВ || AL. Точка пересечения Л-1 прямых LA1 и СВ при-
надлежит верзьере. При построении полезно учесть особен-
ности формы верзьеры (см. ниже).
3. У р а в и е и н е (О - начало; касательная Х'А' к про-
изводящей окружности в точке О — ось абсцисс);
у
(а = О А — диаметр производящей окружности).
4. Особенности формы. Диаметр ОЛ - ось
симметрии верзьеры. Верзьера располагается целиком по
одну сторону от прямой Х'Х. Последняя является асимп-
тотой верзьеры. Верзьера обладает двумя точками пере-
гиба -4 ^, М2^ —Они строятся по вы-
шеуказанному способу, если точку С совместить с одной
из точек С1( Са (АС\ = АС2 = . Углы ап а2, составля-
емые касательными MtF, M2F с осью Х'Х находятся по
3 3"
формуле tgali2-— т—. Для построения касательных
AfyF, M2F достаточно отложить отрезок AF = у иа про-
должении диаметра О А.
В вершине А центр кривизны К верзьеры совпадает
с центром производящей окружности, так что радиус кри-
визны Ra = AjT< = ~. Поэтому вблизи вершины А верзь-
ера практически сливается с окружностью.
5. П л о щ а д ь S бесконечной полосы между верзьерой
и ее асимптотой равна учетверенной площади производя-
щего круга: 5 = тга2 (ср. § 327, пример 4),
6. О б ъ е м V тела вращения верзьеры около асимптоты
равен удвоенному объему Vj тела вращения производя-
щего круга около той же оси:
3
у -
4
760 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Тело 'вращения верзьеры около оси симметрии имеет бес-
конечный объем.
7. Исторические сведения. Линия, заданная
уравнением у = > впервые встречается у Ферма,
который в ЗО-х годах XVII века нашел площадь, ограни-
ченную дугой этой линии, двумя ординатами и осью
абсцисс (задача эта тогда представляла значительные
трудности, так как методы интегрирования были еще мало
разработаны). Построение верзьеры и ряд ее свойств были
указаны итальянским ученым Гвидо Грап ди в
1718 г. Ему принадлежит и термин «верзьера» (versiera); это
слово, не смущаясь его двусмысленностью (по-итальяиски
оно означает «ведьма»), Г р а н д и произвел от термина
sinus versus («обращенный синус»); в эпоху Гранди отре-
зок ВС именовался синусом дуги ОС, а отрезок ВА~
обращенным синусом. Курьезное название «локон Аиьези»,
встречающееся в некоторых нынешних руководствах, не
имеет, по-видимому, никаких исторических оснований.
§ 507. Конхоида Нико меда
1. Исторические сведения. Никомед, древне-
греческий Ученый, жил в 250— 150 гг. до н, э. Линию, на-
званную им конхоидой, по сходству ее с раковиной1)
(PAQ иа черт. 485) он ввел для графического решения
задачи о разделении данного угла а на три равные части
(гприсекция угла).
Как мы теперь знаем, эта задача решается с помощью
линейки и циркуля только при специальном подборе
угла а ^например, при а = -0, Так, задача о трисекции
угла а = — неразрешима, если пользоваться только линей-
кой и циркулем, т. е. если строить только прямые и
окружности. Однако задача решается, если привлечь еще
иные линии, —в частности конхоиду. Для ее построения
Никомед сконструировал специальный инструмент (конхри-
дограф).
2. Определение и построение. Даны: точка О
(полюс), прямая UV (основание) и отрезок /, Из полюса О
(черт, 485) проводим произвольную прямую ОХ, пересе-
кающую основание в точке X, На прямой ОХ откладываем
1) Конхе — раковина,
§ 507. КОНХОИДА НИКОМЕДА
761
6 обе стороны от N отрезки ЛШХ = NMt=l, Геометриче-
ское место точек Mlt М2 мы теперь называем конхоидой
Никомеда. Линия, описываемая точкой, лежащей на про-
должении отрезка ON за точку N (точка на черт. 485)
называется внешней ветвью конхоиды: линия, описываемая
другой точкой (М2 па черт.
485), — внутренней ветвью.
Замечание. Сам Нико-
мед (а также позднейшие авто-
ры вплоть до конца XVII в)
именовал конхоидой линию, на-
зываемую сейчас внешней вет-
вью. Внутренняя ветвь рассмат-
ривалась как особая линия и
называлась «второй», «третьей»
или «четвертой» конхоидой в
зависимости от особенностей
ее формы (см. ниже) *).
3. Уравнение (начало -•
в полюсе О; ось абсцисс на-
правлена по лучу ОВ, точка
В-проекция полюса на осно-
вание):
(х-й)2(х3 + Уг) - 1-х-, (I)
где а(-ОВ) есть расстояние
полюса от основания.
Строго говоря, это уравне-
ние представляет фигуру, со-
стоящую из двух ветвей кои-
Черт. 485.
хонды и по л юса О, который может и не принадлежать
определенному выше геометрическому месту (см. ниже
черт. 487).
Уравнение в полярной системе (О—полюс;
ОХ - полярная ось):
Р = + (2)
где <р меняется от какого-либо значения <р0 до <р0-}-27г.
При этом точка M(g, ср) описывает обе ветви конхоиды.
При прохождении <р через-значение ~ точка М скачком
*) Ни внешняя, ни внутренняя ветвь, взятая в отдельности, не
представляется алгебраическим уравнением.
762 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
переходит с внешней ветви на внутреннюю («уходит в бес-
конечное ть» во направлению «вверх», а появляется «снизу»),
л Зл
Аналогично совершается переход при <p - 2 с внутрен-
ней ветви на внешнюю1).
В отличие от (I) уравнение (2) представляет фигуру,
содержащую только те точки, которые удовлетворяют
определению конхоиды.
Параметрические уравнения:
х = a + l cosep, у = a tg <p + Zsin ф, (3)
£ Особенности формы. Конхоида симметрична
относительно прямой ОВ; последняя пересекает конхоиду
помимо точки О в двух точках А, С (вершины). Основа-
ние UV — аемптота как для внутренней, так и для внеш-
ней ветви. Форма конхоиды (внутренней ее ветви) суще-
ственно зависит от соот ношения между отрезками а (— ОБ)
и 1( = ВЛ).
1) Когда I: «^1 (черт, 485), внутренняя ветвь имеет
петлю (ОСМ2)‘, точка О - узловая.
Угловой коэффициент касательных OD, ОЛ в узловой
точке:
tg а = -- .
° а
Для пощроеппя касательных в точке О достаточно з'асечь
на основании UV точки D, Е дугами радиуса I из центра О.
Наибольший поперечник GH петли:
(зН = 2(ta1!i-al1Ji)-.(l'l* + ath)1l*. (4)
Ему соответствует абсцисса х0 = ОБ — (^я)1/»-/ и поляр-
ный угол <р(7, определяемый формулой cos <ра ~ —(<i:l)'/>.
На черт, 485, где I: а—2, имеем
3
GM ха ~ -0,59(1, cos <pff = - К’бД, <ра 142°30'.
Полярный радиус q в уравнении (2) принимает как положитель-
ные, так и отрицательные значения (см. § 73, замечание 2). Во избежа-
ние этого вместо уравнения (2) можно пользоваться уравнением f =
= —-—±/. Однако в случае /> а (черт. 435) положительность вели-
СОЬ <р
чины о на внутренней ветви достигается за счет того, что при пере-
ходе точки А!? через узловую точку ее полярный угол <р совершает
скачок па ±я. Вследствие этого область изменения угла у состоит из
(7Г 7Г\ „ / тг Зт\
~ 2"' +'2~)и из некоторой части промежутка I-
Кроме того, при одних значениях у надо брать перед I оба знака ± , а
при других —только знак плюс.
§ 507. КОНХОИДА НИКОМЕДА 763
2) Когда Г. а— I, петля внутренней ветви стя1ивается
к полюсу О и превращается в точку возврата1) (черт. 486),
касательная в этой точке совпадает с ОХ.
3) Когда I: I, внутренняя ветвь не проходит через
плюс О (черт. 487); последний является изолированной
точкой2) линии (I).
5. Точки перегиба. На внешней ветви —две точки
перегиба PQ (черт. 485 — 487). На внутренней ветви точки
перегиба (Р', Q' иа черт. 487) имеются лишь в том слу-
чае, когда полюс является изолированной точкой. Абсцис-
су хг нары точек Р, Q и абсциссу х2 пары точек Р', Q'
можно найтн нз уравнения
х3 — За2х+2й (а3 — Р) = О. (5)
I) При Г. а 1 (черт, 485) уравнение (5) имеет единствен-
ный корень он заключен между н/3(= OR) и л+1
*) Точкой возврата некоторой линии называется такая ее точка,
где направление движения вдоль данной линии скачкообразно меня-
ется иа противоположное,
г) Точка, входящая в состав некоторого геометрического места,
называется изолированной (по отношению к этому геометрическому
месту), если из нее, как из центра, можно описать окружность, внутри
роюрой не содержится других точек данного геометрического места.
764 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
( = ОА) н тем ближе к а)3, чем меньше 1:а раз-
нится от I, Так, при 1:а = 2 (черт. 485) уравнение (5)
имеет вид = 0. Корень хг заключен
между а /З" и За. Используя эти границы и применив
(дважды) формулы § 291, найдем
Xj 2,35а ( = OS).
воз-
коп-
2) При /:«=! (черт. 486) уравнение (5) принимает
вид хэ-Загх = О, Оно имеет трн действительных корпя
х1 = а)% х2=0, x3=-a/2L Первый дает абсциссу OR
точек перегиба Р, Q; второму соответствует точка
врата О; третьему не соответствует никакая точка
хонды.
3) При /:а<1 (черт. 487) уравнение (5) имеет три
действительных корня, из которых первый хх(=О8) заклю-
чен между а( = (?В) и
/з"( = О7?); он не превосходит
также и отрезка a+f( = (M).
Второй корень х2 ( = OZ) за-
ключен между а -1 (= ОС)
н а (оба корня тем ближе к а,
чем меньше 1:а разнится от
нуля). Третий корень х3 отри-
цательный. Корень хх дает абс-
циссу точек Р, Q; корень х2-
абсциссу точек Р', Q'. Корню
х3 не соответствует никакая
точка конхоиды. Так, при 1\а =
= 0,5 (черт. 487) имеем уравне-
ние
а
о Й с т в о
6. Св
Между а и a + f=I,5a лежит
корень хх^ 1,38a (=08), даю-
щий точки neper n6aP,Q. Между
а-1 = 0,5а и а лежит корень
х2 0,57а (= 0Z); он дает
точки Р', Q'. Третий корень
(х3« - 1,9а) отрицательный,
нормали. Нормаль конхоиды в ее
точке М (черт, 488) проходит через точку АГ' пересечения
двух прямых, одна из которых есть перпендикуляр к ОМ,
проведенный через полюс О, а другая-перпендикуляр
§ 508, УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА 765
к основанию UV, проведенный через точку N, 1дс UV пе-
ресекается с ОЛ1.
7. Построение касательной. Чтобы по-
строить касательную к конхоиде в ее точке М, соединяем
последнюю с полюсом О. Через точку N пересечения пря-
мых ОМ, VV проводим прямую а через по-
люс О-прямую ON'±OM. Точку АГ/ пересечения этих
прямых соединяем с М. Прямая N'M будет нормалью
к конхоиде. Проведя МТ± N'M, получим искомую каса-
тельную.
8. Р а д и у с ы к р и в н з н ы в точках А, С, О:
_ U + a)i _ D _
,1 > Рс I > Ро 2а ‘
Так, при 1~2а (черт. 485)
RA = 4,5а, Ru = 0,5(2, Ro =. а /3.
9. Площадь между асимптотой и одной из ветвей
конхоиды (внешней или внутренней) бесконечна.
Площадь S петли:
S — аУР-аг-2al Inf ^-~д* + p arccos ~.
Так, при l = 2a (черт, 485)
S = a! [}/3~41n(2+ П) ; ^ r] « 0,65a3.
10. Обобщенные конхоид ы, Взяв вместо пря-
мой линии UV какую-либо кривую L, а в остальном пол-
ностью сохранив определение конхоиды Никомсда, полу-
чим новую линию, называемую конхоидой линии L отно-
сительно полюса О.
. К числу обобщенных конхоид принадлежит, в частно-
сти, улитка Паскаля (см, § 508).
§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида
1. Определение и построение. Даны: точка
О (полюс), окружность К диаметра ОВ—а (черт. 489),
проходящая через полюс (основная окружность; она по-
казана на чертеже пунктиром), н отрезок I. Из полюса О
проводим произвольную прямую ОР. От точки Р, где пря-
мая ОР вторично пересекает окружность, откладываем
в обе стороны от Р отрезки РМ^РМ2=Т Геометриче-
766
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ское место точек Mlf Л1, (жирная линия па черт. 489) на-
зывается улиткой Паскаля — в честь Этьена Паскаля
(1588- 1651), отца знаменитою французскою ученого
Блеза Паскаля (1623—1662).
Термин лулитка Паскаля» предложен Робервалсм, со-
времениико.м и другом Паскаля. Роберваль рассматривал
эту линию как один из видов обобщенной конхоиды
(см. § 507).
2. Уравнение (начало - в полюсе О; ось ОХ на-
правлена ио лучу О В):
(x2 + ys-ax)s 1:(х*+уг). (1)
Серого говоря, эго Уравнение представляет фигуру,
состоящую из улитки Паскаля и полюса О, который мо-
жет п не принадлежать определенному выше геометриче-
скому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4
На черт. 489).
§ 508. УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА 767
Уравнение в полярной системе (О-полюс, ОХ-
полярпая ось):
Р = a cos ср +1, (2)
где ср меняется от какого-либо значения фу до <рц+ 2л1).
Н отличие от (1) это уравнение представляет фигуру,
содержащую только тс точки, которые удовлетворяют
определению улитки Паскаля.
Параметрические уравнения:
а - a cos3 <р + 1 cos ср, (
у = a sin <р cos ср +1 sin ср. /
Рациональное параметрическое представ-
ление (п = tg :
х КП я) <-»=(!-□)], 1
У = (1тЬ>-.10 + “)1-"’(1-а)].
3. О с о б е н и о с т и форм ы. Улитка Паскаля сим-
метрична относительно прямой 013. Эга Прямая (ого улит-
ки) пересекает уличку; 1) в точке О (если последняя при-
надлежит улитке); 2) в двух точках А, С (вершины). Форма
линии зависит о г соотношения между отрезками а(=ОВ)
И /( - АВ=ВС).
1) Когда /:«<1 (линия 7 жирная; для иес Z:a=l:3)
улшка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке О
~ cos ?i,2 ~ > sin ф; 2 = ,
образуя две петли: внешнюю ОНА^О и внутреннюю
OH'GiG О. Угловой коэффициент касательных OD, ОН
в узловой точке:
<в«=У“’Х(=±^2).
Для построения касательных достаточно провести хорды
OD, ОН дчнны I в окружности К. Наиболее удаленным от
*) При I а (жирная линия на черт. 489) полярный, радиус р
может принимать как положи । ельные, так и отрицательные значения.
Во избежание этого можно пользоваться уравнением р = I ±<i cos 9.
Но при 31 им гозппкают неудобства, аналогичные с отмеченными в
сноске к п. 3 § 507.
768 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
оси точкам G, И внешней петли отвечает значение
„„ Ур+8аг-Г f n с<л.
COS ф =--------(~ 0,62);
наиболее удаленным точкам G', Н' внутренней петли-
значение
Соответствующее зиаченнс полярного радиуса:
ре, = a cos <p(?/ + Z — ~0,45а).
2) Когда Z:a=l (линия 2 на черт. 489), внутренняя
петля стягивается к полюсу и превращается в точку воз-
врата, где движение по направлению луча ОХ сменяется
движением в нротивоиоложно.м направлении. Наиболее
удаленным от оси точкам Ь, N отвечают значения
9тр Р"4а; х =
Линия 2 называется кардиоидой, т. е. «сердцеобразной»
(термин введен Кастил лоном в 1741 г.). Опа изображена
отдельно на черт. 490.
3) Когда 1^1: а<2 (линия 3; для нее f:a=4;3),
улитка Паскаля-замкнутая лниия без самопересечения;
оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя.
Наиболее удаленным от оси точкам L', N' отвечает значе-
ние cos <р = I? t__ ~£ - 0,45) . Лишившись
г 4a \ b ’ /
точки возврата, улитка приобретает взамен точки пере-
_ _ 2аг+К
гнба /?, Q, которым отвечает значение cos ~----,
Угол ROQ (=2тс-2срл), под которым отрезок RQ виден
из полюса, по мере возрастания 1га сначала возрастает
2
от нуля до 2arccos——(« 39°40'); этому значению соот-
ветствует [:а=^2. При дальнейшем увеличении Г. а
угол ROQ убывает, стремясь к нулю при I: а->2.
4) При I: а-2 точки перегиба, сливаясь с вершиной С,
пропадают (причем кривизна в точке С становится рав-
1) Таким образом, полярным углом точки G' является не угол
X0G't а угол между ОХ и лучом, пратавапомжиым лучу 00'(см,
$ 73, замечание 2).
§ SOS. УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА 769
пои нулю), улитка приобретает овальную форму и сохра-
няет ее при всех значениях 1;а>2 (линия 4; для нее
I: а-7:3). Наиболее удаленным от оси точкам 14"
отвечает значение
C0ST = £™b£( >).
т 4а \ 3/
4. Свойство нормали. Нормаль улитки Паскаля
в ее точке М (черт. 490) проходит через точку 2V основ-
ной окружности К, диамет-
рально противоположную
той точке Р, где ОМ пере-
секается с основной окруж-
ностью.
5. Построение ка-
сательной, Чтобы про-
вести касательную к улитке
Паскаля в ее точке М, сое-
диняем последнюю с полю-
сом О. Точку N основной ок-
ружности К, диаметрально
противоположную точке Р,
соединяем с М, Прямая MN
будет нормалью к улитке.
Проводя MTjlMN, полу-
чшй искомую касательную.
6. Р а д и у с кривизны
в точках А, С, О:
_(Z+a)2 r. _ (/-а)г р 1 g —%
~ Т+2Г' Г - 2 Ya ~{ *
Последнее выражение предполагает, что 1^а (при
точка О обособлена от улитки). В частности, для
кардиоиды (l-а; точки О и С совпадают):
Рл = 4 а, рс = О.
7. Площади. Площадь S, описываемая полярным
радиусом улитки при полном обороте:
5 = <5>
(Р о б е р в а л ь).
В случае отсутствия петли (Р--о) величина S выра-
жает площадь, ограниченную улиткой. При наличии петли
имеет место равенство
S = Si + S,,
49 М. Я. Выгодский
h
Т?0 НЕКОТОРЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
где <St-площадь, ограниченная внешней петлей (со вклю-
чением площади внутренней петли), 8г-площадь одной
внутренней петли; по отдельности площади Slf S3 выра-
жаются так;
St = (| аг+Р) Фх+ j I (5а)
где Ф1 = arccos(-£);
S, = (1 й2 4 Г-) Ф8 - j f (56)
где фа = arccos ~.
Для кардиоиды
s(-Л) =
т. е. площадь кардиоиды равна шестикратной площади
основного круга.
8. Д л и н а дуги улитки 11аскаля в общем случае не
выражается через элементарные функции. Для кардиоиды
длина s ду1 и, отсчитываемой от вершины А (<р = О);
- - s = 4аsin-’-.
*
Длина всей кардиоиды составляет 8а, гп. е. равна
восьмикратному диаметру основного круга.
9. Связь с окружностью.Геометрическосместо
оснований перпендикуляров, опущенных иа касательные
к окружности радиуса г с центром В из какой-либо точки О,
есть улитка Паскаля. Если точка О лежит в плоскости
окружности В, то полюсом улитки является О, основная
окружность строится на отрезке ОВ=а, как на диаметре;
постоянный отрезок I, откладываемый на полярном луче,
равен радиусу г окружности В.
Когда точка О лежи г на окружности В, улитка Паскаля
является кардиоидой.
§ 509. Линия Кассини
1* Определение. Линией Кассини называется гео-
метрическое место точек М, для которых произведение
MFt-MF3 расстояний до концов данного отрезка FiFs=
— 2с равно квадрату данного отрезка а:
MFrMFs « а2.
§ 509. ЛИНИЯ КАССИНИ 771
Точки Flt F2 называются фокусами; прямая FxF2 назы-
вается осью линии Кассини; середина О отрезка FjF.,-
центром.
2. Исторические сведения, Знаменитый астро-
ном Джиованнн Доменико (ЖанДомсник) Кас-
сини (1625—1712) полагал, что линия, носящая теперь
его имя, может точнее представить орбиту Земли, чем
эллипс. Об этом стало известно п 1749 г. из публикации
Жака К а с с и н и-сыпа (тоже выдающегося астронома).
Хотя гипотеза Кассини и не оправдалась, по введенная
им линия стала предметом многочисленных исследований.
Ее часто называют овалом Кассини, хотя на самом деле
она не всегда овальна х) (см. ниже).
3. Построение. На F1F!!=2c, как на диаметре
(черт. 491), строим окружность О. На ее касательной Г-\К
берем отрезок F1K = a. Отложив на оси FLF£ от точки О
отрезки 0А1 и ОА2, равные ОК, получим точки Ли А2
линии Кассини, наиболее удаленные от центра (ОАХ =
= О Ai = y^ + rt2)-
Черт. 491.
Если а < с, как на черт. 491, то дополнительно строим
окружность радиуса а с центром в О (иа черт. 491 она
проведена пунктиром) и проводим к иеи из касатель-
ную АХТ. В пересечении с основной окружностью О (с)
Ц Овалом называется плоская замкнутая кривая, обладающая тем
свойством, что прямая линия может иметь с ней не более двух общих
точек. Овальная линия не может иметь ни точек перегиба, ни точек
возврата, ни узловых точек,
49*
772 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
получим точки Ро, Qo. От одного из фокусов, скажем, от
Flt отложим по направлению к О отрезки F1B1=A1P0 и
FjB2= AiQo. Получим точки Bt, В2, наименее удаленные
от центра (t?B1 = ОВ& ~ j[c*-a2).
Если же с, то наименее удаленные точки С1? С2
(черт. 492) лежат иа оси симметрии OY отрезка FXF2 па
расстоянии FJ’x - FaC\=а от фокусов Fx, F2 (ОСХ =
ОС2 = I'a'-c-).
Черт, 492.
Точки Аъ А3 и Ви В, (или ci> СО назовем вершинами
линии Кассини.'
Через точку Ах (или Д2) проводим (черт. 491) произ-
вольную секущую AtPQ основной окружности О (с), при-
чем в случае а с ограничиваемся теми секущими, кото-
рые пересекают также дополнительную окружность О (я).
Из фокуса Fx, как из центра, описываем окружность ра-
диуса r=AjP, а из F2-окружность радиуса r=AxQ.
Их точки пересечения -М2 принадлежат линии Кассини.
Меняя ролями точки Fx и F3, получим еще пару точек
А13, М4. Искомая линия есть геометрическое место точек
Мх, М2, Ма, М4.
4» Уравнение (О- начало; F2FX - ось абсцисс):
(хЧу3)3-2с’(х3-у1) = e*-c*. (1)
§ 509. ЛИНИЯ КАССИНИ 773
Уравнение в по ляриой системе (О - полюс, ОХ -
полярная ось);
р* - 2сгрг cos 2ср + с* - а* = 0 (2)
НЛН ____________
р3 = с2 cos 2ф 1 /а4-с4 sin3 2<р. (3)
Двойной знак берется, когда а *= с. В противном слу-
чае берем только знак плюс (иначе е будет мнимым).
5. Особенности формы. Линия Кассини сим-
метрична относительно прямых ОХ и OY и, значит, отно-
сительно точки О.
При а -= с линия Кассини состоит из пары обособлен-
ных овалов. (На черт. 492 пара овалов Llt L[ соответ-
ствует значению а = О,8с; пара Ь2, Ьг—зиачению а=О,9с.)
При а > с это замкнутая кривая"(при «1,1с--линия Ь4,
при а = с ИГ—линия Ls, при «= с^З-линия L6).
В граничном случае а = с линия Кассиин есть лемниска-
та L3 (ср. определение лемнискаты). Когда а, возрастая,
стремится к с, вершины Ах, А2 стремятся к совпадению
с вершинами JVv N2 лемнискаты, а вершины Вг, В2 —
с узловой точкой О; при этом правый овал превращается
в правую петлю лемнискаты, а левый-в левую.
При дальнейшем возрастании отрезка а, когда ои пре-
вышает с, ио меньше с У'2 (с < а < с у'Э), линия Кас-
сини (L4 иа черт. 492) приобретает четыре симметрично
расположенные точки перегиба D1; D,, Ds, будучи
замкнутой, она, однако, не является овалом т). Кривизна
в вершинах Ct, Сг бесконечно велика при бесконечной
малости а-с. Когда же а, возрастая, стремится к с У2,
кривизна в точках Clf С2 стремится к нулю.
Граничная линия Кассини, отвечающая соотношению
d = с }z2 , (L5 на черт. 492), и все остальные линии
(а > с /2) являются овалами. Но граничный овал имеет
нулевую кривизну в вершинах Е1г В2 (в этих точках по-
парно сливаются точки перегиба линии Lt, а в точках пе-
региба кривизна всегда равна нулю).
6. Наибольший поперечник. При а *=> с У2,
т. е. для всех овалов, объемлющих граничный овал Ls,
наибольший поперечник t?1G2 = 2 fa3-с2 лежит на
оси OF. Всякая же линия Кассини, лежащая внутри
.. Некоторые прямые, как, например, прямая D,Dif пересекают
линию Кассини в четырех точках,
’JT* НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
гравичного овала (как объемлемая лемнискатой, так и
объемлющая ее), имеет два наибольших поперечника
= KaKi = . Они расположены симметрично относи-
тельно OY н отстоят от центра О на расстояние
ОК -
- 2с
Концы их Кх, К2> Кг, Кх лежат на основной окружности 0.
Последняя является неметрическим местом тех точек,
в которых касательные к линиям Кассини параллельны
оси ОХ. Каждая такая касательная является «двойной»,
т. е. она касается линии Кассини в двух точках К], Ка,
симметричных относительно OY. t ... .
7. Ра дну с кривизны: ‘ "~“~
r = _ J^£l„ =_________ (4)
*' ' с1—гП+Зр* ра+е2соь2ф ' '
В частности, в вершинах А (р = У’с--:-«2, ф = 0),
В (р = <р = ()), с(р = №-<*, Ф = ~) :
р _ as/e»+a« „ _ а^с»~иг р _
— 2c2+as ’ Кд ~ 2сз-а2 ’ Ке — |а2-2с*[*
8, Т о ч к и и е р с г и б а. Полярные координаты точек
перегиба Dlf D2, Ds, определяются по формулам
/V- «*2,,= -Д(£-1). (5)
Геометрическое место точек перегиба есть лемниската
с вершинами Е1} Е2 (на чертеже нс изображена).
9. Построеииекасательной. Чтобы построить
касательную к линии Кассини в ее точке 2V (черт. 491),
продолжим отрезок I\N за точку jV, па расстояние
Д'Р-^Л'/д. Через точки F и Г2 проведем прямые FH и
FZH, соответственно перпендикулярные к FjN и FZN.
Точку их пересечения Н соединим с jV, Прямая NH есть
искомая касательная.
Если прямые FH, F2H пересекаются в недоступной
точке, то отрезки NF, XFS можно пропорциоиальво умень-
шить.
??5
§ 610. ЛЕМНИСКАТА ЁЕРНУЛПЙ
§ 510. Лемниската Бернулли
1. Исторические сведения. В 1694 л. Як о в
Бернулли *) в работе, посвященной теории приливов
и отливов, использовал в качестве вспомогательного средст-
ва линию, которую он задаст уравнением х2 +у3 = a/V-y2.
Он отмечает сходство этой линии (черт. 493) с цифрой 8
и с Узлообразной повязкой, которую он именует «лем-
ниском» 2). Отсюда название лемниската. Лемниската по-
лучила широкую известность в 1718 г., когда шальянскнй
математик Джулио Карло Факьяно (1682 - 1766)
установил, что инки рал, представляющий длину дуги
лемнискаты, не выражается через элементарные функции,
и тем не менее лемнискам можно разделить (с помощью
линейки и циркуля) на п равных дуг при условии, что
п = 2™ пли 3'2"‘ или 5-2"!, где т- любое целое поло-
жительное число.
Лемниската есть частный вид липин Кассини (§ 509,
п, 6) Однако, хо(я линии Кассини получили всеобщую из-
вестность с 1749 1,} тождественность «восьмерки Кассини»
с лемнискатой Бернулли была ущановлеиа лишь в 1806 г.
(итальянским матемашком Сал адини).
2. Определение. Лемниската есть геометрическое
место точек, для которых произведение расстояний до
концов данного отрезка FXF2 —2 с равно сэ. Точки Fb Г2
называются фокусами лемнискаты; прямая FXF2^ ее осью.
*) Яков Бернулли (1654 —1705)—выдающийся швейцарс-
кий ученый, ученик и сотрудник Лейбница в разработке исчисления
бесконечно малых и его приложений. Основоположник теории веро-
ятностей, где он сформулировал и доказал теорему, носяшую ei с
имя («закон больших чисел»),
г) по-гречески-шерстяная повязка.
некоторые замечательные кривые
3. Уравнение (начало О-середина отрезка Pj_Ps;
ось ОХ направлена по F^):
(х2 + у2)3 = 2с2(эсл-/). (I)
Уравнение в полярной системе (О-полюс, ОХ-
полярная ось):
р® = 2с3 cos 2<р. ' (2)
Угол ф изменяется в промежутках , -j) и
/ 3tt 5тг \
\Т’ 'Г/*
Рациональное параметрическое пред-
ставление:
x = У *= с ^2 ~^(-оо и +оо), (3)
где параметры и связан с ф соотношением u3 = tg ф) ,
4. Построение. Л1ожно применить общий способ
построения линий Кассини, но нижеизложенный способ
(Маклорена) и проще и лучше. Строим (черт. 493) окруж-
ность радиуса с центром в точке Ft (или F2). Про-
V 2
водим произвольную секущую OPQ и откладываем на
этой прямой в обе стороны от точки О отрезки ОМ и ОМ1Г
равные хорде PQ. Точка М опишет одну из петель лем-
нискаты, точка Afi-другую,
5. Особенности формы. Лемниската имеет две
оси симметрии: прямую PxF2(OX) и прямую ОУ л, ОХ,
Точка О-узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Ка-
сательные в этой точке составляют с осью ОХ углы ±
Точки Дь А2 лемнискаты, наиболее удаленные от узла О
(вершины лемнискаты), лежат на оси F\FB на расстоянии
с /2*от узла.
6. Свойство нормали. Полярный радиус ОМ
лемнискаты образует с нормалью MN угол у (^OMN=y),
вдвое больший полярного угла ф ( = ^ ХОМ)-.
у= ^ОМХ = 2ф.
Иными словами: угол ХХМ='5 между осью ОХ и век-
тором NN' внешней нормали лемнискаты в точке М ра-
вен утроенному полярному углу точки М:
₽=3ф.
§ ВИ. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ 777
7. Построение касательной. Чтобы построил,
касательную к лемнискате в ее точке М, проводим по-
лярный радиус ОМ и строим ^:OMN= 2х ХОМ. Перпен-
дикуляр МТ к прямой ММ есть искомая касательная.
8. Наибольший поперечник ВС = ~ f-\P2 = с
(черт. 493) служит основанием равностороннего треуголь-
ника с вершиной О.
Э.РадйУСкривизны
я = ~.
эр
10. Площадь S полярного сектора AjpM:
S(?) =4sin 2{Р =
(К-проекция фокуса F, на полярный радиус ОМ).
Иными словами: перпендикуляр В\К, опущенный из
фокуса лемнискаты на произвольный полярный радиус ОМ,
делит площадь сектора AtOM пополам.
Площадь каждой петли лемнискаты
2S(f) = А
11. Связь с гиперболой. Геометрическое место
оснований перпендикуляров, опущенных из центра О равно-
сторонней гиперболы с вершинами As нс ее касатель-
ные, есть лемниската с теми же вершинами.
§ 511. Архимедова спираль1)
1. Построение. Чтобы построить архимедову спи-
раль с данным параметром А, проводим из центра О
(черт. 494) произвольную окружность, например окруж-
ность рсдиуса ОМ=к2).
. Делим ее точками b0, bh t>2, Ъ3, ... 3) на произвольное
число п равных дуг (мы взяли п-12), На луче ОЬ0 от-
кладываем отрезок. ОА1=2п/с (шаг спирали). Делим его
на такое же число равных частей. На лучах Obu ОЬ2,
ОЬ2,... откладываем отрезки ODl = ОАЬ- OD2 = ОА1Г ...
*) Предварительно прочитайте § 75 под таким же названием (см.
стр. 113).
Для построения удобнее взять окружность большего радиуса;
мы взяли окружность радиуса К лишь потому, что она нам понадо-
бится в дальнейшем.
3) Точка на чертеже не отмечена, так как она лежит внутри
кружка, отмечающего точку £>» (расстояние составляет около 5 %
радиуса к).
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Получаем точки Dlf D2, DJt ... первого витка спирали.
Точки Elr ESr Е3, ... второго витка получим, отложив на
продолжениях отрезков OD.Jt OD3f ... отрезки D2EV
D2E2, ..., равные шагу OAV Аналогично получим точки
следующих витков.
2. Особенности формы. Любой луч OQ с на-
чалом в полюсе О имеет кроме точки О еще бесконечное
множество точек Q-, .•>, общих со спиралью. Две
последовательные точки "Q„ £?i+I отстают др>г от друга
иа расстояние, равное шагу а (~ 2А'к). Касательная к спи-
рали в точке О совпадает с начальной прямой ОХ (ото
полезно учесть при построении спирали). Касательная МТ
в произвольной точке М спирали получается из прямой МО
поворотом последней па (острый) угол ОЛ1 Т~ а, для которого
+t,„ „ ом _ р _ m
£ 511. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ
779
При со мил а стремится к 90° и ду£а спирали вблизи
точки JVI все более походит па ДУ1 у окружности.
3. С в о й с т и о нормали. Нормаль МЫ, проведен-
ная через точку М архимедовой спирали с шаюм а, пе-
ресекает прямую ОЫ, перпендикулярную к полярному
радиусу ОМ, в точке Ы, отстоящей от О на расстоянии
(== 1 * !)•
4. Построение касательной. Чтобы построить
касаюльпую в точке М а'рхимедовоп спирали (см, черт. 494),
поворачиваем луч ОМ около точки О на угол +— ,
Точку Ы, где повернутый луч пересекает окружность ра-
диуса к с центром в О, соединяем с М. Прямая МЫ -
нормаль к спирали. Построив МТтМЫ, получаем иско-
лгую касательную. Касательная к левой спирали (см. § 75
и черт 106) строится аналогично с тем отличием, что
луч ОМ поворачивается па угол
5. П л о ща д ь 5 сектора МОМ' (если полярные
углы точек М, М' разня гея не более чем на 2г):
5 - ° - Р?'+*Р,3)> - (О
где ? = ОМ, ?' = ОМ', <.о-^.М()М'.
Геометрически: сек юр архимедовой спирали по пло-
щади равен средне.му арифметическому из трех круговых
секторов, у которых угол тот же, что у сектора МОМ',
причем один из радиусов равен полярному радиусу ОМ,
другой-полярному радиусу ОМ', третий-среднему про-
порциона льне му |/ОЛ1 ОМ~ между ними.
6. Площади витков. Формула (1) при @ = О, @'=й,
о>=2к дает пл щадь St фигуры ОТЫй^А^О (черт. 494),
ограниченной первым витком спирали и отрезком (М^
S1-lza« = |si, Я
где Si-площадь круга радиуса OAt.
Площадь S2 фигуры А^НА^А^ ограниченной вторым
витком и отрезком А2А1(р = а, р'= 2а, W--2-);
S2 =-j?pS;, (3)
где S'-площадь круга радиуса ОА2,
?&) НЕКОТОРЫЕ ЗДМеЧАТЁЛЬНЫе КРИВЫЕ
Вообще площадь S„, ограниченная л-м витком спирали
и отрезком ОДП, выражается так:
= = (4)
где S'-площадь круга радиуса ОАГ1.
7. Площади колец. Назовем первым кольцом ар-
химедовой спирали фигуру, образуемую движением от-
резка полярного луча между первым и вторым завитками
при повороте полярного луча из начального положения
па 360°. Чтобы обойти зту фигуру вдоль ее периметра,
надо пройти отрезок АгО, затем первый виток
спирали, затем отрезок AtA2 и, наконец, второй завиток
A2HQ2Ax (попятным движением).
‘ Второе кольцо аналогично образуется отрезком поляр-
ного луца между вторым и третьим завитками. Оно огра-
ничено: 1) отрезком ЛгА1г 2) вторым витком, 3) отрезком
Д2Д3, 4) третьим витком (проходимым вспять).
Таким же образом определяются третье, четвертое
и т. д. кольца.
Площадь Fn п-го кольца выражается так:
; F„ = Snbl-Sn= 6z?Sv
Здесь S2 = у -а2 есть площадь первого завитка (пулевого
кольца).
Свойства, изложенные в этом и предыдущих пунктах,
были открыты Архимедом.
8. Длина I дуги QM
1 = 4 [срУ7Т1+1п (<р+У7+Т)1 =
— 4 a sc а + ln (tg а-р sc а)],
где а-острый угол между касательной МТ (черт. 494)
и полярным радиусом ОМ, или а = ^ONM.
9. Радиус кривизны
О - + _ /, „(/-ИЛ _ k (tg« а+ !)*/* £
А ₽я+2£г К ^4-2 Sc* «+1 ’
В начальной точке Ro = ж • .
$ 512. ЭВОЛЬВЕНТА (РАЗВЕРТКА) КРУГА 781
§ 512. Эвольвента (развертка) круга
1. Механическое образование. В близком
родстве с архимедовой спиралью находится другая спи-
раль - эвольвента круга (или эвольвента окружности). Это --
линия, описываемая концом М (черт. 495) натянутой нити
LM, сматываемой с круглой катушки D0LLx (или наматы-
ваемой на кзтушку; в последнем случае точка М движется
в обратном направлении),
Геометрически указанное свойство выражается так:
2. Определение. Пусть точка L, исходя из началь-
ного положения Do, многократно описывает окружность
радиуса к(к-параметр эвольвенты круга). На касатель-
ной LH откладывается по направлению, противоположному
направлению вращения, отрезок LM, равный дуге D0L,
пройденной точкой L. Эвольвента круга есть линия, опи-
сываемая точкой М. Одна и та же окружность имеет
762 йекоторЬш злМёчАтёльные Ирйвыё
бесчисленное множество эвольвент (соответствующих все-
возможным положениям начальной точки Е>0).
Смотря по тому, вращается ли точка L по часовой
стрелке илн в противоположном направлении, получаем
правую эвольвенту круга (D0MP на черт. 495) или левую
(D0Q). Обычно две эвольвенты данною круга рассматри-
ваются как две ветви одной линии.
3. Построение. Данную окружность делим па п
равных дуг = &ц&3 ~ ... = (’». |Ц? На каса-
тельной, проведенной через Во, откладываем отрезок
Д)Е0=2л&. Его делим на то же число равных частей:
= ед = ... - ая~1Е0.
На касательных, проведенных через последовательные
точки Ь2, Ь3, ..., откладываем (по направлению, проти-
воположному смещению точки касания) отрезки btDt,
btD2, bzD3> соо1ветствепно равные отрезкам
Dtfe, Daa3, ... Получим точки L\, Гр, ... первого
витка DUPEO эвольвенты круга. Точки £lt В2, E3, ... вто-
рого витка получим, о i дожив на продолжениях отрезков
bj){, b3Dit b3D3f ... отрезки PjEj, DtEit D3E3, равные
D(,E0. Дна л oi ично получим точки следующих витков.
4. Особенности формы. Эвольвента окружно-
сти, в силу общих свойств эвольвенты любой ЛИНИН
(ср. § 347, а также § 346), обладает следующими свойст-
вами.
а) Эвольвента окружности пересекает все касательньк
этой окружности под прямым углом. В частности, эволь-
вента составляет в начальной точке О0 прямой угол с ка-
сательной D0Fa.
б) Обратно, нормаль МН к эвольвенте служит каса-
тельной к окружности. При этом точка касания L является
центром кривизны эвольвенты, так что отрезок ML есть
радиус кривизны эвольвенты:
Я = ML. (1)
В частности, в начальной точке О0 радиус кривизны эволь-
венты равен нулю:
/?о « 0. (2)
в) Рад нус кривизны R эвольвенты возрастает по мере
удаления точки М от начальной точки; его приращение
- R = MjLl — ML равно длине соответствующей
дуги LLjt окружности:
=.й;. (з)
§ 512. ЭВОЛЬВЕНТА (РАЗВЕРТКА) КРУГА 783
В частности, на участке ОеМ эвольвенты приращение ра-
диуса кривизны равно причем
Rjf = = ktx, (4)
где а= угол поворота радиуса OL от началь-
ного положения OD0.
г) По построению эвольвента нс проникает внутрь
круга О. Поэтому при прохождении точки М через на-
чальную точку По направление движения меняется па
противоположное, т. с. Do —точка возврата эвольвенты.
5. Связь с архимедовой спиралью. Сопо-
ставим правую (левую) ветвь эвольвенты круга с правой
(левой)архимедовой спиралью с тем же параметром fc=OD0
(т. е. с шагом 2тт<у = что и эвольвента круга. Пусть
эта спираль (пунктирная линия на черт. 495) исходит из
центра О данной окружности но направлению луча ОХ',
получаемого попорото^ начально! о радиуса OD0 на угол
-90° (4-90°). Точка (7, описывающая спираль, неограни-
ченно приближается к эвольвенте: кратчайшее расстояние
точки G до эвольвенты (оно измеряется отрезком GM
нормали LH эвольвенты) ужо в конце 1-го витка состав-
ляет лишь 1 % от шага спирали.
С другой стороны, полярный радиус ON спирали, со-
ставляющий угол -90° ( + 90°) с радиусом 0L, имеет ту
же длину ка, что отрезок LM. Это значит, что основание
перпендикуляра, опущенного из центра О на касатель-
ную МТ эвольвенты, описывает архимедову спираль.
6. Полярное уравнение эвольвенты ок-
ружности (полюс О —центр данной окружности; по-
лярная ось ОХ направлена по начальному радиусу OD0):
Ф = ^F^“arccos7> (5)
где Л - радиус окружности.
7. Параметрические уравнения
х — k (cos а + а sin а); у — к (sin а —ас cos а), (б)
где а=^; DaOL.
8. Длина s дуги D0M:
s 1 - 1 - 1 ML2
5 2 Аа ~ 2 к ~ 2 OL * О'
Чтобы получить отрезок той же длины, проведем прямую
MV-LOM до пересечения в точке V с продолжением.
784 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
радиуса OL. Половина отрезка О V по длине равна дуге
s = D^M=~OV. (8)
9. Площадь S сектора D^OM, описанного по-
лярным радиусом, а также площадь Sx криволинейного
треугольника LMD0, основанием которого служит отре-
зок LM, а боковыми сторонами-дуга D0L окружности
и дуга Н0М эвольвенты, втрое меньше площади треуголь-
ника OMV (построенного в пункте 8):
S = Si z= у пл. OMV == у Л2а3. (9)
10. Натуральное уравнение эвольвенты
круг а. Натуральным уравнением линнн называется
уравнение, связывающее длину $ ее дуги МйМ, отсчиты-
ваемой от некоторой начальной точки Мо, и радиус кри-
визны /? в точке М. Натуральное уравнение эвольвенты
круга
/?a = 2fcs; (10)
оно получается из (4) и (7) исключением «.
И, Кинематическое свойство. На языке
кинематики натуральное уравнение (10) выражает следую-
щее свойство: если дуга эвольвенты круга катится (без
скольжения) по прямой, то центр кривизны L, соответ-
ствующий точке касания, .движется по параболе с пара-
метром к.
12. Исторические сведения. Эвольвенты раз-
личных линий впервые были изучены Гюйгенсом в его
знаменитой работе о часовом маятнике (1673 г.) (ср. § 514, .
п. 17). Основные свойства эвольвенты круга найдены
французским ученым ла Гнром (1640-1718) низложены
в его работе 1706 г. Свойство п. 5 найдено Клер о (17 1 3-1765) (
в 1740 г. Свойство 9, а также кинематическое истолкова-
ние натурального уравнения (любой линии) указаны Манн-
геймом в 1859 г.
§ 513. Логарифмическая спираль
1. Определение. Пусть прямая 17V (черт. 496) '
равномерно вращается около неподвижной точки О (полюс),
а точка М движется вдоль UV, удаляясь от О со скоро-
стью, пропорциональной расстоянию ОМ. Линия, описы-
ваемая точкой Мг называется логарифмической спиралью.
§ 513. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
785
2. Основное геометрическое свойство.
Ново рогу прямой UV из любого се положения на данный
угол w отвечает одно и то же отношение
OMt; ОМ0 полярных радиусов. Иначе i оворя: если пара
точек Мо, Мг логарифмической спирали видна из полюса
Черт, 496,
под тем же углом, что и другая пара точек 2V0, JVj той же
спирали, то треугольники и ОАГ0^ подобны.
Отношение q конечного полярного радиуса (ОАг) к на-
чальному (ОА>) при повороте прямой UV на угол +2тг
будем называть коэффициентом, роста логарифмической
спирали,
3. И р а в а я и левая спирали. Если удаление
точка М от полюса О сопровождается вращением прямой
50 М. Я- Выгодский
786 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
(JV против часовой стрелки, то логарифмическая спираль
называется правой', в противном случае — левой. Для пра-
вой спирали коэффициент роста q>l; для левой $<1.
Прн (/= 1 спираль вырождается в окружность.
Правую и левую спирали, у которых коэффициенты
роста в произведении дают 1, можно совместить, но для
этого надо лицевую сторону одной из них сделать оборотной.
4. Построение. Чтобы построить правую логариф-
мическую спираль с данным коэффициентом роста q1),
делим какую-либо окружность с центром О па п = 2*
равных частей точками 73О, Blf Вг, следующими
друг за другом в направлении, противоположном ходу
часовой стрелки г). Для определенности положим л = 2‘ =
= 16. На луче ОВа берем произвольную точку Ло и от-
кладываем отрезок ОА^уОАц. На отрезке OAj, как на
диаметре, строим окружность О' и проводим AVK±OA1
до пересечения с этой окружностью в точке К. Окруж-
ность радиуса ОК пересечет луч ОВ6 в точке О8, при-
надлежащей искомой спирали; та же окружность пересе-
чет луч ОЛХ в некоторой точке L, Проводим LK' ±OAt
до пересечения с окружностью О' в точке К'. Окруж-
ность радиуса ОК' пересечет луч ОВ1а в точке D12, при-
надлежащей лекфмой спирали, а луч (М^в некоторой
точке L'. Через нее опять проводим L'K" ±OAt и т. д.
Таким образом получим точки D3i и 1>Г).
Бесчисленное множество других точек спирали, лежа-
щих на прямых ВОВЯ, BjBfl п т. д., можно построить сле-
дующим образом. При точке Он строим угол ^ODViQ,
равный углу (7D15Dn; в пересечении с лучом ()В]л по-
лучаем точку PJ3 искомой спирали. При точке строим
^OA^Q^^ODtfAp, в пересечении с лучом OBl полу-
чим точку /ц н т. д.
5. Уравнение в полярных координатах
(полюс совпадает с полюсом спирали; полярная ось про-
ведена через произвольно взятую точку Мо спирали):
ф
Р = Ро?ггг> (О
где ро = ОМо-полярный радиус точки Мо, а (/-коэф-
фициент роста.
]) Так же строится и левая спираль с коэффициентом роста-i .
%) При построении левой спирали точки Во, Blf В2, В3, ... следуют
друг за другом по ходу часовой стрелки..
g 513. Л6ГДРЙФМИЧЕСКАЙ спираль 787
Пример. Спираль, построенная па черт. 496 (д~3),
представляется уравнением
Р = Ро 3'27Т
Если за полярную ось принять луч ОВ0, то р0 = ОАо.
Полагая, в частности, ф = к, получаем р = р0 /3 = ООй;
4
При ¥ - 2“ кмесм Р Ро /з — ODi И Т. Д.
Обычно сравнение (1) записывают в виде
? = P»fs’, (2)
где к— параметр, выражающийся через коэффициент
роста q так:
к - 4 , (3)
* 2л: 4 '
Обратно
q = е~‘'~. \ (4)
Геометрический смысл параметра к прочитывается из со-
отношения
A-ctg а, (5)
где a-zOMT-уюл между прямой ОМ и касательной
МТ (см. ниже черт. 497).
Для правых спиралей параметр к имеет положитель-
ные значения, для левых—отрицательные.
6. Особенности формы. Прн неограниченном
количестве оборотов прямой UV против часовой стрелки
(по часовой с-релке) точка М, описывающая правую (ле-
вую) спираль, неограниченно удаляется от полюса и опи-
сывает бесконечное количество витков. При неограничен-
ном количестве оборотов в противоположном направлении
точка М неограниченно приближается к п люсу О, но ни
при каком положении прямой UV не совпадает с О. Таким
образом спираль делает бесконечное множество витков
также около полюса. Однако длина дуги, описываемой
при этом точкой М и отсчитываемой от некоторого на-
чально! о положения Ао точки М, хотя и возрастает, но
не безгранично. Она стремится к некоторому пределу $,
который называют длиной дуга ОАС. Название это условно,
так как точка О, строго говоря, не принадлежит логариф-
мической спирали.
7. Касательная и длина дуги. Угол «
(~^ОМ7"), на который надо повернуть прямую UV около
50*
788 некоторые замечательные кривые
точен М логарифмической спирали (черт. 497), чтобы эта
прямая совпала с касательной МТ, одинаков для всех то-
чек спирали. Отрезок МТ касательной от точки касания
до пересечения с прямой OW, проведенной через полюс О
перпендикулярно к полярному радиусу ОМ, имеет ту же
длину у, что дуга спирали от точки М до полюса О:
s = OM = MT = -^-, (6)
COS а’ ' z
где р-полярный радиус ОМ.
Длина s любой дуги LM логарифмической спирали:
s - LM = OM-OL =
COS К ’
(7)
т. е. длинд дуги I.M пропорциональна разности полярных
радиусов в ее концах. Чтобы построить отрезок той же
длины, достаточно отло-
жить па большем радиу-
се ОМ отрезок ОР, рав-
ный меньшему радиусу
OL, и провести через Р
прямую PH, перпендику-
лярную к ОМ. Она пере-
сечет касательную МТз
некоторой точке Н. От-
резок МН-искомый.
Угол а выражается
через коэффициент роста
q формулой
ctg« = !££. (8)
Для спирали, изображенной на черт. 49G, где q=
= ОАг: ОА0 = 3, имеем
etg а - °-1748'
а *= 80°5'.
8, Характеристический треугольники
с е кто р иа л ь и ая площадь. Площадь, описываемая
полярным радиусом OL (черт, 497), когда точца L, исходя
из некоторого начального положения М, неограниченно
приближается по логарифмической спирали к полюсу О,
§ sis. логарифмическая спираль 789
стремится к конечному пределу S (векториальная пло-
щадь). Сскторпальная площадь в точке М вдвое меньше
площади характеристического треугольника О МТ, обра-
зованного полярным радиусом ОМ, перпендикулярной к
пому прямой OW и касательной МТ:
S =- * $0ЛГ2- = |P4ga, (9)
где р-полярный радиус точки М.
Площадь S любого сектора ТОМ (предполагаем, что
ОМ-больший радиус и что Л ТОМ по абсолютной ве-
личине не превосходит 2п) вдвое меньше площади трапе-
ции РМТК (черт. 497), которая будет отсечена от харак-
теристического треугольника О МТ, если на ОМ отложить
отрезок ОР^ОТ п провести РК |j МТ:
*>’ ~ Spmtk — "4 (р! ~ Pi) tg а, (10)
где Pi, рг-полярные радиусы точек L, М.
9. Р а д н у с и центр кривизны. Центр кри-
визны С, соответствующий точке М логарифмической
спирали (черт. 497), лежит в пересечении нормали МС,
проведенной через М, с прямой ОIV, проведенной через
полюс перпендикулярно к полярному радиусу ОМ. Радиус
кривизны
/? = -Г-.
sin «
Это равенство усматривается из треугольника СОМ.
10. Э в о л ю т а. Геометрическое место центров кри-
визны С (эволюта) логарифмической спирали есть лога-
рифмическая спираль, получаемая из исходной спирали
поворотом около полюса на угол
w = (2п+ l)-|--tga In tg a, (12)
где n — любое целое число. Так, если исходная спираль
пересекает полярные радиусы под углом a = 45°, то она
совмещается со своей эволютой при повороте около по-
люса на угол w = ~ илн со - 5 у, или w = - 3£’и т. д.
В частности, существует бесчисленное множество лога-
рифмических спиралей, которые сами являются своими
?9б НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
эволютами. Это те спирали, для которых угол « удовлё*
творяст одному из уравнений
tgaln tga = (2«-Ь1) у ,
где п-целое число.
И. Н а т у р а л ь п о е уравнение (т. е. уравне-
ние, связывающее длину духи и радиус кривизны; ср § 512,
п, 10)
1? — As (-s etg «). -; —- (13)
Вытекает из (6) и (11); усматривается из треугольника
СМТ.
12. К и н е м а т ич е с ко е свойство. Па языке
кинематики уравнение (13) выражает следующее свойство:
если дух а логарифмической спирали катится (без сколь-
жения) по прямой Л в, то центр кривизны, соответствую-
щий точке касания, движется по прямой, наклоненной
К АВ под углом
13. Картографическое свойство. Сфериче-
ская линия, пересекающая меридианы под постоянным
углом а (эта линия называется локсодромойг)), проекти-
руется из полюса сферы Р иа плоскость экватора лога-
рифмической спиралью; полюс последней находится в центре
сферы. Меридианы проектируются при этом лучами, на-
правленными по полярным радиусам спирали; эти лучи
пересекаются спиралью под тем же углом а, под которым
локсодрома пересекает меридианы.
14. Исторические с в с д с н и я. В 1638 г. Декарт
нашел, что спираль, дуга которой растет пропорционально
полярному радиусу, обладает тем свойством, что се ка-
сательная образует постоянный угол с полярным радиусом.
Примерно в то же время Торричелли независимо от Де-
карта и гораздо более подробно изучил свойства «гео-
метрической спирали»-так он назвал линию, которую
определил с помощью построения, изложенного выше
в п. 3. Торричелли доказал х еометрически свойства, изло-
женные в пн. 6 и 7. Яковом Бернулли в 1692 г. были от-
крыты свойства пн. 8-11 п ряд других свойств «изуми-
тельной спирали» (splra mira Шз). Название «логарифми-
ческая спираль» (угол между полярными радиусами про-
1) Что значит «кособежная» ~ от греческих слов «локсбо —косой
и <дрбмос>-бег. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется
по локсодроме.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ
791
порцноналеп шяарифму их отношения) дано Варнньоном
в 1704 г. Позднее ло> арифмическая спирал!, била пред-
метом многочисленных лес гедований. Так, кинематическое
се свойство (и. 12) найдено Е. Каталаном в 1856 г.
§ 514. Циклоиды
1. О и р с д е л е п и с. Циклоидой называется линия,
которую описывает точка (черт. 498), закрепленная в
плоское!и кряа {производящий круг), когда этот круг
V #
Черт. 498.
катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направ-
ляющая).
Если точка Af, описывающая циклоиду, взята внутри
производящею круга (т. е. расстояние СМ^а от центра С
792 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
меньше радиуса г), то циклоида называется укороченной
(черт. 498, а); если вне круга (т. е. d > г), — удлиненной >
(черт. 498, б); если же точка М лежит на окружности
(т. е. d —г), то линия, описываемая этой точкой, назы-
вается обыкновенной циклоидой (черт. 498, в) или чаще
просто циклоидой (ср. § 253).
Пример. Когда вагон движется по рельсам, внут-
ренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду,
точка на ободе — удлиненную, а точка окружности коле- i
са-обыкновенную циклоиду.
Начальной точкой циклоиды (Л на черт. 498, а-в) [
называется такая ее точка, которая лежит на прямой (С0О),
соединяющей центр Си производящего круга с точкой
его опоры (О), и расположена по ту же сторону от центра Со,
что и точка опоры О. Точка В на черт. 498, а-е-тоже j
начальная.
Начальные точки обыкновенной циклоиды (черт. 498, в)
лежат на направляющей и совпадают с соответствующими *
точками опоры производящего круга.
Вершиной циклоиды (D на черт. 498, а-в) называется
такая ее точка, которая лежит на прямой С'О', соединяю-
щей центр С' производящего круга с точкой опоры О',
но расположена на продолжении отрезка С'О' за точку С'.
Отрезок АВ, соединяющий две соседние начальные
точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр f
DB, опущенный из вершины циклоиды на ее основание,-- !
высотой. Дуга, описываемая точкой М между двумя сосед-
ними начальными точками, называется аркой циклоиды;
прямая U V, описываемая центром С производящего кру-
га, - линией центров циклоиды.
2. Построение. Чтобы построить циклоиду по
радиусу г производящего круга н расстоянию d точки Л1,
описывающей циклоиду, от центра С производящего круга,
проводим сначала (черт. 499) линию центров UV. Из неко-
торой ее точки Со, как нз центра, проводим окружность
радиуса dг). Один из концов ее диаметра, перпендику-
лярного к UV, обозначим буквой Af0. Это будет вершина
искомой линии.
Окружность Со делим на четное число 2л равных дуг
(мы взяли 2п=16), так чтобы точка Af0 оказалась одной
из точек деления, и снабжаем точки деления пометками
’) В случае обыкновенной циклоиды это окружность производя-
щего круга. Вообще же ни производящий круг, ни направляющая в
описываемом построении не Участвуют. На черт. 499 они показаны
(точечным пунктиром) только для наглядности.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ 703
О, ± 1, ±2, + п (точки + л и -л совпадают). На
линии центров в обе стороны or точки Со откладываем
отрезки Со А1, С0В', равные полуокружности производящего
круга:
С0А' = С0В' = 7гг,
и делим каждый из этих отрезков на л равных частей.
Точки деления обозначим C±i, С+3, С*.„, (точки Сп,
CL„ совпадают соответственно с точками А', В'; положи-
тельным номером на прямой UV и па окружности Со
соответствуют точки, лежащие по одну и ту же сторону
Черт. 499.
от. прямой CjM0). Через точки 1, 2, 3, ... окружности Су
проводим прямые, параллельные линии центров (они прой-
дут соответственно и через точки —7, ~2, —3\ а
из точек С+1, С±2, ... проводим полуокружности радиу-
са </, у которых диаметры перпендикулярны к UV и ко-
торые обращены вогнутостью к точке Сп.
Отмечаем точки Mt, где полуокружности С1;
встречают прямую, проведенную через точки +7, —7;
затем отмечаем точки М2, М_2, где полуокружности С2г
С~2 встречают прямую, проведенную через точки +2,
~2, п т, д. Все точки Mit М_ ь Мг, М~2 и т. д. лежат на
искомой циклоиде. В точках Мп> М_л находятся ее началь-
ные точки Л, В.
Так строится по точкам одна арка циклоиды. Для
построения соседних арок надо продолжить ряд точек С,
как показано на черт. 499. Нумерацию этих точек надо
произвести заново. Окружность же Со нет пужды вычер-
чивать заново, так как прямые, параллельные линии цент-
ров, остаются прежними.
794 Некоторые замёчЛтёЛьйьЛе Кривые
3. Параметрические уравнен и я [ось
абсцисс— направляющая XL; начало координат О-про-
екция одной из начальных точек (Л па черт. 498, а-в)
на направляющую KL]:
х - Гф-rfslhtp; у-г-t/cos ф, (I)
где ф — MCE' — угол поворота производящего круга,
отсчитываемый от того положения, в котором точка М
совпадает с начальной точкой Л.
Дпя обыкновенной циклоиды (d = r)
х =• г (ф-sin ф); у - г(1-соЯф). (1а)
4. О с о б е и и о с т и ф о р м ы. 11о направлению пря-
мой KL циклоида в обе стороны простирается в беско-
нечность. Любой ее дуге, отсчитываемой от какой-либо
начальной точки А, соответствует симметричная дуга,
отсчитываемая от топ же точки в противоположном на-
правлении; ДСо-ось симметрии. Циклоида симметрична
также относительно прямой DE, проведенной через
какую-либо из вершин перпендикулярно к направляющей
При смещении по направлению линии центров па рас-
стояние, кратное 2кг (длине производящей окружности),
циклоида совмещается сама с собой. Последовательными
смещениями па расстояние + 2т.г можно получить всю
циклоиду из любой ее дуги, соответствующей изменению
параметра от некоторого значения <р = ф() до значения
Ф = фо + 2тг, например от <р - — я до = или от <р == О
до ф = 2%.
Циклоида заключена внутри полосы, ограниченной пря-
мыми у - г+ d и у = r-d. Первая из них касается цик-
лоиды'в каждой из ее вершин. Вторая проходит через все
начальные точки; опа является касательной к циклоиде,
когда 3ia циклоида-укороченная или удлиненная. Для
обыкновенной же циклоиды вторая прямая (у —0) совпа-
дает с направляющей и перпендикулярна к касательным
(односторонним) в начальных точках циклоиды.
5. Узловые т о ч ц и. Удлиненная циклоида всегда
обладает узловыми точками. Число и расположение послед-
них зависят от отношения d : г ( = Х). Пока это отношение
не превосходит числа Хо = 4,60333... ’), все узловые точки
расположены на прямых х = 2ктхг (Л-целое число), при-
чем на каждой из этих прямых лежит одна узловая точка:
*) Это иррациональное число равно scoto, где—наименьший поло-
жительный корень уравнения tg а — « =0,
$ 514. ЦИКЛОИДЫ 795
точка А, (черт. 498, 6)-на прямой х = 0, точка В1~
на прямой Хг=2пги т. д.
Эти точки можно папгп, решив уравнение
Ф — X sin ф 0. (2)
которое в рассматриваемом случае X -- Х„ имеет един-
ственный положительный корень <р,; последний располо-
жен в промежутке (О, к). Значения ф — фг и ф - — фг
соошетствмог точке па арке ADB (О ф 2п) и на
соседней арке (-2л -= ф < ())*).
Пример 1. Пусть 1,43г, как па черт. 498, б.
Решив уравнение
Ф~ 1,43 sin ф — О (2а)
(по способу 288 — 289), найдем значение ф1 = 81°, соот-
ветствующее точке Ах (на арке ADB). Ординату уг точки
находим из второго уравнения (1):
pi _ OAj = г (1 - 1,43 cos фг) 0,78г.
Узловые ючкп данной циклоиды суп,
(2пАг; 0,78г).
Пусть теперь отношение X лежит в промежутке
Zj,
где \ —7,78968..?); тогда кроме рассмотренных выше
узловых точек появляются узловые точки на прямых х —
= (2А1)тит, ио одной паре па каждой из згих прямых;
точки Рп Ра (черт. 500) на прямой х = яг, точки Q,,
на прямой х = —пг, точки /?р /?а па прямой х-3-r
И т. д. Эти точки можно найти, решив уравнение
ф —X sin ф — (3)
кшорое в рассматриваемом случае имеет два положшель-
лых корпя ф2. Оба корня лежат в промежутке (2тт, Зп)
п соответствуют точкам Ръ, Р-> на арке BD"N, которая
пересекается здесь с аркой tD'A3), отделенной от BD 'N
одной промежуточной аркой ADB.
I) Нулевому корню уравнения (2) соответствует навальная точка
А, не являющаяся узловой.
г) Это иррациональное число равно sc ot(, где aL —наименьший
положительный корень уравнения tg а.-а. = я.
э) Если Х=ХО, то точки Р1 и Р2 совпадают, так что арки BD"N и
LD' А касаются друг друга.
796 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
В том случае, когда X лежит в промежутке
Х^ -- X *£= Х2,
где Х4 = 14,102.J), у циклоиды появляются новые узло-
вые точки-на этот раз опять на прямых .х-2/скг, по
одной паре на каждой из этих прямых: точки Лг, А3 (см.
черт. 500) на прямой х = О, точки В2, В3 на прямой х =
= 2кг, точки L2 на прямой х = -2кг и т. д. Эти точ-
ки можно найтн, решив уравнение (2), которое в рассматри-
ваемом случае имеет не один положительный корень, как в
Черт. 500.
примере 1, а три. Наименьший корень лежит в промежут-
ке (0, я) и соответствует узловой точке А; (черт. 500),
лежащей в пересечении соседних арок ADJ3 и LD'A.
Два других корня <р2, фз лежат в промежутке (2п, Зя) и
соответствуют точкам А2, А3, лежащим в пересечении
арок BD"N и LI)'"S, разделенных двумя промежуточными
(LD'A и ADB).
По мере дальнейшего роста отношения X у циклоиды
появляются все новые и новые пары узловых точек: сна-
чала по одной паре точек на прямых х= (2Л + 1) яг (в
этих точках пересекаются две арки, разделенные тремя
промежуточными), затем —по одной паре точек на пря-
мых х=2к~т (здесь пересекаются две арки, разделенные
четырьмя промежуточными) и т. д. попеременно.
Пример 2. Пусть х = 8, как на черт. 500. Так как
это значение X лежит в промежутке (Xlf Х2), то данная
х) Число равно вс и2, где аа-второй (в порядке возрастания
абсолютной величины) положительный корень уравнения tg ® - а =0.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ
797
удлиненная циклоида имеет по три узловые точки на каж-
дой нз прямых х = 2Л«г н по две-иа каждой из прямых
х = (2/е +1) кг.
Узловые точки Ап Л2, А3 на прямой .vO найдем из
уравнения
9 - 8 sin 9 = 0. (26)
Его корни СУТЬ
ф! = 159°40'; ' 93 = 36О° + 69°ЗО'; = ЗбО° + 95°54'.
Ординаты точек Alf Аг, Аа находим из второго урав-
нения (1):
V, = 0Аг = г (I -8 cos 9i) ~ 8,50r
и аналогично
у£ = 0Аг * 1,80г; у3—ОА3 * 1,83т.
Узловые точки Р2 па прямой х = тг найдем из
уравнения
9 - - 8 sin 9 — я. (За)
Его корни СУТЬ
= 360° + 26°49'; 9; = 360°+ 136°21'.
Ординаты точек Ри Рг будут
у{ = 0Р} -6,14г; у £ = 0Р2 s* 6,79т.
На каждой арке нашей циклоиды лежит по 10 узло-
вых точек (на арке ADB- точки L3, L3r Q2r At и
симметричные с ннмн точки Rr, Nit У3, R2, Bt).
Нн укороченная, ни обыкновенная циклоида узловых
точек не имеют.
6. Точки возврата. По мере того как внешняя
точка М производящего круга приближается к окруж-
ности, описываемая точкой М удлиненная циклоида (черт.
498, б) стремится к совпадению с обыкновенной циклоидой
(черт. 498, в). При этом петля с узловой точкой Aj стя-
гивается в точку О, которая становится точкой возврата
обыкновенной циклоиды: при переходе с арки (~2п, 0)
на арку (0, 2тг) направление движения точки Л1 меняется
на противоположное. Точками возврата являются все
точки 9=2Агтт обыкновенной циклоиды, и только они.
Удлиненные и укороченные циклоиды точек возврата не
имеют.
1, Точки пере г и ба. Укороченная циклоида имеет
да каждой арке по две точки перегиба (Ц н La на
798 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
черт. 498, а}: соответствующие значения параметра $ опре-
деляются из уравнения
rf я
COS ф = — .
t Т Г
Для циклоиды, изображенной на черт. 498, а, где d=>
~О,6г, имеем cos ф = 0,6. Точке соответствует значе-
ние « 52°25', точке Л3-значсние ф£= 127’35'. Коорди-
наты xlt Ji точки Ll суть
. = Тф — d sin ф ₽= г (ф — 0,6 sin ф) к 0,43г,
ух — г - d cos ф = г (1 - 0,6 cos ф) - 0,63г.
Координаты точки Ьй:
х2 — 2т~Л'х « 5,85г; уа = ух 0,63г.
8. Свойства нормали и касательной.
Нормаль MN (черт. 498, а—в) любой циклоиды проходит
через точку опоры Е' производящего круга. Касательная
МТ (черт. 498, «) обыкновенной циклоиды проходит через
точку ТТ, диаметрально противоположную точке опоры
производящего круга.
Отсюда ясен способ построения касательной.
9. Радиус кривизны. Для любой циклоиды
Р — A3 l-(P-2(fr cos д>)э/г ..
“ d|d*-rcbs<p] * ' '
В частности, для обыкновенной циклоиды
R = 2г fl-cosф = 4г | sin f 2 |'2гу = 2МЕ' (4а)
(черт. 498, в), т. е. радиус кривизны обыкновенной цикло-
иды равен удвоенному отрезку нормали между цикло-
идой и направляющей. Иными словами, для построения
центра кривизны достаточно продолжить хорду МЕг за
точку Е' иа расстояние, равное этой хорде.
10. Эполюта и эвольвента обыкновен-
ной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды
(геометрическое место центров кривизны) есть циклоида,
конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль направляющей
на половину основания АВ и опущенная под основание
на расстояние, равное высоте циклоиды (см. черт. 384 на
стр. 505).
Иными словами, эвольвента циклоиды С4ВЛ (см.
черт, 384), исходящая из вершины В этой циклоиды, есть
циклоида конгруэнтная с данной, на смещенная ’
§ 314. ЦИКЛОИДЫ
вдоль направляющей на половину основания C4D и подня-
тая над основанием на расстояние, равное высоте циклоиды.
11. Циклоида и синусоида. Геометрическое
место основании перпендикуляров, опущенных нз точки М
циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий
через точку опоры, сыь синусоида с длиной волны 2лГ
н амплитудой *d. Ось этой синусоиды совпадает с линией
центров циклоиды.
12. Циклоида как проекция винтовой
л и ни п. Обозначения: Л— шаг винтовой линии;
а-ее радиус; а-угол подъема;
p-угол между осью винтовой
линии и плоскостью проекций;
а-угол наклона проектирующих
лучей к плоскости проекций.
Косоугольная проекция
вннтовой линии на плоскость, пер-
пендикулярную к оси, есть цик-
лоида. Если а > а, то эта циклоида
удлиненная; если а а, то укоро-
ченная; если а=а, то обыкповен-
ная.Прямоут ольная проекция внн-
товой линии на ту же плоскость
есть, очевидно, окружность.
Прямоугольная проекция вин-
товой линии иа плоскость, не пер-'
пендикулярную к оси, но и не па-
раллельную последней, есть «сжа-
тая циклоида» (черт. 501, а—в),
т. е. линия, получаемая из цик-
лоиды с помощью равно-мерного
сжатия (§ 40) к какой-либо пря-
мой, перпендикулярной к линии
центров циклоиды.
Коэффициент сжатия k=sin р; величины г и d, харак-
теризующие циклоиду (до се сжатия), выражаются так:
г ctg р (^ к tg a ctg р); d ~ я. (5)
Отсюда видно, что при р > а проекция винтовой линии
(черт. 501, а) родственна с Удлиненной циклоидой;
прн р < а (черт. 501, б)-с укороченной; при р = а
(черт. 501, е) —с обыкновенной.
Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость,
параллельную оси (черт. 501, г), есть сннусоида,у которой
800 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
амплитуда есть радиус а винтовой линии, а длина волны
есть проекция h cos 0 шага h.
13. Д л и н а дуги s циклоиды между точками Ф=О,
4*1 ______________
s = J Vra4-da"2rd cos Ф dy. (6)
о
Эта дуга равна по длине дуге эллипса
X ~ 2 (d-i-r) cos у, у = 2(d-r) sin(7)
между точками с теми же значениями параметра Ф,
Интеграл (6) в общем случае не выражается через
элементарные функции аргумента Ф1. Но для обыкно-
венной циклоиды [эллипс (7) вырождается в отрезок
длины 8г] имеем
s ~ 2г J sin -J dip = 4r (1 - cos 4^) = 8r sin3 -J (Ф1 --г 2-).
Q
f (8)
В частности, одна арка обыкновенной циклоиды равна
по длине учетверенному диаметру производящего круга,
s — 4 • 2г. (8а)
14. Натуральное уравнение обыкновенной
циклоиды (в пределах одной арки)
Яв+(5_4Г)з - (4г)а (О < s < 2кг). (9)
Получается из (8) и (4а) исключением Ф. Дуги оточи- i
тываются от начальной точки. Если за начало дуг принять
вершину, то натуральное уравнение будет
jR34-s2 (4г)2 ("4г s «г 4г). (9а)
15. Кинематическое свойство обыкновен-
ной циклоиды. Уравнение (9) выражает на языке кинемати-
ки следующее свойство: если обыкновенная циклоида ка-
тится (без скольжения) по прямой АВ до центр кривизны
точки касания движется по окружности. Радиус последней
вчетверо больше радиуса производящего круга, а центр ле-
жит в той точке прямой АВ, через которую прокатывается
вершина циклоиды.
16. Площади и объемы. Площадь Slt описыва-
емая ординатой при изменении Ф от Ф = О до Ф-Ф1:
« (2га 4- d3) 9 -4dr sin Ф+. (10)
§ 614. циклоады 861
«Полная площадь» S (при <р1=2п):
S = 2лг2-!-~(Я (11)
Для обыкновенной и Укороченной циклоид-это площадь
фигуры OADBOi, (черт. 498, а, <г); для удлиненной—пло-
щадь фигуры, остающейся от фигуры AAjDBtB после
изъятия прямоугольника OABOt (черт. 498, б).
Для обыкновенной циклоиды (d=r)
5 « 3-г2, (12)
т. е. фигура, ограниченная аркой циклоиды и основанием,
по площади втрое больше производящего круга [Робсрваль
(1634), Торричелли (1643)].
Площадь поверхности, образованной вращением
обыкновенной циклоиды около ее основания АВ:
h = -T^3=Ts’ <13’
где S-площадь петли циклоиды.
Объем Vj соответствующего тела вращения
У, = 5^ = |г, (14)
где V-объем описанного цилиндра.
Площадь Fs-поверхности, образованной вращением
обыкновенной циклоиды около высоты DF:
(15)
Объем у3 соответствующего тела вращения
= = (16)
где V'-объем описанного цилиндра, V" —объем вписан-
ного шара.
17. Тавтохронное1) свойство циклоиды.
Материальная точка, движущаяся под действием силы
тяжести па обыкновенной циклоиде ADB (черт. 502),
обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего по-
ложения D за промежуток времени
< = (17)
х) От танго; x₽qvo; - одинаковое время.
51 М, я. Выгодский
802 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
(г-радиус производящего круга, g-ускорение силы
тяжести). Этот промежуток нс зависит от начального
положения точки (Гюйгенс, 1673).
Поэтому период Т колебания циклоидального маятника
(Т=4() ие зависит от его амплитуды (круговой маятник
практически обладает этим свойством лишь при малых
Черт, 502.
колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструиро-
ванного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К Дру-
гой циклоиды АКБ, являющейся эволютой циклоиды АОВ
(см. п. 10).
18. Циклоида как брахистохрона1). Бра-
хистохрона точки, перемещающейся под действием силы
тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пре-
небречь) из данной точки А в нижележащую точку В
(не расположенную на одной вертикали с А), есть обыкно-
венная циклоида. Она обращена вогнутостью вверх; точка А
является се начальной точкой. Величина производящего j
круга определяется из Условия, чтобы циклоида проходила >
через точку В.
Продолжительность i быстрейшего спуска определяется
по формуле
(18)
------------ ' ' I
1) Брахистохрона (от Х(юу°£-кратчайшее время)- i
лилия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из од-
ного данного положения в другое. Термин введен Иваном Бернулли
(1667 —1748), который поставил и задачу о разыскании «линии крат-
чайшего спуска». В 1696 г. он одновременно с Яковом Бернулли опуб-
ликовал решение задачи.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ - 803
где Фэ- угол поворота производящего круга, соответст-
вующий точке В.
Пример. Точка В ниже точки А иа 0,83 л/, а по
горизонтали находится на расстоянии 1,54 м от А. Найти
продолжительность быстрейшего ската из А в В.
Решение. Возьмем начало координат в точке А,
ось ОХ направим вертикально вниз; за плоскость XOY
примем вертикальную плоскость, проходящую через А и В.
Направим ось OY так, чтобы точка В имела положитель-
ную абсциссу. За единицу масштаба примем 1 м. Тогда
координаты точки В будут
= 1,54; 0,83. (19)
Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представ-
ляется уравнениями
| д: = г (/-sin ф), у = г(1-созф). (2о)
Из условия (19) можно найти радиус г производящего
круга и значение ф = фЛ, соответствующее точке В.
Для этого, исключая г из (20), решаем уравнение
1,54 (1 — cos <р) = 0,83 (<р — sin ф)
по способу §§ 288 — 289. Получаем ' >
Ф « 195° (« 3,40 радиана). t
Теперь из второго уравнения (20) находим
г » 0,42 (л0.
Наконец, по формуле (18), полагая g ~ 9,8 (м/сек*),
находил! __
t ~ . 3,40 « 0,70 (сек).
Спуск из А в В по наклонной плоскости продолжался
бы 0,87 сек, т. е. почти на 25% дольше.
19. Исторические сведения. В истории выс-
шей математики циклоида сыграла исключительно важную
роль. Более полустолстня она привлекала внимание круп-
нейших ученых XVII века. Ряд ее свойств, найденных гео-
метрическими средствами, подтвердил правильность
новых аналитических методов. Дру! ие ее свойства удалось
открыть только с помошью этих новых методов.
В 1590 г. Галилей, изучая траекторию точки катяшейся
окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и на-
именование этой линии). Он пытался определить площадь,
61*
$04 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ограниченную аркой циклоиды и ес основанием. Не рас-
полагая средствами для теоретического решения задачи,
он пытался найти отношение площади циклоиды к пло-
щади производящего круга путем взвешивания. Вначале
он полагал, что это отношение равно 3, ио потом обратил
внимание на то, что эксперимент всегда давал ему число,
меныпее трех. Так как разность была незначительна, то
искомое отношение казалось невозможным выразить с по-
мощью небольших целых чисел, и Галилей пришел к Убеж-
дению, что это отношение иррационально.
После смерти Галилея (1642 г.) его ученики Торричелли
н Вивиани, делившие с иим горести заточения, занялись
математическим исследованием циклоиды. Вивиани, приме-
няя кинематические соображения, иашел свойство каса-
тельной, изложенное в п. 5; Торричелли, применяя приемы,
предвосхитившие интегральное исчисление, определил
площадь циклоиды (п. 14).
Площадь циклоиды была найдена также Робервалем
независимо от Торричелли и, вероятно, иа несколько лет
раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остро-
умию и простоте (он основывался на свойстве п. И)1).
Тем же методом Роберваль нашел объемы тел враще-
ния циклоиды около основания и около высоты. Роберваль
рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но так-
же удлиненную и укороченную н дал метод построения
их касательных.
Как ни замечательны были эти открытия, они относи-
лись все же к задачам, которые для ряда других фигур
решались уже с давних пор. Между тем все попытки
осуществить точное спрямление криволинейных дуг
оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой
линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал
Л Идея метода: из соображений симметрии ясно, что синусоида
AQD (черт. 503), о которой идет речь в свойстве 11, делит на равнове-
ликие части прямоугольник AFDK,
В построенный на половине основания
п циклоиды и на ее высще. Из элементар-
нтлх соображений отсюда следует, что
J X X фигура AFPQ, образованная высотой,
J \ \ половиной основания и синусоидой, рав-
< - '——невелика производящему кругу. Чтобы
получить площадь полу циклоиды, надо
, 5Q3 добавить площадь <лепестка» AQDP
между полуаркой циклоиды и синусои-
дой. Роберваль доказывает, что этот ле-
песток равновелик половине производящего круга. Доказательство
состоит в применении так называемого принципа Кавальери (полу-
круг ограничен вертикальным диаметром, сечения производятся
параллельно основанию).
$ 515. эпициклоиды и гипоциклоиды 805
выдающийся английский астроном, физик, математик и
архитектор Рен (1632-1723). работа Реиа была опубли-
кована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом
других ученых, причем Ферма, кроме того, впервые вы-
полнил спрямление алгебраической линии (полуку-
бической параболы).
Исчерпывающее исследование геометрических свойств
циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого
вышла в свет в 1659 г.
В последующее сорокалетие трудами таких первокласс-
ных ученых, как Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц н братья
Бернулли, были исследованы механические применения
циклоиды (см. пп. 15 и 16). Задача о брахистохроне (п. 16)
в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков
созданной в XVIII веке трудами Эйлера и Лагранжа новой
отрасли математик - вариационного исчисления.
§ 515. Эпициклоиды И ГИПОЦИКЛОИДЫ
1. Определение. Как эпициклоида (черт. 504, а),
так и гипоциклоида (черт. 504, б) есть линия L, которую
описывает точка М, закрепленная в плоскости некоторого
круга С раднусд г (производящий круг), когда этот круг
катится без скольжения по неподвижной окружности ра-
диуса R (направляющая). Линия L называется эпициклои-
дой, когда окружности С и О касаются внешним образом,
и гипоциклоидой, когда касание внутреннее.
Эпициклоида черт. 504, а и гипоциклоида черт. 5о4, б
описаны движением точки М, находящейся на окружности
производящего круга. Такие эпициклоиды и гипоциклоиды
называют обыкновенными в отличие от укороченных и
удлиненных. Эпициклоида (черт. 505, а) и гипоциклоида
(черт. 505, б) называются укороченными) когда точка М
взята внутри производящего круга, т. е. когда d г
(d = СМ —расстояние точки М от центра С производящего
круга), и удлиненными (черт. 506, а и б), когда М лежит
вне производящего круга, т. е. когда d г.
Начальной точкой эпициклоиды или гипоциклоиды (Д на
черт. 504-506) называется такая ее точка, которая лежит
на прямой (СДЕД соединяющей центр (С,) производящего
круга с точкой опоры (Ех), и находится по ту же сторону
от центра ct) что и точка опоры Ev Точки А, В, В' на
черт. 505, а и б тоже начальные.
Начальные точки обыкновенной эпициклоиды н обыкно-
венной гипоциклоиды (Д, В, X на черт. 504,а и б) лежат
806 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ня направляющей окружности и совпадают с соответствен-
ными точками опоры производящего круга.
Вершиной эпициклоиды или гипоциклоиды (D на
черт. 505, а н б) называется такая ее точка, которая лежит
иа прямой CZES, соединяющей центр С3 производящего круга
с точкой опоры £2, но находится иа продолжении отрезка
Сг£2 эа точку С3.
Точки D't L} V на черт. 505, а и ^-тоже вершины.
g 615. ЭПИЦИКЛОИДЫ и ГИПОЦИКЛОИДЫ 807
80S некоторые замечательные кривые
Окружность, описываемая центром производящего
круга, называется линией центров эпициклоиды (гипоцик-
лоиды). Радиус ОС линиц центров равен
ОС — ОЕ^ЕС — R+r ДЛЯ эпициклоид^,
ОС = ] ОН-ЕС | = | R-r { для гипоциклоиды.
2. Построение. Чтобы построить эпициклоиду или
гипоциклоиду по данным: /? (радиус направляющей), г
d
Черт. 506, «.
(радиус производящей окружности)иd(расстояние точки Af,
описывающей эпициклоиду или гипоциклоиду, от центра
С производящего круга), поступаем следующим образом,
§ 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ и гипоциклоиды 809
Проводим две окружности (на черт. 506, а и б онн по-
казаны жирным точечным пунктиром) О (R) и Со (г), каса-
ющиеся друг друга в точке V внешним образом, если
строится эпициклоида (черт. 506, а), и внутренним образом,
если строится гипоциклоида (черт. 506, б).
te
Черт. 506, tf.
Из центра Со проводим также окружность радиуса d
(она обозначена сплошной линией и сиабжеиа числовыми
пометками) и обозначаем буквой Мо ту из ее точек пере-
сечения с прямой ОСо, которая лежит на продолжении
отрезка C0V за точку Со. Точка Мо будет одной из вершин
искомой линии.
Окружность C0(d) делим на четное число 2л равных
дуг (мы взяли 2л -- 16) так, чтобы точка Мо оказаларь
810 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ед пой из точек деления. Точки деления снабжаем число-
выми пометками о, ±1, ±2, ..., ±п (нулевая пометка
соответствует точке Мо, пометки п и—п соответствуют
одной и той же точке). Для определенности положим, что
номера пометок возрастают при обходе окружности Са
по направлению движения стрелки часов.
Далее из центра О проводим окружность радиуса
ОС0-линию центров искомой эпициклоиды (гипоцикло-
иды)-и на ней откладываем из точки Со дугу СоС„,
градусная мера которой определяется из пропорции
СА: 180° — г :Я (1)
и которая направлена по ходу стрелки часов, если стро-
ится эпициклоида, и в противоположную сторону, если
строится гипоциклоида. От той же точки Со откладываем
дугу СОС_„, симметричную с С0С„х). На черт, 506, а и б,
где г: /? « 1:4, дуги С0С8 и СПС_8 содержат по 90° каж-
дая и легко строятся с помощью линейки н циркуля гео-
метрически точно. В других случаях такое построение
может оказаться затруднительным или вовсе невозможным.
Тогда построение выполняется приближенно с требуемой
степенью точности.
Каждую из дуг СОСН, C0C_rt делим иа п равных частей
и нумеруем точки деления буквами C+i, С±г, ..., C±*t
начиная от точки Со.
Теперь из точки О проводим ряд концентрических
•кружностей, проходяших последовательно через точку Af„,
носящую пометку О, через пару точек е пометками ±1,
через пару точек с пометками ±2 и т. д. На первой из
этих окружностей будут лежать все вершины, на послед-
ней-все начальные точки.
Из точек Си С3, ..., Сп, как из центров, проводим
полуокружности радиуса d так, чтобы их концы лежали
ма первой и последней из концентрических окружностей
и чтобы эти полуокружности можно было после поворота
около точки О совместить с полуокружностью, носящей
пометки 1, 2, 3, ... Таким же образом из центров CLX,
С„г, С-з, ... проводятся полуокружности, которые после
поворота около точки О совмещаются с полуокружностью,
носящей пометки -1, -2, -3,...
*) Если г > Д’, то дуги СЙС„ и СлС_ге перекрываются друг с другом,
а если г =- 2/?, то, кроме того, каждая из дуг СаС№, СйС_п перекрывает
сема себя»
§ 315, Эпициклоиды И Гипоциклоиды 811
Отмечаем точки Л11; Л<ЦГ где полуокружности Ct (rf),
C-t(d) встречают ту из концентрических окружностей,
которая была проведена через точки ± 1; затем отмечаем
точки М2, М_2, где полуокружности Сг, С„2 встречают
окружность, проведенную через точки ±2, и т, д. Все
точки М±х, М±г, М±з,... лежат иа искомой лннни, причем
точки Л48Л4_^ совпадают с начальными точками А, В (пос-
ледние можно было получить заранее, проведя прямые
осп, ОС_Д.
Так строится по точкам одна ветвь эпициклоиды (гипо-
циклоиды). Для построения соседних ветвей достаточно
продолжить ряд точек С, как показано на черт. 506, а и б.
Нумерацию этих точек надо произвести заново. Окруж-
ность же Со нет нужды вычерчивать заново, так как она
требуется лишь «для построения концентрических окруж-
ностей, а последние остаются теми же,
3, Параметрические уравнения (начало
коирдйнат О-в центре направляющей окружности; ось
ОХ направлена к одной из начальных точек; ф -угол по-
ворота луча ОС из его начального положения ’)).
Для эпициклоиды
х ~ (R+r) cos <?-d cos ^-<р,
У - (/?+г) sln<p-dsin —^<p.
Для ГИПОЦИКЛОИДЫ
to у* *
X = (R~r) COStp + rfCOS —-ip,
У = (J?-r) sin <p-d sin
(2a)
(26)
Уравнения (26) получаются из (2a) заменой г на-г
HdHa-d*).
’) Этот угол равен s' ХОС для всех эпициклоид и для тех гипо-
циклоид, у которых радиус производящего круга меньше радиуса
направляющей (г R). Если же г то ? к Z ХОС + к. Заметим,
что не существует такой гипоциклоиды, для которой г =R, ибо в этом
случае производящий круг не может катиться без скольжения по
направляющей окружности, касаясь ее внутренним образом.
*) При указанном ныборе направления оси ОХ и параметра <р
уравнение (26) сохраняет силу и для тех гипоциклоид, у которых
г > R (такие гипоциклоиды называют перициклоидами). Если же в
качестве параметра 9 взять, как зто часто делают, угол ^ХОС, то
параметрические уравнения яернциклоид будут отличаться от урав-
нений остальных гипоциклоид.
812 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
4. Особенности формы. Всякая эпициклоида
лежит в круговом кольце, ограниченном окружностями
радиусов /?+r-|d и |7?+г-<7|. На первой нз этих
окружностей лежат вершины, а иа второй-начальные
точки эпициклоиды. Таким образом, вершины эпициклоиды
всегда дальше от центра, чем начальные точки, как это
видно на черт. 504, и, 505, а и 506, а.
Всякая гипоциклоида лежит в круговом кольце, огра-
ниченном окружностями радиусов |7?-r-dj и [/?—
-г+</ ]. На первой лежат вершины, а на второй - началь-
ные точки гипоциклоиды. Таким образом, в случае, когда
R -- г, вершины гипоциклоиды ближе к центру, чем на-
чальные точки, как это видно иа черт. 504, б, 505, б и
506, б. Дело обстоит наоборот в том случае, когда j?<r,
Гипоциклоиды этого второго типа называются перицикло-
идами. Мы ие даем для них особых чертежей по той
причине, что всякая перициклоида тождественна с неко-
торой эпициклоидой н отличается от последней только
способом порождения. Об этом подробно сказано ниже
в п. 7.
При повороте около центра О на угол, кратный ~~ ,
эпициклоида (гипоциклоида) совмещается сама с собой.
Так, линия черт. 504, а, где 7? = Зг, совмещаемся сама с
собой при повороте около О на У1 ол ± *^, иа угол £ ,
± 2я н т. д. То же на черт. 504, б. На черт. 505, а, б и
506, а, б, где 7? = 4г, совмещение достигается при пово-
роте на угол, кратный —.
Начальные точки обыкновенной эпициклоиды (гипоци-
клоиды) являются точками возврата (см. черт. 504, а и б).
Если отношение 7?: г есть целое число т, то эпици-
клоида (обыкновенная, удлиненная или укороченная) яв-
ляется замкнутой алгебраической линией порядка 2 (m+1),
а гипоциклоида-замкнутой алгебраической линией по-
рядка 2 (m-1). Так, эпициклоида черт. 504, а (где 7?; г =
= 3:1) есть кривая 8-го порядка, а гипоциклоида
черт. 504, б (здесь тоже 7?: г = 3:1)- кривая 4-го поряд-
ка. Как эпициклоида, так и гипоциклоида состоит из т
конгруэнтных ветвей.
Если отношение /?: г есть дробь, которая в несокра-
тимой форме имеет вид£(# 1), то эпициклоида (гипо-
циклоида) - тоже алгебраическая кривая [порядка 2 ] p±q Ц
ц состоит из р конгруэнтных ветвей. Так, обыкновенная
§ sis. эпициклоиды и гипоциклоиды 813
эпициклоида черт. 507 (Г?: г = 3 : 2) есть кривая 10-го по-
рядка и состоит нз трех конгруэнтных ветвей.
Если отношение R:r есть иррациональное число, то
эпициклоида (гипоциклоида) не замкнута, она имеет бес-
численное множество ветвей, пересекающихся друг с
другом.
5. Частные виды.
I) При /? .* г — 2:1 как удлиненная, так и укорочен-
ная гипоциклоиды представляют собой эллипс с центром
в точке О. Полуоси эллипса суть а — r-'-d; Ь => [ r—d |;
концами большой оси являются начальные точки, концами
малой оси—вершины гипоциклоиды. На этом способе
образования эллипса основано устройство прибора, вычер-
чивающего эллипсы.
1а) Если при постоянных R и г, связанных соотноше-
нием fl:r=2;l, разность r-d стремится к нулю, то
малая ось эллипса неограниченно уменьшается, а большая
ось стремится к совпадению с диаметром направляющей
окружности. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая в
предельном случае (d = г), представляет собой отрезок
прямой, а именно тот диаметр направляющей окружности,
который соединяет начальные точки. При одном полном
обороте производящего круга этот диаметр описывается
814
некоторые замечательные кривые
в одном направлении, при следующем обороте —в проти-
воположном направлении. 'Каким образом, и в этом пре-
дельном случае начальные точки обыкновенной пшоцик-
лоиды являются точками возврата.
2) При /? = г каждая из эпициклоид представляет со-
бой улитку Паскаля (§ 508); в частности, обыкновенная
эпициклоида рассмагрпваемого типа есть нс чго иное, как
кардиоида.
3) При R : г -- 4 : 1 обыкновенная гипоциклоида пред-
ставляет собой астроиду (черт. 508); эта линия характе-
ризуется тем, чго отрезок кГ ее касательной,заключенный
между двумя взаимно-перпендикулярными прямыми (про-
ходящими через две пары противоположных начальных
точек), имеет одну и ту же длину /?. Уравнение астроиды
в прямоугольной системе координат, указанной па
черт. 508, есть
^з^уз/э -
или в параметрической форме
х = R cos3 и, у = R sin3 а,
6. Предельные случаи.
Случай I. При бесконечном радиусе направляющей
окружности и данном радиусе производящею крма эпи-
§ 515. эпициклоиды и гипоциклоиды 815
циклоида (гипоциклоида) обращается в циклоиду (§ 514,
и. 1) с тем же радиусом производящего круга.
Случай 2. При бесконечном радиусе производящего
круга последний обращается в прямую (KL на черт. 509),
которая катится без скольжения по направляющей окруж-
ности О; при этом эпициклоида (гипоциклоида) обращается
в линию, описываемую
точкой М, 'неподвижно
скрепленной с прямойКХ,
Если точка М лежит
на самой прямой KL (как
точка Р на черт. 509), то
описываемая дония (АВ
на черт. 509) есть эволь-
вента направляющей ок-
ружности (§ 512, пп. 1
и 2)- ✓***
Если точка, скреплен- /
пая с прямой АВ, лежит /
по ту же сторону, что п /
направляющая (как точ- I л#
каМ на черт. 509), то про- \
екцпя Р этой точки они- \
сывает эвольвенту АВ, \
а сама точка М-уко-
раненную эвольвенту ок-
ружности. Эта линия
есть геометрическое ме- се
сто конца отрезка РМ
данной длины /, отклады- ЧеРт- 50Э-
ваемого на касательной
РТ к эвольвенте АВ; при этом направление отрезка РМ
совпадает с направлением убывания дуги АР эвольвенты.
Если же точка, скрепленная с прямой KL, лежит по
другую сторону от этой прямой, то она описывает удли-
ненную эвольвенту. Эта линия строится аналогично, с той
только разницей, что отрезок данной длины откладывает-
ся на касательной РТ л сторону возрастания дуги АР,
7. Двоякое образование гипоциклоид
и э п п ц и к л о и д. Обыкновенная гипоциклоида, получае-
мая с помощью производящего круга радиуса г, который
катится но окружности радиуса R, тождественна с «гипо-
циклоидой», получаемой с помощью производящего круга
81б НЕКОТОРЫЕ ЗАЛ1ЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
радиуса. = д_г, (3)
который катится по той же окружности радиуса /?.
Слово «гипоциклоида» поставлено в кавычки потому,
что в том случае, когда г R, под этим термином надо
понимать эпициклоиду, у которой радиус производящего
круга есть r — R.
Пример 1. Астроиду, вписанную в круг радиуса /?,
которая получается (п. 5) качением круга радиуса 7?
по окружности радиуса /?, имеющего внутреннее касание
с производящим кругом, можно получить так же, как ги-
поциклоиду, ДЛЯ которой Д’, = 7?-^ 7? = 4
П р и м е р 2. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая
качением круга радиуса г = 4 м по окружности радиуса
7? = 2 м, тождественна с «гипоциклоидой», получаемой
качением круга радиуса гх = 2 м — 4 м = — 2 м по ок-
ружности радиуса Д -= 2 м, т. е. с эпициклоиде и,
для которой 7?! = 2 м, rL = 2 м. Эта эпициклоида
является кардиоидой (п. 5).
Из сказанного следует, что всякая обыкновенная эпи-
циклоида (7?, г) тождественна с гипоциклоидой* 1) (/?, 7?+г).
Так, обыкновенную эпициклоиду черт. 504, а(г~±-Я)
можно получить как гипоциклоиду, соответствующую зна-
чениям /?х = /?, —
Двоякое образование применимо также и к гипоцик-
лоидам (эпициклоидам) общего вида, а именно: гипоцик-
лоиду, соответствующую данным величинам 7?, г, d, можно
получить так же, как «гипоциклоиду» (7?j, rlf dj, где 7?ъ
Гр выражаются через /?, г, d следующими формулами:
= r^^iR-r), a, = R-r. (4)
В случае, когда R < г2), линия (7?i, G, Д) есть эпицик-
лоида, для которой 7?! - ft = у (г-7?), dL- г-R.
Всякая же эпициклоида (7?, г, d) тождественна с ги-
поциклоидой
«1=7^ Й в у<Я+r)> <71 =- /?+г. (4а)
принадлежащей к типу перициклоид.
Л Принадлежащей к типу перициклоид; см. п. 4.
Е) Тр есть когда исходная гипоциклоида является перициклоидоЙ!
§ 515. эпициклоиды и гипоциклоиды 817
Замечание. Гипоциклоида (эпициклоида), которая
при одном из способов своего образования была удлинен-
ной, при другом способе оказывается укороченной (и на-
оборот).
ПримсрЗ. Удлиненную гипоциклоиду (ft, ft, -|- ft) ,
построенную на черт. 506, б, можно получить как (укоро-
ченную) гипоциклоиду (Яъ Гр rfi), где
R, = -|r, '1 = 4r, =
(по формулам (4)).
Пример 4<Удлиненную эпициклоиду (ft, R, - ft) ,
построенную па черт. 506, а, можно получить как (уко-
роченную) гипоциклоиду (ft17 гг, £0, где (по формулам
(4а)
^1=4^
8. Свойство нормали и касательной.
Нормаль, проведенная через точку М любой эпициклоиды
(гипоциклоиды), проходит через соответствующую точку
касания Е производящего круга с направляющей. Каса-
тельная к обыкновенной эпициклоиде (гипоциклоиде) про-
ходит через точку Е‘ производящего круга, диаметрально
противоположную точке Е (ср. § 514, п. 8).
Отсюда ясен способ построения касательной.
9, Радиус кривизны/? любой эпициклоиды*.
Лз 1 rfs-2ctr cos
№ (/?+г)• (5)
р-3 + (J? 4-г) -dr (к +2r) cos 5?*
Соответствующая формула для гипоциклоиды полу-
чается из (5) заменой г на-r и Ц на-d'.
Для обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) полу-
чаем
~ |/?±2rJ Sin 2г ’
где знак плюс соответствует эпициклоиде, а знак минус—
гипоциклоиде.
Формулу (5а) можно переписать так:
62 М. Я Выгодский * .
813 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Здесь I- хорда ME производящего круга, соединяющая
точку М эпициклоиды (гипоциклоиды) с соответствующей
точкой опоры Е производящего круга. Формула (56) дает
простой способ построения центра кривизны.
В начальных точках обыкновенной эпициклоиды (гипо-
циклоиды) 7? = 0.
В вершинах
р -
* [ Я ±2г | *
10. 9 в о люта. Эволюта обыкновенной эпициклоиды
или гипоциклоиды (т. е. геометрическое место се центров
кривизны) сеть линия, подобная исходной. Отношение
подобия Для эпициклоиды есть 7?: (АЧ- 2г), а для гипо-
циклоиды 7?: (7?-2г). Эволюта имеет тот же центр, что
исходная эпициклоида (гипоциклоида). Вершины эволюты
совпадают с начальными точками исходной линии (ср. § 514,
п. 10), так что ОДНУ из этих линий можно ПОЛУЧИТЬ из дру-
гой поворотом на угол к - с последующим пропорциональ-
К
ным изменением расстояний до центра.
Пример. Эволюта астроиды A BCD (черт. 508), т. с. -
гипоциклоиды, для которой 7? — 4г, есть тоже астроида,
получаемая из данной поворотом около центра па угол 45°
и пропорциональным изменением расстояний до центра
в отношении 7?; (7?-2г) — 4 : 2 — 2: 1. Начальные точки
Аг В, С, D будут вершинами эволюты.
11. Длина дуги s эпициклоиды между точками
<р = О, ср = фр
<₽1 .--------.— ---
$ = j* у r*+ - 2rd cos </ф. (6)
О
Эта дуга по длине равна дуге эллипса
Х„ 2(d+r)5iicos^, y^2(rf-r)-^sin-^- (7)
между точками с теми же значениями параметра ср.
Интеграл (6) в общем случае не выражается через
элементарные функции аргумента срР Но для обыкновен-
ной эпициклоиды (эллипс вырождается в отрезок, длина
которого есть 8 г) имеем
$ = —(^±4- sin* . (8)
§ $15. Эпициклоиды и Гипоциклоиды Sid
В частности, дУ1а между двумя соседними начальными
точками равна
8г(1+^). (»)
Для гипоциклоиды все вышесказанное останется в силе,
если заменить d, г соответственно па -г/, г.
12. Натуральное уравнение обыкновенной
эпициклоиды (гипоциклоиды):
(0^ss2b), (10)
где а Ь 41 (”±f> R-радиус кривизны,
5—длина дуги, отсчитываемая от одной из начальных
точек. В выражениях для н, b верхние знаки относятся к
случаю .эпициклоиды, нижние —к случаю гипоциклоиды.
Уравнение (10) получается исключением параметра m из
(8) и (5а).
Если за начало отсчета дуг принять одну из вершин,
то натуральное уравнение будет
(Юа)
Ср. § 514, п. 13.
13. Кинематическое свойство. Уравнение
(10) нли (10а) выражает на языке кинематики следующее
свойство: если дуга обыкновенной эпициклоиды или обы-
кновенной гипоциклоиды катится без скольжения по пря-
мой АВ, то центр кривизны точки касания движется по
эллипсу; центр последнего лежит в той точке прямой АВ,
через которую прокатывается вершина эпициклоиды (ги-
поциклоиды); одна из полуосей совпадает с прямом ЛИ
и по длине равна лодунстии эпициклоиды (гипоциклоиды)
j j, другая полуось есть радиус кривизны в вер-
шине и равна | 4г^ ^г) |. Ср. § 514, п. 14.
14. С е к т о р и а л г. н а я п л о щад ь 5, описываемая
полярным радиусом ОМ, который в исходном положении
ведет к начальной точке эпициклоиды, выражается фор-
мулой
(И)
4 - \ f Z >\ f J
52*
820 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ кривые
В частности, для обыкновенной эпициклоиды
S = (*+г)(Я+М {ф_£ sin 02)
(Ньютон).
В случае гипоциклоиды в формулах (11) и (12) надо
заменить г на - г.
В формулах (11) и (12) площадь рассматривается как
направленная величина, т. е. принимается, что в тех про-
межутках изменения параметра <р, где полярный радиус
вращается в отрицательном направлении, он описывает
отрицательную площадь.
Площадь St сектора, описываемого полярным радиусом
ОМ обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды), когда
точка М пробегает одну ветвь, выражается формулой
Sj = пг ±г? ±2г> (13)
где верхние знаки берутся для эпициклоиды, а ннжние-
для гипоциклоиды.
Площадь же соответствующего сектора направляю-
щего круга есть
S, = r.Rr. (14)
Поэтому площадь S фигуры, ограниченной одной
ветвью обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) и соот-
ветствующей дуюй направляющей окружности выра-
жается формулой
S = | SL-S2 [ = №|3±2^|, (15)
Пример. Рассмотрим обыкновенную гипоциклоиду,
для которой г : R = 1 : 4, т. е. астроиду ABCD (черт. 508).
По формуле (15) находим
S = кгф-2-1| - f 7ГГ= = (15а)
Это-площадь, ограниченная одной из ветвей астроиды,
например ветвью АВ, и соответствующей дугой АВ на-
правляющей окружности О (АВ = 90°).
Но ту же астроиду можно рассматривать и как ги-
поциклоиду, для которой г : R = 3 :4 (п. 7). Тогда, приме-
нив формулу (15), найдем
S = тгг* [ 3 - 2 -11 = j № = g цф. (156)
§ 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ и гипоциклоиды $21
Этот результат может показаться нелепым. Однако
надо учесть, что теперь для вегвн АВ астроиды соответ-
ствующей является не та дуга АВ, которая содержит 90°,
а вторая дуга (BCD А), содержащая 270°, так что формула
(156) выражает ту площадь, которая вместе с площадью (15а)
заполняет весь круг О. В самом деле, сложив (15а) и (156),
получаем
15. Исторические сведения. Чтобы объяснить
попятные движения планет, древнегреческие астрономы,
следуя Гиппарху *(11 в. до и. э.), приписывали нм равно-
мерное движение по окружности (эпицикл), центр кото-
рой равномерно движется по другой окружности (дефе-
рент). Линия, описываемая точкой при этих условиях,
является эпициклоидой. Мы не зияем, однако, какие гео-
метрические се свойства были известны ученым древности.
В середине XII1 века выдающийся мусульманский астро-
ном н математик Мухаммед Насирэддин ат-Туси (1201 —1274)
установил, что точка окружности, катящейся по непо-
движной окружности, вдвое большего радиуса, касаясь се
изнутри, описывает диаметр неподвижной окружности (п.5).
Это свойство независимо от Наснрэддина было найдено
великим польским астрономом Николаем Коперни-
ком (1473-1543); оно содержится в знаменитом его труде
♦Об обращениях небесных кругов», опубликованном в 1543 г
Теорема Наснрэддина-Коперника нашла широкое приме-
нение в прикладной механике.
Начало снстематическог о изучения эпициклоид н гипо-
циклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким
художником Альбрехтом Дюрером (1471 — 1528), широко
применявшим геометрические методы в изобразительном
искусстве. Однако математикам исследования Дюрера ос-
тались неизвестными.
В середине XVII века Ж. Дезарг (1593—1662), у кото-
рого глубина математических идей сочеталась с талантами
конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с зада-
чей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Ре-
зультаты этих, как и многих других, исследований Дезарга
не были нм опубликованы, но они были известны в кругу
его друзей.
Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубли-
ковал в 1675 г. «Трактат об эпициклоидах н нх примене-
нии в механике». Здесь установлен ряд важных свойств.
$2$ НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИЙЫЁ
в частности, свойства, приведенные в пп. 7, 8, 10, 11, 14
и 15.
В своем бессмертном труде «Математические начала
натуральной философии» (1687) Ньютон, обобщив иссле-
дования Гюйгенса о циклоидальном маятнике (§ 514, п. 17),
установил, что в сферическом поле тяготения линией изо-
хронного колебания маятника является эпициклоида.
Являясь естественным обобщением циклоид, эпицик-
лоиды н гипоциклоиды многократно привлекали внимание
исследователей; кроме вышеуказанных авторов упомянем
еще Лейбница, Эйлера и Даниила Бернулли (1700-1782).
§ 516. Трактриса
1. Исторические сведения. Французский врач
К'лод Перро в 1693 г. предложил ряду математиков
такую задачу; один конец нерастяжимой нити прикреплен
к материальной точке М, лежащей на горизонтальной пло-
скости; другой конец движется по прямой Х'Х, лежащей
в той же плоскости. Какую линию опишет материальная
точка, увлекаемая натянутой нитью?
Эга задача была решена Лейбницем, который составил
дифференциальное уравнение искомой линии, исходя из
того, что отрезок ее касательной от точки касания М до
пересечения с прямой Х'Х должен иметь постоянную длину
(равную длине нити). Независимо от Лейбница и одновре-
менно с ним задача была решена Гюйгенсом, который на-
звал найденную линию т р а кт о р п е й* 1), Сейчас ее чаще
называют трактрисой »).
2. Определение. Трактрисой (черт, 510) называется
геометрическое место точек, обладающих тем свойством,
что отрезок МР касательной от точки касания М до пере-
сечения с дайной прямой Х'Х (направляющей) имеет дан-
ную величину а. Точка Л трактрисы, наиболее удаленная
от направляющей, называется вершиной, а перпендику-
ляр АО, опущенный из вершины на направляющую, -
высотой трактрисы.
3. Параметрические уравнения (ось
абсцисс —направляющая трактрисы, ось ординат направ-
лена по высоте в сторону вершины Д);
1 х = « cos tp + a In tg у, 1
у = a sin tp, J
i) Оттого же латинского слова trahere (тянуть, увлекать), от кото-
рого образовано слово «трактор»,
а) Дополнительные исторические сведения содержатся в и, 14,
§ 5 J 6. ТРАКТРИСА 823
где ср — x ХРМ - угол, составленный лучом РМ с поло-
жительным направлением оси абсцисс (0 < ср -с п).
4. Особенности формы. Трактриса симметрична
относительно высоты АО (последняя равна данному от-
резку а). Прямая АО касается трактрисы в точке А; по-
следняя является точкой возврата трактрисы. Трактриса
расположена по одну сторону от направляющей и уда-
ляется в бесконечность в обе стороны от вершины. На-
правляющая является асимптотой трактрисы.
5. Построение. Чтобы построить трактрису по
данной ее высоте а, проводим прямую Х'Х (направляю-
щую); из какой-либо точки О этой прямой, как нз центра,
проводим окружность радиуса а. В пересечении с лучом
0Y .г Х'Х находим точку А-вершнну трактрисы. Через
точку А, а также через одну из точек, где окружность О
пересекает Х'Х, например через В, проводим касатель-
ные AD, BD к окружности; D-точка их встречи. На от-
резке BD = а берем ряд точек 1', 2', 3', ... так, чтобы
824 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
отрезки BD, В1', В2’, ВЗ’,. .. образовывали геометрическую
прогрессию
BD : В/' - В1’: В2‘ - В2' : ВЗ' = . . . q.
Знаменатель q можно взять по произволу. Во избежа-
ние накопления погрешностей удобно поступить так: от-
резок BD делим пополам точкой 4'; отрезок В4' делим
пополам точкой 8' и т. д.; занумеровав для единообразия
точку D цифрой О', мы будем иметь ряд отрезков ВО',
В4', В8', В16',..., образующих прогрессию со знаменате-
лем ~. Теперь между точками О', 4' построим промежу-
точные точки 1', 2', 3'в следующем порядке: сначала
находим точку 2' так, чтобы отрезок В2‘ был средним
пропорциональным между ВО' и В4'. Заодно отмечаем j
точку 6', делящую пополам отрезок В2', и точку 10', де-
лящую пополам отрезок Вб'г). Тогда получим ряд отрез-
ков ВО', В2', В4', Вб', В8', В10’,.,., образующих геометри- ,
ческую прогрессию со знаменателем 1 : 2^* 3.
Далее строим точку 1' так, чтобы отрезок В1‘ был
средним пропорциональным между ВО' н В2', а затем
отмечаем точку 5'-середину отрезка В/', точку Р'-
середииу отрезка В5’ и т. д. Таким же образом строится
точка 3' (конец отрезка ВЗ', среднего пропорционального
между В2' и В4'), и затем отмечаются точка 7' (середи-
на ВЗ’), точка 77' (середина В7') и т. д.э).
В результате мы получили ряд отрезков ВО', BV,
В2’,..., В12’,..., образующих прогрессию со знаменателем
1 : 21/j.
Поступая так же, мы могли построить прогрессию J
отрезков со знаменателем 1 : 21/s, 1 : 21/1G и т. д.
Теперь на направляющей Х'Х в обе стороны от точки О
откладываем ряд равных отрезков ।
01 = 1 11 = II III = III IV = ... = d.
i) Имея в виду разделить отрезок 0'4' на четыре части, мы заранее
занумеровали его нижний конец цифрой 4’; для большей точности
можно делить этот отрезок на 8, на 16 и т. д. частей и тогда соответст-
венно изменить нумерацию.
*) Номера 2, 6, 10 образуют арифметическую прогрессию с той же
разностью (4), какую образовывали номера 0, 4, 8, 12, ...
3) Точки 7', 9', 11' на черт. 510 ие показаны, чтобы не загромож-
дать построения, Вообще нет нужды отмечать те точки, которые попа-
дают внутрь слишком малых прежде построенных отрезков. Эти точки
все равно не увеличат точность построения.
$ 516. ТРАКТРИСА
825
Теоретически точное значение d определяется из пропор-
ции
d : а = In (а : ВГ}. (2)
Но если отношение а: ВТ близко к 1, то практически до-
статочно взять.
'.Ь-. (//<’). (2а)
Дальнейшее построение протекает так: точки 1', 2’, 3',...
соединяем с центром О и в пересечении лучей 07', 02',
ОЗ,... с окр#жностыо отмечаем точки 7, 2, 3,... (на
черт. 510 эти номера проставлены внутри окружности;
для единообразия номером 0 обозначена точка пересечения
окружности с лучом 0D).
Отложим на ду1е ВА от точки В дуги В/с -2 В/,
дугу В2° = 2-В2 и т. д. Через концы 7°, 2°, 3°,... удвоен-
ных дуг (соответствующие номера проставлены на черт. 510
вне окружности) проведем прямые, параллельные направ-
ляющей Х'Х2), а из точек ± I, ± II, ± 111, как нз центров,
проведем полуокружности радиуса а, как показано на
черп 510 (полуокружности I, II, III обращены вогнутостью
в сюропу возрастания номеров центров, а полуокружно-
сти -I, —II, —III— в обратную сторону).
Наконец, отмечаем пару точек, где полуокружности
+ 1 пересекают прямую, проведенную через 7а, пару точек,
где полуокружности ± II пересекают прямую, проведен-
ную через 2°, и т. д. Все эти попарно симметричные точки
принадлежат искомой линии.
6. Трактриса как ортогональная траек-
тория; приближенное построение. Ортого-
нальная траектория семейства окружностей радиуса а
с центрами на дайной прямой Х'Х (т. е. линия, которая
пересекает все эти окружности под прямым углом) есть
’) В нашем случае, когда а : пропорция (2) дает
г/ = а in (2^4)= | а 1п 2 ж 0,173 а,
тогда как, полагая d = 0'1', мы получаем
О’Г = RO'-BV = а( 1--sb 0,160 а.
\ 2^7
Таким образом погрешность составляет 7,5%.
!) Для этого лучше всего отложить на окружности О от точки А
дуги, симметричные с дугами A1Q, А2°, и соединить каждую из точек
Iе, 2° с симметричной точкой.
826
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИЙЫЕ
трактриса. Указанное семейство окружностей имеет бес-
численное множество орюгональных траекторий: через
каждую точку одной из окружностей проходит одна
трактриса, ортогональная к этой окружности. Одна из
траекторий изображена на черт. 510; другая симметрич-
на с ней относительно Х'Х. Остальные получаются па-
раллельным смещением згой пары трактрис вдоль пря-
мой Х'Х.
Это свойство позволяет сделать довольно точный па-
бросок трактрисы следующим образом. Начертив ряд по-
луокружностей радиуса а с центрами, густо расположен-
ными на прямой Х'Х, и выбрав па одной из окружностей
произвольную точку, удаленную от прямой Х'Х примерно
на расстояние а, проводим через нее на глаз линию,
пересекающую ряд соседних полуокружностей под прямым
Углом, т. с. направленную всякий раз вдоль соответствую-
щего радиуса. Можно поступить и так: отметим точку
пересечения радиуса взятой окружности (или продолжения
этого радиуса) с соседней полуокружностью; центр по-
следней соединим с найденной точкой и отметим точку
пересечения нового радиуса со следующей полуокружно-
стью н т. д. Получим ломаную линию, которая при доста-
точной густоте центров практически заменяет искомую
трактрису. Точность построения уменьшается по мере
приближения к вершине.
7. Построение касательной. Чтобы построить
касательную в данной точке М трактрисы с данными
вершиной А н направляющей Х'Х, достаточно засечь на
Х'Х точку Р дугой, проведенной из центра М радиусом
АО=а. Прямая МР есть искомая касательная.
8. Радиус кривизны
R = a etg <р. (3)
Геометрически эта формула выражает (см. черт. 510),
что радиус кривизны трактрисы в точке М есть отре-
зок МС нормали от точки М до пересечения с прямой PC,
проведенной перпендикулярно к направляющей Х'Х через
точку Р ее пересечения с касательной в точке М.
Построенная указанным образом точка С есть центр
кривизны трактрисы в точке М.
Радиус кривизны в вершине А
РЛ = а. (За)
§ 516. ТРАКТРИСА
827
Радикс кривизны АТС н отрезок нормали ME (от точ-
ки М до пересечения Е с направляющей) связаны соотно-
шением
МС • ME = о2, (4)
т. е. радиус кривизны МС и отрезок нормали ME обратно
пропорциональны.
9. Эволюта. Эволюта LAN трактрисы (черт. 510),
т. е. геометрическое место се центров кривизны С, есть
цепная линия (§ 517). В системе координат ОХУ черт. 510
уравнение эволюты имеет вид
»>
или, что то же,
' , ~ = ch —. (5а)
а а '
10. Длина s ду г и AM выражается формулой
s ~ a In esc q> = а 1п — .
* у
Разность s- |х| между длиной дуги AM и длиной ее
проекции на направляющую при неограниченном удалении
точки М от вершины А стремится к пределу а(1—1п2),
lim ($ —|х |) = а (1 -in 2) 0,307 а. (6)
11. Натуральное уравнение
О)
12. Площадь S бесконечной полосы, заключенной
между трактрисой и се асимптотой Х'Х, вдвое меньше
площади круга, радиус которого есть высота АО трак-
трисы;
S = ~ra2. (8)
13. Тело вращения трактрисы около асимптоты Х'Х
(бесконечно протяженное вдоль Х'Х) имеет конечную по-
верхность SJf равную поверхности шара радиуса /?, и ко-
нечный объем V, равный половине объема этого шара:
Sj = 4га1, (9)
(10)
828 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
14. Трактриса и псевдосфер а. Поверхность
(черт. 511), образованная вращением трактрисы около ее
асимптоты, называется псевдосферой. Эта поверхность на-
звана так потому, что между ней и поверхностью шара
существует глубокая знало! ня. Так, если три точки В, С,
D на поверхности шара попарно соединить кратчайшими
дугами, то в полученном сферическом треугольнике BCD
сумма внутренних углов всегда будет больше, чем тс, при-
чем избыток суммы В 4 С + D над к равен отношению
площади S сферического треугольника к квадрату радиу-
са а шара:
(B + C4-D)-tt = ^. (11)
Если же взять три точки В, С, D (черт. 511) на псев-
досфере (по одлу сторону от параллели 6Т, описанной
вершиной трактрисы) и тоже соединить их кратчайшими
дугами, то в полученном псевдосферическом треугольнике
сумма внутренних углов всегда будет меньше, чем п, при-
чем недостаток суммы J34-C + D до п равен отношению
§ 517. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 829
площади S псевдосфернческою треугольника к квадрату
радиуса а параллели UV.
п-(В1 C+D) = -|. (12)
Замечательно, чю свойством (12) обладают прямо-
линейные треу1 ольникн в геометрии Лобачевского.
И вообще иа любом куске псевдосферы, не содержащем
точек параллели V V, осуществляются все без исключения
свойства, которыми обладает некоторый кусок плоскости
в теометрии* Лобачевского. Это открытие, сделанное
в 1863 г. итальянским геометром Е. Бельтрами (1835 -1900),
устранило то недоверие к геометрии Лобачевского, с ко-
юрым к ней прежде относились почти все математики,
в том числе и очень видные.
§ 517. Цепная линия
1. Определение. Цепной линией называется ли-
ния, по которой провешивается однородная нерастяжимая
нить, закрепленная в двух ее концах.
Замечание!.В первоначальной постановке вопроса
(см. п. 9) речь шла о линии провеса цепи, откуда и на-
звание «цепная линия». Заменяя цепь нитью, мы отвле-
каемся от ряда обстоятельств (размер звеньев, нх трение
и т. д.), затрудняющих исследование. Напряжение земного
тяготения предполагается постоянным по величине и на-
правлению. '
Замечание 2. В зависимости от положения точек Р,
Q, где закрепляются концы нити, и от длины I самой нити
(Z>PQ) дуга провеса имеет различный вид. Однако иссле-
дование показывает, что изображение дуги PQ, сделанное
в надлежащем масштабе, можно совместить с некоторой
дугой P0Q0 (черт. 512) вполне определенной бесконечной
тинии LAN. Именно к этой бесконечной липни в целом
(а не к дуге провеса, составляющей ее часть) и относится
наименование «цепная линия».
Низшая точка А цепной липин называется ее вершиной.
2. Уравнение. Если за начало координат принять
вершину цепной линии (что представляется довольно
естественным), а ось ординат направить вертикально вверх,
то цепная линия представится уравнением
У = f С7+е“Т)-а, (1)
830 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
где а (параметр цепной липин) есть длина такого отрезка
нити, вес которого равен горизонтальной составляющей
натяжения нити (эта составляющая постоянна на всем
протяжении дуги провеса),
Однако обычно начало координат берут в точке О,
лежащей ниже точки А на расстоянии а. Тогда подучаем
бо.чее простое уравнение
или, пользуясь обозначениями шперболпчссьих функции
« 403),
X = di£. (2а)
а а
Такилг образом, цепная линия есть график функции
ch х (если отрезок а принять за единицу масштаба).
Ось абсцисс Х'Х, т. е. прямая, параллельная касатель-
ной в вершине А н лежащая ниже этой вершины на рас*
стоянии а, называется директрисой цепной линии.
3, Цепная линия и трактриса. Цепная линия
(LAN па черт. 512) есть эволюта трактрисы UAV, высота
которой равна параметру а цепной линии. Трактриса UAV
§ 517. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
831
ЯЬляется той эвольвентой цепной линии, у которой началь-
ная точка есть вершина А цепной линии. Иначе говоря,
отрезок МАТ касательной МТ от точки касания М до пе-
ресечения с трактрисой UAV в точке АТ по длине равен
дуге МА ценной липни.
4. Построение. Чтобы построить ценную линию
с данным параметром а, найдем предварительно ряд точек
трактрисы с высотой а (§ 516, и. 5). Попутно будем со-
единять каждую такую точку АТ (черт. 512) с центром Р
соответствуюн^ей полуокружности. 11рямая М'Р-касатель-
ная к трактрисе. Теперь проводим нормаль ATM трактрисы
(МЛй 1 М'Р) до пересечения в точке М с перпендикуля-
ром РМ, восставленным из точки Р к направляющей Х'Х.
Точка М (центр кривизны трактрисы) принадлежит иско-
мой цепной линии LAN.
Замечание. Нормаль М'М трактрисы является ка-
сательной ее эволюты LAN (§ 346, и. 1). Это свойство
облегчает проведение плавной липни через ряд построен-
ных точек М. Вместе с тем оно позволяет проконтролиро-
вать точность построения.
5. Д л и и а д у г и. Длина s дуги AM цепной линии,
отсчитываемой от вершины А, равна проекции AIM' орди-
наты PAI иа касательную МТ и выражается формулой
AM = МАГ = у С“ -е
пли
$ =5 a sh —.
Я
(За)
С ординатой РМ = у дуга $ связана соотношением
S® + «’ = y2. (4)
Последнее вытекает из (2) и (3) и легко прочитывается нз
треугольника РМ'М, где РМ = у, MM’-s и РАТ-а
(ио основному свойству трактрисы).
6. Проекция ординаты на нормаль. Проек-
ция МН ординаты AJP цепной линии на нормаль AID
Имеет постоянную длину а:
НМ = ОА - а. (5)
Это соотношение прочитывается из прямоугольника ММ'PH,
где МП-М'Р —а (по основному свойству трактрисы).
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
- ~ .... „3 н ы радИУС кривизны MK---R
--
832
7. Радиус кривизны, гадиус кримы™» .....- ..
цепной линии равен отрезку MD нормали от точки М до
директрисы Х'Х н выражается формулой
R = MD =
(6)
ИЛН
(ба)
(7)
R = a ch- .
а
8. П о с т р о е п и е центра кривизны; эво-
люта цепной линии. Чтобы построить центр кри-
визны цепной линии в данной ее точке М, продолжаем
нормаль А4Оза точку М и откладываем отрезок MK—MD.
Точка /(-искомый центр кривизны. Так строится по
точкам линия К'ВК, описываемая центром кривизны, т. с.
эволюта цепной линии. Ее параметрические уравнения:
xx-«[ch Jsh|nn(chi-.hl.)],
ук = 2а ch ~.
Точка В (центр кривизны для вершины Д) есть точка
возврата эволюты (7).
9. Натуральное уравнение цепной л п-
н и и:
₽ = - + (8)
Ойо получается из (За) и (6а) исключением х. На языке
кинематики уравнение (8) означает следующее: если цеп-
ная линия катится без скольжения по прямой, то центр
кривизны точки касания описывает параболу; ось послед-
ней вертикальна; вершина лежит в точке В; параметр
параболы равен полупараметру цепной линии.
10. Пл о щ а д ь S «криволинейной трапеции» О АМР
(ОА=^а — ордината вершины, РМ-ордината конца М
дуги AM=s) равна площади прямоугольника со сторо-
нами a, s, так что
S = as - аг sh2 — . (9)
а л
И. Исторические сведения. Когда точки за-
крепления цепи находятся на одинаковой высоте н цепь
8 517. ЦЕПНАЯ линия 833
ненамного длиннее, чем расстояние между точками закреп-
ления, дуга провеса кажется тождественной с дугой пара-
болы. Долгое время так и считалось’. Исследования Гали-
лея в области .механики поставили под сомнение правиль-
ность этого мнения, но самому Галилею не удалось нн
цодтвердитц его, им опровергнуть. В 1669 г. Юнгнус
установил как теоретически, так и экспериментально, что
линия провеса цепи не является параболой. Но для разы-
скания истинной формы этой линии математика в это
время еще не располагала необходимыми средствами.
Вскоре после того, как Ньютон и Лейбниц разработали
методы анализа бесконечно малых, оказалось возможным
решить и задачу о линии провеса цепи. Эта задача была
сформулирована в 1690 г. Яковом Бернулли и тотчас же
решена ею братом Иваном Бернулли, Гюйгенсом н Лейб-
ницем.
Я. Бернулли поставил и другую задачу: пренебрегая
весом паруса, раздуваемого ветром, найти линию профиля
паруса. Самому Я. Бернулли удалось лишь составить диф-
ференциальное уравнение. Иван Бернулли решил его.
Оказалось, что искомый профиль является цепной линией.
В 1744 г. Эйлер поставил и решил такую задачу: на
плоскости даны: прямая АВ и две точки С, D (не лежащие
на АВ). 1/ровести через С и I) такую линию, чтобы по-
верхность, образованная ее вращением около оси АВ,
имела наименьшую площадь. Оказалось, что и эта кривая
является црпной линией (прямая АВ-сс директриса).
Поверхность вращения цепной линии около ее дирек-
1рнсы (катеноид *)) обладает и более общим свойством,
а именно: любой се кусок по площади меньше, чем всякая
другая поверхность, ограниченная тем же контуром. Это
свойство катеноида было найдено в 1776 г. выдающимся
французским математиком, инженером н полководцем
Ж. Менье. Тем же свойством обладает целый класс поверх-
ностей (так называемые минимальные поверхности 2)). Но
среди поверхностей вращения катеноид является един-
ственной поверхностью этого класса.
Значение цепной линии для техники обусловлено, между
прочим, тем, что собственный вес арки, имеющей форму
цепной линии, не действует на прогиб аркн.
’) От латинского catena —цепь.
s) Менье указал еще одну минимальную поверхность: геликоид
(оца образуется винтовым движением горизонтальной прямой, пере-
секающей вертикальную ось).
53 !*Л, я* Выгодский
ТАБЛИЦЫ
g
I. Натуральные логарифмы 1 ) _ ——г
N 0 1 2 •! 3 4 ! 5 J 1 6 7 1 8 9
i 1,0 1J 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 l) образ табло т 0,0000 0,0953 0,1823 0,2624 0,3365 0,4055 0,4700 0,5306 0,5878 0,6419 0,6931 0,7419 0,7885 0,8329 0,8755 0,9163 0.9555 0,9933 1,0296 1,0647 Натур аль ом. Пусть це натура аким же о 0,0100 0,1044 0,1906 0,2700 0,3436 0,4121 0,4762 0,5365 0,5933 0,6471 0,6981 0,7467 0,7930 0,8372 0,8796 0,9203 0,9594 0,9969 1,0332 1,0682 ный логар ищется In льныу лог Зраэом на.* 0,0198 0,1133 0,1989 0,2776 0,3507 0,4187 0,4824 0,5423 0,5988 0,6523 0,7031 0,7514 0,7975 0,8416 0,8838 0,9243 0,9632 1,0006 1,0367 1,0716 i ифм числа 753. Имееу арифмов, одим 1 п 0, 0,0296 0,1222 0,2070 0,2852 0,3577 0,4253 0,4886 0,5481 0,6043 0,6575 0,7080 0,7561 0,8020 0,8459 0,8879 0,9282 1 0,9670 1 1,0043 1,0403 1,0750 не содери :In 753 = второе — по 30753 —1и 0,0392 J 0.0488 0,1310 0,1398 0,2151 0,2231 0.2927 0.3001 0,3646 0,3716 0,4318 0,4383 0,4947 0,5008 0,5539 0,5596 0,6098 0,6152 0,6627 0,6678 0,7129 0,7178 0,7608 0,7 655 0,8065 0,8109 0,8502 0,8544 0,8920 0,8961 0,9322 0,9361 0,9708 0,9746 1,6080 1,0116 1,0438 1,0473 . 1,0784 ’ 1,0818 1 <ащегося среди аргул п (7,53- 10s) =1п 7,53 таблице III, Получг 7,53 10-J) =2,0189 - 0,0583 0,1484 0,2311 0,3075 0,3784 0,4447 0,5068 0,5653 0,6206 0,6729 0,7227 0,7701 0,8154 0,8587 0,9002 0,9400 0,9783 1,0152 1,0508 1,0852 '[битов таб + 2 in 10, ем: In 751 6,9078 = 0,0677 0,0770 0,1570 0,1655 0,2390 0,2469 0,3148 0,3221 0,3853 0,3920 0,4511 0,4574 0,5128 0,5188 0,5710 0,5766 0,6259 0.6313 0,6780 0,6831 0 7275 0,7324 0,7747 0,7793 0,8198 0,8242 0,8629 0,8671 0,9042 0,9083 0,9439 0.9478 0,9821 1 0,9858 1,0188 1,0225 1,0543 1,0578 j 1,0886 1,0919 1 । лицьт, находится ел 1ервое слагаемое нс 1=2,0189+4,6052 = -4,8889, 0,0862 0,1740 0,2546 0,3293 0,3988 0,4637 0,5247 0,5822 0,6366 0,6881 0,7372 0,7839 0,8286 0,8713 0,9123 0,9517 0,9895 1,0260 1,0613 1 1,0953 1 едующим ходим по 6,6241.
jV 0 j I 2 3 4 1 5 6 7 8 s
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 1,0986 1,1314 1,1632 1,1939 1,2238 1,2528 1,2809 1,3083 1,3350 1,3610 1,3863 1,4110 1,4351 1,4586 1,4816 1,5041 i 1,5261 1,547 6 1,5686 j 1,5892 , 1,6094 1 1,6292 1.6487 1 1,6677 1,6864 1,1019 1,1346 1,1663 1,1969 1,2267 1,2556 1,2837 1,3110 1,3376 1,3635 1,3888 1,4134 1,4375 1,4609 1,4839 1,5063 1,5282 1,5407 1,5707 1,5913 1,6114 1,6312 1,6506 1,6696 1,6882 1,1053 1,1378 i 1,1694 1,2000 [ 1,2296 1,2585 1,2865 1,3137 1,3403 1,3661 1,3913 1,4159 1,4398 1,4633 1,4861 1,5085 1,5304 1,5518 1,5728 1,5933 1,6134 । 1,6332 1,6325 1,6715 1,6901 1,1086 1,1410 1,1725 1,2030 1,2326 1,2613 1,2892 1,3164 1,3429 1,3686 1,3938 1,4183 1,4422 1,4656 1,4884 1,5107 1,5326 1,5539 1,5748 1,5953 1,6154 1,6351 1,6544 1,6734 1,6919 1,1119 1,1442 1,1756 1,2060 1,2355 1,2641 1 1,2920 I 1,3191 1,3455 1,3712 1,3962 1,4207 1,4446 1,4679 1,4907 1,5129 1,5347 1,5560 1,5769 1,5974 1,6174 1,6371 1,6563 1,6752 1,6938 — 1 1,1151 I 1,1474 1,1787 1 1,2090 1,2384 1 1,2669 1 1,2947 | 1,3218 1 1,3481 1 1,3737 1,3987 1,4231 1,4469 । 1,4702 1,4929 1,5151 1,5369 1,5581 1,5790 1,5994 1,6194 1,6390 1,6582 1,6771 1,6956 . 1,1184 1,1506 1,1817 1 1,2119 1,2413 1,2698 1,2975 1,3244 1,3507 1,3762 1,4012 1,4255 1,4493 1,4725 1,4951 1,5173 1,5390 1,5602 1,5810 1,6014 1,6214 1,6409 1,6601 1,6790 1,6974 1 1,1117 1,1537 1,1848 1,2149 1,2442 1,2726 1,3002 1,3271 1,3533 1,3788 1,4036 1,4279 1,4516 1,4748 1,4974 1,5195 1,5412 1 1,5623 1,5831 1,6034 1,6233 1,6429 1,6620 1,6808 1,6993 1,1249* : 1,1569 1,1878 1,2179 J 1,2470 1,2754 1,3029 1,3297 1,3558 1,3813 1,4061 1,4303 1,4540 1,4770 1,4996 1,5217 1,5433 1,5644 1.5851 1,6054 1,6253 1,6448 1,6639 1,6827 1,7011 1 1,1282 1,1600 1,1909 1,2208 1,2499 I 1,2782 ! 1,3056 1,3324 1,3584 1,3838 1,4085 1,4327 1,4563 1,4793 1,5019 1,5239 1,5454 1,5665 1,5872 1,6074 1.6273 1,6467 1,6658 1,6845 1,7029
ТАБЛИЦЫ J • ТАБЛИЦЫ
Продолжение g
JV 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ТАБЛИЦЫ - .... ' — 1
5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6.7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7.9 1,7047 1,7228 1,7405 1,7579 1,7750 1,7918 1,8083 1,8245 1,8405 1,8563 1,8718 1,8871 1,9021 1,9169 1,9315 1,9459 1,9601 1,9741 1,9879 2,0015 2,0149 2,0281 2,0412 2,0541 2,0669 1,7066 1,7246 1,7422 1,7596 1,7766 1,7934 1,8099 1,8262 1,8421 1,8579 1,8733 1,8886 1,9036 1,9184 1,9330 1,9473 1,9615 1,9755 1,9892 2,0028 2,0162 2,0295 2,0425 2,0554 2,0681 1,7084 1,7263 1,7440 1,7613 1,7783 1,7951 1,8116 1,8278 1,8437 1,8594 1,8749 1,8901 1,9051 1,9199 1,9344 1,9488 1,9629 1,9769 1,9906 2,0042 2,0176 2,0308 2,0438 2,0567 2,0694 1,7102 1,7281 1,7457 1,7630 1,7800 1,7967 1,8132 1,8294 1,8453 1,8610 1,8764 1,8916 1,9066 1,9213 1,9359 1,9502 1,9643 1,9782 1,9920 2,0055 2,0189 2,0321 2,0451 2,0580 2,0707 1,7120 1,7299 1,7475 1,7647 1,7817 1,7984 1,8148 1,8310 1,8469 1,8625 1,8779 1,8931 1,9081 1,9228 1,9373 1,9516 1,9657 1,9796 1,9933 2,0069 2,0202 2,0334 2,0464 2,0592 2,0719 1,7138 1,7317 1,7492 1,7664 1,7834 1,8001 1,8165 1,8326 1,8485 1,8641 1,8795 1,8946 1,9095 1,9242 1,9387 1,9530 1,9671 1,9810 1,9947 2,0082 2,0215 2,0347 2,0477 2,0605 2,0732 1,7156 1,7334 1,7509 1,7681 1,7851 1,8017 1,8181 1,8342 1,8500 1,8656 1,8810 1,8961 1,9110 1,9257 1,9402 1,9544 1,9685 1,9824 1,9961 2,0096 2,0229 2,0360 2,0490 2,0618 2,0744 1,7174 1,7352 1,7527 1,7699 1,7867 1,8034 1,8197 1,8358 1,8516 1,8672 1,8825 1,8976 1,9125 1,9272 1,9416 1,9559 1,9699 1,9838 1,9974 2,0109 2,0242 2,0373 2,0503 2,0631 2,0757 1,7192 1,7370 1,7544 1,7716 1,7884 1,8050 1,8213 1,8374 1,8532 1,8687 1,8840 1,8991 1,9140 1,9286 1,9430 1,9573 1,9713 1,9851 1,9988 2,0122 2,0255 2,0386 2,0516 2,0643 2,0769 1,7210 1,7387 1,7561 1,7733 1,7901 1.8066 1,8229 1,8390 1,8547 1,8703 1,8856 1,9006 1,9155 1,9301 1,9445 1,9587 1,9727 1,9865 2,0001 2,0136 2,0268 2,0399 2,0528 2,0656 2,0782
Продо ажение
л 0 I 1 1 2 3 1 j 4 f 5 f J f 6 7 8 9 1
8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 2,0794 2,0919 2,1041 2,1103 2,1282 2,0807 2,0931 2,1054 2,1175 2,1294 2,0819 2,0943 2,1066 2,1187 2,1306 2,0832 2,0956 2,1078 2,1199 2,1318 2,0844 2,0968 2,1090 2,1211 2,1330 2,0857 2,0980 2,1102 2,1223 2,1342 2,0869 2,0992 2,1114 2,1235 2,1353 2,08& 2,1005 2,1126 2,1247 2,1365 2,0894 2,1017 2,1138 2,1258 2,1377 2,0906 2,1029 2,1150 2,1270 2,1389
8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 2,1401 2,1518 2,1633 2,1748 2,1861 2,1412 2,1529 2,1645 2,1759 2,1872 2,1424 2,1541 2,1656 2,1770 2,1883 2,1436 2,1552 2,1668 2,1782 2,1894 2,1448 2,1564 2,1679 2,1793 2,1905 2,1459 2,1576 2,1691 2,1804 2,1917 2,1471 2,1587 2,1702 2,1815 2,1928 2,1483 2,1599 2,1713 2,1827 2,1939 2,1494 2,1610 2,1725 2.1838 2,1950 2,1506 2,1622 2,1736 2,1849 2J961 ТАБЛИЦЕ
9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 2,1972 2,2083 2,2192 2,2300 2,2407 2,1983 2,2094 2,2203 2,2311 2,2418 2,1994 2,2105 2,2214 2,2322 2,2428 2,2006 2,2116 2,2225 2,2332 2,2439 2,2017 2,2127 2,2235 2,2343 2,2450 2,2028 2,2138 2,2246 2,2354 2,2460 2,2039 2,2148 2,2257 2,2364 2,2471 2,2050 2,2159 2,2268 2,2375 2,2481 2,206! 2,2170 2,2279 2,2386 2,2492 2,2072 2,2181 2,2289 2,2396 2,2502
9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 2,2513 2,2618 2,2721 2,2824 2,2925 2,2523 2,2628 2,2732 2,2834 2,2935 2,2534 2,2638 2,2742 2,2844 2,2946 2,2544 2,2649 2,2752 2,2854 2,2956 2,2555 2,2659 2,2762 2,2865 2,2966 2,2563 2,2670 2,2773 2,2875 2 2976 2,2576 2,2680 2,2783 2,2885 2,2986 2,2586 2,2690 2,2793 2,2895 2,2946 2,2597 2,2701 2,2803 2,2905 2,3006 2,2607 2,2711 2,2814 2,2915 2,3016 00
0
Таблица для перехода «т иатуральных
(таблица умножения наЛ1 — log , --_ .
ю
20
30
QO
сс
со
О
1
2
3
4
5
6
8
0,0000
0,4343
0,8686
1,3029
1,7372
2,1715
2,6058
3,0401
3,4744
4,3430
4,7772
5,2115
5,6458
6,0801
6,5144
6,9487
7,3830
7,8173
8,6859
9,1202
9,5545
9,9888
10,4231
10,8574
11,2917
11,7260
12,1602
12,5945
13,0288
13,4631
13,8974
14,3317
14,7660
15,2003
15,6346
16,0689
16,5032
16,9375
17,3718
17,8061
18,2404
18,6747
19,1090
19,5433
19,9775
20,4118
20,8461
21,2804
50 60 70 "J 80 90
21,7147 22,1490 22,5833 23,0176 23,4519 23,8862 24,3205 24,7548 25,1891 25,6234 26,0577 26,4920 26,9263 27,3606 27,7948 28,2291 28,6634 29,0977 1 29,5320 29,9663 30,4006 30,8349 31,2692 31,7035 32,1378 32,5721 33,0064 33,4407 33,8750 34,3093 34,7436 35,1779 35,6122 36,0464 36,4807 36,9150 37,3^93 37,7836 38,2179 38,6522 39,0865 39.5208 39,9551 40,3894 40,8237 41,2580 41,6923 42,1266 42,5609 | 42,9952
1 I L- —
—/ та пеоехода от десятичных логарифмов к Mur*- III. Таблица для перехода о д очП2585^ (таблица умножения на п * у — —
г 50 60 70 | 80 । 90
0 10 20 | _——
0 1 2 3 1 4 6 7 8 0,0000 2,3026 4,6052 6,9078 9,2103 11,513 13,816 16,118 18,421 । 20,723 23,026 25,328 27,631 29,934 32,236 34,539 36,841 39,144 41,447 43,749 46,052 48,354 50,657 52,959 55,262 57,565 59,867 62,170 64,472 66,775 69,078 71,380 73,683 75,985 78,288 80,590 82,893 85,196 87,498 89,801 92,103 94,406 96,709 99,011 101,314 103,616 105,919 108,221 110,524 112,827 115,129 117,431 119,734 122,037 124,340 126,642 128,945 131,247 133,550 135,853 138,155 140,458 142,760 145,062 147,365 149,668 151,971 154,273 156,576 158,878 161,181 163,484 165,786 166,089 । 170,391 172,694 174,997 177,299 179,602 181,904 186,509 188,812 191,П5 193,417 195,720 198,022 200,325 202,627 204,930 209,535 211,838 214,140 216,443 218,746 221,048 223,351 225,653 227,936
9 £ „ —
1_.
IV. Показательная функция е® (натуральные антилогарифмы)
0 1 2 3 4 5 i 6 7 8 9
0,0 о,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,0000 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,0138 2,2253 2,4596 2,7183 3,0042 3,3201 3,6693 4,0552 4,4817 4,9530 5,4739 6,0496 6,6859 1,0101 1,1163 1,2337 1,3634 1,5068 1,6653 1,8404 2,0340 2,2479 2,4843 2,7456 3,0344 3,3535 3,7062 4,0960 4,5267 5,0028 5,5290 6,1104 6,7531 1,0202 1,1275 1,2461 1,3771 1,5220 1,6820 1,8589 2,0544 ,2,2705 2,5093 2,7732 3,0649 3,3872 3,7434 4,1371 4,5722 5,0531 5,5845 6,1719 6,8210 1,0305 1,1388 1,2586 1,3910 1,5373 1,6989 1,8776 2,0751 2,2933 2,5345 2,8011 3,0957 3,4212 3,7810 4,1787 4,6182 5,1039 5,6407 6,2339 6,8895 1,0408 1,1503 1,2712 1,4049 1,5527 1,7160 1,8965 2,0959 2,3164 2,5600 2,8292 3,1268 3,4556 3,8190 4,2207 6,6646 5,1552 5,6973 6,2965 6,9588 1,0513 1,1618 1,2840 1,4191, 1,5683' 1,7333 1,9155 2,1170 2,3396 2,5857 2,8577 3,1582 3,4903 3,8574 4,2631 4,7115 5,2070 5,7546 6,3598 7,0287 1,0618 1,1735 1,2969 1,4333 1,5841 1,7507 1,9348 2,1383 2,3632 2,6117 2,8864 3,1899 3,5254 3,8962 4,3060 4,7588 5,2593 5,8124 6,4237 7,0993 а 1,0725 1,1853 1,3100 1,4477 1,6000 1,7683 1,9542 2,1598 2,3869 2,6379 2,9154 3,2220 3,5609 3,9354 4,3492 4,8066 5,3122 5,8709 6,4883 7,1707 1,0833 1,1972 1,3231 1,4623 1,6161 1,7860 1,9739 2,1815 2,4109 2,6645 2,9447 3,2344 3,5966 3,9749 4,3929 4,8550 5,3656 5,9299 6,5535 7,2427 1,0942 1,2092 1,3364 1,4770 1,6323 1,8040 1,9937 2,2034 2,4351 2,6912 2,9743 3,2871 3,6328 4,0149 4,4371 4,9037 5,4195 5,9895 6,6194 7,3155
01
Ь
X
Продолжение W
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,0 7,3891 7.4633 7,5383 7,6141 7,6906 7,7679 7,8460 7,9248 8,0045 8,0849
2,1 8,1662 8,2482 8,3311 8.4149 8,4994 8,5849 8,6711 8,7583 8,8463 8,9352
2,2 9,0250 9,1157 9,2073 9,2999 9,3933 9,4877 9,5831 9,6794 9,7767 9,8749
2,3 9,9742 10,074 10,176 10,278 10,381 10,486 10,591 10,697 10,805 10,913
2,4 11,023 11,134 11,246 11,359 11,473 11,588 11,705 11,822 11,941 12,061
2,5 12,182 12,305 12,429 12,554 12,680 12,807 12,936 13,066 13,197 13,330
2,6 13,464 13,599 13,736 13,874 14,013 14,154 14,296 14,440 14,585 14,732
2,7 14,880 15,029 15,180 15,333 15,487 15,643 15,800 15,959 16,119 16,281
2,8 16,445 16,610 16,777 16,945 17,116 17,288 17,462 17,637 17,814 17,993
2,9 18,174 18,357 18,541 18,728 18,916 19,106 19,298 19,492 19,688 19,886
3,0 20,086 20,287 20,491 20,697 20,905 21,115 21,328 21,542 21,758 21,977
3,1 22,198 22,421 22,646 22,874 23,104 23,336 23,571 23,807 24,047 24,288
3,2 24,533 24,779 25,028 25,280 25,534 25,790 26,050 26,311 26,576 26,843
3,3 27,113 27,385 27,660 27,938 28,219 28,503 28,789 29,079 29,371 29,666
3,4 29,964 30,265 30.569 30,877 31,187 31,500 31,817 32,137 32,460 32,786
3,5 , 33,115 33,448 33,784 34,124 34,467 34,813 35,163 35,317 35,874 36.234
3,6 36,598 36,966 37,338 37,713 38,092 38,475 38,861 39,252 39,646 40,045
3,7 40,447 40,854 41,264 41,679 42,098 42,521 42,948 43,380 43,816 44,256
3,8 44,701 45,150 45,604 46,063 46,525 46,993 47,465 47.942 48,424 48,911
3,9 49,402 49,899 50,400 50,907 51,419 51,935 52,457 52,985 53,517 54,055
ТАБЛИЦЫ
О
□О'
842
ТАБЛИЦЫ
1б) f д I 1п +с.
J a—bx 2fab Уа—хГ^
17> 1£й?= 2Т1п(*!+7) + С-
' J a+bx* ~ b b J a t-b№’
далее см. № 15 или № 16.
194^№^1пг5з+с-
2(Л (_ dx =____?_A f dx .
} J ха (д+Ьх2) ах nJ а+&№ ’
далее см. № 15 или К» 16.
2П f dx =________f dx
' J (а+6№)я 2a (« + 6хя)’г 2a J a + bx"’
далее см. № 15 или №16.
3. Функции, содержащие Уа+Ьа?
22) J ia+bxdx = У(а+Ьх)‘+С.
23) j х fa+Tiiax = - 2 <2“ ~ + с.
24) J х» /ОТ* =
25) f = -’Siria /З+R+C.
26) Г l^ns+c.
J Уа -f. bx 1553
27) f —= -L In .^S£. + с при я 0.
J хУа + Ьх ya Fa + &x+ya
28) —=~=-arctg /Я+^j-C при я-:0.
хул ь&х У—a ’ —a
291 f dX - =: + L f dX
J х!Уо+Ьх ax 2a J хУа + bx r
Далее см, № 27 или № 28.
30) f , 2 I'Sj- to+a
J x J хУа+Ьх
далее см, № 27 или № 28.
ТАБЛИЦЫ
843
4. Функции, содержащие У-с2 + а2
31) J Jzxs + ardx =
= у jte+F+у in (х+ у'х'- :-(/О гС.
32) J /(х2+ a2)3 dx - у (2х2 + 5<г2) fx2T«2-l-
* 1п (хч- ^хг + а2)-|-С.
33) J х р'х2 + a2 dx - + с.
34) J х2 j/x2+asdx =
-у(2х2н-д2) (х+^х3 + ?)4-С.
35) [ = 1П (X | Fx- rU") ;-С.
* Ух2 +«а
36) ?_+с.
J У(хг4-а3)3 а2/х2 + а3
37) ( -- /х*+^ + С.
J ухг+а3
38) [ -- i }'x34 а2——In (х ? /х^а^+с
J Ух^+а» 2 2
39) [ х*= . = -_+1п (х+ 1/х2 + а2) + С.
J /(х24-а2)3 /х2+«г '
40) Г * „Lin-^K.
J хухг+а2 а «|-Ух2+а2
41) " __!^!+с.
•> хг У № 4- а2 а2х
42) f—-®^+J-ln^±^±^+C.
J хЧх2+а2 2а*№ 2а’ х
43) Г@±“^= 1п^1'»Г^ + с.
J х X
f_!2р+ in(X+ r^,.7,.)+c.
844 таблицы *
5. Функции, содержащие /аг — х3
45) f = arcsinх+С. *
46) f -^х_= = arcsin * + С.
J У а3 — х1 а
41) f - —-х=4 С.
J К(а*-х2)з as |/аг _
48) (= -/а^хЧС. ’ .
J Уа2 — х3 %
49) Г_^= = —1=+с.
J У(а2-х3)2 Уа3-х2 *,
50) f -г— - + arcsin - + С.
J Vu2-x* 2 2 а
51) J Уа^хЧх - | /а3-х- + “* arcsin £+ С.
52) J /(а2 —ха)^ dx =
< - (5п2-2х2) У с2 - х3 + arcsin
53) J х /o^x2dx= У^^+С.
54) J x fta’-x^dx = -^^-s + c.
55) J x2 F ^2 — xJdx =
= (2x2 - аа) /й3 - x2 + j arcsin
C x3 dx x * , r-
56) I —2. - = - arcsin— ~C.
J ^(ass_xs)a a
Jtfx 1 । X
xKa»-x* а а + Га*-х*
58) f -^= = -GE^+C.
J хг/аг — x® аах
59) f —ln —Z^+C.
J x»f<2*-№ 2asx2 2a3 а+Уа2-х2
60) J GES „X = in «±1^ FC.
61) -arcsin i+ C.
ТАБЛИЦЫ
845
6. Функции, содержащие
62) ( • dx = = in (х +
J Ух3-а3
63) [ — dx----= - * + С.
J ~ a3)J u3 fx* - и*
64) f x‘lx_ ^x5’-aJ4-C.
65) J }fxi-as dx — J^x3 —a3-~ln (x+^х3-аи) + С.
66) J ^(x-- t;2)3 (fx— ^-(2x- JaJ) )zx2 —a2 ;-
T- In (x+ hJ-a2) + C.
67) J =
68) J x Y(x--a*j3'dx = ^~^ + a
69) J x3 1'x2 - a1 dx —
= ~ (2x2 - cz3) /x3 - a~ - ~ In (x + /x3 - a2) + C.
70) j f%=5 - ? ¥1,1 C-
7I) f = -;/ + In (x+ ^x3-a3)+C.
72) f —=- агсьс x+ C.
J x Yx* - 1
73) f e A arcsc -4-C.
J x)x~~n- a a
74) f —> c
J X« }'x2 - at a^x
?k\ f dx Ух» — ,1 x „
J xa/xsTT^s ^«ax^- + 2^ arCSC 4 C‘
76) j* a-tf~ = }z № - z?2 • - </ arccos — + C.
J X X
77) J = +ln (x b tftrry)+c.
846
ТАБЛИЦЫ
7. Функции, содержащие У2ах—х2, f2ax+x2
Функция, содержащая /2ах— х~, инте1 рируется подстановкой
t -х—а. Тогда ^2ах — х2 получит вид /«г—;2, и интеграл на-
ходят в 1 руппе 5 этой таблицы Бели ею в таблице нет, то стараются
привести ею к виду, имеющемуся в таблице
То же можно сказать и о функции, содержащей выражение
УЗпх+х3. В этом случае подстановка t =х+а приводит радикал
к виду У/2 — а- (группа 6 этой таблицы)
8. Функции, содержащие a+bx | cat2 (с > 0)
78)
ч
79)
tlx
а + t>x + сх1
arctgJS±+ с,
уг4ас — Ьл ]/4а<? — Ь2
если 62-4щ.
1__2сх + Ь — У Ь2 - 4ас.^,
Уьз — 4«с 2сх I- b + УЬ2 — 4ас ’
если Ь-^4ас.
___ dx ___
У"п + Ьх + сх2 “ - - <
— --^In (2сх+6 + 2 К7 V«+6x4 (Лг)+С,
80) J уТ+йх + сх- dx = У « + bx+ сх2 — I
- —4^1п (2сх 1 6 + 2|/<? Уя+6х + сх2) + С
8 Ус-*
Я1\ f хе*х_________Уа + Ьх + сх2
J У а + Ьх + сх2 с 4
---^=1п(2схч 6+2 с ул+бх+сх3) + С.
2Усэ
!
9. Функции, содержащие «4 Ьх—сх- (с > 0)
82)
83)
84)
J</y _______ _ 1 jn УЬЯ + 4а с +2сх— Ь
П4-Ьх—схг Уьг+4ас Уб2 +4«с — 2сх +Ь
/dx 1 . 2сх — Ь ,
= -= arcsin —- — - + С.
Уа + Ьх—сх2 Ус Уо2+4ас
J У а + 6х - сх3 dx = — -- V « 4 Ьх — сх3 +
Ь2+ 4ас . 2сх — Ь „
+ -— - arcsin - — +С.
8 Ус-* У&2+4йс
таблицы
«47
х dx
/« + bx — гл'-
Ya+bx-cx- , b , 2cx—l>
—---------+ arcsins
c 2Yc^ Yb2+4ac
10, Другие алгебраические функции
86) J Уtix ~ Ла + х)(Ь + х) I
X + («-&) hi (F’fz-f-xH- F'ft+xJ + C.
= r'(rt-x) (7> + x) + (« +- fr) arcsin У + C.
~ I x)(b-x)~(a+b) aicsin I C.
89) J yj dx = - H~xJ + arcsin x + C.
90) f — • rfy—- = 2 arcsin У£^ + С.
' J V(x-a) (b -x) ’ b~a
11. Показательные и тригонометрические функции
91) J a* dx = ^4 С. 92) | er dx = c \ С.
93) J евГ dx ~ + С. 94) J sin х dx — -- cos х | С.
95) J C(js х (7х--sin х | С'. 96) J tg xdx= ~ln cos x t-C,
97) J ctg x dx = In sin x -h C,
98) J sc x dx = In (sc x i tg x) 4- C ~
-lntg(i+-J) + C.
99) j esc x dx — In (esc x- ctg x) 4 C = In tg + C,
100) J sc2 x dx = tg x ! C.
101) J esc2 x dx - - ctg x + C.
102) J sc x tgxdx = sc X4-C.
848
ТАЕЛИЦМ
103) J esc v ctg x dx - -esc x | C, _ *
104) J sin’ л dx = Sin c-
105) J cos-’ x dx = +•{*sin %x+c-
106) j sin” x dx - - 4 Л=± J Sin-Л x dx
Эта формула употребляется несколько раз, пока не
приведет к интегралу J sin х dx или J sin2 х dx (» зависи-
мости от того, четной или нечетное п), а эти интегралы см,
под№Ли 94 и 104,
107) f cos”хdx = J со*.-.хdx
(см, замечание к предыдущему интегралу и №№ 95 и (05),
(ПЯ1 Г ах =_______1 , cosх . ”-2 f ах
J St Н« X п - 1 ' Stn»-1 х 1 Л - 1 J Sirl"-2 X '
Употребляется несколько раз, пока не приведется к ин-
тегралу J dx, если п — четное, или к интегралу J siTT'x’
если п —нечетное (последний интеграл дан под Ns 99).
rv» f dx 1 sinx n —2 c dx
109) I —---- *--г....,—-P" j™ I *--_ (см. заме-
' 3 cos»x n—1 СОЕ»~1Х n —1J COS"”2 x '
чапие к предыдущему интегралу и № 98).
110) | Sill X COSn X dx ",C^4^1~‘+ C*
111) J sin*x cos x dx = “^-^4-C. ji
112) J cos’" x sin" x dx — , k jfl
= co^xsin^ f cosm_B xsin„
m-I-n m + n J
Упротребляется несколькр раз, пока степень косинуса
ие будет равна нулю (если т —четное) или единице
(если т — нечетное). В первом случае см. № 106, во
втором — № 111. Этой формулой следует пользоваться,
когда m<n. Если т > п, то лучше пользоваться сле-
дующей.'
113) J cos™ х sin** х dx =
= f cosmxsin-=xdx
m + n ^m+n 3
(см. замечание к предыдущему интегралу и №№ 107 и 110),
ТАБЛИЦЫ
849
114) f sin mx sin nx dx = *+
7 J 2(m+n)
, sin (m —n) x p
2(m-n)
115) [cos mx cos nx dx Sl-L^--+n) -+
' J 2(tn+ri) r
sin (m — n)x , n
s +’2(m“n) +C
116) f sin mxcosnxdx — л'-
J 2 (m + n)
cos (rn -n) x f ,,
~ 2(m~n)~+C*
(т + п)
dx
a + b cos x
dx
a + b cos x
dx
a + b sin x
dx
a + b sin x
= -2-_ arctg tg i) + C
/ciS-Z>2 V a l b 2/
если a >- b.
, Yb -a tg a
In------------<_ | C,
P1-^ _a tg«
если a -« b.
„ a tg ~ 4 b
= V- : arctg -- - 4 C,
и |/as„6i
если a >• b.
1 a tg ~ + 6 - |/62-a“
=- - 1П ---------j ~ ~ +Ct
/ft2 — a2 a tg + Z> — a2
если a -=; b.
I2I> / тагл-ж - h arctg (^P) + c.
122) f e Sin X dx =
123) f sin nx dx = »x> . c.
' J a*+ft* T
124) J COS x dx - £l*5!«£±£^+c.
125) f e- cos nx dx = . Ci
' J a2 + n«
64 M. Я- Выгодский
850
ТАБЛИЦЫ
126) J x#xdx = ~(ax-l) + C.
127) | x*‘ еях dx t= —| x”-1 eaz dx.
Формула применяется несколько раз, пока степень х не
сделается равной единице; тогда интеграл находят под
№ 126.
128) ра-Л = ^_^+С.
129) J х» а“ Л = J «" X’-1 Л.
Формула применяется до тех пор, пока степень х не
сделается равной единице; тогда интеграл находят под
№ 128.
f евг соь»»-1 х (a cos x+nsln х) ,
130) I cos’1 х dx = —---8 - +
+-J,”~^/ e^cos’^xdx.
Формула применяется до тех пор, пока косинус не ис-
чезнет (в случае четного п) или пока его ыепець не сде-
лается равной единице (в случае нечетного п). В послед-
нем случае см. № 122.
131) | sh xdx - ch x+C.
132) J ch xdx = shx+C. / '
133) J th x dx = In ch x + C.
134) | cthxdx = hi sh x+C.
135) J sch x dx = 2 arctg e* + C. - ----
136) J cscli xdx = In th -|-+ C. * /^|
137) J sch2 xdx = th x+C. 1
138) J csch3xdx= -cthxq C. i
139) J sch x th x dx ~ sc11jc + C, i
140) j csch x cth x dx= - csch x + C,
141) Jsh2xdx= -|+|-sh2x-|-C.
142) | ch2 x dx = -^+^ sh2 2x+C.
таблицы
851
12. Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только натуральный логарифм.
Бели требуется наши интеграл от функции, содержащей логарифм при
другом основании, ю предварительно переводят его в натуральный
, , In х _
по формуле log„ х = , я затем пользуются таблицей,
143) J In xdx - xlnx-x + C,
,44)4уиГ = ,"(1п*) + С.
145) jx.lnxrfx=x4>[-^-7^]+C.
14G) J In” x dx = x In” x- n J In”'"1 xdx.
Формула употребляется до тех пор, пока не полу-
чится интеграл J In х dx, который берется по формуле
№ 143,
147) f х’га In” х dx = In” x —f xm In"-1 x dx.
'J m 4-1 m | i J
Формула употребляется до тех пор, пока не приве-
дет к интегралу № 145.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеаъ Н. 244, 57b
Абеля теорема 376
Абсолютная предельная по-
грешность 309
— сходимость ряда 548, 549
Абсцисса 19, 21, 22, 130
Аддитивная не личина 486. 684
Алгебраическая линия 52
— поверхность 203
— проекция вектора 125, 126
127
А згебраичсское дополнение 222
Аналитическая геометрия 17, 22
~ функция 583
Аньезн верзьера 758
Аньези Af.-Г. 759 (
Апликата 130
Арбогаст 279
Аргумент 247, 248, 622
Архимед 113, 243, 395, 488, 490,
669, 780
Архимедова спираль 113, 777
---. длина дуги 780
---, касательная 779
---, нормаль 779
---, определение ИЗ
---, особенности формы 778
---, параметр 114
---, площади витков, колец,
сектора 488, 779, 780
- построение 777
— правая, левая ИЗ
- радиус кривизны 780
---, уравнение в полярной си-
стеме 114
---, шаг 113, 777
Асимптота 377, 379, 380
- , способ разыскания 378, 379,
380
Асимптоты гиперболы 65, 79
Астроида, параметрическое пред-
ставление 814
- , уравнение в декартовой си-
стеме 814
Бари Н 1{. G05
Барроу И. 395, 457
Бельпграми Е. 829
Берну i ni /7 604, 822
Бернулли 11. 279, 196, 802, 805,
833
Бернулли fl, 775, 790 802, 805
833
Бернулли лемниската 775
Бернштейн С, Н, 605
Бесконечно большая величина
262, 263, 265
— малая величина 261
----, основные свойства 265
------ , порядок малости 271,
272
- малые эквивалентные 269,
270, 271
- малый вектор 515
Бесконечный ряд 533, 589
Бином Ньютона 587
Биномиальные ряды 587, 588
Биномиальный дифференциал
436
Бинормаль 522, 524
Брахистохрона 802
Буняковский В. fl, 451
Вариация постоянных 717, 748
Вариньои 791
Бейерттрасс 576
Вектор 116, 117
— бесконечно малый 515
- бинормали 522
выражение через компонен-
ты 132
- ,-координаты 132
— , — радиусы-векторы нача-
ла и конца 133
- главной нормали 522
- касательной 522
- кривизны 526
Векторная алгебра 117
Векторное произведение 143, 144
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
, л 853
Векторное произведение, выра-
жение через координаты со-
множителей 147, 148, 149
---, свойства 145, 146
---, физический смькл 145
Векторные произведения ос-
новных векторов 146
Вектор функция 514, 515
Векторы коллинеарные 117, 124
— компланарные 144
- основные 129, 139, 146, 147
—, приведение к общему на-
чалу 11я
— противоположные 118
Величина бесконечно большая
262, 263, 265
---малая 261
- ограниченная 263
- переменная 246
- постоянная 246
Величины аддитивные и неад-
дитивные 486, 684
Верзьева Аньези 470, 758
---, вершина 759
---, исторические сведения 760
---, объем тела вращения 759
---, определение 758
---, особенности формы 759
- -, площадь 470, 759
---, построение 759
---, уравнение 759
Вершина параболы 67
Вершины эллипса 56, гипербо-
лы 63
Вес члена ряда 553
Ветчиикин В. 77. 476
Вещественные числа 245
Взаимное расположение двух
линий 23
---линии и точки 22
---плоскости и пары точек
165
---прямой и пары точек 42
Вивиан» В. 674, 804
Винтовая линия 509, 510
---.длина витка 511
---.касательная 513
---, кривизна, радиус И центр
кривизны 528
- —, Kps чение 531
---.нормальная плоскость 513
---, параметрическое пред-
ставление 510
---, соприкасающаяся плос-
кость 521
---, сопутствующий трехгран-
ник 522
Возрастание функции 356, 357,
358, 359
Вторая производная 321, 324
В юрая производная, механиче-
ский смысл 322
- разность 323, 651
Нюрой дифференциал 323, 324
- полный дифференциал 651,
652
Вторые частные производные 649
Выпуклая линия 374, 375
Высшие производные 321
--, выражение через диффе-
ренциалы 325
--неявных функций 326, 327
--функций, заданных пара-
метрически 326
Вычисление двойного интеграла
663, 667
— интегралов с помощью рядов
— криволинейного интеграла
693, 694, 695, 699
- определителей 223, 225, 229
Вычитание векторов 122
Галилей 803, 833
Гармонически# ряд 536
Геликоид 833
Гельфанд Л. О. 298
Геометрическая проекция век-
тора 125, 126, 127
Гипербола 61, 71, 72, 73, 74, 485
— , асимптоты 65, 79
— , вершины, оси, центр 63
- , директрисы 71
каноническое уравнение 62
— , построение по осям 64
- - равнобочная (равносторон-
няя) 51, 64
- , сопряженные г. 65, 66
—, уравнение касательной 319
эксцентриситет 64, 72
Гиперболические функции 591,
592
--обратные 589, 594
--, разложение в ряд 586
- -, формулы дифференциро-
вания и интегрирования 594
Гиперболический параболоид
214, 215, 216, 219
--, вершина, главные сече-
ния, ось, параметры 215
- тип линии второго порядка
99, 102
— цилиндр 199
Гиперболоид двуполостный 210
- однополостный 208, 209, 219
Гипоциклоида 805
— , вершина 806
- , двоякое образование 815, 816
длина дуги 819
- , исторические сведения 821
854
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гипоциклоида, касательная и
нормаль 817
кинематическое свойство 819
линия центров 808
натуральное уравнение 819
начальная точка 803, 806
" обыкновенная 805
- особенности формы 812
параметрическое представле-
ние 811
построение 808
~, предельные случаи 814, 815
радиус кривизны 817
", сек триальная площадь 819,
820
" удлиненная, укороченная 805
", час’1 ные виды 813, 814
-, эволюта 818
Главная нормаль 514, 522, 524
Годограф вектор-функции 515
Гранди Г. 760
График Функции, приемы по-
строения 383
Графический способ задания
функции 249
Графическое решение уравне-
ний 387
Грин Д, 695
Группировка членов ряда 551
Гюйгенс 756, 784, 805, 822, 833
Даламбера признак 543, 550
Двойное векторное произведе-
ние loG
Двойной интеграл 660, 662
---, выражение через поляр-
ные координаты 671, 672
---, вычисление в полярных
координатах 671, 672, 674
---, - в прямоугольных ко-
ординатах 663,665,667,673
---, геометрическое истолко-
вание 662
—, обозначения 665, 667, 671
---, оценка 663
---, свойства 662, 663
- -, схема применения 684
Двуполостный гиперболоид 210
— —, вершины, главные сече-
ния, оси 210
>— вращения 211
---трехосный 211
Дезарг Ж. 821
Действительные числа 245
Действия над векторами 132
- над рядами 539, 540, 553, 556
- над степенными рядами 576,
577
Декарт Р. 17, 371, 755, 790
Декарта парадокс 37 J, 372
Декартов лист 755
— вершина 756
- ", исторические сведения 755
--, наибольший поперечник
петли 757
- особенности формы 756
--, параметрическое пред-
ставление 7в6, 757
" ", плошадь петли 757
--, построение 758
—, радиус кривизны 757
—, уравнение в декартовой и
полярной системе 756, 757
-, - относительно оси сим-
метрии 756, 757
Декартова система координат 21
Деление отрезка в данном от-
ношении 24, 135, 136
— - пополам 25, 135
— рядов 556
Деферент 821
Диаметр области 660
Диаметры гиперболы 78
— конического сечения 73
-----взаимно сопряженные
77, 78
-----главные 77, 78
— параболы 79
— эллипса 76
Диокл 754
Днокла циссоида 753
Директриса параболы 66, 67
- цепной линии 830
Директрисы гиперболы 71
- эллипса 70
Дирихле П. Г, 604
- теорема 618, 621
Дискриминант большой 92, 93,
96
- малый 96
Дискриминантная линия 720
Дифференциал, см. дифферен-
циал функции
- вектор-функции 517, 518, 519
- в приближенных вычисле-
ниях 307, 308
— второго и высшего порядка
324
- гиперболических функций 594
- Дроби 296
- дуги 492, 493
— в полярных координатах
— пространственной линии
" интеграла 455
- комплексной функции 600
- - линейной функции 290
- логарифмической функции
298, 300
алфавитный УКАЗАТЕЛЬ
855
Дифференциал независимой пе-
ременной 290
- обратных гиперболических
функций 595
--тригонометрических функ-
ций 304, 305
— показательной функции 302
— полный 635, 637, 639
- постоянной величины 290
-.применение к оценке по-
грешности 309
- произведения 295
- сложной функции 293
- степенной функции 290
- суммы 29'.
- тригонометрических функций
303
- функции 279, 285, 286, 290,291
--, геометрическое истолко-
вание 287, 288
-, механическое истолкова-
ние 287
-- нескольких аргументов
635, 639
- частный 633
Дифференциальное уравнение
701
--, интеграл д, у. 701, 702
--, общее и частное реше-
ние 707, 730, 731
— , общий и частный инте-
гралы 707
- особый интеграл 711
--, порядок д. у. 701
--.составление д, у. 725, 726
Дифференциальные уравнения
линейные 715, 716, 733, 746
---.вариация постоянных
717, 748
- - обыкновенные 701
--1-го порядка:
геометрическое истолкование
703, 704, Клеро 718, линейное
715, однородное 713, с разде-
ляющимися переменными 710,
в полных дифференциалах
711, 712, приближенное инте-
грирование по методу Эйле-
ра 721, 723, с помощью рядов
723, 724, 725
- — 2-го и высшего порядка
729, 731, случаи понижения
порядка 732, линейные с пра-
вой частью 733, без правой
части 733, линейные с по-
стоянными коэффициентами
735, 736
Дифференциальный бином 436
Дифференцирование гиперболи-
ческих функций 594
Дифференцирование дроби 296
- логарифмической функции
298, 300
- неявной функции 311, 312
-----нескольких переменных
646—649
- обратных гиперболических
функций 595, 596
--тригонометрических функ-
ций 304, 305
— повторное 6бЗ
— показательной функции 302
- произведения 295
- рядов 570, 571
связь с интегрированием 396
- сложной функции 294, 295
-----нескольких аргументов
643
- степенного ряда 579
- тригонометрических функций
Дифференцируемая функция
288, 290, 639
Длина вектора 133
- витка пинтовой линии 511
- дуги в полярных координатах
494
--плоской линии 491, 493
--пространственной линии
Дюрер А. 821
Евдокс 245
Евклид 245
Зависимая переменная 247
Знак кривизны 528, 529
Знакопеременный ряд 547
Значение, функции наибольшее,
наименьшее 360, 368
Изоклины 706
Инвариантность выражения
дифференциала 291, 518, 637
Инварианты уравнений второй
степени 96, 98
Интеграл 396
—, вычисление с помощью ря-
дов 589
- двойной 660
- дифференциала 457
- дифференциального уравне-
ния 701, 702
-----общий 707
----- особый 711
----- частный 707
— криволинейный 691, 692, 693
— неопределенный 398, 399, 404,
406, 4Q7
856
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл несобственный и соб-
ственный 467
обозначение 396
- определенный 399, 441, 442,
443, 445, 447, 459
- о г функции, имеющей разрыв
472, 773
- повторный 663, 678
- с бесконечными пределами
467
- тройной 677
Интегральная линия 400, 703
Интегральное исчисление, ос-
новная задача 397
Интегральный признак сходи-
мости ряда 545
Интегрирование 399
- биномиального дифференциа-
ла 436, 437
геометрическое истолкование
400, 402
- гиперболических функций 594
- дифференциального уравне-
ния 701, 702
----приближенное 721, 723
----с помощью рядов 723,
724, 725
- обратных гиперболических
функций 596
- по частям 412, 413, 414, 461
- приближенное 475, 476, 478,
480, 481, 589
- простейших рациональных
дробей 421, 423
- радикалов 435, 438
- рациональных дробей 421,
423, 424, 426
- - функций 426, 427, 428, 430,
431, 432
— рядов 566, 568
-,связь с дифференцированием
396
-, способ подстановки 408, 409,
410, 462, 464
— степенного ряда 580
—, тригонометрические подста-
новки 418
- тригонометрических выраже-
ний 415, 416, 417, 418, 440
Интегрируемость в элементар-
ных функциях 434
- дифференциальных уравне-
ний 721
Интегрирующий множитель 713
Интервал 253
Интерполяционная формула
Ньютона 478
Интерполяционный многочлен
476
Интерполяция 470
Иррациональные числа 245
Исключение целой части 420
Кавальера Б, 395
Канонические уравнения пря-
мой 18!
Каноническое уравнение гипер-
болы 62
- — параболы 67
- - эллипса 57
Кардиоида 495, 496, 768
-, длина дуги 495, 770
— , площадь 770
—, радиус кривизны 769
Касательная к плоской линии
282, 283, 318, 319
- к пространственной линии
512, 522, 524
— Плоскость 640
Кассини Д. Д. 771
- линия 770
Кастиллон 768
Каталан Е. 791
Катеноид 833
Классификация функций 254
Клеро А. 604, 784
- уравнение 718, 719
Ковалевская С, В, 724
Коган Ф. М. 476
Коллинеарность векторов, при-
знак 124, 135
Коллинеарные векторы 117, 124
Колмогоров А, Н. 605
Кольцо архимедовой спирали
780
Компланарные векторы 149, 150,
154
Комплексная степень положи-
тельного числа 601
- функция действительного ар-
гумента 598
Комплексное число 246, 597
Компонента вектора 125
Коническая поверхность 211
- точка 640
Конические сечения 74
--, полярное уравнение 114, 115
Конус второго порядка 211,212,
213, 219
— круглый 212
— , объем 490
Конхоида Никомеда 760
- —, вершины 762
--, внешняя и внутренняя ве-
тви 761
--, исторические сведения 760
--, касательная 765
--, нормаль 764
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конхоида Никомеда, определе-
ние 761
— —, основание 761
--, особенности формы 762
--, параметрическое представ-
ление 762
—, площадь 765
—, полюс 760
--построение 760
— —, радиусы кривизны 765
--, точки перегиба 763
--, уравнаиие в декартовой
и полярной системе 761
— обобщенная 765
Конхоидограф 760
Концы промежутка 253
Координатные плоскости 129
— углы 20
Координатный метод 17
Координаты вектора 131, 132
--, связь с координатами точ-
ки 133
- середины отрезка 25, 135
- текущие 22
-точки 18, 130, 131, 132
- - косоугольные 21
- полуполярныс 681
- ~ полярные 108, 109, 110, 682
- - прямоугольные 19, ПО, 130,
131, 132
--сферические 682
--цилиндрические 681
— центра кривизны 527
--тяжести однородного тела
690
— — однородной пластинки
688
Коперник Н, 821
Корни многочлена 433
- сопряженные 433
Косоугольная система кооордн-
нат 21
Цоиш О. 244, 334, 345, 724
- 1еорема 334, 335, 336
Коэффициенты ряда Фурье 607,
609
— степенного ряда 571
- тригонометрического ряда
603, 607, 609
Крамер Г. 231
Кратчайшее расстояние между
двумя прямыми 192, 194. 195,
196
Кривая, см. линия
Кривизна, вычисление 500, 501
- пространственной линии 498,
499, 526. 528, 529
Криволинейный интеграл 691,
692, 693
--.вычисление 693, 694,695,699
857
Криволинейный интеграл, меха-
нический смысл 693
---, условие независимости от
' пути 696, 697, 699
Критические значения 362
- точки 657
Круг кривизны 500, 525
Круговые функции 255, 588
Кручение 529, 530
Крылов Л. Н. 605
Ла Гир 784, 821
Лагранж Л{. Л. 330, 345, #05'
Лагранжа теорема о среднем
330, 331, 332, 335
Левая пара прямых 195, 196
- система векторов 142} 143
- - координат 129
Левосторонний предел функции
Левосторонняя производная 288,
289
Лейбниц Г. В. 243, 279, 328, 395
396, 532, 580, 805, 822, 833
Лейбница правило 328
~ признак сходимости 547, 549
- ряд 580, 612
Лемниската Вернул ли 775
---, исторические сведения 775
---, касательная 777
---, наибольший поперечник 777
— -, определение 775
---, особенности формы 776
---ось, фокусы 775
—, параметрическое пр ед с яв-
ление 776
- площадь петли, полярного
сектора 777
---, построение 776
- радиус кривизны 777
- свойство нормали 776
---, связь с гиперболой 777
---.уравнение в декарювой и
полярной системе 776
Линейная система дифферен-
циальных уравнений 749
Линейное дифференциальное
уравнение без правой части
(однородное) 716, 733, 734, 736,
737, 738, 746
- -второго и выспге< о по-
рядка 733, 746
- -- метод вариации по-
сюяиных 717, 748
--- первого порядка 715, 716
- - - с постоянными коэффи-
циентами 735,736.737,738,740,
746
----с правой частью 716,
733, 735, 740, 746
858
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Линейное дифференциальное
уравнение, характеристичес-
кое уравнение 736, 746
Линейчатая поверхность 219
Линии второго порядка 80, 81,91
---, признак распадения 92,
93, 95
----, разыскание центра 102
----, упрощение уравнения
82, 85, 86, 88, 91
---центральные и нецент-
ральные 101
--, эллиптический, гипер-
болический, параболический
типы 98; 99, 100
Линия винтовая 509, 510
- выпуклая 374, 375
— интегральная 703
- и плоскость, взаимное рас-
положение 523
- и точка, взаимное располо-
жение 22
- Кассини 770, 775
---, вершины 772
--, исторические сведения 771
---, касательная 774
- наибольший поперечник
773
---, определение 770
— особенности формы 773
--, ось, фокусы, центр 771
---, построение 771
---, радиус кривизны 774
---, точки перегиба 774
---, уравнение в декартовой
системе 772
---, — в полярной системе 773
натуральное уравнение 784
— уровня 626
Лобачеьский И, И. 244, 290, 605
Лобачевского способ решения
уравнений 388
Логарифм натуральный 298, 751
Логарифмическая пр оизводпая
302
- спираль 784
---, длина дуги 787, 788
---, исторические сведения 790
---.касательная 787, 788
- -.коэффициент роста 785
---, натуральное уравнение 790
---, определение 784
---, особенности формы.787
---, построение 786
--- правая, левая 785
---,радиус и центр кривизны
789
---, свойства 785, 790
•—, секториальная площадь
789
Логарифмическая спираль, урав-
нение в полярной системе
786
---, характеристический тре-
угольник 788
- эволюта 789
- функция 255, 299, 300 353,
354
---, разложение в ряд 587
Логарифмическое дифференци-
рование 301, 302
Локон Аньези, см. верзьера
Аньези
Локсодрома 790
Локиталь 337
Лопиталя правило 337, 338, 339
Лузин Н, Н. 605
Маклорен 1(. 344, 776
Маклореид формула 347
Максимум 359, 360, 656
—, правило разыскания 361, 363
условие достаточное 1-е 361,
362, 366
- 2-е 365, 366
—, — необходимое 360, 361
МапнгеИм 784
Масса тела 689
Математичесюги анализ 243
Меньс Л<. 833
Меньшов Д. F.. 605
Меркатор II. 342
Меток., см. способ
Л4мди 752
Минимальная поверхность 833
Минимум 359, 360, 656
правило разыскания 362, 363
— .условие посуточное 1-е 361,
362, 366
---2-е 365, 366
— необходимое 360, 361
Минор 222
Мнимое число 245
Mijoi означная функция 248
Многочлен Тейлора 346
Модуль вектора 117
- комплексного чи1ла 599
- перехода 299, 838
Момент инерции плоской фигу-
ры 688
- - тела 683, 685, 686, 689
Монотонная функция 297
Мордухай-Болтовгкои Д, Д. 438
Муавра формула 597
Наибольшее значение функции
360, 368
Наименьшее значение функции
368
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
859
Направляющая конической по-
верхности 211
- цилиндрической поверхности
Направляющие косинусы 175
- коэффициенты 174
Направляющий вектор 174
Яасирэддин ат-Туси 821
Натуральноеуравнениелииий784
Натуральные логарифмы 298,
299, 834
- числа 244 _
Начало кооДинат 18, 129
Начальная ордината 27, 43
Независимая переменная 247
Неопределенное интегрирование
407
---по частям 412, 413, 414
---, способ подстановки 408,
409, 410
Неопределенные выражения 33G,
339, 340, 341
Неопределенный интеграл 398,
399, 406, 407
---, свойства 404, 405
Непрерывность вектор-функции
- суммы ряда 565
- функции в точке 273
----- на отрезке 276, 277
--- нескольких аргументов G30
Неравенство Буняковского 451
Неравномерная сходимость ряда
560, 562, 563
Несобственный интеграл 1-го
типа 467, 468
---2-го типа 467, 472
'--расходящийся 467, 468
---, способы вычисления 471,
' 473, 474
---сходящийся 468, 472
Неявная функция 250, 311, 312,
326, 327
---нескольких аргументов
646-649
Никомед 760
Никомеда конхоида 760
Нормаль к плоской линии 320
- к поверхности 641, 642
- к прострачс!венной линии 514
Нормальная плоскость 513, 522
Нормальное уравнение плоско-
сти 167, 168
--- прямой 45, 46
Нормальныйвсктор плоскости 156
- вид линейной системы 749
Нуль-вектор 118
Ньштгиш И. 243. 279, 342, 343,
395, 438, 475, 476, 532, 724, 805,
820, 822
Ньютона бином 587
- интерполяционная формула
478
Ньютона-Лейбница формула
"* 457, 471
Область интегрирования 661
- определения функции 251
-----двух аргументов 622,
623, 624, 625
----- точки 670
- сходимости степенного ряда
572, 573, 575
- - функционального ряда
558
Образующая конической поверх-
ности 211
- линейчатой поверхности 219
- цилиндрической поверхности
198
Обратная функция 297
Обратные гиперболические
функции 594, 595
- - разложение в ряд 589
- тригонометрические функции
255, 304, 305
-----, разложение в ряд Г>88
Общее решение Дифференциаль-
ного уравнения 703, 707, 730
731
- уравнение линии второго по-
рядка 80, 81, 91
-- прямой 29
--приведение к нормаль-
ному виду 46
- - эллипса, типерболы, пара-
болы 73
Общий интеграл дифференци-
ального уравнения 707
— член ряда 535
Объем параллелепипеда 155
— сегмента параболоида,491
— тела 662, 687. 692
вращения 490
— — по поперечным сечениям 489
— цилиндрического тела 687
- эллипсоида 489, 49Q
Овал 771
- Кассини 771
Огибающая 720, 721
Ограниченная величина 263
Однозначная функция 248
Однополостный гиперболоид 208,
209, 219
--, вершины, главные сече-
ния, оси 209
- вращения 209, 220
— трехосный 209
Однородная система уравнений
235
860
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Однородное дифференциальное
уравнение 713
Окружность 53, 54, 60, 71, 112
параметрические уравнения
314
Определенное интегрирование
по частям 4G1, 471
---, способ подстановки 462, 464
Определенный интеграл 399,
441, 442, 443, 467, 471
---, вычисление приближенное
475, 476, 478, 480, 481
---, - с помощью неопреде-
ленного 459, 460
- геометрическое истолко-
вание 447
- - как функция верхнего пре-
дела 453, 454
---, механическое истолкование
448, 449
- обозначение 442
---, оценка 450, 451
---, свойства 445, 446
---,схема применения 486
Определители, применение к си-
стемам уравнений 231, 232
233, 235, 237, 240
Определитель второго порядка
25 221
—, вычисление 223, 225, 229
свойства 223, 225, 226, 227
- системы уравнений 232, 237,
241
- третьего порядка 151, 152, 221
- четвертого и любого порядка
224, 226
Ордината 19, 21, 22, 130
- начальная 27, 43
Ориентация системы векторов
142, 143
Ориентированное расстояние 43
Ортогональная система функций
605, 607
Ортогональные траектории 507
Оси координат 18, 21, 129
Основание логарифмов 255
- степени 255
Основная задача интегрального
исчисления 397
Основной вектор бинормали 524
---главной нормали 524, 525
---касательной 524, 525
Основные векторы 129, 139, 146,
147
- элементарные функции 255
Особый интеграл 711
--- уравнения Клеро 718, 719
Остаток ряда 538
---Тейлора 345
Остаточный член ряда 538
--степенного ряда в форме
Лагранжа 346
Остроградский Л-t. В. 395
Остроградского способ интегри-
рования рациональных функ-
ций 432
Ось 124
- абсцисс 18, 129
— апликат 129
— гиперболы действительная
63
--мнимая 63, 65
- кривизны пространственной
линии 525
- ординат 18, 129
— параболы 67
— пучка плоскостей 177
— сжатия 56
- числовая 246
- эллипса большая, малая 56
Отделение корней 387
Относительная предельная по-
грешность 309, 310
Отрезок 253
Оценка двойного интеграла 663
— определенного интеграла 450,
451
Пара прямых правая, левая
195 196
Парабола 66, 67, 74, 101, 502,
504
вершина, ось 67
диаметры 79
каноническое уравнение 67
общее определение 71, 72
параметрические уравнения
314
- , построение по параметру 67
— , радиус кривизны 502
— , уравнение, касательной 319
— , эволюта 504
эксцентриситет 72
- х = ауг+Ъу+с 70
- у = дх® 68
- у — ах^ + Ьх+с 68, 69
Параболический тип линии вто-
рого порядка 99
- цилиндр 199, 200
Параболоид вращения 214
--, объем сегмента 491
- эллиптический 213, 214
Парадокс Декарта 371, 372
Параллельный пучок плоско-
стей 177
-- прямых 40
Параметр 313, 315
- пучка 39, 40
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Параметр эллипса, гиперболы,
параболы 66, 72
Параметрические уравнения
окружности 314
---параболы 314
---плоской линии 313
— пространственной линии
507, 508
— прямой в пространстве 183
--- циклоиды 317
— - эволют!* 504
--- эллипса 316
Параметрическое задание функ-
ции 315, 316
Параметры плоскости поляр-
ные 1GG
- прямой 43
--- полярные 44
Паскаль В. 279, 343, 395, 805
Паскаль 3. 766
Паскаля улитка 765
Первая производная 321
- разность 323
Первообразная функция 397,398,
699, 700
Первый дифференциал 323
Переменная величина 246
---независимая, зависимая 247
- интегрирования 399
Перенос начала координат 49,
50, 197
Пересечение двух прямых в про-
странстве 191
- линий 23
- плоскости с прямой 172, 184
-.прямых 32
Перестановка членов ряда 550
Перициклоида 811, 812
Перро /С 822
Персонье 1\ 752
Плоскость;
уравнение в отрезках 161, 162,
нормальное 167, 168, приведе-
ние к нормальному виду 168,
в векторной форме 156, через
две точки перпендикулярно к
данной плоскости 162, через
прямую параллельно другой
прямой 187. черезпрямую пер-
пендикулярно к плоскости 188,
через точку параллельно двум
прямым 187, через точку и
прямую 186, через точку
параллельно данной плоскости
160, через точку перпендику-
лярно к двум плоскостям 163,
через точку перпендикулярно
к прямой 185, через три точ-
ки 160
861
Площади фигур в полярных ко-
ординатах 487
---в прямоугольных коорди-
натах 483, 484 С&
Площадь куска поверхности
675, 676, 687
- плоской фигуры 687
— поверхности вращения 496,497
- треугольника 25
- эллипса 485
Поверхности второго порядка,
таблица 217, 218
Поверхность вращения 220
— коническая 211
- линейчатая 219
- цилиндрическая 198, 219
Поворот осей координат 50, 197
Повторное дифференцирование
653
Повторный интеграл 663, 678
Нодицгегральная функция 399,
661
Подиитегральное выражение 399
11одстановки Эйлера 438,439,440
1Указательная функция 255, 302,
350, 839
---, разложение в ряд 585
Иоле направлений 401, 704
Полная производная 645
Полное приращение 632, 633
Полные дифференциалы выс-
ших порядков 652
---, условное обозначение 653
654
Полный дифференциал 635, 637,
639
--, геометрическое истолкова-
ние 636
•--неявной функции 646—649
--, признак 698, 699
Положительный ряд 540, 541
Полукубическая парабола 504
Полуполярные координаты 681
Полюс 108
Полярная ось 108
- система координат 108
Полярное расстояние плоскости
166
--- прямой 44
— уравнение конического сече-
ния 114, 115
--- прямой 114
Полярные координаты 108, 110,
644, 682
- параметры плоскости 166
--- прямой 44
Полярный радиус 108
- угол 108, 109
Понижение порядка дифферен-
циального уравнения 732
862
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядок алгебраической линии
52
-- поверхности 203
- бесконечно малой величины
271
- дифференциального уравне-
ния 701
- малости вектора 515
--функции нескольких аргу-
ментов G28
— произведения и суммы бес-
конечно малых 272
Последовательность 252
Постоянная величина216,255,263
- интегрирования 398
--, вычисление по начальным
данным 403
Построение архимедовой спи-
рали 777
- верзьеры Аньези 759
- гиперболы 64
- гипоциклоиды 808
- графика функции 383, 385
— декартова листа 758
- конхоиды Никомеда 760
— лемнискаты Бернулли 776
- линии Кассини 771
- логарифмической спирали 786
— параболы 67
- прямой 30
- строфоиды 751, 752
- трактрисы 823, 826
- улитки Паскаля 765
- цепной линии 831
- циклоиды 792
- циссоиды Диокла 753
— эвольвенты 782
— эллипса 60
— эпициклоиды 808
Правая пара прямых 195, 196
— система BeicropoB 142, 143
-- координат 129
Правило Лейбница 328
- Лопиталя 337, 338, 339
- разыскание точек перегиба
376
--экстремума 362, 363
Правильный ряд 564
Правосторонний предел функ-
ции 275
Правосторонняя производная
288, 289
Предел вектор-функции 515
~ комплексной функции 599
- последовательности 257, 258
- постоянной величины 261
- произведения 266
_ 269
Предел суммы 266
- функции 259, 261, 261
--бесконечный 264, 265
— - левосторонний 275
- - нескольких аргументов 627
— - правосторонний 275
— частного 266, 267
— - двух бесконечно малых 270
Пределы интеграла 442
Предельная погрешность абсо-
лютная 309
- — относительная 309, 310
Преобразование коордшьп 49,
50, 197
Приближенное интегрирование
475, 589, формула прямо-
угольников 479,480,трапеций
480, 481, 483, Симпсона 481-
483, способ механических ква-
дратур 476
--дифференциальных уравне-
ний 721, 723
- решение уравнений 386—388
Приближенные формулы для
вычисления функций 308, 309
Признак коллинеарности векто-
ров 135
— компланарности векторов 150,
154
— полного дифференциала 698,
699
- правизны и левизны пары
прямых 196
— распадения линии второго
порядка 92, 95
Признаки возрастания и убыва-
ния функции 357—359
- сходимости ряда:
необходимый 535, Даламбера
543, 550, интегральный 545,
Лейбница 547, 549, равномер-
ной сходимости 564
Приращение функции 273, 286,
290
--полное 632, 633
— - частное 632, 633
Проекции прямой на коорди-
натные плоскости 179, 180
Проекция вектора алгебраиче-
ская 125, 126, 127
--• геометрическая 125, 126, 127
— основные теоремы 127, 12S
- линии на координатную
плоскость 201, 202
- прямой на плоскость 178, 188
- точки на ось 125
Произведение двойное вектор-
ное 156
- вектора на число 123
- векторное 143
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
863
Произведение скалярное 136л 137
- смешанное 149
Производная, см. производная
функция
— вектор-функции 516
-----, выражение через диф-
ференциал 518
-----, геометрическое истол-
кование 516
-----.механическое истолко-
вание 517
-----, свойсШа 518, 519
— второго и высшего порядка
321, 322, 324, 326
- , геометрический смысл 283
- дроби 296
- интеграла по верхнему пре-
делу 456
— комплексной функции 600
— левосторонняя 288
— линейной функции 284
— логарифмической функции
298, 300
— независимой переменной 284
— обратной функции 298
— обратных тригонометрических
функций 304, 305
— показательной функции 302
- постоянной величины 284
- правосторонняя 288
- произведения 295
- , свойства 285
- сложной функции 294-
- степенной функции 284
- суммы 285
— тригонометрических функций
- функция 279, 280, 281, 282, 286
--, выражение через диффе-
ренциалы 292
— частная 631
Производные высшего порядка
вектор-функции 517
- сложной функции нескольких
переменных 644
Промежуток 253
— изоляции 387
— интегрирования 442
— сходимости степенного ряда
573, 575
Простейшая рациональная дробь
Пространственная линия, пара-
метрическое задание 507, 508
Прямая в пространстве:
уравнения канонические 180,
181, параметрические 183, сим-
метричные 180, 181, приведе-
ние к симметричному виду
182, через две точки 185, че-
рез точку перпендикулярно к
данной плоскости 185, пере-
сечение с плоскостью 173,
проекции на координа гныс
плоскости 179
Прямая на плоскости:
уравнение с угловым коэффи-
циентом 26, 28, нормальное
45, 46, общее 29, 46, полярное
114, приведение к нормально-
му виду 46, через две точки
37, 38, через точку парал-
лельно или перпендикулярно
К прямой 40, 41, параллель-
но оси абсцисс или ординат
28, разрешенное относительно
абсциссы или ординаты 2G -
28, построение по уравнению
30
Прямолинейные образующие по-
верхностей второго порядка
219, 220
Прямоугольная система коорди-
нат в пространстве 129
----- на плоскости 18, 19
Прямоугольные координаты век-
тора 131, 132
---, связь со сферическими
682
---, связь с цилиндрическими
681
---точки 19, 110
Псевдосфера 828
Пучок плоскостей 177
---параллельных 177
— прямых параллельный 40
---центральный 39
Работа силы 693
Равенство векторов 118
Равнобочная гипербола 51, 64,
105, 106
Равномерная сходимость 560,
562, 564
---, геометрическое истолкова-
ние 563
Равномерное сжатие 56
Радиус-вектор точки'130
---центра кривизны 526
- винтовой линии 509
— кривизны 499
---, вычисление 501
---пространственной линии
525, 526
- сходимости степенного ряда
573, 575
Развертка линии 507, 526
— круга 781-784
Разделение переменных 710
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
разложение многочлена на мно-
жители 433, 434
Разрыв функции 275
---устранимый и неустрани-
мый 276
Раскрытие неопределенности
336, 339, 340, 341
Расстояние между двумя точ-
ками 23, 134
— ориентированное 43
- от точки до плоскости 165
---до прямой 42, 43, 190
Рационализация 435
Рациональная дробь неправиль-
ная 420
--- правильная 420
---, приемы интегрирования
---простейшая 422
---, разложение ла простей-
шие 422, 427
- функция двух переменных
435
--- дробная 420
--- целая 420
Рациональные числа 244
Ребро поверхности 640
Рекуррентная формула 425
Рен 805
Решение уравнений 386, 387, 388
--- графическое 387, способ
касательных 390,хорд 388, 390,
комбинированный 392, Лоба-
чевского 388
---дифференциальных 701
---Общее 703, 707, 730, 731
---частное 703, 707, 730, 731
Риман 244
Роберваль 752, 754, 766, 769, 804
Ролль М. 329
Ролля теорема 329, 330
Ряд 533
— абсолютно сходящийся о40
- гармонический 536
группировка членов 551
- знакопеременный 547
- Лейбница 580, 612
- неопределенный 534
- неравномерно сходящийся
560, 562, 563
- (Обратных квадратов» 542, 546
- положительный 540, 541
- правильный 564
- , признаки сходимости, см,
признаки сходимости ряда
- равномерно сходящийся 560,
562, 563, 564
— расходящийся 534
— степенной 571, 572, 576, 577
- сходящийся 533, 534
Ряд Тейлора 343, 344, 581 ,
---для гиперболических функ-
ций 586
— для логарифмической
функции 587
---для обратных гиперболи-
ческих функций 589
-- для обратных тригономе-
трических функций 588
---для показательной функ-
ции 585
---для тригонометрических
функций 585, 586
- тригонометрический 603, 604,
609
— условно сходящийся 549
- функциональный 557, 564
— Фурье 609, 610
---для нечетной функции 614,
615
--- для разрывной функции
618
- - для четной функции '614
— числовой 532, 533, 557
Ряды, почленное дифференци-
рование 570, 571
—, - интегрирование 566, 568
—, — сложение и вычитание 539
-, - умножение на число 539
-, применение к вычислению
интегралов 589
~, умножение и деление рядов
553, 556
Саладина 775
Семейство линий (однопараме-
трическое) 719
Сжатие эллипса 56
Симметричнее уравнения пря-
мой 180, 181
Симпсон 476
Симпсона формула 481, 482,483
Система векторов левая 142, 143
---правая 142, 143
— двух уравнений с двумя не-
известными 232
-----с тремя неизвестными
233
- дифференциальных уравне-
ний 749
- Координат декартова 21
- - косоугольная 21
--- полуполяриая 681
---полярная 108, 109, ПО, 682
---правая и левая 129
---прямоугольная 18, 19, 129
--- сферическая 682
--- цилиндрическая 681
- я уравнений с н неизвестны-
ми 240
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Система однородная двух урав-
нений с тремя неизвестными
235
~ трех уравнений с тремя не-
известными 237
- функций ортогональная 607
Скаляр 116
Скалярная функция 514
Скалярное произведение 136,137
--, выражение через коорди-
наты сомножителей 140
--основных векторов 139
--, свойств» 133
--, физический смысл 137
Скалярный квадрат вектора 139
Скачок функции 275
Скорость 280
Сложение векторов 119, 120. 121,
132
--, правила многоугольника
121
--параллелепипеда 121
--, - параллелограмма 120
Сложная функция 293
--нескольких переменных 643
Слюз Г’. 754
Смешанное произведение 149
--, выражение через коорди-
наты сомножителей 154
—, геометрическое истолкова-
ние 150
--, свойства 151, 152
Смешанные частные производ-
ные 649, 650
Соприкасающаяся окружность
500, 525
- плоскость 520, 521, 522
Сопряженные гиперболы 65, 66
- корпи 433
Сопутствующий трехгранник 522
--, основные векторы 524
Спираль архимедова ИЗ, 777
- логарифмическая 784
Способ бесконечных рядов 475
- вариации постоянных 717, 748
- касательных 390
- комбинированный хорд и ка-
сательных 392
- координат 17
- Лобачевского решения урав-
нений 3S8
- механических квадратур 476
- неопределенных коэффициен-
тов 427
- Остр о граде к о го интегрирова-
ния рациональных фуикций432
- подстановки в неопределен-
ном интеграле 408, 409, 410
— в определенном -интеграле
462, 464
55 М. Я, Выгодский
§65
Способ пометок 626
— разыскания асимптот 378, 379,
380
- хорд 388, 390
- Эйлера интегрирования урав-
нений 721, 724
Спрямление дуги 492
Спрямляющая плоскость 522
Сравнение бесконечно малых
величин 271
- положительных рядов 541
Степенная функция 255, 284, 290
Степенной ряд 571, 572, 575, 579
--, радиус сходимости 573, 574
Сторона вогнутости линии 374,
375, 523
- выпуклости линии 374, 375
Строфоида 751
— косая 750
объемы тел вращения 753
определение 751
особенности формы 752
параметрическое представле-
ние 752
- , площади 753
— , построение 751, 752
~, радиус кривизны 753
— , стереометрическое образова-
ние 752
уравнение в декартовой и
полярной системе 752
Сумма векторов 119, 120, 121
--, свойства 120, 121
- ряда 533, 534, 538, 565
Сфера 204
Сферические координаты 682
--, связь с прямоугольными
682
Сфероид 205
Сходимость знакопеременного
ряда, признак Лейбница 547,
549
- несобственного интеграла 467,
468, 472
— ряда 533, 534
--абсолютная 548, 549
--, интегральный признак 645
--, необходимое условие 535
-, признак Даламбера 543,
550
-- равномерная и неравно-
мерная 560, 562, 563, 564
- - условная 548, 549
- степенного ряда 572, 573, 575
- функционального ряда 558
Таблица интегралов 406, 407,
841
- натуральных логарифмов 834
866
Таблица перехода от десятич-
ных логарифмов к натураль-
ным и обратно 838
— поверхностей второго поряд-
ка 217, 218
— с двойным входом 625
Табличный способ задания функ-
ции 249
Тейлор 343, 344, 476, 478
Тейлора многочлен 346
- ряд 343, 344, 581, 585, 586,587
- формула 346, 348
--для функции нескольких
аргументов 655, 656
Текущие координаты 22
Телесный угол 683
Тело Вивиани 674
Теорема Абеля 576
- Дирихле 618, 621
- Коти 334, 336
--, геометрическое истолко-
вание 335, 33(5
- Лагранжа 330, 332
--, геометрическое истолко-
вание 331
--, механическое истолкова-
ние 331
- об интегрировании рядов 566,
568
— о дифференцировании рядов
570, 571
— о радиусе сходимости степен-
ного ряда 573
— о среднем дифференциально-
го исчисления 330, 331, 332
335, 452, обобщенная 334
----- интегрального исчисле-
ния 451, 452
- Ролля 329, 330
Тины линий второго порядка
98, 99, 102
Торричелли Р. 395, 790, 804
Точка возврата 763
- изолированная 763
- критическая 657
- перегиба 374, 375
— -, правило разыскания 377
— сплощения 530
- спрямления 499, 500
— узловая 752
Трактриса 822
— , вершина, высота 822
- , длина дуги 827
- , исторические сведения 822
- , касательная 826
- , натуральное уравнение 827
— , определение 822
—, особенности формы 823
—, параметрическое представле-
ние 822
Тракгрйса, Площадь Полосы 82?
—, построение 823, 826
—, радиус кривизны 826
тело вращения 827
—, эволюта 827
Тригонометрические подстанов-
ки 418
- функции 255, 303
---, разложение в ряд 585, 586
Тригонометрический ряд 603
---произвольным периодом
Трисекция угла 760
Тройной интеграл 677
---, выражение через сфери-
ческие координаты 682
---, вычисление в декартовых
координатах 678, 679
---, схема применения 684
Убывание функции 356, 357 358,
359
Угловой коэффициент 27, 43
Углы между прямой и осями
Координат 175
Угол между векторами 141
— между осью координат и век-
тор ом 134
- между плоскостями 159
- между прямой и плоскостью
176
-между прямыми 34, 37, .175
Улитка Паскаля 765
---, вершины, ось 767
---, длина дуги 770
:--, касательная 769
---, нормаль 769
---, определение 766
---, особенности формы 767
- -, параметрическое пред-
ставление 767
- -, площадь 769
---, построение 765
---, радиус кривизны 769
---, уравнение в декартовой и
полярной системе 766, 767
Умножение вектора на число
123, 132
— рядов 553
Упрощение уравнения второй
.степени 82, 85, 86, 88, 91
Уравнение архимедовой спира-
ли 114
- астроиды 814
- верзьеры Аньези 759
- гипоциклоиды 811
- декартова листа 756, 757
— дифференциальное, см. диф-
ференциальное уравнение
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
867
Уравнение касательной к пло-
скости линии 283, 284, 318, 319
-- плоскости 641, 642
- конического сечения поляр-
ное 114, 115
— конхоиды Никомеда 761, 762
- лемнискаты Бернулли 776
— линии 22
--второго порядка 80, 81, 91
--Кассини 772, 773
- логарифмической спирали 786
- нормали ^плоской линии 320
- нормальной плоскости 513
- общее эллипса, гиперболы,
параболы 73
- плоскости, см. плоскость
- поверхности 198
--вращения 220
- прямой на плоскости, см.
прямая на плоскости
- пучки плоскостей 177, 178
-- прямых 39
- семейства линий 72U, 721
— соприкасающейся плоскости
520
- строфоиды 752
- трактрисы 822
- Улитки Паскаля 766, 767
- цепной линии 829, 830
- циклоиды 794
- циссоиды Диокла 754
— эвольвенты круга 783
— эпициклоиды 811
Уравнения линии 200
- нормали к поверхности 642
— общего перпендикуляра к
двум прямым 192
— окружности, эллипса, вин-
товой линии и т. д., см. на-
звание соответствующей линии
- параметрические плоской ли-
нии 313
--пространственной линии
507, 508
~ перпендикуляра, опушенного
из точки на прямую 188
- проекции прямой на пло-
скость 178
- прямой в пространстве, см,
прямая в пространстве
--как пересечения плоско-
стей 170, 172
- сферы, эллипсоида и т. д.,
см. название соответствующей
поверхности
Ускоренно 322
Условие коллинеарности векто-
ров 1^4, 135
- компланарности векторов 150,
55* • г
Условие максимума и минимума
достаточное 361, 362, 366
------- необходимое 158, 360,
361
- параллельности плоскостей
158
---прямой и плоскости 177
---прямых на плоскости 30-
32
- пересечения двух прямых в
пространстве 191
- перпендикулярности векторов
--- плоскостей 159
---прямой и плоскости 177
---прямых на плоскости 33,
34
-, при котором три точки ле-
жат на одной прямой 37, 161
Условная сходимость ряда 548,
549
Факториал (л!) 252
Фаньяно Д. К. 775
Ферма ГК 17, 279, 371, 395, 470,
760, 805
Фокальная хорда 72
Фокус параболы 66
Фокусное расстояние 58, 61
Фокусы гиперболы 61
— эллипса 58
Формула Грина 695
— конечных приращений 333,
334, 348
—. кщ >пзны 500, 501
— А'дклорсна 347
— Муавра 597
— Ньютона-Лейбница 457, 471
— приведения интеграла
f + *2)» 425
- Тейлора 346, 348
---, вывод Маклорена 344
---для логарифмической
функции 354
---для показательной функ-
ции 350
---для функции нескольких
аргументов 655, 656
---, применение к вычислению
значений функции 348, 349
Формулы дифференцирования
290, 294, 295, 296, 300, 302, 303,
304, 594, 595
- для производных сложной
функции 644
--- центра кривизны плоской
линии 501, пространственной
линии 527
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формулы инте! пирования 406,
407, 594, 596
- кривизны и радиуса кривиз-
ны плоской линии 501, 502,
пространственной линии 526,
527
- кручения 530
- переноса начала 49, 197
- поворота осей 50, 197
- преобразования координа! 49,
50, 197
- приближенною мигрирова-
ния:
прямоугольников 479, 480, тра-
пеций 480, 481, 483, Симпсона
(параболических юапеций)
481—483
- Эйлера 602 Эйлера- фурье
607, 608, 609
Функции гиперболические 591,
592, 594, 596
----, разложение в ряд 586
заданные параметрически 326
— круговые (обратные) триго-
нометрические 255, 304, 305,
588
- неявные 326, 327
— обратные гиперболические
594, 595
----, разложение в ряд 589
----, формулы дифференци-
рования и интегрирования
595, 596
---- тригонометрические 255,
304, 305
----, разложение в ряд 588
- основные элементарные 255
- тригонометрические 255, 303
----, разложение в ряд 585, 586
Функция 247, 248
- аналитическая 583
-возрастающая в промежУ1ке
356, 357, 358, 359
- в точке 356, 357, 358
— двух и нескольких аргумен-
тов 622, 623, 624, 627, 628, 630,
обозначение 623, геометриче-
ское представление 625, зада-
ние способом пометок 626,
таблицей 625, формулой 624,
625, непрерывная и разрыв-
ная 630, неявная 646
- дифференцируемая 288, 290
- е» 302
- логарифмическая 255.299,300,
353, 354
----, разложение в ряд 587
- монотонная 297
-, наибольшее, наименьшее зна-
чения 360, 368
Функция иедифференцируема/
примеры 288, 289, 639, 647
— непрерывная в точке 273, 274,
288, 290
- - на отрезке 276, 277
—, обозначение 256
обратная 297
- однозначная,мио1означная248
- от функции 293
-, параметрическое задание 315,
316
- показательная 255, 302, 350,
839
---, разложение в ряд 585
- разрывная 273, 275, 288
- сложная 293
способы задания 249
— степенная 255, 284, 290
— точки 622, 670
— , убывающая в промежутке
356, 357, 358, 359
- в точке 356, 357, 358
- целочисленная 252
- четная и нечетная 614
- явная и неявная 250, 311, 312
Фурье Ж Б. 396, 604
Фурье коэффициенты 607, 609
- ряд 609, 610, 614, 618
Характеристика функции 256
Характеристическое уравнение
736, 746
Центр гиперболы 63, 101
- и радиус окружности 54, 55
- кривизны плоской линии 499,
501
— - пространственной линии
525, 526, 528
— пучка 39
— симметрии 101
- тяжести однородной пластин-
ки 688
--- тела 690
- эллипса 56, 101
Центральная линия второго по-
рядка, разыскание центра, уп-
рошениеуравнения!О2,103,104
Цепная линия 829
- , вершина 829
---, директриса 830
---, длина дуги 831
- -.исторические сведения 832
---, натуральное уравнение 832
---, определение 829
---, площадь криволинейной
трапеции 832
---, построение 831
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 8G9
Цепная линия, проекция орди-
наты на нормаль 831
--,радиус и центр кривизны
832
--, уравнение в декартовой
системе 829, 830
--, эволюта 832
Циклоида 485, 496, 497, 504, 791
- , арка 792
—, вершина, высота, основа-
ние 792
дифференциал душ 494
- , длина дм»и 492, 800
- , исторические сведения 803
- , касательная 798
кинематическое свойство 800
линия цешров 792
направляющая, производя-
щий круг 791
, натуральное уравнение 800
- ,начальная точка 792
нормаль 320, 798
обыкновенная 792
- , определение 316, 791
особенности формы 794
параметрическое представ-
ленис 316, 317, 794
- , площади и объемы 485, 49b,
800
- , построение 792
радиус кривизны 798
- , тавтохроннре свойство 801
-.точки возврата 797
- nepei иба 797
- удлиненная 792
--, узловые Точки 794
- укороченная 792
эволюта и эвольвента 504,
798
Циклоидальный маятник 802
Цилиндр гиперболический 199
- параболический 199,200
- эллиптический 199
11илиндрическая поверхность 198
Цилиндрические координаты681
Цилиндрическое копыто 668,
669, 670
Циссоида Диокла 753, 754
--, исторические сведения 754
--, касательная 755
--, объем тела вращения 755
--, определение 753
--, особенности формы 754
--j параметрическое пред-
ставление 754
--, площадь 755
--, построение 753
--,уравяение в декартовой и
полярной системе 754
--, центр тяжести 755
Частичная сумма ряда 533, 557
Частная производная 631
---, выражение через диффе-
ренциалы 634
---, геоме|рическое истолкова-
ние 632
---неявной функции 646
---, обозначение 611, 634
---, способы разыскания 631,
639, 643
Частное приращение 632, 633
- решение дифференциально! о
уравнения 703, 707, 730, 731
Частные производные второго
порядка 649, 650
---но полярным координатам
644
---смешанные 649, 650
--- третьего порядка 650
--- чистые 649
Частный дифференциал 633
- интеграл дифференциального
уравнения 707
Чебышев П Л 395, 438
Четная функция 614
Чи< ла действительные (всщест-
денные) 245
- иррациональные 245
— комплексные 246, 597
— мнимые 245
- на!уральпые 244
рациональные 244
Число е 268, 269, 298
Числовая ось 246
- плоскость 622
Члены ряда 533, 557
Шаг винтовой линии 510
-г спирали 488
Шухов В, Г, 220
Эвольвента 507
- круга 781
---, Длина дуги 783
---, исторические сведения 784
---, кинематическое свойство
784
---, механическое образование
781
---, натуральное уравнение 784
---, определение 781
---, особенности формы 782
---, параметрическое пред-
ставление 783
---, площадь сектора 784
---построение 782
---.уравнение в полярной си-
стеме 783
870
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эвольвента окружности 780
Эволюта 504, 526
- параболы 504
- плоской линии, свойства 505,
506
- циклоиды 504, 505
Ойлер Л. 18, 244, 395, 438, 604,
805, 822, 833
Эйлера метод ишесрировапия
уравнений 72J, 724
- подстановки 438, 439, 440
- формула 602
Эйлера-Фурье формулы 607,
608, 609
Эквивалентность дифференциа-
ла и приращения 286, 287
Эквивалентные бесконечно ма-
лые 269, 270, 271, 272
Экстремум 359
- функции;
необходимое условие 360, 361,
Достаточное условие 361, 362,
365, 366, правило разыскания
362, 363
--двух и нескольких аргу-
ментов 656, достаточные усло-
вия 659, правило разыскания
657
Эксцентриситет гиперболы 64,
72
- Параболы 72
- эллипса 59, 72
Элемент 486
- дуги 492
- объема в прямоугольных ко-
ординатах 677
- - в сферических координа-
тах 682
-- в цилиндрических коорди-
- латах 681
- определителя 222
— плошади 486, 661
- - в декартовых координатах
661
— - в полярных координатах
671
Элементарные функции 254
- - разложение п степенной
ряд 585-588
Эллипс 56, 57, 58, 71, 72, 73, 74,
485, 502
— , вершины, оси, центр 56
-.диаметры 76, 77, 78
- , директрисы 70
-.каноническое уравнение 57,
59
Эллипс, параметрические урав-
нения 316
- , площадь 485
построение по осям 60
, радиус кривизны 503
- , сжатие, коэффициент сжа-
тия 56, 59
, Уравнение касательной 319
, — нормали 320
, эксцет риситет 59, 72
Эллипсоид 204, 205, 489, 490, 491
- вращения сжатый, вытянутый
207
- , касательная плоскость 642
нормаль 642
объем 490
- трехосный 204, 206, 207
--.Главные эллипсы, верши-
ны, оси 206
Эллиптический параболоид 213,
214
--, главные сечения, вершина,
ось, параметры 213, 214
- тип линии второго порядка
98, 102
- цилиндр 199
Эпицикл 821
Эпициклоида 805
, вершина 806
- , двоякое образование 815, 816
- , длина дуги 818
- , исторические, сведения 821
касательная и нормаль 817
кинематическое свойство 819
линия центров 808
— , натуральное Уравнение 819
—, начальная точка 80s, 806
— обыкновенная 805
особенности формы 812
параметрическое представ-
ление 811
- , построение 808
- , предельные случаи 814, 815
радиус кривизны 817
- , секториалышя площадь 819,
820
- удлиненная, укороченная 805
- , частные виды 814
— , эволюта 818
Ормапг 298
Юнг ну с 833
Явная функция 250
Латинский алфавит
Печат- ные буквы Рукопис- ные буквы Название Печатные буквы Рукопис- ные буквы Название
Л а (A (L a Я п ОС п ЭН
В Ъ 0 h бэ О о 0 б. О
С с * у Ц8 Р Р ф р ПЭ
D d Ф d ДЭ Q ? Q d ну
Е е 6 e a В г « f. эр
F f Г7 I эф В s Л- X эс
G g Q <1 гэ (жэ) Т t Ъ t. тЭ
II h X A xa (ain) и и (Ц и У
i i i и V v 0) п вэ
J J Q i ЙОТ (1Ки) IV w ю /р дубль-вэ
A' A* JL к на X х (ф ж икс
L I Я I эль Y У d игрек
M m Jfl. nt эм Z z Я. £ зэт
Греческий алфавит
A<t альфа Nv ню (пи)
B/i бота КСИ
Гу гамма (Jo омикрон
дельта Ип пи
ипсилон Ре ро
ZC дзета На сигма
Z/>j эта Тг тау
е, а тэта Фгр фи
йота хи
Кх каппа 1'и юпоилоп(ипсилон)
АЛ Лямбда у/р леи
ЛТ(1 .ую (мп) Рю омега
Марк Яковлевич Выгодский
СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ
математике
М., 1977 г., 872 стр. с илл.
Редакторы: И. М, Овчинникова и Г. Я- Пирогова,
Техн, редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Т. Д, Панькова
Печать с матриц.
Подписано к печати 30 09. 1976
Бумага 70х901/3(.
Физ, печ. л. 27,25. Условн. печ. л. 31,88.
Уч.-нзд. л. 45,79.
” Тираж 150 000 экз. Т-15165.
Цена книги 2 р. 60 к. Заказ № 20019
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Типография «Франклин», Будапешт, Венгрия