И. И. ГАЙДУКОВ
АБСОЛЮТНАЯ
величина
И. И. ГАЙДУКОВ
АБСОЛЮТНАЯ
ВЕЛИЧИНА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
, Москва 1964
Рукопись рецензировали учителя средней школы
Г. Н. Буханов и Л. М. Волов.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА .
в курсе Средней школы
Существенной характеристикой числа как в действи-
тельной, так и в комплексной области является понятие
его абсолютной величины (модуля).
Это понятие имеет широкое распространение в различ-
ных отделах физико-математических и технических наук.
, Так, в математическом анализе одно из первых и фунда-
ментальных понятий — понятие предела — в своем опреде-
лении содержит понятие абсолютной величины числа.
В теории приближенных вычислений первым, важнейшим
понятием является понятие абсолютной погрешности при-
ближённого числа, определяемое через понятие абсолютной
величины числа. В механике основным первоначальным
понятием является понятие вектора, важнейшей характе-
ристикой которого служит его абсолютная величина
(модуль).
В практике преподавания математики в средней школе
и других средних учебных заведениях понятие абсолютной
величины числа (модуля числа) встречается неоднократно. \
В VI классе, в курсе приближенных вычислений, при
уяснении понятия абсолютной погрешности приближенного
числа формируется понятие абсолютной величины числа.
Во втором полугодии VI класса вводится определение
абсолютной величины числа и с помощью этого понятия
формулируются правила действий над рациональными
числами.
В VIII классе при рассмотрении свойств арифметиче-
ского квадратного корня находит свое новое приложение
понятие абсолютной величины числа. _______
Например: j/a5 = | а |; / ад = ^ | а | • V | 6 |, где ab > 0.
и другие.
В IX классе в теме «Степень с рациональным показа-
телем» рассматриваются свойства корней n-й степени, где
2 Зак. 2008	3

также используется понятие абсолютной величины числа;
так, например,
/г у-
у д'”, если т — четное;	z
|am если т — нечетное.
В X классе при изучении предела последовательности
учащиеся необходимо встречаются с выражениями вида:
|вте —Я|<е.
В XI классе понятие абсолютной величины числа встре-
чается при изучении предела функций, при исследовании
функции на ограниченность и при изучении комплексных
чисел, где понятие абсолютной величины получает свое
дальнейшее развитие в более общей числовой области.
Таким образом, во всех, классах, в соответствии с учеб-
ной программой, следует включать и рассматривать упраж-
нения, содержащие знак абсолютной величины числа.
В VI классе можно решать уравнения вида:
k • | х| 4- b — kt • \x14- и |kx 4-&| = a.
В VII классе имеется возможность рассматривать ре-
шения уравнений вида: | & • |х| 4-&J == с; \kx 4-&1 ^=ах + с
и т. п., систем уравнений вида:
|2х—у| = 1,
] х 4- 2у I = 2х — 4,
а также построение графиков функций вида:
y = k- У = lfcx + 6|; у =	• |х| 4-&1; у =
и др.
В VIII классе приложения понятия абсолютной ве-
личины распространяются на квадратные уравнения,
график квадратного трехчлена и др. Можно решать
уравнения вида:
ox24-^-UI + c = 0; У(х 4-2)2 4-V(x —3)а =7;
можно рассмотреть построение графиков функций:
У = у (X 4- I)8 ±V(x —2)3 ±У(х-5)2;
у = ах* 4- Ь • | х | 4- с;	___
= |ах2 4-^x4-€|; у — 1аха4-6 • 1х| 4-<Н; у =1^1x1;
!/ = ||fix|-2| 4-11-3] И др.
При построении графиков целесообразно пользовать-
ся методом преобразования графиков (параллельный
перенос, симметрия и др.).
В IX — XI классах решение уравнений, систем урав-
нений и неравенств и построение графиков функций,
аналитические выражения которых содержат знак аб-
солютной величины, рассматриваются для трансцендент-
ных функций и уравнений, изучаемых в школе.
При изучении комплексных чисел можно рассмотреть
простейшие упражнения на равенство и неравенство
модулей комплексных чисел.
В настоящей работе разобраны решения лишь таких
вопросов, связанных с понятием абсолютной величины
числа, какие могут быть рассмотрены в средней школе.
К каждому параграфу подобраны примеры различ-
ной степени трудности, из которых можно выбрать под-
ходящие упражнения для различных классов.
Вместе с этим в настоящей работе имеются и такие
вопросы и примеры, рассмотрение которых целесооб-
разно в системе внеклассной работы. Эта работа может
быть рекомендована и наиболее любознательным уча-
щимся для самостоятельного ознакомления их со всеми
рассмотренными здесь вопросами.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим последовательно понятие абсолютной
величины числа, или, что то же самое, модуля числа для
действительных, а затем и для комплексных чисел.
Определение 1. Абсолютной величиной (модулем)
действительного числа а называется неотрицательное чис-
ло, взятое из двух чисел а или —а.
Абсолютную величину числа а принято обозначать:
и читать «абсолютная величина числа а», или «модуль чис-
ла а».	’
Из определения абсолютной величины числа следует,
что
{а, если а > О,
О, если а = О,
— а, если а < 0.
2»
5
Примеры:
1.	' |8[='8. " •	‘	-
2.	|2— V“2| =2— У~2. . ’
3.	I — 81 = 8; так как — (— 8) = 8.
4.	)V~2—/3) =У~3— /’г,.так как — (1<2— У~3) =
=У“3—У“2-
5.	/(1— У~2)8 = 11—/~2|=/ 2—1.
Теорема 1. Противоположные числа имеют равные
абсолютные величины, т. е. | a j = | — а |.
В самом деле, по определению абсолютной величины,
имеем:
— а,	если	— а >	0,	т.	е.	а < О,
О,	если	— а =	0,	т.	е.	а = О,
— (—а),	если	—а<	0,	т.	е.	Л>0,
— а, если а < О,
О, если а = О,
а, если а > О
Следовательно, | — а | = | а К
Геометрическая интерпретация
понятия |а|.
Известно, что каждому действительному числу мож-
но поставить в соответствие точку числовой прямой,
•Тогда эта точка будет геометрическим изображением
данного действительного числа. Каждой точке числовой
прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета,
или длина отрезка, начало которого-в точке начала от-
счета, а конец — в данной точке. Это расстояние, или
длина отрезка, рассматривается всегда как величина
неотрицательная.
Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно
поставить в соответствие направленный отрезок (век-
тор), который характеризуется длиной и направлением.
Множеству действительных чисел соответствует мно-
жество точек ориентированной прямой, т. е. такой пря-
мой, на которой, кроме начала отсчёта и масштаба,
установлено положительное направление.
6
Тогда можно считать, что геометрической интерпре-
тацией действительного числа служит вектор, выходя-
щий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изо-
бражающей данное число.
Длина этого вектора будет геометрической интерпре-
тацией абсолютной величины данного действительного
числа.
1*1
Черт. 1.
Геометрическое толкование смысла |а| наглядно (см.
черт. 1) подтверждает, что | — а| = |а1.
Отсюда легко понять, что | V 5 —У~21 = |]/~2 —)/~51;
)х — а| = |а — х| и т. д.
Примеры.
6.	Если | а | = 5, то ах = 5 и а2 = — 5, или а = + 5.
—— ------------1----------•------»- о
Черт. 2
Следовательно, данному равенству удовлетворяют
два числа, которым на числовой прямой соответствуют
две точки (см. черт. 2).
7.	Если | х\ = Ь, где необходимо b > 0, то Х\.2 =* ±Ь.
8.	Если |х| = |&|, то Xi,2 = ± Ь.
9.	Если | а | < 8, то
/ а < 8, если а > 0, т. е. О < а < 8;
I — а < 8, или а > — 8, если а С 0, т. е. — 8 < а С О,
откуда — 8 < а < 8.
Черт. 3.
7
Следовательно, данному неравенству удовлетворяет
множество чисел интервала (— 8; 8), а на числовой пря-
мой — множество точек промежутка (— 8; 8) (см.
черт. 3).
10.	Если | а | > 10, то
( а > 10, если а > 0,	'
1 — а > 10, или а < — 10, если а < 0,
откуда а > 10 и а < — 10.
-10
-°"......... —	а
ю
Черт. 4,
Следовательно, данному неравенству удовлетворяет
множество чисел двух интервалов: (— со; — 10) и (10; со),
а на числовой прямой — два промежутка, соответствую-
щие этим интервалам (см. черт. 4).
Упражнения. Найти значения* х и сделать соответству-
ющий чертеж, если:
L |х —3| =2.
2. (х—1|<3.
3. |х + 2|<5.
4. |х —2| >4.
5.	|3—х|>1.
6.	|х — 2|<0,001.
7.	|2х —3|<7.
Определение 2. Абсолютной величиной (модулем)
комплексного числа Z = а 4- Ы называется неотрицатель-
ное значение квадратного корня из (а2 + &2), т. е. | Z | =
= у«2 + г>2.
Из этого определения следует, что абсолютной вели-
чиной , или модулем, комплекс-
ного числа является длина
вектора, соответствующего
точке, которая изображает
данное число.'
Точка М (а-, Ь) служит
изображением числа г = а 4-
4- Ы (см. черт. 5), а величина
г = | г | = V а2 4- 62 — геомет-
рическая интерпретация | г
Если b = 0, то z = а и |z| = |а\.
Следовательно, так введенное понятие абсолютной
величины комплексного числа не противоречит рассмот-
ренному ранее понятию абсолютной величины действи-
тельного числа, являясь его развитием и обобщением^
Примеры.
II.	Если z = 3 4- 4t, то | г | = ]/32 + 42 = 5.
12.	Если z = 3t, то |z| = /0 + 32 = 3.
13.	| ± 5 ± 1211 = /б2 + 122 = 13.
Из последнего примера видно, что противоположные
и сопряженные комплексные числа имеют равные моду-
ли (см. черт. 6),
 14. Если I-z] = 5, то этому равенству удовлетворяют
все комплексные числа, модул и  которых равны 5. Этим
числам соответствуют точки
плоскости,' одинаково уда-
ленные от начала коордип
нат на расстояние, рав-
ное 51 это равенство может
служить уравнением окруж-
ности с, центром ₽ начале
координат и радиусом, рав-
ным 5 (см. черт. 7).
15.	Если (z| < 3, то это-
му неравенству удовлетво-
ряет множество чисел, для
которых соответствующие
9
точки лежат внутри круга с центром в начале коорди-
нат и радиусом, равным 3 (см. черт. 8).
Если | z | < 3, то множество точек, удовлетворяющих
этому неравенству, со-
стоит из внутренних то-
чек круга и точек окруж-
ности ограничивающей
этот круг.
У*
Черт. &	Черт. 9.
16.	|z|>4. Э7ому неравенству удовлетворяют все
комплексные числа, для которых соответствующие точки
расположены на плоскости вне круга с центром в на-
чале координат и радиусом, равным 4, причем точки
окружности также удовлетворяют этому неравенству
(см. черт. 9).
j | z |	3	,-x	,
17.	j jz[	2’ ^та система графически выражает множе-
ство точек плоского кругового кольца с центром в начале
координат и радиусами, равными 2 и 3 (см. черт. 10).
10
Упражнения. Установить вид геометрического места
точек и построить чертеж, если:
8.	‘|z| = ]ЛЗ — i|;
9.	|z|< — 3i|;
10.	||z| —3j = 2;
,, / lz|<|8—15»7,
и- [ |z| >|4- 3iI;
12. ||z| —4|<2.
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД АБСОЛЮТНЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ.
а) В области действительных чисел.
Теорема 1. Абсолютная величина суммы конечного
числа действительных чисел не превосходит суммы абсо-
лютных величин слагаемых, т. е.
I а1 + а2 4" ••• 4* ап I I а11 4" I а2 I 4“ ••• 4" I ая I-
Доказательство:
Пусть ait а2, ..., ак—неотрицательные числа и
а*+ь ак+2, ..., а„ — неположительные числа, где 0<£<п.
Тогда — ах < аг = | at
— a2<a2 = fa2|,
и п*+1	— Oft+i = I o*+i |,
О*+2 < — Оа+2 = I а*+2
— a4<aft=laj a„<—a„ = !a„|.
Складывая эти равенства и неравенства, получим:
а1 4* а2 4" ••• + О* 4" аА+1 + ••• + Оя < I + I а2 ! + ••• +
 4- I ak I 4- I a*+i I + ••• + I ая I- •
.Знак «меньше» будет иметь место, если не все неположи-
тельные числа — нули. Знак равенства будет иметь место,
если k — п или все неположительные числа — нули. Ясно,
что при k = п все слагаемые будут неотрицательные числа.
— ax —a2 ——aA+i —... —ая<|а1|4-
+ I а2| + ... + 10*1 4" I О*+11 + ••• + I Оя I,
или
— (ai + а2 4* ••• 4* ok 4* о*+1 4* ••• 4" ол) <|«il +
4-1 о21 4- — 4- Iо* I 4-J o*+i I 4- ••• 4* I о, I-
Знак «меньше» будет иметь место, если не все неотрица-
тельные числа — нули. Знак равенства будет иметь место,
если k = 0 или все слагаемые —.неположительные числа.
11

По определению абсолютной величины действительного
числа, выражение	'
l°i 4-aa-f-... 4- ак4-4* ••• 4* <*я|
будет равно либо (at 4- а2 4- ... 4- ak 4- ak+i 4-... 4- a„),
либо	— (ах 4* 4“ ••• 4*	4* а/г+t 4* ••• 4* ал)-
Тогда, принимая во внимание неравенства (1) и (2),
получим:
|ах 4- о2 4- ••• 4* яп1 Oai 14-1	4~ ••• 4* I ал !•
Примеры.
1.	а2 = 5; а» = 3; а3 = 0 и а4 = 1.
Здесь |oi4* а24*аз4*fl41 = lail4-|в»| 4~ |о»|4- l^l»
так как |54-34-0-|-1| = 54-34-04- 1» т. е. 9 = 9.
2.	==	2; ci2 —5;	0; о4 —3.
Здесь |а14-а84-а«4-а4| = |а114-|Л2|4-|Лз14-|а4|, -
так как | — 2 — 54-0 — 3| = |24-54-04*3| = |—2|4-
4-| — 5[4-|0|4-| —3|, т. е. 10^10.
3.	at — 10; а2 = — 5; я3 = — 1; д4 = 2.
Здесь fax 4- а2 4-«з 4- а4| < |ах| 4- (а2| 4- 1«з1 4-|а«|,
так как | 10 — 5— 1'4- 2] < 110| 4-1 — 5| 4- | — !| -F 12|,
т. е. 6 < 18.
Теорема 2. |а — £|<4а|4-Щ
По теореме 1-й будем иметь:
)а4-(-&)|<|а|4-|-&|.	’
Следовательно, | а — &[ < | а [ 4- [Ь\.
Теорема 3. [|а| — (&[[<\а + b|<|а14-1b>
Пусть а — (а — b) + b и Ь = (Ь — а) 4- а,
тогда [а|^|о — 6|'4-и |i|<]а — 5|4-|а|,'
откуда |а| — |6|,<|а — &[ и |d| — |af < |а^-5|.
По определению, выражение ||а| — |&Ц равно либо
|а| —1£»|, либо |6| — |а|.
Следовательно, 11а | — |b11 < | а.— b
а по теореме 2 получим:
12
Так как |а + 6|'= |а —(—6)1 й|— 61 = |6|,
то ||а| — | — 6|| < |а — (— 6)|< |а| + | — Ъ\
и ||а| —|6||<|о + 6|<|а| + |6|.
Следовательно, [|а| — |6||<|а±6К)а|+|6|.
Теорема 4. |« • b ] = J а I • j b । (теорема верна для
любого конечного числа сомножителей).
1.	Если а = 0 и 6 = 0 или а = 0, но 6 =# 0, или а + Q,
но 6 = 0, то очевидно, что | ab | = | а | • 161 = 0.
2.	Если а > 0 и 6 > 0, тогда а = | а |, 6 = 161 и а6>0.
Значит, | ab | = ab — | а | • 16|.
3.	Если а < 0 и 6 < 0, тогда — а = |а|. — 6 — 161
и ab > 0.
Значит, | ab | = ab = (— а) • (— 6) = | а | • 16|.
4.	Если а>0 и 6<0, тогда а = I а |, —6 = |6|
и ab < 0.
Значит, |с6| = —ab = а • (—6) = |aj-|6|, и теорема до-
казана.
Теорема 5. |-£| =>. гяе
I.	Если a = 0, то |a| = 0, -у- = 0 и j-y| = -|yp=0.
2.	Если a > 0 и 6 > 0, тогда > 0. Значит, 1-у| =
_ а - 1а1
“ b ~ иг
3.	Если а < 0 и 6 < 0, тогда -у- > 0. Значит, | -y-j =
_ а	—а  |в|	.	\
— ь “ — й“ТГГ'
4.	Если а > 0 и 6 < 0, тогда < 0. Значит, | -у-| =
=-----?- = —= -гтт-> й теорема доказана.
о — b < о |
Примеры.
4.	Доказать неравенство:
+	.	| от| |я!	, |fe|
2+ |m + « + fe| 2 +1«| “» 2 + |л| f 2 + |А| '
13
Так как |m4-л 4-Л| < |m 14-|л| + |Л| и
(если 6>а>0их>0), то
|от + « + ^1	|т|4-|л|4-|*|
2 + |т + п + Л|	2 +1 т | + | п | + | k |
________lml______।________L«1______.
~2 + |т| + |я| + 1*|'1’2 + |т| + |п| + |Л|‘*’
,	1*1	< |т< -к —1"1 4- <*’
*ь2+|/п| + |п| + [й|^2 + |т| Ч" 2+ |п|	2 + |к| ’
что и требовалось Доказать.
5.	Решить уравнение:| — х^2 | = | j |.
После простейших преобразований получим:
2
1
Т7Т2[
- |*-1| ’
I X— II о I X — 1 I п
откуда	= 2, -или | ^ | = 2.
х__1	х__I
По определению абсолютной величины, —т-s = 2 и —г» =
•	X *т“ Z	Х~\~£
= — 2,
откуда х2 = — 5 и х2 = — 1.
б) В области комплексных чисел.
Теорема 6. | zr 4- z21 < | | 4- I 1 (теорема верна
ддя любого конечного числа слагаемых).
Согласно определению модуля комплексного числа,
полагая z2 = ах 4- bri и z2 = а2 4- докажем, что
V (а1 + аг)2 + (&1 + &2)2 <
Возьмем очевидное неравенство:
О (^1^2
тогда
О < Ь}а?2 — 20^0^ + а}Ь},
или
2аДаА < Ь\а} +
а'а* + 2аАаг62 4- b-bl < a:al 4- b^al 4- a\b} 4- Ь\Ь},
(«А 4- W <	4- bl) (al 4- b^,
ata3 4~ ^A < P^(ai 4* &i) (a2 4* &’)>
2aA + 26 A < 2 ]/(a? 4-&D («’ + &’).
a, 4- 2a,a2 4~ al -f- b\ 4- 2bA 4~ at 4- &2 +
4- 2 У(а? + &?)Н + ^) + a’. + К
и
V A 4- аг)2 4- A 4- ^)2 < V a? 4- 4- V as,+b’.
Примечание. Эта теорема имеет простую геометрическую
интерпретацию. В самом деле, ведь геометрическое сложение ком-
плексных чисел представляет собой сложение векторов, для которых
имеет место правило параллелограмма (для двух векторов). По этому
правилу | *! -F z2 | есть длина диагонали параллелограмма, сторонами
которого служат ] и | z2|, а по свойству треугольника (см. черт. 11)
| 21 + z2 I < I 21 I + I Z2 I*
Знак равенства будет иметь место тогда, когда ком- |
плексные числа имеют равные аргументы. При разных ар- *
гументах имеет место знак «меньше».
Теорема 7. 1^ • г2| = |лгд| • |*,|.
Требуется доказать, что
V (а^-6А)2 + (aА + °А)2 = V^~+bi • V^+bi.
В самом деле, в левой части имеем:
/(a,a2 — Ь^ 4- (aА + «А)2 =
= Г.оХ.+ b-bl 4-	
< В правой части в связи с неотрицательностью подко-
ренных выражений имеем:
• КНГ+Т* = /а’а’ + ед+а’6» + &’а’. ’
Следовательно,
Примечание.
и аналогично теореме
теорема доказана.
Аналогично теореме (6) доказывается, что
| zx — z21 < | гх | 4-1 z2 |
(7) легко доказывается, что
Pi I	1*11	' /
I Z, Г	|г,| •
Примеры.
6. Найти геометрическое место точек, соответствую-
щих числу г, если;
а) | г — Zj К 2; б) | г + zt | > 3 и в) 11 z — zx | — 41 < 3,
где — данное комплексное число.
а) | г — Zj | < 2. Пусть z = х + yi и zt = а 4- Ы.
еометрическая
интерпретация
Черт. 12.
Аналитическое
. , решение
По определению модуля
комплексного числа, будем
иметь:
]/(Х-а)2 + (у-Ь)2<2
или (х — а)2 + (у — Ь)2 < 4.
У равнение (х — а)2+(у—Ь)2=
= 4 представляет собой урав-
нение окружности с центром
в точке , (а; Ь) й. радиусом,
равным 2 (см. черт. 12).
Искомым , г. м. т. будет	...
круг, ограниченный этой окружностью (включая, и тачки
самой окружности).
.6) 1I я тЬ Zj | > 3.
Данное неравенство можно переписать так:
-|а-(_г1)|>3.
Тогда, исходя ев результатов предыдущего примера,
следует сказать, что этому неравенству удовлетворяют
все точки плоскости, расположенные вне окружности,
центр которой в точке (—о; —fe), а радиус равен 3, я
точки, этой окружности (см. черт. 13).
Черт. 13.
Черт. И
в) Hz— 21|-4|<3.
По определению абсолютной величины действительного
числа, получим:
— 3	12 — 2^ | —г 4	3,
или
1	12 — 2i | 7, .	
т. е. имеем систему:
f\z — 2i\<7,
1 |z — ZX|>1.
Этой системе удовлетворяет множество чисел 2, для
которых соответствующие точки образуют плоское кольцо
с центром в точке (а; Ь) и радиусами 7 и I (см. черт.
7. Среди чисел 2, удовлетворяющих условию | г — 6t|<7
<3, найти числа, имеющие наименьший и наибольший >
аргументы.	rv
Точки, соответствующие числам г, заполняют круг,
центр которого Находится в точке (0; 6), а радиус ра-
вен 3 (см. черт. 15).
Из чертежа видно, что искомые числа будут изобра- .
жены векторами касательных, проведенных к полученному
кругу из начала координат.
17
Из Л ОВС, в котором1 катет ВС = 3, а гипотенуза
ОС = 6, следует, что 2 СОВ = 30°, значит, — 60°, а
<р2 = 120° и
|Zi| = |2,| = 3/^.
Тогда
zx = 3/*3 (cos60’ + i sin 60’) = 3	=
= 2£Л_(1 + 4Гз)
И
г2 = 3 V~3 (cos. 120’ 4- i sin 120’) = Зу^- (— 1 + i У~3).
8. Найти геометрическое место точек, соответствую-
щих числам z, если: а) I г-^г | = 1; б) I * 2~~ I < 1»
а)	I;—~ = 1» где будем считать, что z — x + yi,
I Z Z2 I
г1 = ai + bj и z2 = at + dgt.
Из г~г1 = 1 следует, что !г~~г*! = 1 или \z—Zjl=
I Z — Z2 I	I Z — 2^2 I
= |Z —z2|.
Из чертежа 16 легко видеть, что это равенство имеет
место для точек, одинаково удаленных от точек А (ах;
18
и В (а2; 6g). Следовательно, искомым геометрическим мес-
том точек будет медиатриса отрезка АВ. ,
б)	|-гЕ** | Из этого неравенства следует, что
| г — zx | < | z — г, |, а этому неравенству, как это видно
из чертежа 16, удовлетворяют числа, для которых соот-
ветствующие точки плоскости представляют собой полу-
плоскость АОМ, исходящую из прямой ОМ (включая пря-
мую ОМ).
в)	|S;| = 3. откуда=
Точки, соответствующие числам г, удовлетворяющим
этому неравенству, представляют геометрическое место
точек, расстояния которых от точки А (а; Ь) в три раза
больше, чем расстояния их до точки В(аа; 6g).
Напомним, что этим геометрическим местом точек бу-
дет окружность с центром на АВ и диаметром, равным
CD, где С и D — точки пересечения АВ с биссектрисами
внутреннего и внешнего углов дЛЛШпри вершине М
(см. черт. 17).
В самом деле, точки С и D завитку неравенству удо-
влетворяют.
Произвольная точка М искомого г. м. т. вместе с дан-
ными точками А и В образует треугольник, у которого
= -4£- = следовательно, МС и MD — биссект-
/Ио oG uD
рисы, угол между которыми прямой, и, значит, точка М
принадлежит окружности с диаметром CD (окружность
Аполлония).
&3ак 2008
19
Примечание. Нетрудно и аналитически показать» что урав-
нением геометрического места тоиек, ужгвжяррвдоишх. условию
где »>0 *k + 1,
будет окружность, а при Л-= Г*— медиатрисас
9; Найти комплексные числа г, если I = I и
гz]
|£n£[ = _L
| 2 — 6 I 3 *
Аналитическое репгение.
Из 1 = I следует, что |z — if = |z—Г| или х24-
4- (У — I)2 = (*— О2 + У*> откуда у = х.
Из |	следует, что- 3-1г — г|=|г— 6f или-
9 • [х2 + (у — 1)а] = (х — 6)2 + у1, откуда, при условии
у = х, имеем:
9(2ха —2х 4-1) = 2ха — 12х 4- 36
3	9
или 16ха — 6х—27 = 0, откуда х1=-^- и х2 = —g-.
Тогда Zj = -|-(1 4-*) м *8 = --|-0 + ^
Геометрическая иллюстрация.(черт. 18).
I г. м. т. соответствует равенству
20
II г. м. т. соответствует равенству
I г — ii I _ 1
]г — 6I~ 3 *
Общие точки этих двух лищй, точки Л и В, являются
решениями данной системы (см. черт. 18).
Упражнения. (Задачи 1.3, 14 и 15 — для действитель-
ных чисел.)
«ап	» 1	3 I	X—21
13.	Решить неравенство: а) —! >•---------г*— г,
| х + 2.| < |	21’	|.Г=2.| < |	Зх + 2
14.	Решить уравнение: а),|х(х—1) (х—2)1 = |.х2 — 2х|;
б) |ХХ-4| =Т^ТГ; в) isinxl + icosxl^^.
15.	Доказать неравенство: 1 Vj' ** 1 -М а |
4--Ш—
ф1. + |6|
16.	Среди комплексных чисел z найти числа, имеющие
наименьший и наибольший аргументы, если (сделать чер-
теж):
а)	| z — 5 — 5i | = 5;
б)	|z—10i| =5/"2;
в)	|z — 10] = 5]/~2.
17.	Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих ус-
ловию:
а)	| z —3 4-4t | = 2,
б)	| г 4- Ъ11 = 1,
в)	|г—12 4-541= 43,
найти числа, имеющие наименьший и наибольший
модули (сделать чертеж).
18.	Найти геометрическое место точек, соответствую-
щих комплексным числам ?, если:
а) 2 < |г
'б) 0<]z
в)
г)
Z — zt
Z—JSe
z— zx
<4;
< 1„ где л — данные числа;
> | z — 1, где и z2 — данные числа;
з*
21
Д) I г — 121 ~ 4 -
19.	Решить систему:
{2 — 12/ I _ 1
г-9 I “ 4’
г — 1| = |г — 24,6i|. -
§ 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
В настоящем параграфе будем рассматривать только
такие функции, областями определения которых служат
множества действительных чисел.
1. График функции
Нетрудно показать, что функция у = f | х | является
четной.
В самом деле, так как |х| = | — х|, то
f| —x|=f|x|.
Следовательно, график этой функции симметричен от*
носительно оси у-ов. Отсюда следует, что достаточно
построить график функции
!/ = f(*)
для х > 0, а затем достроить его левую часть, симметрич-
ную правой .относительно оси у-ов.
Если графиком функции
y = f(x)
является кривая, изображен-
ная на чертеже 19, то графи-
ком функции
J/ = flxl J
будет кривая, изображенная
на чертеже 20.
Примеры.
1.	Построить график функ-
ции у = |х|.
а)	Строим график функции
у—х для х>0 (см. черт. 21).
22
б)	Строим для х < 0 часть графика, симметричную по*
строенной относительно оси у-ов.
2.	у = 2 • | х I — 2.
а)	Строим график функции у = 2х — 2 для х > О
(см. черт. 22).
б)	Достраиваем для х<0 часть графика, симметрич-
ную построенной относительно оси у-ов.
3.	у = Ц-х2—| х|—3, здесь х*=|х2|=|хР.
а) Для х>0 строим график функции у = -^-х2— х —
— 3. Известно, что это парабола, обращенная вогнутостью
вверх. Ось у-ов она пересекает в точке (0; —3). Ось х-ов
пересекает в точках (— 2; 0) и (6; 0), что следует из урав-
нения-^-х2—*— 3 = 0. Вершина параболы находится в
23
b	_ 1
тснке	где «== —----------=2 и n =
2”T
б) Достраиваем для x<Q часть графика (левую поло-
вину), симметричную построенной (правой части) относи-
Черт. 24.
тельно оси у-ов.
4.	Построить, график функции, у = 2|х| •
а)	Для х > О строим график функции у ~ 2х (см,
черт. 24). \
б)	для х < 0 строим левую часть графика симметрично
правой относительно оси у-ов.
5.	Построить график функ-
ции у = log21 х |.
а)	Для х > 0 строим график
функции у — log2x (см. черт. 25).
б)	Для х < 0 строим график,
симметричный построенному от-
носительно оси у-ов.
6.	Построить- график функ-
ции у = sin | х |.
а)	Для х>0 строжи график
функции у == sin х (см. черт. 26).
б)	Для х <0 строим график,
симметричный построенному от-
носительно оси у-ов.
24
Для построения графика функции у = f | г] можно при-
менить другой способ. По определению абсолютной вели-
чины числа, можно данную функцию представить совокуп-
ностью двух функций
/(*). длях>0и
у f(—x), для х<0.
Следовательно, можно строить графики самостоятельно
на правой и левой полуплоскостях относительно оси у-ов.
7.	Построить график функции у =	1 х Ц- -g-.
По предыдущему замечанию
-у- х + для х > 0 и
У~------х + Ц-, для х<°.
а)	Для х > 0 строим график функции
1 , 1
у=т *+-!-•
25
б)	Для х < 0 строим график функции
У = —Г х + 4" <см- черт‘ 27)’
8.	Построить график функции у = tg I х'|.
а)	Для х > 0 строим график функции у = tg х.
б)	Для х < 0 .строим график функции у — tg(—х) =
= — tgx (см. черт. 28).
9.	Построить график функции у —
Для х > 0 строим график функции у — —.
Для х < 0 строим график функции
Упражнения.
20.	Построить графики функций:
а)	У = 4-1*1 —2;.
б)	у = 3—1,5 • Щ
в)-у= 1 —|х|;
.	_ Г | х | — 2, для х<—2 и х>2,
ГI 1 — 0,5* |х|, для —2<х<2.
. Нх|, для —2,<х<2;
у 14—|х|, длях<— 2их>2.
21.	Построить графики функций:
а)	{/ = -4 х2 —"Г 1*1+ 1;
б)	у = 4 • | х | — х8 — 3;
в)	у = 2 • | х I + х2;
г)	у = 2х2 — 6 • | х |;
^У = —4г
е) «=MlLzl2.
? У 1*1 ’
ж)	у = /1 х |;
з)	у = |х Is;
и)	у = V |*| — 2;
к)	У = /|х| —2;
л)	у = V 9 — I х |;
м) у = ГГ2 +_1;
н) у — 2 — Ух2.
27
. 22. Построить графики функций:
и)	у= 1 4- log3|х|;
к)	у = 1 — log21 х |;
л)	у = sin 2( х |;
м) у = 1 4- sin
и) у = 2 — cos | х |;
о) 0 = log2(|x|—1);
п) у = logr(9 — |х|).
2
a) y=
6) y = 2—1*’;
I i \|x'
в) у=(4).;
r) t/ = 2lx|—2;
д) 0 = 2-21*1;
e) У = log31 x I;
ж)у = logj_|x|;
2
3) У = log2-Mr-;
2.	График функции у = |/(.х)|.
По определению абсолютной величины, можно данную
функцию рассматривать как совокупность двух функций:
где/(х)>0,
У —f(x),	где/(х)<0.
Отсюда вытекает практическое правило построения гра-
фика функции
а)	Строим график функции у = f(x) (см. черт. 30).
Черт. 30.
б)	На участках, где график расположен в нижней по-
луплоскости, т. е. где f (х) < 0, строим кривые, симмет-
ричные построенным относительно оси х-ов (см. черт. 31).
28
Значит, на промежутках ‘ f— е&; а), (Ь;'с) и (d; ео) гра-
фик функции у— f(x) остается без изменения, а на про-
межутках (а; я (q d) график снизу преобразовывается
вверх симметрично оси r-ов (см. черт. 30 и 31).
У
1
Черт. 31.
Примечание. График функции й =	+ следует рас-
сматривать как перемещение графика функции у = [/ (х> f по верти-
кали на величину k (k — действительное число).
Примеры:
1. Построить график функции
У = \Х — 2|
а)	Строим график функции у = х — 2 (см. черт. 32, а).
б)	График нижней полуплоскдсти преобразовываем вверх
(см. черт. 32, б) симметрично оси х-ов.
Ломаная АВС является графиком данной функции
(см. черт. 32, б).
29
Примечания. 1) Можно строить график совокупности функ-
ций:
- о = 1 * 2* для х — 2 > 0, или х > 2 и
у I 2 — х, для х — 2 < 0, или х < 2-
2) Полезно обратить внимание на то, что График данной функции
симметричен относительно прямой х — 2, а точку, абсцисса которой
находится из условия х —* 2 «= 0, будем называть точкой перелома
графика.
2.	Построить график функции
у = |х8 — X — 6|.
а)	Строим график функции
у = Xй — х — 6.
Графиком этой функции будет парабола, пересекающая
оси координат в точках (0; —6), (—2; 0) и (3; 0), имею-
щая вершину в точке l-g-;
25\ л
---J-) и обращенная вогну-
тостью вверх.
На участке, где у < 0, чер-
тим график пунктиром.
б)	Симметрично пунктир-
ной кривой относительно оси
х-ов достраиваем линию гра-
фика данной функции (см.
черт. 33). Графиком служит
кривая АВС.
3.	Построить график функ-
ции
У — |logsx|.
а) Строим график функции
у = log2x,
причем на участке (0; 1) про-
водим график пунктирной ли-
нией.
б) Строим кривую, симметричную пунктирной линии
относительно оси х-ов.
30
Графиком данной
функции является кри-
вая МАВ (см. черт. 34).
4. Построить график
функции у = | sin х |.
а) Строим график
функции у = sin х.
i б) Участки графика,
где sinx<0, преобра-
зовываем вверх (см.
черт. 35).
Черт. 35.
Упражнения.
23.	Построить графики функций:
а)	у = 2 • |х —3|;
б)	у = |х + 2|+ 1;
в)	у = — | х — 11;
г)	у = 2 — | х — 11;
д) у = |2ха — 5х + 3|;
е) У==|4 —х2|;
ж)у = |Ха — 9|—1;
з) у = У1 —4х 4- х®.
Примечание. Графики функций б), г) и ж) строить переме-
щением вверх или вниз на ± 1, 2 и т. д.
24.	Построить графики функций:
а)у = |х*|;	ж)У =
б)	у = |2Ж— 11;	з)„ =
в)	y = |log8x— 1|;
г)	«/ = |0,5*->—2|; и)у =
Д) y=|log0,s(l — х)|;
e)y = |cosxf;	к) у =
л) У =
tg*l;
sinх +cos* I.
/Т г
-i-4-sinx|;
sin(x--e'j—2
3sin2x 4-,2|.
31
3. График функции у = |/Ч-Х ||.
График данной функции может быть построен в сле-
дующем порядке:
а) Строим график функции у = f(х), для х > 0.
б) Строим график
функции у = f (— х), для
х < 0 (или строим кри-
вую графика, симметрич-
ную построенной относи-
тельно оси у-ов, так как
данная функция четная).
в) Участки графика,
расположенные в нижней
полуплоскости, преобра-
зовываем на верхнюю
полуплоскость симмет-
рично оси х-ов.
Примеры.
1.	Построить график функции у «= |log2|x||.
а)	Строим график функции у = log2x, где х > 0
(черт. 36).
б)	Строим график функции y = log2]x| (черт. 37).
в)	Строим график функции у = |log2|x|| (черт. 38).
2.	Построить график функции
г/= 11 — |х|| (черт. 39).
32
(^График функции ^График функции	6)График функции
у=1-хприх>0 у=1-\х\	у=|/-|х||
Примечание. В данном случае рассмотрен лишь один из воз-
можных способов построения графика функции вида у = | f | х 1|.
В дальнейшем будут, показаны другие приемы.
Упражнения.
25. Построить графики функций:
а) У =	2.|х|-3|;
б) У =	1 1*1 1’
в) У =	х2 —5- |х||;
0 У —	1о&м>| х 11;
д)	=
е)	у = |cos|x||;
ж)	у = I (3 —21;
3)	У — у/'(Kj?+2)2<
4. График функции |у | =/(х), где f(x) > 0.
По определению абсолютной величины, будем иметь:
У= ± /(*>» где /(х)>0.
33
»
Следовательно, данная функция является двузначной,
а график ее будет симметричен относительно оси х-ов. *
Областью определения данной функции являются про-
межутки значений аргумента х, на которых функция
У = f(x) неотрицательна.
Примерный порядок построения графика
данной функции.
а)	Установить область определения функции из условия:
б)	На промежутках определения функции построить
график функции
? = /(*)•
в)	Построить кривые, симметричные построенному гра-
фику относительно оси х-ов.
Примеры.
1. Построить график функции | у | =	• х + 1.
£
а)	Область определения:
х + 1 > 0 или х > — 2.
б)	Для х > — 2 строим
график функции у = ^х+
+ !•
в)	Строим кривую, сим-
метричную построенной от-
носительно оси х-ов, и гра-
фик' данной функции по-
строен (см. черт. 40).
Проверим: пусть х=2,
тогда 1у| =4"2+ 1 =2-
Из | у | = 2 следует, что у = ± 2, что подтверждает
и график.
Примечание. Из| — у| = |у| следует, что график функции
| у ( = f (х) симметричен относительно оси х-ов.
2. Построить график функции (у | = sin х.
34-
а)	Область определения. Из sin х > 0 следует, что
2k л <. х < -к 4-
б)	График данной функции (см. черт. 41).
ф Черт. 4L
3.	Построить график функции |{/— 2| = х2—1.
а)	Область определения: х2 — 1 > 0 или х < — 1 и .
х > 1.
б)	По определению абсолютной величины, у — 2 =
= ± (х2— 1) или у — 2 + (х2— 1) или
Х2+ 1
3 —X2.
следовательно, нужно
построить графики сово-
купности этих двух
функций для одной и
той же области опреде-
ления (см. черт. 42).
Примечание. Можно
было поступить, как в пре-
дыдущих примерах:
построить график функ-
ции |^i| =^2 —1;
из у — 2 = ylt или у =
— 2 + уь следует,
строенный график надо пе-
реместить вверх на 2 ед.
Из построения и графи-
ка видно, что кривая графи-
ка симметрична относительно
прямой у—2=0, или у=2.
что по-
4 Зак. 2008
35
Упражнения.
26.	Построить графики функций:
а)|у| = 1— х;	е)|у|=2*;
б)	\У— 11 = х;	ж) |у| = log±x;
в)|у| = х2+1;	3
г)	| у | = 4х — 4 — х2;	з) 11/1 — tg х;
д)	| у I = cos х;	и) | у | = х3.
5.	График функции |у| = |/(.х)|.
По определению абсолютной величины, будем иметь:
± |/(х) |.
Порядок построения графика этой функции:
а)	Строим график функции у = | f (х) | (весь расположен
в верхней полуплоскости).
б)	Строим график функции у = — | f (х) он будет
представлять собой кривую, симметричную графику функ-
ции у = | f (х) | относительно оси х-ов.
Пример. Построить график функции | у | = | log21 х 11.
а) Строим график функции у = | log21 х 11 (см. черт. 38).
6) Строим график функции у = — | log21 х 11, т. е. кри-
вую, симметричную построенной относительно оси х-ов
(см. черт. 43).
Черт. 43.
36
Упражнения.
27.	Построить графики функций.
а)	(01 = 1*1;
б)	(у| = |х-3ф
в)	|у—2| = |х|;
г)	\у~ 1| = |х — 2|;
Д) |0| = /(*-3^
е)	|0| = |х« —2х|;
ж)	|0[ = |х2 — 2-|х[|;
з)	|i/| = |2 —|х||;
и)	|g| = |2i*i-lt
к)	IX • у | = 6;
л) |i/| = |cos|x||;
МУ 10'1 =-1 arc cos | х (|;
и) |р| = |arcsin|x((;
°) 101 = 14*1;
П) |0| + 0+ |*| + * = 6;
Р) J У1 + 20 + | х |+2х= 12;
с) |0| + 0 = |*| + *;
Т) (X + И)Ч(0 4- |0|)г= 16;
у) (2x+|x|)a4-y+2-|i/|=9.
в. Графики некоторых простейших функций, заданных
явно, аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины.
1.	у = lkx+ &|.
По определению абсолютной величины
kx -|- Ь, если х >---
0 = А А	b
— kx — О, &С.ЛК X <----7~.
Строим прямые на двух участках (см. черт. 44, случаи
4»
37
Примечание
b *
а)	Прямая х = — -р служит осью симметрии для графика дан-
ной функции.
6)	При построении графика .данной функции можно построить
Только одну половину графика, а затем достроить его другую поло-
e	b
вину, симметричную первой относительно прямой х = «-£-.
2.	Построить график функции у = |2х — 4|.
2х — 4, если 2х — 4 > О, или х > 2,
4 — 2х, если х < 2.
У =
а)	Строим график функции
у = 2х — 4 для х > 2.
б)	Проводим ось симметрии:
х = 2.
в)	Достраиваем график: про-
водим прямую, симметричную
первой относительно оси сим- -
метрии (см. черт. 45).
Рассмотрим другой порядок
построения графиков подобных
функций, который будет более
Черт. 46
удобным и общим для построения графиков в дальнейшем.
3. Построить график функции z/ = 2- |х— 21 — 3.
а) Найдем точку перелома графика.
Из условия | х — 21 = 0 получим х = 2.
Следовательно, данную функцию следует рассматри-
вать на двух промежутках (—оо; 2J и 12; со)’.
- б) Для х < 2 у = 2(2 — х) — 3
(по определению абсолютной вели-
чины). Для х > 2 у= 2(х — 2)—3.
Или для х < 2 у = 1 — 2х, для
х>2 у = 2Х— 7.
в) Строим графики прямых на
соответствующих промежутках (см.
черт. 46).
Примечание. Нетрудно видеть,
что график функции у = 2 •' х — 21 — 3
отличается от графика функции у =
= | 2х — 41 только смещением его вдоль
оси у-вй вниз на 3 ед.
38

4.	Построить график функции у = | х — 11 4-1 х — 31.
а) Из условий | х — 11 = О и |х — 3| = 0 находим
абсциссы точек перелома, графика: хх = 1 и х8 = 3.
Следовательно, данную функцию следует рассматри-
(— оо; 1], [1; 3] и (3; со)
вать на трех промежутках:
и на них по частям строить
график.
б) На (— оо; Ц у = 1 —
— х 4- 3 — х = 4 — 2х.
На (1; 31 у = х— 14-3 —
— х = 2.
На [3; оо) у = х — 1 4- х — .
— 3 = 2х—-4,
т. е.
{/=2,
4 — 2х, если х< 1,
если 1 <х<3,
2х — 4, если х > 3.
Построение графика прос-
' Черт 47,
тб (см. черт. 47).
Построение графиков функций'вида
у = | к^х + 6i| +1 ft8x 4- M 4- ... +| k„x + 6„|
ИЛИ
У =	— хг|Ч-|х — х2| + ... + |х — хя|
осуществляется одним и тем же приемом, поэтому в дан-
ном случае мы ограничимся рассмотрением лишь частных
случаев.
5.	Построить график функции
у = |х— 1|— |х — 2|+|х — 3| — (х — 4| +| г — 5|.
Точки перелома (вершины):
Xj = 1; хг = 2; х3 = 3; xt—4;
xt = 5.
Промежутки задания функ-
ции: (—оо; 1J; [1; 2); [2; 3);
(3; 4]; [4; 5] и [5; со).
На (—оо; 1), т. ё. для х<1,
у = 1 — х,— 2 4- х + 3 — х —
— 4 4- х + 5 — х = — х4-3;
для 1 < х < 2 у = х — 1 —
— 24-Х4-3 — х — 44- х 4-
4-5 — х = х 4- 1;
39
для 2 < х<3 у = х— 1 -f-2 — г + 3 — х — 4 + х 4- 5—
— х = — х 4- 5;
для 3 < х < 4 у = х — 14-2 — х,4- х — 3 — 4 4- х 4- 5 — .
— х = х— 1;
для 4 < х < 5 у = х — 14-2 — х 4- х — 34-4 — х-|-5 —
— х = — х 4- 7;
для х > 5 у = х — 14-2 — х + х — 34-4 — х 4- х —
— 5 = х —3.
Построение графика выполняется по промежуткам (см.
черт. 48).
6.	Построить график функции у=|| х |,— 2|.
Способ 1. Для
„	।	о . I — 2 — х, если х < — 2,
х < 0 у — |	2	х | — J х 4- 2, если х > — 2,
„	1x4-2, если — 2 < х < О,
но х<0; значит, у = |_х_2> если х<_2.
Для х > О
значит, у =
,	- «I I х — 2, если х
у — |х 21 — j 2 — х еслн х
12 — х, если 0 < х < 2,
I х — 2, если х > 2.
>2,
<2, но х > 0;
ках:
Построение графика выполняется на четырех промежут-
— х —2,
х4-2,
2 — х,
х — 2,
если
если
если
если
х < — 2,
— 2<х<0,
0 < х < 2,
х >2.
Способ 2. Последовательно выполняются следующие
графики.
а) График функции б) График функции в) График функции
Черт. 49.
40
Способ 3. Данная функция четная, так как | — х | =
= |х|; значит, график ее симметричен относительно оси
у-ов. Поэтому достаточно построить график для х > О,
а затем достроить ему симметричную часть для х < 0.
а) График функции	Б) График
при х^ 0	Банной функции
MftSSia
7.	Построить график функции у = 12 — | 1 — | х 1(1.
Данная функция четная, поэтому будем строить гра-
фик для х > 0, тогда у = 12 — 11 — к 1|.
На0<х<1 у = 12—1 + х| = х-f-1.
Для х > 1 у = 12 — х + 11 = |х — 31.
На 1 < х < 3 у = 3 — х.
Для х > 3 у = х — 3.
Левую часть графика, т. е. для х<0, достраиваем
симметрично правой части (см. черт. 51).
8.	Построить график функции У =“ | ж * — • I Ч
— 2|—3|.

График этой функции симметричен относительно пря-
мой х = 2, поэтому будем строить график лишь правой
половины, т. е. для х > 2, а затем достроим левую поло-
вину.
Итак, при х>2 у = |||х— 3i — 2| — 3|.
Тогда на 2 < х < 3 у = 113 — х — 21 — 31 = 111 — х | —
— 3| = |х—1—3| = |х —4| = 4 —х;
для х > 3 у = 11х — 5| — 3| — подлежат уточнению.
На 3 < х < 5 у = 15 — х — 31 = 12 — х | = х — 2;
для х > 5 у — lx — 8| — подлежат уточнению.
На 5 < х < 8 у = 8 — х,
для х > 8 у — х — 8.
Следовательно, на
2<х<3
3<х<5
5<х<8
х > 8
У = 4 — х;
У = х — 2;
у = 8 — х;
у = х — 8.
График данной функции (см. черт. 52, а).
Для построения графиков функции вида
у = ||||х — ai — Ь| — с| — </|
целесообразнее использовать второй способ, рассмотренный
при решении примера 6. В этом способе не выполняются
тождественные преобразования аналитического выражения
данной функции, а осуществляются лишь геометрические
преобразования графиков.
С идеей преобразования графиков учащиеся встречаются
при рассмотрении графиков линейной функции и квадрат-
42
ного трехчлена в VIII классе. В данном пособии эта идея
находит свое простое применение. В сознании учащихся
идея преобразований закрепляется, проявляя свои особен*
ности и преимущества.
Для иллюстраций сказанного покажем (см. черт. 52, б)
последовательность построения графика функции, рассмот-
ренной в примере 8:
F = ||||x-2I — H — 2I — 3|.
У
ун
у2= !<-<?! У
Параллельный
перенос вдоль
оси у- св
"Ol
Параллельный
перенос вдоль
оси Х-ов
у3=|х-2|-/ УДу4 = ||х-2|-/|
О 12 3
Преобразование по
смыслу модуля
S£.=||x-2|~/|~2
О. 2
У|Ув=1П^-2|-/|-2|
y|y7=|||X-2|-f|-2|-3
Смещение графика у9
вниз на 3 единицы
-7 1 2 3
Преобразование графина у$
Смещение графика у4по смыслу модуля
* вниз на 2 единицы
yh
® УГУ
8
А
Преобразование графина у7
по смыслу модуля
X
Черт 52,6
9.	Построить график функции у=|-|-х2—4| +
+|4«1+т‘-11-
Пусть -^х2 —4 = А, тогда А = 0 при ^ = — 4 и х2=4;
Л < О при — 4 < х < 4 и Л > 0 при х < — 4 и х > 4;
-1-х2 4- -1-х- 1 = В, тогда В = 0 при хх = — 4 и х2 = 1;
В<0при—4<х<1иВ>0 при х < — 4 и х > 1.
43
Следовательно, график нужно строить по промежуткам:
(—оо; — 4J; [—4; 1}; |1; 4] и |4; оо).
Для х < — 4 Л > О и В > 0;
значит, I/=-^-х2 —4 4-х21 =-^-х2-+--|-х—5.
На — 4 < х < 1 А < 0 и В < 0, значит,
у =—(-тх* + ~тх—5);
на 1 < х < 4 Л < О; В > 0, тогда
У = -4:*2 + 4 + 4-ж’ + -Гх-1=-Т* + 3;
для х > 4 Л > 0 и В > 0, тогда	1
у = -у х* 4- -|-х — 5 (см. черт. 53).
Черт. 53.
1	3
Парабола у = -у х2 4- — * — 5 пересекает оси коорди-
нат в точках: (0; —5); (—4; 0) и (2,5; 0), а вершина ее
(	3	43 \
находится в точке!----j-;----g-L
При х = 1 у = — 3-|-.
10.	Построить график функции у = I * а' !•
44
Построим график функции у = —-
Функция не существует при х = 2.
При х > 2
При х -> со
у > 0, при х < 2 у < 0.
у -> 0, при х -> — оо у -> 0.
При х -*• 2,
Построим ряд точек
у-> со, если х> 2,
у— оо, если х<2.
При
При
При
График будет иметь вид, как
х = 1 у =
х = 3 у =
х = 0 у =
на чертеже
— 1.
1.
— 0,5.
54.
45
11.	Построить график
функции у = |т£у|.
Преобразуем данную
функцию к виду:
® = 12+гЫ
Следовательно, необхо-
димо график функции =
1
= _2 переместить вверх
на 2 единицы, а затем
нижнюю часть графика
преобразовать вверх (см.
черт. 56).
12 _ %
l°g2 3—
Рассмотрим функцию 
2 —х , ,	1
01==3=7= 1 + Г^З’
Графиком этой
функции будет кри-
вая, изображенная на
чертеже 57. log2«/i су-
ществует при усло-
вии, что > 0.
^-|>0, откуда х<2
и х > 3, что видно
из чертежа 57.
На (— оо; 2) функ-
ция у2 = log^x убы-
вает от 0 до —оо,
так как 1 >	> 0.
На (3; оо) функция
у% убывает от оо до 0,
так как оо > yt > 1.
Построим график функции уй = log^ (черт. 58).
Строим график данной функции у — | уа | (см. черт. 59).
46

Упражнения
28. Построить графики функций:
а)	р = |* + 2| + |х—1| —|х — 3|г
б)	У = |х + 2| + |х — l|-h|x — 4| — 8;
в)	у = |х—1| + Гх —21 + |х —3| + |Х —41;
г)	У = |х— 1|^|х — 2I + IX — 31 — 1х — 4|;
Д) У = 111 х I — 21 — 21;
е)	{/= 1111х—11 — 11 — 11 — 11;
ж)	у — |х2 4- 2x1 4-1 х2— 5х4-6|;
з)	1/=-^--|х2 + Зх—4|----1-1 х2 — 161;
и)р = з + 4Ь
47
К) у=
| sinx| .
sinx ’
л) у = sinx 4- | sin x |;
м) у =	Зх — 6|. х — 3	
н) у =	1g (2 + х — х2) |;
о) У =	1 1 И-2Г
	3 • |х| — 7 1
П) У =	|Х|-2 1'
7.	Графики простейших функций, заданных неявно,
аналитические выражения которых содержат знак
абсолютной величины.
1.	Построить график функции iy| 4- |х | = а. ' Здесь
необходимо а > 0. Из данного равенства видно, что
| х | < а и | у | < а, т. е. область определения функции:
— а < х < а и область измене-
ния функции: — а < у < а.
Так как |-r-t/|= |у| и |—х|=
= |х|, то график данной функ-
ции симметричен относительно
осей координат. Поэтому строим
график в 1-й четверти, а затем
х достроим его во 2-й, 3-й и 4-й
четвертях.
При х > 0 и у > 0, у-\-х=>
= а; график этой прямой по-
строить легко. Графиком дан-
Черт. 60	ной функции являются стороны
квадрата (см. черт. 60).
2. Построить график функции 11 у | — |х|| = а, где а>0.
По определению абсолютной величины, имеем: |у| =
= |х| + а.
График данной функции симметричен относительна
осей координат, поэтому строим график для х > 0 и у>0.
Тогда у — х + а (1) и у = х — а (2) (см. черт. 61). До-
страиваем график во 2-й, 3-й и 4-й четвертях (см. черт. 61).
3. Построить график функции |||х| — 21 4- IУI — 21=2.
По определению абсолютной величины, будем иметь:
||х| —2|-Ы!/1 = 2±2.
48
В силу симметричности графика относительно осей
координат построим график для х > 0 и у > 0.
|х —2Ц-у = 4	(1)
и
|х — 2| + у = 0	(2)
Легко видеть, что уравне-
нию (2) удовлетворяет только
одна точка (2; 0).
Уравнение (1) следует рас-
смотреть на двух промежут-
ках, где 0 < х < 2 и х > 2.
При 0 < х < 2, 2 — х +
+ у = 4 или у = х 4- 2.
При х > 2, х — 24-// = 4
или у = — х + 6.
Достроим график во 2-й,
3-й и 4-й четвертях (см.
черт. 62).
Итак, графиком данной
функции будет многоугольник
АВ и две точки М и N.
4.	-Построить график функции |||х| —2| — 2| =
= II11УI — 3 | — 2| — 21. В силу симметричности графика
этой функции относительно осей координат рассмотрим
график для 1-й четверти, т. е. для х > 0 и у > 0.
Тогда ||х —2| —2| = |||у —3| —2| —2|.
Черт. 62.
Далее видно, что это равенство следует рассмотреть
для 0 < х < 2, х > 2; 0 < у < 3 и у > 3, поэтому даль-
нейшее исследование целесообразно расположить в таб-
лицу.
При 0 < х < 2 11 х — 21 — 21 = 12 — х — 21 = | — х | =
==|х|=х.
Прих>2 ||х— 2| —2| = |х— 4|.
При 2 < х < 4 ]х — 41 = 4 — х.
При х > 4 |х — 41 = х — 4.
При 0<у<3 |||у —3| —2| —2|-||3 —у —2|—2|=
—1|.1 —у| —2|.
Тогда при 0<у < 1 || 1 — у) — 2| = | 1 — у —2| =
= |у+ 1| = У+ 1,
при 1<у <3 || 1— у| — 2| = |у — 3| = 3 — у.
При у>3 |||у —3| —2| —2| = |-|у —5|—2|/ 
Тогда при 3 < у < 5 11у — 5| — 21 = 15 — у — 21 =
= !3 —у| = у —3
При у>5 ||у — 5' — 21 = |у — 5 — 2| = |у — 7|.
Тогда при 5 < у < 7 | у — 71 = 7 — у и.
при у>7 |у —7| = у —7.
Обл. изм.-У ф-цииУ >/Обл.' sопр. ф-ции	0 < У < 1	1 < у < 3	3 < и < 5	5 < у < 7	
0 < х < 2	X — у + 1 и у- х —1	х — 8 — 0 0- — х+3	х - у — 3 0-х + 3	У-—х + 7	X - 0 - 7 У - X + 7
2 < х < 4	4—х~у+\ и 0—х+3	4-х—3—0 У-х—1	4—х=0—-3 0—х + 7	СО J + 1 * 7 1	4—х—у—7 0- — х+П
Х> 4	х—4-0+1 и 0-х — 5	х—4-3-р 0—Х + 7	х—4—0—3 0— х — 1	х—4-7—0 0—Х+11	х—4=0—7 • 0 - х + 3
Строим график по промежуткам и вдоль оси х-ов и
вдоль оси у-ов (см. черт. 63) и достроим его во всех чет-
вертях.
5.	Построить график функции
цх — 21— 1| = ||у — 3i — 2|.
50
мвж? ns-
Из этого равенства видно, что график данной функции
симметричен относительно прямых х = 2 и у = 3.
Достаточно построить график для х > 2 и > 3, а за-
тем достроить симметрично относительно названных пря-
мых.
При
Для
При
х>2 и у>3, |х— 3| = |у— 5|.
9 у и J 3<У<5- 3 — х = 5 — у,
2 < х < <5 и I з — х = у — 5, у —
у=х+2,
— х + 8.
3 < у < 5, х — 3 = 5 — у, у — — х + 8,
у >5, х — 3 = у — 5, у = х + 2.
График строим по. промежуткам (см. черт. 64).
6.	Построить график функ-
ции |х —у| + |х| + |у| = 6.
График функции можно
строить по четвертям.
Черт 63.	Черт 64.
В данном случае следует заметить, что смысл равен-
ства не изменится при замене х на у, а у на х; следова-
тельно, график данной функции симметричен относительно
прямой у = х. В 1-й четверти х > 0 и у > 0.
Возможны два случая:	. .
а)	х > у, тогда х — у + х + у = 6 и х = 3;
б)	х < у, тогда у—х + х + у = 6 и у = 3.
Во 2-й четверти х < 0; у > 0.
Здесь у>х; значит, у — х — х + у = 6 и у = х + 3.
51
В 3-й четверти х < 0, у < О.
Возможны два случая:
а)	х > у, тогда х — у —
—х—у=6 и у = —3;
б)	х < у, тогда у — х —
— х — у = 6 и х = — 3.
В 4-й четверти х > 0, у < О,
здесь х>у, значит, х — у-\-
4-х — у = 6 и у = х — 3.
Построение графика прос-
то (см. черт. 65).
Примечание. В данном случае симметричность графика от-
носительно биссектрисы 1-го квадранта не была использована. Но мож-
но было бы построить лишь половину графика по уравнению; а дру-
гую половину достроить по симметричности
Упражнения.
29.	Построить графики функций:
а)	|у| = k, где &>0;
б)	\У-2| = 1;
в)	|у — 11 = х 4-1;
г)	|х|-||/| = 2;
Д)	|у| — 1х| =2;
е)	|х — 21 -4- 1= х;
ж)	1у — 2| — |х — 1| = 1;
з)	111 х| — 4|4-|{/| —4|=2;
и) |||х|-4|4-|у|-3|=1.
$	4. УРАВНЕНИЯ (В ОБЛАСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ).
1. Уравнения вида |/(л:)| — а, где а>0.
По определению абсолютной величины, данное уравне-
ние распадается на совокупность двух уравнений: f(x) = a
и f(x) = — а, все решения которых будут решениями дан-
ного уравнения.
Примеры.
1. Решить уравнение: |х — 31 = 2.
По смыслу абсолютной величины имеем совокупность
1Х_________3 = 2
х___з _ ’ 2, откуда хх = 5 и х8 = 1.
2. Решить уравнение: | sin х + cos х | = I.
Решению подлежат два уравнения:
sinх + cosx = 1 и sinх 4- cosх = — 1.
После преобразования (сложения) получим:
I	к \	У~2	(	« \	/У
coslx---r/=r2~ и COS lx----4~l ~----2~
и
XX = -} ±	+ 2Aw и x2 = -J- ±	+ 2Аж,
или
few
Х-У-
2. Уравнения вида f\ x | = a.
По определению абсолютной величины, данное уравне-
ние распадается на совокупность двух смешанных систем:
В силу четности функции F = f | х| — а ее корни будут
существовать парами противоположных чисел, т. е. если
а, — корень данного уравнения, то и (— aj также будет
корнем данного уравнения.
Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих
двух систем.
Пример. Решить уравнение: х2 — | х | = 6.
Рассматриваем систему
/ х2 — х = 6,
( х > 0.
Уравнению х2 — х = 6 удо-
влетворяют числа Хх — — 2
и х2 = 3, из которых усло-
вию х > 0 удовлетворяет
лишь х2 = 3.
Следовательно, корня-
ми данного уравнения яв-
ляются числа 3. и —3.
Геометрическая иллюстра-
ция решения уравнения
X2 —lx| = 6.
53
Пусть у = х2 — | х | и у = 6, тогда графическому реше-
нию подлежит система
[y = xt — \x\,
I У = 6.
Для х > 0 построим параболу у = х2 — х, а для х < О
достроим часть графика симметрично относительно оси
у-ов.
у = 6 — прямая, параллельная оси х-ов.
Решения очевидны: хх = — 3 и х2 = 3 (см. черт. 66).
3. Уравнения вида 1/(х)| = <р(ж).
Данное уравнение распадается на совокупность двух
смешанных систем:
Примеры.
1. Решить уравнение 12х — 51 = х — 1.
yi	Решению подлежат две
системы:
Черт. 67.
I 2х — 5 = х— 1,
( х — 1 > О
( 2х — 5=1 — х,
I х— 1 >0.
Числа хх = 4 и х8 = 2
удовлетворяют данному урав-
нению.
Этот результат легко проверить графически, решив
систему (см. черт. 67).
2. Решить уравнение: | ----1-1 = х — 1.
Решение.
*	* * x_i, । _5__ 5 = 1-х,
2	4	И { 2	4
х — 1 > 0	I х — 1 > 0.
54
Откуда
. л ~	2 ’	12’
X > 1 И I X > 1.
„	3
Ответ: х =
Геометрическая иллюстрация подтверждает данное ре-
шение (см. черт. 68).
3.	Решить уравнение: 12х — 51 =2 — х.
Решение.
/ 2х — 5 = 2 — х,	I 2х — 5 = х — 2,
(2 — х > О и ( 2 — х > 0.
Откуда
Ответ. Решений нет.
4.	Решить уравнение: | х2 — 41 = х2 — 4.	'
Решение.
/ х2 —. 4 = х® — 4,	/ х2 — 4 = 4 — х8,
1 х2 — 4>0 и1ха —4>0.
Откуда
। х — любое	I х = + 2
( х > 2 и х < — 2 и । х > 2 и х < — 2.
Ответ. Уравнению удовлетворяют все значения х>2
и х< — 2.
55
5.	Решить уравнение: 12х— х2 — 11 = 2х— х2 — 1.
Решение.
j 2х —х2 — 1 = 2х— х2— 1	/ 2х — х2— 1 = х2 + 1—2х
12х — х2 — 1>0	и I 2х —х2—1>0.
Откуда
/ х — любое / х = 1
I (х—1)2<0 и I х« 1.
Ответ: х = 1.
6.	Решить уравнение: I sin х I = sin х.
Решение:
1 sin х = sinx, lsinx = — sinx,
I sin x > О и | sin x > 0.
Откуда
( x — любое	( x = kn
I 2&rc < x < л 4- 2kn и ( 2&it < x < « 2kn.
Ответ. 2k к < x < к + 2&я, где k — целое число.
7.Решить уравнение: 1g|	| = °*
Область определения уравнения:
х2 —х— 1 #= 0, или х ф  ±
_________________________1 ц. W
х2 + х —2#=0, или хф_____~—.
Итак, Xi =А 1; х8=А —2; и х3,4=#	.
Решение: I. xi + x_2 =1 и II.	=-1.
Решая I, получим х2 — х — 1 = х2 + х — 2, или 2х = 1
1
их1 = -г.
Решая П, получи»£_ х2 — х — 1 = — х2 — х + 2, или
2х* = 3 и Х2,з = ±
Ответ: Xj = -у- и х2,з= ±	-|--
8. Решить уравнение:	lg|xa + x_i|—— — 2.
56
Область определения:
х4 4- 2г* 4- 2х — 1 #= 0;
хг + х— 1 =/= 0; 1 и — 1,
т. е. х =/= ~; x=f= !;*¥= — 2; х =?ь 0 и х — 1.
Решение: lx4-}- 2х® 4- 2х— 1| = (х8 -^х— I)8 = х44-
4- 2х* — х8 — 2х 4- 1.
I. х4 4- 2х® 4- 2х — 1 = х4 4- 2х* — х8 — 2х 4- 1.
или х8 4- 4х — 2 = 0; Xi,2 = — 2 + J/6.
IL х,4 4- 2Х3 4- 2х — 1 = — х4 — 2Х3 4- х2 4- 2х — 1,
или х2 (2х8 4- 4х — 1) = 0; хз,4 = 0; Х&.6 = —2
Проверка: х = 0 не годится, так как числитель и
знаменатель уравнения обращаются в нуль, х = — 2 ± У ~6
и х = —- 2 2 ^~" ~ не обращают выражение х84-х—1
в 0, 1 или — 1.
Относительно выражения х4 4- 2х® 4- 2х — 1 сделать
вывод можно лишь подстановкой найденных решений
в данное выражение
xt = — 2 4- /6; (/6 — 2)44- 2(/6 — 2)34- 2 (УЪ— 2) —
— 1 = 103 — 42 J/6, что не равно. 0, 1 или — 1.
х2 = —2 —/6; (/^г)4—2(/б*4-2)3—2(/б“+2)~
— 1 = 103 4- 42 J/6, что не равно 0, 1 или — 1.
-2-У~6 . (2 + У$ У о/2 + К’б\3 о/2 + Гб\
8~	2	’ \	2	)	\	2	/ z \	2	/
— 1 = —	-что не равно 0, 1 или — 1.
-2+Г'б . (/б"-2\4 , о ( УЪ-2\2 , о (Ув-±2\
xt------2 ’V 2	К 2	/-Ь \	2 /
— 1 =	---что не равно 0.
Ответ: xi,2 = — 2 + У~6 и хя.4 = —	»
&
Ъ1
4. Уравнения вида ]клх 4-	±-|Л2х 4- &2| ± ... ±
±\knx+bn\ = a.
Найдем абсциссы точек перелома графика функции —
левой части этого уравнения, т. е. Xj =-х2 =—I2;
...; хп == —пусть < х2 < ... < хп.
Данное уравнение последовательно рассмотрим на про-
межутках:
(—оо; Xj; l*i; хг]; [х2; х3]; ...; [х„; оо).
На (— со; xj получим некоторое линейное уравнение
ft (х) = 0 и его корень х = av
Если ах содержится в (—со; хх], то ах корень и
данного уравнения, а если не содержится, то а* не яв-
ляется корнем данного уравнения.
На [х2; х2] получим /2 (х) = 0 и его корень а2, относи-
тельно которого делаем заключение аналогично предыду-
щему и т. д.
На [х„; со) получим f„+i (х) = 0 и его корень х = a„+J.
Для ответа отбираются только те значения а, которые
содержатся в соответствующих промежутках определения
уравнений, определяющих эти значения.
Примеры.
1.	Решить уравнение: |х— 11 4- |х — 2| = 1.
Точки перелома: Xj= 1; х2 = 2.	1
Промежутки задания уравнения: (—со; 1]; [1; 2] и
[2; со).
Для х< 1 получим 1 — x-f-2 — х = 1, или 2х = 2,
или х = 1.
х=1 принадлежит^—со; 1], значит, х=1 — корень
данного уравнения.
Для 1 < х < 2 получим х — 1 + 2 — х = 1, или 1 = 1;
х — любое число, но из 1 < х < 2.
Длях>2 получим х—14-х — 2=1, или 2х = 4,
откуда х = 2.
Ответ. Все значения х сегмента [1; 2].
2.	Решить^уравнение: 2 • 1x4- 11 4-1х — 3 > = 6.
Для х < — 1 имеем — 2х — 24-3 — х = 6, или —Зх=5,
откуда х =----з~ (корень).
Б8
Для — 1 <х<3 имеем: 2х+2+-3— х = 6, или х=1
(корень).
Длях>3 имеем: 2х + 3 + *— 3 = 6/ или -Зх = 7,
7
т. е. х = =- (не может быть корнем).
О
5
Ответ. хх =—д-иха=1.
3.	Решить уравнение: |2х — 31 + | х — 3| — |4х — 1|=0.
1	3
Точки перелома: хх = ха = -у; х8 = 3.
Для х < —, 3 — 2х + 3 — х — (1 — 4х) = 0; х — — 5
(корень).
Для -|-<х<-|-,3 —2х + 3 —х—(4х—1) = 0;х=1
(корень).
Для < х < 3, 2х — 3 + 3 — х — (4х — 1) = 0; х=у
(не корень).
Для х > 3, 2х — 3 + х — 3 — (4х — 1) = 0; х = — 5.
(не корень).
Ответ: хх = — 5; xs = 1.
4.	Решить уравнение: 1|||х| — 2| — 1| — 2| =2.
Способ 1. По определению абсолютной величины,
имеем:
111х| — 21 — 1,| — 2 = + 2, т. е. два уравнения.
Решаем первое: 111х| — 2| — 11 = 4, откуда 11х| — 21—
— 1 = 4~ 4.
Или 1 |х| — 21 = 5 и 11х| — 2| = —3 (последнее ура»;
нение решений не имеет).
|х| — 2= ±5, или ]х|—7, а |х| = —3 не имеет
смысла.
Итак, Х1.2 = ± 7.
Решаем- второе уравнение: |||х| — 21 — 11 = 0.
Тогда 11х| — 2| = 1 и |х.| — 2 = ± 1 или
| х | = 3 и | х | = 1, откуда Хзд = ± 3 и Хв.6 — ± 1.
Ответ* + 1; +3; ±7.
Способ 2. Так как | — х| = |х|, то достаточно найти
лишь положительные решения, а уравнению будут удов-
летворять пары противоположных чисел.
59
При х > 0 имеем уравнение IIJjc—2] — 1| — 2|=2.
При 0 < х < 2 получим: 11 2 — х — 11 — 21 — 2. или
J| 1 —х| —21 = 2. .
Для0<х<1 получим: 11 — х—2,| = 2, или |х + 1| =
= 2, или х + 1 = 2, или х = 1 (корень).
Для 1<х<2 получим \х—3|=2, или 3—х = 2,
откуда х = 1 (корень).
При х > 2 имеем: 111 х —2 —11 —21 = 2, или 11 х — 31—
— 2 | = 2;
для 2 < х < 3 получим: |3 — х — 2| = 2, или х— 1 =
= 2, и х = 3 (корень).
Для х > 3 получим: | х — 51 =2.
При 3 < х < 5 получим: 5 — х = 2 и х = 3 (корень).
При х > 5 получим: х—5 = 2 и х = 7 (корень).
Ответ: +1; +3; +7.
Графическое решение системы
| у = ||11х|-2|-1|-2|,
U = 2,
представляющее собой иллюстрацию решения данного
уравнения, показано на чертеже 69, а способы построения
графиков рассмотрены ранее.
5.	Решить уравнение: |-^-х2<2х +	4- |Ц-*а —
-3>: + 4|=-|-.
Находим промежутки знакопостояяства данных трех-
членов.
Из -i-x2 < 2х 4- -|- = 0 имеем: х^ — 1 и х, = 3.
60
Следовательно, ~g~*2 — 2х 4-	> 0 для х < 1 и х>3
и	-тгх*— 2х + Л-<0для 1<х<3.
Из ~ х2 < Зх + 4 = 0 находим, что х3 = 2 и х4 = 4,
тогда -1-х2 — Зх 4- 4 > О для х < 2 и х > 4
и	Ц- х2 — Зх 4- 4 < 0 для 2 < х < 4.
Значит, данное уравнение следует рассмотреть на сле-
дующих промежутках:
(—со; Ц; [1; 21; [2; 31; [3; 41 и (4; со).
Для х -С 1, где оба трехчлена неотрицательны, получим:
4 х2 - 2х + 4 4-4-X2 - Зх + 4 = 4’
или х2 — 5х 4- 4 = О, откуда Xj = 1 и х2 = 4.
х4 = 1 содержится в (— оо; 1) и является корнем,
а х2 = 4 не является корнем.
Для 1 < х < 2, где первый трехчлен неположителен,
а второй — неотрицателен, получим
---------1-х2+ 2х---|- + -1-х2-Зх4-4 = 4-
или — х + 1 = 0, откуда х = 1 (корень).
Для 2 < х < 3, где оба трехчлена неположительные,
получим:
---------i-x2 + 2x--1----1_х2 + зх_4 = _1,
или — х2 4- 5х — 7 = 0, откуда хх и х2 — мнимые.
. Для 3 < х < 4, где первый трехчлен неотрицателен,
а второй — неположителен, получим
4^-2х+4—tx’+3x-4=4
или'х— 4 = 0, откуда х = 4 (корень).
Для х > 4, где оба трехчлена неотрицательны, полу-
чим: х2 — 5х 4- 4 = 0, откуда х2 = 1 и х2 = 4, здесь х=4—
корень, а х = 1 не является корнем.
Ответ: х4 = 1 и х2 = 4.
61
6.	Рассмотрим подобное уравнение, изменив лишь пра-
вую часть.
|	_ 2* 4- -11 + | -L- х8 - Зх + 41 = 4-.
Тогда для х < 1 получим: х8 — 5х 4- 4 -|- = О, или 4х8 —
— 20х 4- 19 = 0, откуда х(,2 =	т. е. Xj 3,73
и х4^1,28; оба значения х не являются корнями, так
как не содержатся в (— ос; 1J.
3	3
Для 1 < х < 2 получим: — х---4- 4 = —, или
7	7
— х 4- -j- = 0, т. е. — (является корнем).
25
Для 2 < х < 3 получим: — х8 4- 5х-j- = 0, или
4х®— 20x 4-25 = 0 или (2х—5)8 = 0, откуда х = -|-
(корень).
Для 3 < х < 4 получим: х — 3	= 0, т. е. х = 3-|-
(является корнем).
Для х > 4 получим: х8 — 5х 4- 4-|- = 0, откуда х^яз
st; 3,73 и х8% 1,28 (не являются корнями).
3	11
Ответ: хх = I х8 = 2-?- и х3 = 3—.
Упражнения 30. Решить уравнения:
а)	|| х- 1| -1| =2;
б)	| х8 — Зх 4- 2| = Зх — х8 — 2;
в)	|х — 3| = (х —З)8;
г)	|х — 1| = х8;
д)	|х4- 1|—|х—1| =2;
е)	1х| = х 4- 3;
ж)|х4-2| 4- I х| 4-')х — 21 = 4.
з) )4х—11 —'|2х —3|4-'|х —2| = 0;
и) | sin 2х| =4*;
к) | cosx| = cosx;
62
л) l°g2|х3 + 2а? — 4х —41 = 2;
м) log2|x —4] 4-log2|x4-4| =-£2— 1;
н) |х4 — 16 — (х2 4-4)1 = |х4 — 161 — |х2 + 4|;
о) У(х-1)? 4- /14-2x4-х2----^4*" = 5’
П) JC±ZZ*+.£ _ |/(5 —х)2 = К(6-х)(х-2).
5. Решение некоторых простейших частных примеров
уравнений в области комплексных чисел.
Пример.
1.	Решить уравнение: \г — 31 = 2.
Будем искать z в виде: г = х 4- yi, где х и у — дей-
ствительные числа.
Тогда будем иметь:
Ix4-yi|—3| =2,
или
/ (х-3)24-у2 = 2,
или
(х-3)24-/ = 4.
Легко видеть, что у2 < 4, т. е. — 2 < у < 2 и 1 < х < 5.
Решение: z = х 4- t/i, где
J.1 < х < 5
tУ = ± V 4-(х-3)2.
Геометрическая
Известно, что графи-
ком уравнения (х— 3)24-
4- у2 = 4 является
окружность с центром
в точке (3; 0) и радиу-
сом, равным 2.
Из чертежа 69, а
видно, что заданному
уравнению удовлетворя-
ют числа z, изображе-
нием которых являются
точки окружности.
63
Пример.
2.	Решить уравнение: |z — 2i|=3.
Полагая z = х 4- yi, где х и у— действительные числа,
получим:
' |x4-yi — 2t| = 3,
ИЛИ
V x24-(f/-2)’ = 3.
или
Черт. 69, б.
х»4-(у-2)2 = 9.
Ясно, что х2 <9.
Решение уравнений будет
иметь вид: г = х 4- yi, где
f —3<х<3
( у = 2 + V 9—х2
(см. черт. 69, б).
Пример.
3.	Решить уравнение:
га —5 • |zj 4-6 = 0.
Полагая z — х 4- yi, где х и у — действительные чис-
ла, получим:
х2 + 2xyi — у2 — 5 • Ух2 у2 -f- 6 = 0.
Из условия равенства нулю комплексного числа будем
иметь:
х2-у2 — 5-	4-6 = 0,	(1)
2ху = 0.	(2)
а)	Если у = 0, то х2 — 5 • | х | 4- 6 = 0, откуда имеем:
х2 — 5х 4- 6 = 0, п[>и х > 0 .
х2 4- 5х 4- 6 = 0, при х < 0.
Решая эту совокупность, получим:
Xi = 2; х4 = 3; ха = — 2 и х4 = — 3.
б)	Если х = 0, то — у2 — 5 • | у I 4- 6 = 0, или у2 4-
4- 5 • | у | — 6 = 0, откуда
64
I у2 + 5y — 6 = 0, при у > 0,
I у2 — 5у — 6 = 0, при у < 0.
Решая эту совокупность, получим: ух = 1 и у2 = — 1.
в)	При х = 0 и у = 0 решений нет (не удовлетворяется
уравнение (1).
г)	При х 4= 0 и у #= 0 решений нет (не удовлетворяется
уравнение (2).
Решения. Zi,2 = ± 2; гз,4 = ± 3; z5>6 = + i.
Упражнения. 31. Решить уравнения, полагая искомое г
комплексным числом.
a)	|z — 11 = 5;
б)	|z —2 + ЗП = 2; <
• в) |z— 1 — 2i|= |14-i/“3|;
rjz2 — 3-|z| — 4 = 0;
Д) 3z2 —5 • |z| + 2 = 0;
e) г2 — | z | + 1 = 0.
§ 5. НЕРАВЕНСТВА.
- 1. Неравенства с одним неизвестным.
Прежде всего рассмотрим неравенства вида:
|/(х)1 <а и |/(х)|>А
где а и Ь — действительные неотрицательные числа, a f(x)—
функция одного аргумента.
1.	Если |/(х)1 < а, тогда, по определению абсолютной
'Величины,
/ (х) < а, если f (х) > 0, или 0 < f (х) < а
и
— f W < а> если f (х) < 0, или — а < f (х) < 0,
откуда следует, что данное неравенство эквивалентно си-
стеме неравенств:
— а < f (х) < а.
2.	Если | f (х) | > Ь, то, по определению абсолютной ве-
личины,
/ (х) > Ь, если f (х) > 0, или f(x)>b
и
—/(*)> Ь, если f (х) < 0, или f (х) < — Ь,
65
откуда следует, что данное неравенство эквивалентно со-
вокупности неравенств
f(x)>b и / (х) < — b:
Проверка верности решения выполняется по общим
правилам, т. е. состоит из двух пунктов: установления
верности найденного предела и установления верности
выбора знака > или <.
Пусть, например х > а — решение неравенства, f (х) >
> <р (х), тогда:
• I. Число а (предел) найдено верно, если
f(a) = <p(a).
II. Знак неравенства взят верно, если' для хх > a
Примеры.
1. Решить неравенство: 12х — 5| <7.
По смыслу данного неравенства переходим к системе.
— 7<2х —5<7,
откуда — 2 < 2х < 12 (после прибавления числа 5 к обе-
им частям неравенств), или — 1 < х < 6.
Проверка. I. При х = — 1 |2(—1) — 5(^7 и при
х = 6 |2 • 6 — 5) = 7.
II. При Х1 = 0, так как —1 <0 < 6, |2-0 — 5| =
= 5 < 7 (все верно).
Ответ: — 1 < х < 6.
2. Решить неравенство: | Зх — 5 | > 10.
По смыслу данного неравенства переходим к совокуп-
ности неравенств
Зх — 5 >10,
Зх —5< —10,
откуда
Зх > 15 и х > 5
Зх < — 5 и х <-----3 -.
Проверка. I. При х = 5 13 • 5 — 5| = 10 и при х =
= —г |3‘(—r)-5lsl°-
II. npHX1 = 6 |3 • 6 —5|> 10, прих = —2 |3(— 2) —
— 5|> 10.
66
Предельные значения для х и знак неравенства най-
дены верно.
Ответ: х<—и х>5.
3. Решить неравенство: |х*— 2х— 2|< 1.
По смыслу данного неравенства
— 1<х* —2х —2<1.
Из неравенства х2— 2х— 2< 1, или х*— 2х — 3<0
(где хх = — 1 и Xj = 3 — корни трехчлена), следует, что
— 1<х<3.
Из неравенства х*— 2х—2> — 1, или х2— 2х—1>0
(где х3 = I — у~2 и х4 = 1 + У~2 — корни трехчлена),
следует, что х < 1 — и х > 1 + V2.
Объединяя эти решения, находим решение системы.
Ответ: —1 <х< 1 — ]/~2 и 1 + )/~2<х<3.
Геометрическая иллюстрация к решению данного нера-
венства.
Пусть ft(x) = | х2— 2х — 2| и f,(x) — 1.
Требуется найти участки значений х, где (х) < ft (х),
а на графиках — где точки графика функцииД(х) ниже
прямой ft (х) = 1 (см. черт. 70).
Ix-4-21 zw
х _|| > 2.
Способ 1. По смыслу данного неравенства имеем сово-
х -4- 2	х 4- 2
купность двух неравенств:	> 2 и < — 2.
67

Решая первое неравенство, получим:
2>0, 1—^>Q, откуда 1 <х<4.
Решая второе неравенство, получим:
х -f- 2 . л л Зх	л	л ~г	,
+ 2	< 0,	—j <	0,	откуда 0 < х <	1.
Способ 2. По теореме об абсолютной величине дроби
будем иметь:
7±ТГ>2>гдех*1.
а по свойству неравенств получим:
|х + 2[ > 2 • | х—11.
Рассмотрим это неравенство по промежуткам:
(— со; — 2J; 1—2; 1) и (1; со).
Для х < — 2, — х — 2 > 2 — 2х, откуда х > 4, это
не решение, так как х < — 2.
Для — 2 < х < 1, х + 2 > 2 — 2х, откуда Зх>0 и
х>0, значит, 0<х<1.
Длях>1, x-f-2>2x— 2, откуда х<4, значит,
1 < х < 4.
Ответ: 0 < х < 4, но х#= 1.
Геометрическая иллюстрация.
। о I
х_ j и у = 2. Требуется по графику ука-
зать участки оси х-ов, на которых точки графика функции
у= |~zri| выше прямой у = 2 (см. черт. 71).
Черт. 71.
68
5.	Решить неравенство: | х— 11— | х—+ [х3 —
— \х — 41 + |х — 51 <3.
Будем рассматривать это неравенство по промежуткам:
(— оо; 1]; [1; 21; 12; 3J; 13; 4]; 14; 5] и [5; оо).
Для х< 1, 1—'х-{-х — 2 + 3 — х + х— 4 + 5 — х<3,
или — х +-3 < 3, или х > 0, т. е. О < х < 1.
Для I < х < 2, х — 1+х — 2 + 3 — х + х — 4 + 5 —
— х < 3, или х + i < 3, или X < 2, т. е. 1< х < 2.
Для2<х<3, х—1+2 — х + 3 — х + х — 4 + 5 —
— х<3, или —х + 5<3, или х>2, т. е. 2<х<3.
Для 3 < х < 4, х — 1+2 — х + х — 3 + х — 4 + 5 —
— х < 3, или х — 1 < 3, или х < 4, т. е. 3 < х < 4.
Для 4 < х < 5, х — 1 + 2 — х + х — 3 + 4 — х+5 —
— х<3, или —х + 7<3, или х>4, т. е. 4<х<5.
Для х > 5, х — 1 + 2 — х + х — 3 + 4 — х + х — 5<3,
или х — 3 < 3, или х < 6, т. е. 5 < х < 6.
Ответ: 0<х<2, 2<х< 4 и 4<х< 6, или 0<х<6,
кроме х = 2 и 4.
6.	Решить неравенство: 14 — log2x | > 2.
Прежде всего необходимо отметить, что х>0.
По смыслу абсолютной величины получим совокупность
двух неравенств:
Откуда
или
4— log2x>2 и 4 —logax<—2.
lofex < 2 и log,x > 6, 1
log3x<k>g24 и log2x > log264.
Так как функция ^ = log2x— монотонно возрастающая,
тох<4их>64.
Ответ: 0 < х < 4 и х > 64.
2.	Неравенства с двумя неизвестными.
Рассмотрим решения неравенств с двумя аргументами —
неизвестными.
Решениями таких неравенств чаще всего являются
плоские фигуры.
7.	Решить неравенство |х — у\<2.
69
По смыслу неравенства-имеем:
— 2<х—у <2.
{и <* х + 2	>	'
>х —-2, или х — 2 < у < х 4- 2.
Каждому значению х соответствует целый промежуток
значений у.
Графическое пред-
ставление решений дан-
ного неравенства.
Неравенству у < х 4- 2
удовлетворяет полуплос-
, кость вниз от прямой у =
= х 4- 2, а неравенству
у > х — 2— полуплоскость
вверх от прямой у = х—2.
Следовательно, данному
неравенству удовлетворяет
множество точек полосы,
заключенной между прямыми у = х 4- 2 и у = х — 2
(см. черт. 72).
8.	Решить неравенство:
При х < 2 у 4- 2 — х <
При х > 2 у 4- х — 2 <
Графическое представ-
ление решения этого нера-
венства есть угол между
прямыми у = х 4-1 и у =
—х4-5, внутренняя область
которого содержит начало
координат (см. черт. 73).
Ответ. Множество
систем чисел х и у из
условий
у4-|х — 2|<3.
;3, или у <*4-1.
; 3, или у < —х 4- 5.
у < х 4- L если х < 2 и	Черт. 7&
у < 5 — х, если х > 2.
9.	Решить неравенство: | у 14-1 х — 21 < 3.
Если у > 0 и х < 2, то у 4- 2 — х < 3, или у < х 4- 1-
Если у>0их>2, то у + х — 2<3, или у <5 — х.
Дляу<0их<2 — у4-2 — х<3, илиу>— х—1.
Для у<0 их>2 — У + х — 2<3, илиу>х —5.
70
Ответ лучше выразить графически. Данному неравен-
ству удовлетворяют точки внутренней области квадрата,
ограниченного прямыми у = х 4- 1; у = 5 — х; у — — х — 1
и у = х — 5 (см. черт. 74).
10.	Решить неравенство: [у — 2| > |х— 3|.
По определению абсолютной величины, имеем:
У — 2>|х— 3| и у — 2< — |х— 3|,
или
У>2-Ь|х — 3| и у<2 — |х — 3|.
Данному неравенству удовлетворяют точки, располо-
женные внутри вертикальных углов, образованных графи-
ками функций у = 2 + (х — 3) (см. черт. 75).
Упражнения 32. Решить неравенства:
а) |х— 21 — |xi
б)
в)
0;
12x4-51 — |3х — 71 <0;
г)
1x4-2	’
2х — 5 . п.
х» —1
Xs —3x4-2 I	.
x»4-3x-h2 I	*»
|х4-3| 4-|х—1|+|х —3| < 10;
Д)
е)
ж) lgl3x — 141 <
з) jsinx— cosx|
71
И) |j/—Ц4-1х| < 3;
к) |у|—*|*4-2|>3;
л) I У1 >1 х|.
$ 6- СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.
1.	Решить систему уравнений:
( I* — УI = U
11х—114-1!/ —2| = 3.
Первое уравнение приводит к совокупности двух урав-
нений:
I* — Л-1.	У — х — 1,	(1)
|х—у — — 1, или t/ = x-f-l.	(2)
Анализ второго уравнения приводит к совокупности
четырех уравнений по» промежуткам определения.
По виду уравнения легко видно, что |х—11 < 3
и | у — 2| < 3,. откуда — 2 < х < 4 и — 1 < у < 5.
Для —2<х< 1 имеем:
f пр» —1С«/ < 2, f — r-f- 2 — у = 3, или х-\- у = 0,- (I)
I при 2<$/<5, 1 — xj-y— 2 = 3, или у — х = 4. (II)
Для х < 4 имеем:
| при — 1 < у < 2, ,х 1 + 2 — у = 3, или х—у = 2, (III)
| при 2 < у < 5, х— 14-1/ — 2 = 3, или х 4- У = 6. (IV)
Решению подлежат восемь систем линейных уравне-
ний:
Система (1; I) { х^у = 0 х = 4"’ у~----1---это ре-
шение,'так как содержится в промежутках определения.
Система (1; II) { у__х == 4 Решени® нет.
Система (1; III) { *_у = 2 Решени® нет.
Система (1; IV) | х _|_ * _ 6 х = -у; у = -у — это ре-
шение.
Система (2; I) {x-j-y~O 1 х =----Г’ ----------эт0
. решение.
72
Система (2; 11) {	Z 4"	1	решений	нет.
Система (2; III) (	=	решений	нет.
Система 1У) {,	^ + у = 6*	1	х = Т":	у = 4--это
решение.
Итак, ответ: Xj = -Z-; yt = —
_ 7 .	_ 5 .
ха — 2 ’	~ 2 ’
' х____________!_• и - _L-
*3 —	2 ’ Уз ~ 2 ’
5 ,	_ 7
2 ’	2 "
Графическое решение данной системы.
а)	Строим график первого уравнения | х — у | = 1
т. е. совокупность двух
прямых у — х ± 1.
б)	Строим график вто-
рого уравнения, т. е. в
промежутках — 2 < х < 4
и — 1 < у < 5 четыре урав-
нения: х-}-у=0;у — х=4;
х — у = 2 и х + у = 6.
Получится квадрат.
в)	Находим координаты
пересечения квадрата с
двумя параллельными пря-
мыми (см. черт. 76). Гра-
фическое решение подтвер-
ждает решение аналитиче-
ское.
Черт. 76.
2. Решить систему неравенств:
| ]х — 2|<3,
По смыслу абсолютной величины будем иметь:
( — 3<х — 2<3,	(— 1<х<5,
1 — 4<у— 1 <4, или I — 3<i/<5.
73
Следовательно, заданной си-
стеме удовлетворяет множество
систем значений х и у из ука-
занных промежутков. Графиче-
ским представлением этого ре-
шения будет множество точек
плоского прямоугольника, огра-
ничейного прямыми х + 1 = 0;
х = 5; у = —3; у = 5 (см.
черт. 77).
3. Решить систему нера-
венств:
Черт. 77.	| | х — И+1X—21 +1 х—31 <5,
( |2х + 3| —I 2х —31 < 4.
Рассмотрим графическое решение,
а) Построим график функции
У = |х— 1| — |х — 2| + |х — 31
и укажем промежутки, где у < 5 (если они есть).
На х < 1 у = 1 — х + 2 — х + 3 — х = 6 — Зх.
На 1 < х < 2 у = х — 1 + 2 — X + 3 — х = 4 — х.
На2<х<3 у = х—1+х— 2 + 3 — х = х.
Для х>3 у = х—1 + х — 2 + х — 3 = Зх — 6
{график см. черт. 78).
Черт. 78.
74
По графику < х <3 -у. (1)
. б) Построим график функции
у-= 12x4-3| —12х —3(
и укажем промежутки, где у <4.
Для х< —у, у — — 2х — 3 — 3 4- 2х = —6.
Для----|-<х<-^-, у = 2x4-3 — 3 + 2х = 4х.
Для х>-у« У = 2x4-34-2х —3 = 6 (см. черт. 78).
Множество значений х,
удовлетворяющих неравен-
ствам (1) и (2),
4-	.< х< 1.
О
4. Решить систему не-
равенств:
( |2х —у|<2,
(|2х4-у1<1.
По смыслу абсолютной
величины
/ — 2 < 2х — у <2,
I — 1 < 2х 4-у < 1,
или
У > 2х — 2,
у < 2х.4- 2;
У < 1 — 2х,
У > — 1 — 2х.
Решение находим графически (см. черт. 79). Множе-
(3	1 \
----4*’ ~2Г
------L; -у), с(-Ь — -у) и ---------------у), причем это-
му множеству принадлежат все точки внутренней области
и контура этого параллелограмма.
75
Упражнения 33. Решить системы:.
( 1* + у! =2,
Э) I |x|+lf/| = 3;
л ||х —1/1 = 2,
' 11*1 + 11/1 = 4;
( 3 • | х |	5^ 4" & *0»
В) ( 2-х —11/| —7 =0;
( |* + 3| + |$/+1|=4,
° l|x-l|+|t/-3|=5;
| J ж | •< <1,
Я) 1|{/1<2;
Пх-у|>2,
** 11 *1 +1JH <*.
ж) 2<-|*—<<4;
|3х-2у|<2,
|2х — 3t/| <2,
|х|<1.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВОПРОСЫ. ПРИ РЕШЕНИИ
КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ.
При решении некоторых практических задач часто воз-
никает необходимость рассматривать абсолютные значения
исследуемых величин и, следовательно, требуются точные
знания и умения производить
действия с абсолютными вели-
чинами.
1.	Задача. Смежные сто-
роны четырехугольника равны 3
и 2. Две другие стороны вмес-
те с одной диагональю образу-
ют правильный треугольник.
Найти наибольшее значение
второй диагонали.
Пусть АВ =2, СВ=3, АС—
= CD = AD; обозначим BD=y,
угол АВС — х (см. черт. 80),
причем 0 < х < 2v.
Будем стремиться выразить величину у через х.
Из А АВС найдем АС: АС = V 13— 12cos*.
Проведем BF ± AC; BE ± AC; EK = BF и EK || BF,
тогда ВК = FE.
Из A BDK. найдем у: у = У DK2 +
Из A ADC найдем DE: DE =	1^-»
76
Из Д ABF найдем- SF: BF = - Б?---,
ли
Тогда DK =	
Из Л ABF найдем AF:
AF =	- /4—12е©5х4-9е®^х =-2'12~<?cosx|-
Тогда Ж=£Г=у-г'1 ?	~ —- 4^.‘ де ЗЬо>*1»
Итак,.	1//12:sinx^g.r3^^^»5.1):
v \	£*/iks	f	ь'Лхь	]_
2	2
При 2 — 3cosx>0, или —1 <cosx<-y иапссо&у <
2
<х<2л — arc cos -у, будем иметь:
yt = V 13+ Гат (х — 30°).
Из этого выражения видно,, что у„эт будет npnsin (х—30”) =
= 1, т. е. при х= 120° и И™, = 5. причем- х = 120е при-
[2	2 1
arccos-x-; 2гс — arc cos-я- .
О J .
2	2
При 2 — 3cosx<0, или -y<cosx<lH— arc cos у С
2
< x < arccos-=, будем иметь:
yt = }/ 21 + 12 K3sin (х — 60°).
Из этого выражения видно, что у^ах будет при sin (х—60”)=
= 1, т. е. при х = 150е и ут„ «6,46, но х =150° не
Г	2	2
принадлежит промежутку —arccos-g-; arc cos-у и, зна-
чит, этот результат не является решением данной задачи
(это легко проверить построением),
Ответ. Наибольшее значение диагонали; равно 5.
2.	Найти наименьшее значение функции
у = У^+Фх+Т +	><х2—2х+1. + 1/х2—6х+9.
По определению арифметического корня, имеем:
у= |х + 2 |+ | х| + |х— 1| +(<х — а|.
77
Для исследования1 этой функции ее следует рассмот-
реть по промежуткам.
Для х<—2 у = — х — 2 — x-f- 1—jc4-3 — х = 2 —
— 4х; значит, на (—со; —2] у убывает и при х =— 2
jfata = Ю.
Для — 2<х<0 у = х-|-2 —х-Д 1 — х-Д 3—х = 6—
— 2х; на I— 2; 01, у — убывает и при х = 0 yaia = 6.
Для 0 < х < 1 z/ = x-f-2-f-x+l — х Д- 3 — х — 6; на
10; 1], у — постоянная, равная 6.
Для 1 < х < 3 у = х Д- 2 Д-х + х — 14-3 —х=2х Д-4;
на Ц; 3] у — возрастает и при х= 1, t/min = 6.
Для х > 3 р = х + 2-|-х4-х — 1+х — 3 = 4х — 2; на
13; со) у — возрастает при х = 3, r/min = 10.
Ответ. Наименьшее значение данной функции равно
6, причем это значение функция принимает на отрезке
[0; 1].
3.	Примеры к понятию предела.
. 4л — з
а)	у =--------, где п — натуральное число.
Для е = найти такое N, чтобы для всех л > N
имело место 14 — у <е.
Следовательно, решению подлежит неравенство:
I4-----—1< 10*-
После преобразования получим:
I — |<та, или—< та, или п>3-10*, значит, ДО=3« 10*.
I П |	10*	П IU*
2 у— 3
б)	у = —g—, где х — действительное число.
Для е = 0.0001 найти такое 8, чтобы из |х—41 <8
следовало бы | у — 11 < е.
Из | х — 4| < 8 следует, что 4 — 8 < х < 4 Д- 8.
Из | у — 11 < е следует, что | —у— — 11 < 0,0001, или
|2*	| <0,0001, или 2-| х—4| < 0,0005, или | х—4| <
<0,00025, т. е. 4 — 0,00025 < х < 4 4-0,00025.
78
Следовательно, если взять 8 = 0,00025, то выполняется
<0,0001 =е.
в)	у — 5х , где х — действительное число.
Показать, что для любого в > 0 существует такое М,
что для всех	| х | > М	выполняется неравенство
Подставляй вместо у, получим: | —| < «» или
|4Х~5х~4Ж|<е> или|^г|<е’ или 5^т<в,или|*|>
1 1 1 J 1
> -г---, т. е. х> -=— и х <------g—; значит, М = к—•
5 • е	5•е	5*е	5 • е
Например, если е = 0,00005, то М = 5,о(х)005~ = 4000.
4.	К вопросу Об ограниченности функций.
Показать, что функция y = 3sinx— 2cosx является
ограниченной. Для этого необходимо показать, что суще-
ствует такое число М > 0, что I3sinx— 2cosx|<Af.
По теореме 2 § 2 13sin х — 2cos х | < 13sin х | + 12cos х |<
<34-2 = 5, так как I sin х| < 1 и | cosx | < 1.
Если несколько преобразовать выражение функции, то
границу можно уточнить:
|sinx-f- 2(sinx— cosx)| = |sinх4- 2j/~2sin(45° — х)| <
< 1 4- 2j/~2 < 3,82.
Что данная функция ограничена — доказано. Вопрос же
о нахождении наименьшего числа М можно рассматривать
дальше, введением вспомогательного угла.
|3sinx — 2cosx| = 3|sinx---|-cosx| =
= 31 sin x — tg <p cosx| = 3 • | sincoS~V) | </13,..
2	3
где tg <p = —, тогда | cos <p | = -==.
'	V	jf 13
5.	Найти период функции у = | sinx|.
Пусть I — период, тогда | sin (х 4-I) | = | sin х I, отсюда
sin(x4-0=± |sinx|, или
79
sin (x 4- /) =
sinx,
— sin x = sin (— x),
— sinx — sin (— x),
— sin (— x) = sin x,
если 2&тс < x < те 4~ 2kn,
если 2kn 4- « < < 2те 4- 2Лте,
если 2kn < x < я 4- 2kn,
если 2kn 4- ft < < £те + 2£ft,
т e sinfx4-A — I sinx' где * —любое,
т. e. sin (x +1) -1 sin x) r де x _ любое
Откуда равенство sin (x 4- /) = sin x дает I = 2kv,
равенство sin (x + /) = sin (— x) дает I = те 4- 2£те, t. e.
наименьший и положительный период при k = 0 /0 = те.
(Это наглядно подтверждает график черт. 35.)
6.	Доказать неравенство;
| У a} + а> + ... + al - Vbl + b} 4- ... 4- Ы | <
< I — b,| +1 аг — 6,1 + ... + |оя — bn I’
Левую часть данного неравенства домножим и разделим
на сумму этих радикалов, тогда
| У al + а, 4- ... + al — ]/ b J 4* &2 + • • • 4* bl | =
|^ + а|4-- + ^-(^ + <>1 + - + ^)|
И °1 + а2 + - + ап + Ь1 + Ьг + - + Ьп
1Н-^) + (4~ь1)+^- + (ап-^1
И а1 + °1+ - + ап+^ ^1+62 + +t>l
< 1^-^1 + 1^-^| + - + |апг-<>пг1
Г~al + al+... + a* +	+ + ... +
= la —b I •	 - - °i + 6i,	.......
’	* V + al+... + a%+V %+%+...+ Ь*
।	-|_ I д Ь | •	апЛ-Ьп	__
П П ]/а*+^+-Ч-ал2+^ bl + b}+ .„ + <>*
•< | а, — frj 4* 1а« — bt 14- ... 4- lan — b„ |,
что и требовалось, так как
______________I 4- I _____________।
yal + al+... + at + l^l + bl + .. +b> "
где k — 1, 2, 3...........n.
7.	Упростить выражение:
80
[Ух»+1 —Ух* —11*
если x =
yf &
У, 2mn ’
где m =£ n и mn > 0.
(tn — n)a
2/кя *
ma4-«a .
2mn *
X2 + 1 =
И + д)а
2/nn
И X2 — 1 =
| /п4-п|	|m — У 2тп	У 2тп 1ОТ + М । 1”— ~ у 2тп -и У 2тп	2 ~ [lm »1—1	л 11а ~ Ь «+«1+1»»—«11
___ 2 (m2 + n2) — 2-1 ma — n21
~ 2(ma4-na)+2-|m»—л2|’
m2 4- na — ma 4-» na _ n2
Г0 ma + na + m2 — n2 ~ m2 ‘
ma 4- na — na 4- m2 _ tn2
m2 4- n2 4- n2 — m2 n2 *
Если m2 > n2,
Если m2 < n2,
n2	nft
Ответ. при |/n[ >|n] и если |m| < |n|.
8.	Найти функцию, обратную функции у = | х | 4- 2,
где х > 0, и установить область определения новой функ-
ции.
Для х > 0 у = х + 2, тогда х — у — 2, где у > 2,
так как х > 0.
Функция у = х — 2, где х > 2, будет обратной данной,
с областью определения х > 2,
или | у | = х — 2, где у > 0.
Известно, что графики дан-
ной и обратной функций сим-
метричны относительно биссек-
трисы первого координатного
угла.
Графическая иллю-
страция данной задачи.
а)	Строим график функции
у=I х |4-2 для х>0 (см. черт. 81).
б)	Проводим биссектрису (прямую у — х) и строим
график, симметричный построенному относительно этой
биссектрисы.
Получим прямую у = х — 2 для х>2 (см. черт. 81).
81
Упражнения 34. Найти наименьшее значение и наиболь-
шее значение функции
а)	у = |х + 11 +1 х — 11 -f-1 х — 4| на [— 2; 5];
б)	у = || х — 2| — 1| -2 на [-1; 4];
в)	# = 21*1-2 на [—2; 3];
г)	у = 22-1*1 на (—3; 1];
Д) У = I log,(x 4-1)| на [-1-;
х „ I sin Зх «I . Г я к 1
е> » = |^т-1|-1 на [—; т}
35.	а) Для у = —-— найти такое число k, чтобы для
всех | х | > k выполнялось неравенство | у — 21 <
6)	=
Для s = -[(jir найти такое 6 > 0, чтобы из
|х — 11 <6 следовало |у — 21<а.
.	Зл-1-1
в)	у = —, где « — натуральное.
Найти N такое, чтобы для всех n>N выпол-
нялось 1у — 31 <
36.	Показать, что следующие функции ограниченные.
a)	у = 5sin х 4~ 3cos х;
б)	у = sinx — 2cosx;
п\ у  IX |  n | x 2| to IX -* 31
’ B' У - ~ + 2 x“2 + d x-3 *
37.	Доказать неравенство:
]/а, 4-я* 4“ ••• 4- an < I«il +1я»| 4~ ••• + l^e|.
38.	Будут ли уравнения равносильны:
a)	lgxa = О и 21g | х | = 0;
б)	х2 4- 6х = 0 и 12х — 71 — 14х4-51 = 2;
в)	Xs — 6х 4- 8 = 0 и 11 — х|—1х — 21—|х — 3|=0.
39.	Найти функцию, обратную данной, и установить
область определения.
82
' а) у = 2 • |x| — 2,
6) t/ = 2 • |x| — x,
.	• |x| — 2
в) «/ = -^3-’
если x < 0.
если x < 0.
если х 0.
40.	Вершины А и В квадрата ABCD находятся на
разных окружностях, с общим центром и радиусами 3
и 4. Найти наибольшее и наименьшее расстояние от цент»
ра окружностей до центра квадрата.
41.	Написать уравнение квадрата со стороной а, если
диагонали его совпадают с осями координат.
42.	Найти геометрическое место точек, одинаково уда-
ленных от трех данных прямых, если две из них парал-
лельны и расстояние между ними К, а третья перпенди-
кулярна первым двум.
ОТВЕТЫ.
	^-5;^=Ь    	у а	)-->»	..	»/ 1 5 Черт. 82.
2.	— 2 < х < 4. -	—►х ' -2, ♦ Черт. 83.
&	— 7 < х < 3 . ~7	3	Г * Черт. 84.
4.	х > 6 и х < —2. -2	1	-^х Черт. 85.
5.	х > 4 и х < 2 2	4 • Черт. 86.
6.	1,999 < х < 2,001.	। ; — 2 Черт. 87.
84,
7. — 2 < х < 5.
Черт. 88.	\
8.	Окружность с центром в начале координат к радиусом 2
(черт. 89).
9.	Точки круга и окружности с центром в начале координат и
радиусом, равным 3 (черт. 90).
10.	Две концентрические окружности с центром в начале коор-
динат и радиусами I и 5 (черт. 91).
И. Точки кольца между окружностями и точки этих окружно-
стей, центры которых в начале координат, а радиусы равны 5 и 17
(черт. 92).
12.	Точно то же, что и № И, только радиусы окружностей рав-
ны 2 в 6 (черт. 93).
Г <7	' 12 VX Черт. 89.	' Уч Черт. 91. « 	1 Черт. 90 Ун Черт. 92. «к- /
13.	a) — 1 < x < 4, но x 1. б) — 1 < x < 3, но х =£ 1. в) — 1 <
< х < 3, но х 1 и 2.
. те kit
14.	а) 0, 2, 1, 3. б) 3 и 7. в) ± (- 1)*.	+
16.	a) ft = 0; ft == 90° (черт. 94). б) ft = 45°; ft = 135° (черт. 95).
в) ft — 45°; ft = 315° (черт. 96).
Черт. 97.
Черт. 98.
86
17.	a) 3; 7 (черт. 97). б) 4; 6 (черт 98). в) 0 и 26 (черт. 99).
18.	а) Внутренняя область кольца, центр которого в начале коор-
динат, с радиусами 2 и 4.
б)	Точки круга и окружности с центром в начале координат
и радиусом, равным 1, кроме точки (0; 0).
в)	Полуплоскость, исходящая из медиатрисы точек гг и %
содержащая точку гь и точки этой медиатрисы.
г)	Тб же геометрическое место точек, но содержащее точку
га. •
д)	Точки окружности с центром в точке (—0, 8; 9, 6) и ра-
диусом, равным 4..
19.	= 3,4 + 12,8/ и z2 = — 4,6 + 12,8/
20.	(См. черт. 100.)
67

21. (См .’черт. 101.)
22. (См. черт. 102.)
88
89

Ж) '	\	з)
У I.	1/1
«Л I	х;
У ‘
Черт. 404.
)
25. (См. черт. 105.)
91

26. (См. черт. 106.)


94


Черт. 109.
— 1
30. а) 4 и — 2; ф 1 < х < 2; в> 2, 3 и 4; г) ——Д) 15
3	2	ь тс kn	тс
е) — -у, ж) 0; з) 0; и) ± (— 1)*.	+ "у! к) — ~ + 2Лгс <
< х < -у + 2Лч; л) 0; ± 2; —-1 ±]/~5; м) ± 6', н) х < — 2 и х > 2.
3!. а, ггде
«’ - '+»'• г» { ° 1:
в._д + (Л.ГК{-2<«<3_х—
96
г) Zj -4; ^ = — 4 ,
2	i
д) zi.s == ± 1; zs,4 “ ± у и ze,j = ± -у-;
УТ—1	1—УТ
«) 2t —	: 2-• < и г, =---2----. i
32. а) х < 1; фх<-|~нх>12;в) 1	< х <	у***-.
- 1 -1<15	— 1 +V15
г) ---------< х <-----g----• д) х < 0. но х — 1 и — 2;
2	4
е) — 3 < х < 3-у; ж) < х < 8; з) kit < х < те + far, и) внутрен-
няя область квадрата ABCD, где А (0; — 2); В (3; 4); С (0; 4) и
D(—3; 1): к) заштрихованная область, см. черт. ПО; л) заштрихован-
ная область, см. черт. -s ......
Черт. 1Щ
Черт. 1Ц
«о ( 1 л 1 \ L *	1W 1 л 1 \ I ' л 1 1 \
33.	а) ^2, “22j; (2 2: ~ 2/;	2’2У/’(“2 2’ 2/
б)	(1; 3); (3; 1); (—3; -1); (—Т: -3);
2	4
в)	х = 6у;	—5у;
г)	(у; — у); (~3у. 3-1
97


д—з) см. заштрихованную часть на чертеже 112.
Черт. 112.
34.	а) аШах — П» Ут1п — 5’, б) {/max —*0» Упйй —	2 При} В) {/mln**
х = 1и 3.
s *4^’ Утах ~ 2‘, г) {/max — 4; {/min = у ♦ Д) Утах. ~ 2; {/min — Ф
е) Утах — — I; Уткх =*—3.
2
35.	a) k = 10*; б) & = у^;. в) = 10*
36.	a). |5sinx + 3cosx|<>^34; б) | sinx—-2cosx|<Vr5T в) |#|<6.
X	X
39.	а) у = — у — 1 для х > — 2; б) у = — у, где х > 0; в) {/=»
2
= Зх 4- 2, где х > — у
/т
40> Наибольшее расстояние 7 •—g—» наименьшее.— —у—
a V~2
41. |х| + |у|«——•
42. Две точки! координаты которых удовлетворяют системе
/ I* 1 = 1у1	„ л L k. k\
l 11Н = |Л-У|.	' \* 2’ 2/' '
если ось х-ов совпадает с одной из параллельных, а 1 ось у-ов
с третьей прямой.
СОДЕРЖАНИЕ
Абсолютная величина в курсе средней школы .•••••••	3
§ 1.	Определения ............................................ 5
§ 2.	Простейшие операции над абсолютными величинами ...	11
§ 3.	Графики функций, аналитическое выражение которых
содержит знак абсолютной величины ............... 22
1.	График функции y — f\x\................ .	—
2.	График функции у = [ f (х) |......................... 28
3.	График функции y = |f|x||. ............	32
4.	График функции | у | = f (х) .............	33
5.	График функции | у | = | f (х) |.......  .	36
6.	Графики простейших функций, заданных явно ....	37
7.	Графики простейших функций, заданных неявно ...	48
§ 4.	Уравнения ............................................  52
1.	Уравнения	вида	| f (х) | = а	........................  —
2.	Уравнения	вида	f | х | = а .........................  53
3.	Уравнения	вида	| f (х) | == <р (х)	..........	.	.	54
4.	Уравнения	вида	| ^х+ br |±	...	± | knx +	bn | = а	...	58
5.	Решение некоторых простейших частных примеров урав-
нений в области комплексных чисел............. 63
§ 5.	Неравенства . ..........................................65
1.	Неравенства с одним неизвестным	—
2.	Неравенства с двумя неизвестными	• •,•••...	69
§ 6.	Системы уравнений и неравенств.......................   72
§ 7.	Некоторые другие вопросы, при решении которых исполь-
зуется понятие абсолютной величины .........	76
Ответы  .....................• • • • •...................... 84
Иван Иванович Гайдуков
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
Редактор Г. С, Уманский
Художник Г. С. Богачев
Художественный редактор Л. Н. Сивков
Технический редактор Г. Л. Татура
Корректор О. М. Суздалова
* * *
Сдано в набор 3/VII 1963 г. Подписано к
печати 4/XI 1963 г. 84X108V32. Печ. л. 6,25
(5,13). Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 60.000 экз. Тем.
план 1964 г. № 357.
♦ » ♦
Издательство «Просвещение»
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полиграфкомбинат им. Якуба Коласа
Государственного комитета Совета
Министров БССР по печати.
Минск, Красная, 23.
Заказ № 2008.
Цена 10 коп.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA