/
Текст
bj
£
1
А. ЛЕБЕГ
ОБ ИЗМЕРЕНИИ
ВЕЛИЧИН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Перевод с французского О. И. Кисловской-Карской
под редакцией И. М. ЯГ ЛОМА
с предисловием А. И. КОЛМОГОРОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1960
Monographies de 1’Enseignement math6matique
№ 1
HENRI LEBESGUE
LA MESURE
DES GRANDEURS
Institut de Mathematiques
Universite, Geneve
Imprimerie A. Kundig
Genfcve
Книга посвящена основным понятиям длины, площади, объема и
связанным с этими понятиями вопросам преподавания элементарной
математики. В конце книги рассматривается также общее понятие
измеримой величины и обсуждаются понятия производной и интеграла
(последнее — сразу для пространства п измерений). Педагогические
соображения автора обладают свежестью и глубиной и могут оказать
значительное воспитывающее действие на педагога, которому они адре-
сованы. Книга местами довольно трудна, что объясняется не столько
сложностью материала, сколько манерой изложения автора.
ОТ РЕДАКТОРА
Эта книга принадлежит перу одного из замечательных мате-
матиков XX века Анри Лебега (1875—1941). Надо сказать, что
французские математики традиционно проявляют куда больше
интереса к вопросам преподавания чем, скажем, английские или
(увы!) русские ученые. Возможно, что это связано с тем, что
почти все видные французские математики старшего поколения
прошли и через преподавание в колледжах (средних школах)
и через преподавание в знаменитой Высшей Нормальной Школе
(Ecole normale sup^rieure) — парижском педагогическом институте;
быть может, здесь сказывается также пресловутая гальская
живость и другие черты французского характера. При этом,
если педагогический темперамент послевоенного поколения фран-
цузских ученых обращен в первую очередь в сторону полной
перестройки преподавания математики в университетах — дело,
осуществляемое знаменитым „Никола Бурбаки" с завидной
страстностью и немалым талантом1, то их учителя не гнушались
и вопросами школьной подготовки. Академик Жак Адамар напи-
сал обширный курс элементарной геометрии, выдержавший массу
изданий у себя на родине и уже немало изданий и у нас2 *; ака-
демик Эмиль Борель опубликовал целый ряд интересных школь-
ных учебников8; академик Анри Лебег написал несколько книг,
прямо рассчитанных на будущих преподавателей математики4 * *,
и много статей педагогического содержания, самыми инте-
1 О деятельности обширной и авторитетной группы французских матема-
тиков, пишущих под общим псевдонимом Никола Бурбаки, можно прочесть,
например, в статье американского математика П. Р. Ха л моша Николай
Бурбаки, сборник „Математическое просвещение", вып. 5, М., 1960, стр. 229—239.
2 Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. I, М., 1936; М., 1938; М., 1948;
М., 1957 (последние два издания — с полным решением всех имеющихся в тексте
задач); ч. II, М., 1938; М., 1952; М., 1958 (последние два издания — неполные, с
приложением решений задач).
8 На русском языке: Э. Борель, Арифметика, М., ИНО и М.-Пгр.,
1923—1924; Элементарная математика I, Арифметика и алгебра, Одесса, 1911 и
Одесса, 1923; Элементарная математика II, Геометрия, Одесса, 1912 и Одесса,
1922; Тригонометрия, М., 1909. (О педагогических взглядах и деятельности
Э. Бореля можно прочитать, например, в предисловии Я. С. Дубнова к статье
Э. Б о р е л ь, Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки,
сборник „Математическое просвещение", вып. 3, М., 1958, стр. 89—91.)
4 Например, Н. Lebesgue, Lemons sur les constructions geometrieques
(Лекции о геометрических построениях), Paris, 1950; Les coniques (Конические
сечения), Paris, 1942.
5
ресными из которых являются статьи об измерении длин, площа-
дей и объемов, составляющие в совокупности настоящую книгу.
Важность темы этой книги для настоящего или будущего
учителя математики не подлежит сомнению — вопросы измере-
ния величин являются одними из самых принципиальных в школь-
ном курсе геометрии и притом одними из самых трудных для
учащихся. И ни в одном другом пункте школьной программы
мы не встречаемся с таким большим числом неправильных пред-
ставлений и утвердившихся методических несообразностей, как
при изложении этой темы. Уничтожающая критика этих несооб-
разностей и составляет самую сильную сторону книги Лебега—•
достаточно указать хотя бы на знаменитую „тарарабумбию круга®
(стр. 80), камня на камне не оставляющую от всего здания
.теории измерения площадей криволинейных фигур®, построен-
ного традиционной методикой. Меньшей четкостью отличается
положительная программа автора — часто довольно, расплывча-
тая и далеко не всегда бесспорная; трудно признать, например,
достаточно убедительной аргументацию Лебега, заставляющую
его в вопросе об измерении объема тетраэдра отдать предпоч-
тение „чертовой лестнице® перед использованием интегрального
исчисления. Но эта книга и не претендует на указание каких-то
„самых лучших® путей изложения материала в школе. Цель ее
заключается в ином — научить преподавателя критически отно-
ситься к вопросам изложения материала, размышлять и о науч-
ной и о методической стороне излагаемых теорий. Книга Лебега
представляет собой превосходный образец вдумчивого отноше-
ния к вопросам преподавания математики — и читатель, внима-
тельно проработавший эту не очень легкую книгу, будет пол-
ностью вознагражден за потраченные усилия.
Первое русское издание книги Лебега вышло в свет еще
в 1938 г.—почти за 20 лет до того, как статьи Лебега были
изданы отдельной книгой во Франции и в Швейцарии. Это из-
дание предварялось содержательной вступительной статьей
А. Н. Колмогорова, сохраненной и в настоящем издании. В но-
вом издании пересмотрен и значительно переработан старый
перевод книги, содержавший ранее ряд неточностей и прямых
ошибок; увеличено также число чертежей, полностью отсутст-
вовавших у автора. Книга снабжена небольшим числом подстроч-
ных примечаний редактора (отмеченных звездочками в отличие
от нумерованных сносок автора), призванных облегчить ее чте-
ние; в этих примечаниях, в частности, даны ссылки на иную
доступную читателям книги литературу, относящуюся к вопросам
измерения величин.
И. Яглоя
ПРЕДИСЛОВИЕ
1. В начальной и средней школе, так же как и в историче-
ском процессе развития человеческих знаний, число имеет две
основные функции: натуральное (целое положительное) число
является орудием счета предметов, рациональное и действи-
тельное число — орудием измерения величин. С этой точки
зрения нет столь глубокого различия между рациональными и
иррациональными действительными числами. Из педагогиче-
ских соображений надолго задерживаются на рациональных чис-
лах, так как их легко записать в форме дробей; однако то
употребление, которое им с самого начала придается, должно
было бы сразу привести к действительным числам во всей их
общности *.
Конечно, практические' измерения производятся всегда лишь
с конечной степенью точности, и, для того чтобы прийти к по-
ложительному утверждению иррациональности какого-либо отно-
шения (например, диагонали квадрата к его стороне), надо
подняться на более высокую ступень абстракции, чем та, кото-
рая соответствует наивному приближенному измерению величин.
Однако уже на первых шагах наивного измерения возможность
выразить отношение двух величин отношением двух целых чисел
является случайным обстоятельством: при заданной точности это
можно сделать очень многими, примерно равноценными спосо-
бами. Так, измеряя отношение длины окружности к диаметру
с точностью до iq-^qq , мы могли бы колебаться между выра-
жениями
333 355 688 0
106’ 113’ 219’
лишь более точные измерения показали бы нам, что второе из
этих выражений много лучше, чем два других.
1 Во всем дальнейшем, в соответствии с содержанием книги Лебега, мы
оставляем в стороне вопрос об отрицательных числах, вопрос гораздо более
легкий и с педагогической, и с философской стороны, чем вопрос о действи-
тельных числах, хотя бы и только положительных.
7
Часто стараются создать иллюзию непосредственного пере-
хода от целых чисел к дробным обращением к примерам, вроде
деления четырех яблок между тремя лицами. При этом умал-
чивают, что операция
(4 яблока):3= 1 — яблока
осмыслена лишь в том случае, если все четыре яблока одинако-
вой величины. „Одно яблоко" выступает здесь неизбежно как
единица меры объема или веса. Считать можно самые разно-
родные предметы: два чемодана и арбуз могут составлять три
предмета, взятые с собой в дорогу; но два чемодана и пол-ар-
буза не составляют 2 у предмета,—употребление дробных чи-
сел предполагает однородность как самих предметов, так и
их частей, т. е. по существу всегда связано с измерением ве-
личин.
В полном соответствии со сказанным выше находится то
обстоятельство, что натуральные числа и после создания более
широкой концепции действительного числа сохраняют всю свою
самостоятельность. Им посвящена обширная наука — теория
чисел со своими своеобразными проблемами. Рациональные же
числа, оставаясь важным частным случаем действительных чисел,
не дали повода к образованию отдельной ветви математики,
которая изучала бы их самих по себе \ Лишь вопросы прибли-
жения иррациональных чисел при помощи рациональных до
настоящего времени представляют собой живую область мате-
матических исследований.
Между тем очень распространено мнение, что наиболее
.научным" подходом к введению рациональных чисел является
подход со стороны произвольного расширения области целых
чисел для достижения неограниченной осуществимости действия
деления. Многие считают при этом, что полная строгость воз-
можна только, если вновь вводимые „пары чисел" пишутся в
необычной форме (а, 6), а не в виде обыкновенных вульгарных
дробей -у. Что касается последнего обстоятельства, мнимой
необходимости особого обозначения „пар" в виде (а, й), то это
просто результат недомыслия. Сама же концепция расширения
области чисел с точки зрения неограниченной осуществимости
действий очень почтенна и является лишь частным случаем
одного из основных способов образования новых понятий в сов-
ременной алгебре. Однако она становится вполне убедительной
только после доказательства единственности предлагаемого
1 В другом, чисто алгебраическом ряду развития, о котором будет сказано
далее, система рациональных чисел является лишь частным случаем общего
понятия алгебраического поля и включается в более обширное поле
алгебраических чисел.
8
метода расширения. Действительно, можно доказать1, что мини-
мальное алгебраическое поле, содержащее целые числа, изо-
морфно полю рациональных чисел. Вся эта концепция слишком
абстрактна не только для того, чтобы в явном виде препода-
ваться в средней школе, но и для того, чтобы служить опорой
для учителя в этом преподавании. Кроме того, надо ясно
понимать, что с этой, чисто алгебраической точки зрения, сле-
дующим этапом за введением рациональных чисел является
отнюдь не введение действительных чисел, а создание над ра-
циональными числами алгебраически замкнутого тела, т. е. вве-
дение алгебраических чисел. С точки зрения чистой алгебры нет
никаких оснований считать число УЦ-2 более простым, чем
число ]/*— 2, а число п вообще излишне.
В действительности, конечно, никто и не пытается излагать
в школе идеи современной абстрактной алгебры. Но часто уча-
щимся сообщают ошибочное утверждение, что подлинно научное
построение рациональных чисел не должно иметь ничего
общего с измерением величин. Часто говорят, что правила
действия над дробями есть лишь „удобные соглашения*1, сохра-
няющие неизменными законы действий.
Одна из основных задач книги Лебега состоит в том, чтобы
показать, что подход к построению рациональных и действитель-
ных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее
научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде
„пар*1. Для школы же он имеет несомненные преимущества.
Первым преимуществом является соответствие этого подхода
историческому развитию математики и имеющемуся у учащихся
повседневному опыту. Вторым же — то обстоятельство, что он
делает необходимым введение действительных чисел. Действи-
тельные числа появляются при этом в форме десятичных дро-
бей, т. е. в гораздо более осязаемой форме, чем „дедекиндов-
ские сечения**2 в системе рациональных чисел (которые сами
суть не что иное, как „пары" целых чисел).
Поэтому вполне прав Лебег, когда он в предлагаемых теперь
русскому читателю очерках после натуральных чисел перехо-
дит сразу к происхождению и логической природе действитель-
ных чи.сел. Прав он и тогда, когда утверждает, что с педагоги-
ческой стороны для школы существует одна нераздельная
1 См. например, Б. Л. Ван-дер-Варден, Современная алгебра, т. I,
§ 13, М.—Л., 1947.
2 С, общей точки зрения введения непрерывности в любых порядковых
типах дедекиндовские сечения имеют неоспоримое преимущество. Но даже и
в курсе анализа в университетах обращение к определению действительного
числа бесконечной десятичной дробью многие считают наиболее целесообраз-
ным. Оно позволяет с очень небольшой затратой труда в течение первого
семестра университетского преподавания внести в изложение анализа полную
ясность, не откладывая «строгое обоснование теории действительных чисел»
до более позднего времени.
9
задача — привести к возможно более ясному пониманию концеп-
ции действительного числа1 2. Мне хочется подчеркнуть здесь
важность этой общей установки, так как в изложении самого
Лебега она связана с более спорным предложением о сокраще-
нии изучения в школе простых дробей.
2. В чем же основной интерес книги Лебега? Мне кажется,
в следующем: у математиков существует склонность, уже вла-
дея законченной математической теорией, стыдиться ее проис-
хождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития
теории, начиная с уже готовых ее основных понятий и допуще-
ний, кажется грязным, и неприятным занятием копаться в про-
исхождении этих основных понятий и допущений. Все здание
школьной алгебры и весь математический анализ® могут быть
воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого
упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей,
промежутков времени и т. д.). Поэтому на разных ступенях
обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется
одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с вве-
дением чисел* и дальше уже говорить только о числах и
соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует
Лебег.
Что общепринятая система с педагогической стороны дефектна,
видно хотя бы из тех трудностей, которые затем возникают
при усвоении учащимися независимости смысла геометрических
и физических формул от выбора единиц измерения и понятия
„размерности*1 геометрических и физических формул.
Дело, однако, не в отдельных дефектах, а в том, что отрыв
в школьном преподавании математических понятий от их проис-
хождения приводит к полной беспринципности и логической
дефектности курса. Лебег прав, когда утверждает, что, напри-
мер, старые учебники, считавшие понятие площади чем-то ясным
и само собой разумеющимся, стояли выше, чем некоторые со-
временные, которые предлагают „условиться*1 называть площадью
круга такой-то предел. Создание на почве выкристаллизовав-
шихся из практики понятий формальных определений на своем
месте имеет смысл, но трлько тогда, когда это будут общие
1 Введение комплексных чисел в последнем классе средней школы осу-
ществляется уже без большого труда, если с действительными числами достиг-
нута достаточная ясность.
2 „Алгебра", преподающаяся в средней школе, с ее приближенным извле-
чением корней, логарифмами и т. д. едва ли не в большей степени является
первой главой анализа (или введения в анализ), чем собственно чистой алгебры.
Если современным алгебраистам удается убедитьвсех в необходимости пони-
мать слово „алгебра" в угодном им и логически вполне обоснованном, но
совершенно не соответствующем школьной традиции смысле, то придется
поднять вопрос о переименовании того предмета, который сейчас преподается
в средней школе под названием алгебры.
10
определения общих понятий. Имеет смысл дать' формальное
определение площади вообще, вывести из этого определения
общие свойства площадей и доказать, Что в применении к кругу
общее определение приводит к такому-то результату. Но бес-
смысленно «уславливаться», что понимать под площадью отдель-
ных фигур, так как причина выбора именно этих «соглашений»
остается не раскрытой.
Поднимаясь к современным исследованиям о понятии длины
кривой, площади поверхности и интеграла, Лебег показывает,
как уже в чисто научной области забвение реального происхож-
дения понятий может сбить с пути исследователя. На примере
своих собственных открытий Лебег старается показать, как тесно
они связаны с анализом реальных процессов измерения. Таким
образом, в центре внимания на протяжении всей книги Лебега
стоит борьба за возвращение математическим понятиям их пер-
воначального материального содержания. В этой борьбе я и вижу
основной интерес книги Лебега.
Отмечу здесь же ’, что, на мой взгляд, прзиция Лебега стра-
дает двумя дефектами. Лебег, мне кажется, недооценивает
самостоятельности математики, того, что математика изучает
материальный мир с особой точки зрения, что ее непосредст-
венным объектом являются пространственные
формы и количественные отношения действитель-
ного мира. Сами эти-формы и отношения в их чистом виде,
а не конкретные материальные тела являются той реальностью,
которая изучается математикой* *. Отказывая в реальности этим
формам и отношениям, Лебег, казалось бы, ведет борьбу с пла-
тонизмом и его особым миром „идей*. В действительности это
недиалектическое упрощение основного, совершенно правиль-
ного тезиса о том, что математика изучает материальный мир,
естественно приводит Лебега ко второй ошибке, прямо проти-
воположного свойства, и, вопреки его собственным исходным
тенденциям, в конечном счете — к объявлению предметом изуче-
ния математики лишь „метафизически* осуществимых бесконеч-
ных последовательностей символа (п. 55). Результат поистине
неожиданный!
Точка зрения Лебега на измерение величин, на целые и дейст-
вительные числа и его трактовка упомянутого выше вопроса
о размерности величин станут достаточно ясными читателю,
прочитавшему главы I, II, III, IV и VI. Менее подготовленному
читателю можно посоветовать прочесть именно эти главы (про-
пустив главу V) и затем (пропустив главу VII) сразу заключе-
ние (главу VIII).
С другой стороны, можно представить себе читателя (более
подготовленного), которого заинтересуют по преимуществу гла-
1 См. подробнее п. 3 и 4 моего предисловия.
* Ср. Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., 1953.
И
вы V, VI и VII (глава VI входит, таким образом, й обе группы).
Здесь та же основная тенденция — выяснение реального проис-
хождения математических понятий — проведена на материале
понятий длины кривой, площади поверхности и интеграла, при-
надлежащих в своем полном объеме дифференциальной геометрии
и анализу.
Особенно остро стоит вопрос о понятии площади поверх-
ности. В элементарной геометрии, кроме площадей поверхностей
цилиндра и конуса, для которых общая проблема может быть
обойдена развертыванием на плоскость, „вычисляется" площадь
поверхности шара. Вычисление это, однако, не имеет определен-
ного смысла, пока само понятие площади поверхности не опре-
делено. Далеко не всем известно, что дело вовсе не в затруд-
нительности привести такое определение в школьном учебнике,
а в том, что корректное элементарно-геометрическое определение
площади поверхности, пригодное хотя бы в простейших случаях,
вообще было найдено лишь к концу XIX века и излагается
лишь в специальных мемуарах. В учебниках анализа и дифферен-
циальной геометрии площадь поверхности определяется как
интеграл
J= J +
Обычные „доказательства" того, что этот интеграл действи-
тельно выражает площадь поверхности, не выдерживают кри-
тики по той причине, что нельзя доказать равенство интеграла
площади поверхности, не определив сначала, что такое площадь.
Это обстоятельство является уже подлинным скандалом для
общепринятого изложения дифференциальной геометрии. Надо
надеяться, что книга Лебега окажет влияние на содержание соот-
ветствующих глав университетских учебников.
Было бы ошибкой думать, что читатель получит из изложе-
ния Лебега окончательные, правильные ответы на все философ-
ские и педагогические вопросы, возникающие в связи с измере-
нием величин, теорией действительных чисел, определением
длины кривой, площади поверхности и интеграла. Критике
философских и педагогических установок Лебега посвящены два
следующих пункта моего предисловия. Но во всяком случае
Лебег доставляет читателю богатый материал для того, чтобы
самому разобраться во всех этих вопросах.
Кончая обзор конкретного содержания книги Лебега, укажу
еще, что в ней рассыпано немало отдельных остроумных заме-
чаний и оригинальных способов доказательств (например, дока-
зательство независимости определения площади от выбора
системы координат в п. 29). Поэтому можно думать, что удо-
вольствие от непосредственного общения с таким первоклассным
математическим умом, каким является Лебег, с лихвой искупит
для достаточно подготовленного читателя некоторую растрепан-
ность изложения, переходящего прихотливым и внезапным обра-
12
зом от непринужденной, пространной болтовни к необычайной
краткости формулировок. В частности, все формулировки с,
бесконечно малыми и пределами, будучи по существу точными,
рассчитаны на читателя, который самостоятельно умеет перево-
дить их на язык е и 8.
Все сказанное делает понятным, что книга Лебега не должна
рассматриваться как учебное пособие при прохождении какого-
либо определенного курса, а является лишь интересным мате-
риалом для знакомства с идеями одного из замечательных
математиков современности и для дальнейших самостоятельных
размышлений читателя.
3. Лебег всячески старается отгородиться от философии
вообще, а в особенности от „метафизики". Беру слово „метафи-
зика" в кавычках, так как Лебег употребляет его без большого
разбора. Как это обычно бывает, такое отгораживание является
лишь своеобразным способом настойчивого проведения и отстаива-
ния вполне определенной философской позиции.
Положительной стороной этой позиции является признание
Лебегом материалистического положения о неразрывности теории
и практики, познания и деятельности. Положение это прини-
мается Лебегом как в его историческом аспекте (все развитие
математики определяется предъявляемыми к ней требованиями
практики), так и в логическом аспекте (математические предложе-
ния являются концентратом нашего опыта, относящегося к* дей-
ствительному миру, руководящим нашей дальнейшей практиче-
ской деятельностью, а не относятся к особому миру идеальных
математических сущностей или не являются продуктом свобод-
ного творчества нашего духа).
Отсюда вполне последовательно вытекает у Лебега борьба
с условностью математических определений, с теориями, ос-
новывающими математику на „произвольных соглашениях". Ни в
коей мере не отрицая законности и важности аксиоматического
метода, Лебег прямо заявляет, что он не принимает „свободы
определений", что, по его мнению бывают хорошие и плохие
определения. Хорошими, по Лебегу, являются те определения,
которые правильно отражают большой запас опыта,, относящегося
к действительному, материальному миру. Лебег настаивает при
этом, что нельзя продуктивно заниматься математикой, забыв
о ее происхождении: анализ первичных данных опыта вновь и
вновь оказывается необходимым для продуктивного направления
дальнейших исследований. Особенно интересно у Лебега стрем-
ление действительно перестроить формальное изложение матема-
тики так, чтобы оно соответствовало естественному развитию
реального, прикладного смысла понятий. Эта тенденция несом-
ненно вполне соединима с полной строгостью формального изло-
жения, не принимающего других допущений, кроме явно фор-
мулированных аксиом. Последнее обстоятельство недостаточно
13
оттенено в книге Лебега: обобщение данных опыта у него нигде
не доводится до построения действительно исчерпывающей ак-
сиоматики.
Но за всеми этими несомненно материалистическими выска-
зываниями у Лебега стоит скептицизм субъективного идеалиста,
каким он все же является. -Забывая, что продуктивная практика
может быть основана лишь на действительном познании внеш-
него мира, он заявляет, что для него математика есть только
прикладная наука, что она не имеет никакого собственного пред-
мета изучения, а лишь суммирует приемы, при помощи которых
мы систематизируем наши наблюдения.
Даже в целых числах Лебег отказывается видеть что-либо
большее, чем просто слова (символы). Слова пять, fifty, fflnf, cinq
не предполагают, по Лебегу, за собой никакого общего пред-
мета, к которому они относятся. Число, отличное от обозначаю-
щего его слова, кажется Лебегу таинственной мистической сущ-
ностью, интересной лишь для „метафизикй", в которой математик
совершенно не нуждается. Правильно начиная с того, что поня-
тие числа возникает из операции счета и что числа отражают
действительные свойства пересчитываемых групп предметов, Ле-
бег уже совершенно неправильно продолжает: «для того чтобы
считать, употребляют некоторое собрание слов или фразу (один,
два, три, четыре, пять, ...); слова этой фразы и называются
числами*.
Точно так же действительные числа, в форме бесконечных
десятичных дробей, возникают, по Лебегу, из операции измерения
и являются не чем иным, как символами, которыми мы обозна-
чаем результат измерения. Но здесь уже сам Лебег замечает
непоследовательность своей точки зрения. Оказывается, несмотря
на все усилия, «метафизику* не удалось изгнать: «геометрическое
измерение начинается как физический процесс, но завершение
его имеет характер метафизический» (п. 55).
Так неизбежно чистый эмпиризм впадает в метафизику худ-
шего сорта: чистота его принципов все равно безнадежно уте-
ряна, а вместо убедительной и увлекательной идеи действитель-
ного числа получен лишь жалкий суррогат в виде бесконечной
строчки, состоящей из лишенных смысла значков!
Впрочем, на общем фоне основной тенденции книги — воспри-
нимать математику как действительное познание внешнего мира —
все это воспринимается как нарочитый маскарад. Зачем было бы
возиться с выяснением действительного происхождения матема-
тических понятий, если в результате будут получены не настоя-
щие общие понятия, однозначно отвечающие своему назначению,
а символические конструкции совершенно случайного характера?
4. Основной положительной педагогической идеей Лебега (не
говоря уже о единстве теории и практики) является возможность
полного единства преподавания математики на разных ступенях
14
обучения: одни и те же понятия, и в основном в одной и той же
форме, сначала воспринимаются наглядно на примерах, потом
формулируются более отчетливо и, наконец, подвергаются тон-
кому логическому анализу.
В применении к действительным числам для такого единого
изложения наиболее подходит точка зрения бесконечных деся-
тичных дробей. В начальной школе учащиеся знакомятся с опе-
рацией измерения, получают из нее конечные десятичные дроби
и изучают арифметические действия над десятичными дробями.
На примере периодических дробей, возникающих при делении,
уже забрасывается первая идея о том, что число может выра-
жаться и бесконечной дробью. В средней школе подробнее раз-
бирается вопрос о точности измерений, устанавливается взаимно
однозначное соответствие между точками полупрямой и беско-
нечными десятичными дробями, формулируется общее понятие
действительного числа, доказывается существование иррациональ-
ных чисел. В последнем классе средней школы или в высшей
школе проводится строгое логическое изложение, следующее
тем же самым общим линиям1.
Номинализм Лебега, т. е. нежелание видеть в абстрактных
математических понятиях ничего, кроме слов, вместе с утриро-
ванным практицизмом приводит его к спорному предложению
сократить место, занимаемое в школьном курсе простыми дро-
бями: если десятичные дроби являются не способом записи чисел,
а самими числами, то, конечно, введение простых дробей лишь
осложняет дело. Аналогичные соображения приводят Лебега
к серьезной методологической ошибке. Ему хорошо известно,
что соотношения между длинами, площадями и объемами, кото-
рыми интересуются в геометрии, не зависят от выбора единиц
измерения. Тем не менее он настаивает на том/ что геометриче-
ские величины суть не что иное, как числа, отнесенные к гео-
метрическим фигурам (глава VI). Лебег не только не хочет
из соображений „экономии мышления" рассмотреть геометриче-
ские величины сами по себе, до измерения определенной еди-
ницей меры, но и не может этого сделать. В самом деле, вы-
деляя (абстрагируя) общее, имеющееся у всех равновеликих
между собой плоских фигур, мы получаем понятие площади
в чистом виде. Но для,того чтобы обозначить различные пло-
1 Для понимания многих мест книги Лебега интересно знать следующее.
Французская средняя школа имеет шесть классов. В шестом (младшем), пятом
и четвертом классах заканчивается арифметика (изучаемая в начальной школе);
начиная с четвертого класса и до первого (старшего) изучается алгебра; па-
раллельно проходится геометрия и тригонометрия. Желающие поступить
в «большие школы» (эколь нормаль сюперьер, эко ль политехник и т. д.) после
первого класса проходят еще дополнительный «класс специальной матема-
тики», программы которого содержат ряд вопросов нашего университетского
курса. Окончанию класса математики соответствует степень бакалавра (полу*
чается по специальному экзамену). По окончании университета сдаются экза-
мены на степень лиценциата (licence).
15
щади определенными символами, надо выбрать единицу меры.
А без отнесения каждому предмету определенного символа сами
предметы для Лебега не существуют (так как они и являются
для Лебега лишь самыми этими символами).
Получается курьезное положение с самим заглавием книги:
книга посвящена измерению величин, действительные числа появ-
ляются в результате измерения величин, в конце же концов ока-
зывается, что сами величины суть не что иное, как отнесенные
к известным объектам действительные числа. Концепция главы VI
формально корректна: можно ввести сначала действительные
числа, как последовательность десятичных знаков, не упоминая
ничего об измерении величин, а после этого определить величины,
как это сделано в главе VI. Но это коренным образом противо-
речит задаче, которую поставил себе автор.
Мне представляется более удачным выходом собрать те об-
щие свойства длин, площадей и объемов, которые позволяют
выражать их при выбранной единице меры числами, и называть
„системой величин“ всякую совокупность объектов, обладающую
этими свойствами. Но это уже не что иное, как аксиоматический
метод, который не должен казаться скомпрометированным своей
связью с конвенционализмом (учением об условности математи-
ческих определений). Действительно, когда Гильберт в „Ос-
нованиях геометрии" предлагает называть „пространством" лю-
бую совокупность объектов и отношений, удовлетворяющую его
аксиомам, то вместе с Лебегом следует протестовать, если из
определения Гильберта делают заключение о произвольности
выбора объекта изучения в математике. Однако то же самое
определение Гильберта можно воспринимать совсем противопо-
ложным образом. Можно утверждать, что система аксиом, лежа-
щих в основе геометрии, является замечательным, концентриро-
ванным выражением результата наших усилий, направленных к
познанию действительности. Успех, заключающийся в ее созда-
нии, тем более замечателен, что она не только отражает с очень
большой точностью свойства окружающего нас пространства при
обычной интерпретации ее основных понятий (точек, прямых,
плоскостей и т. д.), но также хорошо приспособлена и для вы-
ражения совсем других закономерностей внешнего мира, при
других ее интерпретациях. Таким образом, абстрактная (аксиома-
тизированная) геометрия больше связана с действительностью,
чем геометрия в ее традиционной форме. Аксиоматический метод
может и должен являться методом выделения и закрепления для
дальнейшего отчетливого изучения тех общих форм (количествен-
ных и пространственных) действительного мира, изучение кото-
рых составляет предмет математики с точки зрения диалектиче-
ского материализма. Тогда естественно будет преодолен разрыв
между аксиоматизированной абстрактной математикой и живым
чувством действительности, на котором так настаивает Лебег.
А. Колмогоров.
ВВЕДЕНИЕ
Я приношу свою благодарность профессору Феру (Н. Fehr),
согласившемуся поместить в своем журнале * статьи, более
элементарные, чем обычно в нем печатают, и не имеющие другого
права на гостеприимство, кроме того, что имеют отношение к
математическому преподаванию. Я особенно обязан ему потому,
что эти статьи слишком велики сравнительно с их научным
содержанием; ведь в них излагаются не столько факты, сколько
мнения, требующие, во избежание недоразумений, аргументации
в свою пользу. Вот каким образом мне пришла в голову мысль
написать эти статьи.
С 1910 года я занимаюсь в обеих Ecoles normales sup6rieures**,
как мужской, так и женской, подготовкой будущих преподава-
телей средней школы. Один из моментов этой подготовки состоит
в изучении программ средней школы; я имел, таким образом,
повод задуматься над этими программами и увидеть места,
вызывающие обычно затруднения у молодых учителей. Я был
поражен, как часто повторяются одни и те же особенности и
недостатки. Знакомство с учебниками и с докладами испытатель-
ных комиссий, с одной стороны, дало мне возможность быть
в курсе всех тенденций современного преподавания, а с другой —
я мог судить о результатах преподавания за последние тридцать
лет по принимаемым мной экзаменам на степень бакалавра или
при поступлении в высшие школы. Вот почему нет ничего уди-
вительного в том, что мне пришла в голову мысль написать
статьи педагогического содержания, которые с опаской харак-
теризую таким образом, поскольку слова «педагогический» обычно
оказывается достаточно, чтобы отогнать математиков.
* Настоящая книга является собранием статей, помещенных в издающемся
в Швейцарии журнале «L’Enseignement mathematique» («Математическое пре-
подавание») за 1931—1935 годы (тт. 31—34); эти статьи были собраны и изданы
отдельной книгой, составившей первый выпуск серии «Монографий» журнала
«L’Enseignement mathematique», лишь в 1956 г. (Прим. перев.).„
** «Высшая нормальная школа» — крупнейший французский институт, го-
товящий педагогов, средних школ (расположен в Париже). В нормальной школе
преподавали буквально все видные французские математики первой половины
этого столетия; Лебег в этом отношении не представлял исключения.
17
На страницах «Математического преподавания» я займусь
рассмотрением измерения величин. Нет темы более важной:
измерение величин является исходным пунктом всех приложений
математики. Так как прикладная математика предшествовала,
очевидно, чистой, или логике математики, то обычно думают,
что начало измерения площадей и объемов лежит у самых истоков
геометрии; с другой стороны, измерение доставляет ч и с л о, т. е.
предмет изучения анализа. Таким образом, об измерении величин
говорят как в средних и старших классах средней школы, так
и в высшей школе. Мне кажется, что сопоставление того, что
делается на этих трех ступенях обучения, явится хорошим об-
разцом, который лучше послужит делу формирования будущих
учителей, чем то, что от них сейчас требуется: словесное щеголь-
ство отдельными уроками.
В своих статьях я буду стараться давать по возможности
более простое и конкретное изложение, без ущерба для логи-
ческой строгости. Эта тенденция может показаться несколько
архаичной в эпоху, когда абстракция укоренилась даже в прик-
ладных науках. Однако не нужно забывать, что те, которым мы
обязаны отвлеченной научной мыслью, могли, пребывая в аб-
стракции, заниматься тем не менее полезными вещами именно
потому, что они имели особенно обостренное чувство действи-
тельности. Это чувство как раз и нужно стараться пробудить
у молодежи. Только тогда, когда научатся в абстрактном видеть
конкретное, а в общей теории — по-настоящему полезные частные
случаи, переход к абстракции может принести нужные плоды.
В первых двух статьях, играющих роль вводных, я займусь
целыми числами, потом числами общими, необходимыми для
измерения величин. Переходя затем собственно к теме, я займусь
площадями, объемами и величинами вообще.
ГЛАВА I
СРАВНЕНИЕ СОВОКУПНОСТЕЙ, ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
1. Если маленькому ребенку предложить взять себе и двум
сестрам по конфете, то сначала он позаботится о себе, затем
отнесет конфету одной из своих сестер, затем вернется взять
еще одну конфету, чтобы отвести и ее. В более старшем воз-
расте он постарается избегнуть хождения взад и вперед: он
возьмет сразу три конфеты, говоря: для меня, для Луизы и для
Рэне.
- Естественно предположить (и наблюдения над некоторыми
первобытными племенами, как будто подтверждают эту гипотезу),
что аналогичным путем, ^сравнивая две коллекции предметов,
люди научились считать, т. е. сравнивать две разные сово-
купности с одной и той же типовой совокупностью, совокуп-
ностью слов некоторой фразы. Эти слова были названы чис-
лами. При счете или перечислении-мы мысленно связываем
каждый новый объект рассматриваемой совокупности с каждым
из следующих друг за другом слов нашей фразы (или после-
довательности чисел); последнее произнесенное число указывает
на число предметов в совокупности.
Это число рассматривается как итог экспериментальной
операции перечисления, так как оно является полным отче-
том о ней.
Одного экспериментальногб результата достаточно для того,
чтобы избавить нас от необходимости производить другие экспе-
рименты: правила четырех действий позволяют не совершать
операцию перечисления для тех совокупностей, которые мы мо-
жем образовать, исходя из исчисленных уже совокупностей.
При изложении этих правил констатируется ряд фактов, которые
обычно называют теоремами; однако то, что выдается за дока-
зательство этих теорем, является в действительности лишь их
экспериментальной проверкой (например, теорема: произведение
не зависит от порядка сомножителей). Все эти факты сводятся
к одному основному: число, отнесенное к совокупности, не за-
висит от порядка, в котором расположены во время счета пред-
меты совокупности.
19
2. Быть может, не бесполезно будет подчеркнуть, чем при-
веденное мной изложение отличается от изложений, обычно
встречаемых в курсах арифметики\ Возьмем курс Ж. Таннери
(J. Tannery)* *. Конечно, я нахожу в нем описание операции
счета и доказательства, сводящиеся к описанию эксперимен-
тов; несмотря на это, экспериментальное число является
здесь не чем иным, как использованием, как приложением
метафизической сущности, которую в некотором роде определяет
следующая фраза рассматриваемой книги: «идея целого числа вы-
текает с помощью абстракции из идеи совокупности различных
предметов; она независима от природы предметов...» Часто го-
ворят: «независима от природы и от порядка этих предметов».
Таким образом, число представляют как весьма таинствен-
ное существо, но чаще всего тут же спешат прибавить, что нет
ничего яснее и проще. «Уж много спорили и долго еще будут
спорить, — пишет П. Бутру в § 2 своих «Принципов матема-
тического анализа»**,—о происхождении и логическом значении
понятия числа. Хорошо еще, что это понятие принадлежит
к числу тех, которые не нуждаются в определениях и коммента-
риях. Начиная с той отдаленной эпохи, когда человечество на-
училось считать, число стало одним из тех основных данных,
над которым работает наша мысль, столь очевидным и привыч-
ным для нашего ума, что, желая его проанализировать, мы лишь
затемняем его. Вот почему арифметика могла быть воздвигнута
на словесных и неполных определениях, не переставая от этого
быть во все времена наукой, совершенной par excellence***.
Тому факту, что арифметика вообще могла быть создана,
проще дать, по моему мнению, объяснение, нежели говорить
вместе с П. Бутру, что этот факт вообще необъясним, — это
произошло потому, что мы обладаем полным определением
числа: описанием приводящей к нему операции. Но людям
понадобилось присовокупить к этому опытному определению
мистику и метафизику. Преподавание не занимается больше
мистикой; оно равнодушно к ней, представляя каждому свободу
судить, например, приносит ли число 13 .счастье или несчастье.
Однако то ли из уважения к традиции, то ли из боязни ка-
заться примитивным преподавание считается с метафизикой,
в то же время не пользуясь ей. Вот почему тот факт, что
понятия метафизики темны, мало влияет на успехи арифметики.
Установив это, я низко кланяюсь метафизике, но так как
1 Я оставляю в стороне то обстоятельство, что обычно в принятых изло-
жениях число с самого же начала выступает со своей количественной стороны»
в то время как я исхожу из числа порядкового. У меня число становится
количественным лишь тогда, когда высказывается утверждение, что полученный
результат не зависит от порядка, в котором был произведен счет предметов.
*Ж. Танпери, Курс теоретической и практической арифметики, М.,
1913.
** Р. Boutroux, Principes de Г Analyse mathematique, v. I, Paris, 1914.
*** В особенности, по преимуществу.
20
она требует досуга, а мы загружены работой, я остаюсь равно-
душным к ней и с полным правом отношу арифметику к опыт-
ным наукам.
3. Но что станется в таком случае с «математической досто-
верностью», столь привлекавшей к себе внимание философов
всех времен, если осталась лишь «прикладная математика». Ее
авторитет падает, и она становится лишь наименее сомнительной
из всех наших достоверностей. Арифметика, которую люди в
их стремлении к абсолюту сделали «наукой, совершенной par
excellence», становится лишь наименее несовершенной из наших
наук. Она по-человечески совершенна, так как на практике не
обманывает нас никогда. Не отсюда ли проистекает ее превос-
ходство?
Но прежде всего как происходит то, что мы так часто оши-
баемся, если уверены, что применяем опытные результаты? Это
потому, что границы такого результата не всегда хорошо извест-
ны. Когда мы говорим: натертая стеклянная палочка притяги-
вает к себе маленькие кусочки бумаги, то мы предполагаем
выполненным ряд подразумеваемых и малоизвестных условий:
предполагается уже известным, что такое стекло, бумага, что
имеют в виду под словом «тереть»; предполагаются данными
время, расстояния, массы, атмосферные условия и т. д.
Что же касается арифметики, то она пользуется лишь неболь-
шим числом опытов, каждый из которых был огромное число
раз повторен человеком с тех пор, как люди существуют. Таким
образом, мы знаем совершенно точно, в каких случаях арифме-
тика применима, в каких нет. В последнем случае мы и не пы-
таемся делать это. Мы так привыкли применять арифметику
лишь тогда, когда она применима, что забываем о существова-
нии таких случаев, когда она не применима.
Мы утверждаем, например, что два и два будет четыре.
Я наливаю две жидкости в один стакан и две жидкости —
в другой; затем сливаю все в один сосуд. Будет ли он содер-
жать четыре жидкости? «Это недобросовестно, ответите вы: это
не арифметический вопрос». Я сажаю в клетку пару животных,
затем еще одну пару; сколько животных будет в клетке? «Ваша
недобросовестность, скажете вы, еще более вопиюща, так как
ответ зависит от породы животных: может случиться, что один
зверь пожрет другого; нужно также знать, должно ли произво-
дить учет немедленно или через год, в течение которого живот-
ные могут издохнуть или дать приплод. В сущности вы гово-
рите о совокупностях, про * которые неизвестно, неизменны ли
они, сохраняет ли каждый предмет совокупности свою индиви-
дуальность и нет ли предметов, исчезающих и вновь появляю-
щихся».
Но что означает сказанное вами, если не то, что возможность
применения арифметики требует выполнения известных усло-
21
вий. Что же касается правила распознавания, приложима ли она,
которое вы мне дали, то оно, конечно, практически превосход-
но, но не имеет никакой теоретической ценности. Ваше правило
сводится к утверждению, что арифметика применима тогда,
когда она применима. Вот почему нельзя доказать, что два и два
будет четыре, что тем не менее является непреложной истиной,
так как ее применение никогда нас не обманывало.
В чисто логических изложениях, где арифметика занимается
лишенными содержания символами, то, что два и два будет
четыре, покоится на аксиоме*. Я не буду касаться здесь подоб-
ного рода изложений, однако замечу, что, хотя их математиче-
ское значение и велико, хотя они нас многому и учат, они мне
кажутся обреченными на полную неудачу, если бы мы смотрели
на них как на средство выяснить понятие числа, не обращаясь
к опыту. Действительно, в этих логических играх мы должны
иметь дело с совокупностью символов (будут ли они реализо-
ванными или только мыслимыми, неважно), и вот тогда-то и вы-
ступают все наши приобретенные опытом познания, касающиеся
совокупностей, т. е. чисел.
4. Философия так сильно затрудняла преподавание матема-
тики, что во избежание недоразумений я счел нужным дать эти
объяснения, несмотря на то, что они отвлекли меня от моей
собственно педагогической темы. Возвращаясь к ней, замечу,
что обычное предостережение о недопустимости смешения числа
с символом, его изображающим, для нас не имеет никакого
смысла. По ознакомлении с тем, что значит считать, будет умест-
ным перейти к понятию последовательности чисел, т. е. к изложе-
нию десятичной системы счисления *. Неважно, что существуют
другие способы называть числа; это должно смущать нас не
больше, чем тот факт, что слова различны по-французски и по-
английски. Мы выходим из положения путем перевода одного
языка на другой, хотя полного соответствия между ними
и нет. В противоположность этому соответствие между двумя
системами счисления устанавливается вполне точно, поэтому
мы свободно можем пользоваться любой из них. Возможно,
что, если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята
одиннадцатиричная система счисления. Но мы находимся в иск-
лючительно счастливом положении: мы располагаем универ-
сальным языком, письменной десятичной нумерацией. Исполь-
зуем же это обстоятельство!
* Аксиоматическое построение теории натуральных чисел (теория Пеано)
излагается во всех курсах теоретической арифметики (см., например,
И. В. Арнольд, Теоретическая арифметика, Учпедгиз, М., 1939),
1 Это можно сделать, не прибегая к теоремам о числах. Заметим к тому
же, что все народы и племена, имеющие представление о числе, употребляют
десятичную систему счисления в той или иной, иногда зачаточной, форме.
22
Общее мое требование состоит в том, чтобы как в старших
классах средней школы, так и в начальной школе пользовались
одними и теми же приемами, от которых в настоящее время
считают долгом отречься и которые стараются презирать. Наряду
с другими преимуществами это показало бы ученикам, что един-
ственной целью изучения арифметики в конце курса средней
школы является полное разъяснение, вплоть до четких форму-
лировок и сознательного понимания, того, что до сих пор вос-
принималось без достаточного сознания и анализа *. В настоящее
же время хорошо понимают это обстоятельство лишь наиболее
одаренные ученики, являющиеся исключением, ученики, не нуж-
дающиеся ни в поддержке, ни в руководстве, о которых пре-
подавателю нечего и беспокоиться. Для остальных же эта реви-
зия арифметики — явление новое, совершенно новое, которое
нужно только для экзаменов и которое часто имеет лишь смут-
ную связь с настоящими вычислениями.
5. Что можно возразить против предложенного здесь способа
изложения? Ему воспротивится прежде всего наша привычка
метафизически мыслить: «не правда ли, это богохульство назы-
вать символом число, которое когда-то было главной сущностью
вещей?» — вот опасение, выражаемое в той или иной форме.
Например, скажут: конечно, совершенно безразлично, употребить
ли английское слово chair или французское chaise, так как оба
они обозначают один и тот же предмет; однако что является
аналогом предмета «стул» в употреблении символов «101» в
двоичной системе счисления и «5»—в десятичной? Так как нет
стула, спрятанного под пятеркой, то, конечно, можно выкру-
титься, сделав словесный пируэт, и говорить о метафизической
сущности пятерки, долженствующей заменить физическую при-
роду стула. Однако это будет не чем иным, как отказом от
ответа.
Чтобы ответить, нужно заметить, что только для имен су-
ществительных с вполне конкретным содержанием имеется до-
словный перевод с одного языка на другой; во всех же осталь-
ных случаях нужно переводить по смыслу. Поэтому не слово
«число» нам придется объяснить, а фразы, где это слово фигу-
рирует; например: «две совокупности имеют одно и то же число
(предметов)» или «две совокупности имеют разное число (пред-
метов)». А это и есть как раз то, что мы излагали в начале
главы при описании процесса счета предметов какой-либо сово-
купности, уничтожая таким^ образом повод к каким бы то ни
было метафизическим страхам. В то же время описание' процесса
счета показало, что выбор последовательности чисел (слов или
* В классе математики французской средней школы (см. подстрочное при-
мечание на стр. 15) проходится повторительный курс арифметики, установки
которого близки к тому, что у нас называют «теоретической арифметикой».
23
символов) имел теоретически второстепенное значение; это есть
не что иное, как выбор одного определенного языка из всех
тех, которые существуют или которые можно себе представить.
Но, не остановившись на каком-либо определенном языке, нельзя
выражать своих мыслей.
В старших классах средней школы, где одной из целей,
если не самой главной, является обоснование правил счета, я
предлагаю выбрать с самого начала десятичную систему счис-
ления. Но на более высоких ступенях обучения, где собственно
вычисления отходят на задний план, подобный выбор не может
быть оправдан, так как здесь изучение арифметики имеет в виду
главным образом обобщение различных операций, но не деся-
тичной нумерации, которая никогда не служит примером под-
ражания. Здесь нужно довольствоваться временными нумерация-
ми, какими, например, пользуются, когда говорят: пусть а,
Ь, с — три данных числа, d — произведение а на частное от де-
ления b на с и т. д. Если же в старших классах средней школы
я постоянно пользуюсь десятичной системой счисления, то делаю
это из педагогических соображений: ради экономии времени и
ввиду того, что число, записанное в этой системе, является
конкретным объектом, о котором молодым умам легче рассуж-
дать. Однако я далек от мысли преувеличивать значение этой
нумерации1. И обращаясь к ученикам, окончившим среднюю
школу, я не буду чувствовать себя вероотступником, придер-
живаясь более абстрактного изложения: числа суть символы,
для которых установлены две операции—сложение и умножение2.
6. Прошу меня извинить за слишком долгую задержку на
целых числах, но я пользуюсь случаем, чтобы подробно изло-
жить мое отношение к метафизике, которую я всячески ста-
раюсь изгнать из преподавания (в той мере, в какой это позво-
ляет нам язык и наши привычки мышления, представляя тем
не менее каждому свободу присовокупить метафизику и мистику
к полученному образованию), и объяснить, почему я постоянно
употребляю десятичную нумерацию.
Это постоянное употребление кажется мне настолько естест-
венным, настолько педагогичным, что скорее, может быть, сле-
дует поставить вопрос, почему обычно слишком мало исполь-
зуется десятичная нумерация. Прежде всего это происходит
потому, что греки, наши учителя, ею не пользовались. Грекам
мешали, с одной стороны, метафизика, а с другой (особенно!) —
1 Можно обратиться, например, к § IV заключительного прибавления вто-
рого издания моей книги «Интегрирование и отыскание примитивных функций»
(русский перевод: М. — Л., 1934).
2 Замечу по поводу этого определения, что если это «богохульство» —
низвести число из категории сущности до категории символа, то этим «бого-
хульством» занимаются все математики. Таким образом, не следует ставить его
в вину исключительно моему изложению.
24
то обстоятельство, что у них имелась лишь несовершенная си-
стема нумерации, несколько похожая на нашу десятичную, но
очень ограниченная в своем объеме. Настолько ограниченная,
что Архимед вынужден был значительно расширить ее для тех
вычислений, которые он производил в своем замечательном
«Псаммите» («Исчисление песчинок») *. Из этого сочинения видно,
что отсутствие представления о неограниченно продолжающейся
нумерации чрезвычайно препятствовало полному уяснению самого
понятия числа.
Десятичная система счисления не есть греческое наследие.
Вот почему все относящееся к этой системе счисления с грече-
ской математикой соединено механически, а не органически слито.
Наше преподавание недостаточно учитывает этот исторический
факт, быть может, один из самых важных во всей истории
науки — изобретение десятичной нумерации**.
* Архимед, Исчисление песчинок (Псаммит), М.— Л., 1932.
** Современное преподавание математики все еще находится под сильным
влиянием традиций более чем 2000-летней давности — традиции древнегрече-
ской математики. Эти традиции, являющиеся результатом многовековой практики
преподавания по «Началам» Евклида и их школьным переработкам (к этим
переработкам слишком близки и принятые до последнего времени в наших
школах учебники геометрии), в ряде отношений оказывали и оказывают вредное
влияние на практику преподавания. Очень сильно ощущается груз греческих
традиций, сложившихся до создания развернутой десятичной нумерации (при-
шедшей в Европу от индусов через посредство арабов), и в преподавании
учения об измерении величин, рассматриваемом в этой книге.
ГЛАВА И
ДЛИНЫ. ЧИСЛА
7. Я начну опять с краткого резюме дальнейшего изложения.
Я выбираю его р соответствии с традиционной манерой препод-
носить геометрию, использующей движение для исследования
свойств пространства. Эта манера, наверное, менее всего отсту-
пает от попыток, предпринимаемых нашими предками для овла-
А a fi А В в,
।---------1--------Н---------Н-н-н-Hof-H
| I I I II I Н -И
Рис. 1.
дения экспериментальными истинами, которые лежат в основе
геометрии.
В этом изложении, указав сначала, чем была вызвана необ-
ходимость сравнивать между собой разные расстояния и опре-
делять слова «расстояния, равные и неравные», я опишу приемы
сравнения. Пусть требуется сравнить АВ с отрезком U, принятым
за единицу (рис. 1). Будем откладывать U на полупрямой АВ
от точки А; мы получим отрезки Ла, ар и т. д. Пусть Л, — пос-
ледняя не переходящая за В точка, полученная таким -путем.
Если мы пришли в Л, в результате троекратного откладыва-
ния U и Л, совпадает с В, то мы скажем, что длина АВ, выра-
женная в единицах U, равна 3. Если же Л, не совпадает с В,
то мы скажем, что длина АВ больше 3 и меньше 4. В результате
этой процедуры В явится точкой некоторого равного U отрезка
Л,В, с началом в Л, (причем всегда не его конечной точкой В,!).
Теперь разделим U на десять равных частей, т. е. возьмем
такой отрезок Uv что мера U при единичном отрезке Z7, равна
10 ’, и' повторим те же операции; мы придем при этом к содер-
жащему точку В отрезку Л,В„ содержащемуся в AXBX, причем
1 Относительно существования Ux см. замечание п. 21.
26
длина отрезка AAt, выраженная в единицах Ц, будет заклю-
чаться между 30 и 39. Пусть она равна, например, 37; в таком
случае мы скажем, что длина АВ, выраженная в единицах Uv
больше или равна 37 и меньше 38.
Точно так же, переходя от отрезка U, к еще в 10 раз меньшему
отрезку Uv мы получаем, например, числа 376 и 377; затем
3760 и 3761; затем 37 602 и 37 603 и т. д.
Теперь нам необходимо как-то обозначить символ, который
является отчетом об описанной бесконечной последователь-
ности операций и который поэтому можно считать результа-
том этой последовательности операций; этот символ мы и назовем
числом. Этого легко достигнуть, если заметить, что на каждой
ступени измерения получаются два целых числа, которые отли-
чаются друг от друга только на единицу: 37 и 38, 376 и 377,
3760 и 3761 и т. д. Следовательно, достаточно знать последо-
вательность меньших чисел, полученных в результате каждой
операции.
Последовательность 3, 37, 376, 3760, 37 602 ... такова, что
каждое число получается из предшествующего приписыванием
одной цифры справа. Поэтому знание одного какого-нибудь числа
последовательности дает нам все числа, ему предшествующие,
если, конечно, известно, на какой ступени измерения получено
данное число, так как иначе знание числа 37 поставит нас перед
следующей альтернативой:
1) 37 получено на 1-й ступени;
2) 37 получено на 2-й ступени, а 3 на 1-й;
3) 37 получено на 3-й ступени, 3 на 2-й, 0 на 1-й;
4) 37 получено на 4-й ступени, 3 на 3-й, 0 на 2-й, 0 на 1-й
и т. д.
Таким образом, мы придем к обычному обозначению чисел.
В этом обозначении нули, расположенные с левой стороны по-
лученного на 1-й ступени целого числа (которое само может
быть нулем), не имеют никакого значения и поэтому могут быть
опущены; аналогично, если случится, что все цифры, располо-
женные справа от некоторой цифры, суть нули, то, естественно,
условиться их также опускать, сохраняя только те из нулей,
которые окажутся до запятой. В этом случае говорят, что по-
следовательность выражает точное десятичное число.
8. Заметим на будущее, что от понятия целого числа мы
сразу перешли к самому общему понятию числа, не нуждаясь
в использовании, или, если хотите, в выделении понятия точного
десятичного числа или рационального числа. Мы специально
ввели выше термин «точное десятичное число», чтобы лучше
оттенить то обстоятельство, что этого числа мы до сих пор ни
разу не употребляли. Точно так же мы перейдем от операций
над целыми числами сразу к операциям над общими числами;
но сначала выясним, всякую ли последовательность цифр, беско-
27
нечно продолжающуюся вправо и содержащую запятую, можно
назвать числом, т. е. может ли всякая такая последовательность
получиться от сравнения надлежащего отрезка АВ с единичным
отрезком U. Если, зная эту последовательность, мы попытаемся
построить на полупрямой АХ отрезок АВ с началом в точке А,
tq получим последовательно отрезки А^, А2В2, ... , вложен-
ные один в другой. Из геометрических аксиом, высказанных или
подразумеваемых, следует, что имеется единственная общая
всем отрезкам точка В (аксиома непрерывности)*. Мы
получаем, таким образом, вполне определенный отрезок АВ; однако
длина АВ лишь в том случае выразится исходной последователь-
ностью цифр, если В не совпадает ни с одной из точек BlfB2, ....
Очевидно, что это совпадение будет иметь место тогда и только
тогда, когда все цифры последовательности, начиная с некото-
рой, будут девятками. Подобные последовательности мы исклю-
чаем из рассмотрения; все же остальные суть числа**.
Предшествующее рассуждение приводит к более общему ре-
зультату: отрезок АВ, лежащий на данной прямой АХ и имею-
щий данное начало А, вполне определен, если известно, что его
конец В принадлежит бесконечной последовательности вложенных
друг в друга отрезков а$, прямой АХ (где i равно 1, 2, 3, ...)
таких, что, каково бы ни было число N, длина некоторого фиксиро-
ванного заранее отрезка U становится больше N, если за единицу
измерения принять отрезок а,р, с достаточно большим номером /.
Если эти условия выполнены, то, говорят, что длина Да,
(соответственно Др,) есть приближенное значение по недостатку
(по избытку) длины АВ, причем обе последовательности при-
ближенных значений как угодно близко подходят друг к другу.
Число определено, если для него известны две такие последо-
вательности приближенных значений; при этом, как легко видеть,
р-й десятичный знак этого числа является р-м десятичным
знаком всех его приближенных по избытку *** значений, номер
которых достаточно велик.
* В первую очередь здесь имеется в виду так называемая аксиома
Кантора, играющая основную роль в некоторых изложениях основ анализа:
каждая последовательность неограниченно убывающих сегментов прямой,
таких, что каждый сегмент принадлежит всем предшествующим, имеет
единственную общую точку, (ср., например, Я. С. Дубнов, Измерение от-
резков, Физматгиз, М., 1961). При других изложениях основ анализа, базиру-
ющихся, скажем, на известной аксиоме Дедекинда, выделенное курсивом
утверждение может быть доказано.
** Описанная выше процедура сводилась к покрытию прямой полуин-
тервалами Д,В, (где i может быть равно 1, 2, ...), включающими левый
конец, но не содержащими правого конца (ср. выше утверждение о том, что В
не может совпадать с концом В, отрезка Л1В1; необходимость использования
полуинтервалов связана с условием о том, что каждому отрезку АВ одно-
значно отвечает определенная процедура измерения его длины). Между тем
скажем, последовательности цифр 57,6999... отвечает последовательность отрез-
ков, общая точка В которых совпадет с концом В2 отрезка Л2В2, поэтому такую
последовательность цифр приходится исключить из рассмотрения.
*** Но не по недостатку!
28
Мы можем также обобщить описанный выше процесс измере-
ния отрезка АВ. Заметим прежде всего, что если мы будем при-
менять нашу процедуру сравнения АВ с «единичным отрезком» U,
откладывая отрезки U, £7,, Ut не от точки А, а от точки В, то
мы получим прежний результат, что следует из существования
движения, переводящего АВ в ВА (т. е. переводящего точку А
з точку В и точку В в Л). Более обще — отрезки £7 и £7,-, где
!=1, 2, 3, ... можно откладывать, начиная от любой точки <и
прямой АВ (рис. 2).
Отложим неограниченное число раз в обоих направлениях от
точки <о отрезок £7, затем £7,, затем £74 и т. д., мы получим
полную шкалу Т, которая может служить для измерения от-
резка АВ. В самом деле, предположим, что аД- — самый боль-
шой содержащийся в АВ отрезок, составленный из отрезков £7f
а; а, ь, ь;
Рис. 2.
шкалы Т, и а\Ь\ — отрезок, содержащий с каждого конца от-
резка afii одним отрезком Ц больше, чем аД- (т. е. самый ма-
ленький содержащий АВ отрезок, составленный из отрезков Ц-).
Параллельное перенесение, переводящее в Д, переводит
в точку pz, принадлежащую отрезку Abi9 а следовательно, и
отрезку АВ; параллельное перенесение, переводящее Д в А,
переводит fy в точку р,' такую, что (а следовательно, и В!)
принадлежит отрезку Д^ (рис. 2). Таким образом, длины отрез-
ков а{Ь{ и а’М являются двумя приближенными значениями соот-
ветственно по недостатку и по избытку длины АВ.
Далее, отрезок образован двумя отрезками Ц-; если При-
пять рД' за единицу длины, то длина t7z- будет равна 0,5, а
длина U—0,5-10*. Таким образом, находимые нами приближенные
значения дают неограниченную степень точности.
Действия. Действия над общими числами, как и в случае
целых чисел, освобождают нас' от необходимости производить
некоторые испытания, так как они дают возможность вывести
искомые результаты этих испытаний из предшествующих наблю-
дений *.
* Целые числа и общие числа возникают в результате некоторых специфи-
ческих экспериментов, о которых говорилось выше,— сопоставления предметов
заданной совокупности элементам некоторой стандартной совокупности (совокуп-
ности слов), с одной стороны, и физической операции измерения, с другой
стороны. Ценность равенства 35 + 37 = 72 можно усмотреть в том, что, зная
числа 35 и 37^ выражающие, скажем, количество учеников в двух пятых клас-
сах школы, мы можем, не пересчитывая специально всех пятиклассников, сказать,
что общее их число равно 72.
29
9. Сложение. Мы знакомы с понятием суммы двух от-
резков; зададимся целью, зная длины двух отрезков, найти
длину их суммы.
Пусть АВ — сумма отрезков Л® и &В (рис. 2); пусть (АВ),
(шА), (<оВ)—их три длины. Чтобы оценить (АВ), производим
вышеописанные операции, начиная от точки о>. Отрезок а,со со-
держит Uf целое число раз; это число (обозначим его через (®Л);)
получается из (<оД) отбрасыванием в последнем как запятой, так
и всех десятичных знаков, начиная с i-го. Точно так же и е>Ь{
содержит отрезок С/,- (о>В)г- раз (где число (®В),- получается из (<оВ),
как (<&A)i из (®Д)). Следовательно, аД содержит отрезок U{
1 = № + №)'
раз, a a’ib'i содержит его
^ = («>4),+ («*),+ 2
раза. Значит, длины отрезков аД. и а-6', отнесенные к единице U9
суть числа, получаемые отделением запятыми цифр справа у di
и Отсюда мы получаем правило, дающее длину (АВ), т. е.
правило сложения двух чисел; если отрезки Uv Ut,
Ua, ... определяются, как в начале этой главы, то это есть
обычное правило сложения двух десятичных чисел.
Из свойств сложения отметим лишь то, которое выражается
соотношением
л+у=_у4-л;.
Это соотношение легко выводится либо из нашего геометри-
ческого определения суммы двух чисел, либо из правила счета.
10. У м н о ж е н и е1. Пусть дана длина отрезка АВ, выражен-
ная в единицах U (скажем, 37,425...), и длина отрезка U,
выраженная в единицах V (например, 4,632...); какова будет
длина АВ, выраженная в единицах V?
Заметим, что 4,632... есть также длина отрезка Ult содер-
жащегося 10' раз в U, относительно единицы Vt, содержащейся
10' раз в V. АВ же содержит 3742 раза отрезок (7, и сам со-
держится в отрезке, образованном из 3743 отрезков Ut. Ut в свою
очередь содержит 463 отрезка Vt и сам содержится в отрезке,
состоящем из 464 таких отрезков. Значит, АВ содержит отре-
зок АВг, образованный из 3742-463 отрезков К4, и сам. содер-
жится в отрезке АВ'г, образованном из 3743-464 У4. Зная же
длины АВ, и АВ2, выраженные в единицах У4, мы выведем
1 Мы предполагаем, что умножение целых чисел уже было определено
путем, аналогичным тому, которому будет следовать наше изложение. Всякий
вопрос, который приводит к умножению, является проблемой изменения си-
стемы единиц: 5 мешков по 300 яблок (переход от мешков к отдельным ябло-
кам); 2,75 м материи по 28,45 франков за 1 м (раньше мы считали в метрах,
а теперь во франках) и т. д.
30
длины, выраженные й единицах V, если отделим запятой четыре
цифры справа. Итак, мы нашли приближенные по недостатку
и по избытку значения длины АВ в единицах V.
Нам остается только показать, что полученные нашим методом
приближенные значения неограниченно сходятся. Но отрезок BtB2
в силу предположений, сделанных относительно умножения целых
чисел, содержит
(3742 +1) • (463 +1) — 3742 • 463 = 3742 4-463+1
отрезков У4, т. е. его длина в единицах V, будет
37,42 + 4,63 + 0,01 < 37,425... + 4,632... + 0,01.
Значит, она меньше, чем
tf=(37 + l) + (4 + l) + l.
Используя подобным же образом первые три десятичный
знака обоих данных чисел, мы пришли бы к интервалу В,В',
длина которого, выраженная на этот раз в единицах V,, меньше
того же самого числа N, и т.д.
Каково бы ни было это число N, всегда можно найти целую
степень десяти, например 10й, которая будет больше N; в нашем
случае мы можем принять уже А —2. Но 5,-В-содержит меньше,
чем N, следовательно, и меньше, чем 10й, отрезков V,-; другими
словами, при i>h V содержит больше, чем 1О'-Й, отрезков,
равных В(В'1, и найденные приближенные значения для длины АВ,
выраженные в единицах V, неограниченно сходятся.
Окончательно приходим к следующему правилу: искомое
число — произведение двух данных чисел имеет в качестве
цифры k-го ранга цифру того же k-го ранга числа, получаю-
щегося, если, выбрав достаточно большое i, отбросить в двух
данных числах запятую и все цифры, следующие за i-м де-
сятичным знаком, увеличить каждое из полученных таким
путем целых чисел на единицу, перемножить эти увеличен-
ные целые числа и затем в полученном произведении отделить
запятой 2i цифр справа1.
Свойства умножения в основном сводятся к следующим двум,
выражаемым равенствами:
ху —ух,
(х+у) z — xz +yz.
Оба эти свойства немедленно выводятся из предшествующего
правила. Второе свойство непосредственно вытекает также из
геометрического определения умножения; этого, однако, нельзя
сказать про первое свойство.
Я должен напомнить, что настоящее изложение рассчитано на учителей;
относительно предосторожностей, которые нужно соблюдать для учеников,
см. п. 17.
31
Конечно, мы будем считать
л-0 — 0- л = 0.
11. Вычитание; деление. Можно определить эти дей-
ствия либо геометрически — это имеет то преимущество, что
сразу обнаруживается как существование разности а — b
при Ь<^а и частного у при 6=^=0, так и единственность
их,— либо алгебраически как обратные действия. Мы придем
к правилам, дающим последовательные цифры результата; они
совершенно аналогичны правилам, дающим цифры суммы или
произведения, но теперь мы вместо двух значений, приближенных
по избытку, пользуемся для а приближенным значением по из-
бытку, а для b — приближенным значением по недостатку.
Что касается свойства вычитания и деления, то достаточно
будет остановиться на свойстве, выраженном равенством
b ab
а • — = —,
с с ’
откуда следует, что
с
а ab а с
~ ~с И b ab'
Т
Длину отрезка S, выраженную в единицах 7, обозначим через
ST. Определим последовательно отрезки 7, U и S, исходя из
(какого угодно!) отрезка V и чисел а, Ь, с, равенствами:
c = Tv, b — Uv, а = 5и;
тогда
и
2 __Sy__Sy-Uy__ab
^—Ту— Ту — с 9
что и доказывает рассматриваемое равенство.
Таким путем мы можем обосновать все правила действий
сразу над общими числами; правила, относящиеся к точным
десятичным числам или дробям, являются их частными случаями.
12. Прежде чем установить важность этого замечания, мне
хочется подчеркнуть, что намеченное мной изложение нуждается
в следующей важной оговорке: число имеет конкретное значе-
ние, лишь когда единичный отрезок U зафиксирован; в этом
случае оно является результатом сравнения с U отрезка, кото-
рый может быть восстановлен исходя из данного числа. Отсюда
следует, что a priori совершенно не очевидно, что то из двух
32
чисел х и у, которое является большим при единице [7, будет
также большим и при всякой другой единице; что если числа
zv z2, ..z', z', ...
представляют собой две последовательности значений, неогра-
ниченно приближающихся к числу Z при единице U, то это
будет справедливо и при всякой другой единице; что, если имеет
место соотношение
u = s-\-t
при единице U, то оно сохраняет силу и при всякой другой
единице, и т. д. Лишь потому, что сравнение цифр л и у по-
зволяет установить, какое из них больше, лишь потому, что
цифры числа z определяются цифрами чисел Zj и Z-, а цифры
чисел s и t определяют цифры и и т. д., все наши утверждения
независимы от выбора U, и можно говорить, например,
о произведении двух чисел, а не только о произведении двух чисел
при заданной единице U.
Таким образом, можно рассматривать действия над числами
без того, чтобы опираться на какое-либо определенное кон-
кретное их истолкование.
Это весьма существенное обстоятельство, являющееся основой
анализа, соответствует следующему геометрическому факту:
если существует однородное соотношение между длинами
нескольких отрезков, выраженных в единицах U, то это
соотношение сохраняется и при замене U любой другой еди-
ницей; отсюда вытекает то, что можно назвать однород-
ностью формул геометрии прямой*. Я ограничиваюсь
этим указанием, так как дело идет о вопросе, выходящем за
пределы моей темы, к которой я теперь возвращусь, чтобы
проанализировать предложенный способ изложения.
13. Читая эти строки, некоторые скажут: но ведь это то,
что всегда делается! Я с этим тотчас же соглашусь, так как
факты подтверждают, что так в самом деле всегда делается
на практике. Что же касается теории, то в ней придерживаются
совсем других точек зрения и для нее предшествующее изложе-
ние является поистине революционным. Вот что практикуется,
например, во французском преподавании, мало отличающемся
в этом отношении от преподавания в других странах.
В начальной школе и в первых классах средней школы детей
учат, что узкое числа, не претендуя на ученые определения,
заставляя овладевать навыками в обращении с числами, сначала
целыми однозначными, затем двузначными, затем любыми целыми.
Знакомясь далее с метрической системой, дети узнают об упот-
* Ср., например, Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии,
ч. 1, § 46—47, М -Л., 1948.
.33
реблении запятой и привыкают обращаться с десятичными дро-
бями. На этой стадии обучения числа по-настоящему являются
только отчетом о практике счета или измерения, о которых я
говорил выше; метафизику сюда пока не впутывают.
С другой стороны, учеников учат обращению с дробями; при
изучении дробей или при делении, например 1 на 3, или при
извлечении квадратного корня дети встречаются с числами,
которые могут быть написаны лишь с помощью бесконечной
последовательности цифр. При этом остерегаются слишком при-
влекать к этому обстоятельству их внимание и говорить, что
это ужасно и может привести в замешательство,— и дети и не
испуганы и не смущены.
Дело идет настолько гладко» что начинают считать» что
ученики уже овладели понятием числа и что можно перехо-
дить к операциям над любыми числами. Тогда переходят
в геометрии к квадрату гипотенузы и к вычислению диагонали
а]/2 квадрата; в алгебре же вводят правила, относящиеся
к знакам1, предполагая известными действия над положитель-
ными числами;
И так вплоть до первой части бакалаврства, т. е. до конца
первого класса, пользуются несколько неточными понятиями, про-
исхождение которых является чисто экспериментальным. Но уже
в следующем классе, в классе математики, предназначенном для
учеников, желающих продвинуться дальше в своем научном раз-
витии, начинается ревизия математических понятий и подведение
под эти понятия более прочного основания. В своей критике и
в своих замечаниях я буду касаться исключительно изложений,
предлагаемых именно в этом случае.
14. В классе математики возвращаются к понятию ?целого
числа, затем к понятию дроби, затем к точному десятичному
числу, рассматриваемому как частный случай дроби. Определения
действий, продиктованные опытом, перелагаются на чисто логи-
ческий язык. Логически все это прекрасно увязано, и я мог бы
лишь повторить то замечание, которое, в сущности говоря, уже
раньше было сделано: если речь идет об обосновании способов
вычислений целыми и десятичными числами, то это слишком
развернутое изложение, имеющее, кроме того, тот педагогиче-
ский недостаток, что оно слишком отлично по форме от перво-
начально полученных знаний, чтобы ученики сумели понять, что
дело касается просто окончательного разъяснения того, что они
уже знают из начального обучения. Но главным предметом моей
1 Замечу мимоходом, что если определить действия над положительными
и отрицательными числами тем же способом, как мы это делали для положи-
тельных чисел, лишь заменяя ненаправленные отрезки направленными (векто-
рами на прямой), то правила, касающиеся знаков, потеряют свой искусственный
характер.
34
критики является то, что говорят, или, вернее, то, чего не гово-
рят относительно иррациональных чисел.
Как в старших, так и в средних классах школы об иррацио-
нальных числах упоминают только мимоходом. Обращаются к
тому, что уже до того было ясно учащимся, и учат их форму-
лировать это в словах, но не пытаются уточнить понятие числа,
рационального или иррационального, которое осталось для них
более чем смутным; правда, учащимся приходилось очень часто
пользоваться в течение четырех лет рациональными или ирра-
циональными числами, однако им никогда об этих числах ничего
не говорилось. С числом встречаются всюду, но также всюду
о нем избегают говорить начистоту. В арифметике, касаясь из-
мерения величин, сравнивают длины, но ограничиваются лишь
случаями соизмеримости. Все прочие случаи или опускают, или
производят с ними фокусы с большей или меньшей ловкостью.
Когда же дело касается приближенных значений, то начинается
настоящее плутовство; так как упоминалось лишь о рациональ-
ных числах, то разрешается говорить о приближенных значениях
лишь к этим последним, хотя эти приближения гораздо менее
интересны, чем приближения к иррациональным числам. Но эти
последние числа как бы не существуют вовсе. Тогда дело ре-
шают просто: начинают говорить о приближенных значениях,
которые ни к чему не приближаются.
Напомним, как это делается. Сначала совершают подмену, не
особенно серьезную, но в данном случае очень полезную: сме-
шивают между собой два смысла выражения «приближенное зна-
чение». Обычно в математике приближенное значение
с точностью до е по недостатку означает величину, меньшую
интересующего нас числа и отличающуюся от него самое боль-
шее на е; здесь приближенное значение с точностью до по
недостатку означает самое большое целое число десятых долей,
содержащееся в точном числе. А так как в арифметике это точ-
ное число всегда является не чем иным, как корнем простого
алгебраического уравнения /(Е), то можно определить прибли-
женное значение с точностью до ~ как такое, что знаки
и Различны» не упоминая о самом чис-
ле Е. Говорят просто:
частное от деления А на В с точностью до по недо-
статку равно если х — самое большое из целых чисел,
таких, что разность А — положительна (или в край-
нем случае равна нулю)
и аналогично
35
корень квадратный из А с точностью до ~ по недо-
статку равен если х— самое большое из целых чисел,
/ х \2
таких, что разность А — ( Jo ) положительна (или в край-
нем случае равна нулю).
Нужно особо обратить внимание на огромную разницу между
двумя рассмотренными случаями: в первом из них число $ су-
ществует (этим я хочу сказать, что оно рационально, следова-
тельно, о нем мы имеем право говорить); во втором — оно не
существует. Таким образом, ~ в первом случае есть прибли-
женное значение точного частного Е от деления А на В, взятое
по недостатку с точностью до приближенное значение в том
смысле, в каком в математике вообще употребляется это выра-
жение; во втором же случае не является приближенным
значением величины К А, поскольку эта последняя не сущест-
вует*. Как же мы можем надеяться, что ученики не будут
использовать в обоих случаях совершенно одинаковых грамма-
тических оборотов, законных в одном случае и незаконных
р другом?
В конце концов во втором случае не остается ничего другого,
как заявить, например, что ~ потому является приближенным
значением по недостатку квадратного корня из двух 2) с точ-
ностью до уд, что мы получаем его на второй ступени процесса
измерения диагонали квадрата со стороной единичной длины.
Таким образом, совершенно неизбежно, что ученики
будут допускать грамматические обороты, приводящие к тому
самому смешению понятий, которого надеялись избежать с по-
мощью словесных предосторожностей: они будут говорить «част-
ное с точностью до », «квадратный корень с точностью до »
вместо «приближенные значения частного и корня» с точностью
до 1**.
* Таким образом, в первом из рассматриваемых здесь случаев приближен-
Л г-
ное значение числа может быть использовано для его вычисления; во
л а
втором же случае приближенное значение величины надлежит использовать
для ее определения, поскольку никакого другого определения этой вели-
чины, не использующего последовательность приближенных значений, здесь
мы не имеем.
** Если ограничиться рассмотрением лишь рациональных чисел, то словес-
ный оборот: «корень квадратный с точностью до будет совершенно неза-
36
Тут мы имеем дело с настоящим лицемерием, столь обычным
в преподавании математики: учитель на словах принимает все
нужные предосторожности, действительные, если они имеют
смысл, который он им придает, но который несомненно не
будет понят учениками. К несчастью, экзамены и конкурсы часто
способствуют этому небольшому мошенничеству. Учителя должны
натаскать своих учеников на хорошие ответы, на незначительные
и разрозненные вопросы; они дают ученикам образцы таких от-
ветов, часто являющихся настоящими шедеврами, совершенно
неуязвимыми для критики. Чтобы в этом преуспеть, учителя
изолируют вопрос от математики в целом, создавая для него
специальный безукоризненный язык, не заботясь о связи с со-
вокупностью других вопросов. Математика перестает быть зда-
нием, она становится кучей. Я подчеркиваю эти обстоятельства,
хотя они хорошо известны всем учителям, часто охотно ирони-
зирующим: «обычай требует быть точным в таких-то местах
курса и чувствовать себя вполне свободно в других». К этим
требованиям хорошие ученики относятся также в достаточной
мере скептически вместо того, чтобы быть энтузиастами. Бездна
таланта тратится на усовершенствование деталей, в то время как
нужно было бы попытаться переделать все здание в целом.
Итак, вычисления с точностью до которыми занимаются
в классе математики, казалось бы, неизбежно требуют опреде-
ления числа, как последовательности цифр; однако это опреде-
ление не вводится, равно как и никакое другое; из затрудни-
тельного положения выходят иногда с помощью разных уверток,
как при определении квадратного корня с точностью до ,
иногда же считая сделанным то, что на самом деле не было сде-
лано. Единственное достижение, полученное в результате реви-
зии арифметики в этом классе, состоит в следующем: как я уже
упоминал, иногда в младших классах в результате вычислений
некоторых частных или корней приходится сталкиваться с чис-
лами, которые имеют бесконечно много цифр; сейчас это явле-
ние становится в некотором роде официальным — вполне, когда
последовательность цифр периодическая, так как здесь изучаются
десятичные периодические дроби, и почти для других после-
довательностей, так как доказывается, что квадратный корень
из целого числа не может быть выражен дробью. Однако это
довольно-таки незначительный успех; мне кажется, что ревизия
конным, ибо в этом случае придется считать, что корня квадратного просто
не существует. В противоположность этому можно говорить о «прибли-
женном с точностью до значении квадратного корня», ибо это приближен-
ное значение следует считать существующим (оно является рациональным
числом!); определить это приближенное значение можно так, как это сделано
в тексте.
37
математики, которую пытаются предпринять в классе математики,
абсолютно не достигает своей цели, так как она не выясняет
главного: содержания понятия числа. Пусть, впрочем, не надеются
найти в другом месте то, чего не содержат дополнительные
главы арифметики: в алгебре и геометрии лишь вскользь затра-
гивают понятие несоизмеримых величин, предполагая это понятие
и действия над такими величинами уже известными.
15. Этот пробел настолько чувствителен, что в классе мате-
матики и в университете посвящают — наконец-то! — одну лек-
цию определению иррационального числа, несмотря на то, что
программы этого не требуют. Эта лекция кажется необычной
и как бы попавшей не на свое место. Чаще всего пользуются
методом сечений *; касаются немного действий, но не настолько,
чтобы дойти до нахождения цифр результата. При этом избегают
говорить о выражении иррациональных чисел в десятичной си-
стеме счисления.
Таким образом, явное рассмотрение самого понятия числа
становится возможным лишь для тех, кто продолжает свое обра-
зование за пределами средней школы. При этом здесь число
дается не в той элементарной форме последовательности цифр,
в которой оно впервые появилось и в которой оно обычно встре-
чается. Вместо этого стараются дать числу как можно более
абстрактное определение: число есть разбиение множества
всех рациональных чисел (т. е. всех пар тех метафизиче-
ских сущностей, которые называются целыми числами) на два
класса, обладающих такими-то и такими свойствами**.
Понимают, что в классе математики нельзя давать подобного
определения. Но не нужно обманывать себя: даже студенты уни-
верситета поймут в нел£ что-либо лишь тогда, когда они прида-
дут ему вполне конкретный смысл, т. ег будут представлять
себе вместо чисел точки на прямой, причем точки одного класса
расположены по определенную сторону от точек второго
класса. Но в таком толковании определение иррациональных
чисел делается вполне приемлемым и для учеников класса мате-
матики. Оно сводится к показу того, что каждому сечению соот-
ветствует вполне определенный отрезок; но ученики класса ма-
тематики слышат это не один раз, а семь или восемь. Всякий раз,
когда сравнивают пропорциональные величины, переход от слу-
чая соизмеримых отрезков к случаю несоизмеримых отрезков
совершается при помощи этого утверждения; при сравнении дуг
круга и отвечающих им центральных углов, площадей прямо-
угольников с одинаковыми основаниями и высот этих прямоуголь-
ников, объемов прямых призм с одинаковыми основаниями и высот
* См., например, А. Я. X и н ч и н, Восемь лекций по математическому
анализу, М.— Л., 1943.
** Ибо рациональное число традиционно определяется как пара целых чисел.
38
этих призм, пути, проходимого равномерно движущейся точкой
и необходимого для этого времени, и т. д. Это же утверждение
используется и когда говорят об отношении двух одноименных
величин, придерживаясь непонятной мне точки зрения, согласно
которой отношение — это не то же самое, что и число, его из-
меряющее. В таком случае нужно было бы дать определение
равенства и неравенства двух отношений и пришлось бы говорить,
например, так: отношение у двух отрезков равно отношению
или больше его, если при разбиении отрезков S2 и s2 на любое
целое число р равных частей, Si будет содержать не меньше
частей, полученных от разбиения S2, чем Sj частей, полученных
от разбиения s2. Но такое определение есть не что иное, как
сравнение двух сечений. Тем же утверждением пользуются и
при определении числа и — словом, тысячу раз следуют изло-
жению, от которого отказываются в тот момент, когда оно было бы
весьма уместным для определения иррациональных чисел. А меж-
ду тем вполне возможно это сделать и было бы даже экономно
поступить таким образом.
Этого, однако, еще мало; мы должны также определить
действия над иррациональными числами. Некогда возможность
этих действий и даже самый их смысл вытекал из «общности
анализа», в пору моей молодости мы переходили «к пределу».
Я думаю, что для наших учащихся средней школы здесь не
произошло никаких изменений, что все и поныне сводится к упот-
реблению некоторых магических слов, когда речь идет о пере-
ходе от действий над рациональными числами к действиям над
любыми числами. Чтобы прекратить подобное положение, недо-
статочно привести определение иррационального числа методом
сечений; нужно было бы дать полное изложение вопроса, перед
которым обычно в страхе отступают, заявляя не без основания,
что оно превосходит тот уровень, на который можно рассчиты-
вать в классе математики, и требует слишком много времени *.
16. Изложение, которое я здесь предлагаю, не оставляет
места ни одному из этих возражений, а также никаким другим,
если отбросить раз навсегда все те возражения, которые свя-
заны с метафизикой. Оставаясь по существу одним и тем же,
начиная с первых ступеней обучения и до порога высшего об-
разования, это изложение должно все время сообразовываться
с возрастом учащихся: самым молодым оно не столько доказы-
вает, сколько сообщает, как, впрочем, это делается и сейчас;
более старшим можно дать больше доказательств или даже до-
казать все, что может быть доказано, если эт& счесть необхо-
* По поводу затронутых здесь вопросов см. также Г. М. Фихтенгольц,
Иррациональные числа в средней школе, Сборник «Математическое просвеще-
ние», вып. 2, М., 1957, стр. 133—148.
39
димым,— последнее, впрочем, не согласуется с моей точкой зре-
ния. Во всяком случае то, что будет доказываться, предстанет
перед всеми как логическое оправдание фактов, уже известных,
уже принятых и уже использованных.
Дойдя до высшей ступени обучения, учащиеся достигнут
зрелости, требующейся для того, чтобы можно было дать более
полный анализ приема, употреблявшегося для определения чи-
сел. Теперь они могут уже понять, что в этом приеме является
слишком частным и недостаточно точным. В самом деле, для
того чтобы определить иррациональные числа, недостаточно от-
нести их к слишком редкой шкале целых чисел, а нужно сначала
построить новые числа (образуя то, что называется всюду плот-
ным множеством), —в моем изложении эти новые числа образуют
множество десятичных чисел, выбор которых (подсказываемый
лишь нашей системой счисления) можно счесть слишком слу-
чайным, вследствие чего в классическом изложении вместо этого
рассматривается более обширное множество рациональных чи-
сел. Имея нужное нам для сравнения множество чисел, такое,
что каждое не входящее в него число неограниченно прибли-
жается числами множества, мы сможем определить новые числа,
задавая их места по отношению к уже известным нам числам.
А это и есть метод сечений.
17. К перечисленным преимуществам нужно присоединить
еще одно, значительное в настоящее время, когда облегчение
программы является насущной необходимостью. Оно состоит
в том, что можно упразднить две главы из арифметики — главу
о дробях и главу о десятичных дробях,— откуда как следствие
будут вытекать также и другие сокращения. Я подчеркивал не-
сколько раз то обстоятельство, что я переходил непосредственно
от целых чисел к произвольным числам; сейчас наступил подхо-
дящий момент для того, чтобы уточнить, что я под этим подра-
зумеваю. Я не хочу сказать, что считаю неудобным говорить,
например, об умножении десятичных дробей несколькими мину-
тами раньше, чем об умножении произвольных чисел; совсем
напротив, я хорошо вижу всеми признанные преимущества этого,
состоящие в возможности давать более сжатые и ясные дока-
зательства и более легко их обосновывать. Я хотел лишь ска-
зать, что считаю бесполезным создавать отдельно полную теорию
десятичных дробей. Когда, например, мне нужно говорить об
умножении не перед учителями, а перед учениками, я перед тем
как дать общее определение умножения, о котором упоминалось
выше, сначала прилагаю его к случаю, когда оба сомножителя —
десятичные дроби, и лишь потом перехожу к общему случаю.
Таким образом, я буду иметь оперативное правило для (конеч-
ных) десятичных дробей несколькими минутами раньше общего
правила; но доказательства свойств умножения я дам сразу
для общего случая.
40
При таком подходе десятичные дроби и рациональные числа
станут для нас не чем иным, как двумя частными случаями.
Таким образом, нам не придется ни слова говорить о теории
дробей, так как дробь можно будет рассматривать лишь как
точное частное от деления а на Ь, и все действия над дробями
с ab а-b а
а:-г=—, г— — — , ...
Ь с о- с с
будут лишь частными случаями действий над числами. Точно
так же не придется ни слова говорить о теории дробей и в
классе математики, так как в этом больше не будет надобности
ни для образования понятия числа, ни для обоснования правил
действий. Совершенно очевидно, что не придется говорить ни
о превращении обыкновенных дробей в десятичные, ни о перио-
дических десятичных дробях.
Но следует ли упоминать о дробях на первой ступени обу-
чения, в шестом и пятом классах средней школы? Нет, так как
это не является необходимым для теории и ни для чего не слу-
жит на практике; я думаю, все согласятся со мной, что дей-
ствия над двадцать вторыми и тридцать седьмыми долями яв-
ляются мучением, которому мы подвергаем двенадцатилетних
мальчиков из чистого садизма, без всякой надобности, могущей
сыграть роль смягчающего обстоятельства. Конечно, при жела-
нии можно найти какие-нибудь «применения» дробей, вспомнив,
например, что некоторые механики при нарезке винтовых насе-
чек в своих вычислениях употребляют дроби. Но даже и один
из десяти таких механиков не связывает практику своего ре-
месла со школьным обучением, и если бы такая связь в виде
исключения и была установлена, то можно смело утверждать,
что здесь скорее винт заставляет осмыслить учение о дробях,
чем дроби помогают осмыслить процесс нарезки винта.
Может показаться, что реформа, которую я предлагаю, в млад-
ших классах сведется просто к замене слова «дробь» другим
словом, например «отношение», поскольку, разумеется, нельзя
обойти свойств
а с а + с ab а
b ' b b ’ Ьс с
и не формулировать соответствующих правил, относящихся
к отношениям двух чисел (любых, а не только лишь целых).
Однако реформа была бы надежнее, если бы согласились, чтобы
дети больше не изучали двух нумераций, нумерацию п = х ча-
стей (применимую лишь для соизмеримых чисел) и десятичную
нумерацию, если бы им позволили, например, находить 0,428
там, где ответ должен быть у.
Правда, а, деленное на b (когда а и b — целые числа), чи-
тается и как а b-х частей; однако подобный оборот речи не
41
больше обязывает нас к развертыванию всей теории дробей,
чем выражение «quatre-vingt-douze» к принятию двадцатирич-
ной системы счисления*.
18. Я предчувствую протест всех учителей. Одни будут про-
тестовать по той причине, что дроби доставляют бесчисленные
упражнения их юным питомцам; оправившись от первого испуга,
они увидят, что в упражнениях никогда недостатка не будет.
Жалоба другой части учительства больше смущает меня, и, ска-
зать правду, я сам ее разделяю: «упразднить теорию дробей
в классе математики — это упразднить прекраснейшую главу,
быть может, единственную среди остающихся в элементарном
преподавании, которая дается не только ради приложений, но и
импонирует чувству чистой красоты».
Вспомним все то, что нам приходится говорить о спорах с
преподавателями гуманитарных дисциплин; что хотя обучение не
лишается своего интереса, если оно не имеет практического
применения, но оно рискует потерять интерес для учеников;
что так как все специальности могут с успехом содействовать
развитию культуры и так как все они сводятся к выработке
некоторых технических навыков, то преподавание должно выби-
рать по возможности те из них, где соответствующие техниче-
ские навыки окажутся практически более полезными; что, конечно,
учитель должен пользоваться случаем подводить учеников к вос-
приятию красоты, но что красота не есть предмет преподавания;
что, претендуя на обучение красоте, лишь уродуют вкус и раз-
вивают снобизм**. Все эти рассуждения имеют силу не только
для других, но и для нас; вот почему мы уже не раз видели,
как на разных ступенях обучения исчезают из программ очень
красивые вещи, уступая место другим, непосредственно более
полезным. Чтобы привести пример, не вызывающий больше ни-
каких споров, вспомним теорию неопределенных уравнений и
учение о цепных дробях, изъятых из преподавания не без со-
жаления учительства. Однако разве не естественно, чтобы эти
теории, очень интересные с точки зрения математической, но
довольно специальные и не имеющие существенного практиче-
ского значения, излагались лишь избранному кругу студентов?
Заметим вообще, что если все законченные точные вычисле-
ния, единственные, которые допускались древними, и сохранили
все свое математическое значение, если они должны быть из-
* Здесь имеется в виду непереводимая на русский язык особенность фран-
цузского языка: выражение «quatre-vingt-douze», означающее девяносто два,
буквально есть: «четыре раза по двадцать плюс двенадцать». (Прим, перев)
** Здесь перечисляются аргументы, которыми оперировали сторонники
современного естественнонаучного образования в старом споре со сторонни-
ками классического образования (даваемого, например, дореволюционными рус-
скими гимназиями), основу которого составляли древние языки (замененные
в новой школе живыми современными языками) и гуманитарные дисциплины.
42
вестны и должны изучаться современными математиками, то их
практическое значение значительно уменьшилось, а порой и
совершенно исчезло*. Повсюду эти, так называемые точные вы-
числения были развенчаны, уступили место приближенным вы-
числениям и зачастую рассматриваются лишь потому, что приво-
дят к более простым способам приближенных вычислений.
В программах лиценциата больше не стремятся, как раньше,
бесконечно приумножать случаи, когда можно точно проинтег-
рировать дифференциальное уравнение или точно вычислить
интеграл; стараются как можно скорее пройти мимо техники
точных вычислений, которая стала дисгармонировать с другими
главами анализа, где изучают интегралы, дифференциальные
уравнения, не обращаясь к явным выражениям и точным отве-
там. Точно так же в наших классах математики больше не за-
нимаются точным решением алгебраических уравнений.
Понятие точного исчисления меняется при переходе от каж-
дого из перечисленных выше вопросов к другому, но в каждом
случае слово «точный» употребляется как способ устранения
использования бесконечных процессов. Однако в настоящее
время бесконечные процессы широко используются на практике;
понятие предела не имеет мистического характера, так как два
достаточно близких состояния практически тождественны. Мате-
матик, собирающийся по примеру греков избегать употребления
пределов, должен создать новые методы,— новую арифметику
и новую алгебру,— где операции определены лишь для тех вы-
ражений, которые могут рассматриваться как точные (можно
даже сказать — как существующие). Все понимают, что между
чистой и прикладной математикой имеется известное расхожде-
ние. Чем преподавание элементарнее, тем более в нем должна
быть принята во внимание точка зрения прикладной математики;
однако было бы прискорбно для успеха математики, если бы
наряду с этим не нашло бы места преподавание, рассчитанное
на математиков, в котором была бы принята другая точка зрения.
Когда классифицируют точные выражения в порядке их слож-
ности, то обычно впереди выражений, содержащих интегралы,
впереди выражений, где фигурируют символы элементарных
функций, даже перед теми, где фигурируют алгебраические ра-
а
дикалы, ставят выражение у — самое простое из всех точных
выражений, единственное точное выражение для греков, для ко-
торых рациональные числа были единственно приемлемыми, един-
ственно свободными в их глазах от всякой идеи бесконечности.
х Эти строки написаны в начале 30-х годов. В настоящее время в связи
с развитием «машинной математики» роль «точных» методов математического
анализа стала еще меньшей; однако наряду с этим выяснилось большое практи-
ческое значение иных «точных» (т. е. не связанных с бесконечными процессами
и предельным переходом) разделов математики (например, математической
логики), что ставит перед школьным преподаванием некоторые новые задачи.
43
Ясно, что пережитки этих древних идей заставляют нас цеп-
ляться за рациональные числа; мы дорожим ими как единствен-
ными реликвиями прежних времен. Не лучше ли будет признать,
что изучению рациональных чисел нет больше места в классе
математики; что глава о дробях в этом классе должна быть
упразднена. Не следует считать, что упразднение этой главы
явится скандалом; на самом деле скандальным является суще-
ствующее положение, при котором в ряде стран, в том числе
и во Франции, можно закончить свое математическое образова-
ние, не услыхав ничего о новых арифметиках и алгебрах*, для
которых теория дробей, рассматриваемых как множество пар
чисел, является лишь простейшим частным случаем и которые
сегодня составляют одну из наиболее живых отраслей математики.
19. Итак, предлагаемые мной изменения состоят в замене в
арифметике глав, повествующих о простых и десятичных дробях,
о периодических десятичных дробях, о приближенных вычислениях,
единственной главой об измерении длин и о действиях над числами.
Эта глава будет также в некотором смысле первой главой
геометрии, и, стало быть, в геометрии мы сможем обоснованно
говорить о понятии расстояния между двумя точками. В настоя-
щее время в первой части курса геометрии не говорят о рас-
стоянии между двумя точками как о числе; о нем упоминают
лишь в третьей части курса после рассмотрения во второй части
курса вопроса об измерении углов и дуг окружности. При этом
разговор о расстоянии как о числе, требующий использования
понятия числа во всей его общности, не ведется начистоту; го-
раздо больше говорят об отношении расстояний, чем о самих
расстояниях, а расстояние-число явно появляется лишь тогда,
когда перемножают крест-накрест члены пропорции, связываю-
щей четыре расстояния. В этот момент вдруг предполагаются
известными и расстояния-числа и действия над числами. Откуда
идет этот традиционный порядок? Мы можем ограничиться лишь
догадками.
Известно, что хотя практика измерения длин очень давняя,
но необходимость строгой теории сказалась здесь лишь спустя
многие годы после того, .как астрономия потребовала точных
измерений углов. Измерение дуг и углов в градусах является,
быть может, первым примером строгой теории измерения вели-
чин; учителя должны были бы еще в самом начале курса гово-
рить своим ученикам о транспортире и практическое измерение
углов и дуг могло бы иметь научный характер гораздо раньше,
чем измерение длин. Поэтому совершенно естественно и законо-
мерно, что в геометрии говорят об измерении дуг и углов рань-
ше, чем о расстояниях; использование понятия длины дуги и
* Т. е. об общих понятиях группы, кольца и поля.
44
величины угла становится совершенно необходимым начинай
с теоремы Фалеса *. Но уже здесь картина осложняется скан-
дальным положением со случаем несоизмеримости: для того
чтобы избежать затруднений, необходимо отказаться от исполь-
зования понятия числа. Вот почему иногда поступают так, как
я только что описывал,— вводя определение равенства или не-
равенства двух отношений, по существу совпадающее с опреде*
лением равенства или неравенства двух чисел, задаваемых как
сечения; но последнего стараются при этом не замечать и избе*
гают говорить о числах, которые сравнивают между собой. При
этом претендуют на то, что числами вообще не занимались, что
отношение длин есть нечто совсем иное, чем число, которое его
измеряет. Мне кажется, что если не считать, что четыре может
также хорошо выражать число кроликов, как и отношение длин
двух отрезков или многое другое, а как-то различать эти случаи,
то это различие — как я уже говорил — не имеет ни смысла, ни
интереса. Я вижу здесь лишь желание избежать употребления
единого слова и представляю себе человека, который говорит:
я не нуждаюсь в понятии шляпы, чтобы сказать о находящемся
у вас на голове круглом предмете с подкладкой внутри и с лен-
той снаружи.
Я не боюсь сказать, что я совершенно не способен понять
необходимость различия, за которое многие держатся очень
крепко, но которое мне кажется просто смешным, так как, со-
поставляя честно наши образы мыслей, мы быстрее придем
к взаимопониманию, весьма полезному для усовершенствования
преподавания.
20. Если описанный сейчас способ изложения пока что не
обнаружил ни одного из своих преимуществ, то во всяком слу-
чае он мне кажется вполне удовлетворительным с точки зрения
логической, и теорема Фалеса о равенстве двух отношений, не
являющихся числами, доказана вполне строго. Но, когда мы
в данном отношении между расстояниями освобождаемся от
знаменателей, то внезапно переходим к равенству двух отноше-
ний, являющихся числами. Таким образом, если мы не отожде-
ствляем отношения, не являющиеся' числами, с численными от-
ношениями, то нам необходимо по крайней мере установить связь
первых со вторыми, иначе мы совершим огромную логическую
ошибку. Эту ошибку редко совершают в той утрированной
форме, о которой я говорю, хотя и здесь можно было бы при-
вести примеры. Но часто бывают близки к ней и не доходят до
вывода,— который, я считаю, совершенно естественным,— о том,
что поскольку отношение выступает именно как число, то только
так его и нужно рассматривать в преподавании. Его другой
* Автор имеет здесь в виду теорему о связи величин вписанного угла и
отвечающей ему дуги окружности.
45
формы — формы метафизической сущности я решительно не по-
нимаю.
Этой ошибки никогда не совершали раньше, когда из равен-
АВ FE
ства -qd — qh’ связывающего отношения отрезков, выводили
равенство AB-GH=CD-EF, связывающее площади, или по край-
ней мере были в состоянии привести рассуждения, не заклю-
чавшие ошибки. Но с тех пор, как, следуя Декарту, отказались
интерпретировать всякое произведение чисел-длин как площадь,
стало необходимым подходить таким же образом к отношению
двух чисел-длин: все эти числа, отношения, произведения и т. д.
суть не что иное, как числа. Но, конечно,— я уже об этом гово-
рил,— каждый раз, когда мы используем число 4, важно знать,
есть ли это число кроликов, или отношение длин, или произ-
ведение длин и т. д.
Что касается нас, то так как выше мы определили меру АВ,
отнесенную к единице измерения CD, то теперь нам больше не
АВ ~
нужно давать определения отношения Это отношение уже
было определено; оно представляет собой число, записанное
в десятичной системе счисления.
21. Посмотрим теперь, как будут выглядеть доказательства.
Обычным способом мы докажем геометрическую теорему Фалеса:
параллельные прямые или плоскости, высекающие на какой-либо
секущей равные между собой отрезки, высекают также, равные
между собой отрезки на всякой другой секущей.
Примем это, и пусть параллельные прямые (или плоскости)
высекают на одной секущей отрезки АВ и CD, а на другой —
отрезки А'В' и CD. *Мы уже знаем, что если АВ содержит CD
один, два, три, ...яраза, то А'В' содержит столько же раз C'D',
обобщая этот результат, сравним длину АВ, выраженную в еди-
ницах длины U — CD, с длиной А1 В', выраженной в единицах
длины U' — CD.
Согласно сказанному выше мы на первых ступенях обоих
процессов измерения получим одну и ту же приближенную по
недостатку величину длины, т. е. оба искомых числа-меры имеют
одну и ту же целую часть. На вторых ступенях этих процессов
нам придется использовать единицы Uv U'v содержащиеся в U,
соответственно в U' десять раз. Но если предположить от-
ложенным десять раз на GQ, и если через девять точек деле-
ния провести прямые (или плоскости), параллельные проведен-
ным ранее, то они разделят CD на десять равных между собой
отрезков, т. е. на десять отрезков, каждый из которых равен U\.
Таким образом, параллельные прямые (плоскости) устанавливают
такое же соотношение между Ux и U\, как и между U и U', и
мы получаем на вторых ступенях процесса измерения одно и то
46
же приближенное по недостатку значение длин АВ и А'В'. Дру-
гими словами, первая цифра после запятой обоих искомых чи-
сел-мер будет также одинакова. Продолжая это рассуждение,
АВ А'В’
мы приходим к равенству
Таким образом, доказательство принимает самую естествен-
ную форму, какую, казалось бы, можно только пожелать: надо
доказать, что оба числа равны между собой; эти числа были
определены при помощи процесса, позволяющего их выписывать
цифру за цифрой; применяя определение, мы констатируем, что
они цифра за цифрой совпадают между собой. Прием доказа-
тельства будет одним и тем же для всех случаев.
А как обстоит дело с пропорциональностью центральных уг-
лов и соответствующих дуг? После того как мы изложили при-
емы измерения углов и дуг1 * * * * * * В, после того как мы доказали, что
равным центральным углам соответствуют равные дуги, мы для
сравнения отношении ^_q0D с примем / COD за единицу
измерения углов и CD — за единицу измерения дуги и определим
величину и АВ. Значения, полученные на соответст-
вующих ступенях обеих операций измерения, будут совпадать,
откуда и вытекает требуемое заключение.
1 Мы будем пользоваться десятичной системой счисления, даже говоря
о градусах, минутах и секундах. В этом случае придется взять в качестве основ-
ной единицы измерения одну секунду; минуты и градусы будут в таком слу-
чае лишь группами единиц.
Заметим еще, что в вопросе об измерении углов и дуг двоичная система
счисления была бы в некоторых отношениях предпочтительнее десятичной.
Постараемся объяснить, в чем тут дело.
Процесс измерения предполагает выбранной единицу U\ он постулирует
также существование вспомогательных единиц Ux, Uz, ... (где U=10Ult
Ul = \Qu2, ...); однако конкретную форму он будет иметь лишь в том случае,
когда умеют построить uv Uv ... . Я прошел мимо этих затруднений, так
как для учеников класса математики неважно, будет ли принято одной аксио-
мой больше или меньше; следовательно, можно допустить существование всех
единиц Ui и можно обойтись без их построения, так как нас в данный момент
интересует не столько реальная выполнимость, сколько возможность всех опи-
санных операций.
Более строгий подход заключается в том, чтобы доказать теорему Фалеса
в той форме, в какой она приведена в тексте (равным отрезкам одной секущей
сопоставляются с помощью параллельных прямых или плоскостей равные от-
резки другой секущей), провести подробно построение исходя из U (сле-
довательно, обосновать существование (Д), и только после этого говорить о из-
мерении длин.
В случае углов (или дуг), зная U, мы не можем построить Ux, однако мы
можем построить v2, ..., где U = 2vx, = 2vz, .... Таким образом, можно
выразить операцию сравнения угла с единицами (/, v2, ... с помощью так
называемых двоичных дробей (играющих роль десятичных дробей в двоичной
системе счисления). Каждой последовательности знаков такой дроби соответст-
вует определенная последовательность знаков десятичной дроби, и наоборот;
в двоичной системе счисления величина /7Х будет выражена бесконечной
двоичной дробью О, ООО 1100 1100 1100 ..., что доказывает существование этой
величины и (теоретически) указывает способ ее построения.
47
Пусть потребуется еще сравнить два промежутка АВ и CD,
пройденные в равномерном движении, причем время, в течение
которого проходился промежуток АВ, имело продолжительность
от момента т, до момента т2, а для промежутка CD — от мо-
мента т3 до момента т4. Мы измерим АВ единицей длины CD,
а продолжительность времени (тр т2)—единицей времени (тз, т4);
на каждой ступени операций измерения мы будем получать одни
и те же результаты, откуда и следует пропорциональность про-
межутков и интервалов времени.
22. Как мы увидим впоследствии, я буду постоянно употреб-
лять описанный выше прием; сейчас же отметим кажущееся
противоречие между ним и теми приемами, которые за послед-
ние тридцать лет появились в преподавании второй части курса
геометрии и которые стремятся по возможности избежать упо-
требления числа.
Когда я был ребенком, мне доказывали, что равным цен-
тральным углам соответствуют равные дуги; потом переходили
к измерению углов и дуг; потом устанавливали справедливость
теорем вроде следующей: мера вписанного угла равна половине
меры дуги, заключенной между его сторонами. В настоящее
время изменены как порядок теорем, так и их формулировки.
Теперь доказываются теоремы вроде следующей: вписанный
угол равен’ половине центрального угла, соответствующего дуге,
заключенной между сторонами данного угла; затем переходят
к соответствию между равными центральными углами и равными
дугами; затем переходят к измерению дуг и углов.
Мы обязаны этим изменением, если я не ошибаюсь, Адамару,
заметившему, что имеется не больше основания вводить понятие
меры в теоремы о равенстве дуг и углов во второй части курса
геометрии, чем в теоремы о равенстве длин или углов, рассма-
триваемых в его первой части*. Совершенно правильное заме-
чание, имеющее целью вернуть теоремам их истинное содержа-
ние, используя в их доказательствах лишь те понятия, которые
здесь существенно необходимы. Имелись все основания испра-
вить неточности изложения, вследствие которых понятие меры,
как кажется, вкралось в теоремы и доказательства, в которых
этому понятию совершенно нет места; однако новые порядки
плохо прививались, и многие учителя продолжают держаться
старого.
Эта перемена порядка даже определенно вредна, когда пи-
шут, как мне приходилось наблюдать: «Теперь, когда мы убеди-
лись, что определение величины вписанных углов и углов с вер-
шиной внутри или вне круга сводится к определению величины
* Здесь имеются в виду теоремы вроде следующей: если две стороны тре-
угольника равны, то равны и противолежащие им углы.
48
центральных углов, мы будем изучать центральные углы». Этот
переход, претендующий на остроумие и естественность, проти-
воречит здравому смыслу. Дети практически знакомы с тран-
спортиром: в этой главе желают оправдать пользование им. По-
казывают, что он позволяет определить меру центральных углов,
а затем и меру других углов; этим объясняют старую форму
теорем, повторяю, неудачную. К тому же в высшей степени
правдоподобно, что в ходе истории ученые античного мира
очутились в положении, похожем на положение наших учеников;
использование окружности, на которой нанесена шкала, должно
было предшествовать всякой теории, и стремление узаконить
это использование должно было привести к теории меры раз-
личных углов. Но как бы там ни было, мы видим, что новый
порядок изложения не знаменует никакого реального прогресса,
так как он меняет лишь словесные формулировки, а доказатель-
ства остаются теми же, что и раньше. Однако мы не отказы-
ваемся от того разумного, что связано с этим подходом, так
как вводим число во всей его общности лишь там, где оно не-
обходимо,— об этом я уже упоминал и больше к этому возвра-
щаться не буду,— а именно при сравнении между собой дуг и
углов.
Ошибка, которую делали, состояла в том, что вводили число,
взятое во всей его общности, там, где целого числа было вполне
достаточно. Так, например, при определении отношения цен-
трального угла к соответствующему вписанному (это отношение
равно двум) использовали два «общих» числа: меру одного угла
и меру второго угла (при одной и той же произвольной единице
измерения углов). Здесь не только заменяли одну операцию из-
мерения двумя, что само по себе является не столько ошибкой,
сколько длиннотой, несоблюдением принципа экономии, но и
заменяли один процесс измерения принципиально отличным от
него: первый из них есть конечный процесс, состоящий из од-
ного единственного шага, употребляющий лишь понятие целого
числа; два других,* его заменяющие,— процессы бесконечные,
состоящие из неограниченного числа отдельных операций, нуж-
дающиеся в самом общем понятии числа.
23. Представляется, что принцип экономии всегда требует
прямой оценки отношений, не апеллирующей к вычислению от-
ношения между числовыми мерами сравниваемых величин; од-
нако на практике все длины измеряют метрами, углы — граду-
сами и т. д., т. е. употребляют вспомогательные единицы, что,
как кажется, влечет за собой лишь дополнительные затруднения:
благодаря этому приходится производить два измерения вместо
одного.
Иногда это происходит вследствие того, что непосредствен-
ное сравнение длин и углов является затруднительным или даже
практически невозможным, но иногда и по другой причине.
49
Когда в геометрии нам надо сравнить между собой, напри-
мер, две длины, то только об этих длинах и идет разговор. На-
оборот, когда на практике мы сталкиваемся со ста длинами, то,
следуя нашим идеям, мы должны были бы приступить к их по-
парному сравнению всеми возможными способами; когда же мы
измеряем каждую новую длину одной и той же единицей меры,
мы поступаем правильно, следуя принципу экономии. Одно един-
ственное измерение для каждой величины, сделанное с той точ-
ностью, которой мы располагаем, лучше всего дает отношение
этой величины ко всякой другой. Этим и объясняется то, что
на практике никогда или почти никогда не сравнивают непо-
средственно две величины, а всегда сравнивают каждую из них
с некоторым эталоном. Точно так же поступают и в геометрии;
точность здесь должна быть неограниченной; но предположить,
что длина (А) была измерена, это значит предположить (я уже
упоминал об этом), что ее сравнили со всюду плотным множе-
ством единиц длины / так, что результат измерения в точности
определяет все отношения у и, следовательно, также и отноше-
ние L ко всякой другой длине. Таким образом, всякое сравне-
ние делается с помощью нанесенной на эталоне шкалы; мы ви-
дели, например, что все совокупности предметов сравнивают
с типовой, казалось бы, с самой неинтересной из всех совокуп-
ностей, так как она является лишь совокупностью условных
слов; что все расстояния сравнивают со шкалой, неограниченно
подразделенной на метры, дециметры, сантиметры и т. д.
Этот прием будет встречаться постоянно, и я не буду боль-
ше останавливаться на нем.
ГЛАВА III
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Как и раньше, я начну с плана дальнейшего изложения.
Чтобы избежать недоразумений, я укажу, что принятое мной
изложение, на мой взгляд, может быть облегчено, если отка-
заться, например, от доказательства некоторых пунктов; при этом
можно лучше приблизиться к уровню средних учеников класса
математики. Таким образом, я никоим образом не провозглашаю
мою систему изложения как ту, которую следует принимать
в этом классе; один лишь опыт позволит судить, в какой мере
оно является приемлемым. Я лишь беру эту систему изложе-
ния за основу для дальнейших дискуссий.
24. Понятие площади. Предположим, что мы имеем рав-
ные между собой квадратные плиты, которыми хотим замостить
различные комнаты. Одну из комнат мы сможем покрыть 100 пли-
тами, использоваными надлежащим образом, причем не исключена
возможность, что некоторые из плит придется делить на части;
другая потребует 150 плит. Мы говорим, что площадь первой
комнаты меньше второй, или, точнее, что первая комната имеет
площадь в 100 плит, а вторая — в 150 плит. Подобно тому как
сравнение произвольного отрезка с единичным привело нас к по-
нятию длины и числа, так и этот практический вопрос и другие
родственные ему должны, очевидно, привести к каким-то новым
математическим понятиям.
Чтобы оценить длины различных отрезков АВ, расположенных
на одной прямой, мы построили на ней по обе стороны от точки
а) шкалу из единиц U, затем шкалу из единиц и т. д. (см. п. 8,
стр. 29). Сравнение АВ с полученной таким образом шкалой Т,
имеющей неограниченно малые интервалы, и позволяло нам опре-
делить и оценить длину АВ. Здесь мы будем поступать точно
таким же образом.
Пусть нам дан квадрат С, расположенный в рассматриваемой
плоскости, и пусть юл и (оу — прямые, совпадающие с двумя из
его сторон. Проведем параллельно прямые на расстояниях,
кратных стороне квадрата С; аналогично поступим и со стороной
51
wy. Мы покроем плоскость сеткой /?, состоящей из квадратов,
равных С, которые назовем квадратами U. Разделим стороны
этих квадратов на 10 равных частей, через точки деления про-
ведем прямые, параллельные юл и (оу; мы получим сетку
состоящую из квадратов, которые мы назовем Uv Подобным же
образом переходят к сетке /?2, состоящей из квадратов (72, и т. д.
Совокупность всех сетей образует то, что мы назовем полной
сетью Т, построенной исходя из квадрата С. Площади мы и бу-
дем определять и оценивать путем сравнения с сетью («шка-
лой») Т.
Пусть имеется область D1. Сосчитаем количество квадратов
t7z, целиком состоящих из точек D\ пусть число их будет равно
Так как квадрат Ц. содержит 100 квадратов Ui+V то мы имеем:
а 100 1002 100’ ’
Мы будем считать, что все эти числа не больше площади/).
Сосчитаем затем, сколько имеется квадратов Ui9 по крайней мере
одна точка которых принадлежит D\ пусть число их будет равно
Очевидно, что далее по той же причине, что и выше,
2V=^100 100* 100’ ’
все эти числа , большие чисел или равные им, мы будем
100' 100' >
считать не меньшими площади D.
Если эти две последовательности чисел являются неогра-
ниченно сближающимися последовательностями, т. е. если
- п{
100z
стремится к нулю при неограниченно возрастающем i, то
говорят, что число, определенное этими двумя последователь-
ностями, есть площадь D, выраженная в единицах площади U.
Как и в случае длин, это определение дает практический
прием для нахождения определяемого числа. В обоих случаях
мы не можем построить полной шкалы Т, но можем по крайней
мере нанести первые деления шкал /?, Rlt Rt, скажем, отвеча-
1 В элементарной геометрии понятие области не имеет точного значения;
оно является достаточно ясным, если ограничиться семейством многоугольных
областей или областями, из которых каждая ограничена конечным числом пря-
молинейных отрезков и дуг окружностей и т. д. Однако для того, чтобы лучше
подчеркнуть, что определение остается одним и тем же для всех этих семейств
областей, мы умышленно не уточняем здесь слово «область», оставляя за ним
всю его расплывчатую общность.
Со строго логической точки зрение, употребление этого слова влечет за
собой требование доказательства всех используемых свойств областей, скажем
свойств, касающихся их границ. Но здесь опять-таки дело касается свойств,
которые совершенно очевидны для тех простых областей частного вида, кото-
рые нас будут в первую очередь занимать. В элементарных курсах эти свойства
по твердо установившемуся обычаю принимаются без доказательств.
52
ющие единицам U, Uv U2. Когда речь идет о длинах, то эти
шкалы наносят на линейку, которую прикладывают затем к из-
меряемому отрезку, и прочитывают на линейке числа п, nv п2\
N, N19 N2. В случае же площадей сети наносят на транспарант,
который затем прилагают к изучаемой области, и точно так 'же
сосчитывают числа и, пх> п2; N, N2.
25. Мы поясним это определение, применяя его к прямо-
угольнику ОАСВ со сторонами ОА и ОВ, параллельными (ол и
юу; принимая, как обычно, сторону v квадрата U за единицу
длины, обозначим длины ОА и ОВ через а и Ь. Стороны квад-
рата Ui9 параллельные соу, отметят на ОА шкалу отрезков
Д; из этих отрезков целиком принадлежат ОА и Л/ из них
CL * ^4- ‘
содержат хоть одну точку ОА. Из 'п. 8 мы знаем, что -А и
суть приближенные значения а, соответственно по недостатку
и по избытку. К тому же мы имеем:
Л <«,-4-2.
Меняя роли ОА и ОВ, <ох и ыу, мы получим аналогично, что>
А, В,.^6,.4-2.
10' 10* ' 11
Но л,- квадратов Ut, все точки которых принадлежат ОАСВ,
суть как раз те квадраты, которые проектируются на ОА и на ОВ
в рассматриваемые а,- и отрезков; таким образом, имеем:
Аналогично этому N( квадратов (7,-, по крайней мере
некоторые точки которых принадлежат ОАСВ, суть те, которые
проектируются на О А и ОВ в рассматриваемые А,- и Bt отрезков;
мы имеем, следовательно: N^A^Bf. Два числа:
и Ni = At . Bi
100' 10' 10' 100' 10** 10'”
порожденные квадратами i7;, заключают между собой произве-
дение ab, и мы имеем:
М- — ”. AjBj — ajbj (a; -f- 2) (&, + 2) — afi; __
100' 100*’ 100'
2
10'
A_l А_1_2.
10‘ ~ 10' ‘ 10'
Значит, обе последовательности и являются неогра-
ниченно сближающимися; они определяют величину ab. Таким
образом, площадь прямоугольника ОАСВ, выраженная в еди-
ницах U, равна ab.
Таким образом мы доказали, что всякий прямоугольник со
сторонами, параллельными сол и юу, имеет площадь, ц оценили
53
эту площадь; из полученного выражения следует, что два прямо-
угольника, полученные один из другого параллельным переносом,
имеют одну и ту же площадь и что площадь прямоугольника
со сторонами, параллельными юл и (оу, образованного соедине-
нием двух других прямоугольников, равна сумме площадей обоих
прямоугольников.
Для того чтобы наше математическое понятие площади было
согласовано с практическим и могло быть использовано в случае
любого многоугольника, очевидно необходимо доказать, что
всякий многоугольник имеет площадь; дать способ оценки этой
площади; показать, что два многоугольника, полученные один
из другого движением, имеют одну и ту же площадь и что
многоугольник, образованный соединением двух других много-
угольников, обладает площадью, равной сумме площадей этих
многоугольников. Ниже мы выполним эту программу.
26. Всякий многоугольник имеет площадь. Пусть
дан многоугольник Р\ и п£— относящиеся к этому много-
угольнику числа, связанные
с
квадратами t7z; нужно оценить
разность 2VZ— п£. Эта раз-
ность равна числу квадратов
U[9 учтенных в числе N£ и
не учтенных в числе п£, т. е.
числу квадратов U£, содержа-
щих как точки, принадлежа-
щие многоугольнику Р, так и
точки, не принадлежащие
ему. Каждый такой квадрат
содержит также граничные
точки (или точки контура)
Р;.этот контур состоит из
конечного числа отрезков;
таким образом, мы дока-
/V,- — П;
жем, что —*—г1 стремится к
100* г
нулю при неограниченном
возрастании /, если нам
удастся доказать, что
стремится к нулю, где gz— число квадратов U£, содержащих
точки произвольного отрезка АВ. Последнее же обстоятельство
установить довольно легко.
Предположим сначала, что АВ не параллелен ни ох, ни оу
(рис. 3). Пусть X — прямоугольник со сторонами, параллельными
и оу, и пусть стороны X, параллельные оу, отсекают на пря-
мой АВ отрезок ар, содержащий отрезок АВ. Квадраты (7Z, со-
держащие точки отрезка АВ, находятся среди тех, которые со-
держат дочки X; если таких квадратов будет то число
54
не превосходит т. е. приближенного по избытку зна-
чения площади к, которое при i достаточно большом превосхо-
дит эту площадь сколь угодно мало. Если, следовательно, а и b
суть стороны X, то при i достаточно большом будет сколь
угодно мало превышать ab.
Пусть у— середина отрезка оф; повторим наше рассуждение
отдельно для ау и для ур; заменим фигуру, состоящую из X и
отрезка ар, подобными ей фигурами: прямоугольником X, и от-
резком ау, прямоугольником Х2 и отрезком ур; при этом стороны
треугольников X, и Х2 будут равны и ~. Так как для того,
чтобы квадрат Ц- содержал точки ар, необходимо, чтобы он со-
держал точки ау или точки ур, то очевидно, что при i доста-
точно большом превосходит сколь угодно мало выражение
а I а
¥ ’ 2" ‘ Т ’ 2" ~2~'
Новое разбиение аналогично даст значение затем ~
и т. д. Следовательно, — при достаточно большом i может быть,
сделано сколь угодно малым.
Если АВ параллельно юл или (оу, то X нужно заменить прямо-
угольником с основанием АВ и с произвольно малой высотой.
27. Если разбить многоугольник Р на много-
угольники Р2, ... , Рт, то
площадь Р=площадь Рг + площадь Р2 площадь Рт.
Действительно, квадратов Ц-, содержащихся в Р, либо
целиком содержится в каком-нибудь из многоугольников Pk
(пусть, например, Pk содержит nlk квадратов), либо содержат
точки контура какого-либо многоугольника Pk (пусть число та-
ких квадратов равно gz). Очевидно, имеем:
_ . п1 п¥
При неограниченном возрастании t числа —. и —. неогра-
ниченно приближаются к площадям Р и РЛ, в то время как вели-
ц1’
чина стремится к нулю; отсюда и следует приведенное выше
равенство.
Из этого равенства непосредственно вытекаеъ, что в случае
многоугольника Р, содержащего внутри себя попарно непере-
секающиеся многоугольники Рр Р2, ... , Рот, не заполняющие Р
целиком,
55
площадь площади Рг • • • + площадь Рт\
в случае же многоугольника Р, полностью покрытого много-
угольниками Рр Р2, ... , Рт, некоторые из которых могут
попарно перекрываться,
площадь Р^ площади Рг -|- ... площадь Рт.
28. В классе перед учениками, прежде чем перейти к случаю
других областей, следует разобрать до конца случай много-
угольников; здесь же, обращаясь к учителям, я во избежание
неминуемых иначе повторений сразу приведу необходимое
и достаточное условие существования площади
у области D.
Мы уже видели, что для этого нужно, чтобы при неограни-
N; — П; тт
ченном возрастании i величина —1 стремилась к нулю. Но
—Ц есть площадь многоугольника £*, образованного N( содер-
жащими точки D квадратами (7Z-, так что Е покрывает D\
есть сумма площадей многоуголь-
ников Z, образованных zzz содержащи-
мися внутри D квадратами Ц,
так что D покрывает 1 (рис. 4.).
Итак, для того чтобы область D
имела площадь, необходимо, чтобы
D можно было покрыть многоуголь-
ником Е и внутри D можно было
поместить (попарно непрерываю-
щие с я) многоугольники I так, что-
бы площадь Е сколь угодно мало
превосходила сумму площадей I.
Обратное предложение также
имеет место. В самом деле, при
достаточно большом i сумма пло-
щадей N\ квадратов (7Z, содержа-
щих хотя бы по одной точке многоугольника £*, сколь
угодно мало отличается от площади Е, а сумма площадей
/г- квадратов, целиком содержащихся в прямоугольниках Z, сколь
угодно мало отличается от суммы площадей прямоугольников I.
Иначе говоря, число будет при достаточно большом i
сколь угодно мало отличаться от разности площадей Е и Z, а,
следовательно, само будет сколь угодно малым. Обозначая через
Nt и п- введенные выше числа, относящиеся к самой области D,
имеем, очевидно:
п{ п;.
56
Поэтому
Nj — щ — щ
100z‘ 100z’ ’
M- - Щ '
а так как число может быть сделано сколь угодно мало>
превышающим разность площадь Е— площадь /, то и —
есть сколь угодно малая величина. Более того, площадь D за-
ключена между площадями Е и /.
Совершенно очевидно, что это предложение может быть
использовано для обобщения теорем предшествующего "пункта,
равно как и для доказательства того, что область, образованная
объединением нескольких областей, имеет площадь, коль скоро
имеют площадь все эти последние области. Благодаря этому же
мы сможем придать большую общность последующему пункту.
29. Равные многоугольники имеют одинаковую
площадь. Более обще, если D есть область, имеющая пло-
щадь, и Д равно D, то Д также имеет площадь, причем послед-
няя равна площади D. Мы разобьем наше доказательство на
несколько частей, предполагая сначала, что/) — многоугольники,
и делая дополнительные предположения о характере движения,
переводящего D в Д.
а) Многоугольник Д получается из D при помощи парал-
лельного переноса. Пусть многоугольник D покрывается N{
квадратами t7z и содержит таких квадратов; параллельный
перенос, переводящий D в Д, переводит квадраты U{ в квадраты
Vi той же площади (см. п. 25); следовательно, Д покрывается N{
квадратами и содержит п{ таких же квадратов; таким образом,
имеем:
100' 100'
что показывает, что площади D и Д равны.
б) Многоугольник Д получается из D при помощи симмет-
рии относительно оси ZZ'. Пусть С'—квадрат, одна сторона
которого совпадает с ZZ' (рис. 5). Исходя из С, построим сетку
Т подобно тому, как в п. 24 мы строили сетку Г, исходя из С;
последовательные квадраты сетки Г обозначим через U’19 U’2,...
Пусть N'i обозначает число квадратов J7-, содержащих точки Z),
n't — число квадратов целиком содержащихся в D. Все квад-
раты Ui имеют равные площади (п. 29 а); так как в С содер-
жится 1001 квадратов (7-, то, согласно п. 27, все они имеют пло-
$
щадь, равную —
где S— площадь С.
Следовательно, мы имеем:
— S площадь D . S;
100' 100‘
57
при /, неограниченно возрастающем, разность между двумя край-
ними членами последнего двойного неравенства стремится к нулю,
n'_________________________л'.
так как, согласно п. 26, 1 стремится к нулю.
Но так как D и Д симметричны относительно оси ZZ', то,
исходя из многоугольника Д, мы придем к тем же самым числам
и п;; поэтому площадь Д также удовлетворяет выписанному
двойному неравенству. Следовательно, Д и D имеют равные
площади.
в) Многоугольник Д равен многоугольнику D (о б щ и й с л у-
ч а й). Мы утверждаем, что D можно перевести в Д при помощи
последовательных параллель-
ного переноса и одной или
двух симметрий относитель-
но оси. В самом деле, пусть
А и а, В и р— две пары со-
ответствующих точек много-
угольников D и Д (рис. 6).
Параллельный перенос на
вектор Да переводит точку
В в р'; последующая сим-
метрия относительно пер-
пендикуляра, восстановлен-
ного к отрезку рр' в его се-
редине *, переводит D в та-
кой многоугольник £)', что
точка А переходит в а, а
В — в р. Ясно, что D’ либо
совпадает с Д (рис. 6, а),
либо симметричен Д относи-
тельно ар (рис.6, б). В обоих
случаях переход от D к Д совершается при помощи ряда пре-
образований, сохраняющих неизменной площадь многоугольника;
таким образом, D и Д имеют равные площади.
г) D — произвольная область, имеющая площадь (дальней-
шее обобщение). Пусть Е иI—два многоугольника: один —
покрывающий D, другой — целиком заключающийся в D (Е и I
могут и состоять из нескольких раздельных кусков), площади
которых отличаются одна от другой меньше чем на е. Движение,
переводящее D в Д, переводит Е и I в многоугольники той же
площади, один из которых покрывает Д, а другой целиком за-
ключается в Д. Так как разность е между площадями Е и I
может быть сделана сколь угодно малой, то Д имеет площадь;
эта последняя отличается от площади Е меньше чем на е; зна-
чит, D и Д имеют равные площади.
* Относительно оф, если 0' совпадает с р.
58
Полученный результат можно также сформулировать так:
площадь области не зависит от положения единичного квад-
рата С, а лишь от его величины; другими словами, так как мы
условились за единицу длины принимать сторону квадрата С,
площадь зависит лить от выбора единицы длины.
В самом деле, пусть мы имеем два равных квадрата С и С;
и Г и Т — две сетки, порождаемые каждым из них. Чтобы
оценить площадь области D, исходя из квадрата С', нужно со-
J3
Рис. 6.
считать числа N{ и ni9 относящиеся к D и связанные с сеткой 7\
Но эти числа будут также относиться к области Д и сетке Г,
где А есть та область, в которую переводит D движение, пере-
водящего С' в С (рис. 7); поэтому если D имеет площадь, из-
меренную в единицах площади С', то Д имеет площадь, изме-
ренную в единицах площади С, причем обе эти площади равны
между собой. А так как области Д и D равны (в том смысле,
что одна из них получается из другой движением), то D имеет
также и площадь, измеренную в единицах площади С, причем
эта площадь равна площади Д, измеренной в тех же единицах.
Следовательно, D имеет площадь и по отношению к единице С,
и по отношению к единице С', причем обе эти площади равны
между собой.
Обе сформулированные выше теоремы могут быть также
объединены: как перемещение области D, так и перемещение
сетки Т не оказывают никакого влияния ни на существование
площади D, ни на ее величину.
69=
30. Исследуем теперь влияние на существование и величину
площади области D изменения единицы длины, т. е. замены
квадрата С не равным ему квадратом С\ другими словами,
рассмотрим вопрос, аналогичный тому, который мы ставили в
л. 10, говоря об умножении чисел.
Предположим, что при единице площади С связанные с об-
ластью ~
Отсюда
никами (квадратами Ц), общая площадь которых, выраженная
в новых единицах площади (к которым мы приходим, приняв
за единицу длины сторону С')» равна где чеРез
обозначена площадь С в новых единицах. Согласно предполо-
60
жению о том, что D имеет площадь, выраженную в единицах
площади С, отношение
Mj - щ
100*
стремится к нулю при неограни-
ченно возрастающем значит, D обладает площадью также и при
единице площади С', и эта площадь А, заключенная (при любом Z!)
между
----. и пг
1 юо1 1
S
100‘ ’
равна площади А области D в едини-
цах С, умноженной на S, т. е.
A = AS.
Если с — длина стороны С в новых единицах длины, то имеем:
А = Ас2.
Таким образом, изменение единицы длины приводит к изме-
нению площадей, получающемуся в результате умножения всех
площадей на квадрат длины прежней единицы длины, выра-
женной в новых единицах.
Этому предложению, характеризующему влияние на сравне-
ние D с С преобразования подобия, примененного к
одной из двух областей D и С, можно придать и «обратную»
форму. Действительно, зафиксируем единицу площади С и за-
меним область D подобной ей областью D'; пусть k будет коэф-
фициентом подобия. Если мы обозначим квадрат, полученный из
С преобразованием подобия с коэффициентом подобия k, через
С, то числа Nj и ni9 связанные, с одной стороны, с единицей
С и областью D, а с другой — с единицей С и областью D',
будут одними и теми же (рис. 8). Значит, D' обладает относи-
тельно единицы площади С' той же площадью А, что и область
D относительно единицы площади С; следовательно, площадь D’
относительно С существует и равна
Ak2,
где k2— площадь С', так как сторона С равна k.
Итак, преобразование подобия с коэффициентом подобия k
переводит область D площади А в область D’ площади Ak2.
31. Только что доказанные свойства площадей вполне со-
гласуются с теми, которые нам известны из практики, и именно
это обстоятельство убеждает нас, что наше «математическое»
определение площади правильно отражает то, что обычно пони-
мается под этим словом. Если бы, однако, существовали другие,
отличные от наших, способы сопоставления областям чисел, об-
ладающих доказанными нами в предшествующих пунктах свой-
ствами тех чисел, которые мы там называли площадями, то
это означало бы, что имеется несколько возможных путей пе-
ревода на математический язык житейского понятия площади;
при этом мы могли бы опасаться, что выбранное нами опреде-
ление площади не является наилучшим из всех возможных.
61
Поэтому даже, если рассматривать математику как чисто опыт-
ную науку*, важно доказать, что площадь области однознач-
но определяется следующими условиями:
а) Всякой области, принадлежащей некоторому се-
мейству областей, включающему все многоугольники,
отвечает положительное число, называемое площадью
области;
Р) Всякой области, образованной объединением двух
неперекрывающихся областей, отвечает площадь, равная
сумме площадей этих двух областей;
у) Двум равным областям отвечают ровные площади.
Кроме этого, мы увидим также, что
8) Эти числа-площади полностью определяются чис-
ленным заданием площади одной из этих областей.
В самом деле, возьмем любой квадрат С и пусть k* — число,
отвечающее этому квадрату (его площадь). Тогда, если D —
любая область, принадлежащая рассматриваемому семейству
областей, и если Ni и /г,— числа, полученные исходя из облас-
ти D и сетки Т, порожденной квадратом С, то площадь Z),
заключенная между Nt • —у/ и — это есть та площади, ко-
рую описанная выше процедура сопоставляет области D, 'если
в качестве единичного квадрата выбирается квадрат, получен-
ный из С преобразованием подобия с коэффициентом подобия
1:А. Но в наших условиях число k можно считать известным;
в самом деле, если а0 — заданная площадь области Z)o, а а —
площадь, сопоставляемая DQ с помощью нашего процесса ис-
ходя из сетки Т (т. е. а — предел последовательностей чисел
и Пий образованных для области DQ и сетки Г), то1
Л UU
а
Свойства а), р), у) доставляют нам аксиоматическое
определение площади, освобожденное от тех моментов,
которые можно счесть слишком частными, а именно ют упот-
* Математику можно рассматривать как чисто дедуктивную науку, строя-
щуюся исключительно на законах логики; однако можно воспринимать ее и
как естественнонаучную дисциплину вроде физики, изучающую некоторые спе-
цифические свойства внешнего мира; лишь определенный синтез этих крайних
точек зрения позволяет правильно оценить особенности математической науки.
При этом даже если подходить к математике как к науке чисто опытной, то
площадь области будет определяться единственно нижеперечисленными усло-
виями а) — 3), которые можно считать данными нам из опыта; поэтому и при
таком подходе остается крайне важным доказательство однозначности задавае-
мой этими условиями площади (доказательство того, что разные процессы из-
мерения площади одной области не могут дать нам разные численные значе-
ния площади).
1 Это доказательство предполагает, что D принадлежит одновременно как
к семейству областей, для которых применим изложенный выше прием вычис-
62
ребления для определения площади сетки Г. Сетка Т играет
ту же роль в образовании общего понятия площади, что и де-
сятичная система счисления в образовании общего понятия
числа, определенного нами в гл. I с существенным использова-
нием именно этой системы счисления*.
32. Особенно часто пользуются следующим свойством,
которое сразу вытекает из условий а), р), у); два равносостав-
ленных многоугольника (т. е. два многоугольника, которые
могут быть разложены на равные многоугольные части, разли-
чающиеся только своим положением) имеют одну и ту же
площадь.
Мы доказали это свойство даже для двух областей, образо-
ванных равными (но различными по положению) частями произ-
вольной формы, лишь бы только каждая из этих частей имела
площадь; теперь мы можем вернуться к классическому изло-
жению. А именно, мы можем обычным путем (законность кото-
рого вытекает из выделенного выше курсивом утверждения)
найти площадь параллелограмма; затем площадь треугольника,
а следовательно, и площадь любого многоугольника, так как
всякий многоугольник может быть разложен на треугольники.
Полученные результаты можно резюмировать следующей
хорошо известной теоремой**:
Пусть ABCD ... —плоский многоугольник и и О — какая-
то точка в его плоскости (рис. 9); тогда площадь и равна
у [ ± ДВ-расст. (О, АВ) ±
±5С-расст. (О, ВС)±СО-расст. (О, CD) ±...],
где, например, расст. (О, АВ) означает расстояние от точки
О до прямой АВ\ при этом при члене PQ расст.(О, PQ) (где
PQ — какая-то из сторон и) ставится знакили — в зависи-
ления площадей, так и к семейству тех областей, о котором говорится в усло-
вии а) этого пункта. Однако нам достаточно доказать, что условия а), 0), 7)
могут служить для определения площадей, рассмотренных ранее областей Д
мы должны, следовательно, заниматься лишь тем же семейством областей, что
и выше, или еще более узким семейством областей.
Если мы будем исходить из более обширного семейства областей, то усло-
вия а), 0),т) могут еще иметь место; но, как я когда-то доказал, не убудет
иметь место условие 3). Другими словами, свойства а), 0), к) будут уже*недо-
статочны для характеристики площади с точностью до изменения единицы
площадей.
* Относительно затронутого здесь вопроса об отношении двух определе-
ний площади —с помощью сетки Гис помощью аксиом а) —3) (точнее
о более общем вопросе о соотношении конструктивных и дискри-
т и в н ы х определений математических понятий) см., например, небольшую, но
чрезвычайно тщательно написанную книжку Я. С. Дубнов-а, указанную в
сноске на странице 28.
** Ср. Ж. А д а м а р, Элементарная геометрия, ч. I, М., 1957, Прибавление
Л; А. М. Л о п ш и ц, Об измерении площадей ориентированных фигур, М., 1956;
И. М. Яг лом, Дополнение к книжке Я. С. Дубнова «Измерение отрезков*1.
63
мости от того, расположена ли точка О с той же стороны
от отрезка PQ, что и прилежащая к PQ часть многоуголь-
ника и, или с другой стороны.
Чтобы доказать эту теорему, считая уже определенной пло-
щадь треугольника, заметим, что стороны треугольников АО В,
ОВС, ... , которые мы назовем треугольниками Ti9 разбивают
покрытую ими всеми часть плоскости на отдельные многоуголь-
ники; эти многоугольники, равно как и их площади, мы обозна-
чим через Рх, Р2, ... ; при этом каждый треугольник 7} обра-
зован несколькими многоугольниками PL. Таким образом, только
Рис. 9.
что приведенное выражение площади, представляющее собой
сумму площадей треугольников Ti9 взятых со знаками или—,
будет иметь вид
±(^+^+---)±(^+^+-..)± •••,
где Ра, Рь, ... —те многоугольники Pz, из которых состоит тре-
угольник 7\; Рд, Pbi ...—многоугольники Pz, из которых со-
стоит треугольник 7\, и т. д. Нам надо показать, что после при-
ведения подобных членов в последней сумме останутся лишь
многоугольники Pz, внутренние лишь по отношению к много-
угольнику тт, причем каждый из них с коэффициентом -|-1.
Пусть мы имеем выходящий из точки О луч, не проходящий
ни через одну из вершин А, В, С, ... (рис. 10)*; и пусть Z,,
Z2, ... будут точки последовательных пересечений с контуром
* На рисунке 10 заштрихован треугольник 7\\ из других треугольников 7}
изображены лишь фигурирующие в доказательстве. В этом доказательстве Pk(c,
индексами вверху) обозначают те же площади, что и фигурирующие выше Р,
(с индексами внизу), но занумерованные в другом порядке. (Прим, перев.)
64
многоугольника тг этой прямой, проходимой в обратном направ-
лении. Выберем наши обозначения таким образом, чтобы, пере-
секая границу тт в точке Zp мы входили бы в треугольник Т1
и в многоугольник Р1; чтобы при последующем пересечении
границы п в точке Z2, выводящем нас за пределы и, мы пере-
ходили бы из многоугольника Р1 в многоугольник Р2 и входили
бы в новый треугольник Т2 (не выходя при этом, разумеется,
из пределов треугольника Г1); чтобы при третьем пересечении
границы и в точке Z3, снова приводящем нас внутрь и, мы
переходили бы из многоугольника Р2 в многоугольник Р3 и
входили бы в третий треугольник Та (не выходя ни из Г1, ни
Рис. 10.
из Т2) и т. д. Многоугольники Р-, содержащие точки рассматри-
ваемого луча, входят в нашу сумму следующим образом:
+ {р'+р* + р>+ ...)_(р2 + рз+ „,) + (рз+ ...) =
=р14-рв+ ....
Это рассуждение и доказывает нашу теорему.
33. Имея это изложение, которое в дальнейшем будет до-
полнено рассмотрением класса областей более широкого, чем
многоугольные, можно лучше оценить силу классических рас-
суждений. Обычно полагают математическое понятие площади
установленным практикой; что же касается до аксиом а), р),
у), то ими пользуются чаще всего неявным образом; поэтому
единственным значительным изменением, внесенным нами, мож-
но считать доказательство условий а), р) у)« За исключением
второстепенных деталей, нет никаких расхождений между клас-
сическим изложением и предложенным здесь, логически более
полным.
65
полноту, не уступающую
Ха
Рис. 11.
Что в конце концов дает нам классическое изложение? Оно
дает оценку площадей, определенных при помощи условий а),
Р), у)> 8). Однако на самом деле условие 8) почти не использу-
ется. При некоторых предосторожностях (нам придется в этом
случае говорить о площадях фигуры, а не о единственной ее
площади) можно было бы показать, что уже условия й), р), у)
определяют площадь с точностью до выбора единицы меры,
т. е. вывести условие 8).
Можно также сказать, что классическое изложение позволя-
ет вычислять площади, если таковые существуют, и что доста-
точно было бы удостовериться, что полученные числа удовлет-
воряют свойствам а), р), у), чтобы иметь вэзможность излагать
теорию площадей, не прибегая к помощи новых аксиом. Это
то, что проделывали различные геометры (Шур, Жерар и др.1),
придавая таким путем классическому изложению логическую
г, какой обладает предложенное
здесь изложение.
Приведем, лишь слегка видо-
изменив его, построение, заим-
ствованное у названных выше ав-
торов2.
Каждому многоугольнику
АВС... отнесем число
у[±АВ-расст. (О, ДВ)±
±ВС*расст.(О, ВС)±...],
где О — выбранная произвольным
образом в плоскости точка, а
знаки берутся так, как это ука-
зано выше. Покажем прежде все-
го, что это число на самом деле
не зависит от выбора
точки О.
Пусть (о, есть некоторая точ-
ка отрезка АВ (т. е. точка, ле-
жащая между А и В; рис. 11); рассмотрим прямой угол
одна сторона WjXj которого совпадает с е^В, а вторая сторона,
(оьу1 направлена во внутреннюю область многоугольника, приле-
1 Ссылки на литературу можно найти, например, в книгах: Д. Гильберт,
Основания геометрии, М.—JL, 1948 и Ф. Энриквес, Вопросы элементарной
геометрии, Спб., 1913.
2 Заметим, что утверждение а), которое выше несколько раз называлось
предложением или аксиомой, хотя на самом деле оно являлось всего-навсего
наименованием (пояснением слова «площадь»), теперь становится настоящей
теоремой и к тому же весьма важной: каким бы образом ни разбить мно-
гоугольник Р на отдельные треугольники 7}, сумма площадей Г/ этих
треугольников всегда будет одной и той же.
66
гающую к АВ, Мы знаем, что если перенести этот угол в .новое
положение х2<о2у2 так, чтобы точка совпала с точкой ©^сто-
роны ВС и сторона (DjXj угла перешла в Ларону о)2х2 нового
угла, совпадающую по направлению с ю2С, то о^у2 будет на-
правлена опять-таки во внутреннюю область многоугрльника,
прилегающую к его стороне ВС, и т. д. Поэтому если усло-
виться считать отрезки АВ, ВС, ... направленными, задавая
последовательно положительное направление (изменяющимся)
вектором шх, и считать направленными также отрезки НО, КО, ... t
выражающие расстояния сторон многоугольника от точки О,
считая положительным направление вектора му, соответст-
вующего каждой стороне многоугольника, то предшествующее
выражение превратится в следующее:
4-ЙВ-/7О+ВС-ЯОЧ- •••)•
А
Если теперь заменить точку О новой точкой Ор то мы при-
дем к следующему выражению:
± {АВ-[ЙО+ Од(-cos (б&., +
4-ВС[7ro+ 00. cos (00., ^)]
отличающемуся от прежнего на
[ЛВcos(Ой, <^4-BCcos(6fi, ^2)+ ...],
где вектор ОЙ получается из 00. тем же вращением, которое
переводит в wj/, в и т. д. Но стоящее в скоб-
ках выражение выражает общую меру проекции контура много-
угольника АВС ... на ось Ой, получаемое сложением (направ-
ленных!) проекций отдельных его сторон АВ, ВС, ... , и поэ-
тому оно равно нулю; следовательно, число, сопоставляемое
многоугольнику, по нашему правилу не зависит от выбора
точки О. Скоро мы убедимся к тому же, что это число всег-
да положительно.
Установим сначала, что это число удовлетворяет свойству
р). Для этого нам надо сложить два числа, отнесенные двум
неперекрывающимся многоугольникам Р. и Р., соединение ко-
торых дает многоугольник Р; пусть оба эти числа определены
исходя из одной и той же точки О. Так как мы не изменяем
числа, отнесенного многоугольнику АВС ... , дополняя число
его вершин еще одной вершиной Z, расположенной на стороне
АВ между А и В, т. е. заменяя произведение
ДВ-расст. (О, АВ)
на
AZ-расст.(О, AZ)-{-ZB-расст.(О, ZB),
но можно предположить, что многоугольники Р. и Р. прилежат
друг к другу по некоторому числу общих сторон (целых, а не
67
частей сторон!). Но если АВ есть одна из этих сторон, то про-
изведение
ДВ-расст. (О, ДВ),
входящее в обе суммы, отвечающие многоугольникам Р2 и Р29
будет фигурировать в этих суммах с противоположными зна-
ками, так как Р2 и Р2 расположены по разную сторону от АВ.
С другой стороны, если, например, KL есть сторона Pv не
принадлежащая Р2, то произведение
/<£-расст. (О, ^£)
входит в отвечающие Рх и Р суммы с одним и тем же знаком,
так как Рх и Р расположены по одну сторону от KL.
Таким образом, приведя подобные члены в сумме состав-
ленных исходя из О выражений, отвечающих многоугольникам
Рх и Р2, мы получим (определенное исходя из той же точки О)
выражение для числа, отвечающего многоугольнику Р.
Доказав таким путем р), мы можем теперь утверждать, что
число, отвечающее многоугольнику Р, будет суммой чисел, от-
вечающих всем треугольникам некоторого (какого угодно!) раз-
биения Р на треугольники; поэтому, для того чтобы доказать,
что это число будет положительным и будет удовлетворять
условию у), достаточно убедиться, что число, отнесенное по
этому правилу произвольному треугольнику, всегда поло-
жительно и не зависит от положения треугольника в плоскости.
Вычисляя же число, отнесенное треугольнику АВС, мы можем
принять за точку О вершину треугольника; в таком случае мы
немедленно находим, что это число равно ±-BC-AD, где AD
есть высота треугольника, опущенная из вершины А.
На этом доказательство заканчивается. Обычно ему придают
следующий вид: сначала доказывают свойство р), фиксируя
точку О; затем способом, в точности совпадающим с принятым
выше, сводят вычисление числа, отнесенного многоугольнику Р,
к сложению чисел, отнесенных треугольникам; проверяют не-
посредственно, что в треугольнике все три полупроизведения
сторон на соответствующие высоты равны между собой и что,
каково бы ни было положение точки О относительно треуголь-
ника, число, сопоставляемое по описанному правилу этому тре-
угольнику, всегда равно половине указанного полупроизведения*.
Эти утверждения мы заменили более компактными, но менее
элементарными рассуждениями, использующими переход от О
к Доказательство сводится, таким образом, к следующему:
из гипотез а), р), у) вытекает возможность вычисления площади
бесчисленным числом способов; среди них мы выбрали один
вполне определенный; этим путем мы удовлетворяем основной
части условия а): каждой области относим вполне определенное
* См. Ж. Адамар, Элементарная геометрия, часть I, прибавление Д.
68
число. Затем мы проверяем, что это число удовлетворяет усло-
виям р) и у) и к тому же является положительным.
34. Описанный путь — это как раз тот, каким мы шли,
применяя наш первый метод, за исключением того, что мы не
оттеняли, какими именно из многих свойств общежитейского по-
нятия площади мы пользовались в наших математических построе-
ниях; такил* образом, мы не формулировали явно свойства а),
р) и у)- Этого порядка всегда придерживаются, когда переводят
на математический язык какое-нибудь конкретное понятие: начи-
нают с использования всего того, чему научил нас относительно
этого понятия опыт; построив затем первое математическое оп-
ределение, пытаются его усовершенствовать, оставляя в нем
лишь то, что было разумно использовано. Аксиоматика устанав-
ливается лишь на заключительном этапе, когда основное по-
строение уже завершено; но тогда она нужна для того, чтобы
точно очертить границы применимости полученного результата,
чтобы обобщить его, если это потребуется, и т. д.
Таким образом, за исключением деталей изложения, оба
наши метода построения теории измерения площадей следуют
одному пути; поэтому нельзя упрекнуть второй метод в том,
что он имеет характер проверки1, без того, чтобы тот же упрек
не был направлен и на первый метод. Нельзя упрекнуть первый
метод за употребление сетки 7, лишь искусственно связанной
с нашей задачей, без того, чтобы не упрекнуть второй метод
за точку О. Единственным глубоким различием является то,
что первый метод, использующий общее определение площади,
имеет более широкую область применимости, в то время как
второй метод, употребляющий способ оценки, пригодный лишь
для многоугольников, более ограничен в своих применениях, но
зато обладает тем изяществом, которое всегда связано с конеч-
ной процедурой, и выделяет из всех прочих областей много-
угольные, подобно тому, как (об этом мы упоминали в пред-
шествующей главе) обычно выделяют рациональные числа.
35. Пользуясь этими замечаниями, мы можем предложить
теперь и новые построения теории площадей; приводим един-
ственное, стоящее того, чтобы упомянуть о нем здесь. В сущ-
ности говоря, наш второй метод исходит из интегрирования
в полярных координатах, в то время как базой первого явля-
ется интегрирование в декартовых прямоугольных координатах.
Можно также, используя приемы землемеров, прийти еще к
одному методу, также сводящемуся к конечной процедуре и при-
ложимому лишь к многоугольникам.
1 Такой характер имеют все доказательства существования некоторого
объекта Е: допуская временно существование Е, используют это предположе-
ние для построения Et после этого проверяют, что построение дает результат,
удовлетворяющий всем требуемым условиям.
69
Этот метод заключается в следующем:
а) Выбрав фиксированное направление wy, отнесем всякому
многоугольнику Р число
где Bv b2; В2, b2, ...—длины оснований трапеций, на которые
разбивается многоугольник прямыми, проведенными через вер-
шины Р параллельно wy, a ht, h2— высоты этих трапеций
(рис. 12). В приведенном выражении мы рассматриваем в ка-
Рис. 12. Рис. 13а.
честре трапеции и треугольник, одна сторона которого парал-
лельна wy; одно из двух оснований такой «трапеции» имеет ну-
д)
Рис. 13(7.
левую длину.
р) Пусть основания трапеции (или треугольника) Т парал-
лельны соу; секущей, пересекающей основания Т (а не их про-
должения), разделим Т на две трапе-
ции (треугольника) 7\и 7\ (рис. 13,а);
согласно нашей формуле число (Г),
отнесенное Т, является суммой чисел
(7\) и (Г2), отнесенных 7\ и Г2; это
частный случай свойства р).
Другим частным случаем является
тот, когда Т разбито на части Г, и
Т2 прямой, параллельной основаниям;
используя предшествующий случай,
можно считать, что Т есть треуголь-
ник АВС с основанием ВС, параллель-
ным шу; пусть DE — секущая (рис. 13Д).
Число (Т) выразится так:
у ВС • расст. (Л, ВС);
легко доказать, что
оно также равно
у АВ'расст. (С, АВ).
70
Далее имеем:
(Г) = X АВ • расст. (С, АВ) =
=^AD- расст. (С, AD) + у DB • расст. (С, DB) =
= у АС- расст. (D, АС) + у ВС -расст. (D, ВС) =
= |уЛ£-расст.(£), Д£)+уЕС-расст.(D, ВС)] -j-
+ у ВС-расст. (£>, ВС)=у АЕ- расст. (О, АЕ) +
+ |у£)£-расст.(С, DE)~ВС-расст. (О, ВС)] =
= (Л) + (Л).
Пусть имеем теперь общий случай многоугольника Р, разде-
ленного на два смежных многоугольника Р, и Pt. Чтобы опре-
делить числа (Р), (PJ, (Р2),> отвечающие этим многоугольникам,
воспользуемся вторым из рассмотренных выше частных случаев $),
у-----------------------Ы
Рис. 14.
позволяющим исходить из разбиения, порожденного прямыми,
параллельными toy, проходящими через все вершины этйх трех
многоугольников, в то время как первоначальное определение
площади каждого из наших многоугольников использует лишь
некоторые из этих прямых. Рассмотрим теперь трапеции, фигу-
рирующие в определении чисел (Р), (Р,), (Рг); каждйя из этих
трапеций ограничена двумя последовательными из- проведенных
нами прямых, параллельных шу (рис. 14). Трапеции; учитываемые
при определении числа (Р), разделены смежными сторонами
многоугольников Р, и Р, на отдельные трапеции, из которых
одни учитываются при вычислении (PJ, а другие — при вычис-
лении (Р,); это разбиение точно такое же, как то, которое мы
71
рассмотрели при доказательстве первого частного случая. Итак,
в силу первого частного случая р) имеем:
(Р)=(Р,) + (Л)-
у) Чтобы доказать предложение у)» достаточно определить
число, отвечающее треугольнику АВС; мы умеем находить это
число в том случае, когда одна из сторон треугольника парал-
лельна соу. Предположим, что этот случай не имеет места и
пусть прямая, параллельная соу и проходящая через вершину С,
делит наш треугольник на два треугольника ACD и BCD
(рис. 15). В таком случае имеем:
(АВС) = у CD-расст. (A, CD) + у CD-расст. (В, CD) =
= у AD-расст. (С, AD)4-у BD-расст. (С, BD) =
= -±-АВ-расст. (С, АВ)*.
Ал
36. Следует ли вводить в преподавание одно из трех рас-
смотренных нами изложений, безупречных с точки зрения логи-
ческой, или какое-нибудь другое аналогичное построение?
Я уже говорил, что первое изложение будет, без сомнения,
слишком ученым и сложным для средних учеников; лишь опыт-
ность может позволить оценить его; два других могут явиться
более доступными. Однако ученикам естественно усомниться
в пользе доказательств а), р), у), проводимых после того, как
этими свойствами долго пользовались; при этом они могут во-
образить, что всегда полезно подвергнуть сомнению то, что уже
было доказано, и получить, таким образом, превратное представ-
ление о логических выводах. Во всяком случае фактом является
то, что второе изложение всем хорошо известно, неоднократно
приводилось в учебниках и, несмотря на это, однако, не при-
вилось в преподавании. Значит, учителя не видят ничего пред-
осудительного в явном или неявном допущении условий а), р), у);
я также не нахожу здесь ничего предосудительного. Важно
только иметь совершенно точное представление о принимаемом
пути изложения, а для этого нужно хорошо с ним познакомиться
и тщательно сопоставить то, что делают, с тем, что нужно
было бы сделать, чтобы иметь возможность считать все дока-
занным. Пренебрегая этими сопоставлениями, часто допускают
курьезные ошибки.
Некоторые думают, например, что классические приемы пре-
образования всякого прямоугольника R в прямоугольник р, одна
из сторон которого равна единице, достаточны для построения
полной теории площадей прямоугольников; достаточно принять
* И, следовательно, отнесенное треугольнику число, равное полупроизве-
дению длины стороны треугольника на длину опущенной на эту сторону высоты,
не зависит от расположения треугольника на плоскости.
72
для этого за площадь /? длину второй стороны прямоугольника р.
Конечно, это соображение можно использовать для определения
площади; но совершенно не очевидно, что какой-нибудь другой
прием, отличный от обычно рассматриваемого, не приведет
к другому прямоугольнику р, связанному с тем же прямоуголь-
ником R, и, значит, к другой величине площади.
37. Уточним последние соображения, привлекая понятие рав-
носоставленности. Два многоугольника называются р а в н о с о-
ставленными, если каждый из них можно разбить на одно
и то же конечное число попарно рав-
ных треугольников, так что треуголь-
ники, на которые разбит один много-
угольник, равны треугольникам, вхо-
дящим в разбиение второго много-
угольника*. Покажем, что всякий тре-
угольник равносоставлен с некоторым
прямоугольником р (одна сторона
которого равна 1), отсюда будет сле-
довать, что всякий многоугольник
равносоставлен с прямоугольником р,
образованным конечным числом таких
прямоугольников, отвечающих треуго-
льникам, полученным каким-то (безраз-
лично каким!) разбиением многоуголь-
ника на треугольники.
Итак, пусть мы имеем треугольник
АВС; середины его сторон СА и СВ
обозначим через А' пВ' (рис. 16). По-
вернем треугольник А'В'С на 180° во-
круг точки В', придав ему положение
В"В'В; треугольник АВС превратит-
ся при этом в параллелограмм АВВ"А'.
Если М— произвольная точка ст
раллелограмма, то, перенеся параллельно треугольник АА'М на
вектор АВ, мы получим параллелограмм ABNM, который можно
дальше перекраивать таким же образом и т. д. А так как еще
можно поменять ролями вершины Л и В, то параллелограмм
АВВ"А' можно превратить в произвольный параллелограмм
с тем же основанием АВ и с той же (по величине) высотой,
что и у АВ В” А'.
Среди этих параллелограммов найдется.такой параллелограмм
ABDE, сторона АЕ которого будет целым кратным произволь-
* Чаще говорят, что два многоугольника равносоставлены, если их можно
разбить на одинаковые многоугольные (но не обязательно треугольные!) части.
Ясно, что по существу это определение не отличается от приведенного в книге,
поскольку каждый многоугольник можно разбить на треугольники.
73
но заданной длины I (построение лишь упростится, если сразу
можно будет найти параллелограмм ABDE, сторона АЕ которого
равна Z). Если, например, АЕ = 31, то, деля АЕ на три рав-
ные части и проведя через точки деления прямые, параллель-
ные АВ, мы разделим ABDE на три равных параллелограмма,
которые, приложенные друг к другу в ином порядке, дадут
нам параллелограмм а|38е, сторона ар которого равна утроенной
стороне АВ, а сторона as равна Z. Проделывая над a^Ss
те же операции, что и над АВВ"А', причем as будет теперь
играть роль АВ, мы можем получить любой параллелограмм с
основанием as, причем параллельная as сторона параллелограмма
принадлежит прямой £8; в частности, можно прийти и к прямо-
угольнику.
Если принять Z=l, то мы превратим треугольник АВС
в прямоугольник р, одна сторона которого равна 1. Посмо1рим,
чему равна его другая сторона. Основанием параллелограмма
АВВ"А является сторона АВ треугольника, а высота, опущен-
ная на это основание, равна половине высоты АВС, проведен-
ной из вершины С, При переходе от АВВ"А’ к ABNM, АВ и
соответствующая ему высота не изменились, но другое основа-
ние и соответствующая ему высота претерпели изменение.
Однако если заметить, что произведение основания на соответ-
ствующую высоту одинаково для обоих оснований параллело-
грамма, то станет ясно, что это произведение не меняется как
при переходе от АВВ”А' к ABNM, так и при всех дальнейших
преобразованиях. Отсюда следует, что если b — основание АВС,
h — соответствующая высота, то для всех полученных паралле-
лограммов произведение основания на высоту равно ~ bh. Вторая
высота прямоугольника р равна, следовательно, у&й.
Отсюда следует, что если нам дан многоугольник Р, то мы
можем, разбивая Р на треугольники- и превращая каждый тре-
угольник в прямоугольник р, превратить Р в равновеликий ему
прямоугольник, одна сторона которого равна 1, а другая — сумме
4- 6Л, взятой по всем различным треугольникам разбиения.
Пришли ли мы таким образом к новой законченной теории
измерения площадей? Нет, так как еще не доказано, что полу-
ченная таким образом площадь является единственной,
т. е. не зависит от произведенного разбиения многоугольника
Р на треугольники. Считать эту теорию полной — это значит со-
вершать ошибку, аналогичную той, за которую мы так часто
упрекаем наших учеников, когда, например, они заключают, что
число разлагается на простые множители единственным спосо-
бом, в то время как они обнаружили это обстоятельство, упот-
ребляя лишь один частный прием разложения.
Эта теория может быть уточнена. Мы уже видели, что два
74
многоугольника являются равновеликими, т. е. могут быть пре-
вращены один в другой с помощью описанной только что про-
цедуры, лишь в том случае, когда отвечающие им в силу а)
числа одинаковы *. Но, более того, мы знаем, что в случае двух
параллелограммов это условие является и достаточным для рав-
носоставленности; отсюда следует, что оно является достаточ-
ным также и в случае двух произвольных многоугольников.
Исходя из этого, можно показать, что если возможно удовлет-
ворить условиям а), р), у), то числа-площади будут найдены
с точностью до множителя, т. е. будет доказано условие 8).
Таким образом, эта четвертая теория площадей вполне равно-
сильна классической теории1; как и последняя, она опирается
на а), |}), у), доказывает 8) и приводит к конечной процедуре,
позволяющей определить площади многоугольников.
Чтобы завершить эту четвертую теорию, нужно доказать а),
р), у), например, одним из трех указанных выше приемов; так
как мы занимаемся здесь лишь многоугольниками, то в первую
очередь отметим два последних из них. Из «Оснований геомет-
рии» Гильберта видно, насколько простую форму можно тогда
придать второму приему**. Можно также воспользоваться и
третьим приемом. Если упрощения возможны, так это потому,
что теперь видно еще отчетливее, чем раньше, что все сводится
к тому, чтобы показать, что рассматриваемое нами число является
однозначно определенным. Если это обстоятельство справедливо,
то из него сразу вытекают р) и у): р) — потому, что здесь числох
определяется разбиением многоугольника на (треугольные) части,
а у)—потому, что это число одинаково определяется для всех
равных треугольников независимо от их положения на плоскости.
38. Таким образом, теорию можно будет считать полной, если
доказать, что никакой многоугольник нельзя разбить на конеч-
ное число многоугольных частей так, чтобы эти части, иначе
расположенные, образовывали бы многоугольник, целиком ле-
жащий внутри первого.
Это то свойство, которое является геометрической основой
теории площадей. В случае многоугольников теория будет со-
стоять из трех частей:
* Эти числа могут быть определены, например, с помощью классической
теории площадей многоугольников, описанной в п. 32—33.
1 Более изящная, чем эта последняя, она, с другой стороны, обладает тем
недостатком, что не может быть распространена на объемы, так как М. Ден
показал, что два разновеликих многогранника (многогранника, имеющих рав-
ные объемы), вообще говоря, будут не равносоставлены. [См. по этому поводу
брошюру В. Г. Болтянский, Равновеликие и равносоставленные фигуры,
М., 1956, широко освещающую затронутый здесь круг вопросов. (Прим, ред.)]
** См. Д. Гильберт, Основания геометрии, гл. IV, § 20, М.—Л., 1948.
Этим вопросам посвящена также заметка Г. Б. Гуревич, Измерение площа-
дей многоугольников в евклидовой геометрии, сборник «Математическое про-
свещение», вып. 5, 1960, стр. 161—177.
75
1° всякий многоугольник равновелик прямоугольнику, одна
сторона которого равна данному отрезку;
2° два таких прямоугольника не равносоставлены, если их
вторые стороны не равны;
3° измерение вторых сторон прямоугольников.
Третья часть сводится к теории измерения длин; ее можно
считать введением в общее понятие числа. Обе другие части
предполагают известным лишь понятие целого числа; поэтому
можно считать, что они имеют чисто геометрический характер.
Но если первая часть строится при помощи чисто геометриче-
ских рассуждений, то приведенные доказательства второй части
ссылаются на третью часть и, следовательно, используют общее
понятие числа.
До сих пор никому не удалось дать построение второй
части, т. е. доказать геометрический факт, составляющий основу
теории площадей многоугольников, при помощи метода равно-
составленности, не апеллируя к общему понятию числа;
можно сказать, что лишь понятие площади, полученное на дру-
гом пути, оправдало в конце концов метод равносоставленности.
39. Этот геометрический факт так привычен нам из нашего
повседневного опыта, что нам трудно свыкнуться с мыслью о необ-
ходимости его доказательства. В самом деле, разве вопрос здесь
не идет попросту о месте, занимаемом некоторой областью и
не зависящем от ее положения и от расположения ее частей?
Это место и есть площадь, и число, о котором мы говорим,
является не чем иным, как мерой площади; мерой, которую не
нужно смешивать с самой площадью.
Несмотря на тривиальность слова «место», мы легко узнаем
здесь метафизическое представление, аналогичное тому, которое
имеется и в вопросе о целых числах и которое я в свое время
критиковал. Целое число было тем общим, что имели все сово-
купности, получаемые из одной из них при изменении порядка
и природы составляющих совокупность предметов; площадь есть
то, что является общим для всех областей, полученных из одной
области при изменении положения в пространстве и расположе-
ния друг относительно друга составляющих ее частей. Целое
число в метафизическом смысле имело определенную запись
в десятичной системе счисления; площадь в метафизическом
смысле имеет меру: эта мера представляет собой метафизиче-
ское число, которое можно записать в десятичной системе счи-
сления.
А если спросить, что представляет собой в метафизическом
смысле не целое число, то станет ясно, до какой степени на-
громождаются здесь друг на друга различные сущности; но так
как для математики все это совершенно не нужно, то обычна
явно не высказывают этих метафизических представлений а
числе. А между тем площадь для многих осталась чем-то отлич-
76
ным от числа, которое ее измеряет; для меня же употребление
слова «мера» в выражении «мера площади» имеет тот же смысл,
что и в выражении «мера длины» — оно мне , напоминает, что
должна быть выбрана определенная единица, чтобы было го-
ворить о площади или длине, которые суть числа. Это как раз
те числа, которые единственно полезны для математики;
каждому предоставляется право присовокупить к этим матема-
тическим понятиям понятия метафизические; однако эти послед-
ние не должны быть допущены в преподавании. Они не должны
допускаться и тогда, когда вопрос идет об установлении логи-
ческой ценности какой-нибудь теории; заблуждения относительно
площади прямоугольников, о которых я говорил, проистекали,
без сомнения, от того, что, даже заботясь о логической стро-
гости доказательства существования площади, сохраняли остатки
представлений о том, что понятие площади есть понятие первич-
ное, существование которого не может быть доказано.
Было время, когда занимающий нас вопрос разрешался одной
аксиомой, пригодной во всех случаях жизни: целое больше
части; эту аксиому применяли и к длинам, и к площадям, и к
объектам. Каким же образом нам удалось обойтись без нее?
В случае длин: относящиеся к движению аксиомы, на кото-
рые мы опирались, предполагали, в частности, что если сдвинуть
отрезок АВ вдоль содержащей его прямой так, чтобы точка А
попала между первоначальными положениями точек А и В, то
В должна попасть вне первоначального отрезка АВ. В этом и
заключалась аксиома «целое больше части», которую, такими об-
разом, мы здесь использовали в указанной выше формулировке.
Для площадей: три указанных нами метода устанавливают,
что два прямоугольника со сторонами 1,Л и 1,Л' не эквивалентны
(например, неравносоставлены), если не эквивалентны (не равны)
длины h и к'. Аксиома, относящаяся к площадям, была выве-
дена из аксиомы, относящейся к длинам; в наших доказатель-
ствах мы столкнулись с нецелыми числами, поскольку речь
у нас шла о сторонах различных прямоугольников, и число
употреблялось как характеристика отрезков, позволяющая разли-
чать их друг от друга. Конечно, можно было бы замаскировать это
употребление; однако от этого еще не получилось бы чисто
геометрического доказательства, которого, как я упоминал, ни-
кто еще до сих пор не дал. После приведенных объяснений по-
кажется даже маловероятным, чтобы вообще кто-либо когда-
нибудь дал такое доказательство,— ведь для того, чтобы быть
по-настоящему отличным от предшествующих, это доказатель-
ство не должно было бы использовать аксиому, относящуюся
к длинам.
40. Теперь, когда мы хорошо познакомились с истинным зна-
чением классической теории, когда мы ясно видим те трудности,
которые нужно преодолеть, чтобы ее завершить, и обстоятель-
77
ства педагогического характера, препятствующие использованию
в преподавании строго логического изложения, мы можем обсу-
дить некоторые усовершенствования принятой системы изло-
жения.
Я предложил бы всего два усовершенствования. Одно из них
имеет второстепенное значение; оно заключается в предложении
обходиться без теоремы о пропорциональности площадей прямо-
угольников, имеющих одну общую сторону, длинам их вторых
сторон; вместо этого выражение для площади прямоугольника
можно получать непосредственно, как это было сделано в п. 25,
т. е. как это делается на первой ступени обучения и в интегра-
льном исчислении. Это было бы быстрее и естественнее и по-
зволило бы избежать ненужных длиннот, если принять вместе
с нами, что отношение площадей есть не что иное, как отно-
шение чисел; применяемый при этом метод был бы таким, что
способные ученики смогли бы, право, сами до него додуматься.
И тогда не было бы соблазна сослаться на широковещательную
теорему о величинах, пропорциональных многим другим вели-
чинам, теорему, которую, быть может, некоторые и понимают,
но не ученики и не я. Впоследствии я займусь этой теоремой
в связи с общей проблемой измерения величин.
Второе улучшение будет значительнее; оно состоит в том;
что мы не будем считать площадь первичным понятием, а будем
определять ее, как в п. 24. Это определение можно было бы
упростить, поскольку нет необходимости опираться на него во
всех доказательствах; следует лишь указать, что оно позволяет
доказать предложения пп. 26—29, и сформулировать эти пред-
ложения. Затем можно снова вступить на классический путь.
Такой образ действий отчасти уже нашел дорогу в преподава-
ние; мы встречаемся с ним, например, в учебнике геометрии
К. Гишара (Claude Guichard).
41. Чтобы ясно представить себе значение этого новшества,
рассмотрим здесь учение о площадях областей, ограниченных
дугами окружности и отрезками прямой.
Площадь круга. Пусть pk—правильный fe-угольник,
вписанный в круг С; Pk — правильный й-угвльник, описанный
около того же круга. При любых k и i числа щ и Nif отвеча-
ющие кругу, заключены между числами п'. и 2V7, отвечающими
многоугольникам pk и Pk.
При неограниченном возрастании i величины и
стремятся к площадям pk и Pk — первая возрастая, а вторая
убывая; значит, числа и заключаются между площадью
pk и площадью Pk. Согласно же п. 30
площадь Pk_ / 7? \ 2_ /?2
площадь pk~\ak) ~ ’
78
где R—радиус С, ak — апофема pk; следовательно, разность
площадь Pk — площадь pk = площадь pk • (— 1V
т. е. равна величине, очевидно, стремящейся к нулю при & —>оо.
Итак, круг имеет площадь; эта площадь есть предел площадей
Pk и Pk.
Из этого доказательства следует также, что площадь квад-
ратов Ц-, покрывающих окружность круга, стремится к нулю
при возрастании /; следовательно, всякая замкнутая область,
ограниченная отрезками прямой и дугами окружности, имеет
площадь.
Площадь сектора. Пусть а = 4235,43... —центральный
угол сектора, выраженный, например, в секундах. Если мы обо-
значим площадь круга через S, то, так как этот круг содержит
360-60-60 равных секторов с центральным углом в одну секунду,
площадь s каждого из них равна
S
360-60-60’
а площадь рассматриваемого сектора заключена между 4235s и
4236s. Сектор с центральным углом в 0,1 секунды имеет пло-
щадь s-0,1, так как каждый такой сектор содержится десять
раз в секторе с площадью s; следовательно, площадь сектора
с углом а заключена между 4235,4-s и 4235,5-s и т. д.
Мы узнаем здесь тот способ рассуждения, который неодно-
кратно использовался выше и который совпадает с методом,
естественным в первоначальном обучении. Я не буду возвра-
щаться к. ненужным здесь подробностям, связанным с упот-
реблением десятичной системы счисления.
Получив выражение для площади сектора и распространив
свойства а), р), у), S) на области, ограниченные прямыми и ду-
гами окружности, мы можем считать теорию площадей этих об-
ластей законченной \
42. Сравним теперь это изложение с тем, которое принято
б большинстве учебников. Конечно, различие между ними неве-
лико, но вместе с тем оно касается существенного пункта: дело
в том, что здесь мы не исходим из произвольного опре-
деления площади круга, естественного, но абсолютно произ-
вольного с точки зрения логики.
В самом деле, все учебники, выпущенные за последние
двадцать пять лет, придерживаются следующего способа изло-
жения: по определению, будем называть площадью круга
предел площадей многоугольников pk. После этого некоторые
1 Здесь было бы естественно вычислить площадь S круга; согласно п. 30
она имеет выражение вида тс/?2. Но связь между числами тс и длиной окруж-
ности может быть установлена лишь после рассмотрения длин кривых.
79
учебники доказывают существование этого предела, другие
(что, впрочем, не имеет большого значения) просто принимают
его существование.
Раньше, например в эпоху моего детства, простосердечно
говорили, что так как многоугольники pk все меньше и меньше
отличаются от круга, то площадь круга есть предел площадей рЛ.
О площади,- рассматриваемой как первичное понятие, рассуждали
одинаково хорошо как в случае круга, так и в случае много-
угольников, и опирались при этом на несформулированные и
молчаливо предполагаемые свойства этих площадей. Конечно,
с точки зрения логической это было недостаточно; однако ничего
неприемлемого при этом не говорилось, тогда как нынешнее
изложение совершает, по-моему, больший грех если не против
логики, то, что еще хуже, против здравого смысла. Заодно
обнаруживают наивное легковерие во всемогущество слова,
заставляющее надеяться, что затруднение будет побеждено
искусством речи. Как будто бы настоящий прогресс может быть
достигнут столь дешевой ценой!
В самом деле, как поступают в настоящее время? Площадь
круга есть предел pk. Это есть совершенно произвольное опре-
деление, название, которое может быть заменено всяким другим.
Отсюда следует, что недостаточно еще употреблять это, а не
другое название, чтобы число, названное, таким образом, пло-
щадью круга, поспешило благоразумно войти в семейство тех
чисел, для которых справедливы свойства а), р), у), S). В ре-
зультате этого, зная площадь круга, мы не можем вывести отсюда
логически площадь сектора; верить в это и пускаться в мнимые
рассуждения, значит глубоко заблуждаться. Площадь сектора
равна *^*36'0*60*60 по определению. Из площади сектора,
установленной, таким образом, только в силу нашего определе-
ния, нельзя вывести путем рассуждения площади сегмента;
опять-таки лишь определением является то обстоятельство, что
площадь сегмента равна разности между площадью сектора и
площадью треугольника.
Если бы предел pk был назван «тарарабумбиейъ круга, то
вряд ли кто-нибудь позволил бы себе вывести отсюда величины
тарарабумбий сектора и сегмента; но делать это разрешают себе,
когда вместо слова «тарарабумбия» употребили слово «площадь»!
Это тягчайшее преступление против здравого смысла. Однако
иные находят оправдание в том, что они сами этой ошибки не
совершают, но лишь делают ставку на то смешение, которое
не замедлят совершить учащиеся, уподобляя эту новую площадь
тем площадям, с которыми они привыкли иметь дело. Каждому,
впрочем, предоставляется возможность выбирать между заблуж-
дением и лицемерием.
Пусть не надеются к тому же выйти из затруднительного
положения, повторяя три раза, в случае круга, сектора и сег-
80
мента, вещие слова «по определению», ибо определенные
таким образом площади ни к чему не пригодны. С их помощью
нельзя разрешить ни одного вопроса, ни одной проблемы, без
того, чтобы не натолкнуться на предложения а), р), у), S), ис-
пользование которых в этих условиях является незаконным; так,
например, не мог бы быть рассмотрен классический вопрос о
луночках Гиппократа*.
Итак, необходимо прежде овладеть понятием площади и лишь
затем вычислять площади; понятием, основу которого составляют
свойства а), р), у), S), выполняющиеся для всех областей, кото-
рыми будут заниматься. Метод эпохи моего детства, который,
не формулируя, использовал, в сущности говоря, эти свойства
одинаковым образом для всех областей, был лучше метода
современных учебников, делающих злополучное различие между
теми или иными областями. Чтобы сделать старый метод вполне
приемлемым, достаточно было бы освободить его от идеи о круге
(области) как о пределе некоторых многоугольников (также —
областей!); эту идею можно заменить утверждением о том, что
площадь круга заключена между площадями вписанных и опи-
санных многоугольников pk и Pk. Этот метод согласовался бы
с тем, который я здесь защищаю. Само собой разумеется, что
нужно было бы доказать или принять существование площади
для области, ограниченной прямыми и окружностями, в зависи-
мости от того, будет ли доказано или принято существование
площадей у многоугольников.
Очевидно, достаточно было бы сказать, что определение
площадей круга, сектора и сегмента проводится указанным выше
способом, ибо исходя из такого (и только из такого!) опреде-
ления можно получить предложения а), р), у), S); но это значило
бы сознаться, что дело идет не о произвольных определениях,
но что наоборот, что именно эти, а не другие названия являют-
ся предметом исследования; но в таком случае мы отказались
бы от того, чтобы дать идею этих исследований, тогда как сооб-
ражения п. 24 вполне достаточны, чтобы указать эту идею.
43. На этом мы покончим с вопросом о площадях плоских
фигур; однако, чтобы показать гибкость приведенного приема,
рассмотрим случай плоских областей, ограниченных отрезками
прямой и дугами конических сечений, областей, которые иногда
встречаются в элементарной геометрии **. Спросим себя, имеют
ли ограничение области такого рода площадь? Другими словами,
может ли конечная дуга конического сечения быть покрыта
многоугольниками, сумма площадей которых произвольно мала?
* См., например, В. Литцман, Теорема Пифагора, М., 1960.
** Курс геометрии класса математики французской средней школы (см.
сноску на стр. 15) традиционно включает элементарную теорию конических
сечений (эллипса, параболы, гиперболы).
81
Если дело касается дуги эллипса, то можно воспользоваться
теоремой об ортогональной проекции. Пусть D — некоторая
область, d — ортогональная проекция D\ возьмем в плоскости D
сеть Ту образованную прямыми, параллельными линии пересече-
ния XX' плоскостей D и d\ угол между плоскостями обозначим
через 0 (рис. 17). Проекцией квадрата t7z является прямоуголь-
ник az, сторона которого параллельная XX', равна -i, а сторона,
перпендикулярная XX , равна ; площадь и. равна . Так
как область ^содержит nz квадратов [7Z и сама целиком покры-
та Nj такими же квадратами, то d содержится в многс угольнике,
образованном Ni прямоугольниками hz площади , и содер-
жит многоугольник площади . Следовательно, если об-
ласть D имеет площадь, то ее имеет и область rf, и мы полу-
чаем *:
площадь d = площадь Z)cosO.
Если дело касается дуги гиперболы или параболы, то можно
аналогичным образом использовать соотношение между площа-
* Для того чтобы использовать эти соображения для определения площа-
дей, ограниченных дугами эллипса, достаточно вспомнить, что окружность
может быть получена как ортогональная - проекция эллипса (этому ут-
верждению чаще придают следующую форму: эллипс есть сечение прямого
кругового цилиндра).
82
дями двух многоугольников d и D, являющихся централь-
ными проекциями один другого*:
площадь площади D-K‘,
здесь коэффициент К может быть выбран едним и тем же для
всех пар плоских фигур d, D, расположенных в двух ограни-
ченных областях, соответствующих друг другу при центральной
проекции. Но гораздо проще и важнее доказать, что всякая
ограниченная и выпуклая дуга может быть покрыта много-
угольниками, сумма площадей которых произвольно мала**.
Пусть мы имеем такую дугу; разобьем ее на части так, что-
бы каждая из них встречала прямые, параллельные двум взаимно
У
f—I Г I I I g
Рис. 18.
перпендикулярным направлениям OX, OY, не более чем в одной
точке. Возможность такого разбиения очевидна; однако строгое
доказательство здесь было бы затруднительно, не из-за упот-
ребления слова «выпуклый», но оттого, что выражения «кривая»,
«дуга кривой» не получают в элементарной геометрии точного
определения. Но, как бы там ни было, мы будем вести наши
рассуждения именно для такой части дуги; доказательство
будет справедливо для дуг, образованных конечным числом та-
ких частичных дуг.
Итак, пусть мы имеем дугу Г, . покрытую прямоугольником
АА'ВВ' площади S, стороны которого параллельны ОХ и ОУ;
две противоположные вершины этого прямоугольника совпадают
с концами А и В дуги Г (рис. 18). Вследствие выпуклости Г
должна целиком лежать либо в треугольнике АА'В, либо в тре-
* Ибо гипербола и парабола могут быть переведены в окружность
центральным проектированием (см., например, Ж. Адамар, Элементарная
геометрия, ч. 7, изд. 1, М., 1938).
** Дуга АВ называется выпуклой, если, дополнив ее отрезком АВ, мы
получим выпуклую замкнутую линию, т. е. такую, которую каждая прямая
пересекает не более чем в двух точках.
83
угольнике ABB’; предположим, что она принадлежит треуголь-
нику АА'В.
Треугольник АА!В можно покрыть прямоугольниками со сто-
ронами, параллельными ОХ и OY, сумма. площадей которых
превосходит площадь АА'В ^равную у s) сколь угодно мало.
Значит, можно предположить, что эта сумма меньше, скажем»
2
у 5. Сохраним лишь те прямоугольники, которые содержат
точки Г; заменим каждый из них меньшим прямоугольником с
параллельными ОХ и OY сторонами, содержащим ту же часть
дуги Г, так, чтобы две противоположные вершины каждого из
новых прямоугольников принадлежали Г; мы получим тогда систе-
му аналогичных АА'ВВ' прямоугольников общей площадью,
меньшей -у S’, содержащих соответственно дуги 1\, Г8, ...»
вместе составляющие исходную дугу Г. Если те же рассужде-
ния применить теперь к Г„ Г2.....то можно покрыть Г прямо-
(9 \ 2
у ] -S, и т. д. Теорема
доказана.
Итак, элементарная теория площадей, построенная выше,
приложима, в частности, ко всем ограниченным областям,
граница которых состоит из конического числа отрезков пря-
мых и дуг выпуклых кривых.
Рассуждения, подобные предыдущему, подготовят и, быть
может, осветят те рассуждения, к которым придется прибегнуть
когда дело дойдет до определенного интеграла. Не поймут ли
при этом ученики, что при переходе от элементарной геометрии
к анализу ничего не изменилось, кроме выражений, более геомет-
ричных вначале и имеющих более аналитический характер потом?
И, быть может, они лучше почувствуют достигнутый прогресс:
в математике всегда исходят из конкретного, язык ее также
конкретен, чаще всего — геометричен. Все это возбуждает вооб-
ражение, может быть, даже слишком возбуждает, так как дейст-
вительность чрезвычайно богата; слишком много замечаний
возбуждают слишком много мыслей. Поэтому первые рассужде-
ния всегда должны быть довольно ограниченными и не слишком
вдаваться в частности. Постепенно каждый вопрос выделяется
из остальных, на них учатся распознавать наиболее существен-
ное, рассуждения становятся более общими, язык же — более
аналитическим и более абстрактным. Это не есть безсодержа-
тельная абстракция; совсем наоборот — язык становится более
абстрактным для того, чтобы сказанное можно было применить
к более широкой области реального.
ГЛАВА IV
ОБЪЕМЫ
Глава, относящаяся к площадям, была построена таким обра-
зом, чтобы из нее пункт за пунктом можно было вывести всю
теорию объемов, вводя лишь небольшие, почти всегда очевид-
ные и чаще всего чисто словесные изменения. Таким путем мы
получим теории измерения объемов, соответствующие тем, кото-
рые выше были названы первой, второй и третьей теориями
измерения площадей; о перенесении на случай объемов четвертой
теории, опирающейся на понятие равносоставленности, говорить
не приходится, так как Ден показал, что два равновеликих
многогранника, вообще говоря, не будут равносоставлены.
Я не буду развивать здесь применительно к объемам все
эти теории, а ограничусь лишь указаниями на менее очевидные
изменения, которые нужно внести в содержание предшествую-
щей главы. К тому же я не стану переводить на новый язык
первую теорию пункт за пунктом, как это можно было бы сде-
лать; я сокращу ее, используя результаты, полученные для
площадей.
44. Объем можно определить с помощью состоящей из кубов-
сетки Т подобно тому, как в п. 24 была определена площадь;
содержание же п. 25 мы заменим следующими рассуждениями.
Пусть <oxyz— прямоугольный триэдр, образованный тремя
ребрами какого-либо куба сетки Т. Рассмотрим прямую призму
или прямой цилиндр с произвольным основанием; пусть боковые
ребра призмы или образующие цилиндра параллельны wz; пред-
положим еще, что перпендикулярное coz сечение призмы (цилинд-
ра) имеет площадь В, а высота равна Н.
Плоскости граней кубов сетки Г, параллельные юлу, задают на
оси (oz полную шкалу образованную’отрезками Uz длины 1, от-
резками 2 длины ~, отрезками t/2> г длины и т. д.;
плоскости граней кубов Г, параллельные coz, задают в любой
перпендикулярной coz плоскости полную сеть Тху, образованную
квадратами Uxy со стороной 1, квадратами ху со стороной
85
jq и т. д. Полученные шкала и сеть позволяют измерить длину
высоты и площадь перпендикулярного сечения цилиндра; пусть
2» ^z, xyf Nj* xv
— числа, соответствующие отрезкам Uit г и квадратам Uit ху.
Мы знаем, что выражения
М', ху nt\ ху z Пц z
Гост и io7
стремятся к нулю при неограниченном возрастании i и что
и — стремятся к В и Н.
100* 10* н
Если гц и Ni суть числа, отвечающие рассматриваемому
цилиндру и полученные с помощью кубов [7Z сетки Т9 то
Щ z' ^z, xy* Nj Nj, z •
отсюда
_______N], z Xy Пц z Пц xy_____
ioooz —ЧУ’ iooz ТУ * iooz ““
____M’, z ni, z Nj, Xy Пц z Nj, Xy Пц Xy
~___10' ’ 100' ’* To7 w? ’
т. e. мы получили выражение, стремящееся к нулю. Итак, ци-
линдр имеет объем. Приближенные значения этого объема
Л/, г пЦ ху Nj, z Nj, Ху
ТУ * Too7 ЧУ iooz
заключат между собой число ВН; следовательно, объем равен ВН.
45. Этот объем сохраняет свою величину при таком относи-
тельном перемещении сети Т и цилиндра (которое может заклю-
чаться в смещении цилиндра или в изменении сети, или в том
и другом), что направление ыг остается параллельно само себе;
само собой разумеется, что это относится и к перемещению,
сохраняющему направление или направление <оу.
Обобщим этот результат, показав, что если (какое угодно!)
тело С имеет объем, то факт существования объема и его чис-
ленная величина сохраняются и после относительного переме-
щения сетки Т и тела С, при котором ось остается парал-
лельной самой себе. Пусть С — новое положение С относительно
Т\ Г/и А,-—новые, перенесенные вместе с телом С положения
тел Гг и Az, образованных гц соответственно 2VZ кубами Ц сетки
Т9 причем Tz содержится в теле С, a Az содержит С.
Каждый куб Ut- тела Tz или Az переводится рассмотренным
перемещением в куб Ui того же объема; следовательно, для
86
достаточного большого J содержащиеся в U'i кубы Uj (где, ра-
зумеется, /’>/) имеют общий объем, меньший на сколь
угодно малую величину, а общий объем кубов Up содержащих
Ц-, — на сколь угодно малую величину больше того же числа.
Отсюда следует, что при достаточно больших j величина
определенная для С с помощью кубов Up будет больше
72;
всякого наперед заданного числа, меньшего —1—.; аналогично
величина
——у, определенная для С с помощью тех же. кубов
Uк. будет меньше всякого заданного числа, большего —Ц
J 10001
Итак, задав сколь угодно малое положительное число е, мы смо-
жем добиться того, что
N; — П . \Т
J_____7 М- — ni I
10007 1000' ‘
для чего нужно лишь выбрать j достаточно большим; другими
словами, С имеет объем, и этот объем, будучи общим пределом
nj ni * п
величин ------, и —, является также объемом тела С.
1000/ 1000'
Пусть теперь С и С'—два равных тела и пусть тело С имеет
объем; обозначим через (о? и шС, оси, связанные с • телом С и
принимающие положение когда С переходит в С; при
этом пусть (о£ совпадает с coz и направление *со'С' совпадает
с направлением wz (рис. 19).
Повернем прежде всего С вокруг оси coz так, чтобы ось (d£
попала в плоскость coxz, затем повернем его вокруг <оу так,
чтобы ось (о£ совпала с wz; наконец, переместив С в положение
С', совместим ось с В силу сказанного в начале этого
пункта каждое из трех перемещений, переводящих С в С, не
меняет объем тела; следовательно, С' имеет объем, равный
объему С.
46. Тем самым мы пришли к свойству у) объемов; а так
как свойства р) и у), а также результат изменения единицы
измерения выводятся для объемов аналогично тому, как выше
это делалось для площадей, то одну теорию измерения объемов
можно считать законченной. Однако пока еще нам неизвестно,
к каким телам приложима эта теория; в частности, содержатся ли
среди этих тел все многогранники.
87
Всякий многогранник имеет объем и, более обще, объем
имеет всякое замкнутое тело, граница которого состоит из
кусков плоскостей и частей боковых поверхностей прямых
цилиндров, перпендикулярные образующим сечения которых
имеют площадь. В самом деле, мы уже видели, что если обра-
зующие прямого цилиндра паралельны оси coz и перпендикуляр-
ное образующим сечение цилиндра имеет площадь, то цилиндр
имеет объем; в силу п. 45 этот цилиндр будет иметь (тот же!)
объем и при любом его расположении; другими словами, полная
поверхность такого цилиндра может быть заключена в образо-
ванный кубами Ц- многогранник сколь угодно малого объема
Рис. 19.
[для чего надо только выбрать i достаточно большим); тем более
го же самое относится к плоской области, вырезанной из осно-
вания цилиндра, или к какой-либо части его боковой поверх-
ности. Отсюда и вытекает сформулированная выше теорема.
47. Итак, нам остается лишь научиться вычислять объемы
различных многогранников. Прежде чем к этому приступить,
дадим другой вариант первого метода, приложимый, впрочем,
и к изучению площадей.
При построении теории измерения площадей можно после
изложенного в пп. 24—28 не идти по намеченному в п. 29 пути,
а вместо этого рассуждать так. Мы видели, что площадь пря-
моугольника со сторонами, параллельными юл и шу, равна про-
изведению его сторон; отсюда, как это указывалось и выше,
вытекает, что параллельное перенесение сохраняет
площади; Рассмотрим теперь, как влияет на площадь квадрата
со стороной с вращение. Параллельные сол и о>у прямые,
проведенные через вершины квадрата в его новом положении,
.делят квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника
и на малый квадрат (рис. 20); если а, Ь, где а<^Ь,— стороны
треугольников, то сторона малого квадрата будет равна b — а.
£8
Перенеся параллельно два из четырех треугольников, мы полу-
чим, кроме малого квадрата, площади (Ь — а)2 два прямоуголь-
ника площади ab каждый. Согласно п. 27 отсюда вытекает, что
вращение квадрата приводит к многоугольнику, имеющему пло-
щадь, равную
(й — a)2-\-2ab = a2 + b2 = c2.
Итак, площадь квадрата не зависит от его положения;
отсюда следует, что если область S, которой отвечают числа ni
и Ni9 имеют площадь и S' получается из S движением, то вели-
п • N •
чины и представляют также площади двух многоуголь-
ников, из которых один содержится в S', а другой содержит S\
Таким образом, движение не отражается ни на факте су-
ществования площади, ни на ее величине.
Возвращаясь к объемам, предположим, что мы провели шаг
за шагом все построения, аналогичные тем, с которыми мы встре-
тились в теории площадей. Вместо же того, чтобы рассуждать
аналогично п. 29, скажем так: мы хотим показать, что объем
куба не изменяется ни при каком движении; но так как каждое
движение можно осуществить как последовательность движений,
при которых одна из плоскостей ®ху, ®yz, <ozx скользит сама
по себе (см. п. 45), то можно считать, что плоскость соху сколь-
зит сама по себе. Пусть nixy, NitXy, ni2, NifZ — рассматривае-
мые в п. 44 числа, отвечающие этому кубу до движения; после
движения числа П( г и г останутся прежними, a ni xv,
превратятся в п^Ху, NitXy, так, что теперь объем куба будет
заключен между
niz . ху и ху
10* ’ юо* ю* ’ юо* ’
Но в силу результатов, относящихся к теории площадей, вторые-
множители этих произведений стремятся к площади основания
куба, величина которой не может изменяться после движения.
Отсюда следует, что и объем куба не меняется при движении.
Теперь мы можем также заключить, что и для любого тела
движение не влияет ни на факт существования объема, ни на его
величину.
48. Мы указали несколько способов изложения первой теории
объемов, родственной первой теории измерения площадей, раз-
витой в предшествующей главе; по существу все эти изложе-
ния одинаково длинны, если их проводить подробно. Можно
придумать и много других способов изложения. Все эти пост-
роения теории требуют и указания путей вычисления объемов;
эти вычисления можно проводить с помощью классических
89 ‘
приемов, излагающихся в школьных учебниках. Здесь я сделаю
по этому поводу три замечания.
Первое из них заключается в предложении сразу вычислять
объем прямой призмы (см. п. 44). После этого уже обычным
путем можно вывести, что объем наклонной призмы равен про-
изведению площади перпендикулярного сечения на длину ребра.
Затем, обходя мытарства с различными параллелепипедами,
можно сразу заметить, что теоремы о проекциях отрезков и пло-
щадей дают:
площадь перпендикулярного сечения высота
площадь основания ребро ’
откуда следует, что объем равен произведению площади осно-
вания на высоту.
Это упрощение используется многими преподавателями; сле-
дующее же, также базирующееся на соображениях п. 44, не
столь распространено. Прямая или
косая симметрия относительно плос-
кости Р* переводит имеющее объ-
ем тело С в тело С', имеющее
также объем. Действительно, так
как расположение сетки Т относи-
тельно С можно выбирать произ-
вольно, то мы можем поместить
грани кубов U; в плоскости Р. Сим-
метрия переводит кубы t/,- в парал-
лелепипеды II,-, основания которых,
параллельные Р, равны основаниям
кубов Uf, а высоты равны высотам
следовательно, П,- имеют тот же
объем, что и и{. Из этого следует,
что если /7,- и N{ суть числа, относящи-
еся к С, то С содержит параллелепипеды П,-общего объема
и содержится в параллелепипедах П,- общего объема что
и доказывает вспомогательную теорему.
Возвратимся теперь к классическому методу. Пусть ABCD—
данный тетраэдр; рассмотрим треугольную призму ABCDEF,
ограниченную плоскостями ABC, DAB, DAC, плоскостью CBEF,
проходящей через СВ и параллельной DA, и плоскостью DEF,
параллельной АВС (рис. 21). Эта призма образована тремя тет-
раэдрами: ABCD, EBCD и EFCD. Любые два из этих тетраэд-
* Точки А и А1 симметричны относительно плоскости Р, если отрезок
АА' перпендикулярен Р и делится этой плоскостью пополам; если же отрезок
АА' делится плоскостью Р пополам и имеет заданное направление а, то гово-
рят, что А' получается из 4 косой симметрией (в направлении а).
90
ров могут быть переведены один в другой косой симметрией;
например, два тетраэдра, имеющие общую грань, симметричны
относительно этой грани. Значит, все эти тетраэдры имеют оди-
наковый объем, равный трети произведения площади основания
АВС на высоту, проведенную из вершин D.
49. Задача о вычислении объемов многогранников этим фак-
тически решается *. Мое последнее замечание, не особенно прин-
ципиальное, относится к нахождению объема усеченной пирамиды.
Рассмотрим более общее тело, ограниченное двумя треугольни-
ками abc, def с. соответственно параллельными (и одинаково
направленными!) сторонами и плоскостями abde, beef, cafd
(рис. 22,а); это тело, сводящееся к усеченной пирамиде, если бо-
ковые ребра сходятся в одной точке (рис. 22,6), мы обозначим
через S. Если треугольники def и abc равны, то мы получим
призму, если треугольник def или abc сводится к одной точке,
a
Л
/ l\
Рис. 22.
то мы имеем тетраэдр; в этих трех случаях объем S равен НВ,
•у и у , где В — площадь основания abc, b — площадь второго
основания (основания def) и Н—высота. Первый из этих объе-
мов может быть записан не только как НВ, но и как Н (Д- 4-тг^ ,
о 1 о /
а также рядом других способов. Чтобы записать несколькими
способами два других выражения, введем в рассмотрение еще
одну величину, отличную от площади основания тетрдэдра.
1 Следовало бы, однако, еще доказать это, показав, что всякий многогран-
ник (выпуклый или невыпуклый) состоит из конечного числа тетраэдров.
91
Пусть bm — сечение нашего тела плоскостью, равноотстоя-
щей от abc и def. В случае призмы мы имеем Ьт = В = Ь\
в случае же тетраэдра либо Ьт = ^В, 6 = 0, либо 46Л = 6,
В = 0. Таким образом, все три формулы для объема имеют одну
и ту же форму
Н(\В^р.Ь + ^Ьт),
где
в случае призмы 1 Н 4~ > = 1;
в случае тетраэдра, для которого д = 0:1-{-*'у = у»
в случае тетраэдра, для которого В = O:ji-|-v • у=у '
Всем этим условиям удовлетворяют значения
, 1 2
И 6 » V з >
получаемые как решение системы трех уравнений с тремя неиз-
вестными (X, ц, у); таким образом, во всех случаях
У="(В-Н + Ч,)
эта
юна
сыванием двух тетраэдров ABCD
(формула Ньютона — Симпсона).
Совершенно очевидны те преимущества, которыми обладает
формула в силу того, что В, 6, Ьт входят в нее линейно:
будет справедлива и для всех тел, получаемых соединением
нескольких тел, для кото-
рых эта формула имеет
место и которые имеют
одни и те же плоскости
оснований, или отбрасы-
ванием таковых; другими
словами, для тел, пред-
ставляющих собой нечто
вроде «алгебраической
суммы» таких тел. Так,
например, эта формула
применима к тетраэдру
BCDE, имеющему две вер-
шины в плоскости abc и
две вершины в плоскости
defy поскольку такой тет-
раэдр может быть получен
из призмы ABCDEF отбра-
и EFCD (рис. 23); она
применима также ко всякому из рассматриваемых ранее тел В,
так как S состоит из трех тетраэдров abed, ebed, efed (рис. 22 а).
В частности, эта формула применима к треугольной усеченной
92
пирамиде (рис. 22, b), а значит, и к любой усеченной пирамиде,
так как эта последняя может быть образована из нескольких
усеченных треугольных пирамид. Если мы обозначим через D,
d, $ расстояния от вершины (полной) пирамиды до плоскостей
В, Ь, Ьт, отвечающих усеченной пирамиде, то будем иметь:
D_____8____d D — j____________i — d
Так как числители двух последних выражений равны, то
Ув-~Уьт=Уь'т~Уь,
Уьт=±(Ув+Уь),
bm=^B + b + 2VBb),
и мы получим для объема выражение
V=*l(B + b + VBb).
Этот способ получения формулы для объема усеченной Ъира-
миды, разумеется, менее естественен и менее быстр, чем спо-
соб, сводящийся к нахождению разности объемов двух (полных)
пирамид; ценность его, однако, заключается в том, что он бази-
руется на содержательной общей формуле, к которой мы еще
вернемся в дальнейшем.
50. Мне больше нечего добавить по поводу приложения
к многогранникам первого метода вычисления объемов; поэтому
я перейду ко второму и к третьему методам. Напомню, что эти
методы состоят в использовании классических приемов оценки
объемов, удовлетворяющих условиям а), р), у) (причем заранее
предполагается, что этим условиям можно удовлетворить), и в
доказательстве на этом основании свойства 8); лишь после этого
устанавливается, что полученные числа в самом деле удовлетво-
ряют а), р), у). Само собой разумеется, что здесь под а), р),
у), 8) я понимаю предложения, получаемые из соответствующих
теорем теории площадей заменой слов «площади» и «области»
словами «объемы» и «тела».
В гл. III соответствующее построение базировалось на
использовании формул для площадей многоугольников, которые
в случае второго метода вытекали из выводимой в интегральном
исчислении формулы для площади, связанной с использованием
полярных координат, а в третьем методе — из аналогичной фор-
мулы, связанной с использованием прямоугольных координат.
Теперь нам понадобятся формулы для объемов многогранников,
вывод которых тесно связан с приемами определения объемов
в интегральном исчислении, использующими сферические, ци-
линдрические и декартовы прямоугольные координаты. Говоря
93
о первом из этих путей построения теории измерения объемов,
классическом пути, я укажу только на некоторые изменения
в изложении, аналогичные тем, какими я пользовался в п. 33;
эти изменения опираются на теорему о площадях проекций фи-
гур, которую редко используют в школах, несмотря на все ее
удобство.
Известно, что для задания ориентации плоскости надо ука-
зать в этой плоскости «координатный угол» юху *. Углом между
Рис. 24.
двумя ориентированными плоек остями можно назватыугол
между вторыми осями <оу, шу', ориентирующих плоскости пря-
мых углов, построенных таким образом, что их первые оси
совпадают с линией пересечения обеих плоскостей. Ясно, что
ориентация одной из плоскостей будет совпадать или не совпа-
дать с ее ориентацией, задаваемой углом шлу,, получающимся
при проектировании угла, ориентирующего вторую плоскость,
в зависимости от того, будет ли косинус угла между плоско-
стями положительным или отрицательным (рис. 24). Абсолютная
величина этого косинуса есть как раз то число, которое фигу-
рировало в теореме о площади проекции, рассмотренной в п. 43.
Но мы сейчас придаем площадям знаки; для этого в пло-
скости, ориентированной заданием угла QXY, рассмотрим область,
ориентацию которой мы будем считать заданной углом юху.
В зависимости от того, будут ли ориентации координатных углов
QXY и <&ху одинаковыми или противоположными, мы припишем
площади области А (а здесь и дальше мы будем рассматривать
лишь области, имеющие площади) знак или —**• Проекти-
руя ортогонально А на другую плоскость и приписывая проек-
ции А ориентацию, задаваемую проекцией угла- шлу, мы получим
следующую формулу проекций:
* Относительно понятия ориентированной плоскости см., например, Я. С. Д у б-
нов, Основы векторного исчисления, ч. I, М.~ Л., 1950, стр. 84.
** По поводу площадей фигур, снабженных знаками + или —, см., на-
пример, указанную в сноске на стр. 63 брошюру А. М. Л о п ш и ц а.
94
площадь проекции Л = площадь Л-cos (угла проекции}.
Рассмотрим теперь многогранник II и пусть vxyz есть прямо-
угольный триэдр, который мы будем двигать, однако, лишь так,
чтобы точка (о не вышла за пределы П. Если придать uxyz
такое положение, что (о принадлежит одной из граней, а ось uz
перпендикулярна этой грани и направлена внутрь П, то угол шлу
определит ориентацию грани. Теорема о проекциях даст в этом
случае: сумма площадей ортогональных проекций ориентиро-
ванных граней многогранника равна нулю*.
Действительно, пусть F-\-
проекции ребер многогранника
разбивают проекцию каждой
грани на многоугольники Р;
предполагая, что площади Р
этих многоугольников имеют
те же знаки, что и площади
проекций соответствующих гра-
ней, перепишем нашу сумму
в виде
В этой сумме один и тот же
многоугольник (скажем Р[) мо-
жет встретиться несколько раз, давая то положительные, то отрица-
тельные члены; теорема утверждает, что Рх дает столько же
положительных, сколько и отрицательных членов.
Для доказательства последнего проведем к плоскости проек-
ции Н перпендикуляр, проходящий через точку Q, внутреннюю
по отношению к Рх\ ось SiZ триэдра QAYZ одинаковой с vxyz
ориентации, грань QXY которого определяет ориентацию Н,
совместим с этим перпендикуляром; триэдр uxyz расположим
так, чтобы точка со совпала с одной из точек поверхности II,-
проектирующихся в точку Q, причем <&z есть нормаль к гранй
поверхности и направлена внутрь многогранника (рис. 25). На-
конец, будем вращать триэдр QXYZ вокруг оси QZ, а-триэдр
wxyz — вокруг оси (dz до тех пор, пока ось QX не станет парал-
лельно и одинаково направлена с сол. Тогда косинус угла между
Н и плоскостью грани, ориентированной углом юлу, будет по-
* Эту теорему можно сопоставить со следующей простой теоремой, в ко-
торой считается, что длина проекции ориентированного отрезка АВ на ориенти-
рованную прямую I (т. е. прямую, для которой указано ее положительное
направление) имеет знак 4" или — в зависимости от того, совпадает ли
направление А'В' (где А' и В' — проекции А и В) с положительным направле-
нием I или Противоположно ему: сумма длин ортогональных проекций ориен-
тированных сторон АВ, ВС, CD, .. . многоугольника АВС... равна нулю.
95
ложительным или отрицательным (т. е. многоугольник Рг будет
входить в проекцию этой грани со знаком плюс или со знаком
минус) в зависимости от того, будет ли угол (ЙУ, шу) острым
или тупым; так как этот угол совпадает с углом между QZ и
coz и ось wz направлена внутрь многогранника, то Р, будет
входить в сумму со знаком -р или — в зависимости от того,
будем ли мы, пробегая QZ в положительном направлении, вхо-
дить или выходить из многогранника при проходе через
фигурирующую выше граничную точку, проектирующуюся в й.
Но совершенно очевидно, что, пробегая всю ось 2Z, мы встре-
тим столько же точек входа, сколько и точек выхода; отсюда
и следует наша теорема.
Ее применение к интересующему нас вопросу непосредственно
очевидно. Пусть О — какая-либо точка; как и в п. 33, можно
показать, что многогранник II является алгебраической суммой
пирамид с вершиной в О, основаниями которых являются раз-
личные грани П. Применяя (предполагаемую уже известной)
формулу для объема пирамиды, мы отнесем многограннику II
следующее выражение:
где Ф,— положительная площадь грани cpz, — основание пер-
пендикуляра, опущенного из О на cpz, и —длина направ-
ленного отрезка Н{О, причем положительное направление
соответствующей прямой задается осью coz триэдра <$xyz, рас-
положенного так, как это делается при задании ориентации
грани cpz.
Остается только доказать, что полученное число положи-
тельно и удовлетворяет условиям р) и у); но это сразу следует
из того, что это число не зависит от выбора точки (ср. п. 33).
Заменим теперь точку О новой точкой О'; тогда наша сумма
изменится на:
У Ф,- cos (ОО7, НО) = ~ У ф,. cos (<р„ OXY),
причем OXYO'— это прямоугольный триэдр, имеющий ту же
ориентацию, что и <nxyz. Согласно нашей теореме о проекциях
сумма, стоящая в правой части равенства, равна нулю; это
и доказывает, что величина числа, соответствующего многогран-
нику II, не зависит от выбора точки О.
51. Оба других приема используют выражения для объема
любого многогранника, выведенные из формул интегрального
исчисления, отвечающих цилиндрическим или обыкновенным де-
картовым координатам. Обе эти формулы допускают интегриро-
вание по z и двойное интегрирование по х, у, причем оба эти
интегрирования можно производить в любом порядке. Это при-
водит либо к разбиению многогранника на усеченные призмы,
96
если провести через ребра плоскости, параллельные oz, либо
к разбиению его на пласты*, если провести через вершины
плоскости, параллельные оху.
Рассмотрим первое разбиение. Нам нужно оценить объем
каждой усеченной призмы с помощью взятого по перпендику-
лярному образующим сечению призмы двойного интеграла, вы-
численного в полярных координатах, если мы исходили из
цилиндрических координат в пространстве, или в обыкновенных
декартовых координатах, если за основу были взяты декартовы
координаты в пространстве. Это приводит к разбиениям перпен-
дикулярного сечения, соответствующим пп. 33 и 35. Таким
образом, мы можем рассматривать многогранник, в первом слу-
Рис. 26, б.
чае как алгебраическую сумму усеченных треугольных призм
с образующими, параллельными oz, и общим ребром, совпадаю-
щим с oz (рис. 26, а), а во втором — как сумму усеченных призм
с параллельными oz образующими, перпендикулярные oz сече-
ния которых являются трапециями (в частном случае — треуголь-
никами) с основаниями, параллельными оу (рис. 26, б).
Весь этот анализ имел своей единственной целью получить
нужное разбиение; само собой разумеется, что в элементарном
изложении мы не будем говорить ни об интеграле, ни о проис-
хождении разбиения, которое здесь нужно принять без всяких
предварительных объяснений. Таким образом, мы скажем: ра-
зобьем любой многогранник таким-то и таким путем на алге-
браическую сумму усеченных треугольных или трапециевидных
призм и найдем алгебраическую сумму их объемов; при этом
мы произвольно будем считать, что эти объемы задаются, на-
пример, формулой Ньютона — Симпсона; эта сумма и будет
числом, которое мы отнесем многограннику.
* В русской литературе многогранники такого вида (ограниченные двумя
параллельными' «основаниями» и треугольными или трапециевидными «боковыми
гранями») называются также призматоидами.
97
Само собой разумеется, что нужно будет доказать свойства
а), ₽)» Y); я не буду останавливаться на этих доказательствах,
которые читатель легко проведет самостоятельно как в одном,
так и в другом из рассмотренных нами случаев, и перейду
к случаю разбиения на пласты.
Если использовать полярные координаты, то вычисление
объема одного из таких пластов не будет иметь элементарного
характера, так как приведет к разбиению пласта на части с по-
мощью гиперболических параболоидов*; но декартовы коорди-
наты приведут к элементарным выражениям. Отнесем каждой
боковой грани пласта усеченную призму с трапециевидным или
треугольным основанием,
образованную заключен-
ными между гранью и
плоскостью yoz отрезками
прямых, проектирующих
на yoz точки грани (рис. 27).
Многогранник является ал-
гебраической суммой этих
усеченных призм, откуда
мы еще раз получим выра-
жение объема любого мно-
гогранника, который, как
можно показать, будет удовлетворять свойствам а), (3), у).
Рис. 27.
52. Итак, мы обрисовали в общих чертах три изложения,
заменяющих для объемов данное в п. 35 изложение теории пло-
щадей; последнему из них мы придадим форму, более близкую
К п. 35.
Разобьем данный многогранник на пласты плоскостями, про-,
веденными через вершины параллельно плоскости оху; каждый
из этих пластов является телом, ограниченным двумя много-
угольниками, расположенными в параллельных оху плоскостях,
которые мы назовем плоскостями оснований, и трапециями (мо-
гущими в частном случае оказаться треугольниками), основания
которых лежат соответственно в плоскостях обоих оснований.
Дальнейшее разбиение показало, что каждый пласт можно пред-
ставить как алгебраическую сумму усеченных призм с образую-
щими, параллельными OZ, одно основание которых является
боковой гранью (трапецией или треугольником) рассматриваемого
пласта. Разбиение каждой из таких «трапецеидальных» усечен-
ных призм диагональной плоскостью сводит исследование к рас-
смотрению лишь усеченных треугольных призм; каждая из них
* Если соединить каждую точку оси oz с лежащей на той же высоте точкой
ребра АВ пласта, то в (общем!) случае, когда прямая АВ не лежит в той же
плоскости, что и oz, проведенные прямые образуют некоторую поверхность
второго порядка —гиперболический параболоид.
98
(как и всякая треугольная призма) разбивается на три тетраэдра.
Таким образом, окончательно можно рассматривать пласт как
алгебраическую сумму тетраэдров, четыре вершины которых на-
ходятся в двух плоскостях оснований. хМожно заметить, что
и обратно, каждая алгебраическая сумма таких тетраэдров будет
являться телом, которое мы назвали пластами. Пласты, следо-
вательно, являются самым общим типом многогранников, для
которых в силу изложенных в п. 49 соображений справедлива
формула Ньютона — Симпсона. Теперь, руководствуясь предше-
ствующим анализом, но не ссылаясь на него, покажем, что усло-
вия а), р), у) совместны.
Разобьем произвольно заданный многоугольник на пласты
плоскостями, параллельными оху; обозначим высоту пласта через
Hit площади двух оснований через Bt и Ь, и площадь сечения,
равноотстоящего от плоскостей оснований, через р,; по условию
мы отнесем такому многограннику число
Остается доказать свойства Р) и у)-
Аналогично п. 35 рассмотрим сначала частные случаи р): слу-
чай пласта — суммы двух пластов, имеющих общие плоскости
оснований, и случай пласта — суммы двух пластов, имеющих
общее многоугольное основание и расположенных по обе сто-
роны от него. Лишь этот второй случай требует специального
рассмотрения: доказательство здесь сведется к простому алге-
браическому подсчету, если только мы научимся вычислять пло-
щадь сечения пласта (//, В, Ь, Ьт) плоскостью, параллельной
плоскостям оснований и отстоящей от этих плоскостей на Z и Z
(Я=£4-/).
В случае, когда Ь = 0, Ьт=-^-, площадь рассматриваемого
(Z \8 b f LX*
jj] -В; если В = 0, Ьт=-^, она равна 1-^] Ь;
если B = b = bm, она равна В. Пласт же, являясь алгебраической
суммой тетраэдров, четыре вершины которых лежат в плоско-
стях оснований, является вследствие этого (п. 49) алгебраиче-
ской суммой тетраэдров и треугольных призм, входящих в один
из этих трех частных случаев.
Таким образом, сечение любого пласта будет задаваться
выражением
если только выбрать так 1, ц и v, чтобы эта формула выполня-
лась для всех трех рассмотренных частных случаев; это приво-
дит к системе уравнений
99
откуда получаем формулу
[Z (Z - L) В + L (£ - Z) b + 4Llbm],
позволяющую свести проверку р) во втором частном случае
к несложным алгебраическим подсчетам.
Проверка р) для общего случая вытекает отсюда, как в п. 35.
Точно так же проверка у) снова, как в п. 35, сводится к вы-
числению числа, отнесенного тетраэдру.
53. Итак, окончательно мы имеем, помимо многих других,
три изложения теории измерения объемов, совершеннно анало-
гичных изложениям, относящимся к случаю площадей. Заметим
еще раз, что я не рекомендую принять одно из этих изложений
в школьном преподавании; но проведенное нами исследование,
по-моему, можно рекомендовать вниманию будущих учителей
как поучительный пример сближения отдаленных глав матема-
тики, какими являются элементарная геометрия и интегральное
исчисление. Это исследование позволит им лучше овладеть
преподаванием, которым им придется заниматься; следовало бы
требовать его от них, если бы у нас больше заботились о под-
готовке учителей, вместо того, чтобы заниматься почти исклю-
чительно их набором.
Что же касается практических выводов для преподавания,
которые можно сделать из этого исследования, то о них я уже
упоминал в п. 40; следует отказаться от некоторых традицион-
ных длиннот и в особенности не бояться говорить, что понятие
объема имеет определение, а затем и дать это определение.
Ясно, что здесь речь идет об определении, отвечающем первому
изложению, быть может, еще несколько подслащенном. С по*
мощью этого определения можно будет оценить объемы круг-
лых тел, не навлекая на себя серьезных упреков п. 42.
Изложение, относящееся к объемам круглых тел, можно
провести следующим образом: мы приписали объем всем телам,
поверхность которых состоит из плоских и цилиндрических
кусков, причем перпендикулярные образующим сечения соот-
ветствующих цилиндров должны принадлежать семейству пло-
ских кривых, каждая из которых может быть заключена в со-
ставленный из малых квадратов многоугольник сколь угодно
малой площади. Теперь, исходя из тех же плоских кривых, мы
укажем два новых семейства поверхностей, каждая из которых
может быть заключена в многогранник сколь угодно малого
объема; телам, ограниченным подобными поверхностями, наше
определение позволит отнести объем.
Пусть Г — одна из таких плоских кривых; ее можно покрыть
квадратами Q, общая площадь которых меньше е:
У (площадь CJ<e.
100
Рассмотрим часть поверхности конуса с вершиной S и направ-
ляющей Г, ограниченную кривой Г и точкой S; пусть Н — рас-
стояние точки S от плоскости, в которой лежит Г. Эта часть
поверхности может быть заключена в объединение ряда пира-
мид с общей вершиной S и основаниями Q. Сумма объемов
этих пирамид
у ^2 (площадь .
Итак, рассматриваемая коническая поверхность обладает
требуемым свойством.
Повернем Г вокруг какой-нибудь оси, лежащей в ее пло-
скости и не пересекающей Г; можно предположить, что ось
вращения не пересекает квадратов С, и что эти последние
имеют стороны, параллельные оси; далее, пусть ht — сторона
Ср a Rt— расстояние от ее середины до оси. Вращение квад-
рата Q порождает цилиндрическое тело, в основании которого
лежит круговое кольцо; сумма объемов всех таких тел будет
равна
= 2тг 2 [Яг (площадь CJ] < 2тт7?е,
где R есть самое большее из всех значений
Отсюда можно сделать следующее заключение: полученное
нами тело вращения имеет объем. Далее уже нетрудно полу-
чить классические выражения для объемов элементарно-геомет-
рических тел; само собой разумеется, что придется несколько
изменить обычную форму изложения для того, чтобы соответ-
ствующие теоремы не опирались на понятие площади кривой
поверхности, еще не рассмотренное нами. Но это будет един-
ственным изменением, в котором нуждается традиционное изло-
жение, и доказательства приобретут смысл, полностью отсут-
ствующий в обычном изложении.
54. В этой главе мы пока что касались лишь техники; когда
речь касалась более принципиальных замечаний и обсуждений,
я мог отсылать читателя к соответствующим пунктам главы о
площадях. Однако здесь возникает одно возражение, относя-
щееся как к задачам о квадратуре, так и к кубатуре, в кото-
ром следует внимательно разобраться: так как эти задачи
сводятся к определению и нахождению некоторых чисел, то
не следует ли дать больший простор вычислениям?
В главе I я уже говорил, что целые числа суть не что иное,
как материальные символы, придуманные для того, чтобы обо-
значить результат физической операции счета, и что было бы
ребячеством бояться апеллировать к этим символам и стараться
101
не писать их. В главе II я говорил, что и любые числа являют-
ся также лишь символами, обозначающими результаты физиче-
ских опытов, конечно, несколько схематизированных,—но так,
что почти наверное можно сказать, что эта схематизация отно-
сится не к самой операции, а лишь к предметам, которые под-
лежат счету: так, вместо того чтобы прикладывать деревянный
метр к стене, длину котЪрой нужно узнать, мы прикладывали
единичный отрезок к измеряемому отрезку. Я уже говорил, что
не нужно бояться писать эти числа; нужно вводить их в вы-
числения вместо того, чтобы всюду ограничиваться лишь алге-
браическими обозначениями, заменяющими нужные, но не
подсчитанные до конца результаты вычислений. Далее, в главах
III и IV я говорил, что площади и объемы являются теми же
числами, теми же символами, но обозначающими результаты
других операций, которые можно назвать операциями квадрату-
ры и кубатуры. Почему же я в этих главах так много рас-
суждал о числах вместо того, чтобы писать их и по-настоящему
вычислять? Почему я не вычислял чисел nt и Nh о которых
говорил?*
Теоретически здесь было бы достаточно всего двух вычис-
лений, чтобы получить всю теорию измерения площадей много-
угольников и объемов многогранников: вычисления площади
треугольника, имеющего произвольное расположение относитель-
но сетки квадратов Г, служащей для определения площадей, и
вычисления объема тетраэдра, имеющего произвольное распо-
ложение относительно сетки кубов Г. В самом деле, из факта
существования площади треугольника следовало бы, что отрез-
ки прямой являются границами имеющих площадь областей и
что, таким образом, всякий многоугольник имеет площадь; это
обстоятельство обсуждалось в п. 26. Как и в п. 27, из этого
положения вытекало бы и то, что площадь многоугольника,
образованного несколькими другими многоугольниками, равна
сумме площадей составляющих его многоугольников; Затем
п. 29, где мы доказывали, что два равных многоугольника име-
ют одинаковые площади, был бы заменен утверждением, что
Площадь треугольника не зависит от его положения на плос-
кости.
При доказательстве этого последнего утверждения мы будем
иметь значительное упрощение; в других , отношениях мы ни-
каких упрощений не получим, так как придется давать учени-
кам одни и те же объяснения независимо от того, основыва-
лись ли мы на определении площадей некоторых прямоугольни-
ков, как это делалось выше, или на определении площадей
треугольников. Оценки площадей могут быть получены разными
способами; однако классические приемы, употребленные нами,
весьма просты, в то время как фактическое вычисление чисел
щ и Ni3 если и считать его возможным математически, педаго-
гически совершенно невозможно. Разберемся в этом.
102
В п. 25 я мог бы указать прием вычисления площади прямо-
угольника, стороны которого параллельны сторонам квадратов
сетки Т, более связанный с понятием числа, более похожий на
те приемы, которые я рекомендовал в главах I и II. Я мог бы
сказать: пусть нам требуется вычислить числа и Nl для
прямоугольника, стороны которого . параллельны сторонам квад-
ратов сетки, две противоположные вершины которого имеют
координаты (р^2, у'З ) и (V 5, ]^7), т. е. (1,41..., 1,73...) и
(2,23..м 2,64...). Точки квадратов Ц, которые фигурируют в
определении числа nv имеют абсциссы, заключенные между
1,5 и 2,2, и ординаты, заключенные между 1,8 и 2,6; очевидно,
что число таких квадратов л, = 7-8. Точно так же точки квад-
ратов, фигурирующих в определении числа Nv имеют коорди-
наты, заключенные между 1,4 и 2,3, между 1,7 и 2,7; отсюда
Л^ = 9-10.
Для младших учеников такой способ изложения, может
быть, будет более приемлемым, чем данный в п. 25, но для
таких учеников не может быть и речи о логически законченном
изложении п. 25, благодаря которому в п. 44 я говорил сразу
об объемах цилиндров, в то время как более близкое к опре-
делению числа изложение позволяет говорить лишь о некото-
рых прямоугольных параллелепипедах.
В самом деле, как только мы отходим от простейшего слу-
чая прямоугольников или прямоугольных параллелепипедов, рас-
положенных самым удобным образом по отношению к сетке Г,
вычисление чисел ni и становится невозможным (во всяком
случае практически невозможным), даже если обращаться к
студентам, заканчивающим свое образование в университете.
Как вычислить числа nt и для треугольника, две вершины
которого находятся в указанных выше точках, а третья имеет
координаты / 6, / 8? В этом случае нам придется вычислять,
скажем, абсциссы точек пересечения сторон этого треугольника
с прямыми, совпадающими со сторонами квадратов Ui9 учиты-
вая все десятичные знаки этих чисел. Совершенно ясно, что
мы никогда не придем к вычислению самих чисел и Ni9
а получим лишь величины, достаточно близкие к этим числам,
для того, чтобы их можно было положить в основу определе-
ния площади. Ясно также, что в ходе этих приближенных
вычислений мы снова сталкиваемся с площадями специальных
прямоугольников, рассмотренных в п. 25, и что для вычисления
нужных нам абсцисс придется все треугольники разбивать пря-
мой, параллельной оси сол, на два треугольника; одним словом,
мы снова вернемся к рассуждениям, эквивалентным использо--
ванным выше.
55. То обстоятельство, что нам приходится рассуждать о
числах и, и 2V/, а не вычислять их, можно сопоставить со сле-
103
дующим наблюдением. Как бы мы ни старались полностью
изгнать метафизику из математических рассуждений, нам, одна-
ко, не удастся иметь дело исключительно с конкретным. Я уже
отмечал, что геометрический процесс измерения представляет
собой не что иное, как физические эксперименты, приложенные
к схематизированным объектам; это относится к самому про-
цессу измерения, поскольку,’если говорить об его осуществле-
нии, то здесь имеется существенная разница между случаями
физическим и геометрическим: она заключается в том, что в
геометрии операцию измерения приходится повторять неогра-
ниченное число раз. Геометрическое измерение начинается как
физический процесс, но завершение его имеет характер мета-
физический!
Совершенно бесполезно пытаться устранить это затруднение,
так как оно коренится в понятии точки. Это понятие можно
постичь лишь усилием ума, включающим предельный переход,
т. е. охватив мысленно неограниченный ряд операций, и любое
геометрическое измерение принуждено иметь дело с такой же
процедурой. Чтобы избавиться от нее, нужно было бы запре-
тить говорить о точках,. а значит, и вообще о произвольных
числах; нам пришлось бы использовать, например, ту арифме-
тику трехзначных чисел, о которой любил говорить Клейн*, но
которую никто никогда не построил: арифметику, в которой
трехзначные числа не только употребляются в качестве при-
ближенных значений встречающихся нам чисел, но в которой
действительно существуют лишь трехзначные числа.
К сожалению, мы вынуждены обойтись без этой арифметики,
поскольку ее не существует. Впрочем, в таком случае нам
потребовалась бы также арифметика 1 четырехзначных чисел,
пятизначных чисел и т. д., чтобы мы могли описывать все
более и более точные физические измерения; процесс, к кото-
рому пришло человечество и который сразу приводит к числам,
записывающимся с помощью бесконечной последовательности
цифр, кажется и более естественным и более простым. Но это
имеет своим следствием то, что целью геометрических
измерений являются не числа, получаемые на первой или на
второй стадии измерения, а число, которое получается в резуль-
тате воображаемой операции. Все числа nt и Nt сами по себе
не имеют для нас никакого значения; это есть всего лишь
инструмент, используемый для достижения цели; его можно
заменить другим, более удобным, если мы найдем такой. Мы
имеем полное право не вычислять эти числа; мы можем утверж-
* Феликс Клейн (1849—1925) — выдающийся немецкий математик и педа-
гог, много занимавшийся вопросами преподавания математики; ряд его книг
(в том числе двухтомная «Элементарная математика с точки зрения высшей»,
адресованная преподавателям математики в средней школе) переведены на
русский язык.
104
дать, что число-мера является результатом наших операций
измерения, несмотря на то, что оно, вообще говоря, не позво-
ляет восстановить числа тгг и Эти последние имеют лишь
случайное значение; производя измерение при другом положе-
нии области относительно сетки Т, мы придем к другим числам
ni и подобно тому как два экспериментатора, получившие
одно и то же значение физической константы, не должны были
для этого обязательно получать все время одни и те же числа
в процессе осуществляемых ими экспериментов.
56. Чтобы уточнить сказанное и чтобы избежать недоразу-
мений, я выше задержался на вопросе: не следует ли больше
использовать возможность вычислений? Этот вопрос я понимал
в одном смысле, который можно ему придать; но обычно ему
придают другой смысл: «не следует ли для нахождения пло-
щади треугольника и объема тетраэдра использовать близкие
к ним, но не обязательно состоящие из квадратов (кубов) Ut
фигуры (тела), площади (соответственно объемы) которых вы-
числяются по формулам, приводящим к суммам квадратов или
кубов целых чисел?». Это — хорошо известный прием, употреб-
ляемый некоторыми учителями на занятиях в классе. В случае
треугольника он лишь усложняет дело; в случае же тетраэдра
этот прием обладает тем ценным преимуществом, что избав-
ляет от необходимости сравнивать два тетраэдра, позволяя вести
рассуждения в применении к одному лишь тетраэдру. Однако
он нисколько не облегчает самые тонкие пункты доказательства,
больше всего затрудняющие учеников; я здесь имею в виду
приближение рассматриваемой фигуры близкими к ней областя-
ми и переход к пределу. Этот метод более соответствует
указанному здесь полному изложению, чем обычному; в случае
же полного изложения я не вижу никаких неудобств в том,
чтобы объем тетраэдра получался с помощью суммирования.
Я бы не повторил то же самое, если бы речь шла о препо-
давании в младших классах: вычислять — это действовать, и
поэтому вычисления нравятся детям больше, чем рассуждения;
они охотно подчиняются правилам вычислений, подобно прави-
лам любой игры. Для математика вычислять — это значит рас-
суждать, это значит еще глубже анализировать геометрические
факты; но для ученика младших классов вычислять — это зна-
чит предоставить математическим символам думать вместо него,
это значит забыть о всяких геометрических фактах для того,
чтобы видеть вместо них одни лишь символы. Когда какой-ни-
будь вопрос, например об объеме тетраэдра, требует и вычис-
лений и рассуждений, то ученик уверен в том, что он ответил
безукоризненно, если он написал на доске две или три строчки
нужных для вывода равенств; то, что сопровождающие эту
выкладку рассуждения заменены бессвязной болтовней, ему
кажется совершенно неважным.
105
Поэтому -если преподавание математики в средней школе
имеет целью формирование интеллекта, а не только овладение
техникой и приобретение формальных знаний, — а я в этом
уверен,—то вычисления не должны играть здесь значи-
тельной роли. На более высоких ступенях обучения, когда
преподавание имеет дело с молодыми людьми, уже приучен-
ными рассуждать и настолько овладевшими геометрическими,
механическими и физическими фактами, что ничто не сможет эти
факты замаскировать, вычисления могут занять большее место.
57. Не стоило бы останавливаться на этих замечаниях, если
бы я имел в виду лишь маловажный вопрос: каким способом
лучше *всего вычислять объем тетраэдра? Но не так давно один
школьный инспектор во Франции задал следующий вопрос: «Не
следовало ли бы вычислять площади и объемы, пользуясь фор-
мулами интегрального исчисления?».
Насколько я понимаю, его идея состоит в следующем: нужно
вычислять обычным способом площадь прямоугольника и объем
прямоугольного параллелепипеда, рассматривая площадь и объем
как понятия первичные или достаточно ясные вследствие связи
их с процессом замещения комнаты плитами или возведением
стены из кирпичей. После этого нужно доказать (во Франции
это уже относится к программе бакалаврства), что площадь,
ограниченная осью х, ординатами а и X и дугой кривой
y = f(x) [где а<Х и функция y=f(x) непрерывна и положи-
тельна], представляет собой функцию X, производная которой
равна f(X)\ следует доказать также и аналогичное предложе-
ние и для объемов, обозначая через f(x) площадь сечения
тела плоскостью с абсциссой х; эти теоремы затем можно
приложить к нахождению плошади треугольника и круга, объема
пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
Эта погоня за непосредственной выгодой может показаться
близкой к тем принципам, о которых я говорил в главе I (см.
п. 18); однако не уменьшит ли она .образовательной ценности
курса математики? Многим ли из пятнадцати- и шестнадцати-
летних детей, получающих среднее образование, придется впо-
следствии вычислять площади или объемы? Можно допустить,
что все они несколько раз в жизни будут иметь случай поин-
тересоваться количеством кусков обоев, нужных для стен их
жилища, или площадью ковра, который подойдет для их ком-
наты. Но вряд ли найдется один на сто, который встретится
с фигурами более сложными, чем прямоугольники и прямо-
угольные параллелепипеды, изучаемые на первой ступени обу-
чения. И не найдется и одного на тысячу, которому придется
вывести впоследствии новую формулу квадратуры или кубату-
ры, а не только пользоваться формулами? установленными до него.
Таким образом, единственной непосредственной выгодой
предложенного выше порядка обучения явится то, что исполь-
106
зование приемов интегрального исчисления начнется уже на
средней ступени обучения, поскольку ученикам, образующим
довольно внушительное меньшинство, придется ознакомиться
с этим исчислением в ходе их дальнейшего обучения.
58. Но изучение площадей и объемов имеет еще и другое,
более важное, значение, которое мы также не должны игнори-
ровать: оно помогает понять, каким образом практические по-
требности людей привели к созданию геометрии и в какой мере
последняя оправдала потраченные на нее усилия; оно показы-
вает, как очищаются первоначально достаточно грубые понятия,
отделяясь от смежных понятий, как они уточняются, когда на
первое место выдвигаются их характеристические свойства, и
как таким путем приходят к выражению понятий в точных логи-
ческих терминах, т. е. создают математическое понятие. Без
сомнения, мы сами в процессе преподавания площадей и объ-
емов не задумываемся об этих вещах; но если это преподава-
ние не оправдывается своей практической выгодой и сохраняется
не просто в силу рутины, то значит, оно навязывается нам не чем
иным, как этим общекультурным интересом. И оно навязывается
нам потому, что без него мы не смогли бы установить никакой
связи между двумя основными понятиями математики: точкой
и числом.
Кроме определения числа, возникающего как результат изме-
рения длины, нужно рассмотреть и другие задачи измерения
величин для того, чтобы дать почувствовать ту необычайную
точность, которую вносит число в вопросы, связанные с его
применением; лишь число дает физику уверенность в его резуль-
татах и представляет собой единственную достоверность. В то
же время можно дать почувствовать, что эта могущество числа
не есть некоторое мистическое свойство, которым оно обладает;
что оно проистекает исключительно из тех условий, которые
требует анализ изучаемого понятия для того, чтобы придать
ему точность числа; что недостаточно поспешно упомянуть
о числе, не определенном вовсе или плохо определенном, чтобы
внести ясность в тот или другой вопрос; что число появляется
лишь на последней стадии рассмотрения вопроса, являясь в не-
котором роде показателем достигнутого прогресса.
Безусловно, наши ученики, в зависимости каждый от своего
интеллектуального уровня, весьма различно воспримут эти доводы
усвоить более тонкую культуру мысли и что никто из них не
сможет объяснить те преимущества, которые он извлек из изу-
чения теории площадей и объемов. Но достаточно и того, что
некоторые из них настолько усвоят дух этих теорий, что в дру-
гих обстоятельствах смогут самостоятельно провести аналогич-
ные рассуждения, а ученики, способные к этому, безусловно
найдутся. Это не должно нас удивлять; если показать среднему
ученику класса математики, прошедшему обычный курс обуче-
107
ния, в котором не упоминается о свойствах а), 0), у), 8), что
эти свойства характеризуют площади (например, при помощи
приемов, развитых в п. 31, или в п. 35), то он заинтересуется
новыми для него доказательствами, но скажет вам, что доказы-
ваемое предложение было ему и так уже хорошо известно.
Говоря это, он, конечно, ошибается; но его ответ во всяком
случае показывает, что он бессознательно пришел к истине; нет
ничего удивительного в том, что в подходящих случаях он будет
тянуться к аналогичной истине.
Обычное изложение независимо от того, формулируются ли
в нем явно или нет свойства а), ^), у), 8), настолько очевидно
опирается на эти свойства, что они по меньшей мере бессозна-
тельно запечатлеваются в сознании учеников. Я боюсь, что это
значительное преимущество будет полностью утеряно, если мы
перейдем к изложению, основанному на интегральном исчисле-
нии. И не потому, что обычное изложение больше говорит
о происхождении основных понятий, чем изложение, базирую-
щееся на понятии интеграла: этого нет, если не считать несколь-
ких слов о мощении пола плитами или о кирпичной кладке.
Но традиционное изложение в большей степени апеллирует
к первоначальным понятиям в их наиболее элементарной форме.
Когда мы используем перенос треугольников или тетраэдров,
когда мы говорим о разбиении тел на части, равные или равно-
составленные,— вот тогда мы и осваиваемся со свойствами
а), Р), Y), §)• При изложении же, основанном на идеях интег-
рального исчисления, все это исчезнет; останется же в лучшем
случае лишь заполнение прямоугольников квадратами и прямо-
угольных параллелепипедов кубами,— но этого недостаточно для
того, чтобы получить правильное представление о важности
свойств а), р), у), 8), характеризующих площадь или объем.
59. Прибавьте к этому то, что, как я уже отмечал, все вни-
мание учеников будет занято вычислениями в ущерб рассужде-
ниям. Можно уже сейчас в этом удостовериться; возьмите того
же среднего ученика, который так правильно воспринял обыч-
ное изложение теории площадей и объемов, и попросите его
воспроизвести данное на уроке доказательство классической
теоремы о производной от площадей некоторых областей1. Это
будет нечто ужасное.
Но что в этом удивительного? Понадобились века, чтобы
увидеть в понятиях интеграла и производной, которыми люди
располагали под видом площади и касательной еще в глубокой
древности, два взаимно обратных понятия, а мы хотим, чтобы
1 Полная формулировка этой теоремы по необходимости должна быть
довольно длинной; этого тем не менее недостаточно, чтобы оправдать ту
фразу, которую прежде находили в официальных французских программах:
производная площади кривой, рассматриваемой как функция абсциссы.
108
худший ученик класса математики, совершенно лишенный мате-
матического гения, понял бы это сразу и вполне на основании
произнесенных перед ним слов, как будто одни слова могут
служить фундаментом всего здания. Нужно иметь слишком высо-
кое представление о преподавании, и я удивляюсь, что гене-
ральный инспектор может питать подобные иллюзии.
Здесь не место анализировать затруднения, с которыми встре-
тились наши предки; заметим только, что по крайней мере
в одном пункте наши юные питомцы находятся в точности
в состоянии умов людей XVII века: для них понятие функции
совпадает с ее выражением. Скорее даже для наших учеников
имеются два рода функций: настоящие, т. е. те, которые встре-
чаются в задачах (например, ах2 -\-bx-\-c, и т. Д-; они
«имеют выражения»), и функции теоретических рассуждений
(скажем, /(л) — общее обозначение, которое принимает точный
смысл лишь в задачах, гд^ оно превращается, например,
в Зсозл — 2). Эти последние настолько неправдоподобны, что
для того, чтобы придать им хоть какую-либо реальность, меха-
ническое существование, как сказали бы раньше, их приходится
рисовать. И эти рисунки настолько педагогически необходимы,
что в курсах механики, где мы часто вынуждены говорить
о функциях, не являющихся определенными выражениями, во
второй половине XIX века было принято наводнять изложение
множеством чертежей, изображающих изменение пройденного
пути, скорости, ускорения и т. д., и настаивать на графических
приемах получения соответствующих кривых.
Точно так же в рассуждениях о производных некоторых пло-
щадей наших учеников больше всего смущает то, что здесь
рассматривают плохую функцию /(л), материальным воплоще-
нием которой служит кривая, и что собираются находить еще
худшую, совершенно для них не ^существующую функцию —
площадь, уже вовсе не имеющую никакого материального
образа1. Для учеников это рассуждение слишком абстрактно;
наоборот, для нас нет ничего более конкретного. Для большей
ясности мы пользуемся вспомогательным чертежом, достаточно
произвольным, полезным лишь для тех, которые способны
видеть, начислять и' рассуждать в одно и то же время. Но мно-
гие оказываются не способными расчленять свое внимание на
три части, и для них то свойство, которое мы хотим положить
в основу теории площадей и объемов, остается темным и ту-
манным.
60. Быть может, небесполезно, заканчивая эту главу, ука-
зать на одну тонкость в рассуждениях, встречаемую в прило-
1 Фраза, процитированная в предшествующей сноске, вряд ли может внести
недостающую ясность.
109
жениях интегрального исчисления к вопросу об объемах, на
которую некоторые авторы учебников не обращают должного
внимания.
Чтобы облегчить вычисление приращения площади, получае-
мого в результате перемещения ординаты от значения х абсциссы
до значения л-|“А, часто допускают, что функция/(л), опре-
деляющая ограничивающую площадь кривую, все время возрас-
тает или все время убывает в интервале от х до x-\-h. Это
ограничение нас не стесняет, так как оно удовлетворяется во
всех практически важных случаях и в особенности потому, что
ученики считают его само собой разумеющимся, если только h
достаточно мало. Однако, если на непрерывную функцию /(л)
и не налагать никаких ограничений, рассуждения нисколько не
усложнятся.
Но предположим, что дело идет о вычислении объемов.
Пусть мы имеем тело, сечение которого плоскостью, параллель-
ной плоскости yoz, имеет площадь Л(л), являющуюся непре-
рывной функцией абсциссы х рассматриваемой плоскости, и
пусть мы желаем вычислить объем части тела, заключенной
между плоскостями с абсциссами х и x-\-h. Эта часть заклю-
чена в прямом цилиндре высоты А, перпендикулярное образую-
щим сечение которого представляет собой объединение
проекций на плоскость yoz всех сечений тела плоскостями,
параллельными yoz, абсциссы которых заключены между х и
х + h\ она содержит внутри себя аналогичный цилиндр, перпен-
дикулярное образующим сечение которого является пересече-
нием (т.’ е. общей частью) всех указанных проекций. Требуется
доказать, что обе полученные таким путем области имеют пло-
щади, стремящиеся к А (х), когда А стремится к 0; это отнюдь
не очевидно и может быть доказано лишь в случае точного
определения того, что мы подразумеваем под словом «тело»и
Но если нужные уточнения, и будут сделаны, доказательство
все еще не станет совсем простым, даже если предположить нали-
чие развернутого в начале этой главы изложения; это значит,
что в случае простого и быстрого изложения мы можем быть
строгими лишь за счет общности. Таким образом, если вопреки
тому, что обычно имеет место, желать быть строгими, то нужно
вводить ограничения. Самым естественным будет предположение,
что из двух параллельных yoz сечений одно содержит проек-
цию другого; но тот, кто считает это ограничение необходимым
для того, чтобы можно было не сомневаться в простых свой-
ствах понятия объема, не ставит ли тем самым под сомнение
само существование этого понятия?
61. В этом последнем пункте настоящей главы мне придется
несколько отступить от темы, чтобы остановиться на одном
возражении против вычисления площади треугольника или объема
тетраэдра с помощью суммирования квадратов или кубов нату-
110
ральных чисел; это возражение сводится к тому, что указанные
суммы получаются слишком искусственным путем, который заучи-
вается учениками наизусть, но ничего им не дает. Это, конечно,
верно. Однако это возражение относится исключительно к при-
нятому обычно способу изложения; его можйо устранить, если
обратиться к истории вопроса.
В XVII веке математики пришли, в частности, при вычисле-
нии площадей и объемов к суммированию последовательно-
стей и2, . . . , члены которых являются функциями номера
члена, и это подготовило почву и сделало возможным изобре-
тение исчисления бесконечно малых. Приемы, которые они упо-
требляли, весьма различны по виду, но в конце концов стано-
вится ясным, что все они сводятся к следующему. Нужно
вычислить суммы:
«,=«», 8.=«, + »., • • • , 8^=11, + ^ + . . . + ия; (1)
значит, зр — sp_t = up для всякого значения р, большего еди-
ницы. Предположим же, что мы нашли (неважно как!) такую
функцию ар от р, что для всякого р > 1 имеем:
вя~а|,-1 = яя- (2)
тогда
S = «i + (®. —»1) + (®.— ».) + • •• + (»»—
Вычисление суммы (1) сводится, следовательно, к отысканию
функции ар, удовлетворяющей равенству (2)*.
' Уточним нашу мысль: мы хотим найти алгебраическое или
тригонометрическое выражение ар, зависящее от р, которое
удовлетворяет формуле (2) при заданных ир. Таким образом, мы
находимся в положении рабочего, которого спрашивают, имеет
ли он подходящий для данной работы инструмент, и который
в ответ на это начинает обозревать свой ящик с инструментами.
Этот обзор его не затруднит и не отнимет много времени, если
он знает, чего можно ожидать от каждого инструмента, и если
он хотя бы один раз уже составил для себя учет возможностей,
таящихся в его наборе инструментов.
Последуем примеру этого рабочего и спросим себя, каковы
те ир, которые мы получим по формуле (2), если вместо ар
подставлять различные, зависящие от р выражения, которые мы
умеем образовывать. Тем самым мы произведем учет всех тех
задач на суммирование, которые мы сможем решить.
Мы не станем показывать, как, исходя из ар, являющихся
многочленами относительно р, мы придем к величинам ир, также
являющихся многочленами (откуда, в частности, уже получа-
ются процессы суммирования, необходимые для нахождения
* По поводу этого приема суммирования рядов см., например, § 7 «Задач-
ника по алгебре» В. А. Кречмара, М., 19о9.
111
площади треугольника или объема тетраэдра), как, исходя из
ор = Аар мы приходим к геометрическим прогрессиям, а от
ор— A cos (px-]-h)— к суммированию тригонометрических выра-
жений и т. д.
Мне кажется, что это небольшое изменение порядка изло-
жения существенно меняет весь его смысл. Во-первых, вычисле-
ния здесь выступают как вспомогательное средство здравого
смысла и рассуждений, как нечто направляемое ими, а не заме-
щающее их благодаря какой-то таинственной силе. Во-вторых,
это изложение поможет нашим ученикам понять, каким образом
люди XVII века были подготовлены к пониманию и к открытию
приемов вычисления неопределенных интегралов, а также к уста-
новлению связи между интегрированием и дифференцированием,
т. е. операциям вычисления а исходя из и, соответственно и
исходя из а, получаемым в пределе.
ГЛАВА V
ДЛИНЫ КРИВЫХ. ПЛОЩАДИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
62. Учебники элементарной геометрии ограничиваются вычи-
слением предела периметров некоторых вписанных и описанных
около круга многоугольников, предела площадей поверхностей
призм и пирамид, вписанных в цилиндр или конус вращения, и
площадей некоторых поверхностей, приближающих поверхность
сферы. Не дается никакого общего определения, так что возра-
жения пп. 42 и 53 могут быть сделаны, например, уже по по-
воду вычислений площадей самых простых поверхностей, обра-
зованных частями сфер, цилиндров и конусов, коль скоро они
не совпадают в точности с поверхностями, рассмотренными
в учебниках, и не подходят под явно или неявно сделанное
условное определение.
Таким образом, всю эту часть школьного курса можно счи-
тать почти несуществующей, и если все эти вопросы сохраня-
ются в школьном курсе, то лишь потому, что понятия длины
кривой и площади поверхности являются одними из самых ста-
рых и что измерение длин и площадей очень много изучалось
геометрами и способствовало открытию исчисления бесконечно
малых.
Практическая важность этих понятий, историческая роль,
которую они сыграли в деле развития науки, заставляют нас,
таким образом, сохранить эту главу, которая, однако, должна
быть составлена заново, а не только исправлена, как это было
с предшествующими главами. Содержание этих последних было
закреплено традицией, и мы занимались лишь установлением
способов доказательства и порядка изложения; сейчас же должно
быть определено само содержание главы. Содержание препода-
вания зависит от задач, которые стоят перед ним на каждой
ступени обучения, и от экзаменационных программ. Поэтому
было бы невозможно дать в этой книге изложение, непосред-
ственно пригодное, например, для средней школы. Вместо этого
нам предстоит определить те основные факты, которые явятся
предметом изучения как в средней, так и в высшей школах.
113
Что касается специально высшей школы, то во многих кур-
сах высшей математики вычисление длин и площадей сводится
лишь к вычислениям простых и двойных интегралов в декарто-
вых и полярных координатах; но при этом намеренно избегают
определений, т. е. того, что в самом деле относится к геомет-
рии. У нас во Франции нередко можно встретить учебники,
ограничивающиеся заявлением: длиной кривой, заданной в пря-
моугольных декартовых координатах выражениями х (t), у (£), z (t),
мы называем функцию s(£), определенную следующим соот-
ношением:
8'* = х'*-}-у'2-\-^*
— и на этом все кончается!
Таким образом, рассматривая этот вопрос, я не буду забо-
титься о разграничении того, что следует излагать в средней
школе и что нужно оставить для последующих ступеней мате-
матического образования. При этом здесь я ограничусь главным
образом разъяснением понятий.
63. Предпослав изложению краткий исторический обзор, мы
сможем избежать некоторых трудностей; он заставит нас при-
знать необходимость определенных предосторожностей.
Для' древних понятия длины, плошади и объема были первич-
ными понятиями, ясными сами по себе, не требующими логи-
ческих определений. Аксиомы, почти все неявные, употребляе-
мые ими при вычислениях, не являлись в их глазах определениями
этих понятий. Их интересовало всегда место, занимаемое линией,
поверхностью или телом в пространстве. Затруднения начина-
лись лишь тогда, когда требовалось измерить это место, отнести
ему некоторое число; они сводились, единственно, к существо-
ванию несоизмеримых величин. Отсюда и берет свое начало
отвращение к числам, усилия, прилагаемые, чтобы как можно
позже начать ими пользоваться, и необыкновенно искусственные
приемы, о которых мы уже говорили, например, в пп. 14 и 20.
Коши первый дал логическое определение понятий длины,
площади и объема; он сделал это случайно и до некоторой сте-
пени сам того не желая. В двух предшествующих главах мы
видели, как можно истолковать понятия площади области и
объема тела, освобождая эти понятия от их метафизического
смысла, рассматривая площади и объемы как числа и строя эти
числа с помощью неограниченного ряда операций, каждая из
которых доставляет нам приближенные значения площади или
объема. При этом мы опирались на аксиомы, на неявно выра-
женные постулаты, явное выражение или доказательство кото-
рых и дает искомые логические определения. Мы знаем, что
Коши использовал аналогичный прием для построения опреде-
ленного интеграла от непрерывной функции и тем самым* дока-
зал существование примитивных функций. Идя этим путем, Коши
114
не только дал логические определения площади плоской области
и объема тела, но так как он логически определил также и
выражения, подобные
$Vл'г4-^'* + г'‘dt и + dxdy,
то он открыл определение длины, о котором я упоминал в п. 62,
и наметил аналогичное определение для площади.
С точки зрения логической вопрос исчерпывающе разобран;
подведем итоги достигнутому.
Часто говорят, что Декарт — следовало бы по крайней мере
упомянуть также и Ферма — свел геометрию к алгебре; между
тем не совсем верно, поскольку по-прежнему приходилось апел-
лировать к геометрическим понятиям: длинам, площадям, объемам.
Лишь после Коши была по-настоящему установлена связь меж-
ду геометрическими понятиями и вычислительными операциями.
Только после этого геометрия была полностью сведена к алгебре,
т. е., так как общее понятие числа представляет собой резуль-
тат измерения длины (глава II), геометрия на плоскости и в
пространстве были сведены к геометрии прямой.
Чтобы прийти к так называемой арифметизации геометрии,
оставалось лишь вывести общее понятие числа из понятия целого
числа, не апеллируя к процессу измерения, т. е. ничего не го-
воря об операциях, которые можно отнести к геометрии прямой,
а употребляя, например, сечения. Здесь еще раз используется
прием Коши, состоящий в том, что за число принимают те опе-
рации, которые позволяют найти его приближенные значения.
В самом деле, определение сечения, как мы об этом упоминали
выше, есть не что иное, как описание в абстрактных терминах
результата процесса измерения длины.
64. Мы добрались, таким образом, до- самой абстрактной,
чисто логической формы изложения путем постоянного упот-
ребления своего рода выворачивания понятия, употребленного
в свое время Коши*. И однако ни геометр, интересующийся
геометрическими связями, существующими между линиями, по-
верхностями и телами, с одной стороны, и их длинами, площа-
дями и объемами, с другой, ни физик, пожелавший узнать, по-
чему за знакомые ему из физики длины, площади и объемы
следует принимать такие-то, а не другие интегралы, не чувст-
вуют себя удовлетворенными. Здесь требуется еще дальнейшее
изучение.
Первые результаты, относящиеся к кривым и поверхностям,
были выведены из предположения, что кривая есть ломаная с
* Здесь имеется в виду своеобразный ход мысли, при котором процедура,
применяемая для нахождения значения понятия, как будто известного, но не
определенного еще логически безупречно, принимается за определение
этого понятия.
115
бесконечным числом звеньев, а кривая поверхность — многогран-
ная поверхность с бесконечным числом граней. Когда говорят
о ломаной, приближающей данную кривую, то первое, что при-
ходит нам в голову,— это вписанные ломаные и ломаные, опи-
санные около кривой. Согласно Пеано (Peano) введенные Архи-
медом постулаты эквивалентны следующему определению длины
дуги: длина дуги плоской выпуклой кривой равна общему зна-
чению верхнего предела длин вписанных ломаных и нижнего
предела длин описанных ломаных. Таким образом, Архимед
равно использовал прямую и точку, эти два понятия, в одинако-
вой степени являющиеся исходными элементами геометрии древ-
них; он рассматривал кривую с точки зрения принципа двойст-
венности: и как геометрическое место точек и как огибающую
прямых.
Мы знаем, что постепенно понятие прямой стало вторичным
понятием; лишь с введением так называемых тангенциальных
координат прямой (близких к точечным координатам) и с уста-
новлением принципа двойственности прямая частично вновь при-
обрела свое самостоятельное значение. Отражением этой эво-
люции в рамках интересующего нас здесь вопроса явилось пе-
рерождение понятия кривой в понятие траектории: кривая по-
прежнему воспринимается как геометрическое место точек, но
уже не как огибающая прямых; по-прежнему рассматривают впи-
санные многоугольники, но игнорируют описанные. Таким обра-
зом, исследования длин стали ограничиваться лишь рассмотре-
нием вписанных ломаных, забывая при этом, что первоначально
эти последние были выбраны исключительно ради их простоты
и что они не обладают никакими специальными свойствами,
принципиально отличающими их от всех других ломаных, при-
ближающих кривую.
Таким образом, математики пришли к тому, чтобы принимать
за длину кривой (площадь поверхности) предел длин впи-
санных ломаных (площадей вписанных многогран-
ных поверхностей), если все ребра ломаной (грани поверх-
ности) неограниченно уменьшаются, и, когда более глубокий
анализ этих определений привел к известным трудностям, мате-
матики очутились в беспомощном положении.
В вопросе о длине кривой этим (более глубоким) анализом
мы обязаны в первую очередь Л. Шефферу и К. Жорда-
ну1. Выяснилось, что предел, принимаемый за определение
длины кривой, в известном смысле всегда существует; од-
нако он может оказаться бесконечным: имеются кривые, любая
сколь угодно малая дуга которых не имеет конечной длины
или, если угодно, имеет бесконечную длину. Результат парадок-
сальный, кажущийся противоречащим обычному употреблению
1 Исследования Жордана привели его к установлению принципиального
понятия функций ограниченной вариации.
116
слова «малый», который именно вследствие этого заставил уточ-
нить и разграничить некоторые, до этого времени смешиваемые
понятия; но все же этот результат не явился катастрофой, по-
добно той, какой, по мнению пифагорейских геометров (для ко-
торых все числа были дробями), явилось аналогичное открытие,
состоящее в том, что существуют отрезки, не имеющие (с их
точки зрения) длины. В самом деле, так как отмеченные затруд-
нения, если они вообще встречаются, никогда не касаются про-
стых кривых, то всегда можно было, следуя не особенно при-
влекательному, но часто употребляющемуся приему, объявить,
что кривые, не имеющие длины,— это не настоящие кривые,
поставить эти кривые, во всяком случае временно, вне мате-
матики, т. е. отложить их изучение на более
позднее время, в то время как считать, что
диагональ квадрата не является объектом ма-
тематики, было невозможно.
Результаты, к которым пришли, изучая
понятие площади поверхности, были
еще более удручающими. Пытаясь найти тело
максимального объема, имеющее заданную пло-
щадь поверхности, Шварц
имел случай задуматься над тем,
представляет собой площадь поверхности.
В своем письме к Дженокки он указал,
что площади вписанных в данную поверхность
многогранных поверхностей, все грани которых
неоднократно
что же
неограниченно уменьшаются, могут не иметь
никакого предела; это явление можно наблюдать в случае даже са-
мых простых поверхностей, например цилиндра вращения. Пример
Шварца так естественно приходит на ум; при исследовании этого
вопроса, что Пеано пришел к нему независимо от Шварца почти
в то же самое время; впоследствии многие геометры переот-
крывали этот пример и излагали его в своих работах.
Покажем, в чем заключается сущность найденного Шварцем
примера. Разделим боковую поверхность цилиндра вращения
перпендикулярными оси плоскостями на т равных частей; в по-
лученную в каждом сечении окружность впишем правильный
выпуклый /г-угольник; полуплоскость, проходящую через ось
цилиндра и через одну из вершин многоугольника, мы будем
поворачивать на угол — при переходе от одного сечения к сле-
дующему (рис. 28). Рассмотрим теперь вписанную многогранную
поверхность, образованную равнобедренными треугольниками,
основания которых являются сторонами этих многоугольников,
а вершины суть вершины многоугольников, вписанных в сосед-
ние сечения цилиндра. Ясно, что при неограниченно возраста-
ющих т и п полученная поверхность будет неограниченно при-
ближаться к цилиндру; ясно также, что предел площади этой
117
U П *
многогранной поверхности зависит от предела отношения — .
Выбирая подходящим образом закон изменения -j-j-, можно до-
биться того, чтобы предела площади этой поверхности не су-
ществовало или чтобы он существовал, но имел произвольно
заданную величину.
65. Таким образом было разрушено геометрическое опреде-
ление площади поверхности; правда, катастрофой это еще не
явилось, так как все соглашались с тем, что, по крайней мере
для простых поверхностей, площадь может быть выражена сле-
дующим образом: ___________
J J V\-\-p*+q*dxdy.
При наличии этого аналитического определения оставалось лишь
дать ему геометрическую интерпретацию; отчасти такая интер-
претация была уже известна. Еще до примера Шварца, пока-
завшего полную невозможность сохранения принятого опреде-
ления, связанные с этим определением затруднения чувствова-
лись всеми, пытавшимися, исходя из него, дать действительно
строгое изложение вопроса. Некоторые предлагали ограничить
семейство вписанных многогранников с тем, чтобы можно было
доказать существование предела их площадей. Так, например,
предлагалось принять, что площадь поверхности по определению
является пределом площадей вписанных в эту поверхность мно-
гогранных поверхностей, грани которых неограниченно умень-
шаются во всех направлениях, причем так, что углы граней не
стремятся к нулю; другие вместо этого предлагали потребо-
вать, чтобы углы, образованные гранями с поверхностью» стре-
мились к нулю.
Однако эти ограничения весьма ^искусственны; совершенно
не очевидно, что при других простых ограничениях мы не по-
лучим другого предела, и совершенно неизвестно, какой из этих
пределов лучше всего соответствует физическому понятию пло-
щади. К тому же математики задались целью найти определение
площади поверхности, область применения которой была близка
к области применения изучавшегося Шеффером и Жорданом
определения длины дуги. Начали выдумывать — и в первую оче-
редь Пеано и Эрмит — другие определения, но настолько
* Нетрудно показать, что предел площади рассматриваемой многогранной
поверхности при т, п —► оо равен 2тс7? j/" № -f- £ -j- Я2 » где R и Н — ра-
. .. п .
диус основания и высота цилиндра, k = lim — (мы предполагаем существова-
п -► оо
ние предела k, конечного или бесконечного; вывод этой формулы см., например,
в книге Я. С. Ду б нов, Ошибки в геометрических доказательствах, М., 1955,
пример 14).
118
далекие от первоначальных, что обычная площадь уже не фигу-
рировала в них даже как предел площадей многогранников.
Мы сейчас покажем, что в действительности налицо были
все математические факты, достаточные для установления связи
между физическим понятием площади и аналитическим ее вы-
ражением и способные в случае надобности удовлетворить по-
требности геометров в общности выводов; это было понято
лишь впоследствии.
66. Если бы математики не были загипнотизированы словом
«вписанные», если бы они не забыли, что вписанные многогран-
ные поверхности были выбраны лишь как один из возможных
типов многогранников, приближающих данную кривую поверх-
ность, то они заметили бы, что встреченные ими затруднения
относятся не только к поверхностям, но и к кривым; между
тем их больше всего смущало различие между кривыми и по-
верхностями. Я позволю себе здесь призвать на помощь мои
воспоминания.
Как я уже говорил, в мои школьные годы во Франции .при
определении длин, площадей и объемов допускался переход к
пределу. Однако вскоре в учебники закрались сомнения, так как
студенты, которые по курсу анализа Эрмита познакомились с
возражениями Шварца, стали в свою очередь учителями. К тому
же многое располагало тогда к критическому пересмотру поня-
тий: исследования в области функций действительного перемен-
ного и в области теории множеств, которые как раз тогда стали
входить в моду, преподавание Т а н н е р и*, внушавшего своим уче-
никам, что необходимо стремиться к полному пониманию основ-
ных понятий и уж во всяком случае к безукоризненно точным
словесным формулировкам этих понятий. Тогда начали сомне-
ваться, даже зачастую не отдавая себе отчета, в чем состоит
сущность этих сомнений. Так, например, спутали определение
площади круга с помощью площадей многоугольников, содер-
жащихся в круге или содержащих его (п. 42), с рассуждением
о пределах. Но во всяком случае прежде, в мои школьные годы,
и учителя и ученики были вполне довольны рассуждениями, ос-
нованными на переходе к пределу.
Однако эти рассуждения перестали меня удовлетворять,
когда пятнадцати лет от роду я узнал от товарищей, что одна
сторона в треугольнике равна сумме двух других его сторон и
что тг = 2. В самом деле, пусть АВС—данный треугольник
* Ж. Таннери (1848—1910) — известный французский математик, профессор
Высшей Нормальной Школы (см. сноску на стр. 17), один из первых пропаган-
дистов теоретико-множественного направления. Несколько' книг Ж. Таннери,
в том числе и двухтомный курс теории функций действительной переменной
(«Введение в теорию функций с одной переменной»,М., 1912) переведены на
русский язык.
11^
(рис. 29), Z), Е, F— середины его сторон В А, ВС, СА; в таком
случае длина ломаной BDEFC равна АВ-\-АС\ проделывая те
же построения для треугольников DBE и FEC, мы получаем
ломаную той же длины, состоящую из восьми звеньев, и т. д.
При неограниченном увеличении числа
звеньев эти ломаные стремятся к ВС\
поэтому предел их длин (а все они
имеют одну и ту же длину АВ-\-ВС\)
равен ВС. Аналогично проводятся рас-
суждения и для числа тт*.
Это рассуждение абсолютно* ничем
не отличается от тех, которые препод-
носили нам при вычислении длины
окружности и площади круга, поверх-
ностей и объемов цилиндра, конуса
и шара. Для меня приведенное дока-
зательство было весьма поучительным.
Впрочем, все парадоксы, математичес-
кие софизмы в высшей степени поучительны; критический их
разбор и исправление ошибочных рассуждений должны, по-
моему, быть нормальным и часто повторяемым явлением при
преподавании математики на старших ступенях обучения.
Приведенный выше пример показывает, что в вопросах, ка-
сающихся длины, площади и объема, нельзя переходить к пре-
делу без специального обоснования возможности этого; и уже
один этот пример, подобно примеру Шварца, способен возбу-
дить законные подозрения.
Рис. 30.
67. Рассмотрим подробнее этот пример; наши стремящиеся
к ВС ломаные, имеющие вид зубьев пилы, имеют одну и ту же
длину АВ-\-АС — произвольное число, превышающее величину
ВС. Рассмотрим теперь последо-
вательность стремящихся к кри-
вой С ломаных линий, длины
которых стремятся к некоторой
величине L; поступая с каждым
звеном этих ломаных, как выше
с ВС (рис. 30), мы получим
новые ломаные, пределом длин
которых сможет явиться любое •
заданное заранее число, боль-
шее L. Обозначим теперь через
£0 нижнюю грань всех воз-
можных пределов L\ тогда, по предыдущему, предел L длин
ломаных линий, стремящихся к кривой С, может быть лю-
* См., например, книжку Я. С. Дубнова, упомянутую в подстрочном
примечании на стр. 118.
120
бым числом, большим или равным Ао. Вот почему, когда мне
понадобилось дать определение длины' и площади, имеющее
широкую область применения, я предложил принять число
за длину кривой С и аналогично определить также и площадь
кривой поверхности; до некоторой степени я был принужден к
этому, так как Lo является единственным среди всех пределов
длин числом, отличающимся, по крайней мере с первого взгляда,
от остальных; все остальные же значения L предела в известной
степени равноправны. Достаточно определить множество чисел А,
которые могут явиться рассматриваемыми здесь пределами длин,
чтобы найти и число Ао, которое, таким образом, доставляет
нам полный отчет о множестве чисел L.
Я не буду анализировать здесь эти общие определения;
прежде всего надо увязать физические понятия длины и площади
с аналитическими определениями этих величин. Также и педа-
гогический характер настоящего сочинения делает очень важным
установление этих связей.
68. Длину материальной кривой находят из опыта. Для тога
чтобы можно было определить из опыта число, нужно, чтобы
при малом изменении заданных величин оно само изменялось
мало; без этого эксперимент остается бессильным, поскольку
все «заданные» величины мы всегда знаем не точно, а лишь
приближенно. Другими словами, искомое число должно зависеть-
от данных величин непрерывно.
Постараемся уточнить нашу мысль. Экспериментальные опре-
деления базируются на некоторых технических операциях, ко-
торые, если дело касается понятий, могущих привести, по их
уточнении, к геометрическим понятиям, требуют употреб-
ления определенных приборов для измерения каких-то рассто-
яний, каких-то углов и т. д. При этом необходимо, чтобы малым
погрешностям в измерении, связанным с неточностью исполь-
зуемых инструментов и несовершенством их применения, отве-
чали малые изменения результата. Геометрическое определение
получится тогда из экспериментального, если приписать всем
требующимся техническим операциям абсолютный характер, гео-
метрическую точность. Если геометрическое определение не
приводит к числу, непрерывно зависящему от заданных величин,
то оно не может порождаться экспериментами; быть может,
в некоторых случаях такое определение и правильно отражает
природу возникшего из практики понятия, однако это нуждается
в специальном доказательстве. Это — плохое определение.
Рассмотрим с этой точки зрения классическое определение
длины; оно исходит от вписанного в кривую многоугольника,
число сторон которого неограниченно увеличивается; при этом
получают неограниченно возрастающее число точек кривой. Если
же попробовать применить практически подобный процесс к кри-
вой или отрезку ВС, то получатся напоминающие зубья пилы
121
ломаные линии с вершинами, близкими к кривой или к ВС.
С увеличением числа точек возрастает и погрешность измерения;
экспериментальная же практика всегда имеет дело (это, быть
может, объясняется только традицией) с многоугольниками,
имеющими ограниченное число вершин; лишь для этого случая
определяется верхний предел ошибки, связанный с неточным
определением положения этих вершин. Таким образом, класси-
ческое определение является плохим определением: оно не от-
ражает правильно технику вычисления длин и поэтому не в со-
стоянии раскрыть связь между теорией и практикой; чтобы по-
лучить хорошее определение, нам нужно тщательнее изучить
экспериментальную технику.
Трудность этого заключается в том, что физики не умеют,
во всяком случае непосредственно, точно измерить длины кри-
вых, и в том, что техника остается довольно грубой. С точ-
ными измерениями мы встречаемся лишь в геодезии, да и то
лишь если речь идет о длине отрезка; измерение длины дороги
как будто может быть поставлено по степени достигаемой точ-
ности на второе место. Рассмотрим работу землемера, измеря-
ющего дорогу: мы скажем, что он поступает неправильно, если
он будет прикладывать концы мерной цепи к разным краям
дороги. Почему?
На этот вопрос можно ответить, что задача состоит в изме-
рении длины не широкой полосы, каковой является дорога, но
линии, оси дороги. Но что такое эта ось и как ее найти? Если
взять, например, геометрическое место середин отрезков, пер-
пендикулярных к обоим краям дороги, то тогда сама операция
нахождения этих перпендикуляров предполагает, что нам из
практики уже известно направление дороги; процесс измерения
здесь будет основан на практическом знакомстве с дорогой, с
ее положением и направлением. Каким бы путем мы ни стара-
лись определить, какой метод работы землемера будет наилуч-
шим, мы неизбежно придем к тому же заключению.
Посмотрим, как поступает геодезист при измерении отрезка
ВС. Сначала он прилагает все усилия, чтобы как можно точнее
определить положение точек В и С; затем, если он захочет
разделить отрезок ВС точкой D, то, согласовывая направления
BD и DC, он удостоверится, что точка D находится на линии
ВС. Таким образом, если считать точки В и С уже заданными,
то геодезисты как раз и ставят задачу нахождения таких точек
отрезка, чтобы отрезок ВС не явился пределом ломаных, напо-
минающих зубья пилы; для этого они заботятся не только о
положениях вершин ломаной, но и о направлениях ее
звеньев.
Запомним, что практическое измерение длины кривой осно-
вывается на знании ее точек (положения) и ее касательных (на-
правления) и что при этом пользуются многоугольниками^ вер-
шины которых стремятся к точкам кривой, а стороны — к каса-
122
тельным к кривой. Мы найдем практический способ измерения
длины кривой, если докажем, что длины этих ломаных, прибли-
жающих кривую как по положению, так и по направлению,
стремятся к пределу при неограниченном приближении ломаных
к кривой; после этого мы сможем дать логическое определение
длины кривой, приняв за нее значение этого предела.
Это доказательство вполне очевидно, как и аналогичное, от-
носящееся к площадям; отсюда и получаются определения
длины кривой и площади поверхности, которые мы и примем.
Итак, мы возвратились к первоначальной концепции Архимеда,
рассматривавшего кривые и поверхности с точки зрения прин-
ципа двойственности, и к определениям п. 65, предложенным да
того, как мы узнали, что можно приблизить кривую (или поверх-
ность) многоугольниками (многогранниками), длины (площади)
которых не стремятся ни к какому пределу. Определенная таким
образом длина изменится бесконечно мало при бесконечно малом
изменении кривой по положению и по направлению. Положение
точек кривой и направления ее касательных как раз и являются
теми данными, от которых длина кривой зависит непрерывно.
69. Соображения, приведшие к этим выводам, отличны от
тех, которыми обычно руководствуются геометры; более того,
кажется, что идеи, которые нами руководили, находятся в про-
тиворечии с общепринятыми; мы считаем, что определения
должны подчиняться некоторым условиям, что бывают хорошие
и плохие определения, в то время как обычно уверенно гово-
рят: «определения свободны». Я никогда не мог понять этой
фразы; я не знаю, ни о какой свободе здесь идет речь, ни в.
каком смысле употребляется термин «определение». Если это
слово употреблено в смысле «наименования», то, действительно,
каждый свободен вводить свой собственный язык, рискуя даже
иногда остаться непонятым. Если же оно употреблено в смысле
«установления» и претендует на то, что каждый волен сделать
предметом своих размышлений все, что угодно, то приведенная
фраза тоже справедлива, но при этом есть опасение остаться
со своими размышлениями в полном одиночестве, без пользы,
для развития науки. Как бы там ни было, для нас, смотрящих
на математику как, на прикладную, науку, определения не сво-
бодны; по крайней мере некоторые из них не свободны, а именно
те, которые должны уточнять понятия, возникшие из практики.
Для таких определений условие непротиворечивости, подразу-
меваемо£ даже сторонниками «свободы» определений, не яв-
ляется единственным необходимым условием; напротив того,
оно является единственным для тех, кто считает, что матема-
тика есть не что иное, как логика.
Путь, следуя которому геометры пришли к установленным
в п. 68 определениям, совершенно отличен от пройденного нами.
Они совсем не заботились о согласовании физических измерений
123
с определениями, в основе которых лежат два классических
интеграла; уверенные в существовании этого согласования, по
крайней мере в простых случаях, они не обосновывали его, но
изучали длину-число, связанное с кривой линией и являющееся
функцией этой кривой, площадь-число, связанное с поверхно-
стью и являющееся функцией поверхности. Естественно, что
для этих функций нового рода, для этого нового типа зависимо-
стей встал вопрос о том, как следует понимать здесь понятие
непрерывности.
Итак, пусть имеется некоторая кривая, которую мы для про-
стоты будем считать плоской; пусть этой кривой y=f(x) отве-
чает какое-то число. Может случиться, что определенное таким
образом чи-сло мало изменяется при равномерно малом изменении
функции/(л); так, если |/—A|<s при любом х, то
ь ь
J /(л) dx — (л) dx
а а
<е\Ь —а\
ь
и, следовательно, число ^f(x)dx обладает таким свойством.
а
Числа, сопоставляемые кривой y=f(x) по другому закону, на-
пример
ъ _____________
J}/"f‘(x)-Yf’\x}dx,
а
мало изменяются, когда мало изменяются обе функции /(л)
и f (л); осуществления лишь одного из этих двух условий здесь
было бы недостаточно, В других случаях потребуется, чтобы
мало изменялись три функции: /(л), f (л). Таким обра-
зом, математики пришли к необходимости различать разные типы
непрерывности новых функций, называемых функционалами;
эти разные типы непрерывности получили название «непрерыв-
ность порядка 0», «непрерывность порядка 1», «непрерывность
порядка 2» и т, д.
Длина кривой и площадь поверхности определяются интегра-
лами, содержащими лишь первые производные; они являются
представителями одного и того же типа функционалов — функ-
ционалов, имеющих непрерывность порядка 1, а не порядка 0.
Это-то основное по важности обстоятельство и объясняло не-
удачу старых определений площади и успех определения, осно-
ванного на вписанных многогранниках, грани которых образуют
малые углы с касательными плоскостями поверхности, В то же
самое время это указывало на ненужность рассматривать здесь
именно вписанные многогранники—достаточно говорить о близ-
ких к поверхности многогранниках; одним словом, эти сообра-
жения приводят к определению предшествующего пункта.
124
Многие из фактов, с которыми мы встречались выше, полу-
чают теперь естественное объяснение: длина может быть опре-
делена с помощью вписанных многоугольников по методу Шеф-
фера и Жордана, площадь же согласно замечанию Шварца не
может быть определена аналогичным путем. В самом деле, если
С — кривая с непрерывно меняющейся касательной, Р—вписан-
ный в С многоугольник и АВ — одна из его сторон (рис. 31),
то углы, которые образует отрезок АВ с касательными к С
в точках дуги АВ, не превосходят наибольшего из углов, обра-
зованных разными касательными к С в точках дуги АВ (по тео-
реме о конечных приращениях, в случае плоской кривой; по
следствию из этой теоремы, в случае пространственной кривой);
таким образом, если число вершин Р, принадлежащих каждой
дуге С, неограниченно возрастает, то Р неограниченно прибли-
жается к С как по положению, так и по направлению.
Напротив, если мы будем увеличивать число вершин вписан-
ного в поверхность многогранника, принадлежащих каждой области
поверхности, то, вообще говоря, многогранник будет прибли-
жаться к поверхности лишь по положению, но не по направле-
нию. Если же все грани многогранника являются треугольниками
и если в процессе изменения все углы этих граней не стано-
вятся меньше какой-то определенной величины, то, увеличивая
число вершин, мы обеспечим приближение, многогранника к по-
верхности как по положению, так и по направлению; это легко
доказать. Это обстоятельство объясняет смысл того уточнения
определения площади, о котором упоминалось в п. 65.
Мы отметили также, что геодезист, желая измерить отрезок
ВС, старается возможно точнее определить положение точек В
и С, т. е. старается получше выделить отрезок ВС из близких
к нему отрезков, причем, как нетрудно понять, точнее всего
определяется при этом направление ВС. В самом деле, для того,
чтобы как сами функции /(л) и j\ (л), так и их производные
f (л) и // (л;) весьма мало отличались друг от друга на интервале
(а, Ь), достаточно, чтобы было выполнено второе наше условие
[близость f{x) и /i'(a;)J и чтобы f(a) весьма мало отличалось
от Л (а).
125
Все это поддерживает нас в убеждении, что физические по-
нятия длины кривой и площади поверхности тесно связаны
с кривыми, рассматриваемыми одновременно как геометрическое
место точек и как огибающая прямых, и с поверхностями, рас-
сматриваемыми как геометрическое место точек и как огибаю-
щая плоскостей. После того как мы достаточно тщательно
разобрали это основное положение, мы можем приступить к из-
ложению нашей темы.
70. Наше первое изложение мы начнем с некоторых практи-
ческих задач, приведших к измерениям длин и площадей и позво-
ляющих понять, каким образом люди пришли к этим физическим
понятиям; к числу таких задач, например, принадлежат: вопрос
о длине забора, которым обнесено поле, о весе металла, из
которого сделаны перила лестницы, о числе возов булыжника,
необходимых для замощения дороги. Мы сделаем несколько за-
мечаний о практических способах требуемых измерений и в за-
ключение дадим логическое определение. Кривые, которыми мы
здесь будем заниматься, имеют касательные, непрерывно зависящие
от точки соприкосновения с кривой; мы будем говорить, что
ломаная приближает такую кривую по положению с точно-
стью до е и по направлению с точностью до г), если между
точками кривой и точками ломаной можно установить такое
взаимно однозначное и непрерывное соответствие, что рас-
стояние между любыми двумя соответствующими друг другу
точками будет меньше е и что угол между касательными
в соответствующих точках всегда меньше Т[. Под углом между
касательными мы подразумеваем угол между направленными
касательными; при этом касательной к ломаной в данной ее
точке мы называем проходящее через эту точку звено ломаной,
а под касательной в вершине — каждое из двух звеньев,- прохо-
дящих через эту вершину. Длиной кривой мы назовем пре-
дел, к которому стремятся длины приближающихся к кривой
ломаных, когда е и J) одновременно стремятся к нулю.
Это определение требует доказательства существования пре-
дела. Прежде чем дать доказательство, я замечу, что та стро-
гость в выражениях, которой я придерживаюсь, не только бес-
полезна,, но и вредна, если речь идет о первоначальном изложений
этого вопроса в школе. В этом случае следовало бы подсластить
предшествующее определение, ограничиваясь лишь представле-
нием (не подкрепляемым строгой формулировкой!) о понятии
ломаной, близкой к кривой по положению и по направлению,
и принять на веру существование предела. Затем следует при-
ложить это определение к окружности, заметив при этом, что
правильные вписанные многоугольники (или, если угодно, пра-
вильные описанные многоугольники или и те и другие вместе)
приближают окружность и по положению и по направлению. Так
как площадь А такого многоугольника связана с длиной L его
126
периметра соотношением
А=4- L • апофему,
то из сказанного выше следует, что
R
площадь круга = у • длину окружности.
Такое изложение не отличается от общепринятого; более
полные исследования нужно отложить до того времени, когда
ученики созреют интеллектуально и смогут уделить математике
больше времени.
71. После этих замечаний перейдем к доказательству суще-
ствования предела. Пусть АВС.. L ломаная Р, вписанная в кри-
вую Г и имеющая те же начало А и конец L, что и интересую-
сь
Рис. 32.
щая нас дуга Г (рис. 32). Кривая Г разбивается ломаной на
дуги АВ, ВС,...; пусть rJo — наибольшее значение угла, образо-
ванного двумя касательными к Г в двух точках одной и той же
малой дуги АВ, ВС, .... Угол q0 стремится к нулю, когда
вписанная ломаная изменяется, приближаясь к Г.
Рассмотрим еще близкую к Г ломаную П и пусть а, р, ..., X —
точки этой ломаной, соответствующие точкам А, В, ..., L кри-
вой. Возьмем одну малую дугу Г, например CD, и соответствую-
щую ей часть уЗ ломаной 11; ясно, что у8 также есть ломаная
или отрезок. Если П приближает кривую Г по положению
с точностью до е и по направлению с точностью до т), то каж-
дое звено у8 образует с определенными касательными к дуге CD
угол, меньший ц; следовательно, это звено образует с хордой CD
угол, меньший q + v Пусть Р и П настолько близки к Г, что
угол т)4”Чо меньше у. Уже при все проекции
звеньев у8 на хорду CD будут иметь одно и то же направление;
так как проекции точек у и 8 удалены от отвечающих у и 8
точек С и D меньше, чем на 8 (ибо сами точки у и 8 удалены
127
от С, соответственно D, меньше чем на е), то
CD — 2s < длина < CZ? + 2e. < ^D. 4- 4е,
» COS (7) + 7]0) COS (7) + 7]0) * ’
[ибо COS О] + 7]0) > cos у == у], откуда
длина Р—2пе^ длина II < _длуна р i 4^
COS (7) + 7]0) ।
где п число звеньев Р.
Числа п, т]0 и длина Р не зависят от е и tj; значит, длины
всех ломаных П ограничены. При этом длины, отвечающие
одним и тем же значениям е и 7], заключены между указанными
выше пределами, разность которых
длина Р- Г—-Д—:— 11 +6ле,
LCOS (7] + 7]0) J т
при е и 7] стремящихся к нулю, стремится к пределу
длина Р- Г —----1],
LCOS 7]0 19
зависящему лишь от Р. Подбирая ломаную Р так, чтобы стоя-
щее в скобках выражение было мало, мы получим для этой
разности значение, сколь угодно близкое к нулю, ибо ломаные Р
сами являются ломаными П (п. 69), и, следовательно, длина Р
ограничена.
Итак, длины ломаных П сколь угодно близки между собой,
если е и Г| достаточно малы; другими словами, предел длин ло-
маных П существует и является также пределом длин (вписан-
ных) ломаных Р.
72. Оправдав таким образом определение, мы, следуя клас-
сическим традициям, переведем его на язык интегрального
исчисления. Предположим, что кривая Г в прямоугольных коор-
динатах задается формулами x = x(t)9 y=y(t), z = z(t\ где
все три функции x(t\ y(t)9 z (t) непрерывны в рассматриваемом
интервале (tQ, Т) вместе со своими первыми производными; сверх
того предположим, что х'(t), у'(t), z'(t) не обращаются все
одновременно в нуль. Тогда в интервале (tQ, Т)
\x’(t)\<M, \y'(t)\<M, \z'(t)\<M
и
где Z и М— два положительных, соответствующим образом по-
добранных числа.
128
Длина ломаной Р, вершинами которой служат точки
tt, ^1» • • •» К — выражается формулой
/(Р) =
i = п - 1 ________________________________________
| = о
которая иначе может быть записана так:
I (П=2 (4+, - ti) V [*' («.)]’+ J'' О‘+[г'(с.-)]’.
где ait bit с{ — какие-то значения из интервала (tit <(-+1). Раз-
ность же
I (Р) - 2 Q • HWWWWr
можно записать так:
1[*' (М2 - I*' (^-)]а} + {[/ (»,)Г ~ [У' +![*' (с,)]г ~ [*' О2}
2Ч+1-^) у[х< w + (6.)]2 + [2. (с,)]2 + у[х> и.)]8+(,,)p + [z, (t.)V •
Если л'(Л, у' (t), z’(t) изменяются в каждом интервале
(fz, Zz+1) не больше чем на е, то каждая скобка в числителе
последнего выражения будет меньше 2/Ие; знаменатель же пре-
восходит 2Z; следовательно, рассматриваемая разность меньше
следующей величины:
Ейч,-у-“=(7--у“.
которая стремится к нулю вместе с е. Поэтому предел 1{р)
будет равен пределу
2 (4+. - У • /OTWWWW.
т. е. интегралу
т
$ /К(0]’ + 1>'И1‘ + [г'(0]'Л
*0
73. Таким образом, в случае длин единственные изменения
заключаются в точной формулировке определения и в доказа-
тельстве его логической приемлемости. Этого достаточно для
того, чтобы лучше подготовить нас к изучению площадей кри-
вых поверхностей, где должно появиться новое затруднение,
обобщающее то, с которым мы встретились при изучении поня-
тия площади плоской области; оно имеет своим результатом то,
что площадь мы могли приписать лишь некоторым (но не всем!)
плоским областям.
129
Пусть поверхность Г имеет в каждой точке касательную
плоскость, непрерывно зависящую от точки касания. Мы ска-
жем, что многогранник П приближает Г по положению и по на-
правлению с точностью до е и до т;, если между Г и П можно
установить такое точечное взаимно однозначное и взаимно не-
прерывное соответствие, что расстояние между двумя соответ-
ствующими точками Г и П будет меньше е, а угол между каса-
тельными плоскостями в соответствующих точках будет меньше т];
Рис. 33.
здесь под плоскостью, касательной к П в некоторой ее точке
подразумевается плоскость (или плоскости) граней П, проходя-
щих через эту точку.
Если дана некоторая область Д поверхности Г и если дано,
что площадь соответствующей части приближающей Г много-
гранной поверхности П стремится к пределу А, когда П изме-
няется так, что е и т] стремятся к нулю, то говорят, что Д
имеет площадь, равную числу А.
На первой стадии преподавания можно упростить эту форму-
лировку и принять на веру существование многогранников П
и предела А для всех рассматриваемых поверхностей Г и их
областей Д. Затем можно перейти к приложениям, рассматривая
боковую поверхность цилиндра и конуса вращения, сферы, сфе-
рического пояса или сферического двуугольника*.
Относительно случая цилиндра или конуса вращения доста-
точно заметить, что вписанные в них правильные призмы или
пирамиды приближают соответствующую кривую поверхность и
* Т. е. части поверхности сферы, ограниченной двумя пересекающимися
большими окружностями (скажем, двумя меридианами; ср. рис. 32, а).
130
по положению и по направлению. В случае сферических обла-
стей, например для доли поверхности сферического пояса, обра-
зованной дугой АВ окружности при ее вращении вокруг своего
диаметра ХХх (рис. 33, а), заметим, что если разделить АВ на
т равных частей точками С, D, ..., К я дуги окружностей,
описываемых точками А, С, D, ..., К, В, при рассматриваемом
вращении разделить на части точками Лр Д2,.... А„; Сх, С2, .... С„;
...; В,, В2, .... Вп, в которых их пересекают
полуплоскости, проходящие через XXх, и
делящее на п равных частей содержащий
рассматриваемую часть сферы двуугольник,
то мы получим вершины многогранника П,
близкого к рассматриваемой части сферы по
положению и по направлению; для этого
многогранника величины е и т) будут стре-
миться к 0 при неограниченно возрастаю-
щих по любому закону т и п. Грани мно-
гогранника П, очевидно, будут трапециями
(вроде изображенной на рис. 33, а трапе-
ции в частном случае они
могут оказаться треугольниками. При дос-
таточно большом п мы приходим к числу,
сколь угодно близкому к сумме площадей,
заметенных при вращении звеньями лома-
ной АС.. .КВ, что и оправдывает классичес-
кий путь вычисления площади рассматри- Рис. 33, в.
ваемой части сферы.
Так как глава об объемах предшествует главе о площадях
кривых поверхностей, то можно также вернуться к ранее упо-
треблявшемуся методу и сказать так: пусть требуется найти
площадь доли цилиндрического, конического или сферического
пояса, вырезанного из поверхности двумя плоскостями Рх,Рг,
перпендикулярными ее оси (рис. 33). Разобьем эту часть поверх-,
ности на п равных частей плоскостями, проходящими через ось
поверхности; полученную таким образом часть обозначим через
АВВ’А'. В случае цилиндра или конуса АВ и А'В' суть два
равных отрезка двух образующих, и мы можем провести через
них касательные плоскости; линия их пересечения пересекает
в свою очередь плоскости Pt и Рг в каких-то точках аир. Мы
заменим малый пояс АВВ'А’ двумя прямоугольниками или тра-
пециями АВ$а, арВ'Д'. Полученная таким путем многогранная
поверхность при неограниченном возрастании п будет неограни-
ченно приближаться к рассматриваемой кривой поверхности и по
положению и по направлению; соответствие между рассматри-
ваемой поверхностью пояса и поверхностью многогранника можно
установить при помощи радиусов окружностей, играющих роль
параллелей конуса или цилиндра. В случае сферы придется
снова разделить долю АВВ'А’ пояса плоскостями, параллельными
131
Р1 и Р2 и делящими АВ на п равных дуг. Если С{С{+ 1Di+1Di—
одна из малых частей пояса, полученных таким путем, то в точ-
ках Cb Ci+l, Di+1, нужно провести касательные к сфере
плоскости и затем из центра О сферы спроектировать «сфери-
ческую трапецию» на проведенные касательные
плоскости, принимая каждый раз за проекцию точки сферы М
ближайшую к О точку встречи луча ОМ с касательными плоско-
стями. Мы получим тогда многогранную поверхность, неограни-
ченно приближающуюся по положению и по направлению при
неограниченно возрастающем п к рассматриваемой части поверх-
ности сферы.
Во всех этих трех случаях, если О есть (произвольная) точка
оси цилиндра или конуса или центр сферы, то точки отрезков,
соединяющих О с точками многогранной поверхности, образуют
состоящее из пирамид тело, объем v которого связан с пло-
щадью s многогранной поверхности формулой
v=^sR,
где R—есть расстояние от точки О до касательных плоскостей
к цилиндру, конусу или сфере. При неограниченном возраста-
нии п объем v этого тела стремится к объему V тела, образо-
ванного точками прямых, соединяющих О с точками рассматри-
ваемой части поверхности; следовательно, площадь S этой части
поверхности выразится формулой
V=\s-R.
74. В последней формуле V есть число, которое мы умеем
вычислять; это вычисление можно представить в разных формах
в соответствии со сказанным в главе об объемах, но по суще-
ству оно всегда остается одним и тем же. Педагогически это
дает то преимущество, что эффективное вычисление V (а значит,
и объема сферы) естественно сводится к рассмотрению указан-
ных выше тел; вычисление объема, заметаемого вращающимся
треугольником, необходимо явится первым шагом этой проце-
дуры и к этой же задаче сведется изучение того, что во фран-
цузской школе часто называют странным термином «вращаю-
щиеся объемы» (volumes tournants).
Если немного сократить эту часть курса, в особенности если
облегчить память наших учеников, не заставляя их выучивать
наизусть формулы, нужные лишь для экзаменов, и если разре-
шить ученикам не знать, как этого не знают все математики,
что такое сферический сегмент и что такое сферический слой,
то, быть может, нашлось бы время для рассмотрения вопроса
о площади сферического треугольника, а затем и площадей про-
извольных сферических областей, ограниченных дугами окруж*
ностей больших или малых.
132
Рис. 34.
соотношением
Приходится с грустью констатировать, что молодые люди,
заканчивая цикл обучения, дающего право преподавать в сред-
ней школе, могут ничего не знать о замечательной теореме
Альберта Жирара. Когда их знакомят с ней, они восхищаются
изяществом результата и поражаются, почему им раньше ничего
не говорили о свойстве, знание которого проясняет смысл по-
стулата Евклида.
Намеченное здесь изложение, рассматривающее вопрос об
объемах до вопроса о площадях кривых поверхностей, позволяет
внести небольшие изменения в обычное доказательство теоремы
Жирара.
Три диаметральные плоскости шара, не пересекающиеся по
одной прямой, разбивают шар на восемь «сферических тетра-
эдров», основаниями которых являются
восемь сферических треугольников
(рис. 34). Объемы этих тетраэдров
могут быть получены с помощью тел,
сходных с теми, объем которых мы
обозначили выше через v; эти тела
состоят из пирамид с общей вершиной
О, плоскости оснований которых яв-
ляются касательными к сфере. Мы
имели для этих тел следова-
тельно, площадь S сферического тре-
угольника и объем V соответствую-
щего «сферического тетраэдра» связаны
V=±S-R.
и
Отсюда следует, что два симметричных относительно центра
сферы сферических треугольника имеют одну и ту же пло-
щадь, так как два отвечающих им симметричных «тетраэдра»
являются пределом двух симметричных многогранных тел, имею-
щих, в силу симметрии, один и тот же объем. Таким образом,
мы имеем четыре, вообще говоря, различных объема V, V\, V2,
1/3 «сферических тетраэдров» и четыре, вообще говоря, раз-
личные площади S, S\, S2, Ss.
Заметим теперь, что сумма двух «сферических тетраэдров»
представляет собой сферический диэдр, вырезаемый из шара
двумя плоскостями; ясно, что объем подобного «диэдра» про-
порционален двугранному углу между плоскостями. Поэтому,
обозначая три двугранных угла триэдра, вырезывающих в сфере
тело объема V, через Л, В и С, мы получим:
V+V,=^R'^, V+V.=^R‘-^,
133
откуда
Я’(д + В+ С-п)
и, значит,
£ = Я2(Л4-В4-С-7г).
75. Вернемся теперь к логическому обоснованию определе-
ния площади поверхности. Дальнейшее изложение будет заметно
отличаться от составляющего содержание п. 71, поскольку здесь
2 необходимо учитывать и
природу поверхности Г,
содержащей область Д, и
природу границы области
Д. Так как соблюдение
необходимых предосто-
рожностей и формулиров-
ка нужных нам допущений
легче всего осуществляют-
ся при пользовании языком
анализа, мы дадим изло-
Рис. 35.
жение, которое ближе
всего подходит к курсу
интегрального исчисления.
Пусть поверхность Г
задана в прямоугольных
координатах тремя функ-
циями х(и, v), у (и, v),
z (a, v). Мы предположим,
что как сами функции х„
у, z, так и их первые част-
ные производные, являют-
ся непрерывными; кроме
того, мы будем считать, что
наше параметрическое за-
дание поверхности ни в од-
ной точке не является осо-
бым, т. е. что выражение
(х'иУ'ъ — xiytf + (y’nz’v—y'vz'tty + (z'ux'v — г^)1
ни в одной точке не равно нулю. В таком случае Г будет иметь
в каждой своей точке касательную плоскость, непрерывно зави-
сящую от точки касания.
Будем предполагать, что область Д (рис. 35, а) получается,
когда точка с прямоугольными координатами и, v описывает
область 8 (рис. 35, б), принадлежащую к семейству тех облас-
тей, которым мы умеем относить площадь, т. е. областей,
ограниченных контуром, который можно покрыть многоугольни-
ками сколь угодно малой общей площади (п. 28). Равностоящими
134
друг от друга прямыми, параллельными осям координат, разобьем
плоскость (uf v) на равные квадраты; пусть h — расстояние
между двумя соседними параллельными прямыми. Разделим
каждый квадрат на две части диагональю, параллельной прямой
и-]--г/==0; пусть abc— один из полученных таким путем тре-
угольников. Каждой точке т треугольника (ibc отвечает некото-
рая точка М поверхности Г; все эти точки образуют на Г кри-
волинейный треугольник АВС.
Пусть координаты а и v точки т заданы соотношениями:
п ___ aUa + fab + Wc 7+ К +
а+?+т ’ «+?+?
Сопоставим в таком случае точке т, кроме М, еще и точку М'
с координатами
У — вхд+Ьв + ’ГХс < «Уа+РУв + тУс
а+?+т ’ У a+₽+l ’
2 а*А + Р*в+Т*С
а + ? + т •
Эта точка М* опишет плоский треугольник АВС, когда т
описывает треугольник abc\ очевидно, что соответствие между
точками М и М' взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Таким образом точки М' образуют многогранную поверхность Р,
вписанную в Г и состоящую из треугольников.
Области Д соответствует область Д' многогранной поверх-
ности Р, состоящая из треугольников АВС и из их частей.
Таким образом, Д' не является в полном смысле этого слова
многогранной поверхностью; слегка изменяя Д', можно получить
поверхность, многогранную в точном смысле этого слова; однако
будет лучше, если мы расширим смысл этого слова и будем
понимать под этим поверхность (т. е. геометрическое место
точек, которые могут быть взаимно однозначно и взаимно не-
прерывно отображены на плоскую область), состоящую из пло-
ских кусков.
Для того чтобы можно было говорить о площади многогран-
ной поверхности, надо, чтобы все эти куски плоскостей имели
площади; в таком случае площадь многогранной поверхности
определяется как сумма площадей ее плоских частей. Для по-
верхности Д' это последнее условие, разумеется, выполняется,
поскольку соответствие между abc и плоским треугольником АВС
устанавливается с помощью преобразования, переводящего каж-
дый многоугольник плоскости abc, имеющий площадь S, в мно-
гоугольник плоскости АВС с площадью
g площадь АВС
площадь abc ’
откуда, как и в п. 43, сразу следует, что каждой области пло-
скости abc, имеющей площадь S, отвечает часть плоскости АВС,
135
площадь которой равна
площадь АВС
площадь abc
Покажем теперь, что числа е и у;, характеризующие степень
приближения Р к Г (или Л' к Л) по положению^ и по направле-
нию, стремятся к нулю вместе с А. Так как а и v изменяются
не больше, чем на А, когда т описывает abc, то х, у, z изме-
няются при этом не больше, чем на величину q (h), стремящуюся
к нулю вместе с h. Таким образом, расстояние точки М криво-
линейного треугольника АВС от точки А и расстояние точки М*
плоского треугольника АВС от точки А не превосходят
следовательно, расстояние ММ' не может быть больше 2 ]/3 • q (й)
и поэтому стремится к нулю вместе с h.
Если частные производные х'и, х'^, ..., z'v в области 8 огра-
ничены сверху постоянным числом К и в пределах треугольника
abc изменяются меньше, чем на qx (Л), то каждое из трех выра-
жений вида х'иУ’у — х'^у* изменяется не больше, чем на
при переходе от одной к другой точке abc, причем точки могут
меняться не только при переходе от одного выражения к дру-
гому, но и в каждом отдельном выражении от одной производ-
ной к другой. Но угол <р между двумя различными плоскостями,
задаваемыми уравнениями
X (У'Л—У'Л) + Y (z’ax'v — z'vx'a) + Z (х^ — x'vy'a) = const,
определяется формулой
COS (р $ (Уи zy У у zu) (У и zy У у ^ц)
(уи zv yv zu)2-S (yuzv yv zu}z
где черта над выражением означает, что оно берется при иных
значениях параметров и и v; отсюда
sin2 ср =
_ S [(Уи 4 - Уу 4) (ZU *У - ZV ~ (У и zv - У У ZU) (zu *у - Zy 4)]2
5 04 ч -Уу 4)2-s ч -Уу z'ay
Так как в этом выражении, представляющем собой правиль-
ную дробь, знаменатель превосходит некоторое постоянное число
(в силу регулярности отображения!), а каждая из стоящих
в числителе скобок меньше чем 4-2/С2«^2(й)-|-2[^2(Л)]2, то верх-
няя грань т) угла <р стремится к нулю вместе с Л. Среди рас-
сматриваемых плоскостей находятся, с одной стороны, все пло-
скости, касающиеся Г в точках криволинейного треугольника АВС,
а с другой — плоскость АВС, уравнение которой имеет вид
136
[мы считаем, что ab и ас соответственно параллельны осям
й = 0и г/ = 0 системы координат (и, v) и точка а имеет коорди-
наты (и0, г/0), а точки b и с — соответственно координаты
(и0 + Л, ^0) и (н0, г/0 ± А)]; в самом деле, преобразовав две послед-
ние строчки определителя согласно теореме о конечных прира-
щениях, мы получим уравнение плоскости, имеющее указанную
выше форму.
Тем самым мы доказали существование многогранника, неогра-
ниченно приближающего по положению и по направлению рас-
сматриваемую поверхность и имеющего плошадь.
76. Нам остается показать, что площадь части D такого
многоугольника II,. отвечающей области Л, стремится к опреде-
ленному пределу при стремлении к нулю относящихся к п чи-
сел е й Г|. Пусть Р один из многогранников, рассматриваемых
в предшествующем пункте, и е0, rio — соответствующие ему числа.
Полученная нами для е0 рценка является очень грубой; ее
можно значительно уточнить. Выбирая координаты точек а, Ь, с,
как выше, получаем
хм' = ХА (*в — хА) + (Лс — ха) —
= ха ±т hx* =t hxv>
где частные производные ха и xv взяты в некоторой точке от-
резка ab, соответственно в некоторой точке отрезка ас. Мы
имеем также:
ХМ — Х ^o±a у * А) =
= хА Ч---— hxu Ч—? 7-f- hxv,
А — а + ?+ т «4-?+?
где хи и xv взяты уже в некоторой точке треугольника abc.
Отсюда
I хм хм' 1 = ^| a 7 $ (ха) -j- a $ (х”) |»
где 8(л«) и Sp7) не превосходят верхней границы Х(Л) измене-
ния одной из шести частных производных xUi ..., когда и
и v изменяются не больше чем на А. Так как множители при
6(л«) и по модулю не превосходят единицы, то
| Хм — ХМ'\ < 2/Д (Л); ММ’ < 2 /З/Д (А) = ее.
137
Таким образом, е0 не только стремится к нулю вместе с А,
оно даже бесконечно мало по отношению к А, поскольку 1(Л)
стремится к нулю одновременно с h. Это весьма существенное
замечание, позволяющее перенести на этот случай рассужде-
ния п. 72.
Предположим сначала, что область 8 образована некоторым
числом квадратов, принадлежащих сетке квадратов со сторо-
ной Н, и что квадраты со стороной h получаются подразделе-
нием квадратов Н. Тогда Д' будет состоять лишь из целых
треугольников АВС. Каждому такому треугольнику будет соот-
ветствовать на П область R, образованная целыми гранями и
частями граней П. Угол, который образует плоскость одной
такой грани или части грани, ориентированная в соответствии
с ориентацией поверхности Г, с ориентированной таким же
образом плоскостью АВС, не превосходит величины +
поскольку эти плоскости образуют с одной и той же касатель-
ной к Г ориентированной плоскостью углы, не превосходящие т)
и т]0. Если угол ч4“Чо меньше прямого угла, то ортогональные
проекции на АВС этих граней и их частей не будут перекры-
ваться; они покрывают весь треугольник АВС, исключая, быть
может, некоторые точки, отстоящие от наружного края АВС
меньше чем на е-Ьео> все эти проекции содержатся в треуголь-
нике АВС, увеличенном на область, образованную точками,
отстоящими от внутренней области АВС меньше чем на s-|— s0.
Следовательно, в R можно найти такую многоугольную область
R, что
площадь > площадь АВС — (е — е0) периметр АВС,
а на II можно найти некоторую такую многоугольную область Rv
содержащую S, что
Tinninarru D ^площади АВС + (е + е0)• периметр
площадь <------------------cos (7.+^)-----------’
где (о > 0 сколь угодно мало.
Применим эти неравенства к каждой области R, учитывая,
что даже если у нас имеются сомнения в существовании пло-
щади R, то во всяком случае мы знаем, что по предположению
область D, образованная соединением нескольких R, имеет пло-
щадь; тогда мы найдем:
площадь площадь Д' — 2 (е4“ео)’сУмма Длин сторон Д,
п площадь Д' 4- 2 (е + ео) * сумма длин сторон Д
площадь cos (т) + т)0) •
Когда е и т] стремятся к нулю, разность этих пределов стре-
мится к
2е0 • сумма длин сторон Д • ( —--1 .
\ COS J
138
Это выражение зависит только от Р и стремится, как мы это
сейчас покажем, к нулю вместе с h. В самом деле, если 8 со--
держится в квадрате со стороной pH, то имеется не больше
о (рН\* , ~
2 (1 треугольников abc. Стороне такого треугольника отве-
чает дуга поверхности Г; а если ab и ас параллельны г/ = 0 и и = 0,
то длина дуг АВ и АС не превосходит КУ3h, где Я — верхняя
грань значений шести частных производных хи, ..., 2^;сторона Ьс да-
ет дугу ВС, длина которой не превосходит КУ 6й, так как производ-
ные от х, у, z в направлении Ьс не превосходят КУ^ Итак,
периметр плоского треугольника АВС не больше ЬКУ3-й; это
позволяет утверждать, что предшествующее выражение меньше
величины
2s -2 • 4АГ/3 • А (—L- 4- I5),
0 \ h J kcosTio 1 J ’
стремящейся к нулю вместе с h.
Таким образом, в предположении, сделанном относительно
области 8, доказано существование предела площадей D, т. е.
площади области Л. Ниже мы распространим этот результат
на более широкий класс областей 8; но сначала постараемся
найти выражение для площади Л.
77. Площадь АВС равна
у /[(Ув - Ул) (2с - 2л) - (Ус-Ул) (Zfl-ZJ]’44Z, X]’44*. У]2,
где выражения в двух последних квадратных скобках полу-
чаются из первого при помощи круговой перестановки букв
X, У, Z. Используя преобразования, примененные уже выше,
можно переписать это выражение так:
у A2 у/~(y'aZv — уХ)2 4- (z'aXv — z'vXu)* 4- (x^y'v — х'„у'а)г,
где все частные производные взяты в подходящих точках тре-
угольника abc. Отнеся же все производные к точке а, можно
записать его так:
площадь abc- { / 4“ [$$]’ + +
4-0[8№^(А)+М^(Л)),]/з},
где 6 заключено между —1 и-]-1.
Когда й стремится к нулю, то сумма стоящих при 0 членов
стремится к нулю, .так как сумма площадей abc равна конечной
площади 8; сумма же всех остальных членов по определению
139
стремится к
—HI / «’+
8
Пока последняя формула установлена лишь для областей 8
частного вида, которые мы назовем «суммами квадратов». Пред-
полагая лишь, что 8 имеет площадь, заключим 8 в «сумму
квадратов» 82 и возьмем внутри 8 «сумму квадратов» 8j мы
можем сделать это так, чтобы разность
площадь 82 — площадь 8j
была сколь угодно малой.
Областям 8, Эр 82 соответствуют части Z), Dp D2 поверхности II,
на Г им соответствуют области Л, Др Д2; на Р — области Д', Др Д?.
По предположению, D имеет площадь; Д, Др Д2 Д', Др Д2 имеют
площади; мы не знаем лишь, имеют ли площадь области Dx и D2.
В п. 76 тщательно отмечено, с какого момента нам понадобилось
предположение о том, что область D имеет площадь: когда от
неравенств, выполняющихся для площадей Л, и /?„ мы перехо-
дам к неравенству для площади D. Рассуждая теперь о D, и
D2, мы сможет заключить, что многоугольная область при-
надлежащая II и содержащая Z)v удовлетворяет неравенству:
площадь площадь Д’— 2 (е -|- е0) • общая длина сторон Д,
и что многоугольная область D2i принадлежащая II и содержа-
щаяся в D2, удовлетворяет неравенству
площадь Д'-|-2 (е +е0),о^щая Длина сторон Д'
площадь Dt<--------s----cos(t| + t|o)------? •
А так как D является в одно и то же время областью Dx и
областью Z)2, то площадь D удовлетворяет обоим выписанным
выше неравенствам.
Таким образом, мы получили два предела, между которыми
заключено число — площадь D\ оба эти предела зависят не только
от D, но также и от выбора Р, \ и 8а. Когда D изменяется так,
что е и Т| стремятся к нулю, разность между этими пределами
стремится к выражению
площадь Д ,
-^0-~площадь д«+<’
где С стремится к нулю вместе с А. Если, следовательно, заста-
вить h стремиться к нулю, то разность пределов стремится к
площадь Д2 — площадь Л, = площади (Д2 — Д,).
Область Да— Aj соответствует разности 82 — 8Р являющейся
140
суммой квадратов; следовательно, мы им’еем:
площадь (Д2 — Д,) =
ба - Si
— выражение, меньшее величины
2№ V3 • площадь (82 — 8J;
а так как эта последняя площадь может быть сделана сколь
угодно малой, то мы видим, что площадь D изменяется в сколь
угодно тесных пределах, если только е и выбраны достаточно
малыми. Итак, площадь D стремится к пределу, т. е. площадь А
существует. К тому же при указанном выборе обе первые части
предшествующих неравенств имеют один и тот же предел,
откуда следует, что выражение площади Д в виде интеграла
годится для всех областей 8, обладающих площадью.
78. На этом заканчивается первое изложение, которое я хо-
тел здесь привести. Многие найдут его слишком длинным и уже
достаточно сложным, хотя оно и приводит лишь к определению,
имеющему весьма ограниченную степень общности. Это опре-
деление можно несколько сократить, если не стараться принять
все нужные предосторожности, и несколько упростить, рассмат-
ривая несколько более ограниченные классы поверхностей и
областей. Но эти изменения будут незначительными.
К тому же это изложение, длинное и сложное, хоть и
являемся удовлетворительным с точки зрения логической, не
выдерживает критики с точки зрения физической и, если можно
так выразиться, человеческой. В самом деле, оно оправдывает
лишь приемы измерения, основанные на приближении кривой
или поверхности многоугольниками или многогранниками, и
не имеет никакого отношения к практическим применениям по-
нятий длины и площади поверхности. Чтобы показать, что зна-
ние длины дороги позволит вычислить число возов с булыжни-
ком, нужных для ее замощения, следует указать, каким образом
эта длина используется для приближенного вычисления поверх-
ности дороги, узнав которую мы будем знать и объем тре-
буемого булыжника и число возов. Чтобы показать, что знание
площади купола позволит вычислить вес меди, нужной для того,
чтобы его покрыть, следует указать, каким образом это знание
поверхности купола используется для приближенного вычисления
объема меди, по которому можно определить и вес меди. Таким
образом, предшествующее изложение нужно дополнить рядом
пунктов; но эти пункты составляют в совокупности самостоятель-
ное изложение теории длин и площадей, более короткое и во
многом лучшее, как мы это сейчас увидим.
141
В этом нет ничего удивительного; в п. 68 я говорил, что
«физики не умеют, по крайней мере, непосредственно, осущест-
влять точное измерение длин кривых». При косвенных измерениях,
на которые я там намекал, прибегают к взвешиванию нити или
пластинки, материальных образов кривой и поверхности, подле-
жащих измерению; следовательно, длину или площадь опреде-
ляют с помощью приема, согласованного с теми применениями,
которые впоследствии получают понятие длины и площади и
которые полностью, оправдываются таким определением. Если
перевести этот новый прием измерения на язык логики, то мы
получим хорошее определение, так как оно будет согласовано
с физической операцией взвешивания и с приложениями полу-
ченного понятия. Это определение будет лучше предшествую-
щего, так как оно связано с практическим приемом измерения,
чаще всего употребляемым и лучше всего увязанным со всеми
приложениями.
В актив первого изложения можно записать лишь одно зна-
чительное преимущество: оно оправдывает употребление тех же
слов «длина» и «площадь» и для дуг кривых, и частей кривых
поверхностей, и для отрезков прямой и плоских областей. Она
нам также более привычно, и в этом, без сомнения, кроется
разгадка живучести этого определения и победы над вторым,
более простым, изложением, подсказанным идущими от Бор-
ха р д а приемами вычислений, приемами, принятыми затем
Минковским в качестве эффективных определений*.
79. Предположим, что требуется 300 возов булыжника для
покрытия дороги слоем в 10 см\ если же края дороги окажутся
поврежденными и мы пожелаем вымостить тем же слоем цен-
тральную полосу дороги, имеющую половинную ширину, то для
этого понадобится, как легко прикинуть, приблизительно
150 возов булыжника. Так как число возов зависит от объема
цилиндра, занимаемого уложенным булыжником, цилиндра с вы-
сотой в 10 см, перпендикулярным образующим сечением кото-
рого явится сначала сама дорога и затем ее центральная часть,
то наша оценка будет равносильна допущению следующего
равенства:
S___ s'
D ~~~ D' ’
где S и S' — площадь дороги и ее центральной полосы, а шири-
на D дороги равна удвоенной ширине D’ полосы.
Если бы было Ь = 32У, то мы сделали бы то же самое
предположение; практически все это вполне достаточно согласо-
♦ Относительно еще одного варианта теории длины кривой, также связан-
ного с практическими приемами измерения длин, см. статью Е. М. Ландис,
О длине кривой, Сборник «Математическое просвещение», вып. I, 1957,
стр. 33—44.
142
вано с опытом. Если, следовательно, площадь L соответствует
ширине (дороги), равной единице, то общая величина отношений
будет равна L и мы будем иметь:
S = LD, S’ — LD’ и т. д.
Если дорога имеет форму прямой линии и длина ее равна Z,
то поверхности с площадями S, S', ... будут прямоугольни-
ками, одна сторона которых равна Z, а другая — D, D' ... ;
следовательно, L = l. Вот >
почему число L можно наз- /s.
вать длиной дороги.
Равенства, о которых шла ___
речь выше,— это приближен-
ные равенства; поэтому при-
веденные объяснения нельзя
признать точными. Мы пос-
тараемся превратить их в Рис. 36.
математические определе-
ния, имеющие чисто логический характер.
Рассмотрим плоскую кривую Г, имеющую в каждой своей
точке касательную, непрерывно зависящую от точки касания.
Начнем перемещать отрезок длины = так, чтобы его сере-
дина описывала Г, а сам он в каждый момент времени являлся бы
нормальным к Г (рис. 36). Допустим, что кривая Г такова, что
для достаточно малых г подвижный отрезок не проходит
два раза через одну и ту же точку, и обозначим че-
рез А (г) площадь, заметаемую этим от-
v Sa резком при его движении (мы считаем,
что площадь А (г) существует); предел
/ ПРИ г—*0 если он сУЩествует, мы
у' ЧЕц назовем длиной Г. При очень широ-
<а) гП ких пРеДположениях можно доказать су-
SEl шествование этого предела.
\\ ЙН Если кривая Г не удовлетворяет пред-
ЛЭо шествующим условиям, но может быть
Разбита на несколько дуг Г,, Г2, ... ,
каждая из которых удовлетворяет этим
условиям (как это будет, например, в слу-
Рис. 37. чае ломаных линий), то через Д(г)
обозначим сумму образованных таким'
путем площадей, отвечающих дугам Г,, Г2, ... ; после этого
используем то же определение; другими словами, мы положим,
что длина Г равна сумме длин Гр Г2, ... . В частности, длина
ломаной линии равна сумме (обычных) длин ее звеньев.
Применим это определение к дуге круга радиуса /?, цент-
ральный угол которой равен а. Площадь Д(г) в этом случае
есть площадь области, полученной вычитанием из сектора ра-
143
диуса R-\-r с углом а сектора радиуса — г с тем же углом
(рис. 37); следовательно согласно п. 41
2г 2г ~ 2г —
Таким образом, дуга круга имеет длину £, причем
£ = а/?.
80. В элементарной геометрии можно ограничиться рас-
смотрением плоских кривых; если же захотеть рассмотреть
пространственную кривую Г, то для определения *ее длины
Рис. 38.
нужно предположить, что она удовлетворяет условиям, анало-
гичным тем, которые были введены выше, и заменить подвиж-
ный отрезок длины D = 2r подвижным кругом радиуса г, центр
которого описывает кривую Г и плоскости которого остается
перпендикулярной к Г. Под V (г) мы будем подразумевать объем
тела, полученного в результате движения этого круга (рис. 38);
длиной кривой мы назовем предел отношения при г—>0,
если только этот предел существует. Как и раньше, это опре-
деление можно распространить на кривые, имеющие несколько
угловых точек, и вывести, что согласно этому определению длина
пространственной ломаной равна сумме обычных длин ее звеньев.
Можно также утверждать, что это определение применимо
и в более общих случаях, а также, что если Г — плоская
кривая, то в применении к ней оба эти определения длины
дают одно и то же число. Вот как можно установить связь, су-
ществующую между двумя определениями.
Пусть мы имеем плоскую кривую Г, для которой отношение
стремится к £, когда г стремится к нулю. Плоскостями,
параллельными плоскости кривой Г и отстоящими друг от друга
на расстоянии Л, разобъем тело, заметаемое при движении кру-
гом радиуса г, на пласты (рис. 38). Если две плоскости, ограни-
чивающие один пласт, пересекают подвижной круг по хордам
длины 2rj и 2г2 (где г, > г2), то этот пласт будет заключен
144
в цилиндр высоты А, с площадью основания и сам будет
заключать в себе цилиндр той же высоты с площадью основания
А(г2). Если и г2 оба меньше г, то мы имеем:
А (г.) ~ 2 (L + е.) г., А (г.) = 2 (L + е.)
где и е2 по модулю меньше числа е, стремящегося к нулю
вместе с г. Объемы цилиндров получаются от умножения этих
выражений на Л; следовательно, имеем:
(£ - е) 2 2М < V(r) < (£ + s) • 2 2r.h.
При А, стремящемся к нулю, обе крайние суммы сколь угодно
близко подходят к площади тгг2 подвижного круга, одна снизу,
другая сверху. Следовательно,
(£ — е) пг2 < V(г) < (£ + е) тгг2,
где е стремится к нулю вместе с г. Из последнего неравенства
и следует равносильность обоих определений длины плоской
кривой ’.
Согласованность обоих определений можно доказать также и
косвенным путем, показав, что каждое из определений этого
пункта равносильно определению, данному для общего случая
с помощью вписанных многоугольников; но на этом я не буду
здесь задерживаться.
81. После необходимых оговорок, аналогичных тем, которые
мы делали в случае длины дуги кривой, можно определить
площадь поверхности как предел, к которому стремится
при г—*0 отношение , где V(r) обозначает объем тела, со-
стоящего из отрезков длины 2г, нормальных к поверхности, се-
рединами которых являются все точки рассматриваемой области
поверхности; при этом мы будем предполагать существование
объема V (г) и существование рассматриваемого предела. Это
определение можно распространить на поверхности, обладающие
несколькими линиями излома, состоящими из угловых точек,
можно также заключить, что плоская область имеет площадь
в смысле нового определения в том и только в том случае,
если она обладает ею в смысле определения главы III, и что
обе эти площади совпадают, а также, что площадь многогранной
поверхности равна сумме площадей ее граней.
Это определение можно легко применить к рассматриваемым
в п. 73 частям поверхности цилиндра, конуса вращения или
сферы. Все это настолько просто и очевидно, настолько напо-
1 Если пожелать доказать эту равносильность лишь для окружности, то
можно воспользоваться теоремой Гульдена или даже лишь частным ее случаем,
касающимся тел, образуемых плоской фигурой, имеющей ось симметрии и
вращающейся вокруг параллельной оси симметрии прямой, лежащей на плоскости
фигуры и не пересекающей ее.
145
минает вычисления, относящиеся к окружности, что мне больше
нечего к этому прибавить.
82. Эти определения, нуждающиеся, быть может, в некоторых
уточнениях, применимы и в курсе интегрального исчисления,
причем не следует бояться вводить дополнительные ограничения,
которые позволяют упростить изложение. Например, пусть Г —
пространственная кривая, заданная в прямоугольных координа-
тах функциями х(£), y(t), z(t), непрерывными в интервале (£0, £,)
вместе со своими производными первого и второго порядков.
Легко показать, что
]Лх'2 +у'2 ’ Ух'2 + у'2’
и
__ x'z' __________________у'_з? У’х'2-(-у'2
Vх'2+у'< Ух'2+у'2 + г'2’ Ух'2 + У2 • /х'2 +/2 +Т2’-УУ'г+ г"
суть направляющие косинусы двух взаимно перпендикулярных
нормалей к Г в точке, имеющей прямоугольные координаты
х, у, z\ Поэтому V(r) есть объем тела, являющегося геомет-
рическим местом точек
। у' , x'z'
X=х4- г — и ~ г -------—г-- =
1 Ух'2+у'2 1 /х'2+у2-/х'24-у'2 + г'2
к' । у'г'
У = v----Г а 4- . <- = V,
4-у2 4- Z'2
когда точка с прямоугольными координатами (и, v) описывает
круг радиуса г с центром в начале координат. Следовательно,
мы имеем:
Чтобы найти предел отношения ^т-, когда г стремится к
нулю, достаточно определить главную часть бесконечно малой
величины V(r). Функциональный же определитель, стоящий
под знаком интеграла, является многочленом относительно и, vy
каждый член которого c(t)u\P дает член
J с (£) dt • u№du, dv,
1 Здесь все время предполагается, что z' 0. Если же это условие не вы-
полняется, то нужно разделить Г на дуги, на каждой из которых одна из про-
изводных х*, z' не обращалась бы в нуль. Существование х", у", z" мы пред-
положили лишь для того, чтобы иметь возможность дифференцировать эти
направляющие косинусы.
146
второй множитель которого представляет собой одночлен от г
степени а2. Таким образом, достаточно взять члены
функционального определителя, имеющие низшие степени относи-
тельно н, v, что дает
Х' У' __________________________________
у'_____— У'г'
л ’Кх'г+У2 Кх'2+У2-/х'г+Уг4-г'2
2' 0 Ух,г + у'г
У Х'г_|_у«4-г'г
t,
= $/х’г +.j'2 + z'2rff.
to
Еще пример: пусть Г — поверхность, заданная в прямоугольных
координатах функциями х (я, v), y(u,v)9 г(и,у), непрерывными
вместе со своими частными производными первого и второго
порядков в некоторой области плоскости (я, v). Пусть далее
область 5, принадлежащая этой области плоскости (я, z>), имеет
площадь. Для области Л поверхности Г, соответствующей пло-
ской области 8, точки рассматриваемого тела задаются тремя
формулами вида:
Х = х
"г D (и, v)
_______________________Р_______________________
[~Р(у, г)12 , ГР(г,%)12 r£>(x,j/)l2
V ‘ LD(“> V)J ‘ L^(K>V)J
где р изменяется от — г до + ^-
Функциональный определитель от X, Y, Z по я, v, р, кото-
рый нужно проинтегрировать, чтобы получить функцию V(г), при
отыскании предела может быть заменен своей главной
частью, откуда имеем:
А 1* ИН
площадь А = Игл =
г-»0
ч
У*
2а
, Р(у, г)
Р(и, v)
, P(z, х)
Уо Р(и, v)
, D (х, у)
Zv D(u,v)
du dv
83. На этом мы заканчиваем наше второе изложение. Нужно
отметить, что оно проще и короче первого и в то же время
если и не более полно, чем первое, то во всяком случае больше
147
приспособлено к приложениям. Есди смотреть на математику'
как на чисто логическую науку, то нам нечем будет руководство-
ваться при поисках определений пдощади и длины, так как эти опре-
деления свободны. Если лке смотреть йатёматику как на при-
кладную науку, то связь с техническими приемами измерения
приведет нас к двум (поскольку имеются две техники измере-
ния площадей) -хорошим определениям. Согласованность вычис-
лений пп. 72 и 82 и пп. 77 и 82 объясняет согласованность этих
техник и указывает на наличие одного единственного физиче-
ского понятия длины и одного единственного понятия площади.
Но можно было бы занять в некотором роде промежуточную
позицию и сказать, что, конечно, математика основана на опыте,
но что сама она является чисто логической наукой. Логическое
же рассуждение прямо опирается на свойства и лишь косвенным
образом на построения; построения длины и площади,
проведенные в предшествующих пунктах и являющиеся
отражением измерительной техники, могут быть с успехом
заменены чисто описательными (дискриптивными) опре-
делениями, содержание которых составляют свойства, приписан-
ные длине и площади в соответствии с физическими наблюде-
ниями. Разве, впрочем, мы не делали этого в двух предшест-
вующих главах при определении площадей плоских областей и
объемов \ел с помощью свойств а), р), у)?
Тогда мы заметим, что хотя определенные нами длина и пло-
щадь по-прежнему обладают свойствами а) р), у), но этих свойств
уже недостаточно для того, чтобы охарактеризовать эти пойятия.
Другими словами, можно сказать, что мы не имеем больше
свойства 8), которое может быть сформулировано следующим
образом: искомое число определено с точностью до постоян-
ного множителя, свойствами а), р), у).
Действительно, предположим, что мы относим кривой новую
кривую — скажем, индикатрису главных нормалей (или бинорма-
лей) или поверхности новую поверхность — индикатрису норма-
лей *; длина этой кривой или площадь этой поверхности, рас-
смотренные как характеристики исходных кривой или поверх-
ности, также будут удовлетворять свойствам а), р), у). Это на-
блюдение приводит нас к новому условию: е) Если кривая (или
поверхность) 11 равномерно стремится (как по положению,
так и по направлению'.) к фиксированной кривой (или поверх-
ности) Г, причем II и Г принадлежат к классу, имеющих
длину кривых (или имеющих площадь поверхностей), то длина
(или площадь) II стремится к длине (или к площади) Г.
* Другими словами, заменяем кривую геометрическим местом концов (еди-
ничных!) векторов главной нормали (или бинормали) кривой отложенных от
фиксированной точки или поверхность — геометрическим местом концов (еди-
ничных) нормальных векторов кривой, отложенных от одной точки. Полученные
таким образом «индикатрисы» рассматриваются в дифференциальной геометрии.
148
Свойства а), р), у), е) уже достаточны, чтобы выполнялось
и свойство 8), если иметь в виду, что каждый отрезок (или
многоугольник) принадлежит к числу имеющих длину кривых
(или имеющих площадь поверхностей). В самом деле, тогда из
этих свойств можно вывести выражение для длины произволь-
ной ломаной линии (или площади произвольной многогранной
поверхности), а затем с помощью условия е) мы придем к на-
шему первому определению длины и площади, при выводе ко-
торого мы шли, в сущности говоря, именно этим путем.
Это показывает, что как с точки зрения чисто логической,
так и с точки зрения критики понятий определения, принятые
в нашем первом изложении, обладают нераскрытыми выше пре-
имуществами, которыми не следует пренебрегать, если дело
касается более серьезного преподавания, чем обучение элемен-
там интегрального исчисления.
ГЛАВА VI
ИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
84. Программа начального класса средней школы — шестого
класса — содержит главу: измерение величин, понятие дроби.
Программа последнего класса средней школы — класса матема-
тики, содержит тот же пункт: измерение величин. Казалось бы,
что точки зрения в обоих классах должны быть различными как
вследствие различия в возрасте учеников, так и потому, что
в шестом классе следовало бы рассматривать практические по-
нятия, а в классе математики — абстрактные.
В шестом классе преподавание не встречает никаких затруд-
нений; разрезая на части пирожки, детям разъясняют, что такое
треть, четверть, три пятых; детям все это хорошо понятно, и
обычно они проявляют большой интерес к этой части курса.
Что же касается класса математики, то там, наоборот, трудно-
сти настолько велики, что зачастую приходится либо просто-на-
просто пропускать эту главу, либо становиться на ту же самую
точку зрения, что и в шестом классе,— точку зрения экспери-
ментальную, а не логическую.
Несмотря на это, глава об измерении величин всегда счита-
лась очень важной; именно к этой главе отсылают учащихся,
например, когда переходят от сравнения объемов двух прямо-
угольных параллелепипедов с общим основанием к сравнению объ-
емов произвольных прямоугольных параллелепипедов. Таким обра-
зом, именно здесь должны быть преодолены все логические труд-
ности и подготовлены возможности всех приложений. Эта глава
включена в арифметику, поскольку она посвящена расширению
понятия числа; это включение необходимо еше и потому, что
мы хотим придать главе об измерении величин чисто логиче-
ский характер, а арифметика представляет собой логический
фундамент всей математики. Но тогда возникает задача логиче-
ского определения величины*. На практике учителя не дают
никакого определения: они лишь приводят примеры величин
* Ср. статью А. Н. К о л м о г о р о в а, «Величина^ во 2-м изд. Большой
Советской Энциклопедии, т. 7, стр. 340.
150
(площадь поверхности, объем, вес, количество теплоты) и при-
меры понятий, не являющихся величинами (скорость, темпера-
тура, потенциал и т. д.).
Ясно, что такой образ действий, известный в преподавании
живых языков под названием «прямого метода», предполагаю-
щий понятие величины уже известным из повседневной практики,
из знакомства с физическим миром, по здравому смыслу никак
не может претендовать на большее, чем на пояснение названия
знакомого понятия. Поэтому когда, например, в главе об объ-
емах отсылают к главе о величинах, содержащей якобы общие
предложения, то неизбежно попадают в порочный круг, поскольку
в этой главе общее понятие величины поясняется лишь анало-
гией, скажем, с объемами. В чем же заключается не обойден-
ное до сих пор затруднение, препятствующее логическому опре-
делению понятия величины? Оно насквозь метафизично и имеет
ту же природу, что и затруднение, с которым мы встречались
при определении понятия числа. Точно так же, как в свое время
рекомендовалось не смешивать число с символом, его изобра-
жающим, теперь хотят отличать величину от числа, измеряю-
щего эту величину, хотят даже воспользоваться вёличийОЙ^
чтобы расширить понятие числа, прийти к дробям и к числам
еще более общей природы. Таким образом, речь идет о том,
чтобы определить длину, поверхность, объем, или, точнее, по-
нятие, охватывающее понятия длины, поверхности, объема, не
апеллируя к понятию числа.
Отсюда два течения: либо вдаются только в метафизику, либо
начинают определять для произвольных «величин» равенство,
сумму, произведение и т. д., одним словом, строят заново тео-
рию числа, не осмеливаясь произнести это слово. Это второе
течение хорошо известно; я упоминал о нем несколько раз; ему
следуют, например, когда отношение двух отрезков рассматри-
вают не как число.
Первого течения касается любопытное замечание нашего зна-
менитого геометра Г. Д а р б у *, сделанное им в беседе с таким
проницательным критиком, как Ж. Таннери**: «попробуйте из-
влечь все, что возможно, из старого определения: величина
есть все то, что способно увеличиваться и уменьшаться».
Предполагается, таким образом, создать теорию, которая
была бы приложима одновременно к объемам и к честолюбию,
к температуре и к аппетиту, к государственному бюджету и к
плодородию почвы, к уму, к уровню воды в Сене, к удив-
лению, к образованию и т. д. и в том числе к величине числа,
измеряющего величину. Можно сказать, что истинные затруд-
нения представит задача отыскания чего-либо, что не явля-
* Г. Дар б у (1842—1917) — известный французский математик, работав-
ший в области дифференциальной геометрии и дифференциальных уравнений,
многолетний президент французской академии наук.
** См. сноску на стр. 119.
151
е т с я величиной, что ни в каком смысле не способно ни уве-
личиваться, ни уменьшаться. Для того чтобы стало возможным
изучить величину, необходимо ограничить область изучения.
Конечно, слово «величина» легкомысленно употребляется мате-
матиками в самых общих и в самых разных смыслах: иногда
всякое число именуется величиной; мало того, иногда на-
ряду с этими скалярными величинами рассматривают также
величины другого рода, самыми простыми из которых являются
векторные величины; но когда говорят о теории величин, то
слову «величина» необходимо придать более ограниченный
смысл. Чтобы избежать смешения понятий, выдумали название
вроде «непосредственно измеримой величины»; однако следо-
вало бы еще уточнить область приложений этого названия.
85. Часто говорят, что непосредственно измеримая величина
характеризуется возможностью говорить о равенстве и о сумме
величин, и в качестве примера подобной величины указывают
на понятие массы, поскольку можно говорить о равных массах
и о массе, являющейся суммой двух других, но отклоняют
температуру на том основании, что можно говорить о равных
температурах, но не о температуре, равной сумме каких-то тем-
ператур. Заметим, однако, что никто не помешает нам говорить
и здесь о су^ме, например о 70° как сумме 30° и 40°, -ибо
всегда, когда речь идет о числах, можно говорить о их равен-
стве и о сумме. Когда говорят о невозможности использова-
ния понятия суммы двух температур, то хотят выразить мысль
о том, что это понятие не имеет физического смысла. Но ка-
ково логическое содержание этого последнего утверждения?
Очевидно, что его нет; да к тому же нельзя основывать логи-
ческое определение величины лишь на пользе, которую можно
извлечь при теперешнем состоянии науки из того или иного
понятия. И верно ли, что сумма температур лишена всякого
физического смысла? Когда говорят о температуре в 40°С, то
отмечают разность между температурой данного тела и темпе-
ратурой тающего льда; точно так же используют разность тем-
ператур, когда хотят найти, насколько различна длина рельса
летом и зимой. А кто пользуется разностью, тот неизбежно
имеет дело и с суммой. В самом деле, когда говорят, что
40°С — это то же самое, что и 313°Х (313° по Кельвину или
в абсолютной шкале), то тем самым производят сложение тем-
ператур. Точно так же складывают скорости, изучая сложное
движение, вычитают потенциалы, поскольку всегда говорят лишь
о разности потенциалов, и т. д. Словом, указанный выше кри-
терий, не имеющий никакого логического смысла, не имеет
никакого смысла.
Сейчас мы вернемся к этому критерию, но постараемся при-
дать ему более точную форму;’ анализ, которому мы подвергли
этот критерий, доказывает лишь то, что он плохо понимается
152
и неясно выражается, а не то, что он лишен основания. Наши
критические замечания указывают, что встреченные затруднения
были вызваны слишком метафизическим подходом к делу. По-
стараемся применить здесь тот же метод, который выручил нас
в случае чисел, длин, площадей, объемов; там мы отказались от раз-
личия между метафизическим числом, отнесенным некоторой
совокупности предметов и выражающим его символом, между
метафизической длиной, метафизическим числом, которое ее
измеряет, и символом, изображающим это число; так же обсто-
яло дело и в случаях площадей и объемов; мы старались найти пря-
мое определение числа-символа, единственно важного для мате-
матики, представляя другим заботу заниматься проблемами
метафизики, выходящими за пределы нашей компетенции. И так
как весь мир считает длины, площади, объемы истинными об-
разцами величин, то мы особенно постараемся выявить общее
в том, что мы говорили о каждом из этих понятий. Мы сделаем
это, считая, что главе об общем понятии величины предшест-
вуют главы о длинах отрезков, площадях многоугольников,
об объемах многогранников или по крайней мере некоторые из
этих глав.
Понятие, которое мы собираемся уточнить, не обнимает всех
случаев, когда в общежитии употребляется слово «величина». Мы
знаем, что нужно уметь себя ограничивать, и нисколько не пре-
тендуем на то, чтобы достичь наибольшей возможной общности;
мы хотим получить лишь обобщение, охватывающее все те зна-
чения слова «величина», с которыми мы сегодня имеем дело
в главе об измерении величин.
86. С этой целью проанализируем то общее, что имеют между
собой различные определения предшествующих глав, а так как
физическое понятие массы также признается полноценным пред-
ставителем класса величин, то мы позаботимся, чтобы наше
определение было достаточно общим и для того, чтобы быть
применимым к понятию массы. Длина отрезка или дуги окруж-
ности, площадь многоугольника или области поверхности, объем
многогранника или произвольного тела были нами определены
как положительные числа, соответствующие геометрическим
объектам и вполне определенные этими объектами с точностью
до выбора системы единицы; в этом заключается наше усло-
вие а). Сравнение со случаем масс приводит нас к установлению
первой части определения, которое будет состоять из двух
частей а) и Ь):
а) Если задано семейство тел, то говорят, что для этих
тел определена величина G, если каждому из этих тел
и каждой части любого из них поставлено в соответствие
определенное положительное число.
Вспомним прием, позволивший указать число и дать этому
числу, этой величине название: длина, объем, масса, количество
153
теплоты и ъ д.; говорят также, что мы измерили длину,
объем и т. д. Физический процесс определения этого числа
в действительности позволяет получить его лишь с некоторой
погрешностью; он никогда не дает возможности отличить число
от чисел, весьма к нему близких. Таким образом, приходится
вообразить, как мы это делали в случае измерения длины от-
резка, что наш процесс может быть неограниченно продолжен
и в таком случае он может привести нас к единственному,
вполне определенному числу.
Семейство рассмотренных тел будет разным в зависимости
от того, о какой величине мы говорим; в некоторых случаях
все эти тела смогут быть уподоблены отрезкам прямой, в дру-
гих — дугам кривых, еще в других — частям криволинейных
поверхностей или частям пространства; в случае более продви-
нутого преподавания здесь может даже зайти речь о частях
многомерного пространства или погруженных в него много-
образий.
87. Случай масс учит нас, что не следует пытаться обобщить
условие у) предшествующих глав: двум геометрически равным
телам могут соответствовать разные числа, являющиеся для-
этих тел мерой величины G. Напротив того, очень существенно,
что условие р) может быть обобщено;
Ь) Если разбить тело на некоторое число частей
С\, С2, ..., Со и если значение величины G для тела С равно g,
а для тел С\, С2, ..., равно gv g2, .. ,,gp, то
g=Si +^2 + • • • +s>
Это условие уточняет то, которое мы критиковали выше:
нужно, чтобы можно было говорить о сумме двух величин.
Слово «тело» имело у нас до сих пор достаточно расплывча-
тый характер, аналогичный тому, в каком мы раньше употреб-
ляли слово «область»; ясно, что в геометрии или в теоретиче-
ской физике можно уточнить логический смысл этого слова.
В геометрии, в частности, можно придать слову «тело» более
или менее широкий смысл, например смысл множества или
фигуры; только в каждом отдельном случае необходимо усло-
виться, что мы понимаем под разбиением всей фигуры на части.
Величину можно относить и к объектам разнообразной, а не
только геометрической природы; здесь, однако, нам достаточно
рассмотреть тела, геометрически уподобляемые областям, выре-
занным в пространстве, или на поверхностях, или на кривых.
Семейства подлежащих изучению тел должны удовлетво-
рять еще одному условию, которое можно лишь подразумевать
в элементарном преподавании, но необходимость которого
с точки зрения логической выявится при доказательстве един-
ственной теоремы, которая вместе с принятым определением
составляет все содержание теории величин.
154
88. Если две величины G и Gt определены для одного и того
ясе семейства тел и если для любых двух тел, для которых
величина G принимает одно и то ясе значение g, величина Gt
такясе принимает одно и то ясе значение gv то g и gY свя-
заны соотношением
gi = kg,
где k — некоторое постоянное число.
Чтобы доказать это утверждение, сравним числа g и glt
отнесенные телу С, с числами у и у,, отнесенными телу Г, взя-
тому в качестве исходного. Пусть и — любое целое число; целое
число т определим неравенствами
п у п ’
и разделим число С на т частей, для которых G имеет одно
и то же значение g', а тело Г — на п частей, для которых G
имеет одно и то же значение у'. В таком случае имеем:
g=mg’, у = лу' и g'>y',
Я т
где знак равенства имеет место лишь тогда, когда у = у .
Если же — и, следовательно, g'>y', то можно уменьшить
каждую из т составляющих С частей с тем, чтобы получить
тело, для которого О имеет значение у'; другими словами,
можно заменить т тел, составляющих С, 2т телами, т из ко-
торых отвечает равное у' значение величины G. Так как для
этих последних т тел и для п тел, составляющих Г, величина Q
имеет одно и то же значение у', то и величина Gx имеет для
них одно и то же значение yj. Таким образом,
где знак равенства имеет место лишь в том случае, когда он
имел место и первоначально.
Отсюда имеем для отношения :
от от + 1
Я я ’
I——^1<-
I Т Т1 I п *
Так как п — произвольное целое число, то отсюда следует
что и требовалось доказать.
155
89. Теорема доказана; но в ходе ее доказательства мы раз-
бивали тела на части, возможность чего не вытекает из пред-
положений а) и Ь). Я думаю, что не будет ничего предосуди-
тельного, если не введем явным образом в преподавание соот-
ветствующее дополнительное условие; но учитель должен знать,
что с логической точки зрения одних лишь условий а) и Ь) не-
достаточно для построения всей теории. Дополнительное условие,
о котором я говорил, можно сформулировать следующим
образом:
с) Семейство тел, для которых определена величина,
должно быть достаточно богатым для того, чтобы
каждое тело семейства могло быть при помощи последова-
тельных уменьшений сведено к точке так, чтобы в процессе
уменьшения тело все время принадлежало этому семейству
и отнесенная телу величина непрерывно уменьшалась от
своего первоначального значения до нуля.
Заметим, что если «величина» есть площадь, то плоские
многоугольники образуют подобное семейство тел; также и более
обширное семейство областей, названных нами квадрируемыми,
удовлетворяют условию с) для величины «площадь». Необходи-
мость условия, подобного с), как раз и связана с затруднениями,
которые заставили нас в свое время, при исследовании площади
или объема, ограничиться областями определенного типа.
90. Другое соображение, которое учителя обязаны иметь
в виду, но на котором бесполезно останавливаться в препода-
вании, состоит в том, что условие Ь) частично может быть
обманчивым. Рассмотрим семейство тел F, состоящее из семей-
ства Fx дуг окружности Сх и семейства F, дуг отличной от Сх
окружности Ct. Дугам семейства Fx отнесем их меры, подобно
тому, как это делается в курсе элементарной геометрии, при-
нимая за единицу длину единичной дуги Ux окружности Сх,
дугам семейства отнесены их меры, определенные с помощью
единичной дуги t7s окружности С2. Мы можем сказать, что все
эти числа образуют величину, определенную для тел семей-
ства F. Однако в самом деле мы будем иметь здесь две ве-
личины, определенные соответственно для тел семейства Fx
и для тел семейства Ft. Вообще, если какая-нибудь величина
определена для всех тел семейства F, которое может быть
разбито на два непересекающихся семейства Fx и Ft такие, что
каждое из этих семейств содержит также все принадлежащие
к F части входящих в семейство тел, условие Ь) обманчиво
в том смысле, что оно имеет силу для семейства Fx и Ft, для F
же оно верно лишь в том смысле, что оно справедливо для
каждого из семейства Fx и в отдельности. Так, например,
вполне можно сказать, что величинами являются длины дуг
кривых с непрерывно изменяющейся касательной; однако мы
лучше оттеним значение условия Ь), если скажем, что величи-
156
нами являются длины различных дуг одной и той же кри-
вой с непрерывно изменяющейся касательной.
Заметим, что в предшествующем примере можцо было бы
выбрать единичные дуги Ui и U2 произвольными даже в том
случае, когда радиусы окружностей Сх и С2 равны между собой.
Когда дело идет о длинах в смысле главы V, а не о мерах дуг
в смысле традиционного курса элементарной геометрии, дуги
(Jj И Ut одной и той же длины 1 равны — это связано с нашим
условием у. Если дело касается геометрических величин,
т. е. удовлетворяющих условию у), то Ь) и. у) могут быть
объединены в одно предложение:
Если тело С можно разделить на части, равные соответ-
ственно телам Сг, С2, .. .,Ср, то значение величины G для
этого тела .равно сумме g1 +я2+ • • • ~\~ёР значений G для
тел Ср С2, ...»Ср.
Можно также условиться по-новому понимать слова «разде-
лить тело», говоря, что С разделено на части Ср С2, ...,Ср
или что С есть сумма тел Ср С2, ..., Ср, и сохранить прежнюю
формулировку условия Ь). Этот путь приводит к расширению
понятия величины, — я здесь лишь укажу на эту возможность,
которую можно получить, придавая разные значения слову
«разделить». Можно также условиться считать величину не по-
ложительным числом, а каким-то новым математическим объек*
том, для которого операция сложения должна быть специально
определена («векторные величины», «тензорные величины»
и т. д.). Рассмотрение этих обобщений выходит’ за рамки моего
изложения, и я счел нужным упомянуть о них лишь для того,
чтобы отметить возможности модификации предложенного здесь
определения.
Остановимся теперь на некоторых замечаниях, на которые
следовало бы обратить внимание учащихся: длина высоты пи-
рамиды является величиной, отнесенной не самой пирамиде,
а лишь высоте-отрезку; площадь поверхности многогранника не
является величиной, заданной на семействе многогранников, но
площадь части поверхности многогранника есть величина, опре-
деленная для частей поверхности, рассматриваемых как тела;
параллельная оси ох высота прямоугольного параллелепипеда,
одно ребро которого имеет направление ох, не является вели-
чиной, определенной для всех таких параллелепипедов, но она
явилась бы величиной, если бы мы ограничились рассмотрением
лишь многогранников, вырезанных перпендикулярными ох плос-
костями, из одной и той же неограниченной прямоугольной
призмы.
Таким образом, число может являться или не являться ве-
личиной в зависимости от семейства тел; к которым его отно-
сят; семейство тел, для которых определено рассматриваемое
число, не обязано совпадать с семейством тел, для которых это
число является величиной.
157
91. Если две величины удовлетворяют условиям п. 88,
т. е. если они определены для одного и того же семейства
тел, и значение g одной величины, определяет значение g,
другой, то эти величины называются пропорциональными.
Из доказанной теоремы следует, что если g, есть функция g,
£
то она обязательно имеет вид
g> = kg.
Таким образом, не существует ни обратно пропорциональных
величин в том точном смысле, который мы придали слову
«величина», ни вообще величин, зависящих одна от другой, но
не пропорциональных друг другу. Но два числа, разумеется,
могут быть связаны между собой и отличной от прямой про-
порциональности зависимостью; в этом случае по крайней мере
одно из чисел не является величиной — если оба числа пред-
ставляют собой величины, то соотношение неизбежно сводится
к прямой пропорциональности. Семейство величин весьма об-
ширно; кроме чисел, рассматриваемых в геометрии и физике,
о которых мы до сих пор только и говорили, оно включает
также и числа, связанные с экономическими вопросами, как
цена товара, время, необходимое на его изготовление, и т. д.;
отсюда и проистекает большое количество встречающихся
в жизни и в науке пропорциональных зависимостей.
Часто несколько сомнительные или явно неприемлемые рас-
суждения можно заменить правильными рассуждениями, пока-
зав, что мы имеем дело с величинами. Ограничиваясь чисто
математическими понятиями, перечислим следующие величины:
длины отрезков прямой, длины дуг кривой, площади плоских
областей, площади частей поверхности, объемы частей простран-
ства, меры углов, меры дуг круга, меры телесных углов, меры
сферических областей, время, требующееся движущимся телам
на прохождение отрезка пути, изменение скорости на этом
отрезке и т. д. Что два последних из перечисленных чисел
являются величинами, совершенно очевидно; что же касается
первых, то для .них мы это показали в свое время; единствен-
ные из перечисленных чисел, для которых надо доказать (я это
опускаю), что они являются величинами,—это меры телесных
углов и сферических областей — меры, удовлетворяющие усло-
виям а), р), у).
Пропорциональность, если она существует между величи-
нами, легко устанавливается. Часто случается, что пропорцио-
нальность оговаривается условием задачи: так, для равномер-
ного движения пройденная длина и время ее прохождения
являются двумя пропорциональными величинами, отнесенными
к пройденным отрезкам пути, в силу условия равномерности;
точно так же для равноускоренного движения прирост скорости
158
пропорционален приросту времени в силу условия равноуско-
ренное™. В других случаях может оказаться, что каждый шаг
процесса измерения одной величины по существу совпадает
с соответствующим шагом процесса измерений другой; так
обстояло дело, например, в п. 21, где рассматривалась пропор-
циональность меры дуг круга мере центральных углов; сюда же
относится соотношение между мерой сферических областей
и мерой телесных углов, под которыми эти области видны из
центра.
92. Заметим также, что всякий раз, когда удается доказать, что
для некоторого семейства тел величина полностью определена
(с точностью до выбора единицы измерения) условиями а), р), у),
то тем самым доказывается, что две величины, отнесенные
к этим телам и удовлетворяющие условиям а), р), у), пропор-
циональны между собой. Сейчас мы увидим, какую пользу
можно извлечь из доказательства этой банальной истины; однако
сначала отметим случай, когда множество тел зависит от одного
параметра, за который можно принять отнесенную телам вели-
чину. В таком случае указание g величины G, отнесенной ка-
кому-нибудь одному телу, полностью определяет это тело;
следовательно, и всякая другая геометрическая величина
отнесенная телу, будет определена заданием g, и, значит, вели-
чины G и .Ор наверное, пропорциональны между собой. Так,
например, обстоит дело в случае дуг окружности и централь-
ных углов.
Рассмотрим теперь геометрическую величину g, отнесенную
многогранному углу, например меру этого угла; ее значения
будет недостаточно, чтобы полностью определить угол, поскольку
этому значению соответствует бесконечное множество углов.
Отнесем этому же углу число
й = Д + В + С+... — (п — 2) тт,
где п — число его двугранных углов, а Д, В, С, ... — их ра-
дианные " меры (причем, естественно, все двугранные углы
А, В, С, ... — это внутренние углы многогранного угла).
Если разбить многогранныц угол С на два других многогранных
угла С\ и С2, TOt как нетрудно доказать, три значения А будут
связаны соотношением
A == А2.
Отсюда следует, что если разбить С на трехгранные углы, то А
будет суммой чисел, отнесенных этим трехгранным углам; так
как в случае трехгранного угла А положительно (ибо сумма
двугранных углс^в трехгранного угла больше п), то оно будет
положительно и для любого многогранного угла. Таким образом,
А есть величина и к тому же величина геометрическая.
159
Рассуждения, которые я -опущу и которые аналогичны неко-
торым из тех, которые привели нас к понятию площади плоской
фигуры, доказывают, что геометрическая величина, отнесенная
многогранному углу, вполне определена с точностью до выбора
единицы измерения; значит g = kh. При подходящей единице
мы имеем:
h = A-\-B-\-C-\-... — (zz — 2)п;
это и есть теорема Альберта Жирара (п. 74 )*.
Лежандр, не прибегая к аксиоме Евклида, показал, что
углы плоского треугольника удовлетворяют неравенству **
тг — (A-pB-pq^O;
откуда имеем для произвольного плоского /z-угольника:
— (п — 2) тг — А — В — С — ... ^ 0.
Совершенно очевидно, что h есть либо геометрическая ве-
личина, отнесенная плоским многоугольникам, либо тождествен-
ный нул>. Если бы с помощью рассуждений, отличных от исполь-
зованных нами выше, мы установили бы существование площади
многоугольников, не прибегая к аксиоме Евклида,. и показали
бы? что она вполне определена с точностью до единицы меры
(а это вполне возможно); 'то можно было бы прийти к заклю-
чению: либо не равно нулю и есть величина, пропорцио-
нальная площади многоугольника,—это случай геометрии Лоба-
чевского ***; либо Aj равно нулю — это случай геометрии
Евклида.
93. Раскрыв, таким образом, как теоретическое, так и прак-
тическое значение понятия пропорциональных величин, я заменю
обычное условие пропорциональности величины некоторым дру-
гим величинам следующим:
Пусть число g определено несколькими другими л, у, г, t
и пусть при изменении лишь одного из этих чисел g изме-
няется пропорционально ему. В таком случае
g=Cxyzt9
где С — постоянно.
В самом деле, пусть g0, л0, у0, г0, t0 — какая-либо фиксиро-
ванная система рассматриваемых чисел. Введем в рассмотрение
следующие системы этих чисел:
gt, X, у3, z„, g3, х, у, z„, t3, g3, x, у, z, ta;
♦ Ср. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. 2, М. — Л.,
1949, § 154.
** См., например: В. Ф. Каган, Лобачевский и его геометрия, М., 1955,
стр. 54 и след.
*** Ср. Б. Н. Делоне, Элементарное доказательство непротиворечи-
вости планиметрии Лобачевского, М., 1956, стр. 75 и след.
160
тогда, по условйю, мы имеем:
<1—Л Si — L £з—£- = ^-
& V £1 Уо’ ^2 V &
отсюда
g^xyzt-----%-Г’
' хоУо^о^о
Наше доказательство предполагает,- что вспомогательные
системы значений множества переменных л, у, г, t также при-
надлежат семейству F значений, для которых определено g;
это не следует из поставленных условий, но необходимо для
того, чтобы можно было перейти от л0, у0, z0, t0 к любой системе
значений л, у, z, t, принадлежащей семейству F, и такой, что
значения всех переменных отличны от своих первоначальных
значений х0, у0, z0, t0, не выходя за пределы F и изменяя всегда
лишь одно переменное. Следовательно, необходимо, чтобы
каждое переменное могло изменяться независимо от других,
что исключает, например, случай, когда х постоянно равно у,
и случай, когда х и у являются двумя пропорциональными ве-
личинами.
Предшествующая теорема является элементарной алгебраи-
ческой теоремой: в ней ничего не говорится о величинах.
Рассмотрим сначала классический пример с прямоугольными
параллепипедами. Для частичного семейства, образованного теми
из этих тел, длины двух ребер которых имеют данную длину,
длина третьего ребра будет величиной, пропорциональной
объему, и, следовательно, мы можем применить нашу алгебраи-
ческую теорему ко всему семейству прямоугольных параллеле-
пипедов, для которых g есть объем и %, у, z — длины ребер.
Но %, у, z не будут величинами для этого обширного семейства
(ср. п. 90).
Более обще, если предшествующая теорема приложима
к числам х, у, z, t, g, то по крайней мере одно из них не яв-
ляется величиной для семейства тел, о которых здесь идет речь,
так как единственные величины g, определенные для семейства
тел F, заданных сопоставленными этим телам величинами
х, у, z, t, суть те, которые пропорциональны одной из вели-
чин, или у, или z, или t. Покажем это, предполагая, как мы
это делали и раньше, что от одного тела семейства F можно
перейти к любому другому с помощью ряда шагов, на каждом
из которых меняется лишь одна из величин х, у, z, t, причем
для полученных таким образом более узких семейств тел вы-
полняется условие с). Тогда, заставляя, например, меняться
лишь величину t, мы будем иметь, что для полученного при
этом семейства тел g или постоянно, т. е. не зависит от /, или
пропорционально t. Если бы g существенно зависело от х, у, z, t,
то, по предшествующей теореме, оно имело бы вид Cxyzt,
161
что невозможно, так как соотношение
С (е + х) (ч + у) С + z) (т +1) = ОДт + Cxyzt
не имеет места ни для какой системы положительных чисел.
Итак, g не зависит существенно ни от четырех, ни от трех, ни
от двух из переменных х, yf z, t; это и доказывает теорему.
С приложениями этих теорем нужно быть крайне осторож-
ными; в частности, нужно удостовериться в том, что семей-
ство F достаточно обширно, чтобы удовлетворялось наше
условие о возможности перехода одного тела в другое. Часто,
однако, это условие не выполняется (вопреки тому, что его
считают выполненным); особенно, когда семейство F тел зави-
сит лишь от конечного числа параметров. Вот почему класси-
ческие формулировка и доказательство так называемой теоремы
о величинах,пропорциональных многим другим величинам,несостоя-
тельны: на деле часто можно прийти к весьма парадоксальным
заключениям, применяя в таких случаях вышеприведенные тео-
ремы.
Рассмотрим, например, материальную кривую, линейная плот-
ность которой все время увеличивается при движении в одном
и том же направлении. Длина I и масса т вполне определяют
дугу; значит, всякая другая величина g, отнесенная к той же
дуге, определяется через I и через т и по предшествующему
должна быть пропорциональна I или т. Таким образом, мы
могли бы объявить длину проекции дуги на данную плоскость,
количество теплоты, необходимое для увеличения температуры
этой дуги на 1°, пропорциональными длине или массе дуги!
ГЛАВА VII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
94. Теория величин, составившая предмет предшествующей
главы, была подготовлена работами Коши над тем, что он
называл «сопровождающимися величинами», работами, призван-
ными осветить понятия площади, объема, меры, а также иссле-
дованиями о линейных функциональных операциях; но она была
окончательно завершена усилиями многих ученых лишь в связи
с задачей об интегрировании наиболее общего класса функций*.
Это не должно нас удивлять, так как мы видели с самого же
начала, что исчисление бесконечно малых и теория величин
имеют некоторые общие цели; с другой стороны, рассматривая
наиболее общий случай, т. е. исходя из наименьшего числа
первичных понятий, мы имеем возможность рассуждать лишь
о самом важном и существенном и поэтому можем надеяться
сделать более ясными исходные позиции. Вместе с тем создание
такой элементарной теории величин явилось, быть может, самым
существенным из результатов исследований по интегрированию
разрывных функций.
С точки зрения педагогической, которой мы здесь придер-
живаемся, теория величин должна оказать влияние на изложе-
ние операций интегрирования и дифференцирования. Приводи-
мое ниже изложение рассчитано на студентов, впервые встре-
чающихся с этими функциональными операциями в их общем
виде; впрочем, и некоторые из предыдущих пунктов (72, 75—77,
82) также относились к преподаванию, рассчитанному на тех же
студентов университета. Мы наметим лишь начало изложения
и займемся почти исключительно существом вопроса; в настоя-
щем же преподавании необходимо быть более осторожным
в выборе формы изложения; так, например, никто не будет
начинать сразу со случая л-мерного пространства.
* Среди «многих ученых», разрабатывающих эти вопросы, одно из самых
первых мест принадлежит автору настоящей книги (ср. монографию А. Лебега,
указанную в подстрочном примечании на стр. 24). В последние годы вопрос
о связи теории измерения величин с теорией интегрирования разрабатывался
школой видного швейцарского геометра Г. Хадвигера (см., например, цикл
статей В. Нефа, опубликованный в журнале переводов «Математики», 3,
№ 2, 1959 .г.)
163
Мы видели, что некоторые числа, рассматриваемые физиками,
сопоставляются точкам, в то время как другие — лишь конеч-
ным телам; отсюда и появляются два разных математических
понятия; с одной стороны, функции одной или нескольких пере-
менных, с другой стороны, величины. Поскольку эти числа
имеют физический смысл и могут быть определены эксперимен-
тально, то они в определенном смысле непрерывны, так как
двум практически неразличимым точкам или телам приходится
относить одно и то же число. Постараемся сначала перевести
эти физические факты на язык чисто логических определений.
Нам нужно будет также рассмотреть, как употребляют физики
экспериментально определяемые числа; для этого мы должны
будем, обратить особое внимание на то, что физики называют
производной величиной.
Рассмотрим тело С, которому физики приписывают массу М,
объем v и плотность (или среднюю плотность) 8. Первые два
числа определяются экспериментально при помощи разных
экспериментов; третье арифметически определяется формулой
Чтобы подчеркнуть разницу между этими числами, говорят,
что масса и объем являются непосредственно измеримыми вели-
чинами, а плотность — производной величиной. Легко заметить,
что в предшествующей фразе слово «величина» в приложении
к массе и объему употреблено правильно, т. е. в смысле пред-
шествующей главы, а в приложении к плотности — неправильно;
ясно, например, что если тело разделить на две части, то
плотность целого тела не будет суммой плотностей его частей.
Поэтому мы будем избегать употреблять в таких случаях слово
«величина».
Чтобы найти М и v, нужно выбрать единицы массы и объема,
но для определения S уже не требуется нового выбора еди-
ниц; это выражают, говоря, что единица плотности является
производной единицей. Если, в частности, М = 1 и
w = l, то тело будет иметь плотность, равную I,1 другими сло-
вами, равную единице плотности; в этом заключается смысл
фразы вроде следующей: если за единицу массы принять грамм,
а за единицу объема — кубический сантиметр, то единица плот-
ности есть грамм, деленный на кубический сантиметр.
Средняя плотность тела представляет особенный интерес,
когда она остается одной и той же для всех частей данного тела, т. е.
когда это последнее однородно по массе. Когда же дело обстоит
не так, физики определяют плотность в каждой точке Р тела:
это есть средняя плотность тел, содержащих точку Р и доста-
точно малых, чтобы быть практически однородными. Нам нужно
математически определить операцию нахождения этой плотности,
операцию, которую можно назвать дифференцированием.
164
Обратная операция, позволяющая вычислять /И, исходя из v и
есть операция интегрирования.
Ради экономии времени я рассмотрю здесь сразу случай
пространства k измерений, напомнив сначала нужные нам поня-
тия геометрии fe-мерного пространства.
95. На прямой, на поверхности, в обычном пространстве
точка- определяется одной, двумя, тремя координатами; по ана-
логии мы назовем точкой й-мерного пространства упорядочен-
ную совокупность k чисел xv х2, ..., xk; сокращенно (xz)
(где i принимает значения от 1 до k). Значения xt называются
координатами точки; когда говорят, что система координат (xz)
прямоугольная, то подразумевают под этим, что выражение
/' k
1/ Ito—*;)2
у 1 — 1
будет называться расстоянием между двумя точками (х,.)
и(х'.). Мы будем пользоваться исключительно прямоугольными
координатами.
Если формулы
j=k
Xi = az + 2 ape,, i = 1, 2, ..., k
i='
таковы, что расстояние от (xz) до (xz) всегда равно расстоянию от
(Xz) до (Xz), то эти формулы называются формулами пере-
хода от прямоугольных координат (xz) к прямо-
угольным координатам (Xz). Непосредственная выкладка
приводит к следующим условиям ортогональности, ха-
рактеризующим переход от одной системы прямоугольных ко-
ординат к другой:
2 (а{)2=1, 2 «{«/=0, у, /=1, 2.........k, j=/=l.
l—l 1=1
Отсюда,, как известно, вытекает, что определитель Д с эле-
ментами al равен ч-l, что позволяет разрешить эти формулы
замены координат относительно xt и, таким образом, предста-
вить условия ортогональности в новой форме
j=k j=k
2 (aZ)2=l, 2 ^/=0, i, h=l, 2, k, i=^h.
J=1 j=i
На формулы замены координат можно также смотреть как
на формулы, которые определяют точечное преобразование,
165
которое при Д=1 называется движением*; впоследствии
мы всегда будем подразумевать, что условие Д = -(-1 имеет
место. Если а\ — -р 1 при всех значениях i и, следовательно,
в силу условий ортогональности а/= 0 при i =^= у, то движение на-
зывается параллельным перенесением. Если же все а,
есть нули, &.= 1 для одного фиксированного значения i и, следо-
вательно, а{=0 и = 0 для этого Z, то движение называется
вращением вокруг координатной оси х1 = хг = ... = xi_==
= • • • =^k = 0, называемой также осью X;.
Две фигуры, отвечающие друг другу при движении, назы-
ваются равными; Сейчас мы увидим, что с помощью парал-
лельного перенесения и вращений вокруг координатных осей
можно перейти от одной фигуры к любой другой, равной ей.
96. Множество точек удовлетворяющих неравенствам
а г (х^хг^Ьг (х,),
а> (х„ х2) X, < Ь, (хр хг),
а*(х., xt, ...,xk_1)^txk<!bk(xv хг.
крайние члены которых являются непрерывными функциями
одного, двух, ..., k — 1 переменных, называется простой
областью. Если все эти функции так же, как ах и bv сводятся
к постоянным, то можно говорить о ^-мерном интервале**,
k измерениями которого являются k разностей Ь{— at. Более
общие области можно получить, объединяя конечное число прод-
етых областей. Но семейство областей, определенных таким
образом, будет зависеть от выбора осей координат ^-мерного
пространства и даже от порядка нумерации этих осей; чтобы
прийти к семейству областей, не зависящему от выбора осей,
условимся называть областью такое точечное множество Е>
что при любом е>0 можно найти область Dt в предшествую-
щем смысле этого слова или объединение D& конечного числа
областей такое, что все точки £)6 принадлежат Е, а точки Е,
не принадлежащие D., удалены меньше чем на расстояние е
от точек £)6; дополнительно потребуем, чтобы Ds содержало D&>,
если е меньше е'.
* Часто движением называют также соответствующее преобразова-
ние и при Д = + 1 и при Д = — 1; в таком случае говорят, что условие Д = -f-1
выделяет собстве иные движения (или движения 1-го рода),
а условие Д = — 1— зеркальные движения (движения 2-го рода).
** При k = 1 мы имеем обыкновенный интервал а х Ь\ при k = 2 —
прямоугольник, при k = 3 — прямоугольный параллелепипед; геометрический
образ, к которому мы приходим при k > 3, называется Л-м ерным парал-
лелотопом.
к66
Я не останавливаюсь на несложном доказательстве того, что
это семейство областей останется одним и тем же независимо
от выбора системы прямоугольных координат. Я хочу лишь
подчеркнуть, что логически выдержанное изложение, как я уже
упоминал, требует подобных уточнений и рассмотрений даже
в том случае, когда ограничиваются не более чем трехмерным
пространством.
97. Выделим сначала из рассматриваемого выше семейства
областей более узкое семейство (обобщающее семейство квадриру-
емых областей плоскости) такое, что
а) каждой из областей D рассматриваемого семейства
отнесено положительное число ak(D}\
Р) число, отнесенное области, представляющей собой объ-
единение двух неперекрывающихся областей, равно сумме двух
чисел, отвечающих обеим частичным областям;
у) двум равным областям отнесены равные числа;
о) эрги числа полностью определены, если известно число,
отнесенное одной из областей.
Эти области мы будем называть квадрируемыми Aj-mер-
ными областями, короче, просто квадрируемыми;
число ak(D) мы назовем А-мерным объемом области D.
Дополнительно мы требуем, чтобы это семейство содержало
все интервалы и все области, образованные соединением конеч-
ного числа интервалов.
Рассмотрим теперь полную сеть Т с интервалами 1, Д, Д, ...,
где интервалы / определены неравенствами
ioA~ * ei — Целые числа.
Если дана некоторая область Е, то пересчитаем те интервалы
1р, все точки которых принадлежат Е (пусть их число равно п ),
и те интервалы 1р, которые содержат точки области Е (их число
обозначим через Np). Тогда если общий A-мерный объем интер-
валов I равен 1, то объем 1р необходимо будет равен -^р, а
объем Е, если он существует, заключен между
пр Np
Ю*-р и ю*р ’
К тому же имеем:
пр np+i ^p+i Np .
10^^=
Np—np
следовательно, если—г стремится к нулю при р—»-оо, то
Л-мерный объем области Е может быть лишь общим пределом
последовательностей
пр
То^р и 10*р •
167
Если все это выполняется, то говорят, что область Е есть
квадрируемая £-м ерная область, а общий предел ak (£)
указанных выше последовательностей называют k-м е р н ы м
объемом облас tщ
98. Мы повторили определение главы III; теперь нам надо
доказать, как мы это сделали в главе III для «двумерного
объема» (площади) а2, что определенное нами число ak, очевидно,
удовлетворяющее условиям а) и S), удовлетворяет также усло-
виям р) и у).
Интервалы Z, учитываемые упомянутым выше числом N и
не учитываемые числом пр, содержат одновременно и точки Е
и точки, не принадлежащие Е\ следовательно, это те интервалы,
которые содержат граничные точки Е [т. е. такие точки
(XJ, что интервал
Xi — е Xi < Xi е
при любом е > 0 содержит как точки из Е, так и точки, не принад-
лежащие £]. Отсюда, как и в п. 27, следует предложение р),
а также то, что область, образованная объединением конечного
числа других областей, является квадрируемой ^-мерной - обла-
стью всякий раз, когда таковыми являются составляющие ее
области.
Для доказательства предложения у) мы воспользуемся мето-
дом математической индукции, предположив предварительно,
что это предложение установлено для (k— 1)-мерных областей.
Далее можно слово в слово повторить то, что было сказано
в главе IV по поводу перехода от площадей аг к объемам az,
или в случае более взрослых слушателей провести несколько
менее элементарное рассуждение, которое зато подготовляет
почву для построения операции интегрирования; этим вторым
путем мы здесь и пойдем.
99. Мы сейчас покажем, что всякая простая область ^-мер-
ного пространства квадрируема, предполагая, что это установ-
лено для простых областей (k— 1)-мерного пространства.
Пусть Е — простая область, определенная приведенными
выше k двойными неравенствами; Е'—простая область (k—1)-
мерного пространства (лр х2, ..., задаваемая первыми
k — 1 двойными неравенствами. Мы будем называть Е’ про-
екций Е на (А — 1 )-мерное координатное пространство
(лр х2, ... xk_A)\ (k— 1 )-мерный объем этой проекции (существую-
щий в силу предположения индукции) естественно обозначить
через ak_1(Et). Проекциями интервалов Л, о которых шла речь
выше, являются интервалы Гр сетки 7, с помощью которой
вычисляют (k — 1)-мерные объемы областей рассматриваемого
координатного подпространства. Таким образом, интервалы Гр
168
определяют для области Е' числа пр и АГ такие, что разности
п N р
и ю (Л- цр ak-1 )
стремятся к нулю при неограниченном возрастании р.
Интервалы 1Р определяют для Е числа пр и Np\ те интервалы
1р, которые учитываются числами пр, соответственно Np, обра-
зуют две области Ер и Ер. Те интервалы 1р, которые входят
в Ер и имеют одну и ту же проекцию Гр, образуют интервал Jp,
k — 1 первых измерений которого равны , a k-e измере-
ние отличается от разности
М4 4_t)— ak(x\, л’..................4-Л
(где функции ak и Ьк участвуют в последнем из выписанных на
стр. 166 неравенств;^, —произвольно выбранная
точка интервала Гр) не более чем на некоторую величину rip,
стремящуюся к нулю при неограниченном возрастании р.
Фигурирующий здесь интервал Гр есть один из пр интерва-
лов, используемых для получения приближенного по недостатку
значения ak_,(£*')• Аналогично можно оценить и число принад-
лежащих Ер интервалов 1р, имеющих своей проекцией тот же
интервал Г • только бесконечно малую величину т\р здесь при-
дется заменить другой бесконечно малой . Но Ер содержит,
кроме лого, еще интервалы 1р, проекции Г которых учитываются
числом N'p, но не учитываются числом пр. Все эти интервалы,
имеющие своими проекциями один и тот же (k — 1)-мерный:
интервал Г, образуют ^-мерный интервал, k-e измерение ко-
торого не превосходит /И—|—где М — максимум разности
Ф,. ........xk_x) — ak(xv xv .... xk_J,
a Zp неограниченно убывает при р—>оо. Таким образом, имеем
2u 1Q{k-\)p(ri/? + У “Ь1о(Л-1)(Al + у,
где первая и вторая суммы распространены по пр, соответст-
венно по N’p — пр интервалов Гр, о которых мы говорили выше.
Это дает неравенство
\^р Р (£') (Чр + У + (А1 + У »
правая часть которого стремится к нулю при возрастании р,
что и доказывает теорему.
169
Больше того, если bk и ak являются постоянными (случай
призматической области, образующие которой параллельны
оси лА), то k-e измерение Jp постоянно (с точностью до -|- С )
и, образовав сумму ak(Jk), мы получим
аь(Е) = (Ьк — ак)-ак_,(Е).
100. Из доказанного следует также, что подобная призмати-
ческая область имеет A-мерный объем, не изменяющийся ни при
каком параллельном перенесении или вращении вокруг оси хк.
Мы распространим этот результат на любую квадрируемую
A-мерную область Е. пр (или Np) интервалов Ipi дающих при-
ближенное недостатку (или по избытку) значение ak(E), обра-
зует область Ер (или Ер\ Параллельное перенесение или вра-
щение вокруг оси xk превращает эти области в равные первона-
чальным области Л, Fp, Fp, образованные образами интервалов 1р,
которые, вообще говоря, уже не будут больше интервалами, но
будут квадрируемыми A-мерными областями, A-мерный объем
ak которых равен ~Лр . Следовательно, Fp и Fp имеют тот же
A-мерный объем ak, что Ер и Ер\ а так как разность
ak (Е^ — ak (Е^) стремится к нулю при неограниченно возраста-
ющем р, то тоже верно и для разности ak(Fp) — ^(F^ следо-
вательно, фигура F квадрируема; а так как ее A-мерный объем
ak есть предел величин ak (Fp\ равных ak (Ер), то ak (F) = ak (Е).
Этим самым полностью оправдывается наше определение
A-мерного объема, поскольку от одной области к любой другой
ей равной всегда можно перейти с помощью ряда перемещений
указанной выше природы.
Ниже мы будем заниматься исключительно квадрируемыми
областями, несмотря на то, что интерес представляет отнюдь
не только это семейство областей.
101. Определение A-мерного объема подчеркивает свойство
непрерывности, делающее возможным экспериментальное опре-
деление этого объема: области Е мы относим две области Ер.
~Ёр, состоящие из интервалов 1ру прибавим_к Ер все интервалы
]p+q (Я — фиксировано), содержащие точки Ер, но не принадле-
жащие целиком Ер. Если бы Ер состояла из единственного
интервала 1р, то A-мерный объем этих прибавленных-интервалов
Ip+q был бы равен
[T^+io?+?] — (io?) =ak {(’ + 160 “ ; г
поэтому в случае любой области Ер ^-мерный объем прибав-
ив
ленных /я+? не больше
а*(£/»)•{(! 4"Io?) 1) •
При достаточно большом q мы получим, следовательно, такую
фигуру Ер, что ak (Ер) сколь угодно мало превосходит ak (Ёр),
а значит при достаточно большом р и ak (Е), если только область
Е квадрируема. Исключая из Ер интервалы 1р+д, содержащиеся
в Ер и содержащие граничные точки Ер, мы точно так же полу-
чим область Ер, ^-мерный объем которой при достаточно боль-
ших р и q сколь угодно близок к ak(E). Больше того, все
интервалы / + , содержащие граничные точки Е, принадлежат
Ер и ни один из них не принадлежит Ер.
Рассмотрим теперь переменную квадрируемую область Ev,
стремящуюся к Е\ это значит, что если определяющие Ev усло-
вия достаточно мало отличаются от предельных, то Ev содер-
жится в произвольно выбранной области, содержащей (в строгом
смысле этого слова) внутри себя область Е (значит, содержится
в £р), и содержит произвольно выбранную область, содержа-
щуюся (в строгом смысле) внутри Е (значит, содержит Ер).
В этом случае мы имеем: ~
«*(£,) < < «а (^)-
Итак, если квадрируемая область Е является пределом
квадрируемых областей Ev, то ak (Е) есть предел ak (Ev).
102. Мы рассмотрим сейчас функцииобласти; области, ко-
торые будут играть роль переменных, являются квадрируемыми
областями. Мы предположим, что каждой из этих областей Д
отнесено число /(Д), которое и является функцией области.
К тому же мы предположим, что эта функция является адди-
тивной, т. е. такова, что если Д разбить на две квадрируемые
области Д, и Д,, то
Таким образом, наши числа /(Д) удовлетворяют условию р);
если они к тому же положительны, то они будут величина-
ми (в смысле предыдущей главы), отнесенными телам, обра-
зованным различными квадрируемыми областями. Эти числа
(аддитивные функции) /(Д) относятся к обычным положительным
1 Необходимость рассмотрения Ер и Ер вытекает из того, что интервалы Ipi
содержащие граничные точки Е, не обязательно входят в Ер (так как относи-
тельно области Е мы не предполагали, что она замкнута в смысле теории мно-
жеств) и что некоторые из них могут входить в Е^
171
величинам, как относительные числа к числам положительным.
Количество теплоты, которое нужно придать или отнять у тел,
чтобы привести их к 0°, является такой аддитивной функцией.
Мы предположим еще, что эти функции являются непрерыв-
ными; это значит, что при стремлении переменной области Дс
к Д, /(AJ будет стремиться к /(Л); это условие обязательно
выполняется, если величина /(Д) может быть определена экспе-
риментально.
Как следствие этой непрерывности мы имеем, что при стрем-
лении Дда к нулю по всем своим измерениям, т. е. при стремле-
нии к нулю самого большого измерения переменного интервала,
содержащего Д^,, функция /(ДJ стремится к нулю. В самом деле,
если бы этого не было, то можно было бы найти области Дт,
все измерения которых стремятся к нулю, такие, что /(Д^)
стремится к числу ср^О, и можно было бы заставить точки Дф
стремиться к предельной точке, например Р, с координатами
(Л°). Разбивая, если это нужно, Д^ на части, можно предполо-
жить, что все точки Д^, обладающие указанным свойством при
каждом /, удовлетворяют неравенствам:
^== Xi
либо
Xi Л?.
Пусть при всяком i выполняется первое неравенство и пусть
D — область, для которой Р является предельной точкой й коор-
динаты всех точек которой превосходят координаты Р, Тогда
область будет стремиться к D и будет стре-
миться не к f (D), а к /(£>)-{-ср.
Это свойство рассматриваемых функций области и величин
резко отличает их от точечных- функций: если Д стремится к
точке Р, то /(Д) стремится к нулю, а не к функции от точки Р,
подобной плотности тела в точке Р или его температуре в точ-
ке Р. Сейчас мы получим эти точечные функции, соответствую-
щие физическим производным величинам.
103. Рассмотрим функцию /(Д) и непрерывную величину У(Д),
т. е. аддитивную непрерывную функцию области, которая к тому
же положительна. Частное Д|у имеет смысл; мы назовем
его усредненной производной функции f по V в области Д.
Будем неограниченно уменьшать Д по всем его измерениям, но
так, чтобы Д все время содержала точку Р; если при этих
/(Д)
предп9ложениях отношение стремится к определенному пре-
делу <?(Р), то мы назовем его производной f по V в точке Р и
обозначим через
172
Само определение производной указывает на способ ее вычис-
ления: операция взятия производной есть вычисление предела
определенного отношения. Самый интересный случай, единствен-
ный, который мы рассмотрим, это тот, когда отношение стре-
мится к пределу равномерно, т. е. случай, когда разность
между и <р(Р) становится меньше произвольно выбранного
положительного числа е, коль скоро Л заключено в интервале,
k измерений которого не превосходит числа 7], стремящегося
к нулю вместе с е, причем Г| зависит от е, но не от Р* 1. Если
тогда принять за Д интервал
х] — Л < < х^ + Л,
где Р—точка (х°), то отношение является непрерывной функ-
цией Р, следовательно, его предел при А, стремящемся к нулю,
будет непрерывной функцией Р, значит, <р(Р) — функция непре-
рывная. Мы скажем, что <р(Р) есть производная с равно-
мерной сходимостью2, если разностное отношение
стремится к <р(Р) равномерно.
Если это имеет место, то отношение ограничено, коль
скоро Д достаточно мало по всем измерениям; а так как, с дру-
гой стороны, это отношение ограничено при всех больших Д,
принадлежащих ограниченной части пространст-
в а, то ограничено по модулю для всех рассматриваемых Д,
т. е. мы имеем:
|/(А) | <Л1У(Д),
где М — фиксированное число. В таком случае говорят, что
функция f обладает ограниченными производными числами по V.
В частности, если предшествующее неравенство сохраняет
силу, когда вместо И(Д) берут аА(Д), т. е. если для всякого Д
выполняется неравенство
)/(Д)|<Л^(Д),
то функция /(Д) называется функцией с ограниченными произ-
водными числами. Совершенно ясно, что приведенные выше
физические примеры функций /(Д) приводят к функциям с огра-
1 В действительности, за исключением случая Л = 1, равномерная сходи-
мость есть необходимое следствие сходимости этого отношения для
всякой точки Р. То же самое будет и в случае Л = 1, если применить общее
определение областей конца п. 96, не требующее связности.
1 В действительности, коль скоро производная непрерывна, она есть про*
взводная с равномерной сходимостью.
173
ниченными производными числами, что, очевидно, влечет за собой
непрерывность этих функций.
104. Сформулируем теперь задачу интегрирования: дани
непрерывная функция точки ср (Р) и положительная, аддитив-
ная функция области 1/(Д), имеющая ограниченные производ-
ные числа; требуется найти аддитивную функцию /(Д) с
ограниченными производными числами, для которой ср (Р) была
бы производной по V, удовлетворяющей требованию равномер-
ной сходимости.
Если Д—объединение конечного числа интервалов 8Z, то
(быть может, еще подразделяя эти интервалы) можно считать
измерения 8Z настолько малыми, чтобы для всякого i имело
место неравенство
где Р{ произвольно выбрано внутри 8,. Тогда, так как
7(Д)=£/(8,.), 21 т-)1=2 И*/)= и(Д),
ТО
Следовательно, если задача интегрирования имеет решение
f (Д), то оно единственно и является пределом сумм 2 ср (Pz) l/(3z).
Посмотрим, существует ли этот предел. Пусть имеется дру-
гое подразделение Д, приводящее к областям 3/ и точкам Р}.
Предположим, что измерения 8 и 3' настолько малы, что в каж-
дом из этих интервалов ср изменяется самое большее на е;
вычислим в этом предположении разность
Пусть 3"— интервалы, удовлетворяющие неравенствам, опреде-
ляющим 8,- и 8/. Каждое 8,- и 8/ является суммой 8", и если
8z=8: + s;+... +81', то
1/(8.) = 17$) + V$) + ... + У $).
Преобразовывая таким образом V(8,) и У (8;) в оцениваемой
разности, мы представим последнюю в виде суммы по 8":
Но ср (Pz) и ср (Ру), связанные таким образом с 3*, отличаются
от значения ср в точке Рх интервала 8Х самое большее на е.
Значит, оцениваемая нами разность не превосходит
22е-1/ $) = 2е.У(Л);
174
следовательно, она стремится к нулю вместе с е, и сумма
2?(Л) имеет предел не зависящий от использо-
ванного разбиения Л.
Остается показать, что функция /(Л) удовлетворяет усло-
вию теоремы. Чтобы нам не пришлось проделывать это больше
одного раза, распространим сначала полученные результаты на
произвольные квадрируемые области Д. Мы видели, что они
являются пределами переменных областей Дс, состоящих из
интервалов; так как мы требуем непрерывности функции /(Д),
то /(Д) должна быть пределом /(AJ. А так как функция/(Д^)—
единственная, то и функция /(Д), если только она существует,
также может быть единственной.
Покажем, что /(AJ на самом деле имеет предел. Мы видели,
что можно найти две такие области Д и Д, образованные ко-
нечным числом интервалов, что Д лежит строго внутри первой
области _и в том же смысле сама содержит вторую область и
что аЛ(Д — Д) можно сделать сколь угодно малым; при этом Д^,
стремясь к_Д, начиная с какой-то стадии изменения, будет содер-
жаться в А и будет содержать Д. Пусть такими двумя обла-
стями являются Дф, Д^,; они имеют общую часть Д", причем
До — Д" = А, Д® — Д" = А', где А и А', составляя часть Д—Д,
имеют A-мерные объемы, меньшие, чем ak (Д —Д). Вычислим:
/(М —/(Д„) = [/(Д") +/(Л)]-[/(Д') +/(Л'Й=/(А) -/ (Д').
Для области Л, состоящей из конечного числа интервалов,
/(А) является пределом суммы 2? (Рг) ^(8г); если 5 есть верх-
няя грань |<р|, то эта сумма по модулю не превоеходит
B^V(82) = BV^)^BKak(^
где К—фиксированное число. Таким образом,
|/(Д1,)-/(Д;)|<2В^(Д-Д).
и, значит, /(До) стремится к пределу, который мы принимаем
за значение /(Д).
105. Эту функцию /(Д), единственную функцию, которая
может служить решением нашей задачи интегрирования, всегда
можно получить как предел сумм 2 ? (Л) V'jS,), распространен-
ных по интервалам 1р (играющим роль §,-), учтенных в числах
пр или Np, дающих приближенные значения ak (Д). Отсюда выте-
кает основное свойство /(Д), позволяющее показать, что /(Д)
удовлетворяет всем условиям задачи интегрирования.
Теорема о среднем. Если т и М—нижняя и верхняя
грани <f(P) в области Д, то
/(Д) = цУ(Д),
где р заключено между т и М.
17 &
Действительно, вычислим приближенное значение /(А) с
Помощью пр интервалов 1р согласно сказанному выше; мы придем
к сумме 2 ? (^* *1) V (А)> заключенной между т 2 V (8,-) и М2 И(3,)-
величинами, стремящимися к mV" (А) и AfV(A).
Так как <р — непрерывная функция от Р, то ц будет одним из
значений, принимаемых <р в А, откуда мы получаем другую
форму теоремы о среднем.
Теорема о конечном приращении!
где я — есть подходящим образом выбранная точка области А*.
106. Из этой теоремы вытекает, что если В — верхняя грань
<f в конечной области рассматриваемого пространства и если
для этой области функция V(A), обладающая производными
ограниченными числами, такова, что
V(A)</C-aA(A),
то
17(A) I <BK-ak (А).
Таким образом, функция /(А) имеет ограниченные производ-
ные числа.
Если квадрируемая ^-мерная область А разделена на две
области А1, А2, также квадрируемые, то пр интервалов 1р, отно-
сящихся к А, делятся на п^, Пр интервалов, относящихся к А*
и А2, и на остаточные интервалы /?, содержащие точки, внут-
ренние для А и граничные для А1 и А2, откуда, принимая 1р за
интервалы имеем:
2<р(р,.). m=24w,) и(5/)+24’<?(Р/) m)+wp/)
При неограниченно возрастающем р первые три суммы стре-
мятся к /(А), /(А1), /(А2); третья же не превосходит по моду-
лю числа- BK.ak(R), стремящегося к нулю. Значит, /(А) адди-
тивная функция2.
Из теоремы о конечных приращениях также следует:
т^-'р(Р)='р(^)-<р(Р);
а так как функция" (Р) непрерывна, то левая часть равенства
будет меньше любого е > 0, если только все измерения А
настолько малы, чтобы при переходе от Р к it, т. е. от одной
точки Д к другой, ср изменялось меньше чем на е.
1 Можно легко показать, что, за исключением того случая, когда т = М
|1 = ф(гс) отлично от т и от М.
* Это было очевидно для случая, когда Д, Др Д2 — суммы конечного числа
интервалов; выше мы уже этим пользовались,
176
Таким образом, <р(Р) является производной /(Д) по V и это
есть производная с равномерной сходимостью.
Итак, мы доказали, что проблема интегрирования имеет
решение, что это решение является единственным и может
быть выражено в виде предела сумм 2 Ф (Л) (&Л г&е Ь —
попарно не перекрывающиеся, квадрируемые области, все измере-
ния которых стремятся к нулю, объединение которых обра-
зует область, стремящуюся к данной квадрируемой области
й., а Р( — произвольно взятые точки области 8,-. Это строение
решения, называемого определенным интегралом от
функции <р(Р) по И(Д), взятым в области Д, обозначают
символом
\y(P)dV.
Аддитивная функция /(Д) квадрируемой области, получаемая,
если считать область Д переменной, называется неопределен-
ным интегралом, соответствующим этому определенному
интегралу.
107. Однако в действительности способ вычисления опреде-
ленного интеграла, вытекающий из его определения, употреб-
ляется редко; чаще всего интегрирование по V (8) заменяют
интегрированием по ак (8). Это легко сделать, так как из ра-
венства
/(«) _ /(8) V(8)
ak(S) — V&'ak(l)
вытекает следующее равенство, обобщающее теорему о произ-
водной сложной функции:
£(Р>=£(РР%(Р>=Г(Р>-£(Р)=МР)’
из которого следует:
J <р (Р) dV= j <р (Р) • (Р) dak = у ф (Р)dak.
Д Д Д
Интеграл по мере (A-мерному объему) ак называется крат-
ным интегралом порядка k.
Достаточно научиться вычислять эти А-кратные интегралы.
Вычисление осуществляется при помощи рекурентных формул,
по крайней мере когда дело касается простой области, случай,
которым мы и ограничимся, так как какова бы ни была квадри-
руемая область Е, область, названная нами бесконечно близ-
ка к ней и представляет собой объединение конечного числа
простых областей, а именно интервалов (п. 101).
177
Исследуем j <р (Р) dak в предположении, что А — простая об-
д
ласть, определенная неравенствами п. 96, и А (Л, В) — область,
полученная в результате замены первого определяющего А
неравенства следующим неравенством:
А < л1 < В.
Обозначим через 5(Л\) сечение А плоскостью л1=Л’1, т. е.
простую область (k — 1)-мерного пространства (л,, л„ .... хк),
определенную последними k — 1 двойными неравенствами, в
которых надо положить л1=Х1. При изменении Xt область
£(-¥,) меняется непрерывно.
Рассмотрим функцию /[А (Л, В)], которую мы получим, рас-
пространив интеграл на А (Л, В); ее можно рассматривать как
функцию F($) одномерного интервала $, определенного нера-
венствами Л С xt «С В. Эта функция, очевидно, аддитивна; вы-
числим ее приближенное значение с помощью интервалов 1р,
содержащих точки А (Л, В). Модуль этого приближенного значе-
ния меньше выражения вида
21 ? Pi) ММ < [АДлГВ)],
где М — верхняя грань <р (Р) и область Ap (Л, В) построена по
образцу области Ер п. 99. Проекцией любого из составляющих
Ьр (Л, В) интервалов /р на координатное подпространство
(л,, хг, ..., хк) является интервал 1Р этого подпространства, со-
держащий точки, принадлежащие проекции А. Поэтому, если
ЛА-1 есть (k—1)-мерный объем этой последней проекции, то,
так как 1р, имеющие одну и ту же проекцию 1Р, образуют ин-
тервал Л, первое измерение которого не превосходит
В — А jqp , найденный верхний предел сколь угодно мало пре-
восходит выражение
Л1.Лл_г(В-Л).
I
А так как В — А есть «одномерный объем» (длина) интервала S,
то разностное отношение функции F($) по модулю меньше вы-
ражения М-Ак_1; следовательно, F(£) есть функция с ограни-
ченными производными числами.
108. Рассмотрим подробнее процесс вычисления производ-
ной функции в точке xt — A.
Для этого из интервалов Г с достаточно большим номером
p-}-q построим две области 5(Л) и 5(Л), из которых первая
содержится в точном смысле в S(A), содержащемся в свою
очередь в том же смысле во второй области (п. 101). Тогда
при В, достаточно близком к A, S(XJ содержится в S(A) и
178
содержит S(A) при всяком заключенном между А и В.
Вычислим приближенное значение f (£) с йомощью интервалов
Ip+q+n эти интервалы будут двух видов: для одних их проек-
ция l'p+я+г на подпространство (xt, х,, . . ., xk) принадлежит
S (Л); для других она принадлежит разности 3>(Л)—£ (Л). Проек-
ции вторых имеют (k — 1)-мерный объем ak_lt не превосходя-
щий аА_,[5(Л)—<$(Л)], т. е. сколь угодно малой величины е,
и после вычислений, аналогичных предшествующим, дают
в разностном отношении д член, по модулю не превышающий
Же, т. е. сколь угодно малый.
Что дают интервалы первого вида? В каждом из Ip+q+r,
имеющих одинаковую проекцию 4+?+г, выберем по точке; все
эти точки различны и имеют одну и ту же проекцию Р’ на
подпространство л, = Л; тогда эти Ip+q+r дадут член разностного
отношения -а— *, имеющим вид
D — А
Но так как, сколь скоро В достаточно близко к A, <f(Pi}-) бу-
дет отличаться от <р (Р') меньше чем на , и при достаточно боль-
шом г интервалы 5^, т. е. Ip+q+r с теми же проекциями ,
образуют интервал, первое измерение которого сколь угодно
мало отличается от (В — Л), то это выражение будет очень
мало отличаться от <р(Р')ал-х (7>+?+г)-
Таким образом, разностное отношение будет с любой же-
лаемой точностью приближаться выражением
2<?(^-х $)•
Производная будет существовать, если при заданных усло-
виях это отношение имеет предел. Предел же этот известен,
это есть интеграл
s (Л)
следовательно, Р($) имеет производную
У ^Р)^.
S(A)
К тому же это разностное отношение стремится к производ-
ной равномерно и, значит,
Л*)=$[ $ <?(Р)^-х]^х-
I 3(A)
179
Вычисление А-кратного интеграла сводится, таким образом,
к вычислению простого интеграла, подинтегральная функция
которого представляет собой (k — 1)-кратный интеграл.
Простой интеграл обозначается еще так:
в
У X (Р) dax = (х,) dxx,
Е а
где это напоминает, что мера (или одномерный объем)
интервала А^х^В есть приращение переменной хА и что
значение х, определяет Р.
Итак, полученную формулу, в частности при A = al9 B = bl9
можно переписать так:
лд)=И S
«1 $(*1)
Отсюда по индукции получаем
bl b2 (*j) Ьк (*!, х2, . .Xfc_i)
/(Д)=И $[•••( S (р(р)^) • •
<h а2 (Xi) ак (Xi, х2, . . Xk_i)
Группируя, с одной стороны, п первых интегралов, а с другой —
k — п последних, мы получаем формулу, которую можно было
бы доказать и непосредственно:
/(д)= 5 [ $
^1, 2, • • (*!» Л'2» • • » Хп)
где Р, 2, • « есть проекция Д на координатное подпростран-
ство (%р х2, . . ., х„); S(Xp х2, . . ., хп) есть сечение Д под-
пространством, параллельным (xl9 х2, . . ., хп) и проходящим
через точку Р, т. е. Plt2i ...,п определяют п первых двойных
неравенств, задающих область Д, и S(xp х2, . . ., х„) опреде-
ляют k — п последних неравенств, где х19 х2......хп — фикси-
рованы.
Эти формулы позволяют сводить значения кратных интегра-
лов к интегралам меньшей кратности и вычислять их реку-
рентно. Если, в частности, положить в этих формулах ср(Р)=1,
то получим соотношения, связывающие A-мерный объем с объе-
мами областей низшего числа измерений; отсюда же идут и
обычные методы вычисления площадей и (обыкновенных) объе-
мов.
109. Итак, нам остается лишь научиться вычислять простые
интегралы. Пусть имеем выражение
F(£) = J <p(x)dx,
А ^х В
180
которое есть также функция двух переменных Ф(Д, В). Из
того, что функция интервала F аддитивна, следует, что при
Д<В<С
Ф(Д, В) + Ф(В, С) = Ф(Д, С).
Следовательно, для 0<Д<В
В($) = Ф(0, В)—Ф(0, А).
Для того чтобы эта формула была применима также и при
Д<В<0 или Д<0<В, достаточно положить Ф (Л-, Y) =
= — Ф(У, Х)‘, вполне законное допущение, так как с самого
начала Ф была определена в предположении, что значение пер-
вого переменного меньше значения второго. Мы будем иметь
в
^f(x)dx = $(Q, В) —Ф(0,Д),
А
каковы бы ни были знаки А и В, лишь бы А было меньше, чем В.
Наконец, мы избавимся и от этого последнего ограничения, по-
лагая по определению
в А
У(р(-л) dx-\- Jcp (x)dx = 0.
А В
Таким образом, В($) зависит лишь от функции одного пере-
менного Ф(0, л) = Ч;(л), даже если определять, как мы только
что сделали, функцию В(£) и для отрицательных интервалов
[А>В].
Выясним, какому свойству Ч; соответствует дифференцируе-
мость F. Для А<^В имеем согласно нашей теореме о конечных
приращениях:
^ = <р(л) при Д<Л<В,
и по предыдущему:
F(£) _Ф(В)-Ф(Л).
ах (5) В — А ’
следовательно,
и, значит, функция <р(л) есть производная функция Ч;(л), при-
чем можно даже заметить, что разностное отношение для Ф
стремится к производной (р(х) равномерно1.
1 Я предполагаю, следовательно, знакомство с понятиями, производной и
первообразной (неопределенного интеграла) функции одного переменного,
понятиями, входящими в программы средней школы. [В настоящее время пред-
полагается включить понятие производной (но пока еще не понятие интеграла)
также и в программу советской школы. — Прим. ред.\
181
Таким образом, всякая непрерывная функция от одного’
переменного ср (л) имеет первообразные функции, определенные
в силу классической теоремы с точностью до постоянной. Сле-
довательно, если известна одна из них Ф0(х), то можно утвер-
ждать
Ф (0, х) = Фо (х) + const = То (х) - Фо (0),
откуда
в
5<р(л)^ = Ф0(5)-Ф0(Л).
А
Таким образом, вычисление кратных интегралов сведено к
отысканию первообразных функций для функций одного пере-
менного.
С другой стороны, важно заметить, что в одномерном слу-
чае функция области, т. е. функция одномерного интер-
вала, будет согласно предшествующему определена, если
известно, что она аддитивна, и если известна ее непрерывная
производная, даже если заранее неизвестно, что искомая
функция имеет ограниченные производные числа, а ее производ-
ная— производная с равномерной сходимостью. Эта функция
есть неопределенный интеграл производной. Это замечание,
незначительное само по себе, необходимо для придания стро-
гости принятому здесь изложению.
110. Постараемся вывести так называемую формулу
замены переменных интегрального исчисления, предпола-
гая, естественно, известной теорию неявных функций и все,
что касается замены переменных в дифференциальном исчисле-
нии.
Рассматриваемая замена переменных переводит точку (xz) и
область Sx пространства xt в точку и{ и область простран-
ства и{. Если бы нам удалось установить, что всякой квадри-
руемой A-мерной области соответствует квадрируемая
область S„ и обратно, а также, что отношения -ЦН и -
и F ak (s«) ч (Ьх)
остаются меньше некоторого числа М, то аддитивная функция
/(5Х), обладающая ограниченными производными числами, могла
бы быть рассматриваема как аддитивная функция от 8И, обла-
дающая ограниченными производными числами, поскольку
f(h) /(М
«НМ «НМ «ИМ*
Если /(8Х) = § (Р) d (ML то первое отношение правой
8
части выписанного равенства равномерно стремится к
[/ (Ml /р\__ (р\.
182
следовательно, если бы удалось показать, что второе отноше-
ние равномерно стремится к пределу
^Я*Й(Р)==Х(Р),
7 v 7
то стоящее в левой части отношение равномерно стремилось
бы к пределу и мы имели бы:
/(3) = ^(P)-Z(P)d[aAO
8ц
Эта формула решает проблему замены переменных; она приме-
няется также при изменении функции, по которой интегрируют:
/(А) = j? (Р) dV= (Р) • (Р) rfK;
д д
в этом виде мы ее уже встречали (п. 107).
Так же как и формула замены переменных, она предполагает
выполненными все сделанные нами предположения. Рассмотрим
прежде всего случай k = 1. Формула замены переменных имеет
в таком случае вид х — А(и), причем Д'(и) сохраняет постоян-
ный знак. Интервалу соответствует интервал, и так в качестве
областей 8Х мы рассматриваем лишь интервалы, то никакого
сомнения в квадрируемости одномерных областей й0 не возни-
кает.
Если есть (л,, хг), а 8а есть (и', и"), то имеем:
г [«ft («Д1 _ IX. - хг I _ I А(и’) — А(ин) I.
8[«ft(«e)l \и'-и"\ | и'-и" |’
следовательно, разностное отношение равномерно ограничено,
равно как и обратное ему; к тому же мы замечаем, что оно
стремится равномерно к пределу | А' (и) |. Итак, мы имеем:
(л)</л= [Д («)]-| А' («)| du.
д ди
Заметим, что знак модуля нужен лишь для отрицательных
Д'(и), т. е. если xl = A(u"), xi = A(u'); в этом случае преоб-
разование сопоставляет положительному направлению оси и,
отрицательное направление оси х, или, как говорят, и з м е-
няеториентацию.
Пусть теперь &>1. Предположим, что меняется лишь пе-
ременное xk по формуле
хй = Д[л1, л2, .
о дА
в которой имеет постоянный
^k = B[xi, хг, .
•. ^-р ^].
знак, и пусть
• > -*ft-p ^ft]
183
есть обратная функция. Области ДЛ, определенной неравенст-
вами п. 96, будет соответствовать область Ди, определенная с
помощью k — 1 первых неравенств и заключенным между
В[х„ хг . . xk_lf ak(Xl, xt, . . хл_,)]
И
x2i . . xk_v Ьк (хр х2, . .
Второе из этих значений В будет больше первого только в том
случае, если A'Uk положительно. Обозначим через аЛ меньшую,
а через — большую из этих величин; в таком случае, обо-
значая через D общую проекцию Дх и Дя на координатное
подпространство (хр л2, . . xA_x) и через d— части D,
получим:
Ьк X?, • . ., Хк - J
^(P)d [ak (J J] = $ [ $ <₽ (P) dx J d \ak_, (d)],
Д D ak(xit x2, ..xZc_i)
что в силу предшествующей формулы будет равно
0к(*1. *2.*Л-1)
j -f (?) I I du.]d [»..,№]=
D «k(Xi, xt.Xfc_i)
Это соотношение установлено лишь для простой области
при данном порядке переменных хр х2, . . . xk; однако так
как всякая квадрируемая область Дх отличается сколь угодно
мало от суммы интервалов, следовательно, и от суммы простых
областей, то эта формула является общей. Заметим еще, что
знак модуля необходим лишь в том случае, когда между поло-
жительными направлениями осей и и х нет соответствия; при
А=1, 2 или 3 в таком случае говорят, что имеет место пере-
мена ориентации; мы будем употреблять то же самое выраже-
ние и в общем случае.
Пусть теперь имеем замену переменных:
л.=Д.(й1, «2, . . ., ak), /=(1, 2, . . k).
Пусть будут выполнены классические условия, напоминать
которые я не буду. Классическое доказательство теоремы о
неявных функциях показывает, что ограниченная область, в ко-
торой рассматривается преобразование, может быть разбита на
конечное число таких частей, что в каждой из них замена пере-
менных может быть осуществлена с помощью k замен одной
переменной \
1 Для доказательства теоремы о неявных функциях мы показываем, что,
переставляя по мере необходимости номера в обоих рядах переменных, мы
можем добиться того, чтобы для любой точки были отличны от нуля все
184
Разбивая по мере надобности первоначальную область на
части, мы можем предположить, что имеем дело с областью,
целиком расположенной в одной и з этих частей, пусть ~й такой,
в которой можно последовательно переходить сначала от л, к
ип затем от xt к иг, от хк к iiA. Тогда наши фор-
мулы принимают вид
Xj==B/(ui, Ut, ..., И/, Xi+1, >•, Xh)
или
и,= С’1.(«1, иг, ..., и,-.,, х{ .... xk).
k последовательных множителей, вводимых этими k заменами
переменных в преобразуемый интеграл, являются частными
производными
рВ/1 1
| дщ I I дС[
I &xi
Так как С{ получаются путем разрешения k — i +1 последних
уравнений = относительно ui9 ui+i, ..., uk9 то
Р(Д-+1, ..., лЛ)
dXi — D(Ab ..., Ak) ’
itk)
откуда получаем искомую формулу
j t и fe («л=pf (p) • | (P) | <i (’.и.
&x
где Дх и Дй являются двумя областями, отвечающими друг
Другу в силу данных- формул.
111. Задержимся несколько на том, чтобы лучше объяснить
последнюю фразу, так как на самом деле в предусматриваемой
задаче мы не имеем отвечающих друг другу областей. Итак,
постараемся хорошо разобраться в начале п. ПО.
Мы исходили из интеграла, распространенного по области,
принадлежащей кривой, поверхности или, более обще, так на-
зываемому многообразию
Л’7 = Х/(х1, л2, ... , xk),
миноры, полученные вычеркиванием первых строк и столбцов определителя
В таком случае для каждой точки найдется окрестность, в которой
дело7 обстоит таким же образом. Это и будут те части большой области,
о которых говорится в тексте.
Конечность числа этих областей, вытекающая из так называемой теоремы
Бореля-Лебега, может быть легко доказана более элементарным путем, если
предположить, например, существование вторых производных функций Д-.
185
где j меняется от 1 до т ят>к. Пусть X/ суть, например,
прямоугольные координаты; эти координаты называют прямоли-
нейными, чтобы отличить от параметров л,-, называемых также
криволинейными координатами на рассматриваемом многообразии.
Само это многообразие называется ^-мерным многообразием,
погруженным в тп-мерное пространство.
Рассмотрим точку Р многообразия; по предположению, она
задается указанием (единственной!) системы значений Если,
следовательно, интерпретировать эти как прямолинейные или,
точнее, как прямоугольные координаты так называемого &-мер-
ного координатного пространства xt, то мы получим точку Рх, яв-
ляющуюся образом Р. Таким образом, некоторой области D
многообразия соответствует область Dx пространства л;.
Произведем замену криволинейных координат по формулам
«......»*)•
Тогда и Xj можно будет выразить как функции от wz, от-
куда мы получим новый образ точки Р — точку Ри простран-
ства Переход точки Рх к Ри совершается не непосредственно,
а через точку Р: от Рх к Р и от Р к Ри. Между Рх и Ри име-
ется соответствие, и, следовательно, данные формулы являются
также формулами отображения пространства jcz в простран-
ство ttz, что и позволяет указать соответствующие друг другу
области.
Все это весьма тривиально и вполне аналогично тому, что
мы имели в случае, когда функции Д- были линейными: фор-
мулы преобразования координат являются также форму-
лами точечного преобразования. В отмеченном выше частном
случае, когда речь идет о преобразовании прямоугольных коор-
динат в прямоугольные, соответствующее точечное преобразо-
вание (если только его определитель положителен) называется
движением. Если же определитель отрицателен, то говорят, что
мы имеем дело с преобразованием симметрии, так как
достаточно изменить знак у одной единственной координаты,
чтобы получить движение, и, следовательно, при k^3 это вы-
ражение полностью согласуется с обычным смыслом слова «сим-
метрия».
Среди таких преобразований прямолинейных координат имеют-
ся два очень простых: перемена знака у одной координаты и
перестановка порядка двух координат. Для пространств 1, 2, 3
измерений мы привыкли в этом случае говорить о перемене
ориентации системы координат; оставим это выражение и
для общего случая.
Итак, выбор системы криволинейных координат многообра-
зия задает ориентацию этого многообразия. При замене криво-
линейных координат мы меняем или не меняем ориентацию
₽ зависимости от того, будет ли функциональный определитель
186
от старых координат по отношению к новым отрицательным или
положительным.
Заметив это, мы можем утверждать, что функция, определен-
ная для областей D, может быть также отнесена к областям
и Da; так в предшествующем пункте всякой области S были
последовательно отнесены функции ak(bx] и аА(5я). Интеграл
\<?(P)dV не меняет вида при замене криволинейных координат;
д
но если хотят напомнить, что будут употреблять то координаты
то координаты uit то можно отметить это следующим равен-
ством:
Дх Ди
Это равенство показывает, что формулы, преобразовывающие
выкладки, относящиеся к xif в выкладки над ttz, т. е. формулы
замены переменных, будут также формулами преобразования
области пространства .xz в область Дя пространства az. В каж-
дом из этих пространств выбирается ориентация, принимаемая
за положительную; если специально не оговорено противное, то
положительная ориентация задается самим порядком номеров
координат.
112. Теперь мы можем вывести из предшествующего:
S t tP) л к («л=Ь (Р) ''.«!'(Р> d
Д® Дц
если только формулы, рассматриваемые как формулы замены
криволинейных координат, сохраняют ориентацию или, рассмат-
риваемые как формулы точечного преобразования, устанавли-
вают соответствие между положительными ориентациями про-
странств и nz. В противном случае имеем:
$ (p(P)d [ММ] = Ь(Р)-(-
Обе эти формулы можно объединить в одну, если различать
области не только по множеству составляющих их точек, но
также по их ориентации. Так мы отнесем одной и той же не-
ориентированной области Д две ориентированные области Д,
"* 4-
Д в зависимости от того, положительную или отрицательную
—> —
ориентацию мы ей придаем. Тогда, будет ли вопрос идти о за-
мене криволинейных координат или о точечном преобразовании,
мы всегда будем иметь:
$ 1 (Р) d I а„ (8JJ = J г (Р) ™ (Р) d [а, («.)],
187
где Дх, Ди являются двумя соответствующими друг другу ори-
ентированными областями, если только положить
$ (Р) dV — (Р) dV
д д
и
J <Р (Р) (P)dV=Q.
д д
•*+ —►-
Это условие есть то, которое фигурировало в п. 109 для одно-
мерного случая; оно Почти необходимо влечет за собой другие.
Оба интеграла предшествующего равенства являются пределами
сумм:
где есть области, на которые разбита «большая» область Д;
только в первом случае дело касается Д, а во втором — Д.
Естественно поэтому писать обе суммы в одном и том же виде:
причем ориентация согласована с ориентацией Д. Это равно-
сильно допущению:
Эти равенства позволяют исходя из аддитивной функции К(8),
определенной для неориентированных областей, построить
функцию, определенную для ориентированных областей.
Одновременно мы получаем определение интеграла от <р(Р)
по отрицательной функции области — функции— V. Если
в п. 103 и следующих мы предполагали У>0, то это было
сделано исключительно для того, чтобы существовало разност-
ное отношение но в этом уверенным .можно быть и пред-
полагая V всегда отрицательным. В развитой выше теории при-
шлось бы изменить лишь несколько слов, смысл некоторых
неравенств и поставить несколько знаков абсолютных величин.
Бесполезно останавливаться на этом подробно; достаточно усло-
виться, что*по определению всегда
$ <Р (Р) d V + $ ¥ (Р) d (— V) = 0,
д
д
независимо от того, является ли Д ориентированной или неори-
ентированной областью.
188
Если бы У (Л) могло принимать оба знака, то, напротив того,
нам понадобились бы серьезные изменения, так как для неко-
торых Д разностное отношение по V не существовало бы. Но
предположим, что рассматриваемая область может быть разбита
на конечное число таких частей, что для всех областей, при-
надлежащих одной из них, V имеет постоянный знак. Тогда,
разбивая каждую область Д на области Д', Д", .. . , располо-
женные в этих частях пространства, мы положим
$=S+S+• ’ • •
Д Д' д"
Интеграл, определенный таким образом, будет обладать всеми
указанными выше свойствами; однако теорема о конечных при-
ращениях и теорема о среднем значении могут быть применены
лишь в пределах частей пространства, о которых здесь идет
речь, и в граничных точках этих частей пространства будет не-
применима формула дифференцирования неопределенного интег-
рала. Но, как бы там ни было, нам удается определить интег-
рал от не обязательно положительной аддитивной функции
области, распространенной по ориентированной области.
113. Пусть формулы
Xi = F(uv и2, ... , uk), где Z= 1, 2, ... , п,
определяют ^-мерное многообразие //-мерного пространства. Так
как мы требуем, чтобы каждой точке этого многообразия отве-
чала единственная система координат ui9 и хотим, чтобы в этом
можно было убедиться с помощью теоремы о неявных функциях,
помимо существования и непрерывности частных производных
~9 будем предполагать, что все миноры А-го порядка, полу-
ченные из матрицы, составленной из этих производных, не обра-
щаются в нуль одновременно. Рассматриваемая ограниченная
область в нашем случае будет суммой конечного числа обла-
стей, для каждой из которых k из п соответствующим образом
подобранных прямолинейных координат xt смогут служить кри-
волинейными координатами на многообразии. Если это суть пере-
менные х29 ... 9 xk, то мы имеем тогда при i^k\
«,= Л, (л„ х..... xk)
и при Р>Л:
лр=Ор(лр х......xk).
Эти формулы устанавливают соответствие между областями Д
многообразия, принадлежащими области R многообразия, где они
имеют место, т. е. областями Дя пространства м,- и областями Дх
координатного подпространства (xit хг, ... , хА). Также и между
ориентациями этих областей имеется определенное соответствие;
189
если, как было предположено, положительная ориентация Д^
соответствует положительной ориентации Ди, то Дх будет иметь
положительную или отрицательную ориентацию в зависимости
от того, будет ли положительным или отрицательным опреде-
литель
.......**).
Z) (zZj, ... ,
Перейдем теперь от области R к области если ориента-
ция многообразия выбрана раз навсегда, то ориентации Д и Дв
не изменятся, но ориентация Дх изменится, если функциональ-
ный определитель имеет в R и Z?, разные знаки. Если, следо-
вательно, рассмотренный функциональный определитель
Щх1У xg,... , xk)
В • • •, Uk)
меняет знак лишь в исключительных точках, не образующих ни-
какой области многообразия, которые можно поэтому исклю-
чить при вычислении интеграла у (Р) d \ak (8а)] при любой обла-
D
сти D \ то мы имеем:
Ь (р) d к (jB)]=Ь (Р) (Р) d ь
где символ D указывает, что в правой части равенств нужно
отнести каждой области S многообразия, расположенной в одной
из областей /?, Rl9 ... , ^-мерный объем ее проекции 8Х, взятый
со знаком или — в соответствии с ориентацией 8Х, рассмат-
риваемой как проекция части 8 ориентированной области D. .
—>
Полученная формула может быть записана еще так:
... , лА)</[аА(8А)]= $ ф(Р)в£..'.'.’2)(Р)^аЖ];
она раскрывает смысл левой части равенства, при k = 1 назы-
ваемой криволинейным интегралом, а при k = 2 — интегралом,
распространенным по поверхности.
Если бы случилось, что многообразие, содержащее Z), яв-
ляется исключительным и включает области, в каждой точке
которых определитель правой части равенства равен нулю, то
можно было бы исключить эти части, как не влияющие на ве-
личину интеграла.
1 Исключение составляют лишь многообразия весьма специального вида;
в случае пространства трех измерений таковыми являются кривые, содержащие
дуги, лежащие в плоскостях = const, и поверхности, содержащие цилиндри-
ческие куски с образующими хл = const, %/ = const.
190
Случай, когда использованные переменные х{ не являются k
первыми координатами, немедленно сводится к предшествую-
щему, так как перемена порядка двух координат меняет лишь
ориентацию и, следовательно, лишь знаки Л-мерных объемов ак.
114. Важным приложением этого определения является фор-
мула Грина и ее обобщения.
Вернемся к последней формуле п. 108 для случая простой
области, определенной неравенствами п. 96. Эту формулу можно
записать так
bfc (*i. ....
$(p(P)dAft=$ [ $ л2, ... xk)dx^\dAk_lt
Д Л, Л-1 а/с(*и *Я, • . . ,
где символы Ak и Ak_x означают ^-мерный и£— 1-мерный объ-
емы.
Если в правой части последнего равенства
<р(лр х2, ... , лА) = ^Р(х1, хк, ... ,хк),
то можно осуществить простое интегрирование:
J ?\*г..........*к-» Ьк{хг....•**_,)] —
....k
— $ *........... ak(xv xt, ... , xk)}dAk_l.
Pi, >,
Предположим к тому же, что два ограничивающих Л много-
образия
хк = ак(х1, х2......**_,)
И
xk = bk(xlt х.........................
являются двумя частями и X k — 1-мерного многообра-
зия
*1=$,(«,. .... «*_,),
обладающего всеми перечисленными выше свойствами регуляр-
ности. Функциональный определитель
D(S„ ... , S».,)
£>(«,, иг, ... , !«*_,)
сохраняет постоянный знак в н в 2ртаккак в нем ир tti>—
.... ий_, можно заменить на л,, xt, ..., xk_t, и, наоборот,
этот определитель меняет знак во всякой области, содержащей
191
граничную точку, общую для 2, и 2г> поскольку в этом случае
замена невозможна’.
Этот же функциональный определитель устанавливает ориен-
тацию проекции области на координатное пространство
х,, х2, .... xk_{, если ориентация многообразия задана; если,
следовательно, выбрать такую ориентацию 2> чтобы получить
для проекции 2» положительную ориентацию, то значение ин-
теграла перепишется еще так:
.....
S--------------------------*
Полученный результат, дающий формулу Грина, дополняют
обычным путем, рассматривая другие области, а также случаи,
когда остающиеся переменные не являются первыми k — 1 коор-
динатами хр х2, .... xk_1.
115. Другим важным приложением замены переменных яв-
ляется обобщение понятий длины кривой и площади поверхности
(гл. V). Мы определим это обобщенное понятие, принимая за
определение некоторый интеграл, подобно тому как это часто
делается для длины и площади; я упоминал об этом, например,
в пп. 62 и 64. После беглого обзора этого пути мы укажем также
и другой метод изложения, впрочем, хорошо известный, кото-
рый освобождает нас от необходимости предварительного изу-
чения 6-мерных объемов, составляющего содержание пп. 97—100,
и позволяет непосредственно приступить к изучению процесса
интегрирования.
Во всем предшествующем предварительное изучение объемов
с логической точки зрения было необходимо лишь для обосно-
вания понятия квадрируемой области. Но определение такой
области опирается лишь на величину 6-мерного объема интер-
вала, которую можно принять без объяснений; поэтому его можно
дать и без этого изучения. Отсюда мы и получим определение
интеграла.
Таким образом, длина отрезка а^х^Ь выразится инте-
ъ
гралом Jdx; площадью квадрируемой области Д плоскости
а
х19 х2 назовем выражение dxYdx2 и вообще ^-мерным объе-
д
1 Это утверждение требует пояснения и опирается на формулировку тео-
ремы о неявных функциях, более общую, чем классическая, предполагающая
функциональные определители конечными и отличными от нуля. Если
ограничиться обыкновенным пространством или плоскостью, то это уточнение
легко осуществить, и, таким образом, мы получим нужные предпосылки для
рассмотрения общего случая.
192
мом квадрируемой области пространства xv xt, ...,х^
назовем выражение
^dxvdxt ... dxk.
Формула п. 110 сейчас же показывает, что эта площадь не зависит
от выбора прямоугольных координат, так как при переходе от
одной системы таких координат к другой подлежащий рассмо-
трению функциональный определитель будет равен ± 1. К тому
же для интервала мы можем непосредственно найти произведе-
ние его измерений; следовательно, определенный таким образом
A-мерный объем есть определенная для квадрируемых А-мерных
областей аддитивная положительная функция, сводящаяся в слу-
чае интервала к произведению его измерений. Это устанавливает
тождественность этого понятия с определением в п.п. 97—100,
если последнее уже было рассмотрено; в противном же случае
позволяет быстро восстановить факты, указанные в этих пунктах.
Установив это, рассмотрим ^-мерное многообразие ^-мерного
пространства, определенное в прямоугольных координатах
I ..., ик), £=1,2...п.
Мы скажем, что многообразие линейно, если, изменив, когда
это потребуется, прямоугольные координаты ^-мерного простран-
ства, мы сможем определить это многообразие формулами
П I xl=G(ul,a1....ик), 2=1,2, ...,«,
I Xj = 0, j—k-\-1, ..., n.
Квадрируемая область Ди пространства и отвечает области Д
линейного многообразия, которую мы называем A-мерной квадри-
руемой областью; мы знаем (п. ПО), что семейство этих обла-
стей не зависит от выбора переменных и, если употреблять только
рассмотренные выше замены переменных. Области Д соответ-
ствует в пространстве х1У х2, ..., хк квадрируемая область Дх.
Если бы мы пришли к каноническим уравнениям вида II с по-
мощью других прямоугольных координат х' «-мерного простран-
ства, то условия ортогональности п. 95 показали бы, что пере-
ход от х„ х2...хк к х'1У xi, ..., х’к есть замена прямоуголь-
ных координат ^-мерного пространства, и, следовательно, так как
^-мерные объемы меняются при таких заменах, мы можем гово-
рить о A-мерном объеме квадрируемой области Д k-мерного ли-
нейного многообразия; это будет ^-мерный объем Дх. Его значе-
ние выразится формулой
\dx2dx2... dxk=^ |\du2du2... duk,
193
или, иначе:
Дм
где сумма S распространена на все сочетания k индексов а,
выбранных из последовательности 1,2, Это вполне оче-
видно, так как лишь один из этих определителей отличен от
.нуля.
Если же
» « * , #к)_ о
D(«i, —
где символ S означает суммирование по сочетаниям индексов со
штрихами.
Условия ортогональности можно вывести классическим вычис-
лением:
2 • • • яУ
а а а а
• • • • • =1, 5 • • • • ;
< • • • а> < • • • <
где первая сумма распространена на все сочетания a',
а вторая сумма — на все пары различных сочетаний
а',..., Г; а’.....Г;
откуда
at (Д) - У /S { gg^-g А,,.
Au
Установив эту формулу для линейных многообразий, единст-
венных, для которых пока определено аА(Д), принимаем ее за
определение (Д) для всякой квадрируемой области Д
многообразия k измерений. Предшествующее вычисление показы-
вает, что этот объем не зависит от выбора прямоугольных коор-
динат; легко заметить, обобщая соображения п. 83, что этот
^-мерный объем может быть определен условиями а), р), у), е).
Можно было бы к тому же восстановить всю главу V; но я
на этом не останавливаюсь; моей главной целью было указание
метода определения ak для областей k-мерного пространства,
отличного от метода п.п. 97—100.
194
Заканчивая эту главу, я считаю долгом заметить, что с точки
зрения педагогической совершенно недопустимо начинать со
студентами сразу с общего случая, загромождая рассуждения
множеством индексов. Если сам я следовал по этому пути, то
только для того, чтобы сократить изложение и тем не менее
показать, что слишком часто забывают о некоторых необходи-
мых предосторожностях, как, например, не уточняют семейство
рассматриваемых областей или переносят на пространство п из-
мерений как очевидные и бесспорные все факты, к которым
привыкли в случае двух и трех измерений.
ГЛАВА VIII
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предшествующие главы не нуждаются в подведении научных
или педагогических итогов. Они ни в коем случае не стремятся
ввести преподавание в слишком строгие рамки, объявляя одни
способы изложения лучшими, чем остальные; наоборот, они ста-
раются подчеркнуть сильные и слабые стороны каждой манеры
преподнесения математических фактов. Если мы сочли полезным
подробно развить менее известные приемы изложения, то это
никоим образом не означает, что они должны быть предпочтены
остальным. Подчеркивая некоторые недостатки, ошибки и про-
белы классических методов, я никак не претендовал на то, чтобы
окончательно их осудить; напротив того, я хотел способствовать
улучшению этих методов. Я считаю, что этого можно достигнуть
лишь путем критического сравнения различных способов изло-
жения; я попытался провести такое исследование в отношении
вопроса об измерении величин.
И если такие исследования полезны для прогресса педагогики
(а я думаю, что они необходимы), если они помогают разобраться
в том, что нужно говорить, и в том, зачем это говорят, то они
являются превосходными педагогическими упражнениями, зна-
комства с которыми нужно требовать от будущих учителей.
Я уже говорил об этом в начале книги; если я возвращаюсь
к этому здесь, то потому, что сейчас я буду иметь возможность
лучше объяснить, в чем разница между тем, что я бы считал
необходимым требовать от кандидатов на звание учителя, и тем,
чего от них требуют в настоящее время. При этом предъявляе-
мые мной требования не претендуют на то, чтобы учителя при-
обретали лучшие технические навыки в области математики и
более глубокие философские познания.
Обычно, как только речь заходит об основаниях математики,
принято становиться на философскую точку зрения; я решительно
отказался от такой позиции, и некоторые усмотрели в этом пре-
небрежение к философии. Нет; мой дорогой учитель, Жюль Тан-
нер и, имел обыкновение говорить: «Будет разумнее, если мы
196
будем, хотя бы в целях предосторожности, уважать то, чего не
знаем». С другой стороны, каким бы невеждой я ни был, я не
забываю, что именно потому, что философы долго обдумывали
проблемы, столь сложные, что их даже невозможно сформули-
ровать, они в конце концов стали обособлять от них вопросы,
более простые: те, которыми занимается наука.
Мы должны уважать философию; однако из этого не следует,
что она может помочь нам лучше понять наши науки или двигать
их вперед. Это факт, что прогресс науки етал особенно значи-
телен тогда, когда науки осознали свою индивидуальность и от-
делились от философии.
Вполне естественно и благоразумно, что философы пытаются
использовать некоторые методы, оправдавшие себя в научной
области; они идут от легкого к трудному. Но я не могу допу-
стить, что математика, изучающая вопросы такие простые, что на
них можно получить точные и исчерпывающие ответы, нуждается
в помощи философии, которая должна довольствоваться лишь
неточными и ненадежными ответами. К тому же, в течение веков
философские проблемы рассматривались со всех сторон людьми,
некоторые из которых были гениальны; не будет ли нетерпимой
и в то же время наивной претензией со стороны математика,
если он вообразит себя уполномоченным дать свои философские
заключения на том лишь основании, что он обладает для размыш-
ления некоторым досугом. Заявляя откровенно о своей неком-
петентности, я, мне кажется, лишь иначе доказываю свое искрен-
нее уважение к философии.
На мой взгляд, математик, поскольку он математик, не должен
заботиться о философии; это мнение, впрочем, высказывалось
многими философами. Математики должны направлять свои раз-
мышления, так сказать^ внутрь математики, где они обладают
высоким уровнем понимания, вместо того, чтобы устанавливать
связь между математикой и философией. Конечно, вопросы, кото-
рыми должен заниматься математик, не имеют ни эстетического,
ни общечеловеческого интереса, какими обладают философские
проблемы; но если бы удалось воздвигнуть философию из науки
и для науки, то эта, выросшая на новой почве философия яви-
лась бы, быть может, самым существенным подспорьем для на-
стоящей философии.
Учитель математики в свою очередь должен уметь ограничи-
вать область своей деятельности конкретным материалом; его
полномочия относятся к научной культуре, в то время как его
коллеге-философу (и лишь ему) поручается культура философ-
ская.
Занимаясь, таким образом, лишь тем, что в известном роде
материально, осязаемо, мы по необходимости превращаем мате-
матику в одну из ветвей физики, ветвь, которая тем не менее
отличается от других тем, что в ней прибегают к наблюдениям
лишь в самом начале, чтобы затем класть в основу определения
197
и аксиомы. Когда математик предвидит более или менее четко
какую-нибудь теорему, он ищет логическое доказательство вместо
того, чтобы прибегать к опыту, как это делает физик; логическая
проверка заменяет для него проверку опытную. В общем он не
ищет новых открытий, он пытается осознать богатства, которыми
он бессознательно уже владеет и которые кроются в определе-
ниях и аксиомах. Отсюда первостепенное значение определений
и аксиом, которые, конечно, могут быть признаны логически
допустимыми лишь при условии своей совместности, но которые
привели бы к чисто формальной, лишенной смысла науке, если
бы они не имели отношения к действительности.
Не дело учителя математики, особенно преподавателя средней
школы, стараться формировать чистых логиков; он должен соз-
давать людей, способныхрассуждать, а для этого нужно зани-
маться не только логическими построениями, но также и преоб-
ретением предпосылок этих построений и приложением их
результатов к конкретному материалу. В своем изложении я
почти не имел случая говорить о последнем пункте, но он от
этого не стал менее значительным. Если пренебрегать указаниями
на экспериментальное происхождение отправных пунктов всех
математических теорий, то можно навязать ученикам геометри-
ческое мышление в самом худшем смысле этого слова и привить
им вкус к беспочвенным рассуждениям. Нужно внушить учени-
кам, что математические доказательства действенны лишь в пре-
делах самой математики, хотя логика и полезна при всех жизнен-
ных обстоятельствах. Математика была создана человеком для
его нужд, она и служит ему ценным подспорьем,—учитель мате-
матики должен остаться учителем дела. Он не должен пробуждать
философские сомнения, так как у него не будет ни времени, ни
возможности также и разрешить эти сомнения, как мог бы это
сделать его коллега-философ.
Я не верю, что от будущих учителей достаточно потребовать
приобретения чисто технических навыков и умения перелагать
содержание учебников; нужно от них потребовать продолжи-
тельных размышлений над тем, что им придется преподавать,
логической и педагогической критики, а также самостоятельного
(но, быть может, направляемого опытным руководителем) иссле-
дования каждой значительной главы математики, исследования,
аналогичного тому, которое было здесь проведено в отношении
темы об измерении величин.
Какую пользу извлекут преподаватели из таких исследований?
Ясно, что для того, чтобы обоснованно выбрать лучший порядок
изложения математических фактов, необходимо сравнить между
собой разные способы изложения, отыскать их сильные и слабые
стороны; при этом зачастую, если только в этом возникает по-
требность, создают новые методы изложения. Все это совершенно
очевидно; отметим здесь и менее заметные преимущества. Про-
никая глубже в суть доказательств, обнаруживают не только всю
198
силу логики, но также и ее требовательность и осознают важ-
ность предосторожностей в прикладной математике.
О каждой главе курса математики можно повторить то, что
я говорил по поводу арифметики (п. 3); эта глава применима
тогда, когда она применима. Наши абсолютные заключения на
практике приводят нас к относительным истинам. Это связано
с тем, что между нашими логическими предпосылками и той
действительностью, на изображение которой они претендуют,
всегда имеется некоторое расхождение. Например, касаясь ста-
рого вопроса об иррациональных числах, древние построили
с помощью дробей некий континуум, вполне достаточный для
всех человеческих экспериментов, с какой бы точностью они ни
производились, но совершенно недостаточный с точки зрения
чистой логики. Нам пришлось (п. 7 и 55) метафизически неогра-
ниченно продолжить последовательность операций измерения,
чтобы получить понятие, допускающее логический анализ. Для
того чтобы изучать конкретное или то, что нам таковым пред-
ставляется, нам пришлось расширить рамки экспериментально-
наблюдаемой действительности.
В случае понятия площади употребленный нами прием в неко-
тором смысле обратен упомянутому только что приему, относя-
щемуся к случаю длины. Чтобы подвести под понятие площади
логическое основание, мы ограничились областями частного вида,
которые мы назвали квадрируемыми. Совершенно очевидно, что,
занимаясь с будущими учителями, нужно на примерах доказать,
что существуют и неквадрируемые области, которые здесь рас-
сматривались лишь как логически возможные. Так мы придем
к такой области D9 для которой при любом малом е>0 можно
найти два многоугольника, отличающиеся друг от друга и от D
меньше чем на е, площади которых отличаются друг от друга
больше, чем на некоторое заданное положительное число *.
Физическое понятие площади как бы рушится, так как мы отказы-
ваемся логически его обосновать во всех случаях; чтобы можно
было говорить о площади Д нужно прибегнуть к новому рас-
ширению понятия числа, аналогично тому, как мы это делали
для того, чтобы можно было говорить о длине диагонали еди-
ничного квадрата, а это расширение может сначала показаться
неприемлемым и скандальным.
Все такие рассуждения напомнят нашим ученикам, будущим
учителям, что усилия математиков, по крайней мере сначала, были
направлены на окружающую нас действительность, и это побудит
их смелее говорить о связи математики с действительностью. Эти
рассуждения покажут также все те возможности, которые доста-
вляет логика для разумного изучения действительности, покажут
* См., например: Н. Н. Л у з и н, Теория функций действительного перемен-
ного, Учпедгиз, М., 1940, стр. 202 и след.
199>
и то, что и чистая логика при неразумном подходе к делу при-
ведет нас к неудачам.
Учитель физики не считает себя обязанным, из уважения
к опыту, скрывать участие нашего разума в физических изыска-
ниях. Но слишком много учителей математики, из уважения
к логике, считают себя обязанными изображать математику как
неизбежное развертывание голой дедукции. Если бы не имена ма-
тематиков, справедливо или нет присвоенные некоторым теоре-
мам, наши ученики могли бы и вовсе забыть, что математика
создана людьми. Никогда не говорят о выборе предпосылок,
не осмеливаются говорить, что такая-то теорема была получена
благодаря изобретательским способностям определенного ученого,
смешивают открытие теоремы с ее логическим изложением,
сделанным современным способом. Если послушать некоторых
учителей, то можно подумать, что Ньютон ничего не понимал
в вопросах интегрирования, что Эйлер не знал рядов, что
Лагранж не знал даже, что такое функция. Всюду ищут' естест-
венных доказательств (мне рассказывали об одном математике,
который потратил шесть месяцев напряженных усилий на то,
чтобы найти естественное доказательство теоремы «три высоты
треугольника пересекаются в одной точке»!) и верят, что эти
естественные доказательства научат искусству открывать.
Если бы метод переоткрытий был настоящим путем откры-
тий, то мы бы об этом узнали; мы были бы буквально затоп-
лены открытиями бесчисленных героев переоткрытий. Однако на
самом деле имеет место обратное: основанное лишь на переот-
крытиях преподавание неизбежно превращается в отсутствие
всяких открытий, так как для того, чтобы открыть, нужно со-
вершить необычное, неестественное сближение, а методпере-
открытий состоит в подведении учеников к неким каталогизи-
рованным рассуждениям, всегда одним и тем же, и к механи-
ческому, без всяких пропусков, их применению. Конечно, это
позволяет разрешать проблемы, так как предполагаются про-
блемы, разрешимые путем данных рассуждений; но эта тейло-
ризация* умственного труда, эта дрессировка совершенно от-
личны, даже противоположны той гибкости, которая позволяет
нашему уму открывать новые точки зрения.
Метод переоткрытий, впрочем, в некоторых случаях превос-
ходен; он сыграл главную роль в деле преобразования матема-
тического преподавания в средней школе, заменившего преж-
ние тусклые уроки, на которых ученики были заняты лишь
пассивным восприятием, современными живыми, на которых
ученики, играя активную роль, лучше чувствуют значение, важ-
ность, интерес и цель теорем. Очень полезно также употреб-
* Фр. Тейлор (1856—1915) — американский инженер, создатель
конвейерной системы труда, при которой от каждого рабочего требуется
механическое повторение определенных стандартных операций.
200
•лять при доказательствах рассуждения, привычные ученикам-,
т. е. применять доказательства, называемые естественными; по-
чувствовав возможность построения этих доказательств, ученики
начинают лучше понимать их и приобретают больше веры в свои
собственные силы. Но не нужно требовать от переоткрытий и
от естественных доказательств того, чего они не могут дать.
Это — прекрасные педагогические средства, ничего более; но
эуи средства становятся злосчастными, когда ими заслоняют
роль нашего ума и внушают, что быть математиком—-значит,
буквально применять те или иные готовые правила.
Вот те вопросы, над которыми приходится задумываться
в критических исследованиях, подобных данному. Впрочем для
меня неважно, придут ли наши ученики, будущие учителя,
к выводам, сформулированным мной или кем-либо другим, но
я хотел бы, чтобы в таких основных вопросах они имели свое
собственное продуманное мнение.
Я только что упомянул о критических исследованиях; но на
самом деле, сделали ли мы что-нибудь, что заслуживает быть
названным критическим, если, говоря, например, о целом числе,
мы ограничивались лишь описанием операции счета? Не лучше
ли было провести исследование понятия предметов, тел, подле-
жащих перечислению? Мы указали лишь на произвол в выборе
тех объектов, которые служат перечисляемыми телами, и это
привело нас (п. 10) к умножению; между тем об этом можно
было бы сказать гораздо больше. Понятие тела ясно лишь для
того, кто не начинает его критиковать; физика постепенно раз-
рушает это понятие. Мы уже давно знаем, что твердое тело,
даже прекрасно отшлифованное, обладает неровностями, по-
рами и что в этих пустотах или даже в самой его материи за-
ключены другие тела, примеси, жидкости и газы; затем мы уз-
нали, что всякое тело погружено в постоянно изменяющуюся
атмосферу, образованную его же собственными испарениями;
затем атомические теории тел и планетарные теории атомов
сделали понятие тела все более и более неопределенным. Разве
деление на тела не есть примитивное построение мира с по-
мощью образов, подобных нашему «я», единственной вещи, о
которой наши далекие предки имели более или менее четкое
представление? Если понятие тела не имеет никакого абсолют-
ного значения, то понятие целого, даже понятие числа один,
не является ли оно самым обманчивым из всех понятий? И что
можно тогда сказать об общем понятии числа, к которому мы
можем прийти, лишь заменяя смутное понятие тела неуловимым
понятием точки?
Ясно, что я нахожусь на плохом пути, что я лишь породил
бесплодные сомнения, ища абсолютного, в то время как я на-
ходился в области относительного, что настоящее критическое
исследование понятия тела было бы самым тесным образом свя-
зано с изучением попыток нашей мысли, силящейся понять
201
внешний мир, и вывело бы нас из области математики. Говоря
это, я не запрещаю доходить до философской критики, интерес
и значение которой никоим образом не ставится под сомнение,
но плодотворное обращение к которой потребовало бы слиш-
ком много времени, а также знакомства со всеми предшествую-
щими исследованиями. Наряду с этой критикой существует
другая, более доступная математикам, та, которую я назвал кри-
тикой логической и педагогической и отличие которой от кри-
тики чисто философской я хотел подчеркнуть.
Хорошо известные работы, имевшие большое значение, по-
казали, что углубленное изучение элементарной математики
представляет интерес как с точки зрения ее связи с другими
отраслями математики *, так и с точки зрения философии или
истории наук**; я обращаю внимание на педагогический инте-
рес подобных исследований.
* Здесь в первую очередь заслуживает быть названной превосходная
книга Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей» (более
правильный перевод немецкого названия книги: «Элементарная математика
с высшей точки зрения»), т. I, М., 1935; т. И, М., 1934.
** Критический анализ элементарной математики привел к появлению та-
ких дисциплин, как «Основания геометрии», «Основания арифметики», имею^
щих большое общенаучное и философское значение.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора......................................................... 5
Пр едисловие......................................................... 7
Введение.............................................................17
Гл. [.Сравнение совокупностей. Целые числа...........................19
Гл II. Длины. Числа....................’.............................26
Переход от целых чисел к общим числам ........................26
Операции над числами ..........................................29
Педагогическая критика. Дроби..................................33
Расстояние и отношения длин...........................* . . . 45
Гл. III. Площади плоских фигур.......................................51
Первое изложение: метод сетки квадратов........................51
Условия, определяющие площадь .................................61
Второе изложение теории площадей многоугольников............. 63
Третье изложение для многоугольников (метод землемеров) .... 69
Четвертое изложение: равносоставленность . ....................73
Роль числа.........‘...........Г”..............................76
Педагогические замечания. Площади, ограниченные дугами окруж-
ностей ...................................................... 77
Наиболее общие области .........................................81
Гл. IV. Объемы.........\...........................................85
Первый метод; сетка кубов......................................85
Замечания .....................................................89
Второй и третий метод для многогранников:......................93
Первое изложение и теорема о площадях проекций..............93
Второе и третье изложения ..................................96
Педагогические замечания. Круглые тела.........................100
Число и исчисление. Педагогическая критика изложения, базирую-
щегося на интегральном исчислении.............................101
Замечание о определении суммы квадратов и кубов последователь-
ных натуральных чисел.........................................109
Гл. V. Длины кривых. Площади кривых поверхностей...................ИЗ
Введение и исторические замечания..............................ИЗ
Сведение к алгебре (Коши).....................................114
Пределы длин многоугольников и поверхностей многогранников . .115
Взаимоотношение между физическим понятием и аналитическим оп-
ределением ................................................. 121
Первое изложение: ............................................126
Длина кривой...............................................126
Площадь кривой поверхности.................................129
Критика....................................................141
Второе изложение: ............................................142
Длина плоской кривой.......................................142
Длина пространственной кривой .............................144
Площадь поверхности........................................145
Перевод на аналитический язык..............................146
203
Гл. VI. Измеримые величины.......................................
Вводные замечания...........................................
Определение величины, отнесенной семейству тел..............
Замечания ..................................................
Пропорциональные величины...................................
Приложение к теореме Жирара ................................
Числа, пропорциональные ряду других; критика классических под-
ходов .................................................. .
Гл. VII. Интегрирование и дифференцирование......................
Вводные замечания. Величины (функции тел) и производные числа
(функции точки).........................'...................
Элементы геометрии ^-мерного пространства...................
Определение квадрируемых Л-мерных областей..................
Функции квадрируемых областей...............................
Дифференцирование...........................................
Интегрирование..............................................
Процедура вычисления: кратные интегралы.........’...........
Замена переменных в интегральном исчислении ................
Ориентация области. Новое определение интеграла.............
Приложения: ................................................
Формула Грина ...........................................
Обобщения понятий длины и площади........................
Гл. VIII. Заключение.............................................
Наука и философия. Роль изучения математики. Дух логической и
педагогической критики .....................................
150
150
153
156
158
159
160
163
163
165
167
171
172
174
177
182
187
191
191
192
196
196
А. Лебег
ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВЕЛИЧИН
Редактор М. Z7, Молчанов
Переплет художника В. К. Иванова
Художественный редактор А. В. Максаев
Технический редактор М. И. Смирнова
Корректор И. И. Котельникова
Сдано в набор 10/VI 1960 г. Подписано к печати 10/IX 1960 г.
бОхЭг1/,.. Печ. л. 12,75. Уч.-изд. л. 12,17. Тираж’12 тыс. экз. А08775.
Заказ № 623
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоз^.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
Цена без переплета 3 р, 65 к., переплет 1 р. 50 к«