С.М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ, И.К. ЛИФАНОВ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В АЭРОДИНАМИКЕ,
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
т
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985

22.19
Б 43
УДК 519.6
Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в
сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука. Главная редакция физи-
ко-математической литературы, 1985. - 256 с.
Книга содержит математическое обоснование и подробное изложение
численных методов решения сингулярных интегральных уравнений с одномер-
ными и кратными интегралами типа Коши. Приводятся основные сведения
из теории сингулярных уравнений. Излагается применение численных методов
к решению прикладных задач из различных областей механики — аэродинами-
ки, теории упругости, электродинамики.
Рецензенты:
член-корреспондент АН СССР А.В. Бицадзе
кандидат физико-математических наук Л.И.Турчак
© Издательство "Наука".
Главная редакция
17020 70000-035 ? fl физико-математической
053@2)-В5 литературы, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
РАЗДЕЛ I
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Глава 1
Квадратурные формулы метода дискретных вихрей для одномерных сингу-
лярных интегралов 12
§ 1. Некоторые определения из теории одномерных сингулярных интегра-
лов 12
§ 2. Сингулярный интеграл по замкнутому гладкому контуру 14
§ 3. Сингулярный интеграл по отрезку 19
§ 4. Сингулярный интеграл по кусочно-гладкой кривой 26
§ 5. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта 30
§ 6. Соединение квадратурных и разностных формул 31
Глава 2
Квадратурные формулы интерполяционного типа для одномерных сингуляр-
ных интегралов 33
§ 1. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта 33
§ 2. Сингулярный интеграл на окружности 36
§ 3. Сингулярный интеграл на отрезке 38
Глава 3
Квадратурные формулы для кратных и многомерных сингулярных интегра-
лов 41
§ 1. Кратные интегралы типа Коши 41
§ 2. О некоторых сингулярных интегралах, встречающихся в аэродинамике . . 46
§ 3. Квадратурные формулы для кратных сингулярных интегралов 52
1* 3

§ 4. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла крыла конечного
размаха 54
§ 5. Квадратурные формулы для многомерных сингулярных интегралов .... 59
§ в. Примеры вычисления сингулярных интегралов 63
Глава 4
Формула Пуанкаре-Бертрана 66
§ 1. Одномерные сингулярные интегралы 66
§ 2. Кратные сингулярные интегралы типа Коши 70
РАЗДЕЛ II
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава 5
Уравнение первого рода на отрезке и системе непересекающихся отрезков ... 73
§ 1. Характеристическое уравнение на отрезке. Равномерное разбиение 73
§ 2. Характеристическое уравнение на отрезке. Неравномерное разбиеиие ... 86
§ 3. Полное уравнение на отрезке 91
§ 4. Уравнение на системе непересекающихся отрезков 96
§ 5. Примеры численного решения уравнения на отрезке 100
Глава 6
Уравнение первого рода на окружности и с ядром Гильберта 105
§ 1. Уравнение на окружности 105
§ 2. Уравиеиия с ядром Гильберта 109
Глава 7
Сингулярные интегральные уравнения второго рода 116
§ 1. Уравнение на отрезке 116
§ 2. Уравнение на окружности 120
§ 3. Уравнение с ядром Гильберта 122
Глава 8
Сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами типа Кошн ... 124
§ 1. Аналитическое решение некоторого класса характеристических уравне-
ний 124
§ 2. Численное решение сингулярных интегральных уравнений с кратными
интегралами типа Коши 129
§ 3. Об одном интегро-дифференциальном уравнении 140
4

РАЗДЕЛ III
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В АЭРОДИНАМИКЕ
И ЕГО ОБОСНОВАНИЕ
Глава 9
Постановка задач аэродинамики и дискретные вихревые системы 143
§ 1. К постановке задач аэродинамики 143
§ 2. Основные положения метода дискретных вихрей 145
§ 3. Основные дискретные вихревые системы 147
Глава 10
Плоские задачи для профилей 153
§ 1. Тонкий профиль в стационарном потоке 153
§ 2. Решетка тонких профилей 157
§ 3. Тонкий профиль с эжекцией 158
§ 4. Телесный профиль с гладким контуром 161
Глава 11
Пространственные задачи 166
§ 1. Прямоугольное крыло. Циркуляционное обтекаиие 166
§ 2. Прямоугольное крыло. Бесциркуляционное обтекание 169
§ 3. Крыло произвольной формы в плане 173
Глава 12
Нестационарные линейные н нелинейные задачи 179
§ 1. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля 179
§ 2. Численное решение уравнения Абеля 183
§ 3. Примеры численного решения уравнения Абеля 187
§ 4. Нелинейная нестационарная задача для тонкого профиля 189
Глава 13
Вопросы регуляризации в методе дискретных вихрей и численном решении син-
гулярных интегральных уравнений 192
§ 1. Некорректность сингулярных интегралов и уравнений с ними 192
§ 2. Регуляризация вычисления сингулярных интегралов 194
§ 3. Метод дискретных вихрей и регуляризация численного решения сингуляр-
ных интегральных уравнений 198
§ 4. Регуляризация в нестационарных задачах аэродинамики 203
РАЗДЕЛ IV
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава 14
Сингулярные интегральные уравнения теории упругости 204
§ 1. Плоские задачи теории упругости 204
5

§ 2. Контактная задача о вдавливании равномерно движущегося штампа
в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения 209
§ 3. О вдавливании пары равномерно движущихся штампов в упругую
полосу 217
Глава 15
Численный метод дискретных особенностей в краевых задачах математической
физики 221
§ 1. Парные сумматорные уравнения некоторых смешанных краевых задач . . 221
§ 2. Метод решения парных уравнений 227
§ 3. Дифракция скалярной волны на плоской решетке. Задачи Дирихле и Ней-
мана для уравнения Гельмгольца 233
§ 4. Применение метода дискретных особенностей для численного решения
задач дифракции электромагнитных волн на решетках 240
Заключение 243
Список литературы 249

ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие и широкое применение ЭВМ существенно сблизило
фундаментальные математические проблемы с прикладными, усилило их
взаимное влияние. Появление нового, весьма мощного и общего метода
исследований —численного эксперимента—как никогда ранее тесно увязало
физическое содержание задачи, математическую формулировку ее и числен-
ный метод решения, учитывающий особенности ЭВМ. Наиболее эффектив-
ными оказались естественные описания явления, когда изучается весь про-
цесс развития его, доминирующими стали нестационарные и дискретные
подходы.
Растущие запросы практики ведут к усложнению прикладных задач, для
решения которых традиционные численные методы часто оказываются
неэффективными. И нередко исследователь — прикладник быстрее находит
рациональный подход к решению, поскольку он опирается на понимание
существа задачи, нежели чистый математик, толкующий ее более формаль-
но. Численный эксперимент помогает выделить рациональное зерно в таком
подходе, после чего создается весьма благоприятная ситуация для матема-
тических обоснований и обобщений. Решающее значение для успеха при
этом имеет создание такого метода, который учитывал бы три основные
стороны проблемы — физическую, математическую и машинную. Подчерк-
нем: роль математики не ограничивается обоснованием и даже обобщением
метода. Она и только она делает его универсальным, не связанным рамками
только одной прикладной проблемы.
Предлагаемая вниманию читателей книга отражает многолетний опыт ра-
боты авторов, проходившей примерно по указанной схеме. Вначале
совместный анализ физических и математических особенностей задач аэро-
динамики привел к рациональному подходу к их решению. При этом кор-
ректность метода устанавливалась только логическими рассуждениями.
Затем становление его шло на основе широкого численного эксперимента,
в котором имевшиеся точные решения частных задач аэродинамики исполь-
зовались в качестве тестовых. Для дальнейшего развития метода потребова-
лись серьезные математические обоснования, после чего началось перенесе-
ние его в смежные области.
Идея рассматриваемого подхода, получившего название "метод дискрет-
ных вихрей", состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, модели-
рующий несущую поверхность и след за нею, заменяется системой дискрет-
ных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемые рас-
четными, в которых выполняется условие непротекания (сумма нормаль-
ных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями, и набегающего
7

потока равна нулю). Задача нахождения неизвестных циркуляции дискрет-
ных вихрей сводится к системе линейных алгебраических уравнений.
Решение задачи не единственно и может иметь особенности на кромках и
изломах несущей поверхности. Нужный класс решения определяется физи-
ческим содержанием задачи и выделяется выбором указанных особенно-
стей. В методе дискретных вихрей он осуществляется следующим образом
(Б-условие метода дискретных вихрей). К тем кромкам, где решение
должно быть неограниченным, ближайшими располагают дискретные вих-
ри, а к тем, где оно ограничено, — расчетные точки. Кроме того, суммы,
которыми заменяются сингулярные интегралы в теории несущей поверх-
ности, должны соответствовать главным значениям интегралов в смысле
Коши. Для этого внутренние расчетные точки должны лежать посредине
между вихрями на поверхности (или стремиться к этим положениям).
Именно в таком виде впервые был сформулирован метод дискретных
вихрей в 1955 г. в докторской диссертации С.М.Белоцерковского [8],
после чего началась систематическая реализация его в аэродинамике.
Проиллюстрируем идеи метода на примере обтекания тонкого профиля,
когда профиль заменяется вихревым слоем интенсивности у(х) (рис. 1) и
задача сводится к характеристическому сингулярному интегральному урав-
нению первого рода на отрезке [-1,1 ] :
1 i y(x)dx
-х- /- = '(х0),
27Г - X — Xq
Берем две сетки точек: для расположения дискретных вихрей хк=—1+кЬ,
h = 21 (п + 1), к = 1, ..., п, и для расчетных точек хок = хк + Л/2,
*=0,1 п.
В аэродинамике рассматриваются три вида обтекания профиля: цирку-
ляционное, бесциркуляционное и безударное. Первый основан на гипотезе
Чаплыгина — Жуковского о конечности у[х) на задней кромке и служит для
изучения несущих свойств крыльев. Здесь, вообще говоря, на передней
кромке тонкого профиля решение обращается в бесконечность (рис. 2), и
интегральное уравнение заменяется следующей системой алгебраических
уравнений:
п
Второй вид обтекания встречается в задачах о колебаниях профиля
в неподвижной жидкости. При этом обе кромки находятся в одинаковых
условиях,величина суммарной циркуляции равна нулю, а на кромках обра-

щается в бесконечность (рис. 3). Здесь получается следующая система
уравнений:
п у [хк)h
к = 1 х0/ ~ хк
f(xQi), /=1 /i-1f
2 yn(xk)h = O, / = /?.
* = i
Последнее уравнение выражает условие бесциркуляционности, причем
согласно Б-условию у обеих кромок ближайшими будут вихри.
Третий вид обтекания изучается в задачах, когда определяются не только
несущие свойства крыла, но и деформации его, при которых на передней
кромке удается избежать отрыва потока, получающегося при обращении
у[х) в бесконечность (рис. 4). Вместо интегрального уравнения приходим
к системе алгебраических уравнений
х0/
/=0'1
Здесь 70„ - дополнительная неизвестная, которая связана с деформа-
цией, необходимой для обращения в нуль интенсивности у [ж) на передней
кромке: ?(—1) = 0. С точки зрения математической она может трактовать-
ся как регуляризирующий фактор, так как согласно Б-условию требование
о конечности ?(—1) и 7A) приводит к появлению лишней расчетной точки.
Метод дискретных вихрей обладает следующими важными особенностя-
ми. В нем нб делается предположения о характере обращения в бесконеч-
ность решения на концах отрезка и изломах. Требуемый класс решения
выделяется выбором взаимного расположения двух множеств (сеток) —
дискретных вихрей и расчетных точек.
Отмеченными особенностями он радикально отличается от других чис-
ленных методов аэродинамики, которые были созданы до него. Наиболее
ранней A932 г.) работой близкого направления является статья М.А.Лав-
Рис.2
Рис.4
Рис.3

рентьева [55], в которой дано численное решение сингулярного интеграль-
ного уравнения для обтекания тонкого профиля, основанное на полигональ-
ной аппроксимации решения, предвосхитившее в частном случае общую
схему методов типа Ритца — Галеркина. В 1938 г. появилась работа
Мультхоппа [120], в которой решение одномерного сингулярного уравне-
ния представлялось в виде у{х) = со{х)у{х), где со(х) учитывает особенно-
сти решения, а <р(х) — гладкая функция, которая раскладывается в ряд по
полиномам Чебышева первого рода; правая часть уравнения раскладывает-
ся по полиномам второго рода; с помощью спектрального соотношения
между этими полиномами составляется система линейных алгебраических
уравнений для коэффициентов рядов. Затем эта идея была перенесена на
крыло конечного размаха [50, 117]. Однако такой подход не был доста-
точно глубок и не позволил перейти к нестационарным задачам, а также
к крыльям сложной формы в плане и тем более к самолету в целом.
С другой стороны, метод дискретных вихрей подвергался критике за то,
что в нем к сингулярному интегралу применяются квадратурные формулы
типа прямоугольников и при выборе класса решения не используется
явное выделение особенности на кромках [84]. Поскольку строгого обо-
снования основным положениям метода не было, усилия авторов и их
учеников были направлены на решение этой проблемы, а также на развитие
подобных подходов в смежных областях [16, 17, 19, 32, 33, 57-68/71, 72].
Предлагаемая вниманию читателей монография подводит первые итоги
этих работ. Она состоит из четырех разделов. В первом из них изучаются
квадратурные формулы для одномерных и многомерных сингулярных
интегралов. Вначале для одномерных интегралов рассматриваются указан-
ные формулы типа прямоугольников, возникшие в методе дискретных
вихрей. Областью интегрирования здесь является любая кусочно-ляпунов-
ская кривая, имеющая только угловые узлы. Изучаются и квадратуры
интерполяционного типа для сингулярных интегралов на отрезке, окруж-
ности, а также с ядром Гильберта, которые позволяют далее построить
численные методы для интегральных уравнений на этих множествах.
Затем рассматриваются квадратурные формулы для кратных сингулярных
интегралов типа Коши, некоторых двумерных интегралов, понимаемых
в смысле конечного значения по Адамару [3], которые встречаются в
аэродинамике, и многомерных сингулярных интегралов. И, наконец, дается
доказательство формулы Пуанкаре — Бертрана перестановки порядка
интегрирования в кратных сингулярных интегралах с помощью квадратур-
ных соотношений типа метода дискретных вихрей.
Во втором разделе строятся прямые методы численного решения сингу-
лярных интегральных уравнений с одномерными и кратными интегралами
типа Коши, основанные на применении квадратурных формул первого
раздела. Охвачены случаи, когда правые части уравнений могут иметь ин-
тегрируемые степенные особенности на концах, разрывы такого же вида
или первого рода во внутренних точках. Изучен и случай, когда решение
имеет во внутренней точке q особенность вида (q — t) ~l. При этом по су-
ществу удалось дать конструктивное доказательство теорем существования
решений для характеристических сингулярных интегральных уравнений
первого рода на отрезке и окружности, т.е. построить для них аналог теории
Фредгольма.
Отметим, что теория одномерных сингулярных интегральных уравнений
обстоятельно изучена [34, 78]. Однако уравнения с кратными интегралами
типа Коши рассмотрены только на торах [34, 43]. Поэтому приводятся
аналитические решения широкого класса характеристических сингулярных
интегральных уравнений второго рода с кратными интегралами Коши,
10

когда областью интегрирования являются произведения окружностей и
отрезков. Затем для таких уравнений строятся эффективные численные
методы решения.
В третьем разделе дается математическое обоснование метода дискрет-
ных вихрей для широкого класса линейных стационарных задач аэродина-
мики. Рассматривается также вопрос устойчивости развиваемых методов
численного решения сингулярных интегральных уравнений. Актуальность
его связана с тем, что эти уравнения неустойчивы в равномерной метрике,
а в приложениях, как правило, решения надо сравнивать в этой метрике.
Показано, что сами численные методы являются регуляризирующими, при-
чем параметром регуляризации служит число расчетных точек.
Наконец, четвертый раздел посвящен перенесению развитых численных
методов в другие области - в теорию упругости, электродинамику и в
математическую физику, вообще туда, где задачи естественным или спе-
циальным образом могут быть сведены к сингулярным интегральным
уравнениям. До тех пор, пока не было хороших устойчивых методов реше-
ния таких уравнений, задачи старались свести к регулярным интегральным
уравнениям Фредгольма второго рода (например, плоские задачи теории
упругости [81, 82]) или к интегральным уравнениям первого рода с лога-
рифмической особенностью (задачи электродинамики [26] ). Но получаю-
щиеся регулярные уравнения Фредгольма зачастую "сидят" на спектре, т.е.
не однозначно разрешимы (ядро соответствующего оператора имеет не
нулевую размерность). Это приводит к большим затруднениям при числен-
ном решении задач — получается неустойчивый счет, и приходится приме-
нять специальные методы для сглаживания флуктуации [26]. Сведение
этих задач к сингулярным интегральным уравнениям и применение изло-
женных в книге подходов позволяет построить единые устойчивые числен-
ные методы решения широкого класса различных задач [12-15, 19, 32,
33, 67]. Демонстрации некоторых новых применений и посвящен данный
раздел книги. Кроме того, в нем изложены способы получения сингуляр-
ных уравнений в указанных выше областях [19, 32, 33, 67, 90].
Формированию данного научного направления способствовали много-
летние творческие дискуссии на Всесоюзных научных семинарах, руководи-
мых авторами, и деятельность секции "Кибернетика и механика" при
Научном совете по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР.
При написании книги использованы теоретические и расчетные материа-
лы, а также полезные советы В.И.Бушуева, Ю.В.Ганделя, А.В.Дворака,
В.В.Демидова, В.А.Зиберова, А.Ф Матвеева, М.И.Ништа, Л.Н.Полтавского,
Е.Б.Родина, А.А.Саакяна, М.М.Солдатова, И.Я.Тимофеева. Всем им авторы
приносят свою глубокую благодарность.

РАЗДЕЛ I
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ГЛАВА I
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРГЙ
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Некоторые определения из теории одномерных сингулярных интегралов
Ниже рассматриваются лишь линии, расположенные на плоскости с декар-
товой правой системой координат ОХУ. Иногда точки плоскости будем рас-
сматривать как комплексные числа и обозначать их г = х + /у, где / — мни-
мая единица.
Под гладкими линиями будем понимать простые линии, т.е. которые не
пересекают сами себя.
Гладкой разомкнутой кривой (дугой) L будем назы-
вать линию, которую можно описать параметрически следующим обра-
зом [78]:
x=x(s), y = yis). sa<$<iSb, A.1.1)
где sa и sb — некоторые конечные постоянные, ах is), у (s) nx'(s), y(s) —
непрерывные функции на [sa,sb], причем производные одновременно в
нуль не обращаются. При этом различным значениям параметра s 6 [sa, sb]
соответствуют различные точки кривой L.
Если через f = x(s) + iy{s) обозначить точки кривой L, то между г и s
существует взаимно однозначное соответствие (г € L, s€ [sa, sb]) и f^ =
' /
Иногда кривую L, описанную выше, будем обозначать аЬ, где а = г (sa),
b = t{sb).
Гладким замкнутым контуром L будем называть гладкую
кривую, у которой x{sb) = x(sa), yisb) = y[sa), причем
x'{sb - 0) = x'{sa +0).
K'(Sft-0) = K(stf+0).
Таким образом, в этом случае функции х (s), у (s) и х (s), у' ($) можно
рассматривать как периодические с периодом T = sh - sa.
Гладкой линией (простой) будем называть совокупность конеч-
ного числа замкнутых или разомкнутых гладких контуров, не имеющих
общих точек (в том числе и концов).
Кусочно-гладкой кривой будем называть кривую, состоя-
щую из конечного числа гладких разомкнутых кривых, не имеющих общих
точек, за исключеним, быть может, концов. При этом будем говорить, что
эта кривая имеет только угловые узлы, если в каждом узле любые две
гладкие кривые сходятся под углами, отличным от нулевого, т.е. у?ел
не является точкой возврата.
12

В добавлении I в [78] показано следующее. Пусть L - простая кусочно-
гладкая кривая (т.е. состоит из конечного числа гладких разомкнутых
кривых аха2, а2аъ, . . . , ап-\Эп. расположенных так, что конечная точка
каждой предыдущей гладкой кривой совпадает с начальной точкой после-
дующей), которая имеет только угловые узлы. Тогда для любой пары
точек Г], г2 на кривой L выполняется неравенство
K0o{tl,t2)<r(tl,t2) <o(tl,t2), A.1.2)
где
1) o(tx, t2) - длина части кривой L, заключенной между точками tx и
t2, причем если L - замкнутая, то o{tlt t2) обозначает меньшую длину;
2) г (г 1, г2) = ki — r2l - расстояние между точками гi и г2 на плоско-
сти ОХУ;
3) константа Ко Е @, 1) не зависит от положения точек f i и t2 на кри-
вой L.
Заметим, что если кусочно-гладкая кривая L имеет только угловые
узлы, то для ее точек также выполняется неравенство A.1.2).
Определение 1.1.1. Функция <i (г) переменной г (вообще, комп-
лексной) удовлетворяет условию Н (ц) {условию Гёльдера степени ц)
на данном множестве D значений этой переменной, если для любых двух
значений 11 и t2 из этого множества имеем
Mfi)-*(f2)l< A If! ~Г21Д, И.1.3)
где А и /i - положительные числа, 0 < ц < 1. Постоянную» называют коэф-
фициентом, а ц- показателем условия И [ц). Если показатель ц нас не ин-
тересует, то будем говорить, что функция \р (гГ удовлетворяет условию Н
(или принадлежит классу Н) на множестве D, и будем писать у (t) G Н (ц)
или у (t) EM
Заметим, что если </?(f) е Щц), то и i <p(f )| € Н[ц).
Понятие условия Н обобщается на случай функции нескольких аргумен-
тов. Функция <р(Гь . . . ,tn) удовлетворяет условию Н (уц , ... t цп)
(или просто Н) на множестве D переменных t ь f 2,.. ., г„, если для любых
двух точек (г/, . . . , t'n) и (f'J, . . . , t"n) из этого множества выполняет-
ся неравенство
t'n)\< Ax\t'[ -
где^/>0, 0 < /I,- < 1 # /-1 а?.
Из A.1.4) следует, что если ^(tx, . . . , tп) Е Н, то она принадлежит
классу/У (/LtA) по переменной г*, * = 1, . . . ,п, равномерно*^ относительно
остальных переменных. Верно и обратное.
В дальнейшем, говоря, что функция \р (tx, . . ., г„) удовлетворяет усло-
вию Н по каждой из переменных в отдельности, будем предполагать,
что это условие удовлетворяется равномерно относительно остальных
переменных.
Гладкая разомкнутая кривая L называется кривой Ляпунова, если
производная t'(s) удовлетворяет условию И (а) на [sa,sb]. В этом случае,
#)ТоестьЫг, fi' tn)- fit^ Г*,. . ., tn)\<A\tk- tk\**k, где константа^
не зависит от f,,.. ., tn.
13

как показано в [78], функция
f-f0 f(s)-t(s0)
f[s,so) =
s - s0 s - So
удовлетворяет условию H (a) no обеим переменным s и s0 и не обращается
в нуль на [sa,sb].
Кривую L будем называть кусочно-ляпуновской, если все ее гладкие
части являются кривыми Ляпунова.
Определение 1.1.2. Функция у (f) принадлежит классу Н*. на ку-
сочно-гладкой кривой L, если она имеет вид
spit) = **(t)IP?(t), P[(t)= if |r-c*r*f A.1.5)
K = l
где у* it) € Ho на L, т.е. принадлежит классу Н на каждой гладкой части
кривой L,O<vk < 1,ack,k = 1,. .. , р, -все узлы кривой Z..
Без уменьшения общности можно считать, что \р *(f) € Н на L.
Напомним теперь определение сингулярного интеграла типа Коши по
кусочно-гладкой кривой.
Определение 1,1.3. Пусть точка f 0 не совпадает ни с одним узлом
кривой L, т.е. является внутренней точкой. Опишем из г0 как из центра
окружность настолько малого радиуса € > О.^что она пересекает L ровно в
двух точках г' и t", и обозначим через/ дугу r'f". Рассмотрим интеграл
Если при е -> 0 этот интеграл стремится к конечному пределу, то этот
предел и называется главным значением интеграла по Коши, т.е.
/ito)= lim / = / . A.1.6)
€-0 L\l t - fо L t - tо
В [78] доказано, что класс Н* функций на кусочно-гладкой кривой L
инвариантен относительно интеграла в смысле главного значения по Коши
(сингулярного интеграла), т.е. если \р it) G Н* на L, то /(г0) ? Н* на L.
§ 2. Сингулярный интеграл по замкнутому гладкому контуру
Вначале рассмотрим сингулярный интеграл
,, . . *lt)dt
/(fo) = / A.2.1)
L Г-f0
по окружности L единичного радиуса с центром в начале координат; *р (г) -
функция класса И на L.
Удобнее начать с интеграла
, dt
/o(fo)= / ,
L t -tQ
для которого известно [78], что
'оМ = я/. A.2.2)
Выберем на Z. два множества узлов: ? = {tk,k• = 1 л }и?0 ={fo*,* =
= 1, . . . , п), таких, что точки tk, к = 1,..., л, разбивают окружность на л
14

равных частей, а точка г0* является серединой дуги tk tk + Xt где полагаем
г„ + 1 = f |. В дальнейшем выбранные таким образом множества Е и ?0
точек окружности будем называть каноническим разбиением окружности L.
Лемма 1.2.1. Для любой точки f0/ € Ео выполняется неравенство
dt » At k
/ 2
•©•
< О — 1 A.2.3)
f-Го/
ed<? Atk = г* +! - tk, к « 1,..., п. */ерез О A/л) (Об A/л)) обозначаем вели-
чину одного порядка малости с Мп, т.е. в этом случае справа в неравенстве
надо мыслить величину вида В/п Шь/п), где константа В (?6) не зависит
от п. Константа Вь зависит от параметра б.
Так как L%- единичная окружность с центром в начале координат, то
можно написать
tk = *"*. fo* - *"'*.
где вк и 0О* - полярные углы точек tк и f0*, к = 1,..., п.
Учитывая периодичность функции е'в и обозначая r\m = 2ят/п - п/п,
т = 1,. .. , п, получим
- Z : = + 2 ctg cos
i117" L 2 2
Ат?т / At?w r?w Ат?т\] #
— sin + / (cos + ctg sin *) si
2 V 2 2 2 /J
sin —, A.2.4)
2
где Ar}m = 77m + 1 - т?т = 2n/n, m = 1 /?.
Заметим, что числа r\ml2,m = 1, . . ., n, расположены симметрично отно-
сительно я/2, поэтому
? ctg — = 0. A2.5)
m = l 2
Из равенств A.2.4) и A.2.5) следует
„ я л 2я # . %
= -nsin2— + / sin =/я + О(—I , A.2.6)
1 \
— I ,
m = 1 f k — f о/ п 2
что вместе с формулой A.2.2) показывает справедливость неравенства
A.2.3).
Замечание 1.2.1. Выполняется следующая оценка:
-< ОAпл), у = 1 п. A.2.7)
2
А' = 1 |Г0/ -
Действительно, заметим, что
Дтк Пт1 . .
2 = 1 cos + / sin
[ sinr?m/2
поэтому будем иметь
, sin AT7m/2| lt/2l+i Д^ 2
2 <С 2 = ОAпп),
*=1 U*~rO/| m = l | Sin T?m/2 | m = l 2 r?m
A.2.8)
где [x] - целая часть от числа х.

Займемся теперь изучением аналогичной квадратурной суммы для
интеграла A.2.1). Пусть множества точек Е и Ео образуют каноническое
разбиение окружности L. Обозначим
„.
,1.2.9,
Справедлива следующая
Теорема 1.2.1. Пусть кр (г) удовлетворяет условию Н (а) на L. Тогда
выполняется неравенство
I/fro/) -$Л/)К Olt0j). / = 1 п. A.2.10)
toj) = of— In л ) + | <p(f0/) | О / — j.
Доказательство. Для удобства полагаем f 0/ = 1. В этом случае
Ar*
- eft
*=i ffc - 1
r—1 *=» f/t — 1
Неравенство A.2.3) дает оценку для /2. Выражение для /] преобразуем
следующим образом:
1
/'
'л
^(f
f
¦/.'".
-1
и
dt
=
-
/Г»
A)
2я
г?
^(^)
-^A)
-1
dt
Так как функция *р (г) удовлетворяет условию// (а) на L . то
Для единичной окружности \dt\ -d$ и
If- 1| = |e'* - 1 | = |(cos0 -1)+/ sin в | =2 | sin 0/2 |.
Поэтому
*/"/ 0\-1+а я/л
< C> f S-l+ad6 = Of—- Г
*/"/ 0\-l+c
/ I sin— I
о \ 2/
Для /[" получим
i- 1 +a
27Г
Для оценки /', потребуется преобразование, которое далее неоднократ-
но будем применять:
(tk -f)
f — fci
- f o/
t - fo/
(t-fo/)
A.2.11)
16

В силу формулы A.2.11) имеем
п-\ '*+1 №(Г)-<р(Г*) | я-1
/| < Z / — — I<*l+Z / г г:
If* -r|
X—— |Л|-5, + S2.
Так как <p (f) удовлетворяет условию И (а) на Z. и f = e'0, то
/27Г\а «-I '* + * |cfr| 1 w/2 tf0 /Inn \
f—) 2 / 7<C2— f -01—-1.
\ П ) * = 1 tk |f- 1| Г7а я/и в V ^ /
Наконец, для суммы S2 получаем
2тг "-I 1 '* + » |с/г| л « d6
Подставляя оценки для St и 52 в неравенство для /\, а оценки для
l\. l'i и I'" в неравенство для /ь видим, что
Таким образом, теорема 1.2.1 доказана.
Определение 1.2.1. Функция ур (f) принадлежит классу П функций
на L, если она имеет вид
4/(г)
V(t)dt 1 Г ty(t)dt \l/(f)
L t - fо q- to[L t -10 l t-
где \l/(t) G H на Z., aq - некоторая фиксированная точка на iL. Заметим, что
можно написать
tit)dti
а\
Последняя формула показывает справедливость следующей теоремы.
Теорема 1.2.2. Пусть у (г) принадлежит классу П на окружности L,
а множества Е и Ео образуют каноническое разбиение L, причем q G ?0 при
i ~jq- Тогда справедливо неравенство
\UtQj)-Sn[to/)\<0(tOj), /Ф/д, /=1 п, A.2.12)
где величина 0(гО/) имеет вид
Несложно заметить, что величина S(tOj) удовлетворяет неравенствам:
A.2.13)
для всех toj€L\l, где / - сколь угодно малая окрестность точки q, и
2) ? 0(Го/НДГо/|< O[-T"Y X2>0- A.2.14)
/=1 \пх>)
2. СМ. Белоцерковский 17

Ясно, что в неравенстве A.2.13) точнее можно написать О/(л a In n),
а в неравенстве A.2.14) -О(л~а1пл).
Замечание 1.2.2. Неравенство A.2.10) остается справедливым и
для интеграла/
f-f0
dt, если ${t, to)€H(<x) на L, т.е.
l(
L t-t0;
tk-toj
< о
A.2.15)
Замечание 1.2.3. Пусть теперь L x является замкнутым контуром
Ляпунова. Тогда между точками т этой кривой и точками г стандартной
(единичной, с центром в начале координат) окружности L существует вза-
имно однозначное соответствие т - т it) такое, что производная т'(г) = dr/dt
принадлежит классу Н (&) и не обращается в нуль на L. Если теперь <i (т)
удовлетворяет условию Н[а) на Llt то в силу формулы замены пе-
ременной в сингулярных интегралах [78] получим
>}>(t,to)dt r-r0
, \!>(г, г0) = т ) )
()()
Г-То
f-Го
T(f)-T(f0)
Рассмотрим теперь на окружности L каноническое разбиение, образован-
ное множества*:л Е и Ео. Множества точек тк = r(tk), tk 6 Е, и Ток = ткок ),
tok ^ ?(>' назовем каноническим разбиением кривой Lx. Возьмем
сумму
1 Ата- j, <р(г<гА:)) (г^ - г0/) Атдг Дгл
^
— То/
т(гА.)-т(г0/)
Так как
Дт*
на L. то |т (Г^) - т'
^f т.е.
т(хк)
Таким образом,
п
-Го/) /
tk-tOj
Используя неравенство A.2.7), несложно заметить, что
Поэтому из неравенства A.2.15) и оценки для Sj получаем спра-
ввдливость соотношения
п фк )Атк
I
J
-т0/
A.2.16)
Пусть теперь кривая L является совокупностью р штук непересека
ющихся замкнутых кривых Ляпунова LX,...,LP и множества
= {тк, А:-пш_, + 1 пт) и ЕОт = {ток, Ar=/7W_!+ 1.... f nw
18
Ет -
обра-

зуют каноническое Nm =nm —nm__i разбиение кривой Lm, т = 1, .. . ,р;
п0 - 0. Обозначим
Л/ = min Nm
m3 i,...,p
и будем в дальнейшем предполагать, что Nm/N<R < + °°. Обозначим
еще
** *=1 7*-Т0/
где Ат^ = т* + 1 -7>, * = 1,...,лр, *#л, л,,, и Ат„т втЯ|||_| + ,-
-т„т,™ = 1 р.
Оказывается справедливой
Теорема 1.2.3. /7усгб ^(т) удовлетворяет условию И на кривой L.
р
Тогда для любой точки т0/G U ?FOw выполняется неравенство
т- 1
4 A.2.17)
§ 3. Сингулярный интеграл по отрезку
Будем считать, что в сингулярном интеграле A.2.1) L - [а, Ь] на дей-
ствительной оси, а функция ip(r)€/Y* на L, т.е. имеет вид
(t-afib-tf '
где i//(r)G/y(a) на [а, Ь], 0<у,/н<1.
Пусть точки f0 = a, t\,..., tn, fw+1 = b разбивают отрезок [а, Ь] на
л?+ 1 равных частей длины h = (Ь -а)/(п + }), а точка г0/ является середи-
ной отрезка [t/, r/+ х ], j = 0,1,..., п. Будем говорить, что точки множеств
Е = { г*, Аг = 1,...,/?} и ?0 = {fo/, / = 0, 1,. .., п } образуют каноническое
разбиение отрезка [а, Ь] с шагом п.
Справедлива следующая
Лемма 1.3.1. Для любой точки rO/-G?o выполняется неравенств
ЬВ
A.3.1,
*=i tk -Г0/
itOj - a)ib - tOj)
где В — некоторая константа.
Отметим здесь же, что имеет место неравенство
2
*=i If* -
<O(|ln/7|). A.3.2)
Лемма 1.3.2. Пусть теперь функция ^(г) € Н{<х) на отрезке [а, Ь].
Тогда для любой точки r0/G?0 справедливо неравенство
\r\h\). A.3.3)
/- ——dt- 2)
t-tOj *=i tk-tOj
t9

Доказательство. Сделаем следующее преобразование:
dt
r -
n '* + i/V(f)-^(r0/) f(tk)-f(tOj)\
k = i tk \ t - fo/ tk - f 0/ /
dt
tj t - f 0/
Так как ^(f) удовлетворяет условию Н{сс), то
/J + /f +/? + /{. A.3.4)
Теперь, используя формулу A.2.11), получим
\tk -f
Для Si получаем оценку
Так как для любых к и / имеем неравенство
\tk - ^o/l
TO
w *к +1
.1 -a
A.3.5)
rff
*=1 гЛ |f- fo/l
**/
Подставляя теперь оценки для S, и S2 в формулу для /,, а оцен-
ки для /},..., /? в формулу для /,, получаем справедливость лем-
мы 1.3.2.
Из неравенств A.3.1) и A.3.3) следует справедливость следующей те-
оремы.
Теорема 1.3.1. Пусть функция $(t) Е Н(а) на отрезке [а, Ь] и мно-
жества Е и Eq образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда
для любой точки to/ € ?о имеем
\Ht0j)~Sn{toi)\<0
~—)'
где 5и(г0/)
f| — fo/
.A.3.6)
Наконец, докажем следующую теорему.
Теорема 1.3.2. Пусть ^(r) G Н* на отрезке [а, Ь]. Пусть множества
точек Е и Ео образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда
20

справедливо неравенство
ь $(t)dt n
a t-tOj
<0{to/). / = 0, 1 п,
A.3.7)
где величина 0(fO/) удовлетворяет неравенствам:
а) для всех точек f0/ € [а + 5, b — б], где 5 > 0 - сколь угодно малое
число,
hKi), 0<X, <1; A.3.8)
A.3.9)
б) для всех точек r0; E [а, Ь]
е |Дго/| = /7, / = 0.1 п.
Доказательство. Можем написать
dt — i
a t ~ toy k = 1 tk — Го/
ь dt n h
at- tOf- k ~\ tk -tOj
Оценка для /2 получается с помощью неравенства A.3.1). Чтобы
дать оценку для fit заметим вначале, что если <f(t)?H* на [а, Ь], то
-г,
-a)"
A.3.10)
Если теперь 1Х представить так же, как в неравенстве A.3.4), то для
l\ получим
(t0/ -а)р(Ь-
так как для любого / = 1,..., п имеем
2 tni—a tnj—b
>-tOj)
A.3.11)
Для l\ имеем
dt
WtQ/H
X /
t) [t-a)v{b-tf\t-tol\x-a
dt
tj (t-aUb-tf\t-tQj\
x-v
(b - f^ir - f0/
i-n Г

В [100] доказана теорема о среднем значении для несобственного ин-
теграла, которая формулируется так. Пусть функции f(x) и д(х) интегри-
руемы на [а, Ь], причем fix) ограничена, т.е. - °°< т < f(x) < М< + °° ,
а д(х) не меняет знака. Тогда функция f(x)g(x) интегрируема и
/ f{x)g{x)dx = /u/g(x)dx, т<ц<М.
a a
Применяя сформулированную теорему о среднем значении для всех
/=1,...,п — 1, получим
-аПЬ-ф» I, ir-fo/l
1*
Ц I * ~ *o/1 №"~ * о/ )д (* о/ ~~a
(toj-afib-tojf (Го/-а)"(Ь-Го/J|1Г
так как ?* € fly, r/41 ], к - 1, 2, 3, и поэтому отношения (^ - a)/{tOj— a)
и (?*-b)/(f0/ — Ь) являются величинами, ограниченными для / в 1, . . .
...,п-1. Для / = /7 в /? опять применим сформулированную теорему
о среднем значении, но предварительно разбив участок интегрирования на
два отрезка [г„, tn + ЗЛ/4] и [tn + 3/?/4, Ь]. В результате получим, что
l\ имеет ту же оценку и при / = л. Аналогично показывается, что та-
кая же оценка верна и для /} при / = 0, 1,... ,п.
Наконец, рассмотрим /]. Как и для /] в доказательстве неравенства
A.3.3), напишем
/] <Si +S2.
Воспользовавшись формулой A.3.10), для Si имеем
!п '* + i dt „ п |i//(ffc)|
*=i tk (t-af(b-tf\t-tof\ k=iitk-a)v
¦ * i 7
f-a)"(u-f^|f-fo/l *=i (f*-*n6-r*)* /*«b-t)"|f-fo/l
Г Л 1 f/ c/f 1 ь dt
t, it-af\t-tol\
hv / 1 f2 dt
(b - tjf \(f, -aT" r{ (г_аПг-Го/1
; * v _^ ; d±
t2 (t~-h-aJv | r — r0/1 / (fz+i-aJ" r/+l F-f^|r-ro/
- +
I
22

h» 'I Л
(b-t,Jti /, (f-Л-*)" |f-f0/I
-toi\
1 ; « )]
ib-^fiiib-trU-tojin'
так как | ф(г*) | -ограниченная величина на [а, Ь].
Заметим теперь, что
4 dt ('/+ri)/2 dt
l (Г_в)"|Г_Го/| " ,{ (t-a)"(i
y+ tx )/2 (f — a)"(f0/ — t) A — *>)(*o/ ~~ *i + ^o/ — tj)
2"
In
(ly-a + f, -а)" 2(ГО/-^)
A4 . O(|ln/i |) O(|ln/;|)
Аналогично рассматривая интеграл
будем иметь: если 2v < 1, то справедлива оценка вида A.3.12), а если
2v > 1, то в силу 1 - 2v < 0 формула A.3.12) приобретает вид
Ч dt \hl-2v I 1
/ < + —О(ЦпЛ|).A.3.13)
Для остальных интегралов в неравенстве для Sx верна оценка вида
A.3.12) или A.3.13) с соответствующими заменами v на \х и а на Ь. По-
этому окончательно получаем
Ла Л" /^
1*0/ — a) \O — coy) i*o/ — з) \о —
I O(| Inh I).
— a) (b — tOi) J
[1 » '*+> dt
(toj-a)v{t)-to,r *-i r{. U*-f0/lI-a|f-
Рассмотрим теперь S2. Применяя формулу A.3.10), получаем
— +
кф. tk \tk-tOj\ If ~t0/
: 2 f' * +
(fo/ - «^(b - Го/)д ft = 1 rA (f* - a)v 11^ - t0, Г -p 11 - r0/1
ft#/
1 " 'ft+i сЛ 1
! 2 / 1 I
(о — с©/; *я1 ^/t u^ — а) \и — t^r itfc — to/1 I г — fo/1 J
23

Пользуясь теперь опять тем, что h/\ t( - t0)• \ < 2, j = 1, . . . , п и
для любого /, и оценками вида A.3.12), получаем
M (fO/-aJ"U>-
0(|1пЛ |).
Вводя теперь обозначение rjffo/, ott 0) - (Г0/ - а)~а(Ь — tOj)~&, оцен-
ку для / можно записать в виде
/<0(fO/) = Ooit0j.OL.v.n)Oi\\r\h\)t A.3.14)
где
0о ('о/, ос, v, \х) = 7?(Го/, v. ц)Ьа + т?(г0/, 2v. /и)/>" +
^.ц)hl-v + iy(f0/t v. \)hx-» +
0 < ^, |i < 1.
Нетрудно проверить, что величина S(t0/) в неравенстве A.3.14) удов-
летворяет условиям A.3.8) и A.3.9).
Замечание 1.3.1. Фактически доказательство неравенства A.3.7)
проводилось при условии 0 < v, д < 1. Однако из проведенных рассужде-
ний можно получить следующие утверждения.
Если v Ф 0, [i = 0, то выражение для 0о(Го/, <** v> 0) будет иметь вид
0оСо/, <*< v> °> = ^o/. v, 0)/?Q + ri(tQi, 2v, 0)hv + Vitof. ^.0)hl-v +
+v. 1)Л. A.3.15)
Если v = д = 0, то величина 0(гО/) будет иметь вид правой части нера-
венства A.3.6).
Отметим здесь еще следующее. Если функция ^ (г) имеет вид
(Ь - хГ
где 0 < v < 1, 0 < ц, \Mf) принадлежит классу Н на отрезке [a, b], то
неравенство A.3.8) выполняется для всех точек г0; ? [а + 5, Ь\.
Замечание 1.3.2. В аэродинамике (см., например [12, 57]) часто
используется следующий выбор точек tk и г0/. Разобьем отрезок [а, Ь]
на п равных частей длины h, которые обозначим Л*, к = 1, . . . , п. Точку,
отстоящую от левого конца отрезка Д* на /?/4 и лежащую на нем, обозна-
чим tkl а точку этого отрезка, отстоящую на 3/?/4 от левого конца, обозначим
через tOk, к = 1, 2,. . . , п. Для описанного разбиения справедливы по [57]
все утверждения, приведенные выше для сингулярного интеграла на от-
резке [а, Ь]. Расчеты показывают (см. [12]), что последняя схема дает
лучшие результаты для модельных примеров, чем каноническое разбиение.
Справедливо и более общее утверждение. Неравенства A.3.1), A.3.3),
A.3.6) и A.3.7) верны и в том случае, когда точки множеств Е = {тк,
к = 1, . . . , п) и Ео = {г0;, / = 0, 1, . . . , п) не образуют канонического
разбиения отрезка, а удовлетворяют условию
Ufc+i -Г* I я Л, к = 1 л- 1,
Uo/+i -fo/l = Л, / = 0. 1 л - 1,
24

h h
t\ — too —"—, tok - tk + — , к = 1,. .. , n.
too
-a = hqah, b-tOn = hqbh, 0 < p, < qah, qbh < p2 < + <*>,
ир2 — заданные числа.
Такое положение возникает в том случае (см. [58]), когда мы жела-
ем, чтобы какая-то фиксированная точка д € (а, Ь) находилась в заданном
положении по отношению к точкам разбиения, например, чтобы точка q
принадлежала множеству ? или Ео при любом п.
Покажем, как сделать, чтобы точка q € ?0 при любом п. Разобьем от-
резок [а, Ь] на п + 2 равные части точками tkt к * 1,. . . , п + 1, Го = а,
t'n + 2 = b, tok - середина отрезка [t'k, f* + i], к = 0, 1, . . . , п + 1. Пусть
точка q лежит на отрезке [г0; , Го/_+ j]. Произведем сдвиг множества
точек {t'k, к - 1,. . . , п + 1} и{г0/,/ = 0,1,..., п + 1} как жесткого цело-
го так, чтобы ближайший к точке q конец отрезка Uol, го/G+il сов-
пал с точкой q. Выбросим крайние точки из множества {tk, к = 1,...,/7+1}
и {^о/1 J = 0, 1, . . . , п + 1} с того края, в сторону которого произошел
сдвиг. Оставшиеся точки из сдвинутых множеств обозначим через tk, к «=
= 1,. . ., п, и г0;,/ = 0,1, . . .,п. Если изначально точка q совпала с одной
из точек tо/, то исходные множества и обозначаем через ? и ?0.
Аналогично строятся точки tk и Го/ и в том случае, когда требуется,
чтобы точка qG E.
При рассмотрении задачи обтекания профиля с закрылком множества
? и ?0 выбираются так, чтобы точка q лежала при любом п точно посреди-
не между ближайшими к ней точками из ? и ?0. Сделать это можно так.
Пусть h = (b - а)/(п + 1). Точку, отстоящую на Л/4 вправо от точки q,
отнесем к множеству ?0, а отстоящую на /?/4 влево к множеству ?, осталь-
ные точки множеств ? и ?0 выбираются с шагом h от выбранных. Это же
можно сделать и описанным выше сдвигом точек канонического разбие-
ния с указанным шагом, причем сдвиг произойдет на величину не более
чем Л/4.
Сформулированные выше результаты для сингулярного интеграла
на отрезке останутся верными и в том случае, если поменять местами
точки множеств ? и ?0, т.е. подынтегральную функцию брать в точках
множества ?0, а вычислять интеграл в точках множества ?.
Замечание 1.3.3. Все результаты справедливы и для функции
if it, т)
*{t. т) = , A.3.16)
(г-аНЬ-гГ
если функция \p(t, т) G Н на отрезке [а, Ь) по обеим переменным, а также
когда для построения суммы используются только точки множеств ?
или ?0. Например, если обозначить
? V(t)dt
I) = S— , A.3.18)
a t-tj
то для модуля разности l'j-S) справедливо неравенство вида A.3.7).
25

Для окружности в § 1.2 введен класс функций П. Аналогичный класс
функций на отрезке [а, Ь] определяется следующим образом [58].
Определение. 1.3.1. Функциг ${t) принадлежит классу П на от-
резке [а, Ь], если она имеет вид
p , A.3.19)
Q-t
где функция ф[г) е Н* на отрезке [a, b], a q G (а, Ь) - фиксированная
точка.
Справедлива следующая
Теорема 1.3.3. Пусть у (Г) е П на отрезке [а, Ь] и множества Е и
Ео выбираются так, что точка q принадлежит множеству Ео при любом
n,q = tOjq. Тогда
I /fro/) ~ Swfro/) I < 0q(t0/). i Ф jq, A.3.20)
где 6q(r0/) = I q — f0/1"* 0fro/), * величина 0(гО/) им«?ег га/о/е же свойства,
как в неравенстве A.3.7). Поэтому для величины 6q(t0/) неравенство
A.3.8) выполняется для всех точек f0/, лежащих в множестве [а + 5,
q — 6]U[<7 + 6,b — 8], и выполняется неравенство A.3.9), в котором
суммирование слева надо вести по всем j ?=jq.
§ 4. Сингулярный интеграл по кусочно-гладкой кривой
1°. Пусть L является разомкнутой кривой Ляпунова, т.е. между точками
г кривой L и точками f отрезка [а, Ь] существует взаимно однозначное
соответствие г = г(Г) такое, что производная r'(f) - drldt принадлежит
классу Н(р) на [а, Ь) и не обращается в нуль на этом отрезке. В этом
случае, как было отмечено выше, функция
wit, t0)
T(t) -Tit0)
принадлежит классу Н(&) по обеим переменным на [а, Ь] и не обращает-
ся в нуль на этом отрезке.
Возьмем на отрезке [а, Ь] множества Е = {tk,k=\,...,n)^EQ- {tо*,
к = 0, 1, . . . , п), образующие каноническое разбиение этого отрезка с
шагом п. Тогда скажем, что множества Е = {тк = ritk), к = 1,. . . , п) и
^о = {ток s г (г о*), к = 0, 1, . . . , п) образуют каноническое разбиение
кривой L с шагом /?. Введем еще обозначения а~ = Tia), b = т(Ь) и Sn (r0/ )=
« фк)Ьтк
= ? , где Атк= T(f* + i)-r(f*).
* = i тк-т0/
Справедлива следующая
Теорема 1.4.1. Пусть у (г) принадлежит классу Н* на разомкнутой
кривой Ляпунова L и множества Е = {тк, к = 1,. . . , п) и Ёо = ( т0*, к =
= 0, 1, . . . , п) образуют каноническое разбиение этой кривой с шагом п.
Тогда выполняется неравенство
!/(rO/)-S,,(To/)l < SiTof). / = 0, 1 п, A.4.1)
где величина 0GО/) удовлетворяет неравенствам A.3.8) и A.3.9). При
этом величина 0(гО/) определяется формулой A.3.14), если в ней заме-
нить rjUo/, ^, ц) "а функцию т?G0/, v, ц) = | т0/ - а~\~и\Ь — т0/ I~M t/
а- на число X = min (a, i$, /i^).
26

Доказательство следует из формулы замены переменной в сингулярном
интеграле и суперпозиции функций класса Н [78].
Если v = О или ц = 0, то для величины 0(гО/) в неравенстве A.4.1) надо
произвести те же изменения, которые были указаны в замечании 1.3.1
для величины 0(fO/) в неравенстве A.3.14).
При рассмотрении только точек г0/, лежащих в окрестности, скажем,
конца а" кривой L, неравенство A.4.1) можно уточнить следующим об-
разом:
J
L
ф)с/т
J
L T-Tqj * = 1 Тк -То/
h
А
I То/-а Г I Го/ — а |2
71"" /7 I
— О(|1п/7|). A.4.2)
|то/-а|
2°
2°. Пусть теперь кривая L является кусочно-ляпуновской кривой,
имеющей только угловые узлы, и состоит из / штук кривых Ляпунова
L !,...,/./. На каждом из отрезков [aw, bm],отображающемся на кривую
Z.m, л? = 1, ...,/, возьмем каноническое разбиение с шагом hm, образо-
ванное множествами Ет = {tktk = пт_ , + 1, . . . , пт) и FOw = {^о/./ =
япт. 1 +0,лт_| + 1f ... ^п^^.^о = 0*). Обозначим
Л = max /?m
и будем в дальнейшем предполагать, что hlhm < R < +°°. В этом случае
и величина hp/hm при любых ш, р = 1, ...,/, остается ограниченной при
/? -+0. Обозначим теперь
фк)Атк
S(tOj) = Z , / = 0, 1,..., г*!, л, +0 п2, п,,
^ir,-r0/ A43)
*т* = Тк + \ -тк . к=\ п, , кФпх п, ,
Аг = пт,, + 1 пт, TOj = Tm(tOf), j = nm_x +0 пт,
гдетт(Г) - отображение отрезка [ат,Ьт] на кривую Lm =Jmbm.
При описанных предположениях справедлива
Теорема 1.4.2. Пусть функция ${т) ? /У*на кривой L. Тогда
|/(to/)-S(to/)| < Oiroj). j =0,1 пь а?, + 0 л,, A.4.4)
где величина 0(го/) удовлетворяет неравенствам:
1) для всех точек т0// принадлежащих кривой С, являющейся частью
L, не содержащей ее узлов вместе с некоторой их окрестностью,
Л ,<1; A.4.5)
2) для всех точек т0// лежащих в окрестности узла I,
0(то/) < + — + O(|in Л |), A.4.6)
hT0/-a Г I т0/-a |2" I r0/- a | !
*)Это означает, что индекс/, нумерующий точки множества Еот на кривой Lm.
пробегает значения 0,1 пт — пт _ i.
27

если функция *р (т) имеет в этой окрестности вид
где
т-а
A.4.7)
Причем если v = 0, то правая часть формулы A.4.6) принимает вид
-а|
O(\\nh\).
Наконец, отметим, что из A.4.5) и A.4.6) следует справедливость
неравенства
2 0(тО/)
1
0 < Х3
1.
A.4.8)
Доказательство. Можно записать
/) - S(TOf) |< 2 | /w (т0/) - Sw (Toy) L
tn — 1
где
(To,)
к =nm _ | + I T/f — To/
Пусть точка т0/ e Lp П Lf. Тогда к модулю |/w(t0/) - Sm(roy)l
при т = р можно применить неравенство A.4.1), а для т Фр можно ис-
пользовать обычную формулу прямоугольников. Отсюда следует спра-
ведливость неравенства 0.4.5). Докажем теперь справедливость нера-
венства A.4.6). Пусть а является общим концом гладких кривых
L 1, . . . , Z.,i, /| </. Для точек т0/ из окрестности узла а"можно написать
Так как все кривые Lx, . . . , L\x являются кривыми Ляпунова, то
для модуля I/p(ro/)-SpG0/I при т0/ ^ Lp, 1 <Р < /|. справедливо
неравенство A.4.2). Поэтому надо рассмотреть теперь | /ш (т0/) — 5m ) I
при^?= 1,... J
. Имеем
с/т -
- го/
- То/
с/т
к- пт _1 + 1 Tf( Tq/
где через b обозначен другой конец кривой Lm и имеется в виду,_что ну-
мерацию точек тк на этой кривой можно выбрать так, чтобы точка а явля-
лась начальной (по направлению счета) на кривой Lm.
В [78] показано, что если функция ф(т) однозначно определена на L
и принадлежит классу Н{ц) на каждой из гладких дуг, сходящихся в
28

конце а, то_эта функция_принадлежит классу И (ц) на L во всей окрестно-
сти точки а, если узел а является угловым для кривой L. Отсюда полу-
чаем, что функция |а~-тГ,0<^<1, принадлежит классу H(v) на всей
рассматриваемой кривой. Учитывая неравенство A.1.2), сведем оценку
для модуля 11т (т0;) - Sm (т0;) \,тФр, к оценкам интегралов вида
ъ dt
f A.4.9)
a (f-a)vir-fo/)
при r0/ < а < b. После того как оценим эти интегралы, возвращение к
переменной г произведем по тому же неравенству A.1.2).
В [34] показано, что для функции
(Ь-хI-» ь dt
К(х,а)
/
при х<а и 0<ц<1 справедливо представление
К(х,а)
(а — хг sin цп
откуда
/ (г-аИг-г0/) <
при fо/ < Я/ 0 < ^ < 1 и
A.4.10)
A.4.11)
П.4.12)
/
dt
"^
A.4.13)
'(—)¦
\a-toi/
Неравенства A.4.12), A.4.13), а также рассуждения, проведенные
при доказательстве неравенства A.3.7), показывают справедливость не-
равенства A.4.4).
Заметим, что для функции i(r), принадлежащей классу Н* на L, т.е.
функции вида
*{т) - Ш/РЦт)
(см. A.1.5)), всегда можно считать, что ф{т) обращается в нуль в узлах
кривой L и принадлежит классу Н в окрестностях узлов.
Отметим также, что все дополнения, сформулированные после доказа-
тельства теоремы 1.3.2 относительно выбора сеток ? и ?0 и функции
$(t, r), зависящей от параметра (см. A.3.16)), естественным образом
обобщаются на рассматриваемый случай.
Выделим теперь два частных случая теоремы 1.4.2, которые потребу-
ются в дальнейшем.
Теорема 1.4.3. Пусть кривая L является объединением отрезков
[a, q] и [q, b], a y{t) принадлежит классу Н*на L (а < q < b). Множества
Е = {*к, к = 1,. . . , п) и Ео = {tOk, к = 0, 1, . .., п), образующие разбие-
ние отрезка [а, Ь] с шагом h, выберем так, чтобы точка q лежала посреди-
29

не между ближайшими к ней точками из множеств Е и Ео. Тогда
« 0fto/), / = 0, 1,. .. ,п,
( = \ tk - f0/
где величина 0(гО/) удовлетворяет неравенствам:
1) 0{tOj) < О6 (Лх»), 0 < \Х < 1, для всех точек f 0/ ? [а + 5, gr — 5] U
Ufo + б.Ь-б];
2) 2 e(toj)h<0[hx*), 0 < Х2 < 1.
Теорема 1.4.4. Пусть L является или объединением непересекаю-
щихся отрезков [ат, Ьт], т = 1,. . . , I, или объединением отрезков
[*w. Qm). [Яш. Ьт], qm е {ат, Ьт), т = 1 /. Если выполняется пер-
вая возможность, то множества Ет = (г*, *ялт_! + 1,..., пт) и ЕОт =
= {*ок* к = пт „ i + 0, . . . , пт} образуют каноническое разбиение отрезка
[ат, Ьт] с шагом hm, т = 1, . . . , /, п0 = 0; если же выполняется вторая
возможность, то эти множества выбираются так, чтобы qm E ?От. Тогда
, /=0, 1, . . . ,ПХ, /7, +0, . . . ,nh
С __ 2
/. Г-Г0/ * = 1
где Atk = hm, k = nm__i + 1, . . . , nm, m = 1,. .., /, и величина в (t0;) удов-
летворяет неравенствам:
1) 0(fo/) <O(^»),0<Xi < 1, для всех точек tofe U [зт+6Л„-6],
т=1
если выполняется первая возможность для L, и f 0/E U ([aw + б, qm — б]и
т = 1
^ [Qm + ^» ^т ~ 5]), если выполняется вторая возможность;
2) 2 0(
/=о
• • • >nm, h = тах ^т ^ предполагаем h/hm < /?< +<»
т = 1 /
§5. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта
Рассмотрим интеграл
2п в -в0
° о 9 2
где <ii @ )- функция с периодом 2я.
Хорошо известно [78] равенство
y(t)dt 1 2я в -в0 f 2п
f = — / ctg ^Wcie*—! *x@)d6, A.5.2)
z.f-fo2o 2 2o
где Z. — окружность радиуса единица с центром в начале координат, t = eie,
Пусть функция i (г) принадлежит классу И на L и множества ? = { f* =
= *'**, /г = 1,... ,п) и ?0 - (гОдс =е'в°к, к = 1 л } образуют канони-
30

чес кое разбиение L. Тогда
*(tk)Atk = «
л *(tk)Atk _ п ф'"*)е'°к (е'*0*-})
2
n
Авк
i
Mc
\
i ек -0О, , к
= 2 l,(9*Mctg ^+/)/sin2 +
\ 2 /\ 22
где Авк = 2-п/п.
Из формулы Тейлора имеем
Следовательно, получим равенство
П sfi(tk)Atk 1 П ifixtt
к=\ tk-t0/ 2 * = i tqFk -вО;)/2 2 к=\
A.5.3)
Так как левая часть равенства A.5.3) хорошо приближает левую часть ра-
И 2п
венства A.5.2), a I ^i (вк)Авк хорошо приближает интеграл/ <fl@)d6t
к = 1 О
тс получаем справедливость следующей теоремы.
Теорема 1.5.1. Пусть функция #х(в ) G Н на отрезке [0, 2я ] и имеет пе-
риод 2я. Пусть точки Е = {вк,к = \, .. . ,п) и Eq = {вОк, к = 1, . . ., п)выбра-
ны на [0, 2я) следующим образом: вк + \ - вк = 2п/п =h, к = 1 п - 1,
el+2ir-~Qtl=h, вок=вк+п/2 , * = 1,...,л, т.е. точки tk = el6k utOk = e'°ok,
k = 1,.. ., n, образуют каноническое разбиение L. Тогда справедливо нера-
венство
A.5.4)
Л Л
„@о/}= Z ctg * " °f
k = l 2
Отметим, что функции ^ (г) и ^, @ ) принадлежат одному классу И(X)
каждая на своем множестве.
§ 6. Соединение квадратурных и разностных формул
В аэродинамике [21,112] приходится рассматривать интегро-дифференци-
альное уравнение Прандтля, в котором имеется интеграл
ъ y'{t)dt
/(fo)=/ . d.6.1)
a t -t0
где функция у' (t) принадлежит классу Н*на [а, Ь], г0 ? (а, Ь), т.е.7 it) при-
надлежит классу Н\ на [а, Ь].
К интегралу A.6.1), если 7'(?! ?#* на [а, Ь], можно свести интеграл
ь y[t)dt
'B)(Го>=/—-Г . A.6.2)
а (Г- t0)
31

который понимается в смысле конечного значения по Адамару
(y(t)dt 27 (г0) \
/ + ), A.6.3)
L. (Г-ГоГ € }
где L0 = L\Q(e. г0), Q(e, г0) = (Го - е, 10 +б).
Из формулы A.6.3) получаем, что
у(а) у(Ь) ь y'(t)dt
а — Го о — Го <i Г — Го
Построим теперь квадратурно-разностную формулу приближенного вычи-
сления интеграла A.6.2). Пусть множества ? ={ г*, к = 1,..., п } и ?0 =
= {*ок, к = 0, 1,..., п) образуют каноническое разбиение отрезка [а, Ь] с
шагом h. Результаты § 3 гл. 1 для сингулярного интеграла по отрезку пока-
зывают, что для интеграла A.6.2), в силу формулы A.6.4), естественно рас-
смотреть квадратурную формулу
п y'(tk)h уф) у[а)
S(fO/)= 2 — —+ -^— , / = 0,1 п. A.6.5)
к - 1 Г* - Г0/ b - Г0/ а - Г0/
Сходимость квадратурной формулы A.6.5) к сингулярному интегралу
A.6.1), а следовательно и к интегралу A.6.2), исследована в § 3 гл. 1.
Построим теперь для интеграла A.6.2) еще следующую квадратурную
сумму:
5B)(г0/)= ? y(tQk)\ ? ]. / = 0,1 п A.6.6)
(где Го = а, Г„+1 = Ь), которая получается следующим образом:
ъ y(t)dt n r* + i y(t)dt
J 2 /
— Г0/> ^ = 0 тк (Г-Г0/)
dt
2
y(tOk)
/ :^ y(Ok)\
tk (f-Го/Г ^ = 0 Lr^-Го/ tk+x-tOj
Из результатов § Згл.1 и формулы A.6.4) вытекает справедливость следу-
ющей теоремы.
Теорема 1.6.1. Пусть функция y(t)€H* на [а, Ь] и точки fo = а, Гь...
..., Г„, Ги+1 =Ь разбивают отрезок [а, Ь]нап + '\ равных частей, a tok является
серединой отрезка [tk, tk +1 ], k = 0, 1,..., п. Тогда для любого j = 0,1,...
..., п выполняется неравенство
I'B)M -SB)('o/> I < 0(fo/). <1-6-7>
где величина в (Г0/) обладает теми же свойствами, что и в теореме 1.3.2.
Отметим, что квадратурные формулы вида 5B)(Го/) можно строить и для
интеграла
ь y(mUt)dt
/fro)s/- A.6.8)
а Г-Го
следующим образом. Представим
ь
J
fl Г - Го k=l tk-tOj k=l tk - Г0/
32

В последней сумме заменяем т*т **(*<>*) по разностной схеме G*w
— у(т-2) (tok_x)) Ih . Продолжая этот процесс, получим
ь y(m)(t)dt n
f ~ * 2 y(tok)comk/. A.6.9)
a t-tOf *=1
причем считаем, что?*" ^ttoo), • • • , 7(O)(foo) =7(^00) входят в со™/, т.е.
их не заменяем по разностной схеме (см. [72]).
ГЛАВА 2
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта
Для построения квадратурных формул для интеграла
й й
/@о)= / ctg— ^~ф)<Ю, еое[-п.п]. B.1.1)
-п 2
напомним следующие факты.
В [69] доказаны равенства
2* в -в0
f ctg immddd =2ncasme0, m = 1, 2,..., B.1.2)
о 2
2п в -во
f ctg cosmBdS = -21г$\птв0, т = 0, 1,... B.1.3)
о 2
В тригонометрии известна формула
s;nBn + 1) @ -0*)/2 1
=— +со$@ -0*) + .. .+совл@ -0*), B.1.4)
2sin@-0*)/2 2 *
поэтому для любой периодической функции i @) тригонометрический по-
лином степени п
$inB/7 + 1)@ -0И/2
sin@ —
B*1-5)
удовлетворяет условию
^@*), А: = 0, 1 2п. B.1.6)
если
2* 2тг
0*=^ + -я, 0<Р< , ^ = 0#1 2л.
2п + 1 2/7 + 1
Для этого достаточно заметить, что
2л +1 2*
sin <* = 0 при а= я, Аг = О, 1 2л,
2 2л + 1
$тBл 1)а/2
lim =2л + 1. B.1.7)
а - о sin а/2
3. СМ. Белоцерковский 33

Квадратурную формулу для интеграла B.1.1) будем строить следующим
образом:
2* 0-0О
S@O) = f ctg
о 2
ctg 2
2
/ gp@*)
о 2 k = о 2л + 1 sin@ -0*)/2
1 2" 2» 0-0o
Теперь, используя B.1.2) — B.1.4), получим
2ir 0 — 0О sinB/7 + 1)@ — вк)/2
2/ ctg — *—d$ =
о 2 sin@-0^)/2
Г 0*-0о cosBn+ 1)@^-0о)/21
rr ctg , - .
[ 2 sin@*-0o)/2 J
B.1.9)
На последнем этапе в формуле B.1.9) использовано равенство
— + со$0 + . . . +cosn0 +/[sin0 + . . . + sinn0] =—+e/e + . +eine =
2 2
sinBn + 1H/2
2 sin 0/2
/Г 0 cosBn +1H/2 1
н— ctg— I B.1.10)
2L 2 sin 0/2
В силу B.1.9) формулу для S@O) теперь запишем в виде
2" Л Г 0*-0о cosBn + Щвк -0о)/2 1 2я
S@O)= 2 <i@*)lctg . B.1.11)
к = о L 2 sin@A- - 0о )/2 J 2п + 1
Отметим, что квадратная формула B.1.11) точна для любого тригоно-
метрического полинома степени п, так как в этом случае <Рл@) = <р@),
и формулы B.1.8), B.1.11) дают точное значение интеграла/@О).
Пусть теперь функция </>@) принадлежит классу Нг(а) на [0, 2я], т.е.
), и является периодической. Представим ее рядом Фурье
— + 2 (ак соькв + Ьк sin*0).
2 *=i
Тогда функция /@О) имеет следующее разложение в ряд Фурье (см.
[69]):
оо
П' ^^ ^ (O^COSac/o "" 3^Sin Aft/Q} • I^.I.IZ/
Обозначим через Фп@) сумму первых п членов ряда Фурье для функ-
ции ^@), а через Фп(/(в0)) — соответствующую сумму для /@о).Так как
сингулярный интеграл по окружности сохраняет гладкость своей плот-
ности [34], то в силу A.5.2) интеграл /@О) обладает теми же свойствами
гладкости, что и функция <р(в), поэтому в рассматриваемом случае /@О) €
34

G Hr(a) на [0,2я]. Оценим точность квадратурной формулы B.1.11).
Имеем
2* в -в0
l(eo)-S@o)= / ctg
о 2
/ctg ——
о 2
2» Г 0*-0о
2 [Ф„(вк) -*(вк)) ctg
1 2тг
J 2л + 1
2 sin@*-0o)/2
B.1.13)
В [20] показано, что в нашем случае
B.1.14)
для любого 0 из [0,2эт],где Еп— наилучшее приближение функции
\р(в) полиномами степени п, т.е. Еп = inf max |<p@) - ^„@I,
р„(в) ве(о,2я1
где РпF) — произвольный многочлен степени п, и
12r+lAf
Еп < -jzr . B.1.15)
где М — константа в условии Гельдера для функции ^г)(в). Для
|/@о) — Фя(/@о)I выполняется неравенство вида B.1.14), так как
1(во)еНг(а).
Таким образом, из формул B.1.10), B.1.13) — B.1.15) получаем
/ 3 + 1пл+л \
|/@o)-S@o)l<O—— B.1.16)
для любого 0О € [0, 2я].
Рассмотрим теперь формулу B.1.11) в точках
я я
вк + , Аг = 0,1 2л, если О<0< ,
2л+1 2л+ 1
B.1.17)
я я 2я
$к f * = о, 1, ..., 2л, если <0< .
2л+1 2л+1 2л+ 1
В этом случае точки вОт, т = 0, 1, ... , 2л, являются корнями функции
2л+ 1
cos @*-0о). так как
2
2л+ 1 Г 2л+ 1 2(*-л?)+ 1 1
cos [вк — 0ош ) = cos I " я I = 0.
2 12 2л + 1 J
Отметим, что
1 2(*-л?)±1
$iny<0fc-0om>-«n 2 ¦ ^^0 B.1.18)
для любых т, к = 0, 1,. .., 2л.
3*
35

Таким образом, в точках 0От
S@Om)= S ctg * " °W <р@») — . B.1.19)
* = o 2 2л + 1
В этом случае формула B.1.16) принимает вид
/ In л \
I /(вот ) - SFOm) | < О ( —^ ) . B.1.20)
ибо, как несложно показать,
2л
I
*=0
ctg
00m ~~
2л
2л + 1
= 0Aпл) B.1.21)
при т = 0, 1 2л.
§ 2. Сингулярный интеграл на окружности
Пусть функция ip(t) принадлежит классу И, (а) на окружности L единич-
ного радиуса с центром в начале координат. Рассмотрим для нее следующий
многочлен:
2л+ 1 * = о * (t-tk)tntnk
где точки tk разбивают окружность L на 2л + 1 равных частей. С по-
мощью деления многочлена на многочлен несложно показывается, что
«At (f*)я ^(** ). * = 0. 1 2л, B.2.2)
так как
1 r2rl+1 -r*2fl+1 f 1. f=r*, * = 0,1 2л,
= B.2.3)
2л+1 (t-tk)tntk @, t - tm, тФк, т = 0, 1 2л.
Последнее равенство следует также из соотношения
sin Bл+ 1H/2
= 1 + 2(cos0 + . . .
sin0/2
1 ^. . . e
1 -r
и формулы B.1.17).
Из формулы B.2.4) получаем
B )@0)/2 2r?+1
B.2.4)
B.2.4a)
Vk )U [t - tk)t tk
Рассмотрим теперь сингулярный интеграл
/Uo)= /- .
где \p{t)€: Hr(a) на окружности L. Обозначим через Sit^) функцию
S(to) = f ^' Г f = I *(tk) f X^— . B.2.5)
L f-r0 2л + 1 * = o L {t-tk)tntnk r-r0
36

Используя формулу [34]
1 tndt [ f?, n>0,
— f = „ B.2.6)
) и очевидное тождество
1/1 1 \
, B.2.7)
f о - tk \ t - t0 t-tk)
(где t = e'e, to=eie°) и очевидное тождество
1
(r- tk)lt-t0)
получим
/
(t-tk)t"tnk t-t0
i г t2n+l-t2n+l dt t2n+l-t^n+1 dt i
tk-t0 [L ft"k t-tk "/ ?~i"k t-t0 J
1 • Г* Г* Г* • Г° Г^
я/ - m — .
tk-to I fj? tZtg J
B.2.8)
Таким образом, в качестве квадратурной суммы для интеграла /(f0 ) берем
сумму
2п yp(tk) тг/ Г f?w+1 + г?"+1 1
S(fo) = I -^ 2tk —^ . B.2.9)
к = о tk — f0 2,, + 1 L tо fj J
Заметим теперь, что если \p{t)EHr{a) на Z., то функция ^i {в) = v?(erd)
также принадлежит классу tfr(a). Далее, имеем
о s\ni6-ek)l2 о к
. .. + 2cosn@ — вк))сЮ - 2я. B.2.10)
Поэтому
2ir 2п
Z ^(9*)
Дс = 0 2/7+1
«,
(-!,).
Используя теперь формулы A.5.2), B.1.16) и B.2.11), получаем справед-
ливость неравенства
Aпл +/? \
—7^Г1- B.2.12)
Найдем теперь корни функции (r?w+1 + ^w+l )/(t?^ (r0 - ^)), для чего
заметим
0^j/2^ B.2.13)
Следовательно, корнями рассматриваемой функции будут точки
tom - exp |0m + -^Yj' л» - 0f 1 2л,
37

т.е. tok делит пополам дугу tktk+x. Поэтому для выбранных точек tom
будем иметь
S(tOm)= 2 -!— —, m = 0, 1 2л. B.2.14)
* = 0 tk - fOm 2n + 1
Теперь, используя тождество
1 $k0om 1 . ,oo«ci
— ctg + —/. B.2.15)
2 2 2
можно написать
2я
_ 1 Г 2» 0* - вот . 2" 1
2 U = ° 2 * = ° J - B.2.16)
Окончательно из формул A.5.2), B.2.11) и B.1.20) получаем
I '(ton,) - S(tom )\ < О [-^ у т = 0, 1 2л. B.2.17)
§ 3. Сингулярный интеграл на отрезке
В этом параграфе будем рассматривать интеграл вида
} oo(f)tf/(f)c/f
/(а, А Го)= / !!^ , B.3.1)
-1 t - Го
где со(Г) = A -х)аA +хH, О<|а|,|0|<1, функция \//(г) принадлежит
классу НГ(Х) наотрезке [-1, 1], т.е. ф(г)(г)еН(\) на [-1.1].
Так как в аэродинамике и других приложениях наиболее часто встре-
чается случай а, /3 = ±1/2, то эти интегралы рассмотрим более подробно.
Вначале дадим наиболее в настоящее время распространенное построение
квадратурных формул для интеграла B.3.1) общего вида [51, 67, 91, 95].
Пусть Pn[t) — многочлен степени п из системы {Ят(х), т = 0, 1, ...}
многочленов, ортогональных на [—1, 1] с весом со(х), где под со(х)будем
пока понимать любую положительную интегрируемую на [—1, 1] функцию.
В этом случае интеграл B.3.1) будем обозначать /(Го). Через Г/, / = 1, ...
. .., п, обозначим корни многочлена Рп (t), а через фп (г) — многочлен
ф„Ц)= 2 *(г») ^Ц . B.3.2)
который, очевидно, удовлетворяет условию
*«('*)- *(«¦*). *-1 «. B.3.3)
так как
hm
Через S(f0) обозначим квадратурную сумму, получаемую следующим
образом:
J. шМфя{г) »
5(fo)= / —— dt= 2
38
t-t0 * =
B.3.4)
? »fa) Г Q,,(ffc) Ow(f0I

где введено обозначение
опМ, / *"»_'¦''"* , в„,
Пусть теперь tOm, т = 1,...,/?,- корни функции О„ (Го), тогда фор-
мула для S(t0) в этих точках получит вид
S(tOm)= 2 ^Ч л>=1 Я, B.3.6)
где
а* = " Г* . *= 1 л. B.3.7)
В работе [51] доказано неравенство
|/(rOm)-S(fOm)l< —?„-^A), B.3.8)
я
1
где a(f) = / <jo(r)dr, a ?n_i — наилучшее приближение функции ф'(т)
многочленами степени п-1. Поэтому если функция ф (Г) G А/Г(а) на отрезке
[-1, 1],то ?„_! <О(л~г"а+1), причем в [46] указаны точные константы
в неравенстве для Еп_г. В работе [95] показано, что S(tOm) =/(tOw), ког-
да ф{г) является многочленом степени не более 2л. Теперь укажем конк-
ретный вид формулы B.3.6) для случаев, когда а,/3= ±1/2.
1°. Пусть а = 0= —1/2, т.е. в этом случае
w(t)= О-Г2)'2. B.3.9)
Многочленами, ортогональными с этим весом на [—1, 1], будут много-
члены Чебышева первого рода, т.е.
рпМ = Тп(Г) = cos (л arccosr). B.3.10)
Корни многочлена Тп (Г), являющиеся узлами квадратурной формулы
B.3.6), имеют вид
2*-1
tk = cos л, /г=1 л, B.3.11)
2л
а функциями Qn{t) будут
О„(Г)= я^_,(г), B.3.12)
sin (л arccos f)
sin (arccos r)
которые являются многочленами Чебышева второго рода. Корни функции
Qn (r) в этом случае имеют вид
fOm = cosmn/n, m = 1,.. ., л — 1. B.3.13)
Так как очевидно соотношение
T'n(t) = nUn-X(t). n= 1,2 B.3.14)
39

то из формулы B.3.7) получаем
ак = я/л, *= 1,2 п. B.3.15)
2°. Пусть теперь а = 0 = 1/2, т.е.
co(r) = Vi -f2' B.3.16)
Многочленами Pn(t) в этом случае будут многочлены Чебышева второго
рода, т.е.
sin [(л + Darccosf]
PJt) = , B.3.17)
sin(arccos t)
с корнями
к
г* = cos я, fc=1 п. B.3.18)
п+ 1
Для функции Qw(f) получим формулу
* sin в sin (п +
/
О
COS0 -
sinпво - sin (п + 2HО
= 7Г 7TCOS(A7+ 1Hо. B.3.19)
sin 0O
Таким образом,
Qnlto)= яГя+,(Го». B.3.20)
поэтому
2ш- 1
я, /11=1 л + 1. B.3.21)
ow
2(п +
Теперь в силу формулы B37) имеем
я „ ^
а*. = sin2 я, ^ = 1 п. B.3.22)
п+ 1 л + 1
3°. Наконец, рассмотрим случай ос = 1/2, 0 = -1/2, т.е.
B.3.23)
1 +х
В этом случае в качестве многочленов Рп (г) надо брать многочлены
с корнями
2к
tk = cos я, ^ = 1# 2 п. B.3.25)
2г? + 1
Для функции Qn (r) будем иметь
Оя(Г) = я((У||(г)-(Уя.,(г)). B.3.26)
40

Корнями этой функции являются точки
2т- 1
tOm = cos я, m=1 п. B.3.27)
2п + 1
Для коэффициентов ак получим
4я к
ак = sin2 я, к = 1 п. B.3.28)
2л+1 2п + 1
Отметим, что для случая 1° в работе [93] доказано неравенство
Сг\пп
\lito)-Sito)\<
если функция ф{г) €/Уг(а). Здесь т? = A + | г0 !)/2# а константа Сг не зави-
сит от п, t и \j/. В работе [110] в этом случае получена более удобная
оценка
. Inn
|/(fo)-S(fo)i!
ГЛАВА 3
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРАТНЫХ
И МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. кратные интегралы типа Коши
Пусть Z.,,..., Ln — кусочно-гладкие плоские кривые. Следуя [34], назо-
вем остовом топологическое произведение этих кривых и обозначим
его L, т.е. L = L х X .. . X Ln. Возьмем функцию \р (г) = \р (Г1,. . ., tn),
заданную на остове L. Точку t = (г1,..., tn) назовем внутренней точ-
кой остова L, если точка tk не является узловой точкой кривой Lk,
к = 1,..., п. Пусть точка f0 — внутренняя точка остова L. В плоскости
кривой Lk опишем окружность радиуса €к с центром в точке f* и через
1к обозначим часть кривой Lk, лежащую внутри этой окружности (ек пред-
полагается настолько малым, что Iк — гладкая разомкнутая дуга).
Интегралом типа Коши (кратным сингулярным интегралом) от функ-
ции sp (Г1,. .., t") по остову L в точке Го = (?о. • • •. ?о) будем называть
предел
r sf(tl tn)dtl...dtn
Ф(Го)= lim / — — . C.1.1)
€,. . .€„-0 Lm (Г1 -fi) ..At" -и)
L. =(Z.,\/i)X ...X (Ln\ln),
где 6j,. . ., en стремятся к нулю независимо друг от друга.
Указанный предел будем обозначать
ф1 t")dt1.. .dtn ^{t)dt
Ф(Го>= / , , — = / C.1.1а)
L,X..,XLB (Г1 -tl0)...(t" ~tS) L Utt))
где ((f-ro)) = (r1 -th) •• .-it" -rort), dt = dtl ...dtn.
41

Так же, как и для одномерного сингулярного интеграла, показывается,
что Ф(Г0) существует в точке t0, еали функция^ (г) =</> (f1,..., tn) удов-
летворяет условию /У в некоторой окрестности точки г0 = (Го,..., Го)
остова Z.. С другой стороны, формула C.1.1), дающая определение Ф(Г0),
позволяет рассматривать кратный интеграл типа Кош и как повторный
интеграл, т.е. можно записать
l(t! tn)dt\..dtn
XXL (f1 г?)(г" t%)
Покажем это на примере функции двух переменных. Пусть функция
\р (tl, t2) удовлетворяет условию Жм i, М2) на Z. i X Z. 2. Введем обозна-
чения [34]
Для них справедливы формулы
Из последних двух неравенств имеем
1^1210*121^ -rotaMllr2-r?lA"a)M2, 0<а< 1. C.1.4)
Отметим еще тождество
Поэтому
я т;''..'I?.,"'.,. =,/
Я
-tl0){t2 -tl) L2 t2 -tl Lx tX -f0
spl2dtldt2
(f2 -
/., tl ~tl0 L2 t2 -t20
Все интегралы справа в формуле C.1.5) существуют или как обычные
несобственные интегралы, или как одномерные интегралы типа Кодш.
Формула C.1.2) позволит перенести на кратные интегралы типа Коши
многие свойства одномерных интегралов типа Коши. Для этого вначале
рассмотрим одномерные сингулярные интегралы, плотность которых
зависит от параметра г
г уit, T)dt
Ф(Ги,г)= / C.1.6)
L t-t0
где ^ (f, г) удовлетворяет условию Н (ji) no t на L и условию И [v) по г
на ограниченном множестве Г.
42

Справедлива следующая
Теорема 3.1.1. Функция Ф(г0, т) удовлетворяет условию Н (ц,1> - е)
на множестве L' X Т, где L' - гладкая часть линии L, не имеющая с ней
общих концов, а е > О - сколь угодно малое число.
Доказательство. В [78] показано, что Ф(г0, т) удовлетворяет
условию Н {ц) на L' при т € Т. Остается показать, что по г эта функция
удовлетворяет условию Н (v - е) при любом г0 ? L.
Рассмотрим разность
$(t, Т +/?) -yf{t, T)
Ф(Го,т + /,) -Ф(го,т)= / - dt.
L t -t0
Введем представление [34]
fit, Т+Л) -f(t, T) =v?,
. Г) .
Поэтому можно написать
Ф(Г0,Г + /7) -Ф(ГО#Г)= /-^-с/Г+^2 /—^- = Ф|2 +Ф2.
/. Г - Го (. f - fо
Так как </>(г, т) удовлетворяет условию Н {ц, v) на L X Г, а /
i Г -f0
является ограниченной величиной на L', то
|Ф21< 0A Л|"). C.1.7)
С другой стороны, заметим по [34]
Из этих двух неравенств следует, что
l*i2l< ^i2lr-rotQM|/)|A-u)", а€[0.1].
Если взять а = elv, то получим
где в > 0 — сколь угодно малое число.
Из последнего неравенства для Ф, 2 имеем
|ф12,<|АГ / <С|ЛГ
2тг л If-fol1-^7" 6
Так как а заключено между 0 и 1, то 0 < е < v. Возьмем теперь такие
\h\, что 6=-1/ln|/?|< v, т.е. \h\<e~v' ; тогда получим
|Ф|2К С||ЛП1п|Л||. C.1.8)
Из оценок C.1.7) и C.1.8) получаем справедливость нашего утвержде-
ния для функции Ф(г0, г). Из теоремы 3.1.1 следует
Теорема 3.1.2. Пусть L - гладкая замкнутая кривая и функция
t (Г, г i, . . . , т,„) удовлетворяет условию Hi ц, vx, . . ., vm) на множест-
ве L m= L X Т\ X . . . X Тт, где Тк — ограниченное множество значений пе-
ременной 7k, k = 1, . . . ,/77. Тогда функция
. $(г,тх Tm)dt
Ф(Г0, г т,„) = /
/- Г - Го
удовлетворяет условию Н (ц, vx -e,,...f vm -em) на Lm, где ek - сколь
угодно малые положительные числа, к = 1 т.
43

Если теперь L является отрезком, то справедлива
Теорема 3.1.3. Пусть функция $ (г,т) имеет вид
C.1.9)
(t-a)v
где 0 < v < 1 и #* (t, r) G Н (а, /3) *з множестве [э, Ь) X Т, а Т - огра-
ниченное множество значений т. Тогда функция
#(t,T)dt
^(to.r)=(t()-a)uf C.1.10)
о (г -a)v{t0 -t)
принадлежит классу Н (\, Q - е) для всех точек {tOl т) G [а, с] X 7", где
а < с < Ь, 0< Л < 1, е > 0 — сколь угодно малое число.
Доказательство. Опять, как и в теореме 3.1.1, достаточно рас-
смотреть разность ?2(г0, т + /?) - ?2(г0, г'. которую аналогично функ-
ции Ф(г0, 7") представим в виде Г2,2 + ^2- Так как ^*(f, г*) G /Y(or, |3) на
[а, Ь] ХГ и так как функция
з<Го3>/^
о (r-a)^(ft) -f)
принадлежит классу И на [а, с], как показано в [78], то Ш21 < В\ h\ ^,
to ^ [а, с]. Аналогично рассуждая для 11 \ 2, получим при 0 < е < Д, что
|П|21< ВЛЬ\*-€е-х.
Два последних неравенства и результат [78] о том, что функция
Q (tо, 7") ? Н по f0 равномерно относительно г Е Т, завершают доказатель-
ство теоремы.
Замечание 3.1.1. Учитывая результаты [78], теорему 3.1.3 можно
обобщить на случай произвольной кусочно-гладкой кривой L, одним
из узлов которой является а, причем v - vx +vzi, 0< у, < 1.
Вернемся теперь к кратным интегралам типа Коши. Из теоремы 3.1.2
вытекает следующая
Теорема 3.1.4. Пусть функция # (tl,. . ., tn) удовлетворяет усло-
вию {принадлежит классу) Н {ц |, . . . , цп) на п мерном торе L = L\ X ...
... X Ln, где Lk, * = 1,...,л, - замкнутые гладкие кривые. Тогда син-
гулярный интеграл Ф{г10, fB,, . . ., t") принадлежит классу Н(ц^ - б, ...
...,/!„ — е) на L, где е > 0 — сколь угодно малое число.
Доказательство будем проводить для двумерного случая. Применяя
формулу C.1.2), представим Фи',, г?,) следующим образом:
Ф(Г^Го)= / i ; Vit\t20)= f — .
В силу теоремы 3.1.1 о сингулярных интегралах, зависящих от параметра,
получаем ^(Г1, t\) e Н{щ -е,ц2) и Ф!^, tl) e Н(цх -е,ц: - е).
Назовем теперь функцию «? (f) = \р (г1, . . ., tn) функцией класса Н*
на остове L = L{ X ... X /.„ (/.ь /г = 1 п, - плоские кусочно-глад-
кие кривые), если она имеет вид
.Pf(tn)
C.1.11)
где ^6WHat, P\\ (f*) = П If*- с* I V с* /* = 1 mk.-

все узлы кривой Lkv\vk= (*>* VmJ» 0< vu < 1' '* s1»- - ,Мк.
* = 1 п.
Теперь теорема 3.1.3 и замечание 3.1.1 позволяют сформулировать сле-
дующий результат.
Теорема 3.1.5. Класс Н* функций на остове L s Li X ... X Ln,
где Lkt Ar = 1,..., л, — кусочно-гладкие кривые, является инвариантным
относительно операции взятия кратного интеграла типа Коши, т.е. если
функция ур {t) принадлежит классу Н* на L, то и Ф(г0) принадлежит этому
классу на L.
Рассмотрим теперь вопрос о перестановке порядка интегрирования
в кратных интегралах типа Коши. При этом будем пользоваться форму-
лой C.1.2), представляющей кратный интеграл типа Коши как повторный.
Пусть
, 2 dtldtl *(tltl,tx,t2)dtxdt2
{Т ' l!L2 (fj -rx)(tl -r2) l!L2 (t1 -r?)(f2 -tl) '
где L\,L2 — кусочно-гладкие кривые, a i(to, t\, tl,t2) имеет вид
vk Xk vk Xk
*l = 1 ' ' *2 = l ' 'C.1.12)
где ip*[tOtt) удовлетворяет условию Н на L по to и г, t0 s (?o< ?o)» r =
= (Г1, f2) — точки на L, v\ , \\ , v\ , Х^ > 0 и v*k + XJ^ < 1, cj ,
Аг/ s 1,..., /П/, — все узлы кривой Z./, / = 1,2.
Представим /(г1, г2) следующим образом:
/(r!,r2)= r 7 '
^^o.tLt1,^) = /—^-^—^ • C.1.13)
L2 г -to
В силу формулы Пуанкаре—Бертрана [78] имеем
dtl &itl,tl,t]
/ Ti IT / II !
Lx Lx (t\ -r)(V -to)
Подставим последнее выражение в формулу C.1.13) и воспользуемся
выражением для ф и тем, что интегрирование по Lx и по L2 можно ме-
нять местами:
L, tl -Т2 L> t2 -t20
dtl 4>t(Tl,tl,Tl,t2)dt2
dtl 4>t(T,
L2 tl -Г2 L2 t2 -
45

Воспользовавшись опять формулой Пуанкаре-Бертрана для одномер-
ных интегралов типа Коши, окончательно получим
dtldtl <>{tl0,t2o,tl,t2)dtldt2 _
lJl, (fi -г1)(Го -т7) i.xi, (f1 -ri)(f2 -tl)
ff г 4>{tltlt\?)dt\>dtl
, (rj -Tl)itl -r2)(r' -tlHt2 -tl)
~ff /*
C.1.16)
Теперь легко методом математической индукции получить формулу
для перестановки порядка интегрирования в кратных интегралах типа
Коши любой размерности.
Теорема 3.1.6. Пусть функция </>(f) является функцией класса Н*
на остове L. Тогда справедлива следующая формула Пуанкаре-Бертрана
перестановки порядка интегрирования в кратных интегралах типа Коши
/ S /
/- ((f0 -T)U ((f-fo)) Р=0 *,^..^р = 1 ^, кр
Х j ^^. V тГ*. Д>»
к
где под dt^,,...,^ понимаем произведение dt, в котором вычеркнуты
сомножители на местах к{,. . ., кр, аналогично и для Lkx к , причем
если р = 0, то ничего не вычеркивается, a Ttki k означает, что вместо
координат tkx,...,tk надо поставить координаты Tki,..., тк {анало-
гично хГ0Дс,. ,кр)-
Из того, что для гладкой замкнутой кривой L выполняется тождество
/
L (t-to)(to -T)
для функции sp (tx,. . ., tn) E H на остове L (L t ,...,/.„- гладкие замк-
нутые кривые) следует справедливость тождества
dte\ tf(t)dt .
f 1— /- = (-п2)пф). C.1.18)
/. ((r0 -г)»/. ((Г-Г0))
§ 2. О некоторых сингулярных интегралах,
встречающихся в аэродинамике
В стационарной задаче обтекания крыла конечного размаха дозвуковым
потоком идеальной несжимаемой жидкости приходится рассматривать
интеграл [17, 21]
У\Х, Z) / Xq — X \
А{хо,го) = // ^A+ -~\dx dz. C.2.1)
о (zQ - z) \ \/(х0 — хJ + {z0 -zO/
46

где о — часть плоскости OXZ, занимаемая плоским схематизированным
крылом.
Прежде чем дать определение интегралу C.2.1), заметим, что интеграл
A.6.2) можно эквивалентным образом определить так (см. A.6.3)):
/ y{x)dx 27(хо)\
l = llm v S 1 ГГ Г—)* «3-2-2>
e-O\L\Q(€.to) (Хо -ХГ € I
Покажем, что интеграл /B)(х0) существует для любой функции 7(х) €
: Нх (а). Действительно, в этом случае
-7U0) -7'UoKx-Xo)l< ?|x-xoll+Of, C.2.3)
и справедливо равенство
* y(x)dx ь 7(Х) -7(х0) -t^xqXx-Xq)
а (х0 -хJ а (х0 -хJ
— X
В последней формуле первый интеграл справа существует как абсолют-
но интегрируемый несобственный, а третий существует в смысле главно-
го значения по Коши. Для второго интеграла имеем
.. / г dx 2\
hmo( { Г*—7^" т)
lim I
х0 -х
—L_ L_ . C.2.4)
€_0 \ хо — а хо~-о t e/ Xq — d Хо — э
Из приведенных выше рассуждений видно, что интеграл /B) (х0) опре-
делен и для любой функции 7<х) ? Hi, так как в этом случае у (х) ^ Нх
в окрестности любой точки х0^ (а, Ь). Если у (Ь) =7 (а) = 0, то имеем ра-
венство
/
а (ХО -хJ
Заметив теперь, что
/
(х-х0)* (-1)* I 1 -(-i
em-*-l
___!__]
можно определить интеграл
/(O
47

следующим образом:
yix)dx
/(m) Uo) = Mm /
e-0 [L\l
m-2 (_1
Uo-x)m
4 Л I i\^7—Ac— 1
где 7@) (x0) = 7<xo)- # % <= и •
Интеграл /(m)(x0) существует для любой функции у[х) е "ш-i,
так как в этом случае 7(х) € Яш _t в некоторой окрестности точки х0
и поэтому выполняется неравенство
I 7 (х) ~ 7 Uo) 7 ' Uo) (х - х0) - ...
1 - 1 +
... 7<"-i) (Xo) (x_Xo)m-i|< я|х-хо1 " а.
П7 — 1 / !
Для интеграла /(т) (хи) справедлива формула интегрирования по частям
* y(x)dx 1
tf Uo - Х) /77—1
0 — "J \Xy — a] a \X() — X)
Вернемся теперь к рассмотрению интеграла А {х0, ?о) и начнем с про-
стого случая, когда область о является прямоугольником: о =[-b, b] X
X [-/,/]. Интеграл А(х0, z0) будем определять, естественно обобщая
формулу C.2.2) :
Л(х0. *0) = lim // ;—dxdz-
e-Ol o\Q(€,z0) (Z0 -^)
2 1
/ ф(х, x0, z0, zQ)dx\, C.2.5)
где Q(e, -?o) = {(*, z) : k -zo|< €}; /,o = а П Z.Zq# a LZo - пря-
мая, задаваемая уравнением z =zOt и ф{х, x0, z, z0) = у{x, z) X
/
X 1 +
^ Л.
+ Uo-'J/
Теорема 3.2.1. Я рассматриваемом случае интеграл А (х0, г0)
шествует для любой функции у(х, z) такой, что у'г (х, z) = Э7(х,
принадлежит классу Н* на о.
Доказательство. Предположим вначале, что у. (х, z) {
на о. Тогда в силу формулы C.2.3) получим
о) — 7^ (х,-?о) (z -?о)\< B\z -zo| 1+Of. C.2.6)
Теперь формулу C.2.5) запишем следующим образом:
A{xo,zo) = Mm f dx\ f
f \ f
6-0 -ь Id {z0 -zJ
Ky (x, xO/^^o)
X Kl (x, xQfz,z0)dz +7(x/z0) / dz -
D bo-*)
/C, (x, xo,z,zo) 2
- У2 \x,zo)J dz 7U,
D ZQ - Z €
48

где D = 0(e,zo) = [~l,zQ -e] U [z0 +e,/],
x0 - x
Кi (x, x0, z,z0) = 1 +
\Лх0 -
(z0 -z)
2'
C.2.7)
Так как | /С! (x, xJr z, z0) | < 2, то в силу неравенства C.2.6) получаем,
что двойной интеграл под знаком предела, стоящий первым, является
абсолютно сходящимся. Далее, имеем
zQ -z
г —/
z =1
= 2ln
z0 + /
- In
г U, х0,/, *о
К2 (х, хо,Ч z0)
C.2.8)
где
F\ =F\ U, xo,z,zo) = 2ln|zQ -z[ - In | K2 (x, xOlz,zo) | ,
К2 = x0 - x + VU7- xJ + (z0 -zJ'.
Аналогично
dz =
_ 2
*,zo){
-x)
где
F2 ' F2 (X, X0, Z,ZQ)
Заметим теперь, что
x0 - x
К,
(x,x0,/, z0)
, -/, z0)
(Z0
(x0 -x) (z0 +/)(x0 -x)
C.2.9)
lim
y/(x0 -xJ
- I x0 - x |
6 (x0 - x)
- x)
=0, х0Фх.
C.2.10)
Формулы C.2.8) — C.2.10) показывают справедливость теоремы для
функций у (х, z) таких, что у': {х, z) G Н на а. Но из этих же рассужде-
ний видно, что она справедлива и для функций у(х, z), когда 7- (*, z) e
ен*нао.
Отметим теперь, что в данном случае А (х0, z0) можно записать в виде
повторного интеграла:
А (х0/ z0) = /с/х /
/ /
-Ь -I (ZO -Z)
(х, х0,
C.2.11)
причем во внутреннем интеграле можно провести интегрирование по ча-
стям, после чего получим
A (x0, z0) = /
, /,z0)
- f f
-ft (Z0 -/ ) (x0 - X)
x0 — x + v Ui
dz - f
х, х0,-
f
-ft (ZO + / ) (XO - X)
)
dx -
- xJ + (z0 - z)
3z
CM Белоцерковский
(x0 - x) (z0 -z)
dxdz,
C.2.12)
49

где введено обозначение
фх (х, х0, z, zQ) = у(х, z)K2 (х, х0, z, z0).
Если выполняется условие у(х, I) = у{х, —/) =0 (именно этот случай
нас будет интересовать в аэродинамике), то интеграл А {х0, z0) может
быть представлен в виде
dxdz.
Uo*o) / /
-ь -i bz (Xo_x)(Zo_z) C 2 13)
Пусть теперь область о ограничена прямыми z = -/ и z = /, а также
графиками функций х2 = х2 (г) > х, = хх (г), которые принадлежат клас-
су Нх на [-/, /1. В этом случае интеграл А (х0, z0) опять будем опре-
делять формулой C.2.5), только теперь она получит вид
А (х0, z0) = lim / 2 Х0/ 1' \° dz ф2 (х0, z0, z0) I C.2.14)
oL (zzJ J
Wj Uo.
Uo
y(x.z
, Z,
-z)
^o)
2
(x,
dz-
x0.
2
€
Z,
' Фг (*о
Zo)dx.
где
Фг
Видно, что A (x0, z0) существует, если функция Ъф2 Uo» ^, *o) Ibz G /У*
на [-/,/] равномерно относительно х0 и z0. Но такой критерий не очень
удобен для проверки.
Рассмотрим один более частный случай области о, который понадобится
нам в аэродинамике.
Определение 3.2.1. Назовем область а канонической трапецией,
если она ограничена прямыми z =-/, z =/ и прямыми
x'(z) = а0 + zb°, x*(z) = a1 + zbl, x*(z)>x"(z). C.2.15)
В дальнейшем, соответственно терминологии в аэродинамике [17],
будем называть х" (z) передней кромкой, а х+ (z) задней кромкой.
Сведем случай канонической трапеции к прямоугольнику. Для этого
рассмотрим отображение F прямоугольника D = [0, 1] X [-/,/] пло-
скости OX1 Z на область а, которое определяется формулами
|x = x(x\z) = х1 [x+(z) -x~(z)] + x"(z),
\z=z. <3-2-16»
При этом точка (xj, г0) перейдет в точку (х0, z0) = (x(xi, z0), z0).
Якобиан J отображения определяется формулой
J(z) = x"(z)-x"(z). C.2.17)
Для канонической трапеции а интеграл А (х0, z0) существует для любой
функции 7 [x.z) такой, что функция у2 (xlx1, z), г) G Н0 на прямоуголь-
нике D.
Для доказательства этого утверждения в формуле C.2.14) в интеграле
по х сделаем замену переменной, определяемую первой формулой в систе-
ме C,2.16). Получим
е C2.16). Получим
A (x(xb,zo),zo) = hm fdxl\f
е-о о [d
(z0 -z
2 , 1
X J(z)dz \Kx(x1,Zo),x(xJ,Zo),zo,Zo)*/(zo) . C.2.18)
J
50

Будем полагать, что функция \р (х1, z) = y{x(xl, z), z)J (z) принадлежит
классу Нх на D. Преобразуем формулу C.2.18) так же, как формулу
C.2.5). Для этого в C.2.7) заменим х на х*, у (х, z) на^ (х1 ,z), /С, (х, х0,
/, z0) на /С! (х(х!, z), х(х0, z0), *, z0). Так же как в формуле C.2.7),
надо вычислить интегралы, полученные из интегралов C.2.8) и C.2.9)
заменой функции I Kx (х, xo,z,zo)l<2 на /С, (x(x\z), х(х0, z0), z, z0).
Для этого вначале заметим, что
х (х1, z) = а (х1) + zb (x1), C 2 19)
а(хМ = а0 + х1 (а1 -а0), Ь (х1) = Ь° + х1 (Ь* - Ь°).
Из формулы C.2.19) получаем
x(xq, z0) - х(х*, z) = Х(х!, х0, *о)-(*о -z)b(xx), ^ 220^
X = X (Хо/ Zq)*"X(x , Zq)
Оказывается, что
x(xi,zo)-xl
г^
ко ~^) V Iх l*o» ^o)~~*lx »^/J + \*о — z)
-х(х'.7)]2+ Uo-^J'
-: : + С C.2.21)
Uo-
Формула C.2.21) несложно проверяется с помощью дифференцирования
правой части по z.
Из формул C.2.20) и C.2.21) получаем
»Vj\X\X,*/,X\Xq,Zq/,Z,Zq/ I -
/ г dz = F3 (x1/x0,/,Zo)-F3(x1/Xo/-/,Zo) +
О (z0 -z) '
V (М*1, xo,zo) +€б(х]) ] 2 + €2 + v[X (x1, xo,zo) -eb (x1
C.2.22)
Vtxjx^zol-xlx1^)]2 + <z0 -zJ
1 +
X
Из последней формулы получаем, что предел
(x(xl,z),x(xj,zo),z,zo)c/z 2 1
A + sign X) =
(z0 -zJ € J
I z0) C.2.23)
Mm f/^i
существует и является функцией, интегрируемой в смысле главного значе-
ния по Кош и на отрезке [0, 1 ] оси ОХ1.
Аналогичным образом можно показать, что предел
г /С, (х(х\ z), x(xj, z0) ,z, z0) dz
Mm /
6 — 0 О Zo — ^
существует и является абсолютно интегрируемой функцией на отрезке [0,1]
оси ОХ1 . Последние рассуждения и доказывают наше утверждение для
канонической трапеции.
4* 51

Заметим теперь, что когда а является канонической трапецией, то спра-
ведливы следующие равенства:
A (x0,z0) = А (x(xq,z0) ,z0) =
о
ft*1.
f
-/ (z0 -
/Ci (x(x!,.
C3 (xl.x0.+l.z0)
<l,zQ) ,z,zo)dz =
(хЧхо, -/,z0)
о Hzo-l)J(zo) (*o -x1) (zo+/O(zo) (xi-x1)
(x!,z) Къ (x*,xlQ,z,z0)
o-/
to-z)
где
dxl -
C.2.24)
3 (xl,xlo,z,zo)
§ 3. Квадратурные формулы для кратных сингулярных интегралов
Рассмотрим кратный сингулярный интеграл типа Коши (см. C.1.1а))
r V it) dt
fito) = f— .
L (it-to))
1°. Как и в первой главе, рассмотрение квадратурных формул для
интеграла /(г0) начнем в случае, когда остов L является тором, т.е. про-
изведением замкнутых кривых Ляпунова. Справедлива следующая
Теорема 3.3.1. Пусть функция у (г) G Н на т-мерном торе L
и множества Е* = {f* , ik = 1 nk)f Eok = {toik, ik = 1 nk }o&
разуют каноническое кразбиение замкнутой кривой Ляпунова Lk, k -
= 1,. . ., т. Тогда для любой точки tQj = (г©/ , •. • , ^с?/т) тора L спра-
ведливо неравенство ' т
<fiit)dt
L ((Г-Г0/)) ' = 1 ((fr-'o/
0 > О, /V = max (л,,. .. , пк) и Nlnk </?<+<» при
C.3.1)
п
2
2
z
At; = ДГ,!
Для доказательства рассмотрим случай ш=
с центром в начале координат. Можно написать
и/.2 - окружности
г2О/2
) -
+ 2
'.=1
-t
oft
- 2
где
tl)'f
52

Воспользовавшись теперь результатами § 1 гл. 3 в сингулярных инте-
гралах, зависящих от параметра, получим
/7. \ /In п2 \
-=т)+ О{к\пх)О -^— . C.3.2)
Так как N/nk < R < + «\ к = 1,2, при /V-* + °°, то последняя формула за-
вершает доказательство теоремы 3.3.1 в рассмотренном частном случае. За-
мечание в § 4 гл. 1 об интегралах по ляпуновским замкнутым кривым и нера-
венство A.2.16) показывают справедливость неравенства вида C.3.2), а
следовательно, и теоремы 3.3.1 в общем случае. При этом в неравенстве
C.3.2) <*! и а2 должны быть заменены с учетом гладкости кривых L г и L2.
Отметим, что неравенство A.2.17) показывает справедливость теоре-
мы 3.3.1 и в том случае, когда Lk, к = 1, . . . , т, может быть совокуп-
ностью непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова.
2°. Пусть теперь в кратном интеграле / (г0) остов L является т-мерным
параллелепипедом, т.е. L = L х X . .. X Lm, где Lk, к = 1, ..., т, — разомк-
нутая кривая Ляпунова. Тогда справедлива следующая
Теорема 3.3.2. Пусть функция у (г) G Н * на m-мерном параллеле-
пипеде L, множества Е и Еок образуют каноническое разбиение кривой
Lk с шагом hk. Тогда для любой точки г0/- = (Го/,» • • •. fo/m) ^ fо =
= Е°1 X . . . X ЕОт справедливо неравенство ' m
;•
где величина в (Го/) обладает свойствами:
1) для всех точек tOf e L\ X ... X Cm, где Ck - часть кривой Lk,ne
содержащая концов этой, кривой вместе с некоторыми их окрестностями.
6(toj) < О(Лл«), Xi>0; C.3.4)
2) для всех точек
/>i- . .. hm < 0(/>х>), Х2 > 0, C.3.5)
max (Л ,, . . . , h m) и h/hk </?<+<» при h -> 0, к = 1, . . . , т.
Доказательство. Рассмотрим случай т = 2, Lk = [ak,bk],
к = 1, 2, являются отрезками действительной оси. Так как $ (t) Е Н *
на L,то .
Wr\r2)
г2) =
pf (r^/fV) '
^(f*)s(f*-afc)"*(bft-f*)< it- 1.2;
В силу теоремы 3.1.3 об интегралах, зависящих от параметра, функция
ь2 ^(г1, t2)dt2
имеет такой же вид, как и плотность сингулярного интеграла, ее определяю-
щего, т.е.
, -е,,А2), Х2 >0.
53

Поэтому можем записать
/,,'о/,
ft. *titl.t\lt)dtx
Учитывая теперь замечание в конце § 3 гл. 1 о функции A.3.16) и не-
равенство A3.7) совместно с неравенством A.3.14), получим
e2itlfl).
C.3.6)
Воспользовавшись формулой A.3.14) для в ! (fo/,) и 02 (*о/а) и соотно-
шением — </?<+«> при /? -*0, к = 1,2, получаем справедливость не-
равенства C.3.3).
3°. Пусть теперь остов Z. является произведением кусочно-ляпуновских
кривых, имеющих только угловые узлы. Неравенство C.3.3) с использо-
ванием неравенства A.4.4) обобщается естественным образом на этот
случай.
§ 4. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла
крыла конечного размаха
Рассмотрение квадратурных формул для интеграла A{xo,zo) крыла конеч-
ного размаха начнем для прямоугольного крыла. В этом случае
ь '
S dx f
-ь -i
у(х,г) (
-11+
-zI \
х0 -х
==)
-z) '
dxdi.
Пусть точки x,,. . ., xn и x00, хОь • • • >xon образуют каноническое раз-
биение отрезка [-Ь, Ь] с шагом hXl а точки zx,. . . ,zv и zOo,^oi» • • •
... ,z0N — каноническое разбиение отрезка [-/, / ] с шагом h2. Предпола-
гаем, что hlhk </? < +<*>, к = 1# 2; h = max (hx,h2). Применяя по ко-
ординате х принцип построения квадратурных формул для сингулярного
интеграла, а по координате z - принцип построения суммы SB> (f0/) в
формуле A.6.6), для A(xo,zo) рассмотрим следующую квадратурную
сумму:
. " ^ ybi,zok) \
Slxoj,zOm)= I I
/=1 ^ = 0 X0/—X/ L
\.*0r
— zk
C.4.1)
54

где обозначено
Кг (*, *о, z' zo) = *о — * + >Л*о -хJ + (z0 -zJ, z0 = - /,
Заметим, что формула C.4.1) может быть записана в виде
" ? , х 2f+i /С] U,, xq/.z, zOm)
/=1 /Г=0 2^ (ZOw -«
ГАе xo-x
^l(x/xO/z/zo) = 1 + Л °, ^ f v ¦
-xJ + (z0-zJ
Теперь покажем, что справедлива следующая
Теорема 3.4.1. Пусть область о в C.2.1) является прямоугольником
и функция у [х, z) такова, что y'z (х, z) принадлежит классу Н * на о. Тогда
для любой точки (хо/, zOm)» / = 0» 1» • • • »п> m ~ Or 1» • • • , N, выполняется
неравенство
l^ Uo/, *от ) - S{xojt zOw ) I < в (хо/, 'от ), C.4.3)
где величина в (х0/, zOm) характеризуется соотношениями:
1) для всех row* (xO/,zOm) G [-Ь +6,Ь-5] X [-/ +5,/ - 5], 6 >0-
сколь угодно малое,
0(*о/,*от)<О(/7ЛЧ, 0<Х, <1; C.4.4)
2) для всех точек (хо/, zOm)
2 I 0(xOjtzOm)hih2 <O(h 2 )# 0<X2^1. C.4.5)
/=0 m=0
Доказательство. Перепишем формулу C.4.1) следующим об-
разом:
°;' —— /*i -
1=1 (zOw -
zOw
C.4.6)
Сравнивая теперь вид C.4.6) для суммы S(x0/,zom) и ВИА C.2.12) для
интеграла A(xO/,zOm), а также применяя результаты § 3 гл.1 и § 3 гл. 3,
получаем справедливость неравенства C.4.3).
Пусть теперь областью интегрирования в интеграле A (xOf z0)(см. C.2.1))
является каноническая трапеция о. Пользуясь представлением этого ин-
теграла, данным в формуле C.2.24) для случая канонической трапеции,
построим квадратурную сумму следующим образом.
Возьмем точки х{,. .. ,х?и точки xoo.*oi» • • • **оп> образующие кано-
ническое разбиение отрезка [0, 1] с шагом hXl а также точки z{,. .. ,zN
и zOOlzOi, ... ,zQN, образующие каноническое разбиение отрезка [-/,/)
с шагом /?2- Предполагаем, что hlhk </?<+°°, *=1,2;Л= max (hx,h2).
h -* 0.
Через Bik (xik,zk)tBiok(xioktzok) и BoiQk (xoiok,zok) обозначим точ-
ки канонической трапеции о, являющиеся образами точек Bik lxj,zk),
55

-,w* -,.-v,v и Bloiok lxot,zok), соответственно, прямоугольника D при
отображении F, определяемом формулой C.2.16). По аналогии с суммой
C.4.1) рассмотрим сумму
—X
-X/ )
J K3(xLxoj,k+ltOm) 3llQ0k,Om) ] ^
X I — ———— I /7lr (J.4.//
L z0m ~z*+l z0m ~zk J
которая является дискретным аналогом интеграла А(хо,го), данного в
формуле C.2.24).
Если теперь записать сумму S(xOjOmtzOm) в виде, аналогичном виду
суммы S(xo/,zOm) в фЬрмул* C.4.6), и воспользоваться представлением
интеграла A(xo,zo) в формуле C.224), то увидим, что справедлива сле-
дующая
Теорема 3.42. Пусть область о является канонической трапецией
и функция у (х, z) такова, что
Э
— iyblxl,z),z)J(z))eH0
bz
на прямоугольнике D- [0, 1] X [-/,/]. Тогда для любой точки (хО/о»м
zo m) > i - О А , . .. , п; m = 0,1, . . ., N, выполняется неравенство
Om) = e]{xlojtzOm), C.4.3')
где величина в{ (xo/,zQm) удовлетворяет неравенствам C.4.4) и C.4.5).
Отметим, что формулу C.4.7) можно записать так:
= ? 2 <P\*i,zok)n\ J — ¦ ; dz.
/=l *=0 zk (zOm -ZY
C.4.8)
"Интересно еще следующее замечание. Так как уравнение (см. C.2.16))
х - х(х , z) при каждом фиксированном х1 дает прямую, то число х0 -
— х(х!, z0) будет пропорционально расстоянию от точки (х0# z0) до этой
прямой. Рассмотрим теперь интеграл А(х0, z0) no канонической трапе-
ции о в точке (Х(), z{)), не лежащей на о, но при z0 € (—/, /). В этом случае
формула C.2.21) получит вид
[х0 - х(х!,z))dz
** (z7^7)V[x - х(х!/»
(z0 -zJ7
[х0 - x(x!,Zo)] (z0 -z)
где |х0 - х(х!, z0) I > б >0. Поэтому A(xOlzo) в рассматриваемом случае
сведется к совокупности обычного одномерного интеграла по х1 и дву-
мерного интеграла, в котором особенность будет вида (z0 - z).
Отметим теперь следующий факт. Если в интеграле
ъ I y(x,z) I х0 - х
A(xo,zo) = / dx f --A +
(-zJ\
-/(zo-zJ\ >/Uo -xJ + (z0 ~
56

функция у(х, z) обладает свойством (выполняющимся, например, при
бесциркуляционном обтекании прямоугольного крыла)
ъ
f y(x,z)dx = 0, C.4.10)
-ъ
то А(х0, z0) можно записать в виде
ъ i у(х,г) х0 — х
А{) / /
? dxdz' CA11)
zJ
Интеграл в этой формуле представим как повторный, во внутреннем
интеграле произведем интегрирование по частям по х и, учитывая тожде-
ство C.4.10), получим
' * Q(x,z)
A(xo,zo)= f f —rrrdxdz. C.4.12)
M(J+(zJ]3/2
Здесь не давалось обоснования возможности интегрирования по частям
и не указывалось, в каком смысле надо понимать в этой формуле интеграл.
Дадим следующее
Определение 3.4.1. Пусть функции f(x) и д(х) определены на
отрезке [а, Ь] и обладают следующими свойствами: f'(x) непрерывна
на [а, Ь], а функция #(х) не интегрируема на [а, Ь), непрерывна на (а, Ь],
имеет единственную особенность в точке а, но имеется функция G(x)
такая, mtoG'Ix) = д(х), абсолютно интегрируемая на [а, Ь). Тогда будем
по определению полагать
ь ъ
= ff(x)g(x)dx = lim [ / f(x)g(x)dx + f(a + €)G(a + e)}.
a ?-+0 a + e
C.4.13)
Если же f(x) ? /У^сОна [a, b], функция д[х) имеет особенность в точке
х0 интервала (а, Ь) и функция G(x), G'(x) = ^(x), такова, что она или
абсолютно интегрируема, или представима в виде ^(х, хо)/(х - х0), где
^р(х, х0) ^ Н на [а, Ь], то
C.4.14)
где справа интеграл понимается или как интеграл от абсолютно интегри-
руемой функции, или как интеграл в смысле главного значения по Коши.
Несложно показать, что формула C.4.14) дает определение интеграла,
не зависящее от выбора первообразной для функции, и определенный
интегральный оператор является линейным.
Поэтому и для двумерных интегралов можно дать определение, ана-
логичное данному в формуле C.4.14), если точка находится внутри об-
ласти. Тогда получим
A(xo,zo) = jb _/ [(Xo_x>2 - ^T75 «**
-ь -/ [(xo-xJ+(zo-zJ
(z0 -zJv(x0 -bJ + (z0 -zJ
57

Q[-b,z)(x0 +6) \
(z0 -zJy/[x0+ bJ + (zq -zJ /
* fdx f
-b
i Q'xix,z)(x0-x)
dz
ixo-b)Uo-D
„ V(xo-6J+(zo+/J
+ Q(b, -I) +
(
(x0 +b)iz0 +D
-/ L Uo ~^)(zo —z)
(x0
(x0 -
(x0 -х)(г0
c/x -
С С Qx'^bo-xJ -h(zo-zJ
ь -i (x0 -x)(z0 -z)
c/x dz.
C.4.15)
В этой формуле все полученные интегралы имеют смысл как одномер-
ные или двукратные интегралы типа Коши, если G"xz(x, z) G Н на прямо-
и и
+ -
X
-f -
X
 ¦».
i
-f
4
b)
z
Рис.5
угольнике \-Ь, Ь] X [— /, /]. В частном случае, когда G(x, z) = С а const,
получим
[y/(x0 - bJ + (z0 - /)
(*o -b)(z0 -/)
(x0 -b)(z0
/(x0
(z0 -
+(z0
(x0
(x0
C.4.16)
58

Поэтому квадратурную сумму для A(xOt z0) будем строить следующим
образом. Пусть точки х0 = —Ь, хь . . . , хп, х„ + 1 =Ьи х00, xOi, . . . , хо„
образуют каноническое разбиение отрезка [—b, b] с шагом hlt а точ-
ки z0 = -/, zb... ,zN,zN + x =/ и zoo,zol,... ,zQN - каноническое раз-
биение отрезка [-/,/] с шагом h2. Тогда через S(x0/, zOm) обозначим
сумму
п N
S(xO/,zOm) = 2 I Q(xo/,zo*)
Z 2
- xf>J ч- (zOm - zk ^TF
(XO/ -
Несложно показать теперь, что с помощью перегруппировки членов
сумму S(xOy, zOm) можно представить как квадратурную сумму для
интеграла A(xOf, zOm), представленного в виде, указанном в формуле
C.4.15). Для этого достаточно посмотреть (рис. 5), с какими знаками
будут входить в формулу C.4.17) слагаемые, соответствующие точке
(х/, zk) (на рис. 5 они обозначены точкой, а крестиком - точки
())
§ 5. Квадратурные формулы для многомерных сингулярных интегралов
Рассмотрим сингулярный интеграл [73]
- f(*o.O)
Их0) = / ;— u(x)dx, C.5.1)
D Г1
где
1H- замкнутая ограниченная область на плоскости Е2, с границей
имеющей жорданову 2-мерную меру [100], равную нулю;
2) х = (х1, х2) их0 = (х?, х%) -точки области D, r =|х-к|,а0 =
- (х - у)/г - точка единичной окружности о в Е2 ;
3) плотность сингулярного интеграла и(х) абсолютно интегрируема
на О и на любом замкнутом множестве F, лежащем внутри D, удовлет-
воряет условию Н(а) ;
4) характеристика f(xQ, в) ограничена и при фиксированном х0 непре-
рывна по в.
Если х0 лежит внутри D, то интеграл C.5.1) понимают в следующем
смысле:
где О(х0, е) есть 6-окрестность точки х0.
59

В [73] показано, что для существования интеграла C.5.1) в смысле
главного значения C.5.2) необходимо и достаточно выполнения условия
ffU0, 6)do = 0. C.5.2')
а
Рассмотрение квадратурных формул для интеграла C.5.1) начнем
в случае, когда D — прямоугольник [а1, Ь1 ] X [а2, Ь2) = /2. Пусть точки
хо = ак, хк х„к, хкПк + { = Ьк и точки х?0, х?, хк0„к образуют
каноническое разбиение отрезка [ак, Ьк], причем h/hk < R < +«> при
h -* 0, где /? = max {hx,h2), hk = [bk - a*)/(nk + 1), к =1,2.
Для интеграла C.5.1) рассмотрим следующую квадратурную сумму:
S(xlok,x2Om) = Sq ^^J—u(xlx))hxh2, C.5.3)
где _ _
4
a /i и /2 — орты осей ОХ1 и ОХ2 соответственно.
Определение 3.5.1. Характеристика f{x0, в) обладает свойством I,
если она нечетна относительно оси ОХц или ОХ^, где OXq задается урав-
нением хк = Ху, к = 1, 2, т.е. если точки (х|, х?) и (х\, х\) симметричны
относительно одной из этих осей, то
f(xo,0x) = -f(xo,02), C.5.4)
где Of = (х0 - х/)/|х0 - х/|, / = 1, 2, или f (х0, 0) нечетна относительно
ТОЧКИ Хо = {Хо, Xq) .
Справедлива следующая
Теорема 3.5.1. Пусть в интеграле C.5.1) характеристика f(x0, 9)
обладает свойством I и непрерывно дифференцируема по декартовым
координатам точек х и в Е о, а функция и{х) Е Н{а) на /2. Тогда спра-
ведливо неравенство
I v(xok, Xom ) — S(xok, Xom ) I ^ Q[xok, xOm), C.5.5)
где величина 9 (xlk, xjm) удовлетворяет соотношению
0(*о/г/ xom) = Op(ha | In h |) C.5.6)
для всех точек {xxok, x\m), принадлежащих замкнутому множеству F,
лежащему внутри прямоугольника I2 на ненулевом расстоянии от его
границы.
Действительно, рассмотрим модуль разности
Pkm = !И'Х0*'Х0т' ~S^*0k'X0m^ =
fkm nx n2 fkm
/Г u(x\x2)dxx dx2 - I I ——
ti (г*'"J /=0 /= 0 (rkm\
fkm n, n2 fkm
ff (u-u,, )dxldx2 - I S /; ,
km ,= o/ = o W/»J
4
60

km
fkm ,kn
, „ "i "j fij
ff -dxldx2- 2 2
/» (Г*"»J
1 = 0 / = 0
*'"
C.5.7)
где и = (/(x1. x2)# a
, x? )# t/. = u(xx, x2), rkm
г un / / / /
Выражение для \Р преобразуем следующим образом:
гР<
Я
"
/ = 0 )¦ = 0 П,у
Гf
г
/=»0/ = О П,
/ = О /= О II,
dxxdx2
(г*™J
¦// ir,y-i C.5.8)
где II,; —частичный прямоугольник из разбиения I2, имеющий своим
нижним левым углом точку М - (х!, х2).
Произведем теперь оценку каждой из сумм 1ХР, Л = 1,2,3:
dxldx2 _ Г hxh2
И —Г-Т=А л/2У 8 — — +
,Л
У' * т, т + !
A\/2h* 64 + 8я(|пД-1п — j
C.5.9)
где \u-ufl\ <Ay/Tha, а А -диаметр области интегрирования.
Потом получим
l2
P<AB Z
dxldx2
з"л°
\1
O(hQ),
C.5.10)
61

где |r,*
<(гк™
V -x)J + (х2 - х2J < Cy/?h.
<3 при любых k,m,i,j.
Наконец, для 1ЪР будем иметь
hdxldx2
п
Р<А2
2
1 //
<О(/>).
C.5.11)
п„
Для исследования поведения разности 2Р заметим, что расположение
М(х), х2) по отношению к каждой из точек Мо = [xlQk, х2^) обладает
следующим свойством: если считать точку Мо началом координат и
мысленно провести через эту точку оси, параллельные исходным осям
координат, то для любой точки Af/;., лежащей в окрестности точки Мкт,
существуют точки Mi% /t в этой же окрестности, симметричные точке М{}
относительно точки Мкт,а также относительно каждой из осей. Так как
функция f(xo,6). обладает свойством /, то она принимает в точках Мх \лМ2.
симметричных либо относительно осей ОХ10 или OXq, либо относительно
точки Мо, значения, равные по абсолютной величине, но разные по знаку.
Итак, в рассматриваемом случае получим
fkm nx n2 fkm
/ -dxldx2- 2 2 f/ л /?i
12\О(ь,мкт) Ит) /.о / = о «О/
где F
% —
К ?П
C.5.12)
множество всех частичных прямоугольников таких, что они
лежат в 6-окрестности 0E, Мкт) точки Мкт\л их левые нижние концы обра-
зуют множество, симметричное относительной самой этой точки и осей
ОХ10к или 0X2Qm. Поэтому
fkm
hxh* +
+ 2 2
ее
Я
С П\|ОF. A
dxldx2
C.5.13)
где <f>?w =11\ и Ust, П5(СП\О(д,Мкт), Z.= max \u{xl. x2)|.
s, t ' (x\x')ei2
В силу свойств функции fixOt в) получим
2Р< LCX ( — * 4 y/Th —-
\ 5 E -h V2J
C.5.14)
так как, проводя над последней суммой в формуле C.5.13) рассуждения,
аналогичные рассуждениям при вычислении пР и пР, имеем, что эта сум-
ма имеет порядок h. Из полученных оценок для UP, i ж 1,2,3, и для 2Р вы-
текает справедливость неравенства C.5.5).
62

Отметим, что неравенство C.5.5) останется в силе, если вместо прямо-
угольника /2 брать любую замкнутую ограниченную область D на плос-
кости с границей, имеющей двумерную жорданову меру, равную нулю.
При этом квадратурную сумму надо составлять следующим образом.
Возьмем прямоугольник П, содержащий область D, и разобьем его парал-
лельными осям координат прямыми с расстоянием /?, между соседними
по /-й, /-1,2, координате на прямоугольники. Те прямоугольники, которые
полностью вошли в область D, перенумеруем и обозначим П,, / = 1,. .. , п.
Через х0/ обозначим центр прямоугольника II,, а через xi - левый нижний
угол этого прямоугольника. По этим выбранным точкам и строится
квадратура.
Оказывается, если характеристика f(xo,d) не обладает свойством /,
то неравенство C.5.5) может не выполняться при произвольном соотно-
шении между Л, и h 2. Например, функция f[x0, в) = cos 2y (</> — поляр-
ный угол точки х относительно точки х0) не обладает свойством /, и
для нее неравенство C.5.5) справедливо только при h , = h 2. Действитель-
но, cos2(i + я/2) - cos B^ + я) = —cos2^. С другой стороны, все точки Мг ,
лежащие в круге с центром в точке Мкт, можно разбить на пары, в ко-
торых одна точка будет получаться из другой поворотом на я/2 вокруг
точки Мкт.
Для функции f{x0, в) = cos 4^ похоже, что неравенство C.5.5) не будет
выполняться и при h i = h 2 ¦ h. Действительно,
cos 4^
/ ——Z.dxldx2*O. C,5.15)
к г2
где К — круг радиуса R с центром!в начале координат. Возьмем квад-
рат /2, описанный около круга К, со сторонами, параллельными осям
координат. Будем брать разбиение /2 на квадратики со стороной h указан-
ным выше способом так, что начало координат будет центром квадрати-
ка, его содержащего. Полагаем
Расчеты показали, что при h x = Rib и при h2 = Я/10 получаем
Vh - - 8 + 0,552, Vhi = - 8 + 0,486.
§ 6. Примеры вычисления сингулярных интегралов
1° . Справедливо равенство
-xrdx
= ях0, хо€(-1, 1). C.6.1)
х0 -х
Произведено вычисление этого интеграла по квадратурной формуле
" у/1 - xjh
/w(x0/)= 2 -~—, /=1 л+1. C.6.2)
для равномерной схемы с шагом h = 21 (п + 1). Результаты расчетов при-
ведены на рис. 6 (сплошная линия — точное значение, х х — h = 2/11,
00 -Л =2/41).
63

2,0
1,0
f
-1fi-0A -I
i
A
6 -0,4 -0.2
0 42 44 Of x0
4,0
-2,0
Рис.6
2°. Для интеграла вида
1 i i /
A -x)A -z)
-t
(xo-x)(zo-z)
= 1 C.6.3)
приведены расчеты по равномерной схеме: на рис. 7 (сплошная прямая —
точное значение, хх -Л = 2/9, о ° - Л в 2/17) для х0 * 0Д441 и на рис. 8
(сплошная прямая - точное значение, х х - 8 точек, о о - 16 точек) для хб«
= 0,6. При этом использовалась формула
I
-zk)
hxh2
x^d+z,) (xO/-x/)(zOw-z,)'
C.6.4)
/ = 1,..., пь /я- 1,... ,^2. При расчетах брали h i = Л 2 = Л.
3°. Вычисления интеграла C.6.3) по неравномерной сетке, соот-
ветствующей рассматриваемой весовой функции, подтвердили ее пре-
64

имущество перед равномерной сеткой, показанное теоретически. Ис-
пользовалась квадратурная формула
/ = 1 к = I
C.6.5)
2тг/
X, = Z,- = COS
7Г,
Я/
sin
При
Вычисления, приведенные на рис. 9 (сплошная прямая — точное значе-
ние, х х — 8 точек, о о — 16 точек), показали, что
|<10 C.6.6)
для всех / и т.
Однако когда весовая функция неизвестна или имеет сложный вид, то
для получения предварительной информации предпочтительней равно-
мерная схема.
nxo,zoy
о
X
о
X
а
О
о о
1S
х-0,1
1
о
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 г0
Рис.7
Пц,,го)\
X
О
о
X
" о
X
о
X
о о
f ft
1,0
12
о о
о,ь
X
О
1
э о
о о
1
о с
s-Qfi
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0Л 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 г0
Рис.8
4О
ор
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1у0 г0
Рис.9
5. С.М. Белоцерковскии

ГЛАВА 4
ФОРМУЛА ПУАНКАРЕ - БЕРТРАНА
§ 1. Одномерные сингулярные интегралы
В [78] доказана формула Пуанкаре-Бертрана перестановки порядка ин-
тегрирования в одномерных сингулярных интегралах
„ dt yp(t, т)с/т „ л spit, T)dt
f /- = fdr f - --Я2*(ГО,ГО), D.1.1)
L t-t0 L T-t L L (rt)(r)
где L — кусочно-гладкая линия, а функция y(t,r) имеет вид
^(Г'Г)ТГГГ • |41-2)
П(г, г)
где i*(f, г) — функция класса Но на L, т.е. она удовлетворяет условиюНна
каждой из составляющих L гладких дуг, а
П(г,г)*= П \t-ck\a4T-ck |Ч
к = 1
гдес^, к = 1, ... ,п, - все узлы кривой L , <*к,$к > 0 и а,. + 0А. < 1.
В этом параграфе дадим доказательство формулы D.1.1) для кусочно-
ляпуновской кривой L, имеющей только*угловые узлы, с помощью пред-
ставления сингулярных интегралов квадратурными суммами.
Пусть вначале L — отрезок [а, Ь]. В этом случае формула D.1.2)
получит вид
D.1.3)
где sp*(t, т)ен(<х) на [a,*?] X [a,b\, vktiik>0, к = 1,2, vx + v2 < 1, /i, +
+ ^2<1.
Рассмотрим интеграл
b dt b $(t, T)dt
>A(fo)= / / % toeb,b). D.1.4)
д t— t0 a T-t
Возьмем на отрезке [а, b] множества точек Е = {тк,к- 1,... ,п) и Ео -
= { tj, j = 1,... , п } «образующие такое каноническое разбиение отрезка
[а, Ь] с шагом h, чтобы точка г0 принадлежала множеству Е при к -
- ко-
Рассмотрим суммы
5я(г0)-
D.1.6)
66

Учитывая формулы A.3.14) и D.13), получим
* /7
\Bnit0)-Bnit0)\< 1
+ Щ. 1 + ^ +^2, 1 +/"l ¦» ^2)^] O(| In/7 |). D.1.7)
Если теперь раскрыть скобки и учесть, что точка f0 фиксирована в (а, Ь),
то увидим, что все полученные суммы будут порядка h х{\ > 0 — некоторое
фиксированное число), т.е.
I Bnit0) -5„(Го) I < О,о (/>Ч X> 0. D.1.8)
В [78] показано, что
на [а, Ь]. Поэтому, учитывая, что точка f 0 — фиксированная и является од-
ной из точек тк , к = 1,..., п, получаем
\A{t0)-Bn(t0)\<OtJhkl), AiX), D.1.9)
Xi — фиксированное число.
Из формул D.1.8) и D.1.9) следует, что
I A(t0) - 5„(Г0) | < 0Го (/Л2 )г Х2 > 0# D.1.10)
т.е.
lim Bn(t0)=A(t0). D.1.11)
Преобразуем теперь сумму 5„(г0) следующим образом:
ь = 1 Tfc — г о L / =
кФкп
Раскрыв в 6ln{t0) квадратные скобки и учтя замечания для суммы 5;.' и
интеграла/;' в формулах A.3.17) и A.3.18), получим
dT b
Г-Го
rfr *(t,T)dt ft ft *(t,T)dt
- f 7" / — fdrf- -• -. D.1.13)
T-t0 a t-T a a {t - to){T - t)
67

Рассмотрим теперь Б„ (f о) • Имеем
5я(Г0J
/ = 1 (f/ — f о'
«гз 5 Af/AT*. Я4 5 [*(tj,to)-rtt0,t0)]AtiATko
/=1 (*/-Г0J / = 1 (*> - 'о>2
Сумму 6*(t0) разобьем на два слагаемых, в одном из которых сумми-
рование проведем по точкам *у € [ (а + to)/2, (b + fo)/2] = ?, а в дру-
гом — по остальным f; , т.е.
+ S \^(tht0)AtfATkQ =0, +D2# D.1.15)
7
Для Di имеем в силу формулы D.1.3)
так как 0<vif Ц\ < 1.
По условию функция ip{t,t0) принадлежит классу Н(а) no t на 7",
поэтому
г, б Г
п
к Of
^2^ 2 —— . * • < С2Л 2
Таким образом, для B*{t0) получаем
|5«Uo)l < 0(ha). D.1.17)
Заметим, что если а = 1, то Б%(tQ) = 0(/?| In/? |).
Теперь для 5^ (f 0) имеем
53(Г0)= 2 ! ;=22 !—+ 2
D.1.18)
где m = min{Ar0, n — k0 - 1), M = max(/r0, л - Ar0 — 1)»
Так как t0 - фиксированная точка, то из л -• ю и т -* оо следует
оо
М ^ т . Ряд 2 {к + У2 ) является сходящимся, поэтому второе слагае-
к = о
мое в формуле D.1.18) стремится к нулю при п -> °°. Далее, известна
68

формула [102]
D.1.19)
Поэтому
lim B*(to) = ir2. D.1.20)
Теперь формулы D.1.14), D.1.17) и D.1.20) показывают, что
lim 6}(to)=-iT2<pito,to). D.1.21)
Итак, формулы D.1.11)-D.1.14), D.1.17) и D.1.21) показывают
справедливость формулы Пуанкаре-Бертрана для сингулярного интеграла
на отрезке.
Отметим, что в доказательстве основную роль играют точки разбиения,
лежащие в окрестности точки г0, вернее, взаимное расположение точек
тк и tj в указанной окрестности. В силу этого теперь видно, что аналогич-
ное доказательство будет справедливо и в том случае, когда L является
кусочно-ляпуновской кривой, имеющей только угловые узлы, в частности
для окружности. Действительно, взяв две произвольные точки ах и а2
на окружности (а{ Ф t0 и а2 Фt0) и считая их узлами, получим кривую,
для которой у нас доказана формула Пуанкаре—Бертрана. Для окружности
эту формулу можно доказать непосредственно, используя квадратурные
формулы из § 1 гл. 5.
В дальнейшем потребуется представление квадратурными суммами
интеграла А (г0) по L - [э,Ь] и обеих частей формулы Пуанкаре—Бертра-
на в следующей ситуации.
Пусть множества Е = {тк, к = 1, ..., л} и Ео = {t} J = 0, 1, ..., п) обра-
зуют каноническое разбиение отрезка [а, Ь] с шагом h. Будем рассматри-
вать интеграл A{t0) в точках tOm = rm, m = 1,..., п, т.е.
ь dt ъ ^(r T)dt
AiTm)=f / -. D.1.22)
a t - Tw a T-t
Аналогично возьмем сумму
Б() I ' 1 ^*
D.1.23)
/ = 0 *jr - rm к - 1 Tk —
Справедлива следующая
Теорема 4.1.1. Пусть функция yp(t,T) имеет вид D.1.3) на [а, Ь].
Тогда
\А(тт)-Бп(тт)\<е(тт), m = 1 п. D.1.24)
где величина В(тт) удовлетворяет неравенствам A.3.8) и A.3.9).
Наконец, отметим, что формула Пуанкаре-Бертрана будет верна и при
замене функции ^ (Г, г) на функцию $(t, г, ?) вида
**(t,T,$)
, D.1.25)
П \t-ck
к = 1
69

где \р* (Г, г, ?) G Н как функция трех переменных на области рассмотре-
ния, причем множество значений параметра ? — ограниченное. Отметим,
что точка ? может быть точкой я?-мерного пространства. В этом случае
формула Пуанкаре—Бертрана принимает вид
§ 2. Кратные сингулярные интегралы типа Кошн
Доказательство формулы Пуанкаре-Бертрана перестановки порядка ин-
тегрирования в кратных сингулярных интегралах начнем с двумерного
случая.
Пусть функция <р(г0, г), где г0 = (f J, t20), t = (г1, t1), определена на
L = Lx X L2 и имеет вид C.1.12). Кривые Lx и L2 кусочно-ляпуновские,
имеющие только угловые узлы. Покажем, что в этом случае справедлива
формула D.1.1).
1°. Пусть Z., = [ax,bx], L2 = [в2, Ь2]. Рассмотрим интеграл
А, 1 2v_ ее dt4tl ^(t\t\T\T2)dTldT2
{to'to)\!LyJ
На отрезке [ap,bp] возьмем множества Ер = {т? ,к = 1 п } и
^? = { *? , iр = 0, 1, ..., лр}, образующие разбиение отрезка [ар/ Ьр], такие,
что точка г? является одной из точек множества Ер, р = 1, 2, при * = * °.
Опять вводим сумму
X 2ml 2* ¦
Так же как и в § 1 гл. 4, с использованием формул C.3.3) и C.3.6) полу-
чим, что
llm Бп,п (tl,t\) = A(tl0,tl). D.2.1)
Преобразуем теперь сумму БП] „2 (t^, t*) следующим образом:
и» ": ", "г ф} t2 Tl т*
o,tl)= S Z AT. At,2 1 S /i; /ij *i^ *3 x
;? Af;2
70

П, и, ": f[t) ,tj ,т\ ,t\)At) At*
2 At! 2 2 Л /; *' l^—^
-! /,-1
*»**?
= Sln n +SW +Sn + S, D.2.2)
где
D.2.3)
Раскрывая теперь квадратные скобки в $П1п7 и пользуясь неравенством
C.3.3) т^к же, как и для Б„х Hj (f^, t\), получим для S^ w,:
Km ^lWj= Я dTl dr2 ff —: f / T r Г — . D.2.4)
Для 5П> будем иметь
"J ": ifi[tl0,tj ,tl0,T^ )At* "i Дг!«Дг!
S,,^ 2 ДтД 2 a /' 2 '2 /; 2 _JLL_Zi_ +
+ 2 ДтД 2 " ( 2 *¦ 7| X
J]}Sii+S*j. D.2.5)
Из результатов § 1 гл. 4 видно, что
Mm Sln - -я2 / с/т2 / ;2° ;°; ;. . D.2.6)
я,, я,—  JL2 Z.2 (Г2 -rJ)(T2 -Г2)
Для оценки Sj,2 так же, как при оценке Я^(г0) в § 1 гл. 4, разобьем
сумму Р„2, стоящую в фигурных скобках в формуле для Sl2, на сумму
по точкам Гу , входящим в окрестность O(tl0), замыкание которой не
содержит точек а{ и Ьх, и сумму по точкам fy- , не входящим в эту ок-
рестность. !
71

Вспомним, что
D.2.7)
Поэтому получаем
22Л\Л22). 0>О. D.2.8)
Используя теперь оценки, приведенные в § 3 гл. 1 для сингулярного
интеграла на отрезке, получим
lim |S*2 | < Mm O(hxWh) = 0, X>0. D.2.9)
"i. "i~* °° "i > "i ~*""
Из формул D.2.5), D.2.6) и D.2.9) имеем
Ж, t7, tl0, т2 )dt2
lim Sn2—«4dr4 J . D.2.10)
Аналогично доказывается, что
limS,,, —»> / rfr, / , D.2.11)
lim S = *V(fi, fo, to,'o). D.2.12)
Из формул D.2.2)-D.2.4), D.2.10) - D.2.12) вытекает справедливость
формулы C.1.16) в данном случае.
Если теперь L i и L 2 — произвольные кусочно-ляпуновские кривые,
имеющие только угловые узлы, то рассуждения, обобщающие рассуждения
§ 1 гл. 4, показывают справедливость формулы C.1.16) и в этом случае.
Ясно теперь, что аналогичные рассуждения с естественными усложнениями
выкладок показывают справедливость и формулы C.1.17).
Отметим, что когда функция i(f,r) имеет вид C.1.12) и точки трк ,
кр = 1, ..., пр, и Гр , jр = 0, 1, ..., пр, образуют каноническое разбиение с
шагом hр разомкнутой ляпуновской кривой Lp, p = 1, 2, то
1.тгкг)-Б„1Н1[т1к1. т2кз)\< 0{тк1,т2к1). D.2.13)
кр = 1, ..., пр, р = 1,2, где величина в[тхк , т? ) удовлетворяет неравен-
ствам вида C.3.4) и C.3.5). Это доказывается так же, как и неравенство
D.1.24).

РАЗДЕЛ II
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВ А 5
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА НА ОТРЕЗКЕ
И СИСТЕМЕ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ
§ 1. Характеристическое уравнение на отрезке.
Равномерное разбиение
Рассмотрим характеристическое уравнение
*it)dt
/ = Mfo). E.1.1)
a t0 - t
Решение индекса к = 0, 1, -1 этого уравнения задается формулой [34, 78]
1 Г* Hto)dto 1
г RK(t)\ f /?;!M - vKCit\. E.1.2)
1С L a t - Го J
«о
ie Vi = 1, v0 = v_x = 0,
/b^T 1
ffo(f> = V , /Mr)-— -¦ Я_,(г)=/?7'(г).
Решение с особенностью вида \J~(t — a)I(b — t) рассматривать не будем,
так как из приведенных рассуждений будет видно, что надо изменить в
этом случае.
Пусть множества Е = {tk, к = 1,., ., п) и Ео = {tOj, / = 0, 1# . . . , п) об-
разуют каноническое разбиение отрезка fa, b] с шагом h. Справедлива
следующая
Теорема 5.1.1. Пусть функция f (f) принадлежит классу Н (X) на
[а, Ь]. Тогда между решениями систем линейных алгебраических урав-
нений
toi-tk
HL = flt )t
t
(ЪЛА)
)
—- = f(tQj). / = 0#1 п. E.15)
73

и решением ^(f) индекса к - 0, 1, —1 соответственно уравнения E.1.2)
выполняется неравенство
I $(tk ) "" Фп №к ) I ^ @п к к )t к = 1» • • • » "» E.1.6)
в котором величина Sn(tk) удовлетворяет неравенствам:
1) для всех точек f * ? [а + б, 6 — 6], где 6 > О сколь угодно мало,
Onl*k) <06{hk>), X, > 0; E.1.7)
2) для всех точек tk G [а, 6]
2* vM (fk) h ^ O(h 2)t X2 ^ 0. E.1.8)
Доказательство. Заметим вначале, что в силу результатов о
квадратурных формулах для сингулярного интеграла на отрезке в § 3
гл. 1 системы E.1.3) - E.1.5) аппроксимируют уравнение E.1.1). Для
определителей систем E.1.3)-E.1.5) получим
0(»)
д?>.
1
*01 -*1
1
E.1.9)
1
Д0О =
ton-*!
1
1
1
Д("> =
1
toi-ti
1
*oi -tn
1
ton-l - fl
1
ton-I ~ tn
1
1
*oo — t\
1
1
Несложно показать [86], что
П П (tm-tp)
П П
-tO
п
E.1.10)
П (rOm -rp)
где J (х) =1 при х > 0 и ? (х) =0 при х < 0. Покажем это для А^п), так
как для остальных будет аналогично, с некоторыми очевидными изме-
нениями.
Вычтем последнюю строчку в определителе А^оп) из всех предыду-
щих и из каждого столбца вынесем множитель 1/Uo/* - tk), к = 1, . .. ,п,
а из каждой строчки множитель tOn — tOm, m = 1,. . . , л — 1. Получим
1 1
П
1
to\ - tn
1
1 ...1
74

Теперь вычтем в последнем определителе последний столбец из всех
предыдущих, вынесем множители из каждой строчки и столбца и разло-
жим полученный после этого определитель по последней строчке. Получим
П (rOn-tOm)(rm-fn)
п
П (ton-tp) itom -*n)
m.p=l
Метод математической индукции заканчивает доказательство форму-
ль. 4°- (/|)
Из формулы E.1.10) видно, что DK ' Ф 0 при любом п. Применяя
правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений,
получим
где i;K определена в E.1.2), а ?(х) в E.1.10); D(Kn)k и ДЭД получаются
соответственно из D^^u A(^ заменой /г-го столбца на столбец из свобод-
ных членов правой части системы, а Л*"/,*) получается из А(кп) вычеркива-
нием /-й строчки и /r-го столбца. Для Д^)^), так же как и для \
получаем
ПП (tm-tp) ПП
)
/i ' «roo
П П (Om p
E.1.12)
Поэтому формула E.1.11) получит вид
Аг = 1 п, E.1.13)
где
/(owi - П itom
m = l
/<"„>,. = П (fO/-rw)/ П (r0/-го*Л
m = l / m = l
75

' l,k 'o,/r • 'l.O/ " ' О 0/ "Off " fO/J.
fOn - rk
tin) _ ,(n) if f x ,(n) _ ,(«) _____
^0/ ~ ^0 0
Далее, имеем
Г 'о"* '-рк-\Рп-.*. E.1.14)
Л 2
. я„.., П (i+i2=L^=L), /.„-1.
T '(o".O/ m-
Л 2
P0,/-i = П 1 + - 1 Po,n-i= П 1
m = l \ tOf -torn/ m=/+l\
Po.o =1-
Напомним, что в рассматриваемом случае
, tok-tk= — ,
2
2 л + 1
-tk =tOm-tok -h(m-к). E.1.16)
*-1 / 1/2 \ "-* / 1/2\
рк_х = П 1 ). Рп_к= П A + —
Следовательно, формулы E.1.14) — E.1.16) дают
l/2\
E.1.17)
В [102] имеется следующая формула из теории гамма-функции:
'—?- •= - +СЦп0~1), E.1.18)
12- ... п ГA +Ц)
которую можно записать так:
п I Р\ п0
Так как нас будет интересовать формула E.1.18) с точностью до величин
порядка п, то можно написать
( 0\ (г?+1) д .
П 11 +— = + О((л + К^). E.1.18 )
т = Л т/ ГA+^)
Полагая теперь j3 = ±1/2, получим
+0{(п-к
П1/2) ПЗ/2)
E.1.19)
76

Напомним известные по [100] формулы
П1/2) = у/7! Па + 1) = Г(а)а, ГC/2) = y/lr/2.
Таким образом,
2 /n-k + V
к
Аналогично имеем
i-Ч 1/2 \ "-// 1/2 \
fy-i- П 1 + ), РОпЧ= ПМ-
E.1.20)
E.1.21)
/ + 1/2
——
-1/2
Отметим, что в силу формулы E.1.16) имеем
b — tk = %Jhn — к + V,
E.1.22)
Из формул E.1.22) следует, что формулы E.1.20) и E.1.21) можно
записать в виде
2 /b-tk'
Рк-\Рп-к = V" + А0(п,к)'
E.1.23)
п tk-a
-a»7
- аK/2 / '
2 / f о/ - а
Poj-iPon-j - v~~ + Bo(nj)>
я о - г0/
E.1.24)
Аналогичные рассуждения показывают, что для к =1,-1 имеем
~ '?* =- litk-a)(b-tk)]-K/2 +AK{ntk)l E.1.25)
к{п-к)
Г /(",о/ - ~ f Со/ - »)(* " fo/)l "/2
П 7Г
E.1.26)
77

Подставляя теперь формулы E.1.23)- E.1.26) в формулу E.1.13) и
пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые были проведены
при доказательстве теоремы 1.3.2, получим
1 * , fito)dto
*я(Ы- -— *кЬк) I «к Сг0) +
Я a tk — t0
+ vKRK(tk) С + 0K{tk). к = 1 п, E.1.27)
где величина \9K(tk)\ удовлетворяет неравенствам E.1.7) и E.1.8). Теоре-
ма 5.1.1 доказана.
Замечание 5.1.1. Поясним смысл неизвестной 7о« в системе E.1.5).
Эта система без 7ои переопределена (число уравнений больше числа не-
известных) и, как правило, несовместна. С другой стороны, эта система
должна аппроксимировать уравнение E.1.1), имеющее единственное
решение индекса к = —1 при выполнении условия [34, 78]
! , fMdt° .-О. E.1.28)
а \/(t0 -a)(b-t0)
Поэтому уровень рассогласованности системы E.1.5) без уОп должен
понижаться, и, следовательно, если эта система с 7ow совместна, то
lim 7оя = 0- Но это надо доказать. Таким образом, уОп делает определен-
ной систему E.1.5), и поэтому будем называть ее регулнризирующим
фактором. Для нахождения 7ои опять воспользуемся правилом Крамера:
/=о Л >; я /=oVfro/Ko/
Таким образом, lim 7ои=О тогда и только тогда, когда решение
индекса к = -1 для уравнения E.1.1) существует. Следовательно, поведе-
ние 7ол при расчетах является индикатором наличия решения индекса
к =-1.
Замечание 5.1.2. Во многих приложениях (в аэродинамике, теории
упругости и т.д.) часто требуется вычислить не саму функцию \р (г), а
ь
интеграл / \(/(f) <p (t) dt, где \l/(r) G И на [а, 6]. Из неравенств E.1.6) и
а
E.1.8) следует, что для вычисления указанного интеграла можно восполь-
зоваться формулой прямоугольников по точкам tk, k = 1,. . . , п, причем
брать в этих точках не функцию <p(f), а значение <р„(г*), т.е. выполняет-
ся неравенство
Ь п
I/ i//(fMf)tff- Z t(tk)*n(tk)hl<O(hx>), X3>0. E.1.30)
а к = \
Действительно, имеем
Ь п а + h
), rAeAf= max
78

Замечание 5.1.3. Теорема 5.1.1 останется справедливой и в том
случае, когда функция f it) не принадлежит классу Н на отрезке [а, Ь],
а принадлежит классу Н *, т.е. имеет вид
fit) = ¦ -. E.1.31)
(t-a?(b-tf
где ф(г) EH на [а,Ь].
При этом теорема 5.1.1 для системы E.1.3) останется справедливой
при 0 < «> < 1, 0</j < 1/2, для системы E.1.4) - при 0 < г, ц < 1, для
системы E.1.5) - при 0 <v,n< 1/2. То, что функции E.1.2) будут реше-
ниями уравнения E.1.1) при указанных в данном замечании ограниче-
ниях, следует из формулы Пуанкаре-Бертрана.
Замечание 5.1.4. В задаче стационарного обтекания профиля с
закрылком приходится рассматривать случай, когда функция fit) Е Н
на отрезках [a, q] и [q, b] и терпит разрыв первого рода в точке q. Если
при этом множества ? = {tk, к = 1,.. ., п) и Ео = {f0/# / = 0, 1, . . ., п) вы-
брать так, чтобы точка q лежала посредине между ближайшими к ней точка-
ми из множеств Е и ?0 (см. замечание 1.3.2), то теорема 5.1.1 останется
справедливой, только неравенство E.1.7) будет справедливо для всех
точек tk € [а + 5, q - Ь] U [q + 6, b - 6]. Действительно, для теоремы 5.1.1
важно было взаимное расположение точек tk, к = 1,. . . . , п, и г0/, / =
= 0, 1, . . ., п, и чтобы для этих точек были справедливы квадратурные фор-
мулы сингулярного интеграла на отрезке, изученные в § 3 гл. 1.
Результаты § 3 гл. 1 и замечаний 5.1.3 и 5.1.4 данного параграфа поз-
воляют сформулировать следующую теорему.
Теорема 5.1.2. Пусть функция fit) имеет вид
1И>
fit) = й , E.1.32)
где \^{t) € И на [a, b], a < q < Ь, и пусть на отрезке [а, Ь] взяты мно-
жества Е и Ео с шагом h = (Ь — аI(п + 1) так, как это указано в замеча-
нии 5.1.4. Тогда:
1) при 0< у, Р < ]и0<ц<1/2 между решением системы линейных
алгебраических уравнений E.1.3) и решением E.1.2) индекса к = 0 урав-
нения E.1.1);
2) при 0 < v, /3, ц< 1 между решением системы линейных алгебраичес-
ких уравнений E.1.4) и решением E.1.2) индекса к = 1 уравнения E.1.1);
3) при 0<*\ji<1/2, O<0< 1 между решением системы линейных
алгебраических уравнений E.1.5) и решением E.1.2) индекса к = -1
уравнения E.1.1) выполняется соотношение E.1.6), в котором величина
9{tk) для всех точек tk € [а + 5, q - 6] U [q + 5, b - 6h где 6 > 0 сколь
угодно мало, удовлетворяет неравенству
d(tk)< O(hxi), 0< X, < 1. E.1.33)
и неравенству E.1.8) для всех точек tk ? [а, Ь].
Отметим, что если f (f) терпит разрыв первого рода в точке q. то она мо-
жет быть представлена в виде E.1.32), где j3 > 0 сколь угодно мало. В этом
случае решения E.1.2) уравнения E.1.1) будут иметь в точке q логариф-
мическую особенность. Однако расчеты показали, что хорошие результаты
получаются, если точку q сделать одной из точек г0/ при/ =jq и правую
часть в системах E.1.3)-E.1.5) брать следующим образом: f{tOj) при
79

/ iq Ojq 0/^ /с/,гАеМГо/G - 0) иПгО//О)-
односторонние пределы функции f(t{}) в точке q.
Из формулы E.1.2) видно, что решение ^(г) индекса к - 1 уравнения
E.1.1) зависит от одной произвольной константы С, являющейся интегра-
лом от этого решения по отрезку [а, Ь]. Но из формулы E.1.2) видно, что
константа, а следовательно, и решение ${t) будут однозначно определены,
если задать значение <p{q) в какой-нибудь точке q € (а, Ь). Чтобы найти
численное значение этого решения из системы E.1.4), надо найти Cqt
соответствующую константу, и подставить ее в последнее уравнение этой
системы. Нахождение Cq потребует дополнительных затрат в вычислениях,
особенно при наличии в уравнении регулярной части. Покажем, как обой-
тись без нахождения константы Cq, с использованием знания только ^f(q) ¦
Справедлива следующая
Теорема 5.1,3. Пусть f(t) принадлежит классу И на [а, Ь] и пусть
множества Е и Ео образуют каноническое разбиение отрезка [а. Ь] с ша-
гом п. Обозначим через tk ближайшую слева к точке q 6 (а. Ь) точку мно-
жества Е. Тогда между решением системы линейных алгебраических урав-
нений
$(q)
f(ro/H- — . /=1 л-1. E-1.34)
o/
кФкя Я
и решением ф) индекса к = 1 уравнения E.1.1)
b
Tt2y/(t-a) (b-tY a it - t0) (q-t0)
/
(q-a)(b-q)
ТТ. Г" E.1.35)
(f-a) (b- t)
выполняется соотношение E.1.6).
Доказательство. Как и в теореме 5.1.1, можно показать, что
определитель системы E.1.34) отличен от нуля, и применить правило
Крамера:
=1 п; k*kq. E.1.36)
q
Если обозначить через S,(rA) первую сумму в формуле E.1.13) для к = 1,
то можно написать
Используя рассуждения, проведенные при доказательстве формулы
Пуанкаре - Бертрана, получим
(f* -a) (b-tk)
80
<q-a)(b-q)' I ft1/2
+0 — E.1.37)
I ft1/2 \
—

Далее, учитывая, что
o - а) (Ь -
/ /
<* *kq - fo a tk - Го
получим
Г H*to)l />1/2 I
МХ \<\\*[q)\h+ — Odtn/ij), E.1.38)
L f* - '*„ y/(tk-a) (b-tkV J
Учитывая формулы E.1.37) и E.1.38) и доказательство теоремы 5.1.1,
получим справедливость теоремы 5.1.3.
В задаче обтекания профиля с эжектированием (всасыванием) воздуха,
которая подробнее будет описана в разделе об аэродинамике, приходим
к необходимости численно решать уравнение E.1.1) в классе функций,
имеющих вид
spit) =
q-t
где \p(t) € Н в окрестности точки q G (а, Ь).
В последующих теоремах 5.1.4, 5.1.5 будем брать множества Е и ?0
так, чтобы заданная точка q лежала в множестве Ео при / =/<7.
Теорема 5.1.4. Пусть функция f(t) G Нна [а, Ь] и известно значение
функции \lf(t) в точке q. Тогда между решением системы линейных алгеб-
раических уравнений
-«f0/)- г . /-1 п. J^j
E.1.39)
и решением spit) уравнения E.1.1)
fb-t
выполняется соотношение E.1.6), в котором величина Oitk) удовлетворя-
ет неравенству E.1.7) для всех tk € [а + 5, q - Ь] U [q + 5, b - 5], 6 > 0
с/соль угодно мало, и неравенству E.1.8).
Доказательство. Как и в предыдущих теоремах, показывается,
что определитель системы E.1.39) отличен от нуля при любом л. Поэтому,
применяя правило Крамера к этой системе, получим
&i;™ *-re/
-toi tiq-toj
|6.,4„
6. С.М. Белоцерковский

Используя теперь доказательство теоремы 5.1.1 и формулы Пуанкаре -
Бертрана, получим
где величина \6(tk)\ удовлетворяет необходимым соотношениям.
Аналогичным образом доказывается следующая
Теорема 5.1.5. Пусть функция f(t) принадлежит классу Н на [а, Ь].
Тогда между решениями систем линейных алгебраических уравнений
fitOj). / = 0,1 n; j*ja, E.1.42)
ч
E.1.43)
и решениями <p(f) уравнения E.1.1) соответственно
f , E.1.44)
] E.1.45,
для последнего
ь
fip(t)dt = C E.1.46)
a
выполняется соотношение E.1.6) так же, как в теореме 5.1.4.
Заметим теперь, что в теореме 5.1.4 можно полагать известным значение
искомого решения не в точке f, (перед точкой tOf), а в точке г; +i (за
точкой f0/ ) • Расчеты, приведенные на рис. 25, хорошо это подтверждают.
Так как функция i//(f) принадлежит классу Н в окрестности точки Я,
то системы в теоремах 5.1.4 и 5.1.5 можно составлять следующим образом.
Берем множества F и ?0 на отрезке [а, Ь\, образующие его каноническое
разбиение. За точку г0/ берем любую ближайшую к точке q точку из мно-
жества Ео. Далее системы имеют тот же вид. Оценки между точными реше-
ниями соответствующего вида уравнения E.1.1) и решениями систем
сохраняют свой характер.
Так как отсосов на крыле может быть несколько [ш штук), то естест-
венно распространить сформулированные выше результаты на случай чис-
ленного нахождения решений уравнения E.1.1) вида
, ()
(Qi - t) ... (qm - Г)
где 0i, ..., qm - фиксированные точки в интервале [а, Ь) ,а \p{t) - функ-
ция, принадлежащая классу Н в некоторых окрестностях этих точек. В этом
случае справедлива следующая
Теорема 5.1 В. Пусть функция f(t) EH на [а, Ь] и известны значения
функции фи) в точках qlt. .. ,qm. Тогда между решением системы линей-
82

ных алгебраических уравнений
toi~tk
E.1.47)
и решением ^(г) уравнения E.1.1):
Т^Т ь /1^7 f(to)dto
, . . v . E.1-48)
выполняется соотношение E.1.6), в котором величина 6{tk) удовлетворяет
неравенству E.1.7)для всех точек гк€[а + b,qx — б] U[qi + b$q2 - Ь) U...
... U [qm + Ь, b -Ь], 5>0~ достаточно малое число, qx < q2 < . . . < qm,
и неравенству E.1.8).
Отметим только, что точки tk, к = 1,. . ., п, и f о/•, j = 0, 1,..., п, выби-
раются, как в теореме 5.1.4, если точки qx. ..., qm находятся на равном
друг от друга расстоянии, или как в замечании к теореме 5.1.5. То, что
функции E.1.40), E.1.44), E.1.45) и E.1.48) являются решениями урав-
нения E.1.1), можно проверить непосредственно.
Рассмотрим теперь уравнение E.1.1) на отрезке [- b, b), симметричном
относительно начала координат, т.е.уравнение
E.1.1')
-ь to-t
Все решения уравнения E.1.1') даются по [34,78] формулой
1 f ь y/t2 -tl'f(to)dto 1
, / яС . E.1.49)
7?1-» t-t0 J
Несложно заметить, что если f(to) — нечетная функция, то любое решение
уравнения E.1.1') является четной функцией, а если f(t0) - четная функ-
ци^ то решение уравнения E.1.1') будет нечетной функцией только
при С = 0.
Указанный факт можно использовать для уменьшения вдвое порядка
системы линейных алгебраических уравнений, предназначенной для числен-
ного нахождения решения уравнения E.1.1').
Теорема 5.1.7. Пусть f(t) E И на [- b, b) и является четной функ-
цией на этом отрезке. Тогда между решением системы линейных алгебраи-
ческих уравнений
*пк\%/ E.1.50)
i L tOj-tk t J
где множества Е = {tk, * = 1,...,2/л+1}«/?0 ={го/» / =0, 1,..., 2/л+ 1}
образуют каноническое разбиение отрезка [- b, b] с шагом п. и решением
6*
83

<l(f) уравнения E.1.1)
ь yjb1 -tl'f(to)dto
°E.1.51)
я
выполняется соотношение E.1.6).
Аналогично, хогда f(t0) - нечетная функция и п = 2т, то надо брать
систему
т
1 \
)h'fit0,). /
)/ + tk *0j - tк
т 1
I ^(fJ/7= —С. E.1.52)
к =i 2
Если желательно получить решение индекса к = - 1, то надо рассмотреть
систему
т
Г 1 1 I
E.1.53)
Как приложение теоремы 5.1.1, рассмотрим еще вопрос о численном ре-
шении уравнения
/ - = «Го». E.1.54)
-1 Го-Г
все решения которого даются формулой
dr } y/i -t?f(to)dto
Сх +С2. E.1.55)
Покажем построение численного метода для нахождения решения этого
уравнения, обращающегося на концах отрезка в нуль, что наиболее часто
встречается в приложениях. Пусть точки f i = — 1, t2. • . .. tn, г„+ , = 1 раз-
бивают отрезок [-1, 1] на равные части длины п, а точка г0/ является
серединой отрезка [г/# г;-+ , ], j - 1 п.
Теорема 5.1.8. Пусть функция f(t0) принадлежит классу Н
на [—1,1]. Тогда между решением системы линейных алгебраических
уравнений
" / 1 1 \
I *я(г0*I ) = Н*о;)' /=1 п. E.1.55)
и решением ^p(t) уравнения E.1.54), обращающимся в нуль на концах
отрезка [-1, 1], выполняется соотношение
I 1 \
\*,Мок) -Фок)\<*0\—?\ , к = 1 п, E.1.56)
где Х>0.
84

Доказательство. Система E.1.55') эквивалентна системе
¦?¦ ^о*>-^°*-> h „м, /=1 „,
к = 1 /7 Г0; - f *
Дг = 1 /7
где полагаем \рп (t0 0) = уп (fо* +1) = 0.
Видно, что система E.1.57) совпадает с системой E.1.4) при С = 0.
Поэтому имеем
0А1> JL(U V 1 (п+1)
к= 1 Л7 + 1,
или
/7
так как <pw(fOo) = ^(rOn+1) = 0.
Теперь в силу формул E.1.25) и E.1.26) имеем
1 * /7 « y/i-t?,fitOj)h
* = 1 п. E.1.59)
Из формулы E.1.59) получаем справедливость теоремы, так как функция
1 ' dr i v/1 -rgV(foWro
E.1.60)
Г-Го
является требуемым решением уравнения E.1.54).
Отметим, что выполняется равенство
\н
0. E.1.61)
*/ - * о/
Заметим также, что из доказательства теоремы 5.1.8 следует, что система
E.1.55) невырождена и матрица, обратная к матрице этой системы, опре-
деляется формулой E.1.58). Невырожденность матрицы системы E.1.55')
можно показать непосредственно с помощью признака Адамара невырож-
денности определителя — модуль диагонального члена в каждой строчке
больше суммы модулей остальных членов этой строчки. Действительно,
имеем равенство
1 1 f*+i dt
aik = =- f г, *,/=1 п. E.1.62)
г0/ — ~k r0/ — Tk + 1 tk Ifo/ — П
1 dt
Поэтому если r0/ f кк> *к+\]. то ajk > 0, a a/; < 0 и - / — > 0.
-i \toj-t)
Следовательно,
/ —*^—г = Z aM+a/7<0. E.1.63)
-1 (f0/"r) kVf 8S

Наконец, из равенства E.1.63) получаем
-а„*\аи\> 2 *,* = I \а/к\. E.1.64)
K = i к =1
Аналогично теореме 5.1.8 с использованием рассуждений, проведенных
при доказательстве теоремы 5-1.1, доказывается
Теорема 5.1.9. Пусть функция f[t) Е Н на [-1, 1]. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
С2 п /1 1 \ Сх + С2
+ 2 ^„(Го*) + = f(tOj).
toj — tx k = l \toj-tk tOj — tk + i/ tOj — tn + i
/=1 n, E.1.65)
и решением y(t) уравнения E.1.54), даваемым формулой E.1.55), выпол-
няется соотношение E.1.56).
Для доказательства этой теоремы заметим только, что система E.1.65)
эквивалентна системе
У,,(Го*I„(Го*-1> h
L = t\tOj), I = 1,. . . , п,
h t0i~tk E.1.66,
* = i h
где ^п(Гоо) = С2, <finitOn + i) = Ci +C2.
Используя теорему 5.1.1, получим
1 (w+1) 1
^^ / 1§0/ ^
k i
+ C! Z — /^.+ 1)/>+C2. E.1.67)
Отметим, что из последней формулы при к =п + 1 в силу формулы E.1.61)
и условия $п(tOw +1) = Ci + ^2 получаем равенство
"i1 1^" + 1) = 1' E.1.68)
В работе [72] получено обобщение последнего результата на уравнение
V(t)dt
f =f(t0). E.1.69)
-1 t0 - Г
§ 2. Характеристическое уравнение на отрезке.
Неравномерное разбиение
В этом параграфе будем рассматривать вопросы численного решения урав-
нений E.1.1') приЬ = 1:
I -«to»
- 1 Го - t
с использованием представления
^(f) = co(f№(f), E.2.1)
86

где со(О = A - г)* 1/2A + г)* l/2, a \Mf) будем предполагать принадлежа-
щей классу Н на [-1, 1]. Поэтому для составления систем линейных ал-
гебраических уравнений, дающих численное решение уравнения E.1.1') в
том или ином классе функций, будем использовать квадратурные формулы
интерполяционного типа, указанные в § 3 гл. 2.
Рассмотрим вначале более подробно случай к = 1, т.е. когда со(г) =
= A-г2Г1/2.
Теорема 5.2.1. Пусть функция f(t) ? Н на [- 1, 1]. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений
O/ *nkk j
k = \ tOf - tk k = i
7 E.2.2)
(где ak = n/n; tk = cos B/c — 1 Oг/Bл), k = 1 n; r0/ =cos/7r/n/ /= 1, . . .
. .., /7 — 1 )# и функцией
J С
<23>
7Г -1 Г-Гу 7Г
выполняется соотношение
*n(f*)l<**<«*). «8.2.4)
где /?;,(f^) "" погрешность аппроксимации в точке t k сингулярного интегра-
ла, стоящего в формуле E.2.3), с помощью квадратурной формулы интер-
поляционного типа, построенной по точкам f о/, / =1,....л— 1,в § 3
гл. 2 (с/и. B.3.6)).
Доказательство. Рассуждения, проведенные при доказательстве
теоремы 5.1.1, показывают, что решение системы E.2.2) будет иметь вид
irr] "¦
fj? - f0/ J
Выражения для /^ и /1"(). удобно записать в виде
(tk-tm),
т= 1
E.2.6)
("I, = - П (г 0/ - tm)/ II (fо, - гОш )•
' ' т -1 / т - \
В силу представления многочленов произведением линейных множите-
лей имеем (см. § 3 гл. 2)
Pnit) = Tn[t)=Bn П (r-fw),
«-1
ОИ(Г) = -Я(УЯ-1(Г)--Я^Я П (f-fom).
m = 1
я;(гЛ» = 5я П (rA -rm), E.2.7)
m Ф к
Qn(tk) = -nBn П (tk -tom).
m = 1
87

где Pn(t) — многочлен, по корням которого строится квадратурная форму-
ла для сингулярного интеграла в уравнении, a Qn(t) — многочлен, корни
которого являются точками коллокации, В„ — коэффициент при старшей
степени переменной в многочлене P,,{t). Таким образом, из формул B.3.7),
E.2.6) и E.2.7) получаем
1{*\=акЫ. * = 1 п. E.2.8)
Отметим, что равенство коэффициентов при старших степенях перемен-
ной в многочленах Tn(t) и Un_x\t) следует из формул
п 1"/21 (-тл-т- 1)!
Г() IB)"lm 12
Г„(г) IB), .
2 т=о т\(п - 2т)\
\п,2\ нПя-д,)!
Un(t) = I Bt)"-2m, n = 1, 2, . . .
!B)!
Рассмотрим теперь интеграл
} \Л -ГоV(fo)rffo
Ф,(г)=/ . E.2.10)
-1 r-f0
В этом случае (см. B.3.17) и B.3.20)) /V iU) = 1/„-,(f), a Q,,-,(f) =
= яГп(г). Поэтому квадратура для Ф}(г) в точках tk, являющихся корнями
функции Qn- I it), будет иметь вид
Ф2(Г*)= Z 5?L-^-/ * = 1 п, E.2.11)
/=i tk - f0/
Из формул E.2.6), E.2.7) и E.2.11) следует, что
;К/в6А > = 1 "~1- E.2.12)
Вытекающее из формул E.2.5), E.2.8) и E.2.12) равенство
Фп(тк) = г 1 — -тгС , *=1 ^ E.2.13)
в сравнении с E.2.3) показывает справедливость рассматриваемой
теоремы.
Из [95] следует, что формула
' ч 7 7 ^ ^ = 1 п, E.2.14)
дает точное значение решения i(f) в точках г^, если /"(Г) является много-
членом степени не более 2(п - 1). А в общем случае имеем
Рассмотрим теперь решение уравнения E.1.1'), 6 = 1, при к =-1 и 0,
т.е. когда со(г) =\Л -f2 или cj(f) =\/A -г)/A + f)' соответственно. Спра-
ведлива следующая
88

Теорема 5.2.2. Пусть функция f(t) € Н на [-1, 1]. Тогда между ре-
шениями систем линейных алгебраических уравнений
ф (tir)air
Jon + 2 =fitof). /-1 л + 1. E.2.15)
* = 1 f о/ - Г*
тг Апг кп
ак = sin2 , tk = cos
1 + 1
si , k
л + 1 /7 + 1 п + 1
B-/-Ш
1+ 1
к = 1 f о/ - tk
f{toi), /=1 n, E.2.16)
4я т kn 2kn
ak = sin2 7 , tk = cos
2/7 + 1 2/7 + 1 2/1 + 1
2/-1
t0/ = cos я, / = 1,..., n,
2/7 + 1
и функциями ф[т) соответственно
1 l f(to)dto
E.2.17)
E.2.18)
выполняется соотношение E.2.4).
Заметим, что если требуется брать приближенное решение как функ-
цию от t, то надо воспользоваться формулой B.3.2), которая запишет-
ся в виде
где для теоремы 5.2.1
^л(г) = 7"я(^) = cos (narccosf),
а для теоремы 5.2.2
sin [(n + 1) arccos f]
Pn(t) = 1/„(Г) = —
sin (arccos f)
для системы E.2.15) и
1 -г
для системы E.2.16).
В предыдущем параграфе было указано, что в некоторых прикладных
задачах [12] приходится рассматривать решение характеристического урав-
нения, когда известно его значение в некоторой точке q G (- 1, 1). В этом
случае можно получить следующий аналог теоремы 5.1.3: решение системы
89

линейных алгебраических уравнений
п Фп^к)ак ф(д)ак
1 fO/ — tk tkq —
кд
, /=1 п-1, E.2.19)
(где а к, tk, к = 1,..., п, и г0/, / = 1,..., п — 1, определяют так же, как и
в теореме 5.2.1, a kq - номер точки г*, ближайшей к точке д) равномерно
сходится к функции
g-t 1 \Л -tof(tQ)dto
iMD- / — - +ф(д). E.2.20)
Я2 _! (Г-Г0)(а-Г0)
Действительно, решение системы E.2.19) можно представить, как и
для системы E.1.34), в виде
1 " 1
kq ак 1Л/= 1 bj l'
(tk-to,)[tof-tk
1 п, кФкя. E.2.21)
Теперь, как и для формулы E.1.36),введем представление фп{тк) в
виде
-Si <V-A#
причем для величины М2 справедливо представление М2 = ф[я) + О(п~1),
а для М1 имеем | Л/1 |< 0{п~1). Поэтому, если функция f(t) обладает
ограниченной второй производной, то | фп№к) - ф(Тк) \ также будет величи-
ной одного порядка с п~1.
Наконец, если решение ищется в классе функций <р(г) - фМКя — г),
ФЬ) = VA — Г>/<1 +r)'f/(r) и известно значение t/(qr) в точке gG (-1,1),
то справедлив также аналог теоремы 5.1.4, который состоит в сле-
дующем.
Между решением системы линейных алгебраических уравнений
" Vn(tk)ak u(g)ak
2 f(tJ1Ф
к = 1 «о/ - 1к
q E.2.22)
(где ak,tk и Г0/определяются так же, как и в системе E.2.6),/ — номер
точки Г0/, ближайшей к точкед, v(t) =u(t)/(g - г)), и функцией
V(D = --1 / \Д^ f° Г° -f-^L E.2.23)
я2^! 1-г0 t-t0 g-t
выполняется соотношение (при достаточной гладкости функции f(t0))
\Vn(tk)-v(tk)\<—]— о(-\ E.2.24)
д - г* \ п /
Доказывается это с использованием формулы E.1.41) и доказательства
формулы Пуанкаре—Бертрана.
Можно также сформулировать аналоги теорем 5.1.5 и 5.1.6.
90

Здесь, как и в замечании 5.1.2, отметим, что с использованием решений
системы линейных алгебраических уравнений E.2.19) и E.2.22) хорошо
1
вычисляются интегралы/ ti(t)sp(t)dt,ri\eri(t) - функция класса/У на [-1,1].
-1
§ 3. Полное уравнение на отрезке
В этом параграфе рассмотрим численное решение полного уравнения перво-
го рода на отрезке
1 <p[t)dt 1
/ + / k(to,t)*{t)dt = f(to). E.3.1)
Будем предполагать пока, что функции fit) и к (f0, f) принадлежат классу
И на своих областях определения.
Разрешив уравнение E.3.1) относительно его характеристической части,
получим, что оно эквивалентно в смысле разыскания решений индекса к
уравнению типа Фредгольма второго рода [34, 78]
fUK{t), E.3.2)
-1
где
1 1 , *(г0, г)
NK(t,г) = - — RK(t) f я;1 (г0) dt0,
п2 _i Г-Го
\ l t f(to)dto
L-i f — Го
я2 L, к r-f0
причем 7"i = я, То - 71^ = 0 и при к = — 1 должно выполняться условие
1 1 1
/ /Г\ (Г)^(гЫг = / ( / R'l j (f)k(t, T)dt)*(T)dT. E.3.3)
-l -i -l
Отметим, что ядро Л/К(г, г) имеет вид
Ф(Г, т)
где ос и 0 равны 0 или 1/2, а функция Ф(г, г) непрерывна на множестве
[— 1,1] X [— 1,1]. Отметим, что к интегральному уравнению второго рода
с ядрами вида E.3.4) применима полностью теория ФредгсДьма построе-
ния приближенного решения и нахождения его решений [36, 85]. Однако
уравнение E.3.2) можно непосредственно свести к уравнению Фредгольма
второго рода с непрерывным ядром с помощью соответствующей замены
переменной. Это замечание позволит систему линейных алгебраических
уравнений для уравнения E.3.1), получаемую в рассматриваемом числен-
ном методе, эквивалентным образом преобразовать в систему линейных
алгебраических уравнений для уравнения Фредгольма второго рода, эквива-
лентного уравнению E.3.1) в данном классе решений.
Справедлива следующая
Теорема 5.3.1. Пусть в уравнении E.3.1) функции f(t) и k{t0, f)
принадлежат классу Н на множествах [—1,1] и [—1,1] X [—1,1] соответст-
венно и это уравнение имеет единственное решение в соответствующем
данному индексу к классе функций (для к = 1 считаем заданным значение
91

интеграла от решения). Тогда между решениями систем линейных алгеб-
раических уравнений
2 Z k() f /=1 п. E.3.5)
к = 1 «О/ — тк к = 1
n
1 /7-1,E.3.6)
к = 1
Л *п1*к№ п
Уоп+ 2-» + 2 ^(Го/^*)^и*)Л-«ГоД /-0,1 ^
/f = I f О/ ~ «* * = 1
E.3.7)
(у соответствующими решениями уравнения E.3.1) выполняется соотноше-
ние E.1.6), в котором величина 6(tk) удовлетворяет неравенствам E.1.7)
и E.1.8). Здесь множества Е = {tk, к = 1,. .., л)ы Ео = {г0/, / = 0,1,..., л}
образуют каноническое разбиение отрезка [-1,1].
Доказательство. В системах E.3.5) - E.3.7) оставим слева
слагаемые, соответствующие характеристическому сингулярному интег-
ральному уравнению, а все остальное перенесем вправо. Используя резуль-
таты теоремы 5.1.1, получим, что рассматриваемые системы эквивалентны
системам [к =0,1,-1).
m)*nitm)h-7tuKitk). к = Ч п. E.3.8)
где
определение ?(х) см. E.1.10).
Дальнейшее доказательство проведем более подробно для к = 0, так как
в остальных случаях оно аналогично. Из формулы E.1.27) видно, что если
умножить обе части системы E.3.8) на множитель A - г*)!'4A + t*K/4,
потом произведение &n(tk) на этот множитель обозначить через "Pn{tk) и
рассматривать вновь полученную систему линейных алгебраических урав-
нений, то она аппроксимирует интегральное уравнение Фредгольма второго
рода с ограниченным ядром
*('|)+/ NK(tx,Tx)f(Tx)dTx =f ,.«(r,), E.3.9)
о
где
+r(r,)K/4/
' !.к(М = ^.kUUi ))A -f(fi »I/4d + f(f| )K/\
?(Ti ) - ^(T<Ti ))A - T[TX ))l/4A + Г(Г, )K/4r
92

dr
.?K/4 •
Причем, как следует из формулы E.1.27), порядок аппроксимации будет
иметь вид
E.3.10)
Из теории численных методов для интегральных уравнений Фредгольма
второго рода [46] с непрерывным ядром следует, что порядок аппроксима-
ции 1„(г&) функции $f) такой же. Возвращаясь теперь к функциям <p(t)
и Vn(tk), получаем справедливость сформулированной теоремы для к = 0.
Для к = 1 и — 1 она доказывается аналогично.
Замечание 5.3.1. Из доказательства теоремы 5.3.1 видно, что она
справедлива и в том случае, если ядро k(t0, t) имеем вид kx (f0, t)/]t0 - t\a,
где 0<а< 1, а /г, (f0, f) принадлежит классу Н на прямоугольнике. В этом
случае ядро NK(t, т) будет иметь такой же вид, что показывается с исполь-
зованием формулы Пуанкаре—Бертрана перестановки порядка интегриро-
вания и свойств сингулярных интегралов. Поэтому с помощью перехода
к итерированным ядрам можно получить уравнение Фредгольма с непре-
рывным ядром. Ясно, что все эти операции можно проделать и в дискрет-
ном виде. Проведенное рассуждение показывает, что теорему 5.3.1 можно
переформулировать для уравнения
f fit0). E.3.11)
-i to-t
где k(t0, t) и f(t) принадлежат классу И и k(t0, to)^Q,to€:[-'\,1].
В этом случае для составления систем линейных алгебраических уравне-
ний не требуется перехода к сингулярному уравнению вида E.3.1). Таким
образом, для численного нахождения решения индекса к = 1, 0 или — 1
уравнения E.3.11) надо рассматривать следующие системы линейных
алгебраических уравнений соответственно:
Z °/' *п =f(tOJ), / = 1 п, E.3.5')
к = 1 t0f - * к
U*>/>
' E-3.6')
к = 1
уоп+ ? *«'о/,>»>*<>»».,(Го/)> / = 01 п E3.Г)
к = 1 *0f -*к
Отметим, наконец, что указанный выше способ рассуждений позволяет
перенести на уравнения E.3.1) и E.3.11) все замечания и теоремы, сделан-
ные для характеристического уравнения в § 1 гл. 5.
93

Рассуждения упрощаются, если к этим уравнениям будем применять
методы численного решения, развитые для характеристического уравнения
в § 2 гл. 5, т.е. с использованием неравномерных сеток. В этом случае
система линейных алгебраических уравнений вида E.3.8) будет сразу
системой линейных алгебраических уравнений для интегрального уравнения
Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Таким образом, можно
сформулировать следующую теорему.
Теорема 5.3.2. Пусть функция f[t) и K{t0, t) принадлежат классу И
соответственно на [- 1,1] и [- 1,1] X [- 1,1]. Тогда между решениями
систем линейных алгебраических уравнений
+ S K(tQj,tkWn(tk)ak=ntQj), /-1 л, E.3.12)
к = 1
где
2/
f о/ = cos я,
2л + 1
п Ф nit к)* к "
2 + 2 K(tQj,tk)tn(tk)ak=ntQi), / = 1
Г Г°'~Г* *=1 E.3.13)
к = 1
где
я 2*-1
з*=—, f*=cos я, * =
л 2л
J
fо/ = cos— ях / = 1,..., л - 1,
л
п \pn{tk)ak "
+ ^+ 2 K(tt)pit) n) /1л
где *=1 f0/~f* *=1 E.3.14)
А:
= cos я, к = 1,..., п,
л + 1
/
Г0/ = cos я, / = 1 л + 1,
7 2(л + 1)
t/ соответствующими функциями ty(t), определяющими в формуле E.2.1)
решение индекса к уравнения E.3.1) соответственно 0,1 и — 1, выполняется
соотношение E.2.4), в котором Rn(tk)- погрешность аппроксимации
соответствующих интегралов в уравнении Фредгольма второго рода, с
помощью аппроксимационных формул по точкам tOj, j = 1, . . . , л - к.
Аналогичным образом пишутся системы линейных алгебраических урав-
нений и для сингулярного интегрального уравнения E.3.11).
Замечание 5.3.2. Результаты Фредгольма [36, 85] справедливы и
для системы интегральных уравнений второго рода, если она имеет единст-
венное решение и ядра регулярны (непрерывны). Поэтому сформулиро-
94

ванные в данном параграфе результаты справедливы и для системы сингу-
лярных интегральных уравнений, если она имеет единственное решение
данного индекса при соответствующих дополнительных условиях, и систе-
му линейных алгебраических уравнений для характеристической части
можно обратить аналогично тому, как сделано это для одного сингулярного
уравнения.
Замечание 5.3.3. При рассмотрении стационарного обтекания кры-
ла бесконечного размаха с закрылком приходится рассматривать характе-
ристическое сингулярное интегральное уравнение на отрезке [0,1 ] в следую-
щей ситуации. Когда закрылок отклонен, то /"(f) терпит разрыв первого
рода в точке q (точка отклонения закрылка); если закрылок не отклонен,
то f(t) € Н на отрезке интегрирования. Для конкретных расчетов желатель-
но иметь такой метод, который бы единым образом рассматривал оба эти
случая. С другой стороны, при определении шарнирных моментов в точке
отклонения закрылка используются только точки сетки, лежащие на зак-
рылке. Поэтому, если закрылок мал (мал отрезок [д, 1]), то на нем
располагается мало точек и достигнуть удовлетворительной точности при
определении моментов трудно. Желательно строить такой вычислительный
процесс, при котором число точек на отрезках [0, q] и [q, 1] было бы
одинаковым. Здесь удалось реализовать следующую идею.
Берем отображение отрезка [0,1] на отрезок [- 1,1], которое было бы
бесконечно дифференцируемым (хотя бы имело производные до порядка
г>2 и л-я производная ограничена), причем первая производная в нуль
не обращается, и при котором точка Я переходит в точку 0 на [— 1,1].
Теперь на отрезке [— 1,1] берем равномерные сетки или неравномерные
при условии, что точка 0 является одной из точек множества ?0* Обратное
отображение распределит узлы сеток на [0,1] требуемым образом. Отобра-
жение можно взять следующее:
<7A +т)
t[T) = , E.3.15)
A )B1) 2A )
где gre @,1), re [0,1], те[-1, 1].
Видно, что Г(- 1) = 0, гA)= 1,f@) = <7, f'(r)>0 для любого те [- 1,1].
Сделаем замену переменной, определяемую формулой E.3.15), в уравне-
нии E.1.1), з=0, 6 = 1; тогда получим
1 f(t{T))t'(T)dT
f - =f(t{T0)), E.3.16)
-i t[T)-t[T0)
это уравнение вида E.3.11). Для нахождения решения, ограниченного в
точке 1 и неограниченного в точке — 1, можно рассмотреть систему линей-
ных алгебраических уравнений
2"-1 Г,
2 -//, /=1 2л-1, E.3.17)
где
to,=t(TOf), то/ = -1+/Л. h=\ln,
/2, /=1 2л-1,
/-1 2п -1, }Фп,
95

В приложениях часто возникает необходимость при построении прямого
численного метода иметь на одной или нескольких частях отрезка интегри-
рования больше точек, на других - меньше точек, в которых ищется реше-
ние. Для этого, нам кажется, хорошо было бы найти удобные для програм-
мирования наборы стандартных отображений отрезка на отрезок, которые:
1) имели бы не обращающуюся в нуль первую производную класса Н
или имели бы производные более высокого порядка; 2) переводили бы
требуемые части отрезка на равные, или близкие к равным, отрезки.
Замечание 5.3.4. Используя результаты численного решения уравне-
ния E.1.54) и результаты этого параграфа, получим, что для уравнения
Прандтля
1 dT(t) dt
f з(Го)Г(Го) = ПГо), Го €М, 1), E.3.18)
_ i dt to-t
надо рассмотреть следующую систему линейных алгебраических уравнений
(см. E.1.65)):
I Г„(Г0*)
\ toj
/1 1 \
I
\ toj-tk foy-f/f+i /
+ a(toi)rn(toi) = f[tOI), /=1 п. E.3.19)
Между решением этой системы и решением уравнения Прандтля, удовлет-
воряющим условию Г(—1) = С2, rA) = Ci+C2, выполняется соотноше-
ние E.1.56).
§ 4. Уравнение на системе непересекающихся отрезков
Рассмотрим теперь случай сингулярного интегрального уравнения вида
v{t)dt
J- - f{t0). E.4.1)
L to-t
где L является совокупностью / штук непересекающихся отрезков
[Аи Вх) [A,, Bf).
Это уравнение может иметь (см. [34, 78]) индекс к = — /, -/ + 1, . . .
. .., —1,0,1, ...,/, определяемый количеством концов отрезков, в кото-
рых искомое решение ограничено [78]. Для формулировок общих резуль-
татов, следуя [78], перенумеруем концы отрезков [А\,В\]. . . . , [Ah Bt]
произвольным образом и обозначим их сх, с2,..., с2/. Через т?(с,, . . . , cq)
обозначим класс решений индекса K=l — q уравнения E.4.1), которые
при f(t)GH на L ограничены в концах cx,...,cq и неограничен ы в кон-
цах c<j+1 с2/.
На отрезке \Ат, Вт\ возьмем множества Ет = {tk, к = лш_ i + 1, .. .
"т) и ЕОт = { г0/, / = пт _ ! + 0, пт _ , + 1 пт), которые обра-
зуют каноническое разбиение (с шагом hm) этого отрезка, т = 1, ...,/;
/ /
п0 = 0. Обозначим Е - U Ет и Ео = U ЕОт и будем говорить, что
т = 1 т = 1
множества Е и Ео образуют каноническое разбиение кривой L, если вы-
полняется соотношение
h
— <Я<+°о ш=1 i E.4.2)
96

где h - max (hx,... , ht), /? -> 0. Отметим, что соотношение E.4.2) означает,
что числа /7/ и Nm =пт—пт_{, т = 1,...,/, при п -* <» являются вели-
чинами, отношение любых двух из которых есть величина ограниченная.
В дальнейшем соотношение E.4.2) всегда будем считать выполненным.
Через P(q) будем обозначать множество точек f0/, которое получается
из множества Ео выбрасыванием ближайших к концам c^+i, . . , с2/.
Рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 1 гл. 5, показывается
справедливость следующих теорем.
Теорема 5.4.11 Пусть функция f(t)EH на L Тогда между реше-
нием системы линейных алгебраических уравнений
E.4.3)
= C€. 6 = 0,1 к-1, 1<к</,
и решением ^(f) индекса к>0 класса ri(c\,.. ., cq), удовлетворяющим
условию
f t€f(t)dt = C€, E.4.4)
L
выполняется соотношение
* = 1 nh E.4.5)
в котором величина 6{tk) удовлетворяет неравенствам:
i
1) для всех точек tk G U [Am +6/5m-5],5>0- сколь угодно
m = 1
мало,
O(hXl), 0<X, <1; E.4.6)
2) для всех rove/c f* G L
6(tk)Atk <О(Л 2), 0<X2<1. E.4.7)
Л: = 1
Теорема 5.4.2. /7/сгб функция f(t) EH на L. Тогда между решением
системы линейных алгебраических уравнений
2 foe/7e+ 2 ^-5 i = fitOj). t0/eP(q), E.4.8)
e=o /c=i tOj-tk
и решением fit) индекса к < 0 класса r?(Ci, . . . , cq), I - gr = к < 0, есл^/ вб/-
полняются условия
ft€R-Kl(t)f[t)dt = O, e = 0, 1 -K-1, E.4.9)
где RK(t) — характеристическая функция класса 7jiC\,. .. , cq), выполняет-
ся соотношение E.4.5). Здесь величины у€ (е - 0# 1,. .. , — к - 1) — регуля-
ризирующие факторы.
Достаточно подробное доказательство этих теорем дано в [65].
Замечание 5.4.1. Теоремы 5.4.1, 5.4.2 будут справедливы и в том
случае, когда функция f{t)EH на L и может иметь обращение в бесконеч-
ность порядка aG [0, 1) в концах cq+l,... , с2/ и порядка /3, /3 Е [0, 1/2),
в концах Ci,. .. , cq. При этом под классом r?(cj c^) надо понимать
7. СМ. Белоцерковский 9~

класс решений уравнения E.4.1), которые в концах сх,. .., cq имеют осо-
бенность степени меньше одной второй, а в концах cq+{,. .., с2/ — особен-
ность степени не меньше одной второй.
Если функция f(t), кроме этого, может иметь разрыв вида \с — t\~v,
р?[0, 1), на некотором отрезке [Ат, Вт]Эс, то множества ЕОт и Ет
на этом отрезке надо выбирать так, как указано в теореме 5.1.2. Если же
функция f(t) в точке с терпит разрыв первого рода, то множества ЕОт и
Ет на отрезке [Ат, Вт] и систему линейных алгебраических уравнений
для точек из этого отрезка целесообразно составлять так, как указано в
дополнении к теореме 5.1.2.
В задачах электродинамики [32, 33] для уравнения E.4.1) удобнее тре-
бовать выполнение условий
Ck, *=1 т. т<1, E.4.10)
на всех отрезках Lk из L, на которых решение неограничено на обоих
концах.
Несложно показать, что система условий E.4.10) выделяет единственное
решение уравнения E.4.1). Чтобы удобнее изложить дальнейшее, равенство
E.2.1) для решения индекса к на отрезке [—1, 1] перепишем в виде:
ФкМ'ЫкМФкМ. о;±1(г)=A-г2Г1/2, wo (г) =V A-0/A+О', Фк
на [-1, 1]. Тогда системы линейных алгебраических уравнений E.1.3) —
E.1.5) можно единым образом записать так (к=0, 1, —1):
„ = f(tOi). /=1 п -к,
* = 1 'о/ " tk
2 ИМ*к.п1*к)Ь = ПЮС, E.4.11)
Дг = 1
где f(x)=1 при х>0 и f(x) = O при х<0, и в системе E.1.6) точки Го/
перенумерованы от 1 до /7+1. Причем при f (к) = 0 (т.е. при к = 0 или -1)
последнее уравнение, являющееся тождеством, рассматривать не надо.
Системы линейных алгебраических уравнений E.2.2), E.2.15) и E.2.16)
теперь запишутся в виде
f(-KOo*+ ? *«»{tk)k = f{t )§ /=1 п_К/
kml t0/"tk E.4.12)
где ак, tk, к = 1,.. . , п, и f0/, / s 1,. .., л — к, выбираются в зависи-
мости от индекса к так, как это делается в указанных системах, а именно:
точки tk - корни многочлена РК п (г), а Г0/ - корни QKtn(t).
Идея дальнейших рассуждений будет состоять в представлении уравне-
ния E.4.1) как системы сингулярных интегральных уравнений на отрезке
[-1, 1]. Поэтому, в соответствии с терминологией в теории таких систем
[78], будем говорить, что решение ^(Г) уравнения E.4.1) имеет индекс
к я (К|,. .. ,К/), кт = 1, 0, —1, m = 1,. .. ,/, если оно: неограничено на
обоих концах; неограничено на одном конце; ограничено на обоих концах
отрезка [Ат, Вт]. Будем это решение обозначать через ^к (Г). Рассмотрим
отображение дт(т) отрезка [-1, 1] на отрезок [Ат, ?т],где
т т т т
7+ , ет=1 /. E.4.13)
98

Обозначим
(гМ = W(f)*-W' E.4.14)
UlAm.Bm\
BvneM использовать равномерное разбиение на каждом из отрезков
И V) ^ L На отрезке [Ат, Вт) выберем каноническое
разбиение с шагом Ь множествами ?. = (W ^ • "" >
S°e о р"ё°м i u-i/J^A^W/i» ««€«»
м/ем системы линейных алгебраических уравнении
L
3" fa-.--^-»»- +
^, rm.o/-W
p Ф nt
и решением <pK(t) уравнения E.4.1), для которого известны значения
интегралов по тем отрезкам, составляющим L, на которых оно имеет ин-
декс 1, выполняется соотношение E.4.5).
Теперь будем рассматривать на отрезках [Ат, Вт ] неравномерные сет-
ки, состоящие из точек tmJc, k = 1 пт; tmk = gm(rk), где тк - кор-
ни многочлена РКт.пт1т) из системы ортогональных на [-1, 1] с весом
<^т(т Киточек fm о/, /=1 "т-Кт, tmOf = дт(т0/), где г0/ -
корни многочлена Окт,пт1т), определяемого через ^m,nwW равенст-
вом B.3.5). Тогда справедлива следующая
Теорема 5.4.4. Пусть функция f{t)EH на L Тогда между реше-
нием системы линейных алгебраических уравнений
,к P=l k = l tmOj-tpk
рФ т
. /П = 1 /. E.4.16)
f(Km)CW/ Ш = 1 /,
цией \pK(t), определяющей решение yK{t), на каждом отрезке [Ат, Вт]
выполняется соотношение E.2.4), где Rm,nm km.k) - погрешность аппро-
ксимации сингулярного интеграла на L, с помощью которого выражается
решение <рк (t) при условии, что t G [Am, Вт ].
Доказательство теорем 5.4.3 и 5.4.4 проводится единым образом. С по-
мощью отображений E.4.13) уравнение E.4.1) можно рассматривать как
систему / сингулярных интегральных уравнений на [—1, 1]. которая при
соответствующих дополнительных условиях (известно значение интеграла
от решения на тех отрезках из L, на которых решение неограничено на
обоих концах, т.е. на которых оно имеет индекс 1) имеет единственное
решение. Следовательно, эта система [78] эквивалентна системе интеграль-
7- 99

ных уравнений Фредгольма второго рода, которая также имеет единствен-
ное решение. Поэтому, повторив в дискретном виде процесс перехода к
системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, получим, что
системы линейных алгебраических уравнений E.4.15), E.4.16) эквива-
лентны системам линейных алгебраических уравнений для этой системы
интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Такой переход возмо-
жен в силу того, что разрешимы системы E.4.11) и E.4.12) при любом
к = 1,0, -1.
Рассмотрим теперь полное сингулярное интегральное уравнение первого
рода на системе непересекающихся отрезков
E.4.17)
Для этого уравнения справедливы аналоги всех теорем, доказанных в этом
параграфе для уравнения E.4.1). При этом в линейные алгебраические
уравнения надо добавить суммы
Z K(toi,tk)<pni(tk)Atk
в системы E.4.3), E.4.8); суммы
i пр
I I K(tmtOj,tPtk)<pK n (tPtk)hp
р- 1 к- 1 у у
в систему E.4.15); суммы
I 2 K(tmOf, tpk)\pK n aPtk
р- 1 к = 1 и* н
в систему E.4.16). Если функции f (t) и K(t0, t) принадлежат классу Н
на соответствующих множествах или K(t0, t) имеет вид Кх (r0/ r)/| f0- f |a,
О <а < 1, где Кх {t0, t) Е Н на L X L, то при составлении систем линейных
алгебраических уравнений по равномерным сеткам используются стандарт-
ные канонические разбиения отрезков [Ат, Вт), составляющих L. Если
же f(t) может иметь особенности, указанные в замечании 5.4.1, на каком-
нибудь из отрезков, то на этом отрезке равномерные сетки надо выбирать
так, как указано в этом замечании.
§ 5. Примеры численного решения уравнения на отрезке
На рис. 10 (сплошная линия - точное значение, дд -Л =2/11, хх - h =
= 2/21, ос - h = 2/41) приведено численное решение уравнения
1 y{x)dx
f = *, E.5.1)
- i х0 - х
которое имеет точное решение
E.5.2)
1 +х
при равномерном разбиении. Видно, что при увеличении числа п точек
разбиения численное решение сходится к точному. Численное решение на-
100

-1,0 -0,8 -0,6 -QA -0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 ff0 x
Рис. 10
ходится из системы
я, / = 1, . . ., п.
E.5.3)
/»i хо/-х,
где X/ = - 1 + hit х0/ = х/ + Л/2, / = 1, .. ., п, h = 2/(л + 1).
На рис. 11 (обозначения те же) приведено численное решение уравнения
1 y[x)dx
I » - я, E.5.4)
-1 х0 -х
которое имеет точное решение
х
E.5.5)
при том же разбиении. Численное решение находилось из системы
п Twt*/)" # п
/= I хО/-х, ' ' ,= 1 п '
E.5.6)
Наконец, на рис. 12 (при таких же обозначениях) приведено численное
решение уравнения
1 y(x)dx
г0, E.5.7)
-1 Х0- X
101

ц
о
4
-о,
/
г
8 -0,6 -04 -0,1
Т
<**
<
J
/
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 х
-1
Рис. 11
(-
/
0,8-
О в
0,1-
6
к
<
-1,0 -0,8 -0,6 -0.4 -0,2 0 0,2 0,4 0y6 Ofi 1fl x
Рис. 12

которое имеет точное решение
E.5.8)
при том же разбиении. Оно находилось из системы
0,1 п.
/« 1 х0/ - х,
На рис. 13—15 (сплошная линия — точное решение, хх— л = 10, оо — п =
20) приведено численное решение тех же уравнений по неравномерной
и
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0х
Рис. 13
и,
0,8
0,6
0,1
~0,8 -0,6 -0,Ь -0,1
0 0,1 0,4 0,6 0,8
~0ч1
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Рис
и
4 Л
0,8
. 14
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,1 0 0,1 0,4 0,6 0,8 (Ох
Рис. 15
103

сетке. В этом случае решение ?(*) представляется в виде gj(x)u(x) , и систе-
мы линейных уравнений составляются относительно значений функции
и(х) в корнях соответствующих полиномов. Таким образом, для числен-
ного нахождения решения E.5-2) рассматривается система (см. рис. 13)
я,
2/
4я
х. = cos-
я, з, =
sin
х0/ = cos
2/-1
2л+ 1 ' ~' 2л+1
для численного нахождения решения E.5.5) (см. рис. 14) —
7Г,
/= 1 XQ/-X/
/=i
2/ - 1 7Г /
^Я, 3/=—, X0/=COS-7r,
7л п п
наконец, для численного нахождения решения E.5.8) (см. рис. 15) —
х. = cos тт. а, = sin я, х0/- = cos
л + 1 п+1 п + 1 ;
2/-1
тт.
Расчеты проводились для а? = 10, 20, 30, 40, и было обнаружено, что
Их,)-|/и(*/)|< 5. ИГ6.
г
Ofi
0
\
0,6
Рис. 16
1,0 2
1,0 х
На рис. 16 приведено сравнение расчетов по равномерной (х) и нерав-
номерной {о) схемам при п = 30 для уравнения
1 y{x)dx
I
I
О Хо -X
при f(x0) = -2тт, к = 0 и помещении расчетной точки в заданную точку
q = 0,8 (точку отклонения закрылка) в интервале интегрирования. В
точке q брали значение правой части, равное [f(q - 0) + f(q + 0)] 12,
На рис. 17 приведено сравнение тех же схем, но при
I 0, 0<х<0,8,
1-2я, 0,8<х<1.
104

Г ЛАВ А 6
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА НА ОКРУЖНОСТИ
И С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА
§ 1. Уравнение на окружности
Рассмотрим характеристическое уравнение
f(t0). F.1.1)
в котором L является окружностью радиуса единица с центром в начале
координат. Пусть множества ? = {f*, к = 1,... ,п) и ?0 = {^о/, I' ~ Ь • • •
..., п) образуют каноническое разбиение окружности. Справедлива сле-
дующая
Теорема 6.1.1. Пусть функция f(t)EH на L. Тогда между реше-
нием системы линейных алгебраических уравнений
/=1 п, F.1.2)
*=i to/-tk
где ak = tk+{ — tk, fw+1 =tit и решением уравнения F.1.1)
1 fit0 )dt0
*lt)m г/ F.1.3)
it2 l t-t0
.выполняется соотношение
№k)-*»ltk)\<0ltk). к = 1 п, F.1.4)
в котором величина 0(tk) удовлетворяет неравенству
6(tk)<O(VnK), 0 < X < 1. F.1.5)
Доказательство. Система F.1.2) совпадает с системой E.1.3),
если в последней заменить h на ак. Поэтому те же рассуждения дадут
ак j = 1 bj tk - Г0/
где b/ = fO/4i -tf, Ar = 1 n, tOn+l =tOi.
Так как теперь Z. — окружность, то к изучению множителей /0 к и
/о,о/ придется подойти иначе, нежели в теореме 5.1.1. Напомним, что
Поэтому можно написать
(л)
'о,*
п
II
т = 1
п
п
tn— 1
('От
('«
/11=1
/1
п
/W = 1
F.1.7)
Так как точки ГЛД=1 л, разбивают окружность L на равные час-
ти, а г0к является серединой дуги (f^+li tk), то 0W - вк =2n(m - к)/п,
105

0om - вк = 2тт(т — к) /п+ тг/п. Вводя теперь перенумерацию, с учетом пе-
риодичности функции eie можно написать
m=l ' m = 0
Для вычисления р[\ заметим, что числа eim'2ir^nl m - О, 1,... ,п—1,
являются корнями л-и степени из числа z=1, т.е.
m = 0 w=l
ИЛИ
=/»-! + /п-2 + ... + 1 = "п B-e/w#27r/w).
г - 1 m=i
Последнее равенство есть тождество. Поэтому, устремляя z к единице,
в пределе получим
lim—^— =п = р\. F.1.8)
Для вычисления Р™ заметим, что числа ei(iT/n+m'2ir/n) ,m = 0, 1, ...
... ,п — 1, являются корнями п-й степени из числа z = — 1, т.е.
Последнее равенство верно при любом г, поэтому при z = 1 получаем
^=2. F.1.9)
Формулы F.1.7) - F.1.9) показывают, что
,(") 2
/ =-г*—, F.1.10)
п
1 г„> 12 2 1
п 1-
1 / Я 7Г\ 1 /1 \
= [sin— +/COS —1 = /— +OI — I.
Аналогично можно показать, что
С/ = 'о/ -' Т 'Го, =-'-+ о(-). F.1.11)
7 i
Из формул F.1.6), F.1.10) и F.1.11) следует, что
1 п f(t
7Г2/=1 ГЛ -f0/
п /1\fitoj)bi
Учитывая теперь формулы A.2.7) и A.2.10), видим справедливость
теоремы 6.1.1.
106

Аналогично доказывается следующая
Теорема 6.1.2. Пусть функция f(t) имеет вид
\t-q\
F.1.13)
где 4/{t)G Н на Z., О < у < 1, и пусть множества Е и Ео, образующие ка-
ноническое разбиение окружности L, выбираются так, что точка q делит
пополам дугу между ближайшими к ней точками из Е и Ео. Тогда между
решением системы линейных алгебраических уравнений F.1.2) и реше-
нием F.1.3) уравнения F.1.1) выполняется соотношение F.1.4), в ко-
тором величина 0(tk) удовлетворяет неравенствам:
1) для всех точек tk G L* Ъ > 0 - сколь угодно мало.
j, 0<\i<^: F.1.14)
2) для всех точек tk € L
/ 1 \
-T-)< 0<X2<1. F.1.15)
При доказательстве теоремы 6.1.2 надо воспользоваться формулами
A.4.5) и A.4.6) для кусочно-ляпуновской кривой. Отметим, что в
формуле F.1.14) под L* подразумевается L, лежащая вне б-окрест-
ности точки q\
L* = Z.\Oto, 5). F.1.16)
Аналогично теореме 5.1.5 с использованием результатов теоремы 6.1.1
и неравенств A.2.12) — A.2.14) доказывается следующая
Теорема 6.1.3. Пусть функция f{t)€H на L и множества Е и Ео
выбираются так, что точка q€E0 при j = jq. Тогда между решением
системы линейных алгебраических уравнений
@/), /1 п,
*=i toj-tk
F.1.17)
'? <pnitk)ak=C, j = jq,
и решением spit) класса U на L уравнения F.1.1)
1 iq-to)fito)dtQ i С
/ + , F.1.18)
tt
-= / +
n2{q-t) L t-t0 it q-t
выполняется соотношение F.1.4), в котором величина 0(tk) удовлетво-
ряет неравенствам F.1.14), F.1.15).
Для доказательства достаточно заметить, что так как L — окружность,
то можно всегда считать /q = п.
Замечание. 6.1.1. Если функция f(t) терпит разрыв первого ро-
да в точке q€L и принадлежит классу Н на множестве L\q, то мно-
жества Е и Ео надо выбирать так, чтобы q€E0 при j=jq, а систему
107

линейных алгебраических уравнений составлять следующим образом:
)) + «9 + 0). ,., ' <6-1-19»
Тогда теоретически можно показать, что \sf(tk) — ^n(tk )|, ^(г) — ре-
шение уравнения F.1.1), ведет себя так же, как в теореме 6.1.2, но рас-
четы показывают более хорошее совпадение.
Замечание 6.1.2. В теоремах 6.1.1 - 6.1.3 были использованы квад-
ратурные формулы типа прямоугольников для сингулярного интеграла
на окружности, рассмотренные в § 2 гл. 5. Теперь для составления систем
линейных алгебраических уравнений F.1.2) и F.1.15) используем квад-
ратурные формулы интерполяционного типа для сингулярного интеграла,
полученные в § 2 гл. 2, т.е. полагаем ак = — i2ntk/Bn + 1), к - О, 1, ...
. .., 2л, и, таким образом, множества Е и Ео имеют нечетное число то
чек. Из формул F.1.10) и F.1.11) следует
1 ,00 1
— 'о,* = — . * = 0.1 2",
дк HI
1 F.1.20)
— /о(!о/= "^7 ' ;'= °'1 7п'
где 6; =-/27ггО;/Bл + 1). Формула F.1.20) показывает, что для spn(tk) в
теореме 6.1.1 в этом случае получим
1 2п f(tQj)bf
2 (D
77 / = О Г* - f о/
Таким образом, если f(t)etf,(a) на Z., то в силу формулы B.2.17)
получим
< О/-^j. F.1.22)
Подчеркнем, что система линейных алгебраических уравнений в рас-
сматриваемом случае обладает следующим свойством: решение этой систе-
мы выражается через правую часть с помощью той же квадратурной фор-
мулы по множеству точек Ео относительно множества Е, которая была
применена при составлении этой системы (по множеству точек Е относи-
тельно множества Ео).
При использовании указанных интерполяционных квадратурных фор-
мул в теореме 6.1.3 получим, что в неравенстве F.1.14) справа надо будет
поставить 0{n~r~Q\nn), а в неравенстве F.1.15) - O(n~r~a In2 л).
Теперь рассмотрим полное уравнение первого рода на окружности
f{t)dt
I + / K{t0, t)yf(t)dt = f(t0), F.1.23)
L t0 -t L
где функция f(t)eH на L, a K(tot)eH на L X L, или уравнение
K(to,t)
j o(t)dt = f(t0), F.1.24)
I t0 -Г
где Kit0, t) e H на L X L и K[t0, t0 ) Ф 0.
Уравнения F.1.23) и F.1.24) эквивалентны соответствующим урав-
нениям Фредгольма 2-го рода. Если эти уравнения имеют единственное
108

решение, то и соответствующие уравнения Фредгольма 2-го рода имеют
единственное решение. Для численного решения этих уравнений в классе не-
прерывных функций надо рассмотреть следующие системы линейных ал-
гебраических уравнений:
n
Г, K{t°f'tk ){pnitk )а* = f{to^> I= 1 ", F.1.25)
=1
или
*<**)**»'<*<>/)• /=1 "' F.1.26)
где точки tk/ к = 1, ..., а?, делят окружность L на равные части, f0* делит
пополам дугу ?*?*+w а* = —/2я**/ Bл + 1), /г = 1, ..., л, и /7 — нечетное
число или ак = tk + { — tk в общем случае. При этом предполагаем, что f(t)
и K(t0, t\ или K(tQ, t\, K(t0, t0) Ф 0 на L , принадлежат классу Н на соот-
ветствующих множествах.
Если f(t) терпит разрыв первого рода в точке д, то надо воспользоваться
замечанием 6.1.1. Если же f(t) терпит интегрируемый разрыв в точке q,
то надо выбрать точки tk и tOk так, чтобы точка q делила пополам дугу
между ближайшими к ней точками из множеств Е = {tk, к = 1, ..., п) и
^о = {fo*/ к = }. -.., п). При этом системы F.1.25) и F.1.26) сохранят
свой вид.
Доказательство сходимости решений систем F.1.25) и F.1.26) к реше-
ниям уравнений F.1.23) и F.1.24) соответственно производится так же,
как и для аналогичных уравнений на отрезке, т.е. надо в дискретном виде
повторить переход к системам линейных алгебраических уравнений для со-
ответствующих интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Естествен-
но, что эти системы будут невырождены начиная с некоторого пх.
Если надо найти решение уравнения F.1.23), имеющее в заданной точ-
ке q особенность вида 1/ (q — t), то точки tk и tok надо выбрать так, чтобы
Я — tok * и рассмотреть следующую систему линейных алгебраических
уравнений:
k)ak n
+ 2 K[tQh tk Ypn(tk )ak = fitoj). / = 1 n, \Фкя,
*= 1 *0/- Хк к = 1
F.1.27)
2 <Рп1*к)*к =C> / = kq-
Замечание 6.1.3. Все результаты этого параграфа легко переносятся
на тот случай, когда L в уравнениях F.1.1), F.1.23) и F.1.24) является
системой непересекающихся окружностей [65].
§ 2. Уравнения с ядром Гильберта
Рассмотрим уравнение
4- /ctg e°~e*@)de = f(So). F.2.1)
2я 0 2
Выберем на отрезке [0,2л ] точки вк, к = 1,..., п, которые, интерпретируе-
мые как точки единичной окружности L, разбивают ее на п равных частей;
0(Н-/ * = 1»•••»п* Делит пополам дугу 0*0*+1.
109

Напомним [78], что уравнение F.2.1) имеет решение только при
условии
f 0. F.2.2)
о
Для выделения единственного решения надо задать значение решения в не-
которой точке либо значение интеграла от решения (последнее более часто
встречается в приложениях). Поэтому, если применить к численному реше-
нию уравнения F.2.1) тот подход, который был проведен для характерис-
тического уравнения на отрезке в гл. 5, то, с использованием квадратурных
формул для интеграла с ядром Гильберта из § 5 гл. 1 и § 1 гл. 2, уравнение
F.2.1) надо заменить следующей системой линейных алгебраических
уравнений:
п.
Система F.2.2) переопределена. В силу выбора точек вк и вОк и формулы
A.2.5) имеем
2 ctg-^r - = 0, к = 1 /?. F.2.4)
m=l Z
Следовательно, сложив первые п уравнений в системе F.2.3) и учитывая ра-
венство F.2.4), получим
п
0 = 2 f(SOm). F.2.5)
т - 1
Поэтому система первых п уравнений из системы F.2.3) вырождена и,
в общем случае, несовместна. Это же относится и ко всей системе F.2.3).
Естественно возникает мысль отбросить одно из первых уравнений в си-
стеме F.2.3). Тогда, как будет показано ниже, получаем невырожденную
определенную систему, но дающую неустойчивый вычислительный процесс.
Поэтому к системе F.2.3) применим метод регуляризирующих факторов,
который был нами использован для характеристического сингулярного
интегрального уравнения на отрезке в случае отрицательного индекса
(безударное обтекание профиля или обтекание телесного профиля с
острой задней кромкой).
Справедлива
Теорема 6.2.1. Пусть функция f{6) G Н на [0,2я], f@) = fBir),
и для нее выполняется равенство F.2.2). Тогда между решением системы
линейных алгебраических уравнений
^ «0иЧ" *$)% Ю) 1 п.
и решением у (в) уравнения F.2.1) .задаваемым формулой [78]
*<*>-—^- / ctg^=^«eo)c»o+C Ю.2.7)
2я 0 2
110

при условии
^ / sp(e)dS = C, F.2.8)
выполняется соотношение
Л F.2.9)
где X = a G (О, 1], если п произвольно и f{6) € Н(а) , X = г + а, если п
нечетной ^г)@) еН(а).
Доказательство. Просуммировав первые п уравнений в системе
F.2.6) и учитывая равенство F.2.4), получим
To" = 2i" * '(во«>7Г- F.2.10)
W = 1
Отсюда следует, что 70и ""* 0 ПРИ л "* °° тогда и только тогда, когда уравне-
ние F.2.1) имеет решение.
Идея дальнейших рассуждений состоит в сведении системы F.2.6) к си-
стеме вида F.1.2) для уравнения на окружности с помощью равенства
B.2.15). Умножим последнее равенство в системе F.2.6) на (-/) и приба-
вим ко всем первым п уравнениям. Учитывая равенство F.2.10), получим
после умножения обеих частей на я
-1 n, F.2.11)
, $n(tk) = *„(»*). a^ = 2*itk/n,
Система F.2.11) совпадает с системой F.1.2), и поэтому ее решение
дается формулой F.1.6). В силу равенств F.1.20) получаем (см. F.1.21))
Л
^п(^)= J 2 , F.2.12)
Я" m = 1 ** "~ *0т
где 6т=2я/гОш/л.
Таким образом, опять воспользовавшись равенствами B.2.15) и F.2.4),
имеем
к = 1
о<я> ^ ctg х MPOffii + **. (b.z.lJ;
Z1T _ Z П
rn — I
lit

Сравнивая формулы F.2.7) и F.2.13), видим справедливость теоремы.
Замечание 6.2.1. Если вместо F.2.6) рассмотреть систему
*'' F.2.14)
2 (в>+С
1* 7Г
то аналогичные рассуждения показывают, что
m-1 m-1 F.2.15)
Аналогично теореме 6.2.1 доказываются и следующие теоремы.
Теорема 6.2.2. Между решением системы линейных алгебраических
уравнений
J s te°m-ek
* = 1
F.2.16)
и решением \р" (в) уравнения F.2.1) для любой f{6)
* 2я 0 Ct9 2 п 27TCt9 2 0
F.2.17)
выполняется соотношение
I ^р№ к I — Фп № к' I ^ Wwk), к — 1, ..., п, F.2.18)
где величина т^вк) удовлетворяет неравенствам F.1.14) и F.1.15), в кото-
рых числа \х и \2 определяются по свойствам функции f(B) так же, как
в F.2.9). При этом точки вк и вОк, к = 1, ..., п, выбираем так, чтобы при
любом п иметь вОп =q.
Теорема 6.2.3. Пусть fF) е Н на [Ц2я],^@) = fBn) и точки вk и
О Ok, * = 1# •••» п, выбраны так, что вк = q, q€ [0,2я]. Тогда между реше-
я
нием системы линейных алгебраических уравнений
Л П Й Й
7о» +7j- 2 ctg Ow ~
F-219>
2desp(q) известно, и решением у* (в) уравнения F.2.1)
<Л0> = —^ Y(ctqe-^-ctq^^f(e0)de0 +„(*) F.2.20)
выполняется неравенство
^ Аг=1 п. ' F.2.21)
112

Замечание 6.2.2. Решения систем F.2.16) и F.2.19) соответствен-
но имеют вид
W - 1
^ ?li+c, F.2.22)
= 1
•¦(*,,-? ? (-c
Ш - 1
F.2.23)
Из формулы F.2.22) видно, что получается ухудшение счета в точке q —
в окрестности той точки, уравнение для которой выброшено, так как
п 2я
в общем случае 2 f@om)— ^ 0-
т = 1 П
Из формулы F.2.23) получаем, что если <p(q) - 0, тогда, при
f(r)@) E /У (а) на [0,2 л] и п нечетном, в неравенстве F.2.21) справа
будет стоять величина О(п~г" а1пл). Поэтому если известно значение
, то лучше ввести новую функцию $(в) = $(в) - $(q), для которой
= 0.
Замечание 6.2.3. Если в уравнении F.2.1) функция f(B) терпит
интегрируемый разрыв в точке q, то, как и для уравнения на отрезке,
можно систему линейных алгебраических уравнений брать вида F.2.6),
только точки 0к и 90к, к = '\, . .. , п, надо взять так, чтобы точкам
делила пополам отрезок между ближайшими к ней точками из мно-
жеств ? и ?"о.
Если же функция f@) терпит разрыв первого рода в точке qE [0,2я],
то расчеты показывают, что лучше поступать следующим образом. Точки
вк и 00* выбирать так, чтобы точка q была бы точкой 0ок и в системе
F.2.6) для первых п уравнений правую часть брать следующим образом:
1) для уравнений с номерами т = 1, .... п, т Ф kq, справа стоит f{6Om );
2) в уравнении с номером т = kq справа стоит[П<7-0) +f (qr+O) 1/2.
Рассмотрим теперь уравнение
4- /ctg-^P%@)rf0+ / K(9o,e)t@)de = Wo), F.2.24)
271 о 2 о
или уравнение
2
F.2.25)
в котором /е@о, 0О) ^ 0 и К[в0, в) е Н на [0,2я] X [0,2я], функции
fF0) нКF0,6) — периодические по своим координатам.
8 СМ Белоцерковский

Будем предполагать, что уравнение F.2.24) имеет единственное решение
при дополнительном условии
/ГК1(е)<р(в)<1в = С, F.2.26)
о
где К! (в) — некоторая ненулевая функция.
Если ядро К (в о ,0) удовлетворяет тождеству
2п
f KF0,6)de0=0t F.2.27)
о
а правая часть равенству F.2.2), то равенство F.2.6) должно быть задано
из некоторых дополнительных соображений, которые будут продемонстри-
рованы ниже в задачах аэродинамики и теории упругости.
Если же уравнение F.2.24) однозначно разрешимо при любой правой
части, то в качестве дополнительного условия следует взять равенство
2п lir 2ir
/ d$0 f K(eo,e)<pF)dd = / f(eo)deQ. F.2.28)
00 о
Численный метод для уравнения F.2.24) или F.2.25) надо строить
с учетом сделанных замечаний.
Таким образом, аналогом системы F.2.6) для уравнения F.2.24) будет
следующая система линейных алгебраических уравнений:
?~ = f@Om). m = 1 п.
к = 1
„ F.2.29)
2 К1(вк)^„{вк)~= С.
к = 1
Если единственное решение уравнения F.2.24) выделяется с помощью
условия <i (?) = 0, то для этого уравнения надо рассмотреть систему
к # kq
+ 2 К(вОт,дк)^п(вк)~^ f(SOm), /и-1 п, F.2.30)
* = 1
к Ф kq
где точки вк и вОт выбраны так же, как в системе F.2.19). Системы
F.2.2Э) и F.2.30) удобны тем, что, с учетом разрешимости систем F.2.6)
и F.2.19), их можно эквивалентным образом преобразовать в системы
линейных алгебраических уравнений для интегральных уравнений Фред-
гольма второго рода, эквивалентных уравнению F.2.24) в классе непре-
рывных решений. Таким образом можно доказать сходимость решений
систем F.2.29) и F.2.30) к точному решению уравнения F.2.24) с теми
же оценками, как и для характеристического уравнения.
114

Если в уравнении F.2.24) правая часть терпит разрыв первого рода или
имеет интегрируемый разрыв в точке q, то при составлении системы
F.2.29) надо учесть замечание 6.2.3.
Почему для уравнения F.2.24) целесообразно составлять систему вида
F.2.29) и в том случае, когда оно однозначно разрешимо при любой пра-
вой части, поясним на примере уравнения
F.2.31)
2тг о 2
имеющего при любой правой части решение [78]
^@) = _J- f ctg °Г f{S0)d60 -н^г" / ^(^о)^0о- F.2.32)
Действительно, рассмотрим систему
1 л ^Ow - ^* 2тг 1я 2я
л? = 1 л, F.2.33)
где точки 0* и Вок, к = 1, ..., л, выбираются так же, как в системе F.2.6).
Просуммируем в F.2.33) все уравнения; получим, что она эквивалентна
системе
1 2
Дг — 1 р = 1
Л7 = 1, . . . , Л — 1.
F.2.34)
л - 1 р = 1
Сравнивая систему F.2.34) с системой F.2.16), видим, что решение
системы F.2.34) будет даваться формулой
? f@Op>7r. F.2.35)
z P= i
Из формулы F.2.35) видно, что при наличии погрешности в вычислении
п 2я
правых частей и суммы 2 f @ор) ~ эта П0ГРешН0СТЬ е1Де увеличивается
р = 1
множителем ctg@Ort — 0^) /2, который имеет порядок числа л при вк -+60п
8# 115

ГЛАВА 7
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
§ 1. Уравнение на отрезке
Рассмотрим уравнение
з<р(Го)+— / Z = f(tol G.1.1)
7Г - 1 t —t0
где аиб- действительные числа, b Ф О, а1 + Ь2 = 1 и функция f (t) принад-
лежит классу Н на [-1, 1]. Напомним кратко некоторые результаты [78]
для уравнения G.1.1).
Индекс к этого уравнения принимает значения 1, 0, -1, а соответствую-
щие решения имеют вид
G.1.2)
Число а определяется равенством
a+bctqira = 0. G.1.3)
Обозначим через /(г0) левую часть уравнения G.1.1) и назовем квадра-
турно-интерполяционной формулой индекса к порядка п для этой функции
формулу [67]
Ь i vjt)dt
/л(Го)=а^(Го)+- / — . G.1.4)
Я - 1 t — t о
с/г
где f*. /г = 1, ..., п, - корни многочлена ЯкобиЯ^ (f) степенип, соот-
ветствующего функции cj(r); ^„(f*) = \I/U*)« Многочлен P^'^U) удов-
летворяет соотношению [116]
Я - 1 f - f о
2"«пая " *
Поэтому справедливо равенство
/ ^^—-л].
-I Г-Г* I
G.1.6)
116

Будем называть приближенным решением уравнения G.1.1) функцию
<pn(t) и находить ее из равенства функций tn(t0) и fn{t0), где fn(t0) - ин-
терполяционный полином аида B.3.2) для функции fit0). построенный по
корням полинома p?*K~*\to). Функция $n(t) будет определена, если
найдем числа ФпНк), к = 1 п. Приравнивая функции ln(t0) и fn(tQ)
в точках tOm, т = 1 п- к,гдеГОт - корни многочлена/>(,~°* ~ 0)(О,
получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
b Ц фп {tk )ак
—fit ) гп —Л пи II Л 1\
г^гОть гп - л, . . . , п — к, G.1.7)
* =
Г —
Полагая в G.1.5) f0 = ^^. замечаем, что коэффициент ak в G.1.7) можно
записать в виде
GШ
Рассмотрим различные значения индекса к. Пусть к = 0. 8 этом случае
заданием числа а, 0 < |<*| < 1, удовлетворяющего равенству G.1.3),
выделяется единственное решение уравнения G.1.1). Если надо получить
решение, ограниченное в точке 1 и неограниченное в точке ~~КТ° следует
брать положительное число ос. Многочлены P^^lti и PfiZaK*~ it) имеют
одинаковое число корней, поэтому система G.1.7) содержит п неизвест-
ных и п уравнений.
Пусть к = 1. В этом случае -1 <а, 0<О и уравнение G.1.1) имеет нг-
единственное решение. Требуемое решение можно выделить дополнитель-
ным условием E.1.46). В этом случае многочлен /*l"'~^(r) имеет сте-
пень (л-1), поэтому система G.1.7) содержит п неизвестных и (п — 1)
уравнений, т.е. она недоопределена. Доопределим ее при помощи дискре-
тизации уравнения E.1.46), т.е. рассмотрим систему
Ь п Фпик)ак
2 = fitOm). ™= 1 "- 1'
'-ffc G.1.9)
Фпкк С, т =л.
к = 1
Пусть теперь к = — 1. В этом случае многочлен Рп-'К~ it) имеет
(п +1) корней, поэтому система G.1.7) переопределена и, как прави-
ло, несовместна. Поэтому так же, как и для уравнения первого рода, вве-
дем регуляризирующий фактор уОп и рассмотрим систему
b /: tynitk)ak
yOn-~Z — =«*0тЬ "»=1 Л+1, G.1.10^
7Г Дс=1 tOm -tk
Решение существует только при выполнении равенства [78]
1 f(t)dt
-1 A-Г)аA+Г)^
117

Теорема 7.1.1. Пусть функция f(t)^Hr(a) на [-1,1]. Тогда меж-
ду решениями систем линейных алгебраических уравнений G.1.7) при
к = О, G.1.9), G.1.10) и соответствующими решениями уравнения
G.1.1) выполняется неравенство E.2.4), в котором Rn(tk) — погреш-
ность квадратурно-интерполяционной формулы индекса — к порядкап~к
для функции
f(t) Ь 1 f(tQ)dtQ
/ + ТКС, G.1.11)
я - ()()
которая определяет решение индекса к в формуле G.1.2); То =71i=0,
Т\- — ^[sincwr].
Доказательство. Как было показано при доказательстве теоре-
мы 5.1.1,
1 (П\ I п - к (п\ —b"l
ak Lm=i ffc - tOm
G.1.12)
П - К
П (tk-top)/
p=l /
)/ П (f*-fp),
/ pel
/ p*Jr
(tOm-tOp),
p/
p-1 / p=l
' рФт
В силу представления многочленов произведением линейных множи-
телей и формулы G.1.8) получим
(п) 2Kaks\noc7t B(*'0)
где В** и 5Л1^'~ — коэффициенты при старших степенях перемен-
ного в соответствующих многочленах Якоби.
Как выше было отмечено, функция i//(f), стоящая в формуле G.1.2)
для решения индекса к, определяется равенством G.1.11). Рассмотрим
это равенство как уравнение относительно функции ?(f) = [oo(t))~{ f(t).
Если <i(f) -решение индекса к для уравнения G.1.1), то функция ?(г)
будет решением индекса -к для уравнения G.1.11). Если в равенстве
G.1.5) заменить t на t0, oAt) на 1/co(f), а/>„ }(f) на ^1"'"^ (г), то
надо число b заменить на -Ь. Поэтому получим
. 1 tn ,„.„,
co(f) я -1 Го — f $\nan
Обозначим теперь через Ф(Г) функцию, получаемую из /(г0) заменой
) на ^(f), b на -b, t0 на Г. Если через Ф„_К(Г) обозначить функцию,
получаемую из Ф(г) заменой |(г) на ?,i_K(f), где |„_к(г) определяется
по корням tOm, т = 1,...,/? — к, многочлена Р\^^~^(г) аналогично
1„(г), то в точках tk, k = 1 /7, являющихся корнями многочлена
118

P(°'0)(t), получим
Ь п-к f(tr\m)bm
n m= l tk — tOm
2K
Dm
„ G.1.15)
sinew /W~a'~^(f )
Если опять представить многочлены произведением линейных множите-
лей, то будем иметь
_<-в.-0)
Наконец, заметим, что справедливы равенства
b2
G.1.17)
в формуле G.1.11). Таким образом, формулы G.1.12) и G.1.18) показы-
вают справедливость теоремы 7.1.1. Скорость сходимости приближенного
решения к точному в точках tk, к =1,...,л, определяется порядком
аппроксимации квадратурно-интерполяционной формулой соответствую-
щей функции ф{г).
Отметим, как и для уравнения первого рода на отрезке, что регуляри-
зирующий фактор Топ"*0 ПРИ я*~*°° тогда и только тогда, когда вы-
полняется условие существования решения индекса к = —1.
Сформулированные вышэ результаты для уравнения G.1.1) справед-
ливы и для уравнения
i
f[to). G.1.19)
тг — 1 f — Го -1
в котором будем полагать, что функция K(to,t)€H на [-1,1] X [-1,1].
От уравнения G.1.19) будем требовать однозначной разрешимости для
решения индекса к =1,0,-1 при соответствующих дополнительных
условиях на решение при к = 1 и на функции К {to, t) и Ht0)
при к = — 1.
Системы линейных алгебраических уравнений для уравнения G.1.19)
получаются из соответствующих систем для характеристического уравне-
ния прибавлением члена
п
K{t t)i(t) m=^ п-к.
119

§ 2. Уравнение на окружности
Рассмотрим теперь уравнение
b sp(t)dt
*pito > + — / = Hto). G.2.1)
Я L f-Го
где а и Ь— действительные числа, b ^ О, а2 + Ь2 - 1, функция f(f)G A/
на Z. — окружности единичного радиуса с центром в начале координат.
Известно [78], что уравнение G.2.1) имеет индекс к = О, т.е. однознач-
но разрешимо при любой правой части.
Обозначим через /(г0) левую часть уравнения G.2.1) и назовем квад-
ратурно-интерполяционной формулой порядка л для этой функции фор-
мулу
b
) /
Я L t - f 0
2п r2w+
где точки г*=е/в*, Лг = 0,1 2л, разбивают Z. на 2л + 1 равных час-
тей, fn(tk)=spkk).
Используя равенство B.2.6), функцию /п(г0) запишем в виде
b in yn(tk)ak in
где ak = 2mtklBn +1), к = 0, 1 2л.
Будем искать приближенное решение уравнения G.2.1) в классе функ-
ций вида 1„(f). Для нахождения его достаточно найти числа >pn{tk) из
системы 2л+1 линейных алгебраических уравнений
bin <pn(tk)ak
I = f(tOm), т = 0, 1 2л, G.2.3)
я а=о tOm-tk
которые получаются приравниванием функций /,,(г0) и fn{t0) в точках
*от. т = 0, 1 2л, где
1 2 л Го — f о т
т~0 (fo— ^0/w )^0 ^m
-а + Ы
а ГОт являются корнями многочлена f© +I +
a
I 7Г + ф }
Заметим, что fnitOm) = fitOm) и rOwefwexp|/—— У, m = 0. 1, ...
...,2л, где е1* = (-a + bi)l{a + A/). Так как ЬФО, то - я <tf/ < я, и, та-
ким образом, fOw ^ гл для любых mv\ к. Если а = 0, то # = 0, и в этом
случае точка tOm делит пополам дугу f^w + 1.
Справедлива следующая
Теорема 7.2.1. Пусть функция f(t)^Hr(ot) на L. Тогда между ре-
шением системы линейных алгебраических уравнений G.2.3) и решением
120

уравнения G.2.1) выполняется неравенство
Inn \
k = °' 1 2n' |7'2'5)
Доказательство. Система G.2.3) имеет вид системы G.1.7),
поэтому для ее решения имеем
ЩЪ 1Ь%-г*г~- * = 0'1 * G-2-6)
о ак m=o Г* - tOm
itOp-tk)/2n (tp-tk),
0 / р«0
/ рФк
От " tp)l 2П (ГОт - ГОР) .
р=0 / р=0
/ рФт
В силу выбора точек tk и f0*, * = 0, 1, 2п, так же как и при до-
казательстве теоремы 6.1.1, получим
Из определения е^ имеем A +е^ )A +e~/l)t' ) = ЛЬ2, поэтому формулы
G.2.6) и G.2.7) дают
6 2« f(tOm)bm
*п«к)=- I , Аг-0.1 2л, G.2.8)
Я ш = 0 tk -tOm
. 27ГГОт
где Ьт = / .
In + 1
Решение уравнения G.2.1) имеет зид [78]
Ь f(to)dto
*it)-afit) / . G.2.9)
п l t0 - t
Обозначим через Ф(г) правую часть равенства G.2.9) и возьмем для
этой функции квадратурно-интерполяционную формулу Ф„(г), которая
получается из Ф(г) заменой функции f{t) на функцию fn(t) no формуле
G.2.4). Используя опять формулу B.2.6), получим
ф {t)s±
Г-fom m«0 Bf? + 1)(ГОтот
G.2.10)
Из формул G.2.8) и G.2.10) получим
Используя теперь результаты об аппроксимации периодических функций
на окружности полиномами рассматриваемого здесь вида [42] и то, что
сингулярный интеграл по окружности имеет те же дифференциальные
свойства, что и его плотность, получаем справедливость теоремы 7.2.1.
121

Рассмотрим теперь уравнение
b ^p[t)dt
a^(fo)+—/ + / K{t0, t)ip(t)dt = f(t0). G.2.11)
л l t -t0 L
Будем предполагать, что это уравнение имеет единственное решение, и
возьмем для него систему линейных алгебраических уравнений
b 2v I 1 я *-/ 1
<•* Г" Wow. *к)\Vn(tk)ak = f(tOm),
71 к =0 L fom ~ f* ^ J
m = 0,1 2л. G.2.12)
Если функции f{t) и AT(fo,f) таковы, что f{r) it) й Kt{p (r0, f) ,K{rr4to.t)
принадлежат классу Н[а) соответственно на множествах L и L X L, то меж-
ду решением системы линейных алгебраических уравнений G.2.12) и реше-
нием i(f) уравнения G.2.11) также выполняется соотношение G.2.5).
§ 3. Уравнение с ядром Гильберта
Рассмотрим характеристическое уравнение
Ь 2ir в-в0
0
/ ctg *(в)с/в =fW0), G.3.1)
2я о 2
где предполагаем, что а Ф 0, а2 + б2 = 1. В этом случае уравнение имеет един-
ственное решение, даваемое формулой
Ь 2тг в о-в Ь2 2*
/ ctgW / f(d)dd
/ ctgW0H / (o)o
2я о 2 2я о
Обозначим через /@ 0) левую часть равенства G.3.1) и назовем
квадратурно-интерполяционной форму пой порядка п для этой функ-
ции функцию /„{О0), получаемую из /@О) заменой $@ ) на
1 2* sinBrt + 1M0 -0J/2
^м@)= 2 *J0J , G.3.2)
п 2л+1 *=о sin@-0J/2
где точки 0fc, k = 0,1,..., 2/7, интерпретируемые как точки окружности
радиуса единица, разбивают ее на 2п+ 1 равных частей. Воспользовав-
шись равенствами B.1.2) и B.1.3), получим
b 2n 0и-0* 2тг
/и(во)«— Ictg—— ^@,)—— +
2я к = о 2 2п + 1
\п *nWk) 3sinBn+ 1,@О -0A)/2-bcosBfl+ 1)@O -^^)/2
*=о 2Л+1 sin@o-0*)/2 G.3.3)
Будем искать приближенное решение уравнения G.3.1) в классе
функций вида ••Pni^)- Для этого достаточно найти числа ^„(#*)»
к = 0,1,. .., 2п, из следующей системы линейных алгебраических урав-
нений:
Ь in 00 2я
— I ctg— * (в.) =f@om>. /w = 0f1 2л,
2^=° 2 2П+1 G.3.4)
которые получаются приравниванием функций /W@O) и ^rt@o)» гАе
^л(^о) - интерполяционный полином по точкам вОт,т = 0,1,. . . , 2/?, для
122

функции f@0). Эти точки являются корнями функции asinBn+ 1)@О -
- в к) /2-bcos{2n+})(e0-6 ^)/2. Отметим, что 0Om=0w+ (тг-
где е'^ = Ь + э/, итак какЬФО,тов0тФОкАп* любых ал и*. Есл
или я, и точка 0От Делит пополам дугу в т 0п,+\ , но системы линейных
алгебраических уравнений надо брать так, как это указано в § 2 гл.6.
Справедлива следующая
Теорема 73.1. Пусть в уравнении G.3.1) функция fF) ? Ht (a)
на [0,27г] и f@) = fBn). Тогда модуль разности \ $n@k) - у{вк) |,
к = 0,1,..., 2/7, удовлетворяет неравенству вида G.2.5), где ^р[в) — ре-
шение уравнения G.3.1), а уп(вк) -решение системы G.3.4).
Доказательство. Применяя к системе G3.4) тот же прием, что
и к системе F.2.6), получим
Ь I 2" вк-0От 2тг
m = 0 2 2Л+1
Ы 2л 2Я 2я вк-вОт 27Г
2 ^<в> 2 «9
йг „«о ' 2/1+1 w=0 2 2/7+1
2 я 27Г 2 л 9jt
— /
2л
G.3.5)
В силу выбора точек вк н д$к имеем
2« вк - во,я 2Я 27ГЭ
I ctg — = , к = 0,1 2п, G.3.6)
„, = о 2 2п+1 Ь
2п вот-Ок 2я 2яа
2 ctg = , А: = 0,1 2/7. G.3.7)
к = о 2 2п + 1 b
Покажем справедливость равенства G.3.7). Возьмем в уравнении
G.3.1) <^>@) = 1, тогда
6 2/ 0о-0
1-з + — / ctg --1tf0=a. G.3.8)
2тг о 2
Заменив здесь единицу по формуле G3.2) и полагая потом 0О = вОт, по-
лучим равенство G.3.7).
Аналогично, с использованием формулы для \р[0), доказывается ра-
венство G.3.6).
Возьмем теперь сумму всех уравнений в системе G.3.4). Тогда, учиты-
вая G.3.6), получим
2" 2я 1 2и 2я
2Л //] i — У1 //л v /*7 OQI
тп* к' " ' O*tf ' ~ • 1/.О-**/
Из формул G.3.5), G.3.6) и G.3.9) имеем
? ctq б* " g°w «в„ ) —
т = 0 2 2/7+1
^ 2л 2тт
--2 ПО от)
а т = 0 2/7+1
0,1 2/7. G.3.10)
123

Обозначим через Ф@) правую часть в формуле для у(в ) и возьмем для
этой функции квадратурно-интерполяционную формулу Ф„@) поряд-
ка п, которая получается из Ф@) заменой функции fF0) на функцию
fn[B о). Опять воспользовавшись равенствами B.1.2) и B.1.3), получим
Ь 2л 0к-0От 2я
*AI = -T ^ ctg-*- Worn) —— +
2я т = о 2 2п + 1
b2 2/i 2я
+ —-2 Wom)—77- GЛ11)
2 2+1
Ь 2п Г еот -0* 2я I
— I ctg + — KWom.0k)\
2я ^о I 2 b I
Сравнивая формулы G.3.10) и G.3.11), используя результаты из теории
аппроксимации периодических функций тригонометрическими много-
членами п и то, что сингулярный интеграл с ядром Гильберта имеет те
же дифференциальные свойства, что и его плотность [69], получаем
справедливость теоремы 7.3.1.
Рассмотрим теперь уравнение
Ь 2я в-во 2*
3v>@o)+— / ctg *(в)Aв+ f K(eo,9)<f(e)d6=f(eo). G.3.12)
2я о 2 о
Будем предполагать, что это уравнение имеет единственное решение,
и возьмем для него систему линейных алгебраических уравнений
2я
KWom.0k)\*n1flk)- --Womb
I " * 2л + 1
m «0,1 2л. G3.13)
Если функции f{6Q) и К (в о, в) обладают r-ми производными, принад-
лежащими классу Н(а) на [0,2эт], то для модуля | <рп(вк) — <р(вк) I спра-
ведливо неравенство G.2.5), где Уп@к) — решение системы G.3.13),
a spF) —решение уравнения G.3.12).
ГЛАВА 8
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С КРАТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ТИПА КОШ И
§ 1. Аналитическое решение некоторого класса
характеристических уравнений
Рассмотрим вначале одномерное характеристическое уравнение пер-
вого рода, зависящее от параметра,
*itl.tl)dtl , ,
/ —г : -fith.tl). (8.1.1)
где L\ — кривая, лежащая в плоскости комплексного переменного f1,
a f[to,tl) принадлежит классу И на множестве L\ X L2, где L2 — кривая,
лежащая в плоскости комплексного переменного t2. Далее будем пола-
гать, что L\ и L2 - ограниченные кривые. При наложенных ограничениях
на г*(Го, Го) искомое решение ^ (Г1, t%) будет удовлетворять условию Н по
Го при любом Г1 Е L |.
124

Пусть L i — гладкая замкнутая кривая или система непересекающихся
таких кривых. Единственным решением этого уравнения, как и для урав-
нения F.1.1), будет функция
(8.1.2)
Единственность эта следует из того, что если функция yf(tl,tl) удовлет-
воряет тождеству
= 0, (8.1.3)
tl -tl
1, tl) =0.
Пусть теперь L, - отрезок [a,b]. Тогда решение этого уравнения имеет
(
вид (см. E.1.2))
fitlo.tl)dtlo 1
+
, , 1 fito.tl)dto 1
^.fj)- г RKitl)f + - RKitl)»KCitl). (8.1.4)
Я а RK(to)(to - Г1) 7Г
При к = 1 будет выполняться условие
ъ
f <pitl,tl)dtl*Citl). (8.1.5)
а
а при к = — 1 функция ^ (г1, Го) будет решением при выполнении тож-
дества
ь f(t\tl)dtl
I Al хйи xi =0. (8.1.6)
а VV -a){b-tl)
Если L i — система непересекающихся отрезков, то, например, общее
решение индекса к = т,т— число отрезков, будет иметь вид
*(tl,tl)= j Rm(tl) f
я2 l
f +
lx Rm(tl)(tl0 -r1)
w(f1)^m_,(r1/ fg)f (8.1.7)
т^! (г|.г2)авЯ|(г2Мг1)т +/>2(г2)(г1)т +...+ Pm (tl), причем
p (f^) t k = 1, ..., m, - произвольные функции класса Н на L 2, однозначно
выражающиеся линейным образом через функции
C*(fo)=/ <pit\tl)(tl)k-ldtl, *=1 т. (8.1.8)
Аналогичным образом рассматриваются характеристические сингуляр-
ные интегральные уравнения второго рода
a(fiM,.,fg)+ ^1 j Ob1'® -МЛ). (8.1-9)
Я L, Г - Го
где Z.i — кусочно-гладкая кривая. Ясно, что произвольные функции от пе-
ременной tl, входящие я общее решение данного положительного индекса
к , должны иметь те же особенности, что и функция f(tl0, tl) no перемен-
ной Го-
Аналогичным образом можно рассмотреть нахождение решений урав-
нения (8.1.1), имеющих вид ^(f1, Го) =ФЬ1 ,tl)/[q-tl). где q - неко-
торая внутренняя точка кривой L \, отличная от концов этой кривой.
125

Предполагая теперь, что в уравнении (8.1.9) a (to) и bit о) — константы,
запишем его в операторной форме
ltl)*fitl0.tl)t (8.1.10)
где AL t^ означает символ тех операций, которые применяются слева в
(8.13) к функции \р (fl, Го); Al ,, r J будем называть характеристическим
сингулярным оператором второго рода.
Рассмотрим теперь такие характеристические сингулярные интегральные
уравнения второго рода с двукратными интегралами типа Кош и, операторы
которых можно представить как произведение соответствующих одномер-
ных операторов по каждой из переменных, т.е. уравнения вида
или
ALiy9lAL2yo*(tl,t2))=AL2tri(ALitt>ot(tl,t
под чем подразумевается
\ll axb2
+
l) +/ + / +
Я Lx V - to П L2 Г - fg
bxb7 ^(r1 f2)
+ —— / / 71 ГТ71 r dtldt2=f(t0.t20), (8.1.12)
где a2 + b\= 1,ak,bk — действительные числа, k = 1, 2; f(tlQ, t\) € H на
Lx X Z. 2; Z. i и Z. 2 - плоские кривые.
1°. Пусть Z. i и Z. 2 — окружности единичного радиуса с центрами в начале
координат. Применяя повторно формулу G.2.9), получим, что функция
)/ j;
7Г L, to -Г
f(t\tl)dtl bxb2 f(to.tl)dt\dtl
+ M
Я L2 Го-Г ТС L,XI2 (fj -f^jfj _f2)
является единственным решением уравнения (8.1.12). Здесь и в дальней-
шем под AL~^ fk будем понимать те действия, которые выполняются над
функцией f(to,tl) по соответствующей переменной в формуле G.2.9)
или в формулах E.1.2), G.12) при соответствующих индексах рассматри-
ваемых операторов.
2°. Пусть теперь Lx - окружность, a L2 — отрезок [—1, 1]. Будем вна-
чале искать решение, имеющее по координате Г2 индекс 1. В рассматривае-
мом случае оператор^ f\ однозначно обратим по любой правой части.
Для однозначного обращения оператора A/;l%t\ надо еще знать функцию
/ у (г1, t2) dt2, которая будет однозначно найдена, если задана
функция
ALxt\S *ltl,t2)dt2 =C,(f0), (8.1.14)
L2
которую предполагаем принадлежащей классу Н на L х.
126

Таким образом, в данном случае для однозначного разрешения уравне-
нения (8.1.12) или (8.1.11) надо рассматривать систему
l).
(8.1.15)
Применяя теперь последовательно формулы G.2.9) или G.1.2) при
к - У, получим
*(t'. t2) = Al\ ,,0»^ ,. fith.tl)) + 7", (a2) wf' it2 )A~li ,, C, (f?) =
Св-1.1в>
где (см. C.4.35)) Tx (a2) = -Ыпа7г)/я, -1 < a2 < 0, э2 +^2 ctg^aj * О,
w?» (Г2) = A-Г2)а= A +Г2)^; -(а2 +^2) = 1.
Если решение уравнения (8.1.11) имеет индекс нуль или минус единица
2
по переменной f2, то оно дается формулой
2i (8.1.17)
где вместо со?' (г2) надо писать со^ (г2). к = О, -1. При этом, если индекс
равен минус единице по переменной t2, то функция </>(f\f2), даваемая
формулой (8.1.17), будет решением при условии
с f(t\tl)dtl
Отметим, что нахождение общего решения уравнения (8.1.11) из системы
уравнений (8.1.15) приводит к возможности перестановки операций по
переменным f1 и f2 в этой системе. Ответ будет иметь один и тот же вид.
Если же ответ находить последовательным обращением операторов в урав-
нении (8.1.11), то он будет зависеть от порядка этих операторов (по-раз-
ному будет входить произвольная функция С! (tl0)). Удобство системы
(8.1.15) обнаружится еще при построении прямых численных методов при-
ближенного решения уравнения (8.1.11).
3°. Пусть теперь Lx и L2 — отрезки [-1, 1]. Будем искать решение,
имеющее индекс 1 по обеим переменным, т.е. индекс к ~ A,1). В этом
случае для однозначной разрешит ости оператора AL^t^ надо знать
функцию
C2(rg)= /Hi,.,j sp[tl.t2))dtx.
Для однозначной разрешимости оператора AL ti надо знать функцию
/ \р (f', f2) dt2. которая будет однозначно найдена°с помощью оператора
AL ,, rj, если будут известны функция С\ (to) = AL ^ t>o(f $ (t1 ,t2) dt2)
ичислоС= /( fy(tl,t2)dt2)dtl.
^i 1<г 127

Таким образом, в этом случае решение однозначно будет найдено из
системы
*L,.riHi1.,j*<rl.r2»«rtfi,f8). J df1 Wi, ,,{*(*'. г2))-Cjfro).
L> (8.1.19)
*!,,.,•( JXf'.f^t/f2)-С, (fi). /?^!(/ <p(f\f2)</r2) = C
Применяя теперь последовательно формулу G.1.2) для индекса 1,
получим
*(f*. f2) -/г?г >ri (/ГД ,,• flrj, г?) + Г, (a, )ы?« (f1 )C2 (rS)) +
+ Г, (oj)wf' (^KAiJ, ,,¦ С, (rj) + Г, (а, )gj?> (f1 )C). (8.1.20)
Пусть теперь решение имеет индекс нуль по переменной f' и индекс еди-
ница по переменной t2, т.е. к = @,1). Тогда оператор AL j t fj однозначно
обратим по любой правой части, а для однозначной обратимости оператора
AL .2 надо знать функцию / <р (г1, f2) </f2, и поэтому решение индекса
к = @,1) будет однозначно найдено из системы
^1,,jH/.l>,^(f1,f2)) = nri.rg),
**,.»:< / ^(r1. f* >«/** > - С, <г&). (8.1.21)
^ 2
Применяя опять последовательно формулу G.1.2) для индекса нуль по
переменной г1 и индекса единица — по переменной Г2, получим
ф\х\ г2) «Д-Д tfi И7.\ , г1 MfJ. fS») + 'Д ?
я l2 wfMfSKfg -Г2)
Cxit^dtl \
a lwl t| )¦
?«(Го)(Го -f ) /
b, ,
--latf.fr1)
я i
Везде выше функции Ct (fj) и C2 (fo) удовлетворяют условию /У на со-
ответствующей кривой.
Укажем теперь решение и систему, из которой его надо искать для ос-
тальных случаев индекса. Если к = (—1, 1), то система будет иметь вид
(8.1.21), решение - вид (8.1.22), но при условии
itUS^i С(гМ
Решения индексов к= @,0); @,-1); (-1,0); (-1, -1) находятся
однозначно из уравнения (8.1.21), причем для той переменной, по кото-
рой индекс отрицателен, для правой части должно выполняться тождество
(8.1.23). Аналогично находятся решения индексов к = A, 0); A,-1).
128

Итак, если Z.! и Z. 2 —отрезки [—1, 1], то решение <i(K |( к 2) (г1,Г2)
индекса к = (knk2) получается по формуле
ш (а, )соак*х (г1 )С). (8.1.24)
Отметим, что для индекса к = A, -1) функция \р (г1, Г2), даваемая форму-
лой (8.1.24), будет решением уравнения (8.1.11) только при выполнении
условия
L2 U)*\[tl)
4°. Если в уравнении (8.1.11) заданы а, =а2 = 0, то полученные форму-
лы решений этого уравнения дадут формулы обращения для кратных
сингулярных интегралов типа Коши по произведению плоских кривых
[58, 59, 60].
Аналогичным образом можно рассмотреть решение характеристических
сингулярных интегральных уравнений с интегралами типа Коши любой
кратности, при условии, что левая часть представляется как произведение
одномерных сингулярных операторов.
5°. Если теперь рассматривается полное сингулярное интегральное
уравнение с кратными интегралами типа Коши, т.е. уравнение вида
ALxAAi rl*(fl-f2)+ SS K(tl0,tl,tl,t2)*(tl,t2)dtldt2 =
20 L X L
= f(tl>,t20), ' (8.1.26)
то с использованием приема Н.П. Векуа [78] (разрешением этого уравне-
ния относительно характеристической части для данного индекса) оно
может быть сведено к эквивалентному ему (в смысле разыскания решений)
интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
§ 2. Численное решение сингулярных интегральных уравнений
с кратными интегралами типа Коши
Рассмотрим уравнение
*itlrt2)dtldt2 , ,
If 71 ;—: r=ntlo,t2o), (8.2.1)
где L\ и L2 - окружности единичного радиуса. Пусть множества Е1 -
= {г/., *,-=1 л')и ?оя{*о-.. //=1 "'} образуют каноническое
разбиение окружности Ц, /=i/2. Справедлива следующая теорема [58].
Теорема 8.2.1. Пусть функция f(tx, t2)G Н на горе L, X' L2. Тогда
между решением системы линейных алгебраических уравнений
У У. п п ** 2 ' 2 - fit1 t* \
kt = 1 k2 = 1 (^о/, ~tkl ){t0j2 -Tk2l l
/-1 n\ /=1,2, <8'2-2>
и решением уравнения (8.2.1)
«' t'xt.C'-'ill' -'8>
9. СМ. Белоцерковский J29

выполняется соотношение
kt = 1 n\i= 1,2,
где величина 6{tl ,t\ ) удовлетворяет неравенству
6(t\ ,t2k )<O(WX), Л>0, A/ = min (nl,n2),
(8.2.4)
(8.2.5)
причем предполагается n*/N < R < + °°.
Для числа X имеем:
1) \ = ос-е (где е> 0 сколь угодно мало), если f € /У(а) на L{ X L2
и А
2)
кР +
Н(ос),
р=1,2.
Доказательство. Обозначим через Мо f» матрицу, полученную
из матрицы, определителем которой является определитель &hn) в системе
E.1.3), заменой ГонаГоИ Г наг1. Тогда определитель системы (8.2.2)
запишется так:
п1 п"
•• п п I
т , = 1 т j = 1
Г*
(8.2.6)
где а1т( -в степени п*', /=1,2,
,/и1 \ 1
rw4 1
/1 2 \
Теперь, применяя для вычисления определителя Aq тот же прием,
что и для вычисления определителя
1) вначале вычитая последнюю матричную строчку из всех предыдущих
и вынося общие множители из матричных строк и столбцов;
2) потом вычитая последний матричный столбец из всех предыду-
щих и опять вынося общие множители в строчках и столбцах;
3) наконец, раскладывая после этого полученный определитель по
А(п1.п2-\)
последней матричной строчке, придем к определению Ао
Продолжая этот процесс, имеем
(8.2.7)
где А^л1) получается из А^я) заменой п на л'; f*, tok на Г^, г^^ / = 1,2.
130

Видно, что Dq" • " ' ^0 при любых п1 и п1.Поэтому, применяя правило
Крамера к системе (8.2.2), получим
X «¦<».;*.>.</,./,) flf' . ,J ), к, = 1 о', / - 1, 2,
4" •" } ' '
(8.2.8)
где Dfy§lt} получается из 0^'' "'} заменой столбца с номером (*ь *2),
в лексикографическом упорядочении *>, на столбец из свободных членов,
a A(q (^л ^ ) (/ /з) получается из Aq" ' п вычеркиванием столбца с номе-
ром (*,, Аг2) и строчки с номером (jlfj2). Обозначим через Мк"\\. . *
(AfJ^r1 д* о); М otti tiQjt)) матрицу, полученную из матрицы М^у вычер-
киванием столбца с номером кх и строчки с номером j\ (только столбца
с номером к 1; только строчки с номером j\ соответственно). Тогда имеем:
• • * M0,r\(*i./|),2 t2
Передвинем теперь матричный столбец с Mq г* (* о) и матричную
строчку с MQ fi @ у ^ на первые места соответственно в матричных столб-
цах и строчках. От такой перестановки знак определителя (8.2.9) не изме-
нится. Действительно, передвижение одного столбца определителя (8.2.9)
из указанного матричного столбца на первое место потребует л1 (кг - 1)
перестановок; а передвижение всего матричного столбца потребует
(л1 — 1 )п1 (/г2 - 1) таких перестановок, так как в самом матричном столб-
це перестановок не делаем. Полученное число, очевидно, является четным.
•)(*,,*,)> <*i. fy если к2 >к2; либо к, -?2, но*, >*,;(*,, к: ) = (klf k2),
если к, **,, Аг2 в/Г2 .
9* 131

Преобразованный указанным образом определитель (8.2.9) обозначим
о (к к )(/ / )• Для вычисления последнего определителя применим
следующий прием. Вычитаем последнюю матричную строчку из всех преды-
дущих матричных строк, за исключением первой. Из первой матричной
строчки вычитаем последнюю матричную строчку, из которой убрана у i-я
строчка этой матричной строки. Появившиеся общие множители в матрич-
ных строчках и столбцах вынесем за знак определителя. После этого пос-
ледняя матричная строчка приобретает вид
l'wO,rl1(JI:l,O)wO,fl .../W(,ri /.
В последнем определителе сделаем аналогичную операцию относительно
матричных столбцов. Появившиеся при этом множители опять вынесем за
знак определителя. В последнем полученном определителе последняя строч-
ка будет иметь вид
@ 0 ... М(оу ) •
Применяя правило разложения определителя по матричной строке,
перейдем к блочному определителю с порядком на единицу меньше, чем
исходный. Сделав описанные операции п2 раз, получим
ПП (fOp-fOm> »П (f5,- ГД) П (t2Om-t2o/i)X
т - 1 ' т,р - 1
Таким образом, имеем
(8.2.10)
Подставляя эту формулу в (8.2.8), получим
-. -I АС')
ак,акг /,= I /,=
"о
Применяя формулу E.1.13) при к = 0. получим
s4
132
L-?A;—. (8.2.12)

где bkojk = r*/fc+ j - tkojk или &?^ = 2тгitkQJk lBmk + 1) , если такой вид
имеют арк .
Теперь в силу формул F.1.10), F.1.11), F.1.20) формула (8.2.12)
получит вид
VWn'Ui^f^)-— S 2 ^ wi wt и;^ -Ю(Л/-Мп2/У),
'1 *'2 * * 1 " / I ^2 "'2
(8.2.13)
так как если пользуемся формулами F.1.10) и F.1.11), то
И П
2 2
а если пользуемся формулами F.1.20), то в формуле (8.2.13) надо отбро-
сить величину 0{N~l 1п2Л/).
Теперь результаты по квадратурным формулам для кратных сингуляр-
ных интегралов завершают доказательство теоремы 8.2.1.
Из теорем 8.2.1 и 6.1.2 вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 8.2.2. Пусть функция f{tl0, tl) имеет вид
'Юо)я ГТ ГТГ» (8.2.14)
\Я\-П Г1 \Q2-tl\v*
где \l/{tp, tl)eH на LiXL2, <7/G Lif ^€[0,1),/= 1, 2, и пусть множества
Е* и Eq образу ют каноническое разбиение Lt такое, как в теореме 6.1.2.
Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнений
(8.2.2) и решением (8.2.3) уравнения (8.2.1) выполняется соотношение
(8.2.4), в котором величина 6{tlk ,t2k ), kt = 1,..., nl, i = 1, 2, удовлетворя-
ет неравенствам: 1
^) для всех точек {tlk ,t2k2)e [Ll\O{ql, 8)) X [L2\O{q2,d)),d > 0-
сколь угодно мало, х
'Xi>0; (8-2-15)
2) для всех точек {tl ,t\ )
i[^l X2>0. (8.2.16)
Отметим при этом, что если v2 = 0, то неравенство (8.2.15) выполняется
для всех точек {tl ,tlk ), принадлежащих [Lx\O{qub)\ X L2. Аналогично
если *>! = 0, v2 > О.1 2
Теорема 8.2.1 обобщается на тот случай, когда в уравнении (8.2.1) Lt
является совокупностью непересекающихся // штук окружностей Ц, . . .
.... /.!'.
Теорема 6.1.3 также обобщается на уравнение (8.2.1), только теперь
особенность вида \l{q — t) может быть или только по одной коорди-
нате, или по обеим сразу. Оба эти случая приходится рассматривать
отдельно.
Определение 8.2.1. Будем говорить, что функция <p(fl, t2) принад-
лежит классу П,- на Li X L2, Lx, L2 - окружности радиуса единица, если
J33

она имеет вид
, , \pUl,t2) , ,
<p(f\f2) = — , Q/GiL,, /=1,2, ф(Т1,г2)еН на Lx X L2.
Qi-t1
Функция \p[tl, г2) принадлежит классу П,2 ма /., X Z.2, если она при прочих
равных условиях имеет вид
Справедлива следующая
Теорема 8.2.3 [58]. Пусть функция f(tl,t2)GH на Lx X Llf где
Lt,L2 - окружности радиуса единица. Тогда между решениями систем
линейных алгебраических уравнений
= 1 /»р, Р = 1.2, у, Ф/Ч1. (8.2.17)
/i =/,,, /г =1 ;
Т. T ' ' ' *»
1? 7Г~п? ^"т
/f1 = 1 k2
S -2LJ?—*' *' *' *' "
/» =1 "', /i^/?,. Л "/,,. (8-2.18)
l. h
/I -/^^ /2 -/,a.
множества Ер и Е% образуют каноническое разбиение Lp, p = 1, 2,
причем для системы (8.2.17) <71 = rj,- f а для системы (8.2.18) Qp = tQj #
134

р = 1, 2, и решениями ^(f1, г2) уравнения (8.2.1) соответственно
*"''f2>= -т ——А и -
(f'-fS)(f2-r2)
- я/ / \t0 /° . (8.2.19)
1; f2-fo J
Я / 2 =C2(fS), С2(^)€/У на L2,
L, X Z.j f 0 ~ f
. , 1
[я ^
(f1 -tl0){t2 -tl)
to,-
(82-20)
// ] / BC/«fo), C,(ri)G/y на L/. /=1,2,
// *(tl,t2)dtldt2=C,
выполняется соотношение (8.2.4), в котором величина B(t\. , tl ) удов-
летворяет неравенствам (8.2.16), (8.2.15) для всех точек {tl , г? ) G
Е Z.2 X Г/-1 \O(qi , 5)] в первом случае и для всех точек {tl , tl ) G
€ [Z.J XOlqr^S)! X U2\O(<72,5I во втором случае. При этом числа \{ и \2
имеют такую же зависимость от дифференциальных свойств функций
f{tl,t2) и С, (fo), C2(tl), как и в теореме8.2.1, если ахк и а\ выби-
раются так же.
Замечание 8.2.1. Теоремы 8.2.1 - 8.2.3 естественным образом
обобщаются на уравнение
r ip(t)dt
/•••/ =^о) (8.2.21)
Их,. .. , Lt - окружности), решением которого в классе функций Н на
Lx X ... X L{ (если этому же классу принадлежит и f(t0)) является функ-
ция (см. B.1.12))
)'
(-D' . ,
(8.2.22)
Чтобы кратко записать дальнейшие результаты и подчеркнуть особен-
ность строения матриц систем линейных алгебраических уравнений (8.2.2),
(8.2.17) и (8.2.18), напомним следующие понятия [86].
Правым прямым произведением матриц А порядка m Xm и В порядка
пХп называется клеточная матрица С =А X*В, у которой клетка,стоящая
в /-й строчке и в /-М столбце, определяется так: Сц =ацВ.
135

Левым прямым произведением тех же матриц называется клеточная
матрица D = А'Х В, у которой 0,, = Abjt.
Отметим следующие свойства этих произведений:
А Х'В = В'ХА, А X' E X' С) = (А Х*?)Х'С,
{А Х'В)'1 =4 Х'В'1.
Аналогичные свойства верны и для левого произведения.
Для любого прямого произведения
\АХВ\ = \А\"\В\т.
Запишем теперь системы линейных алгебраических уравнений для ха-
рактеристических уравнений на отрезке и окружности при равномерных
сетках в матричном виде:
.
где
j,k=\,...,n, /Фп, alnk=ak, j = п;
к = 1 ,п,
причем точки по / там, где нумерация была с нуля, перенумеровываем,
начиная с единицы. Если сетки неравномерные, то надо I, заменить на
В свете последних определений системы линейных алгебраических урав-
нений (8.2.2), (8.2.17) и (8-2.18) для тора запишем в виде (предполагая,
что 1Я( = п\ /= 1,2)
. \
(8.2.17')
136

(Af
г;.1
/V-1 \
Ct\,.n>
(8.2.18')
причем пары (Лг j, Лг2) берутся в лексикографическом упорядочении.
В аналогичном смысле понимаются матрицы-столбцы справа в системах
(8.2.2'), (8.2.17') и (8.2.18').
Рассмотрим теперь характеристическое уравнение вида (8.1.12) второго
рода с кратными сингулярными интегралами типа Коши, когда Lx и L2 -
окружности. Справедлива
Теор ем а 8.2.4. Пусть в уравнении (8.1.12) функция f{tl0,tl) G
GHr{a) на торе Li X L2. Тогда между решением системы линейных ал-
гебраических уравнений
.г1
(8.2.23)
где М
о, г1
M з - матрицы, получающиеся из матрицы системы G.2.3)
индексацией букв, т.е.
+ р -+Р
От,
е'+Р
(-ар +bpi)
{ар +ЬР/)
-0.1.
разбивают окружность Lp, р = 1, 2 на равные части, и а* 3 2mtk /{2np +1),
и решением y(tx,t2) (8.2.13) уравнения (8.1.12) выполняется неравенство
вида (8.2.4), где величина 6(tlk ,t\ ) удовлетворяет неравенству (8.2.5),
в котором \= r + a — e, €>0 сколь угодно мало.
Пусть теперь в уравнении (8.1.12) L \ - окружность, a L2 - отрезок.
В этом случае справедлива
Теорема 8.2.5. Пусть в уравнении (8.1.12) fit1 ,t2) ен на LXXL2
и д\ =«2 = О, ЬХ = Ь2 = 1. Тогда между решениями систем линейных ал-
гебраических уравнений
<y'XMW
,0,0
,0,1
(8.2.24)
(8.2.25)
(8.2.26)
где М *" } - матрица системы G.2.3), а матрицы М' и',, к = 0, 1, - 1, -
011 к i *
матрицы систем E.1.3)-E.1.5), умноженные на 1/я, и решениями
137

l, t2) рассматриваемого уравнения
df',f2»- Л
1+fo f(tlo,tl)dtlodtl
(8.2.27)
(8-2-28)
4 v/^w
)
(8.2.29)
где функция y(tl, t2) в формуле (8.2.28) удовлетворяет условию
1 ^tl,t2)dtldt2
-7 // i i sC,(fi). (8.2.30)
а функция Kp(tl,t2) в формуле (8.2.29) является решением исходного
уравнения при выполнении условия (8.1.18), выполняется соотношение
(8.2.4), в котором величина S(tlk ,t\ ) удовлетворяет неравенству
(8.2.15) для всех точек [t[ , tl ) G Z., X [ - 1 f 5# 1 - 5] и неравенству
(8.2.16). l 2
Отметим, что система (8.2.25) имеет вид
(8.2.31.
/l = 1 Л*, /*2 =-
Чтобы получить более высокого порядка сходимость приближенного
решения к точному, надо учесть особенность решения. Например, в рас-
сматриваемом случае, когда Lx - окружность, a L2 - отрезок, функцию
^(г1, Г2) можно представить в виде
t2), (8.2.32)
где сок(г2) имеет такой же вид, как в E.2.1).
В этом случае в системах (8.2.24) - (8.2.26) надо заменить ^rir2 на
+ t\t> ¦«*!,".и» fri,^*,»*!:*!»!' ЗЗМаТР^Ь. <"^\ К -0.1.-1. ВЗЯТЬ
матрицы систем линейных алгебраических уравнений E.2.16), E.2.2) и
E.2.15), умноженные на 1/я. Скорость сходимости приближенного ре-
шения к точному, т.е. числа А, и\2 в формулах вида (8.2.15) и (8.2.16)
для всех точек (r^, rj^ )G /., X L2. будет определяться порядком аппрок-
138

симации двойных интегралов типа Коши соответствующими квадратурны-
ми суммами.
Пусть теперь в уравнении (8.1.12) Lx и L2 - отрезки, а, =а2 = 0; Ь\ =
= Ь2 = 1. Тогда приближенные решения индекса к = @, 0) @, 1), @, —1)
при равномерных сетках надо находить из систем линейных алгебраических
уравнений, имеющих вид (8.2.24) — (8.2.26), где MQ fl - матрица
системы E.1.3), умноженная на 1 /гг. Для индекса к= A,1), A,-1) и
(-1,-1) системы линейных алгебраических уравнений будут иметь вид
(8.2.33)
(8.2.34)
(8235)
где /VfK tp, к = 0, 1, —1; p = 1, 2, являются матрицами систем E.1.3)-
E.1.5), умноженными на 1/я. Между решениями этих систем и соответ-
ствующими решениями характеристического сингулярного интегрального
уравнения первого рода с двукратным интегралом типа Коши выполняется
соотношение (8.24), в котором величина B(txk ,t2k ) удовлетворяет не-
равенству (8.2.15) для всех точек (r[ , tl ) е [-1 +5, 1 - 5] X [-1 +6,1-6]
и неравенству (8.2.16).
Рассмотрим более подробно, например, систему (8.2.35):
/р=0, 1 пр, р = 1,2, (8.2.36)
гДе Уоп* on2' Ух on2 и Уоп1 t2 "" регуляризирующие факторы.
rk l • ' к ,
Для индексов к = A,0), (—1,0), (—1,1) системы строятся аналогично.
При использовании неравномерных сеток решение надо представить
в виде
Г2), (8.2.37)
где KltK2 =0, 1,-1. В системах (8.2.24) - (8.2.26) и (8.2.33) - (8.2.35)
139

(пР)
надо i,i гз заменить на \pti ti, а за матрицы М , р = 1, 2;к = 0, 1. —1.
взять матрицы систем E.2.16), E.2.2) и E.2.15).
Пусть теперь в уравнении C.1.12) ар,Ьр — действительные, aj, + 6р = 1,
р = 1, 2, a Z-i и L2 - или отрезок, или окружность. Поскольку это урав-
нение построено с помощью произведения одномерных сингулярных опе-
раторов, то и системы линейных алгебраических уравнений для них надо
строить с помощью левого прямого произведения матриц соответствующих
систем линейных алгебраических уравнений для одномерных характе-
ристических сингулярных интегральных уравнений. Таким образом, систе-
мы линейных алгебраических уравнений будут иметь вид систем (8.2.24) —
(8.226) и (8.2.33)-(8.2.35), в которых $t\ ,? заменено на Ф^щ{^, а
(пр)
матрицы М , р = 1, 2; к = 0,1, — 1, являются матрицами систем G.1.7),
к, tp
G.1.9), G.1.10) или G.2.3).
Рассмотрим теперь полное уравнение (8.1.26), в котором имеется ре-
гулярное ядро. Для этого уравнения системы линейных алгебраических
уравнений получаются из соответствующих систем для характеристическо-
го уравнения (8.1.12) прибавлением слагаемых
= 1, . . . ,пр -
От уравнения (8.1.26) будем требовать, чтобы оно имело единственное
решение при соответствующих условиях на характеристическую часть.
В этом случае система линейных алгебраических уравнений для этого
уравнения эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений,
аппроксимирующей интегральное уравнение Фредгольма второго рода,
которому оно эквивалентно и которое имеет единственное решение. От-
сюда следует сходимость приближенного решения для уравнения (8.1.26)
к соответствующему точному решению.
§ 3. Об одном интегро-дифференциальном уравнении
В аэродинамике для приближенного вычисления аэродинамических ха-
рактеристик тонкого прямоугольного крыла конечного размаха при ста-
ционарном обтекании используется [21] следующее двумерное интегро-
дифференциальное уравнение:
ь ' х0 -x+Vb2 + U0-zJ'
, 0 V U0)
/ / J,ix.z) dxdz = f(xo,zo). (8.3.1)
-ъ -/ (x0 -x) (z0 -z)
где xoe(-b,b), zoe(-l,l), f(x,z)eH на [-b,b] X [-/,/].
В классе функций y{x,z), удовлетворяющих условиям
7(х, /) = 7(х, -/) = y(b, z) = 0, (8.3.2)
7г(х//)=°°, 7*(х,-/) = °°, y(-b,z) = <*>,
которые требуются в аэродинамике, это уравнение эквивалентно уравне-
нию Фредгольма второго рода
1 / b-t
y(t,$) V /
я/ Ь + f - /
140
1
2
7Г
/

i(i,Zo)f{xo,zo)dxodzo
1 , (8.3.3)
t -x0
Из замечания 5.3.4 следует
Теорема 8.3.1. Если уравнение (8.3.3), а следовательно и уравнение
(8.3.1), в требуемом классе функций имеет единственное решение, то
между решением системы линейных алгебраических уравнений
1 = 1 *=|
' 0/ X() y^Qm ~~" ^k + 1 »
/=1 n, "«-I Л/, (8.3.4)
, ь ! 1), хо/ = х, +Л,/2, / = 1 /7, г* = -/ +
+ (/г - 1)Л2, Л2 = 2//Л/, z0* =z^ +Л2/2. /т = 1 Л/, г^ + 1 = /, а решением
y(x,z) уравнений (8.3.1) при условиях (8.3.2) выполняется соотношение
i.гок)\ < в(х/. zofc),
/=1 л, Дт = 1 Л/, (8.3.5)
где величина в(х{,гок) удовлетворяет следующим условиям:
1) для всех точек (х,, z0^) G [-/> + 6, Ь - 6] X [-/, /]
в(х0 zok) = 06ihxi), X! >О; (8.3.6)
2) для всех точек {xitzok) G [-b, b] X [-/,/]
S S B{xilzQk)hlh2^O(hx^), \2>O, (8.3.7)
где Л = max(A,, /?2), Л/Л/ < R < + °°. /s 1. 2 при h -* 0.
Доказательство. Достаточно доказать, что система (8.3.4) эк-
вивалентна системе линейных алгебраических уравнений, аппроксимирую-
щей уравнение (8.3.3). Для этого систему (8.3.4) запишем в виде
п N bhx
hx ( 1 1 \
-*i \z0m -zk z0m-zk + \ I
N
(x0j -
1/ / »•••#» »•¦•»•
o) -xu)[zOm -zk + l) j (8.3.8)
141

Матрица системы (8.3.8) относительно неизвестных, стоящих слева,
является левым прямым произведением невырожденных матриц М^\\л
M\N}t где М*?\ — матрица системы E.1.3), a M\NJ - матрица системы
E.1.55). Разрешив эту систему относительно неизвестных, стоящих сле-
ва, и произведя соответствующие преобразования, придем к системе ли-
нейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих уравнение (8.3.3).
Это уравнение является уравнением Фредгольма второго рода. Так как
из физических соображений ясно, что в рассматриваемом классе функ-
ций уравнения (8.3.1) имеет единственное решение, то и уравнение (8.3.3)
обладает этим свойством. Поэтому начиная с некоторых достаточно боль-
ших п и /V система линейных алгебраических уравнений (8.3.4) разреши-
ма, а ее решение сходится к соответствующему решению уравнения
(8.3.1).

РАЗДЕЛ HI
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В АЭРОДИНАМИКЕ
И ЕГО ОБОСНОВАНИЕ
ГЛАВА 9
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ
И ДИСКРЕТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. К постановке задач аэродинамики
Рассматривается стационарное и нестационарное обтекание крыла (тела)
произвольной формы в плане, движущегося в невязкой несжимаемой
среде со средней поступательной скоростью Uo (рис. 18). Плотность ее
р = рж не изменяется при обтекании тела.
В задачах аэродинамики форма тела и закон движения его считаются
известными. Если тело упругое, то предполагается, что задан и закон де-
формаций тела. Кроме того, естественно, считаются известными условия,
в которых совершается движение (полет) тела. Обычно это безграничная
среда, возмущенная только телом. Однако могут рассматриваться и дви-
жения тела в возмущенной среде (воздействие ветра, течений, турбулент-
ности) . В этом случае неизвестными будут скорость V(x,y, z,t)-
= { Vx, Vy, Vz}, возмущенная телом в среде, и давление р(х, у, *, t). Для
определения четырех неизвестных функций Vx, Vy, Vz и р имеем три урав-
нения Эйлера и уравнение неразрывности [35].
Один из важных вопросов - граничные условия на поверхности тела.
Таковым является условие, определяющее задание скоростей, возму-
щенных телом, на его поверхности. Если вязкостью среды не пренебре-
гать, то таким условием явилось бы требование о "прилипании", т.е. на
поверхности тела V = 0. Для идеальной жидкости граничное условие сво-
дится к требованию о непротекании потока сквозь поверхность тела. Оно
формулируется как условие обращения в нуль нормальной составляющей
относительной скорости среды на поверхности тела
КОтн-л = 0, (х,у,г)ео, (9.1.1)
где п — орт нормали к поверхности о тела в рассматриваемой точ-
ке (х, у, г).
Заметим, что имеется класс задач, например, связанных с обтеканием
парашютов и крыльев — парашютов, когда поверхность тела представляет
собой тонкую ткань. Тогда поток может протекать сквозь поверхность
тела, но закон протекания известен. Он определяется экспериментальным
путем и представляет собою соотношение, характеризующее данный ма-
териал. Обычно оно задается в виде зависимости скорости протекания
от перепада давлений на ткани.
Дальнейшее упрощение в постановке общей задачи связано со следую-
щим фундаментальным опытным фактом. При обтекании тела возле
него и за ним образуется аэродинамический след, характерный тем, что в
нем наблюдается вихревое движение, т.е. такое движение жидких частиц,
143

при котором они не только движутся поступательно и деформируются,
но и вращаются. Вне этой области течение оказывается безвихревым.
Тогда вне тела и следа течение, возмущенное телом, можно характери-
зовать не тремя неизвестными функциями Vx, Vy и Vz, а одной - потен-
циалом поля скоростей Ф (x,y,z,t). причем
Vx = ЭФ/Эх, Vy = дФ/Эу, Vz = ЭФ/Эг. (9.1.2)
В этом случае уравнение неразрывности превращается в уравнение Лап-
ласа
Э2Ф Э2Ф Э2Ф
+ + =0 вне о и Ох, (У. 1.3?
Эх2 by2 bz2
где о{ — след движущегося тела. Так как физически ясно, что вдали от
тела о и его следа ох возмущенные скорости должны затухать, то для
Рис. 18
требуемого решения Ф(х, к, г, г) уравнения (9.1.3) должно выполняться
условие
lim УФ = 0, г = \/х2 +к2 +z2' (9.1.4)
г-*<х>
для точек (х, у, z), бесконечно удаленных от тела аи его следа ах.
Уравнения движения Эйлера могут быть проинтегрированы и приводят
к известному соотношению между давлением р и производными от по-
тенциала поля скоростей Ф по координатам и времени - интегралу Коши-
Лагранжа:
ЭФ V2OTH У*2 Р-Р~ п
— + — — + =0, (9.1.4')
Эг 2 2 р
где Уотн — относительная, а V* — переносная скорости частицы жидкости,
р— плотность жидкости (она полагается постоянной), рж - давление
на бесконечности, которое считается известным. Таким образом, неизвест-
ная функцияр(х, у, г, г) также можег быть исключена из общей постанов-
ки задачи.
Следует отметить одну важную особенность общей постановки задачи.
При построении вихревого следа тела необходимо учитывать те общие
теоремы гидродинамики, которые пока не фигурировали в условиях
задачи. Они вытекают из общих свойств полей скоростей и тех уравне-
ний, которым эти поля должны удовлетворять.
Отметим их:
а) при установившемся движении вихри направлены по линиям тока;
б) при неустановившемся движении вихри, сошедшие с тела (свобод-
ные вихри), движутся по траекториям жидких частиц вместе с ними;
144

в) циркуляция скорости по любому замкнутому контуру со временем
не меняется;
г) изменение циркуляции присоединенного вихря (неподвижно свя-
занного с телом) сопровождается сходом свободного вихря, причем долж-
но выполняться требование предыдущего пункта;
д) так как вихревой след о{ не несет, то при переходе через него долж-
но соблюдаться условие непрерывности давления
Р- = Р.. (х,у,г)е01. (9.1.5)
Индексы "—" и "+" относятся к разным сторонам поверхности О\.
Из теоремы Жуковского в малом [12] следует, что относительная
скорость свободных вихрей равна нулю, т.е. они движутся вместе с час-
тицами жидкой среды.
Физическое содержание задачи и выбираемый исследователем уровень
точности описания ее диктуют еще один очень важный этап в постановке
задачи - выбор схемы обтекания. Основными среди них являются сле-
дующие.
а) Бесциркуляционное обтекание - когда вихревым следом пренеб-
регают. Обычно применяется при анализе обтекания сильно вытянутых
тел и при колебании тел на месте.
б) Циркуляционное отрывное обтекание с удовлетворением всем фи-
зически очевидным условиям, в том числе требованию о конечности ско-
ростей и давлений во всем пространстве. Сказанное решающим образом
влияет на выбор схемы обтекания. Например, когда изучается обтекание
тонкого крыла с острыми кромками (передними, задними, боковыми),
приходится допускать сход свободных вихрей со всех кромок и на всех
кромках выставлять условие Чаплыгина—Жуковского о конечности ско-
ростей. В противном случае на них скорости будут достигать бесконечно
больших значений. Заметим, что при этом обычно даже при движении
крыла с постоянной скоростью получаются пульсирующие (нестационар-
ные) режимы обтекания.
в) Упрощенные схемы циркуляционного обтекания тел, в которых
некоторые условия снимаются. Наиболее распространены схемы, в кото
рых не требуется конечность скоростей и давлений на передних и боко-
вых кромках тонких крыльев и на изломах поверхности тела. В резуль-
тате задача может решаться и как стационарная, причем свободные вихри
сходят только с задней кромки крыла.
Опыт использования подобных схем велик. Они приводят к удовлет-
ворительным результатам по суммарным эффектам, но дают локально
некорректные данные (вблизи острых кромок и изломов картины давле-
ний и скоростей описываются ими неправильно).
§ 2. Основные положения метода дискретных вихрей
Решать поставленные выше задачи аэродинамики будем с помощью вих-
ревого метода, который заключается в следующем.
Крыло о и его след ох заменяем непрерывной вихревой поверхностью,
причем крыло о — поверхностью из присоединенных суммарных и свобод-
ных вихрей, неподвижно связанных с крылом, а след о, - поверхностью
из свободных вихрей, двигающихся вместе с жидкостью по траекториям
частиц. С помощью этого непрерывного вихревого слоя найдем поле ско-
ростей V, для которого потенциалом будет функция Ф(х, у, z,4t) и которое
будет удовлетворять всем перечисленным в § 1 требованиям.
10. С М. Белоцерковский j^S

Таким образом, задачу аэродинамики при решении ее вихревым мею-
дом стремятся свести к нахождению интенсивности такого вихревого
слоя, заменяющего крыло о и его след а,, чтобы поле скоростей, инду-
цируемое этим слоем, удовлетворяло всем граничным требованиям, ука-
занным в § 1 гл. 9.
Численная реализация всех условий краевых задач аэрогидродинамики
в методе дискретных вихрей осуществляется следующим образом.
Непрерывный вихревой слой заменяют системой дискретных вихрей
так, чтобы в пределе при увеличении числа дискретных вихрей получить
М0
Рис. 19
искомый вихревой слой. В качестве основного элемента рассматривает-
ся соответствующий изучаемому классу задач вихревой образ: в плос-
ких задачах — вихревая нить бесконечного размаха, при изучении обте-
кания тонких крыльев на малых углах атаки — косые подковообразные
вихри, в общих нелинейных пространственных задачах — прямолиней-
ные вихревые отрезки или замкнутые вихревые многоугольники (обыч-
но — треугольники и четырехугольники).
Индуцируемое ими поле скоростей вычисляется с помощью формулы
Био-Савара, которая гласит, что элемент ds длины вихревой линии, имею-
щей циркуляцию Г, индуцирует в точке Мо, расположенной на рассто-
янии от ds, определяемом вектором г, скорость, равную
(9.2.1)
Направление ds должно быть принято таким, чтобы циркуляция во-
круг него в соответствии с правилом правой руки была положительна,
что иллюстрируется рис. 19. Если начало элемента ds помещено в точку
М, то г = ММ0. Обозначим через П данный дискретный вихревой образ,
имеющий по всей длине интенсивность Г (в силу известных теорем гидро-
динамики о вихревых нитях [35] их интенсивность не должна меняться
по длине). Тогда поле скоростей, индуцируемое этим вихрем, определя-
ется формулой
Г dsXr
v = — / —г"- (92-2)
47Г П Г3
Получаемое поле скоростей удовлетворяет уравнению неразрывности
во всем пространстве (исключая сам дискретный вихрь). Кроме того,
скорости затухают при удалении от вихревых элементов, обращаясь в нуль
на бесконечном расстоянии от точек, принадлежащих вихрям.
В стационарных задачах след продолжается от тела до бесконечности.
В нестационарных он развивается — старые вихри сносятся потоком, а
новые сходят с тела. При этом конструирование вихревых систем осу-
146

ществляется с обязательным выполнением всех теорем о сохранении вих-
рей в рамках выбранной схемы обтекания.
Поверхность тела в каждый момент времени заменяется суммарными
вихрями, в которых нет деления на присоединенные и свободные, причем
положение их на теле фиксировано. Криволинейные свободные вихри
аппроксимируются системами прямолинейных отрезков.
Число дискретных вихрей конечно, но может безгранично увеличи-
ваться. Это осуществляется по заданному алгоритму, который обеспе-
чивает выполнение следующих требований, лежащих в основе эффектив-
ности метода.
а) Размеры вихревых сеток вблизи тела по всем направлениям должны
быть примерно одинаковыми.
б) Точки, в которых удовлетворяются граничные условия о непроте-
кании {точки коллокации), должны лежать примерно в центре вихревых
многоугольников. Этим обеспечивается выделение главного значения в
интегралах типа Коши.
в) На границах тонких поверхностей и вблизи изломов поверхности
тела, где скорости могут обращаться в бесконечность, выбор расположе-
ния вихрей и граничных точек производится в соответствии с выбранной
схемой. Если ставится требование о конечности скоростей (условие Чап-
лыгина—Жуковского (Ч— Ж)) на кромках и изломах, то на них (или бли-
же к ним) ставятся точки коллокации (расчетные точки) — дискретный
аналог условия Ч-Ж. В противном случае на них ставятся вихри. В даль-
нейшем это правило расположения дискретных вихрей и расчетных точек у
кромок будем называть Б-условием метода дискретных вихрей, которое
впервые было сформулировано в [8].
Важным этапом решения задач является построение формы вихрево-
го следа. В линейных стационарных и нестационарных задачах она зада-
ется наиболее естественным образом. В нелинейных - след выстраивает-
ся, причем при установившемся движении — методом итераций, а при
неустановившемся — конструируется по временным шагам. Циркуля-
ции первых дискретных свободных вихрей за телом вычисляются, а далее
они сносятся потоком, не меняя своих интенсивностей.
Указанным способом удовлетворяются все условия поставленных за-
дач аэрогидродинамики. Решение их сводится в общем случае к осуществ-
лению (итерационно в пространстве и по шагам во времени) следующих
вычислительных операций:
а) решению систем линейных алгебраических уравнений, вытекающих
из граничных условий на теле;
б) построению вихревого следа за телом.
§ 3. Основные дискретные вихревые системы
Рассмотрим вначале поле скоростей от вихревого отрезка А{А2 посто-
янной интенсивности Г с направлением от точки Ах к точке А2. Про-
извольную точку А этого отрезка можно записать так:
<1, (9.3.1)
где rA =OA, r{ = OAlt rl2 = А{А2, О- некоторая точка пространства.
Поэтому для элемента дуги ds будем иметь
ds = rl2dt. (9.3.2)
Поместим теперь элемент ds в точку А. Тогда для вектора г получаем
г = г0 -rA =rl0 -frl2, (9.3.3)
10# 147

где г0 =ОМ0, гю =AxMq. Заметим также, что
Из формул (9.2.1), (9.3.2) - (9.3.4) получаем формулу для индуци-
рованной скорости V в точке Мо от вихревого отрезка АХА2
Г 1 (rl2Xrx0)dt
У-— f — - ; г-^г (9.3.5)
4я о
ъп
Первообразная для подынтегральной функции в формуле (9.3.5) легко
находится:
1
_Г гЖ2 Хг10
4я Г! 2 а
Г10
( '10-'12\2
(9.3.6)
или
4тг
X г10
-2rl0 -г12
/ —г12
^,1
*12 J
4я г]ог]2 -(г,2 -г10J
0 /
(9.3.7)
Пусть теперь в пространстве введена декартова система координат
OXZY, как на рис. 18, т.е. тройка векторов i,k,j - правая. Рассмотрим
частный случай, когда точка Мо и вихревой отрезок лежит в плоскости
0XZ, причем отрезок параллелен одной из осей координат, например
АХА2 И OZ. В этом случае имеем
Мо = ixOtz0,0),
A2 = (xu z2.0),
г10 = (х0 -
X Г, о =-У(х0 -
/0 = (^2 --
Г\ 0 * ^1 2 ~~ '^2 — * \ ) (Zq — Z\ ), Г i о :
и из формулы (9.3.7) получаем
1 / _(zo-z2)
(z0 -z,J
Г
к--/ —
4я x0 —
+(z0 -z2J"
/<Х0 ~Х, J4 (Zq-Z,J /
(9.3.8)
Теперь рассмотрим прямолинейный вихрь полубесконечного размаху
начинающийся в точке Ах= [x\.Z\,yx) и через точку А2 = (x2#z2,k2)
уходящий в бесконечность.
148

Тогда в формуле (9.3.1) параметр t будет изменяться от 0 до + °°. Сле-
довательно, в формуле (9.3.6) верхний предел будет равен + °°, и поэтому
при подстановке пределов получим
Г ГпХ^о Г г,о . г12 ]
к= — И+ . (9.3.9)
4 я г, 2 о: L 'ю '12 J
Если же направление на вихре идет из бесконечности через точку А2 до
точки Ах, то в формуле (9.3.2) для ds надо справа поставить знак минус,
поэтому будем иметь
Xr.o
4тг
и-
'10 '12
(9.3.10)
Например, пусть вихрь начинается в точке Ах = (xi,zl#0) и через точку
А2 = (x2/z,,0) уходит в бесконечность. Точка М0 = (xo,zo,O) также ле-
жит в плоскости OXZ. Тогда имеем: г!2 ¦ (х2 -x,)i\ г|0» (х0 -xx)i +
+ ( ) *• ^12Хг10 =/(х2 -x,)(z0 --?i), г12 =х2 -х, (предполагаем
J
v-i
/2 ,
= (х2 -х,) (х0 -
1 Г х0 -
(z0 ~
-и
+(z0 -
(9.3.11)
Рассмотрим теперь прямолинейный вихрь бесконечного размаха. Будем
полагать, что направление на вихре определяется параметром в формуле
(9.3.1), т.е. формула (9.3.2) сохраняет свой вид. В этом случае пределы
интегрирования в формуле (9.3.5) будут -°° и +°°. Следовательно, из фор-
мулы (9.3.6) при подстановке t = -°° и t = + °° получим
Г г, 2 X г, о
К= — -^ — . (9.3.12)
2п гх2 ос
В формулах (9.3.1) и (9.3.3) под г12 можно понимать любой вектор,
направленный одинаково с направлением на вихре.
а)
r-
Аг
7
>
F
Г
Г
> *
—э—
Рис. 20
б)
Например, пусть вихрь проходит через точку Ах - (хьгь0) парал-
лельно оси OZ и одинаково с ней направлен. За направляющий вектор
гХ1 возьмем вектор к. Скорость от этого вихря будем подсчитывать в
точке Afo= (xo,zo,0). В этом слУчае ri2 Хг1О = -/(хо-х,), а = (х0 -х^2,
ri 2 = 1. Таким образом, из формулы (9.3.12) имеем
Г 1
V=-j . (9.3.13)
2гг хо-х,
149

В задачах для телесного профиля потребуется случай,когда4 i=(x,,0, У\),
г, 2 =к и М о = (хО|О,КоЬ Тогда г10 = (х0 - х,)/ + (у0 - у, )/, rX2 X
Х^ю * —/ (*о — *i) + ' (Ко ~ Ki), ri2 -r 10 - 0. Таким образом, получаем
v f
Перейдем теперь к рассмотрению прямого и косого подковообразных
вихрей.
Прямым подковообразным вихрем, следуя [12], будем называть
(рис. 20,а) вихрь постоянной интенсивности Г, состоящий из отрезка
[Ах {хх ,Zj, 0), А2 {хх, z2, 0) ] и двух полубесконечных прямолинейных
вихрей (Ах, + °°) и (А2, +°°), параллельных оси ОХ. Направление на этом
вихре будем задавать век т-ром г12 и обозначать его \\(АХ,А2). Найдем
скорость V, индуцированную этим вихрем в точке Мо = (xo,zo,O), не ле-
жащей на вихре. Обозначим через Vx2, Ух и У2 скорости в точке Мо, инду-
цированные соответственно вихрями (АХ,А2), (Ах, + °°) и И2,+°°).
Используя формулы (9.3.8) - (9.3.10), получим
Г 1
4я х0 —X! \ \Дхо - хх J + (z0 —z2J
VVo-*!»2 +(^0 -ZiJ'/
Г 1 / x — x \
y2 =y /! + ° 2 )t (9.3.15)
4я zo—z2\ v(x0 — x2)z+ (z0 —z2J /
4я z0—z,\ \/t*o — ^1 J + (zq — z, J /
Так как
K= K12 + Vx + К2, (9.3.16)
то
"¦'f
4
(х0 — <
= /—// . " "" ll3/t • 0.3.17)
4я г, xl [Uo —х) +(z0—z) ] '
/<ocoi} подковообразный вихрь (рис. 20,6) отличается от прямого
только тем, что отрезок [А\,А2) не параллелен оси OZ, т.е.^3 (xi,*i,0),
^2 = U2r^2rO) и х2Фхх. Пусть уравнение линии вихря (АХ,А2) будет
x(z) =a+zb, (9.3.18)
150

т.е. X! = x(Zj) = a + z xb, x2- x(z2)= з + z2b. Тогда имеем для той же точки
Мо = (xo,zo,O) :
Гц = (*2 -*i)'+ (^2 -*i)* = (^2 -*i )Ь# + (z2 -zx)k = (z2 -zx )(Ы + к),
Г\о = (*о ~*i)/+ (z0 -z, )*,
/2 X г,о = /[(х2 -*iH*o -^i) - Uo -х,)(г2 -z,)]
= /(/2 -^| 1 [b(ZQ -ZX) - (ХО -X, )], Г1 2 = (*2 -ZX)\/ \
/2 'Г,0 = (^2 -*| H^Uo -X,) + (ZO -Z,
Г\2 -Г20 =U2--?l)[b(x0-X2) + (ZO ~Z2)].
Отсюда по (9.3.7)
^1 2 /
(9.3.19)
4тг X(xo,zo) I уДхо-х2J
(x0 -x, )b + (z0 -zx) "I
где X(x0/z0) =x0 -a - zo6 =x0 -x(z0)-
Для вихрей Wi,+°°) и И2.+°°) формулы сохраняются, поэтому
имеем
Г Г 1 1 VU0-x2J n-lzo-z,J
vi \+
47Г lzo-z2 zQ-zx X(x0/z0) (z0-z2)
+(z0 -z,J'
X(x0/z0) Uo -^i)
Г у 1 /^ xo-x(z)
4Я2, (zq-Z!J \ v^xo-xlz)J +(zo-zJ
Г z' +o° c/xt/z
f
dz
Заметим, что если Ь=0, т.е. НИ i, А2) - прямой подковообразный вихрь,
то формула (9.3.20) совпадает с формулой (9.3.17), так как в этом случае
x(z)=xb X =х0 -x(z0) =х0 -х,.
Отметим еще следующее. Если точка Мо лежит на линии отрезка
[АХ,А2], то формулы (9.3.17) и (9.3.20) надо использовать в интеграль-
ной форме, и получим, что
Г Г 1 11
— .
4я L z0 - г2 z0 -*! J
(9.3.21)
так как в этом случае или х0 — хх =0, или х0 - x(z) = 0.
Наконец, рассмотрим вихрь постоянной интенсивности Г. имеющий
вид контура прямоугольника в плоскости OXZ со сторонами, параллель-
ными осям координат (рис.20,в). Пусть этот вихрь своими угловыми
точками имеет точки Ах т Ui, zx, 0), А2 = {xlf z2, 0), (z2>*i). ^з =
= (*2, z2,Q), (x2>Xi), A4 = (x2/ zl# 0). Направление на этом вихре зада-
дим векторомгх 2. Обозначим через К12,К23«^з4 и V4X скорости, ин-
дуцируемые в точке Мо - (х0, г0. 0) вихрями (АХ,А2), (А2, А3), И3/^4)и
151

(A4,Ai) соответственно. Из формулы (9.37) (см. также (9.3.8)) получим
с учетом направлений вихрей
*0 - *2
-to-',>2 J '
1 Г хо-х2
Х0 — Х|
>/(хо-х,J + (zo-z2J' J'
v(x0 -х2J + 1*0 -i\)
Г 1 Г -(хо-х2)
-х2J + (z0 -*2J
(9.3.22)
+
-х2J + (z0 -z,J
Xq ™~ X i
Следовательно, для скорости V, индуцируемой в точке Мо всем вихрем,
будем иметь
Г I" ч/(хо-х,J +(го-г2J" ^(хо-хгJ + (z0 - z: J
4я L (х0 — X!) (z0 — г г) (хо — •
(ХО - Х2 ) (Zo — Z| ) (х0 - Xi ) (ZO -
Формулу (9.3.23) можно записать еще в виде
n/(xo-x,J+(zq-z,J
к—/—/
47Г 2, (z0 -z)
\/и~0-х,J +(zo-zJ" J 4я *, », [(xo-xJ+(zo-zJ]3/2
(9.3.24)
152

ГЛАВА 10
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОФИЛЕЙ
§ 1. Тонкий профиль в стационарном потоке
Рассмотрим вначале плоскопараллельное обтекание тонкого слабоизог-
нутого изолированного профиля установившимся потоком, скорость ко-
торого (рис. 21) Uq = uxi+ uyj. Пусть проекция этого профиля на плоскость
OXZ занимает полосу -b <x <b. Слабоизогнутость профиля позволяет
снести граничное условие о непротекании профиля на полосу — b <x <Ь.
Это означает следующее. Вихревой слой, заменяющий профиль, размещают
на этой полосе. Его интенсивность не зависит от координаты z, и ее обозна-
чают у{х). Условие о непротекании выполняют в точках полосы, т.е. сумма
нормальных составляющих скорости в точке полосы от вихревого слоя и
снесенной в эту точку скорости набегающего потока в точке профиля,
проецирующейся в данную точку полосы, равна нулю.
Метод дискретных вихрей в данном случае заключается в следующем
[12]. Вихревой слой, заменяющий профиль, моделируется бесконечно
длинными вихревыми шнурами постоянной интенсивности Г*, уравнение
которых х = хк, хк = - Ь + kh, h = 2bl(n + 1), к = 1,. .., n, а граничное
условие (9.1.1) непротекания профиля выполняется в расчетных точках
~и
г)
Рис. 21
153

0m
+ Л/2, л? = 0, 1. .. ., л. Нормальная составляющая
скорости,
индуцированной ?~м вихрем в л?-й расчетной точке, равна (см. (9.3.13))
Г*
(Ю11)
Vkm
-хк)
Нормальная составляющая Vm скорости от всей системы дискретных вих-
рей в/л-й расчетной точке будет
к = l
A0.1.2)
Рассмотрим циркуляционное обтекание профиля (рис 21,6). В этом
случае эксперимент показывает [12], что вихревая интенсивность должна
быть неограниченна у передней кромки (точка - Ь) и ограниченна у задней
кромки (точка Ь). Следовательно, в силу Б-условия метода дискретных
вихрей ближайшим к передней кромке должен располагаться вихрь, а к
задней кромке - расчетная точка, поэтому для расчетных точек надо брать
номера m - 1,. .., л. Выполняя в этих точках условие непротекания (9.1.1),
получим систему равенств
к - 1
= 1 л,
A0.1.3)
п.
A0.1.4)
или, учитывая формулу A0.1.1),
1 " Г*
I = V*mt ш = 1
27Г к = 1 хОт - хк
Из результатов § 3 гл. 1 следует, что если взять Гк = yn[xk)h GЛ— при-
ближенное значение у), то система линейных алгебраических уравнений
A0.1.4) аппроксимирует сингулярное интегральное уравнение
1 ъ y{x)dx
/
2я -ь xQ - x
V/*(x0), xoe(-b,b).
A0.1.5)
В силу теоремы 5.1.1 получаем, что между решением системы A0.1.4)
и точным значением интенсивности у{х), неограниченной в точке - Ь и огра-
ниченной в точке Ь, выполняются соотношения E.1.6) — E 1 8).
При бесциркуляционном обтекании (рис. 21,в), когда интенсивность у{х)
неограниченна на обеих кромках, Б-условие требует, чтобы крайними к
обеим кромкам располагались дискретные вихри, т.е. в этом случае надо
для расчетных точек бра^ь /п = 1,. . . , л — 1. Использование условия непро-
текания в этих точках даст п — 1 уравнений для л неизвестных циркуляции
дискретных вихрей. Получаем недоопределенную систему. Доопределяется
эта система с помощью условия бесциркуляционности обтекания. В резуль-
тате этого получаем следующую систему линейных алгебраических урав-
нений:
A0.1.6)
к = 1
и, следовательно, здесь применима теорема 5.1.1 при С = 0.
При безударном обтекании (рис. 21,г), когда интенсивность ограниченна
на обеих кромках, Б-условие требует, чтобы крайними к обеим кромкам
154

располагались расчетные точки, т.е. в этом случае надо для расчетных точек
брать т = 0, 1, ..., п. Использование условия непротекания в этих точках
даст п + 1 уравнений для п неизвестных циркуляции дискретных вихрей.
Получаем переопределенную систему, причем, как правило, несовместную.
Определенной ее делаем с помощью введения регуляризирующего фактора
У on (новой дополнительной неизвестной), т.е. рассматриваем систему
7оп+ ? rkcokm = Vmi ет = О, 1 п, A0.1.7)
к = 1
и, следовательно, здесь применима также теорема 5.1.1.
Таким образом, теорема 5.1.1 дает полное математическое обоснование
для тонкого профиля в стационарном безграничном потоке. Эти же теоре-
мы дают обоснование Б-условия метода дискретных вихрей (дискретного
аналога гипотезы Чаплыгина —Жуковского), примеры численных расчетов
в некоторых конкретных случаях рассматривались выше (рис. 10-12).
Отметим, что неравенство E.1.30) показывает, что суммарные аэроди-
намические характеристики по методу дискретных вихрей находятся с
любой наперед заданной точностью.
Важная особенность метода дискретных вихрей: вид функции у{х). к
которой должно приводить решение системы линейных алгебраических
уравнений, определяется только взаимным расположением дискретных
вихрей и расчетных точек, а не задается априори. Это особенно важно,
когда приходится решать новые задачи аэродинамики, не исследованные
еще математически.
Рассмотрим теперь тонкий профиль с закрылком (рис. 22). В этом случае
нормальная составляющая скорости набегающего потока к поверхности
профиля терпит в точке q отклонения закрылка разрыв первого рода.
Поэтому в уравнении A0.1.5) правая часть терпит разрыв первого рода
в точке д, а функция ?(х) имеет в этой точке логарифмическую особен-
ность. Используя замечание 5.1.4, видим, что найти интенсивность дискрет-
ных вихрей в данной задаче можно следующими способами.
1. Дискретные вихри и расчетные точки расположить так, чтобы точка?
находилась посредине между ближайшими к ней дискретным вихрем и
расчетной точкой. После этого, в зависимости от типа задачи, рассмотреть
одну из систем A0.1.3), A0.1.6), A0 1.7). В этом случае обоснование вы-
числительной схемы дает замечание 5.1.4.
-b
Рис. 22
2. Расчеты показывают, что более точные результаты в окрестности точ-
ки q получаются, если расчетные точки выбрать так, чтобы q была одной из
них, и в этой точке взять полусумму (V*(q - 0) + V*(q + 0))/2 нормальных
составляющих скорости от набегающего потока в точке q слева и справа.
3. Если надо, чтобы на закрылке и остальной части профиля было по оди-
наковому числу вихрей (как, например,при подсчете шарнирных моментов
закрылка), то следует воспользоваться замечанием 5.3.3.
155

Теперь рассмотрим обтекание стационарным плоскопараллельным пото-
ком тонкого профиля, находящегося у земли (рис. 23). При этом профиль
располагается, как и ранее, на прямой у = 0, а земля описывается прямой
у = -Н. Метод дискретных вихрей в данном случае применяется следую-
щим образом [12]. На профиле берем дискретные вихри и расчетные точки
так же, как и ранее, и еще берем дискретные вихри в точках АкН =
= (хЛ, -2АУ) на плоскости OXY с интенсивностями Г*# = - Гк для обеспе-
чения непротекания линии у= -Н. Из формулы (9.3.14) следует, что ве-
*н
личина нормальной составляющей Vкт скорости, индуцированной вихрем
ГкН в расчетной точке хОт, будет
х0т — хк
km
2тг (xOw-x*J
A0.1.8)
Таким образом, для циркуляционной задачи получаем систему линейных
алгебраических уравнений
к = 1
п.
A0.1.9)
В силу результатов § 3 гл. 1 видим, что система A0.1.9) аппроксими-
рует уравнение
1 ь г 1
- — J 7(х)
2тг -ь [^о-х
+4/Y2
= V*(x0). A0.1.10)
Теорема 5.3.1 показывает, что система A0.1.9) дает решение, сходя-
щееся к решению у(х) уравнения A0.1.10), обращающемуся в нуль в точ-
ке b и в бесконечность в точке — Ь.
-6
XXX
г,
-г,
X X
-н
х \
1 Л JJ
^¦«
-г.
V
X \
-г,
1
X
х Ч
Рис. 23
Для бесциркуляционного и безударного обтеканий получим системы,
аналогичные системам E.3.6) и E.37), так как уравнение A0.1.10) имеет
вид уравнения E3.1). Таким образом, теорема 5.3.1 дает математическое
обоснование метода дискретных вихрей для стационарного обтекания
профиля у земли.
При желании получить более точные расчеты у кромок профиля надо
воспользоваться неравномерным расположением дискретных вихрей и рас-
четных точек. При этом лучше вначале расположить профиль на отрезке
156

[-1, 1] с помощью замены переменной х = bt, а потом воспользоваться
результатами § § 2, 3 гл. 5 - теоремами 5.2.1 - 5.2.2 для изолированного
профиля или теоремой 5.3.2 - для профиля у земли.
§ 2. Решетка тонких профилей
Рассмотрим решетку профилей [12], которые в сечении плоскостью г = О
описываются системой отрезков[-Ь. Ь]X ук, где ук = kl, к = 0, ± 1, ± 2,...;
/ - фиксированное положительное число, a [-b, b] - отрезок оси ОХ.
Пусть имеется плоскопараллельный установившийся неограниченный по-
ток, движущийся так, как и в предыдущем параграфе. Поскольку при этом
условия обтекания любого профиля одни и те же, то интенсивность при-
соединенного вихревого слоя на профиле зависит только от координаты х
и не зависит от г и ук, к = 0, ± 1, ± 2,. .. Поэтому метод дискретных вих-
рей в данном случае применяют следующим образом.
Вихревой непрерывный слой, моделирующий профиль [-b,b\Xyk,
заменим системой дискретных вихревых нитей, параллельных оси OZ,
пересекающих плоскость z = О в точках (х,-, ук , 0), / = 1,.. ., п. к -
= 0, ± 1, ± 2,.. ., интенсивность которых равна Г, = уп{х{ )h, а точки х, на
[—b,b] выбраны так же, как и в предыдущем параграфе.
Систему дискретных вихревых нитей (*,-, ук), к = 0, ± 1,... (коорди-
нату z в дальнейшем опускаем), назовем i-й цепочкой вихрей. Скорости
от этих цепочек будем подсчитывать в расчетных точках (х0/ , 0), j =
= 0,1,. .., п (точки х0/ определены в предыдущем параграфе). В силу
формулы (9.3.14) для составляющих скорости от дискретной вихревой
нити (х/, у к) интенсивности Г, в расчетной точке (х0/, 0) имеем
Г, -ук
Vx. kij - — - ГГТ~Т " ^i^x.kih
Ш (хО/-х/> +кЛ A0.2.1)
Jj -Uo/ - х,)
2я (хоу-х,J +К2.
Следовательно, /я цепочка дискретных вихрей индуцирует в расчетной
точке (хО/,0) скорость, составляющими которой будут
Используя понятие комплексного потенциала [35], можно показать, что
нормальная составляющая Vy% // скорости будет равна
v = Г/со/; = — cth ~(х0/ - х,). A0.2.3)
2/ /
Теперь получаем, что нормальная составляющая Vyj скорости от всех
цепочек вихрей решетки профилей в расчетной точке (х0;, 0) будет
Vyj- I Г,*;,,-— ? r,cth— ixoj-Xi). (Ю.2.4)
/ = i 2/ i = l /
Обозначим теперь через V* нормальную составляющую скорости дви-
жения в расчетных точках профилей. Выполняя условие непротекания
(9.1.3) в этих точках, получим:
157

для циркуляционного обтекания
— I r,cth — (хО;-х,) = Vj. /=1 п; A0.2.5)
для бесциркуляционного обтекания
— I r,
I Г, = 0,
—(xO/-*,) = Vj, /=1 л-1, A0.2.6)
для безударного обтекания
70и + — 2 ricth^(x0/-x,)=\/;, /=0,1 п. A0.2.7)
Из результатов § 3 гл. 1 следует, что при Г, = 7„(*/)Л системы A0.2.5) -
A0.2.7) аппроксимируют сингулярное интегральное уравнение
/ 7(*)cth (xox)tfx Vbo). xoe(-b,b), A0.2.8)
2/ -*> /
которое может быть приведено к уравнению E.3.9). Действительно, урав-
нение A0.2.8) можно записать в виде
1 ь (xo-x)cthGr(xo-x)//)
— / 7(*№*=V(*o). A0.2.9)
21 -ъ х0 - x
Осталось обозначить через К(х0, х) = {хо-х) cth (tKxq - x)ll), /С(хо. >^о)=
= //я, ядро -аналитическую функцию. Поскольку из физических соображе-
ний ясно, что уравнение A0.2.8) имеет единственное решение каждого ин-
декса к = 0, 1, -1 при соответствующих дополнительных условиях, то реше-
ния систем A0.2.5) — A0.2.7) сходятся к соответствующим точным реше-
ниям этого уравнения и для них справедливы соотношения E.1.6) — E.1.8).
Таким образом, метод дискретных вихрей обоснован полностью и для
решетки профилей.
§ 3. Тонкий профиль с эжекцией
В последнее время на крыльях самолетов начинают применять эжектирова-
ние (всасывание) воздуха из потока для того, чтобы потом его выдувать и,
используя оба эти эффекта, существенно повысить несущие свойства крыла
на стадии взлета и посадки. Чтобы определить увеличение подъемной силы
за счет эжектирования, будем моделировать профиль вихревым слоем, и
поэтому задача сведется к нахождению его интенсивности.
Итак, рассмотрим тонкий профиль - пластину, расположенную на отрез-
ке [-Ь, Ь] оси ОХ, с эжектированием воздуха в точке q E i-b,b) (рис.24).
При отсосе эжектором жидкости с верхней стороны профиля на его нижней
стороне в области отсоса особенностей в распределении скоростей не будет
ввиду непротекания профиля. На верхней поверхности профиля в окрест-
ности точки q характер изменения скоростей определяется выражением
A0.3.1)
где Vrs - радиальные скорости, индуцируемые стоком, г - расстояние от
158

рассматриваемой точки до стока, Q — производительность стока. В точках
оси ОХ скорость, индуцируемая стоком, будет параллельна этой оси (так
как сток лежит на оси ОХ), и ее величина с учетом направления будет
равной
Vxs = Q/[2n(q-x)}. A0.3.2)
Обозначим через у(х) интенсивность вихревого слоя в точке xG [-b,b],
заменяющего профиль. Вихревой слой на верхней (индекс " + ") и нижней
(индекс "-") сторонах пластины индуцирует касательные скорости [79]
V^~ =±7(х)/2. A0.3.3)
Касательные скорости от стока на нижней и верхней сторонах профиля
равны и определяются формулой A0.3.2), т.е.
VXS=V*S= V;s. A0.3.4)
Для нижней стороны профиля получаем
A0.3.5)
причем, согласно постановке задачи, <р{х) — гладкая функция в окрест-
ности стока.
Из формул A0.3.3) -A0.3.5) для значения у{х) в окрестности стока
получим
О W
у(х) = 2ф) = , A0.3.6)
rtq-x) q-x
где \p(q) = Q/тт. При этом на верхней стороне профиля в окрестности стока
касательные скорости от вихрей и стока, суммируясь, будут иметь особен-
ность вида A0.3.6).
Интенсивность у{х) рассматриваемого слоя должна удовлетворять урав-
нению теории профиля A0.1.5) и заданным условиям на кромках профиля.
Для нахождения функции у[х) построим численный метод, являющийся
развитием метода дискретных вихрей, такой, чтобы его легко можно было
перенести на аналогичную задачу для крыла конечного размаха.
Выберем точки {*,-, / = 1,..., п) расположения дискретных вихрей и
расчетные точки {х0/, / = 0, 1, ... , п } так, как в теореме 5.1.4, т.е. чтобы
точка q являлась одной из расчетных точек, а взаимное расположение
Рис. 24
дискретных вихрей и расчетных точек такое же, как и в предыдущих па-
раграфах. При составлении системы линейных алгебраических уравнений
для нахождения интенсивности Г, дискретных вихрей граничное условие
о непротекании профиля удовлетворяется для всех расчетных точек х0/,
кроме точки х0/ = q, совпадающей с точкой размещения стока. Действи-
тельно, в точке размещения стока нет смысла говорить о нормальной
составляющей скорости. Поэтому получаем, что при рассмотрении цирку-
ляционной задачи (у(х) неограниченна на передней кромке и ограниченна
на задней) имеем п дискретных вихрей и п - 1 линейных алгебраических
уравнений для них, определяемых расчетными точками х0/, / - 1,. .., п,
159

^ бихрь
> перед
\ сто ком
Рис. 25
i Ф /q- Значение циркуляции по всему профилю, т.е. / y{x)dx, неизвест-
-ь
но - его надо найти, поэтому для доопределения системы линейных ал-
гебраических уравнений воспользуемся тем, что интенсивность дискретного
вихря, одного из ближайших к стоку, можно считать известной и положить
Г/<? = ^(q)hl(q - xjq) или VJq + 1 = Mq)h/(q - х/(?+1), так как функция
ф{х) в формуле A0.3.6) гладкая в окрестности точки q (no крайней мере
принадлежит классу Н).
Итак, для циркуляционной задачи надо рассмотреть систему линейных
алгебраических уравнений
п
/= 1
Г>,; = Vj - Г, со, ., / = 1 п, /Ф/я.
A0.3.6)
где Г,- = 7яи/)Л.
В этом случае теорема 5.1.4 дает математическое обоснование выбран-
ной расчетной схемы. Расчеты, проведенные по предложенной схеме, пока-
зывают хорошую сходимость приближенного решения к точному (рис. 25).
Рассмотрим теперь вопрос о безударном обтекании профиля: для данно-
го набегающего потока найти такую интенсивность Q отсоса в точке q,
чтобы интенсивность у(х) вихревого слоя была бы ограниченной на перед-
ней и задней кромках. В силу Б-условия метода дискретных вихрей в
этом случае крайними к обеим кромкам должны располагаться расчетные
точки, т.е. надо брать / = 0, 1 г?, но при выполнении условия непроте-
кания надо пропустить расчетную точку с номером jqi соответствующую
стоку. Получаем систему п уравнений с п неизвестными, никакие дополни-
тельные условия не требуются:
.
A0.3.7)
160

В силу теоремы 6.1.5 получим, что приближенное решение 7П1*/) =
будет сходиться к решению уравнения A0.1.5):
ь (q-xo)Vlxo)dxo
/
(Ю.3.8)
п q~x -
Следовательно, для интенсивности отсоса, обеспечивающей безударное
обтекание профиля, получаем формулу (см. A0.3.8))
Г- л ь V(xo)dxo
О = тпИ?) = я lim ylx)(q~x) = -2>/b2 - q2 f , . A0.3.9)
*-<? -ft Vb2 -x?
Наконец, представляется интересным построение вихревого слоя, обеспе-
чивающего бесциркуляционное обтекание профиля при заданной интенсив-
ности Q отсоса в точке q. В этом случае Б-условие требует, чтобы крайними
к обеим кромкам профиля располагались дискретные вихри, т.е. условие
непротекания профиля надо выполнять в точках х0/, / = 1, ..., п - 1,
У Ф iq. Полагая интенсивность дискретного вихря Г, известной, получаем
п - 1 неизвестных и п - 2 уравнений. Дополняем эту систему с помощью
дискретизации уравнения
ъ
f 7(x)c/x = 0, A0.3.10)
-ь
являющегося условием бесциркуляционное™ обтекания профиля. Таким
образом, надо рассмотреть следующую систему
J, r,u>v-v;-r,qu>,q,. /=1 л-1, /#/,.
4 A0.3.11)
Так же как в теоремах 5.1.4 — 5.1.5, можно показать, что решение системы
A0.3.11) будет сходиться с теми же оценками, что и в указанных теоремах,
к решению уравнения A0.1.5)
JГ A0.3.12)
q-х b2 -х2
Если на профиле расположено несколько отсосов, то надо воспользовать-
ся теоремой 5.1.6 и замечаниями к ней. Для того чтобы использовать нерав-
номерное разбиение при рассмотрении задач обтекания профиля с отсосом,
надо обратиться к результатам § 2 гл. 5.
§ 4. Телесный профиль с гладким контуром
Для практики большое значение имеет изучение телесных профилей
(рис. 26) [52], т.е. профилей, имеющих толщину. В этом параграфе
будем рассматривать такие телесные профили, контур которых не имеет
11. СМ. Белоцерковский 161

точек самопересечения и угловых точек, т.е. орт касательного вектора к
этому контуру изменяется непрерывно при обходе точки по контуру (см.
рис. 26). Итак, будем полагать, что параметрическое уравнение контура
профиля имеет вид
х=х@), уу{в), A0.4.1)
где 0 € [0, 2 я], функции х@) пу{6),х'{в) ну'(в) - периодические с перио-
дом 2я, принадлежат классу И на [0, 2я] и производные х'@) и у'(в) од-
новременно в нуль не обращаются.
Рис.26
Пусть рассматриваемый телесный профиль находится в стационарном
потоке с вектором скорости Uo =ШХ+ fUy. Заменим этот профиль непре-
рывным вихревым слоем интенсивности у(в) в точке М = (х@), у{в)) про-
филя. Непрерывный вихревой слой на участке ds контура профиля, начи-
нающемся в точке М, заменим дискретным вихрем интенсивности Г@) =
= y@)d$. Скорость, индуцируемая этим дискретным вихрем в точке Мо =
= (х@о), У@о)) данного профиля, будет равна (см. (9.3.14))
„ П0) 1К,@о.0)-/х1@о.0) ,Л Л1 |Л . |Л|
2я
A0.4.2)
Так как при изменении параметра в от 0 до 2я координата х@) точки
профиля изменяется от b до -Ь, а потом в обратном направлении, то орт
внешней нормали в точке Мо будет задаваться формулой
, A0.4.3)
г, Wo)
Следовательно, нормальная составляющая скорости в точке Мо, инду-
цированной дискретным вихрем Г@), равна
Г@) у'(во)у1{во.в)^х(во)х11во.в)
п 2я г2г, {во)
A0.4.4)
от набегающего потока -
г,@о)
A0.4.5)
162

индуцируемой всем вихревым слоем —
1 V k'@o)Ki@o,0)+*'<0o>*i@o,0)
Vn=— f - г—— г1[в)у{в)сЮ. A0.4.6)
2тг о г2гх{в<>)
Так как граничное условие непротекания профиля в точке заключается
в равенстве нулю суммы всех нормальных составляющих скоростей, то для
нахождения интенсивности у{в) вихревого слоя, заменяющего профиль,
получаем уравнение Vn « — V^t или в развернутом виде
1 V Yi0o)vi(Oo.o)+x'(eo)xl(eo,e)
Uxy'(e0)-Uvx'(e0)
Покажем теперь, что уравнение A0.4.7) является уравнением с ядром
Гильберта. Действительно, функция
,Л t K'Wo)KiWo. 0)+x'(eo)xl(eOie)
KWo. в) = : г, @) A0.4.8)
r2rti0o)
является периодической по обеим переменным. Разности у[в0) - у {в) и
х{в0) - х[в) стремятся к нулю, когда в0 -*0 или в0 ->2п + в. Функцией,
которая обращается в нуль только при в0 -в =0 или когда \в0 - ОI крат-
но 2 эт и которая имела бы порядок малости вычета в0 - в по модулю 2я,
является функция tg (@О - в)/2). Поэтому перепишем уравнение A0.4.7)
в виде
1 2ГЯ Кх(во,в)
— I —; — 7(в)<Ю=П0о). A0.4.9)
2я о tgWo -fll/2
,t к@о)К2@о^Их@о)х2@о,0)
/Л ЛХ х[во)-х[в)
, х2{е0,в)= .
tg@o-0)/2 tg@o-0)/2
В данном случае функция К\(в0, в) - периодическая по обоим своим
аргументам, периодической является и правая часть уравнения A0.4.9).
В силу условий, налагаемых на контур профиля, функции у2(вд,0) и
х2@о, в) одновременно в нуль обратиться не могут и принадлежат классу И
по обеим переменным [78], поэтому и функция /fi@o, 0) принадлежит
классу И по обеим переменным. Так как при этом К(в0, в0) = 1/2 (полага-
ем, что у2@<ь 0о) »у'@о)-2, х2@о,0о) =х'@о)-2), то уравнение A0.4.9)
является уравнением с ядром Гильберта и к нему применимы методы чис-
ленного решения, развитые в § 2 гл. 6. Таким образом, в этом случае метод
дискретных вихрей надо применять следующим образом.
Дискретные вихри помещаются в точках (х@/), уF{)), а расчетные точ-
ки - в точках (х@о/), к@О/)). / я 1,..., л, где 0/, интерпретируемые как
точки окружности радиуса единицы, разбивают ее на п равных частей,
11* 163

0О/ являются серединами этих частей. Условия обтекания при этом задают-
ся следующие.
1) Известно, что обтекание бесциркуляционное, и тогда надо рассматри-
вать систему линейных алгебраических уравнений
70„+ I Г,а;,7 = -\/;, /=1 п, A0.4.10)
п
I Г, = 0.
/= 1
Расчеты по этой схеме для круглого цилиндра представлены выше на
рис. 26и на рис.27.
Приближенное
решение ч
2) Известна на контуре точка, в которой интенсивность у [в) равна нулю.
Тогда точки расположения дискретных вихрей выбираем так, чтобы эта
точка была бы одной из них. Пусть номер этой точки равен п. Тогда рас-
сматриваем систему
При этом значение распределенной интенсивности вихревого слоя нахо-
дим по формуле
7@,) =
п.
A0.4.12)
Замечание 10.4.1. Если в уравнении A0.4.7) перейти к длине дуги
как к параметру, то оно получит вид
2я о
x,(s0,
A0.4.13)
где / - длина дуги профиля. В таком виде уравнение A0.4.13) справедливо
и в том случае, когда контур профиля является простой разомкнутой кри-
вой. Тогда уравнение A0.4.13) можно записать в виде
1 / yb)ds '
J + / К2 у$о, s)y{$)ds = f\$o). A0.4.14)
2 я о So — 5 о
164

где использованы, обозначения
Ъо) - Уз lSo, s)) у3 ($о, s) + [х (so) - х3 (s0, s)] х3 (s0, s)
K2(s0,s)!
x3 (s0, s)
x(so)-x(s)
So - S
УЗ Ьо,
S0 - S
а через f(s0) обозначена правая часть уравнения A0.4.13).
Знаменатель функции K2(sQ,s) положителен и непрерывен на
[О, /] X [0, /]. С другой стороны, yi(s0, s) и x3(s0, s) равны значению
производной соответственно к (si) nx'fci) в некоторой точке sx ? (So,s),
а величины x'(s0) - КзЬо, s) и x'(s0) - x3(s0, s) равны произведению вто-
рой производной функции y(s) и x(s) в некоторой точке $2 G (so^J
на So — S\.
Таким образом, если первые и вторые производные функций y(s) nx(s)
малы, то уравнение A0.4.14) можно заменить на уравнение
«s0).
A0.4.15)
в)
Рис.28
Рис.30
165

Если же уравнение контура профиля имеет вид у = у{х), х Е [-b, Ь] и
у[х) и у'\х) достаточно малы, то уравнение A0.4.15) можно записать в
виде (с точностью до малых второго порядка малости)
2 ь
-ь х0 — х
A0.4.16)
Последнее уравнение и является уравнением тонкого слабоизогнутого
профиля.
Примеры разбиений (выбора вихревых схем) для такого профиля при-
ведены на рис. 28, 29, а для профиля с закрылком - на рис. 30.
ГЛАВА 11
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Прямоугольное крыло. Циркуляционное обтекание
Рассмотрим прямоугольное крыло - пластину, лежащую в плоскости
OXZ и занимающую прямоугольник а= [—b,b] X [—/,/]. Пусть имеется
установившийся поток со скоростью Uo = Uxi + Uyj. Следуя [12], будем
моделировать крыло и след за ним, занимающий полосу [Ь,+°°) X [-/,/]
(рис.31), непрерывным вихревым слоем, а его дискретными прямыми
подковообразными вихрями Uik = U[AiktAlk+l) интенсивности Vik =
= 7r<x^iro/t)^i. где Aik = A(x(,zk), xt = -b + ihx,hx =2b/[n + 1), / = 1,...,л,
xoi=Xj+hi/2, zk » -/+ (k - 1)Л2, h2 = 21/N, к = 1,..., N + 1, zok = zk +
6)
Рис.31
166

+ /?2/2. Индекс при у означает, что за искомые величины принимаются
составляющие вихревого слоя крыла по координате z; далее индекс г у
у будем опускать. В аэродинамике [12] такое моделирование непре-
рывного вихревого слоя крыла и пелены за ним дискретными подковооб-
разными вихрями обосновано с физической точки зрения. В силу физи-
ческих соображений рассматриваемая аэродинамическая задача описыва-
ется функцией yix,z)t которая при подходе к передней кромке -ЬХ
X [-/, /] крыла становится неограниченной, а при подходе к остальным
кромкам обращается в нуль. Обращение в нуль на задней кромке b X
X [-/,/] —это условие Ч—Ж плавного схода потока с задней кромки.
Указанную задачу называют циркуляционной задачей обтекания крыла.
Обозначим через Vf™ = Г/^о/^ величину нормальной составляющей
скорости, индуцированной вихрем П/* в расчетной точкеЯ/т = (х0/- zOm),
а через VJm — величину нормальной составляющей скорости в этой же
точке, индуцированной всей системой дискретных прямых подковооб-
разных вихрей.В силу Б-условия крайними к передней кромке должны рас-
полагаться дискретные вихри, а к задней кромке — расчетные точки
(рис. 31,а). Поэтому значения ykf,zOk), удовлетворяющие в пределе
описанной задаче аэродинамики, в [12] было предложено находить из сис-
темы линейных алгебраических уравнений, получаемой при выполнении
условия непротекания в расчетных точках Pjm,i = 1,.. ., п, т = 1,..., /V,
т.е. из системы
2 1 rikJ"=-Uy, /«1 /7, m»1 /V, A1.1.1)
или в полном виде (см. (9.3.17) и C.4.1))
— 2 2 7(*/,*o*)>>
47Г/1*1
A1.1.2)
к. Of. От ш _ ^ . = 1 ^
x0/ г0) = x0 - x + y/{x0 -xJ +(z0 - zJ.
Используя результаты § 4 гл. 3, получаем, что система линейных ал-
гебраических уравнений A1.1.2) аппроксимирует интегральное уравнение
1 ь i y(x,z) ( хо-х \
— / / : гA + f a s\dxdz = -Uy. A1.1.3)
4я -ъ -/ (zo-zJ \ >/Uo-xJ + (zo-zO y
Система A1.1.2) получается из уравнения A1.1.3) следующим обра-
зом: уравнение A1.1.3) берем в каждой расчетной точке Pjm, /= 1, ..., п,
т = 1,. .., /V, потом к интегралу в уравнении применяем квадратурную
формулу C.4.1).
Теперь, эквивалентным образом преобразовывая систему A1.1.2) для
прямых подковообразных вихрей, покажем, что она аппроксимирует:
1) интегральное уравнение, любое решение которого обращается в нуль
на боковых кромках;
2) интегральное уравнение, любое решение которого обращается в
нуль на задней кромке и в бесконечность - на передней кромке
крыла.
167

Вначале систему A1.1.2) запишем так:
и N
/= 1 k=l
>/,*Om>-|Xo/-*J , л_йй :_л - -=1 Л/
(xoj-xv)(zQm -zM) J
A1.1.4)
, zk,
zOm -
Так как
sign(xO/-xl)= ' ' lr A1.1.5)
1-1, />/,
то система A1.1.4) получит вид
1 1 \
0m-^+l ZOm-Zk/
n i
I 2( I
/=1 л, ет=1 Л/, A1.1.6)
где через Щхо^гОт) обозначена правая часть системы A1.1.4).
Используя теорему 5.1.8, получим
/ 1 лг
2 1Z
T Dш
7Г m=l\ X=l /
/ +<*(/,*), /=1 /?, ^=1 Л/, A1.1.7)
где |ос(/, /с)| — такая же величина, как 6{xitzok) в теореме 8.3.1.
Теперь видно, что система A1.1.2) аппроксимирует интегральное урав-
х0 1 / f ь / у(х, т)
2 /°7(x,z)rfx = — ЛМ*,*0) ' ^: ^"
dzOt A1.1.8)
где функция \lst(z,z0] определена в формуле (8.3.3).
Из уравнения A1.1.8) и свойств функции \(//(z, z0) получаем
f\(xj)dx= f°yix,-!)dx = Qt
-ъ -ъ
что эквивалентно тождествам
7U,-/) = 7(x,/)s0. A1.1.9)
168

Отметим, что уравнение A1.1.3) эквивалентно уравнению A1.1.8) для
функций y(*,z), удовлетворяющих условию A1.1.9).
С другой стороны, система A1.1.2) эквивалентна системе
п N /?!
2 2 y(xitzok) A(zOw
/=1 к-г xQj —xf
п N
= - I 1 у(хи, z0M) [KixoflzOm xv,
v=l /u=l
N, A1.1.10)
f 0, кФт,
-zk)=\
1-2, * = m,
х0 - х + \Д*о — хJ + (z0 - zJ — |z0 — z\
K(x0, z0, x, z) = - .
(x0 -x)(z0 -z)
Следовательно, обозначая через П1(хоу,гОт) правую часть системы
A1.1.10) и применяя теорему 5.1.1, получим
1
/= 1 л, ет= 1 /V, A1.1.11)
где величина la^n?)! такая же, как величина 6{tk ,tk ) для систем
(8.2.33) - (8.2.35). ' *
Система A1.1.11) аппроксимирует интегральное уравнение 2-го рода,
у которого решение (если оно существует) удовлетворяет условию
y(bfz) = 0; 7(-/>,z) = oo. A1.1.12)
Это интегральное уравнение имеет вид
1 /6-х1 ъ i 1
7<*,*о) = —
2я2
Xy'z(T,z)dTdz-2<
+х
Итак, если система A1.1.2) для прямых подковообразных вихрей
разрешима и последовательность ее решений сходится, то в пределе эти
решения дадут функцию у(х, г) с требуемыми свойствами на кромках
крыла. В следующем параграфе будет показано, что эта система разрешима.
§ 2. Прямоугольное крыло. Бесциркуляционное обтекание
Рассмотрим теперь задачу о бесциркуляционном обтекании крыла. Такая
задача возникает, например, при изучении взаимодействия жидкости и
колеблющегося на месте крыла с помощью так называемых присоеди-
169

ненных масс [12]. В этом случае все кромки крыла находятся в одина-
ковых условиях, и потому составляющая ?2(х, г) по оси OZ вихревого не-
прерывного слоя, заменяющего крыло, должна обращаться в бесконеч-
ность при подходе к передней и задней кромкам. Следовательно, в силу
Б-условия крайними к передней и задней кромкам должны располагать-
ся дискретные вихри (см. рис. 31, б). При этом задачу моделируем сле-
дующим образом: предполагаем, что на крыло набегает поток со ско-
ростью, имеющей требуемую нормальную составляющую Uy; вихревой
слой крыла моделируем дискретными прямыми подковообразными вих-
рями II;* с присоединенными вихрями (AiktAik+l) t параллельными оси
OZ. и свободными вихрями (Aik, (+«>,**)) и (А/*+ь (+°°»**+i)), па"
раллельными оси ОХ) так как за крылом следа не должно быть, т.е.
интенсивность вихревого слоя следа равна нулю, то сумма циркуляции
дискретных вихрей по каждой хорде крыла должна быть равной нулю, т.е.
? Г/*=0, *=1 /V.
/«1
Таким образом, для нахождения циркуляции Vik, / = 1,...,/i, к =
= 1,..., /V, надо рассмотреть следующую систему линейных алгебраичес-
ких уравнений [12]:
Tj? -Uy, /=1 п-1. т=1 /V, A1.2.1)
? Г/ш=0, /-л, т=1 N.
/=1
Применяя те же рассуждения, что и при циркуляционном обтекании,
легко показать, что система A1.2.1) аппроксимирует интегральное урав-
нение A1.1.3), дополненное условием
? 7il*,*oW*sO. A1.2.2)
Таким же образом показывается, что система A1.2.1) аппроксими-
рует интегральное уравнение A1.1.8), дополненное условием A1.2.2),
и, следовательно, опять для решения этого уравнения выполняются усло-
вия A1.1.9). Но теперь вместо системы A1.1.10) получим систему
hx 1
Oy - X/ 2
/=1 л-1, m=1 N, A1.2.3)
Из теоремы 5.1.1 теперь следует
21
">), /=1 л, /п=1 /V, A1.2.4)
где величина |а2(/, ^7I такого же типа, как ив A1.1.11).
Система A1.2.4) аппроксимирует интегральное уравнение 2-го рода,
у которого решение (если оно существует) обращается в бесконечность
при подходе к передней и задней кромкам.
170

Для нахождения yx{x,z) — составляющей вихревого слоя, параллель-
ной оси ОХ (в этих задачах требуется и эта составляющая), можно вос-
пользоваться известным по [21] равенством
A1.2.5,
Ъг Эх
или рассмотреть систему, получаемую из системы A1.2.1) заменой в ле-
вой части х на г и г на х, т.е. надо брать прямые подковообразные
вихри П/* = ПИ/*,^/+1,*) интенсивности Fik =yx{xoi, zk)h2. состоящие
из вихревого отрезка [Aik,Ai+ik) и двух полубесконечных вихрей
И/*, (х,,+ °°)) и И/+1 к, (х/+1 V оо)) 9 и полагать /= 1 п,т=\,...
... ,ЛУ- 1.
Для бесциркуляционной задачи удобно еще следующее моделирование не-
прерывного вихревого слоя дискретными вихрями. Так как вихревой слой
имеется только на крыле, то удобно его аппроксимировать дискретными
замкнутыми вихрями (см. рис. 31, б) n0Jk =U(Aik,Ai ,* + i,4f+i,*+i/ Ai+ik)
с циркуляцией Qik = QUo/vzo*)» состоящими из вихревых отрезков
(Aik, Aik + i),D/f*+ 1.Л/+ l,* + 1>.W/+ i, * + i, Л/+ |д) и М/ + ,t kt Aik\,
i = 0, 1,. .., n, к = 1,..., N. Из рис. 31, б видно, что
так как отрезок [Aik,Aik + i] входит в состав дискретных вихрей
По,/-1,* и По ik с разными направлениями циркуляции на них — в пер-
вый с отрицательным направлением (по отношению к оси OZ), а во вто-
рой — с положительным направлением. Аналогично имеем
Qlxoi,Zok)-Q(xoi,Zok-\) . „«о^
h2. A1.2.7)
п2
При этом полагаем, что Q(xo/_b гок) = 0 при / = 0 и к = 1, Л/ и
i) 0 пРи Дг я 1 и / = 0, 1 ,п.
Из соотношений A1.2.6) и A1.2.7) следует
/Ow1 ^0/,^2 A1.2.8)
где / = 0, 1, . .., п, т = 1,. . ., N.
Так как функции yz{x,z) и yx{x,z) могут иметь только интегри-
руемые степенные особенности на кромках (порядка р~1/2, где р — рас-
стояние от точки до кромки) и обтекание бесциркуляционное, то получа-
ем, что функция Q{x,z) должна обращаться в нуль на всех кромках
крыла (порядка р12).
Граничное условие о непротекании крыла будем выполнять в расчет-
ных точках (х0// zOw), / = 0, 1,. .. , п, т = 1 Л/, что дает систему ли-
нейных алгебраических уравнений
I I Qikj? =-U>(, / = 0,1 п, ет=1 N, A1.2.9)
/=0 к=\
где со7^ - множитель при j Г в формуле (9.3.23) при х = х0/, Xi = хЛ
171

Воспользовавшись формулой (9.3.24), получим
п N :k + l */+l
I I Q(xOi,zok) / / — j— = -Uy,
A1.2.10)
/ = 0, 1 n, m = 1 N.
Из результатов § 4 гл. 3 (формула C.4.17)) следует, что система
A1.2.10) аппроксимирует следующее интегральное уравнение:
ъ i Q{x,z)dxdz
f f г 7-TZ=-uy. A1.2.11)
-ъ -I [(хо-хг + (*о-*) J
которое в классе функций Q[x, z), обращающихся в нуль на кромках
крыла, эквивалентно уравнению A1.1.3), дополненному условием A1.2.2),
т.е. уравнению
* I yz{x,z)[x0-x)dxdz
_/ _/ _z>, Г. ., . . ^ - - Uу 01.2.12)
Э
(где yz[x, z) =—Q(x, z)), что согласуется с формулой A1.2.6). Чтобы
Эх
это показать, достаточно в уравнении A1.2.11) слева произвести интегри-
рование по частям по х и учесть условие Q[b, z) =Q(— b, z) = 0.
Наконец, заметим, что система A1.2.10) является невырожденной,
так как для матрицы ее системы выполняется признак Адамара - модуль
диагонального члена в каждой строке больше суммы модулей остальных
членов этой строки. Действительно, если (х,, zk) Ф (х7, zm), то
а1Г- / / г^^ г—— > 0, A1.2.13)
lk zk х\ [(xO/-xJ+(zOm-zJ]3/2
а если /=/, к=т, то из формулы C.4.17) получаем, что
а\™ = / / ^^ < 0 A1.2.14)
7 'т */ [(xo/-xJ+(zOw-zJ]3/2
Сумма всех элементов а1. строки (/, т) в матрице системы A1.2.10)
будет
п N Ъ I w~ w*
aiir " J J
1 = 0 * = i -ъ-1 ПхО/-х>2 +{zOm-zJ]3'2
Таким образом, из формул A1.2.13)-A1.2.15) получаем
lk J, •/"<-*/« ¦"/*"• И1.2.16)
Неравенство A1.2.16) и означает выполнение признака Адамара.
Так как для любых чисел а, и Ь, справедливо равенство
2 а,Ь, = - Z ( 2 аА)(Ь/Ч, -6;), A1.2.17)
/ = 1 / = 1 к = !
где полагаем 6,,-ц = 0, то система A1.2.1) эквивалентна системе вида
A1.2.10) и поэтому также невырожденна.
172

Замечание 11.2.1. Аналогичными рассуждениями, с использованием
формулы (9.3.17), можно показать, что система линейных алгебраичес-
ких уравнений A1.1.2) для циркуляционной задачи обтекания прямо-
угольного крыла также невырожденна.
§ 3. Крыло произвольной формы в плане
В этом параграфе рассмотрим крыло конечного размаха сложной формы
в плане и схематизированный летательный аппарат.
Вначале возьмем плоское крыло, имеющее вид канонической трапе-
ции (так будем называть трапецию, лежащую в плоскости OXZ, у кото-
рой две стороны параллельны оси ОХ, см. рис. 31), и покажем, что для
этого случая справедливы результаты, полученные в предыдущих парагра-
фах для прямоугольного крыла. После этого рассмотрим сложную несу-
щую поверхность, разбив ее на канонические трапеции (рис. 32).
Итак, рассмотрим линейную стационарную задачу обтекания канони-
ческой трапеции а, у которой боковые стороны лежат на прямых г = О
иг = /, а передняя и задняя кромки (стороны) заданы соответственно
уравнениями
xAz) =а_+гЬ_, х+(г) =з+ +гЬ+; A1.3.1)
скорость набегающего потока будем полагать Uo = Uxl + Uyj, Ux > 0.
Задачу нахождения интенсивности вихревого непрерывного слоя, заме-
няющего трапецию о, было предложено в [12] решать с использованием
метода косых подковообразных вихрей. Эти вихри строятся следующим
образом. Боковые кромки трапеции а делятся (каждая) на п + 1 равных
частей. Точки деления соединяются прямыми — это будут линии располо-
жения присоединенных вихрей (вихревых отрезков в косых подково-
образных вихрях). Отрезок [0, /]осиOZ
делится на N равных частей, и через точ-
ки деления (включая концы z = 0 и г= I)
проводятся прямые, параллельные оси ОХ.
Эти прямые разобьют линии расположения
присоединенных вихрей на отрезки, ко-
торые и являются присоединенными вих-
рями соответствующих косых подково-
образных вихрей. За расчетные точки
берутся точки пересечения прямых, па-
раллельных оси ОХ, проходящих через
середины отрезков разбиения отрезка
[0, / ] оси OZ, и прямых, соединяю-
щих середины соответствующих отрез-
ков разбиения боковых кромок трапе-
ции а.
Для того чтобы аналитически описать
дискретные вихри и расчетные точки,посту-
пим следующим образом. Пусть О =[0,1 ]Х
Х[0, / ]-прямоугольник плоскости OXlZn
F— отображение этого прямоугольника на
трапецию, определяемое формулой C.2.16).
Возьмем точки х/ =/ЛьХо/ = x) + hxl2,hx =
+ 1), / = 0, 1 п, гк =(*-
П 1/Ык
В дальнейшем будем предполагать
Рис.32
173

hlhk </?<+«>, h = maxi/7^/72), к = 1,2, при /? -> 0. Через Л/>л =
*(*/.*,**>, ^о* = l*i.ok,zok) " Aoi,ok = t*oi,ok,zok) обозначим точки
канонической трапеции о, являющиеся соответственно образами точек
А),к = ^)'1к\' А*.ок = 1*1гок) и Aoi\ok = ^о/'^о*) прямоугольника О
при отображении F. Через Uik обозначим косой подковообразный вихрь,
у которого присоединенным является вихрь (Aitk, Af к + {), а интенсив-
ность Гц =7(*/,о*/*о*Н*/+1,оа -*/,о*) • Заметим, что в силу определе-
ния отображения F
*/+1,о* -*i\o* = •/(*<>* >Л1. A1.3.2)
где J(zok) — якобиан отображения F.
Следовательно, для интенсивности вихря Uik имеем
Г/*-*,**,. A1.3.3)
где я* =y(xi4ok,Zok)J(zQk), / = 1 п, /г = 1 N.
Скорости от косых подковообразных вихрей будем подсчитывать в
расчетных точках Я/т = (хо/от, *ow). являющихся образами точек
Pjm = (хо// zom'* Заметим, что линия присоединенных вихрей W/д,
At%k+\). к = ^,..., N, является образом прямой х1 = х) при отображе-
нии F, и поэтому уравнение этой линии будет
х((г) =x(x/,z) =a(x!) +гЬ(х}), A1.3.4)
Обозначим через VJ™ величину нормальной составляющей скорости,
индуцированной косым подковообразным вихрем Uik в точке Я/ш, а
через Vjm — величину нормальной составляющей скорости, индуцирован-
ную в этой точке всей системой косых подковообразных вихрей. Тогда,
воспользовавшись формулой (9.3.20), получим
п N п N
d /™ A1.3.5)
'* 4rr
ikfPjm) 1
Из формулы A1.3.5) и результатов § 4 гл. 3 получаем, что если функ-
ция $(xx,z) = y[x{xl,z)z)J{z) такова, что Э^/Эг€/У* на О, то
1 rr y(x,z)
Vjm - —Я
4яа (zow -z) VUo,x)(zOwz)
где величина |a(xO//zOw)| такая же, как e(xO;/zOm) в C.4.3).
Так как рассматривается циркуляционная задача обтекания каноничес-
кой трапеции о, то в силу Б-условия крайними к передней кромке должны
быть дискретные вихри, а к задней кромке — расчетные точки. Поэтому в
[12] значения циркуляции Г(к дискретных вихрей предложено находить в
174

данном случае из системы линейных алгебраических уравнений
п N
L L \ ik<jJjk =—Vjm, J=i,'..,n, m-\,...,N, (П.3.7)
где V*m — нормальная составляющая скорости от набегающего потока
в расчетной точке Pjm.
Из формулы A1.3.6) теперь видно, что система A1.3.7) аппроксими-
рует интегральное уравнение
1 ,, 7ix,z) / х0 -х
Im Jm = С С ^Е± , A1.3.9)
/+1Л '* \ Д ((JMJ]2
A1.3.8)
Так же как ив §§ 1,2, покажем теперь, что система A1.3.7) метода
косых подковообразных вихрей для циркуляционной задачи: 1) невырож-
денна, 2) аппроксимирует интегральное уравнение, любое решение кото-
рого обращается в нуль на боковых кромках; 3) аппроксимирует интег-
ральное уравнение, любое решение которого обращается в нуль на задней
кромке и в бесконечность на передней кромке трапеции а. Этим самым
будет показано, что метод косых подковообразных вихрей выделяет то
решение уравнения A1.3.8), которое соответствует физической картине
рассматриваемой задачи.
Для доказательства первого утверждения надо применить опять преоб-
п
разование A1.2.17) для слагаемых 2 ?ikiJ™ при каждом фиксирован-
ном к, обозначив через ак величины y{xitOkt zOk)J{zok), а через bt ве-
личины <*^. Потом надо воспользоваться формулой (9.3.20) и еще за-
метить, что
со
где х(х), г) и x(x/+l, z) - уравнение линий, на которых лежат присоеди-
ненные вихри W/.*/ Attk+\) и H/ + 1jt, ^z+i^+i) • Теперь остается пока-
зать, что для преобразованной системы выполняется признак Ада мара
невырожденности определителя, как это было сделано для системы
A1.2.10).
Для доказательства второго и третьего утверждений заметим, что
Поэтому систему A1.3.7) можно записать аналогично системе A1.1.6):
п N
!> = ! д=1
175
(—i
\ z0m

Так же как в § 1, разрешая систему A1.3.11) относительно ( Z
t = \
и переходя затем к пределу, получим, что система A1.3.11) аппроксими-
рует интегральное уравнение
2 f <p(x\z)dxl =-Аг№(г,го)пг(хо,го)с1го. A1.3.12)
О Я О
z
\I/(z,z0) = y/zo[l-zo)' f
0
а через u2ixOt z0) обозначена функция, являющаяся пределом правой
части системы A1.3.11) при п, Л/-*00. Из уравнения A1.3.12) получаем, что
</>(х\О)=^(х1,/)=О. A1.3.13)
Так как для рассматриваемой трапеции J(z) > 0 на [0, /], то из тож-
деств A1.3.13) следует тождество
7(х(х1,0),0)=7(х(х1, /),/) = 0, A1.3.14)
означающее обращение в нуль функции у[х, z) на боковых кромках тра-
пеции а.
Замечание 11.3.1. Если одна из боковых кромок трапеции а вы-
рождается в точку, т.е. поверхность а представляет собой треугольник,
то в указанной точке якобиан J(z) обращается в нуль, и следовательно,
проведенные рассуждения не определяют значение у (х, z) в этой точке
(этот вопрос не изучен).
Теперь опять, используя формулу A1.3.10), преобразуем систему
A1.3.7) следующим образом:
Z 2 <A*A(zOm,2>+l/Z
1=1 Ас = 1
= -4я^т+П3и^гОда). /=1 п, ш = 1 N, A1.3.15)
где через Г23(х{)/, zOm) обозначено то, что перенесено из левой стороны
в правую. Применяя теперь к системе A1.3.15) рассуждения, аналогич-
ные рассуждениям для системы A1.1.10), и переходя к пределу, получим
г A1.3.16)
X -Хо
Из уравнения A1.3.16) видно, что
(n 317)
7(x@rz0),z0) =y(x_{zo),zo) =«>.
Рассмотрим теперь бесциркуляционную задачу обтекания канонической
трапеции а. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в предыду-
щем параграфе для бесциркуляционной задачи, при моделировании в дан-
ной задаче вихревого слоя косыми подковообразными вихрями получим,
что для нахождения циркуляции Гд- этих вихрей надо рассмотреть еле-
176

дующую систему линейных алгебраических уравнений:
п N
1 I, Г,ксо!™ =-Uv, /=1 /7-1, m = 1 N,
/=i * = i '*
2Г/т=0, j = n, ш = 1 N. A1.3.18)
Так же как и для циркуляционной задачи, получаем, что в данном слу-
чае интенсивность у (х, z) непрерывного вихревого слоя на а удовлетво-
ряет уравнению A1.3.8), дополненному условием
/ y(x,z)dx=O, ze[0,l]. A1.3.19)
которое имеет следующий смысл — циркуляция вихревого слоя по любой
хорде крыла равна нулю.
Заметим, что, вводя функцию
QU,z) = / y(x,z)dx, A1.350)
получим эквивалентность уравнения A1.3.8), дополненного условием
A1.3.19), уравнению
dd -Uy, A1.3.21)
хJ + (zo-z>2]3/2
поскольку функция О (х, z) обращается в нуль на всех кромках крыла.
Действительно, как и для циркуляционной задачи, можно показать, что
функция 7 \х, *) обращается в нуль на боковых кромках, -так как систе-
ма A Т.3.18) аппроксимирует интегральное уравнение, любое решение
которого обладает этим свойством. Как и в предыдущем параграфе, по-
казывается, что функция у{х, z) обращается в бесконечность на передней
и задней кромках канонической трапеции а.
Отметим, наконец, что система A1.3.18) является невырожденной.
Так же как и в предыдущем параграфе, получаем, что значение
Q(xik,zk) является интенсивностью замкнутого дискретного вихря, со-
стоящего из отрезков [A(xik,zk), A(xLk + l, zk+l)), [A{xLk+x, zk+x)t
4(*/+i,*+i/z* + i>], [AUi+i,*+i'**+i)' A(*i+i.*' Z*>1 и №<*/+¦,*'**'•
Aixik,zk)).
Замечание 11.3.2. Результаты данного параграфа останутся спра-
ведливыми, если рассматривать каноническую трапецию а (крыло) с
закрылком, т.е. когда правая часть уравнения A1.3.8) терпит разрыв
1-го рода на прямой x = x(qx ,z), гдех(х! ,z) =xl[x+ {z) -x.(z)] +x_(z).
Однако в этом случае точку ql надо брать посредине между ближайшими
к ней точками х) и х10/.
Рассмотрим теперь стационарную задачу обтекания крыла конечного
размаха сложной формы в плане и схематизированного летательного ап-
парата (см. рис. 32). Итак, несущая поверхность о лежит в плоскости
OXZ, и ее контур состоит из отрезков. Прямыми, проведенными через
угловые точки контура поверхности о параллельно оси ОХ, разобьем по-
верхность а на канонические трапеции о€, е = 1,.. . ,р. Эти канонические
трапеции могут пересекаться только по боковым кромкам. Пусть для
12. СМ. Белоцерковский 177

о€ боковые кромки задаются уравнениями z =/J, z =/J, /J < /Jf а перед-
няя и задняя кромки соответственно уравнениями
xi(z) = af + *Ы, xl(z) =al + zb\, A1.322)
где е s 1,... ,р, а а| и 6' — константы.
Возьмем р экземпляров плоскостей OXeZ. в каждой из них возьмем
прямоугольник 0е = [0, 1] X [1\,1\] и отображение Fe этого прямоуголь-
ника на о€, определяемое по формуле
xixe,z)=x€[x%(z)-xUz)] + xf(z), z=z. A1.323)
Якобиан этого отображения равен Je(z) = xj(z) — xfM. На отрезке
[О, 1] оси ОХе возьмем точки х' , x€Oi , / = 1,..., пе, с шагом h\, а на
отрезке [/J, /|] — точки zke, zok€, к = 1,..., Л/е, с шагом /?f, так же
как и выше для канонической трапеции. При этом, если трапеции ае и ov
лежат друг за другом по потоку (т.е. /J = /?, /г = 1, 2), то Л^ = hvlt а сле-
довательно и N€ = Nv. Это требование налагаем для того, чтобы линии
свободных полубесконечных вихрей на о€ и ov совпадали.
Так же как и выше, с помощью отображения F€ определяем косые
подковообразные вихри ^i€k€ на трапеции о€ и расчетные точки Pj€me-
Обозначим через
Vivkv
величину нормальной составляющей скорости, индуцированную косым
подковообразным вихрем ^ivkv трапеции ov с интенсивностью ^ ivkv
в точке Pj€m трапеции о€, через V" т - величину нормальной состав-
ляющей скорости, индуцированной всей системой косых вихрей на а„,
а через V/eme ~ индуцированной всей системой вихрей на а в этой же
точке Р/€т€' В силу принятых обозначений имеем
р р nv Nv
V/6me= 2 vj m = 2 2 2 v/*™*. A1.324)
Так как рассматривается циркуляционная задача, т.е. искомое реше-
ние должно быть неограничено на передних кромках трапеций и ограни-
чено на задних, то в силу Б-условия для нахождения неизвестных цирку-
ляции дискретных вихрей надо рассмотреть следующую систему линей-
ных алгебраических уравнений [14]:
р nv Nv
2 2 2 Г,* cAWf--V/e« .
„=, /„=, v, '"*" '»*» ^me A1.325)
/e = 1, . . . ,П€, m€ = 1, . . . ,N€t €= 1, . . . ,p,
где V*m — нормальная составляющая скорости от набегающего потока
в расчетной точке Р/€т€-
При рассмотрении бесциркуляционной задачи, т.е. когда решение дол-
жно быть неограничено на передних и задних кромках, в силу Б-условия
178

надо рассмотреть систему
/е = 1 П€-\, П)е = 1 Л/е, €= 1 р,
.2 Г,е,„е=0, /е=ле, те = 1 Л/€, е=1 р. A1.326)
Так же, как и выше, выделяя в системах A1.3.25) и A1.3.26) слева сла-
гаемые для трапеции о€, получим, что искомые функции у (х, г) ведут
себя требуемым образом на передних и задних кромках.
ГЛАВА 12
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
Особенность метода дискретных вихрей — дискретная модель физического
явления, дающая одновременно метод численного решения соответствую-
щей математической задачи, — проявилась в полной мере в нестационар-
ных линейных и нелинейных задачах обтекания несущих поверхностей
идеальной несжимаемой жидкостью. Действительно, в нелинейных неста-
ционарных задачах, которые уже решены численно [15] методом дискрет-
ных вихрей, пока совсем не было математических исследований систем
интегральных и дифференциальных уравнений, описывающих эти задачи.
В какой-то мере это будет восполнено в данной главе.
§ 1. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля
Рассмотрим тонкий профиль, движущийся в идеальной несжимаемой
среде со средней поступательной скоростью Uo под углом атаки а. Возь-
мем систему координат OXZY, связанную с профилем, т.е. фактически
рассматриваем задачу, когда профиль стоит на месте, а на него набегает
нестационарный поток со средней поступательной скоростью ?/0. Так как
лри этом циркуляция потока на профиле изменяется, то в силу теоремы
[35] о неизменности циркуляции по жидкому контуру, не пересекаю-
щему особенностей, с профиля будут сходить свободные вихри, которые
будут двигаться по потоку и циркуляция которых с течением времени не
изменяется. При этом свободные вихри будут параллельны присоединен-
ным вихрям на профиле, т.е., как и присоединенные, будут параллельны
оси OZ.
Так как задачу рассматриваем в линейной постановке при малых углах
атаки, то можно предполагать [13], что свободные вихри движутся в
плоскости профиля, т.е. в плоскости OXZ, со скоростью Uo. Поэтому
свободный вихрь, сошедший с профиля в момент г, к моменту времени f
пройдет расстояние Uo (г - т).
Задача состоит в нахождении интенсивности вихревого слоя на профиле
и свободного вихревого слоя. Ее будем решать методом дискретных вих-
рей [15]. Пусть профиль занимает отрезок [—1, 1] оси ОХ. Так как с зад-
ней кромки профиля сходит пелена свободных вихрей, то скорости на ней
должны быть конечны и поэтому к задней кромке ближайшей должна
располагаться расчетная точка, а к передней кромке - дискретный вихрь.
12# 179

В этом случае дискретные вихри и расчетные точки удобно выбрать сле-
дующим образом: дискретные вихри разместить в точках X/ = -1 +
+ (/' - 3/4) h, h = 2/п, i = 1,. . ., п, а расчетные точки - в точках х0/ =
= Xj + Л/2 = -1 + (/ - 1/4) h, /" = 1,...,/?. Изменение всего вихревого
слоя будем наблюдать через такие промежутки времени At, за которые
свободный дискретный вихрь проходит расстояние h, т.е. требуем выпол-
нения равенства
U0At=h, A2.1.1)
и, следовательно, At = hlU0. Для простоты будем полагать Uq = 1. Поэто-
му координата свободного вихря, сошедшего с профиля в момент ts, в
расчетный момент г,, будет равна
Hsr=xn f (tr - t5 + At) = х„ + (г -s + 1) Дг. A2.1.2)
Пусть циркуляция дискретного вихря в точке х, в расчетный момент
г будет Г/;., а циркуляции свободных вихрей, сошедших к этому времени
с профиля, будут Л5, s=1 г. Выполняя условие о непротекании про-
филя в расчетных точках х0;, / = 1,. .., п, получим систему уравнений
и г
1 Г/Г<о,/+ 2 Asb>Sjr = -Vj\ /=1 п, г =1,2 A2.1.3)
где со/; — нормальная составляющая скорости в расчетной точке х,, инду-
цируемая вихрем единичной интенсивности, помещенным в точке X/,
а а>5/> — вихрем единичной интенсивности, находящимся в точке ?5Г.
В системе A2.1.3) неизвестными в расчетный момент г являются Г,>,
/ = 1,..., п, и Л,., так как \х,..., Лг _ j будут определены в предыду-
щие расчетные моменты и потом с течением времени не изменятся (это
свободные дискретные вихри). Следовательно, в этой системе п + 1 не-
известных и п уравнений. Дополним рассматриваемую систему уравнением,
являющимся дискретным аналогом неизменности циркуляции по жид-
кому контуру, охватывающему профиль и след. Если профиль начал дви-
гаться из состояния покоя, то это уравнение будет иметь вид
Z Г/г+ 2 Л5 = 0, г =1,2,... A2.1.4)
1-15=1
Таким образом, для решения задачи надо рассматривать следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
п г
I rf>wl7 + 1 Asusjr = -Uyr, / = 1 п, г = 1, 2
/=1 5=1
П Г
1 Г,>+ I Л, = 0, г =1,2,... A2.1.5)
/=1 5=1
Полагая Г,г = y{xit tr)h, A5 = 5(г5)Лг и учитывая формулу (9.3.13),
систему A2.1.5) можно записать в виде
„ ,.*i,tr)h <; 8(ts)At
2 + 2 - '2nf{tr).
1=1 X r\j — X/ с = ! У « • V It t +Af\
I * W « 5-1 Aqj An — \lr ls ~ taf/
/= 1, . . . ,П, Г= 1, 2, . . . ,
n r
2 7(х/,*,)Л+2 <5^)Дг = 0, г =1,2 f{tr) = Uyr. A2.1.6)
/ = 1 5=1
180

Решать систему A2.1.5) или A2.1.6) надо последовательно для г = 1,
г = 2 и т.д., т.е. удобнее систему A2.1.6) записать в виде
Л Ttr)xh + х 6(Гх>А Дг = 2Ж'*']-'К* УТ
/=1 п, г = 1,2
2 y(xiftr)h + 6(tr)At = - 2 5(rJAt, г =1,2,... A2.1.7)
/=1 5=1
Матрица системы A2.1.7) имеет такой же вид, как и матрица системы
E.1.4), поэтому она невырожденна, и эта система разрешима. Следова-
тельно, в силу формулы E.1.13) имеем
х0/-х„-(Гг-Г5 +АГ)
(t ) -
- 2 —)+ 2 6(r5)ArL / = /7+1, r = if2,...,
s = i хО/-хя -(tr-f, +Af)/ s=i J
Хо/
где
п
п
т = 1
я
(я+1) /
lt0/ =- П (Хо/-Хт)/П
m = l /m = l
С другой стороны, в силу результатов § 3 гл. 1, предполагая, что функ-
ции y{x,t) и 6 (Г) принадлежат классу Н* на соответствующих множест-
вах, получаем, что система A2.1.6) аппроксимирует следующую систему
интегральных уравнений:
i y[x,t)dx * b(T)dr
f- +/ =2яМП, хо€Е(-1,1), t>Q,
~i х0 —х oxo-i-lf-т)
1 Г
/ у(х, t)dx + /6(т)с/т= 0. A2.1.9)
-1 О
Покажем, что система A2.1.9) имеет единственное решение и это ре-
шение удовлетворяет требуемым граничным условиям. Из физических
соображений ясно, что первое уравнение в этой системе надо рассматри-
вать относительно неограниченной в точке х = -1 функции у(х, t) как
сингулярное интегральное на [—1, 1] индекса к - 0. Поэтому, разрешая
181

это уравнение относительно y(x,t), получим
1 -хт t
•f 6(T)dTX
1-Х0 (х-Х0) (ХО -1 "(f -Г))
fiix.t) = - — у/ / V —
я2 1 + х -1 1 -
х - Хо
Напомним теперь некоторые формулы из [34, 78, 89]
1 +х dx
s -я, |xol< 1,
A2.1.11)
-1 (х-Ь)у/\ -х*
-1 +xb
arcs in
= +
-1
где верхний знак для b > 1, а нижний для b < -1. Из последнего инте-
грала в A2.1.11) получаем
= — я + я
= я — я
A2.1.12)
1 +х 6-х
Используя формулы A2.1.11) и A2.1.12), получим
dx0
1 -х0 (х-х0) (х0 - 1 - (Г - т))
Теперь формула A2.1.10) приобретет вид
г, Г) -
-тГ
г- г
A2.1.13)
b(r)dT
1 +х о
t -т
1 + (г -г)-х
A2.1.14)
Подставляя это выражение для у{х, t) во второе уравнение системы A2.1.9)
и применяя вторую формулу в A2.1.12), получим уравнение
' /2+ (г
/ V
-г)'
8(T)dr= -ft(t), f2(t) = / fx[x.t)dx =
0 r"r -1 A2.1.15)
Уравнение A2.1.15) является уравнением типа Абеля [36]. Запишем
его в виде
о
182
tb(r)dT -f2(t) 1
vr
/
A2.1.16)

а)
Рис. 33
и, применив формулу обращения для интеграла Абеля [36], получим урав-
нение
1 f dr т Э / у/т —s'
5(f)+ /——=—/ — ( ~
y/Yn о y/t -г" о Ът \у/2 + т -s +уГ?)
1 Г- '2@) ' f'2ir)dr
у/Тп [ \/Т о y/t -т'
A2.1.17)
Из формул A2.1.17) и A2.1.16) получим, что уравнение A2.1.17)
имеет вид
и'(т)с/т
У
1 ' ~иу{0) _г
bit) + fK{t,sN[s)ds = -у/2— VT/
2я о у/Т о
Kit, s) ш f.
dr
t - r'Vr -s' V2 + т -s'
Ядро /С (f, s) непрерывно, так как его можно записать в виде
dz
1
К it, 5) = /
о
A2.1.18)
A2.1.19)
Следовательно, A2.1.18) является уравнением Вольтерра второго
рода, которое при любой интегрируемой правой части имеет единствен-
ное решение [36]. Отсюда получаем, что и система уравнений A2.1.9),
описывающая рассматриваемую задачу, имеет единственное решение,
которое можно найти из уравнения A2.1.18) и формулы A2.1.14). Примеры
вихревых схем в этом случае показаны на рис. 33.
§ 2. Численное решение уравнения Абеля
Нетрудно видеть, что, решая линейную нестационарную задачу методом
дискретных вихрей, мы одновременно получаем метод численного ре-
шения уравнения типа Абеля A2.1.15). Полтавский Л.Н. предложил и
обосновал аналогичную схему численного решения таких уравнений, при-
чем расчеты, проведенные Родиным Е.Б., показывают хорошую сходи-
мость процесса. Последний же перенес этот метод на двумерное уравнение
Абеля.
Рассмотрим уравнение
, f
0< a< 1,
A2.2.1)
183

которое имеет решение [85]
для любой непрерывно дифференцируемой функции f (t).
Численный метод решения этого уравнения строится следующим обра-
зом. Вначале рассмотрим сопряженные последовательности чисел. Возьмем
последовательность чисел {А,*}, к = 1, 2, 3, . .., / = 1, .. ., к, для которой
выполняются следующие условия:
D X,* = Х,_;> *_,, 1</</-1# A9 9 41
2) \кк ФО. A22-3)
Определим для последовательности {\ikj и числа к Ф 0 последователь-
ность {АД}, где к = 1, 2,.. ., / = 1, ... ,к. следующим образом.
а) Величины \\к удовлетворяют системе уравнений
2 \\j\ik - к, * = 1,2,... A2.2.4)
Система A2.2.4) всегда имеет решение, так как X** Ф 0.
б) Полагаем пс определению
Кк = ^ii. K-itk = ^*2 *\-i. к = Х1,/ + 1»-- A2.2.5)
Определение 12.2.1. Последовательности { ХД} и {X/*} будем
называть сопряженными, с показателем сопряженности к.
Рассмотрим сумму
Ks^sk + К 5+ix,+1,* + ...+ а;*а** = za;pap*. A2.2.6)
Используя свойства A2.2.3) — A2.2.5), получим из A2.2.6)
к k-s+l
2 Х;рХр* = 2 А*, Х;- *.J+1 = к. A2.2.7)
Тождество A2.2.7) будем называть основным тождеством для сопря-
женных с показателем к последовательностей.
Рассмотрим теперь следующую систему линейных алгебраических урав-
нений :
к
2 Х;лх/ = Ак, * = 1 п. A2.2.8)
Умножим обе части системы A2.2.8) на Х*„, затем просуммируем резуль-
тат по к от 1 до п:
п к п
2 Х*„ Z \*кх{ = Z \кпАк.
к = \ /=1 ^=1
Поменяем порядок суммирования в левой части этого равенства:
2 х, Z Х,\Х*„ = 2 \кпАк. A2.2.9)
/=1 k= t k=l
В силу основного тождества A2.2.7) получаем равенство
Z х, =— Z Afcll4fci A2.2.10)
i=l К к=\
184

справедливое при любом /7. Поэтому, заменив в нем п на п — 1 и вычитая,
получим
хп = —( 2 \кпАк- 2~ Х*,Л_И*>. A2.2.11)
Перейдем теперь к уравнению A2.2.1). Разобьем числовую полуось
[О,»)на полуинтервалы?, = [(/ -1)Л,/Л),/-1,2 и возьмем в Et про-
извольную точку ?/ .Рассмотримпоследовательность!X/* = [{{к — /+ 1)Л}а-
— {(* — /)/?}а]/а). Она удовлетворяет равенствам A2.2.3). Построим
сопряженную к ней с показателем к = я/втая последовательность ХД
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
2 X;fc^ (S,)h = f(kh), к = 1,2,... A2.2.12)
/ = 1
По формуле A2.2.11) имеем
sin ля п
*п dn)b = [ 2 Х*
Воспользовавшись соотношением A2.2.3), получаем
1н(Ы = 5>П7Га (Xi^(^) * 2 Хуя[/(/Л)-/<</-1)Л>1). A2.2.13)
Я/7 / = 2
Предположим вначале, что МО) = 0 и f" (t) непрерывна. Тогда формула
A2.2.13) принимает вид
я /=i (/-i)л (л/?—s)
A2.2.14)
так как
Теперь несложно показать, что
sin а я ,, nh ds
я о {nh - s)l a
С,хИ)вЛ - О (Л), A2.2.15)
где Сах = max f"(t), nh <T< +«>.
Пусть теперь f @) Ф 0, тогда
sin ая sin ая п
*h (in) = Xi«^@)+ 2 \in[f(ih)-f(i-4l)h),
я/7 я / = i A2.2.16)
поэтому
sin ая
I * (nh) -<ph(tn)\<O(h) + | f @) I
185

При нашем определении Х!я имеем
Х,„ 1
h (/7/7)
1-а
1 -О
A2.2.18)
где 0<вп < 1, л = 1,2,...
С аналогичными оценками эти результаты переносятся на уравнение
г <? (s)t/s '
/ + / Kit, s)<p(s)ds = f{s), A2.2.19)
о (f-s)a о
для которого надо рассматривать систему
к к
Теперь рассмотрим двумерное уравнение Абеля
о о (х-?)Чк-т?)а
где 0 < a, P < 1. Представляя интеграл в A2.2.20) как повторный и
решая последовательно полученные уравнения Абеля, получим
sin/ЗяГ f@.0) I
l
Разобьем полуось ОУ на полуинтервалы Е( = [ (/ — \)hy,ihy)ti =1,2,...,
а ось ОХ на множества 5у = [ (/' -^ 1) /7 Xl jh х), j = 1, 2,... Рассмотрим
последовательность чисел{ X/fr}, {Х/т},где
1
(т/7-5) *
Дг ¦ 1, 2,. .., / = 1,. .., к, т = 1, 2,..., / » 1 /п. Ясно, что эти
последовательности удовлетворяют условиям A2. 2.3) Построим сопряжен-
ные последовательности: {\*к } к {X/*} с показателем сопряженности к =
= я/втая и {Ху*т} к{Х,-т} с к =nfs\n(in.
Рассматриваем теперь систему линейных алгебраических уравнений
1 = 1 ' = ! A2.2.22)
Система эта разрешима и оценка разности между ее решением и точным ре-
шением A2.2.21) имеет вид, аналогичный A2.2.17).
Замечание 12.2.1. Аналогичный численный метод применим и к
уравнению
f f **' " * f{Xf y)t A2.2.23)
*«) ($)*(Kr?)a
где 0 < a, ft < 1, причем в аэродинамике сверхзвуковых скоростей важен
случай a « 0 = 1/2, f (х0, у) = 0.
186

§ 3. Примеры численного решения уравнения Абеля
Рассмотрим уравнение
A2.3.1)
при f G [0, 1]. Используя формулу A2.2.2), получим, что его точным
решением будет функция \р {t) = B/я)\/77
Численно уравнение A2.3.1) решалось с шагом h = 0,1 по формуле
A2.2.8). Точное (-) и приближенное (°°) решения сравнивались в точках
tk = kh, к = 1 10. Расчеты показали, что выполняется неравенство
1$ 10 (рис. 34).
Если в уравнении A2.3.1) правую часть взять равной г2, то точное
решение будет иметь вид \р (г) = (8/(Зя)) г3/2.
Точное и приближенное решение, полученное по той же схеме, сравни-
валось в тех же точках, но расчетный шаг брался равным/? = 0,0125. Расче-
ты показали, что I \p (tk) ~ yn (tk) \ < 0,00013 для гЛ =0,1; 0,2; .... 1,0
(рис. 35, обозначения те же).
Для этого же уравнения рассматривался случай, когда правая часть
равна 1. В силу формулы A2.1.18) видно, что расчеты по предложенной
схеме при этом должны быть менее хорошими. Из рис. 36 видно, что при
Г
0,6
7
I
/
о9г о,ь a,6 o,8 to t
Рис.34
OJB
0,2.
/
/
/
/
V
у
0 0,1 0,4 0,6 0,8 1,0 t
Рис.35
187

fi
1*0
Ofi
0,6
*
0,1
0
\
E
\
\
n
i.
n
3—
D
4
420*
0,15
0,10 -
0,05
0,20
0,10
Рис.36
x-Ot1
i , -\
0
*
I—I
——A
p——1
О
. 0,2 #4 0,6 0.8 1.0 у
Рис. 37
/7,2
0,6 0,8 f,0 у
Рис. 38
шаге h - 0,1 (xx) расчеты существенно отличаются от точных данных
(—) в окрестности нуля, но при h = 0,00625 (°°) во всех точках 0,1;
0,2; . .., 1,0 погрешность между точным \р = 1/(я\/7) и численным ре-
шением не превышает 0,02.
Рассмотрено также двумерное уравнение
f f
о о
ху'
точное решение для которого дается формулой
4
*(х, Х)= — >fw, xG[0;1], ке[0;1.
188

Численное решение рассмотрим в двух сечениях: при х = 0,1 (рис. 37;
обозначения: оо -h = 0,1," - h = 0,05, *х - h =0,025) и х = 0,2 (рис. 38;
обозначения те же) при различных шагах h по х и у. Сравнение с точным ре-
шением (сплошная кривая) приведем в точках ук = к • 0,1, к = 1, 2, . . . , 10.
При х = 0,2 в этих точках для h = 0,05 | \р @,2; ук) - $,, @,2; ук ) \ <0,008,
для h = 0,025 11 @,2; к* ) - </>„ @,2; к* ) I < 0,003.
§ 4. Нелинейная нестационарная задача для тонкого профиля
В более точной постановке нестационарную задачу надо рассматривать
как нелинейную, так как свободные вихри, сходящие с профиля, не будут
двигаться в плоскости профиля, расположенного на отрезке [ — 1, 1] оси
ОХ, и их скорость будет отлична от скорости невозмущенного потока
Uo [15].
Итак, предполагаем, что с задней кромки профиля сходит вихревая
пелена свободных вихрей, которые в данный момент движутся по местной
скорости частицы жидкости, на месте которой они размещаются. Пусть
интенсивность вихревой пелены на профиле в точке х в данный момент
равна у (х, t), а интенсивность свободной вихревой пелены, сошедшей
в момент г, равна Ь (t). Предположим, что параметрическое уравнение
кривой расположения пелены свободных вихрей в момент t будет
x=x(f.r), K=K(f,r), 0<r<f. A2.4.1)
Так как новое местоположение свободного вихря находится сдвигом
его по местной скорости, то для нахождения кривой A2.4.1) получаем
систему уравнений
dx(t,T) dy(t,T)
= Vx(x(t. т), y(t, т)). = Vyixit, T).y(t,T)).
dt dt
A2.4.2)
где Vx и Vy - составляющие скорости в точке (x(t, т), у (Г, т)) от набе-
гающего потока и от всей вихревой пелены, поэтому получаем (см.
(9.3.14))
1
VX=UX+ / yix,t)cjxix(t.T).yit. T).x,0)dx +
-i
t dl
+ /5(s)a>Jf(x(f,r), y\t.T).x{t.s). y(t,s))— ds,
о ds
A2.4.3)
V = Uy+ / 7<*' t)<jjyixit.T).y(t.T).x,Q)dx +
dl
(x [t, т),у (f, r). x (r, s) .yit.s))— ds,
ds
o, Уо.х,У) = —¦: лтт
2я (x0 -xJ + (ко -У)
dl = y/[x's(t,s)]2 + lysit.s)Jds, 0<т<Г.
189

Для системы дифференциальных уравнений A2.4.2) надо найти частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям
х(т,т) = 1. к(г,т) = О. A2.4.4)
Таким образом, решается задача Коши на отрезке [т, Г], 0 < т < 7",
с начальными условиями A2.4.4), где Г — время, до которого надо рас-
считать задачу.
Для нахождения функций у(х, г) и 6 (f) надо воспользоваться условием
непротекания профиля и значением циркуляции на профиле, если неста-
ционарное движение начинается в некоторый момент из установившего-
ся движения. Если профиль начал двигаться из состояния покоя, то в
любой момент t должно выполняться равенство нулю циркуляции всего
вихревого образования, т.е.
* ' dl
f y(x,t)dx + /6(s) ds = 0. A2.4.5)
-i о ds
Условие непротекания профиля — равенство нулю суммы всех нормаль-
ных составляющих скорости в точке профиля - дает еще уравнение
dl
[х0 -x(r,s)]6(s)— ds
¦ y(x,t)dx ' ds
S * + / -: —= 2nUv. A2.4.6)
-i xo-x о [xo-x(f,s)]2 + [O-K(f,s)]2 y
Система уравнений A2.4.6), A2.4.5), A2.4.2) и начальные условия
A2.4.4) дают полное решение нелинейной нестационарной задачи обте-
кания профиля со сходом вихревой пелены только с задней кромки.
Покажем, что рассмотренная в предыдущем параграфе линейная не-
стационарная задача является частным случаем данной задачи. Действи-
тельно, для этого надо потребовать равенства
y(f, г) s 0, A2.4.7)
т.е. пелена должна развиваться по оси ОХ. Из этого равенства следует
Vx s Ux.
dl A2.4.8)
5E)— ds
1 i yix, t)dx 1 r ds
V = Uy / / — = 0.
27Г — 1 xlf.Tl-X 27Г 0 X(f, T) -X(f, S)
Второе тождество в A2.4.8) должно выполняться в силу условия о не-
протекании следа, так как в этом случае Vy — нормальная составляющая
скорости в точке следа.
Теперь, полагая, что угол атаки мал, а скорость набегающего потока
по величине равна единице, получим
dx{t, т) dy(t, т)
= Ux = 1, = 0. A2.4.9)
dt dt
Из последней системы, с учетом начальных условий A2.4.4), по-
лучим
x(f, г) = 1 + (Г - г), y(t, т) = 0. A2.4.10)
190

Таким образом, система A2.4.2), описывающая кривую расположения
следа, решена, и задача сводится к решению системы уравнений A2.4.6)
и A2.4.5). Так как в этом случае
dl = ds, A2.4.11)
то система уравнений совпадает с системой A2.1.9).
Численно решают данную нелинейную нестационарную задачу мето-
дом дискретных вихрей [15] следующим образом. Рассматриваем эту
задачу в дискретные расчетные моменты времени tr, Гг + , — tr = At,
г » 1.2
На профиле, как и в линейной задаче, выбираем точки xt, / = 1,..., л,-
точки расположения дискретных вихрей Г/г, и расчетные точки х0/, / =
¦ 1, . . . , п. В каждый расчетный момент г * 1, 2, ... с профиля сходит
дискретный свободный вихрь Лг. Свободный вихрь Аг в момент г рас-
полагаем на оси ОХ в точке хп + h, а в следующий г + 1 — этот вихрь сдви-
гается по вектору скорости в точке расположения этого вихря в момент
г, умноженному на Лг, т.е. для координат положения вихря в момент г,
сошедшего с профиля в момент v, имеем
п
^г+1 v — Хур » I ^ хт • «* ¦ ir^x^rvr Утрг ^i» О) "^*
/«1
г
+ 2 Л, си, (Хгу, Уrv. *rs, Yrs) I А*.
n A2.4.12)
yr ,v = Уrv + lUyr + 2 riro>y(xrVfyrv,xh0) +
r
+ 2 Ascjy{xrv, yrv, xrSt yrs)] At,
5=1
*w e xn +Л, Kyi/ = 0, г ¦ 1, 2,. .., v = 1,. .., г.
Для нахождения циркуляции дискретных вихрей используем п уравне-
ний, получаемых из условия непротекания профиля в расчетных точках
"о/* / = 1, • • . , л, и условия постоянства суммы всех циркуляции дискрет-
ных вихрей, т.е. из системы
г
г/, 0) + 2 А,со(х0/, 0, xrs, yrs) * -Uyr,
5=1
г = 1, 2
0, г = 1, 2, ... A2.4.13)
В расчетный момент г неизвестными являются только Г/г, / = 1, . . . , л,
и Лг, так как Ai f..., Ar _ t определяются на предыдущих шагах.
Итак, задача численно решается следующим образом.
1) В момент г ¦ 1 помещаем Л! в точку Мхл = (х„ + h, 0) и находим
решение системы A2.4.13). После этого находим в точке М1Л скорость
потока — составляющие этой скорости стоят в квадратных скобках в
формуле A2.4.12), - и по формуле A2.4.12) находим положение вихря
Aj в расчетный момент г =2, т.е. точку Af2, i ¦
191
п
Z
/=1
/-
я
2
/=1
1,
CJyUc
. . . r
г
+ 2
л,
Л,

2) В момент г = 2 помещаем Л2 в точку Af2,2 = Мхл, a Ai — в точку
М1Л и решаем систему A2.4.13)' при г = 2. Находим скорости потока
в точках М2,2 и Af2,i и вычисляем по формулам A2.4.12) координаты
положения вихрей Л\ и Л2 в расчетный момент г = 3, т.е. находим точки
мъл и Мз,\ • После этого повторяем второй этап до времени 7".
Примеры расчетов приведены на рис. 39. Вопросы сходимости (в смысле
строгих математических доказательств) приближенных решений, получае-
мых в нестационарных задачах, остаются открытыми.
Рис.39
Отметим только, что в силу выбора положения вихря Лг в r-й расчетный
момент система A2.4.13) разрешима таким же образом, как и соответ-
ствующая система для линейной нестационарной задачи.
ГЛАВА 13
ВОПРОСЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
И ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Некорректность сингулярных интегралов
и уравнений с ними
При рассмотрении сингулярных интегралов часто возникает ситуация,
когда плотность интеграла известна неточно. Это происходит в случае,
когда плотность получена измерением (ошибки измерения) или при по-
мощи каких-то вычислений (погрешности вычислений). Хорошо извест-
но [97], что операция вычисления регулярных интегралов является устой-
чивой во всех наиболее употребительных метриках, т.е. малым измене-
ниям плотности регулярного интеграла соответствуют малые изменения
интеграла.
В работах [69, 103] показано, что сингулярные интегралы, а следова-
тельно и уравнения с ними, устойчивы в метрике L2 с соответствующим
весом на данной кривой. С другой стороны, Н.Н. Лузин в [69] построил
п
пример такой функции f(B), / f(e)d$ = 0, которая непрерывна на [-я, я],
— IT
имеет ограниченное изменение, а функция
-1 2* во-в
у(в0) = / ctg WW A3.1.1)
2я о 2
на всюду плотном в [—п,п] множестве имеет бесконечные разрывы.
Из этого примера следует, что сингулярные интегралы неустойчивы
в равномерной метрике, т.е. если fF) является непрерывной функцией,
192

мало отличающейся в равномерной метрике от нуля, то у(в) может отли-
чаться от нуля в этой метрике на сколь угодно большую величину. Оказы-
вается, что неустойчивость сингулярного интеграла A3.1.1) будет и в
этом случае, когда функция fx(B) — f2@) является гладкой функцией,
малой в равномерной метрике.
Справедлива
Теорема 13.1.1. Для любых положительных чисел е и М существу-
ют такие бесконечно дифференцируемые на [0, 2тг] периодические функ-
ции f\(B) и f2@), что соответствующие им по формуле A3.1.1) функ-
ции 7i@o) ^ 7г@о) также бесконечно дифференццруемы, и выполняют-
ся неравенства
\\fx -f2 lie < ^ II 7i -72 He > М- A3.1.2)
Доказательство. В теории тригонометрических рядов [69]
доказано, что если функция f(B) принадлежит пространству L2 на отрез-
ке (-я, я], то она представима рядом Фурье
f{$) - I (ап cosn$+bn s\r\nS), f fF)d6 = 0. A3.1.3)
n = 1 — n
При этом сопряженная функция у(в), определяемая формулой
7@) ^ 2 (-Ьп cosn6+an s\nn$), A3.1.4)
п = 1
также принадлежит Z. 2 на [-я, я], и выполняются равенства
12* $ - е0
Пв) = / ctg 7@о )dS0 A3.1.5)
2я о 2
и A3.1.1).
Функция, построенная Н.Н. Лузиным [69], обладает свойством,
что ряд Фурье для нее сходится к ней равномерно. Обозначим через
Л|(#) Gл (#)) л-ю усеченную сумму ряда Фурье для функции f{6) iy{6)).
Функция 7и@) является сопряженной для функции fnF), и поэтому
между ними выполняется соотношение A3.1.5). Так как функции fn(S)
равномерно сходятся к функции fF), то для данного числа € > 0 найдет-
ся такой номер пх(е), что для всех m, n > п^е) будет справедливо не-
равенство
|fm@)-f«@)l < e. A3.1.6)
С другой стороны, функция 7@) является пределом последователь-
ности функций 7л @) • Пусть точка 01 - точка бесконечного разрыва функ-
ции 7@) • Следовательно, в этой точке | 7w@i) I ~* °° при п ->°°. Поэтому
если возьмем -числа тип, для которых выполняется неравенство A3.1.6),
и зафиксируем п, а т устремим в бесконечность, то будем иметь, что
I 7« @i) - 7т @1) I ~*°° при т -+<*>, т.е. для данного числа М > 0 найдется
такое т (М), что
l7*@i>-7m(A#)@H > М.
Теорема дЪказана, так как функции Л,@), fm{M)№)> In@) и 7т(л/)@)
бесконечно дифференцируемы.
Так как сингулярный интеграл по окружности выражается через ин-
теграл с ядром Гильберта, то и этот интеграл является неустойчивым
в равномерной метрике.
13. С.М. Белоцерковский 193

В [34, 42, 78] показано, что сингулярный интеграл по отрезку или
системе непересекающихся отрезков может быть сведен к сингулярному
интегралу по окружности. Отсюда следует неустойчивость и этих сингуляр-
ных интегралов в равномерной метрике.
Решения сингулярных интегральных уравнений выражаются через син-
гулярные интегралы, и поэтому эти уравнения также неустойчивы в равно-
мерной метрике. В практических же задачах, как правило, приходится
численно решать сингулярные интегральные уравнения, у которых правые
части и регулярные ядра известны приближенно в равномерной метрике.
Поэтому методы численного решения этих уравнений должны быть устой-
чивы в равномерной метрике (так как практически требуется сравнивать
результаты в основном в этой метрике). Такие решения можно строить
методом регуляризации по А.Н. Тихонову [97]. В.П. Маслов [70] пока-
зал, что некоторая модификация регуляризации А.Н. Тихонова, разрабо-
танная им для ограниченных операторов, применима и к сингулярным
интегральным операторам, являющимся неограниченными операторами
в метрике С. Однако разумное использование особенности в ядрах син-
гулярных интегральных уравнений позволяет применить наиболее простой
способ регуляризации численного решения, не использующий явного по-
строения регуляризирующего оператора. Впервые идея такой регуляриза-
ции применительно к интегральным уравнениям 1-го рода с логарифми-
ческой особенностью была использована в работах А.Н. Тихонова,
В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [40, 96], названная ими естественной
регуляризацией или методом саморегуляризации. Потом было доказано
[5, 63, 71], что метод дискретных вихрей как метод численного решения
сингулярных интегральных уравнений и его обобщения, изложенные в
предыдущих главах, также являются методом регуляризации (естествен-
ной регуляризацией). Так как упомянутые выше регуляризирующие
методы численного решения основаны на использовании различных ква-
дратурных формул приближенного вычисления интегралов с особенно-
стью, то ниже будет показано, что эти квадратурные формулы об-
ладают регуляризирующим свойством в равномерной и интегральной
метриках.
§ 2. Регуляризация вычисления сингулярных интегралов
В этом параграфе будем рассматривать следующую задачу [71]. Пусть
сингулярный интеграл (один из тех, которые рассматривались выше)
вычисляется по одной из указанных ранее квадратурных формул: 1) когда
его плотность в точках сетки известна точно, 2) когда она известна с не-
которой погрешностью, величина которой известна в равномерной метри-
ке. Как будут отличаться друг от друга эти вычисленные значения? Ка-
ким образом добиться сближения этих значений при увеличении числа
узлов сеток?
Рассмотрим сингулярный интеграл на отрезке при использовании равно-
мерных сеюк. Справедлива следующая
Теорема 13.2.1 [71]. Пусть в сингулярном интеграле E.1.1) по
отрезку [а, Ь] плотность $(t) известна в точках равномерной сетки Е =
= (tj = а + ih, h = [b - a)l(n + 1), / = 1,. .., n) с погрешностью е,- такой,
что | б/ | < e, i = 1, . . . , п. Обозначим через Sn (f 0/), tOf- = tj + /?/2, / =
= 0, 1, . . . , n, значение квадратурной суммы для этого интеграла, вы-
численной по формуле A.3.6) в точках сетки Ео = { г0/, / = 0, 1,. . . , п},
когда вместо значений ^(tf) стоит ^(tf) + et. Тогда справедливо нера-
194

венство
\Sn(toj)-Sn(toj)\ < 0(б In л), A3.2.1)
где / = 0, 1, .. ., л и О(е In л) = 2еC + Inn).
Доказательство этой теоремы следует из формулы A.3.2).
Отметим, что оценка A3.2.1) зависит только от взаимного расположе-
ния сеток Е и Ео при л -+°°, значит, эти сетки как целое можно сдвигать
на отрезке [а, Ь) (см. замечания к выбору сеток в § 3 гл. 1).
Замечание 13.2.1. Оценка A3.2.1) неулучшаема по порядку.
Действительно, пусть л = 2т и е{ = -6, / = 1, . . . , т\ et = 6, /' = т +
+ 1 2т.
Тогда
п €п т h m-l 2
I — = 2е 2 > 2е 2>
2*
> 2в!п (л + 1). A3.2.2)
Если л = 2л? + 1, то опять получим оценку вида A3.2.2), положив 6/ = е,
i = т + 1,..., 2т + 1.
Замечание 13.2.2. Если обозначить через /(г0;) значение сингуляр-
ного интеграла в точках f 0/, то получим
\ntOJ)-Sn(tOj)\ < |/(fO/)-Sw(ro/)l + \SJto/)-Sn(to/)\ <
< 0(rO/) + 0F In л). A3.2.3)
В оценке A3.2.3) первое слагаемое 0(гО/) зависит от вида функции
l(f), и поэтому в зависимости от этого надо выбирать сетки Е и EQ. На-
пример, если i(f) имеет интегрируемую особенность в точке q € (а, Ь)
(как в задаче для профиля с закрылком), то Е и Ео надо выбирать так:
1) чтобы точка q была посредине между ближайшими к ней точками из
?и?0 или 2) чтобы точка q была бы одной из точек ?, если i(f) терпит
разрыв первого рода в этой точке, но тогда в точке tf = q надо брать
[${tiq - 0) + f(tiq + 0)]/2. Поведение величины 0(ГО/) во всех случаях
указано в предыдущих главах. Второе слагаемое О(е In л) зависит только
от вида и взаимного расположения сеток ? и ?0-
Рассмотрим теперь сингулярный интеграл по окружности. В этом случае
справедлива
Теорема 13.2.2. Обозначим через Sn(tQj) квадратурную сумму
для интеграла по окружности в точке f0/, полученную по формуле A.2.9),
в которой вместо ^(f/) стоит уЬ,) + 6/. Тогда для |Sn(f0/) — Sw(f0/) L
где Sn{tOj) определена той же формулой, справедлива оценка A3.2.1),
в которой
О(е In л) - 2тг€C + 1пл). A3.2.4)
Доказательство этой теоремы следует из уточнения формулы A.3.2).
Достаточно отметить, что в формуле A.2.8) имеем С = п, так как sin x >
> 2х/яприО<х<я/2.
Замечание 13.2.3. Аналогичное утверждение справедливо и для
квадратурной суммы для интеграла с ядром Гильберта, получаемой по
формуле A.5.4) или B.1.19). Действительно, в этом случае справедливо
неравенство
п
2
ctg
ок->
2тг
— < 2тгC + 1пл). A3.2.5)
13# 195

Замечание 13.2.4. Теорема 13.2.2 справедлива и для квадратурной
формулы интерполяционного типа для сингулярного интеграла по окруж-
ности. Действительно, имеем
2л
I
*=0
1
< 2яC + In/?).
I 2mtk
2/7 +
2я я/B/7 + 1 )
| sin {вк -вОт)/2
A3.2.6)
Рассмотрим теперь квадратурные формулы интерполяционного типа
для сингулярного интеграла на отрезке [-1, 1]. Итак, пусть
о' в A3.2.7)
Пусть а = E - — 112. В этом случае при т = 1 /7 — 1
я п/п
2*-1 2т
cos . я — cos я
2л 2/7
.-Li
2 * = i
4 * = i
7Г/А7
sin-
2(к-т)-1
sin
Я//7
I 2(Дг — /уу) — 1 |ff
4л
2(*+/77)- 1
sin •• я
4л
где величина О_ 1/2,-1/21^ п) удовлетворяет соотношениям
1) при rOm e 1-1 +5, 1 -5]
°-1/2,-1/2(ш^1 = 0ь&Aпл);
2) при fOw G (-1# -1 +5) или Гот G A-5. D
1
гО2,5(!пл).
Пусть теперь а = 0 = 1/2. В этом случае при Л7 = 0, 1,. .., л
A3.2.8)
A3.2.9)
A3.2.10)
sin
/7+1
cos
2m- 1
я — cos я
1 ?
2 * = i
sin
sin
я. sin
196

я к-п
sin2
л+1 л+1
\2(к-т)
4(л + 1)
sin
4(л+ 1)
A3.2.11)
где величина ^1/2,1/2'^ л) удовлетворяет соотношению A3.2.9) при
любых f Ow, т.е. в этом соотношении величина порядка In n не зависит от 5.
Наконец, рассмотрим случай, когда
а =1/2, Р = —1/2.
В этом случае
4тг . *
I
2л
sin
2л
cos
2/7+1
2m- 1
я - cos п
4я
2л
sin
я "
4 * = 1
\2(к-
4гг +
2л +
т) +
2
1
1
- Я
2л +
2
sin -
1
4л
т
+
2
— я
< О1/2,-1/2(/Л/ Л) » A3.2.12)
где величина 0|/2, _ i/2^/ л), Л7 = 1,..., л, удовлетворяет соотноше-
нию A3.2.9) для всех tOm е (-1+6,1) и A3.2.10) для всех tOm G
€[-1f-1+6J.
Итак, из формулы A3.2.3) и результатов главы 1 и данного параграфа
следует справедливость такой теоремы.
Теорема 13.2.3. Все квадратурные формулы, построенные выше
с использованием двух сеток, обладают регуляризирующим свойством
в равномерной метрике. Параметром регуляризации является число л
точек в сетке Е.
Смысл этой теоремы заключается в следующем. Пусть в точках сетки
Е функции <p(f) и \p(t) заданы с погрешностью 6 в равномерной метрике,
т.е. дана функция ?(f) Шг)). Обозначим через B{tOm, n, е) модуль раз-
ности между значением сингулярного интеграла в точке tOm и значением
квадратурной суммы, вычисленной по функции <?(f) (\(/(Г)).
Тогда для любого числа Д > 0 существует такое число е[А) > 0 и такая
функция п(е) -* °° при € -* 0, что для любого положительного числа е <
< е{А) величина S(tOm, n{e), е) не будет превосходить числа А на соот-
ветствующем множестве.
Например, для сингулярного интеграла на отрезке [-1, 1], когда \р(г) ?
€ Н* на [-1, 1], этим множеством будет отрезок [—1 + 5, 1 — 5]. Для
сингулярного интеграла на окружности, когда ^(f) Е Н на ней, этим мно-
жеством будет вся окружность, и т.д. (см. результаты § § 2, 3 гл. 1 и дан-
ного параграфа).
Замечание 13.2.5. Регуляризирующим свойством обладают и
квадратурные формулы вида A.3.17), построенные по одной сетке Е
или Ео.
197

§ 3. Метод дискретных вихрей и регуляризация
численного решения сингулярных интегральных уравнений
Так как сингулярные интегральные уравнения неустойчивы в равномер-
ной метрике, то встает вопрос: будут ли методы приближенного решения
этих уравнений устойчивы в этой метрике? При этом, если приближенные
методы построены на основе каких-то квадратурных формул для сингу-
лярных интегралов, то ясно, что эти квадратурные формулы должны
быть устойчивы к малым изменениям плотности интегралов в равномер-
ной метрике. Когда от сингулярных интегральных уравнений перейдем
к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, то в этих уравне-
ниях к сингулярным интегралам можно применять любые квадратур-
ные формулы, обладающие регуляризирующим свойством, — построен-
ный на их основе метод приближенного решения этих уравнений Фредголь-
ма второго рода будет устойчив. Естественно посмотреть, будут ли
устойчивы прямые методы численного решения сингулярных интеграль-
ных уравнений, построенные на основе квадратурных формул, обладаю-
щих регуляризирующим свойством. Оказывается, что применение про-
извольных таких квадратур может дать неустойчивые методы приближен-
ного решения сингулярных интегральных уравнений. Например, исполь-
зуя квадратурную формулу вида A.3.17) по множеству Е = {г,- = а + ih,
h = (b — а)/{п + 1), / = 1,..., п), попучаем, что система линейных алгебраи-
ческих уравнений
.„г,,. /=1 „. 03.3.D
имеет п неизвестных и п уравнений, она аппроксимирует характеристи-
ческое сингулярное интегральное уравнение E.1.1) на [а. Ь], но при любом
нечетном п имеет определитель, равный нулю.
В [42] показано, что аналогичная ситуация может быть и для сингуляр-
ного интегрального уравнения второго рода на окружности.
Использование двух сеток при построении численного метода решения
сингулярных интегральных уравнений позволяет построить хорошо обус-
ловленные системы линейных алгебраических уравнений, которые дают
устойчивый в равномерной метрике метод. Впервые эта идея использо-
вания двух сеток была сформулирована в [8] при построении метода
дискретных вихрей численного решения задач аэродинамики.
В этом параграфе покажем, что методы численного решения сингу-
лярных интегральных уравнений, изложенные выше, построенные на осно-
ве идей метода дискретных вихрей, являются методами регуляризации
для этих уравнений.
1°. Рассмотрим вопросы устойчивости этих методов по отношению к
малым изменениям правых частей. Возьмем уравнение E.1.1) и запишем
системы E.1.3) - E.1.5) в матричном виде:
А*п = fn. A3.3.2)
где А — матрица коэффициентов в указанных системах, а $п и fn — соот-
ветственно столбцы неизвестных и правых частей. Возьмем теперь следую-
щую систему:
U + <*' U3.3.3)
где еп - столбец случайных погрешностей такой, что каждая из координат
его по модулю меньше числа е > 0.
198

Справедлива следующая
Теорема 13.3.1 Для разности решений систем A3.3.2) и A3.3.3)
выполняется неравенство
\*n(tk) - *n(tk)\ OK<?Utk)e\nn, A3.3.4)
где величина Ж^1 ^ (t к) обладает следующими свойствами:
1) для всех точек tk ? [—1 +5, 1 — 5], где 5 > 0 — произвольное малое
число,
X{nx)(tk) < 0lt6; A3.3.5)
2) для всех rove/c Г к € [—1,1]
2 m^Utk)h < Вх, A3.3.6)
A3.3.7)
где константы Dxb и Вх не зависят от п.
Доказательство. Система A3.3.3) имеет решение
элементы А - обратной к матрице А - определяются по формулам
E.1.13). В силу этой формулы и формулы A3.3.7) справедливость не-
равенства A3.3.4) следует из формул E.1.14), E.1.15), E.1.23) - E.1.26),
так как получаем
1 (п) v 1 (п) h A)
~/Г кк / = 1 ~/Г К'01 \t -fo-|" < '<f*)lnfi. A3.3.8)
Для характеристического уравнения на окружности F.1.1) также спра-
ведлива теорема 13.3.1, если под уравнением A3.3.2) иметь в виду систему
F.1.2), только в этом случае Ж^Ь^) < О2 для всех tk на окружности,
где константа D2 не зависит от п. Это следует из формул F.1.6) для А~1,
F.1.10), F.1.11) и A3.2.4).
Теорема 13.3.1 справедлива и для характеристического уравнения
F.2.1) с ядром Гильберта. В этом случае под уравнением A3.3.2) надо
понимать систему F.2.6) или F.2.19); матрица А ~1 дается формулой
F.2.13) или соответственно F.2.23). После этого надо только восполь-
зоваться формулой A3.2.5), из которой будет следовать, что опять
Ж*;*U0k) <0з для вк Е [0, 2п], где 03 не зависит от п.
Рассмотрим теперь уравнение E.1.1) в случае, когда [а, Ь] = [-1, 1]
и применяются неравномерные разбиения отрезка. Системы линейных
алгебраических уравнений E.2.2), E.2.15) и E.2.16) запишем теперь
в виде
Афп = fn, A3.3.9)
а систему с погрешностями в правых частях в виде
Аф„ = fn +e*. A3.3.10)
В этом случае справедлива следующая
Теорема 13.3.2. Для разности решений систем A3.3.9) и A3.3.10)
выполняется неравенство
(tk)e\nnt A3.3.11)
199

где величина Ж^ Htn) обладает следующими свойствами:
1) если к = 1, то для всех tk G [ - 1, 1 ]
>K{n2)(tk)^DA; A3.3.12)
2) если к = - 1, то величина Ж (n2 \ tk ) удовлетворяет неравенствам
-б], A3.3.13)
77г, гле 1-1,-1+6] и[1-6,11; A3.3.14)
3) если к = 0, то величина Ж^2) {tk)удовлетворяет неравенству A3.3.13)
для точек tk Е [- 1, 1-6] и A3.3.14) для точек tk E [1 -6, 1];
4) для всех к
I Ж{п2)(гк)ак<В2. A3.3.15)
к = 1
Здесь DA, D5, Db, В2— константы, не зависящие от п и к.
Справедливость теоремы 13.3.2 следует из результатов §2 гл. 5, а также
формул A3.2.8), A3.2.11) и A3.2.12).
Замечание 13.3.1. Оценки A3.3.4) и A3.3.11) неулучшаемы, что
проще всего показать для уравнения с ядром Гильберта. Будем выбирать
точки 0к так, чтобы точка я была одной из них при к = кп. Погрешности
будем брать следующим образом: е„7 =-е, если 0О/< я, и €nf = e, если
0О/ > п. Тогда в точке 7Г выполняется неравенство
I ctg 6 . >Въе\пп, A3.3.16)
/ = 1 2 п
где константа 53 > 0 не зависит от п.
Аналогичные примеры можно привести и для других случаев.
2°. Теперь рассмотрим вопросы устойчивости рассмотренных численных
методов по отношению к малым изменениям элементов матриц систем
линейных алгебраических уравнений.
Возьмем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
A3.3.17)
где матрица Ах получается из матрицы А в системе A3.3.2) следующим
образом.
Если в сингулярном интегральном уравнении на отрезке используются
равномерные сетки ?и ?0, то вместо Г/ и tOj берем
где число е должно быть достаточно мало (например е < 1/8), чтобы
точки ?, и ?0/ не могли совпадать, а вместо h - число
/Г=/7+е°/7/ \€°\<€. A3.3.19)
Если берется уравнение с ядром Гильберта, то аналогично формулам
A3.3.18) и A3.3.19) полагаем вк =вк + е1пк/?, 6Oj = 60j +elnOfh, h -
- 2-nfn, а для уравнения на окружности берем 7* =е'0*, ?0/ =е!в°'.
200

Справедлива следующая
Теорема 13.3.3. Для разности решений систем A3.3.2) и A3.3.17)
выполняется неравенство
)-*п^к)\<Ж^игк)и + 71п€+т12П€)\пп, A3.3.20)
1 -(elfin)"
1
где величина Ж^ъ\ tk) аналогична величине Ж^l * (г*).
Доказательство. Система A3.3.17) разрешима и
A-}fn+A?en, A3.3.21)
где матрица А~хх получается из матрицы А'1 заменой множителей ify
и l*$\j, к = 0, 1, - 1, на множители 7 " к и 1^п0/-, которые получаются из
исходных заменой tk и f0/ на ?* и ?0/. В силу выбора точек 7к и ?0/
имеем
0к.*> П И+в*.ж). A3.3.22)
m - 1
m Ф к
m = 1
m Ф j
I Ас,* И
\OQitm\B6
\к -т | \/ -т \
где константы ?4, ^5/ &e не зависят от п. Приведем доказательство формул
A3.3.22) для 70jt и 70 0/- при равномерном разбиении на отрезке. Имеем
(см. E.1.12))
~ i п Г0т - tk f0m ~ rm *Огп-±к ..
tk) П — ; , -I Z = П
m#Ar A3.3.23)
откуда и следует A3.3.22).
Таким образом,
?к.к-1к.кМ+Ьк.к). A3.3.24)
где 57 не зависит от п.
Из формул A3.3.21) -A3.3.24) и теоремы 13.2.1 следует справедли-
вость теоремы 13.3.3.
Замечание 13.3.1. Если величина eln/7 меньше единицы, то множи-
тель при Ж^ (tk) в неравенстве A3.3.20) одного порядка с величиной
eln2 п.
Если теперь в уравнении E.1.1) [a, b ]= [- 1, 1] и рассматриваются
неравномерные разбиения, то надо брать систему линейных алгебраических
уравнений
Ai$n-fn+eH. A3.3.25)
201

где матрица Аг получается из матрицы А в системе A3.3.9) следующим
образом. Если в этих случаях обозначить tk = соь6\%к, Гоу = co$0i 0/-,
ак « а(Вк), то за tk и Г0/ берем 1к « со%(вхк + €1>яЛЛ,), r0/ s cos@lvO/ +
+ €1,я,о/Л1). Л1 "я/", ift"e(e*+eitW^Ai). Теперь в матрице 4 надо
вместо *>/ *о/ и а* поставить ?*, ?0/ и ~ак. В этом случае для модуля раз-
ности фп — фп также справедливо неравенство вида A3.3.20), в котором
величина Ж^ъ> (tk) обладает такими же свойствами, как величина
О\/г,1/г1™,п). если к = 1, как величина0_i/2,i/2(/n,f»),если к «-1,и
как величина D_Xj2 xfihn,"), если к * 0 и решение ограничено в точ-
ке Г- 1.
Рассмотрим разности между решениями <р(г^)для уравнений E.1.1),
F.1.1), <i@*) для уравнения F.2.1) и соответствующими им решениями
систем линейных алгебраических уравнений вида A3.3.3) и A3.3.17),
т.е. изучим величины 0A)(€,/?/ г*) и 0*2)(е,л,г*), где 0*!) - | ?>(f*) -
-<?„<'*> I, 0B) -Мг*)-$Я(Г*)|.
Из теорем 13.3.1 и 13.3.3 вытекает следующая
Теорема 13.3.4. Пусть для уравнения E.1.1) берем равномерные
сетки, а функция f принадлежит классу Н на [а, Ь]. Тогда для любого
А > 0 существует такое число е(А) >0и такая функция п(е) -+ °° при е -> 0,
что для любого положительного числа е < е(А) будут справедливы следую-
щие неравенства:
а) для всех точек tk € [а + б, b - 8], где 8 > 0-фиксированное малое
число,
0(/)(€,/7(€),г*КД, /=1,2; A3.3.26)
б) для всех точек tk ? [а, Ь]
2 0(/)(€,/?(€), г*)/><Д, /=1,2. A3.3.27)
* = 1
Для доказательства теоремы 13.3.4 достаточно воспользоваться неравен-
ствами
п A3.3.28)
и теоремой 5.1.1, а также теоремами 13.3.1 и 13.3.3.
Для уравнения на окружности, а также для уравнения с ядром Гильберта
неравенство A3.3.26) выполняется для всех tk.
Если в уравнении E.1.1) [а, Ь] = [-1,1] и разбиение неравномерное,
то через 0*'*(е,/», tk), /=1,2, надо обозначать модули разностей if(tk) —
-&n(h) и Ф(*к) -Фп(*к)', А^я них также справедлива теорема 13.3.4.
Теорема 13.3.4 означает, что описанный выше алгоритм нахождения
приближенных решений E.1.1), F.1.1) и F,2.1) является регуляризи-
рующим. Параметром регуляризации является число п уравнений в системе
линейных алгебраических уравнений, которой заменяется исходное сингу-
лярное интегральное уравнение.
Аналогичным регуляризирукицим свойством обладают и численные ме-
тоды для полных сингулярных интегральных уравнений 1-го рода на отрез-
ке, окружности и с ядром Гильберта.
202

§ 4. Регуляризация в нестационарных задачах аэродинамики
В предыдущем параграфе фактически было показано, что метод дискрет-
ных вихрей является методом регуляризации численного решения некор-
ректных в равномерной метрике задач стационарного обтекания профиля
плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости.
В нестационарных задачах для профиля пока таких математических
доказательств нет. Более того, в нелинейной нестационарной задаче для
того, чтобы решение сходилось в численном эксперименте, приходится
учитывать следующую особенность этой задачи [15]. Из формулы (9.3.14)
следует, что при приближении точки к вихревой нити индуцируемые в ней
скорости стремятся к бесконечно большим значениям. В нелинейной неста-
ционарной задаче такой случай может встретиться. При этом решение на
некотором отрезке г может принять осциллирующий характер. Для сниже-
ния этих осцилляции приходится искусственно ограничивать скорости
вблизи оси вихря.
Один из наиболее простых и удобных способов регуляризации расчетов
заключается в следующем. Пусть е - наименьшее расстояние от расчетных
точек до дискретных вихрей на профиле (схема расположения расчетных
точек и дискретных вихрей на профиле может быть и неравномерной).
Для выбранной вихревой системы нельзя претендовать на правильное
определение поля скоростей внутри малого интервала е от оси вихря.
Поэтому, когда свободные вихри в процессе численного расчета подходят
друг к другу ближе, чем на интервал б , на возмущенные скорости следует
ввести ограничения. Из формулы (9.2.1) следует, что на оси вихревой нити
возмущенные ею скорости равны нулю. Поэтому внутри окружности с
центром на оси вихрп и радиусом б поле скоростей следует определять
линейной интерполяцией между значениями скорости на этой окружности и
на оси вихря или просто полагать равным нулю.
Расчеты показали, что в ряде случаев свободные вихри ''проскакивают"
сквозь поверхность профиля, что является следствием дискретности схемы
по координатам и времени. Ликвидировать этот недостаток схемы удалось
введением условия, согласно которому "проскочивший" свободный вихрь
на следующем шаге возвращается в первоначальное или близкое к нему
положение. Перечисленные приемы вычислений позволяют добиться устой-
чивых расчетов [15]. Математическое обоснование этих расчетов является
пока нерешенной проблемой.

РАЗДЕЛ IV
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ГЛАВА 14
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Плоские задачи теории упругости
Следуя Солдатову М.М. [19], покажем, как плоские задачи могут быть
приведены к сингулярным интегральным уравнениям.
Основные соотношения плоской задачи теории упругости — это формулы
Колосова-Мусхелишвили [77, 82], которыми определяются напряжения
через две аналитические в области О плоскости OXY функции комплексно-
го переменного <р и ф:
ох + оу =4 Re №'(*)], A4.1.1)
Оу- ох +2iTxy = 2[7</'(z) + i//'(z)].
Эти функции при отсутствии объемных сил удовлетворяют однородному
бигармоническому уравнению задачи, и остается удовлетворить краевому
условию на контуре L, ограничивающем область D,
к**(М- t<p'[t)-W) = fk(t). teL, * = 1, 2. A4.1.2)
Если условие A4.1.2) задано в перемещениях, то к = 1 и
3 — 4v для плоской деформации,
для плоского напряженного состояния,
A4.1.3)
где v — коэффициент Пуассона, \х — модуль сдвига, и, v — перемещения
вдоль осей OX, OY соответственно.
Если условие A4.1.2) задано в напряжениях, то к = 2 и
5
к2 =-1/5, /2=-'' I\oxp+iOyp)ds + C2, A4.1.4)
ахр = ах1 + Тхут* °ур ' Txyl + ауШ,
где ох, оу,тху- нормальные и касательные напряжения в координатах
OXY, I = cos [п, х) = dy/ds, m = cos {п, у) = dx/ds - соответствующие направ-
ляющие косинусы положительного направления нормали к дуге ds, C2 -
комплексная постоянная, определяемая из условия, данного ниже.
В A4.1.2) контур L обходится против часовой стрелки для односвязной
задачи или так, чтобы область D оставалась слева при движении по L для
многосвязной задачи. Для функций \р (г), Mf) и </ U) и комплексно сопря-
204

женных функций \pit)t^p'(t) берутся предельные значения при движении
точки по D при решении внутренней задачи и предельные значения при дви-
жении точки вне D при решении внешней задачи.
Аналитические функции у {z), ф{г) предлагается искать в виде
1 г u(t) 1 CZAT)-Tco'(t)
*(*) = / dt, ф(г) = / dt, zG0,
2я/ L t-z 2m I t-z A4 15)
где для вспомогательной функции co(f) получается из A4.1.2) интеграль-
ное уравнение
кк ( 7-7 \ кк +С
/co(r)tf(ln )+ -i
2т L \ т-t I 27Г/
( 7-7 \
ln )
1 /t-*\
/ cj(T)d zr-тг
2m l \T-t!
fkit). k = 1,2,
(H16)
с комплексным параметром С, выбор которого позволяет приводить зада-
чу к уравнениям различного типа.
При С = -кк, к = 1, 2, приходим к интегральному уравнению Фредголь-
ма второго рода, принадлежащему Н.И. Мусхелишвили [77]:
— /со(г)оГ In + / ^G)^C-^)= fkit).
2т L \ т-t I 2т L \T-t) A4 1 7)
Решение уравнения A4.1.7) методом механических квадратур затрудни-
тельно [81, 82] из-за наличия собственной функции, что приводит к опреде-
лителю соответствующей системы линейных алгебраических уравнений,
равному нулю, и получению неустойчивых значений искомой функции.
Аналогичные трудности имеют место и при сведении задачи к другим
регулярным уравнениям типа Мусхелишвили, Шермана-Лауричеллы [82];
там же рассматривались разные способы устранения этого недостатка:
фиксирование со в каких-либо точках и исключение соответствующих урав-
нений, использование погрешности квадратурных формул для улучшения
структуры алгебраических уравнений.
При С - 0 уравнение A4.1.6) становится вырожденным сингулярным
интегральным уравнением второго рода. Невырожденное уравнение второ-
го рода может быть получено, например, при С =/'. Здесь же будет иссле-
довано приведение A4.1.6) к синуглярному интегральному уравнению пер-
вого рода, которое возможно при С = кк. В этом случае из A4.1.6) получим
Кк I С/Т \ 1 / Т - t \
— /co(r)Re U /cj(t»i/(= - fk(t),
ni L \T-t/ 2тг/ L \r-7/
* 1,2.
A4.1.8)
Отметим, что уравнение A4.1.8) является уравнением с ядром Гильбер-
та. Действительно, пусть D односвязна и контур L, ограничивающий ее,
ляпуновский, т.е. его параметрическое уравнение х = х F), у = у {в) такое
же, как и в A0.4.1). Имеем
T-t o
A4.1.9)
г = хо+/ко, хо=х@о), y = v(Bol e,eoe[ot27f].
205

Отметим, что функция Кх @, 0О) — периодическая по 0 и 0О с периодом
2я, Kl{B0,B0) = Q,5, и принадлежит классу И на [0, 2я] (см. § 4 гл. 10).
Исследование свойств уравнения A4.1.8) проведем для случая, когда
L - окружность. Оно получит вид
lit ft - 0Л 2тг
кк f co@)ctg dB -if co@) ei(e+e> > dS = 2nifkFo), к = 1,2.
о 2 о A4.1.10)
Для внутренней самоуравновешенной задачи в напряжениях необходимо
равенство нулю вектора сил и момента от внешних нагрузок. Поэтому
уравнение A4.1.10) должно быть дополнено условиями на правую часть.
Условие равенства нулю вектора внешних сил требует однозначности f2(B),
при наличии которой оно автоматически выполняется. В частности, для
однозначности функции f2 необходима ее периодичность на L , тогда
f2@) = f2i2tt). A4.1.11)
Из A4.1.10) видно, что условие A4.1.11) не накладывает ограничения
на функцию со. Условие равенства нулю момента внешних сил [81]
Reff2(t)dt = O A4.1.12)
L
на окружности приводит относительно функции со, с использованием
A4.1.10) для кк = к2 = — 1, к соотношению
ie + co@)e~'e] с/0 = ff2(t)dt, г = Яе ,
о L
в котором слева стоит чисто мнимое выражение для любого со, поэтому и
условие A4.1.12) не накладывает ограничения на со.
Продолжая исследование задачи на круге, видим, что однородное уравне-
ние A4.1.10) (при fk = 0) имеет собственные решения, вид которых уста-
навливается, например, из представления со (в) рядом Фурье. Собственными
функциями уравнений A4.1.10) и A4.1.8) для к= 1Г 2 являются комп-
лексная константа
со= а+ ib A4.1.13)
и при к = 2 функция
со@)= iaxeie A4.1.14)
для однородного уравнения A4.1.10), а для уравнения A4.1.8) —функция
со(т) = ia2r, где ах и а2 - произвольные константы.
Итак, уравнения A4.1.8) и A4.1.10) должны решаться совместно с не-
которыми дополнительными условиями, которые "не пропускали" бы
собственные функции A4.1.13), A4.1.14). Этим свойством обладают сле-
дующие условия:
„ со(т) dr
f : =0, к = 1,2,
L T A4.1.15)
со(г) со(г) _1
— dr + —zf dr j - 0,
Как дополнительные слагаемые левые части уравнений A4.1.15) вводил
в интегральное уравнение A4.1.7) Д.И. Шерман [81] для обеспече-
ния единственности решения. На окружности условия A4.1.15) запи-
206

сываются следующим образом:
/ <о@)</0 = 0, *»1,2,
о A4.1.16)
Im / со@) e?ed6 «0, к = 2.
о
и следовательно, первому уравнению A4.1.16) не удовлетворяет сов виде
A4.1.13), а второму уравнению A4.1.16) не удовлетворяет со в виде
A4.1.14).
Отметим еще, что уравнение A4.1.10) обладает тем свойством, что
интеграл по 0О от 0 до 2я от левой части равен нулю, следовательно, и
интеграл от правой части A4.1.10) должен быть равен нулю:
2*
/ fk№de =0, A4.1.17)
о
что приводит к требованию равенства нулю интеграла как от действитель-
ной, так и от мнимой части функции fk. Условие A4.1.17) при решении
задачи в напряжениях определяет комплексную константу С2 в A4.1.4),
а при решении задачи в перемещениях оно выполняется автоматически для
функции f\, аналитической в области D и непрерывной на L. Условие
A4.1.12), в частности, для круга приводит к соотношению
2*
/ (fR s\n в - fj cos в) d$ =0, fi=fR+ifi. A4.1.18)
о
Для произвольного замкнутого гладкого контура L, интегрируя
A4.1.10) по 0 - параметру задания контура L. получим соотношение
ffk($)de =0, A4.1.19)
L
аналогичное условию A4.1.17) на круге.
Итак, вторая основная задача для области, ограниченной замкнутым
ляпуновским контуром L, сведена к интегральному уравнению A4.1.8)
и условиям A4.1.11), A4.1.12), A4.1.15), A4.1.19), из которых опре-
деляется функция со, а в случае, когда L — окружность, — соответственно
к A4.1.10) и A4.1.11),A4.1.16) —A4.1.18). Эти уравнения - сингуляр-
ные с ядром Гильберта.
Применение численного метода, развитого в § 2 гл. 6, к решению рас-
сматриваемой плоской задачи теории упругости продемонстрируем на при-
мере уравнения A4.1.10), дополненного условиями A4.1.11), A4.1.16)-
A4.1.18), полагая к = 2, т.е. кк = —1. Для этого запишем уравнение
A4.1.10) и условие A4.1.16), выделив действительную и мнимую части.
Получим систему уравнений
Л __ Л
/ сод@I ctg ~-sin@+0o)
2n
</0+/ <o/@)cos@ + 0o
о
0-0о
ctg——-
о
2тг lit
О О
2 я 2тг
(•Of? \и) GG — U, j (л)/\и) OU —" U, \ 1*1.1 ./л))
О О
2тг
/ [ сол @) sin 0 - <о7@) cos 0] d$ = 0,
о
207

где нижним индексом R обозначена действительная часть соответствующей
функции, а индексом / — мнимая.
Предположим вначале, что функции fR (в) и /7@) принадлежат классу Н
на [0, 2тг]. Возьмем точки 0,-и 0О„ /=1, . . . п, такие же, как в теоре-
ме 6.2.1. Заменим теперь систему A4.1.10) интегральных уравнений сле-
дующей системой линейных алгебраических уравнений:
п I 0/ - 00/ 1 2я "
2 со„я@,) ctg- -- sin @, +00/) + 2соя,@,) X
i=i L 2 J n i = i
2п
X cos @/ - 0О/)— +0i + 0з cos 0O/ = 27rf/@O/). / = 1 а
2я
0о/)—
П
П
0/ - 00/
ctg +
, 27Г
sin@,+0o/)— +02 + 0з sin 0О;=-2irfRF0i), / = 1 п,
\ п
п 2я п 2п
2 со„,я@,) — =0, Z 04/@,.)— =0,
/= 1 f? /*1 П
Z[cjw/?@/)sin0/-cjn/@/)cos0l-J — =0. A4.1.21)
r=l ' Г7
Здесь 0W 02, 0з — регуляризирующие факторы, которые делают эту
систему совместной и невырожденной. При этом 0Ь 02 и 03 стремятся к
нулю при п -> °° тогда и только тогда, когда выполняются условия
A4.1.17) и A4.1.18). Действительно, просуммировав первые п уравне-
ний в системе A4.1.21), а потом вторые п уравнений, получим
0, +0^03 = <*2, 02 +а303 =<*4, A4.1.22)
где а, -> 0 при п -*°°, / = 1, 2, 3, 4. Если теперь первые п уравнений умножить
на cos 0О/,/ = 1, . . . , п, соответственно, а вторые п уравнений на sin0O//
/= 1, . . . , п, и просуммировать все 2л уравнений, то, с учетом условия
A4.1.18), получим
<*501 + 0*02 +A +<*7H3 = <*8, A4.1.23)
где а, -> 0 при л -^ ^ / = 5, 6, 7, 8.
Из системы уравнений A4.1.22) и A4.1.23) следует сделанное выше
утверждение относительно 0i, 02 и 03.
Заметим, что регуляризирующие факторы 01,02И03 можно вводить и
другими способами, но чтобы выполнялось условие их стремления к нулю
при п -+ °° и чтобы система при этом была невырожденной. Например, мож-
но взять в первых п уравнениях 0i,0O/02 и 0о/0з* а в последующих п
уравнениях0,,Bя + 0о/H2 и Bя + 0О/J03.
В задаче о нагружении сосредоточенными силами, равномерно располо-
женными на окружности, функции fR @) и f[(B) в точках расположения
сил имеют разрывы первого рода. В этом случае 0/ и 0о. выбираются так,
чтобы точки разрыва являлись расчетными точками д^}, и в них берется
среднее арифметическое односторонних пределов для fR {в) ufj(e).
Если область имеет оси симметрии, то систему интегральных уравнений
A4.1.20) можно преобразовать в систему сингулярных интегральных урав-
208

75
Рис.40
/00%
нений первого рода на отрезке; при этом часть или все интегральные усло-
вия на со будут удовлетворены. При численном решении этой системы на
отрезке надо использовать результаты гл. 5, причем выбор точек множеств
Е и Eq надо осуществлять в каждом уравнении по отношению к той иско-
мой функции, относительно которой это уравнение сингулярно.
Таким образом, в общем случае для cjr и со/ надо брать свои множества
точек 0, и 0О/. Примеры численного решения системы A4.1.21) при раз-
личных нагрузках даны на рис. 40 и 41.
Во всех случаях получен устойчивый счет и хорошая сходимость при по-
рядке системы N от 30 до 110. Это подтверждается также сравнением с
точными решениями.
Аналогичным образом решаются задачи для любых односвязных и мно-
госвязных областей, у которых контур состоит из конечного числа замкну-
тых ляпуновских кривых. Для решения надо знать только параметрическое
задание контура области.
§ 2. Контактная задача о вдавливании равномерно движущегося штампа
в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения
Следуя Саакяну А.В. [67, 90], покажем, как задачи, сформулированные в
заголовках § § 2 и 3, приводятся к сингулярным интегральным уравнениям.
Пусть по границе упругой полуплоскости с постоянной скоростью Vo,
не превышающей скорости распространения волн Релея в полуплоскости,
движется жесткий штамп с основанием произвольной гладкой конфигура-
ции, одновременно вдавливаясь в нее под действием силы Р (рис. 42).
Предполагается, что между штампом и полуплоскостью имеет место
сухое трение, т.е. тангенциальные напряжения в зоне контакта пропорцио-
нальны нормальному давлению. Вследствие этого в зоне контакта будет вы-
деляться количество теплоты, пропорциональное скорости движения штам-
па, коэффициенту трения и нормальному контактному давлению [4].
Не контактирующие части полуплоскости и штампа предполагаются тепло-
изолированными.
Выберем неподвижную систему координат 0{Хх Ух и подвижную систе-
му ОХУ, жестко скрепленную со штампом. Очевидно, что связь между ни-
ми дается формулами X = Х{ — VQt, у = у\ ив подвижной системе коорди-
нат зависимости искомых величин от времени t не будет, т.е. расе мат ри-
14. СМ. Белоцерковский 209

вается квазистационарный случай. Тепловыделение в зоне контакта приво-
дит к появлению тепловых потоков с плотностями Qx (x) и Q2 (x), направ-
ленных соответственно внутрь полуплоскости и штампа и связанных с кон-
тактным давлением р(х) соотношением
Qi(x)+ Q2(x) - pVoPix), A4.2.1)
где 0 - коэффициент трения. Согласно закону теплопроводности Фурье
имеем
o*w-i-i) \ Ъу .
где Xj и Х2 — коэффициенты теплопроводности, а Тх {х, у) и Т2 (х, у)
температуры точек соответственно полуплоскости и штампа.
Рис. 42
Предполагается, что деформация упругой полуплоскости не вызывает
изменения температурного поля. Тогда рассматриваемая задача разделит-
ся на две: задачу определения температурного поля и плоскую задачу тео-
рии упругости при наличии температурного поля. Перейдем к решению пер-
вой из указанных задач.
Предварительно построим функцию влияния для этой задачи, т.е. постро-
им решение задачи теплопроводности для упругой полуплоскости, по тепло-
изолированной границе которой с постоянной скоростью Vo движется со-
средоточенный источник с единичной плотностью теплового потока.Имеем
уравнение теплопроводности
рс€
при граничных условиях
Ki,0 1
A4.2.2)
A4.2.3)
при ух ¦ 0 и T(xXfyx,t) <<*> при ух -> -ее.
Здесь Tlxx,yx,t) - температура точек полуплоскости, р, с€,\х — со-
ответственно плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопро-
водности материала полуплоскости, б (х) — функция Дирака, ? — коорди-
ната точки приложения теплового источника в момент времени f = 0.
В подвижной системе координат A4.2.2) и A4.2.3) получат вид
д Г(х, у)
^^О, A4.2.4)
Эх
и Г(х, к) <
210
1
V—О 1
при к**— с
A4.2.5)

К полученной краевой задаче A4.2.4), A4.2.5) применим комплекс-
ное преобразование Фурье по переменной х:
d2f[y ot) _
-^ {а2 +,ак)Т(у, а) = 0, A4.2.6)
dT(y, а)
X,
при к =0,
A4.2.7)
dy
Т(у, а)<°° при у-+— <*>t
где а — комплексный параметр преобразования, к - pc€VQf\lt T(y, а) -
трансформанта Фурье температуры 7"(х, у), определяемая формулой
Лк, а) = / Г(х, y)eixadx.
— ос
Решая уравнение A4.2.6) при граничных условиях A4.2.7), получим
Т\у, а) = - — еут}{а\ A4.2.8)
где ту (а) = \*ч*2 +/ак. Функция г? (а) имеет точки ветвления а = 0иа =
= —/к в плоскости комплексной переменной а = о+ /т. Для выделения од-
нозначной ветви этой функции необходимо плоскость а разрезать по ли-
ниям, соединяющим точки ветвления с бесконечно удаленной точкой и ле-
жащим соответственно в верхней и нижней полуплоскостях (рис. 43).
Такой разрез позволяет выбрать однозначную ветвь корня, удовлетворяю-
щую условию г} (а) -И о \ при а -* ± °° вдоль вещественной оси.
Теперь построим функцию влияния для плоской задачи теории упру-
гости при наличии температурного поля, создаваемого движущимся сосре-
доточенным источником мощности S, когда по границе полуплоскости
вместе с источником тепла движутся сосредоточенные нормальная Р и тан-
генциальная Q силы.
ТА
Рис. 43
Имеем уравнения Ламе в неподвижной системе О,Х,/, при наличии
температурного поля
A4.2.9)
где и (х,, ух, t) и v (х1# ух, t) — компоненты перемещения, 0 [х\. y-x,t) =
= Эб//Эх, +Эи/Эк1 — объемное расширение, р -плотность, Ли/i- коэф-
ьв
Эх,
Ьв
Эк.
Ъги
РЭг> +
ЭГ
эг
ду.
14
2U

фициенты Ламе, 7=(ЗХ + 2ц)аг, af - коэффициент линейного расшире-
ния, Г(х,, Ух, г) - температура, определенная ранее
Исходя из соотношений Дюамеля-Неймана
bv I Ъи bv
е (
Ьух у \Ъух Эх
граничные условия запишем в виде
bv
/
7Г=-Р6(Х! - Vot-$), A4.2.10)
Эк,
при
Перейдем опять к подвижной системе координат, тогда уравнения
A4.2.9) и условия A4.2.10) получат вид
Ъв , Ъ2и ЪТ
l ,
A4.2.11)
Э
A4.2.12)
ду
'Ъи bv \
Эк + Эх /
Дифференцируя первое из уравнений A4.2.11) по х, второе по к и скла-
дывая, получаем уравнение относительно 0 (х, у)
(X + 2/u)V20 =p Vq —г +yV2T. A4.2.13)
Эх2
Применим к A4.2.11) — A4.2.13) обобщенное преобразование Фурье,
определяемое формулой
Получим систему обыкновеннь1х дифференциальных уравнений по перемен-
ной к относительно функций и (у, о) ,v(y,o),0 (у, о) с граничными условия-
ми, в которые перейдут условия A4.2.12). Найдем частные решения этой
системы, удовлетворяющие полученным граничным условиям (с учетом
A4.2.10)), замечая, что обобщенное преобразование Фурье температуры
совпадает с комплексным преобразованием Фурье A4.2.8), когда на дей-
ствительной оси для функции г? (а) принимают значения ранее выбранной
однозначной ветви для г? (а). Однако для решения контактной задачи необ-
ходимо знать только перемещения граничных точек полуплоскости, т.е.
будем брать п@, о) и v @, о). Применив к 77@, а) и7@, а) обратное преоб-
разование Фурье, получим функции влияния и(х, 0) и v (х, 0) для плоской
задачи теории упругости для полуплоскости от равномерно движущихся
212

сосредоточенных сил и теплового источника. Воспользуемся теперь из-
вестными из теории обобщенных функций [23] значениями интегралов
1
+ С,
я fx-?l
где С — некоторая постоянная, которая в теории обобщенных функций
принимается равной постоянной Эйлера, а в плоской задаче теории упругости
для полуплоскости равна бесконечности, так как система сил, приложен-
ных к полуплоскости, неуравновешена. Тогда функции влияния оконча-
тельно получат вид
Р Q 1
и{х, 0) = - nvovx sign(x - ?) + р, In +
2ц ц lx-?l
k2yS
+ C, + /?i(?-x), A4.2.14)
Q P 1
v(x, 0) = -nvoVx sign (x - ?) - p, — In +
2/i /i lx-{l
ys
*2№-x),
X,/Lt
где
oo Г ^ 1 1 /^({-*)
-- I nia) la I J a + /icc?/v8 '
g/g(*-*>signq
A+*|)-2*ж*2 *lA-*2>
/=1,2,
Перейдем теперь к решению контактной задачи. Очевидно, что действие
штампа на полуплоскость равнозначно приложению к границе полуплоскос-
ти неизвестных нормального р(?) и тангенциального q(%) контактных напря-
жений,атакже теплового потока Q\(\) распределенных по отрезку [-а,а].
По принципу суперпозиции для определения перемещений граничных
точек полуплоскости достаточно проинтегрировать выражения A4.2.14)
по ?, заменяя Р нар(?), Q на q (?), S на Q, (?). Получим
1 a
и U, 0) = - tivqvx / р (?) sign (x - ?)</? +
2ц -а
Vx а 1
+ — J In-
/i -a IX — ?
213

TtVQVx
v(x, 0) = -
/
2Ц -а
A4.2.15)
где сэ,с4 — некоторые бесконечные константы. Условия контакта выра-
жаются равенствами
v{x, 0) = f (x) - d, Тх (х, 0) = Г2 (х, 0), 1х Ка, A4.2.16)
где f ix) - функция, описывающая основание штампа, d— осадка штампа,
7"i и Г2 — температуры полуплоскости и штампа соответственно.
Предположим, что размеры штампа значительно превосходят длину зо-
ны контакта, вследствие че о для определения температуры штампа его
можно заменить полуплоскостью. Тогда температура граничных точек штам-
па определится формулой (с5 — некоторая, также бесконечная, постоян-
ная)
Г2(х,0)= / 1п1х-$Ю2({)?/$+с5. A4.2.17)
яХ2 —й
Для температуры граничных точек полуплоскости из A4.2.8) получим
1 * 1 «
7*1 (х, 0)= / ln|x-s|Qi(s)cfe / R(s-x)Ql(s)ds+c6.
ffXi _j Xi _a
A4.2.18)
/?(i-x»« — / I -ГТ—Г-Ч —I elai'-x>da.
2Я.» I v« +'<** |ort J
Если вместо стационарного режима распределения температуры в штам-
пе и полуплоскости рассмотреть гармонический во времени режиме часто-
той <л> и выделить волну, уходящую в бесконечность, то приравниванием
температур штампа A4.2.17) и полуплоскости A4.2.18) в зоне контакта в
пределе со->0 получим уравнение теплового контакта
1 «
} \n\x-s\Ql(s)ds / R(s-x)Q{ls)ds A4.2.19)
и условие, при котором бесконечные постоянные с5 и с6 взаимно унич-
тожаются :
/ Qi (s)ds / Q2 (s)ds. A4.2.20)
Xi _fl Xj _a
Исключая в A4.2.19) величину Q2 (s), используя соотношение A4.2.1)
и дифференцируя это уравнение по х, получим
Х,+Х2 а Ql(s)ds PVO aPifi)ds 1 * dR(s-x)
/ / -+ / Ql{s)ds = 0.
A4.2.21)
214

Подставляя далее выражение для перемещения v{x, 0) при ?(*) =
в первое условие контакта A4.2.16) и дифференцируя по х, получим
*>\ * Pis) _, Р у * ЭЯ2E-х)
J ' о» + — nvopip{x) — р\1>2 • f "~ — Oi [s)ds
AC «fl 5-X /Lt Xi/LC «fl dX
A4.2.22)
К последнему уравнению следует добавить еще уравнение равновесия
штампа:
а
/р(х)с/х = Я. A4.2.23)
Таким образом, получили систему сингулярных интегральных уравнений
первого и второго рода A4.2.21) и A4.2.22), которая при условиях
A4.2.20) и A4.2.23) имеет единственное решение.
Обезразмерим величины, входящие в полученную систему, следующим
образом:
«-—, #«)-— Р(*>, Q/№)-~
a P Рк\
\2 ' ' \2 X,
вводя, для удобства, новую функцию х(?) s A + X) Q{ (?) - f Я({), оконча-
тельно получим следующую систему сингулярных интегральных уравнений:
Л «-Г + 1+Х Л э>
A4.2.24)
при условиях
1 1
/ X(s)ds = 0, / *W*« 1. A4.2.25)
Первое уравнение в A4.2.24) является сингулярным интегральным
первого рода относительно функций Х<5Ь а второе уравнение - сингу-
лярным интегральным второго рода относительно функции ф{5). По обеим
этим функциям ищется решение индекса единица, поэтому, используя ре*
зультаты § 2 гл. 5 и § 1 гл. 7, получаем, что уравнения A4.2.24) и условия
A4.2.25) надо заменить следующей системой линейных алгебраических
уравнений:
/•= 1 /1-1,
215

A + X)/? * =
. _
1+X
у I
/= 1 m- 1,
= i n
A4.2.26)
где тк и ^, - такие же, как в системе E.2.3), a tp, s, и ар - как в си-
стеме G.1.9). При этом число а определяется формулой
1
а = arctg(^o).
я
Итак, решение контактной задачи о движущемся штампе свелось к реше-
нию системы линейных алгебраических уравнений.
Проведен численный анализ системы A4.2.26) для различных скоростей
движения штампа при следующих значениях параметров:
X = 35, f = 642 V0/c2, c\/c\ = 0,275,
0 = 0,27, к = 1,807-10 V0/c2
и профиле основания штампа f(x) = 0,1x2. На рис. 44 показано распреде-
ление тепловых потоков, направленных в полуплоскость (сплошная кри-
вая) и внутрь штампа (штриховая кривая).
216

Значения контактного давления, найденные в точках, являющихся кор-
нями многочлена Р%*~1~а)М, сравнивались со значениями в тех же
точках функции
а — sin ж* ,,
— />(х) = со(х) [501 -2аA + а)- A + 2а)х-х2],
р Бпвх
которая представляет собой точное аналитическое выражение контактного
давления для аналогичной задачи без учета тепловыделения, полученное при
помощи метода ортогональных многочленов. Сравнение показывает, что
выделяемое тепло, хотя и значительно по величине (см. рис. 44), практи-
чески не влияет на распределение контактных напряжений (при V0/c2 = 0,2
различие не превышает 0,03%).
На рис.45, 46 (/ - V0/c2 = 0,44 • 10,2- V0/c2 = 0,5, J- V0/c2 = 0,8) при-
ведены распределения контактных давлений и их регулярных частей при раз-
личных скоростях движения штампа. Видно, что с увеличением скорости
давление в средней части зоны контакта падает, а коэффициенты кон-
центрации напряжений у концов зоны контакта возрастают.
§ 3. О вдавливании пары равномерно движущихся штампов
в упругую полосу
Пусть по краям упругой полосы толщины 2d под действием сил Q с по-
стоянной скоростью Vo, меньшей скорости распространения волн Релея в
упругой полосе, движутся штампы, прижимаемые к полосе усилиями Р
(рис. 47). Усилия Р и О приложены таким способом, что главный мо-
мент, действующий на штамп, равен нулю, т.е. штамп скользит, не перево-
рачиваясь.
Предполагается, что между штампом и полосой помимо нормального
контактного давления р(х) действует также тангенциальное напряжение
?(х), подчиняющееся закону Кулона, т.е. <7(х) = /Зр(х), где /3 — коэффи-
циент трения.
При этих предположениях выведем определяющие уравнения задачи.
Выберем неподвижную систему координат О,Х, V, и подвижную систе-
му OXY, жестко связанную с штампом и определяемую формулами
ж = *i — Vot, У = У\. в виду симметрии относительно линии у = —d будем
рассматривать только верхнюю половину полосы.
Воспользуемся результатами работы [90], где, подобно тому, как это
было сделано в предыдущем параграфе, были получены выражения пере-
217

мещений и температуры граничных точек упругой полосы, когда по ее
краям с постоянной скоростью Vo движутся сосредоточенные силы и
тепловые источники. Полагая, что тепловые источники отсутствуют, на
основе принципа суперпозиции отсюда можно непосредственно получить
выражения вертикальной компоненты перемещения граничных точек по-
лосы при распределенных нормальных и тангенциальных усилиях
1 ! 1 а
Их,О)=— / Kx\*-s)q(s)ds / К2 (х - s)p(s)ds, A4.3.1)
Ц -а Ц -а
где
/ ~
*,{") = / [2klk2sh(okld)ch(ok2d) -
2я _„>
е~'ои
оА
do,
2я _„> оА
= 4klk2sb(okld)cb(ok2d)- A + k\ )sb(ok2d)cb(okxd)t
. X + 2/i , ц
/-i,2f c?= -, c22=—,
\ м ц — коэффициенты Ламе, ар — плотность материала полосы.
В зоне контакта имеем обычное условие контакта [111]
A4.3.2)
где f(x) - функция, описывающая основание штампа, 5 - мера опускания
штампа. Несмотря на то, что для штампов, показанных на рис. 47, f(x) = О,
для общности в дальнейшем f(x) оставим.
Функции Кх(и) и Кг(и) представимы в виде
1
Кх (и) =
2
г
2 4*,*2 - A+*1J
, A4.3.3)
*,A-*2» 1
/С2 («/) = -— in + /?2 (б/) + с0,
я[4*,*2 -A +*?JJ \u\
где
=— - X
2я
Г 2*l
L4*i
*2th(a*lc/)-A+*^)th(o*2c/) 2*,*2 - A +*22)
*2th(a*ic/)-A+*?)th(a*2c/) 4*i*2-A +*2) J о
2я
X
218
X
~Г th(a*i</)th(a*2</) signa I e iau
с I — __- I do
-сД 4*,*2th(a*lt/)-A+*^Jth(a*2t/) 4*!*2 - A +*i J J a

- регулярные в окрестности нуля функции, с0 - бесконечная константа.
Нетрудно проверить, что и производные любого порядка этих функций
также регулярны в окрестности нуля.
Подставляя A4.3.3) в A4.3.1), а A4.3.1) в условие контакта A4.3.2)
и учитывая, что qix) = 0р(х), получим
—
в \
где
1 + k\~2klk2 Дгж <1 -*22)
4*,*2 _ A +*22J' я[4*!*2 - A + к\J.
A4.3.4)
— о
После дифференцирования последнего уравнения по х будем иметь
x). A4.3.5)
p(s)s *00op(x)Jx)
Эх J 0,
Переходя к безразмерным величинам х = з?, d* = d/a, p(?) =ap{x)/P,
P/(jja), уравнение A4.3.5) и условие A4.3.4) сведем к следующим:
1 Pis) 1 l f'(S)
fc /»tt)+/ /V(^)()/ , A4.3.6)
0
l
/ p(s)c/s= 1. A4.3.7)
-1
Здесь
/*lA~*2)
Л/(? - S) =
2я
f)h(A/*) sign о
k\ J
" Г th(aATiflf)th(aAf2c/*) g
_oc I ^7^2^@^*7^A - k\Jr ~ \ 2 J
4*,
4*!*2 - d +*2Г J
Известно [34, 78], что решение сингулярного интегрального уравнения
A4.3.6) может иметь особенность на концах интервала (—1, 1) следующего
типа (см. G.1.2)):
A4.3.8)
219

1 $
где i(?) - ограниченная функция, а число а определяется соотношениями
/30О + ctgrn* = О, 0>а>-1. A4.3.9)
Сингулярное интегральное уравнение A4.3.6) численно будем решать
так, как показано в § 1 гл. 7, т.е. от этого уравнения перейдем к системе
линейных алгебраических уравнений относительно значений функции
в соответствующих узлах:
п
I
1
- Ss
1
^7
п- 1.
A4.3.10)
/= i
Здесь t/, i =],... ,п, — корни
Sj, i: = 1 п — 1, - корни многочлена
ном случае можно записать в виде
многочлена Якоби
/= 1 п,
так как [6, 116]
dx "
*/ в Дан'
A4.3.11)
Для численных расчетов брались следующие значения констант: число
расчетных точек п = 10, коэффициент Пуассона материала полосы v = 0,31,
коэффициент трения 0 = 0,27, а для отношения скорости движения штампа
к скорости распространения волн Рэлея V0/c2 и отношения ширины по-
лосы к длине зоны контакта d/а бралось по нескольку значений и в зависи-
220

мости от них исследовалось распределение контактного напряжения. На
рис. 48, 49 (V0/c2 = 0,5, / - d/a = 1,5, 2 - d/a =3, 3 - d/a = 24) представ-
лены графики контактного давления и функции </?(?). Значения ^(+1) и
^(—1) представляют собой коэффициенты концентрации напряжений,
и из графиков рис. 49 замечаем, что с увеличением толщины полосы коэф-
фициенты концентрации напряжений возрастают. Кроме того, замечаем, что
при d/a = 24 функция i(?) почти совпадает с прямой, т.е. решением анало-
гичной задачи для упругой полуплоскости. Следовательно, для упругих
полос, толщина которых превышает длину зоны контакта более чем в
25 раз, взаимодействием штампов можно пренебречь.
Следует отметить также, что величина d/a, выше которой можно пре-
небречь влиянием второго штампа, зависит, хотя и несущественно, от ско-
рости движения штампа, и чем больше скорость, тем больше и эта крити-
ческая величина. На рис. 50 (d/a = 100, 7 - V0/c2 - 0,01, 2 - V0/c2 = 0,2,
3 - V0/c2 = 0,9) представлены графики распределения контактного дав-
ления.
ГЛАВА 15
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ**
В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В этой главе, следуя Ганделю Ю.В. [32, 33], покажем, каким образом
широкий класс краевых задач математической физики может быть све-
ден к сингулярным интегральным уравнениям и решен численным мето-
дом дискретных особенностей, развитым в предыдущих главах.
§ 1. Парные сум матерные уравнения
некоторых смешанных краевых задач
Речь идет о парных уравнениях такого вида:
Bns\nny) = 0, У^СЕ, A5.1.1)
п =
2 A -€n){fiAnco$ny + nBns\nny) = /(/), yGE, A5.1.2)
т
u («*. Рк Ь СЕ = [ - я, я] \ ?, - :
Л: = 1
— m
гладкая функция f[y), у 6 Е = U [ <*«,, 0J, константа Ь и последова-
к = 1
тельность еп,п е /V = {1,2, . . . } заданы, причем е п -+ 0 при п -*» не
медленее, чем О(/7~2). Коэффициенты Ао, Ап, Вп. п Е /V, подлежат оп-
ределению.
Возможность применения метода дискретных особенностей для чис-
ленного решения этих уравнений была обоснована в работах [32, 33] ;
¦)Под методом дискретных особенностей в теории упругости и в электродина-
мике будем понимать такой численный метод, который по своей физической и ма-
тематической структуре аналогичен методу дискретных вихрей в аэродинамике.
221

там же ряд смешанных краевых задач для уравнения Лапласа и Гельмголь-
ца сведен к рассматриваемым парным уравнениям.
Прежде чем заниматься вопросом их решения, приведем ряд приме-
ров таких задач и выпишем отвечающие им парные уравнения.
1°. Простейшим примером является следующая смешанная краевая
задача для уравнения Лапласа в круге:
Au = 0, r<R, A5.1.3)
°\ r= r =0«
г = R _
где f{^>), ур 6 Е, - заданная гладкая функция. Решение и = и(г , ^
ся в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых
круга и непрерывных вплоть до его границы.
Гармоническая в круге функция представляется в виде
A5.1.4)
A5.1.5)
р) ищет-
внутри
= Ао
п = i
($*¦
а для определения неизвестных коэффициентов Ао, Ап, Вп, п € N, из крае-
вых условий A5.1.4), A5.1.5) получаем парное сумматорное уравне-
ние типа A5.1.1) - A5.1.2) :
п = i
b = 0, еп =0.
2°. В качестве следующего примера рассмотрим задачу о стационар-
ной среде между двумя бесконечными коаксиальными цилиндрически-
ми поверхностями в случае, когда на внешней поверхности и на части
внутренней, состоящей из конечного числа продольных полос, поддер-
живается постоянная температура, а на оставшейся части внутренней по-
верхности задан тепловой поток.
Пусть оси цилиндра совпадают с осью Oz декартовой системы координат,
а сечение плоскостью ОХУ — кольцо с внутренним радиусом R\ и внеш-
ним /?2.Введем в плоскости сечения полярные координаты г, ^. Внутрен-
няя цилиндрическая поверхность разбивается на две системы продольных
полос {г = Я,, ур е СЕ, г 6 R } и { г =/?,,</? е Е, г G R }, R- мно-
жество действительных чисел.
Ограничиваясь для простоты случаем, когда температура не зависит
от z, обозначим температурное поле между цилиндрами и = и(г, кр),
/?i < г < /?2. Для его определения в рассматриваемом случае имеем крае-
вую задачу
Ди = 0, /?! <r<R2, A5.1.6)
и\г = кГ0, A5.1.7)
и\
г-
н|,.
= 0,
A5.1.8)
A5.1.9)
222

Как и в предыдущем примере, f — заданная гладкая функция, а и - и(г , у)
ищется в классе дважды непрерывно дифференцируемых внутри коль-
ца и непрерывных до его границы функций.
Гармоническая внутри кольца функция, удовлетворяющая условию
A5.1.7), имеет вид
!п/?2/г - (/?2/гГ- (rlR2)n
и{г,ьр)=А0 + I(A B)
\R/R
In /?2//?, «=i (R2lRx)n-(RxIR2)n
а для определения неизвестных коэффициентов А{), Ап, Вп, п Е Л/, из гра-
ничных условий A5.1.8), A5.1.9) получаем парное сумматорное урав-
нение типа A5.1.1) - A5.1.2)
Ар + - \^(RxIR2Jn
\nR2IRx + n= i 1- (RJR2Jn П '
Ао + I И„со$л<? + ?;lsinn^) = О,
л = I
2(Rl/R2Jn
I R2 \-1
= (ln I ,
(Rl/R2Jn- 1*
3°. В качестве примера трехмерной смешанной краевой задачи для
уравнения Лапласа рассмотрим задачу о стационарном распределении
температуры внутри конечного цилиндра в случае, когда на части его
боковой поверхности, состоящей из конечного числа продольных полос,
и двух основаниях поддерживается заданная температура, а на оставшей-
ся части боковой поверхности известен тепловой поток.
Ищется дважды непрерывно дифференцируемая внутри цилиндра
и непрерывная вплоть до его границы функция и-и(г, y,z), удовлетворяю-
щая условиям
Au = 0, r<R, 0<z<H, A5.1.10)
a|r=rO = iy|z = // = 0, r<R, A5.1.11)
и\ _D=0, 0<z<H, <peCE, A5.1.12)
т — к.
Ъи 1
— =—f(y,z), 0<z<H, </?€?. A5.1.13)
* r~R R
Ищем решение уравнения Лапласа A5.1.10), удовлетворяющее усло-
виям A5.1.11), в виде
«• nkz
u{r,yp,z)= ?(/*(r, ^)sin ' r<R, 0<z<H,
k = t H
при этом uk (r, yp) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
tk-0. r<R, A5.1.14)
и краевым условиям, вытекающим из A5.1.12), A5.1.13),
"*1г = я=0' *?СЕ, A5.1.15)
!!Ш± =Л/(^ ^еЕ A5.1.16)
Ъг r = R R
223

где коэффициенты ряда Фурье
2 " irkt
fk M = — / П*. И)sin — - d$ , к
Н о Н
Функцию ик - ик{г ,$) ищем в виде
п = I
В силу A5.1.14) неизвестные функции и[!}[г), к, п G Л/, / = 1,2 и п = О,
/ = 1, суть (ограниченные в нуле) решения модифицированного уравне-
ния Бесселя
,2
Л) + — CJ —
г \\ Н
Поэтому икп{г) с точностью до постоянного множителя совпадают с
модифицированными функциями Бесселя
где х = — г.
5=о s\(n + s)! H .
Таким образом, искомые функции ик (г, ^), к G N, можно предста-
вить в виде
10Ыкг/Н)
/0[пкЯ/Н)
Ininkr/H)
1п(тгкЯ1Н)
Ак0
Bknsinny),
а подлежащие определению коэффициенты AkQt Akn, Bkn, n G N, в силу
граничных условий A5.1.15), A5.1.16) должны быть найдены из пар-
ного уравнения
Ак0+ I {Akncosnip+ Вкп$\плу) = 0,
п - 1
{7tkR/H)l'0(irkR/H) - brkR/H]l'n{nkR/H)
Покажем, что это парное уравнение типа A5.1.1) - A5.1.2). Дейст-
вительно, из рекуррентного соотношения для модифицированных функ-
ций Бесселя [6]
<//„(*) , п
имеем
(пкЯ/Н) /,; ЫкЯ/Н) (пкЯ/НIп + , (лкЯ/Н)
= 1 — €„, где еи = ,
п1п{пкЯ1Н) n n -nln(nkRIH)
а из асимптотического равенства /„(х) ~~ (х/2)п/п\ при фиксированном
х^О и п-*°° следует, что еп = О(п~2).
224

4 . К парному уравнению A5.1.1) — A5.1.2) можно свести и ряд
смешанных краевых задач в плоском слое в случае, когда искомое ре-
шение — периодическая функция одной из декартовых координат. Прос-
тейшей задачей такого типа является двумерная задача о стационарном
распределении температуры в однородном слое между двумя параллель-
ными плоскостями, когда на одной из них и на периодически повторяю-
щейся системе полос второй граничной плоскости поддерживается за-
дан иная температура, а на оставшейся части границы задан тепловой по-
ток. Для определения температурного поля и = и{х, z), -«» < х < +«>,
О <z < И, имеем такую краевую задачу:
0<z<H, A5.1.17)
A5.1.18)
lz = o = 0' xGC?- A5.1.19)
да
~bz
xG?. A5.1.20)
z = О
Гармоническая функция, 2я-периодическая по х A5.1.17) и удовлет-
воряющая условию A5.1.18), имеет вид
\ оо sbn(H-z)
}А0 + 2 W
п = i sbnH
/ z \
, z) =11 }
Из краевых условий A5.1.19), A5.1.20) при z = 0 получаем парное
уравнение типа A5.1.1) — A5.1.2) для определения неизвестных коэф-
фициентов Aq, An, Bn,n G Л/,
Ао + 2 И„со$лх + ^„sinnx) =0,
п = i
1
— Ао + 2 ctbnH{nAncosnx + пВп$\ппх) =
Н п = \
здесь Ь= МН, €п = 1 -cth (nH) =О(е~2Нп).
5°. В заключение приведем пример более сложной краевой задачи,
которая сводится к системе двух парных уравнений рассматриваемого
типа. Речь идет о смешанной краевой задаче для стационарного уравне-
ния в слое, ограниченном "двойной решеткой": пусть слой расположен
между плоскостями z = ± АУ/2 декартовой системы координат, а "решет-
ки" состоят из периодически повторяющихся систем полос (края кото-
рых параллельны оси ОУ), расположенных соответственно на верхней
и нижней граничных плоскостях. Для простоты остановимся на плоской
задаче для уравнения Лапласа. Математическая постановка задачи такова.
Ищется 2я-периодическая пох функция
u = ulx,z), ulx + 2n,z)=ub(,z), xeR, \z\<H/2,
непрерывная вплоть до границы и удовлетворяющая следующим условиям:
Д</ = 0. \z\<H/2, A5.1.21)
— /x,-W(x), xG?,, A5.1.22)
bz \ 2/
15. СМ. Белоцерковский 225

4'т)=°'хес
Ъи I Н\
Ъг\ 2/
и{х. - /У/2) = 0, хеСЕ2,
A5.1.23)
A5.1.24)
A5.1.25)
где Ei = U <a/JkfU/Jt).-w<aM<A1<...<a/m.</J/m.<irl /-1,2;
/,• (х), xGE,, - заданные гладкие функции. Решение задачи ищем в виде
п = 1
Из условий A5.1.22), A5.1.23) при z = W2 получаем первое парное урав-
нение
Ь0Н оо
2
п =1
0,
A5.1.26)
A5.1.27)
Аналогично при z = - /У/2 из условий A5.1.24), A5.1.25) получаем вто-
рое парное уравнение:
Ь0Н
а0 + 2 HAn-Bn)cosnx^ {Cn-Dn)s\nnx] = 0r хеСЕ2.
2 A5.1.28)
Ьо -
2 "
s 1
- Bn)cosnx+ п{Сп - Dn)sin/7x]
= 1
A5.1.29)
где
Ап =anchnHl2, Bn = bnsbnH/2, Cn = СпсЬпН/2,
^ sh пН/2,
б^' = cth л/У/2 -
Приведенные примеры показывают, что для получения решений рассмат-
риваемого класса краевых задач математической физики в виде рядов
Фурье нужно найти их коэффициенты из парных уравнений типа A5.1.1) -
A5.1.2).
Однако во многих случаях нет необходимости вычислять все коэффици-
енты, так как физический интерес представляют один или несколько пер-
вых коэффициентов, как это бывает в задачах дифракции волн (см. § § 3, 4
настоящей главы). С другой стороны, в задачах теплопроводности (см. при-
меры) бывает достаточно знать искомую функцию (температуру) лишь на
тех участках границы, где она не задана (а задан тепловой поток).
Ясно, что желательно уметь эти значения находить независимо, не вычис-
ляя коэффициентов ряда.
226

Таким образом, для приложений нужен такой метод решения парных
уравнений, который был бы достаточно гибким и позволял бы без слиш-
ком сложных вычислений отвечать на те вопросы, которые представляют
физический интерес. Метод решения парных уравнений рассматриваемого
типа, использующий сведение к задаче Римана-Гильберта, был разработан
в связи с решением задач о дифракции электромагнитных волн на решетке
[2], [108].
Другой численный метод решения парных уравнений вида A5.1.1)-
A5.1.2), а также и их континуального аналога — соответствующих парных
интегральных уравнений, — основанный на сведении к сингулярному интег-
ральному уравнению на системе отрезков [32] и [33] и его последующем
решении методом дискретных особенностей [68], излагается в следующем
параграфе. Этот метод весьма прост и независимо от числа отрезков основ-
ного множества ? (см. A5.1.2)) приводит к решению однотипных систем
линейных алгебраических уравнений.
Отметим еще, что через решение сингулярного интегрального уравнения
непосредственно выражаются все величины, о которых шла речь выше.
§ 2. Метод решения парных уравнений
Займемся сведением парного уравнения A5.1.1) — A5.1.2) к сингулярному
интегральному уравнению на системе интервалов. Обозначим
оо
U(y)=A0+ ? lAncosny + Bns\nny), /6 [-я, я], A5.2.1)
п - I
dU{y) ~
F(y)= = 2 (~nAns\nny + nBncosny), к€[-я, я]. A5.2.2)
<Ь' п = 1
В рассматриваемых задачах математической физики U(y), у G [~ я, я] ,-
непрерывная функция, а
F{y)\ -^Oiq-*), A5.2.3)
где Q — расстояние от точки у до границы Э? множества Е.
В силу уравнения A5.1.1)
0, уеСЕ, A5.2.4)
а также
0к
f F(y)dy = 0, k = ^,2 т. A5.2.5)
ак
Добавим сюда еще соотношение
Ао+ X (-1 )"д„ = 0, A5.2.6)
п - 1
которое получается из A5.1.1) при у = я, и тогда A5.2.4)— A5.2.6) заме-
нят уравнение A5.1.1).
Из A5.2.2) с учетом A5.2.4) имеем при л?Л/
1
А„ = / F(y) sin nydy, A5.2.7)
1
8п = / F(y)cosnydy, A5.2.8)
ЯП Е
227

а из A5.2.6), учитывая A5.2.7) и используя известное разложение в ряд
Фурье функции д{х) = х/2, хЕ(-тг, я), находим
1
Ло = / F(y)ydy. A5.2.9)
2тг ?
Таким образом, все неизвестные коэффициенты выражаются через функ-
цию F(y), у€Е, которую и надлежит определить. Отметим, что и функция
U(x) выражается непосредственно через F(y):
U[x)= f F(y)dy, хе[-я,я],
-it
причем в силу A5.2.4), A5.2.5) U(x) непрерывна.
Применим теперь к функции F (у), у G [- я, я], преобразование Гиль-
берта для периодических функций
1 * к-х
(VF) (х)г——- J F(y)ctg dy.
2п -п 2
переводящее cos пу в - smnx, a sinпу в cosnx. Из A5.2.2)с учетомA5.2.4)
находим
00 1 К- х
2 (пАпсо$пх + пВп$\ппх) = / F(v)ctg с//. A5.2.10)
п = 1 2я Е 2
оо
Подставим в уравнение A5.1.2) вместо суммы ?- (n^^cos^x +
п = 1
+ /7?„$тпх) полученное представление A5.2.10), а в остальных слагаемых
левой части A5.2.2) заменим искомые коэффициенты их выражениями
через F{y),yGE (A5.2.7) —A5.2.9)). После очевидных преобразований
убеждаемся, что функция F(y), y€E, удовлетворяет сингулярному интег-
ральному уравнению
1 F(y)dy 1 f by \
/ + / *(кх) + —\F(y)dy = -f(x), xeE, A5.2.11)
2 '
1x1
К(х) = —ctg 2 eni\nnx.
2 2 х я= 1
Опишем класс функций, в котором следует искать решение уравнения
A5.2.11).
Сужение функции F{y) на интервал (а*,0*) обозначим Fk(y), т.е.
Fk{y) = ^Klljre (в*. Э*)' В силу A52'3)
uk(y)
Fk(y)= K€(a*#fo)f Д: = 1,2 т, A5.2.12)
где (У/f (у), к€ [о:^, ^], - непрерывные по Гельдеру функции, не обращаю-
щиеся в нуль на концах интервала. При этом должны выполняться т допол-
нительных условий A5.2.5)
0# ^ = 1,2 т.
«к \А&к-у)(у-<*к)
228

Характеристическое уравнение для A5.2.11) в указанном классе функ-
ций при дополнительных условиях A5.2.5) однозначно разрешимо.
Для нахождения приближенных значений функций ик(у), /с = 1,2,...,л?,
используется численный метод, предложенный в [68] и изложенный в
§ 4 гл. 5. Основной результат этого параграфа применительно к нашему
случаю можно сформулировать так. Пусть
0* - <*к 2/ - 1 &к+ <*к
i2? 1^ n + JL * /=1 nkt A5.2.13)
2 2nk 2
"* 2 "* "A6.2.14)
и пусть К(х), f(x) e Нг(а). Если в классе функций, определяемых условия-
ми A5.2.12), сингулярное интегральное уравнение A5.2.11) с дополнитель-
ными условиями A5.2.5) однозначно разрешимо, то при достаточно
большом
Nx = min nk
\<k <m
система линейных алгебраических уравнений (относительно неизвестных
1
"* ' A5.2.15)
пк ^
/= 1 пк
имеет единственное решение, причем
1/7 \
*= 1,2 т, A5.2.16)
При Л/! -^«5.
Имея значения ик Пк(у^Пк)), /= 1,... ,пк, к = 1, ... ,т, можем найти
приближенные значения искомых коэффициентов Ао, Ап, Вп, п Е N, по
формулам A5.2.7) — A5.2.9), а также приближенное значение для функций
Fk^yh У^ (<*к,Рк), составляющих приближенное решение уравнения
A5.2.11), следующим образом.
По значениям ^к,пк^Рк^У^ 1» • • >пк» построим интерполяционный
полином пк - 1 степени, который обозначим Рк,пк-\(УУ У е 'а*/ 0*Ь
так что
P*tnk-Mnk))-Uk.nklV$nk)). /-1 пк. Дг = 1 ап.
Тогда приближенные значения для функций Fk(y), yG(ak,Pk), даются
формулами
1 /п. A5.2.17)
229

Используя соображения, приведенные в [118], можно найти оценку
погрешности
A5.2.18)
'к
При этом для коэффициентов Aq, Bqt q^N, \л Ао приближенные значения,
с использованием формул AБ.2.7) -A5.2.9), будут следующими:
А,--— 2 — 2*
Я к = 1 пк i= 1
1 »» 1 "/с
1 л 1 "*
^ - 2 2
2 *=, "* ,= , * '
Из последних формул и A5.2.16) получаем
предполагая, что nk/Nx <0* < + °°, А: = 1, 2,. .. # т, Nx -> °°.
Выпишем теперь систему сингулярных интегральных уравнений, к
решению которой приводит система парных сумматорных уравнений
A5.1.26)-A5.1.27) и A5.1.28)-A5.1.29). Действуя так же, как и при
сведении парного уравнения A5.1.1) — A5.1.2) к сингулярному интеграль-
ному уравнению, введем в рассмотрение две функции
ею
рх{х)~ 2 -n[{An +Bn)s\nnx - (Cn + Dn)cosnx], |х|<я, A5.2.20)
п = i
F2{x)= 2 -n[(An~Bn)s\nnx- (Cn-Dn)cosnx]. A5.2.21)
п = 1
Из A5.1.26) и A5.1.78) находим
^(хНО, хеСЕ,, /=1,2, A5.2.22)
и еще /77} +Л72 соотношений
/* Ftiy)dy = Ot * = 1 mf, /=1,2. A5.2.23)
Через функции F((y), /G Eit i = 1, 2, выражаются все искомые коэффи-
циенты а0, bo,An, Bn, Cn, Dn, n€N, а для определения этих функций
получаем систему сингулярных интегральных уравнений.
Опуская простые, но довольно громоздкие преобразования, приведем
окончательный результат. Функции F,(x), /«1,2, ищем в классе функций,
пред ставимых в виде
230
V
П \ix-aik)(fiik-x)
к = 1

где Ф,(х)Е/Уи не обращается в нуль на границе ЪЕ, множества Е,. При
этом искомые функции F^x) , /« 1,2, удовлетворяют условиям A5.2.23)
и следующей системе сингулярных интегральных уравнений:
1 Fl(y)dy 1
— / + —/ *, (х, y)Fx (y)dy -
* Ех У-* *ех
1
/ K2(x,y)F2(y)dy = -fl(x), xG?, A5.2.24)
*Е2
1 е F2(y]dy 1
— / + —/ Kxix,y)F2iy\dy-
* Е2 V-X 7Г?-2
/ K2lx,y)Fl(y)dy = f2(x), xEE2t A5.2.25)
я Ex
где
1 y — x 1 1 <» у
K\ (x, у) - -- ctg • +— I elni\nn(y-x) + ,
2 2 к-х2л = 1 2Н
) ,
2/У
4e~2nH 4e~nH
Как следует из общей теории сингулярных интегральных уравнений, в
рассматриваемом классе функций и при выполнении соответствующих
дополнительных условий A5.2.23) характеристические уравнения од ней
значно разрешимы.
Далее, благодаря тому, что в каждом из уравнений системы присутствует
сингулярный интеграл лишь по одному из множеств ?,, / = 1, 2, прибли-
женное решение краевой задачи из пятого примера предыдущего параграфа
может быть получено методом дискретных особенностей. При этом система
линейных алгебраических уравнений составляется из систем таких уравне-
ний для каждого уравнения A5.2.24) и A5 2.25) (см. A5.2.15)).
Решая полученную систему п линейных алгебраических уравнений с п
неизвестными, найдем приближенные значения функций usk(y), затем
FskM ="s*(K> UPsk -У) (К-<*,*) Г1/2 nF5, s= 1.2,гдеЛ",*(к) - огра-
ничение функции Fs на интервале (&Sk > Psk) - Теперь так же, как и выше,
могут быть определены приближенно как коэффициенты ряда для функции
и(х, z), так и непосредственно значения функции и{х, г) на тех участках
границы, где она не была задана:
и I х, - 1 - / Fy (y)dy, ulx, ) = / F2(y)dy, x € [- тг, я].
Замечание о континуальном аналоге парных сумматорных уравне-
ний A5.1.1)-A5.1.2). Рассмотрим такие парные интегральные уравне-
ния [33]
/ Q{\)eiXxd>, = 0, хЕСЕ, И)
Д
/ |X|Q(X)A(X))'"XjcA f() Gf (В)
231

т
где Е = U (ак,Ьк), -«<э,<ЬХ <. ..<ат<Ьт <+<*>, CE = R\E;f(x),
к = 1
xG f; е (X), X €/?,—заданные функции, причем е (X) = 0(Х~2) приХ-*°°,
Q(X), \G R, — неизвестная функция.
Эти уравнения встречаются, например, в краевых задачах электростатики
и электродинамики в случае, когда граница - уединенная решетка, состоя-
щая из конечного числа плоских полос. Обычно для решения этих задач
бывает достаточно определить значения интеграла
/
у/гп —
стоящего в левой части первого уравнения при хЕ?
Действуя формально, обозначим
dUix)
и выведем сингулярное интегральное уравнение для функции Fix), х € Е,
которую будем искать в классе функций, пред ставимых в виде
Ф(х)
ГИг
у/ П |16*-х)(х-а*)|
к 1
к = 1
где Ф(х), х € ?, - непрерывная по Гель деру функция, не обращающаяся
в нуль на границе множества Е, причем в силу уравнения И)
(С)
/ F{x)dx = Q, * = 1 т.
ak
Применяя к функции F(x), x G/?, преобразование Гильберта
_1_ ~ F(y)dy
Я -ее -у + X
и учитывая,что Н: elXy*+i eiXx, а также (С), имеем
А
1 .1 F(y)dy
/ \\\Q(\)ed\ f. x
V2? — ir E У-*
Далее, из представления для Fix), хб R, учитывая (С), находим
XQ(X) = ——г/ F(y)e-iXydy,
Используя два последних соотношения, из уравнения (В) получаем син-
гулярное интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция
Fiy). y?E,
1 F(y)dy
— / +
IT Е у-Х
232

где ядро есть
Г €(\)e-iKzd\,
2т -~ X
т.е. с точностью до числового множителя 1/(/ \/2п) совпадает с преобразова-
нием Фурье функции e(X)signX, \GR.
Напомним, что искомая функция ищется в указанном выше классе и
удовлетворяет условиям (D), что обеспечивает однозначную разрешимость
соответствующего характеристического уравнения.
После того как функция F(y), у Е Е, будет найдена, искомая функция
~~ ~~ х
U{x) может быть вычислена по формуле U(x) = / F(y)dy,
§ 3. Дифракция скалярной волны на плоской решетке.
Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца
Рассмотрим два важных примера краевых задач математической физики,
приводящих к парным уравнениям типа A5.1.1) — A5.1.2).
Это задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в пространст-
ве в случае, когда границей является плоская решетка. К этим двум крае-
вым задачам сводятся как задачи дифракции плоской монохроматической
волны на плоской идеально проводящей решетке (численному решению
этих задач посвящен следующий параграф), так и задачи дифракции акусти-
ческих волн на "мягкой" и "жесткой" решетках.
И задача Дирихле, и задача Неймана, рассматриваемые в настоящем па-
раграфе, сводятся к смешанной краевой задаче для уравнения Гельмгольца
в полупространстве, парные уравнения которой имеют вид A5.1.1).
Методом, изложенным в предыдущем параграфе, для модельных задач
получены численные решения, которые хорошо согласуются с найденными
из других соображений точными решениями.
1°. Постановка задачи Дирихле и вывод парных уравнений. Пусть в плос-
кости ОХ У1 декартовой системы координат расположена решетка, обра-
зованная периодически повторяющимися (с периодом 2/) системами полос,
края которых параллельны оси ОХ':
где ?'= U В). Е)= {<*).&)). СЕ'=[-1,!]\Е', -/<<*', <$\ < ..<<х'т<
< ($'т < I. Пусть на решетку из полупространства z' >0 перпендикулярно
к ней падает плоская монохроматическая волна и = ie~tkz , к = со/с, -
волновое число, с - скорость света (зависимость от времени дается множи-
телем «г'"').
Обозначим и0 сумму падающей и отраженной волн в верхнем полупрост-
ранстве, которая была бы там, если бы на всей плоскости выполнялось пер-
вое граничное условие uo\z. = 0 = 0:
и0 = /7Г1'**' - А?'**' = 2sin кг. г > 0. A5.3,1)
Полное поле в случае, когда на решетке оно обращается в нуль, ищем
в виде
+u , z>0,
= |
и , z<0.
233

функции и*(у,г) и и (у, г') являются 2/ -периодическими по у:
и удовлетворяют уравнению Гельмгольца
Аи* +A-2i/ = 0, z'^ 0, A5.3.2)
и условиям сопряжения
u'\2.sQ=u+\z.s0. y'eE', A5.3.3)
Ъи~
аГ
2А:
2=0
A5.3.4)
z' = 0
(здесь использовано представление A5.3.1) для и0), которые вместе с
A5.3.2) обеспечивают выполнение уравнения Гельмгольца для полного
поля Аипопн + *2а/полн = 0 всюду вне решетки. На решетке полное поле
обращается в нуль:
<Г|,,= 0 = {u0+u+)\z, = o=u+\z.= o = 0, y'eCE'. A5,3.5)
Кроме того, для обеспечения единственности решения рассматриваемой
краевой задачи необходимо выполнение условий излучения на бесконеч-
ности и условий Майкснера на ребрах решетки [104, 109].
Решения уравнений Гельмгольца в верхнем (z' > 0) и нижнем (z' < 0)
полупространствах, удовлетворяющие условиям периодичности, имеют вид
5 е^7^со5^+5^п-^). /4
n = 1 \ / / /
где 7л ~ \(irn/lJ —к2, причем условия излучения будут выполнены, если
ветвь радикала выбрать так, чтобы
Im 7И < 0 при а? < А://я,
w A5.3.6)
7„ > 0 при n>kl/n.
Из A5.3.4) и A5.3.5) видно, что функции и~(у , 0) и </*(/. 0) совпадают
при всех у' G [— I, I], откуда следует, что
Ап=А:=Ап, /1-0.1.2
В-п = В+п=ВП1 л =1,2,...
Таким образом, имеем
[Ancos— +Snsin— - , z'^0,
\ / / /
(
A5.3.7)
откуда, используя граничное условие A5.3.5) на решетке, получаем урав-
нение
« / ЯП/' 7Ш)/ \ .
I (/*Mcos + /?„ sin =0, у
=1 \ / / /
(M„ , у A5.3.8)
«=1 \ / / /
а из условия A5.3.4) находим второе уравнение для определения неизвест-
ных коэффициентов в представлении A5.3.7) решения рассматриваемой
задачи:
«> / ттпу ппу \
-ikA«+ I yn[Anc<x—— +ewsin—- ) = к, у'еЕ. A5.3.9)
п=\ \ I I I
234

Введем безразмерные величины
у = пу/1, а, = тга'Д 0, = л0';-//. к - /*/тг - 2//Х A5.3.10)
(X - длина волны падающего поля), тогда
причем ветвь радикала выбирается так, -\:-~.оь выполнялись условия
A5.3.6). Введем еще следующие обозначения.
Е = U ?,, Е} = (a,,&j). СЕ-[- п. .rj \b.
-я<а, <0, < ... <ат<Дт<тг.
Уравнения A5.3.8), A5.3.9) теперь примут следующий вид:
Ао + S М„созп/ + 5„51ппк) = 0# К^СЕ, A5.3.11)
п = 1
+ Z л>/1 — (—j {Ancosny + Bns\nny) = к,
" = 1 \n I A5.3.12)
Это уравнения A5.1.1) - A5.1.2) при
причем е„ = О(к2/Bп2)).
Как бьгло показано в предыдущем параграфе, все искомые коэффициен -
тыАп, Вп, п G N, и /40 выражаются по формулам A5.2.7)—A5.2.9) через
решение F(y), у G Е, сингулярного интегрального уравнения A5.2.11),
где следует положить
причем выбор ветви радикала определяется условиями A5.3.6). Кроме
того, функция F(y) удовлетворяет соотношениям A5.2.5).
Условия Майкснера определяют поведение волнового поля и его первых
производных в окрестности края полосы. Из этих условий следуют пред-
ставления A5.2.12) для сужений функции F(y) на интервалы ?;.
2°. Модельные задачи. Рассмотрим функцию
x6(-1J),
0, х€[1,я].
Ее ряд Фурье имеет вид
1 - ф^)
flf(x) = Z cosnx, хе[-я.тг]. A5.3.13)
4 л = 1 п
так как [6]
1 1 / * Ф1Ы
— / V1 - ^' cos ntdt = , /7 = 0, 1 ,
я -1 л
где Ф\ (?) — функция Бесселя, определяемая этим интегралом.
235

Дифференцируя A5.3.13) и применяя затем преобразование Гильберта,
находим
и поскольку [6] при xG(— 1, 1)
Г dt
1,
то имеем
оо 1 1
Z Ф! (n)cosnx = 1 +— J
Л=1 Я -1
Итак, из A5.3.13) следует
j_+ ~ Ф,Ы
4 „ = 1 п C°SnX '
и, используя A5.3.14), получаем
л _ Hi
где
1 ! Г 1 г-х
г-х
Г-Х
п= 1
dt.
A5.3.14)
A5.3.15)
A5.3.16)
A5.3.17)
Окончательно получим следующий результат: последовательность
Ао = 1/4, Ап = Ф,(^)/^ 5;| = 0, п е N,
дает решение парного сумматорного уравнения A5.1.1) - A5.1.2) с правой
частью / (х).
Отметим еще, что решением соответствующего сингулярного ин-
тегрального уравнения A5.2.11) в рассматриваемом случае является
функция
Х A5.3.18)
Далее коротко опишем модельную задачу на системе интервалов Е=Еj U?2
(при т = 2).
Ясно, что функция F(y) = Fx [у) + F2 (у). где
0,
A5.3.19)
236

(Ac = 1,2; Ci,C2 - заданные константы), является решением интегрально-
го уравнения A5.2.11) с правой частью
fix) = / F(K)ctg -^—
2я ? 2
dy / yf(y)dy +
2n E
€ns\nn[y- x)dy,
+ f
IT E n = 1
и удовлетворяет соотношениям A5.2.5).
Подставляя в A5.3.20) вместоF(у) \ уеЕк
вычисляем г**(х) =f{x)\x GE , к =1,2,
1 FkW)dy 1 . F,(y)dy
fk(x) = / /
7Г Ek
1 A y-x
/ F() ctg
A5.3.20)
их выражения A5.3.19),
/
IT Et
A
12
1 }
- )dy +
ЬуЛ
-x) \dy,
2 J
it E
1
— /
IT E
где к, l принимают значения 1, 7, причем кФ\.
Значения первых двух интегралов получаем в явном виде:
П Е
Ек у-Х
1
IT E
Остальные интегралы вычислялись приближенно с использованием гауссо-
вых квадратур.
Модельная задача для одного интервала Е = (-1, 1) была решена числен-
но на ЭВМ. При числе узловых точек п = 20 полученные приближенные
значения ип(у( ), / = 1, ... , п, наряду с точными значениями и(у( п ) =
= )л приведены в табл. 15.1. Разность между приведенными приближен-
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,99693
0,97235
0,92389
0,85266
0,76042
0,62945
0,52249
0,38269
0,23344
0,07846
uiy\n)) I
0,99692
0,97237
0^2388
0,85264
0,76041
0,64945
0,52250
0,38268
0,23345
0,07846
/
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0,07846
-0,23345
-0,38269
-0,52251
-0,64945
-0,76041
-0,85264
-0,92389
-0,97236
-0,99692
Таблица 15.1
1
uiyj"h
-0,07846
-0,23344
—0,38268
-0,52250
-0,64945
-0,76041
-0,85264
-0,92388
-0,97237
-0,99692
237

Таблица 15.)
О
1
0,250008
0,440062
0,25
0,4400506
0,288364
0,113010
0,2883624
0.1130197
ными и точными значениями функции и(у) по модулю не превосхо-
дит 2-10'5.
Далее были вычислены приближенные значения искомых коэффициен-
тов Ао, Aq, Bqi q = 1, 2,3, по формулам предыдущего параграфа, которые
в рассматриваемой модельной задаче имеют следующий вид:
1 1 (
Aq--
nq i=i
1 оо
— 2 и
nq /=i
1 "
Здесь, как и раньше, для вычисления приближенных значений интегралов
по отрезку (-1, 1) с весовой функцией A -у2)'42 использованы квад-
ратурные формулы Гаусса.
В табл. 15.2 приведены найденные приближенные значения коэффициен-
тов Ао, Alf А2, Аз, а также численные значения, полученные по формулам
точного решения модельной задачи Ао = 1/4, Aq * $\(q)lq. q = 1, 2, 3, с
использованием таблиц бесселевых функций [1]. Отличие найденных
приближенных значений указанных коэффициентов от точных не пре-
восходит 12Ю. С той же точностью приближенные значения коэффи-
циентов ВиВ2, В3 получались равными нулю.
Модельная задача для двух интервалов была решена численно при Сх = 2,
С2 = 0,5 и <*i = —3, Pi = —2; <*2 ~ — 1/ &2 = 0,5. Количество узловых точек:
"i s ^. ^2 =6. Табл. 15.3 позволяет сравнить полученные приближенные
значения ukfttkiy\nk)). / - 1, . . . , л*, * - 1, 2. с точными ик(у\Пк)) -
¦ Ск(у\Пк* -(Рк +аЛ)/2). Абсолютная погрешность всюду не превышает
2-Ю.
3°. Задача Неймана. Пусть на решетку
' }
', у, г): -<» < х <
д у ру {
у € ?' + 2pl, nGZ,z' « 0} из полупространства г1 > 0 перпендикуляр-
Таблица 15.3
к
1
/
1
2
3
4
«к.пк1У?к>
0,923879
0,382683
-0,382683
-0,923879
ик{у^> | к
1
0,923879
0,382684
-0,382683 2
-0,923879
/ ' uktnk(y^h
1
1 0,362221
2 0,265164
3 0,097056
4 -0,097058
5 -0,265164
6 - 0.362220
•
0,362222
0,265165
0,097057
-0,097057
-0,265165
-0,362222
238

но к ней падает плоская монохроматическая волна v = ie ikz . Обозна-
чим Vo сумму падающей и отраженной волн в верхнем полупространстве,
которая была бы там, если на всей плоскости ОХ V выполняется второе
краевое условие
Ьг
= О, Vo = 2/ cos *z', z' > 0.
z'=0
A5.3.21)
Полное поле в случае, когда на решетке его нормальная производная
обращается в нуль, ищем в виде
Vo + V\ z > О,
V~, z < 0.
Функции V*(y\ z) и V"(y ,г') являются 2/-периодическими по у,
удовлетворяют уравнению Гельмгольца при z ^ 0 соответственно и усло-
виям сопряжения
V~lz'=o = 2i+V*\z'=0, y'eCE', A5.3.22)
A5.3.23)
2=0
На решетке нормальная производная полного поля обращается в нуль:
= 0, /€?'.A5.3.24)
Ъг'
z' dz' /|2'=0 = 8z#
z'=0
Для обеспечения единственности решения рассматриваемой краевой за-
дачи необходимо еще выполнение условий излучения и условий Майксне-
ра [104].
Решение второй краевой задачи (как и в случае первой краевой задачи)
ищем в виде
со.
.in
где уп определено в 1° настоящего параграфа.
Из A5.3.22), A5.3.23) следует, что
А;--А$ = Ап. /1 = 0.1,2
в; = -в? = вп, а? =1,2,...
Вводя безразмерные величины A5.3.9) и используя условия A5.3.22)
и A5.1.28), приходим к такому парному сумматорному уравнению:
оо
Ао ¦ S [Ап cos пу + Вп sin пу) = /, к € СЕ,
-inA0 +
или полагая
A5.3.25)
239

получаем окончательно парное уравнение вида A5.1.1) -A5.1.2):
А'о+2 (Ап cos ny + B
ЬА'0+ f A -€n)lnAn cos ny + nBn s\nny)
где b = -i'k, е„ = 1 - \Л - (к!пJ . Таким образом, задача Неймана сведе-
на к парному уравнению такого же вида, что и задача Дирихле.
Как показано в § 2, неизвестные коэффициенты Ап, Вп, п Е Л/, в пред-
ставлении для полей V и V* выражаются по формулам A5.2.7), A5.2.8)
через функцию F(y), у € Е, которая удовлетворяет сингулярному ин-
тегральному уравнению первого рода A5.2.11) с правой частью -f(x) = к,
х Е Ё, b = -/к, €„ = 1 - \J\ - (к/лJ,' п G N, причем выбор ветви ради-
кала определяется условиями A5.3.6). Кроме того, должны выполнять-
ся условия A5.2.5) и A5.2.12). Коэффициент А0 A5.3.25) вычисляется
по формуле
Ао = / - jF(y)dy
27Г Е
(здесь для нахождения А'о использована формула A5.2.9)).
§ 4. Применение метода дискретных особенностей для численного решения
задач дифракции электромагнитных волн на решетках
Решению задач дифракции волн на решетках посвящено много работ.
Особое место среди них занимает [2], где предложен метод решения задачи
о дифракции плоской монохроматической электромагнитной волны на
плоской идеально проводящей решетке. Этот метод, использующий све-
дение к задаче Римана-Гильберта, неоднократно применялся для разно-
образных задач дифракции волн на периодических структурах. Получен-
ные результаты описаны в монографиях [108, 109], там же имеется по-
дробная библиография.
Рассматриваемые задачи о дифракции плоских монохроматических
электромагнитных волн на плоских идеально проводящих решетках сво-
дятся к задачам Дирихле и Неймана, подробно изученным в предыдущем
параграфе.
Для сравнения с результатами, полученными методом сведения к за-
даче Римана - Гильберта и приведенными в монографии [108], численно
решено несколько задач методом дискретных особенностей.
Предлагаемый подход дает простой и единообразный способ решения
указанных задач дифракции волн на решетках, независимо от числа лент
на периоде.
Пусть в плоскости OXY расположена решетка, состоящая из периоди-
чески (с периодом 21) повторяющихся групп бесконечно тонких идеаль-
но проводящих лент, параллельных оси ОХ. Из бесконечности со сто-
роны z>0 на решетку падает плоская монохроматическая волна (за-
висимость от времени дается множителем ?~~/и"):
где к - со/с — волновое число.
Предварительно решим задачу об отражении такой плоской волны
от бесконечно тонкого идеально проводящего экрана, расположенного
240

в плоскости ОХ У. Представим поле в верхнем полупространстве в виде
суммы падающей и отраженной волн, причем
?*(отр) =?е jf = jj
Будем искать решение уравнений Максвелла в виде суммы исходной
волны, нулевой при г < 0 и представляющей собой суперпозицию падаю-
щей и отраженной волн при z > 0, и рассеянной волны:
?=?*(исх) +?(рас) # = /j(»«cx)+^(pac)
Это поле должно быть непрерывным всюду вне лент; компоненты
электрического вектора, параллельные плоскости OXY, должны обра-
щаться в нуль на лентах, что влечет обращение в нуль также нормальной
к плоскости лент составляющей магнитного вектора; кроме того, необ-
ходимо выполнение условия излучения на бесконечности, а также условий
Майкснера на ребрах.
Очевидно, что в рассматриваемой задаче все плоскости, перпендику-
лярные оси ОХ, физически равнозначны, и, следовательно, рассеянное поле
не зависит от х. Уравнения Максвелла распадаются на две независимые
системы уравнений для компонент Е^ Ну, Hz и Н^ Еу, Ez [104].
Требование обращения в нуль на металле составляющих электрическо-
го вектора, параллельных плоскости, приводит к краевым условиям:
Ех = 0, ЪНх1Ъг = 0 (на лентах). Таким образом, можно рассматривать
отдельно случаи Е- и АЛполяризации, когда соответствующий вектор по-
ляризован параллельно оси ОХ [15].
В дальнейшем, пользуясь линейностью задачи, будем считать амплитуду
составляющих ?<пад) и н[пац) равной /. Тогда из граничных условий
при г = 0 легко найти амплитуды составляющих ??отр* и Н^отр) отра-
женной от экрана волны:
f х(отр) = _й
откуда следует
Г
?(исх) =
(
f
1*(исх) = J
X 1
1
, что
2 sin ^z, z > 0,
0, z < 0,
2/' cos *z, z > 0,
0, z<0.
а) Рассмотрим сначала случай F-поляризации. Задача сводится к отыс-
канию функции и = Ех, представимой в верхнем и нижнем полупростран-
ствах в виде
(
и-. z<0,
которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца всюду вне решетки, пер-
вому краевому условию на решетке, условиям излучения на бесконечности
и условиям Майкснера на ребрах.
Это задача Дирихле. Как показано в предыдущем параграфе, п. 1°, она
сводится к решению сингулярного интегрального уравнения A5.2.11)
с дополнительными условиями A5.2.5) и A5.2.12). Численное решение
находим методом дискретных особенностей, описанным в § 2 гл. 15.
16. СМ. Белоцерковский

Таблица 15.4
\А0\
\АХ I
\А2\
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,0694
0,1394
0,2106
0,2838
0,3598
0,4401
0,5267
0,6232
0,7383
0,9476
1.2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
23
3
0,6086
0,5538
0,5256
0,5060
0,4769
0,4642
0,4696
0,4826
0,5050
0,6506
0,9108
0,8320
0,7942
0,7721
0,7576
0,7009
0,6801
0,6665
0,6589
0,6506
0,3527
0,3426
0,3361
0,3314
0,3264
После того как функция и найдена, остальные компоненты полного
поля определяются по формулам [104]:
1 Ъи 1
у
**т
у
ik
ik Ъг ik Ъу
б) В случае /^-поляризации приходим к задаче Неймана для функции
V = Нх, которую в верхнем и нижнем полупространствах ищем в виде
2/cosfcr + V*, z>0.
f 2/c
\Г, г < 0.
Эта задача рассмотрена в предыдущем параграфе, п. 3°, где показано,
что она так же, как и задача Дирихле, может быть численно решена ме-
тодом дискретных особенностей.
Остальные компоненты полного поля определяются по формулам [104]:
^ ЪV 1 bV
?_ и — и — f\ Р — Р — —— _
у у ik Ъг ik Ъу
Была решена численно задача дифракции 5-поляризован ной плоской
монохроматической волны, падающей нормально на простую решетку
(на периоде расположена одна лента ширины /) для 20 значений параметра
к € @; 3], причем число узловых точек метода дискретных особенно-
стей выбиралось равным 10.
Были произведены расчеты значений Ао, Aq и затем \А0 |, \Aq |, q =
= 1,2, для незатухающих дифракционных гармоник. Результаты расчетов
представлены в табл.15.4. Вычисленные значения ВиВ2 получились равны-
ми нулю.
Сравнение полученных численных результатов с приведенным в моно-
графии [108] показывает, что расчет амплитуд дифракционных спектров
с помощью метода дискретных особенностей дает вполне удовлетвори-
тельные результаты при малых затратах машинного времени.
Для к = 1, 2 эта задача решена с числом узлов 4, 6, 8 (см. табл. 15.5).
к -1,2
п
4
6
\А0\
0,6056
0,6085
.»,< II
0,9123
0,9110
п
8
0,6085
Таблица 15.5
\АХ I
0,9108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одно из самых замечательных проявлений НТР в науке связано с появле-
нием и внедрением практически во все области человеческой деятельно-
сти ЭВМ. Роль количественных описаний и математического моделиро-
вания растет буквально на глазах. Появился и быстро развивается новый
научный метод — численный эксперимент, который, как никогда ранее,
тесно связал три подхода: физический, математический и машинный, -
заставил искать для них единый язык. Наиболее пригодными оказыва-
ются дискретные способы описания, которые весьма физичны, приводят
к более простой математической логике и адекватны языку ЭВМ. Про-
исходит сближение, переплетение, полезное взаимное влияние фундамен-
тальных проблем математики и прикладных проблем механики, электро
динамики, математической физики и др.
Численный эксперимент становится и своеобразной лабораторией для
математика. Во-первых, он позволяет произвести априорную проверку
тех фактов, которые затем составят содержание теории. Во-вторых,
при реальных расчетах на ЭВМ идет проверка, становление, доводка чис-
ленных методов. Теперь к ним предъявляются существенно более строгие
и многообразные требования, ибо они - основа производительной силы
науки. Среди этих требований на первый план, наряду с корректностью,
выдвигаются такие, как эффективность, устойчивость, универсальность,
логическая простота.
Настоящая книга посвящена изложению и обоснованию метода числен-
ного решения на ЭВМ одномерных и многомерных сингулярных интеграль-
ных уравнений. Они возникают во многих областях математической физи-
ки, при решении целого ряда прикладных проблем. Способы их примене-
ния были проиллюстрированы на задачах аэродинамики, теории упруго-
сти и электродинамики. В современных условиях следует считать есте-
ственным тот путь, те трансформации, которые прошли первоначальные
идеи изложенного в книге метода.
1. Эвристические соображения и численный эксперимент по обработ-
ке метода на тестовых частных задачах теории профиля, имеющих точные
решения.
2. Обобщение метода, перенесение его идей на крылья произвольной
формы в плане, становление его на новом уровне с помощью логических
соображений и численного эксперимента.
3. Строгое математическое обоснование путем построения теории спе-
циальных квадратурных формул для сингулярных интегралов и для чис-
ленного решения уравнений.
16* 243

4. Обобщение метода на более широкий класс сингулярных интеграль-
ных уравнений, применение его на этой основе в различных новых об-
ластях.
К числу главных причин жизнеспособности метода следует отнести
логическую ясность, универсальность подхода и устойчивость расчетов,
получающихся на его основе.
Для дальнейшего развития рассмотренной области математики, а также
удовлетворения насущных нужд ряда прикладных наук, хотелось бы
привлечь внимание специалистов к следующим проблемам.
1. Многие прикладные задачи сводятся к решению интегральных урав-
нений и их систем. Поскольку разработан и прошел широкую апробацию
эффективный метод решения сингулярных интегральных уравнений, целе-
сообразно искать различные пути получения уравнений именно такого
типа. Некоторые из них были даны в книге.
2. Для сингулярного интеграла
t y(t)dt
/(to) = / A)
L Го -Г
построить формулы типа квадратурных формул метода дискретных вих-
рей, дающих равномерную сходимость различной точности в тех случаях,
когда:
1) L — отрезок или окружность, a y(t) терпит разрывы 1-го рода в
нескольких внутренних точках;
2) когда L имеет точки ветвления (например, L имеет форму буквы
"Т", или креста "+", или буквы "Ю") ;
3) в некоторых из этих точек y(t) терпит степенные абсолютно инте-
грируемые разрывы.
3. Для интеграла теории крыла конечного размаха
А. я j^. л +
построить квадратурные формулы типа метода дискретных вихрей, даю-
щие равномерную сходимость в расчетных точках, зависящую от диффе-
ренциальных свойств регулярной части функции у(х, z). Например, если
а — прямоугольник [-b, b] X [-/, /], то предположим, что у[х, z) име-
ет вид
где функция и(х, z), регулярная часть функции у{х, г), имеет все произ-
водные г-го порядка, которые принадлежат классу Н(а) на а.
4. Рассмотреть задачу 3 для двумерного сингулярного интеграла
fix о, Уо. 0)u(x, y)dx dy
8 ¦ {f (Xo_x)l + (K_Ko)J • C)
где в - полярный угол точки (х, у) относительно точки (х0, у о),
f Uo/ Уо, в) — характеристика интеграла В, а также и для интеграла
Qix. y)dx dy
= а D>
5. Для сингулярного интегрального уравнения
b y(t)dt
/fK(to,t)y(t)dt = f{t0), E)
L
/f
71 L t0 -t L
244

где L - одна из упомянутых выше кривых, построить численные методы
типа метода дискретных вихрей, дающих равномерную сходимость в тех
случаях, когда:
1) f(t0) терпит один или несколько разрывов 1-го рода или степенные
интегрируемые;
2) ядро K(t0, t) nf{t0) терпят разрывы в одних и тех же точках f0;
3) аиб- комплексные.
6. Для уравнения Абеля
: № F)
построить численный метод, аналогичный построенному в § 2 гл. 12, ско-
рость сходимости которого зависела бы от дифференциальных свойств
fit) и/С(г,г).
7. Для уравнений
7(х, z) I х0 — х \
Я ¦ >2 ( 1 + ,, л , a)dx<*г ш «*о. 'о). G)
- гJ \ VUo - *) + (г0 - гг/
а [(ХО -XJ
dx dz = f(xo- zo) (8)
1) доказать теоремы существования и единственности (при соответствую-
щих дополнительных условиях);
2) построить и обосновать численные методы, дающие равномерную
сходимость на всей области а;
3) то же при наличии в уравнениях G) и (8) слагаемого с регулярным
ядром.
Возможно, здесь удастся найти такую систему ортогональных на пря-
моугольнике [—Ь, Ь] X [—/, /] плоскости OXZ многочленов РПгт(х, z)
1
степени л по х и степени т по г с весом w(x, z) -•
что с помощью представления
G(x, z) = w(x, z)u(x, z), (9)
где и(х, г) — функция класса Н на прямоугольнике, удастся построить
интерполяционный полином un(x,z)
un(xit Zj) = u(xit ij), / = 1,...,л, /=1 m, A0)
по корням (x,, Zj) полинома Рп§т(х, z) и с помощью этого полинома
построить следующую систему алгебраических уравнений:
2 1 un(xt, z^Ab'^-fixob, zOm), * = 1 а ап = 1 т.
/=1 / = i A1)
Здесь 4*' w ~ значение коэффициентов квадратурной формулы для интег-
рала
* / w(x, z)u(x, z)
г г dx c/z, A2)
-* -/ Кхо-хJ+ (zo-zJ]3/2
245

построенного с помощью полинома ип (х, г) в точке {хок, хОт). При этом
точки (хок,гОт) должны быть корнями полинома (или функции)
* J w(x, z)Pn т (x,z)
Qn, mUo^o) = / J -z : я у dx dz. A3)
— О — I I'^O * i 1*0 ' *
С другой стороны, довольно перспективным кажется здесь применение
двумерных сплайнов Интересно было бы провести соответствующие
теоретические исследования и численные эксперименты.
8. Дать математическое обоснование метода дискретных вихрей в не-
линейной нестационарной задаче (см. § 4 гл. 12).
Наряду с развитием рассмотренных подходов численный эксперимент
приносит и более радикальные изменения в численные методы: в аэродина-
мике при решении нелинейных задач теории крыла и особенно в связи
с изучением отрывного обтекания различных несущих поверхностей [9, 15]
получение интегральных уравнений оказалось не только весьма затрудни-
тельно, но и излишне. Опыт работы с дискретными вихревыми моделями,
рассмотренными в данной книге, позволил описывать явление одним
языком на всех стадиях исследования — от физической схематизации до
моделирования на ЭВМ. Вихрь оказался не только ясным физическим
образом, но и удобным мзтематическим модулем и, в частности, первоис-
точником хорошей обусловленности определителей систем алгебраичес-
ких уравнений, причиной устойчивости счета.
На рис. 51 приведен пример решения задачи об отрывном нестационар-
ном обтекании пластины, движущейся перпендикулярно хорде с постоян-
ной скоростью и0. Пластина и здесь заменяется системой дискретных
вихрей, причем условие Чаплыгина — Жуковского о конечности скоро-
стей выставляется на обеих кромках. Циркуляции присоединенных вих-
рей меняются во времени, поэтому обтекание пластины сопровождает-
ся сходом свободных вихрей. Это позволяет обеспечить выполнение тео-
рем гидродинамики о сохранении циркуляции, а также удовлетворить
условиям Чаплыгина — Жуковского не на одной, а на двух кромках. Фор-
ма вихревого следа определяется в процессе расчета на основании усло-
вия о том, 41 о свободные вихри движутся вместе со средой и циркуля-
ции их во времени не меняются. В результате удалось смоделировать не
только интегральные, но и локальные эффекты, в том числе потерю ус-
тойчивости вихревых поверхностей и образование вихревых сгустков
Рис. 51
246

дорожки Кармана. Метод оказался весьма эффективным и в трехмер-
ных задачах аэродинамики и гидродинамики.
Анализ подобных проблем потребовал несколько иных математиче-
ских постановок задач, расширения понятий, связанных с порядком их
решения и особенностями организации численных расчетов. С этим под-
ходом подробнее читатель может позникомиться по книге [15].
В связи со сказанным отметим следующие проблемы, актуальность
которых становится все более очевидной. Во-первых, необходимо актив-
но переносить указанные идеи в другие области математической физики
и прикладных наук. Первые шаги, сделанные вслед за аэродинамикой
в электродинамике и теории упругости, уже привели к многообещающим
результатам. Во-вторых, следует заняться строгим обоснованием новых
подходов к решению краевых задач, полностью основанных на подобных
дискретных представлениях. В-третьих, необходимо интенсивно анализи-
ровать и реализовать те возможности, которые открываются при этом
для создания оптимального математического обеспечения специализиро-
ванных высокопроизводительных супер-ЭВМ. Единая математическая
методология, позволяющая решать широкий класс задач различного фи-
зического содержания, возможности конвейеризации и распараллелива-
ния счета заставляют обратить особое внимание на данную проблему.
Заключая большой этап нашей совместной работы, связанный с созда-
нием книги, нам хотелось бы привлечь внимание читателей к тем новым
процессам, которые происходят в науке. Численный эксперимент - это
качественно новый метод исследования, который обладает многими поис-
тине удивительными свойствами, более того, он содержит в себе то, что
теперь называют "искусственным интеллектом". Так, в рамках заклю-
ченных в модели закономерностей без специальных алгоритмов она сама
находит выход из противоречивых ситуаций.
Известно, что никаким дискретным расположением точечных вихрей
нельзя получить устойчивую дорожку Кармана. А вот образовав вихревые
сгустки конечных размеров, модель отрывного обтекания пластины в
рамках предоставленных ей возможностей привела к решению задачи [15].
Известно, что на концах тонкой вихревой поверхности индуктивные
скорости обращаются в бесконечность. Модель, описывающая образование
начального вихревого следа за пластиной, привела к построению вихревой
спирали — образа начального вихря Прандтля.
В современной авиации широкое применение нашел так называемый
эффект "полезного отрыва". На передних кромках треугольного крыла
малого удлинения и "наплыва" стреловидного крыла выгодно создавать
отрыв потока. Для этого достаточно указанные передние кромки сделать
острыми. Дозвуковой поток не может огибать острые кромки — это при-
вело бы к бесконечным скоростям. В реальных условиях здесь возникает
отрыв, который можно моделировать вихревой поверхностью. На основе
метода дискретных вихрей были созданы математические модели таких
видов течений [15], причем в них не закладывался специальный алгоритм
сворачивания пелены в вихревые жгуты. Однако в расчётах были автома-
тически получены носовые вихревые жгуты [15]. Заметим, что наличие
их приводит к повышению несущих свойств и увеличению рабочего диапа-
зона углов атаки крыльев.
В процессе численного анализа развития течения (нестационарные под-
ходы) или при расчетных итерациях (стационарные задачи) происходит
отбор устойчивых вихревых структур. Иногда это приводит к неожидан-
ным результатам.
247

Рассмотрим стационарную задачу об истечении струй из сосуда с четы-
рехгранным отверстием в пространство, заполненное неподвижной жид-
костью (рис. 55). На границе струй должны выполняться условия о ра-
венстве давлений внутри' струй и вне ее. Большие скорости, образующиеся
в вершинах квадрата при выходе жидкости из сосуда, вызывают здесь
понижение давления и приводят к вдавливанию струй. Уравнение расхода
(жидкость несжимаемая) приводит к сохранению площади поперечного
сечения струй. В результате струя принимает форму четырехугольной
звезды.
Накопленный опыт математического моделирования позволяет ут-
верждать, что без численного эксперимента нельзя как следует понять
ни математику, ни физику сложного явления.
Математик может считать, что понял математическое содержание задачи
и метод ее решения лишь после того, как он провел задачу через горнило
численного эксперимента.
Прикладник может претендовать на понимание сущности мало-мальски
сложного явления только тогда, когда сумел смоделировать его для расчета
на ЭВМ.
Одним из реальных путей повышения эффективности исследований
в ряде новых областей, подготовленным многолетним развитием дискрет-
ных вихрей, является использование его достижений на основе метода
дискретных особенностей.
Параллельно с развитием и внедрением этих методов целесообразно
вести разработку математического обеспечения и архитектуры много-
процессорных ЭВМ, ориентированных на эти методы.
Хотелось бы верить, что наша книга поможет решению указанных
проблем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Абрамович И., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука,
1979,832 с.
2. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных
волн на плоских металлических решетках. — ЖТФ, 32, вып. 4, 1962, с. 381—394.
З.Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными ги-
перболического типа. - М.: Наука, 1978, 352 с.
4. Александров В.М.. Бабешко В.А. и др. Расчет термоупругих контактных давле-
ний в подшипнике с полимерным покрытием. — В кн.: Контактные задачи и их
инженерные приложения. М.: Изд. НИИ маш., 1969, с. 78—85.
5.Арсенин В.Я., Белоцерковский СМ., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Об одном спо-
собе регуляризации сингулярных интегральных уравнений первого рода. — Диф-
ференц. уравнения, 1983.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. II. - М.: Наука,
1966,296 с.
7. Бепокопытова Л.В., Фильштинский П.А. Двумерная краевая задача электроупру
* гости для пьезоэлектрической среды с разрезами. — ПММ, 1979, 43, № 1, с. 138—
143.
8. Белоцерковский С.М. Исследования по аэродинамике современных несущих по-
верхностей. - Дис.. .. д-ра техн. наук. - М., 1955.
9. Белоцерковский С.М. Расчет обтекания крыльев произвольной формы в плане в
широком диапазоне углов атаки. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 4.
10. Белоцерковский С.М. Подковообразный вихрь при неустановившемся движе-
нии. - ПММ, 1955, XIX, вып. 2, с. 159-164.
11. Белоцерковский С.М. Пространственное неустановившееся движение несущей
поверхности. - ПММ, 1955, XIX, вып. 4, с. 410-420.
12. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке га-
за. - М.: Наука, 1965. 244 с.
13. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном
потоке газа. - М.: Наука, 1971, 768 с.
14. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летатель-
ного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. — М.: Наука, 1975, 424 с.
15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких
крыльев идеальной жидкостью. - М.: Наука, 1978, 352 с.
16. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Ништ М.И. Метод дискретных вихрей в
задачах аэродинамики и теория многомерных сингулярных интегральных урав-
нений. — В кн.: VI Международная конференция по численным методам в гидро-
динамике. Сборник докладов. Тбилиси, 1978, с. 30-34.
17. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные урав-
нения аэродинамики. - Дифференц. уравнения, 1981, XVII, № 9, с. 1539—1547.
18. Белоцерковский С.М. О методологии создания, проверки достоверности и при-
менения математических моделей в авиации. — В кн.: Вопросы кибернетики.
Проблемы создания и применения математических моделей. М., 1983, с. 3—20.
19. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Солдатов М.М. Метод дискретных особен-
ностей в плоских задачах теории упругости. — ПММ, 1983, 47, вып. 5, с. 781 —
789.
20. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений, т. I, II. - М.: Наука, 1962.
249

21. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. - М.: ИЛ, 1958,
800 с.
22. Бойков И.В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных урав-
нений. - ЖВМ и МФ, 1972,12, № 6, с. 1381-1390.
23. Брычков Ю.Л., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных
функций. - М.: Наука, 1977, 288 с.
24. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977,
304 с.
25. Волохин В.А. Точный метод вычисления одного класса многомерных сингуляр-
ных интегралов. — Изв. вузов. Математика, 1981, №1,0.11—14.
26. Вычислительные методы в электродинамике / Под. ред. Р. Митры. - М.: Мир,
1977,485 с.
27. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравне-
ний методом механических квадратур. - ДАН СССР, 1968, 179, № 2, с. 260-
263.
28. Габдулхаев Б.Г., Душнов П.Н. О прямых методах решения сингулярных инте-
гральных уравнений первого рода. — Изв. вузов. Математика, 1973, № 7, с. 12-24.
29. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интеграль-
ных уравнений, I. — Изв. вузов. Математика, 1975, № 7, с. 30—41; II. - Изв. ву-
зов. Математика, 1976, № 1, с. 30-41.
30. Габедава Г.В. Приближенное решение уравнения теории крыла методом Бубно-
ва-Галеркина. - Тр. мат. ин-та АН ГССР, 1974, 44, с. 52-56.
31. Гагуа И.Б. О некотором применении кратных интегралов типа Коши. — В кн.:
Исследования по современным проблемам ТФКП. М.: Физматгиз, 1960, с. 345—
352.
32. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач мате-
матической физики. — Теория функций, функциональный анализ и их при л.,
1982, вып. 38, с. 15-18.
33. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному
интегральному уравнению на системе отрезков. — Теория функций, функцио-
нальный анализ и их прил., 1983, вып. 40, с. 33-36.
34. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 640 с.
35. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. - М.—Л.: ГИТТЛ, 1949, 480 с.
36. Гурса Э. Курс математического анализа, т. Ill, ч. 2. — М. — Л.: ГТТИ, 1934,
320 с.
37.Джваршейшвили А.Г. Граничные свойства двумерного интеграла типа Коши.—
Изв. вузов. Математика, 1978, № 6, с. 63-72.
38. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближен-
ными проекционными методами. — ЖВМ и МФ, 1979,19, № 5. с. 1149-1161.
39. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений коллока-
ционными методами. - ЖВМ и МФ, 1981, 21, № 2, с. 355-362.
40.Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Дифракция плоского электромагнитного поля на
идеально проводящей полосе, погруженной в слоимую среду. - Изв. АН СССР.
Физика Земли, 1967, № 5.
41. Ефремов И.И. О приближенном решении сингулярного интегрального уравне-
ния теории крыла. — В кн.: Динамика систем твердых и жидких тел. Тр. семи-
нара по динамике Ин-та механики АН УССР, 1965. - Киев, 1966, с. 76-81.
42. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применения к численному реше-
нию сингулярных интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1968, 288 с.
43. Какичев В.А. Граничные свойства интеграла типа Коши многих переменных. —
Учен. зал. Шахт. пед. ин-та, 1959, 2, выл. 6, с. 25-90.
44. Какичев В.А. О регуляризации сингулярных интегральных уравнений с ядрами
Коши для бицилиндрических областей. — Изв. вузов. Математика, 1967, № 7 F2),
с. 54-64.
45. Каландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. — М.: Нау-
ка, 1973, 304 с.
46. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.—
Л.: ГИТТЛ, 1952,696с.
47. Карпенко Л.Н. Про зображення функций за допомогою многочленив Якоби та
обчисления деяких интеграл и в типу Коши. — Висник Киивського университету.
Сер. мат. та механики, 1971,13, с. 74—79.
48. Келдыш М.В., Седов Л.И. Эффективное решение некоторых краевых задач для
гармонических функций. - ДАН СССР, 1937, XVI, № 1,с. 7-10.
49. Коган Х.М. Об одном сингулярном интегродифференциальном уравнении. — Диф-
ференц. уравнения, 1967. Ill, № 2, с. 278-293.
50. Колесников Г.А. Метод расчета распределения циркуляции крыльев малого уд-
линения. — В кн.: Теоретические работы по аэродинамике. М., 1957.
250

51. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. — В кн.:
Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квад-
ратурные формул М.: Наука, 1964.
52. Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование на
ЭВМ стационарного и нестационарного обтекания телесных профилей и решеток
идеальной несжимаемой жидкостью. - ДАН СССР, 1980, 252, № 6, с. 1341-1345.
53. Крикунов Ю.И. Дифференцирование особых интегралов с ядром Коши и одно
граиичиое свойство голоморфных функций. — В кн.: Краевые задачи теории функ-
ций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1962, с. 17—24.
54. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. -
Л.: ГИТТЛ, 1950.
55. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. -
Тр. ЦАГИ, 1932, вып. 118, с. 3-56.
56. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного перемен-
ного. - М.: Наука, 1973, 736 с.
57.Лифанов И.К., Полонский Я.E. Обоснование численного метода дискретных вих-
рей решения сингулярных интегральных уравнений. - ПММ, 1975, 39, № 4,
с. 742-746.
58. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и крат-
ными интегралами типа Коши. — ДАН СССР, 1978, 239, № 2, с. 265—268.
59. Лифанов И.К. Формула Пуанкаре—Бертрана и сингулярные интегральные урав-
нения с кратными интегралами типа Коши. — ДАН СССР, 1978, 243,№1,с.22—25.
60. Лифанов И.К. О формулах обращения многомерных сингулярных интегралов. -
ДАН СССР, 1979, 249, № 6, с. 1306-1309.
61. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей. - ПММ, 1979, 43, № 1, с. 184-188.
62. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей для крыла бесконечного размаха и
уравнении Прандтля для крыла конечного размаха. — Изв. вузов. Математика,
1980, №6, с. 44-51.
63. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингуляр-
ных интегральных уравнений первого рода. - ДАН СССР, 1980, 255, № 5, с. 1046-
1050.
64. Лифанов И.К. Квадратурные формулы и формула Пуанкаре—Бертрана для сингу-
лярных интегралов. — Сиб. мат. журн., 1980, XXI, № 6, с. 46-60.
65. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений. —
Дифференц. уравиеиия, 1981, XVII, № 12.
66. Лифанов И.К. О приближенном вычислении многомерных сингулярных интегра-
лов. — Семииар ии-та прикл. математики им. И.Н. Векуа. Доклады, 1981, № 15,
с. 13-16.
67. Лифанов И.К., Саакян А.В. Метод численного решения задачи о вдавливании дви-
жущегося штампа в упругую полуплоскость с учетом тепловыделения. — ПММ,
1982, 46, №3, с. 494-501.
68. Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. О сингулярном интегральном уравнении на системе
отрезков. - Теория функций, функциональный анализ и их при л., 1983, вып. 30,
с. 104-110.
69. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951, 552 с.
70. Маслов В.П. Регуляризация некорректных задач для сингулярных интеграль-
ных уравиений. - ДАН СССР, 1967,176, № 5, с. 1012-1014.
71. Матвеев А.Ф. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных интегралов
с ядрами Коши и Гильберта в метрике С. — М., 1982, - 37 с. (Препринт/И ТЭФ;
№165).
72. Матвеев А.Ф. Приближенное решение некоторых сингулярных интегро-дифферен-
циальиых уравнений. — М., 1982, — 32 с. (Препринт/ИТЭФ, № 83).
73. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. - УМН, 1948, 3, вып. 3B5),
с. 29-112.
74. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. —
М.: Физматгиз, 1962.256 с.
75. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979, 224 с.
76. Мокин Ю.И. О двух моделях стационарного движения заряженных частиц в ваку-
умном диоде. - Мат. сб., 1978,106 A48), № 2 F), с. 234-264.
77. Мусхелишвили Н.Н. Некоторые основные задачи математической теории упру-
гости. - М.: Наука, 1966, 707 с.
78. Мусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968,
512 с.
79. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. — М.: Изд. АН СССР,
1947, 260 с.
80. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около
трещин в пластинах и оболочках. - Киев: Наук, думка, 1976, 443 с.
251

81. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука,
1977,312 с.
82. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. — М.: Наука,
1981,688 с.
83. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965,
128 с.
84. Поляхов Н.Н. Об интегральном уравнении теории несущих поверхностей. — Вести.
ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия, 1973, № 7, с. 115-121.
85. Привалов И.И. Интегральные уравнения. - М.-Л.: ОНТИ, 1935, 248 с.
86. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.. Наука, 1967, 384 с.
87. Пыхтеев Г.Н. О вычислении коэффициентов и оценке погрешности интерполиро-
вания квадратурными формулами для простейшего интеграла типа Кош и и син-
гулярного интеграла по разомкнутому контуру. — ЖВМ и МФ, 1972,12, № 3.
88. Развитие теории контактных задач в СССР. - М.; Наука, 1976, 494 с.
89 Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные
функции. - М.: Наука, 1983, 750 с.
90. Саакян А.В. Построение функций влияния для упругой полосы от движущихся по
ее краям с постоянной скоростью сосредоточенных сил и тепловых источников. —
Докл. АН АрмССР, 1978, 67, № 2, с. 78-85
91. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. — Киев: Наук
думка, 1981, 324 с.
92. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравне-
ний. - М.- Наука, 1976, 352 с.
93. Саникидзе Дж.Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с сум-
мируемой плотностью методом механических квадратур. — Укр.мат.журн,
1970, 22, № 1,с. 106-114.
94. Сафронов И.Д. К приближенному решению сингулярных интегральных урав-
нений. - ДАН СССР, 1956, III, № 1,с. 37-39.
95. Старк И. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши. — Ракет-
ная техника и космонавтика, 1971, 9, с. 244—245.
96. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Методы расчета распределения тока в системе ли-
нейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы. — В кн.:
Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1968, вып. 10,
с. 3-8.
97. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука,
1979,288 с.
98. Тумашев Г.Г., Ильинский Н.Б. Об одном приложении сингулярного и н те гро-диф-
ференциального уравнения в теории фильтрации. — Изв. вузов. Математика,
1967, №7, с 100-103.
99. Фан Ван Хап. О применении метода замены интеграла конечной суммой к при-
ближенному решению сингулярных интегральных уравнений. — Вести. МГУ.
Сер. 1. Математика, механика, 1969, № 3.
100. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II. -
М.: Фиэматгиз, 1959. 808 с.
101. Хапаев М.М. О численном обращении интегральных операторов 1-го рода типа
потенциала простого слоя — Дифференц. уравнения, 1982, XVIII, № 3, с. 498—
505.
102. Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: ИЛ, 1951. 504 с.
103. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, син-
гулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. — Тр. Тбил.
мат. ин-та АН ГССР, 1957, XXIII, с. 3-158.
104. Хенл X., May Э.А., Becmпфаль К. Теория дифракции - М.. Мир, 1964, 428 с.
105. Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие
тела (к теории аэроплана). Избранные труды. Механика жидкости и газа. Мате-
матика. Общая механика. - М.: Наука, 1976, с. 97-130.
106. Чаплыгин С.А. Результаты теоретических исследований о движении аэропланов.
Избранные труды, механика жидкости и газа Математика. Общая механика -
М.: Наука, 1976, с. 131-141.
107. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч. I, II. — М.: Наука, 1976.
108. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и рас-
пространения электромагнитных волн. — Харьков. Изд-во Харьк. ун-та, 1971,
400 с.
109. Шестопалов В.П., Питвиненко П.Н., Маслов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн
на решетках — Харьков: Изд-во Харьк ун-та, 1973, 288 с.
110. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интегра-
ла. - Изв. вузов. Математика, 1976, № 12. с. 108-118.
111. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. — М.. ГИТТЛ, 1949, 270 с.
252

112. Эшли X.. Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. —
М.: Машиностроение. 1969, 318 с.
113. Belotserkovskii S.M. Study of the unsteady aerodynamics of lifting surfaces using the
computer. — Ann. Rew. Fluid. Mech., 1977, 9, 469—494.
114. Dmovska R., Kostrov B.V. A Cheering crack in a semi-space under plane strain condi-
tions. - Arch. Mech. Stosow., 1973, 25, № 3. 421-440.
115. Erdogan F.E., Gupta G.D. On the numerical solutions of singular integral equations. —
Quart. Appl. Math., 1972, 7,№8, р. 525-534.
116. Erdogan F.E., Gupta G.D., Cook T.S. The numerical solutions of singular integral
equations. — In: Methods of Analysis and solutions of Crack Problems. Ley den: Noord-
hoff Intern. Publ., 1973, p. 368-425.
117. Falkner V.M. The solution of lifting-plane problems by vortex-lattice theory. — Report
and Memoranda, 1947, №2591.
118. longhanns P., Selbermann B. Zur Theohe der Naherungsverfahren fur singulare Integral-
gleichungen auf Intervallen. - Math. Nachr., 1981, 103, p. 199-244.
119. Krenk S. On the quadrature formulas for singular integral equations of the first and the
second kind. - Quarterly of Appl. Math., 1975, 33, №3, p. 225-232.
120. Multhopp H. Die Berechnung der Aufthebsverteilung von Tragflugeln. — Luftfahrtfor-
schung. 1938, XV, №4, 1938, p. 153-169.
121. Spence D.A. The Lift on a Thin Aerofoil with a Let-Augmented Flap. - The Aeronau-
tical Quarterly, 1958, 9, №3, p. 287-299.
122. Thamasphyros GJ. and Theocaris P.S. On the convergence of a Gauss quadrature rule
for evaluation of Cauchy type singular integrals. - BTI, 1977, 17, №4, p. 458-464.
123. Weighardt K. Uber die Aufthebsverteiling des einfachen Rechteckflugels liber die Flie-
fe. - Z. angew. Math, und Mech., 1939, 19. №5, p. 257-270.
124. Weissinger J. The lift distribution of swept-back wings. - NACA, TM, 1947, 1120.

Сергей Михайлович Белоцерковский
Иван Кузьмич Лифанов
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
В СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В АЭРОДИНАМИКЕ,
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Редактор ГЛ. Грошев
Технический редактор В.В. Лебедева
Корректоры Т.В. Обод, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 12721
Сдано в набор 02.11.84
Подписано к печати 09.01.85
Т-01210.Формат 60 X 90 1/16
Бумага офсетная №1. Гарнитура Универс
Печать офсетная. Усл.печ.л. 16,0
Усл.кр.-отт. 16,0. Уч.-изд.л. 17,61
Тираж 5200экз. Тип. зак. 508
Цена 2 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77,
ул. Станиславского, 25