ISBN: 978-5-89155-219-7
Текст
МФТИ
СЕРИЯ «ФИЗИКА»
Сборник задач
по общему курсу
физики
в трех частях
Под редакцией
В. А. ОВЧИНКИНА
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению
подготовки «Прикладные математика и физика»
Часть 1
Механика
Термодинамика и молекулярная физика
Издание третье, исправленное и дополненное
Щ—•—'
)*-
JI—
Москва
ФИЗМАТКНИГА
2013
ы.К
(\2'Л
УДК ,53(07,5.8)
Д.А.ЗАИКИН, В. А. ОВЧИНКИН, Э. В. ПРУТ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ: Учеб, пособие для ву-
HIII / Н трех частях. 4.1. Механика. Термодинамика и молекулярная физика/Под
реп 11 Л. Овчинкина. (3-е изд., испр. и доп.) — М.: Физматкнига, 2013. — 560 с.
ISI1N 978-5-89155-219-7.
11ервая часть сборника включает в себя более 2200 задач различной степени труд¬
ности. Авторами большей части задач являются преподаватели кафедры общей физи¬
ки Московского физико-технического института (МФТИ). Эти задачи предлагались
студентам на экзаменах, контрольных работах и студенческих физических олимпи¬
адах. Книга содержит также классический методический материал, необходимый в
учебном процессе. Некоторые задачи имеют оценочный характер и охватывают сразу
несколько разделов физики. Около 10% задач приведены с решениями. В сборнике не
отдано предпочтение какой либо одной системе единиц, так как реально в различных
областях науки и техники применяются единицы, наиболее адекватные рассматрива¬
емому вопросу.
Для студентов физических специальностей вузов, а также преподавателей физики
высшей и средней школ.
Учебное издание
Заикин Дмитрий Алексеевич
Овчинкин Владимир Александрович
Прут Эдуард Вениаминович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Часть 1. Механика. Термодинамика и молекулярная физика
Издание третье, исправленное и дополненное
Редакторы J1. Г. Быканова, А. К. Розанов
Набор и верстка выполнены в издательстве «Физматкнига»
Операторы верстки А. К. Розанов, И. А. Розанов, К. В. Чувилин
Художники М. В. Ивановский, И. П. Казанский
Издательство «Физматкнига».
141700, Московская область, г. Долгопрудный, ул. Первомайская, д. 11 -а.
Тел. (495) 971-26-04.
Подписано в печать 20.10.2012. Формат 60x88/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 34,2. Уч.-изд. л. 37,0. Тираж 1200 экз. Заказ №1606
Отпечатано в ППП «Типография «Наука».
121099, Москва, Шубинский пер., 6
Интернет-магазин технической литературы
ISBN 978-5-89155-219-7
www.fizmatkniga.ru
©Овчинкин В. А., 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко третьему изданию 4
От составителей 5
Задачи Ответы
МЕХАНИКА
| I. Кинематика материальной точки 8 348
| 2. Динамика материальной точки. Статика 12 352
| 3. Движение тел с переменной массой 25 359
§4. Работа, энергия, импульс. Законы сохранения импульса и энер¬
гии. Столкновения 38 365
| б. Гармонические колебания материальной точки 59 376
§6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса 71 381
$ 7. Гравитация 75 383
| Н. Специальная теория относительности 104 403
§9. Плоское движение твердого тела 119 415
§ 10. Колебания твердого тела. Волны 153 436
§ II. Пространственное движение твердого тела. Гироскопы 168 443
§ 12. Неинерциальные системы отсчета 175 446
| 13. Упругие деформации 192 459
| 14. Элементы гидродинамики 202 464
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
$ I, Идеальный газ. Работа, теплота, внутренняя энергия. Первое
начало термодинамики. Теплоемкость 211 470
$ 2. Скорость звука. Истечение газов 226 480
$3. Циклы. Расчет работы, внутренней энергии, тепловых эффектов
и КПД 229 481
$4. Энтропия. Обратимые и необратимые процессы 237 485
$Г>. Термодинамические потенциалы 251 495
§6. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса 261 501
Ц 7. Распределение Максвелла 271 508
$ 8. Распределение Больцмана 283 515
$9. Флуктуации. Статистический смысл энтропии 293 521
$ 10. Явления переноса. Теплопроводность. Броуновское движение .. 300 528
$ 11. Фазовые превращения 324 542
$ 12. Поверхностные явления 338 551
Приложения 558
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание первой части Сборника дополнено некоторым
количеством новых задач (около 185 по механике и 120 задач по
термодинамике и молекулярной физике). При этом была сохранена
нумерация старых задач. Часть задач дана в новой редакции или
заменена, а в ответы и решения внесены необходимые исправления
и уточнения. Всего в задачнике содержится 1259 задач по механи¬
ке и 952 по термодинамике и молекулярной физике. Таким образом,
данный Сборник в целом является уникальным изданием в мировой
практике преподавания физики.
Авторами новых задач являются преподаватели кафедры общей
физики МФТИ. Задачи составлялись для семестровых контрольных
работ и письменных экзаменов.
Составители сборника выражают особую признательность и бла¬
годарность преподавателям МФТИ В. Е. Белонучкину, Г. В. Склизкову,
А. В. Степанову, О.А.Судакову и Ю. В. Юрьеву за указанные ими
опечатки, неточности и замечания.
Издательство и составители сборника с благодарностью примут
все замечания и предложения, которые неизбежно возникнут у чи¬
тателей, и советы по его улучшению. Предложения, замечания и
сведения об опечатках, от которых, увы, не свободна ни одна кни¬
га, просьба присылать по адресу издательства (141700, Московская
область, г. Долгопрудный, ул. Первомайская, д. 11-а) или по элек¬
тронной почте publishers@mail.mipt.ru.
ОТ СОСТАВИТЕЛЕЙ
Предлагаемая читателю книга является первой частью Сборника за¬
дач по общему курсу физики, состоящего из трех книг (частей).
В первую часть сборника вошли задачи по механике, термодина¬
мике и молекулярной физике, во вторую книгу — задачи по элек¬
тричеству и оптике, а в третью — задачи по атомной физике, физи¬
ке элементарных частиц и ядерной физике, физике твердого тела и
сверхпроводимости.
В сборнике представлены задачи, предлагавшиеся студентам Мос¬
ковского физико-технического института на семестровых контроль¬
ных работах, письменных экзаменах и олимпиадах по общему курсу
физики в течение более чем пятидесяти лет. Каждый семестр кафед¬
ра общей физики предлагает студентам на письменном экзамене но¬
вые задачи. Именно поэтому «архив» кафедры столь велик. Как пра¬
вило, это задачи, приближенные к реальным физическим проблемам,
родившиеся под влиянием научной работы преподавателей. Конечно,
в сборнике содержится много стандартных учебных задач, отлича¬
ющихся простотой и ясностью. Но каждая из них не лишена своей
«изюминки». Часть задач носит оценочный характер. Они должны
способствовать развитию у студентов ясности физического мышле¬
ния и ощущения масштабов физических величин и явлений. При
решении большинства задач требуется не только формальное знание
законов, но и достаточно широкий физический кругозор. Большин¬
ство задач ориентировано на получение численного ответа, ибо чис¬
ленный ответ является важным критерием разумности получаемых
результатов, приближает задачу к реальной физической ситуации.
Некоторые задачи приведены с решениями (эти задачи помечены
звездочкой). Количество таких задач невелико (около 10% от общего
числа). Как правило, это типовые задачи или задачи глубокие, име¬
ющие фундаментальное значение. Так или иначе наличие решений у
некоторой части задач носит чисто методический характер.
Составители не придерживались какой-либо одной системы еди¬
ниц и обозначений. Это отражает точку зрения кафедры общей физи¬
ки МФТИ — будущий физик должен свободно ориентироваться в лю¬
бой системе единиц, без труда переходя от одной единицы к другой.
Первая часть сборника состоит из двух самостоятельных разде¬
лов, соответствующих программе I и II семестров в МФТИ. Раздел
I — механика и раздел II — термодинамика и молекулярная физи¬
ка. Каждый из разделов разбит на соответствующее количество тем.
Так, «Механика» включает четырнадцать тем, а «Термодинамика» —
двенадцать. Столь подробное разбиение представляет определенное
удобство как для преподавателей, так и для студентов.
В конце настоящей книги приведены соотношения между некото¬
рыми единицами СИ и гауссовой системы, актуальные для данной
части сборника, а также некоторые внесистемные единицы и миро¬
вые константы и важнейшие физические величины.
Часть задач первой книги уже была опубликована в ранее вы¬
шедших изданиях: Сборнике задач по физике под ред. Д. А.Заикина
(М: МФТИ, 1982), Сборнике задач по физике под ред. С. М. Козела
(М.: Наука, 1987), в «Общем курсе физики» Д. В. Сивухина (М.: На¬
ука, 1989). И, наконец, еще часть задач взята из части I Сборника
задач по общему курсу физики (Механика) под ред. И. А Яковлева
(М.: Наука, 1977) и Части II того же сборника (Термодинамика и
молекулярная физика) под ред. Д. В. Сивухина (М.: Наука, 1976).
Соавтором и редактором трех частей последнего из указанных
сборников (всего было издано 5 частей) был профессор МФТИ
Д.В.Сивухин. Значительное количество задач во всех пяти частях
указанного сборника было составлено преподавателями МФТИ.
Над составлением задач трудился весь многочисленный коллек¬
тив кафедры общей физики МФТИ. Конечно, невозможно перечис¬
лить всех авторов сборника, ибо это очень трудная задача. И тем
не менее приведем список достоверно известных людей, придумав¬
ших задачи для этой части сборника: Д. В. Сивухин, В. Г. Аверин,
В. В. Анисимов, Ю. В. Афанасьев, В. Е. Белонучкин, Л. Л. Гольдин,
А.Д.Гладун, А. В. Гуденко, Д. Б. Диатроптов, Д. А. Заикин, В. Г. За¬
цепин, Ф. Ф. Игошин, С. П. Капица, К. В. Караджев, А.С.Кингсеп,
Н. А. Кириченко, А. П. Кирьянов, С. Л. Кленов, Ю. И. Колесов, П.Ф. Ко¬
ротков, В. П. Корявое, К. А. Котельников, М. Г.Кремлёв, К. М. Крым¬
ский, С. И. Крючков, С. Д. Кузьмичёв, Л. Б. Луганский, Е.З.Мейли-
хов, Ю. А. Михайлов, В. Г. Никольский, В. А. Овчинкин, А. П. Овчин¬
ников, О.А.Ольхов, А. Я. Паршин, Э. В. Прут, Э.Н.Свириденков,
М. В. Свиридов, А. И. Смирнов, А. В. Степанов, О. А. Судаков,
Г. Н. Фрейберг, Ю. М. Ципенюк, В. И. Чивилёв, Ю. В. Юрьев.
Нельзя особо не сказать о тех, кто вложил в дело составле¬
ния задач колоссальный редакторский труд, работая в комиссиях
по подготовке экзаменационных письменных работ в разные го¬
ды. Это Д.В.Сивухин, М.Д. Галанин, А.Д.Гладун, Л. Л. Гольдин,
Д. Б. Диатроптов, Б. Г. Ерозолимский, Д. А. Заикин, С. П. Капица,
Ю. И. Колесов, А. П. Кирьянов, С. М. Козел, И. П. Крылов, Г. Р. Лок¬
шин, Л. Б. Луганский, Л. А. Микаэлян, Ю. А. Михайлов, В. Г. Ни¬
кольский, 'А. Я. Паршин, Э. И. Рашба, С. А. Славатинский, А. И. Смир¬
нов, А. В. Степанов, И. Ф. Щёголев, А. В. Францессон, В. Е. Белонуч¬
кин, А.С.Кингсеп, М. Г.Кремлёв, Е. 3. Мейлихов, В. А. Овчинкин,
О. А. Ольхов, Э. В. Прут, М. В. Свиридов, О. А. Судаков, Ю. М. Ципе¬
нюк, В. С. Булыгин.
Техническую работу комиссий многие годы выполняли старшие
преподаватели Л. П. Баканина, Г. Е. Иванникова, Г. А. Никитаева, а
также Н. С. Берюлёва, М. А. Тулайкова, Н. И. Петеримова.
6
^адачи
МЕХАНИКА
§ 1. Кинематика материальной точки
1.1. Начертить графики зависимости скорости некоторых тел от
времени, если графики ускорения а этих тел имеют вид, представлен¬
ный на рис. 1*) (начальная скорость тел во всех случаях равна нулю).
а, м/с2'
2
!■
а, м/с2
О
6 (. с
6 (, с
а, м/с2
а, м/с2
.У1-/1 /I
6 t, С
'6 t, С
Рис. 1
1.2. Начертить графики зависимости от времени пути и ускоре¬
ния некоторого тела, если скорость этого тела как функция време¬
ни представлена графиком на рис. 2 (см. примечание к задаче 1.1).
V, м/с 1
г
1
о
к
2
X
6 8 10 /, с
Рис. 2
1.3. Велосипедист движется по траектории, задаваемой в декарто¬
вых координатах уравнением у = кх2 (к — постоянная), причем его
ускорение параллельно оси у и равно а. Определить радиус кривизны
р траектории велосипедиста как функцию времени.
1.4. Минометная батарея расположена у подножья горы с накло¬
ном к горизонту 45°. Под каким углом а к горизонту надо установить
*) На приведенных графиках зависимость ускорения от времени схематизи¬
рована: предполагается, что ускорение в некоторые моменты времени меняется
скачком. Такой характер придан рисункам для упрощения дела. В действитель¬
ности же ускорения могут изменяться очень быстро, но все же не скачком, по¬
скольку являются непрерывными функциями времени. Предположение о скачко¬
образных изменениях ускорений приводит к тому, что графики скорости имеют
изломы. Аналогичные соображения относятся к задаче 1.2.
8
ствол орудия, чтобы мина достигла склона на максимальной высоте?
Сопротивление воздуха не учитывать.
1.5. Под каким углом (р к горизонту следует бросить камень с
вершины горы с уклоном 45°, чтобы он упал на склон на максималь¬
ном расстоянии?
1.6. Атлет толкает ядро с разбега. Считая, что скорость ядра
относительно атлета в момент броска равна по величине скорости
разбега, найти угол а, под которым следует выпустить ядро по отно¬
шению к земле, чтобы дальность полета была максимальной. Высоту
самого атлета не учитывать.
1.7. На одну пару обкладок электронного осциллографа подает¬
ся синусоидальное, на другую — пилообразное напряжение. Какая
картина будет видна на экране, ес¬
ли периоды синусоиды и «пилы» свя- z’ м‘
ааны соотношениями: Тс/Тп = 2; 1; ч 2
1/2; 3/2? Что будет, если Тс чуть- 'ч _5
чуть больше, чем Тп? ; ~у
1.8. Тело движется по горке, 'чЬ'
имеющей форму, изображенную на
рис. 3. В момент t = 0 тело находит¬
ся в точке х = О, z — 0 и имеет ско- Рис.З
рость v = v0. Нарисовать траекторию
тела в фазовой плоскости с осями координат г, dz/dt. Скорость и0
принимает два значения: (f0)i = 5 м/с, (v0)2 = 7 м/с.
1.9. В наклоненной прямоугольной коробке, упруго ударяясь о
дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает
шарик. Промежуток времени между ударом о дно
И стенку равен At. Дно коробки образует угол а с
горизонтом (рис. 4). Найти скорости шарика сразу
Же после ударов.
1.10. Как показали радиолокационные изме¬
рения, Венера вращается вокруг своей оси в Рис. 4
Направлении, обратном ее орбитальному движе¬
нию. Период осевого вращения Венеры (относительно звезд) Т) =
*= 243 земных суток. Венера обращается вокруг Солнца с периодом
= 225 земных суток. Определить продолжительность солнечных
суток на Венере, т. е. время Т между двумя последовательными про¬
хождениями Солнца через один и тот же меридиан на этой планете
(время от полудня до полудня).
1.11. Определить скорость, с которой движется тень Луны по зем¬
ной поверхности во время полного солнечного затмения, если оно
наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что Солнце, Земля
и Луна находятся в одной плоскости, а земная ось к этой плоско¬
сти перпендикулярна. Скорость света считать бесконечно большой
но сравнению со всеми остальными скоростями. Радиус лунной ор¬
биты 7?л = 3,8 • 105 км.
9
1.12. В открытом море на экваторе стоит высокая вертикальная
скала. Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая сфе¬
рической поверхностью Земли при заходе Солнца? Найти ускорение
такого движения. Радиус Земли R = 6400 км. За какое время тень
переместится от основания до вершины скалы, если высота послед¬
ней h
1.13.
тальной
1 км?
Колесо
дороге
*//////,
Рис. 5
радиусом R катится без скольжения по горизон-
со скоростью v0 (рис. 5). Найти горизонтальную
компоненту vx линейной скорости движения произ¬
вольной точки на ободе колеса, вертикальную ком¬
поненту vy этой скорости и модуль полной скорости
для этой же точки. Найти значение угла а между
вектором полной скорости точек на ободе колеса и
направлением поступательного движения его оси.
Показать, что направление вектора полной скоро¬
сти произвольной точки А на ободе колеса всегда
перпендикулярно к прямой АВ и проходит через
высшую точку катящегося колеса. Показать, что для точки А '(;полн =
= \BA\w. Построить график распределения скоростей для всех точек
на вертикальном диаметре (в данный момент времени) катящегося
без скольжения колеса. Выразить все искомые величины через v0, R
и угол (р, составленный верхним вертикальным радиусом колеса и
радиусом, проведенным из центра колеса О в исследуемую точку его
обода А.
Указание. Движение точек обода колеса можно рассматривать
как результат сложения двух движений: поступательного движения
со скоростью v0 оси колеса и вращения вокруг этой оси. Для этих
точек при отсутствии скольжения колеса модули векторов скорости
поступательного движения и линейной скорости, обусловленной вра¬
щением, равны друг другу.
1.14! Найти выражение для радиуса кривизны циклоиды в ее вер¬
шине (см. задачу 1.17).*)
1.15. Пользуясь общими результатами, полученными в задаче 1.13,
найти величину и направление векторов скорости vx и v2 для двух
точек обода катящегося колеса, расположенных в данный момент
на противоположных концах горизонтального диаметра колеса. Как
будут направлены ускорения этих точек?
1.16. Колесо радиусом R равномерно катится без скольжения по
горизонтальному пути со скоростью V. Найти координаты хну про¬
извольной точки А на ободе колеса, выразив их как функции вре¬
мени t или угла поворота колеса ф, полагая, что при t = 0 ф = 0,
х = 0, у = 0 (рис. 6). По найденным выражениям для хну постро¬
ить график траектории точки на ободе колеса.
*) Задачи, помеченные звездочкой, снабжены решением в данном сборнике.
10
1.17t Пользуясь выражением для полной скорости точек, лежа¬
щих на ободе катящегося колеса (см. задачи 1.13 и 1.16), найти длину
полного пути каждой точки обода колеса между двумя ее последо¬
вательными касаниями полотна дороги.
1.18t Автомобиль с колесами радиусом R движется со скоростью
D по горизонтальной дороге, причем v2 > Rg, где g — ускорение
свободного падения. На какую максимальную высоту h может быть
наброшена вверх грязь, срывающаяся с колес автомобиля? Указать
положение той точки на покрышке колеса, с которой при данной
скорости движения автомобиля грязь будет забрасываться выше все¬
го. Сопротивление воздуха движению отброшенной вверх грязи не
учитывать.
1.19. Используя условия качения колеса из задачи 1.13 и резуль¬
таты ее решения, найти горизонтальную и вертикальную компоненты
вектора ускорения произвольной точки на ободе колеса. Указать ве¬
личину и направление вектора полного ускорения точек, лежащих на
ободе колеса.
1.20. Колесо радиусом R движется горизонтально со скоростью
Do и вращается с угловой скоростью со. Точка А на ободе (рис. 7)
описывает в пространстве некоторую траекторию. Найти радиус ее
кривизны р в момент, когда точка находится на уровне центра колеса.
1.21. Диск радиусом R, вращающийся вокруг своей оси с угловой
скоростью со, брошен под углом а к горизонту со скоростью v0. Точка
А на ободе описывает в пространстве некоторую траекторию (рис. 8).
Найти радиус ее кривизны р в момент наибольшего подъема, если
точка А находится при этом над центром колеса.
1.22. Горизонтальный диск вращается с угловой скоростью а»!
вокруг вертикальной оси. В некоторой точке на этом диске на рас¬
стоянии R от его оси установлен второй диск, ось которого также
вертикальна. Второй диск вращается вокруг своей оси в ту же сторо¬
ну, что и первый диск, но с угловой скоростью си2. Где располагается
та мгновенная ось вращения, движение вокруг которой второго дис¬
ка будет эквивалентно его участию в двух описанных вращательных
движениях с угловыми скоростями o>i и о>2? С какой угловой скоро¬
стью со должен вращаться второй диск вокруг этой мгновенной оси?
1.23. Твердый стержень длиной I скользит по вертикальной и
горизонтальной осям (рис. 9), причем скорость точки В постоянна и
У
А
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
11
равна vB. Найти величину и направление ускорения а,, точки С —-
середины стержня АВ — в тот момент, когда стержень образует с
горизонтом угол ф.
1.24. Твердый стержень длиной / скользит по вертикальной и
горизонтальной осям (рис. 10), причем скорость точки А постоянна
и равна vA. Найти величину и направление ускорения а,, точки С —
середины стержня АВ —- в тот момент, когда стержень образует с
вертикальной осью угол (3.
1.251 Материальная точка совершает движение на плоскости Оху
вдоль по некоторой траектории (рис. И), уравнение которой is поляр¬
ных координатах задается функцией г = г(ф), где г — радиус-вектор
точки с координатами (х.у), а ф — угол, отсчитываемой от оси Ох.
Показать, что: 1) вектор скорости v точки может быть разложен
на две взаимно перпендикулярные компоненты )v,.j = г и |v4,| — гф;
2) вектор ускорения а может быть также представлен как векторная
сумма двух взаимно перпендикулярных компонент |а,.| -- г -- ф2г и
а.ф
dt
(г2ф)
= гф + 2 гф.
1.26. Мотоцикл движется по горизонтальной поверхности так,
что в полярных координатах радиус-вектор мотоциклиста образует со
скоростью постоянный угол а. = 45°. При этом азимутальный угол ф
между радиусом-вектором и осью ,т линейно возрастает со временем:
Ф = Ы (к — постоянная). Определить г(ф), т. е. уравнение траекто¬
рии как функцию угла ф, а также радиус кривизны р траектории
мотоцикла как функцию г, т. е. р(г), если в начальный момент вре¬
мени г = г0 и ф = 0 (см. задачу 1.25).
§ 2. Динамика материальной точки. Статика
2.1. На гладкий горизонтальный стол положена однородная палоч¬
ка АС массой т и длиной I (рис. 12). Постоянная сила F толкает
правый конец палочки. С какой силой Fi мысленно выделенный от¬
резок палочки АВ = 4//5 действует на отрезок ВС той же палочки?
2.2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой
М (рис. 13). Другое тело массой т подвешено на нити, перекинутой
через блок и привязанной к телу массой М. Найти ускорения тел и
12
натяжение нити. Трением тела массой М о плоскость и трением в
блоке, а также массами блока и нити пренебречь.
2.3. Два одинаковых тела связаны нитью и лежат на идеаль¬
но гладком столе, так что нить представляет собой прямую линию
м I
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
(рис. 14). Нить может выдерживать натяжение не более 20 Н. Какую
горизонтальную силу F следует приложить к одному из тел, чтобы
нить оборвалась? Изменится ли сила, необходимая для разрыва нити,
»'з
Ц
щ
h
Ё
\
Рис. 15
Рис. 16
тП сь
Рис. 17
Рис. 18
если между телами и столом есть трение и коэффициент трения
одинаков для обоих тел?
2.4. На идеально гладкую горизонтальную плоскость помещены
три массы mi, т2 и т3, связанные нитями между собой и с мас¬
сой М, привязанной к нити, перекинутой через блок (рис. 15). Найти
ускорение а системы. Найти натяжения всех нитей. Трением в блоке,
а также массами блоков и нитей пренебречь.
2.5. На верхнем краю идеально гладкой наклонной плоскости
укреплен блок, через который перекинута нить (рис. 16). На одном
ее конце привязан груз массой ть лежащий на наклонной плоско¬
сти. На другом конце висит груз массой т2. С
каким ускорением а движутся грузы и каково на¬
тяжение Т нити? Наклонная плоскость образует с
горизонтом угол а.
2.6. Найти ускорения а} и а2 масс ту и т2
и натяжение нити Т в системе, изображенной на
рис. 17. Массой блоков и нитей пренебречь.
2.7. Найти ускорение массы пц и натяжения
нитей Ti иТ2 в системе, изображенной на рис. 18.
Массой блоков и нитей пренебречь, силу трения не учитывать.
2.8. Три груза висят на блоках (рис. 19). Крайние блоки непо¬
движны, а средний может передвигаться. Считая заданными пц и
т-2, определить массу груза т3, при которой средний блок будет
Рис. 19
13
оставаться неподвижным. Трением и массами блоков и веревки пре¬
небречь.
2.9. Два груза висят на блоках, а третий лежит на горизон¬
тальной плоскости (рис. 20). Крайние блоки неподвижны, а средний
«О
I т2
*
Рис. 20
Рис. 21 Рис. 22
может передвигаться. Считая заданными тх и то2, определить мас¬
су то3, при которой груз 3 будет оставаться неподвижным. Трением
и массами блоков и веревки пренебречь.
2.10. Два груза соединены весомой нерастяжимой однородной ни¬
тью длиной I (рис. 21). Массы грузов тоi = то, то2 = 2то/3, нити
тон = то/3. При какой длине вертикального отрезка нити Хх силы,
действующие на грузы со стороны нити, окажутся равными? Чему
равны эти силы? Каково ускорение системы в этом случае?
2.11. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута
нить. На одной части нити к ее концу привязан груз массой тоь
По другой части нити с постоянным относительно нее ускорением а2
скользит кольцо массой то2 (рис. 22). Найти ускорение ах массы mi
и силу трения R кольца о нить. Массой нити пренебречь.
2.12. Камень массой М лежит на горизонтальной плоскости на
расстоянии L от края пропасти. К камню прикреплена веревка, пере¬
кинутая через гладкий уступ; по веревке лезет обезьяна массой то.
С каким постоянным (относительно земли) ускорением она должна
лезть, чтобы успеть подняться раньше, чем упадет камень? Началь¬
ное расстояние обезьяны от уступа равно Н < (М/т)Ь. Коэффици¬
ент трения камня о плоскость равен к.
2.13. Через блок, ось которого горизонтальна, перекинута нерас¬
тяжимая веревка длиной I. За концы веревки держатся две обезьяны,
находящиеся на одинаковых расстояниях 1/2 от блока. Обезьяны на¬
чинают одновременно подниматься вверх, причем одна из них подни¬
мается относительно веревки со скоростью v, а другая со скоростью
2ц. Через сколько времени каждая из обезьян достигнет блока? Мас¬
сой блока и веревки пренебречь; массы обезьян одинаковы.
2.14. Обезьяна, движущаяся с большей скоростью (см. условие
предыдущей задачи), обладает вдвое большей массой, чем другая.
Которая обезьяна достигнет блока раньше?
2.15. Обезьяны, о которых шла речь в задаче 2.13, начинают
подниматься вверх с постоянным ускорением относительно верев¬
14
ки, причем одна из них поднимается с ускорением а, а другая — с
ускорением 2а. Через какой промежуток времени каждая из обезьян
достигнет блока?
2.16. Через неподвижный невесомый блок перекинута невесо¬
мая нерастяжимая веревка. К одному концу ее привязан шест
длиной I, за который ухватилась обезьяна, масса которой равна
массе шеста. Вся система уравновешена грузом, подвешенным к
другому концу веревки. В начальный момент обе¬
зьяна находится в нижней точке шеста. На той же
высоте находится груз. Обезьяна поднимается из
нижней точки шеста в верхнюю. На какую высо¬
ту обезьяна и груз поднимутся относительно зем¬
ли и на сколько опустится шест, если не учиты¬
вать трение в блоке? Тела подвешены на такой вы¬
соте, что движения их могут происходить беспрепят¬
ственно.
2.17. Обезьяна массой то уравновешена противо¬
весом на подвижном блоке В (рис. 23). Блок В урав¬
новешен грузом массой 2то на неподвижном блоке С.
В начале система была неподвижна. С какой скоростью будет под¬
ниматься груз 2то, если обезьяна начнет выбирать веревку с про¬
извольной скоростью v (относительно себя)? Массой обоих блоков
пренебречь.
2.18. На столе лежит доска массой М = 1 кг, а на доске — груз
массой то = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы
доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом
и доской 0,25, а между доской и столом — 0,5.
2.19. Груз массой то лежит на доске массой М. Коэффициент тре¬
ния между доской и грузом равен Ац, а между доской и опорой —
к-2. По доске наносят горизонтальный удар, и она начинает двигаться
с начальной скоростью v0. Определить время, через которое прекра¬
тится скольжение груза по доске.
2.20. Груз массой то лежит на доске массой М. Коэффициент
трения между доской и грузом равен к. По грузу производят гори¬
зонтальный удар, после чего он начинает дви¬
гаться с начальной скоростью v0. Определить
время, через которое прекратится скольжение
груза по доске. Трением доски о нижнюю опо¬
ру можно пренебречь.
2.21. По наклонной плоскости, составляющей
угол а с горизонтом, ускоренно скользит доска
массой М (рис. 24). Коэффициент трения дос¬
ки о наклонную плоскость равен к. На доску кладут тело массой
то, которое скользит по доске без трения. Какова должна быть ми¬
нимальная масса тела ттш, чтобы движение доски по наклонной
плоскости стало равномерным?
Рис. 23
15
2.22. По наклонной плоскости с углом наклона а соскальзывает
брусок массой m,i, на котором находится второй брусок массой то2.
Коэффициент трения нижнего бруска о наклонную плоскость равен
кх, а коэффициент трения между брусками равен к2, причем kv > к2.
Определить, будет ли двигаться верхний бру-
•*———»i сок относительно нижнего и каковы ускорения
1 М. 1 . э обоих брусков. Как изменится результат, если
кх < к2 < tg а?
Рис. 25 2.23. Плоская шайба массой М лежит на
тонкой пластине на расстоянии L от ее края
(рис. 25). Пластину с большой постоянной скоростью выдергивают
из-под шайбы, которая при этом практически не успевает сместить¬
ся.Найти зависимость x{t) расстояния, проходимого шайбой, от вре¬
мени ее скольжения по поверхности стола. На какое расстояние в
итоге сместится шайба? Считать, что сила трения между шайбой и
доской, шайбой и столом прямо пропорциональна скорости с коэф¬
фициентом пропорциональности у.
2.24. Хоккейная шайба падает на лед со скоростью ?;0 под уг¬
лом а и продолжает скользить по льду. Найти скорость скольжения
как функцию времени, если коэффициент тре¬
ния шайбы о лед к не зависит от скорости и
силы давления шайбы на лед.
2.25. На какой угол а наклонится автомо¬
биль при торможении (рис. 26)? Центр масс
расположен на равном расстоянии от перед¬
них и задних колес на высоте h = 0,4 м над землей. Коэффициент
трения к = 0,8; расстояние между осями I = 5h. Упругость всех пру¬
жин подвески одинакова и такова, что у неподвижного автомобиля
на горизонтальной площадке прогиб их Д = 10 см.
2.26. При торможении всеми четырьмя колесами тормозной путь
автомобиля равен SQ. Найти тормозные пути этого же автомоби¬
ля при торможении только передними и только задними колесами.
Коэффициент трения скольжения к = 0,8. Центр масс автомобиля
расположен на равном расстоянии от перед¬
них и задних колес и на высоте h = I/4, где
I — расстояние между осями.
2.27. Длинная однородная балка массой
М и длиной I перевозится на двух корот¬
ких санях (рис. 27). Какую силу тяги нуж¬
но приложить для равномерного перемещения этого груза по гори¬
зонтали? Коэффициент трения для передних саней кх, для задних —
к2. Сила тяги горизонтальна и приложена к балке на высоте h от
поверхности земли. Массами саней пренебречь.
2.28. Алюминиевый конус, масса которого то = 10 г и угол при
вершине 2а = 60°, парит в вертикальной струе воды, вытекающей
из фонтана со скоростью v — 3,5 м/с через патрубок диаметром d =
Рис. 27
Рис. 26
16
= 3 см (рис. 28). Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая се¬
чение струи у вершины конуса приблизительно постоянным, оценить
высоту h, на которой конус будет парить.
2.29. Лодка под парусом развила скорость ц0- Как будет
убывать во времени скорость движения лодки по стоячей
воде после спуска паруса, если сопротивление воды дви¬
жению лодки можно считать пропорциональным квадрату
скорости? Как долго будет двигаться лодка? Какой путь она
пройдет до полной остановки?
2.30. Решить задачу 2.29 в предположении, что сопро¬
тивление воды пропорционально первой степени скорости лодки.*)
2.31. Пусть сила сопротивления воды при движении лодки про¬
порциональна скорости лодки. Как скорость лодки после спуска па¬
руса будет зависеть от пройденного лодкой пути?
2.32. Парусный буер массой 100 кг начинает движение под дей¬
ствием ветра, дующего со скоростью v = 10 м/с. Вычислить время,
через которое мощность, отбираемая буером у ветра, будет макси¬
мальной, если сила сопротивления паруса ветру пропорциональна
квадрату относительной скорости между буером и ветром с коэффи¬
циентом пропорциональности к = 0,1 кг/м. Трением пренебречь.
2.33. Парашютист совершает затяжной прыжок. До раскрытия
парашюта он падает со скоростью 60 м/с, после раскрытия приземля¬
ется со скоростью 4 м/с. Подсчитать, каково было бы максимальное
натяжение Т строп парашюта, если бы в конце затяжного прыжка
он раскрывался мгновенно. Масса парашютиста 80 кг, силу сопро¬
тивления воздуха движущемуся парашюту считать пропорциональ¬
ной квадрату скорости. Считать массу парашюта и его строп малой
по сравнению с массой парашютиста.
2.34. Два шарика падают в воздухе. Шарики сплошные, сделаны
из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше
другого. В каком соотношении будут находиться скорости шариков
при установившемся (равномерном) движении? Считать, что сила со¬
противления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения
движущегося тела и квадрату его скорости.
2.35. Стальной шарик радиусом 0,5 мм падает в широкий со¬
суд, наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося
(равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего тре¬
ния в глицерине равен г) = 14 дин • с/см2, плотность глицерина сД =
= 1,26 г/см3, плотность стали d2 = 7,8 г/см3.
Указание. Для решения задачи воспользоваться гидродинами¬
ческой формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испыты¬
ваемую шариком, движущимся в вязкой жидкости: / = 6nrvr\.
Жл
' / ' I
Рис. 28
*) Указанный режим движения лодки (Fc<lnp ос v) физически нереализуем.
17
2.36. Воздушный шар имеет сферическую оболочку радиусом R,
которая заполнена газом плотностью рг. Плотность воздуха — рв,
вязкость — г|; масса оболочки, оснастки и гондолы в сумме рав¬
на М. Шар снижается с постоянной скоростью. Чтобы ее уменьшить,
в некоторый момент времени за борт выбрасывается без начальной
скорости мешок с песком массой т. Определить скорость шара v как
функцию времени. (См. указание к предыдущей задаче.)
2.37? Как будет изменяться скорость тела, движущегося верти¬
кально вверх с начальной скоростью v0, если предположить, что сила
сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела?
2.38. Тело бросают вертикально вверх в вязкой среде. Сила вяз¬
кого трения пропорциональна скорости движения тела. Вычислить
время ti подъема тела на максимальную высоту его полета вверх и
сравнить его со временем t0 подъема в отсутствие трения. Начальная
скорость тела в обоих случаях одинакова.
2.39. Из зенитной установки выпущен снаряд вертикально вверх
со скоростью v0 = 600 м/с. Сила сопротивления воздуха F = — fcv.
Определить максимальную высоту Н подъема снаряда и время его
подъема т до этой высоты, если известно, что при падении снаряда
с большой высоты его установившаяся скорость гц = 100 м/с.
2.40. Из одного неподвижного облака через т секунд одна за
другой начинают падать две дождевые капли. Как будет изменяться
со временем расстояние между ними? Решить задачу в двух случаях:
1) полагая, что сопротивление воздуха отсутствует; 2) полагая, что
сопротивление воздуха пропорционально скорости капель.
2.41. С палубы яхты, бороздящей океан со скоростью v0 =
= 10 узлов (18 км/ч), принцесса роняет в воду жемчужину массой
т = 1г. Как далеко от места падения в воду может оказаться жем¬
чужина на дне океана, если при ее движении в воде сила сопротив¬
ления F = — |3V; (3 = 10“4 кг/с?
2.42. Колобок, желая полакомиться подсолнечным маслом из бо¬
чонка, свалился туда и через At = 2 с достиг дна. Масса Колобка
т = 200 г, плотность его в 1,05 раза больше плотно¬
сти масла, а сила сопротивления при перемещении Ко¬
лобка в масле F = — |3V, (3 = 0,1 кг/с. Оценить высоту
бочонка Н, если он был залит до краев.
2.43. Брусок скользит по гладкой горизонтальной
поверхности со скоростью v0 и по касательной попа¬
дает в область, ограниченную забором в форме полу¬
окружности (рис. 29). Определить время, через которое
брусок покинет эту область. Радиус забора R, коэффициент трения
скольжения бруска о поверхность забора к. Трением бруска о го¬
ризонтальную поверхность пренебречь, размеры бруска много мень¬
ше R.
2.44. Каков должен быть минимальный коэффициент трения
скольжения к между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы ав¬
2)
Рис. 29
18
Рис. 30
томобиль мог пройти закругление с радиусом R = 200 м на скорости
v = 100 км/ч?
2.45. Автомобиль движется с постоянной скоростью 90 км/ч по
замкнутой горизонтальной дороге, имеющей форму эллипса с полу¬
осями 500 м и 250 м. На каких участках дороги ускорение автомоби¬
ля максимально и минимально? Чему равны максимальное и мини¬
мальное ускорения? Каков должен быть коэффициент трения между
полотном дороги и шинами автомобиля, чтобы автомобиль при дви¬
жении по эллипсу не заносило?
2.461 Автомобиль движется с постоянной скоростью вдоль изви¬
листой горизонтальной дороги. Принимая дорогу за синусоиду (с пе¬
риодом I = 628 м и амплитудой А = 50 м), найти макси¬
мальную скорость, которую может развивать автомобиль,
чтобы не было заноса. Коэффициент трения между полот¬
ном дороги и колесами автомобиля ц = 0,2.
2.47. Велосипедист при повороте по кругу радиусом
R наклоняется внутрь закругления так, что угол между
плоскостью велосипеда и землей равен а. Найти скорость
v велосипедиста.
2.48. Самолет совершает вираж, двигаясь по окружно¬
сти с постоянной скоростью v на одной и той же высоте.
Определить радиус г этой окружности, если плоскость крыла са¬
молета наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным уг¬
лом а.
2.49. Метатель посылает молот на расстояние L — 70 м по траек¬
тории, обеспечивающей максимальную дальность броска при данной
начальной скорости. Какая сила действует на спортсмена при уско¬
рении молота? Вес ядра молота 50 Н. Разгон ведется по окружности
радиусом R = 2 м. Сопротивление воздуха не учитывать.
2.50. Шарик, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити,
лежит на поверхности гладкой сферы радиусом R. Точка подвеса на¬
ходится на вертикальном стержне АО, жестко связанном с центром
сферы (рис. 30). Для неподвижной сферы отношение силы
натяжения нити и реакции сферы равно а, а отношение
силы тяжести и натяжения нити — (3. Вычислить угловую
скорость вращения системы вокруг вертикальной оси, при
которой сила давления шарика на сферу станет равной
нулю. Шарик считать точечным.
2.51. Шарик, подвешенный на нити длиной I, лежит
на поверхности гладкой сферы радиусом R. Расстояние от
точки подвеса до центра сферы равно d (рис. 31). Вычис¬
лить натяжение нити и реакцию сферы для неподвижного
шарика. Определить скорость v, которую надо сообщить шарику в
направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, чтобы реакция
сферы стала равной нулю. Шарик считать точечным. Нить невесома
и нерастяжима.
Рис. 31
19
2.52. Шарик радиусом R висит на нити длиной I и касается верти¬
кального цилиндра диаметром 2г, установленного на оси центробеж¬
ной машины (рис. 32). При какой угловой скорости со вращения цен¬
тробежной машины шарик перестанет давить на стенку цилиндра?
2.53t Шарик массой т подвешен на идеальной пружине жестко¬
стью к и начальной длиной 10 над центром платформы центробежной
машины (рис. 33). Затем шарик начинает вращаться вместе с маши¬
ной с угловой скоростью со. Какой угол а с вертикалью образует при
этом пружина?
2.54. На внутренней поверхности конической воронки с углом 2а
при вершине (рис. 34) на высоте h от вершины находится малое тело.
Коэффициент трения между телом и поверхностью воронки равен
к. Найти минимальную угловую скорость вращения конуса вокруг
вертикальной оси, при которой тело будет неподвижно в воронке.
2.55. Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси цен¬
тробежной машины (рис. 35), равномерно вращается с угловой ско¬
ростью со. Нить составляет угол а с осью. Найти расстояние х от
центра кольца до оси вращения.
2.56. На врытый в землю столб навита веревка. За один конец
веревки тянут с силой F = 10 000 Н. Какую силу надо приложить к
другому концу веревки, чтобы она не соскользнула со столба? Ко¬
эффициент трения веревки о столб к = 1/п. Веревка обвита вокруг
столба 2 раза.
2.57. Нить перекинута через бревно. На концах нити укреплены
грузы, имеющие массы тi и т2. Считая заданным коэффициент
трения к нити о бревно, найти условие,
при котором грузы будут оставаться в по¬
кое. Определить ускорение а системы гру¬
зов при нарушении условий равновесия.
2.58. Ядра 252 Cf спонтанно делятся на
две части (на два осколка). Деление ядер
сопровождается эмиссией нейтронов. Осколки регистрируются двумя
счетчиками (рис. 36) Сх и С2, расположенными на расстояниях dx и
d2 от малого источника осколков. Пренебрегая эмиссией нейтронов,
сц
~г*
d2
h
Рис. 36
-;С,
20
определить, для какого отношения масс осколков mj/m2 разность
времени At = t2 — t\ пролета осколков будет минимальной?
2.59. На гладком столе лежит пружина с жесткостью к и на¬
чальной длиной 10. Масса пружины М. К одному ее концу привязан
лежащий на столе брусок массой ш, а за другой пружину тянут с
силой F. Определить относительное удлинение пружины, полагая
жесткость ее достаточной, чтобы в любом сечении удлинение было
мало в сравнении с первоначальной длиной.
2.60. Пружина с жесткостью к и массой М лежит на гладком го¬
ризонтальном столе. К одному из ее концов привязана тонкая нерас¬
тяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок, укрепленный
на краю стола. Нить свисает с него вертикально. К свисающему
концу нити прикрепляют грузик массой т, который в определенный
момент отпускают без начальной скорости. Определить удлинение
пружины. Жесткость ее считать достаточной, чтобы удлинение было
мало в сравнении с первоначальной длиной.
2.61. Журнальный столик сделан в форме равностороннего тре¬
угольника (рис. 37), в вершинах которого укреплены ножки. Если в
центр столика поставить гирю массой М, то ножки у него сломаются.
В какие точки на такой столик можно поставить гирю массой М/2?
2.62. Теннисист подбрасывает ракеткой теннисный мяч таким об¬
разом, что мяч все время подскакивает на одну и ту же высоту h =
= 1 м (от уровня ракетки). Найти скорость ракетки к моменту уда¬
ра, если коэффициент восстановления kh при падении мяча на непо¬
движную ракетку (т. е. отношение последовательных высот hn/hn-i)
составляет 0,9.
2.63. Бревно массой т и радиусом R пытаются удержать на весу
при помощи двух скрепленных шарниром досок массой М и длиной I
каждая (рис. 38). При каких значениях коэффициента трения между
бревном и досками это возможно?
2.64. Катушку ниток радиусом R пытаются, прислонив к стене,
удержать на весу с помощью собственной нитки, отмотанной на дли¬
ну I (рис. 39). При каких значениях коэффициента трения между
катушкой и стеной это возможно?
2.65. Шнур, положенный на доску, пропущен одним концом в от¬
верстие, просверленное в доске (рис. 40). Найти, с какой скоростью v
21
соскользнет с доски конец шнура, если известна длина всего шнура
I и длина его конца 10, свешивающегося в момент начала движения.
Найти зависимость от времени длины свисающего с доски отрезка
шнура. Трение между шнуром и столом не учитывать.
2.66. На гладкой горизонтальной поверхности лежит длинная
доска массой М. Хоккейная шайба массой гп = M/К) падает на дос¬
ку со скоростью vQ = 10 м/с под углом а = 60° к горизонту и после
удара скользит по ней. Коэффициент трения между шайбой и до¬
ской к — 0,3 не зависит от скорости и давления шайбы на доску.
Определить время, через которое прекратится скольжение шайбы по
доске.
2.67. Твердый шарик массой т находится в вязкой среде на рас¬
стоянии L от вертикальной стенки. Шарик щелчком посылается к
стенке с достаточно большой начальной скоростью v0. Считая, что
сила сопротивления F = —|3v, найти, на какое максимальное рас¬
стояние Ьг отскочит шарик после упругого удара о стенку. Силой
тяжести пренебречь.
2.68. Шарик массой т запущен под углом 0 к горизонтальной
плоскости. При движении шарик испытывает трение со стороны сре¬
ды, F = — |3v. Начальная скорость шарика равна v0. На каком рас¬
стоянии L от места запуска и за какое время шарик достигнет мак¬
симальной высоты?
2.69. Из неподвижного аэростата через т секунд вслед за пер¬
вым выпрыгивает второй парашютист. Оба — с нулевой начальной
скоростью и с одинаковой массой т. Как будет изменяться со време¬
нем расстояние между ними, если сопротивление воздуха пропорци¬
онально скорости парашютистов (коэффициент пропорциональности
равен (3)?
2.70. С летящего прямолинейно и параллельно поверхности Зем¬
ли самолета сбрасывают груз массой т с нулевой относительно са¬
молета скоростью. Как далеко от места сбрасывания может оказаться
груз на земле, если при его движении в воздухе сила сопротивления
F = — (3v, а скорость самолета равна v0-
2.71. Моторная лодка массой т разгоняется с места под действи¬
ем создаваемого гребным винтом тягового усилия, меняющегося в
зависимости от скорости лодки как F = F0( 1 — v/u), где F0 — тяго¬
вое усилие винта для покоящейся лодки, а и — некоторая постоянная
величина с размерностью скорости. Сопротивление воды пропорци¬
онально квадрату скорости движения лодки с коэффициентом про¬
порциональности к. Найти, за какое время скорость лодки достигнет
величины v = и/А. Величина F0 такова, что F0 = ки2/2.
Указание. Дробь ^ — можно представить в виде
(х + а)(х + о)
-1—где А и В — постоянные.
х 4- cl х 4- о
22
2.72. Рассматривая лодку, описанную в предыдущей задаче, най¬
ти, на каком расстоянии от точки старта скорость лодки достигнет
величины v = и/3? Величина F0 такова, что F0 = 4ки2/3. (См. ука¬
зание к задаче 2.71.)
2.73. Дождевые капли, падающие вначале ускоренно, вследствие
силы сопротивления воздуха выходят на режим движения с постоян¬
ной скоростью Voo, при этом для мелких капель радиусом г = 0,2 мм
сила сопротивления воздуха линейно зависит от их скорости: Fconp =
= б7тт|гу, где г| = 1,8 • 1СП4 г/(см • с) — вязкость воздуха. Вычислить
значение Voo и время Т, через которое скорость капли v составит
99 % от Voo.
2.74. Дождевые капли, падающие вначале ускоренно, вследствие
силы сопротивления воздуха выходят на режим движения с постоян¬
ной скоростью Voo, при этом для крупных капель радиусом г = 1,7 мм
сила сопротивления воздуха зависит квадратично от их скорости:
Дсопр = (l/2)pa7rrV, где Ра — 1,2 • 10”3 г/см3 — плотность воздуха.
Вычислить значение Voo и время Т, через которое скорость капли v
составит 99% от Voo-
Указание.
/
dx
а2 — х2
2 а а — х
+ const.
2.75. Кобра массой т0, готовящаяся к броску, поднимается верти¬
кально с постоянным ускорением а, «раскручиваясь» из неподвиж¬
ных колец на горизонтальной поверхности земли. С какой макси¬
мальной силой Nmax кобра действует на землю?
2.76. Кобра массой т0 и длиной I, готовящаяся к броску, подни¬
мается вертикально, «раскручиваясь» из неподвижных колец на гори¬
зонтальной поверхности земли. Ускорение кобры зависит от времени
по закону а = kt (к — постоянная). Найти максимальное значение
вертикальной силы N, с которой кобра действует на землю.
2.77. На столе лежит тонкое однородное кольцо радиусом г. При
поступательном движении кольца с постоянной скоростью v сила
торможения равна F0. Пусть при движении центра кольца с той же
скоростью v оно еще и вращается с угловой скоростью со = v/r во¬
круг оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной его
плоскости. Коэффициент трения кольца о стол не зависит от его
скорости и типа движения. Определить силу торможения F.
2.78. Полотер можно представить как тонкий однородный диск
радиусом г. При поступательном движении центра диска с постоян¬
ной скоростью v сила торможения равна F0. Пусть при движении
центра диска с той же скоростью v он еще и вращается с угловой
скоростью со (со^>п/г) вокруг оси, проходящей через центр дис¬
ка и перпендикулярной его плоскости. Коэффициент трения диска о
пол не зависит от скорости и типа движения. Определить силу тор¬
можения диска F при совместном поступательном и вращательном
движении диска.
23
2.79t В неподвижную коническую трубу с постоянной силой вдав¬
ливается резиновый шар массой то (рис. 41). Вследствие сужения
трубы сила трения растет пропорционально рас¬
стоянию от входного отверстия трубы с коэффи¬
циентом пропорциональности к. Определить вре¬
мя Т, через которое шар остановится.
2.80. Из пушки выпущен снаряд под углом
а = 30° к горизонту со скоростью но = 700м/с.
Сила сопротивления воздуха F = — kv, где к —
постоянная. Определить максимальную высоту подъема, если извест¬
но, что при падении снаряда с большой высоты его установившаяся
скорость Иоо = 200 м/с. Чему равна дальность L полета снаряда?
2.81. Из пушки, установленной на некоторой высоте Н, произ¬
водится выстрел в горизонтальном направлении с начальной скоро¬
стью снаряда v0 = 600 м/с. Сила сопротивления воздуха F = — kv,
где к — постоянная величина. Снаряд пролетает в горизонтальном
направлении расстояние L = 4,7 км. Определить высоту Н и время
полета снаряда т, если известно, что при падении снаряда с большой
высоты его установившаяся скорость v= 200 м/с.
2.82. Пуля при выстреле из автомата полетела вертикально вверх
с начальной скоростью v0. Сила сопротивления воздуха F = —kv,
где к — положительная константа. Найти время tn подъема пули на
максимальную высоту. Найти максимальное и минимальное значения
ускорения при подъеме (по модулю), а также модуль ускорения пули
в момент времени t = 0,5£п. При падении пули с большой высоты ее
установившаяся скорость равна цусх.
2.83. В одном из цирковых номеров мотоциклист въезжает внутрь
металлической сферы и начинает движение внутри нее по большому
кругу, наклоненному под углом а к горизонту, причем он двигается
равномерно с минимально необходимой для этого скоростью. В тот
момент, когда мотоциклист находится в верхней точке траектории,
сферу начали поднимать под купол цирка с постоянным ускорени¬
ем а0. На какую минимальную величину Av мотоциклисту следу¬
ет изменить скорость своего движения, чтобы мотоцикл не начал
соскальзывать? Коэффициент трения скольжения шин мотоцикла о
внутреннюю поверхность сферы равен ц, радиус сферы R. Трением
качения пренебречь.
2.84. Во время исполнения циркового номера мотоциклист ездит
внутри сферы радиусом R, находящейся под куполом цирка. Он рав¬
номерно движется по большому кругу, наклоненному под углом а к
горизонту, причем сначала с минимально необходимой для этого ско¬
ростью. В тот момент, когда сферу начинают опускать с постоянным
ускорением обратно на арену цирка, мотоциклист уменьшает свою
скорость на величину Av. С каким ускорением следует опускать
сферу, чтобы мотоциклист не начал соскальзывать в верхней точке
своей траектории? Коэффициент трения скольжения шин мотоцик¬
24
листа о внутреннюю поверхность сферы равен ц, трением качения
пренебречь.
2.85. Длина разбега самолета МиГ-29К до отрыва от земли при
полной массе т\ = 22,4 т составляет L0i = 195 м. Найти длину раз¬
бега того же самолета с меньшим запасом топлива при полной массе
т2 = 17,7 т. Аэродинамику самолета для разных масс считать оди¬
наковой; силу тяги двигателей — одинаковой и равной Т = 171 кН.
Сопротивление и подъемную силу считать пропорциональными квад¬
рату скорости: Fc = <xv2, Fn = (5v2, а = 46 кг/м.
2.86. Время разбега самолета МиГ-29К до отрыва от земли при
полной массе rri\ = 22,4 т составляет tm = 7,6 с. Найти время разбе¬
га того же самолета с меньшим запасом топлива при полной массе
т2 = 17,7 т. Аэродинамику самолета для разных масс считать оди¬
наковой; силу тяги двигателей — одинаковой и равной Т = 171 кН.
Сопротивление и подъемную силу считать пропорциональными квад¬
рату скорости: Fc = ocv2, Fn = |3ц2, а = 46 кг/м.
2.87. Перед участником школьной Олимпиады по физике лежат
две одинаковые однородные пружины жесткостью к = 80 Н/м. Од¬
нако для опыта ему требуется пружина жесткостью &о = 60Н/м.
Как можно составить из этих пружин пружину с требуемой жест¬
костью, если одну из имеющихся пружин разрешается разрезать на
две части?
§ 3. Движение тел с переменной массой*)
L
3.1. Найти выражение ускорения и скорости платформы, движу¬
щейся под действием постоянной горизонтальной силы / (рис. 42),
если на платформе лежит песок, который
высыпается через отверстие в платформе. За
1 с высыпается масса Атп песка, в момент ,..т y.l==y-, v t
времени t = 0 скорость платформы v равна
нулю, а масса песка и платформы вместе
равна М.
3.2. Платформа длиной L катится без тре¬
ния со скоростью v0 (рис. 43). В момент време¬
ни t = 0 она поступает к пункту погрузки песка,
который высыпается со скоростью рх [кг/с]. Ка- _у
кое количество песка будет на платформе, когда cyP**
она минует пункт погрузки? Масса платформы ’ттт^т^ттттт^ттттт/
равна М0. Рис. 43
Рис. 42
*) Заметим, что название раздела «движение тел с переменной массой» яв¬
ляется скорее традиционным, чем физически точным. Дело в том, что в этих
задачах масса системы в целом не меняется, но меняется масса ракеты, тележки
с песком и т. п.
25
’77777^777777
7/7/7777
Рис. 44
ч
3.3. Бункер с песком движется с постоянной скоростью v0 над
рельсами (рис. 44). На рельсах стоит платформа длиной L и мас¬
сой М0. Когда бункер начинает проходить над краем платформы,
его открывают, и песок начинает высыпаться со
скоростью а [кг/с]. Определить скорость платфор¬
мы к моменту, когда бункер ее обгонит. Трением в
осях колес пренебречь.
3.4. Руда насыпается из бункера в вагон дли¬
ной L, катящийся по рельсам без трения. Началь¬
ная скорость вагона v0, масса пустого вагона т0,
вес загруженной руды тг. Подача руды из бункера
происходит таким образом, что руда ложится на пол вагона слоем
постоянной высоты. Найти время загрузки Т.
3.5. Тягач тянет «волоком» сани длиной I = 10 м массой 50 т
(рис. 45) с постоянной скоростью -у = 5 км/ч. При t — 0 передний
край саней поступает под погрузку песком, который насыпается свер¬
ху со скоростью [L = 100 кг/с, причем тягач продолжает тянуть сани
с той же скоростью. До начала погрузки натяжение каната вдвое
меньше того, при котором он обрывается.
Оборвется ли канат в процессе погрузки, ес¬
ли коэффициент трения к = 10-3?
3.6. В одном изобретении предлагается
на ходу наполнять платформы поезда уг¬
лем, падающим вертикально на платформу
из соответствующим образом устроенного
бункера. Какова должна быть приложенная
к платформе сила тяги, если на нее погружают 10 т угля за 2 с, и
за это время она проходит равномерно 10 м? Трением при движении
платформы пренебречь.
3.7. Подсчитать работу, совершенную паровозом за время погруз¬
ки на платформу некоторой массы угля Ат (см. предыдущую за¬
дачу), и сравнить ее с кинетической энергией, которую получила
погруженная масса угля.
3.8! Реактивный корабль массой М приводится в движение на¬
сосом, который забирает воду из реки и выбрасывает ее назад с кор¬
мы корабля. Скорость струи воды относительно корабля постоянна
и равна и, а масса ежесекундно выбрасываемой насосом воды также
постоянна и равна ц. Найти модуль скорости корабля v как функцию
времени и коэффициент полезного действия системы г| как функцию
величин и и V. Исследовать выражение для коэффициента полезного
действия на максимум. Силы трения в насосе и сопротивление воды
движению корабля не учитывать.
3.9. Буксир тянет баржу массой М0 = 50 т с постоянной скоро¬
стью v = 5 км/ч, и при этом натяжение веревки вдвое меньше того,
при котором она обрывается. При t = 0 в барже открывается течь, и
в нее начинает поступать вода со скоростью р.= 100 кг/с. Через ка¬
£
777777777777777777777777777777
Рис. 45
26
7^777777/777^7,
Рис. 46
кое время оборвется веревка, если буксир продолжает тянуть баржу
с той же скоростью? Считать, что сила сопротивления воды растет
пропорционально весу баржи из-за увеличения ее лобового сопротив¬
ления при погружении; коэффициент пропорциональности а= 1СС3.
3.10. Водометный катер стартует из состояния покоя. В единицу
времени двигатель катера прогоняет массу воды ц, забирая ее со
стороны борта и выбрасывая назад со скоростью и. Масса катера М,
ширина его D, силу сопротивления воды считать равной — (Ar|D)v,
где г| — вязкость воды, считающаяся известной,
А — коэффициент порядка единицы. Найти зави¬
симость скорости катера от времени. Оценить ее, в
частности, в самом начале, сразу после старта.
3.11. По горизонтальным рельсам без трения
движутся параллельно две тележки с дворниками.
На тележки падает ц [г/с] снега. В момент времени
t = 0 массы тележек равны т0, а скорости — v0. Начиная с момен¬
та t = 0, один из дворников начинает сметать с тележки снег, так
что масса ее в дальнейшем останется постоянной. Снег сметается
в направлении, перпендикулярном движению тележки. Определить
скорости тележек. Какая тележка будет двигаться быстрее? Почему?
3.12. На краю массивной тележки (рис. 46), по¬
коящейся на горизонтальной плоскости, укреплен
цилиндрический сосуд радиусом г и высотой Н, в
нижней части которого имеется небольшое отвер¬
стие с пробкой. Сосуд наполнен жидкостью плотно¬
стью р. В момент времени t — 0 пробку вынимают.
Найти максимальную скорость, которую приобре¬
тает тележка, считая, что Н г и М пг2рН, где М — масса
тележки с сосудом. Пояснить смысл этих ограничений. Трением в
подшипниках тележки, трением качения и внутренним трением жид¬
кости пренебречь.
3.13. Сосуд конической формы, наполненный водой, может пе¬
ремещаться без трения вдоль горизонтальных рельсов. Вблизи дна
сосуда (рис. 47) сбоку сделано малое отверстие, закрытое пробкой.
Если вынуть пробку, то через отверстие будет вытекать
струя жидкости. Определить скорость, которую приоб¬
ретает сосуд после открытия отверстия, когда вся жид¬
кость вытечет из него. Первоначальная высота уров¬
ня жидкости h0. Массой сосуда по сравнению с мас¬
сой жидкости, находящейся в нем, пренебречь в тече¬
ние всего времени вытекания жидкости. В конце истече¬
ния условие малости массы сосуда по сравнению с мас¬
сой жидкости выполняться не может. Как это обстоя¬
тельство повлияет на точность окончательного результата?
3.14. Два ведра с водой висят на веревке (рис. 48), перекинутой
через блок. Масса одного ведра М0, масса другого ведра М0Ат,.
сГ~ "<V^
77//77/77////У////7
Рис. 47
Рис. 48
27
В начальный момент более легкому ведру сообщается скорость vu,
направленная вниз. В этот момент начинается дождь, и в результате
масса каждого ведра увеличивается с постоянной скоростью. Через
какое время т скорость ведер обратится в ноль? Трением, массами
веревки и блока пренебречь.
3.15. При выстреле из безоткатного орудия и из длинноствольной
пушки снарядами равной массой М = 10 кг использовалась одинако¬
вая масса т — 1 кг одного и того же пороха. Полагая, что при вы¬
стреле из пушки внутренняя энергия продуктов сгорания практиче¬
ски целиком используется для ускорения снаряда, найти отношение
начальных скоростей полета снарядов цп/нб0. За начальную скорость
снаряда безоткатного орудия принять скорость, полученную реактив¬
ным снарядом после сгорания пороха.
3.16. Космический корабль стартует с начальной массой т0 и
нулевой начальной скоростью в пространстве, свободном от поля
тяготения. Масса корабля меняется во времени по закону то =
= m0exp(—М), скорость продуктов сгорания относительно корабля
постоянна и равна и. Какое расстояние х пройдет корабль к моменту,
когда его масса уменьшится в 1000 раз?
3.17. Наблюдая пролетающий мимо Земли космический корабль,
земные астрономы установили, что скорость его меняется во времени
по закону v = — ц() In (1—"vi). Определить, как должна зависеть от вре¬
мени масса корабля в предположении постоя нства скорости истечения
газов из сопла относительно корабля. Силы тяготения не учитывать.
3.18. Для поражения цели с самолета запускают ракету. Самолет
летит горизонтально на высоте Н = 8 км со скоростью v0 = 300 км/с.
Масса ракеты изменяется по закону m(t) = m0exp(—t/x) и умень¬
шается за время полета к цели в е раз. Скорость истечения газов
относительно ракеты и — 1000 м/с, корпус ракеты во время ее поле¬
та горизонтален. Каково расстояние L от цели до точки, над которой
находился самолет в момент запуска ракеты? Сопротивление воздуха
не учитывать.
3.19. Две ракеты массой т0 каждая стартуют одновременно в
свободном пространстве, где силой тяжести можно пренебречь. Пер¬
вая ракета движется с постоянным расходом топлива р, вторая —
с постоянным ускорением а. Определить отношение их масс и ско¬
ростей в момент, когда масса первой ракеты уменьшится в два раза.
Относительные скорости истечения газов у обеих ракет одинаковы,
постоянны и равны и.
3.20. Ракета массой то0 стартует в свободном пространстве, где
силой тяжести можно пренебречь. В течение времени т ракета дви¬
жется с постоянным расходом топлива р, при этом масса ракеты
уменьшается в два раза. Затем ракета движется в течение такого
же времени т с постоянным ускорением а. Определить массу и ско¬
рость ракеты в момент t = 2т, если относительно ракеты скорость
истечения газов постоянна и равна и.
28
3.21? Найти связь между массой ракеты m(t), достигнутой ею
скоростью v(t) и временем t, если ракета движется вертикально
вверх в поле тяжести Земли. Скорость газовой струи относитель¬
но ракеты и считать постоянной. Сопротивление воздуха и измене¬
ние ускорения свободного падения g с высотой не учитывать. Какую
массу газов ц(£) должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы
оставаться неподвижной относительно Земли?
3.22. По какому закону должна меняться во времени масса ра¬
кеты (вместе с топливом), чтобы она во время работы оставалась
неподвижной в поле тяжести Земли, если скорость и газовой струи
относительно ракеты постоянна? Определить время, через которое
полная масса системы уменьшится вдвое, а также время, по исте¬
чении которого ракета израсходует весь запас топлива, если мас¬
са ракеты без топлива т\ = 1000 кг, а масса топлива т2 = 9000 кг.
Скорость газовой струи и = 2 км/с.
3.23. Человек поддерживается в воздухе на постоянной высоте с
помощью небольшого реактивного двигателя за спиной. Двигатель
выбрасывает струю газов вертикально вниз со скоростью относитель¬
но человека и = 1000 м/с. Расход топлива автоматически поддержи¬
вается таким, чтобы в любой момент, пока работает двигатель, ре¬
активная сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько вре¬
мени человек может продержаться на постоянной высоте, если его
масса т1 = 70 кг, масса двигателя без топлива m2 = 10 кг, началь¬
ная масса топлива т0 = 20 кг? Какое расстояние I в горизонтальном
направлении может преодолеть человек, если он разбежался по зем¬
ле, приобрел горизонтальную скорость v = 10 м/с, а затем включил
двигатель, поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?
3.24. Со стартовой площадки в поле тяжести Земли ракета дви¬
жется вверх с первоначальным ускорением а0~ 9,8 м/с2. Скорость
истечения газов относительно ракеты и = 2000 м/с. Какое ускорение
а и какая скорость v будут у этой ракеты через т = 50 с движения
вверх без учета сопротивления воздуха? Расход топлива в единицу
времени постоянный.
3.25. На сколько процентов уменьшится масса ракеты, которая в
течение 10 мин поднималась с поверхности Земли вертикально вверх
с постоянной скоростью V — 5 км/с? Скорость истечения продук¬
тов сгорания относительно ракеты ц = 2км/с. Радиус Земли R3 =
= 6400 км. Трением о воздух пренебречь.
3.26. Поднимаясь вертикально вверх от поверхности Земли с по¬
стоянной скоростью ц = 5км/с, ракета достигла высоты h = 2R3.
На сколько процентов уменьшилась при этом масса ракеты, если
скорость истечения газовой струи относительно ракеты ц = 2км/с.
Радиус Земли R3 = 6400 км. Трением о воздух пренебречь.
3.27. По какому закону должен изменяться расход топлива ц(£),
чтобы в поле тяжести с постоянным g ракета двигалась вертикально
29
вверх с постоянным ускорением а? Скорость истечения газовой струи
относительно ракеты постоянна и равна и.
3.28. Ракета летит вертикально вверх в поле тяготения Земли.
В течение интервала времени длительностью Т скорость истечения
газов из двигателя относительно ракеты равномерно уменьшалась
от значения и до и/2. Определить величину Т, если за это время
масса ракеты уменьшилась вдвое, а ее скорость осталась постоянной.
Считать поле тяготения однородным.
3.29. Двигатель метеорологической ракеты дважды запускается
на одно и то же короткое время: при взлете и при возвращении на
Землю для обеспечения мягкой посадки. Масса ракеты перед стар¬
том М, после посадки — т. Какова масса ракеты после старта?
Сопротивлением воздуха во все время полета пренебречь.
3.30. Ракета с космонавтом стартует вертикально и поднимает¬
ся вверх с постоянным ускорением, так что космонавт испытывает
все время перегрузку п = 2. Скорость истечения газов относитель¬
но ракеты постоянна и равна и = 1000 м/с. Вычислить скорость v и
высоту Н, которых она достигнет в момент, когда будет израсходо¬
вано все топливо, составляющее 95% стартового веса. Перегрузкой
п называется отношение п = (Р — Р0)/Р0, где Р0 — вес космонавта
на Земле, Р — «вес», который показали бы пружинные весы при
взвешивании космонавта в полете. Сопротивлением воздуха и зави¬
симостью g от высоты пренебречь.
3.31. Для мягкой вертикальной посадки космического кораб¬
ля с космонавтом используются тормозные реактивные двигатели
с постоянной скоростью истечения газов относительно корабля и =
= 1000 м/с. Корабль опускается с постоянным ускорением 3g. Вы¬
числить высоту Н, на которой надо включить двигатель, если израс¬
ходованное топливо составляет 33% от начального веса. Сопротив¬
лением воздуха и зависимостью g от высоты пренебречь.
3.32. Ракета с космонавтом стартует в поле тяжести и движет¬
ся вертикально вверх с постоянным ускорением, так что космонавт
испытывает трехкратную перегрузку. Во сколько раз скорость ра¬
кеты, достигнутая после сжигания заданного количества топлива,
будет меньше максимальной скорости, которой могла бы достичь ра¬
кета при произвольно большом ускорении? Скорости истечения газа
относительно ракеты в обоих случаях одинаковы; сопротивлением
воздуха и изменением g с высотой пренебречь.
3.33. Космическая станция движется со скоростью v0 = 2,1 км/с
по направлению к центру Луны. Для осуществления мягкой по¬
садки на поверхность Луны включается двигательная установка на
время т = 60 с, выбрасывающая газовую струю со скоростью и =
= 2 км/с относительно станции в направлении скорости станции.
В конце торможения скорость уменьшилась практически до нуля.
Во сколько раз уменьшилась масса станции за это время, если
торможение осуществлялось вблизи поверхности Луны, где ускоре¬
30
ние свободного падения можно считать постоянным и равным gj6
(g~ 10 м/с2).
3.34. Найти скорости вблизи Земли ракет, запускаемых верти¬
кально, при обычном старте и при пролете через воображаемую шах¬
ту, проходящую по диаметру Земли (рис. 49). Вторая ракета вначале
свободно падает до центра Земли, после чего сра¬
батывает двигатель. Для обеих ракет время сгора¬
ния топлива очень мало, скорость истечения газов
относительно ракеты v0 = 2,7 км/с, отношение ко¬
нечной массы к стартовой Мк/М0 = 1/20. Землю
считать однородным шаром.
3.35. На ракете установлены два двигателя с
различным топливом. Один дает газовую струю со
скоростью щ относительно ракеты, другой — со
скоростью и2. Сначала работает один двигатель,
пока не израсходует весь запас топлива. Затем
включается второй, пока в нем тоже не будет израсходован запас
топлива. Что выгоднее: сначала включить двигатель с большей ско¬
ростью газовой струи, а затем с меньшей или поступить наоборот?
Величины Ui и и2 считать постоянными.
3.36. Двухступенчатая ракета состоит из двух одинаковых ракет
с одним и тем же отношением массы топлива Мт к массе конструкции
Мк, равном осо = Мт/Мк = 10. При каком отношении а одноступен¬
чатая ракета достигнет той же конечной скорости, что и двухступен¬
чатая? Скорости истечения газов относительно ракет равны.
3.37. На сколько максимальная скорость, достижимая в свобод¬
ном космическом пространстве с помощью двухступенчатой ракеты,
больше, чем в случае одноступенчатой ракеты? Масса второй ступе¬
ни двухступенчатой ракеты составляет М2/М\ = а = 0,1 от массы
первой ступени, а отношение массы горючего к полной массе сту¬
пени во всех случаях равно Мг/М = к = 0,9. Относительно ракет
скорости истечения газов в сравниваемых ракетах одинаковы и рав¬
ны и = 2000 м/с.
3.38. Двухступенчатая ракета запускается с поверхности Земли
вертикально вверх. Масса второй ступени составляет М2/М1 = ос —
= 0,1 от массы первой ступени. Масса горючего в обеих ступенях
составляет Мг/М = к = 0,9 от полной массы ступени. Найти мини¬
мальную скорость umin выбрасываемых газов относительно ракеты,
необходимую для достижения второй космической скорости v2, рас¬
смотрев для этого предельный случай сколь угодно малой общей
массы ракеты (М —» 0). Считать, что на всем протяжении пути раз¬
гона ускорение поля тяжести постоянно, количество выбрасываемых
в единицу времени газов также постоянно. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
3.39. Каким должно быть отношение стартовой массы односту¬
пенчатой ракеты к массе ее конструкции mQ/mK при вертикальном
31
разгоне ракеты с поверхности Земли до первой космической скоро¬
сти v-i = 7,8 км/с? Какова при этом масса конструкции ракеты? Вре¬
мя работы двигателя Т = 12 мин, относительная скорость истечения
газов и — 3 км/с, а расход топлива р. = 300 кг/с. Считать ускорение
свободного падения равным 10 м/с2 и не зависящим от высоты над
поверхностью Земли. Сопротивление воздуха не учитывать.
3.40i С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При
каком отношении масс первой (mi) и второй (т2) ступеней скорость
контейнера с полезным грузом (массой т) получится максимальной?
Относительные скорости истечения газов и в двигателях обеих сту¬
пеней постоянны и одинаковы. Отношения массы топлива к массе
ступени равны <Xi и <х2 для первой и второй ступеней соответствен¬
но. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения
добавочных импульсов.
3.41. Ракета начинает двигаться в облаке пыли. Пылинки непо¬
движны и прилипают к ракете при ударе. Начальная скорость ракеты
равна нулю, скорость истечения газов относительно ракеты равна и,
массой корпуса ракеты по сравнению со стартовой массой топлива
можно пренебречь. Кроме того, известно, что в любой момент полета
ракеты масса израсходованного топлива равна массе налипшей пыли.
Найти в таком облаке максимальную скорость ракеты.
3.42. Космический корабль движется с постоянной по величине
скоростью и. Для изменения направления его полета включается дви¬
гатель, выбрасывающий струю газа со скоростью и относительно ко¬
рабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Опреде¬
лить угол а, на который повернется вектор скорости корабля, если
его начальная масса т0, конечная т, а скорость и постоянна.
3.43. Космический корабль, движущийся в пространстве, свобод¬
ном от поля тяготения, должен изменить направление своего движе¬
ния на противоположное, сохранив скорость по величине. Для этого
предлагаются два способа: 1) сначала затормозить корабль, а затем
разогнать его до прежней скорости; 2) повернуть, заставив корабль
двигаться по дуге окружности, сообщая ему ускорение в поперечном
направлении. В каком из этих двух способов потребуется меньшая
затрата топлива? Скорость истечения газов относительно корабля
считать постоянной и одинаковой в обоих случаях.
3.44. Ракета массой М0 = 10 кг стартует с вершины горы высо¬
той h = 2 км и летит так, что газы все время выбрасываются гори¬
зонтально. Пренебрегая сопротивлением воздуха, подсчитать кине¬
тическую энергию ракеты во время удара о землю. Скорость газов
относительно ракеты и = 300 м/с, расход топлива ц = 0,3 кг/с.
3.45. Ракета запускается с небольшой высоты и летит все вре¬
мя горизонтально с ускорением а. Под каким углом к горизонтали
направлена реактивная струя? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.46. В ракете продукты сгорания (газы) выбрасываются со ско¬
ростью и = 3 км/с относительно ракеты. Найти отношение г| ее ки-
32
нетической энергии Кр к кинетической энергии продуктов сгорания
Кг в момент достижения ракетой скорости vK = 12 км/с.
3.47. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т. е.
отношение кинетической энергии К, приобретенной ракетой, к энер¬
гии сгоревшего топлива Q. Скорость, достигнутая ракетой, v =
= 9 км/с. Теплота сгорания топлива q = 4000 ккал/кг, скорость вы¬
брасываемых продуктов сгорания относительно ракеты и = 3 км/с.
3.48. Ракета движется прямолинейно под действием реактивной
силы. В начальный момент ракета покоилась, а ее масса равнялась
ш0; относительная скорость истечения газов и постоянна; действи¬
ем внешних сил можно пренебречь. 1) При каком значении скорости
кинетическая энергия, приобретенная ракетой, будет максимальной?
2) При каком значении массы ракеты импульс, приобретенный раке¬
той, будет максимальным?
3.49. На некотором расстоянии от вертикальной стенки на глад¬
кой горизонтальной поверхности лежит игрушечная ракета (рис. 50).
Из состояния покоя ракета начинает двигать¬
ся перпендикулярно стенке по направлению к
ней. Через промежуток времени 7\ происхо¬
дит абсолютно упругий удар ракеты о стенку.
При этом ракета не меняет своей ориентации
относительно стенки. Определить, через какое
минимальное время Т2 после старта скорость
ракеты окажется равной нулю. Считать, что скорость истечения газов
относительно ракеты постоянна, а масса ракеты зависит от времени
по закону m(t) = т0 ~ oct. Время удара о стенку мало по сравнению
с Т). Выполнить вычисления для т0 = 1 кг; а = 0,01 кг/с; Т) = 10 с.
3.50. В игрушечную ракету наливается вода, занимающая малую
часть внутренней полости ракеты. В остальную часть полости на¬
качивается воздух до давления Р. Оценить высоту подъема ракеты,
считая, что масса воды т много меньше массы ракеты М, время
истечения воды много меньше времени полета, сечение сопла ракеты
много меньше сечения полости.
3.51. Оценить скорость, приобретаемую моделью водяной ракеты,
в которой вода выбрасывается через небольшое отверстие с помощью
поршня под давлением пружины с коэффициентом жесткости к. Дли¬
на водяной камеры I, масса заключенной в ней воды т. Масса раке¬
ты М»т. При полном опорожнении камеры пружина находится в
несжатом состоянии.
3.52. Оценить скорость, которую приобретает модель водяной ра¬
кеты, в которой вода выбрасывается через небольшое отверстие с
помощью поршня под действием пружины специальной формы, сила
сжатия которой меняется по закону F = кх2, где х — величина де¬
формации пружины. Длина водяной камеры I, масса заключенной в
ней воды т, масса ракеты М т. При полном опорожнении камеры
пружина находится в несжатом состоянии.
А
/
/
/
/
~
—1
Г
Рис. 50
33
3.531 Сферическая капля воды свободно падает в атмосфере пере¬
сыщенного водяного пара. Считая, что скорость возрастания массы кап¬
ли dm/dt пропорциональна ее поверхности и пренебрегая силой со¬
противления среды, определить движение капли. Предполагается, что
в момент зарождения капли (t = 0) скорость ее падения равна нулю.
3.54. В насыщенном водяном паре начинает падать без трения
капля воды. Вследствие конденсации пара на капле ее радиус уве¬
личивается, так что dr/dt = а = 5 • 10~2 см/с. Определить скорость
капли в момент времени, когда ее радиус станет равным г, = 0,11 мм.
Начальный радиус г0 = 0,1 мм.
3.55. Через неподвижный блок перекинута веревка, на которой
висят в равновесии два цилиндрических ведра с водой. Масса каж¬
дого ведра с водой m = 10 кг. В боковых стенках в обоих ведрах
образовались щели, из которых начинает вытекать вода с постоян¬
ным расходом, для одного ведра p.i = ЗОсм3/с, а для другого ц2 =
= 20 см3/с. Скорость истечения воды относительно ведра направлена
перпендикулярно боковым стенкам. Количество щелей в каждом вед¬
ре — четное число, и они расположены симметрично относительно
ведра. Определить скорость ведер через 10 с. Массы блока и веревки,
а также силу трения не учитывать.
3.56. Зенитная ракета массой m0 = 1 т стартует с пусковой уста¬
новки (ПУ), наклоненной к горизонту под углом a = 45° в момент
времени, когда сбиваемый самолет находится непосредственно над
ПУ на высоте Н = 10 км и движется, оставаясь на этой высоте, с
постоянной скоростью v0 = 900 км/ч. Под каким углом |3 к горизон¬
ту должны истекать газы из сопел при их скорости относительно
ракеты u = 1 км/с, чтобы, двигаясь по прямой с постоянным ускоре¬
нием, ракета попала в цель? Как при этом должен меняться расход
топлива ц(£) в кг/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.57. С самолета, летящего на высоте Н = 3 км горизонтально с
постоянной скоростью v0 = 300 м/с, запускается ракета с начальной
массой т0 = 100 кг для поражения неподвижной цели на земле. В
момент старта ракеты самолет находится непосредственно над целью.
С точки зрения летчика ракета движется с постоянным ускорением
по прямой, под углом а = 30° к горизонту и поражает цель. Под ка¬
ким углом (3 к горизонту относительно самолета должны истекать
газы из сопел ракеты? Скорость истечения газов относительно раке¬
ты u = 1 км/с. По какому закону при этом изменяется масса ракеты
m(t) и чему она равна в момент попадания ракеты в цель? Сопро¬
тивлением воздуха пренебречь.
3.58. Космический корабль проходит в свободном пространстве
по прямолинейной траектории путь L за время Т с постоянным по
модулю ускорением, причем его скорость в начале и в конце пу¬
ти равна нулю. Известно, что мощность, затрачиваемая реактивным
двигателем на такое движения корабля, постоянна и равна N. Опре¬
делить конечную массу m корабля, если его начальная масса рав¬
34
на т0. Принять, что вся мощность двигателя переходит в кинетиче¬
скую энергию струи.
3.59. В свободном от тяготения пространстве вдоль по прямой дви¬
жется корабль с постоянным по модулю ускорением так, что в начале
и конце пути его скорость равна нулю. При этом в некоторый момент
времени корабль достигает максимального значения скорости V, все
время в пути равно Т. Известно, что мощность, затрачиваемая реак¬
тивным двигателем на такое движение, постоянна. Считая заданны¬
ми значения начальной и конечной массы корабля т0 и mi = 0,1то
соответственно, определить мощность N двигателя. Принять, что
вся мощность двигателя переходит в кинетическую энергию струи.
3.60. Какой максимальной высоты hi достигнет ракета, поднима¬
ющаяся вертикально вверх? Расход топлива во время работы двига¬
теля т = 50 с остается постоянным. Скорость истечения газов отно¬
сительно ракеты также постоянна и равна и — 1000 м/с. Отношение
массы ракеты с топливом к конечной массе ракеты а = 10. Ускорение
силы тяжести принять постоянным и равным g= 10 м/с2, сопротив¬
ление воздуха не учитывать. На какую высоту h2 поднялась бы раке¬
та, если бы топливо сгорело очень быстро (т —> 0)? Почему hi ф h2?
Указание. J lnx dx = xlnx — х + const.
3.61. Ракета двигалась с выключенными двигателями со скоро¬
стью V. В некоторый момент времени t — 0 включился двигатель,
создающий реактивную струю в направлении, перпендикулярном на¬
правлению скорости ракеты. Скорость истечения газов относительно
ракеты постоянна и равна и. Масса ракеты за счет расходования
топлива меняется по закону т = т0е^“*. По какой траектории бу¬
дет двигаться ракета? На какое максимальное расстояние она может
удалиться от своего исходного положения в момент времени t = 0.
Силой тяжести пренебречь.
3.62. Для размещения на космическом аппарате предлагаются на
выбор два электроракетных двигателя (ЭРД), которые предполага¬
ется использовать для коррекции орбиты. Первый двигатель рабо¬
тает со скоростью истечения рабочего тела щ = 5 км/с, а второй —
со скоростью истечения «2 = 40 км/с. При этом первый двигатель
в ходе работы потребляет мощность TVj = 1 кВт, а второй — N2 =
= 3 кВт. Для обеспечения работы ЭРД предполагается использовать
аккумуляторные батареи с массовой эффективностью (мощностью,
приходящейся на единицу массы) w = 100Вт/кг. Какому ЭРД сле¬
дует отдать предпочтение, если общее изменение скорости, которое
необходимо обеспечить в ходе коррекции орбиты, составляет Дц =
= 100 м/с? Масса космического аппарата без батарей и рабочего тела
ЭРД равна М — 1т.
3.63. Для коррекции орбиты Международной космической стан¬
ции предлагается вместо обычных химических двигателей со скоро¬
35
стью истечения продуктов сгорания щ = 3 км/с разместить на ней
электроракетные двигатели (ЭРД) со скоростью истечения рабочего
тела (ксенон) и2 = 25 км/с. При этом для обеспечения работы ЭРД
наряду с рабочим телом потребуется доставить на станцию дополни¬
тельные солнечные батареи, в то время как для химических двига¬
телей нужно доставить только топливо. Оценить максимальный вес
солнечных батарей тпб, при котором замена химических двигателей
на ЭРД является целесообразной. Масса станции М = 400 т, полное
изменение скорости станции в ходе коррекции обриты Av = 100 м/с.
3.64. Платформа, на которой установлен реактивный двигатель,
создающий струю газов со скоростью истечения относительно плат¬
формы и и расходе топлива в единицу времени ц, начинает движе¬
ние по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом.
Начальная скорость равна нулю, а полная начальная масса, включая
платформу, двигатель и топливо, составляет М0 (запаса топлива до¬
статочно на все время скатывания). Для замедления скатывания дви¬
гатель ориентируют так, чтобы струя была направлена перпендику¬
лярно поверхности наклонной плоскости, что прижимает платформу
и увеличивает трение. Какой максимальной скорости может достиг¬
нуть платформа в момент времени, когда полная масса составит М?
3.65. Платформа, на которой установлен реактивный двигатель,
начинает движение по горизонтальной плоскости с нулевой началь¬
ной скоростью. Коэффициент трения равен к. Струя газа из реак¬
тивного двигателя направлена вниз и назад под изменяемым углом
а к горизонтали при скорости истечения относительно платформы
и и расходе топлива в единицу времени ц. Полная начальная масса
платформы, двигателя и топлива равна М0. Найти условие достиже¬
ния максимальной скорости и зависимость скорости от времени при
выполнении этого условия.
3.66. В процессе марафонского забега спортсмены существенно
теряют в весе. Найти, по какому закону менялась бы скорость мара¬
фонца, если бы развиваемая тяговая (полезная) мощность сохраня¬
лась спортсменом постоянной во времени и равной N. Считать, что
масса в процессе забега теряется марафонцем согласно линейному
закону т = т0 — [it. Скорость на старте равна v0.
3.67. Свернутая в узкую плотную змейку тонкая однородная цепь
длиной 7/массой т лежит на шероховатой поверхности с коэффици¬
ентом трения [X. Цепь тянут за крайнее звено с постоянной горизон¬
тальной силой F > \хтд. Какой будет скорость цепи в момент, когда
она полностью распрямится? Звенья цепи вовлекаются в движение
поочередно, вращательного движения не возникает, поперечным дви¬
жением звеньев цепи пренебречь.
3.68. На ракете, движущейся в свободном космическом простран¬
стве со скоростью v0, на некоторое время включают разгонные двига¬
тели с переменной силой тяги. При этом скорость истечения газов от¬
носительно ракеты равномерно увеличивается от значения щ до 4и0.
36
Найти конечную скорость ракеты v, если ее масса за время разгона
уменьшилась в 2 раза, а ускорение ракеты оставалось постоянным.
3.69. На ракете, движущейся в свободном космическом простран¬
стве со скоростью г>0, на некоторое время включили разгонные двига¬
тели с переменной силой тяги. При этом ускорение ракеты оставалось
постоянным, а ракета переместилась на расстояние S. Масса раке¬
ты за это время уменьшилась в три раза, а относительная скорость
истечения газов равномерно увеличилась от значения щ до 9щ. С
каким ускорением двигалась ракета?
3.70. Определить относительное изменение конечной скорости
ракеты при относительном увеличении запаса топлива на величину
(Мт2 — Мт\)/М-г\ = 5% при одинаковой массе конструкции Мк. От¬
ношение стартовой массы ракеты к конечной массе составляет в пер¬
вом случае M0i/MK — 10. Скорость истечения газов постоянна и оди¬
накова в обоих случаях. Ракета движется в свободном пространстве.
3.71. Космический корабль, разгоняясь в свободном пространстве
из состояния покоя, развил в конце пути скорость 2и, где и — ско¬
рость истечения газов из сопла относительно корабля. Считая вели¬
чину и и расход топлива в единицу времени \х постоянными, найти
среднюю скорость движения космического корабля.
3.72. Космический корабль, разгоняясь в свободном пространстве
из состояния покоя и расходуя топливо, уменьшил свою массу в е3
раз. Скорость истечения газов из сопла относительно корабля и и
расход топлива в единицу времени р. постоянны. Найти среднюю
скорость движения космического корабля.
3.73. Ракета поднимается вертикально вверх с постоянной скоро¬
стью v в однородном поле тяжести Земли. Во время полета на нее
действует сила сопротивления Fc = kv2, где к — постоянный коэф¬
фициент пропорциональности. Определить массу ракеты через время
полета т, если ее начальная масса равна т0. Скорость истечения
газов относительно ракеты постоянна и равна и.
3.74. Ракета поднимается вертикально вверх в однородном по¬
ле тяжести Земли. Масса ракеты меняется по закону т = т0е~“*,
где а > 0 — постоянная. Определить, при каком значении а высо¬
та подъема ракеты за время работы двигателя будет максимальной.
Рассчитать эту высоту. Масса ракеты после сгорания всего топли¬
ва составляет тК = 0,1т0, скорость истечения газов относительно
ракеты и = 2 км/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.75. Ракета поднимается вертикально вверх в однородном по¬
ле тяжести Земли и, поднимаясь с постоянным ускорением а — 10g,
набирает скорость v = 8 км/с. Какую долю стартовой массы ракеты
должно составлять топливо?
3.76. При вертикальном взлете космического корабля кратность
перегрузки на старте равнялась k0 = (g + a0)/g = 1,25. Оценить, че¬
му будет равна кратность перегрузки к = (g + a)/g в момент време¬
ни, когда скорость корабля относительно Земли станет равной скоро¬
37
сти истечения газов относительно корабля. Расход горючего считать
постоянным. Учесть, что к интересующему нас моменту времени зна¬
чительная часть горючего будет израсходована.
3.77. При вертикальном взлете космического корабля космо¬
навт испытывает перегрузку к0 = (g + aQ)/g = 1,25, которая во вре¬
мя взлета все время возрастает и в некоторый момент становится
равной k = (g + a)/g = 8. Во сколько раз в этот момент скорость
космического корабля относительно Земли больше скорости газов
относительно ракеты? Расход горючего считать постоянным.
3.78. Ракета с начальной массой ш0 стартует в космосе с массив¬
ной платформы перпендикулярно ее поверхности. Секундный расход
топлива остается постоянным в течение всего времени полета, ско¬
рость струи сгоревшего топлива относительно ракеты также посто¬
янна и равна и. Струя, упруго ударяясь о платформу, передает ей
некоторый импульс. Найти полный импульс, переданный платформе
за время разгона ракеты, если платформа является настолько массив¬
ной, что изменение ее скорости в пространстве пренебрежимо мало.
Силами гравитации также можно пренебречь.
Указание. Jln(l — х) dx = (1 -х) — (1 -х)1п(1 — х) + const.
3.79. Электронная система самолета, летящего горизонтально на
высоте Н = 10 км с постоянной скоростью v0 = 300 м/с, обнаружи¬
вает цель прямо под ним. Пилот запускает в горизонтальном на¬
правлении ракету, которая поражает цель. Скорость истечения газов
относительно ракеты постоянна и равна и = 1000 м/с, корпус раке¬
ты во время ее полета горизонтален. Масса ракеты во время полета
изменяется по закону m(t) = m0exp(—t/х). Определить т. Сопро¬
тивлением воздуха пренебречь.
§ 4. Работа, энергия, импульс.
Законы сохранения импульса и энергии.
Столкновения
4.1. На частицу массой 1 г действует сила Fx(t), график кото¬
рой (рис., 51) представляет собой полуокружность. Найти изменение
скорости Avx, вызванное действием силы, и ра¬
боту этой силы, если начальная скорость v0x =
— 4 см/с. Почему работа зависит от начальной
ско
4.2. Санки могут спускаться с горы из точки
i 2 з 4 г, с в Точку В по путям АаВ, АЬВ и АсВ (рис. 52).
Рис. 51 В каком случае они придут в точку В с большей
скоростью? Считать, что сила трения, действую¬
щая на санки, пропорциональна нормальному давлению их на плос¬
кость, по которой они скользят.
38
4.3. Какую работу надо затратить, чтобы втащить (волоком) тело
массой т на горку с длиной основания L и высотой Н, если коэф¬
фициент трения между телом и поверхностью
горки равен к? Угол наклона поверхности гор- А
ки к горизонту может меняться вдоль горки, но
его знак остается постоянным.
4.4. Какую полезную работу можно получить
при соскальзывании тела массой т с горки, дли¬
на основания которой равна L, а высота Н, если Рис. 52
коэффициент трения между телом и поверхно¬
стью горки равен к? Угол наклона поверхности горки к горизонту
может меняться вдоль горки, но его знак остается постоянным.
4.5. Автомобиль «Жигули» способен на скорости v = 50 км/ч
двигаться вверх по дороге с наибольшим уклоном ос= 16°. При дви¬
жении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости
мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л. с. (1 л. с.=
= 736 Вт). Найти максимальную мощность двигателя, если масса
автомобиля 1200 кг.
4.6. Автомашина с грузом весит 7,5 тонн. Максимальная мощ¬
ность двигателя N = 400 л. с. На скорости v — 36 км/ч машина спо¬
собна двигаться вверх по дороге с наибольшим уклоном а = 20°.
Найти величину силы трения, действующей на автомобиль.
4.7. Модель автомобиля с пружинным заводом набирает скорость
п0 и, соответственно, кинетическую энергию К 0, при этом пружина,
раскручиваясь, теряет часть своей потенциальной энергии, которая
в предположении отсутствия потерь на тепло равна AU = К0. Для
наблюдателя, движущегося равномерно со скоростью v0 навстречу,
изменение кинетической энергии модели составит, очевидно, ЗК0,
а потеря энергии пружины по-прежнему К0. Исследуйте вопрос о
перераспределении энергии в замкнутой системе, вызванном работой
пружины, с точки зрения покоящегося и движущегося наблюдателей.
4.8. Отчаянно газуя и пробуксовывая всеми четырьмя ведущими
колесами, автомобилист на Ниве пытается въехать по заснеженной
и обледенелой дороге, на которой, к счастью, выбита устойчивая ко¬
лея, на длинный крутой подъем, перед которым установлен знак 10%
(т. е. угол подъема а = arcsin 0,1). После предварительного разгона
на горизонтальном участке (также с пробуксовкой) ему это удается.
На обратном пути по уже размякшей дороге он отмечает по спидо¬
метру, что длина разгона оказалась равной пути подъема. Пользуясь
этими данными, найти коэффициент трения шин об обледенелую
дорогу.
4.9. Определить силу, с которой винтовка действует на плечо
стрелка при выстреле, если считать, что со стороны винтовки дей¬
ствует постоянная сила и смещает плечо стрелка на S = 1,5 см, а
пуля покидает ствол мгновенно. Масса винтовки 5 кг, масса пули
10 г и скорость ее при вылете равна v = 500 м/с.
39
4.10. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной плос¬
кости и прошедшей уже путь I, производится выстрел в горизонталь¬
ном направлении. Какова должна быть скорость v снаряда, для того
чтобы пушка остановилась после выстрела? Выразить искомую ско¬
рость v снаряда через его массу тп, массу пушки М и угол а наклона
плоскости к горизонту. Учесть, что m М.
4.lit Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте
h = 19,6 м на две одинаковые части. Через секунду после взрыва
одна часть падает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На
каком расстоянии S2 от места выстрела
w‘ j”2 упадет вторая часть снаряда, если первая
-'???€' - _ упала на расстоянии Si = 1000 м от ме-
- I~г ста выстрела? Силу сопротивления воз-
о 1 j духа не учитывать.
4.12. Три лодки одинаковой массой гп
Рис. 53 идут в кильватер (т. е. друг за другом) с
одинаковой скоростью v. Из средней лод¬
ки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью
и относительно лодки грузы массой ть Каковы будут скорости лодок
после переброски грузов?
4.131 Человек, стоящий в лодке, подтягивает вторую лодку за ве¬
ревку до их соприкосновения и далее удерживает их вместе (рис. 53).
Где будут находиться обе лодки, когда их движение в результате
трения о воду прекратится? Трение лодок о воду
^о° считать пропорциональным их скорости и одина-
^ _ _ Ч ковым для обеих лодок, массы лодок nix и т2,
начальное расстояние между центрами их масс I.
рис-54 4.14. Две лодки идут навстречу параллельным
курсом. Когда лодки находятся друг против друга,
с каждой лодки на встречную перебрасывается мешок массой 50 кг,
в результате чего первая лодка останавливается, а вторая идет со
скоростью 8,5 м/с в прежнем направлении. Каковы были скорости
лодок до обмена мешками, если массы лодок с грузом равны 500 кг
и 1т соответственно?
4.15. На покоящуюся баржу вдоль нее с берега забрасывает¬
ся груз массой т0 с горизонтальной составляющей скорости v0
(рис. 54). Найти конечную скорость баржи с грузом и расстояние
^ S, пройденное грузом вдоль поверхности баржи (отно-
сительно баржи), если масса баржи т, а коэффициент
трения между грузом и поверхностью баржи равен к.
Рис. 55 4.16. Лодка длиной L0 наезжает, двигаясь по инер¬
ции, на отмель и останавливается из-за трения, когда
половина ее длины оказывается на суше (рис. 55). Какова была на¬
чальная скорость лодки v? Коэффициент трения равен к.
4.17. Поезд при подходе к концу тупика со скоростью v тормозит¬
ся пружинным буфером. Коэффициент упругости пружины к остает-
40
ся постоянным при сжатии пружины. Найти минимальную величину
допустимого сжатия пружины AL, чтобы максимальное замедление
не превысило атах. Найти величину к, при которой такой режим
торможения реализуется, если масса поезда равна М.
4.18. Ледокол, ударяясь о льдину массой М, отбрасывает ее, со¬
общив ей скорость V. Положим, что давление ледокола на льдину
нарастает равномерно во времени при сближении ледокола со льди¬
ной и так же равномерно убывает, когда они расходятся. Найти при
этих условиях максимальную силу давления льдины
на борт корабля, если удар продолжается время т.
4.19. Когда прикрепленная к пружине масса т
находится в равновесном положении, справа от нее
поверхность шероховатая (коэффициент трения ра¬
вен а), а слева — гладкая (коэффициент трения ра¬
вен 0) (рис. 56). На сколько нужно сместить влево массу т от поло¬
жения равновесия, чтобы она остановилась после одного колебания
в точке равновесия? Жесткость пружины равна к.
4.20. На покоящейся тележке массой М укреплена пружина
жесткостью к, которая находится в сжатом состоянии, соприкасаясь
с покоящимся грузом массой т (рис. 57). Пружина сжата на рассто¬
яние х0 от равновесного положения, а расстояние от груза до правого
открытого края тележки равно L (длина пру¬
жины в несжатом состоянии меньше L). Пру¬
жину освобождают, и она выталкивает груз с
тележки. Какова будет скорость v груза, когда
он соскользнет с тележки? Коэффициент тре¬
ния груза о тележку равен а, трением тележки
о поверхность пренебречь.
4.21. Лодка массой М с находящимся в ней человеком массой гп
неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль
по лодке со скоростью и относительно лодки. С какой скоростью w
будет двигаться человек относительно воды? С какой скоростью v
будет при этом двигаться лодка относительно воды? Сопротивление
воды движению лодки не учитывать.*)
4.22. Человек прошел вдоль по лодке, описанной в предыдущей
задаче, путь I. Каковы при этом будут смещения лодки Si и человека
S2 относительно воды?
4.23. Человек, находящийся в лодке, начинает бежать вдоль по
лодке с ускорением а относительно нее. С какими ускорениями аг и
а2 будут при этом двигаться, соответственно, человек и лодка отно¬
сительно воды? С какой силой F бегущий человек будет действовать
на лодку в горизонтальном направлении?
\ттШ
V/////////////77//////S
Рис. 57
т
-ЛППШП
>"77777777?
a
Рис. 56
*) В задачах 4.21-4.24 под массой лодки понимается не только масса соб¬
ственно лодки, но и некоторая масса «присоединенной» воды.
41
Рис. 58
4.24. На противоположных концах лодки, описанной в задаче
4.21, стоят два человека одинаковой массой т и перебрасываются
мячом массой Ат. Скорость брошеного мяча относительно воды и.
Найти скорость движения лодки v в течение времени перелета мяча
с одного конца лодки на другой. Найти смещения лодки S, и мяча S2
относительно воды после каждого перелета мяча вдоль лодки, если
длина пути мяча вдоль лодки равна I.
4.25. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над
столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки,
а расстояние от дна до поверхности стола равно
длине пробирки I. Нить пережигают, и за время
падения муха перелетает со дна в самый верх¬
ний конец пробирки. Определить время, по ис¬
течении которого нижний конец пробирки стук¬
нется о стол.
4.26. На прямоугольный трехгранный клин
АВС массой М, лежащий на абсолютно глад¬
кой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший
клин BED массой т (рис. 58). Определить, на какое расстояние х
сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз
и займет такое положение, что точка D совместится с С. Длины
катетов АС и BE равны, соответственно, а и Ь.
4.27! На носу лодки длиной I стоит человек, держа на высоте
h ядро массой т. Масса лодки вместе с человеком равна М. Че¬
ловек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по
горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы
попасть в корму лодки? Сопротивление воды движе¬
нию лодки не учитывать.
4.28. Гимнаст падает с высоты ГГ = 12 м на упру¬
гую сетку. Во сколько раз максимальная сила, дей¬
ствующая на гимнаста со стороны сетки, больше его
веса, если прогиб сетки под действием веса гимнаста
а = 1 м?
4.29. При приземлении парашютист гасит ско¬
рость, приседая на максимально напружиненных но¬
гах. Оценить, во сколько раз можно уменьшить пло¬
щадь парашюта, если под ногами парашютиста укре¬
пить дополнительный амортизатор (рис. 59). Длину сжатия пружины
амортизатора Дпр принять равной высоте приседания человека Дног,
а максимальную силу сжатия пружины knpLnp равной постоянному
усилию ног FHor. Считать, что при приземлении с амортизатором сна¬
чала сжимается пружина, а после ее полного сжатия начинают сги¬
баться ноги парашютиста. Силу сопротивления движению парашюта
считать пропорциональной его площади.
4.30. Гладкие боковые поверхности стоящего на плоскости одно¬
родного клина представляют собой четверть окружности радиусом
42
R — 1 м (рис. 60). Из верхней точки клина без начальной скорости
скользит небольшое тело, масса которого равна массе клина. Опре¬
делить, на какие расстояния сместятся по горизонтали оба тела к
моменту, когда соскользнувшее тело прекратит движение. Коэффи¬
циент трения между соскользнувшим телом и плоскостью к = 0,2, а
трением между клином и плоскостью можно пренебречь.
4.31. На нити длиной I подвешен груз массой т. Определить, на
какую минимальную высоту надо поднять груз т, чтобы он, падая,
разорвал нить, если минимальный покоящийся груз М, разрываю¬
щий нить, растягивает ее перед разрывом на 1%. Считать, что сила,
с которой нить действует на груз, пропорциональна растяжению нити
вплоть до ее разрыва.
Рис. 60
4.32. Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью
длиной I сообщают в начальный момент горизонтальную скорость
Vq. Определить максимальную высоту его подъема h как маятника,
если у/ъlg > v0 > д/2lg. По какой траектории будет двигаться шарик
маятника после того, как он достигнет максимальной высоты h на
окружности? Определить максимальную высоту Н, достигаемую при
этом движении шарика.
4.33Т Механическая система (рис. 61), находится в положении
равновесия в поле силы тяжести. Расстояние между осями блоков
равно I, а отношение масс грузов равно т1/т2 = л/2- Среднему гру¬
зу толчком сообщают скорость, направленную вниз, после чего он
опускается, а затем начинает подниматься вверх. Какую скорость
следует сообщить среднему грузу, чтобы при последующем движе¬
нии он мог подняться до высоты уровня осей блоков? На сколько
в результате толчка должен опуститься средний груз? Размерами и
массами блоков и трением пренебречь. Нить считать невесомой и
нерастяжимой.
4.34. Два шкива, находящиеся на одном уровне, соединены рем¬
нем; первый шкив ведущий (рис. 62). В каком случае предельная
мощность, которую можно передать ремнем при определенном числе
оборотов, будет больше; когда шкивы вращаются по часовой стрелке
или против?
4.35. Через неподвижный блок, массой которого можно прене¬
бречь, перекинута замкнутая тяжелая веревка массой М. В началь¬
ный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком
и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массой т и начинает ка¬
43
рабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую
мощность N должна для этого развивать обезьяна? Через какое вре¬
мя она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная
мощность, которую она может развивать, равна iV]mix?
4.36. Небольшое тело начинает двигаться с вершины гладкой
полусферы радиусом R с горизонтальной скоростью vn. На какой
высоте оно оторвется от поверхности?
4.37. Малое тело скользит без начальной скорости из точки С
по гладкому желобу в виде мертвой петли с разрывом (рис. 63).
При каких начальных высотах (относительно
точки А) тело, достигнув этой точки, пролетит
после свободного полета ниже верхней точки В
петли, т. е. сможет попасть обратно в желоб?
4.38. Небольшой шарик двигается вверх по
гладкой поверхности неподвижного шара ради¬
усом R. В начале подъема скорость шарика v0
направлена под углом ср0 к горизонтальной по¬
верхности. На какой высоте шарик оторвется от
поверхности? Считать, что v2o > Rg.
4.39. С высоты 2R по гладкому желобу скользит маленький ша¬
рик (рис. 64). Желоб образует петлю радиусом R. На какой высоте h
2 г
Рис. 65
шарик, радиус которого г <С R, оторвется от желоба? На какую вы¬
соту Н он еще поднимется после отрыва?
4.40. На проволочное кольцо радиусом R надето маленькое ко¬
лечко. Коэффициент трения колечка о проволочку к = 1/(4л). В мо¬
мент времени i = 0 колечку сообщили скорость п0 — 10 м/с отно¬
сительно проволочки. Считая проволочку неподвижной, определить,
какую скорость будет иметь колечко, совершив два полных оборота
по кольцу. Силу тяжести не учитывать.
4.41. На горизонтальной поверхности лежит полусфера массой
М = 200 г. С ее верхней точки в противоположных направлениях
без трения с начальными нулевыми скоростями скользят два тела
массой mi ~ 20 г и т2 = 15 г. Из-за трения между полусферой и
поверхностью движение полусферы начинается только при а = 10°
(рис. 65). Найти коэффициент трения.
4.42. Оценить, каков был бы рекордный прыжок в высоту в спор¬
тивном зале на Луне, если на Земле для закрытых помещений он
44
равен 2 м 30 см. Считать, что радиус Луны /?л ~ 0,275/?з, а плот¬
ность рл и 0,6рз. Центр тяжести прыгуна находится примерно на
высоте 0,8 м. Сопротивлением атмосфер Земли и Луны пренебречь.
Считать, что при прыжке сила тяжести мало влияет на скорость,
полученную при прыжке.
4.43. Человек, стоящий на Земле, сгибая колени, опускает центр
тяжести на 50 см и резко прыгает, поднимая центр тяжести на 60 см
выше нормального положения. Как высоко человек подпрыгнет в ана¬
логичном прыжке на Луне? Радиус Луны равен 0,275/?з; плотность
Луны 0,6рз. При резком прыжке сила тяжести мало влияет на ско¬
рость, полученную при прыжке. Сопротивлением атмосфер Земли и
Луны пренебречь.
4.44. Футболист забивает гол с одиннадцатиметрового штраф¬
ного удара точно под перекладину. Какую минимальную энергию
необходимо было для этого сообщить мячу? Под каким углом в этом
случае должен вылететь мяч? Считать, что высота ворот h = 2,5 м,
масса мяча 0,5 кг.
4.45. Однородная доска длиной L горизонтально лежит на двух
одинаковых цилиндрических опорах, вращающихся в противополож¬
ных направлениях (рис. 66). Направления вращений
таковы, что верхние точки цилиндров движутся в
противоположные стороны от центра системы, а оси
цилиндров неподвижны. В силу различных случай¬
ных толчков доска выходит из положения равнове¬
сия. Каков будет характер ее дальнейшего движе¬
ния? Найти скорость v, которую приобретет доска в
момент времени, когда один из ее концов соскользнет с опоры, если
L = 21 = 4 м. Коэффициент трения между доской и опорами к = 0,5.
Рис. 66
т, L
за
к = 0
к = кп
□м
777777777777777777777777
Рис. 67 Рис. 68
4.46. Тело массой М через невесомый блок соединено нерастя¬
жимой невесомой нитью с однородной доской массой т и длиной L,
лежащей на горизонтальной поверхности (рис. 67). В начальный мо¬
мент доска лежит на гладкой части поверхности (коэффициент тре¬
ния к = 0) так, что с началом движения она попадает на шерохова¬
тую поверхность (коэффициент трения к = к0). Определить скорость
доски к тому моменту, когда она целиком окажется на шероховатой
поверхности.
4.47. Брусок 1 лежит на таком же бруске 2 (рис. 68а). Оба они
как целое скользят по гладкой горизонтальной поверхности со скоро¬
стью v0 и сталкиваются с аналогичным покоящимся бруском 3. Удар
45
бруска 2 о брусок 3 абсолютно неупругий (бруски 2 и 3 слипаются,
рис. 686). Чему равна длина брусков I, если известно, что брусок 1
прекратил свое движение относительно брусков 2 и 3 из-за трения
после того, как он полностью переместился с 2 на 3? Коэффициент
трения между брусками 1 и 3 равен к. Трением о поверхность, а
также между брусками 1 и 2 пренебречь.
4.48. Куб с массой М и длиной ребра 4L лежит горизонтально
на двух опорах 1 и 2 таким образом, что его центр О расположен
посередине между опорами, расстояние между которыми равно 2L.
Воздействуя на куб горизонтально направленной
силой, приложенной в точке А (рис. 69), его пере¬
двигают с постоянной скоростью до тех пор, пока
правый конец куба не окажется на опоре 2. Коэф¬
фициенты трения на опорах различны и равны ki
и к2 = 3fci. Найти совершенную при этом работу.
4.49. Склон горки, плавно переходящей в го¬
ризонтальную поверхность, представляет собой (в
сечении) двенадцатую часть окружности радиусом
R (рис. 70). Какую минимальную работу надо затратить, чтобы вта¬
щить на горку санки с грузом общей массой ш? Первоначально сан¬
ки находятся у подножия горки, их тянут за веревку, составляющую
постоянный угол а с направлением скорости. Коэффициент трения
скольжения между санками и горкой к.
Указание. За переменную интегрирования взять угол ср.
4.50. Тяжелый шар радиусом R лежит на горизонтальной плоско¬
сти, а в верхней точке шара покоится малое тело. По шару наносят
удар, и он начинает двигаться со скоростью v. На какую высоту
подпрыгнет тело после упругого отскока от ниж¬
ней плоскости? Трением и сопротивлением воздуха
пренебречь.
4.51. Для натягивания тетивы на лук лучни¬
ку необходимо приложить усилие = 800 Н. Пе¬
ред выстрелом лучник удерживает стрелу с силой
F2 = 200 Н. Определить максимальную дальность
поражения цели на высоте, равной росту лучника.
Масса стрелы m — 50 г. Тетива представляет со¬
бой легкую нерастяжимую нить длиной 10 = 1,5 м.
Изменением деформации лука в процессе выстрела пренебречь.
4.52. Мальчик стреляет из рогатки. Он растягивает резину вдвое,
доведя усилие до F0 = 10 Н. Определить скорость камешка массой
m = 10 г, если длина резинки 21 — 20 см, а ее масса М = 30 г.
4.53. На снежном склоне, составляющем с горизонтом угол а,
стоят санки, и на них сидит мальчик (tga= к, где к — коэффици¬
ент трения санок о снег). Мальчик стреляет из игрушечного ружья в
направлении, нормальном к склону. Пулька привязана на невесомой,
абсолютно упругой короткой нити. После того, как ниточка натяну¬
м
RI
I |
/
Рис. 70
Рис. 69
46
лась и пулька повернула назад, мальчик ловит пульку. Определить
скорость санок после этого. Масса пульки т, мальчика и санок —
М, скорость пульки относительно ружья v.
4.54. Цепочка массой т — 0,5 кг и длиной I = 65 см
висит на нити, касаясь своим нижним концом поверхно¬
сти стола. После переживания нити цепочка падает на
стол и передает ему свой импульс. Найти полный импульс
цепочки, переданный столу.
4.55? Кусок однородного каната висит вертикально,
причем нижний конец каната доходит до горизонтального
стола. Показать, что если верхний конец каната освобо- Рис. 71
дить, то в любой момент падения каната сила его давления на стол
будет в три раза больше веса части каната, уже лежащей на столе.
4.56. Тяжелая однородная веревка дли¬
ной I перекинута через невесомый блок
(рис. 71). Определить скорость веревки в за¬
висимости от расстояния х между ее конца¬
ми, если в начальный момент оно равно А1
(при этом веревка неподвижна).
4.57. При медленном подъеме груза по
наклонной плоскости с углом наклона а и
коэффициентом трения к затрачена работа
А. Определить, какая часть работы пошла
на увеличение внутренней энергии груза и
наклонной плоскости.
4.58. На наклонной плоскости стоит ящик с песком; коэффициент
трения к ящика о плоскость равен тангенсу угла а наклона плоско¬
сти. В ящик вертикально падает некоторое тело и остается в нем.
Будет ли двигаться ящик после падения в него тела?
4.59. По наклонной плоскости под углом а к горизонту движется
брусок. В тот момент, когда его скорость равна V, на брусок верти¬
кально падает со скоростью v пластилиновый шарик такой же массы,
как и брусок, и прилипает к нему. Определить время т,
через которое брусок с шариком остановятся. Коэффици¬
ент трения равен к. При каком значении к это возможно?
4.60. Если на сферическую лунку (рис. 72) направить
поток маленьких шариков, движущихся с некоторой ско¬
ростью v0 без трения, то такая система при определен¬
ных условиях обладает фокусирующим действием. Счи¬
тая поток шариков сильно задиафрагмированным (ши¬
рина потока много меньше ДЦ, определить положение
фокуса F такой системы. Принять, что радиус лунки в плане (б)
jjj = 5 см много меньше радиуса сферы R = 150 см, a v0 = 30 см/с.
4.61. Ведущий диск фрикционного сцепления вращается с уг¬
ловой скоростью си и прижимается к ведомому диску с силой F
(рис. 73). Какую максимальную мощность JVmax можно передать с
47
помощью такого сцепления, если радиус дисков равен R и коэффи¬
циент трения ц?
4.62. Диск радиусом R и толщиной 6 насажен на вал радиусом г
таким образом, что оказывает на единицу поверхности соприкосно¬
вения давление Р (рис. 74). Коэффициент трения соприкасающихся
поверхностей ц. Какую силу надо приложить к диску,
чтобы снять его, двигая со скоростью v, с вала, враща¬
ющегося с угловой скоростью си? Во сколько раз она
отличается от силы, с которой придется снимать диск с
неподвижного вала? (Вал прокручивается относитель¬
но диска, диск движется поступательно.)
4.63. Какой максимальной кинетической энерги¬
ей К может обладать маховик, объем которого V =
= 1 м3, если прочность материала на разрыв Т =
= Ю10 дин/см2? Всю массу маховика считать заклю¬
ченной в его ободе (тонком по сравнению с его радиусом). Показать,
что при неизменной прочности материала маховика максимальная
кинетическая энергия зависит только от объема, но не от массы ма¬
ховика.
4.64? Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в одно¬
родном поле тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара.
Найти связь между средними по времени значениями его кинетиче¬
ской К и потенциальной U энергии.
4.65. Ядерные силы определяются взаимодействием между нук¬
лонами (протонами и нейтронами). Потенциальная энергия взаи¬
модействия двух нуклонов на расстоянии г с хорошей точностью
может быть представлена формулой, предложенной японским физи¬
ком Юкава: U(r) = — (r0/r)f/0exp(—r/r0), где U0 ~ 50 МэВ, аг0~
и 1,5 • 10"13 см. Найти выражение для соответствующей силы F(r).
На каком расстоянии гг сила уменьшится до 1% от
величины, которую она имеет при г = г0?
4.66. Баллистический маятник — это маятник, ис¬
пользуемый для определения скорости снаряда. Прин¬
цип его действия заключается в том, что снаряд, ско¬
рость которого следует измерить, ударяется в тело ма¬
ятника (рис. 75). Если известны условия удара и массы
снаряда и маятника, то по углу отклонения маятника
а можно вычислить скорость v снаряда до удара. Показать, как это
сделать для следующих различных случаев: 1) снаряд после удара
застревает в маятнике; 2) снаряд отскакивает после удара со скоро¬
стью v' назад; 3) снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Масса
маятника М и масса снаряда m известны; маятник можно рассмат¬
ривать как математический длиной I.
4.67. Два маятника в виде шариков разных масс и ш2 свобод¬
но подвешены на нитях разной длины 1^ и 12 так, что шарики сопри¬
'///////////////
м
О <
Рис. 75
v
Рис. 74
48
касаются. Первый маятник отводят в плоскости нитей на угол ос от
первоначального положения и отпускают. Происходит центральный
удар шариков. На какие углы и ос2 относительно отвесной линии
отклонятся маятники после удара (углы считать малыми, удар —
упругим)?
4.68. На пружине жесткостью к висит чашка весом Pi с гирей
весом Р2. Снизу в дно чашки неупруго ударяется (но не прилипает)
шарик из пластилина массой т. Найти скорость ц0 шарика перед со¬
ударением, если известно, что после соударения при движении чашки
наименьшая сила давления гири на чашку равна Р2/2.
4.69. На стенку налетает тело массой т, скорость v которого со¬
ставляет угол а с нормалью к стенке. Найти импульс р, получаемый
стенкой. Удар упругий.
4.70. Найти изменение кинетической энергии А К и импульса Ар
тела, движущегося со скоростью v, при упругом ударе его о стенку,
движущуюся в том же направлении равномерно со скоростью и < v.
При каком соотношении между скоростью тела v и скоростью стенки
и тело остановится?
4.71. Пучок атомов гелия (концентрация атомов в пучке п —
= 1015 см-3, энергия Е = 1 кэВ, сечение пучка S = 0,1 см2) падает
нормально на зеркальную стенку массой М = 1 г, движущуюся на¬
встречу с начальной скоростью и0 = 10 см/с. Через какое время t
стенка остановится?
Рис. 76
4.72. Маленький шарик движется со скоростью v в пространстве
между неподвижной стенкой и массивным поршнем, находящимися
на расстоянии L друг от друга (рис. 76). Соуда¬
рения шарика с поршнем и стенкой происходят
упруго. Найти адиабатический инвариант движе¬
ния, т. е. вид функции f(v,L), сохраняющейся по¬
стоянной при медленном движении поршня.
4.73. Два идеально упругих шарика с массами
rrii и т2 движутся вдоль одной и той же прямой со
скоростями ы и v2. Во время столкновения шарики
начинают деформироваться, и часть кинетической энергии переходит
в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьша¬
ется, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кине¬
тическую. Найти значение потенциальной энергии деформации П в
момент, когда она максимальна.
4.74. Навстречу друг другу летят два шара с массами гщ и т2.
Между шарами происходит неупругий удар. Известно, что кинети¬
ческая энергия одного шара в 20 раз больше кинетической энергии
другого. При каких условиях шары после удара будут двигаться в
сторону движения шара, обладавшего меньшей энергией?
4.75. Шайба массой то, скользя по льду, сталкивается с непо¬
движной шайбой массой 3то. Считая удар упругим и центральным,
определить, на какое расстояние S разлетятся шайбы, если скорость
49
первой шайбы перед ударом была v, а коэффициент трения между
шайбами и льдом равен к.
4.76. Пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v,
пробивает насквозь лежащий на воде деревянный шар и продолжает
лететь в том же направлении со скоростью v/2. Определить, на какое
расстояние в результате переместится шар, если известно, что сила
сопротивления воды пропорциональна скорости шара F = <хьш.
4.77. Сталкиваются два тела одинаковой массы, одно из кото¬
рых неподвижно. При ударе часть движущегося тела прилипает к
неподвижному, а остальная часть отскакивает назад со скоростью,
по величине равной скорости тела до столкновения. При каких от¬
ношениях массы прилипшей части тела к его полной массе это воз¬
можно? Известно, что при ударе внутренняя энергия тел не умень¬
шается.
4.78. Сталкиваются два тела одинаковой массы, одно из которых
было неподвижно. При ударе часть движущегося тела прилипает к
неподвижному, а остальная часть после удара останавливается. При
каком отношении массы прилипшей части тела к его полной массе
25% энергии переходит в тепло?
4.79. При движении в очень разреженных слоях атмосферы ме¬
теорит испаряется за счет столкновений с молекулами воздуха, кото¬
рые передают веществу метеорита всю свою кинетическую энергию,
но к поверхности не прилипают. Определить измене¬
ние скорости метеорита v при уменьшении его мас¬
сы в 10 раз. Начальная скорость v0 = 40 км/с, энер¬
гия для нагрева и испарения вещества метеорита Q =
= 8 • 10б Дж/кг.
4.80. По теории, разработанной Г. Герцем (1882 г.),
при столкновении упругих шаров сила взаимодей¬
ствия пропорциональна деформации в степени 3/2,
т. е. F = kx3/2. Рассмотреть лобовое столкновение
шаров одинакового радиуса с одинаковой упругой константой к, но
разными массами т и тп/3. Начальные скорости v0 и —ц0. Опреде¬
лить величину максимальной деформации шаров жтах.
4.81. Шар 1, летящий со скоростью v, ударяется в покоящийся
шар 2, масса которого в 3 раза больше массы налетающего (рис. 77).
Найти скорости шаров после удара, если в момент столкновения угол
между линией, соединяющей центры шаров, и скоростью налетающе¬
го шара до удара равен 60°. Удар абсолютно упругий. Трения нет.
4.82? Движущаяся частица претерпевает упругое столкновение с
покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкно¬
вения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым
углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после лобового
столкновения?
4.83. Два протона с энергией Е = 0,5 МэВ каждый летят на¬
встречу друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко
Рис. 77
50
они могут сойтись, если учитывать только электростатическое взаи¬
модействие между ними?
4.84. Альфа-частица с кинетической энергией Е0 = 4 МэВ упру¬
го рассеивается на первоначально покоящемся протоне. Определить
расстояние rmin между этими частицами в момент максимального
сближения, а также максимальные ускорения частиц ар и аа во вре¬
мя столкновения. Столкновение считать центральным.
4.85. При бомбардировке гелия а-частицами с энергией 1 МэВ
найдено, что налетающая частица отклонилась на 60° по отноше¬
нию к первоначальному направлению полета. Считая удар упругим,
определить энергию частицы и энергию ядра отдачи.
4.86. Определить долю энергии, теряемую частицей массой тi
при упругом столкновении ее с неподвижной частицей массой т2,
если после столкновения частица продолжает двигаться в прежнем
(когда rrii > тп2) или прямо противоположном (когда ту < т2) на¬
правлениях. Показать, что доля теряемой энергии не зависит от того,
какая частица движется, а какая покоится. При каком соотношении
масс mi/m2 потеря энергии максимальна? Используя полученные
результаты, объяснить, почему в ядерных реакторах для замедления
нейтронов используется рассеяние их на ядрах легких (дейтерий, уг¬
лерод), а не тяжелых атомов.
4.87. Альфа-частица, летящая со скоростью vo, испытывает упру¬
гое столкновение с неподвижным ядром и летит под углом 90° к
первоначальному направлению движения. При каком соотношении
масс а-частицы т и ядра М это возможно? Определить скорости а-
частицы v и ядра V после столкновения. Определить угол 0 между
направлением скорости вылетающего ядра и первоначальным направ¬
лением движения а-частицы.
4.88. Лазер излучает направленный поток света в виде короткого
импульса. Какова скорость отдачи кристалла лазера, если его масса
равна 100 г, а излученная энергия равна 103 Дж?
4.89. Определить импульс отдачи ядра 57Fe при излучении
у-кванта с энергией 14,4 кэВ.
4.90. Две частицы, массы которых равны mi и т2 (т,i > т2),
движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой с одинаковыми
скоростями. После упругого столкновения тяжелая частица отклоня¬
ется от направления своего первоначального движения на угол а =
= 30° в лабораторной системе отсчета или на угол |3 = 60° в системе
центра масс. Определить отношение nii/m2.
4.91. Две одинаковые частицы, одна из которых неподвижна, ис¬
пытывают упругое столкновение. Налетающая частица рассеивается
на угол 0 к направлению своего первоначального движения. Найти
угол рассеяния у этой частицы в системе центра масс.
4.92. Определить долю энергии а, теряемую протоном при упру¬
гом рассеянии под углом 180° на протоне, дейтроне, ядре гелия и
ядре углерода.
51
4.93Т Каков максимальный угол 0 рассеяния а-частицы и дей¬
трона при упругом рассеянии на водороде?
4.94. Протон, летящий горизонтально со скоростью V, сталкива¬
ется с невозбужденным неподвижным атомом массой М, после чего
отскакивает и летит в прямо противоположном направлении с поло¬
винной скоростью V/2, а атом переходит в возбужденное состояние,
т. е. в состояние с более высокой внутренней энергией. Определить
скорость атома v после столкновения и энергию Е, которая пошла на
возбуждение атома. Для каких невозбужденных атомов описанный
процесс невозможен?
4.95. Атомы бора 10В (массовое число Аг = 10) с кинетической
энергией К = 22 эВ возбуждаются при столкновении с неподвижны¬
ми атомами. Энергия возбуждения атомов бора W = 6,2 эВ. Мак¬
симальный угол рассеяния возбужденных атомов бора cpi = 17,5°.
Определить массовое число атомов мишени А2.
4.96. Может ли произойти ионизация атома 133Cs ударом атома
160 с энергией Е0 = 4 эВ? Энергия ионизации Ег = 3,9 эВ.
4.97. Ядра лития возбуждаются потоком протонов, падающим на
неподвижную литиевую мишень. При этом происходит реакция
p + 7Li->p + 7Li*.
При каких отношениях энергии налетающего протона к энергии воз¬
буждения лития возможно возникновение протонов, движущихся в
обратном к потоку направлении?
4.98. Ядерная реакция 7Li -f- р —> 7Ве + п (литий неподвижен)
имеет порог Е = 1,88 МэВ, т. е. может идти только тогда, когда энер¬
гия протона равна или превосходит величину Епор. При каких энер¬
гиях бомбардирующих протонов Ер нейтроны в такой реакции могут
лететь назад от литиевой мишени?
4.99. При каких энергиях а-частиц Е возможно их неупругое
рассеяние на ядрах 14N, если энергия первого возбужденного состо¬
яния этого ядра Е0 = 2,31 МэВ? Какова энергия а-частицы Ег, если
ядро 14N переходит в это возбужденное состояние, а сама а-частица
останавливается?
4.100. 'Вычислить минимальное значение Ка кинетической энер¬
гии а-частиц, необходимой для осуществления реакции
4Не + 7Li —» 10В + п,
если реакция идет с поглощением энергии Q = 2,85МэВ (литий непо¬
движен).
4.101. Какова энергия а-частицы, если при попадании в покоя¬
щееся ядро азота 14N происходит реакция
14N + 4Не —> 170 + 4Н,
52
сопровождающаяся поглощением энергии Q = 1 МэВ, а образовав¬
шийся протон покоится в лабораторной системе координат?
4.102. Ядра дейтерия и трития летят навстречу друг другу таким
образом, что центр масс этих частиц остается неподвижным. Сум¬
марная кинетическая энергия обеих частиц равна К = 150 кэВ. До
какой энергии надо ускорять ядро дейтерия, оставляя тритий непо¬
движным, чтобы получить тот же самый выход реакции?
4.103. Ядро дейтерия сталкивается и вступает в реакцию с ядром
трития. Предполагается осуществить этот процесс, ускорив перед
столкновением лишь одну частицу до энергии К = 100 кэВ, остав¬
ляя вторую неподвижной. Что выгоднее для осуществления реакции:
ускорить легкую или тяжелую частицу? Предполагается, что удар
между частицами центральный. Определить выигрыш в энергии.
4.104. Ядра дейтерия с энергией Eq = 0,17 МэВ движутся на¬
встречу друг другу. При соударении происходит реакция
D + D —> 3Не + п,
при которой выделяется дополнительная энергия Е. Определить Е,
если нейтрон уносит кинетическую энергию Еп = 2,7 МэВ.
4.105. Ядра дейтерия D и трития Т могут вступать в реакцию
D + Т —> 4Не + п + 17,6 МэВ,
в результате которой образуются нейтроны и а-частицы. В каждой
реакции выделяется энергия 17,6МэВ. Определить, какую энергию
уносит нейтрон и какую а-частица. Кинетические энергии, которыми
обладали частицы до реакции, пренебрежимо малы.
4.106. Ядро дейтерия с энергией Ео = 3,25МэВ сталкивается с
таким же неподвижным ядром. При соударении происходит реакция
D + D —> 3Не + п,
в которой выделяется дополнительная энергия Е. Определить Е,
если в лабораторной системе отсчета 3Не покоится.
4.107. При реакции соударения протона с неподвижным ядром 7Li
образуются две а-частицы и выделяется энергия за счет небольшого
изменения массы частиц в результате реакции. Известна кинетиче¬
ская энергия протона Кр = 2 МэВ, кинетическая энергия одной из
а-частиц К1а = 10,5 МэВ и угол вылета этой а-частицы 0! = 60°.
Определить количество энергии Е, выделившееся при реакции.
4.108. Ядро с массовым числом А и кинетической энергией К0 =
= 7 МэВ налетает на неподвижное ядро с массовым числом А/6.
В результате неупругого рассеяния налетающее ядро остается неиз¬
менным, а ядро мишени оказывается возбужденным с энергией воз¬
буждения Е* = 0,75 МэВ. Определить максимальный угол рассеяния
бшах падающего ядра в лабораторной системе отсчета.
53
4.109. Найти минимальную относительную скорость Vmin двух
одинаковых метеоритов, необходимую для их нагрева и полного ис¬
парения в результате столкновения. Теплота нагревания и испарения
1 г вещества метеоритов составляет Q = Ю10 эрг/г.
4.110. Два шарика, массы которых т,\ = 4т и т2 = т, движут¬
ся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. После упругого
столкновения тяжелый шарик отклоняется от первоначального на¬
правления движения на максимально возможный при таком столк¬
новении угол. Определить этот угол.
4.111. Два шарика с одинаковыми массами движутся навстречу
друг другу со скоростями, отличающимися по модулю в 2 раза. После
их упругого столкновения замерен угол отклонения более быстрого
шарика от первоначального направления
движения. В системе центра масс он оказал¬
ся равен ос = 90°. Определить углы отклоне¬
ния шариков от первоначально направления
движения в лабораторной системе отсчета.
4.112. Два одинаковых шарика массой
т = 10 г каждый соединены пружиной дли¬
ной 10 = 3 см и жесткостью к = 600 Н/м. В
начальный момент пружина недеформирована, а система летит пер¬
пендикулярно прямой, соединяющей шары, со скоростью v = 2 м/с. В
некоторый момент шарики упруго ударяются о стенки клина с углом
при вершине 2ос= 120°. Биссектриса клина проходит через середину
пружины и перпендикулярна оси, соединяющей шарики (рис. 78). Ка¬
ково будет минимальное расстояние между шариками после столкно¬
вения с клином? Массой пружины пренебречь, массу клина считать
бесконечно большой.
4.113. Пуля массой т, имеющая скорость vQ, пробивает после¬
довательно стенки сферической оболочки массой М, двигаясь по ее
диаметру. Определить скорость пули и оболочки после вылета пули
наружу, если выделившееся тепло равно Q0. Вычисления провести
для М = т и Qq = (3/16)mVo-
4.114. Пуля массой т, имеющая скорость v0, пробивает одну стен¬
ку сферической оболочки массой М, двигаясь по ее диаметру, и
затем упруго отражается от второй стенки. На пробивание стенки
тратится работа А. Определить скорость оболочки пули сразу после
отражения и описать дальнейшее поведение системы пуля-оболочка,
считая, что пуля не может вылететь из оболочки. Расчеты провести
для т = М и А = (3/16)?тшд.
4.115. Деревянный брусок брошен под углом а = 45° к горизонту
со скоростью цо = 40м/с. Масса бруска М = 32 г. В верхней точ¬
ке траектории брусок догоняет и застревает в нем горизонтально
летящая пуля массой т = 8 г. Чему была равна скорость пули и,
если известно, что брусок упал на расстоянии L = 400 м от точки
бросания?
Одшшш^О
I'
Рис. 78
54
4.116. Шар радиусом R0 и массой М, движущийся по прямой
со скоростью по, влетает в облако неподвижных тормозящих частиц
с одинаковыми массами т и концентрацией (количеством частиц в
единице объема) п. Найти, как будет меняться со временем скорость
шара. Торможение происходит за счет упругих соударений с части¬
цами облака. Считать, что т <С М.
4.117. Боеголовка ракеты, представляющая собой параболоид вра¬
щения (уравнение поверхности у = hr2/гд, где h — высота боеголов¬
ки, г0 — радиус основания), пролетает сквозь «рой»
неподвижных частиц с одинаковыми массами т и кон¬
центрацией (количеством частиц в единице объема) п,
которые тормозят боеголовку за счет упругих столкно¬
вений с ней. Найти зависимость скорости боеголовки от
времени, если ее масса М (М 3>ш), а начальная ско¬
рость п0- Силу тяжести не учитывать.
4.118. На краю первоначально неподвижной платфор¬
мы длиной L сидит собака, а в центре — кошка. Собака
////////■//////у//
гл
Рис. 79
начинает бежать за кошкой со скоростью (3/2)н, а кошка убегает от
собаки со скоростью п (обе скорости — относительно платформы).
Добежав до края платформы, кошка спрыгивает с нее, не замед¬
ляя движения, а собака продолжает бежать в прежнем направлении.
Найти смещение платформы относительно начального положения к
моменту, когда собака добежит до края платформы. Платформа мо¬
жет перемещаться в горизонтальной плоскости без трения. Массы
кошки и собаки — т и 2т соответственно, масса платформы — 10т.
4.119. Частица совершает одномерное движение в положительном
направлении оси х в консервативном поле с потенциальной энерги¬
ей U(x) = Е [l — (ж/ж0)4/3], где Е = const. В момент времени t — О
частица покоится в точке х = 0.
1) Определить время, через которое отношение скорости частицы
к ее координате станет равным х/х = 3 с-1.
2) Через какое время отношение ускорения частицы к ее скорости
станет равным х/х = 12 с-1?
4.120. Однородная тяжелая веревка длиной I находится в состоя¬
нии неустойчивого равновесия (рис. 79). Найти скорость свободного
конца веревки в зависимости от его смещения от положения равно¬
весия, если он начинает двигаться вниз. Как изменится результат,
если конец веревки начнет двигаться вверх?
4.121. Веревка длиной L расположена на краю стола так, что
с края свешивается отрезок длиной L0. Найти, при каком коэффи¬
циенте трения к веревки о стол она будет соскальзывать со стола.
Определить зависимость скорости веревки от длины отрезка верев¬
ки, свешивающегося с края стола. Найти скорость веревки в момент,
когда она полностью соскользнет со стола, если к = 1, L0 = (2/3)L.
4.122. Через вершину клина, представляющего собой равнобед¬
ренный треугольник с углами в основании а, перекинута веревка
55
и
XT с
Рис. 80
оо
длиной L. Найти, при каком коэффициенте трения веревка будет
скользить по клину, а также зависимость ее скорости от длины боль¬
шего отрезка веревки. Начальная длина большего отрезка — L0.
Найти скорость веревки в момент, когда
она полностью окажется по одну сторо-
ну от верШИНЫ; если к = (2 —-\/2)/3,
а = я/4, L0 = (2/3)Д. Сопротивление
движению в вершине клина отсут¬
ствует.
4.123. На рельсах вплотную друг к
другу стоят две тележки. Собака мас¬
сой т = 25 кг, сидевшая в дальнем кон¬
це более высокой тележки (рис. 80), начинает двигаться с постоян¬
ным ускорением а0ТН относительно тележки и, добежав до ее края,
не меняя величины и направления набранной к этому моменту
скорости, пытается попасть на низкую тележку. При каком ми¬
нимальном значении аотн ей это удастся? Длина высокой тележ¬
ки I = 10 м, ее масса М = 100 кг, по рельсам она может двигать¬
ся без трения; вторая тележка ниже на h = 30 см.
4.124. Теплоход, стоявший кормой
2 _ вплотную к причалу, отходит (рис. 81),
ув** двигаясь с постоянным ускорением а.
Зазевавшийся абориген в тот же мо-
—3^ , —-V; а? 7 ^ / мент стартует из точки, находящейся на
расстоянии / = 10 м от кормы, и, дви¬
гаясь с ускорением аотн = 3 м/с2 отно¬
сительно палубы, без дополнительного
толчка «вылетает» по направлению к
Рис. 81 причалу. При каких значениях ускоре¬
ния теплохода а он попадет на причал? Для благополучного «при¬
земления» его центр тяжести за время полета должен опуститься не
более чем на h = 30 см.
4.125. Небольшое тело, скользящее по горизонтальной поверхно¬
сти, наезжает на расположенное в вертикальной плоскости закругле¬
ние (рис. 82), после чего тело подлетает верти¬
кально вверх. Определить величину коэффици¬
ента трения р. тела о закругление, если это тре¬
ние уменьшает высоту максимального подъема
тела на 12%. Считать, что радиус закругления
мал по сравнению с высотой подъема, а размер
тела много меньше радиуса закругления.
4.126. По теории, разработанной Г. Герцем, при столкновении
упругого шара со стенкой сила взаимодействия пропорциональна де¬
формации х шара в степени 3/2, т. е. F(x) — к ■ ж3/2, где к — некото¬
рая постоянная. Сравнить длительности соударения шара, движуще¬
3/
Н» R
Рис. 82
56
гося со скоростью vo, с покоящейся стенкой и 1) с удаляющейся стен¬
кой, скорость которой равна 0,95н0; 2) с приближающейся стенкой,
скорость которой составляет Юп0. Деформацией стенки пренебречь.
4.127. В эксперименте по упругому рассеянию частиц из вза¬
имно перпендикулярных пучков отношение масс частиц составля¬
ет mi/m2 — 18/7, а отношение их начальных скоростей — щ/п2 =
= 4/3. Найти отношение максимального импульса, уносимого первой
частицей, к ее первоначальному импульсу. Столкновения нереляти¬
вистские.
4.128. В эксперименте по упругому рассеянию частиц из вза¬
имно перпендикулярных пучков отношение масс частиц составляет
тг/т2 = 2/1. Максимальная энергия, которую может потерять пер¬
вая частица при столкновении, составляет АКг/Кю = 7/9. Найти
отношение начальных скоростей частиц v\/v2. Столкновения нере¬
лятивистские.
4.129. Тяжелая нерелятивистская частица налетает со скоростью
щ на более легкую покоившуюся частицу и в итоге абсолютно
упругого удара рассеивается на максимально возможный угол, рав¬
ный a (sin а = 1/4). С какой скоростью v2 полетела после рассеяния
легкая частица?
4.130. Частица массой т, движущаяся со скоростью v, догоняет
частицу массой 4т, движущуюся в том же направлении. В резуль¬
тате упругого столкновения угол отклонения догоняющей частицы в
системе центра инерции вдвое превышает угол ее отклонения в лабо¬
раторной системе отсчета. Найти скорость второй частицы. Скорости
нерелятивистские.
4.131. Частица массой т, движущаяся со скоростью v, упруго
сталкивается с частицей, движущейся навстречу первой со скоро¬
стью 2v. При этом угол отклонения первой ча¬
стицы в лабораторной системе отсчета оказался
вдвое меньше угла ее отклонения в системе цен¬
тра инерции. Найти массу второй частицы. Ско¬
рости нерелятивистские.
4.132. В пучке одинаковых нерелятивистских
частиц с кинетической энергией К происходят
двухчастичные распады, в результате которых
образуются частицы только двух видов. Продук¬
ты распада одного вида вылетают из пучка пер¬
вичных частиц (рис. 83) под углами к первоначальному направлению,
не превышающими аь а другого — а2.Найти кинетическую энергию,
выделяющуюся при распаде первичной частицы.
4.133. В серии экспериментов по регистрации распадов некоторой
нерелятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией К,
на две одинаковые частицы обнаружено, что минимальный угол раз¬
лета продуктов распада составляет а и достигается при симметрич¬
ном распаде. Какая кинетическая энергия выделятся при распаде?
Рис. 83
57
4.134. В серии экспериментов по упругому рассеянию тяжелой
нерелятивистской частицы на более легкой первоначально покоив¬
шейся частице обнаружено, что тяжелые частицы, отклонившиеся
в итоге удара от первоначального направления распространения на
угол 0 = arctg(l/3), летят со скоростями v либо 2v. Найти угол а
между импульсом рассеянной тяжелой частицы в лабораторной си¬
стеме отсчета и ее импульсом в систем отсчета, связанной с центром
масс.
4.135. В серии экспериментов по упругому рассеянию тяжелой
нерелятивистской частицы на более легкой первоначально покоив¬
шейся свободной частице детектор рассеянных тяжелых частиц уста¬
новлен так, чтобы регистрировать частицы, изменившие направление
своего полета на угол 0 = arctg(l/8). Найти отношение кинетиче¬
ских энергий регистрируемых частиц, если известно, что в системе
центра масс направления их движения составляют друг с другом
угол 7T — 2arctg(l/4).
4.136. Конструкцию из двух тонких параллельных пластин, со¬
единенных между собой пружинкой жесткостью к, поставили на стол
и сжали, надавив сверху на пластину массой т\ с силой F. Затем
воздействие силы быстро прекратили. Какую скорость будет иметь
верхняя пластина в тот момент времени, когда начинает движение
нижняя пластина массой т2? Какая доля полной кинетической энер¬
гии в этот момент пойдет на колебания системы? Массой пружины
пренебречь.
4.137. Упругий стержень положили на гладкий горизонтальный
стол и прижали к вертикальной стенке, приложив некоторую силу.
Затем воздействие силы быстро прекратили. После отхода стержня
от стенки было отмечено, что скорость его центра масс равна vc.
Определить, с какой силой стержень был прижат к стенке. Какая
доля первоначальной упругой энергии сжатия будет в его свободном
движении приходиться на его колебания? Мас¬
са стержня тп, коэффициент упругости (жест-
и кость) к.
____ 4.138. Какую минимальную работу надо со¬
вершить, чтобы перетащить мягкую веревку
Рис. 84 с абсолютно гладкой на шероховатую поверх¬
ность, медленно перемещая верхний конец веревки (рис. 84) горизон¬
тально на высоте Н = 0,5 м. Вначале веревка находилась на гладкой
поверхности. Масса веревки тп = 0,5 кг, длина L = 1 м, коэффици¬
ент трения веревки о шероховатую поверхность ц = 0,5.
Указание. Рассмотреть проекции сил, касательные к элементу
длины висящей веревки.
4.139. Однородную пружину жесткостью к и длиной I разрезали
на две части, и один из отрезков, имеющий длину l/п, последова¬
тельно соединили с другой такой же пружиной жесткостью к и дли¬
ной I. При сжатии составной пружины до длины I была совершена
ц ~ о
58
работа Ai, а при растяжении остатка первой пружины до прежней
длины I была совершена работа А2. Чему равны эти работы? Какая
из этих работ больше и во сколько раз?
4.140. При многократном проведении эксперимента по упруго¬
му нерелятивистскому рассеянию тяжелой частицы с кинетической
энергией К на более легкой покоящейся свободной частице было
установлено, что при рассеянии тяжелой частицы в некотором на¬
правлении легкие частицы регистрируются с единственным значени¬
ем энергии отдачи, равным Т = К/15. Найти отношение масс тяже¬
лой и легкой частиц. Случай центрального удара не рассматривать.
4.141. В результате многократного проведения эксперимента по
упругому нерелятивистскому рассеянию тяжелой частицы массой М
с кинетической энергией К0 на более легкой покоящейся свободной
частице было установлено, что в некотором направлении регистриру¬
ются рассеянные частицы только с единственным значением кинети¬
ческой энергии К = К0/2. Найти массу легкой частицы-мишени тп.
Случай центрального удара не рассматривать.
4.142. Атомы бериллия 9Ве (массовое число Аг = 9) с кинетиче¬
ской энергией К — 18 эВ возбуждаются при столкновении с непо¬
движными атомами 7Li (массовое число А2 = 7). Максимальный
угол рассеяния возбужденных атомов бериллия ф! = 15°. Опреде¬
лить энергию возбуждения бериллия W.
§ 5. Гармонические колебания материальной точки
5.1. Под действием веса прыгуна упругая доска статически проги¬
бается на h = 0,5 м. Пренебрегая массой доски, найти период малых
колебаний рассматриваемой системы около
положения равновесия (рис. 85).
5.2. Период малых колебаний шарика,
подвешенного на спиральной пружине, ра¬
вен Т = 0,5 с. Пренебрегая массой пружи¬
ны, найти статическое удлинение пружи¬
ны х под действием веса того же шарика.
5.3. Небольшой шарик массой тп, летя¬
щий горизонтально со скоростью v, ударяет¬
ся в вертикально расположенную упругую сетку. Считая, что дефор¬
мация сетки пропорциональна приложенной силе с коэффициентом
пропорциональности к, найти время t, за которое сетка получит мак¬
симальную деформацию.
5.4. Материальная точка совершает одномерные колебания в тре¬
угольной потенциальной яме U(x) ос |ж| (рис. 86) с периодом Т0.
Найти период гармонических колебаний Т этой точки в параболи¬
ческой потенциальной яме U(x)ccx2, если максимальная потенци¬
альная энергия точки и амплитуда колебаний в обоих случаях оди¬
наковы.
59
5.5. Шарик массой то подвешен на двух последовательно соеди¬
ненных пружинках с коэффициентами упругости кi и к2 (рис. 87).
Определить период его вертикальных колебаний.
5.6! На доске лежит груз массой 1 кг. Доска совершает гармони¬
ческие колебания в вертикальном направлении с периодом Т = 1 /2 с
и амплитудой А = 2 см. Определить величину силы давления F гру¬
за на доску.
5.7. С какой амплитудой А должна колебаться доска с грузом в
предыдущей задаче, чтобы груз начал отскакивать от доски?
5.8. Горизонтальная мембрана совершает синусоидальные коле¬
бания с круговой частотой си и амплитудой А. На мембране лежит
маленький грузик. При каком условии грузик будет колебаться вме¬
сте с мембраной и при каком начнет подскакивать?
5.9. Доска совершает гармонические колебания в горизонтальном
направлении с периодом Т = 5 с. Лежащее на ней тело начинает
скользить, когда амплитуда колебаний достигает А — 0,6 м. Каков
коэффициент трения покоя к между грузом и доской?
5.10. На чашку весов, подвешенную на пружине, падает с высоты
h груз массой то и остается на чашке (рис. 88), не подпрыгивая отно¬
сительно нее. Чашка начинает колебаться. Коэффициент упругости
пружины к. Определить амплитуду А колебаний (массой чашки и
пружины по сравнению с массой груза пренебречь).
5.11! На массивной чашке пружинных весов лежит маленький
грузик (рис. 89). Масса чашки равна то, масса грузика пренебрежимо
мала. Ко дну чашки подвешен груз массой М. Вся система находится
в равновесии. При каком соотношении между массами М и то грузик
на чашке начнет подскакивать, если быстро снять груз М?
5.12. К пружине прикреплена нить, на которой висит груз мас¬
сой то = 1 кг (рис. 90). Оттягивая груз вниз и отпуская, приводят
его в колебания. На какое расстояние х можно оттянуть вниз груз,
чтобы при колебаниях нить все время была натянута? Коэффициент
жесткости пружины к = 0,5 Н/см.
5.13. Тело массой то колеблется без трения внутри коробки мас¬
сой М, лежащей на горизонтальной поверхности стола. К телу при¬
креплены пружины с жесткостями ki и к2, концы которых закреп-
60
лены на боковых стенках коробки (рис. 91). Определить, при какой
амплитуде колебаний коробка начнет двигаться по поверхности сто¬
ла, если коэффициент трения между коробкой и столом равен ц..
к\
кг
-шт-
т
-што-
^чччточчччччччччччччЧ
чЧЧЧ^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧч\
м
кг
шщн»?)шттн
ЧЧЧЧчЧЧчЧчччЧчччЧчЧччЧЧЧЧЧчЧ^
Рис. 91 Рис. 92 Рис. 93
5.14. Тело массой т колеблется в вертикальном направлении
внутри коробки массой М, лежащей на горизонтальной поверхности
стола. К телу прикреплены пружины с жесткостями кг и к2 (рис. 92),
концы которых закреплены на верхней и нижней стенках коробки.
Определить, при какой амплитуде колебаний коробка начнет подпры¬
гивать, отрываясь от поверхности стола, на котором лежит.
5.15. Тело массой т соединено пружинами (с жесткостью к\ и к2)
со стенками ящика массой М и может совершать малые колебания,
скользя без трения по дну ящика (рис. 93). Определить период ма¬
лых колебаний, если трением дна ящика о поверхность стола можно
пренебречь. В равновесии пружины не растянуты.
5.16. Брусок массой М лежит на идеально гладком столе и со¬
единен двумя пружинами различной жесткости с опорами. Брусок
колеблется около своего положения равновесия (рис. 94). В момент,
когда брусок проходит положение равновесия, на него сверху падает
кусок пластилина массой т и прилипает. Вычислить, во сколько раз
изменится период и амплитуда колебаний.
м
-шт-
т
штт-
^ЧЧЧЧЧЧЧЧТЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ*
Рис. 94
Рис. 95
Рис. 96
5.17. Тело массой т колеблется без трения внутри коробки мас¬
сой М, лежащей на гладком столе. К телу прикреплены пружины
одинаковой жесткости, концы которых закреплены на боковых стен¬
ках коробки (рис. 95). Вначале коробка закреплена, а затем ее от¬
пустили, и она может свободно перемещаться по столу. Определить
отношение частот колебаний в этих случаях.
5.18. На гладком столе находится брусок массой М, с которым со¬
единен математический маятник, состоящий из невесомого стержня
и точечной массы т на его конце (рис. 96). Ось вращения маятника
проходит через центр бруска. В первом случае брусок закреплен на
столе, во втором его отпустили, и он может свободно перемещать
61
ся по столу. Определить отношение частот малых колебаний в этих
двух случаях.
5.19. Шарик массой т с зарядом Q висит на легкой нити дли¬
ной L. На одном уровне с ним на расстоянии 10 помещен другой
неподвижный шарик с таким же зарядом. Определить угол отклоне¬
ния первого шарика от вертикали ср0 (рис. 97). Найти также период
его малых колебаний. Считать, что электрические силы невелики по
сравнению с силой тяжести.
5.20. Академик А. Ф. Иоффе для определения амплитуды коле¬
бания ножки камертона подносил к ней стальной шарик на нити
вплоть до соприкосновения шарика с ножкой (рис. 98). Какова ам¬
плитуда колебания А ножки камертона, если максимальный подъем
шарика при многочисленных опытах после одного отскока оказался
равным Н? Частота колебаний ножки камертона у. Масса шарика
много меньше массы камертона.
5.21. Под горку с высоты h соскальзывает стальная шайба и упру¬
го ударяется в ножку камертона (рис. 99). На какую максимальную
высоту Н может подняться шайба после одного отскока, если ам¬
плитуда колебаний ножки камертона А, а частота колебаний камер¬
тона у? Считать, что масса ножки камертона мно¬
го больше массы шайбы. Трением пренебречь.
5.22. Гантель длиной 21 скользит без тре¬
ния по сферической поверхности радиусом г
(рис. 100). Гантель представляет собой две то¬
чечные массы, соединенные невесомым стержнем.
Вычислить период малых колебаний при движе¬
нии: а) в перпендикулярном плоскости рисунка направлении; б) в
плоскости рисунка.
5.23. На гладкой горизонтальной плоскости лежит прямоуголь¬
ный клин с углом при вершине а = 30°. На наклонной плоскости
клина (также гладкой) лежит кубик, связанный с вершиной пружи¬
ной, ось которой параллельна наклонной плоскости (рис. 101). Масса
клина М, кубика т, жесткость пружины к. Найти период малых ко¬
лебаний системы, считая М = 2>т.
Рис. 101
62
5.24. Маятник представляет собой два небольших шара, соеди¬
ненных стержнем длиной I. Массы шаров равны т и т/2, ось рас¬
положена на расстоянии 1/3 от легкого шара (рис. 102). Маятник
укреплен на платформе массой М = 3т, которая может скользить
без трения по горизонтальной поверхности. Определить период ма¬
лых колебаний маятника.
5.25. Две равные точечные массы укреплены симметрично на кус¬
ке невесомой цилиндрической поверхности (рис. 103). Найти частоту
малых колебаний системы. Радиус поверхности R, расстояние между
массами L. Проскальзывания нет.
5.26. На двух горизонтальных параллельных круговых цилин¬
драх, вращающихся с одинаковой угловой скоростью в разные сто¬
роны, лежит горизонтально перпендикулярно к осям цилиндров дос¬
ка массой М. Определить период гармонических колебаний доски,
если расстояние между осями цилиндров рав¬
но 2L, а коэффициент трения между доской и
цилиндрами равен к.
5.27. На шероховатом неподвижном цилин¬
дре радиусом R (рис. 104) лежит (перпендику¬
лярно его образующей) невесомая спица дли¬
ной 21 с двумя шариками массой гп на концах.
Найти период малых колебаний спицы.
5.28. Через неподвижный блок перекинута
легкая нерастяжимая нить, на которой висят
две одинаковые железные цилиндрические ги¬
ри высотой h. Гири частично погружены, соот¬
ветственно, в воду и масло, которые налиты в
широкие стаканы, стоящие на столе (рис. 105). В начальный момент
система пребывает в равновесии. Найти период малых колебаний.
Плотности масла рм, железа рж и воды рв известны.
5.29. Железный шарик радиусом R (рис. 106), подвешенный на
пружине жесткостью к, частично погружен в широкую чашку со
ртутью, стоящую на столе, так, что в положении равновесия центр
шарика находится над поверхностью жидкости на высоте 0,6i?. Най¬
ти период малых колебаний шарика по вертикали. Плотности ртути
ррт и железа рж известны.
63
5.30. Найти период колебаний груза, подвешенного с помощью
невесомого блока и двух пружин с коэффициентами упругости ki и
к2 (рис. 107). Найти также максимальную амплитуду А колебаний
груза, при которой они происходят еще по гармоническому закону.
5.31. Мальчик, стоя на пружинных весах, подбрасывает мяч мас¬
сой то вертикально вверх и затем ловит его. Известно, что за время
полета мяча весы совершили п целых колебаний. Определить ампли¬
туду колебаний весов после того, как мальчик поймал мяч. Жест¬
кость пружины весов равна к, масса чаши весов вместе с мальчиком
равна М.
5.32. Мальчик стоит на качелях и кидает мяч массой то в стену
дома, отстоящего от качелей на расстояние L. Мяч попадает в стену,
двигаясь горизонтально, и упруго от нее отражается, а затем снова
попадает в руки мальчика. За время полета мяча качели совершили
п целых колебаний. Определить амплитуду ср0 угловых колебаний
качелей после того, как мальчик поймал мяч. Длина качелей I, масса
мальчика вместе с перекладиной качелей М. Качели рассматривать
как математический маятник.
5.33. Два одинаковых тяжелых шарика подвешены на горизон¬
тальной оси с помощью невесомой жесткой штанги, согнутой под
углом 90°, с длинами плеч Д и 12 (рис. 108). Определить частоту
малых колебаний системы в плоскости, перпендикулярной оси.
5.34. Велосипедное колесо радиусом R, у которого удален сек¬
тор с углом а, подвешено на горизонтальной оси, проходящей через
центр колеса. Определить частоту малых колебаний колеса в плос¬
кости, перпендикулярной оси. Считать, что вся масса колеса сосре¬
доточена в ободе.
5.35. Механизм состоит из нерастяжимой веревки, двух блоков,
двух грузов и пружины с жесткостью к (рис. 109). Найти период
малых колебаний системы. При какой амплитуде колебаний груза тх
веревка будет время от времени терять натяжение? Массой веревки
и блоков пренебречь.
5.36! Найти частоту малых собственных колебаний около поло¬
жения устойчивого равновесия системы (рис. ПО). Нить невесома и
нерастяжима, блоки невесомы и не имеют трения в осях.
64
5.37. Найти период свободных малых колебаний грузика мас¬
сой тп, укрепленного на середине тонкой струны длиной L (рис. 111).
Массой струны пренебречь; натяжение струны определяется весом
Р груза.
5.38. Определить период малых колебаний тонкого кольца массой
М и радиусом R, надетого на неподвижный горизонтальный цилиндр
радиусом г (рис. 112). Проскальзывания нет.
5.39. Твердый шарик, подвешенный на невесомой пружине, со¬
вершает гармонические колебания в вертикальном направлении с
периодом Т0 и амплитудой а. Как изменится период колебаний шари¬
ка, если снизу к нему поднести массивную твердую горизонтальную
плиту, с которой шарик будет периодически сталкиваться? Расстоя¬
ние плиты от положения равновесия шарика равно а/2, масса шарика
пренебрежимо мала по сравнению с массой плиты.
5.40. Кабина лифта равномерно опускается со скоростью v0. Мо¬
жет ли и при каких условиях в результате внезапного заклинивания
барабана, на который намотан трос, в кабине в
определенные моменты времени возникать состо¬
яние невесомости? Статическое удлинение размо¬
тавшейся под действием веса лифта части троса
мало по сравнению с длиной ненатянутого троса и
равно ДI — 10 см.
5.41. Небольшая муфта массой m может сколь¬
зить без трения по горизонтальной штанге. К муф¬
те прикреплена пружина, второй конец которой за¬
креплен в точке, отстоящей на расстояние I от штанги, которое боль¬
ше длины пружины в нерастянутом состоянии (рис. 113). Имея длину
I, пружина растянута с силой F. Определить период малых колеба¬
ний муфты.
5.42. Найти период малых колебаний груза, скользящего без тре¬
ния по горизонтальной поверхности (рис. 114). В положении равнове¬
сия пружина жесткостью к образует угол а с горизонталью. Считать
пружину достаточно длинной, так что изменениями угла а при ко¬
лебаниях можно пренебречь. При каких амплитудах груз не будет
подпрыгивать? Масса груза равна т.
5.43. Найти частоту малых колебаний шарика массой т, под¬
вешенного на пружине, если сила растяжения пружины пропорци¬
Рис.114
65
ональна квадрату растяжения, т. е. F = к(1 — 10)2, где 10 — длина
пружины в ненагруженном состоянии.
5.44. Два незакрепленных шарика с массами ищ и ш2 соединены
друг с другом спиральной пружинкой с коэффициентом упругости к.
Определить период колебаний шариков относительно центра масс
системы, которые возникнут при растяжении пружинки.
5.45. Два одинаковых тела с массами т соединены пружиной
жесткостью к. Тела покоятся на гладком горизонтальном столе, при¬
чем в начальный момент одно из них расположено около стены, а
пружина сжата на величину а. Описать движение каждого из тел
после того, как сжимающая сила снята.
5.46. Груз массой то, соединенный пружиной жесткостью к с
вертикальной стенкой, совершает колебания, двигаясь по горизон¬
тальной поверхности (рис. 115). Коэффициент трения между грузом
и поверхностью равен ц. В моменты времени, когда пружина мак¬
симально растянута, грузу щелчком сообщают некоторую энергию,
так что он приобретает скорость v0 в направлении к стенке. Най¬
ти скорость v0, если колебания оказываются стационарными, причем
максимальное удлинение пружины равно I. Считать, что I > уапд/к.
Рис. 115 Рис. 116 Рис. 117
5.47. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой тоь
соединенный с пружиной жесткостью к. Второй конец пружины за¬
креплен (рис. 116). Происходит лобовое упругое соударение этого
шара с другим шаром, масса которого то2
меньше т\, а скорость равна v. В какую
сторону будет двигаться второй шар по¬
сле удара? Определить амплитуду колеба¬
ний первого шара после соударения.
5.48. На гладкой поверхности лежит си¬
стема из двух грузов с массами то, соеди¬
ненных нqcжaтoй пружиной жесткостью к, на расстоянии 10 друг
от друга (рис. 117). Справа в их сторону скользит тяжелый брусок
массой М » то со скоростью v0. В начальный момент t = 0 бру¬
сок находится на расстоянии L от правого груза. Через какое время
центр масс системы окажется на том же расстоянии от бруска, что
и в момент t = 0? Удар о брусок считать мгновенным и абсолютно
упругим.
5.49. По гладкой доске без трения скользят со скоростью г>0 два
груза с равными массами то, соединенные пружиной жесткостью к,
находящейся в несжатом состоянии (рис. 118). В момент t = 0 левый
груз находится на расстоянии L от вертикальной стенки, в направ¬
Рис. 118
66
лении к которой они оба движутся. Через какое время t центр масс
окажется в том же положении, что и в момент t — О? Удар о стенку
считать мгновенным и абсолютно упругим.
5.50. Система состоит из двух шариков с массами т и М, соеди¬
ненных между собой невесомой пружиной с коэффициентом упруго¬
сти к (рис. 119). Третий шарик с массой т, движущийся вдоль оси
пружины со скоростью v, претерпевает упругое столкновение с ша¬
риком т. Считая шарики абсолютно жесткими, найти после столк¬
новения кинетическую энергию К движения системы как целого,
внутреннюю энергию системы Евн и амплитуду А колебаний одного
шарика относительно другого. До удара система покоилась, а пру¬
жина не была деформирована. Какие шарики могут рассматриваться
как абсолютно жесткие?
5.51. На гладкой горизонтальной поверхности расположены две
точечные массы, соединенные упругой невесомой пружиной с ко¬
эффициентом упругости к (рис. 120). На одну из этих масс вдоль
пружины налетает со скоростью v третья точечная масса
2т. При этом сталкивающиеся массы слипаются. Совер¬
шив два полных колебания, образовавшаяся система стал¬
кивается со стенкой. Определить начальное минимальное
расстояние х системы от стенки.
5.52. Внутри цилиндра массой т подвешен на пружине
жесткостью к груз такой же массы (рис. 121). Вначале ци¬
линдр покоится. В некоторый момент времени его отпуска- Рис. 121
ют, и он начинает свободно падать вертикально вниз вдоль
своей оси. Какое расстояние пройдет цилиндр за время, в течение ко¬
торого груз совершит полтора колебания?
5.53. Груз массой mi привязан на короткой нити к потолку. Груз
массой тп2 подвешен к грузу mi на пружине длиной I. В момент t —
= 0 нить обрезают, и грузы начинают падать. Найти расстояния хг
и ж2 грузов от потолка в зависимости от времени. В нерастянутом
состоянии длина пружины равна 10.
5.54. Система из двух шариков равной массы, соединенных неве¬
сомой пружиной, налетает с кинетической энергией К0 на стенку.
Пружина все время остается перпендикулярной стенке, и в началь¬
ном состоянии ее колебания не возбуждены. Удар шарика о стенку
абсолютно неупругий. Найти кинетическую энергию К и энергию
колебаний системы Екол после отскока. Поле тяжести отсутствует.
5.55. Шарик массой m налетает со скоростью v0 на шарик мас¬
сой mi, скрепленный пружиной жесткостью к с шариком массой т2.
67
()ii|Hvir,iiii 11. скорогп. движения центра масс и амплитуду колебаний
||||||1ШИ1И, ев j MMt.nci 111 и х пружиной, при условии т<т{. Удар абсо-
JHHiiiu уирутй, ж прими удара пружина не деформируется, центры
ширни imxoiitiien па одной прямой, их радиусы одинаковы.
ft.ДО. Ни качелях, качающихся с угловой амплитудой ср0, сидит
ЧРЛоиик, Когда качели проходят через положение равновесия, чело-
иек ре.чко истает, а н момент максимального отклонения качелей он
пажа садится. Па сколько изменится угловая амплитуда за период?
Масса человека равна М. Центр тяжести человека поднимается и
опускается на высоту Н. Длина веревок качелей равна I. При рас¬
четах считать, что I 3> Н, массой качелей пренебречь. Как зависит
амплитуда от числа колебаний п, если колебания малые?
5.57. Маятник состоит из легкого стержня длиной I, к которому
прикреплен цилиндрический сосуд массой М. В сосуд налита вода,
масса которой т М. Высота столба воды равна Н. Все линейные
размеры малы по сравнению с I. Когда маятник находится в
i равновесии, в нижней части боковой стенки сосуда открыва-
ется отверстие, из которого вода вытекает за время, малое
по сравнению с периодом колебаний маятника. Найти ам¬
плитуду колебаний маятника после того, как вода вытекла.
5.58. Материальная точка (например, шарик на пру¬
жине) под действием квазиупругой силы F = —кх совер¬
шает колебания вдоль оси X вокруг положения равновесия.
Рис. 122 Показать, что средние по времени значения кинетической и
потенциальной энергий при таких колебаниях равны.
5.59. Часы с маятником, будучи установленными на столе, пока¬
зывали верное время. Как изменится ход часов, если их установить
на свободно плавающем поплавке? Масса М часов вместе с поплав¬
ком в 103 раз превосходит массу маятника т.
5.60. Тело подвешено на пружине и имеет собственный период
колебаний 1/2 с (рис. 122). На тело действует направленная верти¬
кально синусоидальная сила с амплитудой F = 100 дин и некоторая
сила трения. Определить амплитуду FTp силы трения и коэффици¬
ент трения (сила трения пропорциональна скорости движения), если
амплитуда колебаний при резонансе Ар составляет 5 см.
5.61. Система совершает вынужденные колебания под действием
внешней силЪц изменяющейся по гармоническому закону. Показать,
что при резонансе при прочих равных условиях работа внешней силы
за период будет максимальной.
5.62. Система состоит из двух одинаковых масс т, скрепленных
пружиной жесткостью к. На одну из масс действует гармоническая
сила с амплитудным значением /0, направленная вдоль пружины.
Найти амплитуду колебаний растяжения пружины, если частота вы¬
нуждающей силы вдвое превышает собственную частоту системы.
Считать, что в системе есть малое затухание, приводящее ее к уста¬
новившимся колебаниям.
68
5.63. Оценить время т соударения футбольного мяча при слабом
ударе о стенку.
5.64. Частица массой то с потенциальной энергией П = —атг~п
движется в поле центральных сил по круговой орбите радиусом г0.
Найти условие устойчивости движения по от¬
ношению к малым радиальным колебаниям,
т. е. условие того, что при небольших откло¬
нениях от г0 частица начнет колебаться около
круговой орбиты.
5.65. В цилиндре может без трения дви¬
гаться поршень массой М. Между поршнем и
неподвижными стенками колеблются легкие шарики массой т<М
(рис. 123). В равновесном положении поршня посредине цилиндра
частота столкновений каждого шарика с поршнем равна у. Найти
частоту / <С "V малых медленных колебаний поршня. Движение ша¬
риков считать одномерным, удары — абсолютно упругими.
5.66. На платформе, стоящей на столе, установлен кронштейн
с маятником в виде груза, подвешенного на невесомой нити. Мас¬
сы платформы и груза одинаковы, длина нити I = 19,6 см. Трение
между платформой и столом отсутствует. В
момент времени 1 = 0 грузу маятника сооб¬
щают скорость Vo = 1 см/с в горизонталь¬
ном направлении. Определить максималь¬
ную скорость платформы и максимальную
скорость груза маятника, а также время, че¬
рез которое эта скорость достигается.
5.67. Груз массой М, подвешенный к концу пружины массой то,
колеблется с некоторым периодом Т. Определить, при каком отно¬
шении М/т относительная разность колебаний (Т — Т0)/Т0 = 0,01,
где Т0 — период колебаний груза, подвешенного к
концу невесомой пружины. Жесткость обеих пружин
одинакова.
5.68. Два груза с одинаковой массой М подвеше¬
ны к двум разным пружинам: один к концу невесомой
пружины жесткостью к0, второй — к концу пружины
массой то = М/3 и жесткостью к. При каком отно¬
шении жесткостей пружин к/к0 частоты колебаний
грузов равны? Считать число витков пружин достаточно большим.
5.69. Два вагона с одинаковыми массами то каждый движут¬
ся навстречу друг другу со скоростями щ и г2. Ударяются они
пружинами, имеющими жесткость к. Найти время их соударения
(рис. 124).
5.70. Два маленьких груза с массами М и то подвешены к на¬
клонной поверхности на некотором расстоянии друг от друга на ни¬
тях с длинами L и I так, что будучи соединенными жесткой невесо¬
мой рейкой они находятся на одном горизонтально уровне (рис. 125).
“ПЩ11ШРП
ГЛУ тттг
Рис. 124
^ m
м
Рис. 123
69
Найти период Т малых колебаний системы в плоскости, проходящей
через обе нити.
5.71. Определить добротность маятника, если за время, в тече¬
ние которого было совершено 10 колебаний, амплитуда колебаний
уменьшилась в 2 раза.
5.72. Энергия затухающих колебаний маятника за время t = 100 с
уменьшилась в п = 100 раз. Определить коэффициент сопротивления
среды г, если масса маятника га = 100 г.
5.73. Груз массой М = 10 г, подвешенный на пружине, колеб¬
лется в вязкой среде. Сила сопротивления среды пропорциональ¬
на скорости движения груза (коэффициент пропорциональности ц =
= 0,15 г/с). После а = 100 колебаний амплитуда колебаний груза
уменьшилась в а = 10 раз. Определить частоту колебаний си и опре¬
делить добротность системы Q.
5.74. Амплитуда колебаний груза при действии внешней синусо¬
идальной силы с амплитудой F0 на частоте си = 0,9сио (ш0 — ре¬
зонансная частота) в к = 5 раз больше под действием постоянной
силы той же величины. Определить добротность колебательной си¬
стемы Q.
5.75. Для измерения скорости пули производят выстрел в распо¬
ложенный на гладкой горизонтальной поверхности массивный груз,
закрепленный на пружине. За пренебрежимо малое время пуля за¬
стревает в грузе, и по амплитуде А = 10 мм последующих колеба¬
ний груза на пружине и известным массе пули га, массе груза М
(m <С М) и жесткости пружины к вычисляется скорость пули v.
Какая относительна ошибка в определении скорости пули Av/v бы¬
ла допущена из-за того, что экспериментатор не заметил, что до
попадания пули груз совершал колебания с небольшой амплитудой
а = 1 мм, а пуля попала в груз в момент: 1) его максимального от¬
клонения от положения равновесия; 2) прохождения им положения
равновесия?
5.76. Один из методов исследования вязкости жидкости заключа¬
ется в измерении периодов колебаний вертикально подвешенной на
пружине тонкой пластины с массой га и общей площадью 2S в возду¬
хе (Т0) и в исследуемой жидкости (Т). Сила трения между пластин¬
кой и жидкостью пропорциональна скорости движения и площади
поверхности пластины с коэффициентом пропор¬
циональности а (зависящим от вязкости). Опре¬
делить этот коэффициент из измеренных перио¬
дов колебаний. Трением пластины о воздух пре¬
небречь.
5.77. К грузу массой т = 900 г, надетому
на гладкий горизонтальный стержень, с раз¬
ных сторон прикреплены две одинаковые легкие пружины. Дру¬
гие концы пружин прикреплены к стенкам так, как указано на
рис. 126. Длина пружин равна I — 40 см, и в начальный момент
LyYYT]
т
к
сшт
Lu
ттг
/ ,
Рис. 126
70
пружины не деформированы. В момент t = 0 левая стенка начина¬
ет двигаться влево с постоянной скоростью л = 1 м/с. Чему рав¬
на жесткость к пружин, если за время перемещения стенки на
1/2 скорость груза монотонно возросла до значения V — 25 см/с?
5.78. К грузу, надетому на гладкий горизон¬
тальный стержень, с разных сторон прикреплены
две одинаковые легкие пружины жесткостью к =
= 300 Н/м. Другие концы пружин прикреплены к
стенкам так, как указано на рис. 127. Длина пру¬
жин равна L — 0,5 м, в начальный момент пружины
не деформированы. В момент t = 0 правая стенка
начинает двигаться влево с постоянной скоростью и = 40 см/с. Че¬
му равна масса груза т, если за время перемещения стенки на рас¬
стояние L скорость груза монотонно возрастала вплоть до значения
v = 10 см/с.
Рис. 127
§ 6. Момент импульса.
Закон сохранения момента импульса
6.1. Небольшое тело, привязанное к нитке, продетой через от¬
верстие О в гладком горизонтальном столе, движется равномерно со
скоростью v0 на расстоянии Го от отверстия
(рис. 128). В момент t0 нить начинают плавно
протягивать через отверстие, и за время т те¬
ло делает оборот, описав заштрихованную на
рисунке фигуру. Найти ее площадь. Показать,
что если нить протягивать медленно по срав¬
нению с периодом обращения частицы, то от¬
ношение Е/ш, где Е — энергия тела, си —
частота обращения, остается постоянным.
6.2. Трамплин, используемый в цирке, представляет собой го¬
ризонтальную доску, шарнирно закрепленную в середине. На один
конец доски с достаточно большой высоты прыгает гимнаст. Клоун,
стоящий на другом конце доски, при
этом подбрасывается в воздух. На ка¬
ком расстоянии li от шарнира должен
прыгнуть гимнаст, чтобы клоун был под¬
брошен выше всего? Масса гимнаста т\,
масса клоуна т2. Расстояние клоуна до
шарнира равно 12. Доску считать не¬
весомой.
6.3. Прочная жесткая доска длиной
21 = 4 м может свободно вращаться во¬
круг горизонтальной оси, проходящей через ее середину. Один конец
доски прикреплен чрезвычайно жесткой пружиной к полу (высота
опоры много меньше длины доски). На этом конце лежит шар мас¬
Рис. 128
71
сой т = 10 кг. На другой конец с высоты h — 1,5 м прыгает мальчик
массой М = 30 кг (рис. 129). При приземлении происходит толчок,
доска поворачивается, шар подбрасывается вверх и на доску не воз¬
вращается. Определить, на какую высоту х подбросит мальчика рас¬
тянувшаяся пружина. Массой доски пренебречь.
6.4. Длинная жесткая доска может свободно вращаться вокруг
оси, делящей ее длину в отношении 1 : 2. На длинный конец доски
с высоты h = 1,5 м прыгает мальчик, масса которого т = 40 кг. На
коротком плече стоит акробат массой М = 80 кг (рис. 130). На какую
высоту х подбросит доска акробата после прыжка мальчика? Массой
доски пренебречь. Доска расположена невысоко над полом, так что
начальным наклоном доски к полу можно пренебречь.
Рис. 130
Рис. 131
Рис. 132
6.5. Расположенная горизонтально система из трех одинаковых
маленьких шариков, соединенных невесомыми жесткими спицами
длиной I, падает с постоянной скоростью v0 и ударяется левым ша¬
риком о массивный выступ с горизонтальной верхней поверхностью
(рис. 131). Определить угловую скорость вращения системы си сразу
после удара, считая удар абсолютно упругим.
6.6. Вертушка состоит из трех одинаковых масс т, размещенных
в вершинах равностороннего треугольника и соединенных с осью О
жесткими невесомыми стержнями длиной а (рис. 132). Ось О гори¬
зонтальна, трения в оси нет. В начальный момент времени вертушка
неподвижна и ориентирована, как показано на рисунке. На правый
нижний шарик налетает кусочек пластилина массой М — 3т со ско¬
ростью г>0 и прилипает к нему. С какой угловой скоростью шх будет
вращаться вертушка после того, как в некоторой точке, где скорость
максимальна, пластилин оторвется? До отрыва пластилина вертушка
сделала не более одного оборота.
6.7! Человек на аттракционе «гигантские шаги» движется по за¬
мкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота от¬
носительно положения равновесия меняется в пределах от hmm до
/imax■ Определить максимальную и минимальную скорости человека
при таком движении, если длина веревки, на которой он удержива¬
ется, равна I.
6.8. По внутренней поверхности конической воронки, стоящей
вертикально, без трения скользит маленький шарик (рис. 133). В на¬
72
чальный момент шарик находился на высоте h0, а скорость его v0
была горизонтальна. Найти v0, если известно, что при дальнейшем
движении шарик поднимается до высоты h, а затем начинает опус¬
каться. Найти также скорость v шарика в наивысшем положении.
6.9. Легкий стержень вращается с угловой скоростью ш0 по инер¬
ции вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через его се¬
редину. По стержню без трения может двигаться тяжелая муфта
массой то, которая удерживается с помощью нерастяжимой нити, пе¬
рекинутой через блок (рис. 134). Определить закон изменения угло¬
вой скорости системы по мере подтягивания муфты к оси вращения,
закон изменения силы натяжения нити и работу подтягивания муфты
с радиуса R0 до радиуса R0/2.
6.10. Цилиндр радиусом г вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью w. Вместе с ним на тонкой нерастяжимой нити длиной
I г, прикрепленной одним концом к цилиндру, вращается неболь¬
шой шарик. Внезапно цилиндр останавливается. Через какое время
нить намотается на цилиндр?
6.11. Частица массой т движется под действием центральной
упругой силы F = —кг. Найти частоту со обращения частицы. До¬
казать, что частица движется по эллипсу, и выразить его площадь
через момент импульса частицы I и частоту со. Найти соотношение
между средними значениями потенциальной и кинетической энер¬
гии частицы. Как должна измениться жесткость к, чтобы площадь
эллипса увеличилась вдвое? Как при этом изменится частота обра¬
щения?
6.12. По гладкой горизонтальной поверхности поступательно без
вращения движется система, состоящая из двух массивных шариков,
плотно насаженных на проволочное кольцо (рис. 135). Массы шари¬
ков т и 2то, радиус кольца R. Навстречу кольцу движется пласти¬
линовый шарик массой 2то со скоростью v0, параллельной вектору
скорости системы. Шарик сталкивается с кольцом и прилипает к
нему в точке А на расстоянии R/2 от диаметра, вдоль которого дви¬
галась система до удара. Пренебрегая массой проволочного кольца и
трением о поверхность, найти угловую скорость вращения системы
П после удара, а также скорость и, с которой двигалось кольцо, если
Рис. 133
Рис. 134
Рис. 135
73
известно, что центр инерции системы движется в обратном направ¬
лении с той же скоростью и.
6.13. По гладкой горизонтальной поверхности без вращения по¬
ступательно со скоростью и скользит жесткий проволочный квадрат,
в трех вершинах которого закреплены массивные шарики с массами
т, 4т и 3т (рис. 136). Длина диагонали квадрата 21. Вдогонку си¬
стеме движется пластилиновый шарик массой 4т. Неупругий удар
происходит в точке А на расстоянии I/2 от диагонали, вдоль кото¬
рой двигалась система до удара. Центр инерции всей системы имеет
скорость 2и. Пренебрегая трением и массой проволоки, определить
угловую скорость вращения системы О.
6.14. Тяжелая нерастяжимая цепь натянута на три невесомых
блока радиусом г каждый. Оси блоков параллельны друг другу и из¬
начально были расставлены по вершинам равностороннего треуголь¬
ника со стороной а, при этом цепь двигалась с линейной скоростью
Vi. Потом оси блоков переместили так, что они стали принадлежать
одной плоскости, а цепь приняла вид гусеницы трактора. Какова ста¬
ла линейная скорость движения цепи г>2 после такого перемещения?
Трением пренебречь.
Рис. 136 Рис. 137 Рис. 138
6.15. Три одинаковых маленьких шарика, соединенные невесо¬
мыми жесткими спицами равной длины, расположены на гладком
горизонтальном столе вдоль одной прямой (рис. 137). В крайний ша¬
рик абсолютно упруго ударяется такой же шарик, движущийся по
столу со скоростью ь'о перпендикулярно оси системы из трех шари¬
ков. Определить скорость всех четырех шариков сразу после удара,
а также угловую скорость вращения системы.
6.16. Три одинаковых маленьких шарика, каждый массой т,
соединенные невесомыми жесткими спицами равной длины, рас¬
положены на гладком горизонтальном столе вдоль одной прямой
(рис. 137). В крайний шарик абсолютно упруго ударяется небольшой
шар массой М, движущийся по столу со скоростью п0 перпендику¬
лярно оси системы из трех шариков. При какой массе М шара этот
шар после удара остановится? Каковы скорости шариков сразу после
удара? Определить угловую скорость вращения системы.
6.17. Два одинаковых шарика массой т = 10 г каждый соеди¬
нены пружиной жесткостью к = 400 Н/м и длиной I = 6 см. В на¬
чальный момент пружина не деформирована. Шарики летят к стенке
74
вдоль прямой, соединяющей их, со скоростью v. Плоскость стенки
составляет угол а = 60° с траекторией полета шариков (рис. 138). В
некоторый момент первый шарик абсолютно упруго ударяется о стен¬
ку. После этого удара шарики начинают сближаться, и минимальное
расстояние между ними оказывается равным /т;п = 31/4. Какой ско¬
ростью обладали шарики до удара?
6.18. По гладкой внутренней поверхности закрепленной сферы ра¬
диусом R движется маленькая шайба. В момент старта шайба нахо¬
дится в горизонтальной плоскости, содержащей центр сферы, началь¬
ная скорость шайбы горизонтальна и равна wR. Считая сu2fl>g,
найти закон движения шайбы по вертикали, максимальное верти¬
кальное смещение h шайбы, и время т после старта, по истечении
которого это смещение будет достигнуто.
§ 7. Гравитация
7.1. Сможет ли космонавт, подпрыгнув, покинуть навсегда асте¬
роид, масса которого равна массе Фобоса (спутника Марса): М =
= 1,1 • 1016 кг и радиус R = 11,1 км?
7.2. Ракета с космонавтом стартует с поверхности Земли и дви¬
жется вертикально вверх так, что космонавт испытывает все вре¬
мя постоянную перегрузку п = 2. После того как скорость ракеты
стала равной первой космической скорости, двигатели выключают.
Определить, покинет ли ракета пределы Земли или упадет на нее.
Перегрузкой п называют отношение п= (Р — Р0)/Р0, где Р0 — вес
космонавта на Земле, Р — вес, который показали бы пружинные
весы при взвешивании космонавта в полете.
7.3. Ракета с космонавтом стартует с поверхности Земли и дви¬
жется вертикально вверх так, что космонавт испытывает все время
постоянную перегрузку п = 3. После того как ракета достигла вы¬
соты, равной радиусу Земли R3, двигатели выключают. Определить,
покинет ли ракета пределы Земли или упадет на нее. Перегрузкой п
называют отношение п = (Р — Pq)/Pq, где Р0 — вес космонавта на
Земле, Р — вес, который показали бы пружинные весы при взвеши¬
вании космонавта в полете.
7.41 Найти потенциальную энергию тела (точки) массой т на
различных расстояниях R от центра Земли. Величину потенциальной
энергии на бесконечно большом расстоянии считать равной нулю.
7.5. Два тела с одинаковой массой М движутся навстречу из
бесконечности по параллельным траекториям, расстояние между ко¬
торыми равно I. Начальные скорости одинаковы и равны v0. Каково
будет минимальное расстояние между телами с учетом их гравита¬
ционного притяжения?
7.6. Согласно третьему закону Кеплера отношение куба большой
полуоси эллиптической орбиты а к квадрату периода обращения пла¬
неты Т есть величина, одинаковая для всех планет Солнечной систе¬
75
мы. Она называется постоянной Кеплера и обозначается К. Третий
закон Кеплера строго справедлив, когда масса планеты пренебрежи¬
мо мала по сравнению с массой Солнца М. Найти выражение для
постоянной Кеплера.
7.7*. Как изменится третий закон Кеплера, если не пренебрегать
массой планеты т по сравнению с массой Солнца М?
7.8. Согласно некоторым прогнозам, тенденция к общему потеп¬
лению нашей планеты грозит таянием приполярных льдов в Аркти¬
ке и Антарктике. Оценить, насколько изменится продолжительность
земных суток, если подъем уровня мирового океана составит 40 м.
7.9. Оценить период обращения близкого спутника нейтронной
звезды (пульсара), плотность которой равна ядерной. Масса нейтрона
т = 1,7 • 10“24 г, его радиус г принять равным 1,3 • 10“13 см.
7.10. Как изменилась бы продолжительность земного года, если
бы масса Земли увеличилась и сделалась равной массе Солнца, а
расстояние между ними осталось без изменения?
7.11. Найти расстояние R между компонентами двойной звезды,
если их общая масса Мг + М2 равна удвоенной массе Солнца М0
и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с
периодом Т = 2Т0, где Т0 — продолжительность земного года. Рас¬
стояние от Земли до Солнца i?0 = 1,5 • Ю8 км.
7.12. Двойная звезда, один компонент которой является звез¬
дой типа Солнца с массой Мг = 2 • 1033 г, а другой компонент —
нейтронной звездой радиусом Дн = 1,4км, вращается с периодом
Т = 5 сут. Определить расстояние R между компонентами звез¬
ды. Плотность вещества нейтронной звезды считать равной плот¬
ности ядерной материи, которая определяется из соотношения Дя =
= 1,3 • 10~13 А1/3 см, где А —- относительная атомная масса вещества
звезды.
7.13. Минимальное расстояние между компонентами двойной
звезды, обращающимися один относительно другого, равно гд. Отно¬
сительная скорость их в этом положении равна щ. Сумма масс обоих
компонентов равна М. Найти расстояние между компонентами г2 и
их относительную скорость г>2 при максимальном удалении друг от
друга. При каком минимальном значении относительной скорости v\
двойная звезда распадается?
7.14. Материальная точка массой m взаимодействует с неподвиж¬
ным центром. Потенциальная энергия есть U = - + Ьг. В начальный
момент точка находилась на расстоянии г0 = 2от центра и имела
нулевую скорость. Найти: 1) минимальное расстояние rmin, на кото¬
рое сможет приблизиться точка к центру; 2) устойчивое положение
равновесия материальной точки; 3) величину силы, действующей на
материальную точку в точках г0 и rmm\ 4) «первую космическую
скорость» при движении материальной точки вокруг центра.
76
7.15! Силы приливного трения, вызываемые лунными приливами,
замедляют вращение Земли вокруг своей оси. Этот процесс будет
продолжаться до тех пор, пока угловая скорость вращения Земли
вокруг своей оси не станет равной угловой скорости орбитального
движения Луны вокруг Земли. Определить общую угловую скорость
вращения Земли и орбитального вращения Луны си, продолжитель¬
ность земных суток Т и радиус лунной орбиты а, после того как
это произойдет. Использовать следующие данные: в настоящее вре¬
мя угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси а>з равна
7,29 • 1СС5 рад/с, момент импульса Земли относительно своей оси
L3 = 5,91 • 1040 г • см2/с, радиус лунной орбиты а0 = 3,84 • Ю10 см,
время обращения Луны вокруг Земли (относительно звезд) Тд =
= 27,3 сут, масса Луны тп — 7,35 • 1025 г, момент инерции Земли от¬
носительно оси вращения /3 = 8,11 • 1044 г • см2. Для простоты счи¬
тать, что земная ось перпендикулярна к плоскости лунной орбиты.
7.16. Из астрономических данных известно, что земные сутки
удлиняются за год примерно на АТ = 2 • 10“5 с. Это происходит из-
за приливного трения в системе Земля-Луна. Определить, на сколь¬
ко по этой причине изменяется за год среднее расстояние между
Землей и Луной. Для упрощения предположить, что земная ось пер¬
пендикулярна плоскости лунной орбиты. Луну считать материальной
точкой массой Мд = M3/8I, среднее расстояние между Землей и Лу¬
ной равным 60 земным радиусам R3, момент инерции Земли равным
М3Щ/3.
7.17. Известно, что лунные приливы вызывают появление сил тре¬
ния, которые стремятся затормозить вращение Земли, изменяя дли¬
тельность земных суток за год примерно на АТ = 2 • 10-5 с. Опре¬
делить, на сколько по этой причине меняется продолжительность
лунного месяца. Для упрощения предположить, что земная ось пер¬
пендикулярна плоскости лунной орбиты. Луну считать материальной
точкой массой Мд = M3/8I, среднее расстояние между Землей и Лу¬
ной равным 60 земным радиусам R3, момент инерции Земли равным
М3Д2/3.
7.18. Допустим, что в результате взрыва астероид, двигавшийся
по круговой орбите вокруг Солнца, распался на два осколка одинако¬
вой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился,
другой продолжил движение. По какой траектории будет двигаться
осколок: эллиптической, гиперболической или параболической?
7.19. В условиях предыдущей задачи оба осколка разлетаются
в перпендикулярных направлениях с одинаковыми скоростями. По
каким орбитам они будут двигаться?
7.20! Планета движется вокруг Солнца по эллипсу. Не интегри¬
руя уравнения движения, а пользуясь только законами сохранения
энергии и момента импульса, найти выражение для длины большой
оси 2а этого эллипса.
77
7.21? Комета движется вокруг Солнца по ветви гиперболы. Не
интегрируя уравнений движения, а пользуясь только законами со¬
хранения энергии и момента импульса, найти расстояние 2а между
вершинами рассматриваемой и сопряженной с ней ветвей гиперболы.
7.22? Показать, что если планета движется по эллипсу, то сред¬
ние по времени значения ее полной и кинетической энергий связаны
соотношением К = —Е.
7.23. Показать, что если планета движется по окружности, то ее
полная и кинетическая энергии связаны соотношением К = —Е.
7.24. Какую скорость на поверхности Земли надо сообщить ис¬
кусственному спутнику, чтобы без изменения модуля скорости мож¬
но было бы вывести его на эллиптическую орбиту с расстояниями
от центра Земли: в перигее щ = 31.R/30, в апогее r2 = ЗЗД/ЗО (R —
радиус Земли)?
7.25. Искусственный спутник Земли был выведен на орбиту с
максимальным удалением от поверхности Земли hmax = 1300 км и
минимальным hmin = 292 км. Через некоторое время период обраще¬
ния спутника уменьшился на АТ = 3 мин. Какая часть начальной
полной энергии спутника была израсходована к этому моменту на
работу против сил трения? Радиус Земли R = 6370 км.
7.26. Определить массу планеты Марс по параметрам эллиптиче¬
ской орбиты советской автоматической станции «Марс-2», обращаю¬
щейся вокруг этой планеты: максимальное удаление от поверхности
планеты в апоцентре 25000 км, минимальное удаление от поверхности
планеты в перицентре 1380 км, период обращения 18 час. Диаметр
Марса 6800 км, необходимые параметры Земли считать известными.
7.27. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты со¬
ветского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения
спутника (относительно звезд) Т = 102,2 мин, расстояние до поверх¬
ности Земли в перигее 210 км, в апогее 1548 км. Землю считать ша¬
ром с радиусом 6371 км.
7.28. Среднее время обращения советского корабля-спутника
«Восток», на котором Ю. А. Гагарин 12 апреля 1961 г. впервые обле¬
тел вокруг земного шара, Т\ = 89,2 мин при средней высоте полета
над земной поверхностью h = 254 км. Ближайший спутник Марса
Фобос обращается вокруг планеты за время Т2 = 7 ч 39 мин, нахо¬
дясь от центра Марса в среднем на расстоянии R2 = 9350 км. Опре¬
делить отношение массы Марса М2 к массе Земли Мь если средний
радиус земного шара R = 6370 км.
7.29. Показать, что период спутника, обращающегося вокруг пла¬
неты (или любого другого тела со сферически симметричным рас¬
пределением масс) в непосредственной близости от ее поверхности,
зависит только от средней плотности планеты р. Вычислить период
такого спутника для нейтронной звезды, считая, что плотность веще¬
ства нейтронной звезды такая же, как и плотность вещества внутри
атомных ядер (р и 1014 г/см3).
78
7.30. Найти радиус R орбиты «стационарного» спутника Земли.
(Стационарным называют спутник, движущийся по круговой орбите
вокруг Земли так, что время его оборота равно 24 часам.) Стационар¬
ный спутник, движущийся в плоскости экватора в сторону вращения
Земли, будет оставаться неподвижным относительно нее. Выразить
R через радиус Земли R0, угловую скорость си вращения Земли и
ускорение свободного падения g на ее поверхности.
7.31. Искусственный спутник вращается вокруг Земли по эллип¬
тической орбите со скоростью щ = 8 км/с в перигее и v2 = 7 км/с
в апогее. Определить длину большой оси 2а эллиптической орбиты
спутника. Радиус Земли 7?з = 6400 км.
7.32. Искусственный спутник вращается вокруг Земли по эллип¬
су. В точках пересечения эллипса с малой осью скорость спутника
равна v — 7,5 км/с. Определить длину 2а большой оси эллипса.
7.33? С воображаемой возвышенности, расположенной на полюсе
Земли, посылаются с одинаковой скоростью v0 два снаряда. Началь¬
ная скорость первого снаряда направлена так, что он движется по
направлению радиуса Земли; начальная скорость второго перпенди¬
кулярна радиусу Земли, и он движется по эллиптической траекто¬
рии. Который снаряд достигнет максимального удаления от Земли?
Найти соотношение R1/R2 максимальных возможных расстояний от
центра Земли первого и второго снарядов соответственно. Скорость
voy/gRo = Щр, где цкр есть скорость движения спутника Земли по
круговой орбите (теоретической) с радиусом Земли R0. Сопротив¬
ление воздуха движению снарядов не учитывать и полагать, что на
снаряд действует только поле тяготения Земли.
7.34. С некоторой площадки на экваторе посылаются два спут¬
ника по эллиптическим орбитам: первый в направлении вращения
Земли, второй против. Каково будет наибольшее удаление R\ и R2
каждого из спутников от центра Земли, если известно, что началь¬
ные горизонтальные скорости их относительно Земли одинаковы по
величине и равны v0 = 10 км/с? Расстояния выразить через радиус
Земли R0.
7.35. С южного и северного полюсов Земли одновременно стар¬
туют две ракеты с одинаковой начальной скоростью ц0 = Ю км/с в
горизонтальном направлении противоположно друг другу. При этом
их эллиптические орбиты лежат в одной плоскости. Чему равно мак¬
симальное удаление ракет друг от друга?
7.36. Вычислить вторую космическую скорость при старте раке¬
ты с поверхности Юпитера, используя следующие данные. Третий
спутник Юпитера Ганимед вращается вокруг планеты практически
по круговой орбите радиусом R = 1,07 • 106 км с периодом обраще¬
ния Т = 7,15 сут. Радиус планеты г = 7 • 104 км.
7.37. Космический корабль без начальной скорости свободно па¬
дает на Землю из удаленной точки. В каком месте следует повернуть
направление движения корабля на 90° (без изменения величины его
79
скорости), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траек¬
тории?
7.38? Космический корабль движется вокруг Земли по эллиптиче¬
ской орбите. В какой точке орбиты и на какой угол следует изменить
направление скорости корабля (без изменения ее величины), чтобы
корабль стал двигаться по круговой орбите?
7.39. Космический корабль движется вокруг Земли по эллипти¬
ческой орбите. В точке пересечения эллипса с его малой осью вклю¬
чается двигатель. Как надо изменить скорость корабля, чтобы он
перешел на параболическую орбиту?
7.40. Наибольшее расстояние кометы Галлея от Солнца h =
= 35,4а.е., наименьшее ! = 0,59а.е. (за астрономическую единицу
(а.е.) принято расстояние от Земли до Солнца). Линейная скорость
движения кометы щ = 0,91 км/с в точке наибольшего удаления ее от
Солнца (в афелии). Как велика линейная скорость v2 кометы, когда
она ближе всего подходит к Солнцу (в перигелии)?
7.41. В 1978 году у планеты Плутон был обнаружен спутник —
Харон. Плутон и Харон обращаются вокруг общего центра масс по
круговым орбитам, причем расстояние между ними R — 19640 км, а
период обращения Т = 6,4 сут. Опреде-
, 5 в р лить, какую часть массы Земли состав-
^ ляех суммарная масса системы Плутон-
Харон. Считать известным радиус Земли
Рис. 139 Г?з = 6400 км и ускорение силы тяжести
на поверхности Земли.
7.42? Четыре тела А, В, С и D (рис. 139), которые можно считать
материальными точками, вращаясь вокруг некоторого центра, оста¬
ются все время на одной прямой и сохраняют неизменным расстояние
друг от друга. Между всеми телами действуют силы притяжения по
закону всемирного тяготения Ньютона. Массы С и D равны и ни¬
чтожно малы по сравнению с массами А и В, г расстояние г очень
мало по сравнению с R. Какие еще силы должны действовать со
стороны тела В на С и D, чтобы расстояния между всеми телами
оставались неизменными?
7.43. Космический корабль «Аполлон» обращался вокруг Луны
по эллиптической орбите с максимальным удалением от поверхности
Луны (в апорелении) 312 км и минимальным удалением (в перисе¬
лении) 112 км. На сколько надо было изменить скорость корабля,
чтобы перевести его на круговую орбиту с высотой полета над по¬
верхностью Луны 112 км, если двигатель включался на короткое вре¬
мя, когда корабль находился в периселении? (Средний радиус Луны
R = 1738 км, ускорение свободного падения на ее поверхности g =
= 162 см/с2.)
7.44. Со спутника, движущегося по круговой орбите со скоро¬
стью v0, стреляют в направлении, составляющем угол 120° к курсу.
80
Какой должна быть скорость пули относительно спутника, чтобы пу¬
ля ушла на бесконечность?
7.45. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орби¬
те радиусом R с периодом Т\. В некоторый момент на очень короткое
время был включен реактивный двигатель, увели¬
чивший скорость спутника в а раз, и спутник стал
вращаться по эллиптической орбите. Двигатель со¬
общал ускорение спутнику все время в направле¬
нии движения. Определить максимальное расстояние
спутника от центра Земли, которого он достигнет по¬
сле выключения двигателя. Найти период Т2 обраще¬
ния спутника по новой (эллиптической) орбите.
7.46? Спутник поднят ракетой-носителем вер¬
тикально до максимальной высоты, равной R =
= 1,257?з (R3 — радиус Земли), отсчитываемой от Рис. 140
центра Земли. В верхней точке подъема ракетное
устройство сообщило спутнику азимутальную (горизонтальную) ско¬
рость, равную по величине первой космической скорости vQ = v\, и
вывело его на эллиптическую орбиту (рис. 140). Каковы мак¬
симальное и минимальное удаления спутника от центра Земли?
7.47? Легкий спутник Земли враща¬
ется по круговой орбите с линейной ско¬
ростью vq. Ракетное устройство увеличи¬
вает абсолютную величину этой скоро¬
сти в \/1,5 раза, и спутник переходит
на эллиптическую орбиту (рис. 141). С
какой скоростью спутник пройдет наи¬
более удаленную от центра Земли точ¬
ку А (апогей) своей орбиты? Сопро¬
тивление атмосферы не учитывать.
7.48? Спутник Земли, вращаясь по круговой орбите радиусом
R рз /?з (низкий спутник), перешел на эллиптическую орбиту с боль¬
шой осью 2а = 47?з (R3 — радиус Земли). Опреде¬
лить, во сколько раз увеличилось время обраще¬
ния спутника. Сопротивление атмосферы не учи¬
тывать.
7.49? Спутник, вращаясь по круговой орбите
радиусом Д = 37?з/2 (R3 — радиус Земли), по¬
лучает радиальный импульс, который сообщает
ему дополнительную скорость vp, направленную
от центра Земли по радиусу (рис. 142). Каково
должно быть минимальное значение дополнитель¬
ной скорости, чтобы спутник мог покинуть об¬
ласть земного притяжения?
7.50? Спутник, вращаясь по круговой траектории радиусом R =
= 2R3 (R3 — радиус Земли), получает радиальный импульс, сообща-
81
кмций ему дополнительную скорость с(, и направлении центра Зем¬
ли, ранную по величине скорости с,(, движения по круговой орби¬
те (рис. 143). 11а какое минимальное расстояние pmin приблизится
спутник к центру Земли и какова будет его
скорость v в этой точке? Сопротивление атмо¬
сферы не учитывать.
7.51? Спутник запускается на круговую ор¬
биту в два этапа: сначала на поверхности Зем¬
ли ему сообщают горизонтальную скорость и
выводят на эллиптическую орбиту, перигей ко¬
торой совпадает с точкой запуска (рис. 144), а
апогей — с точкой на круговой орбите. В апо¬
гее ракетное устройство увеличивает скорость
спутника и выводит его на круговую орбиту.
Каковы должны быть начальная скорость за¬
пуска Vi и увеличение скорости в апогее Av, чтобы вывести спутник
на круговую орбиту радиусом R = 27?з (7?з — радиус Земли)? Со¬
противление атмосферы не учитывать.
7.52. По круговой окололунной орбите с радиусом, равным удво¬
енному радиусу Луны, вращается орбитальная станция с космиче¬
ским кораблем. Корабль покидает станцию
в направлении ее движения с относитель¬
ной скоростью, равной половине начальной ор¬
битальной скорости станции. Каково должно
быть соотношение масс корабля и станции
тпк/тс, для того чтобы станция не упала на
Луну?
7.53. Со спутника, движущегося вокруг
Земли по круговой орбите радиусом R0, вы¬
стреливают в направлении к центру Земли
контейнер. Какую минимальную начальную
Рис. 144 скорость в направлении к центру Земли vm;n
нужно сообщить контейнеру, чтобы он, перей¬
дя на эллиптическую орбиту, коснулся Земли? Радиус Земли R3.
Торможением в атмосфере пренебречь.
7.54. Вокруг Луны по эллиптической орбите обращается косми¬
ческая станция, при этом ее наименьшее и наибольшее расстояния
от лунной Поверхности равны, соответственно, 2R и 4R, где R —
радиус Луны. В момент нахождения станции в наименее удаленной
от Луны точке станцию покидает ракета в направлении по касатель¬
ной к орбите станции. Определить, в каких пределах может изме¬
няться стартовая скорость ракеты и относительно станции, чтобы
станция продолжала свое существование (т. е. не врезалась бы в Лу¬
ну и не улетела бы в бесконечность). Масса станции в три раза
больше массы ракеты, ускорение свободного падения на поверхности
Луны g.
82
7.55. Вокруг Луны по эллиптической орбите обращается косми¬
ческая станция, при этом ее наименьшее и наибольшее расстояния
от лунной поверхности равны, соответственно, R и 7R, где R — ра¬
диус Луны. В момент нахождения станции в наиболее удаленной от
Луны точке станцию покидает ракета в направлении по касательной
к орбите станции. В результате вылета ракеты станция переходит
на круговую окололунную орбиту. Определить, чему равна стартовая
скорость ракеты и относительно станции. Масса станции в девять
раз больше массы ракеты, ускорение свободного падения g на по¬
верхности Луны считать известным.
7.56. Ракета массой т = 10 т движется вокруг Земли по эллипти¬
ческой орбите. Расстояние от ракеты до центра Земли в апогее равно
r-i = 11000 км, а в перигее г2 = 6600 км. В апогее ракета взрывается,
распадаясь на две части с массами т\ и т2. Обломок массой т2
вертикально падает на Землю, а обломок массой т1 переходит на
круговую орбиту. Найти значения масс т\ и т2, пренебрегая массой
газов, образовавшихся при взрыве.
7.57. В условиях предыдущей задачи ракета взрывается в пери¬
гее, распадаясь на две части с массами rrii и т2. Обломок массой
mi, двигаясь в первоначальном направлении, переходит на парабо¬
лическую орбиту, а т2 меняет направление движения и начинает
вращаться по окружности. Найти значения масс mi и т2, пренебре¬
гая массой газов, образовавшихся при взрыве.
7.58. С космической станции, которая обращается вокруг Земли
по эллиптической орбите, в точке пересечения орбиты с малой осью
стартует ракета. Какую наименьшую дополнительную скорость vmin
надо сообщить ракете, чтобы траектория ее движения стала парабо¬
лической? Большая ось орбиты станции равна 2,5 • 104 км.
7.59. Открытое в 1991 году небесное тело 1991ДА (пока не ясно,
астероид это или комета) движется по вытянутой орбите, так что
минимальное расстояние от Солнца у него равно радиусу орбиты
Марса, а максимальное — радиусу орбиты Урана. Определить период
Т обращения 1991ДА вокруг Солнца, если известны периоды Марса
Ti = 1,88 года и Урана Т2 = 84 года.
7.60. Комета Брукса принадлежит к семейству Юпитера, т. е. мак¬
симальное ее удаление от Солнца равно радиусу орбиты Юпитера.
Минимальное расстояние кометы от Солнца равно радиусу круговой
орбиты астероида Венгрия. Зная периоды обращения вокруг Солнца
кометы Брукса Т = 6,8 года и Юпитера Т\ = 11,86 года, определить
период обращения Венгрии Т2.
7.61. Космический корабль движется вокруг Солнца по той же
круговой орбите, что и Земля (7?з = 1,5- 108 км), причем настолько
далеко от Земли, что ее влиянием можно пренебречь. Корабль полу¬
чает в направлении своего движения дополнительную скорость Av,
достаточную для достижения орбиты Марса по траектории, касаю¬
щейся орбиты Марса. Марс вращается вокруг Солнца по круговой
83
орбите радиусом Дм = 2,28 • 108 км. Определить время перелета и
величину Av. Для Солнца уМс = 1325 • 108 км3/с2.
7.62. Космический корабль движется вокруг Солнца по той же
круговой орбите, что и Земля (Д3 = 1,5 • 108 км), причем настоль¬
ко далеко от Земли, что ее влиянием можно пренебречь. Корабль
изменяет скорость на Av в направлении своего движения до ве¬
личины, достаточной для достижения орбиты Венеры по касатель¬
ной. Венера вращается вокруг Солнца по круговой орбите радиусом
Дв = 1,08 • 108 км. Определить время перелета и величину Av. Для
Солнца уМс = 1325 • 108 км3/с2.
7.63. Космический аппарат «ВЕГА» на первом этапе полета по¬
сетил окрестности Венеры. Выйдя из поля тяготения Земли, он дви¬
гался по эллипсу с афелием у орбиты Земли и перигелием у орбиты
Венеры. С какой скоростью относительно Венеры он вошел в окрест¬
ность планеты? Известна орбитальная скорость Земли VQ = 29,8 км/с
и отношение радиусов орбит Венеры и Земли к = 0,723. Орбиты обе¬
их планет можно считать круговыми.
7.64. Космический корабль совершает перелет с Земли на Марс
по оптимальной траектории — эллипсу, касающемуся орбит Земли
и Марса (орбиты планет считать круговыми). Найти относительную
скорость корабля и Марса при их сближении. Притяжением Земли
и Марса пренебречь, а учитывать только притяжение Солнца. Ор¬
битальная скорость Земли V0 = 29,8 км/с, радиус орбиты Марса в
к = 1,524 раза больше радиуса орбиты Земли.
7.65. Крупный метеорит массой т = 106 т летит по направлению
к центру Земли. Чтобы избежать катастрофы, запускается ракета с
водородной бомбой, которая попадает в метеорит по нормали к его
траектории и взрывается. Предполагая, что при взрыве из метеорита
вылетает а = 10“3 часть его массы перпендикулярно траектории и
вся энергия бомбы перешла в кинетическую энергию отброшенного
вещества, оценить, на каком расстоянии R0 от Земли ракета должна
встретить метеорит, чтобы он пролетел на расстоянии радиуса Земли
Д3 = 6400 км от ее поверхности. Скорость метеорита на бесконечно¬
сти равна нулю, удар центральный, тротиловый эквивалент бомбы
W = 10 Мт; энергия взрыва 1 кг тротила 4,2 МДж.
7.66. Спутник движется по круговой орбите радиусом Д. Для пе¬
ревода на другую орбиту ему сообщают приращение скорости, равное
по абсолютной величине скорости движения спутника по круговой
орбите радиусом Д и направленное под углом 60° к первоначальной
скорости. Определить изменение скорости Av, которое на расстоянии
2Д необходимо сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой
же орбите, но радиусом 2Д. Масса планеты М.
7.67. Два спутника движутся по одной и той же круговой орбите,
близкой к Земле, рядом друг с другом. Первый из них в результате
кратковременной работы двигателя увеличивает свою скорость на
84
Av = 0,8 м/с, не меняя ее направления. Оценить расстояние х между
спутниками в момент, когда второй спутник делает один полный
оборот. Изобразить положение спутников на чертеже.
7.68. Два спутника А и В движутся друг за другом на рассто¬
янии 45 км по общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы состы¬
коваться, спутники должны сблизиться и продолжать двигаться по
общей орбите. Какой простейшей последова¬
тельностью коротких включений двигателя от¬
стающего спутника В можно осуществить этот
маневр, если его двигатель ориентирован каса¬
тельно к орбите и каждое включение двигателя
может изменить скорость спутника В на вели¬
чину Av, не превышающую 8 км/ч.
7.69. Космический аппарат запускается по
орбите, касающейся орбит Земли и Юпитера.
Когда он оказывается в точке, лежащей на ор¬
бите Юпитера, он совершает его частичный об¬
лет по круговой орбите, как спутник Юпитера,
и удаляется от него (рис. 145). Определить, на
какое максимальное расстояние от Солнца он может удалиться после
этого маневра. Юпитер считать материальной точкой. Радиус орби¬
ты Земли Дз = 150 млн км. Радиус орбиты Юпитера считать в 5 раз
большим.
7.70. Планета обращается вокруг звезды по круговой орбите, ра¬
диус которой значительно превышает размеры звезды. Период обра¬
щения равен Т. Определить время свободного падения тела на звезду
с высоты, равной радиусу орбиты. Вычислить это время для системы
Земля-Солнце.
7.71. Две частицы с одинаковыми массами движутся друг отно¬
сительно друга по круговым орбитам под действием гравитационных
сил с периодом Т. В некоторый момент времени движение внезап¬
но прекращается, и частицы начинают падать друг на друга. Найти
время t, через которое они столкнутся.
7.72. Определить, какую дополнительную скорость Ди необхо¬
димо кратковременно сообщить спутнику Земли, вращающемуся на
очень высокой круговой орбите, чтобы он мог достичь Марса. Орби¬
ты Земли и Марса считать круговыми, диаметр орбиты Земли равен
3 • 108 км, а диаметр орбиты Марса в 1,52 раза больше, чем у Земли.
7.73. Искусственный спутник, имеющий форму шара радиусом
г — 0,5 м, обращается вокруг Земли по круговой орбите на такой
высоте («200 км), где плотность атмосферы р = 10~13 г/см3. Оце¬
нить, на сколько будет снижаться спутник за один оборот вокруг
планеты. Плотность вещества спутника, усредненная по его объему,
Ро = 1 г/см3.
7.74. Спутник летит на высоте Н = 100 км от поверхности плане¬
ты по круговой орбите. При какой плотности р атмосферы планеты
ю
85
на траектории спутника его высота за время одного витка уменьшит¬
ся на 0,1%? Радиус планеты Д0 = Ю4 км, радиус спутника г = 1,5 м,
масса спутника т = 2 т. Столкновения молекул газа со спутником
считать неупругими.
7.75*. Легкий спутник, вращаясь по круговой орбите радиусом
R — 2R3 (R3 — радиус Земли), переходит на эллиптическую орбиту
приземления, которая касается земной поверх¬
ности в точке, диаметрально противоположной
точке начала спуска (рис. 146). Сколько време¬
ни продлится спуск по эллиптической орбите?
Сопротивление атмосферы не учитывать.
7.76. Искусственный спутник запущен во¬
круг Земли по круговой орбите. Из-за наличия
разреженной атмосферы траектория спутника
переходит в медленно свертывающуюся спи¬
раль. Как влияет сила сопротивления среды на
величину скорости спутника и момент импуль¬
са его относительно центра Земли? Спутник
массой т — 1 т снижается за сутки на 100 м. Найти тангенциальную
составляющую ускорения спутника и силу сопротивления среды.
7.77. Спутник вращается вокруг Земли по эллиптической орби¬
те, в одном из фокусов которой находится центр Земли. Пользуясь
только законами сохранения энергии и момента импульса, выразить
период обращения спутника Т через энергию Е, приходящуюся на
единицу его массы. Потенциальную энергию при бесконечном уда¬
лении спутника от Земли принять равной нулю. В предположении,
что орбита спутника близка к круговой, найти приближенное изме¬
нение АТ его периода, если на него действует малая тормозящая
сила, направленная против скорости (сила торможения, отнесенная
к единице массы спутника, равна F). Масса Земли М, гравитаци¬
онная постоянная у. Ускорение силы тяжести на (круговой) орбите
спутника равно g.
7.78. На спутнике, который движется по круговой орбите на вы¬
соте 0,04 радиуса Земли от ее поверхности, включается тормозной
двигатель. Скорость спутника падает, но не изменяется по направ¬
лению. Рассчитать минимальное уменьшение скорости, необходимое
для того, чтобы спутник, перейдя на эллиптическую орбиту, опустил¬
ся на Землю. Торможением в атмосфере пренебречь. Время работы
двигателя считать малым по сравнению с периодом обращения спут¬
ника вокруг Земли.
7.79. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой
орбите на расстоянии 500 км от ее поверхности. Для вхождения в
плотные слои атмосферы корабль должен перейти на эллиптическую
орбиту с минимальным расстоянием, равным 150 км. Какое количе¬
ство топлива ДМ должно быть израсходовано в тормозном реактив¬
ном двигателе корабля, если считать, что скорость истечения газов
86
из сопла относительно корабля равна 2000 м/с? Для осуществления
маневра двигатель включается на короткое время; первоначальная
масса корабля составляет 5 т. Считать, что истечение газов тормоз¬
ного двигателя происходит по направлению движения космического
корабля.
7.80. По круговой окололунной орбите с радиусом, равным утро¬
енному радиусу Луны, вращается стартовая «платформа» с косми¬
ческим кораблем. Корабль покидает «платформу» в направлении ее
движения с относительной скоростью, равной первоначальной ор¬
битальной скорости «платформы», после чего «платформа» падает
на Луну. Определить угол а, под которым «платформа» врезается в
лунную поверхность, если отношение масс «платформы» и корабля
'1ППЛ/ткор
7.81. Определить начальную скорость метеоритов v^, если мак¬
симальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на
Землю, равно I (I > R,R — радиус земного шара). Получить числен¬
ный ответ при I = 2R. (Прицельным расстоянием называется высота
перпендикуляра, опущенного из центра Земли на исходное направ¬
ление касательной к траектории метеорита, когда он находился в
бесконечности.)
7.82. Космический корабль подходит к Луне по параболической
траектории, почти касающейся поверхности Луны. Чтобы перейти
на стелющуюся круговую орбиту, в момент наибольшего сближения
включают тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоростью
и = 4 км/с относительно корабля в направлении его движения. Ка¬
кую часть общей массы системы будет составлять горючее, использо¬
ванное для торможения корабля? Средний радиус Луны R = 1738 км,
ускорение свободного падения на ее поверхности g = 162 см/с2.
7.83. Ракета стартует с вершины самой высокой лунной горы.
Угол между направлением струи вылетающих газов и горизонтом
поддерживается равным а = 0,1 рад. Скорость струи относительно
ракеты и = 4 км/с. Как должна изменяться масса ракеты m(t) в за¬
висимости от времени, чтобы ракета двигалась горизонтально? За ка¬
кое время Т она наберет первую космическую скорость? Во сколько
раз за это время уменьшится масса ракеты? Какова будет перегруз¬
ка космонавтов? Радиус Луны R рз 1700 км, ускорение силы тяжести
вблизи ее поверхности g рз 1,6 м/с2.
7.84. Земля сталкивается с головой кометы, состоящей из ме¬
теорного роя диаметром 50000 км. Какая часть роя упадет на Землю,
если относительная скорость Земли и кометы составляет 2,8 км/с?
Радиус Земли 6400 км.
7.85. По направлению к уединенному космическому телу, име¬
ющему массу и размеры такие же, как у Земли, из глубин кос¬
моса движется рой метеоритов, скорость которых на значительном
удалении от тела равна ц = 5км/с. Поперечные размеры этого ме¬
теоритного облака много больше диаметра тела, глубина облака
87
(по направлению движения) составляет h — 1000 км, средняя плот¬
ность облака п — 0,1 км""3, а центр облака движется в направлении
центра тела. Каково общее число метеоритов, которые попадут на
тело?
7.86. Космическое тело шарообразной формы имеет массу М и
радиус г, равные массе и радиусу Земли. Двигаясь со скоростью
v0 = 11,2 км/с, тело проходит через облако космической пыли со
средней плотностью р = 10“~4 кг • м~3 и толщиной вдоль направле¬
ния движения h = 109 м, захватывая частицы пыли. Найти увеличе¬
ние массы тела, когда оно выйдет из облака.
7.87. По круговой орбите на высоте h = 320 км от Земли движет¬
ся спутник массой т0 = 1 т. Тело массой т = 10 кг, летящее перпен¬
дикулярно траектории спутника (по направлению от центра Земли),
после удара о спутник застревает в нем. При какой скорости тела
спутник упадет на Землю?
7.88. На круговой орбите на высоте h — 320 км от Земли дви¬
жется спутник массой т0 = 1 т. Какую минимальную массу должно
иметь тело, которое движется навстречу ему по той же орбите и
застревает в нем, чтобы в результате спутник упал на Землю?
7.89. Спутник летит по круговой орбите на небольшом рассто¬
янии от поверхности Земли. Масса спутника М = 50 кг. В спут¬
ник попадает и застревает в нем микрометеорит массой m = 0,1 г,
который летел к центру Земли со скоростью v = 80 км/с. Считая
удар центральным, найти разность Rmax — Rmm расстояний от цен¬
тра Земли до апогея и до перигея новой орбиты спутника.
7.90. Спутник летит по круговой орбите вблизи Земли. Масса
спутника М = 100 кг. В спутник попадает и застревает в нем мик¬
рометеорит массой m = 0,1 г, который летел навстречу спутнику со
скоростью ?; = 80км/с. Определить разность расстояний от центра
Земли до апогея и до перигея новой орбиты спутника.
7.91. В момент выведения искусственного спутника Земли на рас¬
четную круговую орбиту абсолютная величина скорости спутника от¬
клонилась от расчетной на 10% при неизменном направлении. Найти
отношение Ъ/а — малой и большой полуосей реальной эллиптической
орбиты.
7.92. В момент выведения искусственного спутника Земли на
расчетную круговую орбиту направление скорости отклонилось от
расчетного на угол 6. Найти отношение Ъ/а — малой и большой
полуосей реальной эллиптической орбиты.
7.93. Световой импульс с энергией W = 1 МДж, выпущенный
наземной лазерной установкой, отразился высококачественным зер¬
калом массой m = 1 кг, летающим по близкой к Земле круговой ор¬
бите R R3 & 6400 км. Оценить возникшую эллиптичность орбиты
Rm&x — -Rmin- если оптическая ось зеркала была направлена строго к
центру Земли, а луч лазера — под углом а = 30° к радиусу. Считать,
что диаметр светового пятна на зеркале меньше размеров зеркала.
88
7.94. Спутник движется по круговой орбите на расстоянии 2/?з
от центра Земли. В некоторый момент мощная стыковочная пружина
разделяет его на два одинаковых отсека. Один из отсеков садится
на Землю, причем апогей его орбиты (I) находится в
точке разделения, а перигей на поверхности Земли
(рис. 147). На каком расстоянии от центра Земли
находится апогей орбиты (II) второго отсека?
7.95. Определить минимальный запас топлива,
необходимый для мягкой посадки ракеты на Лу¬
ну. Тормозной двигатель включается на время т на
некоторой малой по сравнению с радиусом Луны Rj\
высоте над поверхностью Луны. Считать, что ско¬
рость на бесконечности гораздо меньше скорости v0
на высоте включения тормозного двигателя и что
скорость vQ ракета приобретает только за счет притяжения Луны.
Скорость газов относительно ракеты равна и, масса ракеты без топ¬
лива М0.
7.96. Спутник вращается по круговой орбите вокруг Земли на
высоте hi = 250 км от поверхности. Для посадки спутнику сообща¬
ется кратковременный импульс, направленный против его скорости,
после чего орбита становится эллиптической с высотой перигея h2 =
— 100 км. Дальнейший спуск происходит за счет торможения в атмо¬
сфере. На сколько следует уменьшить величину скорости спутника
для такого изменения его орбиты?
7.97. Два одинаковых тела вращаются по круговой орбите вокруг
общего центра масс под действием сил гравитационного притяжения.
В некоторый момент времени векторы скоростей
тел мгновенно поворачивают в плоскости орбит
в разные стороны на один и тот же угол а =
= 30° без изменения их абсолютных величин
(рис. 148). Найти отношение максимального и
минимального расстояний 1та,х/1т[П между те¬
лами при их дальнейшем свободном движении.
7.98. Нептун совершает один оборот вокруг
Солнца за время = 165 лет, двигаясь прак¬
тически по круговой орбите. Плутон, двигаясь
по эллипсу, перигелий которого находится от Солнца на расстоянии
приближенно равном радиусу орбиты Нептуна, совершает один обо¬
рот за время Т2 = 248 лет. Известно, что Плутон оказывается ближе
к Солнцу, чем Нептун, в течение времени т2 = 6,63 года. Исходя из
этого, приближенно определить, за какое время Тц Нептун проходит
участок орбиты, который окажется снаружи эллипса Плутона, если
совместить плоскости орбит этих планет.
7.99. Найти отношение m/mK стартовых масс носителей косми¬
ческих аппаратов для двух вариантов полета к ближайшим окрестно¬
стям Солнца. В обоих случаях вначале производится запуск послед¬
Рис. 148
89
них ступеней носителей на высокую круговую геоцентрическую ор¬
биту. В первом варианте затем производится однократное включение
двигателя, и скорость аппарата относительно Солнца уменьшается
так, что в дальнейшем он проходит в непосредственной близости от
светила. Во втором варианте двигатель включают дважды: при пер¬
вом включении скорость относительно Солнца увеличивают с таким
расчетом, чтобы аппарат вначале в афелии удалился от Солнца на
10 а.е. (т. е. дальше Сатурна); при втором включении (в афелии но¬
вой орбиты) аппарат тормозят, после чего он также проходит вблизи
Солнца. Найти также отношение продолжительностей этих полетов
(до момента подхода к Солнцу). Для упрощения допустимо прене¬
бречь конечным размером Солнца, т. е. считать его точечной массой,
воздействием всех планет также пренебречь. Скорость истечения ре¬
активных газов относительно носителя принять равной 3000 м/с.
7.100. Земля ближе всего подходит к Солнцу 1 января, причем
расстояние между ними = 147 млн км, а 1 июля это расстояние
R2 = 152 млн км. Угол наклона земной оси к плоскости эклиптики
0 = 66,5°. Определить разницу ЬТ в длительности солнечных суток
в указанные дни. Их отличием от дней зимнего и летнего солнце¬
стояния (22 декабря и 22 июня) можно пренебречь.
7.101. Спутник движется по стационарной круговой орбите с уг¬
лом наклона к экватору 6°. Для корректировки его орбиты в момент
прохождения им плоскости земного экватора включается ракетный
двигатель, который работает в течение 100 с с постоянной тягой так,
что в результате спутник начинает вращаться в плоскости эквато¬
ра. Как будут идти на спутнике отрегулированные предварительно
на Земле часы до корректировки орбиты, во время
корректировки и после нее? (Стационарным называ¬
ется спутник, период обращения которого равен пе¬
риоду обращения Земли вокруг своей оси.)
7.102. В романе А. Толстого «Аэлита» полет на
Марс начинается в момент противостояния, когда
Солнце, Земля и Марс находятся на прямой. При ка¬
ком угле Земля-Солнце-Марс (рис. 149) следует на
самом деле стартовать с Земли, чтобы расход топлива
был минимальным при кратковременной работе двигателя? Считать
орбиты Земди и Марса круговыми, лежащими в одной плоскости,
притяжением между ракетой и планетами при перелете пренебречь.
Период обращения Марса равен 1,88 года.
7.103. Каким должен быть угол Марс-Солнце-Земля (рис. 149),
при котором становится энергетически выгодным перелет с Марса
на Землю при кратковременной работе стартового двигателя? Для
упрощения расчетов считать орбиты планет Земля и Марс круговы¬
ми, лежащими в одной плоскости, притяжением между ракетой и
планетами при перелете пренебречь. Радиус орбиты Марса принять
равным 1,5 а. е.
90
7.104. В 1979 г. были открыты два квазара-«близнеца» с абсо¬
лютно одинаковыми спектральными характеристиками. Предполага¬
ется, что это — сам квазар и его изобра¬
жение — мираж, создаваемый удаленной га- г
лактикой, расположенной между квазаром и
Землей (рис. 150). Угловое расстояние меж-
ду квазарами-«близнецами» равно 6". Прини- 3 к
мая во внимание, что отклонение луча света рис
вблизи Солнца равно 1,75", оценить массу га¬
лактики в единицах массы Солнца. Считать, что радиус галактики
-0'
2 • 105 св. лет, радиус Солнца равен 7 • 105 км.
7.105. Оценить время прохождения Меркурия по диску Солнца,
считая орбиты планет круговыми и лежащими в плоскости эклипти¬
ки. При расчетах принять также, что максимальный
угол, на который Меркурий удаляется от Солнца на
земном небосводе, является малой величиной, рав¬
ной 22,8°. Видимый диаметр Солнца — 0,5°.
7.106. Межпланетный корабль состоит из двух
небольших отсеков А и В, массы которых, соответ¬
ственно, равны mi и т2. Отсеки соединены длин¬
ным легким и прочным переходным коридором. Ко¬
рабль движется возле малой планеты массой М и
радиусом 7? по круговой орбите так, что продолже¬
ние прямой АВ все время проходит через центр пла¬
неты (рис. 151). Радиусы орбит отсеков А и В рав¬
ны соответственно щ = 47? и г2 = 27?. В некоторый
момент времени отсеки отцепляются от коридора.
Найти максимальное удаление отсеков А и В от поверхности малой
планеты при их самостоятельном движении. Считать т\ = m2 М.
7.107. Спутник Земли состоит из двух
масс Mi и М2, соединенных упругой конст¬
рукцией длиной х0 жесткостью к (рис. 152).
Для перехода на новую орбиту включается
двигатель с постоянной силой тяги F, свя¬
занный с массой Mi, в результате чего воз¬
никают колебания системы. В какой мо¬
мент и как надо изменить силу тяги, чтобы
погасить возникшие колебания? Как изме¬
нится при этом расстояние между Mi и М2?
7.108. Орбитальная станция, совершающая оборот вокруг плане¬
ты за период Т0 = 1,5 часа, состоит из двух одинаковых отсеков,
соединенных тросом длиной 100 м. Найти положение равновесия си¬
стемы относительно продолжения радиуса планеты и период колеба¬
ний вокруг этого положения.
7.109. Определить усилие, действующее на трос длиной I =
= 100 м, на котором находится космонавт при максимальном удале¬
91
нии от Земли. Спутник движется по круговой орбите на расстоянии
2Дз от центра Земли. Масса космонавта т = 100 кг много меньше
массы спутника, радиус Земли R3 принять равным 6400 км.
7.110. На концах легкой спицы длиной 2г = 10 см укреплены два
небольших шарика. Спица подвешена за середину на неупругой нити
и может свободно поворачиваться в горизон¬
тальной плоскости. Спица расположена меж¬
ду двумя неподвижными шарами массой М =
= 1 кг каждый (рис. 153). Расстояние между
центрами шаров 2R = 20 см. Найти период ма¬
лых колебаний спицы. Гравитационная посто¬
янная у = 6,67 • 1(П8 дин • см2/ г2.
7.111. Если гравитационное поле, в котором движется планета,
не обеспечивает закона обратных квадратов, то возникает медленное
вращение осей эллипса относительно удаленных звезд, что приводит
к медленному повороту точки перигелия. Согласно одной из моде¬
лей, объяснить это явление можно, рассматривая движение планеты
вокруг Солнца по круговой орбите радиусом R и накладывая на это
круговое движение малые радиальные колебания. Потенциал тако-
-о
м
0-0
м
Рис. 153
го гравитационного поля описывается формулой U = — ГО
1 +
-У
г2/’
где а — постоянная величина (а -С R2). Определить угол сдвига точ¬
ки перигелия за один оборот (р = 2я — 1^, где Тг — период ра¬
диальных колебаний, Т0 — период обращения.
7.112. По одной из теорий образования спутников планет, они мо¬
гут формироваться из вещества, сконцентрированного первоначаль¬
но в кольцевых структурах, вращающихся вокруг планет (рис. 154).
Пусть пылевое кольцо в виде тонкого диска с
внешним радиусом г2 и внутренним ту име¬
ющее однородную среднюю плотность, транс¬
формируется в небольшой спутник, собствен¬
ным вращением которого можно пренебречь.
Найти радиус R круговой орбиты спутника.
7.113. Две звезды вращаются по круговым
орбитам вокруг общего центра масс под дей¬
ствием сил 'гравитационного притяжения. Массы звезд равны, со¬
ответственно, М10 = М0/2 и М2о = М0. Выброс на одной из звезд
привел к образованию «рукава» между ними, по которому осуществ¬
ляется перенос вещества. Определить относительные изменения пе¬
риода обращения двойной звезды АТ/Т и расстояния между звез¬
дами А а/а, если масса звезды уменьшилась на Ат = 10~2Мо. От
какой звезды происходит перенос вещества, если расстояние между
ними увеличивается? Из-за сильной концентрации вещества звезд
к центру их моменты инерции сравнительно малы, и собственным
вращением звезд можно пренебречь.
92
7.114. Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Цен¬
тавра равно I = 2,61 • 105 а. е. Наблюдаемое угловое расстояние меж¬
ду звездами в этой системе периодически (с периодом Т = 80 лет) ме¬
няется, достигая максимального значения ср = 0,85 • 10"5 рад. Опре¬
делить суммарную массу звезд. Орбиты звезд считать круговыми.
7.115. При наблюдении пульсара PSR 1257+12 были обнаружены
периодические изменения интервалов времени между приходящими
от него импульсами. Период изменений Т = 66,6 суток = 5,75 • 106 с.
Одно из возможных объяснений этого явления состоит в том, что
пульсар под действием гравитационного взаимодействия с обращаю¬
щейся вокруг него планетой движется по круговой орбите радиусом
R — 440 км. Определить массу планеты, считая ее малой по сравне¬
нию с массой пульсара. Масса пульсара Мп = 2 • Ю30 кг.
7.116. В вершинах квадрата расположены 4 материальных точки
массой М каждая. В начальный момент скорости всех точек рав¬
ны по величине и направлены по касательным к описанной вокруг
квадрата окружности радиусом R. Точки движутся под действием
собственного тяготения. Известно, что в процессе этого движения
минимальное расстояние от центра окружности до одной из точек
оказалось равным г. Описать движение точек; найти параметры это¬
го движения.
7.117. Маленький шарик массой тп, имеющий на бесконечности
скорость v0, пролетает через шар массой М и радиусом R, в котором
вдоль диаметра просверлен канал в направлении движения шари¬
ка. Принимая во внимание гравитационное взаимодействие между
шарами, определить их относительную скорость в момент, когда ма¬
ленький шарик пролетает через центр большого шара. Начальную
скорость большого шара считать равной нулю.
7.118. Летающая тарелка, дурача в очередной раз назойливых уфо¬
логов, ускользает от них через отверстие в нашей метрике в 4-мерное
пространство. Однако в момент прохождения через отверстие отка¬
зал двигатель тарелки, так что она смогла углубиться в него лишь
на расстояние L, много большее размеров тарелки. Через какое вре¬
мя Т, влетев в это пространство (после исчезновения), тарелка вновь
вылетит в наше пространство? Считать, что в 4-мерном пространстве
отверстие притягивает любое тело массой тп с силой F = ат/х3.
7.119. Рассматривая вспышку сверхновой звезды 1987 г. как про¬
цесс образования из атомов с малой атомной массой одного яд¬
ра с Лзв = 1057 (нейтронная звезда), рассчитать высвободившую¬
ся гравитационную энергию Wr. Принять, что радиус ядра R =
- 1,3 • 10”13Л1/3 см.
7.1201 Пренебрегая сопротивлением атмосферы, найти минималь¬
ную работу, которую надо затратить, чтобы доставить массу в 1 кг
с поверхности Земли на поверхность Луны. Радиус Земли 6400 км,
радиус Луны 1740 км; ускорение свободного падения на Луне, вы¬
93
званное ее собственным притяжением, составляет £л = 0,16g3, где
g3 = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на поверхности Зем¬
ли. Влияние Солнца и других планет не учитывать.
7.121? Вычислить приближенно третью космическую скорость,
предполагая, что ракета выходит из зоны действия земного тяготения
под углом 9 к направлению орбитального движения Земли вокруг
Солнца. Считать, что кроме Земли и Солнца на ракету никакие дру¬
гие тела не действуют. (Третьей космической скоростью называется
минимальная скорость, которую надо сообщить ракете относительно
Земли, чтобы ракета навсегда покинула пределы Солнечной системы
(ушла на бесконечность).)
7.122? Вычислить приближенно четвертую космическую скорость,
т. е. минимальную скорость, которую надо сообщить ракете на по¬
верхности Земли, чтобы ракета могла упасть в задан¬
ную точку Солнца. Средний угловой радиус Солнца
ос = 4,65 • Ю"3 рад. Предполагается, что Земля дви¬
жется вокруг Солнца по круговой орбите со скоро¬
стью VK = 29,8 км/с. Вычислить, в частности, зна¬
чение четвертой космической скорости при дополни¬
тельном условии, что ракета падает на Солнце ради-
Рис.155 ально (т. е. что продолжение ее прямолинейной тра¬
ектории проходит через центр Солнца).
7.123. Найти ту точку на прямой линии, соединяющей Землю и
Луну, в которой напряженность g результирующего поля тяготения
Земли и Луны равна нулю. Масса Земли приблизительно в 81 раз
больше массы Луны, среднее расстояние между этими планетами
384000 км.
7.124. Подсчитать гравитационную энергию U шара радиусом R,
равномерно заполненного веществом с объемной плотностью р.
7.125. В сплошном однородном шаре с плотностью вещества р
сделана сферическая полость, центр которой 0\ смещен относитель¬
но центра шара О (рис. 155). Найти гравитационное поле в такой
полости.
7.126. Пусть от поверхности Земли до ее центра прорыта узкая
шахта и некоторое тело падает из бесконечности в эту шахту, дости¬
гая центра Земли. Какую скорость будет иметь тело в этот момент,
если Землю считать однородным шаром?
7.127. Как связаны между собой период Т\ спутника, обращающе¬
гося вокруг планеты в непосредственной близости от ее поверхности,
и период колебаний тела Т2 внутри прямолинейного канала, проходя¬
щего от одного полюса планеты к другому, если плотность вещества
планеты р постоянна? Качественно описать, как изменится соотно¬
шение между периодами, если плотность планеты при сохранении ее
массы будет возрастать к центру.
7.128. Два одинаковых груза, связанные пружиной, падают в пря¬
мом тоннеле, соединяющем диаметрально противоположные точки
94
Земли. При этом пружина оказывается слегка сжатой. С какой отно¬
сительной точностью надо измерять длину пружи-ны, чтобы заметить
сжатие? Известно, что отношение периода колебаний грузов относи¬
тельно центра Земли Т3т к периоду колебания их друг относительно
друга Ттт равно 103. Считать Землю однородным невращающимся
шаром.
7.129. Представьте себе шахту, пронизывающую земной шар по
одному из его диаметров. Найти закон движения тела, упавшего в
эту шахту, учитывая изменения значения ускорения свободного паде¬
ния внутри Земли. Трение о стенки шахты и сопротив¬
ление воздуха не учитывать.
7.130. Через центр шара радиусом R из материала
с плотностью р (рис. 156) просверлено отверстие ради¬
усом г. Найти напряженность поля тяготения в точке
Л, показанной на рисунке, если г <С R.
7.131. Внутри неподвижного шара радиусом R с од¬
нородной плотностью вещества имеется сферическая
полость. Расстояние между центрами шара и поло¬
сти а. Найти период малых колебаний математического маятника в
полости, если период колебаний этого же маятника на поверхности
шара в отсутствие полости равен Т0. Длина маятника много меньше
радиуса шара.
7.132. Считая Землю однородным шаром радиусом R и плотно¬
стью р, найти зависимость гравитационного давления от расстояния
до центра Земли. Оценить давление в центре Земли, полагая R —
= 6400 км, р = 5,5 г/см3.
7.133. В воображаемой шахте, проходящей через центр планеты,
измерено ускорение свободного падения g как функция радиуса. Зная
g(r), определить зависимость плотности р(г), считая, что плотность
сферически симметрична.
7.134. Ракета с нулевой начальной скоростью свободно падает в
гипотетическом цилиндрическом канале, проходящем между север¬
ным и южным полюсами Земли. В момент прохождения через центр
Земли включаются двигатели, сообщающие ракете дополнительную
скорость Av = щк (щк — первая космическая скорость на поверхно¬
сти Земли) в направлении ее движения. Считая время работы двига¬
телей пренебрежимо малым, а Землю однородным шаром, вычислить
скорость ракеты в момент достижения поверхности Земли.
7.135. Найти относительную разность периодов колебаний АТ/Т
одного и того же маятника, помещенного сначала на башне, а затем в
глубокой шахте. Высота башни относительно уровня моря h = 500 м,
глубина шахты Н = 2 км. Землю считать однородным шаром радиу¬
сом R — 6400 км. Влиянием притяжения башни пренебречь.
7.136. Математический маятник расположен на поверхности Зем¬
ли над тоннелем метро. Тоннель находится на глубине Н = 15 м, а
его диаметр 2R = 10 м. Принимая среднюю плотность грунта равной
Рис. 156
95
р = 2 г/см3, оценить относительное изменение периодов колебаний
А Т/Т маятника, вызванное наличием тоннеля (рис. 157).
7.137. В одном из проектов предлагалось использовать для движе¬
ния поездов силу земного тяготения, соединив пункты отправления
и назначения прямым подземным тоннелем. Считая плотность Земли
ности. Считая Землю шаром радиусом 7?з = 6400 км, вычислить, на
каком расстоянии от центра Земли величина ускорения свободного
падения g максимальна и во сколько раз gmax больше величины g на
поверхности?
7.140. Согласно одной из моделей строения Меркурия он состоит
из центральной части (ядра) с плотностью pi= 9,5 г/см3 и ради¬
усом Дя, равным 0,7 радиуса планеты 7?м, и периферийной части с
7.142. Небольшое тело вращается по круговой орбите под дей¬
ствием сил гравитации вокруг однородного длинного стержня. Вы¬
числить период обращения, задавшись любыми исходными числен¬
ными данными (масса стержня, приходящаяся на единицу дли¬
ны, и т. д.).
7.143. В длинном цилиндре радиусом R из материала с плотно¬
стью р имеется сферическая полость радиусом R/2, центр которой
находится на расстоянии R/2 от оси цилиндра. Определить напря¬
женность поля тяготения в точке А (рис. 158).
постоянной и пренебрегая трением, найти время,
за которое поезд (без двигателя) пройдет тоннель.
7.138. Непосредственно под дном океана в
районе «Бермудского треугольника» находится
металлический метеорит в виде шара радиусом
R = 2 км. Глубина океана Н = 6 км. Найти про¬
гиб z поверхности океана в этом месте. Плот-
2R ность пород, образующих дно, принять равной
2,5 г/см3, плотность метеорита 7,5 г/см3.
7.139. Согласно одной из моделей строе-
Рис.157 ния Земли ее плотность изменяется линейно от
Pi = 12 г/см3 в центре до р2 = 3 г/см3 на поверх-
плотностью р2 = 3,5 г/см3. Считая Меркурий ша¬
ром, вычислить, на каком расстоянии от центра
планеты г0 величина ускорения свободного паде¬
ния g максимальна и во сколько раз gmax больше
шах
\ величины g на поверхности.
Рис. 158
7.141. В плоском слое однородного вещества
имеется тонкий канал, перпендикулярный плоско¬
сти слоя, в котором под действием гравитацион¬
ных сил движется без трения небольшое тело. Вы¬
числить период его колебания относительно поло¬
жения равновесия, задавшись любыми исходными
численными данными.
96
7.144. Солнечная система пролетает на большом расстоянии от
гипотетической космической струны — прямолинейного массивно¬
го образования бесконечной длины, располагающегося в плоскости,
перпендикулярной скорости системы. Считая, что в силу неболь¬
шой погонной массы струны движение Солнечной системы останется
практически равномерным и прямолинейным, найти величину допол¬
нительной скорости, полученной системой в направлении, перпенди¬
кулярном первоначальной скорости, а также угол, на который в ре¬
зультате отклонится вектор скорости. Скорость системы — v, масса
единицы длины струны — ц.
7.145. Две частицы, движущиеся под действием сил взаимного
гравитационного притяжения по круговым орбитам с угловой скоро¬
стью си, в некоторый момент времени принудительно останавлива¬
ются и начинают падать друг на друга. Найти интервал времени т
от момента остановки до столкновения частиц.
7.146. Две частицы, находящиеся в момент времени t — 0 на рас¬
стоянии г0 друг от друга, начинают двигаться под действием сил
взаимного гравитационного притяжения и сталкиваются через ин¬
тервал времени t0. Определить суммарную массу частиц.
7.147. С космодрома «Байконур» (географическая широта фв =
= 52°) и с плавучего космодрома «Морской старт», расположенно¬
го на экваторе Земли, однотипными ракетами с одинаковой старто¬
вой массой на круговые околоземные орбиты запускаются спутни¬
ки. Плоскость орбиты спутника, запускаемого с «Байконура», на¬
клонена к плоскости экватора на угол, равный широте «Байкону¬
ра». С космодрома «Морской старт» спутник запускается в эква¬
ториальной плоскости. Остальные параметры орбит (в том числе
и время вывода на орбиту) одинаковы. На сколько масса спутни¬
ка, запускаемого с «Морского старта», может быть больше массы
спутника, запускаемого с «Байконура»? Суммарная масса спутни¬
ка и конструкции последней ступени ракеты при запуске с «Бай¬
конура» шб = 5000 кг. Скорость истечения газов из ракетного дви¬
гателя (относительно ракеты) « = 2000 м/с, радиус Земли R =
= 6400 км.
7.148. С космодрома «Плесецк» (географическая широта фп =
= 64°) и космодрома «Байконур» (фв = 52°) однотипными ракетами
с одинаковой стартовой массой запускаются спутники на круговые
околоземные орбиты. Плоскости орбит спутников наклонены к плос¬
кости экватора на углы, равные географической широте точки за¬
пуска. Остальные параметры орбит (в том числе и время вывода на
орбиту) одинаковы. На сколько масса спутника, запускаемого с «Бай¬
конура», может быть больше массы спутника, запускаемого с «Пле¬
сецка»? Суммарная масса спутника и конструкции последней ступени
ракеты при запуске с «Плесецка» шц = 3000 кг. Скорость истечения
газов из ракетного двигателя (относительно ракеты) и = 2 км/с, ра¬
диус Земли R = 6400 км.
97
7.149. Навигатор Пирке в своем первом «полете» перевел корабль
АМУ-27 на орбиту спутника Земли на высоте h = 1600 км в точке,
которая стала перигеем орбиты корабля. Определить удаление ко¬
рабля от центра Земли в апогее га, если его скорость в апогее va =
= 3,46 км/с. Радиус Земли Д3 = 6400 км, первая космическая ско¬
рость Vi = 7,92 км/с.
7.150. Расстояние от кометы Темпеля-Свифта до Солнца в пери¬
гелии равно радиусу орбиты Земли R = 1 а. е. Определить удаление
кометы от Солнца в афелии га, если ее скорость в афелии v3 =
= 7,7 км/с. Орбитальная скорость Земли v0 = 29,8 км/с.
7.151. Удаление от Солнца одного из астероидов пояса Койпера
в перигелии и в афелии равны, соответственно, гп = 8 а. е. и га =
= 20 а. е. Определить скорости астероида в перигелии и в афелии,
считая известным, что Земля движется по практически круговой ор¬
бите радиусом r0 = 1 а. е. со скоростью п0 = 29,8 км/с.
7.152. Один из астероидов пояса Койпера на расстоянии г\ = 15 а. е.
от Солнца имел радиальную скорость Vr — 1 км/с и тангенциальную
Vr = 6 км/с. Считая известным, что Земля движется со скоростью
VQ — 29,8 км/с по практически круговой орбите радиусом r0 = 1 а.е.,
определить период Т обращения астероида вокруг Солнца.
7.153. Недавно поступило сообщение, что американские астро¬
номы обнаружили на расстоянии 50 а. е. от Солнца небесное тело,
движущееся со скоростью 5 км/с. Первооткрыватели считают, что
они наблюдали прохождение перигелия десятой планетой Солнеч¬
ной системы. Определить период обращения А-планеты. Орбиталь¬
ная скорость Земли Фз яа 30 км/с.
7.154. Звезда е-Возничего представляет собой двойную затменно-
переменную звезду, состоящую из звезды-сверхгиганта и малень¬
кой яркой звезды-спутника. Период обращения звезды-спутника Т =
= 27 лет, продолжительность наблюдаемого затмения т = 2 года. Ор¬
бита звезды-спутника — круговая. Прямая, соединяющая е-Возни-
чего и Землю, лежит в плоскости этой орбиты. Определить среднюю
плотность звезды-сверхгиганта, считая известным минимальный пе¬
риод обращения спутника Земли Т0 = 1,4 часа и среднюю плотность
Земли ро = 5,5 г/см3.
7.155. Космический зонд «Шумейкер» на некоторое время должен
стать спутником астероида Эрос. По расчетам он будет обращаться
вокруг астероида на высоте, составляющей п — 1/15 радиуса астеро¬
ида, с периодом Т = 4,5 часа. Определить предполагаемую среднюю
плотность астероида р.
7.156. Спутник вращается по круговой орбите. В результате тор¬
можения он переходит на круговую орбиту меньшего радиуса. Из¬
менение потенциальной энергии при этом равно AU. Определить
работу А силы сопротивления воздуха на траектории спутника.
7.157. Спутник вращается по круговой орбите. В результате раз¬
гона спутник переходит на круговую орбиту большего радиуса. Опре¬
98
делить отношение работы силы сопротивления атмосферы к измене¬
нию потенциальной энергии спутника A/AU. Работа силы тяги при
разгоне равна изменению потенциальной энергии.
7.158. На спутник, движущийся по круговой околоземной орбите
со скоростью v, действует сила трения FTp = —Ava(v/v). Скорость
потери высоты спутником dh/dt = —C (С > 0 — малая величина,
такая, что потеря энергии за виток мала по сравнению с полной
кинетической энергией). Найти А и ос.
7.159. Вторая космическая скорость для некоторой планеты рав¬
на ?;0 = 10 км/с. Найти минимальную величину второй космической
скорости для такой же планеты с полостью
(рис. 159), заполненной веществом с плотно¬
стью, отличающейся от плотности планеты в 0 =
— 1/2 раз. Отношение радиуса полости к радиу¬
су планеты а = 1/2.
7.160. Космический корабль массой т проле¬
тает с выключенными двигателями в такой бли¬
зости от первоначально неподвижного космиче¬
ского тела, что после ухода от тела корабль от¬
клоняется от исходного направления полета на
угол а, а величина скорости корабля изменяется
от ?;0 до V. Найти массу М космического тела.
7.161. Космический зонд движется вокруг Земли по эллиптиче¬
ской орбите с удалением от ее центра в перигее Rn = 9Лз и в апогее
Ия — 167?з, где 7?з — радиус Земли. После кратковременного вклю¬
чения ракетного двигателя в перигее зонд покидает пределы поля
тяготения Земли. Определить, какую минимальную часть от началь¬
ной массы должно составлять топливо, необходимое для этого манев¬
ра. Скорость истечения газов относительно зонда и = 4 км/с, силами
тяготения во время работы двигателя можно пренебречь.
7.162. Космический зонд движется вокруг Земли по эллиптиче¬
ской орбите с удалением от ее центра в перигее Rn = 97?з и в апо¬
гее Ra = 167?з, где 7?з — радиус Земли. Если в апогее на короткое
время включить ракетный двигатель, то зонд можно перевести на
круговую орбиту с радиусом R3. Определить, какую долю от началь¬
ной массы должно составлять топливо, необходимое для совершения
указанного маневра. Действием силы тяжести при работе двигателя
пренебречь, скорость истечения газов относительно зонда составляет
и = 4 км/с.
7.163. В результате столкновения астероидов два из образовав¬
шихся осколков начали двигаться с одинаковыми скоростями, на¬
правленными под углом ср друг к другу. Найти отношение полуосей
орбиты Ъ/а первого осколка, если орбита второго оказалось круго¬
вой. Орбиты этих осколков лежат в одной плоскости, влиянием на
движение осколков всех небесных тел, кроме Солнца, можно прене¬
бречь.
99
7.164. В результате столкновения астероидов два из образовав¬
шихся осколков стали двигаться по расположенным в одной плоско¬
сти орбитам, имеющим эксцентриситеты Z\ = 0 и е2 = 0,5 соответ¬
ственно. Под каким углом ср разлетелись эти осколки после столк¬
новения, если их начальные скорости были одинаковы? Влиянием на
движение осколков всех небесных тел, кроме Солнца, пренебречь.
7.165! Дни летнего и зимнего солнцестояния (22 июня и 22 де¬
кабря) делят год пополам, а летний период между днями весеннего и
осеннего равноденствия Тя (с 21 марта по 23 сентября) продолжитель¬
нее зимнего Т3 на 7 дней. Оценить эксцентриситет земной орбиты.
7.166. Космический корабль «Венера-экспресс», пройдя ровно
50% пути от Земли к Венере, затратил на это 55,1% времени. Корабль
двигался по орбите, касающейся практически круговых орбит Зем¬
ли и Венеры. Определить период обращения Венеры вокруг Солнца.
Влиянием поля планет на корабль пренебречь, считая, что он дви¬
жется только под действием поля тяготения Солнца.
7.167. Для определения параметров орбиты вновь открытой пла¬
неты необходимо, в частности, измерить ее угловую скорость с от¬
носительной погрешностью, не превышающей 0,1%. У открытой в
2003 году малой планеты Солнечной системы Седны период обраще¬
ния составляет Т = 10500 лет. В афелии она в десять раз дальше от
Солнца, чем в перигелии. В течение какого времени необходимо было
наблюдать планету Седну вблизи перигелия, чтобы можно было рас¬
считать параметры ее орбиты? Точность измерения угловой коорди¬
наты ocmin = 2 • 10“7 рад. Считать известными орбитальную скорость
Земли г;0 = 29,8 км/с и радиус ее орбиты Rq = 1,5 • 108 км = 1 а. е.
(астрономическая единица).
7.168. 14 января 2005 г. в атмосферу спутника планеты Сатурн
Титана вошел зонд «Гюйгенс», запущенный с космического аппарата
«Кассини». На пути к Сатурну аппарат «Кассини» двигался в поле
тяготения Солнца, пересекая орбиту Юпитера. Определить скорость
аппарата вблизи орбиты Юпитера, если при приближении к орби¬
те Сатурна его скорость стала равной по модулю половине скорости
Сатурна. Радиусы орбит Юпитера ГД = 5,20 а. е., Сатурна — Д2 =
= 9,54 а. е. (R0 = 1 а. е. — астрономическая единица — радиус ор¬
биты Земли). Считать известной орбитальную скорость Земли v0 =
= 29,8 км/с. (все скорости — относительно Солнца).
7.169. 14 января 2005 г. в атмосферу спутника планеты Сатурн
Титана вошел зонд «Гюйгенс», запущенный с космического аппара¬
та «Кассини». В одном из вариантов запуска предполагалось, что на
последнем этапе «Кассини» будет двигаться в поле тяготения Са¬
турна по орбите, касающейся круговых орбит спутников Сатурна —
Япета и Титана. Определить в этом варианте скорость «Кассини»
вблизи орбиты Япета, если известны орбитальная скорость Япета
V\ = 3,26 км/с (все скорости — относительно Сатурна) и отношение
радиусов орбит Япета и Титана Rr/Rj = 2,92.
100
7.170. Согласно одной из гипотез орбиты самых долгопериодиче¬
ских комет имеют афелий на расстоянии R = 2 • 104 а.е. Перигелий
орбиты одной из таких комет равен радиусу орбиты Земли R0 =
— 1 а.е. С какой относительной точностью надо измерить скорость
этой кометы в перигелии, чтобы отличить ее от кометы, пришедшей
из межзвездного пространства, где та имела практически нулевую
скорость?
7.171. Комета Галлея в перигелии проходит на расстоянии от цен¬
тра Солнца г = 0,59 а. е. (R = 1 а. е. — радиус орбиты Земли) со
скоростью v = 54,4 км/с. Найти отношение большой и малой осей
орбиты кометы, считая из¬
вестной орбитальную ско¬
рость Земли г;0 = 29,8 км/с.
7.172. В разделе астро¬
физики, посвященном изу¬
чению условий образования
ое^
м
Рис. 160
космических объектов, большую роль играет «предел Роша» (по
имени французского астронома Е. Roche), определяющий наиболь¬
шие размеры компонентов устойчивой двойной планетарной системы.
Упрощенный вариант «предела Роша» можно получить на примере
следующей задачи. Два одинаковых сферических космических объ¬
екта (радиус каждого объекта а, суммарная масса т) находятся в
контакте и как одно целое обращаются вокруг звезды с массой М =
•= 100т (рис. 160). Объекты и звезда движутся по круговым орбитам
относительно центра масс системы, при этом расстояние от центра
звезды до точки контакта объектов 1 = 2■ 104 км. Определить значе¬
ние радиуса а, при котором напряжение в точке контакта равно нулю.
Предполагается, что а <С I и центры объектов все время находятся
на прямой, проходящей через центр звезды.
7.173. По одной из теорий возникновения
Солнечной системы образование планет проис¬
ходило путем конденсации газопылевых обла¬
ков, обращающихся вокруг Солнца. Рассмотрим
модель такого процесса. Два одинаковых шаро¬
образных облака сблизились до соприкоснове¬
ния (рис. 161) и как одно целое стали обращать¬
ся вокруг Солнца по круговой орбите радиусом R0 = 7,8
этом центры облаков все время находились на прямой, проходящей
через центр Солнца (масса Солнца М = 2 ■ Ю30 кг). При каком ми¬
нимальном значении средней плотности облаков такое движение воз¬
можно?
7.174. Скопления звезд образуют бесстолкновительные систе¬
мы — галактики, в которых звезды движутся по окружностям во¬
круг оси симметрии системы. В некоторых галактиках (например
NGC 801), состоящих из скопления в виде сферы (ядра с радиусом
гй = 5 кпк) с равномерным распределением звезд и тонкого диска из
Рис. 161
1011 м. При
101
звезд (с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой), об¬
наружено, что линейная скорость движения звезд в диске (равная
vQ = 200 км/с) на краю ядра и на расстоянии 10гя от центра одна
и та же. Такое явление может быть объяснено наличием несветя¬
щейся массы («темной материи»), распределенной вне ядра галакти¬
ки с постоянной плотностью. Найти среднюю плотность ядра ря и
«темной материи» рт, соотношение между массой ядра Мя и массой
«темной материи» Мт, влияющей на движение звезд в диске, а так¬
же вычислить максимальное отклонение Av скорости движения v(r)
звезд в диске от vQ в интервале гя 10гя (1 кпк = 1 килопарсек =
= 3,1 • 1016 км).
7.175. Скопления звезд образуют бесстолкновительные систе¬
мы — галактики, в которых звезды движутся по окружностям во¬
круг оси симметрии системы. В некоторых галактиках (например
NGC 2885), состоящих из скопления в виде сферы (ядра с радиусом
гя = 4 кпк) с равномерным распределением звезд и тонкого диска из
звезд (с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой), обна¬
ружено, что линейная скорость движения звезд в диске не зависит
от расстояния до центра галактики. От края ядра и вплоть до конца
диска на расстоянии 15гя от центра галактики скорость равна v0 —
= 240 км/с. Такое явление может быть объяснено наличием несветя¬
щейся массы («темной материи»), распределенной сферически сим¬
метрично относительно центра галактики вне ее ядра. Определить
массу ядра галактики Мя и среднюю плотность его вещества ря.
Найти зависимость плотности «темной материи» рт от расстояния
от центра галактики и соотношение между массой ядра Мя и массой
«темной материи» Мт, влияющей на движение звезд в диске (1 кпк =
= 1 килопарсек = 3,1 • 1016 км).
7.176. Круговая орбита космической станции массой m = 100 т
расположена в верхних слоях атмосферы на высоте h = 250 км. Если
орбиту не корректировать, то за счет торможения станция снижа¬
ется на величину Ah = 100 м/сут. Оценить, какой потребуется рас¬
ход топлива в кг/сут, чтобы поддерживать высоту орбиты станции.
Скорость истечения отработанных газов относительно станции и =
= 3 км/с направлена по касательной к траектории.
7.177. Спутник движется по круговой орбите на высоте hi =
= 250 км от поверхности Земли. Оценить, какую часть массы спутни¬
ка должна составлять масса топлива для кратковременного перевода
спутника на эллиптическую орбиту с высотой перигея /г2 = 100 км.
Скорость истечения газов относительно спутника и = 3 км/с.
7.178. Экспериментально установлено, что период колебаний ма¬
ятника в шахте глубиной h = 500 м на 6 = 0,0025% меньше, чем у
поверхности Земли. Оценить на основе этих данных среднюю плот¬
ность земной коры в пятисотметровом слое, считая Землю шаром
с плотностью, зависящей только от расстояния до центра. Средняя
плотность Земли р0 = 5,5 г/см3.
102
7.179. Поведение силы тяжести внутри Земли можно приближен¬
но описать следующей простой моделью: внутри ядра планеты (до се¬
редины радиуса Земли) ускорение свободного падения растет по ли¬
нейному закону, а затем остается практически постоянным вплоть до
поверхности. Средняя плотность Земли равна р0 = 5,5 г/см3. Опреде¬
лить в этой модели зависимость плотности от расстояния до центра
Земли в ядре и в более высоких слоях.
7.180. Глубинное бурение на сферически симметричном астеро¬
иде показало, что он состоит из однородных ядра и коры, причем
отношение плотности ядра к плотности коры к = 2, а ускорение си¬
лы тяжести имеет одно и то же значение на границе ядра с корой и
на поверхности планеты. Какую долю а радиуса планеты составляет
радиус ядра?
7.181. Спутники Корделия и Титания обращаются вокруг Урана по
круговым орбитам, лежащим в одной плоскости. Удаление Корделии
от поверхности Урана равно h. Минимальное расстояние между
спутниками составляет lQh. Период обращения Корделии равен 7\ =
— 8 часов, период Титании — Т2 = 9 суток. Определить минимально
возможный период обращения искусственного спутника Урана.
7.182. Орбиты двух недавно открытых малых спутников Сатурна
проходят совсем недалеко от поверхности планеты. Наибольшие уда¬
ления этих спутников от поверхности Сатурна отличаются в 7 раз.
Периоды обращения спутников Т) = 11 часов и Т2 = 88 часов. Опре¬
делить минимально возможный период обращения искусственного
спутника Сатурна.
7.183. С космической станции, обращающейся по круговой око¬
лоземной орбите радиусом R() = 13420 км, на геостационарную ор¬
биту радиусом Rrc = 42164 км отправляется спутник массой т =
= 1000 кг. Перемещение спутника осуществляется с помощью плаз¬
менного двигателя с постоянной малой тягой F = 0,458 Н, вектор
которой все время направлен по касательной к траектории. Сколько
суток будет продолжаться перелет при непрерывной работе двигате¬
ля? Произведение гравитационной постоянной на массу Земли уМ =
= 3,986 • 105 км3/с2. Изменением массы спутника за время перелета
можно пренебречь.
7.184. Для коррекции орбиты спутника используется плазмен¬
ный двигатель с постоянной малой тягой, вектор которой все время
направлен по касательной к траектории. Определить силу U тяги
двигателя, необходимую для перевода спутника с круговой орбиты
высотой hi = 500 км на круговую орбиту высотой h2 = 532 км при
непрерывной работе двигателя в течение времени т = 3 суток. Мас¬
са спутника т = 500 кг, радиус Земли R = 6400 км, ускорение сво¬
бодного падения на поверхности Земли g = 9,81 м/с2. Изменением
массы спутника за время перелета можно пренебречь.
7.185. Конструкция из трех одинаковых массивных тел массой т,
связанных между собой двумя одинаковыми тросами длиной I пре¬
103
небрежимо малой массы, перемещается по низкой круговой орбите
вокруг планеты массой М и радиусом R. При движении конструкции
вокруг планеты оба троса все время остаются ориентированными по
вертикали. Найти натяжение каждого из тросов в предположении,
что I <С R. Гравитационным взаимодействием между телами, состав¬
ляющими конструкцию, пренебречь, длины тросов много больше раз¬
меров каждого из тел конструкции. (См. также задачу 7.109.)
7.186. Конструкция из двух массивных тел массами т и 2т, свя¬
занных между собой тросом пренебрежимо малой массы длиной I,
перемещается по низкой круговой орбите вокруг планеты массой М
и радиусом R. При движении конструкции вокруг планеты трос все
время остается ориентированным по вертикали, тело массой 2т рас¬
положено ближе к планете. Найти натяжение троса в предположе¬
нии, что I <С R. Гравитационным взаимодействием между телами,
составляющими конструкцию, можно пренебречь, длина троса много
больше размеров каждого из тел конструкции. (См. также задачи
7.109 и 7.185.)
7.187Т Астероиды — малые планеты с радиусом Д ~ 5 км в ко¬
личестве N ~ 104, их возраст 4,5 млрд лет. Они движутся между
орбитами Юпитера и Марса, образуя пояс астероидов толщиной
h ~ 106 км, простирающийся от Ri = 2,5 • 108 км до Д2 = 7 • 108 км.
В результате возмущения их орбит планетами они все время изменя¬
ют траектории и могут сталкиваться, что приводит к их дроблению и
возникновению метеоритов. Относительная скорость астероидов v =
= 5 км/с. Оценить, сколько раз за свою историю астероиды сталки¬
ваются между собой.
7.188. В верхних слоях атмосферы на спутник, движущийся по
круговой орбите, действует сила сопротивления очень разреженно¬
го воздуха F. Увеличивается или уменьшается скорость спутника,
имеющего массу т, в процессе его торможения? Каково его танген¬
циальное ускорение ат?
7.189. Слабая сила сопротивления, действующая на спутник в
верхних слоях атмосферы, пропорциональна квадрату его скорости:
F = kv2. Найти, как зависит скорость спутника массой т, движу¬
щегося по круговой орбите, от времени, если при t — 0 скорость
спутника была равна vQ.
§ 8. Специальная теория относительности
8.1. Космический корабль движется с постоянной скоростью V —
= (24/25)с по направлению к центру Земли. Какое расстояние в си¬
стеме отсчета, связанной с Землей, пройдет корабль за промежуток
времени At' = 7 с, отсчитанный по корабельным часам? Вращение
Земли и ее орбитальное движение не учитывать.
8.2. Космонавт находится в неосвещенном космическом корабле,
движущемся относительно Земли со скоростью, очень близкой к ско-
104
роста света с. На небольшом расстоянии от космонавта расположено
зеркало так, что линия, соединяющая космонавта и зеркало, парал¬
лельна скорости корабля. Увидит ли космонавт свое изображение в
зеркале после включения источника света, расположенного рядом с
космонавтом? (Загадка Эйнштейна.)
8.3. Стержень имеет собственную длину 10. На концах стержня
укреплены две лампочки 5) и S2. Стержень движется со скоростью
vо по направлению к неподвижному наблюдателю (рис. 162). Лампа
>S'i испускает свет раньше, чем S2, так что
обе вспышки достигают наблюдателя одно¬
временно. В моменты испускания света лам¬
пы Si и S2 находились в точках ац и х2 соот¬
ветственно. Какое расстояние ад — х2 между
лампочками измерит наблюдатель? (Это бу¬
дет видимая длина стержня, как она воспри¬
нимается глазом человека или фиксируется
фотоаппаратом.)
8.4. Две линейки, собственная длина
каждой из которых равна 10, движутся навстречу друг другу па¬
раллельно общей оси с релятивистскими скоростями. Наблюдатель,
связанный с одной из них, зафиксировал, что между совпадениями
левых и правых концов линеек прошло время т. Какова относитель¬
ная скорость линеек?
8.5. С Земли и из системы Арктура одновременно (по синхрони¬
зованным часам землян и арктурцев) отправляются навстречу друг
другу космические корабли. Расстояние между Землей и Аркту-
ром равно 35 св. лет. Отношение скоростей кораблей равно 4/3. При
встрече разница показаний часов на кораблях составляет 5 лет. Опре¬
делить скорости кораблей землян и арктурцев.
8.6. Межзвездный корабль движется к ближайшей звезде, на¬
ходящейся на расстоянии L = 4,3 световых года, со скоростью v =
— 1000 км/ч. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно. На
какое время At часы на корабле отстанут от земных часов по воз¬
вращении корабля на Землю? Участок ускоренного движения не учи¬
тывать. Ввиду большой скорости корабля движение звезды относи¬
тельно Солнца также можно не учитывать.
8.7. Космический корабль летит со скоростью V = 0,6 с от одного
космического маяка к другому. В тот момент, когда он находится
посередине между маяками, каждый из них испускает в направле¬
нии корабля световой импульс. Найти, какой промежуток времени
пройдет на корабле между моментами регистрации этих импульсов.
Расстояние между маяками свет проходит за 2 месяца.
8.8. Корабль, летящий по направлению к Земле, испускает после¬
довательно два коротких световых импульса с интервалом времени
между ними Ti = 1 мин. Отраженные от Земли, эти импульсы воз¬
вращаются на корабль через Т = 1,5 мес. При этом временной интер¬
105
вал между принятыми сигналами составляет т2 = 15 с. Найти, какое
время Т пройдет на Земле от момента получения первого светового
импульса до прилета корабля. Определить также скорость корабля.
Промежутки времени ть т2 и Т отсчитываются по часам корабля.
8.9. Два звездолета с выключенными двигателями движутся на¬
встречу друг другу. На одном звездолете на носу и на корме одновре¬
менно зажигаются каждую секунду сигнальные огни. На встречном
звездолете наблюдают каждые 1/2 секунды две вспышки с интерва¬
лом времени т' = 1 мкс. Найти длину 10 первого звездолета и ско¬
рость их сближения (3.
8.10. Два звездолета с выключенными двигателями движутся
навстречу друг другу. Сигнал бортового локатора отражается от
встречного звездолета с частотой в к = 9 раз большей посланно¬
го. Встречный звездолет пролетает мимо регистрирующего прибора
на борту первого звездолета за т = 1 мкс. Найти собственную длину
встречного звездолета 10.
8.11. Световой сигнал, посылаемый на Землю с планеты Саракш,
возвращается на Саракш через время 2Т = 30 лет. Скорость планеты
относительно Земли пренебрежимо мала и ее календарь согласован
с земным. Звездолет летит по направлению к Солнечной системе со
скоростью н = 0,6с. В день, когда он пролетает мимо Саракша, на
звездолете рождается мальчик Ваня. В тот же день (по саракшско-
земному календарю) на Земле рождается мальчик Петя. Сколько лет
будет Ване и Пете, когда звездолет будет пролетать мимо Земли?
8.12. Прогрессор Комов (герой фантастических произведений Ар¬
кадия и Бориса Стругацких) совершает межзвездное путешествие на
звездолете. В день, когда ему исполнилось 30 лет и звездолет нахо¬
дился вблизи планеты Пандора, он послал на Землю световой сигнал.
Сигнал приняли на Земле через 12,5 лет. Когда Комову исполнилось
45 лет и звездолет вновь оказался вблизи планеты Пандора, про¬
грессор принял отраженный от Земли сигнал. Вычислить скорость
звездолета v0. Часы звездолета и Земли в момент посылки сигнала
синхронизованы. Скоростью Земли относительно планеты Пандора
можно пренебречь.
8.13? Два космических корабля 1 и 2 направляются к Земле
(рис. 163), двигаясь вдоль одной прямой с одинаковыми скоростя¬
ми v = 0,6 с. В некоторый момент времени каждый корабль и Земля
посылают друг другу короткие световые
сигналы (корабль 1 посылает сигнал на
~х корабль 2 и на Землю, корабль 2 — на
корабль / и на Землю, и Земля — на
корабли 1 и 2). Известно, что все сигна¬
лы сигналы посылаются одновременно в
системе отсчета, связанной с Землей. Оказалось, что промежуток
времени между принятыми сигналами по бортовым часам корабля 1
составил ту = 1 с, а по бортовым часам второго корабля — т2 = 0.
2
-<£>
Рис. 163
106
Какое время между принятыми сигналами т3 будет зарегистрирова¬
но на Земле?
8.14. Два космических корабля / и 2 направляются к Земле, дви¬
гаясь вдоль одной прямой (рис. 163). В некоторый момент време¬
ни каждый корабль и Земля посылают друг другу короткие свето¬
вые сигналы (корабль 1 посылает сигнал на корабль 2 и на Землю,
корабль 2 — на корабль / и на Землю, и Земля — на корабли 1
и 2). Известно, что все сигналы посылаются одновременно в системе
отсчета, связанной с Землей. Оказалось, что промежуток времени
между принятыми сигналами по бортовым часам корабля / составил
Ti = 5 с (скорость этого корабля v = 0,6 с), а по бортовым часам вто¬
рого корабля — т2 = 0. Какое время между принятыми сигналами т3
будет зарегистрировано на Земле, если оба корабля достигнут Земли
одновременно?
8.15? Из начала отсчета системы К вдоль оси х через интервал
времени Т (по часам К) посылаются кратковременные световые им¬
пульсы. Найти интервал времени, через который эти импульсы будут
приходить к наблюдателю в системе К', учитывая относительность
промежутков времени между событиями. Рассмотреть случаи удале¬
ния и сближения наблюдателя и источника. Переходя от периодов
к частотам, получить релятивистские формулы для продольного эф¬
фекта Доплера.
8.16* Стержень, собственная длина которого равна 10, покоится в
системе отсчета К'\ он расположен так, что составляет с осью х' угол
ср'. Какой угол составляет этот стержень с осью х другой системы
отсчета К? Чему равна длина этого стержня в системе К?
8.17! Можно ли с помощью фотоаппарата зафиксировать сокра¬
щение Лоренца по изменению формы предмета, пролетающего мимо
точки фотографирования с релятивистской скоростью? Рассмотреть
случай куба и шара, летящих на большом расстоянии от точки фо¬
тографирования.
8.18! Найти скорость частицы (заряд е, масса т), прошедшей
разность потенциалов V без начальной скорости. Найти предельные
выражения для скорости: 1) для классического случая (v <С с); 2) для
ультрарелятивистского (г; яз с).
8.19! Найти пробег I релятивистской заряженной частицы с за¬
рядом е и массой m при начальной полной энергии #0 в тормозящем
однородном электрическом поле, параллельном начальной скорости
частицы.
8.20! Какую часть энергии покоя частицы должна составлять ре¬
лятивистская кинетическая энергия К?, чтобы относительная ошиб¬
ка, полученная при использовании нерелятивистского выражения
для кинетической энергии, составляла бы 1%? Найти соответству¬
ющую энергию для протона и электрона.
8.21. Выразить релятивистский импульс частицы, масса которой
равна т, через ее релятивистскую кинетическую энергию.
107
8.22. Журнал «Химия и жизнь» однажды неосторожно сообщил,
что у фотона якобы обнаружена конечная энергия покоя, равная все¬
го 0,0005 эВ. Предложите собственную оценку возможной массы фо¬
тона то, воспользовавшись тем, что измеренная по времени пролета
к Луне и обратно скорость импульса радиоволн с частотой 10 ГГц
не отличается от скорости светового импульса в пределах точности
эксперимента, которая определяется неровностями лунного рельефа
и соответствует неопределенности в расстоянии примерно в ±100 м.
Расстояние до Луны — 380 тыс. км. Допустимо считать скорость им¬
пульса света, частота которого намного больше, чем у радиоволн, точно
равной с, а энергию «радиофотона» определять по формуле Планка.
8.23. Вспышка сверхновой 23.02.1987 в Большом Магеллановом
облаке сопровождалась на Земле нейтринным всплеском, а также
сигналом гравитационной антенны. По утверждению газеты «Изве¬
стия» от 11.03.1987 запаздывание нейтрино от гравитационной вол¬
ны составило 0,1 с, откуда должно было следовать, что энергия по¬
коя нейтрино может составлять величину порядка 1,5 эВ. Принимая
интерпретацию газеты, найти энергию нейтрино, регистрируемых на
Земле. Расстояние до сверхновой 180 тыс. световых лет. Считать, что
гравитационные волны распространяются со скоростью света.
8.24. В 1963 г. в космических лучах был обнаружен протон с
колоссальной энергией Ю20 эВ. Предполагая, что он родился на гра¬
нице нашей Галактики на расстоянии 105 световых лет от Земли и
его полная энергия все время линейно росла со временем, начиная
с энергии покоя 1 ГэВ, подсчитать, сколько времени занял этот путь
по «собственным часам» протона.
8.25. На линейном ускорителе в Стенфорде (США) электроны
ускоряются от энергии покоя 0,5 МэВ до 40 ГэВ в прямой трубе дли¬
ной Д = 3 км. Считая, что ускорение электрона происходит вдоль
трубы равномерно (т. е. пропорционально длине растет его полная
энергия), определить, какой «кажется» длина трубы самому электрону.
8.26. Звездолет движется со скоростью V, определяемой реляти¬
вистским фактором Г = (1 — V2/с2)-1/2 = 100 в межзвездном газе,
который состоит из атомарного водорода с концентрацией п = 1 см~3.
Тепловые скорости атомов газа много меньше с. Перед носом звез¬
долета установлен экран с поперечным сечением S = 108 см2, кото¬
рое больше лоперечных размеров звездолета. Экран улавливает все
атомы, на которые он налетает. Определить силу F', которую пока¬
жет динамометр, включенный между экраном и звездолетом. Опре¬
делить также массу топлива ц/ в единицу собственного времени,
которую должен аннигилировать фотонный двигатель, чтобы под¬
держивать скорость звездолета постоянной. Масса атома водорода
т « 1,7 • 1(Г24 г.
8.27. Некоторыми исследователями недавно зарегистрирован при¬
лет частиц космических лучей от источника Лебедь Х-3, располо¬
108
женного на расстоянии т = 40 тыс. световых лет от Солнца. В чис¬
ле других возможных нейтральных частиц, сохраняющих в полете
направление на источник, рассматривается нейтрон (энергия покоя
т()с2 = 940 МэВ). Известно, что нейтрон распадается со средним
временем жизни т0 = 890 с. Определить энергию нейтрона, при ко¬
торой он может достичь Земли.
8.28. При взрыве сверхновой 27 февраля 1987 г. в малом Магел¬
лановом облаке, находящемся от Земли на расстоянии L = 180 тыс.
световых лет, были зарегистрированы две группы нейтрино с интер¬
валом в 1 час. Согласно одной из гипотез, эти две группы нейтрино
родились одновременно, но обусловлены разными процессами и, со¬
ответственно, имеют нулевую и ненулевую (около 20 эВ) энергию
покоя. Оценить энергию второй группы нейтрино, при которой такое
ии вменение ьизмижно.
8.29. С космического корабля, приближающегося к Земле со ско¬
ростью н = 0,6 с, ведется прямая телевизионная передача, позволя¬
ющая видеть на экране телевизора циферблат корабельных часов.
Сколько оборотов сделает на экране секундная стрелка за 1 мин по
земным часам?
8.30. Вслед космическому кораблю, удаляющемуся от Земли со
скоростью v = 0,8 с, каждую секунду посылают сигналы точного вре¬
мени. Какое время между поступлением двух сигналов будет прохо¬
дить по корабельным часам?
8.31. После 16 оборотов вблизи Земли спутник опустился об¬
ратно на космодром. На сколько разошлись часы на спутнике и на
космодроме, и с какой погрешностью можно заметить этот эффект,
если стабильность и воспроизводимость часов составляет 1СГ13 (во¬
дородный мазер)? Влиянием кривизны траектории, силы притяжения
к Земле и ускорения во время взлета и посадки спутника на ход
часов пренебречь.
8.32. Определить время жизни т мюона ц. с энергией <8 = 109 эВ
(в лабораторной системе отсчета). Время жизни медленного (поко¬
ящегося) мюона т0 = 2,2 • 1СГ6 с, масса мюона т — 206,7те (те —
масса электрона).
8.33. Снаряду с массой т0 = 1000 т сообщена скорость V в на¬
правлении касательной к земной орбите. Какова должна быть раз¬
ность между скоростью света с и скоростью снаряда V, чтобы Земля
стала двигаться относительно Солнца по параболической траекто¬
рии? Масса Земли М = 6 • 1021 т, скорость ее орбитального движе¬
ния v — 29,8 км/с. Сравнить кинетическую энергию снаряда с кине¬
тической энергией орбитального движения Земли.
8.34. Снаряду с массой т0 = 1 т на экваторе сообщена горизон¬
тальная скорость v в направлении вращения Земли. Какова должна
быть разность с — v скоростей света и снаряда, чтобы остановить вра¬
щение Земли вокруг собственной оси? Радиус Земли R = 6370 км,
109
масса М = 6 • 1021 т. Момент инерции Земли относительно оси вра¬
щения с учетом неоднородности ее плотности с большой точностью
представляется приближенной формулой /= MR2 /3. Сравнить кине¬
тическую энергию снаряда с кинетической энергией земного шара.
8.35. Определить мощность N фотонной ракеты, движущей¬
ся за пределами Солнечной системы с нерелятивистской скоро¬
стью и постоянным ускорением g= 10 м/с2. Масса ракеты т рав¬
на 1 т. Сравнить развиваемую мощность с мощностью Братской ГЭС
(4,5 млн кВт).
8.36. Какая кинетическая энергия К должна быть сообщена меж¬
звездному кораблю массой т = 104 кг, чтобы его часы по возвраще¬
нии на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле?
Сколько тонн урана М должно прореагировать, чтобы выделилось
такое количество энергии? При делении одного атома урана выделя¬
ется энергия 170 МэВ. Какую скорость v будет иметь корабль при
такой кинетической энергии?
8.37? По современным представлениям звезды могут переходить
в гравитационно неустойчивые состояния, в которых силы тяготения
при стремлении радиуса звезды к определенному пределу (называ¬
емому гравитационным радиусом) стремятся к бесконечности, в то
время как давление внутри звезды остается конечным. Это приводит
к катастрофическому сжатию (релятивистскому коллапсу) звезды.
Для полного описания такого процесса ньютонов закон всемирно¬
го тяготения неприменим. Пользуясь формулой Эйнштейна о свя¬
зи между массой и энергией S = Мс2, найти условие, необходимое
для применимости ньютонова закона тяготения. Сделать численную
оценку для звезды, масса которой равна массе Солнца М = 2 • 1033 г.
8.38. На покоящуюся частицу массой т± налетает частица мас¬
сой т2 и кинетической энергией К2. После столкновения частицы
слипаются и движутся как целое. Найти массу М образовавшейся
частицы. При каких условиях эта масса приблизительно равна сумме
масс исходных частиц? Найти скорость v образовавшейся частицы.
8.39. При распаде некоторой частицы появляются две частицы с
массами mi и т2. Из опыта известны абсолютные величины импуль¬
сов р1 и р2 этих частиц и угол 0 между направлениями их разлета.
Найти массу распавшейся частицы.
8.40. Покоящееся тело массой М распадается на две части с мас¬
сами mi и т2. Вычислить кинетические энергии Кх и К2 продуктов
распада.
8.41? Частица массой т испытывает упругое соударение с непо¬
движной частицей такой же массы. Найти кинетическую энергию
Ki рассеянной частицы по кинетической энергии KQ налетающей
частицы и углу рассеяния 0i.
8.42. Релятивистский протон с кинетической энергией К испы¬
тывает упругое столкновение с покоящимся протоном, в результате
110
чего частицы разлетаются симметрично относительно первоначаль¬
ного направления движения первого протона. Найти угол 0 между
направлениями разлета протонов.
8.43. Релятивистский 7Т°-мезон (энергия покоя т0с2) распадается
на лету на два фотона с энергиями S\ и #2. Найти угол 0 между
направлениями разлета фотонов.
8.44. Покоящийся 7т+-мезон (энергия покоя тпс2 = 139,6 МэВ)
распадается на антимюон ц.+ (энергия покоя трс2 = 105,7 МэВ) и
нейтрино у (энергия покоя равна нулю). Найти кинетические энергии
Кр и К-у продуктов распада.
8.45. При распаде «на лету» Г2“-гиперона (Н“ —> Л° + К-) изме¬
рены импульсы частиц распада рА — 5,7 ГэВ/с и рк = 2,0 ГэВ/с (с —
скорость света) и угол разлета между ними 0 = 28,5°. Определить
массу ^“-гиперона. Считать Л° и К- ультрарелятивистскими.
8.46. В 1984 г. была обнаружена новая £,-частица как продукт
распада покоящейся Т-частицы в реакции Т —> £, + у, причем энер¬
гия у-кванта оказалась равной = 1072 МэВ. Найти энергию и
скорость £,-частицы, если энергия покоя Т-частицы равна тхс2 =
= 9460 МэВ.
8.471 При столкновении протонов высоких энергий могут образо¬
вываться антипротоны р согласно реакции
р + р-^р + р + р + р.
Какой минимальной (пороговой) кинетической энергией должен об¬
ладать протон, чтобы при его столкновении с покоящимся протоном
была возможна такая реакция?
8.48. Какой минимальной кинетической энергией должен обла¬
дать протон, чтобы при его столкновении с покоящимся нейтроном
была возможна реакция
р + п—>р + п + Л + Л?
Массы частиц, участвующих в реакции: тр = 1836те, тп = 1838те,
тА = Шд = 2183те. Различием масс протона и нейтрона можно пре¬
небречь.
8.49. В 1976 г. впервые наблюдался первый очарованный бари-
он — антиламбда-гиперон Лс с энергией покоя М~к с2 = 2,26 ГэВ.
Найти, при какой минимальной кинетической энергии ускоренных
протонов можно наблюдать рождение пары ЛСЛС при облучении про¬
тонами жидководородной мишени.
8.50. Нейтральный пион (энергия покоя пиона Мпс.2 = 0,135 ГэВ)
распадается на лету на два у-кванта с энергиями = 2,0 ГэВ и #2 =
= 3,2 ГэВ. Найти угол разлета ср у-квантов друг относительно друга.
Ш
8.51. Покоящийся пион (m„ = 273me) распадается на мюон
(Шц. = 207те) и нейтрино. Найти их кинетические энергии и им¬
пульсы.
8.52. Найти максимальное число пионов, которое может образо¬
ваться при столкновении протона с энергией # = 17 ГэВ с покоя¬
щимся протоном.
8.53. В 1983 г. был открыт Z0-6o3oh. При анализе его распа¬
да (Z0 —» ц+ + ц") найдены два следа мюонов с импульсами р =
= 95 ГэВ/с (с — скорость света) при угле разлета 0 = 70°. Найти
скорость и массу Z°-6o30Ha.
8.54. D° -мезон распадается «на лету» на К -мезон (каон) и
тс+-мезон (пион). Расстояние от точки его рождения до точки рас¬
пада I = 350 мкм. Импульсы каона и пиона равны рк = 3,6 ГэВ/с и
рп = 1,8 ГэВ/с (с — скорость света) и направлены под углами 0к =
= 13°30' и 0„ = 27°50' к направлению импульса 0°-мезона. Опреде¬
лить массу, скорость и время жизни 0°-мезона. Считать каон и пион
ультрарелятивистскими.
8.55. При аннигиляции остановившегося антипротона в жидком
водороде образовано три пиона: р + р —» п+ + п~ + те0. Определить
энергию каждого из них, если один из пионов имел максимально
возможную энергию.
8.56. Заряженный пион, имеющий энергию = 420 МэВ, рас¬
падается «на лету» на мюон и нейтрино. Определить энергию мюона
#ц в лабораторной системе, если в системе покоя пиона мюон выле¬
тел под углом 90° к направлению полета пиона. Энергия покоя пиона
тпс2 = 140 МэВ, а мюона тцс2 = 106 МэВ.
8.57. За распадом остановившегося в ядерной фотоэмульсии
К+-мезона по схеме К+ —> 7Т+ + 7Г° последовал распад 7Г°-мезона по
схеме я0 —> у + е+ + е“, причем вершина пары е+е~ находилась
на расстоянии I = 0,38 мкм от места остановки К+-мезона. Оце¬
нить время т0 жизни 7Т°-мезона, если известно, что энергия по¬
коя К+-мезона М«с2 = 494 МэВ, энергия покоя п+ -мезона Мп+с2 =
= 140 МэВ и энергия покоя тс°-мезона Мпос2 = 135 МэВ.
8.58. При рождении 7Т+- и К+-мезонов в мишени ускорите¬
ля (с импульсами рп = рк = 2 ГэВ/с) количества частиц относят¬
ся приблизительно как 100 : 1. Средние времена жизни этих ча¬
стиц в системе отсчета, где они покоятся, равны, соответствен¬
но, т0л = 2,6 • 10~8 с и т0к = 1,28 • 10~8 с, а энергии покоя т0пс2 =
= 0,140 ГэВ и т0кс2 = 0,494 ГэВ. Определить средние времена жиз¬
ни тех же частиц в лабораторной системе отсчета. Найти отношение
чисел 7Т+- и К+-мезонов на расстоянии L = 50 м от мишени.
8.59. Две одинаковые частицы (например, два протона), уско¬
ренные до одной и той же энергии <S = 10 ГэВ, движутся навстречу
112
друг другу и сталкиваются между собой. Рассмотрев тот же процесс
в системе отсчета, связанной с одной из частиц, в которой частица-
мишень покоится, а другая движется навстречу ей, определить энер¬
гию S' второй частицы в этой системе. (Принцип ускорителя на
встречных пучках.)
8.60. В Серпухове пытались создать ускорительно-накопитель¬
ный комплекс, включающий кольцевой ускоритель протонов на энер¬
гию #лаб = 3 • 1012 эВ и накопительное кольцо для осуществления
встречных пучков протонов, ускоренных до такой же энергии. Най¬
ти, какие из самых тяжелых ядер и антиядер могли бы образоваться
в реакции р + р на жидководородной мишени (т. е. при столкнове¬
нии протона с энергией 3 • 1012 эВ с неподвижным протоном) и на
встречных пучках.
8.61. Частица массой т\ сталкивается с покоящейся частицей с
массой т2. В результате столкновения рождается п частиц с масса¬
ми т'1,т'2,...,т'п. Определить минимальную кинетическую энергию
налетающей частицы, при которой возможна эта реакция.
8.62. До какой минимальной энергии необходимо разогнать
встречные протон-протонные пучки для того, чтобы могли рождаться
протон-антипротонные пары? (См. также задачу 8.47.)
8.63. Движущийся в космическом пространстве моноэнергетиче-
ский поток протонов встречается с ограниченной областью, в которой
существует магнитное поле. В результате некоторые протоны откло¬
няются на угол а = 60°, не меняя величины скорости. Определить
кинетическую энергию протонов, при которой в таких соударениях
могут рождаться протон-антипротонные пары.
8.64. При соударении нуклонов высокой энергии образовался ка¬
он К с импульсом р таким, что рс = 1,4ГэВ (с — скорость све¬
та). Определить длину пробега каона до распада. Собственное вре¬
мя жизни каона равно т0 = 1,24 • 10~8 с, энергия покоя ткс2 =
= 494 МэВ.
8.65. Релятивистская частица с энергией покоя S0 = 135 МэВ
распадается на два укванта с энергиями S\ = 90 МэВ и S2 =
= 202,5 МэВ (в лабораторной системе). Найти скорость исходной
частицы и угол между направлениями разлета уквантов (в лабо¬
раторной системе).
8.661 Показать, что свободный электрон в вакууме не может ни
поглощать, ни излучать фотоны, а лишь рассеивать их.
8.67. Частица с массой т и импульсом р: сталкивается с поко¬
ящейся частицей массой т2. Определить скорость системы центра
инерции относительно лабораторной системы отсчета.
8.68. При бомбардировке релятивистскими протонами тяжелых
ядер изотопа гелия 3Не суммарная полная энергия двух частиц в си¬
стеме их центра инерции равна S = 2уД>т?с2. Определить скорость
протонов в лабораторной системе отсчета.
ИЗ
8.69. При бомбардировке некоторых неподвижных ядер протона¬
ми, скорость которых равна V = (3/5)с, суммарная полная энергия
двух частиц в системе их центра инерции равна # = 3х/3трс2. Опре¬
делить, какие ядра подвергаются бомбардировке.
8.70. Две частицы с одинаковыми массами т = 0,5 МэВ и ки¬
нетическими энергиями К = 5 МэВ движутся вдоль одной прямой
навстречу друг другу. После упругого столкновения первая частица
изменила направление своего движения на 90°. Определить угол от¬
клонения второй частицы после столкновения в системе отсчета, где
первая частица покоилась до столкновения.
8.71. Найти скорость электрона, имеющего кинетическую энер¬
гию, равную: 1) 1 эВ; 2) 1 МэВ.
8.72. Частица массой mi = 3m0 с импульсом р1 = 4т0с, движу¬
щаяся вдоль оси х, сталкивается с частицей массой т2 = 4т0 с им¬
пульсом р2 = 3т0с, движущейся вдоль оси у (с — скорость света).
Определить скорость центра инерции системы Пц и и направление
его движения (тангенс угла а с осью х).
8.73. Частица массой тг = 8то0 движется вдоль оси х, а частица
массой т2 = 6т0 вдоль оси у. Энергии обеих частиц одинаковы и
равны <S\ = #2 = 10m0c2 (с — скорость света). Определить скорость
центра инерции системы V и направление его движения (тангенс
угла а. с осью х).
8.74. Выразить ускорение а релятивистской частицы через ее мас¬
су т, скорость v и действующую на нее силу F в случаях:
а) скорость частицы изменяется только по направлению, т. е. сила
направлена перпендикулярно скорости (F±v);
б) скорость частицы меняется только по величине, т. е. направлена
по скорости (F||v).
8.75. Частица массой т начинает двигаться под действием посто¬
янной по величине и направлению силы F. Определить расстояние,
пройденное частицей за время, за которое скорость частицы достиг¬
нет значения v = 0,8с.
8.76? Частица массой т начинает двигаться под действием посто¬
янной по величине и направлению силы F. Определить, через какое
время по собственным часам частица достигнет скорости v = 0,8с.
Указание. / i dx „ = \ In | f х + const, если х < 1.
J 1 - х2 2 1 — х
8.77. Близнецы Петр и Павел расстались в тот день, когда им
исполнилось по 21 году. Петр отправился в направлении оси ж на 7
лет своего времени со скоростью 24/25 скорости света, после чего
сменил скорость на обратную и за 7 лет вернулся назад, тогда как
Павел оставался на Земле. Определить возраст близнецов в момент
их встречи.
8.78. От межпланетной станции удаляются в одном направлении
два космических корабля с различными скоростями. Скорость пер¬
114
вого корабля (ближнего к станции) составляет щ = 0,6с. Короткие
световые импульсы, отправляемые со станции с интервалом Т по
ее часам принимаются на первом корабле. В момент получения им¬
пульсов от станции с первого корабля отправляют свои импульсы на
второй корабль. Второй корабль получает эти импульсы одновремен¬
но с импульсами от станции через промежутки времени 3Т по своим
часам. Определить скорость и второго корабля относительно первого
и скорость станции v2.
8.79. Тонкий стержень пролетает с большой скоростью мимо мет¬
ки, помещенной в лабораторной системе отсчета К. Известно, что
промежуток времени прохождения концов стержня мимо метки со¬
ставил At = 3 нс в системе К и At' = 5 нс в системе отсчета К',
связанной со стержнем. Определить собственную длину стержня,
т. е. длину в системе К'.
8.80. Сквозь неподвижную в ТГ-системе отсчета трубку АВ дли¬
ной 10 пролетает стержень А'В', собственная длина которого равна
21а. Скорость стержня такова, что его длина в ТС-системе равна длине
трубки (/ = /0), и в некоторый момент стержень, пролетая сквозь
трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения стержня»
лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка, поэтому ясно, что
стержень (длиной 2/0) не поместится в трубке (длиной 10/2). Есть
ли здесь противоречие, и как его разрешить? («Парадокс» стержня и
трубки).*)
8.81. Приемник, находящийся в звездном корабле «Энтерпрайз» с
собственной длиной L0 = 18 м, получил сигналы, посланные из голо¬
вы и хвоста корабля, одновременно в момент, когда корабль пролетал
мимо неподвижного маяка. Разница между моментами времени, ко¬
гда были посланы сигналы из головы и хвоста, по часам маяка равна
т = 6 • 108 с. Определить место расположения приемника в системе от¬
счета корабля, если скорость корабля v = 0,8с (с — скорость света).
8.82. Приемник, находящийся в звездном корабле «Энтерпрайз»
с собственной длиной L0 = 20 м, получил сигналы, посланные из го¬
ловы и хвоста корабля, одновременно в момент, когда корабль проле¬
тал мимо неподвижного маяка. Приемник расположен на расстоянии
ха = 8 м от хвоста в системе отсчета корабля. Определить разницу т
между моментами времени, когда были посланы сигналы из головы и
хвоста корабля по часам маяка, если скорость корабля v — 0,6с (с —
скорость света).
8.83. К небесному телу, движущемуся в направлении Земли, по¬
сылается мощный модулированный радиолокационный импульс. Ско¬
рость небесного тела (определенная по доплеровскому сдвигу часто¬
ты отраженного импульса) составляет v = 1,2 • 105 км/с. Оценить
*) Данная задача взята из книги И. Е. Иродов. Основные законы механики. —
М.: Высшая школа, 1985.
115
продольные размеры небесного тела, если максимальный разброс
времен прихода импульсов, отраженных от различных частей небес¬
ного тела, равен т = 4,1 мс.
8.84. Звездолет длиной L — 450 м, на носу и корме которого од¬
новременно вспыхивают навигационные огни, удаляется от Земли с
релятивистской скоростью. Какова скорость звездолета, если по на¬
блюдениям в телескоп с Земли навигационные огни вспыхивают не
одновременно, а через промежуток времени т = 2,0 мкс?
8.85. Приборы звездолета, дрейфующего с почти нулевой ско¬
ростью в окрестностях звезды Бетельгейзе, зафиксировали перио¬
дические электромагнитные импульсы, излучаемые пульсирующим
сгустком плазмы, вырвавшимся из звезды и движущимся по на-
"пявлению к звездолету со скоростью (31 = 0,4. Промежутки вре-
.„аи между импульсами по часам звездолета равны ту. Чтобы из¬
бежать столкновения, звездолет начал удалятся от звезды со ско¬
ростью |32 = 0,8 по линии движения сгустка. Какие промежут¬
ки времени т2 между импульсами стали регистрировать приборы
звездолета?
8.86. Приборы звездолета, дрейфующего с почти нулевой ско¬
ростью в окрестностях звезды Антарес, зафиксировали периодиче¬
ские электромагнитные импульсы, излучаемые пульсирующим сгуст¬
ком плазмы, вырвавшимся из звезды и движущимся по направ¬
лению к звездолету со скоростью (Зг = 0,2. Космонавты зафикси¬
ровали приходящее от сгустка излучение с частотой л/! (по ча¬
сам космонавтов). Чтобы лучше разглядеть сгусток, звездолет на¬
чал приближаться к звезде со скоростью (32 = 0,6 по линии движе¬
ния сгустка. Какую частоту излучения л/2 фиксируют теперь кос¬
монавты?
8.87. Отношение скоростей двух одинаковых релятивистских час¬
тиц, летящих в одном направлении, равно к = 7/3. Скорость центра
инерции системы из этих частиц (3 — v/c = 1/2. Определить скоро¬
сти частиц.
8.88. Отношение скоростей двух одинаковых релятивистских ча¬
стиц, летящих навстречу друг другу, равно к = —7/2. Скорость цен¬
тра инерции системы из этих частиц (3 = v/c = 1/2. Определить ско¬
рости частиц.
8.89. Две частицы движутся в перпендикулярных направлени¬
ях со скоростями |3i = 0,65 и |32 = 0,8. Определить скорость одной
частицы относительно другой.
8.90. Две частицы движутся в перпендикулярных направлениях
со скоростями (3i = 0,6 и (32 = 0,9. Определить угол 0 между скоро¬
стью второй частицы относительно первой и направлением скорости
первой частицы в лабораторной системе отсчета.
8.91. Скорость некоторой релятивистской частицы равна (31 =
= 3/5. Энергия другой частицы в а = 3 раза, а импульс в Ъ = 4 раза
больше, чем у первой. Найти отношение масс частиц m2/mi.
116
8.92. У одной из релятивистских частиц масса, скорость и энер¬
гия в р= 2, п = 2, е = 3 раза, соответственно, больше, чем у второй.
Определить скорости частиц.
8.93. Релятивистский пион падает в поле тяжести Земли. В неко¬
торый момент времени, когда скорость пиона составляет угол а = 30°
с направлением действующей на него силы, ускорение пиона состав¬
ляет с этой силой угол 45°. Определить скорость пиона.
8.94. Релятивистский пион падает в поле тяжести Земли. В неко¬
торый момент времени вектор ускорения мюона составляет угол а =
= 45° с направлением действующей на него силы. При какой мини¬
мальной скорости частицы это возможно?
8.951 Мюон движется в поле тяжести Земли. В некоторый момент
времени его скорость равна v = 0,95с, а величина нормального к
траектории ускорения частицы в п = 5 раз больше тангенциального.
Какой угол а составляет в этот момент направление скорости мюона
с направлением действующей на него силы?
8.96. Релятивистский протон движется в поле тяжести Земли.
В некоторый момент времени, когда скорость протона направлена
под углом а — 0,5 рад к направлению действующей на него силы,
величина нормального к траектории ускорения частицы в п = 4 раза
больше тангенциального. Определить скорость протона.
8.97. Пионы 7Т+ и 7Г° родились одновременно в ЛСО на рассто¬
янии L = 50hm друг от друга и двигаются навстречу друг другу
вдоль одной прямой со скоростями v1 = 0,6с и v2 — 0,8с. Времена
жизни неподвижных 7Т+ и 7Т°-пионов равны, соответственно, ту =
= 2,6 • 10“8 с и т2 = 8,7 • 10“17 с. Успеют ли пионы долететь друг до
друга до того, как распадется хотя бы один из них?
8.98. Пионы те0 и 7Т+ родились одновременно в ЛСО на рас¬
стоянии L = 6 нм друг от друга и двигаются в одном направлении
вдоль одной прямой со скоростями tii = 0,8с и v2 = 0,6с. Времена
жизни неподвижных те0 и 7Г+-ПИОНОВ равны, соответственно, ту =
= 8,7 • 1(Г17 с и т2 = 2,6 • 10-8 с. Успеет ли пион те0 догнать тс+ до
того, как распадется хотя бы один из них?
8.99. Электрон, кинетическая энергия которого в 2 раза больше
энергии покоя, рассеивает летящий навстречу у-квант, после чего
его кинетическая энергия становится в 3 раза больше энергии покоя.
Обе частицы после взаимодействия движутся по исходной прямой.
Определить отношение начальной энергии у-кванта к энергии покоя
электрона.
8.100. Электрон, кинетическая энергия которого равна энергии
покоя, рассеивает летящий навстречу ему у-квант, энергия которого
равна полной энергии электрона. После этого обе частицы движутся
вдоль исходной прямой. Определить отношение кинетической энер¬
гии электрона после рассеяния к его энергии покоя.
8.101. Протон с кинетической энергией, равной энергии покоя,
сталкивается с протоном, летящим перпендикулярно первому. При
117
какой кинетической энергии второго протона в таком столкновении
возможно рождение протон-антипротонной пары? Энергия покоя про¬
тона <о0 = 938 Мэв.
8.102. Два протона с одинаковыми кинетическими энергиями
сталкиваются под прямым углом. При каком значении кинетической
энергии протонов в таком столкновении возможно рождение протон-
антипротонной пары? Энергия покоя протона = 938 Мэв.
8.103. Пион, кинетическая энергия которого равна энергии по¬
коя, распадается на мюон и нейтрино, при этом нейтрино летит со
скоростью света в направлении обратном тому, в котором летел пион.
Определить отношение кинетической энергии образовавшегося мюо¬
на к его энергии покоя, если отношение масс пиона и мюона п — 1,32.
8.104. Омега-частица, кинетическая энергия которой в 2 раза
больше энергии покоя, распадается на кси-частицу и фотон, при этом
фотон летит в направлении обратном тому, в котором летела омега-
частица. Кинетическая энергия кси-частицы в 2,76 раза больше ее
энергии покоя. Определить из этих данных отношение масс частиц.
8.105. Нейтрон, летевший вдоль оси X со скоростью v =
= 2,6 • 108 м/с, после упругого столкновения с неподвижной части¬
цей полетел вдоль оси Y, причем его кинетическая энергия умень¬
шилась в 2 раза. С частицей какой массы столкнулся нейтрон?
8.106. Ядро 3Не, летевшее вдоль оси X, после упругого столкно¬
вения с неподвижной частицей полетело вдоль оси Y. После удара
кинетическая энергия ядра К\ = 0,25тнес2, а полная энергия неиз¬
вестной частицы — Si = 2,75тнес2. С частицей какой массы столк¬
нулось ядро гелия?
8.107. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной си¬
стеме в противоположные стороны по одной прямой со скоростями
|3Х = 1/5 и |32 = 5/7. Определить скорость частиц в той системе от¬
счета, в которой они будут двигаться в противоположные стороны с
одинаковой по величине скоростью.
8.108. Две релятивистские частицы движутся по одной прямой
со скоростью |30 = 3/5 относительно друг друга. Определить ско¬
рость частиц в той системе отсчета, в которой они будут двигаться
в противоположные стороны с одинаковой по величине скоростью.
8.109. Две одинаковые релятивистские частицы движутся по од¬
ной прямой.' Скорость одной из частиц (31 = 1/2, а модуль относи¬
тельной скорости частиц (30ТН = 7/8. Определить возможные значе¬
ния скорости второй частицы |32 и модуля скорости изменения рас¬
стояния между частицами в лабораторной системе отсчета \dL/dt\.
8.110. Две одинаковые релятивистские частицы движутся по од¬
ной прямой. Скорости частиц по модулю отличаются в 2 раза, а их
относительная скорость (30ТН = 7/8. Определить возможные значения
скоростей частиц и модуля скорости изменения расстояния между
частицами в лабораторной системе отсчета \dL/dt\.
118
§ 9. Плоское движение твердого тела
9.1. Вычислить момент инерции 1Х кругового конуса, радиус осно¬
вания которого R, высота L, масса М, относительно оси симметрии
ОХ. Вычислить также момент инерции конуса Iz относительно оси
OZ, перпендикулярной ОХ. Точка О — вершина конуса. Где нахо¬
дится центр масс С этого конуса?
9.2. Найти ускорение грузов и натяжение нитей в системе
(рис. 164), учитывая момент инерции / вращающегося блока, при
условии, что нить не скользит по блоку. Определить усилие в под¬
веске А, если масса блока равна М.
А
Lb
□
т{
Рис. 164
Рис. 165
Рис. 166
Рис. 167
9.3. Однородный цилиндр массой М и радиусом R (рис. 165)
вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием веса
груза Р, прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр.
Найти угол (р поворота цилиндра в зависимости от времени, если
при t — 0 (р = 0.
9.4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противо¬
положных направлениях две легкие нити, нагруженные массами ту
и т2 (рис. 166). Найти угловое ускорение
блока и натяжения Ту и Т2 нитей, учитывая
момент инерции I блока.
9.5. Схема демонстрационного прибора
(диск Максвелла) изображена на рис. 167.
На валик радиусом г наглухо насажен
сплошной диск радиусом R и массой М.
Валик и диск сделаны из одного матери¬
ала, причем выступающие из диска части
оси имеют массу т. К валику прикреплены
нити одинаковой длины, при помощи кото¬
рых прибор подвешивается к штативу. На
валик симметрично наматываются нити в
один ряд, благодаря чему диск поднимается. Затем диску предостав¬
ляют возможность свободно опускаться. Найти ускорение, с которым
опускается диск.
9.6. Диск Максвелла подвешен к чашкам весов (рис. 168) так,
что расстояния от диска до нитей равны а и 6. Система уравнове¬
Рис. 168
119
Рис. 169
шена при неподвижном диске. Определить, какой перегрузок нужно
дополнительно положить на весы, чтобы система оказалась уравнове¬
шенной при движении диска. Масса диска равна то, радиус инерции
диска — R, радиус валика — г. Массой валика пренебречь.
9.7* Когда диск Максвелла достигает нижнего положения, он на¬
чинает подниматься вверх, сообщая «рывок» нитям. С каким ускоре¬
нием поднимается диск? Найти натяжение нити во время опускания
и поднятия диска, а также оценить приближенно натяжение нити во
время рывка. Масса диска М = 1 кг, его радиус
R = 10 см, радиус валика г = 0,5 см. Массой ва¬
лика, а также растяжением нити во время рывка
пренебречь. Предполагается, что вначале диск
был подвешен на длинных нитях, причем длина
намотанной части каждой нити равна I = 50 см.
9.8. К шкиву креста Обербека (рис. 169) при¬
креплена нить, к которой подвешен груз мас¬
сой М = 1 кг. Груз опускается с высоты h — lu
до нижнего положения, а затем начинает подни¬
маться вверх. В это время происходит «рывок»,
т. е. увеличение натяжения нити. Найти натя¬
жение нити Т при опускании или поднятии гру¬
за, а также оценить приближенно натяжение во
время рывка Грыв. Радиус шкива г = 3 см. На
кресте укреплены четыре груза с массой то = 250 г каждый на рас¬
стоянии R = 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и
шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов. Растя¬
жение нити во время рывка не учитывать.
9.9. Концы нитей, навернутых на ось радиусом г диска Максвел¬
ла с моментом инерции / и массой М, привязаны к горизонтальной
штанге. Диск отпускают и, когда он начинает раскручиваться, тянут
штангу так, что диск остается все время на одной высоте. Определить
натяжение нитей и ускорение штанги. Подсчитать работу, которую
нужно затратить на перемещение штанги в процессе раскручивания
нитей на длину L.
9.ЮТ На горизонтальную неподвижную ось насажен блок, пред¬
ставляющий собой сплошной цилиндр массой М. Через него пере¬
кинута невесомая веревка, на концах которой висят две обезьяны
массой то каждая. Первая обезьяна начинает подниматься с ускоре¬
нием а относительно веревки. Определить, с каким ускорением от¬
носительно неподвижной системы координат будет двигаться вторая
обезьяна.
9.11. На тяжелый барабан, вращающийся вокруг горизонтальной
оси, намотан легкий гибкий шнур. По шнуру лезет вверх мартышка
массой М. Определить ее ускорение относительно шнура, если ее
скорость относительно земли постоянна. Момент инерции барабана
равен I, его радиус R.
120
9Л2*. На двух параллельных горизонтальных брусьях лежит
сплошной цилиндр радиусом 7? и массой т, на который намотана
веревка. К опущенному вниз концу веревки приложена вертикальная
сила F, равная половине веса цилиндра (рис. 170). Найти горизон¬
тальное ускорение цилиндра и минимальное значение коэффициента
трения между цилиндром и брусьями,
при котором будет происходить качение
без скольжения. Ось цилиндра перпен¬
дикулярна к брусьям, центр его масс
и сила F лежат в вертикальной плос¬
кости, проходящей посередине между
брусьями.
9.13Т К концу веревки, намотан¬
ной на цилиндр (см. условие преды¬
дущей задачи) привязан груз массой
М. Веревка переброшена через блок
(рис. 171). Определить ускорение гру¬
за М. Выяснить условия, при которых качение цилиндра будет про¬
исходить со скольжением. Массой веревки и блока, а также силами
трения на оси блока можно пренебречь. Считать, что во всех случаях
движение цилиндра будет плоскопараллельным.
9.14. На дифференциальный блок (масса М, радиусы R и г =
= 0,57?) намотана нить (рис. 172). На нити подвешен невесомый
блок с грузом массой m = 0,8М. Дифференциальный блок катит¬
ся без скольжения по горизонтальным рельсам. Найти ускорения
груза и блока. Радиус инерции блока рин связан с R соотношением
Рин = 0,37?2.
Рис. 171
Рис. 172
Рис. 173
9.15. Цилиндр радиусом R имеет выступающие оси радиусом г.
На цилиндр намотана нить, перекинутая через неподвижный невесо¬
мый блок, и к ее концу привязан груз массой т. Оси цилиндра по¬
ложены на горизонтальные рельсы (рис. 173). Определить ускорение
цилиндра в двух случаях: а) ось катится по рельсам без проскаль¬
зывания; б) трения между рельсами и осью нет. Момент инерции
цилиндра вместе с осями равен 7, масса — М.
9.16. Определить максимальную линейную скорость точки на по¬
верхности электрона в классической (и неверной) модели, предпола¬
121
гая, что масса электрона т = 9,8 • 10~28 г однородно заполняет сфе¬
ру радиусом г0 = е2/(тс2) = 2,8 • 10-13 см. Собственный момент им¬
пульса электрона (спин) равен hj2, где h = 1,05 • 1СГ27 г • см2/с —
постоянная Планка.
9.17. Вертикальный цилиндрический ротор с моментом инерции
I приводится во вращение приложенным к нему моментом сил М.
Найти, как изменяется при движении угловая скорость ротора а>Д),
если со(0) = 0, а момент сил сопротивления воздуха пропорциона¬
лен угловой скорости с коэффициентом пропорциональности к. Чему
равна установившаяся угловая скорость?
9.18. Найти момент импульса Земли L относительно ее поляр¬
ной оси. Считать Землю правильным шаром радиусом R = 6000 км,
имеющим плотность d = 5,5 г/см3.
9.19. Какой момент сил следует приложить к Земле, чтобы ее вра¬
щение остановилось через 100000000 лет (год — 365,25 «звездных»
суток)?
9.20. На сплошной цилиндр массой т намотана тонкая невесомая
нить. Другой конец прикреплен к потолку лифта, движущегося вверх
с ускорением о. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и
силу натяжения нити.
9.21. Монета массой т и радиусом г, вращаясь в горизонтальной
плоскости вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью со,
вертикально падает на горизонтальный диск и «прилипает» к нему. В
результате диск приходит во вращение вокруг своей оси. Возникаю¬
щий при этом момент сил трения в оси диска постоянен и равен М0.
Через какое время вращение диска прекратится? Сколько оборотов
N сделает диск до полной остановки? Момент инерции диска отно¬
сительно его геометрической оси /0. Расстояние между осями диска
и монеты равно d.
9.22. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг геометриче¬
ской оси с угловой скоростью a>i, падает другой диск, вращающий¬
ся вокруг той же оси с угловой скоростью а>2. Моменты инерции
дисков относительно указанной оси равны соответственно Д и /2.
Оба диска при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых
шипов на их поверхностях). На сколько изменится общая кинетиче¬
ская энергия вращения системы после падения второго диска? Чем
объясняется-изменение энергии? Геометрические оси обоих дисков
являются продолжением одна другой.
9.23. Сплошной однородный короткий цилиндр радиусом г, вра¬
щающийся вокруг своей геометрической оси со скоростью п об/с,
ставят в вертикальном положении на горизонтальную поверхность.
Сколько оборотов N сделает цилиндр, прежде чем вращение его пол¬
ностью прекратится? Коэффициент трения скольжения между осно¬
ванием цилиндра и поверхностью, на которую он поставлен, не за¬
висит от скорости вращения и равен к.
122
9.24. К боковой поверхности вертикально расположенного сплош¬
ного цилиндра массой М, радиусом R и высотой Н прикреплена
трубка, согнутая в виде одного витка спирали, по которой может
скользить без трения шарик массой т (рис. 174). Цилиндр может
вращаться вокруг своей оси. Шарик опускают в верх¬
нее отверстие трубки без начальной скорости. Най¬
ти скорость шарика после вылета из нижнего конца
трубки. Массой трубки и трением в оси пренебречь.
Считать, что 2nR = Н, а масса шарика т = М/4.
9.251 Легкий желоб свернут в виде вертикальной
цилиндрической спирали радиусом R, которая может
свободно вращаться около вертикальной оси симмет¬
рии (рис. 175). Витки спирали наклонены к горизонту
под углом (р = 7т/4. По желобу скользит без трения
тело массой то. Какую скорость приобретет тело в
конце спирального спуска, опустившись с высоты h, если скольже¬
ние началось без начальной скорости? Считать массу желоба равной
массе тела. Какова будет угловая скорость вращения желоба?
9.26. Через плотно навитый змеевик (рис. 176) (по часовой стрел¬
ке, если смотреть сверху) с N витками, который может свободно
вращаться в подшипниках, проливается цг/с воды. Масса змеевика
М, а воды в нем — т0. Как будет двигаться змеевик? Кран закры¬
вают. Сколько еще оборотов и в какую сторону совершит змеевик
до полного вытекания воды? Как он будет двигаться после этого?
Проанализировать случаи то0 <СМ и то0 М.
та
н
¥
Рис. 174
9.27. Раскрученный до п = 1000 об/мин стальной диск радиу¬
сом R1 = 10 см опускается на первоначально покоившийся стальной
диск радиусом R2 = 20 см (рис. 177). Какова энергия Q, перешедшая
в тепло во время проскальзывания дисков друг относительно друга?
Толщина дисков di = 1 см, d2 = 2 см. Моментом инерции оси и тре¬
нием в подшипниках пренебречь. Плотность стали р = 7,8 г/см~3.
9.28. Карусель представляет собой однородный массивный диск
массой М0, вращающийся без трения вокруг вертикальной оси. В мо¬
мент времени t = 0, когда угловая скорость карусели достигает зна¬
чения о>о, выключается мотор, вращающий карусель. С этого же мо¬
123
мента карусель начинает равномерно покрываться снегом, падающим
в вертикальном направлении. Определить скорость вращения карусе¬
ли си в произвольный момент времени t, если ежесекундное прираще¬
ние массы снега на карусели равно ц. Как изменится результат, если
на карусели находится человек, который непрерывно сгребает лопа¬
той весь падающий снег к периферии и сбрасывает его в радиальном
направлении? Масса человека гораздо меньше массы карусели.
9.29. На краях массивной подставки, которая может вращать¬
ся без трения вокруг вертикальной оси (рис. 178), укреплены два
одинаковых цилиндрических сосуда ради¬
усом г и высотой Н. В нижней части каж¬
дого из сосудов имеется небольшое отвер¬
стие. Отверстия закрыты пробками. Сосу¬
ды наполняют жидкостью плотностью р. В
момент t = О вынимают обе пробки. Найти
максимальную угловую скорость, которую
приобретает подставка, считая, что Н 3> г
и I 3> 2пг2НрР, где / — момент инерции
подставки вместе с сосудами относитель¬
но оси вращения. Внутренним трением в
жидкости пренебречь. Расстояние между
сосудами равно 21.
9.30. Вертикально расположенный ци¬
линдр радиусом г может вращаться вокруг
своей оси. Цилиндр имеет на боковой по¬
верхности винтовой желоб, составляющий угол (р с горизонтом. В
желоб вложен небольшой шарик массой то, который без трения
скользит по желобу. Найти движение системы под действием си¬
лы тяжести. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения
равен I.
9.31. Вертикальная винтовая шпилька длиной L может вращать¬
ся без трения вокруг своей оси. Найти время, за которое со шпиль¬
ки свинтится гайка, если она начинает двигаться из верхней точки
шпильки без начальной скорости. Шаг резьбы равен h, момент инер¬
ции шпильки — /ь гайки — /2, масса гайки равна то. Трением в
резьбе пренебречь.
9.32. На краю свободно вращающегося достаточно большого го¬
ризонтального диска, имеющего радиус R и момент инерции I, стоит
человек массой то. Диск совершает п об/мин. Как изменится ско¬
рость вращения диска, если человек перейдет от края диска к цен¬
тру? Как изменится при этом энергия системы? Размерами человека
по сравнению с радиусом диска можно пренебречь.
9.33. На покоящемся однородном горизонтальном диске массой
М и радиусом R находится человек массой то. Диск может вращать¬
ся без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.
В некоторый момент человек начал двигаться. С какой угловой скоро¬
Рис. 178
124
стью w вращается диск, когда человек идет по окружности радиусом
г, концентричной диску, со скоростью v относительно диска?
9.34. Однородный диск А массой Мг и радиусом гх (рис. 179)
раскручен до угловой скорости со0 и приведен в контакт с диском В,
ось вращения которого перпендикуляр¬
на к оси диска А. Масса диска В рав¬
на М2, а расстояние между точкой со¬
прикосновения и осью диска А равно
га. Найти установившиеся угловые ско¬
рости дисков о>1 и о>2 и потерю энер¬
гии в процессе установления. Трением
в осях, а также трением качения пре¬
небречь.
9.35. На горизонтально располо¬
женный тонкий стержень надето коль¬
цо, которое может перемещаться вдоль
стержня (рис. 180). Стержень вращается при помощи электродвига¬
теля вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со.
В начальный момент времени кольцо находилось на расстоянии г0
от оси вращения и двигалось в направлении от оси со скоростью
v0 относительно стержня. Сила трения между кольцом и стержнем
такова, что на перемещение кольца электродвигатель затрачивает по¬
стоянную мощность. На каком расстоянии от оси вращения скорость
кольца относительно стержня изменится в 2 раза?
9.36. На горизонтальном вращающемся диске стоит цилиндр.
При какой угловой скорости со цилиндр свалится с диска, если рас-
Рис. 180 Рис. 181 Рис. 182
стояние между осями диска и цилиндра R, а коэффициент трения
к > D/h, где D — диаметр цилиндра, ah — его высота (рис. 181).
9.37. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. С ка¬
ким ускорением а будет двигаться ось катушки, если тянуть за нитку
с силой F (рис. 182)? Каким образом надо тянуть за нитку для то¬
го, чтобы катушка двигалась в сторону натянутой нитки? Катушка
движется по поверхности стола без скольжения. Найти силу трения
между катушкой и столом.
9.38. Катушка с ниткой находится на наклонной плоскости. Сво¬
бодный конец нити прикреплен к стене так, что нитка параллель¬
125
на наклонной плоскости (рис. 183). Определить ускорение, с кото¬
рым катушка движется по наклонной плоскости. Масса катушки то,
момент инерции катушки относительно ее оси 10,
коэффициент трения катушки с наклонной плос¬
костью к.
9.39. Определить ускорение, с которым катуш¬
ка движется по наклонной плоскости в условиях
предыдущей задачи, если нить намотана на ка¬
тушку так, как указано на рис. 184.
9.40. Горизонтальный диск может вращаться
вокруг вертикальной оси, закрепленной в подшип¬
никах. На расстоянии R от центра диска находит¬
ся пушка, жестко скрепленная с диском. Из пушки стреляют в го¬
ризонтальном направлении так, что снаряд после выстрела летит со
скоростью v под углом ос к линии, соединяющей центр диска с пуш¬
кой в момент выстрела. Через какое время после выстрела диск оста¬
новится, если тормозящий момент в подшипниках равен М? Масса
снаряда равна то.
9.41. На корме лодки укреплен подвесной мотор. Основную часть
массы мотора то составляет масса маховика — сплошного цилиндра
радиусом г, так что весом остальных частей мото¬
ра можно пренебречь. Как движется лодка после
того, как мотор внезапно заглох, если до этого он
делал п0 оборотов в минуту, а скорость лодки бы¬
ла нм/с? Принять, что лодка имеет форму прямо¬
угольника длиной 21, шириной 2d, массой М. Ось
мотора вертикальна.
9.42t Сплошной цилиндр, ось которого гори¬
зонтальна, движется без вращения по гладкой го¬
ризонтальной плоскости в направлении, перпенди¬
кулярном к его оси. В некоторый момент цилиндр достигает грани¬
цы, где поверхность становится шероховатой и возникает постоянная
(не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а трение каче¬
ния отсутствует. Каково будет движение цилиндра после перехода
границы? Как распределится кинетическая энергия поступательного
движения цилиндра?
9.43. Сплошному однородному шару радиусом г в начальный
момент времени сообщается либо поступательная скорость v0 без
вращения (случай а), либо он закручивается вокруг горизонтально¬
го диаметра с угловой скоростью щ и ставится на горизонтальную
плоскость без сообщения ему поступательного движения (случай б).
Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, най¬
ти в обоих случаях линейную скорость v центра шара и его угло¬
вую скорость си, когда движение шара перейдет в чистое качение.
Определить также потерю кинетической энергии на трение в обоих
случаях.
126
7//77г/777у;;//777>////////;;/.
Рис. 186
9.44. Обруч радиусом г0 скатился без скольжения с горки высоты
Ат0. Пренебрегая потерями на трение, найти скорости и ускорения
точек А и В на ободе (рис. 185).
9.45. Сплошному цилиндру радиусом R = 10 см и веса Р сообще¬
но вращение вокруг своей оси с частотой п— 10об/с. Вращающий¬
ся цилиндр кладут на горизонтальную плос¬
кость и предоставляют самому себе. Он на¬
чинает двигаться по плоскости, причем ко¬
эффициент трения скольжения между ци¬
линдром и плоскостью равен ОД. Опреде¬
лить, через какое время Т движение цилин¬
дра перейдет в чистое качение без сколь¬
жения. Сила трения скольжения предпола¬
гается не зависящей от скорости, а трение качения отсутствует.
Какое ускорение будет иметь цилиндр при t > Г?
9.46. Вращающийся с угловой скоростью ш0 сплошной однород¬
ный цилиндр массой т1 ставится без начальной поступательной ско¬
рости на длинную доску массой т2, лежа¬
щую на гладкой горизонтальной плоскости.
Начальная скорость доски равна нулю. Пре¬
небрегая силой трения качения, но учитывая
трение скольжения между доской и цилин¬
дром, найти угловую скорость вращения ци¬
линдра после того, как его движение перейдет в чистое качение.
Доска предполагается настолько длинной, что чистое качение успе¬
вает установиться до того, как цилиндр скатится с нее.
9.47. Доска массой М (рис. 186) лежит на
двух одинаковых цилиндрических катках мас¬
сой т каждый. Доску начинают толкать в го¬
ризонтальном направлении с силой F, и систе¬
ма приходит в движение так, что проскальзы¬
вание доски по каткам и катков по поверхно¬
сти отсутствует. Определить ускорение доски.
9.48. На шероховатой доске на расстоянии I от ее правого кон¬
ца находится сплошной цилиндр (рис. 187). Доску начинают дви¬
гать с ускорением а0 влево. С какой скоростью относительно дос¬
ки будет двигаться центр цилиндра в тот момент, когда он будет
находиться над краем доски? Движение
цилиндра относительно доски происходит
без скольжения.
9.49. Сплошной шар массой М катит¬
ся по горизонтальной плоскости слева на¬
право со скоростью v0 и попадает на лен¬
ту горизонтального транспортера, перемещающуюся ему навстречу
с той же скоростью v0 (рис. 188). Определить направление и зна¬
чение абсолютной скорости шара после того, как проскальзывание
Рис. 187
Чо
777777777777
Рис. 188
<РГ
127
прекратится. Определить также количество тепла Q, выделившегося
за время проскальзывания. Трением качения пренебречь.
9.50. С колеса движущегося автомобиля соскакивает декоратив¬
ный колпак, который, попрыгав по дороге, начинает катиться сразу
без скольжения. При какой скорости автомобиля vQ это возможно?
Радиус колеса R = 40 см, колпак можно рассматривать как однород¬
ный диск радиусом г = 20 см, коэффициент трения между колпаком
и дорогой к — 0,2.
9.51. Длинная тонкая доска лежит на гладком столе вплотную
к гладкой стене. По доске без проскальзывания катится сплош¬
ной однородный цилиндр в направлении перпендикулярном стене
(рис. 189). Цилиндр абсолютно упруго ударяется о стену. Определить
долю первоначальной кинетической энергии, перешедшей в тепло при
трении между цилиндром и доской к моменту, ко¬
гда цилиндр скатится с доски. Масса цилиндра
равна половине массы доски. Трение качения не
учитывать.
9.52. Самолет массой М = 104 кг совершает
посадку, имея вначале скорость v0 = 200 км/ч.
При посадке он касается посадочной дорожки
двумя колесами, могущими свободно вращаться вокруг своих осей.
Перед посадкой колеса были неподвижны. Пренебрегая сопротивле¬
нием воздуха, определить скорость самолета в момент, когда колеса
начнут катиться по дорожке без проскальзывания. Радиус каждого
колеса г = 1 м, момент инерции колеса относительно геометрической
оси / = 100 кг • м2.
9.53. Сплошной цилиндр массой т и радиусом г, раскрученный
до угловой скорости ш0, кладут на горизонтальную плоскость. Меж¬
ду плоскостью и цилиндром возникает сила вязкого трения, пропор¬
циональная скорости нижней точки цилиндра. Пренебрегая сухим
трением и трением качения, найти угловую скорость цилиндра и ско¬
рость его центра масс при t —> сю, а также потери энергии на трение.
9.54. Однородный шар радиусом г, вращающийся с угловой ско¬
ростью о>0, положен на горизонтальную плоскость так, что ось его
вращения наклонена под углом ср к вертикали. Определить скорость
шара и угловую скорость его вращения, которые устанавливаются
после того, как проскальзывание шара по плоскости прекратится.
Трением качения пренебречь.
9.55. На горизонтальной платформе, совершающей крутильные
колебания <р = (p0sinQl, находится диск радиусом R, ось которого
совпадает с осью платформы. При какой амплитуде колебаний (ртах
начнется проскальзывание, если коэффициент трения равен к?
9.56. Цилиндр радиусом г скатывается с неподвижного цилин¬
дра радиусом R (рис. 190). Оси цилиндров параллельны, сила тяжес¬
ти перпендикулярна к ним. Коэффициент трения скольжения меж¬
ду цилиндрами к = 0,07. Определить, при каком угле а начнется
Рис. 189
128
проскальзывание между цилиндрами, если в начальный момент по¬
движный цилиндр находился в наивысшем положении и не имел
начальной скорости.
9.57. Шарик сначала лежит на столе так, что его центр С нахо¬
дится над самым краем, затем начинает падать, поворачиваясь вокруг
края стола (точка А на рис. 191). Найти коэффициент трения сколь¬
жения к, если шарик начинает проскальзывать после поворота на
угол (р = 30°.
9.58. По горизонтальной плоскости АВ катится без проскальзы¬
вания со скоростью v0 бревно радиусом г. С плоскости АВ бревно
переходит на наклоненную под углом ос плоскость ВС (рис. 192). При
каких значениях угла наклона ос бревно,
переходя на ВС, не будет делать скач¬
ка? Считать коэффициент трения сколь¬
жения в точке В достаточным, чтобы не
было проскальзывания.
9.59. По наклонной плоскости, со¬
ставляющей с горизонтом угол ос = 30°,
скатывается без скольжения сплошной
однородный ци- линдр, масса которого
равна 300 г. Найти величину силы тре¬
ния цилиндра о плоскость.
9.60. Определить ускорение а центра
шарика, скатывающегося без скольжения по двум наклонным жело¬
бам, образующим угол а с горизонтом. Форма поперечных сечений
желобов изображена на рис. 193.
9.61. С какой высоты Н должен скатиться по наклонному желобу
шарик с радиусом инерции р, для того чтобы он смог без скольжения
описать мертвую петлю по желобу радиусом R? Радиусом шарика г
по сравнению с R пренебречь.
9.62. Цилиндр или шар радиусом г катится по плоскости, накло¬
ненной под углом а к горизонту. Определить, при каком значении
угла ос начинается качение со скольжением, если коэффициент тре¬
ния скольжения между катящимся телом и плоскостью равен к.
9.63? Вращающийся с угловой скоростью о>0 сплошной однород¬
ный цилиндр радиусом г ставится без начальной поступательной ско¬
рости у основания наклонной плоскости, образующей угол ос с гори¬
Рис. 193
129
зонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить
время t, в течение которого цилиндр достигает наивысшего поло¬
жения на наклонной плоскости. Определить также время обратного
скатывания t' к основанию наклонной плоскости, если коэффициент
трения скольжения равен к.
9.64. Считая в предыдущей задаче коэффициент трения сколь¬
жения к цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным,
определить: 1) ускорение цилиндра аь когда качение происходит со
скольжением; 2) время t\, по истечении которого наступает чистое
качение; 3) высоту Я/, которой достигает цилиндр, прежде чем на¬
чинается чистое качение; 4) ускорение а2 при чистом качении; 5) до¬
полнительную высоту Н2, на которую поднимется цилиндр при чи¬
стом качении; 6) полную высоту поднятия Н; 7) время обратного
скатывания цилиндра вниз t'. Предполагается, что к > tga.
9.65. Найти ускорение а центра однородного шара, скатывающе¬
гося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол a
с горизонтом. Чему равна сила трения скольжения между шаром и
плоскостью?
9.66. Вращающийся с угловой скоростью со0 сплошной однород¬
ный цилиндр ставится у основания наклонной плоскости, образую¬
щей угол а с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться
вверх. Известно, что время подъема цилиндра до наивысшего поло¬
жения составляет 4/3 времени обратного скатывания из этого поло¬
жения до основания плоскости. Найти угловую скорость вращения
цилиндра в момент времени, когда он вновь достигает основания
наклонной плоскости, а также часть первоначальной кинетической
энергии цилиндра, потерянную на трение, если скатывание происхо¬
дит без скольжения. Когда уменьшается полная энергия: при скаты¬
вании или при подъеме?
9.67. Какова скорость центра масс цилиндра в условиях преды¬
дущей задачи, если в начальный момент времени угловая скорость
цилиндра равна 0, а поступательная скорость равна v0 и направлена
вдоль наклонной плоскости? Найти часть первоначальной энергии,
потерянной на трение.
9.68. Однородный цилиндр массой то скатывается без скольже¬
ния с наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом. На¬
клонная плоскость установлена в лифте, двигающемся с ускорени¬
ем а. Найти величину силы трения и ускорение цилиндра относи¬
тельно лифта.
9.69. Однородный цилиндр массой то и радиусом R скатывается
без проскальзывания с наклонной плоскости клина с углом (р при
основании. Клин имеет массу М и может скользит без трения по го¬
ризонтальной поверхности. Скорость цилиндра относительно клина
в конце спуска равна v. Найти длину пути, пройденную цилиндром
по клину.
130
Рис. 194
9.70. Сплошной цилиндр радиусом г = 5 см ставится на плос¬
кость, наклоненную к горизонту под углом 45°. Определить время,
через которое цилиндр опустится на 1 м по вертикали, и угловую ско¬
рость его вращения в этот момент. Коэффициент трения цилиндра о
плоскость к = 0,2, сила трения не зависит от
скорости проскальзывания, трением качения
пренебречь.
9.71. С шероховатой наклонной плоскости,
образующей угол а с горизонтом, скатываются
без проскальзывания два цилиндра, имеющие
одинаковую массу т и один и тот же радиус
(рис. 194). Один из них сплошной, другой — полый, тонкостенный.
Коэффициент трения между цилиндрами к. Как следует расположить
полый цилиндр — впереди сплошного или за ним, чтобы цилиндры
скатывались вместе? Найти ускорение а цилиндров и силу давления
N одного на другой.
9.72. Полый цилиндр радиусом R и мас¬
сой М, внутри которого находится сплош¬
ной цилиндр радиусом г = 0,5R и массой
т, скатывается без скольжения с наклон¬
ной плоскости, образующей угол ос с гори¬
зонтом. Внутренний цилиндр катится по по¬
верхности внешнего также без скольжения.
Начальные скорости обоих цилиндров равны
нулю. Определить ускорение системы.
9.73. Шарик радиусом г скатывается без
начальной скорости и без скольжения по по¬
верхности сферы из самого верхнего положе¬
ния А (рис. 195). Определить точку, в кото¬
рой он оторвется от сферы и начнет свободно
двигаться под действием силы тяжести.
9.74. С высоты 2R по же-
лобу катится без проскальзы- г
вания бильярдный шар, ради¬
ус которого меньше радиуса R
петли, образованной желобом
(рис. 196). На какой высоте h
шар оторвется от желоба? На
какую высоту Н он поднимется
после отрыва? (См. также зада¬
чу 4.39.)
9.75. Обруч радиусом R бросают вперед со скоростью v0 и со¬
общают ему одновременно угловую скорость со0. Определить мини¬
мальное значение угловой скорости comin, при котором обруч после
движения с проскальзыванием покатится назад. Найти значение ко¬
нечной скорости v, если со0 > comin. Трением качения пренебречь.
131
Рис. 197
9.76. По поверхности большого полого цилиндра, лежащего на
горизонтальной плоскости, начинает бежать собака массой т в на¬
правлении к наивысшей точке А и притом так, что она все время
находится на одном и том же расстоянии от этой точки (рис. 197).
В результате цилиндр начинает катиться по го¬
ризонтальной плоскости без скольжения. Мас¬
са цилиндра М, а угол АОВ равен а. Опреде¬
лить: 1) ускорение оси цилиндра а; 2) силу тре¬
ния FTр между цилиндром и плоскостью во время
качения; 3) время t, в течение которого собака
способна оставаться на указанном расстоянии от
точки А, если максимальная полезная мощность,
которую она способна развить, равна Nmax. Ка¬
кая при этом будет достигнута максимальная ско¬
рость цП1ах поступательного движения цилиндра? (Полезной мощно¬
стью здесь называется мощность, которая затрачивается собакой на
увеличение кинетической энергии системы.)
9.77* По наклонной плоскости, образующей угол а с горизон¬
том, скатывается массивный полый цилиндр массой т и радиусом г
(рис. 198). По поверхности цилиндра бежит собака таким образом,
что она все время занимает наивысшее положение на поверхности
цилиндра. Определить, с каким ускорением а ска¬
тывается цилиндр, если масса собаки т1.
9.78. Шар массой т катится без скольжения
и сталкивается с покоящимся шаром массой М.
Удар центральный, упругий, трение между шара¬
ми отсутствует. При каком отношении масс х =
= М/т шар массой т в конечном итоге оста¬
новится? Какая часть энергии шаров перейдет в
тепло? Трение качения отсутствует.
9.79. Бильярдный шар катится без скольже¬
ния по горизонтальной плоскости со скоростью v и ударяется в по¬
коящийся такой же бильярдный шар, причем линия центров парал¬
лельна скорости движения. Определить скорости обоих шаров после
того, как их движение перейдет в чистое качение. Какая доля перво¬
начальной кинетической энергии перейдет в тепло? Считать, что при
столкновении шаров передачи вращательного движения не происхо¬
дит. Потерей энергии на трение при чистом качении пренебречь.
9.80. Мяч (тонкостенная сфера) движется вниз по плоской ледя¬
ной горке. После несложных измерений было определено, что, начав
движение из состояния покоя с высоты h = 1 м, мяч в конце горки
набирает скорость к = 4 м/с. Рассчитать угловую скорость мяча в
конце спуска. Мяч считать недеформируемым с радиусом г = 5 см.
Коэффициент трения вдоль горки не меняется.
9.81. На легкоатлетических соревнованиях брошенное спортсме¬
ном ядро возвращают к месту толкания по прямолинейному наклон¬
132
ному желобу. Было замечено, что на зимних соревнованиях, когда
желоб покрыт ровной ледяной корочкой, ядро затрачивает на возвра¬
щение на 10% меньше времени, чем летом, когда оно скатывается по
желобу без проскальзывания. Когда ядро в конце спуска вращается
быстрее — летом или зимой? Каким при этом является отношение уг¬
ловых скоростей а>л/а>3? Ядро ставится в верхнюю точку желоба без
начальной скорости. Считать, что коэффициент трения скольжения
вдоль желоба не меняется.
9.82. По шарику массой т, радиусом г, лежащему на горизон¬
тальном столе, наносится короткий горизонтальный удар, сообща¬
ющий ему импульс р. Высота удара над центром равна кг (к ^ 1).
Найти кинетическую энергию поступательного и вращательного дви¬
жения шарика. При каком значении к шарик покатится без скольже¬
ния? Действием силы трения во время удара пренебречь.
9.83. Тонкостенный цилиндр катится без скольжения со скоро¬
стью v по шероховатой поверхности и абсолютно упруго сталкива¬
ется с таким же неподвижным цилиндром. Передачи вращения при
ударе не происходит. Какое расстояние будет между цилиндрами, ко¬
гда они начнут катиться без проскальзывания? Коэффициент трения
скольжения равен к.
9.84. Два одинаковых тонкостенных цилиндра катятся навстречу
друг другу с одинаковыми скоростями v и сталкиваются абсолютно
упругим образом. Передачи вращения при ударе не происходит. На
каком расстоянии друг от друга цилиндры остановятся? Коэффици¬
ент трения скольжения равен к.
9.85. На горизонтальной поверхности лежит деревянный шар
массой М. Дробинка массой т летит в горизонтальном направлении,
попадает в шар и застревает в его центре. Через некоторое время шар
начинает катиться без проскальзывания со скоростью V. Определить
начальную скорость v0 дробинки. Размеры дробинки ничтожно малы
по сравнению с радиусом шара.
9.86. Большой однородный свинцовый шар массой М лежит на
плоской горизонтальной поверхности. Небольшая пуля массой т вы¬
пущена из ружья горизонтально со скоростью V в направлении к
центру шара. После выстрела пуля застревает внутри шара. Опре¬
делить линейную скорость шара v после того, как его движение
перейдет в чистое качение. При рассмотрении движения шара после
удара считать его однородным, пренебрегая массой застрявшей пули.
Трением качения пренебречь.
9.87. Пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v0,
попадает в покоящийся на горизонтальном столе деревянный шар
массой М и радиусом R на расстоянии h ниже центра шара и за¬
стревает в нем. Найти установившуюся скорость шара v. Считать,
что т <С М.
9.88. Шар радиусом R, раскрученный вокруг горизонтальной оси
до угловой скорости а>0, кладут на шероховатый стол и толкают го¬
133
ризонтально на высоте h (h < R) от стола (рис. 199) так, что шар
приобретает поступательную скорость v0 в направлении, перпенди¬
кулярном оси вращения. При какой угловой скорости о>0 шар через
некоторое время после начала движения
начнет двигаться в обратную сторону?
9.89. Пуля массой т, летящая горизон¬
тально со скоростью v0, попадает в покоя¬
щийся на горизонтальном столе металличе¬
ский шар массой М и радиусом R на рас¬
стоянии R/2 выше центра шара и рикоше¬
том отскакивает от него вертикально вверх
(рис. 200). Спустя некоторое время движение шара по столу пере¬
ходит в равномерное качение со скоростью щ. Определить скорость
пули после удара по шару.
9.90. В лежащий на столе шар радиусом R и массой М попадает
пуля массой т, летящая со скоростью ц0 и вращающаяся вокруг
своей оси с угловой скоростью со0. Ради¬
ус инерции пули равен г. Пуля застревает
в центре шара. Найти энергию АЕ, поте¬
рянную при проникновении пули в шар.
За время проникновения пули шар не сме¬
щается.
9.91. Шар, катящийся без скольже¬
ния по бильярдному столу со скоростью
v0, перпендикулярной борту, ударяется о
борт. Считая удар абсолютно упругим, найти скорость шара после
отскока к моменту, когда прекратится скольжение.
9.92. Шар массой М и радиусом R налетает со скоростью ц0 на
покоящийся шар массой М/2 и радиусом R/2. Расстояние между
направлением движения центра налетающего шара и центром покоя¬
щегося шара равно R/2. После удара шары слипаются, не деформи¬
руясь, и летят как одно целое. Определить изменение кинетической
энергии А К в результате соударения.
9.93. Шар массой М = 1000 г, лежащий на горизонтальной плос¬
кости, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с на¬
чальной скоростью Vq = 500 м/с. После удара шар начинает сколь¬
зить по плоскости. Спустя некоторое время его движение переходит
в чистое качение с постоянной скоростью v = 3 м/с. Определить ско¬
рость пули V после вылета ее из шара, если масса пули т = 10 г.
Трением качения пренебречь.
9.94. Отрезок толстостенной трубы лежит на поверхности стола.
Ее наружный диаметр равен D. По трубе на расстоянии 7D/S от по¬
верхности стола наносится горизонтальный удар. При какой толщине
трубы d она после удара покатится без скольжения?
9.95. Шарик массой т влетает в спиральный лабиринт и останав¬
ливается в его центре (рис. 201). Найти угловую скорость лабиринта
134
после того, как шарик остановится. Начальная скорость шарика рав¬
на v, радиус лабиринта — а, его масса — М, момент инерции — I.
Размерами шарика пренебречь. Лабиринт может
свободно двигаться в пространстве.
9.96. Баллистический маятник сделан в виде
однородного стержня длиной L, массой М, подве¬
шенного так, что он может отклоняться без трения
в любом направлении вокруг неподвижной верхней
его точки (шарнир). В нижний его конец попада- Рис.201
от и застревает в нем пуля массой то, радиусом
г L, имевшая горизонтальную скорость V и одновременно угло¬
вую скорость си вращения вокруг своей оси, совпадающей с направ¬
лением V. Определить, под каким углом ср к направлению V и на
какой максимальный угол г)) отклонится маятник. Пулю можно счи¬
тать цилиндром.
9.97. В центр баллистического маятника, подвешен¬
ного на нерастяжимых нитях (рис. 202), и представля¬
ющего собой цилиндр массой М и радиусом R, влетает
со скоростью V вдоль оси цилиндра пуля массой т,
которая застревает в центре маятника. Пуля вращает¬
ся вокруг своей продольной оси с угловой скоростью
си. Расстояние от точки подвеса до центра маятника
I (L » R). Маятник может отклоняться без трения в
любом направлении. Пулю можно считать однородным
цилиндром радиусом г (г <С R). Определить направле¬
ние вектора скорости маятника относительно траектории пули сразу
после застревания пули. Считать, что за время движения пули внут¬
ри цилиндра он не успевает существенно сдвинуться.
9.98. Однородный тонкий тяжелый стержень длиной I висит на
горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую
начальную угловую скорость со надо сообщить стерж¬
ню, чтобы он повернулся на 90°?
9.99. Тонкий стержень массой то и длиной L
(рис. 203) подвешен за один конец и может вращать¬
ся без трения вокруг горизонтальной оси. К той же
оси подвешен на нити длиной I шарик с такой же
массой то. Шарик отклоняется на некоторый угол и
отпускается. При какой длине нити шарик после уда¬
ра о стержень остановится? Считать удар абсолютно
упругим.
9.100t Математический маятник массой то и стер¬
жень массой М (рис. 204) подвешены к одной и той же точке А,
вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маят¬
ника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону,
так что он приподнимается на высоту Н относительно своего нижне¬
го положения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго
135
со стержнем. Как будут двигаться шарик и нижний конец стержня
после удара, и на какие высоты они поднимутся?
9.101. В общей точке подвеса А (рис. 205) подвешены шарик
на нити длиной I и однородный стержень длиной L, отклоненный в
сторону на некоторый угол. При возвращении стержня в положение
равновесия происходит упругий удар. При каком соотношении меж¬
ду массами стержня М и шарика т шарик и точка удара стержня
будут двигаться после удара с равными скоростями в противополож¬
ных направлениях? При каком соотношении между массами Мит
описанный процесс невозможен?
9.102. Тонкий стержень некоторой массы подвешен за конец и
может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. К той же
оси на нити, длина которой меньше длины стержня, подвешен шарик
такой же массы, как и масса стержня. Шарик отводится до горизон¬
тального положения нити и отпускается (рис. 206). После упругого
удара оказывается, что шарик остановился. Вычислить, на какой наи¬
больший угол (р отклонится стержень.
9.103? Стержень массой М и длиной I, который может свободно
вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей че¬
рез один из его концов, под действием силы тяжести переходит из
горизонтального положения в вертикальное (рис. 207). Проходя че¬
рез вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет
о малое тело массой т, лежащее на гладком горизонтальном столе.
Определить скорость тела т после удара.
9.104? Воспользовавшись условием предыдущей задачи, опреде¬
лить, на какое расстояние S переместится тело т после удара, если
коэффициент трения между телом и столом равен к и не зависит от
скорости. Стержень после удара остановился. Тело скользит по столу
без вращения.
9.105. Линейка массой М и длиной I подвешена на гвозде за
верхний конец. В ее нижний конец ударяет маленький шарик массой
т со скоростью v под углом а к линейке. На какой угол (р линейка
отклонится от вертикали после удара? Удар абсолютно неупругий.
9.106. Однородная доска длиной I и массой М подвешена за один
из концов на шарнире. Ее отклоняют на угол (р от вертикали, отпус¬
136
кают, и она ударяет по маленькому шарику массой т, подвешенному
на нити такой же длины. Удар упругий. Определить углы, на которые
отклонятся от положения равновесия доска и нить после удара.
9.107. Шарик массой т подвешен на нерастяжимой нити длиной I
и отклонен на малый угол из положения равновесия. К той же точке,
что и нить, подвешен одним концом однородный стержень длиной
l\ = 3Z/2. Какова должна быть масса стержня ть чтобы в результате
столкновения шарик остановился? Удар абсолютно упругий. Каково
будет движение стержня после столкновения? Определить период
колебаний шарика.
9.108. Однородный тонкий стержень длиной I — 1 м подвешен за
один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной
оси. К той же оси подвешен на нерастяжимой нити длиной а ша¬
рик такой же массы, как стержень. Шарик отклоняют на угол ос =
= 0,1 рад и отпускают. После абсолютно упругого удара о стержень
шарик останавливается. Определить угол (3, на который отклоняет¬
ся стержень, и отношение времени подъема стержня tc к времени
опускания шарика tm.
9.109. С помощью очень короткой нити однородный стержень
длиной I привязан одним концом к потолку. Стержень отводят на
угол 45° от вертикали и сообщают его нижнему концу скорость v0
в направлении, перпендикулярном вертикальной плоскости отклоне¬
ния стержня. Чему должна быть равна 'y0min, чтобы при дальнейшем
движении стержень мог коснуться потолка?
9.110. Вертикально висящая однородная доска длиной L = 1,5 м
и массой М = 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси,
проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет
пуля, летящая горизонтально с начальной скоростью 'уо = 600м/с.
Пуля пробивает доску и летит далее со скоростью v. Определить
скорость v, если после выстрела доска стала колебаться с угловой
амплитудой ос — 0,1 рад. Масса пули т = 10 г.
9.111. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из
стойки на руках, т. е. вращается, не сгибаясь, вокруг перекладины
под действием собственного веса. Оце¬
нить приближенно наибольшую нагрузку
F на его руки, пренебрегая трением ла¬
доней о перекладину.
9.112. Тонкий однородный стержень
массой М и длиной I может без тре¬
ния вращаться вокруг горизонтальной оси
ОО', делящей стержень в отношении 1 :
2. В нижний его конец упруго ударяет¬
ся шарик массой т, летящий в горизон¬
тальной плоскости под углом 30° к оси ОО' (рис. 208). При какой
скорости v первоначально покоящийся стержень сможет совершить
полный оборот вокруг оси, если после отскока скорость шарика па¬
137
раллельна оси ОО'} Стержень жестко закреплен на оси и не может
по ней скользить.
9.113? Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не
чувствовала удара? Саблю считать тонкой однородной пластинкой.
9.114. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стер¬
жень длиной I, который может двигаться по столу без трения
(рис. 209). В начальный момент, когда скорость
стержня равна нулю, в него ударяется шарик, дви¬
жущийся по столу перпендикулярно к стержню. На
—О каком расстоянии х от центра стержня С ударил¬
ся шарик, если непосредственно после удара концы
стержня А и В начали двигаться со скоростями ид
и Vb соответственно? (Скорости уА и Ув считают¬
ся положительными, когда они направлены в ту же
сторону, что и скорость шарика до удара, и отрица¬
тельными в противоположном случае.)
209 9.115. На идеально гладкой горизонтальной по¬
верхности лежит стержень длиной I и массой М, ко¬
торый может скользить по этой поверхности без трения (рис. 209).
В одну из точек стержня ударяет шарик массой т, движущийся
перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии х от середины
стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю
свою кинетическую энергию? Удар считать абсолютно упругим. При
каком соотношении масс Мит это возможно?
9.116. В конец стержня массой М, лежащего на гладком горизон¬
тальном столе, попадает шарик, летевший перпендикулярно к стерж¬
ню и параллельно плоскости стола со скоростью v0. Считая мас¬
су шарика т пренебрежимо малой по сравнению с массой стержня,
определить кинетическую энергию К стержня после удара, если удар
был абсолютно упругий.
9.117. В доску массой М, лежащую на горизонтальном столе, по¬
падает пуля массой т, летевшая перпендикулярно к доске и парал¬
лельно плоскости стола со скоростью v0. Определить кинетическую
энергию К, перешедшую во внутреннюю энергию (тепло) системы,
если точка попадания пули находится от конца доски на расстоянии
1/4 ее длины. Массу пули по сравнению с массой доски считать
пренебрежимо малой, шириной доски пренебречь.
9.118. На гладком горизонтальном столе лежит однородный упру¬
гий стержень массой М. В конец стержня ударяет упругий шарик
массой т, движущийся со скоростью v перпендикулярно к стержню.
Найти значение энергии деформации системы в момент, когда она
максимальна. Трением между стержнем и столом пренебречь.
9.119! На гладком горизонтальном столе лежит однородный твер¬
дый стержень длиной I и массой М, в край которого ударяет твердый
шарик массой т, движущийся со скоростью v0, перпендикулярной к
стержню. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы
138
Рис. 210
трения между поверхностью стола и лежащими на них телами пре¬
небрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня
мосле удара.
9.120. По гладкой горизонтальной поверхности стола поступа¬
тельно движется твердый стержень длиной I и массой М со скоро¬
стью Vo, перпендикулярной к его продольной оси. Навстречу стерж¬
ню перпендикулярно к той же оси движется твердый шарик массой
т. Шарик ударяется в конец стержня, а затем отскакивает от него.
Считая удар абсолютно упругим и предполагая, что трение между
поверхностью стола и движущимися по ней телами пренебрежимо
мало, определить, с какой скоростью v0 должен двигаться шарик,
чтобы после удара центр масс стержня остановился. Найти также
угловую скорость вращения стержня вокруг цен¬
тра масс после удара.
9.121. Легкая штанга длиной I может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходя¬
щей через один из ее концов (рис. 210). На втором
конце штанги укреплена другая ось А, на которую
насажен однородный диск радиусом г. Закрепив
диск на оси А, штангу поднимают до горизонталь¬
ного положения, а затем отпускают. Когда штанга
проходит через положение равновесия, диск мгно¬
венно освобождают, так что он в дальнейшем может свободно вра¬
щаться вокруг оси А. Определить высоту подъема диска х при по¬
следующем движении системы.
9.122. Тонкий стержень длиной I и массой М лежит на гладкой
горизонтальной плоскости и может свободно без трения вращаться
вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его
концов. В начальный момент стержень покоится. В стержень ударя¬
ется шар массой т, движущийся со скоростью ц0 перпендикулярно
к стержню. Точка удара находится на расстоянии х от оси стержня.
Найти угловую скорость вращения ш стержня после
удара, ее максимально возможное значение штах, а
также расстояние х, потребовав, чтобы после удара
шар остановился. Удар абсолютно упругий.
9.123. Тонкий однородный стержень длиной I =
= 0,3 м лежит на шероховатой поверхности с коэф¬
фициентом трения к = 0,1 (рис. 211). Один из его
концов нанизан на вертикальную ось, вокруг кото¬
рой он может вращаться (трением в оси можно пре¬
небречь). В начальный момент в середину стержня
под углом ос = 30° к нему ударяет скользящее по по¬
верхности со скоростью v = 6 м/с тело, масса которого равна массе
стержня и размерами которого можно пренебречь по сравнению с
размерами стержня. Удар абсолютно неупругий. Через сколько обо¬
ротов п прекратится вращение?
- - -о
Рис. 211
139
9.124. Тонкий однородный стержень начинает вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через его конец, скользя по шерохо¬
ватой поверхности стола. Повернувшись на угол тг/4, стержень стал¬
кивается абсолютно неупруго с отрезком такого же стержня вдвое
меньшей длины, один конец которого касается оси вращения. По¬
сле удара стержни слипаются и продолжают двигаться вместе. На
какой угол они повернутся после удара, если известно,
что угловая скорость вращения первого стержня перед
ударом из-за трения уменьшилась вдвое?
9.125. Тонкий стержень длиной I и массой М, ле¬
жащий на гладкой горизонтальной поверхности, сво¬
бодно вращается без трения с угловой скоростью ш0
вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей
через один из его концов. Стержень сталкивается
упруго с покоящимся шариком массой т. Точка удара находится
на расстоянии х от оси вращения стержня. При каком соотношении
между массами М и т, а также расстоянии х после удара стержень
остановится? Найти максимально возможную скорость, которую при
этом может получить шар.
9.126. Тонкий однородный стержень длиной I = 0,3 м лежит на
шероховатой поверхности с коэффициентом трения к = 0,1 (рис. 212).
Один из его концов нанизан на вертикальную ось, вокруг которой
он может вращаться, причем трением в оси можно пренебречь. В
начальный момент на этот стержень налетает точно такой же стер¬
жень, который двигался поступательно со скоростью v = 3 м/с. Удар
абсолютно неупругий. В момент удара стержни параллельны. Через
сколько оборотов п прекратится их вращение?
9.127. Тонкий однородный стержень длиной I начинает вращаться
с угловой скоростью ш0 вокруг вертикальной оси, проходящей че¬
рез его конец, скользя по шероховатой поверхности. Повернувшись
на угол 7г/2, он сталкивается с отрезком такого же стержня вдвое
меньшей длины, который в начальный момент расположен перпен¬
дикулярно первому стержню и так, что его центр находится на рас¬
стоянии 31/4 от оси вращения. Найти угловую скорость вращения
сразу после абсолютно неупругого столкновения, если коэффициент
трения равен к.
9.128. Круг огней фейерверка образуется при сгорании пороховых
зарядов двух-патронов, укрепленных на концах шеста с осью враще¬
ния посередине. Определить максимальную угловую скорость штах
вращения шеста длиной 21 и массой М, если относительная ско¬
рость истечения пороховых газов постоянна и равна и. Начальная
масса каждого заряда т0, размеры его малы.
9.129. Прямоугольная призма стоит на шероховатой доске, ле¬
жащей на горизонтальном столе (рис. 213). С каким минимальным
ускорением амин надо начать двигать доску по столу, чтобы призма
опрокинулась назад (по отношению к направлению движения доски)
140
через свое нижнее заднее ребро? Найти силу нормального давления
N и координату х ее точки приложения, с которой доска действует на
призму при движении доски с ускорением
а. Провести решения задачи в системах от¬
счета, связанных с доской и со столом.
9.130. Тонкий гладкий стержень дли¬
ной 21 = 2 м и массой М = 30 кг может
вращаться без трения вокруг горизонталь¬
ной оси, проходящей через его центр. В на¬
чальный момент, когда стержень составлял
угол ср = 30° с горизонтом и был неподви¬
жен, на конец его поднятой части надевают
кольцо массой т = 1 кг. Стержень начина¬
ет вращаться, и, когда он проходит гори¬
зонтальное положение, кольцо оказывается на расстоянии 0,5 м от
центра и имеет скорость «г = 3м/с, направленную к оси вращения.
Определить угловую скорость стержня в этот момент.
9.131. Оценить сколько раз перевернется человек,
падая по стойке «смирно» (рис. 214) с десятиметровой
вышки?
9.132. Жонглер левой рукой держит перед собой в го¬
ризонтальном положении палочку длиной 98 см за один
конец. Затем он отпускает палочку и одновременно уда¬
ряет по другому ее концу так, что удар направлен вверх. После удара
жонглер совершает полный оборот вокруг вертикальной оси, затра¬
чивая на него 1,25 с. В момент, когда он возвращается в исходное
положение, палочка, падая, проходит начальный уровень и располо¬
жена горизонтально. Жонглер ловит ее за ближайший конец. Тот ли
конец палочки он держит в руке, что вначале? Трением палочки о
воздух пренебречь.
9.133. Вертикальный столб высотой I подпиливается у основания
и падает на землю, поворачиваясь вокруг нижнего основания. Опре¬
делить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о зем¬
лю. Какая точка столба будет в этот момент
иметь ту же скорость, какую имело бы тело, па¬
дая с той же высоты, как и данная точка?
9.1341 Однородный стержень массой т и
длиной I (рис. 215) падает без начальной скоро¬
сти из положения /, вращаясь без трения вокруг , 2_
неподвижной горизонтальной оси О. Найти го- L
J
Рис. 214
верт
Т? Т? ° /гор
ризонтальную гтор и вертикальную гверт состав¬
ляющие силы, с которыми ось О действует на Рис. 215
стержень в горизонтальном положении 2.
9.135. Однородный стержень длиной 2L падает, скользя концом
по абсолютно гладкому горизонтальному полу. В начальный момент
стержень занимал вертикальное положение и находился в покое.
141
Определить скорость центра тяжести в зависимости от его высоты h
над полом.
9.136. Однородный стержень длиной R и массой т скользит без
трения по сферической поверхности радиусом R, оставаясь все вре¬
мя в вертикальной плоскости, проходящей через центр поверхности
(рис. 216). Найти скорость центра масс стержня в тот момент, когда
он занимает горизонтальное положение 2, если скольжение началось
из положения 1 без начальной скорости.
в
9.137! Однородный тонкий стержень длиной 21, расположенный
горизонтально, не вращаясь, падает с высоты h и упруго ударяется
одним концом о край стола. Определить скорость центра инерции
стержня и его угловую скорость непосредственно после удара.
9.138. Тонкий однородный стержень АВ массой т падает в го¬
ризонтальном положении (рис. 217). В момент, когда левый конец
надевается на ось О, закрепленную на массивной плите, поступа¬
тельное движение стержня переходит во вращательное вокруг оси
О. К этому моменту скорость падения стержня достигает значения v.
Считая удар мгновенным, определить потерю кинетической энергии
и импульса стержня при ударе.
9.139. Стержень длиной I, наклоненный к горизонтали под углом
ср, падает, не вращаясь, с некоторой высоты h на горизонтальный
стол и ударяется о поверхность стола упруго сначала левым, а потом
правым концом (рис. 218). При ударе правым концом стержень снова
составляет с горизонтом угол ср. Найти высоту h. При каких углах
ср такое падение возможно?
9.140. Горизонтально расположенный тонкий однородный стер¬
жень падает не вращаясь с высоты h и упруго ударяется левым кон¬
цом о край стола. Определить, какую скорость цлев приобретет левый
конец стержня сразу после удара. См. также задачи 9.137, 9.175.
9.141. Однородный стержень длиной L и массой М, подвешенный
на шарнире, соприкасается своим концом с шаром массой т и радиу¬
сом г, покоящимся на плоскости так, что линия, соединяющая точку
касания и центр шара, горизонтальна и вместе со стержнем нахо¬
дится в одной вертикальной плоскости. Стержень отклоняют в этой
плоскости на угол <р и отпускают. Определить, как будут двигаться
стержень и шар после удара, если удар абсолютно упругий. Через
какое время после удара движение шара будет представлять собой
142
чистое качение? Чему равна скорость этого качения? Коэффициент
трения шара с плоскостью равен к. Трением качения пренебречь.
9.142. Однородный шар массой т и радиу¬
сом R, катящийся без скольжения по горизон¬
тальной поверхности со скоростью v0, ударя¬
ется в конец стержня длиной L и массой Ют,
подвешенного на шарнире (рис. 219). Опреде¬
лить, как будут двигаться шар и стержень по¬
сле удара. Через какое время движение шара
перейдет в чистое качение? Чему равна ско¬
рость этого качения? Удар считать абсолютно
упругим и происходящим мгновенно. Коэффи¬
циент трения шара о плоскость равен к. Трени¬
ем качения пренебречь.
9.143. Горизонтальная однородная доска массой М и длиной 21
укреплена в центре тяжести на шарнире. Один из ее концов лежит на
пружине жесткостью к. На этот конец с высо¬
ты Н прыгает человек массой т. Найти макси¬
мальное сжатие пружины жтах в предположе¬
нии, что жтах < I.
9.144. Однородный стержень длиной L, в А
конце которого имеется отверстие с резьбой,
навернут на вертикально закрепленную винто¬
вую шпильку. Стержень начинает вращаться
без трения и без начальной скорости, свинчива¬
ясь со шпильки (рис. 220). Рассчитать, как будет двигаться стержень
после того, как он слетит со шпильки, если, свинчиваясь со шпиль¬
ки, он прошел участок резьбы длиной h, а шаг резьбы много меньше
длины стержня.
9.145. Твердый стержень длиной I и массой М может вращаться
вокруг горизонтальной оси А, проходящей через его конец. К той же
оси А подвешен математический маятник такой же длины I и массой
т. Первоначально стержень занимает горизонтальное положение, а
затем отпускается. В нижнем положении происходит идеально упру¬
гий удар, в результате которого шарик и стержень деформируются,
и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию
деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потен¬
циальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение
потенциальной энергии деформации U в мо¬
мент, когда она максимальна.
9.146. Тонкий гладкий горизонтальный
стержень длиной L— 1м вращается вокруг Рис. 221
вертикальной оси, проходящей через его ко¬
нец, с постоянной угловой скоростью о>0 = Ю с'1. В начальный мо¬
мент на стержень надето кольцо массой т = 1 кг. На расстоянии 2 м
от оси вращения первого стержня вертикально расположена вторая
L
-ттттж
143
Рис. 222
ось, проходящая через конец второго неподвижного тонкого гладко¬
го горизонтального стержня длиной 1 м и массой М = 30 кг, рас¬
положенного на той же высоте, что и первый (рис. 221). В момент,
когда стержни расположены на одной прямой, кольцо соскальзывает
с первого стержня на второй. Определить угловую скорость второго
стержня к моменту, когда кольцо окажется на расстоянии 0,5 м от
его оси (трение в осях отсутствует).
9.147. Табуретку наклоняют так, что она опира¬
ется на пол двумя ножками, и отпускают, после чего
она падает опять на все четыре ножки. Оценить, на
сколько она продвинется по полу. Считать длину,
ширину и высоту табуретки одинаковыми, а массу
сосредоточенной в сидении.
9.148. Концы однородного стержня длиной 21 и
массой т могут двигаться без трения по окружно¬
сти горизонтального неподвижного диска с борти¬
ком. В середине стержня, расположенного на расстоянии I от центра
диска, находится жук массой 2т/3 (рис. 222). Вначале вся система
покоилась, а затем жук начал ползти вдоль стержня с постоянной от¬
носительно него скоростью. Вычислить, на какой угол ср повернулся
стержень, когда жук оказался на его конце.
9.149. Верхний конец вертикального невесо¬
мого стержня закреплен на горизонтальной оси,
вокруг которой он может свободно вращаться, а
к нижнему его концу жестко прикреплен элек¬
тромотор массой М (рис. 223). Устройство мото¬
ра симметрично относительно оси вращения ро¬
тора, занимающей горизонтальное положение на
расстоянии I от точки подвеса. Моменты инер¬
ции ротора и статора относительно этой оси рав¬
ны соответственно Ii и /2. Через электромотор
пропускают короткий импульс тока, в результате
чего ротор практически мгновенно раскручива¬
ется до угловой скорости ш. Пренебрегая трением в подшипниках
ротора, определить максимальную высоту подъема Н оси мотора.
9.150. Стержень длиной L и массой М за¬
креплен на потолке шарниром. По нижнему кон¬
цу производят короткий удар, импульс которого
равен р, в горизонтальном направлении. Опреде¬
лить величину и направление реакции в подвесе.
Рис. 224 9.151. На горизонтальном столе лежит жест¬
кая линейка длиной 21 и массой М (рис. 224). Конец линейки высту¬
пает за край стола, в него абсолютно неупруго ударяется маленький
шарик массой т = М/2, скорость которого направлена вертикально
вверх и равна v. Найти импульс силы реакции опоры за время удара.
Считать, что сила реакции приложена к другому концу линейки.
Рис. 223
*77/
144
9.152. Два одинаковых стержня соединены шарниром и подвеше¬
ны на горизонтальной оси, проходящей через конец верхнего стерж¬
ня. По нижнему концу нижнего стержня производится удар в гори¬
зонтальном направлении (рис. 225). Найти отношение угловых ско¬
ростей стержней после удара.
Рис. 225 Рис. 226 Рис. 227
Рис. 228
9.153. Два одинаковых стержня соединены шарниром и лежат
на гладком горизонтальном столе. По концу одного из стержней
Производится удар в направлении, перпендикулярном оси стержней
(рис. 226). Найти отношение угловых скоростей и скоростей центров
Инерции стержней после удара.
9.154. Абсолютно твердая однородная балка весом Р и длиной
L лежит на двух абсолютно твердых симметрично расположенных
опорах, расстояние между которыми равно I (рис. 227). Одну из опор
Выбивают. Найти начальное значение силы давления F, действую¬
щей на оставшуюся опору. Рассмотреть частный случай, когда I = L.
Почему при выбивании опоры сила F меняется скачком?
9.155. Однородный тонкий стержень массой т и длиной 21 под¬
вешен за один конец на нити так, что другим концом он касается
Гладкой горизонтальной поверхности (рис. 228). Угол а0 = тг/З. Нить
Пережигают. Найти, во сколько раз изменится давление стержня на
Поверхность сразу же после обрыва нити, а также скорость центра
Тяжести в момент падения стержня на поверхность.
9.156. Однородный тонкий стержень массой т и длиной 21, по¬
ставленный вертикально на гладкую горизонтальную поверхность,
Начинает падать с нулевой начальной скоростью. Найти скорость
центра тяжести и давление стержня на поверхность в тот момент,
Когда угол между стержнем и вертикалью составит ос = тг/З.
9.157. Однородный тонкий диск массой т, стоявший вертикаль¬
но на гладком горизонтальном столе, начинает падать. Найти силу
Давления на стол в момент, когда плоскость диска составляет с вер¬
тикалью угол ос — 30°.
9.158. Тонкий обруч массой М, стоявший вертикально на гладком
Горизонтальном столе, начинает падать. Найти силу давления обруча
На стол в момент, когда плоскость обруча составляет с вертикалью
угол ос = 60°.
145
^\VsW44444\
Рис. 229
чЧЧЧЧЧО^^ЧЧЧЧЧЧ^
Рис. 230
9.159. К установленному на столе обручу массой М прикрепляют
в точке А небольшое тело массой т = М/3 (рис. 229). Вычислить
минимальное значение коэффициента трения к
между обручем и столом, при котором обруч начнет
катиться без проскальзывания.
9.160. На внутренней стороне тонкого обруча
массой М и радиусом R = 0,5 м прикреплено тело
массой т = М/10, размеры которого значительно
меньше R. Обруч катится без скольжения по гори¬
зонтальной плоскости. Какой должна быть скорость
центра обруча vQ, когда тело находится в нижнем положении, чтобы
обруч «подпрыгнул»?
9.161. На горизонтальной шероховатой плоскости стоит жесткий
невесомый обруч. На обруче закреплена точечная масса т. В началь¬
ный момент масса находится в крайнем верхнем положении. Слабым
толчком система выводится из равновесия. Опреде¬
лить, как зависит сила нормального давления обруча
на плоскость от угла 0 (рис. 230). Коэффициент тре¬
ния между плоскостью и обручем равен к.
9.162. Баскетбольный мяч, закрученный с угло¬
вой скоростью ш0, брошен на пол под углом ос = 5,7°
к вертикали со скоростью v0 = 1,5 м/с. Ось вра¬
щения перпендикулярна плоскости падения. Опреде¬
лить величину угловой скорости ш0, при которой мяч отскочит от
пола обратно под тем же углом. Коэффициент трения мяча о пол
к = 0,2, радиус мяча R = 15 см. Считать, что вся масса мяча сосре¬
доточена в тонком поверхностном слое, изменением формы мяча и
действием силы тяжести при ударе пренебречь.
9.163. Баскетбольный мяч, закрученный с угловой скоростью ш0,
брошен на пол под углом ос = 11,4° к вертикали со скоростью v0 =
= 2 м/с. Ось вращения перпендикулярна плоскости падения. Опре¬
делить величину угловой скорости ш0, при которой
мяч отскочит от пола вертикально. Коэффициент
трения мяча о пол к = 0,2. Радиус мяча R = 15 см.
Считать, что вся масса мяча сосредоточена в тон¬
ком поверхностном слое, изменением формы мяча
и действием силы тяжести при ударе пренебречь.
9.164. На горизонтальную шероховатую по¬
верхность вертикально вниз падает каучуковый
шар радиусом R, вращающийся с угловой скоро¬
стью о>! вокруг горизонтальной оси (рис. 231). Непосредственно пе¬
ред ударом скорость центра инерции шара была равна v0. Считая
удар упругим, а время удара малым, и пренебрегая действием силы
тяжести при ударе, найти угол ос, под которым отскочит шар. Найти
также его угловую скорость ш2. Коэффициент трения скольжения
между шаром и поверхностью равен к.
146
9.165. Бильярдный шар катится без проскальзывания по столу со
скоростью v0 и упруго отражается от борта. Считая, что коэффици¬
ент трения между шаром и бортом равен к, определить, под каким
углом к горизонту шар отразится от борта. Действием силы тяжести
за время удара и трением качения пренебречь.
9.166. По горизонтальной ледяной поверхности (без трения), вра¬
щаясь вокруг оси симметрии скользит цилиндрическая шайба радиу¬
сом R. Под каким углом ф отскочит шайба от вертикального бортика
(рис. 232), если после упругого удара она приобретет ту же угловую
скорость, но в противоположном направлении? Каким должен быть
коэффициент трения к шайбы о бортик, чтобы это произошло? Счи¬
тать известными скорость шайбы до удара v0, ее угловую скорость
а>о, а также угол, под которым шайба налетает на бортик, ср = 30°.
Необходима ли какая-либо связь между ш0 и v0, чтобы реализова¬
лась ситуация описанная в задаче?
Рис. 232
Рис. 233
9.167. Бильярдный шар радиусом г со скоростью v0 не вращаясь
падает по углом ос к горизонту на шероховатую горизонтальную плос¬
кость с коэффициентом трения к. Известно, что шар не отскакивает и
движется после удара по плоскости. Найти его угловую скорость шт
и скорость цт сразу после окончания удара. Найти также скорость v
центра шара, когда начнется чистое качение. Трением качения, а так¬
же действием силы тяжести за время удара пренебречь. При каком к
начинается чистое качение сразу после окончания удара? Действием
силы тяжести за время удара пренебречь.
9.168. Сплошной однородный шар катится без проскальзывания
по горизонтальной плоскости под углом ос к гладкой вертикальной
стене (рис. 233). Определить, под каким углом (3 к этой стене будет
катиться шар после упругого удара о стену, когда его движение вновь
перейдет в чистое качение. Потерями на трение о плоскость за время
удара пренебречь.
9.169. На гладкой горизонтальной поверхности стоит обруч ра¬
диусом R. В обруч ударяется летящая горизонтально (в плоскости
обруча) со скоростью v0 пуля и застревает в нем (рис. 234). Отно¬
шение масс обруча и пули к = т0/т = 1. Определить максималь¬
но возможную угловую скорость обруча после удара. Определить
величину выделившегося в этом случае тепла (на единицу массы
системы).
147
9.170? Найти параметры эллипсоида инерции для точки А, лежа¬
щей в вершине однородного куба массой М с длиной ребра I (рис. 235).
9.171? Для прямоугольного однородного параллелепипеда массой
М и длиной ребер I, т, п (рис. 236) определить момент инерции
относительно его диагонали.
9.172. При каком отношении радиуса сплошного цилиндра R к
его высоте Н момент инерции цилиндра относительно его диагональ¬
ной оси равен моменту инерции относительно его оси симметрии?
9.173. Через неподвижный блок перекинута тонкая невесомая
нерастяжимая нить (рис. 237). К одному концу нити подвешен груз,
а другой конец нити намотан на катушку радиусом г с моментом
инерции /0 и массой М. В начальный момент груз и катушка удер¬
живаются в покое. При каком значении массы груза т он будет
оставаться в покое, если в некоторый момент одновре¬
менно отпустить груз и катушку?
9.174. Бусинка массой т скользит по проволочно¬
му кольцу массой М = 4т, которое свободно вращает¬
ся вокруг вертикального диаметра (рис. 238). Опреде¬
лить отношение максимальной и минимальной скоро¬
стей вращения кольца. Трением пренебречь.
9.175. Однородный тонкий стержень АВ длиной I,
расположенный горизонтально, падает и упруго ударя¬
ется концом А о край стола. Определить расстояние
АО от конца стержня до точки О, скорость которой
равна нулю сразу после удара. Считать, что удар мгновенный. (См.
задачи 9.137 и 9.140.)
9.176. Однородный стержень массой М и длиной I, который мо¬
жет вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его
центр масс, находится в состоянии равновесия. На один из его кон¬
цов с высоты h падает шар массой т. Удар упругий. Определить
скорость шара и угловую скорость стержня после удара, если пер¬
воначально стержень был в горизонтальном положении. При каком
соотношении масс Мит шар полетит назад?
9.177. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит тон¬
кий однородный стержень массой М и длиной I. В него ударяется
шарик массой т, двигающийся перпендикулярно к стержню со ско¬
Рис. 238
148
ростью Vo- Удар абсолютно упругий. Определить расстояние жтах от
середины стержня до точки удара, при котором угловая скорость вра¬
щения стержня будет иметь максимально возможное значение штах,
и вычислить это значение. Определить также скорость центра стерж¬
ня umax и скорость шарика •утах после такого удара.
9.178. На гладкой горизонтальной поверхности вращается с уг¬
ловой скоростью си0 вокруг своего центра тонкий однородным стер¬
жень массой М и длиной I. При вращении он ударяет покоящийся
маленький шарик массой т. Удар абсолютно неупругий. Определить
расстояние хтах от середины стержня до точки удара, при котором
скорость шарика будет иметь максимально возможное значение umax,
и вычислить его. Определить также скорость центра стержня утах и
его угловую скорость штах после такого удара.
9.179. Твердый стержень массой т и длиной 21 падает без тре¬
ния между двумя взаимно перпендикулярными стенками (рис. 239)
в плоскости рисунка. В начальный момент стержень прислонен к
вертикальной стенке. Найти угол а и силу давления стержня на го¬
ризонтальную плоскость в тот момент, когда стержень оторвется от
вертикальной стенки.
9.180. Твердый стержень массой т и длиной 21 падает без тре¬
ния между двумя взаимно перпендикулярными стенками (рис. 239) в
плоскости рисунка. В начальный момент стержень прислонен к вер¬
тикальной стенке. Найти силы давления стержня на стенки в тот
момент, когда угол а станет равным а = arccos4/5.
9.181. Маленький брусок массой т влетает в покоящийся лаби¬
ринт массой М и радиусом R (рис. 240) и движется по нему без тре¬
ния. Найти угловую скорость и скорость центра лабиринта в момент
времени, когда брусок и центр лабиринта находятся на прямой, па¬
раллельной первоначальному направлению скорости бруска {ОА\\v0),
если О А = R/2. Момент инерции лабиринта относительно его цен¬
тра I0 = MR2/4; т/М = 1/2. Движение происходит в плоскости ла¬
биринта (рисунка), внешние силы отсутствуют, v0 = 10 м/с, R = 1 м.
9.182. На длинной тонкой доске массой т лежит сплошной од¬
нородный цилиндр массой 2т. Доска вместе с цилиндром скользит
со скоростью v0 по гладкому горизонтальному столу в направлении,
перпендикулярном оси цилиндра (рис. 241). Доска абсолютно упруго
ударяется о неподвижную стенку стороной, противоположной месту
Рис. 239
Рис. 240
Рис. 241
149
расположения цилиндра. Определить длину доски I и долю перво¬
начальной кинетической энергии АК/К0, перешедшей в тепло, при
условии, что цилиндр после соскальзывания с доски катится по сто¬
лу без проскальзывания. Коэффициент трения скольжения между
цилиндром и доской равен к. (См. также задачу 9.51).
9.183. Длинная тонкая доска массой т лежит на гладком столе
вплотную к гладкой стене. По доске без проскальзывания катится со
скоростью v0 сплошной однородный цилиндр массой 2т в направле¬
нии, перпендикулярном стене, и абсолютно упруго ударяется о стен¬
ку (рис. 189). Определить минимальную дли¬
ну доски, при которой прекратится про¬
скальзывание цилиндра. Коэффициент трения
скольжения между цилиндром и доской равен
к. (См. также задачу 9.51).
9.184. В сельском строительстве до сих
пор для подъема тяжестей используется диф¬
ференциальный ворот. Ворот состоит из двух
цилиндров (массой АД = 80 кг и М2 = 20 кг
с радиусами R = 0,2 м и г = 0,1м), закрепленных на общей оси
(рис. 242). На цилиндрах укреплена веревка, которая при вращении
наматывается на цилиндр большего диаметра и сматывается с мень¬
шего цилиндра. На образуемой веревкой петле подвешивают блок.
С каким ускорением будет подниматься груз массой т = 200 кг под
воздействием постоянной силы F, превышающей на 1% минималь¬
ную силу, необходимую для удержания груза в равновесии? Сила F
прикладывается к концу рукоятки длиной L = 1 м. Массами блока,
веревки и рукоятки, а также трением в осях пренебречь.
9.185. На шкив радиусом г = 1 см крестообразного крутильного
маятника которой подвешен груз массой т = 100 г. Груз из состо¬
яния покоя опускается с высоты hi = 108 см за время И = 5,4 с до
нижнего положения, раскручивая «крест», и затем,
продолжая движение, поднимается и останавлива¬
ется на высоте h2 = 96 см. Какое время t2 он затра¬
чивает на подъем? На какую высоту /г3 поднимется
груз после спуска из положения /г2? Чему равен мо¬
мент инерции маятника? Считать, что трение в оси
не зависит от скорости. Потерями энергии во вре¬
мя рывка в нижнем положении груза пренебречь.
Отсчет высоты производится от места рывка.
9.1861 Во время лекционной демонстрации лаборант Дима тянет
по горизонтали с постоянной силой mg за ленту, намотанную на
катушку (см. рис. 243), где т — масса катушки. На какое рассто¬
яние Sx переместилась катушка, если перемещение Диминой руки
S — 1 м? Радиус «колес» катушки R, радиус намотки ленты R/2, мо¬
мент инерции катушки /0 = тй2/8, коэффициент трения катушки о
поверхность стола к = 1/4.
150
9.187. Во время лекционной лекционной демонстрации лаборант
Дима тянет по горизонтали с постоянной силой mg за ленту, на¬
мотанную на катушку (см. рис. 244), где т — масса катушки. На
какое расстояние Sx переместилась Димина рука, если перемещение
катушки S = 1 м? Радиус «колес» катушки R, ра¬
диус намотки ленты R/4, момент инерции катуш¬
ки /0 = mi?2/8, коэффициент трения катушки о по¬
верхность стола к = 3/10.
9.188. Тонкостенный цилиндр радиусом г катит¬
ся без проскальзывания по внутренней поверхности
неподвижного полого цилиндра радиусом R. Оси
цилиндров параллельны, сила тяжести перпендику¬
лярна к ним. Определить скорость центра масс ц0,
которую должен иметь подвижный цилиндр в нижнем положении
равновесия, чтобы он, описав дугу, равную тг/12 по внутренней по¬
верхности неподвижного цилиндра, начал проскальзывать в этой точ¬
ке. Коэффициент трения скольжения между цилиндрами к = 0,13.
9.189. На боковой поверхности вертикально расположенного
сплошного цилиндра радиусом R и массой М, который может без
трения вращаться вокруг своей оси, сделан желоб в форме винтовой
линии, в верхнее отверстие которого опускают без начальной скоро¬
сти маленький массивный шарик, после чего он начинает скользить
без трения по желобу. Оказалось, что при опускании шарика на рас¬
стояние, равное шагу h винтовой линии, цилиндр повернулся на угол
п/2. Определить момент силы Мс, вращающий цилиндр. Шаг вин¬
товой линии h = 2nR.
9.190. Жесткий тонкий стержень с неизвестным распределени¬
ем массы по длине, движущийся поступательно со скоростью v0 по
гладкой горизонтальной поверхности стола, абсолютно упруго уда¬
ряет небольшой шарик, неподвижно лежащий на столе. Определить
скорость V точки стержня, о которую произошел удар, сразу по¬
сле удара, если скорость шарика после удара равна и и направлена
перпендикулярно стержню.
9.191. На гладком столе лежит спиральный лабиринт (рис. 201)
массой М и радиусом R. В него влетает шарик пренебрежимо малых
размеров массой т, движущейся со скоростью v.
Трение между лабиринтом и шариком отсутству¬
ет. Момент инерции лабиринта I = kMR2. При ка¬
ких значениях к шарик может достичь центра ла¬
биринта?
9.192. Брусок, имеющий форму куба, двигается
поступательно по гладкой горизонтальной поверх¬
ности, и сталкивается с неподвижным бруском такой же формы и
размеров, имеющим вдвое большую массу (рис. 245). В результате
неупругого столкновения бруски «слипаются». Определить долю на¬
чальной энергии, перешедшей в тепло. Изменением формы брусков
2М
•
м
Рис. 245
151
пренебречь и считать, что скорость центра движущегося бруска до
столкновения направлена вдоль одной из граней неподвижного брус¬
ка. (См. также задачу 9.92.)
9.193. Два бильярдных шара катятся без проскальзывания по
горизонтальной шероховатой поверхности с одинаковыми скоростями
во взаимно перпендикулярных направлениях и упруго
сталкиваются (рис. 246). При этом в момент столкно¬
вения центры шаров лежат на линии, перпендикуляр¬
ной биссектрисе угла между направлениями их дви¬
жения. Определить угол между направлениями дви¬
жения шаров после столкновения, когда их движение
вновь перейдет в чистое качение. Потерями энергии
при столкновении шаров пренебречь.
9.194. Два бильярдных шара катятся без проскаль¬
зывания по горизонтальной шероховатой поверхности
с одинаковыми скоростями во взаимно перпендикуляр¬
ных направлениях и упруго сталкиваются. При этом в
момент столкновения центры шаров находятся на ли¬
нии движения одного из шаров (рис. 247). Определить угол между
направлениями движения шаров после столкновения, когда их дви¬
жение перейдет в чистое качение. Определить также их скорости.
Потерями энергии при столкновении шаров пренебречь.
9.195. Тонкостенную бочку, заполненную жидкостью, надо вка¬
тить на борт корабля по трапу, наклоненному под углом а = 15° к
горизонту (sin 15° = 0,2588). Масса пустой бочки mi = 20 кг, причем
половина этой массы приходится на днища. Опытные рабочие раз¬
гоняют бочку так, что она катится без проскальзывания сначала по
горизонтальной плоскости со скоростью v0 = 3 м/с,
а затем по трапу, и через время т = 1,3 с после на¬
чала подъема останавливается. Вязкость жидкости
настолько мала, что жидкость за все время движе¬
ния практически не вовлекается во вращение. Опре¬
делить массу жидкости т2.
9.196. Тонкостенную сферическую емкость, за¬
полненную жидкостью, надо спустить с борта кораб¬
ля. Неопытные рабочие упустили ее, и она начала
без проскальзывания скатываться по наклонной плоскости. Скаты¬
вание началось с высоты h = 1 м без начальной скорости, в конце
скатывания емкость набрала скорость v = 4,1 м/с. Считая, что жид¬
кость из-за малой вязкости практически не вовлекается во вращение,
определить, какая часть полной массы приходится на жидкость.
9.197. Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности
и последовательно сталкивается с рядом тонких жестких стержней
АВ, расположенных на этой поверхности (рис. 248). Каждый стер¬
жень может без трения вращаться вокруг вертикальной оси О, про¬
ходящей через его середину. Погонная плотность материала стержня
а = 45
£
I 90'
Рис. 246
152
О
О
о . . . .
!=!-►
А
А
А
Рис. 248
Or.
Рис. 249
р(.т) = Ро(2 — x/L), где х — расстояние, отсчитываемое от одного из
концов стержня вдоль его оси, L — длина стержня; отношение массы
стержня к массе бруска равно 2. Найти отношение длины бруска I
к длине стержня, если скорость бруска
после взаимодействия со стержнем равна « « п
его начальной скорости.
Примечание. Задача является ме¬
ханическим аналогом оптического эф¬
фекта самоиндуцированной прозрачно¬
сти: при определенном соотношении параметров оптического импуль¬
са и двухуровневой резонансной среды оптический импульс распро¬
страняется в такой среде без поглощения.
9.198. По гладкой горизонтальной поверхности без вращения
скользит гладкий шар, который последовательно упруго сталкива¬
ется с рядом тонких жестких стержней АВ, расположенных в верти¬
кальной плоскости (рис. 249). Каждый стержень может без трения
вращаться вокруг горизонтальной оси О,
проходящей через его центр масс. Погон¬
ная плотность материала стержня р(ж) =
= кх, где х — расстояние, отсчитывае¬
мое от точки А вдоль стержня, к — кон¬
станта. Отношение радиуса шара к длине
стержня равно п/12. Найти отношение массы стержня к массе ша¬
ра, если скорость шара после взаимодействия со стержнем равна его
начальной скорости.
Примечание. Задача является механическим аналогом опти¬
ческого эффекта самоиндуцированной прозрачности: при определен¬
ном соотношении параметров оптического импульса и двухуровневой
резонансной среды оптический импульс распространяется в такой
среде без поглощения.
§ 10. Колебания твердого тела. Волны
10.1. Кольцо из тонкой проволоки совершает малые колебания,
как маятник около горизонтальной оси. В одном случае ось лежит
в плоскости кольца (рис. 250а), в другом —
перпендикулярна к ней (рис. 2506). Опре¬
делить отношение периодов малых колеба¬
ний Т\ и Т2 для этих двух видов колебаний
кольца.
10.2. На конце тонкого однородного
стержня длиной I проделано малое отвер¬
стие, через которое продета горизонтально
натянутая непрогибаемая проволока. Найти
периоды малых колебаний такого физического маятника в двух слу¬
чаях: 1) когда маятник колеблется в вертикальной плоскости, пер¬
Рис. 250
153
пендикулярной к проволоке; 2) когда колебания происходят в верти¬
кальной плоскости, параллельной проволоке. Во втором случае точка
подвеса маятника может скользить по проволоке без трения. Найти
также отношение этих периодов.
10.3. Две одинаковые однородные пластинки, имеющие форму
квадрата, подвешены с помощью тонких невесомых нитей двумя
способами (рис. 251). Расстояние от точек подвеса до верхних сто¬
рон пластинок равно длине сторон. Найти отношение периодов ма¬
лых колебаний получившихся физических маятников в вертикальной
плоскости, совпадающей с плоскостью пластинки.
10.4. Два одинаковых сплошных однородных куба подвешены
двумя различными способами: в одном случае за вершину, в дру¬
гом — за середину ребра (рис. 252). Учитывая свойства эллипсоида
инерции куба, найти отношение периодов колебаний получивших¬
ся физических маятников в поле тяжести. Колебания происходят в
плоскости рисунка.
Рис. 251
Рис. 252
10.5. К концу однородного тонкого стержня длиной I и массой
т прикреплена короткая упругая пластинка. Пластинку зажимают в
тисках один раз так, что стержень оказывается внизу, а другой раз —
вверху (рис. 253). Определить отношение периодов малых колебаний
стержня в этих случаях. Момент упругих сил пластинки пропорци¬
онален углу отклонения стержня от положения равновесия, причем
коэффициент пропорциональности равен к.
10.6. Сплошной однородный диск радиусом г = 10 см колеблется
около горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и
проходящей через край диска. Какой длины I должен быть матема¬
тический маятник, имеющий тот же период колебаний, что и диск?
10.7. Однородный диск радиусом R совершает малые колебания
вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной его плоскости. Вычис¬
лить расстояние х между центром тяжести диска и осью подвеса, при
котором период колебаний будет минимальным. Определить величи¬
ну минимального периода колебаний Tmin.
10.8. В какой точке следует подвесить однородный стержень дли¬
ной I (рис. 254), чтобы частота его колебаний как физического ма¬
ятника была максимальна? Чему равна эта частота?
10.9. Физический маятник состоит из двух одинаковых массив¬
ных шаров радиусом г = 5 см на невесомом стержне (рис. 255). Ось
154
маятника расположена на расстоянии Ь = 10 см ниже центра верх¬
него шара. При каком расстоянии х между центрами шаров период
маятника Т будет наименьшим? Найти этот период, приведенную
длину маятника I и расстояние а между осью и центром
масс маятника С.
10.10. Через неподвижный блок с моментом инер¬
ции I (рис. 256) и радиусом г перекинута нить, к од¬
ному концу которой подвешен груз массой т. Другой
конец нити привязан к пружине с закрепленным ниж¬
ним концом. Вычислить период колебаний груза, если
коэффициент упругости пружины равен к, а нить не
может скользить по поверхности блока.
10.11. Найти период малых колебаний физического
маятника массой т, к центру масс С которого прикреп¬
лена горизонтальная спиральная пружина с коэффици¬
ентом упругости к. Другой конец пружины закреплен в
неподвижной стенке (рис. 257). Момент инерции маят¬
ника относительно точки подвеса равен I, расстояние между точкой
подвеса и центром масс маятника равно а. В положении равновесия
пружина не деформирована.
г
V////
С
'///// [а
Рис. 255
массой т, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О,
проходящей через его конец и перпендикулярной к продольной оси
стержня (рис. 258). Другой конец стержня подвешен на пружине с
коэффициентом упругости к. Расстояние между центром масс стерж¬
ня и осью вращения СО = а. Момент инерции стержня относительно
оси О равен I. Найти удлинение пружины х0 (по сравнению с ее дли¬
ной в недеформированном состоянии) в положении равновесия, если
в этом положении стержень горизонтален. Определить также период
малых колебаний стержня около положения равновесия.
10.13. К середине однородного стержня массой т и длиной I,
верхний конец которого подвешен на шарнире, прикреплена горизон¬
тальная пружина с коэффициентом упругости к. В положении рав¬
новесия пружина не деформирована. Найти период малых колебаний
стержня в плоскости, проходящей через пружину и стержень.
10.14. Твердый стержень массой т, к одному из концов которого
прикреплена точечная масса М, может вращаться вокруг горизон¬
155
: Л—=
Рис. 260
тальной оси, проходящей через другой конец стержня (рис. 259).
Стержень удерживается спиральной пружиной жесткости к,' при¬
крепленной к его середине. Найти удлинение пружины х0 (по срав¬
нению с длиной недеформированной пружины) в
положении равновесия, если в этом положении
стержень горизонтален. Вычислить период ма¬
лых колебаний системы около положения равно¬
весия.
10.15. Однородный стержень длиной L и мас¬
сой М может поворачиваться вокруг шарнира,
расположенного посередине стержня (рис. 260).
Концы стержня прикреплены к потолку двумя пружинами, одна из
которых имеет жесткость fcb другая — к2. Найти период малых ко¬
лебаний стержня.
10.16. Найти период малых колебаний систе¬
мы, изображенной на рис. 261. Масса однород¬
ной штанги О А равна М, груз массой т под¬
вешен к ее центру. Конец штанги А висит на
двух последовательно соединенных пружинах с
коэффициентами упругости к\ и к2.
10.17. Груз массой М прикреплен к блоку
массой т (рис. 262). Блок висит на нерастя¬
жимой нити, один конец которой прикреплен к
потолку непосредственно, а другой — через пружину жесткостью к.
Определить период малых вертикальных колебаний груза, если про¬
скальзывание нити по блоку отсутствует. Блок считать цилиндром.
О
oj
т
Рис. 261
10.18. Нерастяжимая нить соединяет пружину жесткостью к и
груз массой М через два неподвижных блока (рис. 263). Определить
период малых вертикальных колебаний груза, если проскальзывание
нити по блоку отсутствует. Блоки считать цилиндрами, обладающи¬
ми массами и т2. Трением в осях блоков пренебречь. Радиусы
блоков одинаковы.
10.19. Через блок перекинута невесомая нить, которая привязана
к двум закрепленным растянутым пружинам с известной жесткостью
ki и к2 (рис. 264). Считая, что нить по блоку движется без проскаль¬
зывания, найти период малых колебаний системы. Блок представляет
156
собой колесо со спицами. Масса обода М, масса всех спиц т. Тол¬
щина обода и спиц мала по сравнению с радиусом колеса.
10.20. Найти частоты малых колебаний однородного стержня
массой т, подвешенного за концы на двух одинаковых пружинах
жесткостью к. Колебания происходят в плоскости чертежа (рис. 265).
Рассмотреть колебания двух типов: а) стержень перемещается па¬
раллельно самому себе в вертикальном направлении; б) стержень
поворачивается относительно неподвижного центра инерции.
м
/Ха
т
Рис. 265
10.21. Определить период малых колебаний груза массой т, вися¬
щего на нерастяжимой и невесомой нити. Второй конец нити соеди¬
нен с невесомой пружиной жесткостью к (рис. 266). Нить перекинута
через систему блоков 1,2 и сплошной цилиндр
массой М. Блоки 1 и 2 жестко скреплены с под¬
ставкой, а их массами можно пренебречь. Ци¬
линдр может перекатываться без скольжения по
подставке. Проскальзывание нити по цилиндру
отсутствует. Силы трения в блоках не учитывать.
10.22. Абсолютно твердый однородный стер¬
жень длиной I и массой М лежит на гладкой
горизонтальной поверхности и может свободно
вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей
через один из его концов А (рис. 267). Стержень
соединен с неподвижной точкой поверхности В
невесомой пружиной жесткостью к, перпендикулярной стержню. В
незакрепленный конец стержня С перпендикулярно ему ударяется
со скоростью v маленький шарик массой т и прилипает к стержню.
Найти амплитуду малых колебаний пружины. Считать, что за время
удара пружина не деформируется.
10.23. Однородный тонкий стержень длиной
L и массой М лежит на горизонтальной плос¬
кости и может вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через его конец. В некоторый
момент стержень начинает вращаться с угловой
скоростью ш0 и неупруго ударяет центром по ша¬
рику массой т, слипаясь с ним (рис. 268). Ша¬
рик насажен на невесомую нерастянутую пру¬
жину жесткостью к, расположенную перпенди¬
кулярно стержню в момент удара, причем противоположный конец
пружины закреплен. Найти амплитуду а колебаний шарика, слип-
ч\ху\ч
(-шшт-
с
\т
Рис. 267
157
шегося со стержнем, считая колебания малыми. Трением шарика и
стержня о поверхность и размерами шарика пренебречь.
10.24. Два тонких стержня массой т и длиной I каждый, жестко
скрепленные под углом 90°, лежат на гладком горизонтальном столе.
Точка соединения стержней прикреплена к пружине жесткостью к
(рис. 269). Конструкция может вращаться вокруг вертикальной оси
А, проходящей через конец одного из стержней. В свободный торец
другого стержня ударяется и прилипает к нему маленький шарик
массой т, двигавшийся со скоростью v, направленной вдоль этого
стержня и пружины. Определить угловую амплитуду (р0 и период Т
возникающих малых колебаний.
'/////////////.
Рис. 269 Рис. 270 Рис. 271
10.25. Однородный тонкий стержень массой М лежит на гори¬
зонтальной поверхности и может вращаться вокруг вертикальной оси
С, проходящей через его конец. Центр стержня касается маленького
шарика массой т, насаженного на нерастянутую невесомую пружи¬
ну. Другой конец пружины закреплен. Пружину с шариком сжима¬
ют на малое расстояние АI (рис. 270), после чего шарик неупруго
ударяется в центр стержня и -слипается с ним. Найти амплитуду а
колебаний шарика, слипшегося со стерж¬
нем, считая его колебания малыми. Тре¬
нием шарика и стержня о поверхность и
размерами шарика пренебречь.
10.26. На абсолютно гладкой винтовой
шпильке с диаметром d и шагом резьбы
h находится цилиндрическая гайка мас¬
сой М с внешним диаметром D (рис. 271).
Гайка зажата с торцов двумя спиральны¬
ми пружинами с коэффициентами упругости к\ и к2- При вращении
гайки концы пружин свободно проскальзывают по торцевым поверх¬
ностям гайки. Найти период колебаний гайки.
10.27. Однородный тонкий стержень массой т и длиной I шарнир¬
но закреплен в точке А и может колебаться в вертикальной плоско¬
сти. К стержню на расстоянии а от точки А прикреплены две одина¬
ковые пружины жесткостью к (рис. 272). Определить период малых
колебаний стержня в плоскости чертежа, а также найти значения к,
для которых колебания возможны.
158
10.28. Два однородных тонких стержня одинаковой длины и с
разными массами тл и гп2 лежат на гладкой поверхности параллель¬
но друг другу. Стержни могут вращаться без трения вокруг верти¬
кальных неподвижных осей, отстоящих друг от друга на удвоенную
длину стержней (рис. 273). Свободные
концы стержней соединены невесомой
пружиной жесткостью к. Найти период
малых колебаний системы.
10.29. Пуля массой т летит со ско¬
ростью v0 и попадает в нижний конец
стержня массой т и длиной I, укреп¬
ленного вертикально с помощью горизонтальной оси С и двух пру¬
жин жесткостью к (рис. 274). Определить амплитуду малых угловых
колебаний стержня, если пуля застряла в нем.
10.30. Стержень массой т лежит на гладком горизонтальном сто¬
ле и прикреплен к стене за один из концов пружиной жесткостью к
(рис. 275). По этому концу стержня производится короткий удар
перпендикулярно его оси и вдоль пружины. Найти период малых
колебаний стержня.
Рис. 273
h
IJUUW
Фшшн
к
Рис. 274
Рис. 275
D
10.31. Два тонких стержня длиной 21 и массой т каждый жестко
соединены под углом 90° в форме креста (рис. 276). Конструкция
лежит на гладком горизонтальном столе и может вращаться вокруг
вертикальной оси А, проходящей через ко¬
нец одного из стержней. К другому концу
этого стержня прикреплена пружина жест¬
костью к, как показано на рисунке. В торец
второго стержня упруго ударяется малень¬
кий шарик массой т, летящий со скоростью
v вдоль оси стержня. Определить угловую
амплитуду сро и период Т возникающих малых колебаний системы.
10.32. Определить период малых колебаний колодезного ворота
около положения равновесия. Ворот представляет собой деревянный
цилиндр (рис. 277) с ручкой, изготовленной из металлического прута
Рис. 277
159
с погонной плотностью ц = 2кг/м, радиус которого можно считать
пренебрежимо малым по сравнению с радиусом ворота. Линейные
размеры ворота I = 1 м, D = 0,2 м, а = 0,3 м. Плотность дерева при¬
нять равной р = 700 кг/м3. Трением в подшипниках пренебречь.
10.33. Выполняя лабораторную работу на крестообразном маят¬
нике Обербека (рис. 278) и желая определить момент инерции маят¬
ника без грузов (т. е. момент инерции шкива и четырех спиц), сту¬
дент снял груз с одной из спиц, остальные три закрепил на концах
спиц и измерил период Т малых крутильных колебаний такого ма¬
ятника, который оказался равным 2,1 с. Чему равен искомый момент
инерции I, если длина каждой спицы г = 30 см, а масса каждого
груза m = 100 г? Грузы считать точечными, трением в подшипнике
пренебречь.
10.34. На горизонтальной плоскости находится цилиндр с момен¬
том инерции I (относительно его геометрической оси), массой m и
радиусом г. К оси цилиндра прикреплены две одинаковые горизон¬
тально расположенные спиральные пружины, другие концы которых
закреплены в стене (рис. 279). Коэффициент упругости каждой пру¬
жины равен к\ пружины могут работать как на растяжение, так и на
сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые возник¬
нут, если вывести его из положения равновесия и дать возможность
кататься без скольжения по горизонтальной плоскости.
—(ШШШ-f
в=в
Рис. 278
—штптш—I •
Рис. 279
3'—ШШШТ-Н 'К
Рис. 280
10.35. Два цилиндра с одинаковыми радиусами R и одинаковыми
массами m лежат на горизонтальном столе. Цилиндры имеют раз¬
ное распределение плотности материала вдоль радиуса и моменты
инерции цилиндров относительно оси симметрии равны Д = mR2/2
и 12 — тВ2/А. Оси цилиндров соединены двумя невесомыми пружи¬
нами жесткостью к каждая (рис. 280). В начальный момент времени
пружины растянуты на длину I, а цилиндры неподвижны. Опреде¬
лить период малых колебаний и амплитуду колебаний центра масс
системы, если цилиндры катаются по столу без проскальзывания, а
пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие.
10.36. Два цилиндра с одинаковыми радиусами R и с массами
т и 2т лежат на горизонтальном столе. Цилиндры имеют разное
160
распределение массы вдоль радиуса, моменты инерции цилиндров
относительно осей симметрии одинаковы и равны R = 12 = тН2/2.
Оси цилиндров соединены двумя невесомыми пружинами жестко¬
стью к каждая (рис. 281). В начальный момент времени пружины
растянуты на длину I, а цилиндры неподвижны. Определить период
малых колебаний и амплитуду колебаний центра масс системы, если
цилиндры катаются по столу без проскальзывания, а пружины могут
работать как на растяжение, так и на сжатие.
10.37. Достаточно тонкая пластинка из однородного материала
имеет форму равностороннего треугольника высотой h (рис. 282).
Она может вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с
одной из сторон пластинки. Найти период малых колебаний Т этого
физического маятника.
10.38. В центре обруча массой mj и радиусом R с помощью
легких спиц укреплен сплошной шар радиусом R/2 и массой т2 =
= 2т1. Обруч висит на гвозде А (рис. 283). Найти период его малых
колебаний.
10.39. Однородный стержень длиной 21 скользит по гладкой вер¬
тикальной окружности радиусом R (рис. 284). Найти период малых
колебаний стержня.
Рис. 284 Рис. 285 Рис. 286
10.40. Обруч радиусом г приварен к другому обручу такой
же массы радиусом 2г. Система стоит на горизонтальном столе
(рис. 285). Определить период ее малых колебаний. Проскальзыва¬
ние отсутствует.
10.41* В сплошном однородном цилиндре радиусом R сделана
цилиндрическая полость радиусом R/2 с осью, проходящей через
середину радиуса цилиндра (рис. 286). Определить период малых
161
колебаний Т, которые возникнут, если положить цилиндр на гори¬
зонтальную плоскость и дать ему возможность кататься по ней без
скольжения.
10.42. Маятник имеет вид обруча, висящего на легкой планке.
Найти период малых колебаний маятника. Радиус обруча равен R.
Расстояние АВ от центра обруча до точки подвеса маятника равно
2R (рис. 287).
Рис. 287
ЧА
Рис. 288
1°
< \ч
i
l
, 1
2а \ О'
Рис. 289
10.43. На конце стержня длиной I и массой m прикреплен сплош¬
ной диск радиусом R и массой М. Определить период малых коле¬
баний стержня с диском вокруг оси А, если диск может свободно
вращаться вокруг оси В, проходящей через
центр диска (рис. 288).
10.44. Однородная палочка подвешена
за оба конца на двух одинаковых нитях
длиной L. В состоянии равновесия обе ни¬
ти параллельны. Найти период Т малых
колебаний, возникающих после некоторо¬
го поворота палочки вокруг вертикальной
оси, проходящей через середину палочки.
10.45. Однородный массивный стержень длиной 2а симметрично
подвешен на двух нерастяжимых нитях длиной I, расстояние между
нитями 2b (рис. 289). Найти период малых крутильных колебаний
системы относительно вертикальной оси ОО'.
10.46. Тонкий диск, катающийся по наклонной
плоскости, прикреплен к неподвижной точке А тон¬
кой нерастяжимой нитью, как показано на рис. 290.
Угол наклона плоскости а, длина нити I. Диск ка¬
тится по плоскости без проскальзывания. Опреде¬
лить период малых колебаний диска. Трением ка¬
чения, толщиной диска и модулем кручения нити
пренебречь.
10.47. Однородный диск А массой М и радиу¬
сом 2R может совершать колебания, катаясь по по¬
верхности неподвижного цилиндра В, имеющего радиус R (рис. 291).
Центры цилиндра и диска стянуты стержнем массой m так, что при
Рис. 291
162
качении отсутствует проскальзывание. Пренебрегая трением в осях,
найти период этих малых колебаний.
10.48. Ось дверцы шкафа образует с вертикалью угол а. Ши¬
рина дверцы — Ъ. Считая дверцу однородной тонкой пластиной и
пренебрегая трением, найти период ее ма¬
лых колебаний относительно положения
равновесия.
10.49. Колесо автомобиля имеет в неко¬
торой точке довесок, массой много меньше
массы колеса. Вычислить разницу между
максимальной и минимальной силой давле¬
ния колеса на дорогу по отношению к весу
колеса, если его скорость v = 60 км/ч. Пе¬
риод малых колебаний колеса с довеском вокруг оси, проходящей
через центр колеса, Т = 16 с. Считать для простоты колесо тонким
однородным обручем.
10.50. В сплошном однородном шаре радиусом R имеется запол¬
ненная невязкой жидкостью сферическая полость радиусом г = 0,5R,
центр которой находится на расстоянии I — 0,4R от центра шара
(рис. 292). Определить период малых колебаний ша¬
ра относительно проходящей через его центр гори¬
зонтальной оси, полагая, что центр полости лежит
на перпендикулярном к оси вращения радиусе и что
плотность жидкости в 6 раз больше плотности ма¬
териала, из которого сделан шар.
10.51. Два одинаковых тонких и узких обруча массой тп и ра¬
диусом г жестко скреплены в одной точке так, что их плоскости
составляют угол 2а (рис. 293). Найти период малых колебаний этой
конструкции на горизонтальной поверхности.
Трением пренебречь.
10.52. Найти отношение периодов малых
колебаний Тх/Т2 однородного кругового кону¬
са, у которого радиус основания равен высо¬
те. В первом случае конус шарнирно закрепи¬
ли за вершину, во втором — за центр основа¬
ния. В обоих случаях ось вращения горизон¬
тальна.
10.53. Найти период крутильных колеба¬
ний диска, плотно насаженного на составной
стержень, состоящий из двух различных последовательно соединен¬
ных стержней (рис. 294). Верхний конец А стержня неподвижно
закреплен. Если бы диск был насажен только на первый стержень,
то период колебаний был бы равен Тх. Если бы он был насажен
только на второй стержень, то период колебаний оказался бы рав¬
ным Т2.
Рис. 293
163
10.54. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к
потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из
которых равна I. Определить период малых крутильных колебаний
плиты, которые возникнут, если повернуть ее на малый угол вокруг
вертикальной оси.
10.55. Как изменится ход карманных часов, если их положить
на горизонтальный абсолютно гладкий стол? Считать, что ось кру¬
тильного маятника часов проходит через их центр, а момент инерции
часов 10 в 500 раз больше момента инерции маятника I.
10.56. Во сколько раз изменится период колебаний крутильного
маятника, если его разместить на скамье Жуковского так, чтобы оси
вращения маятника и скамьи совпада¬
ли. Момент инерции маятника 10 в три
раза больше момента инерции скамьи I.
10.57. Найти период крутильных ко¬
лебаний ротора воздушно-реактивного
двигателя, если момент инерции осево¬
го компрессора /ь а турбины /2; модуль
кручения связывающего их стержня /.
10.58. Однородная пластинка, име¬
ющая форму равностороннего треуголь¬
ника, подвешена за вершины тремя ни¬
тями, имеющими одинаковую длину L. В состоянии равновесия пла¬
стинка горизонтальна и нити вертикальны. Найти период крутиль¬
ных колебаний пластинки вокруг вертикальной оси (считать, что
каждая нить отклоняется на малый угол от вертикали).
10.59. К концу стержня длиной а системы, изображенной на
рис. 295, приложена гармоническая сила F0 cos cot. Найти амплитуду
установившихся малых колебаний конца стержня,
если частота со вдвое меньше собственной частоты
системы. Стержень и пружины к\ и к2 считать неве¬
сомыми. Масса грузика — т.
10.60. Н. Е. Жуковским было предложено устрой¬
ство совершенного (без потерь) подвеса маятника,
схематически показанное на рис. 296. Муфта А, на¬
саженная на вал С, составляет одно целое с маятни¬
ком В. Вал расположен горизонтально и равномерно
вращается с угловой скоростью со, маятник соверша¬
ет колебания в плоскости, перпендикулярной к валу.
Рис. 296 Показать, что если угловая скорость вала достаточно
велика и сила трения муфты о вал не зависит от ско¬
рости скольжения, то потери энергии колебаний в подвесе не будет.
Как велика должна быть скорость вращения вала?
10.61* Каким образом изменится характер колебаний маятника,
если сила трения муфты о вал (рис. 296) будет зависеть от скоро¬
сти скольжения муфты по валу при сохранении остальных условий
164
предыдущей задачи? Рассмотреть два случая: 1) сила трения возрас¬
тает с увеличением скорости скольжения; 2) сила трения уменьша¬
ется с увеличением скорости скольжения.
10.62. Пуля пролетела со скоростью 660 м/с на расстоянии 5 м
от человека. На каком расстоянии от человека была пуля, когда он
услышал ее свист?
10.63. Какова длина L струны, если при укорачивании ее на 10 см
частота колебаний повышается в полтора раза? Натяжение струны
остается неизменным.
10.64. Две струны имеют одинаковую длину и натяжение. Как
относятся периоды их собственных колебаний, если диаметр одной
струны в два раза больше диаметра другой? Струны сделаны из од¬
ного материала.
10.65. Как следует изменить натяжение струны, чтобы она давала
тон в три раза более низкий?
10.66. Струна звучит с частотой 400 Гц. В каком месте и как
следует задержать движение струны, чтобы она звучала с частотой:
1) 800 Гц; 2) 1200 Гц? Можно ли, зажимая струну, понизить частоту
ее звучания?
10.67. Мастер, натягивающий первую струну теннисной ракет¬
ки, установил рекомендуемое для современных струн натяжение Т =
= 255 Н. При этом струна издает звук соль, т. е. на один тон ниже
ля второй октавы, частота которой по ГОСТу равна 880 Гц. Длина
зеркала ракетки там, где натягивается первая струна, равна 270 мм.
Масса всей струны в нерастянутом состоянии (L0 = 13,3 м) состав¬
ляет М = 21г. Помогите мастеру определить, насколько вытягива¬
ется струна при силе Т = 255 Н. Октава составляет диапазон частот
от "V! до "v2. Частоты "Vi и л/2 связаны соотношением log2 (^2/^1) = 1.
Один музыкальный тон (два полутона) равен 1/6 октавы.
10.68. Как показывает опыт, скорость v распространения про¬
дольных деформаций в сплошной среде зависит от модуля упругости
среды Е и от ее плотности р. Пользуясь методом размерностей, най¬
ти выражение для зависимости v от указанных параметров среды.
10.691 Как показывает опыт, скорость v распространения импуль¬
са поперечных деформаций вдоль натянутой однородной струны зави¬
сит от силы ее натяжения Г и от массы р, приходящейся на единицу
длины струны. Пользуясь методом размерностей, найти выражение
зависимости скорости v от указанных параметров струны.
10.70. Две синусоидальные волны излучаются двумя источника¬
ми. Найти движение частицы, находящейся на расстояниях d\ и d2
от этих источников, если распространение волн подчиняется прин¬
ципу суперпозиции, источники колеблются в одинаковой фазе и с
одинаковой частотой и если направления колебаний в рассматривае¬
мой точке совпадают.
10.71. Амплитуда колебаний давления звуковой волны АР —
= 100дин/см2 (громкий звук). Найти поток энергии J, попадающей
165
за 1 с в ухо человека. Считать площадь S уха равной 4 см2 и ухо пер¬
пендикулярным к направлению распространения волны. Плотность
воздуха р = 1,3 • 10“3 г/см3, скорость звука 334 м/с.
10.72. Плоская бегущая акустическая волна может быть пред¬
ставлена следующим уравнением:
у = 0,05sin(1980i — 6х),
где у — смещение частицы в направлении распространения волны в
сантиметрах, t — время в секундах, х — расстояние в метрах по оси,
вдоль которой распространяется волна. Найти: 1) частоту колебаний
"V; 2) скорость с распространения волны; 3) длину волны Л; 4) ампли¬
туду колебаний скорости и каждой частицы; 5) амплитуду колебаний
давления АР, если давление Р и объем v связаны законом адиабаты
Pv1’4 ~ const.
10.73. Определить отношение периодов малых колебаний одно¬
родного куба, если в первом случае его шарнирно закрепили за се¬
редину одного из ребер, а во втором —■ за середину диагонали одной
из граней. В обоих случаях ось вращения горизонтальна. Плоскость
колебаний перпендикулярна ребру в первом случае и диагонали во
втором случае.
10.74. При какой высоте Н сплошного конуса частота его кру¬
тильных колебаний вокруг произвольной оси, проходящей через
центр масс, будет равна частоте крутильных колебаний шара ра¬
диусом Д0 вокруг оси, проходящей через центр шара? Шар и конус
изготовлены из материалов с одинаковой плотностью и подвешива¬
ются на проволоках с равными модулями кручения.
10.75. При каком радиусе Д основания сплошного конуса пери¬
од его крутильных колебаний вокруг произвольной оси, проходящей
через центр масс, будет равен периоду крутильных колебаний куба с
длиной ребра I вокруг диагональной оси, проходящей через центр ку¬
ба? Куб и конус изготовлены из материалов с одинаковой плотностью
и подвешиваются на проволоках с равны¬
ми модулями кручения.
10.76. Груз в виде сплошного цилин¬
дра массой 777., который не должен испы¬
тывать ударных нагрузок при разгоне и
торможении, закреплен в кузове автомо¬
биля с помощью двух пружин, связанных
с горизонтальной осью, проходящей по
оси цилиндра, вокруг которой он может
свободно вращаться. При наклоне кузо¬
ва под углом ос = 30° к горизонту (см. рис. 297), частота колебаний,
при которых цилиндр катается по кузову без проскальзывания, равна
си = у'16k/lira. Определить у — отношение массы автомобиля М
к массе цилиндра, если при этих колебаниях автомобиль находится
166
на горизонтальной поверхности и может перемещаться по ней без
трения. Жесткость каждой пружины равна к.
10.77. Груз, являющийся неоднородным шаром с переменной по
радиусу плотностью, для предотвращения ударных нагрузок при раз¬
гоне и торможении тележки закреплен на ней с помощью двух пру¬
жин, связанных с горизонтальной осью, проходящей через центр ша¬
ра, вокруг которой он может свободно вращаться. Настил тележки
наклонен под углом а = 30° к горизонту (см. рис. 298), радиус шара
равен R, масса шара т, масса тележки М = 3т , жесткость каж¬
дой пружины к. Частота колебаний, при которых шар катается по
настилу без проскальзывания, равна со = у/2к/гп. Определить мо¬
мент инерции шара относительно оси вращения. Тележка находится
на горизонтальной поверхности и может перемещаться по ней без
трения.
10.78. Елочная игрушка изготовлена из трех одинаковых тонких
квадратов, расположенных во взаимно перпендикулярных плоскостях
так, что их центры, совпадают. Игрушка подвешена за вершину од¬
ного из квадратов (см. рис. 299). Определить период Т колебаний
игрушки как физического маятника. Сторона квадрата равна а.
10.79. Елочная игрушка изготовлена из трех одинаковых тонких
дисков, соединенных взаимно перпендикулярно так, что их центры
совпадают. Игрушка подвешена на нитке АВ, жестко привязанной
к точке на краю одного из дисков на равном расстоянии от двух
других (см. рис. 300). Определить частоту си колебаний игрушки
как физического маятника. Длина нитки I = R/2, где R — радиус
дисков.
10.80. Однородная тонкая пластинка, имеющая форму сектора
круга радиусом R с углом раствора а < эт, колеблется, оставаясь в
вертикальной плоскости, вокруг оси, проходящей через вершину сек¬
тора (центр круга). Определить период малых колебаний пластинки.
Примечание. Задача может быть решена без нахождения по¬
ложения центра масс пластинки.
10.81. Однородная тонкая пластинка, имеющая форму круга ра¬
диусом R, из которого удален сектор с углом раствора а < эт, колеб¬
Рис. 298
Рис. 299
Рис. 300
167
Рис. 301
лется, оставаясь в вертикальной плоскости, вокруг оси, проходящей
через центр круга. Определить период малых колебаний пластинки.
Примечание. Задача может быть решена без нахождения по¬
ложения центра масс пластинки.
10.82. Кубик и сплошной однородный цилиндр, массы которых
равны т, лежат на горизонтальном столе и связаны двумя пружи¬
нами жесткостью к каждая (рис. 301). Кубик на своей части стола
скользит без трения, а цилиндр, свободно вращаясь вокруг оси сим¬
метрии, катается без проскальзывания. Опре¬
делить частоту колебаний в системе. Какова
амплитуда колебаний центра масс системы,
если длина пружины в ходе колебаний меня¬
ется от 1г до Z2?
10.83. Кубик массой т и сплошной одно¬
родный цилиндр лежат на столе и связаны
двумя пружинами жесткостью к каждая (рис. 301). Кубик по сво¬
ей части стола скользит без трения, а цилиндр, свободно вращаясь
вокруг оси симметрии, катается без проскальзывания. После воз¬
буждения колебаний в системе амплитуды перемещения кубика и
цилиндра оказались равными. Определить массу цилиндра М и пе¬
риод малых колебаний в системе. Какова амплитуда колебаний цен¬
тра масс системы, если длина пружины в ходе колебаний меняется
от 1г до /2?
10.84. Найти период малых колебаний половинки сплошного ци¬
линдра радиусом R, находящейся на горизонтальной поверхности.
При колебаниях проскальзывание отсутствует.
10.85. Найти период малых колебаний «ваньки-встаньки», состо¬
ящего из тяжелой половинки шара радиусом R и легкой оболочки,
массой которой можно пренебречь. При колебаниях проскальзывание
отсутствует.
§ 11. Пространственное движение твердого тела.
Гироскопы
11.1. Симметричный волчок массой т, ось фигуры которого на¬
клонена под углом а к вертикали (рис. 302), совершает регулярную
прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О непо¬
движна. Определить, под каким углом (3 к вертикали направлена
сила, с которой волчок действует на плоскость опоры. Расстояние
от точки опоры волчка до его центра масс равно а, момент инерции
волчка относительно его оси равен 1\\.
11.2. Гироскопический маятник, используемый в качестве авиаго¬
ризонта, характеризуется следующими параметрами: масса махович¬
ка гироскопа m = 5 • 103 г, момент инерции маховичка относительно
оси фигуры /ц = 8 • 104 г • см2, расстояние между точкой подвеса и
168
центром масс маховичка I = 0,25 см. Гироскоп делает 20000 об/мин.
Когда самолет, на котором был установлен прибор, двигался рав¬
номерно, ось фигуры маятника была вертикальна. Затем в течение
времени т = 10 с самолет двигался
с горизонтальным ускорением а =
= 1 м/с2. Определить угол а, на кото¬
рый отклонится от вертикали ось фигу¬
ры гироскопического маятника за вре¬
мя ускорения.
11.3. Однородный стержень длиной
/ подвешен за конец на горизонтальной
оси, укрепленной на стойке центробеж¬
ной машины. При отсутствии враще¬
ния положение стержня совпадает с
осью машины. На какой угол откло¬
нится стержень при вращении машины
с угловой скоростью со?
11.4. Сделать оценку порядка величины момента импульса L ве¬
лосипедного колеса, едущего со скоростью 30 км/ч. Какой момент
сил надо приложить, чтобы повернуть руль на 1 радиан за время 0,1 с?
11.5? Оценить, с какой минимальной скоростью v надо выпустить
на полюсе Земли снаряд массой т = 1000 т, чтобы повернуть зем¬
ную ось относительно системы «неподвижных звезд» на угол а = 1°.
Масса Земли М = 6 • 1024 кг. Длина градуса земного меридиана I =
= 111 км. Землю считать однородным шаром.
11.6. С северного полюса по касательной к Земле стартует кос¬
мическая ракета. Найти, на сколько повернется земная ось в резуль¬
тате запуска ракеты. Масса Земли равна 6 • 1024 кг. Радиус Земли
6400 км. Масса ракеты 1000 т. Двигатель ракеты работает только на
старте. Скорость ракеты на старте равна 15 км/с.
11.7. В районе северного полюса на Землю падает метеорит под уг¬
лом 45° к вертикали. Масса метеорита 1000 т. Его скорость 20 км/с.
Найти, на сколько повернется земная ось в результате соударения с
метеоритом. Масса Земли 6 • 1024 кг, ее радиус 6400 км.
11.8. Самолет при скорости и = 300 км/ч делает поворот радиу¬
сом R = 100 м. Пропеллер с моментом инерции I = 7 кг • м2 делает
N = 1000 об/мин. Чему равен момент М гироскопических сил, дей¬
ствующих на вал со стороны пропеллера?
11.9. Гребной винт миноносца делает N = 750 об/мин, масса вин¬
та с валом т = 12 т, радиус инерции р = 25 см. Миноносец делает
поворот, двигаясь по дуге окружности радиусом R = 600 м со скоро¬
стью v = 72 км/ч. Найти гироскопическое давление в подшипниках
винта, если расстояние между подшипниками а = 1м.
11.10. Определить максимальное гироскопическое давление быст¬
роходной турбины, установленной на корабле. Корабль подвержен
169
килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 с вокруг оси, перпен¬
дикулярной оси ротора. Ротор турбины массой 3500 кг и радиусом
инерции 0,6 м делает 3000 об/мин. Расстояние между подшипника¬
ми равно 2 м.
11.11. По внутренней поверхности вертикальной цилиндрической
стены едет мотоцикл. Чтобы обеспечить возможность движения в
строго горизонтальном положении, к мотоциклу приделан маховик с
моментом инерции /, вращающийся вокруг оси, которая вертикаль¬
на, когда мотоцикл стоит на земле. Масса мотоцикла с каскадером
равна т, а центр масс находится на расстоянии
h от поверхности стены (радиус цилиндриче¬
ской стены много больше размеров мотоцикла).
Каков должен быть коэффициент передачи вра¬
щения N от колес к маховику, чтобы мотоцикл
мог без проскальзывания колес двигаться, не
теряя высоты? Радиус колес г. Коэффициент
трения между колесами и стеной равен к.
11.12. Упругий мяч массой т = 0,2 кг уда¬
ряется со скоростью ц = 20м/с в центр
неподвижного гладкого кожуха гироскопа,
обладающего моментом импульса L = Lz =
= 40 кг • м2/с и имеющего одну неподвижную точку х = у = z = 0
(рис. 303). Координаты точки удара х0 = 0, z0 = 0,2 м. Какое поло¬
жение примет ось гироскопа после удара?
11.13. Симметричный волчок с наклоненной осью, поставленный
на горизонтальную плоскость, совершает регулярную прецессию под
действием силы тяжести. Точка опоры волчка движется по этой плос¬
кости по окружности с постоянной скоростью. Центр инерции волч¬
ка, оставаясь на одной и той же высоте, также с постоянной скоро¬
стью движется по окружности радиусом R. Определить, под каким
углом а к вертикали направлена сила реакции F,
с которой плоскость действует на волчок. Вол¬
чок имеет форму однородного диска радиусом г
и вращается вокруг оси фигуры с угловой ско¬
ростью си. Расстояние от точки опоры до центра
инерции волчка равно I.
11.14. Гироскопические эффекты используют¬
ся в дисковых мельницах. Массивный цилиндри¬
ческий каток (бегун) весом Р, способный вра¬
щаться вокруг своей геометрической оси, приво¬
дится во вращение вокруг вертикальной оси (с угловой скоростью П)
и катится по горизонтальной опорной плите (рис. 304). Такое вра¬
щение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа,
каковым является бегун. При вынужденной прецессии возрастает си¬
ла давления бегуна на горизонтальную плиту, по которой он катится.
Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток
W/7?.ТТ/М77777/777777,
Рис. 304
170
на плиту. Вычислить полную силу давления катка на опорную плиту,
если радиус бегуна г = 50 см, а рабочая скорость 1 об/с.
11.15. Диск радиусом г, вращающийся вокруг собственной оси с
угловой скоростью си, катится без скольжения в наклонном положе¬
нии по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время Т.
Определить Т и радиус окружности R, если R^> г, а угол между
горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен а.
11.16. Вертикальный стержень АВ в точке А жестко скреплен с
опорой. В точке В (рис. 305) к стержню шарнирно крепится ротор ги¬
роскопа (диск радиусом R = 2 см, вращающийся с угловой скоростью
"V — 500 об/с). Центр масс ротора находится на расстоянии h = 2 см
от точки В. Системе, находящейся в поле тяжести Земли, сообщают
горизонтальное ускорение а = 3 м/с2, причем в момент «включения»
ускорения векторы а и "V параллельны. Определить величину и на¬
правление угловой скорости прецессии гироскопа.
Рис. 305 Рис. 306
11.17. Ротор гироскопа (диск радиусом R = 2 см, вращающийся с
угловой скоростью "V = 30000 об/мин) шарнирно закреплен в точке
А. Центр масс ротора расположен на расстоянии b = 2 см от шарнира
(рис. 306). Системе, находящейся в поле тяжести Земли, сообщают
горизонтальное ускорение а — 2 м/с2. Определить максимальное от¬
клонение оси гироскопа от вертикали и время, через которое первый
раз будет достигнуто это положение.
11.18. С автомобиля, движущегося со скоростью v, соскочило ко¬
лесо и покатилось по земле. Наблюдение показало,что колесо описа¬
ло по земле окружность радиусом R. Определить угол наклона оси
колеса к горизонту. Всю массу колеса считать сосредоточенной на
периферии. Известно, что i?, много больше радиуса колеса.
11.19? Условие, при котором симметричный гироскоп может со¬
вершать регулярную прецессию, можно получить, применяя теорему
Кориолиса. Рассмотреть тонкое кольцо, равномерно вращающееся в
своей плоскости с угловой скоростью си и прецессирующее вокруг
одного из диаметров с постоянной угловой скоростью И (рис. 307).
Какие силы надо приложить к кольцу для поддержания такой регу¬
лярной прецессии?
171
11.20. Шар радиусом R и связанная с ним тонкая пренебрежимой
массы жесткая спица АВ, являющаяся продолжением его диаметра,
раскручены вокруг горизонтальной оси, проходя¬
щей через центр шара и спицу, до угловой скоро¬
сти со (рис. 308). В спицу на расстоянии 2R от
центра шара абсолютно упруго ударяется точеч¬
ная масса, имеющая до удара скорость v0. Ско¬
рость v0 перпендикулярна спице и лежит в го¬
ризонтальной плоскости, проходящей через центр
шара (в плоскости рисунка). После удара точеч¬
ная масса остановилась, а максимальный угол от¬
клонения спицы от горизонтальной плоскости составил ср. Опре¬
делить ср, если отношение Rw/v0 = 50. Силы трения отсутствуют.
Движение происходит в свободном пространстве.
11.21. Шар радиусом R и связанная с ним тонкая пренебрежимой
массы жесткая спица АВ, являющаяся продолжением его диамет¬
ра, раскручены вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр
шара и спицу, до угловой скорости со
(рис. 308). В спицу на расстоянии 2R
от центра шара абсолютно упруго ударя¬
ется точечная масса, имеющая до удара
скорость v0. Скорость v0 перпендикулярна
спице и лежит в горизонтальной плоскости,
проходящей через центр шара (в плоскости
рисунка). Определить отношение v0/Rw,
если после удара точечная масса остано¬
вилась, а максимальный угол отклонения спицы от горизонтальной
плоскости составил 90°. Силы трения отсутствуют. Движение про¬
исходит в свободном пространстве.
11.22? Однородный гладкий сплошной шар, находящийся на го¬
ризонтальном столе, быстро вертится вокруг своего вертикального
диаметра с угловой скоростью со0 (рис. 309). В него
ударяется второй точно такой же шар, имеющий ско¬
рость v0. Происходит абсолютно упругий удар без
передачи вращения. Ударяемый шар начинает дви¬
гаться по столу со скольжением. Коэффициент тре¬
ния скольжения к не зависит от скорости. Найти
угол а между мгновенной осью вращения ударяемо¬
го шара и вертикальной линией для любого момента
времени t, когда еще не прекратилось скольжение.
Найти также значение этого угла в момент, когда
движение переходит в чистое качение. Трением вер¬
чения и трением качения пренебречь. Рассмотреть частный случай,
когда величины v0 и со0 связаны соотношением v0 = ш0г.
11.23. Два точечных одинаковых груза массой т вращаются во¬
круг неподвижной жесткой оси на штанге с постоянной угловой ско¬
Рис. 310
Рис. 308
172
ростью си (рис. 310). Ось и штанга невесомые. Подсчитать и изоб¬
разить на рисунке мгновенное положение вектора момента импульса
L системы относительно точки О. Зависит ли L от выбора точки
отсчета? Найти силы F, удерживающие ось в подшипниках А: а) из
элементарных соображений; б) найдя сначала их момент М = dL/dt.
11.24. Тонкий стержень длиной I = 1 м и массой т = 10 кг враща¬
ется вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, совершая
п = 3000 об/мин (рис. 311). Ось вращения составляет со стержнем
угол а = 89,9°. Каковы силы, действующие на подшипники, в кото¬
рых закреплена ось? Подшипники расположены симметрично отно¬
сительно стержня на расстоянии а = 20 см друг от друга.
11.25. «Твердое тело» состоит из восьми материальных точек т,
расположенный в вершинах куба. Показать, что любая ось, проходя¬
щая через центр инерции этого «тела», является свободной.
11.26. Ротор гироскопа, представляющий собой массивный одно¬
родный диск радиусом г = 2 см, вращающийся с постоянной угловой
скоростью -v = 500o6/c, шарнирно закреплен в точке О (рис. 312).
Вертикальный стержень АО в точке А жестко скреплен с опорой.
Центр масс ротора С находится на расстоянии I = 2 см от точки О.
Ракета стартует с Земли и поднимается вертикально вверх с ускоре¬
нием а. Определить угол поворота оси гироскопа относительно вер¬
тикальной оси АО, если за время т = 10 с ракета достигает скорости
v = 200 м/с.
11.27. Артиллерийский снаряд летит в воздухе, вращаясь вокруг
оси симметрии со скоростью со (рис. 313). Результирующая сила со¬
противления воздуха, равная F, приложена на расстоянии I от цен¬
тра масс снаряда и направлена параллельно касательной к траекто¬
рии полета. Момент инерции снаряда относительно оси симметрии I.
Найти время Т полного оборота оси симметрии снаряда вокруг каса¬
тельной к траектории его центра масс (штрих-пунктирная линия на
рисунке — ось симметрии, а сплошная — касательная к траектории
в центре масс).
11.281 На борту корабля, плывущего в экваториальных водах, на¬
ходится гирокомпас. Гирокомпасом является гироскоп, сферический
кожух которого плавает в жидкости (рис. 314, ц. т. — центр тяже¬
сти кожуха). Ротор гироскопа вращается вокруг оси симметрии с
173
угловой скоростью со = 20007ГС"1. Момент инерции гироскопа отно¬
сительно оси симметрии 1а и относительно перпендикулярной оси 1п,
отношение In/Is = 0,6. Определить период Т0 малых колебаний оси
гирокомпаса в горизонтальной плоскости в случае со ;§> Г2з, где Г23 —
угловая скорость вращения Земли.
11.29. Ось симметрии ротора гирокомпаса, помещенного на эква¬
торе Земли, совершает малые колебания с периодом Т = 5 с в плос¬
кости поверхности океана. Гирокомпасом является гироскоп, сфери¬
ческий кожух которого плавает в жидкости (рис. 314, ц.т. — центр
тяжести кожуха). Ротор гироскопа, вращающийся вокруг оси сим¬
метрии с угловой скоростью со Г2з, где Г23 — угловая скорость
вращения Земли, обладает моментами инерции относительно оси
симметрии 1а и относительно перпендикулярной оси 1п. При этом
известно, что отношение In/Is — 0,5. Найти скорость вращения ги¬
рокомпаса.
11.30. Уравновешенный гироскоп с тремя степенями свободы раз¬
мещен в лаборатории МФТИ (широта местности ср = 56°). Момент
инерции ротора I = 8 • 104 г • см2, ротор вращается со скоростью п =
= 24000 об/мин. В некоторый момент времени ось ротора гироско¬
па оказалась расположенной горизонтально в плоскости меридиана.
Определить минимальную величину, а также направление силы, ко¬
торую надо приложить к гироскопу на расстоянии I = 15 см от его
центра масс, чтобы ось ротора все время сохраняла свою ориента¬
цию относительно Земли (оставалась направленной по меридиану).
Трением в системе подвеса гироскопа можно пренебречь.
11.31. Уравновешенный гироскоп с тремя степенями свободы рас¬
положен так, что ось его ротора в некоторый момент расположена
горизонтально в плоскости меридиана. В точке оси, отстоящей на
расстоянии I — 10 см от центра масс ротора, помещен груз массой
m = 2 г, в результате чего ось ротора остается все время направ¬
ленной по меридиану. Момент инерции ротора I = 105 г • см2, ротор
вращается со скоростью п = 40000 об/мин.
Определить широту места, где расположен ги¬
роскоп. Трением в системе подвеса гироскопа
можно пренебречь.
11.32. Карлсон катается на карусели, враща¬
ющейся под действием его пропеллера с часто¬
той NK — 0,1 об/с. Карлсон стоит строго верти¬
кально на расстоянии R= 1 м от оси карусели
(рис. 315). Масса Карлсона m = 30 кг, рост h =
— 80 см, частота вращения пропеллера ппроп = 50 об/с, момент инер¬
ции пропеллера I = 0,1 кг • м2. Можно считать, что пропеллер вра¬
щается в центре масс Карлсона на середине его роста. Найти направ¬
ление и величину силы тяги пропеллера FT.
11.33. Во время выступления в телешоу «Ледниковый период»
Карлсон с работающим пропеллером за спиной описывает полную
174
Рис. 316
окружность за время Т = 10 с (рис. 316). Во время выполнения этой
фигуры его корпус строго вертикален, коньки расположены в первой
балетной позиции — пятки вместе, носки врозь —
и находятся на линии окружности, а ось пропелле¬
ра направлена по радиусу вращения. Масса Карлсона
m = 30 кг, рост h = 80 см, частота вращения пропел¬
лера ппроп = 50 об/с, момент инерции пропеллера I =
= 0,1кг-м2. Можно считать, что пропеллер враща¬
ется в центре масс Карлсона на середине его роста,
обеспечивая силу тяги F = 10 Н. Найти, под каким углом к вер¬
тикали Карлсон за то же время проезжал эту же окружность на
репетиции, когда пропеллер был неподвижен.
11.34. Угловая скорость прецессии волчка, имеющего форму кру¬
гового конуса, опирающегося своей вершиной на горизонтальную
плоскость, равна ST Определить собственную угловую скорость волч¬
ка си, если радиус основания конуса равен г, а высота h. Предпола¬
гается, что си П.
11.35. Однородный тонкий стержень длиной 21 подвешен за се¬
редину на нити. Ни один из концов стержня надето велосипедное
колесо, которое вращается вокруг стержня с большой постоянной
угловой скоростью си. Определить угловую скорость П прецессии
стержня с колесом, если масса обода М, масса всех спиц т, радиус
кольца г. Толщина обода и спиц мала по сравнению с радиусом коле¬
са. Массой стержня пренебречь. Сопротивлением нити на кручение
пренебречь.
§ 12. Неинерциальные системы отсчета
12.1. Каков будет период малых колебаний математического ма¬
ятника длиной I, если маятник колеблется в вагоне, движущемся в
горизонтальном направлении с ускорением а?
12.2. На ракете, взлетающей вертикально вверх с ускорением а,
установлены маятниковые часы. Какой промежуток времени Т) из¬
мерят часы с момента старта ракеты до падения ее на Землю, если
п т п
1ГТГТПЛПГ] [inru i/u u
(05 W
Рис. 317
тележкой? Рассмотреть два случая: 1) тележка получает ускорение,
очень медленно нарастающее от нуля до а = 0,98 м/с2; 2) тележка
в момент времени t — 0 внезапно получает ускорение а, остающееся
затем неизменным. Трением пренебречь.
двигатель во время подъема ракеты работал время
Т, измеренное по часам на Земле?
12.3. На тележке укреплен горизонтальный
стержень, по которому может скользить без тре¬
ния муфта массой т = 1 кг (рис. 317). К муфте
прикреплены две пружины, общий коэффициент
упругости которых к = 1 Н/см. Как будет двигать¬
ся груз относительно системы отсчета, связанной с
175
12.4? В состоянии равновесия центры масс муфты и тележки,
описанные в условии предыдущей задачи, находились на одной вер¬
тикали (рис. 317). Какое возникает движение, если муфту сместить
из положения равновесия на величину I — 6 см и прикрепить нитью
к тележке, а затем нить пережечь? Масса тележки без муфты равна
М — 5 кг, массой пружины пренебречь. Силу трения не учитывать.
12.5. Из орудия, установленного в точке земной поверхности с
географической широтой ф = 30°, производится выстрел в направле¬
нии на восток. Начальная скорость снаряда v0 = 500 м/с, угол выле¬
та снаряда (т. е. угол наклона касательной в начальной точке траек¬
тории к плоскости горизонта) а = 60°. Пренебрегая сопротивлением
воздуха и учитывая вращение Земли, определить приближенно от¬
клонение у точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое
это будет отклонение — к югу или к северу? (Плоскостью стрель¬
бы называется плоскость, проходящая через направление касатель¬
ной в начальной точке траектории и направление отвеса в той же
точке.)
12.6. Вращение Земли приводит к отклонению свободно падаю¬
щих тел (без начальной скорости) от направления отвеса. В какую
сторону направлено это отклонение и чему равна его величина? Про¬
вести решение задачи в системе отсчета, связанной с Землей.
12.7. Из ружья произведен выстрел строго вверх (т. е. параллель¬
но линии отвеса). Начальная скорость пули г>0 = 100м/с, геогра¬
фическая широта места ф = 60°. Учитывая осевое вращение Земли,
определить приближенно, насколько восточнее или западнее от ме¬
ста выстрела упадет пуля. Сопротивление воздуха не учитывать.
12.8. Под каким углом а к вертикали надо выстрелить, чтобы
пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел?
Использовать данные предыдущей задачи.
12.9. Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории
(т. е. траектории, которую приближенно можно считать горизонталь¬
ной прямой). Горизонтальная скорость снаряда v0 = 900 м/с. Снаряд
должен поразить цель на расстоянии L = 18 км. Пренебрегая сопро¬
тивлением воздуха, определить боковое отклонение снаряда от цели,
обусловленное вращением Земли. Зависит ли это отклонение от на¬
правления стрельбы? Географическая широта места ф = 60° с.ш.
12.10.. На небольшой высоте над Землей на экваторе выпущена
пуля из ружья в горизонтальном направлении на восток с начальной
скоростью v = 860 м/с. На сколько изменится понижение траектории
пули за одну секунду, если произвести выстрел на запад с той же
начальной скоростью? Сопротивление воздуха не учитывать.
12.11. Прицел у пушки настроен так, что снаряд попадал бы в
цель, если бы Земля не вращалась. В какую сторону и на сколько
отклонится снаряд, если пушка стреляет горизонтально на север на
расстояние 2 км на широте 45°? Начальная скорость снаряда 300 м/с.
Радиус Земли 6400 км.
176
12.121 Суточное вращение Земли приводит к отклонению артил¬
лерийских снарядов и ружейных пуль от начального направления
выстрела, заданного в горизонтальной плоскости по земным ориен¬
тирам. Рассчитать величину х поперечного смещения пули, выпу¬
щенной в плоскости меридиана по горизонтальному направлению, за
первую секунду ее полета. Выстрел производен на широте Москвы
(55°45'), начальная скорость пули 1000 м/с. Указать, в какую сто¬
рону отклонится пуля, если в момент выстрела ствол ружья был
направлен на юг. Силу сопротивления воздуха полету пули не учи¬
тывать. Решить задачу в системе отсчета, связанной с Землей.
12.13. Небольшая, залитая льдом площадка расположена в центре
карусели, вращающейся с небольшой угловой скоростью си. Площад¬
ка имеет форму квадрата со стороной I. Лежащей у борта площадки
шайбе сообщают перпендикулярную борту скорость v. Упруго от¬
разившись от противоположного борта, шайба вновь возвращается
к борту, у которого она сначала находилась. Определить, насколь¬
ко сместилась шайба относительно места, откуда она начала дви¬
жение.
12.14. На 60° с.ш. паровоз массой в 100 т идет с юга на север со
скоростью v = 72 км/ч по железнодорожному пути, проложенному
по меридиану. Найти величину и направление той силы, с которой
паровоз действует на рельсы в направлении, перпендикулярном ходу
поезда.
12.15. Пароход движется на восток вдоль параллели с географи¬
ческой широтой ср = 60°. Скорость парохода v = 10 м/с. Определить
вес тела Р на пароходе, если взвешивание производится на пружин¬
ных весах. Вес того же тела, неподвижного относительно Земли, в
той же точке земной поверхности равен Р0.
12.161 На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены
с запада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения.
Пушка стреляет вертикально вверх. Какую скорость v0 будет иметь
пушка после выстрела? Куда будет направлена эта скорость? Масса
пушки М, масса снаряда т, длина ствола I. Считать, что снаряд
движется в стволе с постоянным ускорением а.
12.17. Подвешенная над поверхностью Земли на широте ф = 60°
труба массой М может вращаться вокруг горизонтальной оси, про¬
ходящей через ее верхний торец и лежащей в плоскости меридиана.
В начальный момент, когда труба неподвижна, в нее сверху вводят
короткий цилиндр массой т = М/10 и придают ему вертикально
направленную скорость v. Вычислить угловую скорость трубы со в
момент выхода из нее цилиндра. Считать, что диаметр цилиндра при¬
близительно равен внутреннему диаметру трубы, сила трения мала,
аи» V^Ig. Длина трубы I много больше ее радиуса.
12.181 На полюсе установлена пушка, ствол которой направлен
горизонтально вдоль меридиана и может свободно вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через замок орудия. С какой угловой
177
скоростью относительно Земли будет вращаться ствол пушки после
выстрела? Считать, что в начальный момент времени снаряд нахо¬
дится на оси вращения и движется внутри ствола при выстреле с
постоянным ускорением а. Масса пушки (М = 1000 кг) значительно
больше массы снаряда (т = 10 кг). Длина ствола значительно боль¬
ше его диаметра.
12.19. Стрелок и мишень находятся в диаметрально противопо¬
ложных точках карусели радиусом Д = 5м, равномерно вращаю¬
щейся вокруг вертикальной оси. Период вращения карусели Т =
= 10 с, скорость пули v = 300 м/с. Пренебрегая максимальной ли¬
нейной скоростью вращающейся карусели cjoR по сравнению со ско¬
ростью пули, определить приближенно, под каким углом ос к диа¬
метру карусели должен целиться стрелок, чтобы поразить мишень.
Задачу рассмотреть как с точки зрения вращающейся, так и с точки
зрения неподвижной системы, и сравнить результаты.
12.201 Стрелок и мишень расположены в диаметрально проти¬
воположных точках карусели диаметра D — 20 м, вращающейся с
постоянным угловым ускорением со. Стрелок целится в мишень, не
вводя поправки на вращение карусели. Каково должно быть угло¬
вое ускорение карусели со, чтобы при этих условиях пуля попала
в цель, если в момент выстрела угловая скорость карусели была
со0 = 1 рад/мин, а скорость пули v0 = 200 м/с? Стрелок и условия
стрельбы предполагаются идеальными. Влиянием центробежной си¬
лы пренебречь.
12.21. Иногда устраивают в качестве аттракциона комнату, вра¬
щающуюся вокруг вертикальной оси. Пол такой комнаты имеет во¬
гнутую форму. Во время вращения все находящиеся там предметы
и люди стоят на этом полу, как на плоском, устойчиво и нормально
к его поверхности. Определить форму пола, если угловая скорость
вращения комнаты равна си.
12.22. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окруж¬
ность на постоянной высоте. Какое направление будет указывать
нить отвеса, подвешенного в салоне самолета? Найти период малых
колебаний математического маятника внутри самолета, если длина
маятника равна I, корпус самолета наклонен к направлению горизон¬
та под углом ос.
12.23. Самолет летает на постоянной высоте по окружности ра¬
диусом R = 25 км с постоянной скоростью v = 250 м/с. В кабине
самолета установлены пружинные и маятниковые часы. Какое время
полета t' покажут маятниковые часы, если время, измеренное пру¬
жинными часами, равно t = 1ч? Часы считать идеальными. Силу
Кориолиса, ввиду ее малости, не учитывать.
12.24. Тонкий стержень длиной I вращается вокруг одного из
концов, описывая круговой конус (конический физический маятник).
Найти период движения Т в зависимости от угла ср между осью
стержня и вертикальным направлением.
178
12.25! Тонкий стержень длиной а + Ъ шарнирно закреплен в точ¬
ке, отстоящий на расстояние Ъ от одного из его концов, и вращается
с угловой скоростью си вокруг вертикальной оси, описывая круговой
конус (рис. 318). Определить угол отклонения ос
стержня от вертикали.
12.26. Троллейбус на повороте движется по ду¬
ге окружности радиусом R = 30 м со скоростью v =
— 14,4 км/ч. Пассажир идет к кабине водителя вдоль
прохода с постоянной скоростью и — 2 м/с относи¬
тельно троллейбуса. Определить угол (3 наклона пас¬
сажира к вертикали в момент прохождения им сере¬
дины салона.
12.27. С какой скоростью v0 должен идти человек
по салону автобуса по направлению к кабине водите¬
ля, чтобы «взлететь» (потерять вес). Автобус преодолевает вершину
холма (неровного участка дороги) с радиусом кривизны R — 42 м.
Скорость автобуса и = 72 км/ч. Считать, что человек находится в
центре автобуса.
12.28. Автобус движется со скоростью v = 30 км/ч по выпуклому
мосту, имеющему в верхней точке радиус кривизны г = 64 м. Пасса¬
жир идет вдоль прохода от кабины водителя с постоянной скоростью
г0 = 2м/с относительно автобуса и в момент прохождения автобу¬
сом верхней точки моста находится в середине салона. Какую от¬
носительную потерю собственного веса будет ощущать пассажир в
этот момент?
12.29. Каким должен быть радиус поворота реки, чтобы как ле¬
вый, так и правый ее берег размывался практически с одинаковой
интенсивностью? Скорость течения реки 0,5 м/с, а широта местно¬
сти 60°.
12.30. Спортивный снаряд «хулахуп» представляет собой полый
тороид, имеющий радиусы R и г <С R, как это показано на рис. 319.
Он вращается в горизонтальной плоскости во¬
круг вертикальной оси О с угловой скоро¬
стью П. В начальный момент внутри трубки
в непосредственной близости от оси вращения
помещен маленький камушек, который может
без трения скользить по внутренней поверхно¬
сти тороида. Какую скорость приобретет каму¬
шек, когда он переместится по трубке в точ¬
ку А? Чему равна эта скорость относительно
Земли?
12.311 На сколько будут отличаться конеч- Рис.319
ные скорости разбега самолета, если самолет
взлетает на экваторе, причем один раз его разбег производится с
запада на восток, а второй раз — с востока на запад? Подъемная
сила, действующая на крылья самолета, пропорциональна квадрату
Рис. 318
179
его скорости относительно Земли. Необходимая конечная скорость
разбега самолета вдоль меридиана равна v0.
12.32. Велосипедист движется с постоянной скоростью v по ради¬
усу горизонтального диска, вращающегося со скоростью п оборотов
в минуту. Определить угол наклона велосипедиста и направление
наклона.
12.33. Вдоль радиуса карусели, равномерно вращающейся с угло¬
вой скоростью си = 0,5 рад/с, от периферии к центру идет человек с
постоянной относительной скоростью v — 1 м/с. Как должен накло¬
ниться человек, чтобы не упасть? Выразить углы наклона в зависи¬
мости от расстояния R человека от центра карусели и определить их
численные значения при R = 5 м. Изменением высоты центра масс
во время движения пренебречь.
12.34. В центре неподвижной карусели находится человек. Он
переходит с постоянной скоростью к краю карусели, двигаясь при
этом с востока на запад. Считая карусель однородным диском, опре¬
делить, при каком соотношении масс человека и карусели т/М
последняя приобретет угловую скорость, равную четверти угловой
скорости суточного вращения Земли. Считать, что карусель нахо¬
дится на широте ср = 30°, трением в подшипниках карусели прене¬
бречь.
12.35. Заводской кран стоит на рельсах. Стрела крана, состав¬
ляющая с вертикалью угол а = 60°, находится в плоскости, перпен¬
дикулярной к рельсам. Оставаясь в этой плоскости, стрела повора¬
чивается на угол 2а. Какую скорость V приобретет при этом кран?
Масса крана со стрелой М = 73 т, масса стрелы т = 20 т, центр
масс стрелы отстоит на расстояние I = 5 м от ее основания. Рельсы
направлены по меридиану, географическая широта ср = 60°. Трением
качения и трением в осях колес крана пренебречь.
12.36. Велосипедное колесо радиусом R вращается в горизон¬
тальной плоскости вокруг своего центра. По спице колеса без тре¬
ния может двигаться шарик. В начальный момент времени шарик
находился у обода колеса. Какую начальную скорость Vq следует
сообщить шарику в радиальном направлении, чтобы он мог достиг¬
нуть оси вращения? Угловая скорость вращения ш поддерживается
постоянной.
12.37. Горизонтально расположенную трубку длиной I начинают
вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее кон¬
цов, с постоянной угловой скоростью си. В середине трубки до начала
вращения находился шарик. Через какое время т он из нее вылетит?
Трением пренебречь.
12.38. Какую работу должен совершить человек, чтобы пройти от
периферии к центру карусели, равномерно вращающейся с угловой
скоростью си = 1 рад/с, если радиус карусели R = 5 м, а масса чело¬
века т = 60 кг? Зависит ли эта работа от формы пути, по которому
идет человек? Силы трения в оси карусели не учитывать.
180
12.39. Цилиндрическую горизонтальную штангу длиной L вра¬
щают вокруг вертикальной оси, проходящей через ее конец, с по¬
стоянной угловой скоростью си. На штангу надета небольшая муфта
массой т, которая может скользить вдоль штанги. Определить ра¬
боту, необходимую для того, чтобы передвинуть муфту вдоль всей
штанги с постоянной скоростью v относительно нее к оси вращения,
если коэффициент трения между муфтой и штангой равен к. На что
пошла затраченная работа?
12.40. На горизонтальной поверхности лежит труба длиной I, ко¬
торая может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через
один из его концов. Внутри трубы вблизи оси вращения находится
тело, масса которого равна т. Труба начинает вращаться с постоян¬
ной угловой скоростью си. Какова длина пути L, пройденного телом
по поверхности после вылета его из трубы? Коэффициент трения
между телом и поверхностью равен к. При движении тела внутри
трубы трением пренебречь.
12.41. С какой скоростью и под каким углом вылетит шарик, по¬
мещенный внутрь канала, высверленного по диаметру вращающегося
диска. Угловая скорость вращения диска равна си, его радиус — R. В
начальный момент времени шарик помещен вблизи центра вращения.
Трением пренебречь.
12.42? На гладком горизонтальном стержне, вращающемся во¬
круг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью си = 40п с-1,
около оси находится закрепленная неподвижно муфта массой т =
= 100 г. В некоторый момент муфту отпускают, и она скользит без
трения вдоль стержня. Какой момент сил М должен быть приложен
к стержню для того, чтобы он продолжал равномерное вращение?
Найти расстояние х муфты от оси в любой момент времени t. В
начальный момент центр тяжести муфты находится на расстоянии
«о — 2 см от оси.
12.43. Муфта массой т может скользить без трения по гори¬
зонтальной штанге. К муфте с обеих сторон прикреплены одинако¬
вые невесомые пружины с коэффициентами упругости к (рис. 320).
Штанга вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью
ш0. Муфту сдвигают из положения равновесия на величину I, а за¬
тем отпускают. Определить, как будет двигаться муфта.
12.44. Небольшая муфта массой т надета на тонкий гладкий
стержень длиной I, вращающийся в горизонтальной плоскости с по¬
стоянной угловой скоростью си вокруг оси, проходящей через непо¬
движную точку О (рис. 321). Ось и муфта соединены между собой
пружиной жесткостью к и длиной а (а < I) в ненапряженном со¬
стоянии. Определить равновесное положение муфты на стержне, ее
период малых колебаний и область существования таких колебаний.
12.45. Две одинаковые небольшие муфты могут свободно сколь¬
зить по гладкой штанге, вращающейся с постоянной угловой скоро¬
стью си в горизонтальной плоскости. Муфты связаны легкой нерас¬
181
тяжимой нитью. Конец штанги находится на расстоянии L от оси
вращения. В начальный момент одна муфта находилась на оси вра¬
щения, а вторая на расстоянии L/2 от нее. Чему равна скорость отно¬
сительно земли той муфты, которая первой достигнет конца штанги?
12.46. В абсолютно гладкой трубке на двух одинаковых пружи¬
нах жесткостью к закреплен шарик массой т (рис. 322). Шарик ко¬
леблется с амплитудой 10. Трубку начинают медленно раскручивать
относительно оси, перпендикулярной к трубке и проходящей через
положение равновесия шарика. Определить зависимость периода Т
и амплитуды колебаний I от угловой скорости вращения трубки со.
кости с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через один из
ее концов. На штангу надета муфта массой ш, прикрепленная к оси
вращения с помощью пружины, упругая сила которой равна F =
= к[(х — х0)/х0\2, где к — константа, а х0 — длина пружины в сво¬
бодном состоянии. Определить период малых колебаний груза около
положения равновесия.
12.48. На горизонтально расположенный стержень надета не¬
большая муфта, которая может перемещаться вдоль стержня. Стер¬
жень вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью си
(рис. 324). В начальный момент времени муфта находится на рас¬
стоянии г0 от оси вращения и имеет скорость v0, направленную от
оси вращения. Далее оказалось, что скорость муфты v относительно
стержня растет линейно с удалением от оси вращения v — v0r/r0.
При каком коэффициенте трения к между муфтой и стержнем воз¬
можно такое движение? Силой тяжести пренебречь.
12.49. Длинная штанга круглого сече¬
ния вращается в горизонтальной плоско¬
сти с угловой скоростью си. На штанге на
расстоянии г0 от оси вращения закрепле¬
на небольшая муфта. Коэффициент трения
муфты о штангу равен к. В некоторый мо¬
мент муфту освобождают и сообщают ей
Рис. 324 скорость относительно штанги, равную v0
и направленную от оси вращения. После этого муфта начинает дви¬
гаться замедленно; на расстоянии щ от оси ее скорость достигает
минимума, а затем начинает увеличиваться. При каких значениях к
возможно такое движение муфты? Чему равна минимальная скорость
муфты?
1
Q
vo
0
Г
- *
Т
182
12.50. Изображенное на рис. 325 устройство (центробежный ре¬
гулятор) состоит из муфты массой М, способной перемещаться без
трения по вертикальному вращающемуся валу, к которому в точке
О прикреплены с помощью стержней грузы с одинаковыми массами
т и сама муфта. Все соединения у всех стержней — шарнирные.
Стержни имеют одинаковую длину а и массу, пренебрежимо малую
по сравнению с массами грузов и муфты. Найти угловую скорость си
вращения вала, при которой угол между валом и стержнями равен
ф. Найти ограничения на о», при котором устройство работоспособно
(т. е. ф зависит от си).
о
Рис. 325
Рис. 326
Рис. 327
12.51. Внутри трубки прямоугольного сечения, две грани кото¬
рой горизонтальны (рис. 326), под действием периодически меняю¬
щегося давления воздуха перемещается по гармоническому закону с
частотой си = 5 рад/с поршень массой т = 100 г. Амплитуда пере¬
мещения поршня а = 30 см, коэффициент трения поршня о боковые
стенки к = 0,2. На сколько изменится работа, затрачиваемая на пе¬
ремещение поршня за один период, если трубку заставить вращаться
вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Q, = 1 рад/с? Трением
поршня о горизонтальные стенки пренебречь.
12.52. Полая узкая цилиндрическая трубка длиной 21 изогнута
под углом п/2. Трубка вращается с постоянной угловой скоростью
ш в горизонтальной плоскости, как показано
на рис. 327 (вид сверху). С помощью невесо¬
мой нити шарик (с?шара та Д-рубки) массой т пе¬
ремещают от края трубки к точке перегиба с
постоянной скоростью у. Определить соверша¬
емую при этом работу. Трением между поверх¬
ностью трубки и шариком пренебречь.
12.53. Полая узкая цилиндрическая труб¬
ка длиной 31, изогнутая в виде равносторонне¬
го треугольника, вращается с постоянной уг¬
ловой скоростью си в горизонтальной плоско¬
сти, совпадающей с плоскостью треугольника
(рис. 328, вид сверху). Вертикальная ось вращения проходит через
вершину А. В вершине В в трубке находится шарик (с?шара та Арубки)
мйссой т, который перемещают с помощью невесомой нерастяжимой
183
нити вдоль ВС. Определить минимальную работу, которую необхо¬
димо совершить, чтобы шарик оказался в вершине С. Трением между
поверхностью трубки и шариком пренебречь.
12.54. Тонкий обруч радиусом R, плоскость которого горизон¬
тальна, вращается с угловой скоростью со относительно вертикаль¬
ной оси, проходящей через точку, расположенную на
обруче. На обруч надето небольшое колечко, которое
может свободно скользить по обручу. Определить пе¬
риод малых колебаний колечка около положения его
равновесия.
12.55* Жесткие стержни образуют равнобедрен¬
ный прямоугольный треугольник, который вращается
с постоянной угловой скоростью си вокруг вертикаль¬
ного катета АВ (рис. 329). На стержень АС надета
Рис. 329 и скользит без трения муфта массой т. Муфта связа¬
на с вершиной А треугольника пружиной жесткостью к, имеющей в
нерастянутом состоянии длину I. Определить, при каком значении си
муфта будет в равновесии при недеформированной пружине. Будет
ли это равновесие устойчивым?
12.56. Однородный стержень длиной I равномерно вращается во¬
круг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей че¬
рез его центр. Какова должна быть угловая скорость вращения си,
при которой стержень еще не разрывается под действием внутрен¬
них напряжений, возникающих в нем при вращении? Максимальная
сила натяжения, отнесенная к единице площади поперечного сечения
стержня, равна Т. Объемная плотность материала
стержня равна р.
12.57. Шарик массой m за нитку поднимают внут¬
ри трубки со скоростью v (рис. 330). Трубка изогнута
под углом а и вращается вокруг вертикальной оси
с угловой скоростью си. Определить работу против
сил трения на участке АС, если коэффициент трения
между шариком и стенкой трубки к и tga < tv2R/g,
а расстояние от точки А до оси равно R.
12.58. Тонкий стержень длиной 1 = 1м и мас¬
сой m = 1 кг вращается в горизонтальной плоскости
с частотой 'v = 10 Гц вокруг вертикальной оси. Ось
вращения проходит через середину стержня. Определить максималь¬
ную и минимальную величины момента сил, отклоняющего ось от
вертикали, если эта система расположена на экваторе Земли.
12.59. Обруч радиусом R и массой m вращается в подшипниках
с постоянной угловой скоростью си вокруг своего вертикального диа¬
метра. Подшипники укреплены на раме подвеса, которая в свою оче¬
редь вращается с угловой скоростью П вокруг горизонтальной оси,
проходящей через центр обруча (рис. 331). Вычислить максимальную
величину момента сил Мтах, действующих на подшипники.
Рис. 330
184
12.60. Для создания искусственной тяжести торообразный меж¬
планетный корабль радиусом R = 100 м вращается в своей плоскости
вокруг оси, проходящей через центр тора, с такой угловой скоростью,
которая позволяет имитировать земной вес тел. В корабле (внутри
тора) установлен секундный математический маятник, плоскость ко¬
лебаний которого совпадает с плоскостью тора. Найти отношение
разности максимального и минимального значений силы натяжения
нити к весу маятника (Fmах — Fmin)/mg при качаниях с амплиту¬
дой фтах = 0,05 рад. Будет ли сила Кориолиса вращать плоскость
колебаний маятника (как у маятника Фуко)?
12.61. Тонкая труба жестко прикреплена одним концом к тонкому
вертикальному стержню, составляя с ним острый угол а (рис. 332).
Стержень вращается с угловой скоростью си. Внутри трубы находит¬
ся цилиндр, прикрепленный к стержню невесомой пружиной жест¬
кости к = тш2 (т — масса цилиндра). Диаметр цилиндра можно
считать равным диаметру трубы, а длина цилиндра много меньше
длины трубы. Цилиндр колеблется без трения возле положения рав¬
новесия с малой амплитудой а. Определить силу давления цилиндра
на стенку в момент прохождения положения равновесия.
12.62. Тонкая труба жестко прикреплена одним концом к тонко¬
му вертикальному стержню, составляя угол ос с ним (рис. 332). В
начальный момент внутри трубы около стержня находится цилиндр
массой т, высота которого много меньше длины трубы. Диаметр ци¬
линдра можно считать равным диаметру трубы. Стержень вращается
вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью, при этом цилиндр
движется без трения по трубе. Определить силу давления на стенку
в тот момент, когда сила перпендикулярна плоскости, образованной
трубой и стержнем.
12.63. Равнобедренный треугольник, образованный тремя тон¬
кими стержнями, вращается с постоянной угловой скоростью си =
= 4рад/с в горизонтальной плоскости (совпадающей с плоскостью
треугольника) вокруг вертикальной оси, проходящей через верши¬
ну (рис. 333). На стержень в основании треугольника насажен ма¬
ленький шарик массой т — 0,2 кг, связанный с соседними верши¬
нами треугольника двумя одинаковыми пружинами жесткости к =
Рис. 331
Рис. 332
Рис. 333
185
Рис. 334
= 3,2 Н/м каждая. Найти частоту си малых колебаний шарика вдоль
стержня. Трением пренебречь.
12.64. Небольшое тело массой тп вращается с угловой скоростью
Q по окружности на гладкой горизонтальной плоскости. Тело связано
с центром окружности невесомой пружиной
жесткостью к. В результате небольшого возму¬
щения на это исходное движение накладывают¬
ся колебания с малой амплитудой. Найти период
этих колебаний.
12.65. На вращающемся гладком горизон¬
тальном диске помещен однородный стержень
длиной L. Через один из концов стержня про¬
ходит вертикальная ось, параллельная оси вра¬
щения диска. Диск вращается с постоянной уг¬
ловой скоростью си. Определить период малых колебаний стержня,
если расстояние между осью диска и осью стержня равно R. Трением
в оси стержня пренебречь.
12.66. В щели диска радиусом R, вращающегося с угловой ско¬
ростью си, находится стержень длиной I, который может вращаться
на оси СС, проходящей через его центр масс, закрепленной на краю
диска, как показано на рис. 334. Определить период малых колеба¬
ний стержня.
12.67. Космонавт А. Леонов, выйдя из корабля в космос, бросил к
центру Земли крышку фотоаппарата. Спустя некоторое время он уви¬
дел, что она возвращается к кораблю. Описать периодическое дви¬
жение крышки относительно корабля, определив период и параметры
относительного движения. Считать, что ко¬
рабль движется по круговой орбите ра¬
диусом i?o = 6650 км, радиус Земли R$ =
= 6400 км, начальная скорость крышки от¬
носительно корабля v0 = 0,5 м/с.
12.68. Оценить максимальную ско¬
рость, которую можно сообщить небольшо¬
му предмету в кабине спутника, вращаю¬
щегося вокруг Земли с периодом 1,5 часа,
чтобы этот предмет в своем движении на
протяжении нескольких часов ни разу не
стукнулся о стенки. Каков характер траек¬
тории его движения, если направление толчка лежит в плоскости
орбиты? Диаметр кабины спутника равен 3 м.
12.69! Спутник, круговая орбита которого расположена в эква¬
ториальной плоскости, «висит» неподвижно над некоторой точкой
земной поверхности. Спутник получает возмущающий импульс, со¬
общающий ему малую вертикальную скорость v0 (рис. 335). Какова
возмущенная траектория спутника по отношению к земному наблю¬
дателю?
186
12.70. Представьте себе, что в земном шаре в плоскости эквато¬
ра вырыта шахта до центра Земли. Оценить минимальный диаметр
шахты, чтобы тело небольших размеров, брошенное в нее, долетело
до центра Земли, не ударившись о стенку шахты. Плотность Земли
считать постоянной, сопротивлением воздуха пренебречь.
12.71. Представьте себе, что в земном шаре просверлен канал
по диаметру в плоскости экватора. Вычислить силу F, с которой
будет давить на стенку канала тело, падающее по
нему с поверхности Земли, в тот момент, когда
оно достигнет центра Земли. Считать, что трения
нет, а плотность Земли однородна.
12.72. Гравитационное ускорение свободного
падения на поверхности однородного шара ради¬
усом R0 равно g0. Шар вращается с большой уг¬
ловой скоростью о)0- Внутри шара образовалась
сферическая полость радиусом г0, так что рассто¬
яние между центрами шара и полости 00\ = а =
= 2г0. Центры О и Oi соединены тонкой трубкой,
по которой без трения может двигаться точечная масса. Найти ско¬
рость этой массы в точке Оь если первоначально она покоилась
вблизи О. Угол ос = 7т/4 (рис. 336).
12.73. Ток пропускается по широкой медной шине, протянутой с
севера на юг на широте 30°. Оценить разность потенциалов, возни¬
кающую между восточным и западным краями шины из-за враще¬
ния Земли. Ширина шины 60 см. Скорость электронов проводимости
принять равной 3 см/с. Заряд электрона равен е = 1,6 • 1СГ19 Кл, его
масса те ка 10“27 г.
12.74. На широте 60° в землю вбит рельс высотой 10 м. Оценить
разность потенциалов, возникающую между верхним и нижним кон¬
цами рельса из-за вращения Земли. Масса электрона гпе яа 10~27 г,
заряд электрона е = 1,6 • 10~19 кулона. Электроны в металле считать
свободными.
12.75. Оценить приближенно разность расстояний от центра Зем¬
ли до уровня моря на полюсе и на экваторе Земли, связанную с
вращением Земли.
12.76. Доказать, что при нахождении результирующей центро¬
бежной силы инерции, действующей на твердое тело в равномерно
вращающейся системе, массу тела можно считать сосредоточенной в
его центре инерции.
12.77. Доказать, что центробежные силы не создают результиру¬
ющего момента относительно оси, проходящей через центр инерции
и параллельной оси вращения.
12.78. Движение системы материальных точек (в частном слу¬
чае — твердого тела) рассматривается в равномерно вращающейся
системе координат. Показать, что равнодействующая сил инерции
187
Кориолиса Fc выражается формулой Fc = 2m[Vfi], где т — полная
масса системы, V — скорость ее центра инерции во вращающейся
системе, F2 — угловая скорость вращения системы координат.
12.79. Трубка длиной L закреплена одним концом на верти¬
кальной оси, вокруг которой она вращается с угловой скоростью Г2
(рис. 337). В начальный момент времени грузу массой т, помещен¬
ному в трубку у оси вращения, сообщают скорость v0 относительно
трубки. Найти время т, за которое груз достигнет противоположного
конца трубки. Коэффициент трения груза о стенки трубки к. Силой
тяжести и центробежной силой пренебречь. Считать, что v0 > 2кЫ1.
12.80. Диск достаточно большого радиуса вращается с угловой
скоростью Q в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. В
диске имеется узкий канал, проходящий через ось диска (рис. 338).
В канале к пружине с жесткостью к, закрепленной на оси диска, при¬
соединен груз массой т. Найти амплитуду колебаний груза. Трением
груза о стенки трубки пренебречь, считать П2 < к/т.
12.81. Ноги циркового гимнаста прикреплены в точке О к вер¬
тикально расположенному стержню, который вращается вокруг оси
О А с постоянной угловой скоростью Q (рис. 339). Гимнаст описы¬
вает круговой конус. Угол между гимнастом и вертикальной осью
а = 30°. Определить частоту малых коле¬
баний гимнаста си в вертикальной плоско¬
сти около положения равновесия. Гимнаста
можно моделировать однородным стерж¬
нем длиной I = 1,75 м.
12.82. Ноги циркового гимнаста при¬
креплены в точке О к вертикально рас¬
положенному стержню, который вращается
вокруг оси О А с постоянной угловой ско¬
ростью П = 3,1 с'1 (рис. 340). Гимнаст описывает круговой конус.
Определить угол а между гимнастом и вертикальной осью, силу
реакции N в точке О и угол ср между направлением силы реак¬
ции и вертикальной осью. Гимнаста можно моделировать однородным
стержнем длиной I = 1,75 м.
12.83. К вертикальному столбу в центре карусели на стержне
длиной I — 1 м подвешен небольшой светильник. Стержень соеди¬
нен со столбом шарниром, ось которого горизонтальна (рис. 341).
Рис. 341
188
Масса светильника в два раза больше массы стержня. При враще¬
нии карусели с постоянной скоростью стержень со светильником от¬
клоняется от вертикали на угол ос = 30°. Определить период малых
колебаний стержня со светильником от¬
носительно этого положения.
12.84. К вертикальной стойке, рас¬
положенной на карусели на расстоянии
Я = 31 от ее оси, подвешен стержень
длиной I = 1 м. Стержень к стойке при¬
креплен с помощью шарнира, ось кото¬
рого горизонтальна и перпендикулярна
плоскости, проходящей через стойку и
ось вращения карусели (рис. 342). При вращении карусели с посто¬
янной угловой скоростью стержень отклоняется от вертикали на угол
а = 30°. Определить период малых колебаний стержня относительно
этого положения.
Рис. 342
12.85. Однородный стержень изогнут под прямым углом и посред¬
ством оси, перпендикулярной плоскости изгиба, прикреплен в месте
изгиба к вращающемуся вертикальному валу (рис. 343).
При какой скорости вращения си угол отклонения от
вертикали оси части стержня длиной Zj равен ср при об¬
щей длине стержня 1г + l2, l2 > h- Найти ограничения
на ср, при которых ф еще зависит от си.
12.86. Карусель радиусом 1,9 м вращается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью си = 1 рад/с. Груз
массой 1 кг привязан к центру карусели невесомой ре¬
зинкой, натяжение которой пропорционально расстоя¬
нию от груза до центра (коэффициент пропорциональ¬
ности к = 1 Н/м, длина нерастянутой резинки пренебре¬
жимо мала), трение между грузом и каруселью отсутствует. Грузу,
покоящемуся относительно карусели на расстоянии 1 м от центра,
щелчком сообщили скорость v = 1 м/с в направлении вращения ка¬
русели. Соскочит ли груз с карусели? Ответ обосновать.
12.87. Карусель радиусом 1,9 м вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью си = 1 рад/с. Груз массой 1 кг привязан к
центру карусели невесомой резинкой, натяжение которой пропорцио¬
нально расстоянию от груза до центра (коэффициент пропорциональ¬
ности к — 1 Н/м, длина нерастянутой резинки пренебрежимо мала),
трение между грузом и каруселью отсутствует. Грузу, покоящемуся
относительно карусели на расстоянии 1 м от центра, щелчком сооб¬
щили скорость v = 1 м/с в направлении от центра карусели. Соско¬
чит ли груз с карусели? Ответ обосновать.
12.881 Проволочное кольцо радиусом г = 10 см вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через центр кольца и лежащей в его
плоскости. Надетая на него бусинка в положении равновесия нахо¬
дится в точке, отстоящей на угол ф от нижней точки кольца. При
Рис. 343
189
Рис. 344
каких значениях угловой скорости вращения кольца П это возможно?
Найти значение П, при котором частота малых колебаний бусинки
около положения равновесия си = П/2. Бусинка может скользить по
кольцу без трения.
12.89. Проволочное кольцо радиусом г — 10 см вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через центр кольца и лежащей в его
плоскости, с постоянной угловой скоростью Г2 = 5с-1.
Определить период малых колебаний Т надетой на него
легкой бусинки и ее равновесное местоположение на
кольце, для которого такие колебания возможны. Бусин¬
ка может скользить по кольцу без трения.
12.90. Межпланетный корабль состоит из двух оди¬
наковых отсеков А и В, соединенных легким, прочным,
гладким переходным коридором АВ (рис. 344). Корабль
движется по круговой орбите вокруг малой планеты, име¬
ющей радиус R и ускорение свободного падения на по¬
верхности g0. При этом продолжение прямой АВ всегда проходит
через центр планеты. Радиусы орбит отсеков А и В равны, соот¬
ветственно, гi — 4R и г2 = 3R. Определить, как изменится кинети¬
ческая энергия предмета массой ш, брошенного вдоль по гладкому
коридору из отсека В в отсек А с достаточной для преодоления ко¬
ридора скоростью (в системе отсчета корабля).
12.91? Межпланетный корабль состоит из двух одинаковых от¬
секов А и В, соединенных легким, прочным переходом с гладкими
стенками (рис. 345). Корабль движется по круговой орбите вокруг
малой планеты, имеющей радиус R и ускорение свободного падения
на поверхности g0. При этом продолжение прямой АВ
всегда проходит через центр планеты. Радиусы орбит от¬
секов А и В равны, соответственно, г а = 2 R\ rB = R. С
какой минимальной скоростью v0 надо кинуть предмет
вдоль по гладкому коридору из отсека В, чтобы он смог
достичь отсека А? Какую при этом он будет иметь ско¬
рость va вблизи отсека А?
12.92? При запуске (остановке) машин с быстро вра¬
щающимся ротором при приближении к резонансным ча¬
стотам происходит раскачка поперечных колебаний, что может при¬
вести к поломке системы, как это было на Саяно-Шушенской ГЭС.
Это явление обусловлено действием периодической центробежной си¬
лы, вызванной неизбежным эксцентриситетом центра тяжести ро¬
тора из-за неточности его изготовления. Один из способов перехо¬
да через критическую скорость — сделать этот переход достаточ¬
но быстрым, чтобы амплитуда вынужденных колебаний не успела
возрасти до опасных размеров. Оценить, с каким угловым уско¬
рением следует разгонять (или останавливать) турбину, чтобы ко¬
лебания не успели достичь опасной резонансной амплитуды, ес¬
ли ротор турбины представляет собой механическую колебатель¬
Рис. 345
190
ную систему с резонансной частотой л/0 = 10 Гц и добротностью
Q = 100.
12.93. При запуске (остановке) машин с быстро вращающимся
ротором при приближении к резонансным частотам поперечных коле¬
баний может произойти поломка ротора, как это было на
Саяно-Шушенской ГЭС. Это связано с тем, что вращаю¬
щийся с угловой скоростью си ротор массой т соверша¬
ет вынужденные поперечные колебания на упругом валу
с жесткостью к под влиянием периодической силы F —
~ mcu2a0coscut, вызванной смещением центра тяжести ро¬
тора (при его изготовлении) относительно оси вращения на
величину аи. Этого можно избежать, если ввести демпфи¬
рующие силы / = — |3ц (v — скорость поперечных вибра¬
ций). Оценить величину минимального коэффициента демп¬
фирования (3, при котором амплитуда вынужденных колеба¬
ний ротора массой т = 16 т при его медленном разгоне не
превысит величину эксцентриситета а0. Критическая (резо¬
нансная) скорость вращения -v0 = 2000 об/мин.
12.94. Ротор мощной турбины, обладая массой в десятки и сот¬
ни тонн, в рабочем режиме делает порядка тысячи оборотов минуту
(например, ротор турбины Саяно-Шушенской ГЭС имел массу око¬
ло тысячи тонн). Изготовление таких роторов — сложнейшая тех¬
нологическая задача. Однако, как бы точно ни работали машино¬
строители, невозможно избежать хотя бы небольшой асимметрии.
В результате центр тяжести ротора оказывается смещенным отно¬
сительно оси вала на некоторую величину а0 (см. рис. 346). При
вращении возникают огромные силы, способные сломать
вал и разнести турбину. Оценить допустимый при изго¬
товлении эксцентриситет ротора а0, при котором даже
для высоких частот вращения нагрузка на вал не превы¬
шает силу, равную по величине силе тяжести ротора. Вы¬
сокой считается частота, значительно превышающая ча¬
стоту собственных поперечных механических колебаний
ротора на валу л/0 = 30 Гц, которая определяется массой
ротора и жесткостью вала.
Указание. Оценить значение деформации вала в по¬
ложении равновесия в пределе высоких скоростей враще- Рис. 347
НИЯ "V 3> ЛЦ).
12.95. На горизонтальной поверхности расположены два диска
радиусом R. Один из них (с центром в точке О') обкатывает непо¬
движный диск (с центром в точке О) без проскальзывания. Скорость
центра движущегося диска равна v0. По движущемуся диску с посто¬
янной скоростью v' = v0/2 относительно него к центру диска ползет
муха массой т. Найти величину силы трения, действующую на муху
в момент времени, когда v' и v0 лежат на одной прямой и расстояние
от мухи до точки О' равно R/2 (см. рис. 347).
Рис. 346
191
12.96. Два плоских диска радиусом R расположены на столе.
Один из них (с центром в точке О’) обкатывает неподвижный диск
(с центром в точке О) без проскальзывания так, что скорость его
центра равна v0. Муха массой М ползет по движущемуся диску по
направлению к его центру с постоянной скоростью v' —
= v0/A относительно него. Определить величину силы
трения, которая действует на муху в момент времени,
когда v' 1 v0 и расстояние от мухи до точки О' равно
2Д/3 (см. рис. 348).
12.97. Человек с миниатюрным маятниковым суперх¬
ронометром садится в кабину «колеса обозрения». Коле¬
со радиусом R = 20 м делает один оборот за время Т =
= 300 с. На сколько и в какую сторону уйдет хронометр
за первую четверть оборота колеса?
12.98. Сферическая симметричная планета в систе¬
ме т Кита имеет массу, радиус (6400 км) и длительность
суток такие же, как Земля. Маятниковые часы перевозят на супер¬
экспрессе с постоянной скоростью по меридиану этой планеты с по¬
люса на экватор за время Т0 = 6 ч. На сколько и в какую сторону
показания часов после перевозки отличаются от показаний часов,
оставшихся на полюсе?
§ 13. Упругие деформации
13.1. Стальной канат, который выдерживает вес неподвижной ка¬
бины лифта, имеет диаметр 9 мм. Какой диаметр должен иметь ка¬
нат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8g?
13.2. На сколько изменится объем упругого однородного стерж¬
ня длиной I под влиянием силы Р, сжимающей или растягивающей
стержень по его длине?
13.3. Какую равномерно распределенную нагрузку Q может вы¬
держать гранитная плита, представляющая собой правильный ше¬
стиугольник со стороной а = 10 см, если допускаемое напряжение
на сжатие гранита равно Р = 450 Н/см2?
13.4. На сколько вытягивается стержень из железа, подвешенный
за один конец, под влиянием собственного веса? На сколько при этом
меняется его объем?
13.5. Определить относительное удлинение А1/1 тонкого стерж¬
ня, подвешенного за один конец, под влиянием собственного веса,
если скорость звука в тонком стержне v3B = 3140 м/с. Начальная
длина стержня 10 = 2 м.
13.6. Стержень поперечного сечения S растягивается силой F,
параллельной его оси. Под каким углом ос к оси наклонено сечение,
в котором тангенциальное напряжение т максимально? Найти это
напряжение.
Рис. 348
192
13.7. Резиновый цилиндр с высотой h, весом Р и площадью ос¬
нования S поставлен на горизонтальную плоскость. Найти энергию
упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его соб¬
ственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой дефор¬
мации рассматриваемого цилиндра, если на верхнее основание его
поставить второй такой же цилиндр?
13.8. Определить отношение энергий деформации стального и
пластмассового цилиндров, поставленных рядом друг с другом и
сжатых между параллельными плоскостями, если до деформации они
имели одинаковые размеры. Модуль Юнга для стали 2 • 105 Н/мм2,
для пластмассы — 102 Н/мм2. Определить это же отношение для
случая, когда цилиндры поставлены друг на друга и сжаты такими
же плоскостями.
13.9. Толстая недеформированная резиновая палочка имеет длину
L = 12 см. Определить изменение ее длины, если она закреплена вер¬
тикально в сечении, находящемся на расстоянии h = 4 см от верхнего
конца. Плотность резины р = 1,2 г/см3, модуль Юнга Е — 100 Н/см2.
13.10. Стальная линейка длиной L = 30 см и толщиной d, = 1 мм
свернута в замкнутое кольцо. Найти распределение и максималь¬
ную величину напряжений в линейке. Модуль Юнга для стали Е —
— 2 • 1011 Па.
13.lit Определить относительное изменение объема полого латун¬
ного шара радиусом R = 5 см, в который накачан воздух до давления
1.1 атм (наружное давление 1 атм). Толщина сферической оболоч¬
ки d = 1 мм. Модуль Юнга латуни Е — 1012 дин/см2, коэффициент
Пуассона ц = 0,3.
13.12. Найти упругую энергию, запасенную в шаре радиусом R,
имеющем модуль всестороннего сжатия К и подвергнутом всесто¬
роннему давлению Р.
13.13. Определить частоту радиальных колебаний тонкостен¬
ной стальной трубы радиусом R = 10 см. Модуль Юнга стали Е =
= 2 • ю12 дин/см2, плотность р = 7,8 г/см3.
13.14. Тензометр сопротивления — это тонкая проволока, накле¬
енная на деформируемое тело. Показать, что отношение AR/R к
Ы/1 не превышает 2 (R — электрическое сопротивление, I — дли¬
на проволоки). Считать, что удельное сопротивление проволоки не
зависит от деформации.
13.15. Оценить предельную высоту гор на Марсе в предположе¬
нии, что плотности горного вещества Марса и Земли одинаковы.
Отношения масс и радиусов двух планет Мм/Мз = 0,107, 7?м/#з =
= 0,533. Самая высокая гора на Земле — Эверест (Н ~ 9 км). Счи¬
тать, что предельная высота гор на планетах определяется пределом
упругости пород.
13.16. Однородный круглый резиновый жгут длиной I и диамет¬
ром D помещен в стальную трубку с закрытым концом того же
193
диаметра (рис. 349). На конец жгута со стороны открытого конца
трубки начинает действовать сила F, равномерно распределенная по
всему сечению жгута. На сколько уменьшится при этом длина жгута?
Упругие свойства резины считать известными.
13.17. На вертикально расположенный ре¬
зиновый жгут диаметром d0 насажено лег¬
кое стальное кольцо слегка меньшего диамет¬
ра d < d0 (рис. 350). Считая известным модуль
Юнга Е и коэффициент Пуассона ц для ре¬
зины, определить с каким усилием F нужно
растягивать жгут, чтобы кольцо с него соскочило. В расчетах весом
резинового жгута пренебречь.
13.18. Определить максимальное давление, которое может произ¬
вести вода при замерзании. Плотность льда р = 0,917 г/см3, модуль
Юнга Е = 2,8 ■ 10й дин/см3, коэффициент Пуассона ц = 0,3.
13.19. На куб действуют силы, приложенные к двум противо¬
положным граням. При этом относительное изменение длины его
стороны вдоль направления действия силы состави¬
ло £ = 10“4, а относительное изменение его объема
ДУ/У = 4-10~5. Определить относительное измене¬
ние объема этого куба при всестороннем сжатии дав¬
лением Р = 100 мПа. Модуль Юнга Е = 200 ГПа.
13.20. Какое давление Р нужно приложить к кон¬
цам стального цилиндра, чтобы его длина оставалась
неизменной при повышении температуры на 100 °С?
Коэффициент линейного теплового расширения стали
12 • 10~~6 “С”1, модуль Юнга Е = 2 • 1012 дин/см2.
13.21. При укладке рельсов трамвая их сваривают
между собой в стыках. Как велики напряжения Р, появляющиеся в
них при колебаниях температуры от 1гзим = — 25 °С зимой до лет =■
= ЗОЮ летом, если укладка произведена при tx = 15°С? Для железа
модуль Юнга Е — 2 • 107 * * * Н/см2, а линейный коэффициент теплового
расширения а= 1,25 • 10~5оС-1.
13.22. Медная пластинка запаяна между такими же по площади,
но вдвое более тонкими стальными пластинками. Найти эффектив¬
ный температурный коэффициент расширения такой системы в дли¬
ну, ёсли известны температурные коэффициенты линейного расши¬
рения меди ам = 1,7 • 10-5 К~: и стали аст = 1,2 • 10~5 К-1. Модуль
Юнга стали вдвое выше, чем у меди, и равен Ест = 2 • 1012 дин/см2.
13.23. Медная пластинка запаяна между двумя такими же по раз¬
мерам стальными пластинками. Найти напряжения, возникающие в
меди и стали, если эту систему нагреть от 20°С до 70°С. Необходи¬
мые константы меди и стали взять из условия предыдущей задачи.
13.24! На гладкую горизонтальную плоскость положен брусок
АВ из однородного материала массой то, сечением S и длиной L,
=-
F^
Рис. 350
Рис. 349
194
Рис. 351
упирающийся одним концом в выступ (рис. 351). На другой конец
бруска действует постоянная сила F, равномерно распределенная по
всему сечению бруска. Известно, что длина бруска при этом умень¬
шится на величину AL = ~~F, где Е — модуль Юнга. На сколько
Ь/ ь
сожмется брусок и как в нем будет распределено сжатие, если он
не будет упираться в выступ, а все прочие
условия останутся неизменными?
13.25. Упругий стержень массой т, дли- ^
ной I и площадью поперечного сечения S
движется в продольном направлении с уско¬
рением а (одинаковым для всех точек стержня). Найти упругую энер¬
гию деформации, возникающую вследствие ускоренного движения.
13.26. Из предыдущей задачи вытекает, что в ускоренно движу¬
щемся бруске существует напряжение. Будет ли существовать на¬
пряжение в свободно падающем бруске?
13.27. На абсолютно гладкой поверхности лежит брусок длиной I
И квадратным сечением со стороной а, изготовленный из однородного
материала. Константы материала известны. Начиная с определенного
момента на один из концов бруска начинает действовать сила F,
равномерно распределенная по всему сечению бруска. Как при этом
изменяется длина, объем и форма бруска?
13.28. Через закрепленный на конце стола блок перекинут шнур.
К нижнему концу шнура прикреплен груз массой т = 1 кг. Другой
конец шнура тянет резиновый цилиндр, имеющий массу М — 10 кг,
длину L = 10 м и сечение S = 10 см2. Модуль
Юнга резины Е = 107 дин/см2. Катки под ре¬
зиновым цилиндром уменьшают трение до пре-
небрежимой величины (рис. 352). Найти, на
сколько удлинится цилиндр при движении си¬
стемы. Масса блока ц = 1 кг. Блок считать ци¬
линдром.
13.29. Стальной стержень приводится в дви¬
жение силой, синусоидально зависящей от времени, приложенной к
одному его концу и направленной вдоль стержня. Под действием этой
силы стержень перемещается, колеблясь вокруг некоего среднего по¬
ложения. Оценить, в каких случаях смещение точек может быть опи¬
сано как движение абсолютно твердого тела с относительной точно¬
стью 0,1%. Рассчитать конкретный пример, задавшись какими-либо
численными данными о стержне. При оценке массу стержня можно
считать сосредоточенной на свободном конце.
13.30. Кабина лифта массой т = 1000 кг равномерно опускает¬
ся со скоростью v0 = 1 м/с. Когда лифт опустился на расстояние
I = 10 м, барабан заклинило. Вычислить максимальную силу, дей¬
ствующую на трос, из-за внезапной остановки лифта, если площадь
поперечного сечения троса S'= 20 см2, а модуль Юнга троса Е =
М
цш
V//77/////A
Рис. 352
□
195
= 2 • 1011 Н/м2 (l — длина недеформированного троса). Изменением
сечения троса пренебречь.
13.31. Груз массой М = 5000 кг равномерно опускают с помощью
троса и лебедки. Когда груз опустился на расстояние I = 2 м, лебедку
заклинило и трос оборвался. Найти скорость груза, при которой про¬
изошел обрыв троса, если для него предел прочности при растяжении
Тр = 3,1 • 109 Н/м2, модуль Юнга Е = 2 • 1011 Н/м2, а площадь по¬
перечного сечения S = 5 см2 (I — длина недеформированного троса).
Изменением сечения пренебречь.
13.32. Однородный диск массой М и радиусом R вращается во¬
круг своей оси с угловым ускорением (3 (рис. 353). Силы, ускоряющие
диск, равномерно распределены по ободу диска.
Найти касательную силу F, действующую на еди¬
ницу длины окружности, ограничивающей мыс¬
ленно выделенную часть диска радиусом г (за¬
штрихованную на рисунке).
13.33. Тонкий однородный упругий стержень,
длина которого L, масса М и модуль Юнга Е, рав¬
номерно вращается с угловой скоростью си вокруг
оси, перпендикулярной к стержню и проходящей
через один из его концов. Найти распределение усилий Т в стержне
и полное его удлинение ДL. При подсчете линейной деформации и
усилий считать поперечное сечение неизменным, а удлинение малым.
См. также задачи 12.56 и 13.48.
13.34. Однородный тонкий упругий стержень вращается в гори¬
зонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его кон-
1 1 цов, с постоянной угловой скоростью. В некото-
рый момент времени стержень срывается с оси.
Во сколько раз изменится при этом его относи¬
тельное удлинение (рассчитанное по отношению к
длине покоящегося стержня)?
13.35. Однородный тонкий стержень (рис. 354)
свободно движется в горизонтальной плоскости со
скоростью v, направленной перпендикулярно само¬
му стержню и составляющей 0,2% от скорости звука v3B в материале
тонкого стержня. Одним концом стержень зацепляется за вертикаль¬
ную ось А и вращается вокруг нее без трения. Каково будет при этом
относительное удлинение стержня?
13.36. В центре астероида Паллада (радиус R = 290 км, ускоре¬
ние силы тяжести на поверхности астероида g0 = 0,17 м/с2) обнару¬
жены залежи ценных ископаемых. Бурильщики затребовали ровно
290 км труб из вольфрамового сплава (плотность 19300 кг/м3, мо¬
дуль Юнга Е = 4 ■ 1011 Па) постоянного сечения. Какую часть труб
бурильщики рассчитывали сэкономить и применить для собствен¬
ных надобностей, используя растяжение под действием силы тяже¬
Рис. 354
196
сти? Считать, что вся система труб может свободно висеть, не ка¬
саясь стенок. Считать также Палладу однородным невращающимся
шаром.
13.37. На астероиде Веста (радиус R = 280 км, ускорение силы
тяжести на поверхности планеты g0 = 0,24 м/с2) решено установить
межпланетную ретрансляционную станцию. Основой конструкции
служит цилиндрическая труба, длина которой должна равняться ра¬
диусу планеты. На Весту завезли ровно 280 км титановых труб. На¬
сколько окажется ниже проектной высоты конструкция, когда она
будет собрана в вертикальном положении? Считать Весту однород¬
ным невращающимся шаром. Плотность титана р = 4500 кг/м3, мо¬
дуль Юнга Е = 1,12 • 10й Па.
13.38. В научно-фантастической повести космический корабль,
пролетавший вблизи нейтронной звезды, оказался на грани разру¬
шения из-за возникших напряжений в его корпусе. Оценить мини¬
мальный радиус орбиты корабля R, если радиус тонкостенного сфе¬
рического корпуса корабля г = 10 м, напряжение разрушения мате¬
риала корпуса корабля Траз = Ю10 дин/см2, плотность материала р =
= 10 г/см3, масса звезды равна массе Солнца М = 2 • 1033 г. Какова
при этом скорость корабля?
13.39. Два одинаковых тонких стальных бруска длиной I = 10 см
(р = 7,8 г/см3, Е = 2 • 1012 дин/см2) сталкиваются торцами. Рас¬
сматривая упругие волны, оценить время соударения брусков. При
каких скоростях возникнут неупругие явления, если предел упруго¬
сти стали составляет Ту = 200 Н/мм2?
13.40. Два одинаковых тонких стержня соосно сталкиваются
друг с другом, причем первый стержень имеет скорость v, а второй —
неподвижен. Происходит абсолютно упругое соударение стержней.
Оценить максимально возможное относительное изменение длины
стержня А1/1 во время удара, полагая известными плотность стерж¬
ней р и модуль Юнга Е.
13.41. Нерадивый студент, находясь в физической лаборатории,
свернул в замкнутое кольцо правильной формы стальную линейку.
Какую при этом он совершил работу? Длина линейки L — 1м, шири¬
на Ь = 6 см, толщина d = 1мм; модуль Юнга стали Е = 2 ■ 1011 Н/м2.
13.42. Кабина лифта массой т — 1000 кг опускается с постоянной
скоростью v = 1 м/с. Стальной трос с площадью поперечного сечения
S = 10 см2 и модулем Юнга Е = 1011 Н/м2 одним концом закреплен
на вращающемся барабане, расположенном на чердаке здания, а вто¬
рым — через очень коротенькую пружину соединен с кабиной. Коэф¬
фициент жесткости пружины к = 4 ■ 105 Н/м. Когда кабина опусти¬
лась на расстояние I — 10 м, барабан заклинило. Вычислить макси¬
мальную силу Fmax, действующую на систему (трос, пружина) из-за
внезапной остановки кабины. Изменением сечения троса и его весом
пренебречь.
197
13.43. В фантастическом романе А. Кларка «Фонтаны Рая» по¬
строен космический лифт. Пусть однородный трос натянут вдоль ра¬
диуса Земли от ее поверхности до геостационарной орбиты косми¬
ческой станции. При этом один конец троса закреплен на спутнике,
а второй — свободен у поверхности Земли. Предел прочности мате¬
риала (максимально допустимое натяжение) Гтах = 1,1 • 1011 Н/м2.
Определить допустимую плотность материала троса р.
13.44. Осесимметричный стержень переменного сечения подве¬
шен вертикально за один из концов. В нижнем сечении радиусом г0
стержень нагружен растягивающей силой F, равномерно распреде¬
ленной по площади сечения. При какой зависимости радиуса стержня
от расстояния х до нижнего конца г(х) напряжения во всех гори¬
зонтальных сечениях стержня будут одинаковы? Плотность вещества
стержня р.
13.45. Осесимметричный стержень переменного сечения быстро
вращается вокруг оси, проходящей через один из его концов пер¬
пендикулярно оси симметрии стержня. На свободном конце стержня
закреплен небольшой груз массой т, равномерно распределенный по
сечению стержня площадью S0. При какой зависимости площади се¬
чения стержня от расстояния х до оси вращения S(x) напряжения во
всех поперечных сечениях стержня будут одинаковы? Длина стержня
I, плотность вещества стержня р.
13.461 Энергия взаимодействия двух атомов описывается форму¬
лой, Морзе U(г) = U0[e~2ot('r~r°'> — 2е~<к^Т~Го'>\, где г — межатомное
расстояние. Оценить модуль Юнга Е кристалла с простой кубиче¬
ской решеткой, для которого равновесное межатомное расстояние
г0 = 2 • 10“8 см, U0 = Ю“12 эрг, а = 2,5 • 108 см-1.
13.47. Энергия взаимодействия двух атомов описывается форму¬
лой Морзе U(г) = U0[e~2,K('r~ra'> — 2е-“(г~г°)], где г — межатомное
расстояние. Оценить прочность алмаза Ттах, если плотность атомов
в его решеточной плоскости п ~ 2 • 1015 см~2. Для атомов углерода
U0 = 5,8 • КГ12 эрг, а = 2,12 • 108 см-1.
13.48. Тонкий стержень длиной 21 вращается равномерно вокруг
перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр стержня, с
угловой скоростью си. Показать, что натяжение Т, возникающее в
стержне при таком вращении, удовлетворяет уравнению dT/dx =
= — р'си2ж, где р — плотность вещества стержня, а х — расстоя¬
ние до оси вращения. Найти распределение натяжения в стержне.
В каком месте стержня натяжение максимально и чему оно равно?
Показать, что максимальная кинетическая энергия, которую мож¬
но сообщить стержню при неизменной прочности его материала, за¬
висит только от объема стержня V, но не от его массы. Вычис¬
лить эту кинетическую энергию для V = 3 • 104 см3, если максималь¬
ное натяжение, которое может выдержать стержень, равно Ттах =
= 104 дин/см2. ,
198
13.49. Барабан центрифуги цилиндрической формы радиусом R =
= 100 мм вращается с частотой лг = 400 об/с. На сколько увеличился
при вращении диаметр тонкостенного барабана, если модуль упруго¬
сти стали, из которой он сделан, равен Е = 2 • 10пПа, а плотность
стали р = 7800 кг/м3. Какую прочность Тпр должна иметь сталь, что¬
бы барабан не разрушился?
13.50. При испытаниях центрифуги цилиндрической формы ра¬
диусом R = 50 мм барабан увеличил свой диаметр на а = 0,02%
при вращении со скоростью = 230 об/с и разрушился при у2 =
= 450 об/с. Определить модуль упругости и предел прочности ма¬
териала, из которого сделан барабан, если его плотность р =
= 2700 кг/м3. Считать, что толщина барабана мала по сравнению
с его диаметром.
13.51. Два куба с гладкими стенками изготовлены из материа¬
ла с модулем Юнга Е = 109 Па и коэффициентом Пуассона ц, — 0,3.
Сторона каждого куба равна а = 1 м. Они стоят на гладкой горизон¬
тальной абсолютно твердой поверхности между двумя гладкими аб¬
солютно твердыми стенками, расстояние между которыми равно 2а,
так, что один куб всей гранью касается одной стенки, другой куб —
всей гранью другой стенки и одна грань одного куба полностью каса¬
ется грани другого куба. На сколько изменится высота одного куба,
если к верхней грани другого куба приложить силу F = 105 Н, на¬
правленную вертикально вниз и распределенную по площади грани?
13.52. Два куба с гладкими стенками изготовлены из материа¬
ла с модулем Юнга Е = 109 Па и коэффициентом Пуассона р. = 0,3.
Сторона каждого куба равна а = 1 м. Один куб стоит на гладкой го¬
ризонтальной абсолютно твердой поверхности, другой куб стоит на
первом кубе так, что одна грань верхнего куба полностью покрывает
грань нижнего. На сколько изменится суммарная высота конструк¬
ции, если к верхней грани верхнего куба приложить силу F = 105 Н,
направленную вертикально вниз и равномерно распределенную по
площади грани, и при этом к двум противоположным боковым гра¬
ням нижнего куба приложить такие же по модулю силы, направ¬
ленные горизонтально внутрь куба и равномерно распределенные по
площади тех граней, к которым они приложены?
13.53. К одной паре противоположных граней куба приложены
сжимающие силы Дик другой паре граней приложены точно та¬
кие же сжимающие силы. Все силы равномерно распределены по
площади, третья пара граней не нагружена. Найти упругую энергию
деформированного куба. Длина ребра куба а, куб сделан из одно¬
родного изотропного материала с модулем Юнга Е и коэффициентом
Пуассона р.. Вес куба можно не учитывать.
13.54. К паре противоположных граней куба приложены сжи¬
мающие силы F, а к другой паре граней приложены такие же по
вёличине, но растягивающие силы. Все силы равномерно распреде¬
199
ш.
. •••*•••••• у
^ •• •••// • • S
1
Рис. 355
лены по площади, третья пара граней не нагружена. Найти упругую
энергию деформированного куба. Длина ребра куба а, куб сделан из
однородного изотропного материала с модулем Юнга Е и коэффици¬
ентом Пуассона р.. Вес куба можно не учитывать.
13.55. Кубик изготовлен из материала с модулем Юнга Е =
= 109 Па и коэффициентом Пуассона р. = 0,3. Сторона кубика равна
а = 10 см. Кубик стоит на гладкой горизонтальной абсолютно твер¬
дой поверхности между двумя гладкими абсолютно
твердыми стенками, расстояние между которыми так¬
же равно а (рис. 355). На сколько изменится объем
кубика, если к его верхней грани приложить силу
F = 103 Н, направленную вертикально вниз и равно¬
мерно распределенную по площади грани?
13.56. Кубик изготовлен из материала с модулем
Юнга Е — 109 Па и коэффициентом Пуассона р. =
= 0,3. Сторона кубика равна а = 10 см. Кубик стоит на гладкой го¬
ризонтальной абсолютно твердой поверхности, касаясь одной гранью
гладкой абсолютно твердой стенки (рис. 356). На сколько изменится
объем кубика, если к его верхней грани приложить силу F =
— 103 Н, направленную вертикально вниз и равномерно распреде¬
ленную по площади грани, и при этом еще к грани, противополож¬
ной стенке, приложить такую же силу, направленную к стенке и
также равномерно распределенную по площади грани?
13.57. Растяжение нитевидного бездефектного
кристалла № (вискера) приводит к образованию
гладкой поверхности разрыва при напряжении Т —
• V'.V, ^ = 3 • Ю10 дн/см2. Оценить удельную поверхностную
энергию U этого материала.
13.58. Для исследования поверхности материа¬
лов методом атомно-силовой микроскопии использу¬
ются зонды различной формы (рис. 357). Один из та¬
ких зондов имеет форму усеченного конуса высотой h с углом раство¬
ра 2а = 22°. Конус заканчивается плоской рабочей площадкой ради¬
усом а = 5 нм, при этом выполняется неравенство а -С h. Определить
изменение Д высоты зонда при его сжатии силой F = 5 • 1СГ7 Н,
направленной вдоль оси д. Модуль Юнга материала зонда Е =
= 1,5- 1011 Па. Изменением поперечных сечений при деформации
пренебречь. Считать силу равномерно распределенной по площади
сечения зонда.
Z
1X1
Рис. 356
Рис. 357
13.59. Для исследования поверхности материалов
методом атомно-силовой микроскопии используются
зонды различной формы (рис. 357). Один из таких зон¬
дов имеет форму усеченного конуса) высотой h с углом
раствора 2а = 22°. Конус заканчивается плоской рабо¬
чей площадкой радиусом а, при этом а -С h. (Опреде¬
лить радиус рабочей площадки а, при котором обеспе-
200
чивается необходимая жесткость зонда к =
dF
dA
= 100 Н/м, где F —
сила, направленная вдоль оси z, А — изменение высоты зонда. Мо¬
дуль Юнга материала зонда Е = 1,5 • 1011 Па. Изменением попереч¬
ных сечений при деформации пренебречь. Считать силу равномерно
распределенной по площади сечения зонда.
13.60. Графен, за исследования свойств которого выпускникам
МФТИ А. Гейму и К. Новоселову в 2010 году присуждена Нобелев¬
ская премия по физике, представляет собой моноатомный слой гра¬
фита толщиной h = 0,335 нм. Графен обладает уникально высокой
прочностью и упругостью. Опыт по исследованию упругих свойств
графена ставится следующим образом: алмазный зонд в виде «ножа»
атомно-силового микроскопа оказывает давление на середину гра-
феновой полоски размером 2l0 х d = 1 х 0,5 мкм2, закрепленной по
узким сторонам (рис. 358). Для прогиба центра полоски на вели¬
чину х = 100 нм потребовалась сила F = 1,6 мкН. Оценить модуль
Юнга графена. Графен считать абсо¬
лютно мягким в поперечном направ¬
лении материалом, а его коэффици¬
ент Пуассона равным нулю. Изначаль¬
но пленка не натянута.
13.61. Графен, за исследования
свойств которого выпускникам МФТИ
А. Гейму и К. Новоселову в 2010 го¬
ду присуждена Нобелевская премия
по физике, представляет собой моно¬
атомный слой графита толщиной h —
= 0,335 нм. Графен обладает уникально высокой прочностью и упру¬
гостью. Опыт по исследованию упругих свойств графена ставится
следующим образом: алмазный зонд в виде «ножа» атомно-силового
микроскопа оказывает давление на середину графеновой полоски
размером 2l0 х d = 1 х 0,5 мкм2, закрепленной по узким сторонам
(рис. 358). При прогибе центра полоски на величину жтах = 332 нм
под действием силы Fmax = 48 мкН полоска порвалась. Оценить пре¬
дел прочности и предельно допустимую относительную деформацию
графена. На сколько процентов можно растянуть изготовленную из
графена ленту? Графен считать абсолютно мягким в поперечном на¬
правлении материалом, а его коэффициент Пуассона равным нулю.
Изначально пленка не натянута.
13.62. Графен, за исследования свойств которого выпускникам
МФТИ А. Гейму и К. Новоселову в 2010 году присуждена Нобелев¬
ская премия по физике, представляет собой моноатомный слой гра¬
фита толщиной h = 0,335 нм. Графен обладает уникально высокой
прочностью и упругостью. Опыт по исследованию упругих свойств
графена ставится следующим образом: алмазный зонд в виде «но¬
жа» атомно-силового микроскопа оказывает давление на середину
201
графеновой полоски размером 2/0х d = 1 х 0,5 мкм2, закрепленной
по узким сторонам (рис. 358). При прогибе центра полоски на ве¬
личину жтах = 332 нм под действием силы Fmax = 48 мкН полоска
порвалась. Какая сила потребуется, чтобы разорвать стопку гра-
феновых полосок («графеновый скотч») толщиной h0 = 0,1 мм, на¬
давливая ребром металлической линейки на середину закреплен¬
ной полосы длиной L = 2Ь0 = 2 см и шириной d() = 0,5 см? Графен
считать абсолютно мягким в поперечном направлении материалом,
а его коэффициент Пуассона равным нулю. Изначально пленка не
натянута.
§ 14. Элементы гидродинамики
14.1. Ареометр с цилиндрической трубкой диаметром D, плаваю¬
щей в жидкости плотностью р (рис. 359), получает небольшой вер¬
тикальный толчок. Найти период колебаний Т ареометра, если его
масса m известна. Движение жидкости и ее сопротивление движе¬
нию ареометра не учитывать.
Рис. 359 Рис. 360 Рис. 361
14.2. Жидкость налита в изогнутую трубку (рис. 360), колена
которой составляют с горизонтом углы а и Р, длина заполненной
части трубки I. Если жидкость выведена из положения равновесия,
то начинаются колебания уровня в трубках. Найти период колебаний.
Капиллярными силами и вязкостью жидкости прене¬
бречь.
14.3. U — образная трубка, которая имеет колена раз¬
ных сечений (рис. 361), залита жидкостью до высоты Н
от нижнего сочленения. Найти период малых колебаний
уровней жидкости. Вязкостью пренебречь. Поперечные
размеры трубки малы по сравнению с Н.
14.4. Один из концов [/-образной трубки подсоединен
к большому плоскому резервуару. В трубку и резервуар
налита ртуть, как показано на рис. 362. Найти период малых коле¬
баний уровня жидкости в трубке, считая сечение трубки малым по
сравнению с сечением резервуара, а также пренебрегая вязкостью
ртути. Длина участка трубки с ртутью I. Считать также, что высота
ртути в резервуаре много меньше I.
14.5? Найти зависимость от времени силы F, действующей на дно
цилиндрического стакана площадью S, в который наливают воду* из
Рис. 362
202
чайника (рис. 363). Известно, что за секунду в стакан наливают
постоянное количество Q см3 воды.
14.6. В вертикально стоящий цилиндрический сосуд налита иде¬
альная жидкость до уровня Н (относительно дна сосуда). Пло¬
щадь дна сосуда равна S. Определить время t, за которое уро¬
вень жидкости в сосуде опустится до высоты h (относительно дна
сосуда), если в дне сосуда сделано малое отверстие площадью а.
Определить также время Т, за которое из сосуда выльется вся
жидкость.
14.7. На горизонтальной поверхности стола стоит цилиндрический
сосуд, в который налита вода до уровня Н (относительно поверх¬
ности стола). На какой высоте h (относительно поверхности стола)
надо сделать отверстие в боковой стенке сосуда, чтобы струя воды
встречала поверхность стола на максимальном расстоянии от сосуда?
Вычислить это расстояние.
Газ
р
Рис. 364
Рис. 365
14.8. Определить скорость v стационарного истечения через ма¬
лое отверстие струи идеальной несжимаемой жидкости, находящейся
под давлением Р в закрытом сосуде (рис. 364).
14.9. Для того чтобы струя жидкости вытекала из сосуда с посто¬
янной скоростью, применяют устройство, изображенное на рис. 365.
Определить скорость истечения струи v в этом случае.
14.10. Глубина, на которую можно опустить прибор в океан, огра¬
ничена тем, что вертикально висящие тросы лопаются под действием
собственного веса. Пусть в глубину океана нужно по¬
грузить камеру с массой М = 5 тонн и объемом V =
= 4 м3. На какую максимальную глубину L можно по¬
грузить камеру, если сечение троса на поверхности не
может превышать S0 = 100 см2? Как должно изменять¬
ся сечение троса с глубиной? На какую максимальную
глубину Н можно опустить трос постоянного сечения?
Трос изготовлен из стали. Максимальное допустимое
напряжение троса принять равным Т = 200 Н/мм2.
14.11. В сосуд налита вода до высоты Н. В дне сосуда проделано
круглое отверстие радиусом г0 (рис. 366). Найти радиус струи воды
Рис. 366
203
г (у), вытекающей из отверстия, в зависимости от расстояния у от
дна сосуда.
14.12. Цилиндрический сосуд высотой h погружен в воду на глу¬
бину h0. В дне сосуде площадью S появилось маленькое отверстие
площадью а. Определить время t, через которое сосуд утонет.
14.13. По вертикальной узкой конической трубе, медленно сужа¬
ющейся к низу, под действием веса течет без трения несжимаемая
жидкость. Верхний уровень жидкости поддер¬
живается на постоянной высоте Л.0 от вер¬
шины конуса; труба обрезана на расстоянии
Л-1 < hQ от вершины конуса. Найти распреде¬
ление давления вдоль трубы и начертить его
график.
14.14. На тележке стоит цилиндрический
сосуд, наполненный водой. Высота воды в со¬
суде 1 м. В сосуде с противоположных сторон по ходу тележки сде¬
ланы два крана с отверстиями площадью 10 см2 каждый, один на
высоте Л-! = 25 см над дном сосуда, а другой — на высоте h2 = 50 см.
Какую горизонтальную силу F нужно приложить к тележке, чтобы
она осталась в покое при открытых кранах?
14.15. В боковой стенке сосуда имеется отверстие, нижний край
которого находится на высоте h (рис. 367). При каком горизонталь¬
ном ускорении а сосуда налитая в него жидкость не будет выливать¬
ся из отверстия, если в покоящемся сосуде (при закрытом отверстии)
жидкость была налита до высоты Н?
14.16. Определить форму свободной поверхности жидкости, рав¬
номерно вращающейся с угловой скоростью си вокруг вертикальной
оси Z в цилиндрическом сосуде.
14.17. Найти распределение Р давления на дне сосуда вдоль ради¬
уса в условиях предыдущей задачи. Определить величину давления
у стенок сосуда вблизи его дна, если сосуд вращается со скоростью
4об/с. Высота столба воды на оси цилиндра равна 10 см. Радиус
цилиндра равен также 10 см.
14.18! Цилиндрический сосуд радиусом R с налитой в него иде¬
альной несжимаемой жидкостью вращается вокруг своей геометриче¬
ской оси, направленной вертикально, с угловой скоростью си. Опре¬
делить скорость истечения струи жидкости через малое отверстие
в боковой стенке сосуда при установившемся движении жидкости
(относительно сосуда).
14.19. В вертикальный невесомый цилиндрический сосуд радиу¬
сом R налито то граммов воды. Сосуд с водой раскручен до угло¬
вой скорости ш0, В некоторый момент времени в дне сосуда вблизи
оси вращения открывается отверстие, через которое вытекает вода.
Определить угловую скорость сосуда сик после вытекания воды.
14.20! Определить скорость стационарного течения вдоль оси и рас¬
ход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами
204
L
Я
h
Рис. 367
с внутренним радиусом i?b внешним R2 и длиной I. (Расходом жид¬
кости называется ее масса, ежесекундно протекающая через попе¬
речное сечение трубы.) Коэффициент вязкости жидкости г| изве¬
стен.
14.21. Проволоку радиусом гд = 1 мм протягивают с постоянной
скоростью Vo — Ю см/с вдоль оси трубки радиусом г2 = 1 см, кото¬
рая заполнена жидкостью с вязкостью г| = 0,01 П. Определить силу
трения /, приходящуюся на единицу длины проволоки. Найти рас¬
пределение скоростей жидкости вдоль радиуса трубы.
14.22. Длинный вертикальный капилляр длиной L и радиусом
R заполнен жидкостью плотностью р, коэффициент вязкости кото¬
рой равен г|. За какое время т вся жидкость вытечет из капилляра
под действием силы тяжести? Влиянием сил поверхностного натяже¬
ния пренебречь. Процесс установления скорости жидкости считать
мгновенным.
14.23. Вязкая несжимаемая жидкость с коэффициентом внутрен¬
него трения г| течет по горизонтальной конической трубе (рис. 368).
Предполагая угол ср малым, найти объем жидкости Q, протекающей
по трубе за единицу времени при постоянной разности давлений на
концах АР.
Рис. 368 Рис. 369
14.24. В дне сосуда с жидким гелием образовалась щель ши¬
риной А = 10-4 см и длиной I = 5 см. Толщина дна сосуда d =
= 0,5 мм. Найти максимальную скорость гелия в щели цтах и пол¬
ный расход жидкости М, если высота столба гелия над дном со¬
суда h = 20 см. Плотность и вязкость гелия равны р = 0,15 г/см3,
г| = 3,2 • 10~5 г/(см • с). (Расходом называется масса жидкости, про¬
текающая через щель в течение одной секунды.)
14.25. Вода течет по сплюснутой трубке длиной I = 1 м под напо¬
ром АР = 1 атм. Ширина трубки а = 1 см, высота b = 0,1 мм. Вяз¬
кость воды г| = 0,01 П. Определить объем воды Q, протекающей по
трубке в единицу времени.
14.26. Вязкая жидкость течет по трубе прямоугольного сечения,
одна из сторон которого а велика по сравнению с другой стороной
b (рис. 369). На концах трубы поддерживается постоянная разность
давлений. Течение жидкости в трубе ламинарное. Как изменится коли¬
чество жидкости, протекающей через трубку за 1 секунду, если ее
разделить тонкой перегородкой MN на две равные части?
14.27. Однородный по высоте сосуд с площадью сечения S =
= 100 см2 залит водой до уровня Н = 10 см. Вблизи дна вода от¬
205
•7- - -----
н
♦2 г
Г 1
водится трубочкой диаметром 2г = 2 мм и длиной I — 1 м (рис. 370).
Трубочка открывается в атмосферу. По какому закону h(t) вода вы¬
текает из сосуда? Оценить также время, за которое вода вытечет из
сосуда. Предполагается извест¬
ной вязкость воды г| = 1СГ2 П.
14.28. Из неплотно закры¬
того крана вытекает в единицу
времени Q — 1 см3/с воды в рас¬
положенный под ним сосуд, из
которого вода затем уходит по
горизонтальной трубочке длиной
I = 20 см (рис. 371). Трубочка открывается в атмосферу. Каким дол¬
жен быть диаметр d трубочки, если установившийся уровень воды
равен h = 5 см над уровнем слива. Предполагается известной вяз¬
кость воды г| = 0,01 П.
И)
Рис. 370
T~'fJ
; Д_7-
1
Г
\
1
\ь
* 2R *
\а
Рис. 371
Рис. 372
14.29. В плоской камере, доверху заполненной водой, вращает¬
ся горизонтальный диск радиусом R = 20 см. Какова мощность N,
необходимая для его вращения со скоростью те = 300 об/мин, если
диск находится на расстояниях а = 5 мм и b = 10 мм от нижней и
верхней стенок камеры (рис. 372)? Эффектами, связанными с ради¬
альной конвекцией воды и явлениями на краю диска пренебречь.
Движение жидкости считать лами¬
нарным. Коэффициент вязкости во¬
ды г| = 10-1 кг/(м • с).
14.30. По тонкостенной трубке,
внутренний радиус которой равен
гь наружный — г2, а длина — L, те¬
чет жидкость с коэффициентом вяз¬
кости т|, причем за 1 секунду выте¬
кает объем, равный V. Пренебрегая
изменением диаметра трубки, оценить ее удлинение под действием
трения со стороны жидкости. Модуль Юнга материала трубки ра¬
вен Е.
14.31. Два длинных (длиной L) соосных тонкостенных цилиндра
близких радиусов R и R + h (L R, R h) имеют одинаковые мас¬
сы т (рис. 373). Способные вращаться независимо на общей оси, они
образуют некоторое устройство, в котором зазор между цилиндрами
206
заполнен жидкой смазкой с коэффициентом вязкости г|. В начальный
момент t = О угловая скорость внутреннего цилиндра о>2 = и>20, а
внешний цилиндр неподвижен, так что tUi = 0. Устройство кладется
без начальной скорости на горизонтальную поверхность и начинает
двигаться сразу без проскальзывания. Определить скорость движе¬
ния оси системы v(t) и угловые скорости цилиндров cu^t) и u>2(t),
а также потери кинетической энергии системы (Кнач — Ккон)/Кнач
в процессе установления предельного режима движения при t —> оо.
Силы вязкости в торцах цилиндров, а также массу торцевых стенок
не учитывать. Пренебречь массой жидкой смазки.
14.32. Бочка меда с вязкостью г|м = 100 П и бочка дегтя (г|д =
~ 10 П) одинаковы по размерам (R « 10 см) и массе. Бочки помеща¬
ются рядом на горизонтальную поверхность, и им сообщается одина¬
ковая скорость поступательного движения и0 = 1м/с. Оценить, на
какое расстояние одна бочка будет опережать другую, когда их ка¬
чение станет равномерным. Массой тары и трением качения можно
пренебречь, а плотности меда и дегтя считать порядка 1 г/см3.
14.33. В бассейне испытывается модель корабля в 0,01 натураль¬
ной величины. Проектная скорость корабля равна v = 36 км/ч. Най¬
ти скорость и, с которой надо буксировать модель, чтобы картина
гравитационных волн была подобна натуре.
14.34. Две сферические капли воды с различными радиусами па¬
дают с постоянными скоростями Vi и п2 в воздухе. Оценить отноше¬
ние радиусов капель гу/г2, если для движения первой капли число
Рейнольдса Rej = 103, и сопротивление среды описывается форму¬
лой ^pvl А для движения второй капли Re2 — 0,1, и сопротивле¬
ние среды описывается формулой б7ГГ|r2v2, где р и г| — плотность и
вязкость воздуха.
14.35. Несжимаемая вязкая жидкость течет широким потоком со
скоростью и. На пути потока ставится длинная тонкостенная тру¬
ба. Ось трубы ориентирована точно вдоль вектора скорости потока.
На входе в трубу скорость жидкости одинакова по сечению трубы.
Какова будет максимальная скорость жидкости на выходе из трубы?
Найти импульс единицы массы жидкости на выходе из трубы.
14.36. Определить расстояние г0 от оси равномерно вращающего¬
ся цилиндрического сосуда радиусом R, на котором уровень несжи¬
маемой жидкости, налитой в сосуд, останется неизменным.
14.37. В цилиндрический сосуд радиусом R и высотой Н налита
вода до высоты h. При какой скорости вращения си сосуда вокруг
вертикальной оси вода начнет выплескиваться через край? Какому
соотношению должны удовлетворять значения Н и h, чтобы при этом
стало обнажаться дно сосуда?
14.38. В цилиндрический сосуд радиусом R и высотой Н налита
вода до высоты h. Определить угловую скорость вращения си сосуда
вокруг вертикальной оси, при которой дно сосуда обнажится в его
207
центре. Найти условие, при котором вода не будет выплескиваться
через край сосуда.
14.39. Обычно пробку из бутылки с вином вынимают с помощью
штопора. Однако можно выбить пробку, ударив дном бутылки о стол
(подложив, например, книгу). Оценить давление жидкости у дна бу¬
тылки, если скорость бутылки перед ударом была равна v = 0,3 м/с,
плотность вина р = 0,9 г/см3, скорость звука цзв = 1500 м/с.
14.40. Гидравлическим ударом называется повышение давления
в трубе, по которой течет жидкость, при резкой остановке жидкости,
например, с помощью заслонки, мгновенно перекрывающей сечение
трубы. Оценить величину повышения давления при гидравлическом
ударе в трубе, по которой течет вода со скоростью v = 0,3 м/с. Ско¬
рость звука в воде v3B = 1,5 км/с.
14.41. Для обеспечения движения крови по артерии давление в
ней должно превышать некоторую пороговую величину Р0. При пре¬
вышении давления над пороговым на АР = 13 кПа по артерии диа¬
метром di = 1 см кровь течет со скоростью V\ = 20 см/с. Определить
минимальное значение диаметра сужения d2, при котором еще воз¬
можно продолжение кровотока, если в основной части артерии ско¬
рость крови и давление не изменяются. Плотность крови считать рав¬
ной плотности воды. Влиянием сил тяжести и вязкости пренебречь.
14.42. Расходомер Вентури для измерения расхода жидкости
представляет собой горизонтально расположенную коническую трубу
с диаметром широкого участка d\ = 10 см. При расходе воды через
расходомер Q — 10 л/с высота подъема воды в трубке манометра,
присоединенной к широкой части расходомера, hi = 120 см. Опреде¬
лить диаметр d2 узкого участка расходомера, если высота подъема
воды в трубке манометра, подсоединенной к этому концу трубы, рав¬
на нулю. Силами вязкости пренебречь.
14.43. Расходомер Вентури для измерения расхода жидкости
представляет собой горизонтально расположенную коническую трубу
с диаметрами широкого и узкого участков di = 10 см и di = 8 см со¬
ответственно. Пренебрегая силами вязкости, определить расход воды
Q через расходомер Вентури, если разность давлений между этими
участками равна h = 15 см водяного столба.
14.44? Тонкостенная цилиндрическая бочка, полностью заполнен¬
ная жидкостью с весьма малым, но конечным по величине внут¬
ренним трением, достаточно долго (так что жидкость вращается в
бочке без проскальзывания) катится по шероховатой поверхности со
скоростью v и упруго ударяется об абсолютно гладкую вертикаль¬
ную стенку. Найти скорости бочки сразу после наступления качения
без проскальзывания V\ и после достаточно длительного времени гу.
Трение качения отсутствует. Масса бочки т, масса содержимого М.
Влиянием днищ бочки пренебречь.
14.45. По тонкостенной цилиндрической бочке, полностью за¬
полненной жидкостью с весьма малым, но конечным по величине
208
внутренним трением, наносят горизонтальный удар на высоте центра
бочки, так что она начинает скользить поступательно по шерохова¬
той поверхности со скоростью v. Найти скорости бочки сразу после
наступления качения без проскальзывания щ и после достаточно
длительного времени vK (когда жидкость будет вращаться в бочке
без проскальзывания). Трение качения отсутствует. Масса бочки т,
масса содержимого М. Влиянием днищ бочки пренебречь.
14.46. Вода течет по горизонтальной трубе радиусом R = 1 см и
длиной L. При каком градиенте давления АР/1 течение станет тур¬
булентным, если для средней скорости движения воды по попереч¬
ному сечению трубы число Рейнольдса, при котором возникает тур¬
булентное течение равно Re = 2000. Вязкость воды г| = 1СГ3 Па ■ с.
14.47. Вода течет в щелевом канале длиной L, образованном дву¬
мя бесконечно широкими параллельными стенками, расположенны¬
ми на расстоянии 2а = 1 см одна от другой. При каком градиен¬
те давления AP/L течение станет турбулентным, если для средней
скорости движения воды по поперечному сечению, число Рейнольд¬
са, при котором возникает турбулентное течение равно Re = 1500.
Вязкость воды г) = 10-3 Па • с.
14.48. Жидкий шоколад с плотностью р и вязкостью г| стека¬
ет плоским стационарным потоком по наклонной плоскости, состав¬
ляющей угол а с горизонтом. Толщина потока везде одинакова и
равна h. Найти объемный расход жидкости, протекающей через по¬
перечное сечение потока в расчете на единицу его ширины. Чему
равна средняя скорость потока?
14.49. По трубе радиусом R, наклоненной к горизонту, течет ста¬
ционарный поток жидкости с плотностью р и вязкостью г|. При каком
угле а наклона к горизонту этот поток будет еще оставаться лами¬
нарным, если для средней скорости потока по трубе критическое
число Рейнольдса Re ~ 103 (переход от ламинарного к неустойчиво¬
му течению).
14.50. Какова наибольшая скорость и сферических частиц радиу¬
сом г = 50 мкм, выносимых топочным газом из дымовой трубы? Ско¬
рость газа на оси трубы v0 = 30,5 см/с, коэффициент динамической
вязкости г) = 2,6 • 1СГ5Па • с, плотность газа рг = 7,2 • 10“4г/см3,
частиц — рч = 1,2 г/см3. Найти число Рейнольдса для движущих¬
ся частиц.
14.51. Амплитуда малых колебаний маятника в виде шара, подве¬
шенного на шнуре длиной I = 30 м, за время г = 12 часов уменьши¬
лась вдвое. Определить массу шара т, считая, что на шнур, масса
которого много меньше массы шара, действует сила сопротивления,
величина которой в расчете на единицу его длины равна f = 10r|f,
где г| = 1,8 • 10-5 кг/(м • с) — коэффициент вязкости воздуха, v —
скорость. Силой вязкого сопротивления, действующей на шар маят¬
ника, и трением в точке подвеса можно пренебречь.
209
14.52. Найти диаметр D длинного цилиндрического стержня,
подвешенного за один из его концов, если за время т = 3 часа
амплитуда его малых колебаний уменьшилась в е раз. Считать,
что на стержень со стороны воздуха действует сила сопротивле¬
ния, величина которой в расчете на единицу его длины равна / =
= 780Z>r|f, где г| = 1,8 • 10-5 кг/(м • с) — коэффициент вязкости воз¬
духа, v — скорость. Стержень изготовлен из стали с плотностью
р = 7,8 • 103кг/м3. Трением в точке подвеса можно пренебречь.
I
I
210
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 1. Идеальный газ. Работа, теплота, внутренняя
энергия. Первое начало термодинамики. Теплоемкость
1.1. Доказать, что если три величины х, у, z связаны функци¬
ональным уравнением f(x,y,z) = 0, то их производные (дх/дy)z,
(dy/dz)x, (dz/dx)y удовлетворяют соотношению
1.2. Доказать, что коэффициент объемного расширения а, темпе¬
ратурный коэффициент давления Л и изотермическая сжимаемость
(3 физически однородного и изотропного тела связаны соотношением
У0а = Р0УЛ(3,
где Vo и Р0 — объем и давление тела при 0°С.
1.3. Коэффициент объемного расширения ртути а при 0°С и ат¬
мосферном давлении равен 1,8 • 10-4оС-1. Сжимаемость (3 = 3,9 х
х 10-6 атм^1. Вычислить температурный коэффициент давления Л
для ртути.
1.4. На сколько надо увеличить внешнее давление, чтобы сохра¬
нить постоянным объем ртути при нагревании ее от 0 до 0,2 °С? (См.
предыдущую задачу.)
1.5. Вычислить для идеального газа следующие величины: коэф¬
фициент объемного расширения а, температурный коэффициент дав¬
ления Л, изотермическую сжимаемость (Зт, изотермический модуль
объемной упругости Кт = —V(dP/dV)T. (См. задачу 1.2.)
1.61 Компенсационный маятник состоит из длинной тонкой нике¬
левой трубки пренебрежимо малой массы, небольшая часть объема
которой заполнена ртутью. Коэффициент линейного расширения ни¬
келя ал = 1,0 • 10-5оС~\ коэффициент объемного расширения ртути
а = 18,0 • 10~5оС-1. Какую часть объема трубки следует заполнить
ртутью, чтобы период колебаний маятника не изменялся с измене¬
нием температуры? Для простоты сначала рассмотреть маятник как
математический, т. е. считать, что центр качаний его совпадает с
211
центром масс ртути. Затем учесть несовпадение центра качания с
центром масс ртути.
1.7. Найти плотность р морской воды на глубине 5 км, если на
поверхности океана плотность р0 = 1,03 г/см3, а сжимаемость воды
в пределах давлений от 1 до 500 атм равна (3 = 47,5 • 10~6 атм-1.
1.8. Электрическая газонаполненная лампа накаливания напол¬
нена азотом при давлении в бООммрт. ст. Емкость лампы 500 см3.
Какое количество воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик
под водой при нормальном атмосферном давлении?
1.9. Цилиндрическая пипетка длиной I наполовину погружена в
ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. Часть ртути вытекает.
Какой длины х столбик ртути останется в пипетке? Атмосферное
давление равно Н мм рт. ст.
1.10. Давление воздуха, заключенного в закрытом колене мано¬
метра высотой I, уравновешивает столб ртути высотой h при баро¬
метрическом давлении Н0 и абсолютной температуре Т0. Какой столб
ртути h 1 будет уравновешивать давление этого воздуха при баромет¬
рическом давлении Нг и температуре Д?
1.11. Два сосуда А и В с воздухом соединены между собой ка¬
пилляром с краном. Сосуд А погружен в водяную ванну с темпе¬
ратурой Ц = 100°С, а сосуд В — в охлаждающую смесь с темпера¬
турой f2 = — 20 °С. В начале сосуды были разобщены друг от дру¬
га краном, и давления воздуха в сосудах А и В были равны соот¬
ветственно Pi = 400 мм рт. ст. и Р2 = 150 мм рт. ст. Найти давление,
установившееся после открытия крана, если объем сосуда А равен
Vi = 250 см3, а В — V2 = 400 см3.
1.12. Аэростат объемом V м3 наполнен водородом при темпера¬
туре Ц = 15°С. При неизменном давлении атмосферы под влияни¬
ем солнечной радиации его температура поднялась до t2 = 37°С, а
излишек газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэро¬
стата с газом уменьшилась на М = 6,05 кг. Плотность водорода
Ро = 8,9 • 10-5 г/см3. Определить объем аэростата V.
1.13. Фабричная труба высотой I = 50 м выносит дым при темпе¬
ратуре Ц = 60 °С. Определить статическое давление Р, производящее
тягу в трубе. Температура воздуха £2 = —10°С. Плотность воздуха
Ро = 1,29 • Ю-3 г/см3.
1.14. В тонкостенный сферический баллон массой М = 1 кг на¬
гнетается азот при температуре Т = 300 К. Найти максимальное ко¬
личество азота, которое можно поместить в сосуд, если допустимое
напряжение в стенках баллона а= 50 Н/мм2. Плотность стали р =
= 7,8 г/см3.
1.15. Найти число ходов п поршня, чтобы поршневым воздушным
насосом откачать сосуд емкостью V от давления Рг до давления Р2,
если емкость хода поршня равна v. Вредным пространством прене¬
бречь.
212
1.16. Скорость откачки газа во вращающемся масляном насосе
150 см3/с. Сколько потребуется времени, чтобы колбу в 5 л откачать
от нормального атмосферного давления до давления 10~2 ммрт. ст.?
1.17. Сосуд с объемом 1 литр наполнен водой при температуре
27 °С. Чему стало бы равным давление Р внутри сосуда, если бы
взаимодействие между молекулами воды внезапно исчезло?
1.18. Восемь граммов кислорода занимают объем V = 560 л.
Определить давление этого газа в том же объеме при температу¬
рах 1) Т — 820 К и 2) Т — 10 кэВ, когда атомы кислорода полностью
ионизированы.
1.19. При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре дости¬
гаются температуры порядка Т « 10 кэВ. Принимая ориентировочно
плотность урана в центре бомбы равной р = 20 г/см3, найти давле¬
ние внутри бомбы при этой температуре. Сравнить это давление с
давлением в центре Земли, вычисленным в предположении, что плот¬
ность Земли постоянна и равна рз = 5,5 г/см3. Давление светового
излучения не учитывать.
1.20. Три сосуда с объемами Vo, Vi, V2, содержащие идеальный
газ, соединены вместе тонкими трубками (объемом трубок можно
пренебречь). Вначале все три сосуда находились при одинаковой тем¬
пературе Т0, а давление в них было равно Р0. Затем сосуд V0 оста¬
вили при температуре Т0, а сосуды V\ и V2 нагрели до температур Т)
и Т2 соответственно. Найти давление Р, установившееся в сосудах.
1.21. Определить массу воздуха т, заключенного между двумя
оконными рамами при атмосферном давлении Р, считая, что темпе¬
ратура между рамами меняется по линейному закону от Т) до Т2
(Т2 > ТД. Площадь окна равна S, расстояние между ними — I.
1.22. Оценить размер цилиндра автомобиля «Москвич». При за¬
сасывании в цилиндр воздуха из атмосферы, смешанного с брызгами
бензина, горючая смесь подогревается до температуры ~80°С. Рас¬
ход бензина при езде со скоростью 60 км/ч (3000 об/мин двигателя,
двигатель четырехцилиндровый) составляет около 8 кг на 100 км.
Бензин представляет собой смесь углеводородов (СпН2п) с относи¬
тельной молекулярной массой ~ 100; точка кипения его ~ 80 °С.
1.23. Имеется смесь различных идеальных газов с массами Мь
М2, М3, • и молярными массами р.ь р.2, р.3, • соответственно. Пока¬
зать, что уравнение состояния такой смеси можно записать в виде
PV = —RT, где М = Mi + М2 + М3 + • — полная масса смеси, а
и
постоянная р. играет роль средней молярной массы смеси. Найти р..
1.24. Какую скорость v должна иметь свинцовая пуля, чтобы при
ударе о стальную плиту она расплавилась? Температура пули £0 =
= 27°С, температура плавления свинца П = 327°С, удельная теплота
плавления свинца д = 5кал/г, удельная теплоемкость свинца с =
= 0,03 кал/(г • °С).
213
1.25. Насос производительностью 0,5 л/с откачивает пары из со¬
суда, частично заполненного водой. Температура сосуда поддержи¬
вается равной 20°С. Определить количество тепла, подводимое к
сосуду за 1 с. Давление насыщенного пара и теплота парообразо¬
вания при этой температуре равны соответственно Pq = 18 Тор, Л —
= 580 кал/г. Считать пар внутри сосуда насыщенным, а насыщенный
пар — идеальным газом.
1.26. На PH-диаграмме, изображенной на рис. 374 показаны раз¬
личные обратимые процессы изменения состояния некоторой тер¬
модинамической системы. Известно, что
когда система переходит из состояния 1 в
состояние 2 по пути 1-3-2, то она получает
Q132 = 80 Дж тепла и при этом совершает
работу А132 = 30 Дж.
1) Какое количество тепла Qu2 получит
система, переходя из состояния / в состоя¬
ние 2 по пути 1-4-2, если известно, что при
этом она совершает работу Л142 = 10 Дж?
2) Система возвращается из состояния 2
в состояние 1 по пути 2-1. Совершенная
при этом над системой внешняя работа рав-
количество тепла Q2i отдает система в ходе
этого процесса?
3) Найти количества тепла Qi4 и Q42, поглощаемые системой в
процессах 1-4 и 4-2, если разность внутренних энергий U4 — Ui =
— 40 Дж.
1.27. При полном сгорании моля метана в углекислоту и воду вы¬
деляется Q1 = 887 кДж. При образовании из элементов моля воды
выделяется Q2 = 287 кДж, а при полном сгорании углерода с об¬
разованием моля С02 выделяется тепло Q3 = 407 кДж. Определить
теплоту Q образования моля метана из твердого углерода и газооб¬
разного водорода.
1.28. Согласно закону Джоуля внутренняя энергия идеального
газа зависит только от его температуры и не зависит от давления.
Пользуясь этим и уравнением Клапейрона, показать, что энтальпия
I = U + PV идеального газа не зависит от давления, а является
функцией только его температуры.
1.29. Доказать, что если начальные и конечные продукты реак¬
ции являются идеальными газами, то: 1) тепловой эффект реакции
при постоянном объеме не зависит от объемов газов после реакции;
2) тепловой эффект реакции при постоянном давлении не зависит от
давлений газов.
1.30. Рассматривая воздух как идеальный газ, показать, что
при нагревании воздуха, находящегося в комнате, его внутренняя
энергия не изменяется, если только внешнее давление остается по¬
стоянным.
Рис. 374
на Л21 = 20 Дж. Какое
214
1.31. в комнате в течение некоторого времени был включен на¬
греватель. При этом температура воздуха поднялась от Д до 12, дав¬
ление же его не изменилось и осталось равным давлению вне зда¬
ния. Считая воздух идеальным газом, найти количество тепла Q,
которое пошло на увеличение внутренней энергии воздуха в ком¬
нате.
1.32. Какое количество тепла Q потребуется на нагревание 1 м3
воздуха от 0 до 1°С при постоянном объеме и начальном давле¬
нии Р = 760 мм рт. ст.? Плотность воздуха при нормальных условиях
Ро = 0,00129 г/см3, сР = 0,237 кал/(г • °С), у = ср/су = 1,41.
1.33. Какое количество тепла Q отдает моль одноатомного иде¬
ального газа при его изобарическом обратимом охлаждении, ес¬
ли на сжатие газа в ходе этого процесса была затрачена работа
А = 10 Дж?
1.34. В цилиндре под невесомым поршнем находится идеальный
газ в равновесии с атмосферой. На поршень начинает действовать
внешняя сила, в результате чего газ изотермически сжимается, и
его давление возрастает в два раза. Начальный объем газа 14 = 5 л.
Вычислить работу, совершаемую внешней силой, и количество тепла,
полученное в этом процессе газом.
1.35. Найти изменение внутренней энергии AU массы азота
при его квазистатическом. адиабатическом расширении от объема
14 = 10 л, занимаемого при нормальном давлении Рь до объема
14 = 320 л.
1.36. Батарея конденсаторов емкостью С = 100 мкФ, заряженная
до напряжения U = 300 В, разряжается через искровой промежуток,
помещенный внутри баллона объемом V = 10 см3. Баллон наполнен
аргоном при нормальных условиях. Оценить изменение АР давления
в аргоне.
1.37. Для аргона отношение у = CP/CV = 1,68. Определить дав¬
ление Р2, получившееся после адиабатического расширения этого га¬
за от объема 14 = 1 л до объема V2 = 2 л, если начальное давление
Р\ = 1 атм.
1.38. Политропическим процессом называется процесс, проис¬
ходящий с постоянной теплоемкостью С. Кривая, изображающая
политропический процесс, называется политропой. Найти уравне¬
ние политропы для идеального газа, теплоемкость Cv которого не
зависит от температуры. Рассмотреть частные случаи: 1) С = Cv;
2) С = СР\ 3) С = 0; 4) С = ос.
1.39. При каких значениях показателя политропы п идеальный
газ при сжатии нагревается, а при каких охлаждается?
1.40. При некотором политропическом процессе гелий был сжат
от начального объема в 4 л до конечного объема в 1 л. Давление
при этом возросло от 1 до 8 атм. Найти теплоемкость С всей массы
гелия, если его начальная температура была 300 К.
215
Рис. 375
1.41. На PF-диаграмме (рис. 375) через произвольную точку А
проведена изотерма ТТ и адиабата SS для идеального газа, тепло¬
емкость Су которого не зависит от температуры. Показать, что по¬
литропе, проходящей через А и лежащей в
заштрихованной области, соответствует от¬
рицательная теплоемкость, а политропе в
незаштрихованной области — положитель¬
ная теплоемкость.
1.42. Вычислить работу одного моля
идеального газа в политропическом процес¬
се, если объем газа изменяется от началь¬
ного значения V\ до конечного значения
V2. Рассмотреть частные случаи изотерми¬
ческого и адиабатического процессов.
1.43. Положительную или отрицатель¬
ную работу совершает идеальный газ при круговом процессе 1-2-3-1
(рис. 376)? Чему равна эта работа для m граммов азота? Известно,
что V2/Vi = Т2/Ту
1.44. В теплоизолированном от внешней среды цилиндре под
поршнем находится 8 г гелия при температуре Т) = 200 К. Общее
количество вещества, из которого изготовлен цилиндр и поршень,
равно одному молю. Обратимым об¬
разом газ за счет движения поршня
сжимается до объема V2 — Vi/8, но
температура стенок за это время не
успевает измениться, и лишь потом
вся система приходит в равновесие.
Найти установившуюся температу¬
ру т.
1.45. 1) Нагревается или охла¬
ждается идеальный газ, если он
расширяется по закону PV2 =
= const? 2) Какова его молярная
теплоемкость в этом процессе?
1.46. Решить предыдущую задачу для идеального газа, расширя¬
ющегося по закону P2V = const.
1.47. Вычислить молярную теплоемкость идеального газа для прог
цесса! в котором давление Р пропорционально объему V. Теплоем¬
кость Cv газа не зависит от температуры.
1.48. Молярная теплоемкость азота в некотором процессе посто¬
янна и равна 23,556 Дж/(К • моль). Как зависит давление газа Р от
температуры Т в этом процессе?
1.49. Вычислить молярную теплоемкость C(V) идеального газа
с заданным значением параметра у = СР/Су в процессе, представ¬
ленном на графике (рис. 377). Значения Р0 и V0 известны. Опре¬
216
делить максимальную температуру, которую достигает газ в этом
процессе. Указать политропические процессы, графики которых на
РК-диаграмме касаются прямой (на рис. 377) в точках, соответству¬
ющих C(V) = 0 и C(V) = оо. Начертить график зависимости C{V).
1.50. Найти в координатах (V,T) уравнение процесса для иде¬
ального газа, при котором молярная теплоемкость газа меняется с
температурой по линейному закону С = С0 + аТ, где а — некото¬
рая постоянная. Рассмотреть частный случай С0 = 0.
1.51. Найти в координатах (У,Т) уравнение адиабаты для идеаль¬
ного газа в области температур, в которой теплоемкость газа меня¬
ется по закону Cv = Су0 + скТ2, где а — некоторая постоянная.
1.52. Для идеального газа с произвольным показателем адиабаты
у найти уравнение процесса, при котором молярная теплоемкость С
зависит от температуры Т по закону С = аТ2, где а = const.
1.53. Моль идеального газа с молярной теплоемкостью Су =
= 577/2 три раза обратимо переводится из состояния 1 в состояние 2
в результате поочередного выполнения трех различных термодинами¬
ческих процессов 1-3-2, 1-4-2, и 1-2 (рис. 378). Найти количества
тепла Q132, Q142, и Q12> получаемые газом в ходе каждого из этих
процессов. Найти молярную теплоемкость С\2 газа для процесса 1-2.
Все результаты выразить через газовую постоянную R и температу¬
ру Т) газа в состоянии 1.
1.54. Моль идеального газа нагревают в цилиндре под невесо¬
мым поршнем, удерживаемым в положении равновесия пружиной,
подчиняющейся закону Гука (рис. 379). Стенки цилиндра и поршень
адиабатические, а дно проводит тепло. Начальный объем газа Vo, при
котором пружина не деформирована, подобран так, что P0S2 = kV0,
где Р0 — наружное атмосферное давление, S — площадь поршня,
к — коэффициент упругости пружины. Найти теплоемкость газа для
этого процесса.
1.55? Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и пор¬
шень MN сделаны из материала, не проводящего тепло (рис. 380).
Дно АВ проводит тепло. Поршень MN может двигаться в цилиндре
без трения. Сверху и снизу поршня находится по одному молю одного
217
и того же идеального газа с молярной теплоемкостью при постоянном
объеме Су и показателем адиабаты у. Первый газ в нижней части
цилиндра квазистатически нагревают (или охла¬
ждают), вследствие чего поршень MN перемеща¬
ется. Выразить теплоемкость первого газа С\ при
таком процессе через объемы газов Ц и V2. Чему
равна при этом теплоемкость второго газа С2? Как
изменится ответ, если верхнюю крышку CD сде¬
лать теплопроводящей, а температуру газа в верх¬
ней части цилиндра поддерживать постоянной?
1.56. В цилиндрическом сосуде объемом 2V0 мо¬
жет свободно перемещаться легкий поршень. По
Рис. 380 обе стороны поршня находится по одному молю од¬
ноатомного идеального газа. В начальный момент
температура и давление газа слева и справа от поршня одинаковы
и равны Т0 и Р0. Затем газу слева стали квазистатически подво¬
дить тепло. Считая процесс в правой части сосуда адиабатическим,
определить теплоемкость процесса в левом отсеке как функцию V2.
Начертить график зависимости Ci(V2).
1.57. Один моль идеального газа помещен в закрытом цилин¬
дре при температуре Т0 = 273,15 К и давлении Р0 — 1 атм. Боковые
стенки цилиндра не проводят тепло, а его основания являются хо¬
рошими проводниками тепла. Цилиндр и содержащийся в нем газ
разделены на две равные части свободно перемещающимся порш¬
нем, не проводящим тепло. Одна половина цилиндра погружается
в тающий лед, а другая нагревается до температуры Т = 373,15 К.
Определить объемы Ц и V2, занимаемые газом по обе стороны порш¬
ня после установления равновесия. Найти давление газа Р в конце
процесса и массу m расплавившегося льда. Теплота плавления льда
q = 335 Дж/г.
1.58. Теплоизолированный сосуд разделен непроницаемой перего¬
родкой на две равные части. В одну часть помещен идеальный газ,
а вторая откачана до высокого вакуума. Затем перегородку убира¬
ют, и газ заполняет весь объем сосуда. После этого газ нагревают,
заставляя его последовательно совершать два процесса: 1) процесс
при постоянном давлении, в результате которого объем газа увели¬
чивается в 4 раза; 2) процесс при постоянном объеме, в результату
которого восстанавливается исходное давление газа. В обоих про¬
цессах газу сообщается одинаковое количество тепла. Определить
показатель адиабаты у.
1.59. Идеальный газ, теплоемкость Су которого, а также показа¬
тель адиабаты у известны, сжимается под поршнем в цилиндре так,
что уходящее в окружающую среду тепло равно изменению внутрен¬
ней энергии газа. Определить работу, затраченную на сжатие одного
моля газа, при изменении объема в два раза. Чему равна теплоем¬
кость в этом процессе? Начальная температура газа равна Т0.
218
1.60. Теплоизолированный цилиндр с объемом 2V0, в котором
находятся 2 моля идеального газа, разделен невесомым теплонепро¬
ницаемым поршнем с площадью S на две равные части. Одну из
частей нагревают. При этом поршень перемещается на величину h.
Определить количество затраченного тепла. Начальная температура
в обеих половинах одинакова и равна Т0.
1.61. 20 г гелия, заключенного в цилиндре под поршнем, квази¬
статически переводятся из состояния 1 (Рх =4,1 атм, Vx = 32 л) в со¬
стояние 2 (Р2 = 15,5 атм, V2 = 9 л). Какой наибольшей температуры
достигает газ в этом процессе, если зависимость P(V) представляет
собой прямую линию?
1.62. Для создания подземного нефтехранилища в полости с на¬
чальным объемом Vo производят взрыв, при котором высвобождает¬
ся энергия 4,2 ГДж. Образовавшиеся газообразные продукты взры¬
ва, расширяясь адиабатически, в доли секунды образуют хранилище.
При каком начальном объеме полости увеличение ее объема будет
максимальным? Взрыв производится на глубине Н = 100 м, плот¬
ность грунта р = Зг/см3. Для оценки считать грунт несжимаемой
жидкостью, а продукты взрыва — двухатомным газом.
1.63. Для определения отношения удельных теплоемкостей сР и
су газа измерили период Тх малых колебаний ртути в [/-образной
стеклянной трубке с незапаянными концами. После этого на обе
ветви трубки были насажены большие одинаковые полые стеклян¬
ные шары с исследуемым газом, вследствие чего период колебаний
изменился и стал равным Т2. Считая процесс сжатия и разрежения
газа в шарах адиабатическим, вывести формулу для у = cp/cv. Объ¬
ем каждого шара равен V см3, давление газа в них в состоянии покоя
h см рт. ст., а площадь поперечного сечения трубки S см2. Объемом
незаполненной части трубки можно пренебречь по сравнению с объ¬
емом шара V.
1.64. Для получения газов при сверхвысоких температурах и дав¬
лениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с од¬
ного конца цилиндра-ствола и поршня-пули, влетающей в цилиндр
с открытой стороны. При хорошей обработке ствола и пули удается
добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким
температурам сильно сжатые газы в этих условиях еще можно счи¬
тать идеальными. Оценить верхний предел температуры Т, давления
Р и плотности р аргона, подвергнутого сжатию в такой установке,
если пуля массой m = 100 г влетает в ствол, имеющий объем V =
= 200 см3, с начальной скоростью v = 250 м/с. Начальные темпера¬
тура и давление соответственно равны Т0 = 300 К и Р0 = 1 атм.
1.651 Для измерения теплоемкости газа исследуемый нагретый
газ заставляют протекать через спиральную металлическую трубку
(змеевик), опущенную в воду калориметра. На одном конце змееви¬
ка поддерживают постоянными давление Рх и температуру Тх. На
выходе змеевика поддерживают давление Р2 и измеряют температу¬
219
ру газа Т2. По повышению температуры воды в калориметре можно
определить количество тепла, отданное газом. Разделив полученную
величину на понижение температуры и на число молей прошедше¬
го газа, находят его молярную теплоемкость. Какая теплоемкость
измеряется таким методом?
1.66. В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой
с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М которо¬
го велика по сравнению с массой газа, заключенного внутри трубки.
В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки
равно 10. Определить период малых колебаний, которые возникнут
при отклонении поршня от положения равновесия, в предположении,
что они являются изотермическими, а газ идеальным. Площадь попе¬
речного сечения трубки равна S, нормальное атмосферное давление
Р0. Рассмотреть предельный случай, когда Р0 = 0.
1.67. Решить предыдущую задачу в предположении, что колеба¬
ния — адиабатические. Будет ли сказываться на результате зависи¬
мость показателя адиабаты у для газа от температуры?
1.68. Два баллона с объемами в Vx и V2, наполненные разными
газами, соединены цилиндрической трубой с площадью поперечного
сечения, равной S. В трубе находится поршень массой М. В поло¬
жении равновесия давление газов по обе стороны поршня одинаково
и равно Р0. Найти период т малых колебаний, которые возникнут
при отклонении поршня от положения равновесия в предположении,
что процесс сжатия и расширения газов адиабатический. Показатели
адиабат для газов равны соответственно ух и у2. Объемом трубы по
сравнению с объемами Vx и V2 пренебречь, трение между поршнем
и стенками трубы не учитывать.
1.69t Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистати¬
чески сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости
которого Ср и Су не зависят от температуры. Сначала газ сжимается
от давления Р0 до промежуточного давления Рх. Затем сжатый газ
при постоянном давлении Рх охлаждается до начальной температу¬
ры Т0. Наконец, газ сжимается до окончательного давления Р2. При
каком значении промежуточного давления Рх полная работа ком¬
прессора минимальна и чему она равна? Давления Р0 и Рх, а также
начальный объем газа V0 считаются заданными. Как связана мини¬
мальная работа Д„ш с работой Ах, которую надо было бы затратить
на сжатие газа до того же давления Р2, применяя одноступенчатый
компрессор? Найти эту связь для гелия и воздуха, если Р0 = 1 атм,
Р2 = 200 атм.
1.70. Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистати¬
чески сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости
которого СР и Су не зависят от температуры. Сначала газ сжимается
от объема V0 до промежуточного объема V{. Затем сжатый газ при
постоянном объеме Vx охлаждается до начальной температуры Т0.
После этого газ сжимается до объема V2. При каком значении про¬
220
Рис. 381
межуточного объема Vi полная работа компрессора минимальна и
чему она равна? Объемы Vq и V2, а также начальное давление Р0
считаются заданными. Как связана минимальная рабо¬
та Amin с работой Аг, которую надо было бы затратить,
чтобы произвести такое же сжатие газа с помощью одно¬
ступенчатого компрессора? Найти эту связь для аргона
и азота, если Vq/V2 = 50.
1.71! Идеальный газ находится в эластичной адиаба¬
тической оболочке под давлением Рь имея температуру
Т\. Определить температуру газа Т2, которая установит¬
ся после того, как внешнее давление на газ скачкооб¬
разно изменится до величины Р2. Сравнить изменение
температуры в этом процессе с изменением ее, которое получилось
бы, если бы адиабатический процесс проходил квазистатически.
1.72. Ртуть массой m = 6,8 г налита в [/-образную трубку (рис. 381)
сечением S = 0,05 см2, запаянную с одной стороны так, что раз¬
ность уровней ртути I = 2,5 см, а высота воздушного промежутка
Хо = 3,5 см. Найти период малых коле¬
баний ртути в трубке, считая процесс
адиабатическим.
1.73. М. В. Ломоносов для измере¬
ния вариаций силы тяжести предложил
прибор (рис. 382), представляющий со¬
бой две колбы объемом V = 100 см3
каждая, соединенные капилляром сече¬
ния S = 0,001 см2. Вначале в колбе 1
создается вакуум, в колбе 2 находит¬
ся воздух при нормальном атмосферном давлении; при этом ртуть в
капилляре оказывается на горизонтальном участке. Затем обе кол¬
бы запаиваются. Сечение колб So = 25 см2, температура постоянна,
газ в колбе 2 идеальный. На сколько изменится положение ртути в
капилляре при Дд/д = 10~7?
1.74. Выразить показатель адиабаты у смеси нескольких идеаль¬
ных газов через показатели адиабат уь у2,... и парциальные давле¬
ния Рь Р2:... этих газов.
1.75. Смесь гелия с водородом в отношении Не : Н2 = 2 : 1
(1/3 водорода, 2/3 гелия по массе), находящаяся под давлением Рг =
— 8 атм при температуре Т) = 600 К расширяется в обратимом адиа¬
батическом процессе до давления Р2 = 1 атм. Определить темпера¬
туру смеси в конечном состоянии.
1.76. Смешано mi = 4,032 г водорода с т2 = 32 г кислорода.
Их удельные теплоемкости соответственно cPi = 3,50 кал/(г • °С) и
Срг = 0,218 кал/(г • °С). Определить уменьшение внутренней энер¬
гии ДU этой смеси при охлаждении ее на At = 20 °С при постоянном
объеме. Для обоих газов у = 1,40.
Рис. 382
221
1.77. В объеме V0 при температуре t = 0°С содержится у молей
водорода и у/2 молей кислорода. Найти выражение для максималь¬
ного давления Р при той же температуре водяного пара, полученного
при взрыве смеси, если молярная теплоемкость водяного пара С, а
молярная теплота образования воды из кислорода и водорода Q.
1.78. Смесь газов с известным показателем адиабаты у допускает
нагрев только до максимальной температуры Ттах. Определить число
ступеней сжатия п, необходимое для повышения давления от Р0 до
Pi, если каждое сжатие проводится адиабатически, и после каждой
ступени газ охлаждается до начальной температуры Т0. Определить
также полную работу А, затраченную при таком сжатии. К чему
стремится А при Ттах —> Т0?
1.79. Определить удельную теплоемкость при постоянном объ¬
еме кислорода, нагретого до очень высокой температуры (порядка
нескольких килоэлектрон-вольт).
1.80. Подсчитать по классической теории удельную теплоемкость
при постоянном давлении газа следующего молярного состава:
Не - 20%; Н2 - 30%; СН4 - 50%.
(Молярный состав указывает отношение количества молей данного
газа к общему количеству молей всей смеси газов.)
1.81. При некоторых условиях часть молекул водорода диссоции¬
рована на атомы с коэффициентом диссоциации а (отношение числа
диссоциированных молекул к исходному числу). Найти молярную
теплоемкость Cv этого газа при а = 0,25. Молярные теплоемкости
атомарного водорода Су\ — 2,94 кал/(моль • °С), молекулярного во¬
дорода Cv2 = 4,9 кал/(моль • °С).
1.82. Давление водорода при температуре Т = 350 К составляет
1 Тор. Каково будет давление газа, если его при постоянном объеме
нагреть до температуры 300 эВ? Потенциал ионизации атома водоро¬
да 13,6 эВ.
1.83. Какая часть а молекул парообразного йода 12 диссоцииро¬
вана на атомы при 600 °С, если удельная теплоемкость сР, измерен¬
ная при этой температуре, оказалась равной 0,14 Дж/(г • К)? Отно¬
сительная атомная масса йода А — 126,9.
1.84. В теплоизолированном сосуде объемом V0 находится N
двухатомных молекул. Давление газа Р0. Через некоторое время все
молекулы распадаются на атомы с выделением тепла q при распа¬
де одной молекулы. Определить температуру и давление газа после
распада молекул.
1.85. В теплоизолированном сосуде с объемом 22,4 л находится
1 моль С02 при давлении 1 атм. Под действием внешнего излучения
половина молекул С02 диссоциировала на молекулы СО и 02. Найти
энергию излучения, перешедшую в тепло, если при этом давление в
сосуде увеличилось до 1,8 атм.
222
1.86. Теплоизолированный цилиндр разделен тонкой неподвиж¬
ной, теплопроводящей перегородкой АВ на две части, в одной из ко¬
торых находится моль газообразного водорода, а
в другой — моль газообразного гелия (рис. 383).
Подвижный теплонепроницаемый поршень CD
находится под постоянным внешним давлением
Р. В начальный момент оба газа находятся в
равновесном состоянии, причем температуры во¬
дорода и гелия различны, а давление гелия равно
внешнему давлению Р. Затем начинается нерав¬
новесный процесс выравнивания температур газов, в ходе которого
поршень CD перемещается вправо. К моменту, когда температуры га¬
зов выровняются и установится равновесие, система совершит против
внешнего давления работу А — 42 Дж. Определить изменение тем¬
пературы водорода к этому моменту времени.
1.87. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой, неподвижной,
теплопроводящей перегородкой АВ на две части. В левой находится
моль газообразного водорода, в правой — моль газообразного ге¬
лия (рис. 383). Начальное состояние системы равновесное, причем
оба газа имеют одинаковое давление Р0 и одина¬
ковую температуру Т0 = 293 К. Затем поршень
CD адиабатически и квазистатически выдвига¬
ют, в результате чего объем гелия увеличивает¬
ся в 2 раза. Какова будет установившаяся тем¬
пература обоих газов после расширения?
1.88. Под поршнем в цилиндре находятся Рис. 384
два различных идеальных газа (по одному мо¬
лю), разделенных легкой теплопроницаемой подвижной перегород¬
кой. Найти выражение для работы, которая затрачивается на пере¬
мещение такого поршня в условиях отсутствия теплообмена с окру¬
жающей средой. Движение медленное, так что между обоими газами
все время сохраняется тепловое равновесие. Начальные температура
и объем равны Т0 и V0 соответственно, конечный объем — V.
1.89. Длинная трубка с теплоизолированными стенками разделе¬
на поршнем АВ, по разные стороны которого находятся разные газы
(рис. 384). Начальные длины частей трубки, заполненных газами 1
и 2, равны соответственно Z0i и 102. В трубку быстро, но квазиста¬
тически вдвигается второй поршень CD. При этом начинает пере¬
мещаться и поршень АВ. Замечают положение поршня АВ, когда
он уже остановился, а теплообмен между газами 1 и 2 практически
еще не успел произойти. Пусть 1г — длина трубки, заполненная га¬
зом 1 в этом положении, а 12 — длина трубки, заполненная газом
2 в том же положении. Определить отношение показателей адиабат
Пуассона Уг/Тъ
1.90. Мишень для получения в ней термоядерной реакции, пред¬
ставляет собой шарик радиусом г = 50 мкм из замороженной смеси,
н,
Не
1
D
Рис. 383
223
содержащей равное количество атомов дейтерия и трития. Она под¬
вергается кратковременному (в течение времени ~ 10~п с) всесто¬
роннему облучению светом лазера. При этом энергия, поглощенная
дейтерием, составляет <% — 102 Дж. Оценить температуру мишени и
давление в ней сразу после вспышки лазера, предполагая, что ве¬
щество мишени еще не успело разлететься. Плотность мишени р =
= 0,2 г/см3.
1.91. Для получения самоподдерживающейся термоядерной ре¬
акции в чистом дейтерии необходимо нагреть его до температуры
Т и 109 К. Среди различных способов для достижения этого было
предложено использовать излучение мощного лазера. Мишень из за¬
мороженного дейтерия, имеющая форму шарика, подвергается крат¬
ковременному (в течение времени ~ 10“п с) всестороннему облуче¬
нию светом лазера. За время облучения вещество мишени еще не
успевает разлететься, что необходимо для возможности термоядер¬
ной реакции. Какова должна быть энергия £, поглощаемая дейтери¬
евым шариком с радиусом г = 5 мкм, чтобы была достигнута необ¬
ходимая температура? Плотность мишени р = 0,15 г/см3.
1.92. Найти адиабатический модуль объемного сжатия идеально¬
го газа КаА — —V(dP/dV)ад и сравнить его с изотермическим моду¬
лем объемного сжатия Кт = —У(дР/дУ)т-
1.931 Доказать, что адиабатическая и изотермическая сжимаемо¬
сти физически однородного и изотропного вещества связаны соотно¬
шением
_1_ (dV\ =11/дУД
v {dp)aa ~ yV \др)т'
у = Ср/Су- Показать, что это соотношение является следствием
только первого начала термодинамики и функциональной зависимо¬
сти между Р, V и Т (уравнения состояния).
1.94! Доказать, что для любого физически однородного тела име¬
ет место соотношение
(СР - Cv)
д2т
дРдУ
+
Это соотношение справедливо для всякой эмпирически определенной
температуры Т ив принципе может служить для проверки первого
начала термодинамики. ,
1.95. Газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона РУ =
= RT. Найти для него разность теплоемкостей СР — Су, используя
только первое начало термодинамики. Считать, что теплоемкости Су
и СР зависят от объема и давления, соответственно.
1.96! Моль идеального газа с постоянной теплоемкостью Су за¬
ключен в цилиндр с адиабатическими стенками и поршнем, который
может перемещаться в цилиндре без трения. Поршень находится под
постоянным внешним давлением Р\. В некоторый момент времени
внешнее давление скачкообразно уменьшают или увеличивают до
224
Р2. (Этого можно достигнуть, снимая часть груза с поршня или до¬
бавляя новый груз.) В результате газ адиабатически изменяет свой
объем. Вычислить температуру и объем газа после того, как устано¬
вится термодинамическое равновесие.
1.97? В предыдущей задаче после того, как установилось состоя¬
ние равновесия, давление газа снова меняют скачкообразно до перво¬
начального значения Рх. Вычислить окончательную температуру Т3
и окончательный объем газа V3, когда он опять придет в состояние
термодинамического равновесия. Показать, что в результате обоих
адиабатических процессов температура и объем газа всегда возрас¬
тают. Рассмотреть специальный случай, когда изменение давления
Р2 — Pi мало. Определить для этого случая порядок малости изме¬
нений температуры Т3 — Ti и объема V3 — V\.
1.98. Газ находится в цилиндре с поршнем, нагруженным песком.
Стенки цилиндра и поршень — адиабатические. Снимая песчинку за
песчинкой, производят адиабатическое расширение газа. Затем газ
адиабатически сжимают, возвращая на поршень последовательно по
одной песчинке. Пользуясь результатами решения предыдущей зада¬
чи, показать, что в предельном случае, когда масса песчинки исче¬
зающе мала, а их число бесконечно велико, газ в обратном процессе
пройдет через ту же последовательность равновесных состояний, что
и в прямом процессе.
1.99. По теплоизолированной трубке, разность давлений на кон¬
цах которой равна 100 атм, течет вода. Температура воды на входе
t\ = 20 °С. На сколько градусов повысится ее температура на выходе?
Сжимаемостью воды пренебречь.
1.100. Один моль идеального двухатомного газа квазистатиче¬
ски сжимается под поршнем таким образом, что в каждый момент
времени количество теплоты, отводимое от газа, равно удвоенному
изменению его внутренней энергии. Определить давление газа после
того, как его объем изменится в два раза. Начальное давление газа
равнялось Рх.
1.101. При квазистатическом расширении одного моля идеаль¬
ного многоатомного газа к нему подводится количество теплоты, в
каждый момент времени втрое превышающее изменение внутренней
энергии газа. Определить температуру газа после того, как его объем
изменится в три раза. Начальная температура газа равнялась Тх.
1.102. В некотором диапазоне параметров состояния V и Т по¬
литропа 1 моля водорода с теплоемкостью С аппроксимируется урав¬
нением
VT1,1 -C/R ee,T/R = в
где (3 и В — константы, R — универсальная газовая постоянная. Во¬
дород в соответствующем диапазоне параметров подчиняется уравне¬
нию состояния идеального газа. Найти значение теплоемкости С на
политропе и определить зависимость молярной теплоемкости CV(T)
225
для водорода в этом диапазоне параметров состояния, если известно,
что для политропы, проходящей через точку F0 = 1,7 м3/моль, Т0 =
= 40 К, значение константы В = 7.87 • 10~2 м3/(моль • К). Получить
численное значение Су (То).
1.103. В некотором диапазоне параметров состояния Р и Т по¬
литропа 1 моля водорода с теплоемкостью С аппроксимируется урав¬
нением
ргрС/R—2,iS e«T2/ft _ д
где ос и А — константы, R — универсальная газовая постоянная.
Водород в этом диапазоне параметров подчиняется уравнению состо¬
яния идеального газа. Найти значение теплоемкости С на политропе
и определить зависимость молярной теплоемкости CV(T) для водо¬
рода в этом диапазоне параметров состояния, если известно, что для
политропы, проходящей через точку Р0 = 40 Па, Т0 = 20 К, значение
константы А = 581 Па • К. Получить численное значение Су (То).
§ 2. Скорость звука. Истечение газов*)
2.1. Найти увеличение скорости звука в воздухе при нагревании
последнего от 0 до 1°С.
2.2. Скорость звука в воздухе при 0°С составляет 332 м/с. Опре¬
делить скорость звука в водороде при той же температуре. Молярную
массу воздуха принять равной р. — 28,8 г/моль.
2.3. Определить у = Ср/Су, если скорость звука в воздухе при
температуре 0°С и нормальном давлении Р = 76 см рт. ст. равна
v = 332 м/с и плотность воздуха р = 0,001292 г/см3.
2.4. Найти выражение для скорости звука в смеси ли, у2,
молей различных идеальных газов при температуре Т.
2.5. Вычислить скорость звука в кислороде при температуре
Т = 1 кэВ.
2.6. Измерением скорости звука в газе можно контролировать его
чистоту. С какой относительной точностью Av3B/v3B нужно измерить
скорость звука в гелии, чтобы можно было заметить в нем примесь
аргона (|х = 40 г/моль ) в количестве 1% (по количеству молей)?
2.7. Две органные трубы с одинаковой длиной продувают: одну
воздухом при комнатной температуре Т0, а другую гелием. Какова
должна быть температура гелия Т, чтобы тоны второй трубы были
на одну октаву выше соответствующих тонов первой (отношение ча¬
стот равно 2). Считать известными показатели адиабат газов и их
молярные массы.
*) В задачах на истечение из отверстия под «малым» понимают такой размер
отверстия, чтобы истечение было ламинарным. При этом отверстие должно быть
не настолько малым, чтобы поток стал молекулярным.
226
2.8. Для дыхания акванавтов (исследователей морских глубин)
употребляется смесь, состоящая из 95% гелия и 5% кислорода (по
массе). Во сколько раз изменяются в такой атмосфере характерные
частоты голоса акванавтов (по сравнению с обычными)? Считать из¬
вестными показатели адиабат газов и их молярные массы.
2.9. Оценить скорость звука в снежной лавине, спускающей¬
ся по склону горы, считая, что плотность движущегося снега р =
= 0,25 г/см3. Размеры кристалликов льда много меньше длины вол¬
ны звука. Между кристалликами нет твердых связей, они разделены
воздушными прослойками.
2.10. Найти конечную температуру Т2 и верхний предел скорости
v стационарного потока углекислого газа С02, вытекающего через
сопло в атмосферу из баллона, где он имел температуру Тх — 300 К
и находился под давлением Рх = 10 атм, если давление наружного
воздуха Р2 = 1 атм. Показатель адиабаты для С02 равен у = 1,30,
удельная теплоемкость сР = 0,202 кал/(г • °С).
Указание. Применить уравнение Бернулли.
2.11. Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре Тх =
= 273 К, вытекает в атмосферу по трубке, в конце которой он приоб¬
ретает скорость v = 400 м/с. Найти температуру вытекающего воз¬
духа Т2 в конце трубки, а также давление Рх воздуха в баллоне.
Процесс истечения газа считать адиабатическим.
2.12. Найти конечную температуру Т2 и верхний предел скоро¬
сти v стационарного потока перегретого водяного пара, вытекающе¬
го через сопло в атмосферу из камеры, где он имел температуру
Тх = 600 К и находился под давлением Рх = 5 атм, если давление
наружного воздуха равно Р2 = 1 атм. Перегретый пар считать иде¬
альным газом с молярной теплоемкостью Ср = 4R.
2.13. Допустим, что температура горения химического горючего
для ракетных двигателей Т = 3000 К, средняя молярная масса про¬
дуктов горения (х = 30 г/моль и что истечение продуктов горения
происходит в вакуум адиабатически. Найти, во сколько раз стартовая
масса одноступенчатой ракеты Mq должна превышать ее конечную
массу М, чтобы ракета могла достичь первой космической скоро¬
сти и = 8 км/с. Молярную теплоемкость продуктов горения ориен¬
тировочно принять равной СР = 8 кал/(моль • °С). При вычислении
скорости ракеты силу тяжести и трение о воздух не учитывать.
2.14. При полете космического аппарата, заполненного смесью
равных по весу аммиака NH3 и гелия, образовалась течь. Какова
скорость истечения газа через течь, если его температура Т = 300 К?
2.15. Баллон с теплоизолированными стенками содержит 5 мо¬
лей идеального газа {у = 4/3) под давлением много больше атмо¬
сферного при температуре Т0 = 300 К. Открыв вентиль, 1 моль га¬
за выпускают в атмосферу. Затем кран закрывают. Найти конечную
температуру газа в баллоне.
227
2.16. Два одинаковых баллона с теплоизолированными стенками
отделены друг от друга краном. В баллоне 1 находится идеальный
газ под давлением 20 атм. Баллон 2 откачан до форвакуума. Открыв
кран, из первого баллона выпускают во второй баллон струю газа,
затем перекрывают кран и после установления равновесия регистри¬
руют во втором баллоне давление 320 мм рт. ст. Начальная темпера¬
тура газа в первом баллоне была 300 К, показатель адиабаты у = 1,3.
Найти конечную концентрацию газа в баллоне 2.
2.17. Определить максимальную скорость, которой может достиг¬
нуть газ при адиабатическом истечении из баллона, если абсолютная
температура газа в баллоне равна Т.
2.18. Найти скорость адиабатического истечения идеального газа
из сосуда через небольшое отверстие в вакуум, если известно, что
скорость звука в газе равна v3B.
2.191 Тело (например, космический корабль) движется в идеаль¬
ном газе со скоростью и. В какой точке на поверхности тела темпе¬
ратура газа будет максимальной? Определить эту температуру, если
температура окружающего газа равна Т.
2.20. Оценить давление воздуха в точке у самого носа ракеты,
летящей со скоростью, соответствующей числу Маха М = 1, если
давление Рв на высоте полета ракеты порядка 0,3 атм. Считать про¬
цесс сжатия воздуха адиабатическим, а скорость воздуха относи¬
тельно ракеты в точке у самого ее носа равной нулю. Число Маха
М — Vp/ v3B.
2.21. Оценить расстояние L, на котором еще будет слышен гром,
если он образовался на высоте Н = 4 км. Температура атмосферы Т
линейно уменьшается с высотой Т = Т0 — yz, где температура возду¬
ха на поверхности Земли Т0 = 300 К, у ~ 10~2 К/м. Состав воздуха
не зависит от высоты, и его можно считать идеальным газом. Рассея¬
нием звука на атмосферных неоднородностях пренебречь, а источник
грома считать точечным.
2.22. Модель дирижабля продувают в аэродинамической трубе
струей воздуха, имеющей скорость v = 500 м/с. Давление воздуха
снаружи трубы Р = 1 атм, а температура Т = 300 К. Найти темпера-
туру Т0 и давление То в точке на оси потока возле носа дирижабля,
полагая, что там скорость равна нулю.
2.23. Если в процессе адиабатического истечения через корчткую
трубку скорость газа достигает скорости звука, то в потоке могут воз¬
никнуть ударные волны. При каком отношении давлений на входе и
выходе трубки такое возможно? Газ считать одноатомным, вязкостью
пренебречь.
2.24. Сосуд, заполненный азотом N2, при постоянной температу¬
ре откачали до такого низкого давления, что из-за диссоциации газа
скорость звука в нем возросла на 12%. Определить степень диссоци¬
ации азота а (долю молекул, распавшихся на атомы).
228
§ 3. Циклы. Расчет работы, внутренней энергии,
тепловых эффектов и КПД
3.1. Каким путем теоретически эффективнее повысить КПД ма¬
шины Карно: увеличивая температуру нагревателя Т\ на АТ при
фиксированном значении температуры холодильника То или пони¬
жая температуру холодильника Т2 на такую же величину АТ при
фиксированном значении температуры нагревателя Т\?
3.2. Тепловая машина Карно, имеющая КПД г| = 40%, начинает
использоваться при тех же тепловых резервуарах как холодильная
машина. Сколько тепла Q2 эта машина может
перевести от холодильника к нагревателю за
один цикл, если к ней за каждый цикл подво¬
дится работа А — 10 кДж?
3.3. Один моль одноатомного идеального
газа (7 = 5/3) совершает в тепловой машине
цикл Карно между тепловыми резервуарами с
температурами П = 127°С и t2 = 27°С. Наи¬
меньший объем газа в ходе цикла V, = 5 л,
наибольший — V2 = 20 л. Какую работу А со¬
вершает эта машина за один цикл? Сколько тепла Qi берет она от
высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько тепла Q2
поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?
3.4. Тепловая машина Карно используется в качестве холодиль¬
ной машины для поддержания некоторого резервуара при температу¬
ре t2 = —3°С. Температура окружающего воздуха П = 27°С. Какая
механическая работа требуется для выполне¬
ния одного цикла машины, если при этом от Р‘
оболочки отводится Q2 — 900 кал тепла?
3.5. Найти КПД цикла, состоящего из
двух изотерм и двух изобар, предполагая, что
рабочим веществом является идеальный газ.
3.6. Найти КПД цикла, проводимого с иде¬
альным газом и состоящего из двух изотерм с
температурами 7\ и Т2 и двух изохор с объе¬
мами Vi и V2 (Ti > Т2, Vi > V2).
3.7. На рис. 385 изображена диаграмма обратимого цикла, выпол¬
няемого молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Найти
работы Aik, выполняемые машиной, и количества тепла Qik, получа¬
емые газом на каждом этапе цикла. Найти КПД цикла, выразив его
как функции Т] и Т2. Процесс 3-1 — изотермический.
3.8. Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего ве¬
щества совершает обратимый цикл, состоящий из изохоры 1-2, адиа¬
баты 2-3 и изотермы 3-1 (рис. 386). Рассчитать количества тепла,
получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла. Найти КПД
Рис. 386
Рис. 385
229
машины как функцию максимальной Т2 и минимальной Тх темпера¬
тур, достигаемых газом в этом цикле.
3.9. Найти КПД обратимого цикла, изображенного на рис. 387,
как функцию максимальной Т) и минимальной Т2 температур веще¬
ства в этом цикле. Цикл совершает машина с идеальным газом в
качестве рабочего тела. Найти также количества тепла, получаемые
рабочим веществом на каждом этапе цикла.
3.10. Найти КПД обратимого теплового цикла Отто, состоящего
из адиабат 1-2, 3-4 и изохор 2-3, 4-1 (рис. 388), если в качестве
рабочего тела используется идеальный газ. Выразить КПД цикла
через температуры газа Тх и Т2 в состояниях 1 и 2.
3.11. Обратимый термодинамический цикл, выполняемый с молем
идеального газа в качестве рабочего вещества, состоит из двух изо¬
термических процессов 1-2, 3-4 и двух политропических процессов
2-3, 4-1 с теплоемкостью газа С0 (рис. 389). Найти работы, совер¬
шаемые газом, и количества получаемого им тепла на всех этапах
цикла. Найти КПД тепловой машины, работающей по этому циклу.
3.12. Определить КПД цикла, проходящего последовательно че¬
рез состояния: 1) 2Р, V; 2) 2Р, 8F; 3) Р, 4V; 4) Р, 2V. Газ идеаль¬
ный одноатомный, все участки цикла — политропические.
3.13. Определить КПД цикла, проходящего последовательно че¬
рез состояния: 1) 8Р, V; 2) 4Р, 2V; 3) 2Р, 2V; 4) Р, V. Газ идеаль¬
ный одноатомный, все участки цикла — политропические.
3.14. Моль одноатомного идеального газа, находящийся при дав¬
лении Рх и объеме Vx, изобарически сжимается до объема V2 — Vx/4
и затем по политропе переводится в состояние Р3 = 8РХ и Цз,= Hi/8.
После этого происходит изобарическое расширение до объема Ц =
= V\j4. Далее газ по политропе возвращается в первоначальное со¬
стояние. Найти КПД цикла.
3.15. Вычислить КПД цикла, состоящего из политропы 1-2
(Рос V), адиабаты 2-3 и изобары 3-1, если в качестве рабочего ве¬
щества используется одноатомный идеальный газ, а отношение мак¬
симального давления в цикле к минимальному Р2/Рх = 2 (рис. 390).
3.16. Реальный цикл двигателя внутреннего сгорания можно за¬
менить идеальным замкнутым циклом, состоящим из двух изохор с
230
объемами V1 и V2 и двух адиабат. Во сколько раз изменится КПД
такого двигателя, если коэффициент сжатия а = V\jV2 увеличить с
5 до 10? Рабочее вещество считать многоатомным идеальным газом.
Рис. 390
Рис. 392
3.17. Найти КПД цикла (рис. 391), состоящего из политропы 1-2,
изотермы 2-3 и изохоры 3-1. Отношение давлений Р\/Р2 = 8, а отно¬
шение объемов V2/V1 = 2. Рабочим веществом является идеальный
одноатомный газ.
3.18. Рабочий цикл двигателя внутреннего сгорания можно при¬
ближенно представить состоящим из адиабаты, изобары и изохоры.
Определить расход горючего (в кг/ч) таким двигателем на киловатт
полезной мощности (рис. 392). Известно, что V2/ТД = 8. Продукты
горения можно считать идеальным газом с показателем адиабаты
у = 4/3. Теплотворная способность горючего 4 • 107 Дж/кг.
Рис. 393 Рис. 394
3.19. Идеальный двухатомный газ совершает цикл, изображен¬
ный на рис. 393. Найти величину полной работы за цикл и вычислить
кпд.
3.20. Холодильная машина с идеальным многоатомным газом в
качестве рабочего вещества работает по циклу, состоящему из адиа¬
батического расширения, изохорического нагрева и изотермического
сжатия (рис. 394). Коэффициент сжатия 1 : 4. Определить, какое ко¬
личество электроэнергии будет затрачено такой машиной для охла¬
ждения одного литра воды от П = 25 °С до t2 = 5°С. Машину считать
идеальной, и потерями за счет теплоподвода к холодильной камере
пренебречь.
231
3.21. Термодинамическая система, рабочим веществом которой
является двухатомный идеальный газ, совершает обратимый круго¬
вой процесс, изображенный на рис. 395. Найти КПД этого цикла,
если известно, что все процессы — политропические; в частности,
1-2 — изобара, 2-3 — изохора, а 4-1 — изотерма.
3.22. Моль идеального одноатомного газа из начального состо¬
яния 1 с температурой 100 К, расширяясь через турбину в пустой
сосуд, переходит в состояние 2, совершая некоторую работу. Этот
переход происходит без подвода и отдачи тепла. Затем газ сжимают
в двух процессах, возвращая его в состояние 1.
Сначала сжатие происходит в процес¬
се 2-3, когда давление является линейной
функцией объема, а затем в адиабатиче¬
ском квазистатическом процессе 3-1. Най¬
ти работу, совершенную газом при расши¬
рении через турбину в процессе 1-2, если
при сжатии в процессах 2-3-1 над газом
была совершена работа 1091 Дж. Извест¬
но, что Т2 = Т3; V2 = 2V,.
3.23. Оди н моль идеального одноатом¬
ного газа, занимающего объем V\ при дав¬
лении Pi, расширяется при постоянном
давлении до объема 2Vi, потом сжимается в политропическом про¬
цессе до объема Vi/2 и давления Рх/4, затем изотермически рас¬
ширяется до исходного объема V\. Цикл завершается повышением
давления при постоянном объеме. Найти КПД цикла.
3.24. Идеальная тепловая машина работает по холодильному цик¬
лу между резервуарами с кипящей водой (100 °С) и тающим льдом
(0°С). Чему равна затраченная работа, если в результате в горя¬
чем резервуаре 1 кг воды превратился в пар? Какое количество льда
образовалось при этом в холодном резервуаре? В условиях посто¬
янного давления, при котором поддерживаются резервуары, теплота
парообразования воды А = 2260 кДж/кг, теплота плавления льда q =
= 335 кДж/кг.
3.25. Какую максимальную работу можно получить от периоди¬
чески действующей тепловой машины, нагревателем которой служит
mi = 1 кг воды при начальной температуре Тх = 373 К, а холодиль¬
ником т2 — 1кг льда при температуре Т2 = 273 К, к моменту, когда
растает весь лед? Чему будет равна температура воды в этот момент?
Удельная теплота плавления льда q = 80 ккал/кг. Зависимостью теп¬
лоемкости воды от температуры пренебречь.
3.26. Какую максимальную работу можно получить от перио¬
дически действующей тепловой машины, нагревателем которой слу¬
жит rrii = 1 кг насыщенного водяного пара при температуре Тх =
= 373 К, а холодильником т2 = 10 кг воды при начальной темпера¬
туре Т2 — 273 К к моменту, когда весь пар сконденсируется в воду.
232
Чему будет равна в этот момент температура воды в холодильни¬
ке? Удельная теплота парообразования для воды (при 373 К) равна
Л = 539 ккал/кг. Зависимостью теплоемкости воды от температуры
пренебречь.
3.27. В идеальном холодильнике замораживается вода в ванноч¬
ке, а тепло отдается воде в банке, масса воды М = 10 кг, начальная
температура tx = 20°С. Какая масса льда образуется в ванночке из
воды с начальной температурой £о = 0°С за то время, пока вода в
банке нагревается до температуры t2 = 100 °С? Теплоемкостью банки
пренебречь. Удельная теплота плавления льда q = 80 ккал/кг. Зави¬
симостью теплоемкости воды от температуры пренебречь.
3.28. Один моль воды охлаждается от 25 °С до 0°С и замерзает.
Все выделившееся при этом тепло получено холодильной машиной,
работающей по обратимому циклу, и передано другому молю во¬
ды, в результате чего его температура возросла от 25 °С до 100 °С.
Определить, какое количество воды обратилось в пар и какую ра¬
боту при этом совершила холодильная машина. Теплота испарения
воды при 100°С А = 41 кДж/моль, а теплота плавления льда при
0°С q = 6 кДж/моль. Теплоемкость воды считать не зависящей от
температуры.
3.29. Постоянная температура 18 °С в комнате поддерживается
электронагревателем мощностью 500 Вт. Температура воздуха снару¬
жи —21 °С. Для поддержания в комнате той же температуры можно
использовать вместо электронагревателя тепловой насос (тепловая
машина, работающая по холодильному циклу). Какую минимальную
мощность будет потреблять от электросети тепловой насос, работа¬
ющий с максимально возможной эффективностью?
3.30. Для поддержания в комнате постоянной температуры 21 °С
используется кондиционер; температура наружного воздуха 42 °С. На
сколько нужно увеличить мощность, потребляемую кондиционером
из электросети, чтобы после включения в комнате электролампочки
мощностью N = 150 Вт температура не изменилась? Считать, что
кондиционер работает с максимально возможной эффективностью.
3.31. Идеальная холодильная машина работает в условиях, когда
температура окружающего воздуха вдвое больше температуры холо¬
дильной камеры. Затем температура воздуха увеличилась на 10% при
неизменной температуре холодильной камеры. На сколько процентов
необходимо увеличить потребляемую холодильником мощность, что¬
бы скорость образования льда в ней осталась неизменной?
3.32. Воздух, находящийся в замкнутом теплоизолированном
объеме V — 100 м3, является нагревателем идеальной холодильной
машины, потребляющей мощность N = 100 Вт. Начальная темпера¬
тура воздуха Тв = 300 К, начальное давление Р = 1 атм, температура
холодильной камеры Тк = 273 К. Оценить, какое время должна про¬
работать машина, чтобы температура воздуха в объеме V повысилась
на ДТ= 1 К.
233
3.33. Имеются -v молей льда при температуре t0 = 0°С и окружа¬
ющая среда при температуре Т. Найти максимальную работу, кото¬
рую может при этом совершить идеальная тепловая машина.
3.34. Оценить, какую можно совершить работу, имея айсберг
объема 1 км3 в качестве холодильника и океан в качестве нагрева¬
теля. Удельная теплота плавления льда q = 335 кДж/кг, а его плот¬
ность р = 0,9 г/см3.
3.35. Атмосфера Земли может рассматриваться как гигантская
тепловая машина, в которой роль нагревателя и холодильника иг¬
рают экваториальная зона и зоны полюсов, а источником энергии
является солнечная радиация. Считая, что полный поток солнечной
энергии, поступающей на Землю, равен 1,7 • 1017 Вт, а КПД рас¬
сматриваемой «машины» на порядок меньше максимально возмож¬
ного, оценить среднюю мощность ветров в расчете на 1 км2 земной
поверхности.
3.36. Оценить максимальную мощность, которую можно полу¬
чить от циклической установки, использующей термальную энергию
океана в области, где скорость океанского течения и и 0,1 м/с. Счи¬
тать, что поверхностный слой толщиной h и 1 км имеет избыточную
температуру АТ « 20 К. Ширина установки в направлении, перпен¬
дикулярном скорости течения, L ~ 1 км.
3.37. Какую минимальную работу должен совершить двигатель
идеального холодильника, чтобы, работая в среде, имеющей темпе¬
ратуру Т, "V молей воды охладить до t0 = 0°С и превратить в лед?
3.38. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Кар¬
но между изотермами с температурами Г и Гь Теплообмен меж¬
ду нагревателем с температурой Т2 = 1250 К и рабочим веществом
при Т < Т-2 осуществляется вследствие теплопроводности по закону
а(Т2 — Т), где а = 1 кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с холо¬
дильником совершается при температуре холодильника Тг = 200 К.
Полагая, что длительности изотермических процессов одинаковы,
а адиабатических весьма малы, найти температуру Т, при которой
мощность машины максимальна, и ее величину Nmах.
3.39. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно
между изотермами с температурами Т и Ть Теплообмен между ра¬
бочим веществом и холодильником при температуре Т2 — 200 К < Т
осуществляется вследствие теплопроводности по закону а(Т — Т2),
где а = 1 кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с нагревателем про¬
исходит при температуре нагревателя Тг — 800 К. Полагая, что дли¬
тельности изотермических процессов одинаковы, а адиабатических
весьма малы, найти температуру Т, при которой мощность N маши¬
ны максимальна, и ее величину Nmax.
3.40. Оценить стоимость изготовления 1 кг льда в домашнем хо¬
лодильнике с температурой испарителя фреона —12°С и радиатора
+40°С. Стоимость 1 кВт • ч электроэнергии считать известной.
234
3.41? Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовав¬
шись теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и тепло¬
емкость физически однородного и изотропного тела удовлетворяют
соотношениям:
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных
газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального
газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого
данной массой газа.
3.42? Энтальпией или тепловой функцией физически однородного
и изотропного вещества называется функция состояния, определяе¬
мая выражением I = U + PV. Рассмотрев бесконечно малый цикл
Карно и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия I
и теплоемкость СР удовлетворяют соотношениям:
3.43. С помощью бензиновой горелки в помещении поддержива¬
ется температура П = —3°С при температуре на улице t2 = — 23°С
Предлагается использовать бензин в движке с КПД г| = 0,4(40%),
а с помощью полученной механической энергии запустить тепловой
насос, перекачивающий по холодильному циклу теплоту с улицы в
комнату. Какой должна быть в этом случае температура в помещении
tx! Движок находится вне помещения; расход бензина в нем такой
же, как в горелке.
3.44. Бытовой холодильник при комнатной температуре П = 27°С
поддерживает температуру в камере равной t2 = 7°С. Считая холо¬
дильный агрегат идеальной машиной, работающей между комнатой и
камерой холодильника, определить, какой будет температура в каме¬
ре tx при том же расходе электроэнергии, если температура в комнате
снизится до t3 = 20 °С.
3.45. Молярная доля гелия в атмосфере а = 4 • 10~6. Его можно
собрать с помощью насоса, в поршень которого вделана резиновая
мембрана, проницаемая для гелия и непроницаемая для других мо¬
лекул воздуха. Когда нужно, мембрана может прикрываться герме¬
тичным клапаном. Какую работу надо произвести, чтобы с помощью
такого насоса, совершающего квазистатические изотермические про¬
цессы, собрать V0 = 10 л при атмосферном давлении Р0? Насос ра¬
ботает так: поршень с открытой мембраной перемещается от объема
V — 0 до объема V = Vj_. При этом под поршнем собирается гелий.
Далее гелий изотермически сжимается при закрытой мембране до
объема V2 и атмосферного давления Р0, при котором гелий перепус¬
кается в газгольдер без затраты работы. По окончании одного цикла
вырабатывается объем V2 гелия при давлении Р0.
9V\ (д£р\ т(д2у)
дт)Р ’ V дР )т 1 \дТ2 ) р
235
3.46. В зимний день температура воздуха на улице, сначала рав¬
ная —9°С, понизилась еще на 10 °С. Для обогрева комнаты использу¬
ется тепловой насос, работающий между комнатой и улицей. Считая
тепловой насос идеальной машиной, определить, во сколько раз при
этом изменились затраты энергии для поддержания температуры в
комнате, равной 21 °С.
3.47. В летний день температура воздуха на улице, сначала рав¬
ная 26°С, повысилась на 5°С. Считая кондиционер идеальной маши¬
ной (работающей между комнатой и улицей), определить, во сколько
раз при этом изменились затраты энергии для поддержания темпе¬
ратуры в комнате, равной 21 °С.
3.48. В бытовом холодильнике поддерживается температура
Т0 = 273 К, а в комнате, где он установлен, Т\ = 295 К. Из-за пло¬
хой теплоизоляции холодильника внутрь его из комнаты происхо¬
дит приток тепла Q — 8 • 10е Дж/сут и чтобы поддерживать в хо¬
лодильнике температуру 273 К, требуется непрерывно удалять дан¬
ную теплоту Q. Найти мощность W, которая необходима для ра¬
боты холодильника, полагая холодильник идеальной холодильной
машиной Карно. Определить, сколько воды в сутки можно испа¬
рить в котле, если использовать холодильник как тепловой насос
с такой же мощностью для перекачки теплоты из комнаты в ко¬
тел, имеющий температуру Т2 = 373 К. Теплота испарения воды Л =
= 2260 Дж/г.
3.49. Айсберг массой m = Ю10 кг, имеющий температуру
Т0 = 273 К, дрейфует в течении Гольфстрим, температура воды ко¬
торого Ti = 295 К. Найти максимальную работу тепловой машины
■Атах* использующей Гольфстрим как нагреватель и айсберг как холо¬
дильник, за то время, когда весь айсберг растает. Определить, сколь¬
ко воды можно испарить в котле за счет этой
работы, если использовать ее в тепловом насо¬
се для перекачки теплоты из течения Гольфст¬
рим в котел с температурой Т2 = 373 К. Тепло¬
та плавления льда q = 335 Дж/г, теплота ис¬
парения воды Л = 2260 Дж/г.
3.50. Цикл карбюраторного четырехтакт¬
ного двигателя начинается с изобары 0-1, ко¬
гда горючая смесь под давлением Р0 посту¬
пает в цилиндр и объем под поршнем увели¬
чивается от V2 до V) (первый ход поршня).
Далее смесь адиабатически сжимается в про¬
цессе 1-2 (второй ход поршня) (см. рис. 396). Взрыв горючего от
искры сопровождается изохорическим нагреванием смеси с процессе
2-3. В адиабатическом процессе 3-4 совершается третий ход поршня.
При открытии выпускного клапана происходит изохорическое охла¬
ждение смеси (процесс 4-1), при этом давление падает до начального
значения Р0. Четвертый ход поршня 1-0 выталкивает отработавший
Рис. 396
236
газ наружу. Найти КПД цикла г\ при степени сжатия е = V\/V2 = 5
и показателе адиабаты у — 1,33.
3.51. Цикл дизельного четырехтактного двигателя (см. рис. 397)
состоит из изобары 0-1, когда в цилиндры засасывается воздух под
давлением Р0, адиабаты 1-2 с ростом давления до Р2, изобары 2-3
и адиабаты 3-4 (впрыск топлива в цилиндры осуществляется в кон¬
це такта сжатия в точке 2, сгорание топлива и движение поршня
происходит сначала изобарически, а затем
адиабатически), изохоры 4-1 с падением дав¬
ления до Р0 (открывание выпускного клапана)
и, наконец, изобары 1-0 (удаление отработав¬
ших газов из цилиндров). Определить КПД
дизельного двигателя г| при степени изобари¬
ческого расширения V3/V2 = (3, степени адиа¬
батического сжатия V\/V2 = е и показателе
адиабаты у.
3.52. Тепловая машина работает с одним
молем идеального одноатомного газа по цик¬
лу, состоящему из двух адиабат (1-2 и 3-4)
и двух изохор (2-3 и 4-1). Известны максимальная и минимальная
температуры газа в цикле Ттах = и Tmin = Тл. Определить мак¬
симальную работу, которая может быть получена от этой тепловой
машины в данном цикле.
§ 4. Энтропия. Обратимые и необратимые процессы
4.11 Идея динамического отопления, высказанная В. Томсоном
(1852 г.), заключается в следующем. Топливо сжигается в топке теп¬
лового двигателя, который приводит в действие холодильную маши¬
ну. Холодильная машина отнимает теплоту от природного резерву¬
ара воды (например, от грунтовой воды) и отдает ее воде в отопи¬
тельной системе. Одновременно вода в отопительной системе слу¬
жит холодильником теплового двигателя. Определить теоретическое
(без учета потерь) количество тепла, которое получает отапливае¬
мое помещение от сжигания 1 кг каменного угля, приняв следу¬
ющие условия: удельная теплота сгорания угля q = 8000 ккал/кг;
температура в котле паровой машины Ц = 210 °С; температура во¬
ды в отопительной системе t2 = 60°С; температура грунтовой воды
i3 = 15 °С.
4.2. Внешнее давление, действующее на воду, увеличивают, одно¬
временно подводя или отводя тепло таким образом, что объем воды
остается неизменным. Нагреется или охладится вода, если начальная
температура была: 1) ниже 4°С; 2) выше 4°С?
4.31 Тепловая машина совершает круговой процесс, обменива¬
ясь теплом с несколькими тепловыми резервуарами (нагревателями
и холодильниками). Пользуясь неравенством Клаузиуса, показать,
237
что КПД такой машины не может превосходить величину
где Ттах — максимальная, a Tmin — минимальная температуры теп¬
ловых резервуаров, с которыми машина обменивается теплом.
Рис. 398 Рис. 399 Рис. 400
4.4. В качестве основных переменных, характеризующих состо¬
яние тела, можно принять его температуру и энтропию. Изобразить
графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс эн¬
тропию, а по оси ординат температуру. Вычислить с помощью этого
графика КПД цикла.
4.5. Цикл состоит из двух изохор и двух изобар (рис. 398). По¬
казать, что для любого вещества с постоянными теплоемкостями
Су и СР температуры в точках 1, 2, 3, 4 связаны соотношением
TiT-i = Т2Т4.
4.6. Цикл состоит из изобары 1-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1
(рис. 399). Показать, что для любого вещества с постоянными тепло¬
емкостями Су и Ср температуры в точках 1, 2, 3 связаны соотно¬
шением Т2/Т3 = (Г2/Г1)у, где у = Ср/Су.
4.7. Определить работу цикла, совершаемого любым веществом
и состоящего из изотермы 1-2, политропы 2-3 и адиабаты 3-1
(рис. 400). Известно, что теплоемкость тела на политропе 2-3 равна
С, а температуры на изотерме 1-2 и в состоянии 3 равны соответ¬
ственно Т\ и Г3-
4.8. Тепловые машины с произвольным веществом в качестве ра¬
бочего тела совершают обратимые термодинамические циклы, пред¬
238
ставленные на рис. 401 и рис. 402. Выразить КПД этих циклов через
максимальную Т) и минимальную Т2 температуры газа.
4.9. Цикл состоит из двух изотерм 1-2, 3-4 с температурами Тг и
Т2 и двух изохор 2-3, 4-1 (рис. 403). На изотерме с температурой
получено тепло Qt. Определить работу цикла, если теплоемкость
рабочего вещества Су зависит только от его температуры, но не
зависит от объема.
4.10. Обратимый цикл состоит из изотермического расширения,
изобарического сжатия и адиабатического сжатия (рис. 404). Опре¬
делить КПД, если отношение максимальной и минимальной темпера¬
тур равно а. Уравнение состояния рабочего вещества не задано, но
известно, что внутренняя энергия зависит только от температуры.
Теплоемкости Су и Ср — постоянные величины.
4.11. Термодинамическая система с произвольным веществом со¬
вершает круговой процесс, состоящий из изотермического расшире¬
ния при температуре Ть изобарического сжатия и адиабатического
сжатия. Температура в точке, где пересекаются изобара и адиабата,
равна Т2. Теплоемкость системы Ср на изобаре постоянна. Вычис¬
лить работу А, совершаемую системой в этом цикле.
4.12. Термодинамическая система с произвольным веществом со¬
вершает круговой процесс, состоящий из политроп 2-3 и 3-1 и адиа¬
баты 1-2 (рис. 405). Теплоемкости системы Ci и С2 на политропах
связаны соотношением С2 = —Сг, температуры в точках пересечения
политроп с адиабатой равны Т) и Т2. Вычислить работу А, которую
совершает система в указанном круговом процессе.
4.13. Произвольная термодинамическая система квазистатически
переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2
двумя способами. В первом варианте система адиабатически охла¬
ждается до температуры Т0, затем изотермически получает тепло и,
наконец, адиабатически переходит в состояние 2. Во втором вариан¬
те переход осуществляется по произвольному пути, однако так, что
на каждом участке этого пути система получает тепло, а ее темпера¬
тура остается выше Т0. Показать, что в первом способе для перевода
системы из состояния 1 в состояние 2 требуются меньшие затраты
тепла, чем во втором.
Рис. 403
Рис. 404
Рис. 405
239
4.14. Произвольная термодинамическая система квазистатически
переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2
двумя способами. В первом случае система сначала изотермически
при температуре Т0 переходит в какое-то промежуточное состояние,
поглощая при этом тепло, а затем адиабатически охлаждается, пе¬
реходя в состояние 2. Во втором случае переход осуществляется по
произвольному пути, однако так, что на каждом участке этого пути
система получает тепло, а ее температура остается ниже Т0. Пока¬
зать, что в первом способе для перевода системы из состояния 1 в
состояние 2 требуются большие затраты тепла, чем во втором.
4.15. Обратимый цикл состоит из последовательных процессов
адиабатического расширения, изобарического сжатия и изохориче-
ского нагревания. Определить КПД, если максимальное изменение
энтропии рабочего вещества в цикле в единицах Су равно Ъ =
= ASmax/Cy = 0,2. Уравнение состояния рабочего вещества не за¬
дано, но известно, что теплоемкости Ср и Су постоянны, причем
у = Ср/Су = 4/3.
4.16. Обратимый цикл состоит из последовательных процессов
изотермического расширения, изобарического сжатия и изохориче-
ского нагревания. Определить КПД, если отношение максимальной
и минимальной температур рабочего вещества в цикле а = 1,1. Урав¬
нение состояния рабочего вещества не задано, но известно, что теп¬
лоемкости Су и Ср постоянны, причем у = Ср/Су = 4/3.
4.17. Обратимый цикл тепловой машины с произвольным рабо¬
чим веществом состоит из политропического нагревания, политропи-
ческого охлаждения (оба процесса происходят с увеличением энтро¬
пии) и замыкается изотермой. Определить КПД цикла, если отноше¬
ние максимальной и минимальной абсолют¬
ных температур в цикле равно а = 1,2.
4.18. Положительный обратимый цикл с
произвольным рабочим веществом состоит
из адиабаты, политропического охлаждения
и замыкается другой политропой. Опреде¬
лить КПД цикла, если абсолютные темпе¬
ратуры на концах адиабаты и в точке пере¬
сечения политроп относятся соответственно
как 1 : 2 : 1,5.
4.19. Холодильная машина работает по
обратимому циклу, состоящему из двух вет¬
вей (рис. 406): процесса I, в котором энтропия уменьшается с ростом
температуры как линейная функция квадрата абсолютной температу¬
ры и политропы II. Уравнение состояния рабочего вещества неизвест¬
но. Определить количество тепла, отобранное из холодильной каме¬
ры при затраченной работе 1 кДж, если отношение максимальной
и минимальной абсолютных температур рабочего вещества в цикле
а = 1,2.
240
4.20. Холодильная машина работает по обратимому циклу, со¬
стоящему из двух ветвей (рис. 407): политропы I и процесса II, в
котором энтропия рабочего вещества убывает с ростом температуры
как линейная функция \/Т. Уравнение со¬
стояния рабочего вещества неизвестно. От¬
ношение максимальной и минимальной аб¬
солютных температур рабочего вещества в
цикле а = 1,1. Определить количество тепла,
отбираемое у холодильной камеры на каж¬
дый джоуль затраченной работы.
4.21. Обратимый круговой процесс пре¬
вращения теплоты в работу состоит из про¬
цесса 1-2, в котором теплоемкость растет
прямо пропорционально температуре от зна¬
чения Ci = 20 Дж/(К • моль) до С2 = 50 Дж/(К • моль), а также
адиабаты 2-3 и изотермы 3-1. Вычислить КПД этого цикла. Уравне¬
ние состояния рабочего вещества не задано.
4.22. Обратимый цикл состоит из двух ветвей — политропы I
и процесса II, в котором энтропия рабочего вещества возрастает ли¬
нейно с температурой. Определить теплоемкость политропы I и КПД
цикла, если максимальная и минимальная теплоемкости в процессе
II соответственно равны 45 Дж/(К • моль) и 35 Дж/(К • моль). Урав¬
нение состояния рабочего вещества неизвестно.
4.23. Обратимый цикл состоит из политропы I и процесса II, в
котором энтропия рабочего вещества возрастает линейно с темпера¬
турой. Определить КПД цикла, если максимальное изменение энтро¬
пии рабочего вещества в цикле, выражен¬
ное в единицах теплоемкости на политро¬
пе (т. е. AS/Ci), есть а = 1/4. Уравнение
состояния рабочего вещества и теплоем¬
кости на политропе неизвестны.
4.24. В одном из двух теплоизолиро¬
ванных сосудов находится 1 кг льда при
0°С, а в другом — 1 кг воды при 0°С.
В воду опущен нагреватель, замыкающий
цепь термопары (рис. 408), один спай ко¬
торой опущен в лед, а другой поддержи¬
вается при температуре 27°С. Пренебрегая сопротивлением проводов
и спаев по сравнению с сопротивлением нагревателя и теплопро¬
водностью проводов, определить, на сколько нагреется вода, когда
в другом сосуде полностью растает лед. Теплоемкость воды С =
= 4,2 кДж/(кг • град) и теплоту плавления льда q = 335 кДж/кг счи¬
тать не зависящими от температуры.
4.25. В координатах (T,S) (рис. 409) цикл изображается тре¬
угольником АВС, у которого сторона ВС является адиабатой. Тем¬
пературы вершин треугольника равны: ТА = 300 К, Тв = 399 К, Тс =
241
= 400 К. Над рабочим телом совершена работа ЛБнеш = 1 Дж. Вычис¬
лить количество тепла, отданное холодильнику, т. е. на участке С А.
4.26. Найти КПД цикла, изображенного на рис. 410. Все процес¬
сы политропические; Г2 = 2Тг. Уравнение состояния рабочего веще¬
ства не задано.
4.271 Доказать, что если во всех точках изотермы температурный
коэффициент расширения равен нулю, то такая изотерма совпадает
с адиабатой.
4.28. В цикле Карно в качестве холодильника выбрана вода при
4°С. Так как температурный коэффициент расширения при этой тем¬
пературе равен нулю, то для осуществления цикла Карно не надо
сообщать тепла холодильнику (см. предыдущую задачу), т. е. КПД
цикла равен единице. В чем ошибочность этого рассуждения?
4.29. Тепловая машина работает по холодильному циклу меж¬
ду резервуаром с водой при 11 °С и холодильной камерой при тем¬
пературе —10°С. Какое максимальное количество теплоты может
быть унесено из холодильной камеры, если затраченная работа равна
1 кДж? Как изменится при этом энтропия резервуара и холодильной
камеры?
4.30. Показать, что для любого вещества адиабата может пере¬
секать изотерму не более чем в одной точке.
4.31. Показать, что для вещества с произвольным уравнением
состояния две политропы могут пересекаться только в одной точке.
4.321 Какую максимальную работу можно получить из систе¬
мы двух тел, нагретых до разных абсолютных температур Тф и 7Ф
(Г10 > Г2о), если эти тела используются в качестве нагревателя и хо¬
лодильника в тепловой машине? Теплоемкости тел Сх и С2 считать
не зависящими от температуры. Найти окончательную температуру
Т, которую будут иметь тела, когда установится тепловое равновесие
между ними.
4.331 Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда
теплоемкость холодильника С2 бесконечно велика (нагретое тело,
погруженное в бесконечную среду, температура которой Т20 поддер¬
живается постоянной).
4.34. Рассмотреть другой предельный случай задачи 4.32, когда
бесконечно велика теплоемкость нагревателя Сг (холодное тело, по¬
242
груженное в более теплую бесконечную среду, температура которой
Т10 поддерживается постоянной).
4.35. До какой максимальной температуры можно нагреть одно
из трех одинаковых массивных несжимаемых свободных тел, нахо¬
дящихся первоначально при температурах Т10 = 600 К, Т20 = 200 К,
и Т3о = 600 К. Считать, что теплообмен с внешней средой отсутству¬
ет и имеется возможность осуществлять теплообмен между телами
любым физически реализуемым способом.
4.36. В теплоизолированном сосуде постоянного объема находит¬
ся 1 моль воздуха при Т0 = 300 К. Найти минимальную работу, необ¬
ходимую для охлаждения половины массы этого воздуха до Тг =
= Т0/2. Воздух считать идеальным газом, теплоемкость стенок не
учитывать. Тепло, любым способом отводимое от одной половины
газа, может передаваться только второй половине.
4.37. Два цилиндра, заполненных одинаковым идеальным газом,
сообщаются с помощью узкой трубки; оба они закрыты поршнями,
которые поддерживают в газе постоянное давление 3 атм (рис. 411).
Первоначально цилиндры разделены, причем зна¬
чения объемов и температур равны Vt — 1 л, V2 =
= 2 л, Тх = 300 К, Т2 = 600 К. После соединения
цилиндров происходит выравнивание температур.
Найти конечную температуру, совершаемую рабо¬
ту и изменение энтропии. Газ — идеальный двух¬
атомный, процесс адиабатический.
4.38. Газ расширяется адиабатически, но
неравновесно, из начального равновесного состояния / в конечное,
также равновесное, состояние 2. При этом газ совершает некоторую
работу. Затем газ квазистатически сжимают до начального состояния
/: сначала изотермически, потом адиабатически. Работа, затраченная
при сжатии, оказалась больше работы, совершенной газом при рас¬
ширении, на величину А = 20 Дж. Температура газа Т в состоянии
2 равна 250 К. Найти изменение энтропии газа при переходе из со¬
стояния / в состояние 2.
4.39. Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены
друг с другом тонкой, короткой, теплоизолированной трубкой с кра¬
ном К, закрытым в начальный момент (рис. 412). В первом сосуде
Рис. 412
ний начинает подниматься. Пренебрегая силами трения, вычислить
температуру газа Т при открытии крана после установления равно-
под поршнем массой М находится при тем¬
пературе Т0 идеальный одноатомный газ с
молекулярной массой ц, а во втором — газа
нет, и поршень массой m = М/2 лежит на
дне сосуда. Объем между поршнем и верх¬
ней крышкой в каждом сосуде вакуумиро-
ван. При открытии крана газ из левого сосу¬
да устремляется под поршень гп, и послед-
р
р
777777.
77777777,
Ъ.
И
V2
Рис.411
243
весия. Поршень во втором сосуде не поднимается до верхней крыш¬
ки. Считать, что л/ц/М = 0,1. Вычислить также изменение энтро¬
пии AS.
4.40. Одноатомный идеальный газ находится под поршнем в
адиабатически изолированном цилиндре. Масса груза на поршне,
определяющая давление газа, внезапно увеличилась вдвое. Насколь¬
ко возросла энтропия, приходящаяся на одну молекулу, после уста¬
новления нового равновесного состояния?
4.41. При некотором политропическом процессе давление и объем
определенной массы кислорода меняются от Рг = 4 атм и V = 1 л до
Р2 — 1 атм и V2 = 2 л. Температура в начале процесса Тг = 500 К.
Какое количество тепла получил кислород от окружающей среды?
Насколько изменились энтропия и внутренняя энергия газа?
4.42. Два баллона с объемами V = 1 л каждый соединены труб¬
кой с краном. В одном из них находится водород при давлении 1 атм
и температуре t1 = 20°С, в другом — гелий при давлении 3 атм и
температуре t2 = 100 °С. Найти изменение энтропии системы AS по¬
сле открытия крана и достижения равновесного состояния. Стен¬
ки баллона и трубки обеспечивают полную теплоизоляцию газов от
окружающей среды.
4.431 В объеме V = 3 л находится = 0,5 моль кислорода 02,
а в объеме V2 — 2 л — -v2 = 0,5 моль азота N2 при температуре Т =
= 300 К. Найти максимальную работу, которая может быть произ¬
ведена за счет изотермического смешения этих газов в суммарном
объеме Vi + V2.
4.44. Решить предыдущую задачу в предположении, что смеши¬
вание газов производится адиабатически. Начальная температура га¬
зов Ti = 300 К.
4.45. Сосуд с теплонепроницаемыми стенками объемом 2V разде¬
лен теплопроводящим поршнем, так что отношение объемов V\/V2 —
— п. В каждой из частей сосуда находится по одному молю иде¬
ального газа, теплоемкость Су которого не зависит от температуры.
Поршень отпускают, и он начинает совершать колебания, которые
постепенно затухают из-за внутреннего трения в газе. Пренебрегая
трением поршня о стенки сосуда, найти изменение энтропии газа в
этом процессе. Начальные температуры газа в обеих частях сосуда
считать одинаковыми.
4.46. Сосуд с теплонепроницаемыми стенками объемом 2V раз¬
делен на две равные части теплонепроницаемым поршнем. В каж¬
дой из частей сосуда находится по одному молю идеального газа,
теплоемкость Су которого не зависит от температуры. Начальные
температуры в объемах равны Тг и Т2. Поршень отпускают, и он
начинает совершать колебания, которые постепенно затухают из-за
внутреннего трения в газе. После остановки поршень делит сосуд в
отношении Vi/V2 = п. Пренебрегая трением поршня о стенки сосуда,
найти изменение энтропии газа в этом процессе.
244
4.47. Идеальный одноатомный газ в количестве у = 10 моль, на¬
ходящийся при температуре 7) = 300 К, расширяется без подвода и
отдачи тепла в пустой сосуд через турбину, необратимым образом
совершая работу (рис. 413). После установления равновесия темпера¬
тура газа понижается до Т = 200 К. После этого газ квазистатически
сжимается: сначала изотермически, а затем адиабатически, возвра¬
щаясь в первоначальное состояние. При этом сжатии затрачивается
работа А = 15 кДж. Найти изменение энтропии газа при расширении.
4.48. В расположенном горизонтально теплоизолированном жест¬
ком цилиндре может перемещаться поршень, по одну сторону от ко¬
торого находятся -v = 2 моль двухатомного идеального газа, а по
другую — вакуум. Между порш¬
нем и дном цилиндра находит¬
ся пружина. В начальный момент
поршень закреплен, а пружина
не деформирована. Затем поршень
освобождают. После установления
равновесия объем газа увеличил¬
ся в п = 2 раза. Определить изменение энтропии газа. При расчете
пренебречь трением, а также теплоемкостями цилиндра, поршня и
пружины. Считать, что к деформации пружины применим закон Гука.
4.49. В расположенном вертикально теплоизолированном цилин¬
дре сечения сг имеется теплопроводящий поршень массой т, закреп¬
ленный так, что он делит цилиндр на две равные части. В каждой
из них содержится у молей одного и того же идеального газа при
давлении Р и температуре Т. Крепление поршня удаляется, и под
действием силы тяжести он опускается. Определить изменение эн¬
тропии системы AS к моменту установления равновесия. Считать,
что Per 3> mg.
4.50. Для измерения отношения Cp/Cv методом Клемана-
Дезорма в некоторый объем помещают 1 моль воздуха под повышен¬
ным давлением Рг; далее, путем быстрого кратковременного откры¬
вания клапана выпускают избыток газа, так что давление в объеме
сравнивается с атмосферным Р0, и измеряют давление Р2, которое
установилось в объеме после уравнивания температуры оставшегося
газа с температурой окружающей среды. Определить полное измене¬
ние энтропии моля воздуха в этом опыте. Давления Рг и Р2 считать
близкими к Р0.
4.51. В теплоизолированном от внешней среды цилиндре с порш¬
нем общим количеством твердого вещества, равным одному молю,
находится 8 г гелия при температуре X) = 200 К. Поршнем медленно
сжимают газ до объема V2 = VI/8, так что все время температура
стенок и газа одинаковы. Найти конечную температуру и изменение
энтропии системы.
4.52. Вычислить изменение энтропии при неравновесном процессе
превращения в лед одного моля переохлажденной воды. Начальная и
245
конечная температуры системы (воды и льда) одинаковы и равны
tx = — 10°С. Теплоемкости воды и льда при постоянном давлении рав¬
ны соответственно Ср = 75 Дж/(К • моль), Ср = 37,5 Дж/(К • моль),
молярная теплота плавления льда q = 6000 Дж/моль.
4.53. Перегретая вода в количестве М — 1 кг находится под дав¬
лением Р0 = 760 мм рт. ст. и имеет температуру Г = 383 К. Опреде¬
лить изменение энтропии этой системы при адиабатическом нерав¬
новесном переходе ее в равновесное состояние, состоящее из воды и
ее насыщенного пара при температуре Т0 = 373 К и давлении Р0 =
= 760 мм рт. ст. Удельную теплоемкость воды считать постоянной и
равной сР = 4,18 Дж/(г • К).
4.54. Показать, что при квазистатическом расширении физически
однородного тела при постоянном давлении его энтропия возраста¬
ет, если температурный коэффициент расширения положителен, и
убывает, если этот коэффициент отрицателен.
4.55. Показать, что при квазистатическом увеличении давления
на физически однородное тело при постоянном объеме его энтропия
возрастает, если температурный коэффициент давления положите¬
лен, и убывает, если этот коэффициент отрицателен.
4.56. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен порш¬
нем с пренебрежимо малой массой на две равные части. По одну сто¬
рону поршня находится идеальный газ с массой М, молярной массой
ц и молярными теплоемкостями Су и Ср, не
зависящими от температуры, а по другую сто¬
рону поршня создан высокий вакуум. Началь¬
ные температура и давление газа Т0 и Р0. Пор¬
шень отпускают, и он, свободно двигаясь, да¬
ет возможность газу заполнить весь объем ци¬
линдра. После этого, постепенно увеличивая давление на поршень,
медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти
изменение внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.
4.57. Найти увеличение энтропии AS идеального газа массой М,
занимающего объем V), при расширении его в пустоту до объема V2
(процесс Гей-Люссака).
4.58. Найти изменения внутренней энергии и энтропии одного
моля идеального газа при расширении по политропе PVn = const от
объема VI до объема V2. Рассмотреть частные случаи изотермического
и адиабатического процессов. Вычислить изменения этих величин для
случая п = 3, Vx — 1 л, V2 — 3 л, Р, = 20 атм. Чему равно при этом
количество поглощенного тепла? Температура во время процесса та¬
кова, что для молярной теплоемкости можно принять Су = 3R/2.
4.59. В замкнутой трубе с объемом V находится смесь двух га¬
зов в равных количествах (рис. 414). Начальное давление равно Р.
У краев трубы находятся поршни; каждый из них прозрачен лишь
для одного из газов. При перемещении поршней в среднюю точку
газы полностью разделяются. Непосредственно вычислить работу А,
246
совершаемую при изотермическом перемещении поршней, и сравнить
отношение А/Т с изменением энтропии.
4.60. Найти изменение энтропии AS 30 г льда при превращении
его в пар, если начальная температура льда —40°С, а температура
пара 100°С. Теплоемкости воды и льда считать постоянными, а все
процессы — происходящими при атмосферном давлении. Удельная
теплоемкость льда с = 0,5 кал/(г • °С).
4.61. Найти суммарное изменение энтропии AS (воды и желе¬
за) при погружении m = 100 г железа, нагретого до t = 300°С, в
воду при температуре t0 = 14°С. Удельная теплоемкость железа с =
= 0,11 кал/(г • °С). Считать, что воды так много, что ее температура
практически не изменилась.
4.62. Найти удельную энтропию s неоднородной системы, состо¬
ящей из жидкости и ее насыщенного пара. Теплоемкость жидкости
считать не зависящей от температуры.
4.63? Два тела А и В, нагретые до разных температур, поме¬
щены в жесткую адиабатическую оболочку и приведены в тепловой
контакт друг с другом. Тепло переходит от более нагретого тела А
к менее нагретому телу В, пока температуры обоих тел не срав¬
няются. Показать, что при этом процессе энтропия системы А + В
увеличивается.
4.64. Найти изменение энтропии AS вещества при нагревании,
если его удельная теплоемкость с постоянна, а коэффициент объем¬
ного расширения равен нулю.
4.65. Приводимые в тепловой контакт одинаковые массы веще¬
ства имеют разные температуры Т) и Т2. Считая, что СР = const,
найти приращение энтропии в результате установления теплового
равновесия при Р — const.
4.66. Найти изменение молярной энтропии одноатомного идеаль¬
ного газа при политропическом сжатии вдвое от первоначального
объема, если в этом процессе приращение внутренней энергии равно
половине работы сжатия, производимой над газом.
4.67. Найти изменение молярной энтропии двухатомного идеаль¬
ного газа при политропическом расширении до удвоенного объема,
если в этом процессе приращение внутренней энергии равно работе
газа при расширении.
4.68. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две
равные части, в одной из которых вакуум, а в другой находится
1 моль двухатомного идеального газа. Перегородку удаляют и, после
того, как газ равномерно заполнит весь сосуд, этот газ квазистатиче¬
ски возвращают в исходное положение теплонепроницаемым порш¬
нем. На сколько изменятся энтропия и температура газа по сравне¬
нию с первоначальными?
4.69. В двух сосудах находятся по одному молю разных иде¬
альных одноатомных газов. Давление в обоих сосудах одинаковое.
Температура газа в первом сосуде Ть а во втором — Т2. Определить,
247
на сколько изменится энтропия системы, если сосуды соединить. Как
изменится результат, если газы одинаковы?
4.70. В двух сосудах находится по одному молю разных идеаль¬
ных газов. Температура в обоих сосудах одинакова. Давление в пер¬
вом сосуде Рг, а во втором — Р2. Определить, на сколько изменится
энтропия системы, если сосуды соединить. Как изменится результат,
если газы одинаковы?
4.71. Тепловая машина с одним молем идеального одноатомного
газа в качестве рабочего тела совершает обратимый цикл, состоящий
из процесса 1-2, график которого представляет собой в координатах
(Р, V) отрезок прямой линии, и изотермы 2-а-1 (рис. 415). Отно¬
шение V2/V1 = 3, а температура на изотерме равна Тг. Представить
цикл в координатах (Т, S) и определить максимальное изменение
температуры АТтах и энтропии ASmax рабочего тела в течение цикла.
Рис. 415 Рис. 416 Рис. 417
4.72. Тепловая машина с одним молем идеального одноатомного
газа в качестве рабочего тела совершает обратимый цикл, состоящий
из процесса 1-2, график которого представляет собой в координатах
(Р, V") отрезок прямой линии, изобары 2-3 и изохоры 3-1 (рис. 416).
Отношение V2/Vi = 3. Температура газа в состояниях 1 и 2 одинако¬
ва и равна Т). Представить цикл в координатах (Г, S) и определить
максимальное изменение температуры АТтах и энтропии ASmax ра¬
бочего тела в течение цикла.
4.73. Вещество с неизвестным уравнением состояния совершает
замкнутый цикл, в котором оно нагревается в процессе с теплоем¬
костью, изменяющейся пропорционально температуре, т. е. С\ = <хТ,
а затем возвращается в исходное состояние, охлаждаясь в процессе
с теплоемкостью С2 = |3-у/Т. Минимальная температура вещества в
цикле равна Т). Определить КПД цикла г), если 2(3 = Зад/ГД По¬
стоянные ос и (3 положительны.
4.74. Вещество, уравнение состояния которого неизвестно, совер¬
шает замкнутый цикл, состоящий из чередующихся трех изотерм и
трех адиабат (рис. 417). Температуры на изотермах 1-2, 3-4 и 5-6
относятся как 1 : 0,9 : 0,8. Пары точек (6 и 2) и (6 и 4) принадлежат
политропам, теплоемкости которых относятся как 1 : 4. Определить
КПД цикла ц.
248
4.75. В теплонепроницаемом сосуде под подвижным поршнем
находится один моль идеального одноатомного газа. В некоторый
момент времени давление на поршень мгновенно увеличивается в
два раза. После установления теплового равновесия давление также
мгновенно уменьшается в два раза, возвращаясь к первоначальному
значению. Определить изменение энтропии AS газа.
4.76. Один моль идеального двухатомного газа находится в
вертикальном теплоизолированном цилиндре при температуре Т0 =
= 300 К. Газ закрыт подвижным не проводящим тепло поршнем, ко¬
торый сначала удерживается от падения, так как его масса т в п —
= 3 раза больше уравновешивающей давление газа Р0 массы, т. е.
mg = пР0сг (сг — площадь поршня, g — ускорение свободного паде¬
ния). Затем поршень отпускают, и он падает. После остановки его
квазистатически поднимают на начальную высоту. Найти конечную
температуру газа Тк и изменение энтропии AS.
4.77t Определить максимальную работу, которую можно полу¬
чить от двух находящихся в адиабатической оболочке сосудов с оди¬
наковыми одноатомными идеальными газами. Начальные давления
и числа частиц N в сосудах одинаковы, но у них разные объемы и
температуры Тг и Т2.
4.78. Идеальная тепловая машина работает между двумя тепло¬
выми резервуарами, один из которых первоначально содержит мас¬
су тг = 1 кг водяного пара при температуре = 100°С, а дру¬
гой — массу т2 = 4 кг льда при температуре t2 = —25 °С. Маши¬
на перестает работать, когда в обоих сосудах оказывается вода при
одинаковой конечной температуре. Определить эту конечную тем¬
пературу tx и полное количество полученной работы А. В сосу¬
дах поддерживается нормальное давление. Теплоемкость воды рав¬
на с 1 = 4,18 кДж/(кг • К), льда — с2 — 2,09 кДжДкг • К). Теплота
испарения воды Л = 2,26 • Ю3 кДж/кг, теплота плавления льда q =
= 335 кДж/кг.
4.79. Идеальная тепловая машина работает между двумя тепло¬
выми резервуарами, один из которых первоначально содержит массу
тг = 1 кг водяного пара при температуре И = 100 °С, а другой —
некоторую массу т2 льда при температуре t2 = —25 °С. Машина
перестает работать, когда в обоих сосудах оказывается вода при
температуре t = 37 °С. Определить массу т2 льда и полное коли¬
чество полученной работы А. В сосудах поддерживается нормальное
давление. Теплоемкость воды равна щ = 4,18 кДжДкг • К), тепло¬
емкость льда с2 = 2,09 кДжДкг • К). Теплота испарения воды Л =
= 2,26 • 103 кДж/кг, теплота плавления льда q = 335 кДж/кг.
4.80. На Венере атмосфера состоит из С02. Полагая С02 иде¬
альным газом и атмосферу адиабатической, определить температуру
на поверхности планеты, если плотность газа падает в п = 2 раза
на высоте Н = 12,2 км при ускорении силы тяжести g — 8,87 м/с2.
249
Молярная теплоемкость С02 в таких условиях Cv = 5R. Ускорение
силы тяжести не зависит от высоты.
Указание. Адиабатической называется атмосфера, в которой
порции газа, перемещаясь по вертикали без теплообмена, все время
остаются в механическом равновесии.
4.81. На спутнике Юпитера Европе атмосфера состоит из аммиа¬
ка NH3. Полагая NH3 идеальным газом и атмосферу адиабатической,
определить ускорение свободного падения, если плотность атмосфе¬
ры падает в п = 1,5 раза на высоте Н = 22 км. Температура у по¬
верхности спутника Т0 = 137 К. Ускорение силы тяжести не зависит
от высоты.
Указание. Адиабатической называется атмосфера, в которой
порции газа, перемещаясь по вертикали без теплообмена, все время
остаются в механическом равновесии.
4.82. На Юпитере атмосфера состоит из молекулярного водорода
Н2. Полагая водород идеальным газом и атмосферу адиабатической,
определить ускорение свободного падения g, если на перепаде вы¬
соты Н
2,1 км относительное изменение скорости звука
а - 0-0
а о
= 0,01 (а0 — скорость звука на меньшей высоте). Температура на
меньшей высоте Т0 = 180 К. Считать, что ускорение свободного па¬
дения g не зависит от высоты.
Указание. Адиабатической называется атмосфера, в которой
порции газа, перемещаясь по вертикали без теплообмена, все время
остаются в механическом равновесии.
4.83. Атмосфера планеты Марс состоит из углекислого газа С02.
Считая углекислый газ идеальным и атмосферу адиабатической, оце¬
нить температуру у поверхности планеты Т0, если скорость звука,
измеренная на высоте Н — 9,8 км, равна а = 240 м/с. Ускорение сво¬
бодного падения g — 3,72 м/с2 и не зависит от высоты. Показатель
адиабаты у = 1,3.
Указание. Адиабатической называется атмосфера, в которой
порции газа, перемещаясь по вертикали без теплообмена, все время
остаются в механическом равновесии.
4.841 В цилиндрическом сосуде с теплоизолирующей боковой
поверхностью находится у = 3 моля двухатомного идеального газа.
Торцы сосуда поддерживаются при постоянных температурах То и
Ti = аТ0. Найти изменение энтропии газа, если а изменяется от зна¬
чения 2 до 4. Коэффициент теплопроводности газа считать постоян¬
ным в данном температурном диапазоне.
Указание. Использовать предположение об установлении ло¬
кального равновесного состояния в каждом элементарном объеме
газа.
4.85. В цилиндрическом сосуде с теплоизолирующей боковой по¬
верхностью, закрытом подвижным поршнем, находится у — 2 моля
одноатомного идеального газа. Торец цилиндра поддерживается при
250
постоянной температуре То, подвижный поршень, обеспечивающий
постоянство давления газа в цилиндре, имеет температуру 2\ — аТ0-
Найти изменение энтропии газа, если а изменяется от значения 2
до 4. Коэффициент теплопроводности газа считать постоянным в дан¬
ном температурном диапазоне.
Указание. Использовать предположение об установлении ло¬
кального равновесного состояния в каждом элементарном объеме
газа.
§ 5. Термодинамические потенциалы
5.1. Исходя из второго начала термодинамики, показать, что внут¬
ренняя энергия данной массы идеального газа не зависит от его объ¬
ема, а является функцией только температуры (закон Джоуля).
5.2. Исходя из второго начала термодинамики, показать, что эн¬
тальпия данной массы идеального газа не зависит от его давления,
а является функцией только температуры.
5.3. Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоем¬
кость Су которого не зависит от объема, а зависит только от темпе¬
ратуры.
5.4. Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоем¬
кость СР которого не зависит от давления, а зависит только от тем¬
пературы.
5.5. При 25 °С объем одного моля воды (в см3) для давлений от О
до 1000 атм определяется уравнением
= 4,5 • 10~3, (3 = 1,4 • 10_6. Определить работу А, необходимую для
сжатия моля воды от 0 до 1000 атм при 25 °С, и найти приращение
ее внутренней энергии AU.
5.6. Пользуясь условием, что дифференциальное выражение
X(x,y)dx + Y(x,y)dy есть полный дифференциал, доказать, что
элементарная работа 6А не может быть полным дифференциалом.
5.7. Доказать, что если внутренняя энергия физически однород¬
ного тела не зависит от его объема, а зависит только от температуры,
то она не зависит и от давления. То же справедливо и для энтальпии.
5.8. Как доказывается в термодинамике, необходимыми услови¬
ями стабильности физически однородного и изотропного вещества
являются
V = а + ЪР + сР2
причем в этом интервале давлений
где коэффициенты а = 18,066, b = -7,15-10 4, с = 4,6 • 10 8, а =
251
Используя их, показать, что для любого вещества СР > 0, причем
Ср > Су.
5.9. Пользуясь методом термодинамических потенциалов, найти
термодинамические производные
(д1\ . (д£\ . (дСР\
V ЭР) т ’ \dv)T' V дР )т'
5.10. Доказать соотношение
/9Т\ = __Т/ЭР\
\dVJs~ Cv \дт)у'
5.11. Известно уравнение состояния физически однородного и изо¬
тропного вещества. Найти разность теплоемкостей СР — Су для это¬
го вещества.
5.12. Выразить разность удельных теплоемкостей сР — cv физи¬
чески однородного и изотропного вещества через температурный ко¬
эффициент расширения а = (-^) , изотермический модуль все¬
го V о1 ) Р
стороннего сжатия К ~ —V \ ^ ) и плотность вещества р.
\ov / х
5.13. Найти разность удельных теплоемкостей cp — cv для воды
и ртути при t = 0°С (Т = 273,15 К). Для воды а= —6,10 • 10~5 К-1,
К = 2 • 109 Н/м2, р = 103 кг/м3. Для ртути сР = 140 Дж/(кг • К),
а = 1,81 ■ 10-4 К-1, К = 2,6 • 1010>Н/м2, р = 13,6 кг/м3. В чем при¬
чина малой разности сР — су для воды (см. задачу 5.12)?
5.141 Физически однородное и изотропное вещество расширяется
(или сжимается) адиабатически и квазистатически от давления Pt
до давления Р2. Найти изменение его температуры Т2 — Т) в этом
процессе.
5.15. Воду, находящуюся при 0°С и давлении Р= 100 атм, рас¬
ширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давле¬
ния. Найти изменение температуры воды в этом процессе, если коэф¬
фициент объемного расширения воды в этих условиях отрицателен:
а= -6,1 • 10-5 °С-1.
5.16. Ртуть, находящуюся при 0°С и давлении Р = 100 атм, рас¬
ширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давле¬
ния. Найти изменение температуры ртути в этом процессе, если
коэффициент объемного расширения ртути в этих условиях поло¬
жителен и равен ос= 1,81 • 10-4oC~', удельная теплоемкость ртути
сР = 0,033 кал/(г • °С), плотность р = 13,6 г/см3.
5.17. Железная проволока радиусом г — 1 мм квазистатически
и адиабатически нагружается при температуре Т = 273 К. Началь¬
ное значение растягивающей силы равно нулю, конечное F = 10 Н.
Определить изменение температуры проволоки АТ. Коэффициент
252
линейного расширения железа ал = 1,2 • 10-5оСГ\ удельная тепло¬
емкость железа с = 0,44 Дж/(г • °С), плотность р = 7,9 г/см3.
5.18. Серебряная проволока диаметром d = 1 мм адиабатически
нагружается при комнатной температуре силой F = 10 Н. Пола¬
гая, что удельная теплоемкость серебра с = 0,234 Дж/(г • К), плот¬
ность р — 10 г/см3, а линейный коэффициент теплового расширения
ал = 1,9 • 10"5 К-1, определить изменение температуры проволоки.
5.19. Изобарическое нагревание моля жидкости от 27°С до 29°С
увеличивает ее объем на 0,1 см3; последующее изотермическое по¬
вышение давления на 20 кг/см2 возвращает объем к исходному зна¬
чению. По этим данным найти разность молярных теплоемкостей
Ср — Cv, считая, что объем в указанных выше пределах линейно
меняется с давлением и температурой. Найти также изменение эн¬
тропии жидкости на изотермической стадии процесса.
5.20. При адиабатическом сжатии ртути на 100 атм ее объем
уменьшился на 0,035%. Вычислить по этим данным отношение теп¬
лоемкостей Ср/Су, если изотермическая сжимаемость ртути $т =
= г(©т = 3-9
5.21. Коэффициент объемного расширения воды при 4°С меня¬
ет знак, будучи при 0 °С < t < 4 °С величиной отрицательной. До¬
казать, что в этом интервале температур вода при адиабатическом
сжатии охлаждается, а не нагревается, подобно многим другим жид¬
костям и всем газам.
5.22. Килограмм ртути сжимают изотермически при температу¬
ре Т = 300 К, повышая давление от 0 до Р = 10 атм. Найти ра¬
боту А, совершенную над ртутью, и количество тепла Q, полу¬
ченное ею, если изотермический коэффициент сжимаемости рту¬
ти |3Т = 4 • 10-6 атм-1, а коэффициент теплового расширения ос =
= 2 • 10~4 К-1. Плотность ртути р = 13,6 г/см3.
5.23. При адиабатическом сжатии жидкости относительное изме¬
нение объема равно 0,1%, а температура поднимается на 1 К. Най¬
ти по этим данным Ср/Су, если коэффициент теплового расшире¬
ния жидкости а = 10~4 К-1. На сколько при этом изменилось давле¬
ние в жидкости, если ее изотермический коэффициент сжимаемости
|5Т = кг4 атм~4?
5.24. В стальной оболочке находится вода при температуре t0 =
= 0°С и давлении Р = 1000 атм. Оболочка вдруг теряет жесткость
и давление воды адиабатически быстро падает до 1 атм. Найти ко¬
нечную температуру tK воды. Теплоемкостью оболочки пренебречь.
Плотность воды имеет максимум при температуре iM = 4°С, причем
разность плотностей при 4°С и 0°С Ар = 0,13 мг/см3.
5.25? Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при
охлаждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь
253
этим, доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически рас¬
тянуть.
5.26. Из измерений найдено, что натяжение резинового жгута
определяется выражением т = А(1)Т, где Т — абсолютная темпера
тура, а функция А{1) зависит только от длины жгута (А > 0). По
казать, что внутренняя энергия такого жгута U не зависит от его
длины, а энтропия при изотермическом увеличении длины умень
шается.
5.27. Некоторое количество воды, взятое при 0,1 °С, помещено
под пресс. Цилиндр пресса хорошо теплоизолирован. При сжатии
этой воды оказалось, что ее объем уменьшился на 0,5%. Как изме
нилась температура воды? Известно, что изотермический коэффици
ент сжатия (сжимаемость) воды в данном температурном диапазоне
|3Т = 5 • Ю“10 Па-1, а коэффициент теплового расширения воды ос
= -6 • 10-5 К-1.
5.28. При изотермическом сжатии (Т = 293 К) одного моля гли
церина от давления Рг = 1 атм до давления Н2 = 11 атм выделяется
теплота Q = 10 Дж. При адиабатическом сжатии этого глицерина па
те же 10 атм затрачивается работа А = 8,76 мДж. Плотность гли
церина р = 1,26 г/см3, молярная масса ц = 92 г/моль, у = Cp/Cv
= 1,1. Определить по этим данным температурный коэффициент дан
ления глицерина (дР/дТ)у, а также коэффициент теплового расшн
рения ос и изотермическую сжимаемость |3Т.
5.29. Модуль Юнга некоторого твердого тела известным образом
зависит от температуры: Е = Е(Т). Определить плотность и энергии
тела, обусловленной линейной деформацией е = А1/1. Считать, что
изотермическая работа г2Е/2 включает в себя как механическую,
так и тепловую часть.
5.30. При изотермическом сжатии меди при температуре 273 К
существует такое давление Н0, при котором работа, затраченная на
увеличение давления на малую величину АР <С По. равна количе
ству теплоты, выделяющейся при этом сжатии. Определить давление
По. если в диапазоне давлений [П0, П0 + АР] температурный коэф
фициент объемного расширения ос = 4,5 • 10-5 К-1, изотермический
модуль объемного сжатия К = 1,3 • 10пПа.
5.31. Определить отношение у = Cp/Cv для жидкого лантана La
при температуре Т = 1250 К. При этой температуре скорость звука
цзв = 2км/с, удельная теплоемкость при постоянном давлении
сР = 247 Дж/(кг • К), температурный коэффициент объемного рас
ширения ос = 1,02 • 10-4 К-1.
5.32. Свободная энергия Ф одного моля некоторого вещества да
ется выражением Ф = —~ln(AT3V2), где А — некоторая констап
та. Найти теплоемкость Ср этого вещества.
254
5.33. Термодинамический потенциал Ф одного моля некоторого
RT АТ5
вещества дается выражением Ф = — ~^-\п—р—, где А — некоторая
константа. Найти теплоемкость Су этого вещества.
5.34. Уравнение состояния термодинамической системы имеет
Вид Р = A(V)TA. Найти в точке Р = 1 атм, Т — 300 К.
5.35. Уравнение состояния термодинамической системы имеет
вид Р = A(V)T2. Найти j в точке Р = 1 атм, Т -- 300 К.
5.36. Давление электромагнитного излучения, пребывающего в
тепловом равновесии с веществом, дается формулой: Р = аТ4, где
(X — известная константа. Определить энергию такого излучения в
виданном объеме V.
5.37. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой перегородкой
на две равные части. В одной части при температуре Т0 находится
1 моль идеального газа, другая откачана до высокого вакуума. Пе¬
регородку быстро убирают, и газ заполняет весь объем. Определить
Изменение свободной энергии газа после установления термодинами¬
ческого равновесия.
5.38. Один из методов получения очень низких температур ос¬
нован на использовании зависимости термодинамических величин
Некоторых веществ (парамагнитных солей) от индукции магнитного
Поля В. В не слишком сильных полях свободная энергия соли имеет
Вид Ф = Ф0 — трВ2. Определить количество теплоты, поглощаемое
солью при изотермическом размагничивании от поля В = В0 до по¬
ля В — 0 при температуре Т.
5.39. Найти изменение энтропии равновесного теплового излу¬
чения абсолютно черного тела при расширении объема, занятого
излучением, от до V2, при постоянной температуре Т. Давле¬
ние излучения Р = р/3, где р [эрг/см3] — плотность энергии из¬
лучения.
5.40. Найти работу, которую совершает в цикле Карно равновес¬
ное тепловое излучение абсолютно черного тела. Давление излуче¬
ния Р= р/3, где р = аГ4 — плотность энергии излучения, а а —
Известная константа.
5.41. Вселенная, возраст которой t ~ Ю10 лет, заполнена рав¬
новесным реликтовым излучением с температурой Т яз 3 К. Начи¬
ная с эпохи, когда температура составляла Г0 ~ 3000 К и образова¬
лись нейтральные атомы, излучение слабо взаимодействовало с ве¬
ществом, адиабатически расширяясь вместе со Вселенной. Оценить
ее возраст к моменту образования нейтральных атомов. Скорость
расширения Вселенной считать постоянной.
5.42. Уравнение состояния теплового излучения, находящегося
Н замкнутой полости тела, нагретого до температуры Т (фотонный
255
газ), может быть записано в виде Ф = —AVT4, где Ф — свободная
энергия такого «газа», занимающего полость объема V, А — извест¬
ная константа, равная п2к2/(45h3c3) = 2,52 • 1СГ15 г/(см • с2 • К4),
к — константа Больцмана. Найти теплоемкость Су фотонного га¬
за с давлением Р = 1 атм, занимающего полость объемом V = 1 л,
и сравнить ее с теплоемкостью СуЛ идеального одноатомного газа с
теми же значениями Р, V и Т.
5.43. В условиях предыдущей задачи найти теплоемкость Ср и
уравнение адиабаты фотонного газа.
5.44. Давление насыщенного водяного пара при температуре 17°С
равно 0,02 атм. Пар занимает объем Юл. Найти изменение свобод¬
ной энергии АФ и энтропии AS системы при изотермическом сжа¬
тии до объема 5 л. Пар можно считать идеальным газом. Теплота
парообразования при этой температуре Л = 2460 кДж/кг.
5.45. Теплоемкость процесса, производимого над одним молем
метана СН4 при давлении 760 Тор (температура 0°С), оказалась рав¬
ной —8,4 ДжДмоль • К). В результате процесса температура пони¬
зилась до — 1°С. Найти совершенную газом работу А и изменения:
давления АР, объема АН, энтропии AS, энтальпии А/. Построить
приблизительный график процесса (в виде прямолинейного отрезка)
на диаграмме Р, V. Метан можно считать идеальным газом.
5.461 Согласно теории теплоемкостей Дебая, свободная энергия
твердого тела при низких температурах выражается формулой
Ф = UQ- АТ4,
где U0 — внутренняя энергия тела при абсолютном нуле (нулевая
энергия), а А — положительный коэффициент, зависящий только
от объема V. Пользуясь этой формулой, показать, что при низких
температурах отношение коэффициента объемного расширения те¬
ла а к теплоемкости Су не зависит от температуры (закон Грю-
нейзена).
5.47. В процессе Джоуля-Томсона энтальпия газа не изменяет¬
ся. Пользуясь этим, найти общее термодинамическое выражение для
изменения температуры в таком процессе (эффект Джоуля-Томсона).
5.48. Показать, что для идеальных газов эффект Джоуля-
Томсона не имеет места (АТ = 0).
5.49. В одном из методов получения низких температур использу¬
ют охлаждение газа при его дросселировании через вентиль (эффект
Джоуля-Томсона). В другом методе используют охлаждение газа при
его обратимом адиабатическом расширении. Показать, что при одних
и тех же начальном Рг и конечном Р2 давлениях (Т\ > Р2) пониже¬
ние температуры во втором методе больше, чем в первом.
5.501 Показать, что в процессе Джоуля-Томсона энтропия газа
увеличивается.
256
5.51. Одним из геологических процессов является просачивание
воды сквозь пористые породы из областей с высоким давлением
Р = 1000 атм в полости, находящиеся при атмосферном давлении Р0.
Оценить долю х испарившейся при этом воды, если начальная ее тем¬
пература t0 = 90°С. Теплообменом с горными породами пренебречь,
удельную теплоту парообразования Л принять равной 2260 Дж/г.
5.52. Океанские течения не только переносят большие массы во¬
ды, но и производят их вертикальное перемешивание. Оценить из¬
менение температуры воды АТ, если большая масса воды быстрым
течением перенесена на глубину 1 км. Температура воды в океане
12 °С, а величина температурного коэффициента расширения а =
= 1,8 • 10“4 К-1. Оценить по этим данным изотермическую сжима¬
емость рх океанской воды, если известно отношение CpjCy =у =
= 1,01 для воды.
5.53. Уравнение состояния железного стержня имеет вид: / =
= Е ст
То
(1 - аГ) - 1 , где /
растягивающая сила, Е
= 2 • 1011 Па — модуль Юнга, сг = т2 — площадь поперечного сече¬
ния стержня, г = 1 см — его радиус, L — длина образца, Т0 = 1 м —
его начальная длина, ос = 1,2 • 10^5 К-1 — коэффициент линейного
температурного расширения, Т — температура. Состояние стержня
проходит замкнутый цикл, состоящий из трех обратимых процессов:
1- 2 — изотермического растяжения при Т\ = 300 К от Ь0 до L =
= 1,01 L0;
2- 3 — охлаждения при L = const;
3- 1 — адиабатического сокращения длины стержня до L0.
Изобразить цикл на (Г, £)-диаграмме. Вычислить количество теп¬
ла, поглощенного и отданного стержнем при деформации. Теплоем¬
кость всего стержня Cl = 1100 Дж/К и не зависит от температуры
И деформации.
5.54. Уравнение состояния резинового стержня имеет вид: / =
L / L \ 2
— ( -т— ) , где / — растягивающая сила, а = 0,013 Н/К,
Ьо \ ь0 /
аТ
Т — температура, L — длина, L0 = 1 м — начальная длина. Состо¬
яние стержня проходит замкнутый цикл, состоящий из трех обрати¬
мых процессов:
1- 2 — изотермического растяжения при Тг = 300 К до конечной
длины L = 2 м;
2- 3 — нагревания при L = const;
3- 1 — адиабатического сокращения длины стержня до L0.
Изобразить цикл на (Г, Дфдиаграмме. Вычислить количество теп¬
ла, поглощенного и отданного стержнем при деформации. Теплоем¬
кость всего стержня Ср = 1,2 Дж/К и не зависит от температуры и
деформации.
257
5.55. В результате изотермического всестороннего сжатия двух
одинаковых стальных кубиков величина их относительной дефор-
V - V0
мации £ =
Vo
составила щ = 0,001 и £2 = 0,01 соответствен¬
но. Найти, во сколько раз различаются отношения Q/W получен¬
ного количества теплоты Q к работе деформации W кубиков, ес¬
ли их температура одинакова. Полагать, что при сжатии давление
пропорционально относительной деформации, а коэффициент объ¬
емного теплового расширения и модуль всестороннего сжатия по¬
стоянны.
5.56. Два одинаковых упругих стержня изотермически растяну¬
ли так, что их относительная деформация £ = (7 — Z0)/Z0 составила
£i = 0,001 и £2 = 0,01 соответственно. Найти, во сколько раз разли¬
чаются отношения Q/W полученного количества теплоты Q к рабо¬
те деформации W стержней. Уравнение состояния стержней можно
а — Е ~(1 — аТ) — 1 , где ст — напряжение,
Лп
представить в виде
Е — модуль Юнга, а — коэффициент линейного теплового расшире¬
ния, <хТ <С 1. Считать, что температура Т стержней одинакова.
5.57. Тепловое расширение кристалла можно рассматривать на
основе простой модели взаимодействия двух атомов, расположенных
по соседству. Оценить величину <х коэффициента линейного теплово¬
го расширения кристалла, предположив, что потенциальная энергия
взаимодействия соседних атомов имеет вид:
V{r) = А(е~2ае — 2е-'“),
где £ = (г — d)/d (d — период решетки), а = 1,5, А = 3 эВ.
5.58. Тепловое расширение кристалла можно рассматривать на
основе простой модели взаимодействия двух атомов, расположенных
по соседству. Оценить величину а коэффициента линейного теплово¬
го расширения кристалла, предположив, что потенциальная энергия
взаимодействия соседних атомов имеет вид:
V(r) =
А
Г
где А и В — некоторые константы. Считать, что период решетки
d = 2,8 • 10“8 см, а постоянная А = 1,4 ■ 10-7 эВ • см.
5.59. В некотором диапазоне температур Т и объемов V свобод¬
ная энергия Ф изучаемой системы описывается соотношением Ф =
= АТ( 1 — InT) — RTlnV — TSQ, где А и S)) — константы. Что это
за вещество? Выяснить физический смысл константы А.
5.60. В некотором диапазоне температур Т и давлений Р термо¬
динамический потенциал Ф изучаемой системы описывается соотно¬
шением Ф = АТ( 1 — InT) + RTInР — ТSo, где А и S0 — константы.
Что это за вещество? Выяснить физический смысл константы А.
258
5.61. Для некоторой материи свободная энергия Ф и энтропия
S, нормированные определенным выбором начала отсчета, связаны
соотношением Ф = —TS/4. Найти выражение для энтропии и урав¬
нение состояния для этой материи через объем V и температуру Г,
если известно, что ее внутренняя энергия пропорциональна занима¬
емому объему. Что это за материя?
5.62. Для некоторой материи термодинамический потенциал
Гиббса Ф тождественно равен нулю, а ее энтропия, нормирован¬
ная определенным выбором начала отсчета, равна S = 4PV/T (здесь
Р, V, Т — давление, температура и объем определенного количе¬
ства этой материи соответственно). Найти выражение для внутрен¬
ней энергии и уравнение состояния для этой материи. Что это за
материя?
5.63. При адиабатическом сжатии серебра на AV/V = 0,01 его
температура возрастает на АТ/Т = 0,028. Определить коэффициент
изотермической сжимаемости |3Т серебра, если температурный коэф¬
фициент объемного расширения a =f 5,7 • 10~5 К-1, удельная тепло¬
емкость серебра су = 0,23 Дж/(г • К), плотность р = 10,5 г/см3.
5.64. Определить относительное изменение температуры глице¬
рина АТ/Т при адиабатическом его сжатии на AV/V = 0,01, если
скорость звука в глицерине и = 1895 м/с, температурный коэффи¬
циент объемного расширения глицерина ос = 1,7 • 10~4 К-1, теплоем¬
кость СР = 217 Дж/(моль • К), молярная масса ц = 92 г/моль.
5.65. Вещество с неизвестным уравнением состояния совершает
замкнутый положительный цикл, в котором сначала оно нагревается
от температуры Т) = 200 К до Г2 = 400 К в процессе с теплоемко¬
стью, возрастающей пропорционально температуре, потом охлажда¬
ется в адиабатическом процессе до некоторой температуры, и затем
возвращается в исходное состояние по политропе. Определить теп¬
лоемкость этой политропы, если КПД цикла г| = 1/3.
5.66. Вещество с неизвестным уравнением состояния совершает
замкнутый положительный цикл, в котором сначала оно охлаждает¬
ся от температуры = 500 К до Гг = 250 К в процессе с теплоем¬
костью, убывающей пропорционально квадрату температуры, потом
нагревается в адиабатическом процессе до некоторой температуры, и
затем возвращается в исходное состояние по политропе. Определить
теплоемкость этой политропы, если КПД цикла г| = 2/9.
5.67. Согласно модели строения Земли ядро состоит из двух со¬
ставляющих: внутреннего твердого и внешнего жидкого. Внутреннее
ядро представляет шар с центром в центре планеты. В жидком ядре
перемешивание происходит очень быстро по сравнению с геофизиче¬
скими процессами. Температура на границе внутреннего и внешнего
ядер Г0 = 4000 К. Внешнее ядро окружено сферической оболочкой —
мантией. Оценить температуру Г на границе внешнего ядра и ман¬
тии, если толщина внешнего ядра И = 2000 км. Принять, что для
259
вещества жидкого ядра коэффициент объемного теплового расши¬
рения а = 2,3 • 10"6 град"1, удельная теплоемкость при постоянном
давлении сР = 0,45 Дж/(г • град). Принять среднее значение ускоре¬
ния силы тяжести в пределах жидкого ядра равным g = 7,5 м/с2.
5.68. Согласно одной из моделей строения Венеры ядро состо¬
ит из двух составляющих: внутреннего твердого и внешнего жид¬
кого. Внутреннее ядро представляет шар с центром в центре пла¬
неты. В жидком ядре перемешивание происходит очень быстро по
сравнению с геофизическими процессами. Внешнее ядро окружено
сферической оболочкой — мантией. Температура на границе внут¬
реннего и внешнего ядер Гх = 3500 К. Оценить величину расстоя¬
ния L, при котором температура жидкого ядра изменяется на 150 К.
Принять, что для вещества жидкого ядра коэффициент объемного
теплового расширения а = 2,3 • 10"6 град"1, удельная теплоемкость
при постоянном давлении сР = 0,47 Дж/(г • град). Принять среднее
значение ускорения силы тяжести в пределах жидкого ядра равным
g = 9,0 м/с2.
5.69. Вычислить скорость звука в воде, если ее изотермическая
сжимаемость при 25°С |3Т = 4,5 • Ю"10 Па"1, у = СР/Су = 1,1.
5.70. Под действием внешних звуковых волн в воде рождают¬
ся пузырьки из растворенного в ней воздуха радиусом г = 10 мкм
с концентрацией п = 106см"3. Найти скорость звука г>зв в воде с
пузырьками, если в воде при t = 20 °С она равна г>зво = 1483 м/с.
5.71. При 20 °С и давлении 1 атм плотность воды равна р =
= 3,6 • 105 Па/К, коэффициент ее объемного расширения а =
= 1,8 • 10"4 К"1, а отношение теплоемкостей СР/Су = 1,1. Опреде¬
лить по этим данным скорость звука в воде при этой температуре.
5.72. Работа при изотермическом сжатии 1 кг ртути от давления
1 атм до давления 11 атм равна Ат = 1,86 мДж. Скорость звука в
ртути при той же температуре равна г;зв = 1451 м/с. Полагая, что
плотность ртути равна р = 13,6 г/см3, определить отношение у =
= CP/CV.
5.73. Обратимый цикл состоит из последовательных процессов
адиабатического сжатия, изотермического расширения и замыкаю¬
щего цикл процесса, в котором сохраняется термодинамический по¬
тенциал Гиббса Ф. Найти КПД этого цикла с идеальным газом,
теплоемкость которого Су постоянна и не зависит от температу¬
ры. Отношение максимальной и минимальной температур в цикле
равно а.
5.74. Обратимый цикл состоит из последовательных процессов:
процесса нагревания 1-2, при котором свободная энергия Ф постоян¬
на; адиабатического расширения 2-3', изотермического сжатия 3-1.
Найти КПД этого цикла с идеальным газом, теплоемкость Су кото¬
= 998 кг/м3, температурный коэффициент давления воды
260
рого постоянна и не зависит от температуры. Отношение максималь¬
ной и минимальной температур в цикле равно а.
5.75. Термодинамический потенциал Гиббса некоторой системы
задается выражением Ф(Р, Т) = аТ(1 — InT) + RTlnP — TSQ + U0,
где a, R, S0, UQ — постоянные. Выразить внутреннюю энергию U и
энтальпию I как функции объема V и температуры Т и определить
физический смысл константы а.
5.76. Свободная энергия некоторой системы задается выражени¬
ем ВДГ) = -сТЫТ + /Г - £ - RT\n(V - Ь) + Ф0, где а, Ь, с, /,
Ф0 — постоянные. Выразить внутреннюю энергию U как функцию
объема V и температуры и определить физический смысл констант
а, b, с.
§ 6. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса
6.1. Найти выражение для давления, температуры и объема газа
в критической точке и установить связь между этими величинами,
предполагая, что вещество подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
6.2. Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных пара¬
метрах
т
р
V
п = ,
1^
II
9-
т ’
-L кр
р 5
1 кр
когда за единицы приняты критическая температура, критическое
давление и критический объем моля газа.
6.3. Критическая температура углекислоты (С02) равна 31°С,
критическое давление 73 атм. Определить критический объем VKp мо¬
ля С02.
6.4. Найти постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса для азота, ес¬
ли tKр азота равна —146,9°С, Ркр = 33,55 атм.
6.5. Найти критическую плотность воды, если критическое дав¬
ление для воды равно Ркр — 218,3 атм, а критическая температура
Ткр = 647,3 К, предполагая, что вода подчиняется уравнению Ван-
дер-Ваальса.
6.6. Принимая постоянную а Ван-дер-Ваальса для воды равной
5,45 • 10е атм • см6/моль2, найти внутреннее давление воды Р.
6.7. Было предложено много эмпирических и полуэмпирических
уравнений состояния реальных газов. Найти критические параметры
Н.Т
Ркр, Vnp, Ткр, а также значения критического коэффициента s = ——у-
кр Гкр
для двух уравнений Дитеричи:
первое: P(V — Ъ) = RT exp ',
второе: {У — b) = Rl\ где а и Ъ — постоянные.
261
6.8. Критические температура, давление и плотность водорода
равны Ткр = 33,24 К, Ркр = 12,8 атм, ркр = 0,0310 г/см3. Пользуясь
этими данными и предполагая, что водород подчиняется уравнению
Ван-дер-Ваальса, найти его молярную массу ц.
6.9. Атмосфера Венеры почти целиком состоит из СОг. Най¬
ти давление на поверхности планеты, если плотность газа р =
= 0,07 г/см3 и его температура Т = 750 К. Газ считать ван-дер-
ваальсовским с критическими параметрами Ркр = 73,9 атм, VKp =
= 94 см3/моль и Ткр = 304 К. Провести сравнение с давлением иде¬
ального газа при тех же условиях.
6.10. Найти выражение для изотермической сжимаемости |3Г газа
Ван-дер-Ваальса.
6.11. Найти температурный коэффициент расширения а для газа
Ван-дер-Ваальса при постоянном давлении.
6.12! На рис. 418 кривая CLMGD представляет одну из реаль¬
ных изотерм вещества, а штриховая кривая ALKGB отделяет область
однофазного состояния вещества от об¬
ласти двухфазного. Показать, что в со¬
стоянии, изображаемом точкой М, мас¬
сы жидкой и газообразной фаз отно¬
сятся как тж/тг = MG/LM (правило
рычага).
6.13. Чему равна теплоемкость
Ср вещества в двухфазном состоя¬
нии, изображаемом точкой под кривой
ALKGB (рис. 418)?
6.14! Найти распределение плотно¬
сти в поле силы тяжести физически од¬
нородного вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, в
окрестности критической точки.
6.15. Как впервые было указано А. Г. Столетовым (1892 г.), для
приведения жидкости, заключенной в данный объем, в критическое
- состояние должно быть взято вполне определенное ее количество.
Рассмотреть следующий пример. Сосуд, объем которого Vi = 15 см3,
должен быть наполнен водой при температуре Н = 18°С с таким рас¬
четом, чтобы при нагревании ее в данном сосуде (предварительно от¬
качанном и запаянном) до критической температуры в нем установи¬
лось критическое давление. В предположении, что вода подчиняется
уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, найти, какой объем воды дол¬
жен быть налит в сосуд, если известно, что критическая температура
воды Ткр = 647,3 К, критическое давление Ркр = 218,3 атм, молярная
масса ц = 18 г/моль, плотность при 18°С равна р = 1 г/см3.
6.16. Для демонстрации исчезновения мениска в критической точ¬
ке цилиндрическую ампулу высотой /щ наполняют смесью жидкости
и ее паров со средней плотностью содержимого р. Каково допустимое
Рис. 418
262
отклонение р от критической плотности ркр, при котором в процес¬
се нагревания ампулы мениск исчезнет, не коснувшись ее дна или
верхушки?
6.17. После демонстрации критического состояния вещества ам¬
пула, заполненная эфиром, охлаждается. Оказалось, что при неко¬
торой температуре Т жидкость, плотность которой рж = 1,9ркр, за¬
полняет ровно половину пробирки. Определить эту температуру Т.
Критическая температура эфира Ткр = 467 К.
6.18. В откачанную ампулу заливают эфир при температуре 18°С
и запаивают ее. Какая часть ампулы должна быть заполнена жидко¬
стью, чтобы после нагрева до критической температуры 7’кр = 467 К
эфир оказался в критическом состоянии? Известны Ркр = 35,5 атм,
плотность жидкого эфира рж = 0,714 г/см3, Р„ас(18°С) = 400 Тор.
Считать, что к указанному эфиру применима модель газа Ван-дер-
Ваальса.
6.19. Рассматривая удельную теплоту испарения Л как работу, за¬
трачиваемую на преодоление внутреннего давления Pit найти зависи¬
мость между Ph Л и плотностью жидкости р. Считать, что жидкость
подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
6.20. Доказать, что теплоемкость Су газа, подчиняющегося урав¬
нению Ван-дер-Ваальса, не зависит от объема, а является функцией
только температуры. Найти выражение для внутренней энергии газа
Ван-дер-Ваальса, теплоемкость которого не зависит от температуры.
6.21. Два моля газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т занима¬
ют объем V. Найти работу, которую совершит газ при квазистатиче-
ском изотермическом расширении до объема 2V. Постоянные газа а
и b считать известными.
6.22. Моль азота расширяется в вакуум от начального объема
1 л до конечного 10 л. Найти понижение температуры АТ при таком
процессе, если постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота
равна 1,35 ■ 10ь атм • см6/моль2.
6.23. Два сосуда с объемами 1ф и V2 соединены трубкой с краном.
В каждом из них при закрытом кране находится по одному молю
одного и того же газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.
До открытия крана температура газа в обоих сосудах была одинакова
и равна Т. Нагреется или охладится газ, если открыть кран? На
сколько при этом изменится температура газа? Определить давление
газа после открытия крана. Стенки сосуда и соединяющей их трубки
считать адиабатическими, а теплоемкость Су — не зависящей от
температуры.
6.24. Два баллона с объемами V1 = V2 = V = 1 л соединены
трубкой с краном. В объеме V\ находится воздух под атмосферным
давлением, а объем V2 откачан до предельного вакуума. Считая, что
воздух подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а стенки баллонов
и трубки адиабатические, определить, на сколько изменится темпера¬
263
тура газа после открытия крана. Начальная температура Т = 290 К,
для воздуха а = 1,31 • 106 атм • см6/моль2.
6.25. Азот при критической температуре Гкр = 126 К имеет кри¬
тический объем VKp = 92,1 см3/моль. Считая, что азот подчиняется
уравнению Ван-дер-Ваальса, найти понижение температуры 7 г азота
при расширении в вакуум от объема V1 — 5 л до объема V2 = 50 л.
6.26. Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в вакуум от объема Vi до
объема V2 его температура не изменилась?
6.27. Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в вакуум от объема Vi до
объема V2 его давление осталось постоянным и равным Р?
6.28. Найти СР — Су для моля газа Ван-дер-Ваальса.
6.29. Найти выражение для энтропии "V молей газа Ван-дер-
Ваальса.
6.30. Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, счи¬
тая, что его теплоемкость С не зависит от температуры.
6.31. Показать, что в критической точке для любого вещества
разность СР — Су, а также теплоемкость Ср обращаются в беско¬
нечность.
6.32. Два моля газа Ван-дер-Ваальса адиабатически и квазиста¬
тически расширяются от температуры и объема V) до объема V2.
Найти работу, совершенную газом. Постоянные газа а и b считать
известными. Теплоемкость газа Су не зависит от температуры.
6.33. Найти уравнение процесса для одного моля газа Ван-дер-
Ваальса, в котором теплоемкость изменяется по закону С = кТ2,
где к — постоянная величина. Считать, что Су от температуры не
зависит.
6.34. Найти уравнение процесса для произвольного вещества, при
котором теплоемкость изменяется по закону С = ос\/Т, где а — по¬
стоянная величина. Получить как частный случай уравнение тако¬
го процесса для газа Ван-дер-Ваальса. Постоянные газа Ван-дер-
Ваальса и его теплоемкость при постоянном объеме (Су = const)
считать известными.
6.35. Для газа Ван-дер-Ваальса найти уравнение процесса, для
которого постоянна внутренняя энергия. Как молярная теплоемкость
для этого процесса зависит от температуры Т, если молярная тепло¬
емкость Су известна?
6.36. Два моля азота изотермически сжимаются от объема V
при нормальных условиях до объема V/10. Какое количество тепла
выделяется при этом? Постоянные Ван-дер-Ваальса для азота а и b
считать известными.
6.37. Один моль газа Ван-дер-Ваальса расширяется по политропе
(V — Ь)Т = const.
264
Определить изменение энтропии газа, если его температура измени¬
лась от Ti до Т2. Теплоемкость Су постоянна.
6.38. Найти изменение энтропии одного моля газа, константы
Ван-дер-Ваальса а и b которого известны, при изотермическом про¬
цессе, в результате которого внутренняя энергия его увеличилась на
AU. В начале процесса объем газа был VQ .
6.39. Найти изменение энтропии одного моля двухатомного газа
Ван-дер-Ваальса, расширяющегося по политропе
(р + £) (v ~ ъ)3 = const
при изменении температуры от = 680 К до Т2 = 250 К. Считать,
что Су не зависит от температуры.
6.40. Газ Ван-дер-Ваальса вначале расширяют в вакуум от ис¬
ходного объема Го до 2Vo, а затем изотермически сжимают до Го/2.
Найти изменение энтропии одного моля газа, считая известными кон¬
станты а и Ь, а теплоемкость Су не зависящей,от температуры Т.
Начальная температура газа Т0.
6.41. Газ Ван-дер-Ваальса сначала изотермически при температу¬
ре Т0 сжимают от исходного объема Го до Го/2, а затем расширяют в
вакуум до объема 2VQ. Найти изменение энтропии одного моля газа,
считая известными константы а и Ь, а теплоемкость Су не зависящей
от температуры Т.
6.42. Для изотермического сжатия одного моля газа Ван-дер-
Ваальса была затрачена работа А. При этом энтропия газа изме¬
нилась по абсолютной величине на R/8, где R — универсальная
газовая постоянная. Определить температуру этого процесса, если
исходный объем был равен утроенному критическому. Постоянные
Ван-дер-Ваальса а и b считать известными.
6.43. Теплонепроницаемый сосуд разделен теплонепроницаемой
перегородкой на две части одинакового объема V. В каждой из
частей находится по одному молю одного и того же газа Ван-дер-
Ваальса, причем давление в одной части сосуда Рь а в другой — Р2.
Какое давление установится в сосуде после снятия перегородки? Кон¬
станты а и Ь, а также теплоемкость Су известны.
6.44. Теплонепроницаемый сосуд разделен теплопроницаемой пе¬
регородкой на две части с объемами ГГ и V2 (V2 ГГ). В объеме ГГ
находится один моль газа Ван-дер-Ваальса под давлением Р10, а в
объеме ГГ газа нет. Затем перегородку убирают, а когда половина
массы газа переходит из объема ГГ в объем V2, перегородку вновь
устанавливают на то же место. Определить установившееся в объе¬
ме ГГ давление Р2, полагая газ в объеме ГГ идеальным. Константы а
и Ь, а также теплоемкость Су известны, теплоемкостью перегородки
пренебречь.
6.45. Один моль азота сжат при температуре 0°С до объема, рав¬
ного 1 л. Найти изменение его энтропии при расширении без подвода
265
тепла и без совершения работы до атмосферного давления. Крити¬
ческая температура азота равна —147°С, а его критический объем
составляет 0,092 л/моль. Считать, что в сжатом состоянии азот под¬
чиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а в расширенном ведет себя
как идеальный газ. Теплоемкость Су считать не зависящей от тем¬
пературы.
6.46. Теплоизолированный сосуд объемом V0 разделен непрони¬
цаемой перегородкой на две равные части, в одной из которых нахо¬
дится один моль газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т0, а другая
вакуумирована. Перегородку быстро удаляют, и после того, как газ
равномерно заполняет весь сосуд, его квазистатически сжимают до
начального объема теплонепроницаемым поршнем. Определить из¬
менение энтропии AS и внутренней энергии AU по сравнению с их
первоначальными значениями. Для газа Ван-дер-Ваальса известно,
что а ф 0, а Ь = 0. Считать, что Су = const.
6.47. Теплоизолированный сосуд объемом Н0 разделен непрони¬
цаемой перегородкой на две равные части, в одной из которых нахо¬
дится один моль газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т0, а другая
вакуумирована. Перегородку быстро удаляют, и после того, как газ
равномерно заполняет весь сосуд, этот газ квазистатически сжима¬
ют до начального объема теплонепроницаемым поршнем. Определить
изменение энтропии AS и внутренней энергии AU по сравнению с
их первоначальными значениями. Для газа Ван-дер-Ваальса извест¬
но, что Ъф 0, а а = 0. Считать, что b/V0 «С 1 и Су = const.
6.48. Моль газа адиабатически и квазистатически расширяется
от начального объема V0 до некоторого объема V. В каком случае
охлаждение газа будет больше: когда газ подчиняется уравнению
Ван-дер-Ваальса или когда он идеальный? Теплоемкости Су обоих
газов равны между собой и не зависят от температуры.
6.49. Моль газа адиабатически и квазистатически расширяется
от начального давления PQ и температуры TQ до некоторого давления
Р. Считая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса с посто¬
янными а = 0, b ф 0, найти его конечную температуру. Теплоемкость
газа Су от температуры не зависит. Сравнить конечную температуру
этого газа с температурой, которую будет иметь идеальный газ с той
же теплоемкостью Су.
6.50. Найти теплоемкость газа Ван-дер-Ваальса в процессе, в
котором тепло, сообщенное газу, равно уменьшению его внутренней
энергии. Теплоемкость Су и постоянную Ван-дер-Ваальса а считать
известными.
6.517 Найти выражение для теплоты испарения Л моля жидкости
при постоянной температуре Т под давлением ее насыщенного пара в
предположении, что уравнением состояния жидкости и ее пара явля¬
ется уравнение Ван-дер-Ваальса. Считать известными температуру
Т и молярные объемы жидкости Уж и ее насыщенного пара Vn при
этой температуре.
266
6.52. Один моль эфира, находящегося в критическом состоянии,
расширяется в теплоизолированный вакуумированный сосуд, так что
его объем увеличивается в N = 17 раз. Считая, что теплоемкость
эфира Су — 3R от температуры не зависит, определить изменение
энтропии эфира в этом процессе.
6.53. При политропическом расширении одного моля многоатом¬
ного газа Ван-дер-Ваальса (теплоемкость процесса С = 4R) энтро¬
пия увеличилась на AS = R. Во сколько раз увеличился объем газа,
если начальный объем равен утроенному критическому объему?
6.54. При политропическом расширении одного моля одноатом¬
ного газа Ван-дер-Ваальса от критического до утроенного критиче¬
ского объема энтропия газа увеличилась на AS = 2R. Определить
теплоемкость политропического процесса.
6.55. Вычислить изменение свободной энергии 1 кмоль газа Ван-
дер-Ваальса (а = 1,39 • Ю5 Па • м6/кмоль2, 6 = 0,039м3/кмоль) при изо¬
термическом расширении (То = 300 К) от Va = 0,05м3 до Ц =0,1м3.
6.56. Закрытая с обеих сторон металлическая труба заполнена
гелием при нормальных условиях. Оценить, с какой точностью надо
измерять частоту акустического резонанса этой трубы, чтобы заме¬
тить, что газ неидеальный? Считать, что гелий подчиняется уравне¬
нию Ван-дер-Ваальса. Критическая температура гелия Ткр = 5,2 К, а
диаметр атома гелия d « 2А.
6.57. Найти скорость звука в газе Ван-дер-Ваальса вблизи крити¬
ческой точки. Константы а и b газа и его молярную массу ц считать
известными. Теплоемкость Су задана и не зависит от температуры.
Процесс считать адиабатическим.
6.58. Определить, во сколько раз отличаются изотермическая |3т
и адиабатическая |3s сжимаемости |3t/|3s для 1 моля одноатомного
газа Ван-дер-Ваальса при температуре Т = 50 К и давлении 20 атм.
Считать, что теплоемкость Су данного газа такая же, как у идеаль¬
ного, константа а = 0,0035Па • м6/моль2.
6.59. В вертикальном цилиндре под поршнем массой М и площа¬
дью о находится один моль газа Ван-дер-Ваальса, константы а и b
которого известны. Найти период малых колебаний поршня т около
положения равновесия, считая процесс сжатия и разрежения изо¬
термическим, причем Т = 2Ткр. Равновесный объем газа в условиях
опыта принять равным критическому.
6.60. Моль гелия имеет объем V = 0,1 л и находится при темпе¬
ратуре t = 0°С. Измерение величины (у — 1), где у = СР/Су в этих
условиях показало, что эта величина на 3% отличается от своего зна¬
чения для разреженного гелия. Используя модель Ван-дер-Ваальса,
найти константу а для гелия, пренебрегая при анализе членами по¬
рядка о2, ab, Ь2.
6.61. Найти работу, совершаемую двигателем, работающим по
циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм. Рабочим веще¬
267
ством является один моль газа Ван-дер-Ваальса. Начальный объем
V\ = 56, конечный V2 = 66, где 6 — константа Ван-дер-Ваальса. Тем¬
пературы на изотермах Д = 10°С, t2 = 20 °С.
6.62. Найти КПД цикла, состоящего из адиабаты, изотермы (тем¬
пература Т\, объем уменьшается от V2 до УД и изохоры (объем Уь
температура увеличивается от Тх до Т2). Рабочим веществом являет¬
ся 1 моль газа Ван-дер-Ваальса, константы а и 6 которого известны,
а теплоемкость Су не зависит от температуры.
6.63. Найти КПД тепловой машины, работающей по циклу, со¬
стоящему из двух изохор V и 2У и двух изобар Р и 2Р. Рабочим
веществом является газ Ван-дер-Ваальса. Константы а и 6 считать
известными. Теплоемкость газа Су считать постоянной.
6.64. Определить КПД цикла, состоящего из двух изохор с объ¬
емами Vi и У2 и двух адиабат. Рабочим веществом является газ
Ван-дер-Ваальса, константы а и 6 которого заданы, а теплоемкость
Су не зависит от температуры.
6.65. Теплоизолированный сосуд объемом 2 л с жесткими стен¬
ками разделен подвижной проводящей тепло перегородкой на две
части. С обеих сторон перегородки находится кислород: слева —
5 молей, справа — 1 моль. В начальный момент перегородка удер¬
живается и делит сосуд на две равные части. Затем она освобожда¬
ется. Какое количество тепла Q нужно подвести к газу или отвести
от него после установления равновесия для того, чтобы температура
газа осталась неизменной? Считать, что кислород подчиняется урав¬
нению Ван-дер-Ваальса с постоянной а = 1,3 атм • л2/моль2.
6.66. Получить формулу для изменения температуры газа в диф¬
ференциальном эффекте Джоуля-Томсона, предполагая, что газ под¬
чиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса.
6.67. Рассмотреть предельный случай формулы для эффекта
Джоуля-Томсона (см. ответ предыдущей задачи), предполагая газ
настолько разреженным, что квадратами и высшими степенями по¬
правок а и 6 можно пренебречь. Показать, что при температурах вы¬
ше так называемой температуры инверсии Тинв дифференциального
эффекта Джоуля-Томсона газ при дросселировании будет нагревать¬
ся, а при температурах ниже температуры инверсии — охлаждаться.
Получить выражение для Тинв и установить связь этой температуры
с критической температурой Ткр.
6.68. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-
Ваальса, с а = 0 в опыте Джоуля-Томсона всегда нагревается. Опре¬
делить повышение температуры при расширении.
6.69. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-
Ваальса, с 6 = 0 в опыте Джоуля-Томсона всегда охлаждается. Опре¬
делить понижение температуры при расширении.
6.70. При какой температуре Т углекислый газ в опыте Джоуля-
Томсона начнет охлаждаться, если известно, что критическая тем¬
268
пература С02 Ткр — 304 К? Считать, что состояние углекислого газа
описывается уравнением Ван-дер-Ваальса.
6.71. Предполагая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-
Ваальса, найти уравнение кривой инверсии, т. е. такой кривой в плос¬
кости (У, Т), при переходе через которую эффект Джоуля-Томсона
меняет знак.
6.72. Расширение газа в процессе Джоуля-Томсона производится
от начального состояния (Г, V) до сильно разреженного состояния,
в котором газ может считаться идеальным. Если начальные состоя¬
ния газа изображать на диаграмме (Т, V), то на ней можно начер¬
тить кривую, которая делит плоскость Т, V на две области: точкам
одной области соответствует АТ < 0 (газ охлаждается), а другой
АТ > 0 (газ нагревается). Эта кривая называется кривой инверсии
иые1 ральнию эффекта /д,жиуля-Томсона. Найти ее уравнение и на¬
чертить кривые инверсии для азота, водорода и гелия в предположе¬
нии, что эти газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса.
6.73. Вычислить, во сколько раз отличаются изменения темпера¬
туры при эффекте Джоуля-Томсона и при обратимом адиабатическом
расширении газа Ван-дер-Ваальса. Перепад давления в обоих случа¬
ях одинаков и невелик, Ткр/Т = 0,4 и Укр/У = 0,09, где Ткр и Укр —
критические температура и объем.
.. „ ,, 1 (dV\
Указание. Коэффициент теплового расширения сх = — I ^ 1
находится дифференцированием уравнения Ван-дер-Ваальса.
6.74? Теплоизолированный сосуд наполнен газообразным гелием
при температуре Г0 = 10 К (выше критической точки). Газ медленно
вытекает через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в со¬
суде не станет равным Р\ = 1 атм, а температура Тх = 4,2 К (точка
кипения гелия при нормальном давлении). Найти начальное давле¬
ние газа в сосуде Р, если в конце процесса сосуд оказался пол¬
ностью заполненным жидким гелием. Молярная теплота испарения
гелия при 4,2 К равна А = 20 кал/моль. Газообразный гелий считать
идеальным газом.
6.75. Двухатомный газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-
Ваальса, при температуре 300 К охлаждается в процессе Джоуля-
Томсона на 0,024 К при уменьшении давления на 0,1 атм. Найти
критическое давление и критический объем, если критическая тем¬
пература равна —147 °С.
6.76. Аргон дросселируется от давления Рг = 100 атм до давле¬
ния Р2 = 1 атм. Предполагая процесс установившимся, определить
количество теплоты Q, которое необходимо подводить к одному мо¬
лю газа, чтобы температура его поддерживалась постоянной и равня¬
лась Т = 300 К. Считать аргон газом Ван-дер-Ваальса с Су — const,
Ъ = 32,2 см3/моль и критической температурой Ткр = 150,65 К. При
вычислениях пренебречь квадратами и высшими степенями попра¬
вок а и Ъ.
269
6.77. Определить изменение внутренней энергии одного моля ре-
D RT(V + b)
ального газа, подчиняющегося уравнению г — —~—- ехр
RTV
при изотермическом расширении с температурой Т от объема V\ до
объема V2. Константы а и b известны.
6.78. Определить приращение энтропии при изотермическом рас¬
ширении (Т0) одного моля реального газа от объема V0 до V0 + dV,
если его уравнение состояния имеет вид:
Р =
RT
V -Ъ
ехр
(
—V
RTV )
Константы а и Ъ известны.
6.79. Найти изменение теплоемкости А Су одного моля гелия
при изотермическом расширении от объема V\ = 0,5 л до объема
V2 = 1 л при температуре Т = 10 К. Считать газ подчиняющимся
уравнению Бертло: уР + (V — b) = RT, в котором для гелия
a/R— 1,9 л • К2/моль.
6.80. Моль трехатомного газа Ван-дер-Ваальса, находящийся в
критическом состоянии, адиабатически расширяется в вакуум, в ре¬
зультате чего его температура падает до Т = (3/4)Ткр. Определить,
во сколько раз изменилось давление газа. Считать что теплоемкость
Cv данного газа такая же, как у идеального.
6.81. Температура моля одноатомного газа Ван-дер-Ваальса при
адиабатическом расширении в вакуум из объема V0 = ЗНКр меняется
от значения Г0 = 2,2Гкр до Т — 2Ткр. Определить изменение энтро¬
пии газа. Считать, что теплоемкость Су данного газа такая же, как
у идеального.
6.82. Одноатомный газ Ван-дер-Ваальса сжимают в политропи-
ческом процессе (С — const), уменьшая его объем от V0 = 3VKp до
V\ = 2VKp, а затем адиабатически расширяют в вакуум до исходного
объема. Начальная температура газа Т0 = 1,5Ткр, конечная — Т2 =
= (91/40)Гкр. Определить молярную теплоемкость газа в политропи-
ческом процессе.
' 6.83. Газ Ван-дер-Ваальса (Су = const) адиабатически расширя¬
ют в вакуум, увеличивая его объем в 3 раза, а затем в политропиче-
ском процессе (С = const) сжимают до исходного объема. Рассчитать
молярную теплоемкость газа С в политропическом процессе, исполь¬
зуя следующие данные: начальная температура газа Т0 = 1,ЗТкр, объ¬
ем — Го = 3VkP, установившаяся температура газа после расширения
в вакуум — Тг = 1,2Ткр, после сжатия — Т2 = 3,9Ткр.
6.84. Газ Ван-дер-Ваальса (Су = const) адиабатически и квазиста¬
тически сжали, уменьшив его объем в 28/9 раза и увеличив температу¬
ру в 2,25 раза, а затем адиабатически расширили в вакуум до перво¬
начального объема. Найти, во сколько раз конечное значение темпе¬
ратуры газа отличается от начального, если известно, что его началь¬
ный объем V0 = (28/3)Икр, начальная температура Г0 = (95/84)Гкр.
270
6.85. Определить разность теплоемкостей Сг — Су в точке ин¬
версии для дифференциального эффекта Джоуля-Томсона произ¬
вольной термодинамической системы с объемом V при давлении Р.
6.86. Определить разность теплоемкостей СР — Су в точке ин¬
версии для дифференциального эффекта Джоуля-Томсона произ¬
вольной термодинамической системы с объемом V при температуре
Т. Изотермическая сжимаемость равна |3т-
6.87. Расширение азота (N2) в процессе Джоуля-Томсона про¬
изводится от описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса начального
состояния с температурой Т0 = ЗГкр (Гкр — критическая температу¬
ра газа) до сильно разреженного, в котором газ можно считать иде¬
альным. Найти начальный объем Vo и конечную температуру газа,
соответствующие его максимально возможному охлаждению. Теп¬
лоемкость Су не зависит от температуры. Критические параметры:
Ткр = 126 К, VKP = 114 см3/моль.
6.88. Расширение неона (Ne) в процессе Джоуля-Томсона про¬
изводится от описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса начального
состояния с температурой Т0 = Гинв/2 (Тинв — температура инверсии
интегрального эффекта) до сильно разреженного, в котором газ мож¬
но считать идеальным. Найти начальный объем V0 и конечную тем¬
пературу газа, соответствующие его максимально возможному охла¬
ждению. Теплоемкость Су не зависит от температуры. Параметры
уравнения Ван-дер-Ваальса: а — 0,02 н • м4/моль2, b = 17 см3/моль.
§ 7. Распределение Максвелла*)
7.1. Найти отношение числа молекул водорода пь скорости ко¬
торых лежат в пределах от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул га2,
имеющих скорости в пределах от 1500 до 1510 м/с, если температура
водорода 300 °С.
7.2. Исходя из распределения Максвелла, найти средний квад¬
рат ж-компоненты скорости молекул газа. Найти отсюда среднюю
кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы по¬
ступательного движения молекулы газа.
7.3. Найти наиболее вероятную vm, среднюю**) v и среднюю
квадратичную vKB скорости молекул хлора при температуре 227 °С.
*) В задачах этого раздела предполагается, что размеры отверстий и толщина
стенок сосудов малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа.
Кроме того, везде, кроме особо оговоренных случаев, распределение молекул по
скоростям следует считать максвелловским.
**) В данном сборнике приняты два равноценных обозначения среднего. На¬
пример, V2 = (v2).
Температурный коэффициент давления равен у =
271
7.4. При какой температуре средняя квадратичная скорость мо¬
лекул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при тем¬
пературе 100°С?
7.5. Показать, что если за единицу скорости молекул газа при¬
нять наиболее вероятную скорость, то число молекул, абсолютные
значения скоростей которых лежат между ии» + dv, не будет зави¬
сеть от температуры газа.
7.6. Как зависит от давления средняя скорость молекул идеально¬
го одноатомного газа при адиабатическом сжатии или расширении?
7.7. Написать выражение для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены между е и е + dz.
7.8. Найти наивероятнейшее значение кинетической энергии е
поступательного движения молекул газа, т. е. такое значение ет, при
котором в фиксированном интервале энергии dz в газе находится
максимальное число молекул.
7.9. При каком значении температуры число молекул, находящих¬
ся в пространстве скоростей в фиксированном интервале (н,н + dv),
максимально?
7.101 Вычислить скорость v1/2 теплового движения молекулы га¬
за, определяемую условием, что половина молекул движется со ско¬
ростью, меньшей, чем ух/2, а другая половина — со скоростью, боль¬
шей, чем V\/2-
7.11. Найти среднее значение обратной величины скорости моле¬
кулы в газе.
7.121 Найти среднее число молекул, компоненты скорости кото¬
рых, параллельные некоторой оси, лежат в интервале (г>ц, г>ц + Днц),
а абсолютные значения перпендикулярной составляющей скорости
заключены между h_l и v± + dv±.
7.13. Во сколько раз изменится число молекул идеального двух¬
атомного газа в малом интервале скоростей Ап с центром в наиболее
вероятной скорости vm (Ап <С нт) при адиабатическом увеличении
объема в два раза?
' 7.14. В диоде электроны, эмитируемые накаленным катодом, по¬
падают в задерживающее поле анода. До анода доходят лишь до¬
статочно быстрые электроны. Считая, что тепловые скорости эмити¬
руемых (вышедших из катода) электронов распределены по закону
Максвелла с температурой Т = 1150 К, определить долю электронов
а, преодолевающих задерживающий потенциал: l)V = 0,2 В; 2)V =
= 0,4 В. Катодом является тонкая прямолинейная нить, натянутая по
оси цилиндрического анода.
7.15. На рис. 419 изображено горизонтальное сечение прибора, ис¬
пользованного в известном опыте Штерна по определению скорости
молекул и атомов. Найти скорость атомов серебра, испаряющихся с
центральной нити прибора, если при п = 50 об/с на внешнем цилин¬
дре смещение следа молекулярного пучка при вращающемся приборе
272
по отношению к следу пучка в неподвижном приборе составило 6 =
= 4,8 мм. Сопоставить результаты расчета скорости атомов серебра
из приведенных данных с расчетом той же скорости при помощи
соотношения между средней квадратичной ско¬
ростью атомов и температурой газа. Темпера¬
тура нити в том опыте Штерна, для которого
приведены указанные выше данные, была рав¬
на 1607°С (1880 К), R = 10 см.
7.16. Электроны, движущиеся в тонком по¬
верхностном слое, могут рассматриваться как
«двумерный» идеальный газ. Вычислить для
этого газа величину ос — отношение наиверо¬
ятнейшей и среднеквадратичной скоростей.
7.17. Стационарный точечный источник, на¬
ходящийся в вакууме, непрерывно и изотропно
испускает частицы массой т, скорости которых
имеют максвелловское распределение, соответствующее температу¬
ре источника Т. Считая, что, разлетаясь, частицы не сталкиваются,
найти их концентрацию на расстоянии г от источника. Источник
испускает м частиц в секунду.
7.18. В центре сферы радиусом R в некоторый момент време¬
ни создается N молекул газа, скорости которых имеют максвеллов¬
ское распределение, соответствующее температуре Т. Затем моле¬
кулы разлетаются без столкновений и оседают на стенках сферы.
Найти плотность j потока молекул вблизи поверхности сферы как
функцию времени. Определить момент времени to, когда поток мак¬
симален, и найти скорость молекул vQ, подлетающих к стенке в этот
момент.
7.191 Выразить число молекул z, ударяющихся о квадратный сан¬
тиметр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость дви¬
жения газовых молекул, если функция распределения молекул по
скоростям изотропна (т. е. зависит только от абсолютного значения
скорости молекулы, но не от ее направления). Рассмотреть частный
случай максвелловского распределения.
7.20. Электроны, движущиеся в тонком поверхностном слое по¬
лупроводника, могут рассматриваться как «двумерный» идеальный
газ. Вычислить частоту z ударов электронов, приходящихся на еди¬
ницу длины периметра границы области, в которой заключен этот
«газ». Считать при этом заданными температуру Т, поверхностную
концентрацию частиц га и массу электрона гаг.
7.21. Записать выражение для давления dP, производимого на
стенку сосуда молекулами идеального газа, скорости которых по аб¬
солютной величине заключены между v и v + dv. Найти значение
скорости Vo, при котором давление dP максимально, если ширина
интервала dv постоянна. Число молекул газа в единице объема рав¬
но га, температура газа — Т.
273
7.22. Записать выражение для среднего числа молекул идеаль¬
ного газа dN, ударяющихся ежесекундно о квадратный сантиметр
стенки сосуда, скорости которых по абсолютной величине заклю¬
чены между v и v + dv. Найти значение скорости v0, при котором
величина dN максимальна, если ширина интервала dv постоянна.
Число молекул газа в единице объема равно га, температура газа Т.
7.23. Найти полную кинетическую энергию Е молекул одноатом¬
ного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу
времени. Задачу решить сначала в общем виде для изотропной функ¬
ции распределения, а затем применить результат к частному случаю
максвелловского распределения.
7.24. В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при тем¬
пературе Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое моле¬
кулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение е кинетиче¬
ской энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время
опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде прене¬
брежимо малы.
7.25: В тонкостенном сосуде объемом V, стенки которого поддер¬
живаются при постоянной температуре, находится идеальный газ.
Сосуд помещен в вакуум. Как будет меняться с течением времени
концентрация молекул га газа внутри сосуда, если в его стенке сде¬
лать очень малое отверстие площадью S? Определить время Р/2, по
истечении которого давление газа внутри сосуда уменьшится в два
раза. Считать, что истечение газа происходит настолько медленно,
что оно практически не нарушает равновесность состояния во всем
сосуде, за исключением малой области вблизи отверстия. Температу¬
ру газа в сосуде считать постоянной и равной внешней температуре.
7.26. Откачанный тонкостенный сосуд, стенки которого поддер¬
живаются при постоянной температуре, погружен в атмосферу иде¬
ального газа, поддерживаемого при той же температуре, с постоян¬
ной концентрацией молекул га0. Как будет меняться с течением вре¬
мени концентрация молекул газа внутри сосуда, если в его стенке
сделать очень малое отверстие?
7.27. Через какое время давление воздуха в тонкостенном отка¬
чанном сосуде, в стенке которого имеется отверстие площадью S =
= 10“6 см2, возрастает от Р1 = 1СР4 мм рт. ст. до Р2 = 10-2 мм рт. ст.,
если давление наружного воздуха Р0 = 760 мм рт. ст., а температура
20°С? Объем сосуда V = 1 л. Через какое время давление в сосуде
станет равным половине атмосферного давления?
7.28: Сосуд разделен перегородкой на две равные части объе¬
мом V каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород
при одинаковых давлениях Р и температурах Т. Газы в сосуде сильно
разрежены (средняя длина свободного пробега Л велика по сравне¬
нию с размерами сосуда). В момент t = 0 в перегородке открывается
очень маленькое (Л y/S) отверстие площадью S. Найти давление
274
в обеих частях сосуда в зависимости от времени. Температуру газа
во все время процесса считать неизменной. Результат выразить через
средние скорости молекул азота и кислорода va и vK.
7.29? Полностью откачанный герметический сосуд помещен в ат¬
мосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные массы ко¬
торых относятся как 1:4, а отношение концентраций (т. е. числа
молекул в единице объема) равно ос. Смесь газов вне сосуда поддер¬
живается при постоянном давлении и температуре. В стенке сосуда
оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень мед¬
ленно натекать в сосуд. Определить максимальное и минимальное
значения отношений концентраций легкой и тяжелой компонент га¬
зовой смеси в моменты времени, когда достигаются эти значения,
7.30. Полностью откачанный тонкостенный герметический сосуд
помещен в атмосферу кислорода, поддерживаемого при постоянной
температуре и невысоком давлении Р. В стенке сосуда оказалось
малое отверстие, через которое окружающий кислород стал натекать
в сосуд. Через час давление газа в сосуде повысилось от нуля до
Р/2. Какое давление было бы в том же сосуде через то же время,
если бы после откачки сосуд был помещен в атмосферу водорода при
тех же значениях давления и температуры?
7.31? Тонкостенный сосуд объемом V, наполненный идеальным
газом, поддерживается при постоянной температуре Т. В стенке со¬
суда имеется маленькое отверстие площадью S, через которое мо¬
лекулы газа вылетают в вакуум. Какое количество тепла Q = Q(t)
надо подводить к сосуду в единицу времени для поддержания в нем
постоянной температуры?
7.32? В тонкостенном сосуде, помещенном в вакуум, имеется
очень малое отверстие, на которое извне направляется параллельный
пучок одноатомных молекул, летящих с одной и той же скоростью
v0, перпендикулярной к плоскости отверстия. Концентрация молекул
в пучке равна п0. Найти среднюю скорость v, концентрацию моле¬
кул п и температуру Т газа в сосуде в установившемся равновесном
состоянии.
7.33. Через малое отверстие в тонкостенном сосуде при темпера¬
туре Т вылетают в вакуум молекулы. При каком значении скорости
v0 число молекул, вылетающих через отверстие в единицу времени
в узком интервале скоростей (v,v + dv), максимально, если ширина
интервала постоянна? Как эта скорость связана со средней квадра¬
тичной скоростью молекулы внутри сосуда? Предполагается, что за
время опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде
пренебрежимо малы.
7.34. Через малое отверстие в тонкостенном сосуде при темпера¬
туре Т вылетают в вакуум молекулы. При каком значении скорости
vu полная кинетическая энергия молекул, вылетающих через отвер¬
стие в единицу времени в узком интервале скоростей (v,v + dv),
максимальна, если ширина интервала dv постоянна? Как эта ско¬
275
рость связана со средней квадратичной скоростью молекулы внутри
сосуда? Предполагается, что за время опыта изменения температуры
газа и числа молекул в сосуде пренебрежимо малы.
7.35. В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при дав¬
лении Р, имеется маленькое круглое отверстие радиусом г, через ко¬
торое молекулы газа вылетают в вакуум. На расстоянии L от отвер¬
стия находится круглый диск радиусом R (R~^> г), так что плоскость
диска параллельна плоскости отверстия и центры диска и отверстия
лежат на прямой, перпендикулярной плоскости отверстия. Опреде¬
лить силу F, действующую на диск. Считать, что все частицы при¬
липают к диску. со
Указан
ие /
х2пе
-УХ* fa = 1'3 ■ 5... (2п - 1) Гп
2П+1уП
О
7.36. Какая доля частиц из пучка атомов гелия, вылетающих
через малое отверстие в стенке сосуда, имеет абсолютное значение
скорости, превышающее вторую космическую скорость? Газ в сосуде
можно считать идеальным и находящимся в
состоянии термодинамического равновесия при
температуре 300 К.
7.37. Перед малым отверстием в вакуум¬
ной камере вращается диск с узкой прорезью
(рис. 420). В момент, когда прорезь находится
против отверстия, внутри камеры на расстоянии
R от диска создается N молекул газа, скоро¬
сти которых имеют максвелловское распределе¬
ние, соответствующее температуре Т. Затем мо¬
лекулы разлетаются без столкновений и оседают
и на диске. При какой скорости вращения диска
си количество молекул, пролетевших через прорезь при следующем
ее совмещении с отверстием, будет максимальным? Найти также ско¬
рость молекул, пролетающих при этом через прорезь.
7.38. Кроме ракет со сравнительно широким соплом, обеспечива¬
ющим адиабатичность истечения, в принципе возможна ракета дру¬
гого типа, в которой газ вытекает сквозь множество отверстий, раз¬
мер которых мал по сравнению с длиной свободного пробега. Срав¬
нить силы тяги ракет обоих типов при движении их в вакууме, если в
качестве рабочего вещества используется многоатомный идеальный
газ. Начальная температура газа и расход топлива в обоих случаях
одинаковы.
7.39. Откачанный тонкостенный теплоизолированный сосуд поме¬
щен в атмосферу, состоящую из смеси кислорода и гелия с температу¬
рой Т0, причем парциальные давления гелия и кислорода одинаковы.
Эти газы натекают в сосуд через малое отверстие. Найти температу¬
ру смеси в сосуде, пока давление в нем мало по сравнению с наруж¬
ным. Считать, что тепловое равновесие успевает устанавливаться.
на стенках камеры
276
7.40. Неон вытекает в вакуум из теплоизолированного сосуда че¬
рез маленькое отверстие. Определить его температуру, когда в сосу¬
де останется половина атомов. Начальные условия газа нормальные.
Теплоемкостью сосуда пренебречь.
7.41. В теплоизолированном сосуде находится воздух при началь¬
ной температуре Т0 и давлении Р0. В сосуде имеется маленькое от¬
верстие, через которое воздух медленно выходит в вакуум. Опреде¬
лить, как будет изменяться температура остав¬
шегося в сосуде газа в зависимости от его дав¬
ления.
7.42. Теплоизолированная полость разделяет
два сосуда с одним и тем же газом. Температура
газа в одном из сосудов Т( = 200 К, в другом —
Т2 = 800 К. Давление в обоих сосудах одинаково
и равно Р = 1 атм. Полость сообщается с сосудами посредством ма¬
лых отверстий (рис. 421). Оба отверстия одинаковы. Найти давление
и температуру, установившиеся внутри полости.
7.43. Цил индрический сосуд, стоящий вертикально (рис. 422),
отделен от атмосферы поршнем с массой М — 1 кг и площадью S —
= 10 см2 с очень мелкими порами; общая площадь сечения пор а =
= 0,01 см2. В сосуде находится воздух, температура которого 7) под¬
держивается равной 400 К. На сколько изменится вы¬
сота поршня за 10 с, если температура окружающего
воздуха Т0 = 300 К? Воздух считать идеальным газом.
Трением поршня о стенки пренебречь. Процесс считать
Квазистатическим.
7.44. Одноатомный идеальный газ находится в со¬
суде объемом V с теплоизолированными стенками. В
стенке сосуда имеется маленькое отверстие площадью
&, через которое молекулы газа вылетают в вакуум.
Предполагая, что размеры отверстия настолько малы,
что состояние газа в сосуде в любой момент времени можно рассмат¬
ривать как равновесное, определить закон изменения температуры
Газа в сосуде во времени. Начальную температуру газа Т0 и все необ¬
ходимые параметры газа считать известными. Теплоемкостью стенок
сосуда пренебречь. Как качественно изменится результат, если сосуд
может свободно перемещаться?
7.45. В замкнутом сосуде находится разреженный идеальный газ
под давлением Р. В стенке сосуда сделано малое отверстие площа¬
дью ст. Определить реактивную силу F, испытываемую сосудом при
Истечении газа через отверстие.
7.46. Измерение спектра скоростей медленных нейтронов осу¬
ществляется при помощи монохроматора и расположенного за ним
детектора. Монохроматор формирует одинаковые по длительности
Импульсы нейтронов со скоростями в интервале (v,v + Дг>), при¬
чем ширина его Дг> постоянна (До -С и). Нейтроны регистрируются
Рис. 422
Р
7]
П2
■ ■ ■■
р
Z/ZZzzz7'ZZZZZZZ//ZZZZZZZ,
Рис. 421
277
детектором с использованием реакции, сечение которой а ос 1/v. По¬
лагая распределение скоростей нейтронов внутри источника максвел¬
ловским со среднеквадратичной скоростью икв = 3 км/с, найти вели¬
чину v, при которой регистрируется максимальное число нейтронов.
7.47. Изотопы урана 233 U и 235 U разделяют, помещая газооб¬
разный фторид урана в центрифугу. На оси центрифуги концен¬
трация обоих газов поддерживается постоянной с помощью внеш¬
него источника. Максимальная скорость на периферии центрифуги
v = 500 м/с. Во сколько раз изменится отношение концентраций изо¬
топов урана, если опыт проводить не при температуре Т) = 300 К, а
при Т2 = 600 К?
7.48. Отношение молярных масс различных газов можно измерять
по скорости их эффузии, т. е. по скорости истечения из сосуда с очень
малым отверстием. Доказать, что время, в течение которого из сосуда
вытекает определенный объем газа,
пропорционально квадратному корню
из молярной массы газа.
7.49. В сосуд с пористой перего¬
родкой непрерывно поступает газовая
смесь, содержащая равные молярные
концентрации Н2 и D2 (рис. 423). Считая, что свободный пробег в
порах больше их поперечных размеров, определить установившееся
в сосуде отношение концентраций Пц/п-н-
7.50. Определить, какая часть молекул идеального газа, столк¬
нувшихся со стенкой сосуда за определенное время (например, за
одну секунду), имеет кинетическую энергию, превосходящую е.
7.51! Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при тем¬
пературе Т = 2000 К, уменьшается в массе, как показали измерения,
со скоростью q = 1,14 • 10-13 г/(с • см2). Вычислить давление насы¬
щенного пара вольфрама при этой температуре.
7.52. Какова бы была мгновенная скорость испарения воды с каж¬
дого квадратного сантиметра ее поверхности, если бы над этой по¬
верхностью был вакуум, а температура воды в тот момент равнялась
300 К? Табличное значение давления насыщенного водяного пара при
этой температуре Р = 27 мм рт. ст. Сравнить полученную величину
с величиной скорости испарения воды при обычных условиях (т. е.
когда над поверхностью воды находится воздух при нормальном дав¬
лении) и объяснить получившееся расхождение.
7.53. В сферическом реакторе радиусом г = 1 м идет химическая
реакция между газом, заполняющим реактор, и материалом стенок
реактора. Продуктом реакции является порошок, непрерывно уда¬
ляемый из реактора. В реакцию могут вступить только молекулы
газа, имеющие кинетическую энергию Е > Еп = 1 эВ, при этом ве¬
роятность реакции при ударе молекулы о стенку w — 10~3. С какой
скоростью dM/dt надо подавать газ в реактор, чтобы поддерживать
в нем постоянное давление Р0 = 10 атм? Молярная масса газа р. =
278
= 40 г/моль. Считать, что вблизи стенок реактора распределение мо¬
лекул по скоростям максвелловское при температуре Т = 1160 К.
7.54. Найти изменение энтропии 64 г кислорода, если в результа¬
те некоторого процесса число ударов молекул об 1 см2 стенки сосуда
за 1 с увеличилось в 4 раза, а полная кинетическая энергия этих
молекул при этом выросла в 16 раз.
7.55. Как изменится число ударов -v молекул газа об 1 см2 стенки
сосуда за 1 с, если объем газа адиабатически увеличится в два раза?
Газ идеальный двухатомный.
7.56. Как изменится частота ударов о стенку молекул углекислого
газа, если его объем увеличить в 10 раз по политропе с теплоемко¬
стью, равной 8,31 ДжДмоль • К)?
7.57. Азот расширили по некоторому политропическому процессу.
При этом оказалось, что частота ударов молекул о стенку осталась
постоянной. Какова теплоемкость при этом процессе?
7.58. Во сколько раз изменится полная кинетическая энергия мо¬
лекул двухатомного газа, ударяющихся об 1 см2 стенки сосуда за 1
с, если объем газа адиабатически увеличится в два раза?
7.59. Найти изменение энтропии моля одноатомного идеального
газа при расширении до удвоенного объема. Число молекул, ударяю¬
щихся об 1 см2 стенки сосуда, при расширении остается неизменным.
7.60. Найти изменение энтропии моля идеального газа при уве¬
личении давления в два раза, если при этом кинетическая энергия
молекул газа, ударяющихся об 1 см2 стенки сосуда, также увеличи¬
вается в два раза.
7.61. В сосуде объемом V находится N молекул при температу¬
ре Т. При соударении со стенкой сосуда каждая молекула может
прилипнуть к стенке с вероятностью |3 = const -С 1, если энергия
молекулы меньше Е0. Молекулы с энергией, большей Е0, не при¬
липают к стенкам вообще. Определить количество молекул газа п,
осаждающихся на стенках сосуда в единицу времени, если площадь
Этих стенок равна S.
7.62. Частицы с одинаковыми массами m с равной вероятностью
имеют любую скорость vx в интервале (—vQ,v0). Равновероятны ли
их энергии? Написать законы распределения: по скоростям dw1(vx)
и по энергиям dw2{S). Найти (vx), (|u,.|), (n2).
7.63. Найти зависимость числа метеоритов, падающих на Землю
за единицу времени, от их начальной скорости v0. Средняя концен¬
трация метеоритов в космическом пространстве п. Считать, что ско¬
рости метеоритов находятся в интервале (i;min,t;max), а их функция
распределения по скоростям f(v) = ~ ~j- постоянна. Масса Земли М,
ее радиус R.
7.64. В реакторах, работающих на тепловых нейтронах, имеются
очень медленные (ультрахолодные) нейтроны. Особенностью ультра¬
279
холодных нейтронов является то, что при скорости v < гуран (обычно
граничная скорость цгран ~ 10 м/с) нейтроны упруго отражаются от
стенок при любых углах падения. Для вывода ультрахолодных ней¬
тронов из реактора используют полые трубы — нейтроноводы. На
рис. 424 изображен реактор R, нейтроновод специ¬
альной формы и на его конце — детектор нейтро¬
нов D. Полагая, что спектр нейтронов по скоро¬
стям в реакторе максвелловский, найти, как зави¬
сит поток нейтронов Ф, доходящих до детектора,
от высоты его поднятия h. Оценить высоту Н, на
которой поток исчезает.
7.65. Проникновение нейтронов из вакуума
в большинство веществ связано с преодолением
определенного энергетического барьера. Поэтому в замкнутой поло¬
сти достаточно медленные (тепловые) нейтроны оказываются «запер¬
тыми» и могут накапливаться. Оценить, какая доля частиц а из пуч¬
ка тепловых нейтронов, распределение по скоростям которых макс¬
велловское, окажется запертой в медной камере. Предельный угол
скольжения (р при полном внутреннем отражении для нейтронов,
движущихся со средней тепловой скоростью, составляет 10 угловых
минут. Соударения нейтронов со стенками могут рассматриваться
как упругие.
7.66. В вакуумированном сосуде объемом V = 1 л находятся уль¬
трахолодные нейтроны, отражающиеся от стенок сосуда с коэффи¬
циентом отражения, практически равным единице. В сосуде имеется
отверстие площадью S, заклеенное фольгой, полностью прозрачной
для ультрахолодных нейтронов. Какова площадь отверстия S, ес¬
ли известно, что наблюдаемое время сохранения нейтронов в сосуде
лишь в два раза меньше среднего времени жизни свободных нейтро¬
нов т = 103 с? Считать, что скорость всех ультрахолодных нейтронов
одинакова и равна v = 5 м/с.
7.67. В тонкостенном сосуде, содержащем одноатомнный идеаль¬
ный газ при температуре Т, имеется небольшое круглое отверстие,
через которое атомы газа вылетают в вакуум. Размеры отверстия
малы по сравнению с длиной свободного пробега. Атомы газа име¬
ют массу т, ив каждый момент времени их скорость описывается
максвелловским распеределением. 1) Определить наивероятнейшее
значение скорости атомов, покидающих сосуд. 2) Определить сред¬
нюю по модулю скорость атомов в пучке, вылетающих из отверстия.
СО
Г 2п / 2\j 1 (2га — 1)!! ГИ
J ’ 2а" 2п V а
о
7.68. В сосуде находится смесь газов (по 1 молю каждого) при
температуре Т = 1000 К. Для каждого газа определяется число мо¬
лекул, имеющих скорости от 999 до 1001 м/с. Какова молярная масса
Рис. 424
280
газа, для которого получится наибольшее число таких молекул? Чему
равно это число?
7.69. В сосуде находятся по 1 молю гелия (р,! = 4 г/моль) и азота
(р2 = 28 г/моль). При какой температуре число молекул со скоростя¬
ми от 999 до 1001 м/с одинаково для обоих газов? Чему равно это
число?
7.70. Определить, во сколько раз изменится доля молекул водоро¬
да, которые имеют скорость, отличающуюся от наиболее вероятной
скорости не более, чем на ±3 м/с, при уменьшении температуры газа
от 600 К до 400 К? Газ считать идеальным.
7.71. После обработки результатов измерения распределения ато¬
мов по абсолютным значениям скорости в парах 108 Ag выяснилось,
что в интервалах скоростей vx = 303 ± 1 м/с и v2 = 606 ± 1 м/с име¬
лось одинаковое количество атомов. Определить температуру па¬
ров 108 Ag.
7.72. Электроны, движущиеся в тонком поверхностном слое, мо¬
гут рассматриваться как двумерный идеальный газ. Определить, ка¬
кая максимальная доля таких электронов может сохранить свои ско¬
рости при увеличении температуры п = 1,5 раза.
7.73. Электроны, движущиеся в тонком поверхностном слое, мо¬
гут рассматриваться как двумерный идеальный газ. Определить, ка¬
кая минимальная доля таких электронов должна изменить свои ско¬
рости при увеличении температуры в п = 2,5 раза.
7.74. В сосуде находится одноатомный идеальный газ. Среди со¬
ударяющихся со стенкой сосуда частиц определить долю а тех из
них, энергия которых более, чем в 2 раза, превышает среднюю теп¬
ловую энергию частиц.
7.75. В сосуде находится одноатомный идеальный газ. Среди со¬
ударяющихся со стенкой сосуда частиц определить долю |3 частиц с
энергией, превышающей среднюю энергию, с которой частицы выле¬
тали бы через малое отверстие в стенке.
7.76. В тонкостенном сосуде с идеальным газом на очень корот¬
кое время открывается маленькое отверстие, через которое молеку¬
лы вылетают в вакуум и, пролетев достаточно большое расстояние,
попадают в небольшой детектор. Максимальный поток частиц на¬
блюдается на детекторе через время t0 после открытия отверстия.
Определить, во сколько раз потоки, наблюдаемые через времена t0/2
и 2t0, отличаются от максимального потока. Распределение молекул
в сосуде по скоростям максвелловское.
7.77. В тонкостенном сосуде с идеальным газом на очень корот¬
кое время открывается маленькое отверстие, через которое молекулы
вылетают в вакуум и. пройдя достаточно длинный путь, попадают в
небольшой детектор. Время, через которое на детекторе регистриру¬
ется наибольший поток молекул, определяет некоторую эффектив¬
ную скорость v0, с которой распространяется сгусток вылетевшего в
281
вакуум газа. Определить отношение скорости v0 к наивероятнейшей
скорости молекул в сосуде, где распределение скоростей является
максвелловским.
7.78. Если кинетическая энергия молекул е ^ еп = 0,84 эВ, то при
их столкновении с твердой поверхностью на ней происходят хими¬
ческие реакции. Оценить, во сколько раз изменится число молекул,
прореагировавших в единицу времени, при увеличении температуры
газа от Т0 = 300 К до Т) = 320 К. Концентрация молекул постоянна,
распределение молекул по скоростям максвелловское.
7.79. В сосуде при температуре 300 К находятся равные количе¬
ства двух газов с одинаковыми молярными массами. Если кинетиче¬
ская энергия молекул превышает порог (е ^ еп), то при их столкнове¬
нии с твердой поверхностью на ней происходят химические реакции.
Оценить, во сколько раз отличаются числа реакций в единицу вре¬
мени для молекул 1-го и 2-го газов, если пороговые энергии реакций
для них равны еп1 = 0,63 эВ и еП2 = 0,84 эВ. Распределе¬
ние молекул по скоростям максвелловское.
■' 7.80. Тонкая пористая круглая пластинка радиусом
/ • R = 1 см облучается с одной стороны направленным по-
2Л током атомов гелия, летящих под углом 0 = 45° к ее
поверхности (рис. 425). Концентрация молекул в потоке
^ - I п0 = 1012 см3, скорость v0 = 1000 м/с. Противоположная
/Я ' I сторона пластинки закрыта плотной перегородкой. При
попадании на пластинку треть атомов, ос — 1/3, отража-
Рис.425 ется от ее поверхности зеркально. Остальные проникают
внутрь и, после некоторого блуждания по порам пластин¬
ки, вылетают наружу с той же стороны в случайном направлении,
имея максвелловское распределение по скоростям, соответствующее
температуре пластинки Т = 300 К. Какую мощность следует подво¬
дить к пластинке для поддержания ее температуры постоянной? Из¬
лучение пластинки не учитывать.
7.81. В откачанном до высокого вакуума сосуде проделано круг¬
лое отверстие радиусом R = 1 мм, малое по сравнению с размерами
сосуда. На него снаружи под углом 0 = 7г/6 к поверхности падает на¬
правленный поток атомов гелия, летящих со скоростью v0 = 600 м/с.
Концентрация частиц в потоке п0 = 1013 см~3. Стенки сосуда под¬
держиваются при постоянной температуре Т — 300 К. Найти устано¬
вившуюся концентрацию частиц в сосуде и мощность, которую надо
подводить к сосуду для поддержания его температуры постоянной.
Излучение не учитывать.
7.82. В демонстрационном опыте тонкостенную пористую колбу
объемом И = 100 см3, заполненную азотом N2, помещают в сосуд
значительно большего объема с гелием Не, находящимся при том же
давлении. Суммарная площадь поперечного сечения пор стенок кол¬
бы S = 0,01 см2, поперечные размеры пор меньше длины свободного
282
пробега молекул. Считая процесс изотермическим при Т = 300 К,
найти, в какой момент времени давление в колбе будет максималь¬
ным.
7.83. Тонкостенный бак объемом V — 100 дм'1, наполненный во¬
дородом Н2, находится на планете, атмосфера которой состоит из уг¬
лекислого газа С02. В баке возникла щель площадью S = 10~4 см2,
причем ширина щели оказалась меньше длины свободного пробе¬
га молекул. Считая процесс изотермическим при Т = 280 К, найти,
через какое время после образования щели давление в баке будет
минимальным. Начальное давление водорода равно атмосферному.
§ 8. Распределение Больцмана.
Теория теплоемкостей
8.1. Вычислить массу земной атмосферы.
8.2. Найти отношение массы атмосферы m к массе планеты М.
Гравитационное ускорение на поверхности планеты равно g, атмо¬
сферное давление Р0. Вычислить это отношение для Земли.
8.3. Галактику можно представить как тонкий однородный диск
(цилиндрический слой). Радиус диска R = 1021 см, масса М = г.
Диск окружен водородной атмосферой, давление которой у поверх¬
ности диска вблизи его оси Р0 = 10“16 дин/см2. Оценить массу ат-
уМ
где тр — масса протона и Т()
мосферы татм, если Д <С 1гп ,
kla/гпр
температура в точке, где определено давление Р0.
8.4? Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на
нити в поле тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа
внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают, и сосуд свобод¬
но падает. Предполагая, что во время падения успевает установиться
термодинамическое равновесие, определить равновесную температу¬
ру газа, которая в нем установится при падении.
8.5. Пользуясь формулой Больцмана, найти среднюю потенциаль¬
ную энергию ёпот молекулы газа в земной атмосфере, считая послед¬
нюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести однород¬
ным. Вычислить теплоемкость газа С при этих условиях.
8.6. Теплоизолированный герметический цилиндрический сосуд
высотой Н, наполненный газом, подвешен в вертикальном положе¬
нии в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде
одинакова и равна Т. Найти среднюю потенциальную энергию моле¬
кулы газа ёпот.
8.7. В цилиндре предыдущей задачи помещен моль идеального
газа с молярной массой ц. Найти теплоемкость этого газа, учитывая
влияние поля тяжести и предполагая, что \xgH <С ВТ.
8.8. Смесь двух идеальных газов, состоящая из АТ и N2 частиц с
массами mi и ш2 соответственно, заключена в цилиндрический со¬
283
Рис. 426
суд высотой h, находящийся в поле тяжести. Определить положение
центра масс этой смеси zr, если температура смеси равна Т.
8.9. Вычислить, где больше содержится воздуха: в слое у поверх¬
ности Земли толщиной 10 см или в слое толщиной 1 км на высоте
100 км. Считать атмосферу изотермической при Т = 300 К. Измене¬
нием ускорения свободного падения с высотой пренебречь.
8.10. Вблизи поверхности Земли концентрация аргона 40Аг со¬
ставляет 0,9%. Оценить, какой была бы концентрация аргона на вы¬
соте, где давление воздуха падает в 10 раз, если бы атмосфера была
равновесной и изотермической.
8.11. Атмосфера планеты, на поверхности которой сила тяжести
равна земной, состоит только из гелия и азота (Nr/Na3 = 7, где N —
полное число соответствующих молекул в атмосфе¬
ре). Найти скорость звука у поверхности такой пла¬
неты. Атмосферу считать изотермической с темпера¬
турой Т = 200 К, изменением ускорения свободного
падения с высотой пренебречь.
8.12. В столбе воды при температуре 20 °С
взвешены шарообразные частицы смолы радиусом
2,1 • 10-5 см, плотность которых равна 1,19 г/см3.
Отношение концентраций частиц при разности вы¬
сот 1,1 • 10~2 см оказалось равным 100 : 12. Из этих данных найти
число Авогадро, если известна газовая постоянная R.
8.13. Для определения числа Авогадро Ж. Перрен измерял рас¬
пределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных
в воде. Он нашел, что отношение ос числа частиц в слоях, отсто¬
ящих друг от друга на расстояние I = 30 мкм, равно 2,08. Плот¬
ности частиц р = 1,194 г/см3, воды р0 = 1 г/см3. Радиусы частиц
г — 0,212 мкм. На основании этих данных вычислить число Авогад¬
ро N. Температура воды t = 18 °С.
8.14. Сферический сосуд радиусом R, наполненный идеальным
газом, расположен в области однородного поля тяжести с ускорени¬
ем свободного падения g (рис. 426). При какой температуре газа Т
наиболее вероятное положение молекулы газа бу¬
дет находиться вблизи горизонтальной плоскости
на расстоянии R/2 от центра сферы? Масса мо¬
лекулы газа т.
8.15. Конический сосуд высотой Н, наполнен¬
ный идеальным газом, расположен в области од¬
нородного поля тяжести с ускорением свободного
падения g (рис. 427). Ускорение g параллельно
оси конуса и направлено к его вершине. При ка¬
кой температуре Т наиболее вероятное положение молекулы газа
будет находиться вблизи горизонтальной плоскости на высоте Н/2?
Масса молекулы газа тп.
284
8.16. В нижней половине цилиндрического теплоизолированного
сосуда высотой Н, отгороженной от верхней половины перегород¬
кой, находится идеальный газ при температуре Т0. Найти темпе¬
ратуру газа Т после того, как перегородка убрана. Молярная мас¬
са газа равна ц, а его молярная теплоемкость Су. Считать, что
yigH/(RT0) « 1.
8.17. Два одинаковых вертикальных сосуда бесконечной высоты,
помещенных в однородное гравитационное поле, соединены у основа¬
ния трубкой с краном (рис. 428). В первом сосуде находится 1 моль
гелия при температуре 7\, во втором — 1 моль азота при температуре
Т-2- Кран открывается, и через достаточно
длительный промежуток времени в сосудах
устанавливается одинаковая температура Т.
Определить эту температуру, считая тепло¬
изоляцию сосудов идеальной.
8.18. Ракета, имеющая форму цилиндра
высотой L, в которой заключен газ с массой
молекул ш, движется с ускорением а в на¬
правлении оси цилиндра. Затем тяга двигателей выключается. Най¬
ти изменение положение центра тяжести газа в ракете. Различия в
плотности газа при ускоренном движении ракеты считать малыми.
8.19. Ракета с теплоизолированной кабиной, представляющей со¬
бой цилиндр высотой h, движется с ускорением а в направлении оси
цилиндра. Масса воздуха внутри кабины равна М. Как изменит¬
ся энтропия воздуха в кабине после выключения двигателя? Воздух
рассматривать как идеальный газ с молярной массой р.. Считать,
что раЬ/(ЯГ) 1, где Т — температура воздуха в кабине. Рас¬
смотреть два случая выключения двигателя: 1) мгновенно; 2) квази¬
статически.
8.20. Вычислить значение компоненты скорости молекулы, па¬
раллельной поверхности Земли, цц такое, что в среднем у одной
молекулы из всей земной атмосферы наблюдалась бы указанная ком¬
понента скорости, превышающая цц. При расчетах принять модель
изотермической атмосферы, находящейся в однородном поле тяжести
с Т = 300 К, р = 29 г/моль. Распределение молекул по скоростям —
максвелловское.
8.21. Сосуд разделен перегородкой на две половины. В первой
половине находится двухатомный идеальный газ. Вторая откачана.
В некоторый момент времени в перегородке открывается небольшое
отверстие, и газ начинает вытекать из первой половины во вторую.
Вскоре отверстие закрывается. Найти температуру газа во второй по¬
ловине сосуда после закрытия отверстия. Рассчитать массу газа во
второй половине сосуда. Начальная температура газа равна Т0, дав¬
ление Р0, площадь отверстия S, время натекания At, молярная масса
газа (х. Стенки сосуда и перегородку считать теплонепроницаемыми,
их теплоемкостью можно пренебречь.
п
т2
Ne
N2
Рис. 428
285
8.22. Закрытый сосуд разделен на две равные части вертикаль¬
ной перегородкой, в верхней части которой имеется очень маленькое
отверстие площадью а. Одна часть наполнена водой до уровня отвер¬
стия, уровень воды в другой части находится на расстоянии Н ниже
отверстия. Система поддерживается при постоянной температуре Т.
Предполагая площадь отверстия <т настолько малой, что в каждой
из частей вода практически находится в равновесии с паром, опреде¬
лить время, в течение которого разность уровней воды уменьшится
в два раза. Пар приближенно считать идеальным газом; давление
насыщенных паров при температуре Т равно Р0; площадь основания
каждой из частей сосуда равна S.
8.23. Цилиндр радиусом R и длиной Н, наполненный химически
однородным газом, равномерно вращается в однородном поле тяже¬
сти вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью си. Найти
распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра, если
его ось направлена вертикально.
8.24. Для определения относительных молекулярных масс колло¬
идальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле
центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти
относительную молекулярную массу р. коллоидальных частиц, если
известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных
от оси центрифуги на расстояниях гд и п, равно ос. Плотности частиц
р, растворителя — р0. Угловая скорость вращения центрифуги си.
8.25. Найти, на сколько возрастает теплоемкость вращающего¬
ся газа по сравнению с теплоемкостью неподвижного газа. Аргон
с молярной массой р = 40г/моль заполняет цилиндр радиуса а-
= 2,5 см и вращается вокруг оси цилиндра с угловой скоростью со =
= 2 • 103 с-1 при температуре Т = 300 К. Измерения производятся во
вращающейся вместе с газом системе отсчета.
8.26. Цилиндрический сосуд радиуса г0, заполненный газом с
температурой Т0, вращается в невесомости с угловой скоростью си
вокруг своей оси, и при этом плотность газа около оси вращения
равна р0. Цилиндр затормаживают. Определить установившееся зна¬
чение плотности газа рх. Различия в плотности газа в разных частях
сосуда при его вращении считать малыми. Измерения производятся
во вращающейся вместе с газом системе отсчета.
8.27. Внутри равномерно вращающейся центрифуги с радиусом
20 см находится газообразный кислород. Найти относительную раз¬
ность плотностей газа у стенки и на оси, если центрифуга совершает
40 об/мин, а температура равна 300 К.
8.28. Измеряется распределение концентрации молекул белка в
растворе, помещенном в центрифугу. На некотором расстоянии от
оси центрифуги напряженность центробежных сил составляет G -■
= 100g, а относительный градиент концентрации в этом месте ока¬
зывается равным ос = = 10 см А Плотность белка р = 1,1 г/см3,
п dr '
286
1
ро
" 1/2 *
/
Рис. 429
растворителя — р0 = 0,9 г/см3, температура /. = 20°С. Найти моляр¬
ную массу белка ц.
8.29. Заполненная азотом, запаянная с обоих концов, горизон¬
тально расположенная трубка вращается с постоянной угловой скоро¬
стью си вокруг вертикальной оси. Ось вращения пересекает ось труб¬
ки на расстоянии 10 см и 90 см от ее концов.
Вычислить величину си, при которой давление
азота в противоположных концах трубки отно¬
сится как 2,72 : 1. Температура азота Т = 300 К.
8.30. Цилиндр длиной / и с площадью ос¬
нования S разделен на две части подвижным
тонким поршнем так, что слева от поршня газа
нет, а справа находится идеальный газ с моляр¬
ной массой ц. Цилиндр равномерно вращается
с угловой скоростью си вокруг вертикальной оси, проходящей через
левое основание, и поршень при этом находится на расстоянии 1/2
от оси (рис. 429). Найти распределение давления справа от порш¬
ня. Масса поршня М, трением поршня о стенки можно пренебречь,
температура газа Т.
8.31. Цилиндр с длиной I и площадью основания S разделен на
две части подвижным поршнем так, что слева находится идеальный
газ с молярной массой ц, а справа газа нет
(рис. 430). Цилиндр равномерно вращается с
угловой скоростью си вокруг вертикальной оси,
проходящей через левое основание, и поршень
при этом находится на расстоянии 3Z/4 от оси.
Найти распределение давления слева от порш¬
ня, если в состоянии покоя давление газа равня¬
лось Р0 и поршень занимал положение на рас¬
стоянии 1/2 от оси, пружина в недеформированном состоянии имела
длину I. Масса поршня М, трением поршня о стенки можно прене¬
бречь, температура газа Т.
8.32. В теплоизолированном цилиндрическом сосуде радиусом а
при температуре Т0 находится 1 моль идеального газа. Сосуд рав¬
номерно вращается с угловой скоростью ш. Затем оболочка сосу¬
да быстро затормаживается. Пренебрегая теплоемкостью оболочки,
найти изменение энтропии AS газа и его температуры АТ после
установления равновесия. Для упрощения расчетов принять, что ли¬
нейная скорость v оболочки много меньше скорости звука в газе
(V <С цзв), а значит, допустимо пренебречь неравномерностью распре¬
деления плотности по радиусу. Молярную массу ц. и теплоемкость
Су газа считать известными.
8.33. Полый цилиндр с внутренним радиусом а — 1 м наполнен
водяным паром при температуре t = 20 °С и давлении Р0, близком
к давлению насыщенного пара Рп при данной температуре, так что
(Рн — Р0)/Р0 = АР/Р0 = 10_3. С какой угловой скоростью П надо
м
§ЗШ>Ц
Рис. 430
287
вращать цилиндр вокруг оси, чтобы в изотермических условиях на
его внутренней поверхности образовался жидкий водяной слой?
8.34. Как изменится энтропия одного моля идеального газа, на¬
ходящегося в термостатированном цилиндрическом сосуде радиусом
а, в результате медленного раскручивания сосуда вокруг своей оси
до угловой скорости си -С a~l yjRT/р., где ц. — молярная масса газа,
Т — его температура?
8.35. Найти момент инерции одного моля идеального газа, поме¬
щенного в цилиндрический сосуд радиусом R, который вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью си. Масса молекулы газа т,
температура газа Т. Вычислить момент инерции в пределе Т —» сю.
8.36. Два одинаковых цилиндрических сосуда расположены ря¬
дом вертикально в поле тяжести и заполнены одноатомными газами
с молярными массами соответственно |Xi и ц2; Цт > М-2- Давление
в верхней части обоих сосудов одинаково и равно Р0, температура
одинакова везде и равна Т. На глубине h (считая от крышки) между
сосудами открылась течь площадью 5, ее линейные размеры меньше
длины свободного пробега молекул. Определить на¬
правление и величину потока энергии q между сосу¬
дами в начальный момент, считая, что относительный
перепад давлений по высоте невелик.
8.37. В вертикальном цилиндрическом сосуде бес¬
конечной высоты с площадью основания S, помещен¬
ном в однородное гравитационное поле, находится 1
моль идеального газа. В момент времени t — 0 в бо¬
ковой стенке цилиндра на высоте h пробивают отвер¬
стие сечением а (рис. 431). Определить, как изменя¬
ется во времени давление газа около дна сосуда, считая температуру
газа Т постоянной, стенки сосуда тонкими, а давление вне сосуда
равным 0. Считать, что длина свободного пробега молекул много
больше размеров отверстия.
8.38. Пользуясь распределением Больцмана, найти среднюю по¬
тенциальную энергию молекул идеального газа в поле U{x) = ах2\
а > 0. _
8.39. Вычислить среднюю энергию & моля одноатомного газа,
состоящего из молекул, имеющих два дискретных уровня энергии:
£х и е2 > £i- Показать, что при очень низких температурах теплоем¬
кость такого газа равна 3R/2. Вращением молекул пренебречь. Для
упрощения записи формул принять е1 — 0, £2 = £.
8.40. Энергия молекулы в магнитном поле может принимать три
значения £0 = 0, £ij2 = ±£. Определить энергию <§ взаимодействия
одного моля таких молекул при температуре Т = г/к с магнитным
полем, где к — постоянная Больцмана.
8.41. Оценить максимальную величину радиуса газового обла¬
ка, при котором оно будет сжиматься под действием сил гравита-
Рис. 431
288
ции. Облако не вращается, его масса М = 2 • 104<> кг и температура
Г = 50 К.
8.42. В ударной волне в двухатомном газе происходит вначале
быстрое возрастание температуры газа от Т0 до При этом нагре¬
вание газа происходит настолько быстро, что сначала возбуждаются
только поступательные и вращательные степени свободы. После это¬
го постепенно возбуждаются колебательные степени свободы (выпол¬
няется условие kTi hw и кТ0 < hw, где си — собственная частота
колебаний в молекулах). Последний процесс («колебательная релак¬
сация») происходит практически при постоянном давлении. Опреде¬
лить изменение температуры и энтропии одного моля газа в этом
процессе релаксации. Теплообменом с окружающей средой можно
пренебречь.
8.43. Двухатомный газ мгновенно нагревается от температуры Т0
до Тг, после чего происходит постепенное возбуждение колебатель¬
ных степеней свободы (при этом выполняется условие kTt hw и
кТ0 < hw, где си — собственная частота колебаний в молекулах).
Считая, что процесс возбуждения колебаний происходит при посто¬
янном объеме, определить изменение температуры и энтропии массы
газа М в этом процессе. Теплообменом с окружающей средой можно
пренебречь.
8.44. Вакансией называется дефект кристалла, возникающий при
удалении атома из узла кристаллической решетки. При быстром
охлаждении кристалла число вакансий, соответствовавших термо¬
динамическому равновесию при высокой температуре, почти не из¬
меняется, т. е. вакансии могут быть «заморожены». После чего при
низкой температуре происходит медленный процесс установления но¬
вого термодинамического равновесия, как говорят, «отжиг» вакан¬
сий. Определить изменение температуры алюминиевого образца при
адиабатическом отжиге вакансий, замороженных в результате быст¬
рого охлаждения образца от температуры плавления алюминия П —
= 660°С до комнатной температуры t0. Теплоемкость алюминия мож¬
но определить из классической теории. Энергия образования вакан¬
сий в алюминии е = 0,75 эВ.
8.45. Определить среднеквадратичную угловую скорость враще¬
ния молекулы азота в воздухе при нормальных условиях. Расстояние
между ядрами в молекуле N2 г = 1,1 А.
8.46. Найти значение средней энергии е, приходящейся соглас¬
но классической кинетической теории газов, на одну степень сво¬
боды вращательного движения молекулы газа при t = 27°С. Найти
значение средней квадратичной частоты вращения молекулы кис¬
лорода при этих условиях. Момент инерции молекулы кислорода
вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии молекулы, IL =
= 19,2 • Ю-40 г ■ см2.
8.47. Найти суммарную кинетическую энергию К теплового дви¬
жения всех молекул кислорода 02, занимающих объем V = 5,5 л при
289
давлении Р — 2 атм. Считать, что температура газа настолько низка,
что колебания атомов в молекулах еще не возбуждены, а вращения
возбуждены полностью.
8.48. Определить энергию вращательного движения водорода ГГ,
находящегося при давлении Р = 105 Па в объеме V = 1 л. Считать,
что вращательные степени свободы полностью возбуждены.
8.49. Определить энергию вращательного движения метана СН|,
находящегося при давлении Р = 105 Па в объеме V = 1 л. Считать,
что вращательные степени свободы полностью возбуждены.
8.50. Ка кова будет средняя кинетическая энергия вращательно¬
го движения молекулы водорода, если первоначально он находил
ся при нормальных условиях, а затем был адиабатически сжат н
32 раза?
8.51. Найти выражение для энтропии системы не взаимодейству
ющих друг с другом N электронов, помещенных в магнитное поле с
индукцией В. Магнитный момент электрона р может принимать две
ориентации: по полю В и против поля. Разница в энергиях для этих
двух ориентаций АЕ = 2|хВ. Электроны находятся в тепловом рав
новесии со средой, имеющей температуру Т. Рассмотреть частный
случай кТ АЕ.
8.52. Найти значения средней колебательной энергии теплово¬
го движения для двух различных атомных осцилляторов при тем¬
пературе Т = 300 К. Частота колебаний осцилляторов = 1013 Гц
и у2 ~ ю14 Гц. Сравнить полученные значения с соответствующим
классическим значением. Найти колебательную теплоемкость Cv од¬
ного моля газа таких осцилляторов для случая у = 4,7 • 1013 Гц (кис¬
лород 02).
8.53. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде в
однородном поле тяжести при температуре Т. Температуру газа уве
личили в а раз. На какой высоте h концентрация молекул осталась
прежней?
8.54. В одном из опытов по проверке распределения Больцма¬
на Перрен использовал взвесь в воде частичек коллодия массой
m = 1,25 • 10~13 г и плотностью р —1,21 г/см3. После установле¬
ния равновесия наблюдали распределение частиц по высоте кюветы.
Определить, на каком расстояния hx от дна кюветы концентрация
частичек коллодия будет равна их средней концентрации при интен¬
сивном перемешивании взвеси. Высота кюветы Н = 0,1 мм. Темпе¬
ратура взвеси Т — 295 К.
8.55. После отбора сливок в молочном сепараторе остался об¬
рат — раствор белка (молярная масса р = 22 • 103 г/моль, плотность
р = 1,1 г/см3) в воде. Моделируя сепаратор цилиндром радиусом
г0 = 10 см, вращающимся вокруг своей геометрической оси с угловой
скоростью си = 103 с-1, определить, на каком расстоянии гх от оси
концентрация молекул белка будет равна их средней концентрации
290
в отсутствие вращения. Температура раствора Т = 295 К. Распреде¬
ление молекул по высоте не учитывать.
8.56. Вычислить молярную теплоемкость идеального газа, в кото¬
ром каждая молекула кроме трех поступательных степеней свободы
имеет два внутренних дискретных уровня энергии = 0 и = £•
Температура газа такова, что кТ = е. Вращение молекул не учитывать.
8.57. Энергия частиц некоторой системы может принимать три
значения = 0; — £; А = 2е. Определить число частиц системы,
если известно, что при температуре Т = е/к полная энергия системы
равна 1000г.
8.58. Вычислить температуру Т моля одноатомного газа, состоя¬
щего из частиц, имеющих два дискретных уровня энергии: —е0 и £0.
Разность между числом атомов в состоянии с энергией е0 и числом
атомов в состоянии с энергией — £0 равна AN. Построить график
зависимости энтропии газа от внутренней энергии: S(U).
8.59. Вычислить теплоемкость одного моля одноатомного газа,
состоящего из частиц, имеющих два дискретных уровня энергии:
— £0 и £ о-
8.60. Имеется система N не взаимодействующих между собой
частиц со спином 1 (возможные квантовые состояния ш = 0ит =
= ±1). Энергия частицы в состояниях тп — ±1 равна £, а в состоя¬
нии m = 0 равна 0. Вычислить теплоемкость системы С для случая
О < £ <С кТ.
8.61. Частота колебаний атомов в молекуле газообразного фтора
F2 равна -V = 3,42 • 1013 с-1. Определить показатель адиабаты у —
= Ср/Су для фтора при температуре Т = 300 К, когда можно прини¬
мать во внимание переход молекул только на первый возбужденный
уровень колебаний.
8.62. Температура ансамбля квантовых гармонических осцилля¬
торов, собственная частота которых равна л/ = 1012 с-1, повысилась
в ос = 1,5 раза, при этом заселенность уровня с энергией £2о = 20hv
(h — постоянная Планка) не изменилась. Определить начальную тем¬
пературу ансамбля Г0, если можно принять, что hv <С кТ0.
8.63. Температура ансамбля квантовых гармонических осцилля¬
торов, первоначально равная Т0 = 1150 К, понизилась до Т\ = 960 К,
при этом заселенность уровня с энергией £20 = 14hv (h — постоянная
Планка) не изменилась. Определить собственную частоту осцилля¬
торов -v, если можно принять, что hv <С кТг.
8.64. Оценить, во сколько раз изменится теплоемкость при посто¬
янном объеме Су моля оксида азота N0 при увеличении его темпера¬
туры от Т) = 74 К до Т2 = 177 К. Характеристическая вращательная
температура окиси азота Твр = 2,4 К, собственная частота колебаний
атомов -V = 5,64 • 1013 с-1. Разность энергий между основным и пер¬
вым возбужденным электронными состояниями равна £ = 0,0155 эВ,
другие возбужденные состояния не учитывать.
291
8.65. Оценить, во сколько раз изменится теплоемкость при по¬
стоянном давлении СР моля молекул брома Вг2 при увеличении его
температуры от Т\ = 230 К до Т2 = 460 К. Характеристическая вра¬
щательная температура брома Твр = 0,23 К, собственная частота ко¬
лебаний атомов -v = 9,7 • 1012 с-1. Разность энергии между основ¬
ным и первым возбужденным электронными состояниями равна е -
= 0,45 эВ, другие возбужденные состояния не учитывать.
8.66. Колебательная характеристическая температура молекулы
хлора 0 = 780 К. Определить минимальный номер п колебательного
уровня, на котором при Т = 1000 К находится не более 1% молекул
хлора.
8.67. Колебательная характеристическая температура молекулы
йода 0 = 305 К. Определить максимальный номер п колебательного
уровня, на котором при Т = 395 К находится не менее 1% молекул йода.
8.68. При температуре 17°С показатель адиабаты углекислого
газа у = 1,30. Молекула С02 — линейная. При данной температу¬
ре кроме полностью возбужденных поступательных и вращательных
степеней свободы частично возбуждены две колебательные степени
свободы с идентичными спектрами. Оценить длину волны излучения,
соответствующего переходам с первого возбужденного колебательно¬
го уровня на невозбужденный.
8.69. Оценить, при какой температуре отношение числа молекул
N0, находящихся в чисто вращательных состояниях с квантовыми
числами I — 1 и I = 0, равно ос = 0,1. Межъядерное расстояние в
молекуле равно d = 1,15 А.
8.70. Определить вращательную теплоемкость паров HD вблизи
температуры конденсации Тк = 22 К. Для дейтероводорода характе-
h2
ристическая вращательная температура 0 = — 64 К.
21 %
8.71. Вращательному энергетическому уровню двухатомной мо¬
лекулы НС! (межъядерное расстояние d = 1,27 • 1010 м) с номером I
н2
соответствует 21 + 1 состояний с энергией — £(Z + 1)> гДе ^ ~ по"
стоянная Планка, I — момент инерции молекулы относительно оси,
проходящей через ее центр масс перпендикулярно к линии, соединя¬
ющей ядра Н и С1. Найти номер lmax уровня вращательной энергии
молекулы НС1, который имеет наибольшую заселенность при 620 К.
8.72. Вращательному энергетическому уровню двухатомной мо¬
лекулы N0 с номером I соответствует 21 + 1 состояний с энерги-
h2
ей + 1). где h — постоянная Планка, I — момент инерции
молекулы относительно оси, проходящей через ее центр масс пер¬
пендикулярно к линии, соединяющей ядра N и О. При температуре
276 К наибольшую заселенность в молекуле N0 имеет вращатель¬
ный уровень с номером lm = 7. Определить межъядерное расстояние
d в молекуле N0.
292
8.73. Водный раствор двух белков с молярными массами р.) =
= 20 • 103 г/моль и р2 = 25 • 103 г/моль находится в цилиндрической
центрифуге радиусом г0 = 25 см, вращающейся с угловой скоростью
ш = 250с~1. Полные массы белков в смеси и их плотности (р =
— 1,1 г/см3) одинаковы. Найти отношение концентраций белков у
стенки центрифуги. Температура раствора Т = 300 К, плотность во¬
ды Ро = 1 г/см3, распределение молекул по высоте не учитывать.
8.74. Смесь двух изотопов газообразного хлора з5С12 и 37С12 с ис-
„ n(sr’Cl2) о ИС¬
ХОДНЫМ отношением концентрации -у——= 3,065 находится в ци-
п(37С12)
линдрической центрифуге. Линейная скорость на периферии враща¬
ющегося цилиндра v = 5 • 104 см/с. Найти отношение концентраций
изотопов у стенки центрифуги. Температура газа 300 К, распределе¬
ние молекул по высоте не учитывать.
8.75. В воздухе при нормальных условиях выделен объем v =
= 3,72 • Ю~20 см3. Какова доля времени, в течение которого в этом
объеме находится менее двух молекул?
8.76. В воздухе при нормальных условиях выделен объем v =
— 7,44 • 10~2° см3. Какова доля времени, в течение которого в этом
объеме находится более двух молекул?
8.77. У теплоизолированного сосуда, заполненного идеальным га¬
зом, две стенки являются элементами коаксиальных цилиндрических
поверхностей с радиусами R/2 и R соответственно,
а остальные стенки плоские (рис. 432). Сосуд при¬
водят во вращение с постоянной угловой скоростью
относительно оси 00'. Во сколько раз изменится
вследствие этого давление газа у стенки большего
радиуса, если максимальная работа, которую может
совершить центробежная сила при перемещении мо¬
лекулы газа внутри сосуда, равна кТ, где к — по¬
стоянная Больцмана, Т — температура системы.
8.78. Теплоизолированный сосуд заполнен идеальным газом, тем¬
пература которого Т, а масса молекулы т. Две стенки сосуда
являются элементами коаксиальных цилиндрических поверхностей
радиусами R/2 и R соответственно, а остальные стенки плоские
(рис. 432). Сосуд приводят во вращение с постоянной угловой ско¬
ростью относительно оси 00' так, что максимальный перепад дав¬
ления газа становится равным давлению в неподвижном сосуде. С
какой угловой скоростью стал вращаться сосуд?
§ 9. Флуктуации. Статистический смысл энтропии
9.11 Пусть fug — произвольные физические величины, флукту¬
ирующие вокруг своих средних значений / яд, так что f — f + А/,
д = д + Ад. Найти среднее значение произведения fg.
IО
293
9.2. Выразить средний квадрат флуктуации Д/2 = (/ — /)2 про¬
извольной физической величины / через /2 и / .
9.3. Величины / и </ называются статистически независимыми,
если AfAg = 0. Показать, что для статистически независимых ве¬
личин fg = Jg.
9.4t В закрытом сосуде объемом V в отсутствие силовых полей
находятся N молекул идеального газа. Определить среднее число
молекул и его флуктуации в объеме v, являющемся малой частью
объема V.
9.5. В кубическом сосуде емкостью V — 1 л при комнатной тем¬
пературе находится N молекул водорода. Найти вероятность Р того,
что эти молекулы соберутся в одной половине сосуда. Оценить ве¬
личину N, при которой такое событие можно ожидать один раз на
протяжении эпохи порядка возраста наблюдаемой части Вселенной
(Т ~ 101Олет).
9.6. Определить величину объема V в идеальном газе, в котором
средняя квадратичная флуктуация числа частиц составляет а = 10~6
от среднего числа частиц в том же объеме. Определить также сред¬
нее число частиц п в таком объеме. Газ находится в стандартных
условиях в сосуде, объем которого намного превышает заведомо ма¬
лый объем V.
9.7. В идеальном газе выделен объем V, содержащий N частиц.
Давление Р и температура Т газа постоянны. Какова относительная
флуктуация плотности в этом объеме?
9.8. Оценить предельную чувствительность АТ/Т идеального га¬
зового термометра, в котором температура измеряется по объему га¬
за при постоянном давлении. Количество газа в термометре равно
1СГ3 моля.
9.9. В адиабатически изолированном сосуде, содержащем 1 моль
кислорода при нормальных условиях, выделен объем размером
10~6 см3. Во сколько раз вероятность состояния, в котором темпера¬
тура в этом объеме отличается от средней на 10~3 К (при сохранении
числа молекул внутри этого объема), меньше вероятности равновес¬
ного состояния?
9.10. Определить, в каком объеме гелия средняя относительная
флуктуация температуры (при сохранении числа молекул в этом объ¬
еме) составляет 10~4%? Гелий находится при нормальных условиях
в контакте с термостатом.
9.11. Найти отношение вероятности флуктуации температуры
идеального одноатомного газа на величину АТ = 0,1 К в объеме v =
= 1 мкм3 к вероятности равновесного состояния. Объем, занимаемый
всем газом, V0 = 25 л, температура Т0 = 300 К, давление Р0 = 105Па.
9.12. Во сколько раз изменится средний квадрат флуктуаций тем¬
пературы (АТ2) одноатомного идеального газа, находящегося в фик¬
294
сированном малом объеме v при адиабатическом увеличении объема
всей системы V в 8 раз (v <С V)?
9.13. Два одинаковых сообщающихся сосуда заполнены газом при
нормальных условиях. Каким должен быть объем V каждого сосу¬
да, чтобы вероятность состояния, при котором давление в сосудах
изотермически изменится на 10“7%, была бы в е100 раз меньше, чем
вероятность исходного состояния?
9.14. Теплоизолированный цилиндр, наполненный идеальным од¬
ноатомным газом, герметически разделен теплонепроницаемым мас¬
сивным поршнем на два равных объема V0. Определить относитель¬
ную флуктуацию каждого из этих объемов, если число частиц в
цилиндре равно N.
9.15! Сосуд, в котором находится N молекул идеального газа,
разделен перегородкой на две части с объемами Vi и V2. Найти ве¬
роятность того, что в первой части будет содержаться Nlt а во второй
N2 молекул.
9.16. Газообразный водород при температуре Т = 300 К и давле¬
нии Р = 10-6 атм вытекает в вакуум из тонкостенного сосуда через
отверстие с площадью S = 0,1 мм2. Через определенные промежутки
времени на опыте измеряется полный поток атомов через отверстие
за интервал времени t = 10-3 с. Предполагая, что давление водоро¬
да в сосуде остается постоянным, найти относительную флуктуацию
этого потока.
9.17. Молекулярный пучок 02 вылетает в высокий вакуум из ка¬
меры с давлением Р = 10~7 атм и Т — 300 К через систему двух по¬
следовательных щелей с размерами 1 см х 2 • 10~2 см каждая, разде¬
ленных промежутком в 1 мм. Оценить интенсивность пучка j (число
частиц, прошедших через вторую щель в секунду). Какова будет
относительная флуктуация числа частиц в импульсах с продолжи¬
тельностью т = 10~3с?
9.18. Атомный пучок Не вылетает в высокий вакуум из камеры с
давлением Р = 10~4 Тор и Т — 300 К через систему из двух коакси¬
альных круглых отверстий с d = 0,2 мм, разделенных расстоянием
I = 1 см. Оценить интенсивность пучка j (число частиц, прошед¬
ших через второе отверстие в секунду). Какова будет относитель¬
ная флуктуация числа частиц в импульсах с продолжительностью
т = 10_3 с?
9.19! Два одинаковых сосуда, в которых находится по молю одно¬
го и того же идеального газа при одинаковых условиях, сообщаются
между собой через отверстие. Какое число молекул п должно перей¬
ти из одного сосуда в другой, чтобы возникшее состояние стало в
а — е раз менее вероятным, чем исходное?
9.20! Решить предыдущую задачу, используя формулу Больцмана
S = кЫР и термодинамическое выражение для энтропии идеального
газа.
295
9.211 Получить распределение Гаусса из формулы Больцмана
S = kinР, используя термодинамическое выражение для энтропии
идеального газа.
9.22. Тепловые флуктуации малого объема ((AV2)T), заполнен¬
ного жидкостью или газом и окруженного средой, температура Т
которой поддерживается постоянной, можно рассчитать следующим
образом. Предположим, что рассматриваемая часть жидкости или га¬
за заключена в цилиндр, стенки которого идеально проводят тепло.
Одна из стенок — поршень — может сво¬
бодно без трения перемещаться в цилиндре.
К движению поршня можно применить тео¬
рему о равномерном распределении кинетиче¬
ской энергии по степеням свободы и таким об¬
разом найти искомую флуктуацию. Провести
этот расчет.
9.23. На каком расстоянии L до экра¬
на среднеквадратичное значение амплитуды а
колебания светового луча, отраженного от
прикрепленного к математическому маятнику маленького зеркала
(рис. 433), составит 10-4 см? Длина маятника I = 10 см, его мас¬
са с зеркалом m = 0,1 г. Температура среды равна 27°С, плоскость
зеркала перпендикулярна плоскости колебаний.
9.24. Зеркальце висит на кварцевой нити, модуль кручения ко¬
торой равен D, и освещается таким образом, что его повороты, вы¬
званные ударами окружающих молекул газа, можно регистрировать
на шкале. Положению покоя соответствует угол поворота (р = 0. Как
изменяется средний квадрат угловой скорости (ф2) и средний квад¬
рат углового отклонения (ф2), если момент инерции зеркальца, дли¬
ну нити и ее диаметр увеличить соответственно в а, (3 и у раз? Какое
значение получится для числа Авогадро N из измерений при темпе¬
ратуре Т = 287 К, если D = 9,43 • 10-9 дин • см, (ф2) = 4,18 • 10_б?
(Данные взяты из опытов Герлаха и Капплера.)
9.25. Определить относительную флуктуацию длины свободного
пробега молекулы газа, если средняя длина пробега молекулы много
меньше размеров сосуда.
9.26. Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме насыщения чув¬
ствительность к свету К = 0,12А/Вт. Какова относительная флук¬
туация а числа электронов, выбиваемых при падении на фотоэлемент
светового потока мощностью Ф = 1,3 • 1СГ11 Вт? Время регистрации
т = 10~3 с.
9.27. Известно, что тепловое движение механизма пружинных ве¬
сов определяет при заданной температуре Т предел их чувствитель¬
ности. Оценить предельно малую массу, которая может быть опре¬
делена при однократном взвешивании на пружинных весах, считая,
что коэффициент жесткости пружины равен а.
296
9.28. Найти среднюю квадратичную относительную флуктуа¬
цию объема капельки ртути радиусом г = 0,01 мм в воздухе при
температуре Т = 300 К. Изотермическая сжимаемость ртути |3т =
= 3,9 • 10-6 атм”1.
9.29. Определить относительную флуктуацию числа частиц воз¬
духа в малом объеме AV как функцию расстояния h от поверхности
Земли. Воздух считать идеальным газом. Его плотность у поверхно¬
сти Земли ро, молярная масса ц, температура атмосферы постоянна
и равна Т.
9.30. Цилиндрический сосуд вращается относительно оси сим¬
метрии с постоянной угловой скоростью си. Определить относитель¬
ную флуктуацию числа частиц идеального газа в малом объеме AV
этого сосуда как функцию расстояния г от оси цилиндра. Плотность
газа на оси цилиндра р0, молярная масса ц. Температура газа посто¬
янна и равна Т. Силу тяжести не учитывать.
9.31. Найти относительную среднеквадратичную изотермическую
флуктуацию высоты столбика жидкости в капиллярной трубке, опу¬
щенной в широкий сосуд. Плотность жидкости р, ее температура Т,
поверхностное натяжение а, угол смачивания 0 = 0. (В равновесии
высота столбика жидкости меньше длины капилляра.)
9.32. Вычислить относительную среднеквадратичную флуктуа¬
цию объема мыльного пузыря радиусом г. Давление воздуха вне
пузыря равно Р0, коэффициент поверхностного натяжения мыльной
пленки а. Считать, что при флуктуациях форма пузыря остается
сферической, а температура воздуха в нем — постоянной и равной
температуре окружающей среды Т.
9.33. Найти относительную среднеквадратичную флуктуацию
объема V газа Ван-дер-Ваальса в условиях, когда объем равен кри¬
тическому, а Т немного превышает Ткр.
9.34. Сферический мыльный пузырь, содержащий 0,1 моля возду¬
ха при температуре Т = 300 К, несколько превышающей температуру
окружающей среды, плавает в атмосфере комнаты. Считая массу пу¬
зыря пренебрежимо малой по сравнению с массой заключенного в
нем воздуха, оценить абсолютную среднеквадратичную флуктуацию
скорости пузыря.
9.35. Вычислить среднюю относительную флуктуацию потенци¬
альной энергии П внутримолекулярных колебаний двухатомной мо¬
лекулы идеального газа, а также одного моля таких молекул.
9.36. Найти выражение для флуктуации плотности жидкости или
газа, возникающей из-за теплового движения в малом объеме V,
мысленно выделенном в рассматриваемой среде.
9.371 Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступатель¬
ного движения молекулы идеального газа.
9.381 Малая макроскопическая часть системы (подсистема) яв¬
ляется частью большой замкнутой системы. Флуктуации энергии и
энтальпии такой подсистемы в принципе можно вычислить так же,
297
как это было сделано для молекулы идеального газа (см. преды¬
дущую задачу). Только вместо максвелловского распределения надо
пользоваться его обобщением на макроскопические подсистемы (так
называемым распределением Гиббса). Таким путем можно показать,
что флуктуации внутренней энергии и энтальпии подсистемы опре¬
деляются выражениями
{(AU2)V) = kT2Cv, ((AI2)p) = кТ2СР,
где Су и Ср — теплоемкости подсистемы, а индексы V и Р, как
всегда, означают, что в первой формуле остается постоянным объем
подсистемы V, а во второй — давление Р. Пользуясь этими вы¬
ражениями, найти для подсистемы ((AT2)V), ((AS2)V), ((AS2)p),
((АР2)Т), и ((АР2)3).
9.39. Найти молярную энтропию кристаллического 37Аг при низ¬
кой температуре. Ядро 37Аг имеет спин 3/2. Считать, что температу¬
ра хоть и близка к абсолютному нулю, но все же достаточна, чтобы
обеспечить полную разупорядоченность направлений.
9.40. Манометр с площадью мембраны S ~ 1СГ1 см2 измеряет
давление газа Р ~ 1 мм рт. ст. при нормальной температуре. Оценить
относительную среднеквадратичную флуктуацию показаний мано¬
метра, если время его инерционности т ~ 10~3 с.
9.41. Упругие свойства углеродной нанотрубки (англ. — bucky-
tube) описываются моделью, в которой она представляет собой тонко¬
стенный цилиндр из вещества с модулем Юнга алмаза Е = 1012 Па.
Определить относительную среднеквадратичную флуктуацию радиу¬
са трубки, если ее равновесное значение г = 0,45 нм, толщина стенки
Д = 0,1 нм, а длина I = 10 нм. Температура Т = 300 К, форма трубки
при флуктуациях не меняется.
9.42. Упругие свойства молекулы фуллерена С60 (англ. — bucky-
ball) описываются моделью, в которой она представляет собой тон¬
костенную сферу из вещества с модулем Юнга алмаза Е = 1012 Па.
Определить относительную среднеквадратичную флуктуацию ради¬
уса фуллерена, если ее равновесное значение г = 0,36 нм, а толщина
стенки Д = 0,1 нм. Температура Т = 300 К, форма фуллерена при
флуктуациях не меняется.
9.43. Частота колебаний атомов в молекуле газообразного йода 12
равная = 6,4 • 1012 с”1. Определить относительную среднеквадратич¬
ную флуктуацию колебательной энергии молекулы при Т = 300 К.
Положить энергию основного состояния молекулы равной нулю.
9.44. Два изолированных от внешнего мира тела с температу¬
рами 299 К и 300 К приведены в тепловой контакт. От тела с боль¬
шей температурой перешло количество теплоты, равное Ю~10 эрг. Во
сколько раз вследствие этого перехода изменится вероятность состо¬
яния данных тел? (См. также задачу 4.63.)
298
9.45. Сосуд разделен перегородкой на два различных объема, так
что в одном объеме содержится атомов газа, в другом N2. Темпе¬
ратуры и давления газов одинаковы. Затем перегородку убирают, и
газы перемешиваются. Вычислить изменение энтропии после смеше¬
ния, если: а) газы различны; б) газы одинаковы. Газ одноатомный,
идеальный.
9.46. Имеется система N не взаимодействующих между со¬
бой частиц со спином 1 (возможные квантовые состояния т = 0 и
т — ±1). Энергия частицы в состояниях т = ±1 равна е, а в со¬
стоянии гп = 0 равна 0. Вычислить энтропию S системы для случая
0 < е < кТ.
9.47? Согласно одной из моделей плавления (Леннард-Джонса-
Девоншира) систему, состоящую из твердого тела и жидкости, мож¬
но рассматривать как систему, содержащую N одинаковых атомов
и 2N мест (N мест в твердой фазе и N мест в жидкой). При тем¬
пературах ниже температуры плавления все атомы расположены в
твердой фазе. В результате нагрева в какой-то
момент N/4 атомов переходят из твердой фазы в
жидкую. Определить изменение энтропии систе¬
мы при таком переходе системы с температурой,
равной температуре плавления, если N — N& и
начальная энтропия S0 = 0.
9.48. При низких температурах все атомы на¬
ходятся в узлах кристаллической решетки. При
высоких температурах атом может выйти из лю¬
бого узла решетки, перемещаясь, занять новое
положение либо в узле, либо в междоузлии. Пусть п атомов случай¬
ным образом переместились из узлов решетки в муждоузлия. Опре¬
делить максимальное изменение энтропии ASmax в зависимости от
п, если число узлов N в кристалле (простой кубической решетки)
равно числу междоузлий N. Считать, что в начальном состоянии
энтропия S0 = 0.
9.49? Расстояние г между концами цепочки нуклеиновой кисло¬
ты, состоящей из N звеньев одинаковой длины L (N 1, NL г),
можно найти из модели случайного блуждания вдоль прямой х
(рис. 434). Звенья могут свободно поворачиваться в соединениях и
ориентироваться случайным образом в пространстве. Поэтому сред-
Рис. 434
неквадратичная проекция каждого звена на ось х равна
= L/V3. Вычислить изменение энтропии цепи, когда ее концы будут
на расстоянии, меньшем b (NL Ь).
9.50. Расстояние г между концами линейной полимерной молеку¬
лы, состоящей из N звеньев одинаковой длины L (N » 1, NL г)
можно найти, используя модель случайного блуждания вдоль прямой
х (рис. 434). Звенья могут свободно поворачиваться в соединени¬
ях и ориентироваться случайным образом в пространстве. Поэтому
299
среднеквадратичная проекция каждого звена на ось х равна ах =
— L/yJ3. Вычислить силу F, с которой можно изменять расстояние г
при постоянной температуре. Внутренняя энергия молекулы зависит
только от температуры.
§ 10. Явления переноса. Теплопроводность.
Броуновское движение
10.1. Сколько столкновений z испытывает в среднем молекула
С02 за одну секунду при нормальном давлении и температуре? Га¬
зокинетический диаметр молекулы С02 d = 10~7 см.
10.2. Какое число столкновений происходит ежесекундно в
1 см3 между молекулами кислорода, находящегося при нормаль¬
ных условиях? Газокинетический диаметр молекулы кислорода d =
= 3,1 • КГ8 см.
10.3. Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как
изменяются длина свободного пробега Л и число z столкновений его
молекул в одну секунду с изменением температуры?
10.4. Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимо¬
сти А и г от давления.
10.5. Идеальный газ сжимают адиабатически. Найти зависимость
Л и г от давления.
10.6. Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде¬
альным газом, при котором число столкновений между молекулами
газа в единице объема в единицу времени остается неизменным.
10.7. Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде¬
альным газом, при котором число столкновений между молекулами
во всем объеме газа в единицу времени остается неизменным.
10.8. Во сколько раз изменится число столкновений z, испыты¬
ваемых одной молекулой в единицу времени, и длина свободного
пробега Л молекул одноатомного газа, если в процессе, при котором
теплоемкость газа равна Ср/2, объем газа увеличивается вдвое?
10.9. Во сколько раз изменится длина свободного пробега Л неко¬
торой частицы в смеси аргона и неона, если концентрацию аргона
увеличить вдвое, а концентрацию неона уменьшить в два раза? Ис¬
ходная концентрация обоих газов одинакова. Отношение радиусов
аргона и неона равно 1,2. Рассматриваемая частица значительно лег¬
че атомов смеси, а ее размеры существенно меньше размеров атомов
смеси.
10.10. Оценить пробег ультрарелятивистских ядер азота до ядер-
ного взаимодействия в жидководородной камере. Плотность жид¬
кого водорода 0,07 г/см3, а радиусы ядер описываются формулой
RA = 1,3 • 10~13Л1,/3 см, где А — относительная атомная масса.
10.11. Найти верхний предел давления Р водорода в сосуде объе¬
мом V — 1 л, при котором длина свободного пробега молекулы боль¬
ше размеров сосуда. Газокинетический диаметр молекулы водорода
d — 2,2 • 10"8 см, а температура Т — 300 К.
10.12. Стальной стержень длиной I = 20 см с площадью попереч¬
ного сечения S = 3 см2 нагревается с одного конца до температуры
ti = 300 °С, а другим концом упирается в лед. Предполагая, что пе¬
редача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь
через стенки), подсчитать массу тп льда, растаявшего за время т =
= 10 мин. Теплопроводность стали х = 0,16 кал/(с • см • °С).
10.13. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с
радиусами Ri и R2 заполнено проводящим тепло однородным веще¬
ством. Найти расппеделение температуры в этом пространстве, если
температура внутреннего цилиндра П, а внешнего t2.
10.14. Найти распределение температуры в пространстве между
двумя концентрическими сферами с радиусами 7?! и R2, заполненном
проводящим тепло однородным веществом если температуры обеих
сфер постоянны и равны t{ и t2.
10.151 Урановый шар радиусом R = 10 см, помещенный в сосуд
с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результа¬
те реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q =
= 100 Вт/см3. Температура воды Т0 = 373 К, теплопроводность урана
х = 400 Вт/(м • К). Найти стационарное распределение температуры
в шаре, а также температуру в его центре.
10.16. По однородному цилиндрическому проводу без изоляции
течет постоянный электрический ток. Определить стационарное рас¬
пределение температуры в проводе, если его поверхность поддержи¬
вается при постоянной температуре Т0.
10.17. Для получения самоподдерживающейся термоядерной ре¬
акции в дейтерии (или в смеси дейтерия с тритием) необходимо на¬
греть вещество до температуры порядка 108 К. При таких темпера¬
турах вещество находится в состоянии плазмы, т. е. полностью иони¬
зованного газа. При этом сильно возрастают потери энергии за счет
теплопроводности. Как показывает теория, теплопроводность плазмы
пропорциональна абсолютной температуре в степени 5/2, т. е. х =
= аТ5/2, где для дейтериевой или тритиевой плазмы в системе СГС
а» 1СП6. Внутри малого объема, выделенного в плазме и имеюще¬
го форму шара радиуса r0 = 1 см, поддерживается температура Т =
= 108 К. Вне шара температура убывает в соответствии с законами
теплопроводности. Какую мощность W надо подводить к этому объе¬
му, чтобы компенсировать потери энергии за счет теплопроводности?
К остальным частям плазмы энергия не подводится.
10.18. В трубу с водой вставлена термопара медь-константан,
один спай которой расположен на оси трубы, а другой — у ее стен¬
ки. Труба подвергается воздействию излучения метрового диапазона,
301
которое поглощается водой равномерно во всем объеме, и при этом
на 1 см длины трубы выделяется мощность W — 0,01 Вт. Найти тер-
моЭДС в стационарном режиме, если чувствительность термопары
А = 40 мкВ/ К. Теплопроводность воды х = 6 • 10“3 Дж/(см • с ■ К).
Конвекцией пренебречь.
10.19. Тонкая пластинка толщиной 2а изготовлена из сплава,
удельная электропроводность которого Л не зависит от температу¬
ры, а теплопроводность пропорциональна абсолютной температуре:
х— <хЛТ, где а — известная постоянная (закон Видемана-Франца).
К пластинке длиной I приложено напряжение
U0. Пренебрегая краевыми эффектами, найти
распределение температуры по толщине пла¬
стинки. Температура поверхностей пластин¬
ки Т0.
10.20. Чтобы уменьшить поток тепла в
криостат по механической подвеске, экспе¬
риментатор решил сделать «тепловой замок»
в виде утоньшения на высокотемпературном
конце (рис. 435а). Однако затем ему посове¬
товали перевернуть подвес, т. е. утоньшение
сделать на низкотемпературном конце, где меньше коэффициент теп¬
лопроводности (рис. 4356). Показать, что на самом деле теплопри-
токи в обоих случаях одинаковы. Зависимость коэффициента тепло¬
проводности х от температуры считать известной, длины и площади
поперечного сечения тонкой и толстой частей соответственно равны
lu Si и l2, S2, температуры равны Т) и Т2.
10.21. Медная пластинка толщиной Д,
находящаяся при температуре Тм, опущена
т2 в воду, температура которой Г0 = 0°С > Гм.
Найти связь между толщиной намерзаю¬
щего льда х и временем t. Считать задан¬
ными удельную теплоемкость меди с и ее
плотность рм; плотность льда рл, коэффи-
Рис.436 циент теплопроводности х и удельную теп¬
лоту плавления q. Толщина льда настолько мала, что теплота, иду¬
щая на изменение температуры льда, все время мала по сравнению
с теплотой образования нового льда.
10.22. Цилиндрический сосуд длиной L, боковые стенки которого
не проводят тепло, а торцы проводят, зажат между тепловыми резер¬
вуарами с температурами Т) и Т2 (рис. 436). Внутри сосуда находит¬
ся тонкий поршень, проводящий тепло, по обе стороны от которого
в сосуде содержится по одному молю идеального газа. Определить,
какое положение займет поршень после установления равновесия.
Теплопроводность газа считать во всем объеме одинаковой.
10.23. В два рядом стоящих сосуда опущен (7-образный медный
стержень с поперечным сечением S = 1 см2. В каждый сосуд налита
. 1 »
L
302
вода с массой М = 900 г. Начальные температуры воды в сосудах
По = 65°С, £20 — Ю,6°С. Находящаяся в воздухе часть стержня име¬
ет длину I = 24 см. Через какое время т разность температур между
сосудами сделается равной Д — t2 = 20 °С? Считать, что обмен теп¬
лом между сосудами осуществляется исключительно через стержень.
Теплопроводность меди ж — 3,9 Вт/(К • см).
10.24. Сосуд, наполненный водой с массой М = 1,2 кг, стоит в
печи. Температура его внешних стенок t0 = 150°С. Нагреваемая по¬
верхность воды S = 300 см2, толщина стенок сосуда h = 1 см, коэф¬
фициент теплопроводности ж = 0,008 Вт/(К • см). Сколько времени
потребуется для нагревания воды от Д = 14 °С до t2 — 100 °С?
10.25. Капля воды радиусом а = 0,2 см, падающая в воздухе с
температурой Д = 0°С, попадает в слой воздуха с температурой
Д = —10 °С. Оценить время т, в течение которого она замерзнет. Теп¬
лота плавления льда д = 335Дж/г, коэффициент теплопроводности
льда ж = 0,022 Вт/(К • см). Теплом, выделяющимся при охлаждении
льда, можно пренебречь по сравнению с теплом, выделяющимся при
замерзании воды. В этом приближении нет смысла различать плот¬
ность льда и воды. Температуру поверхности капли все время считать
равной температуре окружающего воздуха.
10.26. Два теплоизолированных тела 1 и 2 с бесконечными теп¬
лопроводностями (например, два куска металла) соединены между
собой однородным, также теплоизолированным стержнем длиной I
с площадью поперечного сечения S и теплопроводностью ж. Тепло¬
емкости тел Ci и С2 очень велики по сравнению с теплоемкостью
стержня. Найти температуры тел Т) и Т2 в любой момент времени
t, если при t = 0 они были равны соответственно Tw и Т20. Найти
также разность этих температур и время Д/2, по истечении которого
она уменьшается в два раза.
10.271 Определить толщину льда, образующегося в течение за¬
данного времени t на спокойной поверхности озера. Считать, что
температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна
температуре наружной поверхности льда (Г < Тпл, где Тпл — темпе¬
ратура плавления льда). Произвести численный расчет, предполагая,
что Т = 263,15 К, а время наблюдения равно одним суткам. Для льда
ж = 2,22 • 105эрг/(с • см • °С), q = 3,35 • 109эрг/г, р = 0,9 г/см3.
10.281 Сферический кусок льда с начальным радиусом R0 = 1 см
погружен в большую массу воды с температурой 10 °С. Предполагая,
что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводно¬
стью, определить время т, в течение которого лед полностью рас¬
тает. Теплопроводность воды ж = 6 • 10~3 Дж/(с • см • °С), удельная
теплота плавления льда q = 335 Дж/г.
10.29. Жидкий гелий при температуре Т) и давлении насыщен¬
ных паров Pi течет по цилиндрической кварцевой трубке, наружная
поверхность которой омывается жидким азотом при температуре Т2.
303
При таких низких температурах теплопроводность кварца сильно за¬
висит от температуры: х = аТл. Внутренний диаметр трубки — i?b
внешний — R2. На какую максимальную длину L может быть рас¬
считан такой трубопровод для подачи жидкого гелия с расходом (на
выходе) q [г/с], если допустимые потери жидкости при испарении
50%? Удельная теплота испарения Л.
10.30. Оценить глубину промерзания почвы на широте Москвы за
бесснежную зиму (~ 120 суток). Теплопроводность грунта принять
х ~ 1 Вт/(м • К), его теплоемкость с ~ 10й Дж/(м3 • К).
10.31. Найти стационарное распределение температуры в идеаль¬
ном газе между двумя плоскопараллельными бесконечными пласти¬
нами, расположенными на расстоянии L друг от друга. Температуры
пластин Т) и Т2 > Т) поддерживаются постоянными. Зависимостью
эффективного сечения столкновения молекул от температуры прене¬
бречь.
10.32. По оси длинного цилиндра, заполненного идеальным га¬
зом, расположена тонкая проволока радиусом г, по которой течет
ток. При этом выделяется постоянная мощность на единицу длины
q [Вт/м]. Температура Т0 внешнего цилиндра поддерживается посто¬
янной, его радиус R. Найти разность температур АТ между нитью и
цилиндром, учитывая зависимость коэффициента теплопроводности
газа от температуры. При температуре Г0 теплопроводность известна
и равна х0.
10.33. Сфера радиусом R имеет постоянную температуру Г0 и
находится в бесконечной среде идеального газа. На большом удале¬
нии от сферы температура газа пренебрежимо мала по сравнению
с Т0. Определить тепловую мощность q [Вт], которая подводится к
сфере. Учесть зависимость теплопроводности газа от температуры.
При температуре Т0 коэффициент теплопроводности равен х0.
10.34. Вдоль оси длинной вертикальной цилиндрической труб¬
ки натянута тонкая металлическая нить, по которой можно пропус¬
кать электрический ток. Сначала трубка наполнена воздухом, и нить
накалена электрическим током до температуры 830°С. Затем (при
выключенном токе) трубка заполняется водородом при атмосферном
давлении. Пренебрегая потерями энергии на лучеиспускание, вычис¬
лить температуру нити t, если по ней пропускается ток прежней
мощности. Полагая коэффициенты теплопроводности не зависящими
от температуры, принять, что отношение коэффициентов теплопро¬
водности водорода и воздуха равно 5,8. Температуру стенок трубки
можно считать равной комнатной температуре 18 °С.
10.35. Для измерения теплопроводности азота им наполнили про¬
странство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, ра¬
диусы которых Гх = 0,5 см и г2 = 2 см. Внутренний цилиндр рав¬
номерно нагревался спиралью, по которой протекал ток г = 0,1 А.
Сопротивление спирали, приходящееся на единицу длины цилиндра,
равно R = 0,1 Ом. Внешний цилиндр поддерживался при температу-
304
pe t2 = 0°С. При установившемся процессе оказалось, что температу¬
ра внутреннего цилиндра равна П = 93°С. Найти газокинетический
диаметр d молекулы азота. Давление газа в таких опытах берется
малым (порядка десятков мм рт. ст.), и поэтому конвекцией можно
пренебречь.
10.36. В цилиндрическом сосуде постоянного объема находится
идеальный газ при температуре Т0 и давлении Р0. Боковые стенки
сосуда — теплоизолирующие. Днище сосуда нагревают до Т = 4Т0, а
температуру крышки поддерживают равной Т0. Определить устано¬
вившееся давление в сосуде. Коэффициент теплопроводности зависит
от температуры.
10.37. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится идеаль¬
ный газ при температуре Т0. Боковые стенки сосуда не пропускают
тепла. Днище сосуда нагревают до Т = 9Т0, а температура поршня
поддерживается равной Т0. Во сколько раз изменится первоначаль¬
ный объем после установления стационарного режима теплопереда¬
чи? Коэффициент теплопроводности зависит от температуры. Внеш¬
нее давление постоянно.
10.38. Оценить, при каком давлении Р воздуха в нем может рас¬
пространяться звук с частотой л/ = 100 кГц при комнатной темпера¬
туре.
10.39. Оценить, на какое расстояние распространяется звук ча¬
стотой 103Гц в спокойной атмосфере при нормальных условиях. Счи¬
тать, что затухание звука обусловлено только теплопроводностью.
10.40. Найти среднюю длину свободного пробега Л молекулы
кислорода при нормальном давлении, если коэффициент диффузии
кислорода при том же давлении и тем¬
пературе 0°С равен D = 0,19 см2/с.
10.41. При политропическом рас¬
ширении идеального газа коэффициент
диффузии его молекул оставался неиз¬
менным. Определить показатель полит¬
ропы п.
10.42. Найти изменение энтропии
64 г газообразного кислорода в процес¬
се, в результате которого коэффициент
2 раза, а коэффициент диффузии остался неизменным.
10.43. Как изменится коэффициент диффузии молекул одноатом¬
ного газа при его адиабатическом расширении в 8 раз?
10.44. Найти теплоемкость политропического процесса при кото¬
ром коэффициент диффузии в идеальном газе остается постоянным.
10.45. Газообразный водород при нормальных условиях, непре¬
рывно протекая по трубе, на небольшом участке трубы диффунди¬
рует через стенку с чрезвычайно мелкими порами в откачиваемое
пространство (рис. 437). Во сколько раз изменится концентрация
-к вак.
насосу
Водород
Рис. 437
теплопроводности вырос в
305
дейтерия в откачиваемом газе против исходной (естественной) кон¬
центрации, близкой к 2 • К) 2%?
10.46. Два сосуда разделены пористой перегородкой. В началь¬
ный момент первый сосуд наполнен гелием (Д1 = 4), а второй —
ксеноном (Д2 = 131) при нормальных условиях. Перегородка не вли¬
яет на скорость диффузии, она лишь препятствует перемешиванию
газов при заполнении системы. Через некоторое время концентрация
Хе в Не на расстоянии I = 1 см от перегородки стала равной 0,01
атомных процентов. На каком расстоянии х от перегородки в этот
момент концентрация Не в Хе также составит 0,01 атомных процен¬
тов? Сравнить также частоту соударений Z\ атомов гелия в ксеноне
с частотой соударений Z2 атомов ксенона в гелии.
10.47. Сосуд представляет собой сферическую бомбу радиусом
Д0, к которой пристыкована трубочка радиусом г и длиной I. Тру¬
бочка присоединена к масс-спектрометру, а весь сосуд заполнен
некоторым газом. Концентрация газа п, температура Г, молярная
масса ц. Эффективное сечение рассеяния молекул а таково, что
(пг)^1 ^ и (hRq)^1 . Внутри бомбы в некоторый момент време¬
ни возникает примесь изотопа того же газа, незначительно отлича¬
ющегося по массе. Оценить время, через которое масс-спектрометр
сможет его зарегистрировать.
10.48. В атмосфере газа А имеется точечный источник друго¬
го газа В, испускающий атомы с тепловыми скоростями, которые
диффундируют в газе А. Длина свободного пробега атома В в газе
А равна Л. В среднем после п соударений (п 3> 1) атомы В соеди¬
няются с атомами А, образуя молекулы АВ. Определить средний
квадрат удаления атомов В от источника до момента образования
молекул АВ.
10.49. Свободный пробег молекул Н2 в Не при нормальных усло¬
виях равен приблизительно 3 • 10~5 см. Найти среднеквадратичное
смещение у/(г2) молекул Н2 в Не за 1 с; за 100 с. Как изменится ре¬
зультат, если: 1) давление Не увеличить в 4 раза; 2) температуру Не
увеличить в 4 раза; 3) давление и температуру увеличить в 4 раза?
10.50. В сосуде объемом 1 л находится воздух при нормальных усло¬
виях. В некоторой точке искусственно создано скопление молекул ра¬
диоактивного изотопа азота. Оценить время, через которое молекулы
радиоактивного азота равномерно распределятся по всему объему.
10.51. В дальнем углу комнаты открыли флакон с духами. Чело¬
век чувствует запах духов через одну минуту. Температура воздуха в
комнате П = 30 °С. Оценить время, через которое человек почувству¬
ет запах духов в той же комнате, в том же месте, если температура
воздуха упадет до t2 = — 30 °С.
10.52. По распространению радиоактивных газов после ядерных
взрывов известно, что, благодаря турбулентности, время перемеши¬
вания по всей земной атмосфере составляет около одного года. Во
306
сколько раз быстрее происходит процесс турбулентного перемешива¬
ния в условиях атмосферы по сравнению с молекулярной диффузией?
10.53. Рассеянный физик, уходя в отпуск, забыл в лаборатории
тонкостенный резиновый мешок с гелием объемом около 20 л. Когда
он вернулся, весь гелий продиффундировал наружу. Оценить изме¬
нение энтропии гелия. В обычном воздухе на один атом гелия при¬
ходится 107 молекул других газов. Какую минимальную работу надо
затратить, чтобы собрать гелий обратно в мешок?
10.54. Зная, что средняя длина свободного пробега однозарядно¬
го иона аргона-40 в некотором газе равна 10~5 см, найти (прибли¬
женно) среднюю скорость дрейфа v иона в этом газе под действием
однородного электрического поля 1? = 300 В/см. Температура газа
комнатная.
10.55. При прохождении электрического тока через слабо иони¬
зованный газ энергия ионов превышает тепловую энергию нейтраль¬
ных атомов. Оценить величину напряженности электрического поля,
при которой это превышение энергии становится порядка тепловой
энергии кТ, если давление газа Р = 0,01 мм.рт.ст., а эффективное
сечение рассеяния ионов на атоме а = 5 • 10-15 см2.
10.56. Оценить температуру Т электронов, двигающихся под дей¬
ствием электрического поля напряженностью Е = 100 В/см в возду¬
хе при нормальных условиях. Концентрация электронов мала, сече¬
ние столкновения их с молекулами воздуха ст ~ 10~15 см2.
10.57. При прохождении быстрых заряженных частиц через ка¬
меру Вильсона, наполненную аргоном при давлении Р = 1 атм и на¬
сыщенными парами воды, происходит образование ионов аргона, яв¬
ляющихся центрами конденсации паров воды. Считая, что движе¬
ние ионов обусловлено только диффузией, оценить ширину следа
частиц, если конденсация наступает через т = 0,01 с после проле¬
та частиц. Эффективное сечение рассеяния ионов аргона на атомах
а = 10-15 см2. Относительная атомная масса аргона А = 40, темпе¬
ратура Т = 300 к.
10.58. При наблюдении за поведением капли жидкости, несущей
на себе заряд q = 4,8 • Ю-10 ед. СГСЭ, в камере, наполненной водо¬
родом, было обнаружено, что сила тяжести, действующая на каплю,
может быть уравновешена электрическим полем с напряженностью
Е = 104 В/см. Наблюдение за каплей при включенном поле показа¬
ло, что за время т= 100 с капля передвигалась по сложной траек¬
тории и отошла от своего первоначального положения на величину
Дг = 10~2 см. Найти скорость установившегося падения капли при
выключенном поле. Давление водорода в камере Р = 1 атм, плот¬
ность р = 0,09 г/л.
10.59. Оценить, на какое среднее расстояние I от своего исходно¬
го положения удалится за t = 10 с молекула воздуха при нормальных
условиях.
307
10.60. Для защиты от газообразных радиоактивных продуктов
распада ториевую руду засыпают песком. При этом радиоактивный
газ торон 2ggRn, выделяемый рудой, во время прохождения через
песок в значительной мере распадается. Вычислить расстояние, на
котором концентрация торона падает в 105 раз. Период полураспа¬
да торона Т = 54,5 с, а коэффициент диффузии его в песке D =
— 0,04 см2/ с. Диффузию считать одномерной.
10.61. Космические лучи блуждают в Галактике, отклоняясь в
межзвездных магнитных полях. Этот процесс подобен диффузии.
Найти время т, за которое частицы пройдут путь порядка разме¬
ров Галактики R ~ 5 ■ 1022 см, если эффективная длина свободного
пробега Л « 3 • Ю20 см.
10.62. Изотермическая эффузия газа через пористую перегород¬
ку (поры которой малы по сравнению с длиной свободного пробега)
используется для разделения изотопов. Естественная смесь изото¬
пов помещается в сосуд с пористыми стенками. Газ, прошедший че¬
рез поры сосуда в результате эффузии, откачивается и собирается в
специальном резервуаре. С ним производится второй цикл эффузии,
затем третий и т. д., пока не будет достигнута требуемая степень раз¬
деления изотопов. Сколько циклов эффузии необходимо произвести,
чтобы отношение концентраций частиц легкого и тяжелого изотопов
увеличилось в 10 раз, если относительные молекулярные массы их
равны соответственно Цх и ц2?
10.63. Вязкость азота при нормальных условиях составляет ве¬
личину Ti = 16,8 • 10~5 дин • с/см2. Найти значение средней длины
свободного пробега Л молекул азота при этих условиях.
10.64. Вязкость аргона (относительная атомная масса А = 40)
при 0°С л = 21 • 10“5 дин • с/см2. Вычислить следующие величины
для аргона при нормальной температуре и давлении: 1) среднюю
скорость теплового движения атомов; 2) среднюю длину свободного
пробега атома; 3) среднее число -v столкновений атомов в 1 см,! за
1 с; 4) газокинетическое эффективное сечение атома <т; 5) газокине¬
тический радиус атома аргона г.
10.65. Согласно экспериментальным данным, отношение коэф¬
фициентов вязкости азота и водорода равно 1,94. Найти отношение
коэффициентов теплопроводности тех же газов, пользуясь представ¬
лениями классической кинетической теории газов.
10.661 Определить расход массы газа Q при стационарном изо¬
термическом пуазейлевом течении по цилиндрической трубе длиной
I и радиусом г, на концах которой поддерживаются давления Pi и
Р2 {Pi > Pi).
10.67. Для определения вязкости Г| углекислого газа им наполни¬
ли колбу объемом V — 1 л при давлении Pi = 1600 ммрт. ст. Затем
открыли кран, позволяющий С02 вытекать из сосуда через капилляр
длиной I = 10 см и диаметром D = 0,1 мм. Через время т = 22 мин
308
давление в колбе понизилось до Рл = 1350 мм рт. ст. Вычислить из
этих данных вязкость и газокинетический диаметр d молекулы С02.
Наружное атмосферное давление Р2 — 735 ммрт. ст. Процесс можно
считать изотермическим, происходящим при 15°С.
10.68. Камера объемом V = 100 л откачивается с помощью иде¬
ального насоса (т. е. улавливающего весь попадающий в него газ)
через трубу радиусом г = 2 см, длиной L = 1 м. Оценить, сколько
времени должна длиться откачка камеры от начального давления
Р\ = 1 атм до давления Р2 = 10-1 ммрт. ст. Коэффициент вязкости
воздуха считать равным г| = 1,8 • 10~4 П.
10.69. Камера объемом V = 100 л откачивается при комнатной
температуре с помощью идеального насоса (т. е. улавливающего все
попадающие в него молекулы воздуха) через трубку радиусом г =
= 2 см и длиной L = 1 м. Оценить время откачки от давления Рх =
= 10-4 Тор до давления Р2 = 10“7 Тор.
10.70. Из большого объема откачивается воздух при давлении
10“4 Тор и температуре Т = 300 К через трубку длиной L = 2 м и
радиусом г = 10 см. Насос имеет производительность Vt = 1000 л/с.
При какой производительности насоса V2 будет обеспечена такая же
скорость откачки (т. е. масса газа за одну секунду), если насос при¬
соединен непосредственно к откачиваемому объему?
10.71. Сосуд через трубку откачивается идеальным (т. е. улавли¬
вающим все попадающие в него молекулы) высоковакуумным насо¬
сом. Из-за течей в стенках сосуда давление в нем не падает до нуля, а
после длительной откачки устанавливается на уровне 10~fi Тор. Как
изменится этот предельный вакуум, если диаметр трубки уменьшить
вдвое?
10.72. Из сосуда воздух вытекает в атмосферу через трубку, изго¬
товленную из хорошего теплоизолятора. Найти массу газа т, выте¬
кающую за секунду из трубки, если давление и температура в сосуде
равны соответственно Рх и Гь наружное давление — Р0, длина труб¬
ки равна /, ее диаметр — d. Поток газа в трубке считать ламинарным;
пренебречь зависимостью вязкости г| от температуры.
10.73. Вода вытекает из широкого открытого сосуда через цилин¬
дрический капилляр радиусом R = 1 мм и длиной I = 10 см, располо¬
женный у дна сосуда. Какая энергия N расходуется ежесекундно на
выделение тепла, когда высота воды в сосуде h = 5 см? Температура
окружающего воздуха равна 20°С.
10.74! Оценить массу М жидкого воздуха, испарившегося за вре¬
мя т = 1 ч из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воз¬
духа (при комнатной температуре Т0 = 293 К), оставшегося между
стенками, равно Р = 10-3 ммрт. ст. Поверхность сосуда S = 600 см2,
удельная теплота испарения жидкого воздуха А = 48,4кал/г, а его
температура Т = 93 К. Зазор между стенками сосуда мал по сравне¬
нию с длиной свободного пробега.
309
Указание. Для упрощения считать, что молекулы воздуха, по¬
переменно ударяясь о холодную и теплую стенки, каждый раз отра¬
жаются от них со средними кинетическими энергиями поступатель¬
ного движения, соответствующими температурам стенок. Различием
между средней и средней квадратичной скоростями молекул прене¬
бречь, рассчитывая скорость молекул по формуле для средней квад¬
ратичной скорости.
10.75? Течение ультраразреженного газа через трубу можно рас¬
сматривать как процесс диффузии. Коэффициент диффузии опре¬
деляется исключительно столкновениями молекул газа со стенками
трубы. Столкновениями молекул между собой можно полностью пре¬
небречь. Роль длины свободного пробега играет диаметр трубы 2г.
Исходя из этих представлений, оценить число молекул N, ежесе¬
кундно проходящих через поперечное сечение цилиндрической тру¬
бы длиной I, если на одном конце трубы концентрация молекул газа
равна щ, а на другом — нулю. Течение считать изотермическим.
10.76? Решить предыдущую задачу в предположении, что на од¬
ном конце трубы концентрация молекул равна пь а на другом — п2.
Результат сравнить с формулой Пуазейля.
10.77. Два сосуда одинакового объема соединены трубками. Диа¬
метр одной из трубок очень велик, а другой очень мал по сравнению с
длиной свободного пробега молекул газа, находящегося в сосуде. Пер¬
вый сосуд поддерживается при постоянной температуре Т\ = 800 К,
а второй — при постоянной температуре Т2 = 200 К. В каком направ¬
лении будет перетекать газ по узкой трубке, если перекрыть краном
широкую трубку? Какая масса m газа перейдет при этом из одного
сосуда в другой, если общая масса газа в обоих сосудах равна М?
10.78. Стеклянный сосуд с толщиной стенок ( = 5мм и объе¬
мом V = 1 л наполнен азотом и окружен вакуумом. В стенке сосуда
образовался узкий цилиндрический канал радиусом а = 0,1 мм. На¬
чальное давление газа в сосуде настолько мало, что радиус канала
пренебрежимо мал по сравнению с длиной свободного пробега мо¬
лекул газа. Как меняется во времени концентрация молекул газа в
сосуде? Определить время т, по истечении которого давление газа в
сосуде уменьшится в е раз, если температура поддерживается посто¬
янной и равной Т = 300 К.
10.79. Полностью эвакуированный стеклянный сосуд с толщиной
стенок / = 3 мм и объемом V = 1 л погружен в атмосферу углекис¬
лого газа С02. В стенке сосуда образовался узкий цилиндрический
канал диаметром D = 0,1 мм. Давление окружающего газа настолько
мало, что диаметр канала пренебрежимо мал по сравнению с длиной
свободного пробега молекул газа. Как меняется во времени концен¬
трация молекул газа в сосуде? Определить время т, по истечении
которого давление газа в сосуде будет составлять (е — 1)/е = 0,632
от давления окружающего газа при условии, что температура под¬
держивается постоянной и равной Т = 300 К.
310
10.80. Сосуды с объемами V) и V2 соединены между собой ци¬
линдрическим капилляром радиусом а и длиной I, по которому про¬
исходит изотермическое кнудсеновское перетекание газа из одного
сосуда в другой. Как будет меняться во времени концентрация моле¬
кул газа в сосудах щ и п2, если их начальные значения были равны
Пю И 77-20?
10.81? Оценить по порядку величины установившуюся скорость,
с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский
диск, одна из сторон которого нагрета до температуры 7\ = 310 К, а
другая до температуры Т2 = 300 К. Температура воздуха Т = 300 К.
10.82. Определить, на какой угол ср повернется диск, подвешен¬
ный на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращает¬
ся с угловой скоростью си = 50 рад/с второй такой же диск. Радиус
дисков R = 10 см, модуль кручения нити / = 100 дин • см/рад, вяз¬
кость воздуха считать равной г| = 1,8 • 10~4 дин • с/см2. Краевыми
эффектами пренебречь. Движение воздуха между дисками считать
ламинарным.
10.83? Решить предыдущую задачу в предположении, что диски
помещены в сильно разреженный воздух с давлением Р = 10~4 Тор,
когда длина свободного пробега молекул воздуха велика по срав¬
нению с расстоянием между дисками. Для упрощения расчета счи¬
тать, что все молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному
значению скоростями, равными средней скорости молекул воздуха
v = 450 м/с.
10.84. Известно, что в атмосфере Венеры, состоящей в основном
из С02, сплошной облачный покров на высоте Н = 50 км вращает¬
ся относительно планеты вокруг ее оси с периодом Т = 3,6 • 104 с.
Считая движение ламинарным, оценить мощность N на единицу
площади поверхности, диссипирующую при этом движении вблизи
экватора. Атмосфера предполагается изотермической с температурой
Т = 600 К, радиус Венеры R = 6000 км.
10.85. Две частицы с радиусами oi = 5 • 10~6 см и а2 = 6 • 1СГ6 см
взвешены в растворе с вязкостью Г| = 10-2 П. Оценить время т, за
которое расстояние между частицами изменится на А1 = 10~2 см.
Температура раствора Т = 300 К.
10.86? В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы,
концентрация которых зависит только от одной координаты х. Вы¬
равнивание концентрации частиц происходит вследствие диффузии.
Выразить коэффициент диффузии броуновских частиц D через сред¬
ний квадрат смещения частицы в направлении оси X за время т.
10.87? Подвижностью В незаряженной броуновской (или какой-
либо другой) частицы называется коэффициент пропорциональности
между скоростью и установившегося движения ее под действием по¬
стоянной силы / и величиной самой силы:
и = Bf.
311
Взвесь одинаковых броуновских частиц в жидкости находится в по¬
ле силы тяжести. Написать выражение для суммарного потока ча¬
стиц вследствие диффузии и поля силы тяжести. В стационарном
состоянии суммарный поток должен равняться нулю. В то же время
стационарное распределение броуновских частиц по высоте дается
формулой Больцмана (барометрической формулой). Исходя из этих
соображений, установить связь между подвижностью частицы и ко¬
эффициентом диффузии.
10.88. Используя результаты решения двух предыдущих задач,
найти связь между средним квадратом смещения броуновской ча¬
стицы за время т в каком-либо определенном направлении Ах2 с
подвижностью этой частицы. Какой вид принимает эта связь для ша¬
рообразной частицы радиусом а? (По формуле Стокса подвижность
частицы В = 1/(б7ТГ|а), где Г| — динамическая вязкость жидкости.)
10.89. Определить среднее квадратичное горизонтальное переме¬
щение зерен гуммигута в воде при температуре 20 °С за 1 мин, если
известно, что их радиус а = 0,5 мкм, а вязкость воды Г| = 0,01 П.
10.90. Согласно Эйнштейну и Смолуховскому, число Авогадро
N можно определить, наблюдая броуновское движение зерен гумми¬
гута и измеряя среднее квадратичное перемещение их в некотором
фиксированном направлении. Чему равно это число, если среднее
квадратичное перемещение за 5 мин зерен гуммигута радиуса а =
= 0,385 мкм в глицерине при температуре 20°С равно 1,5 мкм? Вяз¬
кость глицерина г| = 1,49 П.
10.91. При обработке экспериментальных данных, относящихся
к броуновскому движению, удобнее и проще вычислять не (Ах2),
а (|Дж|). Предполагая, что распределение смещений Ах подчиняет¬
ся закону ошибок Гаусса, найти выражение для среднего смещения
броуновской частицы (|Дж|) за время т.
10.92. Капелька масла массой т — Ю”10 г падает в воздухе с
высоты h = 1м, совершая при этом броуновское движение. Предпо¬
лагая, что к ее падению применима формула Стокса, найти средний
квадрат (г2) отклонения капельки от ожидаемой точки падения, если
температура воздуха Т = 300 К. Проверить, выполняются ли условия
применимости формулы Стокса, если плотность масла р = 0,9 г/см3,
а вязкость воздуха г| = 1,8 • 10~4 П.
10.93. При измерении заряда электрона по методу Милликена на¬
блюдается броуновское движение масляных капель. При этом можно
найти не только заряд электрона, но и число Авогадро. Обозначим
через Vi скорость установившегося движения капли в поле тяжести
при отсутствии электрического поля. Пусть в электрическом поле
напряженностью Е капля поднимается вверх с установившейся ско¬
ростью г>2- Из этих наблюдений, как известно, можно вычислить за¬
ряд капли е. Пусть (Ах)2 — средний квадрат смещения частицы за
время т в направлении (горизонтальной) оси X. Считая, что уста¬
312
новившаяся скорость частицы пропорциональна приложенной силе,
найти выражение для Ne, где N — число Авогадро.
10.94. При наблюдении броуновского движения масляной капли
в конденсаторе Милликена (см. предыдущую задачу) было найдено
(Аж)2 = 1,05 • 10-5 см2, т = 10с, г>! + г>2 = 0,0268 см/с, Т = 300 К.
Напряжение на обкладках конденсатора V = 940 В, расстояние меж¬
ду пластинами конденсатора d = 0,7 см. Вычислить по этим данным
число Авогадро N. Измеренный на опыте заряд капли оказался рав¬
ным заряду электрона е = 4,8 • Ю“10 СГСЭ.
10.95. Оценить минимальный радиус i?min сферических водяных
капель тумана, начиная с которого происходит падение этих капель
на Землю. Температура атмосферы постоянна Т = 300 К. Вязкость
воздуха г| = 1,8 • 10“4 П.
10.96. В сферическом сосуде радиусом R — 0,015 см при темпера¬
туре Т = 300 К и давлении в несколько атмосфер в воздухе находят¬
ся шарообразные частицы различного радиуса г. Плотность пылин¬
ки р = 1 г/см3. При столкновении со стенкой частицы прилипают к
ней. Коэффициент прилипания частиц не зависит от их размера и
не уменьшается со временем. Концентрация пыли достаточно мала,
так что столкновениями пылинок друг с другом можно пренебречь.
Оценить радиус частиц пыли, которые будут наиболее долго удер¬
живаться в воздухе.
10.97. Определить величину среднеквадратичного момента им¬
пульса капельки воды радиусом г = 10~5 см, совершающей броунов¬
ское движение при Т = 300 К.
10.98. В микроскоп рассматривают тонкий слой крови. Какое
время потребуется, чтобы заметить броуновское смещение эрит¬
роцитов (красных кровяных телец), если минимальное расстоя¬
ние, которое можно зафиксировать, составляет I = 10~6 м? Вязкость
крови г) = 4,5 • 10“3 Па • с; эритроцит считать шариком радиусом
г = 3 • 10“6 м. Температура t — 27°С.
10.99. Оценить размер алюминиевой частицы, взвешенной в жид¬
кости с плотностью р = 1 г/см3 и вязкостью Г| = 1П, для которой
скорость вязкого падения сравняется со скоростью теплового движе¬
ния при комнатной температуре. Будут ли выпадать в осадок такие
частицы в алюминиевой краске?
10.100. Жидкий азот хранится в цилиндрическом сосуде диа¬
метром d = 10 см, обернутом теплоизоляцией из пенопласта с на¬
ружным диаметром D = 30 см. Считая, что теплопередача в пено¬
пласте определяется теплопроводностью воздуха, заключенного в
порах, определить, за какое время произойдет испарение 1% жид¬
кого азота. Жидкий азот заполняет объем полностью и находит¬
ся при температуре кипения ti = —195°С. Температура окружаю¬
щего воздуха t2 — 25°С. Коэффициент теплопроводности воздуха
при температуре io = 0°C равен х0 = 0,025 Вт/(м • К). Теплота па¬
313
рообразования азота Л = 5,6 кДж/моль. Плотность жидкого азота
0,8-103 кг/м3.
10.101. В рацион питания космонавта было включено молоко, ко¬
торое за несколько суток до старта залили в вертикально располо¬
женный цилиндрический сосуд. За это время в молоке образовался
состоящий из капелек жира слой, толщина которого оказалась значи¬
тельно меньше высоты сосуда. Успеет ли восстановиться однородное
распределение капель жира в сосуде за такое же время пребывания
в невесомости? Считать, что размер капель во времени не меняет¬
ся и что запуск ракеты (ввиду его кратковременности) не привел к
перемешиванию молока.
10.102. Оценить число Рейнольдса для отработанных газов в вы¬
хлопной трубе автомобиля «Москвич». Диаметр ее около 20 мм, а
температура газов в ней ~ 100 °С. Расход бензина при езде со скоро¬
стью 60 км/ч около 8 кг на 100 км. Бензин представляет собой смесь
углеводородов типа СпН2п и молекулярной массой ~ 102. При оценке
вязкости выхлопных газов эффективное сечение соударений можно
считать ~ 10~14 см2.
10.1031 Найти стационарный поток пара от сферической капли
жидкости радиусом а в процессе ее испарения (или конденсации пара
на капле). Коэффициент диффузии паров жидкости в воздухе равен
D, плотность пара на большом расстоянии от капли р^,, плотность
насыщенного пара рн. Найти также плотность пара р в зависимости
от расстояния г от центра капли. Зависимость давления насыщенного
пара от кривизны поверхности жидкости не учитывать.
10.104. Найти время испарения тисп водяной капли с началь¬
ным радиусом а в воздухе с относительной влажностью ср и тем¬
пературой t — 20°С. Рассмотреть два случая: 1) ср = 40%, а = 1 мм;
2) ср = 99%, а = 1 мкм. При t = 20°С давление насыщенных водяных
паров Ри = 17,5 ммрт. ст., коэффициент диффузии D = 0,22 см2/с.
Указание. Считать процесс испарения капли стационарным.
Это допустимо, если плотность пара рп гораздо меньше плотности
жидкости рж.
10.105. В цилиндрическом сосуде с площадью основания S —
= 100 см2 налита вода. Наверху сосуда находится вещество, погло¬
щающее водяные пары (давление паров вверху равно нулю). Рассто¬
яние между уровнем воды и поглотителем Н = 10 см. Температура
системы Т = 300 К. Определить давление паров у поверхности воды,
если известно, что за t = 1 ч количество воды уменьшилось на Ат =
= 0,14 г. Средний свободный пробег А молекул в системе воздух-пар
принять равным 10~5 см. Пар у поверхности воды считать насыщенным.
10.106. Найти время испарения воды из трубки длиной I = 10 см,
запаянной с одного конца. Температура I, = 27°С. Первоначально во¬
да заполняла трубку наполовину; относительная влажность возду¬
ха 50%. Давление насыщенных паров при температуре 27°С Рн =
314
= 20 Тор. Длина свободного пробега Л в системе воздух-пар порядка
10“5 см. Пар у поверхности воды считать насыщенным, капиллярны¬
ми явлениями пренебречь.
10.107. Открытый цилиндрический сосуд с теплоизолированными
стенками частично заполнен водой, которая понемногу испаряется.
Установившаяся температура воды на 4° ниже температуры окру¬
жающего воздуха (300 К). Оценить разность концентраций пара над
поверхностью воды и вне сосуда, считая, что перемещение пара вверх
определяется диффузией. Средний свободный пробег молекул воды
и воздуха считать одинаковым. Молярная теплота испарения воды
Л = 44 кДж/моль.
10.108. Вода из чайного блюдца испаряется в комнате за вре¬
мя порядка суток. Оценить соотношение между числом вылетающих
из жидкости в секунду молекул Ni и числом возвращающихся в
жидкость N2. Можно считать, что испарение небольшого количества
воды практически не изменяет влажность воздуха, равную 70%. Ка¬
кими явлениями определяется число возвращающихся в жидкость
молекул? Оценить время испарения, пренебрегая токами воздуха в
комнате.
10.109. Найти плотность потока j молекул жидкости, испаряю¬
щихся с единицы площади поверхности в единицу времени в ваку¬
ум при температуре Т, если известно давление насыщенных паров
Ртс при этой температуре и коэффициент прилипания К. Последний
равен отношению числа молекул пара, прилипающих к поверхности
жидкости, к полному числу молекул пара, ударяющихся за это время
о поверхность жидкости.
10.110. Во многих задачах принимается, что непосредственно над
поверхностью жидкости ее пар является насыщенным. Оценить на
следующем примере, насколько хорошо выполняется эта идеализа¬
ция. В цилиндрической трубке, открытой сверху, налита вода. Рас¬
стояние от открытого (верхнего) конца трубки до уровня воды L =
= 30 см велико по сравнению с диаметром трубки. Трубка сверху
обдувается поперечным потоком сухого воздуха, так что давление
пара на верхнем конце трубки можно считать равным нулю. Учи¬
тывая диффузию пара в трубке и считая, что каждая молекула,
ударяющаяся о поверхность воды, прилипает к ней, оценить вели¬
чину (Рнас — Р)/Р, где Р — фактическое давление пара непосред¬
ственно над поверхностью воды, а Рнас — давление насыщенного
пара. Средняя длина свободного пробега молекулы пара в воздухе
A R3 Ю“5 см.
10.111. Узкий цилиндрический сосуд, диаметр которого мал по
сравнению с его высотой ha = 20 см, полностью заполнен водой при
температуре 300 К. Сосуд обдувается сверху поперечным потоком су¬
хого воздуха, так что давление пара на верхнем конце сосуда можно
считать равным нулю. Учитывая диффузию пара в сосуде, найти вре¬
мя, через которое испарится вся вода. Плотность насыщенного пара
315
при рассматриваемой температуре рн = 3 • 10”5г/см3, а коэффици¬
ент диффузии паров воды в воздухе D = 0,3 см2/с.
10.112. В столбике вертикально расположенного спиртового тер¬
мометра на глубине L = 1 см от верхнего уровня образовался неболь¬
шой воздушный пузырек, разделивший столбик на две части. Объем
капилляра выше уровня жидкости заполнен только парами спирта.
Пренебрегая возможностью растворения воздуха в спирте, а так¬
же переносом жидкости по поверхностной пленке, оценить время т,
за которое целостность столбика может восстановиться. Плотность
спирта р = 0,8 г/см3, давление паров спирта при Т = 300 К равно
Р0 = 45 ммрт. ст., эффективное сечение столкновений молекул в па¬
рах спирта a R3 8 • 10-15 см2.
10.113. Найти изменение энтропии 88 г углекислого газа, если в
результате некоторого процесса его вязкость увеличилась в \/2 раз,
а коэффициент диффузии — вдвое.
10.114. Найти изменение энтропии 132 г углекислого газа в про¬
цессе, в результате которого его динамическая вязкость уменьши¬
лась в 2 раза, а число ударов молекул об 1 см2 стенки сосуда за 1 с
уменьшилось в 4 раза.
10.115. Как изменится скорость падения маленькой капли жидко¬
сти в камере Вильсона после адиабатического увеличения объема в
2 раза. Воздух в камере для простоты считать идеальным газом.
10.116. При измерении вязкости методом Стокса стальные шари¬
ки плотностью р и радиусом г сбрасываются точно в центре сосуда
в жидкости с плотностью рж и температурой Т. Каково среднеквад¬
ратичное расстояние (AR2) точек удара шариков о дно сосуда от его
центра, если высота столба жидкости равна Н?
10.117. Установка для разделения изотопов методом газовой эф¬
фузии состоит из N каскадов, в каждом из которых газообразная
смесь изотопов проходит через малое отверстие в тонкой перего¬
родке, разделяющей две камеры. Прошедший во вторую камеру газ
откачивается и направляется в первую камеру следующего каскада.
Во всех первых камерах поддерживается одинаковое давление, во
много раз большее давления газа во всех вторых камерах. Опреде¬
лить обогащение смеси легким изотопом т. е. отношение конечной
относительной концентрации а = плег/птяж к начальной, для случая
водорода (изотопы с атомными массами 1 и 2) при N = 20.
10.118. Найти разность молярных энтропий для молекулярного
кислорода в условиях эффекта Кнудсена внутри стакана с пористыми
стенками и вне его, если температура внутри стакана составляет
Т\ = 350 К, а вне его — Т2 — 300 К.
10.119. Между двумя бесконечными непроницаемыми пластина¬
ми, параллельными друг другу и имеющими разные температуры Т]
и Т2, находится разреженный одноатомный газ, так что длина сво¬
бодного пробега значительно больше расстояния между пластинами.
316
Концентрация молекул газа и. Определить среднюю кинетическую
энергию атомов в единице объема между пластинами. Предполага¬
ется, что в пространстве между пластинами атомы имеют максвел¬
ловские распределения по скоростям с температурами Т) и Т2.
10.120. Между двумя бесконечными непроницаемыми пластина¬
ми, параллельными друг другу и имеющими разные температуры Т)
и Т2, находится разреженный одноатомный газ, так что длина сво¬
бодного пробега значительно больше расстояния между пластинами.
Концентрация молекул газа п, масса атома гп. Определить плотность
теплового потока q между пластинами. Предполагается, что атомы
газа в пространстве между пластинами имеют максвелловские рас¬
пределения по скоростям с температурами Т) и Т2.
10.121. Цилиндр с теплоизолированными стенками разделен на
две равные части теплопроводящей перегородкой, слева от которой
находится фтористый водород XH19F, а справа 20Ne. В торцевых стен¬
ках находится по одному очень маленькому отверстию площадью S,
через которые молекулы газов начинают вытекать в вакуум, причем
из-за теплообмена температуры газов можно считать одинаковыми.
Определить тепловой поток j через перегородку в начальной стадии
процесса, когда изменением концентрации молекул газа в цилиндре
можно пренебречь. Начальная температура Т и давление газов Р
одинаковы.
10.122. В центре куба, составленного из чередующихся пластин
разного материала, в результате ядерной реакции образовались моно-
энергетические нейтроны. Найти отношение времен, через которые
эти нейтроны будут зарегистрированы у граней куба, параллельной и
перпендикулярной плоскости пластин. Пластины имеют одинаковую
толщину и содержатся в одинаковом количестве. Длины свободного
пробега нейтронов в материале пластин равны соответственно и
Л2 (Лх и Л2 много меньше толщины пластины).
10.123. Пучок молекул азота, летящих со скоростью 107см/с,
проходит через сантиметровый слой азота, находящегося при давле¬
нии 1СГ4 Тор и температуре 0°С. Оценить, как быстро будет расти
температура азота, если плотность пучка такова, что через каждый
квадратный сантиметр проходит 10е молекул в секунду. Диаметр мо¬
лекул считать равным 3,7 • 1СП8 см.
10.124. Оценить эффективное время выравнивания температуры
в медном стержне длиной L = 10 см в вакууме. Плотность меди р =
= 8,9 г/см3, коэффициент теплопроводности к = 3,8 Дж/(с • см • К),
Т >> 0, где 0 — дебаевская температура*).
*) Неравенство Т ^> © указывает на то, что теплоемкость материала не зави¬
сит от температуры (закон Дюлонга-Пти).
317
10.125. При температуре Т вязкость некоторого газа с относи¬
тельной молекулярной массой ц. равна т). Оценить по этим данным
плотность сжиженного газа. Газ считать идеальным.
10.126. При теоретическом описании свойств реальных газов
энергию взаимодействия двух атомов как функцию расстояния
часто записывают в
12
= 4еп
го
Го
форме потенциала Леннард-Джонса U(r)
Принимая, что для ксенона относительная
атомная масса А = 131, £0 = 0,02 эВ, г0 = 4 А, оценить в рамках этой
модели коэффициент самодиффузии ксенона в критической точке.
Указание. Эффективное сечение столкновений определить из
условия, что энергия взаимодействия при максимальном сближении
частиц порядка кинетической энергии.
10.127. При теоретическом описании свойств реальных газов
энергию взаимодействия двух атомов как функцию расстояния
часто записывают в форме потенциала Леннард-Джонса U(r) =
= 4е0
12
(?)
Принимая, что для неона относительная
атомная масса А — 20, £о = 3 • 1СГ3 эВ, г0 = 2,8 А, определить в рам¬
ках этой модели температурную зависимость вязкости неона в пре¬
деле низких плотностей и высоких температур, т. е. когда кТ £().
(См. указание к задаче 10.126.)
10.128. Доска Гальтона имеет вид квадрата со стороной Н, в
который вбиты N 1 гвоздиков. Сверху в нее запускают стальной
шарик радиусом г, который много больше радиуса гвоздика, но много
меньше расстояния между ними. Оценить, насколько шарик откло¬
нится от вертикальной прямой, проведенной через точку бросания,
когда достигнет нижнего края доски.
10.129. При низкой температуре Т0 две молекулы связаны межмо¬
лекулярными силами и образуют ассоциат. При нагреве до 7\ = 2Т0
ассоциат распадается на молекулы. Сечение столкновения молекул
в 1,5 раза меньше сечения столкновения ассоциатов. Определить,
во сколько раз изменится коэффициент диффузии при неизменном
давлении.
10.130. При нормальном давлении и температуре 7\ = 1000 К ко¬
эффициент самодиффузии аргона равен D\ — 1,51 см2/с, а при тем¬
пературе Т-2 = 2000 К — соответственно, D2 — 5,03 см2/с. В соответ¬
ствующем диапазоне параметров сечение столкновения молекул опи¬
сывается формулой Сазерленда о = од ^1 + — J, где А — константа.
Определить значение коэффициента самодиффузии аргона при тем¬
пературе Т3 = 1500 К.
10.131. Коэффициент теплопроводности гелия (газа) при темпера¬
туре Тг = 80 К равен ху = 0,064 Вт/(мК), а при температуре 300 К —
318
соответственно, х2 = 0,152 Вт/(мК). В соответствующем диапазоне
параметров сечение столкновения молекул описывается формулой
чение коэффициента теплопроводности при температуре Г3 = 150 К.
10.132. Димер аргона Аг2 можно рассматривать как двухатомную
молекулу, которая состоит из двух атомов Аг, связанных межмоле¬
кулярными силами. При нагреве такого газа от температуры Т0 до
температуры 1\ = 4Г0 димер распадается на атомы. При этом сече¬
ние столкновения атомов Аг в 1,6 раза меньше сечения столкновения
молекул Аг2. Определить, во сколько раз изменится коэффициент
теплопроводности. Длина свободного пробега молекул меньше ха¬
рактерных размеров сосуда.
10.133. Тонкостенная шарообразная колба с радиусом R запол¬
нена газом. Колба облучается излучением, для которого стенки про¬
зрачны. В стационарном режиме в единице объема газа поглощается
мощность излучения q. Стенки колбы охлаждаются так, что их тем¬
пература равна То- Коэффициент теплопроводности газа при этой
температуре равен х0. Считая, что теплоотвод определяется тепло¬
проводностью газа, определить температуру в центре колбы.
10.134. Медный шарик находится в воздухе при нормальном дав¬
лении. Вдали от шарика поддерживается постоянная температура
Г0 = 273 К в постоянная относительная молярная концентрация при¬
меси озона а = 0,01 (1%). Молекулы озона, диффундируя в воздухе,
попадают на поверхность шарика и мгновенно вступают к химиче¬
скую реакцию с выделением некоторого количества теплоты q на
одну молекулу. В стационарном режиме температура шарика устано¬
вилась на величину АГ = 40 К выше, чем температура воздуха вдали
от шарика. Определить величину q. Зависимостью теплопроводности
воздуха {х — 2,4 • 10~2 Вт/(м • К)) и коэффициента диффузии озона
в воздухе (D = 1,6 • 10~5 м2/с) от температуры пренебречь.
10.135. Тонкостенная длинная цилиндрическая пробирка радиу¬
сом R заполнена газом. Пробирка облучается излучением, для кото¬
рого ее стенки прозрачны. В стационарном режиме в единице объема
газа поглощается мощность излучения q. Стенки пробирки охлажда¬
ются так, что их температура равна Г0. Коэффициент теплопровод¬
ности газа при этой температуре равен х0. Считая, что теплоот¬
вод определяется теплопроводностью газа, определить температуру
на оси пробирки вдали от ее концов.
10.136. В воздухе, находящемся при нормальном давлении, рас¬
положена длинная прямая никелевая проволока. Вдали от нее под¬
держиваются постоянными температура Г0 = 273 К и относительная
молярная концентрация примеси озона а= 0,01 (1%). Молекулы озо¬
на, диффундируя в воздухе, попадают на поверхность проволоки и
мгновенно вступают в химическую реакцию с выделением количе¬
ства теплоты д=1,1эВ в расчете на молекулу. Оценить повыше¬
Сазерленда
константа. Определить зна-
319
ние температуры нити АТ в стационарном режиме. Зависимостью
теплопроводности воздуха {к = 2,4 • 10”2 Вт/(м ■ К)) и коэффициен¬
та диффузии озона в воздухе (D = 1,6 ■ 10”г> м2/с) от температуры
пренебречь.
10.137. Над горизонтальной неподвижной плоскостью на расстоя¬
нии L от нее движется с горизонтальной скоростью v = 3 м/с парал¬
лельная ей другая плоскость. Между плоскостями находится вязкая
жидкость (вязкость г) = 1,48 кг/(м • с), коэффициент теплопроводно¬
сти х~ 0,285 Вт/(м • град)). Движение жидкости ламинарное. Тем¬
пература плоскостей поддерживается равной t0 = 20 °С. Коэффициен¬
ты вязкости и теплопроводности от температуры не зависят. Опреде¬
лить стационарное распределение температуры между плоскостями.
Учесть, что при вязком трении в единице объема выделяется тепло-
10.138. Над горизонтальной массивной плитой из материала с
большой теплопроводностью расположен диск, плоскость которо¬
го параллельна поверхности плиты. Диск вращается вокруг верти¬
кальной оси, проходящей через его центр, скорость вращения рав¬
на v = 80 об/мин. Температура плиты равна 20 °С. Диск изготов¬
лен из теплоизолирующего материала. Пространство между пли¬
той и диском заполнено вязкой жидкостью с коэффициентом вяз¬
кости т| = 1,48 кг/(м ■ с) и коэффициентом теплопроводности х =
= 0,285 Вт/(м • град)). Радиус диска равен Д = 20 см, расстояние
между поверхностью плиты и нижней поверхностью диска равно
L = 2 мм. Пренебрегая зависимостью х и ц от температуры, опре¬
делить распределение установившейся температуры на нижней по¬
верхности диска. Движение жидкости ламинарное. Учесть, что при
вязком трении в единице объема выделяется тепловая мощность, рав-
10.139. В сосуде с водой взвешены частицы ртути, способные при¬
липать к стенкам сосуда. Оценить время, за которое вода очистится
от взвеси, задавшись определенными размерами частиц. При каких
условиях сила тяжести будет существенно влиять на процесс?
10.140. В тропосфере, то есть до высоты Н = 11,5 км, темпера¬
тура воздуха убывает со скоростью а = 6,5 К/км. Определить длину
свободного пробега молекул на верхней границе тропосферы. Темпе¬
ратура на уровне моря Т0 = 288 К, давление Р0 = Ю5 Па. Газокине¬
тический диаметр молекул d = 3,6 • 10”10 м.
10.141. В тропосфере, то есть до высоты Н = 11,5 км, темпера¬
тура воздуха убывает со скоростью а = 6,5 К/км. На какой высоте
длина свободного пробега молекул равна Л = 10”7 м? Температура
на уровне моря Т0 = 288 К, давление Рп — 105 Па. Газокинетический
диаметр молекул d = 3,6 • Ю”10 м.
320
10.142. По медной трубе диаметром d = 10 см и длиной L = 20 м
из реактора выводятся ультрахолодные нейтроны. Их движение по
трубе с шероховатыми стенками носит характер одномерной диффу¬
зии. Оценить, во сколько раз возрастет поток нейтронов по трубе с
гладкими стенками с зеркальным отражением нейтронов. Столкно¬
вениями между нейтронами пренебречь.
10.143. Оценить отношение скоростей испарения двух одинако¬
вых капель воды радиусом R = 1 см, одна из которых находится в
вакууме, а другая — в сухом воздухе. Длина свободного пробега
молекул воды в воздухе Л = 10“5 см.
10.144. В длинном и тонком металлическом стержне возбужде¬
ны продольные колебания. Модуль Юнга для материала стержня
Е = 1012 дин/см2, удельная теплоемкость с = 0,1 кал/г • град, теп¬
лопроводность х = \ кал/(см • град • с). В какой области частот ко¬
лебания будут изотермическими?
10.145. Две колбы с одинаковыми объемами V соединены труб¬
кой длиной L с малым поперечным сечением S (L ■ S <С V). В на¬
чальный момент времени одна из колб наполнена смесью газов СО и
N2 с парциальными давлениями, соответственно, Ро и Р — Р0, а дру¬
гая колба наполнена N2 под давлением Р. Коэффициент диффузии
СО в N2 или N2 в СО равен D. Определить зависимость парциаль¬
ного давления СО в первой колбе от времени.
10.146. В центре сферы радиусом Яг = 5 см находится шарик ра¬
диусом R0 = 0,5 см, на поверхности которого протекает химическая
реакция с постоянной скоростью Ws — 3,0 • 10~8 моль/(см2 • с). Тем¬
пература сферы поддерживается постоянной. Тепловой эффект реак¬
ции Q = 8,0 • 104 Дж/моль. Теплоотвод определяется теплопровод¬
ностью смеси исходных веществ и продуктов реакции. Коэффициент
теплопроводности х= 3,0 • 10~4 Вт/(см ■ К) не зависит от темпера¬
туры. Определить разность температур То — Тх между поверхностя¬
ми шарика и сферы.
10.147. На поверхности внутреннего цилиндра длинного коак¬
сиального цилиндрического сосуда (радиус внутреннего цилиндра
До — 0,05 см) протекает химическая реакция с постоянной скоро¬
стью Ws = 5,0 • 10-8 моль/(см2 • с). Температура внешнего цилиндра
поддерживается постоянной, его радиус Дх = 2,0 см. Тепловой эф¬
фект реакции Q = 9,0 • 104 Дж/моль. Теплоотвод определяется теп¬
лопроводностью смеси исходных веществ и продуктов реакции. Ко¬
эффициент теплопроводности х = 3,5 ■ 10~4 Вт/(см • К) не зависит
от температуры. Определить разность температур То — Тг между по¬
верхностями шарика и сферы.
10.148. В объеме длинного цилиндрического сосуда радиусом
R = 2 см протекает реакция с образованием атомов водорода. Ско¬
рость реакции W0 — 6,0 • 1019 атомов/(см3 • с). При столкновении со
стенкой сосуда атомы водорода захватываются с вероятностью е =
321
= 10 3. Определить среднюю концентрацию атомов водорода в сосу¬
де, если температура в сосуде Т = 788 К, а коэффициент диффузии
D = 60 см2/с.
10.149. В объеме сферического сосуда радиусом R = 2 см про¬
текает реакция с образованием атомов водорода. Скорость реакции
Wo — 6,0 • 1019 атомов/(см3 • с). При столкновении со стенкой сосуда
атомы водорода захватываются с вероятностью е = 10~3. Определить
среднюю концентрацию атомов водорода в сосуде, если температура
в сосуде Т = 788 К, а коэффициент диффузии D — 60 см2/с.
10.150. Шарообразные частицы золота радиусом = 2 • 10"8 см
и шарообразные частицы соли NaCl радиусом а2 — 4 • 1СГ8 см ис¬
пытывают броуновское движение в воде, имеющей температуру Т —
= 293 К. При сближении частиц в результате случайных блужданий
на малое расстояние R = 8 • 10~8 см друг от друга частица золота
и частица соли коагулируют (т. е. слипаются). Оценить полное чис¬
ло коагуляций частиц "V золота и соли в единице объема в единицу
времени, если концентрации золота и соли щ = п2 -- 5 ■ 1014 см~3, а
вероятность тройных, четверных и т. д. сближений частиц пренебре¬
жимо мала. Вязкость воды Г| = 0,01 дин • с/см2.
10.151. Шарообразные частицы оксида железа Fe203 радиусом
di = 8 • 1СП8 см и шарообразные частицы соли КС1 радиусом а2 —
= 4 • 10-8 см испытывают броуновское движение в воде, имеющей
температуру Т = 293 К. При сближении частиц в результате слу¬
чайных блужданий на малое расстояние R = 18 • 10-8 см друг от
друга частица Fe203 и частица КС1 коагулируют (т. е. слипают¬
ся). Оценить полное число коагуляций у частиц Fe203 и КС1
в единице объема в единицу времени, если концентрации Fe203
и КС1 п\ = п2 = 1014 см-3, а вероятность тройных, четверных и
т. д. сближений частиц пренебрежимо мала. Вязкость воды т] =
= 0,01 дин • с/см2.
10.152. Оценить максимальный размер водяной капли, падение
которой в воздухе может быть еще описано с использованием фор¬
мулы Стокса.
10.153. В большом объеме находятся частица-зародыш сфери¬
ческой формы с начальным радиусом Ro = Ю~2 см и малые ша¬
рообразные частицы с одинаковыми радиусами а = 10~5 см и той
же плотности (в г/см3), что и частица-зародыш. Двигаясь незави¬
симо друг от друга, малые частицы диффундируют с коэффици¬
ентом диффузии D = 3 • Ю-7 см2/с к частице-зародышу и адсор¬
бируются на ее поверхности, в результате чего радиус частицы-
зародыша увеличивается (при этом ее сферическая форма сохраня¬
ется). Определить, во сколько раз возрастет объем большой частицы
через 2 часа, если вдали от нее концентрация малых частиц равна
п0 = Ю13 см~3.
322
10.154. В большом объеме находится шарообразная частица с
начальным радиусом R0 = 1 мм. Частица разрушается по поверхно¬
сти (при этом шарообразная форма частицы сохраняется) так, что
вблизи ее поверхности непрерывно образуется «газ» из малых ча¬
стиц сферической формы с радиусами а = 1СГ5 см и концентраци¬
ей п0 = 1013 см~3. Малые частицы диффундируют с коэффициентом
диффузии D = 9 • 1СГ6 см2/с в окружающий объем, и вдали от боль¬
шой частицы их концентрация равна нулю. Определить время т, за
которое объем разрушающейся частицы уменьшится в 2 раза.
10.155. Температура воздуха внутри жилого помещения равна
Т\ = 295 К, а за окном — Т0 = 273 К. Сечение столкновений молекул
изменяется с температурой таким образом, что коэффициент вязко¬
сти газа в указанном диапазоне температур можно аппроксимировать
формулой г| = г|о(Т/Т0)0'7, где г)о — значение коэффициента вязкости
воздуха при температуре Т0. Во сколько раз среднее число двойных
столкновений молекул воздуха, происходящих в единичном объеме
за единицу времени в помещении, отличается от соответствующей
величины за окном?
10.156. Атмосферное давление за бортом самолета, летящего на
большой высоте, равно Рг = 26,5 кПа, а температура — Т) = 223 К,
в пассажирском салоне давление равно Р0 = 75 кПа, а температу¬
ра — Т0 = 295 К. Сечение столкновений молекул изменяется с тем¬
пературой таким образом, что коэффициент теплопроводности газа в
указанном диапазоне температур можно аппроксимировать формулой
я = я0(Т/Т0)0,8в, где Но — значение коэффициента теплопроводно¬
сти воздуха при температуре Т0. Во сколько раз число столкновений,
испытываемых молекулой воздуха в единицу времени с другими мо¬
лекулами воздуха внутри пассажирского салона, отличается от соот¬
ветствующей величины в окружающей самолет атмосфере? Различия
в химическом составе воздуха внутри самолета и в окружающей ат¬
мосфере можно не учитывать, зависимостью теплоемкости воздуха
от температуры пренебречь.
10.157. У открытого конца горизонтально расположенной теп¬
лоизолированной трубки поддерживаются постоянными температура
воздуха То, а также небольшая концентрация п0 примеси, содержа¬
щейся в воздухе. Попадая на тонкую пластинку, прикрепленную к
теплоизолированному дну трубки, молекулы примеси поглощаются,
так что их концентрацию вблизи пластинки можно считать равной
нулю. При поглощении каждой молекулы выделяется количество теп¬
ла w. Учитывая зависимость коэффициентов переноса от температу¬
ры, определить температуру пластинки Тп. Известно, что при тем¬
пературе То коэффициент диффузии примеси в воздухе равен Do, а
коэффициент теплопроводности воздуха x0.
10.158. Две вертикальные металлические пластины расположе¬
ны в воздухе параллельно на расстоянии I друг от друга, при¬
323
чем I гораздо меньше размеров пластин. Одна из пластин нагре¬
та до температуры 7\, в результате чего она начинает испарять¬
ся, и вблизи этой пластины создается небольшая постоянная кон¬
центрация паров щ. Температура второй пластины поддерживает¬
ся равной Т0 < Г,. На холодной пластине пары конденсируются,
так что их концентрацию вблизи холодной пластины можно счи¬
тать равной нулю. Учитывая зависимость коэффициентов переноса
от температуры, рассчитать плотность потока j паров металла меж¬
ду пластинами. При температуре Т0 коэффициент диффузии паров
металла в воздухе равен D0, коэффициент теплопроводности воз¬
духа х0.
10.159. Определить среднеквадратичное значение изменения рас¬
стояния между двумя взвешенными в растворе частицам с радиуса¬
ми оц = 3 • 10“6 см и а2 = 2,4 • 10“6 см за время т = 5 мин. Вязкость
раствора г| = 10~2 П, температура раствора Т = 300 К.
§ 11. Фазовые превращения
11.1* В закрытом сосуде при 0°С находится один моль воды. Ка¬
кое количество тепла надо затратить, чтобы повысить температу¬
ру системы до 100 °С и чтобы при этом вся вода превратилась в
насыщенный пар? Удельная теплота испарения воды при 100 °С и
постоянном давлении Л = 539 кал/г. Давлением насыщенного па¬
ра при 0°С и теплоемкостью стенок сосуда пренебречь. Прене¬
бречь также объемом воды по сравнению с объемом ее насыщенного
пара.
11.2. Какую работу совершает за один цикл 1-2-3-4-5-6-1 ма¬
шина Карно, рабочим телом которой является один моль воды, испы¬
тывающий во время работы машины фазовые превращения в пар и
обратно (рис. 438). Изотермам 1-2-
3-4 и 5-6 соответствуют температуры
= 500 К и Т2 — 373 К. Нижняя изо¬
терма 5-6 целиком лежит в двухфаз¬
ной области вещества, так что в 6 име¬
ется только жидкость, а в 5 — толь¬
ко пар. Кривые 1-6 и 4-5 — адиабаты.
Удельная теплота парообразования во¬
ды А = 2,26 кДж/г (при Т = 373 К).
11.3. На дне сосуда, откачиваемого
до высокого вакуума, наморожен пло¬
скопараллельный слой льда толщиной
I = 7 мм, нижняя поверхность которого поддерживается при посто¬
янной температуре t0. Определить эту температуру, если извест¬
но, что при откачке сосуда на верхней поверхности слоя льда
установилась температура П = —50°С. Теплопроводность льда х =
Рис. 438
324
= 5,3 • 10~3 кал/(с • см • °С). Удельная теплота сублимации льда q =
= 680 кал/г. Давление насыщенного пара над льдом при t\ = —50°С
в отсутствии откачки равна Р = 0,03 ммрт. ст.
11.4? Рассмотрев цикл Карно для системы, состоящей из жид¬
кости и ее насыщенного пара, и применив к нему теорему Карно,
выразить производную давления насыщенного пара по температуре
dP/dT через удельные объемы пара и жидкости vn, ьж и удельную
теплоту парообразования А.
11.5. Ромбическая сера превращается в моноклинную при t =
= 96,5 °С. При атмосферном давлении удельная теплота превращения
q = 2,2 кал/г. Скачок удельного объема серы при фазовом превраще¬
нии Av — 0,014 см3/г. Найти смещение АТ точки фазового перехода
серы при изменении давления на АР = 1 атм.
11.6. Уксусная кислота при атмосферном давлении плавится при
температуре t = 16,6°С. Разность удельных объемов жидкой и твер¬
дой фаз уксусной кислоты Av = 0,16 см3/г. Точка плавления ук¬
сусной кислоты смещается на АТ = 1 К при изменении давления
на АР = 41 атм. Найти удельную теплоту плавления q уксусной
кислоты.
11.7. Найти давление насыщенного водяного пара при температуре
101 °С. Считать пар идеальным газом.
11.8. Найти повышение температуры кипения воды при увеличе¬
нии давления ее насыщенного пара на одну избыточную атмосферу
вблизи точки кипения воды при давлении воздуха 1 атм. Удельная
теплота испарения воды в этих условиях А = 539 кал/г.
11.9. Часть закрытого сосуда занимает вода при температуре
Т — 300 К. Найти относительное изменение плотности насыщенно¬
го пара при увеличении температуры на 10 К. Теплота испарения
при этой температуре А = 580 кал/г. Пар считать идеальным газом.
11.10. Найти температуру приготовления пищи в скороварке, ес¬
ли диаметр отверстия предохранительного клапана скороварки d =
= 5 мм, а масса грузика, закрывающего клапан, m = 60 г. Теплоту
парообразования для воды принять равной А = 2260 кДж/кг. Пар
считать идеальным газом.
11.11. Насыщенный водяной пар, находящийся в цилиндре под
поршнем при 100 °С, нагревают на 1°С и перемещают поршень так,
что пар остается насыщенным, а конденсации не происходит. Найти
относительное изменение объема пара, считая его идеальным газом.
Теплота парообразования воды при 100°С А = 539 кал/г.
11.12. Найти удельный объем водяного пара vn при 100°С и нор¬
мальном давлении, если известно, что при давлении 735,5 мм рт. ст.
температура кипения воды равна 99,1 °С. Удельная теплота парооб¬
разования при 100 °С А = 539 кал/г.
11.13. Гейзеры могут рассматриваться как большие подземные ре¬
зервуары, наполненные грунтовой водой и прогреваемые подземным
325
Нагретые пласты
Рис. 439
теплом (рис. 439). Выход из них на поверхность земли осуществ¬
ляется через узкий канал, который в «спокойный» период заполнен
водой. Считая, что «активный» период наступает, когда закипает вода
в подземном резервуаре, и что во время извержения гейзера канал
заполнен только паром, который и вы¬
брасывается наружу, оценить, какую
часть воды теряет резервуар гейзера во
время одного извержения. Глубина ка¬
нала h — 90 м. Удельная теплота паро¬
образования воды Л = 2260 Дж/г.
11.14. По одну сторону цилиндра,
разделенного легким поршнем на две
части, находится идеальный газ, по
другую — небольшое количество воды
с насыщенным паром. Найти относи¬
тельное изменение объема идеального газа при нагревании всей си¬
стемы от 100 °С до 101 °С. Теплота парообразования воды при 100°С
Л = 539 кал/г.
11.15. На дне сосуда, заполненного воздухом, разлито немного
воды. Сосуд закрыт поршнем, который медленно выдвигают, поддер¬
живая при этом температуру постоянной. Когда объем увеличивается
в два раза, вода исчезает. Определить давление пара, а также пол¬
ную массу воды (в жидкой и парообразной фазах) и массу воздуха
в камере, если известно, что вначале давление было Р\ = 3 атм, а
затем стало Р2 = 2 атм, а начальный объем V0 = 22,4 л. Молярные
массы воды и воздуха считать известными.
11.16. В закрытом сосуде с объемом V0 — 5 л находится 1 кг воды
при температуре 1 = 100°С. Пространство над водой занято насы¬
щенным водяным паром (воздух выкачан). Найти увеличение мас¬
сы насыщенного пара Ат при повышении температуры системы на
АТ = 1 К. Удельная теплота парообразования А = 539 кал/г.
Указание. Пар считать идеальным газом. Удельным объемом
воды пренебречь по сравнению с удельным объемом пара.
11.17. Вода в сосуде нагревается до температуры кипения и за¬
тем быстро на лифте поднимается на 30-й этаж (h = 100 м), так что
изменением температуры воды за время подъема можно пренебречь.
Оценить относительное изменение массы воды к моменту, когда по¬
сле подъема прекратится процесс кипения. Теплота парообразования
А = 2260 Дж/г, удельная теплоемкость воды с = 4,2 Дж/(г • К). Пар
считать идеальным газом.
11.18. Вычислить удельную теплоту парообразования Ai для во¬
ды при температуре Т\ = 323 К, зная эту величину при температуре
Гг = 373 К (А2 = 539 кал/r). Теплоемкость воды считать постоянной,
т. е. не зависящей от Г и Г. Пар считать идеальным газом, теплоем¬
кость которого можно вычислить по классической теории. Удельным
объемом воды по сравнению с удельным объемом пара пренебречь.
326
11.19. С помощью цикла, составленного из ветвей кривых, прохо¬
дящих по границе фаз «вода-пар» и двух двухфазных изотерм при
Т\ = 323 К и Т2 = 373 К, определить удельную теплоту парообразо¬
вания воды при 323 К Л(з2з). Сжимаемостью жидкости пренебречь,
пар считать идеальным газом. Известны Л(;)7:р = 2260 Дж/г, удель¬
ная теплоемкость воды св = 4,18 Дж/(г • К), молярная теплоемкость
водяного пара Cv = 3,3R.
11.20. При определении влажности по точке росы было установ¬
лено, что конденсация водяного пара наблюдается при охлаждении
поверхности гигрометра до температуры 10°С. Найти значение абсо¬
лютной влажности, т. е. количество водяного пара (в граммах), нахо¬
дящегося в 1 м3 воздуха, считая, что удельная теплота парообразо¬
вания воды не зависит от температуры и равна Л = 2480 Дж/г. Пар
считать идеальным газом.
11.21. В цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, находится
вода в равновесии с насыщенным паром при температуре t = 200°С.
На сколько следует изменить относительную высоту поршня над
уровнем воды, чтобы при одновременном повышении
температуры на 1 К масса насыщенного пара не измени¬
лась? Удельная теплота парообразования Л = 540 кал/г.
11.22. В тонкостенный металлический шар радиу¬
сом г = 10 см, из которого выкачан воздух, налита во¬
да. Давление воздуха вне шара равно атмосферному. До
какой максимальной температуры можно нагреть воду,
чтобы стенки шара не разорвались, если предельное на¬
тяжение на разрыв, которое они могут выдержать, а =
= 88 Н/см? Количество воды в шаре таково, что при этой температу¬
ре еще не вся вода испаряется, однако объем воды мал по сравнению
с объемом пара.
11.23. В запаянной U-образной трубке содержится эфир и его па¬
ры (рис. 440). Оценить чувствительность этого дифференциального
конденсационного термометра h/АТ при 7\ ~ Т2 ~ 300 К, когда дав¬
ление насыщенного пара Р ~ 1 атм, а плотность жидкости 0,7 г/см3.
Молярная теплота испарения эфира Л = 3,88 • 104 Дж/моль. Темпе¬
ратура кипения эфира при давлении 1 атм Тк = 467 К.
11.24. Вывести формулу, выражающую зависимость давления на¬
сыщенного пара от температуры при следующих предположениях:
1) пар подчиняется уравнению состояния Клапейрона; 2) удельная
теплота испарения Л является линейной функцией температуры, т. е.
Л = Л0 — аТ; 3) удельный объем жидкости пренебрежимо мал по
сравнению с удельным объемом насыщенного пара.
11.25. Определить температуру кипения воды Т на высоте Н от
поверхности Земли. Атмосферу предполагать изотермической с тем¬
пературой Та. Давление воздуха на поверхности Земли равно Р0.
Удельная теплота парообразования Л не зависит от температуры.
327
11.26. Найти изменение температуры кипения воды на одной из
вершин Памира (Н = 7150 м). Температуру воздуха считать посто¬
янной и равной 0°С.
11.27. Из большого теплоизолированного объема выкачан воздух.
В нем установлены два открытых сосуда с эфиром, один на три мет¬
ра выше другого. Определить разность температур эфира в сосудах
после установления равновесия, если в начальный момент темпера¬
тура в обоих сосудах t = 27°С. Удельная теплота испарения эфира
Л = 355 Дж/г Удельным объемом жидкого эфира по сравнению с
удельным объемом паров пренебречь.
11.28. Терморегулятор автомобильного двигателя представляет
собой цилиндрический сосуд с гофрированными стенками (сильфон),
наполненный спиртом и его парами. При низкой температуре воды
давление в сильфоне малое, он сжат и закрывает клапан, ослабляя
таким образом циркуляцию воды в системе охлаждения двигателя
(рис. 441). При достаточно высокой температуре воды сильфон растя¬
гивается и открывает клапан, вода начинает циркулировать сильнее,
охлаждается и т. д. Какова должна быть сила давления пружины кла¬
пана, чтобы клапан открывался при температуре t = 90 °С? Диаметр
сильфона d = 20 мм, точка кипения спирта при Р0 = 1 атм to = 78°С
(формула спирта С2Н5ОН). Удельная теплота испарения спирта Л =
= 850 Дж/г.
11.29. Насыщенный водяной пар при температуре t = 100 °С адиа¬
батически расширяется, при этом его температура падает на АТ =
= 1 К. Считая, что равновесие между жидкой и газообразной фазами
успевает установиться, определить, какая часть водяного пара при
этом конденсируется. Пар считать идеальным газом.
11.30. Насыщенный водяной пар при температуре Г = 300 К под¬
вергается адиабатическому сжатию и адиабатическому расширению.
В каком из этих процессов пар превращается в ненасыщенный и в
каком в пересыщенный?
11.31. Теплоизолированный сосуд разделен неподвижной тепло¬
проводящей перегородкой на две равные части (рис. 442). В части I
328
находятся 1,2 моля азота и 1 моль паров воды с относительной влаж¬
ностью ср = 0,9; в части II — 4 моля неона. Температура газов Т0 =
= 373 К. Отделяющий неон от внешней среды поршень АВ начинают
медленно выдвигать. При каком относительном увеличении объема
части II начинается конденсация паров воды на стенках сосуда? Мо¬
лярная теплота парообразования воды Л = 41 кДж/моль, теплоемко¬
стью стенок пренебречь.
11.32. Пары воды вытекают в атмосферу через капилляр диамет¬
ром d = 2 • 1СП3 м и длиной 1 = 0,1м из закрытого сосуда, в кото¬
рый налита вода. Сосуд поддерживается при температуре Т = 374 К.
Оценить количество тепла Q, подводимое к сосуду за 1 с. Тепло¬
та парообразования Л = 2260Дж/г. Пар считать идеальным газом.
Предполагается, что в каждый момент времени успевает установить¬
ся равновесие между водой и паром. Вязкость паров воды принять
равной т| = 1,3 • 10“5 Па • с.
11.331 При 0°С давление насыщенного водяного пара над льдом
Pi = 4,58 мм рт. ст. Удельная теплота плавления льда при 0°С q =
= 80 кал/г. Удельная теплота испарения воды при 0°С Л = 596 кал/г.
Найти давление насыщенного водяного пара над льдом при темпера¬
туре t = — 1°С.
11.34. Кусок льда помещен в адиабатическую оболочку при тем¬
пературе 0°С и атмосферном давлении. Как изменится температура
льда, если его адиабатически сжать до давления Р = 100 атм? Какая
доля льда Атп/тп при этом расплавится? Удельные объемы воды vB =
= 1 см3/г, льда цл = 1,09 см3/г. Теплоемкости воды и льда связаны
соотношением сл и 0,6 св.
11.35. В Антарктиде под почти четырехкилометровой толщей льда
(3,7 км) обнаружены озера пресной воды. Определить температуру
воды в этих озерах, если удельная теплота плавления льда q =
= 335 кДж/кг, а отношение плотности льда и плотности воды со¬
ставляет 0,917.
11.36. Вертикальная труба частично заполнена водой с темпе¬
ратурой 1о = 0°С до высоты Н — 20 м. На сколько изменится вы¬
сота содержимого трубы, если ее температура понизится до t\ — —
—0,01°С? Удельная теплота плавления льда q = 80 кал/г, а плотность
льда равна рл = 0,92 г/см3. Известно, что к этой трубе лед не при¬
мерзает.
11.371 В толстостенном закрытом сосуде помещен кусок льда, над
которым находится насыщенный водяной пар. В сосуд можно нагне¬
тать воздух до высокого давления. На сколько надо повысить давле¬
ние воздуха в сосуде, чтобы давление насыщенного пара над льдом
повысилось на один процент, если температура (Т = 250 К) поддер¬
живается постоянной? Удельный объем льда v„ = 1,1 см3/г.
11.38. Удельный объем льда при 0°С равен 1,091 см3/г, а воды —
1 см3/г; молярная теплота плавления льда 6000 Дж/моль. При какой
329
температуре плавится лед под давлением собственного пара, равным
4,6 Тор?
11.39. Из духового ружья стреляют пулей, сделанной из льда.
Скорость пули v = 165 м/с. При каких температурах окружающего
воздуха пуля будет плавиться? Вязко¬
стью воздуха пренебречь.
11.40. На ледяную поверхность, тем¬
пература которой равна —1°С, ставит¬
ся штанга, площадь основания которой
равна 10 см2. При каком весе штанги
лед под ней начнет таять? Теплота плав¬
ления льда равна 335Дж/г, удельный
объем льда при нормальных условиях
~ 1,1 см3/г.
11.41. Найти изменение температуры
плавления льда АТ при повышении дав¬
ления на АР = 1 атм. Удельный объем воды при 0°С vM = 1 см3/г,
удельный объем льда v„ — 1,091 см3/г, удельная теплота плавления
льда q = 80 кал/г. По найденному значению АТ рассчитать прибли¬
женно температуру тройной точки воды.
11.421 Определить изменение энтропии системы, состоящей из во¬
ды и насыщенного пара, при переходе ее в насыщенный пар. Началь¬
ная температура системы Ть конечная Т2. Начальная масса пара тоь
конечная т2. Зависимостью удельной теплоты парообразования Л от
температуры пренебречь. Пар рассматривать как идеальный газ.
11.43. Три фазы /, 2, 3 находятся в равновесии друг с другом в
тройной точке (рис. 443). Их удельные объемы в этой точке равны
соответственно щ, v2, v3. Пусть Pi2 = Ри(Т), Р23 = Р23(Т), Р31 =
= Р31(Т) — уравнения кривых равновесия между фазами 1 и 2, 2 и 3,
3 и 1. Показать, что в тройной точке имеет место соотношение
(ч, - + {V, - ч3)Др + ('», - Ч,)Д|1 = 0.
11.44. Определить приближенно давление и температуру (по шка¬
ле Цельсия) в тройной точке воды, пользуясь следующими данными.
Давление насыщенного пара над жидкой водой Рх = 4,579 мм рт. ст.
при t — ti = 0°С, Р2 = 4,926 мм рт. ст. при t = t2 = 1°С. Удельный
объем льда при 0°С и нормальном атмосферном давлении (Р0 =
= 760 мм рт. ст.) Vi = 1,091 см3/г удельный объем воды при тех
же условиях v2 = 1 см3/г. Удельная теплота плавления льда q —
= 80 кал/г.
11.451 Температура воды в тройной точке £ = 0,0075°С, удель¬
ная теплота плавления льда при той же температуре qX2 = 80 кал/г.
Удельный объем водяного пара'ш тройной точке v3 — 206000 см3/г.
По сравнению с ним удельными объемами льда щ и воды v2 мож¬
но пренебречь. Что больше: давление насыщенного пара над водой
Рис. 443
330
Pi или над льдом Р2 при температуре 0°С? Чему равна разность
Л - Р2?
11.46. В цилиндре под поршнем помещена вода, над которой нахо¬
дится смесь воздуха и насыщенных водяных паров. Начальное дав¬
ление на поршень равно атмосферному (1 атм). Затем давление на
поршень увеличивают в два раза. На сколько процентов изменится
давление насыщенного водяного пара в цилиндре, если температура
(Т = 300 К) сохраняется неизменной?
11.47! В закрытом сосуде при температуре t = 20 °С находится
влажный воздух с относительной влажностью ср = 80%. На сколь¬
ко градусов надо понизить температуру стенок сосуда, чтобы на
них начала выпадать роса? Удельная теплота парообразования воды
при 20 °С Л = 600 кал/г. Водяной пар рассматривать как идеальный
газ.
11.48. В сосуде находятся вода и насыщенный пар при давлении
Р. В верхней части сосуда имеется небольшое отверстие, через кото¬
рое пар истекает в пустоту. Определить скорость истечения пара v,
предполагая процесс адиабатическим. Пар приближен¬
но считать подчиняющимся уравнению состояния иде¬
ального газа. Удельная теплота парообразования воды
равна Л и не зависит от температуры.
11.49. Известно, что точка кипения неоднородной
системы, помещенной в стакане (рис. 444) и состоя¬
щей из слоев несмешивающихся жидкостей: четырех¬
хлористого углерода СС14 и воды Н20 — равна 66 °С,
что ниже точки кипения воды, равной 100°С, и чистого СС14 (76,7°С).
Эти данные относятся к нормальному давлению. Как изменится точ¬
ка кипения такой системы, если внешнее давление возрастет на 10%?
Молярная теплота парообразования воды равна 40,5 кДж/моль, че¬
тыреххлористого углерода — 29 кДж/моль.
11.50. В закрытый сосуд диаметром d = 10 см налита вода до
уровня Н = 20 см. Пары воды могут истекать в атмосферу через ка¬
пилляр радиусом г = 1 мм и длиной I = 10 см, вставленный в крыш¬
ку сосуда. Оценить время, в течение которого испарится вся вода.
Температура системы постоянна и равна t = 101 °С. Пар считать иде¬
альным газом. Коэффициент внутреннего трения пара г) = 128 мкП.
11.51. В предварительно откачанный закрытый сосуд диаметром
D налита вода до уровня Н1. В боковой стенке у дна сосуда вделан
горизонтальный трубопровод круглого сечения радиусом г, длиной I,
через который вода вытекает в атмосферу. Через какое время уровень
воды в сосуде понизится до Н2? Температура воды в сосуде постоянна
и превышает температуру кипения Т0 при нормальном давлении Р0
на АТ <С Т0. Удельная теплота парообразования воды равна А. Тече¬
ние воды в трубопроводе считать ламинарным, вязкость воды равна
т|. Плотностью водяного пара по сравнению с плотностью воды р
пренебречь. Пар считать идеальным газом.
СС14
Рис. 444
331
11.52. В предварительно откачанный закрытый широкий сосуд на¬
лита вода до уровня h — 20 см. В боковой стенке у дна сосуда сделано
отверстие, которое можно закрывать пробкой. До какой температу¬
ры Т следует нагреть воду в сосуде, чтобы скорость ее истечения
через боковое отверстие при этой температуре превышала в два раза
скорость истечения при температуре Т0 = 373 К?
11.53. В воздухе помещения при температуре 15 °С и некоторой
относительной влажности содержится 1 кг паров воды. При какой
температуре Т (и той же относительной влажности) количество воды
в воздухе достигнет 2,7 кг? Считать, что в этих условиях удельная
теплота испарения воды постоянна и равна Л = 2420 Дж/г.
11.54. В сосуде находятся один моль воды при температуре Т0
и давлении Р0 и пренебрежимо малое количество водяного пара.
Система нагревается до температуры Г, так что вся вода превраща¬
ется в пар. Теплота парообразования при температуре Т0 равна Л0.
Определить изменение внутренней энергии системы в этом процессе.
Считать пар идеальным газом.
11.55. В теплоизолированном сосуде при температуре t0 = 0°С на¬
ходится большой кусок льда. Сверху в лед с силой F — 400 Н вдав¬
ливается медный стержень сечением S = 0,1 см2. Оценить, за какое
время стержень погрузится в лед на глубину Н = 1 см. Температура
стержня надо льдом тоже равна 0°С, коэффициент теплопроводности
меди хм = 4 • 107эрг/(с • см • К), удельная теплота плавления льда
q = 80 кал/г, плотность льда рл « 0,9 г/см3, коэффициент теплопро¬
водности льда хл«хм.
11.56. Тонкая проволока, охватывающая петлей брусок льда, под
действием нагрузки способна пройти сквозь лед. Полагая, что ско¬
рость движения проволоки v определяется скоростью подвода тепла
через проволоку от области над проволокой, где вода замерзает, к
области под проволокой, где плавится лед, оценить величину скоро¬
сти V. Теплопроводностью льда пренебречь. Температура льда 0°С,
теплота плавления q = 335 Дж/г, плотность льда р = 0,917 г/см3.
Диаметр проволоки d = 0,1 мм, коэффициент теплопроводности х =
= 130 Вт/(м • К), давление Р, создаваемое под проволокой, принять
равным 10 атм.
11.57. Найти удельную теплоту испарения бензола А вбли¬
зи его тройной точки, если известно, что при этих условиях
его удельная теплота плавления q = 30,2 кал/г, температура трой¬
ной точки Т = 279 К, равновесное давление пара в тройной точ¬
ке Р = 36 мм рт. ст.. и для кривой возгонки в той же точке из¬
вестно dP/dT = 2,43 мм рт. ст./К. Считать пар бензола идеальным
газом.
11.58. Найти коэффициент объемного расширения а, изотермиче¬
скую сжимаемость (Зт и теплоемкость Ср неоднородной равновесной
системы, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара.
332
11.59. Определить адиабатическую сжимаемость двухфазной си¬
стемы, состоящей из насыщенного пара и небольшого количества
жидкости. Пар считать идеальным газом.
11.60. В теплоизолированном цилиндре с поршнем заключено
небольшое количество жидкого гелия, находящегося в равновесии
со своими парами. Температура гелия Т = 4,2 К. Поршень медленно
выдвигают до тех пор, пока весь гелий не испарится. В результате
такого адиабатического процесса относительное приращение объема
гелия оказалось равным AV/V = 0,02. Определить относительное
изменение давления АР/Р газообразного гелия, предполагая, что
он подчиняется уравнению состояния идеального газа. Теплота испа¬
рения гелия А = 21,8 Дж/г. Считать, что в начальный момент масса
пара существенно превышает массу жидкости.
11.61. определить удельную теплоемкость с насыщенного пара,
расширяющегося (или сжимающегося) таким образом, что во время
процесса он все время остается насыщенным. Пренебречь удельным
объемом жидкости по сравнению с удельным объемом ее насыщен¬
ного пара. Считать, что пар подчиняется уравнению состояния Кла¬
пейрона. Произвести численный расчет для воды при температуре
Т = 373 К, считая, что к водяному пару применима классическая
теория теплоемкостей. Удельная теплота парообразования для воды
при 373 К равна Л = 539 кал/г.
11.621 Решить предыдущую задачу, зная удельную теплоту испа¬
рения Л и ее производную по температуре dA/dT, но не предполагая,
что пар подчиняется уравнению состояния Клапейрона. Для воды
при t = 100°С dA/dT = —0,64 кал/(г • К), с* = 1,01 кал/(г • К).
11.63. Под невесомым теплопроводящим поршнем, разделяющим
цилиндрический замкнутый сосуд на две части, помещен один моль
воды. Над поршнем находится 1 моль воздуха. Давление и темпера¬
тура в сосуде соответственно равны Р = 760 Тор и t = 100 °С. Опре¬
делить теплоемкость системы (без учета материала сосуда и порш¬
ня). Удельная теплота парообразования А = 2260 Дж/г.
11.64. В условиях предыдущей задачи определить теплоемкость
вещества под поршнем, если поршень теплонепроницаемый, а воздух
над поршнем поддерживается при постоянной температуре t = 100 °С.
11.65. В замкнутом сосуде находится вода в равновесии с насы¬
щенным паром при температуре t = 100 °С. Отношение масс пара и
воды равно (3 = 0,1. Удельная теплоемкость воды с0 = 4,2 Дж/(г • К).
Найти удельную теплоемкость с такой системы. Пар считать идеаль¬
ным газом, удельная теплота парообразования А = 2260 Дж/г.
11.66. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме ред¬
кого тумана (т. е. насыщенного пара с капельками воды, полная масса
которых много меньше массы пара) при t = 100 °С. Молярная теплота
испарения воды А = 41 кДж/моль не зависит от температуры.
11.67. Найти скорость изменения удельной теплоты испарения
жидкости от температуры dA/dT, считая насыщенный пар идеаль¬
333
ным газом. Удельная теплоемкость жидкости равна с, коэффициент
объемного расширения жидкости — а. Рассчитать dX/dT для воды
вблизи точки кипения при атмосферном давлении.
11.68. Конденсация пара на ионах, образованных заряженной ча¬
стицей в газе камеры Вильсона, осуществляется путем адиабатиче¬
ского расширения объема камеры. Камера наполняется газом и со¬
держит насыщенные пары жидкости. Найти отношение mi/m2, где
тп,1 и т2 — массы насыщенных паров до и после расширения камеры
в г| раз. Для смеси газа и пара Cp/Cv =у, начальная температура
Т много ниже критической. Молярную теплоту испарения Л считать
постоянной, а пар — идеальным газом. Теплом, выделенным при кон¬
денсации, пренебречь.
11.69. Стенки сосуда объемом V = 1 л, в котором помещен водо¬
род при давлении 760 Тор и температуре 273 К, резко охлаждаются
до температуры тройной точки (Р = 60 Тор, Т = 14 К). Оценить вре¬
мя «вымораживания» водорода, т. е. время, в течение которого давле¬
ние в сосуде существенно уменьшится. Как будет влиять присутствие
гелия на этот процесс?
11.70. Превращение NH4N03 из ромбической в ромбоэдрическую
форму происходит при атмосферном давлении при 32,0°С. Оно со¬
провождается поглощением тепла 1600 Дж/моль, плотность при этом
уменьшается с 1,72 до 1,66 г/см3. Найти температуру такого превра¬
щения при давлении 10 атм.
11.71. В тонкостенном откачанном сосуде помещен твердый ан¬
трацен СюН8. Пары антрацена, образующиеся при его сублимации,
вытекают наружу через малое отверстие в стенке сосуда. В тече¬
ние фиксированного промежутка времени измеряется потеря веса
антрацена в сосуде. Оказалось, что при повышении температуры от
Ti = 283 К до Т2 = 303 К потеря веса антрацена за одно и то же
время увеличилась в а = 9,6 раза. Вычислить теплоту сублимации
антрацена q, предполагая, что в каждый момент времени успевает
устанавливаться равновесие между твердым антраценом и его па¬
ром. Пар можно рассматривать как идеальный газ. Удельным объ¬
емом твердого антрацена по сравнению с удельным объемом пара
пренебречь.
11.72. При температуре Т\ = 0,1 К и давлении Рх = 31 атм жид¬
кая и твердая фазы изотопа 3Не находятся в равновесии. При тем¬
пературах Г вплоть до нескольких милликельвин энтропия жидкого
3Не пропорциональна температуре: Дж = уТ, где коэффициент про¬
порциональности у = 4,6Д, а энтропия твердого гелия остается по¬
стоянной и равной ST = R 1п2. На сколько нужно увеличить давле¬
ние Р в смеси жидкого и твердого 3Не, чтобы температура фазового
равновесия Тг упала в 10 раз? Считать, что разность молярных объ¬
емов жидкого и твердого 3Не постоянна и равна АП = Иж — VT =
= 1,3 см3/моль.
334
11.73. Кривая плавления изотопа 3Не проходит через точку
Ti = 0,12 К и Pi = 31 атм. При каком давлении Р2 жидкая и твер¬
дая фазы гелия-3 будут находиться в равновесии при температуре
Т2 = 0,42 К? Найти уравнение кривой плавления 3Не в переменных
Т,Р в интервале между этими температурами. Молярная энтро¬
пия жидкого 3Не в рассматриваемой области температур и давле¬
ний определяется выражением SM — RT/Q, где 0 = 0,46 К. Моляр¬
ная энтропия твердого 3Не не зависит от температуры и равна STB =
= Д1п2. Разность молярных объемов жидкого и твердого гелия-3
считать постоянной и равной V* — VTB = 1,25 см3/моль. Найти так¬
же величину и знак молярной теплоты плавления q для темпера¬
тур Тг и Т2.
11.74. Молярная энтропия жидкого гелия-3 при низких темпера¬
турах меняется по закону Sx = RT/Q, константа 0 и 0,46 К при дав¬
лениях, близких к 30 атм. Энтропия одного моля твердого гелия при
этих условиях не зависит от температуры и равна STB = 0,7R. Зная,
что при Тг = 0,25 К гелий-3 затвердевает при давлении Рг = 29 атм,
найти давление, когда он затвердевает при Т = 0,1 К. Разность мо¬
лярных объемов жидкого и твердого гелия-3 при этих температурах
ДИ = V* — Vj = 1,25 см3.
11.75. Согласно одной из моделей, центральная часть Земли (так
называемое ядро) состоит из железа. Внешняя часть ядра расплав¬
лена, а внутренняя радиусом R яа 1200 км, твердая. Ядро остывает
со скоростью и, примерно равной 100 К за 109 лет. На сколько из¬
менится радиус твердой части ядра за 109 лет? Считать, что теплота
плавления железа при условиях, соответствующих поверхности ядра,
q я» 125 Дж/г, температура на ней Т « 3700 К и изменение плотно¬
сти железа при затвердевании Др = 0,3 г/см3.
11.76. Определить теплоту испарения жидкого гелия в пределе
Т —> 0, считая, что гелий подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
Известно, что для гелия Ткр = 5,2 К.
11.77. Влажный шарик находится в воздухе с плотностью во¬
дяного пара на больших расстояниях от шарика равной р0 =
= 8,6 • 10~6 г/см3. Оценить установившуюся разность температур
шарика и воздуха (на больших расстояниях от шарика). Плотность
насыщенных паров воды при комнатной температуре (20 °С) равна
р°ас = 1,7 • 10~5 г/см3. Коэффициент диффузии паров воды в возду¬
хе равен D = 3 • 10-5 м2/с. Коэффициент теплопроводности воздуха
равен к = 2,4 • 10-2 Вт/(м • К). Теплота испарения воды равна Л =
= 2,2 • 106 Дж/кг. Считать, что движения воздуха не происходит.
11.78. Воду в скороварке объемом V = 10 л доводят до кипения,
и в этот момент, когда вся вода выкипает, клапан скороварки гер¬
метично закрывают, а скороварку охлаждают до 0°С. В результате
этого на стенках конденсируется ш = 6,7 г воды. Оценить, на сколь-
335
ко температура кипения в этой скороварке выше 100°С. Молярная
теплота парообразования воды при 100 °С равна Л = 40,7 кДж/моль.
Пар считать идеальным газом.
11.79. При сжижении газов по простой схеме Линде доля сжи¬
женного газа а определяется его давлением Р и температурой Т на
входе. Максимальное значение а наблюдается, когда при постоянной
температуре Т энтальпия газа I в зависимости от его энтропии S
минимальна, т. е.
~ j = 0. Рассматривая водород как газ Ван-дер-
Ваальса с критическими значениями давления и температуры Ркр =
= 13 атм и Ткр = 33 К, оценить при Т = 80 К величину давления Р
на входе.
11.80. Кривая плавления неона описывается формулой Р =
= А(Т - Т0)с - В, где А = 15,7 • 105 Па • К“с, В = 0,59 • 108 Па,
Т0 = 11,7 К, с = 1,42. Определить изменение энтропии AS неона при
плавлении, если Тпл = 24,6 К. Разность молярных объемов при этой
температуре АП = 2,1 • 10~6 м3/моль.
11.81. Кривая плавления аргона описывается формулой Р =
= А(Т - Г0)с - В, где А = 5,0 • 105 Па • К~с, В = 1,48 • 108 Па, Г0 =
= 30,2 К, с = 1,43. Определить молярную теплоту плавления А арго¬
на при Тпл = 83,8 К. Разность молярных объемов при этой темпера¬
туре АП = 3,6 • 10“6 м3/моль.
11.82. Давление насыщенного пара на кривых фазового равнове¬
сия (испарения и сублимации) вблизи тройной точки описывается
формулой Кирхгофа 1пР й 4 - В/Т, где А и В — эксперименталь¬
ные постоянные. Если измерять давление в Па, то на кривой ис¬
парения жидкой углекислоты Ди = 21,6, а на кривой сублимации
твердого С02 Ас = 25,6. Тройная точка для С02: Р = 5,11 атм, t =
= — 56,6°С. Определить молярную теплоту плавления Л углекислоты
вблизи тройной точки.
11.83. Давление насыщенного пара бензола С6Н6 вблизи трой¬
ной точки описывается формулой Кирхгофа ЫР^А — В/Т, где
А и В — экспериментальные постоянные. Если измерять давление
в Па, то на кривой испарения жидкости Ди = 14,0, Вк = 1541 К, а
на кривой возгонки Ав = 18,2, Вв = 2713 К. Определить температу¬
ру и давление в тройной точке бензола, а также удельную теплоту
плавления твердого бензола Лпл.
11.84. На некоторых спутниках Юпитера при температуре Т =
= 137 К предполагается наличие морей из метана СН4. Опреде¬
лить, при каком давлении на поверхности спутников это воз¬
можно. Под давлением Р = 105 Па метан кипит при температу¬
ре Т0 = 112 К. При этой температуре теплота испарения метана
равна Л0 = 8200 Дж/моль. Теплоемкости метана считать, соответ¬
ственно, равными Сж = 58 Дж/(моль • К) для жидкости и СР =
= 41 Дж/(моль • К) для газа.
336
11.85. Под давлением Рх = 105 Па азот N2 кипит при тем¬
пературе Т] = 76 К. В атмосфере Сатурна при температуре Т2 =
= 106 К предполагается наличие жидкого азота в слоях, в кото¬
рых давление превышает Р2 = 1,08 • 106 Па. Принимая теплоемко¬
сти азота в соответствующем диапазоне температур равными Сж =
= 58,5 Дж/(моль • К) для жидкости и СР ~ 28,8 Дждмоль • К) для
газа, определить значения молярной теплоты испарения азота при
температурах Т\ и Т2.
11.86. При температуре ниже 0°С упругость насыщенных паров
над переохлажденной водой и над льдом по разному уменьшается
при понижении температуры, и при определенной температуре насы¬
щенный пар по отношению к воде оказывается пересыщенным па¬
ром по отношению ко льду. Этот эффект приводит к росту ледяных
частиц в облаках и образованию града и снега. Оценить температу¬
ру, при которой наблюдается максимальная разность между упруго¬
стью насыщенных паров вблизи капелек воды и вблизи частиц льда
АР = Рв — Рл и величину этой разности, считая водяной пар иде¬
альным газом. Давление насыщенного пара над льдом и водой при
0°С одинаково и равно Р0 = 610 Па. Считать при низких температу¬
рах постоянными удельную теплоту парообразования А = 2500 Дж/г
и удельную теплоту плавления q = 335 Дж/г.
11.87. При температуре ниже 0°С упругость насыщенных паров
над переохлажденной водой и над льдом по разному уменьшается
при понижении температуры, и при определенной температуре насы¬
щенный пар по отношению к воде оказывается пересыщенным паром
по отношению ко льду. Этот эффект приводит к росту ледяных ча¬
стиц в облаках и образованию града и снега. Оценить, во сколько
раз изменится отношение Рл/Рв упругости насыщенных паров над
льдом к упругости насыщенных паров над переохлажденной водой
при понижении температуры от —5°С до — 20 °С, считая водяной пар
идеальным газом. Давление насыщенного пара над льдом и водой
при 0°С одинаково, удельную теплоту плавления считать при низких
температурах постоянной и равной q = 335 Дж/г.
11.88. Определить температуру кипения воды на высоте h = 5 км
от поверхности Земли. Можно считать, что температура атмосфе¬
ры Та до этой высоты уменьшается линейно: Ta(h) — Т3о — аh, где
Тао = 293 К — температура воздуха у поверхности Земли (h = 0),
а = 6,5 К/км — величина вертикального температурного градиента.
Температура кипения воды у поверхности Земли Т0 = 373 К, удель¬
ную теплоту парообразования воды А = 2260 Дж/г в этом диапазоне
температур считать постоянной. Водяной пар и воздух считать иде¬
альными газами. Ускорение свободного падения вплоть до высоты h
считать постоянным.
11.89. Космонавты обнаружили, что на вновь открытой планете
параметры атмосферы (состав, а также давление Ряо = 106 Па и тем¬
пература Тао = 273 К вблизи поверхности) сходны с земными. При
337
этом температура в атмосфере падает с высотой со скоростью а =
= 10 К/км. Во время экспедиции в горы выяснилось, что сварить
на завтрак яйца удается только на высоте, не превышающей hi =
= 4 км. Определить ускорение силы тяжести на планете. Белок свер¬
тывается при температуре tL = 80°С. Удельная теплота испарения
воды Л = 2260 Дж/г. Ускорение свободного падения считать посто¬
янным.
11.90. В запаянной пробирке объемом V = 15 мл, из которой
предварительно откачан воздух, находится т = 10 мг воды при тем¬
пературе 0°С в жидком состоянии. До какой температуры нужно на¬
греть пробирку, чтобы вся вода испарилась? Молярная теплота паро¬
образования воды при 100°С равна Л = 40,7 кДж/моль. Пар считать
идеальным газом.
§ 12. Поверхностные явления
12.1. Для определения поверхностного натяжения воды взвешива¬
ют капли, отрывающиеся от капилляра, и измеряют диаметр d шейки
капли в момент отрыва. Оказалось, что масса 318 капель воды равна
5 г, a d — 0,7 мм. Найти поверхностное натяжение воды.
12.2. Как велико поверхностное натяжение жидкости а, если пет¬
ля из резинового шнура длиной I с поперечным сечением S, положен¬
ная на пленку этой жидкости, растянулась в окружность радиусом R
после того, как пленка была проколота внутри петли? Считать, что
при малых растяжениях для резины справедлив закон Гука и модуль
Юнга резины равен Е.
12.3. Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные ко¬
лебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюс¬
нутой, сферической, снова вытянутой и т. д. Как зависит период этих
пульсаций Т от плотности р, поверхностного натяжения а и радиуса
капли г?
12.4. Известно, что видимая яркость некоторых звезд (пульса¬
ров) периодически колеблется. По одной из теорий изменение яр¬
кости связано с изменением формы звезд, колеблющихся подобно
капле воды под действием силы поверхностного натяжения. Предпо¬
лагается, что пульсары состоят из нейтронов. Оценить поверхностное
натяжение нейтронного вещества, если положить, что масса звезды
М = 2 ■ 1033 г, а период колебаний Т составляет около 1 с. Капля во¬
ды массой m = 1 г колеблется с периодом т = 0,05 с. Коэффициент
поверхностного натяжения воды равен ст0 = 70 дин/см.
12.5! Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости в предпо¬
ложении, что температуры нагревателя и холодильника бесконечно
мало отличаются друг от друга, и применив теорему Карно, най¬
ти производную поверхностного натяжения а жидкости по темпера¬
туре Т.
\
338
12.61 Найти выражение для внутренней энергии пленки U.
12.7. Определить изменение температуры пленки при адиабатиче¬
ском расширении.
12.8. Мыльная пленка имеет толщину h = 10~3 мм и темпера¬
туру Т = 300 К. Вычислить понижение температуры этой пленки,
если ее растянуть адиабатически настолько, чтобы площадь пленки
удвоилась. Поверхностное натяжение мыльного раствора убывает на
0,15 дин/см при повышении температуры на 1 К.
12.9. В сосуде с адиабатическими стенками находится мыльный
пузырь радиусом г = 5 см. Общее количество воздуха в сосуде и
в пузыре у = 0,1 моль, его температура Т = 290 К (предполагается,
что она одинакова внутри и вне пузыря). При этой температуре по¬
верхностное натяжение ст = 70 дин/см, do/dT = —0,15 дин/(см • К).
Как изменится температура воздуха в сосуде, если пузырь лопнет?
Теплоемкостью образовавшихся капелек пренебречь.
12.101 Показать, что вблизи абсолютного нуля поверхностное на¬
тяжение жидкости перестает зависеть от температуры, т. е.
Ит = 0. (Конкретно речь может идти только о гелии — един-
т-»о dT v г г
ственном веществе, остающимся жидким при абсолютном нуле тем¬
пературы.)
12.11. Чему равно капиллярное давление Р в капельке ртути с
диаметром d — 1 мкм при температуре 15 °С, если поверхностное на¬
тяжение ртути при этой температуре а = 487 дин/см?
12.12. Чему равно добавочное давление Р внутри мыльного пузы¬
ря с диаметром d = 0,8 см, если поверхностное натяжение мыльной
воды а = 40 дин/см?
12.13. Оценить максимальное количество воды, которое мож¬
но налить в решето с парафинированным дном с диаметром D =
— 20 см, если последнее сделано из металлического листа с круг¬
лыми отверстиями диаметром d = 1 мм. Поверхностное натяжение
воды ст = 70 дин/см. Как зависит максимальное количество налива¬
емой жидкости от ее плотности?
12.14. В дне сосуда имеется трещина шириной а = 0,02 мм. До
какой высоты h можно налить ртуть в сосуд, чтобы она еще не выте¬
кала через трещину? Плотность ртути р = 13,6 г/см3. Поверхностное
натяжение (при 15°С) а = 487 дин/см.
12.15. Насколько изменится разность уровней hi — h2 воды в двух
сообщающихся капиллярах с диаметрами dx = 0,1 мм и d2 = 0,3 мм
при нагревании от 20 до 70°С, если поверхностное натяжение воды
для этих температур равно соответственно 73 и 64 дин/см?
12.16. Чтобы стряхнуть ртуть в медицинском термометре, нуж¬
но ускорение а ~ 10g. Оценить диаметр перетяжки в капилляре
термометра. Поверхностное натяжение ртути а = 490 дин/см, дли¬
на столбика ртути выше перетяжки h ~ 5 см, плотность ртути р =
= 13,6 г/см3.
339
12.17. С какой силой F притягиваются две вертикальные и па¬
раллельные стеклянные пластинки, частично погруженные в воду
так, что расстояние между ними равно d = 0,1 мм? Ширина пласти¬
нок I = 15 см, а = 73 дин/см, 0 = 0°С. Высота пластинок такова, что
поднявшаяся вода не доходит до их верхних краев.
12.18. Какова разность уровней жидкости в двух сообщающихся
капиллярах с диаметрами di и d2? Поверхностное натяжение жидко¬
сти равно ст, плотность — р. Краевые углы менисков равны нулю.
12.19. Вертикально расположенный стеклянный капилляр длиной
I и радиусом г запаян с верхнего конца. На какую высоту h подни¬
мется вода в капилляре, если его нижний конец привести в сопри¬
косновение с поверхностью воды?
12.20. На какую высоту h поднимается вода между двумя вер¬
тикальными стеклянными пластинками, частично погруженными в
эту жидкость, если расстояние между ними d = 0,5 мм? Для воды
а = 73 дин/см. Краевой угол 0 в этом случае можно считать рав¬
ным 0.
12.21. Две стеклянные вертикальные пластинки, погруженные ча¬
стично в жидкость, образуют друг с другом очень малый двугранный
угол ос. Найти высоту поднятия жидкости h как функцию расстояния
х от ребра двугранного угла.
12.221 Капля воды с массой т = 0,1 г введена между двумя плос¬
кими и параллельными между собой стеклянными пластинками, сма¬
чиваемыми водой, причем краевой угол 0 = 0. Как велика сила F
притяжения между пластинками, если они находятся друг от дру¬
га на расстоянии d = 10~4 см? Поверхностное натяжение воды (при
18 °С) а = 73 дин/см.
12.23. Грамм ртути помещен между двумя плоскими стеклянными
пластинками. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке,
чтобы ртуть приняла форму круглой лепешки однородной толщины
и радиусом R = 5 см. Поверхностное натяжение ртути (при 15 °С)
а = 487 дин/см, краевой угол между ртутью и стеклом 0 = 40°.
12.24. На дне пруда глубиной h = 2 м выделяются пузырьки газа
с диаметром dx = 0,05 мм. Чему будут равны диаметры d2 этих пу¬
зырьков, когда они поднимутся к поверхности воды? Поверхностное
натяжение воды а = 73 дин/см.
12.25. На какую величину АТ температура воздуха внутри мыль¬
ного пузыря должна превышать температуру окружающего воздуха
Т, чтобы пузырь стал подниматься? Радиус пузыря равен г, поверх¬
ностное натяжение мыльной пленки а. Массой пленки можно прене¬
бречь. Учесть, что давление воздуха внутри пузыря мало отличается
от атмосферного давления Р.
12.26. В цилиндре с подвижным поршнем заключен мыльный пу¬
зырь радиусом г, наполненный воздухом. Вначале давление воздуха
вне пузыря равно атмосферному давлению Р0. Медленным вдвига¬
нием поршня мыльный пузырь сжимают, так что радиус его умень¬
340
шается вдвое. Определить давление наружного воздуха в цилиндре
в этот момент.
12.27. На сколько изменится по сравнению с СР молярная теп¬
лоемкость идеального газа С, если его нагреть внутри мыльного
пузыря радиусом г — 1 см? Поверхностное натяжение мыльного рас¬
твора а = 50 дин/см. Зависимостью а от температуры пренебречь.
Давление вне пузыря Р0 = 1 атм.
12.28. Мыльный пузырь радиусом 1 см нагревается от темпера¬
туры 20°С до температуры 52 °С. Найти радиус г нагретого пузыря.
Коэффициент поверхностного натяжения принять равным 40 дин/см
и считать, что он не зависит от температуры.
12.29. В вакуумную камеру помещен масляный пузырь, внутри
которого находится идеальный одноатомный газ. Газ внутри пузыря
нагревают. Найти молярную теплоемкость С газа в этом процес¬
се. Зависимостью поверхностного натяжения от температуры прене¬
бречь.
12.30. Определить молярную теплоемкость воздуха С внутри
мыльного пузыря, который при внешнем давлении Р0, температуре
Го имеет радиус г. Коэффициент поверхностного натяжения мыльной
пленки с от температуры не зависит.
12.31. В вакуумной камере находится масляный пузырь радиусом
г0 = 3 см. Введением поверхностно-активного вещества коэффици¬
ент поверхностного натяжения ст0 = 60 эрг/см2 был понижен в а =
= 1,29 раз. Какое количество тепла надо подвести к газу внутри пу¬
зыря, чтобы температура его осталась неизменной? Газ считать иде-
эльным.
12.32. Мыльный пузырь радиусом г, поднявшийся до некоторой
высоты, увеличил свой радиус вдвое. Считая атмосферу Земли изо¬
термической, найти изменение энтропии мыльного пузыря. Давление
у поверхности Земли равно Р0, коэффициент поверхностного натя¬
жения мыльной пленки — с, удельная теплота образования мыльной
пленки — q.
12.33. Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с
внутренним радиусом г = 1 мм и длиной I = 10 см. Когда радиус пу¬
зыря достигает значения R0 = 10 см, перестают дуть, и воздух из пу¬
зыря начинает выходить через трубку. Через какое время, начиная с
этого момента, пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльного
раствора а = 50 дин/см, вязкость воздуха ц = 1,8 • 10-4 дин • с/см2.
Изменением плотности воздуха за время процесса пренебречь.
12.34. В стенке шарового мыльного пузыря сделано круглое от¬
верстие радиусом а = 1 мм (такое отверстие, например, можно полу¬
чить, поместив на стенку пузыря петельку из нити, а затем проткнув
мыльную пленку внутри этой петельки). Найти время, в течение
которого весь воздух выйдет из пузыря, если его начальный ради¬
ус г0 = Юсм. Температура воздуха вне и внутри пузыря 1 = 20°С.
341
Поверхностное натяжение мыльного раствора при этой температуре
ст= 50 дин/см. Атмосферное давление Р = 760 мм рт. ст. Среднюю
относительную молекулярную массу воздуха принять равной ц = 29.
При истечении через отверстие воздух считать идеальной несжима¬
емой жидкостью.
12.35. Капля воды равномерно падает в воздухе. На сколько
отличается радиус кривизны Rх ее поверхности в нижней точ¬
ке от радиуса кривизны R2 в верхней точке, если расстояние
между этими точками d = 2 мм? Поверхностное натяжение ст =
= 70 дин/см.
12.36! Внутри мыльного пузыря радиусом г0 находится воздух
(идеальный газ) при температуре Т0 и давлении Р0. Поверхност¬
ное натяжение мыльного раствора при этой температуре равно ст0.
Удельная теплота изотермического образования единицы поверхно¬
сти мыльной пленки при той же температуре равна q0. Найти произ¬
водную радиуса пузыря по температуре dr/dT для Т = TQ. Наружное
давление остается постоянным.
12.37. Найти поверхностное натяжение а жидкости, если в капил¬
ляре с диаметром D = 1 мм она поднимается на высоту h = 32,6 мм.
Плотность жидкости р = 1 г/см3. Краевой угол мениска равен нулю.
12.38. В вакуумной камере на двух концах трубки находятся два
почти одинаковых по размеру масляных пузыря, наполненных возду¬
хом. В начальный момент трубка перекрыта краном. Что произойдет
после открытия крана? Считая процесс изотермическим, вычислить,
насколько изменится суммарная энтропия газа. Начальные радиусы
пузырей г0 = 5 см. Поверхностное натяжение масла а = 30 дин/см.
Температура Т = 300 К.
12.39. В вакуумной теплоизолированной камере на двух концах
трубки находятся два почти одинаковых по размеру масляных пу¬
зыря, наполненных гелием. В начальный момент трубка перекрыта
краном. Что произойдет после открытия крана? Во сколько раз из¬
менятся температура и давление в пузырях? Изменится ли энтропия
системы? Теплоемкостью пленки и трубки пренебречь по сравнению
с теплоемкостью газа. Считать, что поверхностное натяжение не за¬
висит от температуры.
12.40. Поверхностное натяжение на границе вода-масло равно
о. Какую работу А нужно произвести, чтобы каплю масла массой
М при температуре Т изотермически раздробить в воде на капель¬
ки с малым радиусом г? Как при этом изменится энтропия масла?
Плотность масла равна р, удельная теплота образования поверхно¬
сти — q.
12.41. В горизонтальной трубке переменного сечения, разрез кото¬
рой показан на рис. 445, находится капля воды массой m = 4 • 10~2 г.
Определить положение равновесия капли. Вычислить период ма¬
лых колебаний капли около положения равновесия, если коэффи¬
циент поверхностного натяжения жидкости а = 72 дин/см, а кра¬
342
евой угол равен нулю. Радиус мениска считать равным радиусу
трубки.
12.42. Определить глубину h ртутной лужицы на плоском гори¬
зонтальном стекле. Поперечные размеры лужицы велики по сравне¬
нию с ее глубиной. Поверхностное натяжение ртути на границе с
воздухом а = 490 дин/см, краевой угол на стекле 0 = 140°. Плот¬
ность ртути р = 13,6 г/см3.
12.43. Известно, что в поршневых насосах вода из бассейна
при нормальных внешних условиях не поднимается за поршнем вы¬
ше 10 м. На какую высоту поднимется вода в абсолютно смачи¬
ваемом капилляре практически неограниченной длины и диамет¬
ром 1 мкм?
12.44. Абсолютно смачиваемый канал переменного сечения, ра¬
диус которого связан с высотой как г = rQe~h/r°, расположен верти¬
кально в однородном гравитационном поле (рис. 446). Внутрь канала
помещается мыльная пленка массой т с коэффициентом поверхност¬
ного натяжения а. Считая пленку плоской, определить, на какой вы¬
соте она установится.
12.45. Во время дождя можно наблюдать, как через брезент па¬
латки начинает пробиваться мельчайшая водяная пыль. Принимая,
что размер отверстий между нитями в брезенте d = 0,05 мм, оценить
минимальный размер капель дождя, способных «пробить» брезент.
Ткань палатки тонкая, несмачиваемая водой, а сила сопротивления
F воздуха движению капли радиусом R равна рВОздЦ2,яЯ2.
Рис. 445 Рис. 446 Рис. 447 Рис. 448
12.46. Сосуд разделен на две части горизонтальной теплоне¬
проницаемой перегородкой, в которой имеется маленькое отверстие
с размером много меньше длины свободного пробега молекул га¬
за. Давление в нижней части сосуда равно Р0 = 6 Тор. Верхняя
часть сосуда высотой h = 9 см заполнена маслом (а = 0,03 Н/м, р =
= 870 кг/м3). Над отверстием сверху образовался газовый пузырь
радиусом 1 мм (рис. 447). При каком отношении температур мас¬
ла и газа размер пузыря останется неизменным? Температура газа в
пузыре равна температуре масла.
12.47. Сосуд с газом разделен на две части теплонепроницаемой
перегородкой, в которой имеется маленькое отверстие с размером,
343
много меньшим длины свободного пробега молекул газа. Давления
газа по обе стороны перегородки одинаковы и равны Р0 = 2 Тор. С
одной стороны перегородки над отверстием имеется пузырь из мыль¬
ной пленки (а = 0,03 Н/м) радиусом 5 мм. Температура газа, заклю¬
ченного между перегородкой и пузырем, равна температуре газа с
той стороны пленки, в которой находится пузырь (рис. 448). При ка¬
ком отношении температур газа по обе стороны перегородки размер
пузыря будет оставаться неизменным?
12.48. При работе с отравляющими веществами опасно находить¬
ся в комнате, зараженной их мелкими каплями (пример — послед¬
ствия от разбитого ртутного термометра). Определить, во сколько
раз давление пара над ртутью в виде капель с радиусом 1СГ6 см
выше, чем над плоской поверхностью. При температуре 293 К коэф¬
фициент поверхностного натяжения ртути а = 487 дин/см, молярная
масса ртути ц = 200,6 г/моль, плотность ртути р = 13,55 г/см3.
12.49. Вычислить давление насыщенного водяного пара при 20 °С
над сферической поверхностью капли воды, если ее радиус: 1) щ =
= 10~5 см (капелька тумана), 2) г2 = 10~7 см. При такой температу¬
ре для воды ст= 72,7 дин/см, г>ж = 1,002 см3/г, Р0 = 17,5 ммрт. ст.
12.50. Сосуд с водой нагревают при постоянном давлении Р0 =
= 1 атм. Оценить, на сколько температура вскипания воды будет вы¬
ше 100 °С, если из нее предварительно удалены растворенные га¬
зы, а максимальный размер твердых песчинок находящейся в ней
взвеси составляет rmax = 10 мкм. Коэффициент поверхностного на¬
тяжения принять равным ст = 60 эрг/см2, а теплоту испарения Л =
= 9,7 ккал/моль.
12.51. Вода без примесей нагревается до температуры t = 101 °С
при внешнем давлении Р0 = 1 атм. Оценить минимальный размер
песчинки, которая при попадании в воду вызовет вскипание воды. Ко¬
эффициент поверхностного натяжения воды ст = 58,8 эрг/см2, удель¬
ная теплота парообразования А = 2,26 • 106 Дж/кг, удельный объем
водяного пара vn = 1,7 м3/кг при t — 100 °С.
12.52. Пары воды, находящиеся в помещении, начинают конден¬
сироваться на гладкой поверхности при охлаждении ее до П = 10 °С.
Начиная с какой температуры они будут конденсироваться на пори¬
стом теле с радиусом пор г = 10~5 см? Удельная теплота парообразо¬
вания воды А = 2,48 кДж/ г, а коэффициент поверхностного натяже¬
ния ст = 70 дин/см. Считать, что поверхность пор смачивается водой,
причем угол смачивания равен нулю.
12.53. Насыщенный пар спирта в камере Вильсона имеет при тем¬
пературе ti = 20 °С давление Pi — 40 Тор. На какую величину ДРП
надо изменить давление пара путем адиабатического охлаждения,
чтобы в нем началось образование тумана с начальным радиусом ка¬
пель г = 10_6 см? Теплота испарения спирта Л = 39,3 кДж/моль, мо¬
344
лярный объем жидкости Нж = 58,2 см3/моль, коэффициент поверх¬
ностного натяжения а = 20 дин/см. Считать, что молярная теплоем¬
кость пара СР = 4R.
12.54. Сферическая капля ртути испаряется на открытом воздухе
в ветреную погоду. Плотность ртути р = 13,6 г/см3, молярная мас¬
са р. = 200 г/моль, поверхностное натяжение ст = 0,49Н/м. Темпе¬
ратура воздуха t = 27 °С. При каких размерах капли скорость ис¬
парения с единицы поверхности практически не зависит от радиуса
капли?
12.55. Оценить максимальное давление, при котором водяной пар
может оставаться пересыщенным при температуре 100 °С, находясь
в сосуде с несмачиваемыми стенками. Коэффициент поверхностного
натяжения воды принять ст = 70 дин/см.
12.56. Переохлажденный водяной пар находится при давлении
Pq = 1 атм и температуре £0 = 99 °С в сосуде с несмачиваемыми стен¬
ками. Каков минимальный размер капли, которая должна образо¬
ваться, чтобы произошла конденсация пара? Коэффициент поверх¬
ностного натяжения воды принять ст = 70 дин/см, удельную теплоту
испарения А = 2,3 кДж/г.
12.57. Небольшое облако, состоящее из водяных капель диамет¬
ром с£ = 0,1 мкм, постепенно сконденсировалось в одну каплю мас¬
сой М = 1г. Считая процесс адиабатическим, вычислить измене¬
ние энтропии и температуру капли. Температура облака t = 27°С,
коэффициент поверхностного натяжения ст = 70 дин/см, a du/dT =
= —0,15 дин/(см • К).
12.58. Туман состоит из капелек воды с радиусом 0,0005 мм. На¬
сколько должен быть пересыщен водяной пар в окружающем про¬
странстве, температура которого 10 °С, чтобы капельки находились в
равновесии с паром? Давление пара, насыщающего пространство при
10 °С, равно 9,2 Тор. Коэффициент поверхностного натяжения равен
70 дин/см.
12.59. Мельчайшая капелька воды (г = 10 мкм) находится в за¬
мкнутой полости объемом V в равновесии с паром. При каком разме¬
ре полости это равновесие может быть устойчивым? Стенки полости
несмачиваемы, других капель и центров конденсации нет. Рассмот¬
реть изотермические условия с Т = 300 К, пар считать идеальным
газом, его давление Рн = 27 мм рт. ст.
12.60. Жидкий 4 Не (Не-I) при нормальном атмосферном давле¬
нии в точке кипения имеет плотность р = 0,122 г/см3. При этом
коэффициент поверхностного натяжения ст = 0,38 дин/см. Оценить
удельную теплоту парообразования А 4Не при этих условиях. В ка¬
честве модели жидкого гелия принять плотную упаковку шаров.
12.61. В закрытый сосуд, в котором над слоем воды находится на¬
сыщенный пар плотностью р и температурой Т, вносится капля воды
радиусом а, имеющая ту же температуру. Через какое время радиус
345
капли изменится в 2 раза? Коэффициент поверхностного натяжения
воды равен а, плотность — р0, молярная масса — ц. Изменением
давления паров вблизи капли за счет испарения с ее поверхности
пренебречь.
12.62. В центре сферы радиусом а = 1 см находится капля во¬
ды. Пространство между каплей и сферой заполнено насыщенным
паром. На внутренней поверхности сферы имеется очень тонкий
слой воды. В начальный момент времени радиус капли bQ = 0,5 см.
Полагая температуру системы Т = 300 К постоянной, оценить вре¬
мя т, за которое масса капли уменьшится на Ат = 10 мг. При
этой температуре давление насыщенного пара над плоской поверх¬
ностью Роо = 3,5 • 103Па, коэффициент поверхностного натяжения
ст — 70 дин/см, эффективный коэффициент диффузии D = 10 см2/с.
Насыщенный пар считать идеальным газом.
12.63. В центре сферы радиусом а = 1 см находится капля воды.
Пространство между каплей и сферой заполнено насыщенным па¬
ром. На внутренней поверхности сферы имеется очень тонкий слой
воды. В начальный момент времени радиус капли bQ = 0,1 мм. При
постоянной температуре системы 7\ = 300 К время испарения 20%
капли составило ~ 1 ч. Оценить относительное изменение време¬
ни испарения (т2 — Ti)/ti 20% массы такой же капли, если темпера¬
тура системы Т2 = 320 К. При температуре 7\ = 300 К коэффициент
поверхностного натяжения ст = 70 дин/см, ^ = —0,15 дин/(см • К).
Насыщенный пар считать идеальным газом.
12.64. Неподвижная маленькая водяная капля находится в пере¬
сыщенной водяным паром атмосфере. Парциальная плотность водя¬
ного пара на большом расстоянии от капли больше плотности
насыщенного пара над плоской поверхностью р0 = 1,7 ■ 10-5 г/см3
при температуре Т0 = 293 К в / = Poo/Ро = 1,002 раз. В некоторый
момент времени радиус капли равен г = 10“5 см. Считая процесс из¬
менения размера капли квазистатическим, оценить для указанного
радиуса разницу между температурой вблизи поверхности капли и
температурой на большом расстоянии от капли. Насыщенный пар во¬
ды рассматривать как идеальный газ. Коэффициент диффузии паров
воды в воздухе D = 0,3 см2/с; коэффициент теплопроводности возду¬
ха х = 2,4 • 103 эрг/(с • см • град). Удельная теплота испарения воды
Л = 2,2 ■ Ю10 эрг/г. Поверхностное натяжение а = 70 дн/см.
V
346
>*тветы
С/и избранные решения
МЕХАНИКА
§1. Кинематика материальной точки
1.1. См. рис. 449.
Рис. 449
К рис. 449а. Зависимость скорости от времени описывается законом v =
= at.
К рис. 4496. График составлен из чередующихся отрезков горизонталь¬
ных (v = const при а = 0) и наклонных (v = at при а = const / 0) прямых.
К рис. 449в. График составлен из отрезков горизонтальных прямых и
отрезков парабол, описываемых уравнением вида v = kt2/2 (при а = Ы), ес¬
ли при построении этих парабол принимать за начало координат точки t =
= 1, 3, 5.
К рис. 449г. График составлен из отрезков парабол. От точек 0, 2, 4,
б построены параболы, удовлетворяющие уравнению вида v = kt2/2. В пре¬
делах участков оси времени 1-2, 3-4, 5-6 расположены отрезки парабол,
удовлетворяющих уравнению v = vmax — kt2/2*)
1.2. См. рис. 450 и рис. 451.
dv/dt, м/с2
п
6
8 | lio'f'c
Рис. 451
*) Функциональные зависимости кинематических величин от времени, при¬
водимые здесь и в решении задачи 1.2, отыскиваются путем графического или
аналитического дифференцирования и интегрирования.
348
К рис. 450. На участке 0-1 зависимость S от t описывается уравнением
S = at2/2, на участках 1-3, 3-4, 4-6 — уравнениями S = vmaxt, S = vmaxt —
— at2 /2, S = const и т. д.
К рис. 451. На участке 0-1 dv/dt = а = const, > 0, на участках 1-3 и 3-4 —
а = 0 и а = const < 0 соответственно (см. сноску к ответу задачи 1.1).
1.3. р(t) = 2^\/(1 + 2kat)3.
1.4. а = Зя/8.
1.5. ф = 7т/8.
1.6. а = 7т/6.
1.9. «1 = gAtsinoc, V2 = gAtcosa.
1.10. Т = rJlT2 и 117 земных суток.
J-J + J-2
1.11. Тень движется со скоростью v = 2п
RjI
IU
'■ 0,5 км/с с запа-
ч т;„:с Тсух f
да на восток, где Тмес — продолжительность месяца, Тсут — продолжитель¬
ность суток.
An2R
1.12. Тень будет двигаться вверх с постоянным ускорением а = ^— =
1 Сут
= 3,4 см/с2; t = J— = 4 мин.
1.13. Wx=wo(l+cos ф); vy — —«оз1пф; «Полн = 2wocos ; а = — arctg (tg —J =
=
2 '
1.14* р = 4Я.
Решение. Ускорение движущейся точки направлено к центру катяще¬
гося круга и равно v2/R. В вершине циклоиды скорость точки равна 2v,
ускорение нормальное и может быть пред¬
ставлено в виде (2и)2/р. Отсюда ответ.
1.15. Для обеих точек колеса |vi| =
= |V21 = |v| \/2, где v — скорость качения
колеса; вектор скорости передней точки бу¬
дет наклонен вперед и вниз под углом 45° к
горизонтальному диаметру. Для задней точ¬
ки — соответственно вверх и вперед под тем
же углом. Вектор ускорения передней точки
будет горизонтален и направлен против хода движения колеса. Вектор уско¬
рения задней точки — горизонтален и направлен по ходу движения колеса.
1.16. х — Д(ф — втф) = R(wt — sincot), у = R(1 — cosф) = Д(1 — coscot),
где ф = cot и со = v/R есть угловая скорость вращения колеса. Траекторией
точек находящихся на ободе движущегося колеса, будет простая циклоида,
уравнения которой в параметрической форме и получены (рис. 452).
Рис. 452
349
1.17* S = SR.
Решение.
cp cp d<p _ (p
'^полн = 2^0 cos — - 2lvRcos— = 2 —it cos —
2 2 at 2
dS = уПолнdt = 2^dicos = 2-Rcos
Таким образом, для подсчета пройденного точкой пути интегрирование по
времени можно свести к интегрированию по углу поворота ф колеса. Оче¬
видно, что угол поворота колеса ф между двумя последовательными касани¬
ями дороги одной и той же точкой на ободе колеса изменяется в пределах от
О до +2п. Таким образом, находим
71
= 2-2R f cos dcp =8R.
J "
0
h D , V2 , gR2
2 g 2v2
(*)
Rg
(с°Зф)й11ШХ = -^2 ,
(**)
где ф — угловая координата искомой точки на ободе колеса (см. рис. 6 к
задаче 1.16).
Решение. Координата у произвольной точки на ободе колеса может
быть записана выражением
v = R{1~ cosf)>
откуда . . vt
у = vsm Я
Величины у, у и h связаны соотношением
‘=•4-
dh
Подстановкой в последнее выражение находим (**) из условия — = 0. После
dф
этого получаем (*).
-у 2 ^;2
1.19. аГОриз = sincp, аВерт = -^-совф. При равномерном вращении полное
К к
ускорение всегда ^направлено к центру колеса.
1.20. р =
1.21. р =
(«2 + Ш2Я2)3/2
си3 Я2
(ад cos а + lvR)2
aPR + g
350
1.22. Искомая мгновенная ось вращения будет описывать окружность с
радиусом г = co2^/(coi + сог) вокруг оси первого диска. Угловая скорость
вращения вокруг этой мгновенной оси будет со = Ш| + 102.
1.23. Ускорение точки С сонаправлено с вектором g и по величине равно
v%
ас = —•
21 sin ср
1.24. Ускорение точки С сонаправлено с ускорением точки В и по вели-
VA
чине равно ас = —.
F 21 sin3 |3
1.25. Р е ш е н и е. Декартовы координаты (х,у) точки через полярные
координаты представимы в виде
х = г cos ф;
у = г sin ф.
Далее, дифференцированием по времени получаем
х = rcos ф — гвтсрф (1)
у = fsincp + rcoscptp (2)
Выражение для квадрата скорости
Тг2 -2,-2 .2,2-2
V — X + у = Г + Г ф .
Это выражение представимо как V2 = V2 + v£, откуда и следует первое
утверждение: Vr — г, Vv = гф. Для доказательства второго утверждения сле¬
дует продифференцировать по времени полученные выражения (1) и (2):
X = Г COS ф — 2гфз1пф — гф2 COS ф — ГфЯШф; (3)
у = rsincp + 2гфсозф — гф2 sin ф + гф cos ф; (4)
Возведя (3) и (4) в квадрат и сложив, получим выражение для квадрата
ускорения точки
а = х + у = г + г ф +4гф + г ф — 2ггф + 4гфгф.
Полученное выражение представимо как сумма квадратов двух ускорений
df И Q,(f)!
2 . 2ч2 . / •• , 0 • . ч2 2 . 2
а = (г - гф ) + (гф + 2гф) =ar+av,
что и доказывает второе утверждение.
1.26. г = roe<p; vr = г; «(р = гф; v = Vw+Уф = kry/2\ а2 = а2 + a2v \ аг =
= 0; Оф = 2fc2r. В то же время ускорение представимо как а2 = а2 + а2, где
а-r = v = к2Г'/2\ ап = ат; р = г\/2-
351
§ 2. Динамика материальной точки. Статика
2.1. F1 = --F.
2.2. а = ™
?е,Т
Mm
7ё-
m + М гп + М
2.3. F ^ 40 Н. Сила натяжения нити, связывающей два тела, определя¬
ется только величиной приложенной к ним силы F и не зависит от коэффи¬
циента трения между телами и столом, если только он одинаков для обоих
тел.
о Л м
2.4. а = — g;
М + тп 1 + т2 + ТОз
Т\ = (mi + m2 + m3)a; Гг = (гтгг + m3)a; Г3 = m3a.
2.5. a =
mi sin a — m2
mi + m2
-g;
mim2
mi + m2
(1 + sina)g.
2.6. ai =
2mi — m2
2mi +m2/2^’ °2
ai. T
2 ’
3mim2
4mi + m2®'
Указание. Условие, связывающее ускорения oj и ог, можно получить,
обозначив через х\ и ж2 расстояния от масс mi и тг до горизонтальной
плоскости; тогда х\ + 2ж2 есть величина постоянная. Дифференцируя это
равенство два раза, получаем искомое условие а\ = —2аг.
2.7. ai
mi(m2 + m3) - 4т2т3
7 r g; 4 1
Till т2 + т3) + 4т2т3
8mim2Tn3g
4т2т3 + mi (т2 + т3) ’
Г2 =
4mim2m3g
4т2т3 + mi (m2 + т3) ’
Указание. Обозначив через ib а;2, х3 расстояния от масс mi, m2, m3
до плоскости, к которой прикреплен блок, можно написать следующее равен¬
ство: Х2 + ж3 + 2xi = Z2 + 2Г + const, где (j и /2 — длины нитей. Дифферен¬
цируя его два раза, получаем необходимое для решения задачи соотношение
между ускорениями всех трех масс: a2 + а3 + 2ai = 0.
2.8. m3
2.9. m3
4mim2
mi + Vi2
2mim2
m i + m,2
2.10. Силы становятся равными, когда длина свешивающейся части нити
3 2 3
принимает значение ад = Т = -mg; ал = pg.
'll a _ m-ig - m2(g - a2). д _ rn\m2(2g - a2)
mi + m2 ’ mi + m2
, <r> „ , m . (m - kM)gH , . m ,
!.12. При к < — a ^ 4 , - ; при к > — ускорение любое.
к М ML - mH * М у
352
2.13. Обе обезьяны достигнут блока одновременно через промежуток вре¬
мени т = l/{3«). Действительно, натяжение веревки по обе стороны от блока
одинаково. Значит одинаковы ускорения и скорости обезьян относительно
блока. Так как они приближаются друг к другу со скоростью Зг>, то весь
путь I они пройдут за время //(3v).
2.14. Блока достигнет раньше более легкая обезьяна, потому что ее уско¬
рение относительно блока будет направлено вверх, а ускорение тяжелой обе¬
зьяны — вниз.
2.15. Обе обезьяны достигнут блока одновременно через промежуток вре¬
мени т = у/21/(Ъа)\ чтобы достичь блока, они обе вместе должны пройти
путь I.
2.16. Обезьяна и груз поднимутся на расстояние Ы/4 и 1/4, а шест опу¬
стится на 1/4.
2.17. Груз будет подниматься вверх со скоростью v/4, независимо от того,
постоянна или нет скорость v.
2.18. F > 0,25(М + m)g + 0,5(М + m)g « 22,5 Н.
2.19. t = —
g(ki + fc2)(l + т/М)'
2 20 t = —
kg{ 1 + т/М)'
2.21. mmin = М1-Щ—при т > тт-ш доска остановится.
к
2.22. Будет двигаться; ai = g^sina — Ад cos a — (fcj — fc2) —-cosaj ; a2 =
= g(sina — k2 cos a), т.е. a2 > ai. При k\<k2 < tga ^ = a2 = ^(sina — k\ cos a).
2.23. x(t) = L( 1 - e~yt!M)\ x(oo) = = L.
2.24. v(t) — vo cos a — fc(vosina + gt).
У
2.25. a =
4 khA
l2
= 0,032 рад « 1°50'.
2.26. ^ = 250 ( 1 - = 1,650; S2 = 2S0 Л + ^
= 2,4S0.
2 27 W (fci ~h k2)Mgl
’ ' ~ 2[l - hik, - k2)\'
2.28. h = —
2g
2
v —
4 mg
npvd2(l — cos a)
60 CM.
2.29. Изменение скорости лодки v со временем будет происходить по за¬
кону v = ——, где т — масса лодки, г — коэффициент сопротивления
т + rv0t
воды. При сделанном предположении о зависимости силы сопротивления от
скорости лодка должна двигаться бесконечно долго, и пройденный ею путь
также будет стремиться к бесконечности: S = — ln^l + Но это пред¬
353
положение о силе сопротивления перестает быть справедливым при малых
скоростях движения лодки, когда сила сопротивления становится пропорци¬
ональной первой степени скорости (см. следующую задачу).
2.30. v — vqb rt/m% и очевидно, что при сделанном предположении дви
жение лодки будет продолжаться неограничено долго. Однако для пути S,
пройденного лодкой после спуска паруса, будет иметь место условие lim S
£—► ОО
= «от/г (сравните с результатом предыдущей задачи).
2.31. v — vq —--S, где обозначения те же, что в предыдущей задаче.
т
2.32. т = ~ = 50 с.
2 kv
2.33. Гтах = mg-^- = 180 кН.
^приземл
Примечание. Такого натяжения не выдержали бы ни стропы пара
шюта, ни парашютист, на которого стропы действовали бы с такой силой. В
действительности парашют раскрывается не мгновенно, и натяжение строп
оказывается гораздо меньшим.
2.34. Скорость большего шарика будет в х/2 раз больше скорости меш.
шего.
2.35. v = \———gr2 = 0,25 см/с.
9 п
2.36. „ _ + + ,„е
67ГГ|Д б-гтпД
2.37? v =
mg
г
г
mg
rt/n
фициент сопротивления воздуха.
где т — масса тела, г — коэф
Решение. Уравнение движения имеет вид т— = —mg — rv. Получен
ный выше результат найден интегрированием этого уравнения с начальным
условием v = vq при 1 = 0.
2.38. tx =t0— Inf 1 + ^
Vo V v*
где w* — скорость установившегося движения
тела в вязкой среде, to =
2.39. Н= + w0)(l — е
19,8 с. ё
2.40. 1) AS = gz(t + ?)-, 2)
Vo
g '
-gx/v n «1 Vi+vo
s ) — «it w 4130 м, где т = — In
AS:
, m -
: vq т H e
r
Vl
rt/m^_e-rx/m.) ГД(,
«о — скорость установившегося движения капель, г — коэффициент сопро¬
тивления при падении капель в воздухе. Время t отсчитывается от начала
падения второй капли.
354
Jy — ускорение свободного падения с учетом архимедовой силы; е и 2,718.
2.43. t = (епк - 1).
«о fe
2.44. fc = и 0,4.
%
2.45. вшах = 5 м/с2; amin = 0,625 м/с2; к ^ 0,5.
2.46. При движении по синусоиде нормальное ускорение максимально в
ее вершинах, где кривизна кривой максимальна. Если у = у(х) — уравнение
синусоиды, то в вершинах у — 0, и радиус кривизны в этих точках мож¬
но вычислить по формуле 1/R=\y"\. Записав уравнение синусоиды в ви¬
де у = As\n{2nx/l) (амплитуда А и пространственный период I постоянны),
нетрудно получить условие, при котором заноса не будет: v < , где
р — коэффициент трения, g — ускорение свободного падения. Подстановка
данных задачи даст v < 20 м/с.
2.47. v = -у/Rgctgcc.
Указание. Когда самолет летел прямолинейно, плоскость крыла бы¬
ла горизонтальна. Подъемная сила в этом случае направлена вертикально
вверх, т. е. перпендикулярна к плоскости крыла. При повороте корпуса са¬
молета вокруг продольной оси подъемная сила поворачивается на тот же
угол, т. е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так
как силы взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от
относительного движения самолета и среды.
2.48. г =
gtga
2.49. F = = 1,75 кН.
2.51. v =
2.52. со2
У(Д + /)2 - (Д + г)2
355
?н ч
к — mw2
2.53Г а = 0, если сuz <
kg
ml0(g/l0 + к/т)
иначе cosoc = g-
ш2 kin
(со < у/к/т).
Решение. Пусть Т — натяжение пружины. Тогда Т = к(1 — Iq), I = Iq+
TfXQ 9
Т cos а = mg, Т = ——, Tsina = mco г, где г = I sin а.
Если а Ф 0, то имеем mg 11 — —а>-- ) = mw2locos ос, cos
п? Л
а = —7; 1 —
а2
где fif = f-, Щ = — ■
Iq m
Это справедливо, если
П1П2
„ с S9 х ТЗ2
< си < Яг- Если со < , то a =
у/Щ + Щ ' ' ‘ \Jn2 + n2
= 0; при со —> U2I —1• оо, т. е. пружина обрывается.
2 gfcosa— fcsina)
2.54. со = sv ■~L~
/itgoc(sina+fc cos a)
2.55.
rtga.
2.56. Fx = Fe~
183 H.
2.57. Если система движется с ускорением в сторону груза mi, то
mi — т2екп
a = oi = ^—[—g, а если с ускорением в сторону m2, то а = 02 =
mi + т2екп
т2 - miekn лг -кп ^ т2 „ кп
= —: ——е. Условие неподвижности системы е Л < — < е .
т2 + miekn mi
2.58. At будет минимальным при d,2/dу =т\/т2-
2.59. ^=FL М
2.60. ДI =
F
1
klo
L 2
1
Мт
2 к М + т
2 (М + т)_ '
g-
2.61. На рис. 453 изображено геометрическое место точек, куда на столе
можно поставить гирю:
У «S
у > \/Зж —а,
VS
2.62. v = \f2gh
т-^тг = °’12 м/с-
1 -j- у к h
356
2.63. к ^ ~ + ml2 + R2
2.64. к >
2.65. v =
l М IR
l R
2Я + 2V
xjj(l2 -ll), x = lQch
Указание. Решение получается интегрированием уравнения тпх =
m
= -j-gx, гДе m ~ масса всей веревки, ах — длина ее части, свешивающейся
в данный момент времени со стола. Начальные условия: v = 0 при I = Iq.
ос — к(М + m
к{М + m)g
о сс j. М cos ос—к{М + m) sin ос
2.66. t = vq , /, / ^—- и 0,65 с.
2.67. Ьх =
mv о
1 _ _Ё£Л.
mv о )
2.68. i = — In f 1 +
mg
; L =
2.69. Ax(t) = x(t + x) — x(t) =
P
2.70. x(t) =
mv о
_ Р/
1 - e m
Если высота полета не ограничивает вре¬
мени падения, то жтах = —vq.
Р
„ 2т 5 палт
2Л1-'=3^1П2И0’61^-
2.72. х = —• In
к
■ 0,058
к '
2.73. voo =gr = 4,8 м/с, где т = = 0,49 с, р — 1 г/см3 — плотность
воды; Т = xlnlOO = 2,3 с.
2.74. voo = = 6,1 м/с, где рв — плотность воды. Г = т1п200 =
у «J Ра
= 1,6 с, где т = д/|— = 0,31 с.
V 3 Pag
2.75. Максимальное значение силы достигается в момент максимального
подъема t = у/21/a и равно JVmax = (За + g)mo.
2.76. Максимальное значение силы достигается в момент максимального
^ И равно Мтах = ( - \/Ык2 + то-
подъема t =
357
£
2.77. F = -Fq и не зависит от г и -и.
71
2.78. F = — Fo.
сиг
2.79* Р е ш е н и е. Уравнение движения шара тх = F — кх. На рассто¬
янии хо = F/fc обе силы станут равными по величине. Решение уравнения
х = хо + Acoswt + Bsinwt, где ш2 = к/т. При t = 0: х = 0; х = 0. Поэтому
А = -хо, Я = 0, так что x(t) = х0(1 - coswt). Остановка шара произойдет
при х = 0, т. е. при sin шТ = 0. Отсюда Т = — = п J ^.
2.80. Я = —
8
Ь =
Vo . , / , . Vo .
— sm а — In I 1 -t sin а
Vac \ Voc
-- ЗОЮ m.
tt^sin2a
2.81. H = xooX
: 10 c.
2.82. in = ^
2g[l + v0 sin Oc/Xoo]
,2
= 7870 m.
v^
uoc
g
1 —exp (—
II
Vac
1ОЛ Vao i ( VqVoc
- 420 м, где т = — In
g \VqVvo ~gL
In f 1 H —'j; |amax|=gf"lH 1 i |flmin|=§’ |a(0;5in)|
\ ^уст / \ ^уст /
2.83. Av = v - v0 = ( A/l + ^ - Л JgR fsina + icosa
2.84. a0=g
1 -
V Vo)
Av Л 1 Av
7— 1
’«о \ 2 v0
Здесь xo = l\jgR ^sinoc + — cosocj .
2.85. L02 = ^ln
— ы*- г 9 , n ч = 110m, где обозначено v^ = ~, v0 =
2ol 1 - (vZJvl,) a
: Voo yl - exp ■ В частности, v0\ = 45,3 м/с, «02 = 40,3 м/с.
2.86. t02 = тР1- In
20CVao
Voo + VQ2
Voo — V(j2
: 5 с, где Voo = у — = 61 м/с.
> (‘^-'/aT ■
vq = Voo
exp I —- V oil — 1
В частности, x0i = 45,2 м/с, x02 ~voi\,
ехр(Н|>/ЙЧ0 Vmi
= 40,2 м/с.
2.87. Следует соединить последовательно одну целую пружину с куском
другой, составляющим 1 /п часть целой пружины, где п = к'0/(к — ко) — 3.
358
§ 3. Движение тел с переменной массой
3.1. Ускорение платформы
dv
/
dt М
учитывая, что v = 0 при t — О, получаем v
. Интегрируя это уравнение и
Amt
/ , М
In тгт : •
А т М — Amt
3.2. М = М0
ехр
v0M
3.3. v = vq
1 — ехр
aL \
v0M0 )
3.4. Т
3.5. Канат не оборвется.
3.6. F = Am\v/At и 25 кН, где Ami — масса угля и At - время, за
которое эта масса погружена на платформу.
3.7. Работа FAS' = ^^vAS’ = Amv2, кинетическая же энергия угля
равна Amv2/2, т. е. вдвое меньше. При соприкосновении с платформой кус¬
ки угля сначала скользят по полу платформы (в сторону, противоположную
движению платформы), и работа паровоза идет также на преодоление возни¬
кающих при этом сил трения. Эта работа (превращающаяся в тепло) равна
Amv2 /2.
3.8* v = —и |^1 — ехр
|u|
T)max — При V —
U
2'
Решение. Приравнивая импульсы системы в моменты времени t и t +
+ dt, получаем уравнение
Mv = M{v + dv) — (и — v)\idt.
Интегрируя его, находим зависимость модуля скорости корабля от времени.
Для получения КПД системы надо составить отношение величины полез¬
ной работы (в данном случае это будет приращение кинетической энергии
корабля d(Mv2/2) = Mvdv) к величине работы насоса (yidt ■ и2/2) за оди¬
наковые промежутки времени: р = (2Mvdv)/(\iu2dt)\ пользуясь приведенным
выше уравнением, можно написать:
р = 2 (и — v)v/u .
Отыскивая максимум этого выражения как функции v/u, находим рп
= 1/2 при v = и/2.
3.9. t=^og^V ^ 6 мин.
«■Mg
3.10. V{t) :
Ar\D
, ц + At\D
1~ехр( М *
; при t —» 0 v = и
М'
359
3.11. ?>i = г>о exp
\d \ m0v0
; ?>2 = •
то J т0 + \d
91Ч 2 /^-рлг2#3/2
3.12. "=з^Т“-
3.13. v = 6y/2gho.
3.14. т = — I 1 + 2- ..
g V А т)
:Мо_у
3.15. vn/v6o = ^J~Mjm — 3,16.
3.16. х = 4,5(1п10)2^ и 24 Y
А Л
3.17. m{t) =m0(l -Mt)Vo/u.
3.18. L=(vо +
= 32 km.
3.19. —= 2 exp
nil
am0 V v2 __ amo
2ци J ' Vi иц21п2 ’
3.20.
m0 ( am0\ m0a
2 \ 2 \xu J 2 ц
dm m0g
3.211 £^ = mog ,_£л
dt и V и J
Решение. Уравнение движения ракеты
dv dm
m—r = —и— mg
dt dt s
перепишем в форме
d, dm d(v + gt) и
m—{v +&) = ~и~тг или = •
dt dt dm m
Это дает
mQ (v + gt
— = exp 1
m
(v + gt\ i m0
2- , v = win gt.
\ и ) m
dm
Величина ц, очевидно, равна —и находится из условия, что для непо-
dv
движнои ракеты — = 0.
dt
3.22. m = mo exp —tj; ti/2 = 2 мин 21 c; t.\ = 7
= 7 мин 50 c.
и
3.23. t = — In (l H ——
g V mi+m2
= 22 с. Приближенно ввиду малости
m0
mi +rn2
получаем: t ;
mo и
mx +m2 g
= 25 c, l = vt = 220 m.
360
3.24. а « 29 м/с2; v и 860 м/с.
3.25.
Ат
ехр
= 86,5%.
„ „ Ат
3.26. — 1 — ехр
т
«jo? /цч dm mo(g + а)
3.2Т. № = -~й = 7и ехР
u(R3 + vt) _
и 98,6%.
6UV )
(g + a)
3.28. Т = u/2g.
3.29. М\ = у/Mm, где Mi — масса ракеты после старта.
3.30. v = 2 км/с; Я = 100 км.
3.31. Я = 1,5 км.
3.32. Если ук — конечная скорость ракеты с космонавтом после сжи¬
гания заданного количества топлива, a vma,x — максимальная скорость, то
Ук/Утах — 2/3.
'уо +gT/6\ _ gi,i 3
ЗА f% TTIQ
.33. — — ехр
m
3.34. Для обычного старта v\ » 8 км/с и г>1 косм — первая космическая
скорость (-гд косм = \ZgR3). При пролете сквозь шахту V2 = ч/Згд К0См-
3.35. Выгоднее сначала включить двигатель с меньшей скоростью газо¬
вой струи.
3.36. а =
2(1 + <хр)2
2 + «о
1 и 19,2.
3.37. Av = win
1 + СХ
1 + сх. — к
= 3,4 км/с.
3.38. wmin = v2
In-
1 + СХ
(1 + <х- к)( 1
к -
3.40!" m2/m3 = y/rri.
3.39. — и 148; гпк = 1470 кг.
тк
2,8 км/с.
Решение. Если бы не было притяжения Луны, то задача свелась бы к
нахождению наивыгоднейшего отношения тпг/гп! для достижения заданной
скорости ракеты. Поэтому от действия силы тяжести можно отвлечься и счи¬
тать, что ракета движется в пространстве, свободном от тяготения. Примем
за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда
m 1 + гп 2 + m =
После выгорания топлива в первой ступени масса системы уменьшится на
cximi. Если при этом будет достигнута скорость гц, то по формуле Циолков¬
ского
evi/u — \
(1 - <xi)?;m + m2 Т m ’
361
Масса (1 — 0L\)mi отделяется, и включается двигатель второй ступени. По¬
сле выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает еще
на величину v2, причем
В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчета, в которой ракета
в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость
найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим
логарифмированием. Исключая еще при этом массу т2 с помощью соотно¬
шения (*), получим
Здесь гп ии играют роль постоянных параметров, а т\ — аргумента, от кото¬
рого зависит скорость v. Дифференцируя по mi и приравнивая производную
нулю, получим условие максимума
Условие (**) приводит к квадратному уравнению относительно mi, решая
которое, найдем
mi = 1 - л/1 + (|3у - (3 - у).
Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи 0 < mi < 1. С помощью
(*) находим массу т2, а затем искомое отношение т2 jm\. Возвращаясь при
этом к прежним параметрам oti и осг, получим
Решение имеет смысл при выполнении условия
(Х2 1 - (X!
— т < 1.
«1 1 - <Х2
В реальных условиях, когда т « 1, а параметры cxi и схг отличаются не очень
сильно, это условие соблюдается. При cxi = схг получается простая формула
е
v2/u _ гп2 + m
(1 - схг)тг +т'
V
— = ln(l — mi) — ln(l — aimi) — ln[(l — схг)(1 — mi) + ос2т].
у-mi
1
= О,
где введены обозначения
тг/т! = у/т.
v гп
362
3.43. Первый способ требует меньшей затраты топлива.
3.44. Кинетическая энергия ракеты К = ^(М0 - pi)
2,2 .
g t +
+ win
Mo
M
: 2,3 МДж.
3.45. ctga = a/g.
3.46. л = £ =
_ ~~ ■——, где x = При x — 4 ц = 45%.
e* - (1 + x2) гх
3.47. л = ^ =
13%.
Q 2q(ev/u - 1)
3.48. 1) Кинетическая энергия ракеты будет максимальна, когда v = 2и.
2) Импульс ракеты будет максимален, когда т = т0/е.
3.49. Т2 = < - (то ~ = 19 с.
оапо
Р ( пг\2
Рg
3.51. v = -^—y/2km.
3 М
3.50. Ь= L (S')2.
pg V М )
13/2 / ктп
где р — плотность воды.
3’52- - М V 2
3.53? Равноускоренное движение, a = g/4.
Решение. Уравнение движения капли
d(mv) dv v dm
——- = mg или ——| — = g.
dt dt m dt
Так как mar3 и, по предположению, ос г2, то ^ = С = const. Отсюда с
учетом начальных условий получаем г = Ct. Уравнение движения приводится
к виду
dv „v
м+31=ё-
Решая его и учитывая, что при t = 0 v = 0, получаем v = gt/4. Падение капли
будет равноускоренным с ускорением a=g/4.
41
« 17,4 см/с.
3.54.
gn
4сх
1
3.55. w(t) « л^ёГ = 0,25 м/с.
4тпп
3.56. tg|3 = tga. +
gH
2vl tg c
= 1,8; p =61°.
H(t) = mo^^exp = 25,7e~0,0257t кг/с.
Hugos 3 V -Hwcosp / '
363
3.57. tg|3 = tgcx —
gH
2vl tg a
= 0,294; p = 16,4°;
M-(i) = m0 exp ( -
3.58. m =
'K01 Л. — m exp (
Hugos?, ) v ' V
v0
Hu
m0 NT3
и cos (3
= 53,5 кг.
NT3 + 8 m0L2
3.59. N=-r^^~.
9 T
3.60. hi « 187 км; /12 ~ 265 km.
v2
3.61. Ракета будет двигаться по окружности радиусом R= —. Макси-
аи
мальное удаление Lmах = 2R.
3.62. Полная масса топлива и батарей составит тПОлн = (М + — ) — +
\ w J и
N
Н , т. е. тполн1 = 30 кг; тП0ЛН2 = 32,5 кг. Таким образом, более выгодна пер¬
вая двигательная установка.
3.63. Размещение ЭРД будет целесообразным, если тц < М
ехр
Av
и 1
-^)-1
U2
■■MAv( ) = 11,7 т.
\и 1 и2 )
3.64. fmax — ки
Мо
М
1 - In
Мо
М
dv
3.65. Условие максимума скорости — = 0, откуда tg ос = к. -Umax =
da.
= «л/1 + fc2 In
3.66. v(t) =
3.67. v ■■
Mo
Mo - \d
- kgt.
N 2
11»0
m0
mo -
N
F 2 , t
m~ 3^IL-
3.68. v = vq + at = vq + -uq.
3.69. a
_ 4uqVq + 8ul
3.70. -
Inf 1,05-0,05 — )
V2 - Vi _ \ Mqi )
Vl
In (Moil My.)
1,9%.
1 _ 4p~2
3.71. v = --- - - ■ и = 0,687и.
1 - e-2
364
1 - 4е~4
3.72. v = ~и = 0,843и.
1 — е~л
„ ( kv2\ kv2
V ё ) ё
3.74. «.= % Ятах = £ln2(™)= 265 км.
и 8g \тк I
3.75. mt
- и,УОО7/60-
3.76. k = = 7,56, где In
3.77. - = In
М
к_
к0
Мо
М
^ + Г = 1Д8-
fcp + 1 9
к0 5'
3.78. Надо иметь в виду, что скорость реактивной струи относительно
платформы vp(t) ~ и — v(t), где v(t) — скорость ракеты. Струя перестает до¬
стигать платформы при vp(t') = 0. Полный импульс, переданный платформе
t’
„ „ „ f , 2тои ,
реактивной струей р = 2 vpamT — , где атТ = pat, р > 0 — массовый
о
расход топлива.
3.79. т= -А-
и
2vq
= 74,5 с.
§4. Работа, энергия, импульс.
Законы сохранения импульса и энергии
4.1. Avx яз 6,3 см/с; А и 45 эрг.
4.2. Vc > Va > V[
4.3. А = mg(H + kL).
4.4. A = mg(H - kL).
4.5. TVmax = N + mgvsin a « 81,2 л. c.
N i
4.6. FTp = -A - Mgsina и 4,3 • 103 H.
4.8. к = smtx « 0,05.
1 + cos cx
mP'
4.9. F = и 170 H, где Mum — массы винтовки и пули.
2SM
4.10. - М V^lsin oc
m cos a
Указание. Приведенное выражение для v легко получить, применив
закон сохранения импульса к слагающим импульса пушки и снаряда, на¬
правленным вдоль наклонной плоскости, непосредственно до и после момен¬
365
та выстрела. Импульс силы тяжести (действующий на оба тела) за короткий
промежуток времени At выстрела пренебрежимо мал.
4.Ш S2 = 5000 м.
Решение. Падение одной половины снаряда под местом разрыва по¬
казывает, что весь импульс, который имел снаряд в верхней точке, передан
второй половине снаряда. Падение за 1 с с высоты в 19,6 м говорит за то,
что падающая часть получила при разрыве начальную скорость vq вниз,
следовательно, и вторая половина получила такой же импульс вверх. По¬
этому вторая часть снаряда после разрыва имеет начальную скорость 2vrop
в горизонтальном направлении (где -гл-ор есть горизонтальная составляющая
скорости снаряда при выстреле), а в вертикальном направлении vq. Скорость
vq определится из равенства h = v0r + gr2/2, где т — время падения пер¬
вого осколка. Горизонтальная составляющая скорости wr0p определится из
равенства Si = vTopt и h = gt2/2:
frop —
Si-
Расстояние до места падения второго осколка от места разрыва по горизон¬
тальному направлению можно определить по формулам, описывающим полет
снаряда в безвоздушном пространстве:
S‘2 — S1 — 2'(.'гор
2 h / h_
g
2frop
2h
т
Заменяя vrop на y/g/2hS\, получаем ответ:
52
4.12. vi
mi(v + u)+mv_ _
m + m i
4.13Г Xoo — 1/2.
V2 = V, t>3 :
rrii(v - u) + mv
m + mi
Решение. В рассматриваемом случае центр масс системы будет сме¬
щаться за счет действия внешней силы (сил трения). Обозначим силу натя¬
жения веревки между лодками Т. Тогда:
m\x 1 + hx 1 = Т, т2Х2 + hx2 = —Т, mix 1 + m2x2 + h{x 1 + ±2) = 0.
Последнее равенство справедливо и после того момента, когда лодки столк¬
нутся и будут двигаться совместно до остановки. Проинтегрируем его по
времени от 0 до ос:
mixi\™ + тп2Ж2|“ + h{xi + жг)1о° =
так как ip(0) = ж2(0) = ii(oc) = ±2(00) = 0, х\ (0) = 0, х2(0)=l, xi(oo) =
= Ж2(ос) = Хсю, ПОЛуЧИМ 2хоо — I — 0, Хоо = 1/2.
366
4.14. 9 м/с и 1 м/с.
л \ с ГПо
4.15. -икон = wo¬
rn + то
4.16. v= ^fkgL/2.
; 5 =
2kg(m + т0)'
4.17. -А-; к =
О'тах
4.18. F = 2Mvji.
4.19. xo = 2v/2^i.
/с
Ма„
4.20. w =
4.21. w =
2М
т(М + т)
Ми
4.22. Si = -
4.23. ai =
4.24. v — -
М + т'
ml
М + т
Ма
; So
М + т
Amu
; а2 = -
кХд
~2~
mu
М + т’
_ Ml
М + m ’
та
otmgL ).
М + т
М + 2т
4.25. t = y/ljg.
Si = -
; F= -
Ami
M + 2m + Am
mMa
M + m
; s2 =
(M + 2m)l
M + 2m + Am’
4.26. x
4.27Г w =
M + m
(a - 6).
I
(l + m/M)^2h/g
Решение. Из закона сохранения импульса имеем Ми = —mv, где и —
скорость лодки с человеком после броска, v — скорость ядра. Скорость ядра
относительно лодки vom = и + v = w(l + т/М). Для того чтобы ядро попало
в корму лодки, необходимо, чтобы смещение ядра по горизонтали относи¬
тельно лодки за время его падения (t = \/2h/g) было равно длине лодки:
Vomt — I-
4.28.
mg
: 1 + д/1 + ^ =6.
к L2
4.29. Площадь парашюта можно уменьшить в \j 1 + —= 1,23 раз.
Z^HOr-i-'HOr
4.30. /тела —
R
1 + — ) — 3 м; /к
я( \+11 =5,5м-
.м,
4.31. h = 0,005 — 1.
т
367
3
4.32. h -
vo +gl
3g
(парабола); H = ^ -
4.33* x\ =v0 = y/gl/2; x\ M;lK(. = l\f2.
Решение. Отсчитывая координаты грузов от уровня осей блоков, за¬
пишем для положения равновесия:
т 1 л/2 7t о *
C°StP0 = 2^ = X’tP0=4’Zl = 2-
Из условия нерастяжимости нити следует кинематическая связь:
Х2 + \Jx\ + (I/2)2 — L, ±2 + х\ cos (р = О,
где L — полудлина нити.
Записывая полную энергию Е = К + П для трех положений системы х\
— О. ЗЦ ” ^1 ~ ^/2, XI — Х[ макс-
Е = -2m2g ( L - -
ТХЬ1 2 2 0
— (1 + COS сро)г>о — migxi +
+ 2m2gij(х°)2 + ^ j - 2m2gL = макс + 2m2g\jx^ макс + ^ j ,
получим два уравнения, из которых следуют значения, приведенные в ответе.
4.34. По часовой стрелке, так как при этом работающий участок ремня
будет меньше провисать и охватывать большую часть окружности шкивов,
чем при вращении против часовой стрелки, а сцепление ремня со шкивом
будет больше.
4.35. N =
(mg)2
М
t; t ■■
М
('mgУ
■Nn
4.36. h = v° + 2g—.
3 g
л R ■ ^ ^ Rl+sin<x
4.37. — sin oc ^ h ^ ; .
2 4 sina
V2 R
4.38. h = — + — cos (p.
3 g 3
4.39. h = 5Д/3; H = 50Д/27.
4.40. v = V0/e = 3,7 м/с.
4 41 k~ (^-^)(3coscx-2)sincx ^
M + (mi + rri2)(3cos ex - 2) cos cx
4.42. hji « 9,8 m.
4.43. hji « 6,1 м.
4.44. Emin = TJf(h + Vi2 + h2) » 34 Дж;
mi -m2 . 1п-з
— a = 4,4 • 10
M
368
. h VL2 + №
tga=L + ^—
l,25(cx ~ 52°).
4.45. v = ^JkgL/2 = 2,21 м/с.
4.46.
_ gL(2M — кот)
rn + M
4.47. Бруски имеют длину l = —9-.
6 kg
'3 , , \ l-2ki
2+Чгтж-
4.48. A = k\MgL
mgR
4.49. Amin =
, - + 1- —
1 + fctgcx V 2 2
11 v4
27 g2R 54g3^2
сразу свободно вниз и подскакивает на 2R.
l0F2
4.51. 5 =
4mg.F\
: 37,5 м.
При v ^ \fgR тело падает
4.52. vo = J F°!f-ъ = 7 м/с.
V т + М/3 '
4.53. V = ^v.
М
4.54. р = -У = 1;2 кг-м/с.
4.55. Р е ш е н и е. Дополнительное давление на стол (сверх веса части
каната, уже лежащей на столе) вызвано потерей импульса падающими эле¬
ментами каната при их ударе о стол. Пусть за элемент времени dt на стол
падает элемент каната с массой dm = |xdx, где ц — масса, приходящаяся на
единицу длины каната, a dx — элемент длины каната. Сила, действующая
со стороны этого элемента на стол будет
. „ dm dx
AF = v—r- = Till—
dt ^ dt
pv
где v — скорость, с которой элемент dm достигнет стола. Но, как нетрудно
заметить v2 = 2gx, где х — длина части каната, лежащей на столе. Отсюда
AF = 2pgx. Таким образом, полная сила, действующая на стол, будет равна
3 Pgx.
4.56. v = J^[х2 - (Al)2].
4.57.
AU
А
к
к + tg а
4.58. Ящик не будет двигаться, потому что сообщаемые ему нормальная
рп и тангенциальная pt (по отношению к наклонной плоскости) слагающие
импульса р вертикально падающего тела будут удовлетворять соотношению
369
Pn/pt =tgcx, которому удовлетворяют слагающие веса ящика rngn/mgt =
= tgcx = к, а в результате действия последних ящик не приходит в движение.
После полной остановки падающего тела в ящике увеличение веса ящика по
той же причине не приведет его в движение.
4.59. т =
2 g
V — kvcos ОС
к cos а — sin сх
к ^ tgcx +
V
VCOS ос
4.60. Фокус системы F и —-= 13,5 см;
2 gRi
gR? 2 n
условие фокусировки —< v0 <с gi?i.
2Н
4.61. Литлах =
4.62. F=F0 v —, где Fo = 2яг6|хР — сила, с которой можно
yv2 + (шг)2
снять диск с неподвижного вала.
4.63. Ктах = TV/2 = 500 МДж.
4.64Г 2К = U.
Решение. Поместив начало координат в одной из точек пола и напра¬
вив ось X вертикально вверх, получаем
d о
— (тхх) = тх — mgx = 2 К — U,
где К — кинетическая, a U — mgx — потенциальная энергия шарика. Про¬
интегрируем это соотношение от t = 0 до t = Т, а затем устремим Т к беско¬
нечности. В результате найдем ответ.
4.65. F(r) = ~U0 ^ + у j exp
4.66. 1) v = y//gsin(tx/2);
ri = 6 • 10
-13
см.
2) v.
2М \flgsm.(oc/2) — mv'
^ v _ 2Mx//gsin(cx/2)
Примечание. Решение задачи о соударении баллистического шарика
и пули проведено путем применения закона сохранения импульса к систе¬
ме маятник-пуля. Этот способ решения, очевидно, справедлив только в том
случае, если удар пули не передается оси вращения маятника. Дело обстоит
именно так в том случае, когда пуля ударяется в так называемый центр кача¬
ния маятника, находящийся на расстоянии приведенной длины физического
маятника от его оси вращения, и скорость пули перпендикулярна к прямой,
соединяющей точку подвеса маятника с его центром качания. При ударе
же пули в произвольную точку маятника для решения задачи необходимо
воспользоваться законом сохранения момента импульса в системе маятник-
пуля. В первом же случае применение закона сохранения момента импульса
будет эквивалентно применению закона сохранения импульса.
370
4.67. oci =
4.68. vq =
mi — П12
mi + m2
<x; <X2
2mi
(
mi + m2
W
(Pi + P'2 + mg) 1/ Pi + P2
2mi/kg
4.69. p = 2mt>cosa.
4.70. A К = 2m(v — u)u\ A p = —2 m(v — и); тело после удара остановится,
если и = v/2.
Указание. Законы упругого удара о движущуюся стенку легко по¬
лучить, если в формулах для скоростей, имеющих место после удара двух
упругих тел, перейти к пределу, полагая массу одного тела (стенки) беско¬
нечно большой.
Ми0
4'71' t:~ 2mv2nS
4.72. vL = const.
4.73. П-1 ™
= 16 мкс, где v — скорость атомов Не в пучке.
-(щ - v2y
2 mi +т2
4.74. При условии, что т\/т2 > 20, где mi — масса шара, имевшего
меньшую энергию. Ответ легко найти из следующих соотношений:
orw, 2 ^ 2 miVi - m2v2 ^ п
20mii>i = m2v2, v = > 0,
т i + т2
где v — скорость шаров после удара, гц и v2 — их скорости до удара.
vг_
4 kg'
mv
2d
4.75. S =
4.76. S =
. __ , Am ^ 4
4.77. 1 > ^ -.
m 5
4.78.
Am
4.79. — ^ 0,98. Ответ легко найти, решая следующие уравнения:
Vo
rnv = —Spv2; QM~—^Spv3,
где р — плотность атмосферы.
2/5
4.80.
5 mV
8 ~к )
4/5
Указание. Воспользоваться теоремой Кёнига.
л с< УТЗ V
4.о1. v\ = V——■ ; v2 =
4.82Г Р е ш е н и е. Пусть v — скорость первой частицы до столкновения,
Vi и V2 — скорости частиц после столкновения. Законы сохранения импульса
371
и энергии дают
V = Vi + V2,
2 2 2
V =v( + V2-
Возводя первое соотношение в квадрат и вычитая из него второе, получим
vi ■ V2 = 0. Если оба вектора vi и V2 не равны нулю, что будет при нелобовом
ударе, то угол между ними будет равен 90°. При лобовом столкновении vi =
= о, V2 = v, т.е. частицы просто обмениваются скоростями.
4.83. г = е2/(2Е), где е — заряд протона. Для вычислений формулу це¬
лесообразно преобразовать, положив Е = eV. Тогда г = e/(2V) = 1,4 • 10-13
см (2V = 106 В). Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что ра¬
диус действия ядерных сил по порядку величины равен 10"13 см. Поэтому
при расчете столкновения протонов, энергии которых превосходят пример¬
но 0,5 МэВ, помимо электростатических сил, надо учитывать также ядерные
силы.
4.84. rmin = Ц- ( 1 +
о,р ~ 2,2 • 10 g', doc
4.85. \ МэВ и | МэВ.
4 4
4.86.
К (т 1 + m2)'
lllot
ГПгу
I и 3,6 • 10 13 см;
0,54 • 1027g.
Потеря энергии максимальна при mi =тг.
4.87. Масса ot-частицы должна быть меньше массы ядра: т < М;
v = v0
М — т _ mvо
М + т' V ~ ИГ
2 М
М + т'
tg0 =
М — гп
М + т’
4.88. v » 3 • 10 3 см/с.
4.89. рй 7,7 • 10-19 г • см/с.
4.90. ——^ = 3.
m2
4.91. у = 20.
4.92. а = 4А/(1 + А)2, где А — атомная масса частицы, с которой стал¬
кивается протон.
А
1
2
4
12
ОС
1
0,89
0,64
0,284
4.932' Для а-частицы 0 = 14°30', для дейтрона 0 = 30°.
Решение. Пусть mi — масса рассеиваемой частицы (ot-частицы или
дейтрона), v — ее скорость до рассеяния; m2 — масса рассеивающей частицы
(атома водорода); «1 и V2 — скорости частиц после рассеяния (рис. 454).
372
Законы сохранения импульса и энергии дают
miv = mivi cos а + 7n2f2COs|3,
тi«i sincx = m2ti2sin|3,
2 2 2
mi'O = ттцгц + TTI2V2.
Исключив отсюда угол |3 и скорость V2, получим для гд
квадратное уравнение
2 2
(mi + m,2)vi — 2mivvi cos а + (mi — rri2)v — 0.
Рис. 454
Условие вещественности его корней имеет вид since ^ m2/ту. Максималь¬
ный угол а, удовлетворяющий этому условию, и будет равен углу 0. Таким
образом, sin0 = тг/тпь Отсюда находим для а-частицы 0 = 14°30', для дей¬
трона 0 = 30°.
4.94.
v =
3 mV
Е =
ЗтпУ2
2 М
невозможен, если М < 3т.
6
Зт\
И )’
где т — масса протона. Процесс
4.95. А2 = 6 (это §Li). Здесь отношение масс тпг/т! =п находится из
2
уравнения п
W 2
п— — sin (р! = 0; п — 0,6.
4.96. Нет, не может.
А ПП Кп -А7 7
4.97. > -z-z = -, где Кп — кинетическая энергия налетающего
Q М - т 6
протона, Q — энергия возбуждения лития.
4.98. Ер = —— КПоР = l|j5n0p = 1,92 МэВ. При больших
гпр + ти тве - гггр 48 р
энергиях появятся нейтроны, летящие назад.
4.99. Е > 2,97 МэВ; Е1 - 3,23 МэВ.
4.100. Кос = у Q = 4,5 МэВ.
4.101. Кос « 1,3 МэВ.
4.102. Ко = ! ■ К и 250 кэВ.
771т
4.103. Выгоднее ускорить легкую частицу. Выигрыш в энергии равен
!^.™1к«20 кэВ.
ГП2 + ТП1
4.104. К = ( 1 + — ) - 2Ео и 3,26 МэВ.
V mneJ
4.105. а-частица уносит 3,5 МэВ, нейтрон — 14,1 МэВ.
4.106. Е и 3,25 МэВ.
4.107. Е = 2К1сс - (1 - К„ - 2,/^KpKi^cos0i « 17,2 МэВ.
V т<х / у та
373
4.108. sin0 Г
12
т. е. вшах ~ 4°47'.
Указание. Перейти в систему центра инерции.
4.109. Vmin = у/Щ ~ 2,83 км/с.
4.110. sin 01 max =
/л fein 0п _ f~. __ ,о
tg02 = ; = 0,71, т. е. 02 = 35,4°,
VC + «2 cos в2
а! 71 о т. mi -т2 3
где 02 = - - 01тах = 48,2 , Vc = г v = -v.
2 т 1 + m2 5
2тп2 2 q I, ©о.
— 77, Т- @1тах — 41,8 ,
mi - m2 3
4.111. tg0i = tg02
Vc
тра инерции; ai = -V, U2
3; 0Х ==02 = 71,бо, где Vc =
3.x
--F — скорости шариков.
V
— скорость цен-
4.112. lmin =10-
4.113. vn = vq
2mv2 sin2 2 ос
2 CM.
+
М
т + М т + М
2 Q2
т .
= Vom11
Vn
Vo
= 4V °‘
4.114.
M
Vn
vo M + m M + m
1 -
2.4 Vtf
ц«о ’ v0
-v0, где fx — vo6 =
m /. v„ \ m
— 1 , где p= —;
Ml v0 1 2
численно va = -j-; v0o = При упругом ударе пуля и оболочка обменива¬
ются скоростями.
(М + m)g
4.115. и =
4.116. v(t)
mvo sin ос
vo
L -
(2M 4- m) sin2cxt^
M + m
„ TcRZvomn
TTffi’™eS=-V--
: 440 м/с.
4.117. v{t) =
vo
1 + Bt
nmnr^ ( 4 h2\
гдеВ=^"о1Ч1+^т
4.118. Скорость платформы и = —v. «Спрыгивание» кошки скорости
J.O
2L
ЗМ
платформы не меняет. Время, за которое собака добегает до края, t ■
л 8 г
смещение Ах = — L.
4.119. 1) - = - = 3 с”1; 2) t = 3? = \ с.
’ х t ’ х 4
4.120. у = = ; знак «+» под корнем соответствует случаю движения
z±tl
конца веревки вниз.
374
4.121. v = j(l + k)(x — Iq) — 2kg(x — lo). В момент, когда x = l скорость
2
v=-y/il*s2,lVi.
2 2 2
4.122. г> = —(ж — l0)sirnx — 2g(x — /o)sin<x — 2kg(x — Iq)cosol. В момент,
когда x = l, v = i \[2gl и ] ,48\Tl.
4.123. a0TH > -jjr = 5Д м/с2,
о 4ft
4.124. a s:
1 + yjlg/i^haom)
4.125. ц = =0,04.
= 0,48 м/с2.
4.126. Поскольку время соударения т а К™^5. то искомые отношения:
1) (Xi =0,55; 2) а2 = 1,6.
4.127.
Р\ max _ И
Pi
10
4.128. ^1. = 2ч/2.
V2
4.129. V2 = VcV 1 + 24sin2 ос = A=vi, где Vq = Г:—.
V10 rn! + m2
4.130. V2 =
О
4.131. m 2 = mi/5.
4.132. Квыл = Кот = if sin (Xi sin 1x2.
. . ЛЛ т л , , J- л . 2 (X ,, 1 COS (X
4.133. -Квыд = ifoTH — tg — = .
2 1 + cos (x
4.134. ex = 45° (tga = 3tg0 = 1).
4.135. Отношение кинетических энергий регистрируемых рассеянных ча¬
стиц равно 9 (или 1/9).
т 1
4.136. V = jE2^Smy+m^2S2. ^21 _ .
kmi 'К т 1 + т2
4.137. F=^-krnvh^ = \.
1 II2
4.138. А = -i^p. шах • / — ~ M-rag— = 0,15 Дж, где I — 35 см — длина ча-
Z Z JU
сти веревки, лежащей на поверхности, которую легко найти из уравнения
^цж + = цж2 + (1 - ж)2, где x = l/L, ж « 0,35.
4.139. Ал
Ы2
2 п(п + 1)
; М =
ы2
Л2 _ п + 1
2п(п - 1) ’ Ai п — 1'
375
7 эВ, где п = m2 /mi = sintpi.
4.140. — = 'Щ- - 1:
т Т
4.141. тп = М/3.
29.
4.142. W = К
п2 — sin2 cpi
п(п + 1)
§5. Гармонические колебания материальной точки
5.1. T = 2nJ- = 1,4 с.
V g
еТ2
5.2. ж = Д— « 6,2 см.
47Г2
5.3
2 у к
5.4. Т=|Т0.
5.5. Т=2яуЦД + 1).
5.6* Решение. Если сила, действующая на груз со стороны доски,
(Рх
F' = —F, то уравнение движения груза m-^j = Р — F1, где P = mg. Зна¬
чение ускорения груза находим из закона его колебаний: ж = acoswt; тогда
получаем
—F1 = F = —Р — mAu>2cosu>l = —(1 + 0,32cos47tl) Н.
Рекомендуем начертить график изменения силы F со временем.
5.7. А > ТГ^~7г = -Д- = м. При предельной амплитуде Ап яз 6,2 см
тпш2 ш2 1б7г2 г
сила давления груза в верхней точке становится равной нулю.
5.8. При ш2А > g грузик будет подскакивать, при и>2А < g — колебаться
вместе с мембраной.
5.9. к =
4ti2 А
gT2
0,1.
5.Ю. A=^eJl+™.
к у mg
5.11* М > m.
Решение. При снятии груза М положение равновесия сместится вверх
на величину жо = Mg/k. Возникнут колебания чашки относительно ново¬
го положения равновесия: ж = жосовоit. Когда чашка начнет подниматься
вверх, то вместе с ней будет подниматься и грузик тп. В верхнем положении
376
ускорение чашки достигнет максимального значения «тах = и>2жо = кхо/т, =
= Mg/m и направлено вниз. Если атах < g, т.е. М < тп, то при обратном
движении чашки вниз грузик будет продолжать лежать на ней, и подскаки¬
вания не возникнут. Если amax > g, т.е. М > т, то грузик отстанет от чашки
и появятся подскакивания.
5.12. х < ^ = 20 см.
5.13. х >
к
ц(М + m)g
к\ 4- к?
5.14. Ж>М±^.
/Ci /С2
5.15. Т = 2тт
Мт,
(М -р 77T)(/ci -р /ъ2)
5.16.
^2
_ / M .
T2~J
1M + m
Ai
V M + m’
7) V
M '
5.17.
cu
CUO
j M + m
V M ’
где ш
— частота колебаний незакрепленной, a
ц>о — закрепленной коробки.
5.18. — = \ где со — частота колебаний незакрепленного, а
ш о V М
о>о — закрепленного бруска.
5.19. (ро =
5.20. А
5.21. Я
Q2l0
mg Zg + 2Q2L
= J_ [§H
2ttv V 2
_ (\/2g^ + 47rvA)2
2i
27t
; T = 27tZo
mLlo
mgl% + 2Q2L'
5.22. a) T = —v^r2 - l2 (перпендикулярно плоскости рисунка);
Vs
б) T = — (в плоскости рисунка).
5.23. T = 2тт
m cos
к
5.24. Т= у
гш
V S '
\JgVr2 — l2
m cos2 a + (1 + m/M) sin2 (xl1//2
1 + m/M
— 2n
13 m
5.25. ш2 = g
5.26. T = 2tt
у/Я2 - L2/4
2 (Я2 - Я^Я2 - L2/4
L_
kg'
377
5.27. Т =
2тй
VRg'
5.28. Т = 2п
5.29. Т = 2п
1 1/2
2/г рж
. g (Рв + Рм).
/ 0,75fc 0,63PpTg\~1/2
\7ГРжД3 РжД )
а оп гг, m(ki + k2) . . ki + k2
5.30. Т = п\1 —А < mg-
к\к2
4кгк2
5.31. А= *Гт\и^ЩМ~Тт).
(М + т)к v v '
5.32. фо =
2mL
7т(М + т)1
5.33. ш2
+ Z§
5.34.
R п— ос/2
5.35. Т = 2т/ 1,1 ~t 1"'-~: веревка будет терять натяжение при Л > —=Ц.
у к 2w1
5.36* Шп = 2g(2^/mi)8in3«po =
I 1 + COS фо I
Решение. Для малых колебаний около положения равновесия кинети¬
ческая энергия системы равна
mi f 2m2 2 \
К = — 1 Н cos <ро U, ,
2 V mi У
а потенциальная энергия
U =
1 Э2{/
2
2 1 2ГП2 . з г 2
=2 7]2ёЗШ ф0^
Здесь £, = a:i — а// — малое отклонение среднего груза от положения равнове¬
сия. Полагая E,(t) = ylcos(o>0t + а) и {/max = К1пах, находим искомый ответ.
5.37 =
5.38. Т = 2nR
g(R ~ г)'
5.39. Т= -Т0.
5.40. Может при условии vq > y'gAZ и 1 м/с.
ВА\.Т = 2ПМ.
378
cos a V к
5.42. T = хщ < 2mg
Zcsin2a
5.43. a) =
5.44. T = 2n
mim2
fc(mi + m2)'
5.45. Центр инерции системы движется со скоростью v = ; в си¬
стеме центра инерции происходят колебания с периодом Т = 2п. —- и ам-
V 2к
плитудой I =
v2
5.46. vo = J8pg ^Z + —
fc J'
5.47. После соударения второй шар отскочит назад. Л =
_ -о , 2L , m
5.48. t= 1-яд/ —.
«о V
2m2W Irrii
mi + m2 V &
_ , 2L [тп
5.49. Z = h л. / —.
vo у 2Zc
5.50. К =
(mu)2
5.51. x = nv
2 (M + m)
3m
Явн —
Mmv2
2 (M + m)
A = v
Mm
k(M + m)'
к
5-52-ж = ? + f(1-cos^) = (¥ + 1)!r-
5.53. Ж1 =
—— (Z — Zo) (1 — cos wt) + ;
mi + m2 UA ’ 2
ж2 = Z — (Z - Zo)(1 - coscoZ) +
mi+m2 2
5.54. К = £Кол = ^.
4 4
5.55. г) =
2mm\v0
2mvo
ГП1ГП2
(mi+m)(mi + m2) ’ т + шЦ (т^тг/Г
ЗпЯ\
5.56. Дер « Зфоу; фп = фо ^
ФО 1 +
Z /'
5.57. Угловая амплитуда колебаний осо =
379
5.59.
ДГ
• 1(Г
Т 2 М + т
5.60. При резонансе сила трения равна внешней силе: Ттр = 100 дин.
Амплитуда скорости «о = Арш = 20л см/с, к = Fip/vо = 5/тс г/с.
5.61. При резонансе фаза скорости совпадает с фазой внешней силы и
амплитуда скорости наибольшая, поэтому работа внешней силы за период
А = у fds = J fvdt будет наибольшей.
о
5.62. Л = |.
5.63. Т :
2тхт
Tr
: 2 • 10 2 с. Для численной оценки принято: т = 0,5 кг,
Р= 105 Па, R= 10 см.
5.64. п < 2.
а , ш v /6т
5.65. / = — = — у -^г.
Указание. Применить для каждого шарика адиабатический инвариант
движения ф pdx = const.
5.66. Vmax = Vo = 1 CM/c; T= ^ =n \Jt^= 0,314 c.
To
cgt T-T0 I \m M
5.67. ——— = ^ /1 + - — — 1 = 0,01, откуда — w 16,7.
3 M
с со k 1 , m _ 10
5-68‘ ^ = 1 + 3M~¥-
5.69. т =
V к
5.70. T = 2tt
lL(m + M)
g(mL + Ml)'
= ш =45-3-
5.72. Коэффициент сопротивления среды г входит в уравнение затухаю¬
щих колебаний
тх = —гх — кх.
Приведенное уравнение колебаний имеет вид:
X + 2Ъх + ШдХ — О,
где 6 — коэффициент затухания, а решение уравнения имеет вид:
x(t) = Аде Stcoscof.
380
Искомый коэффициент г = 2тЬ = т^~п = 4,6 г/с.
5.73. со =
Mina ~ 2 рад/с; Q =
7Ш.
In а
= 136.
2
5.74. Q = 14,4, находится из уравнения (n2 - I)2 + = —, где обозна-
(с^ KZ
чено п = — = 0,9.
О>0
5.75. а
Mv/m =а= 10%_
v А\/кМ/т А
5.76. а =
2гап
sfn
VT2 - Tl
5.77. it = arccos2 fl - — ) = 12,3 H/m.
P
5.78. m =
2kL2
v? axccos2 [ 1 -
2v
= 855 кг.
§ 6. Момент импульса.
Закон сохранения момента импульса
6Л. S
1
2Т«0^0-
6.2. h = г2
6.3. х = 0,85 м.
6.4. х = 4h(-—m ^ = 0,167 м.
V 4m + М I
ос 2 2 , g л/Зг>о
6.6. шг = tog + где а>0 = ——.
2а 4 а
6.7. Птах = y2ghmax, Hmin - \J2g/lm;n.
Решение. На основании закона сохранения энергии
2
н + 2gh = const.
Момент силы тяжести относительно точки подвеса не имеет вертикальной
составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при
движении человека вертикальная составляющая его момента импульса оста¬
ется неизменной. В положениях, где высота h максимальна или минимальна,
скорость человека v горизонтальна, а момент импульса равен mvr, где г —
381
расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит,
в этих положениях величина vr одна и та же. В момент, когда высота h мак¬
симальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность
с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения челове¬
ка М (рис. 455). По известной геометрической теореме г2 = АВ ■ ВС, или
г2 = (21 — h)h. Поэтому в положениях, где h макси¬
мальна и минимальна,
(21 — = const.
Запишем найденные соотношения для этих положений,
имея в виду, что максимуму h соответствует минимум
v и наоборот. Получим:
^max + 2^/lmin ^min A 2^/lmax,
2 2
(21 — /imirO^min^max — (2Z — /lmax)^max%in-
Решая эти уравнения, получим
2^f/lmax(2Z Z^max)
21 — (Л-тах “1“ h min)
2g/lmm (2Z Z^min)
0)
(**)
min 9/ _ (h A-h ■ Y
^itmax \ 'tmmj
При этом учтено, что в реальных условиях h<l, так что величина (*) дей¬
ствительно максимальна, а (**) — действительно минимальна. Если /imax и
hm\n пренебрежимо МаЛЫ ПО Сравнению C I, ТО «max = 2g/lmax, «min = 2g/lmin-
6.8. v% =
6.9. ш =
2gh2
h + /io
const
2gh20
h ho
„ const . 3 2 t-,2
F= —A= -тш0Д0.
r6 2
6.Ш. t = -— + ——.
Zw Zru)
^ ; S = П = K. Жесткость к должна уменьшиться в
т шт
6.11. о) =
л/2 раз, тогда частота уменьшится вдвое.
6.13. n =
6.14. V2
9 о л/З 2
7W2 + Заг -|—— а
ттг2 + Заг
VI.
«1= 10 4 • 2 ,
b.15. VI = — «о, V2 = YJ^O, V3 = yy^o. V
11
no; а):
11 l ‘
382
л Д/Г 6 з v0 2 1
b.lb. M = -m; a) = - —; v\ = wq; «2 = gi'o; «3 = g«o-
6.17. v =
kl2
^ 32m(sin2 -sin22a)
кона сохранения момента импульса).
3,3 м/с (результат получается из за-
6.18. z{t) =
z = 0 находится в центре сферы.
^ (1 — coscot); h = т = —, где z
со
вертикальная ось,
§7. Гравитация
7.1. Не сможет, так как «2косм = у = И,5 м/с > Прыжка = v/2g3/i3 и
и 7 м/с, где g3 и /13 — ускорение свободного падения и возможная высота
прыжка на Земле.
7.2. Решение задачи сводится к поиску полной энергии ракеты после
выключения двигателей. Оказывается Е = -0< 0, т. е. ракета не
покинет пределы Земли; g0 — ускорение свободного падения на поверхности
Земли, Я3 — радиус Земли.
5
7.3. См. ответ предыдущей задачи. Е = -g0fl3 > 0, т. е. ракета покинет
Землю.
7А* U(R) = -т£0Яо/Д, где До — радиус Земли.
Решение. Сила тяготения, действующая на тело, находящееся на рас¬
стоянии г от центра Земли, равна f = mgR^/r2. Тогда потенциальная энергия
на расстоянии Я будет
R
U(Я) = J / dr = -
ОО
mgRl
R
7.5. rmin
yM
2'yo
(yM
V 2«g
2
+ г2
7.6. К =
Т 2
уМ
—где у — гравитационная постоянная.
471*
Указание. Рассмотреть круговое движение планеты.
7.7*. Решение. Когда масса планеты пренебрежимо мала, Солнце мож¬
но считать неподвижным и написать mf = F. С учетом движения Солн-
Mm
ца это уравнение заменится на цг = F, где ц = — — приведенная
J\d "Ь 771
масса. Переписав его в форме mf = —^ mF, видим, что учет движения
383
Солнца формально эквивалентен увеличению гравитационной постоянной в
(М + т)/М раз. Поэтому
а3 _ М + т^' М а3 _ у
Т2 _ М Y4tf ИЛИ T2(M + mj ~ 4Г2'
7.8. АТ = Т^ « 2,7 с, где Т
h
продолжительность земных
суток, а Из ~ радиус Земли, /з — момент инерции Земного шара.
7.9. T = 2nJ—~
угп
Ю~3 с.
7ЛО. Уменьшилась бы в \/2 раз.
7.П. R = Д0
Ml + М2 = 2д0 = з . 108 км
М0
7.12. М2 w Mi = М; Д3
тМГ2.
27I2
Д и 1,1 • 108 км.
7.13. г2 =
«1 ^
2уМ
г\
2уМ
2уМ -
гд; v2 = —v\. Звезда распадается, если
Г2
7.14. 1) rmin
1 Га _
2 у 6’
2) Травн
3) ^(ro) = -|b, F(rmin) = 35 > 0;
4) Wj2K = Г — Пмвн \ _ имеет СМЬ1СЛ ПрИ г > Гравн
Г у Гравн Г у
7.15? — = 0,573, Т = 47,7 сут, а = 5,58 • Ю10 см.
Щл
Решение. Используя приведенные данные, находим: момент инерции
Луны относительно оси вращения Земли 1л = ша^ = 1,08 • 1047 г • см2 (мо¬
ментом инерции Луны относительно ее собственной оси пренебрегаем), угло¬
вую скорость вращения Луны о>л = 2,67 • 10^6 рад/с, момент импульса Луны
Ьд = 1дшл = 28,9 • Ю40 г • см2/с; полный момент импульса системы Земля-
Луна L = Ьъ + Ьд = 34,8 • 104й г • см2/с. По закону сохранения момента им¬
пульса (7з + та2)ш = L. По закону Кеплера а3ш2 = адшл. Из этих двух
уравнений можно получить неизвестные а и си. Пренебрегая моментом инер¬
ции /3, пишем та2ш — L и находим
: од-
L2
: а0
_L_
Ьл
2
= 1,45ао = 5,58 • Ю10 см,
си
(5?)3/2 = 0,573, Т =
27,3
0,573
47,7 сут.
384
7.16. ДД =
2 М3Щ ш3 ДТ
! 3 см, где ц — приведенная масса системы
3 цДл щл Тз
Земля-Луна, ш3 и шд — угловые скорости вращения Земли и Луны, Т3 —
продолжительность земных суток.
7Л7'дтл=й(й)2(1)2дт“360"кс-
7.18. По гиперболической.
7.19. Оба осколка будут двигаться по параболам.
7.20! Р е ш е н и е. В перигелии Р ив афелии А (рис. 456) радиальная
скорость планеты равна нулю. Поэтому момент импульса планеты в этих
точках можно записать в виде mvr. Учтя уравнения сохранения момента
импульса и энергии, получим для этих точек
L2
2 , Мт
г +y—g~r-
2 mE
= 0.
При Е < 0 это квадратное уравнение имеет два ве¬
щественных положительных корня г\ и гг. Один из
корней соответствует перигелию Р, другой — афе¬
лию А. Сумма корней r\ + гч дает длину большой
оси эллипса:
_ Mm М
2а = п + г2 = -Y—=г- = -Y —,
Ь г
где г = Е/m — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты.
Так как для движения по эллипсу t < 0, то полученное выше выражение
существенно положительно, как это и должно быть.
7.21! Р е ш е н и е. Пусть комета движется по правой ветви гиперболы
(рис. 457). В ее вершине справедливо уравнение
2 Мт
г +Y-g~r-
L2
2 тЕ
Вообразим, что по сопряженной вет¬
ви гиперболы движется вспомогательная
частица с той же массой т и энергией Е,
но на эту частицу действует сила оттал¬
кивания, исходящая из фокуса F\, вели¬
чина которой совпадает с силой притяже¬
ния, действующей на комету. Для такой
частицы в вершине гиперболы
г
2
Мт
У
г —
L2
2 тЕ
= 0.
Разность положительных корней написанных уравнений и дает искомую дли¬
ну
2а = у
Мт
~ТГ
м
= у—,
£
где £ = Е/m — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты.
385
7.22* Решение. Если р — импульс, а г — радиус-вектор планеты
относительно Солнца, то
d
dt
(pr) = (Fr) + (pv)
-у— + 2K = U + 2K = E + K.
При периодическом движении среднее по времени значение ^(рг), очевидно,
равно нулю, откуда и вытекает результат: Е + К — 0.
7.24. v = vnx/l - R/(2a) = 8,1 км/с, где v\\ = %J2gR =11,2 км/с — вторая
космическая скорость, 2а — длина большой оси эллиптической орбиты.
_ АЕ 2 АТ
7-25'Т = "зТ'
7.26. Мм = 0,11М3.
Дтт2 лЗ
7.27. М=——
у 1 2
орбиты спутника.
-0,02 (Д < 0).
6 • 1027 г, где а — большая полуось эллиптической
3/тч2
-И
7 9» ^2 _ / Й2 \
7-28- ЛД - W
расстояние корабля-спутника от центра Земли.
0,11, где 7?! = R + h = 6625 км — среднее
/ 37Т о
7.29. Т = . /—; для спутника нейтронной звезды Т « 1,2 • 10 с.
7.30. Д = .3
и>2 До
До « 6,61До, где ш =
2я
24 • 3600
рад/с.
Указание. Центростремительное ускорение спутника огД должно
быть равно ускорению §Д2/Д2, сообщаемому спутнику силой тяготения.
2 ёЩ
7.31. 2а =
7.32. 2а =
«1«2
2ВЩ
7.33* Первый.
■ 14400 км.
; 14300 км.
Ri _ 2gRp
Д2 ~ v§ '
Решение. Для первого снаряда, по закону сохранения энергии, имеем
«о т> До т> 2gR о
у - gRo = -8-щ или Д1 у-
и2’
ио
2gRo - vfi
так как его скорость в верхней точке равна нулю. Для второго снаряда, по
закону сохранения энергии,
4-gRo = 4-
Д2
*Да’
где v\ — скорость в наиболее удаленной точке; кроме того, по закону сохра¬
нения момента импульса vqRq = щД2. Отсюда получаем
» - црДо
2gRo - vl
386
J
7.34.
2gRo
Ri =
Rq
M-l — i
: 6,877q! T?2 =
Rq
Ц2 ~ 1
■2,52Яо, где M-i,2
До — радиус, ш — угловая скорость вращения Земли.
(г>о ± wRo)2 ’
Указание. См. решение предыдущей задачи.
7.35. ж:
2Я3«Л
2gH3 - v2
2nR [Ш
: 5 • 10 КМ.
7.36. v = ——\1 — « 60 км/с.
7.37. Посередине между центром Земли и начальным положением кораб¬
ля.
7.38Г Р е ш е н и е. Так как энергия корабля зависит только от длины 2а
большой оси его орбиты, то переход на круговую орбиту произойдет на рас¬
стоянии а, т. е. в точке пересечения эллипса с его малой осью. Направление
скорости корабля надо повернуть так, чтобы оно оказалось перпендикуляр¬
ным к линии, соединяющей корабль с центром Земли.
7.39. Увеличить в \/2 раз.
7.40. V2 = г>ху = 54,6 км/с.
7.41.
Мп + Мц _ Атт2 R3
мГ~
= 0,0024.
Т2 gR2
1АТ. Р е ш е н и е. Пусть центр масс тел
А и В находится в точке О (рис. 458). Неиз¬
менное расстояние между телами А и В будет
сохраняться только при вращении их с угловой
В D
Jo
\П L*
скоростью О) = ~
ы
у{Мл + Мв)
R
вокруг точки
Рис. 458
О. Условия равновесия тел С и D во вращаю¬
щейся (связанной с телами А и В) системе координат запишутся так:
МС
уМа +ш2(Д-
(R - г)2
а - г) +
уМв
+ Fq = О,
MD
уМА
(Я + г)2
+ ш2(Я
а + г)
уМв
Г2
+ fd = о,
где положительное направление выбрано от А к В, Fq и Fd — искомые силы,
у — постоянная тяготения. Исключая о>, принимая во внимание соотношение
aw2 =уМв/R2 и пренебрегая членами высших порядков относительно r/R,
получаем окончательно:
Fc = уМс
Мв
г2 + R3
(3 МА + МВ)
Fd = уМо
Мв
г2
~(ША + МВ) ,
387
т. е. при Me = MD обе силы меньше силы притяжения этих масс телом В
на одинаковую величину.
7.43. Д« = — ./1Да= -42 м/с.
2а у а
7.44. г) = — (1 + у/5) » 1,62г>о.
7.45. т2 = (а2 < 2).
7.46if Минимальное удаление pi = 1,25Д3; максимальное удаление рг =
= 2,1Д3.
Решение. Энергия спутника в полярных координатах равна:
£=?[Р2 + (Р2(Р)2Ь- (С = утМ3).
z р
Момент импульса относительно центра сил равен: L = тр(рф). Исключая из
уравнения энергии ф и учитывая, что в точках максимального и минималь¬
ного удаления спутника от центра Земли р = О, уравнение энергии можно
записать в следующем виде:
Р
2
\Е\
Р +
L2
2т\Е\
= 0.
Здесь учтено, что полная энергия спутника Е на эллиптических орбитах
всегда отрицательна. Два корня этого уравнения дают расстояние до перигея
Pi и апогея рг эллиптической орбиты. Согласно теореме Виета
Pi + Р2 = 2а = Р1Р2 =
где а — главная полуось эллиптической орбиты. Используя уравнение эллип¬
са в полярных координатах, записанное для перигея и апогея pij2 = р/(1 ± г),
можно представить все геометрические параметры орбиты через механиче¬
ские константы движения.
В данной задаче полная энергия спутника
Е =
С ту.
1 1
R 2
где г>1 = у\
С
— квадрат первой космической скорости. Большая ось
тД3
С С
орбиты 2а = —- = рх + Р2, отсюда pi = 1,25Д3, р2 = — - pi « 2,1Д3.
\Ь\ |Ш|
7А7* vA =
vq
V6'
,2 (J
Решение. Для круговой орбиты v0 = —— , До = Pi — радиус круговой
тКд
орбиты, С = утМ3, т — масса спутника, у — гравитационная постоянная.
Для эллиптической орбиты: v\ = vq\JT$ = vP. Полная энергия спутника
mv\ _ С_ _ /1/5 _ Л С_ _ _1 С_
2 До \ 2 / До 4 До
388
Большая ось орбиты
2а = Р! + р2
с_
\Е\
■- 4Д0 = 4рь отсюда р2 = 4pi - pi = 3pi = ЗД0.
Для концов большой оси орбиты имеет место равенство L = mp\vP = mp2«A
(L — момент импульса), отсюда
Pi «о
vA = vP— =
Р2 V6
7.48? Тэ/Тк = 2\/2 « 2,82.
Решение. Выражая момент импульса через секториальную скорость
для эллиптической орбиты L = 2mds/dt, получаем для периода
^S = 2n^ab.
Jj Li
Поскольку b2 = a~~Q> т0
Для круговой орбиты
Т2 = (2п)2Г^а3 (С = утпМз).
Т2 = (2п )2^Д3.
Отсюда, с учетом данных задачи, получим
2
о3 2 3Д3 з Тэ г
дз=Т!Г=2’илиЙ = 2^
7.49? vp =
2gRs
3
m
vT
vii — вторая космическая скорость.
Решение. Условие преодоления спутником земного притяжения
С
- — = Е = 0, где С = утМ3,
Н,
~ ^ф
полная энергия спутника; отсюда г> =
2С^ (7
На круговой орбите поэтому
7.50? Prnin =
2
2 C
Vp =
mR
mv%R2
_ R
2 C
2
С
тпД
С_ = 1оЯ = V1
mR 3gi?3 3 '
Д
= Д3, г> = w<p =
Pmin
2 С
mR3
■■ «н, «и — вторая
космическая скорость.
Решение. Момент импульса спутника массой ттг на новой орбите опре¬
деляется из условия
L = mvipR = mvpmin = const.
389
Квадрат скорости движения спутника на круговой орбите равен:
С
mR
('С = утМз).
Полная энергия спутника на новой орбите:
£ =
С m . 2
-— = тт(«
Pmin ^
с
ф + ^р) д — О,
откуда и следует ответ.
7.51* Скорость запуска с Земли гд = (2/л/3)гд ~ 1,16г>1, где гд — пер¬
вая космическая скорость. Добавочная скорость в апогее Дг> = (1/\/2 —
- l/y/3)«i « ОДЗгд.
Решение (см. решение задачи 7.46). Для эллиптической орбиты боль¬
шая ось равна
2 а — 2/?з + — З#3
_С
1^1
(С7 = утпМэ).
Энергия спутника
|Я| =
С
ЗДз
Дз
С
пг> \ _
Т" ~ 2 Д,
ти
о 4 С 4 2 2
откуда скорость запуска спутника vf = -—— = -гд, скорость в апогее v2 ~
3 тптиз 3
1 С 1 9 9 1 2
= -—— = -v\, скорость на круговой орбите v£ = -г;!; отсюда добавочная
3 mRз 3 2
скорость
= (2__2_
\л/2 V3;
Av = vK - г>2
«I-
7.52. ^ < |(л/б - 1).
тс 5
7.53. v2min = -jL(R0 - R3)2.
ItQ
7.54.
7.55. и = ^?(2ч/5 =F 5\/2).
7.56. mi =
2г2
П + Г2
m = 8,66 т; m2 = 11 —
2гг
П + Г2
т = 1,34 т.
J2г2/(г1 +г2) +1 л/2 - J2r2/(r1+r2)
7.57. mi = — = т = 8,8 т; т3 — —= m = 1,2 т.
л/2 + 1 л/2 + 1
390
7.58. vmin = (%/2 - l)v\\j~ « 1,6 км/с, где гд
рость для Земли.
Тг
первая космическая ско-
7.59. Г = -
2V2
7.60. Т2 = Ti
1 +
т2\2/31 3/2
TiJ
пп \ 2/3
я) -1
-1 3/2
: 33,3 года.
: 2,78 года.
7.61. Дг; =
; «к
Г
«з « 2,9 км/с, где v3 = J
уМс
скорость Земли, a vK
2уМс Дм
Дз
= 32,6 км/с
3/2
29,7 км/с — орбитальная
требуемая скорость
Дз(Дз + Дм)
р..\3/2
260 сут.
7.62. т = 147 сут, где Дг; = —2,5 км/с (см. ответ предыдущей задачи).
2,71 км/с.
корабля. Время перелета т = ^=Т3
7.63. Дг; = vK — vg = Vq
7.64. Av = vK — vm = Vo
2Дзг>[к
fc(fc + l) %/fc.
2 _1_
fc(fc + l) -v/fe
7.65. До =
рость.
/2<xW/r,
= 3,4 • 10 км, где v\.A
-2,65 км/с.
первая космическая ско-
M
7.66. Ди« 1,2у^-.
rt
7.67. х бяДгп
12 км.
7.68. Скорость отстающего спутника В сначала нужно уменьшить на
величину Av <^v, в результате чего он перейдет на эллиптическую орбиту с
меньшим периодом. А затем через п оборотов, когда спутник опередит свое
первоначальное положение на нужное расстояние, снова увеличить скорость
спутника на Av. Тем самым спутник перейдет на прежнюю орбиту с прежней
скоростью, т. е. относительная скорость спутников снова станет нулевой.
л L
AV~ 3 пТ'
где L = 45 км; Т«1,5ч — период обращения спутников. При п— 1
Av > 8 км/ч, минимальное п = 2 Дг; « 5 км/ч.
7.69. Если v\ — скорость аппарата относительно Солнца в точке, лежа¬
щей на орбите Юпитера, Ifo — скорость Юпитера,
«1 = Ую
Дю/Дз + 1
391
После облета Юпитера скорость аппарата относительно Солнца v — 2Vjo -
— щ « l,42V)o > л/2Тк> Таким образом, аппарат может уйти на бесконеч¬
ность (так был запущен «Вояджер»).
7.70. 1пад
г
4л/2
в системе Земля-Солнце 1Пад
2 мес.
7.71. t
Т
4VT
7.72. Av = v3
Земли.
2Д
Д3 + Д
и 3 км/с, где «з — орбитальная скорость
7.73. ~ = 1,2 • 10 5, ДД 8 м, где Д — радиус земного шара.
Д гр0
(При решении использовано выражение для силы сопротивления F ~ рv2S,
где S = пг2 — площадь поперечного сечения спутника.) Почему снижение
спутника не зависит от гравитационной постоянной?
7.74. р =
ДД тН
Н 4т12г2(До + Я)
2,2 • 10~п кг/м3.
7.75* Время снижения т = -п
3 Дз
2 g '
Решение. Большая ось орбиты снижения 2а = R3 + 2Д3 = ЗД3. Время
обращения по эллиптической орбите
Тэ = 2nJ ^а3 = 2т (С = утМ3).
Время снижения
т = 7Г
утМз
т
з щ = з
2 gM ~ 2П
3 Дз
2 g '
: 8 - 10 5 см/с2,
7.76. Тангенциальная составляющая ускорения спутника
dv _ g R dr
dt 2v r2 dt
где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли, Д — радиус
Земли, а — — скорость снижения спутника. Сила сопротивления среды
F = т^ « 80 дин. Имеет смысл считать, что скорость спутника »й8 км/с.
dt
7.77. Т -■
7Гу М
\E\vm’
7.78. Av&Q,01^/gR^
7.79. AM w 450 кг.
2\/2
3
дг
т
_ 6nF
г
79 м/с.
7.80. tga =
0,9.
392
\
7.8i. woo = R
ПРИ 1 = 2R v°o = урл « 6,5 км/с.
7.82.
mo - m
m0
= (^2-1)
лЛ?Д
: 0,17.
7.83. m(t) = moe */т, где т = w-ma « 230 с; T = a. /— и 100 c; — « 1,5.
Перегрузка космонавтов g3KB = i/g2 + «I и vx = 16 м/с2, где w^ — ускорение
ракеты.
7.84. На Землю упадет весь рой.
7.85. N = nRlhn ^1 + 2^^ = 7,75 • Ю10.
7.86. ДМ = 2ттг2/1Р = 2,55 • 1019 кг.
7.87. v2 = gQh^ moV m°-'
1+Л
7.88. m = то | ^ + 1 ±
4Д
+ 1 -1
17,1 км/с.
6 кг; I т то
8 R '
7.89. Дтах - Дю1п « = 256 м.
М \ g
7.90. Дтах - Дю1п = л/бй3 mw
вая космическая скорость.
7.91. - « 1 — 2 Г —4 2
a V w0
М vo
6Д3 _ mw
~T~~M
= 157 м. Здесь wq — пер-
! 0,98.
7.92. — = cos 6.
а
no п г* л cos ос / 77 ,, _
7.93. Дтах Дщт = 4 \/ — ~ 9,5 М.
тс V ё
7.94. Ra=4,67R3.
7.95. mmin = М0 jexp - l] - где w0 = х/2|'лДл, £л — ускорение
свободного падения на поверхности Луны.
7.96. Av = 4 /X « 47 м/с.
7.97.
4 V Д3
1 + sin2 a _ 5
1 - sin2 a 3
7.98. ti = T2\j 2 - f рЛ = 7 лет 137 дней.
393
7.99. Первый вариант: здесь необходимо просто «остановить» аппарат
в орбитальном движении, после чего он сам свободно упадет на Солнце
! 22000; продолжительность падения t\
тк j j
Второй вариант:
4V2
лет.
т \
с5,9,
: 400; продолжительность падения t=
,тк/ 2
= 5,6 лет, продолжительность полета от Земли до афелия t^ = 6,5 лет; t2 =
= 12,1 лет. Выигрыш в энергии в 55 раз, однако существенное отличие во
ТП
времени. В пределе (при бесконечной длительности полета) — « 63.
7.100. 6Г:
26г оцТ
тк
17,2 с, где о>1 — угловая скорость вращения
Г 0)2 sin 0
Земли вокруг Солнца, о>2 — угловая скорость вращения Земли вокруг оси.
7.101. Во время корректировки Т=1,75Т0; до и после корректировки
часы стоят.
3/2'
7.102. ер = я
Ш (—
\Тм \R3
Земли и Марса вокруг Солнца, а =
перелета, ф = 0,778 рад = 44,3°.
, где Т3 и Тм
Яз + Ям
периоды обращения
большая полуось эллипса
7Л03-ч’ = !(?-1
: 0,65 рад = 37,2°, где время перелета
Т =
Ям + Яэ
2
7.104
3/2
2Д3
Мг
Мс <хсЯс
= 0,707 года.
(Xf Rt
10
13
7.105. Движение Меркурия по небу в достаточном приближении — гар¬
монические колебания с угловой амплитудой А = 22,8°. Угловая частота этих
колебаний ш = сут"1. Искомое время т = « 9,7 ч.
115 Aw
7.106. h\ min — 3Я, 111 шах — /l2r
: 0; /l2max — R-
_ п /, Ml + м2
7.107. Через полпериода колебании 1=—, где ш = * к ■ —, надо
О) у М1М2
увеличить силу тяги до 2F. При этом массы М\ и М2 сблизятся на Ах =
_ 2 FM2
~ к(Мг+М2)'
7.108. При устойчивом равновесии угол 0i между тросом и продолжением
радиуса планеты равен нулю, а период малых колебаний вокруг него Т =
= То/л/З « 0,9 ч. При 0 = п/2 равновесие неустойчиво.
3 mgl
7 i09 F - 8Дз
7.110. Т = 2п
:6•10“° Н.
(.Я2 - г2)3
2уМЯ(ЗЯ2 + г2)
= 1 ч 33 мин.
394
7.111. ер = 2л
3 a/R2
1 - За/Д2
: 67Т
R2'
7.112. Д=-
16 ( тУ2 - Г?/2
' 1
7.113. ^£=зМ™ д^20АМ1 =3^ =3 ■ 10~2;
Т М10М20 Мо
= 2-10-2. Перенос происходит от легкой звезды
Да
т. к. -— > 0.
а
Да _ 2 ДТ _
а 3 Т
к тяжелой,
7.114. М = тщ + т2 = = 3,8 • Ю30 кг
7.115. тп =
4тг2Д3М„2
уТ2
уТ2
16 • 1024 кг
1,5Мс-
; Зт3.
7.116. В силу симметрии, точки всегда будут находиться в вершинах
некоторого квадрата. Их орбиты — одинаковые эллипсы с фокусом в центре
описанной окружности. Общим параметром этого движения является период
2п( R -\- тЛ^/2
обращения Т= ^;—. Большая ось эллипсов R + r, малая —
[2(1 +2V2)yM}1/2
2 VRr.
7.117. v\ - V2 = \ j Vq +
3 y(M + m)
7.118. T =
2 L2
л/а,'
7.119. Wr = -
5 R0
нейтрона.
7.120Г A = 60 МДж.
R
: 0,9 • 1053 эрг, где Rq = 1,3 • 10 13 см, m — масса
Решение. Минимальная работа по перемещению массы тп с Земли на
Луну может быть записана следующим образом: AKmR^g3 — mRj\gn, где
й3 и йд - радиусы Земли и Луны, g3 и £л, соответственно, ускорения сво¬
бодного падения на поверхности этих планет, вызванные силами тяготения
самих планет.
7.12С i>min и 16,7 км/с, «шах « 72,7 км/с.
Решение. Все скорости относительно Земли условимся обозначать ма¬
лыми, а относительно Солнца — большими буквами. Разделим движение
ракеты на два этапа. На первом этапе движение будем рассматривать в
системе отсчета, в которой Земля неподвижна, пренебрегая при этом пол¬
ностью неоднородностью поля солнечного тяготения. В этом приближении
сила гравитационного притяжения Солнца полностью компенсируется силой
инерции, связанной с ускоренным движением центра Земли. Считая массу
Земли М бесконечно большой по сравнению с массой корабля тп, запишем
395
уравнение энергии в виде
mv2 Mm mv:L,
-75 7 =
2 г 2
где «оо — скорость ракеты в тот момент, когда она практически выходит
из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость v2 =уМ/г,
получим via = v2 — 2v2. После того, как ракета выйдет из зоны действия
земного тяготения, будем относить ее движение к системе отсчета, в кото¬
рой неподвижно Солнце. Скорость ракеты в этой системе отсчета векторно
складывается из скорости Voo и скорости кругового движения Земли VK:
V = VK + Voo- Возведя в квадрат, получим
V = VK -)- Vqq + 2VkVoo — Vk + Vqc + 2VKVoc cos0.
Чтобы найти третью космическую скорость, надо в этом соотношении поло¬
жить V = Vn = \/2Vk, где Vn — параболическая, a VK = 29,8 км/с — круговая
скорости движения ракеты относительно Солнца. Это приводит к уравнению
via + 2VkWoo cos0 - V2 = О,
из которого находим
Voo = (V1 + cos2 0 — cos0)Vk
(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величи¬
на voo по своему смыслу существенно положительна.) После этого получаем
v2 — (\/1 + cos2 0 — cos0)2VK2 + 2v2.
Наименьшее значение третьей космической скорости получается при 0 = 0
(ракета выпущена в направлении орбитального движения Земли), наиболь¬
шее при 0 = я (ракета выпущена в направлении против орбитального движе¬
ния Земли):
Vmin = \!ы2 - 1)К2 + Vvl « 16,7 км/с,
r^max = \J(л/2 + 1) + 2vk ~ 72,7 км/с.
7.122? vn
■ 29,2 км/с, Вшах и 31,8 км/с.
Решение. Ракета на старте движется вокруг Солнца вместе с Зем¬
лей со скоростью VK. Чтобы ракета не упала на Солнце, надо ее движение
затормозить. Как и в предыдущей задаче, на¬
ходим, что при выходе из поля земного тяготе¬
ния ракета будет иметь скорость V = VK + Voo
(относительно Солнца). Наименьшая для за¬
медления ракеты затрата энергии соответству¬
ет случаю, когда скорости VK и Voo направ¬
лены противоположно. В соответствии с этим
Рис. 459
396
полагаем У = VK — voo (все скорости положительны) и находим энергию, при¬
ходящуюся на единицу массы ракеты:
£ = - voo)2 - ^ = -i(K2 + 2Ук«оо - vlo)
(R = CA — расстояние ракеты до центра Солнца, рис. 459). Если эта ве¬
личина отрицательна, то ракета будет описывать вокруг Солнца эллипс с
большой осью
2 _ = _УМ = 2ДУК2
£ К2 + 2VKvx - vZo '
Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Пусть х = СР — рас¬
стояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса, тогда 2а =
= R + х. Это приводит к квадратному уравнению, меньший корень которого
Заданием расстояния х на поверхности Солнца определяется линия, на ко¬
торой должна лежать заданная точка. Таким образом, искомая скорость v
определяется выражением
V2 = vlo + 2«к = V2 ^1 - + 2«к •
При х = 0 (прямолинейное движение по направлению по направлению к цен¬
тру Солнца) скорость v максимальна и равна:
Гтах — \/Ук2 Т 2Г!к ~ 31,8 КМ/С.
Ракета упадет в ближайшей точке. При х = г (г — радиус Солнца) скорость
минимальна:
^min
2г
R + г
2
+ 2г)2
^/ук2( 1 - л/а)2 + 2v1 « 29,2 км/с.
Ракета упадет в наиболее удаленной точке Солнца, двигаясь по касательной
к его поверхности.
7.123. Точка, в которой g = 0 делит отрезок прямой линии между цен¬
трами этих планет в отношении 9 : I и, следовательно, лежит на расстоянии
г и 36,7 км от поверхности Луны.
7.1247 U = -
3 уМ2
5 R '
Решение. Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия,
обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точ¬
ками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противо¬
положным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы
397
привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая
частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от спосо¬
ба, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при
вычислении можно поступить следующим образом. Разделим мысленно шар
на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно уда¬
лять в бесконечность каждый из тонких слоев, начиная с самого крайнего.
Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создава¬
емая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле
создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Ес¬
ли т — масса этого вещества, a dm — масса слоя, то работа, затрачиваемая
. с . mdrn ,,
на удаление слоя в бесконечность, равна ЬА = у . Но для однородно¬
го3 М2 4
го шара т = М~—, где М — масса всего шара. Поэтому ЬА — Зу-^г dr.
Учитывая, что ЬА = —dU и интегрируя, получим
U = - 3
уМ2
№
dr = —
ЗуМ2
5 R
о
За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно
разрозненном состоянии.
7.125Г g=-^pR.
Решение. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность ко¬
торого равна плотности шара. Тогда искомое гравитационное поле g представ¬
ляется разностью гравитационных полей двух сплошных шаров с центрами
в О и 01 соответственно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого
из этих шаров. Поэтому можно написать
47г / 4я \ 47г
g=-Typr-l-Typrij=-TyPR,
где R — радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости
0ь Поле однородно, т.е. во всех точках полости одинаково по величине и
направлению.
7.126. v = s/Zglh, где Щ — радиус Земли.
7.127. Если р = const, то Т\ =Гг- Если р возрастает к центру планеты,
то Т2 < Ti.
7.128. Т
Зги
2п<
Тупт — 2я
Тт
= 1СГ по условию. Разность
Jo
сил, действующих на первый и второй грузы в тоннеле, bF — mg—, где 10 —
н
длина нерастянутой пружины. С другой стороны, эта разность bF = 2кЫ,
Ы (Tmm\2 _б
откуда — = —— ) = 10
(о V -'Зш
398
7.129. Гармонические колебания с периодом Т — 2ny/Ro/g0, где До —
радиус земного шара, g0 — ускорение свободного падения на поверхности
Земли.
7.130. gA = —7гург, где г
вектор, проведенный в точку А из центра
шара.
7.131. Т
Т0у
7.132. p{r) = \np2y(R2 - г2); р{0) ~ 2 • 1012 дин/см2.
7.133. р(г) = ~
2g(r) + dg(r)
г dr
7.134. v = 13,9 км/с.
АТ _ Я - 2/i
Т ^ 2Д
AT ^ nR2yp
7.135
7.136
7.137. т «тг
7.138. г =
i8-10
-5
gH
[Ш*
' g
уМ
10“'
42 мин.
4-л:,
г(Я+Я) ~14см’ ГДе М= -д-(Рм
Рп)Я3 = 167,9 • 109 т. При
этом невозмущенная плоская поверхность океана приобретает выпуклость
вверх, повторяя сферическую форму гравитационного потенциала в окрест¬
ности ближайшей к метеориту точки.
2 pi „ . „ gmo„ 64
7.13?. r(gn
Pi
3 Pl - Р2
Я3 « 5690;
7.140. r(gmax) = fl„- S
itr
go 63
рхДи/Дм
1,016.
gn
7.141. T= ./ —, где у
V тр
вещества слоя.
1,2.
(pi - Р2)(Дя/Дм)3 + P2
гравитационная постоянная, ар — плотность
7.142. Т = пг,1 —, где г — радиус орбиты, ц — погонная плотность
V тц
стержня.
4
7.143. gA = - -7rypR, где R — вектор, проведенный в точку А от оси
цилиндра через центр полости.
7.144. Д„± = ^; Дер =
v v2
7.145. т = —Гт=—-
2\/2ш
7.146. М =- —-А
8ут2'
399
7.147. Am = - coscpb) и 450 кг.
и 1
7.148. Am = - coscpn) яз 120 кг.
u 1
7.149. ra = nR3 = 19,5 • 103 км, где n = 3,05 находится из уравнения
n{n+ 1,25) = 2,5^^ =13,1.
7.150. ra = 5 a. e.
7.151. vn = 12,6 км/с; va = 5,04 км/с.
7.152. T = 36 лет.
3/2
7.153. Tx = T3 ( —
аз
оси планеты X.
7.154. р = ро
П
= 742Г3, где ах = 82а3 — длина большой полу-
Г2Г
r2h?]3
■>3
ро
Л3-!3
1,53 • 10 г/см3 (см. задачу 7.29).
7.155. р = = 653 кг/м (см. задачу 7.29).
у 1 2
7.156. A=^AU.
7.157.
Л
дг/
7.158. А=^-\ ос = 3.
2уМ
7.159. иц min = г»о\/1 — (1 — Р)а2 = 9,35 км/с.
7.160. M = m^OToCOSa-±^.
?>2 ■
ио
_ Ат
7.161. = 1 — ехр
т0
i?a
- г;п
и
V2
1 — е
-0,186
■ 0,17, где v'n - v„ =
. г>1, wi — I космическая скорость, vn — ско-
Ra A Дп J 15
рость зонда в перигее, v„ — скорость в перигее, необходимая для удаления
зонда на бесконечность. '
7.162.
^ = l_expf—=0,072,
т о V и
где
Ди = v3 - и™ =
IДз
:ЩУ Да
2Дп
„ „ ^ , . . . _ - I -0,3 км/с, где vi — I косми-
Ra 4" Rn ) 4 у 5 /
ческая скорость; Дг; < 0, т. е. надо увеличить скорость, чтобы из апогея пе¬
рейти на круговую орбиту.
7.163. Ь/а = cos<p.
400
7.164. <р = arcsin£2 = 30°, что следует из следующего соотношения: £2 =
= уД — (Ь2/а,2)2 = л/Т— cos2<p — эксцентриситет орбиты второго осколка.
Заметим, что по 3-му закону Кеплера возможное равенство больших полу¬
осей орбит осколков означало бы равенство их периодов обращения, т. е.
через один оборот осколки могли бы столкнуться в той же точке, где они
образовались.
7Л65Г£^4§^|)=0’015-
Решение. В дни солнцестояния проекция земной оси на плоскость
орбиты параллельна радиусу-вектору, соединяющему Землю и Солнце, в дни
равноденствия — перпендикулярна
ему. По второму закону Кеплера
из равенства полугодий между дня¬
ми солнцестояния следует равенство
площадей, заметаемых радиусом-
вектором за эти полугодия. Это
означает, что в дни солнцестояния
Земля находится на концах боль¬
шой оси, т. к. любая другая пря¬
мая, проходящая через фокус эллип-
М (23.09
А (22.06)
N (21.03)
Рис. 460
са (Солнце), делит его площадь на неравные части. Так как в дни равноден¬
ствия день равен ночи, то Земля находится на прямой MN, проходящей через
фокус F перпендикулярно большой оси (рис. 460). По второму закону Кепле¬
ра прямая MN делит площадь орбиты на части в соотношении Sn/S3 = Тл/Т3.
При небольшом эксцентриситете £ для расчета площадей можно воспользо¬
ваться приближенными формулами: Sn — nR2 /2 + 2FR и 53 ~ nR2/2 - 2FR,
R — где среднее расстояние от Земли до Солнца, a F — фокусное расстояние
эллипса. Подставляя эти выражения в уравнение для отношения площадей,
получаем:
: F/R = '
Тл -Тз
С4(Гл+Гз)
4-365
0,015.
Табличное значение £ = 0,0167.
7.166. Т = Т0х3/2 = 0,616 года = 225 сут, где То = 1 год, ж = Яв/Дз =
= 0,724 ищется из уравнения 0,551(™.Ь) = + (а — xR3)b.
7.167. Tmin = 6 ■ 10s с « 7 сут (условие достаточной точности). Дадим
краткие пояснения. Большая ось орбиты Седны 2а = 2(10500)2/3 = 959 а. е.
Расстояние в перигелии г = 2а/11 = 87,2 а. е. = 1,3 • Ю10 км. Полная энер¬
гия (на единицу массы) £ = —dq/959 = -0,926 км2/с2; х = £ - и = -0,926 +
+ Vq/г = 9,257 км2/с2; v = л/2х = 4,28 км/с. Условие достаточной точности
vt/г > l03amin, откуда Tmin = 10лаг/у = 6 • 105 с «7 сут.
7.168. v = 13,4 км/с.
7.169. v = 2,33 км/с.
401
7.170. — « ^ =2,5 • 10-5.
v 2 R
7.171. £
о
7.172.
voR
V г
2R / и \ 2
Г \ «о/
I
= 3,87.
= 1490 км.
24—
т
7.173. р > ^ = 1,2 • 10"5 кг/м3.
7.174. Ря = -М_^ =6- НГ24 г/см3; Мт = 9МЯ; рт = т
47TyrJ 4
Мт
7г[(10гя)3 - Г3]
= 5,4 • 10 26 г/см3; «min = 0,625wq = 125 км/с, Av = vq - «mm = 75 км/с.
7.175. Мя = ^ = 1,1 • 1041 кг; ря = = 1,35 • 10“ZJ г/см4; рт(г):
У 47ГуГя
л41
3«П
-23 ,/„.,3.
мя
47гуг2 4лгяг2
dm _ mg Ah
7.176. ц =
; Мт = 14М„.
= 2,1 кг/сут.
dt 2 uvT
7.177. — = еЛг;/“ - 1 « 0,016, где Дг; = = 47 м/с.
4 V лз
тсп
7.178. рСр
Л 2 R
7.179. ря = 2ро = 11 r/см3; р(г) = ря— = дРо— — плотность внешней ча¬
сти планеты.
7.180. а = = 0,618.
/1\3/2
7.181. Т0 = 8 • ( М = 2,834 = 1,02 • 104 с.
7.182. Го = 11 •
3/2
= 3,894 = 1,4 • 104 с.
7.183. т
_ m\fyM ( 1
| —= Д= ) = 5,2 ■ 106 с = 60 сут.
F V^Ho y/R«
7.184. F
WgR f 1 1
l
■ гп,1Г%^-^=3,8-10~2 H.
H 2t
7.185. T1=T2 = 3myM-A-.
tv*
402
7.186. Т = 2ymM-J-
К3
7.1872“ Среднее время между столкновениями т ~ 2,7 • 109 лет (порядка
времени жизни Солнечной системы), т. е. 1 столкновение.
Решение. Объем астероидного «пояса» составляет
V = n(R% - R\)h = 1,34 • 1024 км3.
Концентрация астероидов
N „ 1П~20 -3
п = — = U,75 -10 км
Сечение столкновений, т. е. площадь поперечного сечения «коридора» бес-
столкновительного движения астероида
а = 4пг2 = 314 км2
Длина свободного пробега астероида, т. е. длина «коридора» от столкновения
до столкновения, находится из очевидного соотношения
Acm ~ 1,
1 17
откуда Л = — =4,2-10 км, а среднее время между столкновениями оце¬
ниваем как
т= - =0,85- 1017 с
: 2,7 • 10м лет,
т. е. за время жизни пояса 5 млрд лет), каждый астероид претерпел при¬
мерно одно столкновение.
dv F
7.188. ат = = — >0, спутник ускоряется за счет перехода на более
низкую орбиту. Следует это из того что на круговой орбите v2R = const,
dL RF
т. e. vdR = —2Rdv. Кроме того, — = — RF, т. e. vdR + Rdv = dt. Отсюда
dt m
dvF
— = — > 0.
dt m
7.189. Скорость спутника возрастает по закону v(t) ■
Vo
kvot
m
§ 8. Специальная теория относительности
8.1. Если на корабле отсчитан промежуток собственного времени At',
то по земным часам будет отсчитан промежуток At = Г At', где Г = 25/7*),
*) В релятивистский множитель Г= — входит скорость V отно-
^ 1 - F2/c2
сительного движения двух систем отсчета. Поэтому Г — постоянная величина.
403
поэтому
s = VAt = Цс ■ Ц-At' = 7,2 • 106 KM.
20 i
8.2. Да, увидит. Если пренебречь временем реакции глаза, то мгновенно.
8.3. l = x2-x1=cAt = где р = —.
у 1 — р с
8.4.
2/0т
Ч-Щ/с*-
8.5. Скорости кораблей: Pi = ^ и |32 = \ -
О о
8.6. At = — ( 1 - \Л - |32) и - - = 0,0143 лет = 5,23 сут.
г; \ / с с
8.7. По собственным часам корабля пройдет промежуток времени ДТо ,
= 1,5 мес.
с/с2 _ i/i
8.8. р = — = l.—ЦИ = о,6; Т3 = Г2^^- = 1 мес.
С 1 + Т2/Т1 Т1 - Т2
8.9. Iq = 375 м; Р = ^
О
8.10. г0 = 400 м; Р = ^.
5
8.11. Ване будет 20 лет, а Пете 25 лет.
^ 4
8.12. Vo = су 1 - ^ = -с, где т0 = 15 лет, т = 25 лет.
8.13* Помимо обычного возможно и графическое решение этой за-
дачи. Из рис. 461: а* = у + -- => х, = —; т3 = = ТТТр =
= Т1А/^—Ё = °5С.
V 1+ Р
8.14. Здесь возможно графическое решение, аналогичное задаче 8.13
(рис. 462), т3 = ti^1 - Р^ =4 с. ;
8.15? При удалении о/ ■■
1 - V/c
1 + V/c
0)0,
при сближении о/ =
/1 + V/c
1 - V/c
О)0.
В некоторых задачах встречается множитель у =
переменная скорость частиц v.
404
\Л -у2/с
= , в который входит
Решение. Пусть источник покоится в К, а наблюдатель — в К'. Если
источник посылает импульсы с интервалом Т, то удаляющийся наблюдатель
в к' получает эти сигналы через промежуток времени
Т' =
1
1 - V/c
Т
(по часам К). Чтобы получить промежуток времени по часам наблюдателя
К', следует перейти к собственному времени наблюдателя Tq, для которого
Г' = Т'/Г (здесь Г = - 1-■-=), и мы получим Т/ — \/—Y/rT- Переходя
У1 - Р2/С2 V 1 -V/C
к частотам, получим
О)
/
1 -V/c
TTvTc*0
(u>o = 2 п/Т).
Аналогично, при сближении источника и наблюдателя
О)
1 +V/c
1 - V/c
too-
_ А у _
Ах
rtgcp'.
Решение. В системе К проекции стержня на оси ж и у будут равны
Ах = Ах'/Г, Ау = Ау'. Очевидно, Iq = (Ax')2 + (Ay')2, a tgср/ = Ay'/Ax'.
Таким образом, в системе К:
I = yj(Ах)2 + (Ау)2 - у (Аж')2 ^1 - + (Ау')2 =
= = г°\/1_ '&"С°*2<р/’
так как Аж' = Zocostp'. Что касается угла <р, то он определится из соотноше¬
ния
, Ау /
tg<P = Ат = rtg<P '
405
8.17* Р е ш е н и е. Фотоаппарат фиксирует лучи, которые приходят в
него одновременно. Поэтому, вследствие конечности скорости света, точки
предмета, лежащие дальше от фотоаппарата, чтобы дать вклад в изображе¬
ние, должны испустить лучи раньше, чем более близкие точки.
Рассмотрим, например, светящийся предмет кубической формы со сто¬
роной I, пролетающий на большом расстоянии от точки фотографирования
со скоростью v перпендикулярно к лу¬
чу света, направленному на фотоаппа¬
рат (рис. 463а). Вследствие движения
тыльная грань ABEF, невидимая при
неподвижном кубе, становится види¬
мой при движении, так как из точек Е
и F свет излучился на время 1/с рань¬
ше, чем с грани ABCD, когда точки
Е и F находились в положении Е' и
F1. На фотографии (рис. 4636) грань
ABEF выйдет в виде прямоугольника
A’B'E'F' со стороной A'F' =
с
С другой стороны, грань ABCD
вследствие сокращения Лоренца бу¬
дет сжатой в направлении движения в
у/ 1 — V2/с2 раз так, что ее изображе¬
ние A'b'C'D' на фотографии получится в виде прямоугольника со сторо¬
ной A'D' = lyj 1 — v'2/c2. Нетрудно видеть, что на фотографии общая форма
движущегося куба не искажается, так как он кажется повернутым на угол
<р = arcsin(ri/c) при сохранении своих пропорций (рис. 4636).
Аналогично, для движущегося шара вследствие совместного действия
запаздывания света и сокращения Лоренца видимая форма шара не иска¬
жается: на фотографии он получается в форме круга. Чтобы наблюдать при
помощи фотоаппарата сокращение Лоренца в чистом виде, нужно восполь¬
зоваться внешним источником освещения, например, лампой-вспышкой, ко¬
торый исключает кажущийся поворот движущихся предметов.
а 6
Рис. 463
8.18* v =
2eV I 1 + еУ/{2гт?)
т у [1 + еУ/(тс2)]2 '
Решение. Кинетическая энергия равна работе поля, так что
2 1
Кг = тс (у — 1) = еУ, где у = —===,
■J1 — v2/c2
откуда у = 1 +
еУ_
тс2
а следовательно, v = с
1
Окончательно:
г1
V =
2eV / 1 + еУ / (2тс2)
т у [1 + еУ/(гпс2)]2
406
Если eV < тс2, то
если eV 3> тс2, то
v =
2 еУ
т
1
3 еУ \
4 тс2 / ’
v — с 1
1
2
тс2
2'
С.
В последних двух случаях используется разложение подкоренного выраже¬
ния основной формулы в ряд по малому параметру.
8.19! I = (£q — тс2)/еЕ.
Решение. По закону сохранения энергии кинетическая энергия Кг
полностью расходуется на работу против сил поля: Кг = &- тс2 = еЕ1, от¬
куда и можно определить I.
Другой способ использует соотношение
Т
О
где т — время полной остановки частицы. Известно, что р = myv = <fv/c2,
откуда v = <?pj£. Кроме того dp = eEdt, поэтому
т о
о Ро
о
с Г pdp _
еЕ J у/р2 + т2с2
Ро
= ^ (Ур0 + т2с2 - mej = -L(<T0 - me2).
8.20!
Кв
v2/c2 _ 1
2 “ 150'
Решение. Воспользовавшись разложением бинома:
-1/2
У = 1
v*
с2
= 1 + 1^ + -— + .
2 с2 + 8 с4
получим для (v/c) < 1:
Ко
■■ тс2 (у
1) =
и2 3 mi'4
h
: 8 с2
Составив отношение второго члена Кр к первому, приравняем это отношение
одной сотой: = 0,01, откуда - = 0,li/-. В этом же приближении:
4 е2 е V 3
АГР _ г;2/с2 _ _1_
тс2 2 150
407
8.21. pc = у/К {К + 2тс2).
8.22. mQc2 « hvj2^-—^ « 4 • 10-8 эВ; ш0 « 0,8 • 10“46 г. Здесь с V
«5,3- 10“7.
Jj
8.23.
то (г
.c-V
= 7,9 МэВ.
8.24. т « 13,3 мин.
8.25. L = 40 см.
8.26. F' = T2SnmV2 = 1,5 • 109 дин; р! = — = 0,05 г/с.
С
8.27. ё = гпос2у = шос2— = 1,3 • 1012 МэВ, где у = —=L==.
то yl - г>2/с2
8.28. = тс2
L
2cAt
560 кэВ.
8.29. Стрелка совершит два оборота.
8.30. At' = At. /ii-Ё = 3 с, где |3 = - = 0,8.
V 1 - 3 с
8.32. т =
То
8.33. с-Vi
.. 6(Д*) .
1 0,06%.
’ At
S
= тТо й
з 2,1 • 10~5 С.
тсг
т^с2
с-8- КГ28<
л-17
Ксн/К3 « 2(v/2 - 1)с/и « 8,3 • 103.
/ #сн 2с „6
см/с; — « — = 1,3 • 10 .
вр.З
сиД
8.35. N = 3 ■ 109 кВт, что превосходит мощность Братской ГЭС примерно
в 1000 раз.
8.36. К = тс2 = 9 • 1027 эрг = 9 • Ю20 Дж; М = 13000 т;
v = су/3/2 = 2,6 • 105 км/с.
8.37. При сжатии бесконечно разреженного вещества до звезды радиу-
М2
са Д выделяется энергия = у ——, которая при Д—>0 стремится к бес-
SX
конечности. Но это невозможно, так как общая выделившаяся энергия не
может превышать Мс2. Откуда и следует условие Д>У-j- Если М = Мс,
то Д>1 км.
408
8.38. М = \J (mi + m2)
2K2mi _
; суммарная масса образовавшейся ча¬
стицы приблизительно равна сумме масс исходных частиц, если
К2т\
2 cJ К2(К2 + 2т2с2)
•С (mi + т2) , v — -
(mi + т2)с2 + К2
8.39. М2с2 = ^--P^,S = ,
,2 = с\/р\,2 + "Н,2С2, Р = Pi + р2,
где индексы 1 и 2 относятся к частицам, возникшим после распада,
М2с2 =
§i + <
(Pi + Р2) —
(m2 + т2)с2 + 2 (р2 + т2с2)(р| + т2с2) - pip2cos0^ .
8.40. ^1 = ~ [(М - mi)2 - ml]; #2 = [(М - т2)2 - т?].
8.41! ATi =
К0 cos2 0i
l+i-^sin20i
2 тс2
Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса для про¬
цесса соударения:
K0 = Ki+K2, К2 = Ко-Къ
P0 = Pl+P2. P2=P0-Pl.
(Po - Pi)2 = P2. P2 - Pi - Po = — 2p0pi cos0i.
Ho p2c2 = K(K + 2тс2), поэтому
222 2Ki(Ko + 2mc2)
P2 ~ Pi - Po = *—-5 -■
С другой стороны,
-2роЛ COS01 = C-^l^KQKi(K0 + 2mc2)(Ki + 2mc2).
Приравнивая, получим после некоторых алгебраических преобразований:
Ко cos2 01
К i =
1 + 5 sin2 01
2 тс2
8.42. cos0 =
К
К + 4трс2 '
О лъ • 0 то&
8.43. sm- = —.
2 27?|Ж
8.44. К-v = «Г-v = ^
1 (Мпс2)2 - (т„с2)2
т-пО
.2
: 30 МэВ;
409
Kyi = тле2 — rriyic2 — К-v « 4 МэВ.
8.45. mac2 = 1,7 ГэВ.
8.46. тгс2 = 8,3 ГэВ, Р = ^ « 0,13.
mrc2 - <fT ’
8.47Г К = 5,62 ГэВ.
Решение. Условие, при котором рассматриваемая реакция происходит
с минимальной затратой энергии, легко найти, рассмотрев процесс в системе
центра масс. Затраченная энергия будет минимальна, если в этой системе
все четыре образовавшихся частицы покоятся. В лабораторной системе они
будут двигаться с одинаковыми скоростями, как если бы образовалась одна
частица с массой покоя М = 4тр или энергией покоя 4трс2. Эту энергию
удобно обозначить 2S. Таким образом, 2S = 4трс2 = iSo, где <?о — энер¬
гия покоя протона. Полная энергия движущегося протона (с импульсом р)
до реакции будет Л- (рс)2. Поскольку при столкновении импульс сохра¬
няется, полная энергия образовавшихся частиц представится выражением
i/(2<f)2 + (рс)2. Закон сохранения энергии дает
sjs2 + (рс)2 + *> = у/ (2<?)2 + (рс)2;
отсюда
(рс)2 = 4(<?4 - S24)l4-
Чтобы найти исходную кинетическую энергию протона, надо из полной энер¬
гии его вычесть энергию покоя. Это дает
К = y/gg + (рс? “ *> = 2 (J ■
В рассматриваемом случае & = 2<?о, так что К = 6<?о = 5,62 ГэВ.
8.48. К™'т = 7,08 ГэВ.
, 2(Мг С2)2
8.49. К = 4Мх с2 + - -гг-.г— « 19,9 ГэВ.
Лс МрС2
8.50. <р « -^== ^ 0,05 рад « 3°.
\/©1<52
^ ГГ1 2 fry, 2 \ я
8.51. Tfv = 29,7 МэВ; = 4,25 МэВ; Рц = Ру = iL =
ЛЩ71
= 29,7 МэВ/c.
8.52. Реакция идет по схеме
р + р —»р + р + п(п+ + п ).
Полное число пионов 2п = 28.
8.53. mzoc2 « 90 ГэВ; (3 = 0,9.
410
8.54. mjjc2
8.55. Sno =
8.56. S^, =
и 1,85 ГэВ; р = 0,94; тс и 4,2 ■ 10“ l:t с.
4т2с4 - Зт2с4
?-л и 0,99 ГэВ; «£L± = 0,505 ГэВ.
4 ШрС2 71
тпс^
2т ц с2
ii— = 330 МэВ.
8.57. т0 = — = — и 0,84 • 10“16 с (у = (1 - р2)-1/2 = 1,8; р = -«0,83).
у ур с с
8.58. = 3,7 • 10“7 с; тк = 5,0 • 10-8 с.
Средние пробеги частиц ln = 111 м; /к = 15 м. Поскольку интенсивность
частиц убывает по закону N = , то
Nn _ Non т ( 1 1
iVK-^exp[LU_^
1600.
8.59. S' = , = 2— - S0 « 2— « 213 ГэВ, где S0 = 0,938 ГэВ -
Vl - fl'2 So и So
энергия покоя протона, (3/ — скорость движущейся частицы в лабораторной
системе отсчета, которую следует вычислить по теореме о сложении скоро¬
стей
(3 — (Зотн —
2Ц
1 + |32'
8.60. — 1 = 38 (на жидководородной мишени); А кз —
V 2So So
3000
(на встречных пучках). Здесь А — максимальное массовое число образовав¬
шегося ядра; К — кинетическая энергия протона (S « К в ультрареляти-
вистском случае); So — энергия покоя протона.
(it171'*) -(mi + m2)2
8.61. Kmin = с2.
2rri2
8.62. Smin = 2mpc2 « 1,9 ГэВ.
8.63. К > (л/13 — l)mpc2 и 2,44 ГэВ.
8.64. I = 10,54 м.
8.65. Р = - = J1 - (-*>-) = 0,887; cos <р = 1 - = 0,5, т. е. <р =
с у \Sl+S2) v 2SxSi ^
= я/3.
8.66* Р е ш е н и е. Рассмотрим случай поглощения фотона нереляти¬
вистским электроном. Выберем такую систему отчета, в которой электрон
сначала покоился. Законы сохранения энергии и импульса:
mv2 fuv
nw = ; — = mv.
411
Из написанных равенств следует, что v — 2с, что невозможно. Релятивист¬
ское рассмотрение тоже приводит к несовместной системе уравнений:
huj __ rape
с
откуда следует, что
Two 4- тс
1-(3
тс*
yi-P2
= 1, т. е. |3
л/1-Р2
0.
У1-Р2
Решение означает, что поглощение не произошло. Второй возможный ко¬
рень (3 = 1 не удовлетворяет уравнению! Таким образом, показано, что сво¬
бодный электрон не способен поглотить квант энергии. Аналогично решается
вопрос о невозможности излучения фотона свободным электроном. Так как
процессы поглощения и испускания обратимы по времени, то из невозмож¬
ности прямого процесса следует невозможность обратного.
8.67. В релятивистском случае скорость центра инерции системы частиц,
имеющих импульс р* и полную энергию А, выражается формулой
Уцн =
откуда легко получается ответ: Уци =
Pl<=
А + ГП2С2 '
8.68. р = - = ^; релятивистский фактор у =
СО о
8.69. Ядра |He (массовое число А = 4).
8.70. После столкновения в системе отсчета, в которой частица покоится
Ру = Р\ Рх
(■v/c2К
. Ру
16ф = - =
У1 — V2/с2 =
У1 — V2/6
8.71. 1) щ = 590 км/с; 2) v2 = 280000 км/с.
8.72. Нц„
К + тс2 11 ’ ^
гО
: 5 .
Ур?+р! 2 . Р2 „„
—с = 0,5с; tga — — = 0,75.
<*1 Н" <^2 Pi
8.73. К
_ Урх +
Р| 2 Р2
—е = 0,5с; tga = —
А + A Pi
4
3'
„2x3/2
8.74. а) а = — \1 - б) а = — (1
mV с‘ т \
8.75. Проще всего получить результат из энергетических соображений
2 у-, 2 тс2
К = (у — 1)тсг
■ Fx, откуда х = ——.
3 F
8.76* т= ^1пЗ.
Г
Решение. Поскольку сила параллельна скорости частицы, то F =
= у3ша, где у — релятивистский фактор. Отсюда Fdt = y3mdv.
412
Однако dt —- время в ЛСО. Поэтому в системе отсчета частицы dt' = dt/y.
Таким образом, Fdt' = y2mdv. Интегрирование этого уравнения приводит к
ответу
т 0,8
fdt1-171 ( -
™1„3
J Fc
J 1 - p2
0
0
8.77. В момент встречи Павлу, увы, 71 год, а Петру всего 35 лет!
8.78. и = ^с; V2 — 0,8с.
8.79. 10 = 120 см.
8.802“ Р е ш е н и е. Противоречия нет. И вот почему. «С точки зрения
трубки» концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки одно¬
временно. «С точки зрения стержня» совпадения концов А с А1 и В с В1
неодновременны: сначала совпадают концы В и В1, а затем через некоторый
промежуток времени и концы А с А’. Т. е. два события, одновременные в
одной системе отсчета, не одновременны в другой, что очевидно, следует из
преобразований Лоренца.
8.81. xq = - Р2 + yl(1 - Р) = 7,2 м (расстояние от кормы корабля
до приемника).
8.82. т =
L0
с-У 1 - р2 [Во
2х0
(1-Э)
3 • Ю-8 с.
8.83. L = у = 940 км'
8.84. v = с—~ ] = 1с = 2,8 • 107 м/с, где а = ^ \ ■
сх2 + 1 25 Li
8.85. т2 = т= Зть где т0 =
8.86. -V2 = 2vi, где -v0 = "vi
8.87. Pi = P2 = fcP! = |.
8.88. Pi = i; p2 = *Pi = |.
1 + Pi. о = P2 - Pi = 10
I — Pi ’ 1 — Pi P2 17
II — Pi. о _ Pi + P2 _ 5
1+ Pi “ 1+ P1P2 ~ 7'
8.89. v =
«1 + v2
c2
= 0,89 c.
8.90. tgO = —\/l - 4 = 1,2, 0 = 50,2°.
vi V c2
8.91. = 9.
mi 4
8.92. Pi = « 0,79; p2 = ^5/32 « 0,395.
413
8.93. Р = [cos a(cos ct + sin a)] 1/2 « 0,92.
8.94. P = [cosa(cosa + sina)]-1/2 = 0,828, где угол a — это угол между
скоростью пиона и направлением, действующей на него силы, обеспечиваю¬
щий минимум скорости, таков, что tga = у/2 — 1, a = 22,5°.
8.95? tga = п{ 1 - Р2) = 0,488; a « 26°.
Решение. Пусть скорость частицы v направлена по оси х, а действу¬
ющая на нее сила F составляет с этой осью искомый угол а. Из уравнения
релятивистской динамики
туа = F — (Fp)p,
где вектор 3 = v/c, а также поскольку (Fp) = FPcosa, следует
туах = F(1 — p2)cosa;
туау = Fsina.
Отсюда отношение нормального и тангенциального ускорений
ап ау tg a _
— = —- = — = п (по условию).
CL'y (Хх 1 “ р
Таким образом искомый угол определяется соотношением
tga = п(1 - Р2) = 0,488; a «26°.
8.96. 3 = А/1 - ^ и 0,93; v = 0,93 с.
8.97. t
-16
Vl + V2
1,2-10 с — время до возможного столкновения пи¬
онов в JICO; это же время по часам я0 12 = t^/l — Щ = 7,1 • 10 17 с < Т2 =
= 8,7 • 10-17 с (время жизни я0), т. е. пионы все-таки долетят друг до друга.
8.98. я0 успеет догнать я+ до своего распада.
Sy л/15 у \^8 1
8.99. х ■
тес2
= 3,85.
8.100.
К
тес2
(6- у/3)2-1
2(6 - л/3)
+ 1 - 1 = 1,251.
8.101. К2 > -So = 2345 МэВ.
8.102. К > (\/7 — \)S0 « 1544 МэВ.
К,
8.103.
гп^с2
= уц —1 = 1,56, где релятивистский фактор уц = « (<т4
Н ^ — 2,56, а — у7т + л/уп ~~ 1 — 3,732.
ап )
414
8.104.
тп
_ ТЕ + у/т| ~ 1 t ,
ms Тп + у/УЪ - 1
8.105. а-частица.
8.106. Ядро fLi.
,267.
8.107
Pi + (32 _ 4
8.108. M£(l-V^a)4
22
8.109. |32 = _ (при ЭТОМ
оо
dL
dt
чение |32 = -~ (ПРИ этом
О
dL
dt
21 ,
= мс), а также еще одно возможное зна-
6
с), больше скорости света!)
8.110. Два варианта: 1) быстрая частица движется в ту же сторону, то-
л/57/2-2
гда |3j = V « 0,477 и |32 = 2(3! и 0,954,
dL
dt
стица движется в противоположную сторону, тогда (3
i 0,477с; 2) быстрая ча
6- ,/23/2
1 = V— « 0,373
|32 = —2(3! = -0,745,
dL
dt
1,118с, т. е. больше скорости света!
§ 9. Плоское движение твердого тела
9.1. Ix = —MR2-, Iz = |-MR2 + |mL2, ОС = ^L.
10
20
О О т2 — mi
9.2. а2 = -ai = ^g.
m2 + mi + —
Натяжение нитей I\ = ^im.g+migl/r2 _ 2m}m2g + m2giy
mi + m2 + I/г2
Усилие T3 = Ti + T2 + Mg.
gt2
mi + m2 + I /r2
9.3. cp —
dco
2 R
(> + §)'
9.4.
9.5. a =
m2R~mir ( da> \ nda)
"ТГ = 555 ; 5-r-^g; Д = mx I g + r— T2 = m2 g - Д—
dt m2R2+mir2 + I \ dt ) V dt
2 (M + m)r2
mr2 + MR2 + 2 (M + m)r2
g-
415
9.6. АР =
(b - a)m,g
(b + а) ^1 —
9.7* а « 0,049 м/с2; Т и 8,0 Н.
г
R?
Решение. Пока движение совершается без рывка, диск опускается и
поднимается с одним и тем же ускорением, направленным вниз:
2 г2
а_ Я2 + 2г2§'
Натяжение нити при опускании и поднятии диска также одно и то же и
равно
Т0 = ^ f 1 - ^ « 4,83 Н.
2 V gj
Для оценки среднего натяжения нити во время рывка Трыв обозначим через
v максимальную скорость диска в нижнем положении. За время полоборота
диска Дt = nr/v импульс диска изменяется на 2Mv. Это изменение равно
импульсу силы, действующей на диск, за то же время, т. е. (2ТрЫВ — Mg)At.
Вычисления дают
Mg( 4ai\
2 V m'g)
Во время рывка нить испытывает дополнительное натяжение
: 3,14 Н.
Тг
рыв
л m ^ 2 а . .
АТ и Mgf
тгг g
Полное натяжение нити во время рывка Г = То + АТ и 8,0 Н.
9.8. Г =
Mg
Mg
1 + Mr2/I l + Mr2/(4rnR2)
Mhr
= 0,99 T0;
г рыв
: Mg +
7vmR2
To — натяжение нити при неподвижном грузе
Т и 1,42То, где I — момент инерции системы,
9.9. Г:
Mg _ Mgr2
; Л = MgL.
9.10Г а2 =
2 та
М + 4т'
Решение. Уравнение движения обеих обезьян по вертикали относи¬
тельно неподвижной системы координат, уравнение вращательного движения
блока и уравнение кинематической связи можно записать в виде
MR2 ,
та\ = Гр - mg, та2 = Т2 — mg,
-(3 = (Ti — T2)R, а\ = а — a2,
где ар и яг - ускорение первой и второй обезьян, (3 — угловое ускорение
блока, равное (3=a2/R, Ti и Т2 — соответствующие натяжения веревки,
Я — радиус блока. Отсюда и получаем <12.
9.11. а — MgR?/I.
9.12. * ^ = f и ft > 2/9.
416
Решение. Уравнение моментов вращения цилиндра около оси, лежа-
щей на плоскости качения,
mR2 +
где В — радиус цилиндра. При качении без скольжения центр масс цилин-
dv ndw „
дра получает горизонтальное ускорение — = В—, которое сообщает сила
трения; следовательно,
, , F\ _ _du>
*I*+S )>RTi
F
m( 1 + 1/2)’
где к — искомый коэффициент трения. По условию задачи — = |. Таким
образом, у = | и к > 2/9.
9.13Г Р е ш е н и е. Качение без скольжения. Силы, действующие на ци¬
линдр, показаны на рис. 464. Сила натяжения веревки F, сила трения /,
ускорение груза а. Уравнения поступательного движения: цилиндра F + / =
= та/2, груза Mg - F = Ма и уравнение вращения цилиндра (F - f)R =
О
. Сколь¬
1 тВ2а ~ , та _ 3 та
Отсюда получаем / = ——F = —■—, а= — . ,,
2 2 В ^ J 8 8 ’ l + 3m/(8M)
жения не будет, если |/| ^ kmg или к ^ (8 + 3т/М)~х, где к — коэффициент
трения.
Качение со скольжением. Угловое ускорение
цилиндра |3, ускорение оси цилиндра Ъ. В этом слу-
чае уравнения движения ( и \ .
I у 1 ускорение
F + f = mb, (F - /)В = тВ2$/2, Mg - F = Ма. ууууу/у^^уу/у/у/ууу/у/уу//
Ускорения связаны условием а = Ъ + |ЪВ, си¬
ла трения / = kmg. Отсюда получаем а =
-1
Рис. 464
1 km
“ 3 ~М
1 т
1 ПРИ Условии ^ < (8 + 3т/М) 1
Замечание. Полезно рассмотреть движение при / = 0 в отсутствие
сил трения.
9.14. Вертикальное ускорение груза ад =
= ускорение блока а3 = yLg.
13
g; горизонтальное — а.2 =
9.15. а) а =
mgr (В - г) =
I + Mr2 + т(В — г)2' М + т + МтВ2/1'
16vT5
mg(l + МВ?/I)
9.16. v и 4 • 1012 см/с» с, где с — скорость света.
9.17. w(t) =
М
1 / kt
1 - exp ( - у
Шуст —
М
к
417
9.18. L = irnR2w и 5,2 • КГ10 г-см2/с .
5
9.19. М = 1,67- 1015 Н-км.
9.20. а0Тн = |(g + а); Т = ^m(g + а).
Т2/м2 Г п
9.21. ЛГ = ; t = о), где /м
4 пМо! Мо
^, / = /0 + m(d2 + у ).
9.22. Кинетическая энергия вращения уменьшится на величину АК
1 /i/2 / ч2
2/i+72
(tui - ш2) ■
9.23. N =
9.24. п =
9.25! v =
Зттгп2
4%
gH.
gh, ш
j_ jgh
Я1
Решение. Закон сохранения момента импульса для системы желоб-
тело
/Оо) + m(u coscp + Rw)R = О,
где и — скорость тела относительно желоба, си — угловая скорость вращения
желоба, /0 — момент инерции желоба. Закон сохранения энергии для этой
системы дает
/о)2 + m[(wcoscp + Ra>)2 + и2 sin2 ср] = 2mgh.
Отсюда
V2u 28,
v2 = (ucos ср + Rw)2 + и2 sin2 ср = 5gh/3 « 1,67gh.
9.26. Змеевик будет вращаться против часовой стрелки ш3 =
Угол, на который повернется змеевик после закрытия крана
27tN ц
то + М
, М то + М
ср = 2nN 1 In ——
1 т0 М
in m0 < М число оборотов n = при то » М
7T3pn2(fli R2)Ad\d2
R\dy + RAd2
= 62,5 Дж.
9.28. cui
Mq сор _
Mo + yd’
0)2 = 0)q exP
2yd\
Mo)'
418
9.29. ш
max= ^^plnr2H3/2.
9.30. Угловое ускорение цилиндра е ■
dw
dt
mgr sin cpcos ср
шарика относительно цилиндра а =
(7 + m,r2)gKin ср
I + mr2 sin2 ср
I + mr2 sin2 ср ’
ускорение
9.31. t = 4/y
1 +
4тг27172
mh2(Ii + h)
9.32. Скорость вращения возрастает в (1+тпД2/7) раз. Кинетическая
энергия вращения возрастает во столько же раз. Увеличение энергии про¬
изойдет за счет работы, произведенной человеком при перемещении его по
диску.
mrv
9.33. со =
9.34. toi =
MR2/2 + mr2 '
Mir2
: Мгг2 + М2а2
Шо. ш2 =
Mir2
Mirf + М2а2 г2
а а
О)0 = —0)1.
г2
п . . MiM2r\a2 2
Потеря энергии Д77 = —■■■ ^> -ш0.
v v A(Mir\ + М2а2)
9.35. г = 2го.
9.36. Цилиндр опрокинется и свалится с диска при угловой скорости
вращения диска о) = у'Dg/(Rh).
_ F(Rcosa.-r)R Т
9.37. а = — __д—> где lam
момент инерции и масса катушки
7 + mR2
соответственно; а > 0, если cos а > r/Д; сила трения / = Fcosoc - та.
9.38. а
9.39. а =
9.40. 7 =
_ г sin а - fc(r + 77) cos а
7о + mr2
г sin а — /с(Д — г) cos а
70 + mr2
mvRsina
mgr.
mgr.
M
9.41. о) = 0,17ттг0г2
Зг2 +2 —(i2 +d2) +6-
т
М
М + т
9А2* Движение после перехода границы будет сначала равнозамедлен¬
ное, а затем с постоянной скоростью; 1/3 энергии превратится в тепло, 2/9 —
во вращательную энергию и 4/9 останется в виде энергии поступательного
движения.
Решение. Пусть масса цилиндра ш, момент инерции 7, сила трения /
и начальная скорость vq. Тогда
dv , Tdw
419
откуда
V — VQ— —t,
m
frt
После перехода границы шероховатости скорость скольжения будет vCK =
1 3
= v - шг = vn - ос.ft, где ос h = — (так как I = mr2/2). Через время
m I тп
Т = vo/ocf скорость скольжения обратится в нуль, и дальше начнется чистое
качение без скольжения. Скорость поступательного движения при чистом
качении будет
Vk = v0
fv о _
mocf
Щ
1-i
meс / о
Угловая скорость качения
frv о г
Следовательно,
QnOCT —
'--У
та }
в тепло превращается энергия
mvk
Qтепл —
Qn
<Эвраш —
Q врущ :
2 та2/
‘'о
2 та
Можно также независимо подсчитать работу сил трения и показать, что она
mvn 1
равна
2 та
9.43. а) ш =
тг 5 Vo . 1
у- = = —; v = wr'’ =
I + mr2 7 г
О г , 2mv0 = vmv0-
2 1 + mr2 7
Ir 2 v . 1 mr2 о 1 2 2
6)v= — -ш0 = =ro)0; = -hu0 = =mr cu0.
I + mr2 7 r 2 1 + mr2 7
9.44. \vA\ = \vB\ = y/2gkr0; \aA\ = \aB\ = gk.
9.45. to = coo — 0,2-|-t; v = 0,1 gt, где to = 2тсп. Из условия v = cvR полу-
R
чается T и 2,14 с. При t > Т ускорение равно нулю.
mi + m2
9.46. си
mi + 3 ш2
си0.
9.47. а = F ( -ш + М
9.48. v = 2\
11а о
Т'
9.49. уг6с = |«о; Q= \mvI.
9.50. vq = 3kR
2 g
R — r
; 8,6 км/ч.
420
54,5 м/с.
АК
9.51.
9.52. v =
16
К0 ~ 21'
Mr2v о
21 + Mr2
9.53. CDqo =
0)0 .
Vqo —
o)0r АК
’ Ж
п сл 2 ■ v
9.54. v = -cuorsmcp; Шз, =
9.55. Проскальзывание начнется при ф = фгаах = ^
4 kg
3 Q2R
9.56. Проскальзывание начнется при угле, являющемся корнем уравне¬
ния sina = fc(7cosa — 4). Если предположить, что угол достаточно мал, то
2 . 2« 6
a +
7k
9.57. k =
у = 0, откуда a = 0,2 ради 11,5 , что оправдывает приближение.
2 sin ср
17 cos ср - 10
= 0,21.
9.58. cosa ^ ^ ^ —.
9.59. / = imgsina.
9.60. а) а =
ширина желоба;
б) а =
7 gr
0,5 Н.
R2 -h2
Р2 + (Я2 - К2)
R2
gsina, где р — радиус инерции шарика, 2h —
4р2 + R2
gsina.
9.61. Я =
5г2 +
27.
- 17 R
9.62.
„ . R. Для сплошного шара Я = — Я, для полого Я =
2г2 10
г2 + р2
tga> ir—k, где р — радиус инерции катящегося тела. Для
р2
7 5
сплошного шара tga> -к, для полого tga> -к. Для сплошного цилиндра
tgoc> 3fe, для полого tgoc > 2 к.
9.63* t = 77^-
2gsm а
Решение. Пусть F — сила трения, действующая на цилиндр, в месте
соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис. 465). Она заставляет ци¬
линдр подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилось
чистое качение, F является силой трения скольжения. После перехода движе¬
ния в чистое качение F становится силой трения покоя (сцепления). Однако,
независимо от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению дви¬
жения центра масс = F - mgshnx и уравнению моментов (относительно
421
геометрической оси цилиндра) /— = — Fr. Исключая F, получим
dv Tdw
mr— = —l— mgr sin ос.
dt dt
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (со = ц>о при
t = 0) дает
mrv = 1(шо — to) — mgrt sin а.
Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, незави¬
симо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым ка¬
чением. В наивысшей точке должно быть v = 0. Отсюда следует, что в той
же точке со = 0. В противном случае цилиндр продолжал
бы вкатываться, и рассматриваемая точка не была бы
наивысшей. Поэтому время подъема t найдется, если в
предыдущем уравнении положить v = со = 0. Это дает
t _ 1шО _ ГСОр
mgr sin a 2g sin а
Любопытно, что время поднятия t не зависит от коэф-
Рис.465 фициента трения между цилиндром и наклонной плос¬
костью. Результат не изменился бы даже тогда, когда
коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает, однако, что
трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную
плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление
скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления
определяется прежней формулой.
Напротив, время обратного скатывания t' цилиндра вниз, а также наи¬
большая высота поднятия его зависят от коэффициента трения. Такое раз¬
личие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чи¬
стым качением. Поднятие же его вверх сначала происходит со скольжени¬
ем, а затем переходит в чистое качение. Приведем здесь только ответ: t' =
_ u>or /3(fccos а — sin а)
2gsinaV 3fccosa— sin а
9.64. 1)
2)
3)
ai =g(kcosot — sin а), на правлено вверх;
^ 1ш0г сорт .
(I + mr2)ai + mr2gsin a (3fccos a — sin a)g’
Hi = ^al^l sin a,
4)
5)
6)
a 2 =
— -gsina= -gsm a;
I + mr2 3
H2 = — H\,
a2
H = Hi + H2 =
к cos a - sin a
4g(3fccos a - sin a)
2 2
w0r ;
7) t'
2H _ u>0r /3(fccosa — sin a)
a2sina 2gsinay 3fccosa-sina
422
5 2
9.65. a= -gsina. Сила трения равна -mgsina, где m — масса шара.
9.66. ш = —
О)0 .
А К _ 13
~Ж~ _ 16'
1
Q 2 ДА"
3.67. ^-^ — =
9.68. Атр = -!-m(g - a) sin a; a0TH =
О
9 69 / — ЗМ + m + 2m sin2 cp^ 2
4g( M + m) sin cp
9.70. t = 4= с; си = 40 c_1.
\/2
2g — 5a .
-g—sma.
9.71. Впереди должен быть полый цилиндр; а = ^ ш ‘
к 4" 7
_ 4gsina _ mgsina
к + 7
9.72. a = 2 (M + m}s^
s 4M + 3m
9.73. Положение точки В, в которой шарик отрывается от сферы и на¬
чинает свободно двигаться под действием силы тяжести, определяется углом
а, косинус которого равен
cos а. =
2г2
Зг2 + р2 ’
где р — радиус инерции шарика. Результат не зависит от радиуса сферы.
Для сплошного шарика cosa = 10/17, для полого cosa = 6/11.
9.74. h « 1,59Я; 1,78Я.
9.75. си
min
v0 _ a>0R - v0
R’V~ 2
9.76. 1) a =
2) FTp = (AT + m)a;
Ятах 1
mg suit*.
2M + m(l + cos a) ’
3) t =
2M + та-
'» ^max —
9.77Г a -
m, + mi
(2M + m)a
2m + mi( 1 + cos a)
gsin a.
Решение. Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в
которой наклонная плоскость неподвижна. Так как центр масс системы и
мгновенная ось вращения А движутся параллельно, то уравнение моментов
относительно этой движущейся оси имеет вид I^ =М. Момент импульса
dt
системы L слагается из момента импульса цилиндра 1ш и момента импульса
собаки mivh, где h = r(l + cosa.) — длина перпендикуляра, опущенного на
наклонную плоскость из точки S. Итак,
L — 1ш + rriirv(l + cos a),
423
причем под I следует понимать момент инерции цилиндра относительно
мгновенной оси, т.е. величину 2гпг2. Из-за отсутствия скольжения v = шг, а
поэтому
L = [2m + т i(l + cosa)]ri;.
Так как центр масс системы и мгновенная ось А движутся параллельно, то
производная L по времени должна равняться моменту внешних сил относи¬
тельно мгновенной оси А, т.е. (т + m\)gr simx. Приравнивая оба выражения,
получим ответ.
9.78. х = I;
АК
ЯсГ
4
Г
9.79. Скорость первого шара v\ = 2v/7, второго V2 = 5v/7. Потеря кине¬
тической энергии на трение составляет 20/49 начального значения кинети¬
ческой энергии.
9.80. ш = -~
2 г
3v f2gh _
2 г I v2
27,2 с-1.
9.81.
а>з
2U
5 t3
tga
Цз
2С
7 t.
1 -
7 t2
-^2 = 2,68, где цл, — коэффициен-
о t„
ты трения скольжения ядра о наклонную плоскость летом и зимой, U/t3 =
= 10/9.
9.82. КП0Ст =
Г
2т
5р2к2 2
^вр = -г—; при к= -
4т
9.83. х=^—.
4 kg
9.84.
kg'
9.85. vq = (1 +
7 М
5т
9.86.v=^~V.
7 М
О 07 5 т
9.87. v = - —
7 М
V.
l-Х V0-
9.88. cuq >
5voh
~2R?
9.89. v = \/3tjo Щ^—vi.
5V3 т
9.90. АЕ = i
1 ( mMv% 1тг2ш2
2 \М + т I + тг2
где I = %МВ?.
5
9.91. v = -bo¬
rn
9-92-д К-ШГТ-
9.93. V = V0 - l —d = 80 м/с.
5 га
9.94. d = у ( 1
9.95. си =
72)'
mM av
т + М I
9.96. tgcp = cos\|) = 1
сигА
3m2(4V2L2 + си2 г2)
4gL3(2m + М)(3т + М)'
.2
где уц — составляющая скоро-
9.97. tga= — — ——■ .
W|1 2Vb(l + —)
\ М + m2L2 )
сти маятника вдоль по оси цилиндра, v± — в перпендикулярном направлении
9.98. со = \f3gfl.
,, г-, 1 г 2 1 I 2 rngl
Указание. По закону сохранения энергии -1ш = 2^тш = ~~2~-
9.99. I
V3'
9.100f h
6 т2
(М + 2т)(М + Зт)
Н.
Решение. Скорость шарика в нижнем положении до удара «о = \/2gH.
Так как удар неупругий, то непосредственно после удара шарик и нижний
конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость v.
Она найдется из закона сохранения момента импульса относительно оси А
mlvo = nilv + I со,
где I = Ml2/3 — момент инерции стержня относительно той же оси. Так как
v = /со, то написанное уравнение дает
ml2 Зт
V ~ I + ml2 “ М + Зт V°'
Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения дви¬
гаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью
вычислим скорость шарика vi и нижнего конца стержня V2 при поднятии на
какую-то одну и ту же высоту hi, если бы при этом они двигались независи¬
мо друг от друга. Эти скорости найдутся из уравнений сохранения энергии
v2 - vf = 2ghi, ^7(v2 - v%) = Mg^-
Преобразовав второе уравнение к виду
(Г v2--3ghi,
425
видим, что v\ > V2. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться
обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все
время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик
и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия h легко
определить из закона сохранения энергии. Она равна
, _ I + ml2 2 _ 6ш2
~ (М + 2m)gl2 V ~ (М + 2т)(М + Згп) '
9.101. ML2 = ml2. Так как I, то для возможности процесса необхо¬
димо М < т. При М > m процесс невозможен.
9.102. cosср = -0,154, т.е. ср и 99°.
9.1озг v= 2
М + 3 т
Решение. Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара и
законы сохранения момента импульса и энергии к системе стержень-тело во
время удара, получим
Mgl М12ш2 М12ш М12ш' , М12ш2 М12ш'2 mv2
—г— = s^~ 1-mvl, = 1 —,
где си и и/ — угловые скорости вращения стержня при его вертикальном
положении до и после удара соответственно, v — скорость тела после удара.
Из решения этой системы уравнений получаем значение v.
1 М21
9.104Г 5=
О 777/К
Решение. Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара
и закон сохранения момента импульса к системе стержень-тело во время
удара, получим
1 ml2 ш2
3 2
ш = mvl,
где си — угловая скорость вращения стержня в момент удара, v — скорость
тела т сразу после удара. Перемещение S тела можно найти из условия
mv2/2 = kmgS. Из написанных уравнений следует ответ.
9.105. coscp = 1 —
3(mvsin а)2
gl(M + 3т)(М + 2т)'
9.106. совфд = 1
(1
coscp)
М — 3 m
М ■+• 3 т
2
cos срн = 1 —
6М2(1 — cos ср)
(М + Зш)2
9.107. mi = 3m
= -m; Т = 27Г.
О
1_
ё'
9.108. р = аА/^»о,11; ~
V t till
9.109. v0min = у/зV^gl.
1,07.
426
9.110. v = v0-—\ IgLsin £ = 440 м/с.
m V 3 2
4a2 ^
9.111. F = ( 1 4 ;— ) mg, где m — масса, I — момент инерции человека.
9.112.
м ш
mV 3
9.113* Лозу следует рубить участком сабли, отстоящим на 2/3 длины от
ручки сабли.
Решение. Пусть удар с силой F пришелся на расстоянии г от сере¬
дины сабли, которую будем считать однородной пластинкой (рис. 466). Под
действием этой силы пластинка начнет двигаться поступательно
и вращаться; если при этом точка О останется в покое, то рука
не будет чувствовать удара. Напишем уравнение движения центра
тяжести С пластинки:
dv
dv
где — — ускорение центра тяжести. Для вращения пластинки
относительно оси, проходящей через центр масс С,
С
О
ml2 da>
1YU
= Fr,
Рис. 466
где — — угловое ускорение пластинки, т — масса пластинки, — мо¬
мент инерции пластинки относительно центра масс С. Точка О будет в по¬
кое, если скорость поступательного движения v и линейная скорость точки
О, обусловленная вращением пластинки вокруг точки С с угловой скоростью
си, будут равны по величине и противоположны по направлению, или если
^ Подставляя это условие в уравнение движения, получаем г = 1/6,
откуда уже легко найти ответ.
Искомая точка на пластинке (сабле) есть так называемый центр удара,
совпадающий с центром качаний физического маятника той же пластинки,
подвешенной в точке О. Разгрузка оси вращения от действия удара особенно
необходима в случае баллистического маятника.
9.114. х = -
6
у А - Ув
VA + У В
Результат не зависит от характера удара.
9.115.
2V3
\ — — 1. Для возможности описанного процесса необхо-
V т
димо М ^ т. Условие х ^ 1/2 дает еще М ^ 4т.
9.116. К =
16 т
М(1 + Ат/М)2 2
16
т mv,
о
М 2
9.117. К =
AM - 7т mv2
Ш 2~
427
9.118. U =
М
mv
. В предельных случаях М — 0 и М = оо получа-
М + 4т 2
ем U — 0 и U = mv2/2 соответственно.
9.119* си= 12тп7
(4т + М)1
Решение. Если F — сила, действующая на шарик во время удара, то
уравнение движения шарика
dv
т— = — F.
dt
Уравнение движения центра масс стержня
M^ = F.
dt
Уравнение моментов для стержня относительно центра масс
dw _ FI
dt 2
Почленным делением исключаем F и получаем
т dv _ 2 М dV _ 2
I duo l ’ I dw l
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости со = 0 до
конечного, найдем
2 7 2 7
V - V0 = — со,
Im I М
причем в этих уравнениях v, V и ш означают величины соответствующих
скоростей после удара. Угловая скорость со найдется из уравнения сохране¬
ния энергии. Если в него подставить значения -у и У, то для со получится
квадратное уравнение
1 + —
m М
ш2 - 4уО> = 0.
Один из корней этого уравнения (со = 0) дает угловую скорость стержня до
удара, второй — после удара. По условию задачи надо взять второй корень.
,2 12mvo
С учетом соотношения 7 = для него получаем со =
о ion М+2т Ml
9.120. v0 = ———Vb; ш = “27^0-
(4т + М)1'
9.121.
9.122. со =
9.123. п =
9.124. ср =
2т
13
/2 +г2/2'
6mxvo
Ml2 + 3 пи2
3i)2sin2 а
х =
Vo
I
13m
~М'
287tfcgZ
8тс
135'
1.
428
9.125. x = l
&■
9.127.0,.^^
1.
37ikg
' 21 '
_ _ U , (' 6nin
9.128. CUmax — у In [ 1 + ^
9.129. amin = g\\ N = mg; x=^.
h 2 g
9.130.
12m(2g/sincp - v2)
: 0,3 c
l2 (AM + 3m)
9.131. Время падения t=l,3c. Число оборотов n:
: 0,65. При вычислениях был принят рост человека 2 м.
cut + arccos0,6
2п
9.132. В руке у жонглера окажется другой конец палочки, так как па¬
лочка сделает п = "Щ- кз 15 оборотов (нечетное целое число).
та
9.133. v = \j3gl. Искомая точка находится на расстоянии х = 21/3 от ос¬
нования столба.
3 1
9.134* FTop = у mg; F„epT = у mg.
Решение. Кинетическая энергия стержня в горизонтальном положении
1ш2/2 = mgl/2. Центростремительное ускорение центра масс стержня в том
же положении ш21/2. Отсюда по теореме о движении центра масс
21 ml2 3
Fr0p = т,ш у = — mg = -mg.
Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение 1^ = М, полу¬
оси I „
чим /уу- =mg~. Отсюда находим вертикальную составляющую ускорения
центра масс в том же положении:
_ I dto _ mgi2 _ 3
а~ 2 “ей _ AI ~ Аё'
Далее, та = mg — FBepT. В результате получится
Нверт = m(g - а) = у mg.
9-135- "=№-*) ШШ-
9.136. v =
429
9.137?
I gh _ 3
2 ’ Ш ~ l
gh
Решение. Скорость стержня перед ударом v$ = ^J2gh. Закон сохране¬
ния импульса
mv о = mv — ро,
где ро — импульс, приобретенный стержнем в результате удара края стержня
о стол; приложен к концу стержня (рис. 467); v — скорость центра масс.
Закон сохранения момента импульса стержня относительно центра масс С:
_ m(2l)2 _ ml2
12 “ 1Г'
Закон сохранения энергии при абсолют¬
но упругом ударе дает уравнение
2 2 2
mvo = mv + 1сш .
0 = р01 + 1сш, где 1С
Из этих уравнений легко получить со¬
отношения
v0 - v =
ш1
Vo+V
I ’
Vo
откуда следует ответ: v = — =
I gh. = З^о
2 ’ 21
3 gh
l V 2 '
Заметим также, что скорость левого конца стержня сразу после удара
равна vq, а скорость правого конца — 2-уо, поскольку мгновенная ось враще¬
ния находится на расстоянии х = 1/3 от центра масс стержня ближе к точке
удара А (рис. 467). Это следует из того, что угловая скорость, приобретаемая
стержнем,
"пр
V Ул
ш = - =
X I — X
I + X
Смотрите также задачи 9.175 и 9.140.
м2
9.138. АК= Ар
О
9.139. h =
(pi
mv
~Т■
(1 + 3cos2 ср)2
3 cos2 ср < 1.
24cos ср (1 - 3cos2 ср)
9.140. ■Улев = \/2gh, т. е. скорость левого конца стержня сразу после удара
равна скорости всего стержня перед ударом.
3 ш /3 g г ч 2 М
М
1V1 - от / og . . {.Ш rz—TJ- г
мТз^Ут(1-со8ср); ^ = мтз^^(1“С08(р); 1
9.141. сост =
ivi -t- отп v Jo
4 16 L М . ср ЮМ \/6gL . ср
" 7V V ЦМ + Зт) Sm 2 ; Укт~ 7{M + 3mjSm2'
7
9.142. Шар будет двигаться вправо со скоростью — ^ и вращаться с
vo ,, 6v0 , 40 v0
угловой скоростью —. Угловая скорость стержня равна t—
430
9.143.
2 mgH
fc [1 + M/(3m)]'
9.144. В горизонтальной плоскости центр масс стержня движется со ско-
/ТТ
ростью Я -gh\ стержень вращается вокруг центра масс с угловой скоростью
\/6gfa
L '
_ Jjlr rr 1 ml2 ... 3 Mm ,
9.145. (7 = ~Mgl = s—gt, где 7 — момент инерции стерж-
2 7 + ml2 2 М + 3m
ня.
9.146. cu =
9.147.
12m coo
4M + 3m
3 (2 — fc)2
16 к
1 с
а, где a — высота, на которую был поднят центр
масс, к — коэффициент трения между табуреткой и полом.
9.148. ср = -i=arctg-i= =
Д Д 6Д
9.149. Я =
7? со2
гг 2 ^ 4Mgl(I2 + Ml2)
2Mg{I2 + MPy ПРИ Ш ^ If ~ М0Т°Р
может со¬
вершить полный оборот вокруг точки А. При этом Я — 21.
т
9.150. Импульс силы реакции J Ndt = 2 направлен в ту же сторону, что
о
тла удара.
Т
9.151. Импульс силы реакции опоры за время удара т равен J
Ndt =
= -Му.
9.152. — = -5.
0)2
0)1
0)2
9.154. F =
9.153.
-3; = -5.
V2
1 + Щ/Ь)2
; при I = L F ■
01,, N 8 /3.
9.155. -7-г = —-, v = \ -el.
N0 13 V 4
9.156. vc = \l J^jgl; N = J^mg.
9.157. N =
_ 1 + 4(1 - cos a)2
(1 + 4sin2 a)2
mg и -mg.
431
9.158. N = Mg
, Mr2.
1 H —(1 - cos a)2
lo
1 +
Mr2
lo
■ 0,32Mg, где I0
Mr2
2 '
9.159. fcmin =
г(М + 5
-IE = -
N 2M2 + 4Mm + m2
A_
31'
9.160. vo > у/(M/m + 4m/M + 3)gR — 8,1 м/с.
9.161. Сила реакции N плоскости на обруч про¬
ходит через груз. Ее проекция на нормаль =
— mgcosQ. После поворота на угол 0* (график на
рис. 468) точка т будет двигаться по параболе.
4н0 sin a
9.162. CD0 :
Д
= 4 c
n 9 ^ Oq sin OC „ ^
9.163. to0 = 7:—5—= 3,95 c .
2 H
9.164. Пусть T — продолжительность удара, а
т — время проскальзывания вплоть до момента на¬
чала чистого качения. Различаются два случая:
X 5 kvn
1) т ^ Т: tga = —; си2 = u>i (это усло-
2 к’
, ^ ОцДо ч
вие реализуется при к ^ ——);
R
7 v0
7 vq
2 идR'
to2 = -toi (этот случай реализуется, когда
2) т < Т: tga =
fc> оцДс,)
7v0
9.165. При к < i шар отразится от борта под углом tga = 2к; при к > X —
, 27
под углом tga =
9.166. Пусть Т — продолжительность удара, т — время проскальзывания
вплоть до момента начала чистого качения. Различаются два случая:
,. m ,1 1 , СОо R
1) т ^ Т: случаи реализуется при к ^ - tgcp = 7-7=; тогда tg4> =
AV3'
Vo cos ср
_ 1 _ _ vo sin ср _ no
“ 2V3’ a>0 “ 2Д ~ 4Д'
. 1 , CUn-R
2) т > Т: случаи реализуется при к < ——, точнее когда к = =-
r r 4V3 2 п0 cos ф
_ о)0Д . _ 1 2о>0Д
~ vW3’
5 5
9.167. сот = fcsina; vT = oo(cosa — fcsina); n=-n0cosa. Чистое ка-
2 г 7
2
чение начинается сразу после окончания удара, если к > -ctga.
9.168. tg(3
-tga.
432
9.169. cd
Q
m + m0
_ vo /с sin a _ V2 v0.
lx R k2 + 2k + cos2 a 7 R ’
Vpk _ u>L.xfl2fc(2 + fc) _ 1 |
2(k + 1) 2(1 +A;)2 21
v't)
(1 + k)2
142
3 2
DO-
28
9.170? Главная полуось эллипсоида инерции направлена по диагонали,
соединяющей противоположные вершины куба, и равна а = 1/л/То\ две дру¬
гие полуоси равны между собой: Ь = с = а/т/5(5, где I0 = ml2/6 — момент
инерции для любой оси, проходящей через центр масс куба.
Решение. Эллипсоид инерции для центра куба — шар радиусом а =
= 1/уДо- Для точки А ось, совпадающая с диагональю куба, остается главной
с моментом инерции 10. Для любой оси, перпендикулярной к диагонали в
точке А, момент инерции определяется по теореме Штейнера
7л = Го + т
d
2
2
где d = l\J3 — диагональ куба. Отсюда следует приведенный выше ответ.
9 171* 1 — ^ ^2т2 + т2п2
6 Р + т2 + п2
Решение. Главные моменты инерции для центра масс:
h = Y2 (т +п ),
Г М 2.2, Т м - 2 2s
Гг = ^(г +п Г Гз = — (Z +тп );
направляющие косинусы для оси вращения относительно системы координат,
связанной с главными направлениями и с началом в центре масс, равны
cosa = Z/d, cos Р = m/d, cos у = n/d,
где d2 = l2 + m2 + n2 — квадрат диагонали параллелепипеда. Момент инер¬
ции для оси любого направления представляется через главные моменты
инерции следующей формулой:
I = Ii cos2 ос + Гг cos2 |3 + Гз cos2 у.
Подстановка в эту формулу значений направляющих косинусов дает ответ.
9.172.
9.173.
9.174.
9.175.
9.176.
R _ _1_
Н ~ у/з'
м
1 + Mr2/7ц '
х _ М/2 + m
CDmin М/2
АО = 1/3.
Зтп - М
3 m + М
\/2gh;
3
2'
ш =
I 2iii у/2"gh
ЦМ ГЗш)
v < 0 при пт <
М
~гГ'
433
Q 177 _ l M + TU' _ 2V3vo
У.1 //. 2‘max — ^ \ , ^max — ; \ / ~T7—; »
2л/3 V m I V M + m
m
Umax — ^0
m + M
%ax — Vo
M + rn'
l
O (7C « M + тп O)0^ M
9.1/0. Xmax — ~~7=\ ~~—5 Umax — ~—7== \i > , ,
2v3 V m 4v3 га у M + rn
^шах — —
(juol M
4^/3 m V M + m
i CUmax :
mg
coo
2 '
2
9.179. iVrop = 0; iVBepT = -jH cosa= .
q 49
9.180. Д?,ор = -mg; Л’верг = щт^-
9.181. o, = ^ = 10c-1; l/0= V(1 + M/w)2
+
/ а)Д\ _ V5v0
V 6 /
: 3,7 м/с.
9.182. i=£--
2kg Ко
ДА" A'o - АГк,
14
An
r, 3 2 ts 13 2
27> где A0 = 2mv°’ Kkoh = igmv°-
9.183. An
6kg
. При A < Am;n цилиндр соскальзывает с доски «впе¬
ред», а не скатывается.
mi
41
9.184. а -mg(k—У— - о от 1гЛ
= 2,27 см/с2, где к = 1,01, I = Щ— +
(Я - г)2
+ 771
- 1
= 1,7 кг-м .
9.185. t2 = ti^ = 4,8 с; = 85,3 см; 7 = тпг2
= 1,236 • 104 г - см2.
9.186* Sx = | м.
Решение. В отсутствие силы трения уравнения движения катушки
_ Tdw R
та = F = mg; 7-^-= rug—,
dw 4g _ r.du> .
откуда а = g; — = При этом очевидно, что R—z-— 4g, т. е. размотка
dt R dt
,dw
катушки идет быстрее, чем смещение самой катушки (а = g <
Отсюда следует, что сила трения может быть направлена только вправо. При
, duo а
движении без проскальзывания —— = —, а также
dt И.
та = F + Атр = mg + FTp;
do; а R
IW = IR=mg2 ~F^R-
434
Из этих уравнений следует, что а = -g и FTp = —. А это означает, что
1 О О
должно быть -. Следовательно, при заданном значении к= - будет
3 4
проскальзывание. Тогда уравнения движения имеют вид
та = mg + kmg;
mR2 do)
8 dt
rng ~ — kmgR,
at2
~2
5gt2 _ da) t2
8 dt 2
5 da) rp „
откуда следует, что a= ~g\ — = Тогда Sx
4 dt lx
S S R 4
= --Д. Изменение длины отмотавшегося куска ленты Дг = q>— = -Sx. Пе-
о л 2 5
ремещение руки S складывается из смещения катушки Sx и Д/, т. е.
S = SX + Al= ~SX,
5
5 5
откуда и следует ответ: Sx = -S = - м.
9.187. Sx = ^5 = 0,857 м.
9.188. do
9.189. М,
- ■ 'ё^к ^ (0,13 - 0,93/с) = v/0,07g(R - г) и 0,83v/if^7.
Mgfi
ш h
9.190. V = и — vq.
М 2nR (п М\ h
+ (2+т)Ш
MgR М с
—Ггде — =6.
14 77T
9.191. к ^ i
О
9.192.
ДА
Аиач
7_
12'
21
9.193. 2р = arctg —
! 46,4°, где р — угол, под которым движется каждый
из шаров относительно оси симметрии, tg|3 = -tga.
9.194. Направление движения шара 2 не изменится. Первый же шар
V74
покатится со скоростью v\ = —— do « 1,23do под углом |3 к направлению
7 2
движения шара 2. При этом tgp = -, р = 54,5°. Скорость d2 = -d0.
О \
9.195. то = т\
9.196.
х = - —
-Vo — Tgsin а
Tgsin a — Vo
3gh
V2
130 кг.
= 0,75.
435
I 7T
9.197. -f = ^. При этом сразу после удара скорость бруска и угловая
Ju J.L
Зт — М vo 12 mv0 12v0 „
скорость стержня равны: v = = —. tu = г = -=-т-. Усло-
Зт + т
L(3m + ш) 5L
„ 7Г ^
вне того, что скорость бруска из-за столкновения не меняется: — = - ■
9.198. — = 6. Момент инерции стержня относительно оси О I0 = .
8 т — М
скорость шара после удара v = - — ^, угловая скорость стержня си =
_ 24тт>0
l(8m + М)'
§ 10. Колебания твердого тела. Волны
Т2 2
10.1.
Ti ^3'
10.2. Т\ = 2ть ® Т2 = 2я,Д^; ^ = 2.
V 3g V 6g т2
29
10.3. Tl = 2nJ'^--T2 = 2n р; ^ =
V 18 g У g т2 V 18
1,27.
10.4.
71
« 1,06.
72
V 4л/6
Ti
/2fc-
mgl
т2
V 2/с +
mgl"
10.6. 1 = 15 см.
10.7. ж = Гт1п = 2я/Дл/2
'll - Л
m 2V3' ~ш“ 2 V 7о 1
точки подвеса от середины стержня
10.8. Smax = \/-г = ^7=; “>тах = К \/^ = 7^’ ГДе 5 - расстояние ДО
10.9. ж = 2(а + Ь) = 34,8 см; Т = 2- = 1,42 с;
(а + b)2 + ^г2
/ — а +
5 _
- = 49,6 см; а = А/ i f Ь2 + |r2 j = 7,42 см.
10.10. T = 27r,/i + тп ).
10.11. Т = 2тс
mga + ка2'
436
10.12. х0
_ mga
kl
T = 2n
kl2'
10.13. т =
4 7t
3( A + ^
m l
10.14. io =
10.15. T = 2n
10.16. T =
10.17. T =
g(m + 2M). _ / m + 3M
fc ’ 71V 3fc
M
3(fci + fc2)
(Зтп 4- 4M)(/c! + fc2)
3kik2
2 М + 3m
2/с
10.18. Г =
т М +
m-i 4- тг
10.19. Т = 2п
ЗМ + m
3(fci + fc2)
10.20. а) си = J —; б) ш = J —.
V m V и
10.21. Т = 2тт
10.22. а = mv
10.23. а = шоЬ
ЗМ/8 + m
к
к(М + Зт)'
М
3fc[l + Зт/(4М)]'
10.25.
А1
1 +
4М
Зт
10.26. Т = — /М[2/12 + т£{Р2 + сР)}
h у 2(/ei + )
10.27. Т= —, где о>2 = . Колебания возможны, когда fc>
со ml2 2 I
10.28. Т = 2п
10.29. фо =
mim2
3fc(mi + m2) ’
3mv£
2l(kl + mg)'
mg г
4 a2'
437
10.30. Т = п
I
к '
in 11 2^6 vfm [2m
10.31. ф0 = 1Г1у-,т = 2^~.
10.32. T = ‘2n
Злг4/р + 8 ца3
9|д§аг
1,65 с.
47Т2
10.33. I = —^mgr - Згпг2 ^6-10 3 кг • м2
2тг / I ~f~ тпт^ l Зттт
10.34. Г = — у —2^—• Для сплошного цилиндра Т = nJ
10.35. Т =
10.36. Т = 2тг
10.37. Т = 2тг
10.38. Т = 2п.
15 m
32 ~к
~К
2g'
7Я
5g
-г; А =
15 mw2
4 ^ к
45 шдо2
22'
= 24
10.39. Т = 2тт
R2
-1?
10.40. Т = 2ns/ToF/g.
10.41* Т = ni/WR/g.
Решение. Задача сводится к нахождению выражений для потенци¬
альной и кинетической энергий системы. С этой целью мысленно заполним
полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр.
Образовавшийся таким образом сплошной однородный ци¬
линдр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меньшего
радиуса, заполняющий полость, — цилиндром 2. Массы
цилиндров обозначим соответственно гп\ и т2. Энергия си¬
стемы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна
разности энергий цилиндров / и 2. При повороте системы
из положения равновесия на угол ср (рис. 469) центр масс
цилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная
энергия U\ не изменяется. Потенциальная же энергия цилиндра 2 становится
R,
равной U2 = m2gh,2, где h2 = R + Д cos ср — высота центра масс этого цилин¬
дра над горизонтальной плоскостью, на которой находится система. Полная
потенциальная энергия всей системы
438
U = U1 —U2= const — m2gR ^1 + СС>2~) •
Единственное переменное слагаемое, которое она содержит, есть
— (m2g-Rcoscp)/2. Поэтому при надлежащем выборе аддитивной постоянной
величину U всегда можно представить в виде
U = const + = const + nizgRsin2
или для малых углов ср U ~ const + ni2gR<f>2/4. Кинетическая энергия си¬
стемы К = (1\ — 7г)Ф2/2, где 1\ и I2 — моменты инерции цилиндров относи¬
тельно мгновенной оси. При изменении угла ср величины 1\ и I2 изменяются.
Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести
Ii и I2 к тому моменту, когда система находится в положении равновесия.
В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера нетрудно полу¬
чить I\ = 3miR2/‘2, I2 = 19rri2.R2/8. Приняв еще во внимание, что тп\ = 4тг,
найдем К = 29т2Д2ф2/16. На основании полученных выражений для U и К
заключаем, что малые колебания системы будут гармоническими с периодом
Т = я^/29 R/g.
10.42. Т = 2л
10.43. Т = 2яЛ/~
10.44. Т = 2тт
10.45. Т = 2п
где г — радиус диска.
10.49.
mg
10.50. Т — 2п
mg
g2T2
0,86.
39Д
20g'
10.51. Т = 2п\ I - ( 2 - | sin2 а
g skr а V 2
10.52. Т1/Т2 = 1.
10.53. Т = + Ц.
439
10.54. Т = 2ns/l/3g. В общем случае, когда плита не однородна, но центр
масс ее совпадает с геометрическим центром плиты, Т = 2п\/2Il/(Mga2),
где I — момент инерции плиты относительно вертикальной оси, проходящей
через ее центр, а — длина одной из сторон плиты.
Т>
10.55. L.
V1 + 7 До
где Т — период колебаний неподвиж-
2 10
ных часов, а Т' — часов, лежащих на абсолютно гладком горизонтальном
столе. Ход часов ускорится на 0,1%.
10.56. =
Jo
I
I + Io'
10.57. Т = 2тг
U h
f(h + h) '
10.58. Т = Пл —.
V ё
10.59.
л 4 F0 7
А - - —, где к =
d к
kik2
+ к2
10.60. Если при колебаниях маятника его максимальная угловая скорость
а!ф\ „ d<p
— ] меньше угловой скорости вала ш, или а>
dt
> 0 для любого
момента времени, то момент сил трения, действующий со стороны вала на
маятник, всегда направлен в одну сторону. Так как этот момент постоянен,
а маятник при колебаниях проходит по направлению вращения и против
вращения один и тот же путь, то работа момента сил трения за период равна
нулю.
10.61? Р е ш е н и е. При колебаниях сила трения, действующая на муф¬
ту со стороны вращающегося вала за одну половину периода, направлена
по движению маятника, когда вал и муфта вращаются в одну сторону, а в
другом полупериоде эта сила направлена против движения маятника.
1) Если сила трения увеличивается со скоростью скольжения, то она
больше в ту половину периода, когда муфта и вал вращаются в противо¬
положные стороны. Следовательно, работа силы трения маятника о вал за
целый период положительна, затухание маятника возрастает из-за трения
между муфтой и валом.
2) Если сила трения уменьшается со скоростью скольжения, то по тем
же причинам, наоборот, работа силы трения маятника о вал за весь пери¬
од отрицательна, вал сообщает энергию маятнику и затухание колебаний
уменьшается. В том случае, когда работа силы трения о вал больше, чем
потери энергии на трение других частей маятника, энергия колебаний ма¬
ятника будет увеличиваться, амплитуда будет возрастать, а маятник может
совершать автоколебания.
10.62. х ъ 9,6 м.
10.63. L = 30 см.
440
1 т
Указание. Частота колебаний -v = —, где Т — натяжение струны,
2 L у р
р — масса струны на единицу длины и L — длина струны. Пользуясь этим
соотношением, находим первоначальную длину.
10.64. Период колебаний тонкой струны меньше в два раза.
10.65. Уменьшить в 9 раз.
10.66. 1) Зажать струну на очень коротком участке в середине; 2) так же
зажать на расстоянии 1/3 от конца. Понизить тон звучания струны таким
способом нельзя.
10.67. ~
-ЬО
Al2^2M AL
—— « 1,10, где L — длина вытянутой струны. —- = 10%.
1 ь 0 Lq
Ге
10.68. v = kJ~, где к — безразмерный коэффициент, значение которого
не может быть найдено из метода размерностей.
10.69* v = k. I —, где к — безразмерный коэффициент, значение которого
не может быть найдено из метода размерностей.
Решение. [F} = MLT~2, [p] = ML-1, [u] = LT-1, где М — масса,
L — длина и Т — время. Имеем v = f(F, р), или [w] = [Fmpn], ЬТ~Л =
= (МЬТ~2)т • (ML-1)", откуда для степеней Т, L и М в выражении для
размерности скорости получаем соответственно уравнения: m — п = 1, 2m —
= 1, m + п = 0, из которых находим m = +1/2, п = —1/2.
10.70. Если
2/1 = а\ sin271 = a1sin(cvt - <рг)
— колебание рассматриваемой частицы, вызываемое первой системой волн, а
t Й2 '
2/2 =a2sin27r^L; - ~J = a2sm(col- <р2)
— колебание, вызываемое второй системой волн, то суммарное колебание
У = У\+У2 = Asin(cot + ф),
л г 2 , 2 , о / ч-l 1/2 . , атвтф! + a2sm<P2
А = lay + а2 + 2aia2Cos(cp2 — <Pi)J ' , ф = arctg .
аг COS ф1 + Й2 COS ф2
АР2 Я
10.71. J = — « 460 эрг/с= 4,6 • 10 5 Вт.
2 рУзв
да2
Указание. Поток энергии J = —^-v3BS, u/v3B = АР/(уР); учтя, что
скорость звука v3B = л/у-Р/р, получаем ответ.
441
10.72. 1) л/ = — « 315 с-1; 2) v3B = 330 м/с; 3) Л = тг/З и 1,05 м; 4) и =
7Т
= 99 см/с; 5) ДР = уРи/УзВ яа 3,2 мм рт. ст.
/5 а Т\
10.73. T1 = 2nJ^~; T2=27t./^-; ^=2
3 g у 6 g т2
1,064.
10.74. При радиусе основания конуса R — Н/2 эллипсоид инерции конуса
становится сферой. При этом момент инерции конуса IK = . Момент
инерции шара 1Ш = -^ярДо. Отсюда Я = 2(8/3)1^5Яо ~ 2,43До.
Id
10.75. При высоте конуса Я = 2Д эллипсоид инерции конуса становится
сферой. При этом момент инерции конуса 1Кон = -ярД5. Момент инерции
D
рр
куба 1кч6 = . Отсюда R -
1 6
А4)
6 Я )
1/5
: 0,767L
10.76. у = — = 5. Этот результат получается из уравнения со2 = =
_ 8fc(y + 1)
3m(2y 1) ’
10.77. I = fl —— cos2 a + sin2 a|, где ц= — приведенная масса си-
L m J 4
стемы, таким образом, I = — mR2.
16
10.78. T = 2я
a 11
g 9л/2'
10.79. со =
10.80. T = 2я
10.81. Т = 2я
10.82. со =
18 £
31 Д'
ЗД сс
8gsin(cx/2) ’
ЗД(2я — a)
8gsin(cx/2)
10 fc
3 m
; ^4ц.м. —
10.83. M — -m; T = 2я,
О
20
h — h
20
10.84. T = 2я./~ ———. Момент инерции полуцилиндра относительно
V ё 8
/ з g
точки касания = МД2 ( - — —
V сЗ 7Т
26 Д
10.85. Т = 2я,/ ——. Момент инерции относительно точки касания 1а —
V I5 S
— MR2.
20
442
§11. Пространственное движение твердого тела. Гироскопы
11.1. tg(3 = a3m2gsinoc/(I2w2).
25'.
11.2.
I»W
11.3. cp = arccos
3g
2w2l
11.4. L « 108 г • см2/с; M ~ 109 г • см2/с2.
11.5*
1,9 • 10
-22
Решение. Максимальный поворот получится, когда скорость снаряда
v перпендикулярна к земной оси. Снаряд уносит момент импульса L = тг х
х v/у1 — v2/с2, перпендикулярный к скорости v. Земля получает такой же
момент в обратном направлении. При этом вектор угловой скорости вращения
Земли ш отклоняется вбок на угол ос = Ь/(1ш). Подставив сюда I = 2Мг2/Ъ
и учтя, что разность с — v очень мала, получим
с — V
с
25т2 с2
8М2(2Ш2
1,9 • 1СГ22.
Заметим, что приведенная оценка годится для поворота земной оси «в про¬
странстве», т. е. относительно системы «неподвижных звезд». Для исследова¬
ния поворотов оси вращения «в теле», т. е. относительно самой Земли, надо
учесть сплюснутость земного шара. Это связано с тем, что что вращение
шара вокруг фиксированного в нем диаметра неустойчиво.
11.6. ф = 1,34 • 10
-17
рад.
_ 5mtisin(p -.rv-17
11.7. а и ———г. = 1,27 • 10 'рад.
2М3Д3ш3
.. „ „, 2nINu о
11.8. М = —-— = 612 Н •
R
Ц.9. 2000 Н.
11.10. Fn
Ra
27г2фпр2т
= Т7
! 6500 Н.
11.11. Nm,п = jhmkr.
11.12. Ось наклонится в плоскости zOx в сторону х на угол ф относи¬
тельно оси z, равный ф = ?-rra)Z° и 0,04 рад & 2,3°.
11.13. tga =
4PgR
г4 со2
11.14.
ДП2 1 о
Ддав = Р + J— = р+ ~тп2г, где Р
г 2
вес бегуна, am — его
масса. При г = 50 см и рабочей скорости 1 об/с (Г2 = 2п рад/с) получаем
443
m£l2r/2 и mg = P. Следовательно Faae ~ 2P. Заметим, что полный момент
импульса L не направлен вдоль оси фигуры бегуна, так как имеется еще
момент, возникающий из-за вращения вокруг вертикальной оси. Однако по¬
следний момент остается неизменным при вращении катка, а поэтому при
решении задачи его можно не принимать во внимание.
11.15. Т =
Зтсагг __ 3 со2 г2
gtga’ 2 gtga
11.16. П = = 0,33 с"1, где g' = ^a2+g2 = 10,25 м/с2; П U g'.
ttvH2
11.17. «шах = 2<xq = 2arctg — = 22°з'; т = ^ ~ 9,9 с, где яз 0,318 с-1.
g И
11.18. ср = arctg-=—.
Rg
11.19* М = 2[Пш)/г =
Решение. Разделим мысленно кольцо на бесконечно малые элемен¬
ты — материальные точки с массами dm. Рассмотрим движение одной из
таких материальных точек. Так как v0th = [шг], то по теореме Кориолиса
действующая на точку сила
di = —dmai2r + dm[fi[fir]] + 2dm[n[cur]J.
Это выражение меняет знак при изменении знака г, а поэтому при интегри¬
ровании по всему кольцу дает нуль. Отсюда следует, что результирующая
сила, действующая на кольцо, должна равняться нулю. Для вычисления мо¬
мента dM силы di введем прямоугольную систему координат с ортами i, j,
к, направив ось X вдоль ш, а ось Y — вдоль П. После простых вычислений
получим
dM = ‘2[ftw]y2dm + [fi(2u>j — fli)]yzdm.
При интегрировании по всему кольцу последнее слагаемое дает нуль, а по¬
этому
М = 2 [flw)h = [flw]Ix,
где Iz и lx — моменты инерции кольца относительно осей Z и X соответ¬
ственно. Таким образом, искомый момент М должен быть перпендикулярен
как к ш, так икП. Результат верен и в том случае, когда векторы ш и Я
не взаимно перпендикулярны.
11.20. ф и 2
11.21.
г>0
Rw
5 Ур
11 wR
11
~Ъ'
1
55
1°.
11.22Г tga =
5 kgt
2 г cu0 ’
tg СХкач —
5 v0
7 rwo '
Решение. После удара центр ударяемого шара начнет двигаться с на¬
чальной скоростью г>о. По теореме о движении центра масс его скорость
в момент времени t будет v = vq — kgt. Пусть a> — мгновенное значение
444
вектора угловой скорости. Момент силы трения относительно центра шара
будет kmgri, где i — единичный вектор, направленный за плоскость рисунка
и перпендикулярный к ней. Из уравнения моментов J-—= kmgri получа-
at
ем = kgi. Отсюда ш = Шо + Мгновенная ось вращения всегда
Ь dt 2 г
лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Угол а опреде-
5 kgt
ляется уравнением tg <х= —.
2 гшо
Определим теперь момент начала чистого качения. Скорость поступатель¬
ного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей векто-
5
ра ш. Момент начала чистого качения найдется из условий -kgt = vo - kgt.
, 5 t^o п
С этого момента угол ос становится постоянным, причем tgaKa4 = —. В
7 гсоо
частном случае, когда vo = wor, tga = 5/7, а = 35°32'. Заметим, что най¬
денное решение определяет поворот оси вращения относительно внешнего
пространства, а не внутри самого шара.
11.23. L = 2т[ш0а2 - а(шоа)]; не зависит; |F| =
_ smcxcosa
то(и>оа)
1ш Q
I
[шо(сиоа) — ашд], где F относится к верхнему креплению.
11.24. F = (| - «) = 718 Н.
11.26. ср = _ 9 5 рад.
7ХУГг
11.27. Т =
IF '
О7Г
11.28* Т = — = 7,2 с, где ш0 =
Шо
= 0,87 с-1.
Решение. По условию гирокомпас находится на экваторе. Следова¬
тельно, вектор П3 лежит в горизонтальной плоскости OXY, направлен по
меридиану на север (рис. 470). Туда же направим ось у и вообще говоря
вектор L (и си). Ось х направим на восток по экватору. Если векторы ш, а
также L отклонятся от оси у на малый угол ф, то уравнение, описывающее
445
движение гирокомпаса в системе отсчета вращающейся Земли будет иметь
вид
^=М-[П3Ц. (*)
Здесь М — собственно возможный вращающий момент, а [П3Ь] — момент
силы Кориолиса.
Проекция вектора L на оси х (рис. 471) и у:
Lx = 7so>sirup и Iswcp;
Lv = /stocoscp « Isw (от cp практически не зависит).
В плоскости OXY (горизонтальной плоскости океана) нет сил, действу¬
ющих на гирокомпас. Таким образом Mz = 0. Поэтому уравнение (*) можно
переписать в виде (ось z — вертикальная ось):
dLz _ d
dt dt
-I,
dtp
dt
= = ЩЬх И П31ашcp,
откуда получаем уравнение колебаний и ответ:
d2 ср
1Ш
+
-Г23ш
Г» 2 7s ^
ср = 0, т. е. Шц = у—“зш.
in
11.29. Т = 2п
I3a>Ll3
; ш =
4тг2/тг
Пз 1аТ2
1,086 • 104 с-1.
11.30. Fmin = 27тШр™ф =808 дин (сила вертикальна), где fi3 =
: 7,27 • 10-5 рад/с.
271
11.31. (р = arcsin
mgl
2таг1П3
= 0,700-40 .
8л2 7
11.32. FT = An2 N 2 mR -I —Ncn„po„ = 61,1 H и направлена к центру ка¬
русели.
8л2 I
FH — =Ппроп
11.33. tga = ^ = 0,202; a = 0,199 рад = 11,4°.
mg
11.34. ш =
11.35. П =
5 gh
2 fir2'
3 (М -J- m)gl
(3 М + m)r2w'
§12. Неинерциальные системы отсчета
12.1. Т = 2яу —, где g' = ytg2 +а2.
446
12.2. Ti =T. 1 + (После выключения двигателя часы остановятся.)
V &
12.3. 1) Муфта будет постепенно (по мере роста ускорения) смещаться в
направлении, обратном ускорению; максимальное смещение £, = ma/к яз 1 см.
2) Муфта начнет совершать колебания по закону х = -^(1 — coseof), где
х — координата муфты относительно тележки, отсчитываемая от начального
положения муфты, причем х считается положительным в направлении, про¬
тивоположном ускорению тележки; а> = \/к/т = 10 с-1. Вследствие наличия
трения и сопротивления воздуха эти колебания будут постепенно затухать,
12.4f Р е ш е н и е. Если отклонение муфты от общего центра масс будет
ii, а отклонение тележки — а>2, то тх\ — Мх2. Уравнение движения тележ¬
ки Мх2 = —к(х2 + ад); заменяя xi из предыдущего равенства, получаем
Мх 2 + fc(l + М/т)х 2 = 0.
Аналогично для муфты
тх 1 + fc(l + т/М)х 1 = 0.
Следовательно, будут происходить гармонические колебания тележки и муф¬
ты с частотой ш = ~ 10,8 с~1- Амплитуды колебаний муфты
М
- = 5 см, тележки I
М + т
12.5. К югу, у =
М + т
= 1 см.
4uWq sin <p cos a sin2 а
g2
71 м.
1 2
12.6. К востоку: sBOct = -wt3gcosq> = -шМсовф; к экватору: s3Kb =
О О
= —uo^^gsin'hp = - tot sin ф Sboct, где ф — географическая широта рассмат¬
риваемого места, t — время, h — высота падения.
12.7. Пуля отклонится к западу на расстояние
4 w)tL>
Хзгп = ~ COS ф ЯЗ 51 СМ.
3 g2
Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова
сила направлена на запад, а при движении вниз на восток. На первый взгляд
кажется, что отклонение к западу должно компенсироваться последующим
отклонением к востоку. На самом деле это не так. Когда тело движется
вверх, его боковая начальная скорость равна нулю. В наивысшую точку тело
приходит, однако, с западной составляющей скорости, которую оно приоб¬
ретает под действием кориолисовой силы. Поэтому обратное падение тела
начинается с начальной скоростью, направленной на запад. Следовательно,
скорость все время направлена на запад и перед ударом о землю обращается
в нуль.
447
12.8. Ствол ружья надо отклонить к востоку на угол
2 г>ош
а = сок ф
3 g
: 2,45 ■ 10 рад « 51
Л . _ cv-iL2 sirup ~
12.9. AS = — — = 23,6 м, где сиз ~ угловая скорость вращения Зем-
VQ
ли вокруг собственной оси. Отклонение не зависит от направления стрельбы,
если пренебречь влиянием центробежной силы.
12.10. Ah = 2vw3t2 яз 12,5 см.
12.11. ASboct яа 0,7 м; ASV ~ 0,5 м.
12.12* х = 5,8 см.
Решение. Пуля вылетает из ружья, имея скорость, направленную на
юг. Следовательно, на нее будет действовать направленное на запад корио¬
лисово ускорение
сРх
~dP
2г)ажтф,
где со — угловая скорость вращения Земли и ф — географическая широ¬
та местности, в которой произведен выстрел. Считая в первом приближе¬
нии вектор скорости пули постоянным, получаем (путем двукратного ин¬
тегрирования по времени выражения для кориолисова ускорения) величину
западного отклонения пули от первоначального направления выстрела х =
= в^швшф = 5,8 см.
12.13. S = 2а>-.
v
12.14. Паровоз действует на правый (по ходу поезда)
рельс железнодорожного пути с силой (ход решения зада¬
чи ясен из рис. 472)
F = 2твшзшф = 250 Н,
где со — угловая скорость вращения Земли вокруг своей
оси.
12.15.
gawcos^+ttVgj и Ро(1 _ 7)6 . 10-5})
р = Ро 1
где R — радиус Земли.
12.16* г>о = 2mlwo/(M + тп). Скорость пушки направлена на запад.
Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движе¬
ния пушки со снарядом во время движения снаряда внутри ее стола можно
записать в виде
(М + m) — = 2mwov = 2rnw0at,
at
448
где v — мгновенное значение скорости пушки, ш» — угловая скорость вра¬
щения Земли вокруг ее оси. Следовательно,
Vo to
[ [2 тш0а , 21
dv = tdt’ где = \ —■
J J М + т V а
о о
12.17. ш
ml2 Пзсоя <р
Ml2
+ ml2
^П3 = 0,84-1(Г5с-
12.18?' ш = Зтшо/М = 2,2 • 10 6 рад/с, где и>о = 7,3 • 10 5 рад/с — угло¬
вая скорость вращения Земли вокруг своей оси.
Решение. В системе координат, связанной с Землей, на движущийся
внутри ствола снаряд (и следовательно, на систему пушка-снаряд) будет
действовать сила Кориолиса, направленная на запад и равная F = 2тьш0,
где v — мгновенное значение скорости снаряда.
Уравнение движения пушки со снарядом имеет вид
dw
= 2mwovr,
где I — момент инерции пушки (моментом инерции снаряда можно прене¬
бречь ввиду условия М » т), г — расстояние снаряда от оси вращения в
данный момент времени, ш — мгновенное значение угловой скорости враще¬
ния ствола пушки. Полагая v = at, получим
Ш
0
2
= mojQa
to
о
где to = \j2lja — время движения снаряда внутри ствола. Интегрируя это
уравнение, находим ш.
12.19. а = 4тгR/(vT) = 0,0209 рад= 1,2°.
12.20? сЬ = 2/3 рад/с2.
Решение. В системе отсчета, связанной с вра¬
щающейся каруселью, боковое ускорение пули абОК =
= 2[v0THtu] + [гш], или в скалярной форме авок = -
—2г>оа> + гш. Отклонения вправо считаются положитель¬
ными, влево — отрицательными (рис. 473). Радиус г
считается положительным выше центра О и отрицатель¬
ным — ниже. Учитывая начальные условия r=—D/2,
ш = шо при t = 0, получим
г = vqt. — D/2, to = шо + d>t,
«бок = — 2г>ои>о — djv0t — Пш/2.
Интегрируя последнее уравнение, находим боковое отклонение. При t = D/v0
оно должно обращаться в нуль. Это дает ш = —4г)оШо/Л = 2/3 рад/с2. Ли¬
нейное ускорение на периферии карусели будет 6,67 м/с2.
449
12.21. Пол комнаты представляет собой параболоид вращения г = — (яг +
+ у2); ось г направлена по оси вращения, начало координат находится в
нижней точке, а оси х и у лежат в горизонтальной плоскости.
12.22. Нить отвеса установится перпендикулярно к полу салона самолета.
Т = 2n^/lcosot/g.
12.23. t' = tfl +
4R2g2
= 1 ч 56 с.
12.24. Г
2яЛ / — cos ю.
3 g
12.25* cos а =
3(а2 -b2)g
2ш2(а3 + Ь3)
Решение. В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью ш, условие равновесия стержня можно записать в
виде Мц.с. = Мс.т., где Мц.с. — момент центробежной силы и Мс.т. — момент
силы тяжести относительно точки закрепления стержня.
Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня длиной
dx, находящийся на расстоянии х от точки закрепления, будет равна
dFa. с. =
mdx
о, Ь
-со ism а.
Соответствующий момент силы можно записать в виде
йМц.с. = dF^eXcosoc.
Отсюда для полного момента центробежной силы инерции имеем
-Мц.с.
mar sin acos a
CL Ь
a
J
2 , 1 mto2sinacosa. 3 ,3.
* dx=3 ^Гь—(a +b)■
Приравнивая эту величину моменту силы тяжести Мс.т. = mga ^ sin а, по¬
лучим ответ.
12.26. tg(3 = v<yV 4 2"1 = 0,107, (3 « 6,1°.
gR
12.27. V0 0,29 м/с.
12.28. к = = 0,05.
mg tig
12.29. Чтобы размывался еще и левый берег река должна иметь поворот
направо. При этом необходимый радиус поворота реки г « 4 км.
12.30. v = 2Ш7. Относительно Земли эта скорость будет равна Улаg =
= /4П’
1°
от оси О. 450450
в зависимости от начального положения камешка слева или справа
12.31? Av да 2о>о«о/ё’ где шо — угловая скорость вращения Земли вокруг
своей оси.
Решение (в системе координат, связанной с Землей). С учетом дей¬
ствия центробежной силы инерции и кориолисовой силы условия отрыва
самолета от Земли можно записать в виде:
1) при разбеге с запада на восток
2 2
mg — 2ттш)ог,1 — mw^R = kv i;
2) при разбеге с востока на запад
2 2
mg + ‘2mWQV2 — muioR = fcv2;
3) при разбеге вдоль меридиана
2 2
mg — mw0R = kv0,
где «1 и «2 - окончательные скорости разбега, R — радиус Земли.
Решение этой системы дает
V2 — VI
‘2w0Vq
g- “>lR'
Учитывая, что g » u)qR, находим Av.
топь
12.32. tga =
15g'
to ^ -г o° 2ya> c o°
lZ.OtJ. фвперед — ~ < ,o , Фвбок — — O,o .
s g
12.34. M = 2m, если человек останется на карусели; М = 4т, если он
спрыгнет с нее.
_г т, 4тХЫ .
12.35. У = ———smcpsma:
М
12.36. vo ^ wR.
12.37. т = 1п(2 + ^ .
ЗтГ231 „ „ ,
——Д- = 0,3 мм/с.
М
12.38. А = таш22Д- = 750 Дж.
12.39. А = fcmLi/4u>2v2 + g2 + ^тпш2Ь2.
Ц2
12.40. L = ,
kg
12.41. щ ср = 45°.
451
12.42? Движение муфты вдоль стержня будет происходить по закону
х = о,() ch cot = 2ch (407tt) см,
M = 2тшхх и 2mu>2aosh(2iot) w 6,3 • 106sh(807tt) дин • см.
Решение. Движение муфты удобно рассматривать во вращающейся
системе координат. Тогда уравнение движения вдоль стержня под действием
d? X о
центробежной силы будет иметь вид т-^р- = тш х- Общее решение это¬
го уравнения х = Aewt + Ве~ш1. Подставляя ж(0) = ао, ±(0) = О, получаем
решение. Момент импульса муфты относительно оси вращения стержня L —
= тшх2; он растет со временем. Для его увеличения необходимо приложить
внешний момент сил М = ~ = 2тшхх.
at
2 к
12.43. При и>о < — гармонические колебания
• I cos
2 к 2.
w0t
т
равновесие;
2 2 к
при Шп =
т
при соо > ~ необратимое движение х = Ich
2 2/l I
шо 4
и m
12.44. хо
ка
2 к
ш < —
О - !)•
положение равновесия. Оно устойчиво при хо < I;
при тех же условиях.
т
к — тис2
12.45. «отн = ; «лаб :
V2
= \ -wL.
12.46. Т=
12.47. Т ■■
2 7Т
1
1 -
2 2fc
где со0 = —.
m
/i)2
CUq
27Г
4fcco2 4
1- со
12.48. к = -
2
12.49.
mi о
Пг0
v0
СО2 го
^0
Пг0
< к ^
т. е. при Пго > «о-
С02Г1 2
;
o4rJ
fcV
4fc2co2
+ 4ogco2
„ _ _„ Ie(M + m) ^ Ig(M + m)
12.50. со = \ — Из условия cos <p ^ 1 следует со > \ — -.
V macoscp V rna
12.51. ДД = 2nkmQ(X>a2 = 5,65 • 10-2 Дж.
12.52. A =
2l2
452
12.53. А
2l2
12.54. Т =
л/2л
12.55? w2 = f л/2. Равновесие устойчиво, если kl > mgcosoc = ~mg.
* v2
Решение. Запишем уравнение динамики для системы координат, вра¬
щающейся вместе с треугольником:
жНотн = mg -Ь F уПр + N + F + Fu6.
Здесь N — сила нормальной реакции, F — сила Кориолиса, Fug — центро¬
бежная сила инерции. В проекции на гипотенузу АС получим
mR = —mgcos ос — k(R — l) + mw Явт а,
или
R = -
к — ma>2sin2 ос
R
kl — mg cos a
к — mw2 sin2 oc
где R — расстояние груза (координата) от точки А на гипотенузе. Полагая
Я = 0, определяем положение равновесия муфты:
R* =
kl — mg cos a
(к — mw2 sin2 a / 0);
к — ma>2 sin2 oc
приравнивая R* = l, находим угловую скорость:
ш2 =
cos a g
л/2.
t sin2 a l
Если ввести смещение из положения равновесия £, = Я — Я*, то получим
к — mcv2 sin2 а^
что для к > ma)2 sin2 а соответствует гармоническим колебаниям муфты око¬
ло положения равновесия с частотой
п / к 2-2
= \1 a) sm ос
т
и означает устойчивость положения равновесия.
12.56. р 12ш2 < 8Т.
12.57. А = fcma)2ctga( Яд — ЯЯд + — ) + ‘2kmwvR, где Яд =
\ 2 / о)2
(точка В, где mgsina = ma>2rcosa).
12.58. Mmin = 0; Мтах = « 7 • 1СГ4 Н • м (г* || П).
12.59. Мтах = mcuQR2.
453
/I IR
- = 1 c; TK = 271*/— = 20 с. Сила Кориолиса не будет вра-
ё V ё
щать плоскость качаний маятника (как и у маятника Фуко на экваторе).
12.61. F = maur sin2a.
12.62. F = 2mgsin <х\/2 + tg2
12ЛЮ.П = Д*Е™? = 4с
m
12.64. Г=-,гдеш=«/- + 3fi2.
CO V m
12.65. Г=-а/5'
to V ЗД
12.66. T
2tt
tO
12.67. Если направить ось OX по радиусу к центру Земли (точка О —
положение корабля), ось OZ — по касательной к орбите корабля в направ¬
лении его движения, то в условиях задачи траектория крышки относительно
корабля — эллипс, причем x(t) = —sincot, a z(t) = ^^(1 — cos tot), где to —
угловая скорость колебательного движения крышки относительно корабля,
совпадающая по величине с угловой скоростью вращения корабля вокруг
Земли, т. е.
ш =
№
г—i
■Дз
1,17- 1СГ3 с х;
Т = — яз 5400 с
ш
1 ч 30 мин.
Эллипс имеет малую полуось Ъ к, 428 м и большую полуось а и 856 м.
12.68. вшах ~ 0,003 м/с; траектория близка к окружности.
12.69? Спутник будет описывать малый эллипс:
x(t) = —^2.(1 — coscot), y(t) = ~sinu>t,
to to
вершина которого лежит в точке равновесного положения спутника, а центр
смещен на запад на расстояние 2vq/w, ш — угловая скорость вращения
Земли.
Решение. Исходим из уравнения динамики: mao = Р — 2mcovo, гДе
Р — «вес» тела, который для точки равновесия спутника А равен нулю:
рА = ~%> +тш2До = 0 (С = утМ).
Rq
Для возмущенного движения
Р = -/р С 49 + тш2(Яо + у) w Щу + тш2у = 3тш2у.
(До + у)2 Щ
В проекциях на оси координатной системы X, Y, Z с началом в точке Л
уравнения динамики записываются в виде:
2
х = —2соу, у = 3со у + 2со±, г = 0.
Отсюда х = —2toy, г/ + а>2у = 0, что при начальных условиях у(0) = 0, у(0) =
= vq дает
y(t) = — sin col.
СО
Для координаты х при ж(0) = 0 получаем:
x(t) = — ^^(1 — costol).
со
12.70. dmin = ШзЛз^/—(я — 2) « 420 км.
4я /Я
12.71. F =
Т
■ 0,12Р, где Р — вес тела на поверхности Земли,
Т — продолжительность звездных суток, R — радиус Земли.
Ro
U к 8 • 10”18 В.
U к 5- КГ13 В.
Рэкв Rnojl ^ Ю КМ.
1 . {. 2 kClL\
Т~ _2Ш “V1 ^J'
А =
2Г22 - fc/m'
12.72. v = ro,l2 i to2 — 3-f--
12.73.
12.74.
12.75.
12.79.
12.80.
12.81.
12.82.
N = mg
12.83.
12.84.
to = sm a
3g = 1,56 c”1.
21 cos a
3 g
w4 .
cos a = —^-r = 0,87 (a = 29°); tgcp = —— sin a = 0,41 (cp = 22°
2a)2L 2g
1 (w2l
1+4V g
sin2 a и l,lmg.
ш2 = и 0,309 у, откуда T = — = 3,6 С.
/о I I ш
to2 = кз 15,7 с”2, откуда Г= — = 1,58 с.
40 I со
3g(*2-*jtg<p). 1?
4/2(г|-гз)8тФ’Ф tg/2'
12.85.
12.86. Груз соскочит с карусели.
455
12.87. Груз не соскочит с карусели.
12.88? fi = ,/—-— = 10,64 с 1, где сро = 30° — положение равновесия
у vcos фо
бусинки.
Решение. Положение равновесия бусинки легко определить не прибе¬
гая к переходу во вращающуюся систему отсчета (рис. 474):
mg = Ncosiро (N — реакция кольца),
iVsincpo — это центростремительная сила.
2
Arsmcpo = mf2 rsincpo-
Из этих равенств следует уравнение
sincpo ( fi2r — |=0,
у cos фо )
откуда
1) фо = 0, если > 1;
2) фо = arccos -Jj— в
\12Г
противном случае, т. е. если П2г > g.
Таким образом, положений равновесия может
быть два. Допустим, что бусинка отклонилась от
положения равновесия фо и ее положение в данный
момент ф (рис. 474). Тогда во вращающейся систе¬
ме отсчета в направлении ее смещения (касательная
к радиусу-вектору ее положения) на нее действуют
две конкурирующие силы ^бсовф и mgsirup. Урав¬
нение моментов:
тг2 ф = Fu б cos ф • г — mg sin ф • г,
где FU6 = тГ22гвтф. После несложных преобразо¬
ваний получим
ф = ^П2совф — втф,
откуда (в частности) следует уже отмеченное выражение для положения
равновесия фо-
Пусть ф = фо + а, где а — малый угол смещения бусинки относительно
положения равновесия, тогда поскольку ср = ос, то
Q2 о
а = — вт(2фо + 2а) — - вт(фо + а).
2 г
Раскладывая синус суммы двух углов и имея в виду, что sina^a, а
cosa^l, а также учитывая, что в положении равновесия П2совфо =g/r,
получим:
2 2 2
а ~ — fi sin фда = —ш а.
456
По условию частота колебаний бусинки должна быть равна ш = П/2.
Отсюда
ш = fisincpo = 2cu sin фо ■
Таким образом sincpo = -, т. е. сро = 30° — положение равновесия. Поскольку
в положении равновесия fi2 cos сро =g/r, то искомая угловая скорость враще¬
ния кольца
П = —I— = 10,64 с-1.
У rcoscpo
12.89. Здесь реализуется положение равновесия сро = 0 (см. задачу
12.88). Т :
— =0,73 с, где со = . /— — П2 = 8,55 с-1.
СО V г
12.90. АК = К а — Кв
уМ
= - АП = Пв -Ш = (п ~Г2)3 = ^ > 0,
2(rir2)2
288
где g0 = -j^- — ускорение свободного падения на поверхности астероида.
12.917 vq =
ё0*(%-41^
12
п 1/2
; 0,42gg Д; va — 0,65^SqR.
Решение. Для начала определим угловую скорость со вращения стан¬
ции вокруг астероида. Если обозначить через Т — силу натяжения перехода
АВ, то тогда
уМ
2 уМ
Г в = —
то
то
г2 | ^ ^
Отсюда со2 = уМ 9 »А. 2—г = — ^, где обо-
г2Аг%(гА+гв) 12 R
значено ускорение свободного падения на поверх¬
ности астероида g0 = уМ/В2.
Коридор, вращающийся вокруг планеты, явля¬
ется неинерциальной системой отсчета. Поэтому
потенциальная энергия тела в коридоре
. . _ уМт та)2г2
Это выражение имеет экстремум (максимум) в точке г = гт, где ~ = 0 или
= Ш2гт, Т. е. Гт
уМ
и >2
457
Вычислим значения потенциальной энергии в максимуме, в т. А и т. В:
П в = ~
Пд = -
уМт mw2R2
R 2
уМт
29
~24m§0R = -1,208mg0R;
2 R
Птах = -mgQ
тш2 2 4 „
—2 41? =-^8oR:
& , _5
r-m 24 R
i\lr2m^R
1,333mg0R;
1,12 mg0R.
График П(г) качественно представлен на рис. 475. Отсюда понятно, что
минимальная скорость для преодоления потенциального барьера в коридоре
найдется из условия
= Пп
Пв =
29
24
mg0R,
т. е. v0 = 0,42y/g^R.
При этом скорость предмета в точке А определится из условия
: Птах ~ Пд, т. е. Уд —
f-3v!V
! 1/2
0,65
12.92?' Угловое ускорение е 3>
2я2У2
:0,2 с'
Решение. Коэффициент демпфирования (затухания) 6 связан с вязким
трением. Время установления вынужденных колебаний т = 1/6. Добротность
системы Q ■■
U>o
26 '
Резонансный пик имеет ширину ДО и время прохода этого пика f<i.
Отсюда требуемое угловое ускорение
е >
Дш
= 6Дш = 2б2 = -^2- -
±
2 Q2
0,2 с
-2
НИИ
12.93. |3 ~ тшо = 2nm-vo = 3,3 • 106 кг/с. Уравнение поперечных колеба-
2
тх + |3г> + кх = тш aocoscol.
В резонансе тх + кх = 0, откуда следует, что |3г> « тш^а^. Таким обра¬
зом, |3 « тшо.
12.94. а0 < Л
47Г2Л/д
0,28 мм. (См. также задачу 12.44). Отклонение
от положения равновесия г = , ,а° —-. После быстрого преодоления ре-
(too/to2) - 1
зонанса ш > шо, а г < 0, т. е. происходит самоцентровка ротора.
„2
12.95. F
тр
2 R
л/1о.
12.96. FTP =
6 R
458
12.97. AT = —— « 0,02 с — часы уйдут вперед на 0,02 с.
8от
12.98. АТ = — « -56 с — часы отстанут на 56 с.
16g01 о
§ 13. Упругие деформации
13.1. D = 27 мм.
13.2. Д^=1--2ц
IP, где Е — модуль Юнга, ц — коэффициент Пуассона.
AV < 0 при сжатии, AV > 0 при растяжении.
117 кН.
13.4. Al = pgl2/2Е, где р — плотность вещества стержня, I — его длина,
13.3. Q = ~а2Р :
Е — модуль Юнга; объем увеличивается на AV -
1
2 SE
2ц,,2 ,,
-VoPg, где И,
первоначальный объем, ц — коэффициент Пуассона, S — поперечное сечение.
13.5.
13.6. а
13.7. U
А1
I
10
-6
:45°; т =
2 S'
P2h
6 ES
; упругая энергия увеличится в 7 раз.
13.8. 1) Чр- = §1 = 2 • 103; 2) ^ ^ = 5 • 10”4.
ипл -С/ПЛ ^ПЛ -^ст
13.9. Al = — 2К) « 10"2 мм.
2Ь
2-лх
13.10. Т= где х — расстояние от нейтрального сечения, Ттах =
= ^Е«2-105 Н/см2.
13.Ш ^«5-КГ4.
Решение. В силу симметрии касательное напряжение т, действующее
в оболочке, одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент обо¬
лочки, имеющий форму прямоугольника. При вычислении относительного
изменения площади этого элемента под действием касательных напряжений
т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямо¬
угольную пластинку. Тогда вычисление дает AS/S = 2(1 — ц)т/Е (изменени¬
ем площади, вызванным нормальным давлением, пренебрегаем). Поскольку
площадь S пропорциональна V2/'\ относительное изменение объема будет
AV/V = (3/2)AS/S. Так как поверхность искривлена, то натяжение т со¬
здаст разность нормальных давлений. Для нее нетрудно получить 2тd/R
459
(см. формулу Лапласа в учении о поверхностном натяжении). Эта разность
должна быть уравновешена разностью давлений газа АР по разные стороны
оболочки. В результате получим
АП_3(1-ц)Д
V 2 Ed
5 • 10
—4
13.12. U =
13.13. л/ =
2яЯ3 „2
3 К '
1 Ге
2nR V р
8 кГц.
13.15. Ям =
(Дм/Д3)2
Мм/М3 3
= 24 км.
13.16. А1 =
4FI{1- ц — 2ц2)
7tD2E(l — ц)
13.17. F=^(dl -dd0).
4ц
13.18. Р = Е
13.19. А1//
Рв - Р
Зрв(1 - 2ц)
„AV Р
V V tE
13.20. Р = 24500 Н/см2
- 2 • 104 атм.
6- 10-4.
« 2450 атм.
13.21. Р = Ea.it! - t2);
Дзим « +1000 атм (растяжение) и Рлет « -375 атм (сжатие).
13.22. а = ?м.+ 2‘Хс1 = 1,37 • 10“5 К~4.
2
13.23. Тм — — Ест (аст - ам)At = -200 атм (медная пластинка сжата);
^ О
Тст = -Ест(ам - aM)At = +100 атм (стальные — растянуты).
О
13.24* Укорочение бруска будет в два раза меньше.
Решение. В отсутствие упора брусок будет ускоренно двигаться. Си¬
ла сжатия в сечении стержня на расстоянии ж от Л будет Т = Я(1 - х/Ь),
так как предшествующие элементы бруска должны сообщать ускорение по¬
следующим. Изменение длины элемента стержня dx, удаленного на х от А,
будет
d^ = isdx = is{l-z)dx-
Общее изменение длины, следовательно, будет
о
13.25. U =
(■ma)2l
6ES '
460
13.26. Никакого напряжения не будет, так как в этом случае сила при¬
тяжения Земли действует на все элементы бруска, сообщая им одинаковое
ускорение. В задаче 13.24 сила была приложена к одному концу бруска, а по¬
следующие элементы бруска получили ускорение только вследствие сжатия
предшествующих.
13.27. А1 = -
13.28. А1
-IL;AV =
2а2 Е
MmLg
13.29. шЬ < 10
SE(2m + 2 М + ц)
2 1Ё
Fl{ 1 - 2ц)
2 Е
| 4,3 см.
где ц — коэффициент Пуассона.
13.30. 1 шах — НЩ
13.31. V ^
lm.ES
■voy—r
2,1 • 10'; Н.
rp rng
— — — 3 м/с.
ME
SI
13.32
2 2лг2
13.33. Т = L2 - ж2), AL :
Мш2 2
Ь ,
2L v~ ~ 3ES
риваемого сечения от оси вращения.
где ж — расстояние рассмат-
13.34. ei =
pur
3 Е
13.35. е = 5 ( JL
4 V v3B
; ег
2
po>2(L/2)2 е2
ЗЁ ’ 17
1
4'
3-10
-6
13.36. Ах = ~ 115 м.
ьъ
13.37. Дж = ^ /Vln2 - ^ « 146 м.
13.38. К=(Ь^Г2Р)1/3 «370 км.
\ ^ раз /
13.39. т = 2— « 4 • 10^5 с; w = « 5 м/с.
«зв Ь
13.40. £
Al 1
2 ^зв
, где ?;зв — скорость звука в тонком стержне.
,, ., . 7Pd3bE 1Г1 _ „
13.41. Л = ■ „т « 19,7 Дж.
ьь
13.42. 17шах — nrg' 4- v
ESkrn
kl 4 tf.V
2,96 • 104 H.
461
13.43. р :
Тт
J-. I - 3 i?3
2,28 • 103 кг/м3 , где i?i = — радиус
геостационарной орбиты (42,1 • 10" м).
13.44. г{х) = го ехр
( Pg^o,
V 2 F '
13.45. й'(ж) = So ехр
2Що?
^-(12-х2)
2 ml
13.46* Е
= 6,25 • 1011 Н/м2.
г о
Решение. При деформации кристалла с простой кубической решеткой
так, что расстояние между двумя взаимодействующими молекулами изменя¬
ется на величину dr относительно равновесного положения, возникает малая
возвращающая сила dF, которую в соответствии с законом Гука можно за¬
писать так:
civ
dF = —/о —. (.)
го
Разделив эту силу на площадь грани элементарной ячейки S = , полу¬
чим натяжение dT:
,rr dF /о dr dr
b b ro r0
Коэффициент пропорциональности /о в формуле (*):
dF
/о = -
dr
г о-
Поскольку сила взаимодействия двух атомов F = — то
dr
dF = d2U
dr dr2
Таким образом,
= -f/0[4(xV2a(r“ro> - 2a2e-“(r-r°)].
/о = -
dF
dr
r0 = U0- 2a ro.
Окончательно, модуль Юнга
/о
S
= 6,25-1011 Н/м2-
ro
13.47. Сила взаимодействия двух атомов максимальна (см. решение за-
ю лп\ dF _, odJo т яЕо
дачи 13.46), если — = 0, откуда следует, что ■Fmax — —п— И Ттах — —/г—ТЬ —
а Г II
= 1,22 • 1012 дин/см2.
462
13.48. Т = ipW2(l2 - X2)- Гшах = ipШ2/2; Л„шх - ^НТтах = ю7 Дж.
13.49. AD = — = 0,49 мм. Чтобы барабан не разрушился, напри
Ь/
жение Тпр должно быть по меньшей мере равным развиваемому в задаче, т. е.
Тпр > 4я2л/2рД2 = 4,9 • 108 Па.
13.50. Е = An2-v\pR2-^ = 70,5 ГПа; Тпр = 4я2л/|рЯ2 = 54 МПа.
13.51. Да = ^ = 4,5 • 10“6 м.
£л1/СЬ
13.52. Ah = --^(2 - р.) = -1,7 • 10-4 м.
CLEj
13.53. U = i-^F2.
аЬ
13.54. U = ^-~F2.
аЕ
13.55. ~ = ^г=(2р.2 + р. - 1) = -0,52 • 10-5; ЛИ = -0,052 см3
V a2h
13.56. ^ = -^~Д2р. - 1) = -0,8 • 10“4; AV = 0,08 см3 = 8 • 10“8 м3.
V а2Ь
13.57* U = ~ 300 эрг/см2.
Решение. При разрыве нити вискера образуется две поверхности каж¬
дая площадью nR2. Разрыв произойдет, если отодвинуть одну поверхность
от другой на расстояние порядка межатомного, т. е. х ~ 2 А (1 А= 10~8 см).
При этом работа разрывной силы А=(Т ■ nR2)x. Эта работа должна быть
равна полной поверхностной энергии в местах разрыва нити U • 2nR2, где
U [эрг/см2] — искомая поверхностная энергия. Таким образом,
А = TkR2x = U2nR2,
откуда U — — ~ 300 эрг/см2.
13.58. Д « ^— = 1,1 нм.
nEatg ос
13.59. о « —— = 1,1 нм.
TiEtgoc
/7/3
13.60. Е = = 1,2 ■ 1012 Па (алмаз: 0,7 = 1,0 ТПа).
13.61. Ртах —
у-^тах + ^0
х Т ig
2hdx„
■■ 0,16, т. е. 20%.
260 ГПа. Предельно допустимое г =
AJ
1о
463
13.62. F0 —- Ртах- -j~ = 143 кН, что соответствует 14,6 тс (тонна-сил).
§ 14. Элементы гидродинамики
14.2. Т = 2п.
g(sin а + sin |3)'
14.4. Т = 2п
14.3. Т = 2п
14.5* F = Qp gt+ Я -
, Я — высота, с которой льется вода.
Решение. Вертикальная скорость струи на уровне воды в стакане v =
= 2g(H — h). За lc уровень воды поднимается на величину Ah = Q/S.
Сила давления на дно от падающей воды: AhpSv, где р — плотность воды.
Все давление равно F = hgSp + AhSvр. Через время t после начала h =
= Aht = Qt/S и F = AhpS[gt + y/2g(H — h)}. Окончательно
14.7. h — Xmax — H,
&
14.8. v = у/2(P — P0)/p + 2gh, где Pq — атмосферное давление.
14.9. Пока уровень в сосуде выше нижнего конца трубки АВ, скорость
истечения постоянна и равна v = y/2gh. После этого скорость истечения нач¬
нет уменьшаться.
Я
Я =
14.10. L =
g{ Рст - Рв) Mg-pagV
Т S0T
C In—
— = 15,6 км; S{h) = So exp -^(рСтРв) ;
1 « 3 км.
464
; давление максималь-
14.14. Нужно приложить силу F ~ 2Spg(tn — h2) = 5 Н, толкающую те¬
лежку со стороны отверстия, расположенного выше.
14.15. Сосуд должен иметь ускорение а^2g(H — h)/l, направленное
вправо на рисунке к условию задачи.
2
14.16. Параболоид вращения; образующая парабола г = —ж2, где х —
2g
расстояние от оси вращения, 2 — повышение уровня поверхности по сравне¬
нию с уровнем ее в центре сосуда.
ра)2
14.17. 1) Р = Ро -I g—> где ро ~~ давление в центре дна, р — плотность
воды и R — расстояние от центра дна; 2) Р « 41,6 • 103 дин/см2.
14.18! Р е ш е н и е. Перейдем в систему отсчета, в которой жидкость
покоится. В ней добавятся две силы инерции: центробежная и кориолисова.
Кориолисова сила не совершает работы. Она лишь искривляет линии тока,
но не сказывается на справедливости и форме общего уравнения Бернулли.
Центробежная сила добавляет новый член к потенциальной энергии. Полная
потенциальная энергия единицы массы жидкости будет и =
= gz — ш2г2/2, так что уравнение Бернулли запишется в
виде
где v — относительная скорость жидкости (т.е. скорость Рис. 476
относительно вращающейся системы отсчета). Постоянная
Бернулли В одна и та же для всех линий тока, поскольку
все они начинаются вблизи поверхности жидкости, где ско¬
рость v пренебрежимо мала. Применим полученное уравнение к линии тока
АВ, начинающейся на поверхности жидкости в точке А (рис. 476). Если
начало координат поместить в точке Л, то za = rA = vA = 0, Ра — рв = ро,
vb — v,zb = —h, г в = R, и мы получим v = \/2(gh + w2B?j. Здесь h означа¬
ет высоту наиболее низкой (центральной) точки А уровня жидкости относи¬
тельно отверстия. Переход к неподвижной системе отсчета не представляет
затруднений. **** з т0Ш(|(Л 1/Л
14.19. o)fc = -| , где р — плотность воды.
\ 4 7t pH4 J
14.20! Р е ш е н и е. Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним
радиусом г и внешним г -f dr. Слит внутреннего трения, действующая на
h
В
465
него в направлении течения, равна
2nlr\
гт)
drJr+dr
■ 2nlri
dr
dr.
(Индексы г иг + dr обозначают, что величины, заключенные в круглые скоб¬
ки, должны быть вычислены при значениях радиусов г иг + dr соответствен¬
но.) В том же направлении действует сила разности давлений (Pi - P2)2nrdr.
При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приво¬
дит к уравнению
d (rdvу_ А-Р»,
dr \ dr) 1т\
Решение его, обращающееся в нуль при г = R\ и г = R.2, есть
V =
Pi -р2
Щ
r\
г2 +
Щ - R\ г "
1П(P2/i?l) i?2. '
Расход жидкости-.
Q =
7ip(Pj - Р2)
8 ц1
Ri-R
4
1
{Rl~R\)2'
ln(P2/Pi)
14.21. / = « 0,27 дин/см; v(r) =
ln(r2/n) ln(r2/n)
14.22. т
_8rjL_
PgP2
, где g — ускорение свободного падения.
14 23 Q = 371(рД1 др
У 8Л (Д§-Д3)
14.24. Пшах = « 2,3 см/с; М = |pbmax6 = 1,15 • 10“4 г/с.
&т\а о
14.25. Q = а1г'ЛР « 0,083 см3/с.
12г\1
14.26. Уменьшится в 4 раза.
14.27. h(t) = He^^, где т =
JJ
кания tBbIT « т1п — « 3,3 ч.
г
8S г\1
: 2,6 • 103 с « 0,72 ч. Время выте-
14.28.
8Qr\l
npgh
: 0,1 см, т. е. d « 2 мм.
14.29. IV = шМ = ~ 76 Вт, где си = 2яп.
2 ао
466
14.30. Лl
4 цУЬ2
тсг^Е(г% - rf)'
14.31. cui(t) = -ш20
1'eXp{~^t
Ш2(t) = l“20 l + 3exp f~££t
v(t) =
Кнг.ч Kkoh 3
Янач 4
R2 f
14.32. Время установления чистого качения можно оценить т ~ Де-
Я
готь обгонит мед на I и (vq — v)t « 10 м, где w = ~~ скорость при равно¬
мерном качении.
14.33. Для гравитационных волн скорость и и длина волны Л связаны
соотношением и = х/g\/2к. Поэтому волновые картины будут подобны, если
все размеры изменить пропорционально квадрату скорости движения. Следо¬
вательно, скорость модели должна быть равной 3,6 км/час = 1 м/с. Отметим,
что в данной задаче безразмерными параметрами подобия являются отноше-
и JgX Л , . „
ния — = - и у, где v — скорость корабля, I — его линеиныи размер.
—-i- « 8,33 ■ 105, откуда -± и 94.
12Нег г2
14.34. ( —
Г2
14.35. v(r) = 2и ( 1 - — ], Vmax = г(0) = 2и.
IX
If 2
ред = Q J ^ш<^г =
14.36. го
_й
v^'
14.37. ш = —y/g(H — К). Дно не будет обнажаться, если h > Н/2.
К
2
14.38. а> = Вода не выплескивается при Я" > 2h.
R
14.39. Р = рг>звг> = 0,4 • 107 дин/см2 « 4 атм.
14.40. ДР = ризви = 4,5 • 106 дин/см2 « 4,5 атм.
di
14.41. d2 >
14.42. d2
1 +
2(Pi - Po)
1/4
= 0,2 см.
pv2
di
1/4
rPghidf
8Q2
= 5 cm.
467
7Tf/^
14.43. Q=—£
2gh
= 11,3 л/с.
4 V 1 - d\!d\
14.44? Wl = ME±^±{tl-tQl где t1 =
2 mv
«к =
Mv
kg(2m + M) ’
vi =
Mv
2 m + M
4m + 3 M
Решение. Уравнение для поступательного движения бочки
dv
dt
to):
—kg даст решение v\ = v — kgt\.
Для вращения при замедлении от ш = v/R до ш = 0 (в момент времени
^ 1 dt; , , ._ kg(M + m),
mR — — — — kg(m + M)R, откуда v = —— -to-
Rdt m
Для вращения с раскручиванием от ш = 0 до wi=v\/R (в момент вре¬
мени i 1, когда исчезает проскальзывание):
mR2^ = kg{m + M)R
ti at
откуда следует, что
kg{M 4- т), х ч
Щ = —— -(ti - to)
где ti =
2 mv
а значит щ
Mv
ние
kg{2m + М) ’ 2т + М'
Условие постоянства момента импульса при чистом качении даст уравне-
/ ,п2»1 MR2 v , . „ _ MR? Vb
(т -f M)v\R + mR — -—— (m -f- M)v^R -i —
откуда следует ответ
Mv
14.46.
4m + 3 M
_ {M + m)v. , _2(M + m)v
2m + M ’ Vk 4m + 3M
AP 8r,2Re
14.45. v\ = ~ ;—Vk =
L pi?3
r.2 1
= 16 H/m .
14.47. — 3r|2Re
pa°
;36H/M3.
14.48. Qea = fe3pfsinlX; v = h2^sin*
3ti
3 П
14.49. sin a = где Re ~ 103 по условию.
gp2R3
468
14.50. и ~ wo - --—рч = 5,4 см/с; Re = — — = 0,35. Поскольку по-
9 л Л
лученное значение Re < 1, то использование в решении формулы Стокса
(Нсопр = 6m]r(vo - it)) — оправдано.
14.51. m = = 56,i кг.
14.52. D = -т|т = 12,4 мм.
■яр
469
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§1. Идеальный газ. Работа, теплота, внутренняя энергия.
Первое начало термодинамики. Теплоемкость
1.2. Указание. Коэффициенты а, А, 0 определяются выражениями
_ wan ,1®
a~v0[drJp’ -PoVd?7y
av
ар
т
Кроме этого, коэффициенты а и Л часто определяются такими выражениями:
= _{W\ Х = 1
V\dTjp’ Р
ар
ат
V
Для твердых и жидких тел между этими определениями по существу нет
разницы. Первое определение обладает тем преимуществом, что для идеаль¬
ных газов величины а и Л оказываются постоянными, тогда как при втором
определении они меняются обратно пропорционально абсолютной температу¬
ре Т.
1.3. Л = 46(°С)-1.
1.4. На 9900 атм.
1.5. a =-L;A=-L; рт = 1;^т = Р.
-*о 1 о г
Здесь То — абсолютная температура, соответствующая нулевой темпе¬
ратуре по шкале Цельсия. Если пользоваться вторым определением коэф¬
фициентов а и Л, приведенными в указании к решению задачи 1.2, то мы
получили бы а = Л = 1/Г, т. е. при таком определении коэффициенты а и Л
для идеальных газов не были бы постоянными.
1.6Г х = 0.131.
Решение. Расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника
а = 1(1 — х/2), где I — длина никелевой трубки.
Будем приближенно рассматривать маятник как математический. Ком¬
пенсация теплового расширения сводится тогда к требованию, чтобы вели-
da
чина а не изменялась с изменением температуры, т. е. — = 0, или
2
Найдем —. Длина никелевой трубки I = /0(1 + аД), ее внутренний объем
V = V0(l + ЗаД), объем ртути v = i>o(l + а£). Часть объема трубки, занятая
ртутью, равна х = v/V = жо[1 + (а - ЗалД], где х0 = vq/Vq — значение дроби
х при t = 0 °С. Отсюда находим
dx = xq(oc — 3<Xj,)dt « х(ос — Зал)dt, dl = lo^dt « la.j,dt,
470
т. е.
dx _ х
dl I \ СХЛ
Условие компенсации принимает вид
(‘-1Н(5-зН
откуда
ос/ ал — 3 8
Учтем теперь несовпадение центра качания с центром масс маятника. Ис¬
пользуя известную формулу для приведенной длины L физического маятни¬
ка, нетрудно получить
г__2 3 — Зх + ж2
3 2 - х
Надо потребовать, чтобы эта величина не изменялась с изменением темпе¬
ратуры, т. е. ~ = 0. Рассуждая, как выше, приходим к уравнению
(ж3 — 5х2 + 9ж — 6) + (<х/осл — 3)(ж2 — Ах + 3)ж = 0,
или после подстановки численного значения ос/ося = 18:
16ж3 - 65ж2 + 54ж - 6 = 0.
Для отыскания нужного корня этого кубического уравнения полагаем х =
= 1/8 + Ь, где 6 — малая поправка. Подставляя это выражение в предыдущее
уравнение и отбрасывая кубы и квадраты поправки 6, получаем для нее
линейное уравнение, из которого находим 6 = 0,006. Следовательно,
ж = 0,125 + 0,006 = 0,131.
1.7. р = ро(1 + |ЪР) = 1,054 г/см3.
1.8. т « 105 г.
i.9mX = Sj±z^EHE.
ио.
h1 = -±(2l + H1-h) +
7(21 + #i - hf + ^-(Яо + h)l - Нх{21 - К).
4 1 о
1.11. Р = 224,4 мм рт. ст.
1.12. V = - М
Ро
1
1
1 + 0(t 1 1 -f- 0С^2
емного расширения газов.
1000 м3, где сс — коэффициент объ-
471
1.13. Р = Pogl
1
1 + at,2 I + odi
14 мм вод. ст., где a — коэффици¬
ент объемного расширения газов.
2 Ala
1.14. rn :
1.15. n =
p = 488 г, где p — молярная масса азота.
3p RT
ln(P2/Pi)
ЩУКУ + «)]'
1.16. т = ^ In « 370 с, где А" — скорость откачки масляного насоса,
т. е. объем газа, откачиваемый насосом за 1 с.
1.17. Р = 1,37 • 103 атм.
1.18. 1) Р = 0,03 атм; 2) Р ~ 7,6 • 104 атм.
NpZkT _ „ с 1пю
1.19. Рб(
Л
7,5 • 10 и атм, где N — число Авогадро, Z = 92 —
атомный номер урана, А = 238 — его относительная атомная масса; Р3
1
Рз^Р « 1,7 • 106 атм, где R — радиус Земли.
1.20. Р=^(у0 + У1 + У2)(Щ + ^ + Щ
1.21. т =
pPSV . Г2
In — , где р — молярная масса воздуха.
Р(Т2 - ТО Тх
1.22. V = 200 см3.
123 ± =
р М pi М р2 М рз
1.24. w = 340 м/с.
1.25. ^ « 5 кал/с « 21 Вт, где К — производительность насо¬
си ВТ
са, р — молярная масса воды.
1.26. 1) Q142 = Ql32 — Л.132 + Л.142 = 60 Дж;
2) Q21 = Qi32 - Л132 + Л21 = 70 Дж;
3) Q14 = U4 — Ui + А142 = 50 Дж; Q42 = Q142 — Q14 = Ю Дж.
1.27. Q = 2Q2 + <2з - Qi = 94 кДж.
PV
1.30. Результат следует из формулы U = Су—=г~.
К
1.31. Q = o.
1.32. Q = 910 Дж.
1.33. Q = = 25 Дж.
it
1.34. Авн. сил и 100 Дж; Q = -350 Дж.
472
1.35.
AU =
P1V1
r - 1
V2
Vi
1—т
1
-1900 Дж, где у =
Cp
Cv
1,4.
1.36. AP = ~ = 3 • 105 Па.
о V
1.37. P2 = Pi (y-Y = 0,312 атм.
1.38. TVn 1 = const; PVn = const; где n = ^
G — Cv
1) V = const; 2) P = const; 3) PVy = const; 4) PV = const.
Постоянная n называется показателем политропы.
1.39. Нагревается при п > 1, охлаждается при 0 < п < 1, если считать
dV < 0.
1.40. С = ^(ЗСу — 2Ср) = —0,163 кал/К, где "V = 0,163 — число молей
гелия.
1.42. А =
Pi Hi
_ P2V2
n — 1
n — 1
в частности, для
изотермического процесса Ат = РгИгЬу—, где P2V2 = РТ; для адиабатиче-
Г1
ского процесса Аад = А, если заменить показатель политропы п на показа¬
тель адиабаты у.
1.43. А>0, А = -ЯП
1.44. Т = 500 К.
Гг _ . \ ,
Hi 1) Vx
1.45. 1) Газ охлаждается при расширении, причем его температура про¬
порциональна \[Р. 2) С = Су - R.
1.46. 1) Газ при расширении нагревается, причем его температура пропор¬
циональна W. 2) С = Cp + R. При расширении к газу должно подводиться
тепло.
1.47. С = \{СУ + СР) = | = СР -
1.48. Р~Т2/3.
1.49. C(V) = д/У° : rmax = В точке c(v) = 0 пРямая
(у - l)(Vo - 2Vj 4Я
на рис. 377 касается адиабаты, а в точке C(V) — оо — изотермы.
1.50. VT{-Cv-Co)/Re-°tT/R = const.
1.51. VTCvJRe«-T2/2R = const
1.52. VT1l(-y~^e~otT‘Zl2R = const.
1.53. O132 = yRTi' Ql42 = YRTl' Ql2 = 9RTl] °12 = 3i?'
1.54. C = CV +
473
1.55Г Ci = У1* V*yCv, C2 = 0; Ci = Cy^-±-C2 = сю.
Решение. Элементарное количество тепла, получаемое первым газом,
6Q1 = CydTi + PidVi = CydTi + RTidLVi/Vi, а вторым — 6<2г = 0. Поэтому
C2 — 0 и CydT2 + RT2dV2/V2 = 0. Из равенства давлений Pi и Р2 следует
V1/V2 = Т1/Г2, откуда dV1/V1 + dV2/V2 = dTi/T) - dT2/T2. А так как объем
системы Vi + С2 во время процесса не изменяется, то dVi + dV2 = 0. Исклю¬
чая dV2 и dT2, получим
( \_ J_ R 1
V^i + С2 + Су V2
Используя также соотношение Ср — Су — Р, находим
bQi
Cv + R
V2
V2 + yVi
dTi.
Следовательно,
При Vi = V2
Ci = CV +
У2 R _ Vi + Va
C2 + yVi C2+yVi V'
Ci = 2yCy/{y + 1).
Если крышку CD сделать теплопроводящей и поддерживать температуру
у, + yV2
верхнего газа постоянной, то С2 = 00, a Ci = Су-
1.56. Ci(V2):
1.57. Ci
Cv
1 - V2j(5Vo)'
RT2
9,47 л; C2 =
RT0T
Po(T0 + T)
Po(To+T)
C + C2 '
12,9 л;
n ~ Tq T IIO RTq , P n kc
Р = -Ро-туГГ-= 1Д8атм; m = ——In—«0,56 r.
Zl 0 *q -го
1.58. H.
1.59. A = 2СуТ0(2^-1У2 - 1); C = -Cv.
1.60. Q =
1.61. Trr
2RT0
Vo
- 1
Co - hS
ц(Р2Ci - PiC2)2
4mR(P2 - Pi)(Ci - C2)
: 490 К, где p — молярная масса ге¬
лия, am — его масса.
1.62. Со = у-Яг- (!Л = 98,7 м3, где у = = \\ конечный объем
5 pgH V У ) Су 5
2 О ^ \ ~у ^
нефтехранилища С = у—ут ( — ) = 342 м3.
5 pgH \ у )
474
28000 К, где -v — число молей;
1.63. у =
V Т2 - т2
hS т2
1.64. Т - Т0 =
mv2
2уСу
Р_
Ро
'jp \^/(у П
То)
105.
1.65* Р е ш е н и е. Для упрощения расчета предположим, что че¬
рез змеевик прошел 1 моль газа. Работа, совершенная газом, равна А =
= P2V2 — P\Vi = Й(Т2 - Ti). Приращение его внутренней энергии U2 - U\ =
= Су(Т2 — Т\). Тепло, полученное газом, Q = Щ — U\ + А. Подставляя сюда
выражение для U2 — Pi и А, найдем, что тепло Q = (Су + Я)(Т2 — Т\), или
Q = Ср(Т2 — Т\), так как Су + R = Ср. Отсюда ясно, что в данном опыте
измеряют теплоемкость Ср.
1.66. Т = 2л. / — В предельном случае, когда l\) = 0, Т = 2л
у Mg + СоЬ
т. е. период колебаний совпадает с периодом колебаний математического ма¬
ятника длиной i0.
1.67. Г = 2n^J — g ■ Формула верна и в том случае, когда у за¬
висит от температуры, так как для ее получения используется уравнение
адиабаты в дифференциальной форме. В предельном случае, когда Рц = О,
Т = 2я
1 68 — 271 / М
'Т~ S]j Po(y1/V1+y2/V2)'
1.69* Р е ш е н и е. Рассмотрим четыре состояния газа:
1) По,По,Т0; 2)РЬП,Т;
3) Pi,Hi,То; 4)Р2,П2,Т2.
Из первого состояния во второе, а также из третьего в четвертое газ пере¬
ходит адиабатическим сжатием, а потому
PqVq = Р!ПТ, РгП/ = Р2П2т.
В первом и третьем состояниях температуры газа одинаковы. Следовательно,
Р0П0 = P\V1. Работа двухступенчатого компрессора
ЗГ’ЧЗГ’'’-’
А =
РоП0
-- 1
Она имеет минимум при Р = л/ЛэЯг- Минимальная работа:
^Imin —
2Р() П)
У — 1
(у-1)/2у
475
Работа одноступенчатого компрессора при тех же начальном и конечном дав¬
лениях:
Аг
РоУо
у - 1
ii
р0
Т-1
-1 .
Следовательно,
^min — 2А\
Ei
Ро
(у —l)/2y
+ 1
1
Для гелия у = 5/3, Ат-т = 0,515Ль для воздуха у = 7/5, Лт;п = 0,64Ль
1.70. Vi = WoV2\
. 2P0V0
А1 ~ Г
У - 1
Vo
v2
(y-l)/2
+ 1 )
2Ai
Vo
V2
(T-l)/2
+ 1
1
Для аргона Лт;п = 0,42.4i; для азота Amin = 0,62Ль
1.71. Р е ш е н и е. При переходе из начального состояния (объем Vi,
температура 7\) в конечное (объем V2, температура Т2) внешнее давление
совершает над газом работу Л = Р2(П1 — V2), которая идет на приращение
внутренней энергии f/2 - U\ = Су(Т2 — ГД. Применяя уравнение Клапейро¬
на PV = RT, а также соотношение Майера Ср - Су = R, после несложных
преобразований получим
Т2 =
1 _i_ У ~ 1 Р* ~ Pl
у Pi
Ту
При квазистатическом адиабатическом процессе
ТгКВСТ
2
п
Ei
Pi
(y-l)/y
В первом случае с изменением Р2 температура Т2 меняется линейно, а во вто¬
ром экспоненциально, причем в бесконечно малой окрестности точки Pi оба
изменения идут одинаково быстро. Отсюда следует, что Т2КВСТ > Т2, если Р2 —
- Pi > 0, и Т2КВСТ < Т2, если Р2 — Pi < 0. Значит, повышение температуры при
внезапном адиабатическом сжатии и понижение при внезапном адиабатиче¬
ском расширении меньше соответствующих величин при квазистатическом
адиабатическом процессе.
1.72. Т = 2я
\
(Ро + Pgl)— + 2рg
•Го
= 0,11 с, где у =
показатель
адиабаты, р = 13,6 г/см3 — плотность ртути.
-1
« 0,01 см, где Я = 76 см рт. ст.
1.73. |Дж| = (1 + SoH
V
1.74.
Р
(Т- !)
т -—-, где Р = У) Pi — давление смеси газов.
^ (У. - 1)
476
1.75. Т = 300 К.
1.76. AU = (т\ср1 + m,2Cp2)At/Y = 1,26 кДж.
1.77. Р = |р0 М + ос^У где Ро — начальное давление смеси, а — ко¬
эффициент объемного расширения.
178 п— R ln(f>1/f>°) ■ д- пуДТр (
Су 1п(Тмах/Т0)
При Хма
у - 1
Т0
То А —>уДТо1п—где у — число молей смеси газов.
Ро
27,
1.79. су = ^R = 1,68 кал/(г • К) « 7,0 Дж/(г ■ К).
1.80. сР = « 0,75 кал/(г • К) « 3,14 Дж/(г • К).
loo
1.81. Су= (2 Cvi~ 2Су2)а+ Су г = 5,15 кал/(моль • К)« 21,5 ДжДмоль ■ К).
1.82. Р « 5,3 • 106 Па.
4ДСР - 1R
1.83. ос -
Зй
■ 0,5.
1.85. Q = 3,37 кДж.
1.86. АТ= -4 = -5,05 К.
IX
1.87. Т:
Т,
Д2
= 246 К.
1.88. А = (СУ1 + Су2)Т0
1 »9 — =
Yi In {I02/I2)
2 R
Су 1 + Су 2 _ 1
V)
1.90. Т
<ДДр + Aj)
8ттйрг3
10s К; Р =
4р RT
10й атм, где До и Дт
Др + Дт
атомные массы дейтрона и тритона соответственно.
4™RT з
1.91. £ = — г « 0,98 Дж, где Дц — атомная масса дейтерия.
Др
1.92. Рад = уР = уйТ-
1.93rf§p Ла
у\дР)т
477
Решение. Из известного выражения для разности молярных теплоем¬
костей однородного изотропного вещества
Ср — Су
9V
дТ
р
следует, что
bQ-c'"CT+wmrdV-
Для адиабатического процесса dQ = 0. Поэтому
Подставляя сюда
dTan +
У ~ 1
О9v/dT)P
dVan
= 0.
dTaa
дТ
dV
dVад +
P
дТ
дР
dPan,
V
получим
Сравнивая это с
ЗИЛ __1 (дТ\ fdV\
дР)а д“ У\дР)Лдт)р-
__(дТ\ fdV\
) т V / у V ) р
находим искомый результат.
1.94Г Р е ш е н и е. Рассматривая внутреннюю энергию U как функцию
Р и V, напишем
dU =
dt/
dV
dV +
Считая же ее функцией Т и Р, получим
dU
дР
dP.
v
(8U
\дР
v
дЦ
дТ
v
дТ
дР
= Су
v
дТ
дР
v
Введем энтальпию I — U + PV. Тогда
(dU\ _fd(I-PV)\
\dv)p-\ dV )р
dl_
av
- p.
p
Далее,
Следовательно,
478
dU =
Cp
dT
dV
- P
p
dV + Cv
dT_
дР
dP.
v
Так как dU — полный дифференциал, то
д
гдТ\
д
( ОТ \
ар
Ср
_ 8V
Су
KdPjy.
Выполнив дифференцирование, получим требуемое соотношение.
дСу \ п ( дСр \
' v
1.95. СР - Cv = R + V
dV
дР
i пс* 'г CyTi + P2Vi , RT2
!.96. 72 = ^ 'Y>=-p~-
Решение. Тепло, полученное газом при адиабатическом расширении
или сжатии, равно нулю. Работа, совершенная газом, А = P2AV, поэтому
AU + P'lAV = 0. Так как U = СуТ, то отсюда находим
Cv(T2-Tl) + P2(V2~V1)^0,
или
Cy(T2-T1)+RT2 = P2V1,
откуда и следует ответ.
1.97Г Р е ш е н и е. Используя решение предыдущей задачи, находим
CVT2 + P\V2 .. ЯТ3
= с; ’ Уз = -рГ-
С помощью уравнения Клапейрона PV = RT и соотношения Майера
Ср — Су = R выражение для Т3 нетрудно преобразовать к виду
Т3 = Тх +
Су V1(P2 - Р1)2
Cl Р2
Отсюда видно, что в результате обоих адиабатических процессов темпе¬
ратура, а с ней и объем газа всегда возрастают. Если давление меняется
мало, то из полученных формул следует, что температура и объем меняют¬
ся на бесконечно малые величины второго порядка. В первом порядке они
остаются неизменными.
р, - р,
1.99. Т2 — Т\ — и 2,4 К, где р и с — соответственно плотность и
рс
удельная теплоемкость воды.
1.100. P2 = P1(Ya\ =Pj . 217/15 = 2,19Pi.
/у \ га~! /1 \ -V6
1.101. Т2 = тЛ£М = ГЛ±) =1,2ТЬ
1.102. С = 2,1 R (определяется это из соображений размерностей в уравне¬
нии политропы); Су{Т) = С - R + (3Т; Су(Т0) = 1,72R = 14,3 Дж/(К ■ моль).
1.103. С = 3,48 R (определяется это из соображений размерностей в уравне¬
нии политропы); Су(Т) = С-2Я-аТ2; Су(Т0) = 2,12Я = 17,6 Дж/(К ■ моль).
479
§ 2. Скорость звука. Истечение газов
2.1. Av:
2.2. нзв ~ 1260 м/с
2.3. у = 1,41.
^ДГ«0,61 м/с.
2.4. нзв —
уВТ
где р — средняя молярная масса, а у — показатель
адиабаты смеси.
•VI Pi + "У2 02 + • • •.
•VI +^2 +
■VlCpi + ~У2Ср2 + . ■ ■
■VlCvi + 'V2CV2 + • ■ •
2.Б. Рзв —
лорода.
15ЯТ
Ро
; 3 • 107 см/с = 300 км/с, где р0 — атомн. масса кис-
2.G. Аузв/Узв — 4,5/о.
2.7. Т = = 136 К.
УНеЦвоз
2.8. Увеличатся в 2,86 раза.
2.9. Надо рассмотреть массу лавины М, содержащую 1 моль воздуха:
М « рУвоз———. где VB03 — молярный объем воздуха.
Рз - р
^зв —
дР
др
2.10. Т2 = Ti
= 460
2.11. Т2 = Тг
ргг
= 193 К; Ру = Р2
2 СР ~‘\Т2,
лярная масса, Ср — молярная теплоемкость, Р2 — атмосферное давление.
ТА у-1
■ 3,4 атм, где р — мо-
2.12. Г2
■Г, [ ^
1/4
: 400 К; v =
8RT
1/4'
860 м/с.
2-'3-ТТ“
v/v° яа 22, где но = « 2,58 км/с.
2.14. н= J-CpTfa 1,4 км/с, где р — средняя молярная масса, а Ср
V и
средняя молярная теплоемкость смеси.
2.15. Тк = Т0
\ Я/CV
"Vx \
(5)
= 278 К.
480
2.16. тгк =
куТ0
: 7,9 • 1018 см“3.
/ 2 С Т
2.17. v=J——. Указанная максимальная скорость достигается при
адиабатическом истечении газа в вакуум (или практически, когда Р/Ро » 1,
где Р — давление газа в баллоне, a Pq — наружное давление).
2.18. v — г^зв
Г
2.19!!' Решение. В системе отсчета, в которой тело покоится, течение
газа можно считать стационарным. Уравнение Бернулли в этой системе запи¬
шем в виде срТ + v2/2 = const. Температура максимальна в лобовой точке,
где v = 0. Она равна
т{1 + ^)
ИЛИ
Ттах = Т|1 + 1м2(у-1)
где М = v/v3B — число Маха (v3B — скорость звука).
у _
1
' атм, где М — число Маха.
2.20. Р = Рв ^1 + у 1 w 0,6 ;
2.21. L « 22 км.
2.22. Т0 = Т ( 1 + Ьт1м2 ) « 425 К, где М - число Маха;
Ро
-Кт
\ т/(т-1)
1 « 3,4 атм.
Рл УтЛу/(у~1)
2.23. Q- = ( ii ) ^ 2,05.
Р2 \Т2)
2.24. а = 0,2 находим из уравнения
«зв \ _ (1 + 3«/7)(1 + а)
^звО
1 Н- а/5
§3. Циклы. Расчет работы, внутренней энергии,
тепловых эффектов и КПД
3.1. Выгоднее понижать температуру холодильника.
3.2. Q2
3.3. Qi
л
RTi
-А = 15 кДж.
In
у—1 ‘"T1V7
Qi -Q2 = 780 Дж
— =3110 Дж; Q2 =
rt2
In
У-l TiV7
T->v,y~l
2 2 r = 2330 Дж;
481
-1
3.4. А =
Qa(Ti - Та)
Т2
= 418 Дж.
3.5. л = (Ti - Т2)
, где У| > Т2, Pi > Р2
о е \Y — -ЧУ-ч ~ Ki/
Л (у - 1)Т! ln(Vi/V2) + № - Г2)
(у-1)(Г1-Г2)1п(Р1/1/2)
, где у = Cp/Cv-
3.7. Л12 = Р(Т2 - ТО; Qi2 = СР(Т2 - Ti);
Л23 = 0; Q23 = Cv(Ti - Г2) < 0;
Аи = Qsi = ЯГ! HV1/V2) = PTi ln(Ti/T2) < 0;
= Д(Г2 -TQ + PTiln(Ti/T2)
Л Cp(T2-Ti)
3.8. Q12 = CV(T2 - Ti); Q23 = 0; Q31 = CVTX ln(T2/Ti);
Ql2 = Cp g— (Г2-ГО;
Q23 = Cv(VTm - r2); Q31 = Cp(Ti - VI?ZS) .
3.10. л = 1 - г2/Г[.
3.11. Л12 = Q12 = PTi ln(V2/Vi); Л23 = (Cv - CoKTi - T2);
Q23 = Co{T2 — Ti); Л34 = Q34 = —PT2ln(V3/V4);
An = (Cv - C0)(T2 - TO; O41 = CoiTi - T2);
P(Ti - T2)ln(V2/Vi)
Л PTi ln(Vi/V2) + Co(T2 - D ■
3.12. л « 13%.
3.13. л « 25%.
3.14. л « 50%.
Г у + 1
2y
(Ъ) г _!
у + 1
\Pj
3.17. л = g(3 - 2In2) = 0,18.
3.18. m = 0,2 кг/(кВт-ч).
3.9. л = 1 - 2
Cp + CV(Ti — Га)
Cy(\/T\T2 — T2) + Cp(Ti — v/TiTa)
3.19. A = APxVi ln2-
-40 Дж; л =
482
3.20. А = cBmB(ti — t2)
4 - 61n2
(У - 1)Ь
y-i
1 > = 21 кДж.
3.21. т|
123
= —0,144%. Отрицательный КПД не имеет смысла,
но знак «минус» говорит об отрицательной «полезной работе», т. е. данное
устройство не тепловая машина, а, скорее, «утилизатор внешней работы».
3.22. A is =
ГП\
2ос.
Д(ос2 - 1)
2 схСу
= 935 Дж, где ОС :
14
Vi
= 2.
3.23. л =
1 + 21п2
i 0,04.
т2д
cm il'i
61 + 21n2
3.24. А « 600 кДж; тЛЬда = 4,86 кг.
3.25. Атах = cmi (Т\ ~ Т) — qm2 = 62 кДж; Т = Т\ ехр
где с — удельная теплоемкость воды.
3.26. ^4шах — Ami — cm2(T — Т2) = 480 кДж; Г = Г2ехр ^ mi^, ^
где с — удельная теплоемкость воды.
о 07 МсТо , Т2
3.27. тл = In. — w 8,2 кг.
9 71!
3.28. у и 0,094 моль; 4 и 1,62 кДж.
ГТ\ -Т2
: 278 К,
315 К,
3.29. iVT.„. = ЛИ
Ti
i 67 Вт.
3.30. ДАТ = = Ю,Т Вт.
i 1
3.31. На 20%.
3.32. t =
3.33. А = yq
5 pVAT
2 ТВЛ1
Т
1-ъ
ТБ
■ 76 с.
Т0
1) +уСв[Т1п^-Т + Т0
где q — молярная теп¬
лота плавления льда, Св — молярная теплоемкость воды.
3.34. А « 3 • 1016 Дж.
3.35. N « 6 ■ 106 Вт/км2.
1
ДАТ)2
3.36. Д1 = - pchLu-
■ 3 • 10 кВт, где рис— плотность и удельная
теплоемкость воды соответственно.
3.37. A=yq — 1^ + уСв ^7'1и щ- - Т + Т0^ , где q — молярная теп¬
лота плавления льда, Св — молярная теплоемкость воды.
3.38. Т = у/ТЩ = 500 К; Nmilx = 225 кВт.
483
3.39. Т = = 400 К; AW = |(\/7Т - Vbf ~ 100 кВт.
3.40. S ss 0,023Д (руб), где S — стоимость изготовления 1 кг льда, a R —
текущая стоимость 1 кВт ■ ч электрической энергии.
3.41? Р е ш е н и е. Возьмем на диаграмме Р, V (рис. 477) две беско¬
нечно близкие изотермы 1-2 и 3-4 и две бесконечно близкие адиабаты
2-3 и 4-1 и применим к циклу 1-2-3-4 теорему Карно. Тепло Q\, полу¬
ченное системой на изотерме 1-2, равно Q\ = А\ + ДU, где А\ = PAV —
работа, совершенная системой на изотерме 1-2, a AU = ^ ~ из-
менение внутренней энергии на той же изотерме. Работа цикла изобразит¬
ся площадью 1-2-3-4. С точностью до величин высшего порядка малости
при вычислении этой площади фигуру 1-2-3-4
можно заменить параллелограммом. Его площадь,
очевидно, равна площади параллелограмма 1-2-
5-6, т.е. А = APAV= (j^pj ATAV, где ДТ =
= Ti —Т2. По теореме Карно A/Qi = АТ/Т\. Под¬
ставляя сюда выражения для А и Qi, получим
первую из формул, которые надо доказать. Вторая
формула получается из первой дифференцировани¬
ем по Т при постоянном V.
Рис. 477 F
3.42? Р е ш е н и е. Перепишем для удоб¬
ства первое начало термодинамики 6Q = dU + PdV
в виде 6Q = dl — VdP. Затем возьмем на PV-
диаграмме (рис. 477) две бесконечно близкие изотермы 1-2 и 3-4 и две
бесконечно близкие адиабаты 2-3 и 4-1 и применим к циклу 1-2-3-4 тео¬
рему Карно. Тепло Qi, полученное системой на изотерме 1-2, равно
Qi=h-h~ V(P2 - Pi).
Так как изменение энтальпии I2 — h происходит по изотерме, то
Q1
Ё1
дР
[P2-Pl).
Работа цикла А изобразится площадью 1-2-3-4. С точностью до бесконечно
малых высшего порядка фигура 1-2-3-4 может считаться параллелограм¬
мом. Площадь этого параллелограмма равна площади параллелограмма 1-2-
5-6. Последняя в свою очередь равна длине основания 6-1, умноженной на
высоту (V2 — V)). Поскольку точкам / и 6 соответствуют одинаковые объе¬
мы, но разные температуры, длина основания 6-1 равна
Поэтому для работы цикла получаем
дР
дТ
№ - Та).
v
л=(§?) № - т2)№ - Vi),
484
или, воспользовавшись тождеством
8V\ (дР\
дт)р{ду)т
По теореме Карно A/Q\ = (Т) - Ti)!T\. Подставляя сюда значения для А и
Qi, получим первую из доказываемых формул. Вторая получается из первой
дифференцированием по Р, так как СР =
3.43. tx = 26 °С.
3.44. 1Х=0°С.
3.45. А = PoVo(-lna) = 12,4 кДж.
3.46. ^ = (b:™zb»A2 3 = ™ « 1,78.
■Al \ 1ком — iyjjl ) У
3.47. ф =4.
3.48. VP = 6,45 • 105 Дж/сут = 7,5 Вт; тв = 1,36 кг/сут.
3.49. Лтах = mq ( ~-о ~ 1J = 2,7 ■ 1014 Дж; тв = 5,7 • 108 кг.
3.50. л = 1 - ( ц
у 1
= 0,412.
3.51. л = 1
- 1
уеТ-1 (|3 — 1)
3
3.52. Лтах = - Vn
§4. Энтропия. Обратимые и необратимые процессы
4.If Q и 20000 ккал/кг.
Решение. Тепло, отдаваемое двигателем при его работе воде отопи¬
тельной системы (холодильнику), равно
п' ^2
Q =qYi.
Работа двигателя
A = q
Тг -Т2
7\
расходуется на приведение в действие холодильной машины. Последняя бе¬
рет от холодильника (грунтовая вода) тепло Q3 и передает нагревателю (вода
485
отопительной системы) тепло Q". При этом
Q" = Q" - Оз = = А,
-*3 J- 2
Q"=A;
'Т2-Т3 q~ 7\ Т2-Т3'
Полное количество тепла, получаемое отапливаемым помещением, равно
Тх - Т2 Т2
Q — Q + Q
" - « 20000 ккал/кг.
Jl(i2 ~ i з)
График зависимости величины Q/q от температуры в отопительной системе
приведен на рис. 478.
Другой (более общий) метод решения задачи основан на неравенстве
Клаузиуса.
4.2. 1) Охладится. 2) Нагреется.
Ответ следует из тождества
(дТ\ fdV\
= — I ^ I I -qp I , если учесть условия ста¬
бильности физически однородного и изотропного
вещества.
4.3? Решение. Запишем неравенство Кла¬
узиуса в виде
Рис. 478
/f
где 6Qi — элементарное тепло, получаемое ма¬
шиной в круговом процессе от нагревателей, а
6Q2 — элементарное тепло, отдаваемое холодильникам. (Величины 6Q1 и
6Q2 существенно положительны.) Если вместо Т\ поставить максимальную,
а вместо Т2 — минимальную температуру, то неравенство только усилится.
Значит
т1 /6Ql
1
Tmin
J 6Q2 < 0,
ИЛИ
Qi
Q2
<0,
^max
Tmin
где Qi — полное количество тепла, полученное машиной от нагревателей,
a Q2 — полное количество тепла, отданное холодильникам. Из полученного
неравенства следует
Ql - Q2 ^ Дпах “ Тт,п
Ql Тщах
что и требовалось доказать.
4.4. Работа и количество тепла численно равны площади цикла на диа¬
грамме (прямоугольник).
486
4.7. А = С
7i In jr — (Ti — T3)
л о _ _ Ti - Т2 . _ Ti - Та
. . л 2Ti - л Tl + Та •
Ti - Та
4.9. Л = Qi
4.10. л = 1 -
Ti
а— 1
alnot
4.11. Л = СР (т3 - Ti
Ti In
Т3
4.12. Л = Ci(2V7^ - Ti - Т2).
4.13!Г Решение. Пусть 1-3-4-2 схематиче¬
ски изображает первый переход, а 1-5-2 — второй
(рис. 479). Применяя к ним неравенство Клаузиуса
и учитывая, что на адиабатах 1-3 и 4-2 система
тепла не получает, напишем
/¥-/
152 1342
5Q
Т
Qo
То’
где Qo — тепло, полученное на изотерме 3-4. По
условию Т > То и 6Q > 0, а поэтому
/*£Q 7 5Q = jQ
J Т ^ J Т0 То'
152 152
где Q — тепло, полученное на пути 1-5-2. Комбинируя последнее неравен¬
ство с предыдущим равенством, получаем Q > Qo.
рЬ/у _ 1
4.15. л = 1 - ^ = 0,0254.
4.16. л = 1
4.17. л = 1
4.18. л
еь — 1
У{а - 1)
alna(y — 1) + а — 1
In а а — 1
а — 1
Т Ь(4/3)
1п(3/2)
2
: 0,29.
0,1.
4.19. % = 181.
Л
4.20. ^ = 2570.
Л
4.21. л = 1
2Ci
Qi + Q2
: 0,012.
г 0,43.
487
4.22. С =
Л = 1 —
4.23. ц = 1-
1п(С та х/Cmin)
2 (Сп
= 39,8 Дж/(моль ■ К);
.ах Cm in )
(Стах Ст,п) 1п(Стах/Ст,п)
2 е“ - 1 -2
0,00523.
4.24. АТ!
а еа + 1
8 К.
а‘
12
; 0,52%.
Указание. Рассматривать цепь как идеальную тепловую машину с
холодильником — льдом и нагревателем — резервуаром комнатной темпера¬
туры.
4.25. Qca = = -700 Дж.
4.26. л = 1 - 1п2.
4.27? Р е ш е н и е. Пусть во всех точках изотермы
= 0, и на изотерме
v
&V
дТ
= 0. Тогда
р
dV = -PdV,
а поэтому 6Q = dU + PtfP = 0. Значит изотерма во всех точках должна сов¬
падать с адиабатой.
4.28. 1) Если бы коэффициент теплового расширения обращался в нуль
на всем протяжении изотермы, то она совпадала бы с адиабатой, и цикл Кар¬
но между температурой 4 °С и какой-либо другой температурой осуществить
было бы нельзя. 2) На самом деле для воды коэффициент теплового расши¬
рения обращается в нуль только в одной точке изотермы, так что условия
задачи осуществить нельзя.
4.29. Qmax — 12,5 кДж; ДРхол = —ДРнагр — —47,6 Дж/К.
4.32.* А = (С1Г10 + С2Г20) - (Ci + С2)Г; Тс'+с2 = Т$Т%.
Решение. Максимальная работа получается тогда, когда машина рабо¬
тает последовательно повторяющимися бесконечно малыми циклами Карно.
Пусть в результате одного из таких циклов первое тело отдало тепло 6Qi = —
-CidTi, а второе 6Q2 = —CidT? (Т\ и 7г означают переменные температуры
тел). Произведенная работа равна ЬА = 6Q1 + 6Q2, причем, как известно,
сумма приведенных теплот равна нулю
Интегрируя это соотношение с учетом начальных условий, получим
rpC\ rj-iC/2 mCl гр(~'2
М J2 — J10 J20 *
Окончательная температура Т найдется из условия Т\ = Т2 = Т. Оно дает
грС\+С2 грС\грС/2 (
1 — J10 J20 • ^
Максимальная работа, которую может совершить система,
Она равна убыли внутренней энергии системы.
4.33Г Р е ш е н и е. Записав (*) (см. решение предыдущей задачи) в виде
Т1+Ci/C2 =т20Т^/С2,
в пределе С2 —► оо получим Т = Т20. Этот результат непосредственно очеви¬
ден, поскольку С2 = оо. Элементарная работа
Работа А меньше убыли внутренней энергии нагретого тела СДТщ -Т2о).
Часть внутренней энергии тело передает окружающей среде в виде тепла.
4.34. Т = Тю, А = С2[Т20 - Тю + Ti0ln(Tio/T2o)]. Нетрудно проверить,
что А > 0.
4.35. Т!тах = 800 К; Т2 = Т3 = 300 К.
т т
Тю Т20
ЬА = 6Q1 + 6Q2 = (1 - T2/Ti)6Qi = -Ci(l - T20/Ti)rfTi.
Отсюда интегрированием находим
А = Ci[Tio — Т20 — T2ob(Tio/T2o)].
4.36. 4min = « -1560 Дж.
min —
4.37. Т = Tl + Г2 = 450 К; А = 0;
489
4.41. AU = \P1V1 (д - 1 j = -117 кал;
0 = 1Р‘',1(Й“1) = ‘™“М:
as = ~ lln Vi = ~0,20 кал/к'
4.42.
§2 — Si = ^(5vi + 3"V2)ln
R,
5viTi + 3v2 Г'2
5л/1 + 3"V2
— — (5vi InTi + S'vgln^h) + R(~vl + у2)1п2 = 0,16 кал/ °C,
где "vi = 0,0402 — число молей водорода, 4% — 0,0948 — число молей гелия.
4.43Г А 4 1,8 кДж.
Решение. Для элементарного процесса TdS ^ bQ = dU + 6А. При изо¬
термическом процессе внутренняя энергия идеального газа U не меняется.
Следовательно, 6А С TdS. Отсюда
А ^ T(S2 -Si) = RT
-vi ln
V1 + V2
Vi
+ ~V2 In
Ci +C2
C2
= "v-RTln
(Ci + C2)2
cc2
1,8 кДж.
CiC2
,(Vi + C2)2
1/5
4.44. Конечная температура T2 = Ti
максимальная работа Лтах = (vi + "V2)CV(Ti - Т2) = 1,55 кДж.
{п+ I)2
Ап
- 0,754Ti = 226 К;
4.45. AS = Д1п -
4.46. AS — Су In
(Tt + T2)2 n
TiT2 (n + l)2
An
R/Cv\
(n+l)2J ]'
4.47. S2 - Si = ^ = 12,65 Дж/К.
4.48. S2 — Si = "v
Cvln^ + Я1пЦ
Ti , y-1 / Ci
, где — = 1 + I 1 -
2 V C2
(5 T2
-ln^ + Inn
= 1,8 кал/°С.
4.49.AS^(=f/.
u.
4.50. AS = R
Pi-P2
Po '
4.51. T2 = 2Ti = 400 K; AS = 0.
490
4.52. S2 - Si w (Cf, - C$) T° Tl - q
Ti
A- = —20,0 Дж/(К ■ моль).
J- о
4.53. S2 — Si = Мер
4.56. Д[/ = [/ - U0 =
AS = S - So
Г-Tp
To
ln
! 1,5 Дж/К.
M
CyT0(2y~1 - 1);
M
Су(у — 1)1п2, где у = Ср/Су.
4.57. AS = дМьЙ, где ц — молярная масса газа.
М- Vi
4.58. AU = U2 - Ui =
PC”
у - 1 V К”-1
v Vn~1
AS = S2 - Si = (nCv — Cp) ln(Vi/V2)-
В частности, Д[/ = —544,5 кал/моль, AS w -2,75 кал/(моль • К) — система
не поглощает, а отдает тепло, Q = -363 кал/моль.
4.59. Л = -2РС1п2.
4.60. AS = 63 кал/К.
4.61. AS = me (ln^ + « 3,3 кал/К.
а(т)
4.62. s = cplnT-|—+ const, где сР — удельная теплоемкость жид¬
кости, А(Т) — удельная теплота парообразования при температуре Т, —
отношение массы пара ко всей массе системы.
4.63? Решение. Тела А и В могут обмениваться внутренней энергией
путем теплообмена и производить работу друг над другом. Так как они по¬
мещены в жесткую адиабатическую оболочку, то изменения их внутренних
энергий в элементарном процессе связаны соотношением dU^ = —dUp- В си¬
лу равенства действия и противодействия 6Лд = — ЬАр, где 6Лд ~~ работа
тела А над телом В, а ЬАр — работа тела В над телом А. Следовательно,
(dU + ЬА)а = ~(dU + 6A)B,
или
Щл — ~bQp.
Количество тепла, полученное телом А, равно количеству тепла, отданному
телом В. Согласно постулату Клаузиуса, в системе самопроизвольно могут
проходить лишь такие процессы, в которых тепло переходит от тела, более
нагретого, к телу, менее нагретому. Отсюда следует
bQ /1 < 0, bQp > О,
так как Тд > Тр. Применяя к каждому из тел А и В неравенство Клаузиуса,
получим
ASfl >
/
SQb
Тв '
491
Складывая эти неравенства и принимая во внимание, что SU + Sb = S, най¬
дем
AS>
/Ф
+
т7з
ТА
>0.
ГГ
4.64. AS — mcln—где m
ii
масса вещества.
теплоемкость одного тела.
4.65. Д5 = СР1п^-+^)а. где СР
4.66. Д5 = -j In2 « -2,88 Дж/К.
4.67. AS = 2Rln2 « 11,5 Дж/К.
4.68. Д5 = Л1п2; АТ = (г'*'-1- 1)Т0 и 0,32То.
4.69. AS = ^Д1п ^ + 2Д1п2; если газы одинаковые, второе ела-
2 4Tii2
гаемое отсутствует.
(р I р \ 2
4.70. Д5 = Д1п v лг> г, + 2Р1п2; если газы одинаковые, второе слага-
4Р1Р2
емое отсутствует.
4.71. ДТшах = 0,33Ti; Д5тах = 1,25Я = 10,4 Дж/К. Цикл в координатах
(Т,5) изображен на рис. 480.
изображен на рис. 481.
4.73. л = 1-Ш, где Q! = |(Т22 - Т?); (?2 = ^(Tf/2 - Т23/2); Т2 =
= 4Ti; а(Т2 - Ti) = 2|3(%/72 - v^T); Л = 1/15.
4.74. л =
1-£
Ti
S3-S2
s3 - Si
(-Й)
S3
1 S3
4.75. Д5-5д1п|
-Si V TJ
где
^Д = 2,5 Дж/К.
S3-S2
S3-S1
0,5.
492
4.76. Тк =
пу-
0,48Д = 4 Дж/К.
1 + п(у - 1)
У
= 364 К, где у — ; AS = Cv In
Су
4.77Г Amax = ^Nk
Т1+П-2^т(.(
1/3'
Решение. Максимальная работа в адиабатически изолированной си¬
стеме может быть получена в изоэнтропном процессе. При этом ее величина,
очевидно, равна разности внутренних энергий системы Рнач - Икон.
Обозначив начальное и конечное давления в системе как Р0 и Р, из
уравнений состояния идеального газа определим, что
Р =
2 -vKT
2 Т
Vi + V2 Ti + Т2
Ро-
Начальная энтропия системы
So = y(CplnTi — Д1пРо + So) +у(СР1пТ2 — PlnPo + So).
Конечная энтропия (после совершения работы)
S = 2\(СР1пТ - RlnP + So).
В изоэнтропном процессе S = So, откуда
CP\oTiT2 + 2Д1п
2 Т
Ti +т2
= 2СР\пТ.
Для идеального газа Ср = -R, поэтому
Т =
4(Т1Г2)5/2]1/з_ 4TiT2
L(T!+T2)2j V 1 2V(T1+r2)2
1/3
Внутренняя энергия системы до и после процесса
Ро = zNk(Ti + Т2),
U = 2 ■ ^NkT = 3Nk
4Ti Т2
1/3
L (/1 +72)2j
Разность внутренних энергий Ро — Р дает нам ответ задачи.
4.78. Тх = 295,5 К (tx « 22,5 °С); А = 660 кДж.
4.79. m2 = 3,49 кг льда; А = 634 кДж.
4.80. Т
4.81. g =
СР
СрТ0
цЯ
= 740 К, где — =п = 2.
rt/Ov р
(s)
R/Cv
1,54 м/с2, где — = п = 1,5.
Р
493
4-82. g =
2СрТ0 ао — о.
а о
24,9 м/с .
4.83. Т0 = ^| = 279 К.
у R
4.84? S(a) = In a — уЯ1пР(а); Д5 = ЗЯ In 2 + 1п~
Решение. Известная формула для изменения энтропии
= 20,1 Дж/К.
AS = y[Cvln^+CP\n^
г\ Vi
аТп
= Т0 1 +
Рис. 482
- 1
к данной задаче неприменима, поскольку
рассматриваемая система неоднородна по
температуре, а значит, неравновесна.
Пусть Я — длина цилиндра, a — пло¬
щадь основания, Лэ и То — давление и
температура газа при а = 1, когда в ци¬
линдре наблюдается равновесие. Обозна¬
чим через Р и Т давление и температуру
в отсутствие равновесия, т. е. при а / 1.
Разобьем объем рановесного цилин¬
дра на слои равной толщины, как пока¬
зано на рис. 482.
После нагрева верхнего торца цилин¬
дра до температуры аТо установится но¬
вое распределение температуры T(z) =
= Т0(1 + ocz), где a =
1
При этом верхние слои рас-
Н ) uv Я
ширятся, а нижние — сожмутся, поскольку общий объем не изменяется.
Границы слоев переползут на другие высоты (см. рис. 482). Установившееся
давление найдем из условия постоянства числа молекул:
N =
rndv= Г ?£ = £НГ-
J J кТ kToJ 1
dz
+ OLZ
Pa
kT0a
lna.
Приравнивая это выражению для числа молекул до нагрева одного из торцов
лт Д,Яст
N = получим установившееся давление
к! о
Р = Рс
а — 1
lna
Р т
Слой, перешедший на высоту г, теперь имеет объем dV=-^-— dVo =
Р То
—^-(1 + ocz)dVo, причем число молей газа в нем dv = dV.
а — 1 Л,!
494
Изменение энтропии этого слоя
dSCn = dv I Су In — + Д1п
J о
lna
a—1
lna
a — 1
(1+az)
(1 + olz)
dz.
= dv |cy ln(l+az) + Д1п
= ^ |cyln(l + olz) + Д1п
Изменение энтропии газа в цилиндре найдем суммированием по слоям:
1п(1 + olz)
A S=^r±±JcvHfl^±^ldz + RHf^
RTq lna ] J 1 + <xz J 1
КО о
+ OLZ
dz+
+
я
/г
*-1п = «
+ olz \ a—1) [ RTl
= v^lna + i?ln(^
При изменении а от значения а\ до а2 изменение энтропии равно
1паг ai — 1
ASai^a2 =v^ln J + Д1п
lnai аг — 1
При подстановке чисел ai = 2, аг = 4 получим
AS = wR {7- In 2 + In | \ « 20,1 Дж/К.
4.85. AS = ICP1^ = 14,4 Дж/К.
2 a i
§ 5. Термодинамические потенциалы
5.3. P = A(V)T + B(V), где A(V) и B(V) — произвольные функции объ¬
ема.
5.4. V = A(P)T + B(P), где А(Р) и В(Р) — произвольные функции дав¬
ления.
5.5. ^ = (д ЬР2 + | сР3 ) = -33,1 Дж;
р
AU = -Т J dP-A = -A- TolP - i |3TP2 = 11,9 Дж.
о р
495
5.6. Условие полного дифференциала для 6Л приводит к соотношению
= 0. Независимость работы А от пути интегрирования при наличии
этого соотношения следует уже из того, что Р не зависит от Т, а является
функцией только объема: Р = P(V).
5.12. ср — су = КТа2/р.
5.13. Для воды ср - cv —2 ДжДкг • К) яа 5 • 10~4 ккалДкг • К). Столь
ничтожная разница удельных теплоемкостей ср и су для воды объясня¬
ется малостью температурного коэффициента расширения а, обусловлен¬
ной тем, что коэффициент а при 4 °С обращается в минимум а = 0. Для
ртути сР - cv = 17 ДжДкг • К), су = 123 ДжДкг • К) и 0,0292 ккалДкг • К),
cp/cv = 1ДЗ.
5.147 Т2
dP.
Решение. При обратимом адиабатическом расширении остается посто¬
янной энтропия газа S. Рассматривая ее как функцию температуры и давле¬
ния, можно написать для элементарного обратимого процесса расширения:
Очевидно,
Кроме того,
Поэтому
496
AS =
as
ат
АТ +
р
as
дР
АР = 0.
т
dS\ _ 1 (TdS\ = 1 fdQ\ _ Ср
дт) р~ Т\ дТ ) р~ Т\дТ) р Т '
&V
дТ
АР = 0.
р
Отсюда для бесконечно малого процесса
АТ (00'\ Т
АР
дР
С,
оу_
ОТ
Для конечного процесса интегрированием получаем ответ.
’ 0,038 °С.
5.15. АТ = — АР
рсР
оГГ
5.16. АТ = —АР « -0,26 °С.
рсР
5.17. АТ =--^РТ
5.18. АТ ■.
с. рта'*
F ослТ
cpS
-0,003 К.
5.19. Ср - Cv = 15 Дж/(К • моль); AST
СР e>TAPs
5.20.
Cv (A V/V)s
0,03 К, где S — сечение проволоки.
0,1 Дж/К.
1,13.
5.21. Доказательство сводится к исследованию знака выражения для мз-
Тос
менения температуры dTg — yy-dVs, где а и р^ — соответственно ко-
Р тСу
эффициент объемного расширения и изотермический коэффициент сжатия.
5.22. А
РттР2 = 1,47 ■ IQ"3 Дж; Q = Р = -4,41 Дж.
2р
СР
5.23. yf- = 1,1; APS = 11 атм.
Су
5.24. АТ « —~7".Ар А/1, где сР
удельная теплоемкость воды, рм —
4 °С. Конечная температура воды и = 0,4 °С.
cpplAU
плотность воды при 4 °С, А1Ы
5.25* Р е ш е н и е. Пусть I, т, Т, S — длина, натяжение, температура и
энтропия жгута. Из этих четырех величин независимы только две, остальные
являются их функциями. Поэтому справедливо тождество
ОТ
01
m
S \ds/т
0S\
дт ) i
-1.
(*)
Из первого начала, записанного в виде d(U — TS) = —SdT + idl, следует
'dS\ ((От \ ( dl\ (атч
I и.пи I —— =
д1
' Г / I V'^/T \^Wl
Далее, так как Т, т, I связаны функциональным соотношением, то тожде¬
ственно
01\ (дТ'
dS Jr
дт
JS/т
Подставляя это в (*), получим
С (ОТ
Т Гг П
дт
81
ОТ
01
= -1,
497
где
Ci = Т ~ теплоемкость при постоянной длине. Она положительна
01
для всех тел: Ci > 0. Величина I — также положительна для всех тел.
\OtJt
Следовательно,
ОТ
01
< 0.
Т
По условию задачи для резинового жгута (01/ОТ)^ < 0, поэтому (ОТ/01)$ > 0.
Отсюда следует, что жгут нагреется, если его адиабатически удлинить.
5.27. ДTs = -0,04 К (вода охладилась!)
5-28-“--^(р?-р,)”4-7 10~4к":
fT =T|5S -Y^J^pP * 2,2 .10“10 Па-1;
(§)с^=2'ию’иа/к-
5.29. U = у
Е
тОЕ
ОТ
5.30. Р0 = ТаК «1,6- 109 Па.
Га21;2
5.31. -у = 1 + L^Lzss. ~ 152.
Ср
5
5.32. Ср = -R. (Идеальный газ.)
3
5.33. Су = ^ Я- (Идеальный газ.)
5.34. = ЗР = 3 • 105 Па.
\OV )т
5-35- (ж)т~^‘21о3л/к-
5.36. U = Фо(И) + 3ocT4V, где Фо(И) — свободная энергия при Т = 0.
5.37. ДФ = —ДТ1п2.
5.38. Q=fBl
5.39. Д5= ||(V2-Vi).
4 п
5.40. А = -aTi(T\ — T2)(V2 — V)), где V\ и V2 — наименьший и наиболь¬
ший объемы на изотерме Т).
5.41. t0 яз t^- и 107 лет.
I о
5.42. Cv = 12И1/4ИР3/4 = 8,4 ■ 104 эрг/К; Су = 8С"А.
498
5.43. Ср = оо; VTS = const.
5.44. ДФ w 10 Дж; AS « -0,67 Дж/К.
5.45. Aks 33,3 Дж; ДР s
Д7 « -33,3 Дж.
5.46* Решение.
! —14 мм рт. ст.; AV и 0,33 л; ДР « 0,03 Дж/К;
Су
= т(™
\дТ
Р = -
J_ fdV''
Vo \дТ у р
= -т( = 12 A(V)T3,
v
5Ф\
dv)T~~
1 \ат),
\дТ2 )
V
dUo „4 £>А
' dV dV’
1
AT3
ЬА
dV
V0 d2U0 rp4 d2 A
dV2
Vo (dP\
\dv)T
Отсюда и следует требуемый результат.
HSf) ~v
5.47. Т2 - Ti = / V у р dP.
J Ср
Pi
5.502" Р е ш е н и е. Для вычисления изменения энтропии газа заменим
реальный процесс Джоуля-Томсона квазистатическим изоэнтальпическим
процессом, переводящим систему в то же конечное состояние. Для такого
процесса dl = TdS + VdP = 0, а поэтому
dS\ V п
.др)г Т<0-
Так как давление в процессе Джоуля-Томсона понижается, то из получен¬
ного неравенства следует, что энтропия возрастает.
Pv — сАТ
5.51. х « % 2,6%, где v — объем единицы массы воды (удель-
д
ный объем).
5.52. АТ--
у осАТ
у-1 АР
Л
Та
РсР
АР и 0,12 К, где ср — удельная теплоемкость воды; |3Т =
! 2,2 • ИГ10 Па
5.53. Q12 = T\AS\2 = 2262 Дж, где ДР12 = ^(Ь2
АЬп
ь1)
Q23 = Сь(т3 - Ti) = -2200 Дж. Кроме того, ДР2з = CLln
Ti
v olEoAL\
ДРз! = 0;
CL]n[^) =aEoAL.
5.54. Q12 = -TiASn = -3,9 Дж; Q2з = CL{T3 - Tx) = 3,96 Дж, где
Др12 = a
L2-a .
L
2L0
La =
-1,3 • 10 2 Дж/К.
499
Кроме того, AS'i2 = C'bln ; CL In
1,3 • 10~2 Дж/К; T3 =
= 303 К.
5.57. «= -я~ = 1,4- 10“5 К-1.
4 А
5.58. а= = 1,4- 10'5 К”1.
16 А
5.59. Идеальный газ, А = Су.
5.60. Идеальный газ, А — Ср.
5.61. S = aT3V; Р = ^-аТ4, где а — некоторая постоянная, давление Р =
1 U ~
- —. Это — электромагнитное излучение.
5.62. S = осТ4 — давление электромагнитного излучения; U = ЗаTAV,
где а — некоторая постоянная.
5.65. С = оо, политропа — это изотерма (Тз =Т{).
5.66. С = оо, политропа — это изотерма (Тз = Т\).
5.67. Т = 3,7 • 103 К. Поскольку перемешивание во внешнем ядре проис¬
ходит быстро, то внешнее ядро можно рассматривать как адиабатическую
систему.
5.68. L — 1000 км. Поскольку перемешивание во внешнем ядре проис¬
ходит быстро, то внешнее ядро можно рассматривать как адиабатическую
систему.
5.69. v3B = .j—^— = 1,5 • 105 см/с. Табличное значение скорости звука в
V Р 0т
воде при 25 °С составляет 1497 м/с.
5.63. |3т = ~
5.70. v3B
^звО
180 м/с, где а = n-tV3 = 4,2 -10 3; v =
= — скорость звука в воздухе при 20°С; рВОз = = 1,2 кг/м3; рв
У \Х ril
= 103 кг/м3 — плотность воды.
500
у_
1490 м/с.
Су [&г)
5.71. Узв — \
\ рос
5.72. у = ~ = ~-(Z32)2Al = 1Д7 « 1,2.
0s т(Р2-р2)
5.73. я
5.74. л = 1
In а
а — 1
а — 1
а In а
5.75. U = Uq + (а — ЩТ\ I = Uq + аТ, где а = Ср.
5.76. U = Фо + сТ—с = Су; аи 6 — постоянные уравнения Ван-дер-
Ваальса.
§6. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса
6Л' Ркр 2762 ’ Ткр 27ЕЬ
. о,. ЕТКр
, ккр — об,
Ркр lip
Последнее отношение называется критическим коэффициентом. В действи¬
тельности критические коэффициенты для различных газов имеют несколько
разные значения и все они немного больше 8/3.
6.2. тт +
8
= зт-
6.3. Кр = 'If/'11’ = 128 см3, опыт дает 94 см3.
8Ркг
6.4. 6 = 38,6 см3/моль; а = 1,35 • 106 атм • см6/моль2.
6.5. ркр
VK
— — ®= о,189 г/см3. Опыт дает ркр = 0,32 г/см3.
ЗРИ,
6.6. Р = — = 16800 атм.
6.7. В критической точке
уравнения Дитеричи:
а
дР
dV
( д2Р\
= яттз- = 0. Отсюда для первого
т \ду2)т
Ркр 4е2Ь2 ’
Ткр — КР — 26; s — — — 3,695.
Для второго уравнения Дитеричи:
_ а __ 15а6
кр 4(46)Сз’ кр 4Л(46)5/3 ’
Цр = 46; s= ^=3,75.
Здесь е — основание натурального лорагифма.
6.8. ц = 2,48 г/моль.
501
6.9. Р и 71,6 атм; РИд ~ 97,9 атм.
V2(V-b)2
6.10. |3Т =
6.11. а =
RTV3 - 2a{V - b)2 '
V~b
TV0
1 -
2a(V -b)2~
RTV3
6.12* P e ш e н и e. Для простоты примем, что масса вещества равна еди¬
нице. Тогда удельные объемы жидкости и газа изобразятся длинами отрезков
NL и NG, а удельный объем вещества в двухфазном состоянии — длиной
отрезка NM. Если массы жидкости и газа равны соответственно тж и mr,
то Vm = \NM\ = mx\NL\ + mr\NG\. Искомое соотношение получится отсю¬
да, если принять во внимание, что тж + тг = 1.
6.13. Ср = оо. Достаточно заметить, что в указанной области изобары
совпадают с изотермами.
f дР\ ( д2Р\
6.14? Решение. В критической точке I — J =1 I =0. Поэто¬
му первый член разложения Тейлора в окрестности этой точки имеет вид
р-р- - lv - к')3 + (§?),/(Т-71-)-
Вычислив производные из уравнения Ван-дер-Ваальса и воспользовавшись
известными выражениями критических параметров через а и Ъ, получим
Вместо объема V введем плотность р = p/V, где р — молярная масса. Ис¬
пользовав еще уравнение гидростатики Р — Ркр = -pKpffft, получим в рас¬
сматриваемом приближении
Р ~ Ркр _ _2 з/g 4- (3/2)R(T — Гкр)
Ркр 3 у ЛТкр
Высота h отсчитывается от того уровня, где плотность вещества равна кри¬
тической, причем положительным считается направление вверх. В частности,
при Т = ТКр
Р- Ркр _ _ 2 J
rhoKp 3 у ДТкр
Вдали от критической точки газ можно считать идеальным. В этом случае
для относительного изменения плотности с высотой мы имели бы
^Р _ Pfffr
р RT'
При одинаковых температурах и относительных молекулярных массах эта
2\/б ( RT \
величина меньше предыдущей в ос = ——- I —- ) раз. Для воздуха (р =
о у [xgri J
= 28,8, ТкР = 132,5 К) при высоте h = 1 см а яз 8700, (р - ркр)/рКр « —1/100.
502
6.15. V
8Pkp^=2,96 cm3.
ЗЛТкрР
6.16. Плотность p допустима, если
Р
Ркр
1
3 з/ pgho з
4 V Ро С“ '
Указание. Воспользоваться тем, что вблизи критической точки изо-
>\JV l;:'4
терма Т и ТКр имеет вид Ркр
6.17. Т = 0,8Ткр « 373 К= 100 °С.
V»
6.18. х =
: 0,25.
6.19. Л =
= [±
J V2
л I 1 1
civ — а [
к Vn
— = гы Рг = ^
Уж Р
6.20. U — у (СуТ — где у — число молей, а постоянные Су и а
отнесены к одному молю.
2V - 2Ь 2а
V ~2Ъ V
6.21. A = 2RT\n-
6'22-дт“^№Ч)“6К-
6.23. Газ охладится. Его температура и давление будут:
Т = Т-
(К - К)2
Р' =
2RT'
4 а
6.24. Т’ -Т =
6.25. Т' ~Т =
2Су КККК + К) Vi + К — 26 (К + К)2
ау
2VCv
ay 7 1
0,0053 К, где у « 0,041 — число молей.
-0,235 К.
1 \ _ ЭЛТкрКр'у 7 1 1
ViJ~ 8 Cv VK2 Vi
6.26.Q = 0(i-lj|.
6.27. Q = %
XL
P +
р+#)т-Ь)}+а(^-^.)-
6.28. CP-CV =
R
2a(V - Ъ)2 '
1 -
RTV*
6.29. 5 =
, К -уЪ ,
i?ln ( 1 +
/
C^(T)
rfT + const
, где аддитивная по-
•V ) j Т
стоянная в квадратных скобках от числа частиц не зависит. Если тепло¬
емкость Су не зависит от температуры, то
S = y
i? In | ———- | + Су InT + const
503
ft. — 1
б.зо. t(v - ь)
6.32. A = 2CvTi
= const,, где n = 1 +
R
1 -
V7,
2b\
ti/Cv
+ 4e,i4
^v2 - 2b)
6.33. TCv/R(V - ft)exp[-fcT2/(27?)] = const.
6.34. S — 2ol\/T = const; TGv/R{V — ft)exp(—2oc\/T/R) = const.
6.35. CyT — = const; С = Су (1
V
6.36. Q = 2RTIn
RT у2
O' - 26) - 2b)
a(V - b)
-l
6.37. AS = (Cy - T?)ln(T2/Ti).
6.38. AS = i?ln aVi) ~ ab + bVl)AU
(V0-b)(a-V0AUy
6.39. AS = 2R\n^ и -16,6 Дж/(моль • К).
11
6.40. AS « -Д1п2
6.41. AS = Cy In ( 1
8^
6.42. Т =
а ЛЬ
21Wo ~ Vb'
3a
2Cy VqTq
+ Л1п
211, -ft
Vo - ft
: Л In 2
3a i?ft
+
4Vi,To 2 Vo "
„ . a
M+9ft
R '
6.43. P= ^(Pi +P2).
6.44. P2 =
R
2V2Cv
6.45. AS = .Rln
Cv
R
P10 + y2 ) (^1 - b)
3a
ill
1П\
6.46. AS = Cvln 1
T2l^i[l - V*p/(3Vi)]
a
: 26 Дж/К.
VoCyTo
+ _Rln2;
AU = CVTQ{2R/Gv - 1) - 2r/Cv
VO
6.47. AS i
Rb
RbT0
+ Л1п2; AU = CyTo{2R>Gv - 1) + 2R/Cv ^
Vq vq
6.48. — = .
Tm \V0V-bVo
V0V-bV\ R/Cv
< 1, t. e. газ Ван-дер-Ваальса охлаждает¬
ся сильнее.
R
6.49. Т = То ( ~ J R + Cv ; ТИд = Т.
504
6.50. С = -
Сь
1 +
2 а
PV2
6.51? Р е ш е н и е. Согласно первому началу термодинамики, теплота
испарения одного моля жидкости равна Л = U„ - 1!ж + А, где Un и иж —
внутренние энергии пара и жидкости, а А = P(V„ - V*) — работа против
постоянного внешнего давления. Величина Г/п — (/ж найдется из уравнения
которое дает
Таким образом,
<ЯЛ =т(дР
dv)т V дт
- р =
а
V*’
Uп Uж — а
1
К
Л = к,
Р--В-
VI
= Vn
RT
V, -b
-уж( RT ~ —)
V?) \УЖ - Ь Vi)
6.52. AS = RIn
6.53.
25
Vz
Vi
6.54.
6.55.
6.56.
6.57.
6.58.
6.59.
6.60.
6.61.
6.62.
C =
ДФ
Д/
/
1*3 В =
Pt .
Ps '
: 5R.
1,9 R.
i 1,2.
Cv
1 - In 2
An-
V b _ 2NAd3
v3B ~ V - b ~ V ~ V
-2,88 МДж.
, a i л — 4 bb
1 4 • 10 , t>3B
2aR
3|лЬСу
Cp_ _ fCp
cv ~ V Cv
+ gf& = 3+0’054"1-72-
б7тЬ / 3Mb
а У 2a
0,03RTV
■ 0,030 л2 • атм/моль .
Л =
Л =
R(T2 -Тг)1п^| И 21 Дж.
1 -
т\
1 и
с.
Су(Т2-Т,) V', //
у
1/ - ь
V
ид
зв •
505
6.63. n = PV
^P(V-b) -\2Pv(C^- + l
Cy
R
-1
6.64.
6.65.
6.66.
6.67.
6.68.
6.69.
6.70.
6.71.
n = i
Vi ~ b\
V2-b
Q = 1054 Дж.
bRT
R/Cv
2a
АТ
(V-
5)2
У2
АР
(дР\
Ср
(av)
'г
2 а
АТ
. КГ ~
- ъ
• ГГ
2а 27^
АР ~
Ср
» J-ИНВ —
Rb ~ 4 1кр
AT =
AT =
bAP
CP
2 aAP
RTCp
T < T„HB = 2050 К.
bRT 2 a
> 0, где AP мало, причем АР < 0.
где АР мало и отрицательно.
(V - Ь)2 V2
= 0.
а Су 2>аЬ
6.72. Гипербола: Т = ^V b (рис. 483). Асимптоты, изображенные
ixO V
штриховыми прямыми, пересекают ось ординат в точках инверсии диффе¬
ренциального эффекта Джоуля-Томсона.
6.73.
АТ3
27 Др _
4 Т
27 Др _ , 3V
4 Т + КР
= 0,0485.
6.74Г Р0 ~ ЮО атм.
506
Решение. При медленном вытекании состояние вещества в сосуде
можно считать равновесным. А так как сосуд теплоизолирован, то удель¬
ная (а, следовательно, и молярная) энтропия газа в сосуде должна оставать¬
ся неизменной. При обратимом адиабатическом расширении с совершением
внешней работы газ охлаждается. По достижении некоторой температуры
дальнейшее понижение давления газа сопровождается не только понижени¬
ем температуры, но и конденсацией его в жидкость. Этот процесс также
является равновесным и идет без изменения энтропии. Для изменения эн¬
тропии моля вещества при переходе из начального (газообразного) состояния
в конечное (жидкое) состояние можно написать
л г. [ ( „ dT dV\ Л
AS = /(CV-+PTJ--.
Л
RTi
/гг, \ y/(y-1)
р0 = Pl(f) еЛ/(Я7Т) ^ 100 атм
Подставив сюда
pdV = RdT - VdP = RdT - RT
dP
и учтя соотношение Ср = Су + R, получим
Ti
- Л1п$-
- — = Д (
' Y ml1
-
Т0
Ро
Ti \
Ч У - 1 То
Ро
Приравнивая AS нулю, находим
6.75. VkP = 112 см3/моль; Ркр = 34,5 атм.
6.76. Q = А/ = А
27 ,
(RT + РЪ)2 - у RbPTKp
знак изменения соответствующей величины.
6.77 +
а \ V2 + Ъ Vi + о
ния газа при объемах V) и V2 соответственно.
а \ dV
6.79. ACi
6.80. 7т =
> 910 Дж. Здесь А
где Pi и Р2 — давле-
- R +
а \
ToVoJ
ехр ^
2 а
( 1
1 ^
Т2
\V2
vj
р
8т
3
Ркр
Зф — 1
ф2
RTVЬ V -Ь'
. JT. = — =3
Тип Vkd
6.81. AS = ^ln — + Д1п^—\ = 1,56Д, где ф = = 15, <р0 = 3; т =
= 2; т0 = 2,2.
6.82. С = R/2.
то
Зеро - 1
Ко
507
In
6.83. C = CV -R-
3<p - I
Зфо - i
in
= 1,3; Ti = 1,2; t2 = 3,9.
6.84. — = —
T0 To
Ф2 = ФО-
6.85. CP - Cv
ответ Cp — Cy = yVP.
6.86. CP-CV =
Tl
Гкр (
1
То V
Ф1
(дР
)v
V2 (
дР
’ т \
dV
= 114
см3
- R — R = -R. Здесь (po = 3; tp i = 9;
42 о i о 28
= 2о=2Д. Здесь Фо = —; Фх
1 (дР
Р\дТ
_ V
J.
39,
14J
3 а
6.88. V0 = 2Ь = 34 см3/моль; Т = — А-= 42,5 К; АТ = -28,4 К.
10 rib
§ 7. Распределение Максвелла
0,98, где ц — молярная масса газа.
,, m vf
7.1. — = —~ ехр
п2 v%
2 RT
г. п ~2 _ kT mv% _ kT
t vx — ; -—
m 2
2 '
[ШГ 0„0 . _ ЩГ л 10 oofi .
7.3. Ищ — л I — 342 м/ с, v — д / — 1,13i?m — 386 м/с;
V_ И V Ttp
= У = 1,23«т = 420 м/с.
7.4. 1 = 153 °С.
7.6. v ос Р1/5.
7.7. dlV = 27tAT(7tfcT)“3/21/£exp[-£/(fcT)]d£.
7.8. £т = кТ/2.
7.9. T = mv2/(3fc).
7.102' г)1/2 = 1,088\j2kT/m.
Решение. Искомая скорость определяется из уравнения
,, , # 1
Ф(Ж) = Ж^ = 2’
(
где Ф — интеграл вероятности ошибок:
It-
Ф(Х) = Ц<
dl,
то =
= 3;
, то
508
а х2 = mv\^2/{2kT). Уравнение нетрудно решить, пользуясь таблицами функ¬
ции Ф(ж) и ее производной Ф^ж).*) Таким путем находим ж = 1,088 и полу¬
чаем ответ.
7.11. v-1 =
2т
71кТ
_4
7ГО
7.12Г Р е ш е н и е. Искомое число молекул dN равно среднему числу
скоростных точек в элементе объема пространства скоростей, заключенном
между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами vj_ и vj_ + dvj_ и вы¬
сотой di7ц. Объем этого элемента равен dw = 2nvj_dvj_dv^, а среднее число
скоростных точек в нем
dN = fdw = 27Т
2^fY/2eXP{-lk)V±dV±dV^
7.13.
dN"
dN'
(y-i)/2
V7)
1,15.
7.14. a = expj—eV/{kT)\, где e
чине). 1) a = 13,5%; 2) a = 1,8%.
7.15. v = 2nR2n/b w 660 м/с.
7.16. a = ~^=.
V2
7.17. n(r) =
"V
471Г2
2m
7ikT
заряд электрона (по абсолютной вели-
7.18. з =
NR ( m
IT \ 2nkT
3/2
exp
mR2
2 kTt2
R pm kT
t0=2VW’ Щ = 2Чт-
7.19Г г = nv/4.
Решение. Рассмотрим сначала частный случай, когда абсолютные зна¬
чения скоростей всех молекул одинаковы, но их распределение по скоростям
изотропно. В этом случае число молекул в 1 см3, направления скоростей
которых лежат внутри телесного угла dO, будет dn = ndQ/(4n), где п — чис¬
ло молекул в 1см3. Рассмотрим молекулы, ударяющиеся об 1см2 стенки и
подлетающие к ней с углами падения между 0 и 0 + dQ. Для них
dO = 27tsin0 сШ, dn = nsin0 dQ/2.
Число ударов молекул рассматриваемого типа об 1 см2 стенки в 1 с будет
dz = m;sin0cos0 dQ/2.
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до п/2, найдем г = nv/4.
*) См. любую книгу по специальным функциям. Например, Корн Г., Корн Т.
Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука,
1970. Гл. 21.
509
Если абсолютные скорости молекул различны, то молекулы следует раз¬
бить на группы с практически одинаковыми значениями скоростей. Таким
путем легко получить
г = riv/4, (*)
где v — средняя скорость молекул. Для максвелловского распределения
nj8kT _tnJ кТ Р
Z 4 У 7xm nV 2лm V2mnkT'
7.20.
кТ
271m
7.21. dP = ^mn ( —Щ3/21;4 exp
3 \2nkTS y
mv4-)dv, v0 = 2,/ —.
2kT J
■7 oo ( m \3/2 з ( m.v2\ , 12>kT
7.22. dN = nn (—) « exp (-^ J dv; v0 = yj — .
7.23. Для изотропного распределения E — mn{v3)/8; для максвелловско-
/2k3T3 7mm .3
го распределения Е = п\ = (v) , где m — масса молекулы, п —
ш 16
число молекул в 1 см3.
7.24. ё = 2кТ для одноатомного газа и 3кТ для двухатомного.
7.252' t1/2 =т1п2
Решение. Если отверстие S очень мало, то распределение скоростей
исказится очень мало, т. е. останется изотропным и максвелловским. По фор¬
муле (*) (см. решение задачи 7.19)
,,т, . Snv dt
d{Vn) =
Интегрируя это уравнение, получаем n = noe_t/T, где т = 4V/(Sv). Отсюда
следует ответ.
7.26. п = по(1 — е (/т). Обозначения такие же, как и в предыдущей за¬
даче.
7.27.*=£ш§^«£*-£
Sv Ро — Р2 Sv Ро
AV 4
1п2 « 6,2 • 104 с = 17 ч.
1,17 с;
h/2 -
7.28Г Р е ш е н и е. Уравнения баланса для молекул азота:
dt
I^r/V(1) _ ЛГ(2)1 ^
4 V ( a a dt
1 SVa.
'4 V
(ivi2) - Nkl>),
(i)>
где и N— числа молекул азота в первой и во второй половинах
сосуда. Так как Ni1^ + = JVa = const, то первое уравнение приводится к
виду
dt
SVa.( NW _
2V V a 2
510
Интегрируя его с использованием начального условия = Na при t — 0, а
затем определяя N^ из соотношения N^ = АГа - N^\ получим
jy(l) _ Na
а 2
1 + exp
SvZt\
' 2V )
Аналогично, для молекул кислорода:
N™ = ^
1 — exp
SvKt
'~W
ДгО)
- 2
Лк(2) = дг
1 — exp
1 + exp
Svat
' 2V
SvKt
'~2V
Так как начальные значения давления в обоих сосудах одинаковы, то Na ■
= NK = N. Давление в первой половине сосуда:
Pi = y(Ni1} + N^)kT = Р11 + i
exp
Sv£t\ ( SvKt
-^v)-exp(-^v
Давление во второй половине сосуда:
Ъ = Р< 1+2
ехр
SvKt
'~2V
exp
Svlt\
2V )
При f = 0 и < = oo из последних двух уравнений следует Р\ = Р2 = Р, как
и должно быть.
7.291 Р е ш е н и е. Поступая, как в задаче 7.26, для отношений концен¬
трации легкой и тяжелой компонент внутри сосуда, найдем
1 - e-*/Ti
Р = Я1-е-«7т,’
где индекс 1 относится к легкой, а индекс 2 — к тяжелой компонентам.
Времена Ti и Т2 связаны соотношением тг/т1=2. Учитывая это, найдем,
что производная d$/dt обращается в нуль, когда
"t/T2 = л/2 — 1,
и следовательно, когда |3 = а.у/2. Однако этому случаю соответствует не мак¬
симум и не минимум на кривой |3 = |3(t), а точка перегиба. Максимальное и
минимальное значения величина |3 принимает на концах временного интерва¬
ла (0, оо). При t = 0 получается максимум: |Зтах = атг/тц = 2а, при t — 00 —
МИНИМУМ: (3min = а.
7.30. 15Р/6
7.31? <?= ^Swioe_t/T.
О
Решение. Уравнение баланса энергии:
<Ш
dt
1 г. Q
8
nmSv3 + Q.
Уравнение баланса числа частиц:
V^ = -\nSv.
dt 4
511
По условию средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, постоянна:
E/(Vn) = const. Отсюда <1Е = Edn/n. Исключая dE и dn, получаем
Е _ ти2 _ mv:i 4Q
Vn 2 v nSv
откуда
Для максвелловского распределения
,, к! кТ.... -t/T
Q = —Svn = —Svn0e 1 ,
где т = AV/(Sv).
7.32* v = VQ\j2/n\ п = noVSn; T = mvo/(4fc).
Решение. Из-за столкновений молекул со стенками сосуда и между
собой внутри сосуда устанавливается максвелловское распределение скоро¬
стей. Условия сохранения числа частиц и кинетической энергии газа в сосуде
имеют вид
novo =
4 ’
riomvjj
16
Отсюда находим ответ.
7.33. vq =
7.34. vq
3 кТ
m
5кТ
m
^КВ •
VKB
7.35. F = ^(1 - cos3 0q), где 0О =
Дп
п
7.36. ^ = (1 + .т0)е-Жо
10 38, где х0 =
VL2 + R2'
2 кТ
100.
7.37. о. = £
13к'Г /3 кТ
—; v = \ —•
m V m
7.38. Сила тяги ракет пропорциональна скорости истечения газа, поэто¬
му, если F\ — сила тяги ракеты обычного типа, a F-2 — второго типа, то
Fi
F2
V2
Vi
: 0,44.
7.39. Тсм = 2Г0
Зу ЦНе “Н ^\/402
5УЙн7 +
1,284Т0.
7.40. Т =
То
21/3
= 217 К.
7.41.
Т
Го
1/6
512
7.42. То - х/r,И in К; 1Ъ = ~
7.43. Порикчи. смеет ни miepx на 6,75 см.
7.44. 7’(/) 7(i I I I \J^r["n j , т — масса молекулы.
7.45. F - Го/?.
7.46. v =■ \J
f,2k Г
т
\/.;|
(ci,и> 2,15 км/с.
7.47.
а (/ 1)
<’Ч|>
( ||
Лр(/’| 7 а)?;2
■■ЧУГц-П
« 0,93, где а — отношение кон
центраций изотопом уршм
.1 атомная масса.
7.49.
П)|
V ..
7.50. а - (
"н
)гч 1
4;,)
7.51* Р яв 6,1 К) 1 •' мм pi ( |
Решение. ('.корне 11. испарении определяется выражением
пип I
4 4 ’
где п — концентрации .помни насыщенного пара вольфрама. Его давление
Г oioe/
При максвелловском р;н Hpciirneiiiui
4 (Р
з" ,Г
1,06 атм.
I
4
аЛ /'
Ню
тгЯГ
8 Л ’
где Л — относителипли .iiomihoi масса, рампан для вольфрама 184. Оконча¬
тельно получаем
Г
И'Г
Подставив сюда численные hhciciihm, найдем для давления насыщенных па¬
ров вольфрама при /' н н) К
Р~н,о Hi " iiiih/i MJ ~ (1,4 ■ 10 12 мм рт. ст.
7.52.
7.53.
7.54.
dM
dt
dM
dt
= Г
И
Inli I
II, IM l /(i
= wSI‘"J-SnH, (' 1
u
AS = 81? In4
cmj), где p — молярная масса.
У Kdivn и 5,1 г/с.
513
7.55. ^ = 0,435.
•vi
7.56. Уменьшится примерно в 17,8 раз.
7.57. С = т.
7.58. Уменьшится в 3 раза.
7.59. AS = 4Д 1п2.
7.60. AS=-R 1п2.
■гм 1аяН 8кТ
7.61. п= -r&S-—\
4 V \ 7тт
1 Ео \ ( Е0
1+kf exp('fcT
7.62.^^) = ^;^)=^=; Ы=0; (К|) = („»> = |.
_ 1
ппЛ2
dv
— ( щ
+ <'
4
^тах
. — ^rr
ип V
vo ,
.2
•гран
- (mg'/г)2;
Н —
£гран
mg
w ^гран
7.65. а = —-Д sin3 (р « 2 • 10 8.
3\/ 7Т
7.66. 5 = — и 0,8 мм2.
ит
/3 кТ _ 3 пкТ
7.67. w = a/ — ; v ~ 2\ ~2гп '
7.68.
_ злт
Цшах — й :
.21
= 25г/моль; N = NA 4™2ехР (-^)2Д« =
\ 3/2
= 1Д ■ 1021, где v = 1000 м/с.
7-69- г=я1Й7Й=495 К: А”'
= 5,7 • Ю20, « = 1000 м/с.
AN 2
7.70. ^ =
Si V Т2
7.71. Т = ^ ~ ^
1,2, где 6 =
N
_2М_
е V лДТ
Ап.
= 1290 К.
4i?ln(l)2/t>l)
_ __ „ ( mvi \ ( mvi \ . 0_„ о 2тг/сТп1пп
7.72. ос = 1 - exp + exp J * 0,852, где «0 = m(n _ 1} ■
7.73. 1 - ос = ехр — exp "llwj ^ « 0,326. (См. также задачу
7.72.)
7.74. Полное число ударов частиц о 1 см2 стенки за 1 с (плотность по¬
тока) "Vo = А(кТ)2, плотность потока ударяющихся о стенку частиц, энергия
которых е ^ 21 = ЗкТ, -vi = А{кТ)2 ■ 4е~3. Искомое ос = — = 4е~3 « 0,2.
514
7.75. (3 = Зе 1 = 0,406. (См. также задачу 7.74).
7'76' " - 8е"9,!; 2) W = '9/78 = 0.385,
7.78.
7.79.
''шах
«(еп,-
а( £п,'
£*(£п0
, «о / 3 / 3кТ
7.77. = W - = 1,22, где v0 = \/~zr, «max
^max V ^
m
2kT
m
То (
-т\ехр1
,кТ0 кТ\)
та 7, где ос|
_ £п2
« — ехр
£п!
{ £п2 — £п1 \
V кТ )
та 5 • 10 4
7.80. N = 7ti?2(l - a)no«osin0 • 2fcT Л — ~ мВт.
7.81. пуст = tiqvo sin0\/^^ и 1013см 3; IV = 7тЯ2по«о sin0 • 2fcTx
(‘-Ш'6'710"5®7-
7.82.. t =
4C
7.83. t =
Mr
4C
In.
I&RT
i 0,5 с, где va3 — J = 476 м/с.
V 7ГЦ03
«со, S
MCOg.
ИН,
In, / >l<:‘= 4,56 ■ 104 c «812,7час, где vqq —
ЦН2
средняя скорость молекул СО2 при температуре Т.
§ 8. Распределение Больцмана
8.1. ЛТта 5,3- 1018 кг.
8.2. ^ =
М
8.3. ТПатм
47ГуРо
g2
^ тгРоД4
уМ
0,87 • 10 6.
и 0,5 • 1037 г.
8.4^ Температура газа не изменится.
Решение. При свободном падении газ находится в состоянии невесо¬
мости. Начальное состояние его неравновесное — плотность наверху меньше,
чем внизу. Однако средняя кинетическая энергия молекул всюду одинакова.
При переходе в равновесное состояние плотности выравниваются. Но полная
кинетическая энергия молекул газа, определяющая температуру, остается
неизменной. Опыт аналогичен известному опыту Гей-Люссака с расширени¬
ем газа в пустоту.
8.5. Тпот = кТ- С = СР.
515
8.6.
mgH
1 - exp -
kT
kT.
8.7.C = C„ + g(M)2.
8.8. Z(j —
(Ni + N2)kT — JVimi j^exp ^
migH \
kT )
- 1
Ф
giNuni + N2m2)
N2m2
+
exp -
- +
m2gH
kT
- 1
gh
g(Nimi + N2m2)
8.9. ^ « 9,5 (у поверхности Земли больше).
8.10. 0,376%.
8.11. v3B = ^ 400 м/с, где у = ц = 16 г/моль.
8.12. N «6 • 1023.
8.13. N =
8.14. Т =
8.15. Т =
8.16. Т «
8.17. Т =
ЛТ1пс
(4/3)ттг3(р- p0)gl
3 mgR
4 fc '
mgH
4 к
1 _ + (MS#)2
; 6,5 ■ 1023.
4CVT0 16 CVRT2
5 Ti + 7T2
8.18. Aic =
12
maL2
12kT
в-19-1»AS-ii(w) • 2>д*=°-
_ /204,9kT . n .
8.20. -уж = - « 4,2 км/с.
8.21. T = f To; M = S^^r.
2k2T2Sa
8.22. 1= -—--- 1п2, где m — масса молекулы, p — плотность воды,
vaPom2g
v — средняя скорость теплового движения молекул пара.
516
8.23. Число молекул dN с координатами между г и г + dr, z и z + dz
равно
г та>\2 ( mw2r2 '
dN
/ miv\2 f mw2r \ / mgz\ ,
Mw) exp (rdrexp(“IfcT )dz
, ( rngH\
l-exp{~isr)
, mw2R'? \ i
expi -wr--1
где N — общее число молекул в сосуде. Ось Z направлена вертикально вверх.
о <ул 2RTpin а
8.24. ц = г-г-2 ~г.
о>2(р- Ро)(г| - г2)
1«2 /1)2^4
8.25. ДСу = « 2,8 • 1СГ4 Дж/(К • моль).
8.27. -4,5. io“6.
8.28. ц = °diTp . и 1,4 ■ 106 г/моль.
0(р - ро)
8.29. о> =463 с-1.
8.30. Р{г) =
МшЧ
2 S
- ехр
W ( 2 _ ^
2ДГ V 4
8.31. Р(г) = -Р0 ( 1 +
Мш21\
ms )ехр
ЦО)2 / 9 2
2ЛТ V 16
^ 1* -
— t — 7*
8.32. Д5 = АТ - pw2°2
47}
О
4 Сь
8.33. П = I ./WEA? ~ 16 4 с-1,
а V ц Ро
8.34. AS = — -
Я / ца>2а2
24 I 2ДТ
8.35. 7 = N^rnR?
1-ехр
1 2 кТ
mw2R2\ mw2R2
8.36. q
VI, 2 =
PnS
V2 - V] + gh
2 kT J
1 1
; при T—>oo 7 = JVa
mR2
V2 Vi
RT
m, 2
8.37. P = Pgexp
mgva
L 4fcTSeXPV
масса молекулы, JVb — полное число молекул в сосуде, по — начальная
концентрация газа у дна сосуда.
mgh \
(поток из сосуда 2 в сосуд /);
, Р0 = п0кТ = ~mg, где m
517
8.38. U =
кТ
8.39. tf =
iirSjVт + Iя2’ Если £ » кт’ т0 ^ 5ЛТ-
8.40. S = -tNA
е2 - 1
е2 + е + 1
—0.575ДТ.
„ . , „ „ 2 Mm . . „22
8.41. Д < -у—— и 4 • 10 см, где у — гравитационная постоянная, m
О Гъ 1
масса молекул водорода.
9 кТл
8.42. АТ = -=-Ту, ASwfiln —.
9 Нш
8.43. АТ:
8.44. АТ =
-\тг, AS= — Д1п —.
7 ц Лш
±^е-^кт^-е-^кт^)»0,8К.
8.45. V/<^> = ^=7,3-1012 с-1.
8.46. ё = кТ/2 = 2,1 • 10-14 эрг; = 7,2 • 1011 Гц.
8.47. К = 5PV/2 = 2,75 • 10“13 Дж.
8.48. <Гвр = PV = 100 Дж.
3
2J
8.49. <ГВр = -PV = 150 Дж.
8.50. £ = kT(V1/V2)
У — 1 _
1,65 • 10~~13 эрг.
Я К1 тг AEN f АЕ \ N(AE)2
8.51. 5 = const-^^.
8.52. ё =
h~v
; £1 = 1,6 • 10 14 эрг; £2 = 6 • 10 20 эрг; £кл = кТ
eh^/{kT) _ 1
4Д10-»эрг; CV- Я(^)'(Д;;ГУ~ «0«Я
! 0,25 Дж/(моль • К).
I)2 ~"\кТ)
пт £*
8.53. — In ос.
ос — 1 mg
8.54. hx = -ln 0(11
... „= 0,0031 см, где ос=^77^= 563 см \ m*
ос 1 - е_“н кТ
= т——^ = 2,34 • 10-14 Г.
1 рСХГ0 _ 1
8.55. rx = xl- In
ос
— 2 =8,1 см, где ос = = 0,041 см 2, р*
arn 2fii
= р- — = 2 • 103 г/моль.
518
8.56. CV = §*+ IrTS$ftHW~,UaV m
; exp (£
1,7 R.
8.57. ef = 0,425e = ltl[111 £, откуда N = 2353 частиц.
N
8.58. T =
2eo
A; In
jy д]у ■ Здесь, очевидно, T < О, что ненормально с точ-
‘ NA+AN
ки зрения определения температуры. Однако отрицательные абсолютные тем¬
пературы соответствуют инверсной заселенности уровней (лазер).
8.59. С = | R + Д
2 ch2(£0/AT)
8.60. С = -JVfe
... 'Г
9 vat;
8'61- *=ШИ=1’38'*с=(Ш) -
8.62. Т0 = ~ = 809 К, где х «
(хкх щос— 1)
8.63. у =
кТ,ох0
1,56 - 1012с-1, где х :
: 0,0405, п = 20.
In а
8.64. = 0,92, где CV = | Д + С*р + СГ + Су. В обоих
п(а - 1)
-!вр
0,065, п = 14.
кг ехр
случаях С“р = Д; С£?л = RAALI V
/ Л-v \ 2 ( hy
I fivr> I
кТ
; Су = Д
(вО’*'"
(e£/fcT + ^2
. При под¬
счете СГ < Д, а С^(Т2) = 0,202Я; C^(Ti) = 0,439Д.
8.65. Ср(Т-
Cp(Ti) - ^ = 1-05, где СР = |д + Д + СТ + Сэул- СГт) =
0,716Я; С()?Л(Т2) = 0,919Д; C^(Ti) = 7 • 10~7R < Д; С^Л(Т2) = 0,0015Я. (См.
также задачу 8.65.)
8.66. п > 5,1, т. е. nmjn = 6, что следует из неравенства ё
-0,78 п
-0,78
(1
) < 10'
8.67. и, 5,2, т. е. Umax — 5.
8.68* А = 1,45 • 10_3 см = 14,5 мкм.
С R
Решение. По условию задачи у = 1,30 = —Щ , откуда получим
10 .
Су
Cv = — R. На поступательные и вращательные степени свободы приходит-
О
1 15
ся Су = 3 • -R + 2 • -R — -R. Тогда на две колебательные степени свободы
приходится 2 Сул = (-щ — или по tL R на каждую колебатель-
ную степень свободы. С другой стороны, колебательная теплоемкость равна
519
(см. задачу 8.52)
С'Г = /•’ к'т
42f't/frT' 5
(сС/кТ_ху2 Х2 ’
he
где £ = h-v = —". Обозначив — = х, из уравнения 6у = — Л получаем
—— = 0,645 или sh — = 0,775а;.
e-' - 1 2
откуда находим х = 3,38. Следовательно, = 3,38; Л = 14,5 мкм.
8.69. Т = --
К2
—.—_ = 1,4 К. Здесь отношение заселенностей состои¬
те pd2lll(<x/3)
ний ос записано с учетом их статистических весов (кратностей вырождения)
я- *(*1 = 1) _ 2/1 + 1 ( £(/;)- ф)\ _ ( К2 \
N(l2 = 0) 212 + 1 Р V кТ ) Р V kTl)'
8.70. Здесь 0 3> Т, поэтому вращательная теплоемкость
'20х2
-20/Т
вр (1 + 3e-ft2/(/feT))2 ' ’(1+Зе-2°/т)"
; 0,3fc.
8.71. 1 =
- 1
8.72. d=J- = 1,1бА, где 7 = -f-; 0 =
2Т
ная масса молекулы N0.
1 - охр
8.73.
Пс(го)
п2(г0)
2 кв'
Viw'2rp
2RT
(21 + 1
— = 2,45 к, р — приведен-
1 - ехр( -
Pi‘
2RT
0,1095, где р£ = рх
= 1,82 • 103 г/моль; р\ = рг
Р- Ро
2,27 ■ 103 г/моль.
Р - Ро
8.74.
t,4i(35C12) _ га35 pi
1 “еХР<
1г0 (37С\-2
^l-expf-^
а2
2RT )
= 2,883.
8.75. Вероятность того, что в этом объеме находится менее двух молекул,
равна Pjv(0,1) « 1 + а = 0,27, где а = -^-JVA = 1, Кц = 22,4 л. Искомая доля
еа гц
времени составляет 0,27.
8.76. Вероятность того, что в этом объеме находится менее трех моле-
d /п 1 1 + ос + а2/2
кул, равна Pjv(0,1,2)« ———
Искомая доля времени составляет 0,32.
520
0,68, где ос = — ЛГд = 2, Уц = 22,4 л.
о __ Лм,,,х 3 mu)2R2
8.77. Обозначив (3 -- = -———, получим, что концентрация мо¬
лекул у внешней стенки п(Н) = , где по — концентрация при г = R/2.
Концентрация при отсутствии вращения п— —(г*3 -- 1). Искомое отношение
давлении
Р(Д) _ n(R) с
Р
8.78. ш =
1
= 1,58.
8 кТ
■imR2 '
§ 9. Флуктуации. Статистический смысл энтропии
9.1? Р е ш е н_ие. fg = fg + gAf + fAg + AfAg. Усредняя и принимая
во внимание, что А/ = Ад = 0, находим
Тд = 1д + М^9-
9.2. А/2 = /2 - /2.
9.4? А^2 = п.
Решение. Если объем V разбить на z= V/v равных объемов г>* = v,
то N = J2ni> гДе гч ~ число молекул в г-м объеме, а суммирование ведется
по всем таким объемам. Так как величины всех объемов г>* одинаковы, то
средние числа молекул в них щ также одинаковы. Поэтому N = гп, т. е.
п = Np, где р = v/V — вероятность нахождения молекулы в объеме v.
Определим далее величины /,; следующим образом: /* = 1, если г-я моле¬
кула находится в оставшемся объеме V — v. Тогда число молекул п в объеме
v можно представить в виде n = J2fi> предполагая, что суммирование ве¬
дется по всем N молекулам объема V. Ясно, что функции Д удовлетворяют
условию fi = = ff = ... Далее, очевидно Д = /2 = /? = ... = р. Поэтому по
формуле (*) (см. ответ к задаче 9.2)
Aff = 7f~ll=p-p2=p(l^p).
А так как в случае идеального газа величины /ь /2, /з, ... статистически
независимы, то
Ап2 = Np( 1 — р) = (1 - р)п.
Если « < V, то р <С 1. Пренебрегая вероятностью р по сравнению с единицей,
получим ответ.
9.5. Р = (l/2)N\ N = log2(7yT) ~ 70, где т ~ 10-4 с — время разлета, т. е.
среднее время, которое требуется молекуле газа, чтобы пролететь расстояние
порядка размеров сосуда.
9.6. V = l/(Na2) = 3,7 ■ 10 8 см4; п — 1 /ос2 = И)12, где N — число моле¬
кул в единице объема (IV = 2,7- К)10 см-4).
521
9.7.
((Ар)2)
(kT\2 N _ 1
\v ) p*~ Vn'
9.8.
AT
T
9.9. —
w0
: 4 • 10
AS/k
-11
сосуда, = 10 6 см3.
9.10.
kVT2
CV((AT)2)
условиях задачи.
КГ162, где ^
К
= 2,5 • 1(Г8 см~3
9.11. = exp
w2
3 ( АТ\
-4К"Ы)
фиксированном объеме v при Т = То.
((АТ)2) = 1
2'
2
9.12.
((АТ)2)
9.13. У « -£=) In — = 1,85 см3
2Р\АР) w
((АУ)2) _ 3
У02 5 N'
9.14.
1 Vo Cv
2VlY
AT
тГ
2
, где У — объем
где У — молярный объем гелия в
0,14, где Nq — число молекул в
г, ЛП N1 N2
9Л5-Р=жш?:р q ■
Решение. Возьмем какое-либо распределение, в котором объем Vi со¬
держит Ni, а объем Уг — N2 молекул. Зафиксировав положения всех мо¬
лекул, произведем затем всевозможные перестановки их. Так как при таких
перестановках числа молекул ЛТ и N2 в объемах V\ и Уг не меняются, то в
результате получатся всевозможные комбинации молекул с требуемыми чис¬
лами Ni и N2- Число таких комбинаций равно ЛП. Среди них будут и такие
комбинации, которые получаются одна из другой в результате перестановки
молекул либо в пределах только объема У), либо в пределах только объема
Уг. Такие перестановки не приводят к новым распределениям молекул по
объемам V\ и Уг. Число перестановок в пределах первого объема равно N\\,
а в пределах второго Щ'.. Разделив полное число перестановок N\ на TViITVy,
мы получим число г всех распределений молекул N по объемам Vi и Уг с
требуемыми числами заполнения N\ и N2: z = N\/(Ni\N2\). В случае иде¬
ального газа все эти г распределений равновероятны. Найдем вероятность
одного распределения. Вероятность того, что определенная молекула попа¬
дает в объем Vi, равна р= Vi/(Vi + Уг), а в объем Уг — q = Уг/(У1 + Уг).
Вероятность того, что N\ фиксированных молекул попадут в объем Vi, а
остальные N2 молекул — в объем Уг, будет pNlqN2. Умножив ее на число
распределений г, найдем
Р =
N\
JV1W2!
nJVl
n2
(*)
522
Это и есть математическая вероятность того, что числа молекул (безразлич¬
но каких) в объемах V) и Уг будут равны соответственно iVi и N2.
9.16.
Van2 = _ 10-6 N = ISn-t = х 2. ю12.
4
JV
Vх АГ
9.17. j « 4 • 1013 с-1; v/^_7V2 « 5 • 10"6.
N
9.18. j « 109 с"1; v/^_7V2 « 10~3.
N
9.19* п = 7,8 • 1011.
Решение. Воспользовавшись формулой (*) (см. решение задачи 9.15),
получим
(N -п)\ (N + п)! _
n\ т ~а’
где N — число Авогадро. После сокращения:
(l + l/JV)...(l + n/JV)
(1 — 1/7V)... (1 — (n — 1)/N)
Логарифмируя и принимая во внимание, что n/N <С 1, находим
_ / 1 2 n — l\ п ,
2{n + n+ - + ~JT J + N~ln0i'
или n2/TV = In а, откуда
п = VNlncc = VN = 7,8 • 1011.
9.20* Решение. В термодинамике энтропия N молекул идеального
газа выражается формулой
S = N ^су InT + fcln-^ + soj ,
где су — теплоемкость газа при постоянном объеме, приходящаяся на одну
молекулу, a so — постоянная, не зависящая от числа частиц. В начальном
состоянии энтропия системы
So = 2N ^cylnT + fcln^ + so^ ;
в конечном состоянии
S = (N ~п) ^су InT + fcln j^_n + «0^ + (N +п) ^су InT + fcln N^n + «0^ •
Отсюда
So — S = k(N — n)\n(N -- n) + k(N + n)ln(7V + n) — 2kN\nN,
523
или с учетом соотношения n/N < I:
Л\) — S — кп2 /N.
По формуле Больцмана
S0 - S = к\п(Ро/Р) = fclna.
Это дает п2 /N = In а, откуда п = VN 1п а.
9.21* Р е ш е н и е. До флуктуации, когда состояние всего газа было рав¬
новесным, его энтропия определялась выражением
S0 = Ncy InT + Nk\n(V/N),
где су — теплоемкость газа при постоянном объеме, приходящаяся на одну
молекулу газа. После флуктуации, когда в объеме v стало п частиц, энтропия
газа будет
S = Ncy InT + k(N — п)\п~—- + fcnln —.
N — п п
Вычтем отсюда предыдущее выражение, пренебрегая при этом членами вто¬
рой степени по v/V и n/N. Получим приращение энтропии газа в результате
флуктуации
AS = к In
\п /
По формуле Больцмана
AS = fc In
Ро’
и для искомой вероятности находим
Рп — Ро
П
П
П
п—п
е
Выполнив переход к распределению Гаусса, затем можно определить посто¬
янную Ро из условия нормировки ]ГРга = 1.
9.22*Р е ш е н и е. Поршень можно рассматривать как гармонический ос¬
циллятор. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении от по¬
ложения равновесия на х равно х{х2)/2 = кТ/2, где х—модуль упругости,
соответствующий такому смещению. Очевидно, AV = Sx, где AV — изме¬
нение объема системы, a S — площадь поршня. Таким образом, (AV2) =
= S2kT/х. Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, F =
сдР
= S-g-x, а потому
х = — S
9Р
дх
Я2 дР
dv
В результате получим
524
{(ЛТОт) = -кТ
дР
dV
-1
= -кТ
т
дУ
эр
т
Значок Т поставлен потому, что в выводе предполагалось постоянство тем¬
пературы окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема
V было адиабатически изолировано, то, как следует из вывода, значок Т
следовало бы заменить на S (постоянство энтропии) и написать
9.23.
9.24. Величина (ф2) уменьшится в а раз, (<р2) увеличится в |3/у4 раз.
Существенно отметить, что (tp2) не зависит от момента инерции зеркальца;
N = RT/(D(ф2)) « 6,04 • 1023 моль-1.
оо
!■
v/ldx
9.25. Имея в виду, что (Л) = = I, то ^^ ^ = 1. (При
/■
~X/Idx
(А>
х = I число частиц в потоке молекул уменьшается в е раз.)
9.26. а « 0,01.
п cy-j ^ V<хкТ
9.27. m « .
9.28.
V
V
9.29. ^[Anlv)
(Дпду)
PoTVaAV ехр
vgh \
2 RT )'
9.30.
9.31.
9.32.
\/(AnAV) _ I Ц
(Апд^) V poAa.AV Р
Ah2
К2
рдкт
47гст2
~~3 кТ
N
4тг г, о , 8 о
7V3 + з ог
ЦШ2Г2 \
4RT )'
9.33. yjAy2)
2
3
Т 1
т - Ткр 7F
где 7V — число молекул в объеме И.
9.34. ^/(Av2) =
2,1 • 10 7 см/с.
9.35.
У(АП2)
(П>
для одного моля.
= >/2
для одной молекулы;
V (АП2)
(П>
2 ■ 10-12
525
кТ
п ос ^(Др5) V (дР/dV)s IkTyfir
9.36. —z— v - у —
9.37Г (Де2) =3fc2T2/2.
Решение. Согласно выражению для среднего числа dN молекул га¬
за, кинетические энергии которых заключены между £ и е + dz (см. ответ
задачи 7.7)
ОО
J £T-3/2v/ie-‘X£d£
<£> = ^ .
J T~3/2\/rie~olLde.
о
где введено обозначение ос = 1/(кТ). Обозначая знаменатель через Z и диф¬
ференцируя его по параметру а, получим
1 dZ
Z doc ’
1 d2Z
Z~da?'
Вычислив интеграл Z, по этим формулам найдем (е) = ЗкТ/2, (е2) =
= 15fc2T2/4 и далее
(Aez) = (ez) - (£)z = 3fc2T2/2.
9.38* Решение. Рассматривая температуру подсистемы Т как функ¬
цию U и V, пишем
откуда
2) , ((AU2)v)_kT2
((AT )v) - -щ -
Аналогично поступаем и в остальных случаях и получаем:
<(ASV> = = кСу.
<(Л s2)P) =
((A U2)v)
т2
= кСр.
«драМ=(5г)ат«Д1'^>--'!1'(Шт'
<(др2)8)-(гт)1«д,/2ы = -‘т(1т)/
526
9.39. S = 2Я1п2 яэ 11,5 ДжДмоль • К).
9.40. За время т с мембраной сталкивается N = —St молекул, где сред¬
няя скорость молекул v =
тт
7ГЦ
; 5 • 104 см/с, N ш 4 • 1016. Относительные
флуктуации измеряемого давления
АР
N
10“
9.41.
9.42.
V dr2
V dr
кТ
2пЕ1Аг
= 1,2 • 10“
кТ
8ттг2ЕА
= 3,6 • 10
-з
9.43. -^1=ехр(^) = 1,668.
9.44. WKou/Wna4 ^ 3100.
9.45.
\ до ЛТ 11 Ni 4- N2 AT I 1 ^1 + -^2
a) AS = Aifcln — h A^fcln -
JVi
б) А5 — 0 (парадокс Гиббса).
TV2
9.46. S(T) = const - iiVfc(^)2.
9.472“ AS = Я ^41n2 — ^ 1пЗ^ ~1,125Д.
Решение. S = k\nw. При температуре плавления в твердом состоянии
системы Sq = 0 (по условию). При температуре плавления число возможных
способов перехода N/4 атомов из N «твердых мест» и распределения их
среди N мест в жидкой фазе равно
ЛП
лп
TV ! 3/V, ЗЛГ,ЛГ,
4 ' 4 ’ 4 ’ 4 '
ЛП
ЛГ^ЗЛГ
4 ' 4
Отсюда энтропия
S = k\nw = 2fcln
N\
N, 3N,
4 ' 4 ’/
1. JV 3, 3N
: 2fcN InJV - -7 In - In
4 4 4 4
: 2fc77 ( 2In2 - ^ ln3 j = r(41n2 - |ln3 ) « 1,125 Д.
9.48. S(n) « 2fc[nlnW — (JV— n)ln(7V- n) — nlnn], откуда Smax = 2kNln2 и
« 1,39 kN.
9.49* AS = - In-4- + fclnb- - lnTV.
2 2nL2 2
527
Решение. При N Э> 1 и N L^> г функция распределения вероятностей
по г имеет вид распределения Гаусса
f(r) =
L-r2/(2Nal)
^2nNal
Подставляя сюда значение а% = Ь/\/3 (по условию), получим
f{r)
1 -ir2/(2NL2)
2nN L2
Вероятность, при которой г ^ Ь, равна
ь , ь
: У /Wdr = /5У je~3r2/i2NL2)dr.
О о
По условию NL > 6, поэтому экспонента под интегралом е 3r C2NL ) « 1,
т. е. w = Ь\ —Отсюда искомое изменение энтропии цепи Д51 = Ып?« =
V 27гД/
= fcbb+fln2i-fb7V-
9.50. Сила F :
бодная энергия.
9Ф
97
, / 9S\ 3fcr т гг шп
(*JT=jvpT'r“*=l'-TS-c№
§ 10. Явления переноса. Теплопроводность.
Броуновское движение
10.1. г -4./ "
Pd2 ~ 4 • 1()10 с
V т&Т
7Тid^VTL^
10 *> л.
_0 /77 P2d2
У2
"V m (fcT)3/2
10.3. госТ"1/2;
А ос Т.
10.4. z ос Р; Л ос Р 1.
10.5. г ex рСт+П/От). д к р-1/т, Где у = CP/CV.
10.6. С= Су + R/4 (процесс политропический).
10.7. С = Су + R/2 (процесс политропический).
10.8. — = — = 2.
zi 8 Ai
10.9. ~ и 0,63.
м
528
10.10. I « 0,3 м.
10.11. P < 1,1 • 10-3 мм рт. ст.
TiSx
10.12. m = -^-(H - Ы = 54 г, где q = 80 кал/г — удельная теплота плав¬
ления льда.
10.13. tR = h
10.14. tR =
t\ — t2
1п(Й2/Дг)
<2 — ti R1R2
Ri — R2 R
\n(R/Ri).
t\R\ — <2^2
+ Д1 - R2
10.15* T = T0 + -Я-(Д2 - г2); Тц = 790 К.
OX
Решение. Уравнение теплопроводности при наличии источников тепла
с плотностью мощности q для сферически симметричных задач имеет вид
дТ 1 д
PCV dt ~ г2 дг
,дТ
дг
+ q-
В стационарном случае дТ/dt = 0, и после однократного интегрирования по
радиусу записанного уравнения (q = const) получим
dT_ q_ £7
dr Зх г2
Постоянная интегрирования С должна равняться нулю, так как в противном
случае в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной
dT/dr. Интегрируя вторично с учетом граничного условия Т = Tq при г = R,
найдем
Т = Т0 + Х(д2 _г2).
ОХ
Температура в центре шара
Тц — Тц +
qR2
6х
= 790 К.
10.16. Т = То +
Р f
-(R2 - г2), где I
сила тока, р — удельное со-
4п2Я^х'
противление провода, R — радиус провода, г — расстояние до его оси. Все
величины выражаются в единицах системы СГС.
10.17. W = ррт7/2 и з;б •
AW
10.18. ё = ~ = 5,3 мкВ.
47ТХ
10.19. Т
Т$ + ^а
1012 кВт.
1/2
10.21. t=^^(x
о In-
Тц — Тм
2pw
срмА.
10.22. I = L
y/TiT2 - Тг
Т2-Тг
529
10.23. т =
воды.
10.24. т =
воды.
10.25. т -
Mcl . t\o — 120 Г.П
—— 1п «Зч20мин, где с — удельная теплоемкость
26 X t1 — t‘2
Mch to - t\
—p,— In « 33 мин 20 с, где с — удельная теплоемкость
OX to — t-2
Я pa
6x(ti - t2)
10 с, где p — плотность льда.
10.26. Ti = ClT-£-+-C^T™ +
C2
T2 =
Ci+C2
CiTio + C2T20
Ci + C2
(T10 - T20)e-^/T;
Ci
-mo — ^2o)e
-t/T.
C1 + C2 Ci + c2
Ti - T2 = mo - Г20)е-*/т; ^i_/2 = т1п2,
1 xS
где т _ T v Ci 1 c2; •
10.27* x = 11,3 cm.
Решение. При охлаждении воды через поверхность большое значение
имеет конвекция. Однако конвекция прекращается при 1<4°С. Лед обра¬
зуется за счет превышения оттока тепла в атмосферу над подводом тепла
из глубины водоема. Обозначим буквой х толщину образовавшегося слоя
льда к моменту времени t. Если замерзание идет не очень быстро, как это
в действительности имеет место в естественных условиях, то в слое льда
установится линейное падение температуры от Тпл до Т. В этом случае теп¬
ло, уходящее наружу с единицы поверхности льда за время dt, представится
Т — Т
выражением х— dt. Но ту же величину можно представить в виде qpdx,
где dx — толщина льда, образовавшегося за время dt, р — плотность льда,
q — удельная теплота плавления льда. Это приводит к уравнению
Тпл-Т
х dt = qpdx.
х
Интегрируя уравнение, получим
х(Тпл - T)t = рх2 + А.
Примем за начало отсчета времени момент, когда образование льда на по¬
верхности воды только что началось. Тогда х = 0 при t = 0, а потому А = 0.
В результате получим
х =
2х{Тпл - T)t
ЯР
11,3 см.
10.28. т и 41 мин.
Решение. Если таяние льда идет не очень быстро, то мгновенное рас¬
пределение температуры в окружающей воде будет таким же, что и в ста¬
ционарном случае при тех же граничных значениях температуры. Согласно
530
ответу к задаче 10.14, оно в рассматриваемом случае имеет вид
Т = Too + -(Т0 - Too),
г
где R — мгновенное значение радиуса куска льда, Т0 и Too — постоянные
температуры воды на поверхности шара и в бесконечности (по условию зада¬
чи Too — То = 10°С). Количество тепла, поступающее к шару от окружающей
воды за время dt, равно
о dT
Anr x—dt = AnxR{Too — To)dt.
Это тепло идет на то, чтобы расплавить лед, и потому может быть также
представлено выражением
—qdm = ~AnxR2pnqdR.
Приравнивая оба выражения, получим
х(Тоо - To)dt = -рлqRdR.
Отсюда интегрированием находим искомое время таяния льда:
т = -°— = 2480 с « 41 мин.
гхЦоо - J-0)
if) on г _ 2gAln(.R2/-Ri)
10.29. L--n(<r^_Tt).
10.30. L я \f~~ ~3м.
10.31. т{х) = [| (т23/2 - rf72) + Tf/2]2/3.
10.32. А Т=( In - + Т0372) 1 - Т0
\ АтСХО г
10.33. q = уХ0Г0Д.
10.34. t = 158°С.
10.35. d =
3V2PR ln(r2/ri)
для средней температуры Т « 320 К,
10.36. Р=\Ро-
bkvitits)— _ 2 3 . 8 см> где v ^ 4qq мус подсчитано
10.37.
V_ = 13
Vo ~ 3 ’
1 'v / тпкТ г
10.38. Р »— ■ « Ю^"1 атм, где га — масса молекулы воздуха,
СР
г — ее радиус; у = yf- ■
Cv
531
10.39. I
vfsP
■v2 xT
• 50 км, где v3B — скорость звука, p — плотность, ж
коэффициент теплопроводности воздуха, Т — температура воздуха.
3D
10.40. Л :
= 3 D
топ
ШГ
1,3 • 10“° см.
10.41. п = 3.
10.42. AS = 8Я1п2 ?
10.43. ^ = 4.
10.44. С = CV -
' 46 Дж/К.
10.45. Уменьшится в vT5« 1,22 раза.
А-2
А\
10.46. х = I
10.47. т ?
: 5,7 см; 2i =22-
яЧ^ + 7
10.48. (г2) =2пЛ2.
10.49. \/(г2) « 3,3 см; 1) результат уменьшится в 2 раза; 2) увеличится
в у/8 > раз; 3) увеличится в >/2 раз.
10.50. т « 3 мин.
10.51. т « 80 с.
10.52. Примерно в 1012 раз.
10.53. AS и 110 Дж/К; А = 33 кДж.
10.54. v = — « 15 м/с, где е — заряд электрона.
ОЛСх
^[0" Г)
10.55. Е ~ — =4-10 В/см, где е — заряд электрона.
е
10.56. Т = ~ =
к
еЕ
2кап
4500 К.
10.57. (г2} = |^л/— « 4 • 10~2 см2; ~ 2 мм,
3 Ра V ттц
где ц = 12,4 г/моль — приведенная молярная масса Аг и НгО.
10.58. и = ■£’i?(At’)_'vар и 7 ю"~2 см/с, где ц — молярная масса водо-
бтцР
рода.
10.59. I и V2\vt и 3 см, где Л — длина свободного пробега, v — средняя
скорость молекул воздуха. Газокинетический диаметр молекулы был взят
равным зА.
10.60.
■ 1п105 = 20,4 см.
532
10.61. Т!
1,4 • 1014 с « 4,4 • I О6 лет, где v — скорость
Д2 _ Д2 _ Д2
6 D 2Лг> 2Лс
космической частицы, близкая к скорости света с в вакууме.
10.62. IV 2
lg(U-2/Vl)
10.63. Л = 3ri/(pv) = 0,89 • 10-5 см.
10.64. 1) v = -^/8RT/(пА) = 3,8 • 104 см/с; 2) Л = Зт|/(nmv) = 0,92 • Ю-5 см;
3) -v = nv/(2А) = 5,6 • 1028 с“4 • см-3; 4) сг = 1/(\/2пХ) = 0,283 • 10-14 см2;
5) г = у/о/к = 3 • 10~8 см.
10.65.
ХЦ
10.66Г Q =
i 0,14.
7ТЦГ4 Р2 - Р2
8r\RT I
Решение. При течении на бесконечно малом участке трубы dx жид¬
кость можно считать несжимаемой и применить к такому течению формулу
Пуазейля
„ _ 7Грг4 dP
8r\ dx ’
Исключая плотность р с помощью уравнения Клапейрона, получим
Q = -
7ТЦГ
8r)RT dx ’
Так как при стационарном течении величина Q постоянна вдоль всей трубы,
а величина г| зависит только от температуры и при изотермическом течении
остается постоянной, то после интегрирования получим ответ.
10.67. tj =
d =
пР'2 Л4 т
"128ги
In
(Pi - Р2)(Р2 + Р3)
(P3-P2)(Pi + P2)J
-1
14-10 5 дин • с/см2;
3\/27ГГ)
= 3,8- 10-
см.
10.68. t
10.69. t
10.70. V2 =
16t]LV
fi-‘V
а 4,3 С
70'4
\Р2 Pi)
3 LV 1
4 г3 у
1 М- , А ,
2 txRT Р2 '
а 88 С.
Vi A
Vi + A
'■ 330 л/с, где A ■
2лДТ г3
воздуха.
10.71. Увеличится в 8 раз.
10.72. m =
7Гу щРР/
128(3у - 1)ДнП\
ная масса газа.
1 + у'
молярная масса
СР
где у = —, ц — моляр-
Cv
533
10.73. N =
<ogh)s
8r\l
Д4 « 10 ,s Дж/с, где ц — коэффициент вязкости воды.
Zb - л/Т)т«110 г.
10.74? М= ~SP<
8Л
Решение. Так как расстояние между стенками мало по сравнению с
их размерами, то при расчете стенки можно считать плоскими. Температуру
одной из стенок можно принять равной температуре окружающего воздуха
То, а другой — температуре жидкого воздуха Т. Молекулы, отражающиеся
от наружной стенки, назовем «горячими», а молекулы, отражающиеся от
внутренней стенки, — «холодными». Обозначим концентрации таких молекул
через по и п, а их скорости — через гц и v соответственно. Число молекул,
отражающихся от 1 см2 горячей стенки в одну секунду, равно nov0/4 = nv/4.
Эти молекулы передают холодной стенке тепло (l/4)noi>o ■ (5/2)fcTo; обратно
уносится тепло (1/4)по«о ■ (5/2)кТ. Следовательно,
М = -~nov0kS(To - Т)т.
оЛ
Давление оставшегося газа, если бы он имел температуру То, равно Р =
= (п + по)кТо. Окончательно нетрудно получить ответ.
10.75? N=?-~nvr3.
О / ^
Решение. Направим ось X вдоль трубы. Тогда N = —SD—dx, где S —
площадь поперечного сечения трубы. Так как поток N один и тот же на
протяжении всей трубы, то \dn/dx\=n/l. Заменив в формуле D=(l/3)v\
величину Л на 2г, получим D = (2/3)w и далее ответ.
10.76? Решение. Так как столкновений между молекулами нет, то
потоки частиц ZVi и N2 в прямом и обратном направлениях совершенно неза¬
висимы, и полный поток N представится их разностью:
-т ЛТ лг 2 _ 3 П\ — П2
N — N\ — N2 = TjTtw -
О I
(формула Кнудсена).
10.77. Газ будет перетекать в сосуд с более высокой температурой;
Vtxt2 VTi
Ti + т2 v'IT + л/Ti
'S'1’2 м = Дм.
15
10.78. п = п0е_</'г; т = = 5 • 103 с = 83,4 мин.
2twl3v
12У2
10.79. п = п0(1 - т = -=^= = 3 • l(f с = 8,33 ч.
in on П10Т1 + П20Т2
10.80. rii = |-
Tl + т2
rtD3v
T2
Tl + Т2
(пю-П2о)е
-t/т.
; n2 =
П20Т2 + rc10Ti
Tl
Tl + T2
/ \ — t/т 1 1 1
(П20 - nio)e ' , где - = 1 , Tl =
ЗУД
т2
2tul3v
T2 =
Tl + T2
3 V2l
2na3v
+
534
10.81* 1,4 м/с.
Решение. При оценке эффекта можно предположить, что одна шестая
молекул воздуха движется направо, а одна шестая — налево. Молекулы, дви¬
жущиеся параллельно плоскости диска, можно не принимать во внимание.
Скорости молекул v будем считать одинаковыми. Пусть диск движется рав¬
номерно со скоростью и менее нагретой поверхностью вперед. Число ударов,
испытываемое квадратным сантиметром этой поверхности в одну секунду:
n(v + u)/6. Для оценки эффекта можно предположить, что в системе от¬
счета, движущейся вместе с диском, молекула отражается со скоростью «2,
соответствующей температуре Т2 поверхности. В неподвижной системе ско¬
рость отразившейся молекулы будет V2 + и, а изменение скорости V2 + и + v.
Следовательно, давление газа на менее нагретую поверхность
■Рг = -g-(v + u)(v2 + и + v).
Аналогично, давление на более нагретую поверхность
Pi = — (?; ~ u)(vi + v - и).
При установившемся движении Р2 = Pi. Из этого условия нетрудно получить
и =
VI - V2
4v + Vi + v2
V
Vl - V2
6
v vi - v%
1 /ЗЯГ Ti - T2
12 V T
10.82. ф = ^Д4 = 81°.
10.83. P ешение. Рассмотрим кольцо на вращающемся диске с внутрен¬
ним радиусом г и наружным радиусом г + dr. С площади этого кольца еже¬
секундно отражаются nv ■ 2nrdr/4 молекул. Каждая из них уносит момент
количества движения тг2ш, который передается неподвижному диску. Пол¬
ный момент импульса, передаваемый в одну секунду неподвижному диску,
легко найти интегрированием. Приравнивая его моменту силы /ф', действу¬
ющему со стороны закрученной нити, получим для угла закручивания
ЗлР _4 3 Ph
—-wR =- — ф
8vf 4 r\v т
Ф — значение угла закручивания, соответствующее тому случаю, когда рас¬
стояние между дисками велико по сравнению с длиной свободного пробега
молекулы. (См. предыдущую задачу.)
10.84. АяЗ эрг/(см2 • с).
10.85. т =
7tr\ai<i2Ai2
(ai + а2)кТ
~ 200 С.
10.86? Решение. Пусть в одной жидкости в отсутствие внешних сило¬
вых полей распределены тождественные броуновские частицы с концентра¬
цией п(х), меняющейся только в направлении оси X. Вычислим диффузион¬
ный поток Г таких частиц через произвольное сечение, перпендикулярное к
оси X. Возьмем в этом сечении бесконечно малую площадку dS (рис. 484).
535
Выделим группу броуновских частиц, которые за время т смещаются на один
и тот же вектор Дг*. Пусть будет велика не только полная концентрация бро¬
уновских частиц п, но и концентрация их щ(х) в каждой группе. Число ча¬
стиц г-й группы dNi, проходящих через площадку dS за время т, будет равно
числу их в косом цилиндре АВВ'А' с основанием АВ и образующей Дг*, т. е.
О В
Рис. 484
dNi = J rii(x)dV.
Линейные размеры площадки dS можно выбрать малыми по
сравнению с Дг*. Тогда элемент объема dV можно предста¬
вить в виде dV = dSdx и написать
о
dNi = dS J rii(x)dx = dS j п*(жо + Qdl,,
—A Xi
где xq — координата центра О площадки dS. Выбрав т, а следовательно,
и Дxi достаточно малыми, разложим функцию n*(z0 + £,) по степеням £, и
оборвем это разложение на линейном члене. Тогда
о о
dNi = ni(0)dS j dS J
— A xi X X° —A Xi
Idl,
или после интегрирования
dNi = dS
п*Дж*
1 drii
2 dx
(Д Xi
2
Аргумент :го мы опустили, предполагая, что концентрация щ и ее производ¬
ная drii/dx берутся в центре площадки dS.
Избыток dN броуновских частиц, проходящих через площадку dS в поло¬
жительном направлении оси X, над числом частиц, проходящих в противо¬
положном направлении, найдется суммированием предыдущего выражения
по всем группам частиц:
dN = dS J riiAxi - уХ!^Да:;)2'
г *
Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации
п* относятся к центру площадки dS, а смещения броуновских частиц в поло¬
жительном и отрицательном направлениях равновероятны. Для вычисления
второй суммы заметим, что по определению среднего
пАх2 = nj(Axj)2.
Величины ДXi как независимые параметры не зависят от х. Средний квад¬
рат смещения (Да?)2 = Ах2 также не может зависеть от х ввиду однородности
536
жидкости и отсутствия силовых полей. Поэтому дифференцирование преды¬
дущего соотношения по х дает
В результате для среднего значения dN получаем
dN = -dS
Ах2 dn
2 dx
Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц Г, надо эту
величину разделить на dS и т. Таким путем получаем
р _ Ах2 dn
2т dx
Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно
рассматривать как процесс диффузии с коэффициентом диффузии
По смыслу вывода под (Аж)2 следует понимать «среднее по совокупности ча¬
стиц». Однако в силу одинаковости последних и отсутствия взаимодействия
между ними это среднее может быть заменено «средним по времени» для
одной частицы.
10.87* Р е ш е н и е. Плотность суммарного потока частиц в положитель-
дп
ном направлении оси X: nBf — D —, где / — результирующая силы тяжести
и выталкивающей силы гидростатического давления, действующая на бро¬
уновскую частицу (ось X направлена вертикально вниз). Приравнивая это
выражение нулю и принимая во внимание, что п = noexp[/x/(fcT)], получим
окончательно
D = кТВ
(формула Эйнштейна).
1сТ
10.88. Аж2 = 2кТВт = ————т.
Зятю
10.89. \Л& = х/д^+Л?' = ~ Ю мкм.
v V 37гг|а
10.90. N = и 6,02 • 1023.
Злаг|Дж2
10.91. (|Дж|> = Дж2) =
10.92. sj(г2) = а/(ж2) + {у2) = 2yj= 1,3 • 10-2 см. Радиус капельки
а = [Зт/(47гр)]1//3 м 1,36 • 10~3 см, т. е. велик по сравнению с длиной свобод¬
ного пробега молекул, составляющих воздух (~ 10-5 см). Число Рейнольдса
537
Re = mgp/(Ътщ2) « 0,15, т. e. мало по сравнению с единицей. Условия приме¬
нимости формулы Стокса выполняются.
10.93. Ne = 2RT(Vl + V2U
Е{Ах)2
10.94. JVe = 5,88 • 1023.
/ 720 кТт\2 \ л
10.95. Rmm = ( T7. s-v ) ~ 2,1 - 10 4 см (при R < Rmm капли участ-
\ Ion pJg2 )
вуют в броуновском движении, при R > Rmin капли падают в вязкой среде в
соответствии с формулой Стокса).
1/3
10.96. г = = 1,6 • 10~5 см.
\7zRpgj
10.97. у/Щ = ij4. кг19 г • см7с.
12
10.98. т =
4 D
15 с, где D — коэффициент диффузии.
10.99. Используя формулу Стокса для силы сопротивления при вязком
движении, найдем г
7/2
4т|
. — и г ~ 10 d см. В осадок выпада-
g(p- Ро) V Р
ют те частицы, для которых средняя высота столба, оцененная по баро-
кТ
метрической формуле h ~ — < г (тп — эффективная масса частиц), что
/ 3 кТ \
1/4
эквивалентно неравенству г ^ ^4^—J ~ 0,5 • 10 см, откуда следует
г ^ 0,5 • 10^4 см. Таким образом, такие частицы в алюминиевой краске вы¬
падут в осадок.
10.100. t = О.ОЗрА^ Г" (т3/2 - Т?/2) 1 In ~ « 500 с.
lotto \ z 1 J d
10.101. Время образования жирового слоя тобр « —I— « 1 сут (по уело-
Г JD
/2
вию). Время восстановления однородного распределения тВОс « ■ . Под-
2iKl £?
счет показывает, что тВОс « Ю11 - 1012 с ~ 1000 лет.
10.102. Re ~ 105.
10.103? Р ешение. Стационарный поток пара через любую сфериче¬
скую поверхность радиусом г, концентрическую относительно поверхности
капли, равен
j = —D • 4тгг2^
4 dr
= const.
Откуда
^ 471Dr
+ Poo-
538
Величину j можно найти из условия, что на поверхности капли (г — а) пар
должен быть насыщенным, т. е.
j ~ 4nDa(pu — poo)
и, следовательно,
10.104. тИсп —
Р — — (pH ~ Роо) + рею-
г
рж
RT
2D (1 - ф) рн 2D (1 - ф)црн
1) т^исп ^ 37 мин; 2) Тисп ^ 0,13 с.
рж-
10.105. Р0 =
ЗНДгаЛГд ^ _
—-кТ = 20,5 мм рт. ст.
\vSt\i к
10.106. t — ~ 227 дней, где р. и р -
воды.
4 Лг>Рнц
молярная масса и плотность
<П1Л7 д ЗЯАТп 17 —з „„ р 0 . 1Л19 -3
10.107. Ап = т = 0,54 -10 см , где п = = 2,4 -10 см
Л кТ
10.108. —« 4 • 10-5; т яз 1 месяц.
N\
л л . лл vKPuac —
10.109. j = , где v
АкТ
10.110. Пнас “ п ~ 4 Л
средняя тепловая скорость.
(4-10
-7 Рн;
10'
3 -L Рнас
257 сут, где рж — плотность воды.
п
10.111. t =
2 DpH
10.112. т=3п£^ /8ДТи10()лет (перенос жидкости будет проис-
8 mg V до¬
ходить лишь вниз путем диффузии молекул через пузырек, поскольку
Р0 » pgb).
10.113. AS = 40,6 Дж/К.
10.114. AS = -15Я1п2 = -86,4 Дж/К.
10.115. Скорость увеличится на 15%.
10.116. (ДЯ2) =
3 кТН
лг3(р- рж)д'
N
10.117. — = (Пл/Пт)^ = (./— ) « ю3, где (it и ц, - относительные
ао (Пл/пт)о \ у Цп /
молекулярные массы тяжелого и легкого изотопов соответственно.
10.118. AS = fcv + ^) lnp « 3,8 Дж/(моль • К).
10.119. Рк
:кПу/Т&.
539
10.120. q = 4
v ТПП-
Вт
10.121. j = ±SPv.
10.122.
10.123.
t\\ _ 4Л1Л2
t± (Ai + Л2)2
dT
dt
10.124. t
i 0,029 K/c.
3 L2pR
■ 100 c.
X\i.
v}/4Nl/243/2
■2\ =
10.125. рж
Рж (ЯГ)3/4 ’
10.126. D ~ « 5 • 10“4 cm2/c
V rn
10.127. л ос T2/3.
IP
Nr'
Oacc f 11
1-lacc СГмол у To У V Имол J
10.130. D3 = 3,08 см2/с.
10.131. x3 = 0,099 Bt/(m • K).
10.132.
10.128.
10.129.
7~) rr / np \ 3/2 / \ 1/2
^мол Oacc f J x \ f Pace j p- g
^ат СУат Фдим / Tx Рдим 2 у
**дим ^Удим ^ат V Tq РаТ
10.133. т = |т03/2 + Т°4^Д2 j
10.134. q = = 2,2 • Ю-19 Дж = 1,4 эВ, где п0 = ^ = 2,7 • 1023 м'
klo
Dnn
гз/2 ^ 3<?Г01/2Д2
10.135. Т = I Tq2 + —5—
OJXQ
Dn0
2/3
10.136. ДТ = q^- = 32 К, где по = ^ = 2,7 ■ 1023 м_3.
10.137. i(r)=t0 +^Ц)2-г - (
= 25,8 °С.
10.138. t(r) = t0 + И ■ (27rvr)2 =
>r 2
А:То
f § “ |); *max = *(|:
= to + - • :^г
20 + 7,3(J):
°С.
540
10.139. t
7ЮТ1,2.
, rJh ; при mgh ~ kT, где ft — линейный размер сосуда, rn —
к±
масса частицы ртути, а — ее радиус, т| — коэффициент вязкости воды.
10.140. Л = Л0 (Т,',г.ак) 1 m/(aR) = 2,5 • 10“7 м, где Л0 = кТ° -
= 7-10 8 м — длина свободного пробега на уровне моря.
То
\/2тсРотаР
10.141. ft :
То
• 3,7 км.
10.142.
10.143.
JV,
- Stw о г
1 ^Svdn/L
О
ф
4 Л
~ 0,7 • 10°.
10.144. /» ~ 5 ■ 1010.
2>г
10.145. Р
Ро
10.146. Т0 - Ti = -
, / 2DS ,
1 + ехр(”
/ 1
1
Ri Rq
= 3,6 К.
10.147. To - Ti = QWsR° In ф- = 2,4 K.
Ho
= 4,1 • 105 cm/c.
10.149. n =
= 4,1 • 105 cm/c.
10.150. -v =
WflR (
УС
/ R 2 '
ч8 D ev /
W0R .
/ Я
4
3 ^
^ 5D £.v
2 kTR
( 1
1 N
= 1,1 • 1018 атомов/сма, где v =
Зц \a i a2
il7
ЩП2 = 4 • 1018 cm 3 • с 7.
10.151. -v = 4яЯ(Т>1 + D2)niri2 = 1,8 • 1017 cm 3 • с \ где D\ =
= 2,68 ■ 10~6 cm2/c; D2 = 5,36 • 10~6 см2/с.
10.152. Сила сопротивления воздуха падающей капле Рсопр = 6яцгу (фор¬
мула Стокса). Указанный закон Стокса справедлив, если Де = рВ03дг> • 2г/т| < 1.
8RT
яр.
8RT
яр
kT
67ir|ai
Отсюда предельный радиус капли г=
4 РвоздР£
установившаяся скорость падения капли v = ~-— ~ 18 см/с.
~ 4 • 10 3 см. При этом
2грв<
10.153.
YM
Vq
= 1 1 +
87ia3T)ni
Эпо V
8 7
= 4,7.
541
10.154. т =
з Щ
8ла3 DriQ
1~lv0
v \
2/3'
0
: 4900 с » 1,4 час.
10.155.
z(P,Ti) _ (То
1,7
: 0,88.
0,86
z(P,To) \ТК
101ЧЙ ^о,Т)) _Ро/ТЛи’в°
10-156- 1(ад) - * (,5bj ~2Д
10.157. 7. '
10.158. j
По Do
V «оЗо у
(Г^
'ТА3/2
,п[%)
10
.159. yj(ri — гг)2 =
— f — + — ) = 1,7 • 10~2 см.
7ГГ| V И1 «2 /
§11. Фазовые превращения
11.1. Q = 10770 кал/моль.
Решение. Так как при нагревании объем системы не меняется, то
работа не совершается. Поэтому искомое количество тепла будет равно при¬
ращению внутренней энергии системы и, следовательно, не будет зависеть от
способа перехода системы из начального состояния в конечное. Осуществим
этот переход в два этапа.
1. Нагреем воду от 0 до 100 °С так, чтобы испарения не было. Для этого
потребуется подвести тепло Qi — 18 ■ 100 = 1800 кал/моль.
2. Испарим воду при постоянной температуре £ = 100°С. Для этого по¬
требуется подвести тепло Q2 = Un — иж, где Un и иж — внутренние энергии
моля водяного пара и воды при температуре 100 °С и атмосферном давлении.
Для определения U„ — Um воспользуемся первым началом термодинамики
А = U„ — иж + А, где А — теплота испарения, отнесенная к одному молю
(А = 539 • 18 = 9710 кал/моль), а А — работа против постоянного внешнего
давления (А = PVn = RT = 1,98 • 373 = 739 кал/моль). Таким образом,
Q2 = Un — иж = А - А = 8970 кал/моль,
Q = Qi + Q2 = 1800 + 8970 = 10770 кал/моль.
11.2. А = рЛ(1\ - T2VT2 = 13,85 кДж/моль, где р — молярная масса во¬
ды.
11.3. t0 = ti + . /- = -5,5°С, где р — молярная масса воды.
>с у 2,7xJxi 1
542
.4»
£Г
.В
T-dT
V
11.4? Р е ш е н и е. Пусть точка А на диаграмме /’, v (рис. 485) изобража¬
ет состояние одного грамма жидкости при температуре Т и давлении Р, рав¬
ном давлению ее насыщенного пара при этой тем¬
пературе. Будем сообщать системе тепло таким
образом, чтобы давление и температура остава¬
лись постоянными. Тогда жидкость будет испа¬
ряться и притом так, что в любой момент времени
над ней будет находиться насыщенный пар. Пусть
В изображает состояние, в котором вся жидкость
перешла в пар. Тогда теплота, полученная систе¬
мой на изотерме АВ, будет равна теплоте испаре¬
ния Л. Адиабатически понизим температуру пара
на бесконечно малую величину dT (точка С), а
затем по изотерме CD и адиабате DA вернем систему в начальное состоя¬
ние. Работа, совершенная системой, равна площади параллелограмма ABCD.
Выразив ее через v„, уж и dT и применив теорему Карно, нетрудно получить:
dP _ А
dT ~ T{v„
(формула Клапейрона-Клаузиуса).
Рис. 485
Уж)
11.5.
11.6.
АТ = -AvAP
: 0,056 К.
45 кал/г (опыт дает 46,4 кал/г).
11.7. Ps
ЛАТ \
1 + ) Ро = 1,035 атм, где Л
удельная теплота парооб¬
разования, -v = 1/18 — число молей в 1 г воды, Ро — атмосферное давление.
То
11.8. Т - То :
1 -
ДГр
Лц.
— Т0 « 26 К.
In 2
11.9.
Ап
АТ
п ~ Т
11.10. t = 109 °С
AV
11.11.
v
11.12. VП — Уж +
Ат
-3,2%.
A dT
Tdp - 1700 см3/г.
п.13. — «
т А
и Тю — температуры кипения при 1 и 10 атм соответственно.
AV АТ ( Ац \
14%, где с —удельная теплоемкость воды, Т\
11.14.
-3,2%.
V TV RTJ
11.15. Рп = 1 атм; твоз = 42,3 г; т„ = 26,3 г.
11.16. Ат рз С - О АТ = 0,075 г, где V яз 4 л — объем пара, Р ■
Н1 2 \ til /
его давление.
543
11.17. ^ = ^*,2,5- КГ'1.
rn Л2
11.18. Лт = А2 + (rf> - г[;,)(72 - Тх) « 567 кал/г.
11.19. Л;)23 = А37.Ч + (Си - + Д
11.20. р = -j^exp
ц
‘Wi _ J_
. Д VT То
пения воды при Ро, т. е. pV = 7,9 г.
Ah _ ДТ / Ар
1Г _ Т\КГ
) (Т2 - Ti) » 2370 Дж/г.
7,9 г/см3, где То — температура ки-
11.21.
1 « 2 • 10
11.22. Т =
1 R, Л 2а \
То цЛ^+Рог/
: 404 К, где То — температура ки¬
пения при нормальном атмосферном давлении Ро.
h Т Р
11.23. яз 10-2Д- яз 76 см эфирного ст./К, где Р ~ 1 атм яз 1460 см эфир¬
ного ст.
11.24. Р = AT~^a/R exp , р — молярная масса. Значение посто¬
янной А можно найти, зная температуру кипения жидкости при каком-либо
давлении.
ApiToTa
11.25. Т =
где р — молярная масса воздуха, pi — моляр-
ApiTa + pgHT0 ’
ная масса воды, То — температура кипения воды у поверхности Земли.
11.26. ДГ = Ттот-^-гт « 24 К, где принято В = ^ 6,8- КГ2,
1 + В Реод А 1 о
где Тюо ~ 373 К — температура кипения воды на поверхности Земли,
То яз 273 К — температура воздуха, А = 2260 Дж/г — удельная теплота па¬
рообразования.
Tgh
11.27. АТ =
: 0,025 К.
11.28. F = -~j—То ■{ ехр
Ат, _ (срТ
Wj_ _ I
R \Т0 Т
АТ
^ - ij = 17,8 Н.
0,17%, где ср — удельная теплоемкость
11.29. — = ( ^ - 1 , т
гп \ А ) 1
пара при постоянном давлении, А — удельная теплота парообразования.
11.30. При адиабатическом сжатии водяной пар становится ненасыщен¬
ным, при адиабатическом расширении — пересыщенным. (Получение пере¬
сыщенного водяного пара путем адиабатического расширения используется
в камере Вильсона.)
nil „ДТ ДТ_ 1-ф
‘ ' V2 3 То ’ ГД6 То А-фДТо
RTq = -0,0083, тогда
ДУ2
v2
<2,5%.
11.32. Q :
А2тиРр2Тп2ДТ
128 пШ2Т3
1,4 кДж/с, где Рп = 105 Па.
544
11.337 P—i°c — 4,20 мм рт. ст.
Решение. Удельная теплота возгонки qB = q + Л = 676 кал/г. Подстав¬
ляя ее в уравнение Клапейрона-Клаузиуса
dP _ дв _ д„
dT T(v n — vT) Tv n
и определив удельный объем водяного пара из уравнения Pvn = —RT, легко
найти, что при разности температур ДТ = —1 К разность давлений составит
ЛР = —0,38 мм рт. ст. Отсюда получаем ответ — давление насыщенного пара
над льдом при t = — 1°С.
РТ
11.34. ДТ « —— (vB - «л) = -0,72 К, Ат/гп = слДТ/q = 0,0054, где q =
= 80 кал/г — удельная теплота плавления льда.
11.35. ДТ = ^ ^ - 1 j и -2,5 К, т. е. t03epа = -2,5 °С.
11.36. ДЯ= 1,25 м.
RT АР
11.37? АР=—~ = 10,5 атм.
№ /и
Решение. Изотермическое увеличение внешнего давления на АР уве¬
личивает удельный термодинамический потенциал льда на Дсрл = v„AP, при¬
чем сжимаемостью льда можно пренебречь. Чтобы равновесие не наруши¬
лось, на столько же должен возрасти удельный термодинамический потен¬
циал пара. Но для пара
д _ л р _ RT АР"
Дфп — VnAin — ~—.
Ц Гп
Приравнивая оба выражения, получим ответ.
11.38. t = 0,0074°С.
11.39. t > -13°С.
11.40. Р = 128 Н.
11.41. ~ = Т{Уж ~ Vs)- = -0,0075 К/атм.
АР q
Дьюар опытным путем нашел —0,0072 К/атм. Температуру тройной точ¬
ки можно приближенно определить, приняв давление равновесного пара в
тройной точке равным нулю. Таким путем получаем, что тройная точка воды
лежит выше точки плавления на 0,0075 К.
11.427 Р е ш е н и е. Квазистатически и изотермически испарим жидкость
при температуре Т\. Изменение энтропии в этом процессе
AXS = ^-(m2 - mi).
Затем будем квазистатически менять температуру пара и притом так, что¬
бы он все время оставался насыщенным. Элементарное количество тепла,
которое требуется подводить к пару в этом процессе,
6Q = т2ЫТ = m2 (г1), - dT.
545
Так как dS = SQ/Т, то интегрируя и пренебрегая при этом зависимостью Л
от Г, найдем для соответствующего изменения энтропии
11.44. t -
Р2
A2S = m2
Я.- Pi
п 1 12 ,
Ср In — + Л
1_
ж
Р2-Р1
t2 —
Тг
= 0,0075 °С,
Ж
T(v! - V2)
-t + Pi = 4,582 мм рт. ст.
12 — 11
11.45? Р ешение. Для наклона кривых равновесия в тройной точке
(рис. 486) имеем
dP23 _ <723 ^ <723 dPi3 _ <713
Tv3 ’
dT T(v3 - v2)
dT T(v 3-V1)
<7i3
Tv3'
Так как q13 = <712 + <723, то <713 > <723- Следова¬
тельно, кривая возгонки идет круче кривой ис¬
парения. В окрестности тройной точки кривые
равновесия можно заменить касательными к
ним. В этом приближении
р1- Р2 = АВ = АС - ВС = t
откуда
Pi -
ЛР„
dPi3 dP2[
dT
dT
P2 = = 0,00033 мм рт. ст.
Tv 3
11.46.
ДР = 0,08%.
P„ RT
11.47? P ешение. Для приближенной оценки в уравнении
dP ^ Л ^ цЛР
кг*
заменим производную dP/dT отношением конечных приращений. Получим
T2-Ti _ RTf
Р2-Р1
ЦАР)
где Pi и Рг — давления насыщенного пара при температурах Pi и Т2. Дав¬
ление пара в воздухе при температуре Pi и относительной влажности <р
'Т
будет <рРь а потому Рг = Pi. Подставляя эти значения в предыдущее
Pi
соотношение, найдем
T2~Ti =
<Р ■
1
цЛ — (pPPi
RT{ = -3,3 К.
546
Для нахождения более точного решения получаем
ыШ = пт<т>-т>>-
Подставляя численные значения и переходя к десятичным логарифмам, пре¬
образуем это уравнение к виду
72-^=0,12472 lg(^)- (*)
Для решения уравнения (*) применяем метод последовательных приближе¬
ний. В нулевом приближении полагаем Т2 = Т\. Пользуясь этим, находим
первое приближение:
T2-Ti= 0,1247i lgcp = -3,52 К.
Вычислив отсюда Т2 и подставив в правую часть уравнения (*), найдем вто¬
рое приближение:
T2-Ti = -3,66705 К.
Поступая так дальше, получим третье приближение:
Т2-Тг = -3,67313 К,
четвертое приближение:
Т2-Тг = -3,67360 К.
С точностью до трех значащих цифр
Т2-Т\ = -3,67 К.
Таким образом, замена производной dP/dT отношением конечных прираще¬
ний приводит к ошибке ~ 10%.
ила-«* ^Щрщ- ™ р» -1 а™' т" -373 К'
APRT2
11.49. ДТ = -—« 3 К, т. е. температура кипения системы t =
Р\\\ 4* *2 ^2
= 69°С. Здесь Pi«0,27Po> Р2 « 0,73Ро, где Ро — нормальное атмосферное
давление.
Указание. Кипение в такой системе начинается на границе соприкос¬
новения жидкостей, когда сумма парциальных давлений обеих жидкостей
равна внешнему давлению.
11.50. V.
2r\lpd2HR2T3
; 40 мин, где р, ц и Л - плотность, молярная
Л|РР2Г4ДТ
масса и удельная теплота испарения воды, Ро — нормальное атмосферное
давление.
547
11.51. t
21ц n2, a+pgH-2 „ \\iPqAT
4D ln —г ,, ■ W o= —5=2-- ■
pgr4 a 4- PgP1 -RTq
11.52. T = To 4- - To = 374,7 К, где Po = 1 атм, Л — удельная теплота
ЛрР0
парообразования, р — плотность, а ц — молярная масса воды.
11.53. t «33°С.
11.54. AU « Л0 4- 3RT - 4RT0.
н
11.55. t = J
q^pnpsS
XmTqF Др
11.56. г =
11.57. Л =
Ар РГ^
р (pg)2d
ЯТ2 fdP
рР \dT
zdz и 12 с.
i 0,38 мм/с « 1,37 м/ч.
- дпл « 103 кал/г.
11.58. a = Рт = оо; Ср = ±оо.
1 {dV\ 1
11.59. ps =
V \дР
, 2 RT CPRT2\
D , 1 - -т— + • 1, где Л - удельная
Р \ Лц \грг J
теплота испарения, а Ср — молярная теплоемкость пара при постоянном
давлении.
ДР AV/V
11.60.
2 RT CpRT2
' + Л2Р2
= -0,033.
Лр.
11.61? с — — 1 кал/(г • К).
Решение. Первое начало термодинамики для единицы массы пара
можно записать в виде 6Q = din - vndP, где гп — удельная энтальпия, а
vn — удельный объем пара. Мы применяем это уравнение к процессу, в ко¬
тором Р не остается постоянным. Однако, если пар считать идеальным газом,
то его энтальпия будет зависеть только от температуры. Тогда для любого
din
квазистатического процесса — =ср. Поэтому для искомой удельной тепло-
dP
емкости насыщенного пара получаем с = ср ~v"^jrp- Поскольку нагревание
dP
производится так, что пар все время остается насыщенным, производная
определяется уравнением Клапейрона-Клаузиуса, которое дает
С = Ср —
Согласно классической теории молярная теплоемкость водяного пара при
постоянном давлении равна Ср = 8 кал/(моль • К), а удельная теплоемкость
спр = 8/18 = 0,444 кал/(г • К). Используя это значение, а также значение для
Л, получаем ответ.
11.62? с= -1,07 кал/(г • К).
548
Решение. Рассуждая, как при решении предыдущей задачи, находим
_ dia Л
С~ dT Т'
([гП
Для вычисления производной — пользуемся формулой
Л П ж , о/Л.п Ж\ -п -ж
Л = и — и -f Jr(v — v ) — г —г .
Поскольку это соотношение написано для процесса, в котором пар все время
остается насыщенным, величины, входящие в него, могут зависеть только от
температуры. Дифференцируя его по температуре, находим
dp _ d\ (Иж
dT ~ dT + dT'
Для жидкости dim = cf>dT + vmdP, причем последним слагаемым можно пре-
небречь. В этом приближении = ср, а потому
din _ ж d\
Tf~Cp + dT'
Подставляя эту величину в выражение для с, получим
ж Л , d\
c~Cp~T + dT-
Для воды при Т = 373 К эта формула дает с = —1,07 кал/(г • К), что отлича¬
ется от ранее полученного значения на 7%.
\ 2
11.63. С = рсо + Су 4- R — lj « 1,3 кДж/К, где р и со — молярная
масса и удельная теплоемкость воды, Су — молярная теплоемкость воздуха
при постоянном объеме.
11.64. С = рс0 + i (^)2 « 1,5 кДж/К.
3+(^-i)2 | ~ Ю Дж/г • К.
11.65. с =
1 I nR
ГГр С0 + Эр
:70 Дж/(г-К). Заметим, что данный
11 сс 3R R f A N
' 6' CV “ р + р \ КГ ~ 1
ответ может быть получен и простым предельным переходом из ответа преды¬
дущей задачи при |3 —» оо.
d\ 1>ж д
11.67. — = ср - с — (1 - осТ), где ср — удельная теплоемкость
а± vn — уж I
пара при постоянном давлении; v и v
пар3: (=-2,ЗДж/(г-К).
удельные объемы жидкости и
U/jq ТП\ -у — 2
.Ьо. — = л 1 ехр
m2
А
RT
(л
у-1
- г
549
11.69. * ~ 1 мин; присутствие гелия увеличивает время «вымораживания»
водорода.
11.70. t = 32,3 °С.
11.71. q =
RTi Т-2
ДТ2-Т,)
In
= 638 Дж/г.
11.72. ДР = ^L[2,3(T| - Ti) - 1п2(Т2 - Pi)] « 2,9 атм, где Г2 = 0,01 К.
11.73. Р = Pi + ^(Г^~Г0.--gln^•9(гГ-Zl) (парабола); Tmin = 01п2 =
лУ к ж — Утв
= 0,319 К, при этой температуре qnл = 0; Р2 = 29 атм; <? = RT - In2 ); q\ —
= -0,43 Дж/моль; q2 = 0,77 Дж/моль.
11.74. Р = Pi + -{leMl'] ~ ОДе) = 32,2 атм.
11.75. AR = -—~ « 35 км, где у — гравитационная постоянная.
AizyRT А р
11.76. Л(0) = £ = ^ДТкр = 150 Дж/моль.
О О
11.77. АТ = — ~ - = 6,4 К.
11.78. ДТ « 4 К.
11.79. Р = 7гР«р = 112,2 атм, где я = 24\/Зт — 12т - 27, т = Р/Ткр (см. Сы-
вухинД. В. Общий курс физики. Т. 2, § 104, формула (104.10)).
11.80. Д5 = Д V • Ас{Тпл - Г0)с-1 = 13,7 ДжДмоль • К).
11.81. Л = ГплДУЛс(Тпл - То)0-1 = 1,2 к Дж/моль.
11.82. Лпл = Лсу6 - Лисп = 7,2 Кдж/моль, где AHCn = RBH = 15,2 кДж/моль;
Лсуб = RBC = 22,4кДж/моль; Вк = (АИ-13,16)Р = 1828К; Вс = (AC-13,W)T =
= 2694 К.
11.83. Лпл = Лвозг - Л„сп = 124,7 кДж/кг; Т = В.в ~ j" = 279 К; Р = 4800 Па.
А.В — А.Ц
11.84. inP _Ло + |Ср-Сж|Г0 / 1
Ро R V То
куда искомое давление Р ^ 4,8 ■ 105 Па.
Д1п§ + |Ср-Сж|1п^
Pi /о
11.85. Ai =
1
1
1,57, от-
Р Ро
|Ор - C*|Pi = 5,7 кДж/моль, Л2 =
= Ах - |СР - ОжКРг - Ti) = 4,8 кДж/моль.
550
11.86. ДР„
Па; Тт =
! 261 К (т.е. -12°С).
То
1+ Ш°-1П(1+Ч
<?Ц ' А
11.87.
а{Т
«№)
) =е-(м/Я)(1/'Г2 i/^i) = 0,852, где <х(Т) =
Рл(Т)
_ enq/(RT0)p-M/(RT)
11.88. Т = Т°
И- = 18 г/моль.
11.89. g =
|дЛа
Та0 ah
То - Т\
|дЛа
TqTi , ( JaO
^ln
воздуха, ц — воды.
11.90. Т « 377 К.
Та0 ah
; 356 К,
А(Т)
где ц.а = 29 г/моль,
сс о
тр г- = 13,45 м/с , где ца — молярная масса
I я.П \
§12. Поверхностные явления
12.1. a
12.2. a =
mg
Txd
_ (2тгЯ - l)ES
2tzR2
70 дин/см, где m — масса капли.
12.3. Т « \[ Применить метод размерностей.
л М ( т\ “
12.4. a = ff0—(-)
та \ТJ
12.5*
3,5 • 1031 дин/см.
.3
da _ q
df ~ ~r
Решение. Рассмотрим пленку жидкости и проведем с ней бесконечно
малый цикл Карно. Будем откладывать по горизонтальной оси площадь плен¬
ки F, а по вертикальной оси — поверхностное на¬
тяжение а (рис. 487). При постоянной темпера¬
туре поверхностное натяжение также постоянно.
Поэтому на нашей диаграмме изотермы изобра¬
зятся горизонтальными прямыми. Начальное со¬
стояние пленки характеризуется точкой /. Приве¬
дем пленку в тепловой контакт с нагревателем,
температура которого равна температуре пленки
в состоянии 1. Затем внешними усилиями квази¬
статически растянем пленку до состояния 2. На
это надо затратить работу. Эта работа отрицательна: Ai = —a(Ti)AF, где
AF — приращение площади пленки при растяжении по изотерме 1-2. При
Рис. 487
551
изотермическом растяжении к пленке надо подводить тепло. Величина подве¬
денного тепла Qi = qAF. В состоянии 2 изолируем пленку от нагревателя и
адиабатически бесконечно мало растянем ее до состояния 3, в котором плен¬
ка примет температуру холодильника Т2. Предполагается, что температуры
Т\ и Т2 отличаются друг от друга бесконечно мало. В состоянии 3 приведем
пленку в тепловой контакт с холодильником и изотермически переведем ее в
состояние 4. Поверхность пленки уменьшится на AF, и она совершит поло¬
жительную работу А2 = a(T2)AF. Из состояния 4 вернем пленку в исходное
состояние /. Работой пленки на адиабатах 2-3 и 4-1 можно пренебречь, как
величиной более высокого порядка малости. Полная работа, совершенная
пленкой во время кругового процесса,
A = Ai+A2 = ИТ2) - a(Ti)]AF = ~(Т2 - Ti)AF.
По теореме Карно
А _ Тх - Т2
Qi 7i '
Подставляя сюда найденные выше выражения для А и Qi, после сокращения
получим
da _ q
dT ~ "Г
(*)
12.Р е ш е н и е. По первому началу термодинамики 5Q = dU — adF,
где F — площадь поверхности пленки. Если процесс — изотермический, то
согласно (*) (см. решение предыдущей задачи)
6 Q = qdF = -T^dF.
Таким образом, при изотермическом увеличении поверхности пленки
За параметры, определяющие состояние пленки, можно принять площадь F
и температуру Т. Энергия, приходящаяся на единицу поверхности пленки,
от величины F не зависит. Поэтому
F.
12.7. dTs = dF = ——dF, где cF — теплоемкость пленки (в эрг/К)
ср dT ср
при постоянном значении F, a q (в эрг/см2) определяется формулой (*) (см.
решение задачи 12.5). При адиабатическом расширении пленка охлаждается.
12.8. Считая, что теплоемкость пленки в эрг/К cF = cphFo/2 (с — удель¬
ная теплоемкость воды), получим
2Т da
chp dT
-0,02 К.
552
Коэффициент «2» учитывает то обстоятельство, что пленка — двухсторонняя.
12.9. АТ =
16ттг2
5 -vR
Нтг)
Т~Т) =3,14- 10~3 К.
12.10* Р е ш е н и е. Подставим в формулу (*) (задача 12.5) q = TAS,
где AS — приращение энтропии пленки при увеличении ее поверхности на
единицу. Получим
^T=-AS.
а
Согласно теореме Нернста при абсолютном нуле температур все процессы
идут без изменения энтропии, т. е. AS = 0. Отсюда следует, что при абсо¬
лютном нуле температур производная da/dT обращается в нуль.
12.11. Р = 4а/d Ri 196 Н/см2.
12.12. Р = ^ « 400 дин/см2
■ 0,29 мм рт. ст.
12.13. М :
не зависит.
12.14. h «
по U2
gd
2 о
Рga
■ 900 г. Масса наливаемой жидкости от ее плотности
■ 35 СМ.
12.15. A(hi - h2) =
d.
12.16. г =
12.17. F =
2a ^ a
aph 5pgh
2a31cos2 0
pgd\d2
s 1,5 • 10
: 24,2 MM.
12.18. hi-h2 =
,, -!6H.
Pgd2
4o(d2 - rfi)
pgd-i d2
P+Pgl +
2 a
12.19. h =
/’ I Pgl I
2 (T
8 (jpg/
2 a/
2pg
где P — атмосферное давление.
ю on i. 2ctcos0
12.20. h = —; = 3 cm.
7 2a
P + Pg/ H
r
12.21. h =
dpg
acos0
1
2 a cost) 1
Pga X
pgsin(a/2) x
12.22* F = 1,46- 104 H.
Решение. Капля примет форму диска с вогнутой периферийной по¬
верхностью. Кривизной сечения этой поверхности плоскостью, параллельной
пластинкам, можно пренебречь. Радиус кривизны нормального к нему сече¬
ния г = d/2. Средняя кривизна боковой поверхности диска
2- I 1 2.
Pi п, <i
553
Давление жидкости между дисками меньше атмосферного на ДР = 2o/d.
Площадь диска S = m/(pd), где р — плотность жидкости. Пластинки будут
прижиматься друг к другу с силой
F = SAP =
2т и
1,46- 109 дин = 1,46 ■ 104 Н.
12.23. F = 2apcos97c2p4 =
630 Н, где т — масса ртути.
12.24? d2 = 5,23 • 10_3 см.
Решение. Величина d2 находится из уравнения
Р° + pgh + ^ :
ро + ^)4,
где Ро — атмосферное давление. Так как 4a/di <Ри тем более 4a/d2 -с Ро,
то в нулевом приближении эти члены можно отбросить (т. е. пренебречь по¬
верхностным натяжением). Это дает d2 = 5,3 • 10_3 см. Найденное значение
можно уточнить по методу последовательных приближений. В первом при¬
ближении d2 = 5,23 • 10_3 см.
12.25. АТ > 4аТ/{Рг).
12.26. Р = 8Р0 + 24<т/г.
12.27. С - СР
4 gR
ЗР0г 3
12.28. г = 1,04 см.
12.29. С = 3R.
12.30. С = СР + 4<тД
R • 10-5 и 1,325 • 10-4 кал/(моль • К).
ЗРог + 8а
12.31. Q = 87100*0 In а « 3,4 • 103 эрг.
127ГГ2 ( 1 \
12.32. AS = ——— I q + -rPo In2 J, где Т — температура атмосферы.
12.33. Время t связано с радиусом пузыря соотношением
-^(яРя‘).
О 1
Пузырь исчезнет через t = = 7,2 ■ 103 с « 2 ч.
12.34. t = 2Р^. ''о 2 « 630 с = 10,5 мин. (Сравните с ответом преды¬
дущей задачи.)
12.35. R2-Ri =
Pgd3
4 a
: 0,28 мм.
554
12.36*
dr \
r0 4q0 + r0P0
,dT J t=t0 T0 ЗгоРо — 4cto
Решение. Давление внутри пузыря Р = Рнар + 4а/г. Дифференцируя
при постоянном наружном давлении Рнар и полагая г = го, ст = сто. получим
4dc 4crodr
го г%
dP ■
По известной формуле da = ——dT. Исключая da, получим
do
dP =
rod о rg
Рг3 Рог3
Так как масса газа внутри пузыря постоянна, то —— = “ u;
Г То
отсюда
dP 3dr
Ро + го
dT
То
■ 0.
Исключая отсюда и из предыдущего соотношения величину dP, получим
окончательный ответ.
12.37. ст = « 80 дин/см.
12.38. AS = In2 рз 28 эрг/К.
О I.
12.39. Т = Т0; Р = AS > 0.
V2
12.40. Л = AS = Шд
гр
12.41. т = 2
бтстп
Тгр '
0,2 с.
12.42. h = 2, sin | « 3,6 мм.
V Pff 2
2а
12.43. В соответствии с формулой h, = — вода в капилляре может под-
Рgr
няться до 14 м, поскольку максимальный размер пузырька пара ограничен
диаметром капилляра.
12.44. Пленка установится на высоте, соответствующей минимуму пол¬
ной энергии mgh + 2aS, где S — поверхность пленки.
In
47ГОГ()
mg
12.45. R > в-?£в.°3- = 0,086 см « 1 мм, где р — плотность воды.
12.46.
2р 2gd
/Ti 1 / , 2ст
= — pg/iH
То Ро V г
Т,
Т,
1,12.
555
2
12.47. ^
ДI
1 +
4а
гРо
1,19.
12.48. = 1,8.
*ос
12.49. 1) Р - Ро « — — « — Ц'^>н = 252 дин/см2 = 0,19 мм рт. ст.
г 1>п г Ш
2) Р/Ро = 2,9. При столь малых размерах формула -^-=ехр(-^£— ),
Ро \ HI г )
по которой и был получен этот результат, может рассматриваться как оце¬
ночная.
19~п Лт, 2аЯГ2 2oRTV QQ„ .. „ ,
12.50. AT = ~др = ——д- w 3,3 К, где V — молярный объем пара.
12.51. г = ~ « 0,03 мм. При этом было учтено, что — <С 1.
£о) рж
12.52. t = i! +^-«10,2 °С.
гАр
12-53-ДР"=ЩГ
12.54. г » « 5,7 • 10~9 м.
R1 р
12.55. рг = Роо Л +
\ Pi Рж г
радиус минимальной капли.
12.56.
2 аТ
РжАДТ
225 А.
= 1,09 атм, где г =
_ЗДц_
47ГрЛ1д
1/3
~ 90 А -
12.57. ДТ--^£(о-Т^) =1,7К, где ДР
изменение поверхно¬
сти, с — удельная теплоемкость воды, равная 4,2 • 107 эрг/(г ■ К); AS —
= -AF^ = -1,4 ■ 105 эрг/К.
12.58. ДР = 0,02 Тор.
12.59. V < 2пг4^^ =2тгг4-^-^— ^ =4,8 см3; Я « W « 1,7 см, где
царп аРн V Ц /
а = 70 дин/см.
Указание. Имеется в виду устойчивость по отношению к испарению
капли с усилением пересыщения.
12-60-Л = (^)1/3 =2-65 ■108 эрг/г-
В действительности Л = 2,093 • 108 эрг/г = 83,7 Дж/моль. При решении
следует иметь в виду, что каждая молекула поверхностного слоя имеет по¬
рядка 9 «соседей», в отличие от молекулы внутри жидкости (12 «соседей»).
556
12.61.
12.62.
12.63.
12.64.
i
i
7 PqO3 j-nRT
т = 32aAp у 2ц ’ ГДС Л ~~ длина свободного пробега молекул пара.
т _ J_ (^£\ 2 РжАт а - Ьр _ ^
8п у ц у DuPao а + Ь0 ~
Ат _ Т2 — Ti _ п АТ Да
V “ 2Т~ ~
дт =
Т1
ТЗАро
,04 • 10' с « 120 сут.
0,09.
/- 1
2ац
pi ДТ0г
I ЛАро / цА 2ац цА 4ац
+ *Т0 \ЯГ0 pi ЯТ0г ЯТЬ “ ~&Ш&.
s —0,11 К.
557
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица I. Соотношения между некоторыми единицами систем СИ и СГС
Физическая величина
си
СГС
Соотношение
Длина
М
См
1 м 102 см
Масса
КГ
Г
1 кг — 103 г
Время
С
С
Сила электрического тока
А
ед. тока СГС
1 Ая»3-109 ед. СГС
Количество электричества
Кл
ед. заряда СГС
1 Клй>3- 10® ед. СГС
Сила
Н
дин (дина)
1 Н- 10s дин
Работа, энергия,
количество тепла
Дж
эрг
1 Дж — 107 эрг
Мощность N, W,
тепловой поток J, Ф
Вт
эрг/с
1 Вт—107 эрг/с
Давление, напряжение
(механическое) Т, а
Па
дии/см2
1 Па — 10 дин/см2
Динамическая вязкость ц
Па-с
П (пуаз)
дин-с/см2
1 Па • с — 10 П
Кинематическая вязкость v
(v—ц/р)
м2/с
Ст (стоке)
см2/с
1 м2/с-104Ст
Коэффициент теплообмена
(теплопередачи)
Вт/м2
эрг/(с-см2)
1 Вт/м2 — 103 эрг/ (с • см2)
Теплопроводность х
Вт/(м-К)
эрг/(с-см К)
1 Вт/См-Ю-К^эрг/Сссм-Ю
Температуропроводность %
м2/с
см2/с
1 м2/с — 104см2/с
Электрический потенциал,
электрическое напряжение
В
ед. напряже¬
ния СГС
1Вякз5оед'СГС
Электрическое
сопротивление
Ом
ед. сопротивле¬
ния СГС (с/см)
1 Омя>|- КГ11 с/см
558
Т а б л и ц а II. Некоторые внесистемные единицы
Килограмм-сила
(кгс)
9,80665 Н (точно)
Атмосфера техническая
(ат)
98066,5 Па (точно)
(килог рамм-сила на кв. сантиметр,
1 кгс/см2=1 ат)
Атмосфера физическая
(атм)
101324,72 Па = 760 мм рт. ст.
Миллиметр водяного столба
(мм вод. ст.)
9,80665 Па
Миллиметр ргу гногостолба
(мм рт. ст.)
133,322 Па
Бар
(бар)
105Па
Лошадиная сила
(л. с.)
735,499 Вт
Ангстрем
(А)
10Г8см
Калория международная
(кал)
4,1868 Дж (точно)
Астрономическая единица длины
(а. е.)
1,49600-10й м
Световой год
(св. год)
9,4605-1015 м
Парсек
(пк)
3,0857-1016м
Электрон-вольт
(эВ)
1,60219-10'19 Джек 1,6-10~12 эрг
Год
(год)
3,16-107 с
Градус Цельсия
(“С)
t—T—7'о, где Т — температура
в кельвинах, 7'о = 273,15К.
1 "С-1 К
Таблица III. Некоторые мировые константы
Скорость света в вакууме с — 2,998 • Ю10 см/с
Гравитационная постоянная
у — 6,67-10-11 Н-м^/кг2 = 6,67-10-8 дин-см2/г2
Постоянная Больцмана
* = 1,38-10-23 Дж/К = 1,38- 1<Г1бэрг/К = 8,62-10-11 МэВ/К
Универсальная газовая постоянная
R = 8,314 Дж/(моль-К) = 8,314-107 эрг/(моль-К)
Объем моля идеального газа при нормальных условиях
(/>о = Ю1325 Па = 760 мм рт. ст.; Г0 = 273,15 К)
К0 = 22,4 л/моль = 22,4-10~3 м3/моль = 22,4-103 см3/моль
Постоянная Авогадро Л/А = 6,025-Ю23 моль-1
Постоянная Лошмидта
п0 = 2,69-1025 м 3 = 2,69-1019 см-3
Масса электрона /ис = 9,11 • 10~31 кг = 9. И • 10-28 г
Масса протона тр = 1,67-10-27 кг = 1,67-10-24 г
Энергия покоя электрона тс<:2 - 0,511 МэВ
Энергия покоя протона трс2 = 938,3 МэВ
Температура, соответствующая 1 эВ,
Г, = 11 606 К
Масса Солнца Мс = 1,99-1030 кг = 1,99-1033 г
Масса Земли М3 = 5,98-1О24 кг = 5,98-1027 г
Радиус Солнца Rq = 6,96-105 км = 6,96- Ю8 м
Радиус Земли А3 = 6,38-103 км — 6,38-106 м
Среднее расстояние от Земли до Солнца
= 1 а. е. « 1,5-1011 м
Среднее расстояние от Земли до Луны
£ляьЗ,84-108 м
Средняя скорость движения Земли по орбите
30 км/с = 3-I04 м/с
Т а б л и ц а IV. Множители и приставки СИ для образования десятичных
кратных и дольных единиц и их наименования
Множитель
Приставка
Сокращение
1 000 000 000 000=1012
тера
т
1 000 000 000=109
гига
г
1 000 000=106
мега
м
1 000 = 103
кило
к
100= ю2
гекто
г
10=10*
дека
да
0,1 = 10"!
деци
д
0,01 = 10'2
санти
с
0,001 = 10~3
милли
м
0,000 001 = 10~6
микро
мк
0,000 000 001=10'*
нано
н
0,000 000 000 001 = 10~12
пико
п
0,000 000 000 000 001 = 10"15
фемто
ф
0,000 000 000 000 000 001 = 10"18
атто
а
Примечание. Приставки рекомендуется выбирать таким образом, чтобы числовые
значения величин находились в пределах 0,1 + 1000
560